Mera Centralnog Ugla Koji Odgovara Luku Dužine R Je Jedan Radijan

TRIGONOMETRIJSKI KRUG Uglovi mogu da se mere u stepenima i radijanima. Sa pojmom stepena smo se upoznali još u osnovnoj školi i ako se sećate , njega smo podelili na minute i sekunde.( 10=60` , 1`=60`` ). Da bi objasnili šta je to radijan, posmatraćemo kružnicu poluprečnika R .Obim kružnice se računa po formuli O= 2R π , a znamo da je π ≈ 3,14 .Ako uzmemo deo te kružnice (kružni luk) koji je dužine baš R , njemu odgovara neki centralni ugao ϕ. Mera centralnog ugla koji odgovara luku dužine R je jedan radijan. Jasno je da onda pun ugao ima 2 π radijana. Odnosno: 3600=2 π radijana 1800= π

10 = Važi dakle:

1`=

1rad =

180

radijana

π 180 ∗ 60

1``=

I obrnuto:

π

radijana

π 180 ∗ 60 ∗ 60 180 0

π

ZAPAMTI

radijana

≈ 57 017`45``

Primer 1: Nañi radijansku meru ugla od: a ) 750

b) 2450 v) 82030` Rešenje:

a)

Kako je 10 =

b) 245 0 = 245

v) 82 0 30`= 82

π 180

π 180

π 180

=

radijana to je 75 0 = 75

π 180

=

5π 12

49π 36

+ 30

π 180 ∗ 60

=

11π 24

1

Primer 2. Naći meru u stepenima ugla čija je radijanska mera: 3π a) 4 11π b) 6 v) 5radijana Rešenje: 3π 3 ∗180 = = 1350 4 4 11π 11 ∗180 b) = = 3300 6 6 v)5radijana = 5 ⋅ (57 017`45``) a)

= 285085`225`` = 285088`45`` = 2860 28`45`` Dalje smo ugao definisali kao dve poluprave sa zajedničkim početkom.A možemo razmišljati i ovako:Uočimo jednu polupravu koja može da se obrće oko svoje početne tačke O.Pri obrtanju ćemo razlikovati dva smera: POZITIVAN – smer suprotan od smera kretanja kazaljke na časovniku i NEGATIVAN- smer kretanja kazaljke časovnika. Ako obeležimo sa a početni i sa b završni položaj poluprave nakon obrtanja tačke O u jednom ili drugom smeru, ugao ab zovemo ORIJENTISAN UGAO. b

O

a

TRIGONOMETRIJSKI KRUG je krug poluprečnika 1 čiji je centar u koordinatnom početku.

2

y

. A(1,0)

x

0

Tačka A(1,0) koja pripada trigonometrijskom krugu zove se POČETNA tačka. Na trigonometrijskom krugu ćemo posmatrati različite lukove koji svi počinju u tački A. Luk koji obilazimo u smeru suprotnom od kazaljke na časovniku je POZITIVAN luk, a u smeru kazaljke je NEGATIVAN luk. Uglovi po kvadrantima idu ovako:

y π 2

II

I

.0 2π

3π 2

III

iz I kvadranta: 0 < α < iz II kvadranta :

π 2

IV

π 2

<α <π

iz III kvadranta : π < α < iz IV kvadranta :

x

3π 2

3π < α < 2π 2

3

3π , su granični i podrazumeva se da nisu ni u jednom kvadrantu. 2 2 Uglove čije ćemo vrednosti očitavati sa trigonometrijskog kruga su sledeći:

Uglovi 0,

π

, π,

π 2

90o = 120o = 135o = 150o =

3π 4

2π 3

60o =

π 3 45o =

1

5π 6

30o =

π 6

0o = 360o = 2π

180o = π 1

−1

210o =

π 4

7π 6

225o =

330o = 5π 4

315o =

−1

240o =

4π 3

300o = 270o =

3π 2

5π 3

11π 6

7π 4

Sinus i kosinus proizvoljnog ugla

Za bilo koji proizvoljan ugao uvek jedan krak poklopimo sa x- osom, tj, sa početnom tačkom A(1,0), drugi krak seče trigonometrijski u nekoj tački M(x0,y0). Iz te tačke spustimo normale na x i y osu. Te dužine su:

-

Na x-osi cos α ( cos α =x0)

-

Na y-osi sin α (sin α =y0)

4

y

M(x0,y0) sin cos

x

.

