Guia Vii - Matemática Ii

UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE OCCIDENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA II (C.C.E.E.) – CICLO II - 2019 Guía Nº 7: Derivadas Parciales e Integrales 1) En los problemas siguientes encuentre las derivadas parciales de primer orden de la función. a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 7𝑥 − 3𝑦 + 4 b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 3 − 3𝑥 2 𝑦 + 5𝑥 c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦 5 + 3𝑥 2 𝑦 + 𝑥 2 3𝑡 e) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑠 f) ) 𝑧 = 𝑥𝑒 𝑥𝑦 d) 𝑧 = (3𝑥 + 2𝑦)5 g) 𝑓(𝑥, 𝑦) =

𝑒 2−𝑥

h) 𝑓(𝑥, 𝑦) =

𝑦2

2𝑥+3𝑦

i) 𝑓(𝑥, 𝑦) =

𝑦−𝑥

ln(𝑥+2𝑦) 𝑦2

2) En los siguientes problemas evalué las derivadas parciales 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) 𝑦 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) en el punto (𝑥0 , 𝑦0 ) dado. 𝑦

a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 3𝑦 en (1, −1)

b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥+𝑦 en (0, −1)

d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒 −2𝑦 + 𝑦𝑒 −𝑥 + 𝑥𝑦 2 𝑒𝑛 (0,0)

c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 2 − 7𝑥𝑦 + 5𝑦 3 − 3(𝑥 + 𝑦) − 1 𝑒𝑛 (−2,1)

3) Se da una función de dos variables. Encuentre la derivada parcial de la función con respecto a cada una de las variables. a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 2 + 3𝑦 2 − 7 b) c) 𝑔(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 4 𝑦 + 2𝑥𝑦 2 − 5𝑥𝑦 + 8𝑥 − 9𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑦 + 1 1 1 𝑠2 + 4 d) 𝑔(𝑝, 𝑞) = √𝑝𝑞 e) f) 𝑢(𝑞1 , 𝑞2 ) = ln(𝑞1 + 2) + ln(𝑞2 + 5) ℎ(𝑠, 𝑡) = 2 3 𝑡−3 2 2 𝑥 + 3𝑥𝑦 + 𝑦 g) ℎ(𝑥, 𝑦) = h) 𝑧 = 𝑒 5𝑥𝑦 i) 𝑧 = 5𝑥 ln(𝑥 2 + 𝑦) 2 2 √𝑥 +𝑦 j) 𝑓(𝑟, 𝑠) = √𝑟 + 2𝑠(𝑟 3 − 2𝑟𝑠) + 𝑠 2 k) 𝑓(𝑟, 𝑠) = 𝑒 3−𝑟 ln(7 − 𝑠) l) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 2 𝑦 + 2𝑥𝑦 3 + 5𝑦 2 𝑥 𝑦 𝑥+𝑦 3 1) m) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 + 𝑥 n) 𝑓(𝑥, 𝑦) = (3𝑥 − 𝑦 2 )2 o)2) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥−𝑦 𝑥𝑦

3) p) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦−𝑥

q)

s) 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln(𝑥 2 + 𝑦) 5)

t)6)

2

r)4) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 −𝑥𝑦 3 u)7) 𝑓(𝑥, 𝑦) = (3𝑥 − 𝑦 2 )2

3

𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 2 + 𝑦 2 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑥

2 −𝑦 2

ln(2𝑥 + 3𝑦

4) Para los literales a y b encuentre el costo marginal indicado a nivel de producción dado, para el literal 𝜕𝑝

c encuentre las funciones de producción marginal 𝜕𝑘 𝑦 𝜕𝑐

a) 𝑐 = 7𝑥 + 0.3𝑦 2 + 2𝑦 + 900, 𝜕𝑦 , 𝑥 = 20, 𝑦 = 30 3

2

b) 𝑐 = 0.03(𝑥 + 𝑦) − 0.6(𝑥 + 𝑦) + 9.5(𝑥 + 𝑦) + 7700;

𝜕𝑝 𝜕𝑙

. 𝜕𝑝

𝜕𝑐 𝜕𝑥

c) 𝑝 = 2.314𝑙 0.357 𝑘 0.643 , 𝜕𝑘 𝑦 , 𝑥 = 50, 𝑦 = 80

5) En los siguientes problemas 𝑞𝐴 𝑦 𝑞𝐵 son funciones de demanda para los productos A y B, 𝜕𝑞

𝜕𝑞

𝜕𝑞

𝜕𝑞

respectivamente. En cada caso encuentre 𝜕𝑃𝐴 , 𝜕𝑃𝐴 , 𝜕𝑃𝐵 , 𝜕𝑃𝐵 𝐴

𝐵

𝑎)𝑞𝐴 = 1000 − 50𝑃𝐴 + 2𝑃𝐵 ; 𝑞𝐵 = 500 + 4𝑃𝐴 − 20𝑃𝑏

𝐴

𝐵

b) 𝑞𝐴 = 𝑃

100 𝐴 √𝑃𝐵

, 𝑞𝐵 = 𝑃

500 𝐵 √𝑃𝐴

𝜕𝑝 𝜕𝑙

6) Para 𝑓(𝑥, 𝑦) = 8𝑥 3 + 2𝑥 2 𝑦 2 + 5𝑦 4 demuestre que 𝑓𝑥𝑦 (𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑦𝑥 (𝑥, 𝑦) 7) Para las funciones que se indican, encuentra máximos, mínimos y puntos de silla (si es que existen) a)

