Capítulo Iii Modelos Para Transferencia De Calor

Matemáticas Avanzadas para Análisis de Elemento Finito

Estudios de Posgrado e Investigación

Análisis Tensorial

Profesor: Dr. Eduardo Hurtado

David Santiago Mejía Marzo 2017

6. Análisis Tensorial

6.1.

Tensores

6.2.

Notación Tensorial

6.3.

Operaciones con tensores

6.4.

Bases y recíprocos

6.5.

Espacios métricos

6.6.

Aplicaciones de los tensores

Análisis Tensorial

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CALCULO TENSORIAL

El objetivo del calculo tensorial es la investigación de las relaciones que permanecen invariantes cuando se cambia de un sistema coordenado a otro.

Análisis Tensorial

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¿Qué es un TENSOR?” • Un tensor es un ente matemático que generaliza los conceptos de escalar, vector y operador lineal de una manera que sea independiente de cualquier marco de referencia elegido.

Análisis Tensorial

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Definición y terminología. La transformación de coordenadas constituye la base de conceptos generales de tensores que aplica a sistemas coordenados arbitrarios

1

Un escalar, caracterizado por un componente como la temperatura o el área, se le denomina tensor de orden cero.

2

Un vector, caracterizado por tres componentes como la velocidad o la fuerza, se le denomina tensor de primer orden.

3

El producto diádico de dos vectores, llamado diada, como los esfuerzos, deformaciones etc., se le denomina tensor de segundo orden, el cual contiene nueve componentes.

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Notación de tensores. 1

Tensores de primer orden a) Simbólica en notación matricial:

𝑎 = 𝑎𝑥 𝑒𝑥 + 𝑎𝑦 𝑒𝑦 + 𝑎𝑧 𝑒𝑧

b) Analítica: o

𝑎1 𝑎 = 𝑎2 𝑎3

𝑎 = 𝑎𝑥 𝑒𝑥 + 𝑎𝑦 𝑒𝑦 + 𝑎𝑧 𝑒𝑧 = σ3𝑖=1 𝑎𝑖 𝑒𝑖

con 𝑒𝑥 , 𝑒𝑦 y 𝑒𝑧 como vectores base en un sistema coordenado Cartesiano. En notación indicial, la expresión 𝑎𝑖 o 𝑒𝑖 ( 𝑖 = 1,2,3) representa el vector total

Definición de los vectores base. Análisis Tensorial

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Notación de tensores. 2

Tensores de segundo orden

a) Simbólica en notación matricial:

b) Analítica:

𝑡11 𝑇 = 𝑡21 𝑡31

𝑡12 𝑡22 𝑡32

𝑡13 𝑡23 𝑡33

𝑇 = 𝑡11 𝑒1 𝑒1 + 𝑡12 𝑒1 𝑒2 + 𝑡13 𝑒1 𝑒3 + 𝑡11 𝑒1 𝑒1 +𝑡21 𝑒2 𝑒1 + 𝑡22 𝑒2 𝑒2 + ⋯ 3

o

3

𝑇 = ෍ ෍ 𝑡𝑖𝑗 𝑎𝑖 𝑒𝑗 𝑗=1 𝑖=1

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Notación indíciales. El uso de notación indicial es ventajosa porque se hace posible escribir en forma compacta formulas matemáticas o sistemas de ecuaciones de cantidades físicas o geométricas, que de otra manera contendría un número grande de términos.

𝐵1 = 𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 → 𝑣 = 𝑣1 𝑒1 + 𝑣2 𝑒2 + 𝑣3 𝑒3 3

𝑣 = ෍ 𝑣𝑖 𝑒𝑖 𝑖=1

En toda aquella en la que dos objetos que se multiplican tengan un mismo índice repetido, se entendería que:

𝑣 = 𝑣𝑖 𝑒𝑖

𝑣 = 𝑣1 𝑒1 + 𝑣2 𝑒2 + 𝑣3 𝑒3

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𝑖 = (1,2,3)

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Notación indíciales. Cuando se trabaja con tensores de segundo orden también se emplea una base tensorial de nueve tensores: 𝑇 = 𝑇11 𝑒1 ⊗ 𝑒1 + 𝑇12 𝑒1 ⊗ 𝑒2 + 𝑇13 𝑒1 ⊗ 𝑒3 + 𝑇11 𝑒1 ⊗ 𝑒1 + 𝑇21 𝑒2 ⊗ 𝑒1 +𝑇22 𝑒2 ⊗ 𝑒2 + ⋯ Se podría escribir la expresión previa como 3

