Práctica_2_mecánicos

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL UNIDAD PROFESIONAL EN INGENIERÍA Y TECNOLOGÍAS AVANZADAS

Formato para prácticas de laboratorio CARRERA

Ingeniería

PLAN DE ESTUDIO

Mecatrónica

PRÁCTICA No.

LABORATORIO DE

2

NOMBRE DE LA PRÁCTICA

2009

NOMBRE DE LA ASIGNATURA

Modelado y simulación de sistemas mecatrónicos

Cómputo

DURACIÓN (HORAS)

Simulación de sistemas mecatrónicos: Masa - Resorte

6

1 INTRODUCCIÓN En esta práctica se realizará el modelado y simulación de un sistema mecánico masa-resorte para estudiar el comportamiento dinámico comparando la simulación utilizando herramientas computacionales como Matlab, Simulink y 20Sim. 2 COMPETENCIAS a) El alumno aplicará los principios de modelado mecánico utilizando la herramienta bond graph. b) El alumno analizará el comportamiento dinámico del sistema. c) El alumno comparará los resultados obtenidos de la simulación. 3 FUNDAMENTOS Los sistemas son dinámicos como la naturaleza, es decir, con el paso del tiempo cambian su comportamiento en respuesta a diversos estímulos externos, por lo tanto, la comprensión del comportamiento dinámico de cualquier sistema es mucho más importante que conocer su comportamiento estático. La comprensión del comportamiento del sistema es un requisito fundamental al asumir el "punto de vista del sistema". Los Modelos de sistemas son herramientas muy útiles para entender el comportamiento dinámico de los sistemas. Los modelos de sistemas pueden ser modelos físicos acotados o modelos matemáticos. Los modelos físicos pueden ser obtenidos a partir de prototipos físicos y proporcionar una comprensión práctica del comportamiento del sistema. Para muchos sistemas de la vida real, la construcción de modelos físicos a menudo puede tener un costo prohibitivo o no sea posible por otras razones. En la fase de diseño conceptual, la construcción de un modelo físico tampoco es posible. Los modelos matemáticos son mucho más baratos de construir y son extremadamente potentes si se construyen adecuadamente. Construir modelos matemáticos útiles requiere un buen conocimiento del comportamiento del sistema a nivel de componentes, y quien construye el modelo de debe hacer suposiciones realistas. Así como el nombre sugiere, un modelo es una representación de un sistema, pero no es necesariamente todo el sistema. Los modelos siempre implican algunas simplificaciones que son el resultado de suposiciones hechas por el desarrollador. Los supuestos reales pueden variar de una situación a otra, pero algunas de las aproximaciones comunes que se utilizan normalmente para el modelado de sistemas son: • Eliminar efectos pequeños: Incluya los efectos dominantes, pero elimine los efectos que tienen relativamente poca influencia. • Entorno Independiente: El medio ambiente no se ve afectado por lo que sucede en el sistema. • Características de elementos concentrados: Propiedades físicas de los componentes del sistema se supone que están agrupados a pesar de que, en realidad, están distribuidos a través de la geometría. • Las relaciones lineales: Relaciones constitutivas se supone que son lineales en el rango de operación del sistema a pesar de que, en realidad, pueden no ser exactamente lineal. • Los parámetros constantes: Parámetros que definen propiedades de los componentes que se asumen constantes. • Eliminar la incertidumbre y el ruido: cualquier incertidumbre o ruido en los datos se omiten. Como resultado de hacer estas suposiciones, las ecuaciones que rigen en el modelo del sistema pueden llegar a ser un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con parámetros constantes. Muchos enfoques diferentes se han utilizado en el desarrollo de modelos de sistema. Uno de los métodos más comunes es derivar las ecuaciones del espacio de estados a partir de los principios físicos, específicamente las leyes de Newton de la mecánica, las leyes de voltaje y corriente de Kirchoff para circuitos eléctricos, etc. Estas ecuaciones diferentes son resueltas numéricamente para obtener respuestas del sistema. Existen varios métodos gráficos que son populares entre diferentes comunidades técnicas. Un paso importante en todos estos métodos es la obtención de las relaciones que los rigen. Dentro de un mismo dominio (ME, EE, etc.) obtener las ecuaciones puede no ser difícil, porque podemos estar dentro de nuestra área específica de conocimiento, pero cuando se trabaja en un entorno multidisciplinario, se convierte en algo más difícil para alguien que no está adecuadamente capacitado. La causa principal de esta dificultad está en la forma en que hemos sido educados. Dentro de cada disciplina de las ramas de la ingeniería, la representación del sistema y su solución han evolucionado por caminos diferentes. Estamos entrenados para pensar que la estática, dinámica, análisis de circuitos, electromagnetismo, hidráulica, y así sucesivamente son materia de diferentes áreas donde se utilizan diferentes técnicas de solución para resolver problemas. Estas barreras artificiales entre disciplinas ponen de relieve las diferencias sin dar un indicio de las similitudes subyacentes que son mucho más frecuentes que las diferencias percibidas. Este concepto de similitudes entre las diferentes disciplinas se ha utilizado en el método de modelado llamado Diagramas de Enlace (Bond Graphs). Los diagramas de enlace, representan flujo de energía en el sistema, y los lazos o arcos que unen a las diferentes partes del modelo se denominan enlaces de alimentación. Este método es similar al método gráfico de flujo señal, pero no es exactamente lo mismo. Introducción a la técnica de Bond-Graph En un sistema físico cualquiera, la energía puede almacenarse, disiparse o intercambiarse. Cuando posteriormente se unen dos sistemas, aparecen distintos flujos de potencia entre ellos. Mediante la técnica de Bond-Graph, el flujo de potencia entre los sistemas o incluso entre sus elementos se representa mediante una línea llamada Bond, representada en la figura 1.1. La punta de la flecha del Bond indica el sentido de transmisión de la potencia.

