Vectores, Propiedades Y Caracteristicas

Estatica

2016

Tema: Cantidades Vectoriales Profesor: M.sC Tito Vilchez Vilchez

Competencias a lograr en la clase 1.- Utilizar y relacionar las cantidades vectoriales 2.- Aplicar las relaciones entre fuerzas y Momentos sobre cuerpos considerados como partículas. 3.- Resolver problemas de vectores 4.- Trabajar en equipo

PORQUE AHORA? UN CAMBIO DE CULTURA?

¿Porque esperar el Ultimo momento? ¿ ¿ Porque??

Actua ahora. Hoy el Mundo es de los veloces

4

COMPETENCIAS A LOGRAR EN EL CURSO Es esencial que cualquier producto, maquina o estructura sea seguro y estable cuando se somete a cargas ejercidas en el, durante cualquier uso predecible. El análisis y diseño de semejantes dispositivos o estructuras para garantizar la seguridad es el objetivo primordial de este curso. La falla de un componente de una estructura puede ocurrir de varias maneras:

1.- El material del componente podría fracturarse por completo. 2.- El material puede deformarse excesivamente bajo carga, de modo que el componente no es adecuado para ese propósito.

3.- La estructura podría volverse inestable y pandearse, y por lo tanto seria incapaz de soportar las cargas pretendidas.

PREVENCION DE FALLAS En la figura se muestra dos varillas que soportan una pesada pieza fundida. Como se deben de diseñar esas varillas. Las varillas deben ser lo suficientemente fuertes de modo que no se rompan y dejen caer la pieza fundida, lo que posiblemente podría provocar danos y lesiones a las personas.

Usted como diseñador de las varillas, que información requeriría y que decisiones de diseño tiene que tomar: 1.- Cual es el tamaño y peso de la pieza fundida 2.- Donde esta su centro de gravedad. Esto es importante para decidir donde colocar los puntos de sujeción de las varillas a la pieza fundida.

PREVENCION DE FALLAS 3.- Como se unirán las varillas a la pieza fundida y al sistema de soporte por la parte superior

4.- De que material se harán las varillas. Cual es su resistencia? 5.- Cual será la forma y la sección transversal de las varillas? 6.- Como se aplicara inicialmente la carga de la pieza fundida a las varillas: Lentamente, con choque o impacto, o con un movimiento de tirón? 7.- Se utilizaran las varillas para muchos ciclos de carga durante su vida esperada?

Objetivos de estudiar Vectores.- Las cantidades vectoriales se utilizan en el diseño de mecanismos como partes iniciales del calculo. En el ejemplo mostramos la influencia de la determinación del calculo vectorial en el calculo de los Mecanismos. El sistema motriz O2B tiene 2= 5 rad/s, cte. Calcule: a.- La expresión vectorial de BA.(cm) b.- El vector unitario del vector CB. c.- La magnitud del vector CB.(cm) d.- La magnitud del vector PC.(cm) e.- La velocidad del bloque C.(m/s) f.- La aceleración del bloque A.(m/s2) g.-. La aceleración del bloque C.(m/s2)

P

Del Polígono OO BA: 2

200 ˆj 110(Cos30iˆ  Sen30 ˆj)  c  170iˆ

200 ˆj 110(0,866iˆ  0,5 ˆj)  c  170iˆ c  74,74iˆ  255 ˆj

O

74,74iˆ  255 ˆj ˆC   0,2812iˆ  0,9596 ˆj 265,7274

c

Del Polígono O PCB: 2

250 ˆj  a  b  110(Cos30iˆ  Sen30 ˆj) a  b  95,26iˆ 195 ˆj

ˆC

a (Cos30iˆ  Sen30 ˆj )  bˆ C  95, 26iˆ  195 ˆj 0,866aiˆ  0,5ajˆ  0,2812biˆ  0,9596bjˆ  95,26iˆ 195 ˆj

0,866a  0,2812b  95,26

b

0,5a  0,9596b 195

a  52,9791cm b  175, 6048cm

P

RA / C  1, 2412iˆ  4, 2351 ˆj ( m)

a

RB / C  0, 4938iˆ  1, 6851 ˆj ( m)

VECTORES







A

A

B





B 











B 

B  A

B  A

A



A

B

Suma de vectores 

C



A 





B

B

C

A 



B

A 





C



C  A B 











B A  C



A B  C













C  A B

C

A

B

C





A



B 





A B  C

 



