Volume 2
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Organizadora: Editora Moderna
Obra coletiva concebida,
e
produzida
pela
desenvolvida
Editora Moderna.
Editor responsável: Fabio Martins de Leonardo
Conexões o
M
é
E
n
i s
n
o
com a
i d
2
Componente curricular: MATEMÁTICA
MANUAL DO
PROFESSOR
Conexões
Matemática
com a
2 Ensino
Organizadora:
O b ra
co l et i va
co n c e b i d a ,
Edito r
Licenciado
em
Médio
Edito ra
d e s e nvo l v i d a
responsável:
M at e m át i c a
Componente
e
Fabio
pela
M o derna
p ro d u z i d a
M ar tin s
de
U n i ve r s i d a d e
curricular:
pela
E d i to ra
Moderna.
Leo na rdo
de
São
Pa u l o .
E d i to r.
MATEMÁTICA
MANUAL DO PROFESSOR
a
3
São
edição
Paulo,
2016
Elaboração
dos
originais
Edição
de
Casentini,
Alexandre
Bacharel
e
Raymundo
licenciado
texto:
Assistência
em
Matemática
pela
Judas Tadeu
de
São
Paulo.
Professor
em
no
Brasil
e
editorial:
de
Suporte Martins
Licenciado
Professor
por
20
em
em
anos.
de
Débora
Regina Y ogui,
Enrico
Briese
Roberto
texto:
ReCriar
Paulo
de
Jesus
Silva
editorial
de
design n
de
e
produção
produção:
gráfica:
administrativo
Everson
de
Sandra
Botelho
de
Car valho
Homma
Paula
editorial: Maria
de
Lourdes
Rodrigues
(coord.)
Oli veira
Matemática
escolas
pela
Universidade
particulares
e
públicas
de
de
São
São
Paulo.
Paulo
Coordenação
Projeto
de
gráfico:
n
Mariza
e
de
projetos
Souza
visuais: Marta
Porto,
Adriano
Cerqueira
Moreno
Leite
Barbosa
Editor. Capa:
Douglas
Foto:
Débora
Oliveira,
na T urquia.
Coordenação
Dario
de
escolas Gerência
particulares
Martins
Ikeda
Universidade Preparação
São
Dario
Juliana
Rodrigues
Reflexão
do
José
céu
azul
na
janela
de
vidro
cur vilínea
do
prédio
Regina Yogui ©
Licenciada
em
Matemática
pela
Universidade
de
São
Philippe
Lejeanvre/Getty
Images
Paulo.
Coordenação
de
arte: Wilson
Gazzoni
Agostinho
Editora.
Edição
Enrico
Briese
Licenciado
arte:
Editoração
Casentini
em
de
Matemática
pela
Universidade
de
São
Paulo.
Edição
de
Camila
Ferreira
eletrônica:
infografia:
Grapho
Luiz
Iria,
Leite,
Marcia
Cunha
do
Nascimento
Editoração
Priscilla
Boffo,
Otávio
Cohen
Editor. Coordenação
Revisão: Fabio
Martins
de
em
revisão: Adriana
Mariana
Belli,
Rita
de
Bairrada
Cássia
Sam,
Viviane T eixeira
Mendes
Leonardo
Coordenação Licenciado
de
Matemática
pela
Universidade
de
São
de
pesquisa
iconográfica: Luciano
Baneza
Gabarron
Paulo.
Pesquisa
iconográfica:
Carol
Böck,
Marcia
Sato
Editor.
Coordenação
Flávia
Renata
Licenciada
Pereira
em
de
Almeida
Matemática
pela
Fugita
T ratamento
Universidade
de
São
Paulo.
Rubens
M.
de
de
bureau
Américo
imagens:
Denise
Jesus
Feitoza
Maciel,
Marina
M.
Buzzinaro,
Rodrigues
Editora. Pré-im
Hélio
Juliana
P .
ressão:
de
Alexandre
Souza
Filho,
Petreca
Marcio
H.
Everton
Kamoto,
L.
de
liveira
Vitória
Fabio
N.
Precendo
Sousa
Ikeda Coordenação
Licenciada
em
Matemática
pela
Universidade
de
São
de
produção
industrial: Viviane
Pavani
Paulo. Impressão
e
acabamento:
Editora.
Juliane
Matsubara
Bacharel
e
Universidade
públicas
e
Barroso
licenciada
em
Católica
de
particulares
Matemática
São
de
Paulo.
São
Paulo
pela
Pontifícia
Professora
por
10
em
anos.
escolas
Editora.
Kátia T akahashi
Licenciada
em
Sant’ Anna.
Professora
por
9
anos.
Luciana
Mestre
pelo
em
Centro
escolas
Universit ário
particulares
de
São
Paulo
Editora.
de
em
Ciências
Oliveira
Gerzoschkowitz
Educação
(área
de
Moura
concentração:
Educação
Dados –
Opção:
Ensino
de
Ciências
e
Matemática)
Internacionais
(Câmara Universidade
de
São
de
São
Paulo.
Professora
em
escola
do
na
Livro,
Publicação
SP ,
(CIP)
Brasil)
Paulo.
Cecília
Licenciada
da
em
Silva Veridiano
Matemática
pela
Universidade
de
São
Paulo.
a
;
produzida
matemática
obra
pela
responsável
3.
Osvaldo
com
Moderna
Editora.
Doutor
Catalogação
Brasileira
particular
Conexões
Maria
de
pela
Shi
em
Engenharia
Professor
ueru
da
Civil
estruturas)
Escola
—
Editora
Fabio
São
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organizadora
concebida,
Moderna
Martins
Paulo
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Editora
desenvolvida
Leonardo.
Moderna,
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—
2016.
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Engenharia
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coletiva
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pela
Politécnica
de
concentração:
Universidade
da
de
Universidade
bra
São
de
Paulo.
em
3
v.
Bibliografia
São
“Componente
curricular:
Matemática” .
Paulo.
1 .
r
Matemática
(Ensino
médio)
I.
Leonardo,
Fabio
n
16-01379
CDD-510.7
Índices
1 .
Reprodução
Matemática
proibida.
Art.
:
para
catálogo
Ensino
184
do
Código
T odos
os
São
Vendas
Padre
Paulo
e
-
e
-
758
Brasil
-
(0_
_1 1)
-
9.610
de
(0_
03303-904
_1 1)
2602-5510
2790-1501
2016
1
3
5
7
9
no
10
de
LTDA.
www.moderna.com.br
Impresso
19
Belenzinho
CEP
Atendimento: T el.
Fax
Lei
reser vados
MODERNA
Adelino,
SP
510.7
Penal
direitos
EDITORA
Rua
sistemático:
médio
Brasil
8
6
4
2
fevereiro
de
1998.
Apresentação
Esta coleção é o resultado de um trabalho coletivo motivado pelo
desejo
de
produzir
uma
obra
de
Matemática
com
uma
linguagem
acessível ao aluno.
Este
livro
apresenta
um
projeto
editorial
que
favorece
a
com-
preensão, incentiva a leitura e possibilita a atribuição de significado
aos conceitos matemáticos.
A
sequência
teúdos
capítulo,
explora
e
didática
inicia-se
com
sugerindo
a
teoria,
exercícios
escolhida
uma
os
situação
conceitos
intercalada
propostos,
por
para
a
apresentação
contextualizada
com
uma
imagem.
exemplos,
finalizando
cada
na
Em
exercícios
capítulo
dos
con -
abertura
do
seguida,
resolvidos
com
uma
lista
deexercícios complementares e com a Autoavaliação
As seções Pesquisa e ação, Compreensão de texto e Sugestões de
leitura complementam e enriquecem a obra.
Com
esta
coleção,
esperamos
contribuir
para
o
trabalho
do
pro-
fessor em sala de aula e oferecer uma ferramenta auxiliar ao apren-
dizado do aluno.
Os editores
Organização da Coleção
Abertura do capítulo
Apresentação
por uma imagem, que
dos conteúdos
sugere os conceitos
abordados no capítulo.
diferenciado organiza
o conteúdo.
exercícios resolvidos
propiciam a aplicação e a
ampliação dos conceitos.
apresentam grau crescente
de dificuldade. Alguns
deles podem ser resolvidos
em grupo.
Exercícios
complementares
Aplicação: trabalham
conceitos e procedimentos
específicos.
Aprofundamento: exigem
mais do que a simples
aplicação dos conceitos e
podem envolver conteúdos
de capítulos anteriores.
Desafio: possibilitam
testar conhecimentos e
habilidades em situa
mais complexas.
dessa seção são
contextualizados.
ões
Ícone
de
atividade
em
Autoavaliação
Pesquisa e ação
Propõe atividades
Diferentes atividades
cujassoluções dependem
unicamente da boa
compreensão do conte
grupo
práticas de realização
em grupo relacionadas
do.
T raz um quadro que
relaciona cada questão
com o objetivo listado no
início do capítulo, além
da remissão das páginas
em que o conteúdo foi
com o tema abordado
no ca
tulo, envolvendo
a pesquisa e a
elaboração de um
produto final, que será
compartilhado com a
turma ou com a escola.
explorado.
Compreensão de texto
T extos variados, extraídos de várias mídias, e
questões que exploram vários níveis de interpretação
e compreensão são recursos que o livro oferece
para o
desenvolvimento da competência leitora.
Nessa seção, os alunos encontram mais uma
oportunidade de desenvolver uma atividade em grupo.
Sugestões de leitura
Indica-se a leitura de livros ficcionais cujos
temas foram estudados no livro. As sugestões
propiciam o enriquecimento e a ampliação do
conhecimento, além do incentivo à leitura.
Sumário
a
Capítulo
1
1.
Arcos
2.
Ciclo
de
4.
Equações
Ciclo trigonométrico - 1
uma
circunferência
trigonométrico
volta
........................................................................................ 9
..................................................................................................
12
...........................................................................................
14
trigonométricas ..........................................................................................
21
Exercícios complementares ............................................................................................ 23
Autoavaliação .................................................................................................................. 24
Capítulo
2
Funções trigonométricas
1.
Funções
2.
Ciclo
periódicas ...................................................................................................... 25
3.
A
função
seno
trigonométrico ................................................................................................... 27
.............................................................................................................. 30
A
função
cosseno ......................................................................................................... 33
5.
A
função
tangente
6.
Construção
de
....................................................................................................... 35
gráficos
............................................................................................... 37
Exercícios complementares ............................................................................................ 43
Autoavaliação .................................................................................................................. 44
Pesquisa e ação ................................................................................................................ 45
Compreensão de texto ..................................................................................................... 46
Capítulo
3
Complementos de T rigonometria
1.
T rigonometria
3.
Equações
4.
Adição
em
um
triângulo
trigonométricas
de
qualquer................................................................. 49
.............................................................................. 53
em R................................................................................. 55
arcos ............................................................................................................ 56
Exercícios complementares
60
Autoavaliação ..................................................................................................................
Capítulo
1.
Polígonos
Área
3.
4
de
Círculo
Super fícies poligonais, círculo e áreas
regulares .................................................................................................... 62
algumas
e
super fícies
poligonais
planas
....................................................... 67
circunferência
74
Exercícios complementares ............................................................................................ 78
Autoavaliação
................................................................................................................. 80
Pesquisa e ação ................................................................................................................ 81
Capítulo
5
1.
Ideias
2.
Posições
3.
Projeção
4.
Ângulos
Introdução à Geometria espacial
gerais ................................................................................................................. 82
relativas ........................................................................................................ 86
or togonal
e
e
distância ................................................................................... 94
diedros ........................................................................................................
Exercícios complementares .......................................................................................... 100
Autoavaliação .................................................................................................................101
Capítulo
6
Poliedros
2.
Poliedros .................................................................................................................... 104
................................................................................................. 102
3.
Prismas
..................................................................................................................... 109
4.
Pirâmides
.................................................................................................................. 120
Exercícios complementares
Autoavaliação
...............................................................................................................
Pesquisa e ação
.............................................................................................................
Compreensão de texto
Capítulo
7
1.
Corpos
2.
Cilindro
3.
Cone
4.
T ronco
5.
Corpos redondos
redondos
....................................................................................................... 13
......................................................................................................................137
...........................................................................................................................
sfera
de
cone
de
bases
paralelas
Capítulo
8
..........................................................................................157
Matrizes e determinantes
......................................................................................................................... 160
Adição
3.
Multiplicação
de
um
4.
Multiplicação
de
matrizes
5.
Determinante
de
uma
6.
Matrizes
e
subtração
e
de
matrizes
número
Autoavaliação
Capítulo
real
por
uma
matriz...................................................
em
.....................................................................................172
planilhas
eletrônicas
................................................ 174
..........................................................................................175
Sistemas lineares
ao
estudo
2.
Equações
4.
Escalonamento
de
sistemas
lineares
...............................................................178
lineares
179
de
sistemas
Exercícios complementares
Autoavaliação
10
Contagem
de
................................................................................... 180
lineares
.......................................................................
187
.........................................................................................
193
............................................................................................................... 195
Compreensão de texto
Capítulo
167
................................................................................................................ 177
9
Introdução
................................................................................ 165
......................................................................................... 168
matriz
determinantes
Exercícios complementares
1.
.......................................................................... 149
............................................................................................................... 159
2.
1.
142
......................................................................................................................... 151
Autoavaliação
Matriz
132
1
.................................................................................................. 134
Exercícios complementares
1.
......................................................................................... 130
.................................................................................................. 196
Análise combinatória
................................................................................................................... 200
2.
Fatorial
3.
Permutações
um
4.
Arranjo
5.
Combinação
número
natural
simples
......................................................................................................... 209
simples
.................................................................................................. 211
Exercícios complementares
Autoavaliação
................................................................................. 204
.............................................................................................................. 206
......................................................................................... 214
............................................................................................................... 216
Pesquisa e ação
..............................................................................................................217
Sugestões de leitura ...................................................................................................... 218
Respostas .......................................................................................................................
Lista de siglas ................................................................................................................
231
Bibliografia .................................................................................................................... 232
l
o
t
u
í p
C
a
a
1
Ciclo trigonométrico – 1
volta
KCOTSRETTUHS/ESEENA
Objetivos
Calcular
e
a
o
capítulo
comprimento
medida
em
do
grau
e
Conhecer
de
em
o
um
radiano.
ciclo
trigonométrico
arcos
arco,
e
os
A
simétricos
High
Roller,
tem167
Am
liar
as
Estender
a
Vegas,
altura.
EUA,
Foto
de
é
a
maior
roda-gigante
do
mundo.
Foi
inaugurada
em
2014
e
2014.
para
maiores
que90°. Nos
Las
de
razões
trigonométricas
ângulos
em
metros
e
relação
lados
fundamental
anos
tangente)
e
de
anteriores,
em
um
estudamos
triângulo
ângulos.
No
as
razões
retângulo
entanto,
elas
e
as
trigonométricas
usamos
foram
para
definidas
(seno,
obter
apenas
a
cosseno
medida
para
de
ângulos
da
agudos
Trigonometria
para
e
não
se
mostram
práticas
para
trabalhar
com
triângulos
que
não
sejam
o
retângulos.
ciclo
trigonométrico.
Neste
Resolver
capítulo,
definiremos
os
conceitos
de
seno,
cosseno
e
tan
ente
em
uma
equações circunferência,
o
que
possibilitará
a
aplicação
da
Trigonometria
a
triângulos
trigonométricas. quaisquer
e
servirá
trigonométricas”.
8
de
base
para
o
desenvolvimento
do
próximo
capítulo
“Funções
1
Arcos
Dois
pontos,
dessas
partes,
figura
ao
APB :
B :
e
B,
uma
de
incluindo
lado,
A
de
uma
circunferência
circunferência
esses
pontos,
é
a
dividem
chamada
em
de arco
duas
da
partes.
Cada
Na
A
temos:
arco
de
P
uma
circunferência.
extremidades
A
e
B,
contendo
P ;
O
Se
não
indicar
o
arco
de
houver
arco
extremidades
dúvida
apenas
sobre
por
A
e
B,
qual
contendo
das
partes
P ’.
estamos
considerando,
podemos
AB
P’
Podemos
sua
medida
ular.
É
medidas
o
que
Comprimento
comprimento
centímetro,
de
veremos
de
um
metro
um
arco
um
é
a
arco:
se
seu
comprimento
(medida
linear)
e
uir.
arco
sua
medida
linear
e
pode
ser
indicado
em
milí-
.8991 ed orierevef
:SEÕÇARTSUL
metro,
de
NOSLIDA
O
an
duas
OCCES
1.1
obter
etc.
Por exemplo, considerando o arco C D , destacado em vermelho na figura abaixo,
se
pudéssemos
“esticar”
esse
arco,
poderíamos
medi-lo
com
uma
régua.
ed 91 ed 016.9
C
ieL e laneP
O
ogidóC
D’
od
D
481 .trA .adibiorp
Você provavelmente viu em anos anteriores que o comprimento C
de uma circun Obser vação
ferência
de
oãçudorpeR
primento
raio
de
r
é
arcos
dado
de
por
C
5
2πr r.
circunferência,
Essa
fórmula
conforme
será
veremos
usada
no
para
exercício
obter
o
com-
resolvido R1
Lem
re -se
e que
π
é um número
irracional. Nos cálculos práticos,
norm
Ver
mente
comentário
mos
no
Guia
do
π q
3,14.
professor.
Exe rc íc io resolv id o
R1.
Calcular
rência
o
comprimento
com
8
cm
de
de
um
arco
de
50°
contido
em
uma
circunfe-
raio.
Resolução
Lembrando
dado
por
2π
que
,
uma
circunferência
podemos
medida
do
montar
arco
a
tem
360°
seguinte
(grau)
e
regra
seu
de
comprimento
360°
2π
50°
8
comprimento
é
três:
(cm)
8
x
2 0π x
5
5 360°
Substituindo
20 x
9
π
por
3,14,
obtemos:
3,1 4
q
V
x
q
6,98
9
Logo,
o
arco
mede
aproximadamente
6,98
cm.
9
1.2
Explore
Desenhe
em
seu
caderno
Medida
concêntricas,
diferentes.
Desenhe
um
arco
que
nos
referirmos
à
medida
de
um
arco
de
circunferência
estamos
com
nos
raios
de
duas
Sempre
circunferências
angular
referindo
à
sua
medida
angular,
que
é
igual
à
medida
do
destacado
em
ângulo
central
um
correspondente. ângulo
central
de
medida
a
que
Por determine
nessas
respectivamente, os arcos
´ B´
são
exemplo,
na
figura
a
seguir,
temos
o
AB
arco
vermelho
e
seu
circunferências,
AB
e
ângulo
´ B´
AB
central
AOB
correspondente
A
Como o ân
e
AO
ulo
mede 80°, o arco
iguais?
mede
80º.
Indicamos:
med(
também
5med( AO
)
)
5
80°
ar
80°
AB
O
AB
´ B´
e
Geralmente,
são
as
unidades
usadas
para
medir
um
iguais?
B
arco
são
O
o
grau
e
o
radiano.
grau
Obser vação Considere
Se olharmos uma mesma estrela
Define-se
em dois dias consecutivos, no
dizemos
uma
circunferência
grau
que
a
(1°)
como
circunferência
a
dividida
medida
tem
em
360
angular
arcos
de
cada
de
comprimentos
um
desses
arcos.
iguais.
Por
isso,
360°.
mesmo horário e do mesmo ponto
A
ideia
de
dividir
uma
circunferência
em
360
partes
surgiu
com
os
astrônomos
ba-
da Terra, haverá um deslocamento
bilônicos, milênios antes de Cristo. Acredita-se que esses estudiosos tenham escolhido aparente de 1° entre suas posições,
essa
ivisão ao notar que um ano tem aproxima
amente 360
ias. Essa
ivisão tam
ém
já que um dia corresponde a
foi
adotada
por
matemáticos
gregos,
como
Hiparco
de
Niceia
(século
II
a.C.)
e
Ptolo-
1 aproximadamente
do ano.
meu
360
de
Alexandria
1°
usual
do
na
grau.
Geometria
e
na
Trigonometria.
Observe:
60’.
ed
tornando-se
submúltiplos
orierevef
seja,
90-168),
criados
ed
Ou
(c.
foram
.8991
Também
91
seja,
1’
5
60’’.
ed
Ou
016.9
O
radiano
ieL
e
medir
um
arcos
arco
circunferência
a
AB
o
ângulos,
radiano
r,
sua
rad)
podemos
quando
seu
usar
o
radiano.
comprimento
é
A
medida
igual
ao
an-
raio
da
contém.
circunferência
é
também
(1
medida
de
raio
r
angular
representada
é
1
radiano.
abaixo.
Como
Indicamos:
comprimento
5
1
rad
.adibiorp
A
o
med ( A B)
.trA
arco
que
e
1
481
Observe
do
é
ogidóC od
de
laneP
Para
gular
A
r
r
oãçudorpeR
1 rad B
B
O
O
r
No
arco
exercício
de
360°)
resolvido
mede
2π
a
seguir,
veremos
que
uma
circunferência
(ou
seja,
um
rad.
Exe rc íc io resolv id o
Explore:
B’
B
R2.
Calcular
OCCES
a
medida
angular,
em
radiano,
NOSLIDA
de
uma
um
arco
circunferência.
Resolução
O
Dada
o
uma
circunferência
comprimento
igual
a
.
de
raio
Como
o
,
de
comprimento
medida
da
1
rad
tem
circunferência
é
A
π
,
temos:
da
os
angular
medida
medidas
do
alunos
do
arco
ângulo
angulares
percebam
depende
central;
são
Já
do
arco
(rad)
comprimento
(cm)
a
1
r
a
2πr
apenas
logo,
iguais.
que
as
os
comprimentos
dos
arcos
são
diferentes,
a pois
que
dependem
contém
do
cada
raio
um
da
5
deles;
quanto
maior
Logo, o
raio,
maior
será
circunferência.
10
o
comprimento
2 r
circunferência
da
uma
circunferência
mede
2π
rad.
:SEÕÇARTSULI
2π r
NOSLIDA
medida
que
OCCE
medida
spera-se
1.3
Relação
entre
grau
e
radiano
π
Uma circunferência mede 360° ou 2π rad. Assim, um ângulo raso, que determina
rad 2
uma
semicircunferência,
corresponde
a
um
arco
que
mede
180°
ou π
rad. 3π –––
rad π
4
A
tabela
alguns
abaixo
ângulos.
fornece
Observe
Grau
a
relação
também
0
Radiano
a
entre
figura
as
medidas,
ao
em
grau
e
em
radiano,
de
rad
lado.
45
90
135
3
4
2
4
180
270
360
π
rad
2π
3
0
π
rad
2π OCCES
2
NOSLIDA
3π
Exemplos
–––
rad
2
a)
Vamos
obter
a
medida,
em
rau,
de
um
arco
de
rad: 6
grau
radiano
180
π
x 6
Obser vação
180 6 5
5
30 Veja
Assim,
um
arco
outro
π
de
rad
mede
modo:
180° d
30°.
30°
6
6
6
.8991
b)
Vamos
obter
a
medida,
em
ed
grau
π
180
orierevef
radiano
ed
x
radiano,
de
um
arco
de
200°:
200
91 ed
10
200
016.9
5
5 180
9
ieL e
1 0
laneP
Assim,
um
arco
de
200°
mede
rad. 9
og idóC
c)
Vamos
determinar
od
ximadamente
481
de
a
12,56
medida
cm
de
x, x
em
grau
e
comprimento,
em
radiano,
em
uma
de
um
arco
circunferência
com
com
apro
12 cm
raio.
.trA .adibiorp
Obser vação comprimento
medida
(grau)
(cm)
(rad)
x
12,56
x
medida
(cm)
12,56
oãçudorpeR
comprimento
Pela definição de radiano, pode -
ríamos ter feito esse cálculo assim:
comprimento
2
12
2
360
8
π
8
12
m
(cm)
360
12
56
2 x
60
o
arco
mede
1 2, 5 6
12
6
x
aproximada
(ra
12,56
x
12
1
1 , 047 2
Assim,
8
π
8
12
12
Assim, o arco mede aproximada
12
6
x
mente
2.
60°.
mente
2π
b)
a) 6
c) 3
7
d) 6
1,047
1 , 047 12
rad.
4
e)
3
i
2π
f ) 6
3
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
1.
Estabeleça,
em
grau,
a
medida
dos
arcos
de:
4.
O
ponteiro
das
horas
de
um
relógio
tem
7
cm
de
2π
5
7
a
rad
225°
b)
rad
4
comprimento.
210°
c)
6
rad
Deter mine,
3
a)
em
radiano,
a
medida
dos
arcos
Quantos
30°
c)
120°
e)
17
60°
d)
150°
)
Deter mine,
em
grau
e
em
radiano,
a
medida
Quantos
que
da
representa 5
13
do
Um
h
essa
centímetros
às
pêndulo
extremas,
pêndulo
2 arco
é
ponteiro
percorre
medida
em
das
13h
radiano?
17
h?
sua
extremidade
14,65
percorre
cm
240°
5.
3.
Qual
esse
210° das
b)
h?
graus
de: b)
a)
rad
90°
2
às
2.
120°;
oscila
um
tem
e
for ma,
ângulo
25
cm
de
de
entre
70°.
suas
Sabendo
comprimento,
posições
que
esse
calcule
o
circunferência. comprimento
aproximado
do
arco
que
ele
descreve.
4 144° ;
d
q
30,5
cm
5
11
2
Ciclo
Podemos
trigonométrico
percorrer
uma
circunferência B
em
dois
sentidos:
no
sentido
horário
e
sentido
no
anti-horário
sentido
anti-horário.
representada
ao
Na
lado,
circunferência
sendo
A
o
60°
ponto
O
de
partida,
adotamos:
A
senti
5 6
300°
.
horário
(
A circunferência
O (0,
gem
0)
de
um
5 2
trigonométrica, ou cic
plano
cartesiano
e
raio
o
de
trigonométrico, tem centro na ori-
1
unidade.
No
ciclo
trigonométrico,
o
ponto A(1, 0) é a origem de todos os arcos, ou seja, é o ponto a partir do qual percor-
Os
arcos
medida
no
com
maior
próximo
medida
que
2π
negativa
serão
a
e
com
or
a
remos a circunferência até um ponto P qualquer para determinar o arco A P
(P é a ex-
os
tremidade
capítulo.
do
arco).
a cada ponto P
Obser vação
Adotando
o
sentido
anti-horário
da circunferência, a medida de
AP
como
positivo,
associaremos,
tal que 0 rad <
(
< 2π rad,
ou
0°
<
(
<
360°.
Daqui em diante, convenciona-
mos que a notação
representa
rad
.8991
— 90°
2
um arco da circunferência orien-
orierevef
origem em A e extremidade em
ed
tada no sentido anti-horário, com
B
A
rad
0°
ed
A
180°
0 rad
91
ou 0
360°
ed
0
2 rad
Obser vação
ciclo
trigonométrico,
pelo
1
ieL
No
016.9
1
fato
e
o
raio
ser
unitário,
a
medida
de
laneP
de
3
um
arco
igual
radiano
ao
seu
é
numerica-
270°
–
rad
og idóC
mente
em
comprimento.
od
eixo
das
em
abscissas
quatro
e
o
eixo
quadrantes,
das
como
ordenadas
mostra
do
figura
plano
cartesiano
dividem
abaixo.
.adibiorp
eixo
a
.trA
ciclo
das
ordenadas
Se
conveniente,
pergunta
achar
repetir
para
oãçudorpeR
Comentário:
arcos
a
2º -
1º -
quadrante
quadrante
do
Ref lita 3
e
do
4
quadrante.
A 0
Entre
está
quais
a
valores,
medida
de
em
um
grau,
arco
3º -
do
2
eixo
º -
das
abscissas
o
quadrante
quadrante?
E
em
quadrante
radiano? π
entre
90°
e
180°;
entre
rad
e
π
rad
2
Obser vação
Quando a extremidade
P de um
o
Desse AP
arco
modo,
a
medida
de
um
arco
do
1
quadrante,
por
exemplo,
está
entre
pertence a algum qua-
0°
drante, dizemos que o arco
AP
e
90°.
é
um arco desse quadrante.
2.1
Simetria
Vamos
eixo
das
estudar
no
três
ordenadas,
ciclo
tipos
em
de
relação
tri
onométrico
simetria
à
no
origem O
ciclo
e
em
trigonométrico:
relação
ao
eixo
em
das
relação
ao
abscissas
OCCE
P’
Na
figura
NOSLIDA :SEÕÇARTSULI
P
e
P
e
P
e
ao
são
lado:
simétricos
em
relação
ao
eixo
das
ordenadas;
O
P”
são
simétricos
em
relação
à
origem
O;
P”’
Se
trias,
12
P’’
as
P’’
são
simétricos
extremidades
dizemos
que
os
de
em
dois
arcos
relação
arcos
são
ao
são
arcos
481
O
o
eixo
das
pontos
abscissas.
que
simétricos
apresentam
uma
dessas
sime-
Exemplo
Dado o arco de 30°, vamos obter as medidas de seus arcos simétricos.
Observe
As
o
ciclo
medidas
de
trigonométrico
seus
arcos
ao
lado.
simétricos
são:
180°
30°
5
150°
30°
150° O
30°
5
210°
30°
=
mesmo
medidos
em
raciocínio
grau
ou
em
pode
ser
usado
para
30°
30°
30°
A
330° 180°
Esse
30°
outros
30
210°
330°
360°
30°
arcos,
radiano.
Exe rc íc io resolv id o
R3.
Determinar
as
medidas,
em
radiano,
dos
arcos
simétricos
ao
arco
de
rad em relação ao eixo das ordenadas, à origem
O e ao eixo das
abscissas.
6
Resolução
Os
arcos
simétricos
ao
arco
medem:
de 6
π .8991
O
π
π
π
5π
6
6
2
7π
1
5 6
6
π
ed
2
1 1π 5
orierevef
6
Veja
a
solução
gráfica
no
ciclo
trigonométrico
6
abaixo.
ed 91 ed 016.9
π
5π –––
ieL e
Obser vação
laneP
O A
ogidóC od
Em
7π
um
ciclo
trigonométrico,
11π
quando
um
valor,
sem
unidade
––– 6
6
de
medida,
481 .trA
um
ponto,
.adibiorp
valor
arco
estiver
associado
subentende -se
representa
a
medida
a
que
de
o
um
emradiano.
oãçudorpeR
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
o
6.
Em
e
seu
ca
er no,
assinale
arcos
de
210°,
os
30°,
225°,
esen
ontos
45°,
um
ue
60°,
240°,
e
são
90°,
270°,
cic
trigonométrico
extremidades
120°,
300°,
o
135°,
315°,
150°,
330°
e
dos
180°,
9.
Obtenha
são
Ver
resolução
Considere
exer cício
medidas
Ver
8.
e
C
no
ciclo
Guia
dos
a
no
arcos
Guia
do
medida
nos
ciclos
do
simétricos
indicadas
nas
dos
aos
arcos
ar cos
do
1
cujas
quadrante
medidas
que
estão
figuras.
70°
professor.
trigonométrico
anterior.
resolução
Calcule
B
o
medida
360°. a)
7.
a
Deter mine,
indicados
no
desenhado
em
no
radiano,
as
ciclo.
professor.
dos
arcos
de
extremidades
trigonométricos
abaixo.
4 B 5 5
A
representados
250°
6 C
5
5
5
b)
B
A
C
9π
OCCES
A
rad
20°
NOSLIDA :SEÕÇARTSULI
11
6
5
A
5
160°,
B
5 200°,
5
340°
13
3
Seno,
Já
gulo
estudamos
retângulo.
o
cosseno
seno,
Agora,
o
e
cosseno
vamos
e
tangente
a
estudar
tangente
esses
de
ângulos
conceitos
para
agudos
arcos
da
em
um
triân-
circunferência
trigonométrica.
3.1
Se
achar
que,
em
necessário,
um
retome
triângulo
com
retângulo,
os
alunos,
Seno
Considere
e
cosseno
um
arco
de
um
arco
o
AP
de
medida a
no
1
qua-
temos:
drante do ciclo trigonométrico. Lembrando que o medida s en
a
do
cat et o
opos to
a
ciclo medida
da
P
a
5
tem
raio
unitário,
no
triângulo OPC, C
temos:
hipot enus a
1
medida
do
cat et o
adjacente
a
a
cos
a
5
CP medida
da
hipot enus a
A
CP
sen
CP O
OP
cos
OC OP
Ou
seno
seja,
de
a,
nesse
à
C
1
caso,
abscissa
1
o
de
seno
de
a
corres
onde
à
ordenada
do
onto
P, P
e
o
cos
P
o
Essa
definir
obtida
seno
e
a
partir
cosseno
de
para
um
arco
do
qualquer
quadrante,
1
arco
do
ciclo
pode
ser
ampliada.
.8991
Vamos
conclusão,
trigonométrico.
ed
obra,
de
um
não
faremos
arco
ou
de
distinção
um
ângulo
entre
e
P
r
de
um
arco
ou
da
ciclo
trigonométrico,
de
medida a
rad,
com
0
<
a
<
2π
medida
:
de
91
medida
eixo
ed
um
do
seno
m da
AP
r
ed
seno
orierevef
Nesta
ângulo.
016.9
senos
ieL
P
e laneP
1 sen
ogidóC od
A
O
eixo dos
cos
481
n
.trA .adibiorp
seno
cosseno
Por
das
de
isso,
é
a
de
a
de
é
a
eixo
portanto,
pendendo
ordenada
podemos
abscissas
Note,
a
do
do
abscissa
chamar
dos
que
o
quadrante
ponto
do
o
P;
ponto
eixo
oãçudorpeR
P
das
ordenadas
de
eixo
dos
senos
e
o
eixo
cossenos
seno
ao
e
o
qual
cosseno
o
arco
podem
ser
positivos
ou
negativos,
de-
pertence.
OCCES
Exemplo
NOSLIDA
o
Vamos
analisar
medida
o
sinal
do
seno
e
do
cosseno
de
um
arco
do
4
quadrante
de
a eixo dos
:SEÕÇARTSULI
senos
cos
O
eixo dos
Ref lita cossenos
sen
Determine
o
sinal
do
seno
e
do
cosseno
de
arcos
do:
o
quadrante;
.
0;
cos
0;
cos
0;
cos
.
o
quadrante;
sen
quadrante.
sen
0
Observando
o
ciclo,
concluímos
que:
o
14
,
,
0
é
negativo
(sen
,
0);
é
positivo
(cos
.
0).
Exe rc íc ios resolv id os
R4.
Escrever
os
senos
dos
arcos
a
seguir
em
ordem
crescente.
3
10
π 2
6
2
3
12
4
9
Resolução
Como
em
não
aparece
radiano.
Para
a
uni
facilitar,
a
e
e
me
podemos
i
a,
as
5
i
as
essas
2
2π π
me
converter
arcos
em
estão
grau:
180°
5
180°
os
medidas
5
3
120°
3
180 90° 2
15°
2 12
12
180
7
7π
° 6
180°
5
6
5
4
3
3π
180°
10
1 0π 5
5
180°
270
5 2
2
Agora,
5
9
vamos
315°
4
representá-las
no
ciclo
200°
9
trigonométrico.
eixo dos senos
2
1 0π
7π
9
4
3π e
a)
Ref lita 2
2
.8991
3
ed orierevef
6
a)
Quais
das
medidas
tadas
têm
represen-
senonegativo?
12
ed
b)
O
Lembrando que o raio da cir-
91 ed
cunferência trigonométrica é 1,
016.9
10
descubra os valores abaixo. 9
ieL
π se
3π ;
e
4
sen
π;
sen
2
laneP
3
3π
π
2
sen
5
1;
sen
π 5
0;
5
sen
ogidóC od
2
2
Observando o eixo dos senos, escrevemos os senos em ordem crescente:
481
3
7
1 0π
sen
π
sen
.trA
2
4
.adibiorp
Obter
o
seno
e
o
cosseno
de
6
π
3
2
3
0,
π
e
oãçudorpeR
2
2π sen
12
R5.
π
π 9
2π
2
Resolução
Vamos
representar
essas
medidas
no
ciclo
trigonométrico.
eixo dos senos
2
Obser vação
1
No
a
O
ciclo
trigonométrico,
medida
de
um
arco,
sendo a
sempre
teremos:
eixo dos
1 cossenos
1
<
sen
a
<
1
1
<
cos
a
<
1
3
2
Lembrando
que
o
raio
vale
1,
obtemos: ES
0
5
sen
2π
5
0
cos
π 5
1
cos
cos
5 0
cos
3 sen
0
π
5
21
3 5
2
5 2
21
cos
5 2
0
2π
5
1
:SEÕÇARTSULI
2
π
5
π
sen
sen
0
NOSLIDA
sen
15
21
R6.
Obter
o
seno
e
o
cosseno
de
150°.
Resolução
Vamos
trico.
deter minar
Primeiro,
esses
valores
marcamos
o
por
arco
de
simetria
150°
e
no
seu
ciclo
trigonomé-
correspondente
no
o
1
quadrante.
eixo dos
senos
150°
30°
O
eixo dos
cossenos
Obser vação
Vamos
relembrar
os
valores
do Depois,
seno
e
do
cosseno
dos
observamos
que:
ângulos
notáveis:
π 30°
π
ou
45°
π
ou
60°
Como
sabemos
os
valores
para
30°,
concluímos
que:
ou
4
3
1 sen
1
°
5
sen
30°
= 2
2
3
.8991
1 sen 2
3
2
cos
150°
5
2cos
30°
5
ed
2
orierevef
3
1
2
Podemos
cos
aplicar
raciocínio
similar
para
arcos
de
outros
quadrantes.
2
2
ed 91 ed 016.9 ieL
Registre as respostas em seu caderno
e
Exerc íc ios propostos
laneP
Indique
sen
(cos
sinal
215°
das
sen
expressões.
280°
15.
Descubra
e
positivo
cos
são 50°
1
cos
325°)
(cos
215°
1
cos
cossenos
dos
arcos
abaixo
simétricos
aproximados
que
em
os
pontos
relação
à
de
de
cos
cos48°q
em
q
origem
0,34e
cos
O.
sem
calcular
seus
a
ordem
valores.
Dado sen 55°
7
t q
0,17
5 8
,
cos
,
cos
co
5
7
q
b q 0,34
e
4
12.
0,17)
20,67
oãçudorpeR
7
, 7
q
q
48°
8 π
,
b
cor
t
11
0,
cos
(Dados:
80°
os
crescente
a
mesma
.adibiorp
os
valores
.trA
Escreva
os
sabendo
145°)
negativo
11.
t,
481
a)
b)
o
ogidóC od
10.
0,8, calcule o valor aproxim a d o
A
de: O
a)
sen
125°
q
13.
Sabendo
ximado
b)
sen
0,8
que
235°
c)
sen
q 20,8
cos
25°
0,9,
305°
q 2 0,8
registre
o
valor
apro-
a
b
de: 260°
a)
cos
155°
b)
cos
q 20,9
205°
c)
cos
335°
q
q 20,9
0,9
s en
,
6
14.
Descubra
os
valores
aproximados
de
sen
,
senb
16.
Deter mine
7
1
s en
6
o
seno
dos
1 1
s en
5
2
arcos
1
s en
6
5 6
simétricos
a
2
rad 6
e
sen
t,
sabendo
que
os
pontos
de
mesma
cor nos
são
simétricos
sen27°
q
em
relação
q
à
origem
0,77e
sen
O.
demais
quadrantes.
(Dados
80°
0,98) 17.
sen
a
q
sen
b
q
20,77
sen
t
q
0,98
Calcule
o
valor
a)
π
1
das
expressões.
20,45
sen
cos
π
1
sen
π
1
cos
π
t
π sen
sen
π 1
2
2
π
cos
cos 2
OCCES
b)
π
2
2
27°
1 1π
sen
5π
sen
cos
3
6
O
cos 2
3
1
d) b
5π 2
260°
16
sen 6
2
cos
0
6
:SEÕÇARTSULI
4 cos
a
5π 1
3
NOSLIDA
2π c)
Explicar
de
aos
casas
alunos
decimais
que
os
varia
valores
de
obtidos
acordo
com
o
são
aproximações.
modelo
do
A
quantidade
aparelho.
2π 18.
Para
calcular
o
seno
de
,
Edna
digitou
no
19.
pai-
Com
base
nos
valores
encontrados
no
exercício
5 anterior, nel
avançado
da
calculadora
de
seu
celular
de
4
2
obteve
em
verdadeira
falsa.
a)
2
2π
9
9
sen
falsa
5
0,95106. π b)
2 Assim,
igualdade
teclas:
sin
e
cada
esta
ou sequência
classifique
concluiu
que
sen
q
π
sen
1
π
sen
5
sen
falsa
0, 9 5
5
Agora,
com
a
calculadora
de
um
celular
ou
com 20.
uma
calculadora
científica,
calcule
os
valores
Em
que
com seguir
dando
o
resultado
com
três
casas
mesmo
π
2π c)
0,643
arcos
têm
seno
e
quadrantes,
cosseno
para
a
tem-se
sen
a
5
cos
que
1
quadrante:
a
a?
5
5
;
3
quadrante:
a
5
9
21. O
os
Nesses
0,866
9
(Observação:
de
3π
b)
0,342
9
sinal?
decimais.
valores
a)
quadrantes
a
procedimento
pode
variar
Dê
o
valor
de
x,
em
grau,
com
0°
x
360°,
para
depen-
osquais: dendo
do
exemplo,
modelo
a
do
medida
aparelho.
deve
ser
Em
di
a
uns,
itada
por
antes
da
1 a)
sen
x
5
x
5
30°
ou
x
=
150°
2 l
calculadoras
sin
rifi
r
ni
científicas,
m
i
deve-se
iliz
–
r
2 b)
–
.8991 ed
3.2
está
Tangente
orierevef
Considere
cos
x
5
x
5
135°
ou
x
5
225°
selecionada.)
o
ciclo
de
um
arco
trigonométrico
ao
lado,
um
arco
o
AP
de
medida
a
do
1
qua-
ed
T
drante
e
a
reta
perpendicular
ao
eixo
das
abscissas
pelo
ponto A.
Prolongando
o
91
P
ed
segmento O P , obtemos na reta vertical o ponto T , conforme mostra a figura ao lado.
016.9
1
Lembrando
que
o
ciclo
tem
raio
unitário,
no
triângulo
T ,
temos:
ieL
A
e laneP
AT
AT
tg
AT OA
ogidóC od
Note
que,
nesse
caso,
a
tangente
de
1
a
corresponde
à
ordenada
do
ponto
T
481
o
Essa
.trA
Vamos
conclusão,
definir
obtida
tangente
a
partir
para
de
um
qualquer
arco
arco
do
do
1
quadrante,
ciclo
pode
ser
ampliada.
trigonométrico.
.adibiorp
Se
achar
alunos
necessário,
que,
em
um
retome
triân
ulo
com
retân
os
ulo,
temos:
oãçudorpeR
medida
Considere
um
P
arco
do
ciclo
trigonométrico,
de
medida
a
rad,
com
tg
a
medida
π 0
<
a
<
2π
do
cat et o
cat et o
opos to
a
adjacente
a
a
a
3π
e
i
a
i
2
reta
do
5
OP
com
a
2
perpendicular
ao
eixo
das
abscissas,
passando
pelo
ponto
.
eixo das
tangentes
T
P
tg
Ref lita
1
Vimos
A
O
v
que,
ponda:
de
a
é
a
ordenada
do
ponto
considerar
Observe,
do
mesma
a
portanto,
quadrante
ao
reta
AT
unidade
qual
que
o
a
do
o
eixo
eixo
tangente
arco
das
dos
tangentes,
com
origem
A
e
o
a
<
1
1
<
cos
a
<
1
também
é
válido
para
a?
ser
não
há
que
ela
que
os
limitação
alunos
para
tg
concluam
a
que
umavez
mesmo pode
assumir
qualquer
valorreal.
senos.
pode
sen
:SEÕÇARTSULI
a
rv
<
positiva
ou
negativa,
NOSLIDA
e
in
1
isso
Espera-se
Vamos
n
a
T
tg
sentido
i
valor
n
OCCES
tangente
qualquer
n
n
A
para
r
dependendo
pertence.
17
eixo das
Exemplo
tangentes
Considere
um
AP
arco
de
medida
a
do
Ref lita
P o
2
Para
arcos
de
quais
quadrantes
quadrante.
to tangente
é
positiva?
E
para
OP
com
é
o
prolongamento
eixo
das
tangentes
do
é
o
segmen-
ponto T ,
A
quais
conforme ela
O
a
mostra
a
figura
ao
lado.
Note
que,
negativa?
O
nesse positiva:
1
e
3
caso,
tg
a
é
negativa.
quadrantes;
g negativa:
2
e
4
quadrantes
T
Obser vação
Observe
ulos Dois
triângulos
são
a
T
e
figura
COP P
ao
são
lado.
Note
que
semelhantes.
os
triân-
eixo das
tangentes
Então:
semelhantes
P
quando
seus
ân
ulos
S
correspon-
AT dentes
têm
mesma
medida
CP
AT
OS 5
e
OA
1
OC
seus
lados
correspondentes
são
A
proporcionais.
Assim, concluímos que, no ciclo trigonométri-
co,
também
vale
a
seguinte
C
relação: tg
sen a
5
T
cos
a .8991 ed orierevef
Obser vação
ed 91
que
a
relação
tg
x
é
com
o
fato
de
a
tangente
não
estar
definida
x
3π
5
x
5
2
ieL
x
coerente
016.9
cos
π
ed
sen Note
2
e
zero,
o
que
é
laneP
denominador
impossível.
ogidóC od 481 .trA
Escrever
em
ordem
crescente
3
as
tangentes
11
dos
arcos
a
oãçudorpeR
R7.
.adibiorp
Exe rc íc ios resolv id os
seguir.
15 e
5
4
10
8
Resolução
Inicialmente,
em
π
seguida,
5
vamos
converter
representá-las
no
essas
ciclo
medidas
em
rau
e,
trigonométrico.
180° eixo
Ref lita
180
3π
π
4
5
das
tangentes
36°
5
e
5
determine:
3
3π
0
180°
5
5
135° A
π
4
π
4
0
O
15π
11π
π
0
11
1 1π
1
° 8
5
5
10
5
ES
180°
15 5
3 3 7, 5 °
8
Observando
3 tg
o
das
15 tg
4
eixo
tangentes,
crescente:
11 tg
8
,
10
tg 5
escrevemos
as
tangentes
:SEÕÇARTSULI
ordem
NOSLIDA
8
18
10
10
1 5π
em
198°
R8.
Obter
a
tangente
de
150°
e
de
210°.
Resolução
Vamos
trico.
deter minar
Primeiro,
esses
valores
marcamos
no
por
ciclo
simetria
no
ciclo
trigonométrico
os
trigonomé-
arcos,
seus
o
correspondentes
intersectarem
o
no
1
eixo
quadrante
das
e
os
prolongamentos
dos
raios,
até
tangentes.
eixo
das
tangentes
30°
210°
Depois,
observamos
.8991
que:
Obser vação
ed orierevef
Como
conhecemos
o
valor
da
tangente
de
30°,
concluímos
que:
Vamos
tg
150°
5
2tg
30°
relembrar
tangente
3
dos
os
valores
ângulos
da
notáveis:
5
ed
3
91 ed
π 30°
π
ou
45°
π
ou
60°
ou
016.9
3 6
tg
210°
5
tg
30°
4
3
= 3
ieL
3
e
Podemos
aplicar
raciocínio
similar
para
arcos
de
outros
1
tg
quadrantes.
laneP
3
og idóC od 481 .trA
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
.adibiorp oãçudorpeR
22.
Indique
a)
o
(tg
40°
2
tg
sinal
tg
das
expressões:
220°)
4π
(tg
315°
24.
tg
165°)
negativo
Dado
tg
35°
0,7,
a
tg
145°
q 20,7
b)
tg
215°
q
c)
tg
325°
q 20,7
registre
o
valor
aproximado
de:
0,7
5π tg
6
4
b)
positivo
2
25.
23.
Descubra os valores aproximados de tg
sabendo
ue
os
ontos
de
mesma
cor
a, tg b e tg t,
são
Desenhe
e
em
marque
seu
sobre
cader no
ele
um
ângulos
ciclo
de
trigonométrico
medidas
Espera-se
simétri-
com
0°
,
a
,
concluam
cos
em
relação
à
origem
O.
(Dados:
tg
20°
q
Verifique
se
tg
2a
5
2
tg
não
a
Ver
tg
42°
q
0,90
e
tg80°
que
a
os
e
2a,
alunos
45°.
é
que
a
igualdade
verdadeira.
resolução
no
Guia
do
q5,67) professor.
tg
a
tg
b
q
q
0,90
26.
eixo tg
t
q
Considerando
cos
a
q
0,84
e
sen
a
q
0,55,
res-
20,36
das
ponda
às
questões.
5,67
t
tangentes
a)
42°
Sem
efetuar
valores
tg
160°
b)
a
é
maior
Deter mine
pare-o
O
c)
Em
d)
e)
1
(2π
2
1.
menor
aproximado
resposta
quadrante
do
se
item
de
o
valor
que
tg
a
1
e
anterior.
encontra
o
arco
os
de
com-
q
de
0,65
me-
quadrante
Deter mine
tg
a
que
se
o
a).
Determine
sinal
de
negativo;
os
tg
(π
positivo;
valores
2
a),
tg
(π
1
a)
e
negativo
aproximados
de
tg
(π
2
a),
260°
tg
(π 1
a)
e
tg
(2π
2
a).
q 20,65;
q 0,65;
q 20,65
19
:SEÕÇARTSULI
a
?
menor
valor
analisando
verifique
NOSLIDA
dida
b
com
qual
ou
o
apenas
acima,
OCCES
A
cálculos,
dados
3.3
Relação
Observe
m
o
i
ciclo
a
ra
fundamental
trigonométrico
;
ogo,
ao
da
lado.
Trigonometria
O
ponto P
P
a
é
e
extremidade
sen
a.
do
arco
Os
AP
triân
P
OCCES
nes
gu
a
NOSLID
cos
O
OC
Aplicando
a
1
oCOP P
relação
o
5
cos
teorema
fundamental
a,
de
da
CP
5
sen
Pitágoras
a
e
ao
OP
5
1.
triângulo
retângulo
COP, P
obtemos
a
Trigonometria
a C
2
2
sen
a
1
cos
a
5
1
o
Vimos
verificar
que
se
essa
ela
relação
continua
é
válida
válida
para
para
um
arcos
arco
dos
do
1
quadrante.
demais
Agora,
vamos
quadrantes.
o
2
uadrante
2
π
2
a)
5
sen
a
V
2
sen
π
2
a)
5
sen
a
2
π
2
a)
5
2cos
a
V
2
Assim:
sen
2
cos
π
2
a
5
2
(π
2
a)
1
2cos
2
cos
(π
2
a)
5
sen
(π
1
a)
2
a
5
cos
a
2
a
1
cos
a
5
1
o
quadrante
3
2
π
1
1
a)
a)
5
5
2sen
2cos
a
a
V
V
2
Assim:
sen
2
sen
cos
(
1
a)
5
5
2
(π
1
a)
1
(
sen
(
cos
(π
1
a)
5
sen
5
a)
2
cos
2
a)
5
sen
cos
a
a
2
a
1
cos
a
5
1 .8991 ed
o
quadrante
4
π
2
a)
5
2sen
a
V
sen
2
(2π
2
a)
5
(
π
2
a)
5
cos
a
V
cos
(2π
2
a)
5
cos
2
sen
2π
a
então,
1
cos
que
a
a
2
2π
2
relação
a
é
5
2
sen
válida
a
1
para
cos
um
a
5
arco
1
de
qualquer
quadrante.
ieL
Verificamos,
2
a
2
016.9
Assim:
sen
ed
2
2
5
91
a)
ed
2
sen
orierevef
2
e
casos
em
que
P
2
0
1
cos
2
2
0
2
5
0
1
1
um
dos
eixos,
1
1
temos:
2
5
2
5
2
a
2
2
1
2
π
1
cos
2
π
3
2
5
1
5
1
1)
(
2
5
1
2
1
2
(
3
2
2
0
2
1
1)
1
2
481
pertence
ogidóC od
2
laneP
Nos
.trA
0
<
a
verificamos
<
2π,
a
que
relação
para
qualquer
fundamental
AP
arco
da
(
Trigonometria
é
5
a
rad,
com
válida.
.adibiorp
Assim,
oãçudorpeR
Exe rc íc ios resolv id os
o
R9.
Sabendo
que
sen
a
5
0,5
e
que
a
é
a
medida
de
R10.
Sabe-se
que
a
é
a
medida
de
um
arco
do
4
o
um
arco
do
quadrante,
2
obter
cos
a
drante
Resolução
Podemos
mental
obter
da
esse
valor
ela
relação
funda-
e
que
tg
a
22,4.
Calcular
sen
a
a
Resolução
tg
a
sen
cos
2,4
5
T rigonometria: sen
2
a
5
22,4
cos
a
2
sen
a
1
cos
a
5
1
Substituindo
na
T rigonometria, (0,5)
cos²
1
a
cos
5
a
5
relação
o
a
sen²
a
1
V
(
2
4
V
6,76
cos²
a
5
1
V
0,75
auxílio
q
da
1
2
Com
fundamental
obtemos:
de
uma
calculadora,
cos
obtemos:
a)
2
1
cos
a
2
cos
5
1
V
100
2
a
5
1
V
cos
a 5
V 676
60,87 5 cos
a
5
6 13
o
Como
o
arco
é
do
2
quadrante,
concluímos o
Como que
cos
a
é
o
arco
é
do
4
a
5
negativo. 13
1 Logo,
cos
a
q
20,87.
Como sen a 5 22,4
cos a, temos: sen a 5 13
20
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
5
27.
Deter mine
cos
x
sabendo
que
sen
x
4
o
5
e
29.
que
Se
a
é
um
arco
do
3
quadrante
e
tg
a
5
é
um
arco
do
1
de-
12
o
x
, 3
13
ter mine:
quadrante. 13
a)
sen
a
b)
0,8
cos
a
0,6
o
28.
Se
cos
x
5
0,8
e
x
é
um
arco
do
quadrante,
4
deter mine:
a)
4
sen
x
30.
b)
0,6
Equações
tg
x
Verifique
que
0,75
sen
se,
a
para
5
0,8
um
e
arco
cos
a
de
5
medida
0,4.
a,
é
possível
não
trigonométricas
Obser vação Toda
equação
em
desconhecida
é
que
aparecem
chamada
de
razões
equação
trigonométricas
com
arco
de
medida
trigonométrica
Equações
ou
do
tipo
3x
1
4
2
sen
cos
π
5
2
não são
Exemplos equações trigonométricas, pois
2
x
5
x
1
3
1
tg
x
3
5
0
medida de um arco. .8991
⎛
3
x
5
2
π
1
ed
⎝
4
2
orierevef
Obser vação
ed
Na
resolução
das
equações
trigonométricas
deste
capítulo,
vamos
considerar,
Nos
capítulos
91
para as incógnitas, valores reais que representam as medidas dos arcos, em radiano,
remos
no intervalo
negativa
com
2
e
arcos
3,
trabalha-
de
medida
ed 016.9
de
medida,
[0,
será
2π].
Quando
considerada
a
a
medida
medida
de
um
em
arco
ou
ângulo
estiversem
unidade
maior
radiano.
e
que
com
2π
arcos
de
medida
rad.
ieL e laneP og idóC od
Exe rc íc ios resolv id os
481 .trA .adibiorp
1 R11
Obter
os
valores
de
,
com
0
<
<
2π,
para
os
quais
sen
= 2
oãçudorpeR
sen
Resolução
1 No
ciclo
trigonométrico,
observamos
que,
para
sen
x
temos
5 2
dois
arcos:
6
6 1
π
o
quadrante,
temos:
x
5 2
6
π
π
o
2
x
5
π
2
π ogo,
x
5
2
π
5π
5
5
6
6
6
5π ou
5
6
6
3 R12.
Encontrar
o
conjunto
solução
da
equação
tg
2x
5
,
com
0
<
2x
<
2π
3
tg
Resolução
3 Com
tangente
igual
a
existem
dois
arcos:
3 3
6
3
o
6 0
π
1
π
7π
O
NOSLIDA
ES
6π
π
o
1 6
6
6 7π —– 6
π 2x
5
ou
x
6
5
V 6
ou
x
= 12
2
⎧ Portanto,
o
conjunto
solução
da
equação
:SEÕÇARTSULI
Assim:
7
é
S
⎫
⎨ ⎩
⎬ 12
12
⎭
21
2
R13.
Que
valores
de
x,
em
radiano,
satisfazem
à
equação
cos
x
1
1
5
sen
?
Resolução
2
Da
relação
fundamental
Substituindo
(I)
na
da
T rigonometria
equação
dada,
x
1
1
5
Colocando
Para
um
cos
5
2
V
sen
cos
x
em
produto
0
ou
Observando
os
1
evidência,
ser
cos
1
nulo,
5
5
5
1
cos
x
(I)
2
1
V
temos:
um
2
x
sen
obtemos:
2
cos
vem:
dos
(cos
x )
fatores
1
(cos
deve
x
ser
1
5
1)
nulo,
5
0
0
ou
seja:
21
ciclos
trigonométricos,
encontramos
os
valores
de
x
2
0
cos
1
3
.8991
2
x
0
]
x
3
— ou x
cos
2
os
1
]
x
2
valores
de
,
com
0
<
<
2π,
que
satisfazem
à
orierevef
Portanto,
x
ed
cos
equação
ed
2
91
são 2
ed 016.9
2
R14.
Deter minar
o
conjunto
solução
da
equação
sen
x
sen
x
2
5
0.
ieL e
sen
Resolução
laneP
2
sen
x
por
y,
obtemos:
y
2
5
0,
com
1
<
<
ogidóC od
Substituindo
1
o
Resolvendo
a
equação
4ac
2
grau,
6
1 8
5
5
2
(não
2
serve,
pois
1
<
y
.adibiorp
2a
y
6
5
.trA
5
obtemos:
481
b
y
do
2
<
1)
ou
y
5
21
oãçudorpeR
3π Logo,
sen
x
5
21.
Observando
o
ciclo
trigonométrico,
obtemos
x
5 2
1
3π Portanto,
no
intervalo
0
<
x
<
2π,
temos
S
5 2
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
31.
Deter mine
x
Ñ
o
[0,2π],
valor
nas
de
x,
em
radiano,
com
33.
Imagine
o
métrico
equações:
ciclo
mostrador 1 a)
cos
x
5
d)
3
2
de
um
sen
x
5
b)
sen
x
analógico,
3
com
teiro
ou
e)
3
2
2
centros
2
Se
o
9
pon-
3
2
5
1
11
10
1
coincidentes.
3
ao
relógio
ou
5
trigono-
sobreposto
sen
x
=
0
0
ou
π
ou
das
horas
aponta
4
8
2π
3
para
a
origem
do
ciclo
7
às
6 7
3
c)
tg
x
ou
5 21
15
h,
que
horas
Deter mine
x
<
2π,
possíveis
nas
valores
equações
a
de
x,
com
ponteiro
se
pondente
seguir.
esse
sobrepuser
a
um
ângulo
a
um
cujo
3 0
a)
sen
x
(sen
x
1
1)
=
ou
π
ou
2π
raio
seno
16
h
do
é
ou
ciclo
igual
20
h
ou
ou
0
2
Deter mine
x,
em
radiano,
sabendo
que
5
b
2
sen
x
cos
x
cos
x
5
0 π 6
2
6
2
cos
x
3
1
e
que
0
<
x
<
2π
2
c)
22
cos
x
2
cos
x
1
1
5
0
0
ou
2π
⎝
2
2
4
0,5?
h
ou
8
h
:SEÕÇARTSULI
34.
corres-
a
NOSLIDA
<
os
relógio
quando
OCCES
indicará
32.
o
4
4
Exercícios
complem ent a res Registre as respostas em seu caderno
9.
Deter mine
a
medida,
em
grau
e
em
radiano,
dos
ân-
Aplicação gulos
1
Em
uma
um
arco
π
circunferência
de
5 3,14,
15,7
m
de
de
deter mine
a
8
m
de
diâmetro,
comprimento.
medida
do
indicados
representado
toma-se
por
P,
Q,
R
e
no
ciclo
trigonométrico
abaixo.
Considerando
ângulo
correspon
dente
a
esse
arco,
em
grau.
P
P
Q(144°)
225°
5
rad, 5
R
2.
Qual
é
o
valor
aproximado
do
raio
de
um
arco
5
216°
rad,
ou 5
de
9
circunferência
que
mede
300°
e
tem
S 5
comprimento
324°
rad,
ou 5
de200m?
q
38,22
m
4
R
Q
S
d
5
rad 9
3.
Calcule
Um
a
medida,
ângulo
raio
em
central
deter mina
radiano,
de
uma
sobre
ela
de
um
ângulo
circunferência
um
arco
de
7
de
cm.
de140°.
5
cm
de
Calcule
10.
Calcule
desse
ângulo
em
radiano.
1,4
valor
de:
5
a a)
medida
o
sen
cos 3
rad
4
2
7 b)
cos
3
tg 3
6
6
Exe rc íc io resolv id o o
11.
Se
t
é
a
medida
de
um
arco
do
3
quadrante,
.8991
6 R15.
Qual
é
a
medida
do
menor
ângulo
for mado
radiano,
e
sen
5 2
,
quanto
vale
t
t
ed
5
6
orierevef
pelos
ponteiros
de
um
reló
io
às
11
h
45
em
5
min?
o
12.
ed
Resolução
Dado
sen
a
deter mine
5
o
0,8,
que
sendo
se
a
pede
um
em
arco
cada
do
1
quadrante,
item.
91 ed
Na
figura
ao
016.9
a)
sen
(π
2
a
b)
sen
(π
1
a)
c)
sen
(2
0,8
lado,
a
rvamos
que
ieL
procurado
(a
60°).
ân-
mede
60°
2
0,8
a)
0,8
e
gulo
o
laneP
1
1 13.
Que
arcos,
entre
0
e
2 π,
têm
cosseno
igual
a
?
ogidóC od
2
Esboce
481
esses
o
ciclo
trigonométrico
.trA
cada
intervalo
de
60
min,
o
ponteiro
seu
caderno
e
mostre
e 3
3
A
em
4π
2π
arcos.
das 3
.adibiorp
horas
percorre
14.
30°.
Resolva
a
equação
cos
,
em
que
x
Ñ
[0,2π]
4
Por
regra
de
três,
calculamos
⎧
a e
é
medido
em
radiano.
S
oãçudorpeR
60
min
45
min
15.
Calcule
a
soma
das
raízes
5π ,
⎨ ⎩
30°
π
11π
6
6
⎫
,
6
da
7π
6
⎬ ⎭
equação
2
2 30°
cos
x
1
cos
x
1
0,
em
que
x
Ñ
[0,
2π]
e
é
60 a
5
22,5° medido
em
radiano.
3π
im
1
°
5
22,5°
Portanto,
a
1
°
medida
5
do
82,5°
5
menor
2°
’
Aprofund amento
ângulo
é
16.
82°30’.
5.
Qual
é
a
ponteiros
medida
de
um
do
menor
relógio
às
2
ângulo
h
20
for mado
min?
Considere
a
Qual
é
b)
Qual
c)
Agora,
é
a
o
o
valor
valor
Qual
é
a
ponteiros
medida
de
um
do
menor
relógio
às
ângulo
16
h
15
y
5
mínimo
mínimo
1
1
para
para
2
sen
sen
2
x ?
sen
a)
1;
1
b)
2;
2
x
E
x ?
o
E
máximo?
o
máximo?
pelos conclua:
quais
são
os
valores
mínimo
e
50°
máximo
6.
expressão
for mado
min?
ara
y ?
1;
3
pelos
37°30’
Desaf io
7.
Considerando
OCCES
a)
sen
148°
b)
sen
212°
sen
32°
5
0,53,
calcule
o
valor
de:
17.
Seja
0
0,53
a)
0,53
<
x
x
a
<
medida
Quais
são
os
NOSLIDA
sen
328°
0,53
cos
x
5
2
:SEÕÇARTSULI
Escreva
a
em
or
em
ecrescente
as
tangentes
os
arcos
b)
Agora,
quais
seguir.
ção 12
6
em
radiano,
com
os
cos
x que
satisfazem
a
equação
4
3
3
o
ciclo
valores
7
12
arco,
ou
?
observe
são
de
2
2
8.
um
valores
1 c)
de
2π
<
trigonométrico
de
que
e
responda:
satisfazem
2π
4π
3
3
a
inequa-
? 2
7 tg
, 6
tg
, 12
tg
, 12
tg 12
23
Registre as respostas em seu caderno
Autoavaliação
1.
Em
uma
arco
de
circun
120°
comprimen
erência
tem
o.
com
12
cm
de
raio,
aproximadamente
alternativa
um
cm
5.
Qual
das
número
de
seguintes
positivo?
expressões
alternativa
resulta
em
um
d
d
a)
sen
b)
tg
210°
1
cos
150°
20
b)
22
c)
24
d
150°
c)
cos
d)
sen
O
seno
tg
270°
240°
225°
sen
125°
cos
110°
2
1 3 6.
e
o
cosseno
de
são,
respectivamente,
7
2.
A
medida
210°
é
equivalente
a
iguais
rad.
alternativa
a:
c
alternativa
π
5
a
c
π
sen
e
cos
a) 7
7
6
π 2
b)
π
sen
e
cos
b) 7
7
6
7
π
π
7
7
c)
c) 6
π 2
d)
π
sen
e
cos
d) 7
7
Um arco de
rad pertence ao
O
seno
e
é
igual
a
cos
e
sen
b
5
1
5
a)
c) 3
o
2
c)
3
;
6
6
3
ed
b)
orierevef
alternativa
o
a
ed
alternativa
12
a)
.
quadrante.
.8991
7.
1 1π 3.
11
91
2 o
b)
;
;
d) 6
3
ed
3
6
016.9
o
d)
4
Se
sen
a
5
20,6
e
é
medida
de
um
arco
do
ieL
8.
e
4.
Os
arcos
simétricos
de
laneP
o
2 r ad
4
respectivamente
quadrante,
então
tg
é
igual
a:
alternativa
a
9
e
y
à
origem
O,
medem:
alternativa
a)
0,75
b)
0,6
c)
1,33...
b
d)
0,75
1
.trA
1 6
e
481
x
od
a)
xos
og idóC
aos
5
9
9
9
alternativa
a) c)
1 1
9
11 rad
b) 9
rad 2
d) 9
c)
3
1 6
d
rad
oãçudorpeR
7
.adibiorp
b)
d)
4
rad 6
Retomad a de conceitos
Se
você
Releia
não
a
acertou
teoria
e
alguma
refaça
os
questão,
exercícios
consulte
a
tabela
e
verifique
o
que
precisa
Número
Objetivos
Calcular
arco,
o
em
grau
Conhecer
do
comprimento
o
e
em
ciclo
capítulo
e
a
1
medida
de
estudar
novamente.
correspondentes.
2
da
questão
3
4
5
6
7
X
X
X
X
X
X
X
X
8
9
um
radiano.
trigonométrico
e
os
arcos
simétricos.
ângulos
maiores
Estender
a
que
relação
90°.
fundamental
da X
Trigonometria
Resolver
Páginas
24
para
equações
do
livro
o
ciclo
trigonométrico.
trigonométricas.
referentes
ao
conceito
X
9
a
11
9
a
11
12
e
13
12
e
13
12
a
19
12
a
19
12
a
19
20
e
21
21
e
22
l
o
t
u
í p
C
a
2
Funções trigonométricas
SEGA MI YTTEG/GIU/SEGAMI
no
litoral
da
Inglaterra,
trigonométricas com
enômenos peri
POOL
Falésia
2014.
Estender
conceito
o
de
ciclo
trigonométrico Para
na
1
Funções
periódicas
explorar
seção
melhor
Pesquisa
propomos
um
apresentação
e
os
ação,
trabalho
sobre
fenômenos
de
esse
e
R
periódicos,
página45,
pesquisa
dicos.
Construir
e
analisar
e
gráficos
tema.
de
funções
trigonométricas. Muitos
periódico
ser
fenômenos
(isto
é,
modelados
capazes
de
decorrer
que
naturais,
se
repetem
por funções
representar,
de
um
de
intervalo
físicos
e
a
determinado
cada
sociais
trigonométricas.
modo
de
têm
Isso
aproximado,
as
comportamento
período
significa
de
que
oscilações
cíclico,
tempo),
essas
desses
e
ou
podem
funções
são
fenômenos
no
tempo.
A maré — movimento de descida e de subida do nível das á
uas— é um exemplo Ref lita
de
fenômeno
na
Terra.
periódico
devido
àfor
a
ravitacional
exercida
pela
Lua
e
pelo
Sol
Imagine
Acompanhe
a
situa
ão
a
se
visto
Em
uma
cidade
litorânea,
em
o
ciclo
determinada
época
do
ano,
a
maré
baixa
no
capítulo
por
volta
das
12
h
e
das
24
h,
e
a
maré
alta
ocorre
às
6
h
e
às
18
h.
A
anterior.
acon-
a
Considerando
tece
trigonométrico
uir.
a
1
volta,
função responda:
trigonométrica
a
seguir
modela,
de
modo
aproximado,
a
altura
h
da
maré
(em
metro)
nessa
estudo
π
⎛ h(t)
5
2
1
t
0,5
⎞ 1
6
o
?
trigonométricas,
tempo
(t )
é
medido
em
hora
a
partir
da
os
alunos
é
essencial
ocorre?
1;
ara
5
0
e
=
2π
relembrem
⎠ o
que
dasfunções
π que
⎝
em
época:
meia-noite.
ciclo
trigonométrico
reflitam
máximo
e
do
sobre
e
os
mínimo
cosseno.
e
valores
do
seno
x?
x
1;
para
x
5
π
Observe
mostra
o
que
essa
gráfico
a
função
descreve
o
comportamento
periódico
da
maré,
como
seguir.
2,5 ortem( arutla
1,5
0
6
12
18
tempo
Note
que
Também
o
gráfico
possível
lei
“se
da
função,
exemplo,
às
0
repete”
concluir
Pela
Por
é
h
às
6
5
2
1
0,5
cos
h,
⎛ h(0)
cos
h(0)
5
2
1
0,5
(
h(0)
5
1,5
a
altura
da
maré.
podemos
verificar
algebricamente
⎞
π 0
essas
conclusões.
1
⎛
π
h(6)
5
2
1
0,5
cos
⎠
⎞
π 6
1
⎝
(π)
1)
h(6)
5
2
1
0,5
cos
h(6)
5
2
1
0,5
1
h(6)
5
2,5
π ⎠
(2π)
ed
0,5
como
orierevef
1
assim
ed
2
horas,
.8991
5
12
temos:
⎝
h(0)
cada
que:
também
e
a
24
(hora)
91 ed
Além do nível das marés, muitos outros fenômenos apresentam comportamento
como
variações
som
temperatura
terrestre
e
da
pressão
sanguínea,
estudaremos
as
funções
trigonométricas
seno,
cosseno
e
laneP
capítulo,
da
etc.
e
Neste
as
do
ieL
apropagação
016.9
periódico,
tan-
ogidóC
gente — exemplos típicos de funções periódicas —, as quais surgem com frequência
modelagem
o
caso
das
matemática
de
fenômenos
que
apresentam
periodicidade,
como
481
é
od
na
marés.
.trA
à
situação
responda:
função
a
o
período
altura
das
é
marés
da
é
12.
se
da
que
isso
Uma
função
número
significa
repete
a
real
f
R
&
R
positivo
é
p
chamada
tal
que,
de
para
função
todo
x
Ñ
periódica
R
f(x) f(
5
f(x f(
quando
1
existe
um
p).
que
cada
O 12
periódica
Isso
maré
O
função
e
período
apresentada?
O
qual
de
oãçudorpeR
Volte
Def inição
.adibiorp
Ref lita
menor
valor
positivo
de
p
que
satisfaz
a
igualdade
acima
é
chamado
de
horas.
período
de
f
Exe rc íc io resolv id o
y
R1.
No
foi
plano
cartesiano
traçado
o
gráfico
ao
lado
da
fung
ção
o
periódica
gráfico,
g.
Analisando
identificar
o
perío-
–3
do
0
3
função.
Resolução
OCCE
dessa
Analisando
2)
5
alguns
pontos
do
g(0)
gráfico,
5
podemos
verificar
g(2)
5
que:
0
NOSL
g(
A
como
g(x )5
g(x
Portanto,
26
a
função
g
é
periódica,
podemos
2).
o
período
dessa
função
é
2.
observar
que
:SEÕÇARTSULI
Logo,
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
1.
Em
cada
função
a)
p
plano
cartesiano
periódica.
Qualé
a
o
seguir
período
está
de
y
5
representada
cada
b)
p
uma
graficamente
dessas
uma
funções?
x
y
5
c)
p
5
1 2 2
2
0 10
3
1
1
x
3
x 8
1,5
2.
Observe
máximo
2
Já
os
gráficos
de
cada
Ciclo
vimos
.8991
cartes
ano.
que
O
o
da
uma
questão
das
anterior.
funções?
a)
Qual
mínimo:
b)
mínimo:
c)
mínimo:
0;
é
o
valor
máximo:
1;
8;
não
mínimo
e
o
0
1,5
ed
é
valor
tem
máximo:
máximo
12
trigonométrico
ciclo
ponto
trigonométrico
A(1,
0)
é
a
tem
origem
de
raio
1
todos
e
centro
os
arcos
na
origem
(ângulos),
e
do
a
sistema
Obser vação
circunfe-
orientada
com
sentido
positivo
relembrar
orierevef ed
co
capítulo
(arcos
91
infinitas
com
anterior,
medidas
voltas,
estudamos
entre
associando
0
e
apenas
2π).
números
A
algumas
anti-horário. medidas
No
y
4,5
2
Vamos
rência
3,0
a
primeira
seguir,
reais
aos
vamos
pontos
volta
do
ampliar
do
ciclo
ciclo
esse
trigonométri-
estudo
para
trigonométrico.
positivas
do
ciclo
trigonométrico:
as
Isso
ed
π
016.9
possibilitará,
mais
adiante,
o
estudo
das
funções
trigonométricas.
+
2
ieL e laneP
2.1
A
função
de
Euler
ogidóC od
π
A
O
Vamos
481
pon
o
P
definir
a
localizado
função
na
E:
R
&
;
que
circunferência
;,
associa
a
conforme
cada
número
ilustrado
a
real
um
0
2π
único
seguir.
.trA .adibiorp
3π
y 2
oãçudorpeR
t …
P
=
Não
confunda:
O(0,
0)
é
a
origem
E(t ) 1
do
sistema
car tesiano,
e
A(1,
0)
é
a
A(1,
origem
do
ciclo
trigonométrico.
0)
O
x
–1
…
t
t
e
5
.
0,
0,
então
t
,
0,
nele
a
o
função
imaginar
;,
de
positivo
é
P, P
no
,
a
“reta
no
—
de
função
que
o
o
de
enrolada”
A
do
Euler
da
horário
do
de
arco
o
coincidentes
(positivo),
AP P A
de
de
a
partir
de A
comprimento
(negativo),
suíço
a
partir
de
comprimento
Leonhard
t
Euler
,
e
t
(1707 -
Euler
consiste
reta
seja
são
arco
matemático
função
zero
e
anti-horário
sentido
extremidade
chamada
que
sentido
P
extremidade
ciclo
criador
modo
da
o
ponto
seu
ciclo
pontos
em
coincida
sentido
“enrolar”
com
o
a
reta R
ponto A(1,
sobre
0)
e
a
:SEÕÇARTSUL
sentido
o
ponto
os
A
Podemos
o
seja,
NOSL
essa
circunferência
o
nele
referência
—,
ou
OCCES
-1783)
A,
percorremos
marcamos
Em
z
percorremos
marcamos
P
que
anti-horário.
A função de Euler é periódica, de período 2π, ou seja: E(t) 5 E(t
2kπ k ), com k Ñ Z
27
Exemplo
π No
ciclo
trigonométrico,
as
imagens
dos
números
reais
3π
0,
π
π podem
e
Obser vação 4
ser Lembre -se
de
que
no
representadas
comprimento
é
numericamente
medida
de
angular,
um
assim:
ponto
A
ponto
B
pon
C
y
arco
igual
em
2
ciclo
0
o
2
à
sua
π
radiano.
B
4
π
o
A
C
x
3π ponto
D
ponto
E
π
2
Note
ue:
3π imagens
dos
π
números
e
coincidem
(E
F).
2
.8991
Arcos
que
têm
a
mesma
Por
extremi
exemplo,
a
e
no
cic
percorrendo
o
trigonométrico
60°,
300°,
420°
são
e
c
660°,
ama
os
e
obtemos
o
ed
côngruos.
orierevef
Arcos
arcos
côngruos
ed
2.2
91
ponto
P, P
conforme
mostram
as
figuras
a
ed
mesmo
seguir.
016.9
de
60°
Arco
de
ieL
Arco
300°
e
y
laneP
y
P
P
ogidóC od 481
A
A
.trA
O
x
x
.adibiorp
O
oãçudorpeR
Arco
de
420°
Arco
y
de
660°
y
P
P
A
A
O
O
x
Por isso, dizemos que esses arcos são côn
60°
Note
OCCES
arcos
uma
que,
tanto
associados
expressão
NOSL
expressão
geral
a
no
um
sentido
mesmo
geral para
é:
60°
m
1
k
2300°
do
representar
360°,
com
k
ruos. Indicamos essa con
m
positivo
ponto
x
420°
m
quanto
ciclo
esses
Ñ
ruência assim:
2660°
no
negativo,
trigonométrico.
infinitos
arcos.
existem
É
infinitos
possível
Nesse
escrever
exemplo,
uma
Z
A :SEÕÇARTSULI
Para
ponto
t
6
4π,
com
28
arcos
P
é
a
...,
Z.
trigonométricos
imagem
ou
seja,
Essa
é
a
de
certo
medidos
número t t,
genericamente,
expressão
eral
é
a
de
em
radiano,
também
é
imagem
de
todos
os
a
pela
função
imagem
todos
arcos
côn
os
dos
de
Euler,
números
números t
ruos
de
se
t 6
um
2π
1
extremidade
π
Exe rc íc ios resolv id os
R2.
Marcar
no
ciclo
trigonométrico
as
imagens
y
dos
números:
17
5
8π
3
3
a) 3
17π b) 60°
3
x
60°
Resolução
a)
Observamos
8π
2π
que:
6π
5
2π
1
3
5
3
3
3
8π Ou
seja,
para
,
obter
percorremos
uma
2π volta
completa
mais
um
arco
de
.
a
Então, R3.
Usando
a
medida
da
1
volta
positiva,
escrever
3
a 2π basta
8π
percorrer
,
pois
expressão
geral
dos
arcos
côngruos
a:
2π m
3
3
4 1π a) 6
y
1.105°
.8991
3
3
Resolução
a)
Observamos
ed
orierevef
60°
4 1π
5π
3 6π
ed
5
91
60°
5π
1
6
x
ue:
5
6
1 3
6
2π
6
ed 016.9
Ou
4 1π
5π
6
6
seja,
ieL
a
e
na
1
laneP
Logo,
a
expressão
pedida
é:
ogidóC od
5π 1
8
2π,
com
Ñ
Z
6 b)
Observamos
que:
481 .trA
17π
5π
1 2π
3
3
b)
5 2
.adibiorp
3
Dividindo
1.105°
número
voltas
por
5π
de
completas
4
2
5 2
o
circunferência:
2π
25°
17π a,
para
360°
1.105°
3
obter
,
3
percorremos
OCCES
oãçudorpeR
3
se
descobrimos
na
5π
5 2
Ou
360°,
5
3
no
sentido
negativo
duas
voltas
1.105°
comple-
5π tas
mais
um
ar co
de
.
Então,
5
seja,
3
360°
1.105°
1
é
25°
côngruo
ao
arco
de
25°
NOSL DA
Ou
na
basta a
volta
Logo, 5π percorrer
a
expressão
pedida
é:
5π
17π ,
positiva.
:SEÕÇARTSUL
1
3
m
pois
3
25°
3
3
1
k
360°,
com
k
Ñ
Z
3.
2
4
y
3
15
3 4
4
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
45°
Desenhe
um
ciclo
tri
onométrico
e
marque
a
ima
em
de
cada
A
30°
O
número
x
ix
47
– —
2
4 c)
3
d)
6
4
6
f )
e)
3
6
47
OCCES
b) 4
1 5
6
NOSL
a
4.
Usando
a
medida
da
1
volta
positiva,
escreva
uma
expressão
geral
dos 4.
côngruos
a)
60°
1
k
360°,
k
Ñ
Z
DA
arcos
a: 1
b)
π 60°
b)
385°
Z
6
2 5π c)
6
Ñ
d) 7
c)
25°
1
k
360°,
k
Ñ
Z
11 d)
Z 7
29
3
A
Seja
P
número
a
função
extremidade
real
x,
seno
de
conforme
um
arco
definido
no
na
ciclo
Considerando a projeção ortogonal de P
é
o
seno
do
arco
de
medida
trigonométrico
função
de
correspondente
ao
Euler.
no eixo vertical, a ordenada do ponto P
x
P
x sen
x
A
O
Ref lita
Em
quais
seno
é
quadrantes
positiva?
Positiva
negativa
no
1
no
e
3
E
no
e
a
função
negativa?
2
no
4
A
função
número
construir
o
tabela
função
ou
seja,
gráfico
de
f
R
f(x)
dessa
valores
&
5
R
sen
que
função,
para x.
associa
cada
número
real
x
ao
x
dada
por
Inicialmente,
f( ( x)
5
sen
x,
consideramos
com
base
alguns
nos
valores
a
1
volta,
para
os
quais
o
seno
já
é
conhecido:
orierevef
uma
a
x, x
ed
de
é
sen
.8991
Vamos
dados
seno
real
ed 91
3
4
2
4
5
3
7
4
2
4
π
016.9
0
ed
x
2π
ieL e
x
2
0
2
1
2
0
0
1
2
2
2
og idóC
2
laneP
2 sen
od
alguns
valores
de
x
π
ou
menores
que
zero,
481
Para
temos:
Obser vação
.trA
8
4
4
9
4
11
3
2
4
4
2
4
oãçudorpeR
5
.adibiorp
9
4
4 2 sen
Logo:
sen
2
x
2
2
1
2
5 sen 4
2
2
2
4
7
4
4
4
Observe que, para valores de
maiores que 2π ou menores que zero, o seno de
a
me
π
valores
do
seno
de
arcos
da
1
volta.
Assim,
a
função
seno
é
periódica,
π 5 sen
Logo:
os
4
pois,
para
todo
Ñ
R,
temos:
4
sen
x
Por
isso,
5
Assim,
sen
o
a
( (x
1
curva
gráfico
2π)
5
sen
obtida
da
( (x
no
função
1
4π)
5
intervalo
seno
se
...
[0,
5
sen
2π]
estende
( (x
1
repete
por
2kπ k ),
se
todo
com
para
o
x
k
.
eixo x
e
Ñ
2π
Z
e
tem
x
o
,
0.
seguinte
formato:
sen
x
1
– — OCCES
3π – –— 4
π – — 2
π – —
2
5π
3π
7π
4
2
4
4
NOSL
0
π
π
3π
π
2π
4 A :SEÕÇARTSUL
–1 2
2
30
p
=
2π
x
9π
4
Carac terís tica s
Por
definição,
Pelo
seu
o
função
domínio
gráfico,
da
e
chamado
o
seno
Obser vação
contradomínio
de
π
senoide,
(a
curva
da
função
observamos
se
repete
a
seno
ainda
cada
são
que
a
intervalo
iguais
a R
função
de
Veja
seno:
na
figura:
ordenada
mínima
2π
amplitude
conjunto
imagem
amplitude
pontos
do
é
Im
5
(metade
gráfico)
[
da
x
estão
a
interval o
[
diferença
igual
no
entre
as
ordenadas
máxima
e
mínima
DA
dos
NOSL
OCCES
1.
Exe rc íc ios resolv id os
R4.
Deter minar
existe
a
os
valores
igualdade
reais
sen
de
para
3
os
quais
c)
2.
De
acordo
primeira
com
vez
a
função
que
a
dada,
quando
população
de
foi
zebras
a
foi
mínima?
Resolução
d)
f (x )
5
De
quanto
zebras variam
no
intervalo
1,
1
em
quanto
tempo
a
população
de
senx se
repete?
.
im: .8991
1
sen
x
ed
substituindo
orierevef
sen
<
3m
Resolução
a)
Em
1
2
<
x
por
3m
2
do
janeiro
t
por
de
16
2016,
na
temos
equação
t
5
dada,
ed
π
91 ed
todos
016.9
<
3m
<
Substituin-
obtemos:
1
adicionando
1
16.
os
2
Z (16)
em
5 850
400
16
sen
membros
Z (16)
3
ieL
dividindo
5
850
1
400
sen
(4π)
todos
Z (16)
e
os
1
membros
por
5
850
1
400
0
5
850
3
laneP
1 <
m
<
Logo,
1
em
janeiro
de
2016
havia
850
zebras.
3
ogidóC od
t Então
m
assume
valores
em
R
tais
b)
que
A
população
mínima
ocorre
quando
sen 4
481
1 1
atinge
seu
valor
mínimo,
ou
seja,
quando
.trA
3
.adibiorp
5
sen R5.
Em
um
sistema
predadores
e
de
predador -presa,
presas
tende
a
o
número
variar
de
oãçudorpeR
com
o
tempo.
Considere
que
em
e
zebras
região,
são
as
onde
leões
presas,
a
são
os
variado
de
acordo
população
com
a
esse
valor,
temos:
5
850
a
1
400
(
população
1)
5 450
mínima
foi
de
450
zebras.
predadores
de
zebras
a
c)
tenha
para
deLogo,
ter minada
Então,
periodiZ (t )
camente
21.
4
função
dada
Na
1
volta
do
ciclo
tr ig on o métrico,
sen
x
por: 3 atinge
πt Z (
)
5
850
1
400
seu
valor
mínimo
1)
para
x 2
sen 4 Então,
em
que
janeiro
o
tempo t
de
2000
(t
é
medido,
5
em
ano,
a
partir
a
função
dada
será
mínima
para:
de
π
0).
3
3
V
SEGAMI YTTEG/DLE
valor
a
população
mínimo,
janeiro
FEKARB
A
de
função
pela
2000,
seno
t
5
6
de
zebras
primeira
ou
seja,
vez,
em
MOT
tem
período
5
V
atingiu
6
anos
janeiro
2 π.
de
seu
após
2006.
Assim:
t
πt 5
2π
V
2
t
5
8
4
4
Logo,
8
V
2
Portanto,
d)
4
t
4
a
população
de
zebras
se
repete
de
8em
anos.
a)
850
1
ogo,
400
a
1
1.250
população
máxima
foi
de
Ref lita 1.250
a)
Quantas
b)
Qual
zebras
havia
em
janeiro
de
a) foi
a
população
mínima
de
zebras
nessa
ras.
atin-
b) gida
z
2016?
região? π
π 5
4
Logo,
V
t
5
2
2
a
primeira
população
vez
em
máxima
foi
atingida
pela
2002.
31
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
5.
No
Calcule:
exercício
mostramos
resolvido
como
R8
utilizar
Em
sen
grupo,
questões
3.465°
software
de
construção
analisem
os
gráficos
e
respondam
às
um
2
a)
a
seguir.
de
2 gráficos
para
traçar
o
gráfico
de
a)
Por
que
o
aluno
que
fez
o
gráfico
com
o
13 b)
sen
c)
sen
uma
função
trigonométrica.
re 2
4
9.
a)
Porque
no
gráfico
computador
4.230°
os
irracionais
10π
período
da
função
igual
no
a
software
6,28,
e
o
aluno
que
fez
à
mão
encontrou
2 π?
racionais
⎠
3
números
para
b)
Qual
é
c)
Quais
a
amplitude
dessa
função?
1
números
3
sen ⎝
feito
o
1 aproximou
d)
o
encontrou
com
duas
casas
são
o
domínio
e
o
conjunto
imagem
da
2 decimais.
Assim,
2s
foi
função representado
por
f
?
D (
)
5
R;
Im(
)
5
[0,
2]
6,28
2
e)
sen
3.465°) (2s
d)
76,28).
Compa
e o gráfico dessa função,
f (x ) 5 1 1 sen x, x
2 9.
13π
⎛
⎞
d)
2
Espera-se
que
concluam
que
os
o
alunos
gráfico
com
de
o
pode
g)
sen
⎠
4
(
2
4.230°)
1
é
o
gráfico
1
unidade
o
conjunto
funções
10 h)
No
3
de
g
para
é
g(x )
5
sen
x.
O
que
cima.
o
Assim,
das
duas
10.
mesmo.
entanto,
o
período,
amplitude
e
o
A
procura
por
emprego
em
certa
empresa
sen domínio
à
t
função
5
2.500
1 3
em Observando
entre
qual
sena
e
a
valores
sen
os
encontrados
relação
que
(2a)?
valores
no
podemos
sen
(2a) a
sen
a
5
reais
5
de
k
de
2014
que
sen
x
5
2k
3.
1
a
ou
(2a) a
ne
o
k
<
número
emprego
para
<
mês,
(t )
é
o
é
contado
número
a
de
partir
de
pessoas.
janeiro
Deter mi-
os
máximo
nessa
de
pessoas
empresa.
3.715
que
procuram
pessoas
quais
altura
h ,
em
metro,
da
maré
em
certo
ponto
litoral,
em
função
do
tempo,
é
dada
aproximada-
um
esboço
do
gráfico
de
f (x )
sen
x
para
mente
pela
t
expressão
2
⎞
sen ⎠
Ñ
[2π,
4π].
Ver
resolução
no
Guia
do
ed
6 x
professor.
que
t
é
o
tempo,
medido
em
hora
a
partir
do
ieL
meio-dia. Dois
alunos
fez
,
fizeram
de
software
o
gráfico
lei
de
em
f (x )
a
representação
5
1
1
sen
construção
seu
próprio
de
x .
gráfica
Um
gráficos,
da
a)
utilizou
o
Qual
E
outro
cader no.
b)
a
foi
a
altura
mínima?
Com
base
em
função.
máxima
m;
1
uma
Ver
atingida
pela
maré?
m
tabela,
resolução
no
esboce
Guia
do
o
gráfico
481
dessa
5
professor.
Em
um
dia,
que
horas
a
maré
4
=
ok
1
+
sin
x
De
se
3
h
e
a
às
maré
15
alta?
h;
quanto
em
repete?
de
ix
quanto
12
em
12
:
21
tempo
a
h
h
altura
da
maré
horas
cancelar
12.
3
Considere
Vamos
2
tro
k
uma
função
deter minar
k
Ñ
R
,
do
como
modifica
o
a
tipo
f (x )
5
presença
gráfico
de
k
do
g(x )
sen
x
parâme
5
sen
x
1
Para
isso,
utilizamos
como
exemplo
a
função
1
f (x )
–1,57
4,7
5
2
sen
Resolva
–3
–2
1
–1
1,57
2
3
4
x
Ver
resolução
no
Guia
do
professor.
x
5
com
um
colega
os
itens
a
seguir.
6
a)
Criem
uma
tabela
com
três
linhas,
intitula-
–1
das:
x ,
sen
x
e
considerando
intervalo
–3
b)
Em
um
truam
c)
No
o
OCCE
Comparem
NOSLI
amplitude
e)
Façam
o
x .
Completem
valores
de
x
a
tabela
variando
no
2 π].
gráfico
f (x )
sen
os
sistema
mesmo
função
d)
[0,
2
de
da
eixos
função
sistema,
5
a
da
8
5
sen
o
cons-
x
gráfico
da
x
amplitude
mesmo
g(x )
construam
sen
função
cartesianos,
f .
para
O
da
função
que
h(x )
vocês
5
3
g
com
a
observam?
sen
x .
Como
A :SEÕÇARTSULI
vocês
para
k
Ñ
generalizariam
funções
?
R 1
32
do
tipo
o
resultado
i (x )
5
k
sen
do
x ,
item
em
d
que
oãçudorpeR
f(x)
d)
às
baixa? r
y = f(x)
5
ocorre
alta:
.adibiorp
maré
E
.trA
y
c)
ogidóC od
um
f
laneP
função
e
9.
016.9
em
91
Faça
ed
π
⎛ 8.
do
2
orierevef
tal
em
e
ed
x
,
an-
A existe
que
⎠
estabelecer
2sen
2sen
item
4
.8991
Deter mine
os
é
⎞
sen
sãoiguais.
terior,
obedece
t a
2
3
6.
você
concluir?
deslocado
imagem
não
função
f
f ) ⎝
da
4
A
Seja
P
número
a
função
extremidade
real
x, x
cosseno
de
conforme
um
arco
definido
no
na
ciclo
função
trigonométrico
de
correspondente
ao
Euler.
Considerando a projeção ortogonal de P no eixo horizontal, a abscissa do ponto P
é
o
cosseno
do
arco
de
medida
.
P
x
cos
x
A
O
Ref lita
Em
quais
cosseno
Positiva
negativa
A
função
número
.8991
Vamos
tabela
cosseno
real
cos
construir
de
valores
x, x
o
é
a
ou
função
seja,
gráfico
para
x.
f
R
f ( (x x)
dessa
5
R
cos
associa
cada
número
real
x
positiva?
no
1
no
2
e
e
no
no
4
E
a
função
negativa?
quadrantes,
3
e
quadrantes.
ao
x
função,
Inicialmente,
que
quadrantes
é
dada
por f (x (x)
consideramos
5
cos
alguns
x, x
partindo
valores
da
de
1
uma
volta,
ed orierevef
para
os
quais
o
cosseno
já
é
conhecido:
ed 91
x
3
4
2
4
0
5
3
7
4
2
4
π
2π
ed 016.9 ieL
2 cos
2
1
2
0
2 0
1
1
e laneP
2
ogidóC od
Para
alguns
valores
2
de
x
maiores
2
que
2π
ou
2
menores
que
zero,
temos:
481 .trA
5
11
3
4
2
4
4
2
4
.adibiorp
9
oãçudorpeR
2
2
x
Observe
que,
para
2
2
0
0
2
2
valores
de x
maiores
2
que
2π
2
ou
menores
que
zero,
o
cosseno
a
de
x
assume
eriódica,
cos
x
Por
5
Assim,
valores
ois,
ara
cos
isso,
guinte
os
a
o
( (x
1
cosseno
todo
2π)
curva
do
5
cos
obtida
gráfico
da
Ñ
R,
( (x
no
1
de
arcos
1
volta.
Assim,
a
função
cossenoé
temos:
4π)
...
intervalo
função
da
cosseno
[0,
se
5
cos
2π]
( (x
2kπ k ),
repete-se
estende
por
com
para
todo
x
o
k
.
Ñ
Z
2π
eixo
e
x
x
e
,
0.
tem
o se
formato:
cos
x
1
π
2
– –—
3π
5π
3π
11π
4
4
2
4
– —
4
2
π
π
π
π
7π
2π
9π
5π
4
2
x
– — 4
4
4
OCCES
– —
0
NOSL
–1
que
o
gráfico
da
função
cosseno
é
uma
2π
translação
(deslocamento)
:SEÕÇARTSUL
Repare
=
DA
p
2
da
senoide
de
rad
para
a
esquerda.
2
33
f (
domínio
x)
de
chamada
Carac terís tica s
Ref lita
(
uma
de
)
em
função
função
todo
f ,
Por
o
ela
é
definição,
o
da
função
domínio
e
o
cosseno
contradomínio
da
função
cosseno
são
iguais
a R
Pelo seu gráfico, observamos, entre outras características, que a função cosseno:
par
π
(a
curva
se
repete
a
cada
intervalo
de
2π
y
f (
)
5 f( f
)
que
a
a
g(
o
domínio
é
cham
x x)
de
5
conjunto
imagem
é
x
Im
5
estão
[
no
intervalo
[
1,
1],
o
que
significa
x
2g( (x)
uma
seu
em
função
função
todo
g,
Exe rc íc io resolv id o
ela
ímpar
y
R6.
Calcular
o
valor
da
expressão
cos
x
1
cos
2x
1
cos
3x
1
...
1
cos
10x
π para g(
x
=
a)
3
a
a
Resolução
x
Substituindo
x
por
,
g(a)
π
2π
cos
como
1
nem
função
par
nem
3π 1
1 0π
cos
co
3
5
3
3
par, 1
1 1
ímpar?
1
1
π
cos
função
Ñ
R,
(
x x)
seno
sen
(
é
x x)
é
par,
5
pois,
para
todo
Assim,
para
ímpar,
5
x
5
3 ,
a
expressão
vale
3
x
pois,
2
para
2
todo
016.9
x
R,
ed
A
Ñ
cosseno
91
x
função
ed
A
3
orierevef
ou
cos
3
1 ímpar
expressão:
ed
classificada
a
.8991
obtemos
3
x
ieL e
d)
Espera-se
o
gráfico
f
os
alunos
deslocado
imagem
das
concluam
1
unidade
duas
que
o
para
funções
gráfico
de g
cima. Assim
não
é
o
é
o
mesmo.
Registre as respostas em seu caderno Noentanto,
o
período,
a
amplitude
e
o
domínio
são
iguais.
Exerc íc ios propostos
ogidóC od
conjunto
que
de
laneP
15.
481 .trA
Calcule,
para
,
5
o
valor
da
16. Observe
expressão:
que
os
dois
gráficos
abaixo,
traçados
no
4 mesmo
2x
1
cos
4x
1
cos
6x
1
...
1
cos
78x
1
cos80x
no
ao 14.
Faça
um
para
x
esboço
Ñ
[2π,
do
4π].
gráfico
Ver
de
resolução
f ,
no
de
lei
Guia
do
f (x )
5
cos
sistema
cartesiano,
representam
funções
0
intervalo
eixo
[0,
2
]
e
são
simétricos
em
relação
x
x
professor.
y
15.
A
curva
grá
ica
apresentada
da
unção
g,
abaixo
com
g (x )
é
a
=
1
representação
cos
x
g
1
y
2
2
0 2
2
x
g
2
h
0
π
2π
x
São
Analisando
o
gráfico,
responda
às
a)
Qual
é
o
período
b)
Qual
é
a
amplitude
da
c)
Quais
função
g
gráficos
OCCES
função?
NOSL
o
domínio
e
o
conjunto
imagem
g ?
D (g)
5
R;
Im(g ( )
5
[0,
tipo
f (x )
5
k
cos
x
5
1
cos
x ;
da
h (x ) função
do
1
são
funções
2π
g(x )
dessa
de
questões.
5
21
cos
x
2]
A :SEÕÇARTSUL
d)
Compare
g
O
x
5
que
1
o
1
gráfico
cos
você
x,
pode
dessa
com
o
Com
função,
da
concluir?
função
f
x
5
cos
x
base
gráficos
mesmo
de
nessas
m (x )
sistema
5
considerações,
sen
x
cartesiano
Ver
34
e
n (x )
no
5
construa
sen
intervalo
resolução
no
Guia
x
em
[0,
do
os
um
2 π].
professor.
oãçudorpeR
cos
.adibiorp
13.
Diversas
do
a
que
ano,
ano
tem
época
que
número
de
variou
ocorrência
propicia
de
no
6.380
1
5.900
período
dengue,
apr oximadamente
π
t
do
ano,
t
12
sendo
para
Quantos
ocorreu
5
A
Seja P
a
t
1
2
π
para
e
da
den-
chuvoso
para
doença.
deter minada
com
a
re-
função
⎞ ,
em
que
t
é
o
mês
⎠
6
janeiro,
caso
favoráveis
da
acor do
cos ⎝
deter minado
o
quente
mais
em
de
8
em
Esseé
transmissor
⎛ n(t )
seja,
condições
mosquito
casos
ou
ocorrência.
ODRAUDE
gião,
do
sazonais,
maior
maior
proliferação
O
são
têm
RASLUP/AIPPAZ
gue,
doenças
do
AMI
período
SNE
17.
t
=
2
para
fevereiro, ...,
dezembro.
casos
ocorreram
essepico?
função
extremidade
12.280
no
pico
casos;
da
doença?
Em
qual
mês
Eliminar
janeiro
focos
de
prevenção
de
centroO
de
água
contra
a
parada
é
a
principal
medida
dengue.
tangente
de
um
arco,
na
circunferência
trigonométrica
Ref lita
correspondente
ao
número
real
.
Consideremos
o
ponto T
de
intersecção
entre
a
reta
P
e
a
reta
tangente
.8991
função
cunferência
pelo
ponto
A(1,
ed orierevef
que
a
tangente
é
positiva
e
em
0). quais
Sabemos
àcir-
ordenada
do
ponto
T
é
a
tangente
do
arco
de
medida
x
A
no
4
quadrantes
função
3
tangente
quadrantes
e
ela
é
é
negativa.
positiva
negativa
no
no
1
2
e
e
no
quadrantes.
ed 91 ed
T P
016.9
tg
x
ieL
x
e
A
laneP
O
ogidóC od 481 .trA .adibiorp
π A
função
tangente
é
a
função
f
oãçudorpeR
⎩
número
real
x
do
domínio
ao
π
⎨
número
Z⎬
2
&
R
que
associa
cada
⎭
real
tg x,
ou
seja,
f ( (x x)
5
tg
x
Obser vação
x
é
a
medida
de
um
arco
côngruo
a
3 rad
ou
a
2
OP
com
a
reta
tangente
à
circunferência
pelo
2
ponto
A(1,
0).
Por
isso,
a
função
tangente
não
x
5
1
kπ
com
k
Ñ
Z
2
Vamos
uma
construir
tabela
de
x
tg
gráfico
para
.
dessa
função,
Inicialmente,
3
4
2
4
1
á
21
dada
0
x
valores
de
x
maiores
tg
x,
com
no
os
5
3
7
4
2
4
1
á
21
4
á
21
menores
que
zero,
3
4
2
4
π
0
0
temos:
2π
1
á
:SEÕÇARTSULI
11
2
ou
de
2 π]:
2π
0
2π
[0,
DA
5
4
que
dados
intervalo
NOSL
9 x
tg
5
considerar x
π
0
alguns
por f (x (x)
vamos
OCCES
Para
o
valores
0
35
Observe
que,
para
valores
de x
maiores
que π
ou
menores
que
zero,
a
tangente
a
x
assume
tangente
tg
x
5
é
os
valores
periódica,
tg
(x
1
π)
5
da
tangente
pois,
para
tg
1
(x
de
todo x
2π)
5
...
arcos
do
5
⎤
seu
tg
(x
da
domínio,
1
π
π
2
2
k kπ ),
t
gráfico
da
função
tangente
tem
o
a
função
temos:
com
k
Ñ
Z
repete-se para
⎦
o
Assim,
⎡
Por isso, a curva obtida no intervalo
Assim,
meia-volta.
1
e
x
. 2
⎣
seguinte
formato:
x
1
π
π
–—
3π
7π
11π
4
4
4
–—
2
π
4
3π
0
π
π
4
2
3π
π
4
9π
2π
– — 4
5π
x
3
– —
2
4
2
–1
.8991
=
ed
p
π
orierevef ed 91
função
tangente
⎧ definição,
o
domínio
da
função
tangente
é
R
2
π
ou
função
para
todo
tg
(
x
x)
nem
é
uma
2
ímpar?
função
pertencente
5
gráfico,
observamos
ainda
que
a
função
tangente:
a
ímpar,
π
]2Ü
1Ü[
ou
R
seu
.adibiorp
domínio,
par
tangente
seu
par,
.trA
pois,
nem
função
481
A
con-
ogidóC od
ímpar
o
R
Pelo como
e
⎭
laneP
classificada
,
e
é
⎬
2
⎩ tradomínio
⎫
π
⎨
ieL
Por Ref lita
016.9
da
ed
Carac terís tica s
x x).
As
retas
verticais
que
passam
pe
os
pontos
e
a
1
scissa
k ,
com
k
Ñ
Z,
são
2
quando
desse
um
ponto
ponto
à
se
move
assíntota
se
curva
ao
que
longo
de
aproxima
representa
uma
de
18.
parte
a
função f ,
extrema
dada
dessa
por f(x)
curva,
a
5
tg
oãçudorpeR
denominadas assíntotas da
x x
distância
zero.
h)
c)
⎨
⎬
,
I m(
1Ü
⎡ ⎣
Registre as respostas em seu caderno
⎭
Exerc íc ios propostos
18.
A
curva
ção
,
abaixo
ta
que
é
a
(x )
representação
=
1
1
tg
gráfica
da
fun-
c)
x
Quais
são
função
o
domínio
e
o
conjunto
imagem
da
?
y
19.
No
plano
senta
2
a
cartesiano
função
g(x )
abaixo,
5
tg
x,
a
curva
e
a
cinza
curva
repre-
ver melha
h
representa
a
função
j (x )
5
21
tg
x
1 y π
π
3π
2
2
– — 2
g π 5π
– —
3π
7π
4
4
x
4 4
π
π
π
3π
π
x 2π
2
o
gráfico,
a)
Qual
período
b)
Por
responda
às
2
questões.
A
Analisando
2
NOSL
– —
OCCES
–1
o
da
função
h ?
π
j
valores
de
x
passam
as
assíntotas
da
funçãoh ?
Z
Analisando
os
gráficos,
o
que
podemos
afir mar?
2 Espera-se
ão
36
que
simétricos
os
alunos
em
rela
concluam
ão
ao
eixo x
que g(x (x)
5
tg
x
e
j(x (x)
5
2tg
x
:SEÕÇARTSULI
é
quais
6
Construção
Até
aqui
vimos
gráficos
de
das
gráficos
funções
trigonométricas
fundamentais:
O
seno,
objetivo
alunos
cosseno
e
tangente.
Agora,
veremos
como
construir
gráficos
de
outras
funções
a
deste
desses
gráficos.
Inicialmente,
construiremos
o
gráfico
de
uma
das
funções
isso,
é
papel
fundamentais
(cor
cinza)
e,
a
partir
dele,
efetuando
certas
transformações,
o
gráfico
pedido.
e
Transladar
o
significa
gráf ico
deslocar.
A
os
cada
seguir,
veremos
alguns
gráficos
de
que
cada
possibilitar
gráficos
o
uso
o
aos
mais
de
tabelas.
Para
entendimento
parâmetro
funções
que
trigonométrica
possível,
esse
Transladando
sem
fundamental
função
que
é
do
desempenha
obtena
remos
de
a complexos
partir
tópico
construção
e
alunos
papel,
um
julgar
casos
de
construção
foi
feito
em
de
mais
para
melhor
exemplos
usando
gráficos,
exercício
foco.
oportuno,
compreendam
mostrar
dos
no
se
de
um software
assim
resolvido
como
R8
podem ser obtidos por meio de deslocamentos verticais ou horizontais dos gráficos
das
funções
f (x (x)
a)
5
fundamentais.
2
1
Primeiro,
x
sen
Acompanhe.
x
montamos
uma
tabela
atribuindo
3
4
2
4
0
x
.8991
1
valores
de
0
a
2
5
3
7
4
2
4
2π
2
2
0
2
0 2
2
alguns
π
2 sen
a x
1
sen
0
1
2
2
2
1
1
ed
2
2
2
2
orierevef ed 91
Construímos,
então,
f (x (x)5
x, x
2
1
sen
em
os
um
gráficos
mesmo
das
funções
sistema
de
dadas
eixos,
para
por
g( (x)
efeito
5
sen
e
comparativo:
ed 016.9
y
ieL e laneP
3
f
ogidóC
2 + 2
od 481
2
2
g
1 2
DA
oãçudorpeR
NOSL
.adibiorp
OCCES
.trA
2 2 –
– — 2
0
3
4
5
3
7
x
2
— –
— –
— –
— –
4
4
2
4
2
– – — 2
–1
Observe
que,
unidades
os
valores
Note
que
foram
a
gráficos
partir
da
se
de
c
c
O
mesmo
,
mínimo
o
1
(deslocando)
obtemos
e
domínio,
casos
de
o
máximo
o
gráfico
3.
período
semelhantes
funções
uma
uinte
cima,
e
Ou
a
o
gráfico
de
seja,
f. f
o
de g,
Agora,
conjunto
amplitude,
em
ponto
o
a
gráfico
imagem
relação
à
ponto,
oscila
de f
é
duas
entre
[1,
função g,
3].
não
alterados.
Analisando
Os
transladando
para
a
esse,
notamos
trigonométricas
translação
de
do
unidades
que:
tipo
em
y
5
c
relação
1
sen
ao
x
são
gráfico
y
obtidos
5
sen
x
forma:
0,
a
translação
é
para
baixo.
vale
para
fun
ões
do
tipo
5
c
1
cos
e
5
c
1
37
π
⎛ b) f (x (x)
5
cos
x
2
Novamente,
x
3
4
2
4
x
atribuindo
a
5
uns
3
valores
de
0
3
2
4
2
7
2
2 0
2
7
π
⎞
9
5
4
2
2π 4
2
2
4
2
0
2
2 1
1
2
1
2
2
2
0
2
2
π Os
2 π
4
1
π
a
2π
2
2
al
4
1
π x
tabela
π
⎛ co s
uma
0
2
x
⎠
montamos
2 cos
⎞
1
⎝
gráficos
das
funções
dadas
por
g( (x)
5
cos
x
e
x
5
cos
x
⎞ são:
1 ⎠
y
1 g .8991
OCCES
– — 2
ed
3
NOSL
orierevef
— –
4
DA
0
4
2
5
3
7
— –
— –
— –
4
2
4
x
2
ed
91
f
2
ed 016.9
2 –1
ieL e
função
e
f
apresenta
mesma
mesmo
amplitude
domínio,
que g,
mas
mesmo
o
gráfico
conjunto
de g
imagem,
sofreu
uma
mesmo
translação
od
de
para
a
esquerda.
481
(deslocamento)
2
casos
semelhantes
a
esse,
notamos
.trA
Analisando
og idóC
período
laneP
A
que:
.adibiorp
gráficos
translação
de
funções
de
b
do
tipo
unidades
em
5
cos
relação
(
ao
1
b
.
b
,
0,
a
translação
é
para
a
direita.
O
y
mesmo
5tg(x
pode
1
ser
v er i fi ca do
para
b)
são
gráfico
f u n ç õe s
obtidos
5
do
cos
t i po
a
de
y
5
partir
tal
sen
de
modo
( (x
1
uma
que:
b)
ou
b).
Alterando
a
amplitude
Agora, veremos que podemos obter alguns gráficos “esticando” ou “achatando”
verticalmente
Por
exemplo,
Primeiro,
x
os
gráficos
vamos
montamos
3
x
cos
3
4
2
4
o
fundamentais.
gráfico
tabela
de f (x (x)
atribuindo
a x
5
3
cos
alguns
x
valores
de
5
3
7
4
2
4
π
2 0
3
2
a
2 π
2 0
0
3 2
0
2π
1
0 2
38
uma
1
x
funções
construir
0
2 cos
das
2
3 2
oãçudorpeR
Os
Os
gráficos
de
f
e
g,
com
g(x (x)
5
cos
x
e
f (x (x)
5
3
cos
x, x
são:
y
3
f
— — 2
1 g
2 3
– —
5
— –
— –
2
4
4
0
2
3
7
4
x
2
4
2
–1
OCCES
a)
gráfico
de
g
seria
verticalmente.
A
“achatado”
amplitude
,
seria
e
conjunto
imagem
.8991
–3
O
gráfico
de
g
em
de
f
seria
relação
ordenadas
⎡
1
⎣
2
1
⎤
seria
DA
b)
2
simétrico
ao
eixo
positivas
x,
ao
pois
ficariam
⎦
gráfico
as
negativas,
ed orierevef
e
Observe
ed
mente:
que,
agora,
multiplicando
ele
oscila
g(x (x)
entre
3
5
e
cos
3.
x
Ou
por
3,
seja,
a
“esticamos”
amplitude
o
gráfico
de f
é
3,
o
as
triplo
ed
g,
e
o
conjunto
imagem
de
f
é
[
3,
016.9
que
o
domínio
e
o
período
não
foram
positivas.
3]. de
Veja
ficariam
da
91
de
negativas
Ref lita
vertical
amplitude
g
se
tivéssemos:
alterados.
1
ieL
a)
f (x (x)
cos
5
x?
2
e laneP
Analisando
ogidóC od
Gráficos
481
O
de
mesmo
casos
semelhantes
funções
ocorre
a
esse,
trigonométricas
para
funções
do
notamos
do
tipo y
tipo y
5
d
que:
5
d
sen
b)
cos
x
têm
amplitude
f (x (x)
5
21
cos
x?
d
x
.trA .adibiorp
Obser vação
oãçudorpeR
f
Nestes
exercícios
adquiridos
das
na
funções
fazer
f (x (x
1
c
resolvidos,
análise
pois,
1
c)
e
c
f (x (x),
com
dos
espera-se
que
parâmetros b
apresentadas.
tabelas,
f (x (
nesse
Para
caso,
a
a
c
e
os
d
resolução
análise
alunos
para
dos
dos
compreendam
obter
o
domínio,
exercícios
exemplos
terá
o
como
propostos,
sido
em
usar
conjunto
não
os
conhecimentos
imagem
devemos
e
a
amplitude
incentivá-los
a
vão.
Exe rc íc ios resolv id os
R7.
Deter minar
o
domínio,
o
conjunto
imagem,
π
⎛ função
dada
por
x
5
2
o
período
e
a
amplitude
da
⎞
x 4
Resolução
π
⎛ Vamos
considerar
a
função
h
dada
por
h (x )
5
cos
O
gráfico
de
h
é
obtido
por
meio de
uma
⎞
x ⎝
⎠
4
translação
do
gráfico
da
funçãog,
dada
por
g(x )
5
cos
x,
de
para
a
direita.
4
Como
e
f (x )
Como
e
f (x )
a
amplitude
5
o
5
8
Im(
h
é
1,
imagem
da
função
h
é
é
[
igual
à
amplitude
f
por
)
5
de
1,
1],
igual
ao
da
funçãog
f
2
[
os
2,
extremos
do
intervalo
g
2.
h(x
tiplicando
Logo,
função
f
conjunto
2
da
h(x
[
1,
mul-
1].
2].
f
são
os
mesmos
de
g:
D
f
5
R
e
p
5
o
2
NOSL
– — —
O
2π
39
Comentar
do
com
software
de
os
alunos
que,
construção
de
com
o
uso
R8.
Com
fico poderíamos
construir
gráfico
sem
de
f,
ter
diretamente
de
o
auxílio
de
um
software
fazê-lo
de
uma
das
funções
passo
a
partir
do
gráfico
da
construção
trigonométricas
de
gráficos,
fundamentais,
a
π tal
que
5
2
cos
por
g(x (x)
5
cos
x;
entretanto,
analisar
o
gráfico
as
passo
mudanças
a
grá
passo
causadas
passo
,
e
analisar
o
⎠
vamos
que construir
do
⎞
x
função
4 dada
partir
construir
o
passo
f , a
de
gráficos,
ocorre
com
o
gráfico
a
cada
passo.
Indicar
o
domínio,
o
conjunto
para
por
cada
f
parâmetro.
Resolução
Primeiro,
g(x )
5
vamos
cos
traçar
o
gráfico
da
função
trigonométrica
dada
por
x
y
Obser vação Campo
y = f(x)
para
digitar
a
lei
5
da f(x)
Em
alguns
softwares,
=
função
cujo
gráco
cos(x)
temos
queremos ok
construir.
cancelar
4
de
escrever
maneira
a
lei
da
diferente.
função
de
Obser ve
os
Podemos
selecionar
opção
exibir
de
de
grade
para
a
linhas
car
mais
fácil
visualizar
as
2
x
∫
mudanças
a
1
⎛ 2
cos
x
π
⎞
4
⎠
1
1pi/4)
É π/2 2
⎝
3π π/4
π
3π/2 2
cada
π/4
π
4
π
5π π
4
possível
escolher
x
1 π
4
2π π
9π π
com
1pi
que
4
–1 1
a
x
7π π
graduaremos
tg
gráco
passo.
unidade 3π π/4
no
Nesse
caso,
os
eixos.
graduamos
/2
2
o
eixo y
1
intervalos
unidade
e
o
eixo x
.8991
de
–2 2
em
π em
intervalos
de
.
os
passos
descritos
passo:
cos
cos
⎞
91
seguir.
ed
a
π
o
orierevef
Acompanhe
ed
4
x ⎠
ed
4
016.9
y
ieL e
5
laneP ogidóC od
4
3
481
2
.trA .adibiorp
1
π/2 2
3π π/4
π/4
π
π
π/2 /
π/2 2
π/4
x
7π π/4
2π π
oãçudorpeR
3π
9π/4 /
1
2
O
gráfico
de
g
sofreu
uma
translação
de
para
a
esquerda.
4
π
o
passo:
co
2
cos
x
⎞
1
4
4
⎠
y
5
4
3
2
1
5π/4 / 3π/4
π/2 2
3π π/4
π
2π π
π/2
OIBUR
9π/4
π/4
π/4 4
π/2 2
7π π/4
1
ZIUL
O
40
gráfico
da
função
tem
nova
amplitude,
igual
a
2.
:SEÕÇARTSULI
2
o
passo:
"
1 ⎠
y
5
4
3
2
1
5π/4 / π/4
π/2 2
π/4
π/4
π
4
π
2π π
π/2
x
2
9π/4
7π π
1
2
O
gráfico
sofreu
uma
translação
de
duas
O conjunto imagem da função dada por
unidades
g(x ) 5
cos
para
cima.
x y
o
é
[
1,
1].
Após
o
1
passo,
adicionando
o
5
4
conjunto
imagem
da
nova
o
.8991
[
1,1].
Após
o
2
função
continua
sendo
4
o
e
o
3
passo,
o
conjunto
imagem 3
se
modificou.
Quando
a
função
é
multiplica-
ed orierevef
dapor2,
o
conjunto
imagem
Adicionando-se 2, o
passa
conjunto
a
ser
imagem
[
2,2].
da
nova
2
1
ed
função
passa
a
ser
[0,
4].
f
)
5
f
π/2
x
conti /4
π/4
π
4
π
2
3π
4
π
5π π/4
7π π
4
2π π
9π
4
B
ed
Im(
O
91
π/2 2
Portanto,
R
sendo
2.
ZIUL
016.9
nua
1
são
os
mesmos
de
g
:SEÕÇARTSULI
ieL
f
e
2
laneP
D(
f
)
ogidóC od
Veja
5
ao
R
e
p
lado
5
os
2π
gráficos
das
funções
f
e
g
481 .trA .adibiorp
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
oãçudorpeR
Os
gráficos
abaixo
representam
as
22.
funções:
O
gráfico
f (x )5 π
⎛
f (x )
5
sen
x
1
abaixo
b
cos
r ep r esen ta
x .
a
Deter mine
os
f unç ão
valores
vermelho
2
f
de
de
a
lei
e
⎞
1
⎝
a
a
5
2;
b
5
2
⎠ y
π
g(x )
5
cos
⎞
x
azul
4
⎠
4
y
1
3π
4
π
π
π
4
2
π
5π
3π
4
2
7π
2
x
9
– — 4
4
4
–1
π
0
Descubra
qual
curva
representa
cada
uma
2π
x
das 23.
Utilizando
um
software
de
construção
de
gráfi
funções. construa
em
um
mesmo
plano
Ver
gráficos A partir do gráfico da função g
de lei g
x
π
5
1
1
sen
x ⎝
o
domínio,
período
e
a
o
conjunto
imagem
Ver
amplitude
de
resolução
os
do
professor.
f (x )
5
3
1
5
22
sen
x
e
g (x )
5
23
sen
x
⎞
4
⎠
o
b)
f (x )
1
cos
x
e
g (x )
5
2
cos
x
no
çõesf f do
Guia
1
imagem,
. Guia
no
eg
de
cada
item.
professor.
41
SEÕÇARTSULI
Indique
resolução
g
DA
⎛ x
e
5 sen x , cons-
a)
trua o gráfico de f , tal que
funções
NOSL
21.
das
cartesiano
OCCE
cos,
Alterando
Nos
tópicos
translações
funções
pico,
às
o
período
anteriores,
horizontais
trigonométricas
veremos
funções
estudamos
ou
exemplos
verticais
alguns
ou
fundamentais,
de
fundamentais.
gráficos
gráficos
modificação
embora
que
sofrem
que
na
são
obtidos
amplitude
conservem
alteração
o
de
dos
a
partir
gráficos
período.
período
Neste
em
de
das
tó-
relação
Acompanhe.
Exemplo
Vamos
o
da
construir
função
Primeiro,
x
g
o
gráfico
dada
por
montamos
da
g(x (x)
uma
função f
5
sen
tabela
dada
atribuindo
3
4
2
4
0
x
a x
0
valores
de
0
3
7
4
2
4
2
a
2 π
2
5
então,
no
os
0
1
gráficos
mesmo
sistema
4π
das
de
2
1
funções
g
e
0
f
dadas
0
1
por
g(x (x)
5
sen
x
e
ed
sen2x
7 3π
2
.8991
Construímos,
2
2π
0
0
1
2
1
com
2π
3
5
compará-lo
2
π 2
f(x) f(
e
5
2
0
2x
2x
0 2
sen
sen
alguns
2
0
2x
5
π
2 sen
por f(x)
x
eixos:
orierevef
y
ed 91 ed
f 1
016.9
g
ieL
3
7
2
4
2
2
3π
5π
4
4
2π
4
x
og idóC
π
laneP
2
π
e
π
0
2
od 481
OCCES
–1
5
.trA
π
DA
p
que
f
apresenta
mesmo
2π
domínio,
mesmo
conjunto
imagem
e
mesma
amplitude que g, porém tem período igual a π, ou seja, metade do período de g
Analisando
casos
semelhantes,
notamos
que:
2 As funções trigonométricas do tipo y 5 sen (
x) ou y 5 cos (
x) têm período
No caso das funções do tipo y
5 tg (ax), podemos verificar que o período é
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
Ver
24.
resolução
Determine
houver)
a)
25.
f (x )
das
5
Esboce
das
o
o
3
questões
domínio,
funções
sen
gráfico
24
o
e
25
no
Guia
conjunto
indicadas
a
2x
de
cada
do
professor.
imagem,
o
período
e
a
amplitude
seguir.
b)
f (x )
5
5
1
c)
f (x )
5
2
d)
f
5
22
2
cos
função.
x a)
f (x )
5
cos
sen
2x
2
b)
42
f
x
5
sen
4x
x
cos
x
3x
(quando
oãçudorpeR
Observe
5
.adibiorp
NOSL
p
Exercícios
complem ent a res Registre as respostas em seu caderno
7.
Em
alguns
trechos
do
rio
T ietê
(SP),
verifica-se
a
Aplicação for mação
Ver
resolução
no
Guia
do
Desenhe
um
ciclo
trigonométrico
e
represente
nele
dos
quantidades
de
espuma,
re-
números
de
poluição
por
resíduos
industriais.
Em
as certo
imagens
notáveis
professor.
sultante 1.
de
dia,
a
quantidade
de
espuma
variou
segundo
a
reais: t função
2π a
x
1
5
k
2π
k
Ñ
c)
Z
x
5
1
k
8
π
k
Ñ
x
dada
por
t
5
3
,
em
que
f (t )
é
6
a
b)
f
Z
6
3
1
5
k
π
k
Ñ
quantidade
de
espuma,
em
metro
cúbico
por
metro
Z de
rio,
e
t
é
o
tempo,
em
horas
contadas
a
partir
da
4
meia-noite.
Deter mine
o
primeiro
momento
do
dia
em
a
2.
Usando
rência
arcos
uma
medida
da
trigonométrica,
côngruos
1
volta
escreva
positiva
a
855°
135°
1
3
circunfe
expressão
geral
que
dos
de
a
quantidade
rio.
às
k
360°,
k
o
menor
8.
Z
Construa
e
o
maior
valor
que
assume
sen
10x
3;
A
quantidade
m
por
metro
h
de
algas,
o
o
gráfico
das
conjunto
funções
imagem,
o
a
seguir
período
e
e
a
indique
o
amplitude.
π f (x )
5
1
2
cos
x
b)
f (x ) 5 3
sen
x 2
5 Ver
4.
5
a a)
4
atingiu
3
domínio,
expressão
espuma
b)
Ñ Z
3
Deter mine
3
de
a:
25 a)
da
em
tonelada,
em
certa
resolução
no
Guia
do
professor.
baía
Aprofund amento varia
periodicamente
com
o
tempo
e
é
representada
t .8991
pela
A
função
t
5
1
200
8
,
9.
com
Veja
o
esboço,
em
um
mesmo
plano
cartesiano,
dos
6
ed
gráfico em
anos.
Se
t
for
medido
a
partir
de
janeiro
de
de
f (x )
orierevef
será
a
quantidade
de
algas
na
baía
em
2025?
1.050
x
g(x )
5
sen
x
e
(x )
5
tg
x
3
janeiro
,
,
2 de
cos
2010,
qual
5
2
toneladas
ed 91
y
ed
h
5.
(FGV-SP)
Um
super mercado,
que
fica
aberto
24horas
016.9
1
por
dia,
faz
a
contagem
do
número
de
clientes
na
loja
a g
ieL
cada 3 horas. Com base nos dados observados, estima-
3π
e laneP
-se
que
o
número
de
clientes
possa
ser
calculado
2
pela 0 π
ogidóC
x função
x
trigonométrica
5
900
2
800
π
sen
x
2
12
od
em
ue
f (
)
é
o
número
de
clientes
e
a
hora
da
1
481
f
observação
(x
é
um
número
inteiro
tal
que
0
<
x
<
24).
.trA .adibiorp
Utilizando
essa
função,
a
estimativa
da
diferença
entre
N o
número
máximo
e
o
número
mínimo
de
clientes
in
rv
n
i
r
den-
a
oãçudorpeR
tro
do
super mercado,
em
um
dia
completo,
é
igual
sim
a:
b) a)
b)
600
c)
800
900
d)
e)
alternativa
1.500
c)
e
d)
6.
(Enem)
e
Segundo
Estatística
que
ano
e
em
varejistas
Instituto
(IBGE),
apresentam
consumo
do
o
que
ora
a
é
produtos
ciclos
preço.
Brasileiro
bem
sazonais
definidos
Resumidamente,
sua
com
são
de
preços
aqueles
e)
produção,
nos
não
quais
sen
Geografia
existem
disponibilidade
escassa,
de
não
1.600
são
5tg
sabendo
B
épocas
x
é
o
as
x ?
que
ponto
menor,
coordenadas
(
,
A
é
em
maior
do
ponto
em
que
0)
o
que
ou
ponto
tg
x
igual
em
5
à
cos
que
x
cos
a
abscissa
x
5
sen
abscissa
de
B ?
de
x
e
A
é
maior
mercados
elevados,
ora
é
Desaf io abundante,
mês
de
com
preços
produção
mais
máxima
baixos,
da
o
que
ocorre
no
safra.
10.
A
função
foi
A partir de uma série histórica, observou-se que o preço P P,
,
obtida
a
cujo
gráfico
partir
de
está
uma
representado
função
abaixo,
trigonométrica
fundamental. em
reais,
do
quilograma
de
certo
produto
sazonal
x
⎛ deser
descrito
pela
função
(x )
5
8
1
5
x
ciado
mês
de
o
mês
janeiro,
sucessivamente,
do
x
5
até
ano,
2
x
ao
sendo
mês
5 12
x
de
⎠
6
5
1
asso-
fevereiro,
associado
ao
e
mês 0
π
π
3π
4
2
4
π
5π
3π
7π
2
4
x
2π
dezembro.
Disponível
em:
4
NOSL
de
<www.ibge.gov.br>. –1
safra,
o
mês
de
produção
2
ago.
máxima
2012
desse
(adaptado).
produto
é:
alternativa
a)
b)
ane
abril
ro
c)
d)
junho
julho
e)
outubro
Podemos
concluir
que
a
lei
dessa
função
é:
alternativa
d
a)
f (x )
5
b)
f (x )
5
1
1
sen
1
cos
x
x
c)
d)
f
x )
5
[ sen
f (x )
5
[ cos
x
x
43
d
:SEÕÇARTSUL
Na
em:
A
Acesso
OCCES
assim
representa
ao
y
⎞
cos ⎝
onde
po
Registre as respostas em seu caderno
Autoavaliação
5.
16 1.
O
arco
é
côngruo
a:
alternativa
Observe
o
gráfico
abaixo.
c
3 y
2
a)
3
Sendo
k
Ñ
Z,
5 d) 1
3
2.
4 c)
b)
3
uma
expressão
3
geral
dos
arcos
côn-
gruos
0
2 2π a
é:
alternativa
3
2
2
5
π
2π
a)
1
k
2π
c)
1
5
π
2π
Esse
gráfico
dada
pela
k
8
π
d)
1
k
8
da
pressão
a)
segundo,
de
uma
sanguínea
pode
pessoa
ser
em
,
em
função
modelada,
1
2
2
1
1
2
2
em
função
que
trigonométrica
cada
ciclo
de
sen
(x
R
em
R
(período)
um
batimento
⎞
⎠
π
⎛
x
sen
⎞
x ⎠
2
π
⎛ x
sen
x
⎞
1
⎝
⎠
2
abai-
equivale d)
a
f ,
x 2
aproximadamen-
representada
completo
π
⎛
2 pela
xo,
função
tempot
c)
te,
a
a
cos
milímetro
do
1 x
b)
mercúrio,
em
alternativa
π
5
variação
de
representa
lei:
2π 1
5
A
k
5
b)
3.
x
2
c
1
1
2
2
x
cos
cardíaco.
x
P (mmHg)
6.
A
função
f ,
amplitude:
que
f (x )
3
b)
5
22
3
π),
tem
a
2
c)
2π
d)
π
ed
a)
tal
alternativa
.8991
120
7.
O
interva
o
é
o
conjunto
imagem
da
orierevef
100
função
80
f (x )
5
3
1
2
cos
(2x
1
1).
alternativa
ed
i
d
91
intervalo
1,125
de
um
1,5
1,875
batimento
2,25
cardíaco
t
[
1,
1]
b)
[
2,
2]
c)
[
1,
5]
d)
[1,
5]
(s)
é
A
função
f (x )
5
sen
2x
tem
período:
alternativa
ieL
o
75
016.9
Então,
0
ed
a) 0,375
b
e
80
120
s
d
a)
c)
0,37
d)
0,75
b)
c)
2
d)
3
s
9. s
0,5
Em
certo
lago,
a
massa
de
algas,
medida
em
ogidóC od
a)
b)
alternativa
laneP
aproximadamente:
qui-
s
lograma,
varia
de
maneira
periódica
confor me
a
481
t Sabemos
que
sen
5
sen
(
1
2π)
para
todo
m (t )
5
4.500
1
3.400
sen
,
em
que
.trA
4
função
60 a
função
seno
é
e
tem
o
igual t
a
2π
alternativa
é
o
tempo,
limitada;
periódica;
c)
ilimitada;
d)
máximo
periódica;
dias,
a
partir
de
1
de
ano.
máxima
período
nesse
período
mínimo
Entre
(
ocorrências
janeiro
kg)
lago,
e
sucessivas
mínima
passam-se
a)
4.500;
3.400;
60
b)
4.500;
3.400;
π
(
de
de
kg)
dias.
massa
de
oãçudorpeR
a)
em
b
cada
b)
.adibiorp
Logo,
algas
alternativa
c
c)
7.900;
1.100;
60
d)
7.900;
1.100;
120
Retomad a de conceitos
Se
você
Releia
não
a
acertou
teoria
e
alguma
refaça
os
questão,
exercícios
consulte
a
tabela
e
verifique
o
que
precisa
Número
Objetivos
fenômenos
o
capítulo
1
2
3
4
X
X
X
X
da
questão
5
6
7
8
9
X
periódicos.
conceito
de
ciclo
trigonométrico X
em
novamente.
X
X
X
X
X
X
X
X
X
OCCES
Estender
do
estudar
correspondentes.
R
NOSL
DA
trigonométricas.
44
do
livro
referentes
ao
conceito
27
a
29
28
e
25
a
27
26
e
27
30
a
36
30
e
32
29
30
a
42
30
a
42
30
a
42
30
a
42
25
a
27
:SEÕÇARTSUL
Páginas
V ídeo documentár io
Pesquisa e ação
Um
fenômeno
naturais
são
são
periódico
cíclicos,
é
algo
como
o
que
dia
e
acontece
a
noite.
respeitando
Muitos
determinado
jornais
impressos
ciclo.
têm
Muitos
edição
fenômenos
diária,
ou
seja,
periódicos.
Vamos criar um vídeo documentário retratando situações que representam fenômenos periódicos.
O
conceito
de
período
é
fundamental
no
estudo
das
funções
trigonométricas.
KCOTSRETTUHS/GAN HTIMA
Montagem
das
fases
da
Lua.
P r ocedi me n t os
1)
Reúna-se
Acústica.
Astronomia
Ciclo
das
desse
2)
com
mais
(ciclos
marés
Ciclos
A
nos
seres
migração
Escolhido
o
4)
início
do
Você
e
etapa
é
colegas
a
escolham
do
ano,
desastres
(frequência
piracema
deverão
vídeo
poderá
analó
captação
cenas
de
escolher
os
duzidos,
as
e
vocês
ou
da
parte
próxima
deverão
5)
itais
listando
farão
aves
Esse
Antes
A
e
estações
alguns
humanos
tema,
(di
que
Lua,
(citar
das
portáteis
escrito
da
colegas
um
dia
dos
e
naturais
temas
noite,
apresentados
período
ocorridos
em
de
a
retorno
momentos
seguir.
de
de
cometas).
desequilíbrio
ciclo).
2 a 4 minutos.
3)
quatro
cada
do
de
convidando
criar
um
conter
pesquisa
da
pequeno
ima
e
vídeo.
menstruação).
peixes.
ou
ens
pesquisadas
Nessa
das
e
na
vídeo
cenas
é
pelo
com
rupo
dura
com
ão
de
câmeras
internet.
imagens,
etapa,
documentário
captadas
o
grupo
interessante
deverá
descrever
elaborar
a
um
imagem
e
roteiro
o
texto
Depois,
vocês
cena.
a
software
classe,
a
dos
icas)
organizar
um
cardíaca,
escolha
de
com
das
edição
o
imagens
de
vídeo
professor,
comunidade
escolar
e
poderão
para
as
para
filmagens
necessárias.
efetivamente
organizar
assistir
a
construí-lo.
uma
mostra
dos
vídeos
pro-
eles.
45
1.
a)
Som
Compreensão de texto
se
b)
Este
na
tema
pode
explicação
gerar
do
que
um
é
trabalho
som,
e
interdisciplinar
um
trabalho
com
com
O
Física,
Biologia,
na
c)
é
uma
variação
propaga
som
é
o
qual
o
meio
Entre
na
causado
gera
à
20
uma
sua
e
de
forma
de
por
pressão
ondas
vibração
variação
de
muito
em
de
rápida
um
um
pressão
meio
corpo
de
que
elástico.
elástico,
acordo
com
volta.
20.000
vezes
por
segundo.
S
Som
em
um
pode
meio
variação
pode
Pa r a
aos
ções
som
que
nossos
ocorrem
variação
entendido
pressão
produzir
[...]
gam
de
ser
elástico.
de
Em
[de
e,
como
geral,
acordo
nesse
entre
pressão
20
seja
som
com
caso,
possamos
ouvidos
uma
o
o]
e
o
p e rc e b e r
20.000
à
sua
nome
o
de
por
pressão
por
uma
volta.
de
som,
dentro
vezes
alguns
de
causado
meio
recebe
estejam
de
variação
é
Qualquer
fonte
é
limites
segundo,
de
rápida
de
que
um
corpo
se
propaga
corpo
elástico
na
elástico,
capaz
de
forma
o
de
qual
vibrar
ondas
gera
uma
rapidamente
sonora.
necessário
certos
milionésimos
muito
vibração
esse
que
de
as
va r i a ç õ e s
ra p i d e z
som
é
e
de
pressão
intensidade.
potencialmente
Se
que
essas
audível,
ainda
ch e -
va r i a -
que
a
pascal*.
...
Os
são
sons
torna-se
som
não
que
geralmente
útil
puro
é
pode
partir
[...],
gerado
ser
Disponível
ocorrem
de
um
meio
caso
mais
pelo
instrumentos
<www.etel
ou
que
Entretanto,
representado
por
conseguido
em:
no
complexos.
simples
gráfico
de
/arti
através
gerados
se
e
tradicionais
artificialmente
.com.br/etel
são
para
por
entender
genérico:
uma
nem
de
o
um
musicais
complexidade
som
função
é
instrumentos
a
senoidal,
seno.
encontrado
sintetizador
Esse
na
sonora,
chamado
de
som
natureza,
tipo
mas
eletrônico.
os/e25e1be1075a875af1aad3b0ce2ffe0f.pdf>. Br i t a d e i r a
Acesso
em:
6
fev.
( 9 0
*
pascal
(Pa):
a
1
m e t r o
2016.
unidade
de
medida
de
pressão
do
Sistema
Internacional
4.
a)
de
Unidades
Respostas
de
rock;
avião
b)
a
(SI).
possíveis:
construção
civil;
4.
banda
c)
sta
pessoal
d)
resposta
pessoal
decolagemde
jato
Espera-se,
a
sensibilizar
os
de
a
aos
No
de
caso
de
secadores
por
a
Além
cabelos,
média
ruído
donível
écerca
los
de
da
de
esta
em
decolagem
50metros.
com
atividade,
50metros;
foguete
d B)
alunos
danos
ruídos
excessivos.
disso,
sobre
relação
causados
a
conscientizá-
importância
colaboração
de
cada
cidadão
80decibéis;nos
c
a
n
d
ind
a
S u ssu r r o
a
1
co
ruído
m e t r o
90 ( 2 0
está
entre
80
e
Co n v e r sa çã o
decibéis. ( 6 0
d B)
fa
n o r m a l
dentr
d B)
a
sala
ou
de
aula
es
regula
periodicamente
ouvir
música
volume
F a r f a l h a r
( 1 0
0
dB
silêncio
absoluto
46
d e
f o l h a s
S a l a
d B)
10
d e
( 5 0
dB
20
dB
30
dB
40
dB
50
mais
ou
em
aixo.
a u l a
d B)
dB
60
dB
70
dB
80
dB
90
dB
100
dB
Registre as respostas em seu caderno
At iv id ades
1.
Responda
às
página
lado.
ao
questões
a
O
que
é
b)
O
que
gera
c)
Para
é
acordo
com
o
texto
da
Sons
e
vistos
som?
ual
som
de
o
vibrações
pelas
problemas
som?
pessoas
intervalo
audível
ara
de
o
variação
ser
de
ressão
Apesar
o
humano?
Uma
onda
sonora
pode
ser
representada
por
o
bidimensional,
em
que
o
eixo
a
passagem
do
tempo
cal representa
a
variação
(t )
e
o
representa
do
de
um
meio.
pressão
som
Qual
dos
das
a
poluição
e
de
ou
sonora
feitos
ainda
não
as
sonora.
públicas
alertas
pre-
causar
perturbar
poluição
políticas
dos
níveis
por
para
espe-
a
do
ar
ou
a
da
sensibiliza
água.
acordo
( dp d )
senoidal?
o
com
limite
a
Organização
suportável
Mundial
para
o
da
ouvido
Saúde
humano
em
65
decibéis*.
Acima
disso,
o
organismo
começa
gráficos
ternat
va
a
c
sofrer .
A a)
e
chama
os
podem
verti
é
melhor
ponto
leis
que
irreversíveis
problema
como
(OMS),
deter minado
se
e
horizontal De
representa
que
ultrapassam
legais
um tanto
gráfico
o
das
cialistas,
2.
auditivos
é
controlar
que
nor mas
[...]
longo
prazo,
o
ruído
excessivo
pode
causar
dp
gastrite,
insônia,
distúrbios
aumento
psíquicos
e
do
perda
nível
da
de
colesterol,
audição.
Provoca
t
OCCES
ainda
conforto,
NOSL
b)
dp
irritabilidade,
medo
Fonte:
a)
Com
base
t
sons
judiciais
b)
variação
de
pressão
de
uma
seja
dada
é
5
1,48
sen
Cuidado!
saúde.
179,
Nova
p.
28
infor mações
exemplos
muito
de
altos
e
Barulho
Escola,
29,
destas
que
Paulo,
jan./fev.
situações
e
demais
São
2005.
páginas,
que
podem
podem
ser
pre-
saúde.
em
o
por
livros,
nível
de
revistas
ruído,
ou
em
na
inter net
decibel,
alguns
aparelhos
atingi-
eletrodomésticos,
por como
dp
Ana.
à
onda do
sonora
à
Pesquise
qual a
mal
nas
alguns
gerar
que
JOVER,
n.
cite
Suponha
des-
tensão.
faz
SEÕÇARTSUL
dp
c)
excitação,
[...]
DA
t
e
ansiedade,
(1,07πx
334πt ),
em
que
x
secador
de
cabelos,
aspirador
de
pó
e
está liquidificador.
expresso
em
metro,
t
dp,
em
pas-
c) cal.
Deter mine
a
variação
máxima
de
o
texto
a
seguir
e
responda
às
d)
questões.
Em
sua
nizar
[...]
Com
o
passar
diariamente
a
do
sons
tempo,
muito
uma
altos
pessoa
pode
ter
a
[...]
de
D e co l a g e m
d e
110
causados
opinião,
poluição
os
quais
medidas
a
5 0
(dB):
unidade
intensidade
de
sonora
medida
de
uma
Dados
podem
usada
uando
se
determina
obtidos
em:
130
dB
HALLIDAY ,
140
David;
ame-
dB
RESNICK,
150
o
nível
d e
F o g u e t e
dB
ex-
m e t r o s a
5 0
m e t r o s
d B) ( 2 0 0
120
ruído
fonte.
d B)
dB
por
sintomas?
sonora?
r o ck
( 1 3 0 ( 1 1 0
a
foram
exposta
a v i ã o Ba n d a
danos
Quais
audição decibel
comprometida.
sofreu
O
Leia
já
cessivo?
pascal
NNAK
1,48
4.
Você
pressão.
dB
Robert;
160
KRANE,
dB
Kenneth
170
S.
dB
Física
2.
180
Rio
de
dB
Janeiro:
d B)
190
LTC,
dB
1996.
200
p.
128.
4
dB
v.
47
l
o
t
u
í p
C
a KCOTSNITA /L S
A
decom
luzes
essa
de
Ob
etivos
do
Aplicar
a
fenômeno
Ampliar
lei
o
dos
de
prisma
de
ocorre
refração
em
quando
da
devido
luz.
capítulo,
veremos
novas
relações
trigonométricas.
Um
exemplo
de
apli-
senos
conceito
ão
que
de
no
razão
um
branca
capítulo
ca
por
luz
cores,
transparente,
Neste
da
erentes
passa
material
ao
osição
di
de
uma
delas
corresponde
material,
é
à
está
razão
expresso
no
campo
entre
a
da
Óptica,
velocidade
matematicamente
da
quando
luz
no
calculamos
vácuo
e
a
o
índice
velocidade
da
de
luz
por:
trigonométrica.
Resolver
equações
trigonométricas
em
R
δ
α
2
Aplicar
as
fórmulas
de
n
2
NOSLIDA
1
ES
n
5
α
adição
de
arcos.
sen n
2
ar
n
Um
48
possível
desenvolvimento
interdisciplinar
relacionado
ao
assunto
deste
capítulo
está
na
Física,
explorando
o
campo
da
Óptica.
em
um
SEGAM
T rigonometria
triângulo
YTTEG/EGAMIAIAC
1 qualquer
Nos
capítulos
ângulos
relações
Por
culo
e
direta
altura
não
aplicando
1.1
Neste
aplicá-las
exemplo,
da
anteriores,
obtusos.
é
em
de
um
dos
Nesses
da
é
calcular
esse
como
na
necessário
casos,
as
razões
trigonométricas
conhecimento
para
estudar
de
novas
qualquer.
situações,
montanha,
possível.
a
usaremos
triângulo
algumas
uma
relações
Lei
a
aprendemos
capítulo,
é
possível
Trigonometria,
demarcação
determinar
medir
descobrir
ângulos
essas
de
terras
distâncias
com
ou
cuja
um
no
cál-
medição
teodolito
e,
medidas.
senos
Profissional
Acompanhe
a
situação
a
usando
um
teodolito,
seguir. 2015.
Um .8991
um
fio
lago
elétrico
em
um
será
instalado
terreno
plano.
entre
Como
um
poste
calcular
o
P
e
uma
casa
comprimento
C,
de
separados
fio
por
necessário?
ed orierevef
Observe
o
esquema
que
representa
essa
situação.
ed ed
OCCES
91
C
016.9
30° O
NOSLIDA
ieL
49°
e og idóC
:SEÕÇARTSULI
laneP
22
m
od 481 .trA
P
.adibiorp
As
medidas
oãçudorpeR
dolito.
o
apresentadas
Aplicando
comprimento
essas
C
do
no
esquema
medidas
na
lei
foram
dos
obtidas
senos
com
o
(apresentada
auxílio
a
de
seguir),
um
teo-
obtemos
fio. A
Em
um
triângulo
qualquer,
as
medidas
dos
lados
são
proporcionais
aos
senos c
dos
ângulos
opostos
a
eles,
isto
é:
b
a
b
c
en
C
B
C a
Demonstração
A
Consideremos
um
triângulo
qualquer ABC, C
com
altura
de
medida
h,
relativa
ao c
lado
BC
H’
h
b
h Temos:
sen
C
5
h ,
ou
h
5
b
sen
C,
e
sen
B
5
,
ou
h
5
c
sen
B h’
b
b Portanto:
b
C
5
8
B
c
C
5
u sen
B
(I) sen
B
H
C a
Considere
agora
a
altura
CH’ ,
de
medida
h’,
relativa
h Temos:
sen
A 5
ao
lado
AB
h ,
ou
h
5
b
sen
A,
e
sen
B
5
b
Obser vação ,
ou
h
5
a
sen
B
a
Na demonstração ao lado, usamos
b Portanto:
b
sen
A
5
a
sen
B,
ou
a 5
(II)
um triângulo acutângulo, mas é
en possível demonstrar a lei dos senos
De
(I)
e
(II),
para um triângulo obtusângulo
obtemos:
se
A
sen
C
epara um triângulo retângulo.
49
Obser vação
Exe rc íc ios resolv id os
Observe, na figura abaixo, o
R1.
Retomar
a
situação
comprimento
triângulo A’B
de
fio
da
página
anterior
necessário
para
e
calcular,
unir
o
poste
aproximadamente,
à
o
casa.
, retângulo em B e
inscrito na semicircunferência.
Resolução
A
Temos
o
seguinte
esquema:
A ’ c r
C
b
30° O
r 49°
C
B a
22
É
possível
mostrar
m
que: P
a
b
c 5 2r
sen
A
se
sen Pela
lei
dos
senos:
PC
OP 5
sen
sen
uma
30°
calculadora,
obtemos:
sen
49°
q
.8991
Em
49°
0,75
ed
Assim:
22 V
q
0, 7 5 V
q
q
3
0, 5
ed
0,5
orierevef
22
P
0, 7 5
91
serão
necessários
cerca
de
33
m
de
fio
para
unir
o
poste
016.9
à
ed
Portanto,
casa.
ieL e
Considerando
a
tabela
abaixo,
calcular
as
medidas
x
y
e
z
em
laneP
R2.
cada
ogidóC od
item.
a) x sen
50
x
481
z 0,34
30©
0,50
40©
0,64
50©
0,77
60©
0,87
70©
0,94
80©
0,98
.trA
20© y
1
oãçudorpeR
b)
.adibiorp
100
x
60
7,4
z y
Resolução
Obser vação
a)
Lembre-se de
ue:
Lembrando
180°,
sen
z
5
que
180©
soma
o
100©
Observando
100
a
calculamos
o
dos
valor
50©
de
5
triângulo,
ângulos
inter nos
de
um
triângulo
30©
pela
lei
dos
senos,
podemos
escrever:
80
10
100
calculamos
cada
uma
das
incógnitas
separadamente:
x
q
12,7
50
y
Assim,
sen 100° 5 sen 80°
x
q
12,7,
y
q
6,
e
z
5
30
.
q
6,5
:SEÕÇARTSUL
10
NOSLIDA
10
OCCES
Agora,
y
x
sen
50
é
z
Obser vação
b)
Pela
lei
dos
senos,
7,4
sen
podemos
8
6 0
vamos
Algumas
z
sen
Primeiro,
escrever:
y
sen
calcular
x
a
,
sin
medida
do
y
ângulo
seno 7,4
8
7,4
V
sen
y
q
Observando
a
tabela
podemos
exemplo,
dada,
concluímos
que
y
q
tabela,
digitação
se
não
tecla
do
tivéssemos
calcular
a
medida
poderíamos
60°
70°
5
50°
V
de
y
calculamos
9
n
4
5
50°
caso,
obteríamos,
z aproximadamente,
7,4
o
digitando:
x
x
Nesse Finalmente,
encontrar
70°.
0
180°
70°
7,4 V
sen
a
dele.
valor
x
a
têm
medida
sen
a
Agora,
após
a
0,94 Por
6 0
fornece
8 5
sen
calculadoras
que
60
sen
O
x
0
87
sen
procedimento
apresentado
pode
0,87 variar
dependendo
do
modelo
da
calculadora.
7,4
0, 7 7
Orientar
os
alunos
caso
tragam
6, 5 5 calculadoras
diferente
Portanto,
x
q
50°,
y
q
70°
e
z
q
Em
6,55.
do
a
calculadoras,
necessário
sin
tecla
do
é
funcionem
de
modo
apresentado.
algumas
exemplo,
que
e
ângulo
que
lados
de
depois
por
digitar
o
primeiro
valor
queremos
do
seno
determinar.
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos .8991 ed
Na
resolução
orierevef
utilize
uma
exercício
dos
exercícios
calculadora
resolvido
ou
a
a
seguir,
tabela
se
necessário,
apresentada
3.
no
Um
e
R2.
paralelogramo
4,3
cm.
menor
Uma
lado
tem
de
um
suas
ângulo
medidas
diagonais
de
70°.
3,5
or ma
Qual
é
a
cm
com
o
medida
ed 91
aproximada
ed
1.
Calcule
o
valor
aproximado
de
x
e
y
em
dessa
diagonal?
q
3,95
cm
cada
016.9
figura. 4.
ieL e
a)
x
6,3
cm
y
3,2
cm
x
b)
q
y
Um
m
é
observação,
laneP
tes 6
navio
visto
no
mar
por
dois
pontos
de
40°
4,5
50 km
A
um
e
B,
do
localizados
outro.
O
na
costa,
ângulo
distan
for mado
pelo
x
cm
ogidóC od
segmento
AB
e
o
segmento
que
une
o
navio
ao
y 4
m
ponto
481
30°
do
.trA .adibiorp
a 3
pelo
navio
60°
de
observação
segmento
ao
ponto
distância
oãçudorpeR
Na
figura
pomar,
a
a
seguir
estão
entrada
e
o
posicionados
jardim
da
é
e
35°.
o
O
segmento
observação
aproximada
ângulo
entre
B
o
é
for ma
que
45°.
navio
e
une
o
Qual
é
o
ponto
m
a
q
36,2
km
casa,
5. o
AB
de
deobservação A?
2.
A
Reúna-se
com
um
colega
e
resolvam
o
exercício
propriedade
aseguir. deMárcia.
Dois
110°
nadadores
lagoa,
ao
de
m/s.
0,2
partiram
mesmo
Um
tempo,
dos
do
e
mesmo
ponto
nadaram
nadadores
foi
à
na
de
uma
velocidade
direção
30°
40° entrada
nordeste,
for me
o
e
o
outro,
diagrama
aproximada
entre
na
direção
abaixo.
os
50°
Qual
nadadores
sudeste,
será
a
após
con-
distância
5
minutos
o
de
viagem?
q
76,36
m
casa
m
jardim
a)
Deter mine
a
distância
aproximada
entre
a
casa
30°
e
b)
a
entrada.
Como
entre
q
a
17,6
m
casa
e
a
entrada
existe
um
lago,
50°
verifique
algebricamente
a
a
para
ir
da
entrada
1:
entrar,
passar
pelo
pomar
e
seguir
entrar,
passar
pelo
jardim
e
seguir
casa.
Caminho
até
curto
2:
casa.
O
caminho
21,4
m
1
é
contra
o
mais
24,1
m
curto
do
:SEÕÇARTSUL
a
mais
casa.
Caminho
até
o
caminhos
NOSLIDA
até
é
dos
OCCE
alter nativos
qual
(aproximadamente
caminho
2).
51
1.2
Lei
O
mas
a
teorema
é
válido
seguir)
um
dos
de
cossenos
de
Pitágoras
apenas
relaciona
seus
para
os
ângulos
relaciona
triângulos
três
lados
de
a
medida
dos
retângulos.
um
A
triângulo
três
lei
lados
dos
de
um
cossenos
qualquer,
triângulo,
(apresentada
sabendo
a
medida
de
internos.
A
Em
um
triângulo
qualquer,
o
quadrado
da
medida
de
um
lado
é
igual
à
soma
dos quadrados das medidas dos outros lados menos o dobro do produto destas
pelo
c
cosseno
do
ângulo
formado
2
5
b
5
a
2
b
a
c
1
c
a
lados,
isto
2
b
c
cos
A
é:
2
a
c
cos
B
2
a
b
2
2
5
c
esses
2
1
2
2
C
por
2
a
2
1
b
cos
C
Demonstração
Considere
um
triângulo
AB
qualquer
e
a
altura
AH,
relativa
ao
lado
B
.8991
c b
h
ed orierevef
y
C
B
ed 91
a
ed
2
o
2
h
teorema
2
1
de
2
y
ou
Pitágoras
2
c
5
ao
triângulo
retângulo AHB
temos:
2
h
1
(a
ieL
5
c
016.9
Aplicando
x x)
e
triângulo
5
b
sen
C
C,
e
x
temos:
5
b
cos
ogidóC od
h
laneP
Do
C
Obser vação
Assim:
Na demonstração ao lado, usamos 2
5
(
5
b
481
2
2
)
1
(
)
um triângulo acutângulo, mas 2
cossenos também para um
5
c
2
2
sen
2
C
1
b
2
C
1
cos
b
cos
C
1
2
b
cos
C
2
C )
1
a
2
a
b
cos
C
2
C
1
2
cos
C
5
1,
concluímos
que:
c
5
a
2
1
b
2
a
b
cos
oãçudorpeR
2
sen
a
2
(sen
triângulo obtusângulo e para
Como
2
a
2
.adibiorp
2
.trA
2
c
é possível demonstrar a lei dos
C
umtriânguloretângulo, caso
Analogamente,
considerando
as
alturas
relativas
aos
lados AC
e
AB,
temos:
em que se reduz ao teorema
2
a
dePitágoras.
2
5
b
2
1
2
c
2
b
c
cos
A
e
b
2
5
a
2
1
c
2
a
c
cos
B
Exe rc íc io resolv id o
R3.
Deter minar
a
medida
a
indicada
no
triângulo
abaixo.
y
5,5
cm
120°
x
4,5
8 ,7
5
120
Resolução
OCCE
s en
cm
4 ,5
s en
x
q
0,55
V x
q
33°
sen
y
q
0,45
V y
q
27°
Aplicando
2
a
a
lei
dos
2
5
(5,5)
cossenos,
obtemos: NOSLIDA
sen
2
1
(4,5)
2
5,5
4,5
cos
120°
Ref lita cos
120°
= 2
cos
60º
=
0,5,
2
No
triângulo
após
e
y
obter
o
do
valor
aplicando
52
exercício
a
lei
de
a,
dos
a
R3
calcule
senos.
x
encontramos:
2
5
30,25
Logo,
a
vale
20,25
24,75
V
aproximadamente
a
8,7
5
75,25
cm.
V
a
q
8,7
:SEÕÇARTSUL
Como
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
6.
Calcule
o
valor
aproximado
da
incógnita
em
cada
c)
eja
item.
a
o
medidas
a)
q
5,1
calcule
cm
8 cm
gulo
é
ângulo
2
o
cm
e
valor
for mado
3,5
de
cm.
cos
obtusângulo?
a.
entr e
Pela
Por
cos
a
lei
esse
5 2
y
os
dos
;
lados
de
cossenos,
valor,
o
triân-
s im
8
9.
Os
lados
de
um
paralelogramo
têm
medida
50cm
30
e
10 cm
70
cm.
Calcule
paralelogramo
inter no
mede
a
medida
sabendo
105°.
de
cada
que
( Dado:
diagonal
seu
cos
maior
75°
q
desse
ângulo
0,26)
b) q
4,8
cm
q
10.
Dois
da
navios
manhã.
saíram
Um
dos
do
porto
navios
de
viajou
96
cm,
q
Santos
na
74,7
às
8
direção
cm
h
60°
2 5 cm
nordeste
à
velocidade
de
24
nós.
O
outro
navio
120
viajou
3,0 cm
Um
triângulo
Sabendo
lados
do
que
mede
terceiro
possui
o
135°,
lado.
18nós,
lados
ângulo
medindo
interno
descubra
q
17,6
na
a
8
cm
formado
medida
e
11
entre
direção
confor me
15°
o
sudeste
esquema
à
velocidade
de
abaixo.
cm.
esses
aproximada
60°
cm
15° .8991
Um
triângulo
tem
lados
medindo
2
cm,
3,5
cm
e
ed
cm.
orierevef
a)
Com
ed
um
91
b)
De
o
auxílio
esboço
acordo
de
uma
desse
com
régua
e
compasso,
faça
Sabendo
triângulo.
seu
cia,
desenho,
esse
triângulo
é
em
que
cos
75°
quilômetro,
(Observação:
1
nó
q
0,26,
entre
é
uma
os
descubra
navios
unidade
ao
de
a
distân-
meio-dia.
medida
de
ed 016.9
retângulo,
obtusângulo
ou
acutângulo?
velocidade
equivalente
a
1.852
m/h.)
q
192,6
km
obtusângulo
ieL e
a)
ES
og idóC
2
od
2
Secante,
cossecante
e
NOSLIDA
laneP
cm
8.
m 3,5
cotangente
cm
481 .trA
Existem
.adibiorp
seno
e
finidas
oãçudorpeR
A
outras
tangente:
a
três
a
razões
secante
trigonométricas
(sec),
a
que
cossecante
decorrem
(cossec)
e
a
das
razões
cotangente
cosseno,
(cotg),
de-
seguir.
secante
de
um
ângulo
de
medida
é
definida
por:
P
sec
x
x cos
0
x
sec
x
No ciclo trigonométrico (veja a figura ao lado), podemos identificar graficamenO
te
a
sec
x.
Pelo
ponto
P, P
extremidade
do
arco
AP ,
que
corresponde
ao
ângulo
C
A
E
de
medidax x
abscissas
De
no
ponto
acordo
trico).
Os
com
E
o
que
triângulos
OE
OP 5
Então:
já
OEP P
e
vimos,
OPC
OE
5
são
5
1
pelo
(raio
caso
do
AA
ciclo
trigonomé-
(ângulo-ângulo).
1 OE
cos
1
OC
OP
1
V
OP
x
semelhantes
5
V co s
x
OE
5
x
x
cossec
A
cossecan
de
um
ângulo
x
medida
5
, sen
ciclo
tri
onométrico
(ve
a
a
fi
é
definida
para
sen
x
por:
i
F
0
P
x
D
ura
ao
lado),
podemos
identificar
x
rafica-
a
ângulo
o
eixo
cossec
.
de medida
das
Pelo
é
extremidade
do
arco
,
que
corresponde
ao
O
A
x
ordenadas
semelhantes,
ponto P P,
:SEÕÇARTSULI
mente
NOSLIDA
No
x
OCCES
c o ss e c
de
no
possível
pontoF.
provar
Observando
que
OF
5
cossec
que
os
triângulos
P
e
OPD
são
x
53
A
cotangente
de
um
ângulo
cotg
x
de
medida
cos
x
sen
x
5
x
é
definida
para
sen
x
i
por:
0
No ciclo trigonométrico (veja a figura abaixo), seja t
e
é
ce
aralela
ao
eixo
tat
ue
BT
T
cos
x
sen
x
5
,
das
abscissas.
Se P
é
a
extremidade
Por semelhança dos triângulos
ou
seja,
que
BT
5
cotg
B
do
T
A P,
arco
a
reta
OP
inter-
e ODP P
x
T
B
t’
cotg P
D OCCES NOSLIDA
x
A
O
.8991 ed orierevef
Exe rc íc ios resolv id os
ed 91
R4.
Calcular:
ed
sec
45°
b)
cossec
120°
c)
016.9
a)
cotg 6
ieL
Obser vação
Resolução
e
que
os
sinais
da
secante,
1
cossecante
são,
e
da
cosseno,
do
iguais
seno
e
1
2
2
5
2 45
2
aos
2
2
2
481
do
45°
cotangente
respectivamente,
sinais
sec
ogidóC od
a) da
laneP
Note
da 1 cossec
3
1
2
.trA
b)
120°
tangente. sen
sen
60°
2
3
.adibiorp
cossec
120°
5
12
3
3
oãçudorpeR
3
cos c)
3
6
3
1
2
cot g
3 6
2
2
2
1
sen 6
3 R5.
Sabendo
que
cos
x
5
e
que
2 ,
5
a)
sen
x
c)
b)
tg
Resolução
x
d)
calcular:
2
sec
x
e)
cossec
cotg
x
x
2
2
a)
sen
2
x
1
⎛
2
cos
x
5
1
V
sen
x
4
⎞
16
2
5
1
1
V
sen
x
5
1
V 25
3 V
sen
x
5
6 5
3
3 ,
omo
temos
sen
x
,
0.
Logo,
sen
2
tg
x
as
nesse
razões
intervalo
seriam
sen x
.
0,
x
4
2
5
x
5 cos
Como
5
5
sen b)
x
x
x 5
5
5
5 2
4
4
todas
1
positivas.
c)
sec
x
4
5
5
5
4
4
5
sec cos
5
x
4
Ref lita
1 d) O
que
mudaria
exercício
R5
se
nas
o
respostas
inter valo
c o ss e c sen
e) de
x
fosse
0
,
x
,
? 2
54
5 2
x
3
3
de co
variação
5
c o ss e c
do
cot g
x
x
⎛ V
sen
x
cot g
x
3
4
⎞ 5 2
5
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
7 11.
Calcule
os
valores
12.
de:
Sendo
sen
5
, 4
a)
calcule:
2
sec
cot g
d)
2
1
3
a)
3
cos
x
d)
cossec
x
7
4
7
b)
sec
2
135°
e)
cossec
240°
b)
tg
x
e)
cotg
x
3
3
7
4
c)
cossec
150°
f )
2
cotg
3
330°
c)
sec
x 3
3
Equações
No
capítulo
conjunto
junto
a
U
exemplos
R,
estudamos
universo
universo
Nos
verso
1,
basta
expressão
o
5
a
que
a
intervalo
resolução
[0,2π].
de
equações
Agora,
vamos
em R
trigonométricas
estudá-las
tendo
considerando
como
o
con-
R
seguir,
resolvê-las
circunferência
trigonométricas
veremos
como
fornece
as
se
que,
fosse
medidas
trigonométrica.
para
no
obter
a
intervalo
dos
arcos
solução
[0,
2π]
e,
côngruos,
das
em
nas
equações
seguida,
infinitas
no
uni-
escrever
voltas
da
Acompanhe.
.8991 ed orierevef
Exemplos
a)
Vamos
determinar
x
tal
que
,
sendo
U
5
sen
R
ed
4
91 ed
Se
,
então
x
pode
assumir
os
016.9
π
3π
4
4
valores
e
todas
––
as
+
2k k
3
4
–––
+
2k k
4
ieL
2
medidas
associadas
a
esses
pontos,
nas
infinitas
voltas
da
circunferência
e
–––
laneP
2
trigonométrica.
ogidóC od
0
Portanto,
no
universo
real,
o
conjunto
solução
é:
⎫
481
⎨
x
R
x
k
x
k
4
.trA
⎩
k
Ñ
Z⎬
4
⎭
.adibiorp
3
oãçudorpeR
b)
Vamos
obter
x
tal
que
sen
x
5
n
,
sendo
U
5
R
2
2 –––
3 No
intervalo
[0,
2π],
os
arcos
cujo
seno
2
vale
medem
+
2k k
––
+
2k k
3
e 3
3
2
3 ––– 2
Logo,
no
universo
real,
temos
o
conjunto
solução:
0
⎫ ⎨
x
Ñ
R
x
x
k
Ñ
Z⎬ ⎭
π
⎛ c)
Vamos
obter
x
tal
que
cos
1
⎞
x
,
⎝
6
sendo
U
5
R
2 2 –––
1 No
inter valo
[0,
2π],
os
arcos
cujo
cos s e no
v al e
medem
+
2k k
3
e
2
3
Assim:
π
π
π
5
π 1
5π 1
1
5
0
cos OCCES
–
––
6 2
NOSLIDA
1
k 4
6
3
2 –––
+
2k k
3
o
conjunto
solução,
no
universo
real,
:SEÕÇARTSULI
Então,
é:
⎫ ⎨
x
Ñ
R
x
x
k
Ñ
Z⎬
55
d)
Vamos
Os
resolver
arcos
cuja
a
equação
tangente
tg
vale
2x
1,
1.
levando-se
em
conta
a
primeira
volta
no
ciclo
5
trigonométrico,
5
medem
e 4
4
tg
1
π
4
0
5π ––– 4
Quando não se menciona o conjunto universo, fica convencionado que U 5 R
Considerando,
então,
o
conjunto
k
1 4
8
Repare
para
que,
obter
o
conjunto
temos:
Ñ
2
caso,
os
real,
basta
pontos
solução
somar
que
são
um
múltiplo
solução
da
de
π
ao
primeiro
ponto
equação.
.8991
Assim,
nesse
todos
universo
k
é:
ed
x
Ñ
R
x
5
orierevef
k ⎨
⎫
1
k
Z⎬
⎩
⎭
ed
13.
a)
x
Ñ
k
u
k
4
k
b)
⎬
4
5
⎭
kπ
⎨
u
kπ
k
⎬
3
⎩
ed
⎨
91
⎫
⎫
⎭
016.9 ieL
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
e laneP
Resolva
as
equações
a
seguir,
sendo
U
5
16.
R
Observe
a
figura
do
ciclo
trigonométrico.
resposta
2 5
15.
⎨
x
Ñ
R
x
5
k
2
Ñ
2
Z⎬
2
2
5
3π –––
sen
+
.adibiorp
x
.trA
sen
5 2
cos
⎭
2 b)
481
x
possível:
⎫
kπ
sen
a)
ogidóC od
13.
2kπ k
4
3
1 cos
x
oãçudorpeR
c)
5 2 2
cos
x
5
cos
5π
⎛
d)
⎞
cos ⎝
⎠
6
5π
⎫
e)
tg
x
5 2
⎨
x
Ñ
π
⎬
–––
⎭
4
5 f )
tg
x
5
⎨
x
Ñ
π
equação
cos
NOSLIDA
a
⎬
4
⎩
⎭
3
⎛ Resolva
x
em
R
4
que
equação
Resolva,
em
R,
a
equação
sen
a
figura
destaque
x
cos
x
5
trigonométrica,
Compare
0.
sua
resposta
escreva
com
a
de
5
c)
u
kπ
⎨
kπ
k
x
Ñ
k
u
k
sen
45°
1
45°)
5
sen
90°
5
de
uma
um
equação.
colega.
x
Ñ
k
u
k
6
⎩
k
6
Z
⎬ ⎭
k
12
⎭
4 (45°
⎨
⎭
12
sen
d)
⎬
⎩
14.
raízes
essa
⎫
⎫ 13.
as
2
Adição
de
arcos
1
2 1
sen
45°
5
1
5
2
Conhecidos os valores do seno, do cosseno e da tangente dos arcos notáveis (30°,
45° Como
sen
1
(45°
i
1
2
,
45°)
e
60°),
i
sen
45°
1
sen
45°
realizando
As
Ref lita
direto,
por
meio
de
75°
da
5 sen
adi
(45°
de
diversos
ão
1
adição
de
30°)
cálculo
que:
sen (45° 1 45°) i sen 45° 1 sen 45°
56
encontrar
operações
fórmulas
sen Verifique,
podemos
outros
valores
das
funções
trigonométricas
então
cos
tg
105°
75°
5
5
cos
tg
(60°
(120°
1
45°)
45°)
e
arcos
de
subtração
permitem
com
esses
calcular,
por
arcos.
exemplo:
:SEÕÇARTSULI
Supondo
⎝
15.
2kπ k
⎫
tg 4
14.
+
OCCES
3
Cosseno
Neste
As
tópico,
demais
os
o
os
vamos
de
do
sen
demonstrar
apresentadas
AM
arcos
cosseno
valores
soma
fórmulas
Considere
minar
da
AN ,
arco
a,
sen
e MN
b,
de
que
cos
a
é
e
a
fórmula
são
medidas a
a
soma
cos
do
cosseno
consequências
e
dos
b,
da
diretas
soma
dessa
respectivamente.
AM
arcos
e
MN ,
de
dois
arcos.
primeira.
Vamos
sendo
deter-
conhecidos
b
N
a 1 OCCES
M S R b
NOSLIDA
a
O
De
acordo
com
a
figura,
OP
5
P
OQ
PQ.
Q
A
Como
PQ
5
SR,
podemos
escrever: Ref lita
OP
5
OQ
SR
.8991
Por
O
triângulo
PN N
é
retângulo.
Logo:
5
cos
(a
1
b)
é
ed
Para
determinar
OQ,
consideramos
orierevef
No
:OQR,
temos:
OQ
No
:ORN,
temos:
OR
5
OR
cos
os
triângulos
que
a
medida
do
ân
lo
QOR
(I)
retângulos OQR
e
igual
à
medida
do
ângulo
PNR?
ORN
a N
ed
5
ON
cos
b
91
a
Como
ON
5
1,
temos:
OR
5 1
cos
b
OR
5
cos
b
ed
OQ
5
cos
determinar
a
cos
SR,
b
(II)
tomamos
os
triângulos
retângulos
N
ORN
e
NOSLIDA
ieL
Para
OCCES
016.9
Então:
laneP
No
:RSN
No
:ORN,
temos:
SR
5
NR
sen
a R
og idóC
Como
ON
temos:
=
1,
NR
temos:
5
ON
NR
90° –
sen
5
1
sen
b
V
NR
5
sen
b
a
90°
a
od
a
481
Então:
SR
5
sen
.trA
Substituindo
as
a
sen
b
(III)
expressões
(I),
O
(II)
e
(III)
.adibiorp
cos (a 1 b) 5 cos a
em OP
cos b
5
OQ
sen a
SR,
Observe
obtemos:
P
na
figura
os
retângulos
semelhantes
agudos
medidas
de
Q
triângulos
a
e
com
(90°
ângulos
a).
sen b
oãçudorpeR
Cosseno
Vamos
Sabendo
cos
[a
cos
(a
da
diferença
substituir,
que
1
cos
(
b)]
b)
5
(
5
cos
na
b)
fórmula
5
cos
a
cos
a
cos
b
cos
b
e
(
do
cosseno
sen
(
b)
sen
b)
sen
a
(
da
5
soma,
2sen
a
sen
sen
b,
(
o
arco
( 1b)
pelo
arco
(
b).
temos:
b)
b)
Logo:
cos (a
Seno
da
b) 5 cos a
cos b 1 sen a
sen b
soma
⎞ cos
rença,
e
x
usando
a
fórmula
do
cosseno
da
dife
⎠
2
escrevemos:
⎡
π
b)
⎛
⎤ (
5
⎤
π
s
Como
cos
1 b)
1
a,
⎛ 1
⎦
cos
sen (
π
b
⎣
2
π
sen
sen 2
concluímos:
8
57
Seno
Vamos
cos(
)
da
considerar
5
sen
[a
sen
(a
diferença
cos
1
b
e
(
b)]
b)
5
o
sen
5
sen
sen
arco
(
a
b)
a
(
5
cos
cos
b
b)
na
2sen
(
1
b)
(
fórmula
b,
1
sen
do
seno
da
soma.
Sabendo
que
temos:
sen
b)
(
b)
cos
cos
a
a
Logo:
sen (a
Tangente
Sabemos
da
b) 5 sen a
cos b
sen b
cos a
soma
que
sen
x
s
x
5
,
para
cos
i
cos ) 5
b
0.
Assim:
1
cos
5 b
Para
nador
trabalhar
da
fração
apenas
por
cos
sen
com
a
tangentes,
cos
b
i
0.
vamos
1 sen b
a
dividir
o
numerador
e
o
denomi-
Assim:
sen
a
cos
a
sen
b
1
1
a
tg
5
5 cos
sen
a
a
1
sen
a
t
1
.8991
cos
ed
cos
a
orierevef
cos
ed
Logo:
91 ed 016.9
tg tg
tg
) 5 tg
ieL
1
e laneP
fórmula
é
válida
para
2
k
Ñ
1
i
2
1
k
2
Z
ogidóC od
Essa
481 .trA
Tangente
nos
ao
casos
eixox, x
diferença
anteriores,
temos
que
tg
tg m:
tg
[a
b
vamos
(
a
b)
considerar
5
tg
2tg
o
arco
(
b).
Pela
simetria
em
b
b
tg
] 5
5 12
tg
a
8
tg
(
1 1
b)
Logo:
tg 5
Essa
com
k
fórmula
Ñ
é
válida
i
para
Z
Exe rc íc ios resolv id os
R6.
Calcular:
a)
sen
Resolução
a)
58
105°
Consideremos
b)
a
cos
igualdade
15°
sen
105°
c)
5
sen
(45°
1
tg
105°
60°).
1
k
oãçudorpeR
Como
relação
da
.adibiorp
Aplicando
a
fór mula
sen
(45°
1
60°)
sen
(45°
1
60°)
para
sen
oseno
45°
cos
da
60°
soma
1
3
2
de
sen
arcos,
60°
cos
temos:
45°
1
2
5 2
2
2
2
4
1 Logo,
sen
105º 4
Consideremos
fór mula
para
a
igualdade
ocosseno
cos
(45°
30°)
cos
(45°
30°)
5
cos
cos
da
15°
5
diferença
45°
cos
30°
cos
de
1
30°).
arcos,
sen
3
2
(45°
45°
Aplicando
a
temos:
sen
30°
1
1 5
4
1 Logo,
cos
15º
5 4
Sabemos
tg
105°
que
5
tg
Aplicando
a
105°
(45°
5
1
45°
1
60°.
Podemos,
fór mula
da
tangente
da
1 tg
105°
5
tg
(45°
1
60°)
o
soma,
escrever
tg
temos:
60 5
5
5
tg
Racionalizando
então,
60°).
denominador,
45
g
60
1
obtemos:
.8991
2 tg
105 5
8
5 2
5
5
ed
2
orierevef
Logo,
tg
105°
5
3
22
ed 91 ed
R7.
Demonstrar
016.9
(x
1
cada
ieL
a)
sen
b)
cos
Resolução
(x
1
y)
uma
sen
y)
das
(x
cos
identidades
y)
(x
y)
5
2
5
sen
22
y
sen
abaixo.
cos
x
x
sen
y
e laneP ogidóC od
Utilizando
as
fór mulas
do
seno
e
do
cosseno
da
soma
e
da
diferença,
481
temos:
.trA
a)
sen
x
y
sen
x
y
5
.adibiorp
5
sen
x
cos
y
1
sen
y
cos
x
(sen
5
sen
x
cos
y
1
sen
y
cos
x
sen
oãçudorpeR
5
b)
1
sen
cos
5
5
(x
1
y
cos
y)
(x
y)
cos
y
sen
x
sen
y
(cos
cos
x
cos
y
sen
x
sen
y
cos
x
sen
y
1
sen
y
y
cos
cos
x )
x
5
5
5
x
sen
cos
cos
x
cos
cos
22
x
x
x
cos
cos
y
y
1
sen
sen
x
x
sen
sen
y
5
y
sen
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
2
17.
Calcule:
b ),
a)
)
e
c)
d)
4
a)
sen
b)
cos
75°
c)
sen
d)
cos
d)
165°
Usando
as
fór mulas
de
adição
de
arcos,
Ver
resolução
a)
tg
15°
b)
tg
60°
i
75°
no
tg
45°
tg
45°
Guia
do
7
30°
tg
15°
b)
Usando
Calcule:
a)
cos
b)
cossec
a)
105°
4
cos
12
as
treque:
19.
tg
12
21.
i
17
tg
professor.
tg
105°
Calcule:
mostre a)
que:
sec
285° 20.
18.
cotg
4
75°
Ver
(π
1
⎛
π
⎝
2
fór mulas
resolução
x
5
no
2cos
de
Guia
adição
do
de
arcos,
mos-
professor.
x
b) 15°
1
59
Exercícios
complem ent a res Registre as respostas em seu caderno
⎫
8.
a)
⎨
x
R $
b)
⎬ 5
5
x
Ñ
k
u
k
12
⎭
8.
k
⎬
12
Resolva
as
⎭
equações
a
seguir
considerando
U
5
R
Aplicação a)
1.
Considere
o
triângulo
representado
sen
x
5
sen 5
abaixo.
2
⎛ cos
x ⎝
3
2
x
π
⎛
c)
tg
30°
⎫
⎞
x
⎨
⎝
x
Ñ
R $
π
Ñ
Z
12
4
⎬ ⎭
15°
B
9.
Resolva
a
equação
sen
x
1
cos
x
5
0
considerando
cm
U
5
⎫
R ⎨
x
Ñ
R
x
Z
⎬
4
Calcule
a
o
valor
de
x
15
cm
10.
Calcule
o
valor
de:
6
a 2.
De
uma
ponte,
um
engenheiro
observa
dois
sen
2
1
edifícios, 4
um
em
60m
cada
de
margem
distância
Considerando
as
do
de
um
rio.
engenheiro,
medidas
da
e
O
o
figura
edifício
edifício
abaixo,
A A
B,
está
a
b)
a
cos
2
2
2
6
b)
165°
4
c)
50m.
tg
75°
deter mine
2
a
distância
entre
os
edifícios
A
e
B.
q
55,7
m
11.
Calcule
o
valor
de
cos
75°
sen
105°. 2
A
3 12.
Sendo
cos x
5
com
0
calcule
,
o
valor
de:
4
60
m
a)
sen
8991
5
24
x
d)
sen
2x
ed
5
25
b)
tg
x
e)
3
tg
orierevef
24
4
2x
7 7
c)
cos
2x
ed
25
91 ed 016.9
B
Aprofund amento
ieL e
triângulo
Um
5
120°.
triângulo
cm
tem
e
lados
AC
24
entre
os
AB
8
medida
de
cm.
lados
cm,
do
medida
Qual
é
AB
AC
AC
8cm
AB
a
13.
Considere
o
triângulo
representado
abaixo.
lado BC
15
medida
?
do
cm,
a
ân-
60°
.adibiorp
gulofor mado
a
.trA
21
temos
Calcule
481
BC
ABC,
ogidóC od
4.
um
med(A) A
laneP
Em
e
36
No
pico
de
altura.
Ao
região,
um
uma
montanha,
fazer
medições
topógrafo
há
em
obtém
uma
torre
de
deter minado
36°
para
o
19
m
ponto
ângulo
de
de
oãçudorpeR
5.
da
b
45°
visão
3
até
o
topo
da
torre
e
15°
para
o
ângulo
de
elevaçãoaté
s en
b
5 2
a
base
da
torre,
confor me
mostra
a
figura. a)
Aplicando
b)
Com
concluir
são
a
base
lei
na
que
esses
dos
senos,
resposta
há
dois
valores?
encontre
do
item
valores
60°
ou
o
valor
anterior,
possíveis
de
sen
.
podemos
para
b.
Quais
120°
19 m
c)
d
Agora,
Pelos
deter mine
itens
os
possíveis
anteriores,
possibilidades
de
valores
concluímos
for mato
para
esse
de
que
a
75°
há
ou
1
duas
triângulo.
Faça
x
o
esboço
delas.
Ver
resolução
no
Guia
do
professor.
15°
14.
Aplicando
gente Qual
é
a
distância
aproximada
entre
o
topógrafo
e
da
torre?
(Dados:
sen
21°
q
0,36
e
sen54°
as
fór mulas
soma
de
do
arcos,
seno,
do
deter mine
cosseno
as
e
da
fór mulas
tan-
gerais
a para
base
da
o
cálculo
de:
q 0,81)
42,75
m
a)
sen
b)
cos
c)
tg
2a
sen
2a
5
2
sen
a
cos
2
2a
cos
2a
5
cos
OCCES
q
a
2
a
2
sen
a
Calcule
o
valor
de
cossec
1
sec
.
1
NOSLIDA
6.
g
2
2a
t
2a
5 2
tg
Considerando
x
um
arco
do
primeiro
quadrante
:SEÕÇARTSULI
7.
e
1 cos
x
5
,
deter m
Desaf io
ne:
3
a)
sen
b)
tg
x
c)
sec
d)
cossec
x
15.
3
De
que
tipo
é
a
sequência
PG,
a
5
cos
x
q
5
21
3
x
x
(cos 4
60
x,
cos
(x
1
π),
cos
(x
1
),
...),
com
k ?
Registre as respostas em seu caderno
Autoavaliação
1.
Considere
a
igura
a
seguir.
5.
A
solução
de
2
sen
x
2
5
0
é:
alternativa
b
⎫ 5
1
⎨
Z⎬
3
100°
2
⎭
m
y
⎫ b)
S
5
2
⎨
36°
⎬
2
⎭
x
⎫
c) Nesse
triângulo,
OCCES
⎛ 6
pode-se
afir mar
44° ⎞
sen
que:
⎛ 6
alternativa
NOSLIDA
5
cm sen 100°
⎝
c)
y
sen
R
⎨
2
Z⎬ ⎭
36° ⎞
5
⎠
5
4
d) x
a)
S
d
S
5
Ö
cm
⎝
sen 100°
⎠
2
:SEÕÇARTSULI
⎛ 6
6.
36° ⎞
sen
⎛ 6
cos
2x
5 2
tem
o
conjunto
solução:
alternativa
36° ⎞ 2
b)
x
d)
cm
5 44°
⎝
y
cm
5
⎠
sen
⎝
44°
⎠ 3 a)
5
Ñ
⎨
Ñ
4
2.
Observe
o
triângulo
representado
⎫
5 ou
R
Z⎬
4
⎭
abaixo.
3 b)
5
Ñ
⎨
⎫
5 ou
R
Ñ
8
A
Z⎬
8
⎭
⎫
8
c)
5
1
⎨
.8991
4
Z⎬ 2
⎭
20
ed
B
d)
C
S
5
Ö
orierevef
12
7.
ed
Sabendo
que
cos
20°
q
0,94,
o
valor
mais
Os
valores
91
mente:
ed
para
016.9
a)
AB B
é:
alternativa
3,25
b)
de
sen
15°
e
cos
105°
são,
respectiva-
próximo
alternativa
d
c
4,25
c)
5,25
d)
6,25 e
a)
ieL
4
4
e laneP
3 3.
Sabendo
que
sen
x
5
,
o
valor
de
cossec
x
2
é:
2
b)
5
ogidóC od
alternativa
4
e
b
4
4
5
a)
c) 2 5
2
4 e
c)
481
4
.trA
5
4
b)
d)
.adibiorp
3
2
3
2
d)
e 4
4
oãçudorpeR
1 4.
Sabendo
que
cos
x
5
e
x
pertence
ao
primeiro
8.
4
Sendo
sen
e
0
,
,
o
valor
de
4
quadrante,
o
valor
de
cotg
x
é:
15
alternativa
a
sen2 x
15
a)
15 c) 16
15
15 d)
8
b
4
16
15
alternativa
a)
c) 15
b)
é:
15
15
b)
d)
16
8
4
Retomad a de conceitos
Se
você
Releia
não
a
acertou
teoria
e
alguma
refaça
os
questão,
exercícios
consulte
a
tabela
e
verifique
o
que
precisa
Número
Objetivos
Aplicar
a
Ampliar
Resolver
Aplicar
lei
o
senos
equações
as
Páginas
dos
conceito
fórmulas
do
livro
de
e
do
dos
razão
capítulo
de
X
de
ao
em
novamente.
3
4
X
X
da
questão
5
6
X
X
R
arcos.
conceito
49
a
7
8
X
X
X
trigonométrica.
adição
referentes
2
cossenos.
trigonométricas
estudar
correspondentes.
51
52
e
53
53
a
55
53
a
55
55
e
56
55
e
56
56
a
59
56
a
59
61
b
l
o
u
t í p a
C
Super fícies poligonais,
4 círculo e áreas
IZNAM OLUAP S ÕÇART L
1
Polígonos
Neste
capítulo,
presentes
como:
Qual
é
quanto
a
estudar
Objetivos
en
do
em
vamos
nosso
aprender
cotidiano
couro
é
quantidade
alguns
regulares
necessário
de
tinta
conceitos
a
para,
calcular
assim,
para
a
necessária
importantes
a
área
de
alguns
conseguirmos
confecção
para
de
pintar
relacionados
uma
uma
aos
objetos
responder
bola
de
parede?
a
e
futebol
Para
figuras
perguntas
oficial?
isso,
vamos
polígonosregulares.
capítulo
car
su
s
1.1
Segmentos
congruentes
e
ângulos
congruentes
poligonais, circunferências
Dois
Estabelecer
segmentos
medida,
métricas
entre
elementos
regulares
da
circun
dos
e
de
reta
são
congruentes
quando
possuem
a
mesma
relações
o
considerando
uma
mesma
unidade
de
comprimento.
os
polígonos
raio
Exemplo
erência
D
circunscritaa
Resolver
situações-
cálculo
que
de
e
do
envolvam
áreas
A
de
círculo.
Indicamos
62
B
poligonais
a
co
ruência
dos
se
entos
por:
r
CD
:SEÕÇARTSULI
superfícies
NOSLIDA
problema
o
OCCES
eles.
H ER
ER T
S
P
H T
IN
R C
O
R B I
S
L
I
Composição
Dois
ângulos
rando
uma
são
congruentes
mesma
unidade
quando
de
têm
a
mesma
medida,
de
uma
bola
de
futebol.
conside-
medida.
OCCES NOSLIDA
Exemplo
A
:SEÕÇARTSULI
C O B D
Indicamos
1.2
a
congruência
Def inição
de
dos
ângulos
polígono
por: AOB
r
COD
regular
Explore
Um polígono é
r
se, e somente se, tem todos os lados congruentes Com
e
todos
os
ângulos
internos
congruentes.
do
um
colega,
Ensino
consulte
Fundamental
livros
que
tratemde:
Exemplos polígono 2
lados;
cm
internos
14
120°
de
um
polígono
de
145°
°
n
lados.
120° 70°
70° Para
145° 120°
145°
o
tópico,
não
desejável
ideias
cm
polígono
desenvolvimento
é
deste
imprescidível,
porém
120° é
2
de
polígono
não
que
os
referentes
a
alunos
recordem
polígonos
regular convexos,
como:
em
(
um
vértice,
2)
decomposição
triângulos
a
partir
de
regular
diagonais
medidas
cálculo
ecálculo
do
número
da
dosângulos
soma
de
das
internos.
63
1.3
Polígono
Antes
de
falarmos
regular
sobre
os
inscrito
polígonos
em
regulares
uma
circunferência
inscritos
em
uma
circunferência
Obser vação
e
circunscritos
a
ela,
vamos
definir
circunferência.
r
Circun
distam
O
circun
m
é
qualquer
x
e
r
ir
n
r
segmento
n
um
n
ponto
da
de
um
erência,
é
a
igura
ponto
e
o
O
ormada
fixo
ponto
O
desse
é
o
por
plano.
centro
todos
A
da
os
pontos
distância r
circun
é
a
de
um
medida
plano
que
do raio
da
rência.
i
cujas
mi
rência
r
Quando
r
dizemos
todos
que
ele
os
é
vértices
um
de
um
polígono
polígono
inscrito
pertencem
nessa
a
uma
circunferência
ou
circunferência,
que
a
circunfe-
circunferência.
rência
é
circunscrita
ao
polígono.
Exemplos
O
O
O
ono
re
ular
quadrado
ed
inscrito
inscrito
.8991
pentá
retângulo
inscrito
orierevef
um
polígono
regular
é
inscrito
em
uma
circunferência
de
centro O
e
ed
Quando
91
oponto
médio
do
de
um
apótema
lado
de
do
um
polígono
polígono
é
chamado
regular
é
a
de apótema
medida
do
do
raio
polígono.
da
circunfe-
e
Obser vação
quadrado
de
é
ABCD
inscrito
raio
r
e
é
na
da
figura
polígono.
ao
circunferência
circunscrito
de
raio
à
481
circunferência
no
ogidóC od
lado
inscrita
laneP
rência
O
R circunscrita
.trA
circunferência
r
Quando
todos
lados
tangenciam
de
um
(raio
de
medida
r
.adibiorp
polígono
os
uma
P circunferência,
dizemos
que
é
um
polígono
circunscrito circunferência
a
essa
circunferência
circunferência
é
oãçudorpeR
R
O
ele
ou
inscrita
quea
(raio
de
inscrita
medida
R)
no C
polígono.
Observe
Ref lita
Quantos
apótemas
polígono
O
ponto
regular
médio
de
tem
de
n
cada
P
que
é
o
apótema
de
cada
polígono
inscrito
em
uma
circunferência.
um
c
lados?
lado
de
um
polígono
r regular
pol
determina
gono
regular
um
de
n
apótema;
lados
tem
logo,
n
um
a
r O
P
Obser vação
em
diante,
distinguiremos
r
=
c
r
=
c
P
não
alguns
O
O
temas.
c
Daqui
segmentos P
de
suas
respectivas
c
medidas
c
quando
essa
opção
não
causar
figura
dificuldade
OCCES
do
texto.
com
o
ao
NOSLIDA
circunferência
r
e
com
raio
:SEÕÇARTSULI
r; r
Na
;
polígono
apótema
eapótema
64
figura
III
figura
I,
a
medida
do
apótema
é
metade
da
medida
do
lado
do
quadrado.
figura
II,
a
medida
do
apótema
do
triângulo
equilátero
é
uma
parte
da
circunferência
com
a
de
da
altura
desse
triângulo.
ladode
Na
lado
II
de
medida deraio
figura
empregaremos
significado:
Na medida
I
entendimento
Assim,
mesmo
ieL
A medida
016.9
e
ed
raio de medida r r, todo segmento cujas extremidades são o centro da circunferência
medida
a
figura
do
triân
ao
polí
ulo
ono
III,
a
medida
equilátero
e
também
do
de
a
apótema
lado
medida
,
no
do
do
hexágono
qual
lado
é
do
o
raio
hexá
regular
da
é
a
medida
circunferência
ono.
da
altura
circunscrita
Relações
As
em
medidas
função
da
Acompanhe
para
um
métrica s
do
lado
medida
como
triângulo
Observe
o
e
do
do
apótema
raio
podemos
da
de
um
polígono
circunferência
escrever
essas
em
regular
que
relações
esse
métricas
para
ser
está
um
escritas
inscrito.
quadrado
e
equilátero:
quadrado
ABCD
de
lado
e
c
apótema
a
4
cunferência
podem
polígono
de
centro
O
e
raio
,
que
está
inscrito
na
cir-
Obser vações
4
r
c
e
a
n
para
A
indicar,
n
respectivamente,
a
medida
do
B
lado
e
do
regular
uma
c
apótema
de
n
lados
do
polígono
inscrito
em
circunferência.
P
4
a O
4
OB
do
está
contido
quadrado,
45°
e
BOP
isósceles;
na
logo
diagonal
OBP P
também.
O
mede
dOPB
é
por tanto:
4
a
5
BP
5
4
4
O
triângulo
OBP P
é
retângulo;
seus
catetos
medem
e
a
,
e
a
hipotenusa,
2
r
4
2
2
2
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo OBP, P temos:
)
r
2 .8991
4
Como
a
5
( 4 )
2
4
,
temos:
2
r
5
r
4
⎝
ed
2
orierevef
Logo,
a
medida
do
lado
⎠
do
⎝
⎠
2
quadrado
é
2
dada
por:
r
2
ed
4
91 ed 016.9
r
ieL
Assim,
a
medida
do
apótema
do
quadrado
é
dada
por:
a
2
5
4
e laneP og idóC
od 481
Observe
o
triângulo ABC
de
lado
e
c
apótema
a
3
.trA
rência
de
centro
O
e
raio
,
que
está
inscrito
na
circun-
3
r
.adibiorp
A
oãçudorpeR
c H
3
c 3
O a 3
r
a 3
B M
c 3
2
Obser vação
3
O
triângulo
OMB
é
retângulo;
seus
catetos
medem a
e
,
e
a
hipotenusa,r
3
lados
3
O triângulo CHB é retângulo; seus catetos medem
proporcionais.
1 r, e a hipotenusa, c
e a 3
3
2 B
Os
triângulos
OMB
e
CHB
são
semelhantes,
pois
têm
um
ângulo
reto
e
um
B
3
c
a ângulo
comum.
r
2
3
a
Portanto:
5 3
r
r 3
o
teorema
de
Pitágoras
no
triângulo CHB,
temos:
H
O
C
a
M 3
2
3
⎞
2
2
1 ⎝
1
2
⎛
r
2
2
1
NOSLIDA
⎛
2
⎠
OM
HC 5
Obtendo
c
em
função
de
r, r
BC
:SEÕÇARTSULI
OB
temos:
3
3
2
2
2
)
4 4( (c
a
) 5
9
2
3
2
3
1
V
5
3
c
5
r
5
3
3
4
4
4
r
OCCES
Aplicando
3
65
Obser vação
Exe rc íc ios resolv id os
Seja
h
a
medida
da
altura
de
um
c R1.
O
apótema
de
um
a)
Deter minar
b)
Determinar
Resolução
o
hexágono
perímetro
o
raio
da
regular
desse
mede
3
cm.
hexágono.
circunferência
circunscrita
a
ele.
A
a)
c
c
2
2
T raçando
no
as
regular,
diagonais
que
de
passam
um
pelo
B
hexágo-
centro
O
da F
cir cunfer ência
cir cunscrita,
obtemos r
r a
6triângulos Assim,
5 h
6
do
hexágono
é
a
altura
do
triângulo
D
equi-
⎞
⎝
Assim,
6
temos:
⎠
4
3
a
6
h
3
6
5
5
2
3
2
6
a
5
apótema
1 látero.
3
O
E
2
⎛
equiláteros.
temos:
3
3
3
3
h 5 2 Portanto,
b)
R2.
Como
(Enem)
tuído
mesa
O
o
de
cm,
cobrir
a
26
de
uma
a
um
prisma
medindo
cm,
30
loja
30
su
ara
3
cm.
35
cm
do
uebrou-se
círculo.
de
Uma
cortes
cm
tampo
erior
é:
5
de
su
e
base
loja
já
60
e
deverá
su
em
for ma
ser
de
O
a
de
comercializa
mesa.
que
substi-
oio
cinco
cujos
seja
da
triângulo
proprietário
diâmetro
da
orte
padronizados,
cm.
menor
orte
O
da
tipos
raios
mesa
suficiente
Considere
1,7
como
ed
base
de
reto,
com
cm,
o
mesa
for ma
circulares
nessa
regular
cm
orierevef
adquirir
de
hexágono
5
tenha
lados
vidro
r
ed
18
vidro
ue
for mato
de
do
temos:
.8991
ara
r,
o
com
tampos
deseja
perímetro
outro
tem
medem
o
5
tam
or
equilátero
de
c
roximação
tampo
a
ser
Resolução
escolhido
b)
será
aquele
2
cujo
raio,
em
c)
centímetro,
d)
é
igual
35
a:
e)
ieL
1
016.9
a)
ed
O
.
91
a
e
proprietário
de
menor
da
mesa
diâmetr o
deseja
que
adquirir
seja
ogidóC od
o
tampo
laneP
Como
o
suficiente 30
cobrir
a
base
superior
do
suporte
da
481
para
mesa, r
considerar
a
situação
limite
ilustrada
.trA
vamos
na 2
ao
.adibiorp
figura
lado.
Aplicando
o
teorema
de
Pitágoras
no
triângulo
de
oãçudorpeR
15
r hipotenusa r
e
catetos
e
15,
temos:
2
2
r
2
r
1 15
225
r
5
2
15
30
3
3
Æ
5
menor
suporte
da
raio
mesa
asalternativas,
alter nativa
7
3
3
o
Æ
4
5
do
2
r
2
Logo,
225
r
2
5
do
círculo
deve
deve
ser
ter
suficiente
para
cobrir
aproximadamente
escolhido
o
tampo
de
17
a
cm.
vidro
base
superior
Portanto,
com
18
cm
entre
de
raio.
a
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
Deter mine
equilátero
OCCES
2.
Desenhe
NOSLIDA
e
2.
5
a)
a
medida
inscrito
um
do
em
apótema
uma
hexágono
e
a
medida
circunferência
regular
de
do
lado
raio
circunscrito
2
a
de
um
uma
triângulo
cm
cm.
circunferência
escreva:
R
6
a)
a
b)
a
medida
c
do
lado
do
hexágono
em
função
do
raio
R da
circunferência.
6
3
:SEÕÇARTSULI
medida
D
de
uma
diagonal
do
hexágono,
que
passa
pelo
centro
da
b)
circunferência,
3
c)
66
c)
o
perímetro
P
em
do
função
hexágono
do
raio
em
R
dessa
função
do
circunferência.
raio
R
da
circunferência.
2
Área
de
algumas
poligonais
Um
terna
polígono
e
outra
internaé
divide
externa.
o
A
denominada
super fícies
planas
plano
figura
que
o
contém
formada
superfície
em
pela
duas
união
poligonal
u
regiões
do
distintas,
polígono
região
com
uma
sua
in-
região
poligonal
Veremos, a seguir , como calcular a área de algumas superfícies poligonais planas.
2.1
Área
de
uma
super f ície
quadrada
Obser vação A
porção
único
do
plano
número
porção
A
real
ocupada
unidade
de
ocupada
positivo
pela
medida
por
superfície
chamado
superfície
de
uma
de
poligonal
,
poligonal
com
obtido
a
corresponde
pela
porção
a
um
comparação
ocupada
por
da
Se
uma
com
uma
região
osta
de
justapostas,
área.
à
soma
das
poligonal
n
regiões
então
áreas
sua
das
é
poligonais
área
n
é
igual
regiões.
2
Considerando
a
unidade
área
poligonal
u
,
a
A unidade de medida de área que geralmente consideramos é a área delimitada
por
um
quadrado
unitário,
isto
é,
um
quadrado
de
lado
1 u,
sendo
u
uma
unidade
da
região
abaixo
é
iguala5.
2
de
comprimento.
A
área
de
Dizemos
uma
que
superfície
a
área
desse
quadrada
de
quadrado
lado c
é
unitário
dada
é
1 u
por:
.8991
2
u
ed orierevef
2
A
= c
quadrado
ed 91 ed
Demonstraremos
esse
fato
para
o
caso
em
que c
é
um
número
natural.
016.9 ieL
Demonstração Obser vação
e laneP
Considere
uma
superfície
quadrada
R,
com
lados
medindo
,
u
é
um
n
og idóC
2
superfícies quadradas
número natural. A superfície R pode ser decomposta em
2
od
justapostas
com
área
unitária.
Assim,
a
superfície R
tem
área
igual
a
n
481
2
Lo
o,
a
área
de
uma
superfície
quadrada
de
lado
é
dada
n
por
.trA .adibiorp
Nessa
demonstração,
consideramos
n
um
número
natural.
Porém,
a
relação
2
obtida
oãçudorpeR
2.2
é
válida
Área
Muitas
fície
já
por
a
o
ra
em
estimar
a
real
de c
super f ície
situações
para
valor
ser
co
que
o
é
gasto
ra
a
(racional
ou
Área
irracional).
de
R
é
n
retangular
preciso
com
para
a
esse
eterminar
pintura
tra
a
das
o
a
área
paredes
muitas
e
uma
de
vezes
super-
uma
é
ca
casa,
cu
a
a
quadrado.
calcular
a
lado
1
cm
1
cm
1
cm
área
cm
delimitada
como
pelo
retângulo
abaixo,
considerando
um
unidade.
:SEÕÇARTSULI
cm
1
NOSLIDA
de
OCCES
Vamos
quadrado
e
qualquer
uma
á
como
mão
metro
3
de
vezes,
plana,
que
para
Obser vação
2
1
cm
Em
alguns
envolvem 1
cm
1
cm
1
cm
1
cm
1
cm
1
cm
1
cm
1
8
contextos
áreas,
nome
cm
do
coluna
caso,
pela
multiplicamos
quantidade
de
a
quantidade
quadrados
de
de
uma
quadrados
linha
(3
de
8).
lado
1
que
super fície
cm
Portanto,
a
de
uma
área
do
vez
de
polígono
determina.
Nesse
a
cm
Por
dizer “a
retangular ” ,
que
a
exemplo,
área
da
diremos “a
em
super fície
área
do
2
retân
ulo
é
24
cm
67
o
2
Reflita
Explorar
Agora,
com
os
alunos
altura de
demonstrar
consiste
em
esse
usar
o
fato.
Uma
conceito
medindo
e
calcular
semelhança
h,
com
a
b
e
área
h
de
não
um
retângulo
qualquer
necessáriamente
de
base
medindo b
1
A
e
naturais.
delas
de
Para paralelismo
vamos
maneiras
de
isso,
consideremos
um
quadrado
com
lados
medindo
( b
h).
área
desse
triângulos. 2
OCCES
quadrado
drados
é
(b
1
,
h)
menores,
e
ele
pode
conforme
a
ser
figura
decomposto
em
dois
retângulos
e
dois
qua-
abaixo.
h h
NOSLIDA
D
A H
b
A
h
b
2
h
retângulo
2
Como
ABCD
são
paralelogramo,
então
os
ângulos
AB/CD
BAH
e
b
e
CDA
congruentes.
Como
os
ângulos
que
os
e
CA
D
triângulos
são
ABH
b
retos,
b A
concluímos
BHA
é
a
área
do
quadrado
verde.
é
a
área
do
quadrado
amarelo.
2
e
olugnâter
BC/AD,
é
h
A
é
sem
são
semelhantes,
lhança
AB
e
sua
razão
e
BH
área
retângulo
desconhecida
de
base
de
medindob
de
é:
AH
a
retângulo
cada DCA
altura
medindo
h
h 1
DC
CA e
e
Como
a
razão
triângulos
de
ABH
e
b
semelhança
DCA
são
é
1,
congruentes,
Assim, por
isso
eles
se
h
os
a
área
do
quadrado
de
lados
de
medida
(b
1
h)
pode
ser
expressa
tam
justapõem. 2
bém
por:
2
b
1
2
A
1
h
retângulo
Igualando
as
expressões
b
1
que
representam
2
(b
1
h)
2
5
2
A
1
h
a
área
do
2
V
quadrado,
2
b
1
2
b
h
1
h
temos:
2
5
b
2
1
2
A
retângulo
V
2
b
h
5
2
1
h
V
retângulo
A retângulo
Ref lita Portanto,
Sim,
ode
ser
usada
uma
retângulo,
retos
ara
vez
e
que
pois
lados
a
área
todo
tem
do
quadrado
quatro
congruentes
retân
ulo
é
dada
por:
é
ângulos
dois
a
dois.
A
5
b
ed
também
.8991
h
retângulo
a
área
de
um
vale
lembrar
que
nem
orierevef
Mas
calcular
todo
uadrado? retângulo
é
quadrado.
ed
Exemplo
91
a
dida
da
cm,
base
é
π
medida
da
altura
do
retângulo
de
área π
3
cm
e
cuja
me-
fazemos:
016.9
determinar
ed
2
Para
ieL
achar
que
conveniente,
são
polígonos
relembrar
5
convexos:
por
caso
não
reta
par
no
tal
8
h
V
do
h
3
retângulo
é
3
cm.
que
de
vértices
t
2.3
mesmo
polígono
contrário,
Área
de
uma
super f ície
limitada
será
tem-se
por
um
um
paralelogramo
não
retângulo
convexo
É possível compor um retângulo valendo-se de um paralelogramo não retangular .
Paralelogramo
cujos
é
um
lados
oãçudorpeR
Obser vação
convexo
π
altura
quadrilátero
opostos
são
h
paralelos.
h
b
b
O
paralelogramo
e
o
retângulo
são ,
ou
seja,
têm
a
mesma
Ref lita
Assim:
Na
decomposição
paralelogramo
do
inicial
e
na
A
5
b
h
ao
lado.
paralelogramo
per feitamente
ao
outro
Exemplo
lado
Vamos do
calcular
a
área
do
paralelogramo
paralelogramo?
A
medida
da
altura
do
paralelogramo
é: 4
cm h
OCCES
sen
60°
NOSLIDA
Pelo
V
teorema
h 5
de
Pitágoras,
podemos
calcular
x
2
2
2
5
:SEÕÇARTSULI
Portanto,
1
a
A
V
medida
5
b
h
16
da
5
6
5
base
1
do
5
V
5
paralelogramo
12
3
2
Portanto,
a
área
4
2
paralelogramo
68
.adibiorp
polígono
então
3
da
.trA
semiplano,
convexo;
a
mantiver
vértices
V
481
demais
h
od
consecutivos
os
se
qualquer
a
og idóC
não
passa
π
medida
convexos
Portanto, e
b
retângulo
laneP
o
e
A Se
do
paralelogramo
é
12
3
cm
é
2 1
4
5
6.
cm
área.
2.4
Área
Podemos
de
uma
pensar
na
super f ície
área
do
triângulo
triangular
como
metade
da
área
de
um
retângulo. Obser vação
A
A
D
E
lado
h
c
h
c
C
C
B
c
B H
b
b
Observe,
(pois
os
triângu
na
figura
lados
os
da
direita,
correspondentes
ABE E
e
BAH
o
são.
que
são
os
triângulos
ACD
congruentes),
Portanto,
a
área
o
da
e
CAH
são
mesma
triângu
o
c
congruentes
maneira
que
Já
os
vimos
do
retângulo
a
medida
ABC
da
área
que
altura
3
h 5 2
BCDE
Assim,
sua
área
é:
2
3
b A
h
2
5
2
triângulo
3
2
2 2
Exemplo
2
4
Reflita
5
⎧
Vamos
calcular
a
área
do
triân
ulo
ABC
α
5
5
α
⎨
.8991
α
1
1
α
5
360°
⎩
ed
Consideremos
A
orierevef
mede
5
cm.
A
como
base
medida
da
o
lado
altura
,
que
relativa
6a
5
360°
a
⎛ ea
V
lado
é
3cm.
5
OB
OC
OC
1
OD
1
2
1
2
2
Assim:
cm
ed
OD
91
3
60°
OB
5 ⎝
esse 5
a
OA
OE
OE
1
cm
b A
h
5
5
OF
1
1
3
5
5
2
7,5
2
ed
triângulo
2
2
F
⎞
OA
016.9
1
s en
60°
⎠ 2
B
C
Portanto,
a
área
do
triângulo
é
7,5
2
cm
ieL
3
e
Á rea
5
[O A
OF )
1
laneP
4
1
ogidóC
Outros
modos
de
obter
a
área
de
uma
super f ície
OC
1
8
OE
8
]
triangular
od
A
Vamos
determinar
a
área
de
um
triângulo
em
função
das
medidas
de
dois
lados
481 .trA
e
da
.adibiorp
em
medida
função
do
das
ângulo
formado
medidas
dos
três
por
eles.
lados.
Depois,
Observe
a
vamos
figura
determinar
ao
lado
e
essa
área
acompanhe
c
b h
oscálculos.
oãçudorpeR
1.
A
área
do
triângulo
é:
O
perímetro
do
triângulo
é
B
C H
2p
5
a
1
b
1
c;
então,
o
semiperímetro a
(I)
b é Como
o
é
retângulo,
1
p 5
temos:
Ref lita
2
h en
sen
Demonstra-se
(II)
que
a
área
do
ABC
c também
Substituindo
(II)
em
(I),
pode
ser
dada
pela
fórmula
ao
lado
irregulares.
8
está
no
cálculo
aproximado
8
fórmula
obtemos:
da
área
de
terrenos
Obser ve:
p
n
A
B
a a Comentário:
Esta
atividade
interessante
solicitar
propõe
uma
aplicação
da
Matemática
na
agrimensura.
Seria
a
6
2
Exemplo aos
alunos
uma
pesquisa
sobre
esse
ramo
de
atividade
humana.
F
C
O
3
a
Para
determinar
a
área
do
triângulo
retângulo
com
catetos
de
medidas
3
cm
e
5
4
4
cm,
e
hipotenusa
5
cm,
podemos
a
5
3
cm,
empregar
c
5
4
cm
três
e
o
modos
ângulo
diferentes:
b
5
D
90°:
E OCCES
1
1
5 triân
3
sen
90°
5
3
5
6
ulo
2
Com
2
um
NOSLIDA
par tir
A
5
6 (6
5
) (6
4
5
de
teodolito,
um
obtêm-se,
ponto
O
do
a
terreno,
5
triângulo
as
medidas
a
,
...,
a
.
Medem-se
6
:SEÕÇARTSULI
também
Quanto
ao
cálculo,
convém
propor
um
OA
outro:
A
5
5
OC
OD
a
5
a
5
5
2
6
sobre
triângulo
a
precisão
desse
procedimento
e
o
que
feito
para
obter
resultados
mais
e
OF
próximos
a 6
poderia
2 ser
OE
questionamento
Supondo
ao
OB
do
real.
2
Portanto,
a
área
do
triângulo
é
6
cm
Espera-se
cálculo
de
que
os
torna-se
repartições
alunos
maior
da
concluam
com
superfície
o
que
aumento
com
o
a
da
vértice
precisão
do
adicione -as.
quantidade
no
ponto O
69
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
B
3.
O
perímetro
ter mine
a
de
área
um
retângulo
desse
é
retângulo
igual
a
12
sabendo
m.
que
De-
5.
Calcule
seus
ABC
a
área
sabendo
do
que
triângulo
AB
5
8cm,
2
lados
estão
na
razão
1
9
2.
8
AC
m
9cm
e
BC
7cm.
2
12
4.
Na
figura,
CD
BC /AG /EF
entre
as
5
e
áreas
10,
AD
AB /
dos
5
26,
/GF .
polígonos
DG
5
78,
DE
Deter mine
DEFG
e
5
a
5
cm
30,
razão
DCBA
9
C E
F
2
30
A
26
6.
Considere
triângulo
D
G
78
medida
um
quadrado
equiláter o
da
de
cuja
diagonal
do
área
150
altura
cm
tem
quadrado.
a
e
um
mesma
Deter mine
a
10 B
2
área
desse
triângulo.
100
3
cm
Explore: OIBUR
b
b
B
h 2
+
A
A
trapézio
ZIUL
B
B
B
V
2
( (B
paralelogramo
1
b)
h
V
A
trapézio
trapézio
b
2.5
Podemos
pensar
na
área
do
trapézio
como
a
soma
da
área
de
dois
triângulos.
Obser vação
Trapézio
é
um
paralelos.
lados
tem
apenas
um
M
N
par
ed
que
de
N
.8991
convexo
b
M
quadrilátero
P
Q
P
91
B
ed
Q
h
orierevef
h
h
B
ed
na
figura
da
direita,
obter
por
a
área
meio
de
e
que
MNQ.
a
área
do
trapézio MNPQ
é
igual
à
soma
das
de
um
B A
h
b
h
B
5
foi
exposto
ao
b A
trapézio
2
desse
h
5 trapéz io
2
2
2
od
que
diferente
h h 1 b
A
trapézio
procedimento
Assim:
og idóC
trapézio
NPQ
laneP
um
triângulos
e
Experimente
dos
ieL
áreas
016.9
Observe, Explore
lado.
481
exem
o,
em
um
a
el,
.trA
Por
Exemplo
tra
éziosMNPQ
iguais.
A
medida
da
base
maior
de
um
trapézio
é
o
dobro
da
medida
da
base
menor.
2
formem
um
a
área
do
trapézio
é
3
por
meio
da
calcular
a
medida
da
base
área
do
que
a
medida
da
altura
é
2
dm,
menor.
fórmula
2
h da
e
dm
paralelogramo.
vamos
Emseguida,
que
paralelogramo
obtido,
A
6
5
2
b
5
V
2
trapéz io
2 consiga
a
trapézio
fórmula
da
área
2
do
MNP
Portanto,
2.6
a
Área
Como
o
medida
de
da
base
uma
losango
é
um
menor
é
2
super f ície
paralelogramo,
dm.
losangular
podemos
calcular
sua
área
como
o
pro-
Obser vação
uto
Losango
que
tem
é
um
os
paralelogramo
quatro
lados
é
a
por
me
meio
As
a
das
a
ase
pe
diagonais
a
do
me
i
a
a
a
tura.
Outro
mo
o
e
ca
cu
ar
como
é
possível
losango.
compor
um
retângulo
a
partir
de
um
losango:
medida.
diagonais
de
um
losango
são
D
perpendiculares
respectivos
e
se
pontos
cruzam
nos
D
d
médios.
2 d O CCES NOSLIDA
A
área
do
paralelogramo
é
igual
:SEÕÇARTSULI
d D
à
D V
A
área
d
5 losango
2
70
essa
de
Observe mesma
i
2
do
retângulo.
Assim:
área
oãçudorpeR
Sabendo
.adibiorp
Exe rc íc io resolv id o
R3.
Deter minar
a
área
da
figura
4
a
seguir.
m
3
m
3 2
16
m
m
m
Resolução
Podemos
um
decompor
triângulo.
a
figura
em
três:
um
trapézio,
um
retângulo
e
Assim:
2 A
1
A
5
t r apéz i o
t r i ângu
12
1
5
o
2
2
2
Portanto,
a
área
da
figura
é
50,5
m
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
7.
Calcule
a
área
do
quadrado
representado
a
seguir.
amarelo
na
for ma
de
losango.
Cada
um
dos
.8991
2
12,5
m
ed
vértices
do
losango
tângulo
que
está
dista
mais
17
cm
pr óximo.
do
lado
Qual
é
do
a
r e-
ár ea
orierevef
2
do 5
losango,
em
centímetr o
quadrado?
8.798
cm
m
ed
11.
Obtenha
a
área
do
retângulo
inscrito
no
triângulo.
91
2
ed
22,8
cm
016.9 ieL
5
e
8.
O
quadrado
laneP
caso,
foi
ABCD D
pintada
tem
uma
og idóC
M
A
10
m
de
super fície
B
lado.
Em
cm
cada
2
poligonal.
M
A
cm
B 19
cm
od 481 .trA
12.
Na
figura,
.adibiorp
gulo
lo
ABC,
ABC
B
em
mede
é
que
60°.
um
AB
5
losango
5
m,
Determine
BC
a
inscrito
5
20
m
medida
no
e
do
o
triân
ângu-
lado
e
a
oãçudorpeR
2
área
D
C
D
desse
losango.
4
m;
8
3
m
C
E D
Sabendo
que
AM
MB,
calcule
2
figura
9.
pintada.
(UFJF-MG)
75
Um
m
a
área
de
cada
2
e
50
m
terreno
tem
a
B C
for ma
de
um
trapézio
com ângulos retos nos vértices
eD,
como
mostra
a
F
ABCD
fígura.
A
13.
B
Sabe-
Considere
de
lados
uma
malha
medindo
1
composta
cm
e
de
deter mine
quadrados
a
área
do
2
-se
DC
que
5
uma
AB
45m.
cerca,
dividindo
terrenos
tância
deve
de
AD
Deseja-se
paralela
esse
do
ser,
31m,
mesma
em
D
metro,
lado
em
área.
a
15
cm
A
esta
AD
dis-
cerca
iguala:
alternativa
d)
22
b)
19
e)
26
c)
20
b
NOSLIDA
12
plástico
ver de
de
uma
colou,
medidas
bandeira
sobr e
2
m
um
por
do
Brasil,
tecido
1,4
m,
:SEÕÇARTSULI
confeccionar
artista
lar
losango.
dois
a)
Para
e
construir
ao
terreno
vértice
5 20m
OCCES
10.
5
um
r etangu-
umtecido
71
2.7
Área
Sempre
isósceles
é
de
super f ícies
possível
decompor
congruentes
entre
poligonais
um
polígono
regulares
regular
A
o
um
ao
base
lares
às
é
desses
raio
e
apótema
em
n
da
a
hexágono
igual
seguintes
triângulos
de
cada
polígono
à
tem
circunferência
altura
do
soma
um
áreas
pelo
menos
circunscrita
desses
regular.
das
triângulos
octógono
quadrado
Cada
lados
pentágono
triângulo
igual
de n
si.
Como
dos
ao
dois
triângulos
a
área
triângulos
lados
congruentes,
de
medida
polígono.
de
são,
cada
que
os
respectivamente,
um
desses
compõem,
o
lado
polígonos
podemos
e
regu-
chegar
igualdades:
.8991 ed orierevef ed
5
a
3
91
a
8
c
c 8
a
3
3
c 3
a
5
———
A
5
5
c 5
a
8
———
A
5
8
8
———
8
2
2
og idóC
a 4
6
od
c
481
c 4
a
c
a
6
4
———
A
5
———
6
2
c
maneira,
cada
um
e
2
concluímos
apótema
que,
se
medindo
a
n
um
,
polígono
sua
área
é
regular
dada
tem n
lados
de
medi-
por:
n
Obser vação
ote
que
p
representa
o
n
do
n
n
n
V semiperímetro
A
8
a
n
polígono.
A
V
5
p
a
n
n
2
n
2
Exe rc íc ios resolv id os
R4.
Determinar
a
área
de
um
hexágono
regular
sabendo
que
a
5
cm .
6
2
Resolução
3
6
Como
3 6
5
,
então:
5
6
5
6
2
2
6
2
OCCES
6
Sabendo
que
p
5
p 2
NOSLIDA
Substituindo
A
5 6
p
a
,
o
valor
do
semiperímetro
encontrado
obtemos:
6
:SEÕÇARTSULI
75
3 2
A
5
cm 2
72
na
expressão
oãçudorpeR
Dessa
6
.adibiorp
5 4
.trA
c A
laneP
2
e
3
ieL
c 5
016.9
3
A
ed
c
3 R5.
A
área
de
um
triângulo
equilátero
3
2
é
m
e
seu
perímetro
é
m.
16
Calcular
o
raio
da
circunferência
2
circunscrita
a
esse
triângulo.
Resolução
3 Se
o
perímetro
o
triângu
o
3
é
m,
seu
semiperímetro
p
é
5
m. 4
2
Sendo
5
p
a
3
,
temos:
3
3
3 5
8
a 3
16
3
4
Como
raio
a
da
12
medida
do
apótema
circunferência
de
um
triângulo
circunscrita
a
ele,
equilátero
é
metade
do
temos:
3 a
r
5
3
2
2
6 3
Portanto,
o
raio
da
circunferência
circunscrita
ao
triângulo
é
m. 6
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
14.
Qual
é
a
8991
apótema
área
de
mede
um
3
triângulo
cm ?
equilátero
cujo
Ela
desenhou
as
seguintes
figuras:
cm
ed
estrela
da
área
da
região
Proteínas
represen-
r P
ao
lado
sabendo
que
t o
ed
tada
í e
a
laranja
n
Deter mine
s a
orierevef
15.
os
91
Carboidratos
ed
triângulos
016.9
for mam
e
o
são
ieL
o apótema
hexágono
que a
r egular es
do
e
hexágono
Gorduras
Gorduras
que
mede Carboidratos
e
2
laneP
6cm.
og idóC
16.
A
72
razão
3
c
entre
xágono
a
regular
medida
e
a
do
apótema
medida
do
de
um
apótema
de
he-
um
Deter mine
a
razão
entr e
as
.trA
r P
.
í e t o
481
é
s a n
od
3 quadrado
Gorduras
2
.adibiorp
Carboidratos
áreas
do
hexágono
e
do
Carboidratos
quadrado.
Gorduras
8
t
oãçudorpeR
17
Um
artesão
largura,
ticas.
composto
Sabendo
de
de
que
mão
trabalho?
$
um
três
ele
de
mosaico
placas
cobra
obra,
de
1,20
m
quadradas
R$
500,00
quanto
ele
o
de
idên-
metro
recebeu
s a n íe t o r P
quadrado
esse
montou
por
120,00
Gorduras
Carboidratos
Entre
esses
condições 1,20
correta
18.
(Enem)
Para
menda-se
diárias,
e
30%
me
ingerir,
60%
de
orar
uma
de
alimentação
em
relação
ao
carboidratos,
gorduras.
a
visua
polígonos,
necessárias
o
único
para
que
satisfaz
representar
a
as
ingestão
m
Uma
ização
saudável,
total
10%
de
diferentes
tipos
de
alimentos
é
o:
alternativa
a)
triângulo.
d)
b)
losango.
c)
pentágono.
c
hexágono.
calorias e)
octeogono.
de proteínas
nutricionista,
essas
de
reco-
para
por centagens, Cortando
os
cantos
de
O CCES
19.
um 12
quer
dispor
esses
dados
em
um
polígono.
Ela quadrado,
fazer
isso
em
um
triângulo
equilâtero,
polígono
jam
ou
pentágono
um
seja
regular,
octógono
dividido
proporcionais
às
em
um
r egular,
regiões
hexágono
desde
cujas
porcentagens
que
áreas
12
o
se-
mencionadas.
gono
obtém-se
regular
medem
medida
12
do
octógono?
um
octó-
de
lados
cm.
Qual
apótema
1
1
que
é
:SEÕÇARTSULI
r egular
um
a
um figura,
losango,
mostra
NOSLIDA
pode
como
a
desse
2
73
3
O
Circunferência
e
seus
Círculo
círculo
é
e
formado
circunferência
pela
união
de
uma
circunferência
Círculo
elementos
e
suas
com
sua
região
interna.
partes
B
B
A
B
A
r
A
F
C
O
O
O
O
círculo
setor
segmento
circular
circular
D
é
AB
CF
o
centro
da
circunferência.
R é
uma
corda.
r
é
OC
C E
um
é
é
um
um
outro
O
O
diâmetro.
raio.
arco
que
(há
passa
dois
por
arcos
C E :
semicírculo um
que
passa
por
coroa
circular
D
A).
.8991 ed
Com
rimento
da
circunferência
ed
,ELANOITA
orierevef
SIRAP
3.1
conhece
algum
método
para
determinar
o
valor
do
número
irracional π?
91
Você
ed
EUQEHTOILB
Por
os
exemplo,
primeiros
no
papiro
valores
de
para
Rhind
π
foram
(documento
obtidos
egípcio
por
meio
escrito
de
por
016.9
Provavelmente,
das.
medi-
volta
de
ieL
o
entre
valor
tarde,
o
o
3,1604,
comprimento
que
matemático
seria
grego
e
uma
a
medida
do
aproximação
Arquimedes
diâmetro
do
(287-212
22
71
7
circunferência
número π
a.C.)
apresentou
. Para isso, e
culo teórico que resultou na aproximação
um
e consi
cál-
481
223
da
ogidóC od
Mais
razão
laneP
apresenta
a
e
1650a.C.),
erou
.trA
circunferência
circunferência
um,
raio
ma,
o Arquimedes
século
em
gravura
r
e
inscrito
em
a
qualquer
do
que
comprimento
uma
medida
da
raio
de
entre
a
1.
Então,
perímetros
circunferência
seu
seja
medida
os
diâmetro
é
percebeu
polígonos
circunscrito
constante,
circunferência.
circunferência
e
de
pode
Essa
ser
ou
a
C
que
constante
uma
a
é
determinado
comprimento
com
n
da
l
ela.
de
seja,
o
regulares,
oãçudorpeR
cada
de
estava
.adibiorp
uma
circunferência
razão
é
sempre
denotada
a
de
mes
por π.
Então,
é π
m.
por:
do
XVII.
C 5 C
2πr
C
2π( r
V
comprimento
da
C
5
2πr
r k )
5
C
k
2
Logo,
o
comprimento
também
será
Exemplos Ref lita
multiplicado
por
k
a) Se
multiplicarmos
quanto
será
o
raio
Vamos
calcular
o
circunferência
a
se
uir.
de
multiplicado
C
5
2πr
C
5
2
C
5
14
seu
comprimento?
8
π
8
7
7
cm
O
Portanto,
o
comprimento
dessa
Ref lita circunferência
uma
comprimento
C
e
cm.
em
uma
Vamos
determinar
o
raio
da
circunferência
unidade:
5 C aumentaráseu
5
2πr
V
π
5
5
2πr
V
r
5
comprimento?
2
5 Portanto, aumentará
74
seu
raio?
o
raio
da
circunferência
é 2
cujo
comprimento
5
:SEÕÇARTSULI
14π
raio
b) aumentarmos
é
circunferência
NOSLIDA
de
em
OCCES
Se
o
2
3.2
Área
do
Reflita,
p.
74
círculo C
5
2π
Observe
cada
circunferência
a
seguir
na
qual
foi
inscrito
um
polígono
regular.
C
π( (
1
1)
5
π
1
π
2
C
5
C
1
2π
2
ogo,
π
o
comprimento
aumentará
em
unidades.
r r
r
r comprimento:
a
a C
1
1
5
V
2πr r
2πr
1
1
5
2πr
2
a
V
2
a 2 r
1
V
5
1
r
V r
2
5
r
1
2
2
2
Portanto,
seu
raio
aumentará
em
unidade. 2
Note
dele
se
cada
que,
aproxima
vez
Já
quanto
mais
vimos
da
da
que
a
maior
área
do
medida
área
é
número
círculo,
do
de
o
raio
um
r
de
além
do
lados
de
a
do
polígono
medida
do
inscrito,
apótema a
mais
se
a
área
aproximar
círculo.
polígono
Ref lita
regular
é
dada
pelo
produto
de
seu
semiComo
perímetro
pela
medida
do
apótema
(A
5
p
a).
Podemos
estender
essa
ideia
área
a
área
do
tendea
círculo,
infinito,
o
ao
considerar
apótema
do
que,
quando
polígono
o
tende
número
de
lados
do
podemos
expressar
a
para
polígono
a r
fun
da
de
ão
um
da
círculo
medida
circunferência
de
d
raio
desse
r em
círculo?
2
5
A
Assim:
π
círculo
2 r r
d
círculo
Como
2
r
5
,
temos:
2
2
2
Portanto,
a
área
do
círculo
é
dada
por:
A
5 πr
d
⎛
círculo
2
π d
⎞
A
A círculo
⎝
.8991 ed
Área
da
orierevef
Observe
a
coroa
coroa
⎠
circular
circular
representada
abaixo.
ed 91 ed 016.9
R
ieL
r
e laneP
O
og idóC od 481 .trA
A
área
.adibiorp
área
do
da
coroa
círculo
de
oãçudorpeR
2
5
A
circular
menor
é
πr
área
do
círculo
de
maior
raio
e
a
2
V
5 π(
2
r
)
área
do
do
que
o
setor
setor
circular
circular
determina,
é
diretamente
seja,
também
quando
duplica
ou
proporcional
sua
medida
é
à
medida
duplicada
a
ou
do
ângulo
triplicada,
a
:SEÕÇARTSULI
correspondente
ou
NOSLIDA
área
a
OCCES
A
entre
coroa
Área
central
diferença
2
πR
coroa
a
raio:
triplica.
r
2πr
a
c
360°
a
c
O 360°
r
α
c
5 2π r
360°
2
πr 2
α πr
2πr
A s et o r
360°
Sabendo
disso
e
considerando
que
o
círculo
de
raio
r
é
um
setor
circular
360°
de cr A
5 s et o r
terminado
por
um
ângulo
de
360°,
podemos
escrever,
para a
em
grau:
2
Ref lita 2
A
A
α
setor
α πr
α
setor
A o
A
360
círculo
5 setor
o
2
o
360
π r
360
Como
de
Para
a
em
radiano,
temos:
podemos
um
setor
função
arco
do
expressar
circular
de
comprimento
etermina
o
pe
o
a
raio
c
área
r em
do
mesmo
2
A setor
α
A setor
r
α A
5
setor
2
A círculo
r
2π
2 setor
cir
r?
75
Área
do
Observe
o
segmento
segmento
circular
circular
representado
A
abaixo,
em
que a
180°.
c
a
B r
O
Note que a área do segmento circular é a diferença entre a área do setor circular
determinado
pelo
ângulo
a
e
a
área
do
triângulo
5
B
A
Exe rc íc ios resolv id os
R6.
Um
serralheiro
de metal
a
recortou
4 cm de
áreada
um
lado,
chapa
que
disco
circular
confor me
sobrou.
( Adotar
π
uma
a
chapa
figura
5
quadrada
a seguir.
Deter -
3,14)
ed
4
de
mostra
.8991
minar
com
cm
orierevef ed 91 ed 016.9
4
cm
ieL e laneP ogidóC od
Resolução
chamar,
respectivamente,
de
A
A
1
drado
(r
que
5
do
o
quadrado
raio
2cm)
e
do
que
e
círculo
A
5
área
é
A 2
área
de
chapa
que
da
medida
do
lado
do
qua-
temos:
oãçudorpeR
πr
a 3
círculo.
3
2
5
,
A 2
do
metade
A
1
2
a
2
V
5
1
16
3,14
2
V
5
1
3,44
1
2
Portanto,
R7.
Segundo
máxima
quete,
de
e
o
área
da
regras
entre
com
uma
bola
as
a
chapa
do
74,9
jogo
cm
e
de
78
circunferência
cesta
aro
com
em
45
toda
cm
a
que
sobrou
basquete,
cm
de
de
diâmetro,
volta?
a
3,44
bola
cm
deve
comprimento.
máxima
de
é
( (Adotar :
78
de
π
cm,
for
quanto
5
Se
ter
circunferência
uma
bola
centralizada
será
a
folga
de
bas-
no
aro
entre
a
3,14)
Resolução
Sendo
d
ferência
a
medida
máxima
do
da
diâmetro
bola,
da
circun
d
temos:
78 C
5
V d
d
q
π
V
78
5
d
3,14
V d
5
V
24,84
Observando
OCCES
da
bola
e
2x
5
4
x
q
45
do
o
esquema
aro,
da
vista
superior
x
x
temos:
24,84
NOSLIDA
45
cm
16 x
q 2
:SEÕÇARTSULI
x
q
10,08
Portanto,
76
a
folga
entre
a
bola
e
o
aro
é
de
.adibiorp
Sabendo
área
.trA
a
481
Vamos
sobrou,
aproximadamente
10,08
cm.
R8.
A
figura
uma
iguais
a
( (Adotar :
abaixo
coroa
4
π
é
for mada
circular.
cm
e
7
As
cm.
por
quatro
setores
circunferências
Deter minar
a
que
área
circulares
limitam
da
a
região
de
45°
coroa
e
têm
pintada
por
raios
de
azul.
53,14)
Resolução 2
3,14 rea
de
um
setor
circular:
5
1 5
360°
6,28
8
21.
2
Área
dos
quatro
setores:
4
6,28
5
25,12
a
⎛
⎞
π 2
Área
da
coroa
circular:
π
8
⎝
2
(7
4
)
3,14
(49
16)
103,62
A
2
⎠
2
π
5
V
8A
a
A
V
a
5
2
Portanto,
a
área
da
região
pintada
de
azul
π
é: 8A
8A 2
2
Analogamente: 2
2
12
2
1
cm
103,62
3
2
b
c
2
cm
5
128,74
cm
Do
triângulo
2
.8991
c
ed
V
2
5
retângulo,
temos:
2
a
1
b
8A
V
A
A
3
2
1
A
A
1
A 2
orierevef
Assim:
Registre as respostas em seu caderno
A
1
A
5
A
2
3
Exerc íc ios propostos
ed 91 ed 016.9
20.
(FCC-SP)
Se,
na
igura
abaixo,
R
mede
5
cm
e
a
22.
O
triângulo
inscrito
na
circun
erência
da
igura
1
2
área
da
coroa
circular
é
75 π
cm
,
então
R
,
em
abaixo
de
raio
1
cm
é
isósceles
e
sua
base
mede
ieL
2
e
centímetro,
é
igual
a:
alternativa
1
e
cm.
Calcule
a
área
da
região
pintada
de
laranja.
laneP
2
cm
og idóC od 481
A
.trA
R
.adibiorp
1
cm
O
oãçudorpeR
R 2
B
a)
6
c)
8
b)
7
d)
9
e)
10
23.
O
triângulo
ABC C
representado
abaixo
é
equilá
2
A
cen
21.
Os
e
catetos
b,
e
a
de
um
triângulo
hipotenusa,
construídos
os
c.
retângulo
Sobre
semicírculos
esses
de
medem
lados
áreas
A
que
A
1 1
A
5 2
em
A
B
nf
r
n
i
m
C
a
foram
A 1
Mostre
ro
ir
e 2
A 3
A 3
3
OCCES
a
c
NOSLIDA
b
:SEÕÇARTSULI
A 2
2
Calcule
a
área
da
região
pintada
de
azul.
5π
cm
77
Exercícios
complem ent a res Registre as respostas em seu caderno
Nessas
condições,
a
área
a
ser
calçada
corresponde:
Aplicação alternativa
a
1.
Calcule
o
raio
da
circunferência
de
2.
lado.
Qual
é
5
o
cm
e
raio
circunferência
circunscrita
5
um
inscrita
e
quadrado
o
raio
com
da
c)
10cm
cm
2
de
a
uma
circunferência
circunscrita
7.
?
2
mesma
área
do
triângulo
à
mesma
área
do
triângulo
à
metade
da
d)
ao
dobro
e)
ao
triplo
(Enem)
de Calcule
7 cm,
a
8
área
cm
e
de
9
um
cm.
triângulo
De
ois,
O
relativa
ao
lado
de
8
cujos
lados
deter mine
cm
desse
área
jor nal
a
inteira
do
do
BNC
pelo
triângulo
triângulo
triângulo
ABC
MNC
MNC
a
de
certa
seguinte
cidade
publicou
divulgação
de
seu
em
uma
cader no
classificados:
medem
medida
da 26
altura
da
área
for mada
cm
página
3.
da
área
e
AMC
ao
2
cm
à
mm
triângulo.
cm
4.
O
piso
de
primento
uma
por
2
cozinha
m
de
retangular
largura
deverá
de
ser
3
m
de
com-
revestido
por
4%
cerâmicas
quadradas
de
20
cm
de
lado.
Quantas
outros x
peças
de
cerâmica
serão
necessárias
para
cobrir
mm
todo jornais
o
piso?
150
peças
.8991
Calcule
a
área
das
figuras
a
ed
5.
seguir.
cm
96%
a)
400
mm
consultam
91
4
que
ed
pessoas
orierevef
2
93
cm classificados
ed
nossos
016.9 ieL
8
cm
e laneP
5
cm
ogidóC od
6
cm
cm
481
6
.trA
1
.adibiorp
2
6
6
5
m
b)
7
Para
m
da
que
ár ea
lado 6
do
a
propaganda
que
apar ece
retângulo
que
(Enem)
Em
comum
perceber
canteiros
comprimento
on
e
a
o
ra
e
seja
na
fidedigna
à
divulgação,
representa
os
porcentagem
a
4%
medida
deve
ser
do
de
m
aproximadamente:
6.
mm
m
de
eve
de
obras
trabalhadores
ângulos
começar
e
de
construção
realizando
fazendo
ou
se
civil
medidas
demarcações
erguer.
Em
um
a
1
b)
10
mm
c)
17
mm
alternativa
mm
d
d)
160
mm
e)
167
mm
é
de
por
esses 2
canteiros
Foi
foram
possível
feitas
perceber
algumas
que,
das
marcas
seis
no
chão
estacas
plano.
colocadas,
8.
O
quadrado
tos
médios
D
de
tem
e
área
CD ,
64
cm
.
Se
e
respectivamente,
2
três
eram
outras
vértices
três
eram
de
os
um
triângulo
pontos
mé
retângulo
ios
os
a
e
os
as
a
área
do
polígono
as
estacas
confor me
foram
pode
ser
indicadas
visto
por
na
figura,
em
16
cm
esse M
A
triângulo,
MQNP
B
que
letras.
B
O CCES
M Q
P
NOSLIDA
P
:SEÕÇARTSULI
A
C
N
A
região
ser
78
demarcada
calçada
com
pelas
estacas
concreto.
A
B
M
e
N
deveria
D
N
C
são
pon-
deter mine
oãçudorpeR
260
6
.......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... ..........................................................................................................................
9.
Calcule
drado
a
de
área
da
figura
diagonal 1 5
sabendo
2
cm
e
que
que
a
D é
figura
um
é
qua
O
parque
mato
limitada
aquático
regular
com
já
conta
com
dimensões
uma
50
m
piscina
3
24
em
for -
m.
2
por
semicircunferências
congruentes.
225
cm
O
proprietário
piscina
seja
quer
que
menor
a
que
área
a
ocupada
ocupada
pela
pela
nova
piscina
já
existente. A B
Considere
O
maior
3,0
valor
como
aproximação
possível
para
R,
em
para
π
metros,
devera
ser:
alternativa
a)
16
d)
31
b)
28
e)
49
c)
29
b
D
13.
C
Em
certa
40cm
pizza 10.
(Ibmec)
Considere
que
os
ângulos
de
todos
os
figura
arcos
de
abaixo
são
retos
circunferências
e
de
que
raio
todos
2,
com
os
arcos
pontos
em
uma
40,00.
diâmetro
pizz a
Qual
mede
cujo
deve
35
diâmetro
ser
cm,
se
o
o
preço
preço
mede
de
da
uma
pizza
centros
sempre
proporcional
à
sua
área?
q
R$
30,63
são
sobre 14.
os
cujo
R$
cantos é
da
pizzaria,
custa
Uma
bola
de
futebol
com
medida
oficial,
como
a
ilus-
destaque. trada
na
abertura
xágonos .8991
que
o
e
12
ed orierevef
ro
é
o
auxílio
capítulo,
pentágonos,
apótema
do
3,8 centímetros,
com
deste
de
necessário
todos
hexágono
e
o
do
uma
para
é
composta
regulares.
mede
confeccionar
20he-
Sabendo
aproximadamente
pentágono,
calculadora,
de
4,2
centímetros,
calcule
uma
quanto
bola
cou-
defutebol
ed 91
desconsiderando
ed 016.9
(Observe
que,
a
área
nesse
utilizada
caso,
os
para
lados
a
costura.
dos
polígonos
2
sãoiguais.)
1.554,06
cm
ieL e laneP
A
og idóC
a)
área
da
4
região
b)
sombreada
4π
c)
16
é
igual
d)
a:
alternativa
16π
e)
c
64
Aprofund amento
od
Calcule
a
área
da
região
alaranjada,
sendo
ABCD D
e
481
1 MNPQ
quadrados
e
M
N
P
e
Q
centro
dos
arcos
.
Seja
o
trapézio
AB
.trA
de
raio
2
cm.
8
,
cujas
bases
medem
8cm
e
5cm,
de
respectivamente, circunferência
e
a
altura
mede
4cm.
Deter mine
a
cm
.adibiorp
2
diferença
entre
as
áreas
A
e
A
1
6
cm
2
oãçudorpeR
D
OCCES
M
C
NOSLIDA
A
:SEÕÇARTSULI
Q
A
D
C
A
B
P
12.
(Enem)
seja
A
O
figura
que
com
proprietário
construir
é
uma
representa
for mada
ângulo
número
por
central
natura
de
um
piscina
a
vista
três
a
suas
superior
setores
igual
parque
em
60°.
aquático
epen
dessa
circulares
O
raio
R
de-
2
16.
ências.
médios
tem
área
quadrados
dos
lados
igual
que
do
têm
a
4
cm
como
quadrado
.
For mando-se
vértices
anterior,
área
do
5
os
pontos
qual
o
idênticos,
ser
quadrado
infinitos
piscina,
ve
Um
será
a
2
quadrado
assim
for mado?
0,25
cm
um
.
Desaf io
17.
(UFC-CE)
A
ár ea
H
ár ea
K
razão
60°
R
regular
ABCDE
triângulos
a)
2
b)
2,5
c)
3
ACE E
(com
e
,
vértices
é
igual
d)
e)
nomeados
a:
alternativa
no
sentido
c
3,5
4
79
Registre as respostas em seu caderno
Autoavaliação
1.
Observe
os
polígonos
a
seguir.
5.
Sabendo
são
5 dm
que
pontos
ACEG
médios
respectivamente, 5 dm
é
um
dos
retângulo
lados
podemos
a
AC
e
B
CE
ir mar
D
EG G
que
F
e
as
e
H
GA
áreas
5 dm
dos
triângulos
não
são
iguais.
alternativa
c
2
II B A
5 dm
C
5 dm
2 cm
5 dm
H
3 cm
D
3 cm IV
1 m
G
III
E F
3 cm
3 cm
1,5 m
a)
E
e
BAH
c)
AGF
b)
E
e
AGF
d)
GHF F
e
BDE
7 m
e
DBC
7 m 60°
6.
Considere
um
quadrado
B
A
7 m
1 dm
1 dm
AB
A
7 m
D
com
área
(
F
de
e
lado
10
cada
cm.
trapézio
DCEF F
III
e
V
os
b)
polígonos:
IV
e
VI
alternativa
c)
I
e
Qual
d
é
a
área
de
medida
de
E
BCE
FE ?
III
d)
II
e
V
a)
3
cm
c)
5
cm
b)
4
cm
d)
6
cm
D
Em
um
inscrito
a
lado
é
dada
pela
circunferência,
relação
5
a
alternativa
em 7.
é
medida
b)
triângulo
alternativa
Observe
a
figura.
b
hexágono
regular
e
quadrado
apótema.
ieL
a
do
016.9
a
C
d
ed
do
que
uma
91
medida
em
ed
2.
orierevef
a)
regulares
da
ed
São
dobro
.8991
1 dm
área
de
um
paralelogramo
é
octógono
igual
à
R
regular
área
de
og idóC
A
d)
laneP
3.
equilátero
um R
de
mesma
base
e
altura.
alternativa
d
od
2
b)
triângulo
quadrado
iguais
a
e
a
e
e
e
a
;
d)
retângulo
hexágono
medidas
4
hexágono
um
trapézio
dos
então,
a
regular
têm
respectivos
razão
entre
o
A
mesmo
as
áreas
pintada
do
círculo
de
verde
maior,
nessa
ordem,é:
R
a
alternativa
da
a
c) 16
alternativa
16
a
a
a
raio
1
a)
quadrado,
corresponde
de
3
do
6
do
área
área
apótemas
oãçudorpeR
perímetro
c)
1
3
4 6
b)
a)
c)
b)
d)
6
4
d)
6
a
a
8
8
4
Retomad a de conceitos
Se
você
Releia
não
a
acertou
teoria
e
alguma
refaça
os
questão,
exercícios
consulte
a
tabela
e
verifique
o
que
precisa
estudar
Objetivos
Identificar
super fícies
do
capítulo
poligonais,
novamente.
correspondentes.
Número
1
2
da
3
questão
4
NOSLIDA
6
7
X
X
X
X
X
X
círculos.
Estabelecer OCCES
5
circunferências X
e
dos
relações
polígonos
circunscrita
Resolver
a
métricas
regulares
e
o
entre
raio
da
os
elementos
circunferência
X
X
eles.
situações-problema
que
envolvam
o
cálculo X
:SEÕÇARTSULI
deáreas
de
Páginas
do
80
super fícies
livro
poligonais
referentes
ao
e
do
X
círculo.
conceito
63
e
64
65
e
66
67
e
68
72
e
63
e
64
63
e
64
69
e
70
69
a
71
73
74
.adibiorp
Um
qualquer
.trA
polígono
481
4.
a)
a
77
Mosaico
Pesquisa e ação
Os
azulejos
por
causa
decorados
da
com
influência
mosaicos
árabe
no
fazem
território
parte
da
cultura
português.
Em
de
muitos
Marrocos
e
países,
na
como
Espanha,
Portugal,
também
há
azulejosde influência árabe. No Brasil, devido à colonização portuguesa, é possível encontrarazu-
lejos
Os
semelhantes
mosaicos
são
aos
de
Portugal.
constituídos
de
formas
geométricas
que
se
repetem
formando
determina-
dopadrão.
KCOTSRETTUHS/NAMRAVAJ
SEGAMI WOLG/YMALA/ NIDLEIF KCIN
de
mosaico
Detalhe
de
azulejo
em
Marrocos,
2015.
Detalhe
de
mosaico
Detalhe
de
azulejo
em
Marrocos,
2014.
D
OCRAM
RASLUP/ZIN
OINOTNA
SNEGAMI
ONIK/ÁS
Detalhe
RASEC
português,
Alcântara,
MA,
2014.
português,
Alcântara,
MA,
2014.
P r ocedi me n t os
1)
Reúna-se
quatro
Azulejos
em
Azulejos
no
Azulejos
em
Essa
pesquisa
subsídio
2)
com
A
para
próxima
azulejos
que
será
e
e
pesquisem
os
seguintes
temas:
Brasil
Marrocos
servirá
a
para
a
construção
etapa
a
colegas
Portugal
é
definir
imagem
coberta
geral
pelos
construção
dos
azulejos
quais
do
de
do
Essa
repertório
serão
levando
área
de
imagens,
formas
e
cores,
dando
grupo.
polígonos
mosaico,
azulejos.
um
será
usados
em
para
compor
consideração
estabelecida
pelo
a
cada
área
imagem
dos
predeterminada
professor.
Decisões tomadas, escolham o material que será usado na confecção dos azulejos, considerando
não
4)
só
Você
e
a
estética,
seus
mas
colegas,
também
com
o
a
matemática.
professor,
poderão
Lembrem-se
organizar
de
uma
usar
material
mostra
dos
reciclado.
painéis
de
azulejos
produzidos e contar um pouco a trajetória do trabalho, destacando os sites e os livros utilizados
como
referência.
81
l
o
t
u
í p
C
a
5
Introdução à Geometria espacial
ZNAM O UAP EÕÇARTSULI
Objetivos
do
capítulo
1
Identificar
relativa
a
Ideias
gerais
sição
entre
A
retas;
sustentabilidade
no
ar
e
a
forma
aerodinâmica
de
um
avião
são
frutos
do
co-
nhecimento humano construído durante milhares de anos. A forma da fuselagem e
anos; retas
e
anos.
das asas, a posição relativa do plano do leme e do plano das pequenas asas traseiras
Aplicá-las
na
resolução
exemplificam
de
avião.
o
uso
de
conceitos
e
relações
geométricas
na
aerodinâmica
de
um
problemas
Identificar e calcular
distâncias entre
As
asas
ângulo
diedro;
adquire
maior
manobra
de
elementos
ponto
reta
e
e
do
avião
graças
formam
a
ele,
sustentação,
estabilização
constitutivos
o
um
quando
que
durante
da
ângulo
o
o
avião
leva
o
de
voo.
Geometria
que,
no
se
na
Geometria,
inclina,
volta
Neste
espaço
à
a
asa
posição
capítulo,
é
na
conhecido
posição
horizontal
vamos
por
inferior
em
estudar
uma
alguns
tridimensional.
plano; retas;
Primeiro,
plano; planos
vamos
conhecer
um
pouco
sobre
Euclides
de
Alexandria,
matemático
rego que viveu por volta de 300 a.C. e teve grande importância no desenvolvimen
Identificar
um
ângulo to
diedro
e
da
Geometria.
composta
sua
de
13
livros
(ou
é
reconhecido,
capítulos),
na
sobretudo,
qual
está
por
sua
organizado
obra Os
todo
o
elementos
conhecimen-
medida to
geométrico
Geometria
82
Euclides
determinar
até
então
euclidiana
acumulado.
Neste
capítulo,
veremos
alguns
tópicos
da
DAEHONAM
1.1
Na
e
por
Noções
Geometria,
isso
humana,
são
elas
primitiva s
ponto,
reta
chamadas
de
funcionam
ponto
não
tem
e
plano
noções
como
são
modelos
dimensão,
algumas
primitivas.
nem
para
noções
Como
explicar
massa,
nem
a
aceitas
são
sem
produtos
definição
da
mente
realidade.
volume.
A Podemos
r
não
tem
espessura,
nem
começo,
nem
OCCES
fim.
NOSLIDA :SEÕÇARTSUL
r
plano não
tem
espessura
nem
fronteiras.
explorar
questionamentos
como:
Quando
definimos
recorremos
já
a
existentes,
sido
de
criadas
as
de
definições
Mas
como
primeiras
Para
quais
chamados
e
foram
a
definições
podem
outras
em
já
e
existentes.
as
Geometria?
essa
conceitos
noções
ter
palavras
definidas
palavras
de
objeto,
também
responder
partimos
um
palavras
questão,
não
definidos,
primitivas.
Obser vação
Nesta
os
Podemos
imaginar
um
ponto
ao
ver
um
pequeno
furo
em
um
papel,
uma
obra,
pontos
ver
uma
Essas
linha
três
fina
noções
esticada
fazem
ou
parte
um
do
plano
ao
espaço,
ver
as
águas
conjunto
tranquilas
dos
infinitos
de
um
pontos
letras
latinas
reta maiúsculas
ao
representaremos
por
lago.
exis-
por
letras
t, t
...)
gregas
(A (
B
latinas
e
os
minúsculas
planos
minúsculas
por
(a
letras
b
tentes.
83
Qualquer
um
ponto,
conjunto
é
de
chamado
pontos
de
considerado
no
espaço,
que
tenha
pelo
menos
figura
A
P
Convém
existe
D
um
lembrar
plano
planoa.
B
A
Ñ
a
que
Em
B
Ñ
que
dois
contém
C
Ñ
a
mais
todos
linguagem
a
ou
e
pontos
Ñ
denominados
coplanares
se
eles.
A
B
C
simbólica,
D
são
e
D
são
coplanares,
pois
pertencem
ao
indicamos:
a
C
não
é
coplanar
com
,
,
C
e
,
pois
não
pertence
ao
plano
a
Em
linguagem
Observe,
a
simbólica,
seguir,
figura
figura
IV
da
figura
IV
é
tem
apenas
não
quatro
apresentam
planas,
plana,
contenha
pois
porque,
todos
os
pontos
ainda
as
coplanares,
seguintes
existe
um
único
considerando
pontos
da
a
as
demais
diferenças:
plano
que
perspectiva,
as
não
016.9
que
que
figuras
ed
figura
plano
I,
Essas
91
a
figura
II
um
III
ed
existe
figura
orierevef
contém,
figura.
I
pontos.
de
a
ed
exceção
infinitos
exemplos
É
.8991
Com
têm
alguns
escrevemos:
figura;
ieL
que
linha;
representa
a
III,
nenhum
uma
desses
superfície;
tipos
de
a
IV,
figura,
um
não
sóli
.
recebe
Afi-
nome
ogidóC
especia
não
laneP
guraI,
e
.
od 481
Em
Geometria,
sem
crevem
relações
postulados,
priedades
O
além
das
noções
demonstração:
entre
os
os
conceitos
demonstramos,
denominados
conjunto
de
primitivas,
postulados,
por
primitivos
meio
de
são
estabelecidas
proposições
(noções
deduções
verdades
fundamentais
primitivas).
lógicas,
Com
outros
iniciais
que
des
base
fatos
ou
nos
pro
teoremas
noções
primitivas,
postulados
e
teoremas
constitui
o
sistema
dedutivo OCCES NOSLIDA
Pos tulados:
Iniciamos
SEÕÇARTSUL
volvimento
nossa
da
continuidade,
mentos
um
ponto
reflexão
Geometria
foram
alguns
O
P2
Toda
espaço
P3
Fora
de
P4
Dois
pontos
reta
tem
e
as
os
infinitos
plano
das
noções
estabelecidos
todo
par tida
respeito
com
postulados,
P1
a
de
quais
bases
Geometria
sobre
primitivas
como
são
da
as
de
propriedades
apresentados
quais
ponto,
a
se
assenta
reta
e
o
desen-
plano.
Dando
fundamentais
desses
seguir.
pontos.
são
conjuntos
de
infinitos
pontos.
Obser vação
Embora,
em
Geometria,
determinar
signifique
e
há
ser
único,
o
uma
reta,
bem
como
fora
de
um
plano,
distintos
determinam
uma
única
reta.
existir
situações
em
A
que
achamos
enfatizar
casos,
usamos,
determinam
84
conveniente
essas
ideias.
por
uma
Nesses
B
exemplo:
única
há
termo
reta.
r
infinitos
pontos.
ele-
oãçudorpeR
aceitas
dedutivo
.adibiorp
Sis tema
.trA
1.2
P5
Postulado
or
um
de
Euclides
ponto
fora
de
uma
reta
r
passa
somente
uma
reta
s
paralela
a
r
P
s
r
P6
Três
pontos
não
colineares
determinam
um
único
plano.
P
Q
a plano
P
Se
dois
pontos
distintos
estão
em
um
plano,
a
reta
a
ou
que
plano
passa
(PQR
por
eles
está Obser vações
contida
nesse
plano.
em
B
um
plano,
significa
todos
os
pontos
à
também
que
que
per tencem
A .8991
reta
per tencem
r
aoplano.
ed orierevef
pontos
ed
na
91
P8
Se
dois
planos
distintos,
a
e
b,
interceptam-se,
a
intersecção
é
uma
distintos,
figura
ao
A
lado
e
B,
pode
como
ser
reta.
ed
representada
por
ou AB
016.9 ieL e laneP OCCES
og idóC
b
481
NOSL
od
DA
.trA
SEÕÇARTSULI
.adibiorp
a
oãçudorpeR
r
Com
esses
capítulo,
Teorema
que
postulados,
veremos
contém
1:
o
é
alguns
Dada
ponto
possível
uma
X
e
demonstrar
vários
teoremas.
No
decorrer
deste
deles.
reta
a
m
reta
e
um
ponto
X
fora
dela,
existe
um
único
plano
m
Obser vação X
Dois
ou
mais
pontos
são
ditos
m
colineares
reta
que
quando
contém
existe
todos
uma
eles.
r
M
Demonstração
X
P
Pelos
postulados
P2
e
P3,
a
reta
m
tem
dois A
X
pontos
distintos,
com
pois
P
e
Q,
que
não
são
colineares m
,
X
É
postulado
P6,
três
pontos
não
único
um
plano
único
que
plano,
passa
por
ou
P
seja,
Q
e
existe
X, X
um
sendo
A
e
M
per tencem
são
à
Em
linguagem
A
Ñ
r
P
simbólica,
Ñ
r
e
M
Ñ
r
a
X
não
é
colinear
com
plano. A
A
r.
indicamos:
esse
pois
colineares reta
determinam
colineares,
Q
Pelo
P
m
reta
m
tem
Portanto,
a
é
dois
o
pontos
único
em a;
plano
então,
que
pelo
contém
a
postulado
reta
e
o
P7,
ela
ponto
está
contida
em a
P
reta
e
r.
M,
pois
Em
X
não
per tence
linguagem
escrevemos:
X
É
r
à
simbólica,
Exe rc íc io resolv id o
R1.
Quantos
p
anos
po
em
passar
por
um
ponto
P
Resolução
Em
um
sistema
necessitam
Além
do
de
ponto
dedutivo,
certas
resoluções,
um
desenvolvimento
P,
espaço
o
tem
e
de
infinitos
como
uma
a
que
exemplificaremos
linguagem
pontos
estritamente
(postulado
P1).
aqui,
for mal.
Portanto,
existe P
um
ponto
Vamos
Q,
distinto
considerar
de
um
P,
e
uma
ponto
R,
reta
fora
PQ
da
(postulado
PQ
reta
P4).
R
(postulado
P3),
que
deter mina Q
com
ela
Agora,
um
plano
vamos
a
(teorema
considerar
1).
um
Logo,
ponto
o
S,
plano
fora
de
a
a
passa
por
P
(postulado
P3).
Como
S
É
a S
S
É
por
PQ
e,
novamente
pelo
teorema
1,
existe
um
planob,
com
b
a,
que
passa
P
Continuando
que
passam
a
fazer
pelo
construções
ponto
análo
as,
podemos
construir
infinitos
planos
P
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
Quantos
planos
pontos
podem
quantos
distintos
passar
planos
que
não
por
dois
podem
pontos
passar
estejam
5.
Uma
mesa
cilar,
por
sempre
alinhados?
de
fir me.
os
três
pontos
estiverem
planos
que
um
contêm
só
dos
plano
quais
quatro
ou
nenhum
três
deles
pontos
plano
nunca
pontos?
figura
plana,
isto
tal
que
quatro
coplanares,
é,
está
único
plano
e
variar
o
outro
quaisquer
então
contida
p
um
ou
em
g
ponto,
é
2
2.1
A
um
é
de
uma
plano.
p
que
O
F
oãçudorpeR
figura
são
verdadeira
.adibiorp
uma
pontos
é
p
coplanar.
Posições
relativas
Paralelismo
paralelismo
seguir,
Reta s
está
veremos
uas
retas
OCCES
ponto
NOSL
Em
muito
como
presente
as
retas
e
em
os
nosso
planos
dia
se
a
dia.
relacionam
por
meio
dessa
ideia.
paralela s
(coincidem)
r
e
ou
comum
linguagem
s,
se
são
paralelas
estão
em
(intersecção
simbólica,
um
se
têm
mesmo
todos
os
plano a e
pontos
não
têm
comuns
nenhum
vazia).
escrevemos: r/s
X
r
6
s
ou
r
y
a,
s
y
a
e
r
}
s
5
Ö
DA SEÕÇARTSULI
r
s s
retas
retas
coincidentes
86
.trA
é
abaixo
resposta.
481
F
seus
sua
retas
od
afir mação
justificando
seis
ogidóC
de
laneP
a
pontos
e
se
quatro
LLA
falsa,
chão);
ieL
Indique
(do
TUOBA
4.
plano
016.9
planos,
pontos,
conjunto
único
ed
os
são colineares, quantas retas são determinadas por
esse
teoria
infinitos
infinitos
quatro
a
determinam
HS/ECAPS
Dados
segundo
mesa)
YTTEG/16DNETSEW
3.
fato
da
os-
está
91
são
distintos?
pés
pode
per nas
KCOTSRETT
Quantos
único;
esse
(três
vezes
tr ês
SEGAMI
2.
um
pontos
às
de
estudada.
alinhados?
um infinitos;
per nas
mesa
ed
se
uma
Explique
Três
E
quatr o
enquanto
orierevef
três
E
ed
distintos?
.8991
1.
a
r
(não
paralelas
distintas
coincidentes)
T eorema
2: Duas retas paralelas, não coincidentes, determinam um único plano.
Demonstração
Por
definição,
elas
são
Pelo
existe
paralelas
postulado
e
P2,
pelo
não
menos
um
plano
coincidentes.
consideremos
A
e
a
Vamos
que
contém
mostrar
as
que a
retas
é
r
e
s,
já
que
único.
B
em
A
B r
s
C
Pelo
B
Ñ
postulado
b
e
C
Ñ
b.
P6,
os
Vamos
pontos
mostrar
A
B
que
b
b.
coincide
com
Logo,
A
Ñ
b
a
B r
s
Como
é,
A
o
Ñ
plano.
z
C
plano a
a
B
Ñ
Logo,
a
os
a
e
C
Ñ
a,
planos
a
que,
e
b
por
contém
não
serem
coincidem
(a
z
todos
os
pontos
colineares,
dessas
determinam
retas,
um
isto
único
b).
.8991 ed orierevef
Planos
paralelos
ed 91 ed 016.9
Dois
ou
planos
se
não
a
têm
e
b,
são
paralelos
nenhum
ponto
se
coincidem
comum
(têm
(intersecção
todos
os
pontos
comuns)
vazia).
ieL e laneP ogidóC od
Em
linguagem
simbólica,
escrevemos: a
b
X
a
6
b
ou
a
}
b
5
Ö
481 .trA .adibiorp
a
oãçudorpeR
planos
coincidentes
planos
(não
Reta
se
a
Em
e
plano
reta
e
e
um
o
paralelos
distintos
coincidentes)
paralelos
plano
plano
linguagem
b
b
a
a
são
não
simbólica,
paralelos
têm
se
nenhum
a
reta
ponto
escrevemos: r/a
X
r
está
contida
no
plano a
comum.
y
a
r
}
a
5
Ö
r
OCCES NOSLIDA
r
r
y
a
SEÕÇARTSULI
a
a
r
}
a
=
87
Propriedades
Veja
a
seguir
do
paralelismo
algumas
propriedades
do
paralelismo.
Todas
elas
podem
ser
monstradas.
1.
Por
P
não
único
per tencente
plano
b
paralelo
a
a
a
a
u
2.
Se
r
não
s
está
contida
contida
em
a,
em
a
r
então
r
é
é
paralela
a
3.
Se
paralelaaa
r
é
paralela
então
r
é
a
a
paralela
b,
a
sendo
a
}
b
5
s
s
r
r P
s
4.
a
é
r
s,
contidas
que
r
um
}
s
Se
e
s
plano
paralelo
em
5{P},
um
então
a
duas
plano
a
é
b,
ta
Se
retas,
paralelo
dois
então
s
a
é
b
planos
são
qualquer
paralela
ao
paralelos
reta
contida
e
distintos,
em
um
6.
Se
deles
a
ntercepta
então
outro.
as
planos
b
e
g g,
com
ntersecções
são
retas
r
e
b paralelo
s
de
a
com
a
g ,
esses
paralelas.
r
r
r
.8991 ed orierevef
Reta s
reversa
ed
r
e
s
são
reversas
quando
não
existe
um
mesmo
plano
que
ed
retas
91
Duas
016.9
contenha.
ieL e
igura
abaixo,
retas
r
e
é
possível
s;
portanto,
visualizar
elas
que
são
não
existe
um
mesmo
plano
que
og idóC
as
laneP
Na
contenha
reversas.
od
r
481
G
H
.trA .adibiorp
D
C
E
Duas
ser
Se
retas
distintas,
coplanares
forem
ou
r
e
s,
distintas
poderão
(não
ser
linguagem
simbólica,
escrevemos:
têm
á nenhum
ponto
concorrentes
ponto
comum)
(têm
um
s
B
A
reversas.
coplanares,
F
podem
Em
paralelas
oãçudorpeR
Obser vação
a
tal
que
r
y
a
e
s
y
a
ou
único
Observe,
comum).
r
}
s
5
Ö
ainda,
Se
achar
cubo
por
são
isso,
ponto
são
que
as
necessário,
paralelos
a
reta
comum.
paralelas;
retas
r
explicar
não
e
não
os
coincidentes,
s
r
disso,
e
s
s
são
é
têm
planos
ou
( ABE E)
Além
logo,
s
que
paralela
(
seja,
e
a
a
nenhum
E )
os
reta
CD
e
r
e
( CDG)
planos
r r
é
ponto
que
não
contida
no
comum,
contêm
têm
nenhum
plano
perpendicular
faces
a
(CDG)
CD ;
ou
seja,
paralelas
ponto
não
têm
portanto,
do
comum
r
e
s
não
reversas.
Exe rc íc io resolv id o
R2.
Considerando
ABCDEFGH
EFJI
o
e
cubo
o
I
J
c)
retângulo
representado
ao
três
ES NO
o
que
se
dois
pontos
planos
não
paralelos
por
meio
de
colineares.
lado,
fazer
Identificar
pede.
Resolução
E F
LIDA
a)
Identificar
um
par
de
re a)
Respostas
possíveis:
retas
paralelas:
C
C D
SEÕÇARTSULI
tas
paralelas,
um
par
de e
r etas r eversas
e
um
D J
retas
que
não
nem
reversas.
b)
B
A
a Indicar
plano
88
a
posição
que
relativa
contém
a
reversas:
I J
e
D
;
retas
que
face
são
paralelas
nem
reversas:
J H
e
D F
G
sejam
A
paralelas
b)
retas
par
não de
;
entre
D JI.
a
reta
C J
e
reta
face
C J
é
CD JI, I
paralela
pois
ao
está
plano
contida
que
contém
nele.
o
c)
Resposta
possível:
os
planos
( ABG
e
e,
nenhum
EFD
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
6.
Classifique
dadeira
a)
ou
cada
Duas
das
afir mações
em
ver -
7.
Registre
falsas.
reversas.
b)
uma
falsa.
a)
Duas
verdadeira
retas
reversas
podem
ser
coplanares.
falsa
b)
são
2.2
paralelos.
retas
é
das
a,
afir mações
a
seguir
são
c
reversas
nunca
estão
em
lanos
paralelos.
c)
d)
quais
afirmações
a
e
b,
são
coincidentes,
c)
então
então
verdadeira
r
paralela
r
à
está
é
reta
r
e
paralela
à
s,
então
um
plano
contida
reta
té
a
paralela
têm
a
ponto
r
comum,
em a
Perpendicularismo raios
de
Além
nas
do
quais
Para
é
paralelismo,
notável
traçar
a
o
podemos
identificar
perpendicularismo.
direção
da
linha
meridiana
ao
nosso
redor
Acompanhe,
de
um
local,
a
inúmeras
seguir,
fincamos,
uma
delas.
perpendicularvareta
mente
ao
decorrer
de
solo,
do
mesmo
uma
dia
e
vareta
traçamos
comprimento.
(denominada
a
A
bissetriz
direção
de
da
gnômon),
todos
linha
os
marcamos
ângulos
meridiana
suas
formados
local
Sol
situações
sombras
por
coincide
no
de
sombras
com
a
vertical
chamada
gnômon
das
.8991
bissetrizes.
ed
Nessa situação, como podemos garantir que a vareta fique perpendicular ao solo?
orierevef
O
estudo
do
ed
ajudará
Reta s
a
perpendicularismo
responder
a
entre
questões
retas,
como
entre
planos
e
entre
retas
e
planos
linha
essa.
meridiana
local
91
nos
ed 016.9
concorrentes
ieL
Ref lita
e laneP
Na construção civil, qual é a função:
Duas retas
r e
s,
são concorrentes quando
têm
apenas
um
ponto P comum.
og idóC
od
481
Em
linguagem
.trA
Observe
as
simbólica,
figuras
I
e
II
escrevemos: r
}
s
5
{P} P
abaixo.
.adibiorp
A
A
oãçudorpeR
N
N
P
P
B
M
figura
Na
figura
o
P.
I,
observamos
Nelas,
duas
retas
identificamos
os
concorrentes, AB
ângulos
APM
MN,
MPB
BPN N
que
e
se
II
interceptam
NP A
plano
(figura
II). O
Teorema
3:
Se
duas
retas,
r
e
s,
são
concorrentes
em
um
ponto
P,
então
elas
fio
de
relação
determinam
um
único
plano
prumo
ao
solo,
função,
Demonstração
Comentário:
um
P2,
existem
os
pontos
A
C
tais
que
A
P
C
^
P
trabalho
os
pontos
A
e
5
plano
(
)
postulado
Vamos
mostrar
bolha,
em
além
a
de
Esta
para
uma
verificar
a
atividade
ação
da
a
superfície.
propicia
com
força
perpendicularidade
do
Física,
gravitacional
concluímos
que
,
e C
determinam
um
plano a;
lo
com
água
o:
a
horizontalidade
dentro
do
nível
de
da
fio
de
prumo
superfície
(I)
P7,
o
que
plano
a
é
contém r
e
s,
pois
contém
dois
pontos
de
cada
reta.
s
único.
SEÕÇARTSULI
r
Suponhamos
que
exista
outro
plano
b que
contenha
r
e
s
P
C
Pelo
postulado
P7,
os
pontos P, P
A
e
C
pertencem
a
b;
logo:
b
5
plano
(APC )
(II) A
De
(I)
e
(II),
concluímos
que
a
6
e
que,
portanto,
a
é
da
bolha.
NOSLIDA
Pelo
P6,
de
OCCES
a
postulado
nível
a
parede
C e
Pelo
verificar
uma
interdisciplinar
relacionando
com
Assim,
o
serve
horizontalidade
postulado
e
para
de
a dessa
Pelo
serve
perpendicularidade
único.
89
YTTEG
Além de determinar esses ângulos, duas retas concorrentes também determinam
um
SEGAMI
pon
figura
/CSIDOTOHP
no
B
M
I
Reta s
Ref lita
AB
AD
EH
EF
Duas AE
BC
BF
CD
CG
DH
nam FG
e
H
do
cubo
perpendiculares
retas
quatro
r
e
s,
são
ângulos
perpendiculares
quando
são
concorrentes
e
determi-
retos.
representado
abaixo.
r H s
F
r
ª
s
(lemos:
“a
reta
r
é
D C
A
perpendicular
à
reta
s”)
B
Reta s
or togonais
24
pares
Duas
retas
reversas,
r
e
s,
são
ortogonais
quando
existe
uma
reta
t
que
é
paralela
de
18
coincidente)
a
s
e
perpendicular
a
r
pares
3segmentos
(não
perpendiculares
Na
figura
ao
lado,
em
que
os
pontos A
B
C P
O
cubo
24
(8
tem
3)
8
vértices;
pares
de
logo,
são
M e P são
vértices
de
um
cubo,
as
retas
AB
e
CM
segmentos
são
ortogonais,
pois
a
reta
PM
é
paralela
a
A
AB
perpendiculares.
e
é
perpendicular
a
.8991
CM
AB
CD
AE
BF
AD
BC
EF F
e
HG
orierevef
ed
paralelos:
M CG
e
DH
EH
e
FG
4
Mas
3
5
cada
então,
de
C
temos
36
par
logo,
são
contado
(36
2)
duas
pares
Reta
de
e
plano
perpendiculares
e
segmentos
foi
18
ieL
vezes;
paralelos;
pares
016.9
3
3
ed
segmentos
forma
91
conjunto
ed
B Cada
paralelos.
a
são
secantes
uma
reta r
secantes
é
o
caso
e
(ou
em
um
plano a
têm
concorrentes
que
a
reta
é
somente
um
ponto
perpendicular
ao
comum,
dizemos
que
plano.
ogidóC od
e
laneP
Quando
r
481
uma
reta
r
perpendicular
por
um
a
plano
quando
a,
r
é
concorren
es
no
perpendicular
pon
a
o
todas
P, P
as
dizemos
retas
de
que
a
r
que
P
r
oãçudorpeR
passam
e
a
.adibiorp
é
.trA
Dados
r
P
P
reta
:
a
secante
a
reta
r:
secante
e
ES NOSLIDA :SEÕÇARTSULI
não
ao
plano
ao
a
Teorema
O
teorema
Teorema
então
Em
s
r
é
retas
retas;
é
perpendicular
perpendicular
90
r
é
a
se
muito
uma
ao
uir,
reta
simbólica,
perpendicularismo
conhecido
importante
como
para
perpendicular
plano
a
a
a
determinado
escrevemos: s
y
a
t
teorema
fundamental
do
Geometria.
duas
por
y
a
retas
essas
r
ª
concorrentes,
s
e
t t,
retas.
s
r
ª
t
V
r
ª
a
conti
a
as
ao
plano
duas
nesse
a
astronômico:
ele?
Na
contidas
no
basta
verificar
como
verdade,
plano
se
é
ter
não
do
é
solo,
certeza
preciso
pois
perpendicular
de
isso
a
que
a
verificar
seria
duas
vareta
se
ela
é
fincada
impossível,
retas
não
no
solo
perpendicular
já
que
coincidentes
são
a
é
per-
todas
infinitas
desse
plano
a
retas
p
ão de perpendicularismo entre reta e plano nos remete à questão sobre
meridiano
as
concorrentes
Se
linguagem
pendicular
pois
4:
é
perpendicular
A defini
é
enunciado
do
plano
t
o
ret
fundamental
perpendicularismo,
r
A
perpendicular
perpendicular
ano.
que
passam
pelo
ponto
perpendicularismo
nos
em
que
garante
a
vareta
isso.
foi
fincada.
O
teorema
fundamental
do
Planos
Dois
planos
pelo
menos
Como,
é
concorrentes
uma
pelo
reta,
distintos,
um
e
ponto
postulado
podemos
b,
são
comum
P8,
a
concorrentes
(intersecção
intersecção
escrever:
a
}
b
5
não
de
(ou
secantes)
quando
têm
vazia).
dois
planos
distintos
não
paralelos
r
r
Considere
a
figura
do
cubo
abaixo.
B .8991 ed
orierevef
A
A
intersecção
dos
planos
a
e
b
é
a
reta
que
contém
o
AB,
segmento
ou
seja,
a
ed 91
reta
AB ,
isto
é:
a
}
b
5
AB
ed 016.9 ieL e laneP
Exe rc íc io resolv id o
ogidóC od
R3.
481
ponto
a
e
em
b
a,
.trA
pertencem
dois
e
à
B
planos
e
C
reta
são
secantes
dois
cuja
pontos
intersecção
distintos
em
é
b
a
reta
tais
r
que
A
B
A
e
é
C
um
não
r
.adibiorp
oãçudorpeR
a)
mostrar
que
b)
deter minar
A
B
e
C
não
são
pontos
C
colineares.
a
intersecção
do
plano
a
com
o
plano
dado
por
A
B
e
C
A
B
Resolução
r
a)
que
isso
gera
Como A
gera
uma
A
contradição,
Logo,
A
B
veio
e
B
e
C
C
sejam
pontos
colineares.
Mostremos
contradição.
pertence
pertence
contradição
A
a
a,
à
pois,
da
não
reta
temos
pelo
então
A
Ñ
a
enunciado,
suposição
são
BC ,
que
da
A
}
pertence
b,
isto
sabemos
colinearidade
é,
ao
A
que
dos
plano
Ñ
A
r,
É
três
o
r.
b
que
Essa
pontos.
colineares.
B
b)
Existem
dois
casos
para
analisar.
O
primeiro,
quando
as
retas
BC A
P
e
r
são
concorrentes
e,
o
segundo,
quando
as
retas
BC
e
r
são
r
paralelas.
BC
e
r
concorrentes
o
ponto
comum
a
BC
e
r.
Como
P
Ñ
BC
,
sabemos
que
P
pertence
e
que
a
reta
BC
e
r
P
plano
( ABC ).
pertencem
AP
é
a
reta
Mas
ao
P
Ñ
plano
a
a,
e
pois
ao
P
Ñ
plano
r
er
a .
(ABC ),
Como
os
C
concluímos
OCCES
A
ao
procurada.
NOSLIDA
B
BC
paralelas
/r,
então
BC
/a
ABC )
intercepta
o
plano
a
SEÕÇARTSULI
A
em
uma
reta
portanto,
que
paralela
contém
a
o
ponto
A
e
é
paralela
à
reta
BC
e,
r
91
Planos
Dois
reta
perpendiculares
planos
r
a
e
b,
perpendicular
são
ao
perpendiculares
outro
quando
um
deles
contém
uma
plano.
r
Exemplo
Observe
o
pois
prisma
ABC
contém
a
representado
ao
reta
BC ,
que
é
lado.
Nele:
DCF ),
perpendicular
B
A
ao
DCF );
.8991
F
ABC BFC ) não são perpendiculares
pois
não
do
há
uma
indicação
reta
de
que
perpendicular
algum
a
D
duas
C
outro.
ed
retas
si,
contenha
orierevef
deles
ed
entre
91 ed 016.9
do
perpendicularismo
ieL
Propriedades
e
plano
ponto
de
uma
reta
perpendicular
a
passa
essa
somente
propriedades
do
perpendicularismo.
Todas
elas
podem
2.
reta.
Se uma reta
é perpendicular a um plano a
então toda reta paralela a
plano
a
e
perpendicular
todo
a
plano
paralelo
a
a
Duas
retas
plano
são
diculares
é
a
perpendiculares
paralelas.
uma
Dois
mesma
a
um
planos
reta
são
mesmo
perpen-
paralelos.
.
oãçudorpeR
r P
r
4.
Se
uma
reta
diculares
a
paralela
a
a
r
e
um
um
plano
plano
b,
a
são
então
a
perpen-
reta
r
é
5.
Se
os
um
g
é
planos
plano
e
b
perpendicular
entre
a
e
são
concorrentes
perpendicular
à
a
re t a
b
a
de
e
a
b,
e
g
é
6.
Se uma reta r é perpendicular a um planoa
então
em um ponto P, uma reta t está contida em
i n te r s e cç ã o
ae não passa por P, uma reta m está contida
em
a,
a
no
passa
por
P
e
m
é
perpendicular
r t
que
ponto
R,
per tence
a
então
r, r
é
a
r
Q
r OCCES
t
NOSLIDA
P R
:SEÕÇARTSULI
92
reta
QR
,
perpendicular
.adibiorp
ao
3.
é perpendicular
.trA
um
um
algumas
demonstradas.
481
Por
seguir,
ogidóC od
1.
a
laneP
Veja,
ser
m
em
a
t
Exe rc íc ios resolv id os
R4.
Dados
três
culares
a
pontos
uma
não
reta
r,
colineares,
demonstrar
A
B
que
e
C,
as
se
as
retas
r
retas
e
BC
AB
são
e
AC
são
perpendi-
ortogonais.
r
Resolução
P7,
a
o
as
retas
plano
retas
AB
e
deter minado
AB
AC
,
BC
que
e
por
AC
são
A
B
estão
e
C
(postulado
contidas
concorrentes,
r
é
em
a.
P6).
Assim,
Como
r
perpendicular
é
ao
pelo
postulado
perpendicular
plano
que
as
às
con
A
tém,
isto
é,
r
ª
a.
Portanto,
r
é
ortogonal
a
qualquer
reta
de
a
que
não
passe
a
pelo
R5.
ponto
A.
Considerando
r
y
a
e
y
Logo,
dois
b,
as
retas
planos
indicar
r
e
BC
paralelos
todas
as
são
ortogonais
distintos,
possíveis
a
e
posições
entre
b,
e
entre
si.
duas
r
e
retas,
e
s
com
s
Resolução
Existem
(I)
As
uas
retas
g
i
a
e
a
b,
e
possi
e
g
s
i
i
estão
i
a
es:
em
um
plano
b
g,
sendo
em
e
s,
que
s
(I)
g
respectivamente,
r
contidas
são
paralelas
distintas.
(II)
Não
há
um
plano
que
contenha
as
retas
r es.
Nesse
Observação caso,
vamos
.8991
paralela
a
considerar
r
uma
reta
t
de
t
r
b
que
um
plano
r
seja
g
No
ed
t
(II) tal
como
o
do
item
(I).
A
reta
t
deter mina
com
orierevef
plano
que
coincide
com
b.
Assim,
temos:
caso
(II),
se
as
retas
forem perpendiculares,
s
P
um
s
r/t
n
r
s
r
r
ed
t
}
s
5
{P },
r
}
s
5
Ö;
logo,
r
e
s
são
retas
or togonais.
reversas.
91 ed 016.9
R6.
Demonstrar
ieL
que
duas
retas
reversas
têm
uma
única
reta
perpendicular
comum.
Resolução
e laneP
ogidóC od
e
s,
r
e
s
duas
retas
reversas
e
a
e
b
dois
planos
paralelos
que
contêm
r
respectivamente.
Por
um
ponto
C
de
r
passa
uma
perpendicular
ao
plano
b
D
o
ponto
r C
de
intersecção
dessa
reta
( CD
)
com
b
481
A
.trA
Por
D
passa
uma
única
paralela
(m )
à
reta
r
(postulado
de
Euclides).
Essa
.adibiorp
reta
está
Por
contida
passa
em
uma
única
B
a
intersecção
paralela
à
reta
da
CD
reta
m
com
(postulado
a
de
reta
s
Euclides),
que
D
s
oãçudorpeR
m
intercepta
A
reta
AB
portanto,
suas
resoluções
dos
reta
é
r
AB
é
é
a
exercícios
no
ponto
perpendicular
AB
8
com
única
a
A.
13
no
É
aos
perpendicular
intersecções
Logo,
Ver
a
esses
a
planos
a
todas
do
B
AB
a
as
e
b,
pois
retas
de
é
a
paralela
e
de
b
à
que
reta
CD
passam
e,
por
planos.
perpendicular
Guia
reta
comum
às
retas
r
e
s
professor.
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
8.
Q u a i s
d a s
a f i r ma çõ e s
a b a i x o
s ã o
f a l s a s ?
ustifique.
a)
Duas
9.
e
retas
perpendiculares
a
uma
mesma
PS
paralelas
entre
e S três pontos não colineares tais que
contidas
no
plano
a
KM
ª
reta QS
são
,
estão
ª
PS
e
/ QS ,
como
mostra
a
figura
abaixo.
si.
Q
b)
r
e
um
plano
a
são
paralelos,
então
K
toda
reta
então
perpendicular
reta
ao
plano
a
é
perpendi-
r
toda
P
r
está
contida
perpendicular
em
a
um
r
é
plano
a
perpendi
M
NOSLIDA
c)
à
OCCES
cular
S
cularaa
e esse
ré
plano
r
é
é
perpendicular
paralelo
perpendicular
a
b
a
outro
a
um
plano
plano
b,
a
então
Com
um
colega,
Sugestão:
mostrem
Construam
que
por
P
KM
uma
ª
a
e
QS
paralela
à
ª
a
KM
93
SEÕÇARTSUL
d)
10.
(UFRN)
Na
sentada
cadeira
na
repre-
figura,
o
12.
Mostre
que,
sentado
en-
ao
no
cubo
lado,
a
H
repre-
G
diagonal
F
costo
é
perpendicular
assento
e
este
é
AC
ao
E
plano( HFBD ).
C
questões
Os
a
F
seguir.
planos
N
e
A
a e b
planos paralelos distintos,
é
um
segmento
tos
N
não
colineares
reta
comum
aos
HI J
planos
e
N
N
são
é
um
segmento
e
P
um
ponto
B e C pon
de
b
tais
que
e
de
A e PC
H prove
que
o
plano
( R TV )
é
pa-
paralelos? ralelo
EF
a
T e V são pontos médios de PB
respectivamente,
planos
de
de PA ª b R
Os
A
paralelos?
M
HG G
B
FGJ 13.
d)
perpen
D
são
b)
é
G
E
a)
ao
D
chão.
às
face
dicular
paralelo H
ao
da
reta
comum
aos
a
b
planos P
N
11.
e
EHG? G
Considere
plano
b
r
que
é
um
uma
plano
reta
a
é
contida
perpendicular
em
e
r
é
a
um
perpendi
T V R
cular
à
reta
de
intersecção
entre
os
planos
a
e
b
a
Mostre
que
b)
Compare
r
é
perpendicular
ao
plano
b
C
a
demonstração
que
você
elaborou B
com
a
de
um
colega.
.8991 ed orierevef
Projeção
or togonal
e
distância
ed
3
91 ed
Projeções
016.9
3.1
or togonais
ieL
P
e
or togonal
de
um
ponto
sobre
uma
laneP
Projeção
reta
projeção
ortogonal
de
r
com
de
a
um
reta
ponto
P
sobre
perpendicular
uma
a
reta
que
r
é
passa
o
ponto
por
P’,
que
é
a
481
intersecção
od
A
ogidóC
r
P
P‘
.trA
particular,
r,
or togonal
de
sua
um
projeção
ponto
ortogonal
sobre
sobre r será
um
o
próprio P
oãçudorpeR
Projeção
se P
plano
A A
projeção
ortogonal
de
um
ponto A
sobre
um
plano
a
é
o
ponto
A’,
que
é
a
A‘
intersecção,
com
esse
p
ano,
a
reta
que
passa
por A
e
é
perpen
icu
ar
a
a
r
Em particular , se A pertencer a a, sua projeção ortogonal sobre a será o próprio A r
ª
Projeção
or togonal
Consideremos
Se
r
ª
a,
com
uma
r
a
reta
5
r
A
de
e
,
uma
um
reta
sobre
um
plano
plano a
Se a reta r não é perpendicular ao plano a
então a projeção ortogonal
então a projeção ortogonal de r
de
reta
r
sobre
a
é
o
pontoA
nal
s
determinada
de
dois
pontos
pela
de r
OCCES
r r
B
NOSLIDA
A
SEÕÇARTSULI
s A
94
B’
sobre a éa
projeção
distintos
.adibiorp
Em
ortogo
sobre a
Exemplo Obser vação
Observe
o
cubo
representado
abaixo.
Nele,
temos
que
a
projeção
ortogonal
do: A
C
sobre
o
plano
(ABE )
é
o
ponto
G
C
sobre
o
plano
(ACE )
é
o
próprio
projeção
uma
A;
H
figura
figura
o
segmen
o
sobre
o
plano
(ABE
sobre
formada
um
pelas
de
plano
é
a
projeções
pontoC ; or togonais
CD
or togonal
dos
pontos
dessa
C
é
figura
sobre
esse
plano.
AB;
AD
sobre
o
plano
(ABE )
é E F
o
segmento
AB;
A
AC C
3.2
sobre
o
plano
(ABE )
é
o
ponto
B
A
Dis tância s
Dis tância
Se
A
mento
e
B
de
são
dois
AB
reta
Indicamos
entre
a
dois
pontos
em
uma
distância
de
pontos
do
espaço,
certa
A
a
B
a
distância
unidade
(ou
de
entre
eles
é
a
medida
do
seg-
medida.
distância
de
B
a
A)
por
(ou
d A
B
d B
). A
Exemplo
.8991
Na
ed
1,
reta
numérica,
então
orierevef
mento
a
se
o
distância
AB,
ponto A
de
A
determinada
a
B,
pelo
ed
–3
representa
ou
a
valor
–2
–1
o
número
distância
absoluto
0
1
AB,
da
2
é
real
3,
2
que
diferença
é
e
B,
a
dos
o
número
medida
do
números
real
seg-
2
e
1.
3
91 ed
A
B
016.9 ieL
u
e laneP
Obser vação
Simbolicamente,
ogidóC od
Nesse
caso,
primento
a
do
temos:
unidade
d
(
de
segmento
medida
cujos
2)
de
(1)$
5
$23$
comprimento
extremos
representam
5
3
utilizada
dois
(u)
é
números
o
com-
inteiros
d
5
5
1
481
Assim:
consecutivos.
BA
1
5
2
(1)
5
d
5 B
(
3
BA
2)
5
5
d
A
5
3
5
A
AB
5
3
B
.trA .adibiorp
Dis tância
entre
um
ponto
e
uma
P
reta
r
oãçudorpeR
A
distância
distância
entre
entre
um
ponto
P
e
uma
reta
P
P’
r
é
sobre
a
r
P’
Indicamos
a
distância
de
P
a
r
por
d
5
P
PP’.
r
Se
G
Exemplo
achar
necessário,
explicar
(ABC )
A
distância
do
ponto C C,
de
um
cubo
de
aresta
3cm,
perpendiculares
C
que,
e,
por
e
( (BDH )
isso,
a
são
reta
AB
é
3
cm.
A
distância HB,
do
pontoH
à
é
cm,
pois
o
triângulo BHD
é
retângulo
e, 3
portanto,
pelo
teorema
de
Pitágoras,
é
reta perpendicular
AB ,
AB
reta
D
(ABC )
à
no
H
no
plano
do
ponto
à
( (BDH );
reta
BH
logo,
que
HB
é
a
está
contida
distância
cm
temos:
H
à
reta
AB
F 2
2
(HB)
HB
(DH)
A
sua
(DB)
2
V
HB
5
2
1
V
A
5
Dis tância
2
1
distância
projeção
entre
entre
um
um
ortogonal
ponto
ponto
A’
A
sobre
e
e
um
um
B
plano
plano
a
é
a
distância
entre
o
ponto
A
e
a
a
A OCCES NOSLIDA :SEÕÇARTSULI
A ’
Indicamos
a
distância
de
a
a
por
5
d A
a
95
Dados
A
Dis tância
Ref lita
a
é
zero,
o
é
que
a
um
plano
distância
entre
entre
a
e
um
uma
uma
reta
ponto
A
A
ponto
a,
a
r
distância
de
de
ual
a
uer A
ponto
r
de
qualquer
ponto
de
plano
a
à
B
reta
do
à
é
onto
a
r
maior
distância
da
ou
de
reta
paralelos,
qualquer
da
reta r
e
o
sua
É
plano
a
interessante
reta
distância
do
r
estar
plano
comutativa,
todo
onto
distância
a
a
a
a
ue
a
de
de
uela
r.
a
ou
a
à
não
se
está
implica
a,
à
é
ue
mesma
Observar
distância
mesma
ainda
o
limite
distância
de
r
a
a
por
d
5
A A’,
sendo
A’
a
projeção
ortogonal
a
a
Dis tância
r
A ’
r
sobre
entre
plano
onto
r
A
o
uer
Indicamos
de
distância
e
A
igual
ual
a
de
paralelos
Comentário:
ao
a
distância
qualquer
plano
NOSLIDA
plano
pertence
a? ano
A
um
OCCES
de
r
e
r
A
o
posição
reta
entre
dois
planos
paralelos
r
e
s,
a
distância
entre
elas
é
a
Dados distância
e
a
entre
projeção
sobre
a
reta
qualquer
ortogonal
s
ou
ponto
desse
dois
planos
paralelos,
a
e
b,
a
distância
entre
eles
é
a
distância
entre
de r
ponto
ualquer
ponto
de
a
e
o
plano
b,
ou
vice-versa.
vice-versa.
A
r
r
OCCES NOSLIDA
s
A ’ .8991
A
zero.
orierevef
é
ed
coincidentes
Exemplo Ref lita
G
cubo
representado
ao
lado,
H
temos:
91
ed
No
entre
duas
retas
paralelas
las
e
a
distância
outra,
entre
por
um
ponto
exemplo,
entre
EF
de
C
e
CD
uma
e
,
EF
D
é
de-
E
que
e
à
ieL laneP
retas
016.9
distintas?
igual
ed
C
cm;
coincidentes?
entre
duas
CDG
ABE )
reta s
é
2
cm.
2
cm
A
reversa s
481
Dis tância
Ref lita
ogidóC od
A
r
.trA
distância
reversas
entre
pode
duas
ser
Dadas
retas
nula?
Por
elas
quê?
é
a
duas
retas
distância
reversas,
entre
r
qualquer
,
a
distância
ponto
de r
e
.adibiorp
A
entre
o
plano
distância
pode
ser
ponto
entre
nula,
duas
pois
comum,
ou
retas
elas
seja,
reversas
não
não
têm
se
não
que
contém
s
e
é
paralelo
a
r, r
ou
oãçudorpeR
A ’ A
s
vice-versa.
nenhum
cruzam.
Exe rc íc io resolv id o
R7.
Considerando
o
cubo
repre-
2
ao
lado,
Assim,
cm
G
sentado
no
:DAF ,
2
entre
os
de
Pitágoras
2
(DF )
distância
teorema
2
D
a
o
temos:
C
que:
a)
aplicando
H
mostrar
5
2
5
4
1
pon2
tos
F
e
D
é
(DF )
E
c m.
1
8
5
12
V
DF
5
F
b)
a
distância
entre
a
Logo,
reta
A
e
o
plano
( EBC)
a
distância
entre
os
pontos
F
e
D
é
B
é
cm .
G
2 cm . A
distância
entre
H
AD
OCCES
P
Resolução e
NOSLIDA
a)
O
:
F
B,
que
é
ân-
o
plano
que
é
(EBC )
metade
da
é
D
DP
medi-
E
:SEÕÇARTSULI
gulo
inter no
AB
BF
5
5
2
do
cm,
2
temos:
:
(AF ( )
quadrado
pelo
2
5
teorema
Pitágoras,
da
da
face
do
AF
DA
96
ª
perpendicular
plano
AF
que
onal
cubo.
de
uma
F
Assim:
a
passam
ª
plano
todas
por
B
5 DP
5
DP
5
A
e,
9
2
(ABE ).
as
2
retas
Logo, desse
dia
A
V
DA
é
de
Como
2
1
F
Logo,
ABFE .
a
distância
portanto,
EBC
é
2
cm .
entre
a
reta
AD
e
o
plano
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
14.
pendicular
um
ponto
a
a,
a
sobre a.
No
projeção
ortogonal
caso
pro
de
e
um
d)
pontoP
eção
uma
dessa
reta
ortogonal
figura
com a
é
ponto
P
do
F
do
espaço,
é
definida
e)
F
projeção
sobre
a
das
projeções
ortogonais
de
seus
de
um
triângulo
pode
resultar
num
segmento
de
reta.
Considerando
o
paralelepípedo
representado
relação
a
um
plano
qualquer
fixado,
deter mine
a
distância
entre:
pontos.
pode-se
a)
EF
e
GC
2
G
cm
F
E
dizer
a
a
que:
pode
b)
a
alternativa
projeção
projeção
e
ortogonal
resultar
numa
ortogonal
de
um
segmento
de
b)
EF
e
HG
c)
EF
e
DC
d)
EF
e
o
2
cm
reta
m 29
cm
semirreta.
de
uma
reta
sempre
plano
(HGF ).
D
zero
C
resulta 2
e) numa
c)
a
EH
e
o
plano
(ABC ).
A
reta.
projeção
resultar
ortogonal
num
a
pelo
H
Com
re-
quadrilátero.
a projeção ortogonal de uma circunferência pode
seguir, conjunto
ortogonal
num
a
15. de
a
sultar
intersecção
chamado
a
P
de
segmento
uma
de
parábola
pode
reta.
f )
o
plano
(EHD )
g)
o
plano
(ABC )
e
e
o
o
plano
plano
(FGC ).
3
3
(HGF ).
cm
cm
B
cm
cm
.8991
Obser vação
4
Ângulos
e
diedros
ed
Veja
a
figura
abaixo.
orierevef
A
Ângulo
ed
entre
dua s
reta s
C
concorrentes
91 ed
Já
vimos
que
duas
retas
concorrentes
determinam
quatro
ângulos,
dois
a
dois
016.9
80°
opostos
pelo
vértice
(opv)
e,
portanto,
congruentes
dois
a
O
dois.
ieL e laneP
D
ogidóC od
opv,
isto
temos
é,
AOB
m(AOB)
m(COD)
5
5
e
OD
são
m(COD),
80©
481 .trA
AOC
.adibiorp
suplementares,
A
partir
oãçudorpeR
duas
dida
de
retas
(se
de
elas
retas
ângulos,
forem
O
fica
estabelecido
não
podemos
ângulo
estudada
claro
determinar
entre
entre
no
É
dua s
duas
Ensino
que,
quando
perpendiculares,
perpendiculares,
perpendiculares).