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Por otra parte, la potencia instantánea, variable en el tiempo, es transmitida por un Bond particular y puede ser expresada como el producto de dos variables: el esfuerzo e(t) y el flujo f(t), siendo ambas también variables en función del tiempo. Potencia = e(t) · f(t) Como se verá más adelante, el significado físico de las variables esfuerzo y flujo dependerá del dominio físico en que se encuadre el sistema en estudio. Por ejemplo, en el caso de la mecánica, e(t) es la fuerza y f(t) es la velocidad, cumpliéndose que: Potencia = Esfuerzo x Velocidad En el Bond-Graph a las variables e(t), f(t) se las denomina variables del sistema y sus valores definen el Bond. En definitiva, cada Bond lleva dos valores asociados: esfuerzo y flujo, cuyo producto es la potencia.

Además de las ya mencionadas, se utilizan dos variables más, denominadas variables energéticas o dinámicas. Estas dos variables son: el desplazamiento q(t) y la integral del esfuerzo en el tiempo P(t).

Según esto, en mecánica P(t) es la cantidad de movimiento, por tanto se cumplirá que:

En cuanto al desplazamiento, se define como la integral del flujo en el tiempo.

O también:

Por otra parte, la energía transmitida por el Bond, E(t) es la integral de la potencia en el tiempo, por lo que:

Como se ha comentado anteriormente, las variables esfuerzo y flujo tienen un significado diferente en función del dominio físico al que pertenezca el sistema en estudio. En la figura 1.3, puede verse el significado de estas variables en diferentes dominios de la Física.

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Los elementos básicos para sistema mecánicos son: Fuerzas, masas, resortes y amortiguadores, en la técnica de Bond Graph se representan como: Elemento

Sistema mecánico

Bond Graphs

Velocidad Fuente de flujo

Fuerza Fuente de esfuerzo

Masa

Resorte

Amortiguador

Adicional a esto se tiene las uniones tipo 0 y tipo 1

Unión tipo 0

El esfuerzo es el mismo en todos los elementos

Unión tipo 1

El flujo es el mismo en todos los elementos

Por lo tanto se puede establecer lo siguiente cuando los elementos se encuentran enlazados o conectados dentro de un sistema:

Resorte

Amortiguador

Masa

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4.

PROCEDIMIENTO (DESCRIPCIÓN)

EQUIPO NECESARIO

MATERIAL DE APOYO

Práctica impresa Pizarrón Plumones Video proyector

1. Equipo de cómputo 2. Software 20 Sim 3. Software MatLab

5. DESARROLLO DE LA PRÁCTICA

En esta práctica se realizará la simulación de un sistema masa resorte con los siguientes casos: A.