3

𝑇 = ෍ ෍ 𝑇𝑖𝑗 𝑒𝑖 ⊗ 𝑒𝑗 𝑖=1 𝑗=1

se adopta la convención de que esta última expresión se puede escribir simplemente como:

𝑇 = 𝑇𝑖𝑗 𝑒𝑖 ⊗ 𝑒𝑗

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Reglas indíciales. Regla indicial (𝒊) Si una letra indicial aparece una y solamente una vez en cada término de una expresión, la expresión es válida para cada uno de los valores reales que la letra indicial puede tomar. Estos se denominan subíndice libre

𝑎1 + 3𝑏1 = 0 𝑎𝑖 + 3𝑏𝑖 → ቐ𝑎2 + 3𝑏2 = 0 𝑎3 + 3𝑏3 = 0 El numero de subíndice libre indica el orden del tensor

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Reglas indíciales. Donde sea que aparezca una letra indicial dos veces dentro del mismo término, como un sub o superíndice, una sumatoria es implícita sobre el rango de este índice, (𝑖 = 1,2,3) en un espacio 3D (uso de índices del Latín), y 𝑖 = 1,2 en un espacio 2D (uso de índices del Griego). Estos índices se denominan mudos.

𝑎 = 𝑎𝑖 𝑒𝑖 = 𝑎1 𝑒1 + 𝑎2 𝑒2 + 𝑎3 𝑒3 ,espacio 3D (donde i=1,2,3) 𝑎 = 𝑎𝑖 𝑒𝑖 = 𝑎1 𝑒1 + 𝑎2 𝑒2 , espacio 2D (donde i=1,2) En forma general: 𝑛

𝑎1 𝑏𝑗 𝑒1 + 𝑎2 𝑏𝑗 𝑒2 + 𝑎3 𝑏𝑗 𝑒3 + … 𝑎𝑛 𝑏𝑗 𝑒𝑛 = ෍ 𝑎𝑖 𝑏𝑗 𝑒𝑖 𝑖=1

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Reglas indíciales. Ejemplos:

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Reglas indíciales. Ejemplos:

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Representación indíciales. Los ejes del sistema coordenado se designan con letras con un subíndice. Representan i valores.

Donde

corresponden respectivamente a los ejes

Entonces, un vector será representado como:

Donde Por tanto las componentes se puedes representar así:

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Convención de sumas (Notación de Einstein). Dada la representación de un vector 𝑎ത en el sistema de coordenadas rectangulares:

Podemos reescribirla como:

Considerando que:

De forma que podemos expresar la representación simbólica del vector como una suma:

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Operaciones con tensores. Diádas y Producto Diático ⊗ El símbolo “⊗“ representa la “multiplicación diática”, también llamada “producto diático” o “producto tensorial”. Si se consideramos los vectores 𝑢ത y 𝑣ҧ , el producto diático se representa:

𝑢ത 𝑣ҧ ≡ 𝑢ത ⊗ 𝑣ҧ = 𝐴 Operaciones con tensores Una diáda entre dos vectores 𝑢ത y 𝑣ҧ es una construcción matemática abstracta denotada por 𝑢ത ⊗ 𝑣ҧ que toma significado cuando operara a un vector arbitrario 𝑥ҧ como se muestra:

𝑢ത ⊗ 𝑣ҧ ∙ 𝑥ҧ = 𝑢ത (𝑣ҧ ∙ 𝑥)ҧ Cualquier tensor puede ser representado mediante la combinación lineal de productos diáticos (ó diáticas).

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Operaciones con tensores. Producto Diático ⊗ El producto diático obedece a las siguientes leyes, donde 𝛼

y 𝛽 son escalares:

Donde 𝛼 y 𝛽 son escalares. El producto diatico no posee la propiedad conmutativa:

𝑢ത ⊗ 𝑣ҧ = 𝑣ҧ ⊗ 𝑢ത

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Diádas y Producto Diático (cont.) La expresión diática también puede ser presentada en el sistema cartesiano como:

Las componentes de un tensor de segundo orden pueden ser representadas de diferentes formas:

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Diádas y Producto Diático (cont.) De forma explícita:

Abajo se muestra la representación de tensores de orden 2, 3 y 4, en el sistema cartesiano:

Como se observa, un tensor de 2do Orden tiene 9 componentes independientes, es decir, mn = 32 = 9, donde m es el espacio (m-dimensional) y n es el grado del tensor.

