Curso: Aplicaciones Del Cálculo Y De La Estadística Tema: Proyecto De Aplicación Del Cálculo Integral En El Diseño Del Edificio A De Tecsup Arequipa

CURSO: Aplicaciones del Cálculo y de la Estadística TEMA: Proyecto de aplicación del Cálculo Integral en el diseño del edificio A de TECSUP Arequipa

Apellidos y Nombres:

Nota:

Riveros Callalle, Junior Alumnos:

Samata Huaraca, Juan de Dios Terrazas Apaza, Erick Medina Huanca, Robert

Profesora:

Rojas Orihuela, Gloria Raquel

Programa Profesional:

Gestión y Mantenimiento de Maquinaría Industrial

Fecha de entrega:

20

05

19

Grupo:

Mesa de trabajo:

C22-B

09

DEDICATORIA

Durante la realización de nuestro proyecto, usted ha sido nuestra mano derecha y quién nos ha guiado en este curso. Es cierto, no ha sido fácil, sin embargo, esto ha parecido un tanto menos complicado, gracias por su ayuda Profesora Gloria.

Presentación

Tecsup es una organización educativa privada sin fines de lucro, dedicada a formar y capacitar profesionales, así como brindar servicios de consultoría, investigación y aplicación de tecnología. El fundador, Luis Hochschild Plaut, se esforzó por hacer de Tecsup una valiosa obra para beneficio de los jóvenes y profesionales de empresas e instituciones del país. Desde 1984, Tecsup ofrece a jóvenes la oportunidad de seguir carreras profesionales relacionadas con la aplicación de la tecnología en la operación y mantenimiento de actividades industriales. Asimismo, ofrece a profesionales en la industria la oportunidad de actualizarse o especializarse en distintos procesos de desarrollo tecnológico a través de programas cortos. El sistema educativo desarrollado por Tecsup se ha basado en experiencias del extranjero, y su implementación y desarrollo ha sido solventado gracias a los aportes de más de 200 empresas privadas peruanas y a la cooperación de instituciones internacionales. Tecsup cuenta actualmente con tres sedes: una en Lima, en funcionamiento desde 1984, una en Arequipa desde 1993 y la sede de Trujillo inaugurada en el año 2008, equipadas con modernos talleres y laboratorios. Los cursos se ofrecen tanto en sus locales como en las instalaciones de las empresas ubicadas en cualquier punto del país y con una moderna aplicación de tecnología de información también a través de Internet.

Figura 01: El campus de Arequipa cuenta con un terreno de 40,000 m2 y 26 talleres y laboratorios.

Capítulo I: Historia

Tecsup nace en 1982 como una asociación privada creada por Luis Hochschild Plaut, a la que invitó a un grupo de empresarios peruanos preocupados por el desarrollo nacional. Tecsup ha sido implementado principalmente gracias al aporte de empresas privadas nacionales. Ha sido fundamental, también la contribución de donantes del exterior con los que se totaliza donaciones por más de 38 millones de dólares. Es especialmente importante la ayuda del Estado de Baden Württemberg de Alemania, a través del aporte de equipos, la capacitación de profesores y asesoría de expertos en el diseño de la organización y programas educativos. Asimismo, se ha recibido asistencia financiera y técnica del Banco Interamericano de Desarrollo, la Agencia Internacional para el Desarrollo de los Estados Unidos de América, la Unión Europea, Canadá, Suecia y el País Vasco de España. En 1984, Tecsup inició sus actividades educativas en un primer campus construido en la ciudad de Lima mediante su Programa de Formación Regular, el cual tiene como objetivo brindar una formación profesional integral a jóvenes recién egresados de la educación básica. En 1993 empezaron las operaciones en el campus de Arequipa, en su afán de contribuir a la descentralización del país. Luis Hochschild fue un destacado empresario, así como forjó compañías mineras y de cemento, que crearon empleo y progreso en el Perú, dedicó su vida al impulso de la educación tecnológica. Mantuvo siempre discreción, respecto a sus generosas donaciones y su dedicación personal a la dirección y promoción de Tecsup. Monseñor Luis Bambarén refiriéndose a la vida de nuestro fundador dijo: "La salud es el silencio del organismo. La alegría es la paz del alma. El amor es la riqueza del corazón. El ingeniero Luis Hochschild conjugó en su personalidad la salud, la alegría y el amor. Así, fue un maestro en la escuela de la vida”. Él se preocupó por impregnar a la organización de valores y estilo propios. Ese ideal que brotó en su alma, primero como un impulso espiritual y luego, como formidable pensamiento, lo transformó en obra. Tecsup es un precioso y útil legado que él ideó, organizó y convirtió en realidad.