B.

C.

D.

Caso A

Dada una masa m1 apoyada sobre un resorte de rigidez k1, que es excitado en su extremo inferior a una velocidad conocida. Para comenzar la realización del Bond-Graph, se parte del punto B en donde se aplica la excitación exterior de velocidad que es conocida y variable en el tiempo V0(t), cuando esta velocidad está anclada a un elemento fijo como el suelo . V0(t)=0 Para este sistema masa – resorte inicialmente se tomarán los siguientes casos: a) No se aplica fuerza externa F=0, sólo se considera el efecto de la gravedad. b) Se aplica una fuerza externa F = ±3N (esta fuerza puede ser positiva o negativa) y se mantiene la fuerza de gravedad. El diagrama de Bond Graph es el mismo independientemente de los valores de los elementos así que podemos suponer fuerzas existentes.

Pero como el flujo f6 es cero vamos a agregar un flujo Sf que será igual a cero porque el extremo del resorte es fijo.

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la existencia de todas las

Simulación

Caso A

1. Iniciar 20Sim, debemos asegurarnos de que encuentre en el modo debug

2. Crear modelo, arrastrando los elemento de la librería

3. Acomodar y renombrar variables, con el botón de la derecha en cada elemento seleccionar propiedades y cambiar el nombre

4. Crear enlaces del diagrama. Seleccione en el menú el ícono connect El programa 20 Sim acomoda los enlaces automáticamente para indicar la causalidad del sistema

5. Una vez conectado se debe revisar que no presente errores, seleccionan del menú Model la opción Check complete model 6. Guarde el modelo

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7. Ingresar valores de las variables para realizar la simulación Ingrese los siguientes valores: a. M=10 Kg b. g=0 c. K1=2.5= Nm; Para el elemento tipo C: 1/k = 0.4 d. F(t)=-3 N (acción hacía abajo) Hacer pruebas con valor positivo e. Sf=0. El piso no se mueve

8. Iniciar el simulador. 9. Introducir los parámetros de simulación: tiempo inicial t=0; tiempo final: 50s; método de solución: Euler; paso de integración (Step size)=0.02 en la pestaña Euler

10. Seleccionar las variables a graficar. f. Seleccionar resorte\state Esta variable es la posición del extremo superior del resorte o bien la posición de la masa. Esto es porque el resorte se encuentra conectado a un nodo tipo 0, el esfuerzo es igual a la velocidad. Cambiar la etiqueta (label) a posición g. Seleccionar resorte\p.f Esta variable es la velocidad de la masa, Esto debido a que la masa está conectada a un nodo tipo 1, el flujo es la velocidad. Cambiar la etiqueta a velocidad

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11. Iniciar Simulación en 20 sim

Realizar la simulación para los siguientes casos: I. Respuesta forzada a. M=10 Kg b. g=0 c. K1=2.5= Nm; Para el elemento tipo C: 1/k = 0.4 d. F(t)=-3 N (acción hacía abajo) e. Hacer pruebas con valor positivo f. Sf=0. El piso no se mueve II. Respuesta libre a. M=10 Kg b. g=-9.81 c. K1=2.5= Nm; Para el elemento tipo C: 1/k = 0.4 d. F(t)=0N (acción hacía abajo) e. Hacer pruebas con valor positivo f. Sf=0. El piso no se mueve III. Respuesta total a. M=10 Kg b. g=-9.81 c. K1=2.5= Nm; Para el elemento tipo C: 1/k = 0.4 d. F(t)=-3 N (acción hacía abajo) e. Hacer pruebas con valor positivo f. Sf=0. El piso no se mueve Colocar graáficas y comentarios

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12. Análisis matemático La ecuación del modelo es : 𝑓(𝑡) = 𝑀𝑥̈ (𝑡) + 𝑘(𝑡) − 𝑀𝑔

Para resolver esta ecuación diferencial se utiliza la transformada de Laplace 𝑀𝑔 F(s)=M𝑠 2 𝑋(𝑠) + 𝑘𝑋(𝑠) − 𝑠 Despejando cuando la gravedad se omite se tiene: Sabemos que: Entonces