El orden del tensor viene dado por el numero de subíndices libres en sus componentes. Entonces, el numero de componentes esta dado por el valor máximo del rango del subíndice, elevado al número de subíndices libres. Análisis Tensorial

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Diádas y Producto Diático (cont.) = 𝑇𝑖𝑗 N: Número de componentes = 𝑛𝑚 T: Tensor de componentes

n: Orden del tensor m: espacio (uni, bi, tridimensional)

Número de componentes 𝑵 = 𝒎𝒏 Espacio

m=0 (escalar)

m=1 (vector)

m=2 (diádica)

n=1

10 = 1

11 = 1 (𝑉𝑥 )

12 = 1

n=2

20 = 1

21 = 1 (𝑉𝑥 , 𝑉𝑦 )

22 = 4

n=3

30

=1

31

= 1 (𝑉𝑥 , 𝑉𝑦 , 𝑉𝑧 )

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32

=9

𝑡11 𝑡21 𝑡11 𝑡21 𝑡31

𝑡12 𝑡22

𝑡12 𝑡22 𝑡32

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𝑡13 𝑡23 𝑡33

Operaciones con tensores. [Suma (+)]. La suma de dos tensores del mismo orden resulta un tercer tensor de igual orden: Dados los tensores A y B:

𝐶 =𝑨+𝑩=𝑩+𝑨 Sus componentes viene dados por:

𝑪

𝑖𝑗

= (𝑨 + 𝑩)𝒊𝒋

𝑪𝑖𝑗 = 𝑨𝒊𝒋 + 𝑩𝒊𝒋

De forma matricial lo expresamos como:

𝑪=𝑨+𝑩

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Operaciones con tensores. [Multiplicación]. Dado el tensor A y el escalar λ,

𝑫 = 𝜆𝑨 ⇒ (𝑫)𝒊𝒋 = 𝜆(𝑨)𝑖𝑗 De forma matricial: 𝐴11 𝑨 = 𝐴21 𝐴31

𝐴12 𝐴22 𝐴32

𝜆𝐴11 𝐴13 𝐴23 → 𝜆𝐴 = 𝜆𝐴21 𝐴33 𝜆𝐴31

𝜆𝐴12 𝜆𝐴22 𝜆𝐴32

𝜆𝐴13 𝜆𝐴23 𝜆𝐴33

También se cumple que:

(𝜆𝑨) ∙ 𝑣ҧ = 𝜆(𝐴 ∙ 𝑣)ҧ

Análisis Tensorial

Para cualquier vector 𝑣ҧ

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Operaciones con tensores. [Producto Escalar (∙)]. El producto punto de un tensor de segundo orden (σ) con uno de primero (n):

𝜎∙𝑛 Produce un tensor de primer orden con componentes

(𝜎 ∙ 𝑛)𝑖 = 𝜎𝑖𝑗 𝑛𝑗 𝜎11 𝑛1 + 𝜎12 𝑛2 + 𝜎13 𝑛3 𝜎 ∙ 𝑛 = 𝜎21 𝑛1 + 𝜎22 𝑛2 + 𝜎23 𝑛3 𝜎31 𝑛1 + 𝜎32 𝑛2 + 𝜎33 𝑛3 El producto escalar de dos tensores de segundo orden A y B es otro tensor de segundo orden. Verificándose que:

𝑨∙𝑩≠𝑩∙𝑨

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Operaciones con tensores. [Potencia de tensores]. El producto escalar (contracción simple) permite definir la potencia de tensores

de segundo orden:

𝑨0 = 1 ; 𝑨1 = 𝑨 ; 𝑨2 = 𝐀 ∙ 𝑨

Donde 1 es el tensor identidad de segundo orden.