Figura 02: Nacido en Boon, Alemania, Luis Hochschild, llegó a Perú en 1945.

Visión

Generar un efecto desproporcionado de bienestar en la sociedad a través de la educación.

Misión

Formar profesionales globalmente competitivos, éticos e innovadores que cuenten con un profundo conocimiento tecnológico; asimismo, apoyar a las empresas a incrementar su productividad y valor.

Principios

Innovación: Creamos y desarrollamos en nuestra Comunidad de Innovadores soluciones de gran impacto en la sociedad, a través de nuevos productos y/o servicios con valor agregado. Impacto social: Formamos personas íntegras que, a través de la educación, tienen el poder de transformar el presente y crear el futuro de nuestra sociedad. Calidad: Brindamos atención genuina a las necesidades de nuestros clientes de manera ágil y constante, con el fin de satisfacerlos más allá de sus expectativas. Ética: Actuamos siempre con integridad, honestidad y respeto a la diversidad; siendo un referente para nuestro entorno. Trabajo colaborativo: Promovemos la comunicación y el liderazgo participativo en toda la organización, con el propósito de superarnos constantemente.

Introducción

Cómo bien lo conocemos, el cálculo integral es una de las ramas de las matemáticas, se enfoca en el estudio de hallar áreas y volúmenes, abarcando temas tales como técnicas de integración, integrales impropias, sólidos de revolución y área entre curvas. En este proyecto se describirá el proceso de la elaboración y cálculos en el diseño del edificio A de Tecsup, en la ciudad de Arequipa. Estas aplicaciones sirven para calcular con más exactitud las cantidades de masa o volúmenes del material estimado que se empleará para construir el edificio, el cual podemos representarlo matemáticamente a partir de ecuaciones que los limiten.

Figura 03: Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños

Capítulo II: Marco Teórico

Concepto de integral La integración es un concepto fundamental de matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo. El cálculo integral es el proceso inverso a la diferenciación. Es decir, es el proceso de determinar la función cuando se conoce su derivada se llama integración, y la función de determinar se denomina la antiderivada o la integral de la función dada, o de otra manera dada la derivada de una función se debe encontrar la función original. Por ejemplo, podemos estar manejando un modelo de costos en que el costo marginal es una función conocida del nivel de producción y necesitamos calcular el costo total de producir X artículos. Principio: Con el objeto de evaluar la antiderivada de alguna función

f(x), debemos

encontrar una función F(x) cuya derivada sea igual a f(x), por ejemplo, supongamos que f(x)= 3x2. Puesto que sabemos que (d/dx)(x3)= 3x2, concluimos que podemos decir F(x) = x3, en consecuencia, una antiderivada de 3x2 es x³. El cálculo integral también involucra un concepto de límite que nos permite determinar el límite de un tipo especial de suma, cuando el número de términos en la suma tiende a infinito. Con él podemos conocer la tasa de producción de un pozo de petróleo como función del tiempo y debemos calcular la producción total durante cierto periodo. ¡Ésta es la verdadera fuerza del cálculo integral!

Formulas básicas de integración: 1.

∫ dx = x + C

2.

∫ k dx = Kx + C

k es una constante

3.

∫ xⁿ dx =

n ‡-1

4.

