Análisis De Fourier

ANÁLISIS DE FOURIER | Esperanza Spíndola Morales

Análisis de Fourier La idea básica del análisis de Fourier es que una señal se descomponga en tonos puros. Por supuesto, hay que precisar mucho para llegar a enunciados matemáticos de esta afirmación. Para fijar ideas, pensemos que una señal es una función con cierta regularidad, y quizá propiedades de periodicidad, y los tonos puros son funciones que de alguna forma tienen frecuencia fija que toma valores en cierto conjunto. Tomando una terminología física, a veces los tonos puros se llaman armónicos, y por ello análisis armónico es sinónimo de análisis de Fourier. La idea tiene su origen en el siglo XVIII, con los trabajos de L. Euler y J. d´ Alembert acerca de la ecuación de ondas, la cual admite una solución con un aspecto simétrico para datos expresables como una superposición de senos y cosenos de frecuencias enteras. Ninguno de los dos pensaba que esto se pudiera aplicar a funciones 1-periódicas generales (con cierta regularidad), mientras que D. Bernoulli defendía la opinión contraria. La famosa memoria de J. Fourier sobre la propagación del calor, publicada en 1822, no resolvió esta cuestión, ni siquiera con los niveles de rigor matemático de entonces (por ejemplo, Fourier resolvía ecuaciones lineales de infinitas variables trabajando con determinantes). Sin embargo, dio buenas razones para confiar que las funciones 1-periódicas son superposición de tonos puros. Muchas de las aplicaciones del análisis de Fourier se basan en la conveniencia de eliminar o modificar ciertos rangos de las frecuencias que componen una función porque no tienen influencia significativa en el resultado o porque son ruido. La reducción de rangos de frecuencias se traduce a menudo en la facultad de poder comprimir una señal de audio o vídeo. Dentro de las Matemáticas y la Física, una utilidad básica es que hay problemas que son difíciles de entender para funciones generales, pero son más sencillos para tonos puros. El análisis de Fourier juega un papel importante en el tratamiento de señales, su contexto inicial para el estudio de la disipación de calor, en un medo sólido, luego fue llevado al desarrollo de soluciones para la ecuación de Laplace y la ecuación de onda. Algunas señales muestran componentes periódicos que se repiten a intervalos fijos; estos son estudiados convenientemente por el análisis armónico basado en la serie de Fourier. Para el estudio en Ciencias de la Tierra es evidente que señales de esta naturaleza son solo ideales, pues no es común encontrar señales estacionarias, de manera que, al utilizar la 1

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serie y transformada de Fourier debemos de tener en mente todas las consideraciones necesarias para no generar resultados o interpretaciones erróneos. Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica óptica, procesamiento de imágenes, señales y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño para una señal portadora del mismo. Las series de Fourier tienen la forma: 

Primera forma trigonométrica ∞

𝑥(𝑡) = 𝐶0 + ∑ 𝐶(𝑛)𝑐𝑜𝑠 [ 𝑛=1



2𝜋𝑛𝑡 + 𝜙(𝑛)] 𝑇

Primera forma trigonométrica ∞

𝑥(𝑡) = 𝐴0 + ∑ [𝐴(𝑛)𝑐𝑜𝑠 ( 𝑛=1

2𝜋𝑛𝑡 2𝜋𝑛𝑡 ) + 𝐵(𝑛)𝑠𝑒𝑛 ( )] 𝑇 𝑇

Donde 𝐴𝑛 , 𝐴0 , 𝐶𝑛 , 𝐶0 , 𝐵𝑛 , se denominan coeficientes de Fourier y a partir de ellos es posible obtener la representación en frecuencia de una señal. La gráfica de estos coeficientes en función de su índice armónico se denomina espectro; existen dos tipos de gráficos, uno de amplitudes y otro de fases; mientras el espectro de amplitud es una representación de los factores de peso, el espectro de fase indica su ubicación (la posición de una onda con respecto a otra); para el caso de señales continuas y periódicas el espectro será discreto y no periódico extendiéndose infinitamente hacia ambos lados en el eje de frecuencias. El espectro de amplitud es una función par o simétrica mientras que el espectro de fase es una función impar o asimétrica.

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Transformada de Fourier La trasformada clásica de Fourier aun es un área de investigación activa, sobre todo en la transformación de Fourier sobre los objetos más generales, como las distribuciones temperadas. El matemático Fourier demostró que cualquier función continua, podía ser producida por una suma infinita de onda seno y coseno. Su resultado tiene implicaciones de largo alcance en la reproducción y síntesis del sonido. Una onda sinusoidal pura, puede ser convertida en sonido por un altavoz y será percibida como un simple tono continuo puro. Los sonidos de instrumentos orquestales consisten generalmente de una onda fundamental y un complemento de armónicos que pueden ser considerados como una superposición de ondas sinusoidales, con una frecuencia fundamental y múltiples enteros de esa frecuencia. El proceso de descomponer el sonido de un instrumento musical o cualquier otra función periódica, en sus ondas senos y cosenos constituyentes, se llama análisis de Fourier. La onda de sonido se puede caracterizar, en términos de las amplitudes de las ondas sinusoidales componentes que la conforman. Este conjunto de números, indica el contenido de armónicos de un sonido, y a veces es referido como el espectro armónico del sonido. El contenido de armónicos es el más importante determinante de la calidad o timbre de una nota musical sostenida.

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Una vez conocido por el análisis el contenido de armónicos de un sonido sostenido musical, se tiene la capacidad de sintetizar ese sonido, mediante una serie de generadores de tonos puros, ajustado correctamente sus amplitudes y fases y juntándolos a todos ellos. Esto se denomina síntesis de Fourier.

Una de las ideas para la reproducción del sonido que surge del análisis de Fourier es, que se necesita un sistema de audio de alta calidad para reproducir sonidos de percusión, o sonidos con rápidos transitorios. El sonido sostenido de un trombón, puede ser producido dentro de una gama limitada de frecuencias, porque la mayoría de la energía sonora se encuentra en los primeros pocos armónicos del tono fundamental. Pero si se va a sintetizar el agudo ataque de un platillo, es necesario un amplio rango de altas frecuencias para producir el cambio rápido. Se puede visualizar la tarea de añadir un montón de ondas sinusoidales para producir un pulso agudo, y tal vez se pueda ver que lo que se necesita son grandes amplitudes de onda con tiempos de subida muy cortos (de alta frecuencia) para producir el agudo ataque del platillo. Esta visión del análisis de Fourier se puede generalizar diciendo que, cualquier sonido con un ataque agudo, o un pulso agudo, o los rápidos cambios en la forma de una onda como una onda cuadrada, tienen una gran cantidad de contenido de alta frecuencia. 4

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