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Operaciones con tensores. [Doble Producto Escalar (:) (⋅⋅)]. El doble producto escalar o doble contracción puede ser definido de dos formas:

𝐶∶𝜀

que produce un tensor de segundo orden con componentes

(𝐶 ∶ 𝜀 )𝑖𝑖 = 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 𝜀𝑘𝑙 𝐴𝑖𝑗 = 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 𝜀𝑘𝑙

𝐴11 = 𝐴21 𝐴31

𝐴12 𝐴22 𝐴32

𝐴13 𝐴23 𝐴33

𝐴11 = 𝐶1111 𝜀11 + 𝐶1112 𝜀12 + 𝐶1113 𝜀13 + 𝐶1121 𝜀21 + 𝐶1122 𝜀22 + ⋯ 𝐴12 = 𝐶1211 𝜀11 + 𝐶1212 𝜀12 + 𝐶1213 𝜀13 + 𝐶1221 𝜀21 + 𝐶1222 𝜀22 + ⋯

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Operaciones con tensores. [Doble Producto Escalar (:) (⋅⋅)]. Otras propiedades de este doble producto escalar:

Donde A, B, C son tensores de segundo orden y λ es escalar. Podemos obtener las componentes del tensor de segundo orden A, según el sistema cartesiano:

Considerando dos vectores arbitrarios

y A un tensor de segundo orden, demostramos que:

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Operaciones con tensores. [Producto Vectorial (x) (∧)]. ഥ (tensor de orden El producto vectorial de un tensor de segundo orden A por un vector 𝒙 uno) resulta ser un tensor de segundo orden:

Ahora, la siguiente relación,

Recordando que:

También la podemos representar en diáticas:

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Operaciones con tensores. [Producto Vectorial (x) (∧)]. Cuando 𝑎ത = 𝑐ҧ podemos ver que:

Entonces, podemos decir que las siguientes relaciones son validas:

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Transformaciones entre sistemas de coordenadas. Comenzaremos viendo las transformaciones de componentes entre dos sistemas cartesianos muy sencillos. Un sistema prima es rotado un ángulo 𝜃0 con respecto a un sistema sin primas, como es mostrado en la figura. Un vector 𝑣ҧ puede ser expresado en componentes como:

𝑣Ԧ = 𝑣𝑖 𝑒𝑖 = 𝑣´𝑖 𝑒´Ƹ 𝑖

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Transformaciones entre sistemas de coordenadas. De la geometría de la figura, podemos ver que las componentes vectoriales en el sistema primado están relacionadas con las componentes vectoriales del sistema no primado por las ecuaciones:

𝑣´1 = 𝑣1 cos 𝜃0 + 𝑣2 cos 𝜃0

𝑣´2 = −𝑣1 cos 𝜃0 + 𝑣2 cos 𝜃0 Estas ecuaciones pueden ser escritas en notación matricial [𝑣] = [𝑎] [𝑣]

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Transformaciones entre sistemas de coordenadas. Donde [𝑣´] y [𝑣] son matrices columna que representan el vector [𝑣] Ԧ con las componentes primas y no primas, y [𝑎] es la matriz cuadrada:

Determinando [a] desde la base de vectores. Si la base de vectores de ambos sistemas coordenados son conocidos, es bastante simple determinar las componentes de [𝑎]. Consideremos un vector [𝑣] Ԧ expresado por componentes en dos sistemas cartesianos diferentes.

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Determinando [a] desde la base de vectores. En general, cualquier transformación lineal de coordenadas de un vector puede ser escrita usando la notación de Einstein

donde [a] es llamada la matriz de transformación. * Existen la siguiente suposiciones para determinar los elementos de [a]. - La primera supone que los dos sistemas tienen vectores base conocidos. - La segunda supone el conocimiento de las ecuaciones que relacionan las coordenadas.

Determinando [a] desde la base de vectores. Si la base de vectores de ambos sistemas coordenados son conocidos, es bastante simple determinar las componentes de [a]. Consideremos un vector 𝑣Ԧ expresado por componentes en dos sistemas cartesianos diferentes:

1

𝑣´𝑖 = 𝑎𝑖𝑗 𝑎𝑗

2

𝑣Ԧ = 𝑣𝑘 𝑒𝑘 = 𝑣´𝑖 𝑒´Ƹ 𝑖

Sustituyendo la expresión para 𝑣´𝑖 dada, en la ecuación 1 y 2, tenemos

𝑣𝑘 𝑒𝑘 = 𝑎𝑖𝑗 𝑣𝑗 𝑒´Ƹ 𝑖 Análisis Tensorial

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Determinando [a] desde la base de vectores. Esto es verdad para cualquier 𝑣. Ԧ En particular, sea 𝑣Ԧ = 𝑒ෞ 𝑚 uno de los vectores base del sistema no primado en otras palabras. 𝑣𝑘≠𝑚 = 0 y 𝑣𝑘=𝑚 = 1, obtenemos :

𝑒Ƹ𝑚 = 𝑎𝑙𝑚 𝑒´Ƹ 𝑖 Aplicando producto punto por 𝑒´Ƹ 𝑛 en ambos lados, obtenemos:

𝑎𝑛𝑚 = (𝑒´Ƹ 𝑛 ∙ 𝑒Ƹ𝑚 ) Notemos que los elementos de [𝑎] son sólo cosenos directores entre todos los pares de vectores base entre los sistemas primado y no primado.

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Transformaciones entre sistemas de coordenadas. Características: El tensor es independiente del sistema de referencia que se utilice, lo único que cambia al pasar de un sistema de referencia a otro son sus componentes pero no la magnitud física.

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Transformaciones de coordenadas. Giros de ejes cartesianos. Para un vector y un tensor, en el espacio n dimensional las componentes en los nuevos ejes son:

𝑤𝑖 = 𝑣𝑗 𝛼𝑖𝑗 en donde 𝛼𝑖𝑗 representan los cosenos de los ángulos que forman los ejes nuevos con los antiguos.

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Tipos de tensores: Dado el Tensor:

𝐴11 𝐴𝑖𝑗 = 𝐴21 𝐴31

𝐴12 𝐴22 𝐴32

𝐴13 𝐴23 𝐴33

Tensor transpuesto: se obtiene intercambiando filas y columnas.

𝐴11 𝐴𝑖𝑗 = 𝐴𝑗𝑖 = 𝐴12 𝐴13

𝐴21 𝐴22 𝐴23

Análisis Tensorial

𝐴31 𝐴32 𝐴33

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Tipos de tensores: Dado el Tensor:

𝐴11 𝐴𝑖𝑗 = 𝐴21 𝐴31

𝐴12 𝐴22 𝐴32

𝐴13 𝐴23 𝐴33

Tensor adjunto: sus componentes son los adjuntos respectivos en el determinante del tensor, siendo estos

𝑎𝑑𝑗 𝑇𝑖𝑗

𝑎𝑑𝑗 𝑇11

𝐴 = 22 𝐴31

𝐴11 = 𝐴21 𝐴31

𝐴12 𝐴22 𝐴32

𝐴23 𝐴33

𝐴13 𝐴23 𝐴33

𝑎𝑑𝑗

𝑇12 =

Análisis Tensorial

𝐴23 𝐴33

𝐴21 𝐴31

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Tipos de tensores: 𝐴11 𝐴𝑖𝑗 = 𝐶𝑖 𝜀𝑘 = 𝐴21 𝐴31

𝐴12 𝐴22 𝐴32

𝐴13 𝐴23 𝐴33

Tensor inverso T-1: es el que actuando como operador, realiza la transformación inversa a la que realiza T Si el tensor T permite transformar el vector 𝑣𝑖 en el vector 𝑤𝑗

𝑤1 𝐴11 𝑤2 = 𝐴21 𝑤3 𝐴31

𝐴12 𝐴22 𝐴32

𝐴13 𝐴23 𝐴33

𝑤𝑗 = 𝑇𝑖𝑗 𝑣𝑖

𝑣1 𝑣2 𝑣3

El tensor T-1 permite transformar el vector ωj en el vector vi

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Tipos de tensores: 𝑤1 𝐴12 𝐴13 𝑤2 𝐴22 𝐴23 𝑤1 𝐴11 + 𝑤2 𝐴21 + 𝑤3 𝐴31 𝑤3 𝐴32 𝐴33 𝑣1 = = 𝐴11 𝐴12 𝐴13 𝑇 𝐴21 𝐴22 𝐴23 𝐴31 𝐴32 𝐴33