∫ ex dx = ex + C

5.

∫ kf (x) = k∫ f(x)dx,

6.

∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) ± ∫ g(x) dx

7.

∫

+c

:

k es una constante

dx = Ln x + c

Técnicas de integración El objetivo es analizar las técnicas del manejo de problemas de integración más complejas, a saber, por medio de la manipulación algebraica y por ajuste del integrando a una forma conocida. Cuando se tiene que integrar fracciones, es necesario a veces efectuar una división previa para obtener formas de integración conocidas; Ejemplo: ;

Encontrar ∫

dx

Solución: Podemos descomponer el integrando en fracciones, dividiendo cada término del numerador entre el denominador. = =

∫ ( ∫x dx

Formula

)

= ∫

-

dx ;

∫ xⁿ dx =

;

dx

=

𝒙𝟐 𝟐

; La descomponemos de la siguiente manera: aquí aplicamos para el primer integral la

:

Entonces tenemos que: ∫

)

∫(

- ln x + c

+c

, y en segundo caso la formula ∫

dx = ln x + c .

∫

Encontrar 5

u= ;

∫

=

dx =

;

du =

dx

2∫

5

=-

c

dx ; la podemos escribir como

;

𝟏 𝒙; 𝟓 𝟐

(

) dx

;

∫

;

dx

= 2 ∫( ; ) + c

dx

Método de sustitución No todas las integrales se pueden evaluar en forma directa usando las integrales estándar. Sin embargo, muchas veces la integral dada puede reducirse a una integral estándar ya conocida mediante un cambio en la variable de integración. Este método se conoce como método de sustitución y corresponde a la regla de la cadena en diferenciación. ∫x

5

dx

∫

5

.(2x dx) =

∫

5

.(2x dx)

u = x2 + 5 : :

=

du = 2x dx

+c 𝒙:𝟓 𝟏𝟎

n= 4 =

𝒄

:

+c

El cálculo integral, fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos. 

ARQUIMEDES DE SIRACUSA (287 - 212 ANE)

Resolvió los primeros problemas relativos al (hoy llamado) cálculo integral. En particular, halló el centro de gravedad de un paralelogramo, un triángulo y un trapecio; y de un segmento de parábola. Calculó el área de un segmento de parábola, cortado por una cuerda. Demostró que (a) la superficie de una esfera es 4 veces la de su círculo máximo; (b) el volumen de una esfera es 2/3 del volumen del cilindro circunscripto; (c) la superficie de una esfera es 2/3 de la superficie de este cilindro, incluyendo sus bases. Resolvió el problema de como intersectar una esfera con un plano, de forma de obtenter una proporción dada entre los volúmenes resultantes. Principales descubrimientos

     

Principio de la hidrostática o principio de Arquímedes. Explicación del principio de la palanca Método de exhausción para calcular el área bajo una curva La constante matemática Pi (3.1416) Figura 04: Estatua de bronce de Arquímedes ubicada en el La serie geométrica infinitesimal observatorio Archenhold en Berlín. Fue esculpida por Gerhard La extracción de raíces cuadradas de Thieme e inaugurada en 1972. números muy grandes antes de que aparecieran las reglas para dicho cálculo.

Principales invenciones en el campo de la mecánica Arquímedes se distinguió especialmente durante el sitio de Siracusa, en el que desarrolló armas para la defensa de la ciudad. Polibio, Plutarco, y Tito Livio describen, precisamente, su labor en la defensa de la ciudad como ingeniero, desarrollando piezas de artillería y otros artefactos capaces de mantener a raya al enemigo. Plutarco, en sus relatos, llega a decir que los romanos se encontraban tan nerviosos con los inventos de Arquímedes que la aparición de cualquier viga o polea en las murallas de la ciudad era suficiente como para provocar el pánico entre los sitiadores.     