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 𝑦 4

b)1) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 − 𝑥 2 𝑦 + 𝑥𝑦 2 − 𝑦 3 𝑥𝑦

3

c)2) 𝑓(𝑥, 𝑦) = (2𝑥 − 𝑦 2 )2

d)3) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥−𝑦

e)4) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 2 + 𝑦 2

f)5) 𝑓(𝑥, 𝑦) =

g) 6) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑥𝑦

2

h)

𝑥2 𝑦

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒

𝑦

− 𝑥2

−

𝑥 𝑦

+ 𝑙𝑛

𝑦 𝑥

8) Calcula las integrales indefinidas. a) d) g) j) m)

∫ 𝑥 7 𝑑𝑥 5 ∫ 4 𝑑𝑥 √𝑥 3 1 ∫ ( √𝑥 − ) 𝑑𝑥 2 2√𝑥 𝑥2 + 1 ∫ 𝑑𝑥 𝑥2 1 ∫ √𝑡 (√𝑡 + ) 𝑑𝑡 √𝑡

∫(𝑥 + 1)2 𝑥 2 𝑑𝑥

c)

∫ 6 √𝑥 𝑑𝑥

e)

∫(√𝑥 + 𝑥 − 𝑥 2 ) 𝑑𝑥

f)

1 1 1 ∫ ( + 2 + 3 ) 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 𝑥

h)

∫ 𝑥 2 (√𝑥 + 𝑥) 𝑑𝑥

i)

∫(2𝑥 + 1)(𝑥 − 3) 𝑑𝑥

k)

∫(

l)

∫(𝑥 − √𝑥) 𝑑𝑥

o)

∫(

n)

2

p)

(𝑥 + √𝑥) ∫ 𝑑𝑥 𝑥

3

b)

q)

𝑒𝑥 4 − ) 𝑑𝑥 7 𝑥 1 ∫ ( 5√𝑦 + 5 ) 𝑑𝑥 √𝑦 ∫

𝑥 √𝑥 + √𝑥 𝑑𝑥 𝑥2

r)

2

1 − 𝑒 𝑥+1 ) 𝑑𝑥 2𝑥 (2𝑡 + 1)2 ∫ 𝑑𝑥 5𝑡

10) Encontrar las integrales indefinidas siguientes. a)

∫(5𝑥 + 1)6 𝑑𝑥

d)

∫

g)

1 𝑑𝑥 (3 − 2𝑥)2 1 ∫ 𝑑𝑡 6 − 7𝑡

∫ √1 − 5𝑥 𝑑𝑥

f)

∫(

∫ 𝑒 3𝑥+1 𝑑𝑥

i)

∫ 𝑒 7𝑥 𝑑𝑥

l)

∫ 𝑥 4 (6 − 2𝑥 3 )3 𝑑𝑥

+1 𝑥3 + 2 ∫ 4 𝑑𝑥 (𝑥 + 8𝑥 + 1)7

o)

∫ 𝑒 2−6𝑥 𝑑𝑥

r)

∫ 𝑥 3 (5 − 𝑥 2 )7 𝑑𝑥

t)

∫ 𝑥𝑒 4𝑥 𝑑𝑥

u)

∫ 𝑥𝑙𝑛(5𝑥) 𝑑𝑥

∫ √3 + 9𝑥 𝑑𝑥

e)

∫

h)

1 √4 + 5𝑥

𝑑𝑥

j)

∫ 4𝑥 √2 − 𝑥 2 𝑑𝑥

k)

∫ 𝑥 4 (𝑥 5 − 4)5 𝑑𝑥

m)

𝑠3 ∫ 𝑑𝑠 (1 − 2𝑠 4 )6

n)

∫

−𝑥 2

𝑑𝑥

3

c)

b)

𝑦 √𝑦 2

1 ) 𝑑𝑦 3𝑦 − 2 2

𝑑𝑦

p)

∫ 𝑥𝑒

s)

∫

v)

∫ 𝑙𝑛(𝑥) 𝑑𝑥

w)

∫ 𝑙𝑛𝑥 2 𝑑𝑥

x)

∫ 𝑥𝑙𝑛(𝑥 + 1) 𝑑𝑥

y)

∫ 𝑥 2 𝑒 𝑥 𝑑𝑥

z)

∫

𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑥2

aa)

∫ 𝑥3𝑥 𝑑𝑥

bb)

∫

𝑥5 √𝑥 3

𝑙𝑛𝑥 √𝑥

−2

𝑑𝑥

𝑑𝑦

q)

.