Ângulo
agora,
concorrentes
as
ângulo
que,
referimos
dos
a
elas
ao
aquele
mede
medida
do
ângulo
de
90 ©,
menor
me-
definição
dos
são
entre
menor
por
AOB
então
m(A ( OC) C
5
100©.
m(A ( OC) C
5
m(BOD)
AOC
e
BOD
são
Por tanto,
5
100©,
pois
opv.
quatro
demais.
paralela s
paralelas
Fundamental)
entre
conhecida
medidas
reta s
retas
o
nos
consideramos
e
(extensão
tem
medida
da
ideia
igual
a
de
ângulo,
de
medida t
0 ©
r
r
s
s
r/s
Ângulo
ângulo
r
z
s
entre
entre
V
t
5
dua s
duas
r/s
0©
reta s
retas
e
r
}
s
5
Ö
V
t
5
0©
reversa s
reversas, r
e
s
OCCES
O
e
(medidat), V
o
ângulo
formado
entre
r
e
s’,
sendo
s
uma
reta
NOSLIDA
é
s’ t
paralela
s
e
concorrente
linguagem
r
e
s
r
e
s’
reversas,
com
simbólica,
s/s’,
s
}
r
r
:SEÕÇARTSULI
Em
a
escrevemos:
5
{V },
ân
ulo
entre
s
mede
t
V
ân
ulo
entre
e
s
mede
t
97
Ângulo
Se
dida
uma
t,
No
é
entre
reta
o
r
não
ângulo
caso
em
uma
é
r
é
r
e
um
perpendicular
formado
que
reta
por
r
e
perpendicular
não
a
r ’,
concorrente
plano
um
plano a,
sendo
ao
com
r ’
a
plano a,
o
plano
a
o
ângulo
projeção
o
(r
ângulo
y
a
ou
r
entre
r
ortogonal
}
mede
a
e
a,
de
r
de
me-
sobre
a
90©
Ö)
r
r’
r
y
a
V
r
6
r ’ e
t
5
0°
r/a
Reta
r
concorrente
com
o
e
r
plano
_
a
a
(r
V
}
r/r ’ e
a
5
t
5
0°
{P})
r
s
r’ P
P .8991 ed
}
a
5
{P }
V
r }
r
r
e
5
a
{P }
é
o
ângulo
entre
r
e
r ’ .
r
e
a
r
e
s
perpendiculares;
então,
perpendiculares.
r
e
s
e
entre
r re a
ed
são
são
orierevef
r
medem90©
91 ed 016.9
entre
dois
ieL
Ângulo
planos
e
dois
planos,
a
e
b,
formado
por
são
concorrentes,
ângulo
entre
os
r,
e
as
planos
a
retas
e
b
é
s
r
o
e
é
t
a
reta
são
ângulo
as
de
intersecção
intersecções
deles,
formado
entre
de
as
a
e
g
retas
b
é
um
s
com
e
g
t
dois
s
não
.adibiorp
perpendiculares,
o
reta
.trA
concorrentes
então
à
481
planos
perpendicular
consideramos a
aquele
retas
s
menor
e
medida,
entre
oãçudorpeR
as
de
t
g
t
r
t
Se
dois
planos,
a
e
,
são
paralelos,
então
o
ân
ulo
entre
eles
é
nulo
(mede
0 ©).
Died ro
Antes
de
postulado,
A
P9
t
C
falarmos
conhecido
Dada
uma
reta
conjuntos
de
mento
reta
de
sobre
por
t
diedro,
será
postulado
contida
pontos
que
em
um
convexos
liga
um
da
e
necessário
separação
plano
a,
essa
disjuntos,
ponto
a’
qualquer
apresentarmos
de
reta
e
a’’,
um
novo
planos
divide
de
tal
o
plano
modo
pertencente
a
a’
em
que
a
um
o
dois
seg-
ponto
B
OCCES
qualquer
Com
base
de
nesse
a’’
tem
um
postulado,
único
ponto
podemos
em
comum
definir
o
que
com
é
um
a
reta t
semiplano:
NOSL DA SEÕÇARTSULI
Se
a
um
fique
a
98
ogidóC od
ângulo
plano
laneP
Se Obser vação
|
t
plano
dividido
e
a’’
|
t
a
e
em
é
uma
dois
reta
con
chamado
t, t
contida
untos
de
nesse
plano,
pontos,
semiplano,
a’
sendo
a
e
de
a’’:
reta
t
tal
cada
modo
um
que
dos
o
plano
con
untos
Agora,
com
base
no
postulado
e
na
definição,
vamos
definir
o
que
é
um
diedro.
E
Sejam E
e
E
dois
semiplanos
de
mesma
origem t ,
não
contidos
em
um
t
mesmo
2
1
plano.
dos
Chama-se
semiplanos
diedro
E
e
um
ângulo
diedro
a
figura
formada
pela
reunião
E
1
Dado
ou
2
diedro
e
aresta
um
plano
a
perpendicular
à
aresta
do
diedro,
chama-se faces
ângulo
plano
a
intersecção
do
plano
a
com
o
diedro.
A
medida
t
desse
ângulo E
é
considerada
a
medida
do
diedro.
t
diedro
E
|
E 2
E
Obser vação
E 2
consideraremos
0°
, t
,
180º.
Exe rc íc ios resolv id os
.8991
R8.
Identificar
os
diedros
representados
na
fi
ura
ao
t
lado.
ed
E
orierevef
3
E
Resolução
ed 91
E
|
E
1
;
E
|
2
E
2
;
E
3
|
E
1
3
ed
E 2
016.9
R
.
Nomear
os
seis
diedros
do
tetraedro
representado
ao
lado.
ieL e laneP
Resolução
ogidóC od
Consideremos
os
contido
semiplanos E
no
plano
( ABC),
E
1
( (ACD ),
E
contido
no
plano
481
E
E
|
e
E
(origem
BC
.trA
E
E
4
|
|
E
1
E
2
contido
no
plano
( BCD ).
no
Assim,
plano
temos:
4
E
1
contido 2
( ADB )
3
(origem
CD
4
(origem
AC
E
E
2
| 2
|
E
1
E
(origem
AD
3
(origem
AB )
3
|
E
3
(origem
BD
C
)
4
.adibiorp oãçudorpeR
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
16.
Nomeie
todos
os
diedros
da
figura.
( Dica:
Existem 18.
E
E 1
mais
de
três
diedros.)
Ver
resolução
no
Guia
do
um
diedro
de
aresta
KM
tal
que
as
2
professor.
semirretas
AB
e
PQ
estão
em
E
e
AC
e
PR
estão
1
T
R
em
E
Ver
resolução
no
Guia
do
professor.
2
K
K
P Q
P
R
Q
M
17.
Na
figura
abaixo,
a
projeção
ortogonal
de
AB
A
so-
C
bre a
é
é
BC
tal
que
perpendicular
medida
do
AB
ao
ângulo
5
2
plano
ABC
BC .
O
( ABC ).
segmento
PQ
Deter mine
B
M
a
60
E
E OCCES
a)
podemos
P
diedro?
que
BAC
MAB
é
e
um
KAC
ângulo
é
90 ©
plano
Justifique.
C
b)
afir mar
que
PQ
/
AB
?
RPQ
é
90©,
podemos
Justifique.
99
:SEÕÇARTSULI
do B
afir mar
NOSLIDA
Q
Exercícios
complem ent a res Registre as respostas em seu caderno
6.
As
projeções
ou
uma
ortogonais
circunferência;
a
de
uma
circunferência
projeção
9.
ortogonal
A
sobre
de
projeção
uma
um
plano
esfera
podem
sobre
ortogonal
de
um
ser:
plano
um
um
é
segmento,
sempre
ponto
A
um
uma
elipse
círculo.
interior
a
um
Aplicação diedro
de
60©
deter mina
os
pontos
A
e
A
1
uma
1.
Dois
planos,
a
e
b,
interceptam-se
em
uma
reta
das
faces
desse
diedro.
em
cada
2
Calcule
a
medida
do
r ângulo
A
AA
120 2
Escreva
quantas
ponto
de
A
a
retas
uma
reta
paralelas
a
r
passam
por
um
10.
Nesse
de
paralela
caso,
mesma
a
projeção
medida
que
ortogonal
o
é
diâmetro
um
da
segmento
de
reta
circunferência.
Aprofund amento
Considere
o
cubo
representado
na
figura
abaixo.
10.
Uma
circunferência
está
contida
em
um
plano
a
que
H G
é
perpendicular
ortogonal
a
dessa
um
plano
b.
eter mine
circunferência
sobre
o
a
projeção
plano
b
F
11.
E
O
o
segmento
triângulo
ponto
PA
médio
for mado
é
perpendicular
equilátero
BC ,
de
pelos
ABC.
ao
Se
deter mine
PA
segmentos
e
plano
AB
a
5
que
2
AP
medida
PM
contém
e
do
M
é
o
ângulo
60
D C
Desaf io 8991
(UFPE)
abaixo,
ABCD D
ABE F
são
retân
relativa
entre:
BE
e
o
mede
ângulo
DAF
6
mede
e
BC
mede
10,
60©.
qual
Se
a
AB
0 ,
distância
entre
os
ed
posição
orierevef
a
ilustração
B
gulos,
Qualé
Na
ed
12. A
91
E
GC
?
b)
EH
BC
?
c)
EH
e
EF
?
d)
EH
e
o
plano
(ABC )? paralelos
e)
EH
e
o
plano
(DCG )? perpendiculares
C
F ?
14
unidades
de
comprimento
ed
e
vértices
a)
reversas
016.9
paralelas
ieL
A
D
endiculares
e
er
laneP
60°
ogidóC od
F
f
o
plano
(ABF )
e
o
plano
(EH
)?
perpendiculares
481 .trA
qual
ti
resposta.
ique
Se
uma
planos
b)
Se
dois
um
c)
Se
reta
são
é
das
é
Ver
a
resolução
paralela
a
seguir
no
dois
Guia
é
do
planos,
falsa.
Jus-
professor.
então
esses
paralelos.
lanos
aralela
duas
afir mações
retas
são
a
uma
são
perpendicular
reta
do
reversas,
comum
a
então
toda
reta
de
outro.
então
existe
uma
única
elas.
13.
4.
Escreva
reta
como
sobre
pode
um
ser
plano.
B
C
aralelos,
a
projeção
uma
reta
ou
um
ortogonal
de
uma
De
uma
por
A
circunferência
um
segmento
cir cunfer ência.
ponto
de
AP
Une-se
dacircunferência,
diâmetro
A
projeção
ortogonal
de
um
ponto
P
sobre
um
plano
AB
perpendicular
P
distinto
a
um
de
B
Ver
levanta-se
ao
ponto
C
plano
do
da
qualquer
resolução
Guia
5.
oãçudorpeR
a)
sua
.adibiorp
Identifique
no
professor.
a
P
é
o
vértice
contido
em
triângulo
6.
do
e
ângulo
a.
2
Se
m
altura
relativa
Quais
são
as
P
do
à
reto
dista
um
m
plano
a,
triângulo
da
sobre
a
desse
medida
da
m
projeções
um
retângulo
hipotenusa
deter mine
hipotenusa.
possíveis
circunferência
de
plano?
ortogonais
E
de
uma
de
uma
C
esfera?
OCCES N
7.
Escreva
SLIDA
nele
:SEÕÇARTSULI
8.
Um
30©
ponto
dista
quanto
100
qual
é
contida.
9
a
distância
contido
m
esse
entre
um
plano
e
uma
A
reta
zero
da
em
outra
ponto
uma
face
dista
da
face
desse
aresta
de
um
diedro.
do
diedro
diedro.
18
m
a)
Prove
b)
Sabendo
que
as
retas
BC
e
PC
são
perpen
icu
ares.
de
Deter mine
do
arco
que
AB,
5
deter mine
5
a
8
cm
e
C
medida
é
do
o
ponto
ângulo
médio
C
30
Registre as respostas em seu caderno
Autoavaliação
1.
Dados
dois
tais
que
que
existe
pares
r
s
e
t
de
e
entre
retas
m
são
esses
distintas,
reversas,
dois
pares
(r
a
é
s)
e
(t
m ),
Considere
semelhança
que
as
lado
retas
para
questões
a
igura
ao
responder
6
a
C
B
às
2
9
cm
D A
de
cadapar:
alternativa
c
G F
a)
são
coplanares.
b)
não
4
são
m
coplanares.
E H
c)
não
têm
d)
têm
apenas
nenhum
ponto
comum. 2
um
ponto
6.
2.
Dados
tais
dois
que
existe
r
pares
/s s
entre
a)
r
e
s
são
b)
r
e
s
não
e
t
de
e
m
esses
retas
são
dois
distintas,
reversas,
pares
coplanares,
mas
é
a
e
t
s)
e
(t
alternativa
não
r
nenhuma
e
s,
bem
como
das
m
e
t ,
mas
não
m
têm
e
t
reta
r
é
um
a,
a)
2
cm
c)
4
cm
d)
a
ed
afir mar
e
orierevef
r
e
r
é
a
uma
ortogonal
concorrente
que:
não
t
pode
r
é
c)
r
pode
rn
com
ser
a
s.
onto
reta
20
cm
cm
A
distância
entre
o
ponto
A
e
o
plano
(BCF )
é:
alternativa
a)
2
cm
c)
b)
4
cm
d)
20
b
cm
comum.
s,
uma
cm
A
distância
entre
o
ponto
A
e
a
reta
GH
t ,
é:
alternativa
contida
reta
Portanto,
cm
c)
20
a
cm
con4
cm
d)
cm
podemos
tiv
perpendicular
necessariamente
91
ser
alternativa
são.
a
paralela
distância
entre
o
ponto
A
e
o
plano
( DHE )
é:
alternativa
perpendicular
a
A
a a)
2
cm
c)
20
b)
4
cm
d)
0
d
cm
a
ed
b)
é:
são.
9.
a)
C
cm
a
ed 016.9
d)
nen
ma
10.
anteriores.
O
ângulo
entre
podemos
a
reta
afir mar
r
que:
e
o
plano
alternativa
a
é
nulo.
Então,
d
ieL e
4.
Um
plano
laneP
Assim,
é
paralelo
pode-se
ogidóC od
a)
r
e
s
são
b)
r
e
s
podem
a
afir mar
paralelas,
ser
duas
que:
retas
distintas,
alternativa
r e
s
a)
existe
um
b)
existe
uma
c)
a
481 .trA
c)
r
e
s
são
r
e
s
não
reversas,
são
reta
P
s
tal
y
a
que
tal
r
}
que
a
r
5
ª
{P }.
s
necessariamente. reta
r
é
perpendicular
ao
plano
a
perpendiculares. d)
d)
ponto
b
r
}
a
5
r
ou
r
}
a
5
Ö
necessariamente.
11.
perpendiculares.
A
figura
ao
lado,
for mada
pela
.adibiorp
E 2
reunião
5.
oãçudorpeR
plano
a
é
um
ponto
P,
então:
r
alternativa
mesma
dentes
d
os
semi
origem
E
e
E
1
,
e
é
anos
não
e
coinci-
enomina
a:
2
alternativa
a)
/a
a)
projeção.
b)
sólido.
c
faces
b)
r
}
a
5
Ö
E aresta
c)
r
}
d)
r
ª
a
i
P
c)
a
diedro.
d)
plano.
Retomad a de conceitos
Se
você
Releia
a
não
acertou
teoria
e
alguma
refaça
os
questão,
exercícios
consulte
a
tabela
e
verifique
o
que
precisa
Número
Objetivos
do
estudar
novamente.
correspondentes.
capítulo
1
2
3
4
5
X
X
X
X
da
questão
6
7
8
9
10
11
Identificar a posição relativa entre retas; planos; retas e X
planos. Aplicá-las na resolução de situações-problema.
Identificar
e
calcular
distâncias
entre
pontos;
ponto X
ereta;
ponto
Identificar
e
um
plano;
ângulo
retas;
reta
diedro
e
e
plano;
X
X
X
planos.
determinar X
sua
medida.
86 Páginas
do
livro
referentes
ao
a
86
a
89
a
86
a
94
e
95
a
95
a
95
a
95
a
97
a
97
a
conceito 89
89
94
89
95
97
97
97
97
99
99
101
SEÕÇARTSULI
.8991
em
e
a
b)
tida
A
anteriores.
perpendicular
plano
pontos
b)
a)
em
os
NOSLIDA
Uma
entre
que
8.
3.
distância
OCCES
c)
d)
coplanares,
A
m ),
diferença
que:
m
(r
7.
são
cm
comum.
l
o
t
u
í p
C
a
6
Poliedros
KCOTSRETTUHS/ANAXULAHPUS EERAHCTAW
Objetivos
do
capítulo
Identificar
1
poliedros,
Sólidos
geométricos
prismas, pirâmides,
troncos
de
O
pirâmides
estudo
humana.
eseus
das
Um
mais
variadas
destaque
nesse
formas
campo
geométricas
de
interesse
sempre
são
as
instigou
figuras
que
a
mente
hoje
de-
elementos.
nominamos
sólidos
geométricos.
Um
dos
motivos
para
a
importância
desse
estudo
dos
poliedros
e
é
a
situações
relações
entre
constante
aplicabilidade
das
propriedades
dos
sólidos
geométricosa
aplicar do
mundo
físico
tratadas
em
diversas
áreas
do
conhecimento,
como
seus aArquitetura,
a
Engenharia
e
as
Artes.
elementos.
Calcular
áreas, volumes
e
1.1
de
elementos
Sólidos
eométricos
e
fi
ura s
plana s
de Olhando
ao
redor,
observamos
diversos
objetos
que
lembram
figuras
geométri-
poliedros. cas
Resolver situações
problema que envolvam
poliedros (do ponto
de vista métrico e
geométrico).
ao
planas
passo
não
que
Embora
os
os
classificá-los
planas.
sólidos
sólidos
em
três
As
linhas
são
e
as
sempre
geométricos
grandes
superfícies
não
podem
ser
planas
ou
não
planas,
planos.
exibam
grupos:
os
formas
bastante
poliedros,
os
diversas,
corpos
é
possível
redondos
e
outros.
Veja
obtidas
102
e
nos
de
quadros
alguns
da
página
sólidos
a
seguir
geométricos.
algumas
figuras
planas
que
podem
ser
Museu
do
Louvre,
Paris,
França,
2013.
Poliedros
Corpos
redondos
Corpos
re
Sólido
Re
(fi
ião
de
uras
cor te
planas)
Po
ie
ros
on
os
OCCES NO
Sólido
LIDA
de
(figuras
apoio
planas) retângulo
triângulo
ponto
segmento
círculo
Neste capítulo, vamos estudar um dos tipos de sólidos geométricos: os poliedros.
103
:SEÕÇARTSULI
Região
2
Poliedros
2.1
Super f ície
Todo
poliedro
poliédrica
apresenta
uma
fechada
superfície
e
poliedros
chamada
superfície
poliédrica
fechada
Uma
superfície
igual
uma
a
dessas
Observe
Entre
poliédrica
quatro)
de
superfícies
as
figuras
essas
duas
fechada
superfícies
é
composta
poligonais
coincida
com
de
um
planas,
apenas
um
de
número
modo
lado
da
finito
que
(maior
cada
lado
ou
de
outra.
abaixo.
figuras,
apenas
a
da
esquerda
representa
uma
superfície
po-
Explore
Fotografe
ou
pesquise
fotos
fechada.
(em
ou
na
objetos
superfície
vamos
poliédrica
definir
o
que
é
fechada
delimita
uma
porção
do
um poliedro
que
montem
os
dos
Poliedro
car taz
e
co
as
(do
poliedros
formado
grego
pontos
do
pela
poli,
“muitas,
reunião
espaço
de
várias”,
uma
e
edro,
delimitados
superfície
“
ace”)
por
poliédrica
é
o
sólido
fechada
geométri-
com
todos
os
ela.
ieL
carac terísticas
um
nomes
016.9
fotos,
ed
as
interior,
poliedros.
grupo,
com
construções
seu
91
Em
e
em
ed
lembrem
uma
internet)
espaço de
que
orierevef
revistas
ed
Considerando jornais,
.8991
liédrica
e
correspondentes.
laneP
Em
um
de
poliedro,
um
poliedro
podemos
ogidóC od
Elementos
face
destacar
os
seguintes
481
Face
que
os
lados
dos
polígonos
determinam
Os
vér tices
vér tices
as
do
poliedro
desses
uma
compõem
Aresta
Vértice
Um
que
faces.
cada
–
–
lado
a
das
superfícies
superfície
comum
a
do
duas
poligonais
poliedro.
faces.
ponto comum a três ou mais arestas.
poliedro
costuma
ser
oãçudorpeR
Obser vação
aresta
–
.adibiorp
nomeado
de
acordo
o
vértice
número
de
faces
que
possui.
Para isso, justapõem-se dois elementos: um de origem grega, indicativo do número
são
os
de
polígonos.
faces,
e
chama-se
o
elemento
tetraedro:
de
tetra
composição edro.
(4)
1
edro
Por
exemplo,
um
poliedro
de
4
faces
(face).
Exemplos
a)
b)
c)
OCCES NOSLIDA
6
faces
SEÕÇARTSULI
tetradecaedro
12
Veja
Número
Nome
104
do
de
faces
poliedro
no
arestas
quadro
abaixo
alguns
dos
14
faces
16
vértices
28
arestas
nomes
de
12
dodecaedro
faces
20
vértices
30
arestas
poliedros.
4
5
6
7
8
tetraedro
pentaedro
hexaedro
heptaedro
octaedro
.trA
elementos:
1
dodecaedro
20
icosaedro
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
Escreva
o
nome
do
poliedro
representado
abaixo.
3.
Analise
o
sólido
abaixo
para
responder
à
questão.
pentaedro
2.
Um
galpão
seguir.
tem
Qual
é
o
a
forma
nome
representada
do
poliedro
pela
figura
a
correspondente?
he
taedro
Quantas
faces,
arestas
e
vértices
14
2.2
Poliedro
convexo
e
poliedro
não
convexo
poliedros
que
não
apresentam
“reentrâncias”
em
sua
superfície
são
os
que
têm
“reentrâncias”
são
denominados não
.8991
côncavos).
De
maneira
mais
24
tem?
vértices
plano
a
divide
semiespaços
o
espaço
de
em
mesma
convexos
origem
ou
sólido
arestas,
deno-
dois
convexos;
esse
36
Obser vação
Um
Os
min
faces,
a
precisa:
ed
semiespaço
orierevef
(II)
em
um
mesmo
ed 91
contrário,
é
semiespaço,
não
convexo
então
(ou
o
poliedro
em
questão
é
convexo;
caso
côncavo).
ed 016.9
Em
cada
figura
abaixo,
foi
destacado
um
plano
que
contém
uma
das
faces
do
ieL
semiespaço
e
poliedro.
Observe.
(I)
laneP ogidóC od
Poliedros
convexos
Poliedros
não
convexos
481 .trA .adibiorp
Relação
de
RALUCITRAP
oãçudorpeR
Euler
Os elementos dos poliedros mantêm entre si muitas relações geométricas, numé
e
métricas.
minada
e
de
Entre
relação
faces
(F )
de
de
as
relações
Euler,
qualquer
que
numéricas,
relaciona
poliedro
V
o
uma
convexo.
1
F
das
número
A
Essa
mais
de
importantes
vértices
relação
(V ),
pode
ser
de
é
a
OÃÇELOC
ricas
deno-
arestas(A ( )
escrita
assim:
5 2 Esse
selo
mostra
Exemplos
da
verificar
presentados
a
validade
da
relação
de
Euler
para
os
poliedros
convexos
comemorativo,
de1983,
importância
descoberta
relação
suíço
Vamos
a
que
de
Euler,
viveu
no
da
matemático
século
XVIII.
re-
abaixo.
Poliedro
Vér tice
(V )
Face
(F) F
Aresta
(A)
V
1
F
6
12
2
6
6
10
2
9
2
OCCES
8
A
NOSLIDA SEÕÇARTSULI
105
Obser vação
Exe rc íc ios resolv id os
Embora
todo
satisfaça
a
poliedro
relação
de
convexo
Euler,
nem R1.
sempre
um
poliedro
que
Obter
o
número
de
arestas
de
um
poliedro
convexo
que
tem
6
faces
e
satisfaz 8vértices.
essa
relação
como
é
convexo.
exemplo,
o
Obser ve,
poliedro
abaixo.
Resolução
Como a relação de Euler é válida para todos os poliedros convexos, temos:
V
1
F
A
Portanto,
R2.
Quantos
5
faces
Ele
tem
24
vér tices,
14
faces
arestas.
1
vértices
1
número
36
4
1
6
2
possui
um
V
12
poliedro
A
5
12
arestas.
convexo
com
4
faces
triangulares
e
faces
do
poliedro
triangulares
têm
é
12
4
1
5,
lados
ou
(4
seja,
3),
e
9.
as
têm
20lados
(5
4).
Então,
o
número
de
5
faces
arestas
quadran-
é
dado
por
A 5 2
esse
relação
é
tem
8
ro
2
poliedro
20)
de
Euler,
9
2
5 16,
pois
cada
aresta
é
lado
comum
de
exatamente
satisfaz duas
a
de
faces
(12
Logo,
5
ie
Assim:
14
F
A
quadrangulares?
gulares
V
V
po
Resolução
As
24
2
e O
36
5
esse
mas
faces
(portanto,
cada
aresta
foi
contada
duas
vezes).
Assim,
o
não poliedro
tem
V
16
16
arestas
e
9faces.
Logo:
convexo. 1
9
Portanto,
5
esse
2
V
po
V
ie
5
ro
9
tem
9
vértices.
.8991
5. F
A
12
8
18
12
II
6
8
12
6
V
1
1
1
F
A
8
18
8
5
orierevef
V
I
ed
Poliedr
2
5
A
relação
de
Euler
é
válida
para
os
dois
poliedros
ed
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
indicados.
91 ed
Deter mine
cada
o
número
poliedro
e
de
vértices,
faces
classifique-os
em
e
arestas
convexo
Observe
ou
os
poliedros
e,
em
seguida,
responda
às
ieL
de
016.9
4.
questões.
e laneP
não
convexo.
ogidóC od
a)
b)
481 .trA
5
não
F
5
10
e
A
5
24;
V
5
9,
A
5
16;
Verifique
a
validade
da
F
convexo
5
9
e
relação
de
Euler
para
poliedro
cada
I
poliedro
II
oãçudorpeR
5.
16,
convexo
.adibiorp
V
poliedro. Qual
desses
é
b)
tem
c)
tem
menos
d)
tem
mais
e)
um
poliedro
mais
satisfaz
mbos
poliedro
I
poliedro
II
9.
Em
um
excede
6.
Alberto
peça
é
tor neiro
maciça
de
mecânico
acordo
e
com
o
deve
construir
esquema
uma
poliedros:
a)
cule
o
vértices?
arestas?
a
relação
satisfazem
Um
número
número
poliedro
mero
faces
o
11.
de
número
Calcule
que
essa
peça
lembra
relação
36,
Calcule
convexo
5
faces
o
5
de
20,
tem
uler.
o
vértices
faces
número
em
desse
6
poliedro.
o
de
faces
número
de
tipos
um
de
com
11
triangulares
e
face
desse
de
faces
poliedro
face)
1
com
faces
vértices
igual
ao
penta
poliedro.
arestas
8
Cal-
faces
trian
20
(que
arestas
triangulares
e
4
e
faces
o
nú-
de
Calcule
faces
ulares
convexo
tem
número
onal.
11
poliedr o
convexo
de
9
e
só
quadran-
tem
10
esses
vértices.
quadrangulares
vértices
54
e
de
36
1
20
vértices
apenas
quadrangulares.
2
10
apenas
54
de
faces
vértices
um
poliedr o
pentagonais
e
por
O número
faces
iv
faces
de
quadran
D
triangulares
faces
é
for mado
quadrangulares.
triangulares
ulares
rmin
e
são
n
m
e
números
o
número
inteiros
r
de
conse-
r
9
106
de
unidades.
Euler.
5
númer o
que
de
faces
e
16
arestas
SEÕÇARTSULI
7.
a
5
vértices.
arestas.
NOSLIDA
sim;
de
10
20
Euler?
convexo,
de
têm
têm
I
faces.
sa-
Um tisfaz
Ambos
relação
ulares
8
poliedro
de
12
OCCES
dois
o
poliedro
têm
Ambos
convexo
faces
quadran
ulares
se
a
poliedro
o
Ambos
abaixo.
10.
Verifique
côncavo?
faces?
Poliedros
Um
regulares
poliedro
convexo
é
re g u l a r
quando
satisfaz
às
seguintes
condições: Obser vações
octaedro
hexaedro tetraedro regular
(ou
regular
cubo)
regular
regular
dodecaedro
icosaedro
regular
regular
.8991 ed orierevef
2.3
Planif icação
da
super f ície
de
um
poliedro
ed 91 ed 016.9
ieL e
laneP
og idóC
od
481
.trA .adibiorp
oãçudorpeR
cação
da
superfície
molde
poliedro
do
do
poliedro
planificação
do
planifi-
poliedro
Exemplos
a)
ou
OCCE
b)
NOSLIDA :SEÕÇARTSULI
ou
107
Exe rc íc ios resolv id os
R3.
Existem
11
diferentes
presentadas
ao
lado;
as
para
o
outras
9
cubo.
Duas
delas
estão
re-
planificações.
Resolução
A
resolução
desta
quadriculada.
R4.
planificações
desenhar
Na
planificação
questão
Estas
da
são
fica
as
super fície
facilitada
outras
de
um
se
usar mos
uma
malha
possibilidades:
cubo
foi
assinalado
um
ponto A .8991
A
A
mon
cubo.
orierevef
o
de
ed
tado
depois
Resolução
ed 91 ed 016.9 ieL e laneP
.
Qual
é
o
número
de
vértices
do
sólido
obtido
ao
dobrar mos
ogidóC
R
convenien-
od
as
linhas
tracejadas
da
figura
ao
lado?
481
temente
.trA
Resolução
O
sólido
n
obtido
há
m
5
é
faces
r
um
heptaedro;
quadran
logo,
ulares
e
2
o
número
faces
de
penta
faces
é
7.
oãçudorpeR
Como
.adibiorp
onais,
r
1 A
5
5
15
2
Uma
vez
Desse
V
A
que
modo,
1
F
5
o
sólido
obtido
é
convexo,
a
relação
de
Euler
é
válida.
temos:
2
V
V
15
7
5
2
V
V
5
10
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
13.
Da
superfície
tagonais
um
de
foram
vértice
um
poliedro
retiradas
comum.
as
Calcule
regular
três
o
de
faces
número
faces
pen-
adjacentes
de
arestas,
de
se
Represente
9
faces
e
19
vértice
a
que
planificação
tem
3
faces
da
super fície
quadradas
e
de
4
um
faces
triangulares.
b)
Compare
a
108
de
um
a
planificação
colega.
resposta
que
você
pessoal
elaborou
com
planificação
Resposta
cuja
possível:
número
de
arestas
está
e
vértices
indicada
18
do
po-
abaixo.
arestas
e
12
vértices
SEÕÇARTSULI
poliedro
arestas,
pede.
o
liedro
NOSLIDA
que
NOSLIDA
a)
o
a)
Deter mine
OCCES
27
Faça
14. OCCES
faces e de vértices da superfície poliédrica que restou.
14.
15.
a
16.
Em
cada
número
cado
uma
da
em
das
face
azul
planificações
que
coincidirá
depois
que
o
abaixo,
com
sólido
o
for
anote
lado
o
17.
Considere
desta-
ção
montado.
é
a
da
soma
vértices
a)
que
a
figura
super ficie
do
do
de
número
poliedro?
abaixo
um
de
seja
poliedro
arestas
e
a
planifica-
convexo.
do
Qual
número
de
30
5
1
4
2
6
face
3
b)
2
1
18.
Represente
a
planificação
de
um
octaedro
regular.
OCCES
possível:
LIDA
Prismas
Vários
quais
objetos
do
destacamos
.8991
Desde
ed
são
Resposta
NO
18.
3
os
as
mais
exemplos
orierevef
Observe
os
os
espaço
simples
da
em
que
vivemos
têm
a
forma
de
poliedros,
entre
os
prismas
embalagens
presença
prismas
dos
até
prismas
representados
as
no
mais
dia
a
elaboradas
edificações,
muitos
dia.
abaixo.
ed 91 ed 016.9 ieL e laneP ogidóC od
Note
481
tes
e
que
pelo
.trA
embora
todos
menos
não
seja
eles
três
possuem
faces
pelo
menos
paralelogrâmicas
exclusivo
dos
prismas,
um
par
(lados
ocorre
em
de
faces
paralelas
paralelos
todos
dois
a
e
congruen-
dois).
Esse
fato,
eles.
.adibiorp oãçudorpeR
3.1
Def inição
Consideremos
vexa
P
contida
de
dois
ema
e
prisma
planos
uma
paralelos
reta
r
que
distintos, a
intercepta
e
os
b,
uma
região
planos a
e
poligonal
con-
b
r
r
C’ P’
b A
h
C P
P
a
a
a
r
prisma
tais
que
extremidade
é
ele
poliedro
um
de
suas
ponto
no
perpendicular
é
oblíquo.
ormado
por
extremidades
plano
aos
é
um
os
segmentos
ponto
da
de
reta
região P P e
a
para-
outra
b
planos a
Observe
todos
que
o
e
,
dizemos
prisma
acima
que
é
o
prisma
é reto;
SEÕÇARTSULI
contrário,
é
o
uma
NOSLIDA
lelos
B
OCCES
Chama-se
A
caso
oblíquo.
109
Elementos
Considerando
de
o
um
prisma
prisma
da
página
anterior,
podemos
destacar
os
seguintes
mentos:
Bases
–
planos
as
regiões
paralelos
laterais
poligonais P
(a
Faces
–
Arestas
das
Arestas
laterais
Altura
e
as
b,
e
P’,
que
são
congruentes
e
estão
situadas
em
respectivamente).
regiões
poligonais
AA ’B’B
C
etc.
Ref lita
Que
tipo
faces
O
de
polígono
laterais
de
Justifique
sua
retângulo,
pois
perpendicular
quatro
faces
prisma
o
fato
de
planos
internos
a
–
os
segmentos
BC ,
AB
...,
A ’B’
B’C’
etc.
–
os
segmentos
AA ’
BB’
etc.
CC’
reto?
reta r
garante
retos
bases
as
resposta.
aos
ângulos
um
compõe
do
prisma
–
a
distância
h
entre
os
planos
das
bases
(a
e
).
ser
os
para
as
Cla ssif icação
dos
prisma s
laterais.
Os prismas podem ser classificados de acordo com alguns critérios. Um deles você
já conhece: a inclinação da reta r
em relação aos planos a e b que contêm as bases. É
essa reta que define a inclinação das arestas laterais dos prismas em relação às bases.
Nos prismas retos, as arestas laterais são perpendiculares às bases; os oblíquos, não.
Outro
se
é
critério
um
que
permite
quadrilátero,
pentagonal;
e
assim
o
classificar
prisma
por
os
é
prismas
é
o
que
quadrangular;
se
é
um
considera
o
polígono
triangular;
pentágono,
o
prisma
é
diante.
.8991
Exemplos
ed orierevef ed 91 ed 016.9 ieL
OCCES
e laneP
prisma
reto
cujas
bases
são
quadrangular
superfícies
prisma
poligonais
pentagonal
regulares
é
denominado
.trA
prisma
prisma
481
SEÕÇARTSULI
Um
triangular
ogidóC od
NOSLIDA
prisma
regular
.adibiorp oãçudorpeR
Ref lita
poliedro
prisma
e
a
os
regular?
regular?
contraexem
Prisma
que
não
Esse
prisma
pois
as
é
regular,
Esse
prisma
pois
as
não
é
regular,
os:
regular
não
não
Poliedro
é
que
poliedroregular
regular
não
bases
quadradas
e
são
ele
é
bases
polígonos
reto.
não
são
regulares.
é
prismaregular
Entre
os
chamados
OCCES
pedo
prismas
de
quadrangulares,
paralelepípedos;
reto-retângulo
NOSLIDA
denomina-se
ou
bloco
aqueles
esses,
por
que
sua
têm
vez,
bases
podem
retangular;
se
tem
paralelogrâmicas
ser
retos
todas
as
ou
paralelepí-
faces
congruentes,
cubo
Exemplos
Comentário:
têm
a
meio
e
de
Nesta
atividade,
oportunidade
das
definições
prisma
regulares
regular,
são
de
de
poliedro
quais
prismas
contraexemplos
para
os
verificar,
e
dos
alunos
por
regular
poliedros
produzir
fundamentar
sua
resposta.
paralelepípedo
110
oblíquo
paralelepípedo
reto-retângulo
são
oblíquos.
cubo
3.2
Medida
da
diagonal
paralelepípedo
Diagonal
vértices
de
um
desse
Considere
um
reto -retângulo
paralelepípedo
paralelepípedo
um
de
que
paralelepípedo
é
todo
não
segmento
pertencem
reto-retângulo
de
a
cujas
uma
extremidades
mesma
dimensões a
b
são
face.
e
c Ref lita
D ’
Quantas
diagonais
paralelepípedo
T odo
A ’
tem
um
reto-retângulo?
paralelepípedo
reto-retângulo
c tem
B ’
quatro
diagonais.
Na
figura
ao
d lado,
AC
por
e
exemplo,
BD
são:
DB
CA
C
b f
A
B a
A
medida
d Obser vação
mento
DB ,
que
é
uma
dia
onal
da
face
ABCD
Se
Assim,
aplicando
o
teorema
de
Pitágoras
ao
triângulo
retângulo ADB,
o
paralelepípedo
éum 2
2
5
f
.8991
Aplicando
o
teorema
de
Pitágoras
ao
b
(I)
são
triângulo DBD’,
ed
2
5
d
cubo,
todas
as
suas
arestas
2
1
2
retângulo
temos:
congruentes.
temos:
2
1
c
(II)
orierevef
a d
ed
2
2
5
d
(a
2
1
b
2
)
1
c
91
a
ed
Portanto,
016.9
dimensões
a
a
medida
b
e
c
d
da
diagonal
de
um
paralelepípedo
reto-retângulo
a
de
é: Assim:
ieL
2
e
5
a
a
laneP
2
og idóC
a
a
b
V
3
od 481 .trA .adibiorp
Exe rc íc io resolv id o
oãçudorpeR
R6.
Calcular
em
2
a
medida
cm
a
da
medida
aresta
da
de
um
diagonal
cubo
da
cuja
medida
da
diagonal
excede
base.
G
F
H E a d
D C
a f
a
A
B
Resolução
Ref lita
f Qual
base,
temos,
pelos
dados
do
problema:
1
2
d
2
é
o
maior
extremidades
Aplicando
o
teorema
de
Pitágoras
ao
triângulo
ABD,
cubo?
temos:
Observe
a
1
f
5
se
tratar
de
um
cubo,
a
sabemos
que:
5
3
(II)
e
(III)
em
(I),
obtemos:
o
do
de
um
menor?
exercício
resolvido
catetos
medindo
3
2
2
ntão,
BDG,
medindo
e
a
ortanto,
a
,
o
e
,
a
a
retângulo,
ehipotenusa
,
retângulo,
hipotenusa
de
catetos
medindo
d
d
maior
segmento
é
uma
a diagonal
do
cubo;
o
menor
é
uma
aresta.
3 Comentário
oportunidade
sta
é
uma
ótima
de
os
alunos
estabelecimento
de
relações
entre
um
elementos
de
procedimento
um
de
ampliarem
cubo
o
métricas
e
exercitar
análise.
111
SEÕÇARTSULI
a
isósceles,
ntão,
a
,
medindo
NOSLIDA
(
5
)(
figura
é
(III)
2
qual
OCCES
substituindo
cujas
vér tices
considere:
de
Assim,
E
são
(II) e
Por
segmento
(I)
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
F
19.
Calcule
dos
a
medida
das
reto-retângulos
diagonais
dos
paralelepípe-
24.
O
abaixo.
sólido
lado
é
representado
um
cubo
cujas
ao
aresB A
tas
2
medem
área
cm
do
4 cm.
Calcule
a
triângulo ABH
E 2
H
cm
3 ––
cm
2
3
D
C
cm
61 15
cm
cm
25.
Em
B
cada
medindo
20.
Um
paralelepípedo
reto-retângulo
de
cm,
4
cm
e
7
cm
tem
diagonal
calcule
sobre
3cm.
O
21.
o
Escreva
a
valor
de
a
expressão
5
a
medida
super fície
ponto
M
é
o
do
do
caminho
cubo
ponto
de
médio
deA
aresta
de
uma
medindo
0
a
cm. B
B
a
Calcule
a
dimensões ares
a
item,
destacado
cm
algébrica
que
indica
a
medida M
da
diagonal
de
cada
paralelepípedo
t
reto-retângulo.
14
A
A 2
x
1
1
x
3
26.
A
medida
da
aresta
do
cubo
representado
abaixo
2t
x
20
BD ,
cm.
Se
então
J
é
qual
a
intersecção
é
a
medida
dos
do
segmentos
segmento
E J
AC e
.8991
é
?
ed
t
6
orierevef
10
cm
D C t J
ed
Um
paralelepípedo
tem
Deter mine
medidas
B
diagonal
ed
reto-retângulo
91
OCCES
A
22.
três
14
arestas
cm.
sabendo
que
são
as
números
das
016.9
NOS
medindo
inteiros
ieL
1
cm
2
cm
e
3
e
A
consecutivos.
cm
laneP
As
medidas
das
reto-retângulo
diagonal
são
mede
de
um
proporcionais
130
cm,
então
paralelepípedo
a
3,
4
quais
e
12.
são
Se
27.
Desenhe
essas
Mostre
um
que
cubo
duas
e
trace
duas
diagonais
er 30
cm
40
cm
e
120
perpendiculares
cm
entre
suas
um
reso
diagonais.
cubo
ução
não
são
no
si. Guia
do
.trA
medidas?
de
de
481
a
arestas
ogidóC od
SEÕÇARTSUL
E
23.
professor.
.adibiorp
Planif icação
Podemos
Observe
Pela
planificar
a
a
super f ície
superfície
planificação
planificação,
da
a
de
um
de
um
oãçudorpeR
3.3
prisma
prisma.
seguir.
podemos
identificar
muitas
características
desse
prisma:
Obser vação
As
faces
reto
são
laterais
sempre
de
um
prisma
um
que
o
prisma,
as
quais
necessariamente
são
quadriláteros;
retangulares.
Mesmo
prisma
seja
um
que
sua
cubo,
face
podemos
lateral
todo
é
quadrado
112
dizer
retangular,
é
um
porque
retângulo.
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
28.
Registre
a
alter nativa
planificação:
que
alternativa
corresponde
à
seguinte
29.
Registre
a
alter nativa
representado
d
a
seguir.
a)
que
corresponde
alternativa
ao
cubo
b
c)
.8991 ed orierevef
b)
d)
ed 91 ed 016.9 ieL e laneP ogidóC
3.4
Área
da
super f ície
de
um
prisma
od 481
Dado
um
prisma
.adibiorp
oãçudorpeR
.trA
qualquer,
( (A
)
Obser vação
definimos:
–
área
–
soma
de
uma
das
faces
que
é
base.
base
)
(A
Embora
das
áreas
das
faces
uma
laterais.
um
in
a
e
polígono
ten
a
seja
apenas
lateral
)
( (A
–
soma
da
área
lateral
com
as
áreas
das
duas
bases.
total
a
comunicação,
possíve
,
vamos
polígono“
A
5
total
A
1
2
lateral
em
sempre
que
usar “área
vez
de
“área
da
A base
super fície
poligonal” .
Exe rc íc ios resolv id os
R7.
Calcular
sentado
a
área
total
da
super fície
do
prisma
hexagonal
regular
repre-
abaixo.
a
h
OCCE
h
NOSLIDA :SEÕÇARTSULI
a
planificação
113
Resolução
Como
faces
Obser vação
vimos,
um
laterais
Assim,
a
prisma
são
área
lateral
é
dada
área
A
6
a
regular
retangulares
da
é
e
um
prisma
reto
congruentes,
de
e,
portanto,
dimensões
a
suas
e
Um
h
regular
em
seis
pode
ser
triângulos
equiláteros.
por:
face
hexágono
decomposto
retangular
A
lateral
área
de
h
de
lado
c
um
é
triângulo
dada
equilátero
por:
lateral
2
c A
base
do
prisma
é
uma
região
hexagonal
regular
de
lado
a
3
A 5 4
Portanto,
a
área
da
base
é
dada
A
or:
Assim,
5
a
área
de
um
hexágono
ba s e
2 regular
Logo,
a
área
total
da
super fície
desse
prisma
hexagonal
é:
de
lado
c
c
é
dada
4 a A
1
A
por:
c
2
2
2
5
6 a h
3
a t er a
A
R8.
a
Calcular
de
a
2h
área
dimensões
3
total
a
b
e
da
c
unidades
super fície
(medidas
de
de
ár ea
um
dadas
paralelepípedo
em
uma
mesma
reto-retângulo
unidade). c
Resolução
b
Nesse
caso,
quaisquer
pares
de
faces
paralelas
podem
ser
as
bases a
do
prisma.
Assim,
A
5
dois
2ab
a
a
área
total
2ac
2bc
V
soma
das
áreas
de
seis
retângulos
5
2(
c)
unidades
de
área
área
total
da
sabendo
super fície
que
as
de
um
arestas
da
prisma
base
triangular
for mam
um
reto,
de
ed
cm,
orierevef
a
12
ed
total
Calcular
altura
a
A
total
R9.
é
dois:
.8991
congruentes
triângulo
91
de
catetos
que
medem
6
cm
e
8
ed
retângulo
cm.
cm
ieL
Resolução
016.9
12
e
base
do
prisma
5
A
5
é
um
triângulo
retângulo,
temos:
24
base
base
2 6
5
A
6
área
1
retângulo
8
x
lateral
5
a
é
da
dada
1
obter
a
medida
da
hipotenusa
cm
8
cm
do
base.
10
pela
super fície
6
vamos
soma
lateral.
8
1
das
áreas
das
faces
retangulares
que
oãçudorpeR
compõem
5
lateral,
.adibiorp
x
área
.trA
triângulo
a
481
calcular
od
Para
Assim:
10
5
288
lateral
Logo,
a
5
A
área
total
A
total
1
2
é
dada
A
lateral
por:
5
288
1
2
24
5
336
base
2
Portanto,
R10.
Calcular
a
a
área
representado
área
total
total
ao
da
lado,
da
super fície
super fície
sabendo
do
que
do
prisma
prisma
as
faces
é
336
oblíquo
laterais
cm
de
base
são
quadrada
congruentes.
Resolução 30
cm
2
O
prisma
tem
base
quadrada.
Assim:
A
5
10
V
A
5
100
60°
Para
sen
calcular
a
área
lateral,
vamos
60°
obter
h 30
2
5
a
15
altura
h
3
10
30
Assim: OCCES
5
600
3
a t er a
NOS
área
Logo,
a
área
SEÕÇARTSULI
5 total
A
do
5
1
600
paralelogramo
total
lateral
é
dada
por:
2 base
3
100
t ot a
2
114
ogidóC
A
a
laneP
Como
cm
34.
6;
Registre as respostas em seu caderno
b
24;
Fica
54;
96
unidades
multiplicada
por
de
4;
rea
fica
multiplicada
por
9.
Exerc íc ios propostos
30.
Uma
indústria
de papelão
-retângulo
Calcule
pelão
de
em
de
de
dimensões
quantos
são
embalagens
for ma
20
cm,
centímetros
necessários
produz
caixas
p a r a l e l ep í p e d o
para
10cm
e
a
ta,
dessas
caixas
(despreze
as
cubo
três
B
diagonal
cubos:
com
da
12
face
cubo
cm
de
A
com
12
diagonal
quadrada
e
medindo
cm
de
cubo
12
ares-
C
com
cm.
de pa
planificação
33.
2
deuma
Considere
15cm.
quadrados
fazer
32.
r eto-
abas).
1.300
Calcule
a
área
total
da
super fície
de
um
prisma
cm 2
triangular
31.
Calcule
a
área
total
da
super fície
dos
bendo
sólidos.
que
medida a)
regular,
da
a
de
medida
aresta
área
da
lateral
aresta
da
300
base
cm
é
,
sa-
igual
à
lateral.
b) 6
cm
34.
Quatr o
cubos
têm
ar estas
medindo
1,
2,
3
e
30°
4unidades,
2
respectivamente.
m
4
cm
prisma
base
oblíquo
quadrada
laterais
e
de
a)
Deter mine
b)
O
faces
que
mento
a
área
acontece
da
total
com
aresta
a
área
dobra?
E
total
se
se
o
compri-
triplica?
congruentes
c)
2
Quantos
cubos
de
aresta
unitária
cabem
dentro
2
21
3
prisma
3
80
m
cm
dos
m
hexagonal
cubos
des,
regular
de
arestas
medindo
respectivamente?
8,
27
e
64,
2,
3
e
4
unida-
respectivamente
.8991 ed orierevef
3.5
Volume
ed
Como
todo
91
unidade
de
de
sólido,
volume,
um
um
prisma
prisma
podemos
ocupa
medir
a
uma
porção
porção
do
do
espaço
espaço.
Adotando
ocupada
por
um
uma
prisma.
ed 016.9 ieL
O volume de um prisma corresponde a um único número real V
positivo obtido
e laneP
pela
comparação
ogidóC od
espaço
481
A
ocupado
unidade
de
da
porção
por
uma
volume
do
espaço
unidade
que
de
ocupado
pelo
prisma
com
a
porção
do
volume.
usualmente
consideramos
é
o
volume
de
um
cubo
.trA .adibiorp
unitário,
isto
é,
de
um
cubo
de
aresta
1
u,
sendo
u
certa
unidade
de
comprimento.
3
Assim,
dizemos
que
o
volume
desse
cubo
unitário
é
1
u
oãçudorpeR
3
;
se
a
aresta
do
cubo
3
unitário
mede
1
mm,
o
volume
desse
cubo
é
1
mm
;
e
assim
por
diante.
Exemplo
Vamos
calcular
paralelepípedo
quantas
vezes
reto-retângulo
o
cubo
de
unitário
dimensões
4
de
cm,
aresta
2
cm
3
2
a
figura,
na
base
Logo,
há
24
e
tem
cubos
vemos
3
unitários
no
em
um
cm
cm
cm
que
camadas
cabe
o
paralelepípedo
iguais
total,
à
e,
camada
é
da
portanto,
o
formado
por
8
cubos
uni-
base.
paralelepípedo
é
SEÕÇARTSULI
tários
cm
cm.
NOSLIDA
Analisando
1
3
OCCE
4
e
formado
3
por
24
cubos
(4
2
3)
de
1
cm
de
volume.
Dizemos,
então,
que
o
volume
3
doparalelepípedo
dado
é
24
cm
115
Volume
No
cujas
exemplo
três
válido
são
podemos
Esse
qualquer
números
paralelepípedo
dadas
números.
para
Desse
um
anterior,
dimensões
desses
por
de
por
fato
reto -retângulo
verificar
números
pode
ser
paralelepípedo
que
um
paralelepípedo
inteiros
tem
volume
demonstrado,
reto-retângulo
reto-retângulo
igual
ao
verificando-se
cujas
dimensões
produto
que
são
ele
é
dadas
reais.
modo,
temos:
Obser vação
Como o cubo é um caso particular
de paralelepípedo reto-retângulo
com todas as arestas de mesma
medida
seu volume é:
V
5
a
b
c
paralelepípedo 3
5
c
a
a
b
a
Note
V
5
que
área
o
volume
da
base
do
3
paralelepípedo
também
pode
ser
expresso
assim:
altura
a
a
Exe rc íc io resolv id o
.8991
Deseja-se
4
sário
cm
de
cimentar
de
um
espessura
massa
para
quintal
de
quadrado,
massa
revestir
de
essa
com
cimento.
lados
Calcular
medindo
o
volume
8
m,
neces-
área.
orierevef
com
ed
R11.
ed 91 ed
Resolução
camada
de
cim en to
terá
a
for m a
de
um
par a lele pípe do
r e to -
016.9
A
ieL
a
espessura
volume
V
5
8
quadrada,
do
necessário
8
0,04
V
8
revestimento
de
V
com
5
massa
64
m
é
de
de
4
aresta
cm
ou
e
4
cm
0,04
de
m,
altura.
temos
que
ogidóC od
o
base
é:
0,04
V
V
5
2,56
são
necessários
2,56
m
de
massa
para
fazer
o
revestimento.
481
3
Logo,
laneP
Como
de
e
-retângulo
.trA .adibiorp
retangulares
nem
pôr
de
Cavalieri
idênticos.
nenhum
Vamos
cartão.
Veja
modificar
a
possível
a
forma
situação
de
das
uma
das
pilhas
pilhas
sem
formadas
na
retirar
ilustra
çãoabaixo.
altura
Observando OCCES
as
NOSLIDA
quantidade
SEÕÇARTSULI
área,
pois
116
de
é
possível
cartões
eles
cartões
pilhas,
são
mesma
que:
espessura;
idênticos;
idênticos
de
notar
e,
portanto,
ocupa
a
mesma
porção
do
espaço.
oãçudorpeR
Princípio
Essa
que
situação
ilustra
o
princípio
de
Cavalieri,
ou
postulado
de
Cavalieri
afirma:
Obser vação Dois
sólidos,
e
,
apoiados
em
um
plano
a
e
contidos
em
um
mesmo
semi-
2
espaço,
terão
o
mesmo
volume V
se
todo
plano b,
paralelo
a a,
secciona
os
dois O
sólidos
segundo
regiões
planas
de
mesma
área
(A).
princípio
de
demonstrado,
considerá-lo
sólido
S
sólido
sua
S
Cavalieri
porém
pode
aqui
verdadeiro
ser
vamos
sem
fazer
demonstração.
2
A
A 2
= 2
Secção
Um
plano
plana.
nada
No
transversal
intercepta
caso
secção
em
que
de
um
a
um
sólido
secção
prisma
segundo
plana
é
uma
paralela
superfície
à
base
do
chamada
prisma,
de
ela
é
secção
denomi-
transversal
.8991
Exemplo
ed
Observe
uma
secção
transversal
de
cada
prisma
representado
abaixo.
orierevef ed 91 ed
B
016.9
B
B 2
3
ieL e laneP ogidóC od
Qualquer
ortanto,
secção
tem
a
transversal
mesma
área
de
ue
um
prisma
essa
é
congruente
à
base
desse
prisma
e,
base.
481 .trA .adibiorp
Volume
de
um
pr
Considere um prisma
sma
qualquer
e um paralelepípedo reto-retângulo
de mesma altura h
1
oãçudorpeR
e
de
um
bases
equivalentes
mesmo
2
(de
mesma
área),
apoiados
em
um
plano a
e
situados
em
semiespaço.
S
S 2
A 2
h
Como
base
qualquer
desse
prisma
secção
e
as
transversal
áreas
das
de
bases
cada
de
prisma
e
S
S
1
lanob
de
aralelo
mesma
área:
aa
A
que
5
Assim,
5
V
,
pelo
em
V
dois
a
mesma
temos
prismas
é
o
de
Cavalieri,
volume
do
os
dois
prisma
S
e
determina
prismas
V
2
secções
é
o
têm
volumes
volume
do
que
a
qualquer
transversais
iguais,
prisma
2
Como S
área
que
2
princípio
que
os
possui
iguais,
A
1
V
intercepte
são
2
isto
é,
S 2
é um paralelepípedo reto-retângulo, seu volume pode ser calculado por:
2
área
da
base
de
2
as
áreas
das
bases
3
altura
2
de
S
e
de
S
são
iguais
e
V
5
V
2
V
volume
de
um
5
área
da
base
de
V
S
3
altura
1
prisma
5
qualquer
área
da
pode
base
3
ser
obtido
:SEÕÇARTSULI
o
temos:
2
1
Assim,
,
NOSLIDA
Como
S
OCCE
=
V
por:
altura
prisma
117
Exe rc íc ios resolv id os
R12.
Calcular
prisma
o
volume
de
representado
ar
ao
contido
em
um
galpão
que
tem
a
for ma
do
lado.
Resolução
Vamos
decompor
a
figura
do
galpão
em
duas
partes
com
formas
de
4
prisma. 3
m
m
5
4
3
m
3
5
m
m
4
Ref lita
m
m
For ma
de
For ma
paralelepípedo
de
prisma
reto
de ao
base
reto-retângulo
formato
5
A
5
4
5
galpão?
alt u r a
altura
2
base
V
do
triangular
V
m
m
5
4
m
b a se
determinaria
3
contido
1
V
5
8
no
o
volume
galpão
de
ar
calculando
5
2
V
5
2
60
o
volume
desse
prisma
sem
1
5
10
2
o
volume
total
de
ar
contido
no
decompô-lo.
galpão
é
dado
por
V
1
V
1
,
ou
ed
Logo,
.8991
V
2
orierevef
3
seja,
70
m
ed
Um
reservatório
000
3
o
litros,
cheio
de
água
representado
quanto
tem
na
baixará,
a
for ma
figura
em
ao
de
um
lado.
metro,
o
Se
nível
prisma
forem
de
água
hexagonal
consumidos
desse
016.9
3
como
ed
regular
91
R13.
reser -
ieL e ogidóC od
laneP
vatório?
Resolução
Vamos
representar
por
,
em
metro,
quanto
baixará
o
nível
da
água
481
no
reservatório.
.trA
nal
3
000
3
regular
litros
de
consumidos
mesma
base
do
ocupam
prisma
o
da
volume
figura
do
e
prisma
altura
de
.adibiorp
Os
hexago-
x
metro.
Resposta
do
boxe
oãçudorpeR
2
m
Reflita
x
Determinar
(que
e
é
um
a
dada
área
por
retângulo)
calcular
o
da
um
e,
volume
base
pentagonal
triângulo
em
isósceles
seguida,
pela
fórmula:
2
5
A
2
1
12
5
14
V
A
base
5
14
m
base
3
V
5
A
ar
2
A
base
área
é
do
prisma
dada
é
uma
região
3
altura
5
70
m
base
m
hexagonal
regular
de
lado
2
m,
cuja
por:
2
Obser vação
2
ba s e
V
5
ba s e
V
5
A ba s e
4
4 Lembre
OCCE
O
volume
da
parte
do
prisma
correspondente
aos
3
000
3
litros
é:
que
1
litro
1
dm
corresponde
1
3
e
1 dm
=
m. Então: 10
A NOSLIDA
ba s e b
1
3
1 dm 3
3
3
,
=
m 1.
temos:
SEÕÇARTSULI
Por tanto,
5
V
118
o
nível
de
1
0,5 1
Portanto,
água
baixará
3
0,5
m.
1
000
3
litro
corresponde
a
a
R14.
Uma
caixa
lepípedo
de
isopor
tem
reto-retângulo,
proporcionais
a
2,
3
e
4
a
forma
com
e
com
de
um
arestas
de
volume
de
3
parale-
medidas
192cm
.
2
Ela
será
plástico.
tico
revestida
Quantos
serão
por
uma
película
centímetros
necessários
para
protetora
quadrados
revestir
essa
de
de
plás-
k
caixa?
3
Se
o
volume
da
caixa
é
192
cm
,
então:
Resolução 3
2k
Vamos
considerar
que
as
medidas
da
3k
4k
Logo,
dadas
em
centímetro,
sejam
a
b
e
4
elas
são
proporcionais
a
2,
3
e
192
cm,
V
b
k
6
5
8
cm
V
k
e
5
2
8cm.
c Como
Se
5
caixa,
4,
a
área
da
caixa
(
total
b
1
b
c
(4
6
1
6
8
é
dada
por
temos: A
5
2
5
2
1
a
c), c
temos:
total
A
⎧
a
b
k 2
1
4
8)
5
208
total
c
3
Portanto,
⎨
serão
necessários
208
centímetros
4 quadrados
de
plástico
para
revestir
a
caixa.
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
35.
Uma
barra
.8991
prisma
A
a
de
reto
tura
o
prata
de
é
altura
trapézio
fundida
32
me
cm
e
e
na
for ma
base
cm,
e
de
um
39.
trapezoidal.
as
ases
me
A
área
total
da
reto-retângulo
de
em
um
cubo.
super fície
é
igual
Se
as
à
de
um
área
medidas
paralelepípedo
total
de
da
três
super fície
arestas
que
ed
3
orierevef
7,
cm
qual
e
será
10
a
cm.
Se
massa
a
da
prata
tem
barra?
10,
14.700
g
por
cm
concorrem
g
pedo
ed
a
são
em
3,
diagonal
5
um
e
do
7,
mesmo
vértice
do
respectivamente, i
cubo?
71
u n i d a d es
paralelepí-
quanto
de
mede
co mp r i m e n t o
91 ed 016.9
40.
Calcule
a
área
total
da
super fície
de
um
parale-
ieL
3
lepípedo
reto-retângulo,
cujo
volume
é
240
cm
e laneP
2
sabendo
que
as
2
ogidóC
48
od
41.
481
36.
Sabe-se
que
a
super fície
de
um
cubo
tem
216
áreas
de
duas
faces
são
30
e
cm
2
cm
236
Calcule
o
cm
volume
de
um
prisma
regular
hexagonal
m
.trA
de
altura
8
cm,
sabendo
que
a
área
total
de
sua
3
de
área
total.
Calcule
o
volume
desse
cubo.
216
m 3
.adibiorp
super fície
37.
Quando
uma
amostra
de
metal
é
mergulhada
oãçudorpeR
tanque
de
água
com
for mato
retangular,
mede
15
cm
por
20
cm,
o
nível
de
água
0,35
cm.
Calcule
o
volume
dessa
da
área
096
lateral.
cm
Deter mine
a
capacidade,
peça.
cúbico,
sabendo
em
que
a
litro,
de
maior
um
vara
reserva-
de
pesca
se
3
eleva
triplo
cuja
tório base
o
em
42. um
é
105
que
cm
nele
2m
e
cabe
inteiramente,
comprimen
8
o.
sem
envergar,
tem
000 9
38.
De
um
mas
cubo
retos,
confor me
de
de
aresta
bases
mostra
a
4
cm
foram
quadradas
figura.
de
retirados
1
Deter mine
cm
o
de
pris-
lado,
volume
43.
do
As
arestas
2
9
3
é
a
de
um
paralelepípedo
estão
9
9
na
razão
cm .
Qual
3
sólido
restante.
57
cm
área
total
e
o
volume
desse
paralelepípedo?
3
832
1
cm
e
1.536
cm
cm
44.
Um
cubo
de
aresta
independentes
construir
a)
Que
45.
E
o
que
de
se
a
for mado
de
cubinhos
o
1
cubo
1
um
de
cm.
cubinhos
Deseja-se
paralelepípedo.
paralelepípedo
for mar?
área?
um
é
cm,
de
1
4
cm,
cm
e
4
cm
64
cm
aresta
2
e
cm,
de
4
menor
cm
responda
OCCE
questões
cm
aresta
tem
pode
maior
Considerando
às
esses
dimensões
área
b)
com
4
com
seguir.
3
é
o
volume
b)
Qual
é
a
área
c
O
desse
cubo?
8
cm
2
4
cm
d)
que
ocorre
aresta
é
E
a
com
da
super fície
com
dobrada?
área
da
o
desse
volume
Fica
se
multiplicado
super fície?
Fica
cubo?
a
por
24
medida
cm
da
8.
multiplicada
por
4.
119
:SEÕÇARTSULI
Qual
NOSLIDA
a
KCOTSRETTUHS/OTOS
4
Pirâmides
Além
dro.
dos
prismas,
Exercendo
as
pirâmides
fascínio
sobre
o
constituem
ser
outro
humano
importante
desde
a
tipo
de
Antiguidade,
a
polie-
forma
O CANG
piramidal
tem
ressurgido
ESOJ
ponência.
As
mesmo
pirâmides
belos
as
pirâmides
exemplos
4.1
ão
Consideremos
ponto
V
fora
de
um
arquitetura
Egito,
decorativas,
desse
Def ini
na
do
a
moderna
pirâmide
como
a
de
em
edifícios
de
vidro
do
Museu
apresentada
na
imagem
grande
do
im-
Louvre
ao
lado,
ou
são
sólido.
de
pirâmide
plano a,
uma
região
poligonal
convexa S
contida
em
a
e
um
a
V
V
Ref lita S
N
.8991
S
C
A
relação
de
Euler
é
válida
para
as
im,
pois
uma
Por
B
orierevef
pirâmides?
A
ed
quê?
pirâmide
é
um
poliedro
ed
convexo.
91
pirâmide
o
poliedro
convexo
formado
por
todos
os
segmentos
de
016.9
V
ed
Chama-se
S
ieL e laneP
Considerando
de
a
uma
pirâmide
pirâmide
desenhada
acima,
podemos
destacar
os
seguintes
ogidóC od
Elementos
481
A
denominação
vér tice
não
per tence
à
região
da
poligonal
Vértice
Faces
pirâmide
Arestas
da
Arestas
laterais
Altura
laterais
–
as
–
o
S
ponto
superfícies
V
triangulares
AVB
C,
...,
NVA
da
pirâmide
que
a
oãçudorpeR
Obser vação
–
.adibiorp
Base
.trA
mentos:
base
–
os
segmentos
AB
BC ,
...,
NA
base.
As
pirâmides
base.
pirâmide
por
Se
é
a
os
pirâmide
Cla ssif icação
da
da
–
da s
podem
base
tiver
segmentos
–
a
distância
VB
VC ,
entre
o
...,
VN
vértice
V
e
o
plano a
pirâmides
ser
3
VA
classificadas
arestas,
quadrangular;
se
a
tiver
de
acordo
pirâmide
5
arestas,
é
a
com
o
triangular;
pirâmide
é
número
se
tiver
de
4
arestas
arestas,
pentagonal;
e
a
assim
diante.
Exemplos
OCCES NOSLIDA :SEÕÇARTSULI
pirâmide
triangular
(tetraedro)
120
pirâmide
quadrangular
pirâmide
pentagonal
4.2
Planif icação
Até
aqui,
Como
os
temos
demais
planificações
uma
umaaresta
sua
de
em
super f ície
representado
poliedros,
de
pirâmide
da
superfície:
modos
comum
pirâmides
uma
pirâmide
é
com
em
desde
uma
em
que
pirâmide
perspectiva,
também
possível,
diferentes,
de
um
cada
pode
plano,
uma
como
ser
esta
justapor
delas
ao
lado.
representada
as
tenha
por
faces
pelo
de
menos
outra.
Como exemplo, observe a seguir duas planificações de uma pirâmide hexagonal.
ou
4.3
Pirâmides
regulares V
.8991
Obser vação Uma
pirâmide
ed orierevef
regular
e
o
da
plano
da
base
cuja
é
cuja
base
projeção
base
de
uma
superfície
ortogonal
coincide
chamada
é
com
o
P
do
vértice
centro
pirâmide
poligonal
do
sobre
polígono
é
o
centro
da
circunscrita
regular
ed 91
da
circunferência
ao
polígono
circunferência
ou
inscrita
nele.
ed 016.9 ieL
As
faces
laterais
de
uma
pirâmide
regular
são
determinadas
por
triângulos
e laneP
isósceles
congruentes.
ogidóC od
Assim,
triângulo
uma
pirâmide
equilátero)
e
triangular
as
outras
regular
três
são
tem
as
quatro
faces
faces:
laterais
uma
é
a
base
(triângulos
(um
isósceles
481
congruentes).
.trA
Um
.adibiorp
gular
importante
é
o
constituídas
oãçudorpeR
No
por
tetraedro
considerada
Em
uma
triângulos
base
da
Apótema
no
da
polígono
Raio
da
uma
de
as
das
pirâmide
quatro
re-
faces
congruentes.
faces
pode
ser
será
regulares
podemos
pirâmide
–
altura
destacar
relativa
identificado
os
à
seguintes
base
de
elementos:
qualquer
face
lateral
por g).
base – segmento que determina o raio da circunferência inscrita
da
base
identificado
tem
pirâmides
regular,
(seucomprimento
tipo
equiláteros
qualquer
da s
da
que
pirâmide.
pirâmide
Apótema
desse
regular,
regular,
Elementos
exemplo
tetraedro
base
–
por
raio
(seu
da
comprimento
circunferência
será
identificado
circunscrita
ao
por m).
polígono
da
base
(será
r r).
(apótema
da
OCCES
g
pirâmide)
NOSLIDA
h
r
(raio
da
base)
:SEÕÇARTSULI
M
m
(apótema
da
base)
121
Alguma s
relações
métrica s
V
Podemos
a
destacar
pirâmide
medindoa
regular
algumas
de
representada
Aplicando
o
teorema
2
VOA,
MOA,
temos
ao
de
h,
métricas
aresta
da
nas
base
pirâmides
medindo
regulares.
c
e
arestas
Observe
laterais
lado.
Pitágoras
2
5
a
relações
altura
no
triângulo
retângulo:
2
h
1
r
2
a
⎛
2
m
temos
1 ⎝
h
2
VMO,
temos
VMA,
temos
2
g
5
2
h
1
m
2
⎛
2
g
⎞
1 ⎝
m
⎠
2
O
r
Essas relações métricas são válidas para qualquer pirâmide regular, independen -
c
M
2
c
A
temente
2
da
do
aresta
polígono
da
base
e
que
as
do
forma
a
base.
apótema
da
Além
base
disso,
de
há
a
algumas
relação
entre
pirâmides
as
medidas
regulares.
A
A
E
D c
c
c
c
c
r r
.8991
c
c
r
O
r
O
O
orierevef
r m
m
r
r
r c
c
m
ed
C
M
M
ed
C
F r
91 ed
B
A
016.9
C
ieL
3
r
2
r
3
3
6
2
2
2
2
laneP
m 2
e
r m
ogidóC
as
três
figuras
od
Considere
acima.
481
Ref lita
é
o
triângulo
ABC
Demonstre
baricentro.
1 Logo,
m
c AM M
5
e
BM
das
a
relação
pirâmides
entre
regulares
as
medidas
referentes
às
da
aresta
figuras
da
base
e
do
apótema
da
base
de
cada
acima.
5 2
3
oãçudorpeR
:AMB,
temos:
2
2
5
( (AM M)
2
( (AB)
( (BM M)
2
2
5
c
⎛
2
( (AM M)
Exe rc íc ios resolv id os
⎞
c ⎝
2
⎠
D
2
c
c 3c 3
2
( AM)
AM
3
5
R15. 4
Um
tetraedro
regular
tem
arestas
medindo
2
3
10 cm.
3
Calcular
a
medida
do
apótema
m
10 3
2
6
da
pirâmide
(g), g
a
medida
do
apótema
da g
:OMC
base
m)
e
a
altura
da
pirâmide
h
C
(h
∏ :ADC
O c
A OM
M
m
2
c
c
c
m
DC
r
5
m AD
M 5
2
B
O
triângulo
OAB
OM
Resolução
é
2
uma
altura.
No
:DMA,
temos:
2
10
g
2
1
2
5
g
75
g
c Então,
AO
5
r
5
c
e
AM
5 2
Como
a
base
é
triangular,
obtemos:
:AMO,
temos:
2
(OM)
2
5
3
(
10 V
5
2
(OA)
3 V
5
6
m
5 3
6
OCCES
2
c m
5
⎞
c
No ⎝
2
:DMO,
temos:
⎠
NOSLIDA
2
c
3
25
5 4
5
2
75
10
200 V
5
V
5
3
5
3
3
:SEÕÇARTSULI
Comentário
de
relações
capítulo4,
métricas
cuja
estudadas
finalidade
no
específica
10
é
Portanto,
5
cm
cm 3
e
de
volume
122
de
pirâmides.
uma
.adibiorp
O
o
.trA
Como
e
h
6 cm
6
R16.
Uma
e
pirâmide
arestas
base
(m),
regular
laterais
a
hexagonal
medindo 1 0
medida
do
tem
7
apótema
arestas
da
c m . Calcular
da
pirâmide
(g g)
base
a
e
medindo 1 0
medida
a
altura
do
da
3
cm
apótema
da
pirâmide( h).
Resolução
Observe
a
figura
abaixo.
V
h g
m
O
M
F
Na
base
hexagonal,
o
apótema
mede:
3 m
5 2
No
15
2
triângulo
F,
temos:
2
2
2
2
g
(
1
.8991
No
)
5
triângulo
ed
2
2
orierevef
m
1
V
VMO,
2
h
5
Portanto,
m
V
5
15
15
1
75
5
700
V
g
5
625
5
20
V
g
5 25
temos:
2
g
g
2
1
2
h
cm,
g
5
5
2
25
25
V
cm
h
e
5
h
5
400
20
V
h
cm.
ed 91 ed 016.9
47.
2n
48.
Apenas
arestas,
as
( (n
1
1)
faces
planificações
e
(I)
( (n
1
e
(II)
1)
vértices
são
de
superfícies
de
pirâmides.
ieL
Registre as respostas em seu caderno
e laneP
Exerc íc ios propostos
og idóC
4
.
Deter mine
od
cu
a
base
o
número
tem
8
de
faces
vértices.
9
de
uma
pirâmide
4
.
O
a
faces
apótema
aresta
481 .trA
da
47.
Deter mine
.adibiorp
arestas
de
o
número
uma
de
pirâmide
vértices,
que
tem
n
de
faces
faces
e
oãçudorpeR
n
um
número
natural
maior
que
quais
super fícies
de
das
planificações
a
seguir
são
Uma
um
pirâmide
regular
tem
Deter mine
12
a
cm
e
medida
cm
do
que
tem
tem
apótema
6
4
dm
da
dm
de
de
altura.
lado.
A
base
pirâmide.
Deter mine
43
dm
pirâmides.
(I)
Qual
é
a
medida
regular
de
da
aresta
base
lateral
pentagonal
de
se
uma
o
pirâmi-
apótema
da
(II)
pirâmide
10
52.
(III)
m?
13
uma
super f ície
pirâmide
qualquer,
( (A
)
–
área
de
uma
e
o
lado
do
pentágono
mede
m
a
apótema
do
m
medida
cu
a
mede
do
de
aresta
41
raio
da
uma
da
cm .
base
g
base,
a
pirâmide
5
5
mede
cm,
h
altura
8
5
e
a
me-
quadrangular
3
cm
cm
e
e
r
a
5
aresta
4
2
cm
pirâmide
definimos:
da
superfície
poligonal
que
constitui
a
OCCES
da
12
dida
lateral
Área
mede
Calcule
regular
10
regular
hexágono
medida
de
Dada
base.
cm.
de
51.
4.4
da
1
laterais,
a Registre
aresta
pirâmide
tem
2. é
48.
uma
de
50.
sendo
de
lateral
base.
base
NOSLIDA
(A (
) – soma das áreas das faces laterais (superfícies triangulares).
lateral
A
–
soma
da
área
lateral
com
a
área
da
base.
total
:SEÕÇARTSULI
5 total
1 lateral
base
123
Exe rc íc io resolv id o
R17.
Deter m i na r
a
á rea
tot a l
da
super fície
de
uma
Como
a
pirâmide
são
for madas
pirâmide regular hexagonal sabendo que a a resta
rais
da
congruentes,
base
mede
c
e
o
apótema
da
pi râ m ide
mede
g
e
altura
é
r egular,
por
que,
as
faces
triângulos
nesse
caso,
late-
isósceles
têm
base
e
c
g
Resolução Assim,
A
base
da
pirâmide
A
a
área
5
8
é
uma
super fície
triângulo
r e g u l a r
A
d e
c.
Portanto,
a
dada
por:
g
⎞
6 lateral
⎝
lado
é
isósceles
he⎛
x a g o n a l
lateral
A
lateral
⎠
2
área 5
A
3cg
lateral
da
base
é
dada
por: Logo,
a
área
total
é
dada
por:
a 2
A
3
h
5
A
A
1
A
6 ba s e
4 2
g
1 2
5 ba s e
2
m O
⎛ M
5
3c
g
⎞
3
1
total
⎝
c
⎠
2
.8991
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
ed
Calcule
a
área
total
da
super fície
de
uma
55.
pirâmide
Sabendo
que
a
área
total
da
super fície
de
orierevef
53.
um
ed
2
regular
cuja
aresta
lateral
mede
82
,
calcule
medida
quadrangular
regular
ed
a
mm
91
triangular
2
e
a
aresta
da
base
mede
1
36mm.
da
aresta
desse
tetraedro.
4
cm
016.9
a
da
área
da
super fície
que
tem
3
a
uma
cm
de
área
lateral
pirâmide
altura
e
cuja
2
base
mede
8
cm.
64
cm
,
80
cm
e
a
A
área
base
de
uma
pirâmide
cm
quadrangular
aresta
de
da
raio.
Sabendo
que
a
pirâmide
tem
8
cm
ogidóC od
regular
base,
de
laneP
total
e
Calcule
ieL
54.
de
2
e
144
altura,
cm
calcule
a
área
total
da
sua
super fície.
cm
481
384
.trA
Volume
de
estudar
propriedades
das
Propriedade
mide,
feita
a
o
pirâmide
volume
pirâmides
1: A
uma
uma
razão
altura
’
e
de
pirâmide
qualquer,
vamos
conhecer
duas
demonstrá-las.
entre
em
uma
oãçudorpeR
Antes
de
.adibiorp
4.5
a
área S’
relação
ao
de
uma
vértice,
secção
e
a
transversal
área S da
base
de
uma
pirâ-
dessapirâmide
2
⎛ de
altura
h
⎞
h
5
é
⎝
S
h
⎠
Demonstração
Vamos
uma
do
considerar
secção
uma
pirâmide
transversal
dessa
de
altura
pirâmide,
VO
de
5
área
h
cuja
S’,
a
base
uma
tem
área
distância
S.
VO’
Seja
5
V
h’
vértice.
Vamos
C
decompor
etc.
e
O
A
B’,
a
base
O
da
C’
B
pirâmide
etc.,
e
a
secção
transversal
nos
h ’
triângulos OAB
respectivamente. h D ’
A ’
VC’ O
C
/OC
V
:V
’
’
{
:V
V O’ 5
V
VC’
h’
VC
h
V
VC
VO
C’
B ’ M ’
C B
C
/ BC
V
:VB’C’
{
:VBC
VC’
h’ O
V VC
h
B
O o
mesmo
raciocínio,
chegamos
M
a:
(B C ) Área
(O M )
do 2
124
h 5
OM
h
M
C
:SEÕÇARTSULI
Com
NOSLIDA
BC
OCCES
D
A
(B Área
C
)
O
M ’)
do 2
B
C
O
M 2
S O
B
S
h
2
C
5
O
5
S
(B C )
OBC
B
⎛
C
V BC
(O M )
h
⎞
5
OM
Obser vação ⎝
S
⎠
OBC
2 Em
uma
proporção,
a
soma
dos
2
S D
Analo
amente,
mostra-se
O
A
⎛
B
que:
h
⎞
antecedentes
S
S
OCD
⎝
S
O DA
⎠
h
dos
OAB
consequentes,
qualquer
Temos:
S
5
S
1
S
OAB
1
S
OB
está
para
a
soma
5
1
S
OCD
e
S
5
S
ODA
1
S
O’A ’B’
1
S
O’B’C’
1
O’C’D’
assim
antecedente
como
está
para
S O’D’A ’
seu
consequente,
ou
se
a:
2
S 5
a
h
⎛
Assim:
b
1
S
1
S
S DA
Propriedade
então
elas
a
5
têm
2:
Se
duas
mesmo
pirâmides
d
b
d
h
OBC
têm
mesma
altura
e
mesma
área
de
base,
volume.
Demonstração
Vamos
considerar
as
pirâmides
de
vértices V
e
V
1
V
2
V 2
Chamaremos
S
e
S
as
de:
áreas
das
bases
dessas
pirâmides,
tais
2
que
S
5
S
; 2
.8991
e
’
1
as
áreas
das
secções
transversais;
h
2
h
a
altura
das
duas
pirâmides
e
h’
a
distância
ed orierevef
das
secções
tran s v e r s a is
aos
v ér ti c es
V
e
V
1
2
respectivamente. S
ed
S 2
Pela
propriedade
1,
obtemos:
91 ed
2
016.9
S
⎛
1
h
S
2
S
⎞
h
h
⎛
⎝
S
ieL
1
h
⎞
⎠
2
e laneP
h
⎞
h
⎛ e
5
⎞
5
1
2
ogidóC od
⎠
h
481
Como
S
S
⎝
,
temos
S
5
S
2
.trA
pirâmides
⎠
h
e,
portanto,
pelo
princípio
de
Cavalieri,
as
duas
2
têm
mesmo
volume.
.adibiorp oãçudorpeR
Volume
Considere
de
um
uma
prisma
pirâmide
triangular
de
de
ba se
volume
triangular
V
.
Vamos
decompô-lo
em
três
prisma
pirâmides
triangulares.
A ’
(I)
C’
B ’
(II)
C
A
(III)
B
A
pirâmide
plano
pirâmide
plano
que
um
por
a
tem
a
base
face
por
face
AA
o
C
base
AA
o
C
paralelogramo;
pirâmides
concluímos
I
e
que
II
têm
elas
triângulo
C
do
triângulo
C
do
C’
e
por
altura
a
distância
de
C
e
por
altura
a
distância
de
B’
ao
AC
ao
prisma.
logo,
bases
têm
AA
prisma.
os
de
triângulos AA
mesma
volumes
área
e,
’
e
ACC ’
como
têm
têm
mesma
também
área.
mesma
:SEÕÇARTSULI
altura,
II
contém
é
as
tem
NOSLIDA
AA
Assim,
I
contém
OCCES
A
que
iguais.
Entretanto, a pirâmide I é também aquela que tem por base o triângulo A
altura a distância de A ao plano que contém a base A
B
B
C ’ e por
C ’ do prisma (altura do prisma).
125
A
pirâmide
plano
Os
que
III
tem
contém
triângulos
A
pirâmides
I
(altura
do
prisma),
Se V
, V
1
e
III
e V
2
a
por
base
B
C’
têm
e
base
o
triângulo
ABC
do
ABC
têm
bases
de
prisma
mesma
mesma
concluímos
que
ABC
e,
têm
por
do
área
área
elas
e
(altura
altura
a
distância
de
B’
ao
prisma).
(são
bases
como
do
também
volumes
prisma).
têm
Assim,
mesma
as
altura
iguais.
são, respectivamente, os volumes dessas três pirâmides triangulares,
3
V p
temos:
5 3
3
Como
V
5
área
da
base
3
altura,
vem:
prisma
área
da
base 3
altura
5 p
triangular
3
Volume
Para
uma
de
uma
pirâmide
pir
mide
qualquer ,
qualquer
podemos
dividir
o
polígono
de
sua
base
em
triân-
gulos justapostos por meio de diagonais. Assim, a pirâmide fica dividida empirâmides
V
triangulares
Se
a
de
base
mesma
foi
altura.
dividida
em
n
triângulos
de
áreas
A
A 1
base
é
dada
por:
A
5
A
A
o
volume
da
pirâmide
,
...,
A
2
,
então
a
área
n
é
a
soma
dos
volumes
das
pirâmides
trian
ulares,
orierevef
temos:
1
1
1
5
1
pirâmide
1
1
1
ed
E
2
3
da
n
A
3
3
ed
Como
...
2
.8991
base
91 ed
A 3
8
( (A
pirâmide
1
A
1
1
...
1 A
2
)
016.9
5
V
D
A
h
n
A 2
ieL
A
A base
e
dividida
C
ogidóC od
Pirâmide
laneP
B
pentagonal
em
três
1
pirâmides
V
área
5
da
base
altura
pirâmide
triangulares:
VACD
3
481
e
VABC
VADE
.trA .adibiorp oãçudorpeR
Exe rc íc ios resolv id os
R18.
Calcular o volume do octaedro regular de aresta
No
a
triângulo
retângulo
BOE,
temos:
2
⎛ 2
2
5
a
2
⎞
a
2
1 ⎝
⎠
2
a
Logo,
o
volume
do
octaedro
1 V
é:
⎞
2
h
o ct a ed r o
5
ba s e
3
3
⎛
1
a
2
2
⎞
a
2
5
2 ⎝
⎠
3
3
E
R19.
Calcular o volume do tetraedro regular de aresta
h
Resolução
a
Observe
é
que
for mado
o
por
pirâmides
D
sólido
D
duas
quadran-
A
OCCES
O
gulares
C
regulares
a
a a
NOSLIDA
cuja
área
A
5
da
base
g
é
h C
B
2
a
base
O
:SEÕÇARTSULI
Como
B
é
igual
à
metade
da
medida
da
diago A m
a nal
do
quadrado
da
base,
temos
OB
2 M
5 2
126
r
a
Resolução
A
área
da
triangular
base
é
a
área
equilátera
de
de
uma
lado
a .
Resolução
super fície
Inicialmente,
Logo:
apótema
da
vamos
calcular
a
medida
g
do
pirâmide.
2
3 A
5
⎛
2
⎞
2
ba s e
2
20
1
V 2
2
h
2
h
5
g
⎛
a
2
m 2
V
2
2
Pelo
:A D M
o
5
:AB C
é
g
Agora,
equilátero,
3 m
tema
temos:
5
36
1
vamos
da
deter minar
base.
Como
a
a
medida
base
é
do
um
apó-
hexágono
2
3a
2
V
1
g
5
2
a m
5
3a
2
V
2
Como
400
2
⎞
m
regular,
a
2
V
5
temos:
5
6
2
12
m a
3
2
Assim:
V
h 4
h
m
m
6
5
12
Cálculo
da
altura
h
da
pirâmide:
Portanto:
2
2
1 V
A
h
6
3
h a se
2
h
256
16
1 V
Cálculo
t et r a edr o
3
4
da
área
da
base:
3
3
A
2 V
6 ba s e
5
2
t et r a edr
12
A
5
6
5
216
3
ba s e .8991
R20.
Deter minar
o
volu-
ed
Cálculo me
de
uma
orierevef
regular
do
volume
da
pirâmide:
pirâmide
1
hexagonal
h p i r â m id e
a
de
12 cm
de
=
20
ba s e
cm
3
aresta
ed
h g
91
da
base
e
20 cm
1
de V p
r â m id e
ed
3 aresta
lateral.
016.9
V
O
5 p
1.152
r â m id e
ieL
m
e laneP
c
=
12
cm
og idóC od 481 .trA
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
.adibiorp oãçudorpeR
57.
Uma
de
pirâmide
altura
regular
possui
comprimento.
de
aresta
Calcule
o
base
da
quadrada
base
volume
com
dessa
e
6
4
cm
cm
64.
O
apótema
gular
de
basemede
pirâmide.
de
mede
g
4
uma
5
9
cm,
pirâmide
cm.
regular
Sabendo
que
quadran-
a
aresta
da
calcule:
3
48
cm
2
a)
58.
Deter mine
o
volume
de
um
tetraedro
regular
a
área
16
cm
d)
a
e)
o
ra.
77
cm
2
cuja
b)
a
área
lateral.
72
77
cm
3
volume.
cm 3
aresta
mede
2
3
cm.
2
cm
c)
a
área
total.
3
59.
Calcule
a
área
total
da
super
ície
e
o
volume
de 65.
um
octaedro
regular
de
aresta
3
A base de um prisma é um quadrado de lado de me-
cm. dida
18
3
cm
;
2
m,
e
a
base
de
uma
pirâmide
é
um
quadrado
v olume
de lado de medida 1 m. Se o prisma e a pirâmide têm
60.
Dê
o
volume
de
uma
pirâmide
triangular
regular mesmo
de
8
cm
de
altura
e
aresta
da
base
medindo
6
volume,
qual
é
a
razão
entre
suas
alturas?
para
cm.
3
24
3
cm
66.
61.
Uma
pirâmide
regular
hexagonal
tem
aresta
Um
prisma
Se
o
perímetro
da
base
da
A
3
tem
24
dm,
qual
é
seu
volume?
32
3
uma
pirâmide
têm
bases
com
mesma
laárea,
dm.
e
e
o
volume
pirâmide.
altura
do
do
Qual
prisma
é
o
prisma
é
a
é
o
relação
dobro
da
sêxtuplo
entre
altura
da
do
suas
volume
alturas?
pirâmide.
dm
Sabendo
que
P
e
Q A
são Em
uma
pirâmide
regular,
a
base
é
um
e
as
pontos
B
méQ
dios
cm
os
quadrado
arestas
das
arestas
NOSLIDA
62.
DC P
laterais D
e
respectivamen-
te,
de
medida
do
cubo
C
:SEÕÇARTSULI
medem 10 cm. Determine o volume dessa pirâmide.
,
10 cm,
3
192
63.
A
aresta
lateral
de
uma
pirâmide
regular
cm
ABCDEFGH H
drangular
mede
5
cm
e
o
perímetro
da
base
cm .
Deter mine
o
volume
dessa
volume
pirâmide
125
2
o
tem da
12
E
quadeter mine
figura.
pirâmide. 3
24
cm
G
OCCES
67.
da
3
cm 3
127
68.
No
paralelepípedo
do
abaixo,
CG
tem-se
reto-retângulo
AC
13
cm ,
representa-
AD
2
3 cm. Determine o volume da pirâmide
cm
A
figura
lar
representa
decomposto
razão
ACDG
3
A
69.
e
entre
os
em
um
prisma
duas
volumes
de
base
pirâmides.
de
E
triangu-
Deter mine
e
de
cm
a
DEFC
2
ara
1
B C
A
B C
D
F E F
E H
G
4.6
Tronco
SEGAM
Alguns
sólidos,
pirâmide,
de
um
pois
pirâmide
embora
lhes
falta
monumento
Considere
uma
chamados
a
que
de
parte
de
um
paralela s
pirâmides,
superior
lembra
pirâmide
de
ba ses
para
tronco
vértice V ,
ser
de
são,
na
uma
realidade, troncos
pirâmide.
A
foto
ao
de
lado
pirâmide.
altura H
e
base
contida
em
um
plano
a
.8991 ed orierevef
YTTEG/INITSOGAED
é
de
V
ed
h
E’
91
D’
A ’
ed 016.9
B
H
C’
b
ieL
de
México,
Kukulcán
maia
de
(987
Chichén
d.C.)
Itzá,
ogidóC
cidade
laneP
da
E
F
t
Pirâmide
e
h
D
2015.
A
od
B
481
a
C
.trA
no
plano
bases
V,
que
é
uma
nova
Elementos
de
um
tronco
de
e
base
contida
tronco
de
pirâmide
de
E’
D’
B
o
altura
pirâmide
F’
calcular
de
paralelas
Obser vação
Para
pirâmide
b;
volume
de
C’
um
h
tronco
de
pirâmide,
t
basta
F
subtrair,
do
original,
o
volume
volume
da
da
E
pirâmide
pirâmide
D
de
mesmo
vér tice,
basecongruente
do
à
altura
base
h
A
e
menor
B
tronco.
Em
um
OCCES
seguintes
tronco
de
pirâmide,
NOSLIDA
:SEÕÇARTSULI
–
a
–
superfície
a
t
128
representado
–
H
as
h).
poligonal
superfície
na
figura
acima,
temos
os
)
h
–
ABCDEF
poligonal
superfícies
t
5
o
elementos:
(h
como
C
a
A
B
C
trapezoidais
distância
D
E
AA
entre
a
F F‘.
B
base
BB
C
C
maior
etc.
e
a
base
menor
oãçudorpeR
.adibiorp
Seccionando-a com um plano b, paralelo a a, separamos essa figura em dois sólidos:
Exe rc íc io resolv id o
R
1.
Um
tronco
de
pirâmide
regular
tem
a
aresta
la-
Pela
figura
ao
lado, M’
teral
medindo
34
dm
e
bases
quadradas
temos:
cujos
C’
B’
2 2
lados
medem
4
dm
e
10
dm.
Calcular
o
volume
p
2
1
3
5
34 34
do
tronco. p
D’
5
5
C’
B
C 3
2
M
A ’
Agora,
C
vamos
calcular
a
altura
h
do
tronco;
t
D
para
isso,
consideremos
destacado
M
o
trapézio
O O
M
M M,
abaixo.
O M’
O’
Pela
A
figura,
2
B
h
temos:
2
1
2
3
5
5
t
5 h
5
h
t
4
t
t
Resolução
M
O 2
Inicialmente,
vamos
imaginar
a
3
P
pirâmi-
e ABCDV
Observando pirâmide
pela
m
n
secção
r
r
com
o
plano
que
o
triângulo
VMO,
podemos
des-
contém
tacar
os
triângulos
esses
triângulos
M
e
VM
O
.
Note
que
n
.8991
V
h
são
semelhantes;
logo:
M
ed
5
orierevef
h
V
PM t
C’
D’
O’
5
h
ed
M’
4
A’
3
91
M’ O’
B’
ed
C
8
016.9
h
H
5
D
3
5 h
h
ieL
Assim:
e
M
laneP
O
8
20
M
O
ogidóC od
H
4
2
5
P
3
A B
Então,
481
Para
calcular
o
volume
do
tronco,
é
.trA
dado
sário
obter
.adibiorp
altura
H,
e
o
volume
da
pirâmide
ABCD V,
o
volume
da
pirâmide
A
B
o
volume
C
D
oãçudorpeR
Vamos
de
pirâmide
é
de
1
V,
20
1
3
3
8
10
4
3 altura
tr onco
por:
V
de
do
neces-
5
208
3
h
calcular
a
medida
do segmento
Portanto,
o
volume
do
tronco
de
pirâmide
é
3
altura
da
face
lateral
do
tronco.
208
dm
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
70.
Observe
e,
em
as
medidas
seguida,
do
calcule
tronco
a
de
altura
pirâmide
do
regular
tronco.
8
72.
Um
tronco
de
hexágonos
cm
pirâmide
de
lados
regular
4
m
e
6
tem
m.
por
bases
Sabendo
dois
que
o
3
volume
é
342
3
m
,
calcule
a
altura
do
tronco.
9
m
cm
73. 10
Deter mine
o
volume
de
um
tr onco
de
pirâmi-
cm
de
5
regular
m
de
hexagonal
comprimento
de
e
aresta
áreas
lateral
das
com
bases
de
3
54
m
e
6
3
m
.
7 OCCES
20
3
cm
Uma
pirâmide
tem
12
cm
de
altura
e
base
NOSLIDA
74.
com
2
71.
Um
que
de
pirâmide
quadrados
a
altura
de
de
regular
lados
uma
6
face
cm
tem
e
16
lateral
do
como
cm.
bases
Sabendo
tronco
mede
área
um
à
de
81
plano
cm
.
Seccionando-se
paralelo
distância
de
8
ao
cm
plano
da
da
base,
a
pirâmide
base,
por
exatamente
obtemos
um
tronco
3
13
cm,
calcule
a
altura
do
tronco
e
seu
volume.
de
pirâmide.
Calcule
o
volume
desse
tronco.
312
cm
3
altura
5
12
cm;
volume
=
1.552
cm
129
:SEÕÇARTSULI
dois
tronco
Exercícios
complem ent a res Registre as respostas em seu caderno
Os
for matos
dos
sólidos
descartados
são:
alternativa
e
Aplicação a
1.
(Unifesp)
pontos
Considere
médios
das
o
poliedro
arestas
de
cujos
um
vértices
são
os
cubo.
c
d
e
5.
todos
iguais.
todos
di
três
apenas
iguais
de
faces
triangulares
poliedro
são,
e
o
número
de
e
8
b)
8
e
6
c)
6
e
8
d)
8
e
4
e)
6
e
6
dois.
uma
possível
planificação
do
sólido
abaixo.
possível:
faces
b
8991
8
a
respectivamente:
alternativa
a)
dois
diferente.
NOSLIDA
desse
um
iguais.
OCCES
número
quadradas
e
dois
Represente
Resposta
O
erentes.
iguais
ed
Classifique
os
poliedros
abaixo
em
convexo
ou
cunha
for mato
não
de
utilizada
um
para
prisma,
prender
confor me
uma
porta
mostra
a
tem
o
figura.
orierevef
Uma
2.
ed
convexo.
91 ed ieL
não
cm
016.9
2
convexo
e laneP
convexo
8
ogidóC od
5
cm
cm
481
Calcule
o
volume
de
madeira
necessário
para
fazer
.adibiorp
3
essa
cunha.
40
cm
convexo
3.
Um
poliedro
octogonais.
convexo
tem
Quantos
8
faces
vértices
triangulares
tem
esse
e
6
de
A
lado
base
25
do
cesto
reto
em
Uma
for ma
de
uatro
um
cubo.
indústria
de
irâmide.
cortes
No
ginal(cubo)
fabrica
em
esquema,
e
a
A
um
irâmide
sólido
estão
pirâmide
brindes
é
ue
a
v
rtices
obtida
tem
partir
a
o
a
artir
for ma
sólido
de
ori-
dele.
Se
a
parte
devem
50
ser
lateral
cm
de
D
OCCES
8. A
A
B
o
fundo
largura,
NOSLIDA
,
C
e
:SEÕÇARTSULI
ponto
O
é
para
a
o
tecido
exter no
menor
forração
que
é
do
cesto
vendido
comprimento
é:
alternativa
a)
1,115
m
d)
1,10
m
e)
c)
1,350
m
de
com
tecido
e
1,250
m
1,12
m
Deter mine
O
do
cubo
central
na
a
área
total
da
super fície
de
um
paralelepí-
B
e
da
pirâmide
face
superior
reto
com
6
cm
de
altura
cuja
base
é
um
losango
sãoos
2
de
O
e
um
b)
pedo
,
com
C
C
D
mesmos.
exter na
forrados
necessário
pontos
cm
O
O
Os
um
promocionais
indicados
obtida
é
faces
50
(Enem)
figura
poliedro?
24
4.
da
cm.
do
diagonais
medindo
12
cm
e
14
cm.
5
cubo.
2
Os
D
quatro
cortes
BC
e
saem
CD ,
de
nessa
O
em
ordem.
direção
Após
os
às
arestas
cortes,
são
9.
(PUC-RJ)
tos
Um
metros
cubo
deve
tem
ser
96
m
de
aumentada
área
sua
total.
3
descartados
130
quatro
sólidos.
seu
volume
se
tor ne
igual
a
125
m
Em
aresta
?
quan-
para
que
oãçudorpeR
Mackenzie-SP)
quadrado
.trA
b)
.......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... ..........................................................................................................................
10.
Calcule
é
a
um
o
volume
triângulo
aresta
de
um
prisma
equilátero
lateral
mede
6
de
cm
triangular
lado
e
4
for ma
cm,
cuja
base
sabendo
com
a
base
16.
Uma
que
pirâmide
base
desse
é um
5 cm,
triangular
triângulo
5 cm
e
8
tem
9
isósceles
cm.
cm
de
cujos
Deter mine
o
altura
lados
volume
e
a
medem
de
uma
3
prisma
um
ângulo
de
60°.
36
nova
cm
pela
pirâmide
secção
de
triangular,
um
plano
de
3
cm
paralelo
de
à
altura,
base
da
obtida
primeira
3
11.
Um
balconista
vai
empacotar
6
livros
de
for matos
cm
pirâmide. 3
idênticos
e
empacotar
outro,
na
mento,
a
ser
de
dimensões
esses
livros,
menor
20%
a
20
cm,
de
cm
colocando-os
dimensão,
mais
25
que
a
1,5
um
gasta-se,
papel
e
cm.
em
para
área
da
Para
cima
o
do
super fície
empacotada.
Deter mine
quanto
Aprofund amento
acaba-
17.
de
papel
o
balconista
gastará
(Unicamp-SP)
reto
para
cujas
A
figura
bases
são
abaixo
representa
hexágonos
um
prisma
regulares.
2
embrulhar
12.
Um
um
e
os
6
livros
reservatório
para
paralelepípedo
base
parte
quadrada
da
vatório
.8991
para
que
ele
ar mazenar
de
com
metros
60
m
soja
60%
com
cm
soja
tem
com
35
a
for ma
m
perímetro.
de
capacidade
reservatório
capacidade
o
restam
ocupada?
ed
3.150
orierevef
13.
(FEI-SP)
ed
total
Num
mede
28
paralelepípedo
cm²
e
a
reto-retângulo
diagonal
21
cm.
de
reser -
ocupada.
ainda
total
de
altura
Depois
ar mazenada,
sua
do
a
de
ser
de
cúbicos
fique
2.172
reto-retângulo
com
colheita
ficou
Quantos
juntos.
A
a
m
área
soma
das
91 ed
dimensões
016.9
a)
7
cm
mede:
b)
8
alternativa
cm
c)
9
a
cm
d)
10
cm
e)
12
A
cm
ieL
C
e laneP
14.
Calcule
o
volume
da
pirâmide
AHFG
inscrita
og idóC
20
confor me
mostra
a
figura
5
no
cubo,
cm
5
3
abaixo.
3
Os
od
A
481
B
lados
altura
dos
do
hexágonos
prisma
é
10
medem
5
cm
cada
um
e
a
cm.
.trA
3
.adibiorp
a)
Calcule
o
b)
Encontre
volume
do
prisma.
375
3
cm
D C
a
área
da
secção
desse
prisma
pelo
plano
2
oãçudorpeR
que
passa
pelos
pontos
A
C
e
A
50
3
cm
2
1
.
Um
prisma
hexagonal
regular
tem
5
A
m
base
H
G
Calcule
a
área
lateral
sabendo
que
a
altura
do
prisma
2
é
19.
igual
à
medida
Deter mine
-retângulo
15.
(UFSCar -SP)
Na
figura,
os
pontos
H
são
um
tetraedro
inscrito
em
um
cubo
de
lado
volume
com
60
de
cm
da
um
de
base.
m
paralelepípedo
altura
e
bases
reto-
quadradas,
que
a
diagonal
desse
paralelepípedo
for ma
3.
3
um
C
apótema
vértices sabendo
de
o
do
ângulo
de
60°
com
o
plano
da
base.
36.000
cm
B
2
.
As
dimensões
for mam
uma
de
PG.
um
paralelepípedo
Sabendo
que
a
reto-retângulo
diagonal
desse
para-
D
lelepípedo
de
todas
mede
as
suas
cm
arestas
e
é
que
52
a
soma
cm,
das
calcule
medidas
o
volume
3
desse
sólido.
7
cm
F
O CCES
Desaf io
H
NOSLIDA
O
volume
do
tetraedro
é:
alternativa
c
21.
27
A
base
cujo
:SEÕÇARTSULI
a)
c)
9
e)
de
lado
um
paralelepípedo
mede
5
cm.
oblíquo
Sabendo
que
é
um
uma
quadrado
das
arestas
18
8 laterais
9
27
13
com
os
mede
10
lados
2
cm
e
adjacentes
for ma
da
um
base,
ângulo
de
deter mine
d)
b)
3
8
18
volume.
250
cm
131
60°
seu
Registre as respostas em seu caderno
Autoavaliação
1.
Indique
qual
poliedro.
das
alternativa
figuras
abaixo
representa
um
5.
As
3
a
arestas
cm,
seu
4
de
cm
e
volume
um
5
paralelepípedo
cm.
são,
A
medida
da
retângulo
sua
respectivamente:
medem
diagonal
alternativa
e
de
c
3
a)
cm
e
60
cm
b)
cm
e
47
cm
c)
cm
e
60
cm
3
3
6.
Um
prisma
arestas
um
do
a)
OCCES
O
número
for mado
NOSLIDA
ta
onais
de
por
é:
vértices
80
faces
alternativa
de
um
poliedro
triangulares
e
12
faces
pen-
7.
:SEÕÇARTSULI
Um
poliedro
com
4
faces
4
triangulares
de
é,
150
Uma
60°
em
b)
base
cm.
com
As
o
quadrada
arestas
plano
centímetro
240
3
c)
da
500
tem
todas
laterais
base.
cúbico,
e
5
geladeira
de
isopor,
com
ralelepípedo
reto-retângulo,
com
espessura
a 3.
ângulo
prisma
de
10
O
igual
3
d)
as
formam
volume
a:
900
convexo
b
d
oblíquo
medindo
5
cm
0,85
m,
de
1,10
m
e
e
0,80
for mato
tem
medidas
m.
de
paredes
um
e
exter nas
Lembrando
que
pa-
tampa
iguais
1
litro
faces 3
equivale quadrangulares
que
não
satisfaz
a
relação
de
a
o
número
de
vértices
diferente
de:
alternativa
15
b)
Marilu
de um
o
da
quer
13
construir
poliedro
figura
c)
11
uma
convexo
d)
caixa
usando
a
capacidade,
em
litro,
dessa
é
de:
748
alternativa
b)
c
330,75
c)
525
d)
1.026
9
com
um
,
d
a) a)
dm
Euler geladeira
tem
1
a
8.
for ma
molde
como
A
área
regular
abaixo.
são,
total
de
e
o
volume
aresta
da
respectivamente:
cm
b)
cm
c)
cm
d)
cm
3
fazer
são
triangular
altura
3
cm
d
3
e
3
cm
3
e
1
cm
2
mide
e
cm
2
Para
prisma
cm
3
e
2
9.
um
2
alternativa
2
a)
de
base
3
e
3
uma
regular
cm
vela
com
o
for mato
quadrangular
triângulos
equiláteros
de
cujas
lado
4
de
uma
faces
cm,
pirâ-
laterais
Fábio
usa
3
cm
O
número
de
vértices
dessa
caixa
é:
alternativa
de
parafina.
16
1
b)
13
c)
9
d)
b
d
32
a) a)
alternativa
b)
11
c)
3
1
3
Retomad a de conceitos
Se
você
Releia
não
a
acertou
teoria
e
alguma
refaça
os
questão,
exercícios
consulte
a
tabela
e
verifique
o
que
precisa
Número
O
Identificar
troncos
etivos
poliedros,
de
do
capítulo
prismas,
pirâmides
e
seus
estudar
novamente.
correspondentes.
1
2
X
3
da
questão
4
5
6
7
8
9
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
pirâmides,
elementos.
Reconhecer propriedades dos poliedros e aplicar
relações
entre
Calcular
áreas,
comprimento
Resolver
seus
elementos.
volumes
de
e
medidas
elementos
de
situações-problema
poliedros
(do
ponto
de
vista
de
poliedros.
que
envolvam
métrico
e
X
X
X
geométrico).
102 Páginas
do
livro
referentes
ao
a
105
132
104
a
104
a
104
a
109
a
112
115
a
119
115
a
115
a
113
a
120
a
conceito 106
106
109
119
11
119
128
Pesquisa estat íst ica
Pesquisa e ação
dia
Um
dia,
adquirir
um
faces,
os
despertar
produto,
anúncios
o
apoiar
a
custo
para
seguida,
de
desejo
uma
publicitários.
recursos
do
visuais
consumidor
ideia
o
inovadoras,
um
ou
aderir
que,
geométricos
do
a
poliedro.
empresas
cálculo
já
sólidos
Determinando
de
por
a
custo
quanto
área
Esse
que
dessas
recurso
desenvolvedoras
de
produção
maior
for
a
de
área,
de
uma
maior
produção.
aplicaremos
construção
anúncios
área
utilizado
embalagem,
o
são
poligonais.
calculamos
embalagens
nova
poliedros
faces
bastante
na
de
diferentes
SOS
que
possuem
Em
para
usa
causa.
Vimos
será
cercados
publicitário
linguísticos
uma
é
estamos
ATAM
e/ou
de
a
anúncio
ACITNÂLTA
No
de
que
as
características
embalagens
deverão
veiculados
em
ser
TV
práticas,
dos
promovidas
ou
poliedros
econômicas
publicados
por
em
meio
e
de
revistas.
LEART
P r ocedi me n t os
1)
Reúna-se
as
2)
com
atividades
Inicialmente,
será
mais
a
vocês
divulgado
quatro
colegas
para
desenvolver
seguir.
por
deverão
uma
escolher
propaganda
um
produto
publicitária.
que
Essa
propaganda poderá ser veiculada em TV ou em revista
impressa.
3)
Após a seleção do produto, o grupo deverá passar para
a
etapa
para
a
da
sideração
Um
escolha
do
embalagem.
dos
a
poliedro
Essa
capacidade
objetivos
do
dessa
que
escolha
servirá
deverá
poliedro
etapa
é
e
a
buscar
de
levar
área
a
modelo
em
con-
total.
maior
emba-
lagem (a de maior capacidade) ao menor custo possível
(ou
seja,
custos
fecção
mais
da
4)
papelão,
a
grupo
ser
etc.
produto,
produto,
da
de
teiro
Em
específico.
elaborado
uma
as
ideias
Você
um
imagem
e
caso,
No
é
a
para
opção
embalagem
ser
Para
a
e
a
suas
do
van-
pontos
preocupação
para
que
seja
TV
revista,
é
texto
ou
feito
propaganda
um
e
propaganda
apresentar
criada
da
apresentar
uma
com
excessivo.
preciso
caso
vídeo.
e
consumo
poderá
cada
também
SOS
sustentabilidade
com
propaganda
materiais
custo
destacando
a
A
o
ATAM
além
e
o
Há
elaborar
a
reciclagem
usar
os
con-
LTA
desse
poderá
na
reciclada.
deverá
(custo-benefício),
minimizar
utilizado
comparado
alumínio
do
grupo
Para
material
importantes:
revista.
6)
o
Pode
total).
de
ACITN
o
divulgação
tagens
área
matéria-prima
escolha
material,
5)
menor
quantidade
embalagem,
utilizar
Após
de
a
econômicos.
plástico,
de
com
com
de
preciso
que
para
um
TV,
ro-
será
escolher
comunique
pretendidas.
os
organizar
colegas
uma
de
classe,
mostra
as
com
o
professor ,
propagan
as
cria
poderão
as.
Exemplos
de
preservação
campanhas
do
meio
institucionais
para
ambiente.
133
Compreensão de texto
Economia
das
formas
iente.
Do
desenvolvimento
reciclagem,
produtiva.
no
projeto
a
de
novos
embalagem
Observe
das
a
caixas
de
seguir
de
produtos
um
ao
produto
como
uma
detergente
transporte,
inuencia
mudança
em
pó
para
à
toda
venda
a
e
aparentemente
roupas
à
cadeia
permite
pequena
melhor Os
aproveitamento
de
matérias-primas
e
dos
recursos
preciosos,
como
a
detergentes
em
pó
para
roupas
água. começaram
nos
anos
mercado
em
ser
1950.
foi
forma
a
produzidos
Por
meio
dominado
de
no
Brasil
século,
por
esse
embalagens
paralelepípedos
de
papel-
Caixa antiga -cartão,
substituídos
paralelepípedos
nos
últimos
mais
anos
por
compactos.
8991
Caixa nova
ed orierevef ed 91 ed 016.9 ieL e laneP 481
SUCRAM
ogidóC od
ANNEP
.trA .adibiorp
:SEÕÇARTSULI
oãçudorpeR
16,8
se
% na
15
cm
4,8
cm
, área
fere
am
e
. vazio paço m es algu
as de lad tone
iros asile s br pelo
em
ca
2010
as
780
pó
em foss
as de
mil
idas um cons
as balad em
13,8
de
el pap
19
cm
7
cm
ca , a tro 1 kg
em aria poup vo lo no o pe antig elo s mod rado quad ros met s de ilhõe 9 m
as apen
do
Se
te em rgen dete
24
cm
o r an o po cartã
14,5
134
cm
4.
a)
b)
ambiental
1.
Calcule
a
cada
tipos
e
2.
a
área
modelo
de
caixa
conclua
Com
Se
em
do
de
e
o
à
às
volume
detergente
troca
do
a
em
usado
pó.
mudança
modelo
nos
por
me
com
dois
or
a
2010
modelo
essa
novo
de
empre
catadores;
o
e
de
economia
novo,
ão
da
explora
indústrias
renda
ão
aproveitamento
embalagens.
válida.
pelo
de
por
relacionadas
meio
da
cria
ão
ao
de
de
recursos
naturais
a)
Quais
b)
Quais
é
mudança
Uma
a
e
no
recursos
projeto
importante
naturais
de
iniciativa
algumas
para
essa
reciclagem
materiais
podem
ser
reciclados?
questões.
fossem
novo,
utilizadas
de
papel-cartão?
Com
redu
simples
quanto
apenas
seria
a
as
um
caixas
os
principais
de
agentes
envo
vi
os
em
reciclagem?
economia A
reciclagem
de
materiais
traz
muitos
bene-
economia,
poderiam
são
processo
fícios
b)
da
Compare-os
c)
de
meio
foi
antigo
ão
e
correspondente
paralelepípedo
realmente
relação
responda
a)
se
total
de
Cooperativas
Gera
Registre as respostas em seu caderno
At iv id ades
c)
ser
quantas
caixas
do
modelo
como
tanto
do
ponto
ambiental.
Cite
de
vista
alguns
socioeconômico
desses
benefícios.
produzidas? 5.
Em
seu
município,
bairro
ou
condomínio,
existe
3.
Pesquise
em
medidas
as
reduzir
o
produto,
o
jor nais,
revistas,
indústrias
custo
de
visando
s
estão
fabricação
diminuir
o
etc.
quais
tomando
de
valor
algum
para
tico?
deter minado
de
venda
programa
Elabore
reciclagem
para
com
seus
reciclagem
cartazes
e
materiais
colegas,
na
uma
e
sua
faça
de
lixo
cartilha
uma
domés-
sobre
a
campanha,
comunidade
para
cons-
consumidor. cientizar
4.
de
de
O
infográfico
.8991
im
ortantes
traz
dados
sobre
a
interessantes
economia
de
e
atitude.
muito
matéria-
as
pessoas
Lembre-se
sobre
de
usar
os
benefícios
materiais
dessa
recicláveis
rima
ed orie evef
2
1.
Caixa
antiga:
menos
3.
papel
Algumas
1.198,08
cartão
medidas
cm
e,
são:
3
;
1.935,36
apesar
de
a
cm
2
,
respectivamente;
capacidade
embalagens
menores
ser
com
menor,
caixa
ela
produtos
nova:
1.020
comporta
1
kg
concentrados,
cm
de
;
3
1.928,5
detergente
venda
de
cm
,
em
produtos
respectivamente.
A A
caixa
nova
realmente
utiliza
pó.
em
refil,
uso
de
materia is
reciclados
etc.
ed 91
Economia
de
matéria-prima
e
recursos
naturais
ed
1 bilhão e 250 milhões
016.9
O
papel
economizado
aproximadamente
ieL
produção
de
uma
5
com
mil
a
troca
toneladas
tonelada
de
equivaleria
por
papel
ano.
pode
a
de litros de água
Como
a
requerer
6
m³
e laneP ogidóC od
de
madeira
de
projeto
e
250
das
mil
litros
de
embalagens
água,
evitaria
essa
o
simples
Ic
mudança
consumo anual
e
39,27
de
r
m
r
481 .trA .adibiorp
30 mil
metros cúbicos
de madeira
oãçudorpeR
Hexaedro
31,07
de
m
aresta
ANNEP SUCRAM
Energi g a
m
também
transporte.
equivale
a
A
:SEÕÇARTSULI
9,5
é
poupada upad
diferença
200
viagens
nua
de
na
fabricação
no
camin
Fontes: Associação Brasileira das Indústrias de Produtos de Limpeza e Ans. Disponível
peso
o,
d
por
e
no
pap
exemp
o.
m: <www.abipla.org.br/n b ovo>; Sociedade Bras asilei ilei eira de Matemática. Disp ponível em:
<www.rpm.org.br/>; Embrapa. Disponível em: <www.embrapa.br>; Sabesp. Disponível em: <site.sabesp.com.br>; ; Un Universidade de d de São o Paulo. Dis Disponível em: <www5.usp.br>;
Instituto Estadual do Ambiente. Disponível em: <www.inea.rj.gov.br>. Acessos em: 21 jan. 2016.
135
l
o
t
u
í p
C
a
7
Corpos redondos
SEGAMI WOLG/YMALA/SAHUI NOTNA TREBOR
Biosfera
Objetivos
do
de
Identificar
Buckminster
Fuller,
Montreal,
Canadá,
2012.
Corpos
redondos
cilindros,
cones, troncos
cone
de
capítulo
1
Montreal
esferas
e
de
seus
No
capítulo
podem
ser
sólidos
respectivos
anterior,
estudadas
vimos
que
muitas
matematicamente
das
por
formas
meio
dos
de
ob
etos
que
representa
nos
ões
cercam
chamadas
geométricos
elementos.
Vimos também que os sólidos geométricos compreendem grandes grupos, como
Calcular
a
área
da
os
superfície
de
poliedros
Entre
desses
corpos
os
corpos
redondos
os
corpos
redondos,
distinguimos
o
cilindro,
o
cone,
a
esfera
e
os
corpos
redondos.
obtidos
e
alguns
a
partir
deles.
A
estrutura
da
biosfera
de
Montreal,
mostrada
na
foto
Determinar o volume acima,
desses cor
por
lembra
a
forma
de
uma
esfera.
os redondos. Neste
capítulo,
redondos.
136
exemplo,
estudaremos
as
propriedades
geométricas
e
métricas
dos
corpos
Cilindro
No
capítulo
trução.
a
Neste
seguir,
anterior,
capítulo,
vamos
definimos
o
primeiro
apresentar
prisma
corpo
uma
indicando
redondo
definição
análoga
Consideremos dois planos paralelos distintos, g
em
g
e
uma
reta
s
secante
aos
planos
g
e
um
que
procedimento
vamos
à
do
estudar
é
de
o
cons-
cilindro
ILEF
e,
KCOTSRETTUHS/VOPIL
2
prisma.
e o, um círculo C
de raio r contido
o
s
s
C’
O’ r
o
o
r O C
g
C
g
Edifício
com
forma
Joanesburgo,
cilíndrica,
África
do
Sul,
2015.
.8991 ed orierevef
Obser vação Chama-se
da
pela
cilindro
reunião
circular,
de
todos
ou
os
apenas
cilindro,
segmentos
de
reta
a
figura
geométrica
paralelos
à
reta s
forma-
com
uma
ed 91
extremidade
no
círculo
C
e
a
outra
no
plano o
ed
016.9
ieL
Observe
que
as
extremidades
que
pertencem
ao
plano o
formam
um
círculo C ’,
e laneP
congruente
a
C
ogidóC od
Element
s
de
um
eixo
cilindr
base
481
Considerando
o
cilindro
desenhado
ao
lado,
podemos
destacar
os
se
uintes
O
.trA
r
elementos:
.adibiorp
Bases
–
os
círculos
C
e
C ’,
de
raio
r
e
centros
O
e
O’. geratriz
oãçudorpeR
altura
Eixo
–
a
reta
Geratrizes
–
(h)
OO ’.
os
segmentos
paralelos
ao
eixo
do
cilindro
cujas
extremidades
O’
são
os
pontos
correspondentes
das
circunferências
das
bases
do
cilindro. C’
Indicaremos
por
g
o
comprimento
da
geratriz. base
Altura
2.1
do
planos
reto
–
a
Cla ssif icação
Podemos
aos
cilindro
s
classificar
g
e
o
que
um
dos
cilindro
contêm
distância
as
os
planos
que
contêm
as
bases.
cilindros
de
entre
acordo
com
a
inclinação
da
reta s
em
relação
bases.
h
o
h).
s
oblíquo
g
i
h).
o
s
OCCES
O
g
s
O
5
NOSLI
g
h
A :SEÕÇARTSULI
g
O’
137
Um
pode
cilindro
ser
contém
circular
obtido
um
dos
pela
reto
também
rotação
lados
dessa
de
é
uma
superfície.
denominado cilindro
superfície
A
medida
retangular
desse
lado
de
em
é
igual
lindro, e a medida do lado perpendicular a este é igual ao raio r
Se h
5
um
cilindro
reto
tem
altura
igual
ao
dobro
5
r
do
raio
revolução,
torno
da
à
da
pois
reta
altura h
que
do
ci-
da base do cilindro.
base
( h
5
2r), r
ele
é
g
chamado
de
cilindro
equilátero
O r
O
2.2
Secções
Secção
Uma
Ref lita
com
um
meridiana
secção
cilindro
de
cilindro
de
meridiana
um
plano
que
um
de
cilindro
um
cilindro
contenha
seu
é
determinada
pela
intersecção
do
eixo.
secção
.8991
meridiana
paralelogramo.
cilindro
ret
for
reto,
ngulo.
e
o
o
Em
particular,
quadril
cilindro
tero
for
se
ser
equil
orierevef
Um
ed
o
um
secção
tero,
será
um
Explorar
o
quadrado.
e
comparar
os
b
a tipos
quadrilátero
secção
que
meridiana
podem
de
um
formar
ieL
uma
de
016.9
Comentário:
mais:
ed
quadrilátero
ainda
91
particularizar
ed
meridiana podemos
cilindro
e
Pode-se
obtenham
cilindro
um
e
a
do
cuja
losango.
razão
é
raio
da
secção
Eles
aos
entre
a
alunos
medida
base
de
meridiana
deverão
que
da
um
determina
verificar
que
Secção
transversal
de
um
cilindro
481
essa
pedir
razão
ogidóC od
geratriz
a
laneP
circular.
2.
secção
transversal
ao
plano
da
de
um
cilindro
é
a
intersecção
do
cilindro
com
um
.adibiorp
paralelo
base.
oãçudorpeR
secção
transversal
Propriedade:
As
secções
transversais
de
um
cilindro
são
círculos
congruentes
base.
Demonstração
Considere
uma
secção
transversal
qualquer
de
um
cilindro. O ’
Como
o
eixo
do
cilindro
concluímos que PO
é
paralelo
a
qualquer
geratriz,
é paralelo a QR. A secção transversal
OCCES
é paralela ao plano da base; então, o plano (PQRO) corta
P
NOSLI
essa secção e a base, determinando as retas paralelas PQ
e
OR .
Logo,
SEÕÇARTSULI
Como
lados
o
o
segmento PQ
quadrilátero
opostos
têm
é
PQRO
medidas
i
paralelo
é
um
uais.
ao
segmento OR
paralelo
Daí,
ramo,
temos PQ
seus
5
OR R
Portanto,
mesma
138
a
secção
medida
e,
transversal
portanto,
.trA
Uma
plano
e
são
a
base
con
têm
ruentes.
raios
de
O
2.3
Área
Imagine
da
que
Recortando
obtemos
A
que
a
a
o
medida
se(2π
),
e
superfície
papel
nas
planificação
planificação
a
super f ície
a
de
é
de
medida
dos
do
um
um
cilindro
superfície
de
lados
outro
dois
é
do
é
das
seja
reto
revestida
bases
e
ao
de
longo
papel.
de
uma
geratriz,
cilindro.
círculos
igual
lado
cilindro
reto
circunferências
da
composta
um
de
ao
igual
e
de
uma
superfície
comprimento
à
altura
do
da
retangular,
circunferência
cilindro
da
em
ba-
( h).
r
h 2πr
.8991 ed orierevef
Dado
um
Área
cilindro
da
reto
de
é
base
altura
a
área
h
e
de
raio
um
da
base
círculo
r, r
de
definimos:
raio
r
ed
base
91 ed 016.9
2
A
r
base
ieL e laneP
Área
lateral
( (A
)
é
a
área
do
retângulo
de
lados
2πr
e
h
lateral
ogidóC od 481
A
5
2πrh
lateral
.trA .adibiorp
Área
oãçudorpeR
a
total
área
)
( (A
da
superfície
do
cilindro
é
a
soma
das
áreas
das
bases
com
lateral.
2
5
A
2
A
total
1
A
base
V
A
lateral
5
2πr
1
2πrh
A
V
5 2πr (r 1 h)
total
total
Exe rc íc ios resolv id os
R1.
Dado
a
um
área
retângulo
total
da
de
dimensões
super fície
dos
3
cm
cilindros
e
5
de
cm,
comparar
revolução
dele
a
área
lateral
e
obtidos.
5
cm
Resolução
3
Fazendo
mos
a
um
A
5
rotação
cilindro
2
π
8
5
do
reto
3
5
retângulo
de
raio
5
em
cm
tor no
e
do
altura
lado
3
cm.
que
mede
3
cm,
cm
obte-
Então:
30 π
lateral
A
5
2
5
π
8
(5
1
3)
5
80π
total
2
Logo,
outro
cilindro
π
8
3
tem
de
área
lateral
revolução
5
tem
de
raio
30 π
de
cm
3
e
cm
e
área
total
altura
5
de
cm.
80
3
cm
30 π 5
lateral
A
cm
Então:
5
2
3
π
8
(3
1
5)
5
NOSLIDA
2
A
cilindro
OCCES
O
esse
cm
48π
total
2
esse
quando
total
da
as
áreas
fazemos
a
super fície
tem
área
laterais
rotação
do
lateral
dos
do
cilindro
de
30 π
cilindros
retângulo
é
cm
2
e
obtidos
em
área
são
tor no
do
total
iguais.
lado
de
No
48 π
cm
ÇARTSULI
Portanto,
cilindro
:S
Logo,
entanto,
menor,
a
área
maior.
139
R2.
Calcular
cilindro
a
razão
entre
a
área
da
base
e
a
área
da
sec
ão
meridiana
de
um
equilátero.
Resolução r
Vamos
considerar
círculo
de
raio
um
cilindro
equilátero
de
altura
h,
cuja
base
é
um
5
2r ),
r
r
2
A
área
da
base
é:
5
A
π
8 r
base
Como
a
um
secção
cilindro
h
equilátero
meridiana
é
um
tem
altura
quadrado
de
igual
lado
ao
dobro
do
raio
(h
5
2r
2r
2
A
área
da
secção
meridiana
é:
A
5 secção
ssim,
temos:
2r
2r
5
4r
meridiana
5 2
4
Portanto,
a
4
r
razão
entre
a
área
da
base
e
a
área
da
secção
meridiana
é
.
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
Qual
é
a
razão
entre
a
área
lateral
e
a
área
da
.8991
1.
3 5. secção
meridiana
de
um
cilindro
circular
reto?
Se
comprimidos
área
da
do
a
altura
cilindro
é
e
o
raio,
108 π
sabendo
cm
9
cm;
6
que
a
cm
Um
a
empresário
peça
recebeu
representada
um
pedido
abaixo,
que
para
tem
a
fabricar
for ma
um
com-
no
o
cilindro
sentido
dono
da
circular
reto
longitudinal.
indústria
com
Para
precisa
um
furo
de
cobrar
calcular
cilíndrico
pelo
serviço,
laneP
aquantidade
ogidóC od
mais
calcule
lateral
e
um
raio
ieL
efervescente,
de
do
total
comprimido.
área
6.
BA
primido
a
a
raio
a
2
O
desse
maior
cilíndri-
e
igual
016.9
Determine
super fície
uanto
altura
base,
área
S OY
da
de1cm.
de
efervescentes
for ma
é
ed
base
0,5 cm
em
quer
O TI H
ca de
C
reto
91
vitamina
cilindro
ed
de
um
orierevef
produzir
far macêutica
de
ed
indústria
ARUU STA M
Uma
altura
2
da 2.
a
π
rapidade
matéria-prima
necessária
para
a
fabricação
de
2
mente
ele
se
dissolve
na
água.)
3π cm
cada
O
raio
da
base
de
um
cilindro
de
revolução
peça,
de
Calcule
acordo
a
com
área
as
total
da
super fície
dimensões
481
da 3.
unidade.
indicadas.
gerado 2
rotação
lados
ao
mede
5
retângulo
cm.
comprimento
A
da
em
altura
torno
desse
de
um
cilindro
circunferência
da
cm
de
é
base.
oãçudorpeR
igual
um
.adibiorp
seus
de
.trA
1.050
pela
2
π
1
π
20
4.
Sabendo
mede
2
20 cm
que
cm
o
e
raio
que
da
a
base
área
de
da
um
cilindro
secção
10
cm
cm
reto
meridiana
é
, calcule a área total da superfície do cilindro. 2
28π
2.4
Volume
Considere
semiespaço,
mesmo
do
um
de
plano
de
um
cili ndr o
mesma
a,
sendo
cilindro
e
um
altura
a
h
área
pr i sm a
e
cujas
da
base
s it u ad o s
bases
do
em
estejam
cilindro
um
me sm o
contidas
igual
à
da
no
base
prisma.
A
Observe
que
cada
plano
b,
paralelo
a
a,
que
secciona
o
cilindro
h
h A 2
também
do
secciona
prisma,
ambas
o
prisma,
de
determinando
mesma
área,
já
as
que A
secções
5
A
1
pelo
princípio
de
Cavalieri,
o
volume
5
cilindro
e
b
A
2
do
cilindro
é
igual
ao A
do
prisma:
V
5
V
cilindro
5
A
prisma
NOSL
volume
OCCES
Assim,
A
do
h
base
a
Portanto,
o
volume
de
um
cilindro
de
140
π
e
altura h é
dado
por: SEÕÇARTSULI
2
5 cilindro
raio r
Exe rc íc io resolv id o
R
.
Considerar
C
,
de
três
altura
h
cilindros
e
base
circulares
de
raio
a)
Comparar
o
volume
de
b)
Comparar
o
volume
de
c)
Comparar
o
volume
de
Resolução
Primeiro,
a)
calculamos
Cálculo
do
C
E
C
o
π
8
volume
(2
de
Portanto,
C E,
com
o
de
com
o
de
com
o
de
C,
de
de
altura
altura
2h
Cálculo
do
Portanto,
Dos
itens
h
de
volume
de
volume
h ),
C
o
de
de
raior ;
raio
r
C E
de
ou
é
C E
de
anteriores,
Portanto,
base
:
V
5
πr
h
C
4(π
volume
o
e
base
.
o
seja,
4V
quádruplo
do
V E
C
5
é
π
o
8
volume
volume
temos:
V
dobro
é
o
de
C
5
de
C
2
(2h )
r
do
5
2(πr
dobro
de
ou
seja,
V E
5
2V
C
2
h
4πr
h ),
volume
2
c)
h
C
2
b)
e
2
)
o
retos:
e
volume
2
V
2r ;
5
do
2(2πr
h ),
volume
ou
de
seja,
V
5
2V E
C E
.8991
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
ed orierevef
Se
aumentar mos
ed
um
cilindro
reto
o
raio
em
4
da
cm,
base
os
ou
a
altura
volumes
dos
de
14.
novos
Uma
1
m
cister na
de
cilíndrica
diâmetro.
para
Seforem
ar mazenar
consumidos
água
tem
310litros,
91 ed
cilindros
016.9
lindro
coincidirão.
inicial
Calcule
sabendo
que
o
raio
sua
da
altura
base
é
2
do
ci-
quantos
centímetr os
o
nível
de
água
baixará?
cm. (Considere
ieL
2
π
53,1)
40
cm
c
e laneP
8.
Determine
o
volume
de
um
cilindro
equilátero
2
área
total
é
igual
a
24 π
cuja
15.
(Enem)
16π
dm
tíveis
ogidóC od
com
9.
Quantos
mililitros
(m c )
de
tinta
cabem
no
481
cilíndrico
de
uma
caneta
cujo
diâmetro
.trA
mm
e
o
comprimento
é
10
cm?
( Adote
.adibiorp
0,314
cilindro
de
revolução,
com
10
cm
as
medidas
tanque
área
um
é
oãçudorpeR
distante
e
cortado
6
por
cm
um
dele.
plano
de
raio
paralelo
Sabendo
em
de
nas
três
combus
tamanhos,
figuras.
proporcional
O
à
preço
medida
da
super fície
que
a
a
de
lateral
combustível
do
tanque.
deseja
O
dono
encomendar
tanque
com
menor
custo
por
metro
cúbico
de
da de
ar mazenamento.
seu
área
OCCES
foi
eixo
indicadas
diretamente
posto
capacidade base,
tanques
c
um Um
vende
cilíndrico,
= 3,14) de
10.
empresa
for mato
é da
2
de
reser do
vatório
Uma
3
dm
da
2
secção
deter minada
pelo
plano
é
80
cm
,
calcule
11.
A
volume
parte
do
cilindro.
inter na
de
500π
um
cm
4
botijão
de
gás
de
m
4
cozinha
6
m
m
8
(I)
tem
60
a
cm
cheio
3,1
for ma
de
cilíndrica
altura.
durará
litros?
com
Quantos
se
forem
Considere
40
dias
cm
o
de
gás
de
consumidos
π
5
3,1
24
diâmetro
um
O
líquido
que
ocupa
dias
Qual
do
um
8
m
(III)
botijão
diariamente
completamente
m
(II)
e
a)
12.
m
NOSLIDA
6
3
o
dos
tanques
osto?
I,
pela
deverá
(Considere
relação
π
ser
q
3)
escolhido
alternativa
pelo
dono
d
área /capacidade
de
ar mazena-
área /capacidade
de
ar mazena-
cilindro 1 mento
com
20
cm
e
iâmetro
e
40
cm
e
a
tura
de
será 3
transferido
para
outr o
cilindr o
com
12
cm
de b)
diâmetro
e
125
cm
de
altura.
Que
fração
da
I,
pela
relação
al4 mento 3
transferido?
c)
II,
pela
relação
área /capacidade
de
ar mazena-
9
3 n 13.
Um
produto
que
piente
cilíndrico
nores,
também
ocupa
será
completamente
dividido
cilíndricos,
em
cujo
um
reci-
recipientes
diâmetro
se
me-
4
d)
III,
pela
relação
reduz namento
1 a
cuja
altura
se
reduz
4
maior.
a
será
a
do
quantidade
necessários?
48
área /capacidade
de
ar maze-
recipiente e)
de
III,
pela
relação
r ecipientes
7 namento
menores
ar maze-
3 da
3
Qual
de
de
1 e
área /capacidade
2
recipientes
menores
de 12
141
3
A
Cone
forma
sorvete
A
ou
cônica
o
seguir,
de
observe
KC O TS RE T
Consideremos
não
aparece
cone
a
um
pertencente
ao
em
muitos
sinalização
definição
círculo C ,
plano
de
objetos
geométrica
de
do
dia
a
dia,
como
a
casquinha
de
trânsito.
centro O
e
de
cone.
raio
r, r
em
um
plano
a,
e
um
ponto
V
a
TU HS /A KA N
V
V
DS AW AS NI RA K AS
C C
O
a
a
V
círculo
C
é
denominada
cone
circular,
ou
simplesmente
.8991
no
cone
ed orierevef ed
do
91
Elementos
cone
ed
o
cone
os
desenhado
seguintes
ao
lado,
ieL
destacar
016.9
Considerando
podemos
elementos:
e laneP
eixo
Base
–
o
círculo
Vértice
Eixo
Geratrizes
C
de
raio
r
e
centro
O
V
ogidóC od
vértice
a
o
ponto
reta
V
VO
–
os
segmentos
com
ex-
altura
(h)
em
V
e
na
.adibiorp
geratriz
tremidades
circunferência
:S
da
base
do
a
cone.
seguir),
No
cone
reto
indicaremos
o
(que
oãçudorpeR
ÇARTSUL
veremos
comr
primento
da
geratriz
por
g
O
Altura
do
cone
–
a
distância
h
do
C
vérbase
tice
3.1
V
ao
maneira
é
pensar
no
plano
omo
em
que
catetos;
a
Comentário:
espacial
Na
VP
a
P
de
pertence
base
uma
e
VP
VP
cone
temos
de
nesta
que
a
Geometria
Geometria
plano
contém
a
dos
pelo
emprego
triângulos,
ângulo
se
opõe
que
o
da
afirma
maior
de
acordo
com
a
inclinação
do
VO
reto
VO
VO
142
relação
que
VO
resolução,
ao
V
maior
h
O
oblíquo
propriedade
O
lado.
plana.
h
em
Ref lita
eixo VO
base.
V optou-se
cones
são
desenvolvida
um
base.
5
e
questão
à
classificar
dos
a
ao
,
Novamente,
reduzida
análise
que
hipotenusa,
então,
resolução
tal
contém
é
V
P,
contém
triângulo V
ao retângulo
que
Cla ssif icação
Podemos Uma
plano
.trA
NOSLIDA
481
OCCES
–
–
Um
ser
cone
obtido
retângulo,
do
outro
circular
pela
em
reto
rotação
torno
cateto
de
será
o
também
da
é
denominado cone
superfície
uma
raio
reta
da
que
triangular,
contém
base
do
medida
da
de
revolução,
determinada
um
de
seus
por
catetos.
O
pois
um
pode
triângulo
comprimento
cone. h
Se
(g
5
um
2r),
cone
ele
é
reto
tem
chamado
a
de
cone
geratriz
igual
ao
dobro
do
raio
da
base
intersecção
do
cone
equilátero
g
5
2r
r
3.2
Secções
Secção
Uma
com
um
meridiana
secção
um
de
plano
de
meridiana
que
cone
de
contenha
um
um
seu
cone
cone
é
determinada
pela
eixo.
.8991 ed orierevef
secção
meridiana
ed 91 ed 016.9
secção
ieL
meridiana
e laneP ogidóC od 481 .trA .adibiorp
Secção
transversal
de
um
cone secção
oãçudorpeR
transversal
Uma
secção
intersecção
plano
da
do
transversal
cone
com
de
um
um
ano
cone
é
aralelo
a
ao
base.
a
3.3
Planif icação
Assim
dro,
como
vamos
fizemos
supor
que
a
da
com
super f ície
o
obter
perfície,
do
de
vamos
papel
em
planificação
na
seguida,
uma
de
imaginar
dessa
um
circunferência
um
suas
recorte
g
su-
recorte
da
ao
base
O
longo
geratrizes.
considerar
que
a
lateral
é
formada
por
um
figura
de
e
centro
O
e
por
um
setor
r
r
i
g,
ângulo
a
um
cie
setor
basta
lembrar
que
todos
r
os
de
seu
circunfer
arco
ncia
são
da
tamb
base;
m
logo,
pontos
todos
r estão
comprimento
reto
O pontos
da
ir
cone
demonstrar
superf
SEÕÇARTSULI
raio
um
da
círculo circular,
de
conveniente
planificada
NOSL
e
reto
reto
de
A planificação da superfície de um
cone
cone
OCCES
e,
a
um
cilin-
superfície
um cone reto seja revestida de papel.
Para
de
mesma
dist
ncia
do
v
rtice.
2π
143
Exe rc íc io resolv id o
R4.
A
planificação
se
chama
Resolução
da
esse
super fície
lateral
de
um
cone
reto
é
um
semicírculo.
Como
cone?
g
Vamos
considerar
geratriz
g
e
um
altura
cone
reto
de
raio
da
base
r,
comprimento
O
g
da
h 180°
O
semicírculo
ral
desse
de
cone
raio
reto;
g é
o
logo,
setor
o
circular
da
comprimento
planificação
do
arco
do
da
setor
superfície
deve
ser
late
igual
ao
comprimento da circunferência correspondente ao círculo da base do cone.
Assim:
π
8
Portanto,
Pode-se
Rela
ões
onsidere
mento
da
5
2
π
cone
um
V
g
5
2r
é
um
que
a
cone
equilátero.
secção
meridiana
desse
cone
é
um
equilátero.
cone
g
r
questão
também
métrica s
geratriz
8
em
verificar
triângulo
g
o
e
reto
entre
de
altura
raio
os
da
elementos
base r ,
de
um
cone
reto
V
compri
h
g
triângulo
VOP
é
retângulo
temos:
2
1
VO
O
h .8991
2
Daí,
em
2
OP
5
VP r
ed
P
orierevef
O
Portanto:
2
h
2
1
2
r
5
g
ed 91 ed
setor
circular
ao
lateral
lado
do
representa
a
planificação
ieL
superfície
016.9
O
da
cone.
e laneP
Então, podemos estabelecer a seguinte regra de três:
g
medida
do
g
ogidóC od
comprimento
ângulo V
do
arco
em
grau
a
Espera-se
2πg
a
5
2πr
360°
que,
e,
Portanto,
a,
em
grau,
é
dado
que
quando
portanto,
os
5
o
alunos
180°,
cone
é
percebam
temos
g
equilátero;
5
2r
oãçudorpeR
Logo:
.adibiorp
2πr
a
.trA
360°
481
2πg
então,
2πr
por:
nesse
3
caso,
.
Ref lita
360° a
r
5
h
g
r
a
5
Exe rc íc ios resolv id os
R5.
Calcular
reto
o
com
comprimento
13
cm
de
da
geratriz
circunferência
e
5
cm
de
da
base
e
a
altura
de
um
cone
raio.
Resolução
O
comprimento
que
C
o
5
cone
2
π
8
5
o
V
da
circunferência
raio
C
5
r
5
cm.
10π
V
comprimento
C
da
da
base
é
dado
por
C
5
2πr.
Sa
emos
Assim:
q
31,4
circunferência
da
base
é
aproximadamente 13
cm.
Sabendo
são
a
altura
2
g
que
2
5
h
Portanto,
144
o
cone
retângulo,
e
o
raio
2
r
o
é
cuja
reto,
da
2
V
13
cone
podemos
hipotenusa
base
2
5
tem
h
12
do
é
5
cm
a
altura
geratriz,
cone.
2
1
obter
a
e
por
as
meio
de
medidas
um
dos
triân-
catetos
Assim:
2
V
de
h
5
144
altura.
V
h
5
12
O
:SEÕÇARTSUL
gulo
cm
NOSLIDA
31,4
OCCES
Portanto,
tem
R6.
Um
cone
reto
nificação
da
de
10
cm
super fície
de
altura
lateral
um
tem
por
setor
pla-
De
(I)
e
(II),
concluímos
que:
circular 2
12 r
⎛ de
ângulo
a
medindo
150°.
Deter minar
o
raio
⎞
144 r
2
r
da
2
V
100
r
100
V
2 base
e
o
comprimento
da
geratriz.
2.500
V
144r
V
r
2
r
5
2.
V
r
5
V
Resolução 119
2
Como
2
r
1
2
1
r
2
h
5
2
g
,
2
10
5
V
4,58
temos:
2
g
q
Portanto,
2
g
r
5
100
o
raio
da
base
do
cone
é
aproxima-
(I)
damente
4,58
cm.
360° Como
α
5
,
temos: 1 2r
g Como
360 150°
r
g
5
,
5
V
g
o
comprimento
da
geratriz
é
5
1 2r 5
(II)
g
5
aproximadamente
11
cm.
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
16.
Deter mine
setor
a
me d id a
cir cular
per fície
lateral
geratriz
e
10
do
o b tid o
de
cm
um
de
â ng ulo
p ela
cone
ra io
ce n tral
plan i fic a çã o
r eto
da
com
b ase .
de
um
da
60
18.
su-
cm
Deter mine
que
de
a
setor
e
60°
o
a
altur a
planificação
cir cular
raio
da
com
base
é
de
da
um
con e
r eto,
s up e r f í c i e
ângulo
ig ua l
a
central
10
cm.
s a b e ndo
lateral
é
medindo
20
2
um
120°
cm
.8991 ed
17.
A
planificação
orierevef
r eto
é
um
da
setor
sup er fície
cir cular
60°.
to
cir cunfer ê n cia
Calcule
a
razão
k
de
â ngulo
entre
o
um
c on e
c e ntr a l
19.
me -
Um
pedaço
micír culo
comprimen
de
de
reto
com
uma
mesa,
ca rtolina
raio
essa
20
tem
cm .
cartolina
a
for ma
de
Construindo
e
um
um
colocando-o
se-
c one
sobre
ed
dindo
latera l
com
91
da
da
b ase
e
o
com prime nto
qual
será
a
distâ ncia
do
v é rtice
até
ed
016.9
da
geratriz
do
con e.
a
mesa?
10
3
cm
3
ieL e laneP ogidóC od
3.4
Área
da
super f ície
de
um
cone
reto
V
481
Pela
planificação
.trA
superfície.
.adibiorp
mento
oãçudorpeR
A
da
Para
isso,
geratriz
área
da
da
superfície
vamos
de
um
considerar
cone,
um
podemos
cone
reto
de
obter
raio
a
da
área
total
base r
e
dessa
compri
g
base
)
( (A
é
a
área
de
um
base
círculo
de
raio
r
e
centro
r
O
O O r
2
5
πr
base
V
A
área
lateral
( (A
)
é
a
área
de
um
lateral
setor
circular
mento
g
da
primento
tal
geratriz
igual
circunferência
Como
te
a
a
que
área
o
2πr
da
e
(o
base
ao
raio
o
é
arco
o
compri-
tem
do
g
com-
comprimento
da
cone).
setor
é
diretamen-
comprimento
define,
compr
o
desse
proporcional
arco
que
g
2πr r
do
temos:
mento
do
2πr
arco
do
setor
área
do
setor
5 c
a
áre
do
círculo
r
lateral
5
raio
OCCES
A
2 r
V
A
5
V
A
lateral
2
2 g
de
5 πrg lateral
2 g
g
NOSL
A
área
total
)
( (A
da
superfície
do
cone
reto
é
a
soma
da
área
da
base
com
total
área
:SEÕÇARTSULI
a
lateral.
2
A
5 total
A
1 base
A
V lateral
A
5 total
πr
1
πrg
V
A
5
r (r
1
g)
total
145
Exe rc íc io resolv id o
R7.
Deter minar
de
raio
da
a
área
lateral
de
um
cone
reto
com
16
400
V
cm
de
altura
e
12cm
base.
g
m
cm
O
Resolução
Temos:
2
2
g
5
h
2
1
Portanto,
A
área
o
2
V
πrg
g
2
5
2
16
1
comprimento
lateral
5
A
r
V
do
cone
A
lateral
12
da
2
V
g
5
geratriz
do
cone
é
g
5
20
20
cm.
é:
5
π
8
12
20
V
A
lateral
5
240π
V
A
lateral
q
753
6
lateral
2
Logo,
a
ár ea
lateral
do
cone
é
240 π
ou,
cm
apr oximadamente,
2
753,6cm
.8991 ed orierevef ed
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
91 ed
.
Determine
um
a
área
cone
reto
lateral
e
a
área
confor me
os
total
da
dados
a
superfície
2
.
seguir.
O
setor
de
circular
raio.
Após
representado
a
união
das
pela
figura
bordas
6
cm
ver melhas,
tem
ele
ieL
de
016.9
2
e
altura
b)
O
é
12
cm,
e
o
raio
da
base,
9
cm
é
cm.
transfor mado
216π
da
geratriz
2
24
cm.
260π
cm
é
26
cm,
e
a
super fície
lateral
de
um
cone
cm
reto. comprimento
na
2
Deter mine
o
raio
da
base
do
ogidóC od
A
cone.
altura,
2
;
360π
laneP
2
135π
a)
cm
481
Uma
escola
nicos
de
infantil
ficou
palhaço.
de
tidade
total
altura
de
Sabendo
e
a
Festa
confeccionar
8
cm
papel
que
de
cada
raio,
usado
do
Circo.Uma
34 chapéus
chapéu
calcule
para
fazer
a
cô-
terá
quan-
todos
oãçudorpeR
12 cm
realizará
de
.adibiorp
professora
.trA
21.
60°
os
2
chapéus.
22.
1 . 0 8 8
Deter mine
reto
a
inscrito
13
área
em
cm
total
um
da
super fície
cilindro
reto
de
5
de
cm
um
de
cone
altura
2
e
2
cm
de
raio
da
base.
2
1
29
27.
Uma
na
23.
Deter mine
circular
a
reto
área
cuja
total
da
secção
super fície
meridiana
é
de
um
um
cone
lâmpada
for ma
igual
triângulo
deve
a
de
0,3
ser
pontual
um
m.
A
cone
que
pendurado
é
colocada
com
altura
para
altura
H
do
obter
em
e
chão
uma
um
raio
esse
forma
lustre
da
base
lustre
circular
2
equilátero
24.
A
área
de
10
lateral
cm
da
de
lado.
super fície
75π
de
cm
iluminada
um
cone
reto
com
cm
.
Sabendo
que
a
geratriz
mede
30
de
6,25 π
m
?
2,5
m
é
2
600π
área
0,3
cm,
m
0,3
m
2
calcule
25.
a
área
Deter mine
a
total
área
OCCES
3
seguir.
da
super fície.
lateral
do
cone
1.000π
cm
representado
H
a
2
cm
3
NOSL DA
28.
Um
SEÕÇARTSULI
e
4
triângulo
dm.
retângulo
Deter mine
a
tem
área
catetos
da
medindo
super fície
do
3
dm
sólido
0°
de
revolução
gerado
pela
rotação
do
O
tor no
de
sua
hipotenusa.
⎛
⎞
2
π ⎝
146
84
5
⎠
dm
triângulo
em
3.5
Volume
Antes
dades
de
dos
Para
Seja
tratar
do
um
volume
considere
um
paralelamente
h
cone
de
um
cone
qualquer,
vamos
estudar
duas
proprie
cones.
isso,
vértice,
de
a
altura
do
à
plano
base,
cone,
r
o
a
que
secciona
determinando
raio
da
base
e
um
uma
A
a
cone
secção
área
da
a
de
uma
distância
h’
do
área A ’
base
do
cone.
V
h ’
OCCES
A ’ P
h
NOSLIDA
r’
a
A
Q
.8991
Propriedade
ed
do
orierevef
e
cone
o
raio
e
r
a
O
1: A razão entre a distância
altura
da
r
N
h
base,
do
isto
cone
é
igual
à
de uma secção transversal ao vértice
razão
entre
o
raio
r
da
secção
transversal
é:
ed 91 ed
h’
r’ 5
016.9
h
r
ieL e laneP
Demonstração
ogidóC od
Os
triângulos
’
e VNO
são
semelhantes
481
VM gruentes).
Assim,
temos:
5
.trA .adibiorp
triângulos
VPM
e
VQN
oãçudorpeR
Assim,
correspondentes
con-
r
são
semelhantes
VP congruentes).
ângulos
(I)
VN
Os
(têm
r
(têm
ângulos
correspondentes
VM
temos:
5
(II)
VQ
VN
r De
(I)
e
(II),
podemos
concluir
que:
5 VQ
h’ m
VP
=
h’
VQ
5
h,
temos: h
Pro
feita
riedade
a
altura
uma
h
é
2:
altura
igual
ao
A
h’
razão
em
r
’
entre
relação
quadrado
da
a
r
área A ’
ao
de
vértice
razão
uma
V,
entre
h’
e
secção
a
e
área
h,
isto
transversal
A
da
base
de
um
desse
cone,
cone
de
é:
2
A
⎛
A
h
⎞
h
Demonstração
2
A
área
da
secção
transversal
do
cone
é
A ’
5
π(r ’)
,
e
a
área
da
base
do
cone
é
2
A
5
πr
.
Assim,
temos:
2
2
( r ’)
A
(r
A V
5 A
)
5
2
2
A
h Mas
sabemos,
pela
propriedade
1,
que
2
⎛
A
⎛ V
r
⎠
;
portanto:
r
2
⎞
5
r 5
h
⎞
5 A
⎝
h
⎠
147
Determinação
Considere
miespaço,
um
de
do
cone
mesma
e
volume
uma
altura h
de
um
pirâmide
e
cujas
em
bases
cone
um
mesmo
estejam
se
contidas h ’
no
mesmo
base
da
plano
a,
sendo
a
área
da
base
do
cone
igual
à
da
pirâmide. A h
Observe
cone
do
que
também
cone
e
da
cada
plano
secciona
a
pirâmide,
b,
paralelo
pirâmide,
de
a
a,
que
secciona
determinando
e
áreas
,
1
as
o
2
b
secções
respectivamente.
2
A
A
Pelas
propriedades
já
vistas,
2
(h
A
temos:
2
)
(h
A
a
)
1
e
5
5
2
A
2
A
h
h
A
A 2
Portanto:
Assim,
A
pelo
princípio
de
Cavalieri,
o
volume
do
cone
é
igual
ao
volume
da
pi-
1 râmide:
5
5 pirâmide
base
3
Portanto,
o
volume
do
cone
é
dado
or:
2
5
π 3
.8991 ed orierevef ed
Exe rc íc io resolv id o
91 ed
Calcular
a
quantidade
na
figura
ao
máxima
lado
pode
de
líquido,
em
litro,
que
a
taça
repre-
5
cm
ieL
sentada
016.9
R8.
comportar.
e laneP
Resolução
calcular
o
volume
da
ogidóC
Vamos
taça:
od
5
1
2
h
πr
V
5
π
8
20
5
V
5
20
cm
.trA
3
π
2
481
1
3
.adibiorp
3
Assim,
V
q
523,3
cm
3
Sabemos
que
1
c
5
1
3
dm
e
1
dm
3
5
1.000
cm
oãçudorpeR
3
Logo,
1
c
5
1.000
cm
En
1
3
V
q
523,3
5
cm
523,3
c 1
Portanto,
a
taça
pode
5
0,5233
c
000
conter
até
0,5233
c
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
29.
Um
cone
reto
de
3
cm
de
raio
da
base
tem
volu-
secção
paralela
à
base,
feita
a
2
18
2
π
cm
cm
do
vértice.
3
3
me
.
Calcule
a
área
total
da
Calcule
super fície
o
volume
do
cone.
750π
2
desse
cone.
36π
cm
32.
30.
Calcule
o
volume
23
a
seguir.
do
lápis
representado
na
figura
cones,
per fície
de
3
Dois
1
e
2,
são
deter minada
catetos
5
cm
e
gerados
por
12
um
cm.
pela
rotação
triângulo
Para
obter
o
da
su-
retângulo
cone
1,
o
cm
6
giro OCCES
o 1
se
cone
dá
2,
em
em
tor no
tor no
do
do
cateto
cateto
menor;
para
obter
maior.
cm
240%
NOSL
a)
Deter mine
a
razão
percentual
entre
V
e
V
1
1
15
cm
b)
Se
as
medidas
SEÕÇARTSULI
fossem
31.
Em
um
cone
de
2
cm
revolução
de
10
cm
de
altura,
x
e
y,
d os
em
ca tetos
tor no
dos
d es s e
quais
tr iângu lo
se
fizessem
a rotações
para
gerar,
respectivamente,
os
co-
2
área
da
base
excede
em
216 π
cm
a
área
de
uma
nes1
e
2,
qual
seria
a
razão
entre
V
e
V
1
? 2
y 32.
b)
5 V 2
148
x
de
do
nosso
abajur,
de
cotidiano
canecas,
têm
vasos,
bases
a
forma
entre
paralelas
que
lembra
um
tronco
de
cone,
TSO
objetos
copas
cone
N
Vários
como
de
YTTEG/
T ronco
SEGAMI
4
outros.
ED
Em
seguida,
Considere
um
plano
a,
observe
um
cone
paralelo
a
definição
reto
ao
de
de
vértice
plano
da
tronco
V,
de
cone.
altura h
base,
a
uma
e
raio
da
distância
base
h
r, r
dela
seccionado
(h
t
termina
uma
secção
transversal
de
centro
’
e
,
h),
que
por
de-
t
raio r ’.
V
Peça
de
terracota,
a3000a.C.,
de4500a.C.
civilização
japonesa.
h ’ Foto
de
2013.
r’
O ’
a
h t
r
O
.8991 ed
Ao
seccionar
o
cone
original,
o
plano
a
determina
dois
sólidos: Ref lita
orierevef
V
e
altura
h’
5
h
h
;
t
ed
tronco
de
cone
de
bases
paralelas
91 ed 016.9
V
r’
ieL
A
figura
determinada
pela
secção
O’
e
meridiana
laneP
trapézio,
de
um
tronco
de
cone
é
um
pois:
h ’ h
ogidóC od
pelos
e
da
diâmetros
base
paralela
481
O
.trA
o
.adibiorp
par
de
um
tronco
de
base
àbase
do
do
cone
transversal
cone;
quadrilátero
de
lados
que
possui
paralelos
é
apenas
um
cone
NOSLIDA
V
:SEÕÇARTSUL
base
menor
geratriz r’
O O’
altura
h t
r
O
base
maior
Considerando
tes
o
tronco
de
cone
desenhado
acima,
podemos
destacar
os
seguin-
elementos:
Obser vação
Base
Base
maior
–
menor
círculo
de
o
–
círculo
a
centro
de
secção
O’
e
centro
O
transversal
raio
e
raio
obtida
por
meio
do
plano
,
ou
seja,
o
r’.
–
os
segmentos
cujas
extremidades
são
pontos
Geratrizes
circunferências
das
bases
e
que
estão
contidos
em
retas
que
passam
vértice
V
do
tronco
do
h
cone.
Altura – a distância h
pelo
correspondentes
das
um
trapézio.)
OCCES
oãçudorpeR
Elementos
da
secção
(E
da
entre os planos que contêm as bases do tronco de cone.
t
149
Exe rc íc ios resolv id os
R
.
Calcular
vaso
a
quantidade
representado
na
máxima
figura
de
pode
terra
que
o
Logo,
o
volume
comportar.
do
1
tronco
de
cone
é:
2
⎞
2
V
1 tronco
3 6
3
cm
152
1 V
5 t
8
(
π
onco
15
5
π
3
Portanto,
152
o
vaso
15
8
comporta,
no
máximo,
3
3
,
cm
aproximadamente
616 cm
3
cm
de
4
R10.
cm
terra.
Dado
um
calcular
tronco
a
razão
de
cone
entre
reto
os
de
bases
volumes
paralelas,
V
,
do
cone
cone
Resolução menor,
,
e
do
cone
maior,
ue
deter minam
cone
O
exercício
tronco
Para
de
isso,
origem
a
consiste
cone
reto
vamos
esse
em
que
obter
o
volume
representa
considerar
o
cone
o
do
vaso.
que
esse
tronco,
tivas
em
alturas,
função
h
e
da
razão
entre
as
respec-
h
deu
tronco:
6 cm
Resolução
O
volume
lume
do
do
V
tronco
cone
de
cone
menor
é
(de
obtido
altura
do
h
e
vo-
raio
cone
da
A
.8991
O
base r
e
raio
da
base
r ),
confor me
a
figura.
orierevef
h 8 cm
ed
altura h
V
ed
O
91 ed
B
016.9
h h’
ieL e laneP
h’
A
O ’
h
ogidóC od 481
V
.trA
o
triângulo
AVO,
.adibiorp
Destacando
temos:
B
O
2 cm
C
O
A
Os
triângulos
VO
A
e
VO B
são
semelhantes;
portanto:
8 cm
r
h 5
r
4 cm
(I) h
O
B
Como
os
volumes
dos
)
cones
e
são
V
r
3
arazão
por
h
3
entre
os
volumes
1
é:
2
h
) V
dados
3
cone
5 V
2 c
3
V
2
Usando
o
teorema
de
Pitágoras
no
triân-
2
)
V
h
)
cone
2
gulo ABC,
de
vamos
calcular
a
altura
do
tronco
r
h
c
cone: V
r
cone OCCES
2
8
h
2
V
2
5
2
5
2
1
h
V t
h
5
60
V
h
t
5
2
15
V
t
(II) r
h
c
NOSL
Note
que
os
triângulos
AVO O
e
ABC C
são
seme Substituindo
lhantes;
(I)
então:
licitada: 6 SEÕÇARTSUL
3
h
5
5 3
2
h t
5
V
h
cone
5
Assim:
150
h
5
cone
em
(II),
obtemos
a
razão
so-
oãçudorpeR
6 cm
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
33.
Os
raios
las
de
das
um
Sabendo
seu
circunferências
tronco
que
volume.
a
de
cone
altura
98π
das
reto
do
bases
são
tronco
5
é
6
parale-
cm
e
cm,
3
36.
cm.
calcule
Observe
de
um
há
uma
do
cm
As
áreas
das
bases
de
um
tronco
de
cone
reto
2
bases
paralelas
medem
36 π
das
de
desenho
de
em
coincide
Sabendo
bases
de
cone
cavidade
cilindro
cone.
34.
o
tronco
que
peça
com
a
o
que,
das
tronco
for mato
no
cilíndrico.
altura
raios
do
com
Note
for mato
os
paralelas
uma
reto.
do
centro,
A
altura
tronco
de
circunferências
de
cone
medem
2
cm
e
16π
cm
.
7 cm
Sa-
e
12
cm
e
que
a
geratriz
do
tronco
mede
3
13cm, bendo
que
sua
geratriz
mede
2
5
3 0 4π
o
volume
desse
cm
calcule
o
volume
da
peça.
520
cm
deter mine
3
tronco.
cm 3
35.
Uma
da
taça
tem
medida
a
do
for ma
cônica
diâmetro
cheia
de
água,
tante
da
água
mas
da
alguém
ficasse
e
a
altura
base.
A
bebeu
exatamente
é
o
taça
até
dobro
estava
que
com
a
o
res-
metade
7
da
altura
da
taça.
Que
fração
da
água
foi
bebida? 8
S GAMI
5
ed
WOLG/S
.8991
Esfera
analisar
o
esférica
sólido
(como
uma
denominado
laranja).
Para
estudar
esse
tipo
de
forma,
XER
ed
vamos
esfera.
91 ed
Consideremos
016.9
real
e
positivo
um
ponto
C
do
espaço
e
RUTAEF
orierevef
aproximadamente
um
número
r
ieL e laneP
r
ogidóC od
ma-se
ma
o
481
uma
por
esfera
to
os
centro
os
istância
pontos
C
e
raio
r
o
sólido
for
P
C
r
.trA .adibiorp
Chamamos
oãçudorpeR
pontos
P
do
de
superfície
espaço
que
esférica
estão
a
uma
a
“casca”
distância
da
de
esfera,
igual
ou
seja,
o
conjunto
de
a
O
estudo
cones
o
e
dos
das
cilindros,
esferas
dos
permite
desenvolvimento
interdisciplinar
(na
área
da
com
Geografia
cartografia).
Hotel
C
Para
mais
esse
assunto,
detalhes
P
um
trabalho
com
e
o
uma
em
Vancouver,
Canadá,
2013.
sobre
Para r
que
os
hóspedes
se
sintam
recomendamos
em
conjunto
professor
consulta
de
ao
Geografia
integrados
do
hotel
à
natureza,
têm
a
forma
os
de
quartos
esferas
site
presas
às
árvores
por
meio
de
cabos
e
desuportes. ufsc.br/index.htm>
Acesso
em:
12
jan.
2016.
OCCES
Assim como o cilindro e o cone, a esfera também pode ser considerada um sólido
revolução,
um
eixo
que
pois
passa
pode
por
ser
seu
obtida
pela
rotação
de
um
semicírculo
em
torno
NOSLIDA
de
de
diâmetro.
a
rotação
completa
de
uma
semicircunferência
do
eixo
que
obtém-se
passa
uma
por
seu
superfície
em
torno
diâmetro,
esférica.
Ref lita
151
:SEÕÇARTSULI
Efetuando-se
Toda
é
A
área
círculo
Secção
Ref lita
máxima
um
máximo.
igual
Para
à
uma
área
secção
ponto
então
será
a
plana
plana
ou
é
secção
um
de
de
uma
uma
círculo.
obtida
será
es fera
esfera,
Se
o
ou
plano
chamada
intersecção
de
de
intersecção
de círculo
uma
esfera
contiver
o
com
um
centro
plano,
da
esfera,
máximo
do
esfera
de
círculo 2
raio
r,
essa
área
máxima
é
igual
a
π r
b
a
C
círculo
A
afirmação
círculo
Q
é
de
que
explicada
terminada
pelo
de
máximo
a
intersecção
maneira
plano
r
g.
de
simples.
Considere
o
um
plano
Observe,
ponto
Q
com
na
de
g
uma
figura
tal
que
esfera
ao
CQ
pode
lado,
ª
g
e
a
ser
um
secção
também
de-
um
ponto P
qualquer
de g
e
da
superfície
esférica.
Sendo
o
triângulo
P um
2
C
retângulo,
Assim,
Como
podemos
temos
as
(QP )
5
medidas
C
o
teorema
(PC )
(QC )
(distância
de
Pitágoras:
triângulo
2
1
( QP)
(QC )
2
5
(PC )
.
de
C
a
Q)
e
PC
(raio
da
esfera)
são
constantes,
2
5
(
)
também
é
constante,
e
a
linha
formada
pelos
pontos P
da
.8991
2
QP
aplicar
ed
r
i
QP,
da
ou
secção
seja,
a
com
a
secção
superfície
é
um
esférica
é
uma
circunferência
de
centro Q
círculo.
orierevef
intersecção
ed 91 ed 016.9 ieL
Exe rc íc ios resolv id os
e
esferas
S
e
S
1
vamente,
somente
um
ponto
abaixo,
em
de
raio
comum.
3
cm
Calcular
e
4
a
distância
cm,
respecti-
entre
od
seus
representadas 2
têm
ogidóC
As
laneP
R11.
centros.
481 .trA
S
.adibiorp
2
S
oãçudorpeR
r 2
C
Resolução
Como
as
comum,
esferas
o
são
segmento
tangentes,
que
une
ou
seus
seja,
têm
centros
somente
tem
me
i
um
a
r
ponto
1
r
1
caso,
3
Então,
R12.
Calcular
1
a
o
4
5
em
nesse
7.
distância
raio
;
2
r
de
entre
uma
os
centros
secção
das
plana
esferas
de
uma
é
7
cm.
esfera
sabendo
que
o
1
raio
da
da
esfera
esfera
é
5
é
igual
a
13
cm
e
que
a
distância
dessa
secção
ao
centro
cm.
Resolução
Observe
a
figura
ao
lado.
O P
OCCES
Aplicando
o
teorema
de
Pitá-
cm
goras
no
:COP,
obtemos:
NOSL
13 2
2
5
13
5
2
1
r
2
V 1
V
5
r
r
5
144
V
1
12
SEÕÇARTSUL
1
Portanto,
o
raio
r
é 1
12
152
cm.
igual
a
C
cm
R13.
Calcular
o
volume
do
cilindr o
inscrito
na
semiesfera
r epr esentada
abaixo.
=
2
cm
r
=
4
cm
Resolução
2
V
πR
2
h
5
π
8
2
(r
h
2
)
h
5
π
8
2
(4
2
)
2
5
24π
cilindro
3
Portanto,
o
volume
do
cilindro
é
24 π
.8991
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
ed orierevef
37.
A
figura
abaixo
gira
em
tor no
do
eixo
e
super fície
esférica,
de
centro
O
e
raio
r
2
ed
a
distância
entre
O
e
O
?
r
1
r
,
.
Qual
é
2
ou
r
r
2
2
,
ou
2
r
r
2
91 ed
P
016.9
40.
Calcule
o
raio
do
r
cír culo
deter minado
pela
1
ieL
intersecção
do
plano
a
com
a
esfera,
confor me
a
e
O
laneP
figura
e
abaixo.
cm
ogidóC od 481
P
.trA
cm
.adibiorp
Escreva
que
figura
é
descrita
com
esse
giro:
r
a)
pelo
ponto
P
b)
pelo
segmento
c)
pela
circunferência
circunferência
cm
oãçudorpeR
OP
superfície
de
lateral
centro
O
de
e
um
raio
superfície
38.
Um
queijo
moldado
na
for ma
esférica
C
cone
OP
esférica
tem
10cm
de
raio.
panela
dessa
Derretido,
cilíndrica
ele
de
cabe
raio
exatamente
10
cm.
Qual
em
é
a
uma
altura
40
panela?
41.
cm
Considere
uma
esfera
de
2
cm
de
raio
e
um
planob
3
interceptando
39
Uma
super fície
esférica,
de
centro
e
O
raio
1
tem
5.1
somente
Área
da
Consideremos
em
super f ície
uma
esfera
demonstrar
que
a
de
comum
centro
área
da
e
uma
secção
plana
de
raio
for ma
3
que
cm.
deter mine
Calcule
a
dis-
1
com
es férica
r
de
outra
e
tância
volume
da
entre
o
plano
b
e
o
centro
da
esfera.
1
cm
es fera
raio r
superfície
esférica
e
o
volume
da
esfera
NOSL
dados
ponto
esfera
OCCES
Pode-se
são
um
a
por:
r
superfície esférica
5 4πr
V
5
SEÕÇARTSUL
4
2
A
3
πr
esfera
3
153
Exe rc íc ios resolv id os
R14.
Uma
secção
plana
de
uma
esfera,
distante
3
5
cm
do
centro
da
esfe-
2
ra,
tem
36
cm
de
área.
Calcular
o
volume
da
esfera
e
a
área
de
a
área
é
sua
super fície.
r
P O
r
5
m
C
Resolução
Como
toda
secção
plana
de
uma
esfera
é
um
círculo,
dada
2
por
A
5
πr
A
1
im
1
2
π
5
πr
V
r
1
5
6
(raio
da
secção
plana)
1
Aplicando
o
teorema
de
Pitágoras
no
:COP,
calculamos
o
raio
da
esfera. .8991
2 2
2
2
1
2
V
36
1
45
V
81
V
9
ed
6
A A
de
sua
super fície:
orierevef
V
ed
4
3
5
V
πr
V
3
5
π
V
5
972π
V
V
q
3.052
4πr
016.9
5
V
9
3
2
A
8
ed
3
91
4 V
2
V
A
4
π
8
9
V
A
5
324π
V
A
q
1.017
o
volume
da
esfera
é,
aproximadamente,
3.052
cm
,
e
a
ieL
3
Portanto,
e laneP
2
área
Uma
sua
esfera
o
inscrita
cúbica
em
dessa
e
da
aproximadamente,
um
cubo,
esfera
e
super fície
1.017
confor me
deter minar
cm
mostra
a
razão
a
figura
entre
as
abaixo.
áreas
da
.trA
super fície
foi
volume
é,
481
Calcular
super fície
ogidóC od
R15.
da
esférica.
.adibiorp oãçudorpeR
a
=
2
cm
Resolução
Pela
figura,
emos
r
temos
a
5
2r,
e
como
a
aresta
4 Volume
da
esfera:
V
cubo
é
igual
a
2
cm,
4
3
5
π
8
V
1
V
esfera
Área
do
51cm.
da
super fície
5
π
esfera
cúbica:
5
6
2
2
V
A
cubo
5
24
cubo
2
Área
da
super fície
esférica:
5
A
4
π
8
1
V
A
esfera
OCCES NOSL SEÕÇARTSUL
154
Considerando
π
5
3,14,
temos:
5
4π
esfera
A
5
4
3,14
A
esfera
5
12,56
esfera
24 A
razão
entre
as
áreas
é:
1,91 12
56
4 Logo,
o
volume
da
esfera
é
3
π 3
da
área
da
super fície
esférica.
cm
,
e
a
área
do
cubo
é
quase
o
dobro
5.2
Cunha
es férica
Chama-se cunha
dida a,
de
um
e
esférica o
semicírculo
de
fuso
sólido
raio r
em
es férico
gerado
torno
pela
de
rotação,
um
eixo
por
que
um
ângulo
contém
de
me
seudiâmetro.
r
O
volume
ângulo
de
de
uma
rotação
e
cunha
pode
ser
esférica
calculado
é
proporcional
usando
uma
medida
do
à
medida
regra
de
três
(em
grau)
do
simples.
ângulo
volume (em
.8991
4
grau)
3
πr
360°
ed
3
orierevef
a cunha
ed 91
Resolvendo
essa
regra
de
três,
obtemos
o
volume
da
cunha
esférica:
ed 016.9 ieL e
r
laneP
V
5
cunha
esférica
270°
ogidóC od 481
Pela
.trA
em
rotação,
torno
de
por
um
um
eixo
ângulo
que
de
contém
medida a,
seu
de
uma
diâmetro,
semicircunferência
obtemos
um fuso
de
raio r
esférico
.adibiorp oãçudorpeR
A
de
área
de
rotação
e
um
fuso
pode
ser
esférico
calculada
é
proporcional
usando
uma
à
medida
regra
medida
de
do
a
três
(em
grau)
do
ângulo
simples.
ângulo
área (em
grau)
2
4πr
360°
a
fuso
essa
regra
de
três,
obtemos
a
área
do
uso
es
NOSL
Resolvendo
OCCES
A
érico:
DA SEÕÇARTSUL
r A
5 fuso
esférico
9 0°
155
Exe rc íc io resolv id o
R1
.
Calcular
o
volume
da
cunha
esférica
e
a
área
do
fuso
esférico
da
figu-
raabaixo.
r
=
4
cm
=
20°
Resolução
O
volume
da
cunha
esférica
é
cunha
por:
1 2 8
0
5
V
dado
V
esférica
5 cunha
o
esférica
270
Considerando
π
5
27
3,14,
temos: .8991
3,1 4 q
1 4, 9
esférica
orierevef
cunha
ed
128 5
V
27
A
área
do
fuso
esférico
é
dada
por:
ed 91
o
0
3 2
5 fuso
V
A
esférico
5 fuso
esférico
5
9
3,14,
ieL
π
016.9
90°
Considerando
ed
π A
temos:
e
3,14 q
11 ,2
esférico
9
3
Portanto,
o
volume
da
cunha
esférica
é,
aproximadamente,
14,9
cm
481
2
e
a
área
do
uso
es
érico
é,
aproximadamente,
11,2
ogidóC od
fuso
laneP
32 5
A
cm
.trA .adibiorp oãçudorpeR
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
42.
Deter mine
de
cada
a
área
esfera
da
super fície
descrita
esférica
e
o
volume
A
esfera
tem
3
cm
b)
A
esfera
tem
18
de
raio.
Se
considerar mos
esfera
2
a)
45.
abaixo.
36π
cm
de
raio
r
36π
iguais,
cm
qual
será
4
⎛
de
diâmetro.
laranja
de
12
como
sendo
gomos
uma
exatamente
3
;
2
cm
uma
composta
324π
cm
3
;
972π
a
⎞
medida
da
super fície
total
de
2
cadagomo?
πr
cm ⎝
3
⎠
3
43.
Determine
do
tro
abaixo
faces
o
volume
sabendo
do
do
que
paralelepípedo
cada
paralelepípedo
esfera
e
representa-
tangencia
outras
duas
46.
qua-
Uma
Qual
cunha
é
a
esférica
medida
a,
de
raio
em
1
m
tem
radiano,
do
volume
ângulo
1
m
que
a
3
esferas.
deter mina?
radiano 2
Além
disso,
o
volume
de
cada
esfera
é
π
cm
3
.
3
32
cm
47.
Para
abrigar
estrutura
uma
coberta
exposição,
em
for ma
construiu-se
de
um
uma
hemisfério.
Se
2
o
revestimento
metros
do
piso
quadrados
totalizou
de
lona
78,5
foram
m
,
quantos
utilizados
na
2
cobertura
OCCE
48.
Um
toda?
copinho
de
NOSLIDA
(profundidade)
:SEÕÇARTSULI
duas
Mostre
44.
Calcule
a
área
do
fuso
esférico
e
o
volume
da
cunha
esférica de 45° contidos em uma esfera de raio 6 cm. 2
18π
156
cm
;
3
36π
cm
de
4
que,
cm
mesmo
de
e
5
forem
3,14)
cônico
“boca”
derreta.
o
157
tem
com
4
de
sorvete
Ver
cm
de
de
altura
diâmetro.
nesse
copinho
sorvete,
também
não
resolução
m
10
cm
colocadas
semiesféricas
diâmetro,
que
π
sorvete
se
conchas
(Use
no
transbordará,
Guia
do
professor.
Exercícios
complem ent a res Registre as respostas em seu caderno
6.
Um
cone
circular
reto
tem
raio
da
base
igual
a
10cm.
Aplicação Sabendo
que
circular, 1.
(Fuvest-SP)
Uma
metalúrgica
fabrica
barris
que
a
medida
representa
do
ângulo
sua
central
super fície
do
lateral,
setor
é
igual
cilíndricos a
135°,
deter mine
o
volume
desse
cone.
1 .000
55 3
de
dois
tipos,
A
e
B,
cujas
super fícies
laterais
são
cm
mol9
dadas
a
partir
de
chapas
metálicas
retangulares
de 7.
lados
a
e
2 a,
soldando
lados
opostos
dessas
(FGV)
vida confor me
Uma
mistura
de
leite
batido
com
sorvete
é
ser -
chapas, em
um
copo,
como
na
figura.
ilustrado.
men
barril
do
tipo
A
barril
do
tipo
que
B
alunos
os
a
mos
antes
e
os
efetuarem
cálculos
4
cm
seja
perguntado
qual
est
e
é
a
a mat
va
es
para
20 2
essa
2
de
situação:
50%,
50%
cm
menos
ou
2a mais
de
50%.
a
Se
V
e
V
indicam
os
volumes
dos
barris
do
tipo
A
A
eB,
respectivamente,
tem-se:
alternativa
a
.8991
Se a)
V
5
2V
A
c)
V
B
5
V
A
e)
V
B
5
na
parte
ed
V
5
2V
B
d)
V
A
5
de
4
orierevef
cilindro
de
revolução
é
cortado
por
um
plano
ed 91
ao
ed
secção
eixo
e
a
3
retangular
do
copo
cm
desse
cuja
área
eixo,
é
deter minando
016.9
Calcule
o
volume
igual
desse
à
área
cilindro
da
65%
base
sabendo
ieL
da
base
é
5
uma
a
camada
de
porcentagem
do
pela
alter nativa:
espuma
alternativa
está
mais
bem
c
b)
60%
c)
50%
d)
45%
e)
70%
do Planificando
a
super fície
lateral
de
um
que cone,
6 2 5
raio
há
então
uma
2
o
ocupada
na
(Mackenzie-SP)
cilindro.
copo
altura,
paa)
ralelo
de
B
aproximada
Um
cm
4V
A
volume
2.
do
A
espuma
b)
superior
4V
B
obtém
se
o
setor
circular
da
figura,
de
centro
3
cm.
e
cm
e
raio
1
cm.
laneP
8
O
ogidóC od
3.
(Vunesp)
xcm
e
Considere
raio
da
base
um
cilindro
igual
a
y y
circular
cm.
reto
Usando
a
de
altura
aproxima °
481
ção
π
5
3,
deter mine
x
e
y
nos
seguintes
casos:
3
.trA
a)
o
volume
.adibiorp
ao
triplo
do
do
cilindro
raio.
x
5
é
9
243
e
y
5
cm
,
e
a
altura
é
igual
3
2
b)
a
oãçudorpeR
e
área
a
da
super fície
altura
tem
10
lateral
cm
a
do
mais
cilindro
ue
o
é
raio.
450
x
5
cm
15
e
y
5
5
Dos
valores
cone
4.
Uma
lata
e
cm
19
Qual
tiver
é
cilíndrica
de
o
de
altura,
volume
exatamente
óleo,
indica
de
a
ar
com
ter
4
cm
de
raio
conteúdo
contido
quantidade
óleo
54,6
o
mais
próximo
da
altura
desse
d
base a)
12
cm
c)
14
cm
b)
18
cm
d)
16
cm
e)
20
cm
lata
se
ela
especificada 9.
naembalagem?
abaixo,
alternativa
de 900 m c
nessa
de
da
é:
Deter mine
a
altura
de
um
tronco
de
cone
de
bases
mc
paralelas
sabendo
que
os
raios
da
base
são,
respec-
3
tivamente, 5.
(PUC)
A
cilindro.
figura
abaixo
Ambos
têm
mostra
raio
da
um
base
cone
x
e
inscrito
altura
3
m
e
2
m,
e
que
seu
volume
é
20 π
m
m
num
2x 10.
Considere
base
e
plano
9
um
cm
cone
de
paralelo
circular
altura.
à
base
A
do
reto
que
com
3
cm
distância
cone
deve
do
de
raio
vértice
cortá-lo
de
da
um
modo
2 que
do
11.
o
volume
volume
Calcule
o
do
do
tronco,
deter minado,
seja
cm
cone?
volume
assim
de
uma
cunha
esférica
de
30°
3
uma
OCCE
12.
NOSLI
Retirando-se
o
cone
do
cilindro,
o
volume
do
Um
esfera
plano
é:
alternativa
secciona
972 π
esfera
cujo
de
3
m
81π
cm
a
área
da
secção
diâmetro
obtida
é
34cm.
sabendo
do
centro
da
esfera
ao
plano
é
8
que
cm.
225π
a
cm
3
SEÕÇARTSULI
5 x
8 x
c)
e)
13.
3
Os
raios
de
duas
esferas
concêntricas
são
15
cm
e
3
4 b)
uma
a
2
3
2 x a)
igual
b
distância 3
volume
sóliDeter mine
doresultante
de
7 x
8cm.
Calcule
a
área
deter minada
pela
intersecção
d) 3
3
esfera
maior
por
um
plano
tangente
à
esfera
menor.
161π
157
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
Exercícios
14.
(PUC)
A
tira
levantar
ro,
complem ent a res
seguinte
um
haltere,
composto
de
mostra
que
duas
é
o
um
esferas
Cebolinha
aparelho
acopladas
tentando
feito
a
um
de
21.
fer -
(Mackenzie-SP)
de
bastão
chá
tem
tronco
cilíndrico.
for me
de
a
Uma
for ma
cone
xícara
de
reto,
ADTL
máximo
con-
π
5
de
3,
o
volume
líquido
SEÕÇUDORP
conter
é:
que
168
alternativa
a
d)
176
cm
e)
164
cm
3
ASU O S
172
cm
c
166
cm
cm
3
cm
b)
6
ela
3
a)
cm
um
figura.
Supondo
pode
a
4
cm
3
3
ED O CIRUAM
22.
Um
ludologista
©
piões
usando
indicadas
ADTL
lado.
de
na
cada
pião
cm
medidas
figura
Deter mine
2
fabrica
as
o
ao
OTIDE
2
cm
4
cm
volume
fabricado.
32 cm 3
ASUOS O
8991
ED C
(Enem)
Em
um
mato
de
um
casamento,
aos
seus
os
donos
convidados
hemisfério
(Figura
1);
da
em
festa
taças
porém
serviam
com
um
orierevef
©
champanhe
ed
RUAM
23.
for -
acidente
ed
base
cada
medindo
g /cm³,
esfera
tenha
tenha
50cm
1,4
quantos
de
cm.
10,5
cm
de
comprimento
Se
a
diâmetro
e
densidade
quilogramas,
e
na
diâmetro
do
ferro
é
ra2).
levantar?
Use
π
5
alternativa
um
outro
entanto,
champanhe
os
quebra
de
substituir
as
tipo
com
noivos
nos
dois
grande
taças
for mato
de
solicitaram
tipos
de
parte
cone
que
taças
des-
quebradas,
o
(Fi
u-
volume
fosse
i
laneP
tentava
No
na
Para
e
Cebolinha
culminou
recipientes.
utilizou-se
aproximadamente,
de o
cozinha
ses
ieL
7,8
que
bastão
016.9
da
o
ed
que
91
Suponha
ual.
e
a)
18
b)
16
c)
15
d)
12
e)
ogidóC
7
10 R
=
3
cm
od 481 .trA
R
Aprofund amento
.adibiorp
h
15.
a
circular
reto
de
aresta
ár ea
total
que
de
9
da
tem
cm
e
super fície
volume
área
de
igual
lateral
um
ao
igual
de
à
cilindr o
um
área
oãçudorpeR
Calcule
cubo,
total
da
2
super fície
do
cubo.
(486
1
18π)
cm
figura
16.
O
raio
da
base,
a
altura
e
o
comprimento
da
geratriz
1
figura
2
de
Considere: um
cone
de
revolução
formam,
nessa
ordem,
uma
PA.
3
Determine essa PA, sendo 12π cm
o volume desse cone.
3,
17.
Os
diâmetros
lução
medem
da
base
de
mesmo
de
das
22
um
bases
m
e
4
cilindro
volume?
de
m.
14
um
Qual
de
tronco
é
a
de
cone
medida
mesma
altura
de
4,
V
Sabendo
revo
servida
dodiâmetro
do
tronco
V
Calcule
o
volume
de
que
centímetro,
uma
esfera
circunscrita
a
a
taça
com
completamente
champanhe
e
m
a) 18.
h
5
1
que
é
b)
deve
de:
o
ser
c)
a
de
altura
colocado
alternativa
6,00
for mato
cheia,
na
hemisfério
do
volume
outra
taça,
é
de
em
b
12,00
d)
56,52
e)
113,04
um
3
cubo
de
aresta
medindo
4
m.
32π
3
m
Desaf io
19.
(Ibmec)
Considere
um
cone
circular
reto
de
altura
24e
24. raio
da
base
10.
Suponha
que
o
segmento
AB
Um
e uma
corda
da
circunferência
da
base
que
diste
queijo
5
base
centro
C.
Então,
sendo
V
o
vértice
do
com
cone,
queijo
tetraedro
AB
V
é
igual
a:
alternativa
a
c)
600
3
b)
400
3
d)
800
3
melancia
volume
de
é
água
15
158
cm
de
composta
de
existente
raio.
4.275π
de
altura
super mercado
tem
30
cm
em
fatias,
confor me
vende
mostra
a
figura.
o
volume
de
cada
uma
dessas
cm
fatias.
De-
3
30°
em
3
de
1.000
Um
cm
95%
de
uma
água.
Calcule
melancia
o
esférica
:SEÕÇARTSULI
Uma
e)
cilíndrico
raio.
NOSLI
20.
3
de
3
1.562,5
200
cm
OC CE
do
a)
for mato
o
ter mine volume
25
do
esse seu
com
seja
Registre as respostas em seu caderno
Autoavaliação
1.
A
área,
lateral
em
de
10cm
de
centímetro
um
raio
cilindro
da
base
quadrado,
reto
é:
de
6
alternativa
da
cm
super
de
ície
altura
7.
e
O
volume
des
de
b
de
uma
volume.
esfera
alternativa
de
25π
c)
100π
b)
120π
d)
125π
π
é
unida-
4
4
4 c
a a)
raio
a
3
3
2
2.
A
área
total
é
,
da
super fície
sendo
r
o
raio
de
da
um
b)
cilindro
base
desse
equilátero
8.
cilindro.
2
alternativa
c)
2πr
indústria
dois
tipos
2
2πr
1
área
12cm
da
de
2
2r
d)
super fície
altura
e
2πr
lateral
com
raio
de
ambos
suco
com
de
uva
for mato
d
2
1
de
da
processamento
embalagem,
e
de
mesma
altura.
O
raio
da
base
da
em-
r balagem
2
de
de
4
2
1
2
A
d)
cônico 2
3.
Uma
usa
r a)
b)
π
qual
4πr
um
base
cone
reto
medindo
de
A
é
metade
cabe
do
do
raio
da
conteúdo
embalagem
da
B,
embalagem
na
A.
alternativa
a)
a
metade
b)
o
dobro
c)
o
triplo
d)
o
quádruplo
d
9cm
2
é
4.
cm
alternativa
a
a)
135π
c)
180π
b)
200π
d)
2
Considere
.8991
da
altura
um
h.
cilindro
O
cujo
volume
π
raio
desse
r da
base
cilindro
3
a)
9
é:
é
o
triplo
alternativa
Um
plano
raio
r,
esfera.
a
tro
O.
a
isto
é,
tangencia
a
Outro
A
tem
só
plano
distância
uma
um
b,
esfera
ponto
paralelo
entre
os
em
a
a,
de
centro
comum
contém
planos a
e
O
e
com
a
ocen-
b é
.
2
9πh
c)
alternativa
9πh
ed
π
c
c
r
orierevef
3
h b)
3πh h
b)
d)
2r
d) 3
ed
10.
As
bolas
de
borracha
r epr esentadas
na
figura
91 ed
5.
A
área
total
da
super fície
016.9
comprimento
r
(g
5
da
2r ),
é:
geratriz
alternativa
é
um
igual
cone
a
reto,
duas
cujo
vezes
abaixo
são
esféricas
e
maciças.
o
b
e
OCCES
ieL
raio
de
3
laneP
2
g
g a)
c)
NOSLIDA
ogidóC od
2
2
2
3
2
b)
d)
πg
r
4
481 .trA .adibiorp
6.
Se
o
raio
de
uma
esfera
é
1,
então
a
área
da
suCom
per fície
dessa
esfera
é
unidades
de
a
quantidade
de
borracha
usada
para
fazer
área. 12
alternativa
bolas
maiores,
podem-se
fazer
bolas
b
oãçudorpeR
2
4
4
a)
menores.
alternativa
c
c) 3
3 a)
4
c)
4
b)
8
d)
96
2
b)
4π
d)
4
Retomad a de conceitos
Se
você
Releia
não
a
acertou
teoria
e
alguma
refaça
os
questão,
exercícios
consulte
a
tabela
e
verifique
o
que
Número
Objetivos
Identificar
troncos
seus
cone,
a
alguns
área
estudar
novamente.
da
questão
capítulo
cilindros,
de
respectivos
Calcular
de
do
precisa
correspondentes.
cones,
esferas
e
elementos.
da
desses
super fície
corpos
redondos.
Determinar
o
volume
desses X
corpos
Páginas
ao
X
X
X
redondos.
do
livro
referentes
conceito
159
l
o
t
u
í p
C
a
8
LACIDAR OCOF/SPPILIHP LEUNAME OGIRDOR
Atleta
participando
montanha,
Objetivos
do
Identificar
uma
1
capítulo
e
classificar
O
de
Operar
com
sedentarismo
Calcular
de
Catarina,
Corredores
2016.
participando
internacional
de
Hainan,
da
maratona
China,
2016.
e
mais
lado
a
grupos
preguiça
está
em
queda,
formados
e
por
engrossam
e
as
corridas
amigos,
as
de
rua
familiares
fileiras
dos
que,
e
estão
na
colegas
por
meio
moda.
A
cada
dia,
de
trabalho
deixam
melhor
qualidade
de
do
esporte,
buscam
vida.
o Convém
determinante
matriz
corrida
matrizes. uma
uma
Santa
Matriz
mais
matriz
de
Imbituba,
de
quadrada.
uma
orientação
radas
pelo
lembrar
de
que
todo
especialistas.
seu
esporte
Por
isso,
deve
Daniel
ser
se
praticado
prepara
com
moderação
seguindo
as
tabelas
e
com
elabo
treinador.
A tabela A mostra, em cada linha, os intervalos de tempo T1, T2 e T3, em minuto,
que
o
Cada
ia
atleta
série
da
deve
deve
correr
ser
se
undo
repetida
três
velocidades
após
V1,
V2
descanso
e
de
V3,
indicadas
quinze
na
tabelaB.
minutos,
em
cada
semana.
Tabela
A:
Inter valo
de
tempo
(minuto)
T1
T2
T3
Velocidade (quilômetro por hora)
Manhã
Tarde
1
semana
6
3
6
V1
2
semana
3
6
3
V2
12
10
3
semana
6
9
V3
10
12
Fonte:
160
as
vezes,
treinador.
12
Fonte:
treinador.
SEGAM YTTEG/SERPOTOF ANIHC
A
organização
tação
desses
na
segunda
de
treinamento.
Aplicando
terceira
metro
semana
Em
(filas
linha
por
no
segunda
mesmo
da
período
Matemática,
matriz
e
linha
nas
a
tabelas
Daniel
da
tabela
A,
interpretar
B
desenvolver
o
leitura
no
o
coluna:
exemplo,
a
como
correr
tabela
primeira
Por
facilita
Observe
deve
na
podemos
tabelas.
deve
em
cálculos.
verificar,
com
coluna
representa
o
que
interpre-
identificar,
intervalo
aparece
significado
a
a
no
minutos”.
número
durante
e
fácil
primeiro
valor
“3
o
é
12
de
que
velocidade,
terceiro
todos
aparece
em
intervalo
os
na
quilô-
de
cada
tarde.
tabelas
que
colunas
pode
minutos
basta
Daniel
da
alguns
raciocínio,
segunda
que
horizontais)
Uma
isso,
constam
hora,
numéricos
como
quantos
Para
da
o
que
dados
bem
semana,
“cruzamento”
números
dos
dados,
ser
apresentam
(filas
escrita
verticais)
entre
dados
são
numéricos
dispostos
em
linhas
denominadas matrizes
colchetes
ou
entre
parênteses.
Exemplos
⎡ 6
3
6 ⎤
3
6
3
3
6
9
⎣
⎛
ou
⎝
⎦
Define-se
6
3
6 ⎞
3
6
3
3
6
9 ⎠
matriz
dispostos
em
m
m
3
linhas
⎡
e
n
e
⎣
(lemos:
n
“m
12 ⎤
8
12
10
10
12
por
n”)
⎛
ou
12 ⎞
8
12
10
⎝ 10
⎦
uma
12 ⎠
tabela
com
m
n
elementos
colunas.
Exemplos
5
⎡
a)
⎤
é
3
uma
matriz
do
tipo
é
matriz
3 3
2
(lemos:
“três
por
dois”),
pois
tem
3
linhas
0
e
2
colunas.
⎛
⎞ x
b)
3
uma
do
tipo
3
3
3
(lemos:
“três
por
três”),
pois
tem
x ⎝
⎠
3linhas
e
3
colunas.
⎡ 1 ⎤ c)
é
⎣
7
uma
uma
só
coluna,
3
⎛
0
⎝
tipo
matriz,
Também
recebe
5,1
2
1
(lemos:
“dois
por
um”).
Essa
matriz,
por
ter
o
nome
especial
de matriz
coluna
é
uma
matriz
do
tipo
1
4
(lemos:
“um
por
quatro”).
Essa
⎠
4
in
do
⎞
8
d)
dade
matriz
⎦
por
ter
uma
podemos
rior
só
linha,
indicar
o
é
tipo
chamada
de
uma
de matriz
matriz
ao
linha
lado
dela,
em
sua
extremi-
direita.
Exemplos
⎡ ⎛ 6
0
4
b)
⎝
1
9
⎤ 5
4
3
2
1
7
1
2
7
4
9
0
3
0
1⎞
a)
2
3 ⎠ 5
⎦
(matriz
de
2
linhas
e
4
colunas)
(matriz
de
3
linhas
3
e
3
5
5
colunas)
161
1.1
Representação
genérica
de
uma
matriz
Os números que compõem uma matriz são chamados de elementos ou termos
Em
por
uma
certa
matriz,
coluna,
cada
nessa
elemento
ocupa
uma
posição
definida
por
certa
linha
e
ordem.
a
1
coluna
a
2
coluna
a
3
1
linha
2
⎛
5
3
coluna
⎞
linha
a
3
3
linha
16
8
a
linha
6
⎝
4
2 ⎠
a
Observe,
na
matriz
acima,
que
o
elemento
16,
por
exemplo,
ocupa
a
3
linha
e
a
a
2
coluna.
Indicamos
esse
elemento
por
a 32
Portanto,
5
a
16
(lemos:
“a
três
dois
é
igual
a
dezesseis”).
32
Genericamente,
,
a
em
cada
que
i
elemento
indica
a
linha
de
e
j j
uma
matriz
indica
a
pode
coluna
ser
representado
ocupadas
por
pelo .8991
símbolo
ele.
ij
ed orierevef
Exemplos Obser vação
a
O
elemento
5
está
na
a
1
linha
e
na
2
coluna;
então,
a
5
5.
5
0.
ed
a)
12
matriz
91
Na
2
⎛
5
3
b)
⎞
O
elemento
0
está
na
a
2
linha
e
na
1
coluna;
21
c)
O
elemento
2
está
na
016.9
1
a 21
a
0
então,
ed
a
a
4
linha
e
na
3
coluna;
então,
a
5
2 .
8
Uma
matriz
A
é
representada
por
A
5
(a
)
ij
m
, 3
em
que
1
<
i
<
m
e
1
<
j
n
⎠
com temos,
i,
j
Ñ
N.
Assim,
a
matriz
A,
do
tipo
m
3
n,
pode
ser
representada
por:
ainda:
<
n
ogidóC
6
⎝
laneP
16
e
3
ieL
43
od
5
2
a
5
3
5
21
a
5
21
5
16
481
a 11
⎛ 22
5
3
31
a
22
2n
⎞
32
A 5 5
a
33
5
3n
32
6
oãçudorpeR
a
1n
23
.adibiorp
a
12
.trA
a
41
5
4
42
a
⎝
a
m
n
⎠
Exe rc íc io resolv id o
R1.
Escrever
a
matriz
A
5
(
) i j
, 2
3
qual
5
1
2 j
i j
Resolução
Uma
matriz
do
tipo
a
⎛ A
12
13
2
3
3
é
a 22
Aplicando
a
a
a
23
genericamente
por:
⎞
“lei
de
⎠
for mação”
5
1
1
2
1
5
a
5
1
1
2
2
5
a
5
1
1
2
3
5
a
11
a
dos
elementos
dessa
5
2
1
2
1
5
4
5
2
1
2
2
5
6
5
2
1
2
3
5
8
21
12
representada
5
⎝
22
13
23
⎛ 3
Portanto:
A
5
7⎞
5
⎝
162
na
3
4
⎠
matriz,
temos:
1.2
Igualdade
de
matrizes
Tomando-se matrizes de mesmo tipo, os elementos de mesmo índice, isto é, aque
les que ocupam a mesma posição, são denominados elementos correspondentes
Considere
as
matrizes
A
e
B
⎞
⎛ 12
13
22
23
32
33
A 5
⎝
⎞
⎛ 12
B
13
5
b 22
Como
as
matrizes
A
e
B
são
do
23
b
⎝
ntes
⎠
32
mesmo
33
tipo
(3
⎠
3
3),
seus
elementos
correspon-
são:
a
e
b
e
b
e
b
11
a
11
a 21
21
a 31
e
b
e
b
e
b
12
22
32
e
b
e
b
13
a
22
a
31
a
12
13
23
a
32
23
e
33
33
.8991 ed orierevef
Duas
os
matr
zes, A e
elementos
B,
são matrizes
correspondentes
iguais
são
quando
são
de
mesmo
tipo
e
todos
iguais.
ed 91 ed 016.9 ieL e laneP
Exe rc íc io resolv id o
ogidóC od
R2.
Deter minar
481 .trA .adibiorp
A
⎝
oãçudorpeR
z
3
5
valores
y
2
⎛
os
1
y
5
x
de
x
y
e
que
⎞
z
0
z
B
as
7
3
5
9
4
0
6 ⎠
⎝
matrizes
A
e
B
iguais.
1⎞
⎛ 2
5
⎠
6
tor nam
Resolução
A
correspondentes
Jx
5
V
z
⎧
4
x
e
sejam
B
sejam
iguais;
iguais,
assim,
é
necessário
devemos
que
os
elementos
ter:
5 64
7
⎨ 5
9
⎩
Resolvendo
⎧
z
z
5
o
sistema
7
(I)
9
(
)
y
5
pelo
método
da
adição,
obtemos:
⎩
2y
5
16
V
Substituindo
8
1
z
5
7
Portanto,
Não;
V
x
nesse
y
z
5
8
por
5
em
(I),
obtemos:
21
64,
caso,
8
y
5
para
8
e
z
5
quaisquer
21.
valores
de x
y
z
Ref lita m
triz
não
seriam
iguais,
pois 11
Considere as matrizes
11
A e B do exercício R2. Caso mudássemos
b
para um número diferente
11
x
e
seriam as mesmas?
163
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
1.
Deter mine
o
tipo
abaixo.
5.
Elabore
uma
lei
de
for mação
que
represente
os
⎞
a)
1
⎝
matrizes
⎛ 1⎞
1
⎛
das
3
c)
3
2
⎠
6
⎝
7
3
1
⎛ 1
1
1
2
4
8
1⎞
3
9
⎠ elementos
da
matriz
A
5
16
⎞ 1
⎛
Resposta
7
⎛
possível:
1 0⎞
27
81 ⎠
j
0
b)
3
3
d)
1
2 3
1
⎝ 5
⎝
5
A
2
5
( (a
) i j
,
3
3
em
que
a
4
5
i
i j
⎠
⎠ 1
2.
Escreva
a
matriz
A
5
)
(a i j
na
3
3
qual
a
4
5
3i
1
2 j.
3
i j
6. 3.
Escreva
a
matriz
B
5
(b
)
i j
em 3
3
4
matrizes
i
5
(1
3
B 5
3
i
i
⎝
3
0
⎠
Não,
6 ⎠
pois
mesmo
Identifique
1
j
5
os
elementos
de
A
em
que
i
5
j
são
iguais?
Por
elas
não
são
do
tipo.
quê?
ou
A
primeira
a
segunda
é
do
é
tipo
5
dotipo
3
1
3
1
e
5.
4. 7. ⎛
a
0).
j
Elas
i
7
7
⎞
3
⎝
⎩
4.
4
j
⎨ j
e
que:
⎛
5 j
as
2
⎧
b
Considere
5
$26$5
5
7
5
9
5
3
6
[ 2
Deter mine
a
b,
c
e
d
para
que
as
matrizes
⎞
[
11
a 22
A a
)
5
8
7
b
⎛
[ 24 [
3c
⎞
a
3⎞
8
1 ⎠
sejam
e
13
⎝ 5
a
⎛ 7
j
33
7
5
9
a
⎝
⎠
b
2c
⎠
⎝
iguais.
a
5
1,
b
c
5
21
5
3,
27
31
⎞ 11
5
7
9
8
10
12
14
13
15
17 ⎠
11
23
1.3
Alguma s
matrizes
orierevef
⎝
5
ed
A 5
d
.8991
⎛
2.
e
especiais
ed
com
algumas
especiais.
características
A
seguir,
apresentadas
veremos
algumas
por
dessas
certas
matrizes,
elas
016.9
nomes
ed
acordo
91
De
recebem
matrizes.
ieL e
Matriz
quadrada
matriz
qua
ra
a
aque
a
matriz
cujo
número
e
in
as
é
igua
ao
colunas.
ogidóC od
ma-se
número
laneP
481 .trA
Exemplo
1 ⎞
As
de
uma
matriz
quadrada
2 3
2
ou,
simplesmente,
Os
matrizes
quadradas
apresentam
uma
elementos
matriz
a
com
i
quadrada
5
j,
isto
é,
de
elementos
que
formam
matriz.
Os
a
,
...
,
a
11
elementos
a
com
i
1
formam
5
n
1
,
1,
formam
isto
é,
a
diagonal
per tencentes
iguais
a
matriz
zero
à
é
chamamos
secundária
dessa
diagonal
a 2 n
principal
a 1
,
3 n
...
2
a n1
⎞
onal
chamada
A 5
não
7
principal
de
diagonal
secundária
diagonal
principal
diagonal
Matriz
Uma
nula
matriz
com
todos
os
elementos
i
uais
a
zero
é
denominada matriz
Exemplo
⎛ 0
0
0
0
0
0
A 5
é
uma
matriz
nula
do
tipo
3
3
2,
também
indicada
por
0 3
⎝
164
,
matriz.
que
elementos
dia
a
a 1n
⎛ quadrada
os
que
Exemplo
Obser vação
todos
o
nn
j
i j
matriz
ordem2.
ordem n
a
i j
dessa
tenha
de
diagonais
Considere
Uma
matriz
⎠
3
2
nula
oãçudorpeR
é
⎝
.adibiorp
⎛ 5 A 5
Matriz
identidade
Chama-se
matriz
Obser vação
identidade
(I
)
a
matriz
quadra da
de
or dem
n
em
que
Em
n
todos
a
os
elementos
da
dia gonal
pr in c i pa l
s ão
i g u ais
a
1
e
os
d e ma is
s ão
ig u ai s
qualquer
ordem
n,
matriz
vale
a
identidade
de
relação:
zero. 1,
5
a i
j
0,
Exemplos
⎛ 1
I
a)
5 3
1
0
0
0
1
0
0
0
1
b)
I
⎞
1
5 5
⎝
⎠
1⎠
⎝
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
8.
Deter mine
a
matriz
1
⎛
i qual
a
quadrada
A
de
ordem
2
na
11.
Deter mine
k,
5
2
i j
⎛
2
⎝
1
5
⎠
A
5
(a
) i j
, 3
3
com
a
3
I
1
5
2i
1
j
,
deter mine
⎠
a
i j
.8991
principal
diagonal
que:
2
k
⎝ e
para
⎞ 1
j
diagonal
real,
⎞
1
e
principal:
a
3,
8
diagonal
e
15;
secundária
diagonal
secundária:
de
11,
A
8
e
7
12.
Denomina-se
traço
de
uma
matriz
a
soma
dos
ed orierevef
elementos 10.
Sendo
B
)
(b i j
,
4
3
em
que
5
b
de
sua
diagonal
principal.
Deter mine
⎨
i j
4
o
⎩
traço
da
matriz
A
5
(a
) i j
, 3
3
com:
3
ed 91
calcule
a
diferença
entre
o
produto
dos
elementos j,
ed
⎧ da
diagonal
principal
e
o
produto
dos
elementos
da
016.9
a
5 i
se
i
14
⎨
j
i diagonal
secundária,
nessa
ordem.
⎩
375
ieL e laneP 481
Adição
e
subtração
de
matrizes
.adibiorp
dono
oãçudorpeR
de
compra
As
de
de
Semana
1
Cesta
Buqu
os
de
a
1
a
2
Lo
a
40
37
130
89
das
a
soma
das
em
tipo
duas
cada
semanas
mantém
suas
lojas,
manter
vendas
em
Semana
acima,
ornamento
cada
nas
de
um
2
Lo
1
e
2
de
cada
controlar
semanas.
a
1
Lo
a
2
Lo
a
90
270
98
Cesta
76
44
53
123
76
90
podemos
duas
ornamento
na
encontrar,
semanas.
em
loja
1
a
elevado.
Arranjo
nas
semanas
registrado
para
estoque
duas
Buquê
tabelas
de
as
3
49
tipo
três
precisar
230
dados
Soma
sem
290
cada
a
em
mostram
Lo
vendidos
indicando
floriculturas
120
correspondentes
arranjos
de
vendido
abaixo
Lo
Arranjo
Com
rede
suprimentos
tabelas
vendas
uma
ornamento
cada
foi:
por
Para
loja.
120 1
Por
3
exemplo,
isso,
90
YTTEG/OTOHPKCOTS
.trA
O
tipo
SEGAM
ogidóC od
2
exemplo,
5
o
somamos
210.
total
os
o
Veja
total
a
de
dados
de
tabela
loja:
Loja
1
Loja
2
Loja
3
Arranjo
210
560
328
Cesta
125
84
90
Buquê
253
165
167
165
Também
em
cada
cada
o
tipo
de
número
negativo
à
podemos
loja
nas
de
cestas
Diferença
Veja
entre
as
a
em
foram
tabela
semanas
1
diferença
Para
cada
vendidas
que
a
semanas.
ornamento
indica
primeira).
encontrar
duas
nas
duas
4
indicando
2
nas
vendas
subtraímos
estabelecimento.
vendidas
e
isso,
(nessa
semanas
cestas
a
a
na
diferença
ordem)
A
ideia
e
loja
na
em
Loja
cada
tipo
dados
exemplo,
2
foi:
cada
a
40
segunda
de
ornamento
correspondentes
diferença
44
5
24
semana
em
loja:
1
Loja
2
Loja
20
132
Cesta
27
4
16
7
13
13
nessa
situação
será
usada
no
sinal
relação
30
trabalhada
a
entre
(o
Arranjo
Buquê
ção
Por
mais
de
os
estudo
da
adição
e
da
3
subtra-
matrizes.
o
1
Reflita
A
própria
matriz
A,
pois
0
é
m
matriz
nula,
elementos
real
zero;
isto
é,
todos
correspondem
portanto,
ao
2.1
a
Adição
de
matrizes
3
os
seus
ao
número
somarmos
cada
Dadas
duas
matrizes
de
mesmo
tipo,
A
5
(a
)
i j
)
elemento( (
da
matriz
A
com
e
m
3
B
5
(b
n
)
i j
,
m
3
a
matriz
n
zero,
ij j
soma
A
1
B
é
a
matriz
C
5
na
(c i j
obtemos
o
próprio
elemento
m
3
qual
c
n
5
a
i j
1
b
i j
para
todo
i
e
todo
j
i j
(
.8991
Exemplo Obser vação
as
mesmo
matrizes
A
as
matrizes
A
e
B,
tal
2
3
1
0
1
4
que:
⎛
0
1
2⎞
⎝
1
3
5⎠
orierevef
do
que
ed
Sejam Note
5
B
tipo.
r
r
m
riz
A
1
B,
basta
adicionar
os
elementos
correspondentes
ed
P
91 ed
A
Ref lita
B
você
obtém
se
(a
a
uma
)
i j
a
m
3
⎛
2 ⎞
1
0
4 ⎠
1
⎝
1
5 ⎠
3
0
⎞
3
⎛
2
4
3 ⎞
4
9 ⎠
5 3
⎝
matriz
matriz
n
0
4
⎝
⎠
1
laneP
5
0
? m
3
n
a
a
oposta
com A
matriz
nula
resu
matriz
ta
na
A
matriz
do
nu
tipo
a
e
m
3
n
mesmo
e
indica-se
tipo,
isto
por
é, A
1
A
a
2A
ma-
50,
.adibiorp
0
matriz
soma
0 m
3
n
Ref lita
você
obtém
ao
1
⎛ calcular
oposta
A
matriz
de
própria
oposto
a
uma
matriz
do
oposta
matriz
A,
oposto
pois,
de
da
matriz
Se
ao
3
⎝
calcular
1
⎛
2⎞
, então
A?
cada
2⎞
A 5 5
1
⎛
2⎞
, pois:
⎠
3
⎝
5 ⎠
⎛
1
2⎞
1 3
⎝
5⎠
⎛ 0
0⎞
⎝ 0
0⎠
5
⎝
⎠
o
elemento a ij
isto
é,
(
a
),
obtemos
o
próprio
Espera-se
o
oposto
ij
que
do
os
alunos
oposto
de
percebam
um
número
Propriedades
a
ij
da
adição
que
é
o
Dadas
as
matrizes
A
B
C
e
0
(matriz
m
próprio
número;
então,
a
matriz
seguintes da
matriz
oposta
é
a
matriz
e
três
matrizes
verifique
propriedades
Resposta
a
da
de
A
que
das
a
entre
os
alunos
são
adição
conveniência
R
no
de
mesmo
tipo,
valem
as
1
(
A
1
C
C
5
5
0
n
)
(comutativa)
A
5
1
(B
1
m
3
(
1
A
C )
5
A
5
B
1
)
C
(associativa)
(existência
do
elemento
neutro)
n
5
0
X
A
5
B
(existência 3
do
elemento
oposto)
n
(cancelamento)
percebam
dos
valores
da
e
para
as
Subtração
de
matrizes
adição
válidas.
de
fazer
propriedades
conjunto
1
1
m
adição.
propriedades
atividade
as
B)
B
0
aproveitar
A essa
1
1
5
m
2.2 as
matrizes
Verificar
B
mesmo
validade
independentemente
atribuídos,
de
todas
pessoal.
Espera-se
que,
1
A
tipo
nula),
n
propriedades:
dada.
Ref lita
Invente
3
oposta
da
adição
propriedades
conjunto
das
diferença
entre
duas
matrizes
A
e
B,
de
mesmo
tipo,
é
a
soma
da
matriz
A
analogia
no
com
a
oposta
de
B,
isto
é,
A
B
5
A
1
(
B).
da
matrizes.
Exemplo
⎛
2
3
5⎞
⎛
⎞
⎛
2
3
⎝
166
⎠
⎝
4
5⎠
⎛ 0
5⎞
2
⎞
1
5 3
⎝
⎠
⎛
2
5
4⎞
5
⎝
4
⎠
⎝
1
⎠
oãçudorpeR
Exemplo matriz
.trA
sen
opos ta
481
Chama-se
trizque
ogidóC od
Matriz
Que
e
A
⎛
5 ⎝
adicionar
1 ⎞
A 1
ieL
matriz
016.9
⎛ Que
Exe rc íc io resolv id o
2
R3.
Dadas
as
1
1
⎛
matrizes
B
X
de 2
3
modo
que
A
1
X
5
0
3
⎛
X
Logo: 5
⎝
obter
2⎞
5
5
⎝
⎠
B
Outro
2
1⎞
5 3 ⎠
modo:
X usan
Resolução
do
⎛ a
Representando
a
matriz
X
b⎞
por
A
, c
⎝
d
as
1
propriedades
X
5
B
da
adição
de
matrizes:
Æ
temos: (
⎠
A A)
1
A
1
1
0
X
5
X
(
A A)
B
1
A
B
Æ
Æ
3 2
⎛ 2
1⎞
⎛ a
b⎞
⎛
⎠
⎝
1
2⎞ Æ
⎝
0
3
⎠
⎝
5
0
X
5
B
A
⎠ Assim:
1
⎛
b⎞
1
⎛
2⎞ 1
2
2
1
5 X 3
⎝
1
⎠
5
⎝
0
⎠
Então:
3
⎛
1
a
5
21
Æ
a
5
2
1
b
5
2
Æ
b
5
X
5 5
⎝
1
c
5
5
Æ
c
5
1
d
5
0
Æ
d
5
⎞
1
3
⎠
23
.8991
⎛ 5
ed
13.
a)
orierevef
⎝
Registre as respostas em seu caderno
2⎞
⎛ 6
b)
1
3
5
2 ⎠
⎝
2⎞
0
6
7
7 ⎠
Exerc íc ios propostos
ed 91 ed
13.
Dadas
as
matrizes
016.9
⎛ 3
Deter mine
1⎞
2
3
1
⎛
0⎞
a
matriz
ieL
⎛ 2
1⎞
⎛
4
1 ⎠
⎝
X
em
cada
⎞
item.
3
⎛
4⎞
a)
e laneP
B
⎝
4
0
5
⎝
⎠
0
1
1
2
1
⎠
3
2
⎝
5
⎝
e
⎛ 1
⎠
2⎞
ogidóC od
efetue,
481
a)
A
quando
1
B
possível,
b)
A
1
(B
as
1
c)
( (A
⎝
1
B )
1
4
3
4
⎠
⎝
0
5 ⎠
6
0⎞
⎛
4
2
⎝
⎛
5 1
1
⎝
⎠
4⎞
1
operações:
C )
2
⎛
b)
3
3
6⎞
6
6 ⎠
2
⎠
⎝
⎠
I 3
16.
.trA
Não
é
Considerando
as
matrizes
possível. 2
A
(
)
,
.adibiorp
2
4
14.
Dadas
as
1
⎛ 2
matrizes
B
5
5
(b
2
i
1
j
para
todo
,
3
)
i j
⎝
3
0⎞
3
, 2
3
com
3
b
5
3i
para
todo
b
i j
,
deter mine:
i j
1 ⎠
oãçudorpeR
calcule:
a)
o
elemento
c
da
matriz
C
5
A
1
B
14
22
a)
B
A
b)
A
(B
1 I
)
c)
B
( (A 1 0
2
⎛ 14.
2
1 ⎞
⎛
a)
1
1 ⎞
1
0 ⎠
b)
⎝
1
2
⎛
b)
)
o
ter mo
de
igual
a
á
3.
2 3 2
1 ⎞
c)
1 ⎠
⎝
1
⎝
1 ⎠
⎞
⎛
7
Multiplicação
de
um
número
real
7
2
3 ⎝
por
uma
⎛
Sendo
a
m
obtida
matriz
A
5
(a
)
i j
3
n
pela
2
3
3
e
m
3
k
um
número
real,
k
A
é
uma
matriz
do
1
A
1
A
⎞
5
9
⎝
tipo
21
⎠
15
n
multiplicação
de
k
por
todos
os
elementos
de
A ⎛
⎞
6
⎛ 3
3
3
(
Exemplo
A
5
( (a
)
e
m
B
5
( (b
3
) m
5
modo
que
B
5
A
1
A
1
A,
para
cada
par
i
j,
<
e
3
k
5
3,
)
i
<
5
m
e
( (a
1
1
<
( (a
j
)
<
1
n,
( (a
⎞
21
15
2
⎠
⎠
3
com
Logo: 1
0
(b
A 5
⎝
3
de
9
3
⎝
tal
0
7)
5
2
3
matriz
A
Se
7
5
A
1
A
1
A
5
3 3A
temos:
)
V
( (b
)
5
3
a
)
então: Logo,
B
5
3
Ref lita
A
2 C
5
m
B
5
A
1
A
1
A
B
5
8
A,
podemos
concluir
3
que:
A
1
A
1
53
exemplo,
⎛ 2
k
A
5
3
0
⎞
7
⎛ 3
2
3
0
3
3
3
(
5
2
⎛
⎞
7)
2
6
5
0⎞
1
⎝ 15
A
do
A
2⎠
A
A
se
A
qualquer,
é
=
válida
3
igualdade
A
vale
a
a
A
igualdade
5 ⎝
3
⎠
⎝
3
⎠
1
A
=
3
A?
167
⎠
Exe rc íc io resolv id o
R4.
Deter minar
Y
5
Y
5
as
matrizes
e
Y
Como
A
B ,
⎨
⎩
X
em
1
X
2B
1
1
Y
5
Y
5
2B
5
A
A
1
1
3B,
3B
temos:
V
Y
5
B
que:
B Assim:
1
2
⎛
A
B
⎝
2
2
⎞ ⎛
5
⎝
⎠
1
3
X
5
A
1
2
⎞
⎛
⎞
2
⎝
1
V
⎠ 0
1 ⎠
⎝
1
3
⎠
Resolução ⎛
Resolvendo
o
sistema,
⎝
5
⎧
5
2
2
5
⎞
temos: ⎠
B
⎨ 5
A
⎛
B
⎩
Y
B
⎞
5 1
⎝ 2X
5
2A
1
4B
X
5
A
1
3
⎠
2B
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
1
17.
Sendo
3
A
B
1⎞
4
0 ⎠
deter mine:
Ver
resolução
⎛ 0
C
⎝
no
Guia
do
6⎞
5
⎝
4
a)
4
A
b)
3
A
5
4
(A (
1
2
A
5
(3
1
B )
verdadeira
2A
(B
1
(5
B )
5
1
(
2)
A
5)
B
verdadeira
ver
a
eir
orierevef
d)
B
ed
3A
4
professor.
c)
a)
1
⎠
.8991
⎛ 2
5
C ) d)
6
(A (
1
B )
5
6
A
1
B
falsa
1 2(A (
C )
1
3(B
e)
A A)
1
(
B )
5
B
ed
e)
b)
verdadeira
91
3
2 B
f )
B
1
C
2
3
2
19.
Dadas
A
B
duas
se
a
matrizes
igualdade
A
e
B
de
matricial
é
⎞
mesmo
tipo
verdadeira
,
⎠
⎝
7
calcule
as
⎠
e
⎧2
ou
matrizes
X
e
Y
tais
1
5
A
laneP
verifique
6
1
e
Invente
2
5
ieL
⎝
18.
⎛
I
3
016.9
2
ed
1 c)
B
que: 3
2
5
ogidóC od
⎨
falsa.
2A
⎩
6
⎛
0
3⎞
5
7
1
12 ⎠
4
Multiplicação
Considere
Pedro
a
situação
precisa
supermercados.
de
que
ele
a
as
matrizes
seguir.
comprar
Veja
de
oãçudorpeR
OIGÁNE
.adibiorp
OHLEOC
⎝
.trA
Y 1
481
2
5
19.
alguns
tabelas
produtos
indicando
os
e
resolve
preços
pesquisar
pe squisados
preços
e
as
em
dois
quantidades
precisa.
Produto
$/kg)
$
Laranja
(R$
$/dúzia)
A
1,72
1,90
1,55
3,00
B
1,76
1,24
1,72
3,94
Sal
Cenoura
1
0,5
3
Laranja
Ovos
kg
2
kg
kg
dúzias
Para
saber
em
qual
Também
é
dos
&
&
possível
supermercados
(1,72)
1
(1,76)
efetuar
1
1
ele
(1,90)
0,5
(1,24)
esse
gastaria
1
(1,55)
0,5
cálculo
por
menos,
(1,72)
meio
de
3
1
podemos
(3,00)
3
2
(3,94)
matrizes.
2
calcular:
5
5
13,32
15,42
Veja:
Ref lita ⎞
⎛
⎛ 1,72 P
1,90
1,55
3 , 0 0⎞
1
A
0, 5 Q
5
quantidade
matriz
⎝ 1,76
1,24
1,72
3 , 9 4⎠ 3
da
2
3
quantidade
matrizQ
1
Não.
matrizes
P
(preço)
e
Q
(quantidade)
resulta
na
matriz
C
Se
matriz
linhas
(custo
da
compra
em
cada
colunas
ser
da
diferente
de
linhas
da
⎠ 4
das
poderia
4
⎝
multiplicação
P
3 2
A
de
5
P
a
quantidade
fosse
da
de
diferente
matriz
Q,
colunas
da
da
quantidade
sobrariam
que
não
teriam
portanto,
⎞
não
correspondentes;
seria
possível
calcular
1 produto
⎛
P
⎛
⎞
1,72
1,90
1,55
3,00
1,76
1,24
1,72
3, 94
8
⎝
as
matrizes.
⎞ 13,32
0, 5
5
entre
5 15,42
3
⎠
2
⎝
⎠
⎠
o
O
elemento
c
da
matriz
produto
P
Q
foi
calculado
multiplicando
o
1
ele-
11
o
mento
da
linha
1
de
pelo
o
elemento
1
da
coluna
1
de Q,
o
2
elemento
da
linha1
o
de
pelo
produtos
elemento
2
obtidos
da
foram
1
11
12
.8991
1
1
de
Q
e
assim
1
21
13
(1,90)
1
sucessivamente;
em
seguida,
os
somados:
1
11
(1,72)
coluna
0,5
5
31
1
14
(1,55)
c
41
3
1
11
(3,00)
2
13,32
ed orierevef
O
elemento
da
c
matriz
produto
Q
é
obtido
de
modo
análogo.
21
q
p 21
1
p
11
ed
(1,76)
q
22
1
1
1
p
21
q
23
(1,24)
0,5
1
p
31
1
q
24
(1,72)
5
c
41
3
1
21
(3,94)
5
15,42
o
produto
91
2
ed 016.9
De
modo
geral:
ieL e laneP
Dadas
as
matrizes
A
5
(a
) i j
ogidóC od
triz C 5 (c c
)
i j
e m
3
B
5
(b
n
) i j
, na qual cada elemento c
m 3 p
, n
3
de
A
por
B
é
a
o
1
ma-
p
é a soma dos produtos obtidos ao mul
i j
o
tiplicar
o
elemento
da
linha i
de A
j
de
B,
o
2
o
mento da linha i de A pelo 2
j de B, e assim sucessivamente.
481 .trA .adibiorp
Note
que
o
produto
das
matrizes
A
e
B,
indicado
por
A
B,
só
é
definido
se
oãçudorpeR
onúmero de colunas de A for igual ao número de linhas de B, e esse produto teráo
mesmo
número
de
linhas
da
matriz A
e
o
mesmo
B
A m
3
n
n
5 3
número
de
colunas
da
matriz B
C
p
m
3
p
iguais
Exemplo
[
⎡
2⎤
⎣
6 ⎦
2)
2
(
2
6]
1
[40]
Exe rc íc ios resolv id os
R5.
Dadas
as
matrizes
Então
A
B
C,
sendo
C
(
) i j
⎛ 0 2
B
A 2
B
5
5
4
,
deter minar
A
3
2
3
3
5 3
3
C
2
2
3
2
B
4
iguais
⎝
2
1⎞
1
3
1
⎠
Resolução Os
Como
triz B
a
é
matriz
do
tipo
A
3
3
3
2,
existe
o
3
e
a
produto
ma-
A
B
elementos
seguinte
c
:
é
a
da
matriz
C
são
obtidos
do
modo:
soma
dos
produtos
obtidos
quando
11
a
ois
o
númer o
de
colunas
da
matriz
A
é
se
multiplica
ordenadamente
a
1
linha
a
igual
ao
número
de
linhas
da
matriz
B ).
deA A
pela
1
coluna
de
de
elementos
supermercado):
B
169
o
c
:
é
a
soma
dos
produtos
obtidos
quando
R7.
Retomando
a
situação
da
abertura
deste
capítu-
12
a
se
multiplica,
ordenadamente,
a
1
linha
a
de
A
pela
2
coluna
de
lo,
vamos
Daniel
B;
nas
manhã
:
c
é
a
soma
dos
produtos
obtidos
calcular
e
as
corridas
da
distâncias
de
cada
percorridas
série
do
por
período
da
tarde.
quando LACIDAR
a
se
multiplica,
ordenadamente,
a
2
linha
a
deA
c
:
é
a
1
coluna
soma
dos
de
B;
produtos
obtidos
OCOF/SPPILIHP
pela
quando
22
a
se
multiplica,
ordenadamente,
a
2
linha
a
de
A
pela
coluna
de
B
temos:
⎛ 0 ⎛
12
⎛ 2
0
1⎞
⎝
2 2
⎠
⎝
1
3
4
0
1
1
2
1
5
4
3
1
⎠
⎝
⎛
1⎞
OGIRDOR
⎞
B
C
LEUNAME
Assim,
2
0
⎠
⎞
1 1
5 0
⎝
1
1
3
⎛
Logo,
1
3
1
Resolução
⎠
Vimos
que
for ma
de
as
⎝
27
17
ma
⎠
matriz.
para
representa Resolver
a
equação
escritas
os
na
dados
da
3
⎛
⎞
a
a
unidade
hora,
velocidade na
pois
a
matriz B
unidade
0
2
1
5
⎞
6min
como
3 min
equivalem
a
equivalem
0,10
h
e
9
a
km/h.
min
0,05
h,
equivalem
5
⎝
a
0,15
h,
temos:
⎠
⎡
5
0,1 0
0,1 0
0, 0 5
0, 0 5
0,1 0
0,1 5
⎤
8
⎡
B
5
1
⎤
12
10
10
12
Resolução
para
a
ocorrência
dessa
⎣
⎦
⎦
mulobter
série
de
as
distâncias
percorridas
em
cada
tiplicação: cada
período
do
dia
nesse
treinamen-
ieL
Para
016.9
condições
91
⎣
São
ed
0, 0 5
0, 0 5
ed
A
0,1 0
orierevef
⎠
ed
2
⎝
.8991
1
X
ser
matricial:
Assim,
⎛
podem
Inicialmente,
riz A
minuto
R6.
tabelas
3⎞
C
e
X
ter
2
colunas,
pois
a
matriz
mul to,
devemos
multiplicar
as
matrizes
A
e B
a
tiplicada
tem
2
linhas;
Em
cada
série
ele
manhãs
correu
por
da
1
semana,
0,10 hora
a
por
8 km/h
X
mais tem
2
0,05
10
km/h,
a
12 km/h
3
⎛
⎞
0
2
1
5
8
1
seja,
0,05
ele
mais
a
12
1
0,10
10)
0,1 0
0, 0 5
0,1 0
0, 0 5
0,1 0
0, 0 5
0, 0 5
0,1 0
15
⎡
5 2
⎝
5
2,4
km
⎤
8
⎡
12 ⎤
⎠
⎣
iguais
⎡
11
12
31
33
⎣
⎦
12
10
10
12
oãçudorpeR
⎠
km
⎞
3
⎝
0,10 hora
percorreu:
.adibiorp
1
ou
⎦
⎤
5
Temos,
então:
⎣
⎛
⎝
a
b
c
d
⎞
⎠
⎛
2
⎝
⎛
⎞
1
⎠
⎝
0
2
1
⎦
⎞ Calculando
cada
elemento
da
matriz
produto,
obtemos:
⎠
c
5 0,10
8
5 0,10
12 1 0,05
0,05
12
5 0,05
8 1 0,10
5 0,05
12
5 0,05
8
0,10
10 5 2,4
11
⎛
a
(
b
2)
a
b
(
1)
⎞
⎛
0
2
1
5
⎞
c
10 1 0,10
12 5 2,9
12
5 (
c
2)
(
c
1)
⎝
⎠
c
12 1 0,05
10 5 2,1
21
⎠
c
0,10
10
0,05
12 5 2,2
22
Igualando
as
matrizes,
obtemos
os
sistemas:
c
0,10
12
0,15
10 5 3,1
31
c
5 0,05
12
0,10
10
0,15
12 5 3,4
32
⎧
5
⎧
⎨
⎩
1 Assim:
⎨ ⎡ 2, 4
2, 9
2,1
2, 2
⎤
⎩
5
Resolvendo
os
sistemas,
obtemos:
3,1
⎣
3, 4
⎦
a
Portanto, 2
em
cada
dia
da
1
semana,
ele
deve
2
b
d 5
5
percorrer
2,4
da
manhã
na
2
e
km
2,9
em
km
cada
em
uma
cada
das
série
séries
da tarde;
a
⎛
Logo,
X
2
5
5
9
2
5
5
⎞
nhã
5
semana,
e 2,2
km
2,1
em
km
em
cada
cada
série
série da
da
tarde;
ma
e
na
a
⎝
170
4
3
⎠
e
semana,
3,4km
3,1
em
km
cada
em
série
cada
da
série
tarde.
da
.trA
(0,10
⎛
hora
linhas.
481
matrizes
ogidóC od
exemplo,
das
laneP
manhã
Propriedades
Dadas
sejam
A
C
matrizes
possíveis,
A
as
B)
1
C
B)
A
da
1
A
valem
5
A
multiplicação
B
e
as
B
C, C
tais
que
seguintes
C
as
operações
entre
elas,
indicadas
abaixo,
propriedades:
associativa)
C
5
A
C
1
B
C
distributiva
à
direita)
B)
5
C
A
1
C
B
distributiva
à
esquerda)
2
⎡
4 ⎤
5
⎡
2
1
2 as
matrizes
A
⎤
4
5
B
1
3
3
4
⎤
5
e
C
2
⎦
3
1 ⎤
2
5
3 ⎤
4
2
⎡
3
4
22 ⎤
7
⎣
⎦
4 ⎤
11
1
⎡
8
⎣
14
⎡ 5
⎣
⎦
2 ⎤
5 1
⎣
⎦
2
⎦
2
⎣
4
⎦
5 A
1
⎦
3 ⎤
5
Considere
1
3
8 1
⎣
Ref lita
B
i
B
A;
logo,
não
vale
a
propriedade
comutativa.
A
B
e
B
A
2
⎡
matrizes?
A
B
5
A
C, C
bem
como
B
i
C
1 ⎤
2
⎦
14
⎡
8 1
⎣
⎡ 3
4 ⎤
5
22 ⎤
5 2
⎣
5
7
⎦
11
A
B
do
cancelamento.
5
A
C
e
i
C;
logo,
não
vale
a
lei
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
.8991 ed
20.
Da
as
as
b)
matrizes
Compare
orierevef
tivas 2
os
produtos
matrizes
4 ⎛
ed
B
1
0⎞
3
1
e
C
91 ed
1
matrizes
iguais,
inventadas.
25.
(Ibmec)
Uma
agência
de
propaganda
utiliza
nas
⎠
016.9 ieL
caso
respec-
são
5
1 ⎠
deter mine,
às
as
produtos
2⎞
⎛
5
com
Os
respectivamente,
A
⎝
obtidos
inventadas.
campanhas
publicitárias
clientes
tipos
três
de
que
material
elabora
para
para
seus
divulgação
em
exista:
e
papel:
laneP
a)
og idóC
b)
A
B
10
4
5
2
a)
B
12
A
C
3
b)
Não
1 ⎠
é
7
⎝
possível
od 481 .trA
( (A
e
A
B B)
0
C
24
12
7
⎝
⎠
.adibiorp oãçudorpeR
o
valor
3
y⎞
x
2
de
x
2 ⎞
⎛
⎠
3
⎝
a
e
de
y
de
modo
que:
1 ⎞
⎛
0
A
1
⎛ 5⎞
B 3
a
1
e
⎝
A
B
5
C
C
em
⎛
X
1
que:
3 ⎞
5
3
⎞
5
0
⎠
⎝
8
⎠
$
$
$
4,00
$
$
$
4,00
$
$
$
6,00
2⎞
5
,
⎝
3
⎛
5
1
matriz
⎠
X
⎛ 3
Dada
7
5
⎝
⎠
equação
A
Tabela
Resolva
1 ⎠
5
23.
grosso.
22.
⎞
alcule
⎝
0
C ) ⎝
⎛
simples;
⎞ e)
c)
(B
⎠
calcular. ⎛
⎛
d)
21.
A ⎝
c)
24
5
1
deter mine
a
matriz
X
⎠ 1
0
2
tal
que
5 a)
O
que
pode
ser
dito
X
é
a
a
respeito
matriz
da
matriz
identidade
de
ordem
X ?
Invente
A
quatro
B 1
1
matrizes
C 2
2
e 3
quadradas:
b)
4
Realize
as
multiplicações
A
e
I 1
I
A
A
e
A
B
I
e
I
B
B
e
B
C
I
e
I
C
C
e
C
4
campanha
os
3
I
gráfica
C
deste
último
ano,
a
agência
1
D
abaixo:
cada
4
a)
D
3
2.
24.
3
e
I
valores
unitário
D
D
e
D
de
dados
médio
impressão.
na
que
PB:
Tabela
a
R$
1,
agência
2,15;
CK:
determine
teve
R$
em
2,70;
o
custo
cada
CKX:
R$
tipo
4,60
4
171
⎦
5
A
Determinante
toda
da
matriz
matriz,
Para
quadrada
que
é
obtido
representar
tituímos
os
o
de
associa-se
por
meio
ou
um
de
determinante
parênteses
colchetes
uma
matriz
número,
operações
de
da
uma
denominado determinante
entre
matriz A
matriz
por
os
elementos
(indicado
barras
da
matriz.
A
por
simples.
Exemplos
a)
A
⎝
b) A
5
0
3
8⎞
1
4
3
6
1
7
[4]
e
det
1
c)
det
A 5
3
1
8
4
6
A
3
1
7
5
1
⎤
A
e 7
det
0
A 5
5
⎣
0
e
⎦
Determinante
de
matriz
de
ordem
de ordem 1 é o próprio elemento de
.
.8991
O determinante de uma matriz quadrada
1
ed
Determinante
de
matriz
de
ordem
orierevef
2
ed
uma
matriz
quadrada
A
de
ordem
2,
o
determinante
de
A
é
a
diferença
91
Dada
ed
produto
diagonal
dos
elementos
secundária,
nessa
da
diagonal
principal
e
o
produto
dos
elementos
ordem.
ieL
da
o
016.9
entre
e laneP
Exemplo
1
[ (2
(
5
3
od
4
og idóC
2 1
4
481 .trA
Determinante
uma
matriz
matriz
quadrada
A
de
de
ordem
ordem
3,
3
o
determinante
de
A
pode
ser
cal-
Obser vação culado
foi
professor
Sarrus
na
pela
regra
de
Sarrus
(1798-1861)
1
a
matriz
A 5
0
regra
de
Sarrus
provavelmente,
Os
foi
em
determinantes
uma
dos
3
2
4
3
5⎠
Strasbourg.
1
⎝ A
2
universidade
Considere francesa
de
ferramenta
sistemas
escrita,
1833.
constituem
útil
no
Pela
regra
de
Sarrus,
o
determinante
é
calculado
conforme
o
procedimento
estudo
1.
Ao
lado
da
matriz,
copiam-se
suas
duas
primeiras
2.
Multiplicam-se os elementos da diagonal princi-
colunas.
lineares.
pal
e,
na
mesma
multiplicam-se
filas
à
sua
direção
os
da
diagonal
elementos
das
2
principal,
outras
0
duas
2
2
0
3
2
3.
Multiplicam-se
secundária
Obser vação
e,
à
sua
os
na
nal secundária,
filas
os
elementos
mesma
da
direção
que3;
objeto
172
de
porém,
ordem
isso
denosso
3
elementos
das
8
0
diagonal
da
diago-
outras
0
2
duas
4
5
1
3
direita.
possível calcular o determinante
matrizes
2
direita.
10
de
a
seguir.
6
12
0
maior
não
será
estudo.
Subtraem-se
as
Então:
5
det
somas
(10
dos
8
1
produtos
0)
(
6
obtidos
1
12
1
0)
nos
5
passos
24
e 3,
nessa
ordem.
oãçudorpeR
Dada
de
.adibiorp
Exe rc íc io resolv id o
R8.
Determinar x para que seja verdadeira a igual dade:
Assim,
temos:
2
3
1
x
2
1
(
5
8
x
1
3x )
(
2x
2
1
6)
5
0
0 2
2x
x
21
1
2x
12
5
0
22
2
x
1
x
6
5
0
Resolução
6 Pela
regra
de
8
( 2 6)
Sarrus: x
5 2
x
2
2
1
1 6 x
2
3
5
1
2
1
x
5
2
ou
x
5
23
2
2x
6
8
x
3x
Portanto,
x
5
2
ou
x
5
23.
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
26.
Dadas
as
matrizes
A
5
(2),
.8991
a
1 ⎛
ed
1
2
1 b)
orierevef
,
0
⎝
3
4
calcule:
d
ed 91
A
b)
2
e
det
B
c)
5
det
C
deter minante
ed
que
016.9
sempre Aplicando
a
regra
de
Sarrus,
calcule
o
valor
de
uma
matriz
de
ordem
3
1
em
27.
0
f
0
O
det
c
2c
2
5
a)
b
2a
uma
vale
linha
zero?
é
E
“o
se
dobro
fosse
de
o
outra
triplo?
linha”
sim;
sim
dos
ieL
deter minantes.
e laneP
a
b
c
d
a bc;
c)
ogidóC od
0
a)
2
0
0
b)
0
c
0
o
481
tem
.trA
Deter mine
o
valor
da
expressão:
.adibiorp oãçudorpeR
2
1
5
3
7
2
1
2
8
2
5
1
seu
8
29.
Dadas
as
1
3
b)
det
(B
fila
valor
a
b
c
d
(ou
triplica?
a
c
b
d
de
uma
linha,
( (ad
bc);
bc)
matriz
ou
de
coluna)
ordem
2
triplicada,
sim
e
O
(A (
deter minante
uma
d)
0
⎛
bc
ad
bc
4
B )
A)
da
calcule: 1
⎝
2
c)
20
deter minante
de
uma
matriz
de
ordem
2
e
o
4⎞
5
det
( (ad
matrizes
2
a)
3
d
0
Se
28.
3
e c
⎠
det
matriz
por
A
det
B
obtida
colunas,
são
dessa,
trocando-se
iguais?
as
linhas
sim
20
a
b
c
d
c
d
b
a
b
d
c
ad
20
bc
( (ad
bc);
e) ( (ad
30.
Dadas
as
matrizes
Deter minantes 1
3
2
⎛
7
4
⎠
,
⎝
calcule:
linhas
(ou
a)
det
3
(A (
1
det
B )
A
12
75
c)
det
(3
d)
det
A
A )
1
det
Em
cada
tes,
ser
item,
responda
feita
em
depois
às
B
22
a
de
calcular
questões.
(Esta
os
0
0
0
0
b
0
0
0
c
b
c
d
e
f
atividade
têm
ou
opostos
abc
pode
deter minante
3
é
sempre
de
uma
igual
ao
matriz
diagonal
produto
deter minante
de
uma
matriz
de
ordem
3
com
32.
diagonal
Calcule
os
principal?
de
or -
elementos
deter minantes
sim
de
I
I 1
linha
dos
0
da
uma
que
iguais
0
a
O
2
são
grupo.)
dem
a)
ordem
deter minan-
O
0
de
per mutadas
225
f ) 31.
matrizes
colunas)
⎠ opostos?
b)
de
1 ⎞
5
⎝
bc)
de
zeros
sempre
vale
zero?
sim
você
imagina
para
o
e
I
2
deter minante
.
Qual
valor
3
de
I
? 4
32.
1,
1,
1.
Espera-se
determinante
de
I
que
é
os
igual
alunos
a
respondam
que
o
1.
4
173
Matrizes
e
determinantes
6 em
planilhas
eletrônicas
Neste capítulo, vimos que matrizes são tabelas que apresentam dados numéricos
dispostos
em
retangular
linhas
em
e
uma
colunas.
planilha
⎛
Observe
como
a
Assim,
uma
eletrônica
2
matriz
3
0⎞
5
9
é
tabela
uma
de
números
dispostos
de
maneira
matriz.
pode
ser
representada
em
uma
planilha
eletrônica: ⎠
Campo
a
cé
u
que
a
se
mostra
Campo
ecionada.
o
que
número
for
o
caso,
associada A1
Números
que
Fórmula
A
mostra
ou,
a
à
quando
fórmu
cé
u
a
a.
2
B
Letras
C
indi cam
co
que
unas
indi cam
da
p
ani
as
ha.
1
as
linhas
da 2
p
ani
2
1
9
ha. 3
7
1
4
4
Se
possível,
informática
levar
da
os
alunos
escola
ou
à
sala
pedir
de
que,
Na
planilha,
letra) casa,
reproduzam
esses
cada
elemento
da
matriz
ocupa
uma
coluna
(indicada
por
uma
em
e
uma
linha
(indicada
por
um
número).
Assim,
o
elemento
indicado
por
A1
procedimentos
é
o
elemento
que
está
na
colunaA
e
na
linha
1
(nesse
caso,
o
número
2).
Usando Algumas
planilhas
os
eletrônica
podem
ter
alunos
que
caso
tenham
a
planilhas
eletrônicas,
é
possível
calcular
o
determinante
quadrada,
além
do
produto
de
duas
exemplo,
vamos
considerar
as
2
3
5
7
⎛ e
matrizes
B
1
4
1 0⎞
3
0⎠
5 2
diferente.
⎝
2
ed
maneira
matriz
planilha
2
de
uma
matrizes.
disponível
Como funcione
de
comandos
apresentados.
orierevef
Oriente
dos
ed
diferentes
8991
eletrônicas.
91
inicialmente,
representar
a
matriz A
na
planilha
ed
Vamos,
eletrônica:
016.9
calcular
o
determinante,
digitamos,
em
uma
célula
vazia
Fórmula
ieL
D2
Para
=MATRIZ.DETERM(A1:B2)
da
e
a
fórmula:
5MATRIZ.DETERM(A1:B2)
em
A1
o
e
determinante
o
último
da
elemento
matriz
está
cujo
em
primeiro
elemento
está
1
2
2
5
3
Determinante
ogidóC od
(Calcula
laneP
D
planilha,
3
B2)
481
vamos
menos
representar
uma
fila
as
entre
matrizes
A
vazia
da
o
produto
planilha,
a
,
digitamos,
em
uma
célula
fórmula:
planilha,
deixando
um
espaço
Fórmula
=MATRIZ.MULT(A1:B2;D1 F2)
A
B
C
E
F
1
2
3
–1
4
10
2
5
7
2
3
0
=MATRIZ.MULT(A1:B2;D1:F2) 3
(Determina
o
produto
da
matriz
cujo
primeiro
elemento 4
está
em
A1
e
o
último
está
em
B2
pela
matriz
Produto de A por B
cujo 4
5
primeiro
elemento
está
em
D1
e
o
último
está
em
F2.) 6
7
A5
A
se
uir,
é
necessário
converter
a
fórmula
em
Fórmula
de
{=MATRIZ.MULT(A1:B2;D1 F2)}
uma A
fórmula
B
C
F
matriz. 1
Selecionamos
na
planilha
o
intervalo
em
que
ficará
2
a
matriz
fórmula
2
3;
e
3
produto,
foi
di
então,
Obtemos,
OCCES
dois
cálculos
casos,
na
Nesse
selecionamos
célula
caso,
um
o
em
que
produto
intervalo
com
2
do
F2
quando
e,
o
os
em
seguida,
produto
alunos
obterão
uma
A
4
linhas
Produto de
4
6
CTRL1SHIFT1ENTER.
tentarem
2
3
0
por
B
17
20
41
50
7
B
realizar
mensagem
7
3
tipo
5
assim,
planilha,
5
a
será
de
os
erro.
Ref lita A4
Fór rmul l
A
=MATRIZ.DETERM(A1:C2)
ES
NOSLIDA
itada.
pela
colunas.
Pressionamos
Nos
iniciando
B
2
4
#VALOR!
0
3
0
a
Usando
NOSLIDA
:SEÕÇARTSULI
4
2
m
5
o
uma
obtiveram
caso
do
determinante,
porque
174
o
isso
número
de
ocorrerá
colunas
porque
de
é
a
planilha
matriz B
diferente
eletrônica,
esses
não
do
é
calcule
o
determinante
de
no
linhas
caso
de
.
do
da
matriz
B
e
o
produto
B
A
resultados.
quadrada;
número
produto
oãçudorpeR
calcular
na
elas:
A5
Para
B
.adibiorp
pelo
.trA
Agora,
de
Exercícios
complem ent a res Registre as respostas em seu caderno
⎛ 34
5.
b)
⎝
49
44
3 8⎞
62
73
87
78
68
20
25
30
27
23 ⎠
41
;
total
de
peças
dos
itens
A,
B
e
C
produzidas
4.
em
cada
(Vunesp)
dia
da
semana.
Considere
três
lojas,
L
L 1
e
L
2
,
e
três
tipos
3
Aplicação de
produto,
P
P
e
1
1
Dadas
as
matrizes
A
5
(
) i j
, 2
em
que
5
2
2
j,
a
e
quantidade
P
2
de
.
A
matriz
a
seguir
descreve
3
cada
produto
vendido
por
loja
na
i j
primeira
semana
de
dezembro.
Cada
elemento
da
a i j
3(i B
5
(
) i j
, 2
3
em
que
j )
5
cons
rua
as
ma-
i j
2
matriz
⎛
0
1
indica
i
loja
⎞
j
a
5
quantidade
1,
2,
do
produto
P
vendido
pela
3.
j
trizes
e
verifique
se
A
5
B 5
B
⎝
1
0
⎠
L
L 3
2.
Dadas
as
matrizes
A
5
(a
) i j
e 3
3
B
5
(b
3
) i j
, 3
3
em
que
3
⎛ 30
P
2 0⎞
19
1
5
1
1
2 j
e
b
i j
5
2i
j
1
1,
deter mine
a
matriz
i j
P 0
⎛
X
5
2A
X
(UEL-PR)
de
14
Durante
Futebol
P
a
primeira
realizada
na
fase
França,
da
em
rocos
e
Noruega.
1
Copa
1
12
16
o
Observe
os
Mundo
grupo
resultados
⎠
Analisando
a
matriz,
podemos
afir mar
que:
alternativa
e
A
a
quantidade
de
produto
do
tipo
vendido
pela
vendido
pela
2
(número
11
⎠
do
1998,
⎝
3
a)
15 2
⎞
5
⎝
3.
7
3B
é
loja
de
11.
2
b)
a
quantidade
de
produto
do
tipo 1
na
tabela
I.
.8991
loja
é
L
30.
3
ed
c)
a
soma
das
quantidades
de
produtos
do
tipo
P 3
orierevef
Tabela
I
Vitória
Empate
Derrota
vendidos
ed
Brasil
2
0
pelas
três
lojas
é
40.
1
d)
a
soma
das
quantidades
de
produtos
do
tipo
P
91 ed
vendidos 0
1
2
Marrocos
1
1
1
loja
L
i
5
1,
2,
3,
é
52.
016.9
Escócia
pela
ieL
e)
a
soma
das
quantidades
dos
produtos
dos
tipos
P 1
e
ven
laneP
e
i
os
pe
a
oja
L
2
Noruega
1
2
ogidóC
od
de
481
.trA
empate
ou
.adibiorp
observada
derrota)
na
tem
tabela
uma
pontuação
que
acordo
sua
vez,
máquina
oãçudorpeR
Pontuação
I
⎛
Vitória
com
o
funcionamento
ser
por
II
3
número
de
peças
H
5
apresentadas
apresenta
trabalha
por
o
⎝
na
dia
da
feitas
por
hora
de
A
de
horas
matriz
que
S
cada
II
2
3 ⎞
A
4
5
B
S
2 ⎠
1
S
T
8
7
6
9
Q
Q
S
8
7
7
11
10
Dê
os
b)
Calcule
c)
8 ⎠
II
C
H
a)
I
5
S
3
tipos
das
matrizes
,
S
3
e
2
,
2
3
(
( (H
S)
5
3
3
5
S ).
0
N o r u e ga
⎤
o
produto
Quantos
itens
C
H
S.
Que
informação
são
produzidos
5
ele
nos
dá?
na
62
r r ocos
A matriz C
semana.
1
Derrota
matrizH. H
número
⎝
Empate
.
pode
II.
Tabela
4
0
5.
é 1
quinta-feira?
itens
B;
27
itens
C
, que representa a pontuação E a
6.
r mine
o
valor
de
x
que
satisfaz
cada
equação.
⎦
⎣
final
de
cada
país,
ao
tér mino
dessa
primeira
fase,
é:
a)
2
4
1
1
2
x
0
3
2
x
2
4
5
5
ou 2
⎡6⎤
⎡5⎤
⎡7 ⎤
4
2
1
c
a) 4
3
1
3x
b) 5
⎣
⎦
⎣
1
2
5
6
2
6
6 ⎦
⎣
2
0
⎦ 1
⎡6⎤
⎡7 ⎤
1
1
1
2
1
alternativa
b)
Após
d)
obter
matricial
o
produto
(Tab.
I)
(T ab.II),
⎛
é
preciso
observar
a
Dada
a
matriz
A
em
⎞ ,
0
1
calcule
(det
A )
,
sendo
⎠
C
6
4 ⎣
países
1
5
ordem
⎝ dos
1
n
7.
4
5
⎦
⎦
n
Z
1
175
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
Exercícios
complem ent a res
Aprofund amento
⎛
3
1
⎞ ⎛ x
Considerando
a
matriz
A
5
,
2
encontre
uma
matriz
B
tal 1
⎛
1
5
2
a
matriz
nula
de
ordem
Deter mine
a
matriz
X
tal
que
X
A
B
5
3B
5
I
⎞
2
B 5
2.
⎝
9.
que
5
⎠
3
sendo
y⎞
5
2
3
3
1
5
,
⎠
sendo:
3
1
5
0⎞
21
2
3
⎛
a)
B
5
7
⎝
0
2
⎛
X
3
5
⎝
5
0⎞
5
9
0
7 ⎠
⎛
b)
B
5
⎠
⎝
1
5
0⎞
1
2
3
27
0
22
X
5
2
15
3
7
0
9
0
5
⎠
Exe rc íc io resolv id o
R9.
Dado
um
triângulo
R
T
em
um
plano
cartesiano,
conhecidas
as
coordenadas
dos
8991
y
1 R
D
,
u
D
ed
A
y
1
S
orierevef
2 y
1 T
ed
a
$D$
te
de
ordem
3,
tal
pelas
a
área
do
dos
pontos,
triângulo
RST
a
2
1
,
pelas
dados
os
ordenadas,
pontos
R (
2,
e
a
2),
3
,
por
coluna
é
S (4,
3)
1.
e
T (5,
016.9
Deter minar
abscissas
a
a
ed
for mada
que:
91
a
3).
ieL e
Resolução
5
1
3
1
5
3
1
5
237
481
2
4
ogidóC od
2
D
laneP
.trA
1 5
.adibiorp
37
A
18,5
RST
2
Observe
o
a
área
do
triângulo
triângulo
AB
é
18,5
unidades
de
área.
oãçudorpeR
Logo,
y
.
C
a
a)
área
de
da
super fície:
base
3
4
medida
da
altura
NOSLIDA
medida A
sua
OCCES
Deter mine
5 ABC
2 6
unidades
de
área
A
b)
6
unidades
R9
de
1
área
1
⎡ 11.
(UFSC)
A
matriz
M
0
2
4
0
0
3
v
r
.
o
i
A(0,
0,
a
mesmo
será
0),
matriz
B (2,
está
igual
a:
0)
e
C (4,
da
anterior
alternativa
sendo
usada
para
representar
3)
de
um
operação
de
triân
ulo
indicará
representação.
ABC.
os
Em
Multiplicando-
vértices
tais
do
triân
condições,
ulo
a
M
A
área
coordenadas
dos
por
B
C
do
uma
,
de
constante
acordo
triângulo A
com
B
C
d
2
k
as
⎦
resultante
padrão
⎤
5
⎣
x
2
k
c
2
k
d)
k
e)
k
Desaf io
12.
Considere
Construa
176
o
quadrilátero
esse
ABCD,
quadrilátero
no
cujos
plano
vértices
são
cartesiano
e
A(0,
0),
B (3,
deter mine
sua
1),
C (6,
área.
Ver
3)
e
D (2,
resolução
4).
no
Guia
do
professor.
Registre as respostas em seu caderno
Autoavaliação
5⎞
⎛ 3
1.
Uma
matriz
de
ordem
2
é
uma
matriz:
alternativa
Multiplicando-se as matrizes
b
1
⎝ a)
identidade.
b)
quadrada.
c)
nula.
d)
2.
⎝
obtém-se
linha.
forem:
alternativa
a)
opostas.
b)
nu
c)
de
d)
7.
c
matriz
de
3
ordem:
3
3
4
c)
2
3
2
b)
3
3
5
d)
3
3
3
Na
multiplicação
priedade:
de
alternativa
a)
associativa.
b)
distributiva
c)
comutativa.
matrizes,
2
3
4⎞
1
2
1
2
⎠
⎠
alternativa
a)
não
é
a
válida
a
pro
c
as.
mesmo
à
esquerda.
à
direita.
tipo.
quadradas.
d)
3.
uma
0
1 e
1
Sejam
as
e
matrizes 2
3
.
3
3
3
Os
produ-
⎛ 2
2
8. tos4
A
B
e
4
B
A
distributiva
alternativa
O
deter minante
da
é:
⎝
a)
iguais.
b)
opostos.
.8991
c)
3⎞
matriz
alternativa
d
d
a)
4
5
⎠
10
22
dos
tipos
3
3
3
e
2
3
2.
dos
tipos
2
3
2
e
3
3
3.
c)
10
ed
respectivamente,
respectivamente,
orierevef
22
Se
et
ed
d)
91
⎛
ed
4.
As
⎞
⎛
matrizes
1
0⎞
e 0
016.9
⎝
ieL
iguais.
b)
opostas.
c)
identidades.
9. são:
⎠
⎝
0
alternativa
A
i
0,
então
a
matriz
A
é:
alternativa
d
d
1 ⎠
a)
matriz
b)
nula.
linha.
c)
diagonal.
e
a)
2
laneP ogidóC od
d)
481
10.
.trA
5.
d)
n
n
Se
det
m
n
ri
r
diagonais.
Na
de
matrizes,
o
número
de
colunas
A
afir mar
.adibiorp
primeira
da
oãçudorpeR
a)
matriz
segunda.
deve
ser
alternativa
igual
ao
número
de
c)
subtração
d)
e
A
é
uma
alternativa
matriz
de
ordem
2,
podemos
d
linhas a)
det
b)
det
(
A A)
⎛
5
25
igualdade
A
⎞ 5
⎝ adição
5
que:
a
multiplicação
b)
5
da
10
0,5
⎠
c)
det
(2A) A
5
10
d)
det
(2A) A
5
2
Retomad a de conceitos
Se
você
Releia
a
não
acertou
teoria
e
alguma
refaça
os
questão,
exercícios
consulte
a
tabela
e
verifique
o
que
Número
Objetivos
Identificar
Operar
do
uma
estudar
novamente.
2
3
4
da
questão
5
6
7
X
X
X
8
9
10
X
X
X
matriz.
rminante
ra
X
uma
a.
livro
aoconceito
1
matrizes.
o
qua
Páginas
capítulo
classificar
com
r
matriz
e
do
precisa
correspondentes.
referentes
160
a
165
165
a
167
160
a
171
160
a
165
163
a
171
160
a
171
168
a
171
172
e
173
160
172
a
e
165,
173
172
e
173
177
l
o
t
u
í p
C
a
9
Sistemas lineares
OTOHPEMARF/YKSN M OK ASI
Lama
da
Objetivos
do
e
detritos
barragem
de
do
mineração
Fundão
em
provenientes
Mariana,
do
rompimento
2015.
capítulo
Introdução
MG,
Representar
e
resolver
ao
estudo
1 de
situações-problema
sistemas
lineares
usando sistemas lineares.
Frequentemente
Reconhecer
e
iniciada
sistemas
lineares.
forma
de
quaç
o
e
Mariana,
calcular
Aplicar
o
método
deparamos
tradução
sistemas
de
de
com
o
2015,
tempo
como
por
de
dados
situações-problema
para
a
linguagem
cuja
solução
matemática
pode
por
meio
ser
de
equações.
ambientais
em
seus
o
rompimento
exemplo,
chegada
da
podem
lama
da
ser
ao
barragem
analisadas
oceano,
no
de
por
uma
meio
estado
do
mineradora
de
equações:
Espírito
sistema
de
equações
Santo,
lineares.
conhecemos
os
métodos
da
adição
e
da
substituição
para
a
resolução
de
siste-
na mas.
de
um
do
Já
escalonamento
resolução
a
vice-versa
resolve-se
ou
Tragédias
em
para
matricial
com
equações
Apresentar sistema linear
em
nos
classificar
Veremos,
neste
capítulo,
o
método
do
escalonamento,
também
chamadode
sistemas método
da
eliminação
de
Gauss-Jordan.
Esse
método
guarda
semelhanças
lineares comométodo
feita
178
com
da
adição
computadores,
e
constitui
de
uma
problemas
poderosa
complexos.
ferramenta
para
a
resolução,
SEG
Acompanhe
Luís
foi
notas
efetuado
o
a
situação
caixa
de
a
seguir.
eletrônico
R$
10,00,
R$
sacar
20,00
R$
e
100,00
R$
50,00,
de
de
sua
conta.
quantas
Se
no
maneiras
caixa
ele
havia
pode
EVETS
apenas
ao
lineares
YTTEG/LLEWNUD
Equações
MI
2
ter
saque?
Esse é o tipo de problema que pode ser expresso por meio de uma equação linear .
Chamando
R$20,00
à
e
de
equação
A
de
z
10x
equação
.8991
Equação
x
o
1
o
número
número
20y
10x
1
linear
1
50z
20y
é
de
de
1
5
de
de
R$
R$
10,00,
50,00,
5
100
equação
é
chamada
do
tipo
a
ed
9
NR,
em
que
x
x 1
orierevef
os
coeficientes
,
...,
x
2
das
são
as
de
x
1
n
de y
o
número
podemos
de
associar
cédulas
essa
de
situação
100.
50z
toda
cédulas
cédulas
equação
a
1
incógnitas;
x
2
os
...
linear
1
a
2
5
n
números
a 1
incógnitas;
e
b,
real,
é
o
termo
b,
com
n
reais
n
,
...,
a
2
são
n
independente.
ed 91 ed
Exemplos Obser vação
016.9
1 a)
x
1
3x x
1
x
2
5
7
b)
x
3
5
c)
3
2x
1
3y
z
5
0
2
ieL
As
equações
e
equações
laneP
Quando
o
termo
independente
é
nulo,
a
equação
linear
é
abaixo
não
são
lineares.
dita homogênea 2
x
1
ogidóC od
com
2.1
Solução
de
uma
equação
linear
3y
z
5
7
expoente
incógnita
diferente
3 (incógnita
x
y
x
de
1)
no
481
y
.trA
Acompanhe
as
afirmações
a
denominador)
seguir.
.adibiorp
3x
1
2y
5
1,
pois,
x
1
mais
oãçudorpeR
por
3
3
1
0
8
,
de
2
isto
é,
obtemos
3
5
3
0
essa
uma
a
5
5
0
...,
5,
3
que
Solução
a
por
1
1
y
2
Note
a
e
14
0
é
não
equação
é
é
que
a
a
1
a 1
3
3
x
1
5
0
2
2y
5
3z
5
5
uma
(termo
3
incógnita)
1
14,
pois
verdadeira.
1
2
3
0,
pois
homogênea.
é
toda
a
de
verdadeira.
a
...
a
2
a
n
ênupla
x
1
a
sentença
senten
n
tal
verdadeira:
uma
linear
sentença
uma
equação
uma
3yz
substituindo x
a
1
5
b
ordenada
x
...
a
2
seja
de
x
números
5
b
reais
verdadeira,
n
verdadeira.
n
Exe rc íc io resolv id o
R1.
Sabendo
que
deter minar
o
o
par
ordenado
valor
de
(2 a
a)
é
solução
a,
obtemos:
da
equação
4x
1
3y
510,
a
Resolução
Substituindo
x
por
2a
e
y
por
1 4
(2a )
3
(a )
5
10
V
8a
3a
5
10
V
a
5 11
179
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
1.
Verifique
se
os
ter nos
ordenados
a
seguir
são
3.
Encontre
duas
soluções
para
Respostas
soluções
da
equação
linear
2x
1
y
1
3z
5
11.
2a
1
3b
c
5
(1,
a)
(1,
3,
2)
b)
sim
(2,
2,
2)
1,
1),
2
⎛
Deter mine
da
k
equação
de
modo
linear
2x
que
1
o
3y
par
5
(3,
12.
k )
seja
Verifique
se
Sistema
Acompanhe
a
Química,
reagentes
ceamento
par
(1,
1,
5)
(0,
e
(
0,
2,
0),
2,
2)
é
situação
uma
igual
pelo
Considere
a
de
a
é
está
número
método
reação
de
balanceada
átomos
algébrico:
de
3
x
solução
comum
das
⎠
3y
5
1
e
x
1
3y
5
5.
sim
lineares
seguir.
equação
ao
lineares
equações
⎞
3 ⎝
equações
3
o
solução
2
Em
equação
não
4. 2.
a
possíveis:
0.
dos
resolvendo
combustão
4
gás
"
um
número
H
2
de
Podemos
sistema
metano,
2
o
de
átomos
fazer
equações
representada
o
dos
balan-
lineares.
pela
equação:
.8991
CH
do
quando
produtos.
2
ed
de
orierevef
reagentes
Número
produtos
átomos
1
carbono
(C):
átomos
hidrogênio
(H):
4
hidrogênio
(O):
2
oxigênio
1
(H):
91
de
(C):
ed
Número
carbono
2
ed
(O):
3
016.9
oxigênio
ieL
balancear
essa
equa
ão,
multiplicamos
cada
substância
por
uma
incó
nita:
e
Para
laneP
CH
1
b
4
Com
isso,
formamos
um
"
c
2
sistema
de
1
d
ogidóC od
a
2
2
equações
lineares:
481
4a
5
2d
...........
2b
5
2c
sistema
com
n
S
de
incógnitas
é
5
"
1
d
equações
um
lineares,
conjunto
de
4a
5
2d
2b
5
2c
ou
1
…
do
de
m
equações
tipo:
x n
x
1
5
linear,
lineares
1
S
d
sistema
equações
1
⎧
c
oãçudorpeR
.......
Um
5
.adibiorp
a
.trA
...........
2
2
32
2
…
⎨
31
1
a 3
b m1
⎩
em
que
,
x
,
...,
x
1
reais;
e
b
são
as
m
incógnitas;
a
n
b
,
...,
11
b
1
são
os
termos
a
,
...,
1
a
,
...,
m1
a
são
os
coeficientes
mn
independentes.
m
Exemplos
Obser vação ⎧ a)
S
5 1
O
sistema
S
também
pode
escrito
x
5
3
⎨
ser
x
2
y
5
x
x 3
⎧
4
x
x 2
5
x
x
x
5 2
b)
2
S
5 2
x
2 2
3
⎨
x
x
x 2
5
4
1
2
3
5 1
⎩
180
assim:
x
S
7
⎩
2
3
3.1
Solução
Veja
as
1
x
1
de
seguintes
2y
5
4
5
5
um
sis tema
equações
e
(1,
algumas
(1,
2)
linear
de
2)
suas
soluções:
esse
par
ordenado
é
uma
solução
do
sistema:
y
⎧ Então,
⎨ y ⎩
a
a 1
n
incógnitas
Veja,
no
,
...,
a
2
plano
m
equações
com
n
quando
é
solução
cartesiano
de
cada
uma
representado
das
equações
do
sistema.
ao y
lado,
da
que
os
equação
pares
2x
1
ordenados
y
54
que
são
representam
pontos
Obser vação
r
soluções
da 6
r, r
e
cada
presenta
ponto
uma
da
solução
reta
da
r,
por
sua
equação
2x
vez,
1
y
A
re
5
OCCES
reta
4. 4
x
1
2y
5
s
P
x +
de
uma
Explicitando
como
by
5
representa
algébrica
NOSLIDA
s
equação
também
=
a
lei
(x),
c, com
a
b
i
0,
expressão
função
dessa
afim.
função
podemos
escrever
2
a
,
c x
5 2
1
,
.8991
b
intersec
ão das retas
e s
gráfico
ed
ráfica
desse
com
b
i
0.
Seu
b
sistema. –1
1
é
uma
reta
não
ver tical.
x
5
orierevef
Exemplos Ref lita
ed 91
⎧
ed
a)
Vamos
considerar
o
sistema:
⎨
Represente,
em
um
mesmo
plano
016.9
⎩ car tesiano,
ieL
2
2
1
3
5
7
de
2x
1
y
as
5
soluções
7
e
de
gráficas
3x
y
5
3.
e laneP
e
3
2
3
5
Em
seguida,
par(2,3)
ogidóC od
1
⎧ b)
Seja
o
sistema:
2
verifique
representa
que
o
o
ponto
5 22 comum
às
duas
retas
obtidas
e,
⎨ y
5
0
⎩
por tanto,
é
solução
do
sistema
481
doexemploa
.trA .adibiorp
y
1
⎧ esses
valores
nas
equações,
temos:
sentenç a
v
T
⎨ x
y
⎩
⎨ 1
tença
⎩
y
oãçudorpeR
2 2x
1
y
3 3x
5
y
3
7
y
7
1
5
OCCES
x
0
5
Exe rc íc io resolv id o
Resolver
o
sistema
de
equações:
5
2
x
y
5
5
3
(I)
⎨ x
y
NOSL
3 3x
y
⎧ R2.
P
3
24
y
1
(II)
2
⎩ 0
3
1
Resolução
2 2x
A
Multiplicando
a
equação
(I)
por
5
e
adicionando
as
duas
2x 1
y
5
x
y
5
3
1
y
se
equações, interceptam
no
ponto
(2,
3).
Logo, P (2,
obtemos: é
20
⎧
5 2
0
a
solução
do
sistema.
( III )
⎨ 1
5
24
(II )
⎩
18y
5
Substituindo
Logo,
o
236
y
por
conjunto
V
2
y
5
em
solução
2
(II),
do
obtemos
sistema
é
x
S
4.
5
{(4,
2)}.
Obser vações
ou mais equações por números convenientes e, em seguida, adicioná-las membro a membro.
equações
do
sistema.
181
3)
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
3 e
2
2
⎧x 5.
Os
pontos
A
B
1,
2)
são
soluções
8.
da
Considere
o
sistema:
y
5
0 Ver
resolução
no
⎨ x
3
y
Guia
2
do
professor.
⎩
equação
6.
Se
a
a
y
b
5
solução
se
5
ax
0,
1
Calcule
então
comum
podem
b.
obter
a
das
de
5
0
duas
(2 x
1
os
valores
ou
b
5
0.
equações
y )(
x
1
de
a
e
a)
Dê
b)
Em
Encontre
lineares
y)
b
5
S
c)
{(0,
soluções
um
mesmo
soluções
que
5
três
gráficas
Identifique
a
para
plano
de
cada
equação.
cartesiano,
cada
solução
represente
as
equação.
gráfica
do
sistema.
0)}
9.
Alguns
alunos
faziam
prova
em
uma
sala.
Em
dado momento, 5 meninas terminaram e saíram da 7.
As
retas
r
e
s
são,
respectivamente,
as
represala,
sentações
gráficas
das
equações
m x
2y
5
2
do
x
1
n y
ficando
o
número
de
meninos
igual
ao
dobro
e número
de
meninas.
Depois
de
alguns
minutos,
5 7
meninos
na
y
sala
o
ter minaram
mesmo
a
prova
número
de
e
saíram,
meninas
e
ficando
de
me-
r
ninos.
Deter mine
o
número
total
de
alunos
que
s
P
faziam
2
–1
x
6
10.
1
⎛ n 5
6
e
a
Misturam-se
⎞
gordura,
m
n
e
as
coordenadas
de
dois
outro
sala.
tipos
com
4%
26
alunos
de
leite
de
gordura
—
um
—
com
2%
para
de
obter,
2
ao todo,
nessa
3, ⎝
prova
80
litros
de
leite
com
2,5%
de
gordura.
Quantos litros de leite de cada tipo são misturados?
P
20
c
misturados
de
leite
60
com
c
de
4%
leite
de
com
2%
de
g gordura
.8991
São
e
gordura.
ed
de
um
sis tema
linear
ed
Cla ssif icação
orierevef
3.2
91
sistema
linear
é
classificado,
de
com
seu
número
de
soluções,
em:
Obser vação
016.9
acordo
ed
Um
lineares tem mais de uma solução,
então
ele
tem
infinitas
laneP
e
ieL
Se um sistema de equações
soluções.
ogidóC od 481
uma
o
loja
pedido
decorante
a)
para
100,00,
R$
R$
80,00,
R$
a
máquina,
mistura
a
látex
quantidade
preenchendo
latas
e
de
de
corante
litros
confor
de
20litros,
látex
e
obtenha
R$
sendo
o
preço
do
litro
de
látex
R$
4,00
e
o
do
litro
de
8,00.
sendo
o
preço
do
litro
de
látex
R$
4,00
e
o
do
litro
de
c
-
o
preço
do
litro
de
látex
R$
4,00
e
o
do
litro
de
c
-
4,00.
60,00,
rante
que
máquina
Calcular
SAERDNA
R$
rante
c
uma
de:
R$
corante
b)
tintas,
consumidor.
S/SUARK
latas
de
do
sendo
4,00.
Resolução
a)
Repr esentando
por
x
e
entre
y,
quantidade,
construímos
1
em
litr o,
sabendo
de
que
látex
sempre
e
de
haverá
corante
mistura
sistema:
20 ,
⎨ x
o
e
1
com
0
x
5 100
y
⎩
r
S
,
obtemos
x
5
15
e
y
5
s
=
{P }
V
SPD
NOSLIDA
Resolvendo
20
5.
1
r
Logo,
o
conjunto
solução
é
S
5{(15,5)},
isto
é,
tem
S
apenas
uma
1
constituindo
um
sistema
possível
e
determinado
(SPD)
s
25
Representando
graficamente
o
sistema,
obtemos
segmentos
de
x
reta,
contidos
nas
retas
r
e
s,
confor me
mostra
a
figura
ao
lado.
20
:SEÕÇARTSULI
12,5
solução,
OCCES
5
a
respectivamente,
eles,
⎧x S
182
oãçudorpeR
me
.adibiorp
Em
KCOTSRETT
R3.
.trA
Exe rc íc io resolv id o
b)
Nesse
caso,
S
construímos
1
⎧
,
⎨
2
x
o
sistema:
20
1
com
0
5
⎩
A
segunda
equação
primeira
equação,
Algumas
das
é,
em
ambos
os
representando,
infinitas
soluções
de
membros,
assim,
S
são
a
o
quádruplo
mesma
(1,
19),
da
infor mação.
(2,
18),
(3,17)
e
2
(5,3;
0
,
14,7).
k
,
Logo,
Note
20
S
5
(k
que
Ñ
essas
soluções
são
do
tipo
(20
k
k ),
com
R).
{(20
k ,
k )
k
Ñ
R
e
0
,
k
,
20}
e
S
é
um
sistema
2
possível
e
indeterminado
Representando
reta,
contidos
(SPI)
graficamente
nas
retas
r
e
o
s,
sistema,
confor me
obtemos
mostra
a
segmentos
figura
de
abaixo.
y r
s
=
r
=
s
V
SPI
20
x 20
Note
que
os
segmentos
infinitos
.8991
c)
Para
ed orierevef
5
reta
pontos
essa
em
em
retas
as
duas
equações
coincidentes
e
são
apresentam
construímos
o
sistema:
20 ,
x
r epr esentam
comum.
⎨
3
que
contidos
situação,
1
⎧ S
gráficos
de
1
5
com
0
60
⎩
ed
Resolvendo
S
,
temos:
3
91
5 28 0
ed
⎧
016.9
⎨ 5
60
⎩
ieL e
0x
laneP
Não
1
0y
há
ogidóC od
tanto,
5
220
valores
S
5
Ö
e
V
para
S
é
0
x
5
e
220
y
um
(sentença
que
tor nem
sistema
a
falsa)
sentença
impossível
verdadeira.
Por
(SI)
3
Representando
481
reta,
contidos
graficamente
nas
retas
r
e
o
s,
sistema,
confor me
obtemos
mostra
a
segmentos
figura
de
abaixo.
.trA
y
.adibiorp
r
s
=
V
SI
20
oãçudorpeR
r OCCES
15
s 20
que
mentos
pontos
os
de
em
gráficos
reta
que
contidos
representam
em
retas
as
paralelas
duas
equações
distintas
e
não
são
:SEÕÇARTSUL
Note
NOSLIDA
x
15
seg-
possuem
comum.
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
11.
Classifique
⎧x a
y
os
5
sistemas
em
3
⎨
c)
SPD
x
y
5
SPD,
SPI
y
⎧
5
ou
⎨
6
a)
um
sistema
possível
e
indeter minado.
b)
um
sistema
possível
e
deter minado.
k
k
i
5
0
0
SI
3x
⎩
SI.
3
5
9
⎩
⎧ 13.
Considere
o
sistema:
3y
5
a
2y
5
5
⎨
⎩ ⎧x
y
5
3
⎧ SPI
b)
SPI
d)
⎨ x
y
5
a)
⎨
6
Existe
⎩
possível
o
⎧x
5
k
tal
que
de
a
x ⎩
indeter minado?
ara
o
valor
Caso
exista,
resolva
encontrado.
y
Existe
algum
valor
de
a
que
tor ne
o
sistema
seja:
y
⎨
e
sistema
2 b)
Calcule
valor
3
⎩
12.
algum
1
kz
5
possível
e
deter minado?
sistema
para
Caso
exista,
resolva
o
0 o
valor
encontrado.
⎧ 13.
a)
S 5
sim, 2
⎨
5
n
⎫
2k k
$k
Ñ
R
⎬
⎭
183
SEGAMI
3.3
Sis tema s
YTTEG/OR
Acompanhe
Um
jogo
a
para
lineares
situação
a
homogêneos
seguir.
smartphone
tem
início
com
a
distribuição
de
fichas
coloridas
aos
EJ ET
participantes.
A
tabela
abaixo
apresenta
a
quantidade
de
fichas
de
cada
cor
que
A RAM
cada
jogador
recebeu.
Azu
Ana
dor,
a
soma
sistema
inicial
formado
é
Representando
o
Branca
3
(
)
Cinza
2
1
Laís
2
3
João
6
zero.
pelo
(a)
Para
número
valor
de
calcularmos
de
cada
fichas
cor
b
b
⎨
a
de
por
a
⎧
1
1
cada
de
5
c
5
5
cada
ficha,
basta
resolver
o
jogador.
inicial,
c
7c
valor
sua
1
b
o
(c)
construímos
o
sistema:
0
⎩
.8991
A
sentença
é
verdadeira
para
a
1
0
quaisquer
1
0c
5
valores
2
e
icionan
os
orierevef
0
de a
b
e
c
ed
ed
⎧3a
c
0
2
5
a
a,
c
⎧
obtemos:
5 c
⎨
b
5
c
0
c
5 2a
laneP
b
e
⎨ b
⎩
⎩
Pela
a
5
a
b
5
2a
substituição
de
e
a
c
b
5
e
c,
a
verificamos
que,
para
a
Ñ
R
a
2a
a
ogidóC od
Logo,
481
do
para
ieL
1
real
016.9
valor
ed
um
91
Atribuindo
sistema:
.trA
a
2
1
6
2a
2a
2a
particular,
Quando
1
a 5
a
5
0
3a
5
0
1
7a
5
quando
0
a
5
a
⎧
Note
que
no
sistema
oãçudorpeR
a
Em
2
1
.adibiorp
a
inicial
1
1 c
1
⎨
a
a
2a
a
1
1
5
c
1
5
7c
0
os
0
5
termos
independentes
de
0
⎩
todas
as
equações
Quando
sistema
todos
é
lineares
os
são
termos
denominado
nulos.
independentes
de
um
sistema
linear
são
nulos,
o
homogêneo
Exemplos
⎧
y
2z
⎧
0 ⎧4
a)
y
⎨
b)
z
c)
⎨ 0
y
1
y
y
z
t
5
2 ⎨
0
0
z
1
y
0
x
Ref lita Todo
como Existe
algum
sistema
homogêneo
que
menos,
solução?
Não;
uma
sempre
184
há
a
sistema
solução.
linear
Essa
homogêneo
solução
é
com
chamada
n
de solução
nula
trivial
ou
imprópria
linear
não
tenha,
solução
pelo
mada
trivial
ou
infinitas
de
soluções.
não
nula
não
trivial
ou
própria
Exe rc íc io resolv id o
⎧3
R4.
Deter minar
a
e
c
para
que
o
sistema
y
2x
⎨
1
2z
z
x ⎩
eincógnitas
x
y
e
z
Resolução ⎧
O
sistema
é
homogêneo
0
se:
c
c
⎨
1
c
0
5
a
⎩
Como
c
Logo,
para
b
5
21
5
e
1
c
e
a
5
que
5
2c,
o
temos
sistema
a
5
seja
21.
E,
como
homogêneo,
a
5
b,
temos
devemos
ter
b
a
5
5
21.
21,
1.
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
14.
Calcule
a
m
mesma
1
.8991
⎧
e
n
para
solução.
5
5
5
1
os
e
⎧3 e
⎨ 3y
que
m
sistemas
n
5
5
abaixo,
de
incógnitas
x
e
,
tenham
3
m
⎨ 1
6
n
ed
⎩
orierevef
15.
Dado
o
sistema
homogêneo
de
incógnitas
x
y
e
z,
deter mine
ed
a
91
⎧
y
5
2,
b
5
a
23
b
e
c
e
c
5
4
2
a
ed
c
016.9
⎨
x
y
1
⎩
ieL e laneP ogidóC od
3.4
Matrizes
a ssociada s
a
um
sis tema
481 .trA
Todo
sistema
.adibiorp
coeficientes
das
linear
pode
equações
ser
que
associado
formam
o
a
matrizes
cujos
elementos
são
os
sistema.
oãçudorpeR
Exemplos
⎧3 a)
Vamos
considerar
o
sistema:
y
⎨ x
y
5
3
⎩
⎛ 3
matriz
associada
incompleta a
2⎞ ,
matriz
⎝
apenas
pelos
coeficientes
das
incógnitas.
⎛ 3
formada
⎠
matriz associada completa
m
2
riz
5⎞ , formada
7
pelos
coeficientes
das
incógnitas
e
pelos
termos
independentes.
⎧
b)
Para
o
sistema
1
x
x
,
definimos:
5 25
⎩
⎛
1
2
1⎞
2
3
5
⎛ 1
1
⎝
matriz
2
⎠
⎝
associada
das
que,
equa
quando
ões,
seu
uma
das
3
1
matriz
incompleta
Note
1
8
2
5
10
0
5
⎞
⎠
associada
completa
incó
coeficiente
é
nitas
do
sistema
não
aparece
em
al
uma
nulo.
185
Representação
Aplicando
incompleta
de
equação
a
matricial
definição
associada
a
de
um
de
um
sis tema
multiplicação
sistema,
é
de
possível
matrizes
e
o
representar
conceito
um
sistema
de
em
matriz
forma
matricial.
Exemplos
y
⎧ a)
Sistema:
⎨ 5 21
x
Representação
Podemos
⎛ 1
3⎞
⎝ 7
4⎠
verificar
essa
x 8
matricial:
⎛
7⎞
⎝
1 ⎠
5 ⎝ y ⎠
representação
matricial
efetuando
a
multiplicação
de
a
multiplicação
de
matrizes:
⎛
⎛
⎞ 3
1
x
⎞ 7
8
⎝
7
1
4
5 y
⎠
⎝
1 ⎠
x
3
1x
1
3y
5
7
y
5
2
y
"
x
.8991
y
ed
z
ed
Sistema:
orierevef
y
⎧ b)
⎨
91
z ⎩
ed
matricia
⎞
⎛ 3⎞
: 0
⎝
2⎠
laneP
matricial
efetuando
matrizes:
ogidóC
representação
e
essa
⎠
⎠
⎝
verificar
ieL
⎝1
Podemos
016.9
⎛ x ⎞ ⎛ Representação
od
1
0
⎞ ⎛
2 ⎠
⎞
z
⎠
"
x
"
x
2y
1z
5
3
2z
5
1
oãçudorpeR
x
3
1
⎝
1
x
⎞ 1
.adibiorp
2
.trA
⎝
1
481
⎛ ⎛
y
z
x
1
0y
1
Exe rc íc io resolv id o
R5.
Resolver
2
1
3
1 ⎠
o
sistema
x
associado
à
e
uação
matricial:
⎛ 0⎞
8
⎝
linear
5 y
⎠
⎝
5
⎠
Resolução
⎧2 O
sistema
correspondente
à
equação
é:
y
5
0
x
5
⎨ y
Pelo
método
Logo,
186
o
da
adição,
conjunto
obtemos
solução
do
5x
sistema
5
é
5.
S
Então,
5
{(1,
2)}.
1
e
y
5
2.
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
⎛ 16.
Escreva
o
sistema
correspondente
a:
19.
Ve r i f i q u e
⎞ é
se ⎝
2
5
solução
da
equação
⎠
⎛ x ⎞ ⎛ 3
2
1⎞
⎛ 2⎞
5
4
3
⎝
⎧
a)
x
y
x
y
z
5
2
⎨
⎝
⎠ ⎝
z
z
⎛ 2
matricial:
⎠
⎛
2
3
1
4
0⎞
⎛ x ⎞
⎧
2x
5
y
⎨
x
5
⎝
0
6
⎠
z
⎠
6
5
⎛ 0⎞ 5
⎝
⎠
y
⎠
sim
2 ⎠
⎝
2⎞
⎛
0
⎝
x 8
⎝
b)
5⎞
⎠
z
5
5
0
20.
Deter mine
quais
dos
ter nos
ordenados
são
solu-
3
⎩
⎠
⎝
22
z
ções
do
sistema
linear:
alternativas
b,
c,
d
x ⎞
Construa
pleta
a
matriz
para
incompleta
cada
um
dos
e
a
matriz
⎛1
1
1⎞
1
1
2
⎛ 0⎞
com-
⎝
sistemas.
z
⎧3
y
5
z
0
z
⎨
1
y
5
2z
5
2
⎩ 5
z
a)
1,
1,
1
b)
(0,
0,
0)
c)
3,
1,
2
e)
1,
1,
0
⎨ 1
y
⎠
7 ⎧
a)
0 ⎠
⎝
⎠
d)
(3,
1,
2)
3
⎩
18.
Dadas
as
matrizes
associados
a
completas,
escreva
2
5
b) 3
2
Escreva
7
2
4
.8991
2
3
1
1
e
o
sistema
resolva-
a
1⎞
0
1 ⎠
⎛ x ⎞ 8
⎛1
⎝
equação
ma-
6⎞
⎛ x
1⎞
1
⎞ 1
5 ⎜
5
cada
⎛ 1 ⎛ 1
⎠ ⎝
associado
.
⎞
1⎞
a)
⎝
21
sistemas
tricial
⎛ 2 ⎛ 1
os
elas.
⎟ y
⎠
⎝
8
⎠
⎠
0
⎝
0
1 ⎠
⎝
z
⎝
⎠
3 ⎠
ed orierevef
⎧ y 18.
a)
z
ed
y
1
y
5
x
y
5
⎧
1 y
⎧ b
x
x
5 21
⎨
⎨
21.
2
a
V y
5
S
5
{( 2,
8)}
b ⎨
8
z
z
5
5
6
V
S
5
{( 1,
2,
3)}
⎩
⎩ y
z
5
5
3
⎩
91
⎩
ed
⎛
016.9
4
y
10
⎨
z
Escalonamento
de
sistemas
lineares
17.
3
⎛
⎞ 1
1
3
5
a)
ieL
1
1
1
1
1
⎝
1
0
1
7
2
1
⎞
10
1
3
⎠
e laneP
⎛
4.1
Sis tema s
lineares
e
uivalentes
b)
2
3
ogidóC od
0
5
2
2
⎞
5
⎝
1
1
2
1
⎝
⎠
1
⎠
481
equivalentes quando têm o mesmo conjunto solução.
.trA .adibiorp
S
é
equivalente
ao
sistema
S
1
por:
S
2
S
1
2
oãçudorpeR
Exemplos
a)
Sejam
os
sistemas:
y
⎧ S
5
5 2
y
⎧
y
⎧ S
⎨
1
S
5
⎨ x
⎨
y
5
3
⎩
5
5 5 ⎩
⎩
Resolvendo
pelo
m
todo
da
adição,
obtemos:
S
,
pois:
1
2x
2
3
5
7
é
uma
sentença
verdadeira;
V
⎨ 2x
y
5
y
5
6
3
⎩
1 3
55
é
uma
sentença
verdadeira. Lo
S
,
pois:
2
2
2
1
3
5
9
é
uma
sentença
verdadeira;
o,
3
5
5
é
uma
sentença
5
{(6,
1
e
5)}.
Multiplicando
po
3
S
a
primeira
somando
à
equação
segunda,
de S
temos:
verdadeira.
1
⎧ ⎨
Como
S
5
S
e
1
S
S
1
S
são
sistemas
5 2
2
⎩
x
y
5
1
2
2
⎧ S
5
2
⎨ 5
1
⎩
Ref lita
obtemos:
y
S
x
S
)
y
5
mantendo
uma
1
das
equa
ões
de
S
.
Substitua
a
outra
equa
ão
⎧ V
que
soma
foi
dela
com
mantida.
S
uma
obtida
pela
V
⎨
3
2
pela
2
⎧
5
multiplicação
de
um
número
real
não
nulo
por
aquela
2
2 V 5
5
5
e
6
1
⎩
Assim,
S
1
⎨
S
Portanto,
5
S
{(6,
5)}.
S 2
187
⎧
b)
Sejam
os
sistemas:
S
5
y
1
⎧
z
y
2 ⎨
z
S
5 2
x
y
Podemos
verificar
solução
de
S
,
que
pois
5
1
z
5
2
⎩
para
são
3y
1
1
⎩
é
y
2x ⎨
todo
número
verdadeiras
as
real a
2a
a
sentenças:
1
2
1
2a
2
2
1
3
2
1
2
1
2
2a
a
1
5
2
2a
8
1
2
a
4
5
8
4
a
5
2a
6
a
,
S
pois
são
verdadeiras
2
as
sentenças:
2
2
2
2a
2
1
Em
2
3
2
8
a
5
2a
2a
particular,
1
se
2
6
4
a
8
8
a
5
a
5
1,
5
4
2
uma
das
infinitas
soluções
de
S
e
de
S
1
Como S
S
S
,
5
,
isto
é,
2a
S
1
e
S
a
$a
são
Ñ
R
sistemas
2
é o conjunto solução dos dois sistemas,
emos
equivalentes.
1
Exe rc íc io resolv id o
y
⎧
Verificar
se
os
7
⎧
sistemas
e x
y
são
5 24
equivalentes.
)
y
⎩
⎩
.8991
R6.
ed
Resolução
Resolvendo
cada
um
dos
sistemas,
orierevef
temos:
ed
⎧
5 2 14
x
5
24
5
10
ed
⎨
x
91
7
y
⎧
⎨ y
5
24
016.9
x ⎩
⎩
(5,
5,
2)
é
obtemos
a
única
5
V
x
5
5
2.
solução
desse
sistema.
ogidóC od
y
⎧
y
laneP
5
e
Logo,
x
ieL
2x x
Como
I)
y
1
II)
481
⎩
Logo,
5
(5,
os
2,
2)
dois
é
(II)
em
(I),
obtemos
a
única
sistemas
obtemos:
x
5
solução
têm
5(
1)
5
y
V
y
5
5.
a
desse
mesma
sistema.
solução,
eles
são
equivalentes.
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
22.
Deter mine
a
e
b
sistemas:
a
5
de
modo
que
sejam
equivalentes
S
é
a
soma
da
terceira
3
os
0
e
5
1
equação
de
S
com
a
segunda
equação
de
S
2
⎧x 5
S 1
y
5
0
⎧a x 5
S
⎨
by
5
2
multiplicada
m
4
(I
5
F
2
ay
5
e
n
tal
que
as
1
4
E
Este
.
equações
exercício
o
objetivo
1
⎩ ⎧
Calcule
por
tem
b x
⎩
23.
2
1
⎨
2
y
1
matriciais
5
re
1
x
( A )
z
y
⎨
5 22
de
fazer
os
alunos
( B) começarem
presentem
sistemas
lineares
x
equivalentes.
y
z
3
se
(C)
⎩
com
⎛
2
5
⎛
⎞
m 5 2
x
⎞
⎛
8
⎛
⎞
9
5
2⎠
⎝
⎝ 4⎠
⎠
⎛
⎞
x
⎞
8
2
⎝ 3
5
m
e 4
⎝
⎛
0
⎞ ⎧
n ⎠
⎝
5
(D)
1
forma
assunto
4 Nos
sistemas
possíveis
e
deter minados
S
S 1
e
5
2
6
3
mais
a
seguir,
observe
a
equação
de
que:
equação
de
S
é
a
soma
da
segunda S
5 3
com
a
primeira a
equação
de
1
⎨
2
(H)
0
S
1
1
6z
5
6
(I)
⎩ multiplicada
por
2
(E
5
B
2
A);
Deter mine
erceira a
equação
de
S
é
a
adiante.
(G)
⎧
2
S
será
esclarecido
(F)
⎩
S
2
dos
Esse
(E)
2
⎨
3
24.
a
escalonada
sistemas.
5 2
n
5
⎝ 5⎠
⎠
S e
z
2
5
a
familiarizar
soma
da
a
solução
de
S
e
verifique
se
ela
tam-
3
rceira
2
equação
de
S
com
a
primeira a
equação
1
multiplicada
por
de
bém
S
solução
de
S
e
de
2
S
,
isto
é,
verifique
se
1
1
3
F
5
C
1
3
A
;
S
S 1
188
é
e 2
S
são 3
sistemas
equivalentes.
(2,
2,
1);
sim
oãçudorpeR
Como
y
.adibiorp
omo
.trA
Substituindo
4.2
Sis tema
Para
resolver
e
escalonamento,
Antes
de
de
classificar
ou
método
estudar
resolvê-los
Um
escalonado
e
sistema
o
sistemas
da
método,
lineares,
eliminação
veremos
o
de
podemos
recorrer
ao
processo
do
Gauss-Jordan.
que
são
sistemas
escalonados
e
o
modo
classificá-los.
em
que
todas
as
equações
apresentam
as
incógnitas
na
mesma
ordem é dito escalonado quando, de cada equação para a seguinte, aumenta
a
quantidade
de
coeficientes
nulos
antes
do
primeiro
coeficiente
não
nulo.
Exemplos
⎧
y
z
5
y
z
5
⎧2
y
z
0 ⎨
y
z
1
⎧ a)
⎨
x
3
b)
5
5
c)
z
5
⎨ x
1
1
1
5
⎩ x
y
1
z
5
5
0y
1 0z
5
0
⎩
⎩
Exe rc íc io resolv id o
.8991
R7.
Resolver
e
classificar
os
sistemas
lineares.
ed orierevef
⎧2
y
z
⎧
2
5
y
⎧ a)
b)
z
⎨
y
z
5
z c)
⎨
ed
y
z
5
z
⎨
0
⎩
91
z
5
z
5
⎩
⎩
ed 016.9
Resolução
ieL e laneP
a)
Como
o
sistema
ogidóC od
Substituindo
2y
5
5
3
z
V
481
Substituindo
já
por
y
z
está
5
5
escalonado,
na
segunda
temos
equação,
z
5
5.
obtemos:
4
por
5
e
y
por
4
na
primeira
equação,
obtemos:
.trA .adibiorp
1 2x
4
1
5
2
V
x
5 2
oãçudorpeR
⎛ Lo
o,
há
uma
só
⎞ ,
solução
4,
5
2
Portanto,
o
sistema
y
⎧ b)
é
possível
e
deter minado
(SPD).
z
O sistema
possui duas equações e três incógnitas. y
z
5
Obser vação
0
⎩
Quando Se
o
sistema
admite
solução
com
z
5
k,
sendo
k
real,
infinitas
y
⎧
um
sistema
admite
temos:
soluções
(SPI),
k chamamos
a
variável
que
assume
⎨ 2y
k
0
variável
⎩
No Resolvendo
esse
novo
sistema,
encontramos
5
3k
soluções
y
do
e
x
5
4
valores
reais
a
k,
obtemos
sistema.
satisfaz
o
Como
é
ções,
k
ou
k
é
k
5
26,
obtemos
um
a
número
é
um
real
qualquer,
sistema
solução
possível
Na
ter no
(34,
18,
a
variável
livre
livre.
sistemas
6),
com
mais
de
uma
livre.
que
do
sistema
do
sistema
o
sistema
e
indeter minado
será
do
tipo
tem
(4
infinitas
solu
(SPI).
5k,
3k
k ),
em
real.
⎧
c
o
é
sistema.
seja,
Portanto,
que
fazendo
z
Por variável
exemplo,
b
5k
Há Atribuindo
item
equação
0z
5
2,
5
1
não
5
⎨
z
há
valores
5
⎩
para
por
z
que
zero
tor nem
resulta
a
em
igualdade
zero.
Sem
verdadeira,
solução,
o
pois
toda
sistema
é
multiplicação
impossível
SI
189
4.3
O
processo
do
escalonamento
Para escalonar um sistema linear , escrevemos sistemas equivalentes a ele, adotan
do,
quantas
vezes
for
necessário,
total
ou
parcialmente,
o
seguinte
procedimento:
Obser vação
Se
todos
uma
real
e
não
os
termos
equação
número
linear
forem
nulo; multiplicados
de
real
não
n
mero
não
equação
nulo.
por
um
nulo,
não
será
a
mesmo
solução
da
alterada.
Exemplos
2
⎧
a)
Para
escalonar
o
sistema
3
⎨
5
z
o
,
adotamos
a
Somamos,
1
a
membro
equação
2
2
a
membro,
multiplicada
equação,
gerando
por
uma
a
incógnita
a
2
os
seguintes
passos:
10
5
da
a
2
Somamos,
e
da
3
membro
equações.
a
membro,
com
a
3
nova
a
3
equação,
gerando
uma
ções
com
novas
equações,
nova
⎧
equação:
y
z
z
1
5
z
5
9
y
y
y
y
5 1
z
1
orierevef
5
52 1
z
z
ed
⎩
.8991
1
⎨
1
pelas
temos:
5
ed 91
a
Multiplicamos
a
nova
2
equação
por
5
e
somamos
soma
obtida,
o
produto
obtido
a
a
nova
3
equação:
ieL
com
016.9
ed
o
2
e laneP
5
5 1
5
od
3z
og idóC
z
6
481
a
Após
substituir
lonado
a
3
equação
equivalente
ao
pela
sistema
temos
um
sistema
esca-
original:
oãçudorpeR
2
⎧
5 21
⎨
5 ⎩
z
2.
a
equação,
obtemos
5
a
z
por
2
na
z
por
2
e
Portanto,
o
conjunto
equação,
2
y
por
solução
1
na
do
obtemos
y
equação,
1
sistema
é S
5
5
1.
obtemos
x
5
7.
⎧
b)
Para
escalonar
o
sistema
y
⎨
x
z
y
,
z
5
adotamos
os
seguintes
passos:
7
⎩
o
1
a
não
a
equação,
nulo
e,
se
escolhemos
possível,
igual
aquela
a
1
da
1
ou
cuja
a
1
1,
incógnita
o
que
tenha
simplifica
a
Assim,
invertemos
a
posição
e
da
2
equação:
a
⎧
a
⎨
a
5 ⎩
190
.adibiorp
.trA
o
3
7
coeficiente
o
processo.
o
2
a
Somamos,
membro
a
membro,
1
a
ção,
gerando
uma
incógnita
a
3
2
da
Somamos,
com
1
nova
a
a
2
e
3
membro
equação
3
da
equações.
a
membro,
multiplicada
ção,
gerando
por
uma
a
2
Substituindo
com
novas
a
2
equações,
a
3
ções
pelas
nova y
⎧ 2
e
temos:
z
3
4y
⎨
3
52
2
1
5 24
52 z ⎩
5
4
7
1
5
5 24
3
o
3
a
a
e
a
3
equações:
⎧
a
z
5
5 2
a
⎩
o
4
a
equação
por
4
e
somamos
o
produto
obtido
com
a
a
nova
3
equação:
1
4
.8991
19z
5
0
ed orierevef
o
5
a
ed
lonado
equação
equivalente
ao
pela
sistema
soma
obtida,
temos
um
sistema
esca-
original:
91 ed 016.9
⎧
y
z
ieL
z
⎨
e laneP
19z
5
0
⎩
ogidóC od
A
resolução
do
sistema
fica,
então,
facilitada:
481
a
equação,
obtemos
z
5
0.
.trA
a
.adibiorp
z
por
0
na
2
equação,
obtemos
y
5
1.
a
oãçudorpeR
Portanto,
o
z
por
0
conjunto
e
y
por
solução
1
⎧
c)
Para escalonar
o sistema
na
do
1
equação,
sistema
2y
é S
5
x
5
2.