El tornillo de Arquímedes (espiral dentro de un cilindro para transportar líquidos) La garra de Arquímedes (especie de grúa para mover los barcos enemigos) El polipasto (Sistema de poleas y correas para elevar grandes pesos) El odómetro (especie de carro que tiraba una bola por cada milla recorrida) Desarrolló la fundamentación de la palanca



RENÉ DESCARTES

También llamado Renatus Cartesius (en escritura latina) (La Haye en Touraine, 31 de marzo de 1596-Estocolmo, Suecia, 11 de febrero de 1650), fue un filósofo, matemático y físico francés, considerado como el padre de la geometría analítica y de la filosofía moderna, así como uno de los epígonos con luz propia en el umbral de la revolución científica. Sus grandes aportaciones la dejo plasmada en sus escritos científicos culturales, simplifico la notación algebraica, empleando letras minúsculas y dio el fundamento de la Geometría Analítica, fue el creador del sistema de coordenadas y que se conocen como coordenadas cartesianas, lo que permitió el desarrollo del Calculo Diferencial e Integral desarrollados por Isaac Newton (matemático inglés) y Gottfried Leibniz (matemático alemán), entre otros aspectos también importantes. Inventó la regla del paralelogramo, que permitió combinar, por primera vez, fuerzas no paralelas. Fue el primer matemático que intentó clasificar las curvas conforme al tipo de ecuaciones que las producen. Fue el creador del sistema de coordenadas cartesianas, lo cual abrió el camino al desarrollo del cálculo diferencial.

Figura 05: fue un filósofo, matemático y físico francés, considerado como el padre de la geometría analítica y de la filosofía moderna, así como uno de los nombres más destacados de la revolución científica.

ISAAC NEWTON La revolución científica iniciada en el Renacimiento por Copérnico y continuada en el siglo XVII por Galileo y Kepler tuvo su culminación en la obra del científico británico Isaac Newton (16421727), a quien no cabe juzgar sino como uno de los más grandes genios de la historia de la ciencia. Sin olvidar sus importantes aportaciones a las matemáticas, la astronomía y la óptica, lo más brillante de su contribución pertenece al campo de la física, hasta el punto de que física clásica y física newtoniana son hoy expresiones sinónimas.

Conocedor de los estudios sobre el movimiento de Galileo y de las leyes de Kepler sobre las órbitas de los planetas, Newton estableció las leyes fundamentales de la dinámica (ley de inercia, proporcionalidad de fuerza y aceleración y principio de acción y reacción) y dedujo de ellas la ley de gravitación universal. Los hallazgos de Newton deslumbraron a la comunidad científica: la clarificación y formulación matemática de la relación entre fuerza y movimiento permitía explicar y predecir tanto la trayectoria de una flecha como la órbita de Marte, unificando la mecánica terrestre y la celeste. Pese a su hipocondría, alimentada desde la infancia por su condición de niño prematuro, Newton gozó de buena salud hasta los últimos años de su vida; a principios de 1722 una afección renal lo tuvo seriamente enfermo durante variólico. En los primeros días de marzo de 1727, el alojamiento de otro cálculo en la vejiga marcó el comienzo de su agonía: Newton murió en la madrugada del 20 de marzo.

Figura 06: Es el autor de los Principia, obra donde se establecen las bases de la mecánica clásica mediante las leyes de Newton y se describe la ley de la gravitación universal.

GOTTFRIED LEIBNIZ (Gottfried Wilhelm von Leibniz; Leipzig, actual Alemania, 1646 - Hannover, id., 1716) Filósofo y matemático alemán. Su padre, profesor de filosofía moral en la Universidad de Leipzig, falleció cuando Leibniz contaba seis años. Capaz de escribir poemas en latín a los ocho años, a los doce empezó a interesarse por la lógica aristotélica a través del estudio de la filosofía escolástica

En 1661 ingresó en la universidad de su ciudad natal para estudiar leyes, y dos años después se trasladó a la Universidad de Jena, donde estudió matemáticas con E. Weigel. En 1666, la Universidad de Leipzig rechazó, a causa de su juventud, concederle el título de doctor. Las contribuciones de Leibniz en el campo del cálculo infinitesimal, efectuadas con independencia de los trabajos de Newton, así como en el ámbito del análisis combinatorio, fueron de enorme valor. Introdujo la notación actualmente utilizada en el cálculo diferencial e integral. Los trabajos que inició en su juventud, la búsqueda de un lenguaje perfecto que reformara toda la ciencia y permitiese convertir la lógica en un cálculo, acabaron por desempeñar un papel decisivo en la fundación de la moderna lógica simbólica.