Evo našeg predloga kako da zapamtite vrednosti i da ih “ pročitate” sa kruga. Zapamtimo tri broja: 1 , 2

2 , 2

3 2

koji su poreñani od najmanjeg do najvećeg. Broj u sredini

2 odgovara uglovima koji su sredine kvadranata! 2

Znači sinusi i kosinusi uglova od 45 , 135 , 225 i 315 stepeni imaju vrednost

2 , samo vodimo računa da li 2

2 2 ili . 2 2 Evo to na slikama , pa će biti jasnije: y

je ta vrednost

+

1 45

. 0

sin 450=cos450=

0

x 1

2 2

5

135

0

y 1

-1

x

. 0

sin 1350=

2 2 a cos 1350= 2 2

y

-1

225

x

.

0

sin 2250= -

-1 2 2

2 2

cos 2250= y

.

-1

x 1

315

0

sin 3150= -

2 2

a cos 3150=

2 2 6

2 2

Za ostale uglove vrednosti će biti

3 , naravno opet gledamo da li je + ili - . 2

ili

Evo par primera:

Primer1. sin 600 i cos 600

Nañi

y 0

60

sin 60

0

x

. cos 60

0

Kako ugao od 600 nije sredina kvadranta, to će vrednosti za sin 600 i cos 600 biti pozitivne.Pošto je crta za sin 600 duža, ona mora biti Dakle:

3 i 2

sin 600=

cos 600 =

1 i 2

3 i to obe 2

3 1 (jer je veći broj) a cos 600 je jer je crta tu kraća. 2 2

1 2

Primer 2. Nañi sin1500 i cos 1500 y 150

0

0

sin 150

.

x

0

cos 150

Crta za sin1500 je kraća i pozitivna a crta za cos 1500 je duža i negativna, pa je : sin1500=

1 3 a cos1500= 2 2 7

Primer 3. Nañi sin

4π 4π i cos . 3 3

Ako date uglove u radijanima prebacimo u stepene, dobijamo da je to y

0

cos240

4π = 2400 3

x

. 0

sin240

0

240

Znači, radi se o uglu u trećem kvadrantu i nije sredina kvadranta. Primetićemo da su obe vrednosti negativne, 4π 3 4π 1 sinus je duži a kosinus kraći. Zaključujemo: sin =i cos =3 2 3 2 Primer 4. Nañi

sin(- 300)

i cos(- 300)

Ovaj ugao, pošto je negativan ide u smeru kazaljke na satu. U pozitivnom smeru to bi bio ugao od 3300. y

0

cos(-30 )

x

.

0

sin(-30 ) 0

-30

sin(- 300) = sin 3300=-

1 2

i

cos(- 300)=cos3300=

Da pogledamo šta je sa uglovima od

0,

π 2

, π,

3 2

3π ( granični uglovi) 2 8

y

0

.0 1

x

Kraci ovog ugla se poklapaju , x-osu cos00=1 (cela crta) a sin00=0 (nema crte)

seku

do

jedinice,

a

y-osu

nigde,

y 1

0

90

.

x

Ugao od 900 seče y- osu po celoj crti a x- osu nigde. Pa je sin 900=1 a cos 900=0 y

180

0

.

x

-1

sin 1800=0

cos 1800= - 1

9

zato

je

y

.