1
,
⎨
y
obtemos
z
5
adotamos
os
seguintes
passos:
0
⎩
o
1
a
equação
para
o
lugar
a
1
no
equação e vice-versa, o que simplifica o processo, conforme foi visto
exemplo
.
a
⎧
y
z
5
0
a
y
⎨
a
x
y
1
2z
5
1
⎩
o
2
Somamos,
membro
a
membro,
1
a
incógnita
a
2)com
2
equação,
gerando
uma
nova
nas
Somamos,
1
a
demais
membro
equação
3
equações.
a
membro,
multiplicada
ção,
gerando
por
uma
(
a
3)com
Substituindo
novas
equa
a
2
es,
ções
nova
y 2
pelas
temos:
z
5
0
3
⎨ 2y
2z
5
0
y
z
5
23
3y
3z
5
23
3y
3z
5
0
2z
5
21
z
5
21
3y
y
5 23
5
21
⎩ 1
2y
y
1
191
o
a
3
equação
a
a
membro,
⎧
y
a
z
nova
5
y
z
⎧
0
z
⎨
1
e
y
z
a
3
equação,
e
soman
podemos
o,
mem
ro
escrever:
5 0
z
5 21
3
1
z ⎩
Este
último
equação
Assim,
se
y
⎧
com
⎨
⎩
A
por
a
equação
2
0z
é
5
0
admite
k
um
sistema
admite
solução
a
escalonado
solução
com
z
5
z
k,
5
equivalente
k,
em
sendo
k
que
real,
k
o
ao
é
sistema
um
original.
número
sistema
é
real.
equivalentea:
0
⎨ 5 1 ⎩
Resolvendo
Atribuindo
fazendo
Como k
k
é
esse
5
um
1,
Portanto,
1
k
{
k
,
a
real
S
sistema,
reais
número
novo
valores
k, k
encontramos y
obtemos
1,
qualquer,
o
1
k
é
um
1
o
k
do
e
x
5
infinitas
21.
sistema.
tem
número
é
sistema
5
soluções
Por
exemplo,
soluções,
ou
seja,
real.
conjunto
solução
do
sistema.
.8991
Exe rc íc io resolv id o
ed orierevef
resolver
o
sistema:
⎨
z
y
1
z
x
y
1
6z
6
5
016.9
x
ed
e
91
Escalonar
ed
y
⎧
R8.
15
⎩
ieL
Resolução
e laneP
a
somamos
a
1
com
equação
a
2
;
e
por
(
4)
Dividimos
e
multiplicamos
a
2
equação
equação
por
(
4)
e
a
somamos
2:
Multiplicamos
somamos
⎧ 1
por
a
y
com
1
a
com
a
y
1
z 5
z 5
⎨
z
z 5
.adibiorp
y
.trA
z 5
⎨ ⎧
e
481
3
1
3
z 5 ⎧
a
2
ogidóC od
Multiplicamos
⎩ y
⎨
z 5 4
oãçudorpeR
y
1
a
A
nova
Logo,
25.
a)
S
5
{(2,
b)
S
5
{(1,
1)};
k
k)
equação
o
sistema
SPD
k
Ñ
R};
SPI
é
não
admite
impossível
c)
S
5
{(3,
d)
S
5
{(7k
2,
solução.
(SI)
1)};
4,
1
e,
portanto,
S
2
SPD
3k
=
k)
k
Ñ
R};
a)
S
{(2,
b)
S
{(3,
3)}
1)}
c)
S
{(8,
d)
S
{(
1)}
1,
3)}
SPI
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
25.
Resolva
e
classifique
os
sistemas
1
⎧ a)
5
escalonados.
y
⎧
z
5
27.
Escalone,
y
⎧
11 c)
⎨
y
⎨
resolva
e
classifique
5 2
a)
z
⎧
4
x
y
5
x
y
2
5
d)
⎨ y
z
z
5 2
y
z
z
5
1
e
resolva
os
5
0
5 1
⎧ x
⎨
2
e)
⎨ 1
Escalone
z
⎩
⎩
b)
26.
5 1
⎨
0
⎩
z
y
⎨
11
⎩
y
⎧
d)
y
5
⎩
⎧
sistemas.
5
⎩
b)
os
2
sistemas.
z
3
⎩ x
y
5 1
⎩ y
⎧ a)
5
2x
y
⎧ 6
⎧
2y
5
4
y
⎧ d)
⎨
c)
4
⎨
z
x
y
x
y
5
0
3z
5
3
f )
y
1
4z
5
a)
S
5
{(1,
S
5
Ö,
3)},
SPD
c)
S
5
Ö,
d)
S
5
{(1,
z
5
z
1
1
4
5
2z
3
5
7
⎩
SI ⎧ ⎛
SI
1
x
x
4
⎩
b)
⎨
⎨
3 ⎩
2,
2)},
SPD
e)
S 5
⎩
⎫
1 k
⎨ ⎝
192
y
⎩
⎧
27.
4
⎨
5 1
⎩
b)
2
⎧ c)
⎨
5
5
k
Ñ
R
⎬
⎧ ⎛ ,
SPI
f )
S 5
k
2 5
⎩
⎫
17 2 4k Ñ
⎨ ⎝
⎭
3
3
R
⎬
Exercícios
complem ent a res Registre as respostas em seu caderno
7.
(Fuvest-SP)
Um
caminhão
transporta
maçãs,
peras
e
Aplicação laranjas,
1.
Deter mine
(2,
de
k )
seja
o
valor
da
solução
incógnitas
x
e
constante
da
equação
k
10
ou
3k x
k y
1
40
5
O
IBGE
tem,
respectivamente,
contratou
um
certo
a
e
custa,
entrevistadores
para
frutas.
realizar
o
recenseamento
50
maçãs,
carga
do
respectivamente,
60peras
caminhão
tem
20,
calcule
quantas
140
sidências,
Se
60
cada
delas
um
não
deles
recenseasse
todas
as
seriam
residências
visitadas.
foram
sendo
Como,
e
visitadas
e
acidade?
3.
Em
visitou
3.060
de
raio,
a
polícia
e
acor
(confor me
e
100la-
quantas
10 reais.
peras
e
e
custa
laranjas
5.000
s,
.
peras
laranjas
no (Fuvest-SP)
Durante
residências
caía
pela
uma
manhã
viagem,
ou
à
choveu
tarde,
nunca
5
o
vezes.
dia
todo.
tem Houve
6
manhãs
durou
a
viagem?
e
3
tardes
sem
chuva.
Quantos
dias
residências
etermina
cias
102,
e
cada Achuva
recenseador
estão
transportadas.
100 re-
8. entanto,
40
caixas
maçãs,
ma
cidade.
frutas
em
estão uma
As
número
3.300 reais, de
10.000
de fruta), sendo que cada caixa de maçãs, peras e laran-
0,
Se (Unicamp-SP)
de
4
ranjas
2.
total
condicionadas em caixas (cada caixa só contém um tipo
Ñ
jas
y
num
região
(A
o
B
e
com
mostra
a
C ).
a
Cada
sua
a
ci
e,
existem
delegacia
quantidade
de
três
e
atende
a
6
b)
7
c)
8
O
sistema
alternativa
b
d
9
ega-
a
e)
10
um
funcionários
figura).
)
⎧
.8991
9.
linear
1
5
0
,
⎨ 1
λ
de
incógnitas
x
3
⎩
ed ed
y,
admite
solução
( x,0).
Deter mine
o
valor
de
h
1
o
1
.
ed
eter mine
f (x ) 5
a x
pontos
DA
016.9
NOSL
91
OCCES
orierevef
e C
a
1
A (2,
lei
b
da
função
sabendo
5)
e
B
3,
polinomial
que
f
1).
seu
gráfico
x
grau
1
passa
5
B
ieL e
11.
Dadas
laneP
a)
as
equações
y
represente,
em
um
as
dadas
5
2x
6
mesmo
e
y
5
sistema
2x
de
4:
coordenadas,
ogidóC od
Ver
funções
por
essas
resolução
b)
481 .trA
e
distância
C
.adibiorp
de
é
16
entre
km
e
as
delegacias
entre
atendimento
de
B B
e
C
cada
é
A
12
e
B
km.
delegacia,
é
18
km,
entre
Deter mine
admitindo
o
sejam
oãçudorpeR
r
5
11
tangentes
km,
A
r
5
7
entre
km,
r
B
5
5
equações.
Deter mine
seja
o
valor
solução
do
de
m
Ñ
S
5
solução
construídos
do
sistema
no
item
for mado
professor.
a
e
pelas
Ö
(UFJF-MG)
A
tabela
abaixo
for nece
a
quantidade
de
si.
km
proteína,
C
grama 4.
gráficos
to
do
as
12. circunferências
os
n
raio
que
interpr ete
A
R
m
car
dos
oi
rato
alimentos
e
A,
gor
B,
C
ura,
e
conti
a
em
ca
D.
m
sistema:
Unidades
⎧
de
Unidades
de
Unidades
de
Alimentos
e
incógnitas
x
e
y
proteína
carboidrato
gordura
4
4
4
6
1
3
C
6
2
3
D
2
1
⎩
A
5.
(Mackenzie-SP)
diferentes,
caixas
da
te
de
soma
paga
sabão
bão
sabão
a)
R$
Um
B
kg.
R$
e
O
super mercado
C,
14,00
um
preço
seria:
de
preço
preços
mais
o
A
1
dos
A,
C,
A,
sabão
da
das
compra
pacote
que
ele
alternativa
marca
marcas
pela
do
R$
10,50
c)
R
13,40
pó
A
B
é
e
de
sabão
pagaria
B
igual
C.
Se
dois
e
por
três
marcas
embalados
metade
um
clien-
um
dosa-
pacotes do
Um
nutricionista
posta
d)
e)
R$
R$
1
pacotes do
mais
três
à
em
b
12,00
b)
vende
em
11,50
somente
deseja
por
preparar
esses
exatamente
50unidades
carboidrato
e
uma
alimentos,
de
24unidades
proteínas,
de
refeição,
que
21
gordura.
com-
contenha
unidades
Então,
de
quanto
13,00
às
maneiras
de
se
combinarem
quantidades
desses
quatro alimentos, em números inteiros de gramas, para
compor 6.
Deter mine
solução
⎧
5y
kx ⎩
Ñ
única.
2y
⎨
k
5
5
R
de
modo
que
o
sistema
abaixo
tal
refeição,
é
correto
afir mar
que:
t
rn
tiv
tenha a)
não
existe
tal
b)
existe
c)
existem
maneira.
exatamente
duas
d)
existem
exatamente
três
e)
existem
infinitas
9
uma
única
no
expressões. Guia
A
pelos
x 5
A
do
maneira.
4 maneiras.
6 maneiras.
1 maneiras.
193
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
Exercícios
complem ent a res Sendo d
x
a
quantidade
de
amendoim,
y y a
quantidade
de
castanha
de
⎧
zaquantidade z
de
castanha-do-pará,
todas
em
quilograma:
caju
e
20
,7
y
⎨
1
⎩
13.
Classifique
o
os
sistemas
correspondente
lineares
conjunto
abaixo
e
deter mine
18.
solução.
(Unicamp-SP)
de
amendoim,
Sabe-se
⎧ ⎛
⎨ x
y
5
SPD;
5
S 5
34
⎞
1
⎨
⎩
castanha
o
quilo
de
do
deve
caju
enlatar
e
uma
mistura
castanha-do-pará.
⎫
o
quilo
13
13
castanha
de
amendoim
caju,
R$
custa
20,00
e
R$
o
5,00,
quilo
da
⎠ ⎭
castanha-do-pará,
⎧
meio y
da
⎬
⎝ ⎩
b)
que
empresa
5
⎧ a)
Uma
quilo
da
R$
mistura,
16,00.
e
o
Cada
custo
total
lata
dos
deve
conter
ingredientes
2
SPI;
⎨
5
{(a,
4
2a) a
a
Ñ
R}
de
cada
lata
deve
ser
R$
5,75.
y ⎩ Além
lata ⎧
2
(Unipar -PR)
Sobre
o
sistema
linear
4 4y
1
6y
1
⎨
a
quantidade
ser
igual
a
um
de
castanha
terço
da
de
soma
caju
das
em
cada
quantida-
1
des 14.
disso,
deve
a)
das
outras
Escreva
o
duas.
sistema
linear
ue
re
resenta
a
situação
⎩ descrita. é
correto
a)
afir mar
possível
e
que
é:
alternativa
c
b)
deter minado.
Resolva
dades, b)
possível
e
o
sistema
e
de
ingrediente
cada
deter mine
as
quanti-
por
250
g;
castanha
de
caju:
125
g;
lata.
castanha-do-pará:
125
g
impossível.
19. d)
Resolva,
por
escalonamento,
o
sistema
linear
a
seguir.
homogêneo.
e)
inclassificável.
Resolva
sistema
2y
1 2z
abaixo.
5
y
1
t
5
3y
1
t
5
4
5
⎨
S
5
{(1,
1,
2,
3)}
ed
⎧
o
⎧
8991
15.
grama,
indeter minado. amendoim:
c)
referido
em
0 y
1
orierevef
x
2
⎩ y
⎨
z
5
5z
S
5
5
{(2a,
3a
a a)
a
Ñ
R}
ed
3y
0
0
91
⎩
ed
Resolva
os
sistemas
016.9
16.
Aprofund amento
lineares.
ieL
0⎤
3
3
⎤
⎡
1⎤
⎡
⎧
0
y
8
S 5
21
5
5 5,
⎨
⎞
2,
⎫
20.
Resolva
o
sistema
abaixo.
⎬ ⎠
ogidóC
3
⎩
laneP
2
e
⎡ 1
a)
⎭ 1 1
0
1
z
0
⎧
2 ⎦
⎣
⎦
⎣
8
⎦
⎣
S
⎨
5
{(21,
6)}
od
9
3
⎡ 1
1⎤
1
1
1
x
1
1
y
6⎤
⎡
0 21. S
0
0
0
0
z
1
{(0,
1,
2,
Resolva
o
sistema
abaixo.
3)}
3
⎧
3 ⎦
⎣
⎦
⎣
5
1
8
⎦
⎣
u
v
⎧ ⎛ S 5
⎨
1
1
2
1
⎡
⎤
a
⎤
⎡
10
⎝
2
⎤ ⎩
c)
1
1
2
1
3
b
2
⎣
⎦
S
1
c
5
{(3,
1,
(Enem)
A
⎫
⎬ 2
⎠ ⎭
5 21
u
v
5)}
13 ⎦
22.
⎣
Sabendo
solução
17.
⎞
1,
⎨
⎩
⎡
oãçudorpeR
0
.adibiorp
1
.trA
0
⎡u ⎤
1
481
⎩
expressão
“Fór mula
de
Young”
é
que
o
sistema
trivial,
abaixo
deter mine
é
possível
e
não
admite
k
utilizada
⎧ para
calcular
dada
a
a
dose
infantil
de
um
medicamento, 1
dose
do
2y
adulto:
1
5 2
⎨
y ose
da
c r ianç a
idade
da
c rianç a
(e m
dose idade
Uma
a
c rianç a
enfer meira
uma
de
da
60
criança
mg.
A
em
deve
ano
1 12
administrar
inconsciente,
enfer meira
não
cuja
do
adulto
⎠
um
medicamento
dosagem
consegue
de
adulto
descobrir
Desaf io
X
é
onde 23.
está
registrada
identifica
que
a
idade
da
algumas
criança
horas
k
⎞
ano )
5
⎝
5
2
⎩
⎛
2
2
5
no
antes,
prontuário,
foi
(Fuvest-SP)
Considere
o
sistema:
mas
administrada
my
⎧
⎨ a
ela
uma
dose
de
14
mg
de
um
medicamento
Y,
cuja
1 1
m
x
1
y
5 1
⎩
dosagem
de
medicação
Então,
m
a)
15
a
adulto
Y
é
mg.
administrada
enfer meira
icamento
b)
42
20
à
deverá
Sabe-se
criança
que
a
estava
ministrar
uma
dose
da
correta.
X
alternativa
c)
30
d)
36
e)
a)
40
Prove
cada
dosagem
b
b)
que
o
número
Deter mine
m
possível. 2
194
sistema
real
de
m
modo
admite
Ver
solução
resolução
que
o
no
valor
única
Guia
de
x
do
para
professor.
seja
o
maior
Registre as respostas em seu caderno
Autoavaliação
1
A
equação
sistema
que,
linear
com
2
3
3
2x
é:
1
2y
5
alternativa
2,
compõe
7.
um
Dos
sistemas
a
⎧
a
y
z
5
d
x
y
⎧
5
2
⎨
b)
3x
1
c)
x y
3y
5
3
e)
x y z
5
0
e
x z
1
yz
5
A
intersecção
sariamente
linear
a)
2
3
duas
retas
representa
2:
possível
de
e
⎩
alternativa
a
concorrentes
solução
de
um
indeterminado.
c)
homogêneo.
d)
escalonado.
determinado.
a)
não
b)
são
c)
têm
têm
os
y
sistemas
equivalentes,
.8991
a)
5
c)
b)
4
d)
5
⎧ 2
e
⎨ x
sejam
entes.
infinitas
são
soluções.
homogêneos.
in
Em
R
que
solução.
equiva
o
y
valor
5
y
de
os
50,00
e,
os
artigos
artigos
juntos,
os
A
A
e
e
B,
C,
juntos,
juntos,
artigos
B
e
C
cus-
custam
custam
a
2y
a
loja,
55,00,
R$ 45,00.
A
soma
C
va
c
dos
preços
dos
artigos
A,
B
e
⎨
3
deve
9
r min
uma
tam R$
⎧
Para
b
e
8.
3.
alternativa
sistema
e)
e
que:
indeterminado.
b)
possível
dizer
neces-
d)
e)
67
3
pode-se
2.
7
5
22z
y ⎩
1
y
5
⎨
e)
5 10
ser:
é:
a)
ternat
R
85,00
R$
80,00
c)
R$
75,00
d)
R$
70,00
R
65,00
10
alternativa
a
c
12
ed orierevef
4.
Um
sistema
linear
homogêneo
não
pode
ser:
e) SI
SPD
c)
SPI
e)
ed
a)
b
3
3
2
alternativa
91
d)
2
3
a
3 9.
Uma
loja
ofereceu
a
seus
clientes
a
possibilidade
ed 016.9
de
⎧
ieL
5.
Para
lençóis,
fronhas
e
colchas
agrupados
1
⎨
que
comprar
seja a
1
1
y
um
sistema
nos
es-
seguintes
jogos:
5
e laneP
⎩
calonado,
ogidóC od
a
2
b)
3
o
valor
de
c
a
deve
ser:
alternativa
0
d)
e
(I)
2
lençóis
e
2
fronhas;
(II)
2
lençóis
e
2
colchas;
(III)
1
lençol,
d
5
481
O
preço
.trA
dos ⎛ 2
.adibiorp
6.
A
equação
⎛ x
3⎞
matricial
5 ⎜
1
4
jogos,
1
⎠
fronha
cada
I,
II
e
peça
e
III,
é
1
que
o
colcha.
mesmo
são
em
vendidos
qualquer
por
R$
um
130,00,
R$256,00
e
R$
143,00,
respectivamente.
O
preço
⎠ unitário
alternativa
da
colcha
é:
alternativa
c
b
oãçudorpeR
a
R$
b)
R$
85,00
80,00
c)
R
78,00
d)
R$
70,00
e)
R$
65,00
⎧ c)
⎨ 4
5
⎨
1
3
4
⎩
⎩
3y
⎧ b)
corr es-
⎟ y
sistema:
⎧ a)
⎝
⎠
de
⎛ 2⎞
8
⎝
pondeao
1
3
5
2
⎧3 d)
⎨
y
⎨ y
4 ⎩
⎩
Retomad a de conceitos
Se
você
Releia
não
a
acertou
teoria
e
al
refa
uma
a
os
questão,
exercícios
consulte
a
tabela
e
verifique
o
que
precisa
Número
Objetivos
Representar
usando
e
resolver
sistemas
Reconhecer
Apresentar
e
do
estudar
novamente.
correspondentes.
capítulo
1
2
3
4
5
da
questão
6
7
8
9
X
X
situações-problema
lineares.
classificar
sistema
sistemas
linear
em
lineares.
forma
X
X
X
X
X
de X
equação
Aplicar
matricial
o
método
e
vice -versa.
do
escalonamento
na X
resolução
de
sistemas
178 Páginas
do
livro
X
X
lineares.
referentes
ao
a
181
a
187
e
182
a
189
a
185
a
181
a
183
e
180
a
180
a
182
e
conceito 180
183
188
185
192
187
187
a
192
182
189
a
192
195
Compreensão de texto
Montando
Neste
ser
útil
O
nas
artigo
para
leitor
sobre
o
uma
etc.
vamos
abordar
já
deve
valor
dieta
mostrar
um
ter
percentualmente
que
reparado
nos
o
problema
energético
contidas
alimentar
e
as
estudo
de
que
e
sistemas
sistemas
lineares
lineares
indeterminados
pode
nutricional.
as
embalagens
quantidades
produtos
nos Valores
com
quanto
Diários
de
de
de
alimentos
carboidratos,
cada
uma
Referência
dessas
— VDR
trazem
gorduras,
informações
sódio,
quantidades
—
para
uma
proteí-
representa
alimentação
adequada.
Após
que
vasculhar
mostra
innatura*,
çado,
pão
os
a
geladeira
valores
peito
tipo
de
frango
francês
e
os
armários
nutricionais
e
de
empanado
margarina
Principais
Arroz
da
alguns
cozinha,
congelado,
sem
suco
a
tabela
encontrados:
de
laranja
a
arroz
seguir,
e
pasteurizado
feijão
e
ado-
sal.
nutrientes
Feijão
montamos
alimentos
de
alguns
Frango
alimentos
Suco
Pão
Margarina VDR
(50
Energia
(kcal)
Carboidratos
Proteínas
Gorduras
(g)
(30
g)
(80
g)
(200
m
)
(50
g)
(14
g)
190
100
150
120
130
45
2.000
37
16
8
30
28
0
300
3
7
13
1
4
0
75
0
6
0
1,5
5
55
(g)
totais
g)
(g)
Suco
Sistema
Para
montar
cada
tema
mc)
kcal
Carboidratos..........
30
g
Proteínas .................
1
g
Gorduras
0
g
linear
uma
dieta,
é
preciso
determinar
as
quantidades
x
,
...,
x
1
de
(200
Energia ....................120
alimento
necessárias
para
compor
o
VDR.
Isso
(em
totais .....
porções)
6
corresponde
a
resolver
o
sis-
linear.
x
⎧
2
37
4
x
x
6
x
5
2
5
(I) ⎨ x
1
13x
x
2
x
5
4
⎪ x
x
1
x
5
5
⎩
Feijão
Observe
de
que
nutrientes,
maneira
forma
de
(I)
e
o
sistema
seis
resolver
escalonada
(I)
possui
incógnitas,
o
sistema
é
quatro
equações,
correspondentes
por
ao
escalonamento
correspondentes
número
[...],
de
ao
alimentos.
transformando
o
(30
g)
número
A
Energia ....................100
kcal
Carboidratos..........
16
g
Proteínas .................
7
g
Gorduras
0
g
melhor
sistema
na
reduzida.
totais .....
x
⎧
6
⎪
x
5
2
6
(II) ⎨ x
5 6
x 6
⎩
Frango
(80
g)
[...] nem toda solução matemática é utilizável na situação prática, já que numa dieta
x
>
5
x
>
0
de
modo
que
também
tenhamos
x
6
>
0,
...,
x
>
0.
1
Energia ....................150
kcal
Carboidratos..........
8
g
Proteínas .................
13
g
6
g
[...]
Gorduras
Fonte:
DORNELLES
Montando
Revista
In
196
natura:
no
estado
natural,
sem
ter
passado
por
do
processamento
Professor
industrial.
de
uma
dieta
FILHO,
com
Matemática ,
n.
Adalberto
sistemas
59,
2006.
A.
lineares.
p.
27-28.
totais .....
(14
ZNAM
Margarina
g)
kcal
g
Proteínas .................... 0
g
Gorduras
totais ........ 5
No
:SOTOF
Carboidratos............. 0
g
o
(50
texto
página
dos
no
ao
valores
carboidratos,
Observe,
cipais
g)
da
estudo
energia,
2.
Pão
Registre as respostas em seu caderno
At iv id ades
OLUAP
Energia ....................... 45
lado,
proteínas
texto,
o
quais
elementos
nutricionais
e
gorduras
sistema
(I),
dos
Carboidratos.............
28
kcal
a)
O
4
com
base
na
tabela
dos
prin-
tem
quantas
equações?
E
equações
quantas
e
6
incógnitas
incó
nitas?
g
sistema,
a
que
correspondem
cada
equação
e
cada
incógnita?
g No
Gorduras
para
nutrientes.
sistema
No Proteínas ....................
considerados
escolhidos?
totais
obtido
4
Energia ....................... 130
foram
alimentos
totais ........ 1,5
sistema,
cada
equação
corresponde
a
um
nutriente,
e
cada
incógnita,
a
um
alimento.
3.
g
4.
a)
possível
b)
possível
Partindo
que
x
e
determinado.
e
da
x 1
c)
for ma
x 2
e
x
3
escalonada
se
am
impossível.
alternativa
indeter minado.
b
reduzida,
expressos
em
escreva
função
o
de
sistema
x
e
4
de
modo
x
5
6
V
5.
4, determine as inequações que
relacionam
x
com
x
de
6
Cada
de
que
tenhamos
x
5
inequação
sistema
modo
obtida
eixos
x
e
>
0,
...,
x
1
x
5
na
,
e
questão
os
corresponde
valores
de
x
6
e
x
5
>
0.
4
a
que
um
semiplano
satisfazem
no
todas
as
6
inequações pertencem à região de intersecção dos semiplanos. Sabendo
disso,
do Arroz
verifique
sistema
qual
dos
formado
por
gráficos
essas
melhor
representa
inequações.
o
alternativa
con
unto
solução
d
(50
Energia ....................... 190
Carboidratos............. 37
3
g
Gorduras
0
g
x
c)
6
g
Proteínas ....................
totais ........
x
a)
kcal
6
12
10
10
8
8
6
6
4
4
2
OCCES
12
2
2
4
6
8
10
12
0
2
4
6
8
10
12
x 5
5
x
d)
6
6
12
12
1
1
8
8
6
6
4
4
2
2
0
2
4
6
8
10
x
12
:SEÕÇARTSUL
x
b)
0
2
4
6
8
10
12
x
5
7.
De
acordo
ses
com
alimentos
o
grá
pode
ico,
ser
NOSLIDA
0
x
5
uma
obtida
possível
dieta
composta
escolhendo-se
x
5
5
apenas
(250
g
de
des-
pão)
e
5
x
5
6
(84
g
de
margarina).
Substituindo
esses
valores
no
sistema
6
da
questão4,
deter mine
x
x 1
8.
Em
grupos,
façam
uma
x 2
e
x
3
pesquisa
4
levando
em
consideração
Ver
outras
questões
que
julgarem
Guia
dientes
infor mados
na
gorduras
fibras
do
e/ou
no
professor.
saturadas
embalagem
estas
orientações
interessantes:
de
e
alguns
alimentares
e
gorduras
trans,
ingre-
alimentos?
do
sódio
no
organismo
humano?
(valores
vem
ser
diários),
maiores
isto
e
de
é,
de
quais
quais
grupos
grupos
v
as
porcentagens
m
r
n
de
VDde-
r
saudável?
Preparem
uma
encontrados.
tazes
Se
achar
oportuno,
o
texto
e
a
atividade
de
pe
uisa
ou
usar
podem
ser
apresentação
Para
auxiliar
recursos
mais
bem
oral
na
em
um
trab a alho
interdisciplinar
com
Biologia
e
Química.
a
tur ma
com
vocês
os
resultados
podem
fazer
car -
multimídia.
x
1,94
6
desenvolvidos
para
apresentação,
x
x 6
x 6
1
1,12
1
4,79
7.
x
5
0,82
(41
x
5
1,68
(50,4
g
5
2
(234
5
2,7
de
arroz)
5
0,04
6
5
0
g
de
feijão)
2
30x 0
1
11
04
5
2,76x 5
x
93
4
g
de
frango )
3
1
25,78
x
(540
mc
de
suco)
4
197
l
o
t
u
í p
C
a
10
Análise combinatória
Está na hora de
alterar suas senhas?
AZ O B R A B OTS U G A Z UL : OÃ ÇA R T L
Q Qu em acessa a internet com fre r quênci c a está á acostumado a criar
Objetivos
do
capítulo
senh n as para diferentes tipos de e serviço o (
cadastros em m sites etc.). Essas s
Compreender
o
l
e le
aplicar
ma
nhas, q que muitas vezes misturam
ras, alga
is
os e outros cara acteres especiais, servem para
princípio
garantir a seg egurança das infor rmações s e a privacidade dos usuários. multiplicativo.
Mas os termo os que escolhemos s como p palavras-chave podem não
Aplicar
as
noções
de ser tão seguros quanto ima m ma gina n mos, o que nos torna alvos fáceis
fatorial.
de vírus, pessoas e prog
Identificar
dos
a
amas d
compu p tador mal-intencionados.
natureza
problemas
de
contagem. Todos
Compreender
e
os
anos, s
si
s
especializados
em
seguran a ça
SEGUR A NÇ A
na
EM
rede
divulgam
as
senhas
mais
comuns s
Dê
por
aplicar
os
ck
s
o
topo
da
lista,
sempre
preferência
virtuais
as
fórmulas
bvias,
como
123456
e
p
de
(a
palavra “sen
a” ,
em
inglês),
ou
que
formadas
sequências
de
caracteres
do
teclad
q
serviços
É
impossível
mas
resolução
segurança
completamente
criati ividade
e
cuidado
é
seguro
possível
complexo.
na
além
de
uma
Para
senha,
int ernet,
escapar
uma
um
precisará
etapa
extra,
código
passar
como
por
digitar
autenticador
ou
de do
problemas.
com
estar
sistema
y você
combinação
198
e
por acessá-los,
na
sites
tenham
s s wo rd
de
permutação, arranjo
e
a
est ão
conceitos
combinações
e
DO BRO
descober tas
óbvio
e
aprimorar
sua
segurança
na
rede.
reconhecer
caracteres
na
tela.
Você
trocou
senhas
nos
suas
Alguns
últimos
navegadores
seis
suas
não
senhas
para
precisar
sua
dentro
pode
das
isso,
suas
essar
de
casa,
privacidade
em
tem
Por
NÃO
mesmo
Alguma
você
digitá-las
novamente. SIM
senhas
gravam
meses?
estar
perigo.
a
nomes
NÃO
ou
datas
impor tantes
para
smar tphones
ou
ts
você?
os
s?
NÃO
SIM
SIM
Uma
segura
Você
usa
a
mesma
8
senha
caracteres.
do
para
mais
de
um
ser viço
óbvio.
internet
(e-mail,
pelo
Mas
é
menos
bom
Imagine
fugir
frases
SIM
aleatórias,
de
senha
tem
como
“Ratos albinos
redes sorridentes trituram macarrão”;
sociais
ou
aplicativos)? isole
palavra
Você
as
(ra
primeiras
+
al
+
so
letras
+
tr
+
de
ma);
cada
substitua
costuma algumas
por
números
(a
por
4,
NÃO
por
exemplo);
e
inclua
outros
e Uma
caracteres
senha
na
combinação,
de
esquecer? simples
é
descober ta
um
preferência
facilmente
hacker.
complexa,
papel
é
bem
meio
da
palavra
(r44l!so%tr*m4).
por
Uma NÃO
em
no
SIM
anotada
escondido,
menos
acessível
ocê
a
ue
estranhos.
ura. .
is
o,
?
Computadores
são
mais
eficientes SIM
que
para
NÃO
humanos
criar
senhas
Faz
par te
da
sua
complexas
e
senha
aleatórias.
uma
que
palavra
existe
Sua
no
senha
possui
letras
SIM
maiúsculas e minúsculas?
dicionário?
NÃO
NÃO
Você
SIM
Um
usa
cobrir
aplicativos
NÃO
undos,
que
ajudam
a nações
administrar
senhas avras,
e
gerar
novas teres SIM
palavras-chave
eiros
aleatórias?
que
R E I Z NA M
dicionário.
. P
a(s)
senha(s)
que
você
Considere
-chave
nã
l
Fontes:
Worst
Passwords
of
2015.
SplashData.
Acesso
em:
s)
Disponível
4
fev.
2016;
se
e sq
eça
pois
m pr
em:
<www.splashdata.com>.
suas
podem
Acesso
Car tilha de Segurança para Internet:
em:
4
versao
fev.
4.0;
2016;
mudar
que
você
São
Paulo:
estar
Comitê
palavras-
na
informações
How secure is my passpor t?.
CERT.br.
as
usa
da
internet,
pessoais
correndo
Disponível
Gestor
: S EÕÇA R T S UL
Parabéns,
perigo.
em:
Internet
no
Brasil,
2012.
199
1
Contagem
No
mundo
dados
e
meios
Além
com
de
a
usuário
Uma
car
o
cria
usuário
disponíveis
–
ter
pelo
nada
ou
a
a
necessidade
aumenta
possuírem
sistemas
alto
a
nossa
grau
criptografados
computadores,
pode
não
mais
ser
de
de
armazenar
dependência
e
dos
conectividade,
transmitir
dispositivos
exigem
muito
que
celulares,
assegurada
compõem
tablets
com
certo
e
os
outros
grau
de
suportes
suportes,
lógicos
a
confiança,
invio-
quando
previsíveis.
é
do
permitir
letras
dos
para
que
um
acesso
a
conjunto
dados,
de
caracteres
programas
ou
destinado
sistemas
a
que
identifi-
não
estão
do
10
alfabeto
algarismos
–
que
podem
conhecidos,
ser
aplicadas
ainda
em
dispomos
maiúscula
de
vários
ou
em
caracteres
formá-las.
o
infográfico
menos
uantidade
por
maior
fato
público.
26
e
Segundo
dos
senhas
ao
das
especiais
que,
vez
Esse
segurança.
dados
senha
Além
cada
complexos
dos
minúscula
é
sigilosos.
programação
labilidade
o
e
eletrônicos
cuidado
de
atual,
pessoais
de
oito
da
abertura
caracteres.
senhas
que
deste
Mesmo
podemos
sem
capítulo,
fazer
inventar
é
uso
uma
dos
senha
segura
caracteres
deve
especiais,
a
enorme.
Empregando apenas letras e algarismos, quantas senhas com o tamanho mínimo
no
oito
as
ográ
ico
esse
podem
problema
diferentes
ser
especiais
implica
senhas.
ormadas?
E
se
pudermos
utilizar
também
os
sugeridos?
quantificar
Problemas
de
todas
as
combinações
contagem
desse
tipo
possíveis
permeiam
para
nosso
orierevef
Resolver
formar
in
caracteres
ed
outros
.8991
sugerido
ed 91
cotidiano.
ed
campo
de
do
estudo
número
que
de
desenvolve
elementos
métodos
de
um
para
conjunto
fazer
é
a
contagem,
chamado
de
forma
de Análise
com-
ieL
Obser vação
como
algarismos
aqueles
não
repetidos.
ao
se
na
Química,
montar
exemplo,
532
não
332,
555
ou
à
científico
ou
decorrer
Um
de
porque,
e
à
Estatística,
antecipação
capítulo,
que
as
prêmios.
à
de
recaem
de
Os
veremos
Análise
situações
programa
no
esporte,
a
Análise
resultados
combinatória
nos
campos
constitui
industrial,
um
comer-
TV
a
a
resolução
do
exemplo
acima
e
de
outros
combinatória.
em
problema s
de
contagem
seguir.
sorteia
números
das
duas
casas
casas
de
uma
sorteadas
mesma
devem
ter
rua
3
para
a
entrega
algarismos.
Um
dos
pode
números zero,
ou
governamental.
deste
Situações
a)
Obser vação
ser
de
pertinentes
Acompanhe
não
átomos,
oãçudorpeR
centena
entre
nesse
deve
ser
par ,
e
o
outro,
ter
algarismos
distintos.
Do
total
de
números
caso,
possíveis, quantos atendem à primeira exigência? E quantos atendem à segunda? teríamos
um
número
com
Vamos doisalgarismos,
Por
e
exemplo:047
não
com
partir
de
um
esquema
que
decimal
de
números
de
3
algarismos
nosis-
numeração:
centena
No
primeiro
Para
3,
4,
cada
5,
Para
par,
6,
No
a
n
ou
da
Portanto,
9),
das
5
r
possibilidades
da
9
centena,
totalizando
90
9
há
para
10
10
ou
como
para
os
a
ser
há
5
ocupada
seja,
450
e
8
centena
para
por
devem
para
a
a
0,
números
algarismos
dezena
a
(1,
possibilidades
possibilidades,
possibilidades,
deve
unidade
2,
isto
é,
unidade
2,
4,
3,
para
6
ou
4,
a
5,
90
7,
8
ou
(0,
9).
1,
2,
possibilidades.
(para
8).
6,
dezena
o
número
Logo,
ser
podemos
pares.
ser
distintos,
unidade:
há
9
9
possibilidades
5648,
ou
seja,
.
com
450números
9
dezena
5450,
caso,
centena,
m
há
unidade
10
segundo
para
4
8
uma
casa
9
caso,
algarismo
7,
cada
a
formar
200
represente
três.
tema
os
algarismos
pares
de
3
0,
1,
algarismos
2,
e
3,
4,
648
5,
6,
7,
números
8
de
e
3
9,
é
.adibiorp
No
da
união
situações,
eonatos.
Probabilidade
instrumento
problemas
casa
possível
diversas
242.
cial,
A
a
mais
.trA
mas
cam
nas
ou
poderoso
125,
investigar
aplicada
481
por
se
de
ser
São
Associada
válidos,
ao
tabelas
pode
od
algarismos
que
combinatória
ogidóC
têm
com
são
Análise
laneP
distintos
A
e
binatória.
Números
016.9
O
eficiente,
possível
algarismos
formar
distintos.
árvore
Raul
almoça
direito
a
em
uma
2 opções
de
um
restaurante
entrada,
entrada
um
prato
(sopa
ou
que
oferece
principal
salada),
e
3
refeições
uma
fruta.
opções
de
a
O
um
preço
fixo
restaurante
prato
com
seria
de
possibilidades,
nesse
caso,
assim: cara
ccc
coroa
cck
oferece
principal
(carne, cara
ou
legumes)
e
2opções
de
fruta
(pera
ou
banana).
Quantas
refeições
cara
ckc
coroa
ckk
cara
kcc
OCCES
massa
coroa
Reflita
diferentes
Raul
pode
montar?
Ele
deve
fazer
três
tipos
de
é
escolha:
obter
:
E
sopa
ou
salada
(sp
ou
sl);
cara
E
:
carne,
massa
ou
legumes
lançamos
cara
segunda
1
possível.
Quando
(c
m
ou
(c)
(c)
ou
vez,
ou
uma
coroa
moeda,
(k).
podemos
coroa
(k).
E,
Lan
obter
podemos
ando
uma
cara
novamente
lançando
terceira
vez,
cara
ou
podemos
mais
uma
vez
coroa
ck
cara
kc
coroa
uma
l);
2
NOSLIDA
Sim,
obter coroa
E
:
pera
banana
b).
opções
coroa
em
uma
árvore
de
kkk
possibilidades:
c
b
m
b
l
p
sp
l
b
c
p
ieL e
SAD
ogidóC
sl
m
p
banana
sl
m
b
od
pera
SOTIDÉR
laneP
c
481
massa
salada
.trA .adibiorp
Obser vação
oãçudorpeR
Em
pera
sl
l
p
problemas
mais
simples,
chamada
anana
sl
l
diagrama
c)
Agora,
vamos
resultados
Quando
do-a
Vamos
considerar
podem
2
dois
3
2
5
12,
ou
lançamentos
seja,
12
refeições
sucessivos
de
árvore
uma
diferentes.
moeda.
todas
as
e
na
ajuda
ou
contagem
na
de
possibilidades.
Que
ocorrer?
lançamos
uma
montar
de
sequencial,
visualização
pode
de
também
b diagrama
Raul
contagem
árvore
possibilidades,
legumes
Portanto,
de
a
uma
segunda
moeda,
vez,
representar
em
podemos
novamente
uma
tabela
obter
podemos
de
dupla
cara
obter
ou
coroa
cara
entrada
ou
esses
2
k
.
Lançan-
coroa k
lançamentos: Obser vação
KCOTSRETTUHS/NIFRU
o
2
ançamento
o
1
lançamento
Cara
(c)
Coroa
cc
(k)
ck
kc
Fazer
de
uma
tabela
visualizar
e
de
é
outra
contar
maneira
as
possibilidades.
Ref lita
Nos
2
lançamentos,
temos
2
2
5
4,
ou
seja,
4
resultados:
(
,
c),
(c,
k),
(k
c) É
ou
(k
possível
de
Ao
muito
resolver
usado
princípio
fazer
uma
ár vore
k).
as
três
neste
situações
capítulo:
fundamental
da
o
anteriores,
princípio
contagem
empregamos
multiplicativo,
um
princípio
também
que
será
chamado
de
possibilidades
3lançamentos
mesma
ela
para
sucessivos
moeda?
Se
sim,
de
uma
como
seria?
201
:ENRAC
:SOTOF
016.9
nana
KCOTSRETTUHS
ed
sl
:APOS
91
pera
carne
:AREP
ed
TALLIUOGRAM
orierevef
anana
KCOTSRETTUHS/NAHCNOB
ed
sp
:ASSAM
8991
pera
legumes
KCOTSRETTUHS/TNOMAGREB
sp
;KCOTSRETTUHS/OTOHP
banana
massa
sopa
:ANANAB
p
:ADALAS
m
KCOTSRETTUHS/JWOLLEY
sp
SKAM
pera
SEMUGEL
anana
MAIS
sp
carne
UANO
c
NOSLIDA
p
OCCES
pera
/LEVAP
as
ou
(k).
KCOTSRETTUHS/OKNEDORAN
organizar
(p
coroa
;KCOTSRETTUHS/ 382121YRELAV
Vamos
ou
(c)
1.1
Princípio
Considere
Se
A
que
pode
multiplicativo
um
ocorrer
acontecimento
de m
maneiras
e
ocorra
se,
em
para
duas
cada
etapas
uma
sucessivas,
delas, B
pode
A
e
n maneiras, o número de maneiras que o acontecimento pode ocorrer é m
O
princípio
multiplicativo
pode
ser
estendido
para
três
ou
mais
B
ocorrer
de
n
etapas.
Exe rc íc ios resolv id os
R1.
T rês
alunos
chegam
atrasados
a
uma
palestra.
Ref lita
Noauditório,
tas
só
maneiras
estão
eles
vazias
podem
7
cadeiras.
ocupar
essas
De
quan
Em
cadeiras?
uma
situação
maneiras
parecida
diferentes
7
com
pessoas
Resolução
Pelo
com
7
poltronas
considerar
que
a
ocupação
das
ocorra
em
três
Quantos
E
(escolha
de
,
de
quantas
ocupar
uma
multiplicativo,
fila
temos:
6
5
números
4
são
de
3
2
5.040
4
1
5
5.040
maneiras
diferentes.
algarismos
podem
ser
etapas:
for mados
princípio
Logo,
cadei-
R3. ras
do
livres? 7
Vamos
a
podem
uma
cadeira
pelo
com
os
algarismos
0,
1,
2,
3,
4
e
5?
primeiro
1
aluno):
E
possibilidades
(escolha
pelo
segundo
aluno
após
Resolução
.8991
7
ter
2
E
):
6
ed
ocorrido
possibilidades
1
E
(escolha
pelo
terceiro
aluno
após
orierevef
4algarismos: terem
3
ocorrido
E
e
E
1
):
5
possibilidades
2
ed
princípio
multiplicativo,
91
Pelo
temos:
5
5
apenas Logo,
os
alunos
podem
ocupar
as
cadeiras
de
7
alunos
algarismo
do
essa
milhar,
posição
há
não
ser
ocupada
pelo
algarismo
zero.
Para
as
erentes.
escolherem
3
cadeiras
é
análoga
à
de
7
por
3
alunos,
quanto
ao
—
centena,
dezena
e
uni-
número
—,
há
6
possibilidades
para
cada
uma.
de
Ref lita possibilidades.
Logo
a
quantidade
seria
a
mesma.
Assim,
pelo
princípio
multiplicativo,
temos:
ogidóC
escolhidas
restantes
cadeiras
dade serem
pois
laneP
situação
o
e
di
posições A
para
possibilidades,
ieL
maneiras
5
de pode
210
que,
210
016.9
6
ed
Observe 7
od
houvesse
alunos
3
—,
alunos
inversão
qual
que
na
atrasados
seria
a
e
situação
só
há
quantidade
poderiam
ocupar
da
palestra
3cadeiras
os
de
3
grupos
5
—
vazias
no
diferentes
com
entrar
uma
fila
em
de
6
um
cinema,
poltronas
6
os
1.080
é
possível
algarismos
for mar
1.080
números
dados.
6
amigos
livres.
De
encontram
quantas
manei-
Quantos
tos
são
os
for mados
que
são
números
com
divisíveis
os
de
4
algarismos
algarismos
por
0,
1,
2,
distin-
3,
4
e
5
5?
ras diferentes eles podem ocupar essas poltronas?
Resolução
Resolução Se
lidades
de
ocupação
para
as
6
0
um
ou
número
em
5.
é
divisível
Vamos
por
estudar
5,
esses
ter mina
dois
em
casos.
poltronas. 0
6
Observe
que
5
4
2
1 3
possibilidades
4
possibilidades
5
possibilidades:
são:
meira
3
5
poltrona;
(1,
2,
3,
(1,
2,
3
4
e
5)
4
3
5
60
5
3
possibilidades
4
possibilidades
4
possibilidades:
3
Aplicando
6
5
4
Portanto,
nas
202
de
o
princípio
3
2
os
720
1
5
amigos
multiplicativo,
4)
podem
Assim,
ocupar
diferentes.
48
temos:
720
maneiras
e
as
poltro-
e
48
temos
números
possível
60
números
ter minados
for mar
108
ter minados
em
números
5.
em
0
Portanto,
divisíveis
por
é
5.
oãçudorpeR
Ao
6
lugares?
R4.
R2.
6
Portanto,
.adibiorp
auditório
de
uma
chegam
.trA
7
481
Se
R5.
De
1990
Brasil
mos.
até
2015,
tinham
3
Quantas
as
placas
letras
são
as
de
automóvel
seguidas
por
4
possibilidades
no
algaris-
de
placas 3
diferentes
nesse
sistema?
(Considere
o
Cada com
26
letras
4
um
dos
3
ZNAM
do
com
alfabeto,
pode
OLUAP
ser
e
para
de
placa
veículos
utilizado
emplacados
no
cada
dezembro
de
de
Se
achar
alunos
Para
a
o
uma
conveniente,
que
obter
criação
é
o
um
a
seguir
de
conversar
sobre
sistema
o
representa
automóvel
com
(Mercado
o
professor
Comum
Mercosul,
comum
de
dos
4
com
26
ser
últimos
espaços
qualquer
um
10
10
letras
dos
10
10
1990
2
placa
Mercosul
informações
de
pode
das
princípio
multiplicativo,
o
númer o
de
2015.
Resolução
diagrama
um
26
possibilidades
de
espaços
uma
Brasil
Pelo
até
qualquer
preenchido
26
Modelo
O
primeiros
letras.) preenchido
algarismos
alfabeto
do
você
os
nesse
de
Sul)
discutir
e
placas
consultar
permitirá
promover
quais
seriam
o site:
um
2
Portanto,
espaços
sistema:
Geografia
e
pode
emplacamento
7
2
um
os
trabalho
de
se
criar
<www.mercosul.gov.br>.
controle
mais
rigoroso
do
há
com
um
1
o
de
diferentes
1
1
175.760.000
nesse
base
sistema
Segundo
transporte
placas
1
diferentes
interdisciplinar
objetivos
de
na
de
Departamento
cargas
e
de
particulares
.7
.
possibilidades
do
.
Pode-se
emplacamento
Nacional
passageiros,
entre
17
de
sistema.
questão
comum
5
é:
os
de
explicar
de T rânsito
bem
países
que
como
aos
veículos.
( Denatran),
de
veículos
compõem
o
bloco.
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
.8991
1.
Com
3
tipos
de
macarrão
e
2
tipos
de
molho,
quan-
8.
Quantos
números
entre
1.000
e
8.000
podemos
ed orierevef
tas
opções
po
em
de
pratos
diferentes
de
macarronada
formar
usando
apenas
1,
3,
5,
7
e
9
sem
repeti-los?
96
ser
prepara
as?
6
ed
9.
91 ed
2.
Uma
pessoa
016.9
cidade
C,
quer
viajar
passando
de
pela
uma
cidade
cidade
B.
A
As
a
A
seleção
va
com
de
resposta.
ieL
estão
e
cidades
ligadas
B
e
C
por
estão
3
estradas:
ligadas
por
d
4
,
certo
questões.
concurso
Para
cada
é
feita
por
questão,
uma
há
pro-
3opções
Os
candidatos
marcam
as
6respostas
cidades
d
1
as
6
para
uma
em A e B
números
opções
e
d
2
;
um
cartão
igual
ao
da
figura
a
seguir.
e
3
estradas:
e
laneP
1
,
e
2
e
e
3
481
Doze
.
De
quantos
modos
diferentes
se
pode
4
o
percurso
cavalos
.trA
nhum
ABC ?
12
participam
pode
ganhar
modos
de
uma
mais
de
corrida.
um
NOSLIDA
ogidóC od
fazer
OCCES
e
Se ne-
prêmio,
de
.adibiorp
o
quantas
maneiras
podem
ser
distribuídos
o
1
o
2
prêmios?
132
maneiras
Calcule
oãçudorpeR
rentes
Quantos
são
os
números
de
4
De
quantas
podem
livros
lado
colocados
lado
120
em
Um
cartão
técnico
grupo
uma
AVONESKA
prateleira?
ser
a
10.
/AY LATAN
5
números
dis-
maneiras
KCOTSRETTUHS
tintas
maneiras
responda:
de
pode
quantas
ser
maneiras
preenchido?
tas
4
cada
3
o
cada
atletismo
corredores,
um
e
correr
para
4
em
melhor
corridas,
pode
de
7
100 m
dem
Se
de
de
for mar
redores
3
as
200
corredor
os
devem
ordemserá
um
deve
contada
de
os
dos
ser
sendo
participar
de
Todos
maneiras
times,
escolher,
times
corridas
m.
qualquer
quantas
deve
dois
o
senha
A
acesso
distintas
primeira
algarismo
um
seguidas
letra
não
não
pode
de
e
3
algarismos
pode
ser
ser
zero.
Z,
e
distintos.
o
Quantas
7
atletas
último
os
um
nas
o
outros
uma
time
os
com
números
os
de
algarismos
duas
técnico
6
cor
equipe
e
diferente?
maneiras
primeir o
3
dígitos
0,
1,
2,
podem
3,
4
e
ser
5,
NACNU
quantos
for mados
po
A/YBLE
Calcule
um
atle
revezamento
distintas
que
de
4
diferentes
e
7.
r
WOLG/YM
tras
n
SEGAMI
A
m
revezamentos.
apenas
como
de
720
6.
dife-
72
algarismos?
9.000
5.
e
esse
se
algarismos:
a)
podem
b)
não
ser
repetidos.
podem
ser
180
números
repetidos.
100
números
Corrida
de
revezamento
4
3 400
m,
EUA,
2012.
203
11.
Uma torre de comunicações conta com 5 bandeiras
sinalizadoras,
do
uma
ou
e
as
mais
mensagens
bandeiras
são
enviadas
são
15.
quan-
hasteadas,
Em
a
ordem
em
que
elas
são
país,
os
números
de
telefone
impossuem
portando
deter minado
10
dí
itos,
confor me
o
padrão:
hasteadas.
Quantas mensagens distintas podem ser enviadas? não 325
pode
ser
0
ou
1;
mensagens
AGNAM
dígitos
não
podem
ser
podem
todos
ser
0
ou
iguais
a
1;
800
12.
No
código
Morse,
as
“letras”
são
representadas
0. códigos
por a)
b)
O
pontos e traços, em agrupamentos ordenados de 1 a
4
desses
sinais
para
cada
“letra”.
Quantas
có
igo
distintas
podem
ser
representadas
nesse
30
e
ár ea
p a ra
certa
ci
a
e
é
43 1.
“letras”
código?
letras
640
prefixos
C
c)
13.
Quantos
menos
números
um
de
5.000
algarismo
3?
542
a
6.999
contêm
pelo
são
2
iniciais
seus
letras.)
Ver
devem
nomes.
resolução
ter
as
mesmas
(Considere
no
Guia
9.999
b
é
223.
números
dígitos
são
do
o
duas
númer os
possíveis
de
telefone de
dentro
do
código
6.399.360
números
letras
alfabeto
e)
com
Quantos
números
possíveis
professor.
nesse
de
telefone
país?
de
10
5.119.488.000
dígitos
são
.8991
26
alunos
de
difer entes
deárea431? menos
possíveis?
Quantos
7
números
d)
14.
números
ed orierevef ed 91 ed
Fatorial
de
um
número
016.9
2
natural
ieL e
5
3
e,
no
consecutivos,
multiplicamos
segundo,
n
5
como
números
1
2
3
ou
naturais
8
de
1
7
6
5
até n,
4
3
sendo,
2
no
1.
Em
ambos
primeiro
caso,
od
n
naturais
exemplos,
ogidóC
os
laneP
Boa parte dos problemas da Análise combinatória é resolvida por um produto de
números
8.
481
geral,
produtos
do
tipo
1
2
3
4
...
(n
1)
n
serão
escritos
com
a
no-
.adibiorp
de
fatorial.
é
definido
n!
5
n
para
n
um
natural
é
representado
por
!
(lemos:
“
fatorial”)
e
por:
(n
>
número
oãçudorpeR
O fatorial de
1)
(n
2)
...
2
5
1
2
Exemplos Obser vação
Algumas
têm
a
calculadoras
tecla
calcular
o
,
x!
de
O
b)
10!
fatorial
de
4,
ou
seja,
4!,
é
24,
pois:
4! 5
4
3
2
1
5
24
científicas
usada
fatorial
a)
5
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
5
3.628.800
para
um
número
A notação fatorial facilita a representação da multiplicação de números naturais natural
x
consecutivos. Por exemplo, para representar o produto 25 Em
uma
calculadora
essa
por
função,
para
exemplo,
calcular
basta
24
23
22
...
3
2
1,
com
podemos
escrever
25!
10!,
digitar
Se
tivermos
um
número
natural
n
muito
grande,
o
cálculo
de
n!
será
bastante
trabalhoso. Por isso, ao representar n!, podemos fazer algumas substituições, como:
visor
aparecerá
3.628.800,
que
o
é
número
o
resultado
5
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
5
10
9!
de
9! 10
9
sse
8
7
6
5
procedimento
epen
en
o
a
ca
4
3
pode
cu
a
2
1.
variar
!
5
n!
5
n
n!
5
n
(
1)!,
(n
1)
para
N
1.
ora.
Esse
204
8
tipo
(n
de
.trA
Em
tação
1)
nota
(n
(n
ão
2)!,
2)
será
para
(n
muito
n
Ñ
3)!
N
n
etc.,
usado
>
2.
para
na
n
Ñ
N
simplifica
n
>
ão
3.
de
expressões.
Exemplos Ref lita
a)
Veja
como
podemos
simplificar
as
seguintes
expressões: e
8!
7
6
8
5 5!
7
3!
3
2
3
é
que
5 56
1
n
um
2
1,
(n
1)!,
natural
e
(n
1
maior
1)!
são
Para
que
consecutivos?
( (n
1)!,
n!
e
( (n
1
1)!
sejam
001 ! 5
1
n!
1 números
1
número
6
5
5
001
números
consecutivos,
devemos
ter
0 0 0! o
sistema:
n
⎧
1
)!
1
1
!
5
1
n!
5
1
⎨
1
(simplificamos
n!
com
n
n!)
(II)
⎩
n! De
b)
Nos
exemplos
abaixo,
vamos
escrever
todas
as
expressões
em
termos
de
5!.
V
(II),
n
temos:
n
5
1
V
ubstituindo
6!
6
5!
6!
5
5
6
5!
6
5
5!
5
6
5
2
3
5!
4!
7
6!
6
!)
2
5
1!
5
2
(6
8
5! )
(6
5
5!)
(8
7
(1
3!
3
2
1)!
sistema
valor
5
n
1
5
por
1)
n
5
1
V
1
5
1
1
V
em
0
5
(I),
1
temos:
(falso)
5
1)
5
n
1
5!
5
O
8!
( (n
8
55
5!
de
é
n
números
do
que
tipo
SI;
torne
logo,
( (n
1)!,
não
há
n!
( (n
e
consecutivos.
6
Exe rc íc ios resolv id os
Ref lita
R6.
Deter minar
o
número
natural
n
sabendo
que:
5 n
Veja como, usando os símbolos
4!
9
1
!
Resolução
e !, além de 4
“quatros” ,
expressamos 1, 2, 3e 4:
n Podemos
escrever
(n
1
1)!
como
(n
1
1)
n !,
obtendo:
5
.8991
n
Temos:
4!
5
4
3
2
1
5
4!
1
5
(4
1
2
5
(4
9
4
4)
4)
1
(4
(4
ed
orierevef
4
24
V
n
1
1
4
4)
5
24
V
n
4
4)
4
) 5
9
24
3
9
!
5
(4!)
9
4
23 Faça
o
mesmo
para
expressar
nú
ed 91
meros
ed
R7.
Calcular
de
quantas
maneiras
8
crianças
podem
sentar
em
um
5
016.9
a
ieL
do
criança
mais
nova
deve
necessariamente
sentar
do
lado
possíveis:
esquerdo
banco.
e laneP
10.
banco Respostas
se
a
5
5
(4
4
6
5
(4!
7
5
(4
8
5
4
9
5
(4
1
4)
1
1
4)
1
4)
4
4
4
4
(4
1
4)
4
4
Resolução
ogidóC od
10
O
esquema
número
ao
de
481
upação
lado
8lu
(44
1
4
4)
1
4
4
representa o
possibilidades
dos
5
4)
ares
do
de
1
7
6
5
4
3
2
1
banco.
.trA .adibiorp
O
primeiro
oãçudorpeR
uma
única
de
lugar
7maneiras
rentes;
e
6
o
3
mais
o
lu
ar
do
banco
nova).
ao
lado
pode
Sobram,
deste,
ser
de
ocupado
então,
6
7
de
lugares
maneiras
dife-
diante.
princípio
as
esquerdo
criança
por
5
Portanto,
lado
(a
diferentes;
assim
Aplicando
no
maneira
multiplicativo,
2
=
crianças
7!
5
podem
temos:
5.040
ocupar
o
banco
de
5.040
maneiras
diferentes.
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
16.
Calcule
o
valor
de:
19.
7
7
a)
letras
4
6 !
17.
5 !
pode
5 !
a)
b)
20.
5 !
no
Guia
Os
do
n
D,
E
outra.
e
F
devem
De
ser
quantas
escritas
uma
maneiras
sabendo
azul,
de
720
isso
5
maneiras
casas
marrom,
devem
branca,
ser
pintados
verde
e
com
ver melha.
as
De
quantas maneiras isso pode ser feito se cadaportão
professor.
ser
pintado
de
uma
única
cor
e
dois
portões
que:
não
podem
ser
pintados
da
mesma
cor?
120
maneiras
!
a)
5 n
C,
da
feito?
portões
deve n
ser
cores
4
resolução
Calcule
B,
c)
5
18.
A,
seguida
b)
210
4 !
Ver
As
em
7
30
6
! 21.
Quantos
números
pares
maiores
e
40.000
po
em
ser formados com os algarismos 2, 3, 4, 5 e 6 se cada b)
72
8
algarismo é usado apenas uma vez em cada número?
205
1)!
3
Permutações
3.1
Permutação
Anagrama
de
uma
simples
palavra
é
qualquer
agrupamento,
com
ou
sem
significado,
Ref lita
obtido
pela
usando
uma
é
possibilidades?
afirmativo,
faça
Em
Para
isso.
formam
ou
3
a
anagramas
primeira
podemos
letra,
possibilidades
de
a
quarta
seja,
24
Cada
anagrama
da
palavra
temos
para
a
4
formar
com
as
possibilidades
letras
colocação
da
(A,
segunda
M,
da
O,
palavra
R).
AMOR?
letra,
2
Depois
para
a
dessa
escolha,
terceira
letra.
Logo,
pelo
princípio
multiplicativo,
temos
4
letra
1
5
e
4,
anagramas.
um
desses
anagramas
corresponde
a
uma
permutação
simples
das
letras
árvore.
da
um
alavras
significado?
diagrama
exemplo,
encontrados
Por
ár vore
1para
com
letras.
caso
há
suas
ROMA.
Quantos de
de
AMOR
problema
transposição
palavra
AMOR.
RMA
ou
formam
MR
,
palavras
por
exemplo,
sem
De
uma
permutação
para
outra,
os
elementos
são
sempre
os
mesmos;
eles
significado.
apenas
trocam
elementos
de
que
posição.
formam
Daí
um
o
nome permuta
todo
com
a
o
finalidade
(permutar
de
Dado um conjunto de n elementos distintos, chama
obter
significa
nova
trocar
os
configuração).
se permutação simples dos
nelementos qualquer sequência (agrupamento ordenado) desses n elementos. .8991 ed
P
o
número
de
permutações
simples
de n
elementos.
orierevef
Indica-
n
ca
cu
ar
o
número
e
permutações
simp
es
em
a
umas
ed
Vamos
situações.
91
saber,
por
exemplo,
consideramos
5
letras
podem
quantos
para
ser
a
anagramas
primeira
permutadas
letra,
entre
da
temos
palavra
1
CINEMA
possibilidade
começam
(C)
e
que
as
ieL
outras
que,
016.9
C,
ed
Para
por
si.
e
P
5
1
5
4
o
princípio
3
2
1
5
multiplicativo,
1
5!
5
temos:
ogidóC
1
aplicando
laneP
Então,
120
5
há
120
anagramas
de
CINEMA
começados
por
od
Logo,
C.
481 .trA
1
mais
uma
situação.
2
5
42
Vamos
20
alunos
de
que
modos
as
20
carteiras
distintos.
de
Dizemos,
uma
sala
então,
de
que
aula
esses
podem
alunos
ser
ocupadas
podem
ocupar
1 5
42
essas
carteiras
de
modos,
P
ou
seja:
20
2
n
1
3n
1
2
5
42
5
P
20
19
18
17
…
4
3
2
1
5
2.432.902.008.176.640.000
20 2
n
n
1
5
3n
5
40
ou
Logo,
n
n
5
5
5
0
28
(não
Logo, há 2.432.902.008.176.640.000 modos de os alunos ocuparem essas carteiras.
serve)
5.
Ref lita O
número
5 é
o
valor
de
n
se
n
(n
permutações
1)
(n
2)
simples
(n
3)
de n
...
n
1 2
Qual
de
5
n
Exe rc íc ios resolv id os
quantas
sofá
maneiras
com
5
diferentes
lugares,
de
um
modo
casal
que
o
com
casal
3
filhos
fique
pode
ocupar
semprejunto?
Resolução
Se
o
casal
não
pode
ser
separado,
devemos
considerá-l
m
fosse uma única pessoa, calculando a permutação de 4 pessoas (4!).
dos
5
pai
206
lugares.
mãe
filho
1
filho
2
filho
3
OLUAP
um
ZNAM
De
3
2
é
dado
ou
5 n
42?
P
R8.
elementos
n
por:
oãçudorpeR
por
considerar
.adibiorp
Acompanhe
P
Porém,
se
sibilidade
o
casal
trocar
diferente
da
mãe
Aplicando
Portanto,
R9.
Qual
com
é
a
2,
o
soma
4,
6
e
5
todos
entre
filho
1
multiplicativo,
lugares
de
posições
pai
princípio
os
as
si(2!),
obtemos
uma
pos-
anterior.
podem
os
ser
filho
temos:
ocupados
números
de
4
2
filho
4!
de
2!
48
5
3
24
2
maneiras
algarismos
5
48
diferentes.
distintos
for mados
8?
Resolução
A
soma
procurada
(S )
tem
P
parcelas:
P
4
Na
ordem
(número
Ocorre
A
(8
de
o
soma
dos
nas
valores
8)
outras
(6
6
2
.8991
6
...
1
2)
5
cada
5
24
3
algarismo
algarismos
aparece
nas
outras
6
vezes
ordens).
ordens.
em
...
6
1
(U),
outros
absolutos,
vezes
1
dos
54! 4
simples
per mutações
...
6
(2
unidades
mesmo
8
1
das
cada
6)
ordem,
(4
4
vezes
é:
...
6
4)
vezes
C
D
U
2
4
6
8
2
6
4
8
6
8
120
vezes
24
parcelas
ed orierevef ed
S
5
120
U
1
S
5
120
1
1.200
91
S
UM
120
D
1
1
120
C
12.000
1
1
120
4
6
2
8
8
4
6
2
8
6
4
2
UM
120.000
133.320
ed 016.9
Então,
a
soma
procurada
é
133.320.
ieL e laneP ogidóC od
3.2
Permutação
com
elementos
repetidos
481 .trA
Trocan
-se
a
posição
das
letras
da
palavra
AMORA,
podem
ser
escritas
outras
.adibiorp
Ref lita
sequências
oãçudorpeR
às
de
letras.
permutações
Nesse
simples,
caso,
pois
a
porém,
letra
A
se
os
ana
repete.
ramas
não
Apesar
de
correspondem
a
palavra
mais
AMORA
que
ter
a
5
letras,
o
distintas,
número
(A
de
MORA
1
anagramas
),
teríamos
distintos
5!
é
inferior
anagramas.
a
Assim,
5!.
Se
as
fixadas
2
as
letras
letras
A
acontece
primeira
M,
O
e
permutação
letras
A
e
A
anagramas.
daria,
para
cada
anagrama
de
AMORA,
origem
2
Como
essas
letras
são
iguais,
a
permutação
delas
não
gera
novo
anagrama.
Então,
para
o
cálculo
correto
do
número
de
anagramas
a
permutarmos
letra
da
devemos
dividir
por
2!
o
total
de
permutações
simples,
5!.
palavra.
Apesar
instamos
aluno
ao
perca
o
foco
de
evidente,
para
deste
que
aspecto
de importante
AMORA,
mesma
Comentário:
não
um
se
última
2
das
1
a2!novos
a
R, Obtemos
a
e
fossem
Portanto,
o
livro
do
do
aluno
texto
ao
teórico
lado
do
do
boxe
Reflita.
! total
de
anagramas
da
palavra
AMORA
é
5
60.
2!
Aplica-se
o
mesmo
raciocínio
aos
casos
em
que
há
repetição
de
mais
de
2
eleRef lita
mentos.
Empregando
Por
exemplo,
na
palavra
MACACA,
se
as
letras
A
fossem
distintas,
teríamos
algarismos,
anagramas
em
cada
posição
fixada
para
as
demais
letras.
Se
as
letras
C
teríamos
2!
anagramas
em
cada
posição
fixada
para
as
demais
forma,
temos
que
dividir
o
total
de
permutações
simples
(6!)
por
(3!
2!
.
o
número
de
anagramas
da
palavra
MACACA
,
é
da
ou
seja,
60
senhas
com
anagra-
sugerido
aber tura
podem
6! Então,
e
o
tamanho
letras. mínimo
Dessa
letras
aproximadamente
fossem quantas
distintas,
apenas
3!
ser
no
deste
infográfico
capítulo
formadas?
14
q
senhas
2!
mas,
O
pois,
das
número
6
de
letras,
3
são
A
permutações
e
2
são
C.
de n elementos,
dos
quais n
é
de
um
1
de um k
ésimo tipo, é indicado por
k
tipo, n
de
um
2
. . ,
segundo tipo, ..., n
n
e é dado por: n
n
P
2
n
n! k
5
n
k
207
Exe rc íc io resolv id o
R10.
Deter minar
quantos
a)
por
consoante.
b)
por
vogal.
Resolução
a)
Temos
do
a
3
possibilidades
de
primeiraconsoante,
Então,
o
número
P
de
da
palavra
escolher
sobram
anagramas
ELEGER
uma
5
começam:
consoante.
letras
com
3
Tendo
letrasE
escolhi-
repetidas.
é:
5 !
3
3
anagramas
3
5
0
5
3 !
b)
gal(E),
Então,
sobram
o
número
P
de
com
2
letras
anagramas
E
repetidas.
é:
5 !
2
1
5letras
1
5
60
5
2 !
Registre as respostas em seu caderno .8991
Exerc íc ios propostos
ed
29.
Qual
é
a
rismos
soma
de
distintos
todos
que
os
números
podemos
de
escrever
5
a
orierevef
22
a-
com
os
ed
Com
as
letras
da
palavra
PROVA,
quantos
algarismos
são
1,
2,
3,
4
e
5?
91
23.
3.999.960
ed
anagramas
são
os
que
anagramas
começam
que
por
vogal
começam
e
e
quantos
ter minam
por
30.
De
quantos
modos
podemos
guardar
10
016.9
os
objetos
ieL
48
anagramas;
36
anagramas
3
e
Quantos
são
os
anagramas
da
palavra
a
terceira
5
com
objetos
com
2?
o
( Sugestão:
número
1,
Numere
3 com
o
os
og idóC
objetos: 24.
laneP
com
e
consoante?
nú-
CARREIRA?
3.360
anagramas
mero
2
e
2
com
o
número
3.)
2.520
modos
od
Oito
clientes
de
um
banco,
dos
quais
3
são
481
25.
mu-
Uma
pessoa
pessoas
dessa
fila
podem
se
modo
que
as
mulheres
fiquem
para
B
e,
então,
de
B
paraC
o
dia
rama
a
se
uir.
juntas?
4.320
oãçudorpeR
de
A
posicio-
confor me nar
de
.adibiorp
as
vai
maneiras
.trA
31.
maneiras
A
26.
Com
2
3azuis
tos
bandeiras
também
sinais
todas
ver melhas
indistinguíveis
diferentes
elas,
podemos
enfileiradas,
no
indistinguíveis,
e
1
branca,
emitir
mastro
quan-
pendurando
de
um
navio?
60
27.
Dese
a-se
arrumar
Matemática,
dos
os
juntos
(FGV)
Um
etapas
A,
de
C,
poss
estante
5
de
as
4
livros
de
Português,
to-
possibilidades
A
processo
e
B
de
qualquer
e
e
A
se
possibilidades
permanecerem
es
industrial
deve
passar
pelas
E.
B
de
deve
A
ordem,
etapas
devem
e
B
e
processo?
ficar
preceder
sequências
delineadas
do
D
479.001.600
matéria
a
sequências
se
Quantas
início
mesma
processo
B,
Quantas
do
são
restrições?
uma
103.680
lineadas
b
Quantas
e
se:
houver
livros
uma
NOSLIDA
não
em
Química
OCCES
a)
b)
a)
de
diferentes.
arrumação
28.
3
sinais
de
48
B ?
etapas
devem
não
podem
juntas
ficar
6
ser
no
de-
início
sequências
podem
juntas,
necessariamente
ser
em
C
no
Quantos
sequências
caminhos
diferentes
são
possíveis?
225
31.
Seria
interessante
duplas
208
ou
trios
que
para
os
alunos
incentivar
a
resolvessem
discussão
de
esta
caminhos
questão
estratégias.
em
4
Já
é
Arranjo
vimos
igual
de
24
a
a
maneiras
formar
quantidade
Isso
de
Vamos
de
quantas
de
significa
diferentes,
sequências
AMOR),
1
que
4! 5 24.
simples
2
que
as
4
letras
resultando
letras
distintas
maneiras
considerar
permutações
que
a
em
24
entre
podemos
descrita
das
letras
palavra
da
podem
anagramas.
(escolhidas
diferentes
situação
simples
dessa
Se,
as
4
palavra
ser
contudo,
que
AMOR
reordenadas
quisermos
formam
a
palavra
fazê-las?
ocorra
em
etapa:
escolher
a
primeira
letra
entre
4
possíveis;
etapa:
escolher
a
segunda
letra
entre
3
possíveis.
duas
etapas:
a
2
Aplicando
Logo,
são
Observe
o
princípio
12
multiplicativo,
possibilidades
que,
desse
total
de
de
temos
formar
12
4
3
5
sequências
possibilidades,
12.
de
2
letras.
começam
por: Obser vação
"
AM,
AO
e
AR
"
OA,
OM
e
OR
Dois
"
MA,
MO
e
MR
"
RA,
RM
e
arranjos
entre
dos
Esses agrupamentos ordenados são os arranjos simples dos 4 elementos distintos
dados,
A
5
4,
tomados
4
3
a
2.
Para
indicar
a
quantidade
de
agrupamentos,
si
ordem
elementos
menos
escrevemos:
pela
diferem
um
i
12
ou
de
por
elemento.
colocação
pelo
Exemplos:
ca
i
2
Se
desejarmos
.8991
repetem
ed
o
5
2
simples
RO
que
e,
para
totaliza
orierevef
"
escolher
a
4
3
etapa,
3
AMO,
3
2
5
AMR,
letras
entre
temos
24.
a
Desse
AOM,
as
escolha
total
AOR,
4
ARO
de
e
possíveis,
da
24
as
terceira
duas
letra
possibilidades,
primeiras
entre
as
2
começam
etapas
se
restantes,
por:
ARM Obser vação
ed 91
"
MAO,
MAR,
MOA,
MOR,
MRA
e
MRO
ed
Qualquer
016.9
"
OAM,
OAR,
OMA,
OMR,
ORA
e
problema
permutações
ieL
"
RAM,
RAO,
RMA,
RMO,
ROA
e
que
envolva
ORM
pode
ROM
e
pelo
ser
ou
arranjos
resolvido
princípio
simples
diretamente
multiplicativo.
laneP
Esses agrupamentos ordenados são os arranjos simples dos 4 elementos distintos
ogidóC od
dados,
5
A 4,
tomados
4
3
2
5
3
a
3.
Para
indicar
a
quantidade
de
agrupamentos,
escrevemos:
24
3
481 .trA
Dado
um
.adibiorp
mentos,
con
unto
tomados
com
p
a
oãçudorpeR
elementosdistintos,
Indica-se
por
A
o
n
Vamos
tintos,
calcular
arranjados
elementos,
p,
qualquer
escolhidos
número
de
chama-se
arran
agrupamento
entre
os n
arranjos
o
simples
ordenado
dos
ele-
(sequência)
de
p
possíveis.
simples
de n
elementos
tomados p
a
p
p
o
p
número
a
p,
com
total
0
,
de
p
<
agrupamentos
n,
indicado
simples
por
de n
elementos
dis-
Obser vações
A n
p
Existem
possíveis
escolhas
para
o
primeiro
elemento
do
a
o
1possíveis
escolhas
para
o
se
undo
elemento,
2
para
o
terceiro
denominador
(p
...,
Então,
de
n
1)
aplicando
elementos
5
possíveis
8
(
p
a
1)
o
p
escolhas
princípio
para
o
p-ésimo
multiplicativo,
o
elemento
número
do
de
a
rupamento.
arranjos
um
nulo,
n
2)
[
( (p
1)],
com
0
,
uma
fração
mesmo
obtemos
número
uma
não
fração
equivalente.
simples
é:
(
de
elemenpor
to,
rupamento,
p
1
5
n
p
1
1
p
n,
p
fatores
Ref lita
!
o
Desenvolvendo a expressão do 2
membro e multiplicando-o por
temos: ! Verifique
n A
(n
!
5 n
A
n!
n
n
n,
1
que:
5
n!
5
n
5
P n
5
p
!
!
A
n
n
(n
n! A
Como
5
,
com
n
Ñ
N
p
Ñ
N
e
,
p
<
n n
n,
Então:
n
A
P
n)
5
n!,
0!
1
então:
5
n
5
P
n
!
n
n
(n
1) ! n
A ,
1
(n
P
r
n
:
1) !
5
A ,
n
)!
n
1
209
Exe rc íc ios resolv id os
R11.
Quantos
números
podemos
escrever
de
3
com
algarismos
os
diferentes
algarismos
1,
2,
3,
6e7?
par
ordenado.
significa
mero
2,
a
Assim,
o
pessoa
A
enquanto
número
que
5.
O
par
a
par
ordenado
ocupa
pessoa
ordenado
B
a
ocupa
(5,
2)
(2, 5)
cadeira
a
nú-
cadeira
significa
que
a
Resolução pessoa
Os
problemas
arranjos
que
simples
envolvem
podem
per mutações
ser
resolvidos
ou
a
da
essoaB
fór mula
ou
do
princípio
total
de
a
ocu
cadeira
a
a
número
cadeira
5,
enquanto
maneiras
número
diferentes
de
2.
as
cadeiras
multiplicaserem
ocupa
por O
meio
A
ocupadas
pelas
2 pessoas
será
dado
pelo
número
de
pares
ordenados
for mados
modos. com
o
1
os
números
calculado
modo:
Sabemos
que
a
ordem
dos
algarismos
da
esco-
das
cadeiras,
seguinte
!
que
10
10
resulta
em
númer os
difer entes.
2
10
Por
escrever
231,
ou
o
312
número
dos
3
a
321.
de
números
Portanto,
arranjos
de
123,
132,
devemos
5
calcular
elementos,
!
8 !
podem
ser
formados
90
pares
ordenados.
213,
toma-
3:
sentar -se
Isso
5 !
significa
5!
cadeiras
2!
sim,
juntas.
que
cujos
A
e
B
números
não
são
devem
ocupar
consecutivos.
As-
5 5,
3
(5
3 )!
devemos
escrever
60
números
de
3
distintos
com
os
algarismos
elementos
são
os
pares
consecutivos
alpara
garismos
cujos
são
subtraí-los
dos
90 pares
ordenados
dados.
orierevef
podemos
quantos
ed
ordenados Logo,
descobrir
.8991
A
os
2
Logo, podemos
ser
9
!
A lhidos
pode
maneira:
ed
possíveis.
91
pares
ordenados
for mados
com
números
(1,
princípio
multiplicativo.
Fazendo
2),
(2,
(8,9),
esquema
para
representar
o
número
de
escolhidos
entre
1,
(3,
10),
4),
(2,
(4,
1),
5),
(3,
(5,
2),
6),
(4,
(6,
3),
7),
(5,
(7, 8),
4),
2,
6),
(8,
7),
(9,
8)
e
(10,
9),
(6,5),
totalizando
3, 18pares.
e
7,
temos:
od
6
4
possi
5
possibilidades:
i
i
a
com
pelo
(1,
2,
3,
6
e
mos
multiplicativo:
temos
diferentes
60
números
for mados
a
5
de
partir
4
3
5
60
3 algarismos
dos
algaris-
dados.
pois
números
teríamos
com
uma
2
pessoas
cadeira
se
sentarem
entre
elas.
modo:
de
contar
algarismos
poderíamos
aplicando
Por
esse
o
princípio
princípio,
p ess oas
10cadeiras
enfileiradas.
pessoa
este
calculamos
de
primeira
2
resolver
problema
multiplicativo.
sibilidades
A Não,
as
7)
Também
Assim,
menos
de
es
Outro
princípio
poderá
se
se
todas
as
senta r e m
sentar
em
pos-
n as
qual-
os
repetidos,
quer
uma
das
10
cadeiras,
restando,
então,
Ref lita nesse
caso
haveria
125
números.
apenas
Se
a
pergunta
3algarismos,
com
os
fosse:
sem
“Quantos
restrição,
algarismos
1,
2,
3,
6
números
podemos
e
7” ,
o
de
escrever
resultado
(10
9)
igual
a60?
Por
numeradas
soas
podem
menos
uma
de
1
a
10.
sentar
maneiras
De
quantas
entre
for mas
cadeiras,
2pes-
havendo
ao
problema
que
entre
Se
des
a
elas.
em
lado,
que
as
temos
2
escolha
pessoas
para
temos
se
a
90
sentarem
apresenta
haja
pelo
listar mos
duas
uma
menos
todas
pessoas
restrição:
uma
as
ficam
é
cadeira
possibilida-
juntas,
lado
18posições.
elas? basta
posições
descontar
encontradas
esse
valor
do
inicialmente.
total
de
Assim,
há
Resolução
Vamos
ras
210
nos
necessário
Agora,
de
de
maneira,
quê?
nessas
cadeira
Dessa
10cadeiras.
Este
R12.
possibilidades
pessoa.
seria nas
também
9
segunda
considerar
escolhidas
que
pelas
os
números
pessoas
A
e
B
das
cadei-
formam
um
72
possibilidades
em
10
uma
cadeiras
cadeira
de 2 pessoas
contanto
entre
elas.
que
se
haja
sentarem
pelo
menos
oãçudorpeR
possibilidades
90
maneiras
.adibiorp
3
72
.trA
tem
481
Fazendo
Pelo
ogidóC
diferentes
(9,
3al(7,
garismos
3),
um
laneP
o
e
do
são:
ieL
016.9
consecutivos
ed
Os 2
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
32.
De
quantos
um
sofá
de
modos
5
3
pessoas
lugares?
60
podem
sentar
em
Deter mine
o
número
x
inteiro,
x
>
,
para
que
modos
A
5
156.
13
x,2
33.
Em
uma
empresa,
10
de
seus
diretores
são
candi37.
datos
aos
cargos
de
presidente
e
Uma
uma Quantos
são
os
possíveis
resultados
da
Cinco
cavalos
disputam
um
páreo.
outra
resultados
Admitindo
haja
empates,
resultados
para
qual
as
3
é
o
número
primeiras
de
Um
0,
tebol
escolar
putado
por
Admitindo
empates,
vai
2,
ser
dis-
não
quantas
para
de
os
haja
são
as
classi-
dois
gundos
A
pri-
lugares?
380
rente?
30
possui
3,
por
Seuma
NWAH
meiros
fu
20 equipes.
que
possibilidades
ficação
de
De
por
quantas
uma
maneiras
porta
e
sair
por
maneiras
4,
um
5,
6,
disco
7,
8
e
marcado
9.
O
com
segredo
os
do
dígitos
cofre
é
resultados
KCOTSRETTUHS/ROCEP
campeonato
di
cofre
1,
dado
Um
portas.
entrar
possíveis
colocações?
60
35.
6
pode
que
38. não
possui
pessoa
eleição?
90
34.
sala
vice-presidente.
uma
pessoa
em
cada
ur na
I
II,
Qual
o
de
abrir
o
tentativa,
bolas
contém
número
3
e
distintos.
gastar
2
numeradas
sequências
10se-
tempo
levará
horas
numeradas
bolas
de
3 dígitos
cofre
quanto
contém
Aur na
é
sequência
tentar
de
1 a
.
de1a3.
numéricas
que
possibilidades
.8991
las
da
ur na
I
e,
em
seguida,
2
bolas
da
ur naII?
360
sequências
ed orierevef ed 91 ed 016.9
5
Combinação
simples
ieL e laneP
Considerando
o
conjunto
formado
pelas
letras
da
palavra
AMOR,
quantos
subObser vações
ogidóC od
conjuntos
com
3
elementos
podemos
formar?
Como já vimos, a quantidade de agrupamentos ordenados ou sequências é dada
481
ordenado:
por
5
A 4,
4
3
2
5
24.
Esses
agrupamentos
(a
b)
i
(b
a)
são:
3
.trA
.adibiorp
não
AMO,
AMR,
AOM,
AOR,
ARO,
ARM,
MAO,
MAR,
MOA,
MOR,
MRA,
oãçudorpeR
OAR,
OMA,
OMR,
ORA,
ORM,
RAO,
RAM,
RMA,
RMO,
ROA,
ordenado:
{a
b}
5
{b
a}
MRO,
Pelo
OAM,
princípio
ototal
ROM
as
de
multiplicativo,
possibilidades
escolhas
repetidas.
4
e
contamos
descontamos
Assim,
temos:
120 20
Pensando
em
termos
de
conjuntos
cujos
elementos
são
as
letras
do
agrupamen-
3
2
Ou
to,
os
conjuntos
iguais,
pois,
elementos,
Dessa
5
P
3
permutar
forma,
2
1
5
o
6
isto
total
pelas
as
é,
o
de
(número
3
letras
letras,
o
conjunto
24
de
AMO,
AOM,
conjunto
não
sequências
permutações
se
MAO,
MOA,
continua
OAM
tendo
e
OMA
6
há
20
maneiras
de
escolhermos
são
exatamente
os
3
frutas
diferentes
em
6
frutas
disponíveis.
um
conjunto
com
modifica.
com
das
as
3
3
letras
deve
ser
dividido
KCOTSRETTUHS/NOPAHTTANPOT
mesmos
ao
formados
1
seja,
por
letras).
3
Pode-se,
A 4
portanto,
dizer
que
a
quantidade
de
subconjuntos
com
3
elementos
24
3
é
4, P
escolhidos
entre
os
4
elementos
do
conjunto
das
letras
da
pa
6
3
lavra
AMOR:
{A,
Chamamos
esses
M,
O},
{A,
agrupamentos
M,
R},
de
{A,
O,
R},
{M,
combinações
O,
R}
simples
dos
4
elementos,
Há
6
tipos
quantas
tomados
3
a
3
Dado
um
de
fruta
maneiras
na
foto
podemos
De
escolher
3.
conjunto
de
n
elementos,
chama-se
combinação
simples
dos
frutas
para
Apenas
um,
que
conjuto
um
o
fazer
um
próprio
não
é
suco?
conjunto.
diferente
Lembrar
de
n “outro”
se
tiver
os
mesmos
elementos
p a p, qualquer agrupamento não ordenado (subconjunto) dispostos
de
p
elementos
distintos,
escolhidos
entre
os n
em
outra
ordem.
possíveis. Ref lita
Quantos
Indica-se
por
n
p
a
p
o
C
número
de
combina
ões
simples
de
elementos
tomados
n
subconjuntos
elementos
tem
um
com
conjunto
p
com
n
elementos?
211
Acompanhe
a
situação
a
seguir.
Vamos determinar o número de subconjuntos do conjunto A
tenha
3a
3,
3
elementos,
cuja
notação
isto
é
6
combinação
agrupamentos
(2,
6,
8),
(2,
Portanto,
de
6),
(6,
3!
C
número
de
combinações
elementos,
2,
dá
o
por
exemplo
(permutações
8),
(6,
total
8,
de
2),
(8,
2,
arranjos
desses
6),
(8,
dos
5
{2,
6,
6,
5,
vimos,
dos
Então,
de
o
arranjos
8},
origina
elementos
5
3
C 3
com
que,
n
4,
3! 5
tomados
6,
8} que
tomados
6,
ou
3
3
a
3
( A
)
e
total
o
de
3
5
tomados
de
de
podemos
combinação,
p
a
obter
podemos
p!
permutações.
obter
p!
arran
os
p
combinações
número
3
2
distintos,
uma
): 3
10 5
elementos
partir
elementos
(A
seja,
4
C 5
p
a
número
n
2,
2)
3!
distintos
{0,
elementos):
A
significa
5
elementos
5,
,
Como
5
3
A
Isso
dos
3
3
ordenados
8,
5,
o
C 5,
Cada
é,
é
igual
permutações
ao
quociente
entre
o
número
( p!):
p
n!
n
n
(n
n)
An
0!
n!
!
p
C
5
n
n
p!
p
!
p!
n!
!
n
n C
1
p
p!
n
n!
5 n
P
n
5
n
8
n
5
n
n
n!
)!
0 .8991
Portanto: Portanto:
A
n
C
ed orierevef
Ref lita
C
5
, com n Ñ N, p Ñ N e 0
p < n
que:
ed
Verifique
)!
5
P
5
n!
n
n, n
ed
n, n
91
A
016.9 ieL e laneP
30
alunos
tur ma.
Há
de
uma
classe,
20garotas
e
10
4
serão
garotos.
escolhidos
Quantas
como
equipes
representantes
podem
serfor -
b)
com
Resolução
2
garotas
e
2
garotos?
IFLED
a)
Os
4
alunos
Comoa
uma
devem
ordem
dos
ser
escolhidos
alunos
não
entre
altera
o
o
total
de
30 alunos.
agrupamento,
se
trata
de
combinação:
30 ! C
5 30,
5
4
)!
26! 5
5 3
O
b)
número
Nesse
:
E
2
de
caso,
27
405
26!
equipes
a
escolha
de
4
alunos,
deverá
escolhidos
ocorrer
escolher
2
entre
as
20
garotas;
escolher
2
entre
os
10
garotos.
em
duas
entre
30,
é
27.405.
etapas:
1
E
: 2
Pelo
princípio
multiplicativo,
o
número
de
possibilidades
é
dado
por:
20 ! C
10 !
5 0
45
2
!
O
212
número
de
equipes
com
2
garotas
!
e
2garotos
é
8.550.
8
550
oãçudorpeR
a)
.adibiorp
RASLUP/SNITRAM
madas:
.trA
da
481
Dos
SNEGAMI
R13.
ogidóC od
Exe rc íc ios resolv id os
R14.
Um
só
garoto
há
garoto
gostaria
lugar
para
pode
4
de
convidar
amigos
escolher
4
na
amigos
amigos
entre
para
um
Calcular
acampamento,
de
quantas
porém
maneiras
o
7.
Resolução
A
ordem
sugere
em
um
que
os
amigos
problema
de
5
Portanto,
Outro
o
7
não
é
importante,
pessoas
tomadas
4
o
a
que
4.
5 4!
5
garoto
de
4
35
2
escolher
pessoas
multiplicativo:
tidos,
pois
a
do
possibilidades
Temos,
Dessa
então:
Portanto,
é
6
um
5
em
grupo.
de
os
4
amigos
de
3
1
35
maneiras
distintas.
de
7
poderia
é
5
ser
feita
pelo
prin-
840
pessoas
de
são
preciso
cada
escolhidas
descontar
a
não
altera
quantidade
a
de
quarteto.
24
quarteto
necessário
5
as
Assim,
2
cada
grupo
4
que
for mação
4
maneira,
em
7
ordem
configuração
em
pode
3!
modo:
escolha
cípio
efetuar
foi
a
contado
divisão
24
de
vezes.
840
por
24,
o
que
resulta
35possibilidades.
.8991
Considerando
ed
de
de
4
(7
A
escolhidos
7!
5 7,
serão
combinação
7! C
R15.
7
barraca.
tal
for ma
orierevef
triângulos
6
pontos,
que
não
podem
ser
pertencentes
haja
3
a
pontos
for mados
com
um
mesmo
colineares,
3
desses
plano
e
distribuídos
deter minar
pontos
como
quantos
vértices.
Obser vação
ed
Resolução
91
e
ed
A
016.9
triângulo.
ordem
em
que
Logo,
tomamos
temos
um
ieL
6!
e
C
os
vértices
problema
de
triângulo
envolvendo
6!
5
um
não
altera
o
o
combinação.
de
número
5
5
3
pontos
subtrair
de
envolvendo
4
5
existissem
teríamos
colineares,
do
total
combinações
esses
3
pontos,
20
6
laneP
(6
ogidóC od
Portanto,
3!
podem
ser
3!
já
2
for mados
20
triângulos
e
distintos.
que
não
eles
formariam
triân
segmentos,
ulos.
481 .trA .adibiorp
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
oãçudorpeR
40.
Uma
o
prova
aluno
poderá
é
composta
deve
de
resolver 10.
escolher
as
10
15
De
questões,
quantas
questões?
3.003
das
quais
for mas
46.
Quantos
grupos
constituídos
ele
Quantos
formas
de
com
desses
3
as
letras
letras
grupos
não
10
n
de
n
47.
Quantas
ser
Calcule
comissões
for madas
com
diferentes
um
grupo
de
de
3
7
pessoas
podem
podem
de
uma
diram
de
se
com
festa,
despe-
um
mão.
/5691AGNOB
sair
10 amigos
to
1,
5números
2,
contêm
grupos;
3,
4,
ímpares
podem
vogal?
nenhum
...,
e
3
ser
SUCESSO?
grupo
15,
serão
números
sele-
pares.
quantos
ser
diferentes
escolhidos.
1.960
grupos
de
8
números
grupos
pessoas?
aper -
KCOTSRETTUHS
Ao
números
cionados
n
48.
43.
os
palavra
lados?
2
42.
Entre
distintas
da
Com
3
um
cartas
baralho
de
de
52
espadas
cartas,
podem
quantos
ser
grupos
286
49.
Uma
ur na
azuis.
De
contém
quantas
3
bolas
ver melhas
maneiras
de
selecionados?
grupos
e
diferentes
5
bolas
podemos
Quantos retirar
3
bolas
de
modo
que
não
saiam
somente
apertos de mão foram bolas 45
apertos
de
mão
ver melhas?
55
maneiras
trocados?
50.
44.
Considere
7
4 pontos,
também
Física
e
dades
de
6
de
Matemática.
Quantas
são
as
distintos
se
formar
uma
comissão
de
5
sobre
uma
2
professores
de
Matemática
e
3
300
Usando
tos
as
5
vogais
conjuntos
sendo
2
letras
de
e
5
os
algarismos
elementos
diferentes
e
3
de
à
primeira.
0
a
podemos
algarismos
ligando
Quantos
3
quaisquer
reta
outra
triângulos
desses
é
denominada
9,
quan-
for mar,
distintos?
con
untos
11
e
reta,
podemos
pontos?
126
Física?
possibilidades
de
sobre
professores obter
com
distintos,
possibiliparalela
45.
pontos
Em um congresso de Educação, há 6 professores de
51.
Certa
loteria
que
vencedor
o
números
gador
de
pode
1
a
deve
53.
escolher
acertar
De
6
“6/53”,
6
números
quantas
números
triângulos
significando
entre
maneiras
nessa
22.957.480
um
os
jo-
loteria?
maneiras
213
Exercícios
complem ent a res Registre as respostas em seu caderno
11.
Com
os
algarismos
1,
2,
3,
4
e
5,
sem
repetição,
Aplicação quantos
1.
Um
restaurante
tem
3
tipos
de
entrada,
2
e
4
sobr emesas.
Quantas
opções
terá
se
comer
1
entrada,
1
prato
(Mackenzie-SP)
principal
24
dígitos
Entre
Considere
for mados
eles,
com
a
linha
bilhetes
deve
da
ferroviária
para
conter
estação
cada
o
com
tipo
nome
de
necessários?
da
11
de
estações
viagem.
estação
chegada,
110
Em
ao
uma
final.
de
quantos
deve
Se
corrida
3desses
partida
tipos
de
e
bilhete
o
nome
bilhete
b)
18
c)
15
Quantos
de
13.
Fór mula
que
diferentes
pilotos?
o
720
coloca
à
não
1,
10
haja
pódio
de
de
números
pares
5,
com
pilotos
empate,
pode
ser
todos
os
disposição
alternativa
c
e)
24
(Mackenzie-SP)
Num
avião,
uma
fila
tem
7
poltronas
duas
poltronas
chegaram
de
quantas
for mado
com
distintos
algarismos
de
seus
ácido
do
podem
número
alunos
sulfúrico
ser
for ma
253.225?
SO
),
eles,
de
fila,
são
João
de
em
e
modo
Maria
que
número
ocuparem
não
de:
haja
alternativa
6
d)
10
b)
7
e)
12
c)
8
um
corredor
entre
d
5substâncias:
(H
modos
dessa
sal
sulfato
ed
(NaCl),
22
maneiras
inteiros
cozinha
3,
orierevef
2,
ed
5.
de
números
usando
números
.8991
dos
números
são
Os
4.
24
imprimir
cada
tipos
Admitindo
maneiras
os
algarismos1,
d
3.
todos
os
quantidade
17 Uma
serpares?
opções
2.
podem
e 7e9.
1sobremesa?
3
uma 3algarismos
pessoa
de
pratos 12.
principais
números
de
4
Os
carbonato
de
cálcio
(CaCO
4
)
e
água
3
14. O).
alunos
devem
selecionar
3
dessas
(UFRJ)
Ana
dispunha
de
papéis
com
cores
diferentes.
016.9
(H
),
ed
(CuSO
91
cobre
substân-
2
Para para
for mar
uma
nova
solução.
Quantas
são
10
meninos
e
podem
vistas,
entre
meninas?
8
jor nais
ela
for mados,
escolhidos
350
precisa
maneiras
e
de um total
5
fazer
jor nais
e
sitou
de
papel
ur na
que
contém
5
bolas
usar
os
devem-se
resultados
sortear
igual
a:
se
as
as
colocadas
em
fila?
56
para
a
em
de
nenhuma
cores
confecção
alternativa
das
diferentes
de
e
em-
todas
embalagens.
que
as
ela
neces-
embalagens
c
c)
6
b)
18
d)
3
(Enem)
João
mora
na
cidade
A
e
precisa
visitar
cinco
maneiras
e
3
bolas.
localizados
bolas
em
cidades
diferentes
da
sua.
bolas trajeto
possível
pode
ser
representado
por
uma
Quantos
sorteadas infor ma
forem
seleção?
ver melhas
todas
possíveis
fita
30
são
na
a)
Cada
amarelas,
e
quantidade
clientes,
uma
De
15.
De
7re-
disponíveis.
essa
no
menor
foi
revistas
pode
A
umcom
grupos
selecionar
9
cada
2.016
8.
oãçudorpeR
quantas
ser
meninas,
bibliotecária
.adibiorp
Uma
5
.trA
7.
e
481
7meninos
2
papéis
ogidóC od
3
grupos
desses
laneP
Quantos
fitas
escolhas
cor
6.
cortou
e
escolhas?
loja,
as
possíveis
sua
ieL
cias
enfeitar
que
ele
sairá
da
cidade
A,
visitando
as
cida-
resultados
desB,
C,
dadeA.
D,
Além
E
e
o
A
mostra
C E IW
uma
das
nessa
disso,
infor ma
figura
F,
custo
do
o
o
ordem,
número
voltando
indicado
deslocamento
custo
de
para
entre
entre
as
deslocamento
as
a
ci-
letras
cidades.
entre
cada
cidades.
I OD R ACIR
B
4 6 A
9.
No
final
de
uma
trocando,
ao
ca
a
e
tos
amigos
festa,
todo,
28
alguns
amigos
apertos
de
se
mão.
despediram
Sabendo
que
8
um
es
cumprimentou
to
os
os
C
5
outros,
9
quan-
12
6 3
nafesta?
8
amigos
6 2
(Mackenzie-SP)
em
3
dias
Um
professor
consecutivos,
deve
tendo,
ministrar
para
cada
um
20aulas
dos
dias,
7
NOSLIDA
10.
10
D 8
opções
de
ministrar
4,
6
ou
8
aulas.
O
número
de F
diferentes
distribuições
possíveis
dessas
20
aulas,
13 5
nos
3
dias,
é:
alternativa
b
E
a)
7
214
b)
6
c)
4
d)
10
e)
8
:SEÕÇARTSULI
as
OCCES
estavam
.......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... ..........................................................................................................................
Como
qual
João
o
quer
trajeto
economizar,
de
menor
ele
custo
precisa
para
deter minar
visitar
os
20.
(Enem)
sa
cinco
vai
uma clientes.
Examinando
a
figura,
percebe
que
O
vaga
somente
arte
das
se
uências,
ois
ABCDEFA
gasta
e
AFEDCBA
1 min 30 s
para
têm
o
examinar
mesmo
uma
descartar
sua
simétrica,
con
or me
tempo
as
a)
16.
mínimo
sequências
60
possíveis
no
min
b)
90
c)
120
para
180
e)
de
uma
empre-
120candidatos
sorteio,
eles
a
pretendem
candidato
em
ordem
um
número,
numérica
colocar
crescente
e
a
lista
usá-la
custo.
João
verificar
é
de:
todas
alternativa
ram
b
min
360
Por
com
convocar
do
os
interessados.
computador,
foram
Acontece
gerados
que,
por
números
um
com
apresentado.
problema
d)
min
Uma
dígitos
Em
razão
a
24
b)
31
c)
32
distintos
e,
em
nenhum
deles,
aparece-
pares.
disso,
a
ordem
de
chamada
d
do
candidato
alternativa
e
88
min
e)
89
n) !
5
min
sala
com
necessário
contador.
cada
5algarismos
O
humanos
entrevista
sequência defeito
e
a
números
para Ele
recursos
os
de trajetos
de
de
uma
precisa
atribuir considerar
setor
realizar
deve
ser
interruptores
ilumina da
com
independentes
5
lâ m pa d a s
para
e
acendê-las.
Aprofund amento Dequantos
sala?
.8991
17.
Um
31
modos
possíveis
poderemos
iluminar
essa
modos
clube
de
tênis
deve
selecionar
2
duplas
orierevef
um
grupo
maneiras
de
isso
5homens
pode
ser
e
4
mulheres.
feito?
120
De
Resolva
22.
Uma
a
equação
(log
24.
S
5
{81}
mistas
ed
de
21.
quantas
são
maneiras
empresa
as
é
composta
maneiras
comissão
ed
visores?
com
de
presidente,
15.840
de
escolher
12
5
diretores.
deles
para
Quantas
compor
vice-presidente
e
uma
3super -
maneiras
ed
SEGAMI
91 ieL
YTTEG/RSERDNA
016.9
Desaf io
e laneP
23.
(UFMG)
og idóC
gunda
Um
a
aposentado
sexta-feira,
od 481
realiza
estas
cinco
diariamente,
de
se-
atividades:
.trA .adibiorp oãçudorpeR
Duplas
mistas
jogando
ordem,
18.
(FEMM-MG)
laranjas,
Uma
uvas,
fábrica
maçãs,
de
sucos
abacaxis
e
de
frutas
kiwis
para
utiliza
te.
produzir
Cansado,
tênis.
porém,
ele
Nesse
realizar
de
resolveu
caso,
essas
o
fazer
número
cinco
essas
realizá-las
de
atividades
em
uma
maneiras
atividades,
em
na
ordem
mesma
diferen-
ossíveis
ordem
de
ele
diferente ,
é:
alternativa
seus
produtos,
que
são
sucos
com
um
único
tipo
de a)
fruta
Aos
ou
sucos
sucos
adoçante.
fábrica
com
mistura
produzidos
A
pode
quantidade
produz
é:
ser
de
alternativa
de
dois
tipos
de
adicionado
sucos
b)
que
ou
24.
(Fuvest-SP)
30
domínio.
Cada
25
d)
( Vu n e s p )
por
6 algarismos
-se,
1,
Considere
de
2,
3,
todas
4,
5e
as
todos
os
distintos
for mas
números
obtidos
possíveis,
per mutando-
os
12
algarismos
b)
18
c)
36
quantos
númer os
é
possível
e
quantos
1.
7
Escrevendo-se
deter mine
devem
elas
será
ser
atribuído
de vem
contratadas
distintos
ser
em
a
um
uma
con-
única
distintas
contratadas.
podem
ser
alternativa
c
d)
e)
108
(ITA-SP)
Quantos
números
se
iniciam
com
for mar
anagramas
com
as
10
com
4
letras
primeiras
distintas
letras
do
alfa-
o
e
que
contenham
2
das
letras
a,
b
e
c?
alternativa
e
esses
qual
números
posição
em
ocupa
o
ordem
1.692
d)
1.512
b)
e)
1.392
crescente,
número
512.346
a
e
que
De
distribuídos
for mar
a) b)
todas
trabalhos?
a)
beto algarismo
e
trabalho
maneiras
podemos total)
empresas
6.
Deter mine
(no
120
for mados
25. a
d)
10 os
19.
20
quantas b)
T rês
essa
a
c)
c)
abalhos
empresa, a)
60
frutas.
açúcar
diferentes
24
número
ocupa
a
242
posição.
481
e
312.465
c)
1.520
215
d
Registre as respostas em seu caderno
Autoavaliação
1.
5.
São
os
anagramas
da
palavra
PAPAGAIO.
alternativa
para
ir
da
cidade
a)
7
b)
3
c)
12
à
cidade
maneiras
cidade
B
C
passando
por
B.
de
C
ir
há
da
alternativa
4
rodovias.
cidade
A
até
a)
d
2.590
a b)
1.280
c)
560
c
d)
3.360
4
6.
Considere
15
pontos
distintos
de
uma
circunfe-
3
d)
4
ses
números
naturais
de
4
pontos.
não
têm
al
arismos
repetidos.
retas
alternativa
passando
por
2des-
c
algarismos a)
A
b)
2
c)
C
15,
que
alternativa
2
b
P 15
4
2
b)
9
c
10
15,
2
15,
5
56
d)
4
C
3
d)
9
10 Cinco
to, 3.
alternativa
estudantes
mas
apenas
a)
7!
5!
c)
6
fizeram
vão
um
trabalho
apresentar
o
em
conjun-
trabalho.
São
d
as
b)
2
possibilidades
de
escolha
dessa
dupla.
1! alternativa
20
b)
10
c)
45
d)
60
b
ed
5!
Quatr o
atletas
participam
de
uma
pr ova.
orierevef
4.
6
a) 1!
.8991
d)
1
Não
ed
nenhum
empate,
podemos
classificações
dizer
nessa
alternativa
problemas
nas
quais
a
de
contagem
ordem
não
é
que
envolvem
importante.
alternativa
d
a)
20
c
Per mutações
120
Per mutações
c)
Combinações
d)
com
repetição
ogidóC od
24
b)
laneP
240
c)
e
b)
d)
são
situações
ieL
a)
8.
que
prova.
016.9
possíveis
ed
são
91
ocorrendo
Arranjos
481 .trA .adibiorp
Retomad a de conceitos
você
Releia
a
não
acertou
teoria
e
alguma
refaça
os
questão,
exercícios
consulte
a
tabela
e
verifique
o
que
do
capítulo
Compreender
princípio
plicar
e
aplicar
estudar
novamente.
correspondentes.
Número
Objetivos
precisa
oãçudorpeR
Se
1
2
X
X
3
da
questão
4
5
6
7
8
o X
multiplicativo.
as
noções
Identificar
a
de
fatorial.
natureza
X
dos X
problemas
de
Compreender
os
de
conceitos
de
e
e
aplicar
as
permutação,
combinação
X
contagem.
na
fórmulas
arranjo
e
X
X
X
X
X
resolução
problemas.
Páginas
do
livro 200
referentes
216
ao
conceito
a
204
200
a
204
204
e
205
206
a
208
206
a
208
209
a
213
211
a
213
206
a
213
QR Code
Pesquisa e ação
Em
nosso
barras
O
QR
que
de
dia
Code
é
tenham
Vamos
nosso
a
dia,
vemos
produtos
um
no
código
câmera
conhecer
próprio
as
QR
muitas
representações
supermercado, QR
de
barras
fotográfica
origens
Code
e
do
e
QR
em
um
duas
os
seu
em
códigos:
dimensões,
de
de
automóveis,
código
de
que
pode
ser
escaneado
por
celulares
leitura.
funcionamento
códigos
placas
etc.
aplicativo
Code,
desvendar
Codes
criados
e
pelos
suas
aplicações
para,
então,
criar
colegas.
MOC.AICNEICMOCROM H WWWW
P r ocedi me n t os
1)
2)
Reúna-se com mais três colegas e realizem uma pesquisa para responder às seguintes questões:
O
Como
que
ele
Quais
são
Após
que
a
é
um
QR
as
etapa
oferecem
principais
de
uma
frase
aplicações
pesquisa,
programas
gratuitamente.
zer
Code?
surgiu?
Poderão
sobre
vocês
de
ser
uma
de
deverão
criação
criados
das
um QR
etapas
de
até
da
Code?
criar
QR
seus
Codes
dois QR
próprios
Codes
pesquisa,
QR
Codes.
personalizados
isto
por
é,
e
grupo.
uma
que
Cada
frase
bem
Existem
podem
QR
vários
ser
Code
sites
baixados
deverá
característica
tra-
sobre
o
QRCode
3)
4)
Com
os
feita
e
Os
QR
os
grupos
necessário
de
5)
Com
uso
de
cada
elaborados.
trocar
seus
telefones
rupo
Os
deverá
painéis
códigos
celulares
entre
com
produzir
poderão
si,
ser
para
câmeras
um
painel
expostos
que
sejam
fotográficas
apresentando
na
e
a
pesquisa
escola.
decifrados.
aplicativos
Nessa
etapa,
é
decodificadores
instalados.
professor,
alguma
criados,
Codes
deverão
o
RCode
o
Codes
QR
os
divergência
grupos
nas
vão
debater
pesquisas
e
confrontar
o
que
foi
decifrado,
podendo
levantar
feitas.
217
Sugestões de leitura
Os
livros
como
indicados
toda
geral
e
nossas
obra
podem
literária,
abstrata,
ações
ampliar
o
baseia-se
como
conhecimento
no
ponto
suporte
cotidianas
do
quanto
OÃÇUDORPER
20.000
K.
Rio
em
relação
lógico
teorias
dos
ao
constituindo
da
matemáticas:
mundo
Janeiro:
uns
Zahar,
à
assunto;
apenas
que
devemos
uma
lembrar,
referência
permeia
entre
porém,
que,
outras.
tanto
ciência.
um
passeio
pelo
números
erais
onometria
o
e
leitor
estimula
e
randes
bem-humorado,
vando
2000.
Grécia
dos
nhecimentos
que
autor,
grandes
léguas
viagem
a
Tri
alunos
do
Dewdney
de
Uma
de
dos
vista
pensamento
as
mis terioso
A.
de
o
o
outros
países
autor
conduz
a
para
seus
assuntos,
ampliar
traz
os
tirando
leitor
Além
alunos
estudos
cativando,
Matemática
aprendizado
ao
matemáticos.
interessantes
outros
a
a
mistérios
de
a
discussão
disso,
Ensino
sobre
vista
dúvidas
na
e
Médio.
teoremas,
informando
escola
e,
e
e
arante
a
explicação
diversão
Com
átomos,
ao
fora
mesmo
dela.
um
e
co-
texto
equa
ões,
tempo,
Uma
le-
leitura
divertindo.
.8991 ed
dama
ou
Raymond
o
tigre?:
e
outros
problemas
lógicos
a
incríveis
orierevef
Smullyan
ed
Rio
de
Janeiro:
Zahar,
91
OÃÇUDORPER
A
2004.
ed
livro,
o
autor
nos
raciocínio
convida
desvendar
lógico-matemático.
A
leitura
é
problemas
conduzida
e
enigmas
por
que
personagens
ieL
envolvem
016.9
Nesse
e
e
divertidos
propõem
ao
leitor
que
e
povoam
por
suas
histórias
que
surpreendem
pelos
desafios
ogidóC od
que
laneP
diferentes
resoluções.
481 .trA .adibiorp
Ian
Stewart
Rio
de
Com
Janeiro:
enigmas
borados
curiosa
de
e
OÃÇUDORPER
e
Paulo:
Por
meio
vertem.
à
Para
de
de
para
prova
Novera,
São
sistemas
o
enigmas:
um
matemáticos
218
jogos,
Nied erauer
São
etc.
e
e
situa
autor
no
procura
podem
todos
uma
seu
Marla
la birinto
e
outros
enigmas
lógicos
ser
os
mostrar
entendidos
como
por
até
os
raciocínios
qualquer
pessoa.
mais
Uma
ela-
leitura
leitores.
forma
d escontraída
raciocínio
Fernanda
C.
de
Aguiar
2008.
texto
que
vacas
20 1 2.
Matemática
colocar
Julian o
Zahar,
divertida
Desafios
de
matemáticas:
bem-humorado,
estimulam
ões
equação,
aprender
e
que
cria
ão
envolvem
teoria
se
a
dos
divertir.
os
de
a
autores
estraté
aplica
conjuntos,
ão
exploram
ias
de
análise
de
desafios
resolu
conteúdos
ão
e
como
combinatória,
e
eni
mas
também
equa
di-
ões,
probabilidade
oãçudorpeR
OÃÇUDORPER
Avent uras
OÃÇUDORPER
Novas
avent uras
Matemática
Colin
Rio
O
Janeiro:
ivro
traz
Zahar,
detetive
são,
solucionados
interessante,
ção
o
bem
rumo
e
.8991
OÃÇUDORPER
andar
Leonard
Rio
ed orierevef
O
de
na
o
mestre
autor
o
desfecho
e
do
mostra
e
Hol mes:
pro
Holmes.
histórias
das
para
das
casos
Sherlock
verdade,
pelo
pois
casos
de
Lógica,
que
histórias.
São
os
da
casos
lições
e
que
matemáticos
são
policiais.
importância
entender
não
envolvem
aventuras
a
emas
Mas
mistérios,
A
leitura
obra
e
decisões
ultrapassam
a
da
que
vi
os
contos
intrigas
da
argumentação
tomar
reso
simplesmente
e
é
cri
bem
avalia
mudam
aprendizagem
divertem.
bêbado:
como
o
acaso
d etermina
n ossas
vidas
Mlodin ow
Janeiro:
autor
ajudar
ed
que
Sherlock
enigmas,
inglês
fundamentadas
matemática
O
de
2003.
interessantes
famoso
matemáticos;
mes
científicas
Proba bilidad e
Bruce
de
pelo
e
apresenta
o
ele
Zahar,
leitor
não
a
2009.
ferramentas
fazer
pode
para
escolhas
identificar
mais
acertadas
os
e
indícios
a
do
conviver
acaso,
melhor
procurando
com
fatores
controlar.
91 ed 016.9 ieL e laneP 481 .trA
OÃÇUDORPER
ogidóC od
O
cad ern o
Amir
Rio
.adibiorp
O
D.
de
oãçudorpeR
pontos
no
aventura
os
OÃÇUDORPER
O
Hans
São
A
Magnus
não
Robert,
eram
que
As
em
como
se
a
um
um
quem
da
por
Filosofia
retrata
e
livro
as
de
René
moderna.
a
infância
que
coordenadas
desse
francês
religiosas
de
de
sistema
idealizador
matemáticos
medo
Com
e
a
sistema
e
(1596-1650),
um
de
misto
formação
políticas
ca beceira
localização
Descartes
influenciaram
circunstâncias
cartesianas.
de
da
de
seu
e
pensamento.
época,
suspeitas
biografia
Descartes
de
escritos
sua
do
morte.
para
Matemática
tem
em
os
A
a
absurdos
do
leitura
de
e
poetas
a
e
história,
inúteis.
de
Mas,
um
surpreende
menino
o
números?
lín
e
de
universo
ua
um
não
dia,
seus
de
osta
ele
cálculos,
escreveu
de
come
com
e
que
a
assuntos
conhecimentos
a
os
de
de
que
livro
Assim,
números
sonhar
aparência
outros,
para
esse
estudá-la.
conhecimentos
vários
Fibonacci
os
pensava
afanhoto
com
E
alemã,
também
apresentam
sequência
amplia
de
da
Matemática
a
tamanho
pelo
Euler,
montanha
conduz
números
de
uma
maiores
medo
que
sonhadas
relação
2000.
dos
senhor
com
divertida.
e
do
matemático
autor
um
têm
resume
monstruosos,
brinca
pai
o
e
publicados
Letras,
autor,
situações
nome
controvérsias
foram
das
persona
Teplotaxl,
o
filósofos
que
conhecido
Enzensberger
Cia.
O
do
filósofo
números:
Matemática
pensando
o
apresenta
dos
Paulo:
vem
muitos
com
aqueles
servem?
e
por
que
dia bo
todos
também
investigativa,
disso,
filósofo
é
plano,
encontros
Além
Descartes
2007.
cartesiano
considerado
e
Zahar,
cartesiano
termo
de
de
Aczel
Janeiro:
plano
O
secreto
de
com
diabo,
matemáticos.
vistos
na
maneira
qualquer
escola,
curiosa
leitor.
219
OÃÇUDORPER
O
enigma
das
“Mil
Raymond
Rio
O
de
autor
põe
exige
a
OÃÇUDORPER
problemas
Fermat,
e
o
leitor.
exercícios
que
original
que
narra
enigmas,
de
O
e
livro
verdade
divertem
os
e
cativante
contos
das Mil
quebra-ca
propõe
e
de
eças
mentira
todos
e
cuja
o
os
uma
pro
charadas
surpreendem
para
e
e-
mate
solução
leitor
desde
leitores.
Fermat
2008.
matemático
livros
mas
a
francês
que
lia;
margem
amador
uma
deste
delas
papel
do
foi:
é
século
“Eu
muito
XVII,
tinha
descobri
estreita
uma
para
o
hábito
demons-
contê-la”.
orierevef
nos
maravilhosa,
leitura
de
um
anotações
divertem
estratégias
Uma
Record,
e
relatam
ed
de
e
personagem
.8991
Sing h
Janeiro:
tração
incríveis
mod erna
que
enigmas
lógico
teorema
Rio
fazer
outros
famosa
envolvem
página.
Simon
de
e
lógica
narrativas
adivinhações,
último
Pierre
de
que
raciocínio
de
à
1998.
Sherazade,
centro
primeira
O
Zahar,
lógica
máticas,
n oites”
Smullyan
no
de
Sherazad e:
uma
Janeiro:
noites,
mas
de
e
ed
nascia
mundo
por
que
mais
n
solução
em
chegar
para
de
350
n
1
x
y
confundir
anos:
a
e
frustrar
busca
da
os
matemáticos
demonstração
mais
de
que
bri
não
n
5
z
,
para
n
maior
que 2.
Ao
narrar
a
dificuldade
ieL
existe
iria
016.9
do
problema
ed
lhantes
o
91
Assim
nessa
uma
solução,
a
obra
relata
a
vida
e
a
contribuição
dos
envolvi-
laneP
dos
a
e
se
história.
ogidóC od 481 .trA
C.
Rio
aneiro:
Nesse
corre
à
vasta
a
OÃÇUDORPER
Razão
Mario
O
dia.
ou
a
há
que
ua
além
autora,
áreas
como
mortais
o
Matemática
a
pode
uma
do
da
ser
da
linguagem
ela
jornalista
verdad e
e
especializada
conhecimento
ideia
significado
uma
muito
Janeiro:
em
a
molecular
220
chá:
da
beleza
geral
de
que
desmistificada
enxurrada
objetiva
consegue
e
de
e
a
de
Matemática
quando
números
simples
esclarecer
fatos
em
situações,
e
nos
é
que
ou
a
exa
convivemos
abordagem
numéricos
per
incompreen
propomos
com
uma
ciências,
científicas
perspi
aparentemente
complexos.
h is tória
de
Fi,
um
número
surpreend ente
Livio
de
que
lin
dos
a
a
de
mostrar
Com
áurea:
delineia
te,
para
livro,
bem-humorada,
obscuros
Rio
de
2006.
gama
criticamente
dia
e
Record,
maioria
minar
caz
xícara
interessante
uma
cotidianas,
no
a
Cole
de
sível
e
oãçudorpeR
K.
universo
.adibiorp
OÃÇUDORPER
O
de
em
2007.
comum
concha
há
de
Record,
de
cristais
muito
o
e
a
e
a
disposição
molusco,
árvore
intriga
acessível
tratar
entre
um
a
de
dos
flóculos
conforma
enealó
mente
fartamente
assunto
a
ica
de
ão
um
do
de
zan
ão?
humana:
a
chamada
ilustrada,
a
obra
maneira
confiável.
de
girassol,
uma
a
aláxia,
Uma
razão
Mario
espiral
a
razão
áurea.
Livio
é
que
estrutura
constan-
Com
uma
fascinante,
Respostas
21.
Capítulo
1
a)
x
b)
5
30°
5
135°
ou
x
5
ou
7.
150°
5
225°
a)
0,53
b)
0,53
0,53 22.
1.
a)
225°
b)
210°
c)
a)
negativo
90° b)
ositivo 7
23
8.
tg
2.
7 tg
12 π
12
5π
a)
r ad
d)
23.
r ad
tg
a
tg
b
tg
t
q
0,90
6
6
π
20,36
π 9.
7π r ad
b
e
r ad
3
q
5
P
36°
ou
r ad 5
5,67
6 4π Q
2π
4
c)
r ad
24.
f )
a)
q 20,7
b)
q 0,7
c)
q 20,7
a)
menor
b)
q
c)
1
5
3
3
6π 5
4π 3.
ra 5
r ad
144°;
216°
r ad
9π
5
S
5
324°
ou
r ad 5
26.
que
1
2π 4.
a)
r ad
120°;
0,65 2
3
o
10.
quadrante
a) 2
b)
q 14,65
cm d)
negativo;
e) q
30,5
positivo;
0,65;
negativo
0,65;
3
0,65
cm
2
3
b) 6
.8991
12 8.
a)
A
5
160°,
B
5
200°,
C
5
340°
27. 13
ed
π
orierevef
b)
B
5
6π
5
11.
5
5
5 28.
ed
9.
a)
a)
0,6
b)
0,75
70° 12.
a)
0,8
91 ed
b)
r ad 29.
016.9
6
ieL
a)
positivo
11.
cos
b)
0,8
0,6
b)
0,8
c)
0,8
negativo
e
10.
a)
b)
laneP
30.
não 2π
6π
og idóC
π ,
7
e 3
,
, cos
4π
13.
4π
cos
3
7 31.
a)
ou
8π
od
, cos
, cos
0
3
3
π
2π
5
481
14.
b)
.trA
3
.adibiorp
12.
a)
q 0,8
b)
q 20,8
c)
,
,
,
6
6
3
15.
c)
a)
5
q 20,8
3π
13.
S
ou
3π
7π ou
4
q 20,9
4
oãçudorpeR
16.
a)
1;
1
b)
2;
2
c)
1;
3
π q 20,9
d) 2
c)
14.
q 0,9
sen
a
sen
b
q
e)
0
ou
π
ou
2π
a
0
ou
π
ou
2π
20,45
2π q
20,77
17.
3 32.
4π ou
a) 3
ou
3
2
t
q
0,98
cos
a
q
20,67
cos
b
q
0,34
t
q
0,17
2π
ou
b) 2
c)
0
ou
4π <
b)
5 15.
x
<
3
6
3
2
2π
Autoavaliação
33.
16
h
ou
20
h
ou
4
h
ou
8
h 1.
alter nativa
d
2.
alter nativa
c
3.
alter nativa
b
4.
alter nativa
b
5.
alter nativa
d
6.
alter nativa
c
7.
alter nativa
a
8.
alter nativa
a
9.
alter nativa
d
π 16.
sen
5
6
6
2 3π 34.
7π
1 1π
2
1 5 2
6
6
2
Exercícios complementares
1 17.
a)
0
b)
c)
0
d)
1.
225°
2.
q
2
18.
a
0,342
19.
a)
falsa
20.
1
b
0,643
38,22
7π 3.
b)
r ad 9
falsa
4.
1,4
rad
π
o
quadrante:
a
5
; 4
50°
5
o
3
m
0,866
quadrante:
a
5
6.
37°30’
221
gráfico
Capítulo
k
2
de
vezes
i
o
amplitude
terá
medida
valor
do
da
gráfico
da
b)
igual
medida
da
D(
f
)
Im(
f
5
)
R
5
[
período:
g(x )
1.
a)
p
5
sen
amplitude:
p
5
2
c)
p
5
3
13.
0
15.
a
9.
2.
a)
mínimo:
b)
mínimo:
c)
mínimo:
0;
máximo:
1;
não
b)
1
c)
a)
sim
d)
(π,
b)
não
e)
maior
0)
D ( g )
5
R;
Im( g )
5
[0,
c
não
2]
máximo 10. d
máximo:
3
2π
2
tem
3]
2π
x
4
b)
3,
função
O
gráfico
de
g
é
o
gráfico
de
alter nativa
d
f
1
deslocado
1
unidade
para
cima.
Autoavaliação 4.
a)
60°
1
k
360°,
com
k
Ñ
Z 17.
12.280
18.
a)
casos;
janeiro
π 1
b)
k
2π
Ñ Z
6
c)
25°
1
k
360°,
com
k
Ñ
1.
alter nativa
c
2.
alter nativa
c
3.
alter nativa
d
4.
alter nativa
b
5.
alter nativa
a
6.
alter nativa
a
7.
alter nativa
d
8.
alter nativa
b
9.
alter nativa
c
Z π k
b)
Ñ Z
11π 2 d
1
k
2π,
com
k
Ñ Z
7 π c)
D
h)
5
R
2
Ñ
Z
;
2 2 5.
2
a)
e) 2
Im(h )
2
19.
2
Os
]2Ü,
gráficos
g
e
1Ü[
j
são
simétricos
em .8991
2 b)
5
f ) 2
2
relação
ao
eixo
x
ed
1
g)
1
π 20.
3
x
5
sen
x
1
: 2
3
ver m el ho
⎠
ed
h)
d) 2
⎛
⎞ :
5
2sen
⎠
016.9
(2a)
az ul
ed
x 4
sen
91
2
x
6.
orierevef
c)
(a)
ou
domínio:
D(
f
)
ieL
21.
R
e
(a)
5
2sen
imagem:
(2a)
Im(
f
)
5
[0,
2]
Capítulo
1
9.
a)
<
k
<
2
5
amplitude:
A
1
1. Porque,
no
gráfico
feito
no
o
e
5
2
e
b
5
racionais
Assim,
2π
q 40°;
cm;
a)
q 17,6
b)
O
y
y
q 3,2
q 4,5
para
duas
nú-
24.
a)
foi
re
casas
D(
f
)
Im(
f
5
R
)
[
3,
m
3] caminho
1
é
o
5
6,28
(2π
5
1
D(
b)
f
)
5
R;
Im(
f
)
5
[0,
D(
f
O
gráfico
de
f
é
o
)
5
gráfico
de
f
)
24,1
m
do
caminho
con-
2).
R
2] Im(
d)
m
3 tra
c)
21,4
q6,28). A
b)
curto
π (aproximadamente
como
mais
resenp
tado
cm
m
5
[3,
3.
q 3,9
cm
4.
q 36,2
km
7]
g 2 p
deslocado
1
unidade
para
5
cima. 3
A 10.
3.715
11.
a)
5
c)
maré
alta:
maré
baixa:
5
2
q 76,36
m
pessoas
m;
1
6.
a)
q 5,1
cm
b)
7.
q 17,6
8.
b)
obtusângulo
c)
cos
q 4,8
cm
m
Exercícios complementares
d)
de
12
em
às
3
às
12
h
e
21
às
h
e
15
às
h;
9
2.
h
a)
135°
1
k
360°,
com
k
horas b)
2 ,
com
k
cm
Ñ Z
Ñ Z
3
12.
d)
5 ;
a 5
sim
A amplitude da função g mede 1 e 8
a
amplitude
da
função
f
3.
3;
5
4.
1.050
mede2,
9. ou
seja,
a
amplitude
da
f
ção
e)
A
q 96
cm,
q 74,7
cm
função
da
toneladas
fun-
alter nativa
e
alter nativa
d
10.
q 192,6
11.
a)
km
.
amplitude
da
função
h
mede3
6.
2
c)
2
e) 3
e
a
a m
mede1,
l i t u d e
ou
seja,
d a
a
f u n ç ã o
amplitude
g 7.
às
3
8.
a)
D(
b)
h
2
d)
1
)
da
função
f
)
5 3 12.
da
função
Para
.
funções
Im(
do
f
)
5
período:
tipo
[
1,
c)
a)
3]
4
2
d)
b) i (x )
222
5
k
sen
x,
a
amplitude
do
e) 3
amplitude:
2
3
7
3
oãçudorpeR
decimais.
com
q 6,3
x
aproximou
irracionais
2. meros
x
2
.adibiorp
números
a
.trA
os
a)
b)
com22.
putador,
3
2π
481
7.
p
ogidóC od
período:
laneP
sen
13.
a)
x
Ñ
R
x
k
o
x
4
b)
x
Ñ
R
k
k
Ñ
Z
}
4
x
k
ou
a) 3
x
k
3
7.
k
Ñ
Z
3 c)
d)
c)
x
Ñ
R
x
k
o
x
3
k
k
Ñ
3
Z
}
S
5
Ñ
R
Ñ 6
4
8.
5 d)
3
a)
S
b)
e)
x
Ñ
R
x
Ñ
R
x
x
Ñ
R
x
x
Ñ
R
x
k
ou
x
k
k
Ñ
Z
k
Ñ
Z
6
x
k
k
Ñ
k
o
x
k
Z
Z
3
c)
f )
S
x
Ñ
R
x
k
k
Ñ
S
k
k
Ñ
Z
Z
4
9
S
R
x
x
k
k
Ñ
Z
4
14.
S
x
Ñ
R
k
ou
x
k
k
Ñ
Z
10.
a) 4
kπ .8991
15.
S
x
Ñ
R
x
5
k
Ñ
b)
Z
2
4
ed orierevef
c)
2 16.
resposta
possível:
cos
x
5
2
ed
2
91
11.
ed
2
016.9
17.
4
a) 12.
4
a)
ieL
5
e laneP
b) 3
ogidóC od
b) 4 c) 25
481
24 d)
.trA
c)
25 4
.adibiorp
24 e) 7
oãçudorpeR
d)
3 4
13.
a)
sen
b 5 2
2 19.
b)
60°
ou
120°
c)
75°
ou
15°
a
sen
2a
6
a) 4
14.
b)
5
2
sen
a
8
2
b)
cos
2a
5
cos
cos
a
2
a
sen
a
c)
tg c)
tg
2a 5
2
tg
d)
15.
PG,
a
5
cos
x
q
1
1
20.
a)
3
2
b)
Autoavaliação
1.
alter nativa
d
2.
alter nativa
c
3.
alter nativa
b
4.
alter nativa
a
5.
a
6.
alter nativa
b
7.
alter nativa
d
8.
alter nativa
b
Exercícios complementares
15
2.
cm
q 55,7
cm
3.
4.
5.
6.
m
60°
q 42,75
m
ter nativa
223
}
10.
Capítulo
alter nativa
é
c
er
endicular
reversa
4
à
reta
à
r eta
r
ou
é
r
2
11.
8
cm
12.
alter nativa
c)
1.
b
porque,
se
tida
um
em
reta
plano
r
a,
está
con
existe
pelo
cm
menos
13.
q
R$
a)
5
c
R
uma
reta
t
perpendicular
30,63 a
2.
uma
r
que
está
contida
em
a
c)
6 2
3 14.
1.554,06
cm 10.
a)
Não,
b)
Não, HG é paralelo ao plano (EF
são
perpendiculares.
c)
Não,
são
d
Sim,
pois
2
b) 15.
cm
).
3
2
concorrentes.
2
3.
8
4.
9
m
16.
0,25
cm
17.
alter nativa
EF
x
EFN
}
EHG
c 14.
alter nativa
e
2
5.
12
6.
100
5
cm
Autoavaliação
15.
a)
2
cm
b)
2
cm
2
3
cm
1.
alter nativa
d
2.
alter nativa
b
3.
alter nativa
d
2
7.
12,5
2
8.
A
5
75
m
29
zero
e)
5
cm
f )
3
cm
g)
5
cm
cm
2
;
trapézio
9.
c)
d)
m
A
5
50
m
triângulo
alter nativa
b
alter nativa
a
5.
alter nativa
c
.8991
4. 2
11.
22,8
cm
16.
Considerando
os
semiplanos
E 1
2
cm
contido
no
plano
(MQK ),
,
E
conti-
2
6.
alter nativa
d
7.
alter nativa
a
do
2
no
plano
(MTK ),
E
,
contido
no
3
ed
12.
m
(
),
e
,
contido
no
plano
4
ed
2
15
(MPK ),
cm
E
|
temos
diedros:
E 2
ieL
14.
os
016.9
2
cm Capítulo
E
E
E 2
3
laneP
e
5
2
15.
72
3
cm
|
E
3
infinitos;
um;
E
infinitos
4
|
ogidóC od
1.
E
1
3
16.
E
|
E
2
infinitos
planos,
um
plano
ou
4
neTodos
18.
alter nativa
120,00
diedros
1
3.
seis
4.
Verdadeira.
da
2
figura
plano
alter nativa
5
17.
60°
Basta
fixar
três
18.
a)
Sim,
pois,
por
onde
passa
e
variar
o
outro
se
a
medida
dos
pontos
apenas
MAB
ponto,
e
KAC
é
90°,
as
um
que
AB
e
AC
pertencem
é
ao
e
3
plano
(ABC ),
que
é
perpendi-
coplanar.
5.
2
22.
MK
retas
semirretas
20.
em
T rês
pontos
(três
pés
da
mesa)
b)
cm
cular
à
aresta
Não,
pois,
do
pelo
diedro.
enunciado
do
6 deter minam
2
23.
5π
apenas
chão);
quatro
minar
mais
pontos
um
plano
podem
(do
exercício,
que
um
1.
6.
a)
verdadeira
b)
falsa
d)
2
c)
lsa
c)
12
5
dos
ângulos
QPA
iguais.
Exercícios complementares
a)
1.
lsa
uma
reta
paralela
verdadeira 2
cm
150
São
a)
93
v
b)
paralelas
c
perpendiculares
falsas:
peças
2
a)
a)
cm
8.
5.
sejam
falsa
verdadeira
2
4.
medidas
cm
b)
3.
as
BAM
cm
7. 2.
garantir
plano. e
Exercícios complementares
podemos
deter -
cm
de
não
n
i
r
m
dicular
a
ponto
e
um
r
,
plano
-
a
por
d)
um
paralelos
cm
P
duas
retas
r
e
s
de
e)
a
perpendiculares
2
b)
6
6
1
6
m concorrentes
6.
alter nativa
e
7.
alter nativa
d
8.
16
Então,
r
e
s
no
são
mesmo
duas
pontoP
retas
f
3. pendiculares
mesma
reta
t,
e
s
não
porque,
são
se
uma
reta
r
e
224
cm
reta
a
podem
é
falsa,
se
são
paralelos,
perpendicular
ao
toda
plano
pois
os
interceptar.
um 4.
a
2
225
afir mação
paralelas.
cm
plano
9.
A
e
planos r
b)
2
à
perpendiculares
per
a
5.
uma
reta
ou
um
ponto
dois
oãçudorpeR
1
ori
c
ângulos
19.
têm
plano
.adibiorp
R$
.trA
nhum
17.
os
481
2.
91
plano
13.
orierevef
8.798
ed
10.
6.
As
projeções
cunferência
ortogonais
sobre
um
de
uma
plano
cir -
podem
c)
Ambos
têm
10
vértices.
d)
Ambos
têm
20
arestas.
e)
Ambos
39.
71
unidades
de
comprimento
2
ser:
um
uma
segmento,
uma
elipse
40.
ou satisfazem
a
relação
236
cm
de
circunferência. 3
Euler. 41. A
projeção
fera
sobre
ortogonal
um
plano
de
é
uma
es-
sempre
um
9.
8
. 096
3
m
faces 8
000
3
42.
c
ír
9 10.
11
11.
8
faces
2
7.
8.
zero
18
43. faces
triangulares
e
4
faces
drangulares
m
1
12.
9
faces
13.
27
14.
b)
e
16
832
3
cm
e
1.536
cm
qua-
44.
a)
4
cm,
4
cm
e
4
b)
1
cm,
1
cm
e
64
cm
a)
8
cm
cm
arestas
3
45. 10.
A
pro
de
eção
r eta
de
diâmetro
11.
60°
12.
14
13.
b)
ortogonal
mesma
da
é
um
segmento
medida
que
arestas,
9
faces
e
19
vértices
24
o
resposta
15.
unidades
de
16.
comprimento
18
arestas
a)
face
6
b)
face
1
e
12
c)
Fica
multiplicado
por
8.
d)
Fica
multiplicado
por
4.
vértices
46.
9
47.
2
faces
arestas,
(
1
1)
faces
e
30°
(n .8991
17.
30
19.
a
Autoavaliação
ed
48. 15
1
orierevef
alter nativa
1)
vértices
Apenas
as
planificações
(I)
e
(II)
são
cm
de 1.
cm
pessoa
circunferência.
super fícies
de
pirâmides.
c 61 cm
b) 2
ed
alter nativa
a
3.
alter nativa
b
49.
10
cm
91
2.
ed 016.9
4.
alter nativa
20.
5
cm
21.
a)
x
b)
t
50.
43
dm
b
ieL e laneP ogidóC od
5.
alter nativa
d
6.
alter nativa
d
7.
alter nativa
b
8.
alter nativa
a
alter nativa
d
22.
1
23.
30
51.
13
52.
g
m
14
cm,
2
cm
e
3
5
5
cm,
h
5
3
cm
e
r
cm
5
cm 2
53.
cm,
40
cm
e
120
1
cm
481
2
54.
64
cm
2
,
80
cm
2
e
144
cm
.trA
2
24.
cm
.adibiorp
55.
25.
a)
cm
cm 2
oãçudorpeR
10.
alter nativa
d
b)
2
1
56.
384
57.
48
cm
1 3
rn
iv
26.
10
6
cm
cm
3
cm
8. 3 Capítulo
6
28.
alter nativa
d
29.
alter nativa
b
30.
1.300
31.
a)
21
b)
80
2
59.
rea
5
18
3
c
;
3
1.
pentaedro
volume
cm
5
2
cm
3
2.
heptaedro
60.
24
3
cm
61.
32
3
dm
62.
192
63.
24
2
3
m
3
2
3.
14
4.
a)
faces,
36
arestas,
24
vértices
cm
3
V
5
16,
F
5
10
não
convexo
V
9,
e
A
5
24;
32.
cubo
B
cm
3
2
33. b)
5
F
5
e
A
5
convexo
5.
poliedro
I:
poliedro
II:
34.
12
1
8
18
5
a)
6;
b)
Fica
24;
54;
96
1
8
(unidades
multiplicada
por
de
área)
4;
64.
fica
a)
16
cm
b)
72
cm
c)
88
cm
2 multiplicada
6
por
9.
5 c)
8,
27
e
64,
respectivamente d)
6.
sim;
V
5
36,
36
1
20
10
vértices
F
5
20,
A
5
54
7.
5
77
e
cm
77 35.
54
cm
16;
14.700
g
e)
16
2
cm 3
36.
216
m
37.
1
cm
38.
57
65.
1
66.
A
para
12
3
8.
a)
poliedro
b)
Ambos
I
altura
do
prisma
é
o
dobro
3
têm
12
faces.
cm
altura
da
pirâmide.
225
da
4.
125
alter nativa
d
84
⎛
cm
67.
⎞
2
28.
π ⎝
5.
alter nativa
c
6.
alter nativa
c
7.
alter nativa
c
8.
alter nativa
d
9.
alter nativa
b
dm
⎠
5
3
68.
3
2
cm 29.
69.
2
para
1
36π
23
3
30.
70.
8
71.
altura 5
72.
9
73.
78
cm
cm
6
cm
3
31.
750π
32.
a)
cm
3
12 cm; volume 5
1.552 cm
240%
m
y
V 1
b)
3
3
5
m
V
x 2
Capítulo
7
3
74.
1
3
cm
33.
1.
98π
cm
π 3 0 4
3
34.
Exercícios complementares
cm 3
2
1.
alter nativa
2.
3
cm
3.
(100π
b 7 2
2
1 50π)
35.
cm 8
2.
a)
não
convexo
b)
convexo
c
convexo
3
28π
5.
h
6.
1.050π
5
9
cm
e
r
5
6
cm
36.
520π
37.
a)
cm
circunferência
super fície
lateral
super fície
esférica
de
um
24
vértices
cm
alter nativa
7.
e
orierevef
c)
4.
cm 40 cm
ed
38.
40
cm
7.
alter nativa
8.
16π
dm
9.
0,314
39.
r
1
r
1
ou
r
2
r
1
ou
r
2
r
2
1
016.9
mc
e cm
ieL
40.
11.
24
cm
5
41.
1
cm
dias 2
9.
1
m
42.
36π
3
cm
e
8 12.
cm
b)
324π
3
cm
e
972π
cm
481
3
36π
2
9
cm
11.
2.172
cm
12.
3.150
m
13.
alter nativa
3
13.
48
recipientes
14.
40
cm
15.
alter nativa
43.
32
44.
1
cm
menores
2
2
π
cm
3
;
36π
cm
3
⎞
2
πr
45. ⎝
16.
4
oãçudorpeR
⎛ d
a
⎠
3
60° 3
20
5
3
radiano
46.
cm
14.
2 3
17. 3
2
47. 1
.
alter nativa
m
c
18.
4
157
20
2
cm
Exercícios complementares
3
16. 3
19.
10
20.
a)
3
cm
1.
alter nativa
a
3
17.
a)
375
3
cm
A
5
135π
cm
;
lateral 2
6 2 5π
2
b)
50
3
A
cm
5
216π
3
2.
cm
cm
total
8 2
b)
A
5
260π
cm
;
lateral 2
18.
192
3
cm
3. A
5
360π
a
x
5
9
b)
x
5
15
e
y
5
3
cm
total
19.
36.000
cm
e
y
5
5
2
21.
1
0 8 8
13
cm
4.
54,6
mc
5.
alter nativa
3
20.
27
2
cm 22.
2
2
1
23.
75π
24.
1.000π
29
3
21.
250
b
2
cm
cm
1
0 0 0
55
3
2
cm
cm
Autoavaliação
9
3 25. 1.
alter nativa
200
2
cm
7.
alter nativa
c
8.
alter nativa
d
a 3
2.
alter nativa
b
3.
alter nativa
d
cm
60 27.
2,5
m
m
9. 19
226
.adibiorp
36
.trA
10.
ogidóC od
500π
laneP
8.
10.
e
3
2
ed
6.
91
3 3
cone
ed
2
3.
.8991
4
6.
10.
Não,
pois
elas
não
são
do
mesmo
⎛ 0
cm
7⎞
f ) tipo.
A
primeira
é
do
tipo
5
3
1
e
a
3
11.
81π
⎝
8
0
⎠
cm segunda
é
do
5
3,
tipo
1
3
5.
2
12.
225π
cm
13.
161π
cm
18. 7.
a
5
1,
b
c
5
21
e
d
5
a)
verdadeira
b)
verdadeira
c
verdadeira
23
2
⎛
14.
alter nativa
⎞
1 1
e
2
8.
d)
2
15.
486
1
18π
cm
⎝
2
1
e)
16.
(3,
4,
17.
14
m
falsa
⎠
verdadeira
5)
9.
diagonal
principal:
diagonal
secundária:
3,
8
e
15; ⎛
11,
8
e
7
⎞
5
19. 1
7
⎝
1
1
⎠
3
18.
19.
3 2
3
m
alter nativa
4.27
π
21.
alter nativa
375
11.
1
12.
14
13.
a)
a
1
⎛
3
20.
10.
.
4⎞
a)
cm
⎝
3 2
⎠
a
b)
Não
é
possível
calcular.
3
cm
22. 3
⎛ 5
23.
alter nativa
b
.8991
3
24.
⎝
1.562,5π cm
⎛ 0⎞
2⎞
1
c)
3
5
2
6
2
0
6
0
⎝
⎠
1
⎠
ed orierevef
⎛
24⎞
Autoavaliação b)
12
d)
ed 91
1.
alter nativa
⎝
b
7
7
⎠
7
⎝
⎠
ed 016.9
c)
ieL
2.
alter nativa
d
3.
alter nativa
a
Não
é
possível.
⎛
e
2
⎛
laneP
14.
ogidóC od
4.
alter nativa
a
5.
alter nativa
b
24⎞
1
e)
1⎞
a) 1
⎝
1 ⎠
1
⎛
⎝
⎠
1⎞ 1
b)
481 .trA .adibiorp
6.
alter nativa
b
7.
alter nativa
a
21. 1
⎝
0
2
⎛
y
oãçudorpeR
alter nativa
d
1⎞
9.
alter nativa
c
alter nativa
c
3⎞
⎛
1
⎝
22.
1 ⎠
X
5 8
⎝
3
⎛
⎠
4⎞ 1
1
10.
.
a)
X
23.
1
⎛
X
I 2
⎠
3
6⎞
6
6
X
Capítulo
X
⎝
a
matriz
identidade
de
ordem
2.
⎠
24.
a)
é
5
8
16.
0
5
⎝
b)
5 3
c)
8.
7
x
⎠
c
5
14
b)
a)
á
A
e
A
B
e
B
C
e
C
D
e
D
22
1
a)
1
b)
3
3
3
3
c)
1
2
d)
3
2
3
1
2 ⎛ 3
17.
⎝ ⎛
9
7
5
11
9⎞
a) 6
12
Os
produtos
tivamente,
2.
A
5
12
10
8
são
iguais,
respec-
⎠
⎞
2
⎛
14
às
matrizes
inven-
⎞
1 tadas.
⎝
15
13
11
17
3 ⎠
b) 4 2
25. 3
⎛ 0
⎛
3.
B
5
3
3
3
6
4
a)
gráfica
b)
PB:
C
⎠
6⎞
19
R
2,15;
CKX:R$ 3
CK:
R
2,70;
⎞ 4,60
3
c) 8 26.
8 ⎝
4.
i
5
j
a
5
6,
a
11
5
7
e
a
22
i
1
j
5
4:
a
5
3,
a
13
5
7
e
0
1 3⎞
4
6 ⎠
d)
27.
⎛ 5 resposta
5
c)
22
5 27 31
5.
b) 5
⎝ a
2
33
⎛
a)
⎠
3
6⎞
a)
0
b)
0
possível: e)
j
5
(a
) i
j
, 3
3 4
em
que
a
5 i
i
⎝
2
8
⎠ 28.
8
j
227
29.
a)
20
b)
20
c)
20
Autoavaliação
⎧ ⎛ S
5
5
k
⎝
a)
12
c)
75
31.
d
a)
0;
sim
b)
0;
sim;
c)
ad
alter nativa
b
2.
alter nativa
c
alter nativa
d
4.
alter nativa
d
5.
alter nativa
a
b)
3
(ad
(ad
);
ad
bc ;
não
14.
m
15.
a
16.
a)
5
5
1
e
2,
n
b
5
5
3
23
e
c
5
e)
;
bc;
x
⎧
y
z
⎨
(
sim
);
(
6.
alter nativa
a
7.
alter nativa
c
); ⎧
b)
a
c;
5
⎩
opostos
f )
2
bc );
sim
ad
R ⎬
⎭
y d)
Ñ
22
sim
bc ;
3
1.
225
$k
4
⎩
30.
⎫
2k
⎨
⎨
1
y
x
5 2
1
z
5
0
sim 8.
alter nativa
d
9.
alter nativa
d
alter nativa
d
5x
5
⎩
32.
1,
1,
1;
resposta
pessoal
⎛
1
.
17.
N
a)
5
3
1
1
1⎞
0
2
Exercícios complementares ⎝
⎛ 0
1.
A
5
B
⎛ 3
Capítulo
0
7
26
1 4⎞
1
1.
8
a)
sim
b)
não
5
⎝
25
2
N
b)
⎠ 2
3.
respostas
1
1
2
3
3
⎠
0⎞
5
⎝
1
2
2
3
⎠
ed
1
91
2.
1
ed
212
2
1
⎛
⎝
7 ⎞
1
1
orierevef
5
1
9
⎠
ed
0
⎛
X
1 ⎠
.8991
1
M
2.
1
1⎞
5
⎝
1
alter nativa
c possíveis:
(0,
0,
0), ⎛
4.
alter nativa
1,
1),
(1,
1,
5)
e
(
2,
2,
M
2)
1
a)
H
S 3
2
,
2
(H
5⎞
2
2
⎠
laneP
5.
1
e
⎝
4.
0
5
e
ieL
(1,
016.9
3.
sim
S)
3
3
ogidóC od
1 5. ⎛
34
41
49
44
38
b
5
y
⎧
⎞
18.
a)
3 62
73
total
de
30
68
27
6.
S
7.
m
5
{(0,
23
dos
itens A,
B
5
1,
n
5
6
e
P
1
produzidas
em
cada
dia
⎞
⎧2 x
y
2x ⎨
y
3, ⎝
e C
2
⎠ b)
da
62
8.
itens
B;
27
itens
a)
respostas
y
⎩
veis:
C Para
(
6.
poss
x
2,
y
5
0:
(0,
0);
(1,
1); 19.
sim
20.
alter nativas
21.
a)
2)
ou 2
2
b)
Para
(0,
2
x
5
2:
(1,
1);
(2,
A
b,
c,
d
0);
2)
⎧x c) 7.
oãçudorpeR
x semana.
c)
4
0)}
⎛ peças
5
⎩
;
.adibiorp
25
78
.trA
20
87
y
481
b)
5 21
⎨
solução
do
sistema
é
o
ponto
y
10 V
⎨
1
y
S
5
{(2,
8)}
5
⎩ de
1
⎛
5
2 8.
B
⎝
das
retas,
ou
seja,
⎞
2
S
5
{(1,
1)}. ⎧
3
3
5
intersecção
5
1
⎠
9.
26
alunos
y
y ⎨
b)
z
5
z
5
V
S
5
{(1,
2,
3)
3
⎩ 10. ⎛
9.
a)
X
5
4
3
São
misturados
2%
de
60
c
de
leite
com
⎞
1
5
gordura
e
20
c
de
leite
9 22. com4%
⎝
21
0
7
de
a
5
0
e
b
5
1
gordura.
⎠
5
⎛
b)
X
5
⎝
2
15
0
3
7
9
21
0
5
a)
SPD
b)
SPI
c)
SI
a)
6
unidades
de
área
b)
6
unidades
de
área
12.
11.
alter nativa
12.
16,5
.
m
n
24.
(2,
2,
sim
25.
a)
S
5
{(2,
b)
S
5
{(1,
c)
S
5
{(3,
S
5
{(7k
SPI
a)
k
0
b)
k
a)
sim,
i
0
1)};
,
k )
2,
SPD
|
k
Ñ
1)};
R};
SPI
SPD
d d) 15 13.
228
1);
⎠
d)
10.
2
⎞
unidades
de
área
para
5
; 2
SPI
4,
1
3k
k )
|
k
Ñ R};
26.
a)
S
5
{(2,
b)
S
5
{(3,
3)}
c)
S
{(8,
d)
S
{(
1)}
15. ⎧5
1)}
1,
y
1
16
5
2 ⎨
y
x
5
y
a)
800
códigos
b)
640
prefixos
c)
9.999
5, 75
3)} 1
números
0
⎩ 27.
a)
S
5
{(1,
3
};
SPD d)
b
S
5
;
SI
c)
S
5
Ö;
SI
d)
S
5
{(1,
b)
amendoim:
-do-pará:
250
125
g;
g;
castanha-
castanha
2)};
números
e
5.119.488.000
a)
210
números
de
16. caju:125 2,
6.399.360
g
SPD 7 b) 19.
⎧ ⎛ S
e)
3k
28
{(1,
1,
2,
4
3)}
⎫
9
5 ⎝
20.
5
5
⎩
5
{(21,
17.
6)}
a)
!
⎭
5 b)
SPI ⎧ ⎛ 21.
S
5
⎨
1
⎝
5
k
17
5
2
⎠ ⎭
4k
205
⎨
c)
⎬
⎝
4 !
⎫
⎬ 2
⎩ ⎛ S
f )
⎞
1
3
3
4
1
⎩
⎭
22. 2 18.
SPI
1 23.
a)
6
b)
8
b) 2
Exercícios complementares
19.
720
maneiras
20.
120
maneiras
21.
42
22.
120
23.
48
24.
3.360
anagramas
25.
4.320
maneiras
26.
60
27.
a)
479.001.600
b)
103.680
a)
6
b)
48
Autoavaliação
.8991
10
ou
2.
3.060
3.
r
4
1.
residências
alter nativa
a números
ed
1.
orierevef
5
11
km,
r
A
ed
4.
5
7
km,
B
r
5
5
km
C
2.
alter nativa
e anagramas
1 3.
alter nativa
c anagramas;
36
anagramas
91 ed 016.9
5.
alter nativa
6.
9
7.
2.000
b 4.
ieL
5.
alter nativa
alter nativa
a
d
e laneP
maçãs,
3.000
peras
e
6.
alter nativa
b
5.000laranjas
og idóC
8.
alter nativa
7.
b
alter nativa
sinais
b possibilidades
od 481
9.
1
.trA .adibiorp
4
oãçudorpeR
5
alter nativa
c
28.
x
9.
5
S
c
b)
12.
alter nativa
SPD;
S
5
34
1
14.
15.
5
alter nativa
S
5
{(2
,
⎭
{(a,
4
2
)
a
Ñ
1.
6
S
5
,
)
Ñ
5 ,
⎞
2,
c)
17.
18.
S
S
5
=
{(3,
1,
2,
1,
alter nativa
a)
32.
60
modos
33.
90
resultados
34.
60
resultados
35.
380
36.
13
37.
30
38.
2
39.
360
40.
3.003
caminhos
2.
12
3.
132
4.
9.000
R}
R}
modos
maneiras
números
possibilidades
maneiras
⎫
⎬
⎭
{(0,
225
⎠
3 ⎩
b)
31.
modos
c
3
⎨
2.520
opções
120
a)
30.
10
⎠
1
13
⎧ ⎛ 16.
3.999.960
⎫
⎬
⎝
S
⎞
⎨
⎩
SPI;
29.
a
⎧ ⎛
b)
sequências
Ö
Capítulo
a)
sequências
5
11.
13.
possibilidades
17
x
10.
alter nativa
6.
223.560.000
7.
a)
senhas
maneiras
3)} 180
números
100
números
5)}
horas
b 8.
96
números
9.
729
sequências
Considere:
x:
quantidade
de
maneiras
n(n (em
for mas
amendoim
10.
kg)
720
maneiras
3)
41. 2
y:
quantidade
caju
:
(em
quantidade
-pará
de
castanha
de 11.
325
12.
30
13.
542
mensagens
42.
35
comissões
43.
45
apertos
44.
300
kg)
(em
kg)
de
letras
de
mão
castanha-
números
possibilidades
229
45.
1.200
46.
10
47.
1.960
4
.
49.
grupos;
286
55
conjuntos
nenhum
grupo
grupos
maneiras
126
51.
22.957.480
2.016
8.
56
9.
8
10.
rupos
50.
7.
triângulos
maneiras
resultados
21.
S
5
{81}
22.
15.840
23.
alter nativa
b
24.
alter nativa
c
25.
alter nativa
d
maneiras
amigos
alter nativa
b
11.
24
números
12.
alter nativa
c
13.
alter nativa
d
14.
alter nativa
c
15.
alter nativa
b
16.
31
17.
120
18.
alter nativa
Autoavaliação maneiras
1.
alter nativa
c
2.
alter nativa
b
3.
alter nativa
d
4.
alter nativa
d
5.
alter nativa
d
6.
alter nativa
c
7.
alter nativa
b
8.
alter nativa
c
Exercícios complementares
1.
24
opções
2.
110
tipos
3.
720
maneiras
60
número
5.
10
escolhas
6.
350
19.
a)
maneiras
720
e
a
120
a
481
e
312.465
.8991
4.
modos
ed
20.
alter nativa
e
orierevef
grupos
ed 91 ed 016.9 ieL e laneP ogidóC od 481 .trA .adibiorp oãçudorpeR
230
Lista de siglas
–
Exame
FCC-SP
FEI-SP
–
–
Fundação
Faculdade
FEMM-MG
FGV
–
–
Ibmec
–
ITA-SP
–
–
Fundação
Ensino
Médio
Chagas
Engenharia
Industrial
Educacional
Monsenhor
Universitária
de
Tecnológico
para
Mercado
de
o
de
Vestibular
Capitais
Aeronáutica
–
Universidade
Presbiteriana
Pontifícia
Universidade
Católica
UEL-PR
–
UFC-CE
–
UFJF-MG
Universidade
Universidade
–
Messias
Vargas
Brasileiro
Instituto
Mackenzie-SP
–
de
Getulio
Instituto
do
Carlos
Fundação
Fundação
Fuvest-SP
PUC
Nacional
Estadual
Federal
Universidade
de
do
Federal
Mackenzie
Londrina
Ceará
de
Juiz
de
Fora
8991 ed
UFMG
orierevef
UFPE
–
–
Universidade
Universidade
Federal
Federal
de
de
Minas
Gerais
Pernambuco
ed 91
UFRJ
–
Universidade
Federal
do
Rio
de
Janeiro
ed 016.9
UFRN
ieL
UFSC
–
–
Universidade
Universidade
Federal
Federal
do
de
Rio
Grande
Santa
do
Norte
Catarina
e laneP
UFSCar-SP
og idóC
Unicamp-SP
–
Universidade
–
Federal
Universidade
de
Estadual
São
de
Carlos
Campinas
od 481
Unifesp
–
Universidade
Federal
de
São
Paulo
.trA .adibiorp
Vunesp
–
Fundação
para
o
Vestibular
da
Universidade
Estadual
de
São
Paulo
oãçudorpeR
231
Bibliografia
ANGEL,
ÁVILA,
Allen
R.
Intermediate
Geraldo.
BARBOSA, João
Introdução
Lucas
algebra
às
for
funções
e
college
à
students.
derivada.
Marques. Geometria
São
euclidiana
New
Paulo:
Jersey:
Atual,
plana. Rio
de
Prentice
Hall,
2004.
1997.
Janeiro:
Sociedade
Brasileira
de
Matemática,
1995.
BOYER,
Carl
B.
História
BUSSAB, Wilton
O.;
da
Matemática.
MORETTIN,
2.
Pedro
ed.
A.
São
Paulo:
Estatística
Edgard
básica.
Blücher,
São
Paulo:
1991.
Atual,
1997.
CARMO, Manfredo Perdigão do; MORGADO, Augusto César; WAGNER, Eduardo. Trigonometria
Rio
de
Janeiro:
CARVALHO,
mática,
M
Paulo
Cezar
Matemática
Pinto.
I
NA:
Introdução
Antonio
Enciclopédia
Arnot.
-Wesley,
Pura
à
e
Aplicada,
geometria
números complexos
1992.
espacial.
Rio
de
Janeiro:
Sociedade
Brasileira
de
Mate-
ciência
fractals
fácil.
e
técnica.
São
2.
Paulo:
ed.
São
Saraiva,
Paulo:
Abril,
1979.
1994.
and dynamics: computer experiments in Mathematics. Menlo Park: Addison-
1990.
Howard.
Introdução
à
história
da
Matemática.
Trad.
Hygino
H.
Domingues.
Campinas:
Unicamp,
1995. .8991
(Coleção
de
Estatística
DEV ANEY , Robert L. Chaos
EVES,
de
1993.
FUN
CRESPO,
Instituto
Repertórios.)
ed
e
Georges.
pelo
História
cálculo.
Rio
de
universal
Janeiro:
dos
algarismos
Nova
(tomo
Fronteira,
1
1997.
:
v.
a
inteligência
dos
homens
contada
pelos
números
1.
orierevef
IFRAH,
ed
História
universal
ed.
Rio
de
dos
algarismos
aneiro:
Nova
(tomo
2):
Fronteira
a
inteligência
2000.
v.
dos
homens
contada
pelos
números
e
pelo
ed
2.
91
.
cálculo.
2.
016.9
v.
Lages
et
al. A
Matemática
do
Ensino
Médio. 2. ed. Rio
de
Janeiro:
Sociedade
Brasileira
de
Matemática,
e
1997.
ieL
LIMA, Elon
1.
laneP
A
Matemática
Professor
Matemática
de
Janeiro:
Sociedade
Brasileira
de
Matemática,
1998.
v.
2.
(Coleção
Ensino
de
Médio.
2
ed.
Rio
de
Janeiro:
Sociedade
Brasileira
de
Matemática,
1999.
v.
3.
(Co-
Matemática.)
problemas.
Rio
de
Janeiro:
Sociedade
Brasileira
de
Matemática,
2001.
(Coleção
do
Professor
Horácio.
Edwin
MONTEIRO,
L.
NETO,
SMITH,
E.;
H.
Dicionário
DOWNS
Jacy.
Ernesto.
David
Murray
TINOCO,
Lucia
R.
A.
mática/UFRJ,
JR.,
Floyd
Números
History
Estatística.
A.
Geometria
1999.
Física.
Elementos
Eugene.
SPIEGEL,
de
(Projeto
de
L.
Rio
2.
Janeiro:
Geometria
álgebra.
complexos.
of
de
Rio
2.
ed.
Mathematics.
ed.
São
euclidiana
Fundão.)
por
moderna.
de
Janeiro:
São
Nova
Paulo:
Nova
Paulo:
Y ork:
Fronteira,
São
Ao
da
Livro
Técnico,
1981.
Dover,
1958.
resolução
1976.
Edgard
Paed,
McGraw-Hill,
meio
Paulo:
oãçudorpeR
MOISE,
232
Rio
2
Blücher,
1971.
Partes
I
e
II.
1971.
v.
1984.
de
problemas.
.adibiorp
e
Médio.
Matemática.)
MACEDO,
ROSA
do
Professor
Temas
de
Ensino
.trA
do
do
Matemática.)
481
A
leção
de
ogidóC od
.
do
Rio
de
Janeiro:
Instituto
de
Mate
Guia do professor
1.
Pressupostos teóricos
e objetivos da coleção
I. Atividades extras
........................................ 234
2.
Organização e estrutura da obra
3.
Interdisciplinaridade
5.
Avaliação
6.
Formação e desenvolv
prof
7.
8.
9.
.............
mento
Sites
..........................................
download
........................
248
Capítulo 3
...........
249
Capítulo 4
Capítulo 5
....
251
...........
251
Capítulo 6
..................................................
252
Capítulo 7
253
Capítulo 8
Capítulo 9
Capítulo 10
.....................................
.......................
255
....................................
256
..............................
257
238
241
.........................
241
........................................
241
Sugestões de leitura para o aluno
................... 242
II. Resoluções e comentários
Capítulo 1
..................
Capítulo 2
Capítulo 3
Capítulo 4
Capítulo 5
259
........................
266
...........
274
242
..........................................
T extos para reflexão sobre a educa
Estudar matemáticas
.....................
....
280
...........
287
Capítulo 6
..................................................
292
Capítulo 7
304
Capítulo 8
Capítulo 9
Capítulo 10
243
.......... 244
........................................
........ 238
.................................................
Capítulo 2
.................................. 238
Sugestões de consulta para o professor
247
235
............................................................. 237
.................
235
......................................... 236
ssional do professor
....................... 235
4.
.....................
..............................
A impor tância do livro didático
Capítulo 1
4
.....................................
.......................
312
....................................
320
244
..............................................
246
.............................
330
Par te geral
Espera-se também que o aluno compreenda a Matemática como
1.
Pressupostos teóricos e uma ciência com métodos próprios de construção de conhecimento.
objetivos da coleção
Essa
dimensão
solução Esta
coleção
foi
elaborada
tomando
como
base
reflexões
de
orienta
ões
para
o
Ensino
Médio,
tendo
em
vista
as
mudan
previstas
pelos
Parâmetros
Curriculares
Nacionais
Ensino
Médio
(PCNEM),
com
base
na
Lei
de
Diretrizes
e
tarefas
científico
de
é
contemplada
investigação,
que
têm
na
como
à
reproduzir
algumas
formulação
de
atividades
hipóteses
e
dos
matemáticos,
conjecturas
e
à
com
reflexão
des-
sobre
para elas,
o
currículo
nas
as taque
curriculares
do
e
sobre objetivo
as
cultural
problemas
Bases
assim
como
à
comunicação
escrita
de
experimentações
e
de
da possíveis
conclusões.
o
Educação
Nacional
dezembro
de
(LDBEN)
n
9.394/96,
promulgada
em
20
de Como
pelos Para
resultado
isso,
tentamos
refletir
sobre
alguns
pontos
de
Parâmetros
nossa
reflexões
Curriculares
e
das
Nacionais
orientações
para
o
fornecidas
Ensino
Médio
de
relevância Matemática,
de
dessas
1996.
esta
coleção
delineou
como
objetivo
colaborar
para
o
realidade. desenvolvimento das capacidades de:
Em
primeiro
lugar,
as
consideráveis
mudanças
que
afetaram
o
Ensino
Médio
brasileiro
nos
últimos
anos.
Além
da
rápida
usar
de da “clientela” com
objetivos
dessa
acesso
etapa
já
a
esse
estão
segmento
distantes
educacional,
daqueles
de
o
os
leitura,
Talvez
pela
inerente
condição
de
fase
matemático
interpretação
e
análise
como
da
uma
das
ferramentas
realidade;
próprios
algum
tempo
estabelecer
entre atrás.
conhecimento
expansão
intermediária
entre
relações
esses
temas
e
entre
outras
diferentes
áreas
do
temas
matemáticos
conhecimento
e
da
e
vida
o
cotidiana; Fundamental
entre
duas
nativas,
Tal
e
e
o
Superior,
direções:
a
a
Ensino
Médio
profissionalizante,
propedêutica,
dualidade
o
reforçava
voltada
a
ao
divisão
sempre
com
prosseguimento
social
de
classes
outro,
trabalhadoras,
forneciam-se
intelectual,
que,
após
os
a
educadas
entre
para
conhecimentos
conclusão dos
oscilado
características
os
de ambos os tipos de curso: de um lado, formava-
futuras
tenha
as
dos
r
de
preparatórios
produção;
a
uma
superiores,
cálculos
exatos
ou
numéricos
—
aproximados
escritos
—
com
ou
com
uso
ampliação
da
tecno -
da diversida-
de das operações e dos conjuntos numéricos;
frequentadores
bases
efetuar
logia,
estudos.
m
estudos
termi-
resolver problemas e, com isso, desenvolver a compreensão dos
conceitos matemáticos;
elite
colocar
desenvolver
em
rática
atitudes
de
autonomia
e
de
cooperação;
estaria uma
formação
geral
que
permita
o
prossegui-
pronta para assumir o comando dos diversos segmentos produtivos. mento
dos
estudos;
Com as profundas transformações que a sociedade vem presenciando
diante
de
um
mundo
crescentemente
globalizado
e
identificar
mo ganhou
força
jovens
a
urgência
algo
além
de
de
uma
um
nova
corpo
visão
teórico
de
de
utilizar
ensino,
que
conceito
representações
matemático,
bem
equivalentes
como
os
de
um
diferentes
mes-
registros
ofereça desse
aos
e
informatizado,
conhecimentos,
conceito
(gráfico,
numérico,
algébrico);
em
expressar
matematicamente
—
por
via
oral,
escrita
e
gráfica
direção a um desempenho prático real, capaz de conciliar as múltiplas — demandas
culturais
e
socioeconômicas,
contemporâneas
e
situações
dessa
tendência
geral,
uma
das
principais
e
concretas,
além
de
trabalhar
a
precisão
futuras. da
Dentro
teóricas
orientações
linguagem
e
das
demonstrações,
desenvolvendo,
assim,
a
da construção
da
argumentação.
citada Lei de Diretrizes e Bases é a flexibilização dos mecanismos de
acesso
ao
Médio
em
Ensino
Superior,
relação
ao
promovendo
vestibular
a
desvinculação
tradicional,
como
meta
do
de
Ensino
ensino.
2.
Organização e
Em segundo lugar, tentamos dar suporte ao professor de Matemá-
estrutura da obra tica para enfrentar os questionamentos que surgem com essas novas
realidades. Em um universo fortemente permeado por uma visão prag-
Diante
da
grande
diversidade
de
conteúdos
cabíveis
nessa
fase
mática, um dos maiores problemas é justificar a presença, no currículo
da aprendizagem, uma seleção criteriosa é de vital impor tância para
do Ensino Médio, daqueles conteúdos que não têm utilidade prática
a
imediata e responder à questão: “Por que aprender Matemática?” .
propícias
O
tos
professor
matemáticos
muitas
A
e
tarefas
dimensão
faz
pode
das
serem
social
que
se
em
quase
explicita
os
matemáticas
fato
para
a
todas
conhecimen-
cotidiana
atividades
usos
principais
que
a
valores
sociedade
de
controle
Os
Base
interior
conteúdos
Nacional
desse
assim
Comum
produtivo
pois
das
oferece
múltiplas
condições
e
possíveis
conjunto.
selecionados,
Curricular,
à
luz
apoiam
a
de
reflexões
iniciais
aprendizagem,
da
da
qual
faz par te a percepção de um sentido cultural integrado entre as dife -
rentes par tes do saber, diferentemente da justaposição dos saberes.
apropriação das formas de raciocínio presentes na construção dessa
ou
ciência,
mente,
seria,
a
contudo,
Matemática
uma
assume
naturais
resposta
papel
e
são
para
humanas.
no
conhecimentos,
plo, nos campos da Estatística, da Matemática financeira, das medidas
Essa
aplicação
e
relações
de
O encaminhamento dos conteúdos procura possibilitar ao aluno
fenômenos
sua
os
corpo
tanto a aplicação prática dos conhecimentos matemáticos quanto a
de
com
vida
as
múltiplos
os
de
do
estabelecimento
identificados nos exemplos que sobressaem de imediato, por exem-
modelagem
desenvolvem
e
o
ao
claramente
da
que
com
ferramentas
específicas
explicações
progresso
argumentar
consistência
sociais.
incompleta.
formativo
no
Reconhecida-
com
a
desenvolvimento
Assim,
no
geral do indivíduo. Ao assentar-se na clareza e no rigor de definições,
textualizadas
demonstrações e encadeamentos conceituais e lógicos que validam
entre
intuições
e
dúvida,
Essa
e
dão
ajuda
a
dimensão
damentos
que
elementar
—
234
sentido
às
estruturar
simbólica
garantem
dos
fatos
técnicas
o
ou
pensamento
conceitual
cober tura
matemáticos
Guia do professor
aplicadas,
da
ampla
mais
e
o
a
Matemática,
raciocínio
disciplina
—
e,
ao
dedutivo.
abarca
mesmo
impor tantes.
sem
os
fun-
tempo,
preocupação
do
uso
das
formas
contemporâneas
de
linguagem.
de
decorrer
e
de
conceitos
outras
da
caráter
coleção,
matemáticos
áreas
do
são
apresentadas
interdisciplinar
e
destes
conhecimento.
que
com
Em
situações
permitem
dados
paralelo,
do
está
con-
conexões
cotidiano
presente
a
abordagem que revela o caráter formativo, instrumental e científico
do
conhecimento
interpretativas
tecnológica.
matemático,
de
diferentes
por
exemplo,
campos
da
por
meio
ciência
ou
de
da
situações
atividade
Em termos de estrutura, a obra divide -se em três
qual
composto
tratado,
cada
de
capítulo
exercícios
tópicos
capítulos.
é
para
em
de
para
os
exercícios
propostos,
exercícios
complementares;
questões
para
que
por
séries
e
volumes, cada
do
assunto
a
ser
de:
As seções e atividades de cada capítulo procuram desenvolver a
representação
apoiam-se,
alunos
explorarem
do
assunto
à
possibilitam
alunos
resolverem;
é
complementada
preensão
cia
para
vários
incentivar
o
níveis
aluno
de
a
interpretação
desenvolver
e
e
interpretar
e
para
a
final
em
grupo
que
informações,
de
e
cada
ampliação
teúdos
a competên-
incentivam
o
aluno
a
pesquisar
e
buscando
aprofundar
volume,
do
trabalhados
aber tura
a
por
de
intuito
são
os
a
conhecimentos
apresentadas
conhecimento
no
desenvolver
dos
construção
a
ser
a
de
respeito
leitura
dos
cada
capítulo
é
ilustrada
por
uma
imagem
à
os
identificar
procurar,
ão,
há
capacidades
atividades
que
de:
etc.);
e
da
linguagem
(equações,
gráficos,
corrente
diagramas,
vice -versa;
correção
e
clareza
na
terminologia
própria
da
incentivar
a
discussão
preparatória
à
os
instrumentos
a
dados
e
à
desenvolver
as
significativos
selecionar
e
de
medição
compreensão,
há
capacidades
de
um
interpretar
e
de
cálculo.
atividades
que
de:
problema;
informações
relativas
ao
problema;
formular
selecionar
interpretar e criticar resultados em uma situação concreta;
discutir
hipóteses
e
prever
estratégias
ideias
e
de
resultados;
resolução
produzir
de
argumentos
problemas;
convincentes.
que
exploração
à
contextualiza
ão
sociocultural ,
há
atividades
que
do
os
alunos
a
desenvolver
as
capacidades
de:
estudado.
aluno
a
formar
um
panorama
dos
conteúdos
ali
faixa
etária,
o
aluno
já
tem
condições
de
reconhecer
objetivos,
organização
ele
conta
e seus estu
Cuidou-se
para
que
com
os e o
os
matemático
um
esenvo
conteúdos
elemento
vimento
do
inter venções
no
na
interpreta
ão
do
real
e
cotidiano;
aplicar
adicional
para
conhecime nto s
e
método s
matemático s
em
situa-
e
ções interpretar
conhecimento
possíveis
tratados.
nessa
o
são apresentados logo no início, para
em o
com
alunos
usar
Como,
as
matemáticas
simbólica
investigação
con
livro.
Os objetivos do capítulo
auxiliar
tabelas)
corretamente
incentivam
adquiridos.
sugestões
alunos
de
usar
Quanto
estimulam tema
expressões
linguagem
Quanto tem
comunica
e
sociocultural.
matemáticos;
mensagens
exprimir-se
ex-
Organização dos capítulos
A
à
compreensão,
Matemática;
argumentação
No
e
a
com-
plorar situações que promovem organização, interpretação de
dados
o
e
contextualização
desenvolver
textos
gráficos,
transcrever
leitora;
atividades
alunos
investigação
na
ler, interpretar, construir e aplicar representações matemáticas
para
exploram
a
possível,
ler
fórmulas, que
que
apresentam:
textos
comunicação,
por
a
representa
aos
(tabelas,
explorado
e
sempre
Quanto
os
aula;
autoavaliação.
concretização
seções
introdução
professor
sala
A
a
entremeado
resolvidos,
principais
Após
reais,
em
especial
em
outras
áreas
do
conhecimento.
a
e sua autonomia.
capítulo
fossem
distribuí
3.
A impor tância
dos de forma equilibrada e organizada. A apresentação de tópicos de
do livro didático relevância é complementada por Exemplos e Exercícios resolvidos
que
sugerem
dimento.
Na
uma
aplicação
seção
específica
Exercícios
de
propostos ,
um
o
conceito
aluno
ou
proce -
encontrará
uma
série de atividades apresentadas em ordem crescente de dificuldade.
Em várias páginas, são encontrados boxes laterais que dialogam
com
o
o
aluno,
oferecendo -lhe
desenvolvimento
aprofundam
ou
o
abordadas
tema
em
explicações
doestudo,
tratado
outras
e
além
de
e
dados
uestões
conexões
com
adicionais
ue
ex
situações
sua
permitem
aplicação
com
os
o
a
disciplinas.
aprofundamento
diferentes
Aprofundamentos
e/ou
que
abrangem
os
conteúdos
até
mesmo
e
as
a
m
i
percepção
mais
de
complexas,
trabalhados.
No
quadro Retomada de conceitos , as questões são relacionadas com os
objetivos
camente
indicados
do
se
exploram
no
assunto,
o
início
caso
o
Compreensão
vários
níveis
de
e
com
aluno
de
as
páginas
precise
texto
traz
interpreta
ão
que
tratam
especifi-
retomá-lo.
textos
e
em
par ticular,
a
maior
par te
do
pro -
é
inegável.
Por
um
lado,
ele
costuma
ser
um
supor te
referência
tica
geral
histórica
e
Educação
das
indispensável
didáticas
matemática,
múltiplos
que
elementos
para
específicas
mapeiam,
do
ensinar
os
—
e
estudos
no
caso,
analisam
do
e
na
área
as
pesquisas
dadidá-
da
inter-relacionam
aprender
nessa
área
do
imentode uma multiplicidade de pesquisas didático-peda
ó
icas
voltadas para o ensino matemático epodemos afirmar que grande
cação
que
dessas
tais
Devemos
estudos
ramento
reais
investigações é
brasileira.
das
requerem
ráticas
necessidades
da
de
de
ter
alta
em
quando
ensino,
qualidade
mente,
se
de
e
valia
contudo,
deseja
modo
o
para
o
constante
ue
a
edu-
dinamismo
corres
aprimo -
ondam
às
aprendizagem.
Nessa perspectiva, apresentamos a seguir uma rápida análise das
diversificados
compreensão,
Matemática
confiável e amplificador em sala de aula. Por outro, representa uma
par te
Autoavaliação apresenta ques
fundamentais
da
conhecimento. Verificamos, no decorrer das últimas décadas, o sur-
Desafios
conteúdos
campo
educacional
os
dos
situações,
Ao término do capítulo, a seção
tões
e
cotidianas
Em todos os capítulos, há Exercícios complementares
que
para
andem
No
fessorado concorda que a impor tância do livro didático noprocesso
que
muitas
diretrizes
didático-pedagógicas
que
o
livro
deve
adotar
para
atender
às expectativas da educação em nosso país.
vezes com questões que ar ticulam diferentes disciplinas e exploram
situações
do
cotidiano
do
aluno.
Alguns aspectos de um livro didático Apresentando atividades que desenvolvem a experimentação, as
propostas da seção Pesquisa e ação devem ser realizadas em grupo. As
atividades, geralmente, exigem organização, análise e interpretação de
Em seu papel de apoio ao trabalho do professor, o livro didático deve:
Orientar-se
pelas
dados e informações, com o objetivo de desenvolver a argumentação, a
moramento
relação entre informações e conhecimentos adquiridos pelos alunos e
dos
a apresentação adequada dos resultados, por meio de cartazes, vídeos,
desenvolvimento
jornais e outros recursos.
uma
dos
escolares
base
propostas
processos
devem
de
confiável
ser
de
ensino
reflexivos.
entendidos
competências
para
o
e
que
favorecem
Para
como
do
conhecimento
isso,
os
o
apri-
conteú-
instrumentos
estabelecimento
do
mundo.
Guia do professor
235
do
de
Abordar
os
conteúdos
de
modo
que
os
alunos
tenham
opor-
4. tunidade
de
soluções
mente
dos
expor
próprias
sobre
de
as
o
para
sabem
os
decisões
diferentes
mesmo
que
problemas
a
tomar
maneiras,
conteúdo
de
di
sobre
de
o
e
assunto,
de
implica
ângulos
erentes
pontos
de
refletir
tratar
Interdisciplinaridade
elaborar
adequada-
esses
conteú-
variados.
Tratar
de
avorece
vista
um
a
A
em
o rg a n i z a ç ã o
iscip
inas
do
que
currículo
se
e s co l a r
justapõem,
t r a d i c i o n a l,
sem
se
i n t e r - re
estruturada
a c i o n a re m ,
é
apontada como responsável por uma formação compar timentada.
Por
outro
lado,
a
abordagem
interdisciplinar
no
ensino
assinala
construção do corpo de conhecimentos, sobretudo pela expoa
sição
de
maneiras
diversas
de
pensar
e
pelo
incentivo
à
possibilidade
novas
soluções,
além
de
promover
maior
comunicação
professor
e
alunos
e
entre
Manter
a
tados
os
maior
Os
fatos
proximidade
possível
e
da
conteúdos
que
afetam
fenômenos
devem
a
estar
sociedade
em
de
da
combinação
perspec tivas,
incentivando
a
busca
de
caminhos
de
alter-
àqueles
oferecidos
pelos
saberes
já
adquiridos,
instituídos
entre
os
conteúdos
institucionalizados.
traA
e
meio
colegas. e
por
ennativos
tre
enriquecimento
busca diferentes
de
de
interdisciplinaridade
é
definida
pelos
educadores
como
a
realidade.
consonância
seu
tempo,
e
com
seu
as
interação
entre
duas
ou
a
comunicação
mais
disciplinas,
o
que
se
traduz
desde
uestões simples
de
ideias
específicas
das
disciplinas
até
a
aprendizado integração
orgânica
de
conceitos,
terminologias,
metodologias,
deve favorecer a inserção positiva do aluno nessa sociedade. A procedimentos, abordagem
de
conteúdos
socialmente
significativos
Alguns para
a
construção
de
instrumentos
de
dados,
linguagens
ou
representações
par ticulares.
contribui
compreensão
da
especialistas
estendem
o
conceito
de
interdisciplinaridade
rea à
atitude
que
pressupõe
uma
postura
uniformemente
estruturada
lidade e de par ticipação em relações políticas e culturais diverdiante sificadas.
A
seleção
e
o
tratamento
dos
conteúdos devem
dos
fatos
perspectiva
a
construção
da
cidadania,da
serem
analisados.
ter
Pesquisas como
a
per tinência
educacionais
destacam
as
seguintes
vantagens
da
a
abordagem
interdisciplinar:
um país pluricultural e a um mundo globalizado. O tratamento
dos conteúdos deve possibilitar ao aluno assumir postura críti-
ca
e
colaborativa
Garantir
objeto
Por
do
que
de
os
na
conteúdos
de
da
qual
propostos
é
possibilita
integrante.
respeitem
a
a
ensinar
e
natureza
do
ções
ras
complexidade
de
aprender,
conceitual
as
pesquisas
e
as
em
uma
visão
global
dos
conteúdos
do
mundo
atual,
permitindo visão crítica e compreensão das múltiplas informa-
conhecimento.
identificarem
ato
sociedade
implicações
didática
cotidianas,
entre
colabora
geral
para
o
o
que
só
ocorre
com
a
superação
das
frontei-
disciplinas;
para
a
futuro
formação
de
desempenho
uma
base
mais
profissional,
ampla
e
segura
considerando
a
cres-
e específica têm muito a colaborar na proposição de conteúdos. cente
necessidade
de
integrarem-se
informações
de
diferen-
As didáticas específicas explicitam as aproximações e os distan tes
ciamentos
em
relação
ao
objeto
de
conhecimento
domínios
de
atuação;
comumente
estimula
o
exercício
contínuo
da
educação,
tanto
no
âmbito
proposto em sala de aula, o que possibilita ao professor analisar geral sua
prática
que
vão
e,
ao
ao
mesmo
encontro
tempo,
de
suas
antecipar
hipóteses
aos
alunos
sobre
Oferecer
recursos
para
a
diversidade
de
essencial
ber
que
ções
ou
rentes
à
um
construção
mesmo
que
uma
ângulos,
o
produtivamente
lexibilidade
na
Estruturar-se
de
mesma
aluno
o
saber
é
Com a inter
um
propostas.
situação
pode
ser
a
Ao
perce -
diferentes
abordada
generalizar
conhecimento
de
significativo.
aplicável
consegue
resolução
em
um
conteúdo
e
adquirido,
situa-
de
dife -
contextualizar
desenvolvendo
problemas.
conformidade
com
movimento
de “uso-
-conceituação-uso” .
objeto
devem
de
verificação
Tal
ni
permitam
a
acompanhados
compreensão
da
de
natureza
situações
desse
ob
de
eto.
inari
uso
À
que
diante
a
e, espera-se o
dos
aproximação
busca
de
um
disciplinas
entre
O
o
métodos
coerentes
objetos
elas
(e
e
imento
uma
par ticulares.
a
com
as
si,
semelhantes,
linguagens
atribuição
de
um
e
conceitos
maior
critérios
comuns.
número
de
sig-
avorecendo o trabalho interdisciplinar na
aprendizado
percam
procedimentos
entre
permite
icados aos conceitos,
mente
ser
comum
desenvolveram
Os primeiros contatos do aluno com um novo objeto de conhe-
cimento
isci
Cabe destacar que muitas disciplinas, ao longo de sua história,
as
um
profissional.
intercomunicação efetiva entre as disciplinas por meio da fixação de
A diversidade de atividades em torno de um mesmo conteúdo
é
no
questões
determinados
conteúdos, favorecendo a aprendizagem significativa.
quanto
suas
mais
expressivo.
especificidades,
disciplinas
de
outras
Isso
mas
não
sim
áreas)
significa
que
seja
o
que
diálogo
pedagogica-
rico.
trabalho
aprendizado
interdisciplinar
do
aluno,
o
organiza
trabalho
e
otimiza
pedagógico
o
e
tempo
evita
escolar,
repetições;
medida não
se
restringe
a
desenvolver
temas
comuns
ou
projetos
interdis-
que cresce sua familiarização com o novo objeto, é possível sociplinares;
licitar
reflexões
mais
abstratas
para
a
formalização
do
pode
ser
feito
por
meio
de
atividades
desenvolvidas
por
conheuma disciplina, mas planejadas pelos professores de várias disciplinas
cimento,
de
tal
maneira
que
o
aluno
consiga
transformar
suas ligadas
à
área.
conclusões iniciais em saber de caráter universal, aplicável a diE ferentes
situações.
Assim,
o
movimento
a
assimilação
gradativa
e
segura
dos
novos
a
Química
Cabe
ao
livro
didático
estruturar
unidades
e
facilitem
tal
fluxo,
buscando
equilíbrio
entre
significado
neralizações
e
e
abrangentes
o
suficiente
para
possibilitar
ge -
em
o
sala
entre
um
único
transferências.
as
de
material
aula,
horas
cronograma
236
é
de
de
apoio
interessante
aula
para
a
e
as
ao
desenvolvimento
que
se
unidades
aprendizagem
Guia do professor
alternativa
entanto,
gêneros
do
comuns,
estabeleça
didáticas,
dos
um
do
trabalho
paralelismo
sugerindo,
alunos.
mais
também
assim,
discurso
podemos
conceituais,
Cabe destacar que, embora o livro didático não seja, e não deva
ser,
por
exemplo,
trabalho
a
Biologia,
a
Física,
a
Matemática
interdisciplinar?
usual
são
é
a
aborda
possíveis
as
em
por
abordagens
temas
por
comuns.
linguagens,
suas
etapas e oferecendo situações-problema e atividades providas
de
um
que
No permitam
em
co
A nhecimentos.
ar ticular,
de “uso-conceituaçãoe
-uso” favorece
como
as
ou
citar,
tabelas,
procedimentos
a
os
título
de
comuns.
exemplo,
símboloseos
Como
linguagens
os gráficos,
códigos.
Como
os
mapas
gêneros
do
discurso, os relatórios, ar tigos científicos, artigos de opinião, debates,
enunciados de problemas e protocolos de pesquisa. E, como procedi-
mentos, a resolução de problemas, a observação de regularidades, as
investigações, o levantamento de hipóteses, as inferências, a dedução,
a
análise,
a
síntese
e
a
generalização.
plausíveis,
5.
isto
é,
os
erros
previsíveis
e
justificáveis.
O
conteúdo
dos
Avaliação distratores define, em grande parte, o grau de dificuldade da questão.
Avaliar
o
desempenho
dos
alunos
é
uma
das
tarefas
mais
pro-
blemáticas para o professor em qualquer nível de ensino. Apesar de
ultimamente muitos educadores matemáticos se debruçarem sobre
o
tema,
têm
o
conceito
evoluído
de
e
as
modo
práticas
de
satisfatório,
avaliação
o
que
em
Matemática
mantém
a
não
atualidade
da
reflexão sobre a concepção de avaliação em seus diferentes aspectos.
Quando se usam os erros mais frequentes como distratores, é possível
identificar o que de fato os alunos dominam, a natureza das dificulda
des do grupo ou dos erros que costumam cometer. A escolha de uma
entre muitas alternativas geralmente favorece a discussão de ideias e
problemas de formas variadas, enriquecendo a troca de informações
e, por conseguinte, o processo de aprendizagem.
Em primeiro lugar, é preciso ter claro que a avaliação não é um fim
em si, mas par te integrante do processo de ensino e aprendizagem.
Quando entendida como engrenagem natural do contrato didático,
a
avaliação
progresso
e
à
ultrapassa
dos
alunos
administração
o
trabalho
ou
meio
escolar,
de
simples
informativo
para
justificar
acompanhamento
de
a
sua
situação
consecução
e
aos
a
do
pais
revisão
dos objetivos de trabalho propostos e do próprio processo didático-
-pedagógico.
atores
da
Assim,
ação
a
avaliação
educativa
na
(alunos
e
educação
pais,
diz
respeito
professores
e
tanto
aos
orientadores)
quanto à estrutura de ensino, o que inclui a apreciação, entre outros
aspectos, dos métodos e materiais didáticos adotados, dos projetos
e
programas
A
ava l i a ç ã o,
julgamento
de
propostos.
decisões
processos
Uma
M édio
e,
de
uma
as
série
ser
do
de
pesquisas
n e ce s s i d a d e
lacunas
diem
o
no
o
Ensino
professor
de
de
ao
ser
i n s t r u m e n to
processo
alimento
na
área
de
de
em
e
de
de
tomada
reorientação
do s
dos
e
matemática
palav ras,
e
da
não
de
nos
maior
em
todos
constatação
q u e,
des s es
para
d e te r m i n a r
conteú do s,
dos
tó pico s
d iagnó stico s
ideal izados,
que
do
de
bás ico s,
apontam
ao
os
a
as
s u b si-
pró p rio s
fo rneçam
domínio
de
alu nos.
Evidentemente, a preocupação em identificar as falhas nos conhe -
promovem
professor,
esse
sua
correção.
aspectos
fazê -los
mais
rica
embora
respostas
das informações.
Eles
de
prova
oferece
um
conjunto
de
informações
No
a
âmbito
específico
relação
e
a
da
disciplina,
interpretação
ló
permite
ica
das
analisar
informações
No plano mais geral, possibilita observar aspectos como a compreen-
são
dos
busca
enunciados,
de
soluções,
enfrentamento
Voltando
é
para
os
sondar
alunos.
as
conscientes
Ao
mesmo
concepções
de
suas
e
tempo,
esse
habilidades
limitações
e
tipo
dos
de
estu-
possibilidades.
às
i m p o r t a n te
a
a
capacidade
habilidade
de
situações
reflexões
lembrar
o
de
na
raciocínio,
expressão
a
das
criatividade
ideias
e
o
na
modo
variadas.
sobre
papel
os
processos
gerais
h i s to r i c a m e n te
de
avaliação,
p u n i t i vo
que
fo i
atribuído à M atemática, tomando -a como instrumento de seleção
e
rotulação
ração
dos
dessa
indivíduos.
visão
Por
equivocada
cer to,
é
a
um
dos
adoção
de
pontos
um
para
novo
a
supe -
conceito
de
avaliação. Trabalhando com a ideia de que os processos avaliativos
re
resentam
d e ve m
im
s e m p re
or tante
buscar
referência
explicitar
aos
e
avaliados,
co m p a r t i l h a r
os
os
rofessores
c r i té r i o s
de
avaliação com os alunos. Assim, os “erros” — tanto no desempenho
específico
—
a
devem
da
ser
disciplina
além
identificação
da
autonomia
Cabe
na
ao
resolução
dar
relação
salientar
têm
longo
de
as
do
de
que,
postura
na
opor tunidade
relevantes
ao
em
evoluído
na
discutidos
de aspec tos
em
aprendizagem,
volve
quanto
amplamente
discussão,
da
e
exposição
aber tos,
categorização das
dadas, o reconhecimento e a aplicação dos conceitos matemáticos, a
de
dantes
tipo
como
disciplinares
possibilita
totalmente
a
que permite detectar concepções errôneas e propor caminhos para
problemas de formação e, então, construir um curso mais consistente,
avaliação
uma
para
analisar, argumentar, justificar escolhas, validar respostas etc. Para o
dade” do ensino subsequente, mas, ao contrário, uma forma de superar
significado
questionários
zando as capacidades de levantar hipóteses, desenvolver estratégias,
de
cimentos prévios não deve ser motivação para “rebaixamento da quali-
maior
os
dificuldade
incentivam o aluno a enfrentar um problema e buscar a solução utili-
En s ino
in gres s a n tes,
conh ec imen tos
org anização
reais,
al un os
Diante
aos
d i a gn ó s t i c a s
o u tras
parâm etro s
conhecimentos
relação
p ro fess ores
capacitados
co mpreens ã o
na s ele ção
Em
como
Educação
e na
do s
per fil
Fu n d a m e n t a l.
av a l i a çõ e s
M édio.
do
idealizados
Ensino
obtidas,
de
preo c upações
de fas ag ens
pro fessor
ao
ser vir
d iagnó stico
domínio
do
ativamente
sentido,
primeiras
e q u i vo c a d a m e n te
conteúdos
deixa
mudança.
das
deve
co n ce p ç ã o,
integrar-se
nesse
Matemática,
organização e a comunicação das ideias em linguagem matemática.
nessa
para
Em
apresentem
processo
todos
no
capacidades
processo,
problemas,
os
como
a
e
de
de
aprendizado
aula.
Esse
autoavaliação,
da
formação
e
o
espaço
permite
exercício
educacional.
de
as
a
à
graus
sentido
geral
sala
de
ensino,
incluir,
atitudes
que
criatividade
comunicação
os
entre
e
a
o
currículos
os
objetivos
aluno
desen-
independência
adequada
das
ideias
e
Essa contribuição das avaliações diagnósticas muito provavelmente
a
se manifestará na redução da evasão, problema hoje tão comum no
adequar
segmento
tentativa de valorizar não apenas os conhecimentos procedimentais,
intermediário.
O diagnóstico pode ser estabelecido pela aplicação conjunta de
alguns
instrumentos,
questionários
por
ou
de
os
entrevistas
para
obtenção
de
informações
de
múltipla
escolha,
com
questões
específicas
Matemática;
aber tos
ou
fechados,
com
questões
específicas
as
construídas
atitudes
produtiva
tomada
competências
recurso,
“clientela” .
aspec tos
como:
Assim,
se
a
avaliação
estudaram em
diagnóstica
curso
regular
pelos
desempenho,
de
o
considerando
tanto
o
O
dos
co m p a r t i l h a m e n to
de
propostas
ao
atividades
Os
testes
de
domésticas
fechados
fazer
de
lazer;
se
trabalham
ou
têm
par ticipação
etc.
múltipla
escolha
apresentam
a
resposta
correta e os distratores, os quais refletem as respostas incorretas, porém
Nesse
a to re s
caso,
da
é
perspectiva,
a
na
de
organização
de
eríodos maiores,
construção
uso
permite
da
avaliam-se
e nvo l v i d o s,
em
foco
processo
que
nas
nova
preciso
alunos.
através
por tfólio
decisões.
contato e em que profundidade; quais são seus hábitos de leitura; o
horas
por tanto,
de
relatórios,
um
produto.
dossiês
e
me -
alunos.
duto.
nas
dos
essa
acompanhamento
podemos
ou supletivo; com quais conteúdos do Ensino Fundamental tiveram
cultivam
de
a
É,
Oferecendo a possibilidade de escolhas e da avaliação contínua
do
contemplar
avaliação
grupo.
geral, permitem ao formador uma ideia sintetizada das competências
per fil
sua
as
de
em
ue reúnam atividades acumuladas em
desse
e dos hábitos e modos de vida dos alunos, mais per to estará de um
de
e
trabalhos
moriais, meios que, mobilizando as diversas aquisições da formação
Matemática.
confiável
nos
instrumentos
forma
or tfólios
Além
positiva
conceitos
Uma
Quanto mais o professor souber a respeito da formação anterior
pode
os
atestando
fechados
questionários,
de
mas
exemplo:
pessoais;
testes
par ticipação
vigor
e
de
o
a
passa
processo
apenas
i n fo r m a çõ e s
mesmo
aluno
par ticipação
a
ser
desenvolvimento
todo
não
ao
avaliação
os
o
re gi s t ro s
co n d u z
tempo
e
que
à
o
como
o
pro -
desempenho
n u m é r i co s.
co m p re e n s ã o
abre
na
trabalho,
espaço
para
O
das
o
re -
planejamento do trabalho do professor, de modo que se obtenham
melhores
resultados.
Guia do professor
237
Apresentamos no quadro abaixo uma sugestão de descritores de
6. uma
possível
ficha
de
avaliação
e
autoavaliação
dos
Formação e desenvolvimento
alunos.
profissional do professor Avaliação
Avaliação
Descritores pelo
aluno
pelo
A
professor
maioria
fessores Cumpre
os
dos
chama
autores
atenção
que
para
a
hoje
discutem
impor tância
a
de
formação
o
de
pro-
desenvolvimento
objetivos.
profissional ser contemplado ao longo de toda a carreira, com suporte 2.
Apresenta com correção e
na
educação “formal” inicial.
de
cada
A
par tir
dessa
etapa,
o
aprimoramento
clareza as tarefas escritas.
3.
Inclui
pesquisas
relativas
Adota
uma
organização
a
responsabilidade
própria.
opor tuno
e
o
lembrar
algumas
desenvolvimento
das
diferenças
profissional
de
entre
a
professores
formação
apontadas
que
pelo facilita
de
tratados.
inicial
4.
é
aos
É assuntos
professor
educador
por tuguês
João
Pedro
da
Ponte.
compreensão.
Na formação inicial, o futuro professor é obrigado a assimilar os
5.
Faz a análise de seus erros.
6.
Elabora
conhecimentos que lhe são transmitidos, geralmente de modo com-
propostas
enfrentar
para
par timentado, por assuntos ou disciplinas, e com nítido predomínio
dificuldades
da especulação teórica. Pode -se dizer que essa etapa transcorre em relacionadas
ao
um desenvolvimento
movimento
antes
de
Na
Além
dos
do
por tfólios,
outros
recursos
podem
ser
aplicados.
tudo,
um
de
um
continuidade
problema,
por
exemplo,
é
impor tante
o
aluno
se
limita
a
utilizar
mecanicamente
os
ou
se
compreende
a
situação
com
mani
esta
maior
é
capacidade
de
no qual
o
profissional
é,
natureza
de
comunicação
investigativa,
e
de
convém
formação
a
que
estamos
admitem-se
cursos
e
denominando
atividades
a
práxis,
como
projetos
em
grupo
e
mais
trocas
argumentação.
avaliar
leituras
e
reflexões
compar tilhadas.
O
de
movimento
é,
profundidade
Se
do
a
interior
para
o
exterior,
cabendo
ao
professor
considerar
o teoria
trabalho
interior,
procedimentos
então,
e
da
profissional,
para
experiências,
aprendidos
o
analisar direcionados
se
para
receptor.
Na desenvolvimento
resolução
ex terior
das
atividades.
e
prática
de
modo
interligado,
na
busca
de
uma
formação
capacidade integral
em
seus
aspectos
cognitivos,
afetivos
e
relacionais.
Através
do aluno em formular hipóteses, testar, analisar criticamente e fazer da
combinação
entre
processos
formais
e
informais,
a
formação
generalizações. Éimpor tante ainda verificar a coerência da resposta continuada
tem
por
finalidade
tornar
o
professor
mais
capacitado
em relação à situação apresentada, a utilização da simbologia mate para
conduzir
o
ensino
de sua
disciplina.
O
professor
deixa
de
ser
mática apropriada, a clareza, a organização das ideias e a originalidade objeto
na
so
ução
o
pro
impor tante
ter
em
mente
que
qualquer
tipo
de
revela
a
de
orientação
fornecida
aos
alunos.
Por
isso,
os
o
avaliação
por
sua
formação.
devem
ser
discutidos
com
eles.
e xe m p l o,
a
ava l i a çã o
ten d e
a
ser
Em
mais
profissional
conhecimento
específico
envolve
da
diferentes
disciplina
domínios,
ministrada
e
do
parâem
vigência,
a
reflexão
sobre
a
relação
com
o
aluno,
a
relatórios permanente
e s c r i to s,
de
desenvolvimento
currículo
metros
sujeito
avaliação como
escrita
ser
ema. O
É
para
análise
crítica
dos
processos
de
aprendizagem
e
de
q u al itativa, avaliação, a expansão da própria instrução, a conscientização sobre
inserida
na
perspec tiva
de
uma
apreciação
global.
Nesse
caso,
não o
fazem
sentido
os
critérios
estritos
de “cer to
e
errado” ,
que
contex to
cidade
sejam
descontados
de
acordo
com
os
erros
cometidos.
Se
isso
o b s e r v a d o,
os
re l a tó r i o s
te n d e m
ao
e m p o b re c i m e n to,
de
trabalho,
resolver
o
autoconhecimento
problemas
da
prática
e,
sobretudo,
a
capa-
educativa.
não As
fo r
de
pontos
leituras
sugeridas
nesta
obra
fo r a m
selecionadas
co m
propósito de auxiliar o docente de Matemática em sua traj etór ia
na
maioria
das
vezes,
as
melhores
produções,
aquelas
que
as
melhores
argumentações,
explicitações
de
para
apre um
sentam
o
p o i s,
raciocínio
ininterrupto
de s envo lvimento
pro fiss ion al.
e
descober tas, costumam conter mais erros que os relatórios simples,
7. com
menos
As
Sugestões de consulta
escrita.
apresentações
orais
permitem
ao
aluno
preparar-se
pre -
para o professor viamente,
a
organizar
questões
os
argumentação
co
e
sua
exposição
egas,
de
esenvo
e
estar
ven
o,
pronto
assim,
as
para
responder
capaci
a
es
e
Outra sugestão para a avaliação do desempenho oral é fazer gru-
pos
de
discussão
Livros e ar tigos
comunicação.
sobre
questões
matemáticas
diversificadas.
Ensino de Matemática
Nesse
tipo
de
discussão,
podem
ser
avaliadas
a
compreensão
das
BICUDO,
M.
A.
V.
Educação
matemática:
um
ensaio
sobre
con-
ideias cepções
a
sustentarem
sua
prática
pedagógica
e
produção
de
matemáticas envolvidas, a argumentação, a aptidão para interpretar conhecimento.
In:
FLORES,
C.
R.;
CASSIANI,
S.
(Orgs.).
Tendên-
e discutir situações em que tais ideias estejam presentes e mesmo as cias atitudes
gerais
em
relação
à
contemporâneas
nas
pesquisas
em
educação
matemática
e
Matemática. científica:
sobre
linguagens
e
práticas
culturais.
Campinas,
SP:
É por meio de obser vações contínuas da par ticipação dos alunos Mercado
de
Letras,
2013.
p.
17-40.
nas aulas e do envolvimento nas atividades propostas que o professor Ar tigo avalia
tos
no
a
evolução
curso.
de
seus
Embora
seja
alunos
um
em
juízo
relação
aos
subjetivo,
o
objetivos
professor
relacionado
à
experiência
em
Educação
matemática.
propos-
não
deve
______
ro,
(Org.).
Educação matemática.
2.
ed.
São
Paulo:
Centau-
2005.
desvalorizar esse tipo de informação. Mantendo um registro de suas
Traz obser vações,
pode
incorporá-las
aos
dados
obtidos
por
outros
ar tigos
relacionados
a
pesquisas
realizadas
em
Educação
ins-
matemática,
enfocando
metodologia
e
ensino.
trumentos de avaliação, garantindo maior consistência à apreciação
perió
ica
e
ca
a
a
uno.
Por fim, é impor tante ressaltar que não existe instrumento único
para
o
sistema
de
avaliação,
o
qual
deve
ticipação dos alunos nas atividades re
atividades
os
específicas
instrumentos
238
de
e
os
diferentes
autoavaliação.
Guia do professor
sempre
contemplar
a
par-
ulares, seu desempenho em
tipos
de
produção,
incluindo
BONGIOVANNI,
bre
o
Proem,
Trata
tas
ser
ensino
V.
e
Utilizando
resultados
aprendizagem
em
de
pesquisa
Geometria .
São
so-
Paulo:
2006.
de
para
algumas
o
ensino
trabalhadas
teorias
de
da
didática
Geometria,
inclusive
através
de
do
francesa
forma
como
que
software
ferramen-
estas
possam
Cabri-Géomètri.
CARAÇA,
Lisboa:
Bento
de
Gradiva,
J.
Conceitos
1998.
(Coleção
fundamentais
Ciência
da
Matemática
Continuidade.
Ciência
e
dá
O
autor
ênfase
a
faz
alguns
uma
abordagem
conceitos
da
de
aspectos
Matemática
encontro
João
Essa obra encontra-se dividida em três partes: Números, Funções
e
LOPES, C. E.; CURI, E. (Orgs.). Pesquisas em Educação matemática
um
Aber ta).
da
relaciona-
Essa
obra
gias
de
decorre
na
discutem
D’ AMBROSIO, U. Da rea
i
a
e à ação
a
teoria
e
a
prática.
São
Carlos,
SP:
Pedro
e
2008.
pesquisa
central
dos aos números e às funções.
entre
Editores,
de
um
em
análise
processo
Educação
sobre
temáticas
a
reflexivo
relação
diversas,
sobre
matemática,
que
metodolo-
tem
teoria-prática.
relacionadas
à
o
Os
foco
textos
Educação
mate -
reflexões sobre Educação e mática em todos os níveis de ensino da Educação básica: Edu-
Matemática. 5. ed. São Paulo: Summus, 1986. cação
Essa
obra
forma
ca,
à
dá
enfoque
crítica,
conceitual
abordando
História
e
à
à
Educação
aspectos
Educação)
que
matemática,
(relacionados
atingem
à
todos
de
de
Matemáti-
os
níveis
Infantil,
Jovens
e
Ensino
Adultos.
Fundamental,
As
temáticas
Ensino
Médio
abordadas
e
Educação
permitem
refle -
tir sobre processos de ensino e aprendizagem, mudanças cur-
de
riculares
e
inova
ões,
bem
como
análise
da
prática
docente.
escolaridade.
______.
pinas,
Educação matemática
SP:
Papirus,
2012.
da
teoria
(Coleção
à
prática.
Perspectivas
23.
em
ed.
autor
A obra traz re
traz
cionadas
em
a
nessa
uma
Educação
interpretação
apresenta
A.;
obra
algumas
disciplina
matemática
sobre
como
suas
ministrada
da
Unesp
Matemática
estraté
de
ias
e
no
de
experiências
curso
Rio
de
Claro.
Educação,
de
contextualizadas
que
Mestrado
forma
e
temática,
rela-
Expõe
a
JÚNIOR,
G.
A
Matemática
e
os
temas
e
as
a
e
a
cu
relacionar
por
educação
tre
totalmente
lexões sobre a transversalidade, o ensino de Ma-
ciência
significa
tendemos
sua
que
POMPEU
pauta).
Educação
matemática).
O
MONTEIRO,
transversais. São Paulo: Moderna, 2001. (Coleção Educação em
Cam-
a
cotidiano?
tura,
Que
fundamentam
etnomatemática
e
a
examinan
Matemática
ao
o
concepções
essa
proposta?
proposta
de
questões
cotidiano?
de
como:
O
ciência,
Qual
é
a
que
o
en-
verdade
relação
en-
transversalidade?
interdependentes.
PERELMANN,
I.
Aprenda
Álgebra
brincando .
São
Paulo:
Hemus,
usando
ativida-
2014.
DUVAL,
R.
Registros
de
representações
semióticas
e
funcio-
Essa namento
cognitivo
da
compreensão
em
Matemática.
In:
des CHADO, S. D. A. (Org.).
obra
auxilia
o
professor
a
ilustrar
sua
aula
MA-
práticas,
apresentadas
por
meio
de
uma
abordagem
didá-
Aprendizagem em Matemática : registros
tica e interessante, que deixa de lado as questões teóricas mais de
representação
semiótica.
8.
ed.
Campinas,
SP:
Papirus,
difíceis. 11.
p.
O
autor
selecionou
um
grande
número
de
problemas
11-33.
funcionais
ou
curiosos,
resolvidos,
discutidos
e
ilustrados,
O autor apresenta o conceito dos diferentes registros de repre como: sentação
semiótica
para
um
mesmo
objeto
matemático,
cias
dos
a
entre
impor tância
o
grau
próprios
de
dessa
diversidade,
dificuldade
de
cada
e
um
indica
KRULIK,
S.;
a
leitura
alunos.
REYS,
R.
PIRES,
de
E.
A
resolução
de
problemas
na
do
segundo
C.
São
Paulo:
Atual,
São
livro
traz
vinte
e
especialistas
dois
ar tigos
de
alguns
dos
mais
de
da
E.
L.
et
Sociedade
do
área,
obra
tados
os
A
que
buscam
Matemática
de
rever
a
metodologia
de
do
Ensino
Matemática,
Médio .
1998.
v.
1,
Rio
2
de
e 3.
Janeiro:
de
autor,
utilize
apoio
os
uma
po rém
ao
e
(Coleção
com
divers idade
alu n os
e
muitos
equa-
outros.
T.
M.
ensino
e
M.
(Orgs.).
Utilizando
aprendizagem
de
resultados
números
e
fun-
2006.
para
da
um
curso
PUC/SP ,
de
especialização
apresenta
o
tema
em
Edu-
números
de
situações-problema
que
suscitam
e
discus-
reflexões.
s ão
do
de
exercícios
adeq ua dos
Ensino
para
M édio.
come n -
que
Es se
o
no
es mero
de
s eu s
dos
p ro -
liv ro
(Org.).
M.
M.;
SHULTE,
São
Esse
primeiro
é
de
o
Paulo:
A.
P .
Atual,
(Orgs.).
formatado
matemática
através
de
resultados
Proem,
para
da
de
pesquisas
sobre
análise
2006.
um
curso
PUC/SP ,
de
especialização
apresenta
situações-problema
que
o
tema
em
análise
suscitam
Edu-
de
da
discussões
e
s er______
(Org.).
Matemática
e
suas
inter faces
com
outras
discipli-
co n h ec imen to s
Aprendendo
e
São
cação
ensinan-
(NC TM)
do
Paulo:
Proem,
contendo
dos
vinte
formatado
matemática
plinaridade
Conselho
Estados
Nacional
Unidos,
de
Pro-
2006.
artigos
de
cussões
e
PONTE,
J.
para
da
através
um
curso
PUC/SP ,
de
de
especialização
apresenta
o
tema
situações-problema
que
da
em
Edu-
interdisci-
suscitam
dis-
reflexões.
publicado
Atual,
Utilizando
Paulo:
reflexões.
2003.
anuário
Matemática
editora
São
m atem áticos.
do Geometria.
pela
o
Proem,
através
Material
LINDQUIST,
fessores
progressões
CAMPOS,
sobre
formatado
Material
cação
não
profes s o r
conteúdos
livro
grau,
matemática
______
nas. sobre
C.;
Paulo:
de dados.
ve
Diofanto,
do
Matemática).
apresenta
pelo
fessor
al.
Brasileira
Professor
Essa
de
Matemática.
LIMA,
equações
eminen-
sões
ensino
as
Matemática
funções
tes
Álgebra,
2003. cação
Esse
M.
pesquisas
Material
escolar.
da
divergên-
segundo
ções.
idioma
resções
saltando
o
alguns
dos
P .
et
al.
Investigações
matemáticas
na
sala
de
aula.
mais 2.ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2009. (Coleção Tendências em
eminentes especialistas da área. Educação
O LINS,
R.
C.;
GIMENEZ,
J.
Perspectivas
em
Aritmética
e
livro
práticas para o século XXI. 7.
ed.
Campinas,
SP:
Papirus,
livro
busca
introduzir
uma
de
concepção
de
ser
Álgebra
como
diferente
algo
Aritmética,
quação
concreto
como
dessa
do
numérico.
e
a
pois
em
em
que
segunda,
abstrata.
visão,
complementam-se
daquela
Os
primeira
ser
autores
Aritmética
uma
a
por
mesma
e
de
autores
investigação
usadas
por tugueses
e
mostra
desenvolvidas
por
como
matemáticos
se
mostram
Álgebra
sala
de
trabalhos
aula.
Esses
po-
ilustram
a
da
inade -
configuram
que
e
dificuldades
de
se
trabalhar
nessa
as
perspectiva.
exprime
generalização
atividade,
na
Aritmética vantagens
e
trabalhos
2006.
dem Esse
matemática).
traz
Álgebra
é
o
e
estu-
UDINA
1999.
i
ABELLÓ,
(Coleção
Aborda
ensino,
a
o
F .
utilização
que
Aritmética
Matemáticas:
de
indica
y
calculadoras.
cultura
calculadora
que
nem
y
como
sempre
Madri:
Síntesis,
aprendizaje).
uma
um
metodologia
ensino
centrado
de
no
método “lápis e papel” pode ser entendido como o mais eficiente.
Guia do professor
239
g
ç
ALMEIDA,
nologias
F .
J.
ç
Computador,
dirigidas
ao
escola
e
vida:
conhecimento.
2.
Currículo
aprendizagem
ed.
São
Paulo:
e
tec-
ce
2007.
Trata
COLL,
Essa
Cubzac,
da
tivem
a
possibilidade
melhoria
do
de
que
cenário
as
ciências
e
as
tecnologias
C.
Psicologia e currículo.
obra
i
o
com
dagógica
mo-
BARUFFI,
M.
C.
B.;
LAURO,
M.
M.
inequações:
uma
Paulo:
abordagem
CAEM-IME/USP ,
utilizando
PIRE
em
C.
uma
uma
pro ces s o
de
v is ão
conc retização,
um
Paulo:
de
de
Ática,
p ro j e to
1999.
c u r r i c u l ar
cons tr u tivis ta
no
co tidian o
questões
e
es col ar,
edu c a c io n ais
trans form a ção
con -
p sicop e
na
do s
e
es tá
M.
C.
Matemática
e
sua
inserção
educa ção.
curricular .
Curso
de
microcomputador.
em
Educação
matemática,
mod.
1,
versão
preli-
2002.
minar. Apresenta
em
São
modelo
proposto s. Trata
especialização São
um
Funções elementares, equações
e
ase
para
conteúdos
atual.
inserida
apresenta
abordagem
por
meio
da
qual
se
utiliza
o
São
Paulo:
Proem,
2006.
com-
Material
formatado
para
um
curso
de
especialização
em
Educa
putador como ferramenta para o ensino de funções elementa-
ção matemática da PUC/SP , apresenta uma síntese das principais res,
equações
e
inequações.
reformas
BORBA,
M.
C.;
mática.
4.
dências
em
PENTEADO,
ed.
Belo
M.
G.
Horizonte:
Informática
Autêntica,
e
Educação
2010.
Mate-
(Coleção
sobre
a
brasileiro,
indicando
a
trajetó-
______. Currículos de Matemática : da organização linear à ideia
u tilização
da
info rmática
na
rede.
levando
em
consideração
as
São
Paulo:
FTD,
2000.
E duca ção Essa
matemática,
cenário
matemática). de
Abordagem
no
Ten-
Educação
educacionais
ria dos documentos curriculares oficiais.
dificul dades
obra
analisa
as
organizações
curriculares
(mais
recentes
enpara o ensino da Matemática) formuladas em diferentes países
contradas
por
profes s o res
para
a
utilização
des se
rec urso e,
em
suas
aulas
como
ins tr umento
de
em
par ticular,
no
Brasil.
Aponta
novos
e
possíveis
caminhos
en s in o. para as discussões sobre a proposta educacional da escola, so-
bre COLL,
C.;
MONEREO,
C.
Psicologia
da
educação
vir tual
n
n
aprender
ção.
Por to
com
as
Alegre:
tecnologias
Ar tmed,
da
informação
e
da
planejamento,
avaliação
e
para
a
organização
dos
currícu-
r
los e
de
Matemática.
comunica-
2010.
Didática Apresenta
mação
e
e
uma
da
análise
do
Comunicação
impacto
( TIC)
das
sobre
Tecnologias
os
processos
da
de
Infor-
ensino
DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas de Matemática
São
aprendizagem.
Paulo:
Enfoca
MORAN,
J.
M.
A
educação
que
desejamos :
novos
desafios
a
Ática,
chegar
lá.
4.
ed.
Campinas,
SP:
Papirus,
da
res olução
de
probl emas
co mo
u ma
e metodolo gia
como
2000.
didática
de
en s ino.
2009.
PARRA, C.; SAIZ, I. (Orgs.).
Didática da Matemática : reflexões psi-
O autor apresenta um paralelo entre a educação que temos e a
copedagógicas.
Por to
Alegre:
Ar tmed,
1996.
que desejamos, mostrando as tendências para um novo mode -
Traz
ar tigos
de
alguns
autores
que
desenvolvem
pesquisas
lo de ensino. A obra analisa principalmente as mudanças que as
no
campo
da
didática
e
enfocam
diversas
situações
relacio -
tecnologias trazem para a educação.
nadas
gias
a
de
conteúdos
matemáticos
e
suas
possíveis
metodolo -
ensino.
História da Matemática
BOYER,
São
C.
B.
Paulo:
História da Matemática . Trad.
Blucher,
Helena
Castro.
3.
ed.
2012. FIORENTINI, D.
A
ra
mostra
como
a
Matemática
se
nv
veu
Formação de profissionais de Matemática . Campi-
suas nas, SP: Mercado de Letras, 2009.
origens
e
a
história
da
relação
da
humanidade
com
números, O
formas
e
padrões.
Nessa
edição
de
2012,
apresenta
ainda
leitor
verá,
nessa
obra,
que
a
tentativa
de
utilizar
as
Tecnolo-
uma gias de Informação e Comunicação na formação de professores
cobertura
atualizada
de
tópicos
como
o
último
teorema
de e
Fermat
e
a
conjectura
e
Poincaré,
a
ém
e
avanços
no
xivo
em
áreas
como
teoria
dos
grupos
finitos
e
ensino
da
Matemática,
em
um
ambiente
de
trabalho
refle-
recentes
demonstrações
e
investigativo,
pode
trazer
mudanças
profundas
à
forma-
com ção e à cultura docente.
o auxílio docomputador. PERRENOUD,
EVES,
H.
Domin
Essa
Introdução
ues.
obra
à
história
Campinas,
aborda
a
SP:
da
Matemática .
Unicamp,
história
de
Trad.
Hygino
sinar
H.
matemáticos,
Ar tmed,
indi-
Essa
cando como se deu o surgimento de determinados conteúdos
e
sua
significância
P . ; THURLER,
século
XXI:
a
M.
G.
formação
et
al.
dos
As competências para en-
professores
e
o
desafio
da
avaliação. Trad. Cláudia Schilling e Fátima Murad. Por to Alegre:
1995.
conteúdos
no
2002.
obra
avaliação
cultural.
apresenta
e
a
forma
uma
como
reflexão
é
vista
sobre
por
os
procedimentos
professores
e
pelo
de
próprio
sistema educacional, além de uma discussão de como de fato de-
ROONEY,
A.
A
hist
ri
M
t
m
tic
:
desde
a
criação
das
pi-
Books
do
veria
râmides
até
a
exploração
do
infinito.
São
Paulo:
M.
ocorrer
o
processo
de
avaliação,
bem como
seus
objetivos.
Todas essas reflexões são abordadas em torno da questão da for-
Brasil,
2012. mação de professores.
Essa obra apresenta a história da Matemática fartamente ilustra-
SHULMAN,
L.
S.
Conocimiento
y
enseñanza:
fundamentos
de
da. Ela está dividida em nove capítulos e apresenta personalidala
nueva
reforma.
Revista
de
currículum
y
formación
del
profe-
des como Euclides, Napier, Leibniz, Riemann e outros. sorado.
9,
2
(2005).
Disponível
em:
<www.ugr.es/~recfpro/re
ROQUE, T. História da Matemática : uma visão crítica, desfazendo
v92ART1.pdf >. Acesso em: 25
mitos e lendas. Rio de Janeiro: Zahar, 2012.
Nesse artigo, são abordadas as três vertentes necessárias ao co-
fev.
2016.
A obra apresenta um olhar crítico sobre o modo como a história
nhecimento
da
ensinar: o conhecimento didático da disciplina, o conhecimento
Matemática
dando
os
tem
sistemas
sido
matemáticos
potâmia até o século XIX.
240
contada
Guia do professor
ao
longo
dos
desenvolvidos
tempos,
desde
a
abor-
Meso-
do
do
conteúdo
e
professor
o
quanto
conhecimento
ao
conteúdo
curricular.
O
da
autor
disciplina
salienta
a
que
não basta o professor dominar o conteúdo de sua disciplina.
<www.cempem.fae.unicamp.br>
Site PISA 2006. Estrutura
a ava
iação: con
imentos e
i
do
Centro
Matemática, em
Ciências,
Leitura
e
Matemática.
São
Paulo:
Moderna,
a
estrutura
do
Programa
Internacional
para
Matemática,
bem
desenvolvimento
como
da
sua
organização
e
as
revista
diretrizes
do
Por tal
da
Educação/Secretaria
Orientações
curriculares
de
Educação
para
o
Pesquisa
aos
em
índices
Educação
dos
volumes
Ensino
educacional
de
outros
do
e
es tado
tes es
rec u r s o s
do
em
para
Paraná,
to das
as
auxiliar
o
disp o n ibiliza
á reas
da
a r ti-
edu ca ção,
profes so r.
<www.furb.br/cremm/por tugues/index.php>
Média Site
Tecnológica.
e
e
Zetetiké
disser tações
além
e
resumos
conteudo.php?conteudo=3>
avaliação.
Publicações oficiais
BRASIL. Ministério
Memória
aos
< w w w. e d u c a d o r e s . d i a a d i a . p r. g o v. b r / m o d u l e s / c o n t e u d o /
gos,
Estudos
acesso
Avalia-
ção de Alunos com relação aos conteúdos de Ciências, Leitura
e
dá
2007.
da Apresenta
de
i
do
Centro
de
referência
de
modelagem
matemática
no
Médio ensino,
disponibiliza
informações
sobre
livros,
trabalhos
aca-
(Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias). Brasília: dêmicos,
MEC/SEB,
2006.
v.
Esse
volume
apresenta
orientações
para
a
área
de
Ciências
<www.gi
Matemática
e
suas
tecnologias.
Tais
orientações
mat
site
em
elaboradas
sala
de
para
aula
Parâmetros
auxiliar
frente
a
Curriculares
professores
determinados
em
sua
temas
eletrônicas.
ome_0.
materiais
tm
de
>
apoio
por
tema,
jogos,
testes
para
on -
o
e
ine
Ensino
Médio
softwares
metodologia
presentes
nos
<www.mat.uc.pt/~jaimecs/indexem.html>
Nesse
Nacionais.
site
da
é
possível
acessar
Matemática
em
documentos
todos
os
de
interesse
para
o
níveis.
BRASIL. Ministério da Educação/Secretaria de Educação Básica.
Explorando
o
ensino
da
Matemática :
ar tigos.
Brasília:
<www.periodicos.capes.gov.br>
MEC/SEB,
ite 2004.
v.
Esse
da
documento
apresenta
ar tigos
divididos
nos
seguintes
Nível
Números,
Geometria,
História,
Álgebra
e
Ensino.
Tem
levar
professores
a
aprofundar
seus
podem
ser
utilizados
em
sala
de
aula,
os
temas
na
elaboração
ou,
ainda,
ser vir
de
incentivo
para
a
reflexão
Educação/Secretaria
de
de
Educação
Parâmetros
Brasília,
Curriculares
de
di-
da
Revista
todas
Nacionais
para
as
Eletrônica
edi
ões
de
Educação
Matemática ,
traz
ar tigos
publicadas.
softwares,
atividades,
ar tigos
e
links
de
interesse
para
Média
o
professor
de
Matemática.
Ensino
<www.ime.usp.br/lem/>
2002. Site do Laboratório de Ensino de Matemática, objetiva di
Os
Pessoal
eriódicos
<www.edumatec.mat.ufrgs.br>
o
Tecnológica.
a
sobre
da
consulta
assuntos.
Oferece
Médio.
Aper feiçoamento
a
de
abordados.
BRASIL. Ministério
e
de
onibiliza
de atividades
dis
conhecimentos,
Site que
(Coordenação
erior),
por
objetivo
Su
eiversos
xos:
Capes
3. de
r/
fo-
ensino
revistas
disponibiliza
apresentados ram
e
s.mat.
da Esse
Natureza,
ar tigos
3.
Parâmetros
Curriculares
Nacionais
apresentam
undir o
orientações ensino
de
Matemática
por
meio
do
computador,
traz
s
twares
e sugestões ao trabalho docente, que implicam o trabalho com educacionais, apostilas e in a
interdisciplinaridade
e
os
temas
transversais.
Tratando
tam-
bém
a
diversidade
da
sala
de
aula
e
o
trabalho
com
recursos
Site de
tecnologia,
os
conteúdos
são
organizados
em
eixos
da
Rede
Interativa Vir tual
Esse
eletrônico
no
documento
pode
ser
encontrado
em
do
Ministério
da
Educação
e
Cultura
BRASIL.
Ministério
Tecno
da
Educação/Secretaria
PCN1:
ógica.
Ensino
Médio,
de
Educação
orientações
aos
Parâmetros
Curriculares
Nacionais.
de
documento,
Brasília,
ões
de
o
professor
conteúdos
a
pode
encontrar
serem
trabalhados
para
sala
objetos
de
ao desenvolvi
atividades
pelo
professor
em
sala
de
aula.
da
Sociedade
Brasileira
informações
referências
por
sobre
de
Educação
eventos
Matemática,
regionais,
disponi-
nacionais
e
inter-
2002.
ano,
na
área
de
Educação
matemática.
e
orienta
oferece
apoio
Média
nacionais
Nesse
de
complemen biliza
tares
Educação,
temas
<www.sbembrasil.org.br/sbembrasil/>
Site e
diferentes
(MEC).
de
formato
mento site
de
estru-
aprendizagem turadores.
ormações nessa área.
< w w w. s c i e l o . b r / s c i e l o . p h p ? s c r i p t = s c i _ h o m e & l n g = p t &
bem
nrm=i como
sugestões
de
trabalho
a
de
aula.
Disponibiliza
SÃO
PAULO
(Estado).
Secretaria
da
Educação
do
Estado.
áreas
posta
Curricular
Maria
Inês
Fini.
do
São
Estado
Paulo,
de
São
Paulo :
Matemática.
ar tigos
em
diversos
periódicos
nas
mais
variadas
Prode
interesse.
Coord.
2008.
Revistas e periódicos Esse
os
documento
Parâmetros
caderno
balho
em
versão
cação
do
foi
elaborado
Curricu
professor
aula
que
eletrônica
está
disponível
Estado
Sites e ar t
de
São
em
Nacionais,
atividades
de
do
sala
ares
levando
com
constam
porém
as
caderno
site
da
diretrizes
apresenta
orientações
no
no
conta
do
para
no
o
tra-
aluno.
Sua
Secretaria
da
BOLEMA.
O
Rio
BOLEMA
antigos
e
Claro:
Depar tamento
(Boletim
de
impor tantes
Educação
periódicos
de
Matemática
Matemática)
da
área
de
é
da
um
Unesp.
dos
Educação
mais
mate -
mática do Brasil. Dissemina a produção científica em Educação
Edu-
Paulo.
os para download
matemática
e
resumos
disser tações
de
áreas
aprendizagem
da
Educação
de
afins,
publica
e
teses
Matemática
matemática
na
ar tigos,
com
e/ou
ensaios,
destaque
ao
papel
da
ao
resenhas
ensino
e
e
à
Matemática
e
sociedade.
o
O
ra
Comitê
do
Científico
Brasil)
do
19
disponibilizam
COLE
os
e
a
anais
ALB
das
(Associação
últimas
de
Leitu-
realizações
do
Congresso de Leitura do Brasil (Cole), que possui um eixo especí-
Boletim
em
GEPEM.
Educação
Rio
de
Janeiro:
Grupo
de
Estudos
e
Pesquisas
Matemática.
Publicação do Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Ma-
fico de Educação matemática. Assim, o professor pode encontrar
temática
artigos de seu interesse para aprofundar seus conhecimentos.
tra
a
os
da
e
Universidade
pesquisa
em
Federal
E
do
ucação
Rio
de
Janeiro,
divulga
matemática.
Guia do professor
241
estratégias
Cadernos
do
CEM.
São
Paulo:
Centro
de
Educação
empregadas
para
solucionar
cada
situação.
Traz
Matemática
atividades
e
respostas.
(CEM).
Publicação do Centro de Educação Matemática, tem por obje -
tivo
veicular
trabalhos
na
área
de
Educação
Matemágica :
Fausto
matemática.
O
Cálculo.
São
Paulo:
autor
revista
apresenta,
explora
em
inguagem
simp
es
e
acessíve
,
em
histórias,
desa
ios,
rases
e
até
piadas
Educação
(SBEM),
ção
e
alguns
curiosi
áreas,
fatos
a
Matemática
da
traz
em
Revista.
Sociedade
ar tigos
que
vários
Brasileira
abordam
didática
de
Educação
pesquisas
na
Matemática
es
área
de
Educa-
Educação
entre
a
Matemática
2009.
e
suas
de
v. I.
como
Biologia,
Física
e
Ar te.
aplica-
Aborda
da
história
iver ti
os
e
da
Matemática
interessantes.
e
A
propõe
jo-
inguagem
P
-graduados
cação
área.
do
trabalhos
estrutura
Pesquisa.
em
da
São
Educação
Programa
matemática
Os
de
e
Paulo:
PUC/SP ,
de
aos
de
pesquisas
temas:
A
em
científicas
da
Matemática
na
professores;
Didática
da
Matemática,
além
de
os
e
alunos
e
História,
Nessa
que
Epis-
Tecnologias
obra,
ber tas
do
Didática
Professor
da
é
da
aula.
caos,
o
Das
livro
desenvolvidas
antigas
informa
por
gregos,
de
escritas
sobre
o
egípcios,
de
e
professores.
de
Malba Tahan.
Rio
de
Janeiro:
o
autor
relata
matemáticas.
surpreendem
Prof.
Júlio
Traz
pela
César
casos
ainda
ilusão
de
curiosos
de
Mello
sobre
enigmas,
e
óptica.
Souza,
fatos
e
problemas
O
livro
mais
é
e
um
desco-
figuras
clássico
conhecido
Malba Tahan.
Uma
leitura
que
amplia
o
pelo
universo
Matemática.
conhecimentos
e,
ao
mesmo
tempo,
diver te.
Matemática.
Publicação
de
enriquecimento
da
de Revista
técnicas
sala
do
o
2009.
pseudônimo Informação
as
em
teoria
Matemática diver tida e curiosa ,
Record,
Edu-
do e
vistos
moderna
favorecendo
Estu-
Pós-graduados
divulga
Formação
Programa
Matemática.
Estudos
relacionam-se
curricular
temologia
objetiva,
árabes e maias, entre outros povos. Uma leitura indicados para
Matemática
Publicação
à
pensamento
matemática.
e
conteúdos
secretas
todos
relações
matemático s,
Pap iru s,
Matemática.
Publicação
jo g os
SP:
en-
clara,
e
Campinas,
relacionadas gos
à
as
diversas
também trevistas,
a p licaçõ es
Sam paio.
Segmento. ções
A
hi s tó r i a ,
Arnaud
Sociedade
Brasileira
de
Matemática
(SBM),
M a t e m á t i ca e g re g o s ,
de
Hélio
Cy r i n o.
Ca m p i n a s,
S P:
Áto m o,
é
2006. destinada
àqueles
que
ensinam
Matemática,
sobretudo
nos
O anos
finais
do
Ensino
Fundamental
e
no
Ensino
Médio.
tema
cia ar tigos
de
nível
elementar
ou
avançado
acessíveis
a
antiga.
e
a
alunos
de
cursos
de
Licenciatura
em
Campinas:
Centro
de
Estudos
Memória
e
Pesquisa
ção
da
Matemática,
matemática
Faculdade
dos
de
a
produção
docentes,
Educação
acadêmica
graduandos
da
Unicamp.
e
entre
pesquisadores
temáticos
graus
de
todos
os
história
da
Matemática
para
o
aluno,
simplificada
e
a
de
História.
de
pitagórica
Ensino
interação
educadores
inclusive
explorados
sistemas
outros.
na
Gré -
pois
da
traz
história
um
trabalho
da
interdisciplinar
Uma
Alguns
pelo
numeração
e
teorema
leitura
conteúdos
autor
são:
e
números
de
específicos
teorema
e
Ma-
razão
estudos
Álgebra,
per tinente
de
Tales,
amigos,
Pitágoras,
interessante
de
para
da
Lógica
o
aluno
e
de
Médio.
maMatemática lúdica,
de
Leon
Battista
Alber ti.
Rio
de
Janeiro:
Za-
ensino. har,
O
2006.
autor
Nessa
8.
área
escola
de
a
áurea,
em Educa-
pós-graduandos
Promove
científico-pedagógica
a
panorâmica
favorecendo
temática
divulga
é
interessante
em
matemática.
Publicação do Centro de Estudos Memória e Pesquisa em Edu-
cação
livro
leitura
Matemática.
com
Educação
do
uma
abordagem
Grécia,
Zetetiké.
É
professouma
res
principal
Publica
viveu
obra,
durante
descreve
o
e
Renascimento
explica
de
italiano
maneira
(1404-1472).
prática
como
fazer
Sugestões de leitura medições
para o a
uno
exemplo,
largura
Obras sugeridas
das
obras
pesar
indicadas
na
par te
final
do
livro
do
aluno,
as
sugestões
a
um
cargas
recursos
medir
rio;
o
“com
uma
muito
ainda
disponíveis
a
grande
pesadas;
caso
vista”
de
a
naquela
altura
de
profundidade
como
avaliar
Arquimedes
e
a
época;
uma
de
água;
grandes
coroa
por
torre;
a
como
distâncias.
de
Hieron.
O
apre -
texto sentamos
os
como
de
Explica Além
com
é
bem
traduzido
e
traz
comentários
sobre
os
casos.
Vale
seguir.
como curiosidade e ampliação de conhecimento. Favorece ati-
Desafios
e
enigmas
—
uma
forma
descontraída
de
colocar
à
vidades prova
C.
de
Por
seu
raciocínio,
Aguiar.
meio
desafios
e
de
Paulo:
texto
a
e
Novera,
mais
teoria
Niederauer
que
de
dos
outros.
e
Marla
os
estimulam
diver tem.
conhecimentos
conteúdos
aprender
como
análise
e
autores
se
a
equações,
O
autor
dar
mas
os
vista
sistemas
combinatória,
Iniciação à lógica matemática ,
Paulo:
O
zir
Nobel,
autor
o
traz
grau
de
de
de
em
tex to
sala
de
o
didático
Médio
básicas,
dificuldade,
enfrentar
242
um
Ensino
explicações
aplicação
de
tos
Alencar
Filho.
São
comprimento,
Paulo:
utiliza
um a
conteú dos
atual
criativa
pro-
diver tir.
Edgard
História.
área
Melhoramentos,
e
volume,
2006.
de
(Coleção
Kjar-
Saber
e
de
outras
instigante
v istos
de
e
ling uag em
matemáticos,
na
escola
explorar
époc as.
que
e
as
bem -humora da
explorando - o s
As sim,
f acilita
tam bém
ideias
a
tem-s e
para
do
u ma
aprendiza g em
fo ra
del a.
Co m
matemáticas,
o
de
prop o sta
de
ess e
autor
ab or-
ponto
as s un -
eito
es -
apresenta
São
medidas
antigas
e
ge o m é t r i c a s.
e
atu ais,
área,
perímetro,
volume,
ân g u lo s
2009.
utiliza
aluno
de
desesperadas :
Poskitt.
pecial
com
horrível).
de
situações
matemáticos,
Medidas
tan
exploram
criação
São
interdisciplinares
Fernanda
que
também
conjuntos,
Para
e
2008.
bem-humorado,
matemáticos
aplicação
equação,
babilidade
Juliano
resolução
envolvem
propiciam
de
um
enigmas
estratégias
que
São
de
de
no
bem
aula.
As
Guia do professor
o
objetivo
da
elaboradas
situações
possibilitando
próximo,
e
universo
que
e
são
vencer
facilita
a
para
introdu
Lógica.
A
obra
funcionais
para
organizadas
um
figuras
desafio
por
antes
compreensão
das
Newton
e
a
gravitação ,
de
Steve
Parker.
São
Paulo:
Scipione,
2007.
O
livro
aborda
gráficos
alguns
sobre
a
história
Isaac
da
Matemática,
Newton,
experimentos
e
a
trazendo
construção
invenções
das
realizados
dados
suas
pelo
bio-
teorias
e
estudioso.
É
uma
dos
miais
leitura
mais
de
informativa
impor tantes
maneira
interessante
cientistas.
objetiva
e
de
sobre
Aborda
fácil
as
ainda
ideias
as
de
séries
um
As s i m ,
bino-
compreensão.
ampliam-se
Paulo:
dobras,
Origami
5
contas
Escrituras,
é
a
e
encantos,
de
Carlos
Genova.
ozô n i o
A
e
o u t ro s.
de
dobrar
papel
( ori
5
dobrar
e
gam
5
mãos
tas
para
e
a
exercitar
relacionando - o
composição
com
à
de
proporciona
lhar
o
expressão
cérebro,
ar tística.
impor tância
interessantes
uma
maneira
a
O
ar te
livro
das
e
do
origami
explora
figuras
criativas
diver tida
e
abre
esse
dobraduras.
interessante
A
de
a t i v id a d es
o fe re ce
s o b re
b u r a co
ainda
a
inte rd i s c i p l i n a re s
chuva
na
á c id a ,
camada
de
possibilidade
de
co m
Química.
mitos
Carlini
e
verdades
Marlatt.
São
—
uma
Paulo:
história
Ática,
2010.
diferente,
(Coleção
de
De
Bea-
olho
na
ciência).
por-
A
universo,
geométricas
Drogas:
triz
papel, em japonês). Mas, além de melhorar os movimentos
das
de
obra
té r m i c a ,
São
2008.
ar te
co n h e c i m e n to s
i nve r s ã o
re a l i z a ç ã o Origami:
os
desmatamento s,
autora
ao
na
e
obra
alguns
vens,
traba-
época
te,
leitor,
dos
como
desafiar
Geometria.
emprega
jovem
os
a
tex to
ficcional,
abordar
o
uso
compor tamentos
o
desejo
mor te.
atual
um
para
e
alunos
O
livro
pode
do
de
levanta
sensível
drogas
risco
experimentar
auxiliar
Ensino
de
de
e
adequado
legais
praticados
emoções
questões
professores,
e
ilegais
pelos
impor tantes
pais
e,
jo -
diferentes
para
e
a
especialmen-
Médio.
T emas transversais
Aprendendo
Horizonte:
O
ivro
Autêntica,
respeito,
outros.
reflexão
A
sobre
formação
dos
éticos ,
de
Márcia
o
que
humana
educadores.
é
ser
construção
uma
A
obra
papel
paz,
cidadania
sugestões
de
leituras
e
das
escolas
atividades
de
Maria
Aparecida
S.
Ática,
autora
dia
a
raciais.
ceitos
e
disso,
e
a
de
situações
abordar
como
luta
o
livro
põe
décadas
códigos
do
a
em
as
são
cotidiano,
as
da
teorias
práticas
e
o
estudos
conceito
de
que
no
das
Clima
e
meio
(Série
a
da
os
Por
revisto
e
dos
Meio
é
preser vação
diferença
e
outros
M.
meio
dades
nas
de
entre
da
que
em
um
urbanas
José
tempo
vida
—
Bueno
e
Conti.
clima?
inclusive
ocorrem
regiões,
que
ponto
positivo
estamos
atividades
preender
questões,
época
as
os
São
Como
a
da
enchentes
muitas
da
que
vezes,
A
Ática,
é
propostas,
assuntos
obra
que
aborda
vivem
história
que
as
Paulo:
o
clima
ões
de
do
Pontin.
as
livro
devastadoras
bastante
no
e
ciais
n i co,
na
abordagem
esgotá-los,
sobre
e
dos
mas,
na
seus
criado
para
temas
antes,
formação
direitos
e
objetiva,
respeito,
ques-
com
ser vir
em
sala
o
de
de
de
estimular
de
cidadãos
deveres.
A
apre -
possibilitando
um
compor tamento
Criança
e
do
no
Adolescente,
ética
profis-
a
que
de
São
Sônia
Paulo:
ficcional,
do
destino
dado
Tratam
a
a
autoras
lixo
esses
abordam
erado
Rios
da
os
pelas
resíduos
conser vação
riscos
Rosana
e
2013.
de
ainda
sérios
Muhringer,
as
acúmulo
reciclagem,
traz
M.
Ática,
e
pro
socie -
caminhos
ambiental
armazenagem
ambientais.
Há
e
do
a
lixo
sobre
a
quantidade
de
lixo
gerada
também
em
do
mundo,
destino
e
fontes
documentadas
Paulo:
p o l u i d o r a s,
os
e
e
Outro
objetivo
fundamentar
que
mente
os
Atual,
a
e
a
e
O
sobre
jovens
e
2009.
estudo
a
24
e
uma
várias
anos.
as
para
Meio
a
de
gera
tes
l i xo
e
outras
os
o
Arnal-
atual,
fó s s e i s,
que
uma
da
do
de
lixo.
gráficos
trabalho
apresenta
z
,
de
Essas
e
informações
infográficos,
com
também
Júlio
abo rdag em
natureza
vários
que
conteúdos
atividades.
José
Chiavenato.
da
na
e
contamin ação
.
Po s s i
abuso,
de
de
da
i
Tânia
à
abr i ndo
de
São
Paulo:
o
tra
exp lo ração
e
es pa
também
Alexandre
en ergia
o u tros
o
o
Alguns
do en ças
a
de
dos
da
q u es -
tema s
natureza,
atômica,
a
c ausa das
a ss un tos
com
in -
espec ialmente
devastação
saúde,
água
um
aula.
g uerra,
ita
da
human o,
versu s
danos
indú s t r i a
s er
s ala
pro gres so
atua
panorâmic a
pelo
c apitalis tas,
refle xão
são:
relevan -
pesq uisa
sug es tões
Mar tinelli.
de
lu-
pe l a
e
co n
ativida des.
São
Paulo:
Sci-
2007.
O livro trata de um tema extremamente atual: as redes de abuso
infantojuvenil
a té
sunto
os
co m
essen-
p ro ce s s o
i m p a c to s
de
tabelas,
matemáticos. Traz
de
pione,
r
agrotóxicos
época
Redes
e
desde
f a ze r
q u e s tõ e s
de
à
t
soc iedades
teúdos
que
ambiente).
época
co m b u s t í ve i s
Joel
livro
n
faz
poluição,
Um
con-
trabalho
e
possibilidades
2007.
cratividade
violentas
sobre
Scarlato
g e re n c i a m e n to
que
livro
uso
d i s c u te m
o
16
de
O
cr
abordados
pessoas
Pormeio
pensar
(Série
acúmulo
co m o
social
de
as
situações
e
faz
Capuano
os
ss
pelas
São
jovens.
co m o
m
Moderna,
com-
Pedroso.
todas
geradoras
em
opor tunidade
tionamento
violência.
relevantes
pelo
Célia
preocupa
questiona
aos
Regina
lixo,
na
cidadão).
refletem
a u to re s
a t u al i d a d e,
e co n ô m i co
Jaf
Jovem
Francisco
gerados
a
livro.
e
de
Es-
controlável
opor tunidades
de
nesse
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pla-
próximas?
organizado
diferentes
secas
especialmente
discutidas
bem
auxiliam
cidades:
que
as
são
Ivan
autores
assuntos
d i s s o,
que
de
reser vam
São
p ro b l e m a s
Al é m
e
lixo ,
aborda
fo n te s
e l e.
os
especia
sociedades
ao
foi
trabalho
Atual,
abordados.
grandes
vida
nicho
tex to
relevantes
o
influen-
humana —
interessam
texto
assunto
indispensável
Do
O
em
o
(Coleção
um
fic tícia,
atingem
livro
di
2007.
nos
vivendo,
obra
De cara com a violência ,
Paulo:
O
de
de
favorecem
didática
tex to
o
para
matemáticos. outras
Paulo:
assuntos.
Shayer.
de
oferecem
e
da
sustentabilidade.
são
sas
é
decorrentes
possíveis
par te
de
Por
arrasadoras
São
ambiente).
cia
Terra?
temas
discussão
auxiliem
sustentabilidade ,
blemas
Além
decifraram
Lixo
Michelle
re
precon-
família.
raça,
a
humano.
ambiente ,
Qual
neta
que
Estatuto
cidades
a
a
de
conscientes
informações 011.
para
a
que
Cidadania.
intenção
e
radioativo,
Alves.
nosso
relações
racismo,
como
dentro
meio
e
sobre
racistas
transmitidos
dos
comuns
cidadania
discussão
por
DNA
do
formação
surgiram
contra
estereótipos
últimas
dos
para
Explica
sistência
Falivene
2006.
par te
dia,
Júlia
São
sional A
de
propõe
atual,
panorâmico
trânsito, Paulo:
a
tolerantes
sentação
Bento.
autora
época
par tida
sem
trabalho de
a
a
questionamentos
e
em
grupo e individuais sobre cada um dos valores apresentados.
Cidadania em preto e branco ,
trabalho ,
transversal
aula,
contribuir para a
fundamental
livro,
ponto
para
e
2002.
para
tema
cidadania,
modificadora
busca
tões
iá ogo, respon
da
ferramenta
cidadão.
alunos,
ainda
Ética,
Copidar t,
Belo
Nesse
oferece
dos
Há
Fagundes.
e, cooperação,
solidariedade,
autora
Botelho
2006.
iscute va ores como amiza
sabilidade,
entre
valores
té c -
a m b i e nt a i s.
por
jovens,
mais
os
pais
e
comum
blogs,
operadas
meio
e
salas
acessados
de
um
pela
professores
que
de
pelos
internet.
tex to
pode
para
um
ocorrer
bate -papo
jovens.
Uma
A
ficcional
e
tipo
sem
redes
leitura
autora
que
de
que
introduz
faz
um
o
aler ta
crime
cada
percebamos,
sociais
são
fundamental
Guia do professor
as-
aos
vez
pois
facilmente
para
todos.
243
O p rofessor como coordenador de estudo
9.
T extos para reflexão
Vimos que o estudo da Matemática é uma atividade comunitária
sobre a educação e que a relação didática que se estabelece no interior da comunidade
Apresentamos a seguir o link k em que é possível acessar a proposta
de
estudo
é
uma
relação
aber ta.
Ao considerar o estudo como objetivo principal do processo dide
projetos
da
coordenadoria
de
Estudos
e
Normas
Pedagógicas
da
dático, é possível vencer a excessiva dependência dos protagonistas Secretaria
de
Educação
do
Estado
de
São
Paulo,
assim
como
alguns
com a instituição escolar. Nessa perspec tiva, o ensino deixa de ser o textos
que
certamente
contribuirão
para
o
aprimoramento do traba-
objetivo lho
pedagógico
e
da
prática
educativa
a
ser
desenvolvida
em
sala
último
e
começa
a
ter
um
papel
de
instrumento
de
apoio
de
para
o
estudo,
o
que
produz
uma
mudança
undamental
na
visão
aula e na escola.
dos
já
Proposta de projetos
papéis
não
os
é
mais
alunos
Essa
SÃO
PAULO
(Estado).
S ec retaria
da
Educa ção.
de “professor ” e
considerado
como
meros
mudança
de
de “aluno” .
somente
sujeitos
de
perspectiva
O
como
um
é
professor
aquele
processo
importante
de
Matemática
que
de
ensina,
nem
aprendizagem.
em
vários
sentidos.
Co orden ador ia Em primeiro lugar, a atividade matemática a ser desenvolvida ganha
de
Estudos
e
Norm as
Pe dag ógic as.
Água
hoje
e
sempre um destaque especial: já não aparece (nem para os alunos, nem para
consumo
sustentável.
São
Pau lo,
2004. o
Disponível
em:
professor)
como
dependente,
a
todo
momento,
da
vontade
do
e
seu
desenvolvimento
adquire
condições
próprias,
com
o
metodologia.asp>.
Aces s o
em:
1
mar.
16. alguma independência dos protagonistas.
Em segundo lugar, a visão estanque do professor como “aquele que
ensina” e
do
aluno
como “aquele
que
aprende
o
que
lhe
é
ensinado”
Estudar matemáticas: o elo perdido pode evoluir para uma visão na qual os papéis de professor e de aluno
entre o ensino e a aprendizagem
são definidos de maneira menos rígida. Embora continue existindo uma
assimetria entre ambos, aparecem novos pontos de contato, visto que Yves
Chevallard,
Mariana
Bosch
e
Josep
Gascón. agora a questão é realizar de maneira conjunta uma tarefa matemática.
Por to
Alegre:
Ar tmed,
2001.
p.
200-206. Em terceiro lugar, é produzida uma importante mudança no equi-
líbrio das responsabilidades atribuídas tradicionalmente tanto para o
professor
cada Ao
se
for mar
uma
comunidade
de
estudo
em
tor no
de
como
instante
para
qual
o
aluno.
será
a
O
professor
atividade
já
pontual
não
dos
tem
como
alunos
e
decidir
deixa
de
a
ser
um
considerado o único (e principal) responsável pela atitude, motivação e determinado
tipo
de
problema,
estabelece -se
uma
relação
didática
tarefa deles. A crescente responsabilidade do aluno permite também, entre
os
estudantes
e
o
coordenador
de
estudo.
Essa
relação
torna-
por
exemplo,
seu
trabalho
dar
sentido
e
legitimidade
a
uma
avaliação
externa
de
-se “aber ta” , ao mesmo tempo, para os alunos e para o professor. Por (isto
é,
uma
avaliação
não
elaborada
e
controlada
pelo
um lado, os alunos, geralmente, não poderão conhecer de antemão professor),
na
medida
em
que
o
estudo
de
uma
obra
matemática
se
o caminho que devem percorrer ao longo do estudo, nem entender torna mais objetivo e independente do critério do professor.
as razões pelas quais o professor os leva para esse ou aquele tipo de
problema,
Por
as
outro
abordando-os
lado,
dificuldades
o
com
professor
que
essa
ou
também
poderão
surgir
aquela
não
ao
será
longo
técnica
capaz
do
de
de
[...]
resolução.
prever
processo
de
todas
estudo
Em contrapar tida, as responsabilidades do professor como ma-
temático fiador do controle e guia de uma atividade genuinamente
matemática
o nem
as
reações
dos
alunos
diante
risco
da
aquelas Essa
dupla
aber tura
é
uma
tornam-se
“didatite” .
mais
Em
visíveis,
par ticular,
o
o
que
contribui
professor
para
deverá
diminuir
conhecer
delas.
carac terística
essencial
da
questões
que
definem
a “razão
de
ser ” das
obras
a
serem
relação
estudadas, assim como as possíveis maneiras concretas de gerar, sob entre
o
professor
de
Matemática
e
seus
alunos.
Dentre
as
coisas determinadas
que
um
professor
ensina
a
seus
alunos,
existem
algumas
que
condições,
as
principais
organizações
matemáticas
ele (tipos de problemas, técnicas, tecnologias e teorias) que constituem
conhece
e
outras
que
ignora
—
e
talvez
nunca
poderá
saber.
O a
professor
não
pode
prever
com
exatidão
o
que
o
aluno
fará,
obra
estudada.
matemáticos
tampouco
o
que
aprenderá.
De
fato,
toda
tentativa
de
Essa “reconstrução
ar tificial” dos
conhecimentos
nem
“fechar ”
a
Do
foi
mesmo
desenvolvida
modo,
o
aluno,
pela
teoria
das
na
qualidade
do
professor
situações
de
didáticas
estudante,
pode
se
relação didática pode chegar a bloquear ou enfraquecer o processo
considerar
de
terno na atividade matemática que realiza. Isso lhe proporciona maior
estudo,
com
paralisação
da
o
consequente
empobrecimento
e
até
mesmo
a
liberdade
aprendizagem.
menos
para
dependente
administrar
seu
próprio
ao
ter
estudo
e
um
referente
utilizar
ex-
meios
de
estudo complementares ao ensino, como são, por exemplo, os livros Dentre os fenômenos relacionados com a tendência de fechar a
de consulta, as pesquisas pessoais, os intercâmbios com os colegas etc. relação
didática,
podemos
destacar:
a
pouca
consideração
dada
ao
Quando se considera o estudo como o objetivo principal do procestrabalho
matemático
do
aluno
(que
não
costuma
ser
considerado so didático, torna-se muito mais fácil transferir para o aluno uma parte da
como um “verdadeiro” trabalho matemático); a concentração na aula responsabilidade matemática atribuída, hoje em dia, exclusivamente ao
das
atividades
matemáticas
do
aluno
e
sua
grande
dependência
do professor. Essa nova divisão de responsabilidades atribui ao professor o
professor;
o
papel
excessivo
que
se
atribui
ao
professor
dentro
do
denominamos
de
papel de “coordenador de estudo” , possibilita que os alunos reconheçam
processo
didático
e,
“irresponsabilidade
O
ensino,
como
em
última
instância,
matemática” dos
meio
do
o
que
o professor como “matemático” e diminui o risco da “didatite” .
alunos.
processo
didático,
não
deve
,
pretender
p
g
g
e contrato escolar controlar
de
maneira
absoluta
o
desenvolvimento
desse
processo.
A relação didática é uma relação “aber ta” . À medida que o ensino de
Matemática se organiza para tentar “fechar ” essa relação, provoca um
empobrecimento
244
da
aprendizagem
Guia do professor
matemática
dos
alunos.
As
mudanças
relação
sistema
didática,
didático
descritas
isto
é,
entre
no
item
da
relação
que
os
estudantes
anterior
se
e
são
mudanças
estabelece
o
dentro
coordenador
de
de
da
um
estudo
em relação às questões estudadas. Trata -se, por tanto, de mudanças
um
nas
sibilita o funcionamento de diferentes p rogramas — os contratos
cláusulas
Mas
o
que
contrato
estabelecida
contrato
conteúdo
do
os
geral
entre
contrato
e
uma
não
alunos
visível,
alunos
estudo.
como
o
didático
entre
mais
interações
aparece
regem
e
rege
e
o
o
todos
contrato
mesmo
os
professor.
professores,
Ao
par te
didático
quais
de
o
um
não
da
relação
primeiro,
pedagógico ,
as
tempo,
específica
aspec tos
Existe,
que
um
regula
dependem
contrato
contrato
as
do
pedagógico
mais
amplo,
o
co m
utador
d i d á t i co s
—
—
que
ue
seria
p e r m i te m
a
a
e s co l a
—,
re a l i z a ç ã o
no
de
s e n t id o
t a re f a s
de
ue
os-
específicas
de
estudo. Assim, por exemplo, o contrato pedagógico exige do aluno
uma confiança total no professor, nas decisões que ele toma, e um
re s p e i to
à
p ro fe s s o r
ao
aluno
sua
a u to r i d a d e.
uma
e
às
a te n ç ã o
suas
e
Ao
mesmo
te m p o,
re s p o n s a b i l i d a d e
co n d i çõ e s
de
também
especiais
exige
em
do
re l a ç ã o
t r a b a l h o.
contrato escolar, que governa essas instituições sociais par ticulares,
que
chamamos
de
escolas
,
p
g
g
,
Para situar esses diferentes contratos, é necessário par tir da no-
O professor para de escrever no quadro e se vira para os alunos, ção genérica de escola. A palavra escola vem, por intermédio do latim
irritado,
porque
eles
não
param
de
falar.
A
origem
do
burburinho
schola, da palavra grega skholé, que significa, na Grécia antiga, ócio,
pode mas
que
muito
rapidamente
passou
a
designar
todo
aquele
ser
encontrada
em
cada
um
dos
três
níveis
indicados.
tempo
Pode
ser
que
sejam
alunos
relativamente
indiferentes
à
insti-
livre que, fora do trabalho, era dedicado ao estudo. A noção de escola
tui remete,
então,
à
ideia
de
uma
instituição
na
qual,
ao
se
ão
escolar,
suas
atividades
normais
—
em
par ticular
do
trabalho
—
e
que
rigatória
rejeitam
pode
professor,
civilizados”
em
rela
ão
com
o
contrato
essa
escolar.
ser
que
porque
os
alunos
parece
rejeitem
o “estilo” pedagógico
menosprezá-los
ou
porque
não
tem
significa, em princípio, a obrigação de interromper suas
suficiente atividades
“não
escolaridade
do o
alunos
uma
Também pessoa podia se instruir mediante o estudo. A expressão
é,
distanciar
instituição de
isto
habituais
para
dedicar
esse
tempo
livre
para
se
autoridade
etc.
instruir.
Mas, talvez, o burburinho seja resposta a uma ruptura do contrato
didático por par te do professor: talvez esteja resolvendo o problema
,
g
ç
com
Quando se estabeleceu a obrigatoriedade da instrução, o objetivo
era impor um tempo de escolaridade — de “ócio estudioso” — àquelas
crianças
que
Hoje
trabalhavam
em
dia,
a
o
dia
instrução
todo
no
campo
obrigatória
ou
na
fábrica.
(entendida
de
um
em
relação
ponto
aulas
período
fissionais,
de
tempo
acompanhando
para
renovar
cursos
de
seus
conhecimentos
formação.
Para
a
maioria
pro-
dos
profissionais, a obrigação de “ir à escola” ou de “voltar à escola” parece
que
tende
a
se
estender
para
toda
a
vida
ativa
da
pessoa.
O
concreta
seria
a
uma
escola
para
os
talvez,
aja
próprios
esta
é
a
é
conhecem;
deverão
como
se
os
mais
surgir
acionado
ou
fazer
etc.
sala
de
quando,
que
si
não
mesmos
tivessem
A
frequente
em
ainda
por
alunos
desconhecem
origem
costumam
didático
não
alunos
cer tas
obser vação
dos
de
burburinhos
aula.
sob
a
coordenação
do
ara estudá-la e a apreende. A passagem do
contrato
eda-
e
aluno)
se
transforma
realmente
em
uma
relação
entre
três: o aluno, a obra a ser estudada e o professor como coordenador
de
vai
ou,
que
alunos
gógico para o contrato didático acontece quando a relação entre dois
que,
atividades “normais” ,
os
que
eles
que
contrato
o
professor, o aluno entra, verdadeiramente, em contato com uma obra
posição genérica do aluno: nesse sentido, o aluno é toda aquela pessoa
suas
que
isso;
que
mostra
(professor
É o contrato escolar r aquele que, ao definir a escola, define também a
interrompendo
a
espontâneos,
adultos, que devem cada vez mais interromper seu trabalho durante
cur to
técnica
claramente
informações
de vista mais profissional ou ético do que legal) também envolve os
um
uma
mostra
estudo.
o
se instruir; uma pessoa se transforma em aluno ao entrar na escola. Na
adequado,
realidade, pelo fato de ser aluno, pode fazer muitas coisas que não po-
tipo
deriam ser feitas em situação normal. A escola proporciona aos alunos
Se
retomarmos
programa
de
de
permite
a
metáfora
computador
realizar
anterior,
que,
tarefas
em
um
concretas
o
contrato
sistema
(embora
didático
operacional
não
qualquer
tarefa).
Vemos,
então,
que
o
co ntrato
didático
somente
pode
exis tir
um salvo-conduto para ter acesso de maneira legítima a certas obras
quando existe um contrato pedagógico e, mais do que isso, quan-
da sociedade que normalmente não lhes são acessíveis. Por exemplo,
do existe um contrato escolar. Na realidade, o contrato escolar e o
um
contrato
um
cidadão
lojista
alunos
os
do
qualquer
do
bairro
Ensino
problemas
não
sobre
pode,
sua
mais
atividade
Fundamental,
dos
sem
que
comerciantes
na
nem
menos,
comercial.
tem
de
gestão
fazer
do
Mas
um
I.V.A
entrevistar
um
grupo
trabalho
[imposto
de
sobre
sobre
o
são
didáticos
nados
valor acrescentado — em Portugal], fica automaticamente legitimado
para
realizar
esco
a, muitas crianças não po
de
Mozart,
essa
entrevista.
porque
se
Do
mesmo
modo,
sem
a
mediação
eriam nunca ter acesso à o
interessar
por
essa
obra
poderia
da
ra musica
parecer
algo
pe dagógico,
interpretados,
possívei s ,
pela
Pode
obra
a
m ediante
afetam
em
embora
ser
acontecer,
seu
conteúdo
grande
estes
par te
sejam
e
os
a
m a n eir a
tip os
de
co mo
contratos
pr inc ipalmente
d e te r m i-
estudada.
por
exemplo,
que
o
aluno
não
aceite
bem
o
contrato escolar, porque não entende bem as razões de ser da escola.
Mas, mesmo assim, pode ser também que aceite, ao mesmo tempo,
o contrato pedagógico que o aproxima desse ou daquele professor:
ilegítimo em seu meio social. A posição de aluno proporciona, talvez,
o
mais
gostado que fazem na escola. Também pode acontecer que o aluno
liberdade
sociais
e
que
culturais
é produtora de
E n t ã o,
nenhuma
de
seu
outra
meio:
posição
em
paradoxalmente,
relação
a
às
normas
obrigação
escolar
liberdade
para
te r
aluno gosta
se
envolva
contrato
a ce s s o
a
essas
ob ras,
a
es col a
p ro p o rc i o n a
a
com
o
de
com
estar
prazer
pedagógico,
professor
para
com
no
que
ter
seu
professor
contrato
faz
com
acesso
às
ou
escolar,
que
ele
obras
a
professora,
mas
não
dependa
serem
mas
aceite
de
sua
não
bem
o
relação
estudadas.
seus alunos alguns “guias” — os professores — para que desempe -
Muitos “movimentos inovadores” tentam, sobretudo, modificar o
“pedagogo” originalmen-
contrato pedagógico ou o contrato escolar, com o objetivo de tornar
te
d e s i gn av a ,
aluno
aqui
para
para
co n d u z i r
a
na
G ré c i a
e s col a
d e s i gn a r
o
aluno
às
e
o
antiga,
lhe
ser via
p ro fe s s o r
o b ra s
o
que
e s c r avo
de
co nd u z i a
p re ce p to r.
co m o
ele
que
d e ve
a
Nós
pessoa
e s t u d a r.
a
o
j ove m
utilizamos
e n c a r re g a d a
O
co n t ra t o
de
p ed a -
viáveis
determinados
de
computador
um
melhor
ainda
gramas
eficazes
gógico regula, então, os aspec tos gerais que afetam o ambiente de
Sem
estudo, isto é, os aspec tos não específicos da o bra a s er estu dada.
pedagógico
O
pedra
co nt rato
p e d a g ó gi co
se
p a re ce
co m
o
s i s te m a
o p e r a c i o n al
de
esquecer
de
e
deixa
a
o
toque
contratos
mais
em
para
a
didáticos.
potente
aber to
o
realização
ou
de
toda
a
cabe
um
problema
de
interdependência,
didático),
Mas
com
sabemos
sistema
da
construção
determinados
entre
lembrar
organização
os
que
três
o
que
tipos
níveis
contrato
dispor
operacional
de
(o
de
pro-
tarefas.
escolar,
didático
escolar.
Guia do professor
245
é
o
a
porque
Meu Professor de Matemática
fazia
tudo
de
modo
mais
simples
e
claro.
E
depois,
mesmo
que quisesse adotar um deles, isto seria incompatível com seu hábito
e outras histórias de dar todo o programa, principalmente no chamado “curso colegial” .
Elon
Lages
Lima.
Rio
de
Janeiro:
de
Sociedade
Matemática,
Um teorema: Por um ponto dado numa reta passa uma e somente
Brasileira
1991.
p.
4-6.
uma perpendicular a essa reta
D
A
ele
M atemática
um
ensinada
conjunto
chamava
de
de
por
regras
método
e
Benedito
receitas
“ou
crê
ou
de
M orais*
válidas
por
mor re”)
não
era
decreto
nem
ape -
(o
que
tampouco
NOSLIDA
[...]
nas
E
OCCES
Meu Professor de Matemática
um C
sistema
dedutivo
formal,
vazio
de
significado.
Era
qualquer
coisa
D e m o n s t ra ç ã o :
Pe l o
ponto
C
da
AB
re t a
,
tracemos
uma
bem próxima da realidade e das aplicações, porém organizada com
semirreta definições,
exemplos
e
demonstrações.
Algumas
dessas
aber tamente
para
a
experiência
intuitiva
e
cer tas
demonstrações
contidos
tinha
tas,
o
nos
também
axiomas.
grande
próximas
mérito
da
Isto
de
ao
errado:
nunca
subtraiu
dividiu
por
número
torno
ze ro
e
cer tos
estaria
Devo
não
deixar
óbvios
disposto
a
e
um
então
ponto
em
não
Para
e
a
respeito
do
maior
com
clareza,
tira
Números
espécie
Medir
de
suas
mas
concre -
eventuais
fundamentalmente
sentido,
nunca
re a l
cavalo
batalha
que
de
qualquer
chamada
de
um
núm e r o
circunferência,
vejamos
e
um
suas
inteiro
é
tem
sem
da
Se
é
exemplo
au
o
mais
grandeza
unidade.
a
Caso
racional
as,
u n i d a d e.
a
unidade,
e
a
sua
o
diâmetro
diagonal
algumas
e
a
resultado
de
de
se
maiores
nem
sobre
geralmente,
definição
o
de
compará-la
uma
como
A
a
outro
o.
medida
a
um
é
um
e
B
de
dizem-se
uma
resultados
de
de
CD
girar
seta,
CE
até
vemos
na
ficar
a
CD
semirreta
que
qual
CE
menor
os
o
dois
do
ângulo
em
D
A
é
perpendicular
DCA C .
ângulos,
torno
do
aumenta
ACE
AB
Logo,
e
ECB,
deve
são
ponto
o
C C,
enquanto
haver
iguais.
uma
Então,
. Em qualquer outra posição
ECA C , DCB, ou então DCB
qualquer caso, os dois ângulos,
não
que
é perpendicular a
, ou teremos DCA C
ECB , DCA C . Em
DCA C e DCB, são diferentes; logo
CD
AB
a
Como aluno do terceiro ano ginasial, esta demonstração me satis-
fez plenamente. Mais do que isso: além de sua elegância, nela eu via um
M ais
tarde,
ao
pros s eg u ir
os
estudos,
me
dis seram
qu e
es ta
demonstração estava erra da porque s e baseava na ideia de movi-
mento
exata-
diz-se
número
são
que
B
também
uma
e
na
hipótese
de
continuidade
da
grandeza
ângu l o,
coisa s
Exemplos:
o
de
sentido,
bancário,
se
admitir am
no
c u i d a d o s a m e n te
utilizadas
A
em
cr ítica
início
da
discutidas
teo r i a,
a n te s,
cois a s
logo
qu e
não
não
tin h am
poderiam
ser
demonstra ções.
acima
ser ia
válida
se
consideráss emos
a
G eo metr ia
como um sistema lógico - dedutivo, onde é feita uma lista completa
dos
axiomas
qual
se
dão
segundo
e
os
tal
atitude
S ecundária.
co nceito s
as
A
da
e
se
i m p e c áve i s
G e o m e t r i a” ,
não
bás ico s
def iniçõ es
p a d rõ e s
“Fundamentos
uma
dos
todas
tem
o
de
menor
demo ns tr ação
ali
n ão
defin idos,
provam
da
to das
lógica
H ilber t.
a
a
no
de
da
Co m o
nos
porém,
que
âmb ito
final ida de
par tir
a f irm a çõ es,
fo r m a l.
Acontece,
cabimento
tem
as
da
Escola
co nven cer
o
aluno por meio de argumentos precisos e claros, os quais poderão
lado
eventualmente valer-se de fatos aceitáveis (ainda que não explici-
Para
positivo
corrente
que
com
i n co m e n s u r áve i s ;
incomensuráveis.
noção
saldo
Um
co m e n s u r áve l
i n c o m e n s u r á ve l
irracional.
são
A e B dizem-se
incomensuráveis.
gra n d e z a s
também
temperatura,
é
tais
de
mesma
contida
vezes,
grandeza
grandeza
q u a d ra d o
há
(Exemplos:
A
uma
circunferência
grandezas,
negativo.
da
por definição,
sido
contagem
outra
está
de
e
recor
uma
com
grandeza
as
B, então as grandezas
medida
Quando
de
Fazendo
diminui
posição
exatamente
tecer
reta,
segun
B, um número inteiro
contrário,
é
que
intermediário), tão marcante que ainda me lembro dos seus detalhes.
AB
exemplo:
DCB.
direção
DCB
em
aluno
múltiplo de A e A é um submúltiplo de B. Se algum submúltiplo
comensuráveis.
do
novo tipo de raciocínio (que hoje reconheço como o teorema do valor
segmento
Por
menor
o
o
discutir.
seja
B está no ex terior de uma circun-
continuidade
é também submúltiplo de
com
lógico,
bases
q u ad ra d a
fazia
DCA C
ângulo
que não constavam dos axiomas, postulados e noções fundamen
ocorrem,
uma
mente, numa grandeza
é um
da
os
Números: “Número
medidas.
essa
que
o
não
círculo.
emonstração,
objetos.
que
em
mesmo
raiz
sem
argumentos
purista
claro
nada
verdadeiros
aceitar
concluía
comum
considerações
convexidade
ele
um
do
co n s i d e ro u
Simplesmente
fatos
de
Matemática
continham
ponto A está no interior e o ponto
ferência,
a
desigualdades
jamais
negativo.
de
ginásio
rigor
mão
escandalizaria
assentar
realidade.
transgressões
lançavam
que
de
na suas
modo
definições
ângulo apelavam
de
ou
elétrica,
tamente
possam
discutidos)
ser
que
provad o s
per tençam
à
r ig oros amente
exp er iênc ia
em
c urso s
in tu itiv a
ma is
e
qu e
avan çados.
I mperdoável seria utilizar-se de sofismas, raciocínios logicamente
incor retos
ou
fatos
m atematic am ente
ab surdo s.
Es tou
afi r ma n do
altitude etc.) A medida dessas grandezas é um número relativo, isto é,
aqui que considero plenamente admissível, numa demonstração,
provido de um sinal
lançar mão de resultados verdadeiros, intuitivamente óbvios, que
N a t u r a l m e n te,
de
enxurrada,
1 ou
” .
essas
mas
n o çõ e s
intercaladas
não
com
eram
a p re s e n t ad a s
exemplos
e
assim,
explicações.
O
impor tante é notar nas definições acima uma conexão entre a Mate -
são considerados evidentes pelos alunos, mesmo que não tenham
sido
mática e a realidade, uma explicação concreta da noção de número
irracional
e
uma
qualidades
de
objetivas,
Matemática
em
nossos
varridas
do
junto
com
Foram
“Matemática
lugar
a
maioria
uma
dos
o
246
presentes
da
século
entulho
que
bons
20
e
desmitificadora.
compêndios
ter
sido
de
em
pedante
declínio
copiadas
personalidade
teorema
rigor
os
e
do
inócuo
deu
e x i s te n te
na
em
e
absolutamente
do
Assim,
estava
é
utilizarmos
pontos
a
De
re s to,
s eus
plano
errada
está,
se
a
está,
luz
não
e,
como
afinal
que
do
correto
coordenadas
é
assim
trab a l h os
de
pediu
acima
contas,
ao
e
fácil
de
car tesianas
números
demonstração
motorista,
veja
atuais.
ito
se
também
acentuado,
l o g i c a m e n te.
profis s io nais
de
que
f a ze m
os
p es quis a .
No exemplo em questão, o argumento usado para demonstrar
o
erra damente
compêndios
formalismo
hoje,
Essas
franceses
sensatamente
aqueles
pelo
indefinição
e
p a re c e m
que
substituídas
penosa
tex tos
do
direta
nos
época,
moderna”
A propósito, Bene
existentes.
honesta,
começo
m e l h o re s
continham.
da
atitude
esmiuçados
matemáticos
está
se
com
todo
o
interpretarmos
complexos.
para
está
mim
cer ta.
amigo: “Ponha
pisca-pisca
justificar
ou
estava
(Como
a
cabeça
acendendo” .
cer ta,
aquela
fora
depois
história
da
janela
Resposta: “Está,
não
está... ”)
[...]
e Morais nunca a
Recomendava-os,
Guia do professor
mas
não
os
otou nen
seguia.
Em
um
os textos
primeiro
lugar,
(*) Benedito de Morais: ex-professor de Matemática do autor, lecionou
em
Maceió.
Par te específica
3.
©
⎫
I. Atividades extras
2 x
⎬
V x
©
q
0,628
360° ⎭
O pêndulo descreve um arco de aproximadamente 0,628 m.
Ciclo trigonométrico – 4.
A
medida
do
menor
ângulo
formado
a
12
1
11
volta
pelos
ponteiros
é
igual
a
90°
1
a 2
10
Exercícios
60
3 0© ⎫
—
3
⎬ 40 1.
Deter mine
a
medida
do
raio
de
uma
circunferência
min
α
–—
8
⎭
cujo
4 a 5
comprimento
2.
Calcule,
em
é
6
m.
grau,
90
a
medida
de
5
um
arco
O
de:
a
5
menor
90°
20°
ângulo
5
70°
for mado
pelos
ponteiros
mede
70°.
3
a)
b)
rad
3
5.
a)
eixo
y
x
5 4 4 2
3.
O
pêndulo
de
60°,
e
de
sua
um
relógio
de
extremidade
comprimento
desse
parede
percorre
arco,
descreve
um
sabendo
arco
que
um
o
.
ângulo
5
eixo
Calculeo
pêndulo
5
5
5
y
tem
4
5
5
x
0,60m
de
comprimento. π
9π
origem: 5 4.
Quanto
mede
o
menor
ângulo
for mado
pelos
5
ponteiros
de
um
relógio
às
5
h
40
5
min?
y b) 5.
Em
relação
aos
eixos
x
e
y
e
em
relação
à
origem
O,
eixo
x :
en360°
contre
os
arcos
simétricos
dos
arcos
de
320°
5
40°
medida: eixo
y
4 a)
r
b)
320°
(360°
320°)
1
180°
5
220°
x or
Coloque
em
ordem
decrescente
os
valores
em :
de 1
5
3
, 3
4
5
14
220°
320°
e
,
sen
6
2
3
5 5
5
tg
6.
Como
sen
5
co
3
2
sen
2
3
5
2
4
2
6 7.
Calcule
o
valor
da
expressão 7
e
sen
1 ,
então:
sen
sen 8.
Classifique
a)
sen
b)
cos
c)
tg
em
150°
verdadeiras
sen
90°
1
ou
sen
falsas
as
expressões.
sen
2
4
5 (90°
1
60°)
5
cos
90°
1
cos
60°
5
tg
120°
1
tg
3
5
tg
1
cos
4 240°
6
60°
6
2
7.
120°
5
5
7
3
1
sen 6
3 9.
Sendo
cos
5
e
um
arco
do
QIV,
2
deter mine:
5 a)
sen
a
b)
t
a
8.
a)
Falsa,
sen 10.
Calcule
o
valor
de
y
tal
que
y
5
cos
x
1
sen
x,
pois:
150°
5
sen
90°
1
sen
60°
sabendo 3
1 o
que
tg
x
1
e
que
o
arco
x
pertence
ao
2
quadrante. 2
11.
Resolva
as
equações,
com
x
Ñ
[0,
2π].
b)
π
⎛ a)
2
sen
x
1
3
5
0
b)
3
tg
x
2 6
pois:
cos
(90°
cos
150°
1
60°)
5
cos
90°
1
cos
60°
cos
60°
⎞
2
⎝
2
Falsa,
3
5
0
⎠
5
cos
90°
1
1 1
Resoluções
2
1.
2
c
2
O
2.
a)
raio
Verdadeira,
pois:
V
mede
0,5
180°
tg
240°
tg
240°
tg
(180°
tg
240°
1
60°)
m.
π
rad
⎫
180 ⎬
5
V
rad
x
5
V
x
5
300°
5
x
3 a)
cos
a
a
5
5
sen
300°.
QIV
16
1 25
3
25
4 b)
180°
π
rad
Como
V
rad
5
3 5
a
5
2 5
V
x
108°
3
5 b)
tg
a
5
4 5
3 rad
5
sen
4 x
5
Então,
temos
⎭
5
QIV,
:SEÕÇARTSULI
⎬
3
Ñ
⎫
180
x
a
NOSLIDA
rad
Ñ
9
2
OCCES
9.
⎭
3
Então,
5
2 3
108°. 5
Guia do professor
10.
y
5
cos
x
1
sen
x ;
tg
x
5
21;
x
Ñ QII
x
sen
x
fun
ão
,
tal
que
f (x )
5
cos
⎞
x
tg
21
5
2
,
construa
o
x f
x
2
sen
x
1
cos
x
5
2
(
a
2 5
cos
Dada
x
x
2
π
⎛ 9.
sen
cos
1
2
x )
1
2
cos
x
5
1
V
2
x
5
1
V
10.
1
2
cos
cos
x
Identifique
o
quadrante
e
calcule
o
valor
da
tg
de:
5 2
2 0π b)
a)
1.230©
2 Como
x
Ñ
QII,
temos
cos
x
5
3
2 2
x 11.
2 Então,
sen
x
5
2cos
x
5
.
Dados
x
x
2
x
=
2
, faça o que se 2
2
Portanto:
2
pede.
2 y
5
y 2
5
g
0
em
um
mesmo
plano
2 cartesiano.
11.
a)
2
sen
x
b)
1
Analisando
de
3 sen
x
5
em
os
que
gráficos
f (x )
=
do
item
a,
deter mine
os
valores
g(x ).
2
3 Os
x,
arcos
cujo
seno
4
é
5
medem
ou
.
Resoluções
2
Então: 9π
2 5π 4
sen
x
5
sen
sen
x
5
sen
1.
4
a)
r ad
S
5
não
são
4
©
=
Portanto,
⎫
5
⎨
ra
3
arcos
8
são
arcos
c
ngruos.
©
côngruos.
π
π
b)
π
7π r ad
=
1
z
r ad
ra
6
6
6
3
⎞
Portanto,
5 6
são
arcos
côngruos.
3 3 0π
1 2π r ad
d) 3 arcos
cuja
r ad 8
225
3 1π
⎭ c)
Os
i
8
⎬ 3
⎩
⎛
5π
z
r ad
5
b)
⎧
9π
1 8
Portanto, 5
Portanto,
=
8
tangente
3
=
z
r ad
i
r ad
7
medem
é
5
ou 6
5
6 Portanto,
não
são
arcos
côngruos.
Assim:
x
x
1 3π
5 2. 6
π
π 2
=
a)
z
3
π 7
8
x
4
x
Portanto,
a
expressão
geral
é
π
Ñ
5 6 3
b)
Portanto,
S
⎨ ⎩
785©
⎬ 3
3
=
Logo,
65©
a
1
2
360©
expressão
z
geral
65©
é
65©
1
k
360©
k
Ñ
Z
⎭
3.
f (x )
=
2
1
sen
x
Funções trigonométricas
π
3π
0
x
π
2π
2
2
Exercícios sen
1.
Verifique
quais
dos
pares
de
arcos
a
seguir
são
2
5
0
1
côngruos. 1
sen
x
7
a)
r ad
c)
r ad y
8
6
8
6
12 b)
225©
e
2.025©
30 ra
d)
e
3
r ad
D(
f
)
=
R
f 2 2.
Represente
a
expressão
geral
dos
arcos
de
Im(
medida:
1 3π
f
)
=
Período b)
a)
785©
[1,
=
3]
2π
1
6 Amplitude
3.
Dada
a
função
,
tal
que
(x )
=
2
1
sen
x x,
construa
o
π e
4.
determine
Deter mine
o
domínio,
os
valores
a
imagem,
reais
de
o
a
período
para
que
e
a
=
1
gráfico x
π
amplitude.
exista
x
Ñ
R 1
a ta
que
sen
x
1
4.
1
=
3 3
5.
Identifique
o
quadrante
e
calcule
o
valor
do
seno
I.
de:
1
<
V
2
5
a
2 3π
1 b)
a)
4.455©
II
6
1 6.
Sendo
x
=
Portanto, 8
cos
x ,
construa
o
gráfico
de
f
e
a
<
deter
com
a
Ñ
R
5
2
23 5.
2
a)
QI
6
Deter mine
os
valores
de
a,
de
modo
que
exista
x
Ñ
R,
2 3π
⎞
sen
2a
⎛ =
⎝
x
π
1
⎞
sen
⎠
= ⎝
⎠
DA
cos
6
tal ⎛
5 que
6
NOSL
7.
OCCES
f
2
b) 8.
Identifique
o
quadrante
e
calcule
o
valor
do
cosseno
4.455©
=
12
360©
1
135©
a)
248
135©
2 b)
4
z
de:
1 5π 2.010°
s e n 1 3 5©
= 2
Guia do professor
QII
:OÃÇARTSUL
3
1 6.
11.
(
cos
a)
x
0
π
2π
3π
4π
2
x π
π
π
0
x
2π
2
3π
0
π
π
2π
2
2
2
2
x cos
1
x
0
0
1
2
1
sen
0
0
2
2
0
0
2
2
1
1
1
cos
x
1
0
x
0 2
2
2
2
2
cos
2
0
2
y y
1 g
2
f 2 π
1 0
1
2
π
3π
2
2
x
2π
0
–1
π
2π
3π
x
4π
–1 f
D(
f
)
R
Período
⎡ Im(
f
)
=
1
1
⎤
2
2
⎦
=
2π
1 Amplitude
2
= π
⎣
2
b)
=
π
k
2
2a
5 7.
1 3
2a
5
Complementos de
I.
V
2
<
a
2
4
V
3
T rigonometria 5
2a
II.
1
2
<
2
Exercícios
Portanto,
1
<
a
<
4,
a
Ñ
R 3 1.
Um
triângulo
equilátero
de
lado
medindo
cm
está
4 π
1 5π 8.
a)
2
π
1
z
Ñ
QIV inscrito
15
2
7
raio
da
em
uma
circunferência
de
raio
r.
Deter mine
o
circunferência.
= 4
4
2
2. b)
2.010©
=
26
360©
1
150©
z
150©
Ñ
Em um trapézio isósceles
MNPQ, a base maior mede 32 cm,
QII
o
lado
não
paralelo
mede
20
cm,
e
o
ângulo
entre
eles
3 cos
=
2
mede60°.
Calcule
a
medida
das
diagonais
desse
trapézio.
2
5
9. π
π
3.
3π
0
x
Sendo
x
,
calcule: 2
2
a) π
π
x 1
3π
sen
π 2
2
cossec
x
b)
cotg
x
c)
sec
x
3π
0
π
π
2
tg 4.
Simplifique
a
expressão
y
5
π
x
x
0
0
á
x
0
á
2
5.
D(
f
)
=
{x
Ñ
R
x
i
π
k
Ñ
Calcule
sec Im(
f
)
=
Período
o
valor
de
y
5
sen
x
1
4
cos
x,
sabendo
que
R
x
5
e
R
que
x
Ñ
QI.
4
=
π
6.
Sabendo
que
cotg
x
5
a
1
2
e
que
cossec
x
5
8a
1
2,
4
7.
2
deter mine
o(s)
Determine
o
em
8. π
0
π
π
3π
2
valor(es)
con
unto
de
a
solução
da
equação
2
cos
x
1
1
=
0
R
Calcule
o
valor
de
x,
0
<
x
<
2
,
tal
que:
x
2π
3
2
=
0
–2
9.
Prove
a)
f
que:
sec
(π
2
f
⎛ b)
x )
=
2sec
x
π
cossec
= sec
x
10.
4π 8π
a)
4π
1
z
Ñ
III c)
3
3
2 0π
⎞
⎛
4π
3
⎠
d)
⎞
= ⎝
3
3
360©
1
cotg
150©
z
150©
Ñ
=
©
=
tg
x
(2π
x )
=
2cotg
x
Calcule
z
⎛ a)
2 3
o
valor
de:
QII
3 ©
x )
π
⎛
⎞ b)
sen 12
5π
⎞
⎛ c)
cos ⎝
12
⎠
7π
⎞
tg 12
Guia do professor
249
:SEÕÇARTSULI
1.230©
1
⎠
10. b)
(π
3
= ⎝
tg
3
NOSLIDA
⎛
OCCES
2 2 0π
cos
x
co
1.
Aplicando
a
π
⎧
Resoluções
lei
dos
5
π
x
V
x
5
ou
⎨ 3
senos: cos
x
5
x
5
cm 2
⎩ 4
3 4
3 2r
V
r
5
0
cos
x
r
0,25
2 60°
s e n 6 0©
π
⎧ cos
π
5
x
5
x
ou
Logo, o raio da circunferência
V é
0,25
⎨ 11
cm. 5
cos x
2
2.
2
x
5
5
x 6
⎩
6
2
32
1
20
2
32
20
cos
60© No
intervalo
[0,
2π],
x
ou
vale
.
2
x
5
1.024
1
400
x
640 cm
x
5
28 9.
a)
sec
(π
2
x )
sec
x
60° Logo,
as
diagonais
medem
28
cm. 1 32
cm
1
x ) 5
5
5
x
5 3.
x
e
,
1
1 5
1
1
2
5
0
1
cos
x
3π
sen
a)
cos
2 sec
x
x
13
x
=
2
5
Portanto,
5
sec
(π
2
)
=
2
13
1
3π
2
x
b)
=
π
1
,
x
,
,
b)
temos:
2
2
π
⎛
⎞
sen
x
12 Então:
12 π
⎛ cos cot g
Portanto,
x
13
=
c o ss e c
sec
12 2
x x
sen
5
5
c)
tg
(π
x )
=
tg
x .
Usando
tg
(a
),
temos:
13
1 c)
sec
1 =
cos
x
2
x
0
1
tg
x
5
5 12
12
1
13
x
1
tg
x
1
x
0
13
Portanto,
tg 4.
y
tg
(π
1
x )
=
tg
x
sen 1
5 d) sec
x
1
) 5
2
=
5
x tg
2
tg
y
x
1
=
1
5
x
x
5
2
sen
x
0
y
y cos
x
Portanto,
x
cos
x
x
5
16
2
cos
x
1
V
sen
x
a)
sen
2
x
x )
=
2cotg
4
⎛
⎞
x
π
π
3
4
⎛
⎞
⎞
5
5 12
3
1
π
⎛ 10.
1
(2π
5
x
sec
2
x
cotg
4
x
cos
2
sen
x
tg
1
cos
2 c o tg
x
x
1 sec
5 tg
x
5.
tg
x
sen
1 x
cos
x
2
12
5
12
⎠
6 5
25
4
4
3 omo
x
Ñ
I,
x
sen
5 5
4 y
5
sen
x
1
4
cos
x
3
19
V
2
que
cotg
x
a
1
2
e
2
2
5
2
Sabemos
1 5
2
6.
2
=
cossec
x
5
8
1
2.
b)
π
⎛
co
4
2
5
⎝
1
1
cotg
x
5
cossec
2
(a
2
2)
5
8a
1
π
⎞
cos
⎠
⎝
⎠
x
1
π
⎛
⎞ 1
cos
2
V 1 1
a
1
4a
1
4
5
8a
1
2
cos
V
5
2
V
4a
a
1
3
5
0
V
a
5
3
ou
a
5
1
3
2
2
7.
2
cos
x
1
1
=
1
2
2
4
0
1 1
2
2
cos
=
2
⎛ V
c)
2
⎛
⎞
π
⎛
2π
⎧ co
x
=
⎞
tg
2
⎠
2π V
π
u 3
3
3 1
tg
V OCCES
⎨
3
6
4π co
x
=
4π
5
V
5
5
π
3
⎩
3
tg
3
1
NOSLIDA
⎫ ⎨
x
Ñ
ou
R
k
Ñ
Z⎬ ⎞
⎛ 3
⎭
:SEÕÇARTSUL
=
8
5
3
5
,
com
0
<
x
<
1
3
1
3
⎝
3
3
π
3 5
5 3
6
250
Guia do professor
5
= 6
2
⎠
D
Super fícies poligonais,
5.
A
área
do
losango
é
dada
por
A
d
5 2
círculo e áreas 130
mm
Exercícios
d
1.
Observe
ou
não.
os
polígonos
Justifique
abaixo
sua
e
verifique
se
são
regulares
resposta.
a)
c
b)
c
240
c
mm
a Pelo a
teorema
de
Pitágoras,
temos:
a
2
⎛
240
⎞
2
5
130
120 4
a
a
a
2
c
2
d
c
4
2.500
Assim,
c
V
d
10.000
V
d
100
temos:
A
2.
Deter mine
o
raio
da
circunferência
circunscrita
a
um 2
Logo, triângulo
equilátero
de
lado
medindo
5
a
área
do
losango
é
12.000
B
3.
Deter mine
triângulo
a
razão
entre
equilátero
e
as
de
medidas
um
dos
apótemas
hexágono
regular
de
um
6.
A
área
é
dada
por
A
mesma
circun
ou
120
cm
.
b
h
5
inscritos 4
na
mm
dm.
cm
3
cm
rência.
30°
4.
Deter mine
medem
5
a
área
cm
e
2
do
cm,
triângulo
entre
os
que
quais
tem
se
dois
for ma
lados
um
h
que
ângulo 7
que
mede
Cálculo 5.
O
lado
de
um
losango
mede
130
mm.
Calcule
sua
da
altura:
área, cateto a
sabendo
cm
30©
que
a
medida
de
sua
diagonal
maior
é
oposto
30
a
5
tg
240mm.
cateto a
adjacente
30
a
3 Deter mine
a
área
do
trapézio
representado
abaixo.
tg
30
h 4
3
3
5
4
3
cm 20
1 A
30°
3
5 2
3
3
20 L ogo,
a
á rea
do
t r apé z io
3
2
é
cm 3
7. 7
Usando
a
gulares,
c 7.
Quanto
mede
a
super fície
fór mula
hexagonal
cujo
lado
área
de
super fícies
poligonais
re-
do
tampo
de
uma
mesa
de
p
temos:
6
40
mede
40
6 = 120
V 2
for ma
da
cm
2
cm? c
40
3 a
3
5
5
20
3
2 8.
Para
a
apresentação
de
uma
peça
de
teatro
no
colégio,
Área foi
montado
um
palco
no
for mato
de
um
5
a
A
5
5
400
3
semicírculo.
2
Deter mine
diâmetro
a
do
área
ocupada
semicírculo
pelo
mede
palco,
10
m.
sabendo
(Use
π
que
o
400
3,14) 2
π 8.
A
área
do
palco
é
dada
8
r
por: 2
Resoluções
D 5
10
V
5
5
2
1.
O
polígono
do
item
b
é
regular,
pois
todos
os
lados
são
A
con
ruentes
e
todos
os
ân
ulos
inter nos
são
con
r
5
5
ruentes.
2
2
2
Logo,
2.
c
3
r
a
área
ocupada
pelo
palco
é
39,25
m
5 3
L ogo,
o
ra io
Introdução à
d m.
é 3
Geometria espacial r
2
a
Exercícios
1
3
3.
Razão:
5 a 6
r
3
3
3
1.
2
A
ár ea
de
c A
um
triângulo
medidas
sen
a
e
c
e
q u a l q u e r,
ângulo
b
sendo
for mado
b
passam
por
um
b)
Quantas
retas
passam
por
dois
único
ponto?
pontos
distintos?
dois
eles,
é
2.
Classifique
cada
Justifique
uma
sua
das
proposições
em
verdadeira
ou
resposta.
Então:
2
5
A
1 8
2
2
a)
Existem
b)
Por
c
Um
d)
T rês
uma
infinitas
reta
retas
passa
distintas
um
único
no
es
aço.
plano.
5 2
plano
contém
infinitos
pontos.
2
Portanto,
a
área
do
triângulo
é
2,5
cm
pontos
não
colineares
são
sempre
coplanares.
Guia do professor
251
:SEÕÇARTSULI
2
sen
por
retas
falsa. .
5
dados
questões.
Quantas
NOSLIDA
lados
de
às
a)
OCCES
4.
Responda
Classifique
oufalsa.
cada
uma
Justifique
das
sua
afir mações
em
ver dadeira
5.
resposta.
a)
Duas
retas
reversas
b)
Duas
retas
concorrentes
são
c)
Duas
retas
para
Com
base
borar
o
nas
infor mações
esquema
do
e
}
5
cidentes
4.
Dados
dois
{
},
ou
e
as,
não
então
coinci
são
possível
ela-
coplanares.
30
d)
é
W
coplanares.
são
enunciado,
abaixo.
entes,
retas
são
reversas.
paralelas
não
24
cm
cm
coin-
reversas.
planos
distintos,
e
b,
paralelos
entre
si,
W’
que
são
intercepta
que
ser
as
os
por
intersecções
feito
em
um
são
terceiro
ano,
paralelas.
Este
ß
emonstre
exercício
pode
Representando
dupla.
2
2
5
30 5.
ò
de
e
uma
que
sua
medida
do
raio
da
circunferência
por
r ,
projeção
circunferência
ortogonal
contida
W
nesse
sobre
lano,
ò
se
é
a
o
2
24
1
2
r
V
r
2
5
900
576
V
r
5
324
V
r
5
18
é Logo,
24cm
a
temos:
o
raio
da
circunferência
mede
18
cm.
centro
distância
6.
W
O
a
esquema
ao
lado
P
representa
situação. b
é
o
raio
dessa
circunferência?
C
6.
P
ao
diedro,
faces
do
pelas
traçamos
diedro.
duas
Qual
é
a
semirretas
medida
do
perpendiculares
ângulo
às
deter minado
semirretas?
65°
Resoluções
1.
a)
infinitas
2.
a)
verdadeira
b)
uma
única
reta
Considerando Dado
um
plano
a,
pelo
postulado
P3
existe
um
É
a.
Pelo
postulado
P2,
o
plano
a
tem
infinitos
1
65°
sejam
Ñ
Q
a
e
Q
Ñ
a
tais
que
Q
i
Q
2
1
É
a
temos
.
as
P
i
Q
retas
e
P
i
e
PQ
Q
PQ
.
Logo,
.
Por
pelo
Q
e
Q
não
são
os
há
V
a
A
5
B
mede
65°,
temos:
25°
os
ângulos
colinares;
logo,
C
OBA
mede
e
25°.
PBC
são
opostos
pelo
vértice,
o
Assim:
1
90°
PQ
i
PQ
.
1
25°
5
180°
b
5
65°
ponLogo,
2
modo,
ângulo
postuladoP4,
construção,
2
tosP
o
180°
Como
b
existem
5
2
ângulo P
90°
pontos. Como
Assim,
que
pontoP a
P
O
A
o
ângulo
B BPC
for mado
pelas
semirretas
mede
65°.
Desse
2
infinitas
retas
distintas
PQ
no
espaço.
n
b
falsa
Pelo
Poliedros
postulado
planos
sam
P8,
distintos
pelo
é
menos
sabemos
uma
dois
que
reta.
planos
a
intersecção
Logo,
por
uma
de
reta
dois
pas-
Exercícios
distintos.
1. c
Quantas
sabendo Pelo
de
postulado
infinitos
P2,
toda
reta
e
todo
plano
são
que
poliedro
de
convexo
vértices
é
de
igual
20
ao
de
arestas,
faces?
Calcule
o
número
de
vértices
de
um
poliedro
convexo
que
verdadeira
Pelo
postulado
minam
um
P6,
único
três
pontos
plano;
logo,
não
são
colineares
sempre
seis
faces
quadrangulares
e
10
faces
triangulares.
deter -
coplanares.
3.
Represente
uma
planificação a)
um
número
pontos.
tem
3.
tem
o
conjunto
2.
d)
faces
verdadeira
do
possível
sólido
ao
falsa
lado. Pela
um
não
b)
definição,
mesmo
são
duas
que
retas
as
são
reversas,
contenha.
Logo,
não
retas
existe
reversas
coplanares.
verdadeira
Pelo
teorema
deter minado
c)
se
plano
3,
se
ponto,
duas
elas
retas
são
concorrentes
deter minam
um
único
em
4.
soma
face
falsa
Pelo
A
teorema
2,
duas
retas
paralelas,
não
apenas
um
plano.
Como
e
da
a
medidas
medida
diagonal
retas
são
coplanares,
então
duas
retas
arestas
cada
desse
de
aresta,
um
da
cubo
é
108cm.
diagonal
de
uma
cubo.