𝑤𝑗 𝐴𝑗𝑖 𝑣𝑖 = 𝑇

𝑇𝑖𝑗−1

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=

𝐴𝑗𝑖 𝑇𝑖𝑗

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Aplicaciones de los tensores: Análisis de tensiones. Sea un sólido elástico en equilibrio, sometido a un sistema de fuerzas externas. Para investigar lo que sucede en el interior del cuerpo, se corta por un plano imaginario, dividiendo el sólido en dos partes. El equilibrio en cada una de las partes requiere la presencia de fuerzas internas actuando en el plano de corte. Si se toma la fuerza actuante ∆𝐹 sobre una porción ∆𝐴, se define el vector tensión en un punto de la siguiente manera ∆𝐹 ∆𝐴→0 ∆𝐴

𝑡ҧ = lim

𝑑𝐹 = 𝑑𝐴

VECTOR TENSIÓN TOTAL EN UN PUNTO SOBRE UN PLANO

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Aplicaciones de los tensores: Análisis de tensiones. Por tanto, el vector tensión depende de la situación del punto y de la orientación del plano de corte. El vector 𝑛 es unitario y perpendicular al plano que define.

𝑛1 𝑛ത = 𝑛2 → 𝑛ത = 𝑛3

𝑛1 2 + 𝑛2 2 + 𝑛3 2 = 1

Las tensiones son fuerzas por unidad de superficie; por tanto, en el S.I. sus unidades son MPa o kN/m2.

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Aplicaciones de los tensores: Análisis de tensiones. - Componentes del vector de esfuerzos. Las componentes intrínsecas del vector de esfuerzos son:

𝜎ത = 𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙. 𝜏ҧ = 𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙.

Esfuerzo normal: MÓDULO:

𝜎 = 𝑛ത 𝑇 ∙ 𝑡ҧ

VECTOR: 𝜎 ത

= 𝜎 ∙ 𝑛ത

VECTOR: 𝜏ҧ

= 𝑡 ∙ 𝜎ത

Esfuerzo tangencial: MÓDULO:

τ=

𝑡ҧ

2

− 𝜎ത

2

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Análisis de tensiones. - Componentes del tensor de esfuerzos 𝜎𝑥𝑧

𝜎𝑧𝑧 𝜎𝑥𝑦

𝜎𝑥𝑥

𝜎𝑥𝑥 𝜎ത = 𝜎𝑥𝑦 𝜎𝑥𝑧

𝜎𝑦𝑧 𝜎𝑧𝑦

𝜎𝑧𝑥

𝜎𝑧𝑥 𝜎ത = 𝜎𝑧𝑦 𝜎𝑧𝑧

𝜎𝑦𝑦 𝜎𝑦𝑥

𝜎𝑥𝑥 𝜎ത = 𝜎𝑥𝑦 𝜎𝑥𝑧

La notación 𝜎𝑖𝑗 − 𝜏𝑖𝑗 obedece a lo siguiente: -

El primer subíndice (i) indica qué eje es perpendicular al plano en el que actúa la componente. El segundo subíndice (j) expresa a qué eje es paralela la componente.

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Aplicaciones de los tensores: Tensor esfuerzos. Teorema de reciprocidad de los esfuerzos tangenciales:

𝜎𝑥 𝑇 = 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧

𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑦𝑧

𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝜎𝑧

෍ 𝑀𝑥 = 0 → 𝜏𝑦𝑧 = 𝜏𝑧𝑦 ෍ 𝑀𝑦 = 0 → 𝜏𝑥𝑧 = 𝜏𝑧𝑥

෍ 𝑀𝑧 = 0 → 𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑦𝑥

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Aplicaciones de los tensores: Tensor de esfuerzos. Conociendo los 6 valores de los esfuerzos ( [3] normales y [3] tangenciales) asociadas a tres planos perpendiculares entre si, es posible determinar las componentes del vector esfuerzo actuando sobre cualquier otro plano que pase por 𝑃

Fórmula de Cauchy

𝜎ത = [𝑇] ∙ 𝑛ത

𝜎𝑥 𝜎𝑥 𝜎𝑦 = 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧 𝜎𝑧

𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑦 𝜏𝑦𝑧

Tensor de Cauchy

𝜏𝑥𝑧 𝑛𝑥 𝜏𝑦𝑧 ∙ 𝑛𝑦 𝜎𝑧 𝑛𝑧

𝑛ത = Son los cosenos directores del vector normal al plano.