0

270

sin2700=-1

x

-1

cos 2700=0

Tangens i kontangens proizvoljnog ugla Već smo se ranije upoznali sa formulama tgα =

sin α cos α i ctgα = , naravno pod uslovima da cos α sin α

su imenioci različiti od nule. Možemo zaključiti da je tg α definisan za cos α ≠ 0 ,odnosno za α ≠

π 2

+k π , k ∈ Z

A ctg α za sin α ≠ 0, odnosno za α ≠ k π , k ∈ Z To znači da ako znamo da nañemo sin α i cos α , znamo tg α i ctg α

Primer 1. Nañi: a) tg

π

4 b) ctg 3000

2 0 sin 45 a) tg = tg 450= = 2 =1 0 4 cos 45 2 2 1 0 cos 300 3 b) ctg 3000= = 2 =− 0 3 sin 300 3 − 2

π

10

Naučimo sada gde se čitaju tangensi i kotangensi na trigonometrijskom krugu. Uočimo pravu x = 1 . Ona očigledno prolazi kroz tačku A(1,0) i paralelna je sa y- osom.Jedan krak datog ugla α opet poklopimo sa x- osom a drugi krak će seći ovu pravu x = 1 koju ćemo zvati

TANGENSNA osa . Odsečak na tangensnoj osi je ustvari vrednost za tg α . Evo to na slici: y

tg x . A(1,0)

tangensna osa

Uočimo sada pravu y=1 koja prolazi kroz tačku B(0,1) i paralelna je x- osi. Tu pravu ćemo zvati

KOTANGENSNA osa i na njoj ćemo očitavati vrednost za kotangense uglova. Evo slike:

y B(0,1)

c tg

kotangensna osa

.

x

11

Ovde razmišljamo slično kao za sinuse i cosinuse, samo moramo da zapamtimo nova tri broja : 3 , 3

1,

3

Broj 1, pozitivan ili negativan je vrednost za tangense i kotangense uglova koji su sredine kvadranata, tj. za 45, 135, 225 i 315 stepeni a za ostale uglove gledamo dužinu CRTA koje odsecaju na tangensnoj i kotangesnoj osi i da li je pozitivna ili negativna.

Veća crta je

3 , a manja je

3 3

Evo nekoliko primera: y ctg45

0

0

tg45

x

0

45

.

tg450=1 i ctg450=1 Sredina kvadranta je u pitanju, pa su vrednosti 1. y ctg120

0

0

120

x

.

0

tg120

PAZI: Pošto krak ugla ne seče tangensnu osu, moramo ga produžiti do preseka sa osom. Uočimo da su obe vrednosti negativne i da je tangens duži a kotangens kraći! Dakle : tg 1200= -

3 i ctg 1200= -

3 3 12

y ctg240

0

0

tg240 0

240

tg2400=

3

i

.

ctg 2400=

x

3 (uoči dužine ovih podebljanih crta) 3

Šta je sa graničnim uglovima? y π 2

.0 2π

x

3π 2 Za 0 stepeni vidimo da ugao ne seče nigde tangensnu osu , pa je tg00=0, za ctg00 krak i kotangensna osa idu paralelno, pa kažemo da ctg x teži beskonačnosti kad x teži nuli u pozitivnom smeru. Slično je za ugao od 1800. Opet je tangens nula a kotangens teži - ∞ . Za ugao od 900

je obrnuta situacija: ctg900=0

Za ugao od 2700

je ctg2700=0

a

a

tg900 teži + ∞ .

tg2700 teži - ∞ . 13

π 2

90o = 120o = 3π 135 = 4

2π 3

60o =

o

150o =

π 3 45o =

1 3 2

5π 6

π 4 30o =

2 2

π 6

1 2

180o = π

− −1

−

0o = 360 o = 2π

2 2

3 2

−

1 2

1 2

−

7π 210 = 6 o

5π 225o = 4

−

3 2

2 2

1 2

2 2

330o = −

3 2

315o =

−1

240o =

1

4π 3

300o = 270o =

3π 2

5π 3

11π 6

7π 4

14