Aplicando Fracciones parciales

Resolviendo C1=M/k;

𝐴 𝑀𝑔 𝐶1 𝐶2 𝑠 + 𝐶3 �� + 2 � 𝑋(𝑠) = � + 𝑠 𝑠 + 𝑘/𝑀 𝑀 𝑀 C2=-M/k; y c3=0; por lo tanto

𝐴 𝑀 (𝑀/𝑘)𝑠 𝑋(𝑠) = � + 𝑔� � − 2 � 𝑀 𝑘𝑠 𝑠 + 𝑘/𝑀 𝐴 𝑀 (𝑀/𝑘)𝑠 𝑋(𝑠) = � + 𝑔� � − 2 � 𝑀 𝑘𝑠 𝑠 + 𝑘/𝑀

𝐴𝑢(𝑡)𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≥ 0 𝑓(𝑡) = � 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 < 0 𝑋(𝑠) =

𝑀𝑔 𝐴 − 2 𝑠(𝑀𝑠 + 𝑘) 𝑠(𝑀𝑠 2 + 𝑘)

𝐴 𝑀𝑔 1 1 𝑋(𝑠) = � + �� � 𝑠 𝑠 𝑀 𝑠2 + 𝑘 𝑀

1 1 1 ⎞ 𝑋(𝑠) = (𝐴 + 𝑀𝑔) ⎛� � � � 𝑀 𝑠 �𝑠 2 + 𝑘 � 𝑀 ⎠ ⎝

𝑠 𝐴 𝑔𝑀 1 �� − 2 � 𝑋(𝑠) = � + 𝑘 𝑠 𝑠 + 𝑘/𝑀 𝑘 Aplicando Transformada inversa de Laplace 𝑋(𝑠) =

𝑠 𝑔𝑀 1 𝑠 𝐴 1 � − 2 �+ � − 2 � 𝑘 𝑠 𝑠 + 𝑘/𝑀 𝑘 𝑠 𝑠 + 𝑘/𝑀

Se obtiene la posición como 𝑥(𝑡) = Y la velocidad

𝑔𝑀 𝑔𝑀 𝐴 𝐴 𝑘 𝑘 − 𝑐𝑜𝑠 �� 𝑡� + − 𝑐𝑜𝑠 �� 𝑡� 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 𝑀 𝑀

𝑣(𝑡) =

𝑔𝑀 𝑘 𝐴 𝑘 𝑘 𝑘 � 𝑠𝑖𝑛 �� 𝑡� + � 𝑠𝑖𝑛 �� 𝑡� 𝑘 𝑀 𝑘 𝑀 𝑀 𝑀

Que es la solución completa: respuesta forzada (g=0, f≠0) y respuesta libre (f=0, g≠0) 13. Graficando en Matlab,

clear close all t=0:0.2:50; %la fuerza y la gravedad deben ser negativas A=-3;k=2.5;M=10;g=0; %posición respuesta total x=A/k-(A/k)*cos(sqrt(k/M)*t)+g*M/k-(g*M/k)*cos(sqrt(k/M)*t); %velocidad respuesta total v=(A/k)*(sqrt(k/M))*sin(sqrt(k/M)*t)+(g*M/k)*(sqrt(k/M))*sin(sqrt(k/M)*t); plot(t,x,t,v) xlabel('tiempo') legend('x(t)','v(t)')

Graficar los siguientes casos I.

II.

III.

Respuesta forzada a. g=0 b. K1=2.5= Nm; c. F(t)=-3 N (acción hacia abajo) Respuesta libre a. M=10 Kg b. g=-9.81 c. K1=2.5= Nm; d. F(t)=0N (acción hacia abajo) Respuesta total a. M=10 Kg b. g=-9.81 c. K1=2.5= Nm; d. F(t)=-3 N (acción hacia abajo)

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Colocar grafica obtenida en Matlab

14.Graficar usando diagramas de bloques en simulink A partir de la transformación de Laplace del inciso 12. 𝑚𝑔 M𝑠 2 𝑋(𝑠) = 𝐹(𝑠) − 𝑘𝑋(𝑠) + 𝑠

*Se deben ajustar los parámetros de simulación para que sean iguales

Simular los siguientes casos I.