Figura 07: A lo largo de su vida publicó numerosos artículos académicos y los libros De Ars combinatoria (1666) y Teodicea (1710)

ISAAC BARROW Isaac Barrow nació en Londres en 1630. Además de matemático, fue un teólogo cristiano. Profesor de geometría en 1660 en Gresham College y de griego en 1662 en la Universidad de Cambridge, en 1663 fue el primero en ser nombrado Profesor Lucasiano (Lucasian Chair of Mathematics). Este título es la Cátedra de Matemáticas de la Universidad de Cambridge, a la cual renunció en favor de su alumno Isaac Newton (1642-1726) en 1669.

Barrow es conocido por sus aportaciones al cálculo diferencial y a la óptica, especialmente por el Teorema fundamental del cálculo. La primera demostración de una versión restringida del mismo fue publicada por James Gregory (1638-1675). Como veremos a continuación, este teorema demuestra que la derivación y la integración son operaciones inversas. El Segundo teorema fundamental del cálculo, una consecuencia directa del teorema mencionado anteriormente, es también conocido como la Regla de Barrow en honor de Isaac Barrow.

Figura 08: Cedió su cátedra a Newton y se dedicó a la teología, su otra pasión.

Capítulo III: Aspectos Generales

Justificación Cómo estudiantes y ganas de superarnos hemos abordado el siguiente proyecto con miras a entender un poco más acerca del Cálculo integral.

Creemos y estamos seguros de que los conocimientos en este proyecto adquiridos nos serán de gran importancia en nuestra vida, ya que casi a diario interactuamos y vivimos con ellos; además, esta es la manera más práctica de aprender ya que hemos tomado las medidas del perímetro del edificio A y hemos planteado las ecuaciones. Objetivo General 

Conocer y poner en práctica lo aprendido de las aplicaciones de las integrales en el diseño del edificio A de Tecsup Arequipa.

Objetivos Específicos   

Limitar matemáticamente mediante ecuaciones las superficies que conforman el edificio A de Tecsup Arequipa. Determinar el área y volumen por la cuál del edificio A de Tecsup Arequipa. Hallar las medidas aproximadas de la construcción usando el principio del cálculo integral.

Planteamiento del problema Nuestro proyecto de integrales surgió como una simple curiosidad por saber cuál sería la correspondiente área y volumen del edificio A de Tecsup Arequipa. Empezando por adquirir datos acerca de las dimensiones de los pisos con el afán de construir un modelo de la función para hallar su longitud. Problema ¿Cómo aplicar el cálculo de integrales definidas para hallar el área y volumen en el diseño del edificio A de Tecsup Arequipa? Hipótesis El edificio A tiene divisiones con formas irregulares, las cuales tienen dos curvas en sus dimensiones; para resolver esta problemática nosotros hallaremos las ecuaciones de estas funciones las cuales tendremos que integrar para conocer su área y su volumen; conjuntamente utilizaremos las coordenadas y tendremos que separar cada región en partes para poder integrar de manera separada. Con lo aprendido en el transcurso de cada sesión del curso.

Capítulo IV: Ingeniería del Proyecto

Para poder realizar el proyecto, hemos seguido una serie de procedimientos que van a concretar nuest ro objeti vo, vamo s

a

mate matiz ar cada elem ento que va

a

ser parte del producto final.

Figura 09: Mapa de procesos y plan de trabajo del Proyecto

1. Medir el perímetro del Edificio A Investigar y establecer los métodos de medición de las instalaciones del edificio, de tal manera que obtendríamos las medidas precisas.