Considere
o
paralelepípedo 83
reversas
reto-retângulo não
das
de
coincidentes, 5.
deter minam
das
Encontre
plano.
paralelas
ao
lado.
cm
Sa-
não c bendo
coincidentes
não
são
3 d)
v
r
par
rente,
e
de
a
reversas
OCCES
4.
retas
enas
não
pode
as
têm
ser
retas
paralelo,
aralelas
nenhum
ponto
reverso
não
em
ou
NOSLIDA
reta
s
Desse
:SEÕÇARTSULI
temos
r
elas
252
cm,
e
coincidentes
e
em
as
aos
comum.
6.
b
são
contida
modo,
r
interceptados
em
e
a
s
}
são
ß
e
pelo
uma
plano
reta
r
,
existe
contida
a
e
a?b,
s
s
}
r
são
são
temos
5
{
mede
eter mine
em
uma
b
}
ß
b
{
};
logo,
como
s
y
a
e
r
y
b
c
as
me
indicadas,
i-
tendo
que
são
a
proporcionais
b
números3,5e7.
Deter mine
a
embalagem
área
de
ralelepípedo
7.
}.
e
paralelas.
Guia do professor
e
total
leite
e
o
volume,
longa-vida
reto-retângulo
de
cuja
em
for ma
arestas
litro,
de
lembra
medindo
uma
um
pa-
0,95dm,
coplanares.
a
coplanares
retas
b
vista
0,65
Como
diagonal
concor -
Justificativa:
sua
ir
das Um
que
reversas.
não
têm
ponto
comum,
então
dm
e
1,7
Deter mine
gonal
e
a
área
regular
altura
15
dm.
total
cujas
cm.
e
o
volume
dimensões
são:
de
um
aresta
prisma
da
hexa
base
8
cm
8.
Encontre
o
volume
de
um
prisma
de
18
m
de
aresta
2
late-
7. ral
e
cuja
medindo
base
8
m,
é
um
base
trapézio
maior
isósceles
medindo
14
com
m
e
base
altura
A
de
4
5
6
8
5
720
15
1
2
total
menor
4
m. A
1 192
3
V
A
total
9.
Considere
uma
pirâmide
de
base
quadrada.
Calcule
5
48
1
total
a 2
medida
do
apótema
da
base
e
do
apótema
da
pirâmide,
V
15
V
V
5 1
44
3
4 sabendo
que
a
aresta
da
base
e
a
altura
da
pirâmide
2
Logo,
medem,
respectivamente,
12
cm
e
8
a
área
total
do
prisma
é
1
48
cm
e
o
cm.
3
volume 10.
Seja
uma
base
pirâmide
igual
a 12
3
regular
cm
.
de
base
Calcule
o
triangular
volume
com
dessa
área
é
1
440
cm
3
da
irâmide, 4 8.
A
cm.
V
5
A
base
5
44
base
2
11.
Calcule
a
área
da
base
de
uma
pirâmide
cuja
altura
V
é
5
44
18
V
V
5
792
3
3
10dm
12.
e
cujo
volume
é
120
Logo,
dm
Em um tetraedro regular de aresta igual a 12 cm. Determine:
a)
sua
altura.
b)
sua
área
c)
seu
9.
o
volume
do
Representando
o
prisma
é
792
m
apótema
da
base
por
m
apótema
da
pirâmide
12
volume.
6
m 2
total.
Representando
o
por
g
2
13.
A
área
da
secção
base
de
paralela
à
uma
base,
pirâmide
é
igual
exatamente
a
6
a
900
cm
do
dm
.
2
Uma
vértice,
g
2
5
2
8
1
6
V
g
5
10
tem Logo,
o
apótema
da
base
e
o
apótema
da
pirâmide
medem,
2
área
igua
a
81
cm
.
Ca
cu
e
a
a
tura
a
pirâmi
e. respectivamente,
Resoluções
6
cm
10.
e
10
cm.
V 3
3
1.
V
1
F
F
1
F
2
5
A;
2
V
20
5
V
cm
F
2F
22
V
F
11 10 base
Logo,
o
poliedro
tem
11
11.
faces.
V
V
V
A
5
36
base
2
Então, 2.
A
a
área
da
base
da
pirâmide
é
36
dm
27
2
1
16
5
Portanto,
o
7
V
5
poliedro
12.
13
tem
13
a)
Observando
a
deter minar
vértices.
figura,
o
vamos
valor
de
g
e
12
depois
3.
resposta
possível:
de
2
2
12
cm
h
2
6
g
g
g
5 h
Assim:
3
Então,
h
6
cm
12
6
A
altura
cm
5
do
tetraedro
cm
mede
cm
b)
Como
o
tetraedro
equiláteros
4.
Como
um
cubo
é
um
hexaedro,
ele
tem
12
arestas.
é
regular,
congruentes.
suas
faces
são
triângulos
Assim:
Logo: 2
12 12a
5
108
V
a
5
A
9
3
4
5
144
3
to
4
Calculando
a
diagonal
da
face
e
a
diagonal
do
cubo,
2
Logo,
obtemos,
d
respectivamente:
a
área
total
é
144
3
cm
3 2
Portanto,
cm
cada
e
a
aresta
do
cubo
mede
9
cm,
mede
a
diagonal
da
face
mede
c)
cm.
V
5
5
144
2
3
3
2
5.
b
b
a
Portanto,
2
a
c
3
83
c
a
a
c
7a e
13.
c
o
Considerando
em
(I),
144
2
cm
H
a
altura
da
pirâmide,
temos:
2
81 (II)
é
(II) 3
3
Substituindo
volume
I)
⎛
⎞ H
obtemos:
20
H
2
⎛
2
⎞
3
2
V
1
Assim,
Logo,
⎠
3
3
2
9a a
15
⎛ 5
⎞
⎝
⎠
Logo,
25a a
b
as
cm
e
5
2
1
tem
20
cm
de
altura.
15
e
c
5
medidas
21
5
6.723
V
83a a
5
6.723
V
a
5
9
21.
a
b
e
c
são,
respectivamente,
9
2
Exercícios
cm.
(0,95
Corpos redondos
cm,
0,65
1
0,95
1,7
1
0,65
Represente
a
planificação
de
um
cilindro
reto
de
4
cm
de
1,7)
altura A
e
base
com
3
cm
de
diâmetro.
Em
seguida,
calcule:
6,675 total
5
0,9
Assim,
0,6
a
área
1,7
total
5
da
super fície
do
paralelepípedo
2
-retângulo
é
6,675
dm
a)
a
área
da
b)
a
área
lateral.
base.
c)
a
d)
a
área
da
secção
meridiana.
1,0497 área
total.
reto-
3
,
e
o
volume,
1,04975
dm
2.
A
altura
de
um
cilindro
equilátero
é
20
cm.
Calcule
a
área
3
Como
1
dm
=
c,
o
volume,
em
litro,
é
1,04975
c
da
super fície
desse
cilindro.
Guia do professor
253
:SEÕÇARTSUL
V
NOSLIDA
total
OCCES
5
A
pirâmide
2
49a a
1. 6.
a
747 ⎝
Sabendo
secção
o
raio
que
a
diagonal
meridiana
da
base
de
do
do
um
quadrilátero
cilindro
cilindro
é
6
reto
cm,
que
representa
mede
20
deter mine
a
cm
e
a
3.
que
altura
e
Se
A
o
raio
é
desse
cm,
da
então
cilindro.
2
o
teorema
2
5
2
12
1
Em
de
um
cone
de
revolução
comprimento
17
m,
com
15
m
de
altura
e
diâmetro
é
meridiana
12
cm.
mede
V
geratriz
5
5
Pitágoras,
20
cm;
então,
temos:
V
h
5
400
144
V
h
5
16
2
πr
h
Portanto,
calcule:
de
2
h
2
4.
o
secção
o aplicando
volume
6
diagonal
o
V
π
8
6
cilindro
16
tem
5
16
576π
cm
de
altura
e
volume
igual
3
a)
b)
r
a
i
c)
área
da
base.
r
d)
a
r
área
a
A
altura
de
um
cone
circular
reto
é
24
cm.
Calcule
o
a)
Aplicando
base
e
o
comprimento
da
geratriz,
sabendo
que
a
2
é
e
o
volume
é
800π
15
as
áreas
lateral
e
1
temos:
r
cm 2
que
Pitágoras
2
5
17
2
r
Sabendo
de
destacado,
área
3
360π
teorema
triângulo
2
total
o
raio no
da
cm
total.
4.
5.
576π
total
de
um
cone
2
17
15
2
circular r
5
289
5
64
225 17
2
reto
são,
respectivamente,
135π
m
216π
m
,
deter mine
2
r
o
volume
desse
V
r
5
8
cone. Assim,
o
raio
é
8
m.
2
7.
Sejam
um
m
2
e
cone
e
um
cilindro
cujas
bases
são
b)
congruen-
A
5
2
πr
5
π
8
8
5
64π
base
2
tes.
Sabendo
cilindro
é
que
13
o
dm,
raio
da
base
deter mine
a
é
5
dm
altura
do
e
a
altura
cone
para
do
Logo,
que
c)
A
a
área
5
πrg
da
5
base
π
8
8
é
64π
17
5
m
1
π
lateral
os
dois
sólidos
tenham
o
mesmo
volume.
2
Então,
8.
Considere
bases
AB
o
e
trapézio
CD
ABCD
medem,
A
respectivamente,
D,
7
dm
no
e
qual
d)
as
13dm,
A
a
área
5
A
5
64π
total
e
lateral
1
136π
m
A
base
A
é
lateral
1
136π
5
200π
total
o
lado
oblíquo
volume
relação
do
ao
BQ Q
mede
sólido
lado
10
obtido
dm.
pela
Deter mine
rotação
a
área
desse
2
totaleo
trapézio
Portanto,
5.
h
5
área
de
um
círculo
máximo
de
uma
esfera
é
100π
total
24
cm
5
πr (r
a
área
da
super fície
e
o
volume
dessa
esfera.
V
1
5
g )
V
πr (r
Considere
Sobre
de
uma
essa
60©.
su
er fície
super fície
Calcule
a
foi
área
esférica
de
área
deter minado
desse
um
144π
fuso
A
área
da
super fície
a)
o
diâmetro
b)
o
comprimento
de
dessa
uma
V
dm
esférico
π
é
64π
cm
8r
5
8
5
800
10(10
L ogo,
.
g )
5
π
(I)
800π
V
2
V
Substituindo
fuso.
esfera
m
24
2
2
11.
1
V
2
10.
200π
cm
π Calcule
é
total
2
A
área
em
AD
A
9.
a
o
1
g )
ra io
r
5
(II)
5
é
100
em
(I),
360π
10
cm,
V
r
V 10
e
5
10
(II)
obtemos:
a
1
g
5
gerat r i z
36
V
mede
g
5
26
26
cm.
Deter mine:
esfera. 6.
A
5
1
π
V
πrg
5
135π
(I)
lateral
da
circunferência
máxima. A
5
πr (r
1
g )
total
c)
a
área
do
círculo
máximo.
15
πr (r
1
g )
5
m
216π
2
πr
1
πrg
5
216π
II
Resoluções Substituindo
I
em
II
:
m
2
πr 1.
1
135π
5
216π
Planificação: 2
r cm
2
5
81
r
5
81
r
5
9
2
a)
A
5
πr Substituindo
base
o
valor
de
r
em
(I),
obtemos:
2
A
5
π
8
(1,5)
5
2,25π
base
Logo,
πrg
a
área
da
5
13
π
V
g
5
13
V
g
5
1
base Aplicando
o
teorema
de
Pitágoras
no
triângulo
destacado:
2
é
2,25π
cm
2
2
15
4
cm
b)
A
5
2
5
2
9
2
1
2
h
V
2
h
5
5
12
2
15
V h
1,5
4
5
5
144
V
h
π
π
9
área
5
225
81
V
2
5 a
h
12
lateral
Logo,
2
V
2
rh
lateral
A
5
V
lateral
3
5
324π
3
2
é
12
cm
3
Logo,
o
volume
é
324π
m
2
c)
A
5
2rh
7.
secção
V
5
8
5
13
5
325
cilindro
5
A
2
1,5
4
5
12
2
secção
π 2
Logo,
a
área
da
secção
é
12
V
cm
5
V
8
5
h
V
π 5
32
π
3
d)
A
5
2
A
5
2
2,25
total
1
25h 5
325π
V
3
A
base
A
8
V
cone
V
lateral
1
12π
5
25h
5
975
V
h
5
39
16,5 Portanto,
total
a
altura
do
cone
é
39
dm,
ou
seja,
o
triplo
da
2
Logo,
a
área
total
é
16,5π
cm altura
do
cilindro.
OCCES
8. 2.
No
cilindro
equilátero,
a
altura
é
igual
a
duas
vezes
o
raio; 7
dm
20 portanto:
r
10
cm
NOSLIDA
5
A
πr
5
π
8
7
dm
A
2
1
5
1
B
π
base
10
dm
h
:SEÕÇARTSULI
5
2πrh
5
2π
8
10
20
5
400π
lateral
A
2
A
2
100
total
1
A
base
lateral
D A
5
1
400
5
600
total
2
Logo,
254
a
área
total
é
600π
Guia do professor
cm
10 h t
t
A
C 13
dm
dm
A
5
π
8
10(13
1
7)
V
10π
8
20
5
200π
⎛
2
1⎞
1
2
lateral
6.
Dada
a
matriz
M
5
,
deter mine
a
matriz X
2
5
A
π
8
13
5
169π
⎝ sabendo
⎠
que:
2
A
5 base
π
8
7
5
49π
menor
5
A
A
total
1
A
lateral
A
1
base
200π
1
1
a)
A
maior
169π
base
49π
M
X
5
I
b)
M
X
5
M
2
menor
418π
total
7. Para
ca
altura
do
2
ar
5
vo
1
ume,
primeiro
representada
2
6
π
o
tronco,
2
10
V
cu
temos
por
e
ca
cu
ar
V
h
5
64
V
h
5
h
π 1
1
1
7
8
309
5
5
Sarrus
o
valor
de
cada
0
1
2
3
4
3
3
6
9
determinante.
b)
4
7
10
5
8
11
824π
3
2
A
de
1
8
5
3
área
total
2
9.
regra
2
a)
8
8
a
pela
1
2
h
5
Logo,
Calcule
a
é
418π
dm
2
πr
3
e
o
volume
é
824π
dm
Resolu
⎛
2
πr
5
100π
es
r
5
100
r
5
⎞
10
círculo
2
5
A
4πr
b
2
5
4π
8
10
5
b
400π 1.
super fície
B
5 b
4π r V
π
4.
b
π
5 esfer a
3
3
⎝
3
b
b
⎠
41
2
Portanto,
a
área
da
super fície
esférica
é
400π
cm
e
o Aplicando
lei
de
for mação,
obtemos:
2
4. 000π volume
a
3
é
5
b
cm
1
1
5
0
b
11
5
1
1
2
5
3
5
5
12
3 5
3
5
5
13
14
2 2
10.
A
5
144π
V
2
4πr
5
144π
V
b
r
5
36
V
r
5
6
5
2
1
1
5
3
b
21
5
2
2
5
2
1
5
3
1
5
3
5
2
22
super fície
b
5
2
1
3
5
5
b
23
4
5
6
24
r 5
A
b
fuso
5
3
5
3
1
1
5
4
b
31
90°
2
5
5
4
5
7
2
5
6
32
90 2
b 2
Logo,
a
área
do
fuso
esférico
é
24π
3
5
6
b
33
34
dm 5
5
5
5
41
42
2 2
11.
a)
5
2
π
V
2
π
5
64π
V
b 5
16
V
5
5
4
1
3
5
7
b
43
5
4
4
5
12
44
super fície
Logo,
b)
C
5
o
diâmetro
2πr
5
2π
8
é
4
8
5
cm.
⎛
8π
Portanto, O
comprimento
da
2
c)
5
πr
circunferência
máxima
é8π
B
0
3
4
3
2
5
5⎞
6
4
5
6
7
5
6
7
12
5
cm.
2
5
π
8
4
5
16π
círculo
⎝
⎠
2
Assim,
a
área
do
círculo
máximo
é
16π
2.
Para
que
as
b
⎧
matrizes
sejam
iguais,
devemos
ter:
4
⎨
Matrizes e determinantes
b ⎩
Resolvendo
o
sistema,
obtemos
a
5
4
e
b
5
0.
Exercícios
3. 1.
Escreva
a
matriz
B,
confor me
lei
de
Aplicando
a
lei
de
for mação,
obtemos:
for mação: a
5
2
5
3
3
5
21
23
⎧i
j,
se
j a
B
5
)
(b i j
, 4
3
em
que
b
4
5 i j
2
5
6
32
⎨ i
j
j
⎩ 4.
2.
Deter mine
e
B
sejam
os
a
e
b
5
e
B
i 5
0
B
( (A
2⎞
a
matriz
A
j,
se
23
0
1
6
⎝
⎝
5
3
2
(a a
, 3
na
C )
A
5⎞
1
B
⎛22
A
C
B
C
2 3⎞
2
⎠
⎝
4
2
1
5
4
⎠
0
2
1
3
1
⎝
⎛ 2
5.
5
⎠
4⎞
5
⎝
2
5
⎠
j
Resolvendo se
j,
0
qual
4
⎨ i
1
⎛ 2
⎠
) j
j
1
⎛
4
5
8
Considere
a
( (A
A
⎛ 4
4⎞
3
3.
de
iguais.
⎛
A
valores
o
sistema,
temos:
j
⎩
a
Deter mine
o
elemento
que
pertence
à
2
a
linha
e
à
3
⎧3
Y
5
co⎨
a
luna
da
4.
e
o
elemento
matriz
Dadas
as
que
pertence
à
3
a
linha
e
à
2
5 coluna
A
3
⎩
4 4X
5
4M
1
2N
4
matrizes X
1
5
V
X
5
M
2
⎛
5⎞
⎛
0
2⎞
⎛ 2
N
1
4
2
5⎞
⎛ 1 A
B
5
23
0
e
C
5
0
0
X
0
⎝
3
⎠
⎝
1
6
⎠
⎝
2
1
2
1
5
2
⎠ ⎝
deter mine:
( (A
1
B )
( (A
1
5.
2
1
3
Sendo
⎛ 2
5
Y
5
3M
N
V
Y
5
3M
N
X
e
Y,
tais
deter mine
as
matri-
Y
⎛
⎞
⎝
⎠
⎛
3
5
2
Y
5
Y
5
Y
3
1 ⎝
2 2 ⎠
27 21
3
0 ⎞
1
⎠
⎞
5
⎨
⎩
1
⎞
1
que:
⎛ ⎧3
⎠
X
⎛
, 2
1
4⎞
⎝
zes
2
C ) X
0
⎞
4
⎝
2 2
⎠
Guia do professor
255
⎛
6.
a)
5
2
1
1
2
4.
⎞ ⎛
a
b
⎞
⎛
1
0
⎞
⎝
c
d
⎠
⎝
0
1
⎠
Classifique
os
sistemas
em
SPD,
SPI
ou
SI.
V 2
⎝
⎠
x
⎧ a)
y
5
y
14
x 2
⎛
2
⎛
1
0
⎞
⎝
0
1
⎠
⎧ c)
⎨
3y
5
y
5
6
⎨ x
⎩
9
⎩
5 ⎝
c
⎠
b
x
⎧ b)
y
x Igualando
⎧
as
matrizes,
temos
os
sistemas:
2a
1
⎧ (II)
⎨ a
⎩
y
5
12
⎩
5
0
5
1
5. (I)
6
⎨
Deter mine
o
valor
de
m
e
n,
de
modo
que
⎨
c ⎩
2y
⎧
5
7
tenha
⎨ Resolvendo
os
sistemas,
temos:
6
my
solução
real.
n
⎩
2
1
3
3
(I) 6.
Essa
atividade
plano
pode
cartesiano
ser
duas
feita
retas
em
r
e
dupla.
s
e
Desenhe
um
ponto
P,
em
em
um
que
2 (II)
5 2 P
3
Ñ
r
e
P
É
obtenha, 2
⎛
1
2
Logo,
X
3
1
2
5
M
2
1⎞
2
⎛
1
2
temos
⎠
os
⎛ a
b ⎞
⎝
d ⎠
c
1
5 22
1⎞
⎝
de
de
um
colega
maneira
5
a)
as
equações
das
retas
b)
as
equações
das
retas
r
c)
as
equações
das
retas
s
d)
as
equações
das
retas
e)
as
equações
das
retas
e
PQ
for mem
um
SPI.
PQ
for mem
um
SPD.
e
PQ
for mem
um
SPD.
PQ
for mem
um
SI.
r
e
PQ
for mem
um
SI.
Deter mine
seguir
1
os
seja
valores
de
a
e
b,
de
modo
que
o
sistema
homogêneo.
(II) 2
5
⎧
⎩
⎨
2
3y Resolvendo
a
5
b
1
5
e
0
os
c
e
5
d
sistemas,
temos:
5
⎩
8.
0
5
Resolva
a
equação
matricial
abaixo.
1 ⎛ 3
1⎞
⎝ 1
⎠
⎛ a ⎞
⎛ 5 ⎞
8
⎛ 1
X
Logo,
0⎞
5 ⎝ 4⎠
⎝ b ⎠
5
⎝
0
1
9.
⎠
Escalone,
a)
a)
1
resolva
x
⎧
os
1
⎨
z
sistemas
e
classifi
5
1
y
5
1
y
5
b)
⎨
ue-os.
1
x
⎧
z
5
x
z
6
x
z
2
1
2
⎩
0
1
2
4
3
⎩
4
Resoluções
3
8
0
3
1
0
1.
(3
1
12)
(
3
1
8)
3
6
9
4
7
10
8
11
5
240
a)
Sim.
Todas
b)
Não.
Apresenta
c)
ão.
resenta
d)
Sim.
1
264
300
1
231
300
288
288)
(315
1
240
1
264)
5
x
y
Todas
1
z
as
5
2m
3
2m
9
o
3
1
1
1
quais
2y
1
z
das
5
expoente
com
1.
expoente
2.
ter mo
incógnitas
valor
equações
4
abaixo
c)
4xy
d)
3x
1
são
2x
1
lineares.
3y
5
1)
2
de
x
y
x
y
o
1
m
é
método
5
6
têm
expoente
1.
5
1
V
4m
12
V
m
3
3.
adição
x
y
para
5
resolver
(I),
temos:
6 14x
⎨ 1 2x
y
x
6
⎩
Substituindo
x
3
V
3
y
5
Portanto,
S
9
5
Substituindo
8
da
⎧ V
⎨
Exercícios
x
têm
incógnita
1
⎩
a)
um
2(m
2m
Aplicando
⎧
Sistemas lineares
Verifique
uma
0
3.
1.
incógnitas
8
Logo, (231
as
10
2.
315
por
y
{(3,
x
3
=
em
3x
y
5
9,
obtemos:
0
0)}.
por
3
e
por
0
em
(II),
obtemos:
2
b)
3x
1
2y
=
7
1
2y
1
4z
1
2
2
5
0
3
⎧
⎨ 3
1
0
5
=
6
n
⎩ 2.
Determine
o
valor
de
m,
sabendo
que
o
terno
(2m,3,m
1)
Portanto, é
solução
da
equação
x
3y
1
2z
5
Para
que
valores
de
m
e
e
5
9.
1.
x 3.
n
4.
y
x 2x
5
a)
y
5
210 y
V x
y
5
x
14
y
5
4
14
solução?
Substituindo ⎧ (I)
4y
5
6
⎧2x (II)
⎨
y
y
por
4
em
x
m x
⎩
Guia do professor
5
1
4
5
5
V
x
5
1
⎨ 2y
⎩
256
e
que:
⎠
1
⎧
⎩
7.
o
P P,
sistemas:
⎨
(II)
i
⎠
7.
(I)
com
Q
V
igualdade,
⎧ (I)
,
⎞
3
⎝
Da
desenho
ponto
2 3
⎛
X
seu
um
2 3
2
M
T roque
possível,
5
⎝
b)
s.
se
5
n Portanto,
o
sistema
é
SPD.
1
y
=
5,
obtemos:
3
a
x
b)
y
6
x
V
⎨ x
y
5
y
5
212
x
⎩
⎧ V
⎨
12
y
5
0x
5
1
b)
12
⎩
Existem
fazem
infinitos
a
equação
pares
0x
1
de
0y
valores
5
de
x
e
y
que
satis
⎨
5y
1
z
=
6
2y
1
z
=
2
⎩
0. Dividimos
Portanto,
o
sistema
é
a
primeira
equação
por
2.
SPI.
⎧ x x
⎧ c)
y
5
6
x
y
5
x
⎧ V
⎨
y
5
1
x
y
5
y
a
há
nenhum
equação
⎨
0x
1
par
0y
de
=
valores
27
de
x
e
y
que
satisfaça
2
x
y
1
z
=
6
x
y
1
z
=
2
⎩
33. Substituímos
Portanto,
o
sistema
é
x
1
5
a
segunda
equação
pela
soma
dela
com
SI.
o
⎧
=
33
⎩
Não
5.
z 2
x
9
⎩
y
6
⎨
7
produto
da
primeira
Substituímos
a
por
terceira
equação
pela
soma
dela
com
pela
soma
dela
com
⎨ 1
6
5
n
o
⎩
Da
primeira
equação,
produto
da
primeira
por
3.
temos: ⎧
1 x
7
y
1
z
=
2
z
=
22
2y 2
3x
5
7
2y
V
x
5 3
Substituindo
o
valor
de
y 7y
⎨
x
na
segunda
equação,
temos:
7
1 y
y
z
=
24
2
⎩
6
n 3 Substituímos
y
1
my
5
n
V
(m
4)y
5
a
terceira a
equação
n 1 o
Para
o
sistema
ter
solução
real,
devemos
produto
da
se
unda
por
ter: 2
m
4
i
0
V
m
i
4 1
⎧ x
y
1
z
=
2
2 6.
As respostas são pessoais. No entanto, podemos observar que: 7
⎨ a)
Q
b)
Q
deve
ser
um
ponto
de
r
z
y
1
2 r z
0y ⎩ c)
PQ
não
pode
d)
PQ
deve
ser
paralela
a
s
Não ser
paralela
a
0y e)
Não
é
possível
obter
existem
1
0z
5
Como
a
4
o
sistema
5
0
V
a
2
é
=
reais
para
y
tal
que
23.
Q
Portanto,
7.
números
s
homogêneo,
S
5
{
},
e
o
sistema
é
impossível
(SI).
temos:
4
2
a
b
5
Portanto,
0
V
a
b
=
4
4
e
b
=
=
0
2
V
ou
b
a
=
=
62
4
e
Análise combinatória b
=
22.
Exercíci 8.
Escrevendo
e
o
aplicando
sistema
o
⎧ V
⎨
da
a
⎧
b
correspondente
método
adição,
à
equação
matricial
temos:
1.
Consider e
b
5 10
escolha.
b
5
posta;
uma
Cada
seis
questões
cinco
de
múltipla
alter nativas
4
portanto,
para
resolver
a
prova,
os
alunos
de
res-
deverão
⎩
assinalar 7a
Substituindo
em
3
V
2
b
Portanto
=
5
S
=
=
3a
b
{(2,
=
b
=
14
5,
V
a
=
apenas
y
⎧
Para
1
determinar
x
y
1)}.
1
x
y
o
alter nativa
número
de
por
questão.
gabaritos
possíveis
para
essa prova, o coordenador da escola decidiu montar uma
árvore
de
=
0
=
5
Escreva ⎨
uma
2
obtemos:
possibilidades.
resolução
a)
com
possui
⎨
5
⎩
9.
pr ova
questão
a
forma
outra
mais
opção
Você
considera
simples
de
de
essa
resolver
resolução
para
o
opção
de
problema?
essa
questão.
z
z
c)
Deter mine
o
número
de
gabaritos
possíveis
para
essa
⎩
prova, Conservamos
Substituímos
a
a
primeira
segunda
produto
da
primeira
por
pela
soma
dela
a
terceira
que
julgar
mais
simples.
com Uma
equação
pela
soma
dela
escola
vai
dos
disponibilizar
alunos.
Para
na
ter
inter net
acesso
as
às
notas
suas
das
notas,
com
cada a
método
2. avaliações
Substituímos
o
equação.
equação
2.
o
usando
aluno
receberá
uma
senha
diferente.
Considerando
primeira.
que y
⎧
1
escola
tem
1.200alunos
no
total,
resolva
os
itens
5
a ⎨
a
y
z
y
z
seguir.
=
a)
5
Se
a
senha
for
composta
de
3
algarismos,
será
possível
⎩
elaborar Substituímos
o
produto
da
a
terceira
segunda
equação
equação
pela
soma
dela
y
1
=
y
⎨
z
z
senha
diferente
para
cada
aluno?
com
b)
por
Se
a
resposta
tégia ⎧
uma
para
do
item
resolver
a
foi
esse
não,
pense
em
uma
estra
problema.
0
= 3.
Quantos
4.
Calcule
números
de
cinco
al
arismos
podemos
for mar?
=
⎩
Da
terceira
equação,
Substituindo
y
=
7.
E
z
por
obtemos
2
substituindo
equação,
Portanto,
obtemos
S
x
{(20,
=
7,
na
z
=
segunda
y
z
equação,
2
na
o
sistema
é
9!
valor
de
em
cada
caso.
3!
8!
(n 5
n
1
1 )! 5
b) (n
possível
Simplifique
as
expressões
420
1 )!
abaixo.
n !
e
(
a)
deter minado.
n
primeira
5.
e
5! a)
obtemos
20.
2)},
o
2.
n
1
2
b) n
n
)
(n
1
3 )!
Guia do professor
257
6.
Quantos
números
de
cinco
algarismos
distintos
podemos
7.
n
n ! 5.
n
Quantos
números
de
cinco
algarismos
distintos
ter mi-
)
8.
em
Quantos
2
podemos
n
n
1,
números
3,
5,
7,
9
de
cinco
sem
re
)
podemos
a
palavra
quantos
anagramas
b)
quantos
começam
com
C
c)
quantos
começam
com
consoante?
quantos
e)
quantos
)
quantos
Pelo
rocesso
é
De
ter minam
contêm
podemos
com
as
contêm
quantos
laterais
e
n
3
1
licativo:
for mar
9
9
27.216
8
7
números
6
27.216
com
cinco
alga-
distintos.
e
for mar?
ter minam
7.
com
O?
Pelo
processo
Logo,
com
é
base
D
letras
e
D
diferentes
de
uma
multiplicativo:
possível
cinco
for mar
8
2.668
8
7
6
números
1
5
2.668
ter minados
em
2
algarismos.
vogal?
letras
as
modos
a
multi
possível
E,
e
juntas,
E
nessa
ordem?
8.
Per mutando
P
untas?
5 !
podemos
pirâmide
os
5
cinco
4
3
algarismos
2
1
sem
repetição,
temos:
120
5
Podemos
10.
1
!
CADERNO:
a)
d
)
n
escrever
rismos Com
n
n
etição? Logo,
9.
n
n
n
algarismos
n
n
5
for mar?
6.
com
)!
n
b) nados
n
a)
for mar?
pintar
as
heptagonal,
for mar
120
números
com
algarismos
distintos.
faces
usando
9.
a)
P
5
7 !
5
7
6
5
4
3
2
1
5
5.040
7
oito
cores
diferentes,
de
tal
modo
que
as
cores
não
sejam
Logo,
podemos
for mar
5.040
anagramas.
repetidas?
b)
11.
Mara
site
precisa
na
criar
inter net.
uma
A
senha
senha
para
deve
se
ser
inscrever
composta
em
de
C
O 5
um
duas
P
4
5
3
5
5
2
5
1
4
3
2
1
5
120
5
letras
distintas,
algarismos
sem
dentre
as
repetição.
26
De
do
nosso
quantas
alfabeto,
maneiras
e
quatro
Logo,
podemos
for mar
120
anagramas.
diferentes
c) ela
ode
criar
essa
senha?
4
12.
Em
um
campeonato
de
futebol
com
apenas
um
opções:
C,
D,
R,
N
tur no, 4
P
5
4
6 !
5
4
6
5
4
3
2
1
5
2.880
6
participarão
32
times.
Quantos
jogos
serão
realizados? Logo,
13.
Em
uma
festa
de
confrater nização
entre
amigos,
podemos
for mar
2.880
anagramas.
todos d)
se
cumprimentaram
com
um
abraço.
Quantas
pessoas 3
compareceram,
sabendo
que
o
número
de
abraços
foi
opções:
A,
E,
O
105?
3
P
5
3
5
são
2.160
3
6
5
4
3
1
5
2.160
6
Logo,
anagramas.
Resoluções
e) 1.
a)
Espera-se
que
os
alunos
percebam
que
esse
não
é
DE
o
P método
de
resolução
mais
simples.
5
6
b)
Pode-se
c)
Sendo
usar
seis
o
rincí
questões
io
com
multi
multiplicativo,
4
6
podemos
5
4
3
for mar
2
1
720
5
720
anagramas.
icativo.
cinco
alter nativas
cada,
pelo f )
princípio
5
6
Logo,
DE
temos: ED
6
5
5
15.625
5
Logo, existem 15.625 gabaritos possíveis para essa prova. 2
2.
a)
Como
cípio
pode
haver
repetição
multiplicativo,
Portanto,
poderão
tas.
Como
dar
uma
a
temos:
ser
escola
de
algarismos,
10
10
elaboradas
tem
1.200
10
1.000
alunos,
5
pelo
não
será
6 !
podemos
5
8
6
for mar
5
4
3
1.440
1
5
1.440
anagramas.
prin-
10.
1.000
senhas
!
6
Logo,
distin-
Para
pintar
a
Para
pintar
as
base,
temos
faces
7 !
possível
oito
laterais,
possibilidades.
temos
7
sete
cores.
Assim:
5 5
senha
distinta
para
cada
7
aluno.
A Resposta
possível:
trêsletras;
assim,
a
senha
pode
considerando
o
ser
composta
alfabeto
com
pirâmide
pode
ser
pintada
princípio
multiplicativo,
de
26
26,
2
26
5
Pelo
princípio
ser
elaboradas
17.576
8
multiplicativo:
for mar
90.000
9
10
números
10
com
10
10
cinco
5
25
1
pode
7
criar
Sabendo
com
que
cada
em
um
um
5 8
cada
outros,
32
diferentes.
time
jogará
apenas
uma
temos:
31
5 30
5
2
496
2
8
Logo,
)
.
senhas
2
5 180
5 5
5
7
tur no
dos
32 5
C 32
n
5
3.276.000
90.000
9 ! a)
6 !
algarismos. vez
4.
6 ! 5
24 !
senhas.
12.
Podemos
7
4
17.576
poderão
Mara
3.
diferentes.
5 10,
5
Assim,
modos
24 !
!
A
temos:
6 !
26
5.760
26le !
pelo
760
de
11. tras,
5
7
n
serão
realizados
496
jogos.
(n
b)
5
420
V
(n
1
1)n
420 n ! 13.
C
5
n, 2
n
105
105
2
2
1
n
5
420
V
n
n 1
n
420
5
0
o 2
Resolvendo
essa
equação
do
2
grau,
temos:
n(n
1)
5
210
V
n
2
n
5
210
V
n
n
210
o
d
5
1.681
5
20
Como
258
ou
n
5
Resolvendo
5
221
221
não
Guia do professor
n
serve,
temos
apenas
n
5
20.
5
15
Logo,
ou
essa
n
5
equação
214
(não
compareceram
15
do
2
grau,
serve
pessoas.
temos:
5
0
II. Resoluções e comentários
Cap ítulo
1
a
Ciclo trigonométrico – 1
Inicia-se
esse
ferência,
seu
em
radiano.
com
o
comprimento
Em
seguida,
desenvolvem-se
os
conceito
e
sua
de
apresenta-se
conceitos
de
arco
medida
o
em
uma
angular ,
ciclo
ta
circun-
em
grau
C
=
22,21
e
trigonométrico
seno, cosseno
e
tangente
OCCES
e
capítulo
v
no A
tri
onométrico,
tomando
como
base
as
de
inições
NOSLIDA
ciclo
de D =
seno,
cosseno
e
tangente
de
um
ângulo
agudo
de
um
7,07
triân-
o
gulo
o
retângulo,
teorema
de
estudadas
Pitágoras,
Trigonometria. Também
tricas
na
primeira
volta
no
volume
obtém-se
são
da
a
do
1
ano.
relação
estudadas
equações
circunferência
Aplicando
fundamental
da
trigonomé-
trigonométrica.
4.
Os
conceitos
estudados
nesse
capítulo
servem
de
base
para
Na
maioria
operações
desenvolvimento
de
outros
capítulos:
por
exemplo,
para
dos
softwares,
há
a
possibilidade
de
realizar
o com
as
medidas
calculadas.
Nesse
caso,
usando
esC a
tudar
para
as
funções
escrever
trigonométricas
um
número
(capítulo
complexo
na
2
deste
forma
volume)
erramenta
adequada,
calcular
ou
d
trigonométrica 5.
Mover
os
pontos
A
e
B
para
ver
o
que
acontece
com
a
razão
o
(volume
do
3
ano).
calculada.
talmente
igual
a
Com
que
esses
essa
procedimentos,
razão
é
verifica-se
constante
e
experimen-
aproximadamente
3,14.
Resoluções e comentários
p Caso
de
tenha
disponíveis
Geometria
alunos
uma
interativa,
atividade
computadores
seria
para
com
interessante
verificar
um
p
s o f t w a re
realizar
com
experimentalmente
os
1.
a)
que
radiano
grau
π
180
x
5
225°
x
5
210°
V
x
5
90°
V
x
5
5 a
razão
entre
o
comprimento
C
de
uma
circunferência
e
seu x 4
iâmetro
Para
d
isso,
é
constante.
no
software,
podemos
seguir
alguns
1.
A
b)
procedimentos:
passando
por
um
radiano
grau
π
180
x
ponto
qualquer
6
B
c)
radiano
grau
π
180
2.
sário
traçar
uma
reta
passando
pelos
pontos
A
e
B;
essa x
reta
interceptará
a
circunferência
emB
e
em
um
ponto
D; 2
depois,
da
basta
traçar
o
segmento
BD ,
ue
é
um
diâmetro
2.
circunferência.
a)
grau
r
i
n
180 Orientar
trução
que
Em
os
(a
ela
alunos
maioria
não
fique
seguida,
a
dos
esconder
muito
com
a
a
softwares
uns
elementos
possui
poluída
essa
da
cons-
função),
b)
visualmente.
ferramenta
de
medição
de
x
grau
radiano
180
π
π V
compri-
x
rad 3
60
mentos,
medir
o
comprimento
C
da
circunferência
e
seu
c) diâmetr o
software,
rente;
da
d
o
em
(medida
modo
alguns,
circunferência
esses
de
segmento
realizar
por
é
do
essas
exemplo,
necessário
).
Dependendo
medições
para
medir
separá-la
o
em
pode
ser
grau
r
i
n
do 180
π
120
x
grau
radiano
180
π
2π V
dife-
x
5
arcos
e
medir
d)
5π V
x
rad 6
150 a
estarem
atreladas
os
pontos
atenção
para
dos
aos
alunos
pontos,
modificar
o
para
ou
raio,
o
fato
seja,
as
de
as
quando
medidas
medidas
mexemos
também
se
e)
grau
radiano
180
π
210
x
7π V
modificam.
rad 3
comprimento
arcos.
Chamar
r 6
30 para
x
rad
5 6
Guia do professor
259
f )
grau
radiano
180
π
8.
x
A:
180°
B:
180°
C:
360°
1
20°
5
160°
20°
5
200°
20°
5
340°
rad
5 3
x
240
a)
4
circunferência
grau
A
b)
5
1
5
360
V
2
x
5
144°
B
5
5
5 circunferência
C
radiano
5
1
2π 4π V
2
x
rad
5
9.
a)
250°
180°
5
70°
5 5 12
11π b)
2π
2
11
4.
a)
O
relógio
Então,
a
é
dividido
cada
em
hora,
o
12
5 6
12
5
percorre
um
ângulo
de:
a)
Como
13
horas
h
sen
215°
,
0
e
sen
às
17
h,
temos
percorrerá:
4
4
30°
horas.
5
Logo,
o
ponteiro
215°
sen
280°
.
b)
0,
temos:
.
50
⎬
radiano,
essa
medida
é
equivalente
a:
esse
ponteiro
das
13
h
às
17
h
325
.
I)
.
4 1
Portanto,
,
0
das
120°
2 Em
280°
30°
sen Das
6
horas.
ponteiro
10. 360°
π
5 6
3
percorre
,
120°
⎫ (cos
⎬
215°
II)
,
2π
⎭
rad.
ou 3
De
b)
Sendo
x
a
distância
percorrida
das
13
h
às
17
(I)
e
(II),
temos:
h, (cos
50°
1
cos
325°)
(cos
215°
1
cos
145°)
,
0
calculamos: 4
4π medida
comprimento
(grau)
(cm)
360
2π
8
r ad
11.
7 6 r ad
x
3
5
q
360
a
14,65
do
180
8 r ad
14, 65
5
5
5
3
extremidade
damente
q 154 7
8π
1
q
Logo,
180
5
7
120 x
q 103 7
6π
120
180
5
7
ponteiro
percorre
aproxima-
288
5
Representando
no
ciclo
trigonométrico,
temos:
cm.
4π
5. 7
6π
70°
7 25
cm
0
π O
cos
8π medida
comprimento
(grau)
(cm)
360
2πr
5
2
5
x
70
x
30, 5
Observando
o
eixo
dos
cossenos,
6π Logo,
o
pên
u
o
escreve
um
arco
e
aproxima
π
amente
,
os
4π ,
cos
7 30,
e
, 7
cos
, 5
a)
sen
125°
q
0,8
b)
sen
235°
q
20,8
c)
sen
305°
q
20,8
π
7.
2
2π
π
3
3
3π 135°
=
–
sen
π rad
rad
4
4 π
5
55°
125° rad
6
6
180°
=
π
rad
360°
=
0,8
2π
rad
OCCES
A 11π
7π
NOSLIDA
210°
=
–
rad
rad
0 6
6
7π
5π 315°
=
–
rad
:SEÕÇARTSULI
4
4 5π
4
3 235°
3π rad 2
Guia do professor
–0,8
rad
rad 3
260
que:
8π
cm.
12. 6.
concluímos
x
305°
cos
0
13.
a)
cos
155°
b)
cos
205°
c)
cos
335°
q
π
20,9 Logo:
q
2π
sen
1
Portanto,
0,9
Comentário :
alunos
de
25°
155°
são
duas
mesmas
i
0,9
1
igualdade
Com
a
9
é
falsa.
verificação
estimulados
não
é
a
de
casos
concluir
igual
à
que
soma
particulares,
o
seno
dos
da
senos
os
soma
dessas
medidas.
o
e
3
quadrantes,
temos
seno
e
cosseno
com
mesmo
sinal.
cos
0,9
Nos
sen
9
medidas
o
20.
A
a
3π
sen
9
0,9
0
o
205°
5
cos
335°
5
o
quadrante:
2
5
sen
5
cos
5
4
4
2
sen 14.
15.
a)
sen
a
b)
sen
b
5
2sen
130°
c)
sen
t
5
2sen
260°
5
5
2sen
2cos
27°
cos
a
cos
b
5
2cos
110°
48°
q
t
5
2cos
260°
q
20,45
sen
5
2(
50°
sen
q
20,77
80°)
q
π
0,98
4
20,67
(
cos
70°)
q
0,34
(
cos
80°)
q
0,17
A
5
cos
0
16. sen
1
1
5π
5 6
2
2
4
6
6
5
1
6
2 A
7
21.
a)
Observando
1 sen 30°
6
5
ciclo
,
trigonométrico
concluímos
que
há
e
lembrando
dois
arcos
que
que
sa-
0
2
2
tisfazem 1 1
o
1
5 2
a
equação:
1 11
7
5 2
1 2 –
6
—
6
2
17.
a)
sen
5
2π
0
1
1
1
cos
1
2π
0
1
1
sen
5
π
1
cos
π
=
0 180°
π b)
3π
sen
π
sen
+
30°
30°
3π
cos
cos
1 5
A 5
1
(
1)
1
0
0
5
2 0
2π c
11π
sen
5π
sen
3
cos
1
1
2
2
5π 1
cos
5
3 0
2
2
1
⎛ cos
0
cos
2
2 d)
5
5 1 1
5π 2
2 sen
2
sen
x
5
V
x
5
30°
ou
x
5
150°
2 2
6
b) 18.
Com
a
calculadora
científica,
de
um
celular
ou
com
uma
calculadora
obtemos:
a)
q
sen
0,342
9 180°
–
45°
2 b)
sen
c)
sen
q
0,643
9
3 q
0,866
9
0 cos 19.
a)
2
q
sen
2
0,342
5
0,684
2
9
—
2
3 q
0,643
OCCES
sen 9
180° 2
i
a
45°
sen
9
Portanto,
+
2π
sen
NOSLIDA
Logo:
9
igualdade
é
falsa.
b)
sen
2π 1
sen
cos q
0,342
1
0,643
5
x
x
5
5
135°
ou
x
5
225°
0,985 2
9
9
Comentário :
3 sen
5 9
Esse
exercício
propicia
aos
alunos
resolver
0,866 equações
trigonométricas
simples.
Guia do professor
261
:SEÕÇARTSULI
2 π
22.
e)
.
a)
(tg
⎬
40°
tg
22
tg
(π
2
a)
q
20,65
tg
(π
1
a)
q
0,65
tg
(2π
I)
. ⎭
t
315°
,
2
a)
q
20,65
⎫ (tg
tg
II) Comentário:
Esse
exercício
proporciona
a
diversidade
de
1 ⎭
aplicação De
(I)
(tg
e
40°
(II),
1
tg
220°)
(tg
315°
1
tg
165°)
,
estudados:
pede
aos
alunos
que
6
valor
o
estimativa;
estimado;
calculem
localizem
e
o
comparem
o
quadrante
de
resultado
2
⎬
conhecendo
os
valores
apliquem
relações
de
seno,
cosseno
e
um
arco
tangente;
e
5π
4
3
,
g 6
5
uma
com
⎫
π
5
façam
0
0
5
tg
conceitos
vem:
tg
π b)
dos
0 as
de
simetria
para
tangente.
4
.
4
4
⎭
2
25
2
4
5
cos
27.
x
V
tg
2
169 4 Logo:
.
0
2
1 V
5 6
cos x
13 23.
g
a
5
tg
42°
0,90 o
Como b
tg
t
5
5
tg
tg
160°
5
260°
2tg
5
tg
20°
80°
q
q
x
pertence
ao
1
quadrante,
temos
cos
x
.
0.
20,36
12
5,67 Logo,
cos
5
x
13
24.
a)
tg
145°
q
20,7 tg
2
b)
tg
215°
q
c)
tg
325°
q
0,7
28.
20,7
a)
35°
2
cos
x
1
2
sen
x
5
V sen
x
5
Como
x
pertence
1
V
2
(0,8)
1
sen
x
5
1
V
0,6
0,7 145°
o
Logo,
sen
A
x
5
tg
4
quadrante,
temos
sen
x
, 0.
20,6.
x
sen b)
ao
0
6 x
x x
cos
0
0, 8
O
sen –0,7
21
29.
a)
tg
a
a
sen
4
a
3
5 cos
a
3
cos
a
325°
2
Como
2
sen
a
1
cos
a
5
1,
temos:
2
tg
2a
i
2
tg
a
sen
sen
⎛
2
25.
a
sen
2
1 ⎝
tg
2
9
⎞
1
sen
a
1
51 V
⎠
4
16
2a 25
4
V
sen 1
o
Como
pertence
ao
3
quadrante,
temos:
2a
4 sen
0, 8 5
tg
a
4
sen b)
tg
a
a
5
4
3
5
5 2 cos
a
3
cos
a
A
V
30.
Para
cos
a 5 20,6
um
arco
de
medida
a,
a
relação
fundamental
2
T rigonometria
2
(0,8)
sempre
é
válida:
1
cos
a
5
(0,4)
= 0,64
sen
a
5
1
0,25
0,8
e
5
cos
0,89,
a
5
não
são
3 31.
a)
3
π tg
6
5
3
Logo,
tg
60°
Comentário:
de
modo
entre
da
as
i
2
tg
Essa
mais
me
30°.
questão
leva
abrangente,
i
as
e
um
os
que
ângu
alunos
não
o
e
há
os
a
verificar,
agora
proporcionalidade
respectivos
va
ores
A
0
tangente.
cos
2
OCCES
0 26.
NOSLIDA
a)
tg
b)
tg
α
55 é
=
0
menor
que
1.
55 é
menor
que
1.
5
3
:SEÕÇARTSULI
o
c)
cos
a
.
0 e sen
a
.
0; então,
pertence ao 1
quadrante.
o
d
(π
2
)
Ñ
2
π
1
)
Ñ
3
quadrante
V
tg
(π
)
,
0
quadrante
V
tg
(π
)
.
0
o
1
5
cos
r ad
ou
x
r ad
o
(2π
262
2
a)
quadrante
Guia do professor
V
tg
(2π
2
a)
,
0
Como
possíveis
0,4.
Exemplo:
5
1.
2
1
igualdades
30°
da
2
a
sen
2
3
3
as
b)
Assim:
2π
π
cos
x
5
1
V
x
5
0
ou
x
5
2π
— – 3
3 Os
possíveis
valores
de
x
são
0
rad
e
2π
rad.
3 – ––
2
33. sen
A
0
1
11
2
10
3
9
–0,5 3 sen
5
ou
4
8 3
7
5 6
c)
tg
3π — –
4
O
relógio
estará
indicando
16
h
ou
20
h
4
h
ou
8
h
.
0
O
π
⎛ 34.
cos
π
V
3 Assim,
x
=
rad. 2
7π –1
— –
Exercícios comp lementares
7
3 tg
x
5
1
V
x
r ad
5
4
4 360 1.
225°
x x
π d)
sen
5 2
2
360°
r
2.
V
5
38, 22 300
300° e)
x
sen
5
0
V
x
5
0
ou
x
5
π
ou
x
5
Logo,
32.
a)
sen
x
(sen
x
1
1)
5
sen
x
x
o
raio
mede,
aproximadamente,
38,22
m.
0 3.
⎧
π
0
radiano
π
140
x
7 V
2π
ou
⎨
grau
180
x
5
rad 9
3 π sen
x
x 2 medida
4.
Logo,
os
valores
possíveis
para
x
são
0,
π
rad,
2π
comprimento
(radiano)
(cm)
2
rad
2
5
π α
V π
7
a
5
3 π ou
rad. 2
b)
2
Logo,
sen
x
cos
x
cos
x
5. cos
x (2
sen
x
1)
5
o
ângulo
central
a
mede
1,4
rad.
5
Cada
hora
deter mina
um
ângulo
de
30°,
porém,
como
já
0 1 se
passaram
20
minutos
da
hora
cheia,
ou
da
seja,
3
⎧ co
x
5
ou
x
hora,
5
2
o
ponteiro
das
horas
percorreu
10°.
2
ou
1
⎨ x
2
2 10°
x
x
5
⎩ 20° 3 OCCES
30° Os
valores
possíveis
de
x
são
ra 6
,
r ad 2
NOSLIDA
ra
e
4
r ad
6
2
2
Sendo
cos
1
x
y,
5
0
temos: Logo,
o
menor
ângulo
for mado
pelos
ponteiros
mede:
2
y
y
1
1
5
0
V
y
5
(20°
1
30°)
5
50°
Guia do professor
263
:SEÕÇARTSUL
2
c)
6.
medida
empo
(grau)
R:
36°
1
180°
5
216°
(min)
grau
30
radiano
60
a
180
π
216
y
6π
15 V
5
y
5
rad 5
5 60
450
S: 7° 30’
360°
36°
5
324°
30°
60 grau
a
1
30°
5
7°30’
1
30°
radiano
5 180
π
324
z
9π V
5
z
5
rad
37°30’
Assim,
o
for mado
menor
pelos
5
ângulo
ponteiros ⎛
37°30’.
10.
⎞
3
5 mede
a)
1
2
5 3
7.
4
2 b)
⎝
2
⎛
1
cos
2
⎞
3
5 3
2
3 5
6
⎝
2
⎠
3
6
sen 2
⎞
6 θ
11.
1
5
5 1 ⎠
6
0,53 30
6
o
Como
t pertence
ao
3
quadrante,
temos
cos
t , 0.
A
30
0 Logo, c o s
5 2
6
Assim: 212°
– 0,53
6
sen tg
6
tg cos
5
30
6
5 5 5 a)
sen
b)
sen
c)
sen
148°
5
212°
sen
5
32°
2sen
5
0,53
32°
5
20,53
12. 328°
5
2sen
32°
5
0,
sen
3
8.
π
a
a
tg 0,8
7 — – π 12
— –
12
π
A
0
A
– 0,8 0
π
+
a
2π
a
7π — –
6
23π — —
a)
sen
b)
sen
c)
sen
(π
2
a)
5
sen
1
a
5
2sen
a
5
0,8
12
Em
ordem
(2π
2
a)
5
a
2sen
5
a
20,8
5
20,8
decrescente: 13.
Os
arcos
de
medidax x 2
7 tg
— –
tg 12
12
que
têm
cosseno
3
1 igual 9.
Q:
a
para
144°
2
OCCES
grau
radiano
180
π
0
V
NOSLIDA
144
,
x
,
2π,
são
4π a
5
rad
2 e
5
a
3
cos
3 1 – —
2
:SEÕÇARTSUL
P :
180°
144°
grau
radiano
180
π
36
x
5
4
π V
264
36°
x
Guia do professor
rad
5 5
— –
3
b)
3
3 14.
cos
V
0
cos
4
2
2
3
5
A
6
3
3
2
1
–1
0
cos
2
2
cos
0
4 7
11 –––
6
3
6
1 <
2 π
2
V
⎧ Logo,
S
5
π
1 1π
π
6
⎭
medida
x
cos
1
cos
x
1
5
cos
x
5
y,
comprimento
0 1.
Sendo
3
⎫
2
2
3
⎨
⎩
15.
4π <
2
(grau)
(cm)
temos: 360
2π
8
12
1 2
y
2y
1
5
0
V
y
5
230
1
x
120 Assim:
x
π
8
2
5 360
1 cos
x
5
ou
cos
x
5
21 Portanto,
x
q
25
cm.
2
alter nativa x
5
ou
3
Logo,
soma
das
raízes
1
3
3
a
5
2.
é:
1
grau
radiano
180
π
3
5
3 3
3
3
210
x
210 x 16.
a)
O
valor
é1.
mínimo
Ou
seja:
para
1
<
sen
sen
x
x
<
é
1;
e
o
valor
8
π
5
O
é
valor
2.
mínimo
Ou
seja:
para
2
<
2
2
180
6
1
sen
sen
x
x
é
<
2;
e
o
valor
6π
2
11π ,
valor
mínimo
para
y
5
1
1
2
sen
x
é
1;
e
o
12π ,
12
O
c
máximo
3.
c)
7π 5
máximo
alter nativa
b)
d
11π V
12
12
, 2
,
π
ao
2
12
valor 11π Logo,
máximo
é
3.
Ou
seja:
1
<
1
1
2
sen
x
<
3
ou,
um
arco
o
de
rad
pertence
quadrante.
ainda, 12
1
y
Comentário :
3
alter nativa
Esse
exercício
trabalha
introdutoriamente
4. ideia
nar
17.
que
a
será
imagem
usada,
de
no
uma
próximo
função
capítulo,
para
b
a Observe
a
figura
abaixo.
deter mi-
y
trigonométrica.
a
2π
2
—
7 =
2
—
3 9
9
9
x
O
2
16
2
—
=
—–
cos
0
9 9
9
9
2
OCCES NOSLIDA
4π
3
2 Os
arcos
simétricos
de
r ad
respectivamente
aos
eixos
:SEÕÇARTSULI
9
1 6 x
cos
x
1
2 π
2
3
5 2
e
y
e
à
origem
ou
x
O,
1 1
7 e
medem
9
4π
9
9
5 3
alter nativa
b
Guia do professor
265
7.
Observe
a
figura
abaixo.
⎫ °
, sen
5.
a)
1
⎬ °
cos 150
,
, ⎭
3
⎫ tg
150°
,
b)
tg
⎬ °
225
–
—
,
6
5 =
– —
6
6 1
. ⎭
2
A
⎫ °
5
cos
0 1
c)
sen
⎬ °
5
. 2
⎭
⎫ ° , d)
cos 110
⎬ cos 1 10 °
.
2
–
0
—
5 =
– —
3
3
⎭
alter nativa
O
d
seno
é
de
igual
a
cosseno
de
e
a
seno
de
3
6
alter nativa
5
a
sen
6.
2
8.
sen
2
a
1
2
cos
a
5
1
V
sen
2
a
1
(0,8)
5
1
V
2
V
sen
a
5
V
sen
a
5
6
o
Como
a
pertence
ao
4
quadrante,
temos
sen
5
2
sen Assim:
0, 6
tg
7
cos
alter nativa
0, 8
a
A 9.
0
cos
13
3
6
V
3 7 OCCES
3 V
2
cos 2
NOSLIDA
0
alter nativa
o
ciclo
13π
trigonométrico,
π
sen
13π
5 2 sen
e
7
cos
que:
π 5
7
alter nativa
concluímos
cos
2
7
7
c
Cap ítulo
2
Funções trigonométricas
Nesse
capítulo, são
gumas
P ara
e
suas
isso,
da
apenas
função
Também
estudadas
icações
ampliamos
abordado
meio
a
na
de
o
funções
iversas
estudo
primeira
do
ciclo
volta,
trigonométricas
áreas
e
con
trigonométrico,
para
infinitas
e
al-
ecimento.
a
por
b)
o
construção
geométricas.
tidas
pela
a
f (x
Esse
de
gráficos
trabalho
é
por
muito
meio
útil
mudança
de
=
Com
f (
de
3)
o
função
1
é
periódica,
período
f (x)
f (
f (x
1)
1
5
2)
análogo
f (1)
V
5
p
ao
do
item
ao
do
item
2
Com
procedimento
1,5)
f (x )
5
5
f (x
f (1,5)
1
3)
=
análogo
V
f (4,5)
p
=
3
Resoluções e comentários
2.
Analisando
os
gráficos,
concluímos
que:
Exercícios p rop ostos
a)
Analisando
f (
266
2)
=
f (2)
alguns
5
f (6)
Guia do professor
pontos
do
gráfico,
verificamos
temos:
f (3)
variável. f (
1.
que:
p
procedimento
=
observamos
4)
para c)
funções
Como
f (x)
Logo,
antes
voltas,
Euler .
trabalhamos
transformações
as
nas
que:
a)
valor
mínimo:
b)
valor
mínimo:
c)
valor
mínimo:
0;
valor
1;
8;
não
valor
máximo:
tem
2
máximo
máximo:
12
a,
temos:
11
:SEÕÇARTSULI
Observando
d
3.
a)
b)
c)
e
d) 2 a)
225
sen
45° 2
y
2π
4π
π
3
4
15π
z
13
z
3
b)
4
5
sen
c
sen
sen
5
sen
4
270°
10
⎛
A
5
4
4.230°
2
sen
4
5
2
21
2
3
d)
5
O
⎝
2
2 e)
3
465° )
5
5
5 2
13
⎛
g)
sen
5
5
4
4
(
4.230°)
5
2
π
sen ⎝
4
3
⎞
sen
f )
sen
4
90°
5
2
1
2
4 z
3
3
3
10 15
h)
15
4
e)
e
2
⎛
3
2π
⎞
sen
sen
5 2 sen
5 2
4
⎠
3
5
4
3
4
f )
6.
Observando
os
valores
no
exercício
anterior,
podemos
generalizar:
y
2a)
a
5
Sabemos
no
A
5
2sen
2sen
que
intervalo
os
[
a
(2a)
valores
1,
da
função
f (x)
5
sen
x
variam
1].
Assim:
x
O
1
V
π
<
2
sen
<
x
<
2k
<
sen
x
1
4
V
V
21
1
<
<
k
2k
<
3
<
1
V
2
47π z
6
6 8.
13
6
4
5
a)
6
Uma
15
2
4 π
4
2 6
0
2 4.
7
8
expressão
eral
dos
arcos
côn
ruos
a
60°
2 π
9 π
5 π
11 π
4
2
4
x
3 π
é: 2
60°
360°,
Ñ
Z
–1
π b)
Uma
expressão
geral
dos
arcos
côngruos
a
é: 6
π 1
k
2π
k
Ñ Z
6
c)
385°
5
Uma
expressão
25©
1
360°
z
25° 9.
geral
dos
arcos
côngruos
a
385°
a
O
gráfico
meros
25°
1
k
360©
k
Ñ
2
π
11π
14 π
5
1
7
7
usando
o
software
aproximou
os
nú-
irracionais
para
números
racionais
com
duas
Z casas
d)
obtido
é:
11π
11π
7
7
decimais.
Assim,
2π
foi
representado
por
6,28.
5 7
b)
amplitude
5
=
1
2 2 5π Uma
expressão
geral
dos
arcos
côngruos
a
é: c)
7
D(
f
)
=
R
f
)
=
[0,
2]
1 1π 1
k
2π
k
Ñ Z
d)
f
é
Assim,
a
7
o 5.
gráfico
de
g
deslocado
1
unidade
para
cima.
sen
imagem
o
perío
das
o,
a
duas
amp
funções
itu
e
e
não
o
é
a
mesma.
omínio
são
No
entanto,
iguais.
10π 1
3 4.230°
Comentário:
—–
Esse
exercício
leva
os
alunos
a
fazer
a
leitura
3 2 13π
de
2
4
um
gráfico
imagem,
e
a
identificar
amplitude
e
os
período.
conceitos
Além
disso,
de
é
domínio,
trabalhada
—–
2
a
ideia
de
translação
k
f (x )
5
do
k
gráfico,
1
sen
em
função
no
parâmetro
x
OCCE
A
0
t
NOSLIDA
1
t
.
2. 500
sen
⎞ 1 ⎠
2
:SEÕÇARTSULI
número
máximo
ocorre
quando
sen
.4
1 ⎝
2 6
π
⎛ O
—– 13π ——
3
4
° f (x
4 1
π
3
5
2.500
1
1.215
1
5
3.715
máx.
—– Portanto, 3
o
número
máximo
de
pessoas
que
procuram
2
emprego
nessa
empresa
é
3.715.
Guia do professor
267
12.
π
⎛ 11.
h
t
t ⎝
a)
A
a)
⎞
5 3
altura
x
sen
máxima
é
atingida
pela
maré
quando
5
h
seu
3
1
valor
2
1
2
sen
máximo
5
0
0
(1):
5
2
máx.
4
A
altura
assume
mínima
seu
é
valor
atingida
mínimo
pela
(
maré
quando
2
seno
1):
1
5
h
x
seno 0
assume
x
⎠
6
3
1
2
(
1)
5
2
2
1
mín.
Logo,
a
altura
máxima
atingida
pela
maré
é
5
m
e
a 3
mínima
b)
é
1
m.
Atribuindo
2
4
alguns
valores
a
t,
obtemos:
0
π
⎛ (
t
1
t
2
⎛ =
3
1
2
⎞
π
sen
5
3
1
2
0
5
2
3 5
0 ⎝
3
1
2
sen
(0)
5
1
3 7
2
4
3 1
2
sen
3
1
2
1
1
2
⎞
π
⎛ 5
3
3
⎝
3
1
2
sen
5
⎠
6
2
2
⎞
π
5 ⎝
⎠
2
0
2π
5
2
⎠
⎛ h(3)
2
⎠
6
4
h(0)
0
⎞
π
s en ⎝
0
2
2
0
5
e
c
π h(6)
5
5 ⎝
5
1
2
5
3
1
2
2
sen
1
2
sen
(π)
⎞
π
⎛ 5
9
3
3
1
2
(
3π
⎝
1)
5
2
⎞ =
⎝
5
5
5
⎛ h(9)
1
⎠
2
2
1
1 2 5 π
3 π
7 π
2 ⎛ h(12)
5
3
1
⎞
π
⎝
2
4 5
2
12
3
2
sen
( 2π )
5
⎠
g 0 3
2
0
5
⎛ esboçamos
o
gráfico
π
3 π
4
2
4
π
2
3
2
Assim,
π
de h
t
π
f –1
⎞
5 3
t ⎝
⎠
6
–2
h (m)
d
A
amplitude
da
função
g
mede
1
e
a
amplitude
f
4 dobro
da
amplitude
da
função
e)
3
x
sen
x
3
sen
2
0
0
0
1
4
0
3
6
9
t
12
(
2
2
2
1
3
)
2
c)
Podemos
observar,
no
gráfico
esboçado
na
resposta
ao
3
item
b,
que
a
maré
alta
ocorre
para
t
5
3.
Além
disso, 4
observamos
Logo,
a
que,
altura
a
partir
máxima
de
t
5
12,
atingida
o
pela
ciclo
se
maré
ocorre
Como
que
a
t
para
5
0
maré
t
5
OCCES
Analogamente,
0
0
15.
representa
alta
2
noπ
vamente
2
2
reinicia.
ocorre
meio-dia
às
15
concluímos
h
e
que
(12
às
a
3
h),
concluímos
maré
5
4
h.
baixa
2
2
2
ocorre 3 1
NOSLIDA
para
d)
Pelo
t
5
9
e
t
gráfico,
5
21,
ou
seja,
concluímos
que
às
a
21
h
maré
e
às
alta
9
h.
se
repete
de
7
:SEÕÇARTSULI
12
h
em
12
4
Esse
a
dos
aplicação
268
situação
2
h.
Comentário:
uma
3
2
exercício
conceitos
e
o
exercício
estudados
contextualizada.
Guia do professor
anterior
na
2
2
mostram
modelagem
de
2π
0
0
x
da
é
o
y
x
sen
x
sen
x
3 0
2
0
0
2
2
2 4
2
2
1
1 2 5 π
3 π
7 π
4
2
4
2
2
π
0
π
2 π 3
2
x
g
2
0
π
2
2
4
π
3 π
0
h
–1
5
2
2
–2
3 1
1 2
2
–3
7
2
4
amplitude
unção
o
da
h
da
0
função
g
triplo
2
0
2π
A
2
2
amplitude
da
função
é
y
g 1
n Para
funções
do
tipo
i (x )
5
k
sen
x,
em
que
k
é
um
2 π
número
real
positivo,
a
amplitude
do
gráfico
de
i
será 0
igual
a
k
vezes
o
valor
da
medida
da
amplitude
da
função
g(x )
5
sen
3 π
2
–1
.
π
π
4 Comentário:
Esse
é
um
exercício
de
investigação
parâmetr o
k
i (x )
=
k
iniciam
a
investigação
pela
construção
em
casos
outros
casos
particulares.
Se
necessário,
os
gráficos
Se
achar
de
eles
conveniente,
for mularem
explor e
esse
uma
de
construção
visualização
de
vários
de
exer cício
gráficos,
casos
que
em
das
funções
gráficos
das
funções
g(x
m(x )
em
relação
ao
5
eixo
5
sen
4
concluam
cos
n
t )
5
6.380
1
5.900
x
e
O
facilitando
pico
valor
da
doença
deu-se
6
cos
78
máximo,
cos
80
6.380
5
1
ou
5.900
Portanto, co
cos
2
5
0
1
0
1
1
1
0
1
1
(x )
5
2senx
x
são
quando
cosseno
seja,
para
1
5
assumiu
seu
⎞
t
cos
5
1
⎠
6
12.280
ocorreram
12.280
casos
nessa
deter minada
região.
0
1
1
1
...
1
0
1
1
0
1
1
5
0
Sabemos
arcos
cos
14.
assim
2cos
2
2
1
5
⎠
6
⎝
cos
ue,
h(x
⎞
t
⎝
⎛
2
e
cos
a
ageneralização.
13.
x
x
⎛
um
possibilita
particular es,
alunos
hipótese.
17.
software
os
proponha
simétricos antes
ue
do
os gráfico
era-se
7 π
4
sen x
como Os alunos
Es
π
4
sobre
Comentário: o
x
2 π m
2 gráfico
π
2
2
do
de
que
0,
o
2π,
valor
4π,
máximo
...;
de
cosseno
ocorre
para
os
então:
t
π
= 0
V
π
8
t
π 5
0
V
t
5
5 1
6
π
1 t
13π
7 π
13 π
11 π
2
= 2π
V
π
8
t
π 5
12π
V
t
5
5 13
6 3 π
4
2
Logo,
2 π
2
9 π
5 π
15 π
4
2
4
2
π
4 como
t
x
4 π
ano),
concluímos
que
o
pico
da
doença
ocorreu
18.
a)
Observando
o
gráfico,
Observando
a)
g(0)
=
Como
o
gráfico,
O
temos:
b)
g(2π)
a
função
é
periódica,
temos:
g(x )
=
g(
1
2π)
a
função
período
p
da
Observando
passam
o
é
periódica,
função
h
gráfico,
em:
⎞
temos: ⎝
4
Como
janeiro.
3π
⎛
–1
15.
em
temos:
=
que
as
h(x
⎠
1
π)
π
concluímos
k
h(x )
4
k
Ñ
assíntotas
Z
2 O
período
p
da
função
g
é
2π π c)
D(h) h
=
R
Ñ
2
Z
e
Im(h)
=
]
1Ü[
2 b)
5
amplitude
1
2 19.
c)
=
R
e
Espera-se
Im( g )
que
os
=
[0,
2]
alunos
j(x )
concluam
que
o
gráfico
de
g
1
unidade
para
cima.
Assim,
das
duas
funções
não
é
a
mesma.
No
que
x
x
=
os
são
0,
a
a
amplitude
e
o
domínio
são
em
que
relação
ao
(x )
eixo
5
tg
x
e
x
=
= sen
entanto,
2
é
representada
pela
curva
em
vermelho.
iguais.
f
é
para
a
π 1
.
Vamos
construir
um
quadro
com
os
valores
de
x,
sen
x
o
grá
ico
da
unção
seno
transladado
unidade 2
e
sen
x,
considerando
0<
x
<
π
esquerda.
Guia do professor
269
:SEÕÇARTSULI
período,
concluam
temos:
f o
alunos
simétricos
π f (0)
imagem
2tg
NOSLIDA
deslocado
5
é 20.
f
Espera-se
OCCES
d)
D( g )
π
x
b)
temos:
5
f (x
5
2
1
x
g(x
5
x
4 y π
⎛
⎞
g
cos
0
4
3
g
2
π
g
4
21.
1
g(x
5
x: 3 π
π
0
x
2 π
– —
π
⎛
o
x
&
sen
x
⎞
2
2
1 4
f
–1
g
4
–2
x
π
⎛
o
2
sen
x
&
1
x
1
4
⎞
–3
4
5
y
2
x
— — –— 2
f Comentário
1
–– –
Softwares
5 π
2
7 π
g
– —
– —
4 4
— — –— 2
g
f
5
x
2
4
f
24.
a)
f (x
5
–1
2
2
– —
– — 4
2
3
3 2 – –– –
R
p
5
π
g(
5
x
o
x
&
x
2 22.
p
2
b
5
o
2
g(x
5
x
a
5
modo:
f
5
a
1
a
1
b
b
f
5
5
1
b
5
x
g
f
5
f
g
f
5
R
f (x
5
1
x
a
&
b)
x
Outro
g(x
5
x
o
f (π
5
x
&
x
2 f (π
5
a
1
a
1
b
b
π
p
5 3
5
o
a
5
b
x
&
8
x
o
a
5
b
5
x
&
1
x
o
23.
a)
f (x
1
x
g(x
g
x o
4
f
5
g
5
R
f x 25.
a)
x
5
cos 2
x
5
x
2
f
p
4 1
1
2 y
1 OCCES
π
π
3 π
x
π
5 π
– — 2
3 π f
2 2
2
–1
NOSLIDA
π
π
π
π
2 π
– — 2
2
–2
g –1
:SEÕÇARTSUL
período
–3
de
g
=
π
g
período
– 4
270
Guia do professor
x
3 π
de
=
π
b)
f (x )
5
sen
Partimos
b)
4x
da
função
(
)
5
e,
f
em
seguida,
cons-
2
4
2
p
A
y
O
1 π
3 π π —
2
π
0
2 π
+
k
+
k π
2
2
4
π x
2
g
f
c
–1
π — 6
O p
=
A
2 π
π k π
c)
(x )
5
2
Partimos
sen
da
6
2x
função
g(x )
5
sen
e,
em
seguida,
cons-
2 f
p
e
a 2.
2
amplitude
a)
855°
é2.
5
Assim,
135°
135°
a
1
1
2
360°
expressão
k
360°,
z
135°
pedida
com
k
Ñ
é:
Z
y
25
2
24
b)
8 3
3
3
z
3
3
f 1
Assim, 5 π
3 π
a
expressão
pedida
2 ,
Ñ
é:
7 π g
0
π
π
4
2
4
x
2 π
3 π
com
k
Z
3
4
–1 3.
A
função
também
p
1
π
p
=
<
1
Logo, f (x )
5
22
Partimos
cos
da
x
5
2
função
2sen
(
g(x )
cos
5
4
o
varia
<
de
10x
Adicionando
2 π
1
d)
seno
varia
4
4
<
a
a
f (x )
1.
Então,
podemos
5
2sen
10x
escrever:
1
todos
sen
menor
de
1
10x
valor
os
<
da
membros,
1
1
4
V
3
expressão
temos:
<
é
3
4
e
sen
o
10x
maior
é
<
5
5.
x )
2cos
x
e,
em
seguida,
t
cons 4.
A(t )
5
850
200
sen
f
Em o
período
não
sofre
2025,
temos
t
15
anos.
mudança. A
15
850 6
y 15π
5π
6
2
π
Temos:
z
2
2
Assim:
1 A
850 2
2 π
0
A π
–1
π
2
2
15
5
1.050
x
3 π
Portanto,
g
de
2025,
a
quantidade
será
1.050
de
algas
nessa
baía,
em
janeiro
toneladas.
f x 5.
–2
x
900 12
Observando
a
lei
da
função,
concluímos
que
x máximo
de
clientes
ocorre
quando
Exercícios comp lementares
número
5 21 12
E 1.
o
sen
concluímos
que
o
número
mínimo
de
clientes
ocorre
a) 2π —
x +
k
2π
quando
sen
5
1 OCCES
3
12
Assim:
900
800
(
1)
900
1
800
1.700
máx.
O
f (x )
5
900
800
(1)
5
900
800
5
100
mín.
:SEÕÇARTSULI
Portanto:
f (x )
f (x ) máx.
alter nativa
5
1.700
100
5
1.600
mín.
e
Guia do professor
NOSLIDA
f (x )
271
6.
De
acordo
com
o
enunciado,
quando
a
produção
é
abun-
Portanto:
y dante,
os
Então,
o
preços
mês
de
são
mais
produção
baixos.
máxima
de
um
produto
ocorre 3
quando
a
função
P (x )
⎛ P (x )
5
8
1
5
atinge
x
valor
mínimo.
⎞
π
2
cos ⎝
Observando
seu
a
lei
⎠
6
dessa
função,
concluímos
que
P (x )
é 1 π
mínimo
quando
cosseno
atinge
seu
valor
mínimo,
ou
f
seja,
⎛ quando
⎞
x
cos
= ⎝
2
0
2
21.
Isso
ocorre
para
arcos
de
π
3
2 medida
π,
3π,
5π,
5 π
V
x
⎠
6
...
2
–1
Então:
–2 π
8
2
π
π π
8
2
π 5
6π
V
5
6
π
–3 Portanto, P (x ) é mínimo para x 5 7, ou seja, no mês de julho.
alter nativa
são
d
D
f
5 R e
5
iguais
aos
de
g,
ou
seja,
2π
t t
7.
5
3 9.
6
Para
deter minar
o
rimeiro
momento
do
dia
em
ue
a
Sim.
a
No
intervalo
dado,
cos
x
(curva
verde)
é
sempre
é
sempre
negativo.
3
quantidade
de
espuma
atingiu
5
m
por
metro
de
rio, b)
f (t )
a
Não.
No
intervalo
dado,
sen
5: mas,
para
,
sen
5
6
c)
Não.
No
intervalo
dado,
π volta
do
(curva
,
π,
azul)
sen
x
é
positivo.
1
6
a
1
x
2
t 2
Na
x
π decrescente,
ciclo
trigonométrico,
x
5
1
para
x
tg
x
(curva
alaranjada)
é
sempre
π
5
crescente,
mas,
para
,
2
x
,
π,
tg
x
é
negativa.
2
Então: d)
t
Pelos
gráficos,
observamos
que
sen
x
tg
x
no
ponto
1 t
5
em
3
que
azul
e
x
π
(ponto
laranja).
As
de
cruzamento
coordenadas
entre
desse
as
ponto
curvas
são
(π,
0).
3
Portanto,
a
quantidade
de
espuma
atingiu
5
m
por
metro e)
de
rio
pela
primeira
vez
no
dia
às
3
Pelos
gráficos,
cos
x
5
verde 8.
a)
f (x )
5
1
2
cos
x
5
1
1
2
(
observamos
que:
horas.
cos
sen
e
a
x
no
ponto
curva
azul.
de
cruzamento
Esse
ponto
entre
está
no
a
curva
intervalo
x )
3π Partindo
da
função
g(x )
5
cos
x,
temos:
em
que
,
x
,
; 2
1
cos
passo:
x
"
2
(
cos
x
A
nova
amplitude
é
tg
x
5
cos
x
alaranjada
2
passo:
2
(
cos
x )
"
1
1
2
(
cos
gráfico
da
função
é
transladado
1
e
a
ponto
curva
x )
de
cruzamento
unidade
verde.
Esse
entre
ponto
a
está
curva
no
in-
π tervalo
O
no
2.
para
em
,
que
x
,
π
2
cima.
Portanto,
no
intervalo
considerado,
o
ponto
em
que
f
cos
x
5
sen
x
tem
abscissa
maior
que
a
abscissa
do
y ponto
10.
em
que
Inicialmente,
têm
tg
x
5
cos
observamos
ordenada
nula
ou
x
que
todos
positiva.
os
pontos
Lembrando
do
que
a
gráfico
função
2
modular
quadro
1
tem
com
essa
alguns
característica,
valores
de
x
podemos
que
montar
constam
no
f
g
2 π
π
3
2
x
|sen x|
0
0
|cos x|
x
2 1
5
1
–1
π 1
f
5
[
1,
3],
D(
)
5
R
e
p
5
x
sen
0
1
0
π
π
⎛ b)
5
2π
1
1
⎞
x 2
3π 1
5
0
1
2 Partindo
da
função
g(x )
5
sen
x,
temos:
0
2π
1
5
1
⎞
o
passo:
sen
x
sen
x
1
OCCES
π (0)
5
5
0,
O
gráfico
de
g
ficará
transladado
unidade
ara
2
a 3π
2
NOSLIDA
f
esquerda
sobre
o
eixo
(π)
5
f
5
f
(2π)
x
:SEÕÇARTSULI
⎛
o
2
passo:
sen
função
Assim,
272
a
terá
nova
1.
5
|cos
x| .
⎞ x
sen
x
1
2
A
5
2
x
nova
Guia do professor
2
amplitude
imagem
r nativa
será
[
igual
3,
3].
a
3.
Comentário:
o
conceito
Verificar
de
função
a
necessidade
modular.
de
recordar
um
gráfico.
q
1 6
4
4
Essa
4
1.
3
ser
opção
e 22π
2π
20π
5
2π
1
5
uma
abordagem
tecnológica,
além
de
4
5
z
5
expressão
os
cineasta,
construção
alunos
de
diante
vídeos
de
duas
estimula
a
situações:
criatividade
o
trabalho
no
sentido
da
criação
do
roteiro
e
da
execução
do
das
5
22π uma
pela
coloca
2π
5
5
Logo,
possui
interdisciplinar.
c A
2.
atividade
z
4
alter nativa
ç
geral
dos
arcos
côngruos
a
cenas;
e
o
uso
do
computador,
uma
ferramenta
fundamental
é 5
no
mundo
de
hoje.
2π 1
8
2π,
com
Ñ
Z Com
5
relação
parcerias alter nativa
O
3.
Observamos,
Portanto,
é
0,75
o
no
gráfico,
intervalo
de
que
o
tempo
período
de
um
da
função
batimento
é
0,75.
cardíaco
s.
rn
professor
se
A
função
de
colaborar
seno
é
periódica,
pois
sen
x
sen
(x
1
2π)
e
professores
de
é
interessante
Física,
Biolo
ia
estabelecer
e
2
Física
O
a
e
poderá
a
orar
professor
aves
com
e
a
consequência
ví
de
dos
eos
so
Biologia
piracema.
discussão
contribuir
Em
dos
com
re
Geo
rafia.
grupos
Acústica
poderá
Geografia,
desastres
desequilíbrios
os
ou
auxiliar
o
no
professor
naturais
provocados
que
so
re
tema
poderá
ocorridos
pelo
ser
hu-
seu
mano é
os
de
Astronomia.
migração
iv
período
interdisciplinaridade,
propuserem
em 4.
à
com
c
na
natureza.
.
Com
relação
a
pr ogramas
para
edição
de
vídeos,
existem
r nativa
muitos
f (x )
5
a
1
b
cos
(cx
1
d d).
1 A
amplitude
em
versões
gratuitas
e
também
comer -
cializadas.
1 ;
é
disponíveis
então,
5
2
2
Comp reensão de texto 1 O
gráfico
está
unidade
transladado
para
cima;
logo,
2 1.
a)
De
acordo
com
o
texto,
som
é
uma
variação
de
pressão
1 a
5 muito
rápida
que
se
propaga
na
for ma
de
ondas
em
2
um
O
período
é
2π;
então,
c
5
relação
ao
gráfico
de
x,
cos
o
gráfico
está
som
unidade
para
a
direita.
Então,
d
por
gera
uma
uma
vibração
variação
de
de
um
corpo
pressão
de
elás-
acordo
5 2 com
f (
)
o
meio
quando
⎠
por
a
amplitude
1
Segundo
o
à
sua
texto,
volta.
o
som
é
audível
para
o
ser
humano
5
alter nativa
sen(x
c)
⎞
π
⎝
corr esponde
ao
númer o
que
multiplica
2.
5
alter nativa
A
imagem
[
1,
O
22
1
3
sen
(
1
),
a
amplitude
é
do
função
um
3.
as
som
da
função
g( x )
5
cos
(2x
1
1)
é
o
conjunto
3.
dp 5 dp
som
ocorrem
senoidal
seno.
1,48
é
Portanto,
senoidal
alter nativa
a
variações
entre
20
e
20.000
vezes
segundo.
gráfico
da
π).
f (x)
é
o
que
determinado
o
único
consta
a
gráfico
no
partir
que
do
gráfico
representa
item
c
sen
(1,07πx
334πt )
1]. A
A
causado
qual
2
⎛
7.
o
2
A
é
transladado
tico,
6.
elástico.
1.
O Em
meio
imagem
da
função
h(x)
5
2
cos
(2x
1)
é
variação
máxima
[
2,
2].
Portanto,
a
imagem
da
pressão
ocorre
quando
o sen(1,07πx
conjunto
de
334πt )
=
1.
Então:
função dp dp
5
1,48
1
5
1,48
máx.
f (x)5
3
1
2
cos(2x
1
n
Portanto, alter nativa
p
4.
5
5
a)
Respostas
possíveis:
decolagem
de
a rn
pascal.
construção
civil;
banda
de
rock;
2
l
1,48
máx.
2 8.
5
dp dp
d
50
avião
a
jato
a
50
m;
decolagem
de
foguete
m.
iv
b)
No
caso
de
secadores
de
cabelo,
a
média
do
nível
de
t 9.
m
t)
5
4.500
1
3.400
ruído
sen
é
cerca
de
80
decibéis;
nos
liquidificadores
e
60 aspiradores
A
massa
é
máxima
pó,
geralmente
a
média
do
nível
de
quando: ruídos
sen
de
está
na
faixa
entre
80
e
90
decibéis.
1
t
5
c)
r esposta
pessoa l
d)
r esposta
pessoa l
2
m(t)
5
4.
00
3.400
1
5
7.900
máx.
Comentário:
A
massa
é
mínima
conversa
quando:
atividade,
-los 4.500
sobre
sensibilizar
finalizar
o
os
a
assunto.
alunos
atividade
com
Espera-se,
em
relação
com
aos
uma
essa
danos
t causados
5
possível,
3
1
m(t)
Se
coletiva
1
3.400
(
1)
5
sobre
por
a
ruídos
excessivos.
importância
da
Além
disso,
colaboração
de
conscientizá-
cada
cidadão
1.100
mín.
com
Tempo
decorrido:
90
30
5
c
individuais,
como
falar
baixo
dentro
de
uma
60 sala
alter nativa
atitudes
de
aula
ou
periodicamente
de
ou
espetáculos,
ouvir
música
regular
em
seu
volume
automóvel
mais
Guia do professor
baixo.
273
Cap ítulo
3
Complementos de T rigonometria
Os
conceitos
para
dos
o
estudados
nos
desenvolvimento
senos
e
dos
cossenos,
para
ângulos
agudos
ções
trigonométricas
e
capítulos
desse
usaremos
obtusos.
em
R ,
anteriores
capítulo.
E,
as
P ara
a
razões
para
a
utilizaremos
serão
da
conceito
de
equa-
de
arcos
a
distância
amente
lei
17,6
Aplicando
trigonométricas
resolução
o
Logo,
usados
aplicação
entre
a
a
entre
a
casa
e
a
entrada
é
aproxima-
metros.
lei
dos
entrada
e
senos,
o
vamos
descobrir
a
distância
pomar:
y
1 7, 6 5
côngruos
Também
nas
infinitas
voltas
ampliaremos
o
da
circunferência
conceito
de
razão
trigonométrica.
trigonométrica,de1 7, 6
finindo
secante,
desenvolvidas
mentas
a
as
cossecante
fórmulas
necessárias, por
determinação
do
e
de
cotangente.
adição
de
exemplo, em
ângulo
formado
Finalmente,
arcos,
que
Geometria
entre
duas
serão
serão
0, 5
y
9, 4
ferra-
Aplicando
analítica, para
gulo,
retas.
o
teorema
2
2
5
z
de
Pitágoras
no
triângulo
retân-
temos:
2
(17,6)
9
caminho
1:
caminho
2:
12
V
1
z
9,4
q
15,1
5
21,4
5
24,1
Resoluções e comentários
Exercícios p rop ostos
1.
a)
180°
80°
Portanto,
30°
5
o
9
1
15,1
caminho
1
é
o
mais
70° 3.
y
6
sen
70°
6 x
sen
sen
4,3
cm
x
30°
80°
sen
6
x
80°
y
0, 98
5
x sen
curto.
70°
q
6,3
0, 9 4 3,5
cm
d 6
sen 30°
6
0 3, 2
Logo,
x
q
6,3
cm
e
y
q
3,2
70°
cm.
d 4
3
b)
sen
x
q
V sen
6
V
sen
x
x
1
tabela
°
dada,
°
4
obtemos:
°
5
x
q
x
q
0,77
x
q
50°
4, 3
y
q
180°
50°
70°
V
y
q
60°
5
sen
80°
80°
4
q
sen
q
60°
60°
4, 5
3, 95
0, 8 7
77
Logo, x
q
Observe
40°
o
0, 8 7
0, 9 8
q sen
a)
x
q
4
2.
sen
y
60°
Logo,
70°
q
40°
°
4 im:
y
sen
0,6525
sen Pela
y
4
e
y
q
esquema
4,5
a
medida
aproximada
da
diagonal
é
3,95
cm.
m.
abaixo.
4.
Esquematizando
a
situação:
y navio 110°
12
m
100°
x x
z
45° 9
35°
m B
A
OCCES
50
NOSL
Ap
ican
o
a
ei
os
senos
no
triângu
o
o
tusângu
o,
Sabemos
que
Aplicando
temos:
a
sen
lei
100°
dos
5
km
sen
senos,
.
temos:
DA :SEÕÇARTSULI
x
12
50
x
50
= sen 110
12 x
x sen
100°
0, 9 4
Assim,
x
q
0, 6 4
274
40
Guia do professor
a
distância
0, 71
q
q
sen
entre
o
navio
e
o
primeiro
1 7, 6 observação
é
36, 2
0, 9 8
aproximadamente
36,2
km.
ponto
de
5.
Velocidade:
Em
5
0,2
m/s
minutos,
seja,
em
percorre:
300
cada
0,2
m
nadador
5
60
0 6
o
triângulo
ABC C
é
1,852
5
33,336
33,336
q
133,3
Representando
a
situação
ao
meio-dia,
temos:
A
isósce
d
50° les,
m 30°
Como
2:
50°
m 300 segundos,
Navio
B
ou
temos:
Aplicando
a
lei
dos
60
50°
6
5
senos,
m
5 med(C
1
0
navio
med(B
temos:
50°
d 177,8
5 sen 50°
km
sen C
60
0, 98
x
d
76, 36 0, 7 7 porto
Lo
o,
a
distância
mente,
7
,
entre
os
nadadores
será,
75°
aproximada-
m.
133,3
2
6.
a)
2
5
y
km
2
8
1
10
2
8
10
cos
30°
navio
2
3 2
y
5
V
y
64
1
100
2
8
10
V
Aplicando
a
lei
dos
cossenos,
temos:
2 2
2
q
x
25,6
Portanto,
q
5,1
x
cm.
2
5
q
177
192
x
5
2,5
1
3
2
2,5
3
cos
1
⎛ 5
6,25
1
9
2
2,5
2
177
1
cos
75°
a
distância
entre
os
navios
ao
meio-dia
é,
apro-
120°
ximadamente,
x ²
1
6
Portanto, b)
2
1
192,6
km.
⎞
3 2
2
q
x
22,75 1
11. Portanto,
2
7.
x
2
x
5
q
4,8
a)
1
2
1
1
3
2
sec
2
cm.
3
2
8
1
11
2
8
11
cos
135° 1 b)
⎛
sec
5
64
1
121
2
8
1 5 2
135° cos
135°
2
11 2
⎝
2
⎞
2
2
x
⎠
2
2
309,08
x
1 Portanto,
x
q
17,6
cm.
c)
cossec
5 sen
8.
1
150°
2
1
150°
2
a) 5
cm
2
cos
2
d)
cm 3,5
4
2 5
cot g
1
4
cm
2
sen 4
2
b)
Pelo
c)
5
esboço,
concluímos
que
o
triângulo
é
obtusângulo. 1
2
e)
2
5
2
1
3,5
2
2
3,5
cos
a
cossec
5 2 sen
V
25
4
1
12,25
14
cos
a
1
240°
V 240°
3
3
V 2
V
25
V
8,7
4
12,25
14
cos
a
V
3 5
214
cos
a
V cos
8, 75 V
cos
a
5
5
5
f)
cot g
2 5 2
330°
2
14
330°
sen
3
1
330°
8 2
Como
e,
cos
a
,
portanto,
o
0,
concluímos
triângulo
é
que
o
ângulo
a
é
obtuso
obtusângulo. 2
7 12.
9.
70
a)
2
cos
V
cm
7 5
3 cos
1
x
5
d
D 50
cm
50
4
cm
50
cm
3
π Como
105°
π,
temos
cos
x
5 2 4
2
70
cm
70
7
cm
sen
Sabemos
que
cos
105°
5
2cos
b)
75°.
tg
a
lei
dos
cossenos,
7
4 5 2
cos
Aplicando
x
x x
3
temos: 4
2
2
5
D
50
2
1
70
2
50
70
cos
105°
V
D
q
96 1
2
2
5
d
50
c)
2
1
70
2
50
70
cos
75°
d
q
sec
1 5 2 x
diagonais
medem,
aproximadamente,
96
cm
e
74,7
3
3
cm.
4
1 Sabemos
que:
1
nó
5
1.852
m/h
5
1,852
km/h
d)
cossec
5 sen
Ao
meio-dia,
os
navios
viajaram
4
1
x
NOSL
10.
OCCES
As
4
x
74,7
x
7
horas.
DA
4
:SEÕÇARTSULI
Então: 3
Navio
1: cos e)
1,852
5
44,448
44,448
q 177,8
x
4 5 2
cot g sen
x
7
7
4
Guia do professor
275
5
2 13.
a)
sen
x
Logo:
=
S
5
{x
Ñ
R$x
5
ou
5π
2 No
2k π
1 6
2
intervalo
[0,
2π],
os
arcos
cujo
seno
vale
x
são
5
1
2k π
k
Ñ
Z}
6
2
e
e)
tg
x
5
2
3
4
4
sen
Os
x
arcos
cuja
tangente
vale
3
considerando
o
in-
2 tervalo
3
[0,
2π],
são
e
k kπ
k kπ
3
3
4
4
tg
x
2 –––
2 k kπ
2 3
A
0
A
O
Logo,
no
universo
real
0
temos:
2kπ k S
5
x
x
3
Z
2 b)
5 sen
sen
5π 3
Observe
2π
que:
5
1
3
π
3
sen Logo,
no
universo
real
temos:
2 kπ
k kπ
2π
3 S
5
x
x
k 3
3 ––– 2
5 f
tg
x
5
tg
A
4
0
tg
x
π +
2kπ k
4 1
Portanto: A
5
x
O
2π
π S
x
2k
x
1
2k
k
Ñ
Z
3
3
5 k kπ
1 4
c)
cos
x
5 2
1 No
intervalo
[0,
2π],
os
arcos
cujo
cosseno
vale
5π Observe
2
π
que:
5
1
4
π
4
4
2 são
e 3
3
Logo:
S
x
5
k
Z
4
2 k kπ 3
⎛ 14.
cos
x 4
2
3 No
intervalo
[0,
2π],
os
arcos
cujo
cosseno
1
cos
0
2
x e
.
6
2
Assim,
temos:
4 k kπ 3
23 2k Logo,
no
universo
real
temos: 12
2π 5
x
4π
x
k
x
k
k
k
Z
k
3
3
Portanto: ⎛ d)
cos
x
5
5π
⎞
cos ⎝
6
⎠ S
OCCES
15.
5π –––
+
5
sen
k
x
cos
x
5
0
No
universo
NOSL
5
A
DA :SEÕÇARTSULI
3
0
0
real,
V
5
sen
x
5
cos
x
5
0
V
x
0
5
π
1
Ñ
kπ
k
ou
cos
x
5
Z
Ñ
Z
2
2 +
2kπ k
6 k π S
5
x
x
k 2
276
0
temos:
cos
––– 5π –––
V
2kπ k
6
Guia do professor
são
vale
A
Ñ
Z
0
19.
5
3 16.
a)
cos
10
°
5
cos
(60°
cos
105°
5
cos
60°
1
45°)
cos
cos
4
4
2
105°
45°
sen
3
2
1 cos
cos
60°
sen
45°
2
5 2
2
2
2
k 4
cos
105°
5 4
A
1 0
2
cos
x
b)
cossec
15°
1 5
5 sen
– –––
15°
sen
(60°
45° )
2 S
1
NOSLIDA
cossec 15° 5 cos
k kπ
45°
4
1 cossec
15°
5
3
1
2 Logo,
uma
resposta
possível
é:
cos
x
5 2
2
2
2
2
2
Comentário:
Esse
exercício
proporciona
a
4
reversibilidade
1
1 cossec do
estudo,
ou
seja,
a
oportunidade
de
elaborar
15°
5
5
uma 2
equação
a
partir
de
uma
solução
conhecida.
4
cossec 17.
a)
sen
75°
5
sen
(45°
sen
75°
5
sen
45°
1
15°
cos
30°
1
sen
30°
cos
5
45°
1 c)
75°
sen
75°
cotg
75°
1 5
5 tg
75°
5
tg
1 cotg
75°
5 1
1
tg
b)
2
30°)
3 sen
2
4
cos
75°
5
cos
(45°
cos
75°
5
cos
45°
45°
30°) 3 cos
30°
sen
45°
sen
1
30°
3 cotg 3
2 cos
75°
2
75°
5
5
1
5
3 2
2
2
1 1
2
3
cos
)
75°
cotg
5
sen
165°
5
sen
(120°
sen
165°
5
sen
120°
sen
165°
5
5
1
45°) d)
3
75°
cos
45°
1
2
sen
45°
sec
105°
1 5
5 cos
120°
105°
1
1
⎛
cos
⎞
sec
1
° cos
45°
1 sec sen
165°
105°
5
5
d)
cos
285°
5
cos
(240°
cos
285°
5
cos
240°
1
2
45°)
cos
45°
sen
240°
cos
2
1 cos
285°
5
2
⎞
3
2
105°
5 2
5
2
⎝
⎠
4π
7 285°
5
20.
a)
3
5
a)
Vamos
mostrar
5
que
tg
15°
i
tg
45°
tg
1
tg
tg
(45°
45°
tg
tg
30°
3
5
1
45° 3
15°
tg
45°
5
2
4
3 2
7 3 tg
30°
5
3
1
2
3
tg
3
5
i
5
,
concluímos
17
⎛
que:
b)
i
Vamos
tg
45°
tg
mostrar
que
5
⎛
⎞
π
5
⎞
1
⎛ 5
⎝
12
15°
5 2
3
b)
tg
3
5
12
3
Como
1
4
5 12
30°) tg
tg
⎠
30°:
7
15°
⎞ 1
⎠
tg tg
π
⎞
1
4
18.
2
2
2
cos
2
2
4
45° sec
⎛
3
2
1
4
5
⎞
tg
⎠
⎝
⎠
30°
tg
60°
tg
45°
i
tg
15°:
⎛
⎛
⎞
tg
5
π
π
tg
⎞
1 4
tg
60°
tg
15°
tg
45°
tg
(60°
5
3
tg 5
45°)
60°
tg
45°
5 1
60°
⎛
17π
6
⎞
tg tg
15°
5
2
3
12 tg
1 6 Como
tg
3
60°
1
tg
i
45°
2
i
3
tg
,
concluímos
3
15°
1 17 Comentário :
Analogamente
ao
boxe
Reflita
da
página
84,
tg
meio
de
cálculo
direto,
em
caso
particular,
os
1
3 5
12
por
4
que:
3 1
1
alunos
3
são
levados
nérica
de
a
que
concluir
a
que
tangente
não
da
é
válida
diferença
a
de
afir mação
dois
ge-
ângulos
1
17
é tg
5
5
12 igual
à
diferença
das
tangentes
desses
ângulos.
Guia do professor
21.
a)
cos
(π
1
x)
5
2cos
4.
x
A
o
membro,
temos:
os
sen x 0
1
24 cos
(π 1
x)
5
(
1)
cos
x
5
2cos
x
15
o
Como
desenvolvendo
o
membro
1
obtivemos
uma
o
expressão
mos
idêntica
concluir
que
à
a
expressão
igualdade
do
cos
membro,
2
(π
)
5
pode-
2
verdadeira.
B ⎛ b)
21
π
sen
5
cos
2 Aplicando
a
lei
dos
cossenos,
temos:
o
membro
da
igualdade,
temos: 2
21
5
sen
8
cos
sen
2
x
24
2
15
24
cos
a
441
2
0
cos
5
a
225
5
1
576
0,5
a
720
5
cos
a
60°
π
sen
cos
cos
x
2
Como
Portanto,
obtivemos
uma
expressão
idêntica
à
2
membr o,
podemos
concluir
que
a
5. 5
cos
é
AC
do
medida
triângulo
do
é
ângulo
for mado
entre
os
lados
AB
60°.
igualdade
π
sen
a
expressão e
⎛
1
cos
1
do
2
15
π
⎛ sen
⎛
2
5
Fazendo
um
esquema
da
situação,
temos:
C
verdadeira.
med(A ( )
5
36°
med(B )
5
90°
med(C )
5
54°
54°
Exercícios comp lementares
19 m
1.
D x 135° x 21°
30°
15°
15°
A
Aplicando
a
lei
dos
senos,
B
temos: Aplicando
a
lei
dos
senos
no
:ACD,
temos:
1 15
2 19
15
x
2
x
19
2 x
81
x
5
5
42, 75
15 0, 3 6
sen
30°
2
Portanto,
5
15
A
distância
entre
madamente,
2.
o
topógrafo
e
a
base
da
torre
é,
aproxi-
cm. 42,75
m.
A 6.
sec
cossec
π
1
tg
2π
8
sec
2
5 4
5
1
(
1)
1
0
sec
5
21
4
x
60
m
1 7.
a)
Se
cos
x
,
5
en
ão:
3 2
2
sen
2
x
cos
⎛
2
x
5
1
V
sen
x
5
1
⎞
1
V ⎝
60°
⎠
2
V B 50
sen
x
5
C
m
9
o
Como Aplicando
2
a
lei
2
x
60
dos
cossenos,
x
é
um
arco
do
1
quadrante,
temos:
temos:
2
1
50
2
50
60
cos
sen
60°
x
5 3
1
2
1
x
500
sen b)
2
5
x
cos
x
x
3
5
3.100
5 1
1
q
x
1
3
55,7
1 Portanto,
a
distância
entre
os
edifícios
A
e
B
é
aproxima-
c)
sec
x
3
5 cos
damente
55,7
1
1
x
m.
1 3.
A
d)
cossec
1
3
x
5 sen
x
4
3
8
120°
cm
8
cm
OCCES
8.
a)
sen
x
5
sen
NOSL
5 C
B
DA
2
BC
2
5
8
Então:
2
1
8
2
8
8
cos
x
5
4 2k π
ou
2
x
π
k
Ñ
Z
120° 5
5
:SEÕÇARTSUL
2
(BC )
5
128
5
192
128
(
0,5) Logo:
2
BC
V
BC
192
BC
5 π S
Portanto,
278
a
medida
do
Guia do professor
lado
BC
cm.
5
x
x
4π k
5
x
5
1 5
k
k
Z
Então: 2
⎛ b)
cos
x ⎝
2
3
cos
75°
sen
105°
5
5 4
Então:
k
2
ou 5
3
4
5 2
5 2
4 4
4
2
k
k
Ñ
k
Z
12.
a)
2
sen
x
1
2
2
cos
x
5
1
V
2
sen
x
5
1
cos
x
V
4 2
V
3
⎛
2
Logo:
x
sen
5
2
V ⎝
S
16
⎞
1
sen
x
5
⎠
5
25
4
k Como
x
é
um
arco
do
1
quadrante,
temos:
sen
x
5 5
b)
π c)
tg
x
tg
x
sen
x
cos
x
5
V
3
tg
x
4
5
5
3
4
5 3
4 c)
cos
2x
5
cos
2x
5
cos
(x
1
x)
5
cos
x
cos
x
sen
x
sen
x
Então:
k
k
Ñ
3
3
4
4
9
16
5
5
5
5
25
25
Z
7 cos
7π Logo:
x
5
k
2x
5 25
Z
12
d)
9.
sen
x
1
cos
x
0
V
cos
x
sen
sen
sen
2x
5
sen
x
(x
1
x
5
4 sen
2x
5
sen
2x
5
5
x
5
sen
x
cos
x
1
sen
4
3
12
12
5
5
25
25
x
cos
x
24 k kπ
25
4
e)
tg
2x
sen
2x
cos
2x
24 V
5
tg
2x
25
⎛
5
8
24
⎞
2
5 2
25
7
7
A
cos
x 13.
a)
Aplicando
a
lei
dos
senos,
temos:
2 18 18
36
7 k kπ
sen
4
sen
3π Logo:
S
5
2 V
45°
6
6
5
sen
b
5
V
b
36
3
x
k
V
sen
b
5
4
2
3 b) 10.
a)
sen
15°
5
sen
(45°
sen
15°
5
sen
45°
cos
15°
b 5
V
b 5
60°
ou
b
5
120°
2
30°
3 sen
sen
30°)
sen
30°
cos
45°
c)
2
1
a 5
180°
(45°
1
60°)
a 5
180°
(45°
1
120°)
5
75°
5
ou
15°
5 2
2
2
Logo,
2
a
75°
ou
a
15°.
d) sen
15°
5 4
75° b)
cos
165°
5
cos
(120°
cos
165°
5
cos
120°
165°
45°)
cos
45°
sen
3
2
1 cos
1
120°
sen
36
45°
2
5 2
2
2
2
45°
cos
165°
5
120° 45°
4
c)
tg
75°
5
tg
(30°
1
45°) 14.
a)
sen
2a
5
sen
(a
1
a)
5
sen
cos
a
1
sen
a
8
cos
a
V
sen
a
V
1 V tg
75°
sen
2a
2
sen
a
8
cos
a
5
cos
a
5 1
30° b)
cos
2a
5
cos
(a
1
a)
2
3
V 1
cos
2a
5
2
sen
75°
cos
a
2
sen
a
8
a
1
3 tg
8
2
a
cos
tg
5
5
c)
tg
2
5
tg
(a
1
tg
a) a
1
a
8
1 3
Logo, tg
75°
5
2
1
a 11.
cos
75°
5
cos
(30°
cos
75°
5
cos
30°
3 cos
75°
1
5
existência
da
tangente.
45°)
45°
sen
2
30°
sen
15.
45°
cos
(x
cos
(x
1
2π)
5
cos
x
cos
2π
π)
5
cos
x
cos
π
2
cos
(x
1
3π)
5
cos
x
cos
3π
sen
x
sen
π
5
2cos
x
sen
x
sen
2π
5
cos
sen
x
sen
3π
5
2cos
x
2
1
2
2
2
x
2
e
OCCE
75°
2a
5 2
cos
tg
3
assim
Então,
5
por
a
diante.
sequência
4 [cos
NOSL
sen
105°
5
sen
(60°
1
105°
5
sen
60°
cos
45°
1
sen
45°
cos
i
k π,
DA :SEÕÇARTSUL
sen
105°
x
2
1
pode
Ou
x,
cos
seja,
a
cos
(x
escrita
x,
cos
x
sequência
2
2
2
de
primeiro
Comentário: 105°
),
ser
1
2
da
),
cos
(x
seguinte
1
3
),
...],
com
for ma:
cos
é
x,
uma
...),
com
x
progressão
i
k π
geométrica
(PG)
5 2
sen
1
60° (cos
3
cos
45°) x
sen
x,
ter mo
Essa
igual
a
cos
questão,
de
1
caráter
intradisciplinar,
5 4
retoma
o
conceito
de
PG.
Guia do professor
279
5.
2
sen
x
2
5
0
sen y
6
x
5
1
V
x
5
1
2k π
Ñ
Z
2
x
1. sen
44°
sen
36°
sen
100°
Portanto,
S
x
Ñ
π
Z
2
alter nativa 6
sen
100°
6
x sen
b
0, 98
x 44°
q
8,5
0, 6 9
2 6.
cos
3
2x
2x
1 4
2 6
sen
36°
6
0
59 y
5, 1
5
sen
2
2
k
Ñ
Z
4
Logo,
x
q
8,5
cm
e
y
q
5,1
cm.
k
Logo,
k
ou
Ñ
Z
8 alter nativa
d
Portanto, S
x
Ñ R$
k
x
k
8 2.
Aplicando
a
lei
dos
cossenos,
alter nativa 2
2
( (AB B)
5
k
Ñ
Z
8
temos:
b
2
12
1
2
12
8
cos
20°
2
q
( (AB)
144
1
64
180,5 7.
sen
15°
5
sen
(60°
sen
15°
5
sen
60°
sen
15°
5
45°)
2
27,5
( (AB B)
AB
q
cos
3
a
ter nativa
3 Se
sen
45°
cos
60°
2
sen
x
2
1
2
2
5
5
então
cossec
x
sen
5
5
15°
5 4
3
Assim:
1 cossec
2
c 2
3.
45°
5,25
1
5
x
cos
105°
5
cos
(60°
cos
105°
5
cos
60°
cos
105°
5
1
45°)
cos
45°
sen
60°
sen
45°
5 sen
x
3
2
b
cos
105°
3
2
1 5
alter nativa
2
2
2
2
5
1 o
4.
Se
cos
x
5
e
x
pertence
ao
1
quadrante,
então
alter nativa
d
4
15 sen
x
1
= 8.
4
Se
15
e
sen
0
,
,
4
então
cos
x
5
2
4
1 sen cos cotg
x
2x
= sen
x
cos
x
1
sen
x
cos
5
2
sen
x
cos
15
4
x sen
x
15
15
1
15 sen
2x
5
2 4
alter nativa
a
alter nativa
Cap ítulo
15
4
8
b
4
Super fícies poligonais,
círculo e áreas
Esse
capítulo
metria
vistos
olígono
retoma
no
e
apro
Ensino
regular
e
de
unda
alguns
Fundamental,
circun
erência
conceitos
como
e
o
as
de
cálculo
de
inições
da
Portanto,
Geo-
área
são
de
1
super
ícies
poligonais.
Esses
conceitos
de
lana
servirão
de
base
para
o
estudo
da
Geometria
à
Resoluções e comentários
um
os
rio:
triângulo
equilátero
inscrito
em
uma
por
exemplo,
triân
ter ça
ulo
a
r elação
baricentr o
na
razão
1
de
raio
r
2
cm,
da
9
do
do
lado
desse
ser
triângulo
apr oveitada
descobertas
entr e
o
a)
R c
temos: 3
r 5
1
c
R
6
c
2 3
Guia do professor
3
3
da
triângulo,
3
R
medida
que
3.
2
a
a
medida
estudamos
do
6
280
e
pode
outras
equiláter o:
parte
c
a
questão
façam
circunfe-
2. rência
Essa
alunos
Geometria,
Exercícios p rop ostos
Em
apótema
respectivamente.
além
da
para
pedi-
apótema
e
a
altura
seguintes. do
1.
do
espacial da,
capítulos
cm,
Geometria que
nos
medidas
e
de Coment
algumas
as
cm
do
altura
essa
que
é
apótema
do
i
triângulo.
uma
divide
é
ual
Na
pr opriedade
cada
mediana
Comentário:
b)
D
Essa
questão
pode
ser
explorada
com
os
R seguintes
D
questionamentos:
DEFG G
e
DCBA
são
semelhantes?
3
dentes?
R
lelogramos
sejam
semelhantes?
c 6
5.
c)
P
6
c
5
6
V 3
Comentário
8
cm
7
cm
9
cm
1 p
9
5
5
12
2
A
) : ABC
A
5
12
5
: ABC
r
que
passe
2
pelo
centro
O
Comentário
partir
da
reta
a
dela;
;
O
r
P
na
6.
F
A
P
cir
O
e
raio
OA
r
B
A
2
150
B
C
D
E
e
F
cm
a
h
AB
BC
CD
DE
EF
e
FA D
C
E
A 3.
2a
a
1
1
2b
b
a
5
5
G
c
5
1
V
a
5
1
V
a
5
ABCD
12
Seja
d
1 5
V b
b
5
2a
2
5
5
2
3 h
10 2
3
0
2
a 20 A
10
3
5
5
100
3
:E F G
2
b
7.
a
1
2a
5
V
a
5
2
e
b
5
8
5
4 5 2
Área
5
a
b
5
2
4
5
m
c 2
⎛
⎞
A
1
5
quadrado
2
4.
BC /AG /EF
DEFG
e
AB /CE /GF
DCBA A
e c
2
A
5
2
DEFG
( 10
A :DEG
8.
A
75 trap
zio
2
78 A
a 10
5 :DEG
A
2
10 5
5 triângu
50
o
2
A
5
30
sen
a
2
DEFG
5
2
DCBA
Comentário
A
2
é
50
m
ADC
10
a 2
A
mentalmente
5
o
quadrado
ABCD
:ADC
2
A
5
10
sen
a
DCBA
AMCD
da
ABCD
e
a
4 A
1
D E FG
5 A
5
9
CDM
corresponde
a
ABCD
2 DCBA
Guia do professor
281
:SEÕÇARTSUL
NOSLIDA
OCCES
A
9.
12.
A
C
E D
5
x
x
x 60° B
x
45 F
–
x C
20
m
E
:ADE
31
20
F
B
:EFC
m 5
2
5
x
x
x
x
5
20
x
x
DEFB
BDF F
1 A
5
5
5
8
3
DEFB
2
2
A 20
m
é
2
A
5
A
A
13.
A ADEF
H
BCEF
B
(3
x
1
2
x
A
E
F
C
2
2x
x
5
5
5
2x
19
G
1
1
D
cm
cm
10.
17
cm
A
5
A
ABCD
AE
d
1
2
A
AECF
F
é
um
ABCE
quadrado:
A
5
3
3
5
9
AECF
17
cm 2
A
5
A
ABCE
1,4
A
A
BCG
5
4
2
9
5
3
AECF
2
A 17
2 HFGB
m
5
9
1
2
3
5
15
ABCD
cm
2
Comentário
17
cm
2
m 2
A
BCG
d
5
2
5
5
D
5
2
m
2
5
5
r 14. d
3
2
5
A
a
r
3
D 5
8. 798
2
cm
osango
2 5
5
V
c
5
6
2
5
Comentário
a
5
2
cm
15.
11.
c
a
C A
6 hexágono
2
c h
a 6
Mas:
6
c
a
D
5
2
2
3
cm
a
a
6 19
cm
3 5
5
hexágono
6
2
ABC
DEC
OCCES
A
5
72
3
hexágono
Sendo
ABC C
e
h
2
NOSL
gulo
DEC
Comentário
DA
19
AB
DE
5
cm
:SEÕÇARTSULI
3
A
5
2
5
2
Guia do professor
282
3
11, 4
72
5
h
Logo:
a
x
19.
3
6
16.
5 12 a
2 4
12 c
3 6
5
5 6
2
2
c
2a 6
c
a 6
2a
3
1
6
c
a
1
2
3
1
2
3
a
6
2
2
x 2
6
a
c
A
6
c
4
c
1
2
x
5
2
12
V
2x
5
144
V
x
5
a
6
5 4
A
a
c
4
a
c
4
1
2
12
6
3
1
1
a
1
2
8
2
1
c
2
cm .
Comentário:
17.
Essa
questão
proporciona
aos
alunos
a
com-
2 c
2
20.
A
5
=
π(R R
coroa
2
)
π
R
2
)
5
π
π(
R
2
)
25)
5
2
2
2
5
π
R
)
5
100
R
2
5
10
2
0, 24 q u a d r a d os
R
5
2
2
x
a
⎛
⎞
π
2 21.
2
1
m
R$
A
π
5
8A
a
2
A
a π
2 V
x
5
500
5 120
2
x
$
2
5
3
2
e
c
5
18.
A
8A 2
8A 2
c
2
5
8
1
A
3
2
a
2
b
A
A
1
A 2
T T
coinci-
A
1
A
5
A
2
Comentário
r P
Carboidratos
í e t o
s a n
22.
3
Gorduras
1 1
3
1 –––
2
1
T
1
5
A
T
mais
T
5
T
⎛
1
⎞
1
5
2
⎛
⎠
⎝
1
4
2
⎞
⎠
2
⎛
1
A
3
⎞
5
segm ent o
4
⎠
3
3
1
5
1 aranja
2
6
6
2
cm
6
Guia do professor
283
.
:SEÕÇARTSULI
⎝
NOSLIDA
1
⎝
3
o
is
OCCES
π
2
triângu
A
23.
4.
A
5
300
200
5
2
A
5
20
400
A 2
2
Sendo
n
A
n B
5
C
60. 000
c o z i nh a
A
150
4 cer âm i ca
c
5.
a)
A
c
r
5
6 2
A
5
5
42
1
9
cm
2
8
2
3 A
2 tri
ngu
3
5 8
2
2
A
o
4
cm
2
5
A
cm
A
4
(9
5
A
5
5
51
6
2
cm
6
cm
2
A
5
3
A
3
A
setor
circular
A
5
42
1
51
5
93
total
2 2
2
r
5
2
2π
2
2
b)
r
A
5
5
quadrado
5 set or
ci r cu
ar
6
6
3 1
1
7
18
5 triângu
9
o
2
5
2
az u
3
A
5 triângu
5
6
o
2
π
cm
A
1 t ot a
Comentário
2
pode ser mais explorada pedindo aos alunos que calculem a
1
6.
BAC
e
MNC
ABC
AC
2
k
2
k
π NC
2
A
k
2
5
5
4
MNC C
2
e
A
C
Exercícios comp lementares
1.
V
A
10 5 2
5
2
7. c
5
5
400
2
2
10
c
x
5
x
5
400
400
ri 4
cm
100
4
c
x
5
x
5
26
3
5
2. 6
2 c
3
6
6
6
a
c A
2
6
V
6
2
8.
c
5
V
c
4
12
2
5
V
c
3
5
8
4
3 DC
5
3
DMC
MQ;
assim:
2
V
c
5
4
V
c
5
2
DC
DM 5
c
5
r
r
5
PQ
PM
8
DM
5
2
PM
2
9
24
2
2
5
3.
PM
5
V
PQ
PQ
5
4
PM
12 A
5
5
16
osango
2
2
Temos:
(p
)(p
A
9.
9) triângu
MQNP
o
OCCES
A
5 12 triângu
5
o
NOSLIDA
2
4
:SEÕÇARTSULI
8 12
A triângu â
5
o
c
5 15
2
2
A
5 quadrado
cm .
284
Guia do professor
c
c
2
5
15
5
225
4
2
e
diagonal 1 5
2
cm .
2
10.
A
B
2
2
c
⎛
⎞
c ⎝
2
2 2
c
2
a 6
4
A
A
A
2
4
2
3
3c
2
5
a 6
2
4 c
5 3
D
C
A
5
a
5
A 3
2
A cí
2
u
A
A
4
2
1
1
c
2
5
V
c
7
3 A
5
2
3
A A 5
A
A
2
cí r cu
o
2
4
V A
ABCD
5
2
4
π
8
2
V A
2
5
4π c
2
a
4, 39
6
4
5
A
3, 80
6
V
A
A
1
A
2
5
2π
1
2π
1
2
4π
3
7
2 1
A
A
1
A
1
A
2
5
3
c
a
4, 39
4, 20
5
A
5
5
5
V
2
Log
11.
ABCD
5
20
A
1
quadrado
MNPQ
7
20
A 5
MNP
diagonais
do
quadrado
MNPQ
5
2
das
1
MNPQ
medidas
1
12
T
ao
7
e A
exteriores
A
2
15. cm
4 d
5 4
A x
h
2
2
2
A
8 M N PQ
cm 2
alaranjada
é
8
cm
h
=
4
–
x
A
12.
2
8
cm
2
R
R
h
5
A
R
Ñ
x
2
N
20
5 360
2 4
x
1
1
32
cm
5 2
2
3
1
R ,
V Então:
2
q
para
R
8
32
128 5
1
1
1
5
20
50 5
2
1 13.
1
78
A
5
5
6
2
2
Área:
400π
1
2
cm
π
cm 2
A
e
A
2
$
x
o
16.
Se
o
1
c
5
2
30, 625
x
o
2
o
ser
aproximadamente
R$
é
a
metade
5
da
medida
da
diagonal
do
1
2
2
c
5
3
14.
OCCES NOSL
:SEÕÇARTSULI
2
a 2
4 2
⎛ c
c
2
2
c
Logo:
c
5
2
2
⎞
2 2 4
5
2
2
Guia do professor
DA
285
o
Área
do
5
quadrado: 4
e
6
4
⎛
2
A
5
c
6
2
A
5
2
⎞
5
o
L
a
c
c 4.
2
1
2
então:
4c
5
c
4
17.
6
F
A
a
6
6
5
5
A a
a
a
4c
4
4
a 2
E
A
5.
A
1
2
2
ACEG
O
2
a
a
é
2
cm
a 1 c
a
A
2
5
5
1
AEG
2
2
B
D
a
1
a A
AEG G
é
1
cm
)
5
5
1, 5
ABEG
2
2
C
2 Se
a
ABCDEF
A
ABEG
1
5
5
1
B D FH
2
a 2
c
3
a
a c
H
é
1
cm
3
5 6. A
A
e
A
H
são
tais
B
que:
K
a
x F
A
10
cm
H
4
2
h
2 2
⎛
⎞
a
3
A K
⎝
⎠
3
4
D
2
h
5
10
10
C
cm
x
a
A 2
H
Logo:
3 2
2
A
a
K
2
A
x 2
)
Comentário
(
A
1
1 0 )5
5 ABEF
2
A
BD
e
EC
O
H
2
A
ABEF
AC
(x
1
EBC
1 0 )5 5
ár ea
H
ár ea
K
x
2
K
x
36
1
10
5
5
40
4x
Logo: 12
FE
⎡
1 7. 1.
2
⎤ 2
π
⎛
π
⎞
R
5
cor oa
⎝
4
⎣
⎦
16
2
A
5
r
circulo
Logo:
2.
c
5
2a a
4
A
4
3
verde
5 A
c
3
16 ci r cu
o
2 OCCES
c
3
5
a
6
6
3
NOSL DA
c
5
2
2
8
:SEÕÇARTSUL
3.
286
Guia do professor
d
sites
a
site
Cap ítulo
5
Introdução à Geometria espacial
Apresentando
tria, esse
de
O
as
noções
capítulo
permite
demonstrações
estudo
entre
reta
rismo
é
das
e
de
–
e
e
trabalhar
os
a
postulados
dedução
da
lógica
Geome-
por
meio
teoremas.
posições
plano
primitivas
imprescindível
ideias
para
o
–
entre
de
retas,
entre
paralelismo
trabalho
com
e
planos
ou
perpendicula-
nos
capítulos
poliedros
e
corpos
redondos
relativas
das
seguintes. existe
um
plano
a
o
No
volume
do
3
ano,
o
estudo
das
posições
relativas
terá
o
viés
da
Geometria
analítica.
Resoluções e comentários
não
existe
nenhum
plano
a
que
a
contenha
os
Exercícios p rop ostos
1.
A
e
B
3.
pontos
não
colineares
com
e
B
e
A
B
C
e
D
CD
A
B
C
e
D
nunca
C
5.
e
2.
4.
e
C
AC
outros
pontos:
A
B
e
C;
A
B
e
D;
B
C
e
D;
A
C
e
D.
Guia do professor
287
Comentário:
sante
Após
perguntar
per nas
sempre
nunca
na
a
resolução
aos
ficar
alunos
manca
horizontal
dessa
se
o
implica
quando
questão,
fato
de
que
colocada
a
seu
em
é
interes-
mesa
de
tampo
pé
em
c)
três
sa,
pois,
existe
estará
um
Fa
está
pelo
se
uma
menos
contida
em
reta
r
uma
a
reta
t
perpendicular
a
r
que
a
chão t
plano
e
Esse
um
r
horizontal.
questionamento
plano
por
tr ês
vai
além
pontos
da
deter minação
distintos
e
não
de
colinear es.
T am b ém
co l o c a
em
pauta
o
conceito
de
pa r al e li s m o
d) entr e
V erdadeira, pois, se uma reta r é perpendicular a um plano
planos.
a,
6.
a)
Verdadeira,
existe
um
Falsa,
c)
Falsa,
d)
Verdadeira,
se
duas
mesmo
b)
ou
pois
pois
pois
não
duas
duas
têm
plano
retas
retas
pois
retas
dois
são
que
reversas
as
planos
nenhum
são
ponto
não
são
são
paralelos
ou
coplana a ares.
se
coincidem
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Falsa;
retas
considere
r
Nesse
e
s
tais
caso,
Portanto,
dois
que
ou
r
duas
e
r
s
planos
y
a
são
retas
e
s
paralelos
y
a
e
b
e
paralelo
a
questão,
podemos
a
com
propiciando
desenvolver
a
por
como
meio
objetos,
aos
habilidade
r
assim
explorar,
r epr esentações
afir mações,
Por
KM
duas
b
um
ponto
passando
Como KM
paralelas,
reversas
de
plano
Nessa
da
alunos
visão
a
a
nas
de
ques-
esquemas
verificação
das
oportunidade
de
espacial.
comum.
9.
7.
todo
rio:
tões 6 e 7,
coplanares.
sempre
então
Coment
não
contenha.
reversas
paralelas
quando
ou
r
e
podem
s
são
estar
reversas.
em
ª
KM
Como
R
fora
por
PM
de
e RP / KM
/ QS
e
,
KM
traçamos
uma
paralela
a
P
KM
, então
/ RP
,
RP
então
é perpendicular a
RP
PM
/ QS
planos ª
e
/ RP , então
RP
é perpendicular a
P
paralelos. Então
b)
Verdadeira;
sabemos
que
r
é
paralela
a
s
e
que
a
t
e
queremos
mostrar
que
r
é
paralela
a
retas
r
coincidentes
}
Há
5
três
r
z
s
Ö)
e
(r
e
e
s
z
a
são
s)
paralelas
ou
quando
( r/s)
têm
quando
intersecção
r
z
s
e
a
s
Nesse
r
er
endicular
a,
elo
menos,
duas
de
a
RP
/ KM
e
RP
/ QS
,
temos
que
ª
a
e
QS
ª
a
vazia
10.
a)
Não,
são
perpen
b)
Não,
HG
é
icu
ares.
c)
Não,
são
concorrentes.
d)
Sim,
pois
coplanares. paralelo
ao
plano
(EFN).
considerar:
as
três
retas
são
coincidentes;
logo,
r
EF
y
EFN
}
EHG.
é
t
}
t
5
caso,
a
é
são
11.
ois
t
caso,
paralela
z
são
casos
Nesse
s
a,
t Como
Duas
ª
é retas
paralela
RP
r
Ö
e
ou
t
r
têm
}
s
5
Ö
e
s
intersecção
z
a)
Veja
a
figura
abaixo.
t
vazia;
logo,
r
t
t s
r
}
s
5
Ö
e
s
}
t
5
Ö
r
P
Consideremos
b
os
(deter minado
reta
planos
por
s
e
(deter minado
t ).
A
intersecção
por
de
a
r
e
e
s)
b
é
e
a
s
P
Por
t
ser
um
ponto
de t
é
um
ponto
de
b,
mas
não
de s Como
(pois
s
}
t
5
Ö).
Como
só
os
pontos
de
s
pertencem
os
possui
b
e
também
a
a,
concluímos
que
P
não
pertence
a
P
também
não
pertence
a
r.
Se
um
ponto
de
t
não
pertence
a
r,
então
r
}
t
5
Ö,
ou
r
é
paralela
Falsa;
se
a
uma
reta
r
a)
mum,
a
Falsa.
Considere
e
pode
um
ser
plano
secante
têm
a
um
ponto
em
a
por
um
a
reta
que
tes
em
uma
uma
ponto
P.
Assim,
mesma
t
a
é
perpendiculares,
perpendicular
reta
intersecção
reta
t,
P P,
e
duas
ao
plano
então
b
a
r
é
a
e
à
perpendicular
reta
à
r
reta
no
t
ponto
e
entre
os
planos
a
e
à
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s
b
a
então
r
reta
é
r
e
s
são
reta
,
e
r
uma
reta
e
duas
s
não
r
é
perpendicular
perpendicular
ao
a
duas
plano
retas
no
planob
b
a
perpendicular
retas
Como
a
um
r
e
s
de
a,
resposta
pessoal
pla-
Representando
retas
são
o
plano
(
D)
e
a
diagonal
C
de
for ma
concorren-
conveniente,
a
são
co-
12. no
b
t
reta
b)
8.
e
perpendicular
seja,
de
c)
a
reta
qualtemos
quer
uma
a; omo
logo,
planos
a
temos:
perpendiculares
paralelas.
C
b)
Falsa,
pois,
se
r
e
um
plano
são
paralelos,
H toda
à
reta
reta
r,
perpendicular
ou
é
reversa
à
ao
plano
reta
a
ou
é
D
perpendicular
r u
OCCES
r
t
NOSLIDA
B
F
s A
:SEÕÇARTSULI
Sabemos
s
288
Guia do professor
t
reta
t
e
que,
se
r
e
t
perpendicular
u
à
reta
é
paralela
Como
AC
é
a
diagonal
do
quadrado
ABCD,
então
AC
B
omo
y
Como
r
ª
u
cularismo
Logo,
13.
AC
Como
e
e
r
DB
ª
T
y
s,
garante
é
R
r
o
s,
concluímos
teorema
que
e
que
r
ª
per -
fundamental
17.
Representando
a
situação,
temos:
D).
A
s
do
perpendi-
r
HFBD D
perpendicular
ao
plano
(HFBD). D
V
pectivamente,
é
AB
PB
PA
e
PC ,
res-
então:
TV
é
paralelo
a
A
;
TR
é
paralelo
a
AB ;
PA
é
perpendicular
t
B
ao
plano
(
Queremos Como
PA
é
perpendicular
aos
planos
a
e
esses
lanos
são
aralelos
entre
V
deter minar
a
medida
do
ân
ulo
AB
(R TV V
No ue
C
V
triângulo
ABC,
temos:
si.
BC
b cos
t
5 AB
14.
a)
Não,
de
pode
resultar
em
um
ponto
ou
em
um
segmento
Como
AB
5
2
(BC), C
temos:
reta. BC cos
b)
Não,
c)
Não,
ou
pode
resultar
pode
em
em
resultar
uma
um
em
ponto
uma
reta,
em
Não,
pode
uma
Logo,
semirreta
o
de
cos
ABC
Sim,
resultar
sua
reta
em
existe
suporte
um
triângulo
ou
em
um
a)
Sim,
pois,
se
temos
é
um
raio
da
circun
perpendicular
ao
erência
plano
de
tal
que
exige
a
dos
medida
as
dos
ângulos
semirretas
AB
e
M
AC
B
e
KAC
pertencem
é
ao
Portanto,
projeção.
b)
Esse
tipo
de
atividade
tem
caráter
alunos
conveniência
for mato
de
ponha
outro
um
de
exercício
passar
gincana
ou
de
uma
Não,
não
for mativo
desafio,
imaginação.
atividade
para
que
BAC
pois,
de
é
perpendicular
BAM
um
ângulo
acordo
podemos
e
é
à
aresta
do
diedro.
com
garantir
são
plano.
o
que
enunciado
as
do
medidas
exercício,
dos
ângulos
iguais.
Avaliar
análoga,
cada
que
que
PA e
a
seg-
e
Comentário:
60°.
reta.
quando
alter nativa
mede
parábola.
plano(ABC ( ), e)
5 2
ângulo
90°, mento
1 V
5 2B C
18. d)
t
também.
grupo
em
pro-
Exercícios comp lementares
de
a
três
Uma
ou
grupo
quatro
variação
uma
figura,
a
for mas
dessa
que
visualização
a
projeção
geométricas
atividade
seria
da
é
em
cada
projeção
de
um
grupo
outra,
ortogonal
1.
planoa
um
A
Se
pla-
A
por no
a,
e
propor
a
outro
grupo
que
descubra
uma
Ñ
r,
própria
apresentar
em
Se
reta
É
um
geradora
da
figura
dada
r,
A
istância
entre
EF
e
GC
é
2
cm.
b)
A
distância
entre
EF
e
HG
é
2
cm.
c)
A
distância
os
pontos
2
(FC) C
FC
A
e)
A
A
a
podendo
5
5
4
distância
F
1
25
ser
ser
a
é
ser
5
medida
a
medida
no
reta
pela
entre
as
reta
contida
entre
distância
entre
entre
está
distância
pode
DC
paralela
postulado
A
fora
da
P5
reta
r,
(postulado
passa
Os
r,
que
planos
(ABC) C
entre
de
é
CG
uma
reta
em
ambos
os
casos,
existe
uma
única
reta
paralela.
igual
à
distância
calculada
entre
2.
assim:
a)
reversas
d)
paralelos
b)
paralelas
e)
perpendiculares
2
c)
perpendiculares
f)
perpendiculares
os
retas
EF
e
plano
EF
e
o
pela
o
e
29
(HGF )
é
cm.
zero,
(ABC) C
entre
e
os
os
é
5
cm,
pontos
(FGC) C
entre
3.
A
afir mação
é
3
E
cm,
pontos
E
pois
e
A
pois
e
a
é
falsa,
pois
os
dois
e
5
(HGF )
FB
5
são
EA
paralelos,
5
5
e
a
planos
podem
exemplo,
con sid er emos
a
r e pr e s e n ta ç ã o
doc u bo
abaixo.
Ne
se
e,
a
reta
EH
interceptam
é
na
paralela
aos
planos
(ABC) C
e
(CBF F
retaBC
F G
distância
cm. OCCES
plano
(
K
seguintes
contido
E
no
semiplanos:
plano
(MTK),
2
K)
e
E
E
contido
contido
no
3
contido
no
plano
(
K).
Assim,
temos D
4
os
seguintes
|
E
;
E
2
Todos
os
2
diedros:
|
E
; 3
diedros
:SEÕÇARTSULI
(
E
NOSLID
no
os
E
|
3
têm
C
E
;
E
|
4
origem
; 3
M
E
| 2
se
i n t e r c e p t a r.
Como
(HGF ).
(EHD) D
distância
DC
plano
plano
distância
planos
E
F
Consideremos
plano
a
Euclides),
somente
E
16.
é
a
H
g)
a
29
distância
pode
C,
e
reta
2
1
5
pois
f)
e
2
5
Logo,
d)
F
EF
uma
ema
a)
entre
existe
r
pelo
ponto
Portanto,
15.
só
figura
paralela geométrica
então
E 4
A
B
Guia do professor
289
4.
A
r
8.
a
projeção
ortogonal
é
uma
reta
(s).
Representando
a
temos
ao
a
figura
Quer emos
situação,
lado.
deter minar
a R
distância
Q
PQ
30° B
No
triângulo
PQR,
PR
retângulo
=
9
m
temos:
P
A
s
sen
30°
5 PQ
PR B’
PQ
5
A ’
sen
30°
2
9 PQ
5
9
5
1
1
r
perpendicular
ao
plano
a,
com
r
}
a
5
A
2 A
projeção
ortogonal
é
um
ponto
(A). A Logo,
esse
ponto
Comentário:
r
metria
espacial
Geometria
a
dista
Esta
18
É
do
m
uma
cuja
plana.
necessidade
distância
é
da
das
aresta
muitas
resolução
importante
uso
da
do
pode
que
os
diedro.
questões
ser
alunos
T rigonometria
de
Geo-
reduzida
à
verifiquem
para
chegar
à
pedida.
A
9.
Como
a
soma
ângulos
látero
°
a
é
1
5
das
inter nos
360°,
90°
1
medidas
de
um
A
dos
2
quadri
temos:
90°
1
a
5
360°
O
A
60°
120°
Logo,
a
medida
do
ângulo
A
A AA 2
é
120°. A
5.
Representando
a
situação,
temos:
10.
Representando
a
situação,
temos:
C B
A
2
m
Q
B’
A
A B
Usando
h
para
representar
a
medida
da
altura
BQ
Nesse caso, a projeção ortogonal é um segmento de reta relativa
à
hipotenusa
do
triângulo
retângulo
ABC
de aplicando
lo
PQB ,
o
teor ema
de
Pitágoras
no
triângulo
A ’B ’
e
mesma
medida
que
o
diâmetro
AB
da
circunferência.
r etângu-
obtemos:
11.
Representando
a
situação,
temos:
2
2
2
2
1
5 C
h
5 x
P
Logo,
a
medida
da
altura
h
é
m.
M
6.
As
projeções
ortogonais
de
uma
circunferência
sobre
um x
plano
podem
60°
ser:
B
é
perpendicular
ao
plano
de
projeção;
Representando
minar não
perpendicular
ao
plano
de
OCCES
a
medida
é
paralelo
ao
plano
de
NOSLID
projeção
ortogonal
de
uma
o
esfera
sobre
um
plano
2
5
M
:SEÕÇARTSULI
290
reta
e
o
(
5
x
2
1
2
a
está
plano
contida
é
zero.
Guia do professor
em
um
de
2
1
2
M
reta
PAM
é
4x
Se
teorema
círculo. 2
7.
e
ângulo
e
temos:
2
um
M
projeção.
( (AB B)
sempre
x
AB B
por
2x,
queremos
deter -
a
plano,
a
distância
são
retângulos.
ABM,
A
do
triângulos
Aplicando ferência
por
projeção;
Os
P
entre
3x
a
5
(
2
5
x
3
M)
M)
Pitágoras
no
triângulo
retângulo
No
triângulo
retângulo
x
AM tg
PAM, M
b)
Se
3
C
é
Como
5
3 PA
temos:
V
a
a
ponto
AB
medida
do
ângulo
for mado
pelos
segmentos
teorema
temos
AB,
arco
BC
temos
BC
5
AC
de
5
Pitágoras,
temos:
PA 2
5
(PB) B é
8,
do
5
2
P
5
médio
x Pelo
Logo,
o
2
8
1
8
V
PB
5
60°.
Então:
Comentário:
A
resolução
dessa
atividade
exige
dos
alunos
sen a
construção
sição
do
de
texto
um
para
“enunciado
uma
figura
gráfico”,
com
geométrica.
a
t
Além
intradisciplinar mente
a
Geometria
1
PB
2
disso, Logo,
trabalha
BC 5
transpo-
plana
e
t
5
30°.
a
T rigonometria.
12. D
1.
A
Retas
paralelas
e
retas
reversas
não
têm
nenhum
ponto
comum. 60°
alter nativa
c
F 2.
As
retas
paralelas
são
coplanares,
e
as
reversas
são
não
coplanares.
alter nativa
3.
10
C
B
r
ª
r
é
s
e
s
y
a
a
ortogonal
a
Então,
existe
r
e
a
r
ª
u
y
t
e
t
uma
y
a
reta
u
paralela
a
t
60°
t
e
r
ª
u,
alter nativa
então
r
ª
a
b
6
E 4.
Aplicando
CE
5
6
a
1
lei
dos
10
cossenos
2
6
10
no
:
cos
BE,
temos:
a / /r
e
a / /s;
s
então:
r /
ou
r
é
concorrente
r
é
perpendicular
com
s
ou
60°
a
s
ou
1 2
CE
5
36
1
100
2
6
10
2
2
CE
5
EF
é
alter nativa
b
Se
não
76
perpendicular
ao
plano
(CBE ),
então
o
:EFC C
é 5.
retângulo
em
a
reta
é
perpendicular
ao
plano
a,
então
a
projeção
E ortogonal de r sobre a é uma reta; se a reta r é perpendicular
Aplicando
o
teorema
de
Pitágoras,
temos: ao
plano
a,
então
a
projeção
ortogonal
de
r
é
um
ponto.
2
2
CF
2
5
Logo,
1
a
distância
76
V
CF
entre
os
5
196
V
vértices
C
CF
e
alter nativa
5
F
é
14
unidades 6.
de
A
distância
entre
e
C
é
a
diagonal
do
retângulo
ABCD
comprimento. de
lados
AB
2
13.
d
Representando
a
situação,
P
4
cm
2
AC
temos:
5
5
1
a
alter nativa
CB
2
AD
Portanto,
e
DC
5
2
5
2
2
V
2
AC
distância
cm.
entre
os
2
1
4
5
pontos
20
A
e
V
AC
5
C
cm.
d
t
7.
A
distância
alter nativa
entre
o
ponto
A
BCF
é
AB
5
4
cm.
b
C
8.
A
distância
do
A
B
AH
5
9. Se
C
5
A,
obtemos
BC
z
BA
e
PC
z
A
PA
é
perpendicular
a
BA ,
pois
PA
é
é
OCCE
ao
plano
NOSLIDA
a
A,
está
^
circunferência,
obtemos
o
inscrito
em
AC CB
um
é
reto,
:SEÕÇARTSUL
que
PC
é
6
do
círculo
de
pois
o
triângulo
diâmetro
perpendicularismo
perpendicular
a
e
C
GH
é
a
diagonal
ao
plano
(DHE );
logo,
a
distância
d
AB ,
e
Se
o
ângulo
podemos
entre
r
está
r
é
uma
contida
reta
em
r
a
e
(r
um
plano
} a = r)
a
é
nulo,
então:
ou
paralela
a
(r
} a = Ö)
pela
d
afir mar
BC
são
AH
entre
ABC
A
C
reta
a
pertence
alter nativa propriedade
a
perpen-
10.
ângulo
e
perpendi-
PC
BC
dicular
Se
C
da
A
zero.
alter nativa
cular
ponto
PA
eles
Como
o
cm
alter nativa
a)
entre
quadrado
perpendiculares.
figura
representa
alter nativa
um
diedro.
c
Guia do professor
291
Cap ítulo
6
Poliedros
Reconhecer propriedades dos poliedros e aplicar relações entre
seus
elementos
enfoca
a
são
análise
alguns
do
dos
prisma
e
objetivos
da
desse
capítulo,
7.
Temos
ces.
pirâmide.
F
O
estudo
da
plan i fi ca çã o
de
seus
elementos
da
Geometria
da
su per fí c ie
proporciona
o
de
um
t ra b a l h o
p ol ie d ro
um
poliedro
quadrangulares
que
e
com
2
faces
queremos
pentagonais
calcular
o
e
número
5
faces
de
vérti-
Assim:
5
2
1
5
V
F
5
7
e
2
concomitante
A
8
5
1
5
8
4 V
5
A
5 15
2
pla n a
(i n i ci ad o
no
ca pí t ulo
4,
“ S upe r f í c ie s V
poligonais,
círculo
e
á r eas ”)
e
da
Geom e t r i a
1
F
A
Portanto,
O
cálculo
de
áreas,
elementos
de
poliedros,
volumes
e
medidas
trabalhado
de
comprimento
em
diversos
a
atribuição
de
aos
conceitos
significado
o
2
V
V
5
poliedro
15
tem
7
10
1
2
V
V
5
10
vértices.
de
problemas, 8.
possibilita
5
e s pa c ia l .
a)
O
poliedro
I
é
côncavo
ou
não
convexo,
pois
apresenta
estudados. reentrâncias.
b)
Ambos
possuem
c)
Ambos
possuem
o
o
mesmo
mesmo
d)
Ambos
possuem
o
mesmo
número
de
faces:
F
5
12
Resoluções e comentários
Exercícios
ro
O
poliedro
tem
5
faces;
portanto,
é
um
V
pentaedro.
1
10
F
1
A
O
poliedro
tem
7
faces;
portanto,
é
um
5
12
número
de
vértices:
V
5
10
arestas:
A
5
20
2
20
Portanto, 2.
de
ostos e)
1.
número
5
2
ambos
os
poliedros
satisfazem
a
relação
de
heptaedro. Euler.
3.
Analisando
14faces,
4.
a)
o
sólido
36arestas
Poliedro
não
representado,
e
Comentário:
encontramos:
24vértices.
poliedros,
têm
o
mesmo
poliedr o
tem
8
faces
quadrangulares
e
2
e
de
arestas
(a
é
da
frente
dado
por:
e
a
de
(8
trás);
1
então,
8)
9
cada
2
vértice
vértices;
o
Assim,
V
chegam
então:
V
3
5
arestas,
24
9
3
2
e
em
5
5
16,
F
5
10
e
A
5
o
O
mesmo
da
cada
aresta
aos
não
vértices,
o
alunos
comparar
convexo,
mesmo
os
quais
número
número
de
faces,
além
de
de
verificar
relação
de
a
Euler.
A
5
V
V
1
F
1
6
há A
5
2
V
V
1
F
(V
1
6)
5
2
V
16 F
5
6
1
2
V
F
5
8
24. Portanto,
Poliedro
de
outro
número
V
b)
número
e
5 9.
A
propicia
convexo
faces validade
octogonais
exercício
um
convexo. arestas
O
Esse
dois
o
número
de
faces
do
poliedro
é
8.
convexo.
poliedro
tem
9
faces:
5
faces
quadrangulares
e
4faces 10.
1
2
5
V
V
1
2
5
triangulares.
Então,
(5
4
o
1
número
4
3)
9
2
de
5
arestas
é
dado
11
1
2
(11
a
de
Euler,
obtemos
o
número
V
V
1
5
F
9,
F
A
5
1
(2x
5
2
V
V
16
9
1
2
V
V
1
9
e
A
5
x V
1
20
F
A
1
V
2
A
5
omentário:
dois
12
8
18
12
6
8
12
6
poliedros
É
poliedros
diferentes,
são
(3
5
1
1
8
18
8
12
5
5
x
2
satisfazem
interessante
dados,
a
relação
mostrar
embora
aos
tenham
de
1
1
2)
5
(7x
10)
5
x
1
1
A
5
3
1
3
18
2
18
2
5
x
o
1
5
5
5
1
de
5
faces
1
1
5
5
que
V
1
F
os
A
5
2
Sendo
faces
5 2
1 10
x
o
V
10
V
5
número
1
é
x
1
y
⎨ ( 3x
1
4y )
F
20
de
faces
V
1
F
A
Portanto,
292
5
o
5
2
V
triangulares
5
e
12
V 20
x
1
y
3x
1
4y
V
relação
V
de
36
poliedro
Guia do professor
1
Euler,
20
satisfaz
5
2
V
relação
3y
5 236
4y
5
2
de
5
⎨
2
Euler.
y
Assim :
x
1
4
5
5
40
4
12
V
12
V
⎩
temos:
54
a
2
1
5
⎨
54
2
por:
temos:
2
⎩
20
36
a
dado
12
quadrangulares,
3x Aplicando
9
11
octaedros.
5
1)
20
número
1
23x ⎧ V
5
5
V F
bastante
temos:
6
1
5
⎩ 5
x
215
5
F
4
5)
5
⎧
Sim;
1
1
2
Euler.
alunos
for mas
1
⎧
6.
x
2
11.
dois
x
5
x
5
Assim,
os
5
9
5.
Logo,
1)
16. 3x
II
1
de
x Assim,
x
16
relação
x vértices:
1
por:
2 Aplicando
(x
x
5
8
5
40
y
o
número
de
Logo,
são
8
faces
triangulares
e
4
faces
quadrangulares.
16.
a)
b)
face
1
5 Comentário:
de
Euler,
é
Nessa
questão,
importante
que
após
os
a
aplicação
alunos
da
percebam
relação
a
neces-
1 sidade
da
aplicação
de
conceitos
algébricos
1
adquiridos
2
3
6
4
2
4
anterior mente.
3 face
12.
Pelo
enunciado,
temos
Seja
n
de
de
F
o
número
faces
5
n
1
V
faces
5
triangulares
quadrangulares;
n
1
1
5
2n
1
e
(n
1
1)
o
Coment
número
cubo,
assim:
que
1
tas 3n A
1
4(n
1
6
9.
rio:
Avaliar
propor
a
soma
seja
aos
dos
a
conveniência
alunos
que
números
constante.
Uma
de,
na
renumerem
de
quaisquer
resposta
planificação
as
faces
duas
possível
é
de
faces
do
modo
opos-
obtida
com
1)
5 a
2
Aplicando
a
relação
de
Euler,
1
F
A
V
1
F
2
5
lugar
dos
números
A
Vamos
A
calcular
8
8
1
4
o
8
número
4
24
2n
de
5
1
e
3
e
dos
números
4
e
6.
arestas
da
figura:
1
2
1
4n
1
16 5
5 2
3n 9
2
2
3 5
de
temos:
17. V
troca
20
2
4 F
5
5
4
1
4
4
5
12
2 Aplicando 18
n
1
5
4n
2
5
7n
1
a
relação
de
Euler,
obtemos:
4 V
1
F
A
V
1
12
V
5
10
5
4 20
5
2
Assim:
F
5
4
1
5
5
9 Assim:
3 A
8
4
1
4
8
4
1
V
4
5
5
1
A
5
Portanto,
vértices Portanto,
o
poliedro
quadrangulares,
tem
4
faces
totalizando
9
triangulares,
faces,
e
16
5
Um
poliedro
Como
tinha
(5
V
2
F
Como
Logo,
9
3,
poliedro
5
foi
a
faces
2
arestas,
completo,
1
A
V
V
concluir
é
o
a
20
5
30
ou
seja,
9.
30
12
1
restaram
poliédrica
30
tem
poliedro
arestas.
Aplicando
encontramos
2
O
o
a
V
5
fi
ura
é
número
de
arestas
e
do
número
de
30.
12
resposta
possível:
faces.
completo
Como
relação
número
V
da
do
arestas.
de
foram
Euler,
de
vértices:
27
arestas,
20
19.
que
restou
tem
É
interessante
que
o
poliedro
que
os
regular
alunos
com
sejam
faces
levados
pentagonais
dodecaedro. 19.
14.
1
soma
vértices.
Comentário:
a
pentagonais
restaram
27.
5
retirado1,
19
faces
3,
restaram
super fície
e
de
retiradas
12)
retiradas
no
regular
foram
a
faces
18.
13.
10
16
2
resposta
a)
Sabemos
d
possível:
5
5
que
3
Logo,
a
5
3
V
a
d
diagonal
3 ;
5
assim:
15
mede
15
cm.
2
2
b)
d
5
a
2
1
1
5
c
3
⎛
2
2
b
3
1
9
1
2
1 ⎝
36
⎞
1 2
2
5
⎠
61
16
5
5 4
2
61 Logo,
a
diagonal
mede
cm. 2
2
20.
d
5
a
2
1
2
b
1
2
V
c
3
10
5
a
2
b)
resposta
V
pessoal
Espera-se
que
os
alunos
elaborem
3
planificações
10
5
2
1
4
2
1
7
V
2
a
1
V
65
9
10
5
a
V
2
V
a
5
90
65
V
a
5
25
V
a
5
5
diferentes.
A
8
4
1
2
8
6
5
5
21.
18
a)
Como
F
V
1
A
5
1
5
x
3 ,
5
x
temos:
3
2
2 b)
2
d
5
V
V
Como
d
5
a
2
1
b
:SEÕÇARTSULI
8
1
cm.
2
d 5
V
5
36 5
2
F
vale
NOSLIDA
6 15.
a
OCCES
Logo,
2
1
c
,
temos:
5
2
2 2
Portanto,
o
poliedro
tem
18
arestas
e
12
vértices.
d
5
( 3t )
1
t
1
( 2t )
V
d
5
t
14
Guia do professor
293
22.
Vamos
representar
os
três
números
inteiros
consecutivos
b)
Seja
d
a
medida
da
dia B
por
x
1,
x
e
x
1
1.
gonal
a
de
cada
medida
da
face
e
aresta
a
do
cubo.
x D
d d
=
5
DB
14
2
M
2 C
a CM
5
MD
3
5
5 2
x
–
AC x
+
1
c
2
1 1
CM
1
MD
1
3
d
5
,
2
d
5
(x
1
2
1)
1
(x
1)
2
14
5
2
1
1
Portanto,
x
2
x
1
2x
1
1
1
A
5
3
temos: 2
2
5
3
5 Como
DB
1
a
2
medida
do
caminho
de
A
a
B
2
x
2x
1
1
1
3
x
m.
2
3x
5
12
2
x
5
4
a 26.
x
5
Comentário:
Avaliar
representação
a
conveniência
prática,
x
1,
de
x,
relembrar
x
1
1,
dos
os
AE
alunos
O
(metade
5
uma
PA
de
razão
1
e
pedir
a
eles
que
elementos
verifiquem
a
:
da
diagonal
de
uma
face)
5 20
J
A.
2
2
EJ
de
2
5 2
Portanto, as medidas das três arestas são 1 cm, 2 cm e 3 cm.
da
AJ
2
5
1
AE
a
2
⎛
20
2
⎞
2
conexão
entre
os
conceitos
algébricos
e
geométricos.
É
2
EJ
5
1 2
⎝ possível
também
discutir
com
os
alunos
que
as
Assim:
2
AJ
20
⎠
medidas 2
EJ das
arestas
podem
ser
representadas
por
x,
x
1
1
e
x
1
5
200
5
600
1
400
2. 2
EJ
x
5 4
5 10
EJ
z
3
k
V
x
5
k
y
5
4k
e
z
5
1
6
k
1 Portanto,
o
segmento
EJ J
mede 1 0
6
cm.
Assim:
27. 2
d
5
1
2
130
a
G
2
y
5
E
2
16
1
144k
H
2
130
130
k
5
a
169k
5
13k
10
C Então,
x
5
30,
y
5
40
e
z
5
120. D a
Portanto, as medidas das arestas são 30 cm, 40 cm e 120 cm.
omentário:
sentada
no
Observação
comentário
do
análoga
à
exercício
recomendação
22,
porém
com
apre
A
O
a
números
diretamente
a
B
relação plano
que
contém
as
duas
Observe
que
o
:
H
é
é
ABFG
proporcionais.
a
G
24.
diagonais
retângulo
em
F
B
1 Logo,
S
b
5
h,
em
que
H
e
AB B
podem
ser
conside-
2
r
,
3
respectivamente.
3
Assim:
BH
AB
5
5
d
c
5
5
4
1 S
5 2
2
Portanto,
a
área
do
triângulo
H
cm
A
25.
a)
a
B
B
Considere as medidas apre-
a O ponto O divide o segmento AF sentadas
na
figura
em
3
ao meio; então, OF
cen2
ím
3
r
M
Se
C
AM
as
diagonais
fossem
perpendiculares,
2
AM
2
5
CM
3
3
2
2
retângulo
e,
portanto,
poderíamos
2
1
AC
Pitágoras.
Assim:
2
⎛
2
AM
3
⎞
2
5
1
3
3
2
OCCES
OG
2
1
2
OF
5
GF
2
45
NOSLIDA
AM
⎛
5
⎞
a
a
3
2
5
a
4 ⎝
⎠
⎝
⎠
A
2
:SEÕÇARTSUL
a 2
3
2
5
2
a
4
1
2 2
2
a
3
2
5 2
294
o
:
F
seria
MB
Guia do professor
a
(sentença
falsa)
aplicar
o
teorema
de
Portanto,
não
se
o
:
Comentário:
feita
em
alunos
a
um
F
cruzam
O,
Avaliar
grupo.
problema
o
a
Após
observem
aplicar
e
as
diagonais
32.
conveniência
fazer
que
de
teorema
a
o
Geometria
de
de
desenho,
questão
Como
tices
perpendicular mente.
a
resolução
espera-se
espacial
plana
em
foi
que
a
ser
que
maior
um
aresta,
porque,
os
reduzida
é
o
de
doA
possível
e
de
o
cubo
tendo
aresta
menor
A
resolução
é
obtida
por
meio
da
observação
das
de
do
super fície
de
mesma
que
extremidades
os
de
cubo,
menor
mesma
medida
outros
e,
e
o
área
medida
da
face
são
portanto,
é
da
do
C,
a
vér -
menor
o
é
B,
aresta
ele
terá
super fície
e
De
maneira
propõe
aos
diversificada,
alunos
o
mesmo
essa
atividade
questionamento
d
do Comentário:
espacial,
de
cujas
diagonal
figuras. retoma
alter nativa
a
área.
Comentário: 28.
é
diagonal
diagonal
menor
Pitágoras.
segmento,
cubo,
Questões
perspicácia
como
e
essa
demandam
imaginação,
habilidades
uma
proposta
de
jogo.
Pode
ser
Reflita
da
página
111
do
livro
do
aluno.
que 33.
favorecem
boxe
visão
Dados:
desdobra-
2
da
em
uma
atividade
em
grupo
na
qual
cada
aluno,
⎧A
5
300
cm
atera
⎨ com
criatividade,
constr ói
um
poliedr o
ou
uma
pla-
medida
da
aresta
da
5
base
medida
da
aresta
5
lateral
x
⎩ nificação
de
poliedro
com
faces
ilustradas,
diferen-
Assim: tes
umas
das
outras.
Feito
isso,
cada
um
tr oca
sua
2
representação
com
um
colega
de
outro
grupo
e
A
verifica
5
3
x
x
V
300
5
3x
V
lateral
quem
consegue
resolver
primeiro
a
questão.
É
importante
2
V
salientar
a
cooperação
na
atividade
em
grupo.
Essa
x
100
V
x
100
2
também
é
válida
para
a
questão
x
10
2
x gestão
V
su-
29.
A
3
10
5
3
5
5
25
3
base
4
29.
A
resolução
é
obtida
por
meio
da
observação
das
figuras.
A
5
2
4
A
1
total
alter nativa
A
base
5
2
25
3
1
300
lateral
b
A
300
1
50
3
5
50
(6
1
)
3
total
5
A
2ab
1
2ac
1
2bc
5
2
(ab
1
ac
1
bc
5 2
total
Portanto,
5
2
(20
10
5
2
650
5
1
20
15
1
10
15)
a
área
total
é
(6
50
1
)
3
cm
5
1.300
2
34.
a)
Como
A
5
6
a
,
temos,
em
unidades
de
área:
total
2
Logo,
será
necessário
1.300
cm
de
papelão.
2
Cubo
I:
Cubo
II:
A
5
6
1
5
6
total
Comentário:
Nesse
caso,
é
interessante
que
os
alunos
per 2
A
5
6
2
5
24
total
cebam
a
im
ortância
do
uso
dos
oliedros
nas
roduções 2
Cu industriais
e
nas
construções
presentes
na
o
III:
A
Cubo
IV:
A
sociedade
5
6
3
5
6
4
5
4
5
96
total
2
em
que
vive.
total
2
2
2
3a 31.
a)
A
3
3
5
(
8
b)
)
3
8
9
3
5
m
i
aresta
5
V
A
3
5
6a
total
5
base 2
2
2
2
medida
da
aresta
5
2a
V
A
medida
da
aresta
5
a
V
A
5
6
(2a)
2
5
4
6a
total
2
A
5
6
8
b
8
h
5
6
8
3
8
2
5
12
3
5
Portanto,
9 5
2
8
A
1
t o t al
A
5
ba s e
2
(3a)
2
5
8
a
total
atera
A
8
quando
a
medida
da
aresta
dobra,
a
área
3
8
1
12
3
5
21
3
total
fica
multiplicada
por
4,
ou
seja,
quadruplica,
e,
atera
2 quando
a
medida
da
aresta
triplica,
a
área
total
fica
2
Logo,
a
área
total
é
21
3
m
multiplicada
por
Em
de
9.
b) c)
um
OCCES
aresta
6
cm
cubo
arestas
unitária,
pois:
medindo
2
1
2
2,
1
cabem
2
1
5
8
cubos
de
8
h Em
NOSLIDA
de
um
cubo
aresta
de
arestas
unitária,
pois:
medindo
3,
3
1
1
3
cabem
3
1
27
5
cubos
27
30°
Em
de
4
um
cubo
aresta
de
arestas
unitária,
pois:
medindo
4,
4
1
1
4
cabem
4
1
64
5
cubos
64
cm
O
prisma
A
5
tem
base
quadrada.
(7,5
Assim: 35.
A
1
10)
8
5 5
5
43,75
base
2 4
5
1
base
V Para
calcular
a
área
lateral,
vamos
obter
a
altura
5
A
prisma
h
h
5
43,75
32
5
1.400
base
Assim: h sen
30°
h
1
5
V 6
5
V
2
h
5
3 1.400
6
A
5
4
A
lateral
5
4
10,5
Portanto,
Assim:
5
4
b
a
Comentário:
h
14.700
Além
da
de
barra
será
verificar
a
14.700
g.
importância
da
aplicação
paralelogramo
(4
3)
5
do
48
volume
comparar Logo,
a
área
total
é
dada
5
2
A
total
1
A
base
na
a
a
área
Comentário:
total
Aqui
relação
os
entre
alunos
têm
medidas
de
a
oportunidade
volume
e
5
2
16
1
48
5
os
é
80
massa.
80
2
36.
cm
alunos
têm
a
possibilidade
de
A
5
6
a
2
V
216
5
6
a
V
216
per -
2
V
a
V
5
a
5
36
V
a
5
6
6 ceber
a
diferença
entre
os
cálculos
das
alturas
do
prisma
3
reto
e
do
prisma
oblíquo
e
a
necessidade
da
aplicação
da
V
5 cubo
a
3
V
V
5
6
V
cubo
V
5
216
cubo
3
T rigonometria.
Logo,
o
volume
do
cubo
é
216
m
Guia do professor
de
medidas
lateral
2
Logo,
indústria,
por:
de A
5
massa
295
37.
A
5 base
1
20
V
A
tanque
5
peça
de
5 base
V
300
0,35
V
42.
300
Para
que
a
vara
seja
a
maior
possível,
metal
5
peça
de
comprimento
105
da
dia
onal
do
cubo;
o
volume
da
peça
deverá
ter
o
de
assim:
metal
2 Logo,
ela
tanque
V
metal
é
105
cm
d
.
5
a
3
V
a
3
5
2
V
a
3
5 3
3
38.
3
5
V
5
cubo
V
5
cubo
64
2
3
cubo
a
Logo,
5
m.
2
5
V prisma
vertical
prisma
horizontal
1
4
5
3
4
3
V
5
4
1
1
5
4
⎛
2
⎞
3
8
3
3
V 3
V
5 cubo
(intersecção
dos
1
5
a
5
V
V
5
5 c ub o
cubo
1
3
⎝
9
⎠
cubos)
Assim: 8
3 3
Logo,
V
5
m
c ub o
5
V sólido
64
4
4
1
1
5
57
9
restante
3
Portanto,
o
volume
do
sólido
restante
é
57
cm
3
Como
39.
A
5
2(ab
1
ac
1
1
dm
5
1
c,
temos:
bc)
paralelepípedo
8
3 3
V
2
A
5
m
5 9
A
5 A para
e
epípe
V
cubo
6x
cubo
8. 000
o
V
V
3
8. 000
3
5
dm
V
V
c ub o
1
2(3
5
ac
1
bc
1
3
7
21
1
5
5
3x
9
6x
2
1
7)
5
Comentário:
6x
os
alunos
ção
71
3
5 cubo
2
2(ab
9
Analogamente
podem
entre
ser
medidas
à
questão
levados
de
a
volume
uma
e
35,
após
reflexão
medidas
de
a
resolução
sobre
a
rela-
capacidade.
2
x
5 3
x
a
⎧
71
b
2b
5
V
5
a
5 a 3
b
43.
2
c
5
5
2
V
3
3
3
⎨
4
b
4b
c 5
Assim:
V
3
⎩
c
5
4
3
71 5
d
x
3
5
8
3
5
71
cubo
2
3
Portanto,
a
d
diagonal
do
cubo
mede
71
unidades
5
2
a
1
2
b
1
c
5
4
29
de 2
2
1
a
2
b
1
2
c
5
16
29
V
a
2
1
2
b
1
c
5
464
V
comprimento.
2
2b
⎛ 40.
Sabemos
5
8
a
8
b
5
c
⎞
5 ⎝
2
V
48
⎨
16b
2
V
1
( I I)
5
a
V
2
4b
5
c
464
⎠
3
( I)
240
48 8
a
⎞
1
b
⎠
3
4b
⎛
2
1
V
que:
⎝
⎧V
2
b
1
464
5
9
V
b
5
144
V
5
16
b
5
12
9
c
30 b
8
c
5
V
30
b
Assim:
( I I I)
5 c
⎩
2
(II)
e
(III)
em
(I),
4
12
5
a Substituindo
V
5
a
8
e
12
5
c
V 3
3
a
b
c
5
240
48
30
c
c
V
c
obtemos:
c
5
240
V
c
5
5
6
2
(ab
1
(8
1
ac
1
bc)
paralelepípedo
5
A
Assim:
8
1
8
1
1
1
16)
paralelepípedo
30
48 5
a
5
8
e
5
b
5 5
5
832
paralelepípedo
6
6
2
Portanto, Lo
a
área
do
paralelepípedo
é
832
cm
o:
V A
2(ab
1
ac
1
5
a
b
c
V
V
paralelepípedo
bc)
5
1.536
paralelepípedo
total
3
A
5
2
(8
1
8
6
1
8
Portanto,
6)
o
volume
do
paralelepípedo
é
1.536
cm
total
A
236 total
44.
Portanto,
a
área
total
da
super fície
do
Um
cubo
de
236
cm
arestas
cm
é
1
de
cm.
um
para-
dimensões c
8
b a
⎨ A
5
3
b
e
c
for mado
por
esses
A
8
t ot al
⎩
de
Consideremos
que:
lelepípedo 5
4
cubinhos
la t e r a
64cubinhos.
i
Os
3a
8
(2 h
1
3a
8
(2
8
8
a
1
)
3
a
5
3
3
6
a
h
18
a
8
1,
2,
4,
omo
)
5
8
(1 6
1
a
)
3
5
a
divisor es
8,
a
mados
3a
NOSLIDA
Sabemos
⎧h
64
. com
41.
de
OCCES
composto
é
aresta
paralelepípedo
de
16,
b
32
c
pelos
64
5
64
e
(p ossíveis
va lor e s
de
a
b
e
c) c
são:
64.
64,
há
somente
cubinhos
cujas
7
paralelepípedos
dimensões
e
área
for -
total
144a são
dadas
no
quadro
abaixo.
2
48a
3a
1
3
144a
5
0
1
1
1
1
2
2
4
b
1
2
4
8
2
4
4
c
64
32
16
8
16
8
4
258
196
168
160
136
112
96
2
3
3 a
3a
(
96a
3 a
32 a
5
32
0
)
5
0
3
5 3 A 2
total
2
3a
⎛
3
5
5
3
32
3
⎞
8
1 8
3
8
5
512
3
base
2
⎝
3
a)
2
⎠
O
paralelepípedo
sões
5
V
A
prisma
h
5
512
3
5 4. 096
cm,
cm
de
menor
e
b)
O
paralelepípedo
de
3
296
o
volume
do
Guia do professor
prisma
é
4. 096
tem,
portanto,
dimen-
3
base
Portanto,
área
cm.
3
cm
1
cm,
1
cm
e
64
cm.
maior
área
tem
dimensões
2
45.
Como
o
cubo
tem
3
V
5
2
cm
de
aresta,
temos:
2
x
5
2
H
V
1
3
a
5
5
36
8
3
2
x
cubo
5
16
1
5
16
1
5
43
4 3
Assim,
V
5
8
H
cm 2
cubo
x 2
b)
A
5
6
a
5
6
2
5
24
2
x
cubo
Assim,
5
A
27
2
24
cm
.
x
cubo
5
O
h
43
M 3
c)
V
5
a
;
se
5
(2a)
dobrar
a
medida
da
Logo,
aresta:
o
apótema
da
6
pirâmide
dm
cubo
3
V
3
5
8
mede
a
43
dm.
cubo
Então,
o
volume
fica
multiplicado
por
8. 51.
Aplicando o teorema de Pitágoras
V
2
d)
A
5
6
a
;
se
5
6
(2a)
dobrar
a
medida
da
aresta:
no
cubo
triângulo
,
temos: x
2
A
2
5
6
2
2
4a
5
2
x
24a
2
5
12
1
5
144
5
169
5
12
m
cubo
2
x Então,
a
área
fica
multiplicada
por
1
25
4.
A 2
x
Comentário:
Avaliar
a
conveniência
de
propor
uma
ques-
m
x
tão
inversa
da
proposta
no
item
c:
“O
que
ocorre
com
5
13
a Portanto,
m
i
a
aresta
pirâmide
de
outro
cubo
de
aresta
m
Seria,
que
então,
questão,
os
alunos
concluam
interessante
sobre
a
que
comentar
duplicação
mede
do
x
5
52.
com
três
usando
problemas
régua
mais
e
m.
cubo,
V
2
a
eles
que
quando
essa
cm
proposta
cm
h resolução
13
a?”.
3
Espera-se
dos
5
da
x
volume
para
lateral
compasso,
famosos
da
constituiu
história
da
g
g
um
MatemáM
B
4
cm
O tica,
chamado
“problema
deliano”.
Diz-se
que
sua
origem
8
cm
M remonta
à
época
da
morte
de
Péricles
por
uma
peste
que
8 cm A
dizimou
um
quarto
da
população
de
Atenas,
e
que
teria
Aplicando sido
proposto
pelo
oráculo
de
Apolo
em
Delos
a
delegação
de
atenienses
como
uma
forma
de
acabar
o
teorema
de
Pitágoras:
uma
com
o 2
( surto
da
doença.
Para
mais
infor mações,
consultar
a
2
)
41
5
2
g
1
4
obra
V 2
5 História
da
Blucher,
de
Matemática,
2012.
História
p.
pode
64
ser
e
de
Carl
65.
B.
Caso
convidado
Boyer.
seja
a
3.
ed.
possível,
participar
a
São
o
atividade
fim
16
Paulo:
g
5
g
5
g
25
professor
de
h
5
tornar
a
41
VOM M
interdisciplinar. 2
2
g
5
2
h
1
m 8
2
46.
Se
uma
pirâmide
tem
uma
base
de
8vértices,
então
ela
ainda,
Assim,
1vértice
aplicando
fora
da
a
relação
9
1
base,
de
totalizando
Euler,
5
h
9vértices.
5
1
F
A
5
2
V
F
16
5
2
V
temos:
F
5
1
16
essa
pirâmide
tem
9
5
4
2
2
3
OMB
2
m
1
4
1
4
9 2
Logo,
m
4
25
r
V
2
h
2
16 arestas, sendo 8 arestas da base e 8 arestas laterais. Ela
tem,
2
5
tem
r
5
r
5
2
4
faces.
O
47.
Se
uma
pirâmide
tem
n
faces
laterais,
então
ela
4
2
tem r
m 2n n
arestas,
(n
1
1)
faces
e
(n
1
1)
Assim,
vértices.
g
5
5
cm,
h
5
3 cm
M e
r
5
4
2
4
cm. B
48.
Apenas
as
planificações
(I)
e
(II)
são
de
super fícies
8
de
cm
pirâmides. 2
53.
2
2
5
82
5
6.724
18 lateral
2
49.
Aplicando
o
teorema
g
de
324
2
Pitágoras
M
,
no
triângulo
g
obtemos:
g
2
2
5
x
⎛
2
13
12
13
6. 400
5
80
cm
80
⎞
A
1
V
5
36 5
3
4.320
82
lateral
2 ⎝
2
2
2
a 2
A
x V 169
5
3
36
5
3
5
base
1
V
mm
g
⎠
4
cm
18
4
mm
4 A
2
M
x 5
25
V
324
3
5
324
3
base
36
2
V
5
x
5
100
mm
A
V
4
x
A
1
4.320
total
V
x
5
10 5
A
108
( 40
8
1
3
3
)
total
Logo,
a
aresta
da
base
mede
10
cm.
Portanto, Comentário:
Essa
questão
pode
oferecer
aos
alunos
e
de
retomar
verificar
a
as
fór mulas
relação
entre
dos
apótemas
arestas
e
total
dos
8
( 40
1
3
3
da
super fície
da
pirâmide
mm
apótemas. 2
54.
A
5
a
2
5
8
5
64
NOSLIDA
base
50.
Como
H
5
4
dm
e
c
5
6
dm,
temos: g
h
3
5
6 V h
2
Aplicando
h
3
=
3
g
5 2
o
teor ema
de
Pitágoras
no
triângulo OVM,
8 =
temos:
:SEÕÇARTSULI
é
2
)
OCCES
polígonos
área
a
108 oportunidade
a
8 =
cm
4
2
Guia do professor
297
2
g
2
2
5
1
Altura
m
do
octaedro:
2 2
g
2
5
2
3
1 ⎛
⎞
⎝
⎠
3
5 g
5
2
⎝
g
=
— —
h
1
⎠
2 ⎝
⎠ 2
g
5
5
2
h 8 5
g
4
4
5
80 4
lateral
2
5
64
1
80
4
3
4 m
2
V
A
total
5
144
h
total
=
—
18 5
2
Logo,
a
área
a
ase
é
64
cm
2
,
a
área
atera
é
80
cm
e
2
4
2
a
área
total
é
144
cm
2
55.
Como
A
5 16 total
3
cm
,
h
5
O
octaedro
é
for mado
por
duas
pirâmides
quadrangulares
temos:
tetraedro
regulares.
Assim:
2
a A
5 total
3
2
4
16
5
3 base
tetraedro
2
a
5
3
V
A
pirâmide
V
2
V
5
a
16
V
a
5
16
V
a
5
4
A
5
h
octaedro
a
medida
da
aresta
é
4
cm.
Portanto,
5 3
a
área
total
da
super fície
2
18
56.
Como
r
5
diagonal
,
da
temos
base
que
3
do
octaedro
é
3
cm
cm
a
mede:
a
3
5
A
5
A base
base
6
9
pirâmide
base
3
Logo,
5 base
1
1
2
1
d
Como
d
5
a
2
,
1
r
temos:
V
8
5 3
12
5
a
5
a
3
3
12 Portanto,
2
5
24
base
pirâmide
o
volume
da
pirâmide
é
24
3
cm
.
2
5
5
base
base
A
área
da
base
é
144
cm
da
pirâmide
1.
.
5
P
24
dm
V
base
24 a
4
5 6
g h 2
g
2
5
O
:V
C
é
retângulo
em
O
=
2
8
1
6
V
g
5
100
V
g
5
10
e
seus
lados
medem
H,
a
e
H
dm. F
m
2
2
VC
5
E
2
OC
1
H
V A
12
D
h
g
O 2
32
5
2
5
4
1
5
16
H
V
lateral
2 2
H
H
5
4 a
10
12 5
2
lateral
2
a A
g
3
16
6
3
6
24
3
base
5
4
240
4
lateral
1
2
A
área
lateral
é
240
cm
6
cm
V
1 A
5
H
5
24
3
5
ase
3 A
5
144
1
240
5
12
384
3
cm
total 3
Logo,
2
Logo,
a
área
total
da
super fície
é
384
62. 2
57.
A
5
a
o
volume
da
pirâmide
é
32
3
dm
cm
O
:OVB
é
retângulo
em
V
O.
2
5
6
5
36
base
Como
V
5
A
8
pirâmide
h
V
V
base
36
5
4
V
OB
medida
pirâmide
é
da
a
metade
diagonal
do
da
qua-
3
drado V
V
5
ABCD,
10
temos:
cm
48
pirâmide
2 Logo,
o
volume
da
pirâmide
é
48
cm
OB
.
12 6
5 2
H
2 C
D VB
3
a 58.
2
5
V
8
10 O
5
2
5 12
2
10
tetraedro
12
5
2 5
2
6
1
H
V
H
5
8
3 2
A
5
5
36
2
5
72
A
B
base 3
Logo,
o
volume
do
tetraedro
é 1 V
A
5
H
5
base
3
3 2
1
a 59.
A
5
3
72
5
5
8 4 3
Portanto,
2
3
3 h
A
5
o
volume
da
pirâmide
é
192
cm
3
8
total
4
63. A
5
18
4a
5
12
2
V
a
5
V
3
total
3
2
d 5
5
5
OCCES
2
3
2 5
cm
2
2
3
2
⎛
Como
⎞
o
:V
NOSLIDA
⎝
2
⎠
é
retângulo
em
O
H
temos:
g
D
3 2
VC
2
g
C
5
5
2
5
VO
OC O
:SEÕÇARTSUL
2
4
25
5
H
5
16
2
1
3 A
2
H g
5 2 3
H
5
4
2
5 base
298
C
2
1
9
Guia do professor
a
5
18
a
B
1
125 3
V
A
5
H
Portanto,
o
volume
da
pirâmide
PQCG
cm
é
base
3
3
Comentário:
Na
resolução
dessa
questão,
espera-se
que
1 V
18
5
4 os
3
alunos
percebam
utilizados
5
para
a
diversidade
chegar
ao
de
conceitos
a
serem
volume.
3
Logo,
o
volume
da
pirâmide
é
24
cm 68.
Temos:
cm A
2
64.
a)
5
A
B
2
a
5
4
5
16
13
AC
5
AD
5
2
cm
CG
5
3
cm
base
2
Logo,
a
área
da
base
da
pirâmide
é
16
cm
2
4 b)
5
9
4
D
cm
C
V
lateral
2
V
A
5
No
:ADC
72
2
2
5
AC
lateral
2
AD
DC
Logo,
a
área
lateral
é
72
F
E
9 2
2
cm
13
5
2
2
DC
H DC 5
c) total
base
16
72
5
a
área
total
da
pirâmide
é
88
G
4
2
Logo,
5
G
3
88
lateral
é
perpendicular
ao
plano
que
contém
o
:ADC;
ADCG, 2
d)
2
g
5
2
1
triângu
o
ADC
2
h
1
2 2
3
5
A 2
5
3
e
h
5
3
base
5
81
2
h h
base
m
2
5
com
2
h
no
9
logo,
cm
5
g
1
1
77
V
5
8
A
8
3
5
h
3
5
3
base
3
3
Logo,
a
altura
da
pirâmide 3
Portanto,
é
77
o
volume
da
pirâmide
G
é
3
cm
cm.
69.
V
m
5
A
H
prisma
base
A
H base
V
e)
A
V
h
pirâmide
V
V
base
5
5
pirâmide
77
1
3
16
pirâmide
3
3 V
5
V
ABCDE
V
prisma
CEFC
77 A
3
Logo,
o
volume
da
pirâmide
é
16
2 A
H
H base
base
cm V
A
ABCDE
3
5
H base
3
3
2 65.
A
H base
V
3
ABCDE
2
5
5 A
V
H
1
base
D E FC
3
E
h
é
2
para
e
DEF
1.
H
Comentário:
Esta
trabalharem
1 2
a
é
uma
ideia
e
for ma
diversificada
confir marem
o
fato
de
de
os
que
alunos
o
volume
m
m de
uma
pirâmide
corresponde
à
terça
parte
do
volume
do
2
V
5
A
prisma
h
5
2
h
prisma
base
de
mesma
base
e
de
mesma
altura.
2
A
H
1
base
V
5
H 70.
5
8
cm
m
pirâmide
3
3
M N
V
5
V
prisma
pirâmide
H 4h
H
H V
5
h
1 R
A
razão
entre
m
H
5
3
1
12
as
alturas
do
prisma
e
da
pirâmide
é,
6 cm
por 20
P
cm
Q tanto,
1
para
20
12.
cm
2
No 66.
V
5
6
V
prisma
e
A
pirâmide
:NQR,
temos:
2
10
6
2
1
H
V
H
8
iguais. base
Logo,
a
altura
do
tronco
é
8
cm.
1 A
h
5
A
6
base
H base
3 71. h
5
2
3
H
3
6
Portanto, a altura do prisma é o dobro da altura da pirâmide. 13
h
h
t
67.
A
pirâmide
PQCG
tem
um
trirretangular
em
A
B
O
8 triedro
t
o
triângulo
PQC
pode
5
D C
8
P
ser
considerado
base
e
CG
2
13
OCCE
altura
da
t
1
Q
que
h
13
2
5
2
h
1
5
2
V
h
5
169
25
V
pirâmide. h V
5 A
5
5
25 5
NOSLIDA
2
5
5
Os
2
10
triângulos
seme
:SEÕÇARTSULI
h
5
A
8
h
em
antes;
5
12
destaque
são
H
13
ogo:
3 5
8
V
12
G
1 V
144
E
H h
h
F e
base
3 V
h
12
5
36 V
h
5
h
base
12
5
5
5
3 5
1 V
3
125
25 8
5
8 2
10
5
36 H
3
5
h
1
h
5
12
1 5
3
96 8
5 5
Guia do professor
299
Então,
o
volume
pirâmide
é
do
dado
tronco
de
Pela
por:
figura,
h
temos:
2
6
3 5
h h
V
h
4
4
3
3
H
5
h
1
h
V H
5
3
9
1
5 2
96
1
⎛
36
1
⎞
5
3
⎠
5
3
V
h B
5
5
2
Assim:
6 ⎝
2
V
b
V
b
1. 552
15
5
3
Logo,
a
altura
do
tronco
é
12
cm
e
o
volume
é
1.552
78
t
cm
3
Portanto, 72.
Sabemos
o
volume
do
tronco
é
78
3
que:
2
⎧ a
5
4
m
h
⎛
1
A
⎞
b
74.
5 ⎝
5
⎨
6
⎠
H
4
A
cm
B
m
2
2
3
V
5
342
3
m
⎛
nc
⎩
A
⎞
b
5
8
cm
h
A
1
A
5
b
4
24
b
3
5
4 H
9
81
A A
6
5
9
b
6
h
3
B
4
1
t
4
V
1 A
5
A
H B
O
volume
do
tronco
é
dado
h b
3
3
por: 2
1
1
A
=
81
cm
B
h B
81
5
V
6
V
V
12
9
3
b
V
1
5
4
3
312
h 3
3 3
Logo,
V
342
3
V
1.026
5
5
54
H
54
24
H
24
h
o
vo
ume
o
tronco
é
312
cm
V
h
(I)
Exercícios comp lementares Pela
fi
ura
h
4
H
6
ao
lado,
temos:
1.
(II
Pela
figura,
observamos
4
faces
triângulares,
parte
da
mas
a
3
parte Substituindo
(II)
em
(I),
de
trás
é
simétrica
à
frente;
então,
há
h
obtemos:
mais
4
faces
trian
ulares;
portanto,
ao
todo,
temos
2 54
H
V
H 8
3
faces
triangulares.
quadradas,
1. 026 5
V
27
2
nas
Observamos
laterais
e
1 n a
também
face
3
s u p e r i o r.
faces
Como
4 o
38
poliedro
é
simétrico,
temos
uma
face
quadrada
na
h Assim,
Como
h
5
H
h
parte
t
18.
h,
há
temos:
6 h
5
27
Logo,
a
18
V
altura
h
do
5
é
9
a A
e
mais
duas
na
parte
de
trás.
Ao
todo,
quadradas.
b
m.
2.
73.
faces
alter nativa
9
tronco
6
inferior
a)
não
b)
convexo
convexo
c)
convexo
3
6
2
b
4
3.
O
número
de
faces
do
poliedro
é
14
(8
1
6),
em
que
8
fa-
2
a A
54
3
3
a
ces
B
são
triangulares,
então
24
lados
(8
3),
e
6faces
são
4
2
octogonais,
m
arestas
5
é
então
dado
48
por :
lados
(24
1
(6
48)
8).
9
2
5
Assim,
o
número
de
36
m
Aplicando
a
relação
de
Euler,
temos
o
número
de
vértices:
h t
V
6
1
F
A
Portanto,
m
4.
2
Observe
5
o
a
2
V
V
5
poliedro
figura
36
tem
14
24
V V
5
24
abaixo.
Q
E
H
O 5
m h
h
F
t
h
2
vértices.
m
2
h
1
P
5
5
3
4
m
OCCES
6
m
NOSLIDA
2m
B
:SEÕÇARTSULI
h t
Após
e
4m
300
Guia do professor
os
cortes,
partindo
BC C
AFPQED
e
BGPQHC
de
O
em
direção
às
retas
A
Agora,
com
os
cortes
de
em
direção
às
retas
AB
CD
2
5
A
8
6
96
2
V
a
5
a
V
5
a
16
V
a
5
4
c ub o
6
mos:
3
V
Q
O
5
V
4
(a
1
x
1
5
3
x)
5
5
V
125
x
5
V
5
(4
4
1
V
x)
x
3
5
5
5
V
1
P Portanto,
10.
O
a
prisma
aresta
tem
deve
como
base
2
aumentada
um
triângulo
em
1
m.
equilátero;
assim:
2
a A
ser
3
4
5
3
5
5
4
3
base
4
álculo
A
Logo,
os
dois
tetraedros
sólidos
descartados
são
iguais
ABOP
dois
a
e
resposta
60°
3
5
cm
h
V
5
V
2
6
CDOQ.
6
6
cm h
dois.
6 h
3
5
V
e
h
5
3
3
2
Lo
5.
4
h
h
congruentes:
V alter nativa
altura
B sen
For mando
da
4
o:
possível:
V
5
A
8
prism a
h
5
4
3
8
3
3
5
36
base
3
Portanto,
11
Como
A
o
5
volume
20,
5
5
1,2
2
5
2,4
(500
5
2,4
905
5
2.172
do
25
(20
prisma
e
5
25
1
é
6
36
1,5
20
9
cm
5
1
9,
25
temos:
9)
papel
A
1
180
1
225)
papel
A papel
A papel
2
Logo, Comentário:
cícios
Analogamente
propostos,
após
o
às
questões
traçado
da
14
e
18
planificação,
dos
com
os
dos
colegas,
verificando
a
possibilidade
Perímetro
de
gastará
2.172
cm
de
papel.
da
base:
60
m
60 5
diferentes
balconista
compará12.
-lo
o
exer -
V
5
15
4
planificações.
A
5
15
5
225
base
8
V
2
5
A
h
reservatório
V
5
A
8
h
V
V
5
8
5
V
V
5
5
225
35
5
7.875
base
40
base
2
60%
de
7.875
5
4.725
3
Assim,
o
volume
de
madeira
necessário
é
40
cm
Assim:
7.875
4.725
3.150
3
Logo, 7
5
25
25
5
restam
3.150
m
do
reservatório.
625
base
A
5
4
25
50
5
13.
5.000
Sendo
S,
em
centímetro,
a
soma
das
dimensões
a
b
e
c
lateral
do A
1
A
5
base
625
1
5.000
5
paralelepípedo
reto-retân
ulo,
temos:
5.625
lateral
2
5
a
1
b
1
c
2
V
5
2
a
1
b
2
1
c
1
2(ab
1
bc
1
ac) c
V
2
Logo,
a
área
a
ser
forrada
é
5.625
cm 2
V
Seja
x
o
menor
comprimento
de
tecido,
S
5
21
1
28
V
S
5
7
então: alter nativa
a
5. 625 x
5 14.
50
h
5
2
5
2
Portanto,
x
5
112,5
cm
ou
x
5
1.125
(2
m. A
5
)
5
5
10
base
alter nativa
2
e
20
1 V
5
8
8
10
2
5
5
5
p i r â m ide
8.
3
3
a 20
5 3
6
Logo,
cm
o
volume
da
pirâmide
é
cm 3
12 7
cm
cm 15.
O
3
volume
menos
do
4
tetraedro
vezes
o
1
3
ou
seja:
é
3
2
4
Aplicando
o
teorema
de
cm
alter nativa
Pitágoras,
ual
de
ao
volume
um
do
cubo
tetraedro
de
aresta
trirretângulo,
1
8
8
8
3
14
i
volume
3
3
8
3
8
9
5
2
c
obtemos: 16.
2
2
5
a
2
6
1
7 5
a
5
36
1
49
a
V
5
cm
5
85
3
cm
cm
Assim:
12 A
14
4
5
V
A
base
5
cm
4
cm
84
base
8 A
OCCES
2
3 V
5
A
B
5
12
B
2 A
5
4
8
b
8
h
5
4
8
85
8
6
5
24
85
atera
NOSLIDA
2
A ⎛
b
A
5
2
8
A
t ot al
1
A
5
ba s e
2
8
84
1
24
h
2
A ⎞
5
85
⎝
A
5
H
⎠
12
24
(7
1
85
)
1
t ot a
5
V nova
8
p i r â m id e
8
A
a
área
total
da
super fície
do
paralelepípedo
5 b
3
1 h
5
4
4 8
8
3
5
b
3 Logo,
A
:SEÕÇARTSULI
5
V 9
B
A
4
3
b
V
2
atera
3
3
3
é 4 3
Logo, 24
(7
1
85
)
o
volume
da
nova
pirâmide
é
2
cm
3
Guia do professor
301
2
2
a a)
A
5
6
3
5
8
5
6
Elevando
3
8
5
37 ,5
os
dois
membros
2
4
(a
4
1
5
A
8
prism a
h
5
37 ,5
3
8
10
5
quadrado,
obtemos:
375
2
c c)
2
V
ao
3
base
5 (13
2
2
1
3
b)
1
2
5
2
13
1
26
(IV)
base
2
De
(II),
temos:
1
a
c
5
91
b
3
Logo,
o
volume
do
prisma
é
375
3
cm
Substituindo
(I)
(II)
em
5
e
169
1
b
(IV),
5
169
1
b
obtemos:
b) 2
1
b
91
b
A
2
1
2ac
1
2b
2
26b 10
2
26b
2
26b
78
cm b
5
3
Assim: x
V
C
A
5
a
b
c
2
b
V
5
V
5
b
V
5
27
3
A
3
Logo,
x
5
cm
o
volume
omentário:
do
Essa
sólido
é
questão,
27
cm
assim
como
a
questão
22
dos
1
C
5
exercícios propostos com relação à PA, leva os alunos a reto-
cm mar o conceito de PG e a desenvolver uma resolução algébrica
2
2
x
5
2
5
1
5
2
5
5
cos
120° um
1
⎛
2
x
5
50
2
50
8
pouco
mais
sofisticada
que
a
de
questões
anteriores.
⎞
2 ⎝
21.
⎠
2
2
x
5
50
25
A x
5
x
5
75
5
3 10
2 h
Assim: C
Área
5 10
8
x
5
10
8
5
3
5
50
3
D 5
2
Logo,
a
área
da
secção
é
50
3
cm
.
y sen
60°
5
V
y
5
5
6
2
2
a 18.
A
5
96
3
V
6
3
10
8
5
96
3
y
2
V
base
4 x cos 96
3
60°
5
V
x
5
5
2
4
2
V
a
5
V
6
ótema
2
da
2
m
5
5
64
V
a
V
m
5
10
8
2
2
h
C
base:
4
5
V
m,
m
5
t em os
64
h
5
2
4
16
5
4
3
x
3 .
CD
5
CB
5
x
5
5
2
C
Assim:
A
x
D
3
2
8
Como
a
B
x
5
6
8
a
8
h
5
6
8
8
8
4
3
5 192
3
atera
D 2
Portanto,
a
área
lateral
do
prisma
é 192
3
cm
2
2 2
h
(5
5
19.
6
)
(5
2
2
A
)
2
h
5
150
5
100
50
2
h
h
m
5
6
10
h
d Assim:
V
5
A
paralelepípedo
h base
60 5
V
8
10
tg
5
60°
V
Como
d
5
paralelepípedo
5
d
V
d
2 ,
3
5
5
20
3
3
Portanto,
2
o
volume
do
paralelepípedo
é
250
V
3
5
V
5
10
6 1.
2
Entre
as
demais
Assim:
figuras,
figuras
o
são
poliedro
corpos
é
a
figura
do
redondos.
2
V
5 para
e
A
8
e p í p ed o
h
(1 0
5
base
6
)
8
60
5
alter nativa
36. 000
a
3
Portanto,
OCCES
20.
o
volume
Pelo
enunciado,
b
do
paralelepípedo
é
36.000
cm
2.
80
faces
triangulares:
240
12
faces
pentagonais:
60
lados
lados
(80
(12
Logo, e
c
estão
em
uma
PG:
b
5
a
c
o
número
de
arestas
é
dado
por:
(I)
NOSLIDA
(240 2
d
5
a
2
1
1
:SEÕÇARTSULI
a
1
4a
a
De
2
1
1
b
(III),
302
b
4b
1
60)
9
2
5
150
2
b
1
c Assim,
2
como
V
1
F
2
1
c
1
c
5
4c
5
temos:
3)
5)
temos:
2
cm
t em os:
20 20
d
3
250
V
60
B
C
paralelepípedo
60
91
5
V
1
2
V
5
150
V
5
60
1
0
5
52
13
a
(II)
1
1
(III)
c
Guia do professor
5
13
b
alter nativa
b
2
A
5
2,
temos:
item
a,
pois
as
3.
A
5
5
16
2 2 2
F
5
4
1
5
5
5
9
g V
1
F
V
1
9
V
i
9
A
i
16
alter nativa
2
i
h
4
h
2 h
5
h
5
8
d m
4.
F
5
=
2
1
12 5
8
base
3
3
3 A
5
5 32
2 5
8
2
3
5
alter nativa V
1
12
V
5
11
21
alter nativa
5
d
2
a
b
2
c
5
4
Essa
atividade
trabalha
dade
e
uma
1
1
5
V
5
a
c
área
em
conceitos
proposta
matemáticos
interdisciplinar
de
com
capaci-
Biologia
5
e
5
b
2
2
5.
2
V
3 1
Geografia,
no
que
se
refere
à
discussão
de
sustentabilida-
2
3
4
5
60
de,
reciclagem
-se
fazer
uma
e
consumo.
parceria
na
Com
Língua
construção
Portuguesa,
do
texto
pode-
publicitário.
paralelepípedo
Você, alter nativa
rofessor,
ode
incentivar
os
alunos
na
criação
de
c
embalagens
6.
inusitadas,
paralelepípedos
H
10
fugindo
das
mais
tradicionais
(os
reto-retângulos).
Comp reensão de texto
1.
caixa
antiga
caixa
nova
10 24
3 sen
60°
5 2
10
V
H
5
14,5
10
2
A
10
5
500
3
base
4,8 alter nativa
7
c 16,8
7.
A
5
2
5
16,8
19
(16,8
4,8
1
16,8
24
1
4,8
24)
5
1.198,08
antiga
V
4,8
24
5
1.93
36
antiga
1,10
m
A
2
(19
7
1
19
14,5
1
7
14,5)
5
1.020
nova
5
V
19
7
14,5
5
1.928,5
nova
2
Caixa antiga: 1.198,08 cm
3
; 1.935,36 cm
2
0,80 0,85
caixa nova: 1.
m
cm
, respectivamente;
3
; 1.928,5 cm
, respectivamente. A caixa
m nova realmente utiliza menos papel-cartão e, apesar de a ca-
Se a espessura é 5 cm, devemos tirar 10 cm de cada dimen-
são
externa
para
calcular
o
volume.
pacidade ser menor, ela comporta 1 kg de detergente em pó.
Assim:
2. 0,85
0,80
m
0,1
m
0,1
m
m
5
5
0,75
0,7
m
m
5
5
7,5
7
a)
13,89
b)
Na
milhões
de
metros
quadrados
dm
con
ecção
de
cada
caixa
2
1.020cm 1,10
m
0,1
m
5
1,0
m
5
nova
são
utilizados
dm
10
2
,
ou
seja,
0,102
m
dm Logo:
13.890.000
9
0,102
q 136.000.000
3
V
5
7,5
dm
7
dm
10
dm
5
525
dm Portanto,
poderiam
ser
produzidas
aproximadamente
3
Como
1
dm
5
1
c,
temos
525
c 136milhões
alternativa
A
A
A base
A
caixas.
c
3.
8.
de
3
Algumas
dutos
atera
medidas
materiais
5
são:
concentrados,
reciclados
embalagens
venda
de
menores
produtos
em
com
refil,
pro-
uso
de
etc.
t ot a
A prism a
V
5
3
base
5
4.
3
prisma
alter nativa
Podem
Cooperativas
de
material
que
vai
Geração
de
d
c)
ser
reciclados
papéis,
catadores;
ser
plásticos,
indústrias
reciclado;
emprego
e
de
vidros
setores
renda
por
e
metais.
relacionadas
da
ao
tecnologia.
meio
da
criação
9.
2
4
2
5
g
g
cooperativas
de
catadores;
redução
dos
gastos
das
2
1 2
16
indústrias
vação
4
com
a
ambiental
aquisição
por
meio
de
da
matérias-primas;
redução
da
preser -
exploração
de
recursos 5
g
5
naturais
e
diminuição
das
áreas
destinadas
12
a
2
5.
aterros
resposta
sanitários.
pessoal
Guia do professor
303
:SEÕÇARTSUL
g
g
NOSLIDA
de
OCCES
a)
b)
Cap ítulo
7
Corpos redondos
Complementando
capítulo
apresenta
o
estudo
os
corpos
dos
sólidos
redondos
geométricos,
—
com
Assim:
esse
destaque
5
para
total
da
150π
1
600π
1
300π
5
1.050π
peça
2
o
cilindro,
o
cone
e
a
esfera
—
e
seus
elementos.
Logo,
a
área
total
da
super
ície
da
peça
é
1.050π
cm
Os alunos terão a oportunidade de resolver situações-problema 7.
que
envolvem
o
cálculo
da
área
da
superfície
e
o
cálculo
omo
h
5
2
cm,
2
π(r
volume
de
corpos
temos:
do 1
4)
2
h
5
πr
2
(h
1
4)
V
2π(r
1
4)
2
5
6πr
V
redondos. 2
V
2
(r
1
8r
1
16)
2
3r
V
r
4r
8
0
Assim:
Resoluções e comentários 4 r
6
4
2
ortanto,
1.
A
5
3
5
Exercícios p rop ostos
como
.
0,
r
temos
5
(2
1
2
3
)
2πrh
lateral
A
5 secção
Logo,
2rh
o
raio
da
base
do
cilindro
inicial
é
(2
1
2
3
)
cm.
meridiana
A
8.
2s r h
atera
5
5
secção
Como
o
cilindro
é
equilátero,
h
5
r
s
2r h
A
A
m e r id i a n a
5 2A
1
total
A
base
lateral
2
5 πr
π base
2
Comentário:
É
interessante
que
os
alunos
verifiquem
se
5
a
π
8
5
π
lateral
razão
é
válida
valores
para
numéricos
todos
para
os
cilindros.
fazer
uma
Podem-se
utilizar
comparação
com
Assim:
2
os
2
5 2π
1
π
2
5
6π
total
colegas,
ou
seja,
verificar
na
prática. Como
=
4π,
temos:
total
2
2.
2πr (r
A
)
V
A
total
5
2 π
8
1
(1
0,5)
V
A
total
5
24π 5
3π
a
área
total
V r
5
total
h Portanto,
πr
da
super fície
do
comprimido
5
2r
5
4
é 2
V
2
3π
5
πr
2
h
5
π
8
2
4
5
16 π
cm 3
Logo,
3.
Cálculo
da
altura:
h
5
2 πr
5
2π
8
5
5
o
volume
do
cilindro
é
16 π
dm
10 π
r
5
1
mm
Assim:
2
5
A
2πr (r
1
h h)
5
2π
8
5
(5
1
10π)
5
(100π
1
50π)
h
5
V
5
10
cm
5
100
mm
total
2
Portanto,
a
área
2
total
da
super fície
do
cilindro
50 π)
5
π
8
1
100
Assim,
cm
o
volume
é
314
3
314 4.
Sejam
A
x
e
y,
respectivamente,
a
área,
a
medida
da
a
altura
Como
a
Assim:
da
base
A
5
secção
do
x
V
3
mm
5
cabe
0,314
0,314
dm
mc
5
de
0,314
tinta
mc
no
reservatório
da
caneta.
meridiana.
cilindro
y
314
mm
base Logo,
e
5
3
2
(100π
2
πr
é
20
tem
5
2
4
cm
y
V
de
y
raio,
5
temos
x
5
4
cm.
10.
De
acordo
com
o
esquema,
temos:
5 b
5
2x
secção
Como
a
altura
da
secção
meridiana
é
igual
à
altura
do 2
x cilindro,
temos:
y
5
h
5
2
5
A E,
5
5
2πr (r
1
h h)
5
2π
10
V
x
5
8
b
secção
portanto:
A
2
1
5.
8
2
(2
1
5)
5
80
28π
5
eixo secção
16
10
h
10
total
6
Logo,
a
área
total
da
super fície
do
cilindro
é
28π
cm
h
.
5
5 x
x
2
V
π
8
10
5
500π
cilindro
3 2
5.
h
Como
5
8
r
e
A
5
108π
cm
3
,
temos:
Logo,
o
volume
do
cilindro
é
500π
cm
lateral
2
3 A
5
2πrh
V
108π
5
2
8
8
r
8
V
r
11.
lateral
omo
r
5
20
cm
e
h
5
60
cm,
temos:
2 2 2
V
r
5
36
V
r
5
3 h
V
6
8
r
V
h
Logo,
5
8
2
πr
2
h
6
V
h
5
a
altura
é
9
π
8
20
60
5
74.400
o
volume
do
botijão
3
cm,
e
o
raio
é
74.400
cm
9
2 74.400
Logo,
5
3
3
5
5
é
6
cm
3
5
74,400
dm
5
74,400
c
cm. 74, 400 Duração
do
gás:
5
24
3, 1 6.
Sendo
A
A
a
área
2
super fície
inter na
2
A
π(r
da
peça,
Portanto,
temos:
10
π
π(r
24
dias.
Sendo C
NOSLIDA
5
durará
h
12. 2
2
gás
100π
base
A
o
2
)
o cilindro cheio
2
)
5
5
π
5
25π
2
de lí
base
uido e C
o cilindro
2
5 da
100π
2
25π
5
x
75π
peça
para
o
qual
o
líquido h
Como
são
duas
bases,
temos:
A
5
2πr
h
5
2π
8
10
5
2πr
h
5
2π
8
5
2
75π
5
150π será
30
5
600π
que
x
transferido,
é
a
altura
em
que
o
lateral
C A 2
2
lateral
304
Guia do professor
30
5
300π
líquido
atingirá,
temos:
r
C
r 2
2
:SEÕÇARTSULI
base
OCCES
da
r
5
10
cm
16.
Sendo
a
a
medida
2πr h
5
40
cm
5
α
do
8
2 V
ângulo
5
6
central,
temos:
10
5
α
V
g
r
8
180°
5
α
60°
60
cm
2
h
5
125
cm
2π r
2
17.
α
2
5
V
60°
180°
8
cilindro
π(
)
r
8
5
V
g 2
5
g
2
h
5
π
8
10
40
5
4.000π
C
3 6 0 °r 2
4.000π
5
π(
)
2
x
V
4.000π
5
π
8
6
x
g
V
V
5
V
2
V
x
g
6r
5
60°
4. 000
1. 000
5
V
x
Sendo
5
36
C
o
comprimento
da
circunferência
da
base
e
g
a
9 medida
da
geratriz
do
cone,
a
razão
1. 000 Portanto,
o
líquido
transferido
cm
atingirá
no 2 r
C
9 5
k cilindro
V
C
125
h
5
k
V
k
5
6r
g
2
3
cm
2
2π r 1. 000 x
18.
cm
α
2
5
120°
V
8
180°
8
10 V
5
g
g
9
3. 600° 1. 000
h
8
2
x
5
V
5
g
5
V
125
2
o
30
5
120°
9
líquido
transferido
2
g
8 Logo,
g
h 2
9
da
ocupará
altura
do
5
2
r
1
2
h
V
2
h
2
5
1
V
h
5
800
V
h
5
20
2
novo
9 Logo,
a
altura
do
cone
é
20
2
cm
cilindro.
19.
13.
Os
cilindros
da
figura
representam
os
O
cone
for mado
or
um
semicírculo
é
e
uilátero.
Assim,
recipientes. como
g
5
2r,
temos:
R g
5
2r
V
20
=
2r
cone
V
r
OCCES
Portanto,
o
A
meridiana
tem
5
10
10
cm
de
raio.
R secção
é
um
triângulo
equilátero
de
lado
4 20
NOSLIDA
h
cm.
A
distância
triângulo
do
vértice
até
a
mesa
é
a
altura
do
equilátero.
h
3
c h
3
20
5
Logo,
5
a
do
recipiente
v
menor,
o
volume
20.
a)
distância
2
g
temos:
5
10
3
2
2
V
3
5 2
2
h
A
do
1
5
2
r
V
πrg
vértice
5
5
8
a
2
g
π
até
1
15
será 1 0
3
cm.
2
12
9
mesa
5
9
V
g
5
225
V
g
5
15
135π
lateral
2
2
R
h
R
h
2
V
πR R
v
e
h
5
8
5
A
5
πr( r r
1
g g)
5
π
8
9
(9
1
15)
5
216π
total
16
3
48 2
Logo,
2
V
R
V
V
5
48v
2
2
R
b)
h
48
Logo,
área
lateral
é
135π
cm
2
e
a
área
total
é
216π
cm
h
5 v
a
serão
necessários
48
recipientes
2
g
5
V
r
2
h
1
5
2
r
V
100
2
26
V
r
5
5
2
24
1
r
V
10
menores. A
πrg
π
8
10
26
260π
lateral
14.
Sendo
r
o
raio
da
cister na,
A
V
πr( r r
1
g g)
5
π
8
10
(10
1
26)
360π
total
2
H
r
5
Então, a área lateral é 260π
0,5
m
5
5
dm
3
V
5
310
c
5
310
21.
dm
2
V
5
πr
Logo,
o
V
310
nível
de
5
3,1
água
5
H
V
baixará
100
4
5
dm,
25H
ou
V
seja,
H
40
5
Supondo
reto
2
H
4
de
cm.
que
sem
papel
fazemos:
a
cada
base,
usado
Ca
cu
an
o
a
área
e
a
capaci
a
e
e
ca
a
tanque
e
34
para
entre
elas,
2
I:
5
A
π
8
2
2
6
5
5
π
8
con fecciona r
um
cone
quantidade
de
total
todos
os
c ha p é u s
h
5
A
12
cm
e
cone
2
5
h
2
1
r
5
2
r
V
g
8
cm,
2
5
12
temos:
2
1
8
V
g
208
5
V
g
5
4
13
Logo:
2
A
for ma
a
24π
2
V
da
temos: g
Tanque
é
calcular
a Sendo
relação
chapéu
para
lateral
15.
2
e a área total é 360π π cm
6
5
24π
34
24
5
A
34
πrg
5 34
π
8
8
4
13
5 1. 088
13
lateral
5
1
5
V
24 Portanto,
Tanque
II:
A
5
π
8
2
2
8
5
são
necessários 1 . 0 8 8
13
cm
de
papel
para
32π
II
fazer
todos
os
chapéus.
2
V
5
π
8
2
8
5
32π
II
A
32
II
22.
5
5
A
altura
n
II
Tanque
III:
A
5
π
8
2
3
e
o
raio
do
l
in
ri
cilindro
são
iguais
à
altura
e
ao
1
32
V
8
5
n
En
48π
III
5
h
cm
e
5
cone
2
m
cone
2
V
5
π
8
3
8
5
72π 2
III
g
A
48π
III
5 V
2
5
h
2
1
r
2
V
g
2
5
5
2
1
2
V
g
5
29
2 Área
5 72
total
da
super fície
do
cone:
3
III
ogo,
o
tanque
capacidade
alter nativa
é
d
o
com
III.
menor
custo
por
metro
i
A
5
πr (r
1
g g)
5
π
2
(2
1
29
)
5
2π
(2
1
29
)
total
Portanto,
2π
(2
1
a
29
área
)
total
da
super fície
do
cone
é
2
cm
Guia do professor
305
raio
23.
O
cone
é
equilátero
com
r
5
cm
e
g
5
10
28.
cm.
2
A
5
A
total
1
A
V
base
A
lateral
5
πr
1
πrg
V
total
2
V
A
5
π
8
5
1
Portanto,
a
área
π
8
5
10
V A
total
5
75π 4
4
total
2
total
da
super fície
é
75π
cm 5 r
r
2
24.
Como
A
5
600π
cm
e
g
5
30
600π
5
π
cm,
temos:
ral
A
5
600π
5
πrg
V
8
r
30
V
r
5
20
3
3
lateral
Assim:
2
A
5
2
πr
1
A
total
5
π
8
20
1
600π
5
1.000π
lateral
12 r
2
Portanto,
a
área
total
da
super fície
é
1.000π
5
5
4
3
V
r
5
cm 5
A
3
h 25.
tg
30°
5
10
h
V
5
10
V
3
h
área
da
do
sólido
laterais
de
dois
cones;
g
5
2
r
1
2
h
V
10
2
g
5 10
A
3
5
rg
5
5
πrg
L
8
8
V
g
5
4
5
5
12
36
5
8
8
20
200
5
V
9
g
5
3
2 2
1
2
1
áreas
⎠
3
A
5 100
das
L
⎞
1
300
2
g
soma
V
⎝
V
pela
48
12
2
dada
assim:
3
2
⎛ 2
é
3
5
10
super fície
5
5
3
5
9
3
A
5
A
5
A
1
A
L
L 2
20 A
5
rg
5
8
10
3
200
8
48
3
5
36
84
1
5
atera
5 3
5
5
3
84 Portanto,
200
a
área
da
super fície
do
sólido
é
2
dm
5
3 2
cm
3
1 29.
1
2
5
V
r
V
h
18
2
5
2
8
3
8
h
V
cone
26.
Vamos
deter minar
ângulo
central
a
é
o
comprimento
C
deste
ar co
cujo
3
3
300º. 2
18 V
h
5
V
h
5
6
2
3 3 6 0º
——
3 0 0º
——
2
6 2 2
C
6
3 0 0º C
2
8
5
2
g
8
6
5
A
10
5
r
2
1
5
2
h
πr (r
V
1
2
g
g g)
5
5
π
3
8
1
3
(6
(3
)
2
1
9)
V
5
g
5
81
V
g
5
9
36π
total
360º 2
Portanto,
ferência
da
base
é
2πr, r
5
10π
V
r
5
total
da
super fície
do
cone
é
36π
temos: 30.
2πr
área
60°
a
Como o comprimento da circun-
a
O
lápis
é
composto
de
um
cone
e
um
cilindro.
5 1
5
r
cm
e
altura
h
5
1
cm
1
Portanto,
cone
é
5
o
raio
da
base
do
2
cm.
1
5
r
cm
e
altura
h
2
5
15
cm
2
2 Comentário:
A valiar
a
conveniência
de
pedir
aos
alunos
Então: que
desenhem
e
r ecortem
tr ês
setor es
cir cular es
de 2
1 mesmo
raio
e
ângulo
central
medindo
a
a
V
1
2
5
8
π
8
(r1 )
cone
8
h
nor
que
180º,
outr o
com
a
igual
a
180º
e
outr o
com
1
⎛
5
8
π
1
⎞
8
8 1
5
π
1
3
⎝
3
2
⎠
12
a 2
2
maiorque180º.
Para
cada
setor
recortado,
após
V
unirem
5 ci
π
8
indro
(r2 )
⎛ 8
h
5
π
lados
do
ângulo
central,
pedir
a
eles
que
15
⎞ 8 15 5
⎝
os
1
8 2
⎠
4
comparemos 1
r espectivos
raios
r
da
base
do
cone
com
a
geratriz
V
g
5
V
ápis
1
V
cone
15
5 ci
1
Espera-se
que
eles
per cebam
que
os
raios
23
5
indro
12
deles.
π
2
4
6
terão, 23 Portanto,
r espectivamente,
27.
Representando
a
r
,
2g
r
situação,
5
2g g
e
r
.
o
volume
do
lápis
é
3
2g
cm
6
temos:
31.
Representando
a
situação,
temos:
A
2
cm
A
h
=
0,3
m
B H
O
r
=
0,3
10
m
R 8
OCCES
Sendo
R
o
raio
da
for ma
circular
iluminada
pelo
lustre:
NOSLIDA
A
R
2
2
π
Os
cm
C
O
5
6,25
R
triângulos
:SEÕÇARTSULI
h
AOB B
5
2,5
e
AO
R
r
H
5
V
H
C
5
são
semelhantes;
2, 5
h 5 r
R
Para V
0
então:
0, 3 H
5
calcular
r
306
o
lustre
deve
ser
Guia do professor
raio
R
do
2 5
Logo,
o
2, 5
3
pendurado
a
2,5
m
do
chão.
R
V 10
R
5
5r
(I)
cone,
temos:
cm
cm
2
Sabemos
que:
34.
A
5
πr
5
16π
V
V
5
4
2
5
A
A
1
216π
2
πR
5
πr
1
216π V
2
V
r
5
16
r
4
2
5
R
r
1
216
(II) 2
A
5
πR
5
36π
V
2
Substituindo
2
R
r
2
5
25r
em
(II),
obtemos:
1
216
R
V
2
r
V
5
9
V
r
5
5
36
V
R
5
6
t
3
2
Assim:
g
5
2
(h h
1
2
V
t
R
5
5
3
5
2
15
2
(2
)
5
5
(h
1
)
4 4
O
volume
do
cone
é
dado
2
por:
2
V (h h 1 V
1
2
5
8
8
R
8
h
5
20
4
V
h
5
6
2
5
8
3
)
15
8
8
10
5
750
3
V
h
5
16
V
4
3
Portanto,
o
volume
do
cone
é
750π
cm
Considerando
32.
a)
que
prolongamento
a
H
da
geratriz
e
da
altura
do
tronco,
temos
proporção:
5 H
H
4
5
H
V
6
5
12
34
volume 12
do
1 V
1
2
5
π
1
(r 1)
h
8
π
8 12
8
do
maior.
volume
do
cone
maior,
gerado
pelo
Assim:
5
1
3
3 5
V
V
240π
5
cm
V
n
3
Logo,
menor
triângulo
2
5
cone
V M
.
1
1 1 V
π
(r2 )
h
1 2
1
2
5 2
2
5
8
π
8
V
5
8 12
s
5
s
12
3
4
8
3
3
128
3
Logo,
2
6
tronco
2
3
V
5
100π
cm
V
2
5
s
144s
tronco
12
3 Assim:
30 4
3
V
240
1
cm
V
240
= tronco
5
5
5
240%
3
3
V
100
100
cm
2
30 4 Portanto, Portanto,
entre
V
a
e
razão
V
é
o
volume
do
tronco
é
3
cm
percentual
3
240%.
2
35. 5
b)
Para
o
triângulo
retângulo
1 temos:
5
V
de
y
catetos
1
2
x
e
5
V
1
que
medem
x
e
R
y
2
x
y
2
3
3
Portanto:
1
2
y V
x V
3
1
5
y
1
V
V
1
5 V
2
2
x
x 2
y
3
H Comentário:
e
ampliada
Essa
é
uma
pedindo
aos
questão
alunos
que
que
pode
ser
elaborem
explorada
um
quadro
V 1
em
que
se
represente
o
cálculo
da
,
razão
h
atribuindo
V 2
para
33.
y
os
Observe
valores
a
figura
2x,
ao
x,
x
x
2
3
x e
4x
4
lado.
H
Considerando
a
h ,
5 5
5
O
temos
3
V
515cm.
volume
H
do
tronco
pode
ser
subtraindo
o
volume
do
o
do
volume
do
cone
de
água
que
3
V
⎛
H
restou
na
taça,
temos:
3
⎞
5
cone
⎛
4R
⎞
5 ⎝
V
menor
V
volume
ob6
tido
temos:
2R
3
H
H,
6
6
H
4R
h
H
H
5
proporção
h
⎝
⎠
2R
⎠
maior. OCCES
5
V 5
8
Assim: V
NOSLIDA
V 5
V
V
tronco
V M
V
m
5 8
1
1 2
5
s
5
2
15
s
3
(15
V
6) Cálculo
tronco
3
3
do
volume
da
água
bebida:
V
2
7 5
8
5
V
125s
27π
=
98s
V 8
7
tronco
Portanto,
foram
da
bebidos
quantidade
de
água
8 3
Portanto,
o
volume
do
tronco
de
cone
é
98π
cm
havia
na
taça.
Guia do professor
307
que
:SEÕÇARTSULI
V
Comentário:
É
interessante
pedir
aos
alunos
uma
estima-
41. Assim:
tiva
do
resultado
antes
de
eles
resolverem
esse
exercício.
2 2
2
2 Certamente
muitos
se
mostrarão
surpresos
com
o
o
que
deverá
gerar
interesse
pela
(
5
4
5
1
)
3
1
x
2
3
tado,
5
resul-
continuidade
x
3
2
do
2
x
m x
O
x
5
1
Logo, 36.
Para
calcular
a
altura
da
peça
(h h ),
a
entr e
2
2
13
5
(h h
)
distância
temos:
o
plano
b
e
2
1
5
o
centro
da
esfera
7 h
5
h
5
144
é
1
cm.
b 12
H
2
42. h
h
t
a)
A
4 super fície
13
t
do
triângulo
for mado
pelo
π
4
5
da
geratriz
e
do
tronco,
temos
a
4
π
da
4
8
3
36π
8
8
3
5
r
8
8
5
3
36
esfer a
altura
3
7
2
r
3
5
V gamento
8
esférica
prolon
3
2
proporção:
Portanto,
a
área
da
super fície
esférica
é
36π
cm
e
o
12 3
H
H
12
144
5
V
12
H
volume
da
esfera
Como
esfera
é
36
cm
5
7
5
b)
a
tem
18
cm
π
r
de
diâmetro,
temos,
r
9
cm.
Assim: O
volume
do
tronco
pode
ser
obtido
subtraindo
o
volume
2
A do
cone
menor
do
volume
do
cone
maior,
gerado
4
pelo
super fície
4 triângulo
maior.
Assim:
2
5
4
π
4
3
5
V
8
8
9
5
324π
esférica
8
8
3
5
r
8
8
5
9
972
esfer a
3
3 2
5
V tronco
de
V
cone
V
M
Portanto,
a
área
da
super fície
esférica
é
324π
cm
e
o
iguais
a
m
3
volume 1
144
1
5
3
5 tronco
de
s
é
972π
cm
2
12
s
7
cone
3
5 43.
V
5 tronco
esfera
84
2
V
da
de
1.1
s
A
altura
4r,
cone
a
e
o
comprimento
largura
é
igual
a
2r
do
e
r
paralelepípedo
é
o
raio
de
são
cada
esfera.
Portanto: 2
V
2
5
πr
h
5
5
588π
π
8
7
12
cilindro 3
V
5
4r
4r
2r
5
32r
paralelepípedo
V
4 Como
cilindro
o
volume
de
cada
esfera
é
3
,
cm
temos:
3
4
4
Logo:
5
5
V
eça
V
V
r
5
1
V
r
5
1
3
V tronco
5
3
r
3
V
3
de
cone
cilindro
1.108
V
588
5
2
1
V
V
paralelepípedo
5
2
paralelepípedo
peça
3
Portanto, V
5
o
volume
do
paralelepípedo
é
32
cm
520π
peça
Comentário:
Pode-se
ampliar
essa
questão
pedindo
aos
3
Portanto,
o
volume
da
peça
é
520π alunos
que
calculem
quadrados 37.
circunferência
super fície
c)
um
papelão
embalagens
mínima
necessária
para
de
centímetros
fabricar
uma
caixa
que
uma
indústria
contenha
quatro
lateral
bolas de
quantidade
P
de b)
de
a
cone
super fície
do
tamanho
dessas
esferas.
O
esférica
π 44.
Como
α
5
5
4 5 °,
temos:
4
2
π A
8
8
r
α
5 fuso
esfér i co
90°
Comentário :
Essa
questão
é
in ter essan te,
po is
p r op or -
2
A
8
6
for mas
geométricas
por
meio
da
rotação
de
45° 5
18
esfér i co
90°
outros
3
π V elementos
8
5 fuso
ciona aos alunos a oportunidade de imaginar a obtenção de
8
r
8
α
5 c u nh a
geométricos.
esfér i ca
270°
3
π
4 38.
5
V
8
V
4. 000
3
8 10
8
6
8
45°
5 c u nh a
5
36 π
esfér i ca
270°
5
queijo
3
3
2
Portanto, 4. 000
ci
4. 000 π
2
5
V
V
8
10
5
h
a
área
do
fuso
esférico
3
é
18π
cm
e
o
volume
da
40 V
5
h
3
indro
3
cunha
3
esférica
é
36π
cm
40 Portanto,
a
altura
da
panela
é
h
5
cm.
45.
Cada
gomo
pode
ser
considerado
uma
cunha
esférica
3
360° segundo 39.
Se
as
super fícies
são
exter nas,
um
ângulo
de
medida
5
temos:
30°
12
d
5
r
1
r 2
OCCES
Se
uma
A
super fície
r
>
r
r
>
r
V
d
V
d
5
for
inter na
r
r
r
r
2
à
outra,
teremos
dois
casos:
medida
do
da
círculo
total
lateral
NOSLIDA
2
fuso
distância
entre
O
e
O
é
r
1
:SEÕÇARTSULI
2
r
ou
r
r
2
ou
r
2
8
30°
r 5
esfér i co
r
90°
3
2
2
A
5
πr
lateral
2
(r
)
2
2
5
1
V
(r
)
5
2
1
V r
5
8
V
1
r
5
2
2
2
1
2
r 5
A
4 r
2
1
r
5
t ot a
Portanto,
308
cada
2
8
r
5
A
40.
de
mais
Assim:
2
a
face
2
2
Logo,
super fície
da
o
raio
do
Guia do professor
círculo
é
2
2
cm.
3
3
a
gomo
área
do
é
igual
fuso
à
área
esférico.
Portanto,
a
medida
da
super fície
total
de
cada
gomo
será
2.
secção
2
retangular
4r unidades
de
área.
3
3
8
r 46.
V
8
a
2a
5 c u nh a
h
5
esfér i c
3
270°
3
h
2
3
Como
a
cunha
esférica
tem
1
m
e
vo
ume,
temos: 2x
a 1
5
V
a
5
3
2
3
Assim,
o
ângulo
que
deter mina
a
cunha
esférica
mede
3
x radiano.
2
2
2
x
47.
A
estrutura
coberta
em
for ma
de
um
hemisfério
é
2
5
3
V
x
5
4
um Sendo
A
a
área
da
secção
retangular
e
A
s
fuso
esférico
segundo
um
ângulo
de
a
área
da
base
b
180°. do
cilindro,
5
A
s
V
temos:
2x
h
5
25π
V
h
h
b
8
h
2
6 2 5 5 8
2
6 2 5 Logo,
o
volume
do
cilindro
3
é
cm
8
3
3.
a)
Pelo
enunciado,
temos:
x
5
3y
e
V
5
243
cm
cilindro
Assim:
2
243
5
x
π
8
2
y
V
243
5
3y
3
y
V
2
A
=
78,5
m
3 3
base
V
2
A
5
πr
9y
5
2
5
78,5
V
r
5
25
V r
5
5
x
base
5
3y
x
5
3
3
x
5
9
2
r A
a
5
5
180°
Logo,
5
5
x
5
9
e
y
5
3.
q
fuso
90°
90° b)
Pelo
enunciado,
temos:
x
5
y
1
10
e
A
5
450
cm
lateral
2
Logo,
na
foram
utilizados,
cobertura
aproximadamente,
157
m
de
lona
Assim:
toda.
450
5
x
2
3y
V
450
2
V 48.
Vamos
deter minar
o
volume
de
sorvete
que
cabe
em
75
5
5
6
(y
1
10)
y
V
2
y
10y
V
y
10y
75
5
0
V
um V y
5
5
ou
y
5
215
(não
convém)
2
copinho
de
acordo
com
o
descrito
no
enunciado.
x
5
y
1
10
V
x
5
5
1
10
5
15
1 5
,
em
que
c o p i nh o
Logo,
y
5
5
e
x
5
15.
3
40
1
2
4.
5
0
V
V
5
π
8
2
r
h
V V
lata
c o p i nh o
5
π
8
4
19
V
V
lata
q
954,6
lata
3
3
3
Duas
conchas
semiesféricas
de
sorvete
equivalem
a
Assim,
o
volume
Então,
V
da
lata
é,
aproximadamente,
954,6
cm
uma 3
q
954,6
mc,
pois
1
cm
5
1
mc
lata
bola
esférica
de
sorvete.
Portanto,
vamos
deter minar
o V
q
954,6
900
V
ar
volume
de
uma
Portanto, 4
5
mente,
a
3
volume
de
ar
54,6
contido
na
lata
é,
aproximada-
54,6mc
3
32
40
3
3
Como
,
o
sorvete
não
transbordará,
mesmo
5.
O
volume
volume que
o
32
3
5 bo
q
ar
bola.
pedido
do
cone.
é
a
diferença
entre
o
volume
total
e
o
Assim:
derreta. 3
4s x
2
C
3
3
Exerc
cios comp lementares alter nativa
1.
Sendo
C
a
circunferência
da
base
do
barril
A
e
C
A
a
3
B
omo circunferência
5
2a
b
5
2sR
da
base
e
5
do
a
5
barril
B,
135°
5
,
2sr g
80
0
5
5 3
3 a Portanto:
temos:
temos:
a
5
e
r
5 4 2 2
Assim:
2
h 2
V
5
V
5
3
h
h
3
9
3
s
V 2
V 9
3
OCCES
s 2s
3
Portanto,
o
volume
do
cone
é
cm
NOSLIDA
9 Portanto,
5
V
2V
A
alter nativa
:SEÕÇARTSUL
Comentário:
tão
B
a
7.
Avaliar
substituindo
o
a
conveniência
fator
2
por
k.
de
ampliar
Assim,
como
essa
os
Sendo
R
temos
a
barris
espera-se
que
os
alunos
concluam
que
5
do
cone
k
maior
o
volume
r
o
raio
do
cone
.
R
menor,
Assim,
menor
e
o
volume
do
cone
a
maior
(volume
total)
a
20
r
cone
do
16 se
5 R
entre
e
16
20
relação
ka,
raio
proporção
se-
riam construídos com chapas retangulares de dimensões
e
o
ques
é:
Guia do professor
309
2
Resolvendo 1
o
sistema
for mado
pelas
equações
(I)
e
(II),
16 R
16 3
3
m
20
obtemos
16
5
9
cm
5 3
V
Assim,
20
2
T
1
a
altura
do
cone
menor,
ou
seja,
a
distância
do
20
R 3
vértice
ao
plano
paralelo
à
base,
512
⎞
9
,
h
que
é
igua
a
c m.
9
51, 2%
é
1. 000
° Portanto,
o
volume
do
copo
ocupado
pela
espuma
equivale
11.
V
5 u nha
a
48,8%
do
volume
total,
aproximadamente
Assim, alter nativa
o
volume
da
cunha
r
5
17
V
r
secção
Temos
a
81 π
i ca
esférica
é
81π
cm
.
c
12.
8.
es
50%.
5
1
secção
proporção: 5
A
π
8
1
V
A
5
secção
C
1 6 0º
2s r
cone
5
8
C
π
4 18
3 6 0º
22
secção
2
8
Logo,
a
área
da
secção
é
225
cm
9
set or
Portanto,
o
raio
da
base
do
cone
é
8
cm.
Aplicando
o
2
13.
2
r
5
2
15
8
V
r
de
Pitágoras
no
triângulo
retângulo
for mado
2
pelo
2
h
raio
e
pela
altura
do
cone,
2
5 18
V
h
5
5
V
h
q
Prolongando
cones:
,
C
161
A
16
5
sec
161π
o
d
2
Portanto,
9.
5
ã
temos:
2
1 8
alter nativa
a
altura
que
e
a
contém
geratriz
o
do
tronco,
e
tronco,
C
,
obtemos
dois
complementar
14.
a
área
Considerando
da
que
relação
a
C
.
Se
é
a
altura
de
e
h
é
de
C
,
temos
a
densidade
cm
volume
5
massa,
temos:
5
3. 283
2
7
1
5
s
2
8
proporção: Então,
2
h
161π
a 3
altura
é
3
4
com
secção
do
v tronco
161
pela
r geratriz,
5
s e c ç ão
secção
teorema
calculando
o
produto
d
v, temos:
H 3. 283 3
s
3 cm
O
volume
do
tronco
pode
ser
obtido
subtraindo
o
5
de
C
de
C
.
cm
5
8
volume q
0
kg
Assim:
2
alter nativa 1
1
2
2
V
5
V
tronco
V
C
19
2
s3
5
s2
H
H
5
sH
C 2
3
3
3
9 15.
V
5
V
cilindro
Como
V
5
20s,
temos:
19
3
h
5
(I)
5 lateral
20 s V H
9
A
180 5
cubo
2
πr
tronco
sH
e
A
cilindro
total
do
cubo
5
9
19 2
2πr 2 Portanto:
h
1
5 H
H
h
5
6
5
V h
9
(II)
60
5
H
2 r
5
tronco
3
3
19
Substituindo
(II)
em
(I),
obtemos:
60 Logo,
a
altura
do
tronco
de
cone
é
m.
729
486
2
729
19
5
0.
Pelo
enunciado,
podemos
construir
uma
figura.
3
243
2 r
Logo:
Observe:
486
81
h
V
Assim:
81 A
5 o
a
in
2
5
2
(486
1
1
π)
r
OCCE
9
–
h t 2
Logo,
a
área
total
da
super fície
é
(486
1
18π)
cm
NOSLIDA
B 16.
A
PA
é:
(h
x
h
h
1
x )
r
raio
t
2
(h
1
altura
geratriz
2
x )
2
h
1
(h
x
A
O
2
h 3
2
1
2hx
1
x
4hx
5
0
2
5
2
h
1
2
h
2hx
1
x
cm 2
h
h(h Como
os
triângulos
VOA A
e
VO
B
são
semelhantes,
h 9
h
4x)
5
0
temos:
5
4x
ou
h
5
0
(não
convém)
9
3
5
Entretanto,
(I)
o
volume
do
cone
é
12π
cm
;
então:
r 1
2
12 Entretanto,
devemos
h
ter:
Substituindo V
h
por
4x
nessa
equação,
obtemos:
V cone
m ai or
3
2
36
V r onco
de
5
Logo,
cone
3
4x
(3x )
h
5
4
V
x
5
1
V
x
5
1
cm.
2 Então,
a
PA
é
(3,
4,
5).
1 V
V
5 onco
de
8
cone
V c
m ai or
3 h 17. V
V
2
5
2
t r onco one
m enor
3
2
V
Assim:
πr
1 3
9
5
Como
V
2
5 tronco
(9
3
,
obtemos:
cilindro
h
h
2
5
5 3
27 9
V
)
3
3
h
h
cilindro
(II) 2
r
310
Guia do professor
Logo,
o
diâmetro
do
cilindro
é
14
m.
7
18.
O
raio
r
da
r
esfera
a
d 5
é
metade
3
4
5
5
2
da
V
2
diagonal
d
do
cubo.
Assim:
3 r
5
2
3
1.
A
5
2πrh
5
2π
8 10
6
5
120π
lateral
2
2
Assim,
3
a
área
da
super fície
lateral
do
cilindro
é
120π π
cm
4 5
V
8
(2
8
π
esfer a
)
3
V
5
V
32π
3
esfer a
alter nativa
3
b
3
Portanto,
o
volume
da
esfera
é
32
3
m 2.
No
cilindro
2
A 19.
equilátero,
A
1
total
temos
h
5
2r .
Assim:
A
base
lateral
V 2
2
π
8
r
2
π
8
r
1
2
π
8
r
h
1
2
π
8
r
2r
5
2
5
2
5
2
2πr
1
4π r
alter nativa
3.
5
A
πrg
lateral
2
2
5
g
24
2
h
1
5
A
π
2
r
8
2
V g
2
5
12
15
5
135π
da
super fície
9
1
9
2
V g
5
225
V
g
5
15
lateral
2
Assim,
a
área
lateral
do
cone
é
135π
cm
C
alter nativa A
a
10
x 5 B 4.
Como
r
V
5
5
3
h,
temos:
2
2
x
5
10
5
x
V
5
5
2
πr
h
5
π
2
5
A
5 triângu
o
25
8
(3h)
h
5
cilindro
3
8
3
9h
h
5
9
h
3
ABC
alter nativa
a
1 V
5
8
A
h
8
t e t r a ed r o
t r i â ngu
o
ABC
g
3
5.
Como
g
2r,
temos
r
.
=
Assim:
2 1 5
V
5
A 8
25
3
8
24
πr( r r
1
g g)
total
t e t r a ed r o
3 2
g 5
A V
5
2 00
3
g
⎛
8
3 g
⎞
8
1
5
g
total
t e t r a ed r o
⎝
2
alter nativa
⎠
2
4
b
2
4 20.
V
6.
3
5
15
8
5
A super fície
4. 500
5
4πr
2
5
4
π
8
1
5
4π
esférica
3 alter nativa
b
Assim:
4 7. 95 95%
de
4. 500
4
3
5
V
r
4
3
5
8
5
4
esfer a
5
4. 500
8
3
4. 275
5
3
3
100 a
3
Logo,
o
volume
de
água
é
4.275π
1 8.
2
5
V
r
h
A
21.
V
3
6
2
5 t r onco
de
8
2
1
(4
8
4
2
1
2
)
5 168
cone
2
1
3 V
4r
2
( 2r )
5
h
h
5
B
Assim,
o
volume
máximo
de
líquido
que
a
xícara
pode
Assim,
3
conter
é
168
V
5
4V
B
cm
Na alter nativa
3
3
A
embalagem
B
cabe
o
quádruplo
do
conteúdo
da
observação
da
a
embalagem
alter nativa
V
A.
d
esfer a
22.
V
5
1
V
pião
cone
2
9. 1 V
4
5
1
3
8
8
8
2
1
2
8
8
2
8
4
pião
2
3
3
32 5
V
pião
3
Pela
32 Assim,
o
volume
de
cada
pião
é
figura,
3
concluímos
cm
3
que a distância entre r os
23.
Vamos
deter minar
os
volumes
dos
dois
tipos
de
O
planos
e
b
é
r
taça.
P
3
1
4 π3 5
2
18π
2
b 1
a
2
8
π
8
3
8
h
5
3πh OCCES
3
Para
ter
volumes
iguais,
basta
igualar
os
volumes
das 10.
12
A
5 bola
então:
18π
3πh
V
h
x
A
maior
bola
6 2
alter nativa
12
4π(2r)
48
4πr
2
5
x
4πr
b 2
π
8
r
2
8
h
8
α
5
V
π
8
25
x 8
30
5
8
5
2
5
x
4πr
:SEÕÇARTSULI
2
24.
menor
NOSLIDA
taças;
48
30° 5
1. 562, 5 π
f a t ia
360°
360°
Logo,
podem-se
fazer
48
bolas
menores.
3
Assim,
o
volume
de
cada
fatia
é
1.562,5 π
cm
alter nativa
c
Guia do professor
311
Cap ítulo
8
Matrizes e
determinantes
Esse
capítulo
matriz,
tem
realizar
determinante
por
o b j e t i vo
o p e ra ç õ e s
de
uma
identificar
com
matriz
matrizes,
e
classificar
além
de
uma
calcular
o
estudo
de
aplicações,
matrizes
a
e
determinantes
resolução
de
i
1
5
j
5
a
4
5
a
5
27
q u a d ra d a .
5.
O
a
equações
subsidia,
entre
Resposta
possível:
o u t ra s
⎛ 1
matriciais.
Dada
a
matriz
A
5
⎝
1
1
2
4
8
3
9
27
1⎞
16
,
observe:
81 ⎠
Resoluções e comentários
a
5
1
5
1
5
1
5
1
a
11
Exercícios p rop ostos
5
2
5
2
5
4
5
2
5
3
3
(uma
linha
e
três
3
5
5
8
5
5
27
5
3
5
81
5
3
3
2
23
33
colunas) a
5
1
5
4
1
a
14
e
3
5
32
4
linhas
5
9
3
13
1
3
5
2
a
22
3
a)
5 31
2
a
12
1.
a
21
2
a
b)
3
3
1
(três
uma
c)
2
3
1
(duas
linhas
e
uma
d)
2
3
2
(duas
linhas
e
duas
5
16
5
4
2
a
24
34
coluna)
j
Assim,
a 12
a 13
14
A
5
a
a
a
21
⎝
23
a
uma
a
32
lei
33
5
a
8
a
lei
de
for mação,
1
1
2
1
5
obtemos:
a
3
1
1
2
2
5
7
a
5
3
1
1
2
3
5
9
a
5
3
1
1
2
4
5
11
a
5
8
A
é
5
3
2
1
2
1
5
8
a
2
1
2
pois
e
elas
tipo
1
é
5
12
do
Comentário:
5
3
2
1
2
4
5
14
5
3
3
1
2
1
5
11
5
3
3
1
2
2
5
13
5
3
3
1
2
3
5
15
5
3
3
1
2
4
5
17
fato
7.
5
3
2
1
2
2
5
10
a
3
não
do
5
são
tipo
5
(matriz
Uma
curioso:
as
que
as
5
7
9
1 1⎞
pr op o r
um
para
c ria,
outro
um
p or
de -
m e io
descobrir
tipo.
(matriz
coluna)
e
a
segunda
é
linha).
simples,
ambas
matrizes
a
1
2b
5
7
2 a
1
3b
5
8
sejam
dadas
sejam
A
5
8
10
12
⎝
11
13
mas
que
for madas
são
iguais,
mostra
pelos
diferentes.
devemos
⎛ b
b 11
12
15
17
5
1,
8.
22
b
b 31
os
sistemas,
b
5
3,
c
5
21
e
A
a 11
12
a
a 21
⎠
i
5
j,
1
1
5
0
b
5
2
1
5
5
1;
5
a
;
12
3 2 5
a
5
1
22
i
j,
2
temos:
5
3
2
5
6
b
5
3
1
5
3
b
12
5
3
1
5
3
5
3
2
5
6
1
⎛
31
⎞
1
21
Portanto:
A
2
5
32
⎝ ⎛ 0
Portanto:
B
5
3
3
3
6
A
5
a 11
⎛ a
a
a 21
⎝
a 31
13
a
⎞
0
⎝
3
a 22
a
23
a 31
a 32
⎠
33
13
a 22
a
⎞
$26$
⎞
a 12
a 12
a 21
11
1
⎠
9.
a
2
6⎞
⎛ a ⎝
5
8
7
7
5
$24$
23
a 32
33
⎝
⎠
9
Diagonal
principal:
⎠
2
a
5
2
1
1
1
5
2
2
1
2
3
1
3
5
3
11
2
i
5
j,
a
temos:
5
8
5
15
22
2
5
a
$
$
5
6;
a
11
312
22
Guia do professor
5
7;
a 33
5
9
a 33
5
8
5
a
5
21
2
11
i
2
1
5
a
temos:
2
5
23
⎞
1
⎛
5
22
1
b
obtemos:
5
11
b
d
⎠
2
5
3
32
b
5
5 21
⎞
⎝ ⎝
d
⎠
b 21
2d
⎩
⎛ a b
2
1
⎨
14
a
5
3c
2 2c
⎧
e
⎨
Resolvendo
mesmo
1
matrizes
⎩ Portanto:
A
do
3
questão
embora
números,
Para
⎧
matriz
de
vice-versa.
34
⎛
uma
que
33
22
B
em
32
21
3.
conven iên cia
a lun os
formação,
essa
primeira
mos
a
a
de
31
14
a
A valiar
um
24
13
a
i
23
5 12
a
5
⎠
11
a
a i j
duplas
de
que
34
Não,
Aplicando
lei
em
3 4
24
a
31
entr e
, 3
a
22
a
)
⎞
que 2.
(a
Comentário :
colunas)
de a 11
5
i j
safio
⎛ a
A
coluna)
⎠
1
2;
ter:
mes-
Diagonal
secundária:
14.
a)
B
2
A
⎛ 2
0⎞
⎛ 4
3
1 ⎠
2
1⎞
2
⎛
5
1⎞
5
2
a
5
2
1
1
3
5
2
2
1
2
5
2
3
1
1
5
11
5
8
5
7
⎝
13
⎝
0
⎠
1
⎝
1 ⎠
2
a 22
4
1
2
⎞⎤
⎛
⎞
⎡⎛
⎞
⎛
2
a
0
1
0
0
1
31
b)
A
2
(B
1
I
)
5
1
5
2
Portanto,
cipal
e
os
11,
elementos
8
e
7,
na
3,
dia
8
e
15
onal
estão
na
diagonal
2
prin-
secundária.
4
1
⎝ b
b 11
b
B
0
⎠ ⎦
⎞
⎛ 1
1
5
⎠
⎝
1
⎝
⎠
0
⎠
b 23
24
c)
B
2
(A
1
0
)
5
B
2
A
5
2
5 b
b
b
31
32
b
b 33
b
34
b
41
⎝
42
⎛ 2
0⎞
3
1 ⎠
b
i
5
⎛ 4
1⎞
⎛
2
1⎞
1
1 ⎠
b 43
44
5
⎠
5
⎝
0
3
⎝
⎠
14
b 22
0
⎞
b 13
b 21
10.
b 12
3 2
2
1
⎝ ⎣
⎞
⎛
⎞
⎛
3
⎠
⎝
5
⎛
0
j
5
1
1
1
5
2
b
5
2
1
2
5
4
b
11
i
2
⎝
0
⎠
⎝
j
5
1
4
5
23
5
2
3
5
21
14
⎛ 5 b 22
23
5
b
3
1
3
5
6
15.
b
33
5
3
2
5
1
5
4
1
5
3
a)
X
3⎞
⎛ 2
1⎞
4
1 ⎠
3
⎛
5
4⎞
5
⎝
3
4
⎠
⎝
1
⎝
5
⎠
32
5
b
4
1
4
5
8
b
o
produto
44
41
⎛ 1
b) Calculando
dos
elementos
de
cada
X
2⎞
2
⎛
5
4⎞
⎝
3
4
6
0⎞
4
2
⎛
1
diagonal,
⎛
1
⎠
1
⎝
0
3
6⎞
6
6
5
⎠
⎝
⎝
⎠
⎠
obtemos:
4
6
8
5
384
16.
a)
c
é
elemento
da
matriz
C
5
1
B;
logo,
pode
ser
22
3)
(
1)
1
5 representado
por
5
c
a
22
Portanto,
a
diferença
entre
o
produto
dos
elementos
da
mentos
a
e
b
22
diagonal
principal
e
o
produto
dos
elementos
da
,
ordem,
é
384
9
5
5
2
1
2
5
⎛ 1
ele-
22
temos:
c
8
8
1
e
b
que
6
5
os
5
3
2
5
6
14
alunos
percebam
que
não
é
neces-
0⎞
(matriz
5
quadrada
de
ordem
2)
sário
2
⎝
os
22
5
Espera-se
I
Calculando
375. Assim:
11.
22
.
22
22
nessa
b
diagonal a
secundária,
1
0
1
deter minar
todos
os
elementos
das
matrizes
A
e
⎠
B,
pois
indica
c
a
soma
dos
elementos
a
22
e
b
22
22
2
⎛
k
⎞ 1
k
⎛ 1
Se
0⎞
5
⎝
2 k
1
1
k
, 0
⎝
⎠
1
temos:
b)
Não
existe,
triz
A,
pois,
para
qua
uer
e
emento
a
ma-
⎠ >
a
2
e,
para
qualquer
elemento
da
j
2
k
k
5
1
V
k
5
11
ou
k
5
21
matrizB
>
b
3.
Portanto,
qualquer
elemento
da
ma-
i j
1
5
0
V
k
5
riz
C
5
A
1
B
é
tal
que
>
c
5.
i j
k
1
5
0
V
k
5
1 Caso
k
5
os
as
Portanto,
o
valor
de
k
é
matrizes
e,
Assim,
⎧ i 5
(a
a
) i j
3
5 j
3 3
A
apresentem
e
B
por
meio
dúvidas,
da
lei
de
pode-se
construir
for mação
de
cada
1. uma
12.
alunos
1
j,
8
se
i
5
seguida,
eles
calcular
poderão
a
verificar
soma
que
das
matrizes.
qualquer
elemento
j da
⎨
em
matriz
C
é
maior
ou
igual
a
5.
j 11
,
i
se
i
i
j
⎩
Comentário :
⎛ a
a 11
A
5
a
a ⎝
a 22
Portanto,
5
a 32
o
1
1
4
4
33
traço
⎠
da
⎝
percebam
16
27
9
elementos
matriz
é
9
igual
Nessa
⎠
a
de
1
1
4
1
5
a
possibilidade
pedidos
construir
as
13.
a)
A
1
B
5
1
1
1
2
⎝ 4
⎛
⎞
0 ⎠
2
0
⎛
⎞
3
5
1
2
1
a)
3
8
A
5
3
2
1 C ) 5 (A
1
B) 1 C
5
2⎞
1
3
4
⎠
as
em
somas
que
os
alunos
separadamente
sem
a
9⎞
6
12 ⎠
⎡ 1 8
(A
1
B)
5
⎛
1
0⎞
1
21
⎛ 6
5
3
0
6
7
3⎞
1⎞ ⎤
⎛ 2
1
⎝
2
4
5
⎠
⎝
4
0
⎣
2⎞
7
⎛ 1
8 3
⎠ ⎦
2
⎛
⎞
1 ⎝
5
2
⎠
⎝
2
5
⎝
⎠
⎠
⎛ 3
1 5
2⎞
8 3
3 5
⎝
6
4
4
⎠ 2
⎛
c)
( (A
1
B )
1
I
5
5
2
1
3
⎞
⎛
1
1
0
0
1
0
⎞
⎝
3
⎠
0
3
⎝ 5
⎝ 0
2 ⎠
0
1 ⎠ ⎛
1 c)
Não
são
é
possível
do
mesmo
adicionar
essas
matrizes,
pois
elas
2
8
A
2
8
B
Nessa
questão,
pode-se
pedir
aos
matrizes.
2
1⎞
⎝ 4
0⎠
8 3
2
6 ⎞
para
testar
as
propriedades
da
2
1
3
3
⎛
⎞
adição
2
5
4
19
3
3
⎞
⎝
4
5
8 ⎠
4
8 0
de
⎛
1 2
4⎠
alunos ⎛
aproveitem
3⎞
1
8
tipo.
5 que
2
⎝ 2
⎛
Comentário:
5
3
não
⎝
3
8 ⎠
⎝
3
os
necessidade
questão.
⎛ 3
⎝
2 ⎠
3
1 (B
interessante
encontrar
5
⎝
1
A
3⎞
8
⎞
b)
⎛ 5
é
3
⎝ 5
2 ⎠
⎝ 1
5
efetuar
matrizes
⎛ 1
3
e
de
14.
17. ⎛
questão,
⎞
23
a 31
1
13
a 21
⎛
⎞
a 12
⎠
Guia do professor
313
d)
2
A
(B
1
C )
⎛ 2
5 1
⎛
B
b) ⎛ 1
5
2
⎡
3⎞
8
⎛ 2
1⎞
A
3
1
2
4
⎠
4
⎝
0
⎠
4
⎝
2
6⎞
⎛ 2
7⎞
4
8
0
⎛
2
⎝
8
⎝
2
colunas
⎠
4
⎝
2
(A (
C )
1
3
(B
A)
que
da
os
alunos
matriz
5 2
1
3
⎛
⎞
8
0
6
4
2
⎤
⎞
⎡
2 2
⎝
4
1 3
⎠
⎝
⎞ 9
1
⎛
⎞ 1
2
⎛
1
3
2
4
⎞
⎤
2 0
4
⎝
⎠
A;
logo,
não
c)
A
8
C
5
é
possível
4⎞
1
1 3
8
calcular
⎛ 4
5
⎝
0
4⎞
2
de
o
produto
B
A
5
1 ⎠
0
⎝
1
1 ⎠
0
⎝
1
⎠
⎦
⎞ 4
1
8
5
10
4
5
2
⎤
8
(A
d)
8
B)
5
C
⎤
2
4 ⎠
2 ⎝
2 ⎠
número
⎛ 0⎞
2
⎡ 2
⎝
o
1 ⎠
⎝
⎠
⎡ 5 2
que
2⎞
2
5
⎝
⎣
⎦
⎛
⎛
8
⎠
⎣
percebam
B
⎛ ⎛
possível
5
⎛ 2
⎡
é
6 ⎠
matriz
e)
não
1 3⎞
5
⎠
&
1 ⎠
⎦
Espera-se ⎛ 2
0
⎠
⎣
5
2
⎠
5 ⎝
⎝
4⎞
⎞
1
⎝
1
0
5
6⎞ ⎤
⎛ 0
2
8
5 1 ⎣
⎞ 18
⎛ 2
⎛ 3
⎞ 12
6 ⎝
12 ⎠
1
5 4
⎝
⎛ 5
⎞ 6
2 ⎝
8 ⎠
B
1
C
2
⎡
I
220
1
(2 4 )
210
1
(2 2 )
⎛
⎞
1
5
⎞
6
0
⎛
1
2
1
0
⎝ 4
1⎞
⎛ 2
8
2
7
⎛ 0
6⎞
⎛ 2
0
4
0⎞
2
⎠
⎝
4
2
1 ⎠
0
⎝
2
(B
8
8
C)
5
0
8
⎝
4
2
1
2
4
1
2
itemd,
pois
Vejamos:
Caso
6
6
os
( (A
( (A
1
matricial
1
B )
B )
alunos
5
i
falsa
6A
6
A
1
1
a
( (A
criando
1
B )
i
as
8
A
matrizes
1
apresentada
no
0
⎝
Sugestão:
3⎞
A
e
B
2
⎛
e
2
0
1
1
1
⎞
⎤
⎝
⎠
⎠
26
1
2
4
28
2
14
⎞
⎛
24
⎞
⎞
5
12
⎠
⎠
0
⎝
e
pode -se
exem
mostrando
que
⎛
3
y ⎞
⎝
x
2 ⎠
⎛
2⎞
⎝
3⎠
⎛
1⎞
⎝
5⎠
7
1
⎛ 26
5
⎝
⎠
2
3y ⎞
V
7
⎠
⎛
1 ⎞
⎝
5⎠
5
⎝
2x
⎠
6
B
alando
as
matrizes
e
resolvendo
o
sistema,
obtemos:
0⎞
5 7
⎧ 0
1
B.
A 5
⎝
2
B
dúvidas,
I
⎛ 1
⎛
5
⎛
21. plificar
⎞
B
6
apr esentem
é
1
⎦
5
⎝ igualdade
0
3
⎣
⎠
⎞ ⎛
única
1
⎠ ⎛
A
⎞
⎝ 0
⎝
⎠
2
1
7⎞
⎛ 0
5
18.
⎦
⎡⎛ A
5
⎠
⎣
5 ⎝ 0
2 ⎠
1
⎝
⎤
⎞
e)
5
24
12
⎦
⎛
0 ⎠
⎝ 4
⎡
5
6 11 ⎣
2
⎤
5 2
⎛
⎦
5
4 ⎠
5
f )
⎦
1
3 ⎣
⎠
1
⎝
3
26
⎠
2
3y
5
1
V
y
5 2 3
⎨ ⎡
6
⎛
1
3
0
1
⎞
⎛
8
2
0
⎞
1
⎤
⎛
1
⎝
i
⎠
1
⎝
3
6
3
0
1
⎞
⎛
8
2
0
⎞
2x
1
⎠
⎣
1
⎝
⎠
2
6
5 25
V
x
5 2
⎩ 1
⎝
3
⎠
⎦
7
1 1
⎛
3⎞
⎛ 6
1 8⎞
2
⎛
Portanto:
0⎞
x
5
e
y
5 2 3
2 6
i 1
⎝
⎛
4
6
1 8⎞
6
24
1
⎠
⎝
0
⎛ 4
6
⎠
1
⎝
3
⎠
22.
1 8⎞
Aplicando
à
equação
matricial
as
propriedades
da
adição,
i
⎝
⎠
⎝
1
9
obtemos:
⎠
A
19.
Resolvendo
o
sistema,
X
1
B
1
2X
1
Y
5
2
A
V 2
2Y
5
2
B
5
C
C
1
0
⎝
⎛ 0
1⎞
3
1 ⎠
8
5 2B ⎝
2 3
A
B,
(
B )
Y
5
A
B
5
⎛
8⎞
⎝
1 ⎠
C
B
5
⎝
1
⎠
X
⎛
8⎞
⎝
1 ⎠
5 3 n
2
2 3 1
então:
Assim, 2
⎠
X
B
2A
m
5
A
⎛ 5⎞
2
B
Então:
Y
V
B
⎩
2X
B )
⎨
X
Como
(
3⎞
⎛
⎧
B
⎨ 23X ⎩
B )
temos:
Calculando
⎧
(
V
Y
5
A
são
condições
para
ocorrência
dessa
B
cação: ⎛ 2
Assim:
Y
3⎞
⎛
5
2
6⎞
1
⎝
0
5
⎠
⎛
0
3⎞
5
⎝
1
7
⎠
1
⎝
12
plica
⎛ 2
Portanto:
X
6⎞
5
⎛
e
⎝
1
7
Y
0
⎝
1
12
r
4⎞
⎛ 2 ⎛
1
duas
colunas;
2
X
⎠ tem
⎛ 2
tem
3⎞
5
⎠
X
⎠
12
0
1
4⎞
0
1
2
uma
coluna.
n
0⎞ ⎛ a ⎞
20.
a)
A
8
B
5
1
2
5
⎝
⎝
0
1 ⎠
3
1
1
2
6
X
5
⎠
⎝
0
1
3
0
2
⎝
1 ⎠
b
⎠
Resolvendo ⎛
A
8
B
5
10
5
a
equação
2
⎛ 0
1⎞
3
1 ⎠
⎛ a ⎞
8
⎝
314
3
A
X
5
C
B,
obtemos:
4⎞
1
Guia do professor
⎠
⎝
⎛
8⎞
⎝
1 ⎠
5
⎝
b
⎠
b
⎛
⎞
V
⎛
8⎞
⎝
1 ⎠
5
⎝
3a
1
b
⎠
multipli-
Igualando
2 b
⎧
as
matrizes
V 1
resolvendo
o
sistema,
b)
obtemos:
b
Os
produtos
matrizes
⎨ 3a
e
5 28
5
b
8
e
5
a
obtidos
são
iguais,
respectivamente,
às
inventadas.
3 Espera-se
5 21
que
os
alunos
percebam
que
o
produto
de
⎩
qualquer
X
ordem,
5 8
⎝
atingido
⎛ 3
X
2⎞
⎛ 3
8 m
Assim,
1
são
⎠
5
é
tem
⎝
própria
pedindo
em
qualquer
matriz.
testar
aos
2⎞
ção,
obtenham
os
tem
ordem
m
⎠
2
se
alunos
para
3
produtos
o
objetivo
que,
M
I
sem
e
I
dessa
efetuar
M M,
em
questão
a
foi
multiplica-
ter
ocorrência
dessa
tem
duas
X
colunas,
pois
a
matriz
que
a
3
4⎞
3
3
4
1
2
6
⎛ 2
3
4⎞
3
3
4
150
1
2
6
200
⎝
mul
c
d
b
c
d
⎞
⎛
5
z
e
que
m
21
a
5
matrizM
w
22
⎛ 3 0 0⎞
8
150
⎠
⎝
200
⎛ 2
8
300
1
3
8
150
1
4
8
3
8
300
1
3
8
150
1
4
8
200
1
8
300
1
2
8
150
1
6
8
200
5
⎠
⎝
2 0 0⎞
⎠
⎛ 3 0 0⎞
⎛ 1. 850 ⎞
5
2. 150
⎠
⎝
⎠
⎝
1. 800
3
2
5
1
⎞
⎛
3
2
5
1
gráfica
que
apresentou
⎞
o
⎠
menor
⎛ 2
3
3
3
4
1
2
6
custo
foi
a
C.
4⎞
5
⎠
⎝
5b
1
m
então:
8
3a
y
⎠
A
a
5
b⎞
⎝
Teremos,
m 12
⎛ 2
a)
5
⎝
x,
linhas.
⎛ a Portanto:
5
multiplicação:
25.
duas
e
2
linhas;
X
2
11
2
condições
duas
tiplica
⎛
a
Pode-se
1
⎝
(I ),
5 5
2 3
⎛
identidade
3 n
⎝
matriz
⎠ Comentário:
23.
pela
3⎞
⎛
Logo:
matriz
2a
⎠
⎝
b
1
⎞
⎛
⎠
b)
3
2
5
1
(0, 2 5
0, 4 5
0, 3 0)
8
⎝
⎞
5
(2, 15
2, 70
4, 60)
⎠
5 O ⎝
3c
1
5d
2c
1
d
⎠
⎝
custo
tipo
Igualando
as
matrizes
e
resolvendo
os
sistemas,
de
⎧3a
1
5b
5
a
V 1
oi
que
de:
a
PB
agência
R$
2,15,
teve
CK
em
R$
cada
2,70
4,60.
R$
3
⎨ 2a
médio
impressão
obtemos: CKX
unitário
⎠
b
5
2
5d
5
5
5
1
b
e
5
0 26.
a)
det
b)
det
5
$2$
5
2
⎩
⎧3c
1
V
⎨ 2c
1
d
5
c
5
0
e
d
5
B
1
2
1
3
5
5 1
1
8
3
2
2
8
(2 1 )
5
5
1
⎩
1 ⎛ 1
X
Logo:
det 0
⎝
2
1
0⎞
5 1
C
5
0
1
2
⎠
3
4
0
X Pela
a
matriz
regra
de
Sarrus:
identidade.
1 Espera-se
que
os
alunos
percebam
que
a
matriz
1
0 dade
é
a
neutro
matriz
na
tal
que
X
multiplicação
Comentário:
Esse
A
de
exercício
5
A,
ou
seja,
é
o
1
elemento
matrizes.
propicia
aos
3
alunos
a
percep8
ção
de
que
a
multiplicação
24.
Resposta
matriz
entre
identidade
as
é
o
elemento
neutro
na
Assim,
matrizes.
det
27.
supor
que
A
5
(4),
B
⎛
C
1
0
0
5
⎝
1
e
D
5
a)
0
2
Pela
1
0
1
1 ⎞
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0 ⎠
8
5
(4)
(1)
5
8
I
8)
5
21
regra
de
Sarrus:
0
0
⎛
1
0 ⎞
⎝
0
2 ⎠
5
8
0
0
obtemos:
(4) (8
B
3
⎠
0 ⎠
0
I
(
0⎞
Assim,
A
212
5
⎝
a)
0
1 ⎞
1
1
12
obtemos:
5
⎝
⎛
C
0
possível:
⎛ 1
Vamos
1
identi-
⎛
1
0 ⎞
⎝
0
1 ⎠
8
⎛
1
0 ⎞
⎝
0
2 ⎠
1
0
1
0)
Portanto,
o
(8
1
0
1
0)
deter minante
5
é
0
igual
a
0.
a
0.
5
2
b)
Pela
regra
de
Sarrus:
a ⎛ 1
C
8
I
5
0
1 ⎞
0
1
1
1
0
0 ⎠
⎛ 1
8
0
⎛ 1
0 ⎞
0
1
0
0
0
1 ⎠
5
0
1 ⎞
0
1
1
1
0
0 ⎠
0
3
⎝
⎝
⎝
b
0
⎛
D
8
I
1
0
1
1 ⎞
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0 ⎠
5
⎛
1
0
0
0 ⎞
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1 ⎠
8
⎛
1
0
1
1 ⎞
0
0
0
1
1
Assim,
1
1
0
0
b (a c b)
1
0
0
0 ⎠
Portanto,
0
0
obtemos:
5
4
⎝
⎝
⎝
(a c b b)
o
5
0
deter minante
é
igual
Guia do professor
315
e
2
1
1
2
Assim,
28.
5
2
8
2
2
1
8
1
5
obtemos:
3 0
1
0
1
0
Portanto,
5
(0
o
1
0
1
0)
5
deter minante
0
é
igual
a
0,
pois
uma
matriz
3 com 5
8
5
8
2
2
3
8
8
uma
linha
de
zeros
tem
deter minante
igual
a
zero.
5 214
2 b)
7
2
5
1
Caso
Pela
5
7
8
1
2
2
8
5
em
que
regra
uma
de
linha
é
“o
dobro
de
outra
linha”:
Sarrus:
5 23
a
b
c
a
b
2a
2b
2c
2a
2b
e
f
d
Então:
2
1
5
3
7
1 1
2
2
2
8
5
2
5
3
1
(2 14 )
2
(2 3 )
5 28 2ace
2bcd
1
Assim,
⎛
29.
a)
A
8
B
⎞ 1
2
⎛
0
4
⎛
⎞
5
1
10
(2abf
⎞
2abf
2abf
2ace
2bcd
obtemos:
1
bcd
1
e)
(2bcd
1
ace
1
abf
)
5
5
3
⎝
4 ⎠
⎝
21
22
⎠
⎝
24
2 20
Logo,
uma
matriz
outra
linha”
em
que
uma
linha
é
o
“dobro
de
⎠
tem
deter minante
igual
a
zero.
Então:
1 det
(A
B)
8
(2 2 0 )
8
2 10
⎛
B
8
A
Caso
em
0
(2 4 )
8
4
Pela
220
⎛
⎞
regra
⎞ 1
2
⎝
21
22
3
⎝
⎠
4
⎛
12
16
4
7
⎞
⎝
⎠
12
16
A)
4
7
5
8
(2 1 2 ) 2 1 6
2 det
A
8
a
b
3a
3b b
3c
3a
3b
e
f
3ace
4
5
2
5
0
20
4
8
0
5
Então,
(2 1 )
2
8
(2 3 )
5
a
b
c
d
3
1
uma
1
B
A
det
1
B
5
3⎞
5
4
2
(2 1 )
8
5
4
5
2
⎛
7
det
4
⎠
3
⎝
0
5
(A
1
B)
5
b)
A
5
⎛ 1
⎝
⎠
5 1
1 V
7
det
4⎞
4
8
4
4
21
)
5
0
“triplo
de
zero.
2
bc
3b 3ad
2
3bc
5
3
8
( ad
2
bc )
d
a
3b
c
3d
3ad
Portanto,
se
tem
fila
2
4
8
4
uma
2
3bc
5
3
8
( ad
2
bc )
o
deter minante
triplicada,
de
seu
uma
valor
matriz
de
ordem2
triplica.
5 212
a
b
c
d
5
ad
2
a
c
b
d
bc
5
ad
2
bc
5
7
4
⎦ Logo,
5
a
o
⎠
3
5
A
4
⎣
igual
3abf
é
4
⎤
3
deter minante
1
linha
4
d) 1
3
4
4
⎡
1
uma
5
1
Então:
(3
que
20
1⎞
1
⎝
)
em
22
5
A
tem
ad
5
a)
3
matriz
linha”
5
c
30.
3ace
3bcd
5
3a
⎛
3abf
4
21
det
d
3abf
4
5
Então:
linha”:
obtemos:
1
c)
B
outra
1
5
3
det
de
5
outra
c)
triplo
c
⎠
(3abf
(2 7 )
“o
b
Assim,
5
é
a
3bcd
8
linha
Sarrus:
5
5
(B
uma
de
20
5
Então:
det
que
5
24
5 1
10
5
8
4
2
3
8
7
5
ao
Então:
3
det
A
5
o
deter minante
de
uma
matriz
de
ordem
2
é
igual
225
3
(
25)
5
da
matriz
obtida
dessa,
trocando-se
as
linhas
por
275 colunas.
1
⎛
c)
3
8
A
5
3
3⎞
8
3
⎛
9⎞
a
b
c
d
5 e) 7
⎝
4
⎠
⎝
21
12
⎠
5
a d
2
bc
5
bc
2
ad
5 2 (ad
2
bc )
5
bc
2
ad
5 2 (ad
2
bc )
Então:
3 det
3A
5 23
21
det
A
1
det
B
8
(1 2 )
2
9
8
21
5 2225
d
b
b
a
d
c
12
1 d)
c
a
9
5
2
3
1
1
5
7
5
3
4
0
Então, 5
21
4
3
7
1
0
1
(
3)
5
os
deter minantes
222
per mutadas
31.
a)
Pela
regra
de
Sarrus:
e
316
Pela
regra
0
a
c
a
0
f
d
0
0
f )
0
Guia do professor
são
de
opostos.
Sarrus:
a
0
0
c
0
0
0
abc
0
que
têm
linhas
ou
colunas
Assim,
(abc
obtemos:
1
0
1
Portanto,
0)
o
Agora,
(0
1
0
1
0)
deter minante
de
uma
matriz
diagonal
3
é
sempre
igual
ao
produto
dos
elementos
⎛ 3
5
7⎞
3
5
7
3
5
7
8
X
5
2
A
3
B
2 3
⎛ 2
1
0⎞
4
3
2
6
5
4
8
0
⎛
5
7
26
1 4⎞
1
8
da
⎝ diagonal
calcular:
de 2
ordem
vamos
abc
⎠
⎝
⎠
⎝
21 2
25
2
⎠
principal.
Comentário: Essa é uma questão importante para validar a es-
0
⎛
7
1 4⎞
tratégia de promover a oportunidade de os alunos descobrirem Portanto:
por
si,
ou
em
grupo,
certas
propriedades
dos
X
5
26
det
I
5
$1$
5
1
det
I
1
0
0
1
5
5
8
determinantes. ⎝
32.
1
1
2
0
5
1
3.
2
Com
base
na
21 2
25
tabela
I,
2
⎠
podemos
construir
a
matriz
A
talque:
det
I
5 3
1
0
0
0
1
0
0
0
regra
de
0
1⎞
0
1
2
1
1
1
1
2
0
1 A
Pela
⎛ 2
5
Sarrus:
⎝
1
0
0
⎠
0
1
E,
pela
tabela
II,
podemos
construir
a
matriz
B
tal
que:
0
⎛ 3⎞ 0
1
0
B
0
0
5
1
0
0
⎝
Assim,
det
I
o
5
0
⎠
temos:
(1
1
0
1
0)
(0
1
0
1
0)
5
Calculando
1
A
B
emos:
3
O
deter minante
de
I
deve
ser
1.
4
Espera-se
da
matriz
que
os
alunos
identidade
Comentário:
Após
a
é
percebam
sempre
resolução
que
o
⎛ 2
0
1⎞
0
1
2
1
1
1
1
2
0
que
o
do
exercício
deter minante
31,
da
da
questão,
conduzir
matriz
1
8
1.
que
é
uma
os
alunos
identidade
à
dedução
será
sempre
5
1
4
⎝
am⎝
pliação
⎛ 6⎞
⎛ 3⎞
deter minante
0
⎠ ⎝
⎠
5
⎠
de
Para
1.
obter
desejada
a
matriz
C,
devemos
observar
que
a
ordem
é:
Exercícios comp lementares ⎡Nor uega
⎤
M ar r ocos ⎛ a
1.
a 11
12
⎛ b
⎞
A 5
b 11
12
⎞
C
5
B 5
⎝
a
a 21
2 2⎠
Escóci a ⎝
b
b 21
⎠
22
Br asil ⎣ Aplicando
a
lei
de
for mação,
⎦
temos:
⎡5 ⎤ 3 a
5
1
1
5
0
b
8
(1
2
1)
5
5
0
11
11
1
1
4
1 Por t ant o:
1 3 a
5
1
2
5
1
b
8
(12
5 21 1 1
3 a
5
2
1
5
1
b
8
6
2
(2 2
⎣
⎦
1)
5
5
1
5
0
alter nativa
c
21
21
2
3 a
2)
5 12
12
5
2
2
5
0
b
8
1 1
(2 2
2)
4.
5
a)
Errado,
pois
a
quantidade
de
produto
do
tipo
ven
P
i
2
22
22
2
1
2
a
pela
loja
L
é
10
a
(2
coluna).
2
⎛ 0
Portanto:
A 5
1⎞ Errado,
B 5
⎝
1
0
pois
a
quantidade
⎠
de
produto
a
dido
pela
loja
L
é
20
(1
do
tipo
P
ven-
a
linha
e
3
coluna).
3
⎛ a
2.
A 5
a 11
a
12
a 21
⎝
a
a
⎞
13
a 22
a 31
⎛ b
B 5
a
11
b
23
32
b 12
b 21
⎝
⎠
33
b
b
b
pois
⎠
d
33
Errado,
a
lei
de
for mação,
1
1
2
1
5
3
11
a
b
5
1
1
2
2
5
5
b
5
1
1
2
3
5
7
b
5
2
1
1
1
1
5
2
5
2
1
2
5
2
1
3
1
1
5
1
1
1
5
0
5
2
2
1
1
1
5
4
5
2
5
2
2
2
1
1
5
2
3
1
1
5
2
5
5
2
3
1
1
5
6
2
3
2
e)
12
13
(30
1
2
1
5
3
5
1
1
2
2
5
5
1
1
2
3
5
b
b
5.
de
16
produtos
5
1
2
1
2
2
5
b
3
31
pois
a
por
soma
L ,
das
com
i
5
quantidades
1,
2,
3,
...,
de
produtos
1
19
1
20
1
15
1
10
1
8
1
12
1
16
1
11).
e
Temos:
⎛ 2
3⎞ ⎛ 8
1
5
32
b
1
1
5
H
5
4
5
e
S
7
8
7
11
10
7 ⎞
5
32
⎝ 5
1
1
8
3
5
7
P
é
31
1
P
11).
23
a
33
(12
22
7
23
a
39
21
22
a
quantidades
é
Correto.
alter nativa 1
21
a
das
lojas
13
5
a
três
11
12
a
pelas
temos:
141 5
a
soma
23
vendidos Aplicando
a
3
vendidos
b 32
Errado,
13
b 22
31
c)
⎞
b 33
5
8
3
3
1
1
5
⎝
1
6
9
8
⎠
2 ⎠
Guia do professor
317
a)
H
S 3
3 2
e 2
(H
9.
S )
3 5
3
a)
Aplicando
adição,
⎛ 34
41
à
equação
matricial
as
propriedades
49
44
3 8⎞
87
78
68
obtemos:
1
(1
B )
5
I
1
(3B )
V
X
5
I
3
b)
S
5
62
73
da
3 5
1
B
3
Então:
20
⎝
25
30
27
23
⎠ ⎛
O
produto
nos
produzidas
c)
Na
dá
em
o
total
cada
segunda-feira
dia
são
de
da
peças
dos
itens
A,
B
e
0
⎝ 0
62
itens
B
e
⎞
0
⎛
3
semana.
pr oduzidos
1
X
C
na
b)
Temos
0
X
1 ⎠
5
I
3B,
5
0
1
2
3
0
2
7
⎝
1
1
⎛
⎞
5
⎠
⎝
4
15
0
3
5
9
21
0
⎞
⎠
então:
3
quinta-feira
são
produzidos
27
itens
C. ⎛
X 6.
a)
Pela
regra
de
1
0
⎞
0
⎛
5
1
3
1
5
0
1
2
3
0
2
⎞
Sarrus:
0
0
7
⎝
1
⎝
⎠
⎠
x
⎛
2
15
0
3
7
9
0
5
⎞
4
X
x
1
2 21
⎝
4x
2
6x
4x
3
10.
Assim,
⎠
4x
a)
medida
da
base:
5
1
5
4
obtemos: m
i
ra:
4
1
5
3
2
(4x
1
3
1
4x )
(4x
1
2x
1
6x )
5
5 4 A
3
5
5
6
ABC
Portanto:
2
2
4x
8x
2
5
0
x
V
5
ou
x
Portanto,
5
2
b) 0
3
x
2
4
1
Pela
regra
de
6
unidades
de
área.
Sarrus:
5
6
1
1
1
2
1 1
Pela
é
1
0 1
área
2 3x
b)
a
2
regra
de
1
Sarrus:
2
4
Assim, x
4
x
1
1
D
5
2
temos:
(1
1
2
1
20)
(2
1
4
1
5)
5
12
1
Calculando 0
4
5
3x
12
A
D
,
temos:
2x
1 Assim,
A
obtemos:
5 ABC
2
(12
1
2x )
(4
3x )
5
5x
1
8 Portanto
Calculando
o
segundo
a
Comentário:
x
antecipa, 5
área
é
6
unidades
de
área.
deter minante:
x
5
Essa
em
atividade,
caráter
subsidiada
pelo
i n t r a d i s c i p l i n a r,
exercícioR9
conceito
a
ser
x o
0
2
estudado
em
Geometria
analítica,
no
volume
do
3
ano.
Assim:
11. (5x
1
8)
(6x )
5
6
V
x
5
M
⎡0
2
4⎤
0
0
3
5
2
⎦
⎣
M 1
7.
A 5
V
⎝
0
1
1 ⎠
k
.
0,
temos:
1
0
1
⎡0
1
2
⎤
5
M
0
0
3k
n
Calculando
(det
como
A A)
um
número
inteiro
positivo, Calculando
$D$
para
pela
regra
as
coordenadas
expressas
nessa
temos: nova n
(det
A A)
matriz
1
5
temos:
1
3
1 ⎛
A
Sarrus,
n
5
0
8.
de
x
y
1
5
⎞
0
0
0
0
2k
0
4k
3k k
1
0
1
2k
1
4k
0
C
⎝ 3
⎝
⎠
0
⎛
1
0
0
6k
1 ⎛
0
0
Assim,
⎞
D
1
⎝ 3
⎝
temos:
2
10 2x
3k
⎠
5
6k
⎠
3 A
Igualando
as
matrizes
e
resolvendo
o
sistema,
obtemos: n
⎧
1
5
0
1
5
5 2
⎨ y
1
5
n
r
r
A
D
5 2 3
0
⎩
2
1
⎛ 2
5
⎞
2 2
Portanto:
B
3
5
318
A
3
A
⎝
1
Guia do professor
5
⎠
5 B
3k
C
alter nativa
d
B
C
,
devemos
y
12.
Assim,
é
condição
para
ocorrência
dessa
multiplicação
X D
4
Para
OCCES
4 C
3
4
B
B
A
5
A
3
2
2
NOSLIDA
Portanto,
é
Y,
5
temos:
Y
3
m
con
n
ição
para
ocorrência
A
e
essa
mu
tip
icação
Y A
3
Logo, 2
0
6
os
produtos
4
B
4
B
A
são,
respectivamente,
x
dos
tipos
2
3
2
e
3
3
3.
–1 B
alter nativa
Para
calcular
a
área
do
quadrilátero
AB
D,
vamos
en-
4. contrar
as
áreas
dos
triân
ulos
e
As
matrizes
pertencem
à
regra
de
pois
principal
os
são
elementos
que
não
nulos.
d
Sarrus:
5. 0
diagonais,
diagonal
ABC alter nativa
Pela
são
D
1
0
Na
multiplicação
de
matrizes,
o
número
de
colunas
da
pri-
0
0
meira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda.
1
1
1
alter nativa
a
1
0
Assim,
0
9
0
⎛
temos:
6.
⎞
3
5
1
21
⎛1
2
1
2
3
4⎞
8
⎝
1
2
⎠ 2 3
D
5
9
(
6)
5
15
⎝
0
3
4
⎠ 3 3 2
1
1
5
A
8 $D$5
8 $ 1 5$5
7, 5
(3
ABC
2
3
2)
(2
3
alter nativa
Pela
4)
5
(3
3
4)
2
regra
de
a
ACD
Sarrus:
7.
Na
multiplicação
de
matrizes,
não
é
válida
a
propriedade
comutativa. 0
0
1
0
1
6
0
alter nativa
c
1 2
3
4
5
8. 0
Assim,
0
5 210
24
6
8 $ 1 8$5
2
9
9.
A
dos
5
ABCD
1
a
área
A
ABC
a
det
i
do
quadrilátero,
basta
somar
matriz
as
0,
linha,
não
nem
se
5
7,5
1
9
5
alter nativa
16,5
é
afir mar
matriz
do
quadrilátero
AB
D
é
16,5
rio:
cio 10,
Essa
portanto
atividade
de
é
caráter
uma
ampliação
intradisciplinar
do
com
exercí-
a
.
onsiderando
analítica,
a
ser
estudada
no
volume
do
3
Vamos
A
a
b
c
d
⎡
,
2A
as
uma
obtemos
det
A
5
ad
bc
2 a
2 b
2 c
2 d
uma
matriz
possui
o
número
de
linhas
igual
ao
(
colunas,
5
det
(
(
a )
A A)
ela
é
é
uma
de
matriz
ordem
1
A
quadrada.
2,
ou
seja,
é
do
d )
det
A
(
5
dadas
nas
tipo
2
3
5
a
b
c
d
⎤
8
b )
(
c )
matriz
é
⎣
b
10
c
d
10
10
⎦
a
det
com
a
definição,
só
podemos
adicionar
d
5 10
matrizes
de
mesmo
det
5
⎡
2A
5
2
8
a
b
5
X,
B 2
3
3
5
(a d
2
bc )
5
5
0, 0 5
0, 5
⎡
2a
2b
2c
2d
⎤
5 d ⎦
⎣
⎦
temos: det
A
⎤
8 c
B
8 100
tipo.
c
A
5 10
100
⎣ 4
1
8 10
1
A
Para
c
2 10
10
alter nativa
⎦
b
8 10
ou Então:
subtrair
bc
quadrada.
b
acordo
ad
5
10
2,
A alter nativa
5
⎤
a
10
⎣ essa
alter nativas.
5
⎡
10 matriz
5
(
número
a
situações
⎦
A A)
⎡
Como
⎦
5
Logo:
4
é
matriz
ano.
t
3.
é
⎤
⎣
De
que
⎤
5
examinar
Geo-
o
metria
2.
matriz
área.
Coment
de
a
nem
d
⎣
Se
e
unidades ⎡
1.
que
nula
ACD
área
1 de
pode
que
diagonal.
triângulos:
A
Portanto,
Se
2
encontrar
áreas
d
1 8 $D$5
ACD
Para
5 222
18
1 5
A
12
temos:
alter nativa D
2
0
2A
5
2a
8
2d
2
2b
8
2c
5
4
8
(a d
2 bc )
X m
n
Logo:
det
alter nativa
2
5
4
5
=
20
d
Guia do professor
319
Cap ítulo
9
Sistemas lineares
Multiplicando
Esse capítulo tem por objetivos: representar e resolver situações-
problema
usando
sistemas
lineares;
reconhecer
e
as
classificar
duas
sistemas lineares; apresentar sistema linear em forma de equação
a
⎧
matricial
e
vice-versa;
e
aplicar
o
método
do
escalonamento
a
primeira
equações,
equação
por
(
3)
e
adicionando
obtemos:
b
⎨
na
1
5
2
⎩
resolução
de
sistemas
lineares. 1
3
2
2
1 Logo,
Resoluções e comentários
5
5 2
Exercícios p rop ostos
6.
Temos:
x 1.
a)
Substituindo
por
1,
por
3
e
z
por
2
na
(2x
2
1
y)
1
2
1
3
3
2
5
2)
é
11,
que
é
uma
ver
a
y
o
sen-
Su
2
ordenado
2x
3z
stituin
2
o
2
(1,
3,
solução
da
é
5
0
e
S
x
5
5
x,
3
o
2
ter no
5
e
5
Para
que
dada,
2x
2
1
3
o
i
11;
3
6
1
3k
k
5
2
5
3
portanto,
a
equação
⎧A
inear sistema
(2,
2,
2)
não
é
solução
5
0
5
os
alunos
solução
igual
que
à
uma
solução
0
0
A
reta
r
ordenado
(3,
k )
seja
solução
da
equação
ter:
2
passa
2
A
reta
0
1
s
n
0
pelos
5
passa
1
5
6
2
V
pontos
2m
pelos
V
n
5
(2,
12
nadas
2
0)
a
m
e
(6,
5
(0,
1);
então:
0)
e
1
(0,
1);
então:
6
r
constituem
V
pontos
5
P
5
com
tem
⎨
e
solução
à
reta
do
s ;
logo,
suas
coorde-
sistema:
12 ⎧
y 5 V
⎨
k
5
2,
o
par
(3,
k )
é
solução
da
y 5
⎨
y 5
⎩ se
=
11.
⎧
Logo,
comentar
B
da
12
k
A
⎩
ordenado
3z
par
tipo
B
2x
devemos
1
do
z
12
m
2.
0)}.
Convém
11.
7. equação
V
0
{(0,
satisfeita.
Logo,
5 5 0
equação
do
não
1
eira.
ter no
equação b)
0
⎨ y
Comentário: inear
5
⎩
Então, Logo,
3y)
5
⎩
y tença
1
2x x V
1 obtemos
x
equação ⎨
dada,
(
x
⎩
y
5 2
equação
1 2x
1
3
5
y
12.
5
x
5
2 1
⎛ 3.
Respostas
Portanto,
possíveis:
P
⎞
3,
=
=
2
Os
ter nos
soluções
(0,
da
0,
0),
(1,
equação
1,
2a
1
1),
3b
(1,
c
1,
5
5)
e
(
2,
2,
2)
são
⎧x
0. 8.
y
5
0
⎨ x
y
2
⎩ 2 4.
Substituindo
x
por
3
e
y
por
na
equação
x
3y
5
1, a)
Respostas
possíveis:
3
2 5
3
1,
que
é
uma
sentença
Para
x
Para
x
y
5
0:
(0,
0),
(1,
1),
(
y
5
2:
(1,
1),
(2,
0),
(0,
2,
2
verdadeira.
3 1
2)
2 Substituindo
x
por
3
e
y
por
na
equação
x
1
3y
5
5, b)
x
y
5
0
3
2 5
3
5,
que
também
é
uma
sentença
y y
3
verdadeira.
0
0
4
4
x
+
y
=
x
2
y
=
0
4 2
⎛
⎞ é
⎝
3
solução
comum
das
duas
equações
dadas.
⎠
2 x
Para
o
ponto
A
5
, ⎝
y
5
2
1
1 ,
temos:
⎠
3
OCCES
5.
1
⎞
⎛
0 y
4
2
x
NOSLIDA
1 ⎛
⎞ 5
1
(I)
0
2
2
0
3
Para
a
o
1
ponto
b
5
Resolvendo
⎧
B
2
o
5
(1,
2),
temos:
(II)
sistema
a
c)
for mado
pelas
equações
(I)
e
(II):
A
solução
retas,
ou
do
sistema
seja,
S
{(1,
é
o
ponto
de
intersecção
das
1)}.
Comentário: Avaliar a conveniência de explorar mais o exer 1
3 ⎨
1
5
320
cício
pedindo
uma
reta
aos
alunos
que
tracem,
no
plano
cartesiano,
2
⎩
Guia do professor
paralela
ao
eixo
y
pelo
ponto
(3,0).
Em
seguida,
eles
devem
primeira
identificar
equação
do
que
ponto
sistema
e
dessa
que
reta
ponto
é
solução
dela
é
da
⎧
12. dasegunda
equação.
Por
fim,
devem
verificar
x
2
5
x
que
as
x
1
5
V
⎨
coor x
0
kz
kz
x
o
número
de
meninas
e
y
o
número
de
0
5
⎩
a)
Sendo
3
y 5
⎨
denadas desses pontos satisfazem as respectivas equações.
9.
2
5
solução
Se
k
5
0,
temos
um
SPI.
meninos, Fazendo
z
5
a
a
Ñ
R,
as
infinitas
soluções
do
sistema
obtemos: são
⎧2 ( x
y
y
x
⎧ V
⎨
y
0
x
5
V y
14
Assim,
x
e
x
1
for ma
b)
Se
5
k
i
cuja
⎩
no
Chamando
a).
0,
temos
solução
um
para
o
sistema
sistema
possível
é
(2,
3,
e
deter minado
0).
12
y
5
13.
26.
total,
26
alunos
faziam
prova
nessa
a)
Multiplicando
de
x
o
tipo
de
leite
com
2%
de
por
a
primeira
3,
equação
por
(
2)
e
a
segunda
obtemos:
sala.
12x
⎧ 10.
3,
V 2x
equação Portanto,
(2,
y
⎨
2
⎩
⎩
x
⎧ V
⎨
x
da
gordura
e
y
o
5 2
a
5 2
a
⎨ 1
1
⎩ tipo
com
4%
de
gordura,
obtemos:
0x ⎧x
1
80
x
⎧ V
⎨
4 x
80
1
V
2,
x
y
1
15
80
⎨ 1
5
Ou
seja,
o
sistema
só
é
possível
e
indeter minado
se:
200
⎩ 100
15
100 2a
1
15
5
0
V
a
5 2
x
⎧ V
5 21
y
5
⎨
V
0
x
e
60 15
⎧ 1
2x
5 200
3y
15
⎩ Para
Portanto,
foram
misturados
60
c
de
leite
com
2%
de
a
,
5
temos:
5 2
⎨
2
gor -
2
5
5
⎩ dura
e
20
c
de
leite
com
4%
de
gordura. 5 Para
5
k,
temos:
4x
1
2k
=
5
V
x
2k
5 4
⎧ 11.
x
y 5
3
x
y 5
6
Assim,
⎨
⎩
⎧ ⎛ Resolvendo
o
sistema,
obtemos
x
5
3
e
y
5
S
0.
o
conjunto
5
k
⎝
tem
o
conjunto
uma
única
Portanto,
o
solução
é
S
5
{(3,
0)},
isto
é,
o
é
b)
possível
e
deter minado
Do
b)
y
5
3
y
5
6
a,
outra.
pode
ser
dado
por
R ⎬
⎭
de
podemos
Assim,
observar
podemos
que
uma
concluir
linha
que
é
não
múltipla
existe
um
a
Comentário:
⎨ x
k
4
item
da
(SPD).
valor ⎧
sistema
sistema
solução.
sistema
do
⎫
⎨
⎩ Logo,
solução
2k
Essa
atividade
pode
ser
mais
bem
explorada
⎩ se, A
segunda
equação
é
equivalente
à
primeira
todos
os
ter mos
da
primeira
para
a
resolução,
for
pedido
aos
alunos
que
calculem
(basta os
multiplicar
após
obter
v
res
a
a 1
segunda).
Algumas
das
infinitas
soluções
desse
-se
sis-
que
eles
concluam
que
a
deve
ser
diferente
de 2
tema
e
(
são
(4,
1,5;
1),
(1,
4,5).
2),
Note
(3,
que
0),
(0,
essas
3),
(5,
soluções
2),
(
são
3,
do
6)
5
S
k
k),
com
k
Ñ
5
3y 5
m
⎨
2
R
5
⎧ 3x S
e
⎨
1
1
1
⎧ x
tipo 14.
(3
6
x
1
e
y
n
⎩
Logo,
S
5
{(3
,
)$
Ñ
R},
e
esse
sistema
é
possível Resolvendo
e
indeter minado
Logo,
⎧ c)
x
y 5
S
,
obtemos
x
5
1
5
2.
(SPI).
3
(1,
Como
2)
e
S
é
solução
S
devem
de
ser
S
sistemas
equivalentes,
então
2
⎨
x
⎩
y 5
(1,
9
2)
também
deve
ser
solu
1
y
ão
de
S 2
Resolvendo
o
sistema,
Substituindo
obtemos:
x
por
e
por
2
em
S
,
obtemos:
2
3
⎧
3
⎧
⎨
m
5
⎧
3 V
⎨ 3
3y
9
5
n
5
f
x
lsa )
5
m
1
⎨ 5
n
1
3
⎩
⎩
Logo,
os
sistemas
S
e
S
serão
equivalentes
para
2
Não
há
valores
para
dadeira.
Portanto,
⎧x
y
S
x
e
5
que
Ö,
o
tor nem
sistema
é
a
sentença
m
ver
impossível
1
e
⎨
Como
o
⎧
y
n
5
3.
(SI).
15.
d)
5
sistema
é
homogêneo,
⎧
5
5
temos:
2
3
⎩
O
sistema
é
equivalente
2 ⎨
a:
c
0
b ⎧x
y 5
3
y 5
3
c
V
c ⎨
5
5 24
b 5 23
⎩
⎩
⎨ x
Logo,
a
5
2,
b
5
23
e
c
5
24.
⎩
Ou
seja,
as
duas
equações
são
idênticas.
Algumas
das 1
⎧ infinitas
soluções
desse
sistema
são
(4,
1),
(1,
⎧
2), 16.
(3,
0)
e
(5,
2).
Note
que
essas
soluções
são
do
a)
x
1
z
5
b)
tipo
5x
1
z
⎨
1
k
Logo,
k
S
k
5
{(3
1
Ñ
k
indeter minado
Comentário:
aos
alunos
Esse
que
k)$k
Ñ
R},
e
esse
sistema
é
desse
modo,
exercício
pode
representem
os
ser
ampliado
sistemas
se
for
pedido
enfatiza-se
a
opção
obra
por
1
1
1
1
⎞
⎛
5
17.
geometricamente
desta
3
1
⎠
3
1
⎝
1
na
qual
são
relacionadas
sistematicamente
as b)
resoluções
algébricas
com
as
geométricas.
1
1
0
2
1
1
7
⎞
10
3
⎠
uma
⎛ abordagem
0
3
possível
(SPI).
⎝
e,
5
5
x
R
⎛ e
5 22
1
x
5
⎩ 3
y
2
⎨
2
3
⎞
0
5
⎝
1
1
2
⎠
⎝
1
1
2
2
Guia do professor
321
⎧ y
⎧ 18.
a)
1
b) x
y
x
y
5
x
y
5
e)
1
Substituindo
x
por
(
1),
1
z
⎛1
5 x
y
1
1⎞
⎝
1 Substituindo
x
y
por
na
equação
5
5
1
⎞
2
1
⎛
0
⎛
⎞
⎛
0⎞
⎝
2 ⎠
1
⎞
5
⎛
0
igualdade
⎛
21.
igualdade
acima
os
ter nos
⎞ 1
1
a)
das
⎞
x
a)
⎛
8
é
uma
sentença
sentença
falsa.
alter nativas
b,
c
e
d
são
soluções
0
10
questão
quando
⎞
5 y
1 ⎠
da
equação
matricial
x
dada.
y
5
8
Portanto,
S
2
⎩
⎠
5
Substituindo
solução
⎠
10
⎨ é
2
⎠
⎝
8
⎝
verdadeira.
⎞
Portanto, ⎝
uma
dada.
⎧x 1
1
⎛
é
⎠ ⎝
20.
acima
1, 1, 0) não é solução da equação matricial dada.
equação
5 ⎝
⎠
⎠
5
⎞
⎝
0 ⎠
0
1⎠
0 ⎠
⎠
da
2
A
⎝
Portanto, ⎝
)
⎝ 3
1
⎞
5
1
1
1
⎛ 0⎞
Logo, (
)
6
1)
⎠
5
A
⎛
⎛ 0⎞
⎞
1
5
⎝ 2⎠
⎛
1
⎠
1
1
5
⎝
⎝
0
⎝
⎞
1
⎠
obtemos:
5
8
⎝
0,
matricial
5
⎝
6
por
⎠
obtemos:
2
z
1 e
por 2
⎛
e
5
⎠
⎝
⎛
1
⎛ 0⎞
1
5
⎩
dada,
por
1⎞
⎛
2
⎩
19.
y
5 2
⎨
x
y
e
z
por
1,
5
{(2,
8
}.
obtemos:
⎛ 1
1
1⎞
0
1
1
0
0
1 ⎠
⎛ 6⎞
⎛ x ⎞
⎛ 1⎞ ⎛1
1
1
1
1⎞
b)
⎛ 0⎞
5
1
⎝
2
0
⎠
⎝
⎝
1
1
1
1
1
y
⎠
)
1
2
6
5
y
⎨ 1
3
⎝
⎛ 0⎞
⎞
5
⎝
⎠
1 ⎠
⎧ 1
⎛
z
⎝
⎠
⎝
0
z
5
y
V
x
5
⎠ z
3
5
⎩ ⎛ 3⎞
⎛ 0⎞ Portanto,
5 2
⎝
⎠
⎝
0
S
omentário:
A
igualdade
Logo,
b)
(1,
5
{(1,
2,
3)}.
⎠
1,
acima
1)
não
Substituindo
x
é
y
é
uma
sentença
solução
e
z
por
da
0,
falsa.
equação
abordar
matricial
dada.
alunosque
nessa
obtemos:
Convém
sistema
as
retomar
escalonado.
equações
questão,
isto
é,
essa
Comentar,
matriciais,
do
tipo
A
os
elementos
de
A
são
dados
3
n
por
1
1
1
que
= n
a
com
B
, n
0,
os
aparecem
3
= i
⎛ ⎛
as
X n
que
como
então,
se
i
em
3
.
j,
são
j
⎞ ⎛
⎞
0
associadas
⎞
a
sistemas
na
for ma
escalonada.
5 ⎝1
2 ⎠
1
⎝ 0 ⎠ ⎝
⎠ ⎧x 22.
⎛
⎞
⎛
S
5 1
y
5
0
x
⎨ x
0
y
y
5
1
2
⎩
5
⎝
⎝ 0 ⎠
⎠
by
⎧ S
5 2
1
y A
igualdade
Logo,
(0,
0,
acima
0)
é
é
uma
solução
sentença
da
equação
matricial
Substituindo
x
por
(
3),
y
por
1
e
z
por
2,
obtemos:
1⎞
e
5
1
⎛ 9⎞
8 3
O
⎛ 0⎞
1
⎝
⎛ x ⎞
5⎞
23.
⎝
1
0
1
⎩
2
5
⎝
⎠
y
⎠
⎝
4
⎠
3⎞
⎛ ⎛1
5
dada.
⎛ 2
c)
5
⎨
1
⎩
verdadeira.
5 1
⎧ V
⎨
⎠ 2
correspondente
a
essa
equação
é:
5 0
⎝
sistema
⎧
⎠
⎠
5y
5
y
5
⎨ 4
⎩
⎛
⎝
1
1
1
1
1
1)
2
1
⎞
⎛ 0⎞
⎠
⎝
Resolvendo
0 ⎠
S
5
{(2,
esse
Substituindo A
igualdade
Logo,
(
3,
acima
1,
2)
é
é
uma
solução
sentença
da
equação
matricial
dada.
⎛m
5
x
⎞
x
por
3,
y
por
(
1)
e
z
por
(
2),
4
n
⎞
⎛
21
⎝
5 0
⎠
⎝
2
⎠
e
4
y
por
5
1
em
obt em os:
⎠
n
⎛ 0⎞
⎛ 2⎞ 5
⎝
⎠
1
⎠
⎝
5
⎠
1
1
0
m
1
1
(
2)
⎝
⎛ 0⎞
⎞
8
n
⎠
5
5
m
0 V
1
⎝
1
Portanto,
acima
(3,
1,
é
) ⎠
uma
2)
é
⎝
0
sentença
322
dada.
Guia do professor
3
⎠
solução
verdadeira.
da
equação
sentem
para
que
sistemas
matrim
cial
2
n ⎩
Portanto,
igualdade
5 2
⎨
n
5
A
5
⎧
⎠
⎨ 1
solução
⎠
m
⎛
conjunto
⎞ ,
⎝
8
0⎞
8 2
⎝
2
5
⎝
⎠
3⎞
⎞
o
obtemos:
⎛m ⎛ ⎛1
por
⎛ x ⎞ 8
Substituindo
encontramos
verdadeira.
⎝ d)
sistema,
1)}.
n
essas
lineares
equações
matriciais
equivalentes,
r epr e-
devemos
ter
x
⎧
24.
Temos:
S
5
x
y
z
⎨
3
5
(H)
z
5
(I)
⎩
1
2(1
3k)
x
2
6k
x
7k
6z
equação
5
6
V
z
I
5
y
5
22
y
5
2
22
2
S
5
{
7k
4,
1
3k
$k
k
Ñ
R},
e
o
sistema
:
é
1
Substituindo
5
k
4
Portanto, Pela
k
(G)
z
z
por
1
na
equação
(H),
SPI.
obtemos:
x
⎧
1 26.
a)
Temos:
y
5
⎨ x
y
5
⎩
Substituindo
z
por
1
e
y
por
(
2)
na
equação
(G),
obtemos: Conservamos
2
(
2)
a
Multiplicamos x
5
primeira
equação.
5
a
primeira
equação
por
(
2)
e
a
adicio
2
Logo,
a
solução
de
é
S
(2,
2,
namos
à
segunda.
Assim,
temos
1).
3
Substituindo
e
S
S
,
x
por
2,
por
(
2)
e
z
por
1
nos
sistemas
obtemos:
o
sistema
ori
inal
escalonado:
⎧
2
x
⎨
⎧
2
(
1
5
dadeir a) 3 ⎩
S
5 1
2)
⎨
1
5
dadeir a)
Da 3
2
5
segunda
equação,
obtemos
y
5
3.
( ver dadeir a)
⎩ Substituindo
⎧
2
2
2
5
5 2
1
⎨
5
por
3
na
primeira
equação,
obtemos
ver dadeir a) x
S
y
5
2.
ver dadeir a) Logo,
dade
S
5
{(2,
3)}.
r a)
⎩
⎧2 x Logo,
(2,
2,
1)
é
solução
de
S
e
S
também.
b)
2
Temos:
y
⎨ x
y
5
6
⎩
1
⎧ 25.
a)
Temos:
y
5 2
1
Para
⎨ 2y
⎧
a
Da
2
equação,
simplificar,
escrevemos
o
sistema
equivalente:
5 22
obtemos
y
5
x
y
x
y
21. ⎨
Substituindo
x
5
y
por
(
1)
na
primeira
equação,
obtemos
5
⎩
2. Conservamos
Logo,
S
5
{(2,
1)},
e
temos
um
sistema
ossível
a
Multiplicamos
deter minado
a
primeira
equação.
equação
por
(
2)
e
a
adicio-
(SPD).
⎧ b)
primeira
e
namos
à
segunda.
Assim,
temos
o
sistema
original
escalonado:
Temos: y
5
0
⎩
Se
o
⎧x
sistema
admite
solução
com
z
5
k,
com
k
y
⎨
real,
y ⎩ temos:
Da
segunda
equação,
obtemos
y
5
21.