A

B

B A





D







R



R

C

D









B

C





D









R  A B  C  D





C 

A



R  B  C  A D 



j



j



i



i 

BY 





AX

R  ( A  BX )  B 2

R

2 Y

A  B  2 AB cos( ) 2

2

A

AY

BX

A



BY

B



C



B BX













A  Ax i  Ay j

B  Bx i  B y j 





C  A B







si : A B C  0, 







B



C



C



A B C   sen() sen() sen()





B

A

Producto de vectores

Escalar A





Vectorial 



C

B



B



A

 

A B  ABcos()

 

A B  A x B x  A y B y  A z B z

 

 

A











A B  C

A B  ABsen(  )



Bases para el estudio del movimiento mecánico Sistema de Referencia:

Cuerpos que se toman como referencia para describir el movimiento del sistema bajo estudio.

Se le asocia

y y(t)

x(t) x z(t)

z

• Observador • Sistema de Coordenadas • Reloj

En el Movimiento plano Se utilizan las Coordenadas Cartesianas y (m) (x,y) P (8,3)

Q (-2,2) O

origen

x (m)

abcisa

Movimiento plano También las Coordenadas Polares

(r,)

 O

origen

Relacion entre (x,y) y (r,) y (m) (x,y)

 j

Y

r

X

 O

origen

x  r cosθ y  rsen θ

x (m)

abcisa

 i

r x y 2

2

y  tan θ x

VECTOR Todo vector tiene las siguientes características:

SENTIDO

En el caso de las fuerzas, también tienen un punto de aplicación.

Vectores en el espacio y en el plano

z A



y

θ

y

Ap 

x

x

Notación

A

Módulo o valor ó Norma

Dirección θ, 

 A A 0

Propiedades de Vectores

 A

 C • Dados A y B, si A = B entonces

 B

A = B

• Todo vector se puede desplazar paralelamente a    si mismo

ABC

Importante: En la cabeza de flecha del primer vector se coloca el origen del segundo vector y así sucesivamente los vectores que siguen.

Suma de Vectores

A

A

C

C

B

B

Ley del polígono

R El vector resultante será la distancia neta desde el origen del primer vector hasta la cabeza de flecha del ultimo vector.

El vector resultante es aquel que va desde el origen del primer vector hasta el extremo del ultimo

Entonces si se tiene los siguientes vectores

 A

 D

 B

 C

El vector resultante de la suma de todos ellos será:

 B

 A

 C

 R      R  A B  C  D

 D

Propiedades de Vectores Opuesto o negativo Nulo Vector unitario

A ˆ

-A

0 = A + ( -A )  A   μˆ   A  A ˆ A

Ley Conmutativa

Propiedades de la suma de Vectores Vector Diferencia

   R  A- B

   R  A  (- B)

     R  A  B  B A

Ley Asociativa

       R  A  (B  C)  (A  B)  C A

B

R

-B A

Ley conmutativa (Método paralelogramo)

A

B

B

B





A Los vectores A y B pueden ser desplazados paralelamente para encontrar el vector suma

R  A  B  2 A.BCos 2

Analíticamente se cumple:

R

2

2

A  B  2 A.BCos 2

2

Método del triangulo A

Se cumplen dos leyes:



Ley de senos

A B R   Sen Sen Sen Ley de Cosenos

R  A  B  2 A.BCos 2

2

2

B



 A

2

A  R  B  2 R.BCos 2

B

2

B 2  R 2  A2  2 RACos 

R  A B  B A

Multiplicación de un vector por un escalar   donde   N Dado dos vectores A y B

  Se dicen que los vectores A y B son: A  B

  si   0 A  B   si   0 A  B   si  1 A  B

A y B son proporcionales y en el mismo sentido. Paralelos. A y B son proporcionales y en sentido contrario. Antiparalelos. A y B son iguales.

 A

 1 B A 2

 B  A

 B

 1  B A 4

Ejemplo 8:

Hallar el vector resultante de la suma de los siguientes vectores

A

B C

B

A C

C

R  A  B  C  C  C  2C

VECTORES UNITARIOS • Vector cuya magnitud o módulo es 1, se utiliza para definir la orientación de las cantidades físicas vectoriales. uA =

Vectores unitarios: i, j, k A=A i +A j+A k X

k

z

Z

A = A uA

z A

j

i

Y

A A

y

x

y uA 

x

A A

 uA  a 

A X i  AY j  AZ k

 A X    Ay    AZ  2

2

2

PROPIEDAD DEL VECTOR UNITARIO Caracteristica fundamental: El tamano del vector unitario es uno o la unidad   u A  uB

  uC

  u 1

 1º A y B son paralelos y colineales.  2º- A y C son paralelos y colineales  3º- B y C son paralelos y colineales