II.

III.

Respuesta forzada a. g=0 b. K1=2.5= Nm; c. F(t)=-3 N (acción hacía abajo) Respuesta libre a. M=10 Kg b. g=-9.81 c. K1=2.5= Nm; d. F(t)=0N (acción hacía abajo) Respuesta total a. M=10 Kg b. g=-9.81 c. K1=2.5= Nm; d. F(t)=-3 N (acción hacía abajo)

Colocar grafica obtenida en Simulink

Comentarios y análisis 15. Repetir las simulaciones cuando f(t)=3 N y cuando g= -9.81 N Comparar resultados y agregar comentarios

Agregar comentarios Agregar Gráficas

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Caso B

Dada una masa m1 apoyada sobre un resorte de rigidez k1, que es excitado en su extremo inferior a una velocidad conocida. Para comenzar la realización del Bond-Graph, se parte del punto B en donde se aplica la excitación exterior de velocidad que es conocida y variable en el tiempo v0(t), cuando esta velocidad está anclada a un elemento fijo como el suelo . v0(t)=0 Para este sistema masa – resorte sólo se tomará I.

el siguiente caso:

Respuesta total a. M=10 Kg b. g=-9.81 N c. B=3 Nm/s d. K1=2.5= Nm; Para el elemento tipo C: 1/k = 0.4 e. F(t)=-3 N (acción hacía abajo) f. Hacer pruebas con valor positivo g. Sf=0. El piso no se mueve

El diagrama de Bond Graph es el mismo independientemente de los valores de los elementos así que podemos supones la existencia de todas las fuerzas existentes.

Pero como el flujo f6 es cero vamos a agregar un flujo Sf que será igual a cero porque el extremo del resorte y del amortiguador es fijo, al aplicarse tanto al resorte como al amortiguador entonces requiere un nodo tipo 1 (mismo flujo) Agregar los elementos necesarios, simular y comparar resultados con la simulación anterior

Agregar Gráficas Agregar comentarios

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Caso C

Dada una masa m1 apoyada sobre un resorte de rigidez k1, que es excitado en su extremo inferior a una velocidad conocida. Para comenzar la realización del Bond-Graph, se parte del punto B en donde se aplica la excitación exterior de velocidad que es conocida y variable en el tiempo v0(t), cuando esta velocidad está anclada a un elemento fijo como el suelo . v0(t)=0 Para este sistema masa – resorte sólo se tomará el siguiente caso: I. Respuesta total a. M2=10 Kg b. M1=5 Nm c. g=-9.81 N d. B=3 Nm/s e. K1=2.5= Nm; Para el elemento tipo C: 1/k = 0.4 f. K2=1.5= Nm; Para el elemento tipo C: 1/k = 0.6667 g. F(t)=-3 N (acción hacía abajo) h. Hacer pruebas con valor positivo i. Sf=0. El piso no se mueve El diagrama de Bond Graph es el mismo independientemente de los valores de los elementos así que podemos supones la existencia de todas las fuerzas existentes.

Agregar los elementos necesarios, simular y comparar resultados con la simulación anterior

Agregar Gráficas Agregar comentarios

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Caso D

Dada una masa m1 apoyada sobre un resorte de rigidez k1, que es excitado en su extremo inferior a una velocidad conocida. Para comenzar la realización del Bond-Graph, se parte del punto B en donde se aplica la excitación exterior de velocidad que es conocida y variable en el tiempo v0(t), cuando esta velocidad está anclada a un elemento fijo como el suelo . v0(t)=0 Para este sistema masa – resorte sólo se tomará el siguiente caso: No se aplica fuerza externa F=3N y g=9.81N II. Respuesta total a. M2=10 Kg b. M1=5 Nm c. B1=3 Nm/s d. B2=6 Nm/s e. K1=2.5= Nm; Para el elemento tipo C: 1/k = 0.4 f. F(t)=-10 N (acción hacía abajo) g. Hacer pruebas con valor positivo h. Sf=0. El piso no se mueve

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RESULTADOS Y CONCLUSIONES El alumno anotará los resultados en las tablas descritas en la práctica, la conclusión la definirá también el alumno.

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ANEXOS

Cuestionario 8

REFERENCIAS Las

que utilicen

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