⎧
⎨
Substituindo y
5
y
por
(
1)
na
primeira
equação,
obtemos
0
⎩ x
Da
segunda
equação,
obtemos
y
5
5
3.
k Logo,
Substituindo
o
valor
k
em
y
na
primeira
S
5
obtemos:
⎧
c) 3x
k
{(3,
1
k
5
3
V
x
5
1)}.
equação,
Temos:
x
y
5
x
y
5
34
⎨
1
⎩ Portanto,
a
solução
do
sistema
será
do
tipo
(1,
k
k k),
Escrevendo com
k
Logo,
Ñ
o
o
sistema
de
for ma
equivalente,
temos:
R
sistema
é
x
y
5
x
y
5
⎧
SPI.
⎨
⎧
c)
Temos:
5
y
y
⎨
⎩
Da
terceira
5
5
z
5
equação,
Substituindo
y
z
z
3
por
V
y
(
Conservamos
na
z
1.
segunda
equação,
obtemos:
namos
à
Assim,
temos
primeira
a
primeira
equação.
equação
por
(
4)
e
a
adicio-
segunda.
o
sistema
original
escalonado:
2 ⎧x
Substituindo y por (
a
Multiplicamos
obtemos
1)
5
34
⎩
2
2) e z por (
y
5
1) na primeira equação, 26
y ⎩ obtemos:
x
2
1
1
Portanto,
5
2
5
V
x
5
Da
3
{(3,
1)},
e
o
sistema
é
SPD.
x ⎧x d)
Temos:
y
z
5 2
z
5
segunda
⎨
5
y
por
(
obtemos
1)
na
y
5
primeira
21.
equação,
obtemos
8.
Logo, y
equação,
Substituindo
S
5
{(8,
1)}.
⎩
Se
o
sistema
admite
solução
com
z
5
k
k
real,
⎧
temos: d)
Temos:
x
y
x ⎧
y
k
5 2
y
k
5
4
⎨ y
5
⎩
⎨ 1
Conservamos
a
primeira
equação.
⎩
Multiplicamos Da
segunda
equação,
Substituindo
obtemos:
por
obtemos
(1
3k) k
y
na
1
a
primeira
equação
por
3
e
a
adicio-
3k
primeira
equação,
namos
à
segunda.
Assim,
temos
o
sistema
original
escalonado:
Guia do professor
323
⎧ x
y
⎧
4
x
y
x
y
1
⎨ y
5
d)
5
Temos:
⎨
z
0
5
⎩
Da
segunda
equação,
Substituindo
x
5
y
obtemos
3)
na
y
primeira
equação,
obtemos
Conservamos
1.
Logo,
S
y
⎩
a
Multiplicamos
5
{(
1,
namos
3)}.
à
y
a)
Temos:
x
⎨
y
5
y
5
à
z
1
a
equação
por
(
2)
e
a
adicio-
a
primeira
equação
por
(
1)
e
a
adicio-
terceira.
1
⎩
Conservamos
primeira
2 ⎧ x
x
equação.
4 namos
27.
primeira
a
1
5
segunda.
Multiplicamos x
⎧
1
primeira
5
1
5 2
0
equação. y
1
0
⎩ Multiplicamos
a
primeira
equação
por
(
1
e
a
adicioEscrevemos
namos
à
o
se
uinte
sistema
equivalente:
segunda.
⎧ Multiplicamos
a
primeira
equação
por
5)
e
a
⎨ namos
z
y
z
y
5
1
adicio-
0
terceira.
2 ⎩ 4
⎧ x
⎧ x
V
⎨
4
y
Da
terceira
equação,
obtemos
y
5
2.
⎨ Substituindo
3
y
por
2
na
segunda
equação,
obtemos
primeira
equação,
⎩ 3 ⎩
z
Da
segunda
equação,
Substituindo
x
5
y
por
3
obtemos
na
y
5
primeira
3.
equação,
obtemos
22.
Substituindo
y
obtemos
1.
Logo,
1.
Logo,
5
S
5
{(1,
3)},
e
o
sistema
é
S
x
5
5
{(1,
⎨
e
2)},
x
⎧
b)
2,
2
e
Temos:
y
x
y
5 2
x
y
5
por
o
(
2)
na
sistema
é
SPD.
y
z
⎨ y
x
z
SPD.
e)
⎧
por
Conservamos
a
Multiplicamos
1
5
3
primeira
a
equação.
primeira
equação
por
2
e
a
adiciona-
⎩
mos Escrevemos
o
seguinte
sistema
x
y
5
segunda.
equivalente:
x
⎧ ⎧
à
y
z
1 ⎨ y
z
5
⎩ ⎨
x
y
Se x
y
o
sistema
admite
solução
com
z
5
k
k
real,
temos:
5 2
⎩ x
⎧
Multiplicamos
a
primeira
equação
por
(
2)
e
a
y
k
y
k
⎨
adicio-
5
⎩ namos
à
segunda. 1
Adicionamos
a
primeira
equação
à
Da
terceira.
segunda
equação,
obtemos
k e
5
substi-
5
⎧ x
y
⎨
5
tuin
1
esse
v
r
k
y
5
y
5 22
x
5 5
⎩ Logo,
seu
conjunto
so
ução
é
o
tipo
1 Como
pela
segunda
equação
obtemos
e,
y
pela
3
⎧ ⎛ S
terceira, obtemos
Logo,
S
5
Ö,
e
o
y 5
5
2, o sistema não admite solução.
sistema
é
⎫
k ,
⎨ ⎝
,
5
k
k
R
⎬
,
e
o
sistema
é
5
SI. SPI.
⎧
y
5
0 ⎧
c)
Temos:
x
⎨
y
1
z
y
f )
Temos: ⎨
y
⎩
1
5
4
5 x
y
1
z
x
y
1
z
3
5 5
⎩ Conservamos
a
primeira
equação. Conservamos
Multiplicamos
a
primeira
equação
por
(
2)
e
a
a
Multiplicamos namos
à
a
Multiplicamos
a
primeira
equação
por
3)
e
a
à
y
5
por
(
5)
e
a
adicio-
equação
por
(
6)
e
a
adicio-
idênticas.
Então,
adicio-
à
a
primeira
terceira.
0 y
⎧ y
⎨
equação
terceira. namos
⎧
equação.
segunda.
Multiplicamos
à
primeira
segunda. namos
namos
primeira
adicio-
z
5
⎨ y
4
3
z
z
5 217
z
5 217
e
a
4
⎩ y ⎩ Multiplicamos
a
segunda
equação
por
(
1)
e
a
adicio-
A namos
à
segunda
podemos ⎧
terceira
equações
são
terceira.
y
5
o
sistema
equivalente:
0
y
⎧ ⎨
escrever
z
5
4
3 ⎨ y
z
5 217
⎩ z
5
Se Como
a
terceira
equação
é
uma
sentença
falsa,
o
⎧ tema
não
admite
o
sistema
admite
sis-
y
5
4
solução. ⎨ y
Logo,
324
S
5
Ö,
e
o
sistema
Guia do professor
é
SI.
z
5 21
solução
com
z
5
k
k
real,
temos:
1 Da
segunda
equação,
obtemos
y
k
4a e
5
5
14
subs-
3 7 tituindo
esse
valor
de
y
na
primeira
equação,
a
obtemos
3, 50 2
5 x
O
preço
de
três
pacotes
de
1
kg
do
sabão
da
marca
A
seria
5 3 3
Logo,
o
conjunto
solução
é
do
R$ 3,
0,
S
seja,
R$
10,
0.
tipo
alter nativa ⎧ ⎛
ou
b
⎫ 2
5
17
2 k
⎨ 3
⎩
⎬,
3
e
o
sistema
éSPI.
⎭
⎧6 x
6.
y
3x ⎨
y
Exercícios comp lementares k x
1
2y
⎩
1.
Substituindo
3k
2
k
x
k
por
1
2
40
e
5
y
por
k
na
equação
dada,
obtemos:
Das
duas
primeiras
1
⎛ o
5
sistema:
6k
1
40
5
0
,
⎝
1
5
10
ou
k
5
a Usando
n
solução
para
⎬
⎭
24 Para
2.
uma
⎠
3
⎩
k
obtemos
⎞
⎨
2
1
equações,
0
para
representar
o
número
de
residências
e
que
essa
terceira
solução
equação
seja
única,
ela
deve
ser
válida
para
também.
x
1 para
representar
o
número
de
recenseadores,
obtemos:
Então,
substituindo
x
por
e
y
por
1
na
terceira
equa
3 ⎧ ção,
x
n
obtemos:
1
k 1
k
5
3
3 100x
2x
5
5
102x
60 7.
x
5
Sejam
x
y
e
z
as
quantidades
Substituindo
x
por
30
na
primeira
equação,
30
5
peras
e
laranjas,
1
x
5
z
z
3.060
5
⎨ Logo,
10. 000
102
x n
maçãs,
então:
temos:
⎧ 5
de
30 respectivamente;
n
9
k
3
60
há
3.060
residências
na
50
60
140
100
cidade.
z 20
3.
Usando
r
para
representar
o
raio
de
atendimento
da
A
r
para
o
raio
de
B
e
B
⎧
r
r ⎨
r
r
para
o
raio
de
C,
temos: ⎧
C
18
⎨
B
1 6
3. 300 100
x
1
z
x
1
3z
5
42. 000
x
1
3z
99. 000
10. 000
⎩
C
r
10 60
⎩
A
legacia
40 50
de
12
1
⎧x
⎩
Multiplicamos
a
primeira
equação
por
(
1)
e
a
y
⎨
adiciona
z
5
z
5 218. 000
10. 000
(I)
II
(III) mos
à
⎩
segunda:
(III) ⎧
1
z
II 1
⎨
5
5.000
18
r
y
3
5.000
5
218.000
V
y
5
V
x
3.000
5 22
C
(I) 1
x
1
3.000
1
5.000
5
10.000
5
2.000
1
⎩ Portanto,
Adicionamos
a
segunda
equação
à
estão
1
trans
ortadas
2.000 maçãs,
terceira: 3.000peras
⎧
sendo
e
5.000laranjas.
18
8. 1
r
sando
m
e
t
5 22
C
⎨
de
r
5
0
manhãs
e
o
considerando
C
número
que
a
de
tardes
viagem
teve
que
durou
tantas
a
viagem
manhãs
⎩
tardes, Da
terceira
equação,
obtemos
r
5
então:
5.
C
Substituindo
r
por
5
na
segunda
equação,
m
5
t
obtemos
C
r
5 7 .
Substituindo
r
B
por
7
na
primeira
5
m
6
equação,
B
obtemos
r
5
11.
Logo,
raios
5
t
3
A
são,
os
respec
de
atendimentos
ivamente,
11
km,
7
das
km
delegacias
e
5
A,
B
e
C
Assim:
km. (I
⎧
⎨ 4.
Substituindo
x
por
2m
e
y
por
(
m
no
sistema
m
dado,
t
II)
⎩
obtemos: Substituindo ⎧m ⎧2
⎧5m
5 2
⎨
⎨ 3m
m
⎨
2
6
5
1
5
6
1
m
3
(II),
5
V
obtemos:
m
5
7
5 5 2
Logo,
5
t
5
7.
6
⎩
Portanto, Logo,
m
5
a
viagem
alter nativa
de
a
o
preço
do
sabão
da
marca
A,
b
o
7
dias.
b
preço Substituindo
sabão
durou
21.
Chamando
do
em
5
⎩
⎩
5.
(I)
5 21
5 25
da
marca
B
e
c
o
preço
do
sabão
da
marca
y
por
0
no
sistema
⎧
1
dado,
obtemos:
C,
⎧
λ
1
1
5
0
5
temos: V
⎨
a
⎧2
5 V
⎨
1
5
1
c
0
c
14
⎨ 2
b
b
1
Su
as
3
segunda
equação,
obtemos
x
5
3.
⎩
⎩
Adicionando
5
x ⎩
Da 1
⎨
5
x ⎩
⎧
equações,
temos:
(h
stituin
1
1)
3
o
5
x
0
por
V
h
3
1
na
1
primeira
5
0
V
h
5
equação,
o
temos:
21
Guia do professor
e
quantas
325
10.
No
f
ponto
(2)
5
(2,
a
5),
2
b
temos:
5
5
V
Logo,
2a
b
5
5
(I)
S No
ponto
(
3,
1),
o
⎧ ⎛
sistema
34
1
13
13
é
⎨
temos:
(
3)
5
a
(
3)
1
b
5
1
V
23a
1
b
5
1
equações
(I)
e
(II),
b
5
(SPD),
e
⎠ ⎭
1 x
obtemos: b)
2
⎧
deter minado
(II)
⎧ Das
e
⎬
⎝ ⎩
f
possível
⎫
⎞
Temos:
2
y
⎨
5 y ⎩
⎨ 3a
1
⎩
Multiplicando
Multiplicando
por
(
1)
e
a
segunda
equação,
adicionando-a
à
membro
primeira,
a
membro,
⎧2x
y
x
y
a
primeira
equação
por
2,
obtemos:
4
V
temos:
2x
y
(SPI)
⎩ ⎧2
b
5
b
5
5
Se
o
sistema
admite
solução
x
a
a
real,
obtemos
o
⎨ 3
1
⎩
valor
y
5
4
2a
17
4 5
de
5
e
5
Logo,
o
sistema
é
possível
e
indeter minado
(SPI),
e
5
o
Logo,
a
lei
da
função
4
polinomial
do
1
grau
S
é
x ⎧ 5
A
equação
No
igua
da
a
linear
primeiro
inclinação
e
ou
a
caso,
reta;
no
5
lei
o
14.
ax
de
for mação
coeficiente
segundo
caso,
a
o
de
está
uma
função
associado
mesmo
⎨
2a)
a
Ñ R}.
x
1
1
z
5
x
1
1
z
5
x
1
1
z
1
⎩
à
Escalonando
relacionado
com
a
taxa
de
variação
da
o
sistema,
1
z
5
x
1
z
x
1
z
temos:
coeficiente x
⎧
está
4
5
Comentário:
afim.
{(a,
17
x
uma
5
função.
1
1
Inde⎨
5
pendentemente do significado dessa igualdade, a represen5
(falso)
⎩ tação
gráfica
no
plano
cartesiano
é
dada
pela
mesma
reta.
Portanto,
11.
y
5
2x
6
5
2x
o
15.
1
2
é
impossível.
4 alter nativa
2
sistema
2
O
sistema
pelo
c
dado
menos,
Para
a
é
um
sistema
solução
escalonar
o
trivial
sistema,
homo
(0,
0,
êneo.
Lo
o,
admite,
seguinte
sistema
0).
escrevemos
o
equivalente:
y
y
=
2x
–
4 ⎧
y 1
–
y
5
0
6
2 ⎨
ES
0
3
x
y
x
y
12z
0
x 1
z
⎩
NOSLIDA
Multiplicamos
a
primeira
equação
por
(
3)
e
a
adiciona-
primeira
equação
por
(
2)
e
a
a
equação
por
e
a
adiciona-
– 1
mos
à
segunda.
Multiplicamos
a
iciona-
– 2 mos
b)
Os
gráficos
não
do
item
apresentam
solução
do
a
são
pontos
sistema
duas
em
retas
paralelas,
comum.
for mado
pelas
Logo,
o
equações
ou
⎧
seja,
conjunto
é
S
à
terceira.
y
⎨
5
y
z
5
y
z
5
0
5 ⎩
omentário:
A
classi
icação
de
um
sistema
linear
2
3
2
⎛ Multiplicamos
composto
ax
1
b
de
duas
pode
ser
equações
feita
apresentadas
comparando
o
valor
do
na
a
segunda
for ma
y
5
a
nas duas equações e, em seguida, o valor do coeficiente
⎝
mos
coeficiente
à
1
5
⎞
⎠
terceira.
y
⎧
5
0
b Assim,
o
sistema
original
escalonado
é:
⎨ y
z
⎩ 12.
Montando
o
sistema
de
acordo
com
o
enunciado,
temos: Se
A
⎧
1
6
D
5
C
3
1
sistema
admite
solução
com
z
5
a
a
real,
temos
I) y
⎨
o
5
21
5
4
(II)
5
3a
5
Portanto,
S
2a
5
{(2a,
3a
a)
a
Ñ R
(III)
⎩
⎧ x Multiplicando
equação(I),
⎧
⎨
4A
6
4A
6
a
equação
(III)
por
(
2)
e
adicionando-a
16.
a)
5
y
⎨
5 2
2
2
6
1
à
temos:
⎩
2D
5 248 Da
terceira
equação,
obtemos
y
5
2.
5 ⎩
Substituindo
Portanto,
o
sistema
é
rn
por
(
2)
e,
5
Logo, x
y
2x
y
⎧
na
primeira
S
5
5
Temos:
equação,
⎞
⎨
equação,
obtemos
obtemos
x
5
5.
⎫
⎬ 3
⎩ a
segunda
3
iv
⎧ ⎛
13.
na
5
impossível. z
l
y
⎠ ⎭
⎨
⎩ 1
⎧
Multiplicando
a
primeira
equação
por
(
2)
e
1
z
5
0
y
nando-a
à
segunda
equação
e
obtemos:
b)
⎨ z
⎧
2
y
6
adicio-
5 2
5
3 ⎩
⎨ 2x
5
Da
quarta
equação,
obtemos
z
5
3.
⎩
326
Guia do professor
1
34
Substituindo
13
13
y
5
2.
z
por
3
na
terceira
equação,
obtemos
Substituindo
obtemos
x
z
5
Substituindo
equação,
por
3
e
y
por
2
na
segunda
equação,
Multiplicando
1.
z
por
obtemos
3,
u
y
5
por
2
e
x
por
1
na
primeira
equação
(II);
por
e
(
5)
a
equação
em
adicionando
5
{(0,
1,
2,
2
(
2)
e
adicionando
à
equação
( III ),
a
equação
à
( I )
temos:
5
z
3)}.
⎨
⎧
por
multiplicando
0.
x Logo,
( I )
seguida,
x
z
5
x
z
5
10 75
⎩ c)
b
⎨
21
5
x 3b
z
1
⎩ ⎨ Adicionando
o
oposto
do
dobro
da
primeira
equação
x
1
x
1
1
z
5
à 1 1z
375
⎩ terceira,
Em
obtemos
seguida,
equações
a
5
e
b
5
1.
substituindo
adicionando
a
b
na
primeira
primeira
à
e
Assim,
segunda
segunda,
obtemos
Logo,
3.
a
Finalmente,
substituindo
a
e
b
na
segunda
de
podemos
a
obter
quantidade
castanha-de-caju
c
5
5
{(3,
1,
De
acor
o
sistema
com
de
5
é
0,125
é
0,125
e
0,250kg
kg
ou
x
5
ou
125 g
0,25.
250g,
é
0,125
kg
ou
125
e
a
de
g.
Nessa
o
atividade
e
em
outras,
igualmente
5)}.
contextualizadas,
17.
0,125,
5.
Comentário : Logo,
5
amendoim
equação, castanha-do-pará
obtemos
z
de
enuncia
o,
po
emos
escrever
o
seguinte
do
equações:
estudo
de
de
é
interessante
sistemas
problemas
do
dia
a
como
observar
a
instrumento
im
da
ortância
resolução
dia.
i
⎧ 14
5
42 i
1
12
d(
d
1
4 2i
I)
⎧
x
y
1
t
x
y
1
t
5
4
II )
i
5
⎩
60 1
5
⎨
i
i
1
⎧ ou
⎨
19.
12
5
⎨
⎩
y
z
168 ( I )
14(i
12)
5
42i
V
14i
168
5
42i
V
i
5
5
x
6
1
y
5
t
28
Substituindo
i
por
6
em
( II ),
Dividimos
obtemos:
360 d (i
1
12)
5
60i
V
(6
1
12)
5
60
6
V
d
5
5
a
primeira
⎧
2
equação
por
2.
1 t
5
2
t
5
5
t
5
18 2
Portanto,
a
enfer meira
deverá
ministrar
uma
dosagem
2
de x
y
1
⎨ 20miligramas
do
medicamento
X.
y alter nativa
x
⎩
18.
Seja
x
a
z
b
quantidade
de
amendoim,
y
a
quantidade
y
1
de Multiplicamos
castanha-de-caju
e
z
a
quantidade
de
mos todas
elas
em
à
primeira
equação
por
(
3)
e
a
adiciona-
segunda.
quilograma.
Adicionamos a)
a
castanha-do-pará,
Considerando
que
o
quilograma
do
amendoim
a
primeira
equação
à
quarta.
à
quarta.
custa
1 $
5,00,
o
da
castanha-de-caju
custa
R$
20,00
e
o
da
x
1
1
5
2 castanha-do-pará
5x
1
20y
Como
tura,
1
cada
16z
lata
custa
5
R$
5,75
deve
1
2
2
temos: 15
5
2
2
1
(I)
conter
meio
quilograma
da
mis-
temos:
y
1
y
1
1
1
5 t
2
⎩
5
8
2
5 2
Adicionamos x
y
z
5
1
a
x a
equação
1
⎧
Como
segunda
II
quantidade
de
castanha -de-caju
deve
1
1
5
2
ser 2
um
terço
da
soma
das
quantidades
das
outras
duas,
1
1 y
z
1
⎨ 2
temos:
x y
2
y
z
1
5 5
3 ⎩
x
y
z
(III) Da
Com
⎧
as
equações
(I),
(II)
e
(III),
obtemos
o
quarta
Substituindo x
y
1
z
5
x
y
1
z
5
y
1
z
5
t
5
Finalmente, ⎩
x
primeira
b)
No
sistema
obtido
no
item
a,
trocando
de
lugar
a
e
a
terceira
y
x
equações,
z
5
x
1
1
por
(
1)
S
5
{(1,
1,
y
x
, 75
⎧ 2
z
⎧
1 1
5 8
⎨ x
y
2,
⎨
1
y
2
por
x
na
1,
5
segunda
equação,
z
por
2
e
t
por
3
1 1 1
⎧
2
5
⎨ x
3
9
5 3
⎧
x
2y
9
5
3
⎨ 2y
5
5
9
⎩
⎩
⎩
z
5
( I)
z
5
II
⎧
x
y
5
esse
último
sistema
de
for ma
conveniente:
3
⎨ x ⎩
na
1.
3
5
y
Reescrevendo
1
por
3)}.
⎨
9
z
x
x
z
obtemos
x
2
V
⎩
⎧
e
substituindo
equação,
5
x
21.
temos:
20. ⎨
5
3.
y
⎧
y
priLogo,
meira
obtemos
1) na terceira equação, obtemos z 5 2.
, 75
obtemos ⎨
equação,
Substituindo y por (
sistema:
5
, 75
x
( III )
y
⎩
Guia do professor
327
Adicionando
as
duas
equações,
membr o
a
membr o,
obtemos:
1. x
⎧
2 1
y
y
a
com
equação
y
2x
5
S
{(21,
2
u
⎧
v V
⎨ 1
8vu
5
u
v
⎧ V
⎨
1
z
0
compõe
um
sistema
linear
2.
a
A
solução
de
5
v
⎩
nado
são
as
um
sistema
linear
duas
retas
coordenadas
do
2
3
ponto
2
possível
de
e
deter mi
intersecção
entre
concorrentes.
alter nativa
e
⎨
5
5
u
⎩ 3.
1 u
2y
6)}.
3
u
1
1
2. Logo,
⎩
3
alter nativa
V
21.
3
5 2
⎩
⎧
Somente
5
⎨
A
solução
do
primeiro
sistema
é
(4,
1).
Substituindo
x
por
4
v e y por 1 na primeira equação do segundo sistema, obtemos:
Multiplicamos
a
primeira
equação
por
(
3)
e
a
adiciona 2
mos
à
4
1
1
5
a
alter nativa
v
⎧
V
a
5
9
segunda. c
5 4.
Todo
sistema
linear
homogêneo
é
SPD
ou
SPI.
⎨ v
u v
⎩
alter nativa
Sabendo
que
u
i
0
e
v
i
0,
obtemos: 5.
u
5
1
a
1
3
5
0
V
alter nativa
5
e
a
a
5
23
d
2
⎧ ⎛ Logo,
5
S
1
3⎞
⎛
⎛ 2⎞
⎞
5
6.
⎬ 2
⎩
22.
⎛ 2
⎫
⎞
1,
⎨
⎭
1
⎝
⎠
⎝
x
⎧
Como o sistema é possível e não admite uma solução trivial,
4
y
⎠
1 ⎠
⎝
y
⎨ então
SPD
Multi
⎧
ou
licando
SPI
a
e
k
i
terceira
x
1
5
x
1
5
x
1
x
0.
e
1
⎩
uação
do
sistema
or
2,
temos:
alter nativa
7.
No
b
primeiro
para
que
a
sistema,
primeira
vamos
tenha
trocar
1
como
as
equações
coeficiente
de
de
lugar
x
⎨
2
5
⎧
⎧
1
x
⎩
5 Para
que
o
sistema
seja
SPI,
devemos
ter,
5
k
V
k
5
1
(pois
k
i
x
⎩
0)
sistema
⎧ x 5
1
2
5
obtemos
o
segundo
sis-
1
y
⎨ 1
⎩
⎧x
z
5
z
5 2
z
5 235
0
V
7
segunda
equação,
obtemos
o
valor
de
⎨
0
5
7
2 2z
m
x
1
y
5
1
y
5
1
1
1
m
Substituindo
x
m [1
x
m
(1
y
na
primeira
m ) x ]
1
5
equação,
1
os
mx
1
m
x
5
⎧
8.
m
m
1
1)
5
A
B
5
B
equivalentes.
A ⎭
B
1
A ⎫
50
⎨
2
1
são
b
temos:
m
1
sistemas
x
2
1
67
⎩
alter nativa
x (m
1
y Portanto,
1
5
z
y
)
⎩ Da
1
m
⎨
1
2
obtido,
tema
⎧ a)
o
k 2
23.
⎨
⎩
Escalonando
1 Logo,
V
temos:
2
k
5
1
5
45
⎩
2
e
i
0,
terá
um
único
valor
para
cada Substituindo
número
real
na
terceira
equação:
m 55
A
1
50
A
45
1 x
2
5
5
60
2
1
1 A
Vamos
considerar
a
função
quadrática
5
30
Assim,
B
5
25
e
C
5
20.
2
(m )
5
m
1
m
1
1.
A
B
C
Portanto, Como
a
parábola,
que
é
gráfico
de
para
cima
e
d
5
23
,
0,
um
a
7
soma
esboço
do
dos
artigos
,
B
e
C
OCCES
cada
peça,
NOSLIDA
2 f
⎧
c
cada
temos
o
preço
pela
seguinte
letra
inicial
do
nome
sistema:
5
+
2c
⎨
5
m f
5
143
⎩ f
(m )
nunca
se
anula,
ou
seja,
para Escalonando
cada
valor
real
de
m
x
é
único.
y
e
o
par
(x
y ),
solução
do
o
sistema,
temos:
Consequentemente,
⎧ sistema,
também
são
x
1
f
5
143
únicos.
⎨ b)
f (m )
2
deve
2c ter
um
valor
mínimo.
Isso
ocorre
quando
m
assume
o
⎩
De
2c
5 2156,
obtemos
c
5
78.
f
Portanto, m
5
5 a
328
Guia do professor
é
gráficoé:
Representando
+
preços
75,00.
alter nativa
+
dos
f
R$ voltada
5
o
preço
5 2 alter nativa
c
unitário
da
colcha
é
R$
78,00.
de
Já
Comp reensão do texto
que
x
1.
Energia,
carboidratos,
proteínas
e
gorduras
sistema
tem
4
equações
e
6
O
b)
No sistema, cada equação corresponde a um nutriente, e
as
um
alimento
representa o feijão, x
0.
maior
Portanto,
x
,
menor
x
.
Assim,
x
6
x
2,76x
é 6
1
6
inequações
<
1,94x
>
0,04x
6
2
78.
5
são:
(x x
representa
representa o frango, x
o
arroz,
6
x
1,12
1
4,79
5
x
representa
1 5
x a
5
incógnitas. x
incógnita,
x 4
a)
cada
quanto
4
se
totais.
Assim,
2.
0, 4
máximo
0,30x 6
11,04 5
4
o suco, x
representa o pão e x
representa a margarina).
x
5
<
22,76x
6
3.
Como
temos
apenas
4
equações
para
6
incógnitas,
dizer
que
o
sistema
é
possível
e
Temos:
indeter minado. ⎧
1 , 94
x
1 ,1 2
6
alter nativa
25,78
pode6.
mos
1 5
(I)
5
b
0,
x
4, 7
6
⎧x
x 5
(II)
5
⎨
6
0, 3 0
x
, 04
(III)
6
x
x
6 5
4.
V
⎨ x
0, 25 3
⎩
x
0, 45
2, 7 6
x
, 78
(IV)
6
5
4
⎩
Fazendo
⎧x
5
1
6
x
8, 05
0
figura
a
esboço
seguir,
em
dos
que
quatro
a
gráficos
parte
mais
encontramos
escura
a
representa
1, 68
2
V
um
x
1
a
intersecção
das
quatro
inequações,
ou
seja,
o
conjunto
nas
equações
⎨ x
9
x
16
3
6
x
11
solução
do
sistema:
x
60
4
⎩
x 6
IV
(I)
⎧
5
x
5 28
05
6
2
1
(II)
10
2
Temos:
OCCES
5.
⎨ 5
x
III)
3
8
5
x
(IV)
NOSLIDA
x 4
⎩
6
II (I)
5
x
0,19
1
0,33x
0,17x 5
0,17x
5
0,19
1
2
6
0,33x
6
x 5
0 1
4
2
x
6
8
10
12
x 5
x
5 6
0,
alter nativa
d
x 1
q
1 0, 17
7.
Se
x
5
5
e
x
5
6,
substituindo
esses
valores
6
Como
sabemos
que
x
>
0,
então,
quanto
maior
x x
⎧
menor
x
.
Assim,
x
6
é
máximo
quando
x
5
0.
5
6
Logo,
6
x
5 28, 05
0, 0
1, 68
2
x
<1,94x 6
1
1,12.
,
⎨
5
x
9
6
0, 45x
x
(II)
5
⎩
x
8,05
0,07x
2
1
1,68x
5
1,68x
0,07x 6
1
1
5
x
6
8,05
x
5
0,19
x
2
encontramos:
x
16
3
1
0,33
8,05
5
0,07
0,17
5
1
6
5
1,68
0,82
6
1,68
2
x
x
x
x
5
9,16
0,25
5
11,60
5
0,83
6
5
2,93
3
6
68 x
1,24
0,45
5
2,7
x 2
x
x
1
Sendo
5
x
o
arroz,
multiplicando
o
valor
encontrado
por
1, 68
50 Temos
x
0,
então,
quanto
maior
x
2
,
maior
x
2
.
g
(quantidade
é
mínimo
quando
x
6
5
0.
Logo,
x
2
referência
na
tabela),
a
dieta
deve
Assim,
6
conter x
de
>
0,04x
6
1
0,82
50
g
5
41
g.
4,79.
5
representa
x
o
feijão;
a
quantidade,
em
grama,
de
feijão
2
(III)
x
a
5
1
0,25x
3
5
20,25x
6
Analogamente,
6
1
9,16
na
dieta
deve
ser
de
1,68
30
g
5
50,4
a
quantidade,
em
grama,
de
frango
g.
deve
x
5
ser
3
1
2,93
80
g
5
234,4
g
e
a
de
suco,
em
mc,
deve
ser
x
2,7 x
consumido
x 5
,83x
ser
2
mc
5
540
mc
5 6
0, 8 3
x
8.
3
x
x
Energia
ou
valor
energético :
energia
11, 04 0, 83 produzida
Como
x
>
0,
se
x
aumenta,
x
diminui.
Então,
x
quando
x
5
0.
Portanto,
x
<
20,30x
1 5
corpo
que
provém
dos
carboidratos,
é das
máximo
pelo
proteínas
e
das
gorduras
totais;
é
expresso
em
11,04. quilocaloria
(kcal)
ou
em
quilo
oule
(kJ).
(IV) Carboidratos:
x
5
11,60
1,24x
4
sua
0,45x
5
21,24x
1
11,60
principal
parte
função
é
dos
chamados
for necer
energia
energéticos
imediata
e
para
x
5
4
as
1, 24x
células
do
corpo,
principalmente
as
do
cérebro;
x
5
x
fazem
0,45x 5
6
encontrados
em
maior
açúcar,
pães,
quantidade
em
massas,
arroz,
4
x
mel,
farinhas,
tubérculos
(como
batata,
4
x
x
25, 78 5
0, 45
mandioca
e
inhame)
e
doces
em
geral.
Guia do professor
329
Proteínas :
função
de
são
chamadas
construir
sendo
as
massa
muscular;
e
principais
construtor es,
manter
órgãos,
responsáveis
encontradas
em
pois
tecidos
pela
e
têm
for mação
car nes,
a
ovos,
no
de
leite
benefícios,
e
e
nas
leguminosas
(feijões,
soja
e
mau
totais:
referem-se
à
soma
das
gorduras,
tanto
animal
(saturadas)
quanto
vegetal
principais
fontes
de
energia
no
corpo,
ao
grupo
dos
energéticos s
e
ajudam
na
e
no
transporte
das
vitaminas
redução
e
K),
na
composição
das
lipossolúveis
membranas
(A,
equilíbrio
tér mico
do
celulares
e
de
Gorduras
origem
frango,
de
diabetes);
origem
regula
os
total,
bom
redução
colesterol
e
redução
presentes
da
em
hiper
diversos
vegetal,
como
frutas,
hortaliças,
integrais.
fluidos
participa
contrações
saturadas:
presentes
da
extracelulares
condução
dos
e
o
volume
impulsos
plas-
nervosos
musculares;
presente
no
sal
de
e
cozinha
animal,
como
car nes,
em
alimentos
queijos,
leite
integral,
industrializados.
em
toucinho,
iogurtes,
a
produtos
com
baixas
%VD
para
gorduras
manteiga saturadas
e
triglicerídios
do
alimentos
ferência
pele
do
organismo. e
de
colesterol
no
alimentos
do
aumento
e
diversos
D,
das
dos
(controle
e
mático, E
(LDL),
promovem
absor
Sódio: ção
redução
no
digestão
também
feijões pertencem
intestino;
auxiliam
na
(insa-
alimentos turadas);
do
sobretudo
de
glicemia origem
como
colesterol
a limentare s :
atuando
ervilha).
(HDL), Gorduras
Fibras
geral,
funcionamento
do derivados
metabolismo
células,
(que
contribuem
para
a
obesidade
e
aumen-
requeijão. tam
Gorduras
trans:
encontradas
em
produtos
o
que
utilizam
gordura
vegetal
de
doenças
(além
de
desnecessárias
margarina,
com
cremes
(salgadinhos
tos
fritos
e
o
hidrogênio)
vegetais,
prontos),
lanches
Cap ítulo
em
seu
biscoitos,
produtos
de
gorduras
ao
nosso
organismo,
hidrogenada colaboram
(combinada
cardiovasculares),
industria trans
lizados
risco
preparo,
sorvetes,
panificação,
como
para
snacks
e
alimen-
aumento
sódio
com
salgados.
o
para
(que
elevação
do
risco
promove
altas%VD
a
para
do
de
colesterol
doenças
aumento
fibras
da
e,
portanto,
cardiovasculares)
pressão
arterial)
e
alimentares.
10
Análise combinatória
o
O
o b j e t i vo
desse
capítulo
é
compreender
e
aplicar
o
prin-
3.
12
cavalos
podem
ganhar
o
1
prêmio,
e
11
cavalos
(todos
o
cípio
fundamental
da
contagem,
identificar
a
natureza
os
dos
cavalos
menos
o
que
ganhar
o
1
prêmio)
podem
ganhar
o
problemas
problemas
e
de
os
contagem
conceitos
e
e
as
e m p r e ga r
fórmulas
na
de
resolução
o
desses
permutação, arranjo
2
prêmio.
Pelo
princípio
multiplicativo:
o
combinação.
Logo,
o
12
11
5
132
o
1
e
o
pr êmios
podem
ser
distribuídos
de
132maneiras.
Resoluções e comentários
4.
10
possibilidades
10
possibilidades
10
possibilidades
Exercícios p rop ostos
1.
E
(escolha
de
um
tipo
de
macarrão):
3
possibilidades 9
E
(escolha
de
um
tipo
de
molho):
2
possibilidades:
(1,
possibilidades
2,
3,
4,
5,
6,
7,
8
e
9)
2
Pelo Pelo
princípio
multiplicativo:
3
2
5
princípio
de
podem
ser
preparadas
6
opções
de
pratos
há
9.000
Comentário:
macarronada.
rismo, Para
ir
da
cidade
A
à
cidade
B
há
3
possibilidades
e
B
à
C
há
4
princípio
o
9
5
9.000
com
pois
o
o
questão,
zero
não
número
é
4
algarismos.
pode
ficaria
importante
ser
usado
apenas
que
no
com
os
alunos
primeiro
três
alga
algarismos.
também
importante
que
percebam
que
pela
grande
possibilidades.
multiplicativo:
3
4
5
percurso
ABC
pode
ser
de
possibilidades
não
convém
fazer
a
árvore
12 de
Então,
números
Nessa
que
quantidade Pelo
10
da
É cidade
10
diferentes
percebam
2.
10
6
Logo, Logo,
multiplicativo:
feito
de
12
possibilidades
e,
sim,
aplicar
o
princípio
multiplicativo.
modos
diferentes. 5.
Comentário:
Observar
quentemente
tica,
frota
330
como
de
na
ocorre
que
em
de
Guia do professor
é
empresas
elaboração
caminhões
essa
de
uma
uma
que
questão
fazem
planilha
recolhimento
do
lixo
uso
que
da
fre-
logís-
de
operação
de
uma
da
cidade.
5
5
4
4
Logo,
3
5
3
2
2
1
livros
prateleira
de
5
1
120
podem
ser
colocados
120maneiras
lado
distintas.
a
lado
em
uma
letras
algarismos
11.
1
bandeira
hasteada:
2
bandeiras
hasteadas:
3
bandeiras
hasteadas:
4
bandeiras
hasteadas:
5
bandeiras
hasteadas:
5
6.
5 8
possibilidades
9
possibilidades
9
possibilidades
não
23
pode
ser
zero
5
4
3
5
4
3
2
3
2
possibilidades
24
possibilidades
25
possibilidades
5
Total
25
5
5
1
Portanto,
princípio
1
60
1
120
4
1
1
120
5
325
enviadas
325
mensagens
possibilidades
(não
Pelo
20
pode
ser
podem
ser
distintas.
z z)
multiplicativo:
3
25
25
24
Podem
ser
senhas
de
23
9
9
criadas,
acesso
ao
8
5
223.560.000
portanto,
12.
223.560.000
Ao
resolver
essa
questão,
os
alunos
que
tidade de
a
escolha
dígitos
de
uma
senha
(caracteres
depende
da
alfanuméricos)
número
de
dígitos
de
uma
senha
pode
1
podemos
4
1
8
1
de
ela
ser
dificultar
Números
de
5.000
5
8
5
16
30
letras
distintas
a
5.999:
total
1.000
descoberta. 10
de
10
6.000
6
a
6.999:
V
total
5
1.000
possibilidades
10
6
possibilidades
9
possibilidades:
10
Números
(não
pode
começar
por
de
10
5.000
a
multiplicativo:
5
6
6
for mados
que
não
contêm
o
algarismo
3:
V
180
total
5
contêm
o
algarismo
3:
729
180 9
ser
5.999
zero)
5
princípio
podem
.
V
Números
Logo,
as
7.
Pelo
quan
10
6
representar
16
5
chances
5
usados. 13.
O
2
devem (2
perceber
site Logo,
Comentário:
4
difer entes
números
de
3
9
9
dígitos.
Números
de
6.000
a
6.999
que
não
b) 6
4
possibilidades
5
possibilidades
5
possibilidades:
V
9
Total
de
1.000 (não
pode
começar
por
princípio
multiplicativo:
5
5
4
5
sem
podem
repetir
ser
os
for mados
5
729
1.000
que
contêm
729
729
o
5
algarismo
3:
542
100
542
números
de
5.000
a
6.999
contêm
pelo
menos
estratégia
usada
100
um Logo,
números
1
total
9
zero)
Logo, Pelo
9
números
de
3
algarismo
3.
dígitos
algarismos.
Comentário:
nesta
É
interessante
resolução,
ou
seja,
reforçar
para
a
encontrar
a
quantidade
de
8. números
a 2
possibilidades
3
possibilidades
4
possibilidades
4
possibilidades:
14.
Pelo
princípio
Logo,
multiplicativo:
podemos
for mar
96
2
3
5
(1,
3,
5
e
que
contêm
quantidade
de
o
algarismo
números
que
3,
basta
não
subtrair
contêm
do
total
nenhum
3.
7)
96
números.
Pelo
princípio
para
as
duas
26
possibilidades
26
possibilidades
multiplicativo,
primeiras
letras
o
número
de
um
de
nome
possibilidades
é:
26
5
676
26
a
9.
(escolha da resposta para a 1
questão): 3 possibilidades
a
(escolha da resposta para a 2
questão): 3 possibilidades
2
as
mesmas
duas
letras
iniciais
de
seus
nomes.
a
E
(escolha da resposta para a 3
questão): 3 possibilidades
3
Comentário:
a
E
(escolha da resposta para a 4
Avaliar
a
conveniência
de
dar
uma
dica
aos
questão): 3 possibilidades
4
alunos: se essa escola tivesse 367 alunos, então, necessariaa
E
(escolha da resposta para a 5
E
(escolha da resposta para a 6
questão): 3 possibilidades
mente, pelo menos dois alunos aniversariam na mesma data. a
questão): 3 possibilidades
6
Pelo
princípio
multiplicativo: 1
.
código
de
área
prefixo
linha
6
3
3
3
Logo,
o
3
3
3
cartão
5
po
3
e
5
ser
729
preenc
i
o
e
729
maneiras
não
pode
ser
0
ou
1
diferentes.
a)
8
10.
10
equipe: Pelo 6
5
4
princípio
multiplicativo:
8
800
códigos
10
10
5
800
1
Logo,
melhor
a
2
10
melhor
a
1
existem
diferentes
de
área.
equipe:
3
Pelo
princípio
Logo,
o
2
técnico
distintas.
1
multiplicativo:
pode
for mar
1
b)
6
5
4
os
times
3
2
1
de
720
5
4
1
720
maneiras
8
8
8
Logo,
10
5
8
10
640
existem
640
prefixos
para
esse
código
Guia do professor
de
área.
331
c)
4
3
1
2
2
3
5
10
10
10
10
1
Logo,
são
possíveis
9.999
números
de
3
2
1
2
1
3
5
18
8
10
9.999
8
10
Logo,
6
1
8
8
ou
3
linha. 3
4
4
9.999 3
d)
2,
9.999
são
5
ou
3
6.399.360
possíveis
6.399.360
diferentes
números
de
7
dígitos
dentro
desse
código
de
1
4
2
de 3
telefone
2
2
1
2
5
12
12
1
18
área. Total
5
1
12
5
42
e) Logo, 8
10
10
8
8
podem
ser
for mados
42
números
pares.
10
9.999
22. 8
10
10
8
8
10
9.999
5
5.119.488.000
temos: Logo,
são
possíveis
5.119.488.000
números
de
telefone
5
P de
10
dígitos
nesse
país.
5!
120
5
7! 16.
a)
5
5 23.
4!
4 !
escolhido
3!
7
7
b)
6!
vogal,
sobram
4
letras
para
serem
per -
mutadas.
5 4!
essa
5
6!
3!
vogalé:
2
5! 17.
a)
2
P
4!
2
24
48
4
5
5
5
4 !
5
5!
5
comece
b)
o
anagrama
e
2
possibilidades
de
escolher
uma
4 ! 2!
2 consoante
7!
5!
)
4!
c)
que
termine
o
anagrama.
Tendo
escolhido
es-
sas consoantes, sobram 3 letras para serem permutadas.
5 4
4
4
205 nam
4 !
por
consoante
é:
5 4 3
2
P
5
3
3!
2
5
3
6
2
5
36
3
Portanto,
temos
48
anagramas
que
começam
por
vogal
e
n! 18.
a)
5 n
30 36
)!
n
ana
ramas
que
começam
e
ter minam
por
consoante.
(n 30 24. n
Vamos
2 n
(n
per mutar
1)
5
letras
8!
3, 2
n
letras
com
a
repetição
de
3
letras
R
e
A.
30
2
n
8
)!
30
5
0
P
40. 320
5
5
5
3. 360
8
3!
2!
o
Resolvendo
essa
equação
do
2
grau,
obtemos:
n
5
6
Logo,
ou
n
n
5
5
25
(não
6. 25.
5
b)
convém)
que
72
há
um
mulheres
)
grupo
podem
com
se
três
mulheres
posicionar
de
P
e
que
essas
três
maneiras.
(n
Tendo
escolhido
a
posição
do
grupo
de
mulheres,
sobram
5 )
5
n
1
1)
n
5
72
homens
uma
que
irão
per mutação
permutar
de
6
com
esse
elementos
(5
grupo,
ou
homens
seja,
e
será
1 grupo
2
n
1
n
72
5
0
de
mulheres).
o
Resolvendo
n
5
8
ou
n
essa
5
equação
29
(não
do
2
grau,
temos:
Pelo
princípio
P
P
3
Logo,
n
5
multiplicativo,
temos:
convém) 3!
6!
6
720
4.320
6
8. Portanto,
4.320
as
pessoas
maneiras
dessa
diferentes,
fila
de
podem
modo
se
posicionar
que
as
de
mulheres
19.
6
6!
5
5
6
4
5
3
4
2
3
2
1
fiquem
1
5
juntas.
720 Devemos
Logo,
as
6
letras
podem
ser
escritas
de
720
per mutar
6
bandeiras,
sendo
2
ver melhas
e
maneiras
diferentes. 6!
2, 3
720
5
5
5
60
6
2!
3!
20. Podemos 5
5!
4
5
3
2
27. Logo,
os
portões
podem
ser
pintados
de
120
a)
P
5
P
4
2
3
332
2
1
12!
P
4
3
60
sinais
diferentes.
P
3
Portanto,
ou
2
5
Guia do professor
6
5
479.001.600
12
maneiras.
b)
21.
emitir
1
120
arrumados
de
uma
P
5
se
5
4!
3!
5!
3!
5
103.680
3
não
de
houver
restrições
os
livros
479.001.600 maneiras,
mesma
matéria
103.680maneiras
de
tiverem
de
arrumá-los.
mas
ficar
poderão
se
os
juntos
ser
livros
haverá
28.
a)
A
sequência
pode
ser
representada
assim:
Pelo
princípio
diferentes A
Portanto,
1
1
P
Logo,
5
teremos
6
1
1
3!
sequências
5
de
Assim,
2
P
etapas,
pelo
5
2
ou
5
seja,
princípio
4!
2
per mutar
4
soma
5
Logo,
de
temos
48
procurada
225
caminhos
de
caminhos
15
15
5
225
diferentes.
3
60
2!
pessoas
modos
podem
sentar
em
um
sofá
de
5
lugares
diferentes.
10!
10!
9
8!
33.
sequências
de
5
(
)
tem
P
das
unidades
2)!
8!
90
8 !
etapas.
parcelas:
P
5
!
5
há
90
possíveis
resultados
simples
(U),
cada
algarismo
5!
apa
5!
outras
(número
de
eleição.
120 5
5,
vezes
da
12
5
34.
24
nas
é:
10, 2
ordem
rece
C
temos:
48
5
Na
para
60
Logo,
A
quantidade
A
5!
3)!
(10
.
a
de
3
(5
elementos.
multiplicativo,
24
possíveis
5!
4
Portanto,
2
ir
A 5,
para
6
demais
são
etapas. 32.
b)
multiplicativo,
possíveis
per mutações
dos
(5
Logo,
ordens).
60
3
algarismos
há
3)
60
2
possíveis
resultados
para
as
3
primeiras
colocações.
DM
UM
C
1
2
3
D
U
20! 35.
1
3
4
há
1
3
2
4
5
3
1
4
5
36.
5
A x,
2)!
380
primeiros
2
18!
possibilidades
de
classificação
x
3
4
1
2
5
3
4
1
os
dois
156
x
!
(x 156
156
2
para
lugares.
2
x
5
380
2
Logo,
5
8 5
20,
(20
2
20!
A
5
)!
x
2
x
x
156
x
5
1
ou
(5
valores
1
5
1
...
absolutos,
1
5)
1
(4
em
1
4
cada
1
...
ordem,
1
4)
1
essa
x
5
1
3
1
...
1
3)
x
5
1
1
(2
1
5
24
2
1
24
...
1
2)
1
(1
vezes
1
1
3
1
vezes
24
1
24
...
1
4
1
24
1)
30 2)!
Logo,
uma
outra
de
2
1
24
1
5
4!
pessoa
30
pode
maneiras
360
U
1
S
5
360
1
3.600
S
5
3.999.960
Portanto,
a
360
D
1
1
36.000
é
.
por
uma
porta
e
sair
por
1
1
360
UM
360.000
1
1
360
DM
9
3.600.000
.
síveis
.
10! 5
720
3
(10
ou
soma
entrar
diferentes.
A
360
5
2)
vezes
24
Assim:
S
>
2
10!
24
temos:
pois
6!
5
A
10,
1
convém,
vezes
38. 5
rau,
2
.
(6
24
(não
6!
1 6,
vezes
212
do
é:
(3
37.
24
0
equação
Logo,
dos
5
o
Resolvendo
3)!
segredos,
seja,
2
horas
Comentário:
7!
vai
gastar
para
Uma
7.200
testar
variação
segundos
todos
desse
os
possíveis
exercício
(720
10),
segredos.
pode
ser
feita
considerando que o disco do cofre tem, no lugar dos algaris30.
cada
um
deles
um
número,
de
acordo
com
a
caixa
em concluam
que
ele
1
ros
será
(pois
colocado.
5
objetos
Assim,
devem
deveremos
ser
ter
colocados
na
5
que
1
caixa
),
modos
pela
3
de
e
2
distribuir
per mutação
repetições
do
2
3
números
esses
de
e
10
2
números
números
repetições
entre
com
do
os
5
objetos
43
horas
e
20
minutos.
é
repetições
60 (5
Logo,
o
360
2
dada
do
3!
5 3,
números
necessárias
5! 39.
3
seriam
núme-
número
3)!
de
(3
2)!
sequências
numéricas
será
360.
1
15!
3 ):
40.
15!
5 15
5
5
3. 003
10
10!
5!
10!
5, 3, 2
P
5
5
5
2. 520
Logo,
10
ele
poderá
escolher
as
10
questões
de
3.003
for mas.
3!
Logo,
podemos
guardar
os
10
objetos
nas
3
caixas
de 41.
2.520
Diagonal
dois
de
Para
se
locomover
de
A
para
B,
a
pessoa
deverá
polígono
o
vértices
número
de
não
é
n
vértices,
diferentes
possíveis
pode
ser
dada
pela
n
per mutação
de
n,
reta
que
une
diagonais
6!
2
6
5
de
um
polígono
de
n
lados
o
de
diagonais
1
n
de
lados
2
d
5
d
5
6
C
n n
n!
n
n
5
n
) n
2
n 4,
de
temos:
o
segmento
C
o
consecutivos.
deslo-
e
um
seus
31.
de
modos.
2
30
P
15
6
4!
2!
se
car -se
4,
2
locomover
vezes
)
n d
Para
para
de
a
B
para
direita
e
C,
4
a
pessoa
vezes
para
deverá
baixo,
5 2
deslo-
assim:
Comentário
2
5 15
ciplinar
com
Geometria
plana.
6
Guia do professor
333
7! 42.
C
6
7!
5
5
Comentário:
!
5
5
Seria
interessante
propor
uma
pesquisa
sobre
35
7, 3
(7
Podem
ser
os
for madas
35
comissões
loteria
diferentes.
a
10! 43.
C 10,
loterias
para
chance
cada
que
existentes.
grupo
uma
e
Pode-se
pedir
aposta
aos
simples
sortear
alunos
tem
de
um
que
ser
a
tipo
de
calculem
5
5
5
vencedora
no respectivo jogo. Provavelmente haverá surpresa entre os
45
2
)!
2!
8!
2
8 ! alunos
Foram
trocados
45
apertos
de
6! 44.
5 2)!
há
300
icarem
que
a
chance
de
sucesso
em
loterias
remota.
5
, 3
Portanto,
veri
bastante
6!
5 2
ao
mão. é
6
de
!
10!
5
tipos
Exercícios comp lementares
3)!
possibilidades
de
comissão. 1.
E
E
(escolha
da
entrada):
(escolha
do
prato
3
possibilidades
(escolha
da
sobremesa):
principal):
2
possibilidades
2
5! 45.
10!
5 5
2
1
5
5
,
2)!
E
for mar
1.200
conjuntos
diferentes
de
5
princípio
com
2
letras
diferentes
e
3
algarismos
S
U
C
Como
E
SS
U,
C,
E
e
24
as
grupos
de
3
combinações
letras
distintas,
for madas
2
4
5
24
Estação
de
partida:
Estação
de
chegada:
11
possibilidades
com
devemos
as
letras
Pelo
S,
princípio
Logo,
são
10
possibilidades
multiplicativo:
necessários
110
11
tipos
10
de
5
110
bilhete.
O:
10! 3!
5! C
3
opções.
O
queremos
considerar
são
distintos.
2.
46.
multiplicativo:
eleLogo,
mentos
possibilidades
3
)!
Pelo Podemos
4
3.
5
5
9
10!
A
5 10,
5
720
3
10
(10
5, 3
3)!
7!
(5
Logo, Logo,
podem
ser
constituídos
10
grupos
de
3
o
pódio
pode
ser
for mado
com
3
pilotos
de
720ma-
letras
neiras
diferentes.
distintas.
São
2
consoantes
e
3
vogais
e,
portanto,
não
há
grupos 3,
4.
4
6!
2
P
60 6
sem
vogal.
Logo,
47.
1,
2,
3,
Temos
4,
...,
nesse
podem
ser
for mados
60
números
grupo
8
números
ímpares
e
7
números
pares.
5! C
5
5
5
5
56
35
5
1.960
, 3
Portanto,
são
Comentário: ser
escolhidos
1.960
diferentes
grupos
as
possíveis
questão
escolhas.
permite
com
Química.
O
uma
cálculo
atividade
matemático
interdis-
indica
que
números.
as
escolhas
consultar 48.
10
Essa
de
ciplinar 8
2
7!
5
podem
10
3
(5
Logo,
distintos.
5!
5 5,
8! C
inteiros
15
Em
um
baralho
de
52
cartas,
há
13
cartas
de
professor
de
ter nos
são
Química
10,
para
porém
saber
convém
levam
realmente
a
um
novo
quais
produto
das
químico.
10!
13! 5
13 ,
o
dos
espadas.
escolhas
C
possíveis
5
5
286
3
3!
10!
7! 6.
C
5!
5
5
5, 2
(7 Lo
o,
podem
ser
selecionados
286
rupos
de
3
(5
cartas
6 de
espadas.
5
5
35
2
49.
Vamos
de
combinar
combinações
8
bolas
das
3
tomadas
bolas
3
a
3
e
retirar
ver melhas,
o
Podem
número
tomadas
3
a
ser
for mados
350
grupos.
3.
8! 7.
3 !
8 !
C
9!
5
5
9, 7
(8
3 !
(9
5 ! 7 5
5
56
5 ! 2
5
5
2
5
5
A
Logo,
o
número
de
maneiras
diferentes
de
retirar
3
seleção
mo
o
que
não
saiam
somente
o
as
ver me
ser
feita
de
2.016
maneiras.
8!
5, 3
e
pode
bolas,
as,
é
8.
P
5
5
56
8
50.
Para
for mar
os
triângulos,
devemos
escolher
2
pontos
Se
dos
as
bolas
forem
colocadas
em
fila,
há
56
resultados
possíveis. 7
de
dos
uma
7
de
reta
uma
e
1
reta
ponto
e
2
dos
pontos
4
dos
da
4
outra,
da
ou
1
ponto
outra. n!
7 ! C
C 7,
2
1 4,
C
1
C 7,
1
4,
9.
4 !
5
4
C
28
28 n,
n
(
1)
5
56
V
2
(
5
)!
2
2
V n 5
21
4
1
7
6
5
84
1
42
5
n
Logo, Portanto,
podem
ser
for mados
126
triân
n
5
5
V
n
5
ou
na
festa
8
10. 5 2
2 2 . 9 5 7. 4 8 0
ogador
pode
escolher
maneiras.
334
Guia do professor
6
27
(não
convém)
O professor pode ministrar as aulas das seguintes maneiras:
5 3
O
5
amigos.
53, 6
5
n
10
! C
5
8.
ulos. Estavam
17
51.
56
126
números
de
22.957.480
Então:
3
1
3
alter nativa
b
5
∫
3
maneiras
∫
3
maneiras
6
O 11.
tempo
gasto
em
ca
a
sequência
é
1min
30s
5
90s.
Assim,
(60 2
possibilidades:
(2
ou
o
90)
tempo
s
5
possibilidades
3
possibilidades
5.400
s
5
necessário
90
será:
min
4)
alter nativa
4
mínimo
16.
Podemos
b
iluminar
essa
sala
com:
4
4
2
5
P
24
5
2, 3
Logo,
poderemos
for mar
24
números
pares
com
os
alga-
5
2, 3
rismos
1,
2,
3,
4
e
5
sem
repetição.
P
5
4
(P
5
12.
5
(P
). 5
Logo,
2
6
possibilidades
17.
princípio
multiplicativo,
temos:
de
escolhas
modos
para
de
2
6
as
4
homens
mulheres
1,
2,
3,
5,
7
e
excluir
desse
conjunto
os
números
que
algarismos
iguais
e
os
que
têm
todos
os
cada
as
para
com
5
4
4
5
um
3!
2!
que
tenhamos
exatamente
2
a
quantidade
algarismos
iguais.
desses
duplas
os
5
homens
3
8
2!
5
2
60
2
60grupos
mistas
podem
de
ser
2homens
escolhidas
e
2mulhe-
de
2for mas
algarismos
de
60
5
120
números Portanto,
pares
4!
5
distintos,
entre
têm res,
3
mulheres
31.
9. Para
Precisamos
é
, 2
2!
entre
2
sala
disponíveis:
5!
e
essa
5
C
iluminar
possibilidades
e
Pelo
total
de 6
o
as
e
ui
es
odem
ser
selecionadas
de
120ma-
Assim: neiras.
18. tanto,
1
A
quantidade
de
sucos
diferentes
que
a
fábrica
produz
é
número.
dada
por:
2
1
(5
C
)
5,
totalizam:
5
4
5
20
quantidade
de
5
30
2
duplo
Logo,
a
2algarismos
alter nativa
iguais
é
números
dada
por:
pares
36
com
1
exatamente
20
5
simples
açúcar
15
alter nativa
c
19.
a)
P
5
6!
ou
adoçante
a
5
720
6
13.
Para
João
e
Maria
ocuparem
duas
poltronas
dessa
fila 1
sem
que
haja
um
corredor
entre
eles,
devemos
5
1
5!
possível
bilidades
720
números,
e
120
iniciam
com
o
1.
(P
b)
2
120
for mar
algarismo
5
ter: É
P
A
quantidade
garismos
1,
de
2,
3
números
ou
4
é
4
que
começam
5
P
com
os
al-
5
lidades
(P
512.346
é
o
primeiro
que
inicia
com
o
algarismo
5,
3
a
bilidades
sua
A
).
(P
posição
é
quantidade
481
de
números
que
iniciam
com
o
algaris-
2
mo 1 Logo,
eles
podem
ocupar
duas
poltronas
dessa
fila,
é
1
haja
um
corredor
entre
eles,
de
10
feccionar
2a2,
é
1
P
5
modos.
a
posição241
e
o
número
que
ocupa
a
posição242
d
é
14.
5
pa alter nativa
5
sem
algarismo2 que
P
as
n
o
número
embalagens,
produz
30
de
se
embalagens
cores
a
de
papéis
combinação
diferentes,
para
de
n
significa
con
20.
cores,
que:
312.465.
Temos
de
quantas
per mutar
senhas
os
são
algarismos
menores
que
1,
a
3,
de
5,
7
e
9
e
número
contar
75.913.
30
A n,
2
1,
3
ou
5
n! 5
30 3
n
3 n
P
)!
(n
1)
5
4!
5
3
24
5
72
30
2
n
n
n
5
6
Logo,
O
30
ou
n
n
5
número
5
5
0
25
(não
1
convém)
6.
ou
7
de
cores
diferentes
é
Descartando
as
ordens
simétricas,
temos:
1
3!
5
ou
2
o A
3
P
terceiro
6
5
é
1
12
ou
3:
A
7
5
1
ou
3
P
2
P 5
5!
120
2
2
5 2
c
2
15.
6. 2
alter nativa
3:
P
60 2!
5
8
5
Guia do professor
335
Assim,
é
a
dada
quantidade
de
números
menores
que
75.913
Assim,
junto
por:
do 72
1
12
1
4
5
a
quantidade
4
letras
alfabeto
com
de
maneiras
escolhidas
2
das
de
entre
letras
a,
b
se
as
e
c
10
é:
for mar
um
primeiras
3
21
5
con-
letras
63
88
Portanto,
a
de
ordem
de
chamada
do
candidato
de
número
para
cada
um
desses
conjuntos
de
4
letras,
teremos
P 4
.913
é
89. anagramas.
Logo:
P
63
5
4!
63
5
1.512
4
alter nativa
e Portanto,
podemos
alter nativa 21.
n n)!
(log
5
24
V
(log
n n)!
3
5
4!
for mar
1.512
anagramas.
d
V
3
4
V log
n
5
4
n
5
3
n
5
81
3
Logo,
S
5
{81}.
Comentário
1.
necessidade
prévia
de
revisar
o
A
conceito.
3
4
5
Logo,
22.
C
120 10,
presidente
v vice-presidente
1
12
existem
há
15.840
maneiras
de
ir
da
cidade
A
até
a
cidade
supervis v ores
rn
Logo,
12
.840
3
maneiras
de
compor
uma
iv
comissão.
2.
2
23.
7
56
5
2
Portanto nados
horários
fixos
(13
h
e
17
h),
o
aposentado
r ealizar
a
atividade
das
13
h
(levar
o
neto
que
não
escola)
escola).
antes
da
Assim,
atividade
das
considerando
a
17
h
(pegar
r ealização
o
da
neto
13
h,
temos
o
seguinte
esquema
para
a
56
números
algarismos
naturais
de
4algaris-
repetidos.
b
na
atividade 3.
das
têm
para
alter nativa a
9
deve
mos sempr e
existem
or dem
6!
5
6
5!
das alter nativa
d
atividades:
4.
5
P
4!
5
24
4
13
h ∫ 4
3
2
24
Logo,
maneiras
são
possíveis
alter nativa
não
pode
ser
a
atividade
das
17
3
3
2
18
não
8 !
2, 3
P
1
5
5
pode
ser
a
13
atividade
das
17
h
3 !
2
12
Uma
reta
passará
será
h
17
por
2
pontos
desses
15.
O
número
de
2
h ∫
6
maneiras alter nativa
2
c
1
5!
7.
5
C 5,
10
2
2! 18
12
6
5
aposentado
3!
60
Logo, pode
realizar
as
atividades
em
há
10
diferente
de
alter nativa
60
possibilidades
de
escolha
da
dupla.
ordem
alter nativa
b
maneiras.
b 8.
situações
C 15,
13
receberá
2trabalhos
2trabalhos.
dados
a
Podemos
uma
mesma
escolher
empresa
o
C
quais
a
ordem
não
é
importante.
conjunto
de
nas
alter nativa las
maneiras
retas
o
d
2
6.
3
3. 360
2
h ∫
3
5
8
alter nativa
24.
prova.
maneiras
2 !
Logo,
nessa
h ∫
24
classificações
d
h
5.
1
24
1
c
de
modos 4,2
2 trabalhos
restantes
podem
ser
distribuídos
q
para
3empresas
de
P
modos.
ç
as
Assim:
3
ria
aliada
ao
uso
de
tecnologia.
Os
QR
Codes
estão
presentes
4 ! C
P
5
36 2 !
em
pr opagandas,
os
trabalhos
podem
ser
distribuídos
de
quantidade
de
maneiras
de
se
escolher
2 letras
entre
Code
e
c
é
dada
por:
C
nos
a
poderão
5
5
surgir
importância
qualquer
3 ! b
entr e
alguns
dados
difer entes
sobr e
o
c
QR
a,
games,
conteúdos.
decifrado,
A
sites
distintas.
alter nativa
25.
de
36ma
neiras
codificações
2 !
outr os Portanto,
em
de
fontes
confiáveis
na
pesquisa
sobr e
tema.
3
3, 2
2 !
Para
tras
escolher,
para
entre
for mar
o
as
7
1!
letras
anagrama,
restantes,
temos:
as
outras
2
le-
o
a
C
Code,
ampliação
uso
7 !
QR
do
21 7, 2
2 !
336
5 !
2
Guia do professor
das
celular
inter essante.
para
que
os
alunos
combinações
como
possam
realizadas.
dispositivo
compr eender
Além
decodificador
é
disso,
o
bastante
ISBN
9
978-85-16-10505-1
7 8 8 5 1 6
1 0 5 0 5 1
Obra coletiva concebida,
e
produzida
pela
desenvolvida
Editora Moderna.
Editor responsável: Fabio Martins de Leonardo
Conexões o
M
é
E
n
i s
n
o
com a
i d
2
Componente curricular: MATEMÁTICA
MANUAL DO
PROFESSOR
Conexões
Matemática
com a
2 Ensino
Organizadora:
O b ra
co l et i va
co n c e b i d a ,
Edito r
Licenciado
em
Médio
Edito ra
d e s e nvo l v i d a
responsável:
M at e m át i c a
Componente
e
Fabio
pela
M o derna
p ro d u z i d a
M ar tin s
de
U n i ve r s i d a d e
curricular:
pela
E d i to ra
Moderna.
Leo na rdo
de
São
Pa u l o .
E d i to r.
MATEMÁTICA
MANUAL DO PROFESSOR
a
3
São
edição
Paulo,
2016
Elaboração
dos
originais
Edição
de
Casentini,
Alexandre
Bacharel
e
Raymundo
licenciado
texto:
Assistência
em
Matemática
pela
Judas Tadeu
de
São
Paulo.
Professor
em
no
Brasil
e
editorial:
de
Suporte Martins
Licenciado
Professor
por
20
em
em
anos.
de
Débora
Regina Y ogui,
Enrico
Briese
Roberto
texto:
ReCriar
Paulo
de
Jesus
Silva
editorial
de
design n
de
e
produção
produção:
gráfica:
administrativo
Everson
de
Sandra
Botelho
de
Car valho
Homma
Paula
editorial: Maria
de
Lourdes
Rodrigues
(coord.)
Oli veira
Matemática
escolas
pela
Universidade
particulares
e
públicas
de
de
São
São
Paulo.
Paulo
Coordenação
Projeto
de
gráfico:
n
Mariza
e
de
projetos
Souza
visuais: Marta
Porto,
Adriano
Cerqueira
Moreno
Leite
Barbosa
Editor. Capa:
Douglas
Foto:
Débora
Oliveira,
na T urquia.
Coordenação
Dario
de
escolas Gerência
particulares
Martins
Ikeda
Universidade Preparação
São
Dario
Juliana
Rodrigues
Reflexão
do
José
céu
azul
na
janela
de
vidro
cur vilínea
do
prédio
Regina Yogui ©
Licenciada
em
Matemática
pela
Universidade
de
São
Philippe
Lejeanvre/Getty
Images
Paulo.
Coordenação
de
arte: Wilson
Gazzoni
Agostinho
Editora.
Edição
Enrico
Briese
Licenciado
arte:
Editoração
Casentini
em
de
Matemática
pela
Universidade
de
São
Paulo.
Edição
de
Camila
Ferreira
eletrônica:
infografia:
Grapho
Luiz
Iria,
Leite,
Marcia
Cunha
do
Nascimento
Editoração
Priscilla
Boffo,
Otávio
Cohen
Editor. Coordenação
Revisão: Fabio
Martins
de
em
revisão: Adriana
Mariana
Belli,
Rita
de
Bairrada
Cássia
Sam,
Viviane T eixeira
Mendes
Leonardo
Coordenação Licenciado
de
Matemática
pela
Universidade
de
São
de
pesquisa
iconográfica: Luciano
Baneza
Gabarron
Paulo.
Pesquisa
iconográfica:
Carol
Böck,
Marcia
Sato
Editor.
Coordenação
Flávia
Renata
Licenciada
Pereira
em
de
Almeida
Matemática
pela
Fugita
T ratamento
Universidade
de
São
Paulo.
Rubens
M.
de
de
bureau
Américo
imagens:
Denise
Jesus
Feitoza
Maciel,
Marina
M.
Buzzinaro,
Rodrigues
Editora. Pré-im
Hélio
Juliana
P .
ressão:
de
Alexandre
Souza
Filho,
Petreca
Marcio
H.
Everton
Kamoto,
L.
de
liveira
Vitória
Fabio
N.
Precendo
Sousa
Ikeda Coordenação
Licenciada
em
Matemática
pela
Universidade
de
São
de
produção
industrial: Viviane
Pavani
Paulo. Impressão
e
acabamento:
Editora.
Juliane
Matsubara
Bacharel
e
Universidade
públicas
e
Barroso
licenciada
em
Católica
de
particulares
Matemática
São
de
Paulo.
São
Paulo
pela
Pontifícia
Professora
por
10
em
anos.
escolas
Editora.
Kátia T akahashi
Licenciada
em
Sant’ Anna.
Professora
por
9
anos.
Luciana
Mestre
pelo
em
Centro
escolas
Universit ário
particulares
de
São
Paulo
Editora.
de
em
Ciências
Oliveira
Gerzoschkowitz
Educação
(área
de
Moura
concentração:
Educação
Dados –
Opção:
Ensino
de
Ciências
e
Matemática)
Internacionais
(Câmara Universidade
de
São
de
São
Paulo.
Professora
em
escola
do
na
Livro,
Publicação
SP ,
(CIP)
Brasil)
Paulo.
Cecília
Licenciada
da
em
Silva Veridiano
Matemática
pela
Universidade
de
São
Paulo.
a
;
produzida
matemática
obra
pela
responsável
3.
Osvaldo
com
Moderna
Editora.
Doutor
Catalogação
Brasileira
particular
Conexões
Maria
de
pela
Shi
em
Engenharia
Professor
ueru
da
Civil
estruturas)
Escola
—
Editora
Fabio
São
/
organizadora
concebida,
Moderna
Martins
Paulo
:
de
;
Editora
desenvolvida
Leonardo.
Moderna,
e
editor
—
2016.
Nak ao
Engenharia
de
ed.
coletiva
(área
pela
Politécnica
de
concentração:
Universidade
da
de
Universidade
bra
São
de
Paulo.
em
3
v.
Bibliografia
São
“Componente
curricular:
Matemática” .
Paulo.
1 .
r
Matemática
(Ensino
médio)
I.
Leonardo,
Fabio
n
16-01379
CDD-510.7
Índices
1 .
Reprodução
Matemática
proibida.
Art.
:
para
catálogo
Ensino
184
do
Código
T odos
os
São
Vendas
Padre
Paulo
e
-
e
-
758
Brasil
-
(0_
_1 1)
-
9.610
de
(0_
03303-904
_1 1)
2602-5510
2790-1501
2016
1
3
5
7
9
no
10
de
LTDA.
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Impresso
19
Belenzinho
CEP
Atendimento: T el.
Fax
Lei
reser vados
MODERNA
Adelino,
SP
510.7
Penal
direitos
EDITORA
Rua
sistemático:
médio
Brasil
8
6
4
2
fevereiro
de
1998.
Apresentação
Esta coleção é o resultado de um trabalho coletivo motivado pelo
desejo
de
produzir
uma
obra
de
Matemática
com
uma
linguagem
acessível ao aluno.
Este
livro
apresenta
um
projeto
editorial
que
favorece
a
com-
preensão, incentiva a leitura e possibilita a atribuição de significado
aos conceitos matemáticos.
A
sequência
teúdos
capítulo,
explora
e
didática
inicia-se
com
sugerindo
a
teoria,
exercícios
escolhida
uma
os
situação
conceitos
intercalada
propostos,
por
para
a
apresentação
contextualizada
com
uma
imagem.
exemplos,
finalizando
cada
na
Em
exercícios
capítulo
dos
con -
abertura
do
seguida,
resolvidos
com
uma
lista
deexercícios complementares e com a Autoavaliação
As seções Pesquisa e ação, Compreensão de texto e Sugestões de
leitura complementam e enriquecem a obra.
Com
esta
coleção,
esperamos
contribuir
para
o
trabalho
do
pro-
fessor em sala de aula e oferecer uma ferramenta auxiliar ao apren-
dizado do aluno.
Os editores
Organização da Coleção
Abertura do capítulo
Apresentação
por uma imagem, que
dos conteúdos
sugere os conceitos
abordados no capítulo.
diferenciado organiza
o conteúdo.
exercícios resolvidos
propiciam a aplicação e a
ampliação dos conceitos.
apresentam grau crescente
de dificuldade. Alguns
deles podem ser resolvidos
em grupo.
Exercícios
complementares
Aplicação: trabalham
conceitos e procedimentos
específicos.
Aprofundamento: exigem
mais do que a simples
aplicação dos conceitos e
podem envolver conteúdos
de capítulos anteriores.
Desafio: possibilitam
testar conhecimentos e
habilidades em situa
mais complexas.
dessa seção são
contextualizados.
ões
Ícone
de
atividade
em
Autoavaliação
Pesquisa e ação
Propõe atividades
Diferentes atividades
cujassoluções dependem
unicamente da boa
compreensão do conte
grupo
práticas de realização
em grupo relacionadas
do.
T raz um quadro que
relaciona cada questão
com o objetivo listado no
início do capítulo, além
da remissão das páginas
em que o conteúdo foi
com o tema abordado
no ca
tulo, envolvendo
a pesquisa e a
elaboração de um
produto final, que será
compartilhado com a
turma ou com a escola.
explorado.
Compreensão de texto
T extos variados, extraídos de várias mídias, e
questões que exploram vários níveis de interpretação
e compreensão são recursos que o livro oferece
para o
desenvolvimento da competência leitora.
Nessa seção, os alunos encontram mais uma
oportunidade de desenvolver uma atividade em grupo.
Sugestões de leitura
Indica-se a leitura de livros ficcionais cujos
temas foram estudados no livro. As sugestões
propiciam o enriquecimento e a ampliação do
conhecimento, além do incentivo à leitura.
Sumário
a
Capítulo
1
1.
Arcos
2.
Ciclo
de
4.
Equações
Ciclo trigonométrico - 1
uma
circunferência
trigonométrico
volta
........................................................................................ 9
..................................................................................................
12
...........................................................................................
14
trigonométricas ..........................................................................................
21
Exercícios complementares ............................................................................................ 23
Autoavaliação .................................................................................................................. 24
Capítulo
2
Funções trigonométricas
1.
Funções
2.
Ciclo
periódicas ...................................................................................................... 25
3.
A
função
seno
trigonométrico ................................................................................................... 27
.............................................................................................................. 30
A
função
cosseno ......................................................................................................... 33
5.
A
função
tangente
6.
Construção
de
....................................................................................................... 35
gráficos
............................................................................................... 37
Exercícios complementares ............................................................................................ 43
Autoavaliação .................................................................................................................. 44
Pesquisa e ação ................................................................................................................ 45
Compreensão de texto ..................................................................................................... 46
Capítulo
3
Complementos de T rigonometria
1.
T rigonometria
3.
Equações
4.
Adição
em
um
triângulo
trigonométricas
de
qualquer................................................................. 49
.............................................................................. 53
em R................................................................................. 55
arcos ............................................................................................................ 56
Exercícios complementares
60
Autoavaliação ..................................................................................................................
Capítulo
1.
Polígonos
Área
3.
4
de
Círculo
Super fícies poligonais, círculo e áreas
regulares .................................................................................................... 62
algumas
e
super fícies
poligonais
planas
....................................................... 67
circunferência
74
Exercícios complementares ............................................................................................ 78
Autoavaliação
................................................................................................................. 80
Pesquisa e ação ................................................................................................................ 81
Capítulo
5
1.
Ideias
2.
Posições
3.
Projeção
4.
Ângulos
Introdução à Geometria espacial
gerais ................................................................................................................. 82
relativas ........................................................................................................ 86
or togonal
e
e
distância ................................................................................... 94
diedros ........................................................................................................
Exercícios complementares .......................................................................................... 100
Autoavaliação .................................................................................................................101
Capítulo
6
Poliedros
2.
Poliedros .................................................................................................................... 104
................................................................................................. 102
3.
Prismas
..................................................................................................................... 109
4.
Pirâmides
.................................................................................................................. 120
Exercícios complementares
Autoavaliação
...............................................................................................................
Pesquisa e ação
.............................................................................................................
Compreensão de texto
Capítulo
7
1.
Corpos
2.
Cilindro
3.
Cone
4.
T ronco
5.
Corpos redondos
redondos
....................................................................................................... 13
......................................................................................................................137
...........................................................................................................................
sfera
de
cone
de
bases
paralelas
Capítulo
8
..........................................................................................157
Matrizes e determinantes
......................................................................................................................... 160
Adição
3.
Multiplicação
de
um
4.
Multiplicação
de
matrizes
5.
Determinante
de
uma
6.
Matrizes
e
subtração
e
de
matrizes
número
Autoavaliação
Capítulo
real
por
uma
matriz...................................................
em
.....................................................................................172
planilhas
eletrônicas
................................................ 174
..........................................................................................175
Sistemas lineares
ao
estudo
2.
Equações
4.
Escalonamento
de
sistemas
lineares
...............................................................178
lineares
179
de
sistemas
Exercícios complementares
Autoavaliação
10
Contagem
de
................................................................................... 180
lineares
.......................................................................
187
.........................................................................................
193
............................................................................................................... 195
Compreensão de texto
Capítulo
167
................................................................................................................ 177
9
Introdução
................................................................................ 165
......................................................................................... 168
matriz
determinantes
Exercícios complementares
1.
.......................................................................... 149
............................................................................................................... 159
2.
1.
142
......................................................................................................................... 151
Autoavaliação
Matriz
132
1
.................................................................................................. 134
Exercícios complementares
1.
......................................................................................... 130
.................................................................................................. 196
Análise combinatória
................................................................................................................... 200
2.
Fatorial
3.
Permutações
um
4.
Arranjo
5.
Combinação
número
natural
simples
......................................................................................................... 209
simples
.................................................................................................. 211
Exercícios complementares
Autoavaliação
................................................................................. 204
.............................................................................................................. 206
......................................................................................... 214
............................................................................................................... 216
Pesquisa e ação
..............................................................................................................217
Sugestões de leitura ...................................................................................................... 218
Respostas .......................................................................................................................
Lista de siglas ................................................................................................................
231
Bibliografia .................................................................................................................... 232
l
o
t
u
í p
C
a
a
1
Ciclo trigonométrico – 1
volta
KCOTSRETTUHS/ESEENA
Objetivos
Calcular
e
a
o
capítulo
comprimento
medida
em
do
grau
e
Conhecer
de
em
o
um
radiano.
ciclo
trigonométrico
arcos
arco,
e
os
A
simétricos
High
Roller,
tem167
Am
liar
as
Estender
a
Vegas,
altura.
EUA,
Foto
de
é
a
maior
roda-gigante
do
mundo.
Foi
inaugurada
em
2014
e
2014.
para
maiores
que90°. Nos
Las
de
razões
trigonométricas
ângulos
em
metros
e
relação
lados
fundamental
anos
tangente)
e
de
anteriores,
em
um
estudamos
triângulo
ângulos.
No
as
razões
retângulo
entanto,
elas
e
as
trigonométricas
usamos
foram
para
definidas
(seno,
obter
apenas
a
cosseno
medida
para
de
ângulos
da
agudos
Trigonometria
para
e
não
se
mostram
práticas
para
trabalhar
com
triângulos
que
não
sejam
o
retângulos.
ciclo
trigonométrico.
Neste
Resolver
capítulo,
definiremos
os
conceitos
de
seno,
cosseno
e
tan
ente
em
uma
equações circunferência,
o
que
possibilitará
a
aplicação
da
Trigonometria
a
triângulos
trigonométricas. quaisquer
e
servirá
trigonométricas”.
8
de
base
para
o
desenvolvimento
do
próximo
capítulo
“Funções
1
Arcos
Dois
pontos,
dessas
partes,
figura
ao
APB :
B :
e
B,
uma
de
incluindo
lado,
A
de
uma
circunferência
circunferência
esses
pontos,
é
a
dividem
chamada
em
de arco
duas
da
partes.
Cada
Na
A
temos:
arco
de
P
uma
circunferência.
extremidades
A
e
B,
contendo
P ;
O
Se
não
indicar
o
arco
de
houver
arco
extremidades
dúvida
apenas
sobre
por
A
e
B,
qual
contendo
das
partes
P ’.
estamos
considerando,
podemos
AB
P’
Podemos
sua
medida
ular.
É
medidas
o
que
Comprimento
comprimento
centímetro,
de
veremos
de
um
metro
um
arco
um
é
a
arco:
se
seu
comprimento
(medida
linear)
e
uir.
arco
sua
medida
linear
e
pode
ser
indicado
em
milí-
.8991 ed orierevef
:SEÕÇARTSUL
metro,
de
NOSLIDA
O
an
duas
OCCES
1.1
obter
etc.
Por exemplo, considerando o arco C D , destacado em vermelho na figura abaixo,
se
pudéssemos
“esticar”
esse
arco,
poderíamos
medi-lo
com
uma
régua.
ed 91 ed 016.9
C
ieL e laneP
O
ogidóC
D’
od
D
481 .trA .adibiorp
Você provavelmente viu em anos anteriores que o comprimento C
de uma circun Obser vação
ferência
de
oãçudorpeR
primento
raio
de
r
é
arcos
dado
de
por
C
5
2πr r.
circunferência,
Essa
fórmula
conforme
será
veremos
usada
no
para
exercício
obter
o
com-
resolvido R1
Lem
re -se
e que
π
é um número
irracional. Nos cálculos práticos,
norm
Ver
mente
comentário
mos
no
Guia
do
π q
3,14.
professor.
Exe rc íc io resolv id o
R1.
Calcular
rência
o
comprimento
com
8
cm
de
de
um
arco
de
50°
contido
em
uma
circunfe-
raio.
Resolução
Lembrando
dado
por
2π
que
,
uma
circunferência
podemos
medida
do
montar
arco
a
tem
360°
seguinte
(grau)
e
regra
seu
de
comprimento
360°
2π
50°
8
comprimento
é
três:
(cm)
8
x
2 0π x
5
5 360°
Substituindo
20 x
9
π
por
3,14,
obtemos:
3,1 4
q
V
x
q
6,98
9
Logo,
o
arco
mede
aproximadamente
6,98
cm.
9
1.2
Explore
Desenhe
em
seu
caderno
Medida
concêntricas,
diferentes.
Desenhe
um
arco
que
nos
referirmos
à
medida
de
um
arco
de
circunferência
estamos
com
nos
raios
de
duas
Sempre
circunferências
angular
referindo
à
sua
medida
angular,
que
é
igual
à
medida
do
destacado
em
ângulo
central
um
correspondente. ângulo
central
de
medida
a
que
Por determine
nessas
respectivamente, os arcos
´ B´
são
exemplo,
na
figura
a
seguir,
temos
o
AB
arco
vermelho
e
seu
circunferências,
AB
e
ângulo
´ B´
AB
central
AOB
correspondente
A
Como o ân
e
AO
ulo
mede 80°, o arco
iguais?
mede
80º.
Indicamos:
med(
também
5med( AO
)
)
5
80°
ar
80°
AB
O
AB
´ B´
e
Geralmente,
são
as
unidades
usadas
para
medir
um
iguais?
B
arco
são
O
o
grau
e
o
radiano.
grau
Obser vação Considere
Se olharmos uma mesma estrela
Define-se
em dois dias consecutivos, no
dizemos
uma
circunferência
grau
que
a
(1°)
como
circunferência
a
dividida
medida
tem
em
360
angular
arcos
de
cada
de
comprimentos
um
desses
arcos.
iguais.
Por
isso,
360°.
mesmo horário e do mesmo ponto
A
ideia
de
dividir
uma
circunferência
em
360
partes
surgiu
com
os
astrônomos
ba-
da Terra, haverá um deslocamento
bilônicos, milênios antes de Cristo. Acredita-se que esses estudiosos tenham escolhido aparente de 1° entre suas posições,
essa
ivisão ao notar que um ano tem aproxima
amente 360
ias. Essa
ivisão tam
ém
já que um dia corresponde a
foi
adotada
por
matemáticos
gregos,
como
Hiparco
de
Niceia
(século
II
a.C.)
e
Ptolo-
1 aproximadamente
do ano.
meu
360
de
Alexandria
1°
usual
do
na
grau.
Geometria
e
na
Trigonometria.
Observe:
60’.
ed
tornando-se
submúltiplos
orierevef
seja,
90-168),
criados
ed
Ou
(c.
foram
.8991
Também
91
seja,
1’
5
60’’.
ed
Ou
016.9
O
radiano
ieL
e
medir
um
arcos
arco
circunferência
a
AB
o
ângulos,
radiano
r,
sua
rad)
podemos
quando
seu
usar
o
radiano.
comprimento
é
A
medida
igual
ao
an-
raio
da
contém.
circunferência
é
também
(1
medida
de
raio
r
angular
representada
é
1
radiano.
abaixo.
Como
Indicamos:
comprimento
5
1
rad
.adibiorp
A
o
med ( A B)
.trA
arco
que
e
1
481
Observe
do
é
ogidóC od
de
laneP
Para
gular
A
r
r
oãçudorpeR
1 rad B
B
O
O
r
No
arco
exercício
de
360°)
resolvido
mede
2π
a
seguir,
veremos
que
uma
circunferência
(ou
seja,
um
rad.
Exe rc íc io resolv id o
Explore:
B’
B
R2.
Calcular
OCCES
a
medida
angular,
em
radiano,
NOSLIDA
de
uma
um
arco
circunferência.
Resolução
O
Dada
o
uma
circunferência
comprimento
igual
a
.
de
raio
Como
o
,
de
comprimento
medida
da
1
rad
tem
circunferência
é
A
π
,
temos:
da
os
angular
medida
medidas
do
alunos
do
arco
ângulo
angulares
percebam
depende
central;
são
Já
do
arco
(rad)
comprimento
(cm)
a
1
r
a
2πr
apenas
logo,
iguais.
que
as
os
comprimentos
dos
arcos
são
diferentes,
a pois
que
dependem
contém
do
cada
raio
um
da
5
deles;
quanto
maior
Logo, o
raio,
maior
será
circunferência.
10
o
comprimento
2 r
circunferência
da
uma
circunferência
mede
2π
rad.
:SEÕÇARTSULI
2π r
NOSLIDA
medida
que
OCCE
medida
spera-se
1.3
Relação
entre
grau
e
radiano
π
Uma circunferência mede 360° ou 2π rad. Assim, um ângulo raso, que determina
rad 2
uma
semicircunferência,
corresponde
a
um
arco
que
mede
180°
ou π
rad. 3π –––
rad π
4
A
tabela
alguns
abaixo
ângulos.
fornece
Observe
Grau
a
relação
também
0
Radiano
a
entre
figura
as
medidas,
ao
em
grau
e
em
radiano,
de
rad
lado.
45
90
135
3
4
2
4
180
270
360
π
rad
2π
3
0
π
rad
2π OCCES
2
NOSLIDA
3π
Exemplos
–––
rad
2
a)
Vamos
obter
a
medida,
em
rau,
de
um
arco
de
rad: 6
grau
radiano
180
π
x 6
Obser vação
180 6 5
5
30 Veja
Assim,
um
arco
outro
π
de
rad
mede
modo:
180° d
30°.
30°
6
6
6
.8991
b)
Vamos
obter
a
medida,
em
ed
grau
π
180
orierevef
radiano
ed
x
radiano,
de
um
arco
de
200°:
200
91 ed
10
200
016.9
5
5 180
9
ieL e
1 0
laneP
Assim,
um
arco
de
200°
mede
rad. 9
og idóC
c)
Vamos
determinar
od
ximadamente
481
de
a
12,56
medida
cm
de
x, x
em
grau
e
comprimento,
em
radiano,
em
uma
de
um
arco
circunferência
com
com
apro
12 cm
raio.
.trA .adibiorp
Obser vação comprimento
medida
(grau)
(cm)
(rad)
x
12,56
x
medida
(cm)
12,56
oãçudorpeR
comprimento
Pela definição de radiano, pode -
ríamos ter feito esse cálculo assim:
comprimento
2
12
2
360
8
π
8
12
m
(cm)
360
12
56
2 x
60
o
arco
mede
1 2, 5 6
12
6
x
aproximada
(ra
12,56
x
12
1
1 , 047 2
Assim,
8
π
8
12
12
Assim, o arco mede aproximada
12
6
x
mente
2.
60°.
mente
2π
b)
a) 6
c) 3
7
d) 6
1,047
1 , 047 12
rad.
4
e)
3
i
2π
f ) 6
3
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
1.
Estabeleça,
em
grau,
a
medida
dos
arcos
de:
4.
O
ponteiro
das
horas
de
um
relógio
tem
7
cm
de
2π
5
7
a
rad
225°
b)
rad
4
comprimento.
210°
c)
6
rad
Deter mine,
3
a)
em
radiano,
a
medida
dos
arcos
Quantos
30°
c)
120°
e)
17
60°
d)
150°
)
Deter mine,
em
grau
e
em
radiano,
a
medida
Quantos
que
da
representa 5
13
do
Um
h
essa
centímetros
às
pêndulo
extremas,
pêndulo
2 arco
é
ponteiro
percorre
medida
em
das
13h
radiano?
17
h?
sua
extremidade
14,65
percorre
cm
240°
5.
3.
Qual
esse
210° das
b)
h?
graus
de: b)
a)
rad
90°
2
às
2.
120°;
oscila
um
tem
e
for ma,
ângulo
25
cm
de
de
entre
70°.
suas
Sabendo
comprimento,
posições
que
esse
calcule
o
circunferência. comprimento
aproximado
do
arco
que
ele
descreve.
4 144° ;
d
q
30,5
cm
5
11
2
Ciclo
Podemos
trigonométrico
percorrer
uma
circunferência B
em
dois
sentidos:
no
sentido
horário
e
sentido
no
anti-horário
sentido
anti-horário.
representada
ao
Na
lado,
circunferência
sendo
A
o
60°
ponto
O
de
partida,
adotamos:
A
senti
5 6
300°
.
horário
(
A circunferência
O (0,
gem
0)
de
um
5 2
trigonométrica, ou cic
plano
cartesiano
e
raio
o
de
trigonométrico, tem centro na ori-
1
unidade.
No
ciclo
trigonométrico,
o
ponto A(1, 0) é a origem de todos os arcos, ou seja, é o ponto a partir do qual percor-
Os
arcos
medida
no
com
maior
próximo
medida
que
2π
negativa
serão
a
e
com
or
a
remos a circunferência até um ponto P qualquer para determinar o arco A P
(P é a ex-
os
tremidade
capítulo.
do
arco).
a cada ponto P
Obser vação
Adotando
o
sentido
anti-horário
da circunferência, a medida de
AP
como
positivo,
associaremos,
tal que 0 rad <
(
< 2π rad,
ou
0°
<
(
<
360°.
Daqui em diante, convenciona-
mos que a notação
representa
rad
.8991
— 90°
2
um arco da circunferência orien-
orierevef
origem em A e extremidade em
ed
tada no sentido anti-horário, com
B
A
rad
0°
ed
A
180°
0 rad
91
ou 0
360°
ed
0
2 rad
Obser vação
ciclo
trigonométrico,
pelo
1
ieL
No
016.9
1
fato
e
o
raio
ser
unitário,
a
medida
de
laneP
de
3
um
arco
igual
radiano
ao
seu
é
numerica-
270°
–
rad
og idóC
mente
em
comprimento.
od
eixo
das
em
abscissas
quatro
e
o
eixo
quadrantes,
das
como
ordenadas
mostra
do
figura
plano
cartesiano
dividem
abaixo.
.adibiorp
eixo
a
.trA
ciclo
das
ordenadas
Se
conveniente,
pergunta
achar
repetir
para
oãçudorpeR
Comentário:
arcos
a
2º -
1º -
quadrante
quadrante
do
Ref lita 3
e
do
4
quadrante.
A 0
Entre
está
quais
a
valores,
medida
de
em
um
grau,
arco
3º -
do
2
eixo
º -
das
abscissas
o
quadrante
quadrante?
E
em
quadrante
radiano? π
entre
90°
e
180°;
entre
rad
e
π
rad
2
Obser vação
Quando a extremidade
P de um
o
Desse AP
arco
modo,
a
medida
de
um
arco
do
1
quadrante,
por
exemplo,
está
entre
pertence a algum qua-
0°
drante, dizemos que o arco
AP
e
90°.
é
um arco desse quadrante.
2.1
Simetria
Vamos
eixo
das
estudar
no
três
ordenadas,
ciclo
tipos
em
de
relação
tri
onométrico
simetria
à
no
origem O
ciclo
e
em
trigonométrico:
relação
ao
eixo
em
das
relação
ao
abscissas
OCCE
P’
Na
figura
NOSLIDA :SEÕÇARTSULI
P
e
P
e
P
e
ao
são
lado:
simétricos
em
relação
ao
eixo
das
ordenadas;
O
P”
são
simétricos
em
relação
à
origem
O;
P”’
Se
trias,
12
P’’
as
P’’
são
simétricos
extremidades
dizemos
que
os
de
em
dois
arcos
relação
arcos
são
ao
são
arcos
481
O
o
eixo
das
pontos
abscissas.
que
simétricos
apresentam
uma
dessas
sime-
Exemplo
Dado o arco de 30°, vamos obter as medidas de seus arcos simétricos.
Observe
As
o
ciclo
medidas
de
trigonométrico
seus
arcos
ao
lado.
simétricos
são:
180°
30°
5
150°
30°
150° O
30°
5
210°
30°
=
mesmo
medidos
em
raciocínio
grau
ou
em
pode
ser
usado
para
30°
30°
30°
A
330° 180°
Esse
30°
outros
30
210°
330°
360°
30°
arcos,
radiano.
Exe rc íc io resolv id o
R3.
Determinar
as
medidas,
em
radiano,
dos
arcos
simétricos
ao
arco
de
rad em relação ao eixo das ordenadas, à origem
O e ao eixo das
abscissas.
6
Resolução
Os
arcos
simétricos
ao
arco
medem:
de 6
π .8991
O
π
π
π
5π
6
6
2
7π
1
5 6
6
π
ed
2
1 1π 5
orierevef
6
Veja
a
solução
gráfica
no
ciclo
trigonométrico
6
abaixo.
ed 91 ed 016.9
π
5π –––
ieL e
Obser vação
laneP
O A
ogidóC od
Em
7π
um
ciclo
trigonométrico,
11π
quando
um
valor,
sem
unidade
––– 6
6
de
medida,
481 .trA
um
ponto,
.adibiorp
valor
arco
estiver
associado
subentende -se
representa
a
medida
a
que
de
o
um
emradiano.
oãçudorpeR
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
o
6.
Em
e
seu
ca
er no,
assinale
arcos
de
210°,
os
30°,
225°,
esen
ontos
45°,
um
ue
60°,
240°,
e
são
90°,
270°,
cic
trigonométrico
extremidades
120°,
300°,
o
135°,
315°,
150°,
330°
e
dos
180°,
9.
Obtenha
são
Ver
resolução
Considere
exer cício
medidas
Ver
8.
e
C
no
ciclo
Guia
dos
a
no
arcos
Guia
do
medida
nos
ciclos
do
simétricos
indicadas
nas
dos
aos
arcos
ar cos
do
1
cujas
quadrante
medidas
que
estão
figuras.
70°
professor.
trigonométrico
anterior.
resolução
Calcule
B
o
medida
360°. a)
7.
a
Deter mine,
indicados
no
desenhado
em
no
radiano,
as
ciclo.
professor.
dos
arcos
de
extremidades
trigonométricos
abaixo.
4 B 5 5
A
representados
250°
6 C
5
5
5
b)
B
A
C
9π
OCCES
A
rad
20°
NOSLIDA :SEÕÇARTSULI
11
6
5
A
5
160°,
B
5 200°,
5
340°
13
3
Seno,
Já
gulo
estudamos
retângulo.
o
cosseno
seno,
Agora,
o
e
cosseno
vamos
e
tangente
a
estudar
tangente
esses
de
ângulos
conceitos
para
agudos
arcos
da
em
um
triân-
circunferência
trigonométrica.
3.1
Se
achar
que,
em
necessário,
um
retome
triângulo
com
retângulo,
os
alunos,
Seno
Considere
e
cosseno
um
arco
de
um
arco
o
AP
de
medida a
no
1
qua-
temos:
drante do ciclo trigonométrico. Lembrando que o medida s en
a
do
cat et o
opos to
a
ciclo medida
da
P
a
5
tem
raio
unitário,
no
triângulo OPC, C
temos:
hipot enus a
1
medida
do
cat et o
adjacente
a
a
cos
a
5
CP medida
da
hipot enus a
A
CP
sen
CP O
OP
cos
OC OP
Ou
seno
seja,
de
a,
nesse
à
C
1
caso,
abscissa
1
o
de
seno
de
a
corres
onde
à
ordenada
do
onto
P, P
e
o
cos
P
o
Essa
definir
obtida
seno
e
a
partir
cosseno
de
para
um
arco
do
qualquer
quadrante,
1
arco
do
ciclo
pode
ser
ampliada.
.8991
Vamos
conclusão,
trigonométrico.
ed
obra,
de
um
não
faremos
arco
ou
de
distinção
um
ângulo
entre
e
P
r
de
um
arco
ou
da
ciclo
trigonométrico,
de
medida a
rad,
com
0
<
a
<
2π
medida
:
de
91
medida
eixo
ed
um
do
seno
m da
AP
r
ed
seno
orierevef
Nesta
ângulo.
016.9
senos
ieL
P
e laneP
1 sen
ogidóC od
A
O
eixo dos
cos
481
n
.trA .adibiorp
seno
cosseno
Por
das
de
isso,
é
a
de
a
de
é
a
eixo
portanto,
pendendo
ordenada
podemos
abscissas
Note,
a
do
do
abscissa
chamar
dos
que
o
quadrante
ponto
do
o
P;
ponto
eixo
oãçudorpeR
P
das
ordenadas
de
eixo
dos
senos
e
o
eixo
cossenos
seno
ao
e
o
qual
cosseno
o
arco
podem
ser
positivos
ou
negativos,
de-
pertence.
OCCES
Exemplo
NOSLIDA
o
Vamos
analisar
medida
o
sinal
do
seno
e
do
cosseno
de
um
arco
do
4
quadrante
de
a eixo dos
:SEÕÇARTSULI
senos
cos
O
eixo dos
Ref lita cossenos
sen
Determine
o
sinal
do
seno
e
do
cosseno
de
arcos
do:
o
quadrante;
.
0;
cos
0;
cos
0;
cos
.
o
quadrante;
sen
quadrante.
sen
0
Observando
o
ciclo,
concluímos
que:
o
14
,
,
0
é
negativo
(sen
,
0);
é
positivo
(cos
.
0).
Exe rc íc ios resolv id os
R4.
Escrever
os
senos
dos
arcos
a
seguir
em
ordem
crescente.
3
10
π 2
6
2
3
12
4
9
Resolução
Como
em
não
aparece
radiano.
Para
a
uni
facilitar,
a
e
e
me
podemos
i
a,
as
5
i
as
essas
2
2π π
me
converter
arcos
em
estão
grau:
180°
5
180°
os
medidas
5
3
120°
3
180 90° 2
15°
2 12
12
180
7
7π
° 6
180°
5
6
5
4
3
3π
180°
10
1 0π 5
5
180°
270
5 2
2
Agora,
5
9
vamos
315°
4
representá-las
no
ciclo
200°
9
trigonométrico.
eixo dos senos
2
1 0π
7π
9
4
3π e
a)
Ref lita 2
2
.8991
3
ed orierevef
6
a)
Quais
das
medidas
tadas
têm
represen-
senonegativo?
12
ed
b)
O
Lembrando que o raio da cir-
91 ed
cunferência trigonométrica é 1,
016.9
10
descubra os valores abaixo. 9
ieL
π se
3π ;
e
4
sen
π;
sen
2
laneP
3
3π
π
2
sen
5
1;
sen
π 5
0;
5
sen
ogidóC od
2
2
Observando o eixo dos senos, escrevemos os senos em ordem crescente:
481
3
7
1 0π
sen
π
sen
.trA
2
4
.adibiorp
Obter
o
seno
e
o
cosseno
de
6
π
3
2
3
0,
π
e
oãçudorpeR
2
2π sen
12
R5.
π
π 9
2π
2
Resolução
Vamos
representar
essas
medidas
no
ciclo
trigonométrico.
eixo dos senos
2
Obser vação
1
No
a
O
ciclo
trigonométrico,
medida
de
um
arco,
sendo a
sempre
teremos:
eixo dos
1 cossenos
1
<
sen
a
<
1
1
<
cos
a
<
1
3
2
Lembrando
que
o
raio
vale
1,
obtemos: ES
0
5
sen
2π
5
0
cos
π 5
1
cos
cos
5 0
cos
3 sen
0
π
5
21
3 5
2
5 2
21
cos
5 2
0
2π
5
1
:SEÕÇARTSULI
2
π
5
π
sen
sen
0
NOSLIDA
sen
15
21
R6.
Obter
o
seno
e
o
cosseno
de
150°.
Resolução
Vamos
trico.
deter minar
Primeiro,
esses
valores
marcamos
o
por
arco
de
simetria
150°
e
no
seu
ciclo
trigonomé-
correspondente
no
o
1
quadrante.
eixo dos
senos
150°
30°
O
eixo dos
cossenos
Obser vação
Vamos
relembrar
os
valores
do Depois,
seno
e
do
cosseno
dos
observamos
que:
ângulos
notáveis:
π 30°
π
ou
45°
π
ou
60°
Como
sabemos
os
valores
para
30°,
concluímos
que:
ou
4
3
1 sen
1
°
5
sen
30°
= 2
2
3
.8991
1 sen 2
3
2
cos
150°
5
2cos
30°
5
ed
2
orierevef
3
1
2
Podemos
cos
aplicar
raciocínio
similar
para
arcos
de
outros
quadrantes.
2
2
ed 91 ed 016.9 ieL
Registre as respostas em seu caderno
e
Exerc íc ios propostos
laneP
Indique
sen
(cos
sinal
215°
das
sen
expressões.
280°
15.
Descubra
e
positivo
cos
são 50°
1
cos
325°)
(cos
215°
1
cos
cossenos
dos
arcos
abaixo
simétricos
aproximados
que
em
os
pontos
relação
à
de
de
cos
cos48°q
em
q
origem
0,34e
cos
O.
sem
calcular
seus
a
ordem
valores.
Dado sen 55°
7
t q
0,17
5 8
,
cos
,
cos
co
5
7
q
b q 0,34
e
4
12.
0,17)
20,67
oãçudorpeR
7
, 7
q
q
48°
8 π
,
b
cor
t
11
0,
cos
(Dados:
80°
os
crescente
a
mesma
.adibiorp
os
valores
.trA
Escreva
os
sabendo
145°)
negativo
11.
t,
481
a)
b)
o
ogidóC od
10.
0,8, calcule o valor aproxim a d o
A
de: O
a)
sen
125°
q
13.
Sabendo
ximado
b)
sen
0,8
que
235°
c)
sen
q 20,8
cos
25°
0,9,
305°
q 2 0,8
registre
o
valor
apro-
a
b
de: 260°
a)
cos
155°
b)
cos
q 20,9
205°
c)
cos
335°
q
q 20,9
0,9
s en
,
6
14.
Descubra
os
valores
aproximados
de
sen
,
senb
16.
Deter mine
7
1
s en
6
o
seno
dos
1 1
s en
5
2
arcos
1
s en
6
5 6
simétricos
a
2
rad 6
e
sen
t,
sabendo
que
os
pontos
de
mesma
cor nos
são
simétricos
sen27°
q
em
relação
q
à
origem
0,77e
sen
O.
demais
quadrantes.
(Dados
80°
0,98) 17.
sen
a
q
sen
b
q
20,77
sen
t
q
0,98
Calcule
o
valor
a)
π
1
das
expressões.
20,45
sen
cos
π
1
sen
π
1
cos
π
t
π sen
sen
π 1
2
2
π
cos
cos 2
OCCES
b)
π
2
2
27°
1 1π
sen
5π
sen
cos
3
6
O
cos 2
3
1
d) b
5π 2
260°
16
sen 6
2
cos
0
6
:SEÕÇARTSULI
4 cos
a
5π 1
3
NOSLIDA
2π c)
Explicar
de
aos
casas
alunos
decimais
que
os
varia
valores
de
obtidos
acordo
com
o
são
aproximações.
modelo
do
A
quantidade
aparelho.
2π 18.
Para
calcular
o
seno
de
,
Edna
digitou
no
19.
pai-
Com
base
nos
valores
encontrados
no
exercício
5 anterior, nel
avançado
da
calculadora
de
seu
celular
de
4
2
obteve
em
verdadeira
falsa.
a)
2
2π
9
9
sen
falsa
5
0,95106. π b)
2 Assim,
igualdade
teclas:
sin
e
cada
esta
ou sequência
classifique
concluiu
que
sen
q
π
sen
1
π
sen
5
sen
falsa
0, 9 5
5
Agora,
com
a
calculadora
de
um
celular
ou
com 20.
uma
calculadora
científica,
calcule
os
valores
Em
que
com seguir
dando
o
resultado
com
três
casas
mesmo
π
2π c)
0,643
arcos
têm
seno
e
quadrantes,
cosseno
para
a
tem-se
sen
a
5
cos
que
1
quadrante:
a
a?
5
5
;
3
quadrante:
a
5
9
21. O
os
Nesses
0,866
9
(Observação:
de
3π
b)
0,342
9
sinal?
decimais.
valores
a)
quadrantes
a
procedimento
pode
variar
Dê
o
valor
de
x,
em
grau,
com
0°
x
360°,
para
depen-
osquais: dendo
do
exemplo,
modelo
a
do
medida
aparelho.
deve
ser
Em
di
a
uns,
itada
por
antes
da
1 a)
sen
x
5
x
5
30°
ou
x
=
150°
2 l
calculadoras
sin
rifi
r
ni
científicas,
m
i
deve-se
iliz
–
r
2 b)
–
.8991 ed
3.2
está
Tangente
orierevef
Considere
cos
x
5
x
5
135°
ou
x
5
225°
selecionada.)
o
ciclo
de
um
arco
trigonométrico
ao
lado,
um
arco
o
AP
de
medida
a
do
1
qua-
ed
T
drante
e
a
reta
perpendicular
ao
eixo
das
abscissas
pelo
ponto A.
Prolongando
o
91
P
ed
segmento O P , obtemos na reta vertical o ponto T , conforme mostra a figura ao lado.
016.9
1
Lembrando
que
o
ciclo
tem
raio
unitário,
no
triângulo
T ,
temos:
ieL
A
e laneP
AT
AT
tg
AT OA
ogidóC od
Note
que,
nesse
caso,
a
tangente
de
1
a
corresponde
à
ordenada
do
ponto
T
481
o
Essa
.trA
Vamos
conclusão,
definir
obtida
tangente
a
partir
para
de
um
qualquer
arco
arco
do
do
1
quadrante,
ciclo
pode
ser
ampliada.
trigonométrico.
.adibiorp
Se
achar
alunos
necessário,
que,
em
um
retome
triân
ulo
com
retân
os
ulo,
temos:
oãçudorpeR
medida
Considere
um
P
arco
do
ciclo
trigonométrico,
de
medida
a
rad,
com
tg
a
medida
π 0
<
a
<
2π
do
cat et o
cat et o
opos to
a
adjacente
a
a
a
3π
e
i
a
i
2
reta
do
5
OP
com
a
2
perpendicular
ao
eixo
das
abscissas,
passando
pelo
ponto
.
eixo das
tangentes
T
P
tg
Ref lita
1
Vimos
A
O
v
que,
ponda:
de
a
é
a
ordenada
do
ponto
considerar
Observe,
do
mesma
a
portanto,
quadrante
ao
reta
AT
unidade
qual
que
o
a
do
o
eixo
eixo
tangente
arco
das
dos
tangentes,
com
origem
A
e
o
a
<
1
1
<
cos
a
<
1
também
é
válido
para
a?
ser
não
há
que
ela
que
os
limitação
alunos
para
tg
concluam
a
que
umavez
mesmo pode
assumir
qualquer
valorreal.
senos.
pode
sen
:SEÕÇARTSULI
a
rv
<
positiva
ou
negativa,
NOSLIDA
e
in
1
isso
Espera-se
Vamos
n
a
T
tg
sentido
i
valor
n
OCCES
tangente
qualquer
n
n
A
para
r
dependendo
pertence.
17
eixo das
Exemplo
tangentes
Considere
um
AP
arco
de
medida
a
do
Ref lita
P o
2
Para
arcos
de
quais
quadrantes
quadrante.
to tangente
é
positiva?
E
para
OP
com
é
o
prolongamento
eixo
das
tangentes
do
é
o
segmen-
ponto T ,
A
quais
conforme ela
O
a
mostra
a
figura
ao
lado.
Note
que,
negativa?
O
nesse positiva:
1
e
3
caso,
tg
a
é
negativa.
quadrantes;
g negativa:
2
e
4
quadrantes
T
Obser vação
Observe
ulos Dois
triângulos
são
a
T
e
figura
COP P
ao
são
lado.
Note
que
semelhantes.
os
triân-
eixo das
tangentes
Então:
semelhantes
P
quando
seus
ân
ulos
S
correspon-
AT dentes
têm
mesma
medida
CP
AT
OS 5
e
OA
1
OC
seus
lados
correspondentes
são
A
proporcionais.
Assim, concluímos que, no ciclo trigonométri-
co,
também
vale
a
seguinte
C
relação: tg
sen a
5
T
cos
a .8991 ed orierevef
Obser vação
ed 91
que
a
relação
tg
x
é
com
o
fato
de
a
tangente
não
estar
definida
x
3π
5
x
5
2
ieL
x
coerente
016.9
cos
π
ed
sen Note
2
e
zero,
o
que
é
laneP
denominador
impossível.
ogidóC od 481 .trA
Escrever
em
ordem
crescente
3
as
tangentes
11
dos
arcos
a
oãçudorpeR
R7.
.adibiorp
Exe rc íc ios resolv id os
seguir.
15 e
5
4
10
8
Resolução
Inicialmente,
em
π
seguida,
5
vamos
converter
representá-las
no
essas
ciclo
medidas
em
rau
e,
trigonométrico.
180° eixo
Ref lita
180
3π
π
4
5
das
tangentes
36°
5
e
5
determine:
3
3π
0
180°
5
5
135° A
π
4
π
4
0
O
15π
11π
π
0
11
1 1π
1
° 8
5
5
10
5
ES
180°
15 5
3 3 7, 5 °
8
Observando
3 tg
o
das
15 tg
4
eixo
tangentes,
crescente:
11 tg
8
,
10
tg 5
escrevemos
as
tangentes
:SEÕÇARTSULI
ordem
NOSLIDA
8
18
10
10
1 5π
em
198°
R8.
Obter
a
tangente
de
150°
e
de
210°.
Resolução
Vamos
trico.
deter minar
Primeiro,
esses
valores
marcamos
no
por
ciclo
simetria
no
ciclo
trigonométrico
os
trigonomé-
arcos,
seus
o
correspondentes
intersectarem
o
no
1
eixo
quadrante
das
e
os
prolongamentos
dos
raios,
até
tangentes.
eixo
das
tangentes
30°
210°
Depois,
observamos
.8991
que:
Obser vação
ed orierevef
Como
conhecemos
o
valor
da
tangente
de
30°,
concluímos
que:
Vamos
tg
150°
5
2tg
30°
relembrar
tangente
3
dos
os
valores
ângulos
da
notáveis:
5
ed
3
91 ed
π 30°
π
ou
45°
π
ou
60°
ou
016.9
3 6
tg
210°
5
tg
30°
4
3
= 3
ieL
3
e
Podemos
aplicar
raciocínio
similar
para
arcos
de
outros
1
tg
quadrantes.
laneP
3
og idóC od 481 .trA
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
.adibiorp oãçudorpeR
22.
Indique
a)
o
(tg
40°
2
tg
sinal
tg
das
expressões:
220°)
4π
(tg
315°
24.
tg
165°)
negativo
Dado
tg
35°
0,7,
a
tg
145°
q 20,7
b)
tg
215°
q
c)
tg
325°
q 20,7
registre
o
valor
aproximado
de:
0,7
5π tg
6
4
b)
positivo
2
25.
23.
Descubra os valores aproximados de tg
sabendo
ue
os
ontos
de
mesma
cor
a, tg b e tg t,
são
Desenhe
e
em
marque
seu
sobre
cader no
ele
um
ângulos
ciclo
de
trigonométrico
medidas
Espera-se
simétri-
com
0°
,
a
,
concluam
cos
em
relação
à
origem
O.
(Dados:
tg
20°
q
Verifique
se
tg
2a
5
2
tg
não
a
Ver
tg
42°
q
0,90
e
tg80°
que
a
os
e
2a,
alunos
45°.
é
que
a
igualdade
verdadeira.
resolução
no
Guia
do
q5,67) professor.
tg
a
tg
b
q
q
0,90
26.
eixo tg
t
q
Considerando
cos
a
q
0,84
e
sen
a
q
0,55,
res-
20,36
das
ponda
às
questões.
5,67
t
tangentes
a)
42°
Sem
efetuar
valores
tg
160°
b)
a
é
maior
Deter mine
pare-o
O
c)
Em
d)
e)
1
(2π
2
1.
menor
aproximado
resposta
quadrante
do
se
item
de
o
valor
que
tg
a
1
e
anterior.
encontra
o
arco
os
de
com-
q
de
0,65
me-
quadrante
Deter mine
tg
a
que
se
o
a).
Determine
sinal
de
negativo;
os
tg
(π
positivo;
valores
2
a),
tg
(π
1
a)
e
negativo
aproximados
de
tg
(π
2
a),
260°
tg
(π 1
a)
e
tg
(2π
2
a).
q 20,65;
q 0,65;
q 20,65
19
:SEÕÇARTSULI
a
?
menor
valor
analisando
verifique
NOSLIDA
dida
b
com
qual
ou
o
apenas
acima,
OCCES
A
cálculos,
dados
3.3
Relação
Observe
m
o
i
ciclo
a
ra
fundamental
trigonométrico
;
ogo,
ao
da
lado.
Trigonometria
O
ponto P
P
a
é
e
extremidade
sen
a.
do
arco
Os
AP
triân
P
OCCES
nes
gu
a
NOSLID
cos
O
OC
Aplicando
a
1
oCOP P
relação
o
5
cos
teorema
fundamental
a,
de
da
CP
5
sen
Pitágoras
a
e
ao
OP
5
1.
triângulo
retângulo
COP, P
obtemos
a
Trigonometria
a C
2
2
sen
a
1
cos
a
5
1
o
Vimos
verificar
que
se
essa
ela
relação
continua
é
válida
válida
para
para
um
arcos
arco
dos
do
1
quadrante.
demais
Agora,
vamos
quadrantes.
o
2
uadrante
2
π
2
a)
5
sen
a
V
2
sen
π
2
a)
5
sen
a
2
π
2
a)
5
2cos
a
V
2
Assim:
sen
2
cos
π
2
a
5
2
(π
2
a)
1
2cos
2
cos
(π
2
a)
5
sen
(π
1
a)
2
a
5
cos
a
2
a
1
cos
a
5
1
o
quadrante
3
2
π
1
1
a)
a)
5
5
2sen
2cos
a
a
V
V
2
Assim:
sen
2
sen
cos
(
1
a)
5
5
2
(π
1
a)
1
(
sen
(
cos
(π
1
a)
5
sen
5
a)
2
cos
2
a)
5
sen
cos
a
a
2
a
1
cos
a
5
1 .8991 ed
o
quadrante
4
π
2
a)
5
2sen
a
V
sen
2
(2π
2
a)
5
(
π
2
a)
5
cos
a
V
cos
(2π
2
a)
5
cos
2
sen
2π
a
então,
1
cos
que
a
a
2
2π
2
relação
a
é
5
2
sen
válida
a
1
para
cos
um
a
5
arco
1
de
qualquer
quadrante.
ieL
Verificamos,
2
a
2
016.9
Assim:
sen
ed
2
2
5
91
a)
ed
2
sen
orierevef
2
e
casos
em
que
P
2
0
1
cos
2
2
0
2
5
0
1
1
um
dos
eixos,
1
1
temos:
2
5
2
5
2
a
2
2
1
2
π
1
cos
2
π
3
2
5
1
5
1
1)
(
2
5
1
2
1
2
(
3
2
2
0
2
1
1)
1
2
481
pertence
ogidóC od
2
laneP
Nos
.trA
0
<
a
verificamos
<
2π,
a
que
relação
para
qualquer
fundamental
AP
arco
da
(
Trigonometria
é
5
a
rad,
com
válida.
.adibiorp
Assim,
oãçudorpeR
Exe rc íc ios resolv id os
o
R9.
Sabendo
que
sen
a
5
0,5
e
que
a
é
a
medida
de
R10.
Sabe-se
que
a
é
a
medida
de
um
arco
do
4
o
um
arco
do
quadrante,
2
obter
cos
a
drante
Resolução
Podemos
mental
obter
da
esse
valor
ela
relação
funda-
e
que
tg
a
22,4.
Calcular
sen
a
a
Resolução
tg
a
sen
cos
2,4
5
T rigonometria: sen
2
a
5
22,4
cos
a
2
sen
a
1
cos
a
5
1
Substituindo
na
T rigonometria, (0,5)
cos²
1
a
cos
5
a
5
relação
o
a
sen²
a
1
V
(
2
4
V
6,76
cos²
a
5
1
V
0,75
auxílio
q
da
1
2
Com
fundamental
obtemos:
de
uma
calculadora,
cos
obtemos:
a)
2
1
cos
a
2
cos
5
1
V
100
2
a
5
1
V
cos
a 5
V 676
60,87 5 cos
a
5
6 13
o
Como
o
arco
é
do
2
quadrante,
concluímos o
Como que
cos
a
é
o
arco
é
do
4
a
5
negativo. 13
1 Logo,
cos
a
q
20,87.
Como sen a 5 22,4
cos a, temos: sen a 5 13
20
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
5
27.
Deter mine
cos
x
sabendo
que
sen
x
4
o
5
e
29.
que
Se
a
é
um
arco
do
3
quadrante
e
tg
a
5
é
um
arco
do
1
de-
12
o
x
, 3
13
ter mine:
quadrante. 13
a)
sen
a
b)
0,8
cos
a
0,6
o
28.
Se
cos
x
5
0,8
e
x
é
um
arco
do
quadrante,
4
deter mine:
a)
4
sen
x
30.
b)
0,6
Equações
tg
x
Verifique
que
0,75
sen
se,
a
para
5
0,8
um
e
arco
cos
a
de
5
medida
0,4.
a,
é
possível
não
trigonométricas
Obser vação Toda
equação
em
desconhecida
é
que
aparecem
chamada
de
razões
equação
trigonométricas
com
arco
de
medida
trigonométrica
Equações
ou
do
tipo
3x
1
4
2
sen
cos
π
5
2
não são
Exemplos equações trigonométricas, pois
2
x
5
x
1
3
1
tg
x
3
5
0
medida de um arco. .8991
⎛
3
x
5
2
π
1
ed
⎝
4
2
orierevef
Obser vação
ed
Na
resolução
das
equações
trigonométricas
deste
capítulo,
vamos
considerar,
Nos
capítulos
91
para as incógnitas, valores reais que representam as medidas dos arcos, em radiano,
remos
no intervalo
negativa
com
2
e
arcos
3,
trabalha-
de
medida
ed 016.9
de
medida,
[0,
será
2π].
Quando
considerada
a
a
medida
medida
de
um
em
arco
ou
ângulo
estiversem
unidade
maior
radiano.
e
que
com
2π
arcos
de
medida
rad.
ieL e laneP og idóC od
Exe rc íc ios resolv id os
481 .trA .adibiorp
1 R11
Obter
os
valores
de
,
com
0
<
<
2π,
para
os
quais
sen
= 2
oãçudorpeR
sen
Resolução
1 No
ciclo
trigonométrico,
observamos
que,
para
sen
x
temos
5 2
dois
arcos:
6
6 1
π
o
quadrante,
temos:
x
5 2
6
π
π
o
2
x
5
π
2
π ogo,
x
5
2
π
5π
5
5
6
6
6
5π ou
5
6
6
3 R12.
Encontrar
o
conjunto
solução
da
equação
tg
2x
5
,
com
0
<
2x
<
2π
3
tg
Resolução
3 Com
tangente
igual
a
existem
dois
arcos:
3 3
6
3
o
6 0
π
1
π
7π
O
NOSLIDA
ES
6π
π
o
1 6
6
6 7π —– 6
π 2x
5
ou
x
6
5
V 6
ou
x
= 12
2
⎧ Portanto,
o
conjunto
solução
da
equação
:SEÕÇARTSULI
Assim:
7
é
S
⎫
⎨ ⎩
⎬ 12
12
⎭
21
2
R13.
Que
valores
de
x,
em
radiano,
satisfazem
à
equação
cos
x
1
1
5
sen
?
Resolução
2
Da
relação
fundamental
Substituindo
(I)
na
da
T rigonometria
equação
dada,
x
1
1
5
Colocando
Para
um
cos
5
2
V
sen
cos
x
em
produto
0
ou
Observando
os
1
evidência,
ser
cos
1
nulo,
5
5
5
1
cos
x
(I)
2
1
V
temos:
um
2
x
sen
obtemos:
2
cos
vem:
dos
(cos
x )
fatores
1
(cos
deve
x
ser
1
5
1)
nulo,
5
0
0
ou
seja:
21
ciclos
trigonométricos,
encontramos
os
valores
de
x
2
0
cos
1
3
.8991
2
x
0
]
x
3
— ou x
cos
2
os
1
]
x
2
valores
de
,
com
0
<
<
2π,
que
satisfazem
à
orierevef
Portanto,
x
ed
cos
equação
ed
2
91
são 2
ed 016.9
2
R14.
Deter minar
o
conjunto
solução
da
equação
sen
x
sen
x
2
5
0.
ieL e
sen
Resolução
laneP
2
sen
x
por
y,
obtemos:
y
2
5
0,
com
1
<
<
ogidóC od
Substituindo
1
o
Resolvendo
a
equação
4ac
2
grau,
6
1 8
5
5
2
(não
2
serve,
pois
1
<
y
.adibiorp
2a
y
6
5
.trA
5
obtemos:
481
b
y
do
2
<
1)
ou
y
5
21
oãçudorpeR
3π Logo,
sen
x
5
21.
Observando
o
ciclo
trigonométrico,
obtemos
x
5 2
1
3π Portanto,
no
intervalo
0
<
x
<
2π,
temos
S
5 2
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
31.
Deter mine
x
Ñ
o
[0,2π],
valor
nas
de
x,
em
radiano,
com
33.
Imagine
o
métrico
equações:
ciclo
mostrador 1 a)
cos
x
5
d)
3
2
de
um
sen
x
5
b)
sen
x
analógico,
3
com
teiro
ou
e)
3
2
2
centros
2
Se
o
9
pon-
3
2
5
1
11
10
1
coincidentes.
3
ao
relógio
ou
5
trigono-
sobreposto
sen
x
=
0
0
ou
π
ou
das
horas
aponta
4
8
2π
3
para
a
origem
do
ciclo
7
às
6 7
3
c)
tg
x
ou
5 21
15
h,
que
horas
Deter mine
x
<
2π,
possíveis
nas
valores
equações
a
de
x,
com
ponteiro
se
pondente
seguir.
esse
sobrepuser
a
um
ângulo
a
um
cujo
3 0
a)
sen
x
(sen
x
1
1)
=
ou
π
ou
2π
raio
seno
16
h
do
é
ou
ciclo
igual
20
h
ou
ou
0
2
Deter mine
x,
em
radiano,
sabendo
que
5
b
2
sen
x
cos
x
cos
x
5
0 π 6
2
6
2
cos
x
3
1
e
que
0
<
x
<
2π
2
c)
22
cos
x
2
cos
x
1
1
5
0
0
ou
2π
⎝
2
2
4
0,5?
h
ou
8
h
:SEÕÇARTSULI
34.
corres-
a
NOSLIDA
<
os
relógio
quando
OCCES
indicará
32.
o
4
4
Exercícios
complem ent a res Registre as respostas em seu caderno
9.
Deter mine
a
medida,
em
grau
e
em
radiano,
dos
ân-
Aplicação gulos
1
Em
uma
um
arco
π
circunferência
de
5 3,14,
15,7
m
de
de
deter mine
a
8
m
de
diâmetro,
comprimento.
medida
do
indicados
representado
toma-se
por
P,
Q,
R
e
no
ciclo
trigonométrico
abaixo.
Considerando
ângulo
correspon
dente
a
esse
arco,
em
grau.
P
P
Q(144°)
225°
5
rad, 5
R
2.
Qual
é
o
valor
aproximado
do
raio
de
um
arco
5
216°
rad,
ou 5
de
9
circunferência
que
mede
300°
e
tem
S 5
comprimento
324°
rad,
ou 5
de200m?
q
38,22
m
4
R
Q
S
d
5
rad 9
3.
Calcule
Um
a
medida,
ângulo
raio
em
central
deter mina
radiano,
de
uma
sobre
ela
de
um
ângulo
circunferência
um
arco
de
7
de
cm.
de140°.
5
cm
de
Calcule
10.
Calcule
desse
ângulo
em
radiano.
1,4
valor
de:
5
a a)
medida
o
sen
cos 3
rad
4
2
7 b)
cos
3
tg 3
6
6
Exe rc íc io resolv id o o
11.
Se
t
é
a
medida
de
um
arco
do
3
quadrante,
.8991
6 R15.
Qual
é
a
medida
do
menor
ângulo
for mado
radiano,
e
sen
5 2
,
quanto
vale
t
t
ed
5
6
orierevef
pelos
ponteiros
de
um
reló
io
às
11
h
45
em
5
min?
o
12.
ed
Resolução
Dado
sen
a
deter mine
5
o
0,8,
que
sendo
se
a
pede
um
em
arco
cada
do
1
quadrante,
item.
91 ed
Na
figura
ao
016.9
a)
sen
(π
2
a
b)
sen
(π
1
a)
c)
sen
(2
0,8
lado,
a
rvamos
que
ieL
procurado
(a
60°).
ân-
mede
60°
2
0,8
a)
0,8
e
gulo
o
laneP
1
1 13.
Que
arcos,
entre
0
e
2 π,
têm
cosseno
igual
a
?
ogidóC od
2
Esboce
481
esses
o
ciclo
trigonométrico
.trA
cada
intervalo
de
60
min,
o
ponteiro
seu
caderno
e
mostre
e 3
3
A
em
4π
2π
arcos.
das 3
.adibiorp
horas
percorre
14.
30°.
Resolva
a
equação
cos
,
em
que
x
Ñ
[0,2π]
4
Por
regra
de
três,
calculamos
⎧
a e
é
medido
em
radiano.
S
oãçudorpeR
60
min
45
min
15.
Calcule
a
soma
das
raízes
5π ,
⎨ ⎩
30°
π
11π
6
6
⎫
,
6
da
7π
6
⎬ ⎭
equação
2
2 30°
cos
x
1
cos
x
1
0,
em
que
x
Ñ
[0,
2π]
e
é
60 a
5
22,5° medido
em
radiano.
3π
im
1
°
5
22,5°
Portanto,
a
1
°
medida
5
do
82,5°
5
menor
2°
’
Aprofund amento
ângulo
é
16.
82°30’.
5.
Qual
é
a
ponteiros
medida
de
um
do
menor
relógio
às
2
ângulo
h
20
for mado
min?
Considere
a
Qual
é
b)
Qual
c)
Agora,
é
a
o
o
valor
valor
Qual
é
a
ponteiros
medida
de
um
do
menor
relógio
às
ângulo
16
h
15
y
5
mínimo
mínimo
1
1
para
para
2
sen
sen
2
x ?
sen
a)
1;
1
b)
2;
2
x
E
x ?
o
E
máximo?
o
máximo?
pelos conclua:
quais
são
os
valores
mínimo
e
50°
máximo
6.
expressão
for mado
min?
ara
y ?
1;
3
pelos
37°30’
Desaf io
7.
Considerando
OCCES
a)
sen
148°
b)
sen
212°
sen
32°
5
0,53,
calcule
o
valor
de:
17.
Seja
0
0,53
a)
0,53
<
x
x
a
<
medida
Quais
são
os
NOSLIDA
sen
328°
0,53
cos
x
5
2
:SEÕÇARTSULI
Escreva
a
em
or
em
ecrescente
as
tangentes
os
arcos
b)
Agora,
quais
seguir.
ção 12
6
em
radiano,
com
os
cos
x que
satisfazem
a
equação
4
3
3
o
ciclo
valores
7
12
arco,
ou
?
observe
são
de
2
2
8.
um
valores
1 c)
de
2π
<
trigonométrico
de
que
e
responda:
satisfazem
2π
4π
3
3
a
inequa-
? 2
7 tg
, 6
tg
, 12
tg
, 12
tg 12
23
Registre as respostas em seu caderno
Autoavaliação
1.
Em
uma
arco
de
circun
120°
comprimen
erência
tem
o.
com
12
cm
de
raio,
aproximadamente
alternativa
um
cm
5.
Qual
das
número
de
seguintes
positivo?
expressões
alternativa
resulta
em
um
d
d
a)
sen
b)
tg
210°
1
cos
150°
20
b)
22
c)
24
d
150°
c)
cos
d)
sen
O
seno
tg
270°
240°
225°
sen
125°
cos
110°
2
1 3 6.
e
o
cosseno
de
são,
respectivamente,
7
2.
A
medida
210°
é
equivalente
a
iguais
rad.
alternativa
a:
c
alternativa
π
5
a
c
π
sen
e
cos
a) 7
7
6
π 2
b)
π
sen
e
cos
b) 7
7
6
7
π
π
7
7
c)
c) 6
π 2
d)
π
sen
e
cos
d) 7
7
Um arco de
rad pertence ao
O
seno
e
é
igual
a
cos
e
sen
b
5
1
5
a)
c) 3
o
2
c)
3
;
6
6
3
ed
b)
orierevef
alternativa
o
a
ed
alternativa
12
a)
.
quadrante.
.8991
7.
1 1π 3.
11
91
2 o
b)
;
;
d) 6
3
ed
3
6
016.9
o
d)
4
Se
sen
a
5
20,6
e
é
medida
de
um
arco
do
ieL
8.
e
4.
Os
arcos
simétricos
de
laneP
o
2 r ad
4
respectivamente
quadrante,
então
tg
é
igual
a:
alternativa
a
9
e
y
à
origem
O,
medem:
alternativa
a)
0,75
b)
0,6
c)
1,33...
b
d)
0,75
1
.trA
1 6
e
481
x
od
a)
xos
og idóC
aos
5
9
9
9
alternativa
a) c)
1 1
9
11 rad
b) 9
rad 2
d) 9
c)
3
1 6
d
rad
oãçudorpeR
7
.adibiorp
b)
d)
4
rad 6
Retomad a de conceitos
Se
você
Releia
não
a
acertou
teoria
e
alguma
refaça
os
questão,
exercícios
consulte
a
tabela
e
verifique
o
que
precisa
Número
Objetivos
Calcular
arco,
o
em
grau
Conhecer
do
comprimento
o
e
em
ciclo
capítulo
e
a
1
medida
de
estudar
novamente.
correspondentes.
2
da
questão
3
4
5
6
7
X
X
X
X
X
X
X
X
8
9
um
radiano.
trigonométrico
e
os
arcos
simétricos.
ângulos
maiores
Estender
a
que
relação
90°.
fundamental
da X
Trigonometria
Resolver
Páginas
24
para
equações
do
livro
o
ciclo
trigonométrico.
trigonométricas.
referentes
ao
conceito
X
9
a
11
9
a
11
12
e
13
12
e
13
12
a
19
12
a
19
12
a
19
20
e
21
21
e
22
l
o
t
u
í p
C
a
2
Funções trigonométricas
SEGA MI YTTEG/GIU/SEGAMI
no
litoral
da
Inglaterra,
trigonométricas com
enômenos peri
POOL
Falésia
2014.
Estender
conceito
o
de
ciclo
trigonométrico Para
na
1
Funções
periódicas
explorar
seção
melhor
Pesquisa
propomos
um
apresentação
e
os
ação,
trabalho
sobre
fenômenos
de
esse
e
R
periódicos,
página45,
pesquisa
dicos.
Construir
e
analisar
e
gráficos
tema.
de
funções
trigonométricas. Muitos
periódico
ser
fenômenos
(isto
é,
modelados
capazes
de
decorrer
que
naturais,
se
repetem
por funções
representar,
de
um
de
intervalo
físicos
e
a
determinado
cada
sociais
trigonométricas.
modo
de
têm
Isso
aproximado,
as
comportamento
período
significa
de
que
oscilações
cíclico,
tempo),
essas
desses
e
ou
podem
funções
são
fenômenos
no
tempo.
A maré — movimento de descida e de subida do nível das á
uas— é um exemplo Ref lita
de
fenômeno
na
Terra.
periódico
devido
àfor
a
ravitacional
exercida
pela
Lua
e
pelo
Sol
Imagine
Acompanhe
a
situa
ão
a
se
visto
Em
uma
cidade
litorânea,
em
o
ciclo
determinada
época
do
ano,
a
maré
baixa
no
capítulo
por
volta
das
12
h
e
das
24
h,
e
a
maré
alta
ocorre
às
6
h
e
às
18
h.
A
anterior.
acon-
a
Considerando
tece
trigonométrico
uir.
a
1
volta,
função responda:
trigonométrica
a
seguir
modela,
de
modo
aproximado,
a
altura
h
da
maré
(em
metro)
nessa
estudo
π
⎛ h(t)
5
2
1
t
0,5
⎞ 1
6
o
?
trigonométricas,
tempo
(t )
é
medido
em
hora
a
partir
da
os
alunos
é
essencial
ocorre?
1;
ara
5
0
e
=
2π
relembrem
⎠ o
que
dasfunções
π que
⎝
em
época:
meia-noite.
ciclo
trigonométrico
reflitam
máximo
e
do
sobre
e
os
mínimo
cosseno.
e
valores
do
seno
x?
x
1;
para
x
5
π
Observe
mostra
o
que
essa
gráfico
a
função
descreve
o
comportamento
periódico
da
maré,
como
seguir.
2,5 ortem( arutla
1,5
0
6
12
18
tempo
Note
que
Também
o
gráfico
possível
lei
“se
da
função,
exemplo,
às
0
repete”
concluir
Pela
Por
é
h
às
6
5
2
1
0,5
cos
h,
⎛ h(0)
cos
h(0)
5
2
1
0,5
(
h(0)
5
1,5
a
altura
da
maré.
podemos
verificar
algebricamente
⎞
π 0
essas
conclusões.
1
⎛
π
h(6)
5
2
1
0,5
cos
⎠
⎞
π 6
1
⎝
(π)
1)
h(6)
5
2
1
0,5
cos
h(6)
5
2
1
0,5
1
h(6)
5
2,5
π ⎠
(2π)
ed
0,5
como
orierevef
1
assim
ed
2
horas,
.8991
5
12
temos:
⎝
h(0)
cada
que:
também
e
a
24
(hora)
91 ed
Além do nível das marés, muitos outros fenômenos apresentam comportamento
como
variações
som
temperatura
terrestre
e
da
pressão
sanguínea,
estudaremos
as
funções
trigonométricas
seno,
cosseno
e
laneP
capítulo,
da
etc.
e
Neste
as
do
ieL
apropagação
016.9
periódico,
tan-
ogidóC
gente — exemplos típicos de funções periódicas —, as quais surgem com frequência
modelagem
o
caso
das
matemática
de
fenômenos
que
apresentam
periodicidade,
como
481
é
od
na
marés.
.trA
à
situação
responda:
função
a
o
período
altura
das
é
marés
da
é
12.
se
da
que
isso
Uma
função
número
significa
repete
a
real
f
R
&
R
positivo
é
p
chamada
tal
que,
de
para
função
todo
x
Ñ
periódica
R
f(x) f(
5
f(x f(
quando
1
existe
um
p).
que
cada
O 12
periódica
Isso
maré
O
função
e
período
apresentada?
O
qual
de
oãçudorpeR
Volte
Def inição
.adibiorp
Ref lita
menor
valor
positivo
de
p
que
satisfaz
a
igualdade
acima
é
chamado
de
horas.
período
de
f
Exe rc íc io resolv id o
y
R1.
No
foi
plano
cartesiano
traçado
o
gráfico
ao
lado
da
fung
ção
o
periódica
gráfico,
g.
Analisando
identificar
o
perío-
–3
do
0
3
função.
Resolução
OCCE
dessa
Analisando
2)
5
alguns
pontos
do
g(0)
gráfico,
5
podemos
verificar
g(2)
5
que:
0
NOSL
g(
A
como
g(x )5
g(x
Portanto,
26
a
função
g
é
periódica,
podemos
2).
o
período
dessa
função
é
2.
observar
que
:SEÕÇARTSULI
Logo,
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
1.
Em
cada
função
a)
p
plano
cartesiano
periódica.
Qualé
a
o
seguir
período
está
de
y
5
representada
cada
b)
p
uma
graficamente
dessas
uma
funções?
x
y
5
c)
p
5
1 2 2
2
0 10
3
1
1
x
3
x 8
1,5
2.
Observe
máximo
2
Já
os
gráficos
de
cada
Ciclo
vimos
.8991
cartes
ano.
que
O
o
da
uma
questão
das
anterior.
funções?
a)
Qual
mínimo:
b)
mínimo:
c)
mínimo:
0;
é
o
valor
máximo:
1;
8;
não
mínimo
e
o
0
1,5
ed
é
valor
tem
máximo:
máximo
12
trigonométrico
ciclo
ponto
trigonométrico
A(1,
0)
é
a
tem
origem
de
raio
1
todos
e
centro
os
arcos
na
origem
(ângulos),
e
do
a
sistema
Obser vação
circunfe-
orientada
com
sentido
positivo
relembrar
orierevef ed
co
capítulo
(arcos
91
infinitas
com
anterior,
medidas
voltas,
estudamos
entre
associando
0
e
apenas
2π).
números
A
algumas
anti-horário. medidas
No
y
4,5
2
Vamos
rência
3,0
a
primeira
seguir,
reais
aos
vamos
pontos
volta
do
ampliar
do
ciclo
ciclo
esse
trigonométri-
estudo
para
trigonométrico.
positivas
do
ciclo
trigonométrico:
as
Isso
ed
π
016.9
possibilitará,
mais
adiante,
o
estudo
das
funções
trigonométricas.
+
2
ieL e laneP
2.1
A
função
de
Euler
ogidóC od
π
A
O
Vamos
481
pon
o
P
definir
a
localizado
função
na
E:
R
&
;
que
circunferência
;,
associa
a
conforme
cada
número
ilustrado
a
real
um
0
2π
único
seguir.
.trA .adibiorp
3π
y 2
oãçudorpeR
t …
P
=
Não
confunda:
O(0,
0)
é
a
origem
E(t ) 1
do
sistema
car tesiano,
e
A(1,
0)
é
a
A(1,
origem
do
ciclo
trigonométrico.
0)
O
x
–1
…
t
t
e
5
.
0,
0,
então
t
,
0,
nele
a
o
função
imaginar
;,
de
positivo
é
P, P
no
,
a
“reta
no
—
de
função
que
o
o
de
enrolada”
A
do
Euler
da
horário
do
de
arco
o
coincidentes
(positivo),
AP P A
de
de
a
partir
de A
comprimento
(negativo),
suíço
a
partir
de
comprimento
Leonhard
t
Euler
,
e
t
(1707 -
Euler
consiste
reta
seja
são
arco
matemático
função
zero
e
anti-horário
sentido
extremidade
chamada
que
sentido
P
extremidade
ciclo
criador
modo
da
o
ponto
seu
ciclo
pontos
em
coincida
sentido
“enrolar”
com
o
a
reta R
ponto A(1,
sobre
0)
e
a
:SEÕÇARTSUL
sentido
o
ponto
os
A
Podemos
o
seja,
NOSL
essa
circunferência
o
nele
referência
—,
ou
OCCES
-1783)
A,
percorremos
marcamos
Em
z
percorremos
marcamos
P
que
anti-horário.
A função de Euler é periódica, de período 2π, ou seja: E(t) 5 E(t
2kπ k ), com k Ñ Z
27
Exemplo
π No
ciclo
trigonométrico,
as
imagens
dos
números
reais
3π
0,
π
π podem
e
Obser vação 4
ser Lembre -se
de
que
no
representadas
comprimento
é
numericamente
medida
de
angular,
um
assim:
ponto
A
ponto
B
pon
C
y
arco
igual
em
2
ciclo
0
o
2
à
sua
π
radiano.
B
4
π
o
A
C
x
3π ponto
D
ponto
E
π
2
Note
ue:
3π imagens
dos
π
números
e
coincidem
(E
F).
2
.8991
Arcos
que
têm
a
mesma
Por
extremi
exemplo,
a
e
no
cic
percorrendo
o
trigonométrico
60°,
300°,
420°
são
e
c
660°,
ama
os
e
obtemos
o
ed
côngruos.
orierevef
Arcos
arcos
côngruos
ed
2.2
91
ponto
P, P
conforme
mostram
as
figuras
a
ed
mesmo
seguir.
016.9
de
60°
Arco
de
ieL
Arco
300°
e
y
laneP
y
P
P
ogidóC od 481
A
A
.trA
O
x
x
.adibiorp
O
oãçudorpeR
Arco
de
420°
Arco
y
de
660°
y
P
P
A
A
O
O
x
Por isso, dizemos que esses arcos são côn
60°
Note
OCCES
arcos
uma
que,
tanto
associados
expressão
NOSL
expressão
geral
a
no
um
sentido
mesmo
geral para
é:
60°
m
1
k
2300°
do
representar
360°,
com
k
ruos. Indicamos essa con
m
positivo
ponto
x
420°
m
quanto
ciclo
esses
Ñ
ruência assim:
2660°
no
negativo,
trigonométrico.
infinitos
arcos.
existem
É
infinitos
possível
Nesse
escrever
exemplo,
uma
Z
A :SEÕÇARTSULI
Para
ponto
t
6
4π,
com
28
arcos
P
é
a
...,
Z.
trigonométricos
imagem
ou
seja,
Essa
é
a
de
certo
medidos
número t t,
genericamente,
expressão
eral
é
a
de
em
radiano,
também
é
imagem
de
todos
os
a
pela
função
imagem
todos
arcos
côn
os
dos
de
Euler,
números
números t
ruos
de
se
t 6
um
2π
1
extremidade
π
Exe rc íc ios resolv id os
R2.
Marcar
no
ciclo
trigonométrico
as
imagens
y
dos
números:
17
5
8π
3
3
a) 3
17π b) 60°
3
x
60°
Resolução
a)
Observamos
8π
2π
que:
6π
5
2π
1
3
5
3
3
3
8π Ou
seja,
para
,
obter
percorremos
uma
2π volta
completa
mais
um
arco
de
.
a
Então, R3.
Usando
a
medida
da
1
volta
positiva,
escrever
3
a 2π basta
8π
percorrer
,
pois
expressão
geral
dos
arcos
côngruos
a:
2π m
3
3
4 1π a) 6
y
1.105°
.8991
3
3
Resolução
a)
Observamos
ed
orierevef
60°
4 1π
5π
3 6π
ed
5
91
60°
5π
1
6
x
ue:
5
6
1 3
6
2π
6
ed 016.9
Ou
4 1π
5π
6
6
seja,
ieL
a
e
na
1
laneP
Logo,
a
expressão
pedida
é:
ogidóC od
5π 1
8
2π,
com
Ñ
Z
6 b)
Observamos
que:
481 .trA
17π
5π
1 2π
3
3
b)
5 2
.adibiorp
3
Dividindo
1.105°
número
voltas
por
5π
de
completas
4
2
5 2
o
circunferência:
2π
25°
17π a,
para
360°
1.105°
3
obter
,
3
percorremos
OCCES
oãçudorpeR
3
se
descobrimos
na
5π
5 2
Ou
360°,
5
3
no
sentido
negativo
duas
voltas
1.105°
comple-
5π tas
mais
um
ar co
de
.
Então,
5
seja,
3
360°
1.105°
1
é
25°
côngruo
ao
arco
de
25°
NOSL DA
Ou
na
basta a
volta
Logo, 5π percorrer
a
expressão
pedida
é:
5π
17π ,
positiva.
:SEÕÇARTSUL
1
3
m
pois
3
25°
3
3
1
k
360°,
com
k
Ñ
Z
3.
2
4
y
3
15
3 4
4
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
45°
Desenhe
um
ciclo
tri
onométrico
e
marque
a
ima
em
de
cada
A
30°
O
número
x
ix
47
– —
2
4 c)
3
d)
6
4
6
f )
e)
3
6
47
OCCES
b) 4
1 5
6
NOSL
a
4.
Usando
a
medida
da
1
volta
positiva,
escreva
uma
expressão
geral
dos 4.
côngruos
a)
60°
1
k
360°,
k
Ñ
Z
DA
arcos
a: 1
b)
π 60°
b)
385°
Z
6
2 5π c)
6
Ñ
d) 7
c)
25°
1
k
360°,
k
Ñ
Z
11 d)
Z 7
29
3
A
Seja
P
número
a
função
extremidade
real
x,
seno
de
conforme
um
arco
definido
no
na
ciclo
Considerando a projeção ortogonal de P
é
o
seno
do
arco
de
medida
trigonométrico
função
de
correspondente
ao
Euler.
no eixo vertical, a ordenada do ponto P
x
P
x sen
x
A
O
Ref lita
Em
quais
seno
é
quadrantes
positiva?
Positiva
negativa
no
1
no
e
3
E
no
e
a
função
negativa?
2
no
4
A
função
número
construir
o
tabela
função
ou
seja,
gráfico
de
f
R
f(x)
dessa
valores
&
5
R
sen
que
função,
para x.
associa
cada
número
real
x
ao
x
dada
por
Inicialmente,
f( ( x)
5
sen
x,
consideramos
com
base
alguns
nos
valores
a
1
volta,
para
os
quais
o
seno
já
é
conhecido:
orierevef
uma
a
x, x
ed
de
é
sen
.8991
Vamos
dados
seno
real
ed 91
3
4
2
4
5
3
7
4
2
4
π
016.9
0
ed
x
2π
ieL e
x
2
0
2
1
2
0
0
1
2
2
2
og idóC
2
laneP
2 sen
od
alguns
valores
de
x
π
ou
menores
que
zero,
481
Para
temos:
Obser vação
.trA
8
4
4
9
4
11
3
2
4
4
2
4
oãçudorpeR
5
.adibiorp
9
4
4 2 sen
Logo:
sen
2
x
2
2
1
2
5 sen 4
2
2
2
4
7
4
4
4
Observe que, para valores de
maiores que 2π ou menores que zero, o seno de
a
me
π
valores
do
seno
de
arcos
da
1
volta.
Assim,
a
função
seno
é
periódica,
π 5 sen
Logo:
os
4
pois,
para
todo
Ñ
R,
temos:
4
sen
x
Por
isso,
5
Assim,
sen
o
a
( (x
1
curva
gráfico
2π)
5
sen
obtida
da
( (x
no
função
1
4π)
5
intervalo
seno
se
...
[0,
5
sen
2π]
estende
( (x
1
repete
por
2kπ k ),
se
todo
com
para
o
x
k
.
eixo x
e
Ñ
2π
Z
e
tem
x
o
,
0.
seguinte
formato:
sen
x
1
– — OCCES
3π – –— 4
π – — 2
π – —
2
5π
3π
7π
4
2
4
4
NOSL
0
π
π
3π
π
2π
4 A :SEÕÇARTSUL
–1 2
2
30
p
=
2π
x
9π
4
Carac terís tica s
Por
definição,
Pelo
seu
o
função
domínio
gráfico,
da
e
chamado
o
seno
Obser vação
contradomínio
de
π
senoide,
(a
curva
da
função
observamos
se
repete
a
seno
ainda
cada
são
que
a
intervalo
iguais
a R
função
de
Veja
seno:
na
figura:
ordenada
mínima
2π
amplitude
conjunto
imagem
amplitude
pontos
do
é
Im
5
(metade
gráfico)
[
da
x
estão
a
interval o
[
diferença
igual
no
entre
as
ordenadas
máxima
e
mínima
DA
dos
NOSL
OCCES
1.
Exe rc íc ios resolv id os
R4.
Deter minar
existe
a
os
valores
igualdade
reais
sen
de
para
3
os
quais
c)
2.
De
acordo
primeira
com
vez
a
função
que
a
dada,
quando
população
de
foi
zebras
a
foi
mínima?
Resolução
d)
f (x )
5
De
quanto
zebras variam
no
intervalo
1,
1
em
quanto
tempo
a
população
de
senx se
repete?
.
im: .8991
1
sen
x
ed
substituindo
orierevef
sen
<
3m
Resolução
a)
Em
1
2
<
x
por
3m
2
do
janeiro
t
por
de
16
2016,
na
temos
equação
t
5
dada,
ed
π
91 ed
todos
016.9
<
3m
<
Substituin-
obtemos:
1
adicionando
1
16.
os
2
Z (16)
em
5 850
400
16
sen
membros
Z (16)
3
ieL
dividindo
5
850
1
400
sen
(4π)
todos
Z (16)
e
os
1
membros
por
5
850
1
400
0
5
850
3
laneP
1 <
m
<
Logo,
1
em
janeiro
de
2016
havia
850
zebras.
3
ogidóC od
t Então
m
assume
valores
em
R
tais
b)
que
A
população
mínima
ocorre
quando
sen 4
481
1 1
atinge
seu
valor
mínimo,
ou
seja,
quando
.trA
3
.adibiorp
5
sen R5.
Em
um
sistema
predadores
e
de
predador -presa,
presas
tende
a
o
número
variar
de
oãçudorpeR
com
o
tempo.
Considere
que
em
e
zebras
região,
são
as
onde
leões
presas,
a
são
os
variado
de
acordo
população
com
a
esse
valor,
temos:
5
850
a
1
400
(
população
1)
5 450
mínima
foi
de
450
zebras.
predadores
de
zebras
a
c)
tenha
para
deLogo,
ter minada
Então,
periodiZ (t )
camente
21.
4
função
dada
Na
1
volta
do
ciclo
tr ig on o métrico,
sen
x
por: 3 atinge
πt Z (
)
5
850
1
400
seu
valor
mínimo
1)
para
x 2
sen 4 Então,
em
que
janeiro
o
tempo t
de
2000
(t
é
medido,
5
em
ano,
a
partir
a
função
dada
será
mínima
para:
de
π
0).
3
3
V
SEGAMI YTTEG/DLE
valor
a
população
mínimo,
janeiro
FEKARB
A
de
função
pela
2000,
seno
t
5
6
de
zebras
primeira
ou
seja,
vez,
em
MOT
tem
período
5
V
atingiu
6
anos
janeiro
2 π.
de
seu
após
2006.
Assim:
t
πt 5
2π
V
2
t
5
8
4
4
Logo,
8
V
2
Portanto,
d)
4
t
4
a
população
de
zebras
se
repete
de
8em
anos.
a)
850
1
ogo,
400
a
1
1.250
população
máxima
foi
de
Ref lita 1.250
a)
Quantas
b)
Qual
zebras
havia
em
janeiro
de
a) foi
a
população
mínima
de
zebras
nessa
ras.
atin-
b) gida
z
2016?
região? π
π 5
4
Logo,
V
t
5
2
2
a
primeira
população
vez
em
máxima
foi
atingida
pela
2002.
31
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
5.
No
Calcule:
exercício
mostramos
resolvido
como
R8
utilizar
Em
sen
grupo,
questões
3.465°
software
de
construção
analisem
os
gráficos
e
respondam
às
um
2
a)
a
seguir.
de
2 gráficos
para
traçar
o
gráfico
de
a)
Por
que
o
aluno
que
fez
o
gráfico
com
o
13 b)
sen
c)
sen
uma
função
trigonométrica.
re 2
4
9.
a)
Porque
no
gráfico
computador
4.230°
os
irracionais
10π
período
da
função
igual
no
a
software
6,28,
e
o
aluno
que
fez
à
mão
encontrou
2 π?
racionais
⎠
3
números
para
b)
Qual
é
c)
Quais
a
amplitude
dessa
função?
1
números
3
sen ⎝
feito
o
1 aproximou
d)
o
encontrou
com
duas
casas
são
o
domínio
e
o
conjunto
imagem
da
2 decimais.
Assim,
2s
foi
função representado
por
f
?
D (
)
5
R;
Im(
)
5
[0,
2]
6,28
2
e)
sen
3.465°) (2s
d)
76,28).
Compa
e o gráfico dessa função,
f (x ) 5 1 1 sen x, x
2 9.
13π
⎛
⎞
d)
2
Espera-se
que
concluam
que
os
o
alunos
gráfico
com
de
o
pode
g)
sen
⎠
4
(
2
4.230°)
1
é
o
gráfico
1
unidade
o
conjunto
funções
10 h)
No
3
de
g
para
é
g(x )
5
sen
x.
O
que
cima.
o
Assim,
das
duas
10.
mesmo.
entanto,
o
período,
amplitude
e
o
A
procura
por
emprego
em
certa
empresa
sen domínio
à
t
função
5
2.500
1 3
em Observando
entre
qual
sena
e
a
valores
sen
os
encontrados
relação
que
(2a)?
valores
no
podemos
sen
(2a) a
sen
a
5
reais
5
de
k
de
2014
que
sen
x
5
2k
3.
1
a
ou
(2a) a
ne
o
k
<
número
emprego
para
<
mês,
(t )
é
o
é
contado
número
a
de
partir
de
pessoas.
janeiro
Deter mi-
os
máximo
nessa
de
pessoas
empresa.
3.715
que
procuram
pessoas
quais
altura
h ,
em
metro,
da
maré
em
certo
ponto
litoral,
em
função
do
tempo,
é
dada
aproximada-
um
esboço
do
gráfico
de
f (x )
sen
x
para
mente
pela
t
expressão
2
⎞
sen ⎠
Ñ
[2π,
4π].
Ver
resolução
no
Guia
do
ed
6 x
professor.
que
t
é
o
tempo,
medido
em
hora
a
partir
do
ieL
meio-dia. Dois
alunos
fez
,
fizeram
de
software
o
gráfico
lei
de
em
f (x )
a
representação
5
1
1
sen
construção
seu
próprio
de
x .
gráfica
Um
gráficos,
da
a)
utilizou
o
Qual
E
outro
cader no.
b)
a
foi
a
altura
mínima?
Com
base
em
função.
máxima
m;
1
uma
Ver
atingida
pela
maré?
m
tabela,
resolução
no
esboce
Guia
do
o
gráfico
481
dessa
5
professor.
Em
um
dia,
que
horas
a
maré
4
=
ok
1
+
sin
x
De
se
3
h
e
a
às
maré
15
alta?
h;
quanto
em
repete?
de
ix
quanto
12
em
12
:
21
tempo
a
h
h
altura
da
maré
horas
cancelar
12.
3
Considere
Vamos
2
tro
k
uma
função
deter minar
k
Ñ
R
,
do
como
modifica
o
a
tipo
f (x )
5
presença
gráfico
de
k
do
g(x )
sen
x
parâme
5
sen
x
1
Para
isso,
utilizamos
como
exemplo
a
função
1
f (x )
–1,57
4,7
5
2
sen
Resolva
–3
–2
1
–1
1,57
2
3
4
x
Ver
resolução
no
Guia
do
professor.
x
5
com
um
colega
os
itens
a
seguir.
6
a)
Criem
uma
tabela
com
três
linhas,
intitula-
–1
das:
x ,
sen
x
e
considerando
intervalo
–3
b)
Em
um
truam
c)
No
o
OCCE
Comparem
NOSLI
amplitude
e)
Façam
o
x .
Completem
valores
de
x
a
tabela
variando
no
2 π].
gráfico
f (x )
sen
os
sistema
mesmo
função
d)
[0,
2
de
da
eixos
função
sistema,
5
a
da
8
5
sen
o
cons-
x
gráfico
da
x
amplitude
mesmo
g(x )
construam
sen
função
cartesianos,
f .
para
O
da
função
que
h(x )
vocês
5
3
g
com
a
observam?
sen
x .
Como
A :SEÕÇARTSULI
vocês
para
k
Ñ
generalizariam
funções
?
R 1
32
do
tipo
o
resultado
i (x )
5
k
sen
do
x ,
item
em
d
que
oãçudorpeR
f(x)
d)
às
baixa? r
y = f(x)
5
ocorre
alta:
.adibiorp
maré
E
.trA
y
c)
ogidóC od
um
f
laneP
função
e
9.
016.9
em
91
Faça
ed
π
⎛ 8.
do
2
orierevef
tal
em
e
ed
x
,
an-
A existe
que
⎠
estabelecer
2sen
2sen
item
4
.8991
Deter mine
os
é
⎞
sen
sãoiguais.
terior,
obedece
t a
2
3
6.
você
concluir?
deslocado
imagem
não
função
f
f ) ⎝
da
4
A
Seja
P
número
a
função
extremidade
real
x, x
cosseno
de
conforme
um
arco
definido
no
na
ciclo
função
trigonométrico
de
correspondente
ao
Euler.
Considerando a projeção ortogonal de P no eixo horizontal, a abscissa do ponto P
é
o
cosseno
do
arco
de
medida
.
P
x
cos
x
A
O
Ref lita
Em
quais
cosseno
Positiva
negativa
A
função
número
.8991
Vamos
tabela
cosseno
real
cos
construir
de
valores
x, x
o
é
a
ou
função
seja,
gráfico
para
x.
f
R
f ( (x x)
dessa
5
R
cos
associa
cada
número
real
x
positiva?
no
1
no
2
e
e
no
no
4
E
a
função
negativa?
quadrantes,
3
e
quadrantes.
ao
x
função,
Inicialmente,
que
quadrantes
é
dada
por f (x (x)
consideramos
5
cos
alguns
x, x
partindo
valores
da
de
1
uma
volta,
ed orierevef
para
os
quais
o
cosseno
já
é
conhecido:
ed 91
x
3
4
2
4
0
5
3
7
4
2
4
π
2π
ed 016.9 ieL
2 cos
2
1
2
0
2 0
1
1
e laneP
2
ogidóC od
Para
alguns
valores
2
de
x
maiores
2
que
2π
ou
2
menores
que
zero,
temos:
481 .trA
5
11
3
4
2
4
4
2
4
.adibiorp
9
oãçudorpeR
2
2
x
Observe
que,
para
2
2
0
0
2
2
valores
de x
maiores
2
que
2π
2
ou
menores
que
zero,
o
cosseno
a
de
x
assume
eriódica,
cos
x
Por
5
Assim,
valores
ois,
ara
cos
isso,
guinte
os
a
o
( (x
1
cosseno
todo
2π)
curva
do
5
cos
obtida
gráfico
da
Ñ
R,
( (x
no
1
de
arcos
1
volta.
Assim,
a
função
cossenoé
temos:
4π)
...
intervalo
função
da
cosseno
[0,
se
5
cos
2π]
( (x
2kπ k ),
repete-se
estende
por
com
para
todo
x
o
k
.
Ñ
Z
2π
eixo
e
x
x
e
,
0.
tem
o se
formato:
cos
x
1
π
2
– –—
3π
5π
3π
11π
4
4
2
4
– —
4
2
π
π
π
π
7π
2π
9π
5π
4
2
x
– — 4
4
4
OCCES
– —
0
NOSL
–1
que
o
gráfico
da
função
cosseno
é
uma
2π
translação
(deslocamento)
:SEÕÇARTSUL
Repare
=
DA
p
2
da
senoide
de
rad
para
a
esquerda.
2
33
f (
domínio
x)
de
chamada
Carac terís tica s
Ref lita
(
uma
de
)
em
função
função
todo
f ,
Por
o
ela
é
definição,
o
da
função
domínio
e
o
cosseno
contradomínio
da
função
cosseno
são
iguais
a R
Pelo seu gráfico, observamos, entre outras características, que a função cosseno:
par
π
(a
curva
se
repete
a
cada
intervalo
de
2π
y
f (
)
5 f( f
)
que
a
a
g(
o
domínio
é
cham
x x)
de
5
conjunto
imagem
é
x
Im
5
estão
[
no
intervalo
[
1,
1],
o
que
significa
x
2g( (x)
uma
seu
em
função
função
todo
g,
Exe rc íc io resolv id o
ela
ímpar
y
R6.
Calcular
o
valor
da
expressão
cos
x
1
cos
2x
1
cos
3x
1
...
1
cos
10x
π para g(
x
=
a)
3
a
a
Resolução
x
Substituindo
x
por
,
g(a)
π
2π
cos
como
1
nem
função
par
nem
3π 1
1 0π
cos
co
3
5
3
3
par, 1
1 1
ímpar?
1
1
π
cos
função
Ñ
R,
(
x x)
seno
sen
(
é
x x)
é
par,
5
pois,
para
todo
Assim,
para
ímpar,
5
x
5
3 ,
a
expressão
vale
3
x
pois,
2
para
2
todo
016.9
x
R,
ed
A
Ñ
cosseno
91
x
função
ed
A
3
orierevef
ou
cos
3
1 ímpar
expressão:
ed
classificada
a
.8991
obtemos
3
x
ieL e
d)
Espera-se
o
gráfico
f
os
alunos
deslocado
imagem
das
concluam
1
unidade
duas
que
o
para
funções
gráfico
de g
cima. Assim
não
é
o
é
o
mesmo.
Registre as respostas em seu caderno Noentanto,
o
período,
a
amplitude
e
o
domínio
são
iguais.
Exerc íc ios propostos
ogidóC od
conjunto
que
de
laneP
15.
481 .trA
Calcule,
para
,
5
o
valor
da
16. Observe
expressão:
que
os
dois
gráficos
abaixo,
traçados
no
4 mesmo
2x
1
cos
4x
1
cos
6x
1
...
1
cos
78x
1
cos80x
no
ao 14.
Faça
um
para
x
esboço
Ñ
[2π,
do
4π].
gráfico
Ver
de
resolução
f ,
no
de
lei
Guia
do
f (x )
5
cos
sistema
cartesiano,
representam
funções
0
intervalo
eixo
[0,
2
]
e
são
simétricos
em
relação
x
x
professor.
y
15.
A
curva
grá
ica
apresentada
da
unção
g,
abaixo
com
g (x )
é
a
=
1
representação
cos
x
g
1
y
2
2
0 2
2
x
g
2
h
0
π
2π
x
São
Analisando
o
gráfico,
responda
às
a)
Qual
é
o
período
b)
Qual
é
a
amplitude
da
c)
Quais
função
g
gráficos
OCCES
função?
NOSL
o
domínio
e
o
conjunto
imagem
g ?
D (g)
5
R;
Im(g ( )
5
[0,
tipo
f (x )
5
k
cos
x
5
1
cos
x ;
da
h (x ) função
do
1
são
funções
2π
g(x )
dessa
de
questões.
5
21
cos
x
2]
A :SEÕÇARTSUL
d)
Compare
g
O
x
5
que
1
o
1
gráfico
cos
você
x,
pode
dessa
com
o
Com
função,
da
concluir?
função
f
x
5
cos
x
base
gráficos
mesmo
de
nessas
m (x )
sistema
5
considerações,
sen
x
cartesiano
Ver
34
e
n (x )
no
5
construa
sen
intervalo
resolução
no
Guia
x
em
[0,
do
os
um
2 π].
professor.
oãçudorpeR
cos
.adibiorp
13.
Diversas
do
a
que
ano,
ano
tem
época
que
número
de
variou
ocorrência
propicia
de
no
6.380
1
5.900
período
dengue,
apr oximadamente
π
t
do
ano,
t
12
sendo
para
Quantos
ocorreu
5
A
Seja P
a
t
1
2
π
para
e
da
den-
chuvoso
para
doença.
deter minada
com
a
re-
função
⎞ ,
em
que
t
é
o
mês
⎠
6
janeiro,
caso
favoráveis
da
acor do
cos ⎝
deter minado
o
quente
mais
em
de
8
em
Esseé
transmissor
⎛ n(t )
seja,
condições
mosquito
casos
ou
ocorrência.
ODRAUDE
gião,
do
sazonais,
maior
maior
proliferação
O
são
têm
RASLUP/AIPPAZ
gue,
doenças
do
AMI
período
SNE
17.
t
=
2
para
fevereiro, ...,
dezembro.
casos
ocorreram
essepico?
função
extremidade
12.280
no
pico
casos;
da
doença?
Em
qual
mês
Eliminar
janeiro
focos
de
prevenção
de
centroO
de
água
contra
a
parada
é
a
principal
medida
dengue.
tangente
de
um
arco,
na
circunferência
trigonométrica
Ref lita
correspondente
ao
número
real
.
Consideremos
o
ponto T
de
intersecção
entre
a
reta
P
e
a
reta
tangente
.8991
função
cunferência
pelo
ponto
A(1,
ed orierevef
que
a
tangente
é
positiva
e
em
0). quais
Sabemos
àcir-
ordenada
do
ponto
T
é
a
tangente
do
arco
de
medida
x
A
no
4
quadrantes
função
3
tangente
quadrantes
e
ela
é
é
negativa.
positiva
negativa
no
no
1
2
e
e
no
quadrantes.
ed 91 ed
T P
016.9
tg
x
ieL
x
e
A
laneP
O
ogidóC od 481 .trA .adibiorp
π A
função
tangente
é
a
função
f
oãçudorpeR
⎩
número
real
x
do
domínio
ao
π
⎨
número
Z⎬
2
&
R
que
associa
cada
⎭
real
tg x,
ou
seja,
f ( (x x)
5
tg
x
Obser vação
x
é
a
medida
de
um
arco
côngruo
a
3 rad
ou
a
2
OP
com
a
reta
tangente
à
circunferência
pelo
2
ponto
A(1,
0).
Por
isso,
a
função
tangente
não
x
5
1
kπ
com
k
Ñ
Z
2
Vamos
uma
construir
tabela
de
x
tg
gráfico
para
.
dessa
função,
Inicialmente,
3
4
2
4
1
á
21
dada
0
x
valores
de
x
maiores
tg
x,
com
no
os
5
3
7
4
2
4
1
á
21
4
á
21
menores
que
zero,
3
4
2
4
π
0
0
temos:
2π
1
á
:SEÕÇARTSULI
11
2
ou
de
2 π]:
2π
0
2π
[0,
DA
5
4
que
dados
intervalo
NOSL
9 x
tg
5
considerar x
π
0
alguns
por f (x (x)
vamos
OCCES
Para
o
valores
0
35
Observe
que,
para
valores
de x
maiores
que π
ou
menores
que
zero,
a
tangente
a
x
assume
tangente
tg
x
5
é
os
valores
periódica,
tg
(x
1
π)
5
da
tangente
pois,
para
tg
1
(x
de
todo x
2π)
5
...
arcos
do
5
⎤
seu
tg
(x
da
domínio,
1
π
π
2
2
k kπ ),
t
gráfico
da
função
tangente
tem
o
a
função
temos:
com
k
Ñ
Z
repete-se para
⎦
o
Assim,
⎡
Por isso, a curva obtida no intervalo
Assim,
meia-volta.
1
e
x
. 2
⎣
seguinte
formato:
x
1
π
π
–—
3π
7π
11π
4
4
4
–—
2
π
4
3π
0
π
π
4
2
3π
π
4
9π
2π
– — 4
5π
x
3
– —
2
4
2
–1
.8991
=
ed
p
π
orierevef ed 91
função
tangente
⎧ definição,
o
domínio
da
função
tangente
é
R
2
π
ou
função
para
todo
tg
(
x
x)
nem
é
uma
2
ímpar?
função
pertencente
5
gráfico,
observamos
ainda
que
a
função
tangente:
a
ímpar,
π
]2Ü
1Ü[
ou
R
seu
.adibiorp
domínio,
par
tangente
seu
par,
.trA
pois,
nem
função
481
A
con-
ogidóC od
ímpar
o
R
Pelo como
e
⎭
laneP
classificada
,
e
é
⎬
2
⎩ tradomínio
⎫
π
⎨
ieL
Por Ref lita
016.9
da
ed
Carac terís tica s
x x).
As
retas
verticais
que
passam
pe
os
pontos
e
a
1
scissa
k ,
com
k
Ñ
Z,
são
2
quando
desse
um
ponto
ponto
à
se
move
assíntota
se
curva
ao
que
longo
de
aproxima
representa
uma
de
18.
parte
a
função f ,
extrema
dada
dessa
por f(x)
curva,
a
5
tg
oãçudorpeR
denominadas assíntotas da
x x
distância
zero.
h)
c)
⎨
⎬
,
I m(
1Ü
⎡ ⎣
Registre as respostas em seu caderno
⎭
Exerc íc ios propostos
18.
A
curva
ção
,
abaixo
ta
que
é
a
(x )
representação
=
1
1
tg
gráfica
da
fun-
c)
x
Quais
são
função
o
domínio
e
o
conjunto
imagem
da
?
y
19.
No
plano
senta
2
a
cartesiano
função
g(x )
abaixo,
5
tg
x,
a
curva
e
a
cinza
curva
repre-
ver melha
h
representa
a
função
j (x )
5
21
tg
x
1 y π
π
3π
2
2
– — 2
g π 5π
– —
3π
7π
4
4
x
4 4
π
π
π
3π
π
x 2π
2
o
gráfico,
a)
Qual
período
b)
Por
responda
às
2
questões.
A
Analisando
2
NOSL
– —
OCCES
–1
o
da
função
h ?
π
j
valores
de
x
passam
as
assíntotas
da
funçãoh ?
Z
Analisando
os
gráficos,
o
que
podemos
afir mar?
2 Espera-se
ão
36
que
simétricos
os
alunos
em
rela
concluam
ão
ao
eixo x
que g(x (x)
5
tg
x
e
j(x (x)
5
2tg
x
:SEÕÇARTSULI
é
quais
6
Construção
Até
aqui
vimos
gráficos
de
das
gráficos
funções
trigonométricas
fundamentais:
O
seno,
objetivo
alunos
cosseno
e
tangente.
Agora,
veremos
como
construir
gráficos
de
outras
funções
a
deste
desses
gráficos.
Inicialmente,
construiremos
o
gráfico
de
uma
das
funções
isso,
é
papel
fundamentais
(cor
cinza)
e,
a
partir
dele,
efetuando
certas
transformações,
o
gráfico
pedido.
e
Transladar
o
significa
gráf ico
deslocar.
A
os
cada
seguir,
veremos
alguns
gráficos
de
que
cada
possibilitar
gráficos
o
uso
o
aos
mais
de
tabelas.
Para
entendimento
parâmetro
funções
que
trigonométrica
possível,
esse
Transladando
sem
fundamental
função
que
é
do
desempenha
obtena
remos
de
a complexos
partir
tópico
construção
e
alunos
papel,
um
julgar
casos
de
construção
foi
feito
em
de
mais
para
melhor
exemplos
usando
gráficos,
exercício
foco.
oportuno,
compreendam
mostrar
dos
no
se
de
um software
assim
resolvido
como
R8
podem ser obtidos por meio de deslocamentos verticais ou horizontais dos gráficos
das
funções
f (x (x)
a)
5
fundamentais.
2
1
Primeiro,
x
sen
Acompanhe.
x
montamos
uma
tabela
atribuindo
3
4
2
4
0
x
.8991
1
valores
de
0
a
2
5
3
7
4
2
4
2π
2
2
0
2
0 2
2
alguns
π
2 sen
a x
1
sen
0
1
2
2
2
1
1
ed
2
2
2
2
orierevef ed 91
Construímos,
então,
f (x (x)5
x, x
2
1
sen
em
os
um
gráficos
mesmo
das
funções
sistema
de
dadas
eixos,
para
por
g( (x)
efeito
5
sen
e
comparativo:
ed 016.9
y
ieL e laneP
3
f
ogidóC
2 + 2
od 481
2
2
g
1 2
DA
oãçudorpeR
NOSL
.adibiorp
OCCES
.trA
2 2 –
– — 2
0
3
4
5
3
7
x
2
— –
— –
— –
— –
4
4
2
4
2
– – — 2
–1
Observe
que,
unidades
os
valores
Note
que
foram
a
gráficos
partir
da
se
de
c
c
O
mesmo
,
mínimo
o
1
(deslocando)
obtemos
e
domínio,
casos
de
o
máximo
o
gráfico
3.
período
semelhantes
funções
uma
uinte
cima,
e
Ou
a
o
gráfico
de
seja,
f. f
o
de g,
Agora,
conjunto
amplitude,
em
ponto
o
a
gráfico
imagem
relação
à
ponto,
oscila
de f
é
duas
entre
[1,
função g,
3].
não
alterados.
Analisando
Os
transladando
para
a
esse,
notamos
trigonométricas
translação
de
do
unidades
que:
tipo
em
y
5
c
relação
1
sen
ao
x
são
gráfico
y
obtidos
5
sen
x
forma:
0,
a
translação
é
para
baixo.
vale
para
fun
ões
do
tipo
5
c
1
cos
e
5
c
1
37
π
⎛ b) f (x (x)
5
cos
x
2
Novamente,
x
3
4
2
4
x
atribuindo
a
5
uns
3
valores
de
0
3
2
4
2
7
2
2 0
2
7
π
⎞
9
5
4
2
2π 4
2
2
4
2
0
2
2 1
1
2
1
2
2
2
0
2
2
π Os
2 π
4
1
π
a
2π
2
2
al
4
1
π x
tabela
π
⎛ co s
uma
0
2
x
⎠
montamos
2 cos
⎞
1
⎝
gráficos
das
funções
dadas
por
g( (x)
5
cos
x
e
x
5
cos
x
⎞ são:
1 ⎠
y
1 g .8991
OCCES
– — 2
ed
3
NOSL
orierevef
— –
4
DA
0
4
2
5
3
7
— –
— –
— –
4
2
4
x
2
ed
91
f
2
ed 016.9
2 –1
ieL e
função
e
f
apresenta
mesma
mesmo
amplitude
domínio,
que g,
mas
mesmo
o
gráfico
conjunto
de g
imagem,
sofreu
uma
mesmo
translação
od
de
para
a
esquerda.
481
(deslocamento)
2
casos
semelhantes
a
esse,
notamos
.trA
Analisando
og idóC
período
laneP
A
que:
.adibiorp
gráficos
translação
de
funções
de
b
do
tipo
unidades
em
5
cos
relação
(
ao
1
b
.
b
,
0,
a
translação
é
para
a
direita.
O
y
mesmo
5tg(x
pode
1
ser
v er i fi ca do
para
b)
são
gráfico
f u n ç õe s
obtidos
5
do
cos
t i po
a
de
y
5
partir
tal
sen
de
modo
( (x
1
uma
que:
b)
ou
b).
Alterando
a
amplitude
Agora, veremos que podemos obter alguns gráficos “esticando” ou “achatando”
verticalmente
Por
exemplo,
Primeiro,
x
os
gráficos
vamos
montamos
3
x
cos
3
4
2
4
o
fundamentais.
gráfico
tabela
de f (x (x)
atribuindo
a x
5
3
cos
alguns
x
valores
de
5
3
7
4
2
4
π
2 0
3
2
a
2 π
2 0
0
3 2
0
2π
1
0 2
38
uma
1
x
funções
construir
0
2 cos
das
2
3 2
oãçudorpeR
Os
Os
gráficos
de
f
e
g,
com
g(x (x)
5
cos
x
e
f (x (x)
5
3
cos
x, x
são:
y
3
f
— — 2
1 g
2 3
– —
5
— –
— –
2
4
4
0
2
3
7
4
x
2
4
2
–1
OCCES
a)
gráfico
de
g
seria
verticalmente.
A
“achatado”
amplitude
,
seria
e
conjunto
imagem
.8991
–3
O
gráfico
de
g
em
de
f
seria
relação
ordenadas
⎡
1
⎣
2
1
⎤
seria
DA
b)
2
simétrico
ao
eixo
positivas
x,
ao
pois
ficariam
⎦
gráfico
as
negativas,
ed orierevef
e
Observe
ed
mente:
que,
agora,
multiplicando
ele
oscila
g(x (x)
entre
3
5
e
cos
3.
x
Ou
por
3,
seja,
a
“esticamos”
amplitude
o
gráfico
de f
é
3,
o
as
triplo
ed
g,
e
o
conjunto
imagem
de
f
é
[
3,
016.9
que
o
domínio
e
o
período
não
foram
positivas.
3]. de
Veja
ficariam
da
91
de
negativas
Ref lita
vertical
amplitude
g
se
tivéssemos:
alterados.
1
ieL
a)
f (x (x)
cos
5
x?
2
e laneP
Analisando
ogidóC od
Gráficos
481
O
de
mesmo
casos
semelhantes
funções
ocorre
a
esse,
trigonométricas
para
funções
do
notamos
do
tipo y
tipo y
5
d
que:
5
d
sen
b)
cos
x
têm
amplitude
f (x (x)
5
21
cos
x?
d
x
.trA .adibiorp
Obser vação
oãçudorpeR
f
Nestes
exercícios
adquiridos
das
na
funções
fazer
f (x (x
1
c
resolvidos,
análise
pois,
1
c)
e
c
f (x (x),
com
dos
espera-se
que
parâmetros b
apresentadas.
tabelas,
f (x (
nesse
Para
caso,
a
a
c
e
os
d
resolução
análise
alunos
para
dos
dos
compreendam
obter
o
domínio,
exercícios
exemplos
terá
o
como
propostos,
sido
em
usar
conjunto
não
os
conhecimentos
imagem
devemos
e
a
amplitude
incentivá-los
a
vão.
Exe rc íc ios resolv id os
R7.
Deter minar
o
domínio,
o
conjunto
imagem,
π
⎛ função
dada
por
x
5
2
o
período
e
a
amplitude
da
⎞
x 4
Resolução
π
⎛ Vamos
considerar
a
função
h
dada
por
h (x )
5
cos
O
gráfico
de
h
é
obtido
por
meio de
uma
⎞
x ⎝
⎠
4
translação
do
gráfico
da
funçãog,
dada
por
g(x )
5
cos
x,
de
para
a
direita.
4
Como
e
f (x )
Como
e
f (x )
a
amplitude
5
o
5
8
Im(
h
é
1,
imagem
da
função
h
é
é
[
igual
à
amplitude
f
por
)
5
de
1,
1],
igual
ao
da
funçãog
f
2
[
os
2,
extremos
do
intervalo
g
2.
h(x
tiplicando
Logo,
função
f
conjunto
2
da
h(x
[
1,
mul-
1].
2].
f
são
os
mesmos
de
g:
D
f
5
R
e
p
5
o
2
NOSL
– — —
O
2π
39
Comentar
do
com
software
de
os
alunos
que,
construção
de
com
o
uso
R8.
Com
fico poderíamos
construir
gráfico
sem
de
f,
ter
diretamente
de
o
auxílio
de
um
software
fazê-lo
de
uma
das
funções
passo
a
partir
do
gráfico
da
construção
trigonométricas
de
gráficos,
fundamentais,
a
π tal
que
5
2
cos
por
g(x (x)
5
cos
x;
entretanto,
analisar
o
gráfico
as
passo
mudanças
a
grá
passo
causadas
passo
,
e
analisar
o
⎠
vamos
que construir
do
⎞
x
função
4 dada
partir
construir
o
passo
f , a
de
gráficos,
ocorre
com
o
gráfico
a
cada
passo.
Indicar
o
domínio,
o
conjunto
para
por
cada
f
parâmetro.
Resolução
Primeiro,
g(x )
5
vamos
cos
traçar
o
gráfico
da
função
trigonométrica
dada
por
x
y
Obser vação Campo
y = f(x)
para
digitar
a
lei
5
da f(x)
Em
alguns
softwares,
=
função
cujo
gráco
cos(x)
temos
queremos ok
construir.
cancelar
4
de
escrever
maneira
a
lei
da
diferente.
função
de
Obser ve
os
Podemos
selecionar
opção
exibir
de
de
grade
para
a
linhas
car
mais
fácil
visualizar
as
2
x
∫
mudanças
a
1
⎛ 2
cos
x
π
⎞
4
⎠
1
1pi/4)
É π/2 2
⎝
3π π/4
π
3π/2 2
cada
π/4
π
4
π
5π π
4
possível
escolher
x
1 π
4
2π π
9π π
com
1pi
que
4
–1 1
a
x
7π π
graduaremos
tg
gráco
passo.
unidade 3π π/4
no
Nesse
caso,
os
eixos.
graduamos
/2
2
o
eixo y
1
intervalos
unidade
e
o
eixo x
.8991
de
–2 2
em
π em
intervalos
de
.
os
passos
descritos
passo:
cos
cos
⎞
91
seguir.
ed
a
π
o
orierevef
Acompanhe
ed
4
x ⎠
ed
4
016.9
y
ieL e
5
laneP ogidóC od
4
3
481
2
.trA .adibiorp
1
π/2 2
3π π/4
π/4
π
π
π/2 /
π/2 2
π/4
x
7π π/4
2π π
oãçudorpeR
3π
9π/4 /
1
2
O
gráfico
de
g
sofreu
uma
translação
de
para
a
esquerda.
4
π
o
passo:
co
2
cos
x
⎞
1
4
4
⎠
y
5
4
3
2
1
5π/4 / 3π/4
π/2 2
3π π/4
π
2π π
π/2
OIBUR
9π/4
π/4
π/4 4
π/2 2
7π π/4
1
ZIUL
O
40
gráfico
da
função
tem
nova
amplitude,
igual
a
2.
:SEÕÇARTSULI
2
o
passo:
"
1 ⎠
y
5
4
3
2
1
5π/4 / π/4
π/2 2
π/4
π/4
π
4
π
2π π
π/2
x
2
9π/4
7π π
1
2
O
gráfico
sofreu
uma
translação
de
duas
O conjunto imagem da função dada por
unidades
g(x ) 5
cos
para
cima.
x y
o
é
[
1,
1].
Após
o
1
passo,
adicionando
o
5
4
conjunto
imagem
da
nova
o
.8991
[
1,1].
Após
o
2
função
continua
sendo
4
o
e
o
3
passo,
o
conjunto
imagem 3
se
modificou.
Quando
a
função
é
multiplica-
ed orierevef
dapor2,
o
conjunto
imagem
Adicionando-se 2, o
passa
conjunto
a
ser
imagem
[
2,2].
da
nova
2
1
ed
função
passa
a
ser
[0,
4].
f
)
5
f
π/2
x
conti /4
π/4
π
4
π
2
3π
4
π
5π π/4
7π π
4
2π π
9π
4
B
ed
Im(
O
91
π/2 2
Portanto,
R
sendo
2.
ZIUL
016.9
nua
1
são
os
mesmos
de
g
:SEÕÇARTSULI
ieL
f
e
2
laneP
D(
f
)
ogidóC od
Veja
5
ao
R
e
p
lado
5
os
2π
gráficos
das
funções
f
e
g
481 .trA .adibiorp
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
oãçudorpeR
Os
gráficos
abaixo
representam
as
22.
funções:
O
gráfico
f (x )5 π
⎛
f (x )
5
sen
x
1
abaixo
b
cos
r ep r esen ta
x .
a
Deter mine
os
f unç ão
valores
vermelho
2
f
de
de
a
lei
e
⎞
1
⎝
a
a
5
2;
b
5
2
⎠ y
π
g(x )
5
cos
⎞
x
azul
4
⎠
4
y
1
3π
4
π
π
π
4
2
π
5π
3π
4
2
7π
2
x
9
– — 4
4
4
–1
π
0
Descubra
qual
curva
representa
cada
uma
2π
x
das 23.
Utilizando
um
software
de
construção
de
gráfi
funções. construa
em
um
mesmo
plano
Ver
gráficos A partir do gráfico da função g
de lei g
x
π
5
1
1
sen
x ⎝
o
domínio,
período
e
a
o
conjunto
imagem
Ver
amplitude
de
resolução
os
do
professor.
f (x )
5
3
1
5
22
sen
x
e
g (x )
5
23
sen
x
⎞
4
⎠
o
b)
f (x )
1
cos
x
e
g (x )
5
2
cos
x
no
çõesf f do
Guia
1
imagem,
. Guia
no
eg
de
cada
item.
professor.
41
SEÕÇARTSULI
Indique
resolução
g
DA
⎛ x
e
5 sen x , cons-
a)
trua o gráfico de f , tal que
funções
NOSL
21.
das
cartesiano
OCCE
cos,
Alterando
Nos
tópicos
translações
funções
pico,
às
o
período
anteriores,
horizontais
trigonométricas
veremos
funções
estudamos
ou
exemplos
verticais
alguns
ou
fundamentais,
de
fundamentais.
gráficos
gráficos
modificação
embora
que
sofrem
que
na
são
obtidos
amplitude
conservem
alteração
o
de
dos
a
partir
gráficos
período.
período
Neste
em
de
das
tó-
relação
Acompanhe.
Exemplo
Vamos
o
da
construir
função
Primeiro,
x
g
o
gráfico
dada
por
montamos
da
g(x (x)
uma
função f
5
sen
tabela
dada
atribuindo
3
4
2
4
0
x
a x
0
valores
de
0
3
7
4
2
4
2
a
2 π
2
5
então,
no
os
0
1
gráficos
mesmo
sistema
4π
das
de
2
1
funções
g
e
0
f
dadas
0
1
por
g(x (x)
5
sen
x
e
ed
sen2x
7 3π
2
.8991
Construímos,
2
2π
0
0
1
2
1
com
2π
3
5
compará-lo
2
π 2
f(x) f(
e
5
2
0
2x
2x
0 2
sen
sen
alguns
2
0
2x
5
π
2 sen
por f(x)
x
eixos:
orierevef
y
ed 91 ed
f 1
016.9
g
ieL
3
7
2
4
2
2
3π
5π
4
4
2π
4
x
og idóC
π
laneP
2
π
e
π
0
2
od 481
OCCES
–1
5
.trA
π
DA
p
que
f
apresenta
mesmo
2π
domínio,
mesmo
conjunto
imagem
e
mesma
amplitude que g, porém tem período igual a π, ou seja, metade do período de g
Analisando
casos
semelhantes,
notamos
que:
2 As funções trigonométricas do tipo y 5 sen (
x) ou y 5 cos (
x) têm período
No caso das funções do tipo y
5 tg (ax), podemos verificar que o período é
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
Ver
24.
resolução
Determine
houver)
a)
25.
f (x )
das
5
Esboce
das
o
o
3
questões
domínio,
funções
sen
gráfico
24
o
e
25
no
Guia
conjunto
indicadas
a
2x
de
cada
do
professor.
imagem,
o
período
e
a
amplitude
seguir.
b)
f (x )
5
5
1
c)
f (x )
5
2
d)
f
5
22
2
cos
função.
x a)
f (x )
5
cos
sen
2x
2
b)
42
f
x
5
sen
4x
x
cos
x
3x
(quando
oãçudorpeR
Observe
5
.adibiorp
NOSL
p
Exercícios
complem ent a res Registre as respostas em seu caderno
7.
Em
alguns
trechos
do
rio
T ietê
(SP),
verifica-se
a
Aplicação for mação
Ver
resolução
no
Guia
do
Desenhe
um
ciclo
trigonométrico
e
represente
nele
dos
quantidades
de
espuma,
re-
números
de
poluição
por
resíduos
industriais.
Em
as certo
imagens
notáveis
professor.
sultante 1.
de
dia,
a
quantidade
de
espuma
variou
segundo
a
reais: t função
2π a
x
1
5
k
2π
k
Ñ
c)
Z
x
5
1
k
8
π
k
Ñ
x
dada
por
t
5
3
,
em
que
f (t )
é
6
a
b)
f
Z
6
3
1
5
k
π
k
Ñ
quantidade
de
espuma,
em
metro
cúbico
por
metro
Z de
rio,
e
t
é
o
tempo,
em
horas
contadas
a
partir
da
4
meia-noite.
Deter mine
o
primeiro
momento
do
dia
em
a
2.
Usando
rência
arcos
uma
medida
da
trigonométrica,
côngruos
1
volta
escreva
positiva
a
855°
135°
1
3
circunfe
expressão
geral
que
dos
de
a
quantidade
rio.
às
k
360°,
k
o
menor
8.
Z
Construa
e
o
maior
valor
que
assume
sen
10x
3;
A
quantidade
m
por
metro
h
de
algas,
o
o
gráfico
das
conjunto
funções
imagem,
o
a
seguir
período
e
e
a
indique
o
amplitude.
π f (x )
5
1
2
cos
x
b)
f (x ) 5 3
sen
x 2
5 Ver
4.
5
a a)
4
atingiu
3
domínio,
expressão
espuma
b)
Ñ Z
3
Deter mine
3
de
a:
25 a)
da
em
tonelada,
em
certa
resolução
no
Guia
do
professor.
baía
Aprofund amento varia
periodicamente
com
o
tempo
e
é
representada
t .8991
pela
A
função
t
5
1
200
8
,
9.
com
Veja
o
esboço,
em
um
mesmo
plano
cartesiano,
dos
6
ed
gráfico em
anos.
Se
t
for
medido
a
partir
de
janeiro
de
de
f (x )
orierevef
será
a
quantidade
de
algas
na
baía
em
2025?
1.050
x
g(x )
5
sen
x
e
(x )
5
tg
x
3
janeiro
,
,
2 de
cos
2010,
qual
5
2
toneladas
ed 91
y
ed
h
5.
(FGV-SP)
Um
super mercado,
que
fica
aberto
24horas
016.9
1
por
dia,
faz
a
contagem
do
número
de
clientes
na
loja
a g
ieL
cada 3 horas. Com base nos dados observados, estima-
3π
e laneP
-se
que
o
número
de
clientes
possa
ser
calculado
2
pela 0 π
ogidóC
x função
x
trigonométrica
5
900
2
800
π
sen
x
2
12
od
em
ue
f (
)
é
o
número
de
clientes
e
a
hora
da
1
481
f
observação
(x
é
um
número
inteiro
tal
que
0
<
x
<
24).
.trA .adibiorp
Utilizando
essa
função,
a
estimativa
da
diferença
entre
N o
número
máximo
e
o
número
mínimo
de
clientes
in
rv
n
i
r
den-
a
oãçudorpeR
tro
do
super mercado,
em
um
dia
completo,
é
igual
sim
a:
b) a)
b)
600
c)
800
900
d)
e)
alternativa
1.500
c)
e
d)
6.
(Enem)
e
Segundo
Estatística
que
ano
e
em
varejistas
Instituto
(IBGE),
apresentam
consumo
do
o
que
ora
a
é
produtos
ciclos
preço.
Brasileiro
bem
sazonais
definidos
Resumidamente,
sua
com
são
de
preços
aqueles
e)
produção,
nos
não
quais
sen
Geografia
existem
disponibilidade
escassa,
de
não
1.600
são
5tg
sabendo
B
épocas
x
é
o
as
x ?
que
ponto
menor,
coordenadas
(
,
A
é
em
maior
do
ponto
em
que
0)
o
que
ou
ponto
tg
x
igual
em
5
à
cos
que
x
cos
a
abscissa
x
5
sen
abscissa
de
B ?
de
x
e
A
é
maior
mercados
elevados,
ora
é
Desaf io abundante,
mês
de
com
preços
produção
mais
máxima
baixos,
da
o
que
ocorre
no
safra.
10.
A
função
foi
A partir de uma série histórica, observou-se que o preço P P,
,
obtida
a
cujo
gráfico
partir
de
está
uma
representado
função
abaixo,
trigonométrica
fundamental. em
reais,
do
quilograma
de
certo
produto
sazonal
x
⎛ deser
descrito
pela
função
(x )
5
8
1
5
x
ciado
mês
de
o
mês
janeiro,
sucessivamente,
do
x
5
até
ano,
2
x
ao
sendo
mês
5 12
x
de
⎠
6
5
1
asso-
fevereiro,
associado
ao
e
mês 0
π
π
3π
4
2
4
π
5π
3π
7π
2
4
x
2π
dezembro.
Disponível
em:
4
NOSL
de
<www.ibge.gov.br>. –1
safra,
o
mês
de
produção
2
ago.
máxima
2012
desse
(adaptado).
produto
é:
alternativa
a)
b)
ane
abril
ro
c)
d)
junho
julho
e)
outubro
Podemos
concluir
que
a
lei
dessa
função
é:
alternativa
d
a)
f (x )
5
b)
f (x )
5
1
1
sen
1
cos
x
x
c)
d)
f
x )
5
[ sen
f (x )
5
[ cos
x
x
43
d
:SEÕÇARTSUL
Na
em:
A
Acesso
OCCES
assim
representa
ao
y
⎞
cos ⎝
onde
po
Registre as respostas em seu caderno
Autoavaliação
5.
16 1.
O
arco
é
côngruo
a:
alternativa
Observe
o
gráfico
abaixo.
c
3 y
2
a)
3
Sendo
k
Ñ
Z,
5 d) 1
3
2.
4 c)
b)
3
uma
expressão
3
geral
dos
arcos
côn-
gruos
0
2 2π a
é:
alternativa
3
2
2
5
π
2π
a)
1
k
2π
c)
1
5
π
2π
Esse
gráfico
dada
pela
k
8
π
d)
1
k
8
da
pressão
a)
segundo,
de
uma
sanguínea
pode
pessoa
ser
em
,
em
função
modelada,
1
2
2
1
1
2
2
em
função
que
trigonométrica
cada
ciclo
de
sen
(x
R
em
R
(período)
um
batimento
⎞
⎠
π
⎛
x
sen
⎞
x ⎠
2
π
⎛ x
sen
x
⎞
1
⎝
⎠
2
abai-
equivale d)
a
f ,
x 2
aproximadamen-
representada
completo
π
⎛
2 pela
xo,
função
tempot
c)
te,
a
a
cos
milímetro
do
1 x
b)
mercúrio,
em
alternativa
π
5
variação
de
representa
lei:
2π 1
5
A
k
5
b)
3.
x
2
c
1
1
2
2
x
cos
cardíaco.
x
P (mmHg)
6.
A
função
f ,
amplitude:
que
f (x )
3
b)
5
22
3
π),
tem
a
2
c)
2π
d)
π
ed
a)
tal
alternativa
.8991
120
7.
O
interva
o
é
o
conjunto
imagem
da
orierevef
100
função
80
f (x )
5
3
1
2
cos
(2x
1
1).
alternativa
ed
i
d
91
intervalo
1,125
de
um
1,5
1,875
batimento
2,25
cardíaco
t
[
1,
1]
b)
[
2,
2]
c)
[
1,
5]
d)
[1,
5]
(s)
é
A
função
f (x )
5
sen
2x
tem
período:
alternativa
ieL
o
75
016.9
Então,
0
ed
a) 0,375
b
e
80
120
s
d
a)
c)
0,37
d)
0,75
b)
c)
2
d)
3
s
9. s
0,5
Em
certo
lago,
a
massa
de
algas,
medida
em
ogidóC od
a)
b)
alternativa
laneP
aproximadamente:
qui-
s
lograma,
varia
de
maneira
periódica
confor me
a
481
t Sabemos
que
sen
5
sen
(
1
2π)
para
todo
m (t )
5
4.500
1
3.400
sen
,
em
que
.trA
4
função
60 a
função
seno
é
e
tem
o
igual t
a
2π
alternativa
é
o
tempo,
limitada;
periódica;
c)
ilimitada;
d)
máximo
periódica;
dias,
a
partir
de
1
de
ano.
máxima
período
nesse
período
mínimo
Entre
(
ocorrências
janeiro
kg)
lago,
e
sucessivas
mínima
passam-se
a)
4.500;
3.400;
60
b)
4.500;
3.400;
π
(
de
de
kg)
dias.
massa
de
oãçudorpeR
a)
em
b
cada
b)
.adibiorp
Logo,
algas
alternativa
c
c)
7.900;
1.100;
60
d)
7.900;
1.100;
120
Retomad a de conceitos
Se
você
Releia
não
a
acertou
teoria
e
alguma
refaça
os
questão,
exercícios
consulte
a
tabela
e
verifique
o
que
precisa
Número
Objetivos
fenômenos
o
capítulo
1
2
3
4
X
X
X
X
da
questão
5
6
7
8
9
X
periódicos.
conceito
de
ciclo
trigonométrico X
em
novamente.
X
X
X
X
X
X
X
X
X
OCCES
Estender
do
estudar
correspondentes.
R
NOSL
DA
trigonométricas.
44
do
livro
referentes
ao
conceito
27
a
29
28
e
25
a
27
26
e
27
30
a
36
30
e
32
29
30
a
42
30
a
42
30
a
42
30
a
42
25
a
27
:SEÕÇARTSUL
Páginas
V ídeo documentár io
Pesquisa e ação
Um
fenômeno
naturais
são
são
periódico
cíclicos,
é
algo
como
o
que
dia
e
acontece
a
noite.
respeitando
Muitos
determinado
jornais
impressos
ciclo.
têm
Muitos
edição
fenômenos
diária,
ou
seja,
periódicos.
Vamos criar um vídeo documentário retratando situações que representam fenômenos periódicos.
O
conceito
de
período
é
fundamental
no
estudo
das
funções
trigonométricas.
KCOTSRETTUHS/GAN HTIMA
Montagem
das
fases
da
Lua.
P r ocedi me n t os
1)
Reúna-se
Acústica.
Astronomia
Ciclo
das
desse
2)
com
mais
(ciclos
marés
Ciclos
A
nos
seres
migração
Escolhido
o
4)
início
do
Você
e
etapa
é
colegas
a
escolham
do
ano,
desastres
(frequência
piracema
deverão
vídeo
poderá
analó
captação
cenas
de
escolher
os
duzidos,
as
e
vocês
ou
da
parte
próxima
deverão
5)
itais
listando
farão
aves
Esse
Antes
A
e
estações
alguns
humanos
tema,
(di
que
Lua,
(citar
das
portáteis
escrito
da
colegas
um
dia
dos
e
naturais
temas
noite,
apresentados
período
ocorridos
em
de
a
retorno
momentos
seguir.
de
de
cometas).
desequilíbrio
ciclo).
2 a 4 minutos.
3)
quatro
cada
do
de
convidando
criar
um
conter
pesquisa
da
pequeno
ima
e
vídeo.
menstruação).
peixes.
ou
ens
pesquisadas
Nessa
das
e
na
vídeo
cenas
é
pelo
com
rupo
dura
com
ão
de
câmeras
internet.
imagens,
etapa,
documentário
captadas
o
grupo
interessante
deverá
descrever
elaborar
a
um
imagem
e
roteiro
o
texto
Depois,
vocês
cena.
a
software
classe,
a
dos
icas)
organizar
um
cardíaca,
escolha
de
com
das
edição
o
imagens
de
vídeo
professor,
comunidade
escolar
e
poderão
para
as
para
filmagens
necessárias.
efetivamente
organizar
assistir
a
construí-lo.
uma
mostra
dos
vídeos
pro-
eles.
45
1.
a)
Som
Compreensão de texto
se
b)
Este
na
tema
pode
explicação
gerar
do
que
um
é
trabalho
som,
e
interdisciplinar
um
trabalho
com
com
O
Física,
Biologia,
na
c)
é
uma
variação
propaga
som
é
o
qual
o
meio
Entre
na
causado
gera
à
20
uma
sua
e
de
forma
de
por
pressão
ondas
vibração
variação
de
muito
em
de
rápida
um
um
pressão
meio
corpo
de
que
elástico.
elástico,
acordo
com
volta.
20.000
vezes
por
segundo.
S
Som
em
um
pode
meio
variação
pode
Pa r a
aos
ções
som
que
nossos
ocorrem
variação
entendido
pressão
produzir
[...]
gam
de
ser
elástico.
de
Em
[de
e,
como
geral,
acordo
nesse
entre
pressão
20
seja
som
com
caso,
possamos
ouvidos
uma
o
o]
e
o
p e rc e b e r
20.000
à
sua
nome
o
de
por
pressão
por
uma
volta.
de
som,
dentro
vezes
alguns
de
causado
meio
recebe
estejam
de
variação
é
Qualquer
fonte
é
limites
segundo,
de
rápida
de
que
um
corpo
se
propaga
corpo
elástico
na
elástico,
capaz
de
forma
o
de
qual
vibrar
ondas
gera
uma
rapidamente
sonora.
necessário
certos
milionésimos
muito
vibração
esse
que
de
as
va r i a ç õ e s
ra p i d e z
som
é
e
de
pressão
intensidade.
potencialmente
Se
que
essas
audível,
ainda
ch e -
va r i a -
que
a
pascal*.
...
Os
são
sons
torna-se
som
não
que
geralmente
útil
puro
é
pode
partir
[...],
gerado
ser
Disponível
ocorrem
de
um
meio
caso
mais
pelo
instrumentos
<www.etel
ou
que
Entretanto,
representado
por
conseguido
em:
no
complexos.
simples
gráfico
de
/arti
através
gerados
se
e
tradicionais
artificialmente
.com.br/etel
são
para
por
entender
genérico:
uma
nem
de
o
um
musicais
complexidade
som
função
é
instrumentos
a
senoidal,
seno.
encontrado
sintetizador
Esse
na
sonora,
chamado
de
som
natureza,
tipo
mas
eletrônico.
os/e25e1be1075a875af1aad3b0ce2ffe0f.pdf>. Br i t a d e i r a
Acesso
em:
6
fev.
( 9 0
*
pascal
(Pa):
a
1
m e t r o
2016.
unidade
de
medida
de
pressão
do
Sistema
Internacional
4.
a)
de
Unidades
Respostas
de
rock;
avião
b)
a
(SI).
possíveis:
construção
civil;
4.
banda
c)
sta
pessoal
d)
resposta
pessoal
decolagemde
jato
Espera-se,
a
sensibilizar
os
de
a
aos
No
de
caso
de
secadores
por
a
Além
cabelos,
média
ruído
donível
écerca
los
de
da
de
esta
em
decolagem
50metros.
com
atividade,
50metros;
foguete
d B)
alunos
danos
ruídos
excessivos.
disso,
sobre
relação
causados
a
conscientizá-
importância
colaboração
de
cada
cidadão
80decibéis;nos
c
a
n
d
ind
a
S u ssu r r o
a
1
co
ruído
m e t r o
90 ( 2 0
está
entre
80
e
Co n v e r sa çã o
decibéis. ( 6 0
d B)
fa
n o r m a l
dentr
d B)
a
sala
ou
de
aula
es
regula
periodicamente
ouvir
música
volume
F a r f a l h a r
( 1 0
0
dB
silêncio
absoluto
46
d e
f o l h a s
S a l a
d B)
10
d e
( 5 0
dB
20
dB
30
dB
40
dB
50
mais
ou
em
aixo.
a u l a
d B)
dB
60
dB
70
dB
80
dB
90
dB
100
dB
Registre as respostas em seu caderno
At iv id ades
1.
Responda
às
página
lado.
ao
questões
a
O
que
é
b)
O
que
gera
c)
Para
é
acordo
com
o
texto
da
Sons
e
vistos
som?
ual
som
de
o
vibrações
pelas
problemas
som?
pessoas
intervalo
audível
ara
de
o
variação
ser
de
ressão
Apesar
o
humano?
Uma
onda
sonora
pode
ser
representada
por
o
bidimensional,
em
que
o
eixo
a
passagem
do
tempo
cal representa
a
variação
(t )
e
o
representa
do
de
um
meio.
pressão
som
Qual
dos
das
a
poluição
e
de
ou
sonora
feitos
ainda
não
as
sonora.
públicas
alertas
pre-
causar
perturbar
poluição
políticas
dos
níveis
por
para
espe-
a
do
ar
ou
a
da
sensibiliza
água.
acordo
( dp d )
senoidal?
o
com
limite
a
Organização
suportável
Mundial
para
o
da
ouvido
Saúde
humano
em
65
decibéis*.
Acima
disso,
o
organismo
começa
gráficos
ternat
va
a
c
sofrer .
A a)
e
chama
os
podem
verti
é
melhor
ponto
leis
que
irreversíveis
problema
como
(OMS),
deter minado
se
e
horizontal De
representa
que
ultrapassam
legais
um tanto
gráfico
o
das
cialistas,
2.
auditivos
é
controlar
que
nor mas
[...]
longo
prazo,
o
ruído
excessivo
pode
causar
dp
gastrite,
insônia,
distúrbios
aumento
psíquicos
e
do
perda
nível
da
de
colesterol,
audição.
Provoca
t
OCCES
ainda
conforto,
NOSL
b)
dp
irritabilidade,
medo
Fonte:
a)
Com
base
t
sons
judiciais
b)
variação
de
pressão
de
uma
seja
dada
é
5
1,48
sen
Cuidado!
saúde.
179,
Nova
p.
28
infor mações
exemplos
muito
de
altos
e
Barulho
Escola,
29,
destas
que
Paulo,
jan./fev.
situações
e
demais
São
2005.
páginas,
que
podem
podem
ser
pre-
saúde.
em
o
por
livros,
nível
de
revistas
ruído,
ou
em
na
inter net
decibel,
alguns
aparelhos
atingi-
eletrodomésticos,
por como
dp
Ana.
à
onda do
sonora
à
Pesquise
qual a
mal
nas
alguns
gerar
que
JOVER,
n.
cite
Suponha
des-
tensão.
faz
SEÕÇARTSUL
dp
c)
excitação,
[...]
DA
t
e
ansiedade,
(1,07πx
334πt ),
em
que
x
secador
de
cabelos,
aspirador
de
pó
e
está liquidificador.
expresso
em
metro,
t
dp,
em
pas-
c) cal.
Deter mine
a
variação
máxima
de
o
texto
a
seguir
e
responda
às
d)
questões.
Em
sua
nizar
[...]
Com
o
passar
diariamente
a
do
sons
tempo,
muito
uma
altos
pessoa
pode
ter
a
[...]
de
D e co l a g e m
d e
110
causados
opinião,
poluição
os
quais
medidas
a
5 0
(dB):
unidade
intensidade
de
sonora
medida
de
uma
Dados
podem
usada
uando
se
determina
obtidos
em:
130
dB
HALLIDAY ,
140
David;
ame-
dB
RESNICK,
150
o
nível
d e
F o g u e t e
dB
ex-
m e t r o s a
5 0
m e t r o s
d B) ( 2 0 0
120
ruído
fonte.
d B)
dB
por
sintomas?
sonora?
r o ck
( 1 3 0 ( 1 1 0
a
foram
exposta
a v i ã o Ba n d a
danos
Quais
audição decibel
comprometida.
sofreu
O
Leia
já
cessivo?
pascal
NNAK
1,48
4.
Você
pressão.
dB
Robert;
160
KRANE,
dB
Kenneth
170
S.
dB
Física
2.
180
Rio
de
dB
Janeiro:
d B)
190
LTC,
dB
1996.
200
p.
128.
4
dB
v.
47
l
o
t
u
í p
C
a KCOTSNITA /L S
A
decom
luzes
essa
de
Ob
etivos
do
Aplicar
a
fenômeno
Ampliar
lei
o
dos
de
prisma
de
ocorre
refração
em
quando
da
devido
luz.
capítulo,
veremos
novas
relações
trigonométricas.
Um
exemplo
de
apli-
senos
conceito
ão
que
de
no
razão
um
branca
capítulo
ca
por
luz
cores,
transparente,
Neste
da
erentes
passa
material
ao
osição
di
de
uma
delas
corresponde
material,
é
à
está
razão
expresso
no
campo
entre
a
da
Óptica,
velocidade
matematicamente
da
quando
luz
no
calculamos
vácuo
e
a
o
índice
velocidade
da
de
luz
por:
trigonométrica.
Resolver
equações
trigonométricas
em
R
δ
α
2
Aplicar
as
fórmulas
de
n
2
NOSLIDA
1
ES
n
5
α
adição
de
arcos.
sen n
2
ar
n
Um
48
possível
desenvolvimento
interdisciplinar
relacionado
ao
assunto
deste
capítulo
está
na
Física,
explorando
o
campo
da
Óptica.
em
um
SEGAM
T rigonometria
triângulo
YTTEG/EGAMIAIAC
1 qualquer
Nos
capítulos
ângulos
relações
Por
culo
e
direta
altura
não
aplicando
1.1
Neste
aplicá-las
exemplo,
da
anteriores,
obtusos.
é
em
de
um
dos
Nesses
da
é
calcular
esse
como
na
necessário
casos,
as
razões
trigonométricas
conhecimento
para
estudar
de
novas
qualquer.
situações,
montanha,
possível.
a
usaremos
triângulo
algumas
uma
relações
Lei
a
aprendemos
capítulo,
é
possível
Trigonometria,
demarcação
determinar
medir
descobrir
ângulos
essas
de
terras
distâncias
com
ou
cuja
um
no
cál-
medição
teodolito
e,
medidas.
senos
Profissional
Acompanhe
a
situação
a
usando
um
teodolito,
seguir. 2015.
Um .8991
um
fio
lago
elétrico
em
um
será
instalado
terreno
plano.
entre
Como
um
poste
calcular
o
P
e
uma
casa
comprimento
C,
de
separados
fio
por
necessário?
ed orierevef
Observe
o
esquema
que
representa
essa
situação.
ed ed
OCCES
91
C
016.9
30° O
NOSLIDA
ieL
49°
e og idóC
:SEÕÇARTSULI
laneP
22
m
od 481 .trA
P
.adibiorp
As
medidas
oãçudorpeR
dolito.
o
apresentadas
Aplicando
comprimento
essas
C
do
no
esquema
medidas
na
lei
foram
dos
obtidas
senos
com
o
(apresentada
auxílio
a
de
seguir),
um
teo-
obtemos
fio. A
Em
um
triângulo
qualquer,
as
medidas
dos
lados
são
proporcionais
aos
senos c
dos
ângulos
opostos
a
eles,
isto
é:
b
a
b
c
en
C
B
C a
Demonstração
A
Consideremos
um
triângulo
qualquer ABC, C
com
altura
de
medida
h,
relativa
ao c
lado
BC
H’
h
b
h Temos:
sen
C
5
h ,
ou
h
5
b
sen
C,
e
sen
B
5
,
ou
h
5
c
sen
B h’
b
b Portanto:
b
C
5
8
B
c
C
5
u sen
B
(I) sen
B
H
C a
Considere
agora
a
altura
CH’ ,
de
medida
h’,
relativa
h Temos:
sen
A 5
ao
lado
AB
h ,
ou
h
5
b
sen
A,
e
sen
B
5
b
Obser vação ,
ou
h
5
a
sen
B
a
Na demonstração ao lado, usamos
b Portanto:
b
sen
A
5
a
sen
B,
ou
a 5
(II)
um triângulo acutângulo, mas é
en possível demonstrar a lei dos senos
De
(I)
e
(II),
para um triângulo obtusângulo
obtemos:
se
A
sen
C
epara um triângulo retângulo.
49
Obser vação
Exe rc íc ios resolv id os
Observe, na figura abaixo, o
R1.
Retomar
a
situação
comprimento
triângulo A’B
de
fio
da
página
anterior
necessário
para
e
calcular,
unir
o
poste
aproximadamente,
à
o
casa.
, retângulo em B e
inscrito na semicircunferência.
Resolução
A
Temos
o
seguinte
esquema:
A ’ c r
C
b
30° O
r 49°
C
B a
22
É
possível
mostrar
m
que: P
a
b
c 5 2r
sen
A
se
sen Pela
lei
dos
senos:
PC
OP 5
sen
sen
uma
30°
calculadora,
obtemos:
sen
49°
q
.8991
Em
49°
0,75
ed
Assim:
22 V
q
0, 7 5 V
q
q
3
0, 5
ed
0,5
orierevef
22
P
0, 7 5
91
serão
necessários
cerca
de
33
m
de
fio
para
unir
o
poste
016.9
à
ed
Portanto,
casa.
ieL e
Considerando
a
tabela
abaixo,
calcular
as
medidas
x
y
e
z
em
laneP
R2.
cada
ogidóC od
item.
a) x sen
50
x
481
z 0,34
30©
0,50
40©
0,64
50©
0,77
60©
0,87
70©
0,94
80©
0,98
.trA
20© y
1
oãçudorpeR
b)
.adibiorp
100
x
60
7,4
z y
Resolução
Obser vação
a)
Lembre-se de
ue:
Lembrando
180°,
sen
z
5
que
180©
soma
o
100©
Observando
100
a
calculamos
o
dos
valor
50©
de
5
triângulo,
ângulos
inter nos
de
um
triângulo
30©
pela
lei
dos
senos,
podemos
escrever:
80
10
100
calculamos
cada
uma
das
incógnitas
separadamente:
x
q
12,7
50
y
Assim,
sen 100° 5 sen 80°
x
q
12,7,
y
q
6,
e
z
5
30
.
q
6,5
:SEÕÇARTSUL
10
NOSLIDA
10
OCCES
Agora,
y
x
sen
50
é
z
Obser vação
b)
Pela
lei
dos
senos,
7,4
sen
podemos
8
6 0
vamos
Algumas
z
sen
Primeiro,
escrever:
y
sen
calcular
x
a
,
sin
medida
do
y
ângulo
seno 7,4
8
7,4
V
sen
y
q
Observando
a
tabela
podemos
exemplo,
dada,
concluímos
que
y
q
tabela,
digitação
se
não
tecla
do
tivéssemos
calcular
a
medida
poderíamos
60°
70°
5
50°
V
de
y
calculamos
9
n
4
5
50°
caso,
obteríamos,
z aproximadamente,
7,4
o
digitando:
x
x
Nesse Finalmente,
encontrar
70°.
0
180°
70°
7,4 V
sen
a
dele.
valor
x
a
têm
medida
sen
a
Agora,
após
a
0,94 Por
6 0
fornece
8 5
sen
calculadoras
que
60
sen
O
x
0
87
sen
procedimento
apresentado
pode
0,87 variar
dependendo
do
modelo
da
calculadora.
7,4
0, 7 7
Orientar
os
alunos
caso
tragam
6, 5 5 calculadoras
diferente
Portanto,
x
q
50°,
y
q
70°
e
z
q
Em
6,55.
do
a
calculadoras,
necessário
sin
tecla
do
é
funcionem
de
modo
apresentado.
algumas
exemplo,
que
e
ângulo
que
lados
de
depois
por
digitar
o
primeiro
valor
queremos
do
seno
determinar.
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos .8991 ed
Na
resolução
orierevef
utilize
uma
exercício
dos
exercícios
calculadora
resolvido
ou
a
a
seguir,
tabela
se
necessário,
apresentada
3.
no
Um
e
R2.
paralelogramo
4,3
cm.
menor
Uma
lado
tem
de
um
suas
ângulo
medidas
diagonais
de
70°.
3,5
or ma
Qual
é
a
cm
com
o
medida
ed 91
aproximada
ed
1.
Calcule
o
valor
aproximado
de
x
e
y
em
dessa
diagonal?
q
3,95
cm
cada
016.9
figura. 4.
ieL e
a)
x
6,3
cm
y
3,2
cm
x
b)
q
y
Um
m
é
observação,
laneP
tes 6
navio
visto
no
mar
por
dois
pontos
de
40°
4,5
50 km
A
um
e
B,
do
localizados
outro.
O
na
costa,
ângulo
distan
for mado
pelo
x
cm
ogidóC od
segmento
AB
e
o
segmento
que
une
o
navio
ao
y 4
m
ponto
481
30°
do
.trA .adibiorp
a 3
pelo
navio
60°
de
observação
segmento
ao
ponto
distância
oãçudorpeR
Na
figura
pomar,
a
a
seguir
estão
entrada
e
o
posicionados
jardim
da
é
e
35°.
o
O
segmento
observação
aproximada
ângulo
entre
B
o
é
for ma
que
45°.
navio
e
une
o
Qual
é
o
ponto
m
a
q
36,2
km
casa,
5. o
AB
de
deobservação A?
2.
A
Reúna-se
com
um
colega
e
resolvam
o
exercício
propriedade
aseguir. deMárcia.
Dois
110°
nadadores
lagoa,
ao
de
m/s.
0,2
partiram
mesmo
Um
tempo,
dos
do
e
mesmo
ponto
nadaram
nadadores
foi
à
na
de
uma
velocidade
direção
30°
40° entrada
nordeste,
for me
o
e
o
outro,
diagrama
aproximada
entre
na
direção
abaixo.
os
50°
Qual
nadadores
sudeste,
será
a
após
con-
distância
5
minutos
o
de
viagem?
q
76,36
m
casa
m
jardim
a)
Deter mine
a
distância
aproximada
entre
a
casa
30°
e
b)
a
entrada.
Como
entre
q
a
17,6
m
casa
e
a
entrada
existe
um
lago,
50°
verifique
algebricamente
a
a
para
ir
da
entrada
1:
entrar,
passar
pelo
pomar
e
seguir
entrar,
passar
pelo
jardim
e
seguir
casa.
Caminho
até
curto
2:
casa.
O
caminho
21,4
m
1
é
contra
o
mais
24,1
m
curto
do
:SEÕÇARTSUL
a
mais
casa.
Caminho
até
o
caminhos
NOSLIDA
até
é
dos
OCCE
alter nativos
qual
(aproximadamente
caminho
2).
51
1.2
Lei
O
mas
a
teorema
é
válido
seguir)
um
dos
de
cossenos
de
Pitágoras
apenas
relaciona
seus
para
os
ângulos
relaciona
triângulos
três
lados
de
a
medida
dos
retângulos.
um
A
triângulo
três
lei
lados
dos
de
um
cossenos
qualquer,
triângulo,
(apresentada
sabendo
a
medida
de
internos.
A
Em
um
triângulo
qualquer,
o
quadrado
da
medida
de
um
lado
é
igual
à
soma
dos quadrados das medidas dos outros lados menos o dobro do produto destas
pelo
c
cosseno
do
ângulo
formado
2
5
b
5
a
2
b
a
c
1
c
a
lados,
isto
2
b
c
cos
A
é:
2
a
c
cos
B
2
a
b
2
2
5
c
esses
2
1
2
2
C
por
2
a
2
1
b
cos
C
Demonstração
Considere
um
triângulo
AB
qualquer
e
a
altura
AH,
relativa
ao
lado
B
.8991
c b
h
ed orierevef
y
C
B
ed 91
a
ed
2
o
2
h
teorema
2
1
de
2
y
ou
Pitágoras
2
c
5
ao
triângulo
retângulo AHB
temos:
2
h
1
(a
ieL
5
c
016.9
Aplicando
x x)
e
triângulo
5
b
sen
C
C,
e
x
temos:
5
b
cos
ogidóC od
h
laneP
Do
C
Obser vação
Assim:
Na demonstração ao lado, usamos 2
5
(
5
b
481
2
2
)
1
(
)
um triângulo acutângulo, mas 2
cossenos também para um
5
c
2
2
sen
2
C
1
b
2
C
1
cos
b
cos
C
1
2
b
cos
C
2
C )
1
a
2
a
b
cos
C
2
C
1
2
cos
C
5
1,
concluímos
que:
c
5
a
2
1
b
2
a
b
cos
oãçudorpeR
2
sen
a
2
(sen
triângulo obtusângulo e para
Como
2
a
2
.adibiorp
2
.trA
2
c
é possível demonstrar a lei dos
C
umtriânguloretângulo, caso
Analogamente,
considerando
as
alturas
relativas
aos
lados AC
e
AB,
temos:
em que se reduz ao teorema
2
a
dePitágoras.
2
5
b
2
1
2
c
2
b
c
cos
A
e
b
2
5
a
2
1
c
2
a
c
cos
B
Exe rc íc io resolv id o
R3.
Deter minar
a
medida
a
indicada
no
triângulo
abaixo.
y
5,5
cm
120°
x
4,5
8 ,7
5
120
Resolução
OCCE
s en
cm
4 ,5
s en
x
q
0,55
V x
q
33°
sen
y
q
0,45
V y
q
27°
Aplicando
2
a
a
lei
dos
2
5
(5,5)
cossenos,
obtemos: NOSLIDA
sen
2
1
(4,5)
2
5,5
4,5
cos
120°
Ref lita cos
120°
= 2
cos
60º
=
0,5,
2
No
triângulo
após
e
y
obter
o
do
valor
aplicando
52
exercício
a
lei
de
a,
dos
a
R3
calcule
senos.
x
encontramos:
2
5
30,25
Logo,
a
vale
20,25
24,75
V
aproximadamente
a
8,7
5
75,25
cm.
V
a
q
8,7
:SEÕÇARTSUL
Como
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
6.
Calcule
o
valor
aproximado
da
incógnita
em
cada
c)
eja
item.
a
o
medidas
a)
q
5,1
calcule
cm
8 cm
gulo
é
ângulo
2
o
cm
e
valor
for mado
3,5
de
cm.
cos
obtusângulo?
a.
entr e
Pela
Por
cos
a
lei
esse
5 2
y
os
dos
;
lados
de
cossenos,
valor,
o
triân-
s im
8
9.
Os
lados
de
um
paralelogramo
têm
medida
50cm
30
e
10 cm
70
cm.
Calcule
paralelogramo
inter no
mede
a
medida
sabendo
105°.
de
cada
que
( Dado:
diagonal
seu
cos
maior
75°
q
desse
ângulo
0,26)
b) q
4,8
cm
q
10.
Dois
da
navios
manhã.
saíram
Um
dos
do
porto
navios
de
viajou
96
cm,
q
Santos
na
74,7
às
8
direção
cm
h
60°
2 5 cm
nordeste
à
velocidade
de
24
nós.
O
outro
navio
120
viajou
3,0 cm
Um
triângulo
Sabendo
lados
do
que
mede
terceiro
possui
o
135°,
lado.
18nós,
lados
ângulo
medindo
interno
descubra
q
17,6
na
a
8
cm
formado
medida
e
11
entre
direção
confor me
15°
o
sudeste
esquema
à
velocidade
de
abaixo.
cm.
esses
aproximada
60°
cm
15° .8991
Um
triângulo
tem
lados
medindo
2
cm,
3,5
cm
e
ed
cm.
orierevef
a)
Com
ed
um
91
b)
De
o
auxílio
esboço
acordo
de
uma
desse
com
régua
e
compasso,
faça
Sabendo
triângulo.
seu
cia,
desenho,
esse
triângulo
é
em
que
cos
75°
quilômetro,
(Observação:
1
nó
q
0,26,
entre
é
uma
os
descubra
navios
unidade
ao
de
a
distân-
meio-dia.
medida
de
ed 016.9
retângulo,
obtusângulo
ou
acutângulo?
velocidade
equivalente
a
1.852
m/h.)
q
192,6
km
obtusângulo
ieL e
a)
ES
og idóC
2
od
2
Secante,
cossecante
e
NOSLIDA
laneP
cm
8.
m 3,5
cotangente
cm
481 .trA
Existem
.adibiorp
seno
e
finidas
oãçudorpeR
A
outras
tangente:
a
três
a
razões
secante
trigonométricas
(sec),
a
que
cossecante
decorrem
(cossec)
e
a
das
razões
cotangente
cosseno,
(cotg),
de-
seguir.
secante
de
um
ângulo
de
medida
é
definida
por:
P
sec
x
x cos
0
x
sec
x
No ciclo trigonométrico (veja a figura ao lado), podemos identificar graficamenO
te
a
sec
x.
Pelo
ponto
P, P
extremidade
do
arco
AP ,
que
corresponde
ao
ângulo
C
A
E
de
medidax x
abscissas
De
no
ponto
acordo
trico).
Os
com
E
o
que
triângulos
OE
OP 5
Então:
já
OEP P
e
vimos,
OPC
OE
5
são
5
1
pelo
(raio
caso
do
AA
ciclo
trigonomé-
(ângulo-ângulo).
1 OE
cos
1
OC
OP
1
V
OP
x
semelhantes
5
V co s
x
OE
5
x
x
cossec
A
cossecan
de
um
ângulo
x
medida
5
, sen
ciclo
tri
onométrico
(ve
a
a
fi
é
definida
para
sen
x
por:
i
F
0
P
x
D
ura
ao
lado),
podemos
identificar
x
rafica-
a
ângulo
o
eixo
cossec
.
de medida
das
Pelo
é
extremidade
do
arco
,
que
corresponde
ao
O
A
x
ordenadas
semelhantes,
ponto P P,
:SEÕÇARTSULI
mente
NOSLIDA
No
x
OCCES
c o ss e c
de
no
possível
pontoF.
provar
Observando
que
OF
5
cossec
que
os
triângulos
P
e
OPD
são
x
53
A
cotangente
de
um
ângulo
cotg
x
de
medida
cos
x
sen
x
5
x
é
definida
para
sen
x
i
por:
0
No ciclo trigonométrico (veja a figura abaixo), seja t
e
é
ce
aralela
ao
eixo
tat
ue
BT
T
cos
x
sen
x
5
,
das
abscissas.
Se P
é
a
extremidade
Por semelhança dos triângulos
ou
seja,
que
BT
5
cotg
B
do
T
A P,
arco
a
reta
OP
inter-
e ODP P
x
T
B
t’
cotg P
D OCCES NOSLIDA
x
A
O
.8991 ed orierevef
Exe rc íc ios resolv id os
ed 91
R4.
Calcular:
ed
sec
45°
b)
cossec
120°
c)
016.9
a)
cotg 6
ieL
Obser vação
Resolução
e
que
os
sinais
da
secante,
1
cossecante
são,
e
da
cosseno,
do
iguais
seno
e
1
2
2
5
2 45
2
aos
2
2
2
481
do
45°
cotangente
respectivamente,
sinais
sec
ogidóC od
a) da
laneP
Note
da 1 cossec
3
1
2
.trA
b)
120°
tangente. sen
sen
60°
2
3
.adibiorp
cossec
120°
5
12
3
3
oãçudorpeR
3
cos c)
3
6
3
1
2
cot g
3 6
2
2
2
1
sen 6
3 R5.
Sabendo
que
cos
x
5
e
que
2 ,
5
a)
sen
x
c)
b)
tg
Resolução
x
d)
calcular:
2
sec
x
e)
cossec
cotg
x
x
2
2
a)
sen
2
x
1
⎛
2
cos
x
5
1
V
sen
x
4
⎞
16
2
5
1
1
V
sen
x
5
1
V 25
3 V
sen
x
5
6 5
3
3 ,
omo
temos
sen
x
,
0.
Logo,
sen
2
tg
x
as
nesse
razões
intervalo
seriam
sen x
.
0,
x
4
2
5
x
5 cos
Como
5
5
sen b)
x
x
x 5
5
5
5 2
4
4
todas
1
positivas.
c)
sec
x
4
5
5
5
4
4
5
sec cos
5
x
4
Ref lita
1 d) O
que
mudaria
exercício
R5
se
nas
o
respostas
inter valo
c o ss e c sen
e) de
x
fosse
0
,
x
,
? 2
54
5 2
x
3
3
de co
variação
5
c o ss e c
do
cot g
x
x
⎛ V
sen
x
cot g
x
3
4
⎞ 5 2
5
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
7 11.
Calcule
os
valores
12.
de:
Sendo
sen
5
, 4
a)
calcule:
2
sec
cot g
d)
2
1
3
a)
3
cos
x
d)
cossec
x
7
4
7
b)
sec
2
135°
e)
cossec
240°
b)
tg
x
e)
cotg
x
3
3
7
4
c)
cossec
150°
f )
2
cotg
3
330°
c)
sec
x 3
3
Equações
No
capítulo
conjunto
junto
a
U
exemplos
R,
estudamos
universo
universo
Nos
verso
1,
basta
expressão
o
5
a
que
a
intervalo
resolução
[0,2π].
de
equações
Agora,
vamos
em R
trigonométricas
estudá-las
tendo
considerando
como
o
con-
R
seguir,
resolvê-las
circunferência
trigonométricas
veremos
como
fornece
as
se
que,
fosse
medidas
trigonométrica.
para
no
obter
a
intervalo
dos
arcos
solução
[0,
2π]
e,
côngruos,
das
em
nas
equações
seguida,
infinitas
no
uni-
escrever
voltas
da
Acompanhe.
.8991 ed orierevef
Exemplos
a)
Vamos
determinar
x
tal
que
,
sendo
U
5
sen
R
ed
4
91 ed
Se
,
então
x
pode
assumir
os
016.9
π
3π
4
4
valores
e
todas
––
as
+
2k k
3
4
–––
+
2k k
4
ieL
2
medidas
associadas
a
esses
pontos,
nas
infinitas
voltas
da
circunferência
e
–––
laneP
2
trigonométrica.
ogidóC od
0
Portanto,
no
universo
real,
o
conjunto
solução
é:
⎫
481
⎨
x
R
x
k
x
k
4
.trA
⎩
k
Ñ
Z⎬
4
⎭
.adibiorp
3
oãçudorpeR
b)
Vamos
obter
x
tal
que
sen
x
5
n
,
sendo
U
5
R
2
2 –––
3 No
intervalo
[0,
2π],
os
arcos
cujo
seno
2
vale
medem
+
2k k
––
+
2k k
3
e 3
3
2
3 ––– 2
Logo,
no
universo
real,
temos
o
conjunto
solução:
0
⎫ ⎨
x
Ñ
R
x
x
k
Ñ
Z⎬ ⎭
π
⎛ c)
Vamos
obter
x
tal
que
cos
1
⎞
x
,
⎝
6
sendo
U
5
R
2 2 –––
1 No
inter valo
[0,
2π],
os
arcos
cujo
cos s e no
v al e
medem
+
2k k
3
e
2
3
Assim:
π
π
π
5
π 1
5π 1
1
5
0
cos OCCES
–
––
6 2
NOSLIDA
1
k 4
6
3
2 –––
+
2k k
3
o
conjunto
solução,
no
universo
real,
:SEÕÇARTSULI
Então,
é:
⎫ ⎨
x
Ñ
R
x
x
k
Ñ
Z⎬
55
d)
Vamos
Os
resolver
arcos
cuja
a
equação
tangente
tg
vale
2x
1,
1.
levando-se
em
conta
a
primeira
volta
no
ciclo
5
trigonométrico,
5
medem
e 4
4
tg
1
π
4
0
5π ––– 4
Quando não se menciona o conjunto universo, fica convencionado que U 5 R
Considerando,
então,
o
conjunto
k
1 4
8
Repare
para
que,
obter
o
conjunto
temos:
Ñ
2
caso,
os
real,
basta
pontos
solução
somar
que
são
um
múltiplo
solução
da
de
π
ao
primeiro
ponto
equação.
.8991
Assim,
nesse
todos
universo
k
é:
ed
x
Ñ
R
x
5
orierevef
k ⎨
⎫
1
k
Z⎬
⎩
⎭
ed
13.
a)
x
Ñ
k
u
k
4
k
b)
⎬
4
5
⎭
kπ
⎨
u
kπ
k
⎬
3
⎩
ed
⎨
91
⎫
⎫
⎭
016.9 ieL
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
e laneP
Resolva
as
equações
a
seguir,
sendo
U
5
16.
R
Observe
a
figura
do
ciclo
trigonométrico.
resposta
2 5
15.
⎨
x
Ñ
R
x
5
k
2
Ñ
2
Z⎬
2
2
5
3π –––
sen
+
.adibiorp
x
.trA
sen
5 2
cos
⎭
2 b)
481
x
possível:
⎫
kπ
sen
a)
ogidóC od
13.
2kπ k
4
3
1 cos
x
oãçudorpeR
c)
5 2 2
cos
x
5
cos
5π
⎛
d)
⎞
cos ⎝
⎠
6
5π
⎫
e)
tg
x
5 2
⎨
x
Ñ
π
⎬
–––
⎭
4
5 f )
tg
x
5
⎨
x
Ñ
π
equação
cos
NOSLIDA
a
⎬
4
⎩
⎭
3
⎛ Resolva
x
em
R
4
que
equação
Resolva,
em
R,
a
equação
sen
a
figura
destaque
x
cos
x
5
trigonométrica,
Compare
0.
sua
resposta
escreva
com
a
de
5
c)
u
kπ
⎨
kπ
k
x
Ñ
k
u
k
sen
45°
1
45°)
5
sen
90°
5
de
uma
um
equação.
colega.
x
Ñ
k
u
k
6
⎩
k
6
Z
⎬ ⎭
k
12
⎭
4 (45°
⎨
⎭
12
sen
d)
⎬
⎩
14.
raízes
essa
⎫
⎫ 13.
as
2
Adição
de
arcos
1
2 1
sen
45°
5
1
5
2
Conhecidos os valores do seno, do cosseno e da tangente dos arcos notáveis (30°,
45° Como
sen
1
(45°
i
1
2
,
45°)
e
60°),
i
sen
45°
1
sen
45°
realizando
As
Ref lita
direto,
por
meio
de
75°
da
5 sen
adi
(45°
de
diversos
ão
1
adição
de
30°)
cálculo
que:
sen (45° 1 45°) i sen 45° 1 sen 45°
56
encontrar
operações
fórmulas
sen Verifique,
podemos
outros
valores
das
funções
trigonométricas
então
cos
tg
105°
75°
5
5
cos
tg
(60°
(120°
1
45°)
45°)
e
arcos
de
subtração
permitem
com
esses
calcular,
por
arcos.
exemplo:
:SEÕÇARTSULI
Supondo
⎝
15.
2kπ k
⎫
tg 4
14.
+
OCCES
3
Cosseno
Neste
As
tópico,
demais
os
o
os
vamos
de
do
sen
demonstrar
apresentadas
AM
arcos
cosseno
valores
soma
fórmulas
Considere
minar
da
AN ,
arco
a,
sen
e MN
b,
de
que
cos
a
é
e
a
fórmula
são
medidas a
a
soma
cos
do
cosseno
consequências
e
dos
b,
da
diretas
soma
dessa
respectivamente.
AM
arcos
e
MN ,
de
dois
arcos.
primeira.
Vamos
sendo
deter-
conhecidos
b
N
a 1 OCCES
M S R b
NOSLIDA
a
O
De
acordo
com
a
figura,
OP
5
P
OQ
PQ.
Q
A
Como
PQ
5
SR,
podemos
escrever: Ref lita
OP
5
OQ
SR
.8991
Por
O
triângulo
PN N
é
retângulo.
Logo:
5
cos
(a
1
b)
é
ed
Para
determinar
OQ,
consideramos
orierevef
No
:OQR,
temos:
OQ
No
:ORN,
temos:
OR
5
OR
cos
os
triângulos
que
a
medida
do
ân
lo
QOR
(I)
retângulos OQR
e
igual
à
medida
do
ângulo
PNR?
ORN
a N
ed
5
ON
cos
b
91
a
Como
ON
5
1,
temos:
OR
5 1
cos
b
OR
5
cos
b
ed
OQ
5
cos
determinar
a
cos
SR,
b
(II)
tomamos
os
triângulos
retângulos
N
ORN
e
NOSLIDA
ieL
Para
OCCES
016.9
Então:
laneP
No
:RSN
No
:ORN,
temos:
SR
5
NR
sen
a R
og idóC
Como
ON
temos:
=
1,
NR
temos:
5
ON
NR
90° –
sen
5
1
sen
b
V
NR
5
sen
b
a
90°
a
od
a
481
Então:
SR
5
sen
.trA
Substituindo
as
a
sen
b
(III)
expressões
(I),
O
(II)
e
(III)
.adibiorp
cos (a 1 b) 5 cos a
em OP
cos b
5
OQ
sen a
SR,
Observe
obtemos:
P
na
figura
os
retângulos
semelhantes
agudos
medidas
de
Q
triângulos
a
e
com
(90°
ângulos
a).
sen b
oãçudorpeR
Cosseno
Vamos
Sabendo
cos
[a
cos
(a
da
diferença
substituir,
que
1
cos
(
b)]
b)
5
(
5
cos
na
b)
fórmula
5
cos
a
cos
a
cos
b
cos
b
e
(
do
cosseno
sen
(
b)
sen
b)
sen
a
(
da
5
soma,
2sen
a
sen
sen
b,
(
o
arco
( 1b)
pelo
arco
(
b).
temos:
b)
b)
Logo:
cos (a
Seno
da
b) 5 cos a
cos b 1 sen a
sen b
soma
⎞ cos
rença,
e
x
usando
a
fórmula
do
cosseno
da
dife
⎠
2
escrevemos:
⎡
π
b)
⎛
⎤ (
5
⎤
π
s
Como
cos
1 b)
1
a,
⎛ 1
⎦
cos
sen (
π
b
⎣
2
π
sen
sen 2
concluímos:
8
57
Seno
Vamos
cos(
)
da
considerar
5
sen
[a
sen
(a
diferença
cos
1
b
e
(
b)]
b)
5
o
sen
5
sen
sen
arco
(
a
b)
a
(
5
cos
cos
b
b)
na
2sen
(
1
b)
(
fórmula
b,
1
sen
do
seno
da
soma.
Sabendo
que
temos:
sen
b)
(
b)
cos
cos
a
a
Logo:
sen (a
Tangente
Sabemos
da
b) 5 sen a
cos b
sen b
cos a
soma
que
sen
x
s
x
5
,
para
cos
i
cos ) 5
b
0.
Assim:
1
cos
5 b
Para
nador
trabalhar
da
fração
apenas
por
cos
sen
com
a
tangentes,
cos
b
i
0.
vamos
1 sen b
a
dividir
o
numerador
e
o
denomi-
Assim:
sen
a
cos
a
sen
b
1
1
a
tg
5
5 cos
sen
a
a
1
sen
a
t
1
.8991
cos
ed
cos
a
orierevef
cos
ed
Logo:
91 ed 016.9
tg tg
tg
) 5 tg
ieL
1
e laneP
fórmula
é
válida
para
2
k
Ñ
1
i
2
1
k
2
Z
ogidóC od
Essa
481 .trA
Tangente
nos
ao
casos
eixox, x
diferença
anteriores,
temos
que
tg
tg m:
tg
[a
b
vamos
(
a
b)
considerar
5
tg
2tg
o
arco
(
b).
Pela
simetria
em
b
b
tg
] 5
5 12
tg
a
8
tg
(
1 1
b)
Logo:
tg 5
Essa
com
k
fórmula
Ñ
é
válida
i
para
Z
Exe rc íc ios resolv id os
R6.
Calcular:
a)
sen
Resolução
a)
58
105°
Consideremos
b)
a
cos
igualdade
15°
sen
105°
c)
5
sen
(45°
1
tg
105°
60°).
1
k
oãçudorpeR
Como
relação
da
.adibiorp
Aplicando
a
fór mula
sen
(45°
1
60°)
sen
(45°
1
60°)
para
sen
oseno
45°
cos
da
60°
soma
1
3
2
de
sen
arcos,
60°
cos
temos:
45°
1
2
5 2
2
2
2
4
1 Logo,
sen
105º 4
Consideremos
fór mula
para
a
igualdade
ocosseno
cos
(45°
30°)
cos
(45°
30°)
5
cos
cos
da
15°
5
diferença
45°
cos
30°
cos
de
1
30°).
arcos,
sen
3
2
(45°
45°
Aplicando
a
temos:
sen
30°
1
1 5
4
1 Logo,
cos
15º
5 4
Sabemos
tg
105°
que
5
tg
Aplicando
a
105°
(45°
5
1
45°
1
60°.
Podemos,
fór mula
da
tangente
da
1 tg
105°
5
tg
(45°
1
60°)
o
soma,
escrever
tg
temos:
60 5
5
5
tg
Racionalizando
então,
60°).
denominador,
45
g
60
1
obtemos:
.8991
2 tg
105 5
8
5 2
5
5
ed
2
orierevef
Logo,
tg
105°
5
3
22
ed 91 ed
R7.
Demonstrar
016.9
(x
1
cada
ieL
a)
sen
b)
cos
Resolução
(x
1
y)
uma
sen
y)
das
(x
cos
identidades
y)
(x
y)
5
2
5
sen
22
y
sen
abaixo.
cos
x
x
sen
y
e laneP ogidóC od
Utilizando
as
fór mulas
do
seno
e
do
cosseno
da
soma
e
da
diferença,
481
temos:
.trA
a)
sen
x
y
sen
x
y
5
.adibiorp
5
sen
x
cos
y
1
sen
y
cos
x
(sen
5
sen
x
cos
y
1
sen
y
cos
x
sen
oãçudorpeR
5
b)
1
sen
cos
5
5
(x
1
y
cos
y)
(x
y)
cos
y
sen
x
sen
y
(cos
cos
x
cos
y
sen
x
sen
y
cos
x
sen
y
1
sen
y
y
cos
cos
x )
x
5
5
5
x
sen
cos
cos
x
cos
cos
22
x
x
x
cos
cos
y
y
1
sen
sen
x
x
sen
sen
y
5
y
sen
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
2
17.
Calcule:
b ),
a)
)
e
c)
d)
4
a)
sen
b)
cos
75°
c)
sen
d)
cos
d)
165°
Usando
as
fór mulas
de
adição
de
arcos,
Ver
resolução
a)
tg
15°
b)
tg
60°
i
75°
no
tg
45°
tg
45°
Guia
do
7
30°
tg
15°
b)
Usando
Calcule:
a)
cos
b)
cossec
a)
105°
4
cos
12
as
treque:
19.
tg
12
21.
i
17
tg
professor.
tg
105°
Calcule:
mostre a)
que:
sec
285° 20.
18.
cotg
4
75°
Ver
(π
1
⎛
π
⎝
2
fór mulas
resolução
x
5
no
2cos
de
Guia
adição
do
de
arcos,
mos-
professor.
x
b) 15°
1
59
Exercícios
complem ent a res Registre as respostas em seu caderno
⎫
8.
a)
⎨
x
R $
b)
⎬ 5
5
x
Ñ
k
u
k
12
⎭
8.
k
⎬
12
Resolva
as
⎭
equações
a
seguir
considerando
U
5
R
Aplicação a)
1.
Considere
o
triângulo
representado
sen
x
5
sen 5
abaixo.
2
⎛ cos
x ⎝
3
2
x
π
⎛
c)
tg
30°
⎫
⎞
x
⎨
⎝
x
Ñ
R $
π
Ñ
Z
12
4
⎬ ⎭
15°
B
9.
Resolva
a
equação
sen
x
1
cos
x
5
0
considerando
cm
U
5
⎫
R ⎨
x
Ñ
R
x
Z
⎬
4
Calcule
a
o
valor
de
x
15
cm
10.
Calcule
o
valor
de:
6
a 2.
De
uma
ponte,
um
engenheiro
observa
dois
sen
2
1
edifícios, 4
um
em
60m
cada
de
margem
distância
Considerando
as
do
de
um
rio.
engenheiro,
medidas
da
e
O
o
figura
edifício
edifício
abaixo,
A A
B,
está
a
b)
a
cos
2
2
2
6
b)
165°
4
c)
50m.
tg
75°
deter mine
2
a
distância
entre
os
edifícios
A
e
B.
q
55,7
m
11.
Calcule
o
valor
de
cos
75°
sen
105°. 2
A
3 12.
Sendo
cos x
5
com
0
calcule
,
o
valor
de:
4
60
m
a)
sen
8991
5
24
x
d)
sen
2x
ed
5
25
b)
tg
x
e)
3
tg
orierevef
24
4
2x
7 7
c)
cos
2x
ed
25
91 ed 016.9
B
Aprofund amento
ieL e
triângulo
Um
5
120°.
triângulo
cm
tem
e
lados
AC
24
entre
os
AB
8
medida
de
cm.
lados
cm,
do
medida
Qual
é
AB
AC
AC
8cm
AB
a
13.
Considere
o
triângulo
representado
abaixo.
lado BC
15
medida
?
do
cm,
a
ân-
60°
.adibiorp
gulofor mado
a
.trA
21
temos
Calcule
481
BC
ABC,
ogidóC od
4.
um
med(A) A
laneP
Em
e
36
No
pico
de
altura.
Ao
região,
um
uma
montanha,
fazer
medições
topógrafo
há
em
obtém
uma
torre
de
deter minado
36°
para
o
19
m
ponto
ângulo
de
de
oãçudorpeR
5.
da
b
45°
visão
3
até
o
topo
da
torre
e
15°
para
o
ângulo
de
elevaçãoaté
s en
b
5 2
a
base
da
torre,
confor me
mostra
a
figura. a)
Aplicando
b)
Com
concluir
são
a
base
lei
na
que
esses
dos
senos,
resposta
há
dois
valores?
encontre
do
item
valores
60°
ou
o
valor
anterior,
possíveis
de
sen
.
podemos
para
b.
Quais
120°
19 m
c)
d
Agora,
Pelos
deter mine
itens
os
possíveis
anteriores,
possibilidades
de
valores
concluímos
for mato
para
esse
de
que
a
75°
há
ou
1
duas
triângulo.
Faça
x
o
esboço
delas.
Ver
resolução
no
Guia
do
professor.
15°
14.
Aplicando
gente Qual
é
a
distância
aproximada
entre
o
topógrafo
e
da
torre?
(Dados:
sen
21°
q
0,36
e
sen54°
as
fór mulas
soma
de
do
arcos,
seno,
do
deter mine
cosseno
as
e
da
fór mulas
tan-
gerais
a para
base
da
o
cálculo
de:
q 0,81)
42,75
m
a)
sen
b)
cos
c)
tg
2a
sen
2a
5
2
sen
a
cos
2
2a
cos
2a
5
cos
OCCES
q
a
2
a
2
sen
a
Calcule
o
valor
de
cossec
1
sec
.
1
NOSLIDA
6.
g
2
2a
t
2a
5 2
tg
Considerando
x
um
arco
do
primeiro
quadrante
:SEÕÇARTSULI
7.
e
1 cos
x
5
,
deter m
Desaf io
ne:
3
a)
sen
b)
tg
x
c)
sec
d)
cossec
x
15.
3
De
que
tipo
é
a
sequência
PG,
a
5
cos
x
q
5
21
3
x
x
(cos 4
60
x,
cos
(x
1
π),
cos
(x
1
),
...),
com
k ?
Registre as respostas em seu caderno
Autoavaliação
1.
Considere
a
igura
a
seguir.
5.
A
solução
de
2
sen
x
2
5
0
é:
alternativa
b
⎫ 5
1
⎨
Z⎬
3
100°
2
⎭
m
y
⎫ b)
S
5
2
⎨
36°
⎬
2
⎭
x
⎫
c) Nesse
triângulo,
OCCES
⎛ 6
pode-se
afir mar
44° ⎞
sen
que:
⎛ 6
alternativa
NOSLIDA
5
cm sen 100°
⎝
c)
y
sen
R
⎨
2
Z⎬ ⎭
36° ⎞
5
⎠
5
4
d) x
a)
S
d
S
5
Ö
cm
⎝
sen 100°
⎠
2
:SEÕÇARTSULI
⎛ 6
6.
36° ⎞
sen
⎛ 6
cos
2x
5 2
tem
o
conjunto
solução:
alternativa
36° ⎞ 2
b)
x
d)
cm
5 44°
⎝
y
cm
5
⎠
sen
⎝
44°
⎠ 3 a)
5
Ñ
⎨
Ñ
4
2.
Observe
o
triângulo
representado
⎫
5 ou
R
Z⎬
4
⎭
abaixo.
3 b)
5
Ñ
⎨
⎫
5 ou
R
Ñ
8
A
Z⎬
8
⎭
⎫
8
c)
5
1
⎨
.8991
4
Z⎬ 2
⎭
20
ed
B
d)
C
S
5
Ö
orierevef
12
7.
ed
Sabendo
que
cos
20°
q
0,94,
o
valor
mais
Os
valores
91
mente:
ed
para
016.9
a)
AB B
é:
alternativa
3,25
b)
de
sen
15°
e
cos
105°
são,
respectiva-
próximo
alternativa
d
c
4,25
c)
5,25
d)
6,25 e
a)
ieL
4
4
e laneP
3 3.
Sabendo
que
sen
x
5
,
o
valor
de
cossec
x
2
é:
2
b)
5
ogidóC od
alternativa
4
e
b
4
4
5
a)
c) 2 5
2
4 e
c)
481
4
.trA
5
4
b)
d)
.adibiorp
3
2
3
2
d)
e 4
4
oãçudorpeR
1 4.
Sabendo
que
cos
x
5
e
x
pertence
ao
primeiro
8.
4
Sendo
sen
e
0
,
,
o
valor
de
4
quadrante,
o
valor
de
cotg
x
é:
15
alternativa
a
sen2 x
15
a)
15 c) 16
15
15 d)
8
b
4
16
15
alternativa
a)
c) 15
b)
é:
15
15
b)
d)
16
8
4
Retomad a de conceitos
Se
você
Releia
não
a
acertou
teoria
e
alguma
refaça
os
questão,
exercícios
consulte
a
tabela
e
verifique
o
que
precisa
Número
Objetivos
Aplicar
a
Ampliar
Resolver
Aplicar
lei
o
senos
equações
as
Páginas
dos
conceito
fórmulas
do
livro
de
e
do
dos
razão
capítulo
de
X
de
ao
em
novamente.
3
4
X
X
da
questão
5
6
X
X
R
arcos.
conceito
49
a
7
8
X
X
X
trigonométrica.
adição
referentes
2
cossenos.
trigonométricas
estudar
correspondentes.
51
52
e
53
53
a
55
53
a
55
55
e
56
55
e
56
56
a
59
56
a
59
61
b
l
o
u
t í p a
C
Super fícies poligonais,
4 círculo e áreas
IZNAM OLUAP S ÕÇART L
1
Polígonos
Neste
capítulo,
presentes
como:
Qual
é
quanto
a
estudar
Objetivos
en
do
em
vamos
nosso
aprender
cotidiano
couro
é
quantidade
alguns
regulares
necessário
de
tinta
conceitos
a
para,
calcular
assim,
para
a
necessária
importantes
a
área
de
alguns
conseguirmos
confecção
para
de
pintar
relacionados
uma
uma
aos
objetos
responder
bola
de
parede?
a
e
futebol
Para
figuras
perguntas
oficial?
isso,
vamos
polígonosregulares.
capítulo
car
su
s
1.1
Segmentos
congruentes
e
ângulos
congruentes
poligonais, circunferências
Dois
Estabelecer
segmentos
medida,
métricas
entre
elementos
regulares
da
circun
dos
e
de
reta
são
congruentes
quando
possuem
a
mesma
relações
o
considerando
uma
mesma
unidade
de
comprimento.
os
polígonos
raio
Exemplo
erência
D
circunscritaa
Resolver
situações-
cálculo
que
de
e
do
envolvam
áreas
A
de
círculo.
Indicamos
62
B
poligonais
a
co
ruência
dos
se
entos
por:
r
CD
:SEÕÇARTSULI
superfícies
NOSLIDA
problema
o
OCCES
eles.
H ER
ER T
S
P
H T
IN
R C
O
R B I
S
L
I
Composição
Dois
ângulos
rando
uma
são
congruentes
mesma
unidade
quando
de
têm
a
mesma
medida,
de
uma
bola
de
futebol.
conside-
medida.
OCCES NOSLIDA
Exemplo
A
:SEÕÇARTSULI
C O B D
Indicamos
1.2
a
congruência
Def inição
de
dos
ângulos
polígono
por: AOB
r
COD
regular
Explore
Um polígono é
r
se, e somente se, tem todos os lados congruentes Com
e
todos
os
ângulos
internos
congruentes.
do
um
colega,
Ensino
consulte
Fundamental
livros
que
tratemde:
Exemplos polígono 2
lados;
cm
internos
14
120°
de
um
polígono
de
145°
°
n
lados.
120° 70°
70° Para
145° 120°
145°
o
tópico,
não
desejável
ideias
cm
polígono
desenvolvimento
é
deste
imprescidível,
porém
120° é
2
de
polígono
não
que
os
referentes
a
alunos
recordem
polígonos
regular convexos,
como:
em
(
um
vértice,
2)
decomposição
triângulos
a
partir
de
regular
diagonais
medidas
cálculo
ecálculo
do
número
da
dosângulos
soma
de
das
internos.
63
1.3
Polígono
Antes
de
falarmos
regular
sobre
os
inscrito
polígonos
em
regulares
uma
circunferência
inscritos
em
uma
circunferência
Obser vação
e
circunscritos
a
ela,
vamos
definir
circunferência.
r
Circun
distam
O
circun
m
é
qualquer
x
e
r
ir
n
r
segmento
n
um
n
ponto
da
de
um
erência,
é
a
igura
ponto
e
o
O
ormada
fixo
ponto
O
desse
é
o
por
plano.
centro
todos
A
da
os
pontos
distância r
circun
é
a
de
um
medida
plano
que
do raio
da
rência.
i
cujas
mi
rência
r
Quando
r
dizemos
todos
que
ele
os
é
vértices
um
de
um
polígono
polígono
inscrito
pertencem
nessa
a
uma
circunferência
ou
circunferência,
que
a
circunfe-
circunferência.
rência
é
circunscrita
ao
polígono.
Exemplos
O
O
O
ono
re
ular
quadrado
ed
inscrito
inscrito
.8991
pentá
retângulo
inscrito
orierevef
um
polígono
regular
é
inscrito
em
uma
circunferência
de
centro O
e
ed
Quando
91
oponto
médio
do
de
um
apótema
lado
de
do
um
polígono
polígono
é
chamado
regular
é
a
de apótema
medida
do
do
raio
polígono.
da
circunfe-
e
Obser vação
quadrado
de
é
ABCD
inscrito
raio
r
e
é
na
da
figura
polígono.
ao
circunferência
circunscrito
de
raio
à
481
circunferência
no
ogidóC od
lado
inscrita
laneP
rência
O
R circunscrita
.trA
circunferência
r
Quando
todos
lados
tangenciam
de
um
(raio
de
medida
r
.adibiorp
polígono
os
uma
P circunferência,
dizemos
que
é
um
polígono
circunscrito circunferência
a
essa
circunferência
circunferência
é
oãçudorpeR
R
O
ele
ou
inscrita
quea
(raio
de
inscrita
medida
R)
no C
polígono.
Observe
Ref lita
Quantos
apótemas
polígono
O
ponto
regular
médio
de
tem
de
n
cada
P
que
é
o
apótema
de
cada
polígono
inscrito
em
uma
circunferência.
um
c
lados?
lado
de
um
polígono
r regular
pol
determina
gono
regular
um
de
n
apótema;
lados
tem
logo,
n
um
a
r O
P
Obser vação
em
diante,
distinguiremos
r
=
c
r
=
c
P
não
alguns
O
O
temas.
c
Daqui
segmentos P
de
suas
respectivas
c
medidas
c
quando
essa
opção
não
causar
figura
dificuldade
OCCES
do
texto.
com
o
ao
NOSLIDA
circunferência
r
e
com
raio
:SEÕÇARTSULI
r; r
Na
;
polígono
apótema
eapótema
64
figura
III
figura
I,
a
medida
do
apótema
é
metade
da
medida
do
lado
do
quadrado.
figura
II,
a
medida
do
apótema
do
triângulo
equilátero
é
uma
parte
da
circunferência
com
a
de
da
altura
desse
triângulo.
ladode
Na
lado
II
de
medida deraio
figura
empregaremos
significado:
Na medida
I
entendimento
Assim,
mesmo
ieL
A medida
016.9
e
ed
raio de medida r r, todo segmento cujas extremidades são o centro da circunferência
medida
a
figura
do
triân
ao
polí
ulo
ono
III,
a
medida
equilátero
e
também
do
de
a
apótema
lado
medida
,
no
do
do
hexágono
qual
lado
é
do
o
raio
hexá
regular
da
é
a
medida
circunferência
ono.
da
altura
circunscrita
Relações
As
em
medidas
função
da
Acompanhe
para
um
métrica s
do
lado
medida
como
triângulo
Observe
o
e
do
do
apótema
raio
podemos
da
de
um
polígono
circunferência
escrever
essas
em
regular
que
relações
esse
métricas
para
ser
está
um
escritas
inscrito.
quadrado
e
equilátero:
quadrado
ABCD
de
lado
e
c
apótema
a
4
cunferência
podem
polígono
de
centro
O
e
raio
,
que
está
inscrito
na
cir-
Obser vações
4
r
c
e
a
n
para
A
indicar,
n
respectivamente,
a
medida
do
B
lado
e
do
regular
uma
c
apótema
de
n
lados
do
polígono
inscrito
em
circunferência.
P
4
a O
4
OB
do
está
contido
quadrado,
45°
e
BOP
isósceles;
na
logo
diagonal
OBP P
também.
O
mede
dOPB
é
por tanto:
4
a
5
BP
5
4
4
O
triângulo
OBP P
é
retângulo;
seus
catetos
medem
e
a
,
e
a
hipotenusa,
2
r
4
2
2
2
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo OBP, P temos:
)
r
2 .8991
4
Como
a
5
( 4 )
2
4
,
temos:
2
r
5
r
4
⎝
ed
2
orierevef
Logo,
a
medida
do
lado
⎠
do
⎝
⎠
2
quadrado
é
2
dada
por:
r
2
ed
4
91 ed 016.9
r
ieL
Assim,
a
medida
do
apótema
do
quadrado
é
dada
por:
a
2
5
4
e laneP og idóC
od 481
Observe
o
triângulo ABC
de
lado
e
c
apótema
a
3
.trA
rência
de
centro
O
e
raio
,
que
está
inscrito
na
circun-
3
r
.adibiorp
A
oãçudorpeR
c H
3
c 3
O a 3
r
a 3
B M
c 3
2
Obser vação
3
O
triângulo
OMB
é
retângulo;
seus
catetos
medem a
e
,
e
a
hipotenusa,r
3
lados
3
O triângulo CHB é retângulo; seus catetos medem
proporcionais.
1 r, e a hipotenusa, c
e a 3
3
2 B
Os
triângulos
OMB
e
CHB
são
semelhantes,
pois
têm
um
ângulo
reto
e
um
B
3
c
a ângulo
comum.
r
2
3
a
Portanto:
5 3
r
r 3
o
teorema
de
Pitágoras
no
triângulo CHB,
temos:
H
O
C
a
M 3
2
3
⎞
2
2
1 ⎝
1
2
⎛
r
2
2
1
NOSLIDA
⎛
2
⎠
OM
HC 5
Obtendo
c
em
função
de
r, r
BC
:SEÕÇARTSULI
OB
temos:
3
3
2
2
2
)
4 4( (c
a
) 5
9
2
3
2
3
1
V
5
3
c
5
r
5
3
3
4
4
4
r
OCCES
Aplicando
3
65
Obser vação
Exe rc íc ios resolv id os
Seja
h
a
medida
da
altura
de
um
c R1.
O
apótema
de
um
a)
Deter minar
b)
Determinar
Resolução
o
hexágono
perímetro
o
raio
da
regular
desse
mede
3
cm.
hexágono.
circunferência
circunscrita
a
ele.
A
a)
c
c
2
2
T raçando
no
as
regular,
diagonais
que
de
passam
um
pelo
B
hexágo-
centro
O
da F
cir cunfer ência
cir cunscrita,
obtemos r
r a
6triângulos Assim,
5 h
6
do
hexágono
é
a
altura
do
triângulo
D
equi-
⎞
⎝
Assim,
6
temos:
⎠
4
3
a
6
h
3
6
5
5
2
3
2
6
a
5
apótema
1 látero.
3
O
E
2
⎛
equiláteros.
temos:
3
3
3
3
h 5 2 Portanto,
b)
R2.
Como
(Enem)
tuído
mesa
O
o
de
cm,
cobrir
a
26
de
uma
a
um
prisma
medindo
cm,
30
loja
30
su
ara
3
cm.
35
cm
do
uebrou-se
círculo.
de
Uma
cortes
cm
tampo
erior
é:
5
de
su
e
base
loja
já
60
e
deverá
su
em
for ma
ser
de
O
a
de
comercializa
mesa.
que
substi-
oio
cinco
cujos
seja
da
triângulo
proprietário
diâmetro
da
orte
padronizados,
cm.
menor
orte
O
da
tipos
raios
mesa
suficiente
Considere
1,7
como
ed
base
de
reto,
com
cm,
o
mesa
for ma
circulares
nessa
regular
cm
orierevef
adquirir
de
hexágono
5
tenha
lados
vidro
r
ed
18
vidro
ue
for mato
de
do
temos:
.8991
ara
r,
o
com
tampos
deseja
perímetro
outro
tem
medem
o
5
tam
or
equilátero
de
c
roximação
tampo
a
ser
Resolução
escolhido
b)
será
aquele
2
cujo
raio,
em
c)
centímetro,
d)
é
igual
35
a:
e)
ieL
1
016.9
a)
ed
O
.
91
a
e
proprietário
de
menor
da
mesa
diâmetr o
deseja
que
adquirir
seja
ogidóC od
o
tampo
laneP
Como
o
suficiente 30
cobrir
a
base
superior
do
suporte
da
481
para
mesa, r
considerar
a
situação
limite
ilustrada
.trA
vamos
na 2
ao
.adibiorp
figura
lado.
Aplicando
o
teorema
de
Pitágoras
no
triângulo
de
oãçudorpeR
15
r hipotenusa r
e
catetos
e
15,
temos:
2
2
r
2
r
1 15
225
r
5
2
15
30
3
3
Æ
5
menor
suporte
da
raio
mesa
asalternativas,
alter nativa
7
3
3
o
Æ
4
5
do
2
r
2
Logo,
225
r
2
5
do
círculo
deve
deve
ser
ter
suficiente
para
cobrir
aproximadamente
escolhido
o
tampo
de
17
a
cm.
vidro
base
superior
Portanto,
com
18
cm
entre
de
raio.
a
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
Deter mine
equilátero
OCCES
2.
Desenhe
NOSLIDA
e
2.
5
a)
a
medida
inscrito
um
do
em
apótema
uma
hexágono
e
a
medida
circunferência
regular
de
do
lado
raio
circunscrito
2
a
de
um
uma
triângulo
cm
cm.
circunferência
escreva:
R
6
a)
a
b)
a
medida
c
do
lado
do
hexágono
em
função
do
raio
R da
circunferência.
6
3
:SEÕÇARTSULI
medida
D
de
uma
diagonal
do
hexágono,
que
passa
pelo
centro
da
b)
circunferência,
3
c)
66
c)
o
perímetro
P
em
do
função
hexágono
do
raio
em
R
dessa
função
do
circunferência.
raio
R
da
circunferência.
2
Área
de
algumas
poligonais
Um
terna
polígono
e
outra
internaé
divide
externa.
o
A
denominada
super fícies
planas
plano
figura
que
o
contém
formada
superfície
em
pela
duas
união
poligonal
u
regiões
do
distintas,
polígono
região
com
uma
sua
in-
região
poligonal
Veremos, a seguir , como calcular a área de algumas superfícies poligonais planas.
2.1
Área
de
uma
super f ície
quadrada
Obser vação A
porção
único
do
plano
número
porção
A
real
ocupada
unidade
de
ocupada
positivo
pela
medida
por
superfície
chamado
superfície
de
uma
de
poligonal
,
poligonal
com
obtido
a
corresponde
pela
porção
a
um
comparação
ocupada
por
da
Se
uma
com
uma
região
osta
de
justapostas,
área.
à
soma
das
poligonal
n
regiões
então
áreas
sua
das
é
poligonais
área
n
é
igual
regiões.
2
Considerando
a
unidade
área
poligonal
u
,
a
A unidade de medida de área que geralmente consideramos é a área delimitada
por
um
quadrado
unitário,
isto
é,
um
quadrado
de
lado
1 u,
sendo
u
uma
unidade
da
região
abaixo
é
iguala5.
2
de
comprimento.
A
área
de
Dizemos
uma
que
superfície
a
área
desse
quadrada
de
quadrado
lado c
é
unitário
dada
é
1 u
por:
.8991
2
u
ed orierevef
2
A
= c
quadrado
ed 91 ed
Demonstraremos
esse
fato
para
o
caso
em
que c
é
um
número
natural.
016.9 ieL
Demonstração Obser vação
e laneP
Considere
uma
superfície
quadrada
R,
com
lados
medindo
,
u
é
um
n
og idóC
2
superfícies quadradas
número natural. A superfície R pode ser decomposta em
2
od
justapostas
com
área
unitária.
Assim,
a
superfície R
tem
área
igual
a
n
481
2
Lo
o,
a
área
de
uma
superfície
quadrada
de
lado
é
dada
n
por
.trA .adibiorp
Nessa
demonstração,
consideramos
n
um
número
natural.
Porém,
a
relação
2
obtida
oãçudorpeR
2.2
é
válida
Área
Muitas
fície
já
por
a
o
ra
em
estimar
a
real
de c
super f ície
situações
para
valor
ser
co
que
o
é
gasto
ra
a
(racional
ou
Área
irracional).
de
R
é
n
retangular
preciso
com
para
a
esse
eterminar
pintura
tra
a
das
o
a
área
paredes
muitas
e
uma
de
vezes
super-
uma
é
ca
casa,
cu
a
a
quadrado.
calcular
a
lado
1
cm
1
cm
1
cm
área
cm
delimitada
como
pelo
retângulo
abaixo,
considerando
um
unidade.
:SEÕÇARTSULI
cm
1
NOSLIDA
de
OCCES
Vamos
quadrado
e
qualquer
uma
á
como
mão
metro
3
de
vezes,
plana,
que
para
Obser vação
2
1
cm
Em
alguns
envolvem 1
cm
1
cm
1
cm
1
cm
1
cm
1
cm
1
cm
1
8
contextos
áreas,
nome
cm
do
coluna
caso,
pela
multiplicamos
quantidade
de
a
quantidade
quadrados
de
de
uma
quadrados
linha
(3
de
8).
lado
1
que
super fície
cm
Portanto,
a
de
uma
área
do
vez
de
polígono
determina.
Nesse
a
cm
Por
dizer “a
retangular ” ,
que
a
exemplo,
área
da
diremos “a
em
super fície
área
do
2
retân
ulo
é
24
cm
67
o
2
Reflita
Explorar
Agora,
com
os
alunos
altura de
demonstrar
consiste
em
esse
usar
o
fato.
Uma
conceito
medindo
e
calcular
semelhança
h,
com
a
b
e
área
h
de
não
um
retângulo
qualquer
necessáriamente
de
base
medindo b
1
A
e
naturais.
delas
de
Para paralelismo
vamos
maneiras
de
isso,
consideremos
um
quadrado
com
lados
medindo
( b
h).
área
desse
triângulos. 2
OCCES
quadrado
drados
é
(b
1
,
h)
menores,
e
ele
pode
conforme
a
ser
figura
decomposto
em
dois
retângulos
e
dois
qua-
abaixo.
h h
NOSLIDA
D
A H
b
A
h
b
2
h
retângulo
2
Como
ABCD
são
paralelogramo,
então
os
ângulos
AB/CD
BAH
e
b
e
CDA
congruentes.
Como
os
ângulos
que
os
e
CA
D
triângulos
são
ABH
b
retos,
b A
concluímos
BHA
é
a
área
do
quadrado
verde.
é
a
área
do
quadrado
amarelo.
2
e
olugnâter
BC/AD,
é
h
A
é
sem
são
semelhantes,
lhança
AB
e
sua
razão
e
BH
área
retângulo
desconhecida
de
base
de
medindob
de
é:
AH
a
retângulo
cada DCA
altura
medindo
h
h 1
DC
CA e
e
Como
a
razão
triângulos
de
ABH
e
b
semelhança
DCA
são
é
1,
congruentes,
Assim, por
isso
eles
se
h
os
a
área
do
quadrado
de
lados
de
medida
(b
1
h)
pode
ser
expressa
tam
justapõem. 2
bém
por:
2
b
1
2
A
1
h
retângulo
Igualando
as
expressões
b
1
que
representam
2
(b
1
h)
2
5
2
A
1
h
a
área
do
2
V
quadrado,
2
b
1
2
b
h
1
h
temos:
2
5
b
2
1
2
A
retângulo
V
2
b
h
5
2
1
h
V
retângulo
A retângulo
Ref lita Portanto,
Sim,
ode
ser
usada
uma
retângulo,
retos
ara
vez
e
que
pois
lados
a
área
todo
tem
do
quadrado
quatro
congruentes
retân
ulo
é
dada
por:
é
ângulos
dois
a
dois.
A
5
b
ed
também
.8991
h
retângulo
a
área
de
um
vale
lembrar
que
nem
orierevef
Mas
calcular
todo
uadrado? retângulo
é
quadrado.
ed
Exemplo
91
a
dida
da
cm,
base
é
π
medida
da
altura
do
retângulo
de
área π
3
cm
e
cuja
me-
fazemos:
016.9
determinar
ed
2
Para
ieL
achar
que
conveniente,
são
polígonos
relembrar
5
convexos:
por
caso
não
reta
par
no
tal
8
h
V
do
h
3
retângulo
é
3
cm.
que
de
vértices
t
2.3
mesmo
polígono
contrário,
Área
de
uma
super f ície
limitada
será
tem-se
por
um
um
paralelogramo
não
retângulo
convexo
É possível compor um retângulo valendo-se de um paralelogramo não retangular .
Paralelogramo
cujos
é
um
lados
oãçudorpeR
Obser vação
convexo
π
altura
quadrilátero
opostos
são
h
paralelos.
h
b
b
O
paralelogramo
e
o
retângulo
são ,
ou
seja,
têm
a
mesma
Ref lita
Assim:
Na
decomposição
paralelogramo
do
inicial
e
na
A
5
b
h
ao
lado.
paralelogramo
per feitamente
ao
outro
Exemplo
lado
Vamos do
calcular
a
área
do
paralelogramo
paralelogramo?
A
medida
da
altura
do
paralelogramo
é: 4
cm h
OCCES
sen
60°
NOSLIDA
Pelo
V
teorema
h 5
de
Pitágoras,
podemos
calcular
x
2
2
2
5
:SEÕÇARTSULI
Portanto,
1
a
A
V
medida
5
b
h
16
da
5
6
5
base
1
do
5
V
5
paralelogramo
12
3
2
Portanto,
a
área
4
2
paralelogramo
68
.adibiorp
polígono
então
3
da
.trA
semiplano,
convexo;
a
mantiver
vértices
V
481
demais
h
od
consecutivos
os
se
qualquer
a
og idóC
não
passa
π
medida
convexos
Portanto, e
b
retângulo
laneP
o
e
A Se
do
paralelogramo
é
12
3
cm
é
2 1
4
5
6.
cm
área.
2.4
Área
Podemos
de
uma
pensar
na
super f ície
área
do
triângulo
triangular
como
metade
da
área
de
um
retângulo. Obser vação
A
A
D
E
lado
h
c
h
c
C
C
B
c
B H
b
b
Observe,
(pois
os
triângu
na
figura
lados
os
da
direita,
correspondentes
ABE E
e
BAH
o
são.
que
são
os
triângulos
ACD
congruentes),
Portanto,
a
área
o
da
e
CAH
são
mesma
triângu
o
c
congruentes
maneira
que
Já
os
vimos
do
retângulo
a
medida
ABC
da
área
que
altura
3
h 5 2
BCDE
Assim,
sua
área
é:
2
3
b A
h
2
5
2
triângulo
3
2
2 2
Exemplo
2
4
Reflita
5
⎧
Vamos
calcular
a
área
do
triân
ulo
ABC
α
5
5
α
⎨
.8991
α
1
1
α
5
360°
⎩
ed
Consideremos
A
orierevef
mede
5
cm.
A
como
base
medida
da
o
lado
altura
,
que
relativa
6a
5
360°
a
⎛ ea
V
lado
é
3cm.
5
OB
OC
OC
1
OD
1
2
1
2
2
Assim:
cm
ed
OD
91
3
60°
OB
5 ⎝
esse 5
a
OA
OE
OE
1
cm
b A
h
5
5
OF
1
1
3
5
5
2
7,5
2
ed
triângulo
2
2
F
⎞
OA
016.9
1
s en
60°
⎠ 2
B
C
Portanto,
a
área
do
triângulo
é
7,5
2
cm
ieL
3
e
Á rea
5
[O A
OF )
1
laneP
4
1
ogidóC
Outros
modos
de
obter
a
área
de
uma
super f ície
OC
1
8
OE
8
]
triangular
od
A
Vamos
determinar
a
área
de
um
triângulo
em
função
das
medidas
de
dois
lados
481 .trA
e
da
.adibiorp
em
medida
função
do
das
ângulo
formado
medidas
dos
três
por
eles.
lados.
Depois,
Observe
a
vamos
figura
determinar
ao
lado
e
essa
área
acompanhe
c
b h
oscálculos.
oãçudorpeR
1.
A
área
do
triângulo
é:
O
perímetro
do
triângulo
é
B
C H
2p
5
a
1
b
1
c;
então,
o
semiperímetro a
(I)
b é Como
o
é
retângulo,
1
p 5
temos:
Ref lita
2
h en
sen
Demonstra-se
(II)
que
a
área
do
ABC
c também
Substituindo
(II)
em
(I),
pode
ser
dada
pela
fórmula
ao
lado
irregulares.
8
está
no
cálculo
aproximado
8
fórmula
obtemos:
da
área
de
terrenos
Obser ve:
p
n
A
B
a a Comentário:
Esta
atividade
interessante
solicitar
propõe
uma
aplicação
da
Matemática
na
agrimensura.
Seria
a
6
2
Exemplo aos
alunos
uma
pesquisa
sobre
esse
ramo
de
atividade
humana.
F
C
O
3
a
Para
determinar
a
área
do
triângulo
retângulo
com
catetos
de
medidas
3
cm
e
5
4
4
cm,
e
hipotenusa
5
cm,
podemos
a
5
3
cm,
empregar
c
5
4
cm
três
e
o
modos
ângulo
diferentes:
b
5
D
90°:
E OCCES
1
1
5 triân
3
sen
90°
5
3
5
6
ulo
2
Com
2
um
NOSLIDA
par tir
A
5
6 (6
5
) (6
4
5
de
teodolito,
um
obtêm-se,
ponto
O
do
a
terreno,
5
triângulo
as
medidas
a
,
...,
a
.
Medem-se
6
:SEÕÇARTSULI
também
Quanto
ao
cálculo,
convém
propor
um
OA
outro:
A
5
5
OC
OD
a
5
a
5
5
2
6
sobre
triângulo
a
precisão
desse
procedimento
e
o
que
feito
para
obter
resultados
mais
e
OF
próximos
a 6
poderia
2 ser
OE
questionamento
Supondo
ao
OB
do
real.
2
Portanto,
a
área
do
triângulo
é
6
cm
Espera-se
cálculo
de
que
os
torna-se
repartições
alunos
maior
da
concluam
com
superfície
o
que
aumento
com
o
a
da
vértice
precisão
do
adicione -as.
quantidade
no
ponto O
69
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
B
3.
O
perímetro
ter mine
a
de
área
um
retângulo
desse
é
retângulo
igual
a
12
sabendo
m.
que
De-
5.
Calcule
seus
ABC
a
área
sabendo
do
que
triângulo
AB
5
8cm,
2
lados
estão
na
razão
1
9
2.
8
AC
m
9cm
e
BC
7cm.
2
12
4.
Na
figura,
CD
BC /AG /EF
entre
as
5
e
áreas
10,
AD
AB /
dos
5
26,
/GF .
polígonos
DG
5
78,
DE
Deter mine
DEFG
e
5
a
5
cm
30,
razão
DCBA
9
C E
F
2
30
A
26
6.
Considere
triângulo
D
G
78
medida
um
quadrado
equiláter o
da
de
cuja
diagonal
do
área
150
altura
cm
tem
quadrado.
a
e
um
mesma
Deter mine
a
10 B
2
área
desse
triângulo.
100
3
cm
Explore: OIBUR
b
b
B
h 2
+
A
A
trapézio
ZIUL
B
B
B
V
2
( (B
paralelogramo
1
b)
h
V
A
trapézio
trapézio
b
2.5
Podemos
pensar
na
área
do
trapézio
como
a
soma
da
área
de
dois
triângulos.
Obser vação
Trapézio
é
um
paralelos.
lados
tem
apenas
um
M
N
par
ed
que
de
N
.8991
convexo
b
M
quadrilátero
P
Q
P
91
B
ed
Q
h
orierevef
h
h
B
ed
na
figura
da
direita,
obter
por
a
área
meio
de
e
que
MNQ.
a
área
do
trapézio MNPQ
é
igual
à
soma
das
de
um
B A
h
b
h
B
5
foi
exposto
ao
b A
trapézio
2
desse
h
5 trapéz io
2
2
2
od
que
diferente
h h 1 b
A
trapézio
procedimento
Assim:
og idóC
trapézio
NPQ
laneP
um
triângulos
e
Experimente
dos
ieL
áreas
016.9
Observe, Explore
lado.
481
exem
o,
em
um
a
el,
.trA
Por
Exemplo
tra
éziosMNPQ
iguais.
A
medida
da
base
maior
de
um
trapézio
é
o
dobro
da
medida
da
base
menor.
2
formem
um
a
área
do
trapézio
é
3
por
meio
da
calcular
a
medida
da
base
área
do
que
a
medida
da
altura
é
2
dm,
menor.
fórmula
2
h da
e
dm
paralelogramo.
vamos
Emseguida,
que
paralelogramo
obtido,
A
6
5
2
b
5
V
2
trapéz io
2 consiga
a
trapézio
fórmula
da
área
2
do
MNP
Portanto,
2.6
a
Área
Como
o
medida
de
da
base
uma
losango
é
um
menor
é
2
super f ície
paralelogramo,
dm.
losangular
podemos
calcular
sua
área
como
o
pro-
Obser vação
uto
Losango
que
tem
é
um
os
paralelogramo
quatro
lados
é
a
por
me
meio
As
a
das
a
ase
pe
diagonais
a
do
me
i
a
a
a
tura.
Outro
mo
o
e
ca
cu
ar
como
é
possível
losango.
compor
um
retângulo
a
partir
de
um
losango:
medida.
diagonais
de
um
losango
são
D
perpendiculares
respectivos
e
se
pontos
cruzam
nos
D
d
médios.
2 d O CCES NOSLIDA
A
área
do
paralelogramo
é
igual
:SEÕÇARTSULI
d D
à
D V
A
área
d
5 losango
2
70
essa
de
Observe mesma
i
2
do
retângulo.
Assim:
área
oãçudorpeR
Sabendo
.adibiorp
Exe rc íc io resolv id o
R3.
Deter minar
a
área
da
figura
4
a
seguir.
m
3
m
3 2
16
m
m
m
Resolução
Podemos
um
decompor
triângulo.
a
figura
em
três:
um
trapézio,
um
retângulo
e
Assim:
2 A
1
A
5
t r apéz i o
t r i ângu
12
1
5
o
2
2
2
Portanto,
a
área
da
figura
é
50,5
m
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
7.
Calcule
a
área
do
quadrado
representado
a
seguir.
amarelo
na
for ma
de
losango.
Cada
um
dos
.8991
2
12,5
m
ed
vértices
do
losango
tângulo
que
está
dista
mais
17
cm
pr óximo.
do
lado
Qual
é
do
a
r e-
ár ea
orierevef
2
do 5
losango,
em
centímetr o
quadrado?
8.798
cm
m
ed
11.
Obtenha
a
área
do
retângulo
inscrito
no
triângulo.
91
2
ed
22,8
cm
016.9 ieL
5
e
8.
O
quadrado
laneP
caso,
foi
ABCD D
pintada
tem
uma
og idóC
M
A
10
m
de
super fície
B
lado.
Em
cm
cada
2
poligonal.
M
A
cm
B 19
cm
od 481 .trA
12.
Na
figura,
.adibiorp
gulo
lo
ABC,
ABC
B
em
mede
é
que
60°.
um
AB
5
losango
5
m,
Determine
BC
a
inscrito
5
20
m
medida
no
e
do
o
triân
ângu-
lado
e
a
oãçudorpeR
2
área
D
C
D
desse
losango.
4
m;
8
3
m
C
E D
Sabendo
que
AM
MB,
calcule
2
figura
9.
pintada.
(UFJF-MG)
75
Um
m
a
área
de
cada
2
e
50
m
terreno
tem
a
B C
for ma
de
um
trapézio
com ângulos retos nos vértices
eD,
como
mostra
a
F
ABCD
fígura.
A
13.
B
Sabe-
Considere
de
lados
uma
malha
medindo
1
composta
cm
e
de
deter mine
quadrados
a
área
do
2
-se
DC
que
5
uma
AB
45m.
cerca,
dividindo
terrenos
tância
deve
de
AD
Deseja-se
paralela
esse
do
ser,
31m,
mesma
em
D
metro,
lado
em
área.
a
15
cm
A
esta
AD
dis-
cerca
iguala:
alternativa
d)
22
b)
19
e)
26
c)
20
b
NOSLIDA
12
plástico
ver de
de
uma
colou,
medidas
bandeira
sobr e
2
m
um
por
do
Brasil,
tecido
1,4
m,
:SEÕÇARTSULI
confeccionar
artista
lar
losango.
dois
a)
Para
e
construir
ao
terreno
vértice
5 20m
OCCES
10.
5
um
r etangu-
umtecido
71
2.7
Área
Sempre
isósceles
é
de
super f ícies
possível
decompor
congruentes
entre
poligonais
um
polígono
regulares
regular
A
o
um
ao
base
lares
às
é
desses
raio
e
apótema
em
n
da
a
hexágono
igual
seguintes
triângulos
de
cada
polígono
à
tem
circunferência
altura
do
soma
um
áreas
pelo
menos
circunscrita
desses
regular.
das
triângulos
octógono
quadrado
Cada
lados
pentágono
triângulo
igual
de n
si.
Como
dos
ao
dois
triângulos
a
área
triângulos
lados
congruentes,
de
medida
polígono.
de
são,
cada
que
os
respectivamente,
um
desses
compõem,
o
lado
polígonos
podemos
e
regu-
chegar
igualdades:
.8991 ed orierevef ed
5
a
3
91
a
8
c
c 8
a
3
3
c 3
a
5
———
A
5
5
c 5
a
8
———
A
5
8
8
———
8
2
2
og idóC
a 4
6
od
c
481
c 4
a
c
a
6
4
———
A
5
———
6
2
c
maneira,
cada
um
e
2
concluímos
apótema
que,
se
medindo
a
n
um
,
polígono
sua
área
é
regular
dada
tem n
lados
de
medi-
por:
n
Obser vação
ote
que
p
representa
o
n
do
n
n
n
V semiperímetro
A
8
a
n
polígono.
A
V
5
p
a
n
n
2
n
2
Exe rc íc ios resolv id os
R4.
Determinar
a
área
de
um
hexágono
regular
sabendo
que
a
5
cm .
6
2
Resolução
3
6
Como
3 6
5
,
então:
5
6
5
6
2
2
6
2
OCCES
6
Sabendo
que
p
5
p 2
NOSLIDA
Substituindo
A
5 6
p
a
,
o
valor
do
semiperímetro
encontrado
obtemos:
6
:SEÕÇARTSULI
75
3 2
A
5
cm 2
72
na
expressão
oãçudorpeR
Dessa
6
.adibiorp
5 4
.trA
c A
laneP
2
e
3
ieL
c 5
016.9
3
A
ed
c
3 R5.
A
área
de
um
triângulo
equilátero
3
2
é
m
e
seu
perímetro
é
m.
16
Calcular
o
raio
da
circunferência
2
circunscrita
a
esse
triângulo.
Resolução
3 Se
o
perímetro
o
triângu
o
3
é
m,
seu
semiperímetro
p
é
5
m. 4
2
Sendo
5
p
a
3
,
temos:
3
3
3 5
8
a 3
16
3
4
Como
raio
a
da
12
medida
do
apótema
circunferência
de
um
triângulo
circunscrita
a
ele,
equilátero
é
metade
do
temos:
3 a
r
5
3
2
2
6 3
Portanto,
o
raio
da
circunferência
circunscrita
ao
triângulo
é
m. 6
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
14.
Qual
é
a
8991
apótema
área
de
mede
um
3
triângulo
cm ?
equilátero
cujo
Ela
desenhou
as
seguintes
figuras:
cm
ed
estrela
da
área
da
região
Proteínas
represen-
r P
ao
lado
sabendo
que
t o
ed
tada
í e
a
laranja
n
Deter mine
s a
orierevef
15.
os
91
Carboidratos
ed
triângulos
016.9
for mam
e
o
são
ieL
o apótema
hexágono
que a
r egular es
do
e
hexágono
Gorduras
Gorduras
que
mede Carboidratos
e
2
laneP
6cm.
og idóC
16.
A
72
razão
3
c
entre
xágono
a
regular
medida
e
a
do
apótema
medida
do
de
um
apótema
de
he-
um
Deter mine
a
razão
entr e
as
.trA
r P
.
í e t o
481
é
s a n
od
3 quadrado
Gorduras
2
.adibiorp
Carboidratos
áreas
do
hexágono
e
do
Carboidratos
quadrado.
Gorduras
8
t
oãçudorpeR
17
Um
artesão
largura,
ticas.
composto
Sabendo
de
de
que
mão
trabalho?
$
um
três
ele
de
mosaico
placas
cobra
obra,
de
1,20
m
quadradas
R$
500,00
quanto
ele
o
de
idên-
metro
recebeu
s a n íe t o r P
quadrado
esse
montou
por
120,00
Gorduras
Carboidratos
Entre
esses
condições 1,20
correta
18.
(Enem)
Para
menda-se
diárias,
e
30%
me
ingerir,
60%
de
orar
uma
de
alimentação
em
relação
ao
carboidratos,
gorduras.
a
visua
polígonos,
necessárias
o
único
para
que
satisfaz
representar
a
as
ingestão
m
Uma
ização
saudável,
total
10%
de
diferentes
tipos
de
alimentos
é
o:
alternativa
a)
triângulo.
d)
b)
losango.
c)
pentágono.
c
hexágono.
calorias e)
octeogono.
de proteínas
nutricionista,
essas
de
reco-
para
por centagens, Cortando
os
cantos
de
O CCES
19.
um 12
quer
dispor
esses
dados
em
um
polígono.
Ela quadrado,
fazer
isso
em
um
triângulo
equilâtero,
polígono
jam
ou
pentágono
um
seja
regular,
octógono
dividido
proporcionais
às
em
um
r egular,
regiões
hexágono
desde
cujas
porcentagens
que
áreas
12
o
se-
mencionadas.
gono
obtém-se
regular
medem
medida
12
do
octógono?
um
octó-
de
lados
cm.
Qual
apótema
1
1
que
é
:SEÕÇARTSULI
r egular
um
a
um figura,
losango,
mostra
NOSLIDA
pode
como
a
desse
2
73
3
O
Circunferência
e
seus
Círculo
círculo
é
e
formado
circunferência
pela
união
de
uma
circunferência
Círculo
elementos
e
suas
com
sua
região
interna.
partes
B
B
A
B
A
r
A
F
C
O
O
O
O
círculo
setor
segmento
circular
circular
D
é
AB
CF
o
centro
da
circunferência.
R é
uma
corda.
r
é
OC
C E
um
é
é
um
um
outro
O
O
diâmetro.
raio.
arco
que
(há
passa
dois
por
arcos
C E :
semicírculo um
que
passa
por
coroa
circular
D
A).
.8991 ed
Com
rimento
da
circunferência
ed
,ELANOITA
orierevef
SIRAP
3.1
conhece
algum
método
para
determinar
o
valor
do
número
irracional π?
91
Você
ed
EUQEHTOILB
Por
os
exemplo,
primeiros
no
papiro
valores
de
para
Rhind
π
foram
(documento
obtidos
egípcio
por
meio
escrito
de
por
016.9
Provavelmente,
das.
medi-
volta
de
ieL
o
entre
valor
tarde,
o
o
3,1604,
comprimento
que
matemático
seria
grego
e
uma
a
medida
do
aproximação
Arquimedes
diâmetro
do
(287-212
22
71
7
circunferência
número π
a.C.)
apresentou
. Para isso, e
culo teórico que resultou na aproximação
um
e consi
cál-
481
223
da
ogidóC od
Mais
razão
laneP
apresenta
a
e
1650a.C.),
erou
.trA
circunferência
circunferência
um,
raio
ma,
o Arquimedes
século
em
gravura
r
e
inscrito
em
a
qualquer
do
que
comprimento
uma
medida
da
raio
de
entre
a
1.
Então,
perímetros
circunferência
seu
seja
medida
os
diâmetro
é
percebeu
polígonos
circunscrito
constante,
circunferência.
circunferência
e
de
pode
Essa
ser
ou
a
C
que
constante
uma
a
é
determinado
comprimento
com
n
da
l
ela.
de
seja,
o
regulares,
oãçudorpeR
cada
de
estava
.adibiorp
uma
circunferência
razão
é
sempre
denotada
a
de
mes
por π.
Então,
é π
m.
por:
do
XVII.
C 5 C
2πr
C
2π( r
V
comprimento
da
C
5
2πr
r k )
5
C
k
2
Logo,
o
comprimento
também
será
Exemplos Ref lita
multiplicado
por
k
a) Se
multiplicarmos
quanto
será
o
raio
Vamos
calcular
o
circunferência
a
se
uir.
de
multiplicado
C
5
2πr
C
5
2
C
5
14
seu
comprimento?
8
π
8
7
7
cm
O
Portanto,
o
comprimento
dessa
Ref lita circunferência
uma
comprimento
C
e
cm.
em
uma
Vamos
determinar
o
raio
da
circunferência
unidade:
5 C aumentaráseu
5
2πr
V
π
5
5
2πr
V
r
5
comprimento?
2
5 Portanto, aumentará
74
seu
raio?
o
raio
da
circunferência
é 2
cujo
comprimento
5
:SEÕÇARTSULI
14π
raio
b) aumentarmos
é
circunferência
NOSLIDA
de
em
OCCES
Se
o
2
3.2
Área
do
Reflita,
p.
74
círculo C
5
2π
Observe
cada
circunferência
a
seguir
na
qual
foi
inscrito
um
polígono
regular.
C
π( (
1
1)
5
π
1
π
2
C
5
C
1
2π
2
ogo,
π
o
comprimento
aumentará
em
unidades.
r r
r
r comprimento:
a
a C
1
1
5
V
2πr r
2πr
1
1
5
2πr
2
a
V
2
a 2 r
1
V
5
1
r
V r
2
5
r
1
2
2
2
Portanto,
seu
raio
aumentará
em
unidade. 2
Note
dele
se
cada
que,
aproxima
vez
Já
quanto
mais
vimos
da
da
que
a
maior
área
do
medida
área
é
número
círculo,
do
de
o
raio
um
r
de
além
do
lados
de
a
do
polígono
medida
do
inscrito,
apótema a
mais
se
a
área
aproximar
círculo.
polígono
Ref lita
regular
é
dada
pelo
produto
de
seu
semiComo
perímetro
pela
medida
do
apótema
(A
5
p
a).
Podemos
estender
essa
ideia
área
a
área
do
tendea
círculo,
infinito,
o
ao
considerar
apótema
do
que,
quando
polígono
o
tende
número
de
lados
do
podemos
expressar
a
para
polígono
a r
fun
da
de
ão
um
da
círculo
medida
circunferência
de
d
raio
desse
r em
círculo?
2
5
A
Assim:
π
círculo
2 r r
d
círculo
Como
2
r
5
,
temos:
2
2
2
Portanto,
a
área
do
círculo
é
dada
por:
A
5 πr
d
⎛
círculo
2
π d
⎞
A
A círculo
⎝
.8991 ed
Área
da
orierevef
Observe
a
coroa
coroa
⎠
circular
circular
representada
abaixo.
ed 91 ed 016.9
R
ieL
r
e laneP
O
og idóC od 481 .trA
A
área
.adibiorp
área
do
da
coroa
círculo
de
oãçudorpeR
2
5
A
circular
menor
é
πr
área
do
círculo
de
maior
raio
e
a
2
V
5 π(
2
r
)
área
do
do
que
o
setor
setor
circular
circular
determina,
é
diretamente
seja,
também
quando
duplica
ou
proporcional
sua
medida
é
à
medida
duplicada
a
ou
do
ângulo
triplicada,
a
:SEÕÇARTSULI
correspondente
ou
NOSLIDA
área
a
OCCES
A
entre
coroa
Área
central
diferença
2
πR
coroa
a
raio:
triplica.
r
2πr
a
c
360°
a
c
O 360°
r
α
c
5 2π r
360°
2
πr 2
α πr
2πr
A s et o r
360°
Sabendo
disso
e
considerando
que
o
círculo
de
raio
r
é
um
setor
circular
360°
de cr A
5 s et o r
terminado
por
um
ângulo
de
360°,
podemos
escrever,
para a
em
grau:
2
Ref lita 2
A
A
α
setor
α πr
α
setor
A o
A
360
círculo
5 setor
o
2
o
360
π r
360
Como
de
Para
a
em
radiano,
temos:
podemos
um
setor
função
arco
do
expressar
circular
de
comprimento
etermina
o
pe
o
a
raio
c
área
r em
do
mesmo
2
A setor
α
A setor
r
α A
5
setor
2
A círculo
r
2π
2 setor
cir
r?
75
Área
do
Observe
o
segmento
segmento
circular
circular
representado
A
abaixo,
em
que a
180°.
c
a
B r
O
Note que a área do segmento circular é a diferença entre a área do setor circular
determinado
pelo
ângulo
a
e
a
área
do
triângulo
5
B
A
Exe rc íc ios resolv id os
R6.
Um
serralheiro
de metal
a
recortou
4 cm de
áreada
um
lado,
chapa
que
disco
circular
confor me
sobrou.
( Adotar
π
uma
a
chapa
figura
5
quadrada
a seguir.
Deter -
3,14)
ed
4
de
mostra
.8991
minar
com
cm
orierevef ed 91 ed 016.9
4
cm
ieL e laneP ogidóC od
Resolução
chamar,
respectivamente,
de
A
A
1
drado
(r
que
5
do
o
quadrado
raio
2cm)
e
do
que
e
círculo
A
5
área
é
A 2
área
de
chapa
que
da
medida
do
lado
do
qua-
temos:
oãçudorpeR
πr
a 3
círculo.
3
2
5
,
A 2
do
metade
A
1
2
a
2
V
5
1
16
3,14
2
V
5
1
3,44
1
2
Portanto,
R7.
Segundo
máxima
quete,
de
e
o
área
da
regras
entre
com
uma
bola
as
a
chapa
do
74,9
jogo
cm
e
de
78
circunferência
cesta
aro
com
em
45
toda
cm
a
que
sobrou
basquete,
cm
de
de
diâmetro,
volta?
a
3,44
bola
cm
deve
comprimento.
máxima
de
é
( (Adotar :
78
de
π
cm,
for
quanto
5
Se
ter
circunferência
uma
bola
centralizada
será
a
folga
de
bas-
no
aro
entre
a
3,14)
Resolução
Sendo
d
ferência
a
medida
máxima
do
da
diâmetro
bola,
da
circun
d
temos:
78 C
5
V d
d
q
π
V
78
5
d
3,14
V d
5
V
24,84
Observando
OCCES
da
bola
e
2x
5
4
x
q
45
do
o
esquema
aro,
da
vista
superior
x
x
temos:
24,84
NOSLIDA
45
cm
16 x
q 2
:SEÕÇARTSULI
x
q
10,08
Portanto,
76
a
folga
entre
a
bola
e
o
aro
é
de
.adibiorp
Sabendo
área
.trA
a
481
Vamos
sobrou,
aproximadamente
10,08
cm.