2. Crear plano en AutoCAD

Figura 10: Plano en 2D en AutoCAD Figura 11: Plano en 3D en AutoCAD.

3. Plantear ecuaciones utilizando Integrales

Dividimos el plano en 8 partes y procederemos a plantear la ecuación para cada sector.

Figura 12: Dividimos el edificio en 8 secciones y obviamos algunos metros y áreas Igualando en I y II Formulacion de la función

1.40 = a 4.30

f x = ax bx c Puntos coordenadas 0.0

1.40 = a

1.40 = 170/1894 4.30 b=

y 4,30 = 1.40

y 1.40 = a

a. Sección 1:

4.30

b 4.30

I

4,30 = 1.40 b

4.30

II

Reemplazando a en I

c

c=0

1.40 = a 4.30

4.30

a = 170/1894

Y 0 =0 b 0

b

I

2.80 = a 36.98

4.30; 1.40

0=a 0

4.30

b 4.30

II

b 4.30

2x10;

Y = 0.1063x

2x10; 𝑥

b. Sección 2:

23.5 4.63 𝑓 𝑥Integrando = 𝑥 16.26 .30

17018.87 𝑥 1804 = 𝑥 dx𝑥 16.26

1.40𝑓 0

4.63

4.63

6. 6

17018.87 𝑥3 . 0 | 1894 3 0𝑥

1.40𝑥

0

4.63 dx

16.26

170 1.403 . |0 1894 3 18.87

1.40 4.30

𝑥 2 m2 A 16.26 = 𝟑. 𝟓𝟖𝟑𝟑

0

4.63x |06.

A = 𝟐𝟐𝟖. 𝟔𝟗𝟖𝟗 𝑚2

Hallando la función el arco:

y = 0.03493 ×

c. Sección 3: y = ax bx c=0

c

0.

𝐴=2

0.03493 × 22.01 𝑑𝑥 0

3.67 = 105.0625𝑎

10.25𝑏

3.67 = 105.0625a

10.25b

7.34 = 210.125

3.67 = 3.67

10.25b

10.25

b=0

d. Sección 4:

f x = 21.96 . 7

22.01 × |0

A = 2 12.5386

225.6025

20.50

A = 2 238.1411

a =0.03493 3.67 = 105.0625 0.03493

0.03493 3 × 3

A=2

A = 𝟒𝟕𝟔. 𝟐𝟖𝟐𝟐 𝑚

6

e. Sección 5: f x = 20.42 3. 8

20.42dx 0

20.42x|3. 0

8

20.42 ∗ 3.58 𝟕𝟑. 𝟏𝟎𝟑𝟔 m

f.

Sección 6:

g. Sección 7:

𝑓 𝑥 = 18 3.

18.25 0

18.25𝑥|30

18.25 ∗ 3 𝟔𝟐. 𝟗𝟔𝟐𝟓

h. Sección 8:

𝑓 𝑥 = 8.48 3.37

8.48𝑑𝑥 0

8.48𝑥|3.37 0 8.48 3.37 𝟐𝟖. 𝟓𝟕𝟕𝟔 𝑚



Sumatoria Area de las regiones rectangulares y bajo las curvas de secciones circulares

Sección 1 Sección 2 Sección 3 Sección 4 Sección 5 Sección 6 Sección 7 Sección 8 Área Total



3.5833 228.6989 476.2822 93.7692 73.1036 1139.9352 62.9625 28.5776 2106.913

Realizar mediciones de la altura para calcular el volumen

1p so = 3.75 m

4 pisos = 15.00 m 

Calculando el volumen de las áreas rectangulares y la línea inclinada

Fórmula = Area ∗ altura = 2106.913 m ∗ 15.00 m

= 

.

Calculando el volumen de las regiones circunferenciales:

Figura 1:

Y= .30

=

170 1849

. 0 70 8 9

0

0

15.00

0

.30

𝑉=

15.00y | 0

. 0 70 𝑥 8 9

.30

𝑉=

15.00 1.40 0

= 21 .