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Aplicaciones de los tensores: Tensor de tensiones. Determinar Dado el tensor de esfuerzos

12 𝑇 = 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧

4 −8 𝜏𝑦𝑧

el valor de los esfuerzo normal y tangencial que actúa sobre un plano paralelo al plano 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0 Vector unitario:

2 −1 𝑀𝑃𝑎 6

𝑢ത =

1 3

ത (𝑖 ҧ + 𝑗 ҧ + 𝑘)

𝜎ത𝑛 = 𝑇 ∙ 𝑛ത 12 𝑇𝑥 𝑇𝑦 = 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧 𝑇𝑧

4 −8 𝜏𝑦𝑧

1ൗ

3 2 −1 ∙ 1ൗ 3 6 1ൗ 3

𝑇𝑥 1 18 𝑇𝑦 = −5 3 𝑇𝑧 7

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Aplicaciones de los tensores: Tensor de esfuerzos. 𝑇𝑥 1 18 𝑇𝑦 = −5 3 7 𝑇𝑧

Esfuerzo normal:

𝜎 = 𝑛ത 𝑇 ∙ 𝜎ത 1 1 18 −5 ∙ 3 3 7

Esfuerzos tangencial:

𝜏=

𝜎ത

2

1 3

1

1 = (18 − 5 + 7) 3 3

20 𝜎ത𝑛 = → 6.66 𝑀𝑃𝑎 3

− 𝜎𝑛 2

𝜏 = 132,67 − 44.49 = 9.39 𝑀𝑃𝑎

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Aplicaciones de los tensores: Cambio de ejes. Si se desea cambiar la base de referencia, es preciso expresar los vectores 𝜎ത y 𝑛ത en esa nueva base, y también el tensor de esfuerzos. 𝑇 = 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑟𝑧𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑃𝑥𝑦𝑧 𝑇´ = 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑃𝑥´𝑦´𝑧´

𝜎Ԧ = 𝑇 ∙ ഥ𝑢 𝑢 = 𝐺 ∙ ഥ𝑢´

𝐺 = 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑗𝑒𝑠 𝑢ത = 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜𝑃𝑥𝑦𝑧 𝑢ത ´ = 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜𝑃𝑥´𝑦´𝑧´

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Nuevo sistema de referencia

𝜎Ԧ = 𝑇´ ∙ 𝑢

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Aplicaciones de los tensores: Cambio de ejes. Las columnas de la matriz 𝐺 son los vectores unitarios de los nuevos ejes referidos a la antigua base.

𝐺 = 𝑥´

𝑦´ 𝑧´

Matriz de cambio de ejes

Donde: - 𝐺 es una matriz ortogonal ( 𝐺 −1 = 𝐺 𝑇 ). Por lo tanto:

𝐺 −1 = 𝐺 𝑇 𝑢 = 𝐺 ∙ ഥ𝑢´

𝑢´ = 𝐺

𝑇

∙ ഥ𝑢

𝜎Ԧ = 𝐺 ∙ 𝜎´ Ԧ = 𝐺 ∙ 𝑇´ ∙ 𝑢ത ´ = 𝐺 ∙ 𝑇´ ∙ 𝐺 𝑇 ∙ 𝑢ത 𝑇

𝑇 = 𝐺 ∙ 𝑇´ ∙ 𝐺 𝑇 → 𝑇´ = 𝐺 𝑇 ∙ 𝑇 ∙ 𝐺 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜𝑠

𝑡𝑒𝑛𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜𝑠 𝑑𝑒 Cauchy

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Aplicaciones de los tensores: Cambio de ejes. Caso bidimensional:

𝐺 =

cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃

−𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃

Matriz de cambio de ejes

𝑇 =? 𝑇´ = ?

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Aplicaciones de los tensores: Cambio de ejes. Tensor de esfuerzos

𝑇 =?

𝑇 =

𝑇´ = ?