R8.
A
figura
uma
iguais
a
( (Adotar :
abaixo
coroa
4
π
é
for mada
circular.
cm
e
7
As
cm.
por
quatro
setores
circunferências
Deter minar
a
que
área
circulares
limitam
da
a
região
de
45°
coroa
e
têm
pintada
por
raios
de
azul.
53,14)
Resolução 2
3,14 rea
de
um
setor
circular:
5
1 5
360°
6,28
8
21.
2
Área
dos
quatro
setores:
4
6,28
5
25,12
a
⎛
⎞
π 2
Área
da
coroa
circular:
π
8
⎝
2
(7
4
)
3,14
(49
16)
103,62
A
2
⎠
2
π
5
V
8A
a
A
V
a
5
2
Portanto,
a
área
da
região
pintada
de
azul
π
é: 8A
8A 2
2
Analogamente: 2
2
12
2
1
cm
103,62
3
2
b
c
2
cm
5
128,74
cm
Do
triângulo
2
.8991
c
ed
V
2
5
retângulo,
temos:
2
a
1
b
8A
V
A
A
3
2
1
A
A
1
A 2
orierevef
Assim:
Registre as respostas em seu caderno
A
1
A
5
A
2
3
Exerc íc ios propostos
ed 91 ed 016.9
20.
(FCC-SP)
Se,
na
igura
abaixo,
R
mede
5
cm
e
a
22.
O
triângulo
inscrito
na
circun
erência
da
igura
1
2
área
da
coroa
circular
é
75 π
cm
,
então
R
,
em
abaixo
de
raio
1
cm
é
isósceles
e
sua
base
mede
ieL
2
e
centímetro,
é
igual
a:
alternativa
1
e
cm.
Calcule
a
área
da
região
pintada
de
laranja.
laneP
2
cm
og idóC od 481
A
.trA
R
.adibiorp
1
cm
O
oãçudorpeR
R 2
B
a)
6
c)
8
b)
7
d)
9
e)
10
23.
O
triângulo
ABC C
representado
abaixo
é
equilá
2
A
cen
21.
Os
e
catetos
b,
e
a
de
um
triângulo
hipotenusa,
construídos
os
c.
retângulo
Sobre
semicírculos
esses
de
medem
lados
áreas
A
que
A
1 1
A
5 2
em
A
B
nf
r
n
i
m
C
a
foram
A 1
Mostre
ro
ir
e 2
A 3
A 3
3
OCCES
a
c
NOSLIDA
b
:SEÕÇARTSULI
A 2
2
Calcule
a
área
da
região
pintada
de
azul.
5π
cm
77
Exercícios
complem ent a res Registre as respostas em seu caderno
Nessas
condições,
a
área
a
ser
calçada
corresponde:
Aplicação alternativa
a
1.
Calcule
o
raio
da
circunferência
de
2.
lado.
Qual
é
5
o
cm
e
raio
circunferência
circunscrita
5
um
inscrita
e
quadrado
o
raio
com
da
c)
10cm
cm
2
de
a
uma
circunferência
circunscrita
7.
?
2
mesma
área
do
triângulo
à
mesma
área
do
triângulo
à
metade
da
d)
ao
dobro
e)
ao
triplo
(Enem)
de Calcule
7 cm,
a
8
área
cm
e
de
9
um
cm.
triângulo
De
ois,
O
relativa
ao
lado
de
8
cujos
lados
deter mine
cm
desse
área
jor nal
a
inteira
do
do
BNC
pelo
triângulo
triângulo
triângulo
ABC
MNC
MNC
a
de
certa
seguinte
cidade
publicou
divulgação
de
seu
em
uma
cader no
classificados:
medem
medida
da 26
altura
da
área
for mada
cm
página
3.
da
área
e
AMC
ao
2
cm
à
mm
triângulo.
cm
4.
O
piso
de
primento
uma
por
2
cozinha
m
de
retangular
largura
deverá
de
ser
3
m
de
com-
revestido
por
4%
cerâmicas
quadradas
de
20
cm
de
lado.
Quantas
outros x
peças
de
cerâmica
serão
necessárias
para
cobrir
mm
todo jornais
o
piso?
150
peças
.8991
Calcule
a
área
das
figuras
a
ed
5.
seguir.
cm
96%
a)
400
mm
consultam
91
4
que
ed
pessoas
orierevef
2
93
cm classificados
ed
nossos
016.9 ieL
8
cm
e laneP
5
cm
ogidóC od
6
cm
cm
481
6
.trA
1
.adibiorp
2
6
6
5
m
b)
7
Para
m
da
que
ár ea
lado 6
do
a
propaganda
que
apar ece
retângulo
que
(Enem)
Em
comum
perceber
canteiros
comprimento
on
e
a
o
ra
e
seja
na
fidedigna
à
divulgação,
representa
os
porcentagem
a
4%
medida
deve
ser
do
de
m
aproximadamente:
6.
mm
m
de
eve
de
obras
trabalhadores
ângulos
começar
e
de
construção
realizando
fazendo
ou
se
civil
medidas
demarcações
erguer.
Em
um
a
1
b)
10
mm
c)
17
mm
alternativa
mm
d
d)
160
mm
e)
167
mm
é
de
por
esses 2
canteiros
Foi
foram
possível
feitas
perceber
algumas
que,
das
marcas
seis
no
chão
estacas
plano.
colocadas,
8.
O
quadrado
tos
médios
D
de
tem
e
área
CD ,
64
cm
.
Se
e
respectivamente,
2
três
eram
outras
vértices
três
eram
de
os
um
triângulo
pontos
mé
retângulo
ios
os
a
e
os
as
a
área
do
polígono
as
estacas
confor me
foram
pode
ser
indicadas
visto
por
na
figura,
em
16
cm
esse M
A
triângulo,
MQNP
B
que
letras.
B
O CCES
M Q
P
NOSLIDA
P
:SEÕÇARTSULI
A
C
N
A
região
ser
78
demarcada
calçada
com
pelas
estacas
concreto.
A
B
M
e
N
deveria
D
N
C
são
pon-
deter mine
oãçudorpeR
260
6
.......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... ..........................................................................................................................
9.
Calcule
drado
a
de
área
da
figura
diagonal 1 5
sabendo
2
cm
e
que
que
a
D é
figura
um
é
qua
O
parque
mato
limitada
aquático
regular
com
já
conta
com
dimensões
uma
50
m
piscina
3
24
em
for -
m.
2
por
semicircunferências
congruentes.
225
cm
O
proprietário
piscina
seja
quer
que
menor
a
que
área
a
ocupada
ocupada
pela
pela
nova
piscina
já
existente. A B
Considere
O
maior
3,0
valor
como
aproximação
possível
para
R,
em
para
π
metros,
devera
ser:
alternativa
a)
16
d)
31
b)
28
e)
49
c)
29
b
D
13.
C
Em
certa
40cm
pizza 10.
(Ibmec)
Considere
que
os
ângulos
de
todos
os
figura
arcos
de
abaixo
são
retos
circunferências
e
de
que
raio
todos
2,
com
os
arcos
pontos
em
uma
40,00.
diâmetro
pizz a
Qual
mede
cujo
deve
35
diâmetro
ser
cm,
se
o
o
preço
preço
mede
de
da
uma
pizza
centros
sempre
proporcional
à
sua
área?
q
R$
30,63
são
sobre 14.
os
cujo
R$
cantos é
da
pizzaria,
custa
Uma
bola
de
futebol
com
medida
oficial,
como
a
ilus-
destaque. trada
na
abertura
xágonos .8991
que
o
e
12
ed orierevef
ro
é
o
auxílio
capítulo,
pentágonos,
apótema
do
3,8 centímetros,
com
deste
de
necessário
todos
hexágono
e
o
do
uma
para
é
composta
regulares.
mede
confeccionar
20he-
Sabendo
aproximadamente
pentágono,
calculadora,
de
4,2
centímetros,
calcule
uma
quanto
bola
cou-
defutebol
ed 91
desconsiderando
ed 016.9
(Observe
que,
a
área
nesse
utilizada
caso,
os
para
lados
a
costura.
dos
polígonos
2
sãoiguais.)
1.554,06
cm
ieL e laneP
A
og idóC
a)
área
da
4
região
b)
sombreada
4π
c)
16
é
igual
d)
a:
alternativa
16π
e)
c
64
Aprofund amento
od
Calcule
a
área
da
região
alaranjada,
sendo
ABCD D
e
481
1 MNPQ
quadrados
e
M
N
P
e
Q
centro
dos
arcos
.
Seja
o
trapézio
AB
.trA
de
raio
2
cm.
8
,
cujas
bases
medem
8cm
e
5cm,
de
respectivamente, circunferência
e
a
altura
mede
4cm.
Deter mine
a
cm
.adibiorp
2
diferença
entre
as
áreas
A
e
A
1
6
cm
2
oãçudorpeR
D
OCCES
M
C
NOSLIDA
A
:SEÕÇARTSULI
Q
A
D
C
A
B
P
12.
(Enem)
seja
A
O
figura
que
com
proprietário
construir
é
uma
representa
for mada
ângulo
número
por
central
natura
de
um
piscina
a
vista
três
a
suas
superior
setores
igual
parque
em
60°.
aquático
epen
dessa
circulares
O
raio
R
de-
2
16.
ências.
médios
tem
área
quadrados
dos
lados
igual
que
do
têm
a
4
cm
como
quadrado
.
For mando-se
vértices
anterior,
área
do
5
os
pontos
qual
o
idênticos,
ser
quadrado
infinitos
piscina,
ve
Um
será
a
2
quadrado
assim
for mado?
0,25
cm
um
.
Desaf io
17.
(UFC-CE)
A
ár ea
H
ár ea
K
razão
60°
R
regular
ABCDE
triângulos
a)
2
b)
2,5
c)
3
ACE E
(com
e
,
vértices
é
igual
d)
e)
nomeados
a:
alternativa
no
sentido
c
3,5
4
79
Registre as respostas em seu caderno
Autoavaliação
1.
Observe
os
polígonos
a
seguir.
5.
Sabendo
são
5 dm
que
pontos
ACEG
médios
respectivamente, 5 dm
é
um
dos
retângulo
lados
podemos
a
AC
e
B
CE
ir mar
D
EG G
que
F
e
as
e
H
GA
áreas
5 dm
dos
triângulos
não
são
iguais.
alternativa
c
2
II B A
5 dm
C
5 dm
2 cm
5 dm
H
3 cm
D
3 cm IV
1 m
G
III
E F
3 cm
3 cm
1,5 m
a)
E
e
BAH
c)
AGF
b)
E
e
AGF
d)
GHF F
e
BDE
7 m
e
DBC
7 m 60°
6.
Considere
um
quadrado
B
A
7 m
1 dm
1 dm
AB
A
7 m
D
com
área
(
F
de
e
lado
10
cada
cm.
trapézio
DCEF F
III
e
V
os
b)
polígonos:
IV
e
VI
alternativa
c)
I
e
Qual
d
é
a
área
de
medida
de
E
BCE
FE ?
III
d)
II
e
V
a)
3
cm
c)
5
cm
b)
4
cm
d)
6
cm
D
Em
um
inscrito
a
lado
é
dada
pela
circunferência,
relação
5
a
alternativa
em 7.
é
medida
b)
triângulo
alternativa
Observe
a
figura.
b
hexágono
regular
e
quadrado
apótema.
ieL
a
do
016.9
a
C
d
ed
do
que
uma
91
medida
em
ed
2.
orierevef
a)
regulares
da
ed
São
dobro
.8991
1 dm
área
de
um
paralelogramo
é
octógono
igual
à
R
regular
área
de
og idóC
A
d)
laneP
3.
equilátero
um R
de
mesma
base
e
altura.
alternativa
d
od
2
b)
triângulo
quadrado
iguais
a
e
a
e
e
e
a
;
d)
retângulo
hexágono
medidas
4
hexágono
um
trapézio
dos
então,
a
regular
têm
respectivos
razão
entre
o
A
mesmo
as
áreas
pintada
do
círculo
de
verde
maior,
nessa
ordem,é:
R
a
alternativa
da
a
c) 16
alternativa
16
a
a
a
raio
1
a)
quadrado,
corresponde
de
3
do
6
do
área
área
apótemas
oãçudorpeR
perímetro
c)
1
3
4 6
b)
a)
c)
b)
d)
6
4
d)
6
a
a
8
8
4
Retomad a de conceitos
Se
você
Releia
não
a
acertou
teoria
e
alguma
refaça
os
questão,
exercícios
consulte
a
tabela
e
verifique
o
que
precisa
estudar
Objetivos
Identificar
super fícies
do
capítulo
poligonais,
novamente.
correspondentes.
Número
1
2
da
3
questão
4
NOSLIDA
6
7
X
X
X
X
X
X
círculos.
Estabelecer OCCES
5
circunferências X
e
dos
relações
polígonos
circunscrita
Resolver
a
métricas
regulares
e
o
entre
raio
da
os
elementos
circunferência
X
X
eles.
situações-problema
que
envolvam
o
cálculo X
:SEÕÇARTSULI
deáreas
de
Páginas
do
80
super fícies
livro
poligonais
referentes
ao
e
do
X
círculo.
conceito
63
e
64
65
e
66
67
e
68
72
e
63
e
64
63
e
64
69
e
70
69
a
71
73
74
.adibiorp
Um
qualquer
.trA
polígono
481
4.
a)
a
77
Mosaico
Pesquisa e ação
Os
azulejos
por
causa
decorados
da
com
influência
mosaicos
árabe
no
fazem
território
parte
da
cultura
português.
Em
de
muitos
Marrocos
e
países,
na
como
Espanha,
Portugal,
também
há
azulejosde influência árabe. No Brasil, devido à colonização portuguesa, é possível encontrarazu-
lejos
Os
semelhantes
mosaicos
são
aos
de
Portugal.
constituídos
de
formas
geométricas
que
se
repetem
formando
determina-
dopadrão.
KCOTSRETTUHS/NAMRAVAJ
SEGAMI WOLG/YMALA/ NIDLEIF KCIN
de
mosaico
Detalhe
de
azulejo
em
Marrocos,
2015.
Detalhe
de
mosaico
Detalhe
de
azulejo
em
Marrocos,
2014.
D
OCRAM
RASLUP/ZIN
OINOTNA
SNEGAMI
ONIK/ÁS
Detalhe
RASEC
português,
Alcântara,
MA,
2014.
português,
Alcântara,
MA,
2014.
P r ocedi me n t os
1)
Reúna-se
quatro
Azulejos
em
Azulejos
no
Azulejos
em
Essa
pesquisa
subsídio
2)
com
A
para
próxima
azulejos
que
será
e
e
pesquisem
os
seguintes
temas:
Brasil
Marrocos
servirá
a
para
a
construção
etapa
a
colegas
Portugal
é
definir
imagem
coberta
geral
pelos
construção
dos
azulejos
quais
do
de
do
Essa
repertório
serão
levando
área
de
imagens,
formas
e
cores,
dando
grupo.
polígonos
mosaico,
azulejos.
um
será
usados
em
para
compor
consideração
estabelecida
pelo
a
cada
área
imagem
dos
predeterminada
professor.
Decisões tomadas, escolham o material que será usado na confecção dos azulejos, considerando
não
4)
só
Você
e
a
estética,
seus
mas
colegas,
também
com
o
a
matemática.
professor,
poderão
Lembrem-se
organizar
de
uma
usar
material
mostra
dos
reciclado.
painéis
de
azulejos
produzidos e contar um pouco a trajetória do trabalho, destacando os sites e os livros utilizados
como
referência.
81
l
o
t
u
í p
C
a
5
Introdução à Geometria espacial
ZNAM O UAP EÕÇARTSULI
Objetivos
do
capítulo
1
Identificar
relativa
a
Ideias
gerais
sição
entre
A
retas;
sustentabilidade
no
ar
e
a
forma
aerodinâmica
de
um
avião
são
frutos
do
co-
nhecimento humano construído durante milhares de anos. A forma da fuselagem e
anos; retas
e
anos.
das asas, a posição relativa do plano do leme e do plano das pequenas asas traseiras
Aplicá-las
na
resolução
exemplificam
de
avião.
o
uso
de
conceitos
e
relações
geométricas
na
aerodinâmica
de
um
problemas
Identificar e calcular
distâncias entre
As
asas
ângulo
diedro;
adquire
maior
manobra
de
elementos
ponto
reta
e
e
do
avião
graças
formam
a
ele,
sustentação,
estabilização
constitutivos
o
um
quando
que
durante
da
ângulo
o
o
avião
leva
o
de
voo.
Geometria
que,
no
se
na
Geometria,
inclina,
volta
Neste
espaço
à
a
asa
posição
capítulo,
é
na
conhecido
posição
horizontal
vamos
por
inferior
em
estudar
uma
alguns
tridimensional.
plano; retas;
Primeiro,
plano; planos
vamos
conhecer
um
pouco
sobre
Euclides
de
Alexandria,
matemático
rego que viveu por volta de 300 a.C. e teve grande importância no desenvolvimen
Identificar
um
ângulo to
diedro
e
da
Geometria.
composta
sua
de
13
livros
(ou
é
reconhecido,
capítulos),
na
sobretudo,
qual
está
por
sua
organizado
obra Os
todo
o
elementos
conhecimen-
medida to
geométrico
Geometria
82
Euclides
determinar
até
então
euclidiana
acumulado.
Neste
capítulo,
veremos
alguns
tópicos
da
DAEHONAM
1.1
Na
e
por
Noções
Geometria,
isso
humana,
são
elas
primitiva s
ponto,
reta
chamadas
de
funcionam
ponto
não
tem
e
plano
noções
como
são
modelos
dimensão,
algumas
primitivas.
nem
para
noções
Como
explicar
massa,
nem
a
aceitas
são
sem
produtos
definição
da
mente
realidade.
volume.
A Podemos
r
não
tem
espessura,
nem
começo,
nem
OCCES
fim.
NOSLIDA :SEÕÇARTSUL
r
plano não
tem
espessura
nem
fronteiras.
explorar
questionamentos
como:
Quando
definimos
recorremos
já
a
existentes,
sido
de
criadas
as
de
definições
Mas
como
primeiras
Para
quais
chamados
e
foram
a
definições
podem
outras
em
já
e
existentes.
as
Geometria?
essa
conceitos
noções
ter
palavras
definidas
palavras
de
objeto,
também
responder
partimos
um
palavras
questão,
não
definidos,
primitivas.
Obser vação
Nesta
os
Podemos
imaginar
um
ponto
ao
ver
um
pequeno
furo
em
um
papel,
uma
obra,
pontos
ver
uma
Essas
linha
três
fina
noções
esticada
fazem
ou
parte
um
do
plano
ao
espaço,
ver
as
águas
conjunto
tranquilas
dos
infinitos
de
um
pontos
letras
latinas
reta maiúsculas
ao
representaremos
por
lago.
exis-
por
letras
t, t
...)
gregas
(A (
B
latinas
e
os
minúsculas
planos
minúsculas
por
(a
letras
b
tentes.
83
Qualquer
um
ponto,
conjunto
é
de
chamado
pontos
de
considerado
no
espaço,
que
tenha
pelo
menos
figura
A
P
Convém
existe
D
um
lembrar
plano
planoa.
B
A
Ñ
a
que
Em
B
Ñ
que
dois
contém
C
Ñ
a
mais
todos
linguagem
a
ou
e
pontos
Ñ
denominados
coplanares
se
eles.
A
B
C
simbólica,
D
são
e
D
são
coplanares,
pois
pertencem
ao
indicamos:
a
C
não
é
coplanar
com
,
,
C
e
,
pois
não
pertence
ao
plano
a
Em
linguagem
Observe,
a
simbólica,
seguir,
figura
figura
IV
da
figura
IV
é
tem
apenas
não
quatro
apresentam
planas,
plana,
contenha
pois
porque,
todos
os
pontos
ainda
as
coplanares,
seguintes
existe
um
único
considerando
pontos
da
a
as
demais
diferenças:
plano
que
perspectiva,
as
não
016.9
que
que
figuras
ed
figura
plano
I,
Essas
91
a
figura
II
um
III
ed
existe
figura
orierevef
contém,
figura.
I
pontos.
de
a
ed
exceção
infinitos
exemplos
É
.8991
Com
têm
alguns
escrevemos:
figura;
ieL
que
linha;
representa
a
III,
nenhum
uma
desses
superfície;
tipos
de
a
IV,
figura,
um
não
sóli
.
recebe
Afi-
nome
ogidóC
especia
não
laneP
guraI,
e
.
od 481
Em
Geometria,
sem
crevem
relações
postulados,
priedades
O
além
das
noções
demonstração:
entre
os
os
conceitos
demonstramos,
denominados
conjunto
de
primitivas,
postulados,
por
primitivos
meio
de
são
estabelecidas
proposições
(noções
deduções
verdades
fundamentais
primitivas).
lógicas,
Com
outros
iniciais
que
des
base
fatos
ou
nos
pro
teoremas
noções
primitivas,
postulados
e
teoremas
constitui
o
sistema
dedutivo OCCES NOSLIDA
Pos tulados:
Iniciamos
SEÕÇARTSUL
volvimento
nossa
da
continuidade,
mentos
um
ponto
reflexão
Geometria
foram
alguns
O
P2
Toda
espaço
P3
Fora
de
P4
Dois
pontos
reta
tem
e
as
os
infinitos
plano
das
noções
estabelecidos
todo
par tida
respeito
com
postulados,
P1
a
de
quais
bases
Geometria
sobre
primitivas
como
são
da
as
de
propriedades
apresentados
quais
ponto,
a
se
assenta
reta
e
o
desen-
plano.
Dando
fundamentais
desses
seguir.
pontos.
são
conjuntos
de
infinitos
pontos.
Obser vação
Embora,
em
Geometria,
determinar
signifique
e
há
ser
único,
o
uma
reta,
bem
como
fora
de
um
plano,
distintos
determinam
uma
única
reta.
existir
situações
em
A
que
achamos
enfatizar
casos,
usamos,
determinam
84
conveniente
essas
ideias.
por
uma
Nesses
B
exemplo:
única
há
termo
reta.
r
infinitos
pontos.
ele-
oãçudorpeR
aceitas
dedutivo
.adibiorp
Sis tema
.trA
1.2
P5
Postulado
or
um
de
Euclides
ponto
fora
de
uma
reta
r
passa
somente
uma
reta
s
paralela
a
r
P
s
r
P6
Três
pontos
não
colineares
determinam
um
único
plano.
P
Q
a plano
P
Se
dois
pontos
distintos
estão
em
um
plano,
a
reta
a
ou
que
plano
passa
(PQR
por
eles
está Obser vações
contida
nesse
plano.
em
B
um
plano,
significa
todos
os
pontos
à
também
que
que
per tencem
A .8991
reta
per tencem
r
aoplano.
ed orierevef
pontos
ed
na
91
P8
Se
dois
planos
distintos,
a
e
b,
interceptam-se,
a
intersecção
é
uma
distintos,
figura
ao
A
lado
e
B,
pode
como
ser
reta.
ed
representada
por
ou AB
016.9 ieL e laneP OCCES
og idóC
b
481
NOSL
od
DA
.trA
SEÕÇARTSULI
.adibiorp
a
oãçudorpeR
r
Com
esses
capítulo,
Teorema
que
postulados,
veremos
contém
1:
o
é
alguns
Dada
ponto
possível
uma
X
e
demonstrar
vários
teoremas.
No
decorrer
deste
deles.
reta
a
m
reta
e
um
ponto
X
fora
dela,
existe
um
único
plano
m
Obser vação X
Dois
ou
mais
pontos
são
ditos
m
colineares
reta
que
quando
contém
existe
todos
uma
eles.
r
M
Demonstração
X
P
Pelos
postulados
P2
e
P3,
a
reta
m
tem
dois A
X
pontos
distintos,
com
pois
P
e
Q,
que
não
são
colineares m
,
X
É
postulado
P6,
três
pontos
não
único
um
plano
único
que
plano,
passa
por
ou
P
seja,
Q
e
existe
X, X
um
sendo
A
e
M
per tencem
são
à
Em
linguagem
A
Ñ
r
P
simbólica,
Ñ
r
e
M
Ñ
r
a
X
não
é
colinear
com
plano. A
A
r.
indicamos:
esse
pois
colineares reta
determinam
colineares,
Q
Pelo
P
m
reta
m
tem
Portanto,
a
é
dois
o
pontos
único
em a;
plano
então,
que
pelo
contém
a
postulado
reta
e
o
P7,
ela
ponto
está
contida
em a
P
reta
e
r.
M,
pois
Em
X
não
per tence
linguagem
escrevemos:
X
É
r
à
simbólica,
Exe rc íc io resolv id o
R1.
Quantos
p
anos
po
em
passar
por
um
ponto
P
Resolução
Em
um
sistema
necessitam
Além
do
de
ponto
dedutivo,
certas
resoluções,
um
desenvolvimento
P,
espaço
o
tem
e
de
infinitos
como
uma
a
que
exemplificaremos
linguagem
pontos
estritamente
(postulado
P1).
aqui,
for mal.
Portanto,
existe P
um
ponto
Vamos
Q,
distinto
considerar
de
um
P,
e
uma
ponto
R,
reta
fora
PQ
da
(postulado
PQ
reta
P4).
R
(postulado
P3),
que
deter mina Q
com
ela
Agora,
um
plano
vamos
a
(teorema
considerar
1).
um
Logo,
ponto
o
S,
plano
fora
de
a
a
passa
por
P
(postulado
P3).
Como
S
É
a S
S
É
por
PQ
e,
novamente
pelo
teorema
1,
existe
um
planob,
com
b
a,
que
passa
P
Continuando
que
passam
a
fazer
pelo
construções
ponto
análo
as,
podemos
construir
infinitos
planos
P
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
Quantos
planos
pontos
podem
quantos
distintos
passar
planos
que
não
por
dois
podem
pontos
passar
estejam
5.
Uma
mesa
cilar,
por
sempre
alinhados?
de
fir me.
os
três
pontos
estiverem
planos
que
um
contêm
só
dos
plano
quais
quatro
ou
nenhum
três
deles
pontos
plano
nunca
pontos?
figura
plana,
isto
tal
que
quatro
coplanares,
é,
está
único
plano
e
variar
o
outro
quaisquer
então
contida
p
um
ou
em
g
ponto,
é
2
2.1
A
um
é
de
uma
plano.
p
que
O
F
oãçudorpeR
figura
são
verdadeira
.adibiorp
uma
pontos
é
p
coplanar.
Posições
relativas
Paralelismo
paralelismo
seguir,
Reta s
está
veremos
uas
retas
OCCES
ponto
NOSL
Em
muito
como
presente
as
retas
e
em
os
nosso
planos
dia
se
a
dia.
relacionam
por
meio
dessa
ideia.
paralela s
(coincidem)
r
e
ou
comum
linguagem
s,
se
são
paralelas
estão
em
(intersecção
simbólica,
um
se
têm
mesmo
todos
os
plano a e
pontos
não
têm
comuns
nenhum
vazia).
escrevemos: r/s
X
r
6
s
ou
r
y
a,
s
y
a
e
r
}
s
5
Ö
DA SEÕÇARTSULI
r
s s
retas
retas
coincidentes
86
.trA
é
abaixo
resposta.
481
F
seus
sua
retas
od
afir mação
justificando
seis
ogidóC
de
laneP
a
pontos
e
se
quatro
LLA
falsa,
chão);
ieL
Indique
(do
TUOBA
4.
plano
016.9
planos,
pontos,
conjunto
único
ed
os
são colineares, quantas retas são determinadas por
esse
teoria
infinitos
infinitos
quatro
a
determinam
HS/ECAPS
Dados
segundo
mesa)
YTTEG/16DNETSEW
3.
fato
da
os-
está
91
são
distintos?
pés
pode
per nas
KCOTSRETT
Quantos
único;
esse
(três
vezes
tr ês
SEGAMI
2.
um
pontos
às
de
estudada.
alinhados?
um infinitos;
per nas
mesa
ed
se
uma
Explique
Três
E
quatr o
enquanto
orierevef
três
E
ed
distintos?
.8991
1.
a
r
(não
paralelas
distintas
coincidentes)
T eorema
2: Duas retas paralelas, não coincidentes, determinam um único plano.
Demonstração
Por
definição,
elas
são
Pelo
existe
paralelas
postulado
e
P2,
pelo
não
menos
um
plano
coincidentes.
consideremos
A
e
a
Vamos
que
contém
mostrar
as
que a
retas
é
r
e
s,
já
que
único.
B
em
A
B r
s
C
Pelo
B
Ñ
postulado
b
e
C
Ñ
b.
P6,
os
Vamos
pontos
mostrar
A
B
que
b
b.
coincide
com
Logo,
A
Ñ
b
a
B r
s
Como
é,
A
o
Ñ
plano.
z
C
plano a
a
B
Ñ
Logo,
a
os
a
e
C
Ñ
a,
planos
a
que,
e
b
por
contém
não
serem
coincidem
(a
z
todos
os
pontos
colineares,
dessas
determinam
retas,
um
isto
único
b).
.8991 ed orierevef
Planos
paralelos
ed 91 ed 016.9
Dois
ou
planos
se
não
a
têm
e
b,
são
paralelos
nenhum
ponto
se
coincidem
comum
(têm
(intersecção
todos
os
pontos
comuns)
vazia).
ieL e laneP ogidóC od
Em
linguagem
simbólica,
escrevemos: a
b
X
a
6
b
ou
a
}
b
5
Ö
481 .trA .adibiorp
a
oãçudorpeR
planos
coincidentes
planos
(não
Reta
se
a
Em
e
plano
reta
e
e
um
o
paralelos
distintos
coincidentes)
paralelos
plano
plano
linguagem
b
b
a
a
são
não
simbólica,
paralelos
têm
se
nenhum
a
reta
ponto
escrevemos: r/a
X
r
está
contida
no
plano a
comum.
y
a
r
}
a
5
Ö
r
OCCES NOSLIDA
r
r
y
a
SEÕÇARTSULI
a
a
r
}
a
=
87
Propriedades
Veja
a
seguir
do
paralelismo
algumas
propriedades
do
paralelismo.
Todas
elas
podem
ser
monstradas.
1.
Por
P
não
único
per tencente
plano
b
paralelo
a
a
a
a
u
2.
Se
r
não
s
está
contida
contida
em
a,
em
a
r
então
r
é
é
paralela
a
3.
Se
paralelaaa
r
é
paralela
então
r
é
a
a
paralela
b,
a
sendo
a
}
b
5
s
s
r
r P
s
4.
a
é
r
s,
contidas
que
r
um
}
s
Se
e
s
plano
paralelo
em
5{P},
um
então
a
duas
plano
a
é
b,
ta
Se
retas,
paralelo
dois
então
s
a
é
b
planos
são
qualquer
paralela
ao
paralelos
reta
contida
e
distintos,
em
um
6.
Se
deles
a
ntercepta
então
outro.
as
planos
b
e
g g,
com
ntersecções
são
retas
r
e
b paralelo
s
de
a
com
a
g ,
esses
paralelas.
r
r
r
.8991 ed orierevef
Reta s
reversa
ed
r
e
s
são
reversas
quando
não
existe
um
mesmo
plano
que
ed
retas
91
Duas
016.9
contenha.
ieL e
igura
abaixo,
retas
r
e
é
possível
s;
portanto,
visualizar
elas
que
são
não
existe
um
mesmo
plano
que
og idóC
as
laneP
Na
contenha
reversas.
od
r
481
G
H
.trA .adibiorp
D
C
E
Duas
ser
Se
retas
distintas,
coplanares
forem
ou
r
e
s,
distintas
poderão
(não
ser
linguagem
simbólica,
escrevemos:
têm
á nenhum
ponto
concorrentes
ponto
comum)
(têm
um
s
B
A
reversas.
coplanares,
F
podem
Em
paralelas
oãçudorpeR
Obser vação
a
tal
que
r
y
a
e
s
y
a
ou
único
Observe,
comum).
r
}
s
5
Ö
ainda,
Se
achar
cubo
por
são
isso,
ponto
são
que
as
necessário,
paralelos
a
reta
comum.
paralelas;
retas
r
explicar
não
e
não
os
coincidentes,
s
r
disso,
e
s
s
são
é
têm
planos
ou
( ABE E)
Além
logo,
s
que
paralela
(
seja,
e
a
a
nenhum
E )
os
reta
CD
e
r
e
( CDG)
planos
r r
é
ponto
que
não
contida
no
comum,
contêm
têm
nenhum
plano
perpendicular
faces
a
(CDG)
CD ;
ou
seja,
paralelas
ponto
não
têm
portanto,
do
comum
r
e
s
não
reversas.
Exe rc íc io resolv id o
R2.
Considerando
ABCDEFGH
EFJI
o
e
cubo
o
I
J
c)
retângulo
representado
ao
três
ES NO
o
que
se
dois
pontos
planos
não
paralelos
por
meio
de
colineares.
lado,
fazer
Identificar
pede.
Resolução
E F
LIDA
a)
Identificar
um
par
de
re a)
Respostas
possíveis:
retas
paralelas:
C
C D
SEÕÇARTSULI
tas
paralelas,
um
par
de e
r etas r eversas
e
um
D J
retas
que
não
nem
reversas.
b)
B
A
a Indicar
plano
88
a
posição
que
relativa
contém
a
reversas:
I J
e
D
;
retas
que
face
são
paralelas
nem
reversas:
J H
e
D F
G
sejam
A
paralelas
b)
retas
par
não de
;
entre
D JI.
a
reta
C J
e
reta
face
C J
é
CD JI, I
paralela
pois
ao
está
plano
contida
que
contém
nele.
o
c)
Resposta
possível:
os
planos
( ABG
e
e,
nenhum
EFD
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
6.
Classifique
dadeira
a)
ou
cada
Duas
das
afir mações
em
ver -
7.
Registre
falsas.
reversas.
b)
uma
falsa.
a)
Duas
verdadeira
retas
reversas
podem
ser
coplanares.
falsa
b)
são
2.2
paralelos.
retas
é
das
a,
afir mações
a
seguir
são
c
reversas
nunca
estão
em
lanos
paralelos.
c)
d)
quais
afirmações
a
e
b,
são
coincidentes,
c)
então
então
verdadeira
r
paralela
r
à
está
é
reta
r
e
paralela
à
s,
então
um
plano
contida
reta
té
a
paralela
têm
a
ponto
r
comum,
em a
Perpendicularismo raios
de
Além
nas
do
quais
Para
é
paralelismo,
notável
traçar
a
o
podemos
identificar
perpendicularismo.
direção
da
linha
meridiana
ao
nosso
redor
Acompanhe,
de
um
local,
a
inúmeras
seguir,
fincamos,
uma
delas.
perpendicularvareta
mente
ao
decorrer
de
solo,
do
mesmo
uma
dia
e
vareta
traçamos
comprimento.
(denominada
a
A
bissetriz
direção
de
da
gnômon),
todos
linha
os
marcamos
ângulos
meridiana
suas
formados
local
Sol
situações
sombras
por
coincide
no
de
sombras
com
a
vertical
chamada
gnômon
das
.8991
bissetrizes.
ed
Nessa situação, como podemos garantir que a vareta fique perpendicular ao solo?
orierevef
O
estudo
do
ed
ajudará
Reta s
a
perpendicularismo
responder
a
entre
questões
retas,
como
entre
planos
e
entre
retas
e
planos
linha
essa.
meridiana
local
91
nos
ed 016.9
concorrentes
ieL
Ref lita
e laneP
Na construção civil, qual é a função:
Duas retas
r e
s,
são concorrentes quando
têm
apenas
um
ponto P comum.
og idóC
od
481
Em
linguagem
.trA
Observe
as
simbólica,
figuras
I
e
II
escrevemos: r
}
s
5
{P} P
abaixo.
.adibiorp
A
A
oãçudorpeR
N
N
P
P
B
M
figura
Na
figura
o
P.
I,
observamos
Nelas,
duas
retas
identificamos
os
concorrentes, AB
ângulos
APM
MN,
MPB
BPN N
que
e
se
II
interceptam
NP A
plano
(figura
II). O
Teorema
3:
Se
duas
retas,
r
e
s,
são
concorrentes
em
um
ponto
P,
então
elas
fio
de
relação
determinam
um
único
plano
prumo
ao
solo,
função,
Demonstração
Comentário:
um
P2,
existem
os
pontos
A
C
tais
que
A
P
C
^
P
trabalho
os
pontos
A
e
5
plano
(
)
postulado
Vamos
mostrar
bolha,
em
além
a
de
Esta
para
uma
verificar
a
atividade
ação
da
a
superfície.
propicia
com
força
perpendicularidade
do
Física,
gravitacional
concluímos
que
,
e C
determinam
um
plano a;
lo
com
água
o:
a
horizontalidade
dentro
do
nível
de
da
fio
de
prumo
superfície
(I)
P7,
o
que
plano
a
é
contém r
e
s,
pois
contém
dois
pontos
de
cada
reta.
s
único.
SEÕÇARTSULI
r
Suponhamos
que
exista
outro
plano
b que
contenha
r
e
s
P
C
Pelo
postulado
P7,
os
pontos P, P
A
e
C
pertencem
a
b;
logo:
b
5
plano
(APC )
(II) A
De
(I)
e
(II),
concluímos
que
a
6
e
que,
portanto,
a
é
da
bolha.
NOSLIDA
Pelo
P6,
de
OCCES
a
postulado
nível
a
parede
C e
Pelo
verificar
uma
interdisciplinar
relacionando
com
Assim,
o
serve
horizontalidade
postulado
e
para
de
a dessa
Pelo
serve
perpendicularidade
único.
89
YTTEG
Além de determinar esses ângulos, duas retas concorrentes também determinam
um
SEGAMI
pon
figura
/CSIDOTOHP
no
B
M
I
Reta s
Ref lita
AB
AD
EH
EF
Duas AE
BC
BF
CD
CG
DH
nam FG
e
H
do
cubo
perpendiculares
retas
quatro
r
e
s,
são
ângulos
perpendiculares
quando
são
concorrentes
e
determi-
retos.
representado
abaixo.
r H s
F
r
ª
s
(lemos:
“a
reta
r
é
D C
A
perpendicular
à
reta
s”)
B
Reta s
or togonais
24
pares
Duas
retas
reversas,
r
e
s,
são
ortogonais
quando
existe
uma
reta
t
que
é
paralela
de
18
coincidente)
a
s
e
perpendicular
a
r
pares
3segmentos
(não
perpendiculares
Na
figura
ao
lado,
em
que
os
pontos A
B
C P
O
cubo
24
(8
tem
3)
8
vértices;
pares
de
logo,
são
M e P são
vértices
de
um
cubo,
as
retas
AB
e
CM
segmentos
são
ortogonais,
pois
a
reta
PM
é
paralela
a
A
AB
perpendiculares.
e
é
perpendicular
a
.8991
CM
AB
CD
AE
BF
AD
BC
EF F
e
HG
orierevef
ed
paralelos:
M CG
e
DH
EH
e
FG
4
Mas
3
5
cada
então,
de
C
temos
36
par
logo,
são
contado
(36
2)
duas
pares
Reta
de
e
plano
perpendiculares
e
segmentos
foi
18
ieL
vezes;
paralelos;
pares
016.9
3
3
ed
segmentos
forma
91
conjunto
ed
B Cada
paralelos.
a
são
secantes
uma
reta r
secantes
é
o
caso
e
(ou
em
um
plano a
têm
concorrentes
que
a
reta
é
somente
um
ponto
perpendicular
ao
comum,
dizemos
que
plano.
ogidóC od
e
laneP
Quando
r
481
uma
reta
r
perpendicular
por
um
a
plano
quando
a,
r
é
concorren
es
no
perpendicular
pon
a
o
todas
P, P
as
dizemos
retas
de
que
a
r
que
P
r
oãçudorpeR
passam
e
a
.adibiorp
é
.trA
Dados
r
P
P
reta
:
a
secante
a
reta
r:
secante
e
ES NOSLIDA :SEÕÇARTSULI
não
ao
plano
ao
a
Teorema
O
teorema
Teorema
então
Em
s
r
é
retas
retas;
é
perpendicular
perpendicular
90
r
é
a
se
muito
uma
ao
uir,
reta
simbólica,
perpendicularismo
conhecido
importante
como
para
perpendicular
plano
a
a
a
determinado
escrevemos: s
y
a
t
teorema
fundamental
do
Geometria.
duas
por
y
a
retas
essas
r
ª
concorrentes,
s
e
t t,
retas.
s
r
ª
t
V
r
ª
a
conti
a
as
ao
plano
duas
nesse
a
astronômico:
ele?
Na
contidas
no
basta
verificar
como
verdade,
plano
se
é
ter
não
do
é
solo,
certeza
preciso
pois
perpendicular
de
isso
a
que
a
verificar
seria
duas
vareta
se
ela
é
fincada
impossível,
retas
não
no
solo
perpendicular
já
que
coincidentes
são
a
é
per-
todas
infinitas
desse
plano
a
retas
p
ão de perpendicularismo entre reta e plano nos remete à questão sobre
meridiano
as
concorrentes
Se
linguagem
pendicular
pois
4:
é
perpendicular
A defini
é
enunciado
do
plano
t
o
ret
fundamental
perpendicularismo,
r
A
perpendicular
perpendicular
ano.
que
passam
pelo
ponto
perpendicularismo
nos
em
que
garante
a
vareta
isso.
foi
fincada.
O
teorema
fundamental
do
Planos
Dois
planos
pelo
menos
Como,
é
concorrentes
uma
pelo
reta,
distintos,
um
e
ponto
postulado
podemos
b,
são
comum
P8,
a
concorrentes
(intersecção
intersecção
escrever:
a
}
b
5
não
de
(ou
secantes)
quando
têm
vazia).
dois
planos
distintos
não
paralelos
r
r
Considere
a
figura
do
cubo
abaixo.
B .8991 ed
orierevef
A
A
intersecção
dos
planos
a
e
b
é
a
reta
que
contém
o
AB,
segmento
ou
seja,
a
ed 91
reta
AB ,
isto
é:
a
}
b
5
AB
ed 016.9 ieL e laneP
Exe rc íc io resolv id o
ogidóC od
R3.
481
ponto
a
e
em
b
a,
.trA
pertencem
dois
e
à
B
planos
e
C
reta
são
secantes
dois
cuja
pontos
intersecção
distintos
em
é
b
a
reta
tais
r
que
A
B
A
e
é
C
um
não
r
.adibiorp
oãçudorpeR
a)
mostrar
que
b)
deter minar
A
B
e
C
não
são
pontos
C
colineares.
a
intersecção
do
plano
a
com
o
plano
dado
por
A
B
e
C
A
B
Resolução
r
a)
que
isso
gera
Como A
gera
uma
A
contradição,
Logo,
A
B
veio
e
B
e
C
C
sejam
pontos
colineares.
Mostremos
contradição.
pertence
pertence
contradição
A
a
a,
à
pois,
da
não
reta
temos
pelo
então
A
Ñ
a
enunciado,
suposição
são
BC ,
que
da
A
}
pertence
b,
isto
sabemos
colinearidade
é,
ao
A
que
dos
plano
Ñ
A
r,
É
três
o
r.
b
que
Essa
pontos.
colineares.
B
b)
Existem
dois
casos
para
analisar.
O
primeiro,
quando
as
retas
BC A
P
e
r
são
concorrentes
e,
o
segundo,
quando
as
retas
BC
e
r
são
r
paralelas.
BC
e
r
concorrentes
o
ponto
comum
a
BC
e
r.
Como
P
Ñ
BC
,
sabemos
que
P
pertence
e
que
a
reta
BC
e
r
P
plano
( ABC ).
pertencem
AP
é
a
reta
Mas
ao
P
Ñ
plano
a
a,
e
pois
ao
P
Ñ
plano
r
er
a .
(ABC ),
Como
os
C
concluímos
OCCES
A
ao
procurada.
NOSLIDA
B
BC
paralelas
/r,
então
BC
/a
ABC )
intercepta
o
plano
a
SEÕÇARTSULI
A
em
uma
reta
portanto,
que
paralela
contém
a
o
ponto
A
e
é
paralela
à
reta
BC
e,
r
91
Planos
Dois
reta
perpendiculares
planos
r
a
e
b,
perpendicular
são
ao
perpendiculares
outro
quando
um
deles
contém
uma
plano.
r
Exemplo
Observe
o
pois
prisma
ABC
contém
a
representado
ao
reta
BC ,
que
é
lado.
Nele:
DCF ),
perpendicular
B
A
ao
DCF );
.8991
F
ABC BFC ) não são perpendiculares
pois
não
do
há
uma
indicação
reta
de
que
perpendicular
algum
a
D
duas
C
outro.
ed
retas
si,
contenha
orierevef
deles
ed
entre
91 ed 016.9
do
perpendicularismo
ieL
Propriedades
e
plano
ponto
de
uma
reta
perpendicular
a
passa
essa
somente
propriedades
do
perpendicularismo.
Todas
elas
podem
2.
reta.
Se uma reta
é perpendicular a um plano a
então toda reta paralela a
plano
a
e
perpendicular
todo
a
plano
paralelo
a
a
Duas
retas
plano
são
diculares
é
a
perpendiculares
paralelas.
uma
Dois
mesma
a
um
planos
reta
são
mesmo
perpen-
paralelos.
.
oãçudorpeR
r P
r
4.
Se
uma
reta
diculares
a
paralela
a
a
r
e
um
um
plano
plano
b,
a
são
então
a
perpen-
reta
r
é
5.
Se
os
um
g
é
planos
plano
e
b
perpendicular
entre
a
e
são
concorrentes
perpendicular
à
a
re t a
b
a
de
e
a
b,
e
g
é
6.
Se uma reta r é perpendicular a um planoa
então
em um ponto P, uma reta t está contida em
i n te r s e cç ã o
ae não passa por P, uma reta m está contida
em
a,
a
no
passa
por
P
e
m
é
perpendicular
r t
que
ponto
R,
per tence
a
então
r, r
é
a
r
Q
r OCCES
t
NOSLIDA
P R
:SEÕÇARTSULI
92
reta
QR
,
perpendicular
.adibiorp
ao
3.
é perpendicular
.trA
um
um
algumas
demonstradas.
481
Por
seguir,
ogidóC od
1.
a
laneP
Veja,
ser
m
em
a
t
Exe rc íc ios resolv id os
R4.
Dados
três
culares
a
pontos
uma
não
reta
r,
colineares,
demonstrar
A
B
que
e
C,
as
se
as
retas
r
retas
e
BC
AB
são
e
AC
são
perpendi-
ortogonais.
r
Resolução
P7,
a
o
as
retas
plano
retas
AB
e
deter minado
AB
AC
,
BC
que
e
por
AC
são
A
B
estão
e
C
(postulado
contidas
concorrentes,
r
é
em
a.
P6).
Assim,
Como
r
perpendicular
é
ao
pelo
postulado
perpendicular
plano
que
as
às
con
A
tém,
isto
é,
r
ª
a.
Portanto,
r
é
ortogonal
a
qualquer
reta
de
a
que
não
passe
a
pelo
R5.
ponto
A.
Considerando
r
y
a
e
y
Logo,
dois
b,
as
retas
planos
indicar
r
e
BC
paralelos
todas
as
são
ortogonais
distintos,
possíveis
a
e
posições
entre
b,
e
entre
si.
duas
r
e
retas,
e
s
com
s
Resolução
Existem
(I)
As
uas
retas
g
i
a
e
a
b,
e
possi
e
g
s
i
i
estão
i
a
es:
em
um
plano
b
g,
sendo
em
e
s,
que
s
(I)
g
respectivamente,
r
contidas
são
paralelas
distintas.
(II)
Não
há
um
plano
que
contenha
as
retas
r es.
Nesse
Observação caso,
vamos
.8991
paralela
a
considerar
r
uma
reta
t
de
t
r
b
que
um
plano
r
seja
g
No
ed
t
(II) tal
como
o
do
item
(I).
A
reta
t
deter mina
com
orierevef
plano
que
coincide
com
b.
Assim,
temos:
caso
(II),
se
as
retas
forem perpendiculares,
s
P
um
s
r/t
n
r
s
r
r
ed
t
}
s
5
{P },
r
}
s
5
Ö;
logo,
r
e
s
são
retas
or togonais.
reversas.
91 ed 016.9
R6.
Demonstrar
ieL
que
duas
retas
reversas
têm
uma
única
reta
perpendicular
comum.
Resolução
e laneP
ogidóC od
e
s,
r
e
s
duas
retas
reversas
e
a
e
b
dois
planos
paralelos
que
contêm
r
respectivamente.
Por
um
ponto
C
de
r
passa
uma
perpendicular
ao
plano
b
D
o
ponto
r C
de
intersecção
dessa
reta
( CD
)
com
b
481
A
.trA
Por
D
passa
uma
única
paralela
(m )
à
reta
r
(postulado
de
Euclides).
Essa
.adibiorp
reta
está
Por
contida
passa
em
uma
única
B
a
intersecção
paralela
à
reta
da
CD
reta
m
com
(postulado
a
de
reta
s
Euclides),
que
D
s
oãçudorpeR
m
intercepta
A
reta
AB
portanto,
suas
resoluções
dos
reta
é
r
AB
é
é
a
exercícios
no
ponto
perpendicular
AB
8
com
única
a
A.
13
no
É
aos
perpendicular
intersecções
Logo,
Ver
a
esses
a
planos
a
todas
do
B
AB
a
as
e
b,
pois
retas
de
é
a
paralela
e
de
b
à
que
reta
CD
passam
e,
por
planos.
perpendicular
Guia
reta
comum
às
retas
r
e
s
professor.
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
8.
Q u a i s
d a s
a f i r ma çõ e s
a b a i x o
s ã o
f a l s a s ?
ustifique.
a)
Duas
9.
e
retas
perpendiculares
a
uma
mesma
PS
paralelas
entre
e S três pontos não colineares tais que
contidas
no
plano
a
KM
ª
reta QS
são
,
estão
ª
PS
e
/ QS ,
como
mostra
a
figura
abaixo.
si.
Q
b)
r
e
um
plano
a
são
paralelos,
então
K
toda
reta
então
perpendicular
reta
ao
plano
a
é
perpendi-
r
toda
P
r
está
contida
perpendicular
em
a
um
r
é
plano
a
perpendi
M
NOSLIDA
c)
à
OCCES
cular
S
cularaa
e esse
ré
plano
r
é
é
perpendicular
paralelo
perpendicular
a
b
a
outro
a
um
plano
plano
b,
a
então
Com
um
colega,
Sugestão:
mostrem
Construam
que
por
P
KM
uma
ª
a
e
QS
paralela
à
ª
a
KM
93
SEÕÇARTSUL
d)
10.
(UFRN)
Na
sentada
cadeira
na
repre-
figura,
o
12.
Mostre
que,
sentado
en-
ao
no
cubo
lado,
a
H
repre-
G
diagonal
F
costo
é
perpendicular
assento
e
este
é
AC
ao
E
plano( HFBD ).
C
questões
Os
a
F
seguir.
planos
N
e
A
a e b
planos paralelos distintos,
é
um
segmento
tos
N
não
colineares
reta
comum
aos
HI J
planos
e
N
N
são
é
um
segmento
e
P
um
ponto
B e C pon
de
b
tais
que
e
de
A e PC
H prove
que
o
plano
( R TV )
é
pa-
paralelos? ralelo
EF
a
T e V são pontos médios de PB
respectivamente,
planos
de
de PA ª b R
Os
A
paralelos?
M
HG G
B
FGJ 13.
d)
perpen
D
são
b)
é
G
E
a)
ao
D
chão.
às
face
dicular
paralelo H
ao
da
reta
comum
aos
a
b
planos P
N
11.
e
EHG? G
Considere
plano
b
r
que
é
um
uma
plano
reta
a
é
contida
perpendicular
em
e
r
é
a
um
perpendi
T V R
cular
à
reta
de
intersecção
entre
os
planos
a
e
b
a
Mostre
que
b)
Compare
r
é
perpendicular
ao
plano
b
C
a
demonstração
que
você
elaborou B
com
a
de
um
colega.
.8991 ed orierevef
Projeção
or togonal
e
distância
ed
3
91 ed
Projeções
016.9
3.1
or togonais
ieL
P
e
or togonal
de
um
ponto
sobre
uma
laneP
Projeção
reta
projeção
ortogonal
de
r
com
de
a
um
reta
ponto
P
sobre
perpendicular
uma
a
reta
que
r
é
passa
o
ponto
por
P’,
que
é
a
481
intersecção
od
A
ogidóC
r
P
P‘
.trA
particular,
r,
or togonal
de
sua
um
projeção
ponto
ortogonal
sobre
sobre r será
um
o
próprio P
oãçudorpeR
Projeção
se P
plano
A A
projeção
ortogonal
de
um
ponto A
sobre
um
plano
a
é
o
ponto
A’,
que
é
a
A‘
intersecção,
com
esse
p
ano,
a
reta
que
passa
por A
e
é
perpen
icu
ar
a
a
r
Em particular , se A pertencer a a, sua projeção ortogonal sobre a será o próprio A r
ª
Projeção
or togonal
Consideremos
Se
r
ª
a,
com
uma
r
a
reta
5
r
A
de
e
,
uma
um
reta
sobre
um
plano
plano a
Se a reta r não é perpendicular ao plano a
então a projeção ortogonal
então a projeção ortogonal de r
de
reta
r
sobre
a
é
o
pontoA
nal
s
determinada
de
dois
pontos
pela
de r
OCCES
r r
B
NOSLIDA
A
SEÕÇARTSULI
s A
94
B’
sobre a éa
projeção
distintos
.adibiorp
Em
ortogo
sobre a
Exemplo Obser vação
Observe
o
cubo
representado
abaixo.
Nele,
temos
que
a
projeção
ortogonal
do: A
C
sobre
o
plano
(ABE )
é
o
ponto
G
C
sobre
o
plano
(ACE )
é
o
próprio
projeção
uma
A;
H
figura
figura
o
segmen
o
sobre
o
plano
(ABE
sobre
formada
um
pelas
de
plano
é
a
projeções
pontoC ; or togonais
CD
or togonal
dos
pontos
dessa
C
é
figura
sobre
esse
plano.
AB;
AD
sobre
o
plano
(ABE )
é E F
o
segmento
AB;
A
AC C
3.2
sobre
o
plano
(ABE )
é
o
ponto
B
A
Dis tância s
Dis tância
Se
A
mento
e
B
de
são
dois
AB
reta
Indicamos
entre
a
dois
pontos
em
uma
distância
de
pontos
do
espaço,
certa
A
a
B
a
distância
unidade
(ou
de
entre
eles
é
a
medida
do
seg-
medida.
distância
de
B
a
A)
por
(ou
d A
B
d B
). A
Exemplo
.8991
Na
ed
1,
reta
numérica,
então
orierevef
mento
a
se
o
distância
AB,
ponto A
de
A
determinada
a
B,
pelo
ed
–3
representa
ou
a
valor
–2
–1
o
número
distância
absoluto
0
1
AB,
da
2
é
real
3,
2
que
diferença
é
e
B,
a
dos
o
número
medida
do
números
real
seg-
2
e
1.
3
91 ed
A
B
016.9 ieL
u
e laneP
Obser vação
Simbolicamente,
ogidóC od
Nesse
caso,
primento
a
do
temos:
unidade
d
(
de
segmento
medida
cujos
2)
de
(1)$
5
$23$
comprimento
extremos
representam
5
3
utilizada
dois
(u)
é
números
o
com-
inteiros
d
5
5
1
481
Assim:
consecutivos.
BA
1
5
2
(1)
5
d
5 B
(
3
BA
2)
5
5
d
A
5
3
5
A
AB
5
3
B
.trA .adibiorp
Dis tância
entre
um
ponto
e
uma
P
reta
r
oãçudorpeR
A
distância
distância
entre
entre
um
ponto
P
e
uma
reta
P
P’
r
é
sobre
a
r
P’
Indicamos
a
distância
de
P
a
r
por
d
5
P
PP’.
r
Se
G
Exemplo
achar
necessário,
explicar
(ABC )
A
distância
do
ponto C C,
de
um
cubo
de
aresta
3cm,
perpendiculares
C
que,
e,
por
e
( (BDH )
isso,
a
são
reta
AB
é
3
cm.
A
distância HB,
do
pontoH
à
é
cm,
pois
o
triângulo BHD
é
retângulo
e, 3
portanto,
pelo
teorema
de
Pitágoras,
é
reta perpendicular
AB ,
AB
reta
D
(ABC )
à
no
H
no
plano
do
ponto
à
( (BDH );
reta
BH
logo,
que
HB
é
a
está
contida
distância
cm
temos:
H
à
reta
AB
F 2
2
(HB)
HB
(DH)
A
sua
(DB)
2
V
HB
5
2
1
V
A
5
Dis tância
2
1
distância
projeção
entre
entre
um
um
ortogonal
ponto
ponto
A’
A
sobre
e
e
um
um
B
plano
plano
a
é
a
distância
entre
o
ponto
A
e
a
a
A OCCES NOSLIDA :SEÕÇARTSULI
A ’
Indicamos
a
distância
de
a
a
por
5
d A
a
95
Dados
A
Dis tância
Ref lita
a
é
zero,
o
é
que
a
um
plano
distância
entre
entre
a
e
um
uma
uma
reta
ponto
A
A
ponto
a,
a
r
distância
de
de
ual
a
uer A
ponto
r
de
qualquer
ponto
de
plano
a
à
B
reta
do
à
é
onto
a
r
maior
distância
da
ou
de
reta
paralelos,
qualquer
da
reta r
e
o
sua
É
plano
a
interessante
reta
distância
do
r
estar
plano
comutativa,
todo
onto
distância
a
a
a
a
ue
a
de
de
uela
r.
a
ou
a
à
não
se
está
implica
a,
à
é
ue
mesma
Observar
distância
mesma
ainda
o
limite
distância
de
r
a
a
por
d
5
A A’,
sendo
A’
a
projeção
ortogonal
a
a
Dis tância
r
A ’
r
sobre
entre
plano
onto
r
A
o
uer
Indicamos
de
distância
e
A
igual
ual
a
de
paralelos
Comentário:
ao
a
distância
qualquer
plano
NOSLIDA
plano
pertence
a? ano
A
um
OCCES
de
r
e
r
A
o
posição
reta
entre
dois
planos
paralelos
r
e
s,
a
distância
entre
elas
é
a
Dados distância
e
a
entre
projeção
sobre
a
reta
qualquer
ortogonal
s
ou
ponto
desse
dois
planos
paralelos,
a
e
b,
a
distância
entre
eles
é
a
distância
entre
de r
ponto
ualquer
ponto
de
a
e
o
plano
b,
ou
vice-versa.
vice-versa.
A
r
r
OCCES NOSLIDA
s
A ’ .8991
A
zero.
orierevef
é
ed
coincidentes
Exemplo Ref lita
G
cubo
representado
ao
lado,
H
temos:
91
ed
No
entre
duas
retas
paralelas
las
e
a
distância
outra,
entre
por
um
ponto
exemplo,
entre
EF
de
C
e
CD
uma
e
,
EF
D
é
de-
E
que
e
à
ieL laneP
retas
016.9
distintas?
igual
ed
C
cm;
coincidentes?
entre
duas
CDG
ABE )
reta s
é
2
cm.
2
cm
A
reversa s
481
Dis tância
Ref lita
ogidóC od
A
r
.trA
distância
reversas
entre
pode
duas
ser
Dadas
retas
nula?
Por
elas
quê?
é
a
duas
retas
distância
reversas,
entre
r
qualquer
,
a
distância
ponto
de r
e
.adibiorp
A
entre
o
plano
distância
pode
ser
ponto
entre
nula,
duas
pois
comum,
ou
retas
elas
seja,
reversas
não
não
têm
se
não
que
contém
s
e
é
paralelo
a
r, r
ou
oãçudorpeR
A ’ A
s
vice-versa.
nenhum
cruzam.
Exe rc íc io resolv id o
R7.
Considerando
o
cubo
repre-
2
ao
lado,
Assim,
cm
G
sentado
no
:DAF ,
2
entre
os
de
Pitágoras
2
(DF )
distância
teorema
2
D
a
o
temos:
C
que:
a)
aplicando
H
mostrar
5
2
5
4
1
pon2
tos
F
e
D
é
(DF )
E
c m.
1
8
5
12
V
DF
5
F
b)
a
distância
entre
a
Logo,
reta
A
e
o
plano
( EBC)
a
distância
entre
os
pontos
F
e
D
é
B
é
cm .
G
2 cm . A
distância
entre
H
AD
OCCES
P
Resolução e
NOSLIDA
a)
O
:
F
B,
que
é
ân-
o
plano
que
é
(EBC )
metade
da
é
D
DP
medi-
E
:SEÕÇARTSULI
gulo
inter no
AB
BF
5
5
2
do
cm,
2
temos:
:
(AF ( )
quadrado
pelo
2
5
teorema
Pitágoras,
da
da
face
do
AF
DA
96
ª
perpendicular
plano
AF
que
onal
cubo.
de
uma
F
Assim:
a
passam
ª
plano
todas
por
B
5 DP
5
DP
5
A
e,
9
2
(ABE ).
as
2
retas
Logo, desse
dia
A
V
DA
é
de
Como
2
1
F
Logo,
ABFE .
a
distância
portanto,
EBC
é
2
cm .
entre
a
reta
AD
e
o
plano
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
14.
pendicular
um
ponto
a
a,
a
sobre a.
No
projeção
ortogonal
caso
pro
de
e
um
d)
pontoP
eção
uma
dessa
reta
ortogonal
figura
com a
é
ponto
P
do
F
do
espaço,
é
definida
e)
F
projeção
sobre
a
das
projeções
ortogonais
de
seus
de
um
triângulo
pode
resultar
num
segmento
de
reta.
Considerando
o
paralelepípedo
representado
relação
a
um
plano
qualquer
fixado,
deter mine
a
distância
entre:
pontos.
pode-se
a)
EF
e
GC
2
G
cm
F
E
dizer
a
a
que:
pode
b)
a
alternativa
projeção
projeção
e
ortogonal
resultar
numa
ortogonal
de
um
segmento
de
b)
EF
e
HG
c)
EF
e
DC
d)
EF
e
o
2
cm
reta
m 29
cm
semirreta.
de
uma
reta
sempre
plano
(HGF ).
D
zero
C
resulta 2
e) numa
c)
a
EH
e
o
plano
(ABC ).
A
reta.
projeção
resultar
ortogonal
num
a
pelo
H
Com
re-
quadrilátero.
a projeção ortogonal de uma circunferência pode
seguir, conjunto
ortogonal
num
a
15. de
a
sultar
intersecção
chamado
a
P
de
segmento
uma
de
parábola
pode
reta.
f )
o
plano
(EHD )
g)
o
plano
(ABC )
e
e
o
o
plano
plano
(FGC ).
3
3
(HGF ).
cm
cm
B
cm
cm
.8991
Obser vação
4
Ângulos
e
diedros
ed
Veja
a
figura
abaixo.
orierevef
A
Ângulo
ed
entre
dua s
reta s
C
concorrentes
91 ed
Já
vimos
que
duas
retas
concorrentes
determinam
quatro
ângulos,
dois
a
dois
016.9
80°
opostos
pelo
vértice
(opv)
e,
portanto,
congruentes
dois
a
O
dois.
ieL e laneP
D
ogidóC od
opv,
isto
temos
é,
AOB
m(AOB)
m(COD)
5
5
e
OD
são
m(COD),
80©
481 .trA
AOC
.adibiorp
suplementares,
A
partir
oãçudorpeR
duas
dida
de
retas
(se
de
elas
retas
ângulos,
forem
O
fica
estabelecido
não
podemos
ângulo
estudada
claro
determinar
entre
entre
no
É
dua s
duas
Ensino
que,
quando
perpendiculares,
perpendiculares,
perpendiculares).
Ângulo
agora,
concorrentes
as
ângulo
que,
referimos
dos
a
elas
ao
aquele
mede
medida
do
ângulo
de
90 ©,
menor
me-
definição
dos
são
entre
menor
por
AOB
então
m(A ( OC) C
5
100©.
m(A ( OC) C
5
m(BOD)
AOC
e
BOD
são
Por tanto,
5
100©,
pois
opv.
quatro
demais.
paralela s
paralelas
Fundamental)
entre
conhecida
medidas
reta s
retas
o
nos
consideramos
e
(extensão
tem
medida
da
ideia
igual
a
de
ângulo,
de
medida t
0 ©
r
r
s
s
r/s
Ângulo
ângulo
r
z
s
entre
entre
V
t
5
dua s
duas
r/s
0©
reta s
retas
e
r
}
s
5
Ö
V
t
5
0©
reversa s
reversas, r
e
s
OCCES
O
e
(medidat), V
o
ângulo
formado
entre
r
e
s’,
sendo
s
uma
reta
NOSLIDA
é
s’ t
paralela
s
e
concorrente
linguagem
r
e
s
r
e
s’
reversas,
com
simbólica,
s/s’,
s
}
r
r
:SEÕÇARTSULI
Em
a
escrevemos:
5
{V },
ân
ulo
entre
s
mede
t
V
ân
ulo
entre
e
s
mede
t
97
Ângulo
Se
dida
uma
t,
No
é
entre
reta
o
r
não
ângulo
caso
em
uma
é
r
é
r
e
um
perpendicular
formado
que
reta
por
r
e
perpendicular
não
a
r ’,
concorrente
plano
um
plano a,
sendo
ao
com
r ’
a
plano a,
o
plano
a
o
ângulo
projeção
o
(r
ângulo
y
a
ou
r
entre
r
ortogonal
}
mede
a
e
a,
de
r
de
me-
sobre
a
90©
Ö)
r
r’
r
y
a
V
r
6
r ’ e
t
5
0°
r/a
Reta
r
concorrente
com
o
e
r
plano
_
a
a
(r
V
}
r/r ’ e
a
5
t
5
0°
{P})
r
s
r’ P
P .8991 ed
}
a
5
{P }
V
r }
r
r
e
5
a
{P }
é
o
ângulo
entre
r
e
r ’ .
r
e
a
r
e
s
perpendiculares;
então,
perpendiculares.
r
e
s
e
entre
r re a
ed
são
são
orierevef
r
medem90©
91 ed 016.9
entre
dois
ieL
Ângulo
planos
e
dois
planos,
a
e
b,
formado
por
são
concorrentes,
ângulo
entre
os
r,
e
as
planos
a
retas
e
b
é
s
r
o
e
é
t
a
reta
são
ângulo
as
de
intersecção
intersecções
deles,
formado
entre
de
as
a
e
g
retas
b
é
um
s
com
e
g
t
dois
s
não
.adibiorp
perpendiculares,
o
reta
.trA
concorrentes
então
à
481
planos
perpendicular
consideramos a
aquele
retas
s
menor
e
medida,
entre
oãçudorpeR
as
de
t
g
t
r
t
Se
dois
planos,
a
e
,
são
paralelos,
então
o
ân
ulo
entre
eles
é
nulo
(mede
0 ©).
Died ro
Antes
de
postulado,
A
P9
t
C
falarmos
conhecido
Dada
uma
reta
conjuntos
de
mento
reta
de
sobre
por
t
diedro,
será
postulado
contida
pontos
que
em
um
convexos
liga
um
da
e
necessário
separação
plano
a,
essa
disjuntos,
ponto
a’
qualquer
apresentarmos
de
reta
e
a’’,
um
novo
planos
divide
de
tal
o
plano
modo
pertencente
a
a’
em
que
a
um
o
dois
seg-
ponto
B
OCCES
qualquer
Com
base
de
nesse
a’’
tem
um
postulado,
único
ponto
podemos
em
comum
definir
o
que
com
é
um
a
reta t
semiplano:
NOSL DA SEÕÇARTSULI
Se
a
um
fique
a
98
ogidóC od
ângulo
plano
laneP
Se Obser vação
|
t
plano
dividido
e
a’’
|
t
a
e
em
é
uma
dois
reta
con
chamado
t, t
contida
untos
de
nesse
plano,
pontos,
semiplano,
a’
sendo
a
e
de
a’’:
reta
t
tal
cada
modo
um
que
dos
o
plano
con
untos
Agora,
com
base
no
postulado
e
na
definição,
vamos
definir
o
que
é
um
diedro.
E
Sejam E
e
E
dois
semiplanos
de
mesma
origem t ,
não
contidos
em
um
t
mesmo
2
1
plano.
dos
Chama-se
semiplanos
diedro
E
e
um
ângulo
diedro
a
figura
formada
pela
reunião
E
1
Dado
ou
2
diedro
e
aresta
um
plano
a
perpendicular
à
aresta
do
diedro,
chama-se faces
ângulo
plano
a
intersecção
do
plano
a
com
o
diedro.
A
medida
t
desse
ângulo E
é
considerada
a
medida
do
diedro.
t
diedro
E
|
E 2
E
Obser vação
E 2
consideraremos
0°
, t
,
180º.
Exe rc íc ios resolv id os
.8991
R8.
Identificar
os
diedros
representados
na
fi
ura
ao
t
lado.
ed
E
orierevef
3
E
Resolução
ed 91
E
|
E
1
;
E
|
2
E
2
;
E
3
|
E
1
3
ed
E 2
016.9
R
.
Nomear
os
seis
diedros
do
tetraedro
representado
ao
lado.
ieL e laneP
Resolução
ogidóC od
Consideremos
os
contido
semiplanos E
no
plano
( ABC),
E
1
( (ACD ),
E
contido
no
plano
481
E
E
|
e
E
(origem
BC
.trA
E
E
4
|
|
E
1
E
2
contido
no
plano
( BCD ).
no
Assim,
plano
temos:
4
E
1
contido 2
( ADB )
3
(origem
CD
4
(origem
AC
E
E
2
| 2
|
E
1
E
(origem
AD
3
(origem
AB )
3
|
E
3
(origem
BD
C
)
4
.adibiorp oãçudorpeR
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
16.
Nomeie
todos
os
diedros
da
figura.
( Dica:
Existem 18.
E
E 1
mais
de
três
diedros.)
Ver
resolução
no
Guia
do
um
diedro
de
aresta
KM
tal
que
as
2
professor.
semirretas
AB
e
PQ
estão
em
E
e
AC
e
PR
estão
1
T
R
em
E
Ver
resolução
no
Guia
do
professor.
2
K
K
P Q
P
R
Q
M
17.
Na
figura
abaixo,
a
projeção
ortogonal
de
AB
A
so-
C
bre a
é
é
BC
tal
que
perpendicular
medida
do
AB
ao
ângulo
5
2
plano
ABC
BC .
O
( ABC ).
segmento
PQ
Deter mine
B
M
a
60
E
E OCCES
a)
podemos
P
diedro?
que
BAC
MAB
é
e
um
KAC
ângulo
é
90 ©
plano
Justifique.
C
b)
afir mar
que
PQ
/
AB
?
RPQ
é
90©,
podemos
Justifique.
99
:SEÕÇARTSULI
do B
afir mar
NOSLIDA
Q
Exercícios
complem ent a res Registre as respostas em seu caderno
6.
As
projeções
ou
uma
ortogonais
circunferência;
a
de
uma
circunferência
projeção
9.
ortogonal
A
sobre
de
projeção
uma
um
plano
esfera
podem
sobre
ortogonal
de
um
ser:
plano
um
um
é
segmento,
sempre
ponto
A
um
uma
elipse
círculo.
interior
a
um
Aplicação diedro
de
60©
deter mina
os
pontos
A
e
A
1
uma
1.
Dois
planos,
a
e
b,
interceptam-se
em
uma
reta
das
faces
desse
diedro.
em
cada
2
Calcule
a
medida
do
r ângulo
A
AA
120 2
Escreva
quantas
ponto
de
A
a
retas
uma
reta
paralelas
a
r
passam
por
um
10.
Nesse
de
paralela
caso,
mesma
a
projeção
medida
que
ortogonal
o
é
diâmetro
um
da
segmento
de
reta
circunferência.
Aprofund amento
Considere
o
cubo
representado
na
figura
abaixo.
10.
Uma
circunferência
está
contida
em
um
plano
a
que
H G
é
perpendicular
ortogonal
a
dessa
um
plano
b.
eter mine
circunferência
sobre
o
a
projeção
plano
b
F
11.
E
O
o
segmento
triângulo
ponto
PA
médio
for mado
é
perpendicular
equilátero
BC ,
de
pelos
ABC.
ao
Se
deter mine
PA
segmentos
e
plano
AB
a
5
que
2
AP
medida
PM
contém
e
do
M
é
o
ângulo
60
D C
Desaf io 8991
(UFPE)
abaixo,
ABCD D
ABE F
são
retân
relativa
entre:
BE
e
o
mede
ângulo
DAF
6
mede
e
BC
mede
10,
60©.
qual
Se
a
AB
0 ,
distância
entre
os
ed
posição
orierevef
a
ilustração
B
gulos,
Qualé
Na
ed
12. A
91
E
GC
?
b)
EH
BC
?
c)
EH
e
EF
?
d)
EH
e
o
plano
(ABC )? paralelos
e)
EH
e
o
plano
(DCG )? perpendiculares
C
F ?
14
unidades
de
comprimento
ed
e
vértices
a)
reversas
016.9
paralelas
ieL
A
D
endiculares
e
er
laneP
60°
ogidóC od
F
f
o
plano
(ABF )
e
o
plano
(EH
)?
perpendiculares
481 .trA
qual
ti
resposta.
ique
Se
uma
planos
b)
Se
dois
um
c)
Se
reta
são
é
das
é
Ver
a
resolução
paralela
a
seguir
no
dois
Guia
é
do
planos,
falsa.
Jus-
professor.
então
esses
paralelos.
lanos
aralela
duas
afir mações
retas
são
a
uma
são
perpendicular
reta
do
reversas,
comum
a
então
toda
reta
de
outro.
então
existe
uma
única
elas.
13.
4.
Escreva
reta
como
sobre
pode
um
ser
plano.
B
C
aralelos,
a
projeção
uma
reta
ou
um
ortogonal
de
uma
De
uma
por
A
circunferência
um
segmento
cir cunfer ência.
ponto
de
AP
Une-se
dacircunferência,
diâmetro
A
projeção
ortogonal
de
um
ponto
P
sobre
um
plano
AB
perpendicular
P
distinto
a
um
de
B
Ver
levanta-se
ao
ponto
C
plano
do
da
qualquer
resolução
Guia
5.
oãçudorpeR
a)
sua
.adibiorp
Identifique
no
professor.
a
P
é
o
vértice
contido
em
triângulo
6.
do
e
ângulo
a.
2
Se
m
altura
relativa
Quais
são
as
P
do
à
reto
dista
um
m
plano
a,
triângulo
da
sobre
a
desse
medida
da
m
projeções
um
retângulo
hipotenusa
deter mine
hipotenusa.
possíveis
circunferência
de
plano?
ortogonais
E
de
uma
de
uma
C
esfera?
OCCES N
7.
Escreva
SLIDA
nele
:SEÕÇARTSULI
8.
Um
30©
ponto
dista
quanto
100
qual
é
contida.
9
a
distância
contido
m
esse
entre
um
plano
e
uma
A
reta
zero
da
em
outra
ponto
uma
face
dista
da
face
desse
aresta
de
um
diedro.
do
diedro
diedro.
18
m
a)
Prove
b)
Sabendo
que
as
retas
BC
e
PC
são
perpen
icu
ares.
de
Deter mine
do
arco
que
AB,
5
deter mine
5
a
8
cm
e
C
medida
é
do
o
ponto
ângulo
médio
C
30
Registre as respostas em seu caderno
Autoavaliação
1.
Dados
dois
tais
que
que
existe
pares
r
s
e
t
de
e
entre
retas
m
são
esses
distintas,
reversas,
dois
pares
(r
a
é
s)
e
(t
m ),
Considere
semelhança
que
as
lado
retas
para
questões
a
igura
ao
responder
6
a
C
B
às
2
9
cm
D A
de
cadapar:
alternativa
c
G F
a)
são
coplanares.
b)
não
4
são
m
coplanares.
E H
c)
não
têm
d)
têm
apenas
nenhum
ponto
comum. 2
um
ponto
6.
2.
Dados
tais
dois
que
existe
r
pares
/s s
entre
a)
r
e
s
são
b)
r
e
s
não
e
t
de
e
m
esses
retas
são
dois
distintas,
reversas,
pares
coplanares,
mas
é
a
e
t
s)
e
(t
alternativa
não
r
nenhuma
e
s,
bem
como
das
m
e
t ,
mas
não
m
têm
e
t
reta
r
é
um
a,
a)
2
cm
c)
4
cm
d)
a
ed
afir mar
e
orierevef
r
e
r
é
a
uma
ortogonal
concorrente
que:
não
t
pode
r
é
c)
r
pode
rn
com
ser
a
s.
onto
reta
20
cm
cm
A
distância
entre
o
ponto
A
e
o
plano
(BCF )
é:
alternativa
a)
2
cm
c)
b)
4
cm
d)
20
b
cm
comum.
s,
uma
cm
A
distância
entre
o
ponto
A
e
a
reta
GH
t ,
é:
alternativa
contida
reta
Portanto,
cm
c)
20
a
cm
con4
cm
d)
cm
podemos
tiv
perpendicular
necessariamente
91
ser
alternativa
são.
a
paralela
distância
entre
o
ponto
A
e
o
plano
( DHE )
é:
alternativa
perpendicular
a
A
a a)
2
cm
c)
20
b)
4
cm
d)
0
d
cm
a
ed
b)
é:
são.
9.
a)
C
cm
a
ed 016.9
d)
nen
ma
10.
anteriores.
O
ângulo
entre
podemos
a
reta
afir mar
r
que:
e
o
plano
alternativa
a
é
nulo.
Então,
d
ieL e
4.
Um
plano
laneP
Assim,
é
paralelo
pode-se
ogidóC od
a)
r
e
s
são
b)
r
e
s
podem
a
afir mar
paralelas,
ser
duas
que:
retas
distintas,
alternativa
r e
s
a)
existe
um
b)
existe
uma
c)
a
481 .trA
c)
r
e
s
são
r
e
s
não
reversas,
são
reta
P
s
tal
y
a
que
tal
r
}
que
a
r
5
ª
{P }.
s
necessariamente. reta
r
é
perpendicular
ao
plano
a
perpendiculares. d)
d)
ponto
b
r
}
a
5
r
ou
r
}
a
5
Ö
necessariamente.
11.
perpendiculares.
A
figura
ao
lado,
for mada
pela
.adibiorp
E 2
reunião
5.
oãçudorpeR
plano
a
é
um
ponto
P,
então:
r
alternativa
mesma
dentes
d
os
semi
origem
E
e
E
1
,
e
é
anos
não
e
coinci-
enomina
a:
2
alternativa
a)
/a
a)
projeção.
b)
sólido.
c
faces
b)
r
}
a
5
Ö
E aresta
c)
r
}
d)
r
ª
a
i
P
c)
a
diedro.
d)
plano.
Retomad a de conceitos
Se
você
Releia
a
não
acertou
teoria
e
alguma
refaça
os
questão,
exercícios
consulte
a
tabela
e
verifique
o
que
precisa
Número
Objetivos
do
estudar
novamente.
correspondentes.
capítulo
1
2
3
4
5
X
X
X
X
da
questão
6
7
8
9
10
11
Identificar a posição relativa entre retas; planos; retas e X
planos. Aplicá-las na resolução de situações-problema.
Identificar
e
calcular
distâncias
entre
pontos;
ponto X
ereta;
ponto
Identificar
e
um
plano;
ângulo
retas;
reta
diedro
e
e
plano;
X
X
X
planos.
determinar X
sua
medida.
86 Páginas
do
livro
referentes
ao
a
86
a
89
a
86
a
94
e
95
a
95
a
95
a
95
a
97
a
97
a
conceito 89
89
94
89
95
97
97
97
97
99
99
101
SEÕÇARTSULI
.8991
em
e
a
b)
tida
A
anteriores.
perpendicular
plano
pontos
b)
a)
em
os
NOSLIDA
Uma
entre
que
8.
3.
distância
OCCES
c)
d)
coplanares,
A
m ),
diferença
que:
m
(r
7.
são
cm
comum.
l
o
t
u
í p
C
a
6
Poliedros
KCOTSRETTUHS/ANAXULAHPUS EERAHCTAW
Objetivos
do
capítulo
Identificar
1
poliedros,
Sólidos
geométricos
prismas, pirâmides,
troncos
de
O
pirâmides
estudo
humana.
eseus
das
Um
mais
variadas
destaque
nesse
formas
campo
geométricas
de
interesse
sempre
são
as
instigou
figuras
que
a
mente
hoje
de-
elementos.
nominamos
sólidos
geométricos.
Um
dos
motivos
para
a
importância
desse
estudo
dos
poliedros
e
é
a
situações
relações
entre
constante
aplicabilidade
das
propriedades
dos
sólidos
geométricosa
aplicar do
mundo
físico
tratadas
em
diversas
áreas
do
conhecimento,
como
seus aArquitetura,
a
Engenharia
e
as
Artes.
elementos.
Calcular
áreas, volumes
e
1.1
de
elementos
Sólidos
eométricos
e
fi
ura s
plana s
de Olhando
ao
redor,
observamos
diversos
objetos
que
lembram
figuras
geométri-
poliedros. cas
Resolver situações
problema que envolvam
poliedros (do ponto
de vista métrico e
geométrico).
ao
planas
passo
não
que
Embora
os
os
classificá-los
planas.
sólidos
sólidos
em
três
As
linhas
são
e
as
sempre
geométricos
grandes
superfícies
não
podem
ser
planas
ou
não
planas,
planos.
exibam
grupos:
os
formas
bastante
poliedros,
os
diversas,
corpos
é
possível
redondos
e
outros.
Veja
obtidas
102
e
nos
de
quadros
alguns
da
página
sólidos
a
seguir
geométricos.
algumas
figuras
planas
que
podem
ser
Museu
do
Louvre,
Paris,
França,
2013.
Poliedros
Corpos
redondos
Corpos
re
Sólido
Re
(fi
ião
de
uras
cor te
planas)
Po
ie
ros
on
os
OCCES NO
Sólido
LIDA
de
(figuras
apoio
planas) retângulo
triângulo
ponto
segmento
círculo
Neste capítulo, vamos estudar um dos tipos de sólidos geométricos: os poliedros.
103
:SEÕÇARTSULI
Região
2
Poliedros
2.1
Super f ície
Todo
poliedro
poliédrica
apresenta
uma
fechada
superfície
e
poliedros
chamada
superfície
poliédrica
fechada
Uma
superfície
igual
uma
a
dessas
Observe
Entre
poliédrica
quatro)
de
superfícies
as
figuras
essas
duas
fechada
superfícies
é
composta
poligonais
coincida
com
de
um
planas,
apenas
um
de
número
modo
lado
da
finito
que
(maior
cada
lado
ou
de
outra.
abaixo.
figuras,
apenas
a
da
esquerda
representa
uma
superfície
po-
Explore
Fotografe
ou
pesquise
fotos
fechada.
(em
ou
na
objetos
superfície
vamos
poliédrica
definir
o
que
é
fechada
delimita
uma
porção
do
um poliedro
que
montem
os
dos
Poliedro
car taz
e
co
as
(do
poliedros
formado
grego
pontos
do
pela
poli,
“muitas,
reunião
espaço
de
várias”,
uma
e
edro,
delimitados
superfície
“
ace”)
por
poliédrica
é
o
sólido
fechada
geométri-
com
todos
os
ela.
ieL
carac terísticas
um
nomes
016.9
fotos,
ed
as
interior,
poliedros.
grupo,
com
construções
seu
91
Em
e
em
ed
lembrem
uma
internet)
espaço de
que
orierevef
revistas
ed
Considerando jornais,
.8991
liédrica
e
correspondentes.
laneP
Em
um
de
poliedro,
um
poliedro
podemos
ogidóC od
Elementos
face
destacar
os
seguintes
481
Face
que
os
lados
dos
polígonos
determinam
Os
vér tices
vér tices
as
do
poliedro
desses
uma
compõem
Aresta
Vértice
Um
que
faces.
cada
–
–
lado
a
das
superfícies
superfície
comum
a
do
duas
poligonais
poliedro.
faces.
ponto comum a três ou mais arestas.
poliedro
costuma
ser
oãçudorpeR
Obser vação
aresta
–
.adibiorp
nomeado
de
acordo
o
vértice
número
de
faces
que
possui.
Para isso, justapõem-se dois elementos: um de origem grega, indicativo do número
são
os
de
polígonos.
faces,
e
chama-se
o
elemento
tetraedro:
de
tetra
composição edro.
(4)
1
edro
Por
exemplo,
um
poliedro
de
4
faces
(face).
Exemplos
a)
b)
c)
OCCES NOSLIDA
6
faces
SEÕÇARTSULI
tetradecaedro
12
Veja
Número
Nome
104
do
de
faces
poliedro
no
arestas
quadro
abaixo
alguns
dos
14
faces
16
vértices
28
arestas
nomes
de
12
dodecaedro
faces
20
vértices
30
arestas
poliedros.
4
5
6
7
8
tetraedro
pentaedro
hexaedro
heptaedro
octaedro
.trA
elementos:
1
dodecaedro
20
icosaedro
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
Escreva
o
nome
do
poliedro
representado
abaixo.
3.
Analise
o
sólido
abaixo
para
responder
à
questão.
pentaedro
2.
Um
galpão
seguir.
tem
Qual
é
o
a
forma
nome
representada
do
poliedro
pela
figura
a
correspondente?
he
taedro
Quantas
faces,
arestas
e
vértices
14
2.2
Poliedro
convexo
e
poliedro
não
convexo
poliedros
que
não
apresentam
“reentrâncias”
em
sua
superfície
são
os
que
têm
“reentrâncias”
são
denominados não
.8991
côncavos).
De
maneira
mais
24
tem?
vértices
plano
a
divide
semiespaços
o
espaço
de
em
mesma
convexos
origem
ou
sólido
arestas,
deno-
dois
convexos;
esse
36
Obser vação
Um
Os
min
faces,
a
precisa:
ed
semiespaço
orierevef
(II)
em
um
mesmo
ed 91
contrário,
é
semiespaço,
não
convexo
então
(ou
o
poliedro
em
questão
é
convexo;
caso
côncavo).
ed 016.9
Em
cada
figura
abaixo,
foi
destacado
um
plano
que
contém
uma
das
faces
do
ieL
semiespaço
e
poliedro.
Observe.
(I)
laneP ogidóC od
Poliedros
convexos
Poliedros
não
convexos
481 .trA .adibiorp
Relação
de
RALUCITRAP
oãçudorpeR
Euler
Os elementos dos poliedros mantêm entre si muitas relações geométricas, numé
e
métricas.
minada
e
de
Entre
relação
faces
(F )
de
de
as
relações
Euler,
qualquer
que
numéricas,
relaciona
poliedro
V
o
uma
convexo.
1
F
das
número
A
Essa
mais
de
importantes
vértices
relação
(V ),
pode
ser
de
é
a
OÃÇELOC
ricas
deno-
arestas(A ( )
escrita
assim:
5 2 Esse
selo
mostra
Exemplos
da
verificar
presentados
a
validade
da
relação
de
Euler
para
os
poliedros
convexos
comemorativo,
de1983,
importância
descoberta
relação
suíço
Vamos
a
que
de
Euler,
viveu
no
da
matemático
século
XVIII.
re-
abaixo.
Poliedro
Vér tice
(V )
Face
(F) F
Aresta
(A)
V
1
F
6
12
2
6
6
10
2
9
2
OCCES
8
A
NOSLIDA SEÕÇARTSULI
105
Obser vação
Exe rc íc ios resolv id os
Embora
todo
satisfaça
a
poliedro
relação
de
convexo
Euler,
nem R1.
sempre
um
poliedro
que
Obter
o
número
de
arestas
de
um
poliedro
convexo
que
tem
6
faces
e
satisfaz 8vértices.
essa
relação
como
é
convexo.
exemplo,
o
Obser ve,
poliedro
abaixo.
Resolução
Como a relação de Euler é válida para todos os poliedros convexos, temos:
V
1
F
A
Portanto,
R2.
Quantos
5
faces
Ele
tem
24
vér tices,
14
faces
arestas.
1
vértices
1
número
36
4
1
6
2
possui
um
V
12
poliedro
A
5
12
arestas.
convexo
com
4
faces
triangulares
e
faces
do
poliedro
triangulares
têm
é
12
4
1
5,
lados
ou
(4
seja,
3),
e
9.
as
têm
20lados
(5
4).
Então,
o
número
de
5
faces
arestas
quadran-
é
dado
por
A 5 2
esse
relação
é
tem
8
ro
2
poliedro
20)
de
Euler,
9
2
5 16,
pois
cada
aresta
é
lado
comum
de
exatamente
satisfaz duas
a
de
faces
(12
Logo,
5
ie
Assim:
14
F
A
quadrangulares?
gulares
V
V
po
Resolução
As
24
2
e O
36
5
esse
mas
faces
(portanto,
cada
aresta
foi
contada
duas
vezes).
Assim,
o
não poliedro
tem
V
16
16
arestas
e
9faces.
Logo:
convexo. 1
9
Portanto,
5
esse
2
V
po
V
ie
5
ro
9
tem
9
vértices.
.8991
5. F
A
12
8
18
12
II
6
8
12
6
V
1
1
1
F
A
8
18
8
5
orierevef
V
I
ed
Poliedr
2
5
A
relação
de
Euler
é
válida
para
os
dois
poliedros
ed
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
indicados.
91 ed
Deter mine
cada
o
número
poliedro
e
de
vértices,
faces
classifique-os
em
e
arestas
convexo
Observe
ou
os
poliedros
e,
em
seguida,
responda
às
ieL
de
016.9
4.
questões.
e laneP
não
convexo.
ogidóC od
a)
b)
481 .trA
5
não
F
5
10
e
A
5
24;
V
5
9,
A
5
16;
Verifique
a
validade
da
F
convexo
5
9
e
relação
de
Euler
para
poliedro
cada
I
poliedro
II
oãçudorpeR
5.
16,
convexo
.adibiorp
V
poliedro. Qual
desses
é
b)
tem
c)
tem
menos
d)
tem
mais
e)
um
poliedro
mais
satisfaz
mbos
poliedro
I
poliedro
II
9.
Em
um
excede
6.
Alberto
peça
é
tor neiro
maciça
de
mecânico
acordo
e
com
o
deve
construir
esquema
uma
poliedros:
a)
cule
o
vértices?
arestas?
a
relação
satisfazem
Um
número
número
poliedro
mero
faces
o
11.
de
número
Calcule
que
essa
peça
lembra
relação
36,
Calcule
convexo
5
faces
o
5
de
20,
tem
uler.
o
vértices
faces
número
em
desse
6
poliedro.
o
de
faces
número
de
tipos
um
de
com
11
triangulares
e
face
desse
de
faces
poliedro
face)
1
com
faces
vértices
igual
ao
penta
poliedro.
arestas
8
Cal-
faces
trian
20
(que
arestas
triangulares
e
4
e
faces
o
nú-
de
Calcule
faces
ulares
convexo
tem
número
onal.
11
poliedr o
convexo
de
9
e
só
quadran-
tem
10
esses
vértices.
quadrangulares
vértices
54
e
de
36
1
20
vértices
apenas
quadrangulares.
2
10
apenas
54
de
faces
vértices
um
poliedr o
pentagonais
e
por
O número
faces
iv
faces
de
quadran
D
triangulares
faces
é
for mado
quadrangulares.
triangulares
ulares
rmin
e
são
n
m
e
números
o
número
inteiros
r
de
conse-
r
9
106
de
unidades.
Euler.
5
númer o
que
de
faces
e
16
arestas
SEÕÇARTSULI
7.
a
5
vértices.
arestas.
NOSLIDA
sim;
de
10
20
Euler?
convexo,
de
têm
têm
I
faces.
sa-
Um tisfaz
Ambos
relação
ulares
8
poliedro
de
12
OCCES
dois
o
poliedro
têm
Ambos
convexo
faces
quadran
ulares
se
a
poliedro
o
Ambos
abaixo.
10.
Verifique
côncavo?
faces?
Poliedros
Um
regulares
poliedro
convexo
é
re g u l a r
quando
satisfaz
às
seguintes
condições: Obser vações
octaedro
hexaedro tetraedro regular
(ou
regular
cubo)
regular
regular
dodecaedro
icosaedro
regular
regular
.8991 ed orierevef
2.3
Planif icação
da
super f ície
de
um
poliedro
ed 91 ed 016.9
ieL e
laneP
og idóC
od
481
.trA .adibiorp
oãçudorpeR
cação
da
superfície
molde
poliedro
do
do
poliedro
planificação
do
planifi-
poliedro
Exemplos
a)
ou
OCCE
b)
NOSLIDA :SEÕÇARTSULI
ou
107
Exe rc íc ios resolv id os
R3.
Existem
11
diferentes
presentadas
ao
lado;
as
para
o
outras
9
cubo.
Duas
delas
estão
re-
planificações.
Resolução
A
resolução
desta
quadriculada.
R4.
planificações
desenhar
Na
planificação
questão
Estas
da
são
fica
as
super fície
facilitada
outras
de
um
se
usar mos
uma
malha
possibilidades:
cubo
foi
assinalado
um
ponto A .8991
A
A
mon
cubo.
orierevef
o
de
ed
tado
depois
Resolução
ed 91 ed 016.9 ieL e laneP
.
Qual
é
o
número
de
vértices
do
sólido
obtido
ao
dobrar mos
ogidóC
R
convenien-
od
as
linhas
tracejadas
da
figura
ao
lado?
481
temente
.trA
Resolução
O
sólido
n
obtido
há
m
5
é
faces
r
um
heptaedro;
quadran
logo,
ulares
e
2
o
número
faces
de
penta
faces
é
7.
oãçudorpeR
Como
.adibiorp
onais,
r
1 A
5
5
15
2
Uma
vez
Desse
V
A
que
modo,
1
F
5
o
sólido
obtido
é
convexo,
a
relação
de
Euler
é
válida.
temos:
2
V
V
15
7
5
2
V
V
5
10
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
13.
Da
superfície
tagonais
um
de
foram
vértice
um
poliedro
retiradas
comum.
as
Calcule
regular
três
o
de
faces
número
faces
pen-
adjacentes
de
arestas,
de
se
Represente
9
faces
e
19
vértice
a
que
planificação
tem
3
faces
da
super fície
quadradas
e
de
4
um
faces
triangulares.
b)
Compare
a
108
de
um
a
planificação
colega.
resposta
que
você
pessoal
elaborou
com
planificação
Resposta
cuja
possível:
número
de
arestas
está
e
vértices
indicada
18
do
po-
abaixo.
arestas
e
12
vértices
SEÕÇARTSULI
poliedro
arestas,
pede.
o
liedro
NOSLIDA
que
NOSLIDA
a)
o
a)
Deter mine
OCCES
27
Faça
14. OCCES
faces e de vértices da superfície poliédrica que restou.
14.
15.
a
16.
Em
cada
número
cado
uma
da
em
das
face
azul
planificações
que
coincidirá
depois
que
o
abaixo,
com
sólido
o
for
anote
lado
o
17.
Considere
desta-
ção
montado.
é
a
da
soma
vértices
a)
que
a
figura
super ficie
do
do
de
número
poliedro?
abaixo
um
de
seja
poliedro
arestas
e
a
planifica-
convexo.
do
Qual
número
de
30
5
1
4
2
6
face
3
b)
2
1
18.
Represente
a
planificação
de
um
octaedro
regular.
OCCES
possível:
LIDA
Prismas
Vários
quais
objetos
do
destacamos
.8991
Desde
ed
são
Resposta
NO
18.
3
os
as
mais
exemplos
orierevef
Observe
os
os
espaço
simples
da
em
que
vivemos
têm
a
forma
de
poliedros,
entre
os
prismas
embalagens
presença
prismas
dos
até
prismas
representados
as
no
mais
dia
a
elaboradas
edificações,
muitos
dia.
abaixo.
ed 91 ed 016.9 ieL e laneP ogidóC od
Note
481
tes
e
que
pelo
.trA
embora
todos
menos
não
seja
eles
três
possuem
faces
pelo
menos
paralelogrâmicas
exclusivo
dos
prismas,
um
par
(lados
ocorre
em
de
faces
paralelas
paralelos
todos
dois
a
e
congruen-
dois).
Esse
fato,
eles.
.adibiorp oãçudorpeR
3.1
Def inição
Consideremos
vexa
P
contida
de
dois
ema
e
prisma
planos
uma
paralelos
reta
r
que
distintos, a
intercepta
e
os
b,
uma
região
planos a
e
poligonal
con-
b
r
r
C’ P’
b A
h
C P
P
a
a
a
r
prisma
tais
que
extremidade
é
ele
poliedro
um
de
suas
ponto
no
perpendicular
é
oblíquo.
ormado
por
extremidades
plano
aos
é
um
os
segmentos
ponto
da
de
reta
região P P e
a
para-
outra
b
planos a
Observe
todos
que
o
e
,
dizemos
prisma
acima
que
é
o
prisma
é reto;
SEÕÇARTSULI
contrário,
é
o
uma
NOSLIDA
lelos
B
OCCES
Chama-se
A
caso
oblíquo.
109
Elementos
Considerando
de
o
um
prisma
prisma
da
página
anterior,
podemos
destacar
os
seguintes
mentos:
Bases
–
planos
as
regiões
paralelos
laterais
poligonais P
(a
Faces
–
Arestas
das
Arestas
laterais
Altura
e
as
b,
e
P’,
que
são
congruentes
e
estão
situadas
em
respectivamente).
regiões
poligonais
AA ’B’B
C
etc.
Ref lita
Que
tipo
faces
O
de
polígono
laterais
de
Justifique
sua
retângulo,
pois
perpendicular
quatro
faces
prisma
o
fato
de
planos
internos
a
–
os
segmentos
BC ,
AB
...,
A ’B’
B’C’
etc.
–
os
segmentos
AA ’
BB’
etc.
CC’
reto?
reta r
garante
retos
bases
as
resposta.
aos
ângulos
um
compõe
do
prisma
–
a
distância
h
entre
os
planos
das
bases
(a
e
).
ser
os
para
as
Cla ssif icação
dos
prisma s
laterais.
Os prismas podem ser classificados de acordo com alguns critérios. Um deles você
já conhece: a inclinação da reta r
em relação aos planos a e b que contêm as bases. É
essa reta que define a inclinação das arestas laterais dos prismas em relação às bases.
Nos prismas retos, as arestas laterais são perpendiculares às bases; os oblíquos, não.
Outro
se
é
critério
um
que
permite
quadrilátero,
pentagonal;
e
assim
o
classificar
prisma
por
os
é
prismas
é
o
que
quadrangular;
se
é
um
considera
o
polígono
triangular;
pentágono,
o
prisma
é
diante.
.8991
Exemplos
ed orierevef ed 91 ed 016.9 ieL
OCCES
e laneP
prisma
reto
cujas
bases
são
quadrangular
superfícies
prisma
poligonais
pentagonal
regulares
é
denominado
.trA
prisma
prisma
481
SEÕÇARTSULI
Um
triangular
ogidóC od
NOSLIDA
prisma
regular
.adibiorp oãçudorpeR
Ref lita
poliedro
prisma
e
a
os
regular?
regular?
contraexem
Prisma
que
não
Esse
prisma
pois
as
é
regular,
Esse
prisma
pois
as
não
é
regular,
os:
regular
não
não
Poliedro
é
que
poliedroregular
regular
não
bases
quadradas
e
são
ele
é
bases
polígonos
reto.
não
são
regulares.
é
prismaregular
Entre
os
chamados
OCCES
pedo
prismas
de
quadrangulares,
paralelepípedos;
reto-retângulo
NOSLIDA
denomina-se
ou
bloco
aqueles
esses,
por
que
sua
têm
vez,
bases
podem
retangular;
se
tem
paralelogrâmicas
ser
retos
todas
as
ou
paralelepí-
faces
congruentes,
cubo
Exemplos
Comentário:
têm
a
meio
e
de
Nesta
atividade,
oportunidade
das
definições
prisma
regulares
regular,
são
de
de
poliedro
quais
prismas
contraexemplos
para
os
verificar,
e
dos
alunos
por
regular
poliedros
produzir
fundamentar
sua
resposta.
paralelepípedo
110
oblíquo
paralelepípedo
reto-retângulo
são
oblíquos.
cubo
3.2
Medida
da
diagonal
paralelepípedo
Diagonal
vértices
de
um
desse
Considere
um
reto -retângulo
paralelepípedo
paralelepípedo
um
de
que
paralelepípedo
é
todo
não
segmento
pertencem
reto-retângulo
de
a
cujas
uma
extremidades
mesma
dimensões a
b
são
face.
e
c Ref lita
D ’
Quantas
diagonais
paralelepípedo
T odo
A ’
tem
um
reto-retângulo?
paralelepípedo
reto-retângulo
c tem
B ’
quatro
diagonais.
Na
figura
ao
d lado,
AC
por
e
exemplo,
BD
são:
DB
CA
C
b f
A
B a
A
medida
d Obser vação
mento
DB ,
que
é
uma
dia
onal
da
face
ABCD
Se
Assim,
aplicando
o
teorema
de
Pitágoras
ao
triângulo
retângulo ADB,
o
paralelepípedo
éum 2
2
5
f
.8991
Aplicando
o
teorema
de
Pitágoras
ao
b
(I)
são
triângulo DBD’,
ed
2
5
d
cubo,
todas
as
suas
arestas
2
1
2
retângulo
temos:
congruentes.
temos:
2
1
c
(II)
orierevef
a d
ed
2
2
5
d
(a
2
1
b
2
)
1
c
91
a
ed
Portanto,
016.9
dimensões
a
a
medida
b
e
c
d
da
diagonal
de
um
paralelepípedo
reto-retângulo
a
de
é: Assim:
ieL
2
e
5
a
a
laneP
2
og idóC
a
a
b
V
3
od 481 .trA .adibiorp
Exe rc íc io resolv id o
oãçudorpeR
R6.
Calcular
em
2
a
medida
cm
a
da
medida
aresta
da
de
um
diagonal
cubo
da
cuja
medida
da
diagonal
excede
base.
G
F
H E a d
D C
a f
a
A
B
Resolução
Ref lita
f Qual
base,
temos,
pelos
dados
do
problema:
1
2
d
2
é
o
maior
extremidades
Aplicando
o
teorema
de
Pitágoras
ao
triângulo
ABD,
cubo?
temos:
Observe
a
1
f
5
se
tratar
de
um
cubo,
a
sabemos
que:
5
3
(II)
e
(III)
em
(I),
obtemos:
o
do
de
um
menor?
exercício
resolvido
catetos
medindo
3
2
2
ntão,
BDG,
medindo
e
a
ortanto,
a
,
o
e
,
a
a
retângulo,
ehipotenusa
,
retângulo,
hipotenusa
de
catetos
medindo
d
d
maior
segmento
é
uma
a diagonal
do
cubo;
o
menor
é
uma
aresta.
3 Comentário
oportunidade
sta
é
uma
ótima
de
os
alunos
estabelecimento
de
relações
entre
um
elementos
de
procedimento
um
de
ampliarem
cubo
o
métricas
e
exercitar
análise.
111
SEÕÇARTSULI
a
isósceles,
ntão,
a
,
medindo
NOSLIDA
(
5
)(
figura
é
(III)
2
qual
OCCES
substituindo
cujas
vér tices
considere:
de
Assim,
E
são
(II) e
Por
segmento
(I)
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
F
19.
Calcule
dos
a
medida
das
reto-retângulos
diagonais
dos
paralelepípe-
24.
O
abaixo.
sólido
lado
é
representado
um
cubo
cujas
ao
aresB A
tas
2
medem
área
cm
do
4 cm.
Calcule
a
triângulo ABH
E 2
H
cm
3 ––
cm
2
3
D
C
cm
61 15
cm
cm
25.
Em
B
cada
medindo
20.
Um
paralelepípedo
reto-retângulo
de
cm,
4
cm
e
7
cm
tem
diagonal
calcule
sobre
3cm.
O
21.
o
Escreva
a
valor
de
a
expressão
5
a
medida
super fície
ponto
M
é
o
do
do
caminho
cubo
ponto
de
médio
deA
aresta
de
uma
medindo
0
a
cm. B
B
a
Calcule
a
dimensões ares
a
item,
destacado
cm
algébrica
que
indica
a
medida M
da
diagonal
de
cada
paralelepípedo
t
reto-retângulo.
14
A
A 2
x
1
1
x
3
26.
A
medida
da
aresta
do
cubo
representado
abaixo
2t
x
20
BD ,
cm.
Se
então
J
é
qual
a
intersecção
é
a
medida
dos
do
segmentos
segmento
E J
AC e
.8991
é
?
ed
t
6
orierevef
10
cm
D C t J
ed
Um
paralelepípedo
tem
Deter mine
medidas
B
diagonal
ed
reto-retângulo
91
OCCES
A
22.
três
14
arestas
cm.
sabendo
que
são
as
números
das
016.9
NOS
medindo
inteiros
ieL
1
cm
2
cm
e
3
e
A
consecutivos.
cm
laneP
As
medidas
das
reto-retângulo
diagonal
são
mede
de
um
proporcionais
130
cm,
então
paralelepípedo
a
3,
4
quais
e
12.
são
Se
27.
Desenhe
essas
Mostre
um
que
cubo
duas
e
trace
duas
diagonais
er 30
cm
40
cm
e
120
perpendiculares
cm
entre
suas
um
reso
diagonais.
cubo
ução
não
são
no
si. Guia
do
.trA
medidas?
de
de
481
a
arestas
ogidóC od
SEÕÇARTSUL
E
23.
professor.
.adibiorp
Planif icação
Podemos
Observe
Pela
planificar
a
a
super f ície
superfície
planificação
planificação,
da
a
de
um
de
um
oãçudorpeR
3.3
prisma
prisma.
seguir.
podemos
identificar
muitas
características
desse
prisma:
Obser vação
As
faces
reto
são
laterais
sempre
de
um
prisma
um
que
o
prisma,
as
quais
necessariamente
são
quadriláteros;
retangulares.
Mesmo
prisma
seja
um
que
sua
cubo,
face
podemos
lateral
todo
é
quadrado
112
dizer
retangular,
é
um
porque
retângulo.
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
28.
Registre
a
alter nativa
planificação:
que
alternativa
corresponde
à
seguinte
29.
Registre
a
alter nativa
representado
d
a
seguir.
a)
que
corresponde
alternativa
ao
cubo
b
c)
.8991 ed orierevef
b)
d)
ed 91 ed 016.9 ieL e laneP ogidóC
3.4
Área
da
super f ície
de
um
prisma
od 481
Dado
um
prisma
.adibiorp
oãçudorpeR
.trA
qualquer,
( (A
)
Obser vação
definimos:
–
área
–
soma
de
uma
das
faces
que
é
base.
base
)
(A
Embora
das
áreas
das
faces
uma
laterais.
um
in
a
e
polígono
ten
a
seja
apenas
lateral
)
( (A
–
soma
da
área
lateral
com
as
áreas
das
duas
bases.
total
a
comunicação,
possíve
,
vamos
polígono“
A
5
total
A
1
2
lateral
em
sempre
que
usar “área
vez
de
“área
da
A base
super fície
poligonal” .
Exe rc íc ios resolv id os
R7.
Calcular
sentado
a
área
total
da
super fície
do
prisma
hexagonal
regular
repre-
abaixo.
a
h
OCCE
h
NOSLIDA :SEÕÇARTSULI
a
planificação
113
Resolução
Como
faces
Obser vação
vimos,
um
laterais
Assim,
a
prisma
são
área
lateral
é
dada
área
A
6
a
regular
retangulares
da
é
e
um
prisma
reto
congruentes,
de
e,
portanto,
dimensões
a
suas
e
Um
h
regular
em
seis
pode
ser
triângulos
equiláteros.
por:
face
hexágono
decomposto
retangular
A
lateral
área
de
h
de
lado
c
um
é
triângulo
dada
equilátero
por:
lateral
2
c A
base
do
prisma
é
uma
região
hexagonal
regular
de
lado
a
3
A 5 4
Portanto,
a
área
da
base
é
dada
A
or:
Assim,
5
a
área
de
um
hexágono
ba s e
2 regular
Logo,
a
área
total
da
super fície
desse
prisma
hexagonal
é:
de
lado
c
c
é
dada
4 a A
1
A
por:
c
2
2
2
5
6 a h
3
a t er a
A
R8.
a
Calcular
de
a
2h
área
dimensões
3
total
a
b
e
da
c
unidades
super fície
(medidas
de
de
ár ea
um
dadas
paralelepípedo
em
uma
mesma
reto-retângulo
unidade). c
Resolução
b
Nesse
caso,
quaisquer
pares
de
faces
paralelas
podem
ser
as
bases a
do
prisma.
Assim,
A
5
dois
2ab
a
a
área
total
2ac
2bc
V
soma
das
áreas
de
seis
retângulos
5
2(
c)
unidades
de
área
área
total
da
sabendo
super fície
que
as
de
um
arestas
da
prisma
base
triangular
for mam
um
reto,
de
ed
cm,
orierevef
a
12
ed
total
Calcular
altura
a
A
total
R9.
é
dois:
.8991
congruentes
triângulo
91
de
catetos
que
medem
6
cm
e
8
ed
retângulo
cm.
cm
ieL
Resolução
016.9
12
e
base
do
prisma
5
A
5
é
um
triângulo
retângulo,
temos:
24
base
base
2 6
5
A
6
área
1
retângulo
8
x
lateral
5
a
é
da
dada
1
obter
a
medida
da
hipotenusa
cm
8
cm
do
base.
10
pela
super fície
6
vamos
soma
lateral.
8
1
das
áreas
das
faces
retangulares
que
oãçudorpeR
compõem
5
lateral,
.adibiorp
x
área
.trA
triângulo
a
481
calcular
od
Para
Assim:
10
5
288
lateral
Logo,
a
5
A
área
total
A
total
1
2
é
dada
A
lateral
por:
5
288
1
2
24
5
336
base
2
Portanto,
R10.
Calcular
a
a
área
representado
área
total
total
ao
da
lado,
da
super fície
super fície
sabendo
do
que
do
prisma
prisma
as
faces
é
336
oblíquo
laterais
cm
de
base
são
quadrada
congruentes.
Resolução 30
cm
2
O
prisma
tem
base
quadrada.
Assim:
A
5
10
V
A
5
100
60°
Para
sen
calcular
a
área
lateral,
vamos
60°
obter
h 30
2
5
a
15
altura
h
3
10
30
Assim: OCCES
5
600
3
a t er a
NOS
área
Logo,
a
área
SEÕÇARTSULI
5 total
A
do
5
1
600
paralelogramo
total
lateral
é
dada
por:
2 base
3
100
t ot a
2
114
ogidóC
A
a
laneP
Como
cm
34.
6;
Registre as respostas em seu caderno
b
24;
Fica
54;
96
unidades
multiplicada
por
de
4;
rea
fica
multiplicada
por
9.
Exerc íc ios propostos
30.
Uma
indústria
de papelão
-retângulo
Calcule
pelão
de
em
de
de
dimensões
quantos
são
embalagens
for ma
20
cm,
centímetros
necessários
produz
caixas
p a r a l e l ep í p e d o
para
10cm
e
a
ta,
dessas
caixas
(despreze
as
cubo
três
B
diagonal
cubos:
com
da
12
face
cubo
cm
de
A
com
12
diagonal
quadrada
e
medindo
cm
de
cubo
12
ares-
C
com
cm.
de pa
planificação
33.
2
deuma
Considere
15cm.
quadrados
fazer
32.
r eto-
abas).
1.300
Calcule
a
área
total
da
super fície
de
um
prisma
cm 2
triangular
31.
Calcule
a
área
total
da
super fície
dos
bendo
sólidos.
que
medida a)
regular,
da
a
de
medida
aresta
área
da
lateral
aresta
da
300
base
cm
é
,
sa-
igual
à
lateral.
b) 6
cm
34.
Quatr o
cubos
têm
ar estas
medindo
1,
2,
3
e
30°
4unidades,
2
respectivamente.
m
4
cm
prisma
base
oblíquo
quadrada
laterais
e
de
a)
Deter mine
b)
O
faces
que
mento
a
área
acontece
da
total
com
aresta
a
área
dobra?
E
total
se
se
o
compri-
triplica?
congruentes
c)
2
Quantos
cubos
de
aresta
unitária
cabem
dentro
2
21
3
prisma
3
80
m
cm
dos
m
hexagonal
cubos
des,
regular
de
arestas
medindo
respectivamente?
8,
27
e
64,
2,
3
e
4
unida-
respectivamente
.8991 ed orierevef
3.5
Volume
ed
Como
todo
91
unidade
de
de
sólido,
volume,
um
um
prisma
prisma
podemos
ocupa
medir
a
uma
porção
porção
do
do
espaço
espaço.
Adotando
ocupada
por
um
uma
prisma.
ed 016.9 ieL
O volume de um prisma corresponde a um único número real V
positivo obtido
e laneP
pela
comparação
ogidóC od
espaço
481
A
ocupado
unidade
de
da
porção
por
uma
volume
do
espaço
unidade
que
de
ocupado
pelo
prisma
com
a
porção
do
volume.
usualmente
consideramos
é
o
volume
de
um
cubo
.trA .adibiorp
unitário,
isto
é,
de
um
cubo
de
aresta
1
u,
sendo
u
certa
unidade
de
comprimento.
3
Assim,
dizemos
que
o
volume
desse
cubo
unitário
é
1
u
oãçudorpeR
3
;
se
a
aresta
do
cubo
3
unitário
mede
1
mm,
o
volume
desse
cubo
é
1
mm
;
e
assim
por
diante.
Exemplo
Vamos
calcular
paralelepípedo
quantas
vezes
reto-retângulo
o
cubo
de
unitário
dimensões
4
de
cm,
aresta
2
cm
3
2
a
figura,
na
base
Logo,
há
24
e
tem
cubos
vemos
3
unitários
no
em
um
cm
cm
cm
que
camadas
cabe
o
paralelepípedo
iguais
total,
à
e,
camada
é
da
portanto,
o
formado
por
8
cubos
uni-
base.
paralelepípedo
é
SEÕÇARTSULI
tários
cm
cm.
NOSLIDA
Analisando
1
3
OCCE
4
e
formado
3
por
24
cubos
(4
2
3)
de
1
cm
de
volume.
Dizemos,
então,
que
o
volume
3
doparalelepípedo
dado
é
24
cm
115
Volume
No
cujas
exemplo
três
válido
são
podemos
Esse
qualquer
números
paralelepípedo
dadas
números.
para
Desse
um
anterior,
dimensões
desses
por
de
por
fato
reto -retângulo
verificar
números
pode
ser
paralelepípedo
que
um
paralelepípedo
inteiros
tem
volume
demonstrado,
reto-retângulo
reto-retângulo
igual
ao
verificando-se
cujas
dimensões
produto
que
são
ele
é
dadas
reais.
modo,
temos:
Obser vação
Como o cubo é um caso particular
de paralelepípedo reto-retângulo
com todas as arestas de mesma
medida
seu volume é:
V
5
a
b
c
paralelepípedo 3
5
c
a
a
b
a
Note
V
5
que
área
o
volume
da
base
do
3
paralelepípedo
também
pode
ser
expresso
assim:
altura
a
a
Exe rc íc io resolv id o
.8991
Deseja-se
4
sário
cm
de
cimentar
de
um
espessura
massa
para
quintal
de
quadrado,
massa
revestir
de
essa
com
cimento.
lados
Calcular
medindo
o
volume
8
m,
neces-
área.
orierevef
com
ed
R11.
ed 91 ed
Resolução
camada
de
cim en to
terá
a
for m a
de
um
par a lele pípe do
r e to -
016.9
A
ieL
a
espessura
volume
V
5
8
quadrada,
do
necessário
8
0,04
V
8
revestimento
de
V
com
5
massa
64
m
é
de
de
4
aresta
cm
ou
e
4
cm
0,04
de
m,
altura.
temos
que
ogidóC od
o
base
é:
0,04
V
V
5
2,56
são
necessários
2,56
m
de
massa
para
fazer
o
revestimento.
481
3
Logo,
laneP
Como
de
e
-retângulo
.trA .adibiorp
retangulares
nem
pôr
de
Cavalieri
idênticos.
nenhum
Vamos
cartão.
Veja
modificar
a
possível
a
forma
situação
de
das
uma
das
pilhas
pilhas
sem
formadas
na
retirar
ilustra
çãoabaixo.
altura
Observando OCCES
as
NOSLIDA
quantidade
SEÕÇARTSULI
área,
pois
116
de
é
possível
cartões
eles
cartões
pilhas,
são
mesma
que:
espessura;
idênticos;
idênticos
de
notar
e,
portanto,
ocupa
a
mesma
porção
do
espaço.
oãçudorpeR
Princípio
Essa
que
situação
ilustra
o
princípio
de
Cavalieri,
ou
postulado
de
Cavalieri
afirma:
Obser vação Dois
sólidos,
e
,
apoiados
em
um
plano
a
e
contidos
em
um
mesmo
semi-
2
espaço,
terão
o
mesmo
volume V
se
todo
plano b,
paralelo
a a,
secciona
os
dois O
sólidos
segundo
regiões
planas
de
mesma
área
(A).
princípio
de
demonstrado,
considerá-lo
sólido
S
sólido
sua
S
Cavalieri
porém
pode
aqui
verdadeiro
ser
vamos
sem
fazer
demonstração.
2
A
A 2
= 2
Secção
Um
plano
plana.
nada
No
transversal
intercepta
caso
secção
em
que
de
um
a
um
sólido
secção
prisma
segundo
plana
é
uma
paralela
superfície
à
base
do
chamada
prisma,
de
ela
é
secção
denomi-
transversal
.8991
Exemplo
ed
Observe
uma
secção
transversal
de
cada
prisma
representado
abaixo.
orierevef ed 91 ed
B
016.9
B
B 2
3
ieL e laneP ogidóC od
Qualquer
ortanto,
secção
tem
a
transversal
mesma
área
de
ue
um
prisma
essa
é
congruente
à
base
desse
prisma
e,
base.
481 .trA .adibiorp
Volume
de
um
pr
Considere um prisma
sma
qualquer
e um paralelepípedo reto-retângulo
de mesma altura h
1
oãçudorpeR
e
de
um
bases
equivalentes
mesmo
2
(de
mesma
área),
apoiados
em
um
plano a
e
situados
em
semiespaço.
S
S 2
A 2
h
Como
base
qualquer
desse
prisma
secção
e
as
transversal
áreas
das
de
bases
cada
de
prisma
e
S
S
1
lanob
de
aralelo
mesma
área:
aa
A
que
5
Assim,
5
V
,
pelo
em
V
dois
a
mesma
temos
prismas
é
o
de
Cavalieri,
volume
do
os
dois
prisma
S
e
determina
prismas
V
2
secções
é
o
têm
volumes
volume
do
que
a
qualquer
transversais
iguais,
prisma
2
Como S
área
que
2
princípio
que
os
possui
iguais,
A
1
V
intercepte
são
2
isto
é,
S 2
é um paralelepípedo reto-retângulo, seu volume pode ser calculado por:
2
área
da
base
de
2
as
áreas
das
bases
3
altura
2
de
S
e
de
S
são
iguais
e
V
5
V
2
V
volume
de
um
5
área
da
base
de
V
S
3
altura
1
prisma
5
qualquer
área
da
pode
base
3
ser
obtido
:SEÕÇARTSULI
o
temos:
2
1
Assim,
,
NOSLIDA
Como
S
OCCE
=
V
por:
altura
prisma
117
Exe rc íc ios resolv id os
R12.
Calcular
prisma
o
volume
de
representado
ar
ao
contido
em
um
galpão
que
tem
a
for ma
do
lado.
Resolução
Vamos
decompor
a
figura
do
galpão
em
duas
partes
com
formas
de
4
prisma. 3
m
m
5
4
3
m
3
5
m
m
4
Ref lita
m
m
For ma
de
For ma
paralelepípedo
de
prisma
reto
de ao
base
reto-retângulo
formato
5
A
5
4
5
galpão?
alt u r a
altura
2
base
V
do
triangular
V
m
m
5
4
m
b a se
determinaria
3
contido
1
V
5
8
no
o
volume
galpão
de
ar
calculando
5
2
V
5
2
60
o
volume
desse
prisma
sem
1
5
10
2
o
volume
total
de
ar
contido
no
decompô-lo.
galpão
é
dado
por
V
1
V
1
,
ou
ed
Logo,
.8991
V
2
orierevef
3
seja,
70
m
ed
Um
reservatório
000
3
o
litros,
cheio
de
água
representado
quanto
tem
na
baixará,
a
for ma
figura
em
ao
de
um
lado.
metro,
o
Se
nível
prisma
forem
de
água
hexagonal
consumidos
desse
016.9
3
como
ed
regular
91
R13.
reser -
ieL e ogidóC od
laneP
vatório?
Resolução
Vamos
representar
por
,
em
metro,
quanto
baixará
o
nível
da
água
481
no
reservatório.
.trA
nal
3
000
3
regular
litros
de
consumidos
mesma
base
do
ocupam
prisma
o
da
volume
figura
do
e
prisma
altura
de
.adibiorp
Os
hexago-
x
metro.
Resposta
do
boxe
oãçudorpeR
2
m
Reflita
x
Determinar
(que
e
é
um
a
dada
área
por
retângulo)
calcular
o
da
um
e,
volume
base
pentagonal
triângulo
em
isósceles
seguida,
pela
fórmula:
2
5
A
2
1
12
5
14
V
A
base
5
14
m
base
3
V
5
A
ar
2
A
base
área
é
do
prisma
dada
é
uma
região
3
altura
5
70
m
base
m
hexagonal
regular
de
lado
2
m,
cuja
por:
2
Obser vação
2
ba s e
V
5
ba s e
V
5
A ba s e
4
4 Lembre
OCCE
O
volume
da
parte
do
prisma
correspondente
aos
3
000
3
litros
é:
que
1
litro
1
dm
corresponde
1
3
e
1 dm
=
m. Então: 10
A NOSLIDA
ba s e b
1
3
1 dm 3
3
3
,
=
m 1.
temos:
SEÕÇARTSULI
Por tanto,
5
V
118
o
nível
de
1
0,5 1
Portanto,
água
baixará
3
0,5
m.
1
000
3
litro
corresponde
a
a
R14.
Uma
caixa
lepípedo
de
isopor
tem
reto-retângulo,
proporcionais
a
2,
3
e
4
a
forma
com
e
com
de
um
arestas
de
volume
de
3
parale-
medidas
192cm
.
2
Ela
será
plástico.
tico
revestida
Quantos
serão
por
uma
película
centímetros
necessários
para
protetora
quadrados
revestir
essa
de
de
plás-
k
caixa?
3
Se
o
volume
da
caixa
é
192
cm
,
então:
Resolução 3
2k
Vamos
considerar
que
as
medidas
da
3k
4k
Logo,
dadas
em
centímetro,
sejam
a
b
e
4
elas
são
proporcionais
a
2,
3
e
192
cm,
V
b
k
6
5
8
cm
V
k
e
5
2
8cm.
c Como
Se
5
caixa,
4,
a
área
da
caixa
(
total
b
1
b
c
(4
6
1
6
8
é
dada
por
temos: A
5
2
5
2
1
a
c), c
temos:
total
A
⎧
a
b
k 2
1
4
8)
5
208
total
c
3
Portanto,
⎨
serão
necessários
208
centímetros
4 quadrados
de
plástico
para
revestir
a
caixa.
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
35.
Uma
barra
.8991
prisma
A
a
de
reto
tura
o
prata
de
é
altura
trapézio
fundida
32
me
cm
e
e
na
for ma
base
cm,
e
de
um
39.
trapezoidal.
as
ases
me
A
área
total
da
reto-retângulo
de
em
um
cubo.
super fície
é
igual
Se
as
à
de
um
área
medidas
paralelepípedo
total
de
da
três
super fície
arestas
que
ed
3
orierevef
7,
cm
qual
e
será
10
a
cm.
Se
massa
a
da
prata
tem
barra?
10,
14.700
g
por
cm
concorrem
g
pedo
ed
a
são
em
3,
diagonal
5
um
e
do
7,
mesmo
vértice
do
respectivamente, i
cubo?
71
u n i d a d es
paralelepí-
quanto
de
mede
co mp r i m e n t o
91 ed 016.9
40.
Calcule
a
área
total
da
super fície
de
um
parale-
ieL
3
lepípedo
reto-retângulo,
cujo
volume
é
240
cm
e laneP
2
sabendo
que
as
2
ogidóC
48
od
41.
481
36.
Sabe-se
que
a
super fície
de
um
cubo
tem
216
áreas
de
duas
faces
são
30
e
cm
2
cm
236
Calcule
o
cm
volume
de
um
prisma
regular
hexagonal
m
.trA
de
altura
8
cm,
sabendo
que
a
área
total
de
sua
3
de
área
total.
Calcule
o
volume
desse
cubo.
216
m 3
.adibiorp
super fície
37.
Quando
uma
amostra
de
metal
é
mergulhada
oãçudorpeR
tanque
de
água
com
for mato
retangular,
mede
15
cm
por
20
cm,
o
nível
de
água
0,35
cm.
Calcule
o
volume
dessa
da
área
096
lateral.
cm
Deter mine
a
capacidade,
peça.
cúbico,
sabendo
em
que
a
litro,
de
maior
um
vara
reserva-
de
pesca
se
3
eleva
triplo
cuja
tório base
o
em
42. um
é
105
que
cm
nele
2m
e
cabe
inteiramente,
comprimen
8
o.
sem
envergar,
tem
000 9
38.
De
um
mas
cubo
retos,
confor me
de
de
aresta
bases
mostra
a
4
cm
foram
quadradas
figura.
de
retirados
1
Deter mine
cm
o
de
pris-
lado,
volume
43.
do
As
arestas
2
9
3
é
a
de
um
paralelepípedo
estão
9
9
na
razão
cm .
Qual
3
sólido
restante.
57
cm
área
total
e
o
volume
desse
paralelepípedo?
3
832
1
cm
e
1.536
cm
cm
44.
Um
cubo
de
aresta
independentes
construir
a)
Que
45.
E
o
que
de
se
a
for mado
de
cubinhos
o
1
cubo
1
um
de
cm.
cubinhos
Deseja-se
paralelepípedo.
paralelepípedo
for mar?
área?
um
é
cm,
de
1
4
cm,
cm
e
4
cm
64
cm
aresta
2
e
cm,
de
4
menor
cm
responda
OCCE
questões
cm
aresta
tem
pode
maior
Considerando
às
esses
dimensões
área
b)
com
4
com
seguir.
3
é
o
volume
b)
Qual
é
a
área
c
O
desse
cubo?
8
cm
2
4
cm
d)
que
ocorre
aresta
é
E
a
com
da
super fície
com
dobrada?
área
da
o
desse
volume
Fica
se
multiplicado
super fície?
Fica
cubo?
a
por
24
medida
cm
da
8.
multiplicada
por
4.
119
:SEÕÇARTSULI
Qual
NOSLIDA
a
KCOTSRETTUHS/OTOS
4
Pirâmides
Além
dro.
dos
prismas,
Exercendo
as
pirâmides
fascínio
sobre
o
constituem
ser
outro
humano
importante
desde
a
tipo
de
Antiguidade,
a
polie-
forma
O CANG
piramidal
tem
ressurgido
ESOJ
ponência.
As
mesmo
pirâmides
belos
as
pirâmides
exemplos
4.1
ão
Consideremos
ponto
V
fora
de
um
arquitetura
Egito,
decorativas,
desse
Def ini
na
do
a
moderna
pirâmide
como
a
de
em
edifícios
de
vidro
do
Museu
apresentada
na
imagem
grande
do
im-
Louvre
ao
lado,
ou
são
sólido.
de
pirâmide
plano a,
uma
região
poligonal
convexa S
contida
em
a
e
um
a
V
V
Ref lita S
N
.8991
S
C
A
relação
de
Euler
é
válida
para
as
im,
pois
uma
Por
B
orierevef
pirâmides?
A
ed
quê?
pirâmide
é
um
poliedro
ed
convexo.
91
pirâmide
o
poliedro
convexo
formado
por
todos
os
segmentos
de
016.9
V
ed
Chama-se
S
ieL e laneP
Considerando
de
a
uma
pirâmide
pirâmide
desenhada
acima,
podemos
destacar
os
seguintes
ogidóC od
Elementos
481
A
denominação
vér tice
não
per tence
à
região
da
poligonal
Vértice
Faces
pirâmide
Arestas
da
Arestas
laterais
Altura
laterais
–
as
–
o
S
ponto
superfícies
V
triangulares
AVB
C,
...,
NVA
da
pirâmide
que
a
oãçudorpeR
Obser vação
–
.adibiorp
Base
.trA
mentos:
base
–
os
segmentos
AB
BC ,
...,
NA
base.
As
pirâmides
base.
pirâmide
por
Se
é
a
os
pirâmide
Cla ssif icação
da
da
–
da s
podem
base
tiver
segmentos
–
a
distância
VB
VC ,
entre
o
...,
VN
vértice
V
e
o
plano a
pirâmides
ser
3
VA
classificadas
arestas,
quadrangular;
se
a
tiver
de
acordo
pirâmide
5
arestas,
é
a
com
o
triangular;
pirâmide
é
número
se
tiver
de
4
arestas
arestas,
pentagonal;
e
a
assim
diante.
Exemplos
OCCES NOSLIDA :SEÕÇARTSULI
pirâmide
triangular
(tetraedro)
120
pirâmide
quadrangular
pirâmide
pentagonal
4.2
Planif icação
Até
aqui,
Como
os
temos
demais
planificações
uma
umaaresta
sua
de
em
super f ície
representado
poliedros,
de
pirâmide
da
superfície:
modos
comum
pirâmides
uma
pirâmide
é
com
em
desde
uma
em
que
pirâmide
perspectiva,
também
possível,
diferentes,
de
um
cada
pode
plano,
uma
como
ser
esta
justapor
delas
ao
lado.
representada
as
tenha
por
faces
pelo
de
menos
outra.
Como exemplo, observe a seguir duas planificações de uma pirâmide hexagonal.
ou
4.3
Pirâmides
regulares V
.8991
Obser vação Uma
pirâmide
ed orierevef
regular
e
o
da
plano
da
base
cuja
é
cuja
base
projeção
base
de
uma
superfície
ortogonal
coincide
chamada
é
com
o
P
do
vértice
centro
pirâmide
poligonal
do
sobre
polígono
é
o
centro
da
circunscrita
regular
ed 91
da
circunferência
ao
polígono
circunferência
ou
inscrita
nele.
ed 016.9 ieL
As
faces
laterais
de
uma
pirâmide
regular
são
determinadas
por
triângulos
e laneP
isósceles
congruentes.
ogidóC od
Assim,
triângulo
uma
pirâmide
equilátero)
e
triangular
as
outras
regular
três
são
tem
as
quatro
faces
faces:
laterais
uma
é
a
base
(triângulos
(um
isósceles
481
congruentes).
.trA
Um
.adibiorp
gular
importante
é
o
constituídas
oãçudorpeR
No
por
tetraedro
considerada
Em
uma
triângulos
base
da
Apótema
no
da
polígono
Raio
da
uma
de
as
das
pirâmide
quatro
re-
faces
congruentes.
faces
pode
ser
será
regulares
podemos
pirâmide
–
altura
destacar
relativa
identificado
os
à
seguintes
base
de
elementos:
qualquer
face
lateral
por g).
base – segmento que determina o raio da circunferência inscrita
da
base
identificado
tem
pirâmides
regular,
(seucomprimento
tipo
equiláteros
qualquer
da s
da
que
pirâmide.
pirâmide
Apótema
desse
regular,
regular,
Elementos
exemplo
tetraedro
base
–
por
raio
(seu
da
comprimento
circunferência
será
identificado
circunscrita
ao
por m).
polígono
da
base
(será
r r).
(apótema
da
OCCES
g
pirâmide)
NOSLIDA
h
r
(raio
da
base)
:SEÕÇARTSULI
M
m
(apótema
da
base)
121
Alguma s
relações
métrica s
V
Podemos
a
destacar
pirâmide
medindoa
regular
algumas
de
representada
Aplicando
o
teorema
2
VOA,
MOA,
temos
ao
de
h,
métricas
aresta
da
nas
base
pirâmides
medindo
regulares.
c
e
arestas
Observe
laterais
lado.
Pitágoras
2
5
a
relações
altura
no
triângulo
retângulo:
2
h
1
r
2
a
⎛
2
m
temos
1 ⎝
h
2
VMO,
temos
VMA,
temos
2
g
5
2
h
1
m
2
⎛
2
g
⎞
1 ⎝
m
⎠
2
O
r
Essas relações métricas são válidas para qualquer pirâmide regular, independen -
c
M
2
c
A
temente
2
da
do
aresta
polígono
da
base
e
que
as
do
forma
a
base.
apótema
da
Além
base
disso,
de
há
a
algumas
relação
entre
pirâmides
as
medidas
regulares.
A
A
E
D c
c
c
c
c
r r
.8991
c
c
r
O
r
O
O
orierevef
r m
m
r
r
r c
c
m
ed
C
M
M
ed
C
F r
91 ed
B
A
016.9
C
ieL
3
r
2
r
3
3
6
2
2
2
2
laneP
m 2
e
r m
ogidóC
as
três
figuras
od
Considere
acima.
481
Ref lita
é
o
triângulo
ABC
Demonstre
baricentro.
1 Logo,
m
c AM M
5
e
BM
das
a
relação
pirâmides
entre
regulares
as
medidas
referentes
às
da
aresta
figuras
da
base
e
do
apótema
da
base
de
cada
acima.
5 2
3
oãçudorpeR
:AMB,
temos:
2
2
5
( (AM M)
2
( (AB)
( (BM M)
2
2
5
c
⎛
2
( (AM M)
Exe rc íc ios resolv id os
⎞
c ⎝
2
⎠
D
2
c
c 3c 3
2
( AM)
AM
3
5
R15. 4
Um
tetraedro
regular
tem
arestas
medindo
2
3
10 cm.
3
Calcular
a
medida
do
apótema
m
10 3
2
6
da
pirâmide
(g), g
a
medida
do
apótema
da g
:OMC
base
m)
e
a
altura
da
pirâmide
h
C
(h
∏ :ADC
O c
A OM
M
m
2
c
c
c
m
DC
r
5
m AD
M 5
2
B
O
triângulo
OAB
OM
Resolução
é
2
uma
altura.
No
:DMA,
temos:
2
10
g
2
1
2
5
g
75
g
c Então,
AO
5
r
5
c
e
AM
5 2
Como
a
base
é
triangular,
obtemos:
:AMO,
temos:
2
(OM)
2
5
3
(
10 V
5
2
(OA)
3 V
5
6
m
5 3
6
OCCES
2
c m
5
⎞
c
No ⎝
2
:DMO,
temos:
⎠
NOSLIDA
2
c
3
25
5 4
5
2
75
10
200 V
5
V
5
3
5
3
3
:SEÕÇARTSULI
Comentário
de
relações
capítulo4,
métricas
cuja
estudadas
finalidade
no
específica
10
é
Portanto,
5
cm
cm 3
e
de
volume
122
de
pirâmides.
uma
.adibiorp
O
o
.trA
Como
e
h
6 cm
6
R16.
Uma
e
pirâmide
arestas
base
(m),
regular
laterais
a
hexagonal
medindo 1 0
medida
do
tem
7
apótema
arestas
da
c m . Calcular
da
pirâmide
(g g)
base
a
e
medindo 1 0
medida
a
altura
do
da
3
cm
apótema
da
pirâmide( h).
Resolução
Observe
a
figura
abaixo.
V
h g
m
O
M
F
Na
base
hexagonal,
o
apótema
mede:
3 m
5 2
No
15
2
triângulo
F,
temos:
2
2
2
2
g
(
1
.8991
No
)
5
triângulo
ed
2
2
orierevef
m
1
V
VMO,
2
h
5
Portanto,
m
V
5
15
15
1
75
5
700
V
g
5
625
5
20
V
g
5 25
temos:
2
g
g
2
1
2
h
cm,
g
5
5
2
25
25
V
cm
h
e
5
h
5
400
20
V
h
cm.
ed 91 ed 016.9
47.
2n
48.
Apenas
arestas,
as
( (n
1
1)
faces
planificações
e
(I)
( (n
1
e
(II)
1)
vértices
são
de
superfícies
de
pirâmides.
ieL
Registre as respostas em seu caderno
e laneP
Exerc íc ios propostos
og idóC
4
.
Deter mine
od
cu
a
base
o
número
tem
8
de
faces
vértices.
9
de
uma
pirâmide
4
.
O
a
faces
apótema
aresta
481 .trA
da
47.
Deter mine
.adibiorp
arestas
de
o
número
uma
de
pirâmide
vértices,
que
tem
n
de
faces
faces
e
oãçudorpeR
n
um
número
natural
maior
que
quais
super fícies
de
das
planificações
a
seguir
são
Uma
um
pirâmide
regular
tem
Deter mine
12
a
cm
e
medida
cm
do
que
tem
tem
apótema
6
4
dm
da
dm
de
de
altura.
lado.
A
base
pirâmide.
Deter mine
43
dm
pirâmides.
(I)
Qual
é
a
medida
regular
de
da
aresta
base
lateral
pentagonal
de
se
uma
o
pirâmi-
apótema
da
(II)
pirâmide
10
52.
(III)
m?
13
uma
super f ície
pirâmide
qualquer,
( (A
)
–
área
de
uma
e
o
lado
do
pentágono
mede
m
a
apótema
do
m
medida
cu
a
mede
do
de
aresta
41
raio
da
uma
da
cm .
base
g
base,
a
pirâmide
5
5
mede
cm,
h
altura
8
5
e
a
me-
quadrangular
3
cm
cm
e
e
r
a
5
aresta
4
2
cm
pirâmide
definimos:
da
superfície
poligonal
que
constitui
a
OCCES
da
12
dida
lateral
Área
mede
Calcule
regular
10
regular
hexágono
medida
de
Dada
base.
cm.
de
51.
4.4
da
1
laterais,
a Registre
aresta
pirâmide
tem
2. é
48.
uma
de
50.
sendo
de
lateral
base.
base
NOSLIDA
(A (
) – soma das áreas das faces laterais (superfícies triangulares).
lateral
A
–
soma
da
área
lateral
com
a
área
da
base.
total
:SEÕÇARTSULI
5 total
1 lateral
base
123
Exe rc íc io resolv id o
R17.
Deter m i na r
a
á rea
tot a l
da
super fície
de
uma
Como
a
pirâmide
são
for madas
pirâmide regular hexagonal sabendo que a a resta
rais
da
congruentes,
base
mede
c
e
o
apótema
da
pi râ m ide
mede
g
e
altura
é
r egular,
por
que,
as
faces
triângulos
nesse
caso,
late-
isósceles
têm
base
e
c
g
Resolução Assim,
A
base
da
pirâmide
A
a
área
5
8
é
uma
super fície
triângulo
r e g u l a r
A
d e
c.
Portanto,
a
dada
por:
g
⎞
6 lateral
⎝
lado
é
isósceles
he⎛
x a g o n a l
lateral
A
lateral
⎠
2
área 5
A
3cg
lateral
da
base
é
dada
por: Logo,
a
área
total
é
dada
por:
a 2
A
3
h
5
A
A
1
A
6 ba s e
4 2
g
1 2
5 ba s e
2
m O
⎛ M
5
3c
g
⎞
3
1
total
⎝
c
⎠
2
.8991
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
ed
Calcule
a
área
total
da
super fície
de
uma
55.
pirâmide
Sabendo
que
a
área
total
da
super fície
de
orierevef
53.
um
ed
2
regular
cuja
aresta
lateral
mede
82
,
calcule
medida
quadrangular
regular
ed
a
mm
91
triangular
2
e
a
aresta
da
base
mede
1
36mm.
da
aresta
desse
tetraedro.
4
cm
016.9
a
da
área
da
super fície
que
tem
3
a
uma
cm
de
área
lateral
pirâmide
altura
e
cuja
2
base
mede
8
cm.
64
cm
,
80
cm
e
a
A
área
base
de
uma
pirâmide
cm
quadrangular
aresta
de
da
raio.
Sabendo
que
a
pirâmide
tem
8
cm
ogidóC od
regular
base,
de
laneP
total
e
Calcule
ieL
54.
de
2
e
144
altura,
cm
calcule
a
área
total
da
sua
super fície.
cm
481
384
.trA
Volume
de
estudar
propriedades
das
Propriedade
mide,
feita
a
o
pirâmide
volume
pirâmides
1: A
uma
uma
razão
altura
’
e
de
pirâmide
qualquer,
vamos
conhecer
duas
demonstrá-las.
entre
em
uma
oãçudorpeR
Antes
de
.adibiorp
4.5
a
área S’
relação
ao
de
uma
vértice,
secção
e
a
transversal
área S da
base
de
uma
pirâ-
dessapirâmide
2
⎛ de
altura
h
⎞
h
5
é
⎝
S
h
⎠
Demonstração
Vamos
uma
do
considerar
secção
uma
pirâmide
transversal
dessa
de
altura
pirâmide,
VO
de
5
área
h
cuja
S’,
a
base
uma
tem
área
distância
S.
VO’
Seja
5
V
h’
vértice.
Vamos
C
decompor
etc.
e
O
A
B’,
a
base
O
da
C’
B
pirâmide
etc.,
e
a
secção
transversal
nos
h ’
triângulos OAB
respectivamente. h D ’
A ’
VC’ O
C
/OC
V
:V
’
’
{
:V
V O’ 5
V
VC’
h’
VC
h
V
VC
VO
C’
B ’ M ’
C B
C
/ BC
V
:VB’C’
{
:VBC
VC’
h’ O
V VC
h
B
O o
mesmo
raciocínio,
chegamos
M
a:
(B C ) Área
(O M )
do 2
124
h 5
OM
h
M
C
:SEÕÇARTSULI
Com
NOSLIDA
BC
OCCES
D
A
(B Área
C
)
O
M ’)
do 2
B
C
O
M 2
S O
B
S
h
2
C
5
O
5
S
(B C )
OBC
B
⎛
C
V BC
(O M )
h
⎞
5
OM
Obser vação ⎝
S
⎠
OBC
2 Em
uma
proporção,
a
soma
dos
2
S D
Analo
amente,
mostra-se
O
A
⎛
B
que:
h
⎞
antecedentes
S
S
OCD
⎝
S
O DA
⎠
h
dos
OAB
consequentes,
qualquer
Temos:
S
5
S
1
S
OAB
1
S
OB
está
para
a
soma
5
1
S
OCD
e
S
5
S
ODA
1
S
O’A ’B’
1
S
O’B’C’
1
O’C’D’
assim
antecedente
como
está
para
S O’D’A ’
seu
consequente,
ou
se
a:
2
S 5
a
h
⎛
Assim:
b
1
S
1
S
S DA
Propriedade
então
elas
a
5
têm
2:
Se
duas
mesmo
pirâmides
d
b
d
h
OBC
têm
mesma
altura
e
mesma
área
de
base,
volume.
Demonstração
Vamos
considerar
as
pirâmides
de
vértices V
e
V
1
V
2
V 2
Chamaremos
S
e
S
as
de:
áreas
das
bases
dessas
pirâmides,
tais
2
que
S
5
S
; 2
.8991
e
’
1
as
áreas
das
secções
transversais;
h
2
h
a
altura
das
duas
pirâmides
e
h’
a
distância
ed orierevef
das
secções
tran s v e r s a is
aos
v ér ti c es
V
e
V
1
2
respectivamente. S
ed
S 2
Pela
propriedade
1,
obtemos:
91 ed
2
016.9
S
⎛
1
h
S
2
S
⎞
h
h
⎛
⎝
S
ieL
1
h
⎞
⎠
2
e laneP
h
⎞
h
⎛ e
5
⎞
5
1
2
ogidóC od
⎠
h
481
Como
S
S
⎝
,
temos
S
5
S
2
.trA
pirâmides
⎠
h
e,
portanto,
pelo
princípio
de
Cavalieri,
as
duas
2
têm
mesmo
volume.
.adibiorp oãçudorpeR
Volume
Considere
de
um
uma
prisma
pirâmide
triangular
de
de
ba se
volume
triangular
V
.
Vamos
decompô-lo
em
três
prisma
pirâmides
triangulares.
A ’
(I)
C’
B ’
(II)
C
A
(III)
B
A
pirâmide
plano
pirâmide
plano
que
um
por
a
tem
a
base
face
por
face
AA
o
C
base
AA
o
C
paralelogramo;
pirâmides
concluímos
I
e
que
II
têm
elas
triângulo
C
do
triângulo
C
do
C’
e
por
altura
a
distância
de
C
e
por
altura
a
distância
de
B’
ao
AC
ao
prisma.
logo,
bases
têm
AA
prisma.
os
de
triângulos AA
mesma
volumes
área
e,
’
e
ACC ’
como
têm
têm
mesma
também
área.
mesma
:SEÕÇARTSULI
altura,
II
contém
é
as
tem
NOSLIDA
AA
Assim,
I
contém
OCCES
A
que
iguais.
Entretanto, a pirâmide I é também aquela que tem por base o triângulo A
altura a distância de A ao plano que contém a base A
B
B
C ’ e por
C ’ do prisma (altura do prisma).
125
A
pirâmide
plano
Os
que
III
tem
contém
triângulos
A
pirâmides
I
(altura
do
prisma),
Se V
, V
1
e
III
e V
2
a
por
base
B
C’
têm
e
base
o
triângulo
ABC
do
ABC
têm
bases
de
prisma
mesma
mesma
concluímos
que
ABC
e,
têm
por
do
área
área
elas
e
(altura
altura
a
distância
de
B’
ao
prisma).
(são
bases
como
do
também
volumes
prisma).
têm
Assim,
mesma
as
altura
iguais.
são, respectivamente, os volumes dessas três pirâmides triangulares,
3
V p
temos:
5 3
3
Como
V
5
área
da
base
3
altura,
vem:
prisma
área
da
base 3
altura
5 p
triangular
3
Volume
Para
uma
de
uma
pirâmide
pir
mide
qualquer ,
qualquer
podemos
dividir
o
polígono
de
sua
base
em
triân-
gulos justapostos por meio de diagonais. Assim, a pirâmide fica dividida empirâmides
V
triangulares
Se
a
de
base
mesma
foi
altura.
dividida
em
n
triângulos
de
áreas
A
A 1
base
é
dada
por:
A
5
A
A
o
volume
da
pirâmide
,
...,
A
2
,
então
a
área
n
é
a
soma
dos
volumes
das
pirâmides
trian
ulares,
orierevef
temos:
1
1
1
5
1
pirâmide
1
1
1
ed
E
2
3
da
n
A
3
3
ed
Como
...
2
.8991
base
91 ed
A 3
8
( (A
pirâmide
1
A
1
1
...
1 A
2
)
016.9
5
V
D
A
h
n
A 2
ieL
A
A base
e
dividida
C
ogidóC od
Pirâmide
laneP
B
pentagonal
em
três
1
pirâmides
V
área
5
da
base
altura
pirâmide
triangulares:
VACD
3
481
e
VABC
VADE
.trA .adibiorp oãçudorpeR
Exe rc íc ios resolv id os
R18.
Calcular o volume do octaedro regular de aresta
No
a
triângulo
retângulo
BOE,
temos:
2
⎛ 2
2
5
a
2
⎞
a
2
1 ⎝
⎠
2
a
Logo,
o
volume
do
octaedro
1 V
é:
⎞
2
h
o ct a ed r o
5
ba s e
3
3
⎛
1
a
2
2
⎞
a
2
5
2 ⎝
⎠
3
3
E
R19.
Calcular o volume do tetraedro regular de aresta
h
Resolução
a
Observe
é
que
for mado
o
por
pirâmides
D
sólido
D
duas
quadran-
A
OCCES
O
gulares
C
regulares
a
a a
NOSLIDA
cuja
área
A
5
da
base
g
é
h C
B
2
a
base
O
:SEÕÇARTSULI
Como
B
é
igual
à
metade
da
medida
da
diago A m
a nal
do
quadrado
da
base,
temos
OB
2 M
5 2
126
r
a
Resolução
A
área
da
triangular
base
é
a
área
equilátera
de
de
uma
lado
a .
Resolução
super fície
Inicialmente,
Logo:
apótema
da
vamos
calcular
a
medida
g
do
pirâmide.
2
3 A
5
⎛
2
⎞
2
ba s e
2
20
1
V 2
2
h
2
h
5
g
⎛
a
2
m 2
V
2
2
Pelo
:A D M
o
5
:AB C
é
g
Agora,
equilátero,
3 m
tema
temos:
5
36
1
vamos
da
deter minar
base.
Como
a
a
medida
base
é
do
um
apó-
hexágono
2
3a
2
V
1
g
5
2
a m
5
3a
2
V
2
Como
400
2
⎞
m
regular,
a
2
V
5
temos:
5
6
2
12
m a
3
2
Assim:
V
h 4
h
m
m
6
5
12
Cálculo
da
altura
h
da
pirâmide:
Portanto:
2
2
1 V
A
h
6
3
h a se
2
h
256
16
1 V
Cálculo
t et r a edr o
3
4
da
área
da
base:
3
3
A
2 V
6 ba s e
5
2
t et r a edr
12
A
5
6
5
216
3
ba s e .8991
R20.
Deter minar
o
volu-
ed
Cálculo me
de
uma
orierevef
regular
do
volume
da
pirâmide:
pirâmide
1
hexagonal
h p i r â m id e
a
de
12 cm
de
=
20
ba s e
cm
3
aresta
ed
h g
91
da
base
e
20 cm
1
de V p
r â m id e
ed
3 aresta
lateral.
016.9
V
O
5 p
1.152
r â m id e
ieL
m
e laneP
c
=
12
cm
og idóC od 481 .trA
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
.adibiorp oãçudorpeR
57.
Uma
de
pirâmide
altura
regular
possui
comprimento.
de
aresta
Calcule
o
base
da
quadrada
base
volume
com
dessa
e
6
4
cm
cm
64.
O
apótema
gular
de
basemede
pirâmide.
de
mede
g
4
uma
5
9
cm,
pirâmide
cm.
regular
Sabendo
que
quadran-
a
aresta
da
calcule:
3
48
cm
2
a)
58.
Deter mine
o
volume
de
um
tetraedro
regular
a
área
16
cm
d)
a
e)
o
ra.
77
cm
2
cuja
b)
a
área
lateral.
72
77
cm
3
volume.
cm 3
aresta
mede
2
3
cm.
2
cm
c)
a
área
total.
3
59.
Calcule
a
área
total
da
super
ície
e
o
volume
de 65.
um
octaedro
regular
de
aresta
3
A base de um prisma é um quadrado de lado de me-
cm. dida
18
3
cm
;
2
m,
e
a
base
de
uma
pirâmide
é
um
quadrado
v olume
de lado de medida 1 m. Se o prisma e a pirâmide têm
60.
Dê
o
volume
de
uma
pirâmide
triangular
regular mesmo
de
8
cm
de
altura
e
aresta
da
base
medindo
6
volume,
qual
é
a
razão
entre
suas
alturas?
para
cm.
3
24
3
cm
66.
61.
Uma
pirâmide
regular
hexagonal
tem
aresta
Um
prisma
Se
o
perímetro
da
base
da
A
3
tem
24
dm,
qual
é
seu
volume?
32
3
uma
pirâmide
têm
bases
com
mesma
laárea,
dm.
e
e
o
volume
pirâmide.
altura
do
do
Qual
prisma
é
o
prisma
é
a
é
o
relação
dobro
da
sêxtuplo
entre
altura
da
do
suas
volume
alturas?
pirâmide.
dm
Sabendo
que
P
e
Q A
são Em
uma
pirâmide
regular,
a
base
é
um
e
as
pontos
B
méQ
dios
cm
os
quadrado
arestas
das
arestas
NOSLIDA
62.
DC P
laterais D
e
respectivamen-
te,
de
medida
do
cubo
C
:SEÕÇARTSULI
medem 10 cm. Determine o volume dessa pirâmide.
,
10 cm,
3
192
63.
A
aresta
lateral
de
uma
pirâmide
regular
cm
ABCDEFGH H
drangular
mede
5
cm
e
o
perímetro
da
base
cm .
Deter mine
o
volume
dessa
volume
pirâmide
125
2
o
tem da
12
E
quadeter mine
figura.
pirâmide. 3
24
cm
G
OCCES
67.
da
3
cm 3
127
68.
No
paralelepípedo
do
abaixo,
CG
tem-se
reto-retângulo
AC
13
cm ,
representa-
AD
2
3 cm. Determine o volume da pirâmide
cm
A
figura
lar
representa
decomposto
razão
ACDG
3
A
69.
e
entre
os
em
um
prisma
duas
volumes
de
base
pirâmides.
de
E
triangu-
Deter mine
e
de
cm
a
DEFC
2
ara
1
B C
A
B C
D
F E F
E H
G
4.6
Tronco
SEGAM
Alguns
sólidos,
pirâmide,
de
um
pois
pirâmide
embora
lhes
falta
monumento
Considere
uma
chamados
a
que
de
parte
de
um
paralela s
pirâmides,
superior
lembra
pirâmide
de
ba ses
para
tronco
vértice V ,
ser
de
são,
na
uma
realidade, troncos
pirâmide.
A
foto
ao
de
lado
pirâmide.
altura H
e
base
contida
em
um
plano
a
.8991 ed orierevef
YTTEG/INITSOGAED
é
de
V
ed
h
E’
91
D’
A ’
ed 016.9
B
H
C’
b
ieL
de
México,
Kukulcán
maia
de
(987
Chichén
d.C.)
Itzá,
ogidóC
cidade
laneP
da
E
F
t
Pirâmide
e
h
D
2015.
A
od
B
481
a
C
.trA
no
plano
bases
V,
que
é
uma
nova
Elementos
de
um
tronco
de
e
base
contida
tronco
de
pirâmide
de
E’
D’
B
o
altura
pirâmide
F’
calcular
de
paralelas
Obser vação
Para
pirâmide
b;
volume
de
C’
um
h
tronco
de
pirâmide,
t
basta
F
subtrair,
do
original,
o
volume
volume
da
da
E
pirâmide
pirâmide
D
de
mesmo
vér tice,
basecongruente
do
à
altura
base
h
A
e
menor
B
tronco.
Em
um
OCCES
seguintes
tronco
de
pirâmide,
NOSLIDA
:SEÕÇARTSULI
–
a
–
superfície
a
t
128
representado
–
H
as
h).
poligonal
superfície
na
figura
acima,
temos
os
)
h
–
ABCDEF
poligonal
superfícies
t
5
o
elementos:
(h
como
C
a
A
B
C
trapezoidais
distância
D
E
AA
entre
a
F F‘.
B
base
BB
C
C
maior
etc.
e
a
base
menor
oãçudorpeR
.adibiorp
Seccionando-a com um plano b, paralelo a a, separamos essa figura em dois sólidos:
Exe rc íc io resolv id o
R
1.
Um
tronco
de
pirâmide
regular
tem
a
aresta
la-
Pela
figura
ao
lado, M’
teral
medindo
34
dm
e
bases
quadradas
temos:
cujos
C’
B’
2 2
lados
medem
4
dm
e
10
dm.
Calcular
o
volume
p
2
1
3
5
34 34
do
tronco. p
D’
5
5
C’
B
C 3
2
M
A ’
Agora,
C
vamos
calcular
a
altura
h
do
tronco;
t
D
para
isso,
consideremos
destacado
M
o
trapézio
O O
M
M M,
abaixo.
O M’
O’
Pela
A
figura,
2
B
h
temos:
2
1
2
3
5
5
t
5 h
5
h
t
4
t
t
Resolução
M
O 2
Inicialmente,
vamos
imaginar
a
3
P
pirâmi-
e ABCDV
Observando pirâmide
pela
m
n
secção
r
r
com
o
plano
que
o
triângulo
VMO,
podemos
des-
contém
tacar
os
triângulos
esses
triângulos
M
e
VM
O
.
Note
que
n
.8991
V
h
são
semelhantes;
logo:
M
ed
5
orierevef
h
V
PM t
C’
D’
O’
5
h
ed
M’
4
A’
3
91
M’ O’
B’
ed
C
8
016.9
h
H
5
D
3
5 h
h
ieL
Assim:
e
M
laneP
O
8
20
M
O
ogidóC od
H
4
2
5
P
3
A B
Então,
481
Para
calcular
o
volume
do
tronco,
é
.trA
dado
sário
obter
.adibiorp
altura
H,
e
o
volume
da
pirâmide
ABCD V,
o
volume
da
pirâmide
A
B
o
volume
C
D
oãçudorpeR
Vamos
de
pirâmide
é
de
1
V,
20
1
3
3
8
10
4
3 altura
tr onco
por:
V
de
do
neces-
5
208
3
h
calcular
a
medida
do segmento
Portanto,
o
volume
do
tronco
de
pirâmide
é
3
altura
da
face
lateral
do
tronco.
208
dm
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
70.
Observe
e,
em
as
medidas
seguida,
do
calcule
tronco
a
de
altura
pirâmide
do
regular
tronco.
8
72.
Um
tronco
de
hexágonos
cm
pirâmide
de
lados
regular
4
m
e
6
tem
m.
por
bases
Sabendo
dois
que
o
3
volume
é
342
3
m
,
calcule
a
altura
do
tronco.
9
m
cm
73. 10
Deter mine
o
volume
de
um
tr onco
de
pirâmi-
cm
de
5
regular
m
de
hexagonal
comprimento
de
e
aresta
áreas
lateral
das
com
bases
de
3
54
m
e
6
3
m
.
7 OCCES
20
3
cm
Uma
pirâmide
tem
12
cm
de
altura
e
base
NOSLIDA
74.
com
2
71.
Um
que
de
pirâmide
quadrados
a
altura
de
de
regular
lados
uma
6
face
cm
tem
e
16
lateral
do
como
cm.
bases
Sabendo
tronco
mede
área
um
à
de
81
plano
cm
.
Seccionando-se
paralelo
distância
de
8
ao
cm
plano
da
da
base,
a
pirâmide
base,
por
exatamente
obtemos
um
tronco
3
13
cm,
calcule
a
altura
do
tronco
e
seu
volume.
de
pirâmide.
Calcule
o
volume
desse
tronco.
312
cm
3
altura
5
12
cm;
volume
=
1.552
cm
129
:SEÕÇARTSULI
dois
tronco
Exercícios
complem ent a res Registre as respostas em seu caderno
Os
for matos
dos
sólidos
descartados
são:
alternativa
e
Aplicação a
1.
(Unifesp)
pontos
Considere
médios
das
o
poliedro
arestas
de
cujos
um
vértices
são
os
cubo.
c
d
e
5.
todos
iguais.
todos
di
três
apenas
iguais
de
faces
triangulares
poliedro
são,
e
o
número
de
e
8
b)
8
e
6
c)
6
e
8
d)
8
e
4
e)
6
e
6
dois.
uma
possível
planificação
do
sólido
abaixo.
possível:
faces
b
8991
8
a
respectivamente:
alternativa
a)
dois
diferente.
NOSLIDA
desse
um
iguais.
OCCES
número
quadradas
e
dois
Represente
Resposta
O
erentes.
iguais
ed
Classifique
os
poliedros
abaixo
em
convexo
ou
cunha
for mato
não
de
utilizada
um
para
prisma,
prender
confor me
uma
porta
mostra
a
tem
o
figura.
orierevef
Uma
2.
ed
convexo.
91 ed ieL
não
cm
016.9
2
convexo
e laneP
convexo
8
ogidóC od
5
cm
cm
481
Calcule
o
volume
de
madeira
necessário
para
fazer
.adibiorp
3
essa
cunha.
40
cm
convexo
3.
Um
poliedro
octogonais.
convexo
tem
Quantos
8
faces
vértices
triangulares
tem
esse
e
6
de
A
lado
base
25
do
cesto
reto
em
Uma
for ma
de
uatro
um
cubo.
indústria
de
irâmide.
cortes
No
ginal(cubo)
fabrica
em
esquema,
e
a
A
um
irâmide
sólido
estão
pirâmide
brindes
é
ue
a
v
rtices
obtida
tem
partir
a
o
a
artir
for ma
sólido
de
ori-
dele.
Se
a
parte
devem
50
ser
lateral
cm
de
D
OCCES
8. A
A
B
o
fundo
largura,
NOSLIDA
,
C
e
:SEÕÇARTSULI
ponto
O
é
para
a
o
tecido
exter no
menor
forração
que
é
do
cesto
vendido
comprimento
é:
alternativa
a)
1,115
m
d)
1,10
m
e)
c)
1,350
m
de
com
tecido
e
1,250
m
1,12
m
Deter mine
O
do
cubo
central
na
a
área
total
da
super fície
de
um
paralelepí-
B
e
da
pirâmide
face
superior
reto
com
6
cm
de
altura
cuja
base
é
um
losango
sãoos
2
de
O
e
um
b)
pedo
,
com
C
C
D
mesmos.
exter na
forrados
necessário
pontos
cm
O
O
Os
um
promocionais
indicados
obtida
é
faces
50
(Enem)
figura
poliedro?
24
4.
da
cm.
do
diagonais
medindo
12
cm
e
14
cm.
5
cubo.
2
Os
D
quatro
cortes
BC
e
saem
CD ,
de
nessa
O
em
ordem.
direção
Após
os
às
arestas
cortes,
são
9.
(PUC-RJ)
tos
Um
metros
cubo
deve
tem
ser
96
m
de
aumentada
área
sua
total.
3
descartados
130
quatro
sólidos.
seu
volume
se
tor ne
igual
a
125
m
Em
aresta
?
quan-
para
que
oãçudorpeR
Mackenzie-SP)
quadrado
.trA
b)
.......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... ..........................................................................................................................
10.
Calcule
é
a
um
o
volume
triângulo
aresta
de
um
prisma
equilátero
lateral
mede
6
de
cm
triangular
lado
e
4
for ma
cm,
cuja
base
sabendo
com
a
base
16.
Uma
que
pirâmide
base
desse
é um
5 cm,
triangular
triângulo
5 cm
e
8
tem
9
isósceles
cm.
cm
de
cujos
Deter mine
o
altura
lados
volume
e
a
medem
de
uma
3
prisma
um
ângulo
de
60°.
36
nova
cm
pela
pirâmide
secção
de
triangular,
um
plano
de
3
cm
paralelo
de
à
altura,
base
da
obtida
primeira
3
11.
Um
balconista
vai
empacotar
6
livros
de
for matos
cm
pirâmide. 3
idênticos
e
empacotar
outro,
na
mento,
a
ser
de
dimensões
esses
livros,
menor
20%
a
20
cm,
de
cm
colocando-os
dimensão,
mais
25
que
a
1,5
um
gasta-se,
papel
e
cm.
em
para
área
da
Para
cima
o
do
super fície
empacotada.
Deter mine
quanto
Aprofund amento
acaba-
17.
de
papel
o
balconista
gastará
(Unicamp-SP)
reto
para
cujas
A
figura
bases
são
abaixo
representa
hexágonos
um
prisma
regulares.
2
embrulhar
12.
Um
um
e
os
6
livros
reservatório
para
paralelepípedo
base
parte
quadrada
da
vatório
.8991
para
que
ele
ar mazenar
de
com
metros
60
m
soja
60%
com
cm
soja
tem
com
35
a
for ma
m
perímetro.
de
capacidade
reservatório
capacidade
o
restam
ocupada?
ed
3.150
orierevef
13.
(FEI-SP)
ed
total
Num
mede
28
paralelepípedo
cm²
e
a
reto-retângulo
diagonal
21
cm.
de
reser -
ocupada.
ainda
total
de
altura
Depois
ar mazenada,
sua
do
a
de
ser
de
cúbicos
fique
2.172
reto-retângulo
com
colheita
ficou
Quantos
juntos.
A
a
m
área
soma
das
91 ed
dimensões
016.9
a)
7
cm
mede:
b)
8
alternativa
cm
c)
9
a
cm
d)
10
cm
e)
12
A
cm
ieL
C
e laneP
14.
Calcule
o
volume
da
pirâmide
AHFG
inscrita
og idóC
20
confor me
mostra
a
figura
5
no
cubo,
cm
5
3
abaixo.
3
Os
od
A
481
B
lados
altura
dos
do
hexágonos
prisma
é
10
medem
5
cm
cada
um
e
a
cm.
.trA
3
.adibiorp
a)
Calcule
o
b)
Encontre
volume
do
prisma.
375
3
cm
D C
a
área
da
secção
desse
prisma
pelo
plano
2
oãçudorpeR
que
passa
pelos
pontos
A
C
e
A
50
3
cm
2
1
.
Um
prisma
hexagonal
regular
tem
5
A
m
base
H
G
Calcule
a
área
lateral
sabendo
que
a
altura
do
prisma
2
é
19.
igual
à
medida
Deter mine
-retângulo
15.
(UFSCar -SP)
Na
figura,
os
pontos
H
são
um
tetraedro
inscrito
em
um
cubo
de
lado
volume
com
60
de
cm
da
um
de
base.
m
paralelepípedo
altura
e
bases
reto-
quadradas,
que
a
diagonal
desse
paralelepípedo
for ma
3.
3
um
C
apótema
vértices sabendo
de
o
do
ângulo
de
60°
com
o
plano
da
base.
36.000
cm
B
2
.
As
dimensões
for mam
uma
de
PG.
um
paralelepípedo
Sabendo
que
a
reto-retângulo
diagonal
desse
para-
D
lelepípedo
de
todas
mede
as
suas
cm
arestas
e
é
que
52
a
soma
cm,
das
calcule
medidas
o
volume
3
desse
sólido.
7
cm
F
O CCES
Desaf io
H
NOSLIDA
O
volume
do
tetraedro
é:
alternativa
c
21.
27
A
base
cujo
:SEÕÇARTSULI
a)
c)
9
e)
de
lado
um
paralelepípedo
mede
5
cm.
oblíquo
Sabendo
que
é
um
uma
quadrado
das
arestas
18
8 laterais
9
27
13
com
os
mede
10
lados
2
cm
e
adjacentes
for ma
da
um
base,
ângulo
de
deter mine
d)
b)
3
8
18
volume.
250
cm
131
60°
seu
Registre as respostas em seu caderno
Autoavaliação
1.
Indique
qual
poliedro.
das
alternativa
figuras
abaixo
representa
um
5.
As
3
a
arestas
cm,
seu
4
de
cm
e
volume
um
5
paralelepípedo
cm.
são,
A
medida
da
retângulo
sua
respectivamente:
medem
diagonal
alternativa
e
de
c
3
a)
cm
e
60
cm
b)
cm
e
47
cm
c)
cm
e
60
cm
3
3
6.
Um
prisma
arestas
um
do
a)
OCCES
O
número
for mado
NOSLIDA
ta
onais
de
por
é:
vértices
80
faces
alternativa
de
um
poliedro
triangulares
e
12
faces
pen-
7.
:SEÕÇARTSULI
Um
poliedro
com
4
faces
4
triangulares
de
é,
150
Uma
60°
em
b)
base
cm.
com
As
o
quadrada
arestas
plano
centímetro
240
3
c)
da
500
tem
todas
laterais
base.
cúbico,
e
5
geladeira
de
isopor,
com
ralelepípedo
reto-retângulo,
com
espessura
a 3.
ângulo
prisma
de
10
O
igual
3
d)
as
formam
volume
a:
900
convexo
b
d
oblíquo
medindo
5
cm
0,85
m,
de
1,10
m
e
e
0,80
for mato
tem
medidas
m.
de
paredes
um
e
exter nas
Lembrando
que
pa-
tampa
iguais
1
litro
faces 3
equivale quadrangulares
que
não
satisfaz
a
relação
de
a
o
número
de
vértices
diferente
de:
alternativa
15
b)
Marilu
de um
o
da
quer
13
construir
poliedro
figura
c)
11
uma
convexo
d)
caixa
usando
a
capacidade,
em
litro,
dessa
é
de:
748
alternativa
b)
c
330,75
c)
525
d)
1.026
9
com
um
,
d
a) a)
dm
Euler geladeira
tem
1
a
8.
for ma
molde
como
A
área
regular
abaixo.
são,
total
de
e
o
volume
aresta
da
respectivamente:
cm
b)
cm
c)
cm
d)
cm
3
fazer
são
triangular
altura
3
cm
d
3
e
3
cm
3
e
1
cm
2
mide
e
cm
2
Para
prisma
cm
3
e
2
9.
um
2
alternativa
2
a)
de
base
3
e
3
uma
regular
cm
vela
com
o
for mato
quadrangular
triângulos
equiláteros
de
cujas
lado
4
de
uma
faces
cm,
pirâ-
laterais
Fábio
usa
3
cm
O
número
de
vértices
dessa
caixa
é:
alternativa
de
parafina.
16
1
b)
13
c)
9
d)
b
d
32
a) a)
alternativa
b)
11
c)
3
1
3
Retomad a de conceitos
Se
você
Releia
não
a
acertou
teoria
e
alguma
refaça
os
questão,
exercícios
consulte
a
tabela
e
verifique
o
que
precisa
Número
O
Identificar
troncos
etivos
poliedros,
de
do
capítulo
prismas,
pirâmides
e
seus
estudar
novamente.
correspondentes.
1
2
X
3
da
questão
4
5
6
7
8
9
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
pirâmides,
elementos.
Reconhecer propriedades dos poliedros e aplicar
relações
entre
Calcular
áreas,
comprimento
Resolver
seus
elementos.
volumes
de
e
medidas
elementos
de
situações-problema
poliedros
(do
ponto
de
vista
de
poliedros.
que
envolvam
métrico
e
X
X
X
geométrico).
102 Páginas
do
livro
referentes
ao
a
105
132
104
a
104
a
104
a
109
a
112
115
a
119
115
a
115
a
113
a
120
a
conceito 106
106
109
119
11
119
128
Pesquisa estat íst ica
Pesquisa e ação
dia
Um
dia,
adquirir
um
faces,
os
despertar
produto,
anúncios
o
apoiar
a
custo
para
seguida,
de
desejo
uma
publicitários.
recursos
do
visuais
consumidor
ideia
o
inovadoras,
um
ou
aderir
que,
geométricos
do
a
poliedro.
empresas
cálculo
já
sólidos
Determinando
de
por
a
custo
quanto
área
Esse
que
dessas
recurso
desenvolvedoras
de
produção
maior
for
a
de
área,
de
uma
maior
produção.
aplicaremos
construção
anúncios
área
utilizado
embalagem,
o
são
poligonais.
calculamos
embalagens
nova
poliedros
faces
bastante
na
de
diferentes
SOS
que
possuem
Em
para
usa
causa.
Vimos
será
cercados
publicitário
linguísticos
uma
é
estamos
ATAM
e/ou
de
a
anúncio
ACITNÂLTA
No
de
que
as
características
embalagens
deverão
veiculados
em
ser
TV
práticas,
dos
promovidas
ou
poliedros
econômicas
publicados
por
em
meio
e
de
revistas.
LEART
P r ocedi me n t os
1)
Reúna-se
as
2)
com
atividades
Inicialmente,
será
mais
a
vocês
divulgado
quatro
colegas
para
desenvolver
seguir.
por
deverão
uma
escolher
propaganda
um
produto
publicitária.
que
Essa
propaganda poderá ser veiculada em TV ou em revista
impressa.
3)
Após a seleção do produto, o grupo deverá passar para
a
etapa
para
a
da
sideração
Um
escolha
do
embalagem.
dos
a
poliedro
Essa
capacidade
objetivos
do
dessa
que
escolha
servirá
deverá
poliedro
etapa
é
e
a
buscar
de
levar
área
a
modelo
em
con-
total.
maior
emba-
lagem (a de maior capacidade) ao menor custo possível
(ou
seja,
custos
fecção
mais
da
4)
papelão,
a
grupo
ser
etc.
produto,
produto,
da
de
teiro
Em
específico.
elaborado
uma
as
ideias
Você
um
imagem
e
caso,
No
é
a
para
opção
embalagem
ser
Para
a
e
a
suas
do
van-
pontos
preocupação
para
que
seja
TV
revista,
é
texto
ou
feito
propaganda
um
e
propaganda
apresentar
criada
da
apresentar
uma
com
excessivo.
preciso
caso
vídeo.
e
consumo
poderá
cada
também
SOS
sustentabilidade
com
propaganda
materiais
custo
destacando
a
A
o
ATAM
além
e
o
Há
elaborar
a
reciclagem
usar
os
con-
LTA
desse
poderá
na
reciclada.
deverá
(custo-benefício),
minimizar
utilizado
comparado
alumínio
do
grupo
Para
material
importantes:
revista.
6)
o
Pode
total).
de
ACITN
o
divulgação
tagens
área
matéria-prima
escolha
material,
5)
menor
quantidade
embalagem,
utilizar
Após
de
a
econômicos.
plástico,
de
com
com
de
preciso
que
para
um
TV,
ro-
será
escolher
comunique
pretendidas.
os
organizar
colegas
uma
de
classe,
mostra
as
com
o
professor ,
propagan
as
cria
poderão
as.
Exemplos
de
preservação
campanhas
do
meio
institucionais
para
ambiente.
133
Compreensão de texto
Economia
das
formas
iente.
Do
desenvolvimento
reciclagem,
produtiva.
no
projeto
a
de
novos
embalagem
Observe
das
a
caixas
de
seguir
de
produtos
um
ao
produto
como
uma
detergente
transporte,
inuencia
mudança
em
pó
para
à
toda
venda
a
e
aparentemente
roupas
à
cadeia
permite
pequena
melhor Os
aproveitamento
de
matérias-primas
e
dos
recursos
preciosos,
como
a
detergentes
em
pó
para
roupas
água. começaram
nos
anos
mercado
em
ser
1950.
foi
forma
a
produzidos
Por
meio
dominado
de
no
Brasil
século,
por
esse
embalagens
paralelepípedos
de
papel-
Caixa antiga -cartão,
substituídos
paralelepípedos
nos
últimos
mais
anos
por
compactos.
8991
Caixa nova
ed orierevef ed 91 ed 016.9 ieL e laneP 481
SUCRAM
ogidóC od
ANNEP
.trA .adibiorp
:SEÕÇARTSULI
oãçudorpeR
16,8
se
% na
15
cm
4,8
cm
, área
fere
am
e
. vazio paço m es algu
as de lad tone
iros asile s br pelo
em
ca
2010
as
780
pó
em foss
as de
mil
idas um cons
as balad em
13,8
de
el pap
19
cm
7
cm
ca , a tro 1 kg
em aria poup vo lo no o pe antig elo s mod rado quad ros met s de ilhõe 9 m
as apen
do
Se
te em rgen dete
24
cm
o r an o po cartã
14,5
134
cm
4.
a)
b)
ambiental
1.
Calcule
a
cada
tipos
e
2.
a
área
modelo
de
caixa
conclua
Com
Se
em
do
de
e
o
à
às
volume
detergente
troca
do
a
em
usado
pó.
mudança
modelo
nos
por
me
com
dois
or
a
2010
modelo
essa
novo
de
empre
catadores;
o
e
de
economia
novo,
ão
da
explora
indústrias
renda
ão
aproveitamento
embalagens.
válida.
pelo
de
por
relacionadas
meio
da
cria
ão
ao
de
de
recursos
naturais
a)
Quais
b)
Quais
é
mudança
Uma
a
e
no
recursos
projeto
importante
naturais
de
iniciativa
algumas
para
essa
reciclagem
materiais
podem
ser
reciclados?
questões.
fossem
novo,
utilizadas
de
papel-cartão?
Com
redu
simples
quanto
apenas
seria
a
as
um
caixas
os
principais
de
agentes
envo
vi
os
em
reciclagem?
economia A
reciclagem
de
materiais
traz
muitos
bene-
economia,
poderiam
são
processo
fícios
b)
da
Compare-os
c)
de
meio
foi
antigo
ão
e
correspondente
paralelepípedo
realmente
relação
responda
a)
se
total
de
Cooperativas
Gera
Registre as respostas em seu caderno
At iv id ades
c)
ser
quantas
caixas
do
modelo
como
tanto
do
ponto
ambiental.
Cite
de
vista
alguns
socioeconômico
desses
benefícios.
produzidas? 5.
Em
seu
município,
bairro
ou
condomínio,
existe
3.
Pesquise
em
medidas
as
reduzir
o
produto,
o
jor nais,
revistas,
indústrias
custo
de
visando
s
estão
fabricação
diminuir
o
etc.
quais
tomando
de
valor
algum
para
tico?
deter minado
de
venda
programa
Elabore
reciclagem
para
com
seus
reciclagem
cartazes
e
materiais
colegas,
na
uma
e
sua
faça
de
lixo
cartilha
uma
domés-
sobre
a
campanha,
comunidade
para
cons-
consumidor. cientizar
4.
de
de
O
infográfico
.8991
im
ortantes
traz
dados
sobre
a
interessantes
economia
de
e
atitude.
muito
matéria-
as
pessoas
Lembre-se
sobre
de
usar
os
benefícios
materiais
dessa
recicláveis
rima
ed orie evef
2
1.
Caixa
antiga:
menos
3.
papel
Algumas
1.198,08
cartão
medidas
cm
e,
são:
3
;
1.935,36
apesar
de
a
cm
2
,
respectivamente;
capacidade
embalagens
menores
ser
com
menor,
caixa
ela
produtos
nova:
1.020
comporta
1
kg
concentrados,
cm
de
;
3
1.928,5
detergente
venda
de
cm
,
em
produtos
respectivamente.
A A
caixa
nova
realmente
utiliza
pó.
em
refil,
uso
de
materia is
reciclados
etc.
ed 91
Economia
de
matéria-prima
e
recursos
naturais
ed
1 bilhão e 250 milhões
016.9
O
papel
economizado
aproximadamente
ieL
produção
de
uma
5
com
mil
a
troca
toneladas
tonelada
de
equivaleria
por
papel
ano.
pode
a
de litros de água
Como
a
requerer
6
m³
e laneP ogidóC od
de
madeira
de
projeto
e
250
das
mil
litros
de
embalagens
água,
evitaria
essa
o
simples
Ic
mudança
consumo anual
e
39,27
de
r
m
r
481 .trA .adibiorp
30 mil
metros cúbicos
de madeira
oãçudorpeR
Hexaedro
31,07
de
m
aresta
ANNEP SUCRAM
Energi g a
m
também
transporte.
equivale
a
A
:SEÕÇARTSULI
9,5
é
poupada upad
diferença
200
viagens
nua
de
na
fabricação
no
camin
Fontes: Associação Brasileira das Indústrias de Produtos de Limpeza e Ans. Disponível
peso
o,
d
por
e
no
pap
exemp
o.
m: <www.abipla.org.br/n b ovo>; Sociedade Bras asilei ilei eira de Matemática. Disp ponível em:
<www.rpm.org.br/>; Embrapa. Disponível em: <www.embrapa.br>; Sabesp. Disponível em: <site.sabesp.com.br>; ; Un Universidade de d de São o Paulo. Dis Disponível em: <www5.usp.br>;
Instituto Estadual do Ambiente. Disponível em: <www.inea.rj.gov.br>. Acessos em: 21 jan. 2016.
135
l
o
t
u
í p
C
a
7
Corpos redondos
SEGAMI WOLG/YMALA/SAHUI NOTNA TREBOR
Biosfera
Objetivos
do
de
Identificar
Buckminster
Fuller,
Montreal,
Canadá,
2012.
Corpos
redondos
cilindros,
cones, troncos
cone
de
capítulo
1
Montreal
esferas
e
de
seus
No
capítulo
podem
ser
sólidos
respectivos
anterior,
estudadas
vimos
que
muitas
matematicamente
das
por
formas
meio
dos
de
ob
etos
que
representa
nos
ões
cercam
chamadas
geométricos
elementos.
Vimos também que os sólidos geométricos compreendem grandes grupos, como
Calcular
a
área
da
os
superfície
de
poliedros
Entre
desses
corpos
os
corpos
redondos
os
corpos
redondos,
distinguimos
o
cilindro,
o
cone,
a
esfera
e
os
corpos
redondos.
obtidos
e
alguns
a
partir
deles.
A
estrutura
da
biosfera
de
Montreal,
mostrada
na
foto
Determinar o volume acima,
desses cor
por
lembra
a
forma
de
uma
esfera.
os redondos. Neste
capítulo,
redondos.
136
exemplo,
estudaremos
as
propriedades
geométricas
e
métricas
dos
corpos
Cilindro
No
capítulo
trução.
a
Neste
seguir,
anterior,
capítulo,
vamos
definimos
o
primeiro
apresentar
prisma
corpo
uma
indicando
redondo
definição
análoga
Consideremos dois planos paralelos distintos, g
em
g
e
uma
reta
s
secante
aos
planos
g
e
um
que
procedimento
vamos
à
do
estudar
é
de
o
cons-
cilindro
ILEF
e,
KCOTSRETTUHS/VOPIL
2
prisma.
e o, um círculo C
de raio r contido
o
s
s
C’
O’ r
o
o
r O C
g
C
g
Edifício
com
forma
Joanesburgo,
cilíndrica,
África
do
Sul,
2015.
.8991 ed orierevef
Obser vação Chama-se
da
pela
cilindro
reunião
circular,
de
todos
ou
os
apenas
cilindro,
segmentos
de
reta
a
figura
geométrica
paralelos
à
reta s
forma-
com
uma
ed 91
extremidade
no
círculo
C
e
a
outra
no
plano o
ed
016.9
ieL
Observe
que
as
extremidades
que
pertencem
ao
plano o
formam
um
círculo C ’,
e laneP
congruente
a
C
ogidóC od
Element
s
de
um
eixo
cilindr
base
481
Considerando
o
cilindro
desenhado
ao
lado,
podemos
destacar
os
se
uintes
O
.trA
r
elementos:
.adibiorp
Bases
–
os
círculos
C
e
C ’,
de
raio
r
e
centros
O
e
O’. geratriz
oãçudorpeR
altura
Eixo
–
a
reta
Geratrizes
–
(h)
OO ’.
os
segmentos
paralelos
ao
eixo
do
cilindro
cujas
extremidades
O’
são
os
pontos
correspondentes
das
circunferências
das
bases
do
cilindro. C’
Indicaremos
por
g
o
comprimento
da
geratriz. base
Altura
2.1
do
planos
reto
–
a
Cla ssif icação
Podemos
aos
cilindro
s
classificar
g
e
o
que
um
dos
cilindro
contêm
distância
as
os
planos
que
contêm
as
bases.
cilindros
de
entre
acordo
com
a
inclinação
da
reta s
em
relação
bases.
h
o
h).
s
oblíquo
g
i
h).
o
s
OCCES
O
g
s
O
5
NOSLI
g
h
A :SEÕÇARTSULI
g
O’
137
Um
pode
cilindro
ser
contém
circular
obtido
um
dos
pela
reto
também
rotação
lados
dessa
de
é
uma
superfície.
denominado cilindro
superfície
A
medida
retangular
desse
lado
de
em
é
igual
lindro, e a medida do lado perpendicular a este é igual ao raio r
Se h
5
um
cilindro
reto
tem
altura
igual
ao
dobro
5
r
do
raio
revolução,
torno
da
à
da
pois
reta
altura h
que
do
ci-
da base do cilindro.
base
( h
5
2r), r
ele
é
g
chamado
de
cilindro
equilátero
O r
O
2.2
Secções
Secção
Uma
Ref lita
com
um
meridiana
secção
cilindro
de
cilindro
de
meridiana
um
plano
que
um
de
cilindro
um
cilindro
contenha
seu
é
determinada
pela
intersecção
do
eixo.
secção
.8991
meridiana
paralelogramo.
cilindro
ret
for
reto,
ngulo.
e
o
o
Em
particular,
quadril
cilindro
tero
for
se
ser
equil
orierevef
Um
ed
o
um
secção
tero,
será
um
Explorar
o
quadrado.
e
comparar
os
b
a tipos
quadrilátero
secção
que
meridiana
podem
de
um
formar
ieL
uma
de
016.9
Comentário:
mais:
ed
quadrilátero
ainda
91
particularizar
ed
meridiana podemos
cilindro
e
Pode-se
obtenham
cilindro
um
e
a
do
cuja
losango.
razão
é
raio
da
secção
Eles
aos
entre
a
alunos
medida
base
de
meridiana
deverão
que
da
um
determina
verificar
que
Secção
transversal
de
um
cilindro
481
essa
pedir
razão
ogidóC od
geratriz
a
laneP
circular.
2.
secção
transversal
ao
plano
da
de
um
cilindro
é
a
intersecção
do
cilindro
com
um
.adibiorp
paralelo
base.
oãçudorpeR
secção
transversal
Propriedade:
As
secções
transversais
de
um
cilindro
são
círculos
congruentes
base.
Demonstração
Considere
uma
secção
transversal
qualquer
de
um
cilindro. O ’
Como
o
eixo
do
cilindro
concluímos que PO
é
paralelo
a
qualquer
geratriz,
é paralelo a QR. A secção transversal
OCCES
é paralela ao plano da base; então, o plano (PQRO) corta
P
NOSLI
essa secção e a base, determinando as retas paralelas PQ
e
OR .
Logo,
SEÕÇARTSULI
Como
lados
o
o
segmento PQ
quadrilátero
opostos
têm
é
PQRO
medidas
i
paralelo
é
um
uais.
ao
segmento OR
paralelo
Daí,
ramo,
temos PQ
seus
5
OR R
Portanto,
mesma
138
a
secção
medida
e,
transversal
portanto,
.trA
Uma
plano
e
são
a
base
con
têm
ruentes.
raios
de
O
2.3
Área
Imagine
da
que
Recortando
obtemos
A
que
a
a
o
medida
se(2π
),
e
superfície
papel
nas
planificação
planificação
a
super f ície
a
de
é
de
medida
dos
do
um
um
cilindro
superfície
de
lados
outro
dois
é
do
é
das
seja
reto
revestida
bases
e
ao
de
longo
papel.
de
uma
geratriz,
cilindro.
círculos
igual
lado
cilindro
reto
circunferências
da
composta
um
de
ao
igual
e
de
uma
superfície
comprimento
à
altura
do
da
retangular,
circunferência
cilindro
da
em
ba-
( h).
r
h 2πr
.8991 ed orierevef
Dado
um
Área
cilindro
da
reto
de
é
base
altura
a
área
h
e
de
raio
um
da
base
círculo
r, r
de
definimos:
raio
r
ed
base
91 ed 016.9
2
A
r
base
ieL e laneP
Área
lateral
( (A
)
é
a
área
do
retângulo
de
lados
2πr
e
h
lateral
ogidóC od 481
A
5
2πrh
lateral
.trA .adibiorp
Área
oãçudorpeR
a
total
área
)
( (A
da
superfície
do
cilindro
é
a
soma
das
áreas
das
bases
com
lateral.
2
5
A
2
A
total
1
A
base
V
A
lateral
5
2πr
1
2πrh
A
V
5 2πr (r 1 h)
total
total
Exe rc íc ios resolv id os
R1.
Dado
a
um
área
retângulo
total
da
de
dimensões
super fície
dos
3
cm
cilindros
e
5
de
cm,
comparar
revolução
dele
a
área
lateral
e
obtidos.
5
cm
Resolução
3
Fazendo
mos
a
um
A
5
rotação
cilindro
2
π
8
5
do
reto
3
5
retângulo
de
raio
5
em
cm
tor no
e
do
altura
lado
3
cm.
que
mede
3
cm,
cm
obte-
Então:
30 π
lateral
A
5
2
5
π
8
(5
1
3)
5
80π
total
2
Logo,
outro
cilindro
π
8
3
tem
de
área
lateral
revolução
5
tem
de
raio
30 π
de
cm
3
e
cm
e
área
total
altura
5
de
cm.
80
3
cm
30 π 5
lateral
A
cm
Então:
5
2
3
π
8
(3
1
5)
5
NOSLIDA
2
A
cilindro
OCCES
O
esse
cm
48π
total
2
esse
quando
total
da
as
áreas
fazemos
a
super fície
tem
área
laterais
rotação
do
lateral
dos
do
cilindro
de
30 π
cilindros
retângulo
é
cm
2
e
obtidos
em
área
são
tor no
do
total
iguais.
lado
de
No
48 π
cm
ÇARTSULI
Portanto,
cilindro
:S
Logo,
entanto,
menor,
a
área
maior.
139
R2.
Calcular
cilindro
a
razão
entre
a
área
da
base
e
a
área
da
sec
ão
meridiana
de
um
equilátero.
Resolução r
Vamos
considerar
círculo
de
raio
um
cilindro
equilátero
de
altura
h,
cuja
base
é
um
5
2r ),
r
r
2
A
área
da
base
é:
5
A
π
8 r
base
Como
a
um
secção
cilindro
h
equilátero
meridiana
é
um
tem
altura
quadrado
de
igual
lado
ao
dobro
do
raio
(h
5
2r
2r
2
A
área
da
secção
meridiana
é:
A
5 secção
ssim,
temos:
2r
2r
5
4r
meridiana
5 2
4
Portanto,
a
4
r
razão
entre
a
área
da
base
e
a
área
da
secção
meridiana
é
.
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
Qual
é
a
razão
entre
a
área
lateral
e
a
área
da
.8991
1.
3 5. secção
meridiana
de
um
cilindro
circular
reto?
Se
comprimidos
área
da
do
a
altura
cilindro
é
e
o
raio,
108 π
sabendo
cm
9
cm;
6
que
a
cm
Um
a
empresário
peça
recebeu
representada
um
pedido
abaixo,
que
para
tem
a
fabricar
for ma
um
com-
no
o
cilindro
sentido
dono
da
circular
reto
longitudinal.
indústria
com
Para
precisa
um
furo
de
cobrar
calcular
cilíndrico
pelo
serviço,
laneP
aquantidade
ogidóC od
mais
calcule
lateral
e
um
raio
ieL
efervescente,
de
do
total
comprimido.
área
6.
BA
primido
a
a
raio
a
2
O
desse
maior
cilíndri-
e
igual
016.9
Determine
super fície
uanto
altura
base,
área
S OY
da
de1cm.
de
efervescentes
for ma
é
ed
base
0,5 cm
em
quer
O TI H
ca de
C
reto
91
vitamina
cilindro
ed
de
um
orierevef
produzir
far macêutica
de
ed
indústria
ARUU STA M
Uma
altura
2
da 2.
a
π
rapidade
matéria-prima
necessária
para
a
fabricação
de
2
mente
ele
se
dissolve
na
água.)
3π cm
cada
O
raio
da
base
de
um
cilindro
de
revolução
peça,
de
Calcule
acordo
a
com
área
as
total
da
super fície
dimensões
481
da 3.
unidade.
indicadas.
gerado 2
rotação
lados
ao
mede
5
retângulo
cm.
comprimento
A
da
em
altura
torno
desse
de
um
cilindro
circunferência
da
cm
de
é
base.
oãçudorpeR
igual
um
.adibiorp
seus
de
.trA
1.050
pela
2
π
1
π
20
4.
Sabendo
mede
2
20 cm
que
cm
o
e
raio
que
da
a
base
área
de
da
um
cilindro
secção
10
cm
cm
reto
meridiana
é
, calcule a área total da superfície do cilindro. 2
28π
2.4
Volume
Considere
semiespaço,
mesmo
do
um
de
plano
de
um
cili ndr o
mesma
a,
sendo
cilindro
e
um
altura
a
h
área
pr i sm a
e
cujas
da
base
s it u ad o s
bases
do
em
estejam
cilindro
um
me sm o
contidas
igual
à
da
no
base
prisma.
A
Observe
que
cada
plano
b,
paralelo
a
a,
que
secciona
o
cilindro
h
h A 2
também
do
secciona
prisma,
ambas
o
prisma,
de
determinando
mesma
área,
já
as
que A
secções
5
A
1
pelo
princípio
de
Cavalieri,
o
volume
5
cilindro
e
b
A
2
do
cilindro
é
igual
ao A
do
prisma:
V
5
V
cilindro
5
A
prisma
NOSL
volume
OCCES
Assim,
A
do
h
base
a
Portanto,
o
volume
de
um
cilindro
de
140
π
e
altura h é
dado
por: SEÕÇARTSULI
2
5 cilindro
raio r
Exe rc íc io resolv id o
R
.
Considerar
C
,
de
três
altura
h
cilindros
e
base
circulares
de
raio
a)
Comparar
o
volume
de
b)
Comparar
o
volume
de
c)
Comparar
o
volume
de
Resolução
Primeiro,
a)
calculamos
Cálculo
do
C
E
C
o
π
8
volume
(2
de
Portanto,
C E,
com
o
de
com
o
de
com
o
de
C,
de
de
altura
altura
2h
Cálculo
do
Portanto,
Dos
itens
h
de
volume
de
volume
h ),
C
o
de
de
raior ;
raio
r
C E
de
ou
é
C E
de
anteriores,
Portanto,
base
:
V
5
πr
h
C
4(π
volume
o
e
base
.
o
seja,
4V
quádruplo
do
V E
C
5
é
π
o
8
volume
volume
temos:
V
dobro
é
o
de
C
5
de
C
2
(2h )
r
do
5
2(πr
dobro
de
ou
seja,
V E
5
2V
C
2
h
4πr
h ),
volume
2
c)
h
C
2
b)
e
2
)
o
retos:
e
volume
2
V
2r ;
5
do
2(2πr
h ),
volume
ou
de
seja,
V
5
2V E
C E
.8991
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
ed orierevef
Se
aumentar mos
ed
um
cilindro
reto
o
raio
em
4
da
cm,
base
os
ou
a
altura
volumes
dos
de
14.
novos
Uma
1
m
cister na
de
cilíndrica
diâmetro.
para
Seforem
ar mazenar
consumidos
água
tem
310litros,
91 ed
cilindros
016.9
lindro
coincidirão.
inicial
Calcule
sabendo
que
o
raio
sua
da
altura
base
é
2
do
ci-
quantos
centímetr os
o
nível
de
água
baixará?
cm. (Considere
ieL
2
π
53,1)
40
cm
c
e laneP
8.
Determine
o
volume
de
um
cilindro
equilátero
2
área
total
é
igual
a
24 π
cuja
15.
(Enem)
16π
dm
tíveis
ogidóC od
com
9.
Quantos
mililitros
(m c )
de
tinta
cabem
no
481
cilíndrico
de
uma
caneta
cujo
diâmetro
.trA
mm
e
o
comprimento
é
10
cm?
( Adote
.adibiorp
0,314
cilindro
de
revolução,
com
10
cm
as
medidas
tanque
área
um
é
oãçudorpeR
distante
e
cortado
6
por
cm
um
dele.
plano
de
raio
paralelo
Sabendo
em
de
nas
três
combus
tamanhos,
figuras.
proporcional
O
à
preço
medida
da
super fície
que
a
a
de
lateral
combustível
do
tanque.
deseja
O
dono
encomendar
tanque
com
menor
custo
por
metro
cúbico
de
da de
ar mazenamento.
seu
área
OCCES
foi
eixo
indicadas
diretamente
posto
capacidade base,
tanques
c
um Um
vende
cilíndrico,
= 3,14) de
10.
empresa
for mato
é da
2
de
reser do
vatório
Uma
3
dm
da
2
secção
deter minada
pelo
plano
é
80
cm
,
calcule
11.
A
volume
parte
do
cilindro.
inter na
de
500π
um
cm
4
botijão
de
gás
de
m
4
cozinha
6
m
m
8
(I)
tem
60
a
cm
cheio
3,1
for ma
de
cilíndrica
altura.
durará
litros?
com
Quantos
se
forem
Considere
40
dias
cm
o
de
gás
de
consumidos
π
5
3,1
24
diâmetro
um
O
líquido
que
ocupa
dias
Qual
do
um
8
m
(III)
botijão
diariamente
completamente
m
(II)
e
a)
12.
m
NOSLIDA
6
3
o
dos
tanques
osto?
I,
pela
deverá
(Considere
relação
π
ser
q
3)
escolhido
alternativa
pelo
dono
d
área /capacidade
de
ar mazena-
área /capacidade
de
ar mazena-
cilindro 1 mento
com
20
cm
e
iâmetro
e
40
cm
e
a
tura
de
será 3
transferido
para
outr o
cilindr o
com
12
cm
de b)
diâmetro
e
125
cm
de
altura.
Que
fração
da
I,
pela
relação
al4 mento 3
transferido?
c)
II,
pela
relação
área /capacidade
de
ar mazena-
9
3 n 13.
Um
produto
que
piente
cilíndrico
nores,
também
ocupa
será
completamente
dividido
cilíndricos,
em
cujo
um
reci-
recipientes
diâmetro
se
me-
4
d)
III,
pela
relação
reduz namento
1 a
cuja
altura
se
reduz
4
maior.
a
será
a
do
quantidade
necessários?
48
área /capacidade
de
ar maze-
recipiente e)
de
III,
pela
relação
r ecipientes
7 namento
menores
ar maze-
3 da
3
Qual
de
de
1 e
área /capacidade
2
recipientes
menores
de 12
141
3
A
Cone
forma
sorvete
A
ou
cônica
o
seguir,
de
observe
KC O TS RE T
Consideremos
não
aparece
cone
a
um
pertencente
ao
em
muitos
sinalização
definição
círculo C ,
plano
de
objetos
geométrica
de
do
dia
a
dia,
como
a
casquinha
de
trânsito.
centro O
e
de
cone.
raio
r, r
em
um
plano
a,
e
um
ponto
V
a
TU HS /A KA N
V
V
DS AW AS NI RA K AS
C C
O
a
a
V
círculo
C
é
denominada
cone
circular,
ou
simplesmente
.8991
no
cone
ed orierevef ed
do
91
Elementos
cone
ed
o
cone
os
desenhado
seguintes
ao
lado,
ieL
destacar
016.9
Considerando
podemos
elementos:
e laneP
eixo
Base
–
o
círculo
Vértice
Eixo
Geratrizes
C
de
raio
r
e
centro
O
V
ogidóC od
vértice
a
o
ponto
reta
V
VO
–
os
segmentos
com
ex-
altura
(h)
em
V
e
na
.adibiorp
geratriz
tremidades
circunferência
:S
da
base
do
a
cone.
seguir),
No
cone
reto
indicaremos
o
(que
oãçudorpeR
ÇARTSUL
veremos
comr
primento
da
geratriz
por
g
O
Altura
do
cone
–
a
distância
h
do
C
vérbase
tice
3.1
V
ao
maneira
é
pensar
no
plano
omo
em
que
catetos;
a
Comentário:
espacial
Na
VP
a
P
de
pertence
base
uma
e
VP
VP
cone
temos
de
nesta
que
a
Geometria
Geometria
plano
contém
a
dos
pelo
emprego
triângulos,
ângulo
se
opõe
que
o
da
afirma
maior
de
acordo
com
a
inclinação
do
VO
reto
VO
VO
142
relação
que
VO
resolução,
ao
V
maior
h
O
oblíquo
propriedade
O
lado.
plana.
h
em
Ref lita
eixo VO
base.
V optou-se
cones
são
desenvolvida
um
base.
5
e
questão
à
classificar
dos
a
ao
,
Novamente,
reduzida
análise
que
hipotenusa,
então,
resolução
tal
contém
é
V
P,
contém
triângulo V
ao retângulo
que
Cla ssif icação
Podemos Uma
plano
.trA
NOSLIDA
481
OCCES
–
–
Um
ser
cone
obtido
retângulo,
do
outro
circular
pela
em
reto
rotação
torno
cateto
de
será
o
também
da
é
denominado cone
superfície
uma
raio
reta
da
que
triangular,
contém
base
do
medida
da
de
revolução,
determinada
um
de
seus
por
catetos.
O
pois
um
pode
triângulo
comprimento
cone. h
Se
(g
5
um
2r),
cone
ele
é
reto
tem
chamado
a
de
cone
geratriz
igual
ao
dobro
do
raio
da
base
intersecção
do
cone
equilátero
g
5
2r
r
3.2
Secções
Secção
Uma
com
um
meridiana
secção
um
de
plano
de
meridiana
que
cone
de
contenha
um
um
seu
cone
cone
é
determinada
pela
eixo.
.8991 ed orierevef
secção
meridiana
ed 91 ed 016.9
secção
ieL
meridiana
e laneP ogidóC od 481 .trA .adibiorp
Secção
transversal
de
um
cone secção
oãçudorpeR
transversal
Uma
secção
intersecção
plano
da
do
transversal
cone
com
de
um
um
ano
cone
é
aralelo
a
ao
base.
a
3.3
Planif icação
Assim
dro,
como
vamos
fizemos
supor
que
a
da
com
super f ície
o
obter
perfície,
do
de
vamos
papel
em
planificação
na
seguida,
uma
de
imaginar
dessa
um
circunferência
um
suas
recorte
g
su-
recorte
da
ao
base
O
longo
geratrizes.
considerar
que
a
lateral
é
formada
por
um
figura
de
e
centro
O
e
por
um
setor
r
r
i
g,
ângulo
a
um
cie
setor
basta
lembrar
que
todos
r
os
de
seu
circunfer
arco
ncia
são
da
tamb
base;
m
logo,
pontos
todos
r estão
comprimento
reto
O pontos
da
ir
cone
demonstrar
superf
SEÕÇARTSULI
raio
um
da
círculo circular,
de
conveniente
planificada
NOSL
e
reto
reto
de
A planificação da superfície de um
cone
cone
OCCES
e,
a
um
cilin-
superfície
um cone reto seja revestida de papel.
Para
de
mesma
dist
ncia
do
v
rtice.
2π
143
Exe rc íc io resolv id o
R4.
A
planificação
se
chama
Resolução
da
esse
super fície
lateral
de
um
cone
reto
é
um
semicírculo.
Como
cone?
g
Vamos
considerar
geratriz
g
e
um
altura
cone
reto
de
raio
da
base
r,
comprimento
O
g
da
h 180°
O
semicírculo
ral
desse
de
cone
raio
reto;
g é
o
logo,
setor
o
circular
da
comprimento
planificação
do
arco
do
da
setor
superfície
deve
ser
late
igual
ao
comprimento da circunferência correspondente ao círculo da base do cone.
Assim:
π
8
Portanto,
Pode-se
Rela
ões
onsidere
mento
da
5
2
π
cone
um
V
g
5
2r
é
um
que
a
cone
equilátero.
secção
meridiana
desse
cone
é
um
equilátero.
cone
g
r
questão
também
métrica s
geratriz
8
em
verificar
triângulo
g
o
e
reto
entre
de
altura
raio
os
da
elementos
base r ,
de
um
cone
reto
V
compri
h
g
triângulo
VOP
é
retângulo
temos:
2
1
VO
O
h .8991
2
Daí,
em
2
OP
5
VP r
ed
P
orierevef
O
Portanto:
2
h
2
1
2
r
5
g
ed 91 ed
setor
circular
ao
lateral
lado
do
representa
a
planificação
ieL
superfície
016.9
O
da
cone.
e laneP
Então, podemos estabelecer a seguinte regra de três:
g
medida
do
g
ogidóC od
comprimento
ângulo V
do
arco
em
grau
a
Espera-se
2πg
a
5
2πr
360°
que,
e,
Portanto,
a,
em
grau,
é
dado
que
quando
portanto,
os
5
o
alunos
180°,
cone
é
percebam
temos
g
equilátero;
5
2r
oãçudorpeR
Logo:
.adibiorp
2πr
a
.trA
360°
481
2πg
então,
2πr
por:
nesse
3
caso,
.
Ref lita
360° a
r
5
h
g
r
a
5
Exe rc íc ios resolv id os
R5.
Calcular
reto
o
com
comprimento
13
cm
de
da
geratriz
circunferência
e
5
cm
de
da
base
e
a
altura
de
um
cone
raio.
Resolução
O
comprimento
que
C
o
5
cone
2
π
8
5
o
V
da
circunferência
raio
C
5
r
5
cm.
10π
V
comprimento
C
da
da
base
é
dado
por
C
5
2πr.
Sa
emos
Assim:
q
31,4
circunferência
da
base
é
aproximadamente 13
cm.
Sabendo
são
a
altura
2
g
que
2
5
h
Portanto,
144
o
cone
retângulo,
e
o
raio
2
r
o
é
cuja
reto,
da
2
V
13
cone
podemos
hipotenusa
base
2
5
tem
h
12
do
é
5
cm
a
altura
geratriz,
cone.
2
1
obter
a
e
por
as
meio
de
medidas
um
dos
triân-
catetos
Assim:
2
V
de
h
5
144
altura.
V
h
5
12
O
:SEÕÇARTSUL
gulo
cm
NOSLIDA
31,4
OCCES
Portanto,
tem
R6.
Um
cone
reto
nificação
da
de
10
cm
super fície
de
altura
lateral
um
tem
por
setor
pla-
De
(I)
e
(II),
concluímos
que:
circular 2
12 r
⎛ de
ângulo
a
medindo
150°.
Deter minar
o
raio
⎞
144 r
2
r
da
2
V
100
r
100
V
2 base
e
o
comprimento
da
geratriz.
2.500
V
144r
V
r
2
r
5
2.
V
r
5
V
Resolução 119
2
Como
2
r
1
2
1
r
2
h
5
2
g
,
2
10
5
V
4,58
temos:
2
g
q
Portanto,
2
g
r
5
100
o
raio
da
base
do
cone
é
aproxima-
(I)
damente
4,58
cm.
360° Como
α
5
,
temos: 1 2r
g Como
360 150°
r
g
5
,
5
V
g
o
comprimento
da
geratriz
é
5
1 2r 5
(II)
g
5
aproximadamente
11
cm.
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
16.
Deter mine
setor
a
me d id a
cir cular
per fície
lateral
geratriz
e
10
do
o b tid o
de
cm
um
de
â ng ulo
p ela
cone
ra io
ce n tral
plan i fic a çã o
r eto
da
com
b ase .
de
um
da
60
18.
su-
cm
Deter mine
que
de
a
setor
e
60°
o
a
altur a
planificação
cir cular
raio
da
com
base
é
de
da
um
con e
r eto,
s up e r f í c i e
ângulo
ig ua l
a
central
10
cm.
s a b e ndo
lateral
é
medindo
20
2
um
120°
cm
.8991 ed
17.
A
planificação
orierevef
r eto
é
um
da
setor
sup er fície
cir cular
60°.
to
cir cunfer ê n cia
Calcule
a
razão
k
de
â ngulo
entre
o
um
c on e
c e ntr a l
19.
me -
Um
pedaço
micír culo
comprimen
de
de
reto
com
uma
mesa,
ca rtolina
raio
essa
20
tem
cm .
cartolina
a
for ma
de
Construindo
e
um
um
colocando-o
se-
c one
sobre
ed
dindo
latera l
com
91
da
da
b ase
e
o
com prime nto
qual
será
a
distâ ncia
do
v é rtice
até
ed
016.9
da
geratriz
do
con e.
a
mesa?
10
3
cm
3
ieL e laneP ogidóC od
3.4
Área
da
super f ície
de
um
cone
reto
V
481
Pela
planificação
.trA
superfície.
.adibiorp
mento
oãçudorpeR
A
da
Para
isso,
geratriz
área
da
da
superfície
vamos
de
um
considerar
cone,
um
podemos
cone
reto
de
obter
raio
a
da
área
total
base r
e
dessa
compri
g
base
)
( (A
é
a
área
de
um
base
círculo
de
raio
r
e
centro
r
O
O O r
2
5
πr
base
V
A
área
lateral
( (A
)
é
a
área
de
um
lateral
setor
circular
mento
g
da
primento
tal
geratriz
igual
circunferência
Como
te
a
a
que
área
o
2πr
da
e
(o
base
ao
raio
o
é
arco
o
compri-
tem
do
g
com-
comprimento
da
cone).
setor
é
diretamen-
comprimento
define,
compr
o
desse
proporcional
arco
que
g
2πr r
do
temos:
mento
do
2πr
arco
do
setor
área
do
setor
5 c
a
áre
do
círculo
r
lateral
5
raio
OCCES
A
2 r
V
A
5
V
A
lateral
2
2 g
de
5 πrg lateral
2 g
g
NOSL
A
área
total
)
( (A
da
superfície
do
cone
reto
é
a
soma
da
área
da
base
com
total
área
:SEÕÇARTSULI
a
lateral.
2
A
5 total
A
1 base
A
V lateral
A
5 total
πr
1
πrg
V
A
5
r (r
1
g)
total
145
Exe rc íc io resolv id o
R7.
Deter minar
de
raio
da
a
área
lateral
de
um
cone
reto
com
16
400
V
cm
de
altura
e
12cm
base.
g
m
cm
O
Resolução
Temos:
2
2
g
5
h
2
1
Portanto,
A
área
o
2
V
πrg
g
2
5
2
16
1
comprimento
lateral
5
A
r
V
do
cone
A
lateral
12
da
2
V
g
5
geratriz
do
cone
é
g
5
20
20
cm.
é:
5
π
8
12
20
V
A
lateral
5
240π
V
A
lateral
q
753
6
lateral
2
Logo,
a
ár ea
lateral
do
cone
é
240 π
ou,
cm
apr oximadamente,
2
753,6cm
.8991 ed orierevef ed
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
91 ed
.
Determine
um
a
área
cone
reto
lateral
e
a
área
confor me
os
total
da
dados
a
superfície
2
.
seguir.
O
setor
de
circular
raio.
Após
representado
a
união
das
pela
figura
bordas
6
cm
ver melhas,
tem
ele
ieL
de
016.9
2
e
altura
b)
O
é
12
cm,
e
o
raio
da
base,
9
cm
é
cm.
transfor mado
216π
da
geratriz
2
24
cm.
260π
cm
é
26
cm,
e
a
super fície
lateral
de
um
cone
cm
reto. comprimento
na
2
Deter mine
o
raio
da
base
do
ogidóC od
A
cone.
altura,
2
;
360π
laneP
2
135π
a)
cm
481
Uma
escola
nicos
de
infantil
ficou
palhaço.
de
tidade
total
altura
de
Sabendo
e
a
Festa
confeccionar
8
cm
papel
que
de
cada
raio,
usado
do
Circo.Uma
34 chapéus
chapéu
calcule
para
fazer
a
cô-
terá
quan-
todos
oãçudorpeR
12 cm
realizará
de
.adibiorp
professora
.trA
21.
60°
os
2
chapéus.
22.
1 . 0 8 8
Deter mine
reto
a
inscrito
13
área
em
cm
total
um
da
super fície
cilindro
reto
de
5
de
cm
um
de
cone
altura
2
e
2
cm
de
raio
da
base.
2
1
29
27.
Uma
na
23.
Deter mine
circular
a
reto
área
cuja
total
da
secção
super fície
meridiana
é
de
um
um
cone
lâmpada
for ma
igual
triângulo
deve
a
de
0,3
ser
pontual
um
m.
A
cone
que
pendurado
é
colocada
com
altura
para
altura
H
do
obter
em
e
chão
uma
um
raio
esse
forma
lustre
da
base
lustre
circular
2
equilátero
24.
A
área
de
10
lateral
cm
da
de
lado.
super fície
75π
de
cm
iluminada
um
cone
reto
com
cm
.
Sabendo
que
a
geratriz
mede
30
de
6,25 π
m
?
2,5
m
é
2
600π
área
0,3
cm,
m
0,3
m
2
calcule
25.
a
área
Deter mine
a
total
área
OCCES
3
seguir.
da
super fície.
lateral
do
cone
1.000π
cm
representado
H
a
2
cm
3
NOSL DA
28.
Um
SEÕÇARTSULI
e
4
triângulo
dm.
retângulo
Deter mine
a
tem
área
catetos
da
medindo
super fície
do
3
dm
sólido
0°
de
revolução
gerado
pela
rotação
do
O
tor no
de
sua
hipotenusa.
⎛
⎞
2
π ⎝
146
84
5
⎠
dm
triângulo
em
3.5
Volume
Antes
dades
de
dos
Para
Seja
tratar
do
um
volume
considere
um
paralelamente
h
cone
de
um
cone
qualquer,
vamos
estudar
duas
proprie
cones.
isso,
vértice,
de
a
altura
do
à
plano
base,
cone,
r
o
a
que
secciona
determinando
raio
da
base
e
um
uma
A
a
cone
secção
área
da
a
de
uma
distância
h’
do
área A ’
base
do
cone.
V
h ’
OCCES
A ’ P
h
NOSLIDA
r’
a
A
Q
.8991
Propriedade
ed
do
orierevef
e
cone
o
raio
e
r
a
O
1: A razão entre a distância
altura
da
r
N
h
base,
do
isto
cone
é
igual
à
de uma secção transversal ao vértice
razão
entre
o
raio
r
da
secção
transversal
é:
ed 91 ed
h’
r’ 5
016.9
h
r
ieL e laneP
Demonstração
ogidóC od
Os
triângulos
’
e VNO
são
semelhantes
481
VM gruentes).
Assim,
temos:
5
.trA .adibiorp
triângulos
VPM
e
VQN
oãçudorpeR
Assim,
correspondentes
con-
r
são
semelhantes
VP congruentes).
ângulos
(I)
VN
Os
(têm
r
(têm
ângulos
correspondentes
VM
temos:
5
(II)
VQ
VN
r De
(I)
e
(II),
podemos
concluir
que:
5 VQ
h’ m
VP
=
h’
VQ
5
h,
temos: h
Pro
feita
riedade
a
altura
uma
h
é
2:
altura
igual
ao
A
h’
razão
em
r
’
entre
relação
quadrado
da
a
r
área A ’
ao
de
vértice
razão
uma
V,
entre
h’
e
secção
a
e
área
h,
isto
transversal
A
da
base
de
um
desse
cone,
cone
de
é:
2
A
⎛
A
h
⎞
h
Demonstração
2
A
área
da
secção
transversal
do
cone
é
A ’
5
π(r ’)
,
e
a
área
da
base
do
cone
é
2
A
5
πr
.
Assim,
temos:
2
2
( r ’)
A
(r
A V
5 A
)
5
2
2
A
h Mas
sabemos,
pela
propriedade
1,
que
2
⎛
A
⎛ V
r
⎠
;
portanto:
r
2
⎞
5
r 5
h
⎞
5 A
⎝
h
⎠
147
Determinação
Considere
miespaço,
um
de
do
cone
mesma
e
volume
uma
altura h
de
um
pirâmide
e
cujas
em
bases
cone
um
mesmo
estejam
se
contidas h ’
no
mesmo
base
da
plano
a,
sendo
a
área
da
base
do
cone
igual
à
da
pirâmide. A h
Observe
cone
do
que
também
cone
e
da
cada
plano
secciona
a
pirâmide,
b,
paralelo
pirâmide,
de
a
a,
que
secciona
determinando
e
áreas
,
1
as
o
2
b
secções
respectivamente.
2
A
A
Pelas
propriedades
já
vistas,
2
(h
A
temos:
2
)
(h
A
a
)
1
e
5
5
2
A
2
A
h
h
A
A 2
Portanto:
Assim,
A
pelo
princípio
de
Cavalieri,
o
volume
do
cone
é
igual
ao
volume
da
pi-
1 râmide:
5
5 pirâmide
base
3
Portanto,
o
volume
do
cone
é
dado
or:
2
5
π 3
.8991 ed orierevef ed
Exe rc íc io resolv id o
91 ed
Calcular
a
quantidade
na
figura
ao
máxima
lado
pode
de
líquido,
em
litro,
que
a
taça
repre-
5
cm
ieL
sentada
016.9
R8.
comportar.
e laneP
Resolução
calcular
o
volume
da
ogidóC
Vamos
taça:
od
5
1
2
h
πr
V
5
π
8
20
5
V
5
20
cm
.trA
3
π
2
481
1
3
.adibiorp
3
Assim,
V
q
523,3
cm
3
Sabemos
que
1
c
5
1
3
dm
e
1
dm
3
5
1.000
cm
oãçudorpeR
3
Logo,
1
c
5
1.000
cm
En
1
3
V
q
523,3
5
cm
523,3
c 1
Portanto,
a
taça
pode
5
0,5233
c
000
conter
até
0,5233
c
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
29.
Um
cone
reto
de
3
cm
de
raio
da
base
tem
volu-
secção
paralela
à
base,
feita
a
2
18
2
π
cm
cm
do
vértice.
3
3
me
.
Calcule
a
área
total
da
Calcule
super fície
o
volume
do
cone.
750π
2
desse
cone.
36π
cm
32.
30.
Calcule
o
volume
23
a
seguir.
do
lápis
representado
na
figura
cones,
per fície
de
3
Dois
1
e
2,
são
deter minada
catetos
5
cm
e
gerados
por
12
um
cm.
pela
rotação
triângulo
Para
obter
o
da
su-
retângulo
cone
1,
o
cm
6
giro OCCES
o 1
se
cone
dá
2,
em
em
tor no
tor no
do
do
cateto
cateto
menor;
para
obter
maior.
cm
240%
NOSL
a)
Deter mine
a
razão
percentual
entre
V
e
V
1
1
15
cm
b)
Se
as
medidas
SEÕÇARTSULI
fossem
31.
Em
um
cone
de
2
cm
revolução
de
10
cm
de
altura,
x
e
y,
d os
em
ca tetos
tor no
dos
d es s e
quais
tr iângu lo
se
fizessem
a rotações
para
gerar,
respectivamente,
os
co-
2
área
da
base
excede
em
216 π
cm
a
área
de
uma
nes1
e
2,
qual
seria
a
razão
entre
V
e
V
1
? 2
y 32.
b)
5 V 2
148
x
de
do
nosso
abajur,
de
cotidiano
canecas,
têm
vasos,
bases
a
forma
entre
paralelas
que
lembra
um
tronco
de
cone,
TSO
objetos
copas
cone
N
Vários
como
de
YTTEG/
T ronco
SEGAMI
4
outros.
ED
Em
seguida,
Considere
um
plano
a,
observe
um
cone
paralelo
a
definição
reto
ao
de
de
vértice
plano
da
tronco
V,
de
cone.
altura h
base,
a
uma
e
raio
da
distância
base
h
r, r
dela
seccionado
(h
t
termina
uma
secção
transversal
de
centro
’
e
,
h),
que
por
de-
t
raio r ’.
V
Peça
de
terracota,
a3000a.C.,
de4500a.C.
civilização
japonesa.
h ’ Foto
de
2013.
r’
O ’
a
h t
r
O
.8991 ed
Ao
seccionar
o
cone
original,
o
plano
a
determina
dois
sólidos: Ref lita
orierevef
V
e
altura
h’
5
h
h
;
t
ed
tronco
de
cone
de
bases
paralelas
91 ed 016.9
V
r’
ieL
A
figura
determinada
pela
secção
O’
e
meridiana
laneP
trapézio,
de
um
tronco
de
cone
é
um
pois:
h ’ h
ogidóC od
pelos
e
da
diâmetros
base
paralela
481
O
.trA
o
.adibiorp
par
de
um
tronco
de
base
àbase
do
do
cone
transversal
cone;
quadrilátero
de
lados
que
possui
paralelos
é
apenas
um
cone
NOSLIDA
V
:SEÕÇARTSUL
base
menor
geratriz r’
O O’
altura
h t
r
O
base
maior
Considerando
tes
o
tronco
de
cone
desenhado
acima,
podemos
destacar
os
seguin-
elementos:
Obser vação
Base
Base
maior
–
menor
círculo
de
o
–
círculo
a
centro
de
secção
O’
e
centro
O
transversal
raio
e
raio
obtida
por
meio
do
plano
,
ou
seja,
o
r’.
–
os
segmentos
cujas
extremidades
são
pontos
Geratrizes
circunferências
das
bases
e
que
estão
contidos
em
retas
que
passam
vértice
V
do
tronco
do
h
cone.
Altura – a distância h
pelo
correspondentes
das
um
trapézio.)
OCCES
oãçudorpeR
Elementos
da
secção
(E
da
entre os planos que contêm as bases do tronco de cone.
t
149
Exe rc íc ios resolv id os
R
.
Calcular
vaso
a
quantidade
representado
na
máxima
figura
de
pode
terra
que
o
Logo,
o
volume
comportar.
do
1
tronco
de
cone
é:
2
⎞
2
V
1 tronco
3 6
3
cm
152
1 V
5 t
8
(
π
onco
15
5
π
3
Portanto,
152
o
vaso
15
8
comporta,
no
máximo,
3
3
,
cm
aproximadamente
616 cm
3
cm
de
4
R10.
cm
terra.
Dado
um
calcular
tronco
a
razão
de
cone
entre
reto
os
de
bases
volumes
paralelas,
V
,
do
cone
cone
Resolução menor,
,
e
do
cone
maior,
ue
deter minam
cone
O
exercício
tronco
Para
de
isso,
origem
a
consiste
cone
reto
vamos
esse
em
que
obter
o
volume
representa
considerar
o
cone
o
do
vaso.
que
esse
tronco,
tivas
em
alturas,
função
h
e
da
razão
entre
as
respec-
h
deu
tronco:
6 cm
Resolução
O
volume
lume
do
do
V
tronco
cone
de
cone
menor
é
(de
obtido
altura
do
h
e
vo-
raio
cone
da
A
.8991
O
base r
e
raio
da
base
r ),
confor me
a
figura.
orierevef
h 8 cm
ed
altura h
V
ed
O
91 ed
B
016.9
h h’
ieL e laneP
h’
A
O ’
h
ogidóC od 481
V
.trA
o
triângulo
AVO,
.adibiorp
Destacando
temos:
B
O
2 cm
C
O
A
Os
triângulos
VO
A
e
VO B
são
semelhantes;
portanto:
8 cm
r
h 5
r
4 cm
(I) h
O
B
Como
os
volumes
dos
)
cones
e
são
V
r
3
arazão
por
h
3
entre
os
volumes
1
é:
2
h
) V
dados
3
cone
5 V
2 c
3
V
2
Usando
o
teorema
de
Pitágoras
no
triân-
2
)
V
h
)
cone
2
gulo ABC,
de
vamos
calcular
a
altura
do
tronco
r
h
c
cone: V
r
cone OCCES
2
8
h
2
V
2
5
2
5
2
1
h
V t
h
5
60
V
h
t
5
2
15
V
t
(II) r
h
c
NOSL
Note
que
os
triângulos
AVO O
e
ABC C
são
seme Substituindo
lhantes;
(I)
então:
licitada: 6 SEÕÇARTSUL
3
h
5
5 3
2
h t
5
V
h
cone
5
Assim:
150
h
5
cone
em
(II),
obtemos
a
razão
so-
oãçudorpeR
6 cm
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
33.
Os
raios
las
de
das
um
Sabendo
seu
circunferências
tronco
que
volume.
a
de
cone
altura
98π
das
reto
do
bases
são
tronco
5
é
6
parale-
cm
e
cm,
3
36.
cm.
calcule
Observe
de
um
há
uma
do
cm
As
áreas
das
bases
de
um
tronco
de
cone
reto
2
bases
paralelas
medem
36 π
das
de
desenho
de
em
coincide
Sabendo
bases
de
cone
cavidade
cilindro
cone.
34.
o
tronco
que
peça
com
a
o
que,
das
tronco
for mato
no
cilíndrico.
altura
raios
do
com
Note
for mato
os
paralelas
uma
reto.
do
centro,
A
altura
tronco
de
circunferências
de
cone
medem
2
cm
e
16π
cm
.
7 cm
Sa-
e
12
cm
e
que
a
geratriz
do
tronco
mede
3
13cm, bendo
que
sua
geratriz
mede
2
5
3 0 4π
o
volume
desse
cm
calcule
o
volume
da
peça.
520
cm
deter mine
3
tronco.
cm 3
35.
Uma
da
taça
tem
medida
a
do
for ma
cônica
diâmetro
cheia
de
água,
tante
da
água
mas
da
alguém
ficasse
e
a
altura
base.
A
bebeu
exatamente
é
o
taça
até
dobro
estava
que
com
a
o
res-
metade
7
da
altura
da
taça.
Que
fração
da
água
foi
bebida? 8
S GAMI
5
ed
WOLG/S
.8991
Esfera
analisar
o
esférica
sólido
(como
uma
denominado
laranja).
Para
estudar
esse
tipo
de
forma,
XER
ed
vamos
esfera.
91 ed
Consideremos
016.9
real
e
positivo
um
ponto
C
do
espaço
e
RUTAEF
orierevef
aproximadamente
um
número
r
ieL e laneP
r
ogidóC od
ma-se
ma
o
481
uma
por
esfera
to
os
centro
os
istância
pontos
C
e
raio
r
o
sólido
for
P
C
r
.trA .adibiorp
Chamamos
oãçudorpeR
pontos
P
do
de
superfície
espaço
que
esférica
estão
a
uma
a
“casca”
distância
da
de
esfera,
igual
ou
seja,
o
conjunto
de
a
O
estudo
cones
o
e
dos
das
cilindros,
esferas
dos
permite
desenvolvimento
interdisciplinar
(na
área
da
com
Geografia
cartografia).
Hotel
C
Para
mais
esse
assunto,
detalhes
P
um
trabalho
com
e
o
uma
em
Vancouver,
Canadá,
2013.
sobre
Para r
que
os
hóspedes
se
sintam
recomendamos
em
conjunto
professor
consulta
de
ao
Geografia
integrados
do
hotel
à
natureza,
têm
a
forma
os
de
quartos
esferas
site
presas
às
árvores
por
meio
de
cabos
e
desuportes. ufsc.br/index.htm>
Acesso
em:
12
jan.
2016.
OCCES
Assim como o cilindro e o cone, a esfera também pode ser considerada um sólido
revolução,
um
eixo
que
pois
passa
pode
por
ser
seu
obtida
pela
rotação
de
um
semicírculo
em
torno
NOSLIDA
de
de
diâmetro.
a
rotação
completa
de
uma
semicircunferência
do
eixo
que
obtém-se
passa
uma
por
seu
superfície
em
torno
diâmetro,
esférica.
Ref lita
151
:SEÕÇARTSULI
Efetuando-se
Toda
é
A
área
círculo
Secção
Ref lita
máxima
um
máximo.
igual
Para
à
uma
área
secção
ponto
então
será
a
plana
plana
ou
é
secção
um
de
de
uma
uma
círculo.
obtida
será
es fera
esfera,
Se
o
ou
plano
chamada
intersecção
de
de
intersecção
de círculo
uma
esfera
contiver
o
com
um
centro
plano,
da
esfera,
máximo
do
esfera
de
círculo 2
raio
r,
essa
área
máxima
é
igual
a
π r
b
a
C
círculo
A
afirmação
círculo
Q
é
de
que
explicada
terminada
pelo
de
máximo
a
intersecção
maneira
plano
r
g.
de
simples.
Considere
o
um
plano
Observe,
ponto
Q
com
na
de
g
uma
figura
tal
que
esfera
ao
CQ
pode
lado,
ª
g
e
a
ser
um
secção
também
de-
um
ponto P
qualquer
de g
e
da
superfície
esférica.
Sendo
o
triângulo
P um
2
C
retângulo,
Assim,
Como
podemos
temos
as
(QP )
5
medidas
C
o
teorema
(PC )
(QC )
(distância
de
Pitágoras:
triângulo
2
1
( QP)
(QC )
2
5
(PC )
.
de
C
a
Q)
e
PC
(raio
da
esfera)
são
constantes,
2
5
(
)
também
é
constante,
e
a
linha
formada
pelos
pontos P
da
.8991
2
QP
aplicar
ed
r
i
QP,
da
ou
secção
seja,
a
com
a
secção
superfície
é
um
esférica
é
uma
circunferência
de
centro Q
círculo.
orierevef
intersecção
ed 91 ed 016.9 ieL
Exe rc íc ios resolv id os
e
esferas
S
e
S
1
vamente,
somente
um
ponto
abaixo,
em
de
raio
comum.
3
cm
Calcular
e
4
a
distância
cm,
respecti-
entre
od
seus
representadas 2
têm
ogidóC
As
laneP
R11.
centros.
481 .trA
S
.adibiorp
2
S
oãçudorpeR
r 2
C
Resolução
Como
as
comum,
esferas
o
são
segmento
tangentes,
que
une
ou
seus
seja,
têm
centros
somente
tem
me
i
um
a
r
ponto
1
r
1
caso,
3
Então,
R12.
Calcular
1
a
o
4
5
em
nesse
7.
distância
raio
;
2
r
de
entre
uma
os
centros
secção
das
plana
esferas
de
uma
é
7
cm.
esfera
sabendo
que
o
1
raio
da
da
esfera
esfera
é
5
é
igual
a
13
cm
e
que
a
distância
dessa
secção
ao
centro
cm.
Resolução
Observe
a
figura
ao
lado.
O P
OCCES
Aplicando
o
teorema
de
Pitá-
cm
goras
no
:COP,
obtemos:
NOSL
13 2
2
5
13
5
2
1
r
2
V 1
V
5
r
r
5
144
V
1
12
SEÕÇARTSUL
1
Portanto,
o
raio
r
é 1
12
152
cm.
igual
a
C
cm
R13.
Calcular
o
volume
do
cilindr o
inscrito
na
semiesfera
r epr esentada
abaixo.
=
2
cm
r
=
4
cm
Resolução
2
V
πR
2
h
5
π
8
2
(r
h
2
)
h
5
π
8
2
(4
2
)
2
5
24π
cilindro
3
Portanto,
o
volume
do
cilindro
é
24 π
.8991
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
ed orierevef
37.
A
figura
abaixo
gira
em
tor no
do
eixo
e
super fície
esférica,
de
centro
O
e
raio
r
2
ed
a
distância
entre
O
e
O
?
r
1
r
,
.
Qual
é
2
ou
r
r
2
2
,
ou
2
r
r
2
91 ed
P
016.9
40.
Calcule
o
raio
do
r
cír culo
deter minado
pela
1
ieL
intersecção
do
plano
a
com
a
esfera,
confor me
a
e
O
laneP
figura
e
abaixo.
cm
ogidóC od 481
P
.trA
cm
.adibiorp
Escreva
que
figura
é
descrita
com
esse
giro:
r
a)
pelo
ponto
P
b)
pelo
segmento
c)
pela
circunferência
circunferência
cm
oãçudorpeR
OP
superfície
de
lateral
centro
O
de
e
um
raio
superfície
38.
Um
queijo
moldado
na
for ma
esférica
C
cone
OP
esférica
tem
10cm
de
raio.
panela
dessa
Derretido,
cilíndrica
ele
de
cabe
raio
exatamente
10
cm.
Qual
em
é
a
uma
altura
40
panela?
41.
cm
Considere
uma
esfera
de
2
cm
de
raio
e
um
planob
3
interceptando
39
Uma
super fície
esférica,
de
centro
e
O
raio
1
tem
5.1
somente
Área
da
Consideremos
em
super f ície
uma
esfera
demonstrar
que
a
de
comum
centro
área
da
e
uma
secção
plana
de
raio
for ma
3
que
cm.
deter mine
Calcule
a
dis-
1
com
es férica
r
de
outra
e
tância
volume
da
entre
o
plano
b
e
o
centro
da
esfera.
1
cm
es fera
raio r
superfície
esférica
e
o
volume
da
esfera
NOSL
dados
ponto
esfera
OCCES
Pode-se
são
um
a
por:
r
superfície esférica
5 4πr
V
5
SEÕÇARTSUL
4
2
A
3
πr
esfera
3
153
Exe rc íc ios resolv id os
R14.
Uma
secção
plana
de
uma
esfera,
distante
3
5
cm
do
centro
da
esfe-
2
ra,
tem
36
cm
de
área.
Calcular
o
volume
da
esfera
e
a
área
de
a
área
é
sua
super fície.
r
P O
r
5
m
C
Resolução
Como
toda
secção
plana
de
uma
esfera
é
um
círculo,
dada
2
por
A
5
πr
A
1
im
1
2
π
5
πr
V
r
1
5
6
(raio
da
secção
plana)
1
Aplicando
o
teorema
de
Pitágoras
no
:COP,
calculamos
o
raio
da
esfera. .8991
2 2
2
2
1
2
V
36
1
45
V
81
V
9
ed
6
A A
de
sua
super fície:
orierevef
V
ed
4
3
5
V
πr
V
3
5
π
V
5
972π
V
V
q
3.052
4πr
016.9
5
V
9
3
2
A
8
ed
3
91
4 V
2
V
A
4
π
8
9
V
A
5
324π
V
A
q
1.017
o
volume
da
esfera
é,
aproximadamente,
3.052
cm
,
e
a
ieL
3
Portanto,
e laneP
2
área
Uma
sua
esfera
o
inscrita
cúbica
em
dessa
e
da
aproximadamente,
um
cubo,
esfera
e
super fície
1.017
confor me
deter minar
cm
mostra
a
razão
a
figura
entre
as
abaixo.
áreas
da
.trA
super fície
foi
volume
é,
481
Calcular
super fície
ogidóC od
R15.
da
esférica.
.adibiorp oãçudorpeR
a
=
2
cm
Resolução
Pela
figura,
emos
r
temos
a
5
2r,
e
como
a
aresta
4 Volume
da
esfera:
V
cubo
é
igual
a
2
cm,
4
3
5
π
8
V
1
V
esfera
Área
do
51cm.
da
super fície
5
π
esfera
cúbica:
5
6
2
2
V
A
cubo
5
24
cubo
2
Área
da
super fície
esférica:
5
A
4
π
8
1
V
A
esfera
OCCES NOSL SEÕÇARTSUL
154
Considerando
π
5
3,14,
temos:
5
4π
esfera
A
5
4
3,14
A
esfera
5
12,56
esfera
24 A
razão
entre
as
áreas
é:
1,91 12
56
4 Logo,
o
volume
da
esfera
é
3
π 3
da
área
da
super fície
esférica.
cm
,
e
a
área
do
cubo
é
quase
o
dobro
5.2
Cunha
es férica
Chama-se cunha
dida a,
de
um
e
esférica o
semicírculo
de
fuso
sólido
raio r
em
es férico
gerado
torno
pela
de
rotação,
um
eixo
por
que
um
ângulo
contém
de
me
seudiâmetro.
r
O
volume
ângulo
de
de
uma
rotação
e
cunha
pode
ser
esférica
calculado
é
proporcional
usando
uma
medida
do
à
medida
regra
de
três
(em
grau)
do
simples.
ângulo
volume (em
.8991
4
grau)
3
πr
360°
ed
3
orierevef
a cunha
ed 91
Resolvendo
essa
regra
de
três,
obtemos
o
volume
da
cunha
esférica:
ed 016.9 ieL e
r
laneP
V
5
cunha
esférica
270°
ogidóC od 481
Pela
.trA
em
rotação,
torno
de
por
um
um
eixo
ângulo
que
de
contém
medida a,
seu
de
uma
diâmetro,
semicircunferência
obtemos
um fuso
de
raio r
esférico
.adibiorp oãçudorpeR
A
de
área
de
rotação
e
um
fuso
pode
ser
esférico
calculada
é
proporcional
usando
uma
à
medida
regra
medida
de
do
a
três
(em
grau)
do
ângulo
simples.
ângulo
área (em
grau)
2
4πr
360°
a
fuso
essa
regra
de
três,
obtemos
a
área
do
uso
es
NOSL
Resolvendo
OCCES
A
érico:
DA SEÕÇARTSUL
r A
5 fuso
esférico
9 0°
155
Exe rc íc io resolv id o
R1
.
Calcular
o
volume
da
cunha
esférica
e
a
área
do
fuso
esférico
da
figu-
raabaixo.
r
=
4
cm
=
20°
Resolução
O
volume
da
cunha
esférica
é
cunha
por:
1 2 8
0
5
V
dado
V
esférica
5 cunha
o
esférica
270
Considerando
π
5
27
3,14,
temos: .8991
3,1 4 q
1 4, 9
esférica
orierevef
cunha
ed
128 5
V
27
A
área
do
fuso
esférico
é
dada
por:
ed 91
o
0
3 2
5 fuso
V
A
esférico
5 fuso
esférico
5
9
3,14,
ieL
π
016.9
90°
Considerando
ed
π A
temos:
e
3,14 q
11 ,2
esférico
9
3
Portanto,
o
volume
da
cunha
esférica
é,
aproximadamente,
14,9
cm
481
2
e
a
área
do
uso
es
érico
é,
aproximadamente,
11,2
ogidóC od
fuso
laneP
32 5
A
cm
.trA .adibiorp oãçudorpeR
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
42.
Deter mine
de
cada
a
área
esfera
da
super fície
descrita
esférica
e
o
volume
A
esfera
tem
3
cm
b)
A
esfera
tem
18
de
raio.
Se
considerar mos
esfera
2
a)
45.
abaixo.
36π
cm
de
raio
r
36π
iguais,
cm
qual
será
4
⎛
de
diâmetro.
laranja
de
12
como
sendo
gomos
uma
exatamente
3
;
2
cm
uma
composta
324π
cm
3
;
972π
a
⎞
medida
da
super fície
total
de
2
cadagomo?
πr
cm ⎝
3
⎠
3
43.
Determine
do
tro
abaixo
faces
o
volume
sabendo
do
do
que
paralelepípedo
cada
paralelepípedo
esfera
e
representa-
tangencia
outras
duas
46.
qua-
Uma
Qual
cunha
é
a
esférica
medida
a,
de
raio
em
1
m
tem
radiano,
do
volume
ângulo
1
m
que
a
3
esferas.
deter mina?
radiano 2
Além
disso,
o
volume
de
cada
esfera
é
π
cm
3
.
3
32
cm
47.
Para
abrigar
estrutura
uma
coberta
exposição,
em
for ma
construiu-se
de
um
uma
hemisfério.
Se
2
o
revestimento
metros
do
piso
quadrados
totalizou
de
lona
78,5
foram
m
,
quantos
utilizados
na
2
cobertura
OCCE
48.
Um
toda?
copinho
de
NOSLIDA
(profundidade)
:SEÕÇARTSULI
duas
Mostre
44.
Calcule
a
área
do
fuso
esférico
e
o
volume
da
cunha
esférica de 45° contidos em uma esfera de raio 6 cm. 2
18π
156
cm
;
3
36π
cm
de
4
que,
cm
mesmo
de
e
5
forem
3,14)
cônico
“boca”
derreta.
o
157
tem
com
4
de
sorvete
Ver
cm
de
de
altura
diâmetro.
nesse
copinho
sorvete,
também
não
resolução
m
10
cm
colocadas
semiesféricas
diâmetro,
que
π
sorvete
se
conchas
(Use
no
transbordará,
Guia
do
professor.
Exercícios
complem ent a res Registre as respostas em seu caderno
6.
Um
cone
circular
reto
tem
raio
da
base
igual
a
10cm.
Aplicação Sabendo
que
circular, 1.
(Fuvest-SP)
Uma
metalúrgica
fabrica
barris
que
a
medida
representa
do
ângulo
sua
central
super fície
do
lateral,
setor
é
igual
cilíndricos a
135°,
deter mine
o
volume
desse
cone.
1 .000
55 3
de
dois
tipos,
A
e
B,
cujas
super fícies
laterais
são
cm
mol9
dadas
a
partir
de
chapas
metálicas
retangulares
de 7.
lados
a
e
2 a,
soldando
lados
opostos
dessas
(FGV)
vida confor me
Uma
mistura
de
leite
batido
com
sorvete
é
ser -
chapas, em
um
copo,
como
na
figura.
ilustrado.
men
barril
do
tipo
A
barril
do
tipo
que
B
alunos
os
a
mos
antes
e
os
efetuarem
cálculos
4
cm
seja
perguntado
qual
est
e
é
a
a mat
va
es
para
20 2
essa
2
de
situação:
50%,
50%
cm
menos
ou
2a mais
de
50%.
a
Se
V
e
V
indicam
os
volumes
dos
barris
do
tipo
A
A
eB,
respectivamente,
tem-se:
alternativa
a
.8991
Se a)
V
5
2V
A
c)
V
B
5
V
A
e)
V
B
5
na
parte
ed
V
5
2V
B
d)
V
A
5
de
4
orierevef
cilindro
de
revolução
é
cortado
por
um
plano
ed 91
ao
ed
secção
eixo
e
a
3
retangular
do
copo
cm
desse
cuja
área
eixo,
é
deter minando
016.9
Calcule
o
volume
igual
desse
à
área
cilindro
da
65%
base
sabendo
ieL
da
base
é
5
uma
a
camada
de
porcentagem
do
pela
alter nativa:
espuma
alternativa
está
mais
bem
c
b)
60%
c)
50%
d)
45%
e)
70%
do Planificando
a
super fície
lateral
de
um
que cone,
6 2 5
raio
há
então
uma
2
o
ocupada
na
(Mackenzie-SP)
cilindro.
copo
altura,
paa)
ralelo
de
B
aproximada
Um
cm
4V
A
volume
2.
do
A
espuma
b)
superior
4V
B
obtém
se
o
setor
circular
da
figura,
de
centro
3
cm.
e
cm
e
raio
1
cm.
laneP
8
O
ogidóC od
3.
(Vunesp)
xcm
e
Considere
raio
da
base
um
cilindro
igual
a
y y
circular
cm.
reto
Usando
a
de
altura
aproxima °
481
ção
π
5
3,
deter mine
x
e
y
nos
seguintes
casos:
3
.trA
a)
o
volume
.adibiorp
ao
triplo
do
do
cilindro
raio.
x
5
é
9
243
e
y
5
cm
,
e
a
altura
é
igual
3
2
b)
a
oãçudorpeR
e
área
a
da
super fície
altura
tem
10
lateral
cm
a
do
mais
cilindro
ue
o
é
raio.
450
x
5
cm
15
e
y
5
5
Dos
valores
cone
4.
Uma
lata
e
cm
19
Qual
tiver
é
cilíndrica
de
o
de
altura,
volume
exatamente
óleo,
indica
de
a
ar
com
ter
4
cm
de
raio
conteúdo
contido
quantidade
óleo
54,6
o
mais
próximo
da
altura
desse
d
base a)
12
cm
c)
14
cm
b)
18
cm
d)
16
cm
e)
20
cm
lata
se
ela
especificada 9.
naembalagem?
abaixo,
alternativa
de 900 m c
nessa
de
da
é:
Deter mine
a
altura
de
um
tronco
de
cone
de
bases
mc
paralelas
sabendo
que
os
raios
da
base
são,
respec-
3
tivamente, 5.
(PUC)
A
cilindro.
figura
abaixo
Ambos
têm
mostra
raio
da
um
base
cone
x
e
inscrito
altura
3
m
e
2
m,
e
que
seu
volume
é
20 π
m
m
num
2x 10.
Considere
base
e
plano
9
um
cm
cone
de
paralelo
circular
altura.
à
base
A
do
reto
que
com
3
cm
distância
cone
deve
do
de
raio
vértice
cortá-lo
de
da
um
modo
2 que
do
11.
o
volume
volume
Calcule
o
do
do
tronco,
deter minado,
seja
cm
cone?
volume
assim
de
uma
cunha
esférica
de
30°
3
uma
OCCE
12.
NOSLI
Retirando-se
o
cone
do
cilindro,
o
volume
do
Um
esfera
plano
é:
alternativa
secciona
972 π
esfera
cujo
de
3
m
81π
cm
a
área
da
secção
diâmetro
obtida
é
34cm.
sabendo
do
centro
da
esfera
ao
plano
é
8
que
cm.
225π
a
cm
3
SEÕÇARTSULI
5 x
8 x
c)
e)
13.
3
Os
raios
de
duas
esferas
concêntricas
são
15
cm
e
3
4 b)
uma
a
2
3
2 x a)
igual
b
distância 3
volume
sóliDeter mine
doresultante
de
7 x
8cm.
Calcule
a
área
deter minada
pela
intersecção
d) 3
3
esfera
maior
por
um
plano
tangente
à
esfera
menor.
161π
157
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
Exercícios
14.
(PUC)
A
tira
levantar
ro,
complem ent a res
seguinte
um
haltere,
composto
de
mostra
que
duas
é
o
um
esferas
Cebolinha
aparelho
acopladas
tentando
feito
a
um
de
21.
fer -
(Mackenzie-SP)
de
bastão
chá
tem
tronco
cilíndrico.
for me
de
a
Uma
for ma
cone
xícara
de
reto,
ADTL
máximo
con-
π
5
de
3,
o
volume
líquido
SEÕÇUDORP
conter
é:
que
168
alternativa
a
d)
176
cm
e)
164
cm
3
ASU O S
172
cm
c
166
cm
cm
3
cm
b)
6
ela
3
a)
cm
um
figura.
Supondo
pode
a
4
cm
3
3
ED O CIRUAM
22.
Um
ludologista
©
piões
usando
indicadas
ADTL
lado.
de
na
cada
pião
cm
medidas
figura
Deter mine
2
fabrica
as
o
ao
OTIDE
2
cm
4
cm
volume
fabricado.
32 cm 3
ASUOS O
8991
ED C
(Enem)
Em
um
mato
de
um
casamento,
aos
seus
os
donos
convidados
hemisfério
(Figura
1);
da
em
festa
taças
porém
serviam
com
um
orierevef
©
champanhe
ed
RUAM
23.
for -
acidente
ed
base
cada
medindo
g /cm³,
esfera
tenha
tenha
50cm
1,4
quantos
de
cm.
10,5
cm
de
comprimento
Se
a
diâmetro
e
densidade
quilogramas,
e
na
diâmetro
do
ferro
é
ra2).
levantar?
Use
π
5
alternativa
um
outro
entanto,
champanhe
os
quebra
de
substituir
as
tipo
com
noivos
nos
dois
grande
taças
for mato
de
solicitaram
tipos
de
parte
cone
que
taças
des-
quebradas,
o
(Fi
u-
volume
fosse
i
laneP
tentava
No
na
Para
e
Cebolinha
culminou
recipientes.
utilizou-se
aproximadamente,
de o
cozinha
ses
ieL
7,8
que
bastão
016.9
da
o
ed
que
91
Suponha
ual.
e
a)
18
b)
16
c)
15
d)
12
e)
ogidóC
7
10 R
=
3
cm
od 481 .trA
R
Aprofund amento
.adibiorp
h
15.
a
circular
reto
de
aresta
ár ea
total
que
de
9
da
tem
cm
e
super fície
volume
área
de
igual
lateral
um
ao
igual
de
à
cilindr o
um
área
oãçudorpeR
Calcule
cubo,
total
da
2
super fície
do
cubo.
(486
1
18π)
cm
figura
16.
O
raio
da
base,
a
altura
e
o
comprimento
da
geratriz
1
figura
2
de
Considere: um
cone
de
revolução
formam,
nessa
ordem,
uma
PA.
3
Determine essa PA, sendo 12π cm
o volume desse cone.
3,
17.
Os
diâmetros
lução
medem
da
base
de
mesmo
de
das
22
um
bases
m
e
4
cilindro
volume?
de
m.
14
um
Qual
de
tronco
é
a
de
cone
medida
mesma
altura
de
4,
V
Sabendo
revo
servida
dodiâmetro
do
tronco
V
Calcule
o
volume
de
que
centímetro,
uma
esfera
circunscrita
a
a
taça
com
completamente
champanhe
e
m
a) 18.
h
5
1
que
é
b)
deve
de:
o
ser
c)
a
de
altura
colocado
alternativa
6,00
for mato
cheia,
na
hemisfério
do
volume
outra
taça,
é
de
em
b
12,00
d)
56,52
e)
113,04
um
3
cubo
de
aresta
medindo
4
m.
32π
3
m
Desaf io
19.
(Ibmec)
Considere
um
cone
circular
reto
de
altura
24e
24. raio
da
base
10.
Suponha
que
o
segmento
AB
Um
e uma
corda
da
circunferência
da
base
que
diste
queijo
5
base
centro
C.
Então,
sendo
V
o
vértice
do
com
cone,
queijo
tetraedro
AB
V
é
igual
a:
alternativa
a
c)
600
3
b)
400
3
d)
800
3
melancia
volume
de
é
água
15
158
cm
de
composta
de
existente
raio.
4.275π
de
altura
super mercado
tem
30
cm
em
fatias,
confor me
vende
mostra
a
figura.
o
volume
de
cada
uma
dessas
cm
fatias.
De-
3
30°
em
3
de
1.000
Um
cm
95%
de
uma
água.
Calcule
melancia
o
esférica
:SEÕÇARTSULI
Uma
e)
cilíndrico
raio.
NOSLI
20.
3
de
3
1.562,5
200
cm
OC CE
do
a)
for mato
o
ter mine volume
25
do
esse seu
com
seja
Registre as respostas em seu caderno
Autoavaliação
1.
A
área,
lateral
em
de
10cm
de
centímetro
um
raio
cilindro
da
base
quadrado,
reto
é:
de
6
alternativa
da
cm
super
de
ície
altura
7.
e
O
volume
des
de
b
de
uma
volume.
esfera
alternativa
de
25π
c)
100π
b)
120π
d)
125π
π
é
unida-
4
4
4 c
a a)
raio
a
3
3
2
2.
A
área
total
é
,
da
super fície
sendo
r
o
raio
de
da
um
b)
cilindro
base
desse
equilátero
8.
cilindro.
2
alternativa
c)
2πr
indústria
dois
tipos
2
2πr
1
área
12cm
da
de
2
2r
d)
super fície
altura
e
2πr
lateral
com
raio
de
ambos
suco
com
de
uva
for mato
d
2
1
de
da
processamento
embalagem,
e
de
mesma
altura.
O
raio
da
base
da
em-
r balagem
2
de
de
4
2
1
2
A
d)
cônico 2
3.
Uma
usa
r a)
b)
π
qual
4πr
um
base
cone
reto
medindo
de
A
é
metade
cabe
do
do
raio
da
conteúdo
embalagem
da
B,
embalagem
na
A.
alternativa
a)
a
metade
b)
o
dobro
c)
o
triplo
d)
o
quádruplo
d
9cm
2
é
4.
cm
alternativa
a
a)
135π
c)
180π
b)
200π
d)
2
Considere
.8991
da
altura
um
h.
cilindro
O
cujo
volume
π
raio
desse
r da
base
cilindro
3
a)
9
é:
é
o
triplo
alternativa
Um
plano
raio
r,
esfera.
a
tro
O.
a
isto
é,
tangencia
a
Outro
A
tem
só
plano
distância
uma
um
b,
esfera
ponto
paralelo
entre
os
em
a
a,
de
centro
comum
contém
planos a
e
O
e
com
a
ocen-
b é
.
2
9πh
c)
alternativa
9πh
ed
π
c
c
r
orierevef
3
h b)
3πh h
b)
d)
2r
d) 3
ed
10.
As
bolas
de
borracha
r epr esentadas
na
figura
91 ed
5.
A
área
total
da
super fície
016.9
comprimento
r
(g
5
da
2r ),
é:
geratriz
alternativa
é
um
igual
cone
a
reto,
duas
cujo
vezes
abaixo
são
esféricas
e
maciças.
o
b
e
OCCES
ieL
raio
de
3
laneP
2
g
g a)
c)
NOSLIDA
ogidóC od
2
2
2
3
2
b)
d)
πg
r
4
481 .trA .adibiorp
6.
Se
o
raio
de
uma
esfera
é
1,
então
a
área
da
suCom
per fície
dessa
esfera
é
unidades
de
a
quantidade
de
borracha
usada
para
fazer
área. 12
alternativa
bolas
maiores,
podem-se
fazer
bolas
b
oãçudorpeR
2
4
4
a)
menores.
alternativa
c
c) 3
3 a)
4
c)
4
b)
8
d)
96
2
b)
4π
d)
4
Retomad a de conceitos
Se
você
Releia
não
a
acertou
teoria
e
alguma
refaça
os
questão,
exercícios
consulte
a
tabela
e
verifique
o
que
Número
Objetivos
Identificar
troncos
seus
cone,
a
alguns
área
estudar
novamente.
da
questão
capítulo
cilindros,
de
respectivos
Calcular
de
do
precisa
correspondentes.
cones,
esferas
e
elementos.
da
desses
super fície
corpos
redondos.
Determinar
o
volume
desses X
corpos
Páginas
ao
X
X
X
redondos.
do
livro
referentes
conceito
159
l
o
t
u
í p
C
a
8
LACIDAR OCOF/SPPILIHP LEUNAME OGIRDOR
Atleta
participando
montanha,
Objetivos
do
Identificar
uma
1
capítulo
e
classificar
O
de
Operar
com
sedentarismo
Calcular
de
Catarina,
Corredores
2016.
participando
internacional
de
Hainan,
da
maratona
China,
2016.
e
mais
lado
a
grupos
preguiça
está
em
queda,
formados
e
por
engrossam
e
as
corridas
amigos,
as
de
rua
familiares
fileiras
dos
que,
e
estão
na
colegas
por
meio
moda.
A
cada
dia,
de
trabalho
deixam
melhor
qualidade
de
do
esporte,
buscam
vida.
o Convém
determinante
matriz
corrida
matrizes. uma
uma
Santa
Matriz
mais
matriz
de
Imbituba,
de
quadrada.
uma
orientação
radas
pelo
lembrar
de
que
todo
especialistas.
seu
esporte
Por
isso,
deve
Daniel
ser
se
praticado
prepara
com
moderação
seguindo
as
tabelas
e
com
elabo
treinador.
A tabela A mostra, em cada linha, os intervalos de tempo T1, T2 e T3, em minuto,
que
o
Cada
ia
atleta
série
da
deve
deve
correr
ser
se
undo
repetida
três
velocidades
após
V1,
V2
descanso
e
de
V3,
indicadas
quinze
na
tabelaB.
minutos,
em
cada
semana.
Tabela
A:
Inter valo
de
tempo
(minuto)
T1
T2
T3
Velocidade (quilômetro por hora)
Manhã
Tarde
1
semana
6
3
6
V1
2
semana
3
6
3
V2
12
10
3
semana
6
9
V3
10
12
Fonte:
160
as
vezes,
treinador.
12
Fonte:
treinador.
SEGAM YTTEG/SERPOTOF ANIHC
A
organização
tação
desses
na
segunda
de
treinamento.
Aplicando
terceira
metro
semana
Em
(filas
linha
por
no
segunda
mesmo
da
período
Matemática,
matriz
e
linha
nas
a
tabelas
Daniel
da
tabela
A,
interpretar
B
desenvolver
o
leitura
no
o
coluna:
exemplo,
a
como
correr
tabela
primeira
Por
facilita
Observe
deve
na
podemos
tabelas.
deve
em
cálculos.
verificar,
com
coluna
representa
o
que
interpre-
identificar,
intervalo
aparece
significado
a
a
no
minutos”.
número
durante
e
fácil
primeiro
valor
“3
o
é
12
de
que
velocidade,
terceiro
todos
aparece
em
intervalo
os
na
quilô-
de
cada
tarde.
tabelas
que
colunas
pode
minutos
basta
Daniel
da
alguns
raciocínio,
segunda
que
horizontais)
Uma
isso,
constam
hora,
numéricos
como
quantos
Para
da
o
que
dados
bem
semana,
“cruzamento”
números
dos
dados,
ser
apresentam
(filas
escrita
verticais)
entre
dados
são
numéricos
dispostos
em
linhas
denominadas matrizes
colchetes
ou
entre
parênteses.
Exemplos
⎡ 6
3
6 ⎤
3
6
3
3
6
9
⎣
⎛
ou
⎝
⎦
Define-se
6
3
6 ⎞
3
6
3
3
6
9 ⎠
matriz
dispostos
em
m
m
3
linhas
⎡
e
n
e
⎣
(lemos:
n
“m
12 ⎤
8
12
10
10
12
por
n”)
⎛
ou
12 ⎞
8
12
10
⎝ 10
⎦
uma
12 ⎠
tabela
com
m
n
elementos
colunas.
Exemplos
5
⎡
a)
⎤
é
3
uma
matriz
do
tipo
é
matriz
3 3
2
(lemos:
“três
por
dois”),
pois
tem
3
linhas
0
e
2
colunas.
⎛
⎞ x
b)
3
uma
do
tipo
3
3
3
(lemos:
“três
por
três”),
pois
tem
x ⎝
⎠
3linhas
e
3
colunas.
⎡ 1 ⎤ c)
é
⎣
7
uma
uma
só
coluna,
3
⎛
0
⎝
tipo
matriz,
Também
recebe
5,1
2
1
(lemos:
“dois
por
um”).
Essa
matriz,
por
ter
o
nome
especial
de matriz
coluna
é
uma
matriz
do
tipo
1
4
(lemos:
“um
por
quatro”).
Essa
⎠
4
in
do
⎞
8
d)
dade
matriz
⎦
por
ter
uma
podemos
rior
só
linha,
indicar
o
é
tipo
chamada
de
uma
de matriz
matriz
ao
linha
lado
dela,
em
sua
extremi-
direita.
Exemplos
⎡ ⎛ 6
0
4
b)
⎝
1
9
⎤ 5
4
3
2
1
7
1
2
7
4
9
0
3
0
1⎞
a)
2
3 ⎠ 5
⎦
(matriz
de
2
linhas
e
4
colunas)
(matriz
de
3
linhas
3
e
3
5
5
colunas)
161
1.1
Representação
genérica
de
uma
matriz
Os números que compõem uma matriz são chamados de elementos ou termos
Em
por
uma
certa
matriz,
coluna,
cada
nessa
elemento
ocupa
uma
posição
definida
por
certa
linha
e
ordem.
a
1
coluna
a
2
coluna
a
3
1
linha
2
⎛
5
3
coluna
⎞
linha
a
3
3
linha
16
8
a
linha
6
⎝
4
2 ⎠
a
Observe,
na
matriz
acima,
que
o
elemento
16,
por
exemplo,
ocupa
a
3
linha
e
a
a
2
coluna.
Indicamos
esse
elemento
por
a 32
Portanto,
5
a
16
(lemos:
“a
três
dois
é
igual
a
dezesseis”).
32
Genericamente,
,
a
em
cada
que
i
elemento
indica
a
linha
de
e
j j
uma
matriz
indica
a
pode
coluna
ser
representado
ocupadas
por
pelo .8991
símbolo
ele.
ij
ed orierevef
Exemplos Obser vação
a
O
elemento
5
está
na
a
1
linha
e
na
2
coluna;
então,
a
5
5.
5
0.
ed
a)
12
matriz
91
Na
2
⎛
5
3
b)
⎞
O
elemento
0
está
na
a
2
linha
e
na
1
coluna;
21
c)
O
elemento
2
está
na
016.9
1
a 21
a
0
então,
ed
a
a
4
linha
e
na
3
coluna;
então,
a
5
2 .
8
Uma
matriz
A
é
representada
por
A
5
(a
)
ij
m
, 3
em
que
1
<
i
<
m
e
1
<
j
n
⎠
com temos,
i,
j
Ñ
N.
Assim,
a
matriz
A,
do
tipo
m
3
n,
pode
ser
representada
por:
ainda:
<
n
ogidóC
6
⎝
laneP
16
e
3
ieL
43
od
5
2
a
5
3
5
21
a
5
21
5
16
481
a 11
⎛ 22
5
3
31
a
22
2n
⎞
32
A 5 5
a
33
5
3n
32
6
oãçudorpeR
a
1n
23
.adibiorp
a
12
.trA
a
41
5
4
42
a
⎝
a
m
n
⎠
Exe rc íc io resolv id o
R1.
Escrever
a
matriz
A
5
(
) i j
, 2
3
qual
5
1
2 j
i j
Resolução
Uma
matriz
do
tipo
a
⎛ A
12
13
2
3
3
é
a 22
Aplicando
a
a
a
23
genericamente
por:
⎞
“lei
de
⎠
for mação”
5
1
1
2
1
5
a
5
1
1
2
2
5
a
5
1
1
2
3
5
a
11
a
dos
elementos
dessa
5
2
1
2
1
5
4
5
2
1
2
2
5
6
5
2
1
2
3
5
8
21
12
representada
5
⎝
22
13
23
⎛ 3
Portanto:
A
5
7⎞
5
⎝
162
na
3
4
⎠
matriz,
temos:
1.2
Igualdade
de
matrizes
Tomando-se matrizes de mesmo tipo, os elementos de mesmo índice, isto é, aque
les que ocupam a mesma posição, são denominados elementos correspondentes
Considere
as
matrizes
A
e
B
⎞
⎛ 12
13
22
23
32
33
A 5
⎝
⎞
⎛ 12
B
13
5
b 22
Como
as
matrizes
A
e
B
são
do
23
b
⎝
ntes
⎠
32
mesmo
33
tipo
(3
⎠
3
3),
seus
elementos
correspon-
são:
a
e
b
e
b
e
b
11
a
11
a 21
21
a 31
e
b
e
b
e
b
12
22
32
e
b
e
b
13
a
22
a
31
a
12
13
23
a
32
23
e
33
33
.8991 ed orierevef
Duas
os
matr
zes, A e
elementos
B,
são matrizes
correspondentes
iguais
são
quando
são
de
mesmo
tipo
e
todos
iguais.
ed 91 ed 016.9 ieL e laneP
Exe rc íc io resolv id o
ogidóC od
R2.
Deter minar
481 .trA .adibiorp
A
⎝
oãçudorpeR
z
3
5
valores
y
2
⎛
os
1
y
5
x
de
x
y
e
que
⎞
z
0
z
B
as
7
3
5
9
4
0
6 ⎠
⎝
matrizes
A
e
B
iguais.
1⎞
⎛ 2
5
⎠
6
tor nam
Resolução
A
correspondentes
Jx
5
V
z
⎧
4
x
e
sejam
B
sejam
iguais;
iguais,
assim,
é
necessário
devemos
que
os
elementos
ter:
5 64
7
⎨ 5
9
⎩
Resolvendo
⎧
z
z
5
o
sistema
7
(I)
9
(
)
y
5
pelo
método
da
adição,
obtemos:
⎩
2y
5
16
V
Substituindo
8
1
z
5
7
Portanto,
Não;
V
x
nesse
y
z
5
8
por
5
em
(I),
obtemos:
21
64,
caso,
8
y
5
para
8
e
z
5
quaisquer
21.
valores
de x
y
z
Ref lita m
triz
não
seriam
iguais,
pois 11
Considere as matrizes
11
A e B do exercício R2. Caso mudássemos
b
para um número diferente
11
x
e
seriam as mesmas?
163
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
1.
Deter mine
o
tipo
abaixo.
5.
Elabore
uma
lei
de
for mação
que
represente
os
⎞
a)
1
⎝
matrizes
⎛ 1⎞
1
⎛
das
3
c)
3
2
⎠
6
⎝
7
3
1
⎛ 1
1
1
2
4
8
1⎞
3
9
⎠ elementos
da
matriz
A
5
16
⎞ 1
⎛
Resposta
7
⎛
possível:
1 0⎞
27
81 ⎠
j
0
b)
3
3
d)
1
2 3
1
⎝ 5
⎝
5
A
2
5
( (a
) i j
,
3
3
em
que
a
4
5
i
i j
⎠
⎠ 1
2.
Escreva
a
matriz
A
5
)
(a i j
na
3
3
qual
a
4
5
3i
1
2 j.
3
i j
6. 3.
Escreva
a
matriz
B
5
(b
)
i j
em 3
3
4
matrizes
i
5
(1
3
B 5
3
i
i
⎝
3
0
⎠
Não,
6 ⎠
pois
mesmo
Identifique
1
j
5
os
elementos
de
A
em
que
i
5
j
são
iguais?
Por
elas
não
são
do
tipo.
quê?
ou
A
primeira
a
segunda
é
do
é
tipo
5
dotipo
3
1
3
1
e
5.
4. 7. ⎛
a
0).
j
Elas
i
7
7
⎞
3
⎝
⎩
4.
4
j
⎨ j
e
que:
⎛
5 j
as
2
⎧
b
Considere
5
$26$5
5
7
5
9
5
3
6
[ 2
Deter mine
a
b,
c
e
d
para
que
as
matrizes
⎞
[
11
a 22
A a
)
5
8
7
b
⎛
[ 24 [
3c
⎞
a
3⎞
8
1 ⎠
sejam
e
13
⎝ 5
a
⎛ 7
j
33
7
5
9
a
⎝
⎠
b
2c
⎠
⎝
iguais.
a
5
1,
b
c
5
21
5
3,
27
31
⎞ 11
5
7
9
8
10
12
14
13
15
17 ⎠
11
23
1.3
Alguma s
matrizes
orierevef
⎝
5
ed
A 5
d
.8991
⎛
2.
e
especiais
ed
com
algumas
especiais.
características
A
seguir,
apresentadas
veremos
algumas
por
dessas
certas
matrizes,
elas
016.9
nomes
ed
acordo
91
De
recebem
matrizes.
ieL e
Matriz
quadrada
matriz
qua
ra
a
aque
a
matriz
cujo
número
e
in
as
é
igua
ao
colunas.
ogidóC od
ma-se
número
laneP
481 .trA
Exemplo
1 ⎞
As
de
uma
matriz
quadrada
2 3
2
ou,
simplesmente,
Os
matrizes
quadradas
apresentam
uma
elementos
matriz
a
com
i
quadrada
5
j,
isto
é,
de
elementos
que
formam
matriz.
Os
a
,
...
,
a
11
elementos
a
com
i
1
formam
5
n
1
,
1,
formam
isto
é,
a
diagonal
per tencentes
iguais
a
matriz
zero
à
é
chamamos
secundária
dessa
diagonal
a 2 n
principal
a 1
,
3 n
...
2
a n1
⎞
onal
chamada
A 5
não
7
principal
de
diagonal
secundária
diagonal
principal
diagonal
Matriz
Uma
nula
matriz
com
todos
os
elementos
i
uais
a
zero
é
denominada matriz
Exemplo
⎛ 0
0
0
0
0
0
A 5
é
uma
matriz
nula
do
tipo
3
3
2,
também
indicada
por
0 3
⎝
164
,
matriz.
que
elementos
dia
a
a 1n
⎛ quadrada
os
que
Exemplo
Obser vação
todos
o
nn
j
i j
matriz
ordem2.
ordem n
a
i j
dessa
tenha
de
diagonais
Considere
Uma
matriz
⎠
3
2
nula
oãçudorpeR
é
⎝
.adibiorp
⎛ 5 A 5
Matriz
identidade
Chama-se
matriz
Obser vação
identidade
(I
)
a
matriz
quadra da
de
or dem
n
em
que
Em
n
todos
a
os
elementos
da
dia gonal
pr in c i pa l
s ão
i g u ais
a
1
e
os
d e ma is
s ão
ig u ai s
qualquer
ordem
n,
matriz
vale
a
identidade
de
relação:
zero. 1,
5
a i
j
0,
Exemplos
⎛ 1
I
a)
5 3
1
0
0
0
1
0
0
0
1
b)
I
⎞
1
5 5
⎝
⎠
1⎠
⎝
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
8.
Deter mine
a
matriz
1
⎛
i qual
a
quadrada
A
de
ordem
2
na
11.
Deter mine
k,
5
2
i j
⎛
2
⎝
1
5
⎠
A
5
(a
) i j
, 3
3
com
a
3
I
1
5
2i
1
j
,
deter mine
⎠
a
i j
.8991
principal
diagonal
que:
2
k
⎝ e
para
⎞ 1
j
diagonal
real,
⎞
1
e
principal:
a
3,
8
diagonal
e
15;
secundária
diagonal
secundária:
de
11,
A
8
e
7
12.
Denomina-se
traço
de
uma
matriz
a
soma
dos
ed orierevef
elementos 10.
Sendo
B
)
(b i j
,
4
3
em
que
5
b
de
sua
diagonal
principal.
Deter mine
⎨
i j
4
o
⎩
traço
da
matriz
A
5
(a
) i j
, 3
3
com:
3
ed 91
calcule
a
diferença
entre
o
produto
dos
elementos j,
ed
⎧ da
diagonal
principal
e
o
produto
dos
elementos
da
016.9
a
5 i
se
i
14
⎨
j
i diagonal
secundária,
nessa
ordem.
⎩
375
ieL e laneP 481
Adição
e
subtração
de
matrizes
.adibiorp
dono
oãçudorpeR
de
compra
As
de
de
Semana
1
Cesta
Buqu
os
de
a
1
a
2
Lo
a
40
37
130
89
das
a
soma
das
em
tipo
duas
cada
semanas
mantém
suas
lojas,
manter
vendas
em
Semana
acima,
ornamento
cada
nas
de
um
2
Lo
1
e
2
de
cada
controlar
semanas.
a
1
Lo
a
2
Lo
a
90
270
98
Cesta
76
44
53
123
76
90
podemos
duas
ornamento
na
encontrar,
semanas.
em
loja
1
a
elevado.
Arranjo
nas
semanas
registrado
para
estoque
duas
Buquê
tabelas
de
as
3
49
tipo
três
precisar
230
dados
Soma
sem
290
cada
a
em
mostram
Lo
vendidos
indicando
floriculturas
120
correspondentes
arranjos
de
vendido
abaixo
Lo
Arranjo
Com
rede
suprimentos
tabelas
vendas
uma
ornamento
cada
foi:
por
Para
loja.
120 1
Por
3
exemplo,
isso,
90
YTTEG/OTOHPKCOTS
.trA
O
tipo
SEGAM
ogidóC od
2
exemplo,
5
o
somamos
210.
total
os
o
Veja
total
a
de
dados
de
tabela
loja:
Loja
1
Loja
2
Loja
3
Arranjo
210
560
328
Cesta
125
84
90
Buquê
253
165
167
165
Também
em
cada
cada
o
tipo
de
número
negativo
à
podemos
loja
nas
de
cestas
Diferença
Veja
entre
as
a
em
foram
tabela
semanas
1
diferença
Para
cada
vendidas
que
a
semanas.
ornamento
indica
primeira).
encontrar
duas
nas
duas
4
indicando
2
nas
vendas
subtraímos
estabelecimento.
vendidas
e
isso,
(nessa
semanas
cestas
a
a
na
diferença
ordem)
A
ideia
e
loja
na
em
Loja
cada
tipo
dados
exemplo,
2
foi:
cada
a
40
segunda
de
ornamento
correspondentes
diferença
44
5
24
semana
em
loja:
1
Loja
2
Loja
20
132
Cesta
27
4
16
7
13
13
nessa
situação
será
usada
no
sinal
relação
30
trabalhada
a
entre
(o
Arranjo
Buquê
ção
Por
mais
de
os
estudo
da
adição
e
da
3
subtra-
matrizes.
o
1
Reflita
A
própria
matriz
A,
pois
0
é
m
matriz
nula,
elementos
real
zero;
isto
é,
todos
correspondem
portanto,
ao
2.1
a
Adição
de
matrizes
3
os
seus
ao
número
somarmos
cada
Dadas
duas
matrizes
de
mesmo
tipo,
A
5
(a
)
i j
)
elemento( (
da
matriz
A
com
e
m
3
B
5
(b
n
)
i j
,
m
3
a
matriz
n
zero,
ij j
soma
A
1
B
é
a
matriz
C
5
na
(c i j
obtemos
o
próprio
elemento
m
3
qual
c
n
5
a
i j
1
b
i j
para
todo
i
e
todo
j
i j
(
.8991
Exemplo Obser vação
as
mesmo
matrizes
A
as
matrizes
A
e
B,
tal
2
3
1
0
1
4
que:
⎛
0
1
2⎞
⎝
1
3
5⎠
orierevef
do
que
ed
Sejam Note
5
B
tipo.
r
r
m
riz
A
1
B,
basta
adicionar
os
elementos
correspondentes
ed
P
91 ed
A
Ref lita
B
você
obtém
se
(a
a
uma
)
i j
a
m
3
⎛
2 ⎞
1
0
4 ⎠
1
⎝
1
5 ⎠
3
0
⎞
3
⎛
2
4
3 ⎞
4
9 ⎠
5 3
⎝
matriz
matriz
n
0
4
⎝
⎠
1
laneP
5
0
? m
3
n
a
a
oposta
com A
matriz
nula
resu
matriz
ta
na
A
matriz
do
nu
tipo
a
e
m
3
n
mesmo
e
indica-se
tipo,
isto
por
é, A
1
A
a
2A
ma-
50,
.adibiorp
0
matriz
soma
0 m
3
n
Ref lita
você
obtém
ao
1
⎛ calcular
oposta
A
matriz
de
própria
oposto
a
uma
matriz
do
oposta
matriz
A,
oposto
pois,
de
da
matriz
Se
ao
3
⎝
calcular
1
⎛
2⎞
, então
A?
cada
2⎞
A 5 5
1
⎛
2⎞
, pois:
⎠
3
⎝
5 ⎠
⎛
1
2⎞
1 3
⎝
5⎠
⎛ 0
0⎞
⎝ 0
0⎠
5
⎝
⎠
o
elemento a ij
isto
é,
(
a
),
obtemos
o
próprio
Espera-se
o
oposto
ij
que
do
os
alunos
oposto
de
percebam
um
número
Propriedades
a
ij
da
adição
que
é
o
Dadas
as
matrizes
A
B
C
e
0
(matriz
m
próprio
número;
então,
a
matriz
seguintes da
matriz
oposta
é
a
matriz
e
três
matrizes
verifique
propriedades
Resposta
a
da
de
A
que
das
a
entre
os
alunos
são
adição
conveniência
R
no
de
mesmo
tipo,
valem
as
1
(
A
1
C
C
5
5
0
n
)
(comutativa)
A
5
1
(B
1
m
3
(
1
A
C )
5
A
5
B
1
)
C
(associativa)
(existência
do
elemento
neutro)
n
5
0
X
A
5
B
(existência 3
do
elemento
oposto)
n
(cancelamento)
percebam
dos
valores
da
e
para
as
Subtração
de
matrizes
adição
válidas.
de
fazer
propriedades
conjunto
1
1
m
adição.
propriedades
atividade
as
B)
B
0
aproveitar
A essa
1
1
5
m
2.2 as
matrizes
Verificar
B
mesmo
validade
independentemente
atribuídos,
de
todas
pessoal.
Espera-se
que,
1
A
tipo
nula),
n
propriedades:
dada.
Ref lita
Invente
3
oposta
da
adição
propriedades
conjunto
das
diferença
entre
duas
matrizes
A
e
B,
de
mesmo
tipo,
é
a
soma
da
matriz
A
analogia
no
com
a
oposta
de
B,
isto
é,
A
B
5
A
1
(
B).
da
matrizes.
Exemplo
⎛
2
3
5⎞
⎛
⎞
⎛
2
3
⎝
166
⎠
⎝
4
5⎠
⎛ 0
5⎞
2
⎞
1
5 3
⎝
⎠
⎛
2
5
4⎞
5
⎝
4
⎠
⎝
1
⎠
oãçudorpeR
Exemplo matriz
.trA
sen
opos ta
481
Chama-se
trizque
ogidóC od
Matriz
Que
e
A
⎛
5 ⎝
adicionar
1 ⎞
A 1
ieL
matriz
016.9
⎛ Que
Exe rc íc io resolv id o
2
R3.
Dadas
as
1
1
⎛
matrizes
B
X
de 2
3
modo
que
A
1
X
5
0
3
⎛
X
Logo: 5
⎝
obter
2⎞
5
5
⎝
⎠
B
Outro
2
1⎞
5 3 ⎠
modo:
X usan
Resolução
do
⎛ a
Representando
a
matriz
X
b⎞
por
A
, c
⎝
d
as
1
propriedades
X
5
B
da
adição
de
matrizes:
Æ
temos: (
⎠
A A)
1
A
1
1
0
X
5
X
(
A A)
B
1
A
B
Æ
Æ
3 2
⎛ 2
1⎞
⎛ a
b⎞
⎛
⎠
⎝
1
2⎞ Æ
⎝
0
3
⎠
⎝
5
0
X
5
B
A
⎠ Assim:
1
⎛
b⎞
1
⎛
2⎞ 1
2
2
1
5 X 3
⎝
1
⎠
5
⎝
0
⎠
Então:
3
⎛
1
a
5
21
Æ
a
5
2
1
b
5
2
Æ
b
5
X
5 5
⎝
1
c
5
5
Æ
c
5
1
d
5
0
Æ
d
5
⎞
1
3
⎠
23
.8991
⎛ 5
ed
13.
a)
orierevef
⎝
Registre as respostas em seu caderno
2⎞
⎛ 6
b)
1
3
5
2 ⎠
⎝
2⎞
0
6
7
7 ⎠
Exerc íc ios propostos
ed 91 ed
13.
Dadas
as
matrizes
016.9
⎛ 3
Deter mine
1⎞
2
3
1
⎛
0⎞
a
matriz
ieL
⎛ 2
1⎞
⎛
4
1 ⎠
⎝
X
em
cada
⎞
item.
3
⎛
4⎞
a)
e laneP
B
⎝
4
0
5
⎝
⎠
0
1
1
2
1
⎠
3
2
⎝
5
⎝
e
⎛ 1
⎠
2⎞
ogidóC od
efetue,
481
a)
A
quando
1
B
possível,
b)
A
1
(B
as
1
c)
( (A
⎝
1
B )
1
4
3
4
⎠
⎝
0
5 ⎠
6
0⎞
⎛
4
2
⎝
⎛
5 1
1
⎝
⎠
4⎞
1
operações:
C )
2
⎛
b)
3
3
6⎞
6
6 ⎠
2
⎠
⎝
⎠
I 3
16.
.trA
Não
é
Considerando
as
matrizes
possível. 2
A
(
)
,
.adibiorp
2
4
14.
Dadas
as
1
⎛ 2
matrizes
B
5
5
(b
2
i
1
j
para
todo
,
3
)
i j
⎝
3
0⎞
3
, 2
3
com
3
b
5
3i
para
todo
b
i j
,
deter mine:
i j
1 ⎠
oãçudorpeR
calcule:
a)
o
elemento
c
da
matriz
C
5
A
1
B
14
22
a)
B
A
b)
A
(B
1 I
)
c)
B
( (A 1 0
2
⎛ 14.
2
1 ⎞
⎛
a)
1
1 ⎞
1
0 ⎠
b)
⎝
1
2
⎛
b)
)
o
ter mo
de
igual
a
á
3.
2 3 2
1 ⎞
c)
1 ⎠
⎝
1
⎝
1 ⎠
⎞
⎛
7
Multiplicação
de
um
número
real
7
2
3 ⎝
por
uma
⎛
Sendo
a
m
obtida
matriz
A
5
(a
)
i j
3
n
pela
2
3
3
e
m
3
k
um
número
real,
k
A
é
uma
matriz
do
1
A
1
A
⎞
5
9
⎝
tipo
21
⎠
15
n
multiplicação
de
k
por
todos
os
elementos
de
A ⎛
⎞
6
⎛ 3
3
3
(
Exemplo
A
5
( (a
)
e
m
B
5
( (b
3
) m
5
modo
que
B
5
A
1
A
1
A,
para
cada
par
i
j,
<
e
3
k
5
3,
)
i
<
5
m
e
( (a
1
1
<
( (a
j
)
<
1
n,
( (a
⎞
21
15
2
⎠
⎠
3
com
Logo: 1
0
(b
A 5
⎝
3
de
9
3
⎝
tal
0
7)
5
2
3
matriz
A
Se
7
5
A
1
A
1
A
5
3 3A
temos:
)
V
( (b
)
5
3
a
)
então: Logo,
B
5
3
Ref lita
A
2 C
5
m
B
5
A
1
A
1
A
B
5
8
A,
podemos
concluir
3
que:
A
1
A
1
53
exemplo,
⎛ 2
k
A
5
3
0
⎞
7
⎛ 3
2
3
0
3
3
3
(
5
2
⎛
⎞
7)
2
6
5
0⎞
1
⎝ 15
A
do
A
2⎠
A
A
se
A
qualquer,
é
=
válida
3
igualdade
A
vale
a
a
A
igualdade
5 ⎝
3
⎠
⎝
3
⎠
1
A
=
3
A?
167
⎠
Exe rc íc io resolv id o
R4.
Deter minar
Y
5
Y
5
as
matrizes
e
Y
Como
A
B ,
⎨
⎩
X
em
1
X
2B
1
1
Y
5
Y
5
2B
5
A
A
1
1
3B,
3B
temos:
V
Y
5
B
que:
B Assim:
1
2
⎛
A
B
⎝
2
2
⎞ ⎛
5
⎝
⎠
1
3
X
5
A
1
2
⎞
⎛
⎞
2
⎝
1
V
⎠ 0
1 ⎠
⎝
1
3
⎠
Resolução ⎛
Resolvendo
o
sistema,
⎝
5
⎧
5
2
2
5
⎞
temos: ⎠
B
⎨ 5
A
⎛
B
⎩
Y
B
⎞
5 1
⎝ 2X
5
2A
1
4B
X
5
A
1
3
⎠
2B
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
1
17.
Sendo
3
A
B
1⎞
4
0 ⎠
deter mine:
Ver
resolução
⎛ 0
C
⎝
no
Guia
do
6⎞
5
⎝
4
a)
4
A
b)
3
A
5
4
(A (
1
2
A
5
(3
1
B )
verdadeira
2A
(B
1
(5
B )
5
1
(
2)
A
5)
B
verdadeira
ver
a
eir
orierevef
d)
B
ed
3A
4
professor.
c)
a)
1
⎠
.8991
⎛ 2
5
C ) d)
6
(A (
1
B )
5
6
A
1
B
falsa
1 2(A (
C )
1
3(B
e)
A A)
1
(
B )
5
B
ed
e)
b)
verdadeira
91
3
2 B
f )
B
1
C
2
3
2
19.
Dadas
A
B
duas
se
a
matrizes
igualdade
A
e
B
de
matricial
é
⎞
mesmo
tipo
verdadeira
,
⎠
⎝
7
calcule
as
⎠
e
⎧2
ou
matrizes
X
e
Y
tais
1
5
A
laneP
verifique
6
1
e
Invente
2
5
ieL
⎝
18.
⎛
I
3
016.9
2
ed
1 c)
B
que: 3
2
5
ogidóC od
⎨
falsa.
2A
⎩
6
⎛
0
3⎞
5
7
1
12 ⎠
4
Multiplicação
Considere
Pedro
a
situação
precisa
supermercados.
de
que
ele
a
as
matrizes
seguir.
comprar
Veja
de
oãçudorpeR
OIGÁNE
.adibiorp
OHLEOC
⎝
.trA
Y 1
481
2
5
19.
alguns
tabelas
produtos
indicando
os
e
resolve
preços
pesquisar
pe squisados
preços
e
as
em
dois
quantidades
precisa.
Produto
$/kg)
$
Laranja
(R$
$/dúzia)
A
1,72
1,90
1,55
3,00
B
1,76
1,24
1,72
3,94
Sal
Cenoura
1
0,5
3
Laranja
Ovos
kg
2
kg
kg
dúzias
Para
saber
em
qual
Também
é
dos
&
&
possível
supermercados
(1,72)
1
(1,76)
efetuar
1
1
ele
(1,90)
0,5
(1,24)
esse
gastaria
1
(1,55)
0,5
cálculo
por
menos,
(1,72)
meio
de
3
1
podemos
(3,00)
3
2
(3,94)
matrizes.
2
calcular:
5
5
13,32
15,42
Veja:
Ref lita ⎞
⎛
⎛ 1,72 P
1,90
1,55
3 , 0 0⎞
1
A
0, 5 Q
5
quantidade
matriz
⎝ 1,76
1,24
1,72
3 , 9 4⎠ 3
da
2
3
quantidade
matrizQ
1
Não.
matrizes
P
(preço)
e
Q
(quantidade)
resulta
na
matriz
C
Se
matriz
linhas
(custo
da
compra
em
cada
colunas
ser
da
diferente
de
linhas
da
⎠ 4
das
poderia
4
⎝
multiplicação
P
3 2
A
de
5
P
a
quantidade
fosse
da
de
diferente
matriz
Q,
colunas
da
da
quantidade
sobrariam
que
não
teriam
portanto,
⎞
não
correspondentes;
seria
possível
calcular
1 produto
⎛
P
⎛
⎞
1,72
1,90
1,55
3,00
1,76
1,24
1,72
3, 94
8
⎝
as
matrizes.
⎞ 13,32
0, 5
5
entre
5 15,42
3
⎠
2
⎝
⎠
⎠
o
O
elemento
c
da
matriz
produto
P
Q
foi
calculado
multiplicando
o
1
ele-
11
o
mento
da
linha
1
de
pelo
o
elemento
1
da
coluna
1
de Q,
o
2
elemento
da
linha1
o
de
pelo
produtos
elemento
2
obtidos
da
foram
1
11
12
.8991
1
1
de
Q
e
assim
1
21
13
(1,90)
1
sucessivamente;
em
seguida,
os
somados:
1
11
(1,72)
coluna
0,5
5
31
1
14
(1,55)
c
41
3
1
11
(3,00)
2
13,32
ed orierevef
O
elemento
da
c
matriz
produto
Q
é
obtido
de
modo
análogo.
21
q
p 21
1
p
11
ed
(1,76)
q
22
1
1
1
p
21
q
23
(1,24)
0,5
1
p
31
1
q
24
(1,72)
5
c
41
3
1
21
(3,94)
5
15,42
o
produto
91
2
ed 016.9
De
modo
geral:
ieL e laneP
Dadas
as
matrizes
A
5
(a
) i j
ogidóC od
triz C 5 (c c
)
i j
e m
3
B
5
(b
n
) i j
, na qual cada elemento c
m 3 p
, n
3
de
A
por
B
é
a
o
1
ma-
p
é a soma dos produtos obtidos ao mul
i j
o
tiplicar
o
elemento
da
linha i
de A
j
de
B,
o
2
o
mento da linha i de A pelo 2
j de B, e assim sucessivamente.
481 .trA .adibiorp
Note
que
o
produto
das
matrizes
A
e
B,
indicado
por
A
B,
só
é
definido
se
oãçudorpeR
onúmero de colunas de A for igual ao número de linhas de B, e esse produto teráo
mesmo
número
de
linhas
da
matriz A
e
o
mesmo
B
A m
3
n
n
5 3
número
de
colunas
da
matriz B
C
p
m
3
p
iguais
Exemplo
[
⎡
2⎤
⎣
6 ⎦
2)
2
(
2
6]
1
[40]
Exe rc íc ios resolv id os
R5.
Dadas
as
matrizes
Então
A
B
C,
sendo
C
(
) i j
⎛ 0 2
B
A 2
B
5
5
4
,
deter minar
A
3
2
3
3
5 3
3
C
2
2
3
2
B
4
iguais
⎝
2
1⎞
1
3
1
⎠
Resolução Os
Como
triz B
a
é
matriz
do
tipo
A
3
3
3
2,
existe
o
3
e
a
produto
ma-
A
B
elementos
seguinte
c
:
é
a
da
matriz
C
são
obtidos
do
modo:
soma
dos
produtos
obtidos
quando
11
a
ois
o
númer o
de
colunas
da
matriz
A
é
se
multiplica
ordenadamente
a
1
linha
a
igual
ao
número
de
linhas
da
matriz
B ).
deA A
pela
1
coluna
de
de
elementos
supermercado):
B
169
o
c
:
é
a
soma
dos
produtos
obtidos
quando
R7.
Retomando
a
situação
da
abertura
deste
capítu-
12
a
se
multiplica,
ordenadamente,
a
1
linha
a
de
A
pela
2
coluna
de
lo,
vamos
Daniel
B;
nas
manhã
:
c
é
a
soma
dos
produtos
obtidos
calcular
e
as
corridas
da
distâncias
de
cada
percorridas
série
do
por
período
da
tarde.
quando LACIDAR
a
se
multiplica,
ordenadamente,
a
2
linha
a
deA
c
:
é
a
1
coluna
soma
dos
de
B;
produtos
obtidos
OCOF/SPPILIHP
pela
quando
22
a
se
multiplica,
ordenadamente,
a
2
linha
a
de
A
pela
coluna
de
B
temos:
⎛ 0 ⎛
12
⎛ 2
0
1⎞
⎝
2 2
⎠
⎝
1
3
4
0
1
1
2
1
5
4
3
1
⎠
⎝
⎛
1⎞
OGIRDOR
⎞
B
C
LEUNAME
Assim,
2
0
⎠
⎞
1 1
5 0
⎝
1
1
3
⎛
Logo,
1
3
1
Resolução
⎠
Vimos
que
for ma
de
as
⎝
27
17
ma
⎠
matriz.
para
representa Resolver
a
equação
escritas
os
na
dados
da
3
⎛
⎞
a
a
unidade
hora,
velocidade na
pois
a
matriz B
unidade
0
2
1
5
⎞
6min
como
3 min
equivalem
a
equivalem
0,10
h
e
9
a
km/h.
min
0,05
h,
equivalem
5
⎝
a
0,15
h,
temos:
⎠
⎡
5
0,1 0
0,1 0
0, 0 5
0, 0 5
0,1 0
0,1 5
⎤
8
⎡
B
5
1
⎤
12
10
10
12
Resolução
para
a
ocorrência
dessa
⎣
⎦
⎦
mulobter
série
de
as
distâncias
percorridas
em
cada
tiplicação: cada
período
do
dia
nesse
treinamen-
ieL
Para
016.9
condições
91
⎣
São
ed
0, 0 5
0, 0 5
ed
A
0,1 0
orierevef
⎠
ed
2
⎝
.8991
1
X
ser
matricial:
Assim,
⎛
podem
Inicialmente,
riz A
minuto
R6.
tabelas
3⎞
C
e
X
ter
2
colunas,
pois
a
matriz
mul to,
devemos
multiplicar
as
matrizes
A
e B
a
tiplicada
tem
2
linhas;
Em
cada
série
ele
manhãs
correu
por
da
1
semana,
0,10 hora
a
por
8 km/h
X
mais tem
2
0,05
10
km/h,
a
12 km/h
3
⎛
⎞
0
2
1
5
8
1
seja,
0,05
ele
mais
a
12
1
0,10
10)
0,1 0
0, 0 5
0,1 0
0, 0 5
0,1 0
0, 0 5
0, 0 5
0,1 0
15
⎡
5 2
⎝
5
2,4
km
⎤
8
⎡
12 ⎤
⎠
⎣
iguais
⎡
11
12
31
33
⎣
⎦
12
10
10
12
oãçudorpeR
⎠
km
⎞
3
⎝
0,10 hora
percorreu:
.adibiorp
1
ou
⎦
⎤
5
Temos,
então:
⎣
⎛
⎝
a
b
c
d
⎞
⎠
⎛
2
⎝
⎛
⎞
1
⎠
⎝
0
2
1
⎦
⎞ Calculando
cada
elemento
da
matriz
produto,
obtemos:
⎠
c
5 0,10
8
5 0,10
12 1 0,05
0,05
12
5 0,05
8 1 0,10
5 0,05
12
5 0,05
8
0,10
10 5 2,4
11
⎛
a
(
b
2)
a
b
(
1)
⎞
⎛
0
2
1
5
⎞
c
10 1 0,10
12 5 2,9
12
5 (
c
2)
(
c
1)
⎝
⎠
c
12 1 0,05
10 5 2,1
21
⎠
c
0,10
10
0,05
12 5 2,2
22
Igualando
as
matrizes,
obtemos
os
sistemas:
c
0,10
12
0,15
10 5 3,1
31
c
5 0,05
12
0,10
10
0,15
12 5 3,4
32
⎧
5
⎧
⎨
⎩
1 Assim:
⎨ ⎡ 2, 4
2, 9
2,1
2, 2
⎤
⎩
5
Resolvendo
os
sistemas,
obtemos:
3,1
⎣
3, 4
⎦
a
Portanto, 2
em
cada
dia
da
1
semana,
ele
deve
2
b
d 5
5
percorrer
2,4
da
manhã
na
2
e
km
2,9
em
km
cada
em
uma
cada
das
série
séries
da tarde;
a
⎛
Logo,
X
2
5
5
9
2
5
5
⎞
nhã
5
semana,
e 2,2
km
2,1
em
km
em
cada
cada
série
série da
da
tarde;
ma
e
na
a
⎝
170
4
3
⎠
e
semana,
3,4km
3,1
em
km
cada
em
série
cada
da
série
tarde.
da
.trA
(0,10
⎛
hora
linhas.
481
matrizes
ogidóC od
exemplo,
das
laneP
manhã
Propriedades
Dadas
sejam
A
C
matrizes
possíveis,
A
as
B)
1
C
B)
A
da
1
A
valem
5
A
multiplicação
B
e
as
B
C, C
tais
que
seguintes
C
as
operações
entre
elas,
indicadas
abaixo,
propriedades:
associativa)
C
5
A
C
1
B
C
distributiva
à
direita)
B)
5
C
A
1
C
B
distributiva
à
esquerda)
2
⎡
4 ⎤
5
⎡
2
1
2 as
matrizes
A
⎤
4
5
B
1
3
3
4
⎤
5
e
C
2
⎦
3
1 ⎤
2
5
3 ⎤
4
2
⎡
3
4
22 ⎤
7
⎣
⎦
4 ⎤
11
1
⎡
8
⎣
14
⎡ 5
⎣
⎦
2 ⎤
5 1
⎣
⎦
2
⎦
2
⎣
4
⎦
5 A
1
⎦
3 ⎤
5
Considere
1
3
8 1
⎣
Ref lita
B
i
B
A;
logo,
não
vale
a
propriedade
comutativa.
A
B
e
B
A
2
⎡
matrizes?
A
B
5
A
C, C
bem
como
B
i
C
1 ⎤
2
⎦
14
⎡
8 1
⎣
⎡ 3
4 ⎤
5
22 ⎤
5 2
⎣
5
7
⎦
11
A
B
do
cancelamento.
5
A
C
e
i
C;
logo,
não
vale
a
lei
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
.8991 ed
20.
Da
as
as
b)
matrizes
Compare
orierevef
tivas 2
os
produtos
matrizes
4 ⎛
ed
B
1
0⎞
3
1
e
C
91 ed
1
matrizes
iguais,
inventadas.
25.
(Ibmec)
Uma
agência
de
propaganda
utiliza
nas
⎠
016.9 ieL
caso
respec-
são
5
1 ⎠
deter mine,
às
as
produtos
2⎞
⎛
5
com
Os
respectivamente,
A
⎝
obtidos
inventadas.
campanhas
publicitárias
clientes
tipos
três
de
que
material
elabora
para
para
seus
divulgação
em
exista:
e
papel:
laneP
a)
og idóC
b)
A
B
10
4
5
2
a)
B
12
A
C
3
b)
Não
1 ⎠
é
7
⎝
possível
od 481 .trA
( (A
e
A
B B)
0
C
24
12
7
⎝
⎠
.adibiorp oãçudorpeR
o
valor
3
y⎞
x
2
de
x
2 ⎞
⎛
⎠
3
⎝
a
e
de
y
de
modo
que:
1 ⎞
⎛
0
A
1
⎛ 5⎞
B 3
a
1
e
⎝
A
B
5
C
C
em
⎛
X
1
que:
3 ⎞
5
3
⎞
5
0
⎠
⎝
8
⎠
$
$
$
4,00
$
$
$
4,00
$
$
$
6,00
2⎞
5
,
⎝
3
⎛
5
1
matriz
⎠
X
⎛ 3
Dada
7
5
⎝
⎠
equação
A
Tabela
Resolva
1 ⎠
5
23.
grosso.
22.
⎞
alcule
⎝
0
C ) ⎝
⎛
simples;
⎞ e)
c)
(B
⎠
calcular. ⎛
⎛
d)
21.