2550 3 .30 | 1849 3 0

m3

Figura2:

= =

. =

∗ ∗ .

15.00

dx 170 𝑥 1849

dx

Figura 3: 0. 0

𝑉∆ = 2

2

0.03 93

15 0

0

0.

=2

15𝑦 |0 0

0.

=2

15 0.034 0

×3 𝑉 = 2 0.52395 3 = 2 0.52395

1

= 𝟑𝟕𝟔. 𝟏𝟓𝟕𝟗

Volumen total: = 31603.6875

3

Costo del vidrio:

MEDIDA DE LOS VIDRIOS DEL EDIFICIO “A” DE TECSUP AREQUIPA LAS MÁS GRANDES: 1.28*1.22=72 ventanas (5mm) 0.80*1.22= 27 ventanas rectangulares (5mm) LAS DE LOS LADOS (en los salones) 1.28*0.56 = 8 ventanas 0.80*0.56 = 3 ventanas pequeñas

Capítulo V: Conclusiones



Este proyecto nos ha ayudado a comprender la importancia de las matemáticas en nuestra vida diaria.



Con la matematización se puede plantear infinidad de casos aplicados en la vida diaria, claro que ello, no van a hacer todo el proceso como nosotros lo hemos hecho, sino que ya utilizan ciertos instrumentos lo cual permite que sus productos finales tengan una adecuada precisión de medidas.



Finalmente, podemos destacar de este proyecto que todos los pasos que hemos ido avanzando han sido paulatinos los cuales no podemos saltearnos de un paso a otro ya que recién estamos empezando y eso contribuirá más a nuestro aprendizaje continuo.

Recomendaciones



Se recomienda el uso del Calculo Integral porque se emplea para hallar el área bajo la curva. Y dependiendo de lo que simbolice dicha curva se puede aplicar su uso en diversas áreas.

Bibliografía 

Chiang A, “Métodos Fundamentales de Economía Matemática”, 3ª ed., Ed. McGrawHill,México, 1987.



R. Kent Nagle, Edward B. Saff, Arthur David Snider. “Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera

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J. Grafe, “Matemáticas para Economistas”. Ed. McGraw-Hill, Madrid, 1991.



E. Costa Reparaz, “Problemas y Cuestiones de Matemáticas para Economistas”, Ed. Pirámide,Madrid, 1991.



Ernest F. Haeussler, Jr y Richard S. Paúl. Matemáticas para

Administración y

economía. Décima edición. Pearson Educación, México 2003. 

JAGDISH, C. ARYA, Matemáticas aplicadas a la Administración y a la Economía, Cuarta Edición, Editorial Pearson, México, 2002



Lardner Aaya. Matemáticas Aplicadas a la Administración y economía. México 1,993.



Sheifle Xavier. Apuntes a la teoría económica. Editorial Trillas. México. 1.996. Capítulo VI: ANEXOS Material de Construcción



Piedra bruta



Hormigón estructural



Vigas



Agua potable



Cemento



Cal



Arena lavada



Ladrillos Comunes de primera calidad y ladrillos veteados



Vidrios



Tejuelones



P.V.C. Rígido



Piedra triturada



Varillas de Acero



Alambre



Pizarrones



Accesorios: Perchas, jaboneras, toallero, portarrollos, espejos



Inodoros, lavatorios, Mingitorio



Puertas: Marcos, Placas y Tableros



Herrajes



Ventana tipo balancín



Pinturas



Canteros



Puertas de Madera



Canaletas y caños de bajada



Canal de desagüe y rejillas



Equipos y accesorios de M.T.



Cables subterráneos de B.T.



Materiales para B.T.



Conductores de cobre aislado para baja tensión



Llaves termomagnéticas



Equipos para armar artefactos de iluminación de tubos fluorescentes



Caños

TABLA DE INTEGRALES