• • • • •

OBSERVACIONES

u uA

uB

A

1º- El vector unitario del vector A = (uA) es colineal al mismo sentido del vector A 2º-El vector unitario del vector B = (uB) es colineal al mismo sentido del vector B 3º- El vector unitario del vector C = (uC) es colineal al mismo sentido del vector C

C

   A B C      A B C

CONCLUSIÓN : Si 2 vectores son colineales o paralelos y del mismo sentido, entonces sus vectores sus vectores unitarios son iguales

uˆA  uˆB  uˆC

uC

Vectores unitarios en el plano

y

ˆj

ˆi ˆj

iˆ

x

Vector unitario en la dirección del eje x+ Vector unitario en la dirección del eje y+

Vectores unitarios en el espacio

z

kˆ

ˆj iˆ x

y

z

Representación de un vector

AZ

θ AX

AZ  ACos

AX  ASenCos AY  ASenSen



A ASen

AY

y

x

    A  Ax i  Ay j  Az k  2 2 2 A  A  Ax  Ay  Az

Observaciones: Las componentes rectangulares de un vector dependen del sistema coordenado elegido. La magnitud del vector no cambia. Permanece invariante en cualquier sistema coordenado

Determine la resultante de los siguientes vectores Importante: En la cabeza de flecha del primer vector se coloca el origen del segundo vector y así sucesivamente. El vector resultante será la distancia neta desde el origen del primer vector hasta la cabeza de flecha del ultimo vector.

4u

 A



3u

 B    R  A B 7u

 A 8u

 B +

4u

=

   R  A B

4u

Observamos que, cuando los vectores están en la misma dirección podemos determinar fácilmente su magnitud

¿Que sucede si los vectores no están en la misma dirección ? , ¿ podremos determinar directamente su magnitud?

 A 



   R  A B

 B 

La magnitud en este caso no puede determinarse directamente , por lo que debemos tratar de buscar otra forma de determinarla. Analiticamente se cumple:

Ley de Cosenos

R  A  B  2 A.BCos 2

2

2

A  R  B  2R.BCos 2

2

2

B  A  R  2 A.RCos 2

2

Ley de Senos

2

A B R   sen sen sen

 A

3u

 Ax

 B

  Ay

By

4u

 i

 Bx

 j 6u

   3u A Ax  Ay 4u

 Ax

A  y

A  4iˆ  3 ˆj

Vectorialmente:

 By

   B  B  B x y  B  6iˆ  8 ˆj

 Bx  R  10iˆ  5 ˆj

6u

10u

  Ax  Bx 5u

  Ay  By

     R  Ax  Bx  Ay  By Por pitagoras podemos ahora determinar la magnitud del vector resultante

R  10  5  5 5u 2

2

 Ay   Cy

By

 Ax  Cx

 Bx  Dy  Dx

 Rx

15 u 5u

   R  Rx  Ry R  5 10

 Ry

     Rx  Ax  Bx  Cx  Dx      Ry  Ay  By  Cy  Dy

En la armadura mostrada, determine: a.- El vector LH.(m) b.- El vector CG.(m) c.- La expresión vectorial de la fuerza de tensión del cable pequeño que actúa sobre la estructura.(kN) d.- La expresión vectorial de la fuerza de tensión del cable grande que actúa sobre la estructura.(kN)

EJEMPLO

VECTOR GEOMETRICO Es aquel vector que se construye en funcion de sus coordenadas

 A z

(x1,y1,z1)



 x

(x2,y2,z2)

y

Dados los puntos indicados, el vector que los une esta representado por:

 A  (x2  x1)ˆi  (y2  y1)ˆj  (z2  z1)kˆ

a.- Hallar el vector EB. b) Hallar el vector BC

VECTOR FISICO Es aquella cantidad vectorial que se determina en funcion a su magnitud y a su vector unitario. Si es paralelo a un vector geometrico, los dos tienen en comun el mismo vector unitario.