A ⎝
c)
24
5
1
deter mine
a
matriz
X
⎠ 1
0
2
tal
que
5 a)
O
que
pode
ser
dito
X
é
a
a
respeito
matriz
da
matriz
identidade
de
ordem
X ?
Invente
A
quatro
B 1
1
matrizes
C 2
2
e 3
quadradas:
b)
4
Realize
as
multiplicações
A
e
I 1
I
A
A
e
A
B
I
e
I
B
B
e
B
C
I
e
I
C
C
e
C
4
campanha
os
3
I
gráfica
C
deste
último
ano,
a
agência
1
D
abaixo:
cada
4
a)
D
3
2.
24.
3
e
I
valores
unitário
D
D
e
D
de
dados
médio
impressão.
na
que
PB:
Tabela
a
R$
1,
agência
2,15;
CK:
determine
teve
R$
em
2,70;
o
custo
cada
CKX:
R$
tipo
4,60
4
171
⎦
5
A
Determinante
toda
da
matriz
matriz,
Para
quadrada
que
é
obtido
representar
tituímos
os
o
de
associa-se
por
meio
ou
um
de
determinante
parênteses
colchetes
uma
matriz
número,
operações
de
da
uma
denominado determinante
entre
matriz A
matriz
por
os
elementos
(indicado
barras
da
matriz.
A
por
simples.
Exemplos
a)
A
⎝
b) A
5
0
3
8⎞
1
4
3
6
1
7
[4]
e
det
1
c)
det
A 5
3
1
8
4
6
A
3
1
7
5
1
⎤
A
e 7
det
0
A 5
5
⎣
0
e
⎦
Determinante
de
matriz
de
ordem
de ordem 1 é o próprio elemento de
.
.8991
O determinante de uma matriz quadrada
1
ed
Determinante
de
matriz
de
ordem
orierevef
2
ed
uma
matriz
quadrada
A
de
ordem
2,
o
determinante
de
A
é
a
diferença
91
Dada
ed
produto
diagonal
dos
elementos
secundária,
nessa
da
diagonal
principal
e
o
produto
dos
elementos
ordem.
ieL
da
o
016.9
entre
e laneP
Exemplo
1
[ (2
(
5
3
od
4
og idóC
2 1
4
481 .trA
Determinante
uma
matriz
matriz
quadrada
A
de
de
ordem
ordem
3,
3
o
determinante
de
A
pode
ser
cal-
Obser vação culado
foi
professor
Sarrus
na
pela
regra
de
Sarrus
(1798-1861)
1
a
matriz
A 5
0
regra
de
Sarrus
provavelmente,
Os
foi
em
determinantes
uma
dos
3
2
4
3
5⎠
Strasbourg.
1
⎝ A
2
universidade
Considere francesa
de
ferramenta
sistemas
escrita,
1833.
constituem
útil
no
Pela
regra
de
Sarrus,
o
determinante
é
calculado
conforme
o
procedimento
estudo
1.
Ao
lado
da
matriz,
copiam-se
suas
duas
primeiras
2.
Multiplicam-se os elementos da diagonal princi-
colunas.
lineares.
pal
e,
na
mesma
multiplicam-se
filas
à
sua
direção
os
da
diagonal
elementos
das
2
principal,
outras
0
duas
2
2
0
3
2
3.
Multiplicam-se
secundária
Obser vação
e,
à
sua
os
na
nal secundária,
filas
os
elementos
mesma
da
direção
que3;
objeto
172
de
porém,
ordem
isso
denosso
3
elementos
das
8
0
diagonal
da
diago-
outras
0
2
duas
4
5
1
3
direita.
possível calcular o determinante
matrizes
2
direita.
10
de
a
seguir.
6
12
0
maior
não
será
estudo.
Subtraem-se
as
Então:
5
det
somas
(10
dos
8
1
produtos
0)
(
6
obtidos
1
12
1
0)
nos
5
passos
24
e 3,
nessa
ordem.
oãçudorpeR
Dada
de
.adibiorp
Exe rc íc io resolv id o
R8.
Determinar x para que seja verdadeira a igual dade:
Assim,
temos:
2
3
1
x
2
1
(
5
8
x
1
3x )
(
2x
2
1
6)
5
0
0 2
2x
x
21
1
2x
12
5
0
22
2
x
1
x
6
5
0
Resolução
6 Pela
regra
de
8
( 2 6)
Sarrus: x
5 2
x
2
2
1
1 6 x
2
3
5
1
2
1
x
5
2
ou
x
5
23
2
2x
6
8
x
3x
Portanto,
x
5
2
ou
x
5
23.
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
26.
Dadas
as
matrizes
A
5
(2),
.8991
a
1 ⎛
ed
1
2
1 b)
orierevef
,
0
⎝
3
4
calcule:
d
ed 91
A
b)
2
e
det
B
c)
5
det
C
deter minante
ed
que
016.9
sempre Aplicando
a
regra
de
Sarrus,
calcule
o
valor
de
uma
matriz
de
ordem
3
1
em
27.
0
f
0
O
det
c
2c
2
5
a)
b
2a
uma
vale
linha
zero?
é
E
“o
se
dobro
fosse
de
o
outra
triplo?
linha”
sim;
sim
dos
ieL
deter minantes.
e laneP
a
b
c
d
a bc;
c)
ogidóC od
0
a)
2
0
0
b)
0
c
0
o
481
tem
.trA
Deter mine
o
valor
da
expressão:
.adibiorp oãçudorpeR
2
1
5
3
7
2
1
2
8
2
5
1
seu
8
29.
Dadas
as
1
3
b)
det
(B
fila
valor
a
b
c
d
(ou
triplica?
a
c
b
d
de
uma
linha,
( (ad
bc);
bc)
matriz
ou
de
coluna)
ordem
2
triplicada,
sim
e
O
(A (
deter minante
uma
d)
0
⎛
bc
ad
bc
4
B )
A)
da
calcule: 1
⎝
2
c)
20
deter minante
de
uma
matriz
de
ordem
2
e
o
4⎞
5
det
( (ad
matrizes
2
a)
3
d
0
Se
28.
3
e c
⎠
det
matriz
por
A
det
B
obtida
colunas,
são
dessa,
trocando-se
iguais?
as
linhas
sim
20
a
b
c
d
c
d
b
a
b
d
c
ad
20
bc
( (ad
bc);
e) ( (ad
30.
Dadas
as
matrizes
Deter minantes 1
3
2
⎛
7
4
⎠
,
⎝
calcule:
linhas
(ou
a)
det
3
(A (
1
det
B )
A
12
75
c)
det
(3
d)
det
A
A )
1
det
Em
cada
tes,
ser
item,
responda
feita
em
depois
às
B
22
a
de
calcular
questões.
(Esta
os
0
0
0
0
b
0
0
0
c
b
c
d
e
f
atividade
têm
ou
opostos
abc
pode
deter minante
3
é
sempre
de
uma
igual
ao
matriz
diagonal
produto
deter minante
de
uma
matriz
de
ordem
3
com
32.
diagonal
Calcule
os
principal?
de
or -
elementos
deter minantes
sim
de
I
I 1
linha
dos
0
da
uma
que
iguais
0
a
O
2
são
grupo.)
dem
a)
ordem
deter minan-
O
0
de
per mutadas
225
f ) 31.
matrizes
colunas)
⎠ opostos?
b)
de
1 ⎞
5
⎝
bc)
de
zeros
sempre
vale
zero?
sim
você
imagina
para
o
e
I
2
deter minante
.
Qual
valor
3
de
I
? 4
32.
1,
1,
1.
Espera-se
determinante
de
I
que
é
os
igual
alunos
a
respondam
que
o
1.
4
173
Matrizes
e
determinantes
6 em
planilhas
eletrônicas
Neste capítulo, vimos que matrizes são tabelas que apresentam dados numéricos
dispostos
em
retangular
linhas
em
e
uma
colunas.
planilha
⎛
Observe
como
a
Assim,
uma
eletrônica
2
matriz
3
0⎞
5
9
é
tabela
uma
de
números
dispostos
de
maneira
matriz.
pode
ser
representada
em
uma
planilha
eletrônica: ⎠
Campo
a
cé
u
que
a
se
mostra
Campo
ecionada.
o
que
número
for
o
caso,
associada A1
Números
que
Fórmula
A
mostra
ou,
a
à
quando
fórmu
cé
u
a
a.
2
B
Letras
C
indi cam
co
que
unas
indi cam
da
p
ani
as
ha.
1
as
linhas
da 2
p
ani
2
1
9
ha. 3
7
1
4
4
Se
possível,
informática
levar
da
os
alunos
escola
ou
à
sala
pedir
de
que,
Na
planilha,
letra) casa,
reproduzam
esses
cada
elemento
da
matriz
ocupa
uma
coluna
(indicada
por
uma
em
e
uma
linha
(indicada
por
um
número).
Assim,
o
elemento
indicado
por
A1
procedimentos
é
o
elemento
que
está
na
colunaA
e
na
linha
1
(nesse
caso,
o
número
2).
Usando Algumas
planilhas
os
eletrônica
podem
ter
alunos
que
caso
tenham
a
planilhas
eletrônicas,
é
possível
calcular
o
determinante
quadrada,
além
do
produto
de
duas
exemplo,
vamos
considerar
as
2
3
5
7
⎛ e
matrizes
B
1
4
1 0⎞
3
0⎠
5 2
diferente.
⎝
2
ed
maneira
matriz
planilha
2
de
uma
matrizes.
disponível
Como funcione
de
comandos
apresentados.
orierevef
Oriente
dos
ed
diferentes
8991
eletrônicas.
91
inicialmente,
representar
a
matriz A
na
planilha
ed
Vamos,
eletrônica:
016.9
calcular
o
determinante,
digitamos,
em
uma
célula
vazia
Fórmula
ieL
D2
Para
=MATRIZ.DETERM(A1:B2)
da
e
a
fórmula:
5MATRIZ.DETERM(A1:B2)
em
A1
o
e
determinante
o
último
da
elemento
matriz
está
cujo
em
primeiro
elemento
está
1
2
2
5
3
Determinante
ogidóC od
(Calcula
laneP
D
planilha,
3
B2)
481
vamos
menos
representar
uma
fila
as
entre
matrizes
A
vazia
da
o
produto
planilha,
a
,
digitamos,
em
uma
célula
fórmula:
planilha,
deixando
um
espaço
Fórmula
=MATRIZ.MULT(A1:B2;D1 F2)
A
B
C
E
F
1
2
3
–1
4
10
2
5
7
2
3
0
=MATRIZ.MULT(A1:B2;D1:F2) 3
(Determina
o
produto
da
matriz
cujo
primeiro
elemento 4
está
em
A1
e
o
último
está
em
B2
pela
matriz
Produto de A por B
cujo 4
5
primeiro
elemento
está
em
D1
e
o
último
está
em
F2.) 6
7
A5
A
se
uir,
é
necessário
converter
a
fórmula
em
Fórmula
de
{=MATRIZ.MULT(A1:B2;D1 F2)}
uma A
fórmula
B
C
F
matriz. 1
Selecionamos
na
planilha
o
intervalo
em
que
ficará
2
a
matriz
fórmula
2
3;
e
3
produto,
foi
di
então,
Obtemos,
OCCES
dois
cálculos
casos,
na
Nesse
selecionamos
célula
caso,
um
o
em
que
produto
intervalo
com
2
do
F2
quando
e,
o
os
em
seguida,
produto
alunos
obterão
uma
A
4
linhas
Produto de
4
6
CTRL1SHIFT1ENTER.
tentarem
2
3
0
por
B
17
20
41
50
7
B
realizar
mensagem
7
3
tipo
5
assim,
planilha,
5
a
será
de
os
erro.
Ref lita A4
Fór rmul l
A
=MATRIZ.DETERM(A1:C2)
ES
NOSLIDA
itada.
pela
colunas.
Pressionamos
Nos
iniciando
B
2
4
#VALOR!
0
3
0
a
Usando
NOSLIDA
:SEÕÇARTSULI
4
2
m
5
o
uma
obtiveram
caso
do
determinante,
porque
174
o
isso
número
de
ocorrerá
colunas
porque
de
é
a
planilha
matriz B
diferente
eletrônica,
esses
não
do
é
calcule
o
determinante
de
no
linhas
caso
de
.
do
da
matriz
B
e
o
produto
B
A
resultados.
quadrada;
número
produto
oãçudorpeR
calcular
na
elas:
A5
Para
B
.adibiorp
pelo
.trA
Agora,
de
Exercícios
complem ent a res Registre as respostas em seu caderno
⎛ 34
5.
b)
⎝
49
44
3 8⎞
62
73
87
78
68
20
25
30
27
23 ⎠
41
;
total
de
peças
dos
itens
A,
B
e
C
produzidas
4.
em
cada
(Vunesp)
dia
da
semana.
Considere
três
lojas,
L
L 1
e
L
2
,
e
três
tipos
3
Aplicação de
produto,
P
P
e
1
1
Dadas
as
matrizes
A
5
(
) i j
, 2
em
que
5
2
2
j,
a
e
quantidade
P
2
de
.
A
matriz
a
seguir
descreve
3
cada
produto
vendido
por
loja
na
i j
primeira
semana
de
dezembro.
Cada
elemento
da
a i j
3(i B
5
(
) i j
, 2
3
em
que
j )
5
cons
rua
as
ma-
i j
2
matriz
⎛
0
1
indica
i
loja
⎞
j
a
5
quantidade
1,
2,
do
produto
P
vendido
pela
3.
j
trizes
e
verifique
se
A
5
B 5
B
⎝
1
0
⎠
L
L 3
2.
Dadas
as
matrizes
A
5
(a
) i j
e 3
3
B
5
(b
3
) i j
, 3
3
em
que
3
⎛ 30
P
2 0⎞
19
1
5
1
1
2 j
e
b
i j
5
2i
j
1
1,
deter mine
a
matriz
i j
P 0
⎛
X
5
2A
X
(UEL-PR)
de
14
Durante
Futebol
P
a
primeira
realizada
na
fase
França,
da
em
rocos
e
Noruega.
1
Copa
1
12
16
o
Observe
os
Mundo
grupo
resultados
⎠
Analisando
a
matriz,
podemos
afir mar
que:
alternativa
e
A
a
quantidade
de
produto
do
tipo
vendido
pela
vendido
pela
2
(número
11
⎠
do
1998,
⎝
3
a)
15 2
⎞
5
⎝
3.
7
3B
é
loja
de
11.
2
b)
a
quantidade
de
produto
do
tipo 1
na
tabela
I.
.8991
loja
é
L
30.
3
ed
c)
a
soma
das
quantidades
de
produtos
do
tipo
P 3
orierevef
Tabela
I
Vitória
Empate
Derrota
vendidos
ed
Brasil
2
0
pelas
três
lojas
é
40.
1
d)
a
soma
das
quantidades
de
produtos
do
tipo
P
91 ed
vendidos 0
1
2
Marrocos
1
1
1
loja
L
i
5
1,
2,
3,
é
52.
016.9
Escócia
pela
ieL
e)
a
soma
das
quantidades
dos
produtos
dos
tipos
P 1
e
ven
laneP
e
i
os
pe
a
oja
L
2
Noruega
1
2
ogidóC
od
de
481
.trA
empate
ou
.adibiorp
observada
derrota)
na
tem
tabela
uma
pontuação
que
acordo
sua
vez,
máquina
oãçudorpeR
Pontuação
I
⎛
Vitória
com
o
funcionamento
ser
por
II
3
número
de
peças
H
5
apresentadas
apresenta
trabalha
por
o
⎝
na
dia
da
feitas
por
hora
de
A
de
horas
matriz
que
S
cada
II
2
3 ⎞
A
4
5
B
S
2 ⎠
1
S
T
8
7
6
9
Q
Q
S
8
7
7
11
10
Dê
os
b)
Calcule
c)
8 ⎠
II
C
H
a)
I
5
S
3
tipos
das
matrizes
,
S
3
e
2
,
2
3
(
( (H
S)
5
3
3
5
S ).
0
N o r u e ga
⎤
o
produto
Quantos
itens
C
H
S.
Que
informação
são
produzidos
5
ele
nos
dá?
na
62
r r ocos
A matriz C
semana.
1
Derrota
matrizH. H
número
⎝
Empate
.
pode
II.
Tabela
4
0
5.
é 1
quinta-feira?
itens
B;
27
itens
C
, que representa a pontuação E a
6.
r mine
o
valor
de
x
que
satisfaz
cada
equação.
⎦
⎣
final
de
cada
país,
ao
tér mino
dessa
primeira
fase,
é:
a)
2
4
1
1
2
x
0
3
2
x
2
4
5
5
ou 2
⎡6⎤
⎡5⎤
⎡7 ⎤
4
2
1
c
a) 4
3
1
3x
b) 5
⎣
⎦
⎣
1
2
5
6
2
6
6 ⎦
⎣
2
0
⎦ 1
⎡6⎤
⎡7 ⎤
1
1
1
2
1
alternativa
b)
Após
d)
obter
matricial
o
produto
(Tab.
I)
(T ab.II),
⎛
é
preciso
observar
a
Dada
a
matriz
A
em
⎞ ,
0
1
calcule
(det
A )
,
sendo
⎠
C
6
4 ⎣
países
1
5
ordem
⎝ dos
1
n
7.
4
5
⎦
⎦
n
Z
1
175
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
Exercícios
complem ent a res
Aprofund amento
⎛
3
1
⎞ ⎛ x
Considerando
a
matriz
A
5
,
2
encontre
uma
matriz
B
tal 1
⎛
1
5
2
a
matriz
nula
de
ordem
Deter mine
a
matriz
X
tal
que
X
A
B
5
3B
5
I
⎞
2
B 5
2.
⎝
9.
que
5
⎠
3
sendo
y⎞
5
2
3
3
1
5
,
⎠
sendo:
3
1
5
0⎞
21
2
3
⎛
a)
B
5
7
⎝
0
2
⎛
X
3
5
⎝
5
0⎞
5
9
0
7 ⎠
⎛
b)
B
5
⎠
⎝
1
5
0⎞
1
2
3
27
0
22
X
5
2
15
3
7
0
9
0
5
⎠
Exe rc íc io resolv id o
R9.
Dado
um
triângulo
R
T
em
um
plano
cartesiano,
conhecidas
as
coordenadas
dos
8991
y
1 R
D
,
u
D
ed
A
y
1
S
orierevef
2 y
1 T
ed
a
$D$
te
de
ordem
3,
tal
pelas
a
área
do
dos
pontos,
triângulo
RST
a
2
1
,
pelas
dados
os
ordenadas,
pontos
R (
2,
e
a
2),
3
,
por
coluna
é
S (4,
3)
1.
e
T (5,
016.9
Deter minar
abscissas
a
a
ed
for mada
que:
91
a
3).
ieL e
Resolução
5
1
3
1
5
3
1
5
237
481
2
4
ogidóC od
2
D
laneP
.trA
1 5
.adibiorp
37
A
18,5
RST
2
Observe
o
a
área
do
triângulo
triângulo
AB
é
18,5
unidades
de
área.
oãçudorpeR
Logo,
y
.
C
a
a)
área
de
da
super fície:
base
3
4
medida
da
altura
NOSLIDA
medida A
sua
OCCES
Deter mine
5 ABC
2 6
unidades
de
área
A
b)
6
unidades
R9
de
1
área
1
⎡ 11.
(UFSC)
A
matriz
M
0
2
4
0
0
3
v
r
.
o
i
A(0,
0,
a
mesmo
será
0),
matriz
B (2,
está
igual
a:
0)
e
C (4,
da
anterior
alternativa
sendo
usada
para
representar
3)
de
um
operação
de
triân
ulo
indicará
representação.
ABC.
os
Em
Multiplicando-
vértices
tais
do
triân
condições,
ulo
a
M
A
área
coordenadas
dos
por
B
C
do
uma
,
de
constante
acordo
triângulo A
com
B
C
d
2
k
as
⎦
resultante
padrão
⎤
5
⎣
x
2
k
c
2
k
d)
k
e)
k
Desaf io
12.
Considere
Construa
176
o
quadrilátero
esse
ABCD,
quadrilátero
no
cujos
plano
vértices
são
cartesiano
e
A(0,
0),
B (3,
deter mine
sua
1),
C (6,
área.
Ver
3)
e
D (2,
resolução
4).
no
Guia
do
professor.
Registre as respostas em seu caderno
Autoavaliação
5⎞
⎛ 3
1.
Uma
matriz
de
ordem
2
é
uma
matriz:
alternativa
Multiplicando-se as matrizes
b
1
⎝ a)
identidade.
b)
quadrada.
c)
nula.
d)
2.
⎝
obtém-se
linha.
forem:
alternativa
a)
opostas.
b)
nu
c)
de
d)
7.
c
matriz
de
3
ordem:
3
3
4
c)
2
3
2
b)
3
3
5
d)
3
3
3
Na
multiplicação
priedade:
de
alternativa
a)
associativa.
b)
distributiva
c)
comutativa.
matrizes,
2
3
4⎞
1
2
1
2
⎠
⎠
alternativa
a)
não
é
a
válida
a
pro
c
as.
mesmo
à
esquerda.
à
direita.
tipo.
quadradas.
d)
3.
uma
0
1 e
1
Sejam
as
e
matrizes 2
3
.
3
3
3
Os
produ-
⎛ 2
2
8. tos4
A
B
e
4
B
A
distributiva
alternativa
O
deter minante
da
é:
⎝
a)
iguais.
b)
opostos.
.8991
c)
3⎞
matriz
alternativa
d
d
a)
4
5
⎠
10
22
dos
tipos
3
3
3
e
2
3
2.
dos
tipos
2
3
2
e
3
3
3.
c)
10
ed
respectivamente,
respectivamente,
orierevef
22
Se
et
ed
d)
91
⎛
ed
4.
As
⎞
⎛
matrizes
1
0⎞
e 0
016.9
⎝
ieL
iguais.
b)
opostas.
c)
identidades.
9. são:
⎠
⎝
0
alternativa
A
i
0,
então
a
matriz
A
é:
alternativa
d
d
1 ⎠
a)
matriz
b)
nula.
linha.
c)
diagonal.
e
a)
2
laneP ogidóC od
d)
481
10.
.trA
5.
d)
n
n
Se
det
m
n
ri
r
diagonais.
Na
de
matrizes,
o
número
de
colunas
A
afir mar
.adibiorp
primeira
da
oãçudorpeR
a)
matriz
segunda.
deve
ser
alternativa
igual
ao
número
de
c)
subtração
d)
e
A
é
uma
alternativa
matriz
de
ordem
2,
podemos
d
linhas a)
det
b)
det
(
A A)
⎛
5
25
igualdade
A
⎞ 5
⎝ adição
5
que:
a
multiplicação
b)
5
da
10
0,5
⎠
c)
det
(2A) A
5
10
d)
det
(2A) A
5
2
Retomad a de conceitos
Se
você
Releia
a
não
acertou
teoria
e
alguma
refaça
os
questão,
exercícios
consulte
a
tabela
e
verifique
o
que
Número
Objetivos
Identificar
Operar
do
uma
estudar
novamente.
2
3
4
da
questão
5
6
7
X
X
X
8
9
10
X
X
X
matriz.
rminante
ra
X
uma
a.
livro
aoconceito
1
matrizes.
o
qua
Páginas
capítulo
classificar
com
r
matriz
e
do
precisa
correspondentes.
referentes
160
a
165
165
a
167
160
a
171
160
a
165
163
a
171
160
a
171
168
a
171
172
e
173
160
172
a
e
165,
173
172
e
173
177
l
o
t
u
í p
C
a
9
Sistemas lineares
OTOHPEMARF/YKSN M OK ASI
Lama
da
Objetivos
do
e
detritos
barragem
de
do
mineração
Fundão
em
provenientes
Mariana,
do
rompimento
2015.
capítulo
Introdução
MG,
Representar
e
resolver
ao
estudo
1 de
situações-problema
sistemas
lineares
usando sistemas lineares.
Frequentemente
Reconhecer
e
iniciada
sistemas
lineares.
forma
de
quaç
o
e
Mariana,
calcular
Aplicar
o
método
deparamos
tradução
sistemas
de
de
com
o
2015,
tempo
como
por
de
dados
situações-problema
para
a
linguagem
cuja
solução
matemática
pode
por
meio
ser
de
equações.
ambientais
em
seus
o
rompimento
exemplo,
chegada
da
podem
lama
da
ser
ao
barragem
analisadas
oceano,
no
de
por
uma
meio
estado
do
mineradora
de
equações:
Espírito
sistema
de
equações
Santo,
lineares.
conhecemos
os
métodos
da
adição
e
da
substituição
para
a
resolução
de
siste-
na mas.
de
um
do
Já
escalonamento
resolução
a
vice-versa
resolve-se
ou
Tragédias
em
para
matricial
com
equações
Apresentar sistema linear
em
nos
classificar
Veremos,
neste
capítulo,
o
método
do
escalonamento,
também
chamadode
sistemas método
da
eliminação
de
Gauss-Jordan.
Esse
método
guarda
semelhanças
lineares comométodo
feita
178
com
da
adição
computadores,
e
constitui
de
uma
problemas
poderosa
complexos.
ferramenta
para
a
resolução,
SEG
Acompanhe
Luís
foi
notas
efetuado
o
a
situação
caixa
de
a
seguir.
eletrônico
R$
10,00,
R$
sacar
20,00
R$
e
100,00
R$
50,00,
de
de
sua
conta.
quantas
Se
no
maneiras
caixa
ele
havia
pode
EVETS
apenas
ao
lineares
YTTEG/LLEWNUD
Equações
MI
2
ter
saque?
Esse é o tipo de problema que pode ser expresso por meio de uma equação linear .
Chamando
R$20,00
à
e
de
equação
A
de
z
10x
equação
.8991
Equação
x
o
1
o
número
número
20y
10x
1
linear
1
50z
20y
é
de
de
1
5
de
de
R$
R$
10,00,
50,00,
5
100
equação
é
chamada
do
tipo
a
ed
9
NR,
em
que
x
x 1
orierevef
os
coeficientes
,
...,
x
2
das
são
as
de
x
1
n
de y
o
número
podemos
de
associar
cédulas
essa
de
situação
100.
50z
toda
cédulas
cédulas
equação
a
1
incógnitas;
x
2
os
...
linear
1
a
2
5
n
números
a 1
incógnitas;
e
b,
real,
é
o
termo
b,
com
n
reais
n
,
...,
a
2
são
n
independente.
ed 91 ed
Exemplos Obser vação
016.9
1 a)
x
1
3x x
1
x
2
5
7
b)
x
3
5
c)
3
2x
1
3y
z
5
0
2
ieL
As
equações
e
equações
laneP
Quando
o
termo
independente
é
nulo,
a
equação
linear
é
abaixo
não
são
lineares.
dita homogênea 2
x
1
ogidóC od
com
2.1
Solução
de
uma
equação
linear
3y
z
5
7
expoente
incógnita
diferente
3 (incógnita
x
y
x
de
1)
no
481
y
.trA
Acompanhe
as
afirmações
a
denominador)
seguir.
.adibiorp
3x
1
2y
5
1,
pois,
x
1
mais
oãçudorpeR
por
3
3
1
0
8
,
de
2
isto
é,
obtemos
3
5
3
0
essa
uma
a
5
5
0
...,
5,
3
que
Solução
a
por
1
1
y
2
Note
a
e
14
0
é
não
equação
é
é
que
a
a
1
a 1
3
3
x
1
5
0
2
2y
5
3z
5
5
uma
(termo
3
incógnita)
1
14,
pois
verdadeira.
1
2
3
0,
pois
homogênea.
é
toda
a
de
verdadeira.
a
...
a
2
a
n
ênupla
x
1
a
sentença
senten
n
tal
verdadeira:
uma
linear
sentença
uma
equação
uma
3yz
substituindo x
a
1
5
b
ordenada
x
...
a
2
seja
de
x
números
5
b
reais
verdadeira,
n
verdadeira.
n
Exe rc íc io resolv id o
R1.
Sabendo
que
deter minar
o
o
par
ordenado
valor
de
(2 a
a)
é
solução
a,
obtemos:
da
equação
4x
1
3y
510,
a
Resolução
Substituindo
x
por
2a
e
y
por
1 4
(2a )
3
(a )
5
10
V
8a
3a
5
10
V
a
5 11
179
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
1.
Verifique
se
os
ter nos
ordenados
a
seguir
são
3.
Encontre
duas
soluções
para
Respostas
soluções
da
equação
linear
2x
1
y
1
3z
5
11.
2a
1
3b
c
5
(1,
a)
(1,
3,
2)
b)
sim
(2,
2,
2)
1,
1),
2
⎛
Deter mine
da
k
equação
de
modo
linear
2x
que
1
o
3y
par
5
(3,
12.
k )
seja
Verifique
se
Sistema
Acompanhe
a
Química,
reagentes
ceamento
par
(1,
1,
5)
(0,
e
(
0,
2,
0),
2,
2)
é
situação
uma
igual
pelo
Considere
a
de
a
é
está
número
método
reação
de
balanceada
átomos
algébrico:
de
3
x
solução
comum
das
⎠
3y
5
1
e
x
1
3y
5
5.
sim
lineares
seguir.
equação
ao
lineares
equações
⎞
3 ⎝
equações
3
o
solução
2
Em
equação
não
4. 2.
a
possíveis:
0.
dos
resolvendo
combustão
4
gás
"
um
número
H
2
de
Podemos
sistema
metano,
2
o
de
átomos
fazer
equações
representada
o
dos
balan-
lineares.
pela
equação:
.8991
CH
do
quando
produtos.
2
ed
de
orierevef
reagentes
Número
produtos
átomos
1
carbono
(C):
átomos
hidrogênio
(H):
4
hidrogênio
(O):
2
oxigênio
1
(H):
91
de
(C):
ed
Número
carbono
2
ed
(O):
3
016.9
oxigênio
ieL
balancear
essa
equa
ão,
multiplicamos
cada
substância
por
uma
incó
nita:
e
Para
laneP
CH
1
b
4
Com
isso,
formamos
um
"
c
2
sistema
de
1
d
ogidóC od
a
2
2
equações
lineares:
481
4a
5
2d
...........
2b
5
2c
sistema
com
n
S
de
incógnitas
é
5
"
1
d
equações
um
lineares,
conjunto
de
4a
5
2d
2b
5
2c
ou
1
…
do
de
m
equações
tipo:
x n
x
1
5
linear,
lineares
1
S
d
sistema
equações
1
⎧
c
oãçudorpeR
.......
Um
5
.adibiorp
a
.trA
...........
2
2
32
2
…
⎨
31
1
a 3
b m1
⎩
em
que
,
x
,
...,
x
1
reais;
e
b
são
as
m
incógnitas;
a
n
b
,
...,
11
b
1
são
os
termos
a
,
...,
1
a
,
...,
m1
a
são
os
coeficientes
mn
independentes.
m
Exemplos
Obser vação ⎧ a)
S
5 1
O
sistema
S
também
pode
escrito
x
5
3
⎨
ser
x
2
y
5
x
x 3
⎧
4
x
x 2
5
x
x
x
5 2
b)
2
S
5 2
x
2 2
3
⎨
x
x
x 2
5
4
1
2
3
5 1
⎩
180
assim:
x
S
7
⎩
2
3
3.1
Solução
Veja
as
1
x
1
de
seguintes
2y
5
4
5
5
um
sis tema
equações
e
(1,
algumas
(1,
2)
linear
de
2)
suas
soluções:
esse
par
ordenado
é
uma
solução
do
sistema:
y
⎧ Então,
⎨ y ⎩
a
a 1
n
incógnitas
Veja,
no
,
...,
a
2
plano
m
equações
com
n
quando
é
solução
cartesiano
de
cada
uma
representado
das
equações
do
sistema.
ao y
lado,
da
que
os
equação
pares
2x
1
ordenados
y
54
que
são
representam
pontos
Obser vação
r
soluções
da 6
r, r
e
cada
presenta
ponto
uma
da
solução
reta
da
r,
por
sua
equação
2x
vez,
1
y
A
re
5
OCCES
reta
4. 4
x
1
2y
5
s
P
x +
de
uma
Explicitando
como
by
5
representa
algébrica
NOSLIDA
s
equação
também
=
a
lei
(x),
c, com
a
b
i
0,
expressão
função
dessa
afim.
função
podemos
escrever
2
a
,
c x
5 2
1
,
.8991
b
intersec
ão das retas
e s
gráfico
ed
ráfica
desse
com
b
i
0.
Seu
b
sistema. –1
1
é
uma
reta
não
ver tical.
x
5
orierevef
Exemplos Ref lita
ed 91
⎧
ed
a)
Vamos
considerar
o
sistema:
⎨
Represente,
em
um
mesmo
plano
016.9
⎩ car tesiano,
ieL
2
2
1
3
5
7
de
2x
1
y
as
5
soluções
7
e
de
gráficas
3x
y
5
3.
e laneP
e
3
2
3
5
Em
seguida,
par(2,3)
ogidóC od
1
⎧ b)
Seja
o
sistema:
2
verifique
representa
que
o
o
ponto
5 22 comum
às
duas
retas
obtidas
e,
⎨ y
5
0
⎩
por tanto,
é
solução
do
sistema
481
doexemploa
.trA .adibiorp
y
1
⎧ esses
valores
nas
equações,
temos:
sentenç a
v
T
⎨ x
y
⎩
⎨ 1
tença
⎩
y
oãçudorpeR
2 2x
1
y
3 3x
5
y
3
7
y
7
1
5
OCCES
x
0
5
Exe rc íc io resolv id o
Resolver
o
sistema
de
equações:
5
2
x
y
5
5
3
(I)
⎨ x
y
NOSL
3 3x
y
⎧ R2.
P
3
24
y
1
(II)
2
⎩ 0
3
1
Resolução
2 2x
A
Multiplicando
a
equação
(I)
por
5
e
adicionando
as
duas
2x 1
y
5
x
y
5
3
1
y
se
equações, interceptam
no
ponto
(2,
3).
Logo, P (2,
obtemos: é
20
⎧
5 2
0
a
solução
do
sistema.
( III )
⎨ 1
5
24
(II )
⎩
18y
5
Substituindo
Logo,
o
236
y
por
conjunto
V
2
y
5
em
solução
2
(II),
do
obtemos
sistema
é
x
S
4.
5
{(4,
2)}.
Obser vações
ou mais equações por números convenientes e, em seguida, adicioná-las membro a membro.
equações
do
sistema.
181
3)
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
3 e
2
2
⎧x 5.
Os
pontos
A
B
1,
2)
são
soluções
8.
da
Considere
o
sistema:
y
5
0 Ver
resolução
no
⎨ x
3
y
Guia
2
do
professor.
⎩
equação
6.
Se
a
a
y
b
5
solução
se
5
ax
0,
1
Calcule
então
comum
podem
b.
obter
a
das
de
5
0
duas
(2 x
1
os
valores
ou
b
5
0.
equações
y )(
x
1
de
a
e
a)
Dê
b)
Em
Encontre
lineares
y)
b
5
S
c)
{(0,
soluções
um
mesmo
soluções
que
5
três
gráficas
Identifique
a
para
plano
de
cada
equação.
cartesiano,
cada
solução
represente
as
equação.
gráfica
do
sistema.
0)}
9.
Alguns
alunos
faziam
prova
em
uma
sala.
Em
dado momento, 5 meninas terminaram e saíram da 7.
As
retas
r
e
s
são,
respectivamente,
as
represala,
sentações
gráficas
das
equações
m x
2y
5
2
do
x
1
n y
ficando
o
número
de
meninos
igual
ao
dobro
e número
de
meninas.
Depois
de
alguns
minutos,
5 7
meninos
na
y
sala
o
ter minaram
mesmo
a
prova
número
de
e
saíram,
meninas
e
ficando
de
me-
r
ninos.
Deter mine
o
número
total
de
alunos
que
s
P
faziam
2
–1
x
6
10.
1
⎛ n 5
6
e
a
Misturam-se
⎞
gordura,
m
n
e
as
coordenadas
de
dois
outro
sala.
tipos
com
4%
26
alunos
de
leite
de
gordura
—
um
—
com
2%
para
de
obter,
2
ao todo,
nessa
3, ⎝
prova
80
litros
de
leite
com
2,5%
de
gordura.
Quantos litros de leite de cada tipo são misturados?
P
20
c
misturados
de
leite
60
com
c
de
4%
leite
de
com
2%
de
g gordura
.8991
São
e
gordura.
ed
de
um
sis tema
linear
ed
Cla ssif icação
orierevef
3.2
91
sistema
linear
é
classificado,
de
com
seu
número
de
soluções,
em:
Obser vação
016.9
acordo
ed
Um
lineares tem mais de uma solução,
então
ele
tem
infinitas
laneP
e
ieL
Se um sistema de equações
soluções.
ogidóC od 481
uma
o
loja
pedido
decorante
a)
para
100,00,
R$
R$
80,00,
R$
a
máquina,
mistura
a
látex
quantidade
preenchendo
latas
e
de
de
corante
litros
confor
de
20litros,
látex
e
obtenha
R$
sendo
o
preço
do
litro
de
látex
R$
4,00
e
o
do
litro
de
8,00.
sendo
o
preço
do
litro
de
látex
R$
4,00
e
o
do
litro
de
c
-
o
preço
do
litro
de
látex
R$
4,00
e
o
do
litro
de
c
-
4,00.
60,00,
rante
que
máquina
Calcular
SAERDNA
R$
rante
c
uma
de:
R$
corante
b)
tintas,
consumidor.
S/SUARK
latas
de
do
sendo
4,00.
Resolução
a)
Repr esentando
por
x
e
entre
y,
quantidade,
construímos
1
em
litr o,
sabendo
de
que
látex
sempre
e
de
haverá
corante
mistura
sistema:
20 ,
⎨ x
o
e
1
com
0
x
5 100
y
⎩
r
S
,
obtemos
x
5
15
e
y
5
s
=
{P }
V
SPD
NOSLIDA
Resolvendo
20
5.
1
r
Logo,
o
conjunto
solução
é
S
5{(15,5)},
isto
é,
tem
S
apenas
uma
1
constituindo
um
sistema
possível
e
determinado
(SPD)
s
25
Representando
graficamente
o
sistema,
obtemos
segmentos
de
x
reta,
contidos
nas
retas
r
e
s,
confor me
mostra
a
figura
ao
lado.
20
:SEÕÇARTSULI
12,5
solução,
OCCES
5
a
respectivamente,
eles,
⎧x S
182
oãçudorpeR
me
.adibiorp
Em
KCOTSRETT
R3.
.trA
Exe rc íc io resolv id o
b)
Nesse
caso,
S
construímos
1
⎧
,
⎨
2
x
o
sistema:
20
1
com
0
5
⎩
A
segunda
equação
primeira
equação,
Algumas
das
é,
em
ambos
os
representando,
infinitas
soluções
de
membros,
assim,
S
são
a
o
quádruplo
mesma
(1,
19),
da
infor mação.
(2,
18),
(3,17)
e
2
(5,3;
0
,
14,7).
k
,
Logo,
Note
20
S
5
(k
que
Ñ
essas
soluções
são
do
tipo
(20
k
k ),
com
R).
{(20
k ,
k )
k
Ñ
R
e
0
,
k
,
20}
e
S
é
um
sistema
2
possível
e
indeterminado
Representando
reta,
contidos
(SPI)
graficamente
nas
retas
r
e
o
s,
sistema,
confor me
obtemos
mostra
a
segmentos
figura
de
abaixo.
y r
s
=
r
=
s
V
SPI
20
x 20
Note
que
os
segmentos
infinitos
.8991
c)
Para
ed orierevef
5
reta
pontos
essa
em
em
retas
as
duas
equações
coincidentes
e
são
apresentam
construímos
o
sistema:
20 ,
x
r epr esentam
comum.
⎨
3
que
contidos
situação,
1
⎧ S
gráficos
de
1
5
com
0
60
⎩
ed
Resolvendo
S
,
temos:
3
91
5 28 0
ed
⎧
016.9
⎨ 5
60
⎩
ieL e
0x
laneP
Não
1
0y
há
ogidóC od
tanto,
5
220
valores
S
5
Ö
e
V
para
S
é
0
x
5
e
220
y
um
(sentença
que
tor nem
sistema
a
falsa)
sentença
impossível
verdadeira.
Por
(SI)
3
Representando
481
reta,
contidos
graficamente
nas
retas
r
e
o
s,
sistema,
confor me
obtemos
mostra
a
segmentos
figura
de
abaixo.
.trA
y
.adibiorp
r
s
=
V
SI
20
oãçudorpeR
r OCCES
15
s 20
que
mentos
pontos
os
de
em
gráficos
reta
que
contidos
representam
em
retas
as
paralelas
duas
equações
distintas
e
não
são
:SEÕÇARTSUL
Note
NOSLIDA
x
15
seg-
possuem
comum.
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
11.
Classifique
⎧x a
y
os
5
sistemas
em
3
⎨
c)
SPD
x
y
5
SPD,
SPI
y
⎧
5
ou
⎨
6
a)
um
sistema
possível
e
indeter minado.
b)
um
sistema
possível
e
deter minado.
k
k
i
5
0
0
SI
3x
⎩
SI.
3
5
9
⎩
⎧ 13.
Considere
o
sistema:
3y
5
a
2y
5
5
⎨
⎩ ⎧x
y
5
3
⎧ SPI
b)
SPI
d)
⎨ x
y
5
a)
⎨
6
Existe
⎩
possível
o
⎧x
5
k
tal
que
de
a
x ⎩
indeter minado?
ara
o
valor
Caso
exista,
resolva
encontrado.
y
Existe
algum
valor
de
a
que
tor ne
o
sistema
seja:
y
⎨
e
sistema
2 b)
Calcule
valor
3
⎩
12.
algum
1
kz
5
possível
e
deter minado?
sistema
para
Caso
exista,
resolva
o
0 o
valor
encontrado.
⎧ 13.
a)
S 5
sim, 2
⎨
5
n
⎫
2k k
$k
Ñ
R
⎬
⎭
183
SEGAMI
3.3
Sis tema s
YTTEG/OR
Acompanhe
Um
jogo
a
para
lineares
situação
a
homogêneos
seguir.
smartphone
tem
início
com
a
distribuição
de
fichas
coloridas
aos
EJ ET
participantes.
A
tabela
abaixo
apresenta
a
quantidade
de
fichas
de
cada
cor
que
A RAM
cada
jogador
recebeu.
Azu
Ana
dor,
a
soma
sistema
inicial
formado
é
Representando
o
Branca
3
(
)
Cinza
2
1
Laís
2
3
João
6
zero.
pelo
(a)
Para
número
valor
de
calcularmos
de
cada
fichas
cor
b
b
⎨
a
de
por
a
⎧
1
1
cada
de
5
c
5
5
cada
ficha,
basta
resolver
o
jogador.
inicial,
c
7c
valor
sua
1
b
o
(c)
construímos
o
sistema:
0
⎩
.8991
A
sentença
é
verdadeira
para
a
1
0
quaisquer
1
0c
5
valores
2
e
icionan
os
orierevef
0
de a
b
e
c
ed
ed
⎧3a
c
0
2
5
a
a,
c
⎧
obtemos:
5 c
⎨
b
5
c
0
c
5 2a
laneP
b
e
⎨ b
⎩
⎩
Pela
a
5
a
b
5
2a
substituição
de
e
a
c
b
5
e
c,
a
verificamos
que,
para
a
Ñ
R
a
2a
a
ogidóC od
Logo,
481
do
para
ieL
1
real
016.9
valor
ed
um
91
Atribuindo
sistema:
.trA
a
2
1
6
2a
2a
2a
particular,
Quando
1
a 5
a
5
0
3a
5
0
1
7a
5
quando
0
a
5
a
⎧
Note
que
no
sistema
oãçudorpeR
a
Em
2
1
.adibiorp
a
inicial
1
1 c
1
⎨
a
a
2a
a
1
1
5
c
1
5
7c
0
os
0
5
termos
independentes
de
0
⎩
todas
as
equações
Quando
sistema
todos
é
lineares
os
são
termos
denominado
nulos.
independentes
de
um
sistema
linear
são
nulos,
o
homogêneo
Exemplos
⎧
y
2z
⎧
0 ⎧4
a)
y
⎨
b)
z
c)
⎨ 0
y
1
y
y
z
t
5
2 ⎨
0
0
z
1
y
0
x
Ref lita Todo
como Existe
algum
sistema
homogêneo
que
menos,
solução?
Não;
uma
sempre
184
há
a
sistema
solução.
linear
Essa
homogêneo
solução
é
com
chamada
n
de solução
nula
trivial
ou
imprópria
linear
não
tenha,
solução
pelo
mada
trivial
ou
infinitas
de
soluções.
não
nula
não
trivial
ou
própria
Exe rc íc io resolv id o
⎧3
R4.
Deter minar
a
e
c
para
que
o
sistema
y
2x
⎨
1
2z
z
x ⎩
eincógnitas
x
y
e
z
Resolução ⎧
O
sistema
é
homogêneo
0
se:
c
c
⎨
1
c
0
5
a
⎩
Como
c
Logo,
para
b
5
21
5
e
1
c
e
a
5
que
5
2c,
o
temos
sistema
a
5
seja
21.
E,
como
homogêneo,
a
5
b,
temos
devemos
ter
b
a
5
5
21.
21,
1.
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
14.
Calcule
a
m
mesma
1
.8991
⎧
e
n
para
solução.
5
5
5
1
os
e
⎧3 e
⎨ 3y
que
m
sistemas
n
5
5
abaixo,
de
incógnitas
x
e
,
tenham
3
m
⎨ 1
6
n
ed
⎩
orierevef
15.
Dado
o
sistema
homogêneo
de
incógnitas
x
y
e
z,
deter mine
ed
a
91
⎧
y
5
2,
b
5
a
23
b
e
c
e
c
5
4
2
a
ed
c
016.9
⎨
x
y
1
⎩
ieL e laneP ogidóC od
3.4
Matrizes
a ssociada s
a
um
sis tema
481 .trA
Todo
sistema
.adibiorp
coeficientes
das
linear
pode
equações
ser
que
associado
formam
o
a
matrizes
cujos
elementos
são
os
sistema.
oãçudorpeR
Exemplos
⎧3 a)
Vamos
considerar
o
sistema:
y
⎨ x
y
5
3
⎩
⎛ 3
matriz
associada
incompleta a
2⎞ ,
matriz
⎝
apenas
pelos
coeficientes
das
incógnitas.
⎛ 3
formada
⎠
matriz associada completa
m
2
riz
5⎞ , formada
7
pelos
coeficientes
das
incógnitas
e
pelos
termos
independentes.
⎧
b)
Para
o
sistema
1
x
x
,
definimos:
5 25
⎩
⎛
1
2
1⎞
2
3
5
⎛ 1
1
⎝
matriz
2
⎠
⎝
associada
das
que,
equa
quando
ões,
seu
uma
das
3
1
matriz
incompleta
Note
1
8
2
5
10
0
5
⎞
⎠
associada
completa
incó
coeficiente
é
nitas
do
sistema
não
aparece
em
al
uma
nulo.
185
Representação
Aplicando
incompleta
de
equação
a
matricial
definição
associada
a
de
um
de
um
sis tema
multiplicação
sistema,
é
de
possível
matrizes
e
o
representar
conceito
um
sistema
de
em
matriz
forma
matricial.
Exemplos
y
⎧ a)
Sistema:
⎨ 5 21
x
Representação
Podemos
⎛ 1
3⎞
⎝ 7
4⎠
verificar
essa
x 8
matricial:
⎛
7⎞
⎝
1 ⎠
5 ⎝ y ⎠
representação
matricial
efetuando
a
multiplicação
de
a
multiplicação
de
matrizes:
⎛
⎛
⎞ 3
1
x
⎞ 7
8
⎝
7
1
4
5 y
⎠
⎝
1 ⎠
x
3
1x
1
3y
5
7
y
5
2
y
"
x
.8991
y
ed
z
ed
Sistema:
orierevef
y
⎧ b)
⎨
91
z ⎩
ed
matricia
⎞
⎛ 3⎞
: 0
⎝
2⎠
laneP
matricial
efetuando
matrizes:
ogidóC
representação
e
essa
⎠
⎠
⎝
verificar
ieL
⎝1
Podemos
016.9
⎛ x ⎞ ⎛ Representação
od
1
0
⎞ ⎛
2 ⎠
⎞
z
⎠
"
x
"
x
2y
1z
5
3
2z
5
1
oãçudorpeR
x
3
1
⎝
1
x
⎞ 1
.adibiorp
2
.trA
⎝
1
481
⎛ ⎛
y
z
x
1
0y
1
Exe rc íc io resolv id o
R5.
Resolver
2
1
3
1 ⎠
o
sistema
x
associado
à
e
uação
matricial:
⎛ 0⎞
8
⎝
linear
5 y
⎠
⎝
5
⎠
Resolução
⎧2 O
sistema
correspondente
à
equação
é:
y
5
0
x
5
⎨ y
Pelo
método
Logo,
186
o
da
adição,
conjunto
obtemos
solução
do
5x
sistema
5
é
5.
S
Então,
5
{(1,
2)}.
1
e
y
5
2.
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
⎛ 16.
Escreva
o
sistema
correspondente
a:
19.
Ve r i f i q u e
⎞ é
se ⎝
2
5
solução
da
equação
⎠
⎛ x ⎞ ⎛ 3
2
1⎞
⎛ 2⎞
5
4
3
⎝
⎧
a)
x
y
x
y
z
5
2
⎨
⎝
⎠ ⎝
z
z
⎛ 2
matricial:
⎠
⎛
2
3
1
4
0⎞
⎛ x ⎞
⎧
2x
5
y
⎨
x
5
⎝
0
6
⎠
z
⎠
6
5
⎛ 0⎞ 5
⎝
⎠
y
⎠
sim
2 ⎠
⎝
2⎞
⎛
0
⎝
x 8
⎝
b)
5⎞
⎠
z
5
5
0
20.
Deter mine
quais
dos
ter nos
ordenados
são
solu-
3
⎩
⎠
⎝
22
z
ções
do
sistema
linear:
alternativas
b,
c,
d
x ⎞
Construa
pleta
a
matriz
para
incompleta
cada
um
dos
e
a
matriz
⎛1
1
1⎞
1
1
2
⎛ 0⎞
com-
⎝
sistemas.
z
⎧3
y
5
z
0
z
⎨
1
y
5
2z
5
2
⎩ 5
z
a)
1,
1,
1
b)
(0,
0,
0)
c)
3,
1,
2
e)
1,
1,
0
⎨ 1
y
⎠
7 ⎧
a)
0 ⎠
⎝
⎠
d)
(3,
1,
2)
3
⎩
18.
Dadas
as
matrizes
associados
a
completas,
escreva
2
5
b) 3
2
Escreva
7
2
4
.8991
2
3
1
1
e
o
sistema
resolva-
a
1⎞
0
1 ⎠
⎛ x ⎞ 8
⎛1
⎝
equação
ma-
6⎞
⎛ x
1⎞
1
⎞ 1
5 ⎜
5
cada
⎛ 1 ⎛ 1
⎠ ⎝
associado
.
⎞
1⎞
a)
⎝
21
sistemas
tricial
⎛ 2 ⎛ 1
os
elas.
⎟ y
⎠
⎝
8
⎠
⎠
0
⎝
0
1 ⎠
⎝
z
⎝
⎠
3 ⎠
ed orierevef
⎧ y 18.
a)
z
ed
y
1
y
5
x
y
5
⎧
1 y
⎧ b
x
x
5 21
⎨
⎨
21.
2
a
V y
5
S
5
{( 2,
8)}
b ⎨
8
z
z
5
5
6
V
S
5
{( 1,
2,
3)}
⎩
⎩ y
z
5
5
3
⎩
91
⎩
ed
⎛
016.9
4
y
10
⎨
z
Escalonamento
de
sistemas
lineares
17.
3
⎛
⎞ 1
1
3
5
a)
ieL
1
1
1
1
1
⎝
1
0
1
7
2
1
⎞
10
1
3
⎠
e laneP
⎛
4.1
Sis tema s
lineares
e
uivalentes
b)
2
3
ogidóC od
0
5
2
2
⎞
5
⎝
1
1
2
1
⎝
⎠
1
⎠
481
equivalentes quando têm o mesmo conjunto solução.
.trA .adibiorp
S
é
equivalente
ao
sistema
S
1
por:
S
2
S
1
2
oãçudorpeR
Exemplos
a)
Sejam
os
sistemas:
y
⎧ S
5
5 2
y
⎧
y
⎧ S
⎨
1
S
5
⎨ x
⎨
y
5
3
⎩
5
5 5 ⎩
⎩
Resolvendo
pelo
m
todo
da
adição,
obtemos:
S
,
pois:
1
2x
2
3
5
7
é
uma
sentença
verdadeira;
V
⎨ 2x
y
5
y
5
6
3
⎩
1 3
55
é
uma
sentença
verdadeira. Lo
S
,
pois:
2
2
2
1
3
5
9
é
uma
sentença
verdadeira;
o,
3
5
5
é
uma
sentença
5
{(6,
1
e
5)}.
Multiplicando
po
3
S
a
primeira
somando
à
equação
segunda,
de S
temos:
verdadeira.
1
⎧ ⎨
Como
S
5
S
e
1
S
S
1
S
são
sistemas
5 2
2
⎩
x
y
5
1
2
2
⎧ S
5
2
⎨ 5
1
⎩
Ref lita
obtemos:
y
S
x
S
)
y
5
mantendo
uma
1
das
equa
ões
de
S
.
Substitua
a
outra
equa
ão
⎧ V
que
soma
foi
dela
com
mantida.
S
uma
obtida
pela
V
⎨
3
2
pela
2
⎧
5
multiplicação
de
um
número
real
não
nulo
por
aquela
2
2 V 5
5
5
e
6
1
⎩
Assim,
S
1
⎨
S
Portanto,
5
S
{(6,
5)}.
S 2
187
⎧
b)
Sejam
os
sistemas:
S
5
y
1
⎧
z
y
2 ⎨
z
S
5 2
x
y
Podemos
verificar
solução
de
S
,
que
pois
5
1
z
5
2
⎩
para
são
3y
1
1
⎩
é
y
2x ⎨
todo
número
verdadeiras
as
real a
2a
a
sentenças:
1
2
1
2a
2
2
1
3
2
1
2
1
2
2a
a
1
5
2
2a
8
1
2
a
4
5
8
4
a
5
2a
6
a
,
S
pois
são
verdadeiras
2
as
sentenças:
2
2
2
2a
2
1
Em
2
3
2
8
a
5
2a
2a
particular,
1
se
2
6
4
a
8
8
a
5
a
5
1,
5
4
2
uma
das
infinitas
soluções
de
S
e
de
S
1
Como S
S
S
,
5
,
isto
é,
2a
S
1
e
S
a
$a
são
Ñ
R
sistemas
2
é o conjunto solução dos dois sistemas,
emos
equivalentes.
1
Exe rc íc io resolv id o
y
⎧
Verificar
se
os
7
⎧
sistemas
e x
y
são
5 24
equivalentes.
)
y
⎩
⎩
.8991
R6.
ed
Resolução
Resolvendo
cada
um
dos
sistemas,
orierevef
temos:
ed
⎧
5 2 14
x
5
24
5
10
ed
⎨
x
91
7
y
⎧
⎨ y
5
24
016.9
x ⎩
⎩
(5,
5,
2)
é
obtemos
a
única
5
V
x
5
5
2.
solução
desse
sistema.
ogidóC od
y
⎧
y
laneP
5
e
Logo,
x
ieL
2x x
Como
I)
y
1
II)
481
⎩
Logo,
5
(5,
os
2,
2)
dois
é
(II)
em
(I),
obtemos
a
única
sistemas
obtemos:
x
5
solução
têm
5(
1)
5
y
V
y
5
5.
a
desse
mesma
sistema.
solução,
eles
são
equivalentes.
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
22.
Deter mine
a
e
b
sistemas:
a
5
de
modo
que
sejam
equivalentes
S
é
a
soma
da
terceira
3
os
0
e
5
1
equação
de
S
com
a
segunda
equação
de
S
2
⎧x 5
S 1
y
5
0
⎧a x 5
S
⎨
by
5
2
multiplicada
m
4
(I
5
F
2
ay
5
e
n
tal
que
as
1
4
E
Este
.
equações
exercício
o
objetivo
1
⎩ ⎧
Calcule
por
tem
b x
⎩
23.
2
1
⎨
2
y
1
matriciais
5
re
1
x
( A )
z
y
⎨
5 22
de
fazer
os
alunos
( B) começarem
presentem
sistemas
lineares
x
equivalentes.
y
z
3
se
(C)
⎩
com
⎛
2
5
⎛
⎞
m 5 2
x
⎞
⎛
8
⎛
⎞
9
5
2⎠
⎝
⎝ 4⎠
⎠
⎛
⎞
x
⎞
8
2
⎝ 3
5
m
e 4
⎝
⎛
0
⎞ ⎧
n ⎠
⎝
5
(D)
1
forma
assunto
4 Nos
sistemas
possíveis
e
deter minados
S
S 1
e
5
2
6
3
mais
a
seguir,
observe
a
equação
de
que:
equação
de
S
é
a
soma
da
segunda S
5 3
com
a
primeira a
equação
de
1
⎨
2
(H)
0
S
1
1
6z
5
6
(I)
⎩ multiplicada
por
2
(E
5
B
2
A);
Deter mine
erceira a
equação
de
S
é
a
adiante.
(G)
⎧
2
S
será
esclarecido
(F)
⎩
S
2
dos
Esse
(E)
2
⎨
3
24.
a
escalonada
sistemas.
5 2
n
5
⎝ 5⎠
⎠
S e
z
2
5
a
familiarizar
soma
da
a
solução
de
S
e
verifique
se
ela
tam-
3
rceira
2
equação
de
S
com
a
primeira a
equação
1
multiplicada
por
de
bém
S
solução
de
S
e
de
2
S
,
isto
é,
verifique
se
1
1
3
F
5
C
1
3
A
;
S
S 1
188
é
e 2
S
são 3
sistemas
equivalentes.
(2,
2,
1);
sim
oãçudorpeR
Como
y
.adibiorp
omo
.trA
Substituindo
4.2
Sis tema
Para
resolver
e
escalonamento,
Antes
de
de
classificar
ou
método
estudar
resolvê-los
Um
escalonado
e
sistema
o
sistemas
da
método,
lineares,
eliminação
veremos
o
de
podemos
recorrer
ao
processo
do
Gauss-Jordan.
que
são
sistemas
escalonados
e
o
modo
classificá-los.
em
que
todas
as
equações
apresentam
as
incógnitas
na
mesma
ordem é dito escalonado quando, de cada equação para a seguinte, aumenta
a
quantidade
de
coeficientes
nulos
antes
do
primeiro
coeficiente
não
nulo.
Exemplos
⎧
y
z
5
y
z
5
⎧2
y
z
0 ⎨
y
z
1
⎧ a)
⎨
x
3
b)
5
5
c)
z
5
⎨ x
1
1
1
5
⎩ x
y
1
z
5
5
0y
1 0z
5
0
⎩
⎩
Exe rc íc io resolv id o
.8991
R7.
Resolver
e
classificar
os
sistemas
lineares.
ed orierevef
⎧2
y
z
⎧
2
5
y
⎧ a)
b)
z
⎨
y
z
5
z c)
⎨
ed
y
z
5
z
⎨
0
⎩
91
z
5
z
5
⎩
⎩
ed 016.9
Resolução
ieL e laneP
a)
Como
o
sistema
ogidóC od
Substituindo
2y
5
5
3
z
V
481
Substituindo
já
por
y
z
está
5
5
escalonado,
na
segunda
temos
equação,
z
5
5.
obtemos:
4
por
5
e
y
por
4
na
primeira
equação,
obtemos:
.trA .adibiorp
1 2x
4
1
5
2
V
x
5 2
oãçudorpeR
⎛ Lo
o,
há
uma
só
⎞ ,
solução
4,
5
2
Portanto,
o
sistema
y
⎧ b)
é
possível
e
deter minado
(SPD).
z
O sistema
possui duas equações e três incógnitas. y
z
5
Obser vação
0
⎩
Quando Se
o
sistema
admite
solução
com
z
5
k,
sendo
k
real,
infinitas
y
⎧
um
sistema
admite
temos:
soluções
(SPI),
k chamamos
a
variável
que
assume
⎨ 2y
k
0
variável
⎩
No Resolvendo
esse
novo
sistema,
encontramos
5
3k
soluções
y
do
e
x
5
4
valores
reais
a
k,
obtemos
sistema.
satisfaz
o
Como
é
ções,
k
ou
k
é
k
5
26,
obtemos
um
a
número
é
um
real
qualquer,
sistema
solução
possível
Na
ter no
(34,
18,
a
variável
livre
livre.
sistemas
6),
com
mais
de
uma
livre.
que
do
sistema
do
sistema
o
sistema
e
indeter minado
será
do
tipo
tem
(4
infinitas
solu
(SPI).
5k,
3k
k ),
em
real.
⎧
c
o
é
sistema.
seja,
Portanto,
que
fazendo
z
Por variável
exemplo,
b
5k
Há Atribuindo
item
equação
0z
5
2,
5
1
não
5
⎨
z
há
valores
5
⎩
para
por
z
que
zero
tor nem
resulta
a
em
igualdade
zero.
Sem
verdadeira,
solução,
o
pois
toda
sistema
é
multiplicação
impossível
SI
189
4.3
O
processo
do
escalonamento
Para escalonar um sistema linear , escrevemos sistemas equivalentes a ele, adotan
do,
quantas
vezes
for
necessário,
total
ou
parcialmente,
o
seguinte
procedimento:
Obser vação
Se
todos
uma
real
e
não
os
termos
equação
número
linear
forem
nulo; multiplicados
de
real
não
n
mero
não
equação
nulo.
por
um
nulo,
não
será
a
mesmo
solução
da
alterada.
Exemplos
2
⎧
a)
Para
escalonar
o
sistema
3
⎨
5
z
o
,
adotamos
a
Somamos,
1
a
membro
equação
2
2
a
membro,
multiplicada
equação,
gerando
por
uma
a
incógnita
a
2
os
seguintes
passos:
10
5
da
a
2
Somamos,
e
da
3
membro
equações.
a
membro,
com
a
3
nova
a
3
equação,
gerando
uma
ções
com
novas
equações,
nova
⎧
equação:
y
z
z
1
5
z
5
9
y
y
y
y
5 1
z
1
orierevef
5
52 1
z
z
ed
⎩
.8991
1
⎨
1
pelas
temos:
5
ed 91
a
Multiplicamos
a
nova
2
equação
por
5
e
somamos
soma
obtida,
o
produto
obtido
a
a
nova
3
equação:
ieL
com
016.9
ed
o
2
e laneP
5
5 1
5
od
3z
og idóC
z
6
481
a
Após
substituir
lonado
a
3
equação
equivalente
ao
pela
sistema
temos
um
sistema
esca-
original:
oãçudorpeR
2
⎧
5 21
⎨
5 ⎩
z
2.
a
equação,
obtemos
5
a
z
por
2
na
z
por
2
e
Portanto,
o
conjunto
equação,
2
y
por
solução
1
na
do
obtemos
y
equação,
1
sistema
é S
5
5
1.
obtemos
x
5
7.
⎧
b)
Para
escalonar
o
sistema
y
⎨
x
z
y
,
z
5
adotamos
os
seguintes
passos:
7
⎩
o
1
a
não
a
equação,
nulo
e,
se
escolhemos
possível,
igual
aquela
a
1
da
1
ou
cuja
a
1
1,
incógnita
o
que
tenha
simplifica
a
Assim,
invertemos
a
posição
e
da
2
equação:
a
⎧
a
⎨
a
5 ⎩
190
.adibiorp
.trA
o
3
7
coeficiente
o
processo.
o
2
a
Somamos,
membro
a
membro,
1
a
ção,
gerando
uma
incógnita
a
3
2
da
Somamos,
com
1
nova
a
a
2
e
3
membro
equação
3
da
equações.
a
membro,
multiplicada
ção,
gerando
por
uma
a
2
Substituindo
com
novas
a
2
equações,
a
3
ções
pelas
nova y
⎧ 2
e
temos:
z
3
4y
⎨
3
52
2
1
5 24
52 z ⎩
5
4
7
1
5
5 24
3
o
3
a
a
e
a
3
equações:
⎧
a
z
5
5 2
a
⎩
o
4
a
equação
por
4
e
somamos
o
produto
obtido
com
a
a
nova
3
equação:
1
4
.8991
19z
5
0
ed orierevef
o
5
a
ed
lonado
equação
equivalente
ao
pela
sistema
soma
obtida,
temos
um
sistema
esca-
original:
91 ed 016.9
⎧
y
z
ieL
z
⎨
e laneP
19z
5
0
⎩
ogidóC od
A
resolução
do
sistema
fica,
então,
facilitada:
481
a
equação,
obtemos
z
5
0.
.trA
a
.adibiorp
z
por
0
na
2
equação,
obtemos
y
5
1.
a
oãçudorpeR
Portanto,
o
z
por
0
conjunto
e
y
por
solução
1
⎧
c)
Para escalonar
o sistema
na
do
1
equação,
sistema
2y
é S
5
x
5
2.
1
,
⎨
y
obtemos
z
5
adotamos
os
seguintes
passos:
0
⎩
o
1
a
equação
para
o
lugar
a
1
no
equação e vice-versa, o que simplifica o processo, conforme foi visto
exemplo
.
a
⎧
y
z
5
0
a
y
⎨
a
x
y
1
2z
5
1
⎩
o
2
Somamos,
membro
a
membro,
1
a
incógnita
a
2)com
2
equação,
gerando
uma
nova
nas
Somamos,
1
a
demais
membro
equação
3
equações.
a
membro,
multiplicada
ção,
gerando
por
uma
(
a
3)com
Substituindo
novas
equa
a
2
es,
ções
nova
y 2
pelas
temos:
z
5
0
3
⎨ 2y
2z
5
0
y
z
5
23
3y
3z
5
23
3y
3z
5
0
2z
5
21
z
5
21
3y
y
5 23
5
21
⎩ 1
2y
y
1
191
o
a
3
equação
a
a
membro,
⎧
y
a
z
nova
5
y
z
⎧
0
z
⎨
1
e
y
z
a
3
equação,
e
soman
podemos
o,
mem
ro
escrever:
5 0
z
5 21
3
1
z ⎩
Este
último
equação
Assim,
se
y
⎧
com
⎨
⎩
A
por
a
equação
2
0z
é
5
0
admite
k
um
sistema
admite
solução
a
escalonado
solução
com
z
5
z
k,
5
equivalente
k,
em
sendo
k
que
real,
k
o
ao
é
sistema
um
original.
número
sistema
é
real.
equivalentea:
0
⎨ 5 1 ⎩
Resolvendo
Atribuindo
fazendo
Como k
k
é
esse
5
um
1,
Portanto,
1
k
{
k
,
a
real
S
sistema,
reais
número
novo
valores
k, k
encontramos y
obtemos
1,
qualquer,
o
1
k
é
um
1
o
k
do
e
x
5
infinitas
21.
sistema.
tem
número
é
sistema
5
soluções
Por
exemplo,
soluções,
ou
seja,
real.
conjunto
solução
do
sistema.
.8991
Exe rc íc io resolv id o
ed orierevef
resolver
o
sistema:
⎨
z
y
1
z
x
y
1
6z
6
5
016.9
x
ed
e
91
Escalonar
ed
y
⎧
R8.
15
⎩
ieL
Resolução
e laneP
a
somamos
a
1
com
equação
a
2
;
e
por
(
4)
Dividimos
e
multiplicamos
a
2
equação
equação
por
(
4)
e
a
somamos
2:
Multiplicamos
somamos
⎧ 1
por
a
y
com
1
a
com
a
y
1
z 5
z 5
⎨
z
z 5
.adibiorp
y
.trA
z 5
⎨ ⎧
e
481
3
1
3
z 5 ⎧
a
2
ogidóC od
Multiplicamos
⎩ y
⎨
z 5 4
oãçudorpeR
y
1
a
A
nova
Logo,
25.
a)
S
5
{(2,
b)
S
5
{(1,
1)};
k
k)
equação
o
sistema
SPD
k
Ñ
R};
SPI
é
não
admite
impossível
c)
S
5
{(3,
d)
S
5
{(7k
2,
solução.
(SI)
1)};
4,
1
e,
portanto,
S
2
SPD
3k
=
k)
k
Ñ
R};
a)
S
{(2,
b)
S
{(3,
3)}
1)}
c)
S
{(8,
d)
S
{(
1)}
1,
3)}
SPI
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
25.
Resolva
e
classifique
os
sistemas
1
⎧ a)
5
escalonados.
y
⎧
z
5
27.
Escalone,
y
⎧
11 c)
⎨
y
⎨
resolva
e
classifique
5 2
a)
z
⎧
4
x
y
5
x
y
2
5
d)
⎨ y
z
z
5 2
y
z
z
5
1
e
resolva
os
5
0
5 1
⎧ x
⎨
2
e)
⎨ 1
Escalone
z
⎩
⎩
b)
26.
5 1
⎨
0
⎩
z
y
⎨
11
⎩
y
⎧
d)
y
5
⎩
⎧
sistemas.
5
⎩
b)
os
2
sistemas.
z
3
⎩ x
y
5 1
⎩ y
⎧ a)
5
2x
y
⎧ 6
⎧
2y
5
4
y
⎧ d)
⎨
c)
4
⎨
z
x
y
x
y
5
0
3z
5
3
f )
y
1
4z
5
a)
S
5
{(1,
S
5
Ö,
3)},
SPD
c)
S
5
Ö,
d)
S
5
{(1,
z
5
z
1
1
4
5
2z
3
5
7
⎩
SI ⎧ ⎛
SI
1
x
x
4
⎩
b)
⎨
⎨
3 ⎩
2,
2)},
SPD
e)
S 5
⎩
⎫
1 k
⎨ ⎝
192
y
⎩
⎧
27.
4
⎨
5 1
⎩
b)
2
⎧ c)
⎨
5
5
k
Ñ
R
⎬
⎧ ⎛ ,
SPI
f )
S 5
k
2 5
⎩
⎫
17 2 4k Ñ
⎨ ⎝
⎭
3
3
R
⎬
Exercícios
complem ent a res Registre as respostas em seu caderno
7.
(Fuvest-SP)
Um
caminhão
transporta
maçãs,
peras
e
Aplicação laranjas,
1.
Deter mine
(2,
de
k )
seja
o
valor
da
solução
incógnitas
x
e
constante
da
equação
k
10
ou
3k x
k y
1
40
5
O
IBGE
tem,
respectivamente,
contratou
um
certo
a
e
custa,
entrevistadores
para
frutas.
realizar
o
recenseamento
50
maçãs,
carga
do
respectivamente,
60peras
caminhão
tem
20,
calcule
quantas
140
sidências,
Se
60
cada
delas
um
não
deles
recenseasse
todas
as
seriam
residências
visitadas.
foram
sendo
Como,
e
visitadas
e
acidade?
3.
Em
visitou
3.060
de
raio,
a
polícia
e
acor
(confor me
e
100la-
quantas
10 reais.
peras
e
e
custa
laranjas
5.000
s,
.
peras
laranjas
no (Fuvest-SP)
Durante
residências
caía
pela
uma
manhã
viagem,
ou
à
choveu
tarde,
nunca
5
o
vezes.
dia
todo.
tem Houve
6
manhãs
durou
a
viagem?
e
3
tardes
sem
chuva.
Quantos
dias
residências
etermina
cias
102,
e
cada Achuva
recenseador
estão
transportadas.
100 re-
8. entanto,
40
caixas
maçãs,
ma
cidade.
frutas
em
estão uma
As
número
3.300 reais, de
10.000
de fruta), sendo que cada caixa de maçãs, peras e laran-
0,
Se (Unicamp-SP)
de
4
ranjas
2.
total
condicionadas em caixas (cada caixa só contém um tipo
Ñ
jas
y
num
região
(A
o
B
e
com
mostra
a
C ).
a
Cada
sua
a
ci
e,
existem
delegacia
quantidade
de
três
e
atende
a
6
b)
7
c)
8
O
sistema
alternativa
b
d
9
ega-
a
e)
10
um
funcionários
figura).
)
⎧
.8991
9.
linear
1
5
0
,
⎨ 1
λ
de
incógnitas
x
3
⎩
ed ed
y,
admite
solução
( x,0).
Deter mine
o
valor
de
h
1
o
1
.
ed
eter mine
f (x ) 5
a x
pontos
DA
016.9
NOSL
91
OCCES
orierevef
e C
a
1
A (2,
lei
b
da
função
sabendo
5)
e
B
3,
polinomial
que
f
1).
seu
gráfico
x
grau
1
passa
5
B
ieL e
11.
Dadas
laneP
a)
as
equações
y
represente,
em
um
as
dadas
5
2x
6
mesmo
e
y
5
sistema
2x
de
4:
coordenadas,
ogidóC od
Ver
funções
por
essas
resolução
b)
481 .trA
e
distância
C
.adibiorp
de
é
16
entre
km
e
as
delegacias
entre
atendimento
de
B B
e
C
cada
é
A
12
e
B
km.
delegacia,
é
18
km,
entre
Deter mine
admitindo
o
sejam
oãçudorpeR
r
5
11
tangentes
km,
A
r
5
7
entre
km,
r
B
5
5
equações.
Deter mine
seja
o
valor
solução
do
de
m
Ñ
S
5
solução
construídos
do
sistema
no
item
for mado
professor.
a
e
pelas
Ö
(UFJF-MG)
A
tabela
abaixo
for nece
a
quantidade
de
si.
km
proteína,
C
grama 4.
gráficos
to
do
as
12. circunferências
os
n
raio
que
interpr ete
A
R
m
car
dos
oi
rato
alimentos
e
A,
gor
B,
C
ura,
e
conti
a
em
ca
D.
m
sistema:
Unidades
⎧
de
Unidades
de
Unidades
de
Alimentos
e
incógnitas
x
e
y
proteína
carboidrato
gordura
4
4
4
6
1
3
C
6
2
3
D
2
1
⎩
A
5.
(Mackenzie-SP)
diferentes,
caixas
da
te
de
soma
paga
sabão
bão
sabão
a)
R$
Um
B
kg.
R$
e
O
super mercado
C,
14,00
um
preço
seria:
de
preço
preços
mais
o
A
1
dos
A,
C,
A,
sabão
da
das
compra
pacote
que
ele
alternativa
marca
marcas
pela
do
R$
10,50
c)
R
13,40
pó
A
B
é
e
de
sabão
pagaria
B
igual
C.
Se
dois
e
por
três
marcas
embalados
metade
um
clien-
um
dosa-
pacotes do
Um
nutricionista
posta
d)
e)
R$
R$
1
pacotes do
mais
três
à
em
b
12,00
b)
vende
em
11,50
somente
deseja
por
preparar
esses
exatamente
50unidades
carboidrato
e
uma
alimentos,
de
24unidades
proteínas,
de
refeição,
que
21
gordura.
com-
contenha
unidades
Então,
de
quanto
13,00
às
maneiras
de
se
combinarem
quantidades
desses
quatro alimentos, em números inteiros de gramas, para
compor 6.
Deter mine
solução
⎧
5y
kx ⎩
Ñ
única.
2y
⎨
k
5
5
R
de
modo
que
o
sistema
abaixo
tal
refeição,
é
correto
afir mar
que:
t
rn
tiv
tenha a)
não
existe
tal
b)
existe
c)
existem
maneira.
exatamente
duas
d)
existem
exatamente
três
e)
existem
infinitas
9
uma
única
no
expressões. Guia
A
pelos
x 5
A
do
maneira.
4 maneiras.
6 maneiras.
1 maneiras.
193
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
Exercícios
complem ent a res Sendo d
x
a
quantidade
de
amendoim,
y y a
quantidade
de
castanha
de
⎧
zaquantidade z
de
castanha-do-pará,
todas
em
quilograma:
caju
e
20
,7
y
⎨
1
⎩
13.
Classifique
o
os
sistemas
correspondente
lineares
conjunto
abaixo
e
deter mine
18.
solução.
(Unicamp-SP)
de
amendoim,
Sabe-se
⎧ ⎛
⎨ x
y
5
SPD;
5
S 5
34
⎞
1
⎨
⎩
castanha
o
quilo
de
do
deve
caju
enlatar
e
uma
mistura
castanha-do-pará.
⎫
o
quilo
13
13
castanha
de
amendoim
caju,
R$
custa
20,00
e
R$
o
5,00,
quilo
da
⎠ ⎭
castanha-do-pará,
⎧
meio y
da
⎬
⎝ ⎩
b)
que
empresa
5
⎧ a)
Uma
quilo
da
R$
mistura,
16,00.
e
o
Cada
custo
total
lata
dos
deve
conter
ingredientes
2
SPI;
⎨
5
{(a,
4
2a) a
a
Ñ
R}
de
cada
lata
deve
ser
R$
5,75.
y ⎩ Além
lata ⎧
2
(Unipar -PR)
Sobre
o
sistema
linear
4 4y
1
6y
1
⎨
a
quantidade
ser
igual
a
um
de
castanha
terço
da
de
soma
caju
das
em
cada
quantida-
1
des 14.
disso,
deve
a)
das
outras
Escreva
o
duas.
sistema
linear
ue
re
resenta
a
situação
⎩ descrita. é
correto
a)
afir mar
possível
e
que
é:
alternativa
c
b)
deter minado.
Resolva
dades, b)
possível
e
o
sistema
e
de
ingrediente
cada
deter mine
as
quanti-
por
250
g;
castanha
de
caju:
125
g;
lata.
castanha-do-pará:
125
g
impossível.
19. d)
Resolva,
por
escalonamento,
o
sistema
linear
a
seguir.
homogêneo.
e)
inclassificável.
Resolva
sistema
2y
1 2z
abaixo.
5
y
1
t
5
3y
1
t
5
4
5
⎨
S
5
{(1,
1,
2,
3)}
ed
⎧
o
⎧
8991
15.
grama,
indeter minado. amendoim:
c)
referido
em
0 y
1
orierevef
x
2
⎩ y
⎨
z
5
5z
S
5
5
{(2a,
3a
a a)
a
Ñ
R}
ed
3y
0
0
91
⎩
ed
Resolva
os
sistemas
016.9
16.
Aprofund amento
lineares.
ieL
0⎤
3
3
⎤
⎡
1⎤
⎡
⎧
0
y
8
S 5
21
5
5 5,
⎨
⎞
2,
⎫
20.
Resolva
o
sistema
abaixo.
⎬ ⎠
ogidóC
3
⎩
laneP
2
e
⎡ 1
a)
⎭ 1 1
0
1
z
0
⎧
2 ⎦
⎣
⎦
⎣
8
⎦
⎣
S
⎨
5
{(21,
6)}
od
9
3
⎡ 1
1⎤
1
1
1
x
1
1
y
6⎤
⎡
0 21. S
0
0
0
0
z
1
{(0,
1,
2,
Resolva
o
sistema
abaixo.
3)}
3
⎧
3 ⎦
⎣
⎦
⎣
5
1
8
⎦
⎣
u
v
⎧ ⎛ S 5
⎨
1
1
2
1
⎡
⎤
a
⎤
⎡
10
⎝
2
⎤ ⎩
c)
1
1
2
1
3
b
2
⎣
⎦
S
1
c
5
{(3,
1,
(Enem)
A
⎫
⎬ 2
⎠ ⎭
5 21
u
v
5)}
13 ⎦
22.
⎣
Sabendo
solução
17.
⎞
1,
⎨
⎩
⎡
oãçudorpeR
0
.adibiorp
1
.trA
0
⎡u ⎤
1
481
⎩
expressão
“Fór mula
de
Young”
é
que
o
sistema
trivial,
abaixo
deter mine
é
possível
e
não
admite
k
utilizada
⎧ para
calcular
dada
a
a
dose
infantil
de
um
medicamento, 1
dose
do
2y
adulto:
1
5 2
⎨
y ose
da
c r ianç a
idade
da
c rianç a
(e m
dose idade
Uma
a
c rianç a
enfer meira
uma
de
da
60
criança
mg.
A
em
deve
ano
1 12
administrar
inconsciente,
enfer meira
não
cuja
do
adulto
⎠
um
medicamento
dosagem
consegue
de
adulto
descobrir
Desaf io
X
é
onde 23.
está
registrada
identifica
que
a
idade
da
algumas
criança
horas
k
⎞
ano )
5
⎝
5
2
⎩
⎛
2
2
5
no
antes,
prontuário,
foi
(Fuvest-SP)
Considere
o
sistema:
mas
administrada
my
⎧
⎨ a
ela
uma
dose
de
14
mg
de
um
medicamento
Y,
cuja
1 1
m
x
1
y
5 1
⎩
dosagem
de
medicação
Então,
m
a)
15
a
adulto
Y
é
mg.
administrada
enfer meira
icamento
b)
42
20
à
deverá
Sabe-se
criança
que
a
estava
ministrar
uma
dose
da
correta.
X
alternativa
c)
30
d)
36
e)
a)
40
Prove
cada
dosagem
b
b)
que
o
número
Deter mine
m
possível. 2
194
sistema
real
de
m
modo
admite
Ver
solução
resolução
que
o
no
valor
única
Guia
de
x
do
para
professor.
seja
o
maior
Registre as respostas em seu caderno
Autoavaliação
1
A
equação
sistema
que,
linear
com
2
3
3
2x
é:
1
2y
5
alternativa
2,
compõe
7.
um
Dos
sistemas
a
⎧
a
y
z
5
d
x
y
⎧
5
2
⎨
b)
3x
1
c)
x y
3y
5
3
e)
x y z
5
0
e
x z
1
yz
5
A
intersecção
sariamente
linear
a)
2
3
duas
retas
representa
2:
possível
de
e
⎩
alternativa
a
concorrentes
solução
de
um
indeterminado.
c)
homogêneo.
d)
escalonado.
determinado.
a)
não
b)
são
c)
têm
têm
os
y
sistemas
equivalentes,
.8991
a)
5
c)
b)
4
d)
5
⎧ 2
e
⎨ x
sejam
entes.
infinitas
são
soluções.
homogêneos.
in
Em
R
que
solução.
equiva
o
y
valor
5
y
de
os
50,00
e,
os
artigos
artigos
juntos,
os
A
A
e
e
B,
C,
juntos,
juntos,
artigos
B
e
C
cus-
custam
custam
a
2y
a
loja,
55,00,
R$ 45,00.
A
soma
C
va
c
dos
preços
dos
artigos
A,
B
e
⎨
3
deve
9
r min
uma
tam R$
⎧
Para
b
e
8.
3.
alternativa
sistema
e)
e
que:
indeterminado.
b)
possível
dizer
neces-
d)
e)
67
3
pode-se
2.
7
5
22z
y ⎩
1
y
5
⎨
e)
5 10
ser:
é:
a)
ternat
R
85,00
R$
80,00
c)
R$
75,00
d)
R$
70,00
R
65,00
10
alternativa
a
c
12
ed orierevef
4.
Um
sistema
linear
homogêneo
não
pode
ser:
e) SI
SPD
c)
SPI
e)
ed
a)
b
3
3
2
alternativa
91
d)
2
3
a
3 9.
Uma
loja
ofereceu
a
seus
clientes
a
possibilidade
ed 016.9
de
⎧
ieL
5.
Para
lençóis,
fronhas
e
colchas
agrupados
1
⎨
que
comprar
seja a
1
1
y
um
sistema
nos
es-
seguintes
jogos:
5
e laneP
⎩
calonado,
ogidóC od
a
2
b)
3
o
valor
de
c
a
deve
ser:
alternativa
0
d)
e
(I)
2
lençóis
e
2
fronhas;
(II)
2
lençóis
e
2
colchas;
(III)
1
lençol,
d
5
481
O
preço
.trA
dos ⎛ 2
.adibiorp
6.
A
equação
⎛ x
3⎞
matricial
5 ⎜
1
4
jogos,
1
⎠
fronha
cada
I,
II
e
peça
e
III,
é
1
que
o
colcha.
mesmo
são
em
vendidos
qualquer
por
R$
um
130,00,
R$256,00
e
R$
143,00,
respectivamente.
O
preço
⎠ unitário
alternativa
da
colcha
é:
alternativa
c
b
oãçudorpeR
a
R$
b)
R$
85,00
80,00
c)
R
78,00
d)
R$
70,00
e)
R$
65,00
⎧ c)
⎨ 4
5
⎨
1
3
4
⎩
⎩
3y
⎧ b)
corr es-
⎟ y
sistema:
⎧ a)
⎝
⎠
de
⎛ 2⎞
8
⎝
pondeao
1
3
5
2
⎧3 d)
⎨
y
⎨ y
4 ⎩
⎩
Retomad a de conceitos
Se
você
Releia
não
a
acertou
teoria
e
al
refa
uma
a
os
questão,
exercícios
consulte
a
tabela
e
verifique
o
que
precisa
Número
Objetivos
Representar
usando
e
resolver
sistemas
Reconhecer
Apresentar
e
do
estudar
novamente.
correspondentes.
capítulo
1
2
3
4
5
da
questão
6
7
8
9
X
X
situações-problema
lineares.
classificar
sistema
sistemas
linear
em
lineares.
forma
X
X
X
X
X
de X
equação
Aplicar
matricial
o
método
e
vice -versa.
do
escalonamento
na X
resolução
de
sistemas
178 Páginas
do
livro
X
X
lineares.
referentes
ao
a
181
a
187
e
182
a
189
a
185
a
181
a
183
e
180
a
180
a
182
e
conceito 180
183
188
185
192
187
187
a
192
182
189
a
192
195
Compreensão de texto
Montando
Neste
ser
útil
O
nas
artigo
para
leitor
sobre
o
uma
etc.
vamos
abordar
já
deve
valor
dieta
mostrar
um
ter
percentualmente
que
reparado
nos
o
problema
energético
contidas
alimentar
e
as
estudo
de
que
e
sistemas
sistemas
lineares
lineares
indeterminados
pode
nutricional.
as
embalagens
quantidades
produtos
nos Valores
com
quanto
Diários
de
de
de
alimentos
carboidratos,
cada
uma
Referência
dessas
— VDR
trazem
gorduras,
informações
sódio,
quantidades
—
para
uma
proteí-
representa
alimentação
adequada.
Após
que
vasculhar
mostra
innatura*,
çado,
pão
os
a
geladeira
valores
peito
tipo
de
frango
francês
e
os
armários
nutricionais
e
de
empanado
margarina
Principais
Arroz
da
alguns
cozinha,
congelado,
sem
suco
a
tabela
encontrados:
de
laranja
a
arroz
seguir,
e
pasteurizado
feijão
e
ado-
sal.
nutrientes
Feijão
montamos
alimentos
de
alguns
Frango
alimentos
Suco
Pão
Margarina VDR
(50
Energia
(kcal)
Carboidratos
Proteínas
Gorduras
(g)
(30
g)
(80
g)
(200
m
)
(50
g)
(14
g)
190
100
150
120
130
45
2.000
37
16
8
30
28
0
300
3
7
13
1
4
0
75
0
6
0
1,5
5
55
(g)
totais
g)
(g)
Suco
Sistema
Para
montar
cada
tema
mc)
kcal
Carboidratos..........
30
g
Proteínas .................
1
g
Gorduras
0
g
linear
uma
dieta,
é
preciso
determinar
as
quantidades
x
,
...,
x
1
de
(200
Energia ....................120
alimento
necessárias
para
compor
o
VDR.
Isso
(em
totais .....
porções)
6
corresponde
a
resolver
o
sis-
linear.
x
⎧
2
37
4
x
x
6
x
5
2
5
(I) ⎨ x
1
13x
x
2
x
5
4
⎪ x
x
1
x
5
5
⎩
Feijão
Observe
de
que
nutrientes,
maneira
forma
de
(I)
e
o
sistema
seis
resolver
escalonada
(I)
possui
incógnitas,
o
sistema
é
quatro
equações,
correspondentes
por
ao
escalonamento
correspondentes
número
[...],
de
ao
alimentos.
transformando
o
(30
g)
número
A
Energia ....................100
kcal
Carboidratos..........
16
g
Proteínas .................
7
g
Gorduras
0
g
melhor
sistema
na
reduzida.
totais .....
x
⎧
6
⎪
x
5
2
6
(II) ⎨ x
5 6
x 6
⎩
Frango
(80
g)
[...] nem toda solução matemática é utilizável na situação prática, já que numa dieta
x
>
5
x
>
0
de
modo
que
também
tenhamos
x
6
>
0,
...,
x
>
0.
1
Energia ....................150
kcal
Carboidratos..........
8
g
Proteínas .................
13
g
6
g
[...]
Gorduras
Fonte:
DORNELLES
Montando
Revista
In
196
natura:
no
estado
natural,
sem
ter
passado
por
do
processamento
Professor
industrial.
de
uma
dieta
FILHO,
com
Matemática ,
n.
Adalberto
sistemas
59,
2006.
A.
lineares.
p.
27-28.
totais .....
(14
ZNAM
Margarina
g)
kcal
g
Proteínas .................... 0
g
Gorduras
totais ........ 5
No
:SOTOF
Carboidratos............. 0
g
o
(50
texto
página
dos
no
ao
valores
carboidratos,
Observe,
cipais
g)
da
estudo
energia,
2.
Pão
Registre as respostas em seu caderno
At iv id ades
OLUAP
Energia ....................... 45
lado,
proteínas
texto,
o
quais
elementos
nutricionais
e
gorduras
sistema
(I),
dos
Carboidratos.............
28
kcal
a)
O
4
com
base
na
tabela
dos
prin-
tem
quantas
equações?
E
equações
quantas
e
6
incógnitas
incó
nitas?
g
sistema,
a
que
correspondem
cada
equação
e
cada
incógnita?
g No
Gorduras
para
nutrientes.
sistema
No Proteínas ....................
considerados
escolhidos?
totais
obtido
4
Energia ....................... 130
foram
alimentos
totais ........ 1,5
sistema,
cada
equação
corresponde
a
um
nutriente,
e
cada
incógnita,
a
um
alimento.
3.
g
4.
a)
possível
b)
possível
Partindo
que
x
e
determinado.
e
da
x 1
c)
for ma
x 2
e
x
3
escalonada
se
am
impossível.
alternativa
indeter minado.
b
reduzida,
expressos
em
escreva
função
o
de
sistema
x
e
4
de
modo
x
5
6
V
5.
4, determine as inequações que
relacionam
x
com
x
de
6
Cada
de
que
tenhamos
x
5
inequação
sistema
modo
obtida
eixos
x
e
>
0,
...,
x
1
x
5
na
,
e
questão
os
corresponde
valores
de
x
6
e
x
5
>
0.
4
a
que
um
semiplano
satisfazem
no
todas
as
6
inequações pertencem à região de intersecção dos semiplanos. Sabendo
disso,
do Arroz
verifique
sistema
qual
dos
formado
por
gráficos
essas
melhor
representa
inequações.
o
alternativa
con
unto
solução
d
(50
Energia ....................... 190
Carboidratos............. 37
3
g
Gorduras
0
g
x
c)
6
g
Proteínas ....................
totais ........
x
a)
kcal
6
12
10
10
8
8
6
6
4
4
2
OCCES
12
2
2
4
6
8
10
12
0
2
4
6
8
10
12
x 5
5
x
d)
6
6
12
12
1
1
8
8
6
6
4
4
2
2
0
2
4
6
8
10
x
12
:SEÕÇARTSUL
x
b)
0
2
4
6
8
10
12
x
5
7.
De
acordo
ses
com
alimentos
o
grá
pode
ico,
ser
NOSLIDA
0
x
5
uma
obtida
possível
dieta
composta
escolhendo-se
x
5
5
apenas
(250
g
de
des-
pão)
e
5
x
5
6
(84
g
de
margarina).
Substituindo
esses
valores
no
sistema
6
da
questão4,
deter mine
x
x 1
8.
Em
grupos,
façam
uma
x 2
e
x
3
pesquisa
4
levando
em
consideração
Ver
outras
questões
que
julgarem
Guia
dientes
infor mados
na
gorduras
fibras
do
e/ou
no
professor.
saturadas
embalagem
estas
orientações
interessantes:
de
e
alguns
alimentares
e
gorduras
trans,
ingre-
alimentos?
do
sódio
no
organismo
humano?
(valores
vem
ser
diários),
maiores
isto
e
de
é,
de
quais
quais
grupos
grupos
v
as
porcentagens
m
r
n
de
VDde-
r
saudável?
Preparem
uma
encontrados.
tazes
Se
achar
oportuno,
o
texto
e
a
atividade
de
pe
uisa
ou
usar
podem
ser
apresentação
Para
auxiliar
recursos
mais
bem
oral
na
em
um
trab a alho
interdisciplinar
com
Biologia
e
Química.
a
tur ma
com
vocês
os
resultados
podem
fazer
car -
multimídia.
x
1,94
6
desenvolvidos
para
apresentação,
x
x 6
x 6
1
1,12
1
4,79
7.
x
5
0,82
(41
x
5
1,68
(50,4
g
5
2
(234
5
2,7
de
arroz)
5
0,04
6
5
0
g
de
feijão)
2
30x 0
1
11
04
5
2,76x 5
x
93
4
g
de
frango )
3
1
25,78
x
(540
mc
de
suco)
4
197
l
o
t
u
í p
C
a
10
Análise combinatória
Está na hora de
alterar suas senhas?
AZ O B R A B OTS U G A Z UL : OÃ ÇA R T L
Q Qu em acessa a internet com fre r quênci c a está á acostumado a criar
Objetivos
do
capítulo
senh n as para diferentes tipos de e serviço o (
cadastros em m sites etc.). Essas s
Compreender
o
l
e le
aplicar
ma
nhas, q que muitas vezes misturam
ras, alga
is
os e outros cara acteres especiais, servem para
princípio
garantir a seg egurança das infor rmações s e a privacidade dos usuários. multiplicativo.
Mas os termo os que escolhemos s como p palavras-chave podem não
Aplicar
as
noções
de ser tão seguros quanto ima m ma gina n mos, o que nos torna alvos fáceis
fatorial.
de vírus, pessoas e prog
Identificar
dos
a
amas d
compu p tador mal-intencionados.
natureza
problemas
de
contagem. Todos
Compreender
e
os
anos, s
si
s
especializados
em
seguran a ça
SEGUR A NÇ A
na
EM
rede
divulgam
as
senhas
mais
comuns s
Dê
por
aplicar
os
ck
s
o
topo
da
lista,
sempre
preferência
virtuais
as
fórmulas
bvias,
como
123456
e
p
de
(a
palavra “sen
a” ,
em
inglês),
ou
que
formadas
sequências
de
caracteres
do
teclad
q
serviços
É
impossível
mas
resolução
segurança
completamente
criati ividade
e
cuidado
é
seguro
possível
complexo.
na
além
de
uma
Para
senha,
int ernet,
escapar
uma
um
precisará
etapa
extra,
código
passar
como
por
digitar
autenticador
ou
de do
problemas.
com
estar
sistema
y você
combinação
198
e
por acessá-los,
na
sites
tenham
s s wo rd
de
permutação, arranjo
e
a
est ão
conceitos
combinações
e
DO BRO
descober tas
óbvio
e
aprimorar
sua
segurança
na
rede.
reconhecer
caracteres
na
tela.
Você
trocou
senhas
nos
suas
Alguns
últimos
navegadores
seis
suas
não
senhas
para
precisar
sua
dentro
pode
das
isso,
suas
essar
de
casa,
privacidade
em
tem
Por
NÃO
mesmo
Alguma
você
digitá-las
novamente. SIM
senhas
gravam
meses?
estar
perigo.
a
nomes
NÃO
ou
datas
impor tantes
para
smar tphones
ou
ts
você?
os
s?
NÃO
SIM
SIM
Uma
segura
Você
usa
a
mesma
8
senha
caracteres.
do
para
mais
de
um
ser viço
óbvio.
internet
(e-mail,
pelo
Mas
é
menos
bom
Imagine
fugir
frases
SIM
aleatórias,
de
senha
tem
como
“Ratos albinos
redes sorridentes trituram macarrão”;
sociais
ou
aplicativos)? isole
palavra
Você
as
(ra
primeiras
+
al
+
so
letras
+
tr
+
de
ma);
cada
substitua
costuma algumas
por
números
(a
por
4,
NÃO
por
exemplo);
e
inclua
outros
e Uma
caracteres
senha
na
combinação,
de
esquecer? simples
é
descober ta
um
preferência
facilmente
hacker.
complexa,
papel
é
bem
meio
da
palavra
(r44l!so%tr*m4).
por
Uma NÃO
em
no
SIM
anotada
escondido,
menos
acessível
ocê
a
ue
estranhos.
ura. .
is
o,
?
Computadores
são
mais
eficientes SIM
que
para
NÃO
humanos
criar
senhas
Faz
par te
da
sua
complexas
e
senha
aleatórias.
uma
que
palavra
existe
Sua
no
senha
possui
letras
SIM
maiúsculas e minúsculas?
dicionário?
NÃO
NÃO
Você
SIM
Um
usa
cobrir
aplicativos
NÃO
undos,
que
ajudam
a nações
administrar
senhas avras,
e
gerar
novas teres SIM
palavras-chave
eiros
aleatórias?
que
R E I Z NA M
dicionário.
. P
a(s)
senha(s)
que
você
Considere
-chave
nã
l
Fontes:
Worst
Passwords
of
2015.
SplashData.
Acesso
em:
s)
Disponível
4
fev.
2016;
se
e sq
eça
pois
m pr
em:
<www.splashdata.com>.
suas
podem
Acesso
Car tilha de Segurança para Internet:
em:
4
versao
fev.
4.0;
2016;
mudar
que
você
São
Paulo:
estar
Comitê
palavras-
na
informações
How secure is my passpor t?.
CERT.br.
as
usa
da
internet,
pessoais
correndo
Disponível
Gestor
: S EÕÇA R T S UL
Parabéns,
perigo.
em:
Internet
no
Brasil,
2012.
199
1
Contagem
No
mundo
dados
e
meios
Além
com
de
a
usuário
Uma
car
o
cria
usuário
disponíveis
–
ter
pelo
nada
ou
a
a
necessidade
aumenta
possuírem
sistemas
alto
a
nossa
grau
criptografados
computadores,
pode
não
mais
ser
de
de
armazenar
dependência
e
dos
conectividade,
transmitir
dispositivos
exigem
muito
que
celulares,
assegurada
compõem
tablets
com
certo
e
os
outros
grau
de
suportes
suportes,
lógicos
a
confiança,
invio-
quando
previsíveis.
é
do
permitir
letras
dos
para
que
um
acesso
a
conjunto
dados,
de
caracteres
programas
ou
destinado
sistemas
a
que
identifi-
não
estão
do
10
alfabeto
algarismos
–
que
podem
conhecidos,
ser
aplicadas
ainda
em
dispomos
maiúscula
de
vários
ou
em
caracteres
formá-las.
o
infográfico
menos
uantidade
por
maior
fato
público.
26
e
Segundo
dos
senhas
ao
das
especiais
que,
vez
Esse
segurança.
dados
senha
Além
cada
complexos
dos
minúscula
é
sigilosos.
programação
labilidade
o
e
eletrônicos
cuidado
de
atual,
pessoais
de
oito
da
abertura
caracteres.
senhas
que
deste
Mesmo
podemos
sem
capítulo,
fazer
inventar
é
uso
uma
dos
senha
segura
caracteres
deve
especiais,
a
enorme.
Empregando apenas letras e algarismos, quantas senhas com o tamanho mínimo
no
oito
as
ográ
ico
esse
podem
problema
diferentes
ser
especiais
implica
senhas.
ormadas?
E
se
pudermos
utilizar
também
os
sugeridos?
quantificar
Problemas
de
todas
as
combinações
contagem
desse
tipo
possíveis
permeiam
para
nosso
orierevef
Resolver
formar
in
caracteres
ed
outros
.8991
sugerido
ed 91
cotidiano.
ed
campo
de
do
estudo
número
que
de
desenvolve
elementos
métodos
de
um
para
conjunto
fazer
é
a
contagem,
chamado
de
forma
de Análise
com-
ieL
Obser vação
como
algarismos
aqueles
não
repetidos.
ao
se
na
Química,
montar
exemplo,
532
não
332,
555
ou
à
científico
ou
decorrer
Um
de
porque,
e
à
Estatística,
antecipação
capítulo,
que
as
prêmios.
à
de
recaem
de
Os
veremos
Análise
situações
programa
no
esporte,
a
Análise
resultados
combinatória
nos
campos
constitui
industrial,
um
comer-
TV
a
a
resolução
do
exemplo
acima
e
de
outros
combinatória.
em
problema s
de
contagem
seguir.
sorteia
números
das
duas
casas
casas
de
uma
sorteadas
mesma
devem
ter
rua
3
para
a
entrega
algarismos.
Um
dos
pode
números zero,
ou
governamental.
deste
Situações
a)
Obser vação
ser
de
pertinentes
Acompanhe
não
átomos,
oãçudorpeR
centena
entre
nesse
deve
ser
par ,
e
o
outro,
ter
algarismos
distintos.
Do
total
de
números
caso,
possíveis, quantos atendem à primeira exigência? E quantos atendem à segunda? teríamos
um
número
com
Vamos doisalgarismos,
Por
e
exemplo:047
não
com
partir
de
um
esquema
que
decimal
de
números
de
3
algarismos
nosis-
numeração:
centena
No
primeiro
Para
3,
4,
cada
5,
Para
par,
6,
No
a
n
ou
da
Portanto,
9),
das
5
r
possibilidades
da
9
centena,
totalizando
90
9
há
para
10
10
ou
como
para
os
a
ser
há
5
ocupada
seja,
450
e
8
centena
para
por
devem
para
a
a
0,
números
algarismos
dezena
a
(1,
possibilidades
possibilidades,
possibilidades,
deve
unidade
2,
isto
é,
unidade
2,
4,
3,
para
6
ou
4,
a
5,
90
7,
8
ou
(0,
9).
1,
2,
possibilidades.
(para
8).
6,
dezena
o
número
Logo,
ser
podemos
pares.
ser
distintos,
unidade:
há
9
9
possibilidades
5648,
ou
seja,
.
com
450números
9
dezena
5450,
caso,
centena,
m
há
unidade
10
segundo
para
4
8
uma
casa
9
caso,
algarismo
7,
cada
a
formar
200
represente
três.
tema
os
algarismos
pares
de
3
0,
1,
algarismos
2,
e
3,
4,
648
5,
6,
7,
números
8
de
e
3
9,
é
.adibiorp
No
da
união
situações,
eonatos.
Probabilidade
instrumento
problemas
casa
possível
diversas
242.
cial,
A
a
mais
.trA
mas
cam
nas
ou
poderoso
125,
investigar
aplicada
481
por
se
de
ser
São
Associada
válidos,
ao
tabelas
pode
od
algarismos
que
combinatória
ogidóC
têm
com
são
Análise
laneP
distintos
A
e
binatória.
Números
016.9
O
eficiente,
possível
algarismos
formar
distintos.
árvore
Raul
almoça
direito
a
em
uma
2 opções
de
um
restaurante
entrada,
entrada
um
prato
(sopa
ou
que
oferece
principal
salada),
e
3
refeições
uma
fruta.
opções
de
a
O
um
preço
fixo
restaurante
prato
com
seria
de
possibilidades,
nesse
caso,
assim: cara
ccc
coroa
cck
oferece
principal
(carne, cara
ou
legumes)
e
2opções
de
fruta
(pera
ou
banana).
Quantas
refeições
cara
ckc
coroa
ckk
cara
kcc
OCCES
massa
coroa
Reflita
diferentes
Raul
pode
montar?
Ele
deve
fazer
três
tipos
de
é
escolha:
obter
:
E
sopa
ou
salada
(sp
ou
sl);
cara
E
:
carne,
massa
ou
legumes
lançamos
cara
segunda
1
possível.
Quando
(c
m
ou
(c)
(c)
ou
vez,
ou
uma
coroa
moeda,
(k).
podemos
coroa
(k).
E,
Lan
obter
podemos
ando
uma
cara
novamente
lançando
terceira
vez,
cara
ou
podemos
mais
uma
vez
coroa
ck
cara
kc
coroa
uma
l);
2
NOSLIDA
Sim,
obter coroa
E
:
pera
banana
b).
opções
coroa
em
uma
árvore
de
kkk
possibilidades:
c
b
m
b
l
p
sp
l
b
c
p
ieL e
SAD
ogidóC
sl
m
p
banana
sl
m
b
od
pera
SOTIDÉR
laneP
c
481
massa
salada
.trA .adibiorp
Obser vação
oãçudorpeR
Em
pera
sl
l
p
problemas
mais
simples,
chamada
anana
sl
l
diagrama
c)
Agora,
vamos
resultados
Quando
do-a
Vamos
considerar
podem
2
dois
3
2
5
12,
ou
lançamentos
seja,
12
refeições
sucessivos
de
árvore
uma
diferentes.
moeda.
todas
as
e
na
ajuda
ou
contagem
na
de
possibilidades.
Que
ocorrer?
lançamos
uma
montar
de
sequencial,
visualização
pode
de
também
b diagrama
Raul
contagem
árvore
possibilidades,
legumes
Portanto,
de
a
uma
segunda
moeda,
vez,
representar
em
podemos
novamente
uma
tabela
obter
podemos
de
dupla
cara
obter
ou
coroa
cara
entrada
ou
esses
2
k
.
Lançan-
coroa k
lançamentos: Obser vação
KCOTSRETTUHS/NIFRU
o
2
ançamento
o
1
lançamento
Cara
(c)
Coroa
cc
(k)
ck
kc
Fazer
de
uma
tabela
visualizar
e
de
é
outra
contar
maneira
as
possibilidades.
Ref lita
Nos
2
lançamentos,
temos
2
2
5
4,
ou
seja,
4
resultados:
(
,
c),
(c,
k),
(k
c) É
ou
(k
possível
de
Ao
muito
resolver
usado
princípio
fazer
uma
ár vore
k).
as
três
neste
situações
capítulo:
fundamental
da
o
anteriores,
princípio
contagem
empregamos
multiplicativo,
um
princípio
também
que
será
chamado
de
possibilidades
3lançamentos
mesma
ela
para
sucessivos
moeda?
Se
sim,
de
uma
como
seria?
201
:ENRAC
:SOTOF
016.9
nana
KCOTSRETTUHS
ed
sl
:APOS
91
pera
carne
:AREP
ed
TALLIUOGRAM
orierevef
anana
KCOTSRETTUHS/NAHCNOB
ed
sp
:ASSAM
8991
pera
legumes
KCOTSRETTUHS/TNOMAGREB
sp
;KCOTSRETTUHS/OTOHP
banana
massa
sopa
:ANANAB
p
:ADALAS
m
KCOTSRETTUHS/JWOLLEY
sp
SKAM
pera
SEMUGEL
anana
MAIS
sp
carne
UANO
c
NOSLIDA
p
OCCES
pera
/LEVAP
as
ou
(k).
KCOTSRETTUHS/OKNEDORAN
organizar
(p
coroa
;KCOTSRETTUHS/ 382121YRELAV
Vamos
ou
(c)
1.1
Princípio
Considere
Se
A
que
pode
multiplicativo
um
ocorrer
acontecimento
de m
maneiras
e
ocorra
se,
em
para
duas
cada
etapas
uma
sucessivas,
delas, B
pode
A
e
n maneiras, o número de maneiras que o acontecimento pode ocorrer é m
O
princípio
multiplicativo
pode
ser
estendido
para
três
ou
mais
B
ocorrer
de
n
etapas.
Exe rc íc ios resolv id os
R1.
T rês
alunos
chegam
atrasados
a
uma
palestra.
Ref lita
Noauditório,
tas
só
maneiras
estão
eles
vazias
podem
7
cadeiras.
ocupar
essas
De
quan
Em
cadeiras?
uma
situação
maneiras
parecida
diferentes
7
com
pessoas
Resolução
Pelo
com
7
poltronas
considerar
que
a
ocupação
das
ocorra
em
três
Quantos
E
(escolha
de
,
de
quantas
ocupar
uma
multiplicativo,
fila
temos:
6
5
números
4
são
de
3
2
5.040
4
1
5
5.040
maneiras
diferentes.
algarismos
podem
ser
etapas:
for mados
princípio
Logo,
cadei-
R3. ras
do
livres? 7
Vamos
a
podem
uma
cadeira
pelo
com
os
algarismos
0,
1,
2,
3,
4
e
5?
primeiro
1
aluno):
E
possibilidades
(escolha
pelo
segundo
aluno
após
Resolução
.8991
7
ter
2
E
):
6
ed
ocorrido
possibilidades
1
E
(escolha
pelo
terceiro
aluno
após
orierevef
4algarismos: terem
3
ocorrido
E
e
E
1
):
5
possibilidades
2
ed
princípio
multiplicativo,
91
Pelo
temos:
5
5
apenas Logo,
os
alunos
podem
ocupar
as
cadeiras
de
7
alunos
algarismo
do
essa
milhar,
posição
há
não
ser
ocupada
pelo
algarismo
zero.
Para
as
erentes.
escolherem
3
cadeiras
é
análoga
à
de
7
por
3
alunos,
quanto
ao
—
centena,
dezena
e
uni-
número
—,
há
6
possibilidades
para
cada
uma.
de
Ref lita possibilidades.
Logo
a
quantidade
seria
a
mesma.
Assim,
pelo
princípio
multiplicativo,
temos:
ogidóC
escolhidas
restantes
cadeiras
dade serem
pois
laneP
situação
o
e
di
posições A
para
possibilidades,
ieL
maneiras
5
de pode
210
que,
210
016.9
6
ed
Observe 7
od
houvesse
alunos
3
—,
alunos
inversão
qual
que
na
atrasados
seria
a
e
situação
só
há
quantidade
poderiam
ocupar
da
palestra
3cadeiras
os
de
3
grupos
5
—
vazias
no
diferentes
com
entrar
uma
fila
em
de
6
um
cinema,
poltronas
6
os
1.080
é
possível
algarismos
for mar
1.080
números
dados.
6
amigos
livres.
De
encontram
quantas
manei-
Quantos
tos
são
os
for mados
que
são
números
com
divisíveis
os
de
4
algarismos
algarismos
por
0,
1,
2,
distin-
3,
4
e
5
5?
ras diferentes eles podem ocupar essas poltronas?
Resolução
Resolução Se
lidades
de
ocupação
para
as
6
0
um
ou
número
em
5.
é
divisível
Vamos
por
estudar
5,
esses
ter mina
dois
em
casos.
poltronas. 0
6
Observe
que
5
4
2
1 3
possibilidades
4
possibilidades
5
possibilidades:
são:
meira
3
5
poltrona;
(1,
2,
3,
(1,
2,
3
4
e
5)
4
3
5
60
5
3
possibilidades
4
possibilidades
4
possibilidades:
3
Aplicando
6
5
4
Portanto,
nas
202
de
o
princípio
3
2
os
720
1
5
amigos
multiplicativo,
4)
podem
Assim,
ocupar
diferentes.
48
temos:
720
maneiras
e
as
poltro-
e
48
temos
números
possível
60
números
ter minados
for mar
108
ter minados
em
números
5.
em
0
Portanto,
divisíveis
por
é
5.
oãçudorpeR
Ao
6
lugares?
R4.
R2.
6
Portanto,
.adibiorp
auditório
de
uma
chegam
.trA
7
481
Se
R5.
De
1990
Brasil
mos.
até
2015,
tinham
3
Quantas
as
placas
letras
são
as
de
automóvel
seguidas
por
4
possibilidades
no
algaris-
de
placas 3
diferentes
nesse
sistema?
(Considere
o
Cada com
26
letras
4
um
dos
3
ZNAM
do
com
alfabeto,
pode
OLUAP
ser
e
para
de
placa
veículos
utilizado
emplacados
no
cada
dezembro
de
de
Se
achar
alunos
Para
a
o
uma
conveniente,
que
obter
criação
é
o
um
a
seguir
de
conversar
sobre
sistema
o
representa
automóvel
com
(Mercado
o
professor
Comum
Mercosul,
comum
de
dos
4
com
26
ser
últimos
espaços
qualquer
um
10
10
letras
dos
10
10
1990
2
placa
Mercosul
informações
de
pode
das
princípio
multiplicativo,
o
númer o
de
2015.
Resolução
diagrama
um
26
possibilidades
de
espaços
uma
Brasil
Pelo
até
qualquer
preenchido
26
Modelo
O
primeiros
letras.) preenchido
algarismos
alfabeto
do
você
os
nesse
de
Sul)
discutir
e
placas
consultar
permitirá
promover
quais
seriam
o site:
um
2
Portanto,
espaços
sistema:
Geografia
e
pode
emplacamento
7
2
um
os
trabalho
de
se
criar
<www.mercosul.gov.br>.
controle
mais
rigoroso
do
há
com
um
1
o
de
diferentes
1
1
175.760.000
nesse
base
sistema
Segundo
transporte
placas
1
diferentes
interdisciplinar
objetivos
de
na
de
Departamento
cargas
e
de
particulares
.7
.
possibilidades
do
.
Pode-se
emplacamento
Nacional
passageiros,
entre
17
de
sistema.
questão
comum
5
é:
os
de
explicar
de T rânsito
bem
países
que
como
aos
veículos.
( Denatran),
de
veículos
compõem
o
bloco.
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
.8991
1.
Com
3
tipos
de
macarrão
e
2
tipos
de
molho,
quan-
8.
Quantos
números
entre
1.000
e
8.000
podemos
ed orierevef
tas
opções
po
em
de
pratos
diferentes
de
macarronada
formar
usando
apenas
1,
3,
5,
7
e
9
sem
repeti-los?
96
ser
prepara
as?
6
ed
9.
91 ed
2.
Uma
pessoa
016.9
cidade
C,
quer
viajar
passando
de
pela
uma
cidade
cidade
B.
A
As
a
A
seleção
va
com
de
resposta.
ieL
estão
e
cidades
ligadas
B
e
C
por
estão
3
estradas:
ligadas
por
d
4
,
certo
questões.
concurso
Para
cada
é
feita
por
questão,
uma
há
pro-
3opções
Os
candidatos
marcam
as
6respostas
cidades
d
1
as
6
para
uma
em A e B
números
opções
e
d
2
;
um
cartão
igual
ao
da
figura
a
seguir.
e
3
estradas:
e
laneP
1
,
e
2
e
e
3
481
Doze
.
De
quantos
modos
diferentes
se
pode
4
o
percurso
cavalos
.trA
nhum
ABC ?
12
participam
pode
ganhar
modos
de
uma
mais
de
corrida.
um
NOSLIDA
ogidóC od
fazer
OCCES
e
Se ne-
prêmio,
de
.adibiorp
o
quantas
maneiras
podem
ser
distribuídos
o
1
o
2
prêmios?
132
maneiras
Calcule
oãçudorpeR
rentes
Quantos
são
os
números
de
4
De
quantas
podem
livros
lado
colocados
lado
120
em
Um
cartão
técnico
grupo
uma
AVONESKA
prateleira?
ser
a
10.
/AY LATAN
5
números
dis-
maneiras
KCOTSRETTUHS
tintas
maneiras
responda:
de
pode
quantas
ser
maneiras
preenchido?
tas
4
cada
3
o
cada
atletismo
corredores,
um
e
correr
para
4
em
melhor
corridas,
pode
de
7
100 m
dem
Se
de
de
for mar
redores
3
as
200
corredor
os
devem
ordemserá
um
deve
contada
de
os
dos
ser
sendo
participar
de
Todos
maneiras
times,
escolher,
times
corridas
m.
qualquer
quantas
deve
dois
o
senha
A
acesso
distintas
primeira
algarismo
um
seguidas
letra
não
não
pode
de
e
3
algarismos
pode
ser
ser
zero.
Z,
e
distintos.
o
Quantas
7
atletas
último
os
um
nas
o
outros
uma
time
os
com
números
os
de
algarismos
duas
técnico
6
cor
equipe
e
diferente?
maneiras
primeir o
3
dígitos
0,
1,
2,
podem
3,
4
e
ser
5,
NACNU
quantos
for mados
po
A/YBLE
Calcule
um
atle
revezamento
distintas
que
de
4
diferentes
e
7.
r
WOLG/YM
tras
n
SEGAMI
A
m
revezamentos.
apenas
como
de
720
6.
dife-
72
algarismos?
9.000
5.
e
esse
se
algarismos:
a)
podem
b)
não
ser
repetidos.
podem
ser
180
números
repetidos.
100
números
Corrida
de
revezamento
4
3 400
m,
EUA,
2012.
203
11.
Uma torre de comunicações conta com 5 bandeiras
sinalizadoras,
do
uma
ou
e
as
mais
mensagens
bandeiras
são
enviadas
são
15.
quan-
hasteadas,
Em
a
ordem
em
que
elas
são
país,
os
números
de
telefone
impossuem
portando
deter minado
10
dí
itos,
confor me
o
padrão:
hasteadas.
Quantas mensagens distintas podem ser enviadas? não 325
pode
ser
0
ou
1;
mensagens
AGNAM
dígitos
não
podem
ser
podem
todos
ser
0
ou
iguais
a
1;
800
12.
No
código
Morse,
as
“letras”
são
representadas
0. códigos
por a)
b)
O
pontos e traços, em agrupamentos ordenados de 1 a
4
desses
sinais
para
cada
“letra”.
Quantas
có
igo
distintas
podem
ser
representadas
nesse
30
e
ár ea
p a ra
certa
ci
a
e
é
43 1.
“letras”
código?
letras
640
prefixos
C
c)
13.
Quantos
menos
números
um
de
5.000
algarismo
3?
542
a
6.999
contêm
pelo
são
2
iniciais
seus
letras.)
Ver
devem
nomes.
resolução
ter
as
mesmas
(Considere
no
Guia
9.999
b
é
223.
números
dígitos
são
do
o
duas
númer os
possíveis
de
telefone de
dentro
do
código
6.399.360
números
letras
alfabeto
e)
com
Quantos
números
possíveis
professor.
nesse
de
telefone
país?
de
10
5.119.488.000
dígitos
são
.8991
26
alunos
de
difer entes
deárea431? menos
possíveis?
Quantos
7
números
d)
14.
números
ed orierevef ed 91 ed
Fatorial
de
um
número
016.9
2
natural
ieL e
5
3
e,
no
consecutivos,
multiplicamos
segundo,
n
5
como
números
1
2
3
ou
naturais
8
de
1
7
6
5
até n,
4
3
sendo,
2
no
1.
Em
ambos
primeiro
caso,
od
n
naturais
exemplos,
ogidóC
os
laneP
Boa parte dos problemas da Análise combinatória é resolvida por um produto de
números
8.
481
geral,
produtos
do
tipo
1
2
3
4
...
(n
1)
n
serão
escritos
com
a
no-
.adibiorp
de
fatorial.
é
definido
n!
5
n
para
n
um
natural
é
representado
por
!
(lemos:
“
fatorial”)
e
por:
(n
>
número
oãçudorpeR
O fatorial de
1)
(n
2)
...
2
5
1
2
Exemplos Obser vação
Algumas
têm
a
calculadoras
tecla
calcular
o
,
x!
de
O
b)
10!
fatorial
de
4,
ou
seja,
4!,
é
24,
pois:
4! 5
4
3
2
1
5
24
científicas
usada
fatorial
a)
5
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
5
3.628.800
para
um
número
A notação fatorial facilita a representação da multiplicação de números naturais natural
x
consecutivos. Por exemplo, para representar o produto 25 Em
uma
calculadora
essa
por
função,
para
exemplo,
calcular
basta
24
23
22
...
3
2
1,
com
podemos
escrever
25!
10!,
digitar
Se
tivermos
um
número
natural
n
muito
grande,
o
cálculo
de
n!
será
bastante
trabalhoso. Por isso, ao representar n!, podemos fazer algumas substituições, como:
visor
aparecerá
3.628.800,
que
o
é
número
o
resultado
5
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
5
10
9!
de
9! 10
9
sse
8
7
6
5
procedimento
epen
en
o
a
ca
4
3
pode
cu
a
2
1.
variar
!
5
n!
5
n
n!
5
n
(
1)!,
(n
1)
para
N
1.
ora.
Esse
204
8
tipo
(n
de
.trA
Em
tação
1)
nota
(n
(n
ão
2)!,
2)
será
para
(n
muito
n
Ñ
3)!
N
n
etc.,
usado
>
2.
para
na
n
Ñ
N
simplifica
n
>
ão
3.
de
expressões.
Exemplos Ref lita
a)
Veja
como
podemos
simplificar
as
seguintes
expressões: e
8!
7
6
8
5 5!
7
3!
3
2
3
é
que
5 56
1
n
um
2
1,
(n
1)!,
natural
e
(n
1
maior
1)!
são
Para
que
consecutivos?
( (n
1)!,
n!
e
( (n
1
1)!
sejam
001 ! 5
1
n!
1 números
1
número
6
5
5
001
números
consecutivos,
devemos
ter
0 0 0! o
sistema:
n
⎧
1
)!
1
1
!
5
1
n!
5
1
⎨
1
(simplificamos
n!
com
n
n!)
(II)
⎩
n! De
b)
Nos
exemplos
abaixo,
vamos
escrever
todas
as
expressões
em
termos
de
5!.
V
(II),
n
temos:
n
5
1
V
ubstituindo
6!
6
5!
6!
5
5
6
5!
6
5
5!
5
6
5
2
3
5!
4!
7
6!
6
!)
2
5
1!
5
2
(6
8
5! )
(6
5
5!)
(8
7
(1
3!
3
2
1)!
sistema
valor
5
n
1
5
por
1)
n
5
1
V
1
5
1
1
V
em
0
5
(I),
1
temos:
(falso)
5
1)
5
n
1
5!
5
O
8!
( (n
8
55
5!
de
é
n
números
do
que
tipo
SI;
torne
logo,
( (n
1)!,
não
há
n!
( (n
e
consecutivos.
6
Exe rc íc ios resolv id os
Ref lita
R6.
Deter minar
o
número
natural
n
sabendo
que:
5 n
Veja como, usando os símbolos
4!
9
1
!
Resolução
e !, além de 4
“quatros” ,
expressamos 1, 2, 3e 4:
n Podemos
escrever
(n
1
1)!
como
(n
1
1)
n !,
obtendo:
5
.8991
n
Temos:
4!
5
4
3
2
1
5
4!
1
5
(4
1
2
5
(4
9
4
4)
4)
1
(4
(4
ed
orierevef
4
24
V
n
1
1
4
4)
5
24
V
n
4
4)
4
) 5
9
24
3
9
!
5
(4!)
9
4
23 Faça
o
mesmo
para
expressar
nú
ed 91
meros
ed
R7.
Calcular
de
quantas
maneiras
8
crianças
podem
sentar
em
um
5
016.9
a
ieL
do
criança
mais
nova
deve
necessariamente
sentar
do
lado
possíveis:
esquerdo
banco.
e laneP
10.
banco Respostas
se
a
5
5
(4
4
6
5
(4!
7
5
(4
8
5
4
9
5
(4
1
4)
1
1
4)
1
4)
4
4
4
4
(4
1
4)
4
4
Resolução
ogidóC od
10
O
esquema
número
ao
de
481
upação
lado
8lu
(44
1
4
4)
1
4
4
representa o
possibilidades
dos
5
4)
ares
do
de
1
7
6
5
4
3
2
1
banco.
.trA .adibiorp
O
primeiro
oãçudorpeR
uma
única
de
lugar
7maneiras
rentes;
e
6
o
3
mais
o
lu
ar
do
banco
nova).
ao
lado
pode
Sobram,
deste,
ser
de
ocupado
então,
6
7
de
lugares
maneiras
dife-
diante.
princípio
as
esquerdo
criança
por
5
Portanto,
lado
(a
diferentes;
assim
Aplicando
no
maneira
multiplicativo,
2
=
crianças
7!
5
podem
temos:
5.040
ocupar
o
banco
de
5.040
maneiras
diferentes.
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
16.
Calcule
o
valor
de:
19.
7
7
a)
letras
4
6 !
17.
5 !
pode
5 !
a)
b)
20.
5 !
no
Guia
Os
do
n
D,
E
outra.
e
F
devem
De
ser
quantas
escritas
uma
maneiras
sabendo
azul,
de
720
isso
5
maneiras
casas
marrom,
devem
branca,
ser
pintados
verde
e
com
ver melha.
as
De
quantas maneiras isso pode ser feito se cadaportão
professor.
ser
pintado
de
uma
única
cor
e
dois
portões
que:
não
podem
ser
pintados
da
mesma
cor?
120
maneiras
!
a)
5 n
C,
da
feito?
portões
deve n
ser
cores
4
resolução
Calcule
B,
c)
5
18.
A,
seguida
b)
210
4 !
Ver
As
em
7
30
6
! 21.
Quantos
números
pares
maiores
e
40.000
po
em
ser formados com os algarismos 2, 3, 4, 5 e 6 se cada b)
72
8
algarismo é usado apenas uma vez em cada número?
205
1)!
3
Permutações
3.1
Permutação
Anagrama
de
uma
simples
palavra
é
qualquer
agrupamento,
com
ou
sem
significado,
Ref lita
obtido
pela
usando
uma
é
possibilidades?
afirmativo,
faça
Em
Para
isso.
formam
ou
3
a
anagramas
primeira
podemos
letra,
possibilidades
de
a
quarta
seja,
24
Cada
anagrama
da
palavra
temos
para
a
4
formar
com
as
possibilidades
letras
colocação
da
(A,
segunda
M,
da
O,
palavra
R).
AMOR?
letra,
2
Depois
para
a
dessa
escolha,
terceira
letra.
Logo,
pelo
princípio
multiplicativo,
temos
4
letra
1
5
e
4,
anagramas.
um
desses
anagramas
corresponde
a
uma
permutação
simples
das
letras
árvore.
da
um
alavras
significado?
diagrama
exemplo,
encontrados
Por
ár vore
1para
com
letras.
caso
há
suas
ROMA.
Quantos de
de
AMOR
problema
transposição
palavra
AMOR.
RMA
ou
formam
MR
,
palavras
por
exemplo,
sem
De
uma
permutação
para
outra,
os
elementos
são
sempre
os
mesmos;
eles
significado.
apenas
trocam
elementos
de
que
posição.
formam
Daí
um
o
nome permuta
todo
com
a
o
finalidade
(permutar
de
Dado um conjunto de n elementos distintos, chama
obter
significa
nova
trocar
os
configuração).
se permutação simples dos
nelementos qualquer sequência (agrupamento ordenado) desses n elementos. .8991 ed
P
o
número
de
permutações
simples
de n
elementos.
orierevef
Indica-
n
ca
cu
ar
o
número
e
permutações
simp
es
em
a
umas
ed
Vamos
situações.
91
saber,
por
exemplo,
consideramos
5
letras
podem
quantos
para
ser
a
anagramas
primeira
permutadas
letra,
entre
da
temos
palavra
1
CINEMA
possibilidade
começam
(C)
e
que
as
ieL
outras
que,
016.9
C,
ed
Para
por
si.
e
P
5
1
5
4
o
princípio
3
2
1
5
multiplicativo,
1
5!
5
temos:
ogidóC
1
aplicando
laneP
Então,
120
5
há
120
anagramas
de
CINEMA
começados
por
od
Logo,
C.
481 .trA
1
mais
uma
situação.
2
5
42
Vamos
20
alunos
de
que
modos
as
20
carteiras
distintos.
de
Dizemos,
uma
sala
então,
de
que
aula
esses
podem
alunos
ser
ocupadas
podem
ocupar
1 5
42
essas
carteiras
de
modos,
P
ou
seja:
20
2
n
1
3n
1
2
5
42
5
P
20
19
18
17
…
4
3
2
1
5
2.432.902.008.176.640.000
20 2
n
n
1
5
3n
5
40
ou
Logo,
n
n
5
5
5
0
28
(não
Logo, há 2.432.902.008.176.640.000 modos de os alunos ocuparem essas carteiras.
serve)
5.
Ref lita O
número
5 é
o
valor
de
n
se
n
(n
permutações
1)
(n
2)
simples
(n
3)
de n
...
n
1 2
Qual
de
5
n
Exe rc íc ios resolv id os
quantas
sofá
maneiras
com
5
diferentes
lugares,
de
um
modo
casal
que
o
com
casal
3
filhos
fique
pode
ocupar
semprejunto?
Resolução
Se
o
casal
não
pode
ser
separado,
devemos
considerá-l
m
fosse uma única pessoa, calculando a permutação de 4 pessoas (4!).
dos
5
pai
206
lugares.
mãe
filho
1
filho
2
filho
3
OLUAP
um
ZNAM
De
3
2
é
dado
ou
5 n
42?
P
R8.
elementos
n
por:
oãçudorpeR
por
considerar
.adibiorp
Acompanhe
P
Porém,
se
sibilidade
o
casal
trocar
diferente
da
mãe
Aplicando
Portanto,
R9.
Qual
com
é
a
2,
o
soma
4,
6
e
5
todos
entre
filho
1
multiplicativo,
lugares
de
posições
pai
princípio
os
as
si(2!),
obtemos
uma
pos-
anterior.
podem
os
ser
filho
temos:
ocupados
números
de
4
2
filho
4!
de
2!
48
5
3
24
2
maneiras
algarismos
5
48
diferentes.
distintos
for mados
8?
Resolução
A
soma
procurada
(S )
tem
P
parcelas:
P
4
Na
ordem
(número
Ocorre
A
(8
de
o
soma
dos
nas
valores
8)
outras
(6
6
2
.8991
6
...
1
2)
5
cada
5
24
3
algarismo
algarismos
aparece
nas
outras
6
vezes
ordens).
ordens.
em
...
6
1
(U),
outros
absolutos,
vezes
1
dos
54! 4
simples
per mutações
...
6
(2
unidades
mesmo
8
1
das
cada
6)
ordem,
(4
4
vezes
é:
...
6
4)
vezes
C
D
U
2
4
6
8
2
6
4
8
6
8
120
vezes
24
parcelas
ed orierevef ed
S
5
120
U
1
S
5
120
1
1.200
91
S
UM
120
D
1
1
120
C
12.000
1
1
120
4
6
2
8
8
4
6
2
8
6
4
2
UM
120.000
133.320
ed 016.9
Então,
a
soma
procurada
é
133.320.
ieL e laneP ogidóC od
3.2
Permutação
com
elementos
repetidos
481 .trA
Trocan
-se
a
posição
das
letras
da
palavra
AMORA,
podem
ser
escritas
outras
.adibiorp
Ref lita
sequências
oãçudorpeR
às
de
letras.
permutações
Nesse
simples,
caso,
pois
a
porém,
letra
A
se
os
ana
repete.
ramas
não
Apesar
de
correspondem
a
palavra
mais
AMORA
que
ter
a
5
letras,
o
distintas,
número
(A
de
MORA
1
anagramas
),
teríamos
distintos
5!
é
inferior
anagramas.
a
Assim,
5!.
Se
as
fixadas
2
as
letras
letras
A
acontece
primeira
M,
O
e
permutação
letras
A
e
A
anagramas.
daria,
para
cada
anagrama
de
AMORA,
origem
2
Como
essas
letras
são
iguais,
a
permutação
delas
não
gera
novo
anagrama.
Então,
para
o
cálculo
correto
do
número
de
anagramas
a
permutarmos
letra
da
devemos
dividir
por
2!
o
total
de
permutações
simples,
5!.
palavra.
Apesar
instamos
aluno
ao
perca
o
foco
de
evidente,
para
deste
que
aspecto
de importante
AMORA,
mesma
Comentário:
não
um
se
última
2
das
1
a2!novos
a
R, Obtemos
a
e
fossem
Portanto,
o
livro
do
do
aluno
texto
ao
teórico
lado
do
do
boxe
Reflita.
! total
de
anagramas
da
palavra
AMORA
é
5
60.
2!
Aplica-se
o
mesmo
raciocínio
aos
casos
em
que
há
repetição
de
mais
de
2
eleRef lita
mentos.
Empregando
Por
exemplo,
na
palavra
MACACA,
se
as
letras
A
fossem
distintas,
teríamos
algarismos,
anagramas
em
cada
posição
fixada
para
as
demais
letras.
Se
as
letras
C
teríamos
2!
anagramas
em
cada
posição
fixada
para
as
demais
forma,
temos
que
dividir
o
total
de
permutações
simples
(6!)
por
(3!
2!
.
o
número
de
anagramas
da
palavra
MACACA
,
é
da
ou
seja,
60
senhas
com
anagra-
sugerido
aber tura
podem
6! Então,
e
o
tamanho
letras. mínimo
Dessa
letras
aproximadamente
fossem quantas
distintas,
apenas
3!
ser
no
deste
infográfico
capítulo
formadas?
14
q
senhas
2!
mas,
O
pois,
das
número
6
de
letras,
3
são
A
permutações
e
2
são
C.
de n elementos,
dos
quais n
é
de
um
1
de um k
ésimo tipo, é indicado por
k
tipo, n
de
um
2
. . ,
segundo tipo, ..., n
n
e é dado por: n
n
P
2
n
n! k
5
n
k
207
Exe rc íc io resolv id o
R10.
Deter minar
quantos
a)
por
consoante.
b)
por
vogal.
Resolução
a)
Temos
do
a
3
possibilidades
de
primeiraconsoante,
Então,
o
número
P
de
da
palavra
escolher
sobram
anagramas
ELEGER
uma
5
começam:
consoante.
letras
com
3
Tendo
letrasE
escolhi-
repetidas.
é:
5 !
3
3
anagramas
3
5
0
5
3 !
b)
gal(E),
Então,
sobram
o
número
P
de
com
2
letras
anagramas
E
repetidas.
é:
5 !
2
1
5letras
1
5
60
5
2 !
Registre as respostas em seu caderno .8991
Exerc íc ios propostos
ed
29.
Qual
é
a
rismos
soma
de
distintos
todos
que
os
números
podemos
de
escrever
5
a
orierevef
22
a-
com
os
ed
Com
as
letras
da
palavra
PROVA,
quantos
algarismos
são
1,
2,
3,
4
e
5?
91
23.
3.999.960
ed
anagramas
são
os
que
anagramas
começam
que
por
vogal
começam
e
e
quantos
ter minam
por
30.
De
quantos
modos
podemos
guardar
10
016.9
os
objetos
ieL
48
anagramas;
36
anagramas
3
e
Quantos
são
os
anagramas
da
palavra
a
terceira
5
com
objetos
com
2?
o
( Sugestão:
número
1,
Numere
3 com
o
os
og idóC
objetos: 24.
laneP
com
e
consoante?
nú-
CARREIRA?
3.360
anagramas
mero
2
e
2
com
o
número
3.)
2.520
modos
od
Oito
clientes
de
um
banco,
dos
quais
3
são
481
25.
mu-
Uma
pessoa
pessoas
dessa
fila
podem
se
modo
que
as
mulheres
fiquem
para
B
e,
então,
de
B
paraC
o
dia
rama
a
se
uir.
juntas?
4.320
oãçudorpeR
de
A
posicio-
confor me nar
de
.adibiorp
as
vai
maneiras
.trA
31.
maneiras
A
26.
Com
2
3azuis
tos
bandeiras
também
sinais
todas
ver melhas
indistinguíveis
diferentes
elas,
podemos
enfileiradas,
no
indistinguíveis,
e
1
branca,
emitir
mastro
quan-
pendurando
de
um
navio?
60
27.
Dese
a-se
arrumar
Matemática,
dos
os
juntos
(FGV)
Um
etapas
A,
de
C,
poss
estante
5
de
as
4
livros
de
Português,
to-
possibilidades
A
processo
e
B
de
qualquer
e
e
A
se
possibilidades
permanecerem
es
industrial
deve
passar
pelas
E.
B
de
deve
A
ordem,
etapas
devem
e
B
e
processo?
ficar
preceder
sequências
delineadas
do
D
479.001.600
matéria
a
sequências
se
Quantas
início
mesma
processo
B,
Quantas
do
são
restrições?
uma
103.680
lineadas
b
Quantas
e
se:
houver
livros
uma
NOSLIDA
não
em
Química
OCCES
a)
b)
a)
de
diferentes.
arrumação
28.
3
sinais
de
48
B ?
etapas
devem
não
podem
juntas
ficar
6
ser
no
de-
início
sequências
podem
juntas,
necessariamente
ser
em
C
no
Quantos
sequências
caminhos
diferentes
são
possíveis?
225
31.
Seria
interessante
duplas
208
ou
trios
que
para
os
alunos
incentivar
a
resolvessem
discussão
de
esta
caminhos
questão
estratégias.
em
4
Já
é
Arranjo
vimos
igual
de
24
a
a
maneiras
formar
quantidade
Isso
de
Vamos
de
quantas
de
significa
diferentes,
sequências
AMOR),
1
que
4! 5 24.
simples
2
que
as
4
letras
resultando
letras
distintas
maneiras
considerar
permutações
que
a
em
24
entre
podemos
descrita
das
letras
palavra
da
podem
anagramas.
(escolhidas
diferentes
situação
simples
dessa
Se,
as
4
palavra
ser
contudo,
que
AMOR
reordenadas
quisermos
formam
a
palavra
fazê-las?
ocorra
em
etapa:
escolher
a
primeira
letra
entre
4
possíveis;
etapa:
escolher
a
segunda
letra
entre
3
possíveis.
duas
etapas:
a
2
Aplicando
Logo,
são
Observe
o
princípio
12
multiplicativo,
possibilidades
que,
desse
total
de
de
temos
formar
12
4
3
5
sequências
possibilidades,
12.
de
2
letras.
começam
por: Obser vação
"
AM,
AO
e
AR
"
OA,
OM
e
OR
Dois
"
MA,
MO
e
MR
"
RA,
RM
e
arranjos
entre
dos
Esses agrupamentos ordenados são os arranjos simples dos 4 elementos distintos
dados,
A
5
4,
tomados
4
3
a
2.
Para
indicar
a
quantidade
de
agrupamentos,
si
ordem
elementos
menos
escrevemos:
pela
diferem
um
i
12
ou
de
por
elemento.
colocação
pelo
Exemplos:
ca
i
2
Se
desejarmos
.8991
repetem
ed
o
5
2
simples
RO
que
e,
para
totaliza
orierevef
"
escolher
a
4
3
etapa,
3
AMO,
3
2
5
AMR,
letras
entre
temos
24.
a
Desse
AOM,
as
escolha
total
AOR,
4
ARO
de
e
possíveis,
da
24
as
terceira
duas
letra
possibilidades,
primeiras
entre
as
2
começam
etapas
se
restantes,
por:
ARM Obser vação
ed 91
"
MAO,
MAR,
MOA,
MOR,
MRA
e
MRO
ed
Qualquer
016.9
"
OAM,
OAR,
OMA,
OMR,
ORA
e
problema
permutações
ieL
"
RAM,
RAO,
RMA,
RMO,
ROA
e
que
envolva
ORM
pode
ROM
e
pelo
ser
ou
arranjos
resolvido
princípio
simples
diretamente
multiplicativo.
laneP
Esses agrupamentos ordenados são os arranjos simples dos 4 elementos distintos
ogidóC od
dados,
5
A 4,
tomados
4
3
2
5
3
a
3.
Para
indicar
a
quantidade
de
agrupamentos,
escrevemos:
24
3
481 .trA
Dado
um
.adibiorp
mentos,
con
unto
tomados
com
p
a
oãçudorpeR
elementosdistintos,
Indica-se
por
A
o
n
Vamos
tintos,
calcular
arranjados
elementos,
p,
qualquer
escolhidos
número
de
chama-se
arran
agrupamento
entre
os n
arranjos
o
simples
ordenado
dos
ele-
(sequência)
de
p
possíveis.
simples
de n
elementos
tomados p
a
p
p
o
p
número
a
p,
com
total
0
,
de
p
<
agrupamentos
n,
indicado
simples
por
de n
elementos
dis-
Obser vações
A n
p
Existem
possíveis
escolhas
para
o
primeiro
elemento
do
a
o
1possíveis
escolhas
para
o
se
undo
elemento,
2
para
o
terceiro
denominador
(p
...,
Então,
de
n
1)
aplicando
elementos
5
possíveis
8
(
p
a
1)
o
p
escolhas
princípio
para
o
p-ésimo
multiplicativo,
o
elemento
número
do
de
a
rupamento.
arranjos
um
nulo,
n
2)
[
( (p
1)],
com
0
,
uma
fração
mesmo
obtemos
número
uma
não
fração
equivalente.
simples
é:
(
de
elemenpor
to,
rupamento,
p
1
5
n
p
1
1
p
n,
p
fatores
Ref lita
!
o
Desenvolvendo a expressão do 2
membro e multiplicando-o por
temos: ! Verifique
n A
(n
!
5 n
A
n!
n
n
n,
1
que:
5
n!
5
n
5
P n
5
p
!
!
A
n
n
(n
n! A
Como
5
,
com
n
Ñ
N
p
Ñ
N
e
,
p
<
n n
n,
Então:
n
A
P
n)
5
n!,
0!
1
então:
5
n
5
P
n
!
n
n
(n
1) ! n
A ,
1
(n
P
r
n
:
1) !
5
A ,
n
)!
n
1
209
Exe rc íc ios resolv id os
R11.
Quantos
números
podemos
escrever
de
3
com
algarismos
os
diferentes
algarismos
1,
2,
3,
6e7?
par
ordenado.
significa
mero
2,
a
Assim,
o
pessoa
A
enquanto
número
que
5.
O
par
a
par
ordenado
ocupa
pessoa
ordenado
B
a
ocupa
(5,
2)
(2, 5)
cadeira
a
nú-
cadeira
significa
que
a
Resolução pessoa
Os
problemas
arranjos
que
simples
envolvem
podem
per mutações
ser
resolvidos
ou
a
da
essoaB
fór mula
ou
do
princípio
total
de
a
ocu
cadeira
a
a
número
cadeira
5,
enquanto
maneiras
número
diferentes
de
2.
as
cadeiras
multiplicaserem
ocupa
por O
meio
A
ocupadas
pelas
2 pessoas
será
dado
pelo
número
de
pares
ordenados
for mados
modos. com
o
1
os
números
calculado
modo:
Sabemos
que
a
ordem
dos
algarismos
da
esco-
das
cadeiras,
seguinte
!
que
10
10
resulta
em
númer os
difer entes.
2
10
Por
escrever
231,
ou
o
312
número
dos
3
a
321.
de
números
Portanto,
arranjos
de
123,
132,
devemos
5
calcular
elementos,
!
8 !
podem
ser
formados
90
pares
ordenados.
213,
toma-
3:
sentar -se
Isso
5 !
significa
5!
cadeiras
2!
sim,
juntas.
que
cujos
A
e
B
números
não
são
devem
ocupar
consecutivos.
As-
5 5,
3
(5
3 )!
devemos
escrever
60
números
de
3
distintos
com
os
algarismos
elementos
são
os
pares
consecutivos
alpara
garismos
cujos
são
subtraí-los
dos
90 pares
ordenados
dados.
orierevef
podemos
quantos
ed
ordenados Logo,
descobrir
.8991
A
os
2
Logo, podemos
ser
9
!
A lhidos
pode
maneira:
ed
possíveis.
91
pares
ordenados
for mados
com
números
(1,
princípio
multiplicativo.
Fazendo
2),
(2,
(8,9),
esquema
para
representar
o
número
de
escolhidos
entre
1,
(3,
10),
4),
(2,
(4,
1),
5),
(3,
(5,
2),
6),
(4,
(6,
3),
7),
(5,
(7, 8),
4),
2,
6),
(8,
7),
(9,
8)
e
(10,
9),
(6,5),
totalizando
3, 18pares.
e
7,
temos:
od
6
4
possi
5
possibilidades:
i
i
a
com
pelo
(1,
2,
3,
6
e
mos
multiplicativo:
temos
diferentes
60
números
for mados
a
5
de
partir
4
3
5
60
3 algarismos
dos
algaris-
dados.
pois
números
teríamos
com
uma
2
pessoas
cadeira
se
sentarem
entre
elas.
modo:
de
contar
algarismos
poderíamos
aplicando
Por
esse
o
princípio
princípio,
p ess oas
10cadeiras
enfileiradas.
pessoa
este
calculamos
de
primeira
2
resolver
problema
multiplicativo.
sibilidades
A Não,
as
7)
Também
Assim,
menos
de
es
Outro
princípio
poderá
se
se
todas
as
senta r e m
sentar
em
pos-
n as
qual-
os
repetidos,
quer
uma
das
10
cadeiras,
restando,
então,
Ref lita nesse
caso
haveria
125
números.
apenas
Se
a
pergunta
3algarismos,
com
os
fosse:
sem
“Quantos
restrição,
algarismos
1,
2,
3,
6
números
podemos
e
7” ,
o
de
escrever
resultado
(10
9)
igual
a60?
Por
numeradas
soas
podem
menos
uma
de
1
a
10.
sentar
maneiras
De
quantas
entre
for mas
cadeiras,
2pes-
havendo
ao
problema
que
entre
Se
des
a
elas.
em
lado,
que
as
temos
2
escolha
pessoas
para
temos
se
a
90
sentarem
apresenta
haja
pelo
listar mos
duas
uma
menos
todas
pessoas
restrição:
uma
as
ficam
é
cadeira
possibilida-
juntas,
lado
18posições.
elas? basta
posições
descontar
encontradas
esse
valor
do
inicialmente.
total
de
Assim,
há
Resolução
Vamos
ras
210
nos
necessário
Agora,
de
de
maneira,
quê?
nessas
cadeira
Dessa
10cadeiras.
Este
R12.
possibilidades
pessoa.
seria nas
também
9
segunda
considerar
escolhidas
que
pelas
os
números
pessoas
A
e
B
das
cadei-
formam
um
72
possibilidades
em
10
uma
cadeiras
cadeira
de 2 pessoas
contanto
entre
elas.
que
se
haja
sentarem
pelo
menos
oãçudorpeR
possibilidades
90
maneiras
.adibiorp
3
72
.trA
tem
481
Fazendo
Pelo
ogidóC
diferentes
(9,
3al(7,
garismos
3),
um
laneP
o
e
do
são:
ieL
016.9
consecutivos
ed
Os 2
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
32.
De
quantos
um
sofá
de
modos
5
3
pessoas
lugares?
60
podem
sentar
em
Deter mine
o
número
x
inteiro,
x
>
,
para
que
modos
A
5
156.
13
x,2
33.
Em
uma
empresa,
10
de
seus
diretores
são
candi37.
datos
aos
cargos
de
presidente
e
Uma
uma Quantos
são
os
possíveis
resultados
da
Cinco
cavalos
disputam
um
páreo.
outra
resultados
Admitindo
haja
empates,
resultados
para
qual
as
3
é
o
número
primeiras
de
Um
0,
tebol
escolar
putado
por
Admitindo
empates,
vai
2,
ser
dis-
não
quantas
para
de
os
haja
são
as
classi-
dois
gundos
A
pri-
lugares?
380
rente?
30
possui
3,
por
Seuma
NWAH
meiros
fu
20 equipes.
que
possibilidades
ficação
de
De
por
quantas
uma
maneiras
porta
e
sair
por
maneiras
4,
um
5,
6,
disco
7,
8
e
marcado
9.
O
com
segredo
os
do
dígitos
cofre
é
resultados
KCOTSRETTUHS/ROCEP
campeonato
di
cofre
1,
dado
Um
portas.
entrar
possíveis
colocações?
60
35.
6
pode
que
38. não
possui
pessoa
eleição?
90
34.
sala
vice-presidente.
uma
pessoa
em
cada
ur na
I
II,
Qual
o
de
abrir
o
tentativa,
bolas
contém
número
3
e
distintos.
gastar
2
numeradas
sequências
10se-
tempo
levará
horas
numeradas
bolas
de
3 dígitos
cofre
quanto
contém
Aur na
é
sequência
tentar
de
1 a
.
de1a3.
numéricas
que
possibilidades
.8991
las
da
ur na
I
e,
em
seguida,
2
bolas
da
ur naII?
360
sequências
ed orierevef ed 91 ed 016.9
5
Combinação
simples
ieL e laneP
Considerando
o
conjunto
formado
pelas
letras
da
palavra
AMOR,
quantos
subObser vações
ogidóC od
conjuntos
com
3
elementos
podemos
formar?
Como já vimos, a quantidade de agrupamentos ordenados ou sequências é dada
481
ordenado:
por
5
A 4,
4
3
2
5
24.
Esses
agrupamentos
(a
b)
i
(b
a)
são:
3
.trA
.adibiorp
não
AMO,
AMR,
AOM,
AOR,
ARO,
ARM,
MAO,
MAR,
MOA,
MOR,
MRA,
oãçudorpeR
OAR,
OMA,
OMR,
ORA,
ORM,
RAO,
RAM,
RMA,
RMO,
ROA,
ordenado:
{a
b}
5
{b
a}
MRO,
Pelo
OAM,
princípio
ototal
ROM
as
de
multiplicativo,
possibilidades
escolhas
repetidas.
4
e
contamos
descontamos
Assim,
temos:
120 20
Pensando
em
termos
de
conjuntos
cujos
elementos
são
as
letras
do
agrupamen-
3
2
Ou
to,
os
conjuntos
iguais,
pois,
elementos,
Dessa
5
P
3
permutar
forma,
2
1
5
o
6
isto
total
pelas
as
é,
o
de
(número
3
letras
letras,
o
conjunto
24
de
AMO,
AOM,
conjunto
não
sequências
permutações
se
MAO,
MOA,
continua
OAM
tendo
e
OMA
6
há
20
maneiras
de
escolhermos
são
exatamente
os
3
frutas
diferentes
em
6
frutas
disponíveis.
um
conjunto
com
modifica.
com
das
as
3
3
letras
deve
ser
dividido
KCOTSRETTUHS/NOPAHTTANPOT
mesmos
ao
formados
1
seja,
por
letras).
3
Pode-se,
A 4
portanto,
dizer
que
a
quantidade
de
subconjuntos
com
3
elementos
24
3
é
4, P
escolhidos
entre
os
4
elementos
do
conjunto
das
letras
da
pa
6
3
lavra
AMOR:
{A,
Chamamos
esses
M,
O},
{A,
agrupamentos
M,
R},
de
{A,
O,
R},
{M,
combinações
O,
R}
simples
dos
4
elementos,
Há
6
tipos
quantas
tomados
3
a
3
Dado
um
de
fruta
maneiras
na
foto
podemos
De
escolher
3.
conjunto
de
n
elementos,
chama-se
combinação
simples
dos
frutas
para
Apenas
um,
que
conjuto
um
o
fazer
um
próprio
não
é
suco?
conjunto.
diferente
Lembrar
de
n “outro”
se
tiver
os
mesmos
elementos
p a p, qualquer agrupamento não ordenado (subconjunto) dispostos
de
p
elementos
distintos,
escolhidos
entre
os n
em
outra
ordem.
possíveis. Ref lita
Quantos
Indica-se
por
n
p
a
p
o
C
número
de
combina
ões
simples
de
elementos
tomados
n
subconjuntos
elementos
tem
um
com
conjunto
p
com
n
elementos?
211
Acompanhe
a
situação
a
seguir.
Vamos determinar o número de subconjuntos do conjunto A
tenha
3a
3,
3
elementos,
cuja
notação
isto
é
6
combinação
agrupamentos
(2,
6,
8),
(2,
Portanto,
de
6),
(6,
3!
C
número
de
combinações
elementos,
2,
dá
o
por
exemplo
(permutações
8),
(6,
total
8,
de
2),
(8,
2,
arranjos
desses
6),
(8,
dos
5
{2,
6,
6,
5,
vimos,
dos
Então,
de
o
arranjos
8},
origina
elementos
5
3
C 3
com
que,
n
4,
3! 5
tomados
6,
8} que
tomados
6,
ou
3
3
a
3
( A
)
e
total
o
de
3
5
tomados
de
de
podemos
combinação,
p
a
obter
podemos
p!
permutações.
obter
p!
arran
os
p
combinações
número
3
2
distintos,
uma
): 3
10 5
elementos
partir
elementos
(A
seja,
4
C 5
p
a
número
n
2,
2)
3!
distintos
{0,
elementos):
A
significa
5
elementos
5,
,
Como
5
3
A
Isso
dos
3
3
ordenados
8,
5,
o
C 5,
Cada
é,
é
igual
permutações
ao
quociente
entre
o
número
( p!):
p
n!
n
n
(n
n)
An
0!
n!
!
p
C
5
n
n
p!
p
!
p!
n!
!
n
n C
1
p
p!
n
n!
5 n
P
n
5
n
8
n
5
n
n
n!
)!
0 .8991
Portanto: Portanto:
A
n
C
ed orierevef
Ref lita
C
5
, com n Ñ N, p Ñ N e 0
p < n
que:
ed
Verifique
)!
5
P
5
n!
n
n, n
ed
n, n
91
A
016.9 ieL e laneP
30
alunos
tur ma.
Há
de
uma
classe,
20garotas
e
10
4
serão
garotos.
escolhidos
Quantas
como
equipes
representantes
podem
serfor -
b)
com
Resolução
2
garotas
e
2
garotos?
IFLED
a)
Os
4
alunos
Comoa
uma
devem
ordem
dos
ser
escolhidos
alunos
não
entre
altera
o
o
total
de
30 alunos.
agrupamento,
se
trata
de
combinação:
30 ! C
5 30,
5
4
)!
26! 5
5 3
O
b)
número
Nesse
:
E
2
de
caso,
27
405
26!
equipes
a
escolha
de
4
alunos,
deverá
escolhidos
ocorrer
escolher
2
entre
as
20
garotas;
escolher
2
entre
os
10
garotos.
em
duas
entre
30,
é
27.405.
etapas:
1
E
: 2
Pelo
princípio
multiplicativo,
o
número
de
possibilidades
é
dado
por:
20 ! C
10 !
5 0
45
2
!
O
212
número
de
equipes
com
2
garotas
!
e
2garotos
é
8.550.
8
550
oãçudorpeR
a)
.adibiorp
RASLUP/SNITRAM
madas:
.trA
da
481
Dos
SNEGAMI
R13.
ogidóC od
Exe rc íc ios resolv id os
R14.
Um
só
garoto
há
garoto
gostaria
lugar
para
pode
4
de
convidar
amigos
escolher
4
na
amigos
amigos
entre
para
um
Calcular
acampamento,
de
quantas
porém
maneiras
o
7.
Resolução
A
ordem
sugere
em
um
que
os
amigos
problema
de
5
Portanto,
Outro
o
7
não
é
importante,
pessoas
tomadas
4
o
a
que
4.
5 4!
5
garoto
de
4
35
2
escolher
pessoas
multiplicativo:
tidos,
pois
a
do
possibilidades
Temos,
Dessa
então:
Portanto,
é
6
um
5
em
grupo.
de
os
4
amigos
de
3
1
35
maneiras
distintas.
de
7
poderia
é
5
ser
feita
pelo
prin-
840
pessoas
de
são
preciso
cada
escolhidas
descontar
a
não
altera
quantidade
a
de
quarteto.
24
quarteto
necessário
5
as
Assim,
2
cada
grupo
4
que
for mação
4
maneira,
em
7
ordem
configuração
em
pode
3!
modo:
escolha
cípio
efetuar
foi
a
contado
divisão
24
de
vezes.
840
por
24,
o
que
resulta
35possibilidades.
.8991
Considerando
ed
de
de
4
(7
A
escolhidos
7!
5 7,
serão
combinação
7! C
R15.
7
barraca.
tal
for ma
orierevef
triângulos
6
pontos,
que
não
podem
ser
pertencentes
haja
3
a
pontos
for mados
com
um
mesmo
colineares,
3
desses
plano
e
distribuídos
deter minar
pontos
como
quantos
vértices.
Obser vação
ed
Resolução
91
e
ed
A
016.9
triângulo.
ordem
em
que
Logo,
tomamos
temos
um
ieL
6!
e
C
os
vértices
problema
de
triângulo
envolvendo
6!
5
um
não
altera
o
o
combinação.
de
número
5
5
3
pontos
subtrair
de
envolvendo
4
5
existissem
teríamos
colineares,
do
total
combinações
esses
3
pontos,
20
6
laneP
(6
ogidóC od
Portanto,
3!
podem
ser
3!
já
2
for mados
20
triângulos
e
distintos.
que
não
eles
formariam
triân
segmentos,
ulos.
481 .trA .adibiorp
Registre as respostas em seu caderno
Exerc íc ios propostos
oãçudorpeR
40.
Uma
o
prova
aluno
poderá
é
composta
deve
de
resolver 10.
escolher
as
10
15
De
questões,
quantas
questões?
3.003
das
quais
for mas
46.
Quantos
grupos
constituídos
ele
Quantos
formas
de
com
desses
3
as
letras
letras
grupos
não
10
n
de
n
47.
Quantas
ser
Calcule
comissões
for madas
com
diferentes
um
grupo
de
de
3
7
pessoas
podem
podem
de
uma
diram
de
se
com
festa,
despe-
um
mão.
/5691AGNOB
sair
10 amigos
to
1,
5números
2,
contêm
grupos;
3,
4,
ímpares
podem
vogal?
nenhum
...,
e
3
ser
SUCESSO?
grupo
15,
serão
números
sele-
pares.
quantos
ser
diferentes
escolhidos.
1.960
grupos
de
8
números
grupos
pessoas?
aper -
KCOTSRETTUHS
Ao
números
cionados
n
48.
43.
os
palavra
lados?
2
42.
Entre
distintas
da
Com
3
um
cartas
baralho
de
de
52
espadas
cartas,
podem
quantos
ser
grupos
286
49.
Uma
ur na
azuis.
De
contém
quantas
3
bolas
ver melhas
maneiras
de
selecionados?
grupos
e
diferentes
5
bolas
podemos
Quantos retirar
3
bolas
de
modo
que
não
saiam
somente
apertos de mão foram bolas 45
apertos
de
mão
ver melhas?
55
maneiras
trocados?
50.
44.
Considere
7
4 pontos,
também
Física
e
dades
de
6
de
Matemática.
Quantas
são
as
distintos
se
formar
uma
comissão
de
5
sobre
uma
2
professores
de
Matemática
e
3
300
Usando
tos
as
5
vogais
conjuntos
sendo
2
letras
de
e
5
os
algarismos
elementos
diferentes
e
3
de
à
primeira.
0
a
podemos
algarismos
ligando
Quantos
3
quaisquer
reta
outra
triângulos
desses
é
denominada
9,
quan-
for mar,
distintos?
con
untos
11
e
reta,
podemos
pontos?
126
Física?
possibilidades
de
sobre
professores obter
com
distintos,
possibiliparalela
45.
pontos
Em um congresso de Educação, há 6 professores de
51.
Certa
loteria
que
vencedor
o
números
gador
de
pode
1
a
deve
53.
escolher
acertar
De
6
“6/53”,
6
números
quantas
números
triângulos
significando
entre
maneiras
nessa
22.957.480
um
os
jo-
loteria?
maneiras
213
Exercícios
complem ent a res Registre as respostas em seu caderno
11.
Com
os
algarismos
1,
2,
3,
4
e
5,
sem
repetição,
Aplicação quantos
1.
Um
restaurante
tem
3
tipos
de
entrada,
2
e
4
sobr emesas.
Quantas
opções
terá
se
comer
1
entrada,
1
prato
(Mackenzie-SP)
principal
24
dígitos
Entre
Considere
for mados
eles,
com
a
linha
bilhetes
deve
da
ferroviária
para
conter
estação
cada
o
com
tipo
nome
de
necessários?
da
11
de
estações
viagem.
estação
chegada,
110
Em
ao
uma
final.
de
quantos
deve
Se
corrida
3desses
partida
tipos
de
e
bilhete
o
nome
bilhete
b)
18
c)
15
Quantos
de
13.
Fór mula
que
diferentes
pilotos?
o
720
coloca
à
não
1,
10
haja
pódio
de
de
números
pares
5,
com
pilotos
empate,
pode
ser
todos
os
disposição
alternativa
c
e)
24
(Mackenzie-SP)
Num
avião,
uma
fila
tem
7
poltronas
duas
poltronas
chegaram
de
quantas
for mado
com
distintos
algarismos
de
seus
ácido
do
podem
número
alunos
sulfúrico
ser
for ma
253.225?
SO
),
eles,
de
fila,
são
João
de
em
e
modo
Maria
que
número
ocuparem
não
de:
haja
alternativa
6
d)
10
b)
7
e)
12
c)
8
um
corredor
entre
d
5substâncias:
(H
modos
dessa
sal
sulfato
ed
(NaCl),
22
maneiras
inteiros
cozinha
3,
orierevef
2,
ed
5.
de
números
usando
números
.8991
dos
números
são
Os
4.
24
imprimir
cada
tipos
Admitindo
maneiras
os
algarismos1,
d
3.
todos
os
quantidade
17 Uma
serpares?
opções
2.
podem
e 7e9.
1sobremesa?
3
uma 3algarismos
pessoa
de
pratos 12.
principais
números
de
4
Os
carbonato
de
cálcio
(CaCO
4
)
e
água
3
14. O).
alunos
devem
selecionar
3
dessas
(UFRJ)
Ana
dispunha
de
papéis
com
cores
diferentes.
016.9
(H
),
ed
(CuSO
91
cobre
substân-
2
Para para
for mar
uma
nova
solução.
Quantas
são
10
meninos
e
podem
vistas,
entre
meninas?
8
jor nais
ela
for mados,
escolhidos
350
precisa
maneiras
e
de um total
5
fazer
jor nais
e
sitou
de
papel
ur na
que
contém
5
bolas
usar
os
devem-se
resultados
sortear
igual
a:
se
as
as
colocadas
em
fila?
56
para
a
em
de
nenhuma
cores
confecção
alternativa
das
diferentes
de
e
em-
todas
embalagens.
que
as
ela
neces-
embalagens
c
c)
6
b)
18
d)
3
(Enem)
João
mora
na
cidade
A
e
precisa
visitar
cinco
maneiras
e
3
bolas.
localizados
bolas
em
cidades
diferentes
da
sua.
bolas trajeto
possível
pode
ser
representado
por
uma
Quantos
sorteadas infor ma
forem
seleção?
ver melhas
todas
possíveis
fita
30
são
na
a)
Cada
amarelas,
e
quantidade
clientes,
uma
De
15.
De
7re-
disponíveis.
essa
no
menor
foi
revistas
pode
A
umcom
grupos
selecionar
9
cada
2.016
8.
oãçudorpeR
quantas
ser
meninas,
bibliotecária
.adibiorp
Uma
5
.trA
7.
e
481
7meninos
2
papéis
ogidóC od
3
grupos
desses
laneP
Quantos
fitas
escolhas
cor
6.
cortou
e
escolhas?
loja,
as
possíveis
sua
ieL
cias
enfeitar
que
ele
sairá
da
cidade
A,
visitando
as
cida-
resultados
desB,
C,
dadeA.
D,
Além
E
e
o
A
mostra
C E IW
uma
das
nessa
disso,
infor ma
figura
F,
custo
do
o
o
ordem,
número
voltando
indicado
deslocamento
custo
de
para
entre
entre
as
deslocamento
as
a
ci-
letras
cidades.
entre
cada
cidades.
I OD R ACIR
B
4 6 A
9.
No
final
de
uma
trocando,
ao
ca
a
e
tos
amigos
festa,
todo,
28
alguns
amigos
apertos
de
se
mão.
despediram
Sabendo
que
8
um
es
cumprimentou
to
os
os
C
5
outros,
9
quan-
12
6 3
nafesta?
8
amigos
6 2
(Mackenzie-SP)
em
3
dias
Um
professor
consecutivos,
deve
tendo,
ministrar
para
cada
um
20aulas
dos
dias,
7
NOSLIDA
10.
10
D 8
opções
de
ministrar
4,
6
ou
8
aulas.
O
número
de F
diferentes
distribuições
possíveis
dessas
20
aulas,
13 5
nos
3
dias,
é:
alternativa
b
E
a)
7
214
b)
6
c)
4
d)
10
e)
8
:SEÕÇARTSULI
as
OCCES
estavam
.......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... ..........................................................................................................................
Como
qual
João
o
quer
trajeto
economizar,
de
menor
ele
custo
precisa
para
deter minar
visitar
os
20.
(Enem)
sa
cinco
vai
uma clientes.
Examinando
a
figura,
percebe
que
O
vaga
somente
arte
das
se
uências,
ois
ABCDEFA
gasta
e
AFEDCBA
1 min 30 s
para
têm
o
examinar
mesmo
uma
descartar
sua
simétrica,
con
or me
tempo
as
a)
16.
mínimo
sequências
60
possíveis
no
min
b)
90
c)
120
para
180
e)
de
uma
empre-
120candidatos
sorteio,
eles
a
pretendem
candidato
em
ordem
um
número,
numérica
colocar
crescente
e
a
lista
usá-la
custo.
João
verificar
é
de:
todas
alternativa
ram
b
min
360
Por
com
convocar
do
os
interessados.
computador,
foram
Acontece
gerados
que,
por
números
um
com
apresentado.
problema
d)
min
Uma
dígitos
Em
razão
a
24
b)
31
c)
32
distintos
e,
em
nenhum
deles,
aparece-
pares.
disso,
a
ordem
de
chamada
d
do
candidato
alternativa
e
88
min
e)
89
n) !
5
min
sala
com
necessário
contador.
cada
5algarismos
O
humanos
entrevista
sequência defeito
e
a
números
para Ele
recursos
os
de trajetos
de
de
uma
precisa
atribuir considerar
setor
realizar
deve
ser
interruptores
ilumina da
com
independentes
5
lâ m pa d a s
para
e
acendê-las.
Aprofund amento Dequantos
sala?
.8991
17.
Um
31
modos
possíveis
poderemos
iluminar
essa
modos
clube
de
tênis
deve
selecionar
2
duplas
orierevef
um
grupo
maneiras
de
isso
5homens
pode
ser
e
4
mulheres.
feito?
120
De
Resolva
22.
Uma
a
equação
(log
24.
S
5
{81}
mistas
ed
de
21.
quantas
são
maneiras
empresa
as
é
composta
maneiras
comissão
ed
visores?
com
de
presidente,
15.840
de
escolher
12
5
diretores.
deles
para
Quantas
compor
vice-presidente
e
uma
3super -
maneiras
ed
SEGAMI
91 ieL
YTTEG/RSERDNA
016.9
Desaf io
e laneP
23.
(UFMG)
og idóC
gunda
Um
a
aposentado
sexta-feira,
od 481
realiza
estas
cinco
diariamente,
de
se-
atividades:
.trA .adibiorp oãçudorpeR
Duplas
mistas
jogando
ordem,
18.
(FEMM-MG)
laranjas,
Uma
uvas,
fábrica
maçãs,
de
sucos
abacaxis
e
de
frutas
kiwis
para
utiliza
te.
produzir
Cansado,
tênis.
porém,
ele
Nesse
realizar
de
resolveu
caso,
essas
o
fazer
número
cinco
essas
realizá-las
de
atividades
em
uma
maneiras
atividades,
em
na
ordem
mesma
diferen-
ossíveis
ordem
de
ele
diferente ,
é:
alternativa
seus
produtos,
que
são
sucos
com
um
único
tipo
de a)
fruta
Aos
ou
sucos
sucos
adoçante.
fábrica
com
mistura
produzidos
A
pode
quantidade
produz
é:
ser
de
alternativa
de
dois
tipos
de
adicionado
sucos
b)
que
ou
24.
(Fuvest-SP)
30
domínio.
Cada
25
d)
( Vu n e s p )
por
6 algarismos
-se,
1,
Considere
de
2,
3,
todas
4,
5e
as
todos
os
distintos
for mas
números
obtidos
possíveis,
per mutando-
os
12
algarismos
b)
18
c)
36
quantos
númer os
é
possível
e
quantos
1.
7
Escrevendo-se
deter mine
devem
elas
será
ser
atribuído
de vem
contratadas
distintos
ser
em
a
um
uma
con-
única
distintas
contratadas.
podem
ser
alternativa
c
d)
e)
108
(ITA-SP)
Quantos
números
se
iniciam
com
for mar
anagramas
com
as
10
com
4
letras
primeiras
distintas
letras
do
alfa-
o
e
que
contenham
2
das
letras
a,
b
e
c?
alternativa
e
esses
qual
números
posição
em
ocupa
o
ordem
1.692
d)
1.512
b)
e)
1.392
crescente,
número
512.346
a
e
que
De
distribuídos
for mar
a) b)
todas
trabalhos?
a)
beto algarismo
e
trabalho
maneiras
podemos total)
empresas
6.
Deter mine
(no
120
for mados
25. a
d)
10 os
19.
20
quantas b)
T rês
essa
a
c)
c)
abalhos
empresa, a)
60
frutas.
açúcar
diferentes
24
número
ocupa
a
242
posição.
481
e
312.465
c)
1.520
215
d
Registre as respostas em seu caderno
Autoavaliação
1.
5.
São
os
anagramas
da
palavra
PAPAGAIO.
alternativa
para
ir
da
cidade
a)
7
b)
3
c)
12
à
cidade
maneiras
cidade
B
C
passando
por
B.
de
C
ir
há
da
alternativa
4
rodovias.
cidade
A
até
a)
d
2.590
a b)
1.280
c)
560
c
d)
3.360
4
6.
Considere
15
pontos
distintos
de
uma
circunfe-
3
d)
4
ses
números
naturais
de
4
pontos.
não
têm
al
arismos
repetidos.
retas
alternativa
passando
por
2des-
c
algarismos a)
A
b)
2
c)
C
15,
que
alternativa
2
b
P 15
4
2
b)
9
c
10
15,
2
15,
5
56
d)
4
C
3
d)
9
10 Cinco
to, 3.
alternativa
estudantes
mas
apenas
a)
7!
5!
c)
6
fizeram
vão
um
trabalho
apresentar
o
em
conjun-
trabalho.
São
d
as
b)
2
possibilidades
de
escolha
dessa
dupla.
1! alternativa
20
b)
10
c)
45
d)
60
b
ed
5!
Quatr o
atletas
participam
de
uma
pr ova.
orierevef
4.
6
a) 1!
.8991
d)
1
Não
ed
nenhum
empate,
podemos
classificações
dizer
nessa
alternativa
problemas
nas
quais
a
de
contagem
ordem
não
é
que
envolvem
importante.
alternativa
d
a)
20
c
Per mutações
120
Per mutações
c)
Combinações
d)
com
repetição
ogidóC od
24
b)
laneP
240
c)
e
b)
d)
são
situações
ieL
a)
8.
que
prova.
016.9
possíveis
ed
são
91
ocorrendo
Arranjos
481 .trA .adibiorp
Retomad a de conceitos
você
Releia
a
não
acertou
teoria
e
alguma
refaça
os
questão,
exercícios
consulte
a
tabela
e
verifique
o
que
do
capítulo
Compreender
princípio
plicar
e
aplicar
estudar
novamente.
correspondentes.
Número
Objetivos
precisa
oãçudorpeR
Se
1
2
X
X
3
da
questão
4
5
6
7
8
o X
multiplicativo.
as
noções
Identificar
a
de
fatorial.
natureza
X
dos X
problemas
de
Compreender
os
de
conceitos
de
e
e
aplicar
as
permutação,
combinação
X
contagem.
na
fórmulas
arranjo
e
X
X
X
X
X
resolução
problemas.
Páginas
do
livro 200
referentes
216
ao
conceito
a
204
200
a
204
204
e
205
206
a
208
206
a
208
209
a
213
211
a
213
206
a
213
QR Code
Pesquisa e ação
Em
nosso
barras
O
QR
que
de
dia
Code
é
tenham
Vamos
nosso
a
dia,
vemos
produtos
um
no
código
câmera
conhecer
próprio
as
QR
muitas
representações
supermercado, QR
de
barras
fotográfica
origens
Code
e
do
e
QR
em
um
duas
os
seu
em
códigos:
dimensões,
de
de
automóveis,
código
de
que
pode
ser
escaneado
por
celulares
leitura.
funcionamento
códigos
placas
etc.
aplicativo
Code,
desvendar
Codes
criados
e
pelos
suas
aplicações
para,
então,
criar
colegas.
MOC.AICNEICMOCROM H WWWW
P r ocedi me n t os
1)
2)
Reúna-se com mais três colegas e realizem uma pesquisa para responder às seguintes questões:
O
Como
que
ele
Quais
são
Após
que
a
é
um
QR
as
etapa
oferecem
principais
de
uma
frase
aplicações
pesquisa,
programas
gratuitamente.
zer
Code?
surgiu?
Poderão
sobre
vocês
de
ser
uma
de
deverão
criação
criados
das
um QR
etapas
de
até
da
Code?
criar
QR
seus
Codes
dois QR
próprios
Codes
pesquisa,
QR
Codes.
personalizados
isto
por
é,
e
grupo.
uma
que
Cada
frase
bem
Existem
podem
QR
vários
ser
Code
sites
baixados
deverá
característica
tra-
sobre
o
QRCode
3)
4)
Com
os
feita
e
Os
QR
os
grupos
necessário
de
5)
Com
uso
de
cada
elaborados.
trocar
seus
telefones
rupo
Os
deverá
painéis
códigos
celulares
entre
com
produzir
poderão
si,
ser
para
câmeras
um
painel
expostos
que
sejam
fotográficas
apresentando
na
e
a
pesquisa
escola.
decifrados.
aplicativos
Nessa
etapa,
é
decodificadores
instalados.
professor,
alguma
criados,
Codes
deverão
o
RCode
o
Codes
QR
os
divergência
grupos
nas
vão
debater
pesquisas
e
confrontar
o
que
foi
decifrado,
podendo
levantar
feitas.
217
Sugestões de leitura
Os
livros
como
indicados
toda
geral
e
nossas
obra
podem
literária,
abstrata,
ações
ampliar
o
baseia-se
como
conhecimento
no
ponto
suporte
cotidianas
do
quanto
OÃÇUDORPER
20.000
K.
Rio
em
relação
lógico
teorias
dos
ao
constituindo
da
matemáticas:
mundo
Janeiro:
uns
Zahar,
à
assunto;
apenas
que
devemos
uma
lembrar,
referência
permeia
entre
porém,
que,
outras.
tanto
ciência.
um
passeio
pelo
números
erais
onometria
o
e
leitor
estimula
e
randes
bem-humorado,
vando
2000.
Grécia
dos
nhecimentos
que
autor,
grandes
léguas
viagem
a
Tri
alunos
do
Dewdney
de
Uma
de
dos
vista
pensamento
as
mis terioso
A.
de
o
o
outros
países
autor
conduz
a
para
seus
assuntos,
ampliar
traz
os
tirando
leitor
Além
alunos
estudos
cativando,
Matemática
aprendizado
ao
matemáticos.
interessantes
outros
a
a
mistérios
de
a
discussão
disso,
Ensino
sobre
vista
dúvidas
na
e
Médio.
teoremas,
informando
escola
e,
e
e
arante
a
explicação
diversão
Com
átomos,
ao
fora
mesmo
dela.
um
e
co-
texto
equa
ões,
tempo,
Uma
le-
leitura
divertindo.
.8991 ed
dama
ou
Raymond
o
tigre?:
e
outros
problemas
lógicos
a
incríveis
orierevef
Smullyan
ed
Rio
de
Janeiro:
Zahar,
91
OÃÇUDORPER
A
2004.
ed
livro,
o
autor
nos
raciocínio
convida
desvendar
lógico-matemático.
A
leitura
é
problemas
conduzida
e
enigmas
por
que
personagens
ieL
envolvem
016.9
Nesse
e
e
divertidos
propõem
ao
leitor
que
e
povoam
por
suas
histórias
que
surpreendem
pelos
desafios
ogidóC od
que
laneP
diferentes
resoluções.
481 .trA .adibiorp
Ian
Stewart
Rio
de
Com
Janeiro:
enigmas
borados
curiosa
de
e
OÃÇUDORPER
e
Paulo:
Por
meio
vertem.
à
Para
de
de
para
prova
Novera,
São
sistemas
o
enigmas:
um
matemáticos
218
jogos,
Nied erauer
São
etc.
e
e
situa
autor
no
procura
podem
todos
uma
seu
Marla
la birinto
e
outros
enigmas
lógicos
ser
os
mostrar
entendidos
como
por
até
os
raciocínios
qualquer
pessoa.
mais
Uma
ela-
leitura
leitores.
forma
d escontraída
raciocínio
Fernanda
C.
de
Aguiar
2008.
texto
que
vacas
20 1 2.
Matemática
colocar
Julian o
Zahar,
divertida
Desafios
de
matemáticas:
bem-humorado,
estimulam
ões
equação,
aprender
e
que
cria
ão
envolvem
teoria
se
a
dos
divertir.
os
de
a
autores
estraté
aplica
conjuntos,
ão
exploram
ias
de
análise
de
desafios
resolu
conteúdos
ão
e
como
combinatória,
e
eni
mas
também
equa
di-
ões,
probabilidade
oãçudorpeR
OÃÇUDORPER
Avent uras
OÃÇUDORPER
Novas
avent uras
Matemática
Colin
Rio
O
Janeiro:
ivro
traz
Zahar,
detetive
são,
solucionados
interessante,
ção
o
bem
rumo
e
.8991
OÃÇUDORPER
andar
Leonard
Rio
ed orierevef
O
de
na
o
mestre
autor
o
desfecho
e
do
mostra
e
Hol mes:
pro
Holmes.
histórias
das
para
das
casos
Sherlock
verdade,
pelo
pois
casos
de
Lógica,
que
histórias.
São
os
da
casos
lições
e
que
matemáticos
são
policiais.
importância
entender
não
envolvem
aventuras
a
emas
Mas
mistérios,
A
leitura
obra
e
decisões
ultrapassam
a
da
que
vi
os
contos
intrigas
da
argumentação
tomar
reso
simplesmente
e
é
cri
bem
avalia
mudam
aprendizagem
divertem.
bêbado:
como
o
acaso
d etermina
n ossas
vidas
Mlodin ow
Janeiro:
autor
ajudar
ed
que
Sherlock
enigmas,
inglês
fundamentadas
matemática
O
de
2003.
interessantes
famoso
matemáticos;
mes
científicas
Proba bilidad e
Bruce
de
pelo
e
apresenta
o
ele
Zahar,
leitor
não
a
2009.
ferramentas
fazer
pode
para
escolhas
identificar
mais
acertadas
os
e
indícios
a
do
conviver
acaso,
melhor
procurando
com
fatores
controlar.
91 ed 016.9 ieL e laneP 481 .trA
OÃÇUDORPER
ogidóC od
O
cad ern o
Amir
Rio
.adibiorp
O
D.
de
oãçudorpeR
pontos
no
aventura
os
OÃÇUDORPER
O
Hans
São
A
Magnus
não
Robert,
eram
que
As
em
como
se
a
um
um
quem
da
por
Filosofia
retrata
e
livro
as
de
René
moderna.
a
infância
que
coordenadas
desse
francês
religiosas
de
de
sistema
idealizador
matemáticos
medo
Com
e
a
sistema
e
(1596-1650),
um
de
misto
formação
políticas
ca beceira
localização
Descartes
influenciaram
circunstâncias
cartesianas.
de
da
de
seu
e
pensamento.
época,
suspeitas
biografia
Descartes
de
escritos
sua
do
morte.
para
Matemática
tem
em
os
A
a
absurdos
do
leitura
de
e
poetas
a
e
história,
inúteis.
de
Mas,
um
surpreende
menino
o
números?
lín
e
de
universo
ua
um
não
dia,
seus
de
osta
ele
cálculos,
escreveu
de
come
com
e
que
a
assuntos
conhecimentos
a
os
de
de
que
livro
Assim,
números
sonhar
aparência
outros,
para
esse
estudá-la.
conhecimentos
vários
Fibonacci
os
pensava
afanhoto
com
E
alemã,
também
apresentam
sequência
amplia
de
da
Matemática
a
tamanho
pelo
Euler,
montanha
conduz
números
de
uma
maiores
medo
que
sonhadas
relação
2000.
dos
senhor
com
divertida.
e
do
matemático
autor
um
têm
resume
monstruosos,
brinca
pai
o
e
publicados
Letras,
autor,
situações
nome
controvérsias
foram
das
persona
Teplotaxl,
o
filósofos
que
conhecido
Enzensberger
Cia.
O
do
filósofo
números:
Matemática
pensando
o
apresenta
dos
Paulo:
vem
muitos
com
aqueles
servem?
e
por
que
dia bo
todos
também
investigativa,
disso,
filósofo
é
plano,
encontros
Além
Descartes
2007.
cartesiano
considerado
e
Zahar,
cartesiano
termo
de
de
Aczel
Janeiro:
plano
O
secreto
de
com
diabo,
matemáticos.
vistos
na
maneira
qualquer
escola,
curiosa
leitor.
219
OÃÇUDORPER
O
enigma
das
“Mil
Raymond
Rio
O
de
autor
põe
exige
a
OÃÇUDORPER
problemas
Fermat,
e
o
leitor.
exercícios
que
original
que
narra
enigmas,
de
O
e
livro
verdade
divertem
os
e
cativante
contos
das Mil
quebra-ca
propõe
e
de
eças
mentira
todos
e
cuja
o
os
uma
pro
charadas
surpreendem
para
e
e-
mate
solução
leitor
desde
leitores.
Fermat
2008.
matemático
livros
mas
a
francês
que
lia;
margem
amador
uma
deste
delas
papel
do
foi:
é
século
“Eu
muito
XVII,
tinha
descobri
estreita
uma
para
o
hábito
demons-
contê-la”.
orierevef
nos
maravilhosa,
leitura
de
um
anotações
divertem
estratégias
Uma
Record,
e
relatam
ed
de
e
personagem
.8991
Sing h
Janeiro:
tração
incríveis
mod erna
que
enigmas
lógico
teorema
Rio
fazer
outros
famosa
envolvem
página.
Simon
de
e
lógica
narrativas
adivinhações,
último
Pierre
de
que
raciocínio
de
à
1998.
Sherazade,
centro
primeira
O
Zahar,
lógica
máticas,
n oites”
Smullyan
no
de
Sherazad e:
uma
Janeiro:
noites,
mas
de
e
ed
nascia
mundo
por
que
mais
n
solução
em
chegar
para
de
350
n
1
x
y
confundir
anos:
a
e
frustrar
busca
da
os
matemáticos
demonstração
mais
de
que
bri
não
n
5
z
,
para
n
maior
que 2.
Ao
narrar
a
dificuldade
ieL
existe
iria
016.9
do
problema
ed
lhantes
o
91
Assim
nessa
uma
solução,
a
obra
relata
a
vida
e
a
contribuição
dos
envolvi-
laneP
dos
a
e
se
história.
ogidóC od 481 .trA
C.
Rio
aneiro:
Nesse
corre
à
vasta
a
OÃÇUDORPER
Razão
Mario
O
dia.
ou
a
há
que
ua
além
autora,
áreas
como
mortais
o
Matemática
a
pode
uma
do
da
ser
da
linguagem
ela
jornalista
verdad e
e
especializada
conhecimento
ideia
significado
uma
muito
Janeiro:
em
a
molecular
220
chá:
da
beleza
geral
de
que
desmistificada
enxurrada
objetiva
consegue
e
de
e
a
de
Matemática
quando
números
simples
esclarecer
fatos
em
situações,
e
nos
é
que
ou
a
exa
convivemos
abordagem
numéricos
per
incompreen
propomos
com
uma
ciências,
científicas
perspi
aparentemente
complexos.
h is tória
de
Fi,
um
número
surpreend ente
Livio
de
que
lin
dos
a
a
de
mostrar
Com
áurea:
delineia
te,
para
livro,
bem-humorada,
obscuros
Rio
de
2006.
gama
criticamente
dia
e
Record,
maioria
minar
caz
xícara
interessante
uma
cotidianas,
no
a
Cole
de
sível
e
oãçudorpeR
K.
universo
.adibiorp
OÃÇUDORPER
O
de
em
2007.
comum
concha
há
de
Record,
de
cristais
muito
o
e
a
e
a
disposição
molusco,
árvore
intriga
acessível
tratar
entre
um
a
de
dos
flóculos
conforma
enealó
mente
fartamente
assunto
a
ica
de
ão
um
do
de
zan
ão?
humana:
a
chamada
ilustrada,
a
obra
maneira
confiável.
de
girassol,
uma
a
aláxia,
Uma
razão
Mario
espiral
a
razão
áurea.
Livio
é
que
estrutura
constan-
Com
uma
fascinante,
Respostas
21.
Capítulo
1
a)
x
b)
5
30°
5
135°
ou
x
5
ou
7.
150°
5
225°
a)
0,53
b)
0,53
0,53 22.
1.
a)
225°
b)
210°
c)
a)
negativo
90° b)
ositivo 7
23
8.
tg
2.
7 tg
12 π
12
5π
a)
r ad
d)
23.
r ad
tg
a
tg
b
tg
t
q
0,90
6
6
π
20,36
π 9.
7π r ad
b
e
r ad
3
q
5
P
36°
ou
r ad 5
5,67
6 4π Q
2π
4
c)
r ad
24.
f )
a)
q 20,7
b)
q 0,7
c)
q 20,7
a)
menor
b)
q
c)
1
5
3
3
6π 5
4π 3.
ra 5
r ad
144°;
216°
r ad
9π
5
S
5
324°
ou
r ad 5
26.
que
1
2π 4.
a)
r ad
120°;
0,65 2
3
o
10.
quadrante
a) 2
b)
q 14,65
cm d)
negativo;
e) q
30,5
positivo;
0,65;
negativo
0,65;
3
0,65
cm
2
3
b) 6
.8991
12 8.
a)
A
5
160°,
B
5
200°,
C
5
340°
27. 13
ed
π
orierevef
b)
B
5
6π
5
11.
5
5
5 28.
ed
9.
a)
a)
0,6
b)
0,75
70° 12.
a)
0,8
91 ed
b)
r ad 29.
016.9
6
ieL
a)
positivo
11.
cos
b)
0,8
0,6
b)
0,8
c)
0,8
negativo
e
10.
a)
b)
laneP
30.
não 2π
6π
og idóC
π ,
7
e 3
,
, cos
4π
13.
4π
cos
3
7 31.
a)
ou
8π
od
, cos
, cos
0
3
3
π
2π
5
481
14.
b)
.trA
3
.adibiorp
12.
a)
q 0,8
b)
q 20,8
c)
,
,
,
6
6
3
15.
c)
a)
5
q 20,8
3π
13.
S
ou
3π
7π ou
4
q 20,9
4
oãçudorpeR
16.
a)
1;
1
b)
2;
2
c)
1;
3
π q 20,9
d) 2
c)
14.
q 0,9
sen
a
sen
b
q
e)
0
ou
π
ou
2π
a
0
ou
π
ou
2π
20,45
2π q
20,77
17.
3 32.
4π ou
a) 3
ou
3
2
t
q
0,98
cos
a
q
20,67
cos
b
q
0,34
t
q
0,17
2π
ou
b) 2
c)
0
ou
4π <
b)
5 15.
x
<
3
6
3
2
2π
Autoavaliação
33.
16
h
ou
20
h
ou
4
h
ou
8
h 1.
alter nativa
d
2.
alter nativa
c
3.
alter nativa
b
4.
alter nativa
b
5.
alter nativa
d
6.
alter nativa
c
7.
alter nativa
a
8.
alter nativa
a
9.
alter nativa
d
π 16.
sen
5
6
6
2 3π 34.
7π
1 1π
2
1 5 2
6
6
2
Exercícios complementares
1 17.
a)
0
b)
c)
0
d)
1.
225°
2.
q
2
18.
a
0,342
19.
a)
falsa
20.
1
b
0,643
38,22
7π 3.
b)
r ad 9
falsa
4.
1,4
rad
π
o
quadrante:
a
5
; 4
50°
5
o
3
m
0,866
quadrante:
a
5
6.
37°30’
221
gráfico
Capítulo
k
2
de
vezes
i
o
amplitude
terá
medida
valor
do
da
gráfico
da
b)
igual
medida
da
D(
f
)
Im(
f
5
)
R
5
[
período:
g(x )
1.
a)
p
5
sen
amplitude:
p
5
2
c)
p
5
3
13.
0
15.
a
9.
2.
a)
mínimo:
b)
mínimo:
c)
mínimo:
0;
máximo:
1;
não
b)
1
c)
a)
sim
d)
(π,
b)
não
e)
maior
0)
D ( g )
5
R;
Im( g )
5
[0,
c
não
2]
máximo 10. d
máximo:
3
2π
2
tem
3]
2π
x
4
b)
3,
função
O
gráfico
de
g
é
o
gráfico
de
alter nativa
d
f
1
deslocado
1
unidade
para
cima.
Autoavaliação 4.
a)
60°
1
k
360°,
com
k
Ñ
Z 17.
12.280
18.
a)
casos;
janeiro
π 1
b)
k
2π
Ñ Z
6
c)
25°
1
k
360°,
com
k
Ñ
1.
alter nativa
c
2.
alter nativa
c
3.
alter nativa
d
4.
alter nativa
b
5.
alter nativa
a
6.
alter nativa
a
7.
alter nativa
d
8.
alter nativa
b
9.
alter nativa
c
Z π k
b)
Ñ Z
11π 2 d
1
k
2π,
com
k
Ñ Z
7 π c)
D
h)
5
R
2
Ñ
Z
;
2 2 5.
2
a)
e) 2
Im(h )
2
19.
2
Os
]2Ü,
gráficos
g
e
1Ü[
j
são
simétricos
em .8991
2 b)
5
f ) 2
2
relação
ao
eixo
x
ed
1
g)
1
π 20.
3
x
5
sen
x
1
: 2
3
ver m el ho
⎠
ed
h)
d) 2
⎛
⎞ :
5
2sen
⎠
016.9
(2a)
az ul
ed
x 4
sen
91
2
x
6.
orierevef
c)
(a)
ou
domínio:
D(
f
)
ieL
21.
R
e
(a)
5
2sen
imagem:
(2a)
Im(
f
)
5
[0,
2]
Capítulo
1
9.
a)
<
k
<
2
5
amplitude:
A
1
1. Porque,
no
gráfico
feito
no
o
e
5
2
e
b
5
racionais
Assim,
2π
q 40°;
cm;
a)
q 17,6
b)
O
y
y
q 3,2
q 4,5
para
duas
nú-
24.
a)
foi
re
casas
D(
f
)
Im(
f
5
R
)
[
3,
m
3] caminho
1
é
o
5
6,28
(2π
5
1
D(
b)
f
)
5
R;
Im(
f
)
5
[0,
D(
f
O
gráfico
de
f
é
o
)
5
gráfico
de
f
)
24,1
m
do
caminho
con-
2).
R
2] Im(
d)
m
3 tra
c)
21,4
q6,28). A
b)
curto
π (aproximadamente
como
mais
resenp
tado
cm
m
5
[3,
3.
q 3,9
cm
4.
q 36,2
km
7]
g 2 p
deslocado
1
unidade
para
5
cima. 3
A 10.
3.715
11.
a)
5
c)
maré
alta:
maré
baixa:
5
2
q 76,36
m
pessoas
m;
1
6.
a)
q 5,1
cm
b)
7.
q 17,6
8.
b)
obtusângulo
c)
cos
q 4,8
cm
m
Exercícios complementares
d)
de
12
em
às
3
às
12
h
e
21
às
h
e
15
às
h;
9
2.
h
a)
135°
1
k
360°,
com
k
horas b)
2 ,
com
k
cm
Ñ Z
Ñ Z
3
12.
d)
5 ;
a 5
sim
A amplitude da função g mede 1 e 8
a
amplitude
da
função
f
3.
3;
5
4.
1.050
mede2,
9. ou
seja,
a
amplitude
da
f
ção
e)
A
q 96
cm,
q 74,7
cm
função
da
toneladas
fun-
alter nativa
e
alter nativa
d
10.
q 192,6
11.
a)
km
.
amplitude
da
função
h
mede3
6.
2
c)
2
e) 3
e
a
a m
mede1,
l i t u d e
ou
seja,
d a
a
f u n ç ã o
amplitude
g 7.
às
3
8.
a)
D(
b)
h
2
d)
1
)
da
função
f
)
5 3 12.
da
função
Para
.
funções
Im(
do
f
)
5
período:
tipo
[
1,
c)
a)
3]
4
2
d)
b) i (x )
222
5
k
sen
x,
a
amplitude
do
e) 3
amplitude:
2
3
7
3
oãçudorpeR
decimais.
com
q 6,3
x
aproximou
irracionais
2. meros
x
2
.adibiorp
números
a
.trA
os
a)
b)
com22.
putador,
3
2π
481
7.
p
ogidóC od
período:
laneP
sen
13.
a)
x
Ñ
R
x
k
o
x
4
b)
x
Ñ
R
k
k
Ñ
Z
}
4
x
k
ou
a) 3
x
k
3
7.
k
Ñ
Z
3 c)
d)
c)
x
Ñ
R
x
k
o
x
3
k
k
Ñ
3
Z
}
S
5
Ñ
R
Ñ 6
4
8.
5 d)
3
a)
S
b)
e)
x
Ñ
R
x
Ñ
R
x
x
Ñ
R
x
x
Ñ
R
x
k
ou
x
k
k
Ñ
Z
k
Ñ
Z
6
x
k
k
Ñ
k
o
x
k
Z
Z
3
c)
f )
S
x
Ñ
R
x
k
k
Ñ
S
k
k
Ñ
Z
Z
4
9
S
R
x
x
k
k
Ñ
Z
4
14.
S
x
Ñ
R
k
ou
x
k
k
Ñ
Z
10.
a) 4
kπ .8991
15.
S
x
Ñ
R
x
5
k
Ñ
b)
Z
2
4
ed orierevef
c)
2 16.
resposta
possível:
cos
x
5
2
ed
2
91
11.
ed
2
016.9
17.
4
a) 12.
4
a)
ieL
5
e laneP
b) 3
ogidóC od
b) 4 c) 25
481
24 d)
.trA
c)
25 4
.adibiorp
24 e) 7
oãçudorpeR
d)
3 4
13.
a)
sen
b 5 2
2 19.
b)
60°
ou
120°
c)
75°
ou
15°
a
sen
2a
6
a) 4
14.
b)
5
2
sen
a
8
2
b)
cos
2a
5
cos
cos
a
2
a
sen
a
c)
tg c)
tg
2a 5
2
tg
d)
15.
PG,
a
5
cos
x
q
1
1
20.
a)
3
2
b)
Autoavaliação
1.
alter nativa
d
2.
alter nativa
c
3.
alter nativa
b
4.
alter nativa
a
5.
a
6.
alter nativa
b
7.
alter nativa
d
8.
alter nativa
b
Exercícios complementares
15
2.
cm
q 55,7
cm
3.
4.
5.
6.
m
60°
q 42,75
m
ter nativa
223
}
10.
Capítulo
alter nativa
é
c
er
endicular
reversa
4
à
reta
à
r eta
r
ou
é
r
2
11.
8
cm
12.
alter nativa
c)
1.
b
porque,
se
tida
um
em
reta
plano
r
a,
está
con
existe
pelo
cm
menos
13.
q
R$
a)
5
c
R
uma
reta
t
perpendicular
30,63 a
2.
uma
r
que
está
contida
em
a
c)
6 2
3 14.
1.554,06
cm 10.
a)
Não,
b)
Não, HG é paralelo ao plano (EF
são
perpendiculares.
c)
Não,
são
d
Sim,
pois
2
b) 15.
cm
).
3
2
concorrentes.
2
3.
8
4.
9
m
16.
0,25
cm
17.
alter nativa
EF
x
EFN
}
EHG
c 14.
alter nativa
e
2
5.
12
6.
100
5
cm
Autoavaliação
15.
a)
2
cm
b)
2
cm
2
3
cm
1.
alter nativa
d
2.
alter nativa
b
3.
alter nativa
d
2
7.
12,5
2
8.
A
5
75
m
29
zero
e)
5
cm
f )
3
cm
g)
5
cm
cm
2
;
trapézio
9.
c)
d)
m
A
5
50
m
triângulo
alter nativa
b
alter nativa
a
5.
alter nativa
c
.8991
4. 2
11.
22,8
cm
16.
Considerando
os
semiplanos
E 1
2
cm
contido
no
plano
(MQK ),
,
E
conti-
2
6.
alter nativa
d
7.
alter nativa
a
do
2
no
plano
(MTK ),
E
,
contido
no
3
ed
12.
m
(
),
e
,
contido
no
plano
4
ed
2
15
(MPK ),
cm
E
|
temos
diedros:
E 2
ieL
14.
os
016.9
2
cm Capítulo
E
E
E 2
3
laneP
e
5
2
15.
72
3
cm
|
E
3
infinitos;
um;
E
infinitos
4
|
ogidóC od
1.
E
1
3
16.
E
|
E
2
infinitos
planos,
um
plano
ou
4
neTodos
18.
alter nativa
120,00
diedros
1
3.
seis
4.
Verdadeira.
da
2
figura
plano
alter nativa
5
17.
60°
Basta
fixar
três
18.
a)
Sim,
pois,
por
onde
passa
e
variar
o
outro
se
a
medida
dos
pontos
apenas
MAB
ponto,
e
KAC
é
90°,
as
um
que
AB
e
AC
pertencem
é
ao
e
3
plano
(ABC ),
que
é
perpendi-
coplanar.
5.
2
22.
MK
retas
semirretas
20.
em
T rês
pontos
(três
pés
da
mesa)
b)
cm
cular
à
aresta
Não,
pois,
do
pelo
diedro.
enunciado
do
6 deter minam
2
23.
5π
apenas
chão);
quatro
minar
mais
pontos
um
plano
podem
(do
exercício,
que
um
1.
6.
a)
verdadeira
b)
falsa
d)
2
c)
lsa
c)
12
5
dos
ângulos
QPA
iguais.
Exercícios complementares
a)
1.
lsa
uma
reta
paralela
verdadeira 2
cm
150
São
a)
93
v
b)
paralelas
c
perpendiculares
falsas:
peças
2
a)
a)
cm
8.
5.
sejam
falsa
verdadeira
2
4.
medidas
cm
b)
3.
as
BAM
cm
7. 2.
garantir
plano. e
Exercícios complementares
podemos
deter -
cm
de
não
n
i
r
m
dicular
a
ponto
e
um
r
,
plano
-
a
por
d)
um
paralelos
cm
P
duas
retas
r
e
s
de
e)
a
perpendiculares
2
b)
6
6
1
6
m concorrentes
6.
alter nativa
e
7.
alter nativa
d
8.
16
Então,
r
e
s
no
são
mesmo
duas
pontoP
retas
f
3. pendiculares
mesma
reta
t,
e
s
não
porque,
são
se
uma
reta
r
e
224
cm
reta
a
podem
é
falsa,
se
são
paralelos,
perpendicular
ao
toda
plano
pois
os
interceptar.
um 4.
a
2
225
afir mação
paralelas.
cm
plano
9.
A
e
planos r
b)
2
à
perpendiculares
per
a
5.
uma
reta
ou
um
ponto
dois
oãçudorpeR
1
ori
c
ângulos
19.
têm
plano
.adibiorp
R$
.trA
nhum
17.
os
481
2.
91
plano
13.
orierevef
8.798
ed
10.
6.
As
projeções
cunferência
ortogonais
sobre
um
de
uma
plano
cir -
podem
c)
Ambos
têm
10
vértices.
d)
Ambos
têm
20
arestas.
e)
Ambos
39.
71
unidades
de
comprimento
2
ser:
um
uma
segmento,
uma
elipse
40.
ou satisfazem
a
relação
236
cm
de
circunferência. 3
Euler. 41. A
projeção
fera
sobre
ortogonal
um
plano
de
é
uma
es-
sempre
um
9.
8
. 096
3
m
faces 8
000
3
42.
c
ír
9 10.
11
11.
8
faces
2
7.
8.
zero
18
43. faces
triangulares
e
4
faces
drangulares
m
1
12.
9
faces
13.
27
14.
b)
e
16
832
3
cm
e
1.536
cm
qua-
44.
a)
4
cm,
4
cm
e
4
b)
1
cm,
1
cm
e
64
cm
a)
8
cm
cm
arestas
3
45. 10.
A
pro
de
eção
r eta
de
diâmetro
11.
60°
12.
14
13.
b)
ortogonal
mesma
da
é
um
segmento
medida
que
arestas,
9
faces
e
19
vértices
24
o
resposta
15.
unidades
de
16.
comprimento
18
arestas
a)
face
6
b)
face
1
e
12
c)
Fica
multiplicado
por
8.
d)
Fica
multiplicado
por
4.
vértices
46.
9
47.
2
faces
arestas,
(
1
1)
faces
e
30°
(n .8991
17.
30
19.
a
Autoavaliação
ed
48. 15
1
orierevef
alter nativa
1)
vértices
Apenas
as
planificações
(I)
e
(II)
são
cm
de 1.
cm
pessoa
circunferência.
super fícies
de
pirâmides.
c 61 cm
b) 2
ed
alter nativa
a
3.
alter nativa
b
49.
10
cm
91
2.
ed 016.9
4.
alter nativa
20.
5
cm
21.
a)
x
b)
t
50.
43
dm
b
ieL e laneP ogidóC od
5.
alter nativa
d
6.
alter nativa
d
7.
alter nativa
b
8.
alter nativa
a
alter nativa
d
22.
1
23.
30
51.
13
52.
g
m
14
cm,
2
cm
e
3
5
5
cm,
h
5
3
cm
e
r
cm
5
cm 2
53.
cm,
40
cm
e
120
1
cm
481
2
54.
64
cm
2
,
80
cm
2
e
144
cm
.trA
2
24.
cm
.adibiorp
55.
25.
a)
cm
cm 2
oãçudorpeR
10.
alter nativa
d
b)
2
1
56.
384
57.
48
cm
1 3
rn
iv
26.
10
6
cm
cm
3
cm
8. 3 Capítulo
6
28.
alter nativa
d
29.
alter nativa
b
30.
1.300
31.
a)
21
b)
80
2
59.
rea
5
18
3
c
;
3
1.
pentaedro
volume
cm
5
2
cm
3
2.
heptaedro
60.
24
3
cm
61.
32
3
dm
62.
192
63.
24
2
3
m
3
2
3.
14
4.
a)
faces,
36
arestas,
24
vértices
cm
3
V
5
16,
F
5
10
não
convexo
V
9,
e
A
5
24;
32.
cubo
B
cm
3
2
33. b)
5
F
5
e
A
5
convexo
5.
poliedro
I:
poliedro
II:
34.
12
1
8
18
5
a)
6;
b)
Fica
24;
54;
96
1
8
(unidades
multiplicada
por
de
área)
4;
64.
fica
a)
16
cm
b)
72
cm
c)
88
cm
2 multiplicada
6
por
9.
5 c)
8,
27
e
64,
respectivamente d)
6.
sim;
V
5
36,
36
1
20
10
vértices
F
5
20,
A
5
54
7.
5
77
e
cm
77 35.
54
cm
16;
14.700
g
e)
16
2
cm 3
36.
216
m
37.
1
cm
38.
57
65.
1
66.
A
para
12
3
8.
a)
poliedro
b)
Ambos
I
altura
do
prisma
é
o
dobro
3
têm
12
faces.
cm
altura
da
pirâmide.
225
da
4.
125
alter nativa
d
84
⎛
cm
67.
⎞
2
28.
π ⎝
5.
alter nativa
c
6.
alter nativa
c
7.
alter nativa
c
8.
alter nativa
d
9.
alter nativa
b
dm
⎠
5
3
68.
3
2
cm 29.
69.
2
para
1
36π
23
3
30.
70.
8
71.
altura 5
72.
9
73.
78
cm
cm
6
cm
3
31.
750π
32.
a)
cm
3
12 cm; volume 5
1.552 cm
240%
m
y
V 1
b)
3
3
5
m
V
x 2
Capítulo
7
3
74.
1
3
cm
33.
1.
98π
cm
π 3 0 4
3
34.
Exercícios complementares
cm 3
2
1.
alter nativa
2.
3
cm
3.
(100π
b 7 2
2
1 50π)
35.
cm 8
2.
a)
não
convexo
b)
convexo
c
convexo
3
28π
5.
h
6.
1.050π
5
9
cm
e
r
5
6
cm
36.
520π
37.
a)
cm
circunferência
super fície
lateral
super fície
esférica
de
um
24
vértices
cm
alter nativa
7.
e
orierevef
c)
4.
cm 40 cm
ed
38.
40
cm
7.
alter nativa
8.
16π
dm
9.
0,314
39.
r
1
r
1
ou
r
2
r
1
ou
r
2
r
2
1
016.9
mc
e cm
ieL
40.
11.
24
cm
5
41.
1
cm
dias 2
9.
1
m
42.
36π
3
cm
e
8 12.
cm
b)
324π
3
cm
e
972π
cm
481
3
36π
2
9
cm
11.
2.172
cm
12.
3.150
m
13.
alter nativa
3
13.
48
recipientes
14.
40
cm
15.
alter nativa
43.
32
44.
1
cm
menores
2
2
π
cm
3
;
36π
cm
3
⎞
2
πr
45. ⎝
16.
4
oãçudorpeR
⎛ d
a
⎠
3
60° 3
20
5
3
radiano
46.
cm
14.
2 3
17. 3
2
47. 1
.
alter nativa
m
c
18.
4
157
20
2
cm
Exercícios complementares
3
16. 3
19.
10
20.
a)
3
cm
1.
alter nativa
a
3
17.
a)
375
3
cm
A
5
135π
cm
;
lateral 2
6 2 5π
2
b)
50
3
A
cm
5
216π
3
2.
cm
cm
total
8 2
b)
A
5
260π
cm
;
lateral 2
18.
192
3
cm
3. A
5
360π
a
x
5
9
b)
x
5
15
e
y
5
3
cm
total
19.
36.000
cm
e
y
5
5
2
21.
1
0 8 8
13
cm
4.
54,6
mc
5.
alter nativa
3
20.
27
2
cm 22.
2
2
1
23.
75π
24.
1.000π
29
3
21.
250
b
2
cm
cm
1
0 0 0
55
3
2
cm
cm
Autoavaliação
9
3 25. 1.
alter nativa
200
2
cm
7.
alter nativa
c
8.
alter nativa
d
a 3
2.
alter nativa
b
3.
alter nativa
d
cm
60 27.
2,5
m
m
9. 19
226
.adibiorp
36
.trA
10.
ogidóC od
500π
laneP
8.
10.
e
3
2
ed
6.
91
3 3
cone
ed
2
3.
.8991
4
6.
10.
Não,
pois
elas
não
são
do
mesmo
⎛ 0
cm
7⎞
f ) tipo.
A
primeira
é
do
tipo
5
3
1
e
a
3
11.
81π
⎝
8
0
⎠
cm segunda
é
do
5
3,
tipo
1
3
5.
2
12.
225π
cm
13.
161π
cm
18. 7.
a
5
1,
b
c
5
21
e
d
5
a)
verdadeira
b)
verdadeira
c
verdadeira
23
2
⎛
14.
alter nativa
⎞
1 1
e
2
8.
d)
2
15.
486
1
18π
cm
⎝
2
1
e)
16.
(3,
4,
17.
14
m
falsa
⎠
verdadeira
5)
9.
diagonal
principal:
diagonal
secundária:
3,
8
e
15; ⎛
11,
8
e
7
⎞
5
19. 1
7
⎝
1
1
⎠
3
18.
19.
3 2
3
m
alter nativa
4.27
π
21.
alter nativa
375
11.
1
12.
14
13.
a)
a
1
⎛
3
20.
10.
.
4⎞
a)
cm
⎝
3 2
⎠
a
b)
Não
é
possível
calcular.
3
cm
22. 3
⎛ 5
23.
alter nativa
b
.8991
3
24.
⎝
1.562,5π cm
⎛ 0⎞
2⎞
1
c)
3
5
2
6
2
0
6
0
⎝
⎠
1
⎠
ed orierevef
⎛
24⎞
Autoavaliação b)
12
d)
ed 91
1.
alter nativa
⎝
b
7
7
⎠
7
⎝
⎠
ed 016.9
c)
ieL
2.
alter nativa
d
3.
alter nativa
a
Não
é
possível.
⎛
e
2
⎛
laneP
14.
ogidóC od
4.
alter nativa
a
5.
alter nativa
b
24⎞
1
e)
1⎞
a) 1
⎝
1 ⎠
1
⎛
⎝
⎠
1⎞ 1
b)
481 .trA .adibiorp
6.
alter nativa
b
7.
alter nativa
a
21. 1
⎝
0
2
⎛
y
oãçudorpeR
alter nativa
d
1⎞
9.
alter nativa
c
alter nativa
c
3⎞
⎛
1
⎝
22.
1 ⎠
X
5 8
⎝
3
⎛
⎠
4⎞ 1
1
10.
.
a)
X
23.
1
⎛
X
I 2
⎠
3
6⎞
6
6
X
Capítulo
X
⎝
a
matriz
identidade
de
ordem
2.
⎠
24.
a)
é
5
8
16.
0
5
⎝
b)
5 3
c)
8.
7
x
⎠
c
5
14
b)
a)
á
A
e
A
B
e
B
C
e
C
D
e
D
22
1
a)
1
b)
3
3
3
3
c)
1
2
d)
3
2
3
1
2 ⎛ 3
17.
⎝ ⎛
9
7
5
11
9⎞
a) 6
12
Os
produtos
tivamente,
2.
A
5
12
10
8
são
iguais,
respec-
⎠
⎞
2
⎛
14
às
matrizes
inven-
⎞
1 tadas.
⎝
15
13
11
17
3 ⎠
b) 4 2
25. 3
⎛ 0
⎛
3.
B
5
3
3
3
6
4
a)
gráfica
b)
PB:
C
⎠
6⎞
19
R
2,15;
CKX:R$ 3
CK:
R
2,70;
⎞ 4,60
3
c) 8 26.
8 ⎝
4.
i
5
j
a
5
6,
a
11
5
7
e
a
22
i
1
j
5
4:
a
5
3,
a
13
5
7
e
0
1 3⎞
4
6 ⎠
d)
27.
⎛ 5 resposta
5
c)
22
5 27 31
5.
b) 5
⎝ a
2
33
⎛
a)
⎠
3
6⎞
a)
0
b)
0
possível: e)
j
5
(a
) i
j
, 3
3 4
em
que
a
5 i
i
⎝
2
8
⎠ 28.
8
j
227
29.
a)
20
b)
20
c)
20
Autoavaliação
⎧ ⎛ S
5
5
k
⎝
a)
12
c)
75
31.
d
a)
0;
sim
b)
0;
sim;
c)
ad
alter nativa
b
2.
alter nativa
c
alter nativa
d
4.
alter nativa
d
5.
alter nativa
a
b)
3
(ad
(ad
);
ad
bc ;
não
14.
m
15.
a
16.
a)
5
5
1
e
2,
n
b
5
5
3
23
e
c
5
e)
;
bc;
x
⎧
y
z
⎨
(
sim
);
(
6.
alter nativa
a
7.
alter nativa
c
); ⎧
b)
a
c;
5
⎩
opostos
f )
2
bc );
sim
ad
R ⎬
⎭
y d)
Ñ
22
sim
bc ;
3
1.
225
$k
4
⎩
30.
⎫
2k
⎨
⎨
1
y
x
5 2
1
z
5
0
sim 8.
alter nativa
d
9.
alter nativa
d
alter nativa
d
5x
5
⎩
32.
1,
1,
1;
resposta
pessoal
⎛
1
.
17.
N
a)
5
3
1
1
1⎞
0
2
Exercícios complementares ⎝
⎛ 0
1.
A
5
B
⎛ 3
Capítulo
0
7
26
1 4⎞
1
1.
8
a)
sim
b)
não
5
⎝
25
2
N
b)
⎠ 2
3.
respostas
1
1
2
3
3
⎠
0⎞
5
⎝
1
2
2
3
⎠
ed
1
91
2.
1
ed
212
2
1
⎛
⎝
7 ⎞
1
1
orierevef
5
1
9
⎠
ed
0
⎛
X
1 ⎠
.8991
1
M
2.
1
1⎞
5
⎝
1
alter nativa
c possíveis:
(0,
0,
0), ⎛
4.
alter nativa
1,
1),
(1,
1,
5)
e
(
2,
2,
M
2)
1
a)
H
S 3
2
,
2
(H
5⎞
2
2
⎠
laneP
5.
1
e
⎝
4.
0
5
e
ieL
(1,
016.9
3.
sim
S)
3
3
ogidóC od
1 5. ⎛
34
41
49
44
38
b
5
y
⎧
⎞
18.
a)
3 62
73
total
de
30
68
27
6.
S
7.
m
5
{(0,
23
dos
itens A,
B
5
1,
n
5
6
e
P
1
produzidas
em
cada
dia
⎞
⎧2 x
y
2x ⎨
y
3, ⎝
e C
2
⎠ b)
da
62
8.
itens
B;
27
itens
a)
respostas
y
⎩
veis:
C Para
(
6.
poss
x
2,
y
5
0:
(0,
0);
(1,
1); 19.
sim
20.
alter nativas
21.
a)
2)
ou 2
2
b)
Para
(0,
2
x
5
2:
(1,
1);
(2,
A
b,
c,
d
0);
2)
⎧x c) 7.
oãçudorpeR
x semana.
c)
4
0)}
⎛ peças
5
⎩
;
.adibiorp
25
78
.trA
20
87
y
481
b)
5 21
⎨
solução
do
sistema
é
o
ponto
y
10 V
⎨
1
y
S
5
{(2,
8)}
5
⎩ de
1
⎛
5
2 8.
B
⎝
das
retas,
ou
seja,
⎞
2
S
5
{(1,
1)}. ⎧
3
3
5
intersecção
5
1
⎠
9.
26
alunos
y
y ⎨
b)
z
5
z
5
V
S
5
{(1,
2,
3)
3
⎩ 10. ⎛
9.
a)
X
5
4
3
São
misturados
2%
de
60
c
de
leite
com
⎞
1
5
gordura
e
20
c
de
leite
9 22. com4%
⎝
21
0
7
de
a
5
0
e
b
5
1
gordura.
⎠
5
⎛
b)
X
5
⎝
2
15
0
3
7
9
21
0
5
a)
SPD
b)
SPI
c)
SI
a)
6
unidades
de
área
b)
6
unidades
de
área
12.
11.
alter nativa
12.
16,5
.
m
n
24.
(2,
2,
sim
25.
a)
S
5
{(2,
b)
S
5
{(1,
c)
S
5
{(3,
S
5
{(7k
SPI
a)
k
0
b)
k
a)
sim,
i
0
1)};
,
k )
2,
SPD
|
k
Ñ
1)};
R};
SPI
SPD
d d) 15 13.
228
1);
⎠
d)
10.
2
⎞
unidades
de
área
para
5
; 2
SPI
4,
1
3k
k )
|
k
Ñ R};
26.
a)
S
5
{(2,
b)
S
5
{(3,
3)}
c)
S
{(8,
d)
S
{(
1)}
15. ⎧5
1)}
1,
y
1
16
5
2 ⎨
y
x
5
y
a)
800
códigos
b)
640
prefixos
c)
9.999
5, 75
3)} 1
números
0
⎩ 27.
a)
S
5
{(1,
3
};
SPD d)
b
S
5
;
SI
c)
S
5
Ö;
SI
d)
S
5
{(1,
b)
amendoim:
-do-pará:
250
125
g;
g;
castanha-
castanha
2)};
números
e
5.119.488.000
a)
210
números
de
16. caju:125 2,
6.399.360
g
SPD 7 b) 19.
⎧ ⎛ S
e)
3k
28
{(1,
1,
2,
4
3)}
⎫
9
5 ⎝
20.
5
5
⎩
5
{(21,
17.
6)}
a)
!
⎭
5 b)
SPI ⎧ ⎛ 21.
S
5
⎨
1
⎝
5
k
17
5
2
⎠ ⎭
4k
205
⎨
c)
⎬
⎝
4 !
⎫
⎬ 2
⎩ ⎛ S
f )
⎞
1
3
3
4
1
⎩
⎭
22. 2 18.
SPI
1 23.
a)
6
b)
8
b) 2
Exercícios complementares
19.
720
maneiras
20.
120
maneiras
21.
42
22.
120
23.
48
24.
3.360
anagramas
25.
4.320
maneiras
26.
60
27.
a)
479.001.600
b)
103.680
a)
6
b)
48
Autoavaliação
.8991
10
ou
2.
3.060
3.
r
4
1.
residências
alter nativa
a números
ed
1.
orierevef
5
11
km,
r
A
ed
4.
5
7
km,
B
r
5
5
km
C
2.
alter nativa
e anagramas
1 3.
alter nativa
c anagramas;
36
anagramas
91 ed 016.9
5.
alter nativa
6.
9
7.
2.000
b 4.
ieL
5.
alter nativa
alter nativa
a
d
e laneP
maçãs,
3.000
peras
e
6.
alter nativa
b
5.000laranjas
og idóC
8.
alter nativa
7.
b
alter nativa
sinais
b possibilidades
od 481
9.
1
.trA .adibiorp
4
oãçudorpeR
5
alter nativa
c
28.
x
9.
5
S
c
b)
12.
alter nativa
SPD;
S
5
34
1
14.
15.
5
alter nativa
S
5
{(2
,
⎭
{(a,
4
2
)
a
Ñ
1.
6
S
5
,
)
Ñ
5 ,
⎞
2,
c)
17.
18.
S
S
5
=
{(3,
1,
2,
1,
alter nativa
a)
32.
60
modos
33.
90
resultados
34.
60
resultados
35.
380
36.
13
37.
30
38.
2
39.
360
40.
3.003
caminhos
2.
12
3.
132
4.
9.000
R}
R}
modos
maneiras
números
possibilidades
maneiras
⎫
⎬
⎭
{(0,
225
⎠
3 ⎩
b)
31.
modos
c
3
⎨
2.520
opções
120
a)
30.
10
⎠
1
13
⎧ ⎛ 16.
3.999.960
⎫
⎬
⎝
S
⎞
⎨
⎩
SPI;
29.
a
⎧ ⎛
b)
sequências
Ö
Capítulo
a)
sequências
5
11.
13.
possibilidades
17
x
10.
alter nativa
6.
223.560.000
7.
a)
senhas
maneiras
3)} 180
números
100
números
5)}
horas
b 8.
96
números
9.
729
sequências
Considere:
x:
quantidade
de
maneiras
n(n (em
for mas
amendoim
10.
kg)
720
maneiras
3)
41. 2
y:
quantidade
caju
:
(em
quantidade
-pará
de
castanha
de 11.
325
12.
30
13.
542
mensagens
42.
35
comissões
43.
45
apertos
44.
300
kg)
(em
kg)
de
letras
de
mão
castanha-
números
possibilidades
229
45.
1.200
46.
10
47.
1.960
4
.
49.
grupos;
286
55
conjuntos
nenhum
grupo
grupos
maneiras
126
51.
22.957.480
2.016
8.
56
9.
8
10.
rupos
50.
7.
triângulos
maneiras
resultados
21.
S
5
{81}
22.
15.840
23.
alter nativa
b
24.
alter nativa
c
25.
alter nativa
d
maneiras
amigos
alter nativa
b
11.
24
números
12.
alter nativa
c
13.
alter nativa
d
14.
alter nativa
c
15.
alter nativa
b
16.
31
17.
120
18.
alter nativa
Autoavaliação maneiras
1.
alter nativa
c
2.
alter nativa
b
3.
alter nativa
d
4.
alter nativa
d
5.
alter nativa
d
6.
alter nativa
c
7.
alter nativa
b
8.
alter nativa
c
Exercícios complementares
1.
24
opções
2.
110
tipos
3.
720
maneiras
60
número
5.
10
escolhas
6.
350
19.
a)
maneiras
720
e
a
120
a
481
e
312.465
.8991
4.
modos
ed
20.
alter nativa
e
orierevef
grupos
ed 91 ed 016.9 ieL e laneP ogidóC od 481 .trA .adibiorp oãçudorpeR
230
Lista de siglas
–
Exame
FCC-SP
FEI-SP
–
–
Fundação
Faculdade
FEMM-MG
FGV
–
–
Ibmec
–
ITA-SP
–
–
Fundação
Ensino
Médio
Chagas
Engenharia
Industrial
Educacional
Monsenhor
Universitária
de
Tecnológico
para
Mercado
de
o
de
Vestibular
Capitais
Aeronáutica
–
Universidade
Presbiteriana
Pontifícia
Universidade
Católica
UEL-PR
–
UFC-CE
–
UFJF-MG
Universidade
Universidade
–
Messias
Vargas
Brasileiro
Instituto
Mackenzie-SP
–
de
Getulio
Instituto
do
Carlos
Fundação
Fundação
Fuvest-SP
PUC
Nacional
Estadual
Federal
Universidade
de
do
Federal
Mackenzie
Londrina
Ceará
de
Juiz
de
Fora
8991 ed
UFMG
orierevef
UFPE
–
–
Universidade
Universidade
Federal
Federal
de
de
Minas
Gerais
Pernambuco
ed 91
UFRJ
–
Universidade
Federal
do
Rio
de
Janeiro
ed 016.9
UFRN
ieL
UFSC
–
–
Universidade
Universidade
Federal
Federal
do
de
Rio
Grande
Santa
do
Norte
Catarina
e laneP
UFSCar-SP
og idóC
Unicamp-SP
–
Universidade
–
Federal
Universidade
de
Estadual
São
de
Carlos
Campinas
od 481
Unifesp
–
Universidade
Federal
de
São
Paulo
.trA .adibiorp
Vunesp
–
Fundação
para
o
Vestibular
da
Universidade
Estadual
de
São
Paulo
oãçudorpeR
231
Bibliografia
ANGEL,
ÁVILA,
Allen
R.
Intermediate
Geraldo.
BARBOSA, João
Introdução
Lucas
algebra
às
for
funções
e
college
à
students.
derivada.
Marques. Geometria
São
euclidiana
New
Paulo:
Jersey:
Atual,
plana. Rio
de
Prentice
Hall,
2004.
1997.
Janeiro:
Sociedade
Brasileira
de
Matemática,
1995.
BOYER,
Carl
B.
História
BUSSAB, Wilton
O.;
da
Matemática.
MORETTIN,
2.
Pedro
ed.
A.
São
Paulo:
Estatística
Edgard
básica.
Blücher,
São
Paulo:
1991.
Atual,
1997.
CARMO, Manfredo Perdigão do; MORGADO, Augusto César; WAGNER, Eduardo. Trigonometria
Rio
de
Janeiro:
CARVALHO,
mática,
M
Paulo
Cezar
Matemática
Pinto.
I
NA:
Introdução
Antonio
Enciclopédia
Arnot.
-Wesley,
Pura
à
e
Aplicada,
geometria
números complexos
1992.
espacial.
Rio
de
Janeiro:
Sociedade
Brasileira
de
Mate-
ciência
fractals
fácil.
e
técnica.
São
2.
Paulo:
ed.
São
Saraiva,
Paulo:
Abril,
1979.
1994.
and dynamics: computer experiments in Mathematics. Menlo Park: Addison-
1990.
Howard.
Introdução
à
história
da
Matemática.
Trad.
Hygino
H.
Domingues.
Campinas:
Unicamp,
1995. .8991
(Coleção
de
Estatística
DEV ANEY , Robert L. Chaos
EVES,
de
1993.
FUN
CRESPO,
Instituto
Repertórios.)
ed
e
Georges.
pelo
História
cálculo.
Rio
de
universal
Janeiro:
dos
algarismos
Nova
(tomo
Fronteira,
1
1997.
:
v.
a
inteligência
dos
homens
contada
pelos
números
1.
orierevef
IFRAH,
ed
História
universal
ed.
Rio
de
dos
algarismos
aneiro:
Nova
(tomo
2):
Fronteira
a
inteligência
2000.
v.
dos
homens
contada
pelos
números
e
pelo
ed
2.
91
.
cálculo.
2.
016.9
v.
Lages
et
al. A
Matemática
do
Ensino
Médio. 2. ed. Rio
de
Janeiro:
Sociedade
Brasileira
de
Matemática,
e
1997.
ieL
LIMA, Elon
1.
laneP
A
Matemática
Professor
Matemática
de
Janeiro:
Sociedade
Brasileira
de
Matemática,
1998.
v.
2.
(Coleção
Ensino
de
Médio.
2
ed.
Rio
de
Janeiro:
Sociedade
Brasileira
de
Matemática,
1999.
v.
3.
(Co-
Matemática.)
problemas.
Rio
de
Janeiro:
Sociedade
Brasileira
de
Matemática,
2001.
(Coleção
do
Professor
Horácio.
Edwin
MONTEIRO,
L.
NETO,
SMITH,
E.;
H.
Dicionário
DOWNS
Jacy.
Ernesto.
David
Murray
TINOCO,
Lucia
R.
A.
mática/UFRJ,
JR.,
Floyd
Números
History
Estatística.
A.
Geometria
1999.
Física.
Elementos
Eugene.
SPIEGEL,
de
(Projeto
de
L.
Rio
2.
Janeiro:
Geometria
álgebra.
complexos.
of
de
Rio
2.
ed.
Mathematics.
ed.
São
euclidiana
Fundão.)
por
moderna.
de
Janeiro:
São
Nova
Paulo:
Nova
Paulo:
Y ork:
Fronteira,
São
Ao
da
Livro
Técnico,
1981.
Dover,
1958.
resolução
1976.
Edgard
Paed,
McGraw-Hill,
meio
Paulo:
oãçudorpeR
MOISE,
232
Rio
2
Blücher,
1971.
Partes
I
e
II.
1971.
v.
1984.
de
problemas.
.adibiorp
e
Médio.
Matemática.)
MACEDO,
ROSA
do
Professor
Temas
de
Ensino
.trA
do
do
Matemática.)
481
A
leção
de
ogidóC od
.
do
Rio
de
Janeiro:
Instituto
de
Mate
Guia do professor
1.
Pressupostos teóricos
e objetivos da coleção
I. Atividades extras
........................................ 234
2.
Organização e estrutura da obra
3.
Interdisciplinaridade
5.
Avaliação
6.
Formação e desenvolv
prof
7.
8.
9.
.............
mento
Sites
..........................................
download
........................
248
Capítulo 3
...........
249
Capítulo 4
Capítulo 5
....
251
...........
251
Capítulo 6
..................................................
252
Capítulo 7
253
Capítulo 8
Capítulo 9
Capítulo 10
.....................................
.......................
255
....................................
256
..............................
257
238
241
.........................
241
........................................
241
Sugestões de leitura para o aluno
................... 242
II. Resoluções e comentários
Capítulo 1
..................
Capítulo 2
Capítulo 3
Capítulo 4
Capítulo 5
259
........................
266
...........
274
242
..........................................
T extos para reflexão sobre a educa
Estudar matemáticas
.....................
....
280
...........
287
Capítulo 6
..................................................
292
Capítulo 7
304
Capítulo 8
Capítulo 9
Capítulo 10
243
.......... 244
........................................
........ 238
.................................................
Capítulo 2
.................................. 238
Sugestões de consulta para o professor
247
235
............................................................. 237
.................
235
......................................... 236
ssional do professor
....................... 235
4.
.....................
..............................
A impor tância do livro didático
Capítulo 1
4
.....................................
.......................
312
....................................
320
244
..............................................
246
.............................
330
Par te geral
Espera-se também que o aluno compreenda a Matemática como
1.
Pressupostos teóricos e uma ciência com métodos próprios de construção de conhecimento.
objetivos da coleção
Essa
dimensão
solução Esta
coleção
foi
elaborada
tomando
como
base
reflexões
de
orienta
ões
para
o
Ensino
Médio,
tendo
em
vista
as
mudan
previstas
pelos
Parâmetros
Curriculares
Nacionais
Ensino
Médio
(PCNEM),
com
base
na
Lei
de
Diretrizes
e
tarefas
científico
de
é
contemplada
investigação,
que
têm
na
como
à
reproduzir
algumas
formulação
de
atividades
hipóteses
e
dos
matemáticos,
conjecturas
e
à
com
reflexão
des-
sobre
para elas,
o
currículo
nas
as taque
curriculares
do
e
sobre objetivo
as
cultural
problemas
Bases
assim
como
à
comunicação
escrita
de
experimentações
e
de
da possíveis
conclusões.
o
Educação
Nacional
dezembro
de
(LDBEN)
n
9.394/96,
promulgada
em
20
de Como
pelos Para
resultado
isso,
tentamos
refletir
sobre
alguns
pontos
de
Parâmetros
nossa
reflexões
Curriculares
e
das
Nacionais
orientações
para
o
fornecidas
Ensino
Médio
de
relevância Matemática,
de
dessas
1996.
esta
coleção
delineou
como
objetivo
colaborar
para
o
realidade. desenvolvimento das capacidades de:
Em
primeiro
lugar,
as
consideráveis
mudanças
que
afetaram
o
Ensino
Médio
brasileiro
nos
últimos
anos.
Além
da
rápida
usar
de da “clientela” com
objetivos
dessa
acesso
etapa
já
a
esse
estão
segmento
distantes
educacional,
daqueles
de
o
os
leitura,
Talvez
pela
inerente
condição
de
fase
matemático
interpretação
e
análise
como
da
uma
das
ferramentas
realidade;
próprios
algum
tempo
estabelecer
entre atrás.
conhecimento
expansão
intermediária
entre
relações
esses
temas
e
entre
outras
diferentes
áreas
do
temas
matemáticos
conhecimento
e
da
e
vida
o
cotidiana; Fundamental
entre
duas
nativas,
Tal
e
e
o
Superior,
direções:
a
a
Ensino
Médio
profissionalizante,
propedêutica,
dualidade
o
reforçava
voltada
a
ao
divisão
sempre
com
prosseguimento
social
de
classes
outro,
trabalhadoras,
forneciam-se
intelectual,
que,
após
os
a
educadas
entre
para
conhecimentos
conclusão dos
oscilado
características
os
de ambos os tipos de curso: de um lado, formava-
futuras
tenha
as
dos
r
de
preparatórios
produção;
a
uma
superiores,
cálculos
exatos
ou
numéricos
—
aproximados
escritos
—
com
ou
com
uso
ampliação
da
tecno -
da diversida-
de das operações e dos conjuntos numéricos;
frequentadores
bases
efetuar
logia,
estudos.
m
estudos
termi-
resolver problemas e, com isso, desenvolver a compreensão dos
conceitos matemáticos;
elite
colocar
desenvolver
em
rática
atitudes
de
autonomia
e
de
cooperação;
estaria uma
formação
geral
que
permita
o
prossegui-
pronta para assumir o comando dos diversos segmentos produtivos. mento
dos
estudos;
Com as profundas transformações que a sociedade vem presenciando
diante
de
um
mundo
crescentemente
globalizado
e
identificar
mo ganhou
força
jovens
a
urgência
algo
além
de
de
uma
um
nova
corpo
visão
teórico
de
de
utilizar
ensino,
que
conceito
representações
matemático,
bem
equivalentes
como
os
de
um
diferentes
mes-
registros
ofereça desse
aos
e
informatizado,
conhecimentos,
conceito
(gráfico,
numérico,
algébrico);
em
expressar
matematicamente
—
por
via
oral,
escrita
e
gráfica
direção a um desempenho prático real, capaz de conciliar as múltiplas — demandas
culturais
e
socioeconômicas,
contemporâneas
e
situações
dessa
tendência
geral,
uma
das
principais
e
concretas,
além
de
trabalhar
a
precisão
futuras. da
Dentro
teóricas
orientações
linguagem
e
das
demonstrações,
desenvolvendo,
assim,
a
da construção
da
argumentação.
citada Lei de Diretrizes e Bases é a flexibilização dos mecanismos de
acesso
ao
Médio
em
Ensino
Superior,
relação
ao
promovendo
vestibular
a
desvinculação
tradicional,
como
meta
do
de
Ensino
ensino.
2.
Organização e
Em segundo lugar, tentamos dar suporte ao professor de Matemá-
estrutura da obra tica para enfrentar os questionamentos que surgem com essas novas
realidades. Em um universo fortemente permeado por uma visão prag-
Diante
da
grande
diversidade
de
conteúdos
cabíveis
nessa
fase
mática, um dos maiores problemas é justificar a presença, no currículo
da aprendizagem, uma seleção criteriosa é de vital impor tância para
do Ensino Médio, daqueles conteúdos que não têm utilidade prática
a
imediata e responder à questão: “Por que aprender Matemática?” .
propícias
O
tos
professor
matemáticos
muitas
A
e
tarefas
dimensão
faz
pode
das
serem
social
que
se
em
quase
explicita
os
matemáticas
fato
para
a
todas
conhecimen-
cotidiana
atividades
usos
principais
que
a
valores
sociedade
de
controle
Os
Base
interior
conteúdos
Nacional
desse
assim
Comum
produtivo
pois
das
oferece
múltiplas
condições
e
possíveis
conjunto.
selecionados,
Curricular,
à
luz
apoiam
a
de
reflexões
iniciais
aprendizagem,
da
da
qual
faz par te a percepção de um sentido cultural integrado entre as dife -
rentes par tes do saber, diferentemente da justaposição dos saberes.
apropriação das formas de raciocínio presentes na construção dessa
ou
ciência,
mente,
seria,
a
contudo,
Matemática
uma
assume
naturais
resposta
papel
e
são
para
humanas.
no
conhecimentos,
plo, nos campos da Estatística, da Matemática financeira, das medidas
Essa
aplicação
e
relações
de
O encaminhamento dos conteúdos procura possibilitar ao aluno
fenômenos
sua
os
corpo
tanto a aplicação prática dos conhecimentos matemáticos quanto a
de
com
vida
as
múltiplos
os
de
do
estabelecimento
identificados nos exemplos que sobressaem de imediato, por exem-
modelagem
desenvolvem
e
o
ao
claramente
da
que
com
ferramentas
específicas
explicações
progresso
argumentar
consistência
sociais.
incompleta.
formativo
no
Reconhecida-
com
a
desenvolvimento
Assim,
no
geral do indivíduo. Ao assentar-se na clareza e no rigor de definições,
textualizadas
demonstrações e encadeamentos conceituais e lógicos que validam
entre
intuições
e
dúvida,
Essa
e
dão
ajuda
a
dimensão
damentos
que
elementar
—
234
sentido
às
estruturar
simbólica
garantem
dos
fatos
técnicas
o
ou
pensamento
conceitual
cober tura
matemáticos
Guia do professor
aplicadas,
da
ampla
mais
e
o
a
Matemática,
raciocínio
disciplina
—
e,
ao
dedutivo.
abarca
mesmo
impor tantes.
sem
os
fun-
tempo,
preocupação
do
uso
das
formas
contemporâneas
de
linguagem.
de
decorrer
e
de
conceitos
outras
da
caráter
coleção,
matemáticos
áreas
do
são
apresentadas
interdisciplinar
e
destes
conhecimento.
que
com
Em
situações
permitem
dados
paralelo,
do
está
con-
conexões
cotidiano
presente
a
abordagem que revela o caráter formativo, instrumental e científico
do
conhecimento
interpretativas
tecnológica.
matemático,
de
diferentes
por
exemplo,
campos
da
por
meio
ciência
ou
de
da
situações
atividade
Em termos de estrutura, a obra divide -se em três
qual
composto
tratado,
cada
de
capítulo
exercícios
tópicos
capítulos.
é
para
em
de
para
os
exercícios
propostos,
exercícios
complementares;
questões
para
que
por
séries
e
volumes, cada
do
assunto
a
ser
de:
As seções e atividades de cada capítulo procuram desenvolver a
representação
apoiam-se,
alunos
explorarem
do
assunto
à
possibilitam
alunos
resolverem;
é
complementada
preensão
cia
para
vários
incentivar
o
níveis
aluno
de
a
interpretação
desenvolver
e
e
interpretar
e
para
a
final
em
grupo
que
informações,
de
e
cada
ampliação
teúdos
a competên-
incentivam
o
aluno
a
pesquisar
e
buscando
aprofundar
volume,
do
trabalhados
aber tura
a
por
de
intuito
são
os
a
conhecimentos
apresentadas
conhecimento
no
desenvolver
dos
construção
a
ser
a
de
respeito
leitura
dos
cada
capítulo
é
ilustrada
por
uma
imagem
à
os
identificar
procurar,
ão,
há
capacidades
atividades
que
de:
etc.);
e
da
linguagem
(equações,
gráficos,
corrente
diagramas,
vice -versa;
correção
e
clareza
na
terminologia
própria
da
incentivar
a
discussão
preparatória
à
os
instrumentos
a
dados
e
à
desenvolver
as
significativos
selecionar
e
de
medição
compreensão,
há
capacidades
de
um
interpretar
e
de
cálculo.
atividades
que
de:
problema;
informações
relativas
ao
problema;
formular
selecionar
interpretar e criticar resultados em uma situação concreta;
discutir
hipóteses
e
prever
estratégias
ideias
e
de
resultados;
resolução
produzir
de
argumentos
problemas;
convincentes.
que
exploração
à
contextualiza
ão
sociocultural ,
há
atividades
que
do
os
alunos
a
desenvolver
as
capacidades
de:
estudado.
aluno
a
formar
um
panorama
dos
conteúdos
ali
faixa
etária,
o
aluno
já
tem
condições
de
reconhecer
objetivos,
organização
ele
conta
e seus estu
Cuidou-se
para
que
com
os e o
os
matemático
um
esenvo
conteúdos
elemento
vimento
do
inter venções
no
na
interpreta
ão
do
real
e
cotidiano;
aplicar
adicional
para
conhecime nto s
e
método s
matemático s
em
situa-
e
ções interpretar
conhecimento
possíveis
tratados.
nessa
o
são apresentados logo no início, para
em o
com
alunos
usar
Como,
as
matemáticas
simbólica
investigação
con
livro.
Os objetivos do capítulo
auxiliar
tabelas)
corretamente
incentivam
adquiridos.
sugestões
alunos
de
usar
Quanto
estimulam tema
expressões
linguagem
Quanto tem
comunica
e
sociocultural.
matemáticos;
mensagens
exprimir-se
ex-
Organização dos capítulos
A
à
compreensão,
Matemática;
argumentação
No
e
a
com-
plorar situações que promovem organização, interpretação de
dados
o
e
contextualização
desenvolver
textos
gráficos,
transcrever
leitora;
atividades
alunos
investigação
na
ler, interpretar, construir e aplicar representações matemáticas
para
exploram
a
possível,
ler
fórmulas, que
que
apresentam:
textos
comunicação,
por
a
representa
aos
(tabelas,
explorado
e
sempre
Quanto
os
aula;
autoavaliação.
concretização
seções
introdução
professor
sala
A
a
entremeado
resolvidos,
principais
Após
reais,
em
especial
em
outras
áreas
do
conhecimento.
a
e sua autonomia.
capítulo
fossem
distribuí
3.
A impor tância
dos de forma equilibrada e organizada. A apresentação de tópicos de
do livro didático relevância é complementada por Exemplos e Exercícios resolvidos
que
sugerem
dimento.
Na
uma
aplicação
seção
específica
Exercícios
de
propostos ,
um
o
conceito
aluno
ou
proce -
encontrará
uma
série de atividades apresentadas em ordem crescente de dificuldade.
Em várias páginas, são encontrados boxes laterais que dialogam
com
o
o
aluno,
oferecendo -lhe
desenvolvimento
aprofundam
ou
o
abordadas
tema
em
explicações
doestudo,
tratado
outras
e
além
de
e
dados
uestões
conexões
com
adicionais
ue
ex
situações
sua
permitem
aplicação
com
os
o
a
disciplinas.
aprofundamento
diferentes
Aprofundamentos
e/ou
que
abrangem
os
conteúdos
até
mesmo
e
as
a
m
i
percepção
mais
de
complexas,
trabalhados.
No
quadro Retomada de conceitos , as questões são relacionadas com os
objetivos
camente
indicados
do
se
exploram
no
assunto,
o
início
caso
o
Compreensão
vários
níveis
de
e
com
aluno
de
as
páginas
precise
texto
traz
interpreta
ão
que
tratam
especifi-
retomá-lo.
textos
e
em
par ticular,
a
maior
par te
do
pro -
é
inegável.
Por
um
lado,
ele
costuma
ser
um
supor te
referência
tica
geral
histórica
e
Educação
das
indispensável
didáticas
matemática,
múltiplos
que
elementos
para
específicas
mapeiam,
do
ensinar
os
—
e
estudos
no
caso,
analisam
do
e
na
área
as
pesquisas
dadidá-
da
inter-relacionam
aprender
nessa
área
do
imentode uma multiplicidade de pesquisas didático-peda
ó
icas
voltadas para o ensino matemático epodemos afirmar que grande
cação
que
dessas
tais
Devemos
estudos
ramento
reais
investigações é
brasileira.
das
requerem
ráticas
necessidades
da
de
de
ter
alta
em
quando
ensino,
qualidade
mente,
se
de
e
valia
contudo,
deseja
modo
o
para
o
constante
ue
a
edu-
dinamismo
corres
aprimo -
ondam
às
aprendizagem.
Nessa perspectiva, apresentamos a seguir uma rápida análise das
diversificados
compreensão,
Matemática
confiável e amplificador em sala de aula. Por outro, representa uma
par te
Autoavaliação apresenta ques
fundamentais
da
conhecimento. Verificamos, no decorrer das últimas décadas, o sur-
Desafios
conteúdos
campo
educacional
os
dos
situações,
Ao término do capítulo, a seção
tões
e
cotidianas
Em todos os capítulos, há Exercícios complementares
que
para
andem
No
fessorado concorda que a impor tância do livro didático noprocesso
que
muitas
diretrizes
didático-pedagógicas
que
o
livro
deve
adotar
para
atender
às expectativas da educação em nosso país.
vezes com questões que ar ticulam diferentes disciplinas e exploram
situações
do
cotidiano
do
aluno.
Alguns aspectos de um livro didático Apresentando atividades que desenvolvem a experimentação, as
propostas da seção Pesquisa e ação devem ser realizadas em grupo. As
atividades, geralmente, exigem organização, análise e interpretação de
Em seu papel de apoio ao trabalho do professor, o livro didático deve:
Orientar-se
pelas
dados e informações, com o objetivo de desenvolver a argumentação, a
moramento
relação entre informações e conhecimentos adquiridos pelos alunos e
dos
a apresentação adequada dos resultados, por meio de cartazes, vídeos,
desenvolvimento
jornais e outros recursos.
uma
dos
escolares
base
propostas
processos
devem
de
confiável
ser
de
ensino
reflexivos.
entendidos
competências
para
o
e
que
favorecem
Para
como
do
conhecimento
isso,
os
o
apri-
conteú-
instrumentos
estabelecimento
do
mundo.
Guia do professor
235
do
de
Abordar
os
conteúdos
de
modo
que
os
alunos
tenham
opor-
4. tunidade
de
soluções
mente
dos
expor
próprias
sobre
de
as
o
para
sabem
os
decisões
diferentes
mesmo
que
problemas
a
tomar
maneiras,
conteúdo
de
di
sobre
de
o
e
assunto,
de
implica
ângulos
erentes
pontos
de
refletir
tratar
Interdisciplinaridade
elaborar
adequada-
esses
conteú-
variados.
Tratar
de
avorece
vista
um
a
A
em
o rg a n i z a ç ã o
iscip
inas
do
que
currículo
se
e s co l a r
justapõem,
t r a d i c i o n a l,
sem
se
i n t e r - re
estruturada
a c i o n a re m ,
é
apontada como responsável por uma formação compar timentada.
Por
outro
lado,
a
abordagem
interdisciplinar
no
ensino
assinala
construção do corpo de conhecimentos, sobretudo pela expoa
sição
de
maneiras
diversas
de
pensar
e
pelo
incentivo
à
possibilidade
novas
soluções,
além
de
promover
maior
comunicação
professor
e
alunos
e
entre
Manter
a
tados
os
maior
Os
fatos
proximidade
possível
e
da
conteúdos
que
afetam
fenômenos
devem
a
estar
sociedade
em
de
da
combinação
perspec tivas,
incentivando
a
busca
de
caminhos
de
alter-
àqueles
oferecidos
pelos
saberes
já
adquiridos,
instituídos
entre
os
conteúdos
institucionalizados.
traA
e
meio
colegas. e
por
ennativos
tre
enriquecimento
busca diferentes
de
de
interdisciplinaridade
é
definida
pelos
educadores
como
a
realidade.
consonância
seu
tempo,
e
com
seu
as
interação
entre
duas
ou
a
comunicação
mais
disciplinas,
o
que
se
traduz
desde
uestões simples
de
ideias
específicas
das
disciplinas
até
a
aprendizado integração
orgânica
de
conceitos,
terminologias,
metodologias,
deve favorecer a inserção positiva do aluno nessa sociedade. A procedimentos, abordagem
de
conteúdos
socialmente
significativos
Alguns para
a
construção
de
instrumentos
de
dados,
linguagens
ou
representações
par ticulares.
contribui
compreensão
da
especialistas
estendem
o
conceito
de
interdisciplinaridade
rea à
atitude
que
pressupõe
uma
postura
uniformemente
estruturada
lidade e de par ticipação em relações políticas e culturais diverdiante sificadas.
A
seleção
e
o
tratamento
dos
conteúdos devem
dos
fatos
perspectiva
a
construção
da
cidadania,da
serem
analisados.
ter
Pesquisas como
a
per tinência
educacionais
destacam
as
seguintes
vantagens
da
a
abordagem
interdisciplinar:
um país pluricultural e a um mundo globalizado. O tratamento
dos conteúdos deve possibilitar ao aluno assumir postura críti-
ca
e
colaborativa
Garantir
objeto
Por
do
que
de
os
na
conteúdos
de
da
qual
propostos
é
possibilita
integrante.
respeitem
a
a
ensinar
e
natureza
do
ções
ras
complexidade
de
aprender,
conceitual
as
pesquisas
e
as
em
uma
visão
global
dos
conteúdos
do
mundo
atual,
permitindo visão crítica e compreensão das múltiplas informa-
conhecimento.
identificarem
ato
sociedade
implicações
didática
cotidianas,
entre
colabora
geral
para
o
o
que
só
ocorre
com
a
superação
das
frontei-
disciplinas;
para
a
futuro
formação
de
desempenho
uma
base
mais
profissional,
ampla
e
segura
considerando
a
cres-
e específica têm muito a colaborar na proposição de conteúdos. cente
necessidade
de
integrarem-se
informações
de
diferen-
As didáticas específicas explicitam as aproximações e os distan tes
ciamentos
em
relação
ao
objeto
de
conhecimento
domínios
de
atuação;
comumente
estimula
o
exercício
contínuo
da
educação,
tanto
no
âmbito
proposto em sala de aula, o que possibilita ao professor analisar geral sua
prática
que
vão
e,
ao
ao
mesmo
encontro
tempo,
de
suas
antecipar
hipóteses
aos
alunos
sobre
Oferecer
recursos
para
a
diversidade
de
essencial
ber
que
ções
ou
rentes
à
um
construção
mesmo
que
uma
ângulos,
o
produtivamente
lexibilidade
na
Estruturar-se
de
mesma
aluno
o
saber
é
Com a inter
um
propostas.
situação
pode
ser
a
Ao
perce -
diferentes
abordada
generalizar
conhecimento
de
significativo.
aplicável
consegue
resolução
em
um
conteúdo
e
adquirido,
situa-
de
dife -
contextualizar
desenvolvendo
problemas.
conformidade
com
movimento
de “uso-
-conceituação-uso” .
objeto
devem
de
verificação
Tal
ni
permitam
a
acompanhados
compreensão
da
de
natureza
situações
desse
ob
de
eto.
inari
uso
À
que
diante
a
e, espera-se o
dos
aproximação
busca
de
um
disciplinas
entre
O
o
métodos
coerentes
objetos
elas
(e
e
imento
uma
par ticulares.
a
com
as
si,
semelhantes,
linguagens
atribuição
de
um
e
conceitos
maior
critérios
comuns.
número
de
sig-
avorecendo o trabalho interdisciplinar na
aprendizado
percam
procedimentos
entre
permite
icados aos conceitos,
mente
ser
comum
desenvolveram
Os primeiros contatos do aluno com um novo objeto de conhe-
cimento
isci
Cabe destacar que muitas disciplinas, ao longo de sua história,
as
um
profissional.
intercomunicação efetiva entre as disciplinas por meio da fixação de
A diversidade de atividades em torno de um mesmo conteúdo
é
no
questões
determinados
conteúdos, favorecendo a aprendizagem significativa.
quanto
suas
mais
expressivo.
especificidades,
disciplinas
de
outras
Isso
mas
não
sim
áreas)
significa
que
seja
o
que
diálogo
pedagogica-
rico.
trabalho
aprendizado
interdisciplinar
do
aluno,
o
organiza
trabalho
e
otimiza
pedagógico
o
e
tempo
evita
escolar,
repetições;
medida não
se
restringe
a
desenvolver
temas
comuns
ou
projetos
interdis-
que cresce sua familiarização com o novo objeto, é possível sociplinares;
licitar
reflexões
mais
abstratas
para
a
formalização
do
pode
ser
feito
por
meio
de
atividades
desenvolvidas
por
conheuma disciplina, mas planejadas pelos professores de várias disciplinas
cimento,
de
tal
maneira
que
o
aluno
consiga
transformar
suas ligadas
à
área.
conclusões iniciais em saber de caráter universal, aplicável a diE ferentes
situações.
Assim,
o
movimento
a
assimilação
gradativa
e
segura
dos
novos
a
Química
Cabe
ao
livro
didático
estruturar
unidades
e
facilitem
tal
fluxo,
buscando
equilíbrio
entre
significado
neralizações
e
e
abrangentes
o
suficiente
para
possibilitar
ge -
em
o
sala
entre
um
único
transferências.
as
de
material
aula,
horas
cronograma
236
é
de
de
apoio
interessante
aula
para
a
e
as
ao
desenvolvimento
que
se
unidades
aprendizagem
Guia do professor
alternativa
entanto,
gêneros
do
comuns,
estabeleça
didáticas,
dos
um
do
trabalho
paralelismo
sugerindo,
alunos.
mais
também
assim,
discurso
podemos
conceituais,
Cabe destacar que, embora o livro didático não seja, e não deva
ser,
por
exemplo,
trabalho
a
Biologia,
a
Física,
a
Matemática
interdisciplinar?
usual
são
é
a
aborda
possíveis
as
em
por
abordagens
temas
por
comuns.
linguagens,
suas
etapas e oferecendo situações-problema e atividades providas
de
um
que
No permitam
em
co
A nhecimentos.
ar ticular,
de “uso-conceituaçãoe
-uso” favorece
como
as
ou
citar,
tabelas,
procedimentos
a
os
título
de
comuns.
exemplo,
símboloseos
Como
linguagens
os gráficos,
códigos.
Como
os
mapas
gêneros
do
discurso, os relatórios, ar tigos científicos, artigos de opinião, debates,
enunciados de problemas e protocolos de pesquisa. E, como procedi-
mentos, a resolução de problemas, a observação de regularidades, as
investigações, o levantamento de hipóteses, as inferências, a dedução,
a
análise,
a
síntese
e
a
generalização.
plausíveis,
5.
isto
é,
os
erros
previsíveis
e
justificáveis.
O
conteúdo
dos
Avaliação distratores define, em grande parte, o grau de dificuldade da questão.
Avaliar
o
desempenho
dos
alunos
é
uma
das
tarefas
mais
pro-
blemáticas para o professor em qualquer nível de ensino. Apesar de
ultimamente muitos educadores matemáticos se debruçarem sobre
o
tema,
têm
o
conceito
evoluído
de
e
as
modo
práticas
de
satisfatório,
avaliação
o
que
em
Matemática
mantém
a
não
atualidade
da
reflexão sobre a concepção de avaliação em seus diferentes aspectos.
Quando se usam os erros mais frequentes como distratores, é possível
identificar o que de fato os alunos dominam, a natureza das dificulda
des do grupo ou dos erros que costumam cometer. A escolha de uma
entre muitas alternativas geralmente favorece a discussão de ideias e
problemas de formas variadas, enriquecendo a troca de informações
e, por conseguinte, o processo de aprendizagem.
Em primeiro lugar, é preciso ter claro que a avaliação não é um fim
em si, mas par te integrante do processo de ensino e aprendizagem.
Quando entendida como engrenagem natural do contrato didático,
a
avaliação
progresso
e
à
ultrapassa
dos
alunos
administração
o
trabalho
ou
meio
escolar,
de
simples
informativo
para
justificar
acompanhamento
de
a
sua
situação
consecução
e
aos
a
do
pais
revisão
dos objetivos de trabalho propostos e do próprio processo didático-
-pedagógico.
atores
da
Assim,
ação
a
avaliação
educativa
na
(alunos
e
educação
pais,
diz
respeito
professores
e
tanto
aos
orientadores)
quanto à estrutura de ensino, o que inclui a apreciação, entre outros
aspectos, dos métodos e materiais didáticos adotados, dos projetos
e
programas
A
ava l i a ç ã o,
julgamento
de
propostos.
decisões
processos
Uma
M édio
e,
de
uma
as
série
ser
do
de
pesquisas
n e ce s s i d a d e
lacunas
diem
o
no
o
Ensino
professor
de
de
ao
ser
i n s t r u m e n to
processo
alimento
na
área
de
de
em
e
de
de
tomada
reorientação
do s
dos
e
matemática
palav ras,
e
da
não
de
nos
maior
em
todos
constatação
q u e,
des s es
para
d e te r m i n a r
conteú do s,
dos
tó pico s
d iagnó stico s
ideal izados,
que
do
de
bás ico s,
apontam
ao
os
a
as
s u b si-
pró p rio s
fo rneçam
domínio
de
alu nos.
Evidentemente, a preocupação em identificar as falhas nos conhe -
promovem
professor,
esse
sua
correção.
aspectos
fazê -los
mais
rica
embora
respostas
das informações.
Eles
de
prova
oferece
um
conjunto
de
informações
No
a
âmbito
específico
relação
e
a
da
disciplina,
interpretação
ló
permite
ica
das
analisar
informações
No plano mais geral, possibilita observar aspectos como a compreen-
são
dos
busca
enunciados,
de
soluções,
enfrentamento
Voltando
é
para
os
sondar
alunos.
as
conscientes
Ao
mesmo
concepções
de
suas
e
tempo,
esse
habilidades
limitações
e
tipo
dos
de
estu-
possibilidades.
às
i m p o r t a n te
a
a
capacidade
habilidade
de
situações
reflexões
lembrar
o
de
na
raciocínio,
expressão
a
das
criatividade
ideias
e
o
na
modo
variadas.
sobre
papel
os
processos
gerais
h i s to r i c a m e n te
de
avaliação,
p u n i t i vo
que
fo i
atribuído à M atemática, tomando -a como instrumento de seleção
e
rotulação
ração
dos
dessa
indivíduos.
visão
Por
equivocada
cer to,
é
a
um
dos
adoção
de
pontos
um
para
novo
a
supe -
conceito
de
avaliação. Trabalhando com a ideia de que os processos avaliativos
re
resentam
d e ve m
im
s e m p re
or tante
buscar
referência
explicitar
aos
e
avaliados,
co m p a r t i l h a r
os
os
rofessores
c r i té r i o s
de
avaliação com os alunos. Assim, os “erros” — tanto no desempenho
específico
—
a
devem
da
ser
disciplina
além
identificação
da
autonomia
Cabe
na
ao
resolução
dar
relação
salientar
têm
longo
de
as
do
de
que,
postura
na
opor tunidade
relevantes
ao
em
evoluído
na
discutidos
de aspec tos
em
aprendizagem,
volve
quanto
amplamente
discussão,
da
e
exposição
aber tos,
categorização das
dadas, o reconhecimento e a aplicação dos conceitos matemáticos, a
de
dantes
tipo
como
disciplinares
possibilita
totalmente
a
que permite detectar concepções errôneas e propor caminhos para
problemas de formação e, então, construir um curso mais consistente,
avaliação
uma
para
analisar, argumentar, justificar escolhas, validar respostas etc. Para o
dade” do ensino subsequente, mas, ao contrário, uma forma de superar
significado
questionários
zando as capacidades de levantar hipóteses, desenvolver estratégias,
de
cimentos prévios não deve ser motivação para “rebaixamento da quali-
maior
os
dificuldade
incentivam o aluno a enfrentar um problema e buscar a solução utili-
En s ino
in gres s a n tes,
conh ec imen tos
org anização
reais,
al un os
Diante
aos
d i a gn ó s t i c a s
o u tras
parâm etro s
conhecimentos
relação
p ro fess ores
capacitados
co mpreens ã o
na s ele ção
Em
como
Educação
e na
do s
per fil
Fu n d a m e n t a l.
av a l i a çõ e s
M édio.
do
idealizados
Ensino
obtidas,
de
preo c upações
de fas ag ens
pro fessor
ao
ser vir
d iagnó stico
domínio
do
ativamente
sentido,
primeiras
e q u i vo c a d a m e n te
conteúdos
deixa
mudança.
das
deve
co n ce p ç ã o,
integrar-se
nesse
Matemática,
organização e a comunicação das ideias em linguagem matemática.
nessa
para
Em
apresentem
processo
todos
no
capacidades
processo,
problemas,
os
como
a
e
de
de
aprendizado
aula.
Esse
autoavaliação,
da
formação
e
o
espaço
permite
exercício
educacional.
de
as
a
à
graus
sentido
geral
sala
de
ensino,
incluir,
atitudes
que
criatividade
comunicação
os
entre
e
a
o
currículos
os
objetivos
aluno
desen-
independência
adequada
das
ideias
e
Essa contribuição das avaliações diagnósticas muito provavelmente
a
se manifestará na redução da evasão, problema hoje tão comum no
adequar
segmento
tentativa de valorizar não apenas os conhecimentos procedimentais,
intermediário.
O diagnóstico pode ser estabelecido pela aplicação conjunta de
alguns
instrumentos,
questionários
por
ou
de
os
entrevistas
para
obtenção
de
informações
de
múltipla
escolha,
com
questões
específicas
Matemática;
aber tos
ou
fechados,
com
questões
específicas
as
construídas
atitudes
produtiva
tomada
competências
recurso,
“clientela” .
aspec tos
como:
Assim,
se
a
avaliação
estudaram em
diagnóstica
curso
regular
pelos
desempenho,
de
o
considerando
tanto
o
O
dos
co m p a r t i l h a m e n to
de
propostas
ao
atividades
Os
testes
de
domésticas
fechados
fazer
de
lazer;
se
trabalham
ou
têm
par ticipação
etc.
múltipla
escolha
apresentam
a
resposta
correta e os distratores, os quais refletem as respostas incorretas, porém
Nesse
a to re s
caso,
da
é
perspectiva,
a
na
de
organização
de
eríodos maiores,
construção
uso
permite
da
avaliam-se
e nvo l v i d o s,
em
foco
processo
que
nas
nova
preciso
alunos.
através
por tfólio
decisões.
contato e em que profundidade; quais são seus hábitos de leitura; o
horas
por tanto,
de
relatórios,
um
produto.
dossiês
e
me -
alunos.
duto.
nas
dos
essa
acompanhamento
podemos
ou supletivo; com quais conteúdos do Ensino Fundamental tiveram
cultivam
de
a
É,
Oferecendo a possibilidade de escolhas e da avaliação contínua
do
contemplar
avaliação
grupo.
geral, permitem ao formador uma ideia sintetizada das competências
per fil
sua
as
de
em
ue reúnam atividades acumuladas em
desse
e dos hábitos e modos de vida dos alunos, mais per to estará de um
de
e
trabalhos
moriais, meios que, mobilizando as diversas aquisições da formação
Matemática.
confiável
nos
instrumentos
forma
or tfólios
Além
positiva
conceitos
Uma
Quanto mais o professor souber a respeito da formação anterior
pode
os
atestando
fechados
questionários,
de
mas
exemplo:
pessoais;
testes
par ticipação
vigor
e
de
o
a
passa
processo
apenas
i n fo r m a çõ e s
mesmo
aluno
par ticipação
a
ser
desenvolvimento
todo
não
ao
avaliação
os
o
re gi s t ro s
co n d u z
tempo
e
que
à
o
como
o
pro -
desempenho
n u m é r i co s.
co m p re e n s ã o
abre
na
trabalho,
espaço
para
O
das
o
re -
planejamento do trabalho do professor, de modo que se obtenham
melhores
resultados.
Guia do professor
237
Apresentamos no quadro abaixo uma sugestão de descritores de
6. uma
possível
ficha
de
avaliação
e
autoavaliação
dos
Formação e desenvolvimento
alunos.
profissional do professor Avaliação
Avaliação
Descritores pelo
aluno
pelo
A
professor
maioria
fessores Cumpre
os
dos
chama
autores
atenção
que
para
a
hoje
discutem
impor tância
a
de
formação
o
de
pro-
desenvolvimento
objetivos.
profissional ser contemplado ao longo de toda a carreira, com suporte 2.
Apresenta com correção e
na
educação “formal” inicial.
de
cada
A
par tir
dessa
etapa,
o
aprimoramento
clareza as tarefas escritas.
3.
Inclui
pesquisas
relativas
Adota
uma
organização
a
responsabilidade
própria.
opor tuno
e
o
lembrar
algumas
desenvolvimento
das
diferenças
profissional
de
entre
a
professores
formação
apontadas
que
pelo facilita
de
tratados.
inicial
4.
é
aos
É assuntos
professor
educador
por tuguês
João
Pedro
da
Ponte.
compreensão.
Na formação inicial, o futuro professor é obrigado a assimilar os
5.
Faz a análise de seus erros.
6.
Elabora
conhecimentos que lhe são transmitidos, geralmente de modo com-
propostas
enfrentar
para
par timentado, por assuntos ou disciplinas, e com nítido predomínio
dificuldades
da especulação teórica. Pode -se dizer que essa etapa transcorre em relacionadas
ao
um desenvolvimento
movimento
antes
de
Na
Além
dos
do
por tfólios,
outros
recursos
podem
ser
aplicados.
tudo,
um
de
um
continuidade
problema,
por
exemplo,
é
impor tante
o
aluno
se
limita
a
utilizar
mecanicamente
os
ou
se
compreende
a
situação
com
mani
esta
maior
é
capacidade
de
no qual
o
profissional
é,
natureza
de
comunicação
investigativa,
e
de
convém
formação
a
que
estamos
admitem-se
cursos
e
denominando
atividades
a
práxis,
como
projetos
em
grupo
e
mais
trocas
argumentação.
avaliar
leituras
e
reflexões
compar tilhadas.
O
de
movimento
é,
profundidade
Se
do
a
interior
para
o
exterior,
cabendo
ao
professor
considerar
o teoria
trabalho
interior,
procedimentos
então,
e
da
profissional,
para
experiências,
aprendidos
o
analisar direcionados
se
para
receptor.
Na desenvolvimento
resolução
ex terior
das
atividades.
e
prática
de
modo
interligado,
na
busca
de
uma
formação
capacidade integral
em
seus
aspectos
cognitivos,
afetivos
e
relacionais.
Através
do aluno em formular hipóteses, testar, analisar criticamente e fazer da
combinação
entre
processos
formais
e
informais,
a
formação
generalizações. Éimpor tante ainda verificar a coerência da resposta continuada
tem
por
finalidade
tornar
o
professor
mais
capacitado
em relação à situação apresentada, a utilização da simbologia mate para
conduzir
o
ensino
de sua
disciplina.
O
professor
deixa
de
ser
mática apropriada, a clareza, a organização das ideias e a originalidade objeto
na
so
ução
o
pro
impor tante
ter
em
mente
que
qualquer
tipo
de
revela
a
de
orientação
fornecida
aos
alunos.
Por
isso,
os
o
avaliação
por
sua
formação.
devem
ser
discutidos
com
eles.
e xe m p l o,
a
ava l i a çã o
ten d e
a
ser
Em
mais
profissional
conhecimento
específico
envolve
da
diferentes
disciplina
domínios,
ministrada
e
do
parâem
vigência,
a
reflexão
sobre
a
relação
com
o
aluno,
a
relatórios permanente
e s c r i to s,
de
desenvolvimento
currículo
metros
sujeito
avaliação como
escrita
ser
ema. O
É
para
análise
crítica
dos
processos
de
aprendizagem
e
de
q u al itativa, avaliação, a expansão da própria instrução, a conscientização sobre
inserida
na
perspec tiva
de
uma
apreciação
global.
Nesse
caso,
não o
fazem
sentido
os
critérios
estritos
de “cer to
e
errado” ,
que
contex to
cidade
sejam
descontados
de
acordo
com
os
erros
cometidos.
Se
isso
o b s e r v a d o,
os
re l a tó r i o s
te n d e m
ao
e m p o b re c i m e n to,
de
trabalho,
resolver
o
autoconhecimento
problemas
da
prática
e,
sobretudo,
a
capa-
educativa.
não As
fo r
de
pontos
leituras
sugeridas
nesta
obra
fo r a m
selecionadas
co m
propósito de auxiliar o docente de Matemática em sua traj etór ia
na
maioria
das
vezes,
as
melhores
produções,
aquelas
que
as
melhores
argumentações,
explicitações
de
para
apre um
sentam
o
p o i s,
raciocínio
ininterrupto
de s envo lvimento
pro fiss ion al.
e
descober tas, costumam conter mais erros que os relatórios simples,
7. com
menos
As
Sugestões de consulta
escrita.
apresentações
orais
permitem
ao
aluno
preparar-se
pre -
para o professor viamente,
a
organizar
questões
os
argumentação
co
e
sua
exposição
egas,
de
esenvo
e
estar
ven
o,
pronto
assim,
as
para
responder
capaci
a
es
e
Outra sugestão para a avaliação do desempenho oral é fazer gru-
pos
de
discussão
Livros e ar tigos
comunicação.
sobre
questões
matemáticas
diversificadas.
Ensino de Matemática
Nesse
tipo
de
discussão,
podem
ser
avaliadas
a
compreensão
das
BICUDO,
M.
A.
V.
Educação
matemática:
um
ensaio
sobre
con-
ideias cepções
a
sustentarem
sua
prática
pedagógica
e
produção
de
matemáticas envolvidas, a argumentação, a aptidão para interpretar conhecimento.
In:
FLORES,
C.
R.;
CASSIANI,
S.
(Orgs.).
Tendên-
e discutir situações em que tais ideias estejam presentes e mesmo as cias atitudes
gerais
em
relação
à
contemporâneas
nas
pesquisas
em
educação
matemática
e
Matemática. científica:
sobre
linguagens
e
práticas
culturais.
Campinas,
SP:
É por meio de obser vações contínuas da par ticipação dos alunos Mercado
de
Letras,
2013.
p.
17-40.
nas aulas e do envolvimento nas atividades propostas que o professor Ar tigo avalia
tos
no
a
evolução
curso.
de
seus
Embora
seja
alunos
um
em
juízo
relação
aos
subjetivo,
o
objetivos
professor
relacionado
à
experiência
em
Educação
matemática.
propos-
não
deve
______
ro,
(Org.).
Educação matemática.
2.
ed.
São
Paulo:
Centau-
2005.
desvalorizar esse tipo de informação. Mantendo um registro de suas
Traz obser vações,
pode
incorporá-las
aos
dados
obtidos
por
outros
ar tigos
relacionados
a
pesquisas
realizadas
em
Educação
ins-
matemática,
enfocando
metodologia
e
ensino.
trumentos de avaliação, garantindo maior consistência à apreciação
perió
ica
e
ca
a
a
uno.
Por fim, é impor tante ressaltar que não existe instrumento único
para
o
sistema
de
avaliação,
o
qual
deve
ticipação dos alunos nas atividades re
atividades
os
específicas
instrumentos
238
de
e
os
diferentes
autoavaliação.
Guia do professor
sempre
contemplar
a
par-
ulares, seu desempenho em
tipos
de
produção,
incluindo
BONGIOVANNI,
bre
o
Proem,
Trata
tas
ser
ensino
V.
e
Utilizando
resultados
aprendizagem
em
de
pesquisa
Geometria .
São
so-
Paulo:
2006.
de
para
algumas
o
ensino
trabalhadas
teorias
de
da
didática
Geometria,
inclusive
através
de
do
francesa
forma
como
que
software
ferramen-
estas
possam
Cabri-Géomètri.
CARAÇA,
Lisboa:
Bento
de
Gradiva,
J.
Conceitos
1998.
(Coleção
fundamentais
Ciência
da
Matemática
Continuidade.
Ciência
e
dá
O
autor
ênfase
a
faz
alguns
uma
abordagem
conceitos
da
de
aspectos
Matemática
encontro
João
Essa obra encontra-se dividida em três partes: Números, Funções
e
LOPES, C. E.; CURI, E. (Orgs.). Pesquisas em Educação matemática
um
Aber ta).
da
relaciona-
Essa
obra
gias
de
decorre
na
discutem
D’ AMBROSIO, U. Da rea
i
a
e à ação
a
teoria
e
a
prática.
São
Carlos,
SP:
Pedro
e
2008.
pesquisa
central
dos aos números e às funções.
entre
Editores,
de
um
em
análise
processo
Educação
sobre
temáticas
a
reflexivo
relação
diversas,
sobre
matemática,
que
metodolo-
tem
teoria-prática.
relacionadas
à
o
Os
foco
textos
Educação
mate -
reflexões sobre Educação e mática em todos os níveis de ensino da Educação básica: Edu-
Matemática. 5. ed. São Paulo: Summus, 1986. cação
Essa
obra
forma
ca,
à
dá
enfoque
crítica,
conceitual
abordando
História
e
à
à
Educação
aspectos
Educação)
que
matemática,
(relacionados
atingem
à
todos
de
de
Matemáti-
os
níveis
Infantil,
Jovens
e
Ensino
Adultos.
Fundamental,
As
temáticas
Ensino
Médio
abordadas
e
Educação
permitem
refle -
tir sobre processos de ensino e aprendizagem, mudanças cur-
de
riculares
e
inova
ões,
bem
como
análise
da
prática
docente.
escolaridade.
______.
pinas,
Educação matemática
SP:
Papirus,
2012.
da
teoria
(Coleção
à
prática.
Perspectivas
23.
em
ed.
autor
A obra traz re
traz
cionadas
em
a
nessa
uma
Educação
interpretação
apresenta
A.;
obra
algumas
disciplina
matemática
sobre
como
suas
ministrada
da
Unesp
Matemática
estraté
de
ias
e
no
de
experiências
curso
Rio
de
Claro.
Educação,
de
contextualizadas
que
Mestrado
forma
e
temática,
rela-
Expõe
a
JÚNIOR,
G.
A
Matemática
e
os
temas
e
as
a
e
a
cu
relacionar
por
educação
tre
totalmente
lexões sobre a transversalidade, o ensino de Ma-
ciência
significa
tendemos
sua
que
POMPEU
pauta).
Educação
matemática).
O
MONTEIRO,
transversais. São Paulo: Moderna, 2001. (Coleção Educação em
Cam-
a
cotidiano?
tura,
Que
fundamentam
etnomatemática
e
a
examinan
Matemática
ao
o
concepções
essa
proposta?
proposta
de
questões
cotidiano?
de
como:
O
ciência,
Qual
é
a
que
o
en-
verdade
relação
en-
transversalidade?
interdependentes.
PERELMANN,
I.
Aprenda
Álgebra
brincando .
São
Paulo:
Hemus,
usando
ativida-
2014.
DUVAL,
R.
Registros
de
representações
semióticas
e
funcio-
Essa namento
cognitivo
da
compreensão
em
Matemática.
In:
des CHADO, S. D. A. (Org.).
obra
auxilia
o
professor
a
ilustrar
sua
aula
MA-
práticas,
apresentadas
por
meio
de
uma
abordagem
didá-
Aprendizagem em Matemática : registros
tica e interessante, que deixa de lado as questões teóricas mais de
representação
semiótica.
8.
ed.
Campinas,
SP:
Papirus,
difíceis. 11.
p.
O
autor
selecionou
um
grande
número
de
problemas
11-33.
funcionais
ou
curiosos,
resolvidos,
discutidos
e
ilustrados,
O autor apresenta o conceito dos diferentes registros de repre como: sentação
semiótica
para
um
mesmo
objeto
matemático,
cias
dos
a
entre
impor tância
o
grau
próprios
de
dessa
diversidade,
dificuldade
de
cada
e
um
indica
KRULIK,
S.;
a
leitura
alunos.
REYS,
R.
PIRES,
de
E.
A
resolução
de
problemas
na
do
segundo
C.
São
Paulo:
Atual,
São
livro
traz
vinte
e
especialistas
dois
ar tigos
de
alguns
dos
mais
de
da
E.
L.
et
Sociedade
do
área,
obra
tados
os
A
que
buscam
Matemática
de
rever
a
metodologia
de
do
Ensino
Matemática,
Médio .
1998.
v.
1,
Rio
2
de
e 3.
Janeiro:
de
autor,
utilize
apoio
os
uma
po rém
ao
e
(Coleção
com
divers idade
alu n os
e
muitos
equa-
outros.
T.
M.
ensino
e
M.
(Orgs.).
Utilizando
aprendizagem
de
resultados
números
e
fun-
2006.
para
da
um
curso
PUC/SP ,
de
especialização
apresenta
o
tema
em
Edu-
números
de
situações-problema
que
suscitam
e
discus-
reflexões.
s ão
do
de
exercícios
adeq ua dos
Ensino
para
M édio.
come n -
que
Es se
o
no
es mero
de
s eu s
dos
p ro -
liv ro
(Org.).
M.
M.;
SHULTE,
São
Esse
primeiro
é
de
o
Paulo:
A.
P .
Atual,
(Orgs.).
formatado
matemática
através
de
resultados
Proem,
para
da
de
pesquisas
sobre
análise
2006.
um
curso
PUC/SP ,
de
especialização
apresenta
situações-problema
que
o
tema
em
análise
suscitam
Edu-
de
da
discussões
e
s er______
(Org.).
Matemática
e
suas
inter faces
com
outras
discipli-
co n h ec imen to s
Aprendendo
e
São
cação
ensinan-
(NC TM)
do
Paulo:
Proem,
contendo
dos
vinte
formatado
matemática
plinaridade
Conselho
Estados
Nacional
Unidos,
de
Pro-
2006.
artigos
de
cussões
e
PONTE,
J.
para
da
através
um
curso
PUC/SP ,
de
de
especialização
apresenta
o
tema
situações-problema
que
da
em
Edu-
interdisci-
suscitam
dis-
reflexões.
publicado
Atual,
Utilizando
Paulo:
reflexões.
2003.
anuário
Matemática
editora
São
m atem áticos.
do Geometria.
pela
o
Proem,
através
Material
LINDQUIST,
fessores
progressões
CAMPOS,
sobre
formatado
Material
cação
não
profes s o r
conteúdos
livro
grau,
matemática
______
nas. sobre
C.;
Paulo:
de dados.
ve
Diofanto,
do
Matemática).
apresenta
pelo
fessor
al.
Brasileira
Professor
Essa
de
Matemática.
LIMA,
equações
eminen-
sões
ensino
as
Matemática
funções
tes
Álgebra,
2003. cação
Esse
M.
pesquisas
Material
escolar.
da
divergên-
segundo
ções.
idioma
resções
saltando
o
alguns
dos
P .
et
al.
Investigações
matemáticas
na
sala
de
aula.
mais 2.ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2009. (Coleção Tendências em
eminentes especialistas da área. Educação
O LINS,
R.
C.;
GIMENEZ,
J.
Perspectivas
em
Aritmética
e
livro
práticas para o século XXI. 7.
ed.
Campinas,
SP:
Papirus,
livro
busca
introduzir
uma
de
concepção
de
ser
Álgebra
como
diferente
algo
Aritmética,
quação
concreto
como
dessa
do
numérico.
e
a
pois
em
em
que
segunda,
abstrata.
visão,
complementam-se
daquela
Os
primeira
ser
autores
Aritmética
uma
a
por
mesma
e
de
autores
investigação
usadas
por tugueses
e
mostra
desenvolvidas
por
como
matemáticos
se
mostram
Álgebra
sala
de
trabalhos
aula.
Esses
po-
ilustram
a
da
inade -
configuram
que
e
dificuldades
de
se
trabalhar
nessa
as
perspectiva.
exprime
generalização
atividade,
na
Aritmética vantagens
e
trabalhos
2006.
dem Esse
matemática).
traz
Álgebra
é
o
e
estu-
UDINA
1999.
i
ABELLÓ,
(Coleção
Aborda
ensino,
a
o
F .
utilização
que
Aritmética
Matemáticas:
de
indica
y
calculadoras.
cultura
calculadora
que
nem
y
como
sempre
Madri:
Síntesis,
aprendizaje).
uma
um
metodologia
ensino
centrado
de
no
método “lápis e papel” pode ser entendido como o mais eficiente.
Guia do professor
239
g
ç
ALMEIDA,
nologias
F .
J.
ç
Computador,
dirigidas
ao
escola
e
vida:
conhecimento.
2.
Currículo
aprendizagem
ed.
São
Paulo:
e
tec-
ce
2007.
Trata
COLL,
Essa
Cubzac,
da
tivem
a
possibilidade
melhoria
do
de
que
cenário
as
ciências
e
as
tecnologias
C.
Psicologia e currículo.
obra
i
o
com
dagógica
mo-
BARUFFI,
M.
C.
B.;
LAURO,
M.
M.
inequações:
uma
Paulo:
abordagem
CAEM-IME/USP ,
utilizando
PIRE
em
C.
uma
uma
pro ces s o
de
v is ão
conc retização,
um
Paulo:
de
de
Ática,
p ro j e to
1999.
c u r r i c u l ar
cons tr u tivis ta
no
co tidian o
questões
e
es col ar,
edu c a c io n ais
trans form a ção
con -
p sicop e
na
do s
e
es tá
M.
C.
Matemática
e
sua
inserção
educa ção.
curricular .
Curso
de
microcomputador.
em
Educação
matemática,
mod.
1,
versão
preli-
2002.
minar. Apresenta
em
São
modelo
proposto s. Trata
especialização São
um
Funções elementares, equações
e
ase
para
conteúdos
atual.
inserida
apresenta
abordagem
por
meio
da
qual
se
utiliza
o
São
Paulo:
Proem,
2006.
com-
Material
formatado
para
um
curso
de
especialização
em
Educa
putador como ferramenta para o ensino de funções elementa-
ção matemática da PUC/SP , apresenta uma síntese das principais res,
equações
e
inequações.
reformas
BORBA,
M.
C.;
mática.
4.
dências
em
PENTEADO,
ed.
Belo
M.
G.
Horizonte:
Informática
Autêntica,
e
Educação
2010.
Mate-
(Coleção
sobre
a
brasileiro,
indicando
a
trajetó-
______. Currículos de Matemática : da organização linear à ideia
u tilização
da
info rmática
na
rede.
levando
em
consideração
as
São
Paulo:
FTD,
2000.
E duca ção Essa
matemática,
cenário
matemática). de
Abordagem
no
Ten-
Educação
educacionais
ria dos documentos curriculares oficiais.
dificul dades
obra
analisa
as
organizações
curriculares
(mais
recentes
enpara o ensino da Matemática) formuladas em diferentes países
contradas
por
profes s o res
para
a
utilização
des se
rec urso e,
em
suas
aulas
como
ins tr umento
de
em
par ticular,
no
Brasil.
Aponta
novos
e
possíveis
caminhos
en s in o. para as discussões sobre a proposta educacional da escola, so-
bre COLL,
C.;
MONEREO,
C.
Psicologia
da
educação
vir tual
n
n
aprender
ção.
Por to
com
as
Alegre:
tecnologias
Ar tmed,
da
informação
e
da
planejamento,
avaliação
e
para
a
organização
dos
currícu-
r
los e
de
Matemática.
comunica-
2010.
Didática Apresenta
mação
e
e
uma
da
análise
do
Comunicação
impacto
( TIC)
das
sobre
Tecnologias
os
processos
da
de
Infor-
ensino
DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas de Matemática
São
aprendizagem.
Paulo:
Enfoca
MORAN,
J.
M.
A
educação
que
desejamos :
novos
desafios
a
Ática,
chegar
lá.
4.
ed.
Campinas,
SP:
Papirus,
da
res olução
de
probl emas
co mo
u ma
e metodolo gia
como
2000.
didática
de
en s ino.
2009.
PARRA, C.; SAIZ, I. (Orgs.).
Didática da Matemática : reflexões psi-
O autor apresenta um paralelo entre a educação que temos e a
copedagógicas.
Por to
Alegre:
Ar tmed,
1996.
que desejamos, mostrando as tendências para um novo mode -
Traz
ar tigos
de
alguns
autores
que
desenvolvem
pesquisas
lo de ensino. A obra analisa principalmente as mudanças que as
no
campo
da
didática
e
enfocam
diversas
situações
relacio -
tecnologias trazem para a educação.
nadas
gias
a
de
conteúdos
matemáticos
e
suas
possíveis
metodolo -
ensino.
História da Matemática
BOYER,
São
C.
B.
Paulo:
História da Matemática . Trad.
Blucher,
Helena
Castro.
3.
ed.
2012. FIORENTINI, D.
A
ra
mostra
como
a
Matemática
se
nv
veu
Formação de profissionais de Matemática . Campi-
suas nas, SP: Mercado de Letras, 2009.
origens
e
a
história
da
relação
da
humanidade
com
números, O
formas
e
padrões.
Nessa
edição
de
2012,
apresenta
ainda
leitor
verá,
nessa
obra,
que
a
tentativa
de
utilizar
as
Tecnolo-
uma gias de Informação e Comunicação na formação de professores
cobertura
atualizada
de
tópicos
como
o
último
teorema
de e
Fermat
e
a
conjectura
e
Poincaré,
a
ém
e
avanços
no
xivo
em
áreas
como
teoria
dos
grupos
finitos
e
ensino
da
Matemática,
em
um
ambiente
de
trabalho
refle-
recentes
demonstrações
e
investigativo,
pode
trazer
mudanças
profundas
à
forma-
com ção e à cultura docente.
o auxílio docomputador. PERRENOUD,
EVES,
H.
Domin
Essa
Introdução
ues.
obra
à
história
Campinas,
aborda
a
SP:
da
Matemática .
Unicamp,
história
de
Trad.
Hygino
sinar
H.
matemáticos,
Ar tmed,
indi-
Essa
cando como se deu o surgimento de determinados conteúdos
e
sua
significância
P . ; THURLER,
século
XXI:
a
M.
G.
formação
et
al.
dos
As competências para en-
professores
e
o
desafio
da
avaliação. Trad. Cláudia Schilling e Fátima Murad. Por to Alegre:
1995.
conteúdos
no
2002.
obra
avaliação
cultural.
apresenta
e
a
forma
uma
como
reflexão
é
vista
sobre
por
os
procedimentos
professores
e
pelo
de
próprio
sistema educacional, além de uma discussão de como de fato de-
ROONEY,
A.
A
hist
ri
M
t
m
tic
:
desde
a
criação
das
pi-
Books
do
veria
râmides
até
a
exploração
do
infinito.
São
Paulo:
M.
ocorrer
o
processo
de
avaliação,
bem como
seus
objetivos.
Todas essas reflexões são abordadas em torno da questão da for-
Brasil,
2012. mação de professores.
Essa obra apresenta a história da Matemática fartamente ilustra-
SHULMAN,
L.
S.
Conocimiento
y
enseñanza:
fundamentos
de
da. Ela está dividida em nove capítulos e apresenta personalidala
nueva
reforma.
Revista
de
currículum
y
formación
del
profe-
des como Euclides, Napier, Leibniz, Riemann e outros. sorado.
9,
2
(2005).
Disponível
em:
<www.ugr.es/~recfpro/re
ROQUE, T. História da Matemática : uma visão crítica, desfazendo
v92ART1.pdf >. Acesso em: 25
mitos e lendas. Rio de Janeiro: Zahar, 2012.
Nesse artigo, são abordadas as três vertentes necessárias ao co-
fev.
2016.
A obra apresenta um olhar crítico sobre o modo como a história
nhecimento
da
ensinar: o conhecimento didático da disciplina, o conhecimento
Matemática
dando
os
tem
sistemas
sido
matemáticos
potâmia até o século XIX.
240
contada
Guia do professor
ao
longo
dos
desenvolvidos
tempos,
desde
a
abor-
Meso-
do
do
conteúdo
e
professor
o
quanto
conhecimento
ao
conteúdo
curricular.
O
da
autor
disciplina
salienta
a
que
não basta o professor dominar o conteúdo de sua disciplina.
<www.cempem.fae.unicamp.br>
Site PISA 2006. Estrutura
a ava
iação: con
imentos e
i
do
Centro
Matemática, em
Ciências,
Leitura
e
Matemática.
São
Paulo:
Moderna,
a
estrutura
do
Programa
Internacional
para
Matemática,
bem
desenvolvimento
como
da
sua
organização
e
as
revista
diretrizes
do
Por tal
da
Educação/Secretaria
Orientações
curriculares
de
Educação
para
o
Pesquisa
aos
em
índices
Educação
dos
volumes
Ensino
educacional
de
outros
do
e
es tado
tes es
rec u r s o s
do
em
para
Paraná,
to das
as
auxiliar
o
disp o n ibiliza
á reas
da
a r ti-
edu ca ção,
profes so r.
<www.furb.br/cremm/por tugues/index.php>
Média Site
Tecnológica.
e
e
Zetetiké
disser tações
além
e
resumos
conteudo.php?conteudo=3>
avaliação.
Publicações oficiais
BRASIL. Ministério
Memória
aos
< w w w. e d u c a d o r e s . d i a a d i a . p r. g o v. b r / m o d u l e s / c o n t e u d o /
gos,
Estudos
acesso
Avalia-
ção de Alunos com relação aos conteúdos de Ciências, Leitura
e
dá
2007.
da Apresenta
de
i
do
Centro
de
referência
de
modelagem
matemática
no
Médio ensino,
disponibiliza
informações
sobre
livros,
trabalhos
aca-
(Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias). Brasília: dêmicos,
MEC/SEB,
2006.
v.
Esse
volume
apresenta
orientações
para
a
área
de
Ciências
<www.gi
Matemática
e
suas
tecnologias.
Tais
orientações
mat
site
em
elaboradas
sala
de
para
aula
Parâmetros
auxiliar
frente
a
Curriculares
professores
determinados
em
sua
temas
eletrônicas.
ome_0.
materiais
tm
de
>
apoio
por
tema,
jogos,
testes
para
on -
o
e
ine
Ensino
Médio
softwares
metodologia
presentes
nos
<www.mat.uc.pt/~jaimecs/indexem.html>
Nesse
Nacionais.
site
da
é
possível
acessar
Matemática
em
documentos
todos
os
de
interesse
para
o
níveis.
BRASIL. Ministério da Educação/Secretaria de Educação Básica.
Explorando
o
ensino
da
Matemática :
ar tigos.
Brasília:
<www.periodicos.capes.gov.br>
MEC/SEB,
ite 2004.
v.
Esse
da
documento
apresenta
ar tigos
divididos
nos
seguintes
Nível
Números,
Geometria,
História,
Álgebra
e
Ensino.
Tem
levar
professores
a
aprofundar
seus
podem
ser
utilizados
em
sala
de
aula,
os
temas
na
elaboração
ou,
ainda,
ser vir
de
incentivo
para
a
reflexão
Educação/Secretaria
de
de
Educação
Parâmetros
Brasília,
Curriculares
de
di-
da
Revista
todas
Nacionais
para
as
Eletrônica
edi
ões
de
Educação
Matemática ,
traz
ar tigos
publicadas.
softwares,
atividades,
ar tigos
e
links
de
interesse
para
Média
o
professor
de
Matemática.
Ensino
<www.ime.usp.br/lem/>
2002. Site do Laboratório de Ensino de Matemática, objetiva di
Os
Pessoal
eriódicos
<www.edumatec.mat.ufrgs.br>
o
Tecnológica.
a
sobre
da
consulta
assuntos.
Oferece
Médio.
Aper feiçoamento
a
de
abordados.
BRASIL. Ministério
e
de
onibiliza
de atividades
dis
conhecimentos,
Site que
(Coordenação
erior),
por
objetivo
Su
eiversos
xos:
Capes
3. de
r/
fo-
ensino
revistas
disponibiliza
apresentados ram
e
s.mat.
da Esse
Natureza,
ar tigos
3.
Parâmetros
Curriculares
Nacionais
apresentam
undir o
orientações ensino
de
Matemática
por
meio
do
computador,
traz
s
twares
e sugestões ao trabalho docente, que implicam o trabalho com educacionais, apostilas e in a
interdisciplinaridade
e
os
temas
transversais.
Tratando
tam-
bém
a
diversidade
da
sala
de
aula
e
o
trabalho
com
recursos
Site de
tecnologia,
os
conteúdos
são
organizados
em
eixos
da
Rede
Interativa Vir tual
Esse
eletrônico
no
documento
pode
ser
encontrado
em
do
Ministério
da
Educação
e
Cultura
BRASIL.
Ministério
Tecno
da
Educação/Secretaria
PCN1:
ógica.
Ensino
Médio,
de
Educação
orientações
aos
Parâmetros
Curriculares
Nacionais.
de
documento,
Brasília,
ões
de
o
professor
conteúdos
a
pode
encontrar
serem
trabalhados
para
sala
objetos
de
ao desenvolvi
atividades
pelo
professor
em
sala
de
aula.
da
Sociedade
Brasileira
informações
referências
por
sobre
de
Educação
eventos
Matemática,
regionais,
disponi-
nacionais
e
inter-
2002.
ano,
na
área
de
Educação
matemática.
e
orienta
oferece
apoio
Média
nacionais
Nesse
de
complemen biliza
tares
Educação,
temas
<www.sbembrasil.org.br/sbembrasil/>
Site e
diferentes
(MEC).
de
formato
mento site
de
estru-
aprendizagem turadores.
ormações nessa área.
< w w w. s c i e l o . b r / s c i e l o . p h p ? s c r i p t = s c i _ h o m e & l n g = p t &
bem
nrm=i como
sugestões
de
trabalho
a
de
aula.
Disponibiliza
SÃO
PAULO
(Estado).
Secretaria
da
Educação
do
Estado.
áreas
posta
Curricular
Maria
Inês
Fini.
do
São
Estado
Paulo,
de
São
Paulo :
Matemática.
ar tigos
em
diversos
periódicos
nas
mais
variadas
Prode
interesse.
Coord.
2008.
Revistas e periódicos Esse
os
documento
Parâmetros
caderno
balho
em
versão
cação
do
foi
elaborado
Curricu
professor
aula
que
eletrônica
está
disponível
Estado
Sites e ar t
de
São
em
Nacionais,
atividades
de
do
sala
ares
levando
com
constam
porém
as
caderno
site
da
diretrizes
apresenta
orientações
no
no
conta
do
para
no
o
tra-
aluno.
Sua
Secretaria
da
BOLEMA.
O
Rio
BOLEMA
antigos
e
Claro:
Depar tamento
(Boletim
de
impor tantes
Educação
periódicos
de
Matemática
Matemática)
da
área
de
é
da
um
Unesp.
dos
Educação
mais
mate -
mática do Brasil. Dissemina a produção científica em Educação
Edu-
Paulo.
os para download
matemática
e
resumos
disser tações
de
áreas
aprendizagem
da
Educação
de
afins,
publica
e
teses
Matemática
matemática
na
ar tigos,
com
e/ou
ensaios,
destaque
ao
papel
da
ao
resenhas
ensino
e
e
à
Matemática
e
sociedade.
o
O
ra
Comitê
do
Científico
Brasil)
do
19
disponibilizam
COLE
os
e
a
anais
ALB
das
(Associação
últimas
de
Leitu-
realizações
do
Congresso de Leitura do Brasil (Cole), que possui um eixo especí-
Boletim
em
GEPEM.
Educação
Rio
de
Janeiro:
Grupo
de
Estudos
e
Pesquisas
Matemática.
Publicação do Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Ma-
fico de Educação matemática. Assim, o professor pode encontrar
temática
artigos de seu interesse para aprofundar seus conhecimentos.
tra
a
os
da
e
Universidade
pesquisa
em
Federal
E
do
ucação
Rio
de
Janeiro,
divulga
matemática.
Guia do professor
241
estratégias
Cadernos
do
CEM.
São
Paulo:
Centro
de
Educação
empregadas
para
solucionar
cada
situação.
Traz
Matemática
atividades
e
respostas.
(CEM).
Publicação do Centro de Educação Matemática, tem por obje -
tivo
veicular
trabalhos
na
área
de
Educação
Matemágica :
Fausto
matemática.
O
Cálculo.
São
Paulo:
autor
revista
apresenta,
explora
em
inguagem
simp
es
e
acessíve
,
em
histórias,
desa
ios,
rases
e
até
piadas
Educação
(SBEM),
ção
e
alguns
curiosi
áreas,
fatos
a
Matemática
da
traz
em
Revista.
Sociedade
ar tigos
que
vários
Brasileira
abordam
didática
de
Educação
pesquisas
na
Matemática
es
área
de
Educa-
Educação
entre
a
Matemática
2009.
e
suas
de
v. I.
como
Biologia,
Física
e
Ar te.
aplica-
Aborda
da
história
iver ti
os
e
da
Matemática
interessantes.
e
A
propõe
jo-
inguagem
P
-graduados
cação
área.
do
trabalhos
estrutura
Pesquisa.
em
da
São
Educação
Programa
matemática
Os
de
e
Paulo:
PUC/SP ,
de
aos
de
pesquisas
temas:
A
em
científicas
da
Matemática
na
professores;
Didática
da
Matemática,
além
de
os
e
alunos
e
História,
Nessa
que
Epis-
Tecnologias
obra,
ber tas
do
Didática
Professor
da
é
da
aula.
caos,
o
Das
livro
desenvolvidas
antigas
informa
por
gregos,
de
escritas
sobre
o
egípcios,
de
e
professores.
de
Malba Tahan.
Rio
de
Janeiro:
o
autor
relata
matemáticas.
surpreendem
Prof.
Júlio
Traz
pela
César
casos
ainda
ilusão
de
curiosos
de
Mello
sobre
enigmas,
e
óptica.
Souza,
fatos
e
problemas
O
livro
mais
é
e
um
desco-
figuras
clássico
conhecido
Malba Tahan.
Uma
leitura
que
amplia
o
pelo
universo
Matemática.
conhecimentos
e,
ao
mesmo
tempo,
diver te.
Matemática.
Publicação
de
enriquecimento
da
de Revista
técnicas
sala
do
o
2009.
pseudônimo Informação
as
em
teoria
Matemática diver tida e curiosa ,
Record,
Edu-
do e
vistos
moderna
favorecendo
Estu-
Pós-graduados
divulga
Formação
Programa
Matemática.
Estudos
relacionam-se
curricular
temologia
objetiva,
árabes e maias, entre outros povos. Uma leitura indicados para
Matemática
Publicação
à
pensamento
matemática.
e
conteúdos
secretas
todos
relações
matemático s,
Pap iru s,
Matemática.
Publicação
jo g os
SP:
en-
clara,
e
Campinas,
relacionadas gos
à
as
diversas
também trevistas,
a p licaçõ es
Sam paio.
Segmento. ções
A
hi s tó r i a ,
Arnaud
Sociedade
Brasileira
de
Matemática
(SBM),
M a t e m á t i ca e g re g o s ,
de
Hélio
Cy r i n o.