40 15

15 𝑀𝑃𝑎 −25

Matriz de cambio de ejes

𝐺 = 𝑇´ = 𝐺 𝑇 ∙ 𝑇 ∙ 𝐺

𝑇´ =

cos 35° 𝑠𝑒𝑛 35°

𝐺𝑇 =

−𝑠𝑒𝑛 35° 40 ∙ cos 35° 15 𝑇´ =

16.47 34.65

15 cos 35° ∙ −25 −𝑠𝑒𝑛 35°

cos 35° 𝑠𝑒𝑛 35°

−𝑠𝑒𝑛 35° cos 35°

cos 35° −𝑠𝑒𝑛 35°

𝑠𝑒𝑛 35° cos 35°

𝑠𝑒𝑛 35° cos 35°

34,65 MPa −1,48

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Aplicaciones de los tensores: Esfuerzos y direcciones principales.

¿Existe alguna plano, que pase por las proximidades del punto P, tal que el vector esfuerzo correspondiente, sea ortogonal a dicho plano? Es decir que sobre ese plano no actué ningún esfuerzo tangencia.

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Aplicaciones de los tensores: - Esfuerzos principales. - La idea es definir el estado tensional de manera no arbitraria (que no

dependa de la dirección que uno elige para el sistema coordenado). - Los esfuerzos principales son invariantes ante rotaciones del sistema de referencia. - Plano principal es aquel para el cual los esfuerzos cortantes son 0 - El esfuerzo principal es el esfuerzo normal a un plano principal - Esfuerzos principales se determinan a partir de los valores propios del tensor de esfuerzos

- Direcciones principales se determinan a partir de los vectores propios del tensor de esfuerzos.

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Aplicaciones de los tensores: - Esfuerzos principales.

𝜎ത = [𝑇] ∙ 𝑛ത

𝜎ത = 𝜆 ∙ 𝑛ത

eigenvalores

𝑇 −𝜆∙ 𝐼

∙ 𝑛ത = 0 eigenvectores

Análisis Tensorial

David S. Mejía Marzo | 2017

Aplicaciones de los tensores: - Esfuerzos principales. Ecuación característica:

Con los siguientes invariantes:

Son invariantes porque no dependen del sistema de referencia.

Análisis Tensorial

David S. Mejía Marzo | 2017

Aplicaciones de los tensores: - Esfuerzos principales.

𝜎𝐼 0 0

Análisis Tensorial

0 𝜎𝐼𝐼 0

0 0 𝜎𝐼𝐼𝐼

David S. Mejía Marzo | 2017

Aplicaciones de los tensores: - Esfuerzos principales. 50 𝑇 = −20 0

−20 20 0

0 0 𝑀𝑃𝑎 0

a) Los dos primeros invariantes del tensor de esfuerzos. b) Los valores de los tres esfuerzos principales. c) Los tres vectores unitarios que definen las tres direcciones principales.

𝐼1 = 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 + 𝜎𝑧 2 2 2 𝐼2 = 𝜎𝑥 𝜎𝑦 + 𝜎𝑦 𝜎𝑧 + 𝜎𝑧 𝜎𝑥 − 𝜏𝑦𝑧 − 𝜏𝑦𝑧 − 𝜏𝑦𝑧

𝐼1 = 50 + 20 = 70 𝐼2 = 50 ∗ 20 +

202

𝜆3 − 70𝜆2 + 600𝜆 − 0 = 0

= 600

Análisis Tensorial

David S. Mejía Marzo | 2017

Aplicaciones de los tensores: - Esfuerzos principales. 50 − 𝜆 −20

𝑇 − 𝜆𝐼 = 0

−20 =0 20 − 𝜆

𝜆1 = 𝜎𝐼 = 60 MPa

𝜆2 = 𝜎𝐼𝐼 = 10MPa

−𝜆2 − 70𝜆 + 600 = 0

Direcciones principales:

50 − 𝜆 −20

−10 −20

0 −20 𝑎1 = 0 20 − 𝜆 𝑎2

−20 𝑎1 0 = −40 𝑎2 0

𝜆1 = 𝜎𝐼 = 60 MPa 𝜇1 = 0.894𝑖 − 0.447𝑗

𝜆2 = 𝜎𝐼𝐼 = 10MPa 40 −20

−20 𝑎1 0 = 10 𝑎2 0

𝜇2 = 0.447𝑖 − 0.894𝑗

Análisis Tensorial

David S. Mejía Marzo | 2017

Matemáticas Avanzadas para Análisis de Elemento Finito

Estudios de Posgrado e Investigación

Análisis Tensorial

Profesor: Dr. Eduardo Hurtado

David Santiago Mejía Marzo 2017