 A

z

x Donde:



 F

(x2,y2,z2)

(x1,y1,z1)

  F  FXˆi  FYˆj  FZkˆ

y

F F F F

  A F u  ˆ A F

Representado por sus componentes:

2 X

2 Y

ˆ F  Fu

2 Z

Primera Propiedad

Producto escalar de dos vectores

A  B  ABcosθ AB Cos  A.B Componente de A sobre B

AB  ACosθ Componente de B sobre A

BA  BCosθ

iˆ  iˆ  1 ˆj  ˆj  1

iˆ  ˆj  0 ˆi  kˆ  0

kˆ  kˆ  1

ˆj  kˆ  0

  Segunda Propiedad  A iˆ  Ax A  ˆj  Ay A kˆ  Az   A  B  AX BX  AY BY  AZBZ

 propiedad   Primera

Producto vectorial de dos vectores

C  AB

  C  ASegunda xB propiedad AB sen θ  ˆi ˆi  0

ˆj ˆj  0  kˆ  kˆ  0

iˆ  ˆj  kˆ

ˆj  iˆ  kˆ

ˆj  kˆ  iˆ

kˆ  ˆj  iˆ

kˆ iˆ  ˆj

iˆ  kˆ   ˆj

El modulo del producto vectorial de dos vectores representa el area del paralelogramo. Por lo cual, el area del triangulo sera la mitad de la que corresponde al paralelogramo

  axb

a.b senθ ATrian g u lo  2 2

Producto Vectorial: AxB

 i   AxB  A B

X

X

 j A B

Y

Y

 k A B

Z

Z

Demostrar:

ˆ  (B ˆi  B ˆj  B k) ˆ C  A B  (Axˆi  Ayˆj  Azk) x y z

CX  AY BZ  AZ BY

Cy  Az Bx  Ax Bz Cz  Ax By  Ay Bx

ANGULOS DIRECTORES  ,  y  Son aquellos que definen la direccion de un vector en el espacio Sea  (alfa) el angulo que forma el eje X positivo con el vector A Sea  (beta) el angulo que forma el eje Y positivo con el vector A Sea  (gamma) el angulo que forma el eje Z positivo con el vector A  Sea: A = AX i + AY j + AZ k A  A  ( AX ) 2  ( AY ) 2  ( AZ ) 2

AZ z

Propiedad 1:

A



 AX

x



A A Co s  X  X A A

Propiedad 2:

A A Co s  Y  Y A A

A A Cos  Z  Z A A

Vector unitario

   AX  AY  AZ  A  i j k  Cos .i  Cos . j  Cos .k A A A 

AY

y Siendo:

Propiedad 3:

uA 

A A

Cos2  Cos2  Cos2 1  uA  a 

A X i  AY j  AZ k

 A X    Ay    AZ  2

2

2

Ejemplo 1: Determinese la suma de los siguientes vectores:

 A  3ˆi  8ˆj  5kˆ  B  -5ˆi  2ˆj  3kˆ  C  4ˆi  7ˆj  2kˆ

ˆ ˆ R  2i+3j

Ejemplo 2:

Determine la suma de los vectores indicados z

5m

ˆ ˆ R  8i+10j-10k

 B 8m x

 C

10m y

 A

Ejemplo Dados los vectores:

A  3iˆ  3 ˆj  5kˆ B  4iˆ  5 ˆj  3kˆ

A  B  42m

2

ˆ ˆ A  B  16i-11j+3k

  24,91 ˆ ˆ ˆ ˆ A  0, 458i+0,458j-0,763k

Determine : a) El producto escalar entre ellos. b) El producto vectorial entre ambos c) El ángulo que forman entre sí. d) El vector unitario de A. e) El vector unitario de A  B

Vector Proyeccion de A sobre B

 A

 P

θ

z

 u

 B

 B A

B

  A B Co s  A.B

y

x

 A B  A B Comp  ACos  A.   A . B B   A B

  B  P  Comp .u  ACos . B A

B

A

B

B

          A B  A B  A B B A B   P  Comp .u  A( )u  .u  ( ).  ( ). B 2 A.B B B B B A

B

A

B

B

B

B

P  ( A  uˆB ).uˆB A B

 Ejemplo: B  -5ˆi  2ˆj  3kˆ 

 C  4ˆi  7ˆj  2kˆ

A  3ˆi  8ˆj  5kˆ

1. Determine la Componente de A sobre B

2. El vector Proyección de B sobre C

Comp  2, 271 A B

P  1,6231iˆ  2,8495 ˆj  0,8116kˆ B C

Calcule.. X , si.se.sabe.que, es. perpendicular.los. vectores.F  2i  3 j  k ... y..G  i  2 j  3k . y.satisface.la.condicion :. X  (2i  j  k )  6.

La fuerza F = 500 N actua en A, tal como se muestra en la figura. Calcule las componentes de esta fuerza a lo largo de los ejes AB y AC. Sustente su respuesta.

THE END!

Higher Education: Let’s make it all that it can be and needs to be! Vamos a hacer todo lo que puede ser y debe ser! Profesor: M.Sc Tito Vilchez