Ca m p i n a s,
S P:
Áto m o,
é
2006. destinada
àqueles
que
ensinam
Matemática,
sobretudo
nos
O anos
finais
do
Ensino
Fundamental
e
no
Ensino
Médio.
tema
cia ar tigos
de
nível
elementar
ou
avançado
acessíveis
a
antiga.
e
a
alunos
de
cursos
de
Licenciatura
em
Campinas:
Centro
de
Estudos
Memória
e
Pesquisa
ção
da
Matemática,
matemática
Faculdade
dos
de
a
produção
docentes,
Educação
acadêmica
graduandos
da
Unicamp.
e
entre
pesquisadores
temáticos
graus
de
todos
os
história
da
Matemática
para
o
aluno,
simplificada
e
a
de
História.
de
pitagórica
Ensino
interação
educadores
inclusive
explorados
sistemas
outros.
na
Gré -
pois
da
traz
história
um
trabalho
da
interdisciplinar
Uma
Alguns
pelo
numeração
e
teorema
leitura
conteúdos
autor
são:
e
números
de
específicos
teorema
e
Ma-
razão
estudos
Álgebra,
per tinente
de
Tales,
amigos,
Pitágoras,
interessante
de
para
da
Lógica
o
aluno
e
de
Médio.
maMatemática lúdica,
de
Leon
Battista
Alber ti.
Rio
de
Janeiro:
Za-
ensino. har,
O
2006.
autor
Nessa
8.
área
escola
de
a
áurea,
em Educa-
pós-graduandos
Promove
científico-pedagógica
a
panorâmica
favorecendo
temática
divulga
é
interessante
em
matemática.
Publicação do Centro de Estudos Memória e Pesquisa em Edu-
cação
livro
leitura
Matemática.
com
Educação
do
uma
abordagem
Grécia,
Zetetiké.
É
professouma
res
principal
Publica
viveu
obra,
durante
descreve
o
e
Renascimento
explica
de
italiano
maneira
(1404-1472).
prática
como
fazer
Sugestões de leitura medições
para o a
uno
exemplo,
largura
Obras sugeridas
das
obras
pesar
indicadas
na
par te
final
do
livro
do
aluno,
as
sugestões
a
um
cargas
recursos
medir
rio;
o
“com
uma
muito
ainda
disponíveis
a
grande
pesadas;
caso
vista”
de
a
naquela
altura
de
profundidade
como
avaliar
Arquimedes
e
a
época;
uma
de
água;
grandes
coroa
por
torre;
a
como
distâncias.
de
Hieron.
O
apre -
texto sentamos
os
como
de
Explica Além
com
é
bem
traduzido
e
traz
comentários
sobre
os
casos.
Vale
seguir.
como curiosidade e ampliação de conhecimento. Favorece ati-
Desafios
e
enigmas
—
uma
forma
descontraída
de
colocar
à
vidades prova
C.
de
Por
seu
raciocínio,
Aguiar.
meio
desafios
e
de
Paulo:
texto
a
e
Novera,
mais
teoria
Niederauer
que
de
dos
outros.
e
Marla
os
estimulam
diver tem.
conhecimentos
conteúdos
aprender
como
análise
e
autores
se
a
equações,
O
autor
dar
mas
os
vista
sistemas
combinatória,
Iniciação à lógica matemática ,
Paulo:
O
zir
Nobel,
autor
o
traz
grau
de
de
de
em
tex to
sala
de
o
didático
Médio
básicas,
dificuldade,
enfrentar
242
um
Ensino
explicações
aplicação
de
tos
Alencar
Filho.
São
comprimento,
Paulo:
utiliza
um a
conteú dos
atual
criativa
pro-
diver tir.
Edgard
História.
área
Melhoramentos,
e
volume,
2006.
de
(Coleção
Kjar-
Saber
e
de
outras
instigante
v istos
de
e
ling uag em
matemáticos,
na
escola
explorar
époc as.
que
e
as
bem -humora da
explorando - o s
As sim,
f acilita
tam bém
ideias
a
tem-s e
para
do
u ma
aprendiza g em
fo ra
del a.
Co m
matemáticas,
o
de
prop o sta
de
ess e
autor
ab or-
ponto
as s un -
eito
es -
apresenta
São
medidas
antigas
e
ge o m é t r i c a s.
e
atu ais,
área,
perímetro,
volume,
ân g u lo s
2009.
utiliza
aluno
de
desesperadas :
Poskitt.
pecial
com
horrível).
de
situações
matemáticos,
Medidas
tan
exploram
criação
São
interdisciplinares
Fernanda
que
também
conjuntos,
Para
e
2008.
bem-humorado,
matemáticos
aplicação
equação,
babilidade
Juliano
resolução
envolvem
propiciam
de
um
enigmas
estratégias
que
São
de
de
no
bem
aula.
As
Guia do professor
o
objetivo
da
elaboradas
situações
possibilitando
próximo,
e
universo
que
e
são
vencer
facilita
a
para
introdu
Lógica.
A
obra
funcionais
para
organizadas
um
figuras
desafio
por
antes
compreensão
das
Newton
e
a
gravitação ,
de
Steve
Parker.
São
Paulo:
Scipione,
2007.
O
livro
aborda
gráficos
alguns
sobre
a
história
Isaac
da
Matemática,
Newton,
experimentos
e
a
trazendo
construção
invenções
das
realizados
dados
suas
pelo
bio-
teorias
e
estudioso.
É
uma
dos
miais
leitura
mais
de
informativa
impor tantes
maneira
interessante
cientistas.
objetiva
e
de
sobre
Aborda
fácil
as
ainda
ideias
as
de
séries
um
As s i m ,
bino-
compreensão.
ampliam-se
Paulo:
dobras,
Origami
5
contas
Escrituras,
é
a
e
encantos,
de
Carlos
Genova.
ozô n i o
A
e
o u t ro s.
de
dobrar
papel
( ori
5
dobrar
e
gam
5
mãos
tas
para
e
a
exercitar
relacionando - o
composição
com
à
de
proporciona
lhar
o
expressão
cérebro,
ar tística.
impor tância
interessantes
uma
maneira
a
O
ar te
livro
das
e
do
origami
explora
figuras
criativas
diver tida
e
abre
esse
dobraduras.
interessante
A
de
a t i v id a d es
o fe re ce
s o b re
b u r a co
ainda
a
inte rd i s c i p l i n a re s
chuva
na
á c id a ,
camada
de
possibilidade
de
co m
Química.
mitos
Carlini
e
verdades
Marlatt.
São
—
uma
Paulo:
história
Ática,
2010.
diferente,
(Coleção
de
De
Bea-
olho
na
ciência).
por-
A
universo,
geométricas
Drogas:
triz
papel, em japonês). Mas, além de melhorar os movimentos
das
de
obra
té r m i c a ,
São
2008.
ar te
co n h e c i m e n to s
i nve r s ã o
re a l i z a ç ã o Origami:
os
desmatamento s,
autora
ao
na
e
obra
alguns
vens,
traba-
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te,
leitor,
dos
como
desafiar
Geometria.
emprega
jovem
os
a
tex to
ficcional,
abordar
o
uso
compor tamentos
o
desejo
mor te.
atual
um
para
e
alunos
O
livro
pode
do
de
levanta
sensível
drogas
risco
experimentar
auxiliar
Ensino
de
de
e
adequado
legais
praticados
emoções
questões
professores,
e
ilegais
pelos
impor tantes
pais
e,
jo -
diferentes
para
e
a
especialmen-
Médio.
T emas transversais
Aprendendo
Horizonte:
O
ivro
Autêntica,
respeito,
outros.
reflexão
A
sobre
formação
dos
éticos ,
de
Márcia
o
que
humana
educadores.
é
ser
construção
uma
A
obra
papel
paz,
cidadania
sugestões
de
leituras
e
das
escolas
atividades
de
Maria
Aparecida
S.
Ática,
autora
dia
a
raciais.
ceitos
e
disso,
e
a
de
situações
abordar
como
luta
o
livro
põe
décadas
códigos
do
a
em
as
são
cotidiano,
as
da
teorias
práticas
e
o
estudos
conceito
de
que
no
das
Clima
e
meio
(Série
a
da
os
Por
revisto
e
dos
Meio
é
preser vação
diferença
e
outros
M.
meio
dades
nas
de
entre
da
que
em
um
urbanas
José
tempo
vida
—
Bueno
e
Conti.
clima?
inclusive
ocorrem
regiões,
que
ponto
positivo
estamos
atividades
preender
questões,
época
as
os
São
Como
a
da
enchentes
muitas
da
que
vezes,
A
Ática,
é
propostas,
assuntos
obra
que
aborda
vivem
história
que
as
Paulo:
o
clima
ões
de
do
Pontin.
as
livro
devastadoras
bastante
no
e
ciais
n i co,
na
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esgotá-los,
sobre
e
dos
mas,
na
seus
criado
para
temas
antes,
formação
direitos
e
objetiva,
respeito,
ques-
com
ser vir
em
sala
o
de
de
de
estimular
de
cidadãos
deveres.
A
apre -
possibilitando
um
compor tamento
Criança
e
do
no
Adolescente,
ética
profis-
a
que
de
São
Sônia
Paulo:
ficcional,
do
destino
dado
Tratam
a
a
autoras
lixo
esses
abordam
erado
Rios
da
os
pelas
resíduos
conser vação
riscos
Rosana
e
2013.
de
ainda
sérios
Muhringer,
as
acúmulo
reciclagem,
traz
M.
Ática,
e
pro
socie -
caminhos
ambiental
armazenagem
ambientais.
Há
e
do
a
lixo
sobre
a
quantidade
de
lixo
gerada
também
em
do
mundo,
destino
e
fontes
documentadas
Paulo:
p o l u i d o r a s,
os
e
e
Outro
objetivo
fundamentar
que
mente
os
Atual,
a
e
a
e
O
sobre
jovens
e
2009.
estudo
a
24
e
uma
várias
anos.
as
para
Meio
a
de
gera
tes
l i xo
e
outras
os
o
Arnal-
atual,
fó s s e i s,
que
uma
da
do
de
lixo.
gráficos
trabalho
apresenta
z
,
de
Essas
e
informações
infográficos,
com
também
Júlio
abo rdag em
natureza
vários
que
conteúdos
atividades.
José
Chiavenato.
da
na
e
contamin ação
.
Po s s i
abuso,
de
de
da
i
Tânia
à
abr i ndo
de
São
Paulo:
o
tra
exp lo ração
e
es pa
também
Alexandre
en ergia
o u tros
o
o
Alguns
do en ças
a
de
dos
da
q u es -
tema s
natureza,
atômica,
a
c ausa das
a ss un tos
com
in -
espec ialmente
devastação
saúde,
água
um
aula.
g uerra,
ita
da
human o,
versu s
danos
indú s t r i a
s er
s ala
pro gres so
atua
panorâmic a
pelo
c apitalis tas,
refle xão
são:
relevan -
pesq uisa
sug es tões
Mar tinelli.
de
lu-
pe l a
e
co n
ativida des.
São
Paulo:
Sci-
2007.
O livro trata de um tema extremamente atual: as redes de abuso
infantojuvenil
a té
sunto
os
co m
essen-
p ro ce s s o
i m p a c to s
de
tabelas,
matemáticos. Traz
de
pione,
r
agrotóxicos
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Redes
e
desde
f a ze r
q u e s tõ e s
de
à
t
soc iedades
teúdos
que
ambiente).
época
co m b u s t í ve i s
Joel
livro
n
faz
poluição,
Um
con-
trabalho
e
possibilidades
2007.
cratividade
violentas
sobre
Scarlato
g e re n c i a m e n to
que
livro
uso
d i s c u te m
o
16
de
O
cr
abordados
pessoas
Pormeio
pensar
(Série
acúmulo
co m o
social
de
as
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e
faz
Capuano
os
ss
pelas
São
jovens.
co m o
m
Moderna,
com-
Pedroso.
todas
geradoras
em
opor tunidade
tionamento
violência.
relevantes
pelo
Célia
preocupa
questiona
aos
Regina
lixo,
na
cidadão).
refletem
a u to re s
a t u al i d a d e,
e co n ô m i co
Jaf
Jovem
Francisco
gerados
a
livro.
e
de
Es-
controlável
opor tunidades
de
nesse
tipos
pla-
próximas?
organizado
diferentes
secas
especialmente
discutidas
bem
auxiliam
cidades:
que
as
são
Ivan
autores
assuntos
d i s s o,
que
de
reser vam
São
p ro b l e m a s
Al é m
e
lixo ,
aborda
fo n te s
e l e.
os
especia
sociedades
ao
foi
trabalho
Atual,
abordados.
grandes
vida
nicho
tex to
relevantes
o
influen-
humana —
interessam
texto
assunto
indispensável
Do
O
em
o
(Coleção
um
fic tícia,
atingem
livro
di
2007.
nos
vivendo,
obra
De cara com a violência ,
Paulo:
O
de
de
favorecem
didática
tex to
o
para
matemáticos. outras
Paulo:
assuntos.
Shayer.
de
oferecem
e
da
sustentabilidade.
são
sas
é
decorrentes
possíveis
par te
de
Por
arrasadoras
São
ambiente).
cia
Terra?
temas
discussão
auxiliem
sustentabilidade ,
blemas
Além
decifraram
Lixo
Michelle
re
precon-
família.
raça,
a
humano.
ambiente ,
Qual
neta
que
Estatuto
cidades
a
a
de
conscientes
informações 011.
para
a
que
Cidadania.
intenção
e
radioativo,
Alves.
nosso
relações
racismo,
como
dentro
meio
e
sobre
racistas
transmitidos
dos
comuns
cidadania
discussão
por
DNA
do
formação
surgiram
contra
estereótipos
últimas
dos
para
Explica
sistência
Falivene
2006.
par te
dia,
Júlia
São
sional A
de
propõe
atual,
panorâmico
trânsito, Paulo:
a
tolerantes
sentação
Bento.
autora
época
par tida
sem
trabalho de
a
a
questionamentos
e
em
grupo e individuais sobre cada um dos valores apresentados.
Cidadania em preto e branco ,
trabalho ,
transversal
aula,
contribuir para a
fundamental
livro,
ponto
para
e
2002.
para
tema
cidadania,
modificadora
busca
tões
iá ogo, respon
da
ferramenta
cidadão.
alunos,
ainda
Ética,
Copidar t,
Belo
Nesse
oferece
dos
Há
Fagundes.
e, cooperação,
solidariedade,
autora
Botelho
2006.
iscute va ores como amiza
sabilidade,
entre
valores
té c -
a m b i e nt a i s.
por
jovens,
mais
os
pais
e
comum
blogs,
operadas
meio
e
salas
acessados
de
um
pela
professores
que
de
pelos
internet.
tex to
pode
para
um
ocorrer
bate -papo
jovens.
Uma
A
ficcional
e
tipo
sem
redes
leitura
autora
que
de
que
introduz
faz
um
o
aler ta
crime
cada
percebamos,
sociais
são
fundamental
Guia do professor
as-
aos
vez
pois
facilmente
para
todos.
243
O p rofessor como coordenador de estudo
9.
T extos para reflexão
Vimos que o estudo da Matemática é uma atividade comunitária
sobre a educação e que a relação didática que se estabelece no interior da comunidade
Apresentamos a seguir o link k em que é possível acessar a proposta
de
estudo
é
uma
relação
aber ta.
Ao considerar o estudo como objetivo principal do processo dide
projetos
da
coordenadoria
de
Estudos
e
Normas
Pedagógicas
da
dático, é possível vencer a excessiva dependência dos protagonistas Secretaria
de
Educação
do
Estado
de
São
Paulo,
assim
como
alguns
com a instituição escolar. Nessa perspec tiva, o ensino deixa de ser o textos
que
certamente
contribuirão
para
o
aprimoramento do traba-
objetivo lho
pedagógico
e
da
prática
educativa
a
ser
desenvolvida
em
sala
último
e
começa
a
ter
um
papel
de
instrumento
de
apoio
de
para
o
estudo,
o
que
produz
uma
mudança
undamental
na
visão
aula e na escola.
dos
já
Proposta de projetos
papéis
não
os
é
mais
alunos
Essa
SÃO
PAULO
(Estado).
S ec retaria
da
Educa ção.
de “professor ” e
considerado
como
meros
mudança
de
de “aluno” .
somente
sujeitos
de
perspectiva
O
como
um
é
professor
aquele
processo
importante
de
Matemática
que
de
ensina,
nem
aprendizagem.
em
vários
sentidos.
Co orden ador ia Em primeiro lugar, a atividade matemática a ser desenvolvida ganha
de
Estudos
e
Norm as
Pe dag ógic as.
Água
hoje
e
sempre um destaque especial: já não aparece (nem para os alunos, nem para
consumo
sustentável.
São
Pau lo,
2004. o
Disponível
em:
professor)
como
dependente,
a
todo
momento,
da
vontade
do
e
seu
desenvolvimento
adquire
condições
próprias,
com
o
metodologia.asp>.
Aces s o
em:
1
mar.
16. alguma independência dos protagonistas.
Em segundo lugar, a visão estanque do professor como “aquele que
ensina” e
do
aluno
como “aquele
que
aprende
o
que
lhe
é
ensinado”
Estudar matemáticas: o elo perdido pode evoluir para uma visão na qual os papéis de professor e de aluno
entre o ensino e a aprendizagem
são definidos de maneira menos rígida. Embora continue existindo uma
assimetria entre ambos, aparecem novos pontos de contato, visto que Yves
Chevallard,
Mariana
Bosch
e
Josep
Gascón. agora a questão é realizar de maneira conjunta uma tarefa matemática.
Por to
Alegre:
Ar tmed,
2001.
p.
200-206. Em terceiro lugar, é produzida uma importante mudança no equi-
líbrio das responsabilidades atribuídas tradicionalmente tanto para o
professor
cada Ao
se
for mar
uma
comunidade
de
estudo
em
tor no
de
como
instante
para
qual
o
aluno.
será
a
O
professor
atividade
já
pontual
não
dos
tem
como
alunos
e
decidir
deixa
de
a
ser
um
considerado o único (e principal) responsável pela atitude, motivação e determinado
tipo
de
problema,
estabelece -se
uma
relação
didática
tarefa deles. A crescente responsabilidade do aluno permite também, entre
os
estudantes
e
o
coordenador
de
estudo.
Essa
relação
torna-
por
exemplo,
seu
trabalho
dar
sentido
e
legitimidade
a
uma
avaliação
externa
de
-se “aber ta” , ao mesmo tempo, para os alunos e para o professor. Por (isto
é,
uma
avaliação
não
elaborada
e
controlada
pelo
um lado, os alunos, geralmente, não poderão conhecer de antemão professor),
na
medida
em
que
o
estudo
de
uma
obra
matemática
se
o caminho que devem percorrer ao longo do estudo, nem entender torna mais objetivo e independente do critério do professor.
as razões pelas quais o professor os leva para esse ou aquele tipo de
problema,
Por
as
outro
abordando-os
lado,
dificuldades
o
com
professor
que
essa
ou
também
poderão
surgir
aquela
não
ao
será
longo
técnica
capaz
do
de
de
[...]
resolução.
prever
processo
de
todas
estudo
Em contrapar tida, as responsabilidades do professor como ma-
temático fiador do controle e guia de uma atividade genuinamente
matemática
o nem
as
reações
dos
alunos
diante
risco
da
aquelas Essa
dupla
aber tura
é
uma
tornam-se
“didatite” .
mais
Em
visíveis,
par ticular,
o
o
que
contribui
professor
para
deverá
diminuir
conhecer
delas.
carac terística
essencial
da
questões
que
definem
a “razão
de
ser ” das
obras
a
serem
relação
estudadas, assim como as possíveis maneiras concretas de gerar, sob entre
o
professor
de
Matemática
e
seus
alunos.
Dentre
as
coisas determinadas
que
um
professor
ensina
a
seus
alunos,
existem
algumas
que
condições,
as
principais
organizações
matemáticas
ele (tipos de problemas, técnicas, tecnologias e teorias) que constituem
conhece
e
outras
que
ignora
—
e
talvez
nunca
poderá
saber.
O a
professor
não
pode
prever
com
exatidão
o
que
o
aluno
fará,
obra
estudada.
matemáticos
tampouco
o
que
aprenderá.
De
fato,
toda
tentativa
de
Essa “reconstrução
ar tificial” dos
conhecimentos
nem
“fechar ”
a
Do
foi
mesmo
desenvolvida
modo,
o
aluno,
pela
teoria
das
na
qualidade
do
professor
situações
de
didáticas
estudante,
pode
se
relação didática pode chegar a bloquear ou enfraquecer o processo
considerar
de
terno na atividade matemática que realiza. Isso lhe proporciona maior
estudo,
com
paralisação
da
o
consequente
empobrecimento
e
até
mesmo
a
liberdade
aprendizagem.
menos
para
dependente
administrar
seu
próprio
ao
ter
estudo
e
um
referente
utilizar
ex-
meios
de
estudo complementares ao ensino, como são, por exemplo, os livros Dentre os fenômenos relacionados com a tendência de fechar a
de consulta, as pesquisas pessoais, os intercâmbios com os colegas etc. relação
didática,
podemos
destacar:
a
pouca
consideração
dada
ao
Quando se considera o estudo como o objetivo principal do procestrabalho
matemático
do
aluno
(que
não
costuma
ser
considerado so didático, torna-se muito mais fácil transferir para o aluno uma parte da
como um “verdadeiro” trabalho matemático); a concentração na aula responsabilidade matemática atribuída, hoje em dia, exclusivamente ao
das
atividades
matemáticas
do
aluno
e
sua
grande
dependência
do professor. Essa nova divisão de responsabilidades atribui ao professor o
professor;
o
papel
excessivo
que
se
atribui
ao
professor
dentro
do
denominamos
de
papel de “coordenador de estudo” , possibilita que os alunos reconheçam
processo
didático
e,
“irresponsabilidade
O
ensino,
como
em
última
instância,
matemática” dos
meio
do
o
que
o professor como “matemático” e diminui o risco da “didatite” .
alunos.
processo
didático,
não
deve
,
pretender
p
g
g
e contrato escolar controlar
de
maneira
absoluta
o
desenvolvimento
desse
processo.
A relação didática é uma relação “aber ta” . À medida que o ensino de
Matemática se organiza para tentar “fechar ” essa relação, provoca um
empobrecimento
244
da
aprendizagem
Guia do professor
matemática
dos
alunos.
As
mudanças
relação
sistema
didática,
didático
descritas
isto
é,
entre
no
item
da
relação
que
os
estudantes
anterior
se
e
são
mudanças
estabelece
o
dentro
coordenador
de
de
da
um
estudo
em relação às questões estudadas. Trata -se, por tanto, de mudanças
um
nas
sibilita o funcionamento de diferentes p rogramas — os contratos
cláusulas
Mas
o
que
contrato
estabelecida
contrato
conteúdo
do
os
geral
entre
contrato
e
uma
não
alunos
visível,
alunos
estudo.
como
o
didático
entre
mais
interações
aparece
regem
e
rege
e
o
o
todos
contrato
mesmo
os
professor.
professores,
Ao
par te
didático
quais
de
o
um
não
da
relação
primeiro,
pedagógico ,
as
tempo,
específica
aspec tos
Existe,
que
um
regula
dependem
contrato
contrato
as
do
pedagógico
mais
amplo,
o
co m
utador
d i d á t i co s
—
—
que
ue
seria
p e r m i te m
a
a
e s co l a
—,
re a l i z a ç ã o
no
de
s e n t id o
t a re f a s
de
ue
os-
específicas
de
estudo. Assim, por exemplo, o contrato pedagógico exige do aluno
uma confiança total no professor, nas decisões que ele toma, e um
re s p e i to
à
p ro fe s s o r
ao
aluno
sua
a u to r i d a d e.
uma
e
às
a te n ç ã o
suas
e
Ao
mesmo
te m p o,
re s p o n s a b i l i d a d e
co n d i çõ e s
de
também
especiais
exige
em
do
re l a ç ã o
t r a b a l h o.
contrato escolar, que governa essas instituições sociais par ticulares,
que
chamamos
de
escolas
,
p
g
g
,
Para situar esses diferentes contratos, é necessário par tir da no-
O professor para de escrever no quadro e se vira para os alunos, ção genérica de escola. A palavra escola vem, por intermédio do latim
irritado,
porque
eles
não
param
de
falar.
A
origem
do
burburinho
schola, da palavra grega skholé, que significa, na Grécia antiga, ócio,
pode mas
que
muito
rapidamente
passou
a
designar
todo
aquele
ser
encontrada
em
cada
um
dos
três
níveis
indicados.
tempo
Pode
ser
que
sejam
alunos
relativamente
indiferentes
à
insti-
livre que, fora do trabalho, era dedicado ao estudo. A noção de escola
tui remete,
então,
à
ideia
de
uma
instituição
na
qual,
ao
se
ão
escolar,
suas
atividades
normais
—
em
par ticular
do
trabalho
—
e
que
rigatória
rejeitam
pode
professor,
civilizados”
em
rela
ão
com
o
contrato
essa
escolar.
ser
que
porque
os
alunos
parece
rejeitem
o “estilo” pedagógico
menosprezá-los
ou
porque
não
tem
significa, em princípio, a obrigação de interromper suas
suficiente atividades
“não
escolaridade
do o
alunos
uma
Também pessoa podia se instruir mediante o estudo. A expressão
é,
distanciar
instituição de
isto
habituais
para
dedicar
esse
tempo
livre
para
se
autoridade
etc.
instruir.
Mas, talvez, o burburinho seja resposta a uma ruptura do contrato
didático por par te do professor: talvez esteja resolvendo o problema
,
g
ç
com
Quando se estabeleceu a obrigatoriedade da instrução, o objetivo
era impor um tempo de escolaridade — de “ócio estudioso” — àquelas
crianças
que
Hoje
trabalhavam
em
dia,
a
o
dia
instrução
todo
no
campo
obrigatória
ou
na
fábrica.
(entendida
de
um
em
relação
ponto
aulas
período
fissionais,
de
tempo
acompanhando
para
renovar
cursos
de
seus
conhecimentos
formação.
Para
a
maioria
pro-
dos
profissionais, a obrigação de “ir à escola” ou de “voltar à escola” parece
que
tende
a
se
estender
para
toda
a
vida
ativa
da
pessoa.
O
concreta
seria
a
uma
escola
para
os
talvez,
aja
próprios
esta
é
a
é
conhecem;
deverão
como
se
os
mais
surgir
acionado
ou
fazer
etc.
sala
de
quando,
que
si
não
mesmos
tivessem
A
frequente
em
ainda
por
alunos
desconhecem
origem
costumam
didático
não
alunos
cer tas
obser vação
dos
de
burburinhos
aula.
sob
a
coordenação
do
ara estudá-la e a apreende. A passagem do
contrato
eda-
e
aluno)
se
transforma
realmente
em
uma
relação
entre
três: o aluno, a obra a ser estudada e o professor como coordenador
de
vai
ou,
que
alunos
gógico para o contrato didático acontece quando a relação entre dois
que,
atividades “normais” ,
os
que
eles
que
contrato
o
professor, o aluno entra, verdadeiramente, em contato com uma obra
posição genérica do aluno: nesse sentido, o aluno é toda aquela pessoa
suas
que
isso;
que
mostra
(professor
É o contrato escolar r aquele que, ao definir a escola, define também a
interrompendo
a
espontâneos,
adultos, que devem cada vez mais interromper seu trabalho durante
cur to
técnica
claramente
informações
de vista mais profissional ou ético do que legal) também envolve os
um
uma
mostra
estudo.
o
se instruir; uma pessoa se transforma em aluno ao entrar na escola. Na
adequado,
realidade, pelo fato de ser aluno, pode fazer muitas coisas que não po-
tipo
deriam ser feitas em situação normal. A escola proporciona aos alunos
Se
retomarmos
programa
de
de
permite
a
metáfora
computador
realizar
anterior,
que,
tarefas
em
um
concretas
o
contrato
sistema
(embora
didático
operacional
não
qualquer
tarefa).
Vemos,
então,
que
o
co ntrato
didático
somente
pode
exis tir
um salvo-conduto para ter acesso de maneira legítima a certas obras
quando existe um contrato pedagógico e, mais do que isso, quan-
da sociedade que normalmente não lhes são acessíveis. Por exemplo,
do existe um contrato escolar. Na realidade, o contrato escolar e o
um
contrato
um
cidadão
lojista
alunos
os
do
qualquer
do
bairro
Ensino
problemas
não
sobre
pode,
sua
mais
atividade
Fundamental,
dos
sem
que
comerciantes
na
nem
menos,
comercial.
tem
de
gestão
fazer
do
Mas
um
I.V.A
entrevistar
um
grupo
trabalho
[imposto
de
sobre
sobre
o
são
didáticos
nados
valor acrescentado — em Portugal], fica automaticamente legitimado
para
realizar
esco
a, muitas crianças não po
de
Mozart,
essa
entrevista.
porque
se
Do
mesmo
modo,
sem
a
mediação
eriam nunca ter acesso à o
interessar
por
essa
obra
poderia
da
ra musica
parecer
algo
pe dagógico,
interpretados,
possívei s ,
pela
Pode
obra
a
m ediante
afetam
em
embora
ser
acontecer,
seu
conteúdo
grande
estes
par te
sejam
e
os
a
m a n eir a
tip os
de
co mo
contratos
pr inc ipalmente
d e te r m i-
estudada.
por
exemplo,
que
o
aluno
não
aceite
bem
o
contrato escolar, porque não entende bem as razões de ser da escola.
Mas, mesmo assim, pode ser também que aceite, ao mesmo tempo,
o contrato pedagógico que o aproxima desse ou daquele professor:
ilegítimo em seu meio social. A posição de aluno proporciona, talvez,
o
mais
gostado que fazem na escola. Também pode acontecer que o aluno
liberdade
sociais
e
que
culturais
é produtora de
E n t ã o,
nenhuma
de
seu
outra
meio:
posição
em
paradoxalmente,
relação
a
às
normas
obrigação
escolar
liberdade
para
te r
aluno gosta
se
envolva
contrato
a ce s s o
a
essas
ob ras,
a
es col a
p ro p o rc i o n a
a
com
o
de
com
estar
prazer
pedagógico,
professor
para
com
no
que
ter
seu
professor
contrato
faz
com
acesso
às
ou
escolar,
que
ele
obras
a
professora,
mas
não
dependa
serem
mas
aceite
de
sua
não
bem
o
relação
estudadas.
seus alunos alguns “guias” — os professores — para que desempe -
Muitos “movimentos inovadores” tentam, sobretudo, modificar o
“pedagogo” originalmen-
contrato pedagógico ou o contrato escolar, com o objetivo de tornar
te
d e s i gn av a ,
aluno
aqui
para
para
co n d u z i r
a
na
G ré c i a
e s col a
d e s i gn a r
o
aluno
às
e
o
antiga,
lhe
ser via
p ro fe s s o r
o b ra s
o
que
e s c r avo
de
co nd u z i a
p re ce p to r.
co m o
ele
que
d e ve
a
Nós
pessoa
e s t u d a r.
a
o
j ove m
utilizamos
e n c a r re g a d a
O
co n t ra t o
de
p ed a -
viáveis
determinados
de
computador
um
melhor
ainda
gramas
eficazes
gógico regula, então, os aspec tos gerais que afetam o ambiente de
Sem
estudo, isto é, os aspec tos não específicos da o bra a s er estu dada.
pedagógico
O
pedra
co nt rato
p e d a g ó gi co
se
p a re ce
co m
o
s i s te m a
o p e r a c i o n al
de
esquecer
de
e
deixa
a
o
toque
contratos
mais
em
para
a
didáticos.
potente
aber to
o
realização
ou
de
toda
a
cabe
um
problema
de
interdependência,
didático),
Mas
com
sabemos
sistema
da
construção
determinados
entre
lembrar
organização
os
que
três
o
que
tipos
níveis
contrato
dispor
operacional
de
(o
de
pro-
tarefas.
escolar,
didático
escolar.
Guia do professor
245
é
o
a
porque
Meu Professor de Matemática
fazia
tudo
de
modo
mais
simples
e
claro.
E
depois,
mesmo
que quisesse adotar um deles, isto seria incompatível com seu hábito
e outras histórias de dar todo o programa, principalmente no chamado “curso colegial” .
Elon
Lages
Lima.
Rio
de
Janeiro:
de
Sociedade
Matemática,
Um teorema: Por um ponto dado numa reta passa uma e somente
Brasileira
1991.
p.
4-6.
uma perpendicular a essa reta
D
A
ele
M atemática
um
ensinada
conjunto
chamava
de
de
por
regras
método
e
Benedito
receitas
“ou
crê
ou
de
M orais*
válidas
por
mor re”)
não
era
decreto
nem
ape -
(o
que
tampouco
NOSLIDA
[...]
nas
E
OCCES
Meu Professor de Matemática
um C
sistema
dedutivo
formal,
vazio
de
significado.
Era
qualquer
coisa
D e m o n s t ra ç ã o :
Pe l o
ponto
C
da
AB
re t a
,
tracemos
uma
bem próxima da realidade e das aplicações, porém organizada com
semirreta definições,
exemplos
e
demonstrações.
Algumas
dessas
aber tamente
para
a
experiência
intuitiva
e
cer tas
demonstrações
contidos
tinha
tas,
o
nos
também
axiomas.
grande
próximas
mérito
da
Isto
de
ao
errado:
nunca
subtraiu
dividiu
por
número
torno
ze ro
e
cer tos
estaria
Devo
não
deixar
óbvios
disposto
a
e
um
então
ponto
em
não
Para
e
a
respeito
do
maior
com
clareza,
tira
Números
espécie
Medir
de
suas
mas
concre -
eventuais
fundamentalmente
sentido,
nunca
re a l
cavalo
batalha
que
de
qualquer
chamada
de
um
núm e r o
circunferência,
vejamos
e
um
suas
inteiro
é
tem
sem
da
Se
é
exemplo
au
o
mais
grandeza
unidade.
a
Caso
racional
as,
u n i d a d e.
a
unidade,
e
a
sua
o
diâmetro
diagonal
algumas
e
a
resultado
de
de
se
maiores
nem
sobre
geralmente,
definição
o
de
compará-la
uma
como
A
a
outro
o.
medida
a
um
é
um
e
B
de
dizem-se
uma
resultados
de
de
CD
girar
seta,
CE
até
vemos
na
ficar
a
CD
semirreta
que
qual
CE
menor
os
o
dois
do
ângulo
em
D
A
é
perpendicular
DCA C .
ângulos,
torno
do
aumenta
ACE
AB
Logo,
e
ECB,
deve
são
ponto
o
C C,
enquanto
haver
iguais.
uma
Então,
. Em qualquer outra posição
ECA C , DCB, ou então DCB
qualquer caso, os dois ângulos,
não
que
é perpendicular a
, ou teremos DCA C
ECB , DCA C . Em
DCA C e DCB, são diferentes; logo
CD
AB
a
Como aluno do terceiro ano ginasial, esta demonstração me satis-
fez plenamente. Mais do que isso: além de sua elegância, nela eu via um
M ais
tarde,
ao
pros s eg u ir
os
estudos,
me
dis seram
qu e
es ta
demonstração estava erra da porque s e baseava na ideia de movi-
mento
exata-
diz-se
número
são
que
B
também
uma
e
na
hipótese
de
continuidade
da
grandeza
ângu l o,
coisa s
Exemplos:
o
de
sentido,
bancário,
se
admitir am
no
c u i d a d o s a m e n te
utilizadas
A
em
cr ítica
início
da
discutidas
teo r i a,
a n te s,
cois a s
logo
qu e
não
não
tin h am
poderiam
ser
demonstra ções.
acima
ser ia
válida
se
consideráss emos
a
G eo metr ia
como um sistema lógico - dedutivo, onde é feita uma lista completa
dos
axiomas
qual
se
dão
segundo
e
os
tal
atitude
S ecundária.
co nceito s
as
A
da
e
se
i m p e c áve i s
G e o m e t r i a” ,
não
bás ico s
def iniçõ es
p a d rõ e s
“Fundamentos
uma
dos
todas
tem
o
de
menor
demo ns tr ação
ali
n ão
defin idos,
provam
da
to das
lógica
H ilber t.
a
a
no
de
da
Co m o
nos
porém,
que
âmb ito
final ida de
par tir
a f irm a çõ es,
fo r m a l.
Acontece,
cabimento
tem
as
da
Escola
co nven cer
o
aluno por meio de argumentos precisos e claros, os quais poderão
lado
eventualmente valer-se de fatos aceitáveis (ainda que não explici-
Para
positivo
corrente
que
com
i n co m e n s u r áve i s ;
incomensuráveis.
noção
saldo
Um
co m e n s u r áve l
i n c o m e n s u r á ve l
irracional.
são
A e B dizem-se
incomensuráveis.
gra n d e z a s
também
temperatura,
é
tais
de
mesma
contida
vezes,
grandeza
grandeza
q u a d ra d o
há
(Exemplos:
A
uma
circunferência
grandezas,
negativo.
da
por definição,
sido
contagem
outra
está
de
e
recor
uma
com
grandeza
as
B, então as grandezas
medida
Quando
de
Fazendo
diminui
posição
exatamente
tecer
reta,
segun
B, um número inteiro
contrário,
é
que
intermediário), tão marcante que ainda me lembro dos seus detalhes.
AB
exemplo:
DCB.
direção
DCB
em
aluno
múltiplo de A e A é um submúltiplo de B. Se algum submúltiplo
comensuráveis.
do
novo tipo de raciocínio (que hoje reconheço como o teorema do valor
segmento
Por
menor
o
o
discutir.
seja
B está no ex terior de uma circun-
continuidade
é também submúltiplo de
com
lógico,
bases
q u ad ra d a
fazia
DCA C
ângulo
que não constavam dos axiomas, postulados e noções fundamen
ocorrem,
uma
mente, numa grandeza
é um
da
os
Números: “Número
medidas.
essa
que
o
não
círculo.
emonstração,
objetos.
que
em
mesmo
raiz
sem
argumentos
purista
claro
nada
verdadeiros
aceitar
concluía
comum
considerações
convexidade
ele
um
do
co n s i d e ro u
Simplesmente
fatos
de
Matemática
continham
ponto A está no interior e o ponto
ferência,
a
desigualdades
jamais
negativo.
de
ginásio
rigor
mão
escandalizaria
assentar
realidade.
transgressões
lançavam
que
de
na suas
modo
definições
ângulo apelavam
de
ou
elétrica,
tamente
possam
discutidos)
ser
que
provad o s
per tençam
à
r ig oros amente
exp er iênc ia
em
c urso s
in tu itiv a
ma is
e
qu e
avan çados.
I mperdoável seria utilizar-se de sofismas, raciocínios logicamente
incor retos
ou
fatos
m atematic am ente
ab surdo s.
Es tou
afi r ma n do
altitude etc.) A medida dessas grandezas é um número relativo, isto é,
aqui que considero plenamente admissível, numa demonstração,
provido de um sinal
lançar mão de resultados verdadeiros, intuitivamente óbvios, que
N a t u r a l m e n te,
de
enxurrada,
1 ou
” .
essas
mas
n o çõ e s
intercaladas
não
com
eram
a p re s e n t ad a s
exemplos
e
assim,
explicações.
O
impor tante é notar nas definições acima uma conexão entre a Mate -
são considerados evidentes pelos alunos, mesmo que não tenham
sido
mática e a realidade, uma explicação concreta da noção de número
irracional
e
uma
qualidades
de
objetivas,
Matemática
em
nossos
varridas
do
junto
com
Foram
“Matemática
lugar
a
maioria
uma
dos
o
246
presentes
da
século
entulho
que
bons
20
e
desmitificadora.
compêndios
ter
sido
de
em
pedante
declínio
copiadas
personalidade
teorema
rigor
os
e
do
inócuo
deu
e x i s te n te
na
em
e
absolutamente
do
Assim,
estava
é
utilizarmos
pontos
a
De
re s to,
s eus
plano
errada
está,
se
a
está,
luz
não
e,
como
afinal
que
do
correto
coordenadas
é
assim
trab a l h os
de
pediu
acima
contas,
ao
e
fácil
de
car tesianas
números
demonstração
motorista,
veja
atuais.
ito
se
também
acentuado,
l o g i c a m e n te.
profis s io nais
de
que
f a ze m
os
p es quis a .
No exemplo em questão, o argumento usado para demonstrar
o
erra damente
compêndios
formalismo
hoje,
Essas
franceses
sensatamente
aqueles
pelo
indefinição
e
p a re c e m
que
substituídas
penosa
tex tos
do
direta
nos
época,
moderna”
A propósito, Bene
existentes.
honesta,
começo
m e l h o re s
continham.
da
atitude
esmiuçados
matemáticos
está
se
com
todo
o
interpretarmos
complexos.
para
está
mim
cer ta.
amigo: “Ponha
pisca-pisca
justificar
ou
estava
(Como
a
cabeça
acendendo” .
cer ta,
aquela
fora
depois
história
da
janela
Resposta: “Está,
não
está... ”)
[...]
e Morais nunca a
Recomendava-os,
Guia do professor
mas
não
os
otou nen
seguia.
Em
um
os textos
primeiro
lugar,
(*) Benedito de Morais: ex-professor de Matemática do autor, lecionou
em
Maceió.
Par te específica
3.
©
⎫
I. Atividades extras
2 x
⎬
V x
©
q
0,628
360° ⎭
O pêndulo descreve um arco de aproximadamente 0,628 m.
Ciclo trigonométrico – 4.
A
medida
do
menor
ângulo
formado
a
12
1
11
volta
pelos
ponteiros
é
igual
a
90°
1
a 2
10
Exercícios
60
3 0© ⎫
—
3
⎬ 40 1.
Deter mine
a
medida
do
raio
de
uma
circunferência
min
α
–—
8
⎭
cujo
4 a 5
comprimento
2.
Calcule,
em
é
6
m.
grau,
90
a
medida
de
5
um
arco
O
de:
a
5
menor
90°
20°
ângulo
5
70°
for mado
pelos
ponteiros
mede
70°.
3
a)
b)
rad
3
5.
a)
eixo
y
x
5 4 4 2
3.
O
pêndulo
de
60°,
e
de
sua
um
relógio
de
extremidade
comprimento
desse
parede
percorre
arco,
descreve
um
sabendo
arco
que
um
o
.
ângulo
5
eixo
Calculeo
pêndulo
5
5
5
y
tem
4
5
5
x
0,60m
de
comprimento. π
9π
origem: 5 4.
Quanto
mede
o
menor
ângulo
for mado
pelos
5
ponteiros
de
um
relógio
às
5
h
40
5
min?
y b) 5.
Em
relação
aos
eixos
x
e
y
e
em
relação
à
origem
O,
eixo
x :
en360°
contre
os
arcos
simétricos
dos
arcos
de
320°
5
40°
medida: eixo
y
4 a)
r
b)
320°
(360°
320°)
1
180°
5
220°
x or
Coloque
em
ordem
decrescente
os
valores
em :
de 1
5
3
, 3
4
5
14
220°
320°
e
,
sen
6
2
3
5 5
5
tg
6.
Como
sen
5
co
3
2
sen
2
3
5
2
4
2
6 7.
Calcule
o
valor
da
expressão 7
e
sen
1 ,
então:
sen
sen 8.
Classifique
a)
sen
b)
cos
c)
tg
em
150°
verdadeiras
sen
90°
1
ou
sen
falsas
as
expressões.
sen
2
4
5 (90°
1
60°)
5
cos
90°
1
cos
60°
5
tg
120°
1
tg
3
5
tg
1
cos
4 240°
6
60°
6
2
7.
120°
5
5
7
3
1
sen 6
3 9.
Sendo
cos
5
e
um
arco
do
QIV,
2
deter mine:
5 a)
sen
a
b)
t
a
8.
a)
Falsa,
sen 10.
Calcule
o
valor
de
y
tal
que
y
5
cos
x
1
sen
x,
pois:
150°
5
sen
90°
1
sen
60°
sabendo 3
1 o
que
tg
x
1
e
que
o
arco
x
pertence
ao
2
quadrante. 2
11.
Resolva
as
equações,
com
x
Ñ
[0,
2π].
b)
π
⎛ a)
2
sen
x
1
3
5
0
b)
3
tg
x
2 6
pois:
cos
(90°
cos
150°
1
60°)
5
cos
90°
1
cos
60°
cos
60°
⎞
2
⎝
2
Falsa,
3
5
0
⎠
5
cos
90°
1
1 1
Resoluções
2
1.
2
c
2
O
2.
a)
raio
Verdadeira,
pois:
V
mede
0,5
180°
tg
240°
tg
240°
tg
(180°
tg
240°
1
60°)
m.
π
rad
⎫
180 ⎬
5
V
rad
x
5
V
x
5
300°
5
x
3 a)
cos
a
a
5
5
sen
300°.
QIV
16
1 25
3
25
4 b)
180°
π
rad
Como
V
rad
5
3 5
a
5
2 5
V
x
108°
3
5 b)
tg
a
5
4 5
3 rad
5
sen
4 x
5
Então,
temos
⎭
5
QIV,
:SEÕÇARTSULI
⎬
3
Ñ
⎫
180
x
a
NOSLIDA
rad
Ñ
9
2
OCCES
9.
⎭
3
Então,
5
2 3
108°. 5
Guia do professor
10.
y
5
cos
x
1
sen
x ;
tg
x
5
21;
x
Ñ QII
x
sen
x
fun
ão
,
tal
que
f (x )
5
cos
⎞
x
tg
21
5
2
,
construa
o
x f
x
2
sen
x
1
cos
x
5
2
(
a
2 5
cos
Dada
x
x
2
π
⎛ 9.
sen
cos
1
2
x )
1
2
cos
x
5
1
V
2
x
5
1
V
10.
1
2
cos
cos
x
Identifique
o
quadrante
e
calcule
o
valor
da
tg
de:
5 2
2 0π b)
a)
1.230©
2 Como
x
Ñ
QII,
temos
cos
x
5
3
2 2
x 11.
2 Então,
sen
x
5
2cos
x
5
.
Dados
x
x
2
x
=
2
, faça o que se 2
2
Portanto:
2
pede.
2 y
5
y 2
5
g
0
em
um
mesmo
plano
2 cartesiano.
11.
a)
2
sen
x
b)
1
Analisando
de
3 sen
x
5
em
os
que
gráficos
f (x )
=
do
item
a,
deter mine
os
valores
g(x ).
2
3 Os
x,
arcos
cujo
seno
4
é
5
medem
ou
.
Resoluções
2
Então: 9π
2 5π 4
sen
x
5
sen
sen
x
5
sen
1.
4
a)
r ad
S
5
não
são
4
©
=
Portanto,
⎫
5
⎨
ra
3
arcos
8
são
arcos
c
ngruos.
©
côngruos.
π
π
b)
π
7π r ad
=
1
z
r ad
ra
6
6
6
3
⎞
Portanto,
5 6
são
arcos
côngruos.
3 3 0π
1 2π r ad
d) 3 arcos
cuja
r ad 8
225
3 1π
⎭ c)
Os
i
8
⎬ 3
⎩
⎛
5π
z
r ad
5
b)
⎧
9π
1 8
Portanto, 5
Portanto,
=
8
tangente
3
=
z
r ad
i
r ad
7
medem
é
5
ou 6
5
6 Portanto,
não
são
arcos
côngruos.
Assim:
x
x
1 3π
5 2. 6
π
π 2
=
a)
z
3
π 7
8
x
4
x
Portanto,
a
expressão
geral
é
π
Ñ
5 6 3
b)
Portanto,
S
⎨ ⎩
785©
⎬ 3
3
=
Logo,
65©
a
1
2
360©
expressão
z
geral
65©
é
65©
1
k
360©
k
Ñ
Z
⎭
3.
f (x )
=
2
1
sen
x
Funções trigonométricas
π
3π
0
x
π
2π
2
2
Exercícios sen
1.
Verifique
quais
dos
pares
de
arcos
a
seguir
são
2
5
0
1
côngruos. 1
sen
x
7
a)
r ad
c)
r ad y
8
6
8
6
12 b)
225©
e
2.025©
30 ra
d)
e
3
r ad
D(
f
)
=
R
f 2 2.
Represente
a
expressão
geral
dos
arcos
de
Im(
medida:
1 3π
f
)
=
Período b)
a)
785©
[1,
=
3]
2π
1
6 Amplitude
3.
Dada
a
função
,
tal
que
(x )
=
2
1
sen
x x,
construa
o
π e
4.
determine
Deter mine
o
domínio,
os
valores
a
imagem,
reais
de
o
a
período
para
que
e
a
=
1
gráfico x
π
amplitude.
exista
x
Ñ
R 1
a ta
que
sen
x
1
4.
1
=
3 3
5.
Identifique
o
quadrante
e
calcule
o
valor
do
seno
I.
de:
1
<
V
2
5
a
2 3π
1 b)
a)
4.455©
II
6
1 6.
Sendo
x
=
Portanto, 8
cos
x ,
construa
o
gráfico
de
f
e
a
<
deter
com
a
Ñ
R
5
2
23 5.
2
a)
QI
6
Deter mine
os
valores
de
a,
de
modo
que
exista
x
Ñ
R,
2 3π
⎞
sen
2a
⎛ =
⎝
x
π
1
⎞
sen
⎠
= ⎝
⎠
DA
cos
6
tal ⎛
5 que
6
NOSL
7.
OCCES
f
2
b) 8.
Identifique
o
quadrante
e
calcule
o
valor
do
cosseno
4.455©
=
12
360©
1
135©
a)
248
135©
2 b)
4
z
de:
1 5π 2.010°
s e n 1 3 5©
= 2
Guia do professor
QII
:OÃÇARTSUL
3
1 6.
11.
(
cos
a)
x
0
π
2π
3π
4π
2
x π
π
π
0
x
2π
2
3π
0
π
π
2π
2
2
2
2
x cos
1
x
0
0
1
2
1
sen
0
0
2
2
0
0
2
2
1
1
1
cos
x
1
0
x
0 2
2
2
2
2
cos
2
0
2
y y
1 g
2
f 2 π
1 0
1
2
π
3π
2
2
x
2π
0
–1
π
2π
3π
x
4π
–1 f
D(
f
)
R
Período
⎡ Im(
f
)
=
1
1
⎤
2
2
⎦
=
2π
1 Amplitude
2
= π
⎣
2
b)
=
π
k
2
2a
5 7.
1 3
2a
5
Complementos de
I.
V
2
<
a
2
4
V
3
T rigonometria 5
2a
II.
1
2
<
2
Exercícios
Portanto,
1
<
a
<
4,
a
Ñ
R 3 1.
Um
triângulo
equilátero
de
lado
medindo
cm
está
4 π
1 5π 8.
a)
2
π
1
z
Ñ
QIV inscrito
15
2
7
raio
da
em
uma
circunferência
de
raio
r.
Deter mine
o
circunferência.
= 4
4
2
2. b)
2.010©
=
26
360©
1
150©
z
150©
Ñ
Em um trapézio isósceles
MNPQ, a base maior mede 32 cm,
QII
o
lado
não
paralelo
mede
20
cm,
e
o
ângulo
entre
eles
3 cos
=
2
mede60°.
Calcule
a
medida
das
diagonais
desse
trapézio.
2
5
9. π
π
3.
3π
0
x
Sendo
x
,
calcule: 2
2
a) π
π
x 1
3π
sen
π 2
2
cossec
x
b)
cotg
x
c)
sec
x
3π
0
π
π
2
tg 4.
Simplifique
a
expressão
y
5
π
x
x
0
0
á
x
0
á
2
5.
D(
f
)
=
{x
Ñ
R
x
i
π
k
Ñ
Calcule
sec Im(
f
)
=
Período
o
valor
de
y
5
sen
x
1
4
cos
x,
sabendo
que
R
x
5
e
R
que
x
Ñ
QI.
4
=
π
6.
Sabendo
que
cotg
x
5
a
1
2
e
que
cossec
x
5
8a
1
2,
4
7.
2
deter mine
o(s)
Determine
o
em
8. π
0
π
π
3π
2
valor(es)
con
unto
de
a
solução
da
equação
2
cos
x
1
1
=
0
R
Calcule
o
valor
de
x,
0
<
x
<
2
,
tal
que:
x
2π
3
2
=
0
–2
9.
Prove
a)
f
que:
sec
(π
2
f
⎛ b)
x )
=
2sec
x
π
cossec
= sec
x
10.
4π 8π
a)
4π
1
z
Ñ
III c)
3
3
2 0π
⎞
⎛
4π
3
⎠
d)
⎞
= ⎝
3
3
360©
1
cotg
150©
z
150©
Ñ
=
©
=
tg
x
(2π
x )
=
2cotg
x
Calcule
z
⎛ a)
2 3
o
valor
de:
QII
3 ©
x )
π
⎛
⎞ b)
sen 12
5π
⎞
⎛ c)
cos ⎝
12
⎠
7π
⎞
tg 12
Guia do professor
249
:SEÕÇARTSULI
1.230©
1
⎠
10. b)
(π
3
= ⎝
tg
3
NOSLIDA
⎛
OCCES
2 2 0π
cos
x
co
1.
Aplicando
a
π
⎧
Resoluções
lei
dos
5
π
x
V
x
5
ou
⎨ 3
senos: cos
x
5
x
5
cm 2
⎩ 4
3 4
3 2r
V
r
5
0
cos
x
r
0,25
2 60°
s e n 6 0©
π
⎧ cos
π
5
x
5
x
ou
Logo, o raio da circunferência
V é
0,25
⎨ 11
cm. 5
cos x
2
2.
2
x
5
5
x 6
⎩
6
2
32
1
20
2
32
20
cos
60© No
intervalo
[0,
2π],
x
ou
vale
.
2
x
5
1.024
1
400
x
640 cm
x
5
28 9.
a)
sec
(π
2
x )
sec
x
60° Logo,
as
diagonais
medem
28
cm. 1 32
cm
1
x ) 5
5
5
x
5 3.
x
e
,
1
1 5
1
1
2
5
0
1
cos
x
3π
sen
a)
cos
2 sec
x
x
13
x
=
2
5
Portanto,
5
sec
(π
2
)
=
2
13
1
3π
2
x
b)
=
π
1
,
x
,
,
b)
temos:
2
2
π
⎛
⎞
sen
x
12 Então:
12 π
⎛ cos cot g
Portanto,
x
13
=
c o ss e c
sec
12 2
x x
sen
5
5
c)
tg
(π
x )
=
tg
x .
Usando
tg
(a
),
temos:
13
1 c)
sec
1 =
cos
x
2
x
0
1
tg
x
5
5 12
12
1
13
x
1
tg
x
1
x
0
13
Portanto,
tg 4.
y
tg
(π
1
x )
=
tg
x
sen 1
5 d) sec
x
1
) 5
2
=
5
x tg
2
tg
y
x
1
=
1
5
x
x
5
2
sen
x
0
y
y cos
x
Portanto,
x
cos
x
x
5
16
2
cos
x
1
V
sen
x
a)
sen
2
x
x )
=
2cotg
4
⎛
⎞
x
π
π
3
4
⎛
⎞
⎞
5
5 12
3
1
π
⎛ 10.
1
(2π
5
x
sec
2
x
cotg
4
x
cos
2
sen
x
tg
1
cos
2 c o tg
x
x
1 sec
5 tg
x
5.
tg
x
sen
1 x
cos
x
2
12
5
12
⎠
6 5
25
4
4
3 omo
x
Ñ
I,
x
sen
5 5
4 y
5
sen
x
1
4
cos
x
3
19
V
2
que
cotg
x
a
1
2
e
2
2
5
2
Sabemos
1 5
2
6.
2
=
cossec
x
5
8
1
2.
b)
π
⎛
co
4
2
5
⎝
1
1
cotg
x
5
cossec
2
(a
2
2)
5
8a
1
π
⎞
cos
⎠
⎝
⎠
x
1
π
⎛
⎞ 1
cos
2
V 1 1
a
1
4a
1
4
5
8a
1
2
cos
V
5
2
V
4a
a
1
3
5
0
V
a
5
3
ou
a
5
1
3
2
2
7.
2
cos
x
1
1
=
1
2
2
4
0
1 1
2
2
cos
=
2
⎛ V
c)
2
⎛
⎞
π
⎛
2π
⎧ co
x
=
⎞
tg
2
⎠
2π V
π
u 3
3
3 1
tg
V OCCES
⎨
3
6
4π co
x
=
4π
5
V
5
5
π
3
⎩
3
tg
3
1
NOSLIDA
⎫ ⎨
x
Ñ
ou
R
k
Ñ
Z⎬ ⎞
⎛ 3
⎭
:SEÕÇARTSUL
=
8
5
3
5
,
com
0
<
x
<
1
3
1
3
⎝
3
3
π
3 5
5 3
6
250
Guia do professor
5
= 6
2
⎠
D
Super fícies poligonais,
5.
A
área
do
losango
é
dada
por
A
d
5 2
círculo e áreas 130
mm
Exercícios
d
1.
Observe
ou
não.
os
polígonos
Justifique
abaixo
sua
e
verifique
se
são
regulares
resposta.
a)
c
b)
c
240
c
mm
a Pelo a
teorema
de
Pitágoras,
temos:
a
2
⎛
240
⎞
2
5
130
120 4
a
a
a
2
c
2
d
c
4
2.500
Assim,
c
V
d
10.000
V
d
100
temos:
A
2.
Deter mine
o
raio
da
circunferência
circunscrita
a
um 2
Logo, triângulo
equilátero
de
lado
medindo
5
a
área
do
losango
é
12.000
B
3.
Deter mine
triângulo
a
razão
entre
equilátero
e
as
de
medidas
um
dos
apótemas
hexágono
regular
de
um
6.
A
área
é
dada
por
A
mesma
circun
ou
120
cm
.
b
h
5
inscritos 4
na
mm
dm.
cm
3
cm
rência.
30°
4.
Deter mine
medem
5
a
área
cm
e
2
do
cm,
triângulo
entre
os
que
quais
tem
se
dois
for ma
lados
um
h
que
ângulo 7
que
mede
Cálculo 5.
O
lado
de
um
losango
mede
130
mm.
Calcule
sua
da
altura:
área, cateto a
sabendo
cm
30©
que
a
medida
de
sua
diagonal
maior
é
oposto
30
a
5
tg
240mm.
cateto a
adjacente
30
a
3 Deter mine
a
área
do
trapézio
representado
abaixo.
tg
30
h 4
3
3
5
4
3
cm 20
1 A
30°
3
5 2
3
3
20 L ogo,
a
á rea
do
t r apé z io
3
2
é
cm 3
7. 7
Usando
a
gulares,
c 7.
Quanto
mede
a
super fície
fór mula
hexagonal
cujo
lado
área
de
super fícies
poligonais
re-
do
tampo
de
uma
mesa
de
p
temos:
6
40
mede
40
6 = 120
V 2
for ma
da
cm
2
cm? c
40
3 a
3
5
5
20
3
2 8.
Para
a
apresentação
de
uma
peça
de
teatro
no
colégio,
Área foi
montado
um
palco
no
for mato
de
um
5
a
A
5
5
400
3
semicírculo.
2
Deter mine
diâmetro
a
do
área
ocupada
semicírculo
pelo
mede
palco,
10
m.
sabendo
(Use
π
que
o
400
3,14) 2
π 8.
A
área
do
palco
é
dada
8
r
por: 2
Resoluções
D 5
10
V
5
5
2
1.
O
polígono
do
item
b
é
regular,
pois
todos
os
lados
são
A
con
ruentes
e
todos
os
ân
ulos
inter nos
são
con
r
5
5
ruentes.
2
2
2
Logo,
2.
c
3
r
a
área
ocupada
pelo
palco
é
39,25
m
5 3
L ogo,
o
ra io
Introdução à
d m.
é 3
Geometria espacial r
2
a
Exercícios
1
3
3.
Razão:
5 a 6
r
3
3
3
1.
2
A
ár ea
de
c A
um
triângulo
medidas
sen
a
e
c
e
q u a l q u e r,
ângulo
b
sendo
for mado
b
passam
por
um
b)
Quantas
retas
passam
por
dois
único
ponto?
pontos
distintos?
dois
eles,
é
2.
Classifique
cada
Justifique
uma
sua
das
proposições
em
verdadeira
ou
resposta.
Então:
2
5
A
1 8
2
2
a)
Existem
b)
Por
c
Um
d)
T rês
uma
infinitas
reta
retas
passa
distintas
um
único
no
es
aço.
plano.
5 2
plano
contém
infinitos
pontos.
2
Portanto,
a
área
do
triângulo
é
2,5
cm
pontos
não
colineares
são
sempre
coplanares.
Guia do professor
251
:SEÕÇARTSULI
2
sen
por
retas
falsa. .
5
dados
questões.
Quantas
NOSLIDA
lados
de
às
a)
OCCES
4.
Responda
Classifique
oufalsa.
cada
uma
Justifique
das
sua
afir mações
em
ver dadeira
5.
resposta.
a)
Duas
retas
reversas
b)
Duas
retas
concorrentes
são
c)
Duas
retas
para
Com
base
borar
o
nas
infor mações
esquema
do
e
}
5
cidentes
4.
Dados
dois
{
},
ou
e
as,
não
então
coinci
são
possível
ela-
coplanares.
30
d)
é
W
coplanares.
são
enunciado,
abaixo.
entes,
retas
são
reversas.
paralelas
não
24
cm
cm
coin-
reversas.
planos
distintos,
e
b,
paralelos
entre
si,
W’
que
são
intercepta
que
ser
as
os
por
intersecções
feito
em
um
são
terceiro
ano,
paralelas.
Este
ß
emonstre
exercício
pode
Representando
dupla.
2
2
5
30 5.
ò
de
e
uma
que
sua
medida
do
raio
da
circunferência
por
r ,
projeção
circunferência
ortogonal
contida
W
nesse
sobre
lano,
ò
se
é
a
o
2
24
1
2
r
V
r
2
5
900
576
V
r
5
324
V
r
5
18
é Logo,
24cm
a
temos:
o
raio
da
circunferência
mede
18
cm.
centro
distância
6.
W
O
a
esquema
ao
lado
P
representa
situação. b
é
o
raio
dessa
circunferência?
C
6.
P
ao
diedro,
faces
do
pelas
traçamos
diedro.
duas
Qual
é
a
semirretas
medida
do
perpendiculares
ângulo
às
deter minado
semirretas?
65°
Resoluções
1.
a)
infinitas
2.
a)
verdadeira
b)
uma
única
reta
Considerando Dado
um
plano
a,
pelo
postulado
P3
existe
um
É
a.
Pelo
postulado
P2,
o
plano
a
tem
infinitos
1
65°
sejam
Ñ
Q
a
e
Q
Ñ
a
tais
que
Q
i
Q
2
1
É
a
temos
.
as
P
i
Q
retas
e
P
i
e
PQ
Q
PQ
.
Logo,
.
Por
pelo
Q
e
Q
não
são
os
há
V
a
A
5
B
mede
65°,
temos:
25°
os
ângulos
colinares;
logo,
C
OBA
mede
e
25°.
PBC
são
opostos
pelo
vértice,
o
Assim:
1
90°
PQ
i
PQ
.
1
25°
5
180°
b
5
65°
ponLogo,
2
modo,
ângulo
postuladoP4,
construção,
2
tosP
o
180°
Como
b
existem
5
2
ângulo P
90°
pontos. Como
Assim,
que
pontoP a
P
O
A
o
ângulo
B BPC
for mado
pelas
semirretas
mede
65°.
Desse
2
infinitas
retas
distintas
PQ
no
espaço.
n
b
falsa
Pelo
Poliedros
postulado
planos
sam
P8,
distintos
pelo
é
menos
sabemos
uma
dois
que
reta.
planos
a
intersecção
Logo,
por
uma
de
reta
dois
pas-
Exercícios
distintos.
1. c
Quantas
sabendo Pelo
de
postulado
infinitos
P2,
toda
reta
e
todo
plano
são
que
poliedro
de
convexo
vértices
é
de
igual
20
ao
de
arestas,
faces?
Calcule
o
número
de
vértices
de
um
poliedro
convexo
que
verdadeira
Pelo
postulado
minam
um
P6,
único
três
pontos
plano;
logo,
não
são
colineares
sempre
seis
faces
quadrangulares
e
10
faces
triangulares.
deter -
coplanares.
3.
Represente
uma
planificação a)
um
número
pontos.
tem
3.
tem
o
conjunto
2.
d)
faces
verdadeira
do
possível
sólido
ao
falsa
lado. Pela
um
não
b)
definição,
mesmo
são
duas
que
retas
as
são
reversas,
contenha.
Logo,
não
retas
existe
reversas
coplanares.
verdadeira
Pelo
teorema
deter minado
c)
se
plano
3,
se
ponto,
duas
elas
retas
são
concorrentes
deter minam
um
único
em
4.
soma
face
falsa
Pelo
A
teorema
2,
duas
retas
paralelas,
não
apenas
um
plano.
Como
e
da
a
medidas
medida
diagonal
retas
são
coplanares,
então
duas
retas
arestas
cada
desse
de
aresta,
um
da
cubo
é
108cm.
diagonal
de
uma
cubo.
Considere
o
paralelepípedo 83
reversas
reto-retângulo não
das
de
coincidentes, 5.
deter minam
das
Encontre
plano.
paralelas
ao
lado.
cm
Sa-
não c bendo
coincidentes
não
são
3 d)
v
r
par
rente,
e
de
a
reversas
OCCES
4.
retas
enas
não
pode
as
têm
ser
retas
paralelo,
aralelas
nenhum
ponto
reverso
não
em
ou
NOSLIDA
reta
s
Desse
:SEÕÇARTSULI
temos
r
elas
252
cm,
e
coincidentes
e
em
as
aos
comum.
6.
b
são
contida
modo,
r
interceptados
em
e
a
s
}
são
ß
e
pelo
uma
plano
reta
r
,
existe
contida
a
e
a?b,
s
s
}
r
são
são
temos
5
{
mede
eter mine
em
uma
b
}
ß
b
{
};
logo,
como
s
y
a
e
r
y
b
c
as
me
indicadas,
i-
tendo
que
são
a
proporcionais
b
números3,5e7.
Deter mine
a
embalagem
área
de
ralelepípedo
7.
}.
e
paralelas.
Guia do professor
e
total
leite
e
o
volume,
longa-vida
reto-retângulo
de
cuja
em
for ma
arestas
litro,
de
lembra
medindo
uma
um
pa-
0,95dm,
coplanares.
a
coplanares
retas
b
vista
0,65
Como
diagonal
concor -
Justificativa:
sua
ir
das Um
que
reversas.
não
têm
ponto
comum,
então
dm
e
1,7
Deter mine
gonal
e
a
área
regular
altura
15
dm.
total
cujas
cm.
e
o
volume
dimensões
são:
de
um
aresta
prisma
da
hexa
base
8
cm
8.
Encontre
o
volume
de
um
prisma
de
18
m
de
aresta
2
late-
7. ral
e
cuja
medindo
base
8
m,
é
um
base
trapézio
maior
isósceles
medindo
14
com
m
e
base
altura
A
de
4
5
6
8
5
720
15
1
2
total
menor
4
m. A
1 192
3
V
A
total
9.
Considere
uma
pirâmide
de
base
quadrada.
Calcule
5
48
1
total
a 2
medida
do
apótema
da
base
e
do
apótema
da
pirâmide,
V
15
V
V
5 1
44
3
4 sabendo
que
a
aresta
da
base
e
a
altura
da
pirâmide
2
Logo,
medem,
respectivamente,
12
cm
e
8
a
área
total
do
prisma
é
1
48
cm
e
o
cm.
3
volume 10.
Seja
uma
base
pirâmide
igual
a 12
3
regular
cm
.
de
base
Calcule
o
triangular
volume
com
dessa
área
é
1
440
cm
3
da
irâmide, 4 8.
A
cm.
V
5
A
base
5
44
base
2
11.
Calcule
a
área
da
base
de
uma
pirâmide
cuja
altura
V
é
5
44
18
V
V
5
792
3
3
10dm
12.
e
cujo
volume
é
120
Logo,
dm
Em um tetraedro regular de aresta igual a 12 cm. Determine:
a)
sua
altura.
b)
sua
área
c)
seu
9.
o
volume
do
Representando
o
prisma
é
792
m
apótema
da
base
por
m
apótema
da
pirâmide
12
volume.
6
m 2
total.
Representando
o
por
g
2
13.
A
área
da
secção
base
de
paralela
à
uma
base,
pirâmide
é
igual
exatamente
a
6
a
900
cm
do
dm
.
2
Uma
vértice,
g
2
5
2
8
1
6
V
g
5
10
tem Logo,
o
apótema
da
base
e
o
apótema
da
pirâmide
medem,
2
área
igua
a
81
cm
.
Ca
cu
e
a
a
tura
a
pirâmi
e. respectivamente,
Resoluções
6
cm
10.
e
10
cm.
V 3
3
1.
V
1
F
F
1
F
2
5
A;
2
V
20
5
V
cm
F
2F
22
V
F
11 10 base
Logo,
o
poliedro
tem
11
11.
faces.
V
V
V
A
5
36
base
2
Então, 2.
A
a
área
da
base
da
pirâmide
é
36
dm
27
2
1
16
5
Portanto,
o
7
V
5
poliedro
12.
13
tem
13
a)
Observando
a
deter minar
vértices.
figura,
o
vamos
valor
de
g
e
12
depois
3.
resposta
possível:
de
2
2
12
cm
h
2
6
g
g
g
5 h
Assim:
3
Então,
h
6
cm
12
6
A
altura
cm
5
do
tetraedro
cm
mede
cm
b)
Como
o
tetraedro
equiláteros
4.
Como
um
cubo
é
um
hexaedro,
ele
tem
12
arestas.
é
regular,
congruentes.
suas
faces
são
triângulos
Assim:
Logo: 2
12 12a
5
108
V
a
5
A
9
3
4
5
144
3
to
4
Calculando
a
diagonal
da
face
e
a
diagonal
do
cubo,
2
Logo,
obtemos,
d
respectivamente:
a
área
total
é
144
3
cm
3 2
Portanto,
cm
cada
e
a
aresta
do
cubo
mede
9
cm,
mede
a
diagonal
da
face
mede
c)
cm.
V
5
5
144
2
3
3
2
5.
b
b
a
Portanto,
2
a
c
3
83
c
a
a
c
7a e
13.
c
o
Considerando
em
(I),
144
2
cm
H
a
altura
da
pirâmide,
temos:
2
81 (II)
é
(II) 3
3
Substituindo
volume
I)
⎛
⎞ H
obtemos:
20
H
2
⎛
2
⎞
3
2
V
1
Assim,
Logo,
⎠
3
3
2
9a a
15
⎛ 5
⎞
⎝
⎠
Logo,
25a a
b
as
cm
e
5
2
1
tem
20
cm
de
altura.
15
e
c
5
medidas
21
5
6.723
V
83a a
5
6.723
V
a
5
9
21.
a
b
e
c
são,
respectivamente,
9
2
Exercícios
cm.
(0,95
Corpos redondos
cm,
0,65
1
0,95
1,7
1
0,65
Represente
a
planificação
de
um
cilindro
reto
de
4
cm
de
1,7)
altura A
e
base
com
3
cm
de
diâmetro.
Em
seguida,
calcule:
6,675 total
5
0,9
Assim,
0,6
a
área
1,7
total
5
da
super fície
do
paralelepípedo
2
-retângulo
é
6,675
dm
a)
a
área
da
b)
a
área
lateral.
base.
c)
a
d)
a
área
da
secção
meridiana.
1,0497 área
total.
reto-
3
,
e
o
volume,
1,04975
dm
2.
A
altura
de
um
cilindro
equilátero
é
20
cm.
Calcule
a
área
3
Como
1
dm
=
c,
o
volume,
em
litro,
é
1,04975
c
da
super fície
desse
cilindro.
Guia do professor
253
:SEÕÇARTSUL
V
NOSLIDA
total
OCCES
5
A
pirâmide
2
49a a
1. 6.
a
747 ⎝
Sabendo
secção
o
raio
que
a
diagonal
meridiana
da
base
de
do
do
um
quadrilátero
cilindro
cilindro
é
6
reto
cm,
que
representa
mede
20
deter mine
a
cm
e
a
3.
que
altura
e
Se
A
o
raio
é
desse
cm,
da
então
cilindro.
2
o
teorema
2
5
2
12
1
Em
de
um
cone
de
revolução
comprimento
17
m,
com
15
m
de
altura
e
diâmetro
é
meridiana
12
cm.
mede
V
geratriz
5
5
Pitágoras,
20
cm;
então,
temos:
V
h
5
400
144
V
h
5
16
2
πr
h
Portanto,
calcule:
de
2
h
2
4.
o
secção
o aplicando
volume
6
diagonal
o
V
π
8
6
cilindro
16
tem
5
16
576π
cm
de
altura
e
volume
igual
3
a)
b)
r
a
i
c)
área
da
base.
r
d)
a
r
área
a
A
altura
de
um
cone
circular
reto
é
24
cm.
Calcule
o
a)
Aplicando
base
e
o
comprimento
da
geratriz,
sabendo
que
a
2
é
e
o
volume
é
800π
15
as
áreas
lateral
e
1
temos:
r
cm 2
que
Pitágoras
2
5
17
2
r
Sabendo
de
destacado,
área
3
360π
teorema
triângulo
2
total
o
raio no
da
cm
total.
4.
5.
576π
total
de
um
cone
2
17
15
2
circular r
5
289
5
64
225 17
2
reto
são,
respectivamente,
135π
m
216π
m
,
deter mine
2
r
o
volume
desse
V
r
5
8
cone. Assim,
o
raio
é
8
m.
2
7.
Sejam
um
m
2
e
cone
e
um
cilindro
cujas
bases
são
b)
congruen-
A
5
2
πr
5
π
8
8
5
64π
base
2
tes.
Sabendo
cilindro
é
que
13
o
dm,
raio
da
base
deter mine
a
é
5
dm
altura
do
e
a
altura
cone
para
do
Logo,
que
c)
A
a
área
5
πrg
da
5
base
π
8
8
é
64π
17
5
m
1
π
lateral
os
dois
sólidos
tenham
o
mesmo
volume.
2
Então,
8.
Considere
bases
AB
o
e
trapézio
CD
ABCD
medem,
A
respectivamente,
D,
7
dm
no
e
qual
d)
as
13dm,
A
a
área
5
A
5
64π
total
e
lateral
1
136π
m
A
base
A
é
lateral
1
136π
5
200π
total
o
lado
oblíquo
volume
relação
do
ao
BQ Q
mede
sólido
lado
10
obtido
dm.
pela
Deter mine
rotação
a
área
desse
2
totaleo
trapézio
Portanto,
5.
h
5
área
de
um
círculo
máximo
de
uma
esfera
é
100π
total
24
cm
5
πr (r
a
área
da
super fície
e
o
volume
dessa
esfera.
V
1
5
g )
V
πr (r
Considere
Sobre
de
uma
essa
60©.
su
er fície
super fície
Calcule
a
foi
área
esférica
de
área
deter minado
desse
um
144π
fuso
A
área
da
super fície
a)
o
diâmetro
b)
o
comprimento
de
dessa
uma
V
dm
esférico
π
é
64π
cm
8r
5
8
5
800
10(10
L ogo,
.
g )
5
π
(I)
800π
V
2
V
Substituindo
fuso.
esfera
m
24
2
2
11.
1
V
2
10.
200π
cm
π Calcule
é
total
2
A
área
em
AD
A
9.
a
o
1
g )
ra io
r
5
(II)
5
é
100
em
(I),
360π
10
cm,
V
r
V 10
e
5
10
(II)
obtemos:
a
1
g
5
gerat r i z
36
V
mede
g
5
26
26
cm.
Deter mine:
esfera. 6.
A
5
1
π
V
πrg
5
135π
(I)
lateral
da
circunferência
máxima. A
5
πr (r
1
g )
total
c)
a
área
do
círculo
máximo.
15
πr (r
1
g )
5
m
216π
2
πr
1
πrg
5
216π
II
Resoluções Substituindo
I
em
II
:
m
2
πr 1.
1
135π
5
216π
Planificação: 2
r cm
2
5
81
r
5
81
r
5
9
2
a)
A
5
πr Substituindo
base
o
valor
de
r
em
(I),
obtemos:
2
A
5
π
8
(1,5)
5
2,25π
base
Logo,
πrg
a
área
da
5
13
π
V
g
5
13
V
g
5
1
base Aplicando
o
teorema
de
Pitágoras
no
triângulo
destacado:
2
é
2,25π
cm
2
2
15
4
cm
b)
A
5
2
5
2
9
2
1
2
h
V
2
h
5
5
12
2
15
V h
1,5
4
5
5
144
V
h
π
π
9
área
5
225
81
V
2
5 a
h
12
lateral
Logo,
2
V
2
rh
lateral
A
5
V
lateral
3
5
324π
3
2
é
12
cm
3
Logo,
o
volume
é
324π
m
2
c)
A
5
2rh
7.
secção
V
5
8
5
13
5
325
cilindro
5
A
2
1,5
4
5
12
2
secção
π 2
Logo,
a
área
da
secção
é
12
V
cm
5
V
8
5
h
V
π 5
32
π
3
d)
A
5
2
A
5
2
2,25
total
1
25h 5
325π
V
3
A
base
A
8
V
cone
V
lateral
1
12π
5
25h
5
975
V
h
5
39
16,5 Portanto,
total
a
altura
do
cone
é
39
dm,
ou
seja,
o
triplo
da
2
Logo,
a
área
total
é
16,5π
cm altura
do
cilindro.
OCCES
8. 2.
No
cilindro
equilátero,
a
altura
é
igual
a
duas
vezes
o
raio; 7
dm
20 portanto:
r
10
cm
NOSLIDA
5
A
πr
5
π
8
7
dm
A
2
1
5
1
B
π
base
10
dm
h
:SEÕÇARTSULI
5
2πrh
5
2π
8
10
20
5
400π
lateral
A
2
A
2
100
total
1
A
base
lateral
D A
5
1
400
5
600
total
2
Logo,
254
a
área
total
é
600π
Guia do professor
cm
10 h t
t
A
C 13
dm
dm
A
5
π
8
10(13
1
7)
V
10π
8
20
5
200π
⎛
2
1⎞
1
2
lateral
6.
Dada
a
matriz
M
5
,
deter mine
a
matriz X
2
5
A
π
8
13
5
169π
⎝ sabendo
⎠
que:
2
A
5 base
π
8
7
5
49π
menor
5
A
A
total
1
A
lateral
A
1
base
200π
1
1
a)
A
maior
169π
base
49π
M
X
5
I
b)
M
X
5
M
2
menor
418π
total
7. Para
ca
altura
do
2
ar
5
vo
1
ume,
primeiro
representada
2
6
π
o
tronco,
2
10
V
cu
temos
por
e
ca
cu
ar
V
h
5
64
V
h
5
h
π 1
1
1
7
8
309
5
5
Sarrus
o
valor
de
cada
0
1
2
3
4
3
3
6
9
determinante.
b)
4
7
10
5
8
11
824π
3
2
A
de
1
8
5
3
área
total
2
9.
regra
2
a)
8
8
a
pela
1
2
h
5
Logo,
Calcule
a
é
418π
dm
2
πr
3
e
o
volume
é
824π
dm
Resolu
⎛
2
πr
5
100π
es
r
5
100
r
5
⎞
10
círculo
2
5
A
4πr
b
2
5
4π
8
10
5
b
400π 1.
super fície
B
5 b
4π r V
π
4.
b
π
5 esfer a
3
3
⎝
3
b
b
⎠
41
2
Portanto,
a
área
da
super fície
esférica
é
400π
cm
e
o Aplicando
lei
de
for mação,
obtemos:
2
4. 000π volume
a
3
é
5
b
cm
1
1
5
0
b
11
5
1
1
2
5
3
5
5
12
3 5
3
5
5
13
14
2 2
10.
A
5
144π
V
2
4πr
5
144π
V
b
r
5
36
V
r
5
6
5
2
1
1
5
3
b
21
5
2
2
5
2
1
5
3
1
5
3
5
2
22
super fície
b
5
2
1
3
5
5
b
23
4
5
6
24
r 5
A
b
fuso
5
3
5
3
1
1
5
4
b
31
90°
2
5
5
4
5
7
2
5
6
32
90 2
b 2
Logo,
a
área
do
fuso
esférico
é
24π
3
5
6
b
33
34
dm 5
5
5
5
41
42
2 2
11.
a)
5
2
π
V
2
π
5
64π
V
b 5
16
V
5
5
4
1
3
5
7
b
43
5
4
4
5
12
44
super fície
Logo,
b)
C
5
o
diâmetro
2πr
5
2π
8
é
4
8
5
cm.
⎛
8π
Portanto, O
comprimento
da
2
c)
5
πr
circunferência
máxima
é8π
B
0
3
4
3
2
5
5⎞
6
4
5
6
7
5
6
7
12
5
cm.
2
5
π
8
4
5
16π
círculo
⎝
⎠
2
Assim,
a
área
do
círculo
máximo
é
16π
2.
Para
que
as
b
⎧
matrizes
sejam
iguais,
devemos
ter:
4
⎨
Matrizes e determinantes
b ⎩
Resolvendo
o
sistema,
obtemos
a
5
4
e
b
5
0.
Exercícios
3. 1.
Escreva
a
matriz
B,
confor me
lei
de
Aplicando
a
lei
de
for mação,
obtemos:
for mação: a
5
2
5
3
3
5
21
23
⎧i
j,
se
j a
B
5
)
(b i j
, 4
3
em
que
b
4
5 i j
2
5
6
32
⎨ i
j
j
⎩ 4.
2.
Deter mine
e
B
sejam
os
a
e
b
5
e
B
i 5
0
B
( (A
2⎞
a
matriz
A
j,
se
23
0
1
6
⎝
⎝
5
3
2
(a a
, 3
na
C )
A
5⎞
1
B
⎛22
A
C
B
C
2 3⎞
2
⎠
⎝
4
2
1
5
4
⎠
0
2
1
3
1
⎝
⎛ 2
5.
5
⎠
4⎞
5
⎝
2
5
⎠
j
Resolvendo se
j,
0
qual
4
⎨ i
1
⎛ 2
⎠
) j
j
1
⎛
4
5
8
Considere
a
( (A
A
⎛ 4
4⎞
3
3.
de
iguais.
⎛
A
valores
o
sistema,
temos:
j
⎩
a
Deter mine
o
elemento
que
pertence
à
2
a
linha
e
à
3
⎧3
Y
5
co⎨
a
luna
da
4.
e
o
elemento
matriz
Dadas
as
que
pertence
à
3
a
linha
e
à
2
5 coluna
A
3
⎩
4 4X
5
4M
1
2N
4
matrizes X
1
5
V
X
5
M
2
⎛
5⎞
⎛
0
2⎞
⎛ 2
N
1
4
2
5⎞
⎛ 1 A
B
5
23
0
e
C
5
0
0
X
0
⎝
3
⎠
⎝
1
6
⎠
⎝
2
1
2
1
5
2
⎠ ⎝
deter mine:
( (A
1
B )
( (A
1
5.
2
1
3
Sendo
⎛ 2
5
Y
5
3M
N
V
Y
5
3M
N
X
e
Y,
tais
deter mine
as
matri-
Y
⎛
⎞
⎝
⎠
⎛
3
5
2
Y
5
Y
5
Y
3
1 ⎝
2 2 ⎠
27 21
3
0 ⎞
1
⎠
⎞
5
⎨
⎩
1
⎞
1
que:
⎛ ⎧3
⎠
X
⎛
, 2
1
4⎞
⎝
zes
2
C ) X
0
⎞
4
⎝
2 2
⎠
Guia do professor
255
⎛
6.
a)
5
2
1
1
2
4.
⎞ ⎛
a
b
⎞
⎛
1
0
⎞
⎝
c
d
⎠
⎝
0
1
⎠
Classifique
os
sistemas
em
SPD,
SPI
ou
SI.
V 2
⎝
⎠
x
⎧ a)
y
5
y
14
x 2
⎛
2
⎛
1
0
⎞
⎝
0
1
⎠
⎧ c)
⎨
3y
5
y
5
6
⎨ x
⎩
9
⎩
5 ⎝
c
⎠
b
x
⎧ b)
y
x Igualando
⎧
as
matrizes,
temos
os
sistemas:
2a
1
⎧ (II)
⎨ a
⎩
y
5
12
⎩
5
0
5
1
5. (I)
6
⎨
Deter mine
o
valor
de
m
e
n,
de
modo
que
⎨
c ⎩
2y
⎧
5
7
tenha
⎨ Resolvendo
os
sistemas,
temos:
6
my
solução
real.
n
⎩
2
1
3
3
(I) 6.
Essa
atividade
plano
pode
cartesiano
ser
duas
feita
retas
em
r
e
dupla.
s
e
Desenhe
um
ponto
P,
em
em
um
que
2 (II)
5 2 P
3
Ñ
r
e
P
É
obtenha, 2
⎛
1
2
Logo,
X
3
1
2
5
M
2
1⎞
2
⎛
1
2
temos
⎠
os
⎛ a
b ⎞
⎝
d ⎠
c
1
5 22
1⎞
⎝
de
de
um
colega
maneira
5
a)
as
equações
das
retas
b)
as
equações
das
retas
r
c)
as
equações
das
retas
s
d)
as
equações
das
retas
e)
as
equações
das
retas
e
PQ
for mem
um
SPI.
PQ
for mem
um
SPD.
e
PQ
for mem
um
SPD.
PQ
for mem
um
SI.
r
e
PQ
for mem
um
SI.
Deter mine
seguir
1
os
seja
valores
de
a
e
b,
de
modo
que
o
sistema
homogêneo.
(II) 2
5
⎧
⎩
⎨
2
3y Resolvendo
a
5
b
1
5
e
0
os
c
e
5
d
sistemas,
temos:
5
⎩
8.
0
5
Resolva
a
equação
matricial
abaixo.
1 ⎛ 3
1⎞
⎝ 1
⎠
⎛ a ⎞
⎛ 5 ⎞
8
⎛ 1
X
Logo,
0⎞
5 ⎝ 4⎠
⎝ b ⎠
5
⎝
0
1
9.
⎠
Escalone,
a)
a)
1
resolva
x
⎧
os
1
⎨
z
sistemas
e
classifi
5
1
y
5
1
y
5
b)
⎨
ue-os.
1
x
⎧
z
5
x
z
6
x
z
2
1
2
⎩
0
1
2
4
3
⎩
4
Resoluções
3
8
0
3
1
0
1.
(3
1
12)
(
3
1
8)
3
6
9
4
7
10
8
11
5
240
a)
Sim.
Todas
b)
Não.
Apresenta
c)
ão.
resenta
d)
Sim.
1
264
300
1
231
300
288
288)
(315
1
240
1
264)
5
x
y
Todas
1
z
as
5
2m
3
2m
9
o
3
1
1
1
quais
2y
1
z
das
5
expoente
com
1.
expoente
2.
ter mo
incógnitas
valor
equações
4
abaixo
c)
4xy
d)
3x
1
são
2x
1
lineares.
3y
5
1)
2
de
x
y
x
y
o
1
m
é
método
5
6
têm
expoente
1.
5
1
V
4m
12
V
m
3
3.
adição
x
y
para
5
resolver
(I),
temos:
6 14x
⎨ 1 2x
y
x
6
⎩
Substituindo
x
3
V
3
y
5
Portanto,
S
9
5
Substituindo
8
da
⎧ V
⎨
Exercícios
x
têm
incógnita
1
⎩
a)
um
2(m
2m
Aplicando
⎧
Sistemas lineares
Verifique
uma
0
3.
1.
incógnitas
8
Logo, (231
as
10
2.
315
por
y
{(3,
x
3
=
em
3x
y
5
9,
obtemos:
0
0)}.
por
3
e
por
0
em
(II),
obtemos:
2
b)
3x
1
2y
=
7
1
2y
1
4z
1
2
2
5
0
3
⎧
⎨ 3
1
0
5
=
6
n
⎩ 2.
Determine
o
valor
de
m,
sabendo
que
o
terno
(2m,3,m
1)
Portanto, é
solução
da
equação
x
3y
1
2z
5
Para
que
valores
de
m
e
e
5
9.
1.
x 3.
n
4.
y
x 2x
5
a)
y
5
210 y
V x
y
5
x
14
y
5
4
14
solução?
Substituindo ⎧ (I)
4y
5
6
⎧2x (II)
⎨
y
y
por
4
em
x
m x
⎩
Guia do professor
5
1
4
5
5
V
x
5
1
⎨ 2y
⎩
256
e
que:
⎠
1
⎧
⎩
7.
o
P P,
sistemas:
⎨
(II)
i
⎠
7.
(I)
com
Q
V
igualdade,
⎧ (I)
,
⎞
3
⎝
Da
desenho
ponto
2 3
⎛
X
seu
um
2 3
2
M
T roque
possível,
5
⎝
b)
s.
se
5
n Portanto,
o
sistema
é
SPD.
1
y
=
5,
obtemos:
3
a
x
b)
y
6
x
V
⎨ x
y
5
y
5
212
x
⎩
⎧ V
⎨
12
y
5
0x
5
1
b)
12
⎩
Existem
fazem
infinitos
a
equação
pares
0x
1
de
0y
valores
5
de
x
e
y
que
satis
⎨
5y
1
z
=
6
2y
1
z
=
2
⎩
0. Dividimos
Portanto,
o
sistema
é
a
primeira
equação
por
2.
SPI.
⎧ x x
⎧ c)
y
5
6
x
y
5
x
⎧ V
⎨
y
5
1
x
y
5
y
a
há
nenhum
equação
⎨
0x
1
par
0y
de
=
valores
27
de
x
e
y
que
satisfaça
2
x
y
1
z
=
6
x
y
1
z
=
2
⎩
33. Substituímos
Portanto,
o
sistema
é
x
1
5
a
segunda
equação
pela
soma
dela
com
SI.
o
⎧
=
33
⎩
Não
5.
z 2
x
9
⎩
y
6
⎨
7
produto
da
primeira
Substituímos
a
por
terceira
equação
pela
soma
dela
com
pela
soma
dela
com
⎨ 1
6
5
n
o
⎩
Da
primeira
equação,
produto
da
primeira
por
3.
temos: ⎧
1 x
7
y
1
z
=
2
z
=
22
2y 2
3x
5
7
2y
V
x
5 3
Substituindo
o
valor
de
y 7y
⎨
x
na
segunda
equação,
temos:
7
1 y
y
z
=
24
2
⎩
6
n 3 Substituímos
y
1
my
5
n
V
(m
4)y
5
a
terceira a
equação
n 1 o
Para
o
sistema
ter
solução
real,
devemos
produto
da
se
unda
por
ter: 2
m
4
i
0
V
m
i
4 1
⎧ x
y
1
z
=
2
2 6.
As respostas são pessoais. No entanto, podemos observar que: 7
⎨ a)
Q
b)
Q
deve
ser
um
ponto
de
r
z
y
1
2 r z
0y ⎩ c)
PQ
não
pode
d)
PQ
deve
ser
paralela
a
s
Não ser
paralela
a
0y e)
Não
é
possível
obter
existem
1
0z
5
Como
a
4
o
sistema
5
0
V
a
2
é
=
reais
para
y
tal
que
23.
Q
Portanto,
7.
números
s
homogêneo,
S
5
{
},
e
o
sistema
é
impossível
(SI).
temos:
4
2
a
b
5
Portanto,
0
V
a
b
=
4
4
e
b
=
=
0
2
V
ou
b
a
=
=
62
4
e
Análise combinatória b
=
22.
Exercíci 8.
Escrevendo
e
o
aplicando
sistema
o
⎧ V
⎨
da
a
⎧
b
correspondente
método
adição,
à
equação
matricial
temos:
1.
Consider e
b
5 10
escolha.
b
5
posta;
uma
Cada
seis
questões
cinco
de
múltipla
alter nativas
4
portanto,
para
resolver
a
prova,
os
alunos
de
res-
deverão
⎩
assinalar 7a
Substituindo
em
3
V
2
b
Portanto
=
5
S
=
=
3a
b
{(2,
=
b
=
14
5,
V
a
=
apenas
y
⎧
Para
1
determinar
x
y
1)}.
1
x
y
o
alter nativa
número
de
por
questão.
gabaritos
possíveis
para
essa prova, o coordenador da escola decidiu montar uma
árvore
de
=
0
=
5
Escreva ⎨
uma
2
obtemos:
possibilidades.
resolução
a)
com
possui
⎨
5
⎩
9.
pr ova
questão
a
forma
outra
mais
opção
Você
considera
simples
de
de
essa
resolver
resolução
para
o
opção
de
problema?
essa
questão.
z
z
c)
Deter mine
o
número
de
gabaritos
possíveis
para
essa
⎩
prova, Conservamos
Substituímos
a
a
primeira
segunda
produto
da
primeira
por
pela
soma
dela
a
terceira
que
julgar
mais
simples.
com Uma
equação
pela
soma
dela
escola
vai
dos
disponibilizar
alunos.
Para
na
ter
inter net
acesso
as
às
notas
suas
das
notas,
com
cada a
método
2. avaliações
Substituímos
o
equação.
equação
2.
o
usando
aluno
receberá
uma
senha
diferente.
Considerando
primeira.
que y
⎧
1
escola
tem
1.200alunos
no
total,
resolva
os
itens
5
a ⎨
a
y
z
y
z
seguir.
=
a)
5
Se
a
senha
for
composta
de
3
algarismos,
será
possível
⎩
elaborar Substituímos
o
produto
da
a
terceira
segunda
equação
equação
pela
soma
dela
y
1
=
y
⎨
z
z
senha
diferente
para
cada
aluno?
com
b)
por
Se
a
resposta
tégia ⎧
uma
para
do
item
resolver
a
foi
esse
não,
pense
em
uma
estra
problema.
0
= 3.
Quantos
4.
Calcule
números
de
cinco
al
arismos
podemos
for mar?
=
⎩
Da
terceira
equação,
Substituindo
y
=
7.
E
z
por
obtemos
2
substituindo
equação,
Portanto,
obtemos
S
x
{(20,
=
7,
na
z
=
segunda
y
z
equação,
2
na
o
sistema
é
9!
valor
de
em
cada
caso.
3!
8!
(n 5
n
1
1 )! 5
b) (n
possível
Simplifique
as
expressões
420
1 )!
abaixo.
n !
e
(
a)
deter minado.
n
primeira
5.
e
5! a)
obtemos
20.
2)},
o
2.
n
1
2
b) n
n
)
(n
1
3 )!
Guia do professor
257
6.
Quantos
números
de
cinco
algarismos
distintos
podemos
7.
n
n ! 5.
n
Quantos
números
de
cinco
algarismos
distintos
ter mi-
)
8.
em
Quantos
2
podemos
n
n
1,
números
3,
5,
7,
9
de
cinco
sem
re
)
podemos
a
palavra
quantos
anagramas
b)
quantos
começam
com
C
c)
quantos
começam
com
consoante?
quantos
e)
quantos
)
quantos
Pelo
rocesso
é
De
ter minam
contêm
podemos
com
as
contêm
quantos
laterais
e
n
3
1
licativo:
for mar
9
9
27.216
8
7
números
6
27.216
com
cinco
alga-
distintos.
e
for mar?
ter minam
7.
com
O?
Pelo
processo
Logo,
com
é
base
D
letras
e
D
diferentes
de
uma
multiplicativo:
possível
cinco
for mar
8
2.668
8
7
6
números
1
5
2.668
ter minados
em
2
algarismos.
vogal?
letras
as
modos
a
multi
possível
E,
e
juntas,
E
nessa
ordem?
8.
Per mutando
P
untas?
5 !
podemos
pirâmide
os
5
cinco
4
3
algarismos
2
1
sem
repetição,
temos:
120
5
Podemos
10.
1
!
CADERNO:
a)
d
)
n
escrever
rismos Com
n
n
etição? Logo,
9.
n
n
n
algarismos
n
n
5
for mar?
6.
com
)!
n
b) nados
n
a)
for mar?
pintar
as
heptagonal,
for mar
120
números
com
algarismos
distintos.
faces
usando
9.
a)
P
5
7 !
5
7
6
5
4
3
2
1
5
5.040
7
oito
cores
diferentes,
de
tal
modo
que
as
cores
não
sejam
Logo,
podemos
for mar
5.040
anagramas.
repetidas?
b)
11.
Mara
site
precisa
na
criar
inter net.
uma
A
senha
senha
para
deve
se
ser
inscrever
composta
em
de
C
O 5
um
duas
P
4
5
3
5
5
2
5
1
4
3
2
1
5
120
5
letras
distintas,
algarismos
sem
dentre
as
repetição.
26
De
do
nosso
quantas
alfabeto,
maneiras
e
quatro
Logo,
podemos
for mar
120
anagramas.
diferentes
c) ela
ode
criar
essa
senha?
4
12.
Em
um
campeonato
de
futebol
com
apenas
um
opções:
C,
D,
R,
N
tur no, 4
P
5
4
6 !
5
4
6
5
4
3
2
1
5
2.880
6
participarão
32
times.
Quantos
jogos
serão
realizados? Logo,
13.
Em
uma
festa
de
confrater nização
entre
amigos,
podemos
for mar
2.880
anagramas.
todos d)
se
cumprimentaram
com
um
abraço.
Quantas
pessoas 3
compareceram,
sabendo
que
o
número
de
abraços
foi
opções:
A,
E,
O
105?
3
P
5
3
5
são
2.160
3
6
5
4
3
1
5
2.160
6
Logo,
anagramas.
Resoluções
e) 1.
a)
Espera-se
que
os
alunos
percebam
que
esse
não
é
DE
o
P método
de
resolução
mais
simples.
5
6
b)
Pode-se
c)
Sendo
usar
seis
o
rincí
questões
io
com
multi
multiplicativo,
4
6
podemos
5
4
3
for mar
2
1
720
5
720
anagramas.
icativo.
cinco
alter nativas
cada,
pelo f )
princípio
5
6
Logo,
DE
temos: ED
6
5
5
15.625
5
Logo, existem 15.625 gabaritos possíveis para essa prova. 2
2.
a)
Como
cípio
pode
haver
repetição
multiplicativo,
Portanto,
poderão
tas.
Como
dar
uma
a
temos:
ser
escola
de
algarismos,
10
10
elaboradas
tem
1.200
10
1.000
alunos,
5
pelo
não
será
6 !
podemos
5
8
6
for mar
5
4
3
1.440
1
5
1.440
anagramas.
prin-
10.
1.000
senhas
!
6
Logo,
distin-
Para
pintar
a
Para
pintar
as
base,
temos
faces
7 !
possível
oito
laterais,
possibilidades.
temos
7
sete
cores.
Assim:
5 5
senha
distinta
para
cada
7
aluno.
A Resposta
possível:
trêsletras;
assim,
a
senha
pode
considerando
o
ser
composta
alfabeto
com
pirâmide
pode
ser
pintada
princípio
multiplicativo,
de
26
26,
2
26
5
Pelo
princípio
ser
elaboradas
17.576
8
multiplicativo:
for mar
90.000
9
10
números
10
com
10
10
cinco
5
25
1
pode
7
criar
Sabendo
com
que
cada
em
um
um
5 8
cada
outros,
32
diferentes.
time
jogará
apenas
uma
temos:
31
5 30
5
2
496
2
8
Logo,
)
.
senhas
2
5 180
5 5
5
7
tur no
dos
32 5
C 32
n
5
3.276.000
90.000
9 ! a)
6 !
algarismos. vez
4.
6 ! 5
24 !
senhas.
12.
Podemos
7
4
17.576
poderão
Mara
3.
diferentes.
5 10,
5
Assim,
modos
24 !
!
A
temos:
6 !
26
5.760
26le !
pelo
760
de
11. tras,
5
7
n
serão
realizados
496
jogos.
(n
b)
5
420
V
(n
1
1)n
420 n ! 13.
C
5
n, 2
n
105
105
2
2
1
n
5
420
V
n
n 1
n
420
5
0
o 2
Resolvendo
essa
equação
do
2
grau,
temos:
n(n
1)
5
210
V
n
2
n
5
210
V
n
n
210
o
d
5
1.681
5
20
Como
258
ou
n
5
Resolvendo
5
221
221
não
Guia do professor
n
serve,
temos
apenas
n
5
20.
5
15
Logo,
ou
essa
n
5
equação
214
(não
compareceram
15
do
2
grau,
serve
pessoas.
temos:
5
0
II. Resoluções e comentários
Cap ítulo
1
a
Ciclo trigonométrico – 1
Inicia-se
esse
ferência,
seu
em
radiano.
com
o
comprimento
Em
seguida,
desenvolvem-se
os
conceito
e
sua
de
apresenta-se
conceitos
de
arco
medida
o
em
uma
angular ,
ciclo
ta
circun-
em
grau
C
=
22,21
e
trigonométrico
seno, cosseno
e
tangente
OCCES
e
capítulo
v
no A
tri
onométrico,
tomando
como
base
as
de
inições
NOSLIDA
ciclo
de D =
seno,
cosseno
e
tangente
de
um
ângulo
agudo
de
um
7,07
triân-
o
gulo
o
retângulo,
teorema
de
estudadas
Pitágoras,
Trigonometria. Também
tricas
na
primeira
volta
no
volume
obtém-se
são
da
a
do
1
ano.
relação
estudadas
equações
circunferência
Aplicando
fundamental
da
trigonomé-
trigonométrica.
4.
Os
conceitos
estudados
nesse
capítulo
servem
de
base
para
Na
maioria
operações
desenvolvimento
de
outros
capítulos:
por
exemplo,
para
dos
softwares,
há
a
possibilidade
de
realizar
o com
as
medidas
calculadas.
Nesse
caso,
usando
esC a
tudar
para
as
funções
escrever
trigonométricas
um
número
(capítulo
complexo
na
2
deste
forma
volume)
erramenta
adequada,
calcular
ou
d
trigonométrica 5.
Mover
os
pontos
A
e
B
para
ver
o
que
acontece
com
a
razão
o
(volume
do
3
ano).
calculada.
talmente
igual
a
Com
que
esses
essa
procedimentos,
razão
é
verifica-se
constante
e
experimen-
aproximadamente
3,14.
Resoluções e comentários
p Caso
de
tenha
disponíveis
Geometria
alunos
uma
interativa,
atividade
computadores
seria
para
com
interessante
verificar
um
p
s o f t w a re
realizar
com
experimentalmente
os
1.
a)
que
radiano
grau
π
180
x
5
225°
x
5
210°
V
x
5
90°
V
x
5
5 a
razão
entre
o
comprimento
C
de
uma
circunferência
e
seu x 4
iâmetro
Para
d
isso,
é
constante.
no
software,
podemos
seguir
alguns
1.
A
b)
procedimentos:
passando
por
um
radiano
grau
π
180
x
ponto
qualquer
6
B
c)
radiano
grau
π
180
2.
sário
traçar
uma
reta
passando
pelos
pontos
A
e
B;
essa x
reta
interceptará
a
circunferência
emB
e
em
um
ponto
D; 2
depois,
da
basta
traçar
o
segmento
BD ,
ue
é
um
diâmetro
2.
circunferência.
a)
grau
r
i
n
180 Orientar
trução
que
Em
os
(a
ela
alunos
maioria
não
fique
seguida,
a
dos
esconder
muito
com
a
a
softwares
uns
elementos
possui
poluída
essa
da
cons-
função),
b)
visualmente.
ferramenta
de
medição
de
x
grau
radiano
180
π
π V
compri-
x
rad 3
60
mentos,
medir
o
comprimento
C
da
circunferência
e
seu
c) diâmetr o
software,
rente;
da
d
o
em
(medida
modo
alguns,
circunferência
esses
de
segmento
realizar
por
é
do
essas
exemplo,
necessário
).
Dependendo
medições
para
medir
separá-la
o
em
pode
ser
grau
r
i
n
do 180
π
120
x
grau
radiano
180
π
2π V
dife-
x
5
arcos
e
medir
d)
5π V
x
rad 6
150 a
estarem
atreladas
os
pontos
atenção
para
dos
aos
alunos
pontos,
modificar
o
para
ou
raio,
o
fato
seja,
as
de
as
quando
medidas
medidas
mexemos
também
se
e)
grau
radiano
180
π
210
x
7π V
modificam.
rad 3
comprimento
arcos.
Chamar
r 6
30 para
x
rad
5 6
Guia do professor
259
f )
grau
radiano
180
π
8.
x
A:
180°
B:
180°
C:
360°
1
20°
5
160°
20°
5
200°
20°
5
340°
rad
5 3
x
240
a)
4
circunferência
grau
A
b)
5
1
5
360
V
2
x
5
144°
B
5
5
5 circunferência
C
radiano
5
1
2π 4π V
2
x
rad
5
9.
a)
250°
180°
5
70°
5 5 12
11π b)
2π
2
11
4.
a)
O
relógio
Então,
a
é
dividido
cada
em
hora,
o
12
5 6
12
5
percorre
um
ângulo
de:
a)
Como
13
horas
h
sen
215°
,
0
e
sen
às
17
h,
temos
percorrerá:
4
4
30°
horas.
5
Logo,
o
ponteiro
215°
sen
280°
.
b)
0,
temos:
.
50
⎬
radiano,
essa
medida
é
equivalente
a:
esse
ponteiro
das
13
h
às
17
h
325
.
I)
.
4 1
Portanto,
,
0
das
120°
2 Em
280°
30°
sen Das
6
horas.
ponteiro
10. 360°
π
5 6
3
percorre
,
120°
⎫ (cos
⎬
215°
II)
,
2π
⎭
rad.
ou 3
De
b)
Sendo
x
a
distância
percorrida
das
13
h
às
17
(I)
e
(II),
temos:
h, (cos
50°
1
cos
325°)
(cos
215°
1
cos
145°)
,
0
calculamos: 4
4π medida
comprimento
(grau)
(cm)
360
2π
8
r ad
11.
7 6 r ad
x
3
5
q
360
a
14,65
do
180
8 r ad
14, 65
5
5
5
3
extremidade
damente
q 154 7
8π
1
q
Logo,
180
5
7
120 x
q 103 7
6π
120
180
5
7
ponteiro
percorre
aproxima-
288
5
Representando
no
ciclo
trigonométrico,
temos:
cm.
4π
5. 7
6π
70°
7 25
cm
0
π O
cos
8π medida
comprimento
(grau)
(cm)
360
2πr
5
2
5
x
70
x
30, 5
Observando
o
eixo
dos
cossenos,
6π Logo,
o
pên
u
o
escreve
um
arco
e
aproxima
π
amente
,
os
4π ,
cos
7 30,
e
, 7
cos
, 5
a)
sen
125°
q
0,8
b)
sen
235°
q
20,8
c)
sen
305°
q
20,8
π
7.
2
2π
π
3
3
3π 135°
=
–
sen
π rad
rad
4
4 π
5
55°
125° rad
6
6
180°
=
π
rad
360°
=
0,8
2π
rad
OCCES
A 11π
7π
NOSLIDA
210°
=
–
rad
rad
0 6
6
7π
5π 315°
=
–
rad
:SEÕÇARTSULI
4
4 5π
4
3 235°
3π rad 2
Guia do professor
–0,8
rad
rad 3
260
que:
8π
cm.
12. 6.
concluímos
x
305°
cos
0
13.
a)
cos
155°
b)
cos
205°
c)
cos
335°
q
π
20,9 Logo:
q
2π
sen
1
Portanto,
0,9
Comentário :
alunos
de
25°
155°
são
duas
mesmas
i
0,9
1
igualdade
Com
a
9
é
falsa.
verificação
estimulados
não
é
a
de
casos
concluir
igual
à
que
soma
particulares,
o
seno
dos
da
senos
os
soma
dessas
medidas.
o
e
3
quadrantes,
temos
seno
e
cosseno
com
mesmo
sinal.
cos
0,9
Nos
sen
9
medidas
o
20.
A
a
3π
sen
9
0,9
0
o
205°
5
cos
335°
5
o
quadrante:
2
5
sen
5
cos
5
4
4
2
sen 14.
15.
a)
sen
a
b)
sen
b
5
2sen
130°
c)
sen
t
5
2sen
260°
5
5
2sen
2cos
27°
cos
a
cos
b
5
2cos
110°
48°
q
t
5
2cos
260°
q
20,45
sen
5
2(
50°
sen
q
20,77
80°)
q
π
0,98
4
20,67
(
cos
70°)
q
0,34
(
cos
80°)
q
0,17
A
5
cos
0
16. sen
1
1
5π
5 6
2
2
4
6
6
5
1
6
2 A
7
21.
a)
Observando
1 sen 30°
6
5
ciclo
,
trigonométrico
concluímos
que
há
e
lembrando
dois
arcos
que
que
sa-
0
2
2
tisfazem 1 1
o
1
5 2
a
equação:
1 11
7
5 2
1 2 –
6
—
6
2
17.
a)
sen
5
2π
0
1
1
1
cos
1
2π
0
1
1
sen
5
π
1
cos
π
=
0 180°
π b)
3π
sen
π
sen
+
30°
30°
3π
cos
cos
1 5
A 5
1
(
1)
1
0
0
5
2 0
2π c
11π
sen
5π
sen
3
cos
1
1
2
2
5π 1
cos
5
3 0
2
2
1
⎛ cos
0
cos
2
2 d)
5
5 1 1
5π 2
2 sen
2
sen
x
5
V
x
5
30°
ou
x
5
150°
2 2
6
b) 18.
Com
a
calculadora
científica,
de
um
celular
ou
com
uma
calculadora
obtemos:
a)
q
sen
0,342
9 180°
–
45°
2 b)
sen
c)
sen
q
0,643
9
3 q
0,866
9
0 cos 19.
a)
2
q
sen
2
0,342
5
0,684
2
9
—
2
3 q
0,643
OCCES
sen 9
180° 2
i
a
45°
sen
9
Portanto,
+
2π
sen
NOSLIDA
Logo:
9
igualdade
é
falsa.
b)
sen
2π 1
sen
cos q
0,342
1
0,643
5
x
x
5
5
135°
ou
x
5
225°
0,985 2
9
9
Comentário :
3 sen
5 9
Esse
exercício
propicia
aos
alunos
resolver
0,866 equações
trigonométricas
simples.
Guia do professor
261
:SEÕÇARTSULI
2 π
22.
e)
.
a)
(tg
⎬
40°
tg
22
tg
(π
2
a)
q
20,65
tg
(π
1
a)
q
0,65
tg
(2π
I)
. ⎭
t
315°
,
2
a)
q
20,65
⎫ (tg
tg
II) Comentário:
Esse
exercício
proporciona
a
diversidade
de
1 ⎭
aplicação De
(I)
(tg
e
40°
(II),
1
tg
220°)
(tg
315°
1
tg
165°)
,
estudados:
pede
aos
alunos
que
6
valor
o
estimativa;
estimado;
calculem
localizem
e
o
comparem
o
quadrante
de
resultado
2
⎬
conhecendo
os
valores
apliquem
relações
de
seno,
cosseno
e
um
arco
tangente;
e
5π
4
3
,
g 6
5
uma
com
⎫
π
5
façam
0
0
5
tg
conceitos
vem:
tg
π b)
dos
0 as
de
simetria
para
tangente.
4
.
4
4
⎭
2
25
2
4
5
cos
27.
x
V
tg
2
169 4 Logo:
.
0
2
1 V
5 6
cos x
13 23.
g
a
5
tg
42°
0,90 o
Como b
tg
t
5
5
tg
tg
160°
5
260°
2tg
5
tg
20°
80°
q
q
x
pertence
ao
1
quadrante,
temos
cos
x
.
0.
20,36
12
5,67 Logo,
cos
5
x
13
24.
a)
tg
145°
q
20,7 tg
2
b)
tg
215°
q
c)
tg
325°
q
0,7
28.
20,7
a)
35°
2
cos
x
1
2
sen
x
5
V sen
x
5
Como
x
pertence
1
V
2
(0,8)
1
sen
x
5
1
V
0,6
0,7 145°
o
Logo,
sen
A
x
5
tg
4
quadrante,
temos
sen
x
, 0.
20,6.
x
sen b)
ao
0
6 x
x x
cos
0
0, 8
O
sen –0,7
21
29.
a)
tg
a
a
sen
4
a
3
5 cos
a
3
cos
a
325°
2
Como
2
sen
a
1
cos
a
5
1,
temos:
2
tg
2a
i
2
tg
a
sen
sen
⎛
2
25.
a
sen
2
1 ⎝
tg
2
9
⎞
1
sen
a
1
51 V
⎠
4
16
2a 25
4
V
sen 1
o
Como
pertence
ao
3
quadrante,
temos:
2a
4 sen
0, 8 5
tg
a
4
sen b)
tg
a
a
5
4
3
5
5 2 cos
a
3
cos
a
A
V
30.
Para
cos
a 5 20,6
um
arco
de
medida
a,
a
relação
fundamental
2
T rigonometria
2
(0,8)
sempre
é
válida:
1
cos
a
5
(0,4)
= 0,64
sen
a
5
1
0,25
0,8
e
5
cos
0,89,
a
5
não
são
3 31.
a)
3
π tg
6
5
3
Logo,
tg
60°
Comentário:
de
modo
entre
da
as
i
2
tg
Essa
mais
me
30°.
questão
leva
abrangente,
i
as
e
um
os
que
ângu
alunos
não
o
e
há
os
a
verificar,
agora
proporcionalidade
respectivos
va
ores
A
0
tangente.
cos
2
OCCES
0 26.
NOSLIDA
a)
tg
b)
tg
α
55 é
=
0
menor
que
1.
55 é
menor
que
1.
5
3
:SEÕÇARTSULI
o
c)
cos
a
.
0 e sen
a
.
0; então,
pertence ao 1
quadrante.
o
d
(π
2
)
Ñ
2
π
1
)
Ñ
3
quadrante
V
tg
(π
)
,
0
quadrante
V
tg
(π
)
.
0
o
1
5
cos
r ad
ou
x
r ad
o
(2π
262
2
a)
quadrante
Guia do professor
V
tg
(2π
2
a)
,
0
Como
possíveis
0,4.
Exemplo:
5
1.
2
1
igualdades
30°
da
2
a
sen
2
3
3
as
b)
Assim:
2π
π
cos
x
5
1
V
x
5
0
ou
x
5
2π
— – 3
3 Os
possíveis
valores
de
x
são
0
rad
e
2π
rad.
3 – ––
2
33. sen
A
0
1
11
2
10
3
9
–0,5 3 sen
5
ou
4
8 3
7
5 6
c)
tg
3π — –
4
O
relógio
estará
indicando
16
h
ou
20
h
4
h
ou
8
h
.
0
O
π
⎛ 34.
cos
π
V
3 Assim,
x
=
rad. 2
7π –1
— –
Exercícios comp lementares
7
3 tg
x
5
1
V
x
r ad
5
4
4 360 1.
225°
x x
π d)
sen
5 2
2
360°
r
2.
V
5
38, 22 300
300° e)
x
sen
5
0
V
x
5
0
ou
x
5
π
ou
x
5
Logo,
32.
a)
sen
x
(sen
x
1
1)
5
sen
x
x
o
raio
mede,
aproximadamente,
38,22
m.
0 3.
⎧
π
0
radiano
π
140
x
7 V
2π
ou
⎨
grau
180
x
5
rad 9
3 π sen
x
x 2 medida
4.
Logo,
os
valores
possíveis
para
x
são
0,
π
rad,
2π
comprimento
(radiano)
(cm)
2
rad
2
5
π α
V π
7
a
5
3 π ou
rad. 2
b)
2
Logo,
sen
x
cos
x
cos
x
5. cos
x (2
sen
x
1)
5
o
ângulo
central
a
mede
1,4
rad.
5
Cada
hora
deter mina
um
ângulo
de
30°,
porém,
como
já
0 1 se
passaram
20
minutos
da
hora
cheia,
ou
da
seja,
3
⎧ co
x
5
ou
x
hora,
5
2
o
ponteiro
das
horas
percorreu
10°.
2
ou
1
⎨ x
2
2 10°
x
x
5
⎩ 20° 3 OCCES
30° Os
valores
possíveis
de
x
são
ra 6
,
r ad 2
NOSLIDA
ra
e
4
r ad
6
2
2
Sendo
cos
1
x
y,
5
0
temos: Logo,
o
menor
ângulo
for mado
pelos
ponteiros
mede:
2
y
y
1
1
5
0
V
y
5
(20°
1
30°)
5
50°
Guia do professor
263
:SEÕÇARTSUL
2
c)
6.
medida
empo
(grau)
R:
36°
1
180°
5
216°
(min)
grau
30
radiano
60
a
180
π
216
y
6π
15 V
5
y
5
rad 5
5 60
450
S: 7° 30’
360°
36°
5
324°
30°
60 grau
a
1
30°
5
7°30’
1
30°
radiano
5 180
π
324
z
9π V
5
z
5
rad
37°30’
Assim,
o
for mado
menor
pelos
5
ângulo
ponteiros ⎛
37°30’.
10.
⎞
3
5 mede
a)
1
2
5 3
7.
4
2 b)
⎝
2
⎛
1
cos
2
⎞
3
5 3
2
3 5
6
⎝
2
⎠
3
6
sen 2
⎞
6 θ
11.
1
5
5 1 ⎠
6
0,53 30
6
o
Como
t pertence
ao
3
quadrante,
temos
cos
t , 0.
A
30
0 Logo, c o s
5 2
6
Assim: 212°
– 0,53
6
sen tg
6
tg cos
5
30
6
5 5 5 a)
sen
b)
sen
c)
sen
148°
5
212°
sen
5
32°
2sen
5
0,53
32°
5
20,53
12. 328°
5
2sen
32°
5
0,
sen
3
8.
π
a
a
tg 0,8
7 — – π 12
— –
12
π
A
0
A
– 0,8 0
π
+
a
2π
a
7π — –
6
23π — —
a)
sen
b)
sen
c)
sen
(π
2
a)
5
sen
1
a
5
2sen
a
5
0,8
12
Em
ordem
(2π
2
a)
5
a
2sen
5
a
20,8
5
20,8
decrescente: 13.
Os
arcos
de
medidax x 2
7 tg
— –
tg 12
12
que
têm
cosseno
3
1 igual 9.
Q:
a
para
144°
2
OCCES
grau
radiano
180
π
0
V
NOSLIDA
144
,
x
,
2π,
são
4π a
5
rad
2 e
5
a
3
cos
3 1 – —
2
:SEÕÇARTSUL
P :
180°
144°
grau
radiano
180
π
36
x
5
4
π V
264
36°
x
Guia do professor
rad
5 5
— –
3
b)
3
3 14.
cos
V
0
cos
4
2
2
3
5
A
6
3
3
2
1
–1
0
cos
2
2
cos
0
4 7
11 –––
6
3
6
1 <
2 π
2
V
⎧ Logo,
S
5
π
1 1π
π
6
⎭
medida
x
cos
1
cos
x
1
5
cos
x
5
y,
comprimento
0 1.
Sendo
3
⎫
2
2
3
⎨
⎩
15.
4π <
2
(grau)
(cm)
temos: 360
2π
8
12
1 2
y
2y
1
5
0
V
y
5
230
1
x
120 Assim:
x
π
8
2
5 360
1 cos
x
5
ou
cos
x
5
21 Portanto,
x
q
25
cm.
2
alter nativa x
5
ou
3
Logo,
soma
das
raízes
1
3
3
a
5
2.
é:
1
grau
radiano
180
π
3
5
3 3
3
3
210
x
210 x 16.
a)
O
valor
é1.
mínimo
Ou
seja:
para
1
<
sen
sen
x
x
<
é
1;
e
o
valor
8
π
5
O
é
valor
2.
mínimo
Ou
seja:
para
2
<
2
2
180
6
1
sen
sen
x
x
é
<
2;
e
o
valor
6π
2
11π ,
valor
mínimo
para
y
5
1
1
2
sen
x
é
1;
e
o
12π ,
12
O
c
máximo
3.
c)
7π 5
máximo
alter nativa
b)
d
11π V
12
12
, 2
,
π
ao
2
12
valor 11π Logo,
máximo
é
3.
Ou
seja:
1
<
1
1
2
sen
x
<
3
ou,
um
arco
o
de
rad
pertence
quadrante.
ainda, 12
1
y
Comentário :
3
alter nativa
Esse
exercício
trabalha
introdutoriamente
4. ideia
nar
17.
que
a
será
imagem
usada,
de
no
uma
próximo
função
capítulo,
para
b
a Observe
a
figura
abaixo.
deter mi-
y
trigonométrica.
a
2π
2
—
7 =
2
—
3 9
9
9
x
O
2
16
2
—
=
—–
cos
0
9 9
9
9
2
OCCES NOSLIDA
4π
3
2 Os
arcos
simétricos
de
r ad
respectivamente
aos
eixos
:SEÕÇARTSULI
9
1 6 x
cos
x
1
2 π
2
3
5 2
e
y
e
à
origem
ou
x
O,
1 1
7 e
medem
9
4π
9
9
5 3
alter nativa
b
Guia do professor
265
7.
Observe
a
figura
abaixo.
⎫ °
, sen
5.
a)
1
⎬ °
cos 150
,
, ⎭
3
⎫ tg
150°
,
b)
tg
⎬ °
225
–
—
,
6
5 =
– —
6
6 1
. ⎭
2
A
⎫ °
5
cos
0 1
c)
sen
⎬ °
5
. 2
⎭
⎫ ° , d)
cos 110
⎬ cos 1 10 °
.
2
–
0
—
5 =
– —
3
3
⎭
alter nativa
O
d
seno
é
de
igual
a
cosseno
de
e
a
seno
de
3
6
alter nativa
5
a
sen
6.
2
8.
sen
2
a
1
2
cos
a
5
1
V
sen
2
a
1
(0,8)
5
1
V
2
V
sen
a
5
V
sen
a
5
6
o
Como
a
pertence
ao
4
quadrante,
temos
sen
5
2
sen Assim:
0, 6
tg
7
cos
alter nativa
0, 8
a
A 9.
0
cos
13
3
6
V
3 7 OCCES
3 V
2
cos 2
NOSLIDA
0
alter nativa
o
ciclo
13π
trigonométrico,
π
sen
13π
5 2 sen
e
7
cos
que:
π 5
7
alter nativa
concluímos
cos
2
7
7
c
Cap ítulo
2
Funções trigonométricas
Nesse
capítulo, são
gumas
P ara
e
suas
isso,
da
apenas
função
Também
estudadas
icações
ampliamos
abordado
meio
a
na
de
o
funções
iversas
estudo
primeira
do
ciclo
volta,
trigonométricas
áreas
e
con
trigonométrico,
para
infinitas
e
al-
ecimento.
a
por
b)
o
construção
geométricas.
tidas
pela
a
f (x
Esse
de
gráficos
trabalho
é
por
muito
meio
útil
mudança
de
=
Com
f (
de
3)
o
função
1
é
periódica,
período
f (x)
f (
f (x
1)
1
5
2)
análogo
f (1)
V
5
p
ao
do
item
ao
do
item
2
Com
procedimento
1,5)
f (x )
5
5
f (x
f (1,5)
1
3)
=
análogo
V
f (4,5)
p
=
3
Resoluções e comentários
2.
Analisando
os
gráficos,
concluímos
que:
Exercícios p rop ostos
a)
Analisando
f (
266
2)
=
f (2)
alguns
5
f (6)
Guia do professor
pontos
do
gráfico,
verificamos
temos:
f (3)
variável. f (
1.
que:
p
procedimento
=
observamos
4)
para c)
funções
Como
f (x)
Logo,
antes
voltas,
Euler .
trabalhamos
transformações
as
nas
que:
a)
valor
mínimo:
b)
valor
mínimo:
c)
valor
mínimo:
0;
valor
1;
8;
não
valor
máximo:
tem
2
máximo
máximo:
12
a,
temos:
11
:SEÕÇARTSULI
Observando
d
3.
a)
b)
c)
e
d) 2 a)
225
sen
45° 2
y
2π
4π
π
3
4
15π
z
13
z
3
b)
4
5
sen
c
sen
sen
5
sen
4
270°
10
⎛
A
5
4
4.230°
2
sen
4
5
2
21
2
3
d)
5
O
⎝
2
2 e)
3
465° )
5
5
5 2
13
⎛
g)
sen
5
5
4
4
(
4.230°)
5
2
π
sen ⎝
4
3
⎞
sen
f )
sen
4
90°
5
2
1
2
4 z
3
3
3
10 15
h)
15
4
e)
e
2
⎛
3
2π
⎞
sen
sen
5 2 sen
5 2
4
⎠
3
5
4
3
4
f )
6.
Observando
os
valores
no
exercício
anterior,
podemos
generalizar:
y
2a)
a
5
Sabemos
no
A
5
2sen
2sen
que
intervalo
os
[
a
(2a)
valores
1,
da
função
f (x)
5
sen
x
variam
1].
Assim:
x
O
1
V
π
<
2
sen
<
x
<
2k
<
sen
x
1
4
V
V
21
1
<
<
k
2k
<
3
<
1
V
2
47π z
6
6 8.
13
6
4
5
a)
6
Uma
15
2
4 π
4
2 6
0
2 4.
7
8
expressão
eral
dos
arcos
côn
ruos
a
60°
2 π
9 π
5 π
11 π
4
2
4
x
3 π
é: 2
60°
360°,
Ñ
Z
–1
π b)
Uma
expressão
geral
dos
arcos
côngruos
a
é: 6
π 1
k
2π
k
Ñ Z
6
c)
385°
5
Uma
expressão
25©
1
360°
z
25° 9.
geral
dos
arcos
côngruos
a
385°
a
O
gráfico
meros
25°
1
k
360©
k
Ñ
2
π
11π
14 π
5
1
7
7
usando
o
software
aproximou
os
nú-
irracionais
para
números
racionais
com
duas
Z casas
d)
obtido
é:
11π
11π
7
7
decimais.
Assim,
2π
foi
representado
por
6,28.
5 7
b)
amplitude
5
=
1
2 2 5π Uma
expressão
geral
dos
arcos
côngruos
a
é: c)
7
D(
f
)
=
R
f
)
=
[0,
2]
1 1π 1
k
2π
k
Ñ Z
d)
f
é
Assim,
a
7
o 5.
gráfico
de
g
deslocado
1
unidade
para
cima.
sen
imagem
o
perío
das
o,
a
duas
amp
funções
itu
e
e
não
o
é
a
mesma.
omínio
são
No
entanto,
iguais.
10π 1
3 4.230°
Comentário:
—–
Esse
exercício
leva
os
alunos
a
fazer
a
leitura
3 2 13π
de
2
4
um
gráfico
imagem,
e
a
identificar
amplitude
e
os
período.
conceitos
Além
disso,
de
é
domínio,
trabalhada
—–
2
a
ideia
de
translação
k
f (x )
5
do
k
gráfico,
1
sen
em
função
no
parâmetro
x
OCCE
A
0
t
NOSLIDA
1
t
.
2. 500
sen
⎞ 1 ⎠
2
:SEÕÇARTSULI
número
máximo
ocorre
quando
sen
.4
1 ⎝
2 6
π
⎛ O
—– 13π ——
3
4
° f (x
4 1
π
3
5
2.500
1
1.215
1
5
3.715
máx.
—– Portanto, 3
o
número
máximo
de
pessoas
que
procuram
2
emprego
nessa
empresa
é
3.715.
Guia do professor
267
12.
π
⎛ 11.
h
t
t ⎝
a)
A
a)
⎞
5 3
altura
x
sen
máxima
é
atingida
pela
maré
quando
5
h
seu
3
1
valor
2
1
2
sen
máximo
5
0
0
(1):
5
2
máx.
4
A
altura
assume
mínima
seu
é
valor
atingida
mínimo
pela
(
maré
quando
2
seno
1):
1
5
h
x
seno 0
assume
x
⎠
6
3
1
2
(
1)
5
2
2
1
mín.
Logo,
a
altura
máxima
atingida
pela
maré
é
5
m
e
a 3
mínima
b)
é
1
m.
Atribuindo
2
4
alguns
valores
a
t,
obtemos:
0
π
⎛ (
t
1
t
2
⎛ =
3
1
2
⎞
π
sen
5
3
1
2
0
5
2
3 5
0 ⎝
3
1
2
sen
(0)
5
1
3 7
2
4
3 1
2
sen
3
1
2
1
1
2
⎞
π
⎛ 5
3
3
⎝
3
1
2
sen
5
⎠
6
2
2
⎞
π
5 ⎝
⎠
2
0
2π
5
2
⎠
⎛ h(3)
2
⎠
6
4
h(0)
0
⎞
π
s en ⎝
0
2
2
0
5
e
c
π h(6)
5
5 ⎝
5
1
2
5
3
1
2
2
sen
1
2
sen
(π)
⎞
π
⎛ 5
9
3
3
1
2
(
3π
⎝
1)
5
2
⎞ =
⎝
5
5
5
⎛ h(9)
1
⎠
2
2
1
1 2 5 π
3 π
7 π
2 ⎛ h(12)
5
3
1
⎞
π
⎝
2
4 5
2
12
3
2
sen
( 2π )
5
⎠
g 0 3
2
0
5
⎛ esboçamos
o
gráfico
π
3 π
4
2
4
π
2
3
2
Assim,
π
de h
t
π
f –1
⎞
5 3
t ⎝
⎠
6
–2
h (m)
d
A
amplitude
da
função
g
mede
1
e
a
amplitude
f
4 dobro
da
amplitude
da
função
e)
3
x
sen
x
3
sen
2
0
0
0
1
4
0
3
6
9
t
12
(
2
2
2
1
3
)
2
c)
Podemos
observar,
no
gráfico
esboçado
na
resposta
ao
3
item
b,
que
a
maré
alta
ocorre
para
t
5
3.
Além
disso, 4
observamos
Logo,
a
que,
altura
a
partir
máxima
de
t
5
12,
atingida
o
pela
ciclo
se
maré
ocorre
Como
que
a
t
para
5
0
maré
t
5
OCCES
Analogamente,
0
0
15.
representa
alta
2
noπ
vamente
2
2
reinicia.
ocorre
meio-dia
às
15
concluímos
h
e
que
(12
às
a
3
h),
concluímos
maré
5
4
h.
baixa
2
2
2
ocorre 3 1
NOSLIDA
para
d)
Pelo
t
5
9
e
t
gráfico,
5
21,
ou
seja,
concluímos
que
às
a
21
h
maré
e
às
alta
9
h.
se
repete
de
7
:SEÕÇARTSULI
12
h
em
12
4
Esse
a
dos
aplicação
268
situação
2
h.
Comentário:
uma
3
2
exercício
conceitos
e
o
exercício
estudados
contextualizada.
Guia do professor
anterior
na
2
2
mostram
modelagem
de
2π
0
0
x
da
é
o
y
x
sen
x
sen
x
3 0
2
0
0
2
2
2 4
2
2
1
1 2 5 π
3 π
7 π
4
2
4
2
2
π
0
π
2 π 3
2
x
g
2
0
π
2
2
4
π
3 π
0
h
–1
5
2
2
–2
3 1
1 2
2
–3
7
2
4
amplitude
unção
o
da
h
da
0
função
g
triplo
2
0
2π
A
2
2
amplitude
da
função
é
y
g 1
n Para
funções
do
tipo
i (x )
5
k
sen
x,
em
que
k
é
um
2 π
número
real
positivo,
a
amplitude
do
gráfico
de
i
será 0
igual
a
k
vezes
o
valor
da
medida
da
amplitude
da
função
g(x )
5
sen
3 π
2
–1
.
π
π
4 Comentário:
Esse
é
um
exercício
de
investigação
parâmetr o
k
i (x )
=
k
iniciam
a
investigação
pela
construção
em
casos
outros
casos
particulares.
Se
necessário,
os
gráficos
Se
achar
de
eles
conveniente,
for mularem
explor e
esse
uma
de
construção
visualização
de
vários
de
exer cício
gráficos,
casos
que
em
das
funções
gráficos
das
funções
g(x
m(x )
em
relação
ao
5
eixo
5
sen
4
concluam
cos
n
t )
5
6.380
1
5.900
x
e
O
facilitando
pico
valor
da
doença
deu-se
6
cos
78
máximo,
cos
80
6.380
5
1
ou
5.900
Portanto, co
cos
2
5
0
1
0
1
1
1
0
1
1
(x )
5
2senx
x
são
quando
cosseno
seja,
para
1
5
assumiu
seu
⎞
t
cos
5
1
⎠
6
12.280
ocorreram
12.280
casos
nessa
deter minada
região.
0
1
1
1
...
1
0
1
1
0
1
1
5
0
Sabemos
arcos
cos
14.
assim
2cos
2
2
1
5
⎠
6
⎝
cos
ue,
h(x
⎞
t
⎝
⎛
2
e
cos
a
ageneralização.
13.
x
x
⎛
um
possibilita
particular es,
alunos
hipótese.
17.
software
os
proponha
simétricos antes
ue
do
os gráfico
era-se
7 π
4
sen x
como Os alunos
Es
π
4
sobre
Comentário: o
x
2 π m
2 gráfico
π
2
2
do
de
que
0,
o
2π,
valor
4π,
máximo
...;
de
cosseno
ocorre
para
os
então:
t
π
= 0
V
π
8
t
π 5
0
V
t
5
5 1
6
π
1 t
13π
7 π
13 π
11 π
2
= 2π
V
π
8
t
π 5
12π
V
t
5
5 13
6 3 π
4
2
Logo,
2 π
2
9 π
5 π
15 π
4
2
4
2
π
4 como
t
x
4 π
ano),
concluímos
que
o
pico
da
doença
ocorreu
18.
a)
Observando
o
gráfico,
Observando
a)
g(0)
=
Como
o
gráfico,
O
temos:
b)
g(2π)
a
função
é
periódica,
temos:
g(x )
=
g(
1
2π)
a
função
período
p
da
Observando
passam
o
é
periódica,
função
h
gráfico,
em:
⎞
temos: ⎝
4
Como
janeiro.
3π
⎛
–1
15.
em
temos:
=
que
as
h(x
⎠
1
π)
π
concluímos
k
h(x )
4
k
Ñ
assíntotas
Z
2 O
período
p
da
função
g
é
2π π c)
D(h) h
=
R
Ñ
2
Z
e
Im(h)
=
]
1Ü[
2 b)
5
amplitude
1
2 19.
c)
=
R
e
Espera-se
Im( g )
que
os
=
[0,
2]
alunos
j(x )
concluam
que
o
gráfico
de
g
1
unidade
para
cima.
Assim,
das
duas
funções
não
é
a
mesma.
No
que
x
x
=
os
são
0,
a
a
amplitude
e
o
domínio
são
em
que
relação
ao
(x )
eixo
5
tg
x
e
x
=
= sen
entanto,
2
é
representada
pela
curva
em
vermelho.
iguais.
f
é
para
a
π 1
.
Vamos
construir
um
quadro
com
os
valores
de
x,
sen
x
o
grá
ico
da
unção
seno
transladado
unidade 2
e
sen
x,
considerando
0<
x
<
π
esquerda.
Guia do professor
269
:SEÕÇARTSULI
período,
concluam
temos:
f o
alunos
simétricos
π f (0)
imagem
2tg
NOSLIDA
deslocado
5
é 20.
f
Espera-se
OCCES
d)
D( g )
π
x
b)
temos:
5
f (x
5
2
1
x
g(x
5
x
4 y π
⎛
⎞
g
cos
0
4
3
g
2
π
g
4
21.
1
g(x
5
x: 3 π
π
0
x
2 π
– —
π
⎛
o
x
&
sen
x
⎞
2
2
1 4
f
–1
g
4
–2
x
π
⎛
o
2
sen
x
&
1
x
1
4
⎞
–3
4
5
y
2
x
— — –— 2
f Comentário
1
–– –
Softwares
5 π
2
7 π
g
– —
– —
4 4
— — –— 2
g
f
5
x
2
4
f
24.
a)
f (x
5
–1
2
2
– —
– — 4
2
3
3 2 – –– –
R
p
5
π
g(
5
x
o
x
&
x
2 22.
p
2
b
5
o
2
g(x
5
x
a
5
modo:
f
5
a
1
a
1
b
b
f
5
5
1
b
5
x
g
f
5
f
g
f
5
R
f (x
5
1
x
a
&
b)
x
Outro
g(x
5
x
o
f (π
5
x
&
x
2 f (π
5
a
1
a
1
b
b
π
p
5 3
5
o
a
5
b
x
&
8
x
o
a
5
b
5
x
&
1
x
o
23.
a)
f (x
1
x
g(x
g
x o
4
f
5
g
5
R
f x 25.
a)
x
5
cos 2
x
5
x
2
f
p
4 1
1
2 y
1 OCCES
π
π
3 π
x
π
5 π
– — 2
3 π f
2 2
2
–1
NOSLIDA
π
π
π
π
2 π
– — 2
2
–2
g –1
:SEÕÇARTSUL
período
–3
de
g
=
π
g
período
– 4
270
Guia do professor
x
3 π
de
=
π
b)
f (x )
5
sen
Partimos
b)
4x
da
função
(
)
5
e,
f
em
seguida,
cons-
2
4
2
p
A
y
O
1 π
3 π π —
2
π
0
2 π
+
k
+
k π
2
2
4
π x
2
g
f
c
–1
π — 6
O p
=
A
2 π
π k π
c)
(x )
5
2
Partimos
sen
da
6
2x
função
g(x )
5
sen
e,
em
seguida,
cons-
2 f
p
e
a 2.
2
amplitude
a)
855°
é2.
5
Assim,
135°
135°
a
1
1
2
360°
expressão
k
360°,
z
135°
pedida
com
k
Ñ
é:
Z
y
25
2
24
b)
8 3
3
3
z
3
3
f 1
Assim, 5 π
3 π
a
expressão
pedida
2 ,
Ñ
é:
7 π g
0
π
π
4
2
4
x
2 π
3 π
com
k
Z
3
4
–1 3.
A
função
também
p
1
π
p
=
<
1
Logo, f (x )
5
22
Partimos
cos
da
x
5
2
função
2sen
(
g(x )
cos
5
4
o
varia
<
de
10x
Adicionando
2 π
1
d)
seno
varia
4
4
<
a
a
f (x )
1.
Então,
podemos
5
2sen
10x
escrever:
1
todos
sen
menor
de
1
10x
valor
os
<
da
membros,
1
1
4
V
3
expressão
temos:
<
é
3
4
e
sen
o
10x
maior
é
<
5
5.
x )
2cos
x
e,
em
seguida,
t
cons 4.
A(t )
5
850
200
sen
f
Em o
período
não
sofre
2025,
temos
t
15
anos.
mudança. A
15
850 6
y 15π
5π
6
2
π
Temos:
z
2
2
Assim:
1 A
850 2
2 π
0
A π
–1
π
2
2
15
5
1.050
x
3 π
Portanto,
g
de
2025,
a
quantidade
será
1.050
de
algas
nessa
baía,
em
janeiro
toneladas.
f x 5.
–2
x
900 12
Observando
a
lei
da
função,
concluímos
que
x máximo
de
clientes
ocorre
quando
Exercícios comp lementares
número
5 21 12
E 1.
o
sen
concluímos
que
o
número
mínimo
de
clientes
ocorre
a) 2π —
x +
k
2π
quando
sen
5
1 OCCES
3
12
Assim:
900
800
(
1)
900
1
800
1.700
máx.
O
f (x )
5
900
800
(1)
5
900
800
5
100
mín.
:SEÕÇARTSULI
Portanto:
f (x )
f (x ) máx.
alter nativa
5
1.700
100
5
1.600
mín.
e
Guia do professor
NOSLIDA
f (x )
271
6.
De
acordo
com
o
enunciado,
quando
a
produção
é
abun-
Portanto:
y dante,
os
Então,
o
preços
mês
de
são
mais
produção
baixos.
máxima
de
um
produto
ocorre 3
quando
a
função
P (x )
⎛ P (x )
5
8
1
5
atinge
x
valor
mínimo.
⎞
π
2
cos ⎝
Observando
seu
a
lei
⎠
6
dessa
função,
concluímos
que
P (x )
é 1 π
mínimo
quando
cosseno
atinge
seu
valor
mínimo,
ou
f
seja,
⎛ quando
⎞
x
cos
= ⎝
2
0
2
21.
Isso
ocorre
para
arcos
de
π
3
2 medida
π,
3π,
5π,
5 π
V
x
⎠
6
...
2
–1
Então:
–2 π
8
2
π
π π
8
2
π 5
6π
V
5
6
π
–3 Portanto, P (x ) é mínimo para x 5 7, ou seja, no mês de julho.
alter nativa
são
d
D
f
5 R e
5
iguais
aos
de
g,
ou
seja,
2π
t t
7.
5
3 9.
6
Para
deter minar
o
rimeiro
momento
do
dia
em
ue
a
Sim.
a
No
intervalo
dado,
cos
x
(curva
verde)
é
sempre
é
sempre
negativo.
3
quantidade
de
espuma
atingiu
5
m
por
metro
de
rio, b)
f (t )
a
Não.
No
intervalo
dado,
sen
5: mas,
para
,
sen
5
6
c)
Não.
No
intervalo
dado,
π volta
do
(curva
,
π,
azul)
sen
x
é
positivo.
1
6
a
1
x
2
t 2
Na
x
π decrescente,
ciclo
trigonométrico,
x
5
1
para
x
tg
x
(curva
alaranjada)
é
sempre
π
5
crescente,
mas,
para
,
2
x
,
π,
tg
x
é
negativa.
2
Então: d)
t
Pelos
gráficos,
observamos
que
sen
x
tg
x
no
ponto
1 t
5
em
3
que
azul
e
x
π
(ponto
laranja).
As
de
cruzamento
coordenadas
entre
desse
as
ponto
curvas
são
(π,
0).
3
Portanto,
a
quantidade
de
espuma
atingiu
5
m
por
metro e)
de
rio
pela
primeira
vez
no
dia
às
3
Pelos
gráficos,
cos
x
5
verde 8.
a)
f (x )
5
1
2
cos
x
5
1
1
2
(
observamos
que:
horas.
cos
sen
e
a
x
no
ponto
curva
azul.
de
cruzamento
Esse
ponto
entre
está
no
a
curva
intervalo
x )
3π Partindo
da
função
g(x )
5
cos
x,
temos:
em
que
,
x
,
; 2
1
cos
passo:
x
"
2
(
cos
x
A
nova
amplitude
é
tg
x
5
cos
x
alaranjada
2
passo:
2
(
cos
x )
"
1
1
2
(
cos
gráfico
da
função
é
transladado
1
e
a
ponto
curva
x )
de
cruzamento
unidade
verde.
Esse
entre
ponto
a
está
curva
no
in-
π tervalo
O
no
2.
para
em
,
que
x
,
π
2
cima.
Portanto,
no
intervalo
considerado,
o
ponto
em
que
f
cos
x
5
sen
x
tem
abscissa
maior
que
a
abscissa
do
y ponto
10.
em
que
Inicialmente,
têm
tg
x
5
cos
observamos
ordenada
nula
ou
x
que
todos
positiva.
os
pontos
Lembrando
do
que
a
gráfico
função
2
modular
quadro
1
tem
com
essa
alguns
característica,
valores
de
x
podemos
que
montar
constam
no
f
g
2 π
π
3
2
x
|sen x|
0
0
|cos x|
x
2 1
5
1
–1
π 1
f
5
[
1,
3],
D(
)
5
R
e
p
5
x
sen
0
1
0
π
π
⎛ b)
5
2π
1
1
⎞
x 2
3π 1
5
0
1
2 Partindo
da
função
g(x )
5
sen
x,
temos:
0
2π
1
5
1
⎞
o
passo:
sen
x
sen
x
1
OCCES
π (0)
5
5
0,
O
gráfico
de
g
ficará
transladado
unidade
ara
2
a 3π
2
NOSLIDA
f
esquerda
sobre
o
eixo
(π)
5
f
5
f
(2π)
x
:SEÕÇARTSULI
⎛
o
2
passo:
sen
função
Assim,
272
a
terá
nova
1.
5
|cos
x| .
⎞ x
sen
x
1
2
A
5
2
x
nova
Guia do professor
2
amplitude
imagem
r nativa
será
[
igual
3,
3].
a
3.
Comentário:
o
conceito
Verificar
de
função
a
necessidade
modular.
de
recordar
um
gráfico.
q
1 6
4
4
Essa
4
1.
3
ser
opção
e 22π
2π
20π
5
2π
1
5
uma
abordagem
tecnológica,
além
de
4
5
z
5
expressão
os
cineasta,
construção
alunos
de
diante
vídeos
de
duas
estimula
a
situações:
criatividade
o
trabalho
no
sentido
da
criação
do
roteiro
e
da
execução
do
das
5
22π uma
pela
coloca
2π
5
5
Logo,
possui
interdisciplinar.
c A
2.
atividade
z
4
alter nativa
ç
geral
dos
arcos
côngruos
a
cenas;
e
o
uso
do
computador,
uma
ferramenta
fundamental
é 5
no
mundo
de
hoje.
2π 1
8
2π,
com
Ñ
Z Com
5
relação
parcerias alter nativa
O
3.
Observamos,
Portanto,
é
0,75
o
no
gráfico,
intervalo
de
que
o
tempo
período
de
um
da
função
batimento
é
0,75.
cardíaco
s.
rn
professor
se
A
função
de
colaborar
seno
é
periódica,
pois
sen
x
sen
(x
1
2π)
e
professores
de
é
interessante
Física,
Biolo
ia
estabelecer
e
2
Física
O
a
e
poderá
a
orar
professor
aves
com
e
a
consequência
ví
de
dos
eos
so
Biologia
piracema.
discussão
contribuir
Em
dos
com
re
Geo
rafia.
grupos
Acústica
poderá
Geografia,
desastres
desequilíbrios
os
ou
auxiliar
o
no
professor
naturais
provocados
que
so
re
tema
poderá
ocorridos
pelo
ser
hu-
seu
mano é
os
de
Astronomia.
migração
iv
período
interdisciplinaridade,
propuserem
em 4.
à
com
c
na
natureza.
.
Com
relação
a
pr ogramas
para
edição
de
vídeos,
existem
r nativa
muitos
f (x )
5
a
1
b
cos
(cx
1
d d).
1 A
amplitude
em
versões
gratuitas
e
também
comer -
cializadas.
1 ;
é
disponíveis
então,
5
2
2
Comp reensão de texto 1 O
gráfico
está
unidade
transladado
para
cima;
logo,
2 1.
a)
De
acordo
com
o
texto,
som
é
uma
variação
de
pressão
1 a
5 muito
rápida
que
se
propaga
na
for ma
de
ondas
em
2
um
O
período
é
2π;
então,
c
5
relação
ao
gráfico
de
x,
cos
o
gráfico
está
som
unidade
para
a
direita.
Então,
d
por
gera
uma
uma
vibração
variação
de
de
um
corpo
pressão
de
elás-
acordo
5 2 com
f (
)
o
meio
quando
⎠
por
a
amplitude
1
Segundo
o
à
sua
texto,
volta.
o
som
é
audível
para
o
ser
humano
5
alter nativa
sen(x
c)
⎞
π
⎝
corr esponde
ao
númer o
que
multiplica
2.
5
alter nativa
A
imagem
[
1,
O
22
1
3
sen
(
1
),
a
amplitude
é
do
função
um
3.
as
som
da
função
g( x )
5
cos
(2x
1
1)
é
o
conjunto
3.
dp 5 dp
som
ocorrem
senoidal
seno.
1,48
é
Portanto,
senoidal
alter nativa
a
variações
entre
20
e
20.000
vezes
segundo.
gráfico
da
π).
f (x)
é
o
que
determinado
o
único
consta
a
gráfico
no
partir
que
do
gráfico
representa
item
c
sen
(1,07πx
334πt )
1]. A
A
causado
qual
2
⎛
7.
o
2
A
é
transladado
tico,
6.
elástico.
1.
O Em
meio
imagem
da
função
h(x)
5
2
cos
(2x
1)
é
variação
máxima
[
2,
2].
Portanto,
a
imagem
da
pressão
ocorre
quando
o sen(1,07πx
conjunto
de
334πt )
=
1.
Então:
função dp dp
5
1,48
1
5
1,48
máx.
f (x)5
3
1
2
cos(2x
1
n
Portanto, alter nativa
p
4.
5
5
a)
Respostas
possíveis:
decolagem
de
a rn
pascal.
construção
civil;
banda
de
rock;
2
l
1,48
máx.
2 8.
5
dp dp
d
50
avião
a
jato
a
50
m;
decolagem
de
foguete
m.
iv
b)
No
caso
de
secadores
de
cabelo,
a
média
do
nível
de
t 9.
m
t)
5
4.500
1
3.400
ruído
sen
é
cerca
de
80
decibéis;
nos
liquidificadores
e
60 aspiradores
A
massa
é
máxima
pó,
geralmente
a
média
do
nível
de
quando: ruídos
sen
de
está
na
faixa
entre
80
e
90
decibéis.
1
t
5
c)
r esposta
pessoa l
d)
r esposta
pessoa l
2
m(t)
5
4.
00
3.400
1
5
7.900
máx.
Comentário:
A
massa
é
mínima
conversa
quando:
atividade,
-los 4.500
sobre
sensibilizar
finalizar
o
os
a
assunto.
alunos
atividade
com
Espera-se,
em
relação
com
aos
uma
essa
danos
t causados
5
possível,
3
1
m(t)
Se
coletiva
1
3.400
(
1)
5
sobre
por
a
ruídos
excessivos.
importância
da
Além
disso,
colaboração
de
conscientizá-
cada
cidadão
1.100
mín.
com
Tempo
decorrido:
90
30
5
c
individuais,
como
falar
baixo
dentro
de
uma
60 sala
alter nativa
atitudes
de
aula
ou
periodicamente
de
ou
espetáculos,
ouvir
música
regular
em
seu
volume
automóvel
mais
Guia do professor
baixo.
273
Cap ítulo
3
Complementos de T rigonometria
Os
conceitos
para
dos
o
estudados
nos
desenvolvimento
senos
e
dos
cossenos,
para
ângulos
agudos
ções
trigonométricas
e
capítulos
desse
usaremos
obtusos.
em
R ,
anteriores
capítulo.
E,
as
P ara
a
razões
para
a
utilizaremos
serão
da
conceito
de
equa-
de
arcos
a
distância
amente
lei
17,6
Aplicando
trigonométricas
resolução
o
Logo,
usados
aplicação
entre
a
a
entre
a
casa
e
a
entrada
é
aproxima-
metros.
lei
dos
entrada
e
senos,
o
vamos
descobrir
a
distância
pomar:
y
1 7, 6 5
côngruos
Também
nas
infinitas
voltas
ampliaremos
o
da
circunferência
conceito
de
razão
trigonométrica.
trigonométrica,de1 7, 6
finindo
secante,
desenvolvidas
mentas
a
as
cossecante
fórmulas
necessárias, por
determinação
do
e
de
cotangente.
adição
de
exemplo, em
ângulo
formado
Finalmente,
arcos,
que
Geometria
entre
duas
serão
serão
0, 5
y
9, 4
ferra-
Aplicando
analítica, para
gulo,
retas.
o
teorema
2
2
5
z
de
Pitágoras
no
triângulo
retân-
temos:
2
(17,6)
9
caminho
1:
caminho
2:
12
V
1
z
9,4
q
15,1
5
21,4
5
24,1
Resoluções e comentários
Exercícios p rop ostos
1.
a)
180°
80°
Portanto,
30°
5
o
9
1
15,1
caminho
1
é
o
mais
70° 3.
y
6
sen
70°
6 x
sen
sen
4,3
cm
x
30°
80°
sen
6
x
80°
y
0, 98
5
x sen
curto.
70°
q
6,3
0, 9 4 3,5
cm
d 6
sen 30°
6
0 3, 2
Logo,
x
q
6,3
cm
e
y
q
3,2
70°
cm.
d 4
3
b)
sen
x
q
V sen
6
V
sen
x
x
1
tabela
°
dada,
°
4
obtemos:
°
5
x
q
x
q
0,77
x
q
50°
4, 3
y
q
180°
50°
70°
V
y
q
60°
5
sen
80°
80°
4
q
sen
q
60°
60°
4, 5
3, 95
0, 8 7
77
Logo, x
q
Observe
40°
o
0, 8 7
0, 9 8
q sen
a)
x
q
4
2.
sen
y
60°
Logo,
70°
q
40°
°
4 im:
y
sen
0,6525
sen Pela
y
4
e
y
q
esquema
4,5
a
medida
aproximada
da
diagonal
é
3,95
cm.
m.
abaixo.
4.
Esquematizando
a
situação:
y navio 110°
12
m
100°
x x
z
45° 9
35°
m B
A
OCCES
50
NOSL
Ap
ican
o
a
ei
os
senos
no
triângu
o
o
tusângu
o,
Sabemos
que
Aplicando
temos:
a
sen
lei
100°
dos
5
km
sen
senos,
.
temos:
DA :SEÕÇARTSULI
x
12
50
x
50
= sen 110
12 x
x sen
100°
0, 9 4
Assim,
x
q
0, 6 4
274
40
Guia do professor
a
distância
0, 71
q
q
sen
entre
o
navio
e
o
primeiro
1 7, 6 observação
é
36, 2
0, 9 8
aproximadamente
36,2
km.
ponto
de
5.
Velocidade:
Em
5
0,2
m/s
minutos,
seja,
em
percorre:
300
cada
0,2
m
nadador
5
60
0 6
o
triângulo
ABC C
é
1,852
5
33,336
33,336
q
133,3
Representando
a
situação
ao
meio-dia,
temos:
A
isósce
d
50° les,
m 30°
Como
2:
50°
m 300 segundos,
Navio
B
ou
temos:
Aplicando
a
lei
dos
60
50°
6
5
senos,
m
5 med(C
1
0
navio
med(B
temos:
50°
d 177,8
5 sen 50°
km
sen C
60
0, 98
x
d
76, 36 0, 7 7 porto
Lo
o,
a
distância
mente,
7
,
entre
os
nadadores
será,
75°
aproximada-
m.
133,3
2
6.
a)
2
5
y
km
2
8
1
10
2
8
10
cos
30°
navio
2
3 2
y
5
V
y
64
1
100
2
8
10
V
Aplicando
a
lei
dos
cossenos,
temos:
2 2
2
q
x
25,6
Portanto,
q
5,1
x
cm.
2
5
q
177
192
x
5
2,5
1
3
2
2,5
3
cos
1
⎛ 5
6,25
1
9
2
2,5
2
177
1
cos
75°
a
distância
entre
os
navios
ao
meio-dia
é,
apro-
120°
ximadamente,
x ²
1
6
Portanto, b)
2
1
192,6
km.
⎞
3 2
2
q
x
22,75 1
11. Portanto,
2
7.
x
2
x
5
q
4,8
a)
1
2
1
1
3
2
sec
2
cm.
3
2
8
1
11
2
8
11
cos
135° 1 b)
⎛
sec
5
64
1
121
2
8
1 5 2
135° cos
135°
2
11 2
⎝
2
⎞
2
2
x
⎠
2
2
309,08
x
1 Portanto,
x
q
17,6
cm.
c)
cossec
5 sen
8.
1
150°
2
1
150°
2
a) 5
cm
2
cos
2
d)
cm 3,5
4
2 5
cot g
1
4
cm
2
sen 4
2
b)
Pelo
c)
5
esboço,
concluímos
que
o
triângulo
é
obtusângulo. 1
2
e)
2
5
2
1
3,5
2
2
3,5
cos
a
cossec
5 2 sen
V
25
4
1
12,25
14
cos
a
1
240°
V 240°
3
3
V 2
V
25
V
8,7
4
12,25
14
cos
a
V
3 5
214
cos
a
V cos
8, 75 V
cos
a
5
5
5
f)
cot g
2 5 2
330°
2
14
330°
sen
3
1
330°
8 2
Como
e,
cos
a
,
portanto,
o
0,
concluímos
triângulo
é
que
o
ângulo
a
é
obtuso
obtusângulo. 2
7 12.
9.
70
a)
2
cos
V
cm
7 5
3 cos
1
x
5
d
D 50
cm
50
4
cm
50
cm
3
π Como
105°
π,
temos
cos
x
5 2 4
2
70
cm
70
7
cm
sen
Sabemos
que
cos
105°
5
2cos
b)
75°.
tg
a
lei
dos
cossenos,
7
4 5 2
cos
Aplicando
x
x x
3
temos: 4
2
2
5
D
50
2
1
70
2
50
70
cos
105°
V
D
q
96 1
2
2
5
d
50
c)
2
1
70
2
50
70
cos
75°
d
q
sec
1 5 2 x
diagonais
medem,
aproximadamente,
96
cm
e
74,7
3
3
cm.
4
1 Sabemos
que:
1
nó
5
1.852
m/h
5
1,852
km/h
d)
cossec
5 sen
Ao
meio-dia,
os
navios
viajaram
4
1
x
NOSL
10.
OCCES
As
4
x
74,7
x
7
horas.
DA
4
:SEÕÇARTSULI
Então: 3
Navio
1: cos e)
1,852
5
44,448
44,448
q 177,8
x
4 5 2
cot g sen
x
7
7
4
Guia do professor
275
5
2 13.
a)
sen
x
Logo:
=
S
5
{x
Ñ
R$x
5
ou
5π
2 No
2k π
1 6
2
intervalo
[0,
2π],
os
arcos
cujo
seno
vale
x
são
5
1
2k π
k
Ñ
Z}
6
2
e
e)
tg
x
5
2
3
4
4
sen
Os
x
arcos
cuja
tangente
vale
3
considerando
o
in-
2 tervalo
3
[0,
2π],
são
e
k kπ
k kπ
3
3
4
4
tg
x
2 –––
2 k kπ
2 3
A
0
A
O
Logo,
no
universo
real
0
temos:
2kπ k S
5
x
x
3
Z
2 b)
5 sen
sen
5π 3
Observe
2π
que:
5
1
3
π
3
sen Logo,
no
universo
real
temos:
2 kπ
k kπ
2π
3 S
5
x
x
k 3
3 ––– 2
5 f
tg
x
5
tg
A
4
0
tg
x
π +
2kπ k
4 1
Portanto: A
5
x
O
2π
π S
x
2k
x
1
2k
k
Ñ
Z
3
3
5 k kπ
1 4
c)
cos
x
5 2
1 No
intervalo
[0,
2π],
os
arcos
cujo
cosseno
vale
5π Observe
2
π
que:
5
1
4
π
4
4
2 são
e 3
3
Logo:
S
x
5
k
Z
4
2 k kπ 3
⎛ 14.
cos
x 4
2
3 No
intervalo
[0,
2π],
os
arcos
cujo
cosseno
1
cos
0
2
x e
.
6
2
Assim,
temos:
4 k kπ 3
23 2k Logo,
no
universo
real
temos: 12
2π 5
x
4π
x
k
x
k
k
k
Z
k
3
3
Portanto: ⎛ d)
cos
x
5
5π
⎞
cos ⎝
6
⎠ S
OCCES
15.
5π –––
+
5
sen
k
x
cos
x
5
0
No
universo
NOSL
5
A
DA :SEÕÇARTSULI
3
0
0
real,
V
5
sen
x
5
cos
x
5
0
V
x
0
5
π
1
Ñ
kπ
k
ou
cos
x
5
Z
Ñ
Z
2
2 +
2kπ k
6 k π S
5
x
x
k 2
276
0
temos:
cos
––– 5π –––
V
2kπ k
6
Guia do professor
são
vale
A
Ñ
Z
0
19.
5
3 16.
a)
cos
10
°
5
cos
(60°
cos
105°
5
cos
60°
1
45°)
cos
cos
4
4
2
105°
45°
sen
3
2
1 cos
cos
60°
sen
45°
2
5 2
2
2
2
k 4
cos
105°
5 4
A
1 0
2
cos
x
b)
cossec
15°
1 5
5 sen
– –––
15°
sen
(60°
45° )
2 S
1
NOSLIDA
cossec 15° 5 cos
k kπ
45°
4
1 cossec
15°
5
3
1
2 Logo,
uma
resposta
possível
é:
cos
x
5 2
2
2
2
2
2
Comentário:
Esse
exercício
proporciona
a
4
reversibilidade
1
1 cossec do
estudo,
ou
seja,
a
oportunidade
de
elaborar
15°
5
5
uma 2
equação
a
partir
de
uma
solução
conhecida.
4
cossec 17.
a)
sen
75°
5
sen
(45°
sen
75°
5
sen
45°
1
15°
cos
30°
1
sen
30°
cos
5
45°
1 c)
75°
sen
75°
cotg
75°
1 5
5 tg
75°
5
tg
1 cotg
75°
5 1
1
tg
b)
2
30°)
3 sen
2
4
cos
75°
5
cos
(45°
cos
75°
5
cos
45°
45°
30°) 3 cos
30°
sen
45°
sen
1
30°
3 cotg 3
2 cos
75°
2
75°
5
5
1
5
3 2
2
2
1 1
2
3
cos
)
75°
cotg
5
sen
165°
5
sen
(120°
sen
165°
5
sen
120°
sen
165°
5
5
1
45°) d)
3
75°
cos
45°
1
2
sen
45°
sec
105°
1 5
5 cos
120°
105°
1
1
⎛
cos
⎞
sec
1
° cos
45°
1 sec sen
165°
105°
5
5
d)
cos
285°
5
cos
(240°
cos
285°
5
cos
240°
1
2
45°)
cos
45°
sen
240°
cos
2
1 cos
285°
5
2
⎞
3
2
105°
5 2
5
2
⎝
⎠
4π
7 285°
5
20.
a)
3
5
a)
Vamos
mostrar
5
que
tg
15°
i
tg
45°
tg
1
tg
tg
(45°
45°
tg
tg
30°
3
5
1
45° 3
15°
tg
45°
5
2
4
3 2
7 3 tg
30°
5
3
1
2
3
tg
3
5
i
5
,
concluímos
17
⎛
que:
b)
i
Vamos
tg
45°
tg
mostrar
que
5
⎛
⎞
π
5
⎞
1
⎛ 5
⎝
12
15°
5 2
3
b)
tg
3
5
12
3
Como
1
4
5 12
30°) tg
tg
⎠
30°:
7
15°
⎞ 1
⎠
tg tg
π
⎞
1
4
18.
2
2
2
cos
2
2
4
45° sec
⎛
3
2
1
4
5
⎞
tg
⎠
⎝
⎠
30°
tg
60°
tg
45°
i
tg
15°:
⎛
⎛
⎞
tg
5
π
π
tg
⎞
1 4
tg
60°
tg
15°
tg
45°
tg
(60°
5
3
tg 5
45°)
60°
tg
45°
5 1
60°
⎛
17π
6
⎞
tg tg
15°
5
2
3
12 tg
1 6 Como
tg
3
60°
1
tg
i
45°
2
i
3
tg
,
concluímos
3
15°
1 17 Comentário :
Analogamente
ao
boxe
Reflita
da
página
84,
tg
meio
de
cálculo
direto,
em
caso
particular,
os
1
3 5
12
por
4
que:
3 1
1
alunos
3
são
levados
nérica
de
a
que
concluir
a
que
tangente
não
da
é
válida
diferença
a
de
afir mação
dois
ge-
ângulos
1
17
é tg
5
5
12 igual
à
diferença
das
tangentes
desses
ângulos.
Guia do professor
21.
a)
cos
(π
1
x)
5
2cos
4.
x
A
o
membro,
temos:
os
sen x 0
1
24 cos
(π 1
x)
5
(
1)
cos
x
5
2cos
x
15
o
Como
desenvolvendo
o
membro
1
obtivemos
uma
o
expressão
mos
idêntica
concluir
que
à
a
expressão
igualdade
do
cos
membro,
2
(π
)
5
pode-
2
verdadeira.
B ⎛ b)
21
π
sen
5
cos
2 Aplicando
a
lei
dos
cossenos,
temos:
o
membro
da
igualdade,
temos: 2
21
5
sen
8
cos
sen
2
x
24
2
15
24
cos
a
441
2
0
cos
5
a
225
5
1
576
0,5
a
720
5
cos
a
60°
π
sen
cos
cos
x
2
Como
Portanto,
obtivemos
uma
expressão
idêntica
à
2
membr o,
podemos
concluir
que
a
5. 5
cos
é
AC
do
medida
triângulo
do
é
ângulo
for mado
entre
os
lados
AB
60°.
igualdade
π
sen
a
expressão e
⎛
1
cos
1
do
2
15
π
⎛ sen
⎛
2
5
Fazendo
um
esquema
da
situação,
temos:
C
verdadeira.
med(A ( )
5
36°
med(B )
5
90°
med(C )
5
54°
54°
Exercícios comp lementares
19 m
1.
D x 135° x 21°
30°
15°
15°
A
Aplicando
a
lei
dos
senos,
B
temos: Aplicando
a
lei
dos
senos
no
:ACD,
temos:
1 15
2 19
15
x
2
x
19
2 x
81
x
5
5
42, 75
15 0, 3 6
sen
30°
2
Portanto,
5
15
A
distância
entre
madamente,
2.
o
topógrafo
e
a
base
da
torre
é,
aproxi-
cm. 42,75
m.
A 6.
sec
cossec
π
1
tg
2π
8
sec
2
5 4
5
1
(
1)
1
0
sec
5
21
4
x
60
m
1 7.
a)
Se
cos
x
,
5
en
ão:
3 2
2
sen
2
x
cos
⎛
2
x
5
1
V
sen
x
5
1
⎞
1
V ⎝
60°
⎠
2
V B 50
sen
x
5
C
m
9
o
Como Aplicando
2
a
lei
2
x
60
dos
cossenos,
x
é
um
arco
do
1
quadrante,
temos:
temos:
2
1
50
2
50
60
cos
sen
60°
x
5 3
1
2
1
x
500
sen b)
2
5
x
cos
x
x
3
5
3.100
5 1
1
q
x
1
3
55,7
1 Portanto,
a
distância
entre
os
edifícios
A
e
B
é
aproxima-
c)
sec
x
3
5 cos
damente
55,7
1
1
x
m.
1 3.
A
d)
cossec
1
3
x
5 sen
x
4
3
8
120°
cm
8
cm
OCCES
8.
a)
sen
x
5
sen
NOSL
5 C
B
DA
2
BC
2
5
8
Então:
2
1
8
2
8
8
cos
x
5
4 2k π
ou
2
x
π
k
Ñ
Z
120° 5
5
:SEÕÇARTSUL
2
(BC )
5
128
5
192
128
(
0,5) Logo:
2
BC
V
BC
192
BC
5 π S
Portanto,
278
a
medida
do
Guia do professor
lado
BC
cm.
5
x
x
4π k
5
x
5
1 5
k
k
Z
Então: 2
⎛ b)
cos
x ⎝
2
3
cos
75°
sen
105°
5
5 4
Então:
k
2
ou 5
3
4
5 2
5 2
4 4
4
2
k
k
Ñ
k
Z
12.
a)
2
sen
x
1
2
2
cos
x
5
1
V
2
sen
x
5
1
cos
x
V
4 2
V
3
⎛
2
Logo:
x
sen
5
2
V ⎝
S
16
⎞
1
sen
x
5
⎠
5
25
4
k Como
x
é
um
arco
do
1
quadrante,
temos:
sen
x
5 5
b)
π c)
tg
x
tg
x
sen
x
cos
x
5
V
3
tg
x
4
5
5
3
4
5 3
4 c)
cos
2x
5
cos
2x
5
cos
(x
1
x)
5
cos
x
cos
x
sen
x
sen
x
Então:
k
k
Ñ
3
3
4
4
9
16
5
5
5
5
25
25
Z
7 cos
7π Logo:
x
5
k
2x
5 25
Z
12
d)
9.
sen
x
1
cos
x
0
V
cos
x
sen
sen
sen
2x
5
sen
x
(x
1
x
5
4 sen
2x
5
sen
2x
5
5
x
5
sen
x
cos
x
1
sen
4
3
12
12
5
5
25
25
x
cos
x
24 k kπ
25
4
e)
tg
2x
sen
2x
cos
2x
24 V
5
tg
2x
25
⎛
5
8
24
⎞
2
5 2
25
7
7
A
cos
x 13.
a)
Aplicando
a
lei
dos
senos,
temos:
2 18 18
36
7 k kπ
sen
4
sen
3π Logo:
S
5
2 V
45°
6
6
5
sen
b
5
V
b
36
3
x
k
V
sen
b
5
4
2
3 b) 10.
a)
sen
15°
5
sen
(45°
sen
15°
5
sen
45°
cos
15°
b 5
V
b 5
60°
ou
b
5
120°
2
30°
3 sen
sen
30°)
sen
30°
cos
45°
c)
2
1
a 5
180°
(45°
1
60°)
a 5
180°
(45°
1
120°)
5
75°
5
ou
15°
5 2
2
2
Logo,
2
a
75°
ou
a
15°.
d) sen
15°
5 4
75° b)
cos
165°
5
cos
(120°
cos
165°
5
cos
120°
165°
45°)
cos
45°
sen
3
2
1 cos
1
120°
sen
36
45°
2
5 2
2
2
2
45°
cos
165°
5
120° 45°
4
c)
tg
75°
5
tg
(30°
1
45°) 14.
a)
sen
2a
5
sen
(a
1
a)
5
sen
cos
a
1
sen
a
8
cos
a
V
sen
a
V
1 V tg
75°
sen
2a
2
sen
a
8
cos
a
5
cos
a
5 1
30° b)
cos
2a
5
cos
(a
1
a)
2
3
V 1
cos
2a
5
2
sen
75°
cos
a
2
sen
a
8
a
1
3 tg
8
2
a
cos
tg
5
5
c)
tg
2
5
tg
(a
1
tg
a) a
1
a
8
1 3
Logo, tg
75°
5
2
1
a 11.
cos
75°
5
cos
(30°
cos
75°
5
cos
30°
3 cos
75°
1
5
existência
da
tangente.
45°)
45°
sen
2
30°
sen
15.
45°
cos
(x
cos
(x
1
2π)
5
cos
x
cos
2π
π)
5
cos
x
cos
π
2
cos
(x
1
3π)
5
cos
x
cos
3π
sen
x
sen
π
5
2cos
x
sen
x
sen
2π
5
cos
sen
x
sen
3π
5
2cos
x
2
1
2
2
2
x
2
e
OCCE
75°
2a
5 2
cos
tg
3
assim
Então,
5
por
a
diante.
sequência
4 [cos
NOSL
sen
105°
5
sen
(60°
1
105°
5
sen
60°
cos
45°
1
sen
45°
cos
i
k π,
DA :SEÕÇARTSUL
sen
105°
x
2
1
pode
Ou
x,
cos
seja,
a
cos
(x
escrita
x,
cos
x
sequência
2
2
2
de
primeiro
Comentário: 105°
),
ser
1
2
da
),
cos
(x
seguinte
1
3
),
...],
com
for ma:
cos
é
x,
uma
...),
com
x
progressão
i
k π
geométrica
(PG)
5 2
sen
1
60° (cos
3
cos
45°) x
sen
x,
ter mo
Essa
igual
a
cos
questão,
de
1
caráter
intradisciplinar,
5 4
retoma
o
conceito
de
PG.
Guia do professor
279
5.
2
sen
x
2
5
0
sen y
6
x
5
1
V
x
5
1
2k π
Ñ
Z
2
x
1. sen
44°
sen
36°
sen
100°
Portanto,
S
x
Ñ
π
Z
2
alter nativa 6
sen
100°
6
x sen
b
0, 98
x 44°
q
8,5
0, 6 9
2 6.
cos
3
2x
2x
1 4
2 6
sen
36°
6
0
59 y
5, 1
5
sen
2
2
k
Ñ
Z
4
Logo,
x
q
8,5
cm
e
y
q
5,1
cm.
k
Logo,
k
ou
Ñ
Z
8 alter nativa
d
Portanto, S
x
Ñ R$
k
x
k
8 2.
Aplicando
a
lei
dos
cossenos,
alter nativa 2
2
( (AB B)
5
k
Ñ
Z
8
temos:
b
2
12
1
2
12
8
cos
20°
2
q
( (AB)
144
1
64
180,5 7.
sen
15°
5
sen
(60°
sen
15°
5
sen
60°
sen
15°
5
45°)
2
27,5
( (AB B)
AB
q
cos
3
a
ter nativa
3 Se
sen
45°
cos
60°
2
sen
x
2
1
2
2
5
5
então
cossec
x
sen
5
5
15°
5 4
3
Assim:
1 cossec
2
c 2
3.
45°
5,25
1
5
x
cos
105°
5
cos
(60°
cos
105°
5
cos
60°
cos
105°
5
1
45°)
cos
45°
sen
60°
sen
45°
5 sen
x
3
2
b
cos
105°
3
2
1 5
alter nativa
2
2
2
2
5
1 o
4.
Se
cos
x
5
e
x
pertence
ao
1
quadrante,
então
alter nativa
d
4
15 sen
x
1
= 8.
4
Se
15
e
sen
0
,
,
4
então
cos
x
5
2
4
1 sen cos cotg
x
2x
= sen
x
cos
x
1
sen
x
cos
5
2
sen
x
cos
15
4
x sen
x
15
15
1
15 sen
2x
5
2 4
alter nativa
a
alter nativa
Cap ítulo
15
4
8
b
4
Super fícies poligonais,
círculo e áreas
Esse
capítulo
metria
vistos
olígono
retoma
no
e
apro
Ensino
regular
e
de
unda
alguns
Fundamental,
circun
erência
conceitos
como
e
o
as
de
cálculo
de
inições
da
Portanto,
Geo-
área
são
de
1
super
ícies
poligonais.
Esses
conceitos
de
lana
servirão
de
base
para
o
estudo
da
Geometria
à
Resoluções e comentários
um
os
rio:
triângulo
equilátero
inscrito
em
uma
por
exemplo,
triân
ter ça
ulo
a
r elação
baricentr o
na
razão
1
de
raio
r
2
cm,
da
9
do
do
lado
desse
ser
triângulo
apr oveitada
descobertas
entr e
o
a)
R c
temos: 3
r 5
1
c
R
6
c
2 3
Guia do professor
3
3
da
triângulo,
3
R
medida
que
3.
2
a
a
medida
estudamos
do
6
280
e
pode
outras
equiláter o:
parte
c
a
questão
façam
circunfe-
2. rência
Essa
alunos
Geometria,
Exercícios p rop ostos
Em
apótema
respectivamente.
além
da
para
pedi-
apótema
e
a
altura
seguintes. do
1.
do
espacial da,
capítulos
cm,
Geometria que
nos
medidas
e
de Coment
algumas
as
cm
do
altura
essa
que
é
apótema
do
i
triângulo.
uma
divide
é
ual
Na
pr opriedade
cada
mediana
Comentário:
b)
D
Essa
questão
pode
ser
explorada
com
os
R seguintes
D
questionamentos:
DEFG G
e
DCBA
são
semelhantes?
3
dentes?
R
lelogramos
sejam
semelhantes?
c 6
5.
c)
P
6
c
5
6
V 3
Comentário
8
cm
7
cm
9
cm
1 p
9
5
5
12
2
A
) : ABC
A
5
12
5
: ABC
r
que
passe
2
pelo
centro
O
Comentário
partir
da
reta
a
dela;
;
O
r
P
na
6.
F
A
P
cir
O
e
raio
OA
r
B
A
2
150
B
C
D
E
e
F
cm
a
h
AB
BC
CD
DE
EF
e
FA D
C
E
A 3.
2a
a
1
1
2b
b
a
5
5
G
c
5
1
V
a
5
1
V
a
5
ABCD
12
Seja
d
1 5
V b
b
5
2a
2
5
5
2
3 h
10 2
3
0
2
a 20 A
10
3
5
5
100
3
:E F G
2
b
7.
a
1
2a
5
V
a
5
2
e
b
5
8
5
4 5 2
Área
5
a
b
5
2
4
5
m
c 2
⎛
⎞
A
1
5
quadrado
2
4.
BC /AG /EF
DEFG
e
AB /CE /GF
DCBA A
e c
2
A
5
2
DEFG
( 10
A :DEG
8.
A
75 trap
zio
2
78 A
a 10
5 :DEG
A
2
10 5
5 triângu
50
o
2
A
5
30
sen
a
2
DEFG
5
2
DCBA
Comentário
A
2
é
50
m
ADC
10
a 2
A
mentalmente
5
o
quadrado
ABCD
:ADC
2
A
5
10
sen
a
DCBA
AMCD
da
ABCD
e
a
4 A
1
D E FG
5 A
5
9
CDM
corresponde
a
ABCD
2 DCBA
Guia do professor
281
:SEÕÇARTSUL
NOSLIDA
OCCES
A
9.
12.
A
C
E D
5
x
x
x 60° B
x
45 F
–
x C
20
m
E
:ADE
31
20
F
B
:EFC
m 5
2
5
x
x
x
x
5
20
x
x
DEFB
BDF F
1 A
5
5
5
8
3
DEFB
2
2
A 20
m
é
2
A
5
A
A
13.
A ADEF
H
BCEF
B
(3
x
1
2
x
A
E
F
C
2
2x
x
5
5
5
2x
19
G
1
1
D
cm
cm
10.
17
cm
A
5
A
ABCD
AE
d
1
2
A
AECF
F
é
um
ABCE
quadrado:
A
5
3
3
5
9
AECF
17
cm 2
A
5
A
ABCE
1,4
A
A
BCG
5
4
2
9
5
3
AECF
2
A 17
2 HFGB
m
5
9
1
2
3
5
15
ABCD
cm
2
Comentário
17
cm
2
m 2
A
BCG
d
5
2
5
5
D
5
2
m
2
5
5
r 14. d
3
2
5
A
a
r
3
D 5
8. 798
2
cm
osango
2 5
5
V
c
5
6
2
5
Comentário
a
5
2
cm
15.
11.
c
a
C A
6 hexágono
2
c h
a 6
Mas:
6
c
a
D
5
2
2
3
cm
a
a
6 19
cm
3 5
5
hexágono
6
2
ABC
DEC
OCCES
A
5
72
3
hexágono
Sendo
ABC C
e
h
2
NOSL
gulo
DEC
Comentário
DA
19
AB
DE
5
cm
:SEÕÇARTSULI
3
A
5
2
5
2
Guia do professor
282
3
11, 4
72
5
h
Logo:
a
x
19.
3
6
16.
5 12 a
2 4
12 c
3 6
5
5 6
2
2
c
2a 6
c
a 6
2a
3
1
6
c
a
1
2
3
1
2
3
a
6
2
2
x 2
6
a
c
A
6
c
4
c
1
2
x
5
2
12
V
2x
5
144
V
x
5
a
6
5 4
A
a
c
4
a
c
4
1
2
12
6
3
1
1
a
1
2
8
2
1
c
2
cm .
Comentário:
17.
Essa
questão
proporciona
aos
alunos
a
com-
2 c
2
20.
A
5
=
π(R R
coroa
2
)
π
R
2
)
5
π
π(
R
2
)
25)
5
2
2
2
5
π
R
)
5
100
R
2
5
10
2
0, 24 q u a d r a d os
R
5
2
2
x
a
⎛
⎞
π
2 21.
2
1
m
R$
A
π
5
8A
a
2
A
a π
2 V
x
5
500
5 120
2
x
$
2
5
3
2
e
c
5
18.
A
8A 2
8A 2
c
2
5
8
1
A
3
2
a
2
b
A
A
1
A 2
T T
coinci-
A
1
A
5
A
2
Comentário
r P
Carboidratos
í e t o
s a n
22.
3
Gorduras
1 1
3
1 –––
2
1
T
1
5
A
T
mais
T
5
T
⎛
1
⎞
1
5
2
⎛
⎠
⎝
1
4
2
⎞
⎠
2
⎛
1
A
3
⎞
5
segm ent o
4
⎠
3
3
1
5
1 aranja
2
6
6
2
cm
6
Guia do professor
283
.
:SEÕÇARTSULI
⎝
NOSLIDA
1
⎝
3
o
is
OCCES
π
2
triângu
A
23.
4.
A
5
300
200
5
2
A
5
20
400
A 2
2
Sendo
n
A
n B
5
C
60. 000
c o z i nh a
A
150
4 cer âm i ca
c
5.
a)
A
c
r
5
6 2
A
5
5
42
1
9
cm
2
8
2
3 A
2 tri
ngu
3
5 8
2
2
A
o
4
cm
2
5
A
cm
A
4
(9
5
A
5
5
51
6
2
cm
6
cm
2
A
5
3
A
3
A
setor
circular
A
5
42
1
51
5
93
total
2 2
2
r
5
2
2π
2
2
b)
r
A
5
5
quadrado
5 set or
ci r cu
ar
6
6
3 1
1
7
18
5 triângu
9
o
2
5
2
az u
3
A
5 triângu
5
6
o
2
π
cm
A
1 t ot a
Comentário
2
pode ser mais explorada pedindo aos alunos que calculem a
1
6.
BAC
e
MNC
ABC
AC
2
k
2
k
π NC
2
A
k
2
5
5
4
MNC C
2
e
A
C
Exercícios comp lementares
1.
V
A
10 5 2
5
2
7. c
5
5
400
2
2
10
c
x
5
x
5
400
400
ri 4
cm
100
4
c
x
5
x
5
26
3
5
2. 6
2 c
3
6
6
6
a
c A
2
6
V
6
2
8.
c
5
V
c
4
12
2
5
V
c
3
5
8
4
3 DC
5
3
DMC
MQ;
assim:
2
V
c
5
4
V
c
5
2
DC
DM 5
c
5
r
r
5
PQ
PM
8
DM
5
2
PM
2
9
24
2
2
5
3.
PM
5
V
PQ
PQ
5
4
PM
12 A
5
5
16
osango
2
2
Temos:
(p
)(p
A
9.
9) triângu
MQNP
o
OCCES
A
5 12 triângu
5
o
NOSLIDA
2
4
:SEÕÇARTSULI
8 12
A triângu â
5
o
c
5 15
2
2
A
5 quadrado
cm .
284
Guia do professor
c
c
2
5
15
5
225
4
2
e
diagonal 1 5
2
cm .
2
10.
A
B
2
2
c
⎛
⎞
c ⎝
2
2 2
c
2
a 6
4
A
A
A
2
4
2
3
3c
2
5
a 6
2
4 c
5 3
D
C
A
5
a
5
A 3
2
A cí
2
u
A
A
4
2
1
1
c
2
5
V
c
7
3 A
5
2
3
A A 5
A
A
2
cí r cu
o
2
4
V A
ABCD
5
2
4
π
8
2
V A
2
5
4π c
2
a
4, 39
6
4
5
A
3, 80
6
V
A
A
1
A
2
5
2π
1
2π
1
2
4π
3
7
2 1
A
A
1
A
1
A
2
5
3
c
a
4, 39
4, 20
5
A
5
5
5
V
2
Log
11.
ABCD
5
20
A
1
quadrado
MNPQ
7
20
A 5
MNP
diagonais
do
quadrado
MNPQ
5
2
das
1
MNPQ
medidas
1
12
T
ao
7
e A
exteriores
A
2
15. cm
4 d
5 4
A x
h
2
2
2
A
8 M N PQ
cm 2
alaranjada
é
8
cm
h
=
4
–
x
A
12.
2
8
cm
2
R
R
h
5
A
R
Ñ
x
2
N
20
5 360
2 4
x
1
1
32
cm
5 2
2
3
1
R ,
V Então:
2
q
para
R
8
32
128 5
1
1
1
5
20
50 5
2
1 13.
1
78
A
5
5
6
2
2
Área:
400π
1
2
cm
π
cm 2
A
e
A
2
$
x
o
16.
Se
o
1
c
5
2
30, 625
x
o
2
o
ser
aproximadamente
R$
é
a
metade
5
da
medida
da
diagonal
do
1
2
2
c
5
3
14.
OCCES NOSL
:SEÕÇARTSULI
2
a 2
4 2
⎛ c
c
2
2
c
Logo:
c
5
2
2
⎞
2 2 4
5
2
2
Guia do professor
DA
285
o
Área
do
5
quadrado: 4
e
6
4
⎛
2
A
5
c
6
2
A
5
2
⎞
5
o
L
a
c
c 4.
2
1
2
então:
4c
5
c
4
17.
6
F
A
a
6
6
5
5
A a
a
a
4c
4
4
a 2
E
A
5.
A
1
2
2
ACEG
O
2
a
a
é
2
cm
a 1 c
a
A
2
5
5
1
AEG
2
2
B
D
a
1
a A
AEG G
é
1
cm
)
5
5
1, 5
ABEG
2
2
C
2 Se
a
ABCDEF
A
ABEG
1
5
5
1
B D FH
2
a 2
c
3
a
a c
H
é
1
cm
3
5 6. A
A
e
A
H
são
tais
B
que:
K
a
x F
A
10
cm
H
4
2
h
2 2
⎛
⎞
a
3
A K
⎝
⎠
3
4
D
2
h
5
10
10
C
cm
x
a
A 2
H
Logo:
3 2
2
A
a
K
2
A
x 2
)
Comentário
(
A
1
1 0 )5
5 ABEF
2
A
BD
e
EC
O
H
2
A
ABEF
AC
(x
1
EBC
1 0 )5 5
ár ea
H
ár ea
K
x
2
K
x
36
1
10
5
5
40
4x
Logo: 12
FE
⎡
1 7. 1.
2
⎤ 2
π
⎛
π
⎞
R
5
cor oa
⎝
4
⎣
⎦
16
2
A
5
r
circulo
Logo:
2.
c
5
2a a
4
A
4
3
verde
5 A
c
3
16 ci r cu
o
2 OCCES
c
3
5
a
6
6
3
NOSL DA
c
5
2
2
8
:SEÕÇARTSUL
3.
286
Guia do professor
d
sites
a
site
Cap ítulo
5
Introdução à Geometria espacial
Apresentando
tria, esse
de
O
as
noções
capítulo
permite
demonstrações
estudo
entre
reta
rismo
é
das
e
de
–
e
e
trabalhar
os
a
postulados
dedução
da
lógica
Geome-
por
meio
teoremas.
posições
plano
primitivas
imprescindível
ideias
para
o
–
entre
de
retas,
entre
paralelismo
trabalho
com
e
planos
ou
perpendicula-
nos
capítulos
poliedros
e
corpos
redondos
relativas
das
seguintes. existe
um
plano
a
o
No
volume
do
3
ano,
o
estudo
das
posições
relativas
terá
o
viés
da
Geometria
analítica.
Resoluções e comentários
não
existe
nenhum
plano
a
que
a
contenha
os
Exercícios p rop ostos
1.
A
e
B
3.
pontos
não
colineares
com
e
B
e
A
B
C
e
D
CD
A
B
C
e
D
nunca
C
5.
e
2.
4.
e
C
AC
outros
pontos:
A
B
e
C;
A
B
e
D;
B
C
e
D;
A
C
e
D.
Guia do professor
287
Comentário:
sante
Após
perguntar
per nas
sempre
nunca
na
a
resolução
aos
ficar
alunos
manca
horizontal
dessa
se
o
implica
quando
questão,
fato
de
que
colocada
a
seu
em
é
interes-
mesa
de
tampo
pé
em
c)
três
sa,
pois,
existe
estará
um
Fa
está
pelo
se
uma
menos
contida
em
reta
r
uma
a
reta
t
perpendicular
a
r
que
a
chão t
plano
e
Esse
um
r
horizontal.
questionamento
plano
por
tr ês
vai
além
pontos
da
deter minação
distintos
e
não
de
colinear es.
T am b ém
co l o c a
em
pauta
o
conceito
de
pa r al e li s m o
d) entr e
V erdadeira, pois, se uma reta r é perpendicular a um plano
planos.
a,
6.
a)
Verdadeira,
existe
um
Falsa,
c)
Falsa,
d)
Verdadeira,
se
duas
mesmo
b)
ou
pois
pois
pois
não
duas
duas
têm
plano
retas
retas
pois
retas
dois
são
que
reversas
as
planos
nenhum
são
ponto
não
são
são
paralelos
ou
coplana a ares.
se
coincidem
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Falsa;
retas
considere
r
Nesse
e
s
tais
caso,
Portanto,
dois
que
ou
r
duas
e
r
s
planos
y
a
são
retas
e
s
paralelos
y
a
e
b
e
paralelo
a
questão,
podemos
a
com
propiciando
desenvolver
a
por
como
meio
objetos,
aos
habilidade
r
assim
explorar,
r epr esentações
afir mações,
Por
KM
duas
b
um
ponto
passando
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paralelas,
reversas
de
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Nessa
da
alunos
visão
a
a
nas
de
ques-
esquemas
verificação
das
oportunidade
de
espacial.
comum.
9.
7.
todo
rio:
tões 6 e 7,
coplanares.
sempre
então
Coment
não
contenha.
reversas
paralelas
quando
ou
r
e
podem
s
são
estar
reversas.
em
ª
KM
Como
R
fora
por
PM
de
e RP / KM
/ QS
e
,
KM
traçamos
uma
paralela
a
P
KM
, então
/ RP
,
RP
então
é perpendicular a
RP
PM
/ QS
planos ª
e
/ RP , então
RP
é perpendicular a
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paralelos. Então
b)
Verdadeira;
sabemos
que
r
é
paralela
a
s
e
que
a
t
e
queremos
mostrar
que
r
é
paralela
a
retas
r
coincidentes
}
Há
5
três
r
z
s
Ö)
e
(r
e
e
s
z
a
são
s)
paralelas
ou
quando
( r/s)
têm
quando
intersecção
r
z
s
e
a
s
Nesse
r
er
endicular
a,
elo
menos,
duas
de
a
RP
/ KM
e
RP
/ QS
,
temos
que
ª
a
e
QS
ª
a
vazia
10.
a)
Não,
são
perpen
b)
Não,
HG
é
icu
ares.
c)
Não,
são
concorrentes.
d)
Sim,
pois
coplanares. paralelo
ao
plano
(EFN).
considerar:
as
três
retas
são
coincidentes;
logo,
r
EF
y
EFN
}
EHG.
é
t
}
t
5
caso,
a
é
são
11.
ois
t
caso,
paralela
z
são
casos
Nesse
s
a,
t Como
Duas
ª
é retas
paralela
RP
r
Ö
e
ou
t
r
têm
}
s
5
Ö
e
s
intersecção
z
a)
Veja
a
figura
abaixo.
t
vazia;
logo,
r
t
t s
r
}
s
5
Ö
e
s
}
t
5
Ö
r
P
Consideremos
b
os
(deter minado
reta
planos
por
s
e
(deter minado
t ).
A
intersecção
por
de
a
r
e
e
s)
b
é
e
a
s
P
Por
t
ser
um
ponto
de t
é
um
ponto
de
b,
mas
não
de s Como
(pois
s
}
t
5
Ö).
Como
só
os
pontos
de
s
pertencem
os
possui
b
e
também
a
a,
concluímos
que
P
não
pertence
a
P
também
não
pertence
a
r.
Se
um
ponto
de
t
não
pertence
a
r,
então
r
}
t
5
Ö,
ou
r
é
paralela
Falsa;
se
a
uma
reta
r
a)
mum,
a
Falsa.
Considere
e
pode
um
ser
plano
secante
têm
a
um
ponto
em
a
por
um
a
reta
que
tes
em
uma
uma
ponto
P.
Assim,
mesma
t
a
é
perpendiculares,
perpendicular
reta
intersecção
reta
t,
P P,
e
duas
ao
plano
então
b
a
r
é
a
e
à
perpendicular
reta
à
r
reta
no
t
ponto
e
entre
os
planos
a
e
à
reta
s
b
a
então
r
reta
é
r
e
s
são
reta
,
e
r
uma
reta
e
duas
s
não
r
é
perpendicular
perpendicular
ao
a
duas
plano
retas
no
planob
b
a
perpendicular
retas
Como
a
um
r
e
s
de
a,
resposta
pessoal
pla-
Representando
retas
são
o
plano
(
D)
e
a
diagonal
C
de
for ma
concorren-
conveniente,
a
são
co-
12. no
b
t
reta
b)
8.
e
perpendicular
seja,
de
c)
a
reta
qualtemos
quer
uma
a; omo
logo,
planos
a
temos:
perpendiculares
paralelas.
C
b)
Falsa,
pois,
se
r
e
um
plano
são
paralelos,
H toda
à
reta
reta
r,
perpendicular
ou
é
reversa
à
ao
plano
reta
a
ou
é
D
perpendicular
r u
OCCES
r
t
NOSLIDA
B
F
s A
:SEÕÇARTSULI
Sabemos
s
288
Guia do professor
t
reta
t
e
que,
se
r
e
t
perpendicular
u
à
reta
é
paralela
Como
AC
é
a
diagonal
do
quadrado
ABCD,
então
AC
B
omo
y
Como
r
ª
u
cularismo
Logo,
13.
AC
Como
e
e
r
DB
ª
T
y
s,
garante
é
R
r
o
s,
concluímos
teorema
que
e
que
r
ª
per -
fundamental
17.
Representando
a
situação,
temos:
D).
A
s
do
perpendi-
r
HFBD D
perpendicular
ao
plano
(HFBD). D
V
pectivamente,
é
AB
PB
PA
e
PC ,
res-
então:
TV
é
paralelo
a
A
;
TR
é
paralelo
a
AB ;
PA
é
perpendicular
t
B
ao
plano
(
Queremos Como
PA
é
perpendicular
aos
planos
a
e
esses
lanos
são
aralelos
entre
V
deter minar
a
medida
do
ân
ulo
AB
(R TV V
No ue
C
V
triângulo
ABC,
temos:
si.
BC
b cos
t
5 AB
14.
a)
Não,
de
pode
resultar
em
um
ponto
ou
em
um
segmento
Como
AB
5
2
(BC), C
temos:
reta. BC cos
b)
Não,
c)
Não,
ou
pode
resultar
pode
em
em
resultar
uma
um
em
ponto
uma
reta,
em
Não,
pode
uma
Logo,
semirreta
o
de
cos
ABC
Sim,
resultar
sua
reta
em
existe
suporte
um
triângulo
ou
em
um
a)
Sim,
pois,
se
temos
é
um
raio
da
circun
perpendicular
ao
erência
plano
de
tal
que
exige
a
dos
medida
as
dos
ângulos
semirretas
AB
e
M
AC
B
e
KAC
pertencem
é
ao
Portanto,
projeção.
b)
Esse
tipo
de
atividade
tem
caráter
alunos
conveniência
for mato
de
ponha
outro
um
de
exercício
passar
gincana
ou
de
uma
Não,
não
for mativo
desafio,
imaginação.
atividade
para
que
BAC
pois,
de
é
perpendicular
BAM
um
ângulo
acordo
podemos
e
é
à
aresta
do
diedro.
com
garantir
são
plano.
o
que
enunciado
as
do
medidas
exercício,
dos
ângulos
iguais.
Avaliar
análoga,
cada
que
que
PA e
a
seg-
e
Comentário:
60°.
reta.
quando
alter nativa
mede
parábola.
plano(ABC ( ), e)
5 2
ângulo
90°, mento
1 V
5 2B C
18. d)
t
também.
grupo
em
pro-
Exercícios comp lementares
de
a
três
Uma
ou
grupo
quatro
variação
uma
figura,
a
for mas
dessa
que
visualização
a
projeção
geométricas
atividade
seria
da
é
em
cada
projeção
de
um
grupo
outra,
ortogonal
1.
planoa
um
A
Se
pla-
A
por no
a,
e
propor
a
outro
grupo
que
descubra
uma
Ñ
r,
própria
apresentar
em
Se
reta
É
um
geradora
da
figura
dada
r,
A
istância
entre
EF
e
GC
é
2
cm.
b)
A
distância
entre
EF
e
HG
é
2
cm.
c)
A
distância
os
pontos
2
(FC) C
FC
A
e)
A
A
a
podendo
5
5
4
distância
F
1
25
ser
ser
a
é
ser
5
medida
a
medida
no
reta
pela
entre
as
reta
contida
entre
distância
entre
entre
está
distância
pode
DC
paralela
postulado
A
fora
da
P5
reta
r,
(postulado
passa
Os
r,
que
planos
(ABC) C
entre
de
é
CG
uma
reta
em
ambos
os
casos,
existe
uma
única
reta
paralela.
igual
à
distância
calculada
entre
2.
assim:
a)
reversas
d)
paralelos
b)
paralelas
e)
perpendiculares
2
c)
perpendiculares
f)
perpendiculares
os
retas
EF
e
plano
EF
e
o
pela
o
e
29
(HGF )
é
cm.
zero,
(ABC) C
entre
e
os
os
é
5
cm,
pontos
(FGC) C
entre
3.
A
afir mação
é
3
E
cm,
pontos
E
pois
e
A
pois
e
a
é
falsa,
pois
os
dois
e
5
(HGF )
FB
5
são
EA
paralelos,
5
5
e
a
planos
podem
exemplo,
con sid er emos
a
r e pr e s e n ta ç ã o
doc u bo
abaixo.
Ne
se
e,
a
reta
EH
interceptam
é
na
paralela
aos
planos
(ABC) C
e
(CBF F
retaBC
F G
distância
cm. OCCES
plano
(
K
seguintes
contido
E
no
semiplanos:
plano
(MTK),
2
K)
e
E
E
contido
contido
no
3
contido
no
plano
(
K).
Assim,
temos D
4
os
seguintes
|
E
;
E
2
Todos
os
2
diedros:
|
E
; 3
diedros
:SEÕÇARTSULI
(
E
NOSLID
no
os
E
|
3
têm
C
E
;
E
|
4
origem
; 3
M
E
| 2
se
i n t e r c e p t a r.
Como
(HGF ).
(EHD) D
distância
DC
plano
plano
distância
planos
E
F
Consideremos
plano
a
Euclides),
somente
E
16.
é
a
H
g)
a
29
distância
pode
C,
e
reta
2
1
5
pois
f)
e
2
5
Logo,
d)
F
EF
uma
ema
a)
entre
existe
r
pelo
ponto
Portanto,
15.
só
figura
paralela geométrica
então
E 4
A
B
Guia do professor
289
4.
A
r
8.
a
projeção
ortogonal
é
uma
reta
(s).
Representando
a
temos
ao
a
figura
Quer emos
situação,
lado.
deter minar
a R
distância
Q
PQ
30° B
No
triângulo
PQR,
PR
retângulo
=
9
m
temos:
P
A
s
sen
30°
5 PQ
PR B’
PQ
5
A ’
sen
30°
2
9 PQ
5
9
5
1
1
r
perpendicular
ao
plano
a,
com
r
}
a
5
A
2 A
projeção
ortogonal
é
um
ponto
(A). A Logo,
esse
ponto
Comentário:
r
metria
espacial
Geometria
a
dista
Esta
18
É
do
m
uma
cuja
plana.
necessidade
distância
é
da
das
aresta
muitas
resolução
importante
uso
da
do
pode
que
os
diedro.
questões
ser
alunos
T rigonometria
de
Geo-
reduzida
à
verifiquem
para
chegar
à
pedida.
A
9.
Como
a
soma
ângulos
látero
°
a
é
1
5
das
inter nos
360°,
90°
1
medidas
de
um
A
dos
2
quadri
temos:
90°
1
a
5
360°
O
A
60°
120°
Logo,
a
medida
do
ângulo
A
A AA 2
é
120°. A
5.
Representando
a
situação,
temos:
10.
Representando
a
situação,
temos:
C B
A
2
m
Q
B’
A
A B
Usando
h
para
representar
a
medida
da
altura
BQ
Nesse caso, a projeção ortogonal é um segmento de reta relativa
à
hipotenusa
do
triângulo
retângulo
ABC
de aplicando
lo
PQB ,
o
teor ema
de
Pitágoras
no
triângulo
A ’B ’
e
mesma
medida
que
o
diâmetro
AB
da
circunferência.
r etângu-
obtemos:
11.
Representando
a
situação,
temos:
2
2
2
2
1
5 C
h
5 x
P
Logo,
a
medida
da
altura
h
é
m.
M
6.
As
projeções
ortogonais
de
uma
circunferência
sobre
um x
plano
podem
60°
ser:
B
é
perpendicular
ao
plano
de
projeção;
Representando
minar não
perpendicular
ao
plano
de
OCCES
a
medida
é
paralelo
ao
plano
de
NOSLID
projeção
ortogonal
de
uma
o
esfera
sobre
um
plano
2
5
M
:SEÕÇARTSULI
290
reta
e
o
(
5
x
2
1
2
a
está
plano
contida
é
zero.
Guia do professor
em
um
de
2
1
2
M
reta
PAM
é
4x
Se
teorema
círculo. 2
7.
e
ângulo
e
temos:
2
um
M
projeção.
( (AB B)
sempre
x
AB B
por
2x,
queremos
deter -
a
plano,
a
distância
são
retângulos.
ABM,
A
do
triângulos
Aplicando ferência
por
projeção;
Os
P
entre
3x
a
5
(
2
5
x
3
M)
M)
Pitágoras
no
triângulo
retângulo
No
triângulo
retângulo
x
AM tg
PAM, M
b)
Se
3
C
é
Como
5
3 PA
temos:
V
a
a
ponto
AB
medida
do
ângulo
for mado
pelos
segmentos
teorema
temos
AB,
arco
BC
temos
BC
5
AC
de
5
Pitágoras,
temos:
PA 2
5
(PB) B é
8,
do
5
2
P
5
médio
x Pelo
Logo,
o
2
8
1
8
V
PB
5
60°.
Então:
Comentário:
A
resolução
dessa
atividade
exige
dos
alunos
sen a
construção
sição
do
de
texto
um
para
“enunciado
uma
figura
gráfico”,
com
geométrica.
a
t
Além
intradisciplinar mente
a
Geometria
1
PB
2
disso, Logo,
trabalha
BC 5
transpo-
plana
e
t
5
30°.
a
T rigonometria.
12. D
1.
A
Retas
paralelas
e
retas
reversas
não
têm
nenhum
ponto
comum. 60°
alter nativa
c
F 2.
As
retas
paralelas
são
coplanares,
e
as
reversas
são
não
coplanares.
alter nativa
3.
10
C
B
r
ª
r
é
s
e
s
y
a
a
ortogonal
a
Então,
existe
r
e
a
r
ª
u
y
t
e
t
uma
y
a
reta
u
paralela
a
t
60°
t
e
r
ª
u,
alter nativa
então
r
ª
a
b
6
E 4.
Aplicando
CE
5
6
a
1
lei
dos
10
cossenos
2
6
10
no
:
cos
BE,
temos:
a / /r
e
a / /s;
s
então:
r /
ou
r
é
concorrente
r
é
perpendicular
com
s
ou
60°
a
s
ou
1 2
CE
5
36
1
100
2
6
10
2
2
CE
5
EF
é
alter nativa
b
Se
não
76
perpendicular
ao
plano
(CBE ),
então
o
:EFC C
é 5.
retângulo
em
a
reta
é
perpendicular
ao
plano
a,
então
a
projeção
E ortogonal de r sobre a é uma reta; se a reta r é perpendicular
Aplicando
o
teorema
de
Pitágoras,
temos: ao
plano
a,
então
a
projeção
ortogonal
de
r
é
um
ponto.
2
2
CF
2
5
Logo,
1
a
distância
76
V
CF
entre
os
5
196
V
vértices
C
CF
e
alter nativa
5
F
é
14
unidades 6.
de
A
distância
entre
e
C
é
a
diagonal
do
retângulo
ABCD
comprimento. de
lados
AB
2
13.
d
Representando
a
situação,
P
4
cm
2
AC
temos:
5
5
1
a
alter nativa
CB
2
AD
Portanto,
e
DC
5
2
5
2
2
V
2
AC
distância
cm.
entre
os
2
1
4
5
pontos
20
A
e
V
AC
5
C
cm.
d
t
7.
A
distância
alter nativa
entre
o
ponto
A
BCF
é
AB
5
4
cm.
b
C
8.
A
distância
do
A
B
AH
5
9. Se
C
5
A,
obtemos
BC
z
BA
e
PC
z
A
PA
é
perpendicular
a
BA ,
pois
PA
é
é
OCCE
ao
plano
NOSLIDA
a
A,
está
^
circunferência,
obtemos
o
inscrito
em
AC CB
um
é
reto,
:SEÕÇARTSUL
que
PC
é
6
do
círculo
de
pois
o
triângulo
diâmetro
perpendicularismo
perpendicular
a
e
C
GH
é
a
diagonal
ao
plano
(DHE );
logo,
a
distância
d
AB ,
e
Se
o
ângulo
podemos
entre
r
está
r
é
uma
contida
reta
em
r
a
e
(r
um
plano
} a = r)
a
é
nulo,
então:
ou
paralela
a
(r
} a = Ö)
pela
d
afir mar
BC
são
AH
entre
ABC
A
C
reta
a
pertence
alter nativa propriedade
a
perpen-
10.
ângulo
e
perpendi-
PC
BC
dicular
Se
C
da
A
zero.
alter nativa
cular
ponto
PA
eles
Como
o
cm
alter nativa
a)
entre
quadrado
perpendiculares.
figura
representa
alter nativa
um
diedro.
c
Guia do professor
291
Cap ítulo
6
Poliedros
Reconhecer propriedades dos poliedros e aplicar relações entre
seus
elementos
enfoca
a
são
análise
alguns
do
dos
prisma
e
objetivos
da
desse
capítulo,
7.
Temos
ces.
pirâmide.
F
O
estudo
da
plan i fi ca çã o
de
seus
elementos
da
Geometria
da
su per fí c ie
proporciona
o
de
um
t ra b a l h o
p ol ie d ro
um
poliedro
quadrangulares
que
e
com
2
faces
queremos
pentagonais
calcular
o
e
número
5
faces
de
vérti-
Assim:
5
2
1
5
V
F
5
7
e
2
concomitante
A
8
5
1
5
8
4 V
5
A
5 15
2
pla n a
(i n i ci ad o
no
ca pí t ulo
4,
“ S upe r f í c ie s V
poligonais,
círculo
e
á r eas ”)
e
da
Geom e t r i a
1
F
A
Portanto,
O
cálculo
de
áreas,
elementos
de
poliedros,
volumes
e
medidas
trabalhado
de
comprimento
em
diversos
a
atribuição
de
aos
conceitos
significado
o
2
V
V
5
poliedro
15
tem
7
10
1
2
V
V
5
10
vértices.
de
problemas, 8.
possibilita
5
e s pa c ia l .
a)
O
poliedro
I
é
côncavo
ou
não
convexo,
pois
apresenta
estudados. reentrâncias.
b)
Ambos
possuem
c)
Ambos
possuem
o
o
mesmo
mesmo
d)
Ambos
possuem
o
mesmo
número
de
faces:
F
5
12
Resoluções e comentários
Exercícios
ro
O
poliedro
tem
5
faces;
portanto,
é
um
V
pentaedro.
1
10
F
1
A
O
poliedro
tem
7
faces;
portanto,
é
um
5
12
número
de
vértices:
V
5
10
arestas:
A
5
20
2
20
Portanto, 2.
de
ostos e)
1.
número
5
2
ambos
os
poliedros
satisfazem
a
relação
de
heptaedro. Euler.
3.
Analisando
14faces,
4.
a)
o
sólido
36arestas
Poliedro
não
representado,
e
Comentário:
encontramos:
24vértices.
poliedros,
têm
o
mesmo
poliedr o
tem
8
faces
quadrangulares
e
2
e
de
arestas
(a
é
da
frente
dado
por:
e
a
de
(8
trás);
1
então,
8)
9
cada
2
vértice
vértices;
o
Assim,
V
chegam
então:
V
3
5
arestas,
24
9
3
2
e
em
5
5
16,
F
5
10
e
A
5
o
O
mesmo
da
cada
aresta
aos
não
vértices,
o
alunos
comparar
convexo,
mesmo
os
quais
número
número
de
faces,
além
de
de
verificar
relação
de
a
Euler.
A
5
V
V
1
F
1
6
há A
5
2
V
V
1
F
(V
1
6)
5
2
V
16 F
5
6
1
2
V
F
5
8
24. Portanto,
Poliedro
de
outro
número
V
b)
número
e
5 9.
A
propicia
convexo
faces validade
octogonais
exercício
um
convexo. arestas
O
Esse
dois
o
número
de
faces
do
poliedro
é
8.
convexo.
poliedro
tem
9
faces:
5
faces
quadrangulares
e
4faces 10.
1
2
5
V
V
1
2
5
triangulares.
Então,
(5
4
o
1
número
4
3)
9
2
de
5
arestas
é
dado
11
1
2
(11
a
de
Euler,
obtemos
o
número
V
V
1
5
F
9,
F
A
5
1
(2x
5
2
V
V
16
9
1
2
V
V
1
9
e
A
5
x V
1
20
F
A
1
V
2
A
5
omentário:
dois
12
8
18
12
6
8
12
6
poliedros
É
poliedros
diferentes,
são
(3
5
1
1
8
18
8
12
5
5
x
2
satisfazem
interessante
dados,
a
relação
mostrar
embora
aos
tenham
de
1
1
2)
5
(7x
10)
5
x
1
1
A
5
3
1
3
18
2
18
2
5
x
o
1
5
5
5
1
de
5
faces
1
1
5
5
que
V
1
F
os
A
5
2
Sendo
faces
5 2
1 10
x
o
V
10
V
5
número
1
é
x
1
y
⎨ ( 3x
1
4y )
F
20
de
faces
V
1
F
A
Portanto,
292
5
o
5
2
V
triangulares
5
e
12
V 20
x
1
y
3x
1
4y
V
relação
V
de
36
poliedro
Guia do professor
1
Euler,
20
satisfaz
5
2
V
relação
3y
5 236
4y
5
2
de
5
⎨
2
Euler.
y
Assim :
x
1
4
5
5
40
4
12
V
12
V
⎩
temos:
54
a
2
1
5
⎨
54
2
por:
temos:
2
⎩
20
36
a
dado
12
quadrangulares,
3x Aplicando
9
11
octaedros.
5
1)
20
número
1
23x ⎧ V
5
5
V F
bastante
temos:
6
1
5
⎩ 5
x
215
5
F
4
5)
5
⎧
Sim;
1
1
2
Euler.
alunos
for mas
1
⎧
6.
x
2
11.
dois
x
5
x
5
Assim,
os
5
9
5.
Logo,
1)
16. 3x
II
1
de
x Assim,
x
16
relação
x vértices:
1
por:
2 Aplicando
(x
x
5
8
5
40
y
o
número
de
Logo,
são
8
faces
triangulares
e
4
faces
quadrangulares.
16.
a)
b)
face
1
5 Comentário:
de
Euler,
é
Nessa
questão,
importante
que
após
os
a
aplicação
alunos
da
percebam
relação
a
neces-
1 sidade
da
aplicação
de
conceitos
algébricos
1
adquiridos
2
3
6
4
2
4
anterior mente.
3 face
12.
Pelo
enunciado,
temos
Seja
n
de
de
F
o
número
faces
5
n
1
V
faces
5
triangulares
quadrangulares;
n
1
1
5
2n
1
e
(n
1
1)
o
Coment
número
cubo,
assim:
que
1
tas 3n A
1
4(n
1
6
9.
rio:
Avaliar
propor
a
soma
seja
aos
dos
a
conveniência
alunos
que
números
constante.
Uma
de,
na
renumerem
de
quaisquer
resposta
planificação
as
faces
duas
possível
é
de
faces
do
modo
opos-
obtida
com
1)
5 a
2
Aplicando
a
relação
de
Euler,
1
F
A
V
1
F
2
5
lugar
dos
números
A
Vamos
A
calcular
8
8
1
4
o
8
número
4
24
2n
de
5
1
e
3
e
dos
números
4
e
6.
arestas
da
figura:
1
2
1
4n
1
16 5
5 2
3n 9
2
2
3 5
de
temos:
17. V
troca
20
2
4 F
5
5
4
1
4
4
5
12
2 Aplicando 18
n
1
5
4n
2
5
7n
1
a
relação
de
Euler,
obtemos:
4 V
1
F
A
V
1
12
V
5
10
5
4 20
5
2
Assim:
F
5
4
1
5
5
9 Assim:
3 A
8
4
1
4
8
4
1
V
4
5
5
1
A
5
Portanto,
vértices Portanto,
o
poliedro
quadrangulares,
tem
4
faces
totalizando
9
triangulares,
faces,
e
16
5
Um
poliedro
Como
tinha
(5
V
2
F
Como
Logo,
9
3,
poliedro
5
foi
a
faces
2
arestas,
completo,
1
A
V
V
concluir
é
o
a
20
5
30
ou
seja,
9.
30
12
1
restaram
poliédrica
30
tem
poliedro
arestas.
Aplicando
encontramos
2
O
o
a
V
5
fi
ura
é
número
de
arestas
e
do
número
de
30.
12
resposta
possível:
faces.
completo
Como
relação
número
V
da
do
arestas.
de
foram
Euler,
de
vértices:
27
arestas,
20
19.
que
restou
tem
É
interessante
que
o
poliedro
que
os
regular
alunos
com
sejam
faces
levados
pentagonais
dodecaedro. 19.
14.
1
soma
vértices.
Comentário:
a
pentagonais
restaram
27.
5
retirado1,
19
faces
3,
restaram
super fície
e
de
retiradas
12)
retiradas
no
regular
foram
a
faces
18.
13.
10
16
2
resposta
a)
Sabemos
d
possível:
5
5
que
3
Logo,
a
5
3
V
a
d
diagonal
3 ;
5
assim:
15
mede
15
cm.
2
2
b)
d
5
a
2
1
1
5
c
3
⎛
2
2
b
3
1
9
1
2
1 ⎝
36
⎞
1 2
2
5
⎠
61
16
5
5 4
2
61 Logo,
a
diagonal
mede
cm. 2
2
20.
d
5
a
2
1
2
b
1
2
V
c
3
10
5
a
2
b)
resposta
V
pessoal
Espera-se
que
os
alunos
elaborem
3
planificações
10
5
2
1
4
2
1
7
V
2
a
1
V
65
9
10
5
a
V
2
V
a
5
90
65
V
a
5
25
V
a
5
5
diferentes.
A
8
4
1
2
8
6
5
5
21.
18
a)
Como
F
V
1
A
5
1
5
x
3 ,
5
x
temos:
3
2
2 b)
2
d
5
V
V
Como
d
5
a
2
1
b
:SEÕÇARTSULI
8
1
cm.
2
d 5
V
5
36 5
2
F
vale
NOSLIDA
6 15.
a
OCCES
Logo,
2
1
c
,
temos:
5
2
2 2
Portanto,
o
poliedro
tem
18
arestas
e
12
vértices.
d
5
( 3t )
1
t
1
( 2t )
V
d
5
t
14
Guia do professor
293
22.
Vamos
representar
os
três
números
inteiros
consecutivos
b)
Seja
d
a
medida
da
dia B
por
x
1,
x
e
x
1
1.
gonal
a
de
cada
medida
da
face
e
aresta
a
do
cubo.
x D
d d
=
5
DB
14
2
M
2 C
a CM
5
MD
3
5
5 2
x
–
AC x
+
1
c
2
1 1
CM
1
MD
1
3
d
5
,
2
d
5
(x
1
2
1)
1
(x
1)
2
14
5
2
1
1
Portanto,
x
2
x
1
2x
1
1
1
A
5
3
temos: 2
2
5
3
5 Como
DB
1
a
2
medida
do
caminho
de
A
a
B
2
x
2x
1
1
1
3
x
m.
2
3x
5
12
2
x
5
4
a 26.
x
5
Comentário:
Avaliar
representação
a
conveniência
prática,
x
1,
de
x,
relembrar
x
1
1,
dos
os
AE
alunos
O
(metade
5
uma
PA
de
razão
1
e
pedir
a
eles
que
elementos
verifiquem
a
:
da
diagonal
de
uma
face)
5 20
J
A.
2
2
EJ
de
2
5 2
Portanto, as medidas das três arestas são 1 cm, 2 cm e 3 cm.
da
AJ
2
5
1
AE
a
2
⎛
20
2
⎞
2
conexão
entre
os
conceitos
algébricos
e
geométricos.
É
2
EJ
5
1 2
⎝ possível
também
discutir
com
os
alunos
que
as
Assim:
2
AJ
20
⎠
medidas 2
EJ das
arestas
podem
ser
representadas
por
x,
x
1
1
e
x
1
5
200
5
600
1
400
2. 2
EJ
x
5 4
5 10
EJ
z
3
k
V
x
5
k
y
5
4k
e
z
5
1
6
k
1 Portanto,
o
segmento
EJ J
mede 1 0
6
cm.
Assim:
27. 2
d
5
1
2
130
a
G
2
y
5
E
2
16
1
144k
H
2
130
130
k
5
a
169k
5
13k
10
C Então,
x
5
30,
y
5
40
e
z
5
120. D a
Portanto, as medidas das arestas são 30 cm, 40 cm e 120 cm.
omentário:
sentada
no
Observação
comentário
do
análoga
à
exercício
recomendação
22,
porém
com
apre
A
O
a
números
diretamente
a
B
relação plano
que
contém
as
duas
Observe
que
o
:
H
é
é
ABFG
proporcionais.
a
G
24.
diagonais
retângulo
em
F
B
1 Logo,
S
b
5
h,
em
que
H
e
AB B
podem
ser
conside-
2
r
,
3
respectivamente.
3
Assim:
BH
AB
5
5
d
c
5
5
4
1 S
5 2
2
Portanto,
a
área
do
triângulo
H
cm
A
25.
a)
a
B
B
Considere as medidas apre-
a O ponto O divide o segmento AF sentadas
na
figura
em
3
ao meio; então, OF
cen2
ím
3
r
M
Se
C
AM
as
diagonais
fossem
perpendiculares,
2
AM
2
5
CM
3
3
2
2
retângulo
e,
portanto,
poderíamos
2
1
AC
Pitágoras.
Assim:
2
⎛
2
AM
3
⎞
2
5
1
3
3
2
OCCES
OG
2
1
2
OF
5
GF
2
45
NOSLIDA
AM
⎛
5
⎞
a
a
3
2
5
a
4 ⎝
⎠
⎝
⎠
A
2
:SEÕÇARTSUL
a 2
3
2
5
2
a
4
1
2 2
2
a
3
2
5 2
294
o
:
F
seria
MB
Guia do professor
a
(sentença
falsa)
aplicar
o
teorema
de
Portanto,
não
se
o
:
Comentário:
feita
em
alunos
a
um
F
cruzam
O,
Avaliar
grupo.
problema
o
a
Após
observem
aplicar
e
as
diagonais
32.
conveniência
fazer
que
de
teorema
a
o
Geometria
de
de
desenho,
questão
Como
tices
perpendicular mente.
a
resolução
espera-se
espacial
plana
em
foi
que
a
ser
que
maior
um
aresta,
porque,
os
reduzida
é
o
de
doA
possível
e
de
o
cubo
tendo
aresta
menor
A
resolução
é
obtida
por
meio
da
observação
das
de
do
super fície
de
mesma
que
extremidades
os
de
cubo,
menor
mesma
medida
outros
e,
e
o
área
medida
da
face
são
portanto,
é
da
do
C,
a
vér -
menor
o
é
B,
aresta
ele
terá
super fície
e
De
maneira
propõe
aos
diversificada,
alunos
o
mesmo
essa
atividade
questionamento
d
do Comentário:
espacial,
de
cujas
diagonal
figuras. retoma
alter nativa
a
área.
Comentário: 28.
é
diagonal
diagonal
menor
Pitágoras.
segmento,
cubo,
Questões
perspicácia
como
e
essa
demandam
imaginação,
habilidades
uma
proposta
de
jogo.
Pode
ser
Reflita
da
página
111
do
livro
do
aluno.
que 33.
favorecem
boxe
visão
Dados:
desdobra-
2
da
em
uma
atividade
em
grupo
na
qual
cada
aluno,
⎧A
5
300
cm
atera
⎨ com
criatividade,
constr ói
um
poliedr o
ou
uma
pla-
medida
da
aresta
da
5
base
medida
da
aresta
5
lateral
x
⎩ nificação
de
poliedro
com
faces
ilustradas,
diferen-
Assim: tes
umas
das
outras.
Feito
isso,
cada
um
tr oca
sua
2
representação
com
um
colega
de
outro
grupo
e
A
verifica
5
3
x
x
V
300
5
3x
V
lateral
quem
consegue
resolver
primeiro
a
questão.
É
importante
2
V
salientar
a
cooperação
na
atividade
em
grupo.
Essa
x
100
V
x
100
2
também
é
válida
para
a
questão
x
10
2
x gestão
V
su-
29.
A
3
10
5
3
5
5
25
3
base
4
29.
A
resolução
é
obtida
por
meio
da
observação
das
figuras.
A
5
2
4
A
1
total
alter nativa
A
base
5
2
25
3
1
300
lateral
b
A
300
1
50
3
5
50
(6
1
)
3
total
5
A
2ab
1
2ac
1
2bc
5
2
(ab
1
ac
1
bc
5 2
total
Portanto,
5
2
(20
10
5
2
650
5
1
20
15
1
10
15)
a
área
total
é
(6
50
1
)
3
cm
5
1.300
2
34.
a)
Como
A
5
6
a
,
temos,
em
unidades
de
área:
total
2
Logo,
será
necessário
1.300
cm
de
papelão.
2
Cubo
I:
Cubo
II:
A
5
6
1
5
6
total
Comentário:
Nesse
caso,
é
interessante
que
os
alunos
per 2
A
5
6
2
5
24
total
cebam
a
im
ortância
do
uso
dos
oliedros
nas
roduções 2
Cu industriais
e
nas
construções
presentes
na
o
III:
A
Cubo
IV:
A
sociedade
5
6
3
5
6
4
5
4
5
96
total
2
em
que
vive.
total
2
2
2
3a 31.
a)
A
3
3
5
(
8
b)
)
3
8
9
3
5
m
i
aresta
5
V
A
3
5
6a
total
5
base 2
2
2
2
medida
da
aresta
5
2a
V
A
medida
da
aresta
5
a
V
A
5
6
(2a)
2
5
4
6a
total
2
A
5
6
8
b
8
h
5
6
8
3
8
2
5
12
3
5
Portanto,
9 5
2
8
A
1
t o t al
A
5
ba s e
2
(3a)
2
5
8
a
total
atera
A
8
quando
a
medida
da
aresta
dobra,
a
área
3
8
1
12
3
5
21
3
total
fica
multiplicada
por
4,
ou
seja,
quadruplica,
e,
atera
2 quando
a
medida
da
aresta
triplica,
a
área
total
fica
2
Logo,
a
área
total
é
21
3
m
multiplicada
por
Em
de
9.
b) c)
um
OCCES
aresta
6
cm
cubo
arestas
unitária,
pois:
medindo
2
1
2
2,
1
cabem
2
1
5
8
cubos
de
8
h Em
NOSLIDA
de
um
cubo
aresta
de
arestas
unitária,
pois:
medindo
3,
3
1
1
3
cabem
3
1
27
5
cubos
27
30°
Em
de
4
um
cubo
aresta
de
arestas
unitária,
pois:
medindo
4,
4
1
1
4
cabem
4
1
64
5
cubos
64
cm
O
prisma
A
5
tem
base
quadrada.
(7,5
Assim: 35.
A
1
10)
8
5 5
5
43,75
base
2 4
5
1
base
V Para
calcular
a
área
lateral,
vamos
obter
a
altura
5
A
prisma
h
h
5
43,75
32
5
1.400
base
Assim: h sen
30°
h
1
5
V 6
5
V
2
h
5
3 1.400
6
A
5
4
A
lateral
5
4
10,5
Portanto,
Assim:
5
4
b
a
Comentário:
h
14.700
Além
da
de
barra
será
verificar
a
14.700
g.
importância
da
aplicação
paralelogramo
(4
3)
5
do
48
volume
comparar Logo,
a
área
total
é
dada
5
2
A
total
1
A
base
na
a
a
área
Comentário:
total
Aqui
relação
os
entre
alunos
têm
medidas
de
a
oportunidade
volume
e
5
2
16
1
48
5
os
é
80
massa.
80
2
36.
cm
alunos
têm
a
possibilidade
de
A
5
6
a
2
V
216
5
6
a
V
216
per -
2
V
a
V
5
a
5
36
V
a
5
6
6 ceber
a
diferença
entre
os
cálculos
das
alturas
do
prisma
3
reto
e
do
prisma
oblíquo
e
a
necessidade
da
aplicação
da
V
5 cubo
a
3
V
V
5
6
V
cubo
V
5
216
cubo
3
T rigonometria.
Logo,
o
volume
do
cubo
é
216
m
Guia do professor
de
medidas
lateral
2
Logo,
indústria,
por:
de A
5
massa
295
37.
A
5 base
1
20
V
A
tanque
5
peça
de
5 base
V
300
0,35
V
42.
300
Para
que
a
vara
seja
a
maior
possível,
metal
5
peça
de
comprimento
105
da
dia
onal
do
cubo;
o
volume
da
peça
deverá
ter
o
de
assim:
metal
2 Logo,
ela
tanque
V
metal
é
105
cm
d
.
5
a
3
V
a
3
5
2
V
a
3
5 3
3
38.
3
5
V
5
cubo
V
5
cubo
64
2
3
cubo
a
Logo,
5
m.
2
5
V prisma
vertical
prisma
horizontal
1
4
5
3
4
3
V
5
4
1
1
5
4
⎛
2
⎞
3
8
3
3
V 3
V
5 cubo
(intersecção
dos
1
5
a
5
V
V
5
5 c ub o
cubo
1
3
⎝
9
⎠
cubos)
Assim: 8
3 3
Logo,
V
5
m
c ub o
5
V sólido
64
4
4
1
1
5
57
9
restante
3
Portanto,
o
volume
do
sólido
restante
é
57
cm
3
Como
39.
A
5
2(ab
1
ac
1
1
dm
5
1
c,
temos:
bc)
paralelepípedo
8
3 3
V
2
A
5
m
5 9
A
5 A para
e
epípe
V
cubo
6x
cubo
8. 000
o
V
V
3
8. 000
3
5
dm
V
V
c ub o
1
2(3
5
ac
1
bc
1
3
7
21
1
5
5
3x
9
6x
2
1
7)
5
Comentário:
6x
os
alunos
ção
71
3
5 cubo
2
2(ab
9
Analogamente
podem
entre
ser
medidas
à
questão
levados
de
a
volume
uma
e
35,
após
reflexão
medidas
de
a
resolução
sobre
a
rela-
capacidade.
2
x
5 3
x
a
⎧
71
b
2b
5
V
5
a
5 a 3
b
43.
2
c
5
5
2
V
3
3
3
⎨
4
b
4b
c 5
Assim:
V
3
⎩
c
5
4
3
71 5
d
x
3
5
8
3
5
71
cubo
2
3
Portanto,
a
d
diagonal
do
cubo
mede
71
unidades
5
2
a
1
2
b
1
c
5
4
29
de 2
2
1
a
2
b
1
2
c
5
16
29
V
a
2
1
2
b
1
c
5
464
V
comprimento.
2
2b
⎛ 40.
Sabemos
5
8
a
8
b
5
c
⎞
5 ⎝
2
V
48
⎨
16b
2
V
1
( I I)
5
a
V
2
4b
5
c
464
⎠
3
( I)
240
48 8
a
⎞
1
b
⎠
3
4b
⎛
2
1
V
que:
⎝
⎧V
2
b
1
464
5
9
V
b
5
144
V
5
16
b
5
12
9
c
30 b
8
c
5
V
30
b
Assim:
( I I I)
5 c
⎩
2
(II)
e
(III)
em
(I),
4
12
5
a Substituindo
V
5
a
8
e
12
5
c
V 3
3
a
b
c
5
240
48
30
c
c
V
c
obtemos:
c
5
240
V
c
5
5
6
2
(ab
1
(8
1
ac
1
bc)
paralelepípedo
5
A
Assim:
8
1
8
1
1
1
16)
paralelepípedo
30
48 5
a
5
8
e
5
b
5 5
5
832
paralelepípedo
6
6
2
Portanto, Lo
a
área
do
paralelepípedo
é
832
cm
o:
V A
2(ab
1
ac
1
5
a
b
c
V
V
paralelepípedo
bc)
5
1.536
paralelepípedo
total
3
A
5
2
(8
1
8
6
1
8
Portanto,
6)
o
volume
do
paralelepípedo
é
1.536
cm
total
A
236 total
44.
Portanto,
a
área
total
da
super fície
do
Um
cubo
de
236
cm
arestas
cm
é
1
de
cm.
um
para-
dimensões c
8
b a
⎨ A
5
3
b
e
c
for mado
por
esses
A
8
t ot al
⎩
de
Consideremos
que:
lelepípedo 5
4
cubinhos
la t e r a
64cubinhos.
i
Os
3a
8
(2 h
1
3a
8
(2
8
8
a
1
)
3
a
5
3
3
6
a
h
18
a
8
1,
2,
4,
omo
)
5
8
(1 6
1
a
)
3
5
a
divisor es
8,
a
mados
3a
NOSLIDA
Sabemos
⎧h
64
. com
41.
de
OCCES
composto
é
aresta
paralelepípedo
de
16,
b
32
c
pelos
64
5
64
e
(p ossíveis
va lor e s
de
a
b
e
c) c
são:
64.
64,
há
somente
cubinhos
cujas
7
paralelepípedos
dimensões
e
área
for -
total
144a são
dadas
no
quadro
abaixo.
2
48a
3a
1
3
144a
5
0
1
1
1
1
2
2
4
b
1
2
4
8
2
4
4
c
64
32
16
8
16
8
4
258
196
168
160
136
112
96
2
3
3 a
3a
(
96a
3 a
32 a
5
32
0
)
5
0
3
5 3 A 2
total
2
3a
⎛
3
5
5
3
32
3
⎞
8
1 8
3
8
5
512
3
base
2
⎝
3
a)
2
⎠
O
paralelepípedo
sões
5
V
A
prisma
h
5
512
3
5 4. 096
cm,
cm
de
menor
e
b)
O
paralelepípedo
de
3
296
o
volume
do
Guia do professor
prisma
é
4. 096
tem,
portanto,
dimen-
3
base
Portanto,
área
cm.
3
cm
1
cm,
1
cm
e
64
cm.
maior
área
tem
dimensões
2
45.
Como
o
cubo
tem
3
V
5
2
cm
de
aresta,
temos:
2
x
5
2
H
V
1
3
a
5
5
36
8
3
2
x
cubo
5
16
1
5
16
1
5
43
4 3
Assim,
V
5
8
H
cm 2
cubo
x 2
b)
A
5
6
a
5
6
2
5
24
2
x
cubo
Assim,
5
A
27
2
24
cm
.
x
cubo
5
O
h
43
M 3
c)
V
5
a
;
se
5
(2a)
dobrar
a
medida
da
Logo,
aresta:
o
apótema
da
6
pirâmide
dm
cubo
3
V
3
5
8
mede
a
43
dm.
cubo
Então,
o
volume
fica
multiplicado
por
8. 51.
Aplicando o teorema de Pitágoras
V
2
d)
A
5
6
a
;
se
5
6
(2a)
dobrar
a
medida
da
aresta:
no
cubo
triângulo
,
temos: x
2
A
2
5
6
2
2
4a
5
2
x
24a
2
5
12
1
5
144
5
169
5
12
m
cubo
2
x Então,
a
área
fica
multiplicada
por
1
25
4.
A 2
x
Comentário:
Avaliar
a
conveniência
de
propor
uma
ques-
m
x
tão
inversa
da
proposta
no
item
c:
“O
que
ocorre
com
5
13
a Portanto,
m
i
a
aresta
pirâmide
de
outro
cubo
de
aresta
m
Seria,
que
então,
questão,
os
alunos
concluam
interessante
sobre
a
que
comentar
duplicação
mede
do
x
5
52.
com
três
usando
problemas
régua
mais
e
m.
cubo,
V
2
a
eles
que
quando
essa
cm
proposta
cm
h resolução
13
a?”.
3
Espera-se
dos
5
da
x
volume
para
lateral
compasso,
famosos
da
constituiu
história
da
g
g
um
MatemáM
B
4
cm
O tica,
chamado
“problema
deliano”.
Diz-se
que
sua
origem
8
cm
M remonta
à
época
da
morte
de
Péricles
por
uma
peste
que
8 cm A
dizimou
um
quarto
da
população
de
Atenas,
e
que
teria
Aplicando sido
proposto
pelo
oráculo
de
Apolo
em
Delos
a
delegação
de
atenienses
como
uma
forma
de
acabar
o
teorema
de
Pitágoras:
uma
com
o 2
( surto
da
doença.
Para
mais
infor mações,
consultar
a
2
)
41
5
2
g
1
4
obra
V 2
5 História
da
Blucher,
de
Matemática,
2012.
História
p.
pode
64
ser
e
de
Carl
65.
B.
Caso
convidado
Boyer.
seja
a
3.
ed.
possível,
participar
a
São
o
atividade
fim
16
Paulo:
g
5
g
5
g
25
professor
de
h
5
tornar
a
41
VOM M
interdisciplinar. 2
2
g
5
2
h
1
m 8
2
46.
Se
uma
pirâmide
tem
uma
base
de
8vértices,
então
ela
ainda,
Assim,
1vértice
aplicando
fora
da
a
relação
9
1
base,
de
totalizando
Euler,
5
h
9vértices.
5
1
F
A
5
2
V
F
16
5
2
V
temos:
F
5
1
16
essa
pirâmide
tem
9
5
4
2
2
3
OMB
2
m
1
4
1
4
9 2
Logo,
m
4
25
r
V
2
h
2
16 arestas, sendo 8 arestas da base e 8 arestas laterais. Ela
tem,
2
5
tem
r
5
r
5
2
4
faces.
O
47.
Se
uma
pirâmide
tem
n
faces
laterais,
então
ela
4
2
tem r
m 2n n
arestas,
(n
1
1)
faces
e
(n
1
1)
Assim,
vértices.
g
5
5
cm,
h
5
3 cm
M e
r
5
4
2
4
cm. B
48.
Apenas
as
planificações
(I)
e
(II)
são
de
super fícies
8
de
cm
pirâmides. 2
53.
2
2
5
82
5
6.724
18 lateral
2
49.
Aplicando
o
teorema
g
de
324
2
Pitágoras
M
,
no
triângulo
g
obtemos:
g
2
2
5
x
⎛
2
13
12
13
6. 400
5
80
cm
80
⎞
A
1
V
5
36 5
3
4.320
82
lateral
2 ⎝
2
2
2
a 2
A
x V 169
5
3
36
5
3
5
base
1
V
mm
g
⎠
4
cm
18
4
mm
4 A
2
M
x 5
25
V
324
3
5
324
3
base
36
2
V
5
x
5
100
mm
A
V
4
x
A
1
4.320
total
V
x
5
10 5
A
108
( 40
8
1
3
3
)
total
Logo,
a
aresta
da
base
mede
10
cm.
Portanto, Comentário:
Essa
questão
pode
oferecer
aos
alunos
e
de
retomar
verificar
a
as
fór mulas
relação
entre
dos
apótemas
arestas
e
total
dos
8
( 40
1
3
3
da
super fície
da
pirâmide
mm
apótemas. 2
54.
A
5
a
2
5
8
5
64
NOSLIDA
base
50.
Como
H
5
4
dm
e
c
5
6
dm,
temos: g
h
3
5
6 V h
2
Aplicando
h
3
=
3
g
5 2
o
teor ema
de
Pitágoras
no
triângulo OVM,
8 =
temos:
:SEÕÇARTSULI
é
2
)
OCCES
polígonos
área
a
108 oportunidade
a
8 =
cm
4
2
Guia do professor
297
2
g
2
2
5
1
Altura
m
do
octaedro:
2 2
g
2
5
2
3
1 ⎛
⎞
⎝
⎠
3
5 g
5
2
⎝
g
=
— —
h
1
⎠
2 ⎝
⎠ 2
g
5
5
2
h 8 5
g
4
4
5
80 4
lateral
2
5
64
1
80
4
3
4 m
2
V
A
total
5
144
h
total
=
—
18 5
2
Logo,
a
área
a
ase
é
64
cm
2
,
a
área
atera
é
80
cm
e
2
4
2
a
área
total
é
144
cm
2
55.
Como
A
5 16 total
3
cm
,
h
5
O
octaedro
é
for mado
por
duas
pirâmides
quadrangulares
temos:
tetraedro
regulares.
Assim:
2
a A
5 total
3
2
4
16
5
3 base
tetraedro
2
a
5
3
V
A
pirâmide
V
2
V
5
a
16
V
a
5
16
V
a
5
4
A
5
h
octaedro
a
medida
da
aresta
é
4
cm.
Portanto,
5 3
a
área
total
da
super fície
2
18
56.
Como
r
5
diagonal
,
da
temos
base
que
3
do
octaedro
é
3
cm
cm
a
mede:
a
3
5
A
5
A base
base
6
9
pirâmide
base
3
Logo,
5 base
1
1
2
1
d
Como
d
5
a
2
,
1
r
temos:
V
8
5 3
12
5
a
5
a
3
3
12 Portanto,
2
5
24
base
pirâmide
o
volume
da
pirâmide
é
24
3
cm
.
2
5
5
base
base
A
área
da
base
é
144
cm
da
pirâmide
1.
.
5
P
24
dm
V
base
24 a
4
5 6
g h 2
g
2
5
O
:V
C
é
retângulo
em
O
=
2
8
1
6
V
g
5
100
V
g
5
10
e
seus
lados
medem
H,
a
e
H
dm. F
m
2
2
VC
5
E
2
OC
1
H
V A
12
D
h
g
O 2
32
5
2
5
4
1
5
16
H
V
lateral
2 2
H
H
5
4 a
10
12 5
2
lateral
2
a A
g
3
16
6
3
6
24
3
base
5
4
240
4
lateral
1
2
A
área
lateral
é
240
cm
6
cm
V
1 A
5
H
5
24
3
5
ase
3 A
5
144
1
240
5
12
384
3
cm
total 3
Logo,
2
Logo,
a
área
total
da
super fície
é
384
62. 2
57.
A
5
a
o
volume
da
pirâmide
é
32
3
dm
cm
O
:OVB
é
retângulo
em
V
O.
2
5
6
5
36
base
Como
V
5
A
8
pirâmide
h
V
V
base
36
5
4
V
OB
medida
pirâmide
é
da
a
metade
diagonal
do
da
qua-
3
drado V
V
5
ABCD,
10
temos:
cm
48
pirâmide
2 Logo,
o
volume
da
pirâmide
é
48
cm
OB
.
12 6
5 2
H
2 C
D VB
3
a 58.
2
5
V
8
10 O
5
2
5 12
2
10
tetraedro
12
5
2 5
2
6
1
H
V
H
5
8
3 2
A
5
5
36
2
5
72
A
B
base 3
Logo,
o
volume
do
tetraedro
é 1 V
A
5
H
5
base
3
3 2
1
a 59.
A
5
3
72
5
5
8 4 3
Portanto,
2
3
3 h
A
5
o
volume
da
pirâmide
é
192
cm
3
8
total
4
63. A
5
18
4a
5
12
2
V
a
5
V
3
total
3
2
d 5
5
5
OCCES
2
3
2 5
cm
2
2
3
2
⎛
Como
⎞
o
:V
NOSLIDA
⎝
2
⎠
é
retângulo
em
O
H
temos:
g
D
3 2
VC
2
g
C
5
5
2
5
VO
OC O
:SEÕÇARTSUL
2
4
25
5
H
5
16
2
1
3 A
2
H g
5 2 3
H
5
4
2
5 base
298
C
2
1
9
Guia do professor
a
5
18
a
B
1
125 3
V
A
5
H
Portanto,
o
volume
da
pirâmide
PQCG
cm
é
base
3
3
Comentário:
Na
resolução
dessa
questão,
espera-se
que
1 V
18
5
4 os
3
alunos
percebam
utilizados
5
para
a
diversidade
chegar
ao
de
conceitos
a
serem
volume.
3
Logo,
o
volume
da
pirâmide
é
24
cm 68.
Temos:
cm A
2
64.
a)
5
A
B
2
a
5
4
5
16
13
AC
5
AD
5
2
cm
CG
5
3
cm
base
2
Logo,
a
área
da
base
da
pirâmide
é
16
cm
2
4 b)
5
9
4
D
cm
C
V
lateral
2
V
A
5
No
:ADC
72
2
2
5
AC
lateral
2
AD
DC
Logo,
a
área
lateral
é
72
F
E
9 2
2
cm
13
5
2
2
DC
H DC 5
c) total
base
16
72
5
a
área
total
da
pirâmide
é
88
G
4
2
Logo,
5
G
3
88
lateral
é
perpendicular
ao
plano
que
contém
o
:ADC;
ADCG, 2
d)
2
g
5
2
1
triângu
o
ADC
2
h
1
2 2
3
5
A 2
5
3
e
h
5
3
base
5
81
2
h h
base
m
2
5
com
2
h
no
9
logo,
cm
5
g
1
1
77
V
5
8
A
8
3
5
h
3
5
3
base
3
3
Logo,
a
altura
da
pirâmide 3
Portanto,
é
77
o
volume
da
pirâmide
G
é
3
cm
cm.
69.
V
m
5
A
H
prisma
base
A
H base
V
e)
A
V
h
pirâmide
V
V
base
5
5
pirâmide
77
1
3
16
pirâmide
3
3 V
5
V
ABCDE
V
prisma
CEFC
77 A
3
Logo,
o
volume
da
pirâmide
é
16
2 A
H
H base
base
cm V
A
ABCDE
3
5
H base
3
3
2 65.
A
H base
V
3
ABCDE
2
5
5 A
V
H
1
base
D E FC
3
E
h
é
2
para
e
DEF
1.
H
Comentário:
Esta
trabalharem
1 2
a
é
uma
ideia
e
for ma
diversificada
confir marem
o
fato
de
de
os
que
alunos
o
volume
m
m de
uma
pirâmide
corresponde
à
terça
parte
do
volume
do
2
V
5
A
prisma
h
5
2
h
prisma
base
de
mesma
base
e
de
mesma
altura.
2
A
H
1
base
V
5
H 70.
5
8
cm
m
pirâmide
3
3
M N
V
5
V
prisma
pirâmide
H 4h
H
H V
5
h
1 R
A
razão
entre
m
H
5
3
1
12
as
alturas
do
prisma
e
da
pirâmide
é,
6 cm
por 20
P
cm
Q tanto,
1
para
20
12.
cm
2
No 66.
V
5
6
V
prisma
e
A
pirâmide
:NQR,
temos:
2
10
6
2
1
H
V
H
8
iguais. base
Logo,
a
altura
do
tronco
é
8
cm.
1 A
h
5
A
6
base
H base
3 71. h
5
2
3
H
3
6
Portanto, a altura do prisma é o dobro da altura da pirâmide. 13
h
h
t
67.
A
pirâmide
PQCG
tem
um
trirretangular
em
A
B
O
8 triedro
t
o
triângulo
PQC
pode
5
D C
8
P
ser
considerado
base
e
CG
2
13
OCCE
altura
da
t
1
Q
que
h
13
2
5
2
h
1
5
2
V
h
5
169
25
V
pirâmide. h V
5 A
5
5
25 5
NOSLIDA
2
5
5
Os
2
10
triângulos
seme
:SEÕÇARTSULI
h
5
A
8
h
em
antes;
5
12
destaque
são
H
13
ogo:
3 5
8
V
12
G
1 V
144
E
H h
h
F e
base
3 V
h
12
5
36 V
h
5
h
base
12
5
5
5
3 5
1 V
3
125
25 8
5
8 2
10
5
36 H
3
5
h
1
h
5
12
1 5
3
96 8
5 5
Guia do professor
299
Então,
o
volume
pirâmide
é
do
dado
tronco
de
Pela
por:
figura,
h
temos:
2
6
3 5
h h
V
h
4
4
3
3
H
5
h
1
h
V H
5
3
9
1
5 2
96
1
⎛
36
1
⎞
5
3
⎠
5
3
V
h B
5
5
2
Assim:
6 ⎝
2
V
b
V
b
1. 552
15
5
3
Logo,
a
altura
do
tronco
é
12
cm
e
o
volume
é
1.552
78
t
cm
3
Portanto, 72.
Sabemos
o
volume
do
tronco
é
78
3
que:
2
⎧ a
5
4
m
h
⎛
1
A
⎞
b
74.
5 ⎝
5
⎨
6
⎠
H
4
A
cm
B
m
2
2
3
V
5
342
3
m
⎛
nc
⎩
A
⎞
b
5
8
cm
h
A
1
A
5
b
4
24
b
3
5
4 H
9
81
A A
6
5
9
b
6
h
3
B
4
1
t
4
V
1 A
5
A
H B
O
volume
do
tronco
é
dado
h b
3
3
por: 2
1
1
A
=
81
cm
B
h B
81
5
V
6
V
V
12
9
3
b
V
1
5
4
3
312
h 3
3 3
Logo,
V
342
3
V
1.026
5
5
54
H
54
24
H
24
h
o
vo
ume
o
tronco
é
312
cm
V
h
(I)
Exercícios comp lementares Pela
fi
ura
h
4
H
6
ao
lado,
temos:
1.
(II
Pela
figura,
observamos
4
faces
triângulares,
parte
da
mas
a
3
parte Substituindo
(II)
em
(I),
de
trás
é
simétrica
à
frente;
então,
há
h
obtemos:
mais
4
faces
trian
ulares;
portanto,
ao
todo,
temos
2 54
H
V
H 8
3
faces
triangulares.
quadradas,
1. 026 5
V
27
2
nas
Observamos
laterais
e
1 n a
também
face
3
s u p e r i o r.
faces
Como
4 o
38
poliedro
é
simétrico,
temos
uma
face
quadrada
na
h Assim,
Como
h
5
H
h
parte
t
18.
h,
há
temos:
6 h
5
27
Logo,
a
18
V
altura
h
do
5
é
9
a A
e
mais
duas
na
parte
de
trás.
Ao
todo,
quadradas.
b
m.
2.
73.
faces
alter nativa
9
tronco
6
inferior
a)
não
b)
convexo
convexo
c)
convexo
3
6
2
b
4
3.
O
número
de
faces
do
poliedro
é
14
(8
1
6),
em
que
8
fa-
2
a A
54
3
3
a
ces
B
são
triangulares,
então
24
lados
(8
3),
e
6faces
são
4
2
octogonais,
m
arestas
5
é
então
dado
48
por :
lados
(24
1
(6
48)
8).
9
2
5
Assim,
o
número
de
36
m
Aplicando
a
relação
de
Euler,
temos
o
número
de
vértices:
h t
V
6
1
F
A
Portanto,
m
4.
2
Observe
5
o
a
2
V
V
5
poliedro
figura
36
tem
14
24
V V
5
24
abaixo.
Q
E
H
O 5
m h
h
F
t
h
2
vértices.
m
2
h
1
P
5
5
3
4
m
OCCES
6
m
NOSLIDA
2m
B
:SEÕÇARTSULI
h t
Após
e
4m
300
Guia do professor
os
cortes,
partindo
BC C
AFPQED
e
BGPQHC
de
O
em
direção
às
retas
A
Agora,
com
os
cortes
de
em
direção
às
retas
AB
CD
2
5
A
8
6
96
2
V
a
5
a
V
5
a
16
V
a
5
4
c ub o
6
mos:
3
V
Q
O
5
V
4
(a
1
x
1
5
3
x)
5
5
V
125
x
5
V
5
(4
4
1
V
x)
x
3
5
5
5
V
1
P Portanto,
10.
O
a
prisma
aresta
tem
deve
como
base
2
aumentada
um
triângulo
em
1
m.
equilátero;
assim:
2
a A
ser
3
4
5
3
5
5
4
3
base
4
álculo
A
Logo,
os
dois
tetraedros
sólidos
descartados
são
iguais
ABOP
dois
a
e
resposta
60°
3
5
cm
h
V
5
V
2
6
CDOQ.
6
6
cm h
dois.
6 h
3
5
V
e
h
5
3
3
2
Lo
5.
4
h
h
congruentes:
V alter nativa
altura
B sen
For mando
da
4
o:
possível:
V
5
A
8
prism a
h
5
4
3
8
3
3
5
36
base
3
Portanto,
11
Como
A
o
5
volume
20,
5
5
1,2
2
5
2,4
(500
5
2,4
905
5
2.172
do
25
(20
prisma
e
5
25
1
é
6
36
1,5
20
9
cm
5
1
9,
25
temos:
9)
papel
A
1
180
1
225)
papel
A papel
A papel
2
Logo, Comentário:
cícios
Analogamente
propostos,
após
o
às
questões
traçado
da
14
e
18
planificação,
dos
com
os
dos
colegas,
verificando
a
possibilidade
Perímetro
de
gastará
2.172
cm
de
papel.
da
base:
60
m
60 5
diferentes
balconista
compará12.
-lo
o
exer -
V
5
15
4
planificações.
A
5
15
5
225
base
8
V
2
5
A
h
reservatório
V
5
A
8
h
V
V
5
8
5
V
V
5
5
225
35
5
7.875
base
40
base
2
60%
de
7.875
5
4.725
3
Assim,
o
volume
de
madeira
necessário
é
40
cm
Assim:
7.875
4.725
3.150
3
Logo, 7
5
25
25
5
restam
3.150
m
do
reservatório.
625
base
A
5
4
25
50
5
13.
5.000
Sendo
S,
em
centímetro,
a
soma
das
dimensões
a
b
e
c
lateral
do A
1
A
5
base
625
1
5.000
5
paralelepípedo
reto-retân
ulo,
temos:
5.625
lateral
2
5
a
1
b
1
c
2
V
5
2
a
1
b
2
1
c
1
2(ab
1
bc
1
ac) c
V
2
Logo,
a
área
a
ser
forrada
é
5.625
cm 2
V
Seja
x
o
menor
comprimento
de
tecido,
S
5
21
1
28
V
S
5
7
então: alter nativa
a
5. 625 x
5 14.
50
h
5
2
5
2
Portanto,
x
5
112,5
cm
ou
x
5
1.125
(2
m. A
5
)
5
5
10
base
alter nativa
2
e
20
1 V
5
8
8
10
2
5
5
5
p i r â m ide
8.
3
3
a 20
5 3
6
Logo,
cm
o
volume
da
pirâmide
é
cm 3
12 7
cm
cm 15.
O
3
volume
menos
do
4
tetraedro
vezes
o
1
3
ou
seja:
é
3
2
4
Aplicando
o
teorema
de
cm
alter nativa
Pitágoras,
ual
de
ao
volume
um
do
cubo
tetraedro
de
aresta
trirretângulo,
1
8
8
8
3
14
i
volume
3
3
8
3
8
9
5
2
c
obtemos: 16.
2
2
5
a
2
6
1
7 5
a
5
36
1
49
a
V
5
cm
5
85
3
cm
cm
Assim:
12 A
14
4
5
V
A
base
5
cm
4
cm
84
base
8 A
OCCES
2
3 V
5
A
B
5
12
B
2 A
5
4
8
b
8
h
5
4
8
85
8
6
5
24
85
atera
NOSLIDA
2
A ⎛
b
A
5
2
8
A
t ot al
1
A
5
ba s e
2
8
84
1
24
h
2
A ⎞
5
85
⎝
A
5
H
⎠
12
24
(7
1
85
)
1
t ot a
5
V nova
8
p i r â m id e
8
A
a
área
total
da
super fície
do
paralelepípedo
5 b
3
1 h
5
4
4 8
8
3
5
b
3 Logo,
A
:SEÕÇARTSULI
5
V 9
B
A
4
3
b
V
2
atera
3
3
3
é 4 3
Logo, 24
(7
1
85
)
o
volume
da
nova
pirâmide
é
2
cm
3
Guia do professor
301
2
2
a a)
A
5
6
3
5
8
5
6
Elevando
3
8
5
37 ,5
os
dois
membros
2
4
(a
4
1
5
A
8
prism a
h
5
37 ,5
3
8
10
5
quadrado,
obtemos:
375
2
c c)
2
V
ao
3
base
5 (13
2
2
1
3
b)
1
2
5
2
13
1
26
(IV)
base
2
De
(II),
temos:
1
a
c
5
91
b
3
Logo,
o
volume
do
prisma
é
375
3
cm
Substituindo
(I)
(II)
em
5
e
169
1
b
(IV),
5
169
1
b
obtemos:
b) 2
1
b
91
b
A
2
1
2ac
1
2b
2
26b 10
2
26b
2
26b
78
cm b
5
3
Assim: x
V
C
A
5
a
b
c
2
b
V
5
V
5
b
V
5
27
3
A
3
Logo,
x
5
cm
o
volume
omentário:
do
Essa
sólido
é
questão,
27
cm
assim
como
a
questão
22
dos
1
C
5
exercícios propostos com relação à PA, leva os alunos a reto-
cm mar o conceito de PG e a desenvolver uma resolução algébrica
2
2
x
5
2
5
1
5
2
5
5
cos
120° um
1
⎛
2
x
5
50
2
50
8
pouco
mais
sofisticada
que
a
de
questões
anteriores.
⎞
2 ⎝
21.
⎠
2
2
x
5
50
25
A x
5
x
5
75
5
3 10
2 h
Assim: C
Área
5 10
8
x
5
10
8
5
3
5
50
3
D 5
2
Logo,
a
área
da
secção
é
50
3
cm
.
y sen
60°
5
V
y
5
5
6
2
2
a 18.
A
5
96
3
V
6
3
10
8
5
96
3
y
2
V
base
4 x cos 96
3
60°
5
V
x
5
5
2
4
2
V
a
5
V
6
ótema
2
da
2
m
5
5
64
V
a
V
m
5
10
8
2
2
h
C
base:
4
5
V
m,
m
5
t em os
64
h
5
2
4
16
5
4
3
x
3 .
CD
5
CB
5
x
5
5
2
C
Assim:
A
x
D
3
2
8
Como
a
B
x
5
6
8
a
8
h
5
6
8
8
8
4
3
5 192
3
atera
D 2
Portanto,
a
área
lateral
do
prisma
é 192
3
cm
2
2 2
h
(5
5
19.
6
)
(5
2
2
A
)
2
h
5
150
5
100
50
2
h
h
m
5
6
10
h
d Assim:
V
5
A
paralelepípedo
h base
60 5
V
8
10
tg
5
60°
V
Como
d
5
paralelepípedo
5
d
V
d
2 ,
3
5
5
20
3
3
Portanto,
2
o
volume
do
paralelepípedo
é
250
V
3
5
V
5
10
6 1.
2
Entre
as
demais
Assim:
figuras,
figuras
o
são
poliedro
corpos
é
a
figura
do
redondos.
2
V
5 para
e
A
8
e p í p ed o
h
(1 0
5
base
6
)
8
60
5
alter nativa
36. 000
a
3
Portanto,
OCCES
20.
o
volume
Pelo
enunciado,
b
do
paralelepípedo
é
36.000
cm
2.
80
faces
triangulares:
240
12
faces
pentagonais:
60
lados
lados
(80
(12
Logo, e
c
estão
em
uma
PG:
b
5
a
c
o
número
de
arestas
é
dado
por:
(I)
NOSLIDA
(240 2
d
5
a
2
1
1
:SEÕÇARTSULI
a
1
4a
a
De
2
1
1
b
(III),
302
b
4b
1
60)
9
2
5
150
2
b
1
c Assim,
2
como
V
1
F
2
1
c
1
c
5
4c
5
temos:
3)
5)
temos:
2
cm
t em os:
20 20
d
3
250
V
60
B
C
paralelepípedo
60
91
5
V
1
2
V
5
150
V
5
60
1
0
5
52
13
a
(II)
1
1
(III)
c
Guia do professor
5
13
b
alter nativa
b
2
A
5
2,
temos:
item
a,
pois
as
3.
A
5
5
16
2 2 2
F
5
4
1
5
5
5
9
g V
1
F
V
1
9
V
i
9
A
i
16
alter nativa
2
i
h
4
h
2 h
5
h
5
8
d m
4.
F
5
=
2
1
12 5
8
base
3
3
3 A
5
5 32
2 5
8
2
3
5
alter nativa V
1
12
V
5
11
21
alter nativa
5
d
2
a
b
2
c
5
4
Essa
atividade
trabalha
dade
e
uma
1
1
5
V
5
a
c
área
em
conceitos
proposta
matemáticos
interdisciplinar
de
com
capaci-
Biologia
5
e
5
b
2
2
5.
2
V
3 1
Geografia,
no
que
se
refere
à
discussão
de
sustentabilida-
2
3
4
5
60
de,
reciclagem
-se
fazer
uma
e
consumo.
parceria
na
Com
Língua
construção
Portuguesa,
do
texto
pode-
publicitário.
paralelepípedo
Você, alter nativa
rofessor,
ode
incentivar
os
alunos
na
criação
de
c
embalagens
6.
inusitadas,
paralelepípedos
H
10
fugindo
das
mais
tradicionais
(os
reto-retângulos).
Comp reensão de texto
1.
caixa
antiga
caixa
nova
10 24
3 sen
60°
5 2
10
V
H
5
14,5
10
2
A
10
5
500
3
base
4,8 alter nativa
7
c 16,8
7.
A
5
2
5
16,8
19
(16,8
4,8
1
16,8
24
1
4,8
24)
5
1.198,08
antiga
V
4,8
24
5
1.93
36
antiga
1,10
m
A
2
(19
7
1
19
14,5
1
7
14,5)
5
1.020
nova
5
V
19
7
14,5
5
1.928,5
nova
2
Caixa antiga: 1.198,08 cm
3
; 1.935,36 cm
2
0,80 0,85
caixa nova: 1.
m
cm
, respectivamente;
3
; 1.928,5 cm
, respectivamente. A caixa
m nova realmente utiliza menos papel-cartão e, apesar de a ca-
Se a espessura é 5 cm, devemos tirar 10 cm de cada dimen-
são
externa
para
calcular
o
volume.
pacidade ser menor, ela comporta 1 kg de detergente em pó.
Assim:
2. 0,85
0,80
m
0,1
m
0,1
m
m
5
5
0,75
0,7
m
m
5
5
7,5
7
a)
13,89
b)
Na
milhões
de
metros
quadrados
dm
con
ecção
de
cada
caixa
2
1.020cm 1,10
m
0,1
m
5
1,0
m
5
nova
são
utilizados
dm
10
2
,
ou
seja,
0,102
m
dm Logo:
13.890.000
9
0,102
q 136.000.000
3
V
5
7,5
dm
7
dm
10
dm
5
525
dm Portanto,
poderiam
ser
produzidas
aproximadamente
3
Como
1
dm
5
1
c,
temos
525
c 136milhões
alternativa
A
A
A base
A
caixas.
c
3.
8.
de
3
Algumas
dutos
atera
medidas
materiais
5
são:
concentrados,
reciclados
embalagens
venda
de
menores
produtos
em
com
refil,
pro-
uso
de
etc.
t ot a
A prism a
V
5
3
base
5
4.
3
prisma
alter nativa
Podem
Cooperativas
de
material
que
vai
Geração
de
d
c)
ser
reciclados
papéis,
catadores;
ser
plásticos,
indústrias
reciclado;
emprego
e
de
vidros
setores
renda
por
e
metais.
relacionadas
da
ao
tecnologia.
meio
da
criação
9.
2
4
2
5
g
g
cooperativas
de
catadores;
redução
dos
gastos
das
2
1 2
16
indústrias
vação
4
com
a
ambiental
aquisição
por
meio
de
da
matérias-primas;
redução
da
preser -
exploração
de
recursos 5
g
5
naturais
e
diminuição
das
áreas
destinadas
12
a
2
5.
aterros
resposta
sanitários.
pessoal
Guia do professor
303
:SEÕÇARTSUL
g
g
NOSLIDA
de
OCCES
a)
b)
Cap ítulo
7
Corpos redondos
Complementando
capítulo
apresenta
o
estudo
os
corpos
dos
sólidos
redondos
geométricos,
—
com
Assim:
esse
destaque
5
para
total
da
150π
1
600π
1
300π
5
1.050π
peça
2
o
cilindro,
o
cone
e
a
esfera
—
e
seus
elementos.
Logo,
a
área
total
da
super
ície
da
peça
é
1.050π
cm
Os alunos terão a oportunidade de resolver situações-problema 7.
que
envolvem
o
cálculo
da
área
da
superfície
e
o
cálculo
omo
h
5
2
cm,
2
π(r
volume
de
corpos
temos:
do 1
4)
2
h
5
πr
2
(h
1
4)
V
2π(r
1
4)
2
5
6πr
V
redondos. 2
V
2
(r
1
8r
1
16)
2
3r
V
r
4r
8
0
Assim:
Resoluções e comentários 4 r
6
4
2
ortanto,
1.
A
5
3
5
Exercícios p rop ostos
como
.
0,
r
temos
5
(2
1
2
3
)
2πrh
lateral
A
5 secção
Logo,
2rh
o
raio
da
base
do
cilindro
inicial
é
(2
1
2
3
)
cm.
meridiana
A
8.
2s r h
atera
5
5
secção
Como
o
cilindro
é
equilátero,
h
5
r
s
2r h
A
A
m e r id i a n a
5 2A
1
total
A
base
lateral
2
5 πr
π base
2
Comentário:
É
interessante
que
os
alunos
verifiquem
se
5
a
π
8
5
π
lateral
razão
é
válida
valores
para
numéricos
todos
para
os
cilindros.
fazer
uma
Podem-se
utilizar
comparação
com
Assim:
2
os
2
5 2π
1
π
2
5
6π
total
colegas,
ou
seja,
verificar
na
prática. Como
=
4π,
temos:
total
2
2.
2πr (r
A
)
V
A
total
5
2 π
8
1
(1
0,5)
V
A
total
5
24π 5
3π
a
área
total
V r
5
total
h Portanto,
πr
da
super fície
do
comprimido
5
2r
5
4
é 2
V
2
3π
5
πr
2
h
5
π
8
2
4
5
16 π
cm 3
Logo,
3.
Cálculo
da
altura:
h
5
2 πr
5
2π
8
5
5
o
volume
do
cilindro
é
16 π
dm
10 π
r
5
1
mm
Assim:
2
5
A
2πr (r
1
h h)
5
2π
8
5
(5
1
10π)
5
(100π
1
50π)
h
5
V
5
10
cm
5
100
mm
total
2
Portanto,
a
área
2
total
da
super fície
do
cilindro
50 π)
5
π
8
1
100
Assim,
cm
o
volume
é
314
3
314 4.
Sejam
A
x
e
y,
respectivamente,
a
área,
a
medida
da
a
altura
Como
a
Assim:
da
base
A
5
secção
do
x
V
3
mm
5
cabe
0,314
0,314
dm
mc
5
de
0,314
tinta
mc
no
reservatório
da
caneta.
meridiana.
cilindro
y
314
mm
base Logo,
e
5
3
2
(100π
2
πr
é
20
tem
5
2
4
cm
y
V
de
y
raio,
5
temos
x
5
4
cm.
10.
De
acordo
com
o
esquema,
temos:
5 b
5
2x
secção
Como
a
altura
da
secção
meridiana
é
igual
à
altura
do 2
x cilindro,
temos:
y
5
h
5
2
5
A E,
5
5
2πr (r
1
h h)
5
2π
10
V
x
5
8
b
secção
portanto:
A
2
1
5.
8
2
(2
1
5)
5
80
28π
5
eixo secção
16
10
h
10
total
6
Logo,
a
área
total
da
super fície
do
cilindro
é
28π
cm
h
.
5
5 x
x
2
V
π
8
10
5
500π
cilindro
3 2
5.
h
Como
5
8
r
e
A
5
108π
cm
3
,
temos:
Logo,
o
volume
do
cilindro
é
500π
cm
lateral
2
3 A
5
2πrh
V
108π
5
2
8
8
r
8
V
r
11.
lateral
omo
r
5
20
cm
e
h
5
60
cm,
temos:
2 2 2
V
r
5
36
V
r
5
3 h
V
6
8
r
V
h
Logo,
5
8
2
πr
2
h
6
V
h
5
a
altura
é
9
π
8
20
60
5
74.400
o
volume
do
botijão
3
cm,
e
o
raio
é
74.400
cm
9
2 74.400
Logo,
5
3
3
5
5
é
6
cm
3
5
74,400
dm
5
74,400
c
cm. 74, 400 Duração
do
gás:
5
24
3, 1 6.
Sendo
A
A
a
área
2
super fície
inter na
2
A
π(r
da
peça,
Portanto,
temos:
10
π
π(r
24
dias.
Sendo C
NOSLIDA
5
durará
h
12. 2
2
gás
100π
base
A
o
2
)
o cilindro cheio
2
)
5
5
π
5
25π
2
de lí
base
uido e C
o cilindro
2
5 da
100π
2
25π
5
x
75π
peça
para
o
qual
o
líquido h
Como
são
duas
bases,
temos:
A
5
2πr
h
5
2π
8
10
5
2πr
h
5
2π
8
5
2
75π
5
150π será
30
5
600π
que
x
transferido,
é
a
altura
em
que
o
lateral
C A 2
2
lateral
304
Guia do professor
30
5
300π
líquido
atingirá,
temos:
r
C
r 2
2
:SEÕÇARTSULI
base
OCCES
da
r
5
10
cm
16.
Sendo
a
a
medida
2πr h
5
40
cm
5
α
do
8
2 V
ângulo
5
6
central,
temos:
10
5
α
V
g
r
8
180°
5
α
60°
60
cm
2
h
5
125
cm
2π r
2
17.
α
2
5
V
60°
180°
8
cilindro
π(
)
r
8
5
V
g 2
5
g
2
h
5
π
8
10
40
5
4.000π
C
3 6 0 °r 2
4.000π
5
π(
)
2
x
V
4.000π
5
π
8
6
x
g
V
V
5
V
2
V
x
g
6r
5
60°
4. 000
1. 000
5
V
x
Sendo
5
36
C
o
comprimento
da
circunferência
da
base
e
g
a
9 medida
da
geratriz
do
cone,
a
razão
1. 000 Portanto,
o
líquido
transferido
cm
atingirá
no 2 r
C
9 5
k cilindro
V
C
125
h
5
k
V
k
5
6r
g
2
3
cm
2
2π r 1. 000 x
18.
cm
α
2
5
120°
V
8
180°
8
10 V
5
g
g
9
3. 600° 1. 000
h
8
2
x
5
V
5
g
5
V
125
2
o
30
5
120°
9
líquido
transferido
2
g
8 Logo,
g
h 2
9
da
ocupará
altura
do
5
2
r
1
2
h
V
2
h
2
5
1
V
h
5
800
V
h
5
20
2
novo
9 Logo,
a
altura
do
cone
é
20
2
cm
cilindro.
19.
13.
Os
cilindros
da
figura
representam
os
O
cone
for mado
or
um
semicírculo
é
e
uilátero.
Assim,
recipientes. como
g
5
2r,
temos:
R g
5
2r
V
20
=
2r
cone
V
r
OCCES
Portanto,
o
A
meridiana
tem
5
10
10
cm
de
raio.
R secção
é
um
triângulo
equilátero
de
lado
4 20
NOSLIDA
h
cm.
A
distância
triângulo
do
vértice
até
a
mesa
é
a
altura
do
equilátero.
h
3
c h
3
20
5
Logo,
5
a
do
recipiente
v
menor,
o
volume
20.
a)
distância
2
g
temos:
5
10
3
2
2
V
3
5 2
2
h
A
do
1
5
2
r
V
πrg
vértice
5
5
8
a
2
g
π
até
1
15
será 1 0
3
cm.
2
12
9
mesa
5
9
V
g
5
225
V
g
5
15
135π
lateral
2
2
R
h
R
h
2
V
πR R
v
e
h
5
8
5
A
5
πr( r r
1
g g)
5
π
8
9
(9
1
15)
5
216π
total
16
3
48 2
Logo,
2
V
R
V
V
5
48v
2
2
R
b)
h
48
Logo,
área
lateral
é
135π
cm
2
e
a
área
total
é
216π
cm
h
5 v
a
serão
necessários
48
recipientes
2
g
5
V
r
2
h
1
5
2
r
V
100
2
26
V
r
5
5
2
24
1
r
V
10
menores. A
πrg
π
8
10
26
260π
lateral
14.
Sendo
r
o
raio
da
cister na,
A
V
πr( r r
1
g g)
5
π
8
10
(10
1
26)
360π
total
2
H
r
5
Então, a área lateral é 260π
0,5
m
5
5
dm
3
V
5
310
c
5
310
21.
dm
2
V
5
πr
Logo,
o
V
310
nível
de
5
3,1
água
5
H
V
baixará
100
4
5
dm,
25H
ou
V
seja,
H
40
5
Supondo
reto
2
H
4
de
cm.
que
sem
papel
fazemos:
a
cada
base,
usado
Ca
cu
an
o
a
área
e
a
capaci
a
e
e
ca
a
tanque
e
34
para
entre
elas,
2
I:
5
A
π
8
2
2
6
5
5
π
8
con fecciona r
um
cone
quantidade
de
total
todos
os
c ha p é u s
h
5
A
12
cm
e
cone
2
5
h
2
1
r
5
2
r
V
g
8
cm,
2
5
12
temos:
2
1
8
V
g
208
5
V
g
5
4
13
Logo:
2
A
for ma
a
24π
2
V
da
temos: g
Tanque
é
calcular
a Sendo
relação
chapéu
para
lateral
15.
2
e a área total é 360π π cm
6
5
24π
34
24
5
A
34
πrg
5 34
π
8
8
4
13
5 1. 088
13
lateral
5
1
5
V
24 Portanto,
Tanque
II:
A
5
π
8
2
2
8
5
são
necessários 1 . 0 8 8
13
cm
de
papel
para
32π
II
fazer
todos
os
chapéus.
2
V
5
π
8
2
8
5
32π
II
A
32
II
22.
5
5
A
altura
n
II
Tanque
III:
A
5
π
8
2
3
e
o
raio
do
l
in
ri
cilindro
são
iguais
à
altura
e
ao
1
32
V
8
5
n
En
48π
III
5
h
cm
e
5
cone
2
m
cone
2
V
5
π
8
3
8
5
72π 2
III
g
A
48π
III
5 V
2
5
h
2
1
r
2
V
g
2
5
5
2
1
2
V
g
5
29
2 Área
5 72
total
da
super fície
do
cone:
3
III
ogo,
o
tanque
capacidade
alter nativa
é
d
o
com
III.
menor
custo
por
metro
i
A
5
πr (r
1
g g)
5
π
2
(2
1
29
)
5
2π
(2
1
29
)
total
Portanto,
2π
(2
1
a
29
área
)
total
da
super fície
do
cone
é
2
cm
Guia do professor
305
raio
23.
O
cone
é
equilátero
com
r
5
cm
e
g
5
10
28.
cm.
2
A
5
A
total
1
A
V
base
A
lateral
5
πr
1
πrg
V
total
2
V
A
5
π
8
5
1
Portanto,
a
área
π
8
5
10
V A
total
5
75π 4
4
total
2
total
da
super fície
é
75π
cm 5 r
r
2
24.
Como
A
5
600π
cm
e
g
5
30
600π
5
π
cm,
temos:
ral
A
5
600π
5
πrg
V
8
r
30
V
r
5
20
3
3
lateral
Assim:
2
A
5
2
πr
1
A
total
5
π
8
20
1
600π
5
1.000π
lateral
12 r
2
Portanto,
a
área
total
da
super fície
é
1.000π
5
5
4
3
V
r
5
cm 5
A
3
h 25.
tg
30°
5
10
h
V
5
10
V
3
h
área
da
do
sólido
laterais
de
dois
cones;
g
5
2
r
1
2
h
V
10
2
g
5 10
A
3
5
rg
5
5
πrg
L
8
8
V
g
5
4
5
5
12
36
5
8
8
20
200
5
V
9
g
5
3
2 2
1
2
1
áreas
⎠
3
A
5 100
das
L
⎞
1
300
2
g
soma
V
⎝
V
pela
48
12
2
dada
assim:
3
2
⎛ 2
é
3
5
10
super fície
5
5
3
5
9
3
A
5
A
5
A
1
A
L
L 2
20 A
5
rg
5
8
10
3
200
8
48
3
5
36
84
1
5
atera
5 3
5
5
3
84 Portanto,
200
a
área
da
super fície
do
sólido
é
2
dm
5
3 2
cm
3
1 29.
1
2
5
V
r
V
h
18
2
5
2
8
3
8
h
V
cone
26.
Vamos
deter minar
ângulo
central
a
é
o
comprimento
C
deste
ar co
cujo
3
3
300º. 2
18 V
h
5
V
h
5
6
2
3 3 6 0º
——
3 0 0º
——
2
6 2 2
C
6
3 0 0º C
2
8
5
2
g
8
6
5
A
10
5
r
2
1
5
2
h
πr (r
V
1
2
g
g g)
5
5
π
3
8
1
3
(6
(3
)
2
1
9)
V
5
g
5
81
V
g
5
9
36π
total
360º 2
Portanto,
ferência
da
base
é
2πr, r
5
10π
V
r
5
total
da
super fície
do
cone
é
36π
temos: 30.
2πr
área
60°
a
Como o comprimento da circun-
a
O
lápis
é
composto
de
um
cone
e
um
cilindro.
5 1
5
r
cm
e
altura
h
5
1
cm
1
Portanto,
cone
é
5
o
raio
da
base
do
2
cm.
1
5
r
cm
e
altura
h
2
5
15
cm
2
2 Comentário:
A valiar
a
conveniência
de
pedir
aos
alunos
Então: que
desenhem
e
r ecortem
tr ês
setor es
cir cular es
de 2
1 mesmo
raio
e
ângulo
central
medindo
a
a
V
1
2
5
8
π
8
(r1 )
cone
8
h
nor
que
180º,
outr o
com
a
igual
a
180º
e
outr o
com
1
⎛
5
8
π
1
⎞
8
8 1
5
π
1
3
⎝
3
2
⎠
12
a 2
2
maiorque180º.
Para
cada
setor
recortado,
após
V
unirem
5 ci
π
8
indro
(r2 )
⎛ 8
h
5
π
lados
do
ângulo
central,
pedir
a
eles
que
15
⎞ 8 15 5
⎝
os
1
8 2
⎠
4
comparemos 1
r espectivos
raios
r
da
base
do
cone
com
a
geratriz
V
g
5
V
ápis
1
V
cone
15
5 ci
1
Espera-se
que
eles
per cebam
que
os
raios
23
5
indro
12
deles.
π
2
4
6
terão, 23 Portanto,
r espectivamente,
27.
Representando
a
r
,
2g
r
situação,
5
2g g
e
r
.
o
volume
do
lápis
é
3
2g
cm
6
temos:
31.
Representando
a
situação,
temos:
A
2
cm
A
h
=
0,3
m
B H
O
r
=
0,3
10
m
R 8
OCCES
Sendo
R
o
raio
da
for ma
circular
iluminada
pelo
lustre:
NOSLIDA
A
R
2
2
π
Os
cm
C
O
5
6,25
R
triângulos
:SEÕÇARTSULI
h
AOB B
5
2,5
e
AO
R
r
H
5
V
H
C
5
são
semelhantes;
2, 5
h 5 r
R
Para V
0
então:
0, 3 H
5
calcular
r
306
o
lustre
deve
ser
Guia do professor
raio
R
do
2 5
Logo,
o
2, 5
3
pendurado
a
2,5
m
do
chão.
R
V 10
R
5
5r
(I)
cone,
temos:
cm
cm
2
Sabemos
que:
34.
A
5
πr
5
16π
V
V
5
4
2
5
A
A
1
216π
2
πR
5
πr
1
216π V
2
V
r
5
16
r
4
2
5
R
r
1
216
(II) 2
A
5
πR
5
36π
V
2
Substituindo
2
R
r
2
5
25r
em
(II),
obtemos:
1
216
R
V
2
r
V
5
9
V
r
5
5
36
V
R
5
6
t
3
2
Assim:
g
5
2
(h h
1
2
V
t
R
5
5
3
5
2
15
2
(2
)
5
5
(h
1
)
4 4
O
volume
do
cone
é
dado
2
por:
2
V (h h 1 V
1
2
5
8
8
R
8
h
5
20
4
V
h
5
6
2
5
8
3
)
15
8
8
10
5
750
3
V
h
5
16
V
4
3
Portanto,
o
volume
do
cone
é
750π
cm
Considerando
32.
a)
que
prolongamento
a
H
da
geratriz
e
da
altura
do
tronco,
temos
proporção:
5 H
H
4
5
H
V
6
5
12
34
volume 12
do
1 V
1
2
5
π
1
(r 1)
h
8
π
8 12
8
do
maior.
volume
do
cone
maior,
gerado
pelo
Assim:
5
1
3
3 5
V
V
240π
5
cm
V
n
3
Logo,
menor
triângulo
2
5
cone
V M
.
1
1 1 V
π
(r2 )
h
1 2
1
2
5 2
2
5
8
π
8
V
5
8 12
s
5
s
12
3
4
8
3
3
128
3
Logo,
2
6
tronco
2
3
V
5
100π
cm
V
2
5
s
144s
tronco
12
3 Assim:
30 4
3
V
240
1
cm
V
240
= tronco
5
5
5
240%
3
3
V
100
100
cm
2
30 4 Portanto, Portanto,
entre
V
a
e
razão
V
é
o
volume
do
tronco
é
3
cm
percentual
3
240%.
2
35. 5
b)
Para
o
triângulo
retângulo
1 temos:
5
V
de
y
catetos
1
2
x
e
5
V
1
que
medem
x
e
R
y
2
x
y
2
3
3
Portanto:
1
2
y V
x V
3
1
5
y
1
V
V
1
5 V
2
2
x
x 2
y
3
H Comentário:
e
ampliada
Essa
é
uma
pedindo
aos
questão
alunos
que
que
pode
ser
elaborem
explorada
um
quadro
V 1
em
que
se
represente
o
cálculo
da
,
razão
h
atribuindo
V 2
para
33.
y
os
Observe
valores
a
figura
2x,
ao
x,
x
x
2
3
x e
4x
4
lado.
H
Considerando
a
h ,
5 5
5
O
temos
3
V
515cm.
volume
H
do
tronco
pode
ser
subtraindo
o
volume
do
o
do
volume
do
cone
de
água
que
3
V
⎛
H
restou
na
taça,
temos:
3
⎞
5
cone
⎛
4R
⎞
5 ⎝
V
menor
V
volume
ob6
tido
temos:
2R
3
H
H,
6
6
H
4R
h
H
H
5
proporção
h
⎝
⎠
2R
⎠
maior. OCCES
5
V 5
8
Assim: V
NOSLIDA
V 5
V
V
tronco
V M
V
m
5 8
1
1 2
5
s
5
2
15
s
3
(15
V
6) Cálculo
tronco
3
3
do
volume
da
água
bebida:
V
2
7 5
8
5
V
125s
27π
=
98s
V 8
7
tronco
Portanto,
foram
da
bebidos
quantidade
de
água
8 3
Portanto,
o
volume
do
tronco
de
cone
é
98π
cm
havia
na
taça.
Guia do professor
307
que
:SEÕÇARTSULI
V
Comentário:
É
interessante
pedir
aos
alunos
uma
estima-
41. Assim:
tiva
do
resultado
antes
de
eles
resolverem
esse
exercício.
2 2
2
2 Certamente
muitos
se
mostrarão
surpresos
com
o
o
que
deverá
gerar
interesse
pela
(
5
4
5
1
)
3
1
x
2
3
tado,
5
resul-
continuidade
x
3
2
do
2
x
m x
O
x
5
1
Logo, 36.
Para
calcular
a
altura
da
peça
(h h ),
a
entr e
2
2
13
5
(h h
)
distância
temos:
o
plano
b
e
2
1
5
o
centro
da
esfera
7 h
5
h
5
144
é
1
cm.
b 12
H
2
42. h
h
t
a)
A
4 super fície
13
t
do
triângulo
for mado
pelo
π
4
5
da
geratriz
e
do
tronco,
temos
a
4
π
da
4
8
3
36π
8
8
3
5
r
8
8
5
3
36
esfer a
altura
3
7
2
r
3
5
V gamento
8
esférica
prolon
3
2
proporção:
Portanto,
a
área
da
super fície
esférica
é
36π
cm
e
o
12 3
H
H
12
144
5
V
12
H
volume
da
esfera
Como
esfera
é
36
cm
5
7
5
b)
a
tem
18
cm
π
r
de
diâmetro,
temos,
r
9
cm.
Assim: O
volume
do
tronco
pode
ser
obtido
subtraindo
o
volume
2
A do
cone
menor
do
volume
do
cone
maior,
gerado
4
pelo
super fície
4 triângulo
maior.
Assim:
2
5
4
π
4
3
5
V
8
8
9
5
324π
esférica
8
8
3
5
r
8
8
5
9
972
esfer a
3
3 2
5
V tronco
de
V
cone
V
M
Portanto,
a
área
da
super fície
esférica
é
324π
cm
e
o
iguais
a
m
3
volume 1
144
1
5
3
5 tronco
de
s
é
972π
cm
2
12
s
7
cone
3
5 43.
V
5 tronco
esfera
84
2
V
da
de
1.1
s
A
altura
4r,
cone
a
e
o
comprimento
largura
é
igual
a
2r
do
e
r
paralelepípedo
é
o
raio
de
são
cada
esfera.
Portanto: 2
V
2
5
πr
h
5
5
588π
π
8
7
12
cilindro 3
V
5
4r
4r
2r
5
32r
paralelepípedo
V
4 Como
cilindro
o
volume
de
cada
esfera
é
3
,
cm
temos:
3
4
4
Logo:
5
5
V
eça
V
V
r
5
1
V
r
5
1
3
V tronco
5
3
r
3
V
3
de
cone
cilindro
1.108
V
588
5
2
1
V
V
paralelepípedo
5
2
paralelepípedo
peça
3
Portanto, V
5
o
volume
do
paralelepípedo
é
32
cm
520π
peça
Comentário:
Pode-se
ampliar
essa
questão
pedindo
aos
3
Portanto,
o
volume
da
peça
é
520π alunos
que
calculem
quadrados 37.
circunferência
super fície
c)
um
papelão
embalagens
mínima
necessária
para
de
centímetros
fabricar
uma
caixa
que
uma
indústria
contenha
quatro
lateral
bolas de
quantidade
P
de b)
de
a
cone
super fície
do
tamanho
dessas
esferas.
O
esférica
π 44.
Como
α
5
5
4 5 °,
temos:
4
2
π A
8
8
r
α
5 fuso
esfér i co
90°
Comentário :
Essa
questão
é
in ter essan te,
po is
p r op or -
2
A
8
6
for mas
geométricas
por
meio
da
rotação
de
45° 5
18
esfér i co
90°
outros
3
π V elementos
8
5 fuso
ciona aos alunos a oportunidade de imaginar a obtenção de
8
r
8
α
5 c u nh a
geométricos.
esfér i ca
270°
3
π
4 38.
5
V
8
V
4. 000
3
8 10
8
6
8
45°
5 c u nh a
5
36 π
esfér i ca
270°
5
queijo
3
3
2
Portanto, 4. 000
ci
4. 000 π
2
5
V
V
8
10
5
h
a
área
do
fuso
esférico
3
é
18π
cm
e
o
volume
da
40 V
5
h
3
indro
3
cunha
3
esférica
é
36π
cm
40 Portanto,
a
altura
da
panela
é
h
5
cm.
45.
Cada
gomo
pode
ser
considerado
uma
cunha
esférica
3
360° segundo 39.
Se
as
super fícies
são
exter nas,
um
ângulo
de
medida
5
temos:
30°
12
d
5
r
1
r 2
OCCES
Se
uma
A
super fície
r
>
r
r
>
r
V
d
V
d
5
for
inter na
r
r
r
r
2
à
outra,
teremos
dois
casos:
medida
do
da
círculo
total
lateral
NOSLIDA
2
fuso
distância
entre
O
e
O
é
r
1
:SEÕÇARTSULI
2
r
ou
r
r
2
ou
r
2
8
30°
r 5
esfér i co
r
90°
3
2
2
A
5
πr
lateral
2
(r
)
2
2
5
1
V
(r
)
5
2
1
V r
5
8
V
1
r
5
2
2
2
1
2
r 5
A
4 r
2
1
r
5
t ot a
Portanto,
308
cada
2
8
r
5
A
40.
de
mais
Assim:
2
a
face
2
2
Logo,
super fície
da
o
raio
do
Guia do professor
círculo
é
2
2
cm.
3
3
a
gomo
área
do
é
igual
fuso
à
área
esférico.
Portanto,
a
medida
da
super fície
total
de
cada
gomo
será
2.
secção
2
retangular
4r unidades
de
área.
3
3
8
r 46.
V
8
a
2a
5 c u nh a
h
5
esfér i c
3
270°
3
h
2
3
Como
a
cunha
esférica
tem
1
m
e
vo
ume,
temos: 2x
a 1
5
V
a
5
3
2
3
Assim,
o
ângulo
que
deter mina
a
cunha
esférica
mede
3
x radiano.
2
2
2
x
47.
A
estrutura
coberta
em
for ma
de
um
hemisfério
é
2
5
3
V
x
5
4
um Sendo
A
a
área
da
secção
retangular
e
A
s
fuso
esférico
segundo
um
ângulo
de
a
área
da
base
b
180°. do
cilindro,
5
A
s
V
temos:
2x
h
5
25π
V
h
h
b
8
h
2
6 2 5 5 8
2
6 2 5 Logo,
o
volume
do
cilindro
3
é
cm
8
3
3.
a)
Pelo
enunciado,
temos:
x
5
3y
e
V
5
243
cm
cilindro
Assim:
2
243
5
x
π
8
2
y
V
243
5
3y
3
y
V
2
A
=
78,5
m
3 3
base
V
2
A
5
πr
9y
5
2
5
78,5
V
r
5
25
V r
5
5
x
base
5
3y
x
5
3
3
x
5
9
2
r A
a
5
5
180°
Logo,
5
5
x
5
9
e
y
5
3.
q
fuso
90°
90° b)
Pelo
enunciado,
temos:
x
5
y
1
10
e
A
5
450
cm
lateral
2
Logo,
na
foram
utilizados,
cobertura
aproximadamente,
157
m
de
lona
Assim:
toda.
450
5
x
2
3y
V
450
2
V 48.
Vamos
deter minar
o
volume
de
sorvete
que
cabe
em
75
5
5
6
(y
1
10)
y
V
2
y
10y
V
y
10y
75
5
0
V
um V y
5
5
ou
y
5
215
(não
convém)
2
copinho
de
acordo
com
o
descrito
no
enunciado.
x
5
y
1
10
V
x
5
5
1
10
5
15
1 5
,
em
que
c o p i nh o
Logo,
y
5
5
e
x
5
15.
3
40
1
2
4.
5
0
V
V
5
π
8
2
r
h
V V
lata
c o p i nh o
5
π
8
4
19
V
V
lata
q
954,6
lata
3
3
3
Duas
conchas
semiesféricas
de
sorvete
equivalem
a
Assim,
o
volume
Então,
V
da
lata
é,
aproximadamente,
954,6
cm
uma 3
q
954,6
mc,
pois
1
cm
5
1
mc
lata
bola
esférica
de
sorvete.
Portanto,
vamos
deter minar
o V
q
954,6
900
V
ar
volume
de
uma
Portanto, 4
5
mente,
a
3
volume
de
ar
54,6
contido
na
lata
é,
aproximada-
54,6mc
3
32
40
3
3
Como
,
o
sorvete
não
transbordará,
mesmo
5.
O
volume
volume que
o
32
3
5 bo
q
ar
bola.
pedido
do
cone.
é
a
diferença
entre
o
volume
total
e
o
Assim:
derreta. 3
4s x
2
C
3
3
Exerc
cios comp lementares alter nativa
1.
Sendo
C
a
circunferência
da
base
do
barril
A
e
C
A
a
3
B
omo circunferência
5
2a
b
5
2sR
da
base
e
5
do
a
5
barril
B,
135°
5
,
2sr g
80
0
5
5 3
3 a Portanto:
temos:
temos:
a
5
e
r
5 4 2 2
Assim:
2
h 2
V
5
V
5
3
h
h
3
9
3
s
V 2
V 9
3
OCCES
s 2s
3
Portanto,
o
volume
do
cone
é
cm
NOSLIDA
9 Portanto,
5
V
2V
A
alter nativa
:SEÕÇARTSUL
Comentário:
tão
B
a
7.
Avaliar
substituindo
o
a
conveniência
fator
2
por
k.
de
ampliar
Assim,
como
essa
os
Sendo
R
temos
a
barris
espera-se
que
os
alunos
concluam
que
5
do
cone
k
maior
o
volume
r
o
raio
do
cone
.
R
menor,
Assim,
menor
e
o
volume
do
cone
a
maior
(volume
total)
a
20
r
cone
do
16 se
5 R
entre
e
16
20
relação
ka,
raio
proporção
se-
riam construídos com chapas retangulares de dimensões
e
o
ques
é:
Guia do professor
309
2
Resolvendo 1
o
sistema
for mado
pelas
equações
(I)
e
(II),
16 R
16 3
3
m
20
obtemos
16
5
9
cm
5 3
V
Assim,
20
2
T
1
a
altura
do
cone
menor,
ou
seja,
a
distância
do
20
R 3
vértice
ao
plano
paralelo
à
base,
512
⎞
9
,
h
que
é
igua
a
c m.
9
51, 2%
é
1. 000
° Portanto,
o
volume
do
copo
ocupado
pela
espuma
equivale
11.
V
5 u nha
a
48,8%
do
volume
total,
aproximadamente
Assim, alter nativa
o
volume
da
cunha
r
5
17
V
r
secção
Temos
a
81 π
i ca
esférica
é
81π
cm
.
c
12.
8.
es
50%.
5
1
secção
proporção: 5
A
π
8
1
V
A
5
secção
C
1 6 0º
2s r
cone
5
8
C
π
4 18
3 6 0º
22
secção
2
8
Logo,
a
área
da
secção
é
225
cm
9
set or
Portanto,
o
raio
da
base
do
cone
é
8
cm.
Aplicando
o
2
13.
2
r
5
2
15
8
V
r
de
Pitágoras
no
triângulo
retângulo
for mado
2
pelo
2
h
raio
e
pela
altura
do
cone,
2
5 18
V
h
5
5
V
h
q
Prolongando
cones:
,
C
161
A
16
5
sec
161π
o
d
2
Portanto,
9.
5
ã
temos:
2
1 8
alter nativa
a
altura
que
e
a
contém
geratriz
o
do
tronco,
e
tronco,
C
,
obtemos
dois
complementar
14.
a
área
Considerando
da
que
relação
a
C
.
Se
é
a
altura
de
e
h
é
de
C
,
temos
a
densidade
cm
volume
5
massa,
temos:
5
3. 283
2
7
1
5
s
2
8
proporção: Então,
2
h
161π
a 3
altura
é
3
4
com
secção
do
v tronco
161
pela
r geratriz,
5
s e c ç ão
secção
teorema
calculando
o
produto
d
v, temos:
H 3. 283 3
s
3 cm
O
volume
do
tronco
pode
ser
obtido
subtraindo
o
5
de
C
de
C
.
cm
5
8
volume q
0
kg
Assim:
2
alter nativa 1
1
2
2
V
5
V
tronco
V
C
19
2
s3
5
s2
H
H
5
sH
C 2
3
3
3
9 15.
V
5
V
cilindro
Como
V
5
20s,
temos:
19
3
h
5
(I)
5 lateral
20 s V H
9
A
180 5
cubo
2
πr
tronco
sH
e
A
cilindro
total
do
cubo
5
9
19 2
2πr 2 Portanto:
h
1
5 H
H
h
5
6
5
V h
9
(II)
60
5
H
2 r
5
tronco
3
3
19
Substituindo
(II)
em
(I),
obtemos:
60 Logo,
a
altura
do
tronco
de
cone
é
m.
729
486
2
729
19
5
0.
Pelo
enunciado,
podemos
construir
uma
figura.
3
243
2 r
Logo:
Observe:
486
81
h
V
Assim:
81 A
5 o
a
in
2
5
2
(486
1
1
π)
r
OCCE
9
–
h t 2
Logo,
a
área
total
da
super fície
é
(486
1
18π)
cm
NOSLIDA
B 16.
A
PA
é:
(h
x
h
h
1
x )
r
raio
t
2
(h
1
altura
geratriz
2
x )
2
h
1
(h
x
A
O
2
h 3
2
1
2hx
1
x
4hx
5
0
2
5
2
h
1
2
h
2hx
1
x
cm 2
h
h(h Como
os
triângulos
VOA A
e
VO
B
são
semelhantes,
h 9
h
4x)
5
0
temos:
5
4x
ou
h
5
0
(não
convém)
9
3
5
Entretanto,
(I)
o
volume
do
cone
é
12π
cm
;
então:
r 1
2
12 Entretanto,
devemos
h
ter:
Substituindo V
h
por
4x
nessa
equação,
obtemos:
V cone
m ai or
3
2
36
V r onco
de
5
Logo,
cone
3
4x
(3x )
h
5
4
V
x
5
1
V
x
5
1
cm.
2 Então,
a
PA
é
(3,
4,
5).
1 V
V
5 onco
de
8
cone
V c
m ai or
3 h 17. V
V
2
5
2
t r onco one
m enor
3
2
V
Assim:
πr
1 3
9
5
Como
V
2
5 tronco
(9
3
,
obtemos:
cilindro
h
h
2
5
5 3
27 9
V
)
3
3
h
h
cilindro
(II) 2
r
310
Guia do professor
Logo,
o
diâmetro
do
cilindro
é
14
m.
7
18.
O
raio
r
da
r
esfera
a
d 5
é
metade
3
4
5
5
2
da
V
2
diagonal
d
do
cubo.
Assim:
3 r
5
2
3
1.
A
5
2πrh
5
2π
8 10
6
5
120π
lateral
2
2
Assim,
3
a
área
da
super fície
lateral
do
cilindro
é
120π π
cm
4 5
V
8
(2
8
π
esfer a
)
3
V
5
V
32π
3
esfer a
alter nativa
3
b
3
Portanto,
o
volume
da
esfera
é
32
3
m 2.
No
cilindro
2
A 19.
equilátero,
A
1
total
temos
h
5
2r .
Assim:
A
base
lateral
V 2
2
π
8
r
2
π
8
r
1
2
π
8
r
h
1
2
π
8
r
2r
5
2
5
2
5
2
2πr
1
4π r
alter nativa
3.
5
A
πrg
lateral
2
2
5
g
24
2
h
1
5
A
π
2
r
8
2
V g
2
5
12
15
5
135π
da
super fície
9
1
9
2
V g
5
225
V
g
5
15
lateral
2
Assim,
a
área
lateral
do
cone
é
135π
cm
C
alter nativa A
a
10
x 5 B 4.
Como
r
V
5
5
3
h,
temos:
2
2
x
5
10
5
x
V
5
5
2
πr
h
5
π
2
5
A
5 triângu
o
25
8
(3h)
h
5
cilindro
3
8
3
9h
h
5
9
h
3
ABC
alter nativa
a
1 V
5
8
A
h
8
t e t r a ed r o
t r i â ngu
o
ABC
g
3
5.
Como
g
2r,
temos
r
.
=
Assim:
2 1 5
V
5
A 8
25
3
8
24
πr( r r
1
g g)
total
t e t r a ed r o
3 2
g 5
A V
5
2 00
3
g
⎛
8
3 g
⎞
8
1
5
g
total
t e t r a ed r o
⎝
2
alter nativa
⎠
2
4
b
2
4 20.
V
6.
3
5
15
8
5
A super fície
4. 500
5
4πr
2
5
4
π
8
1
5
4π
esférica
3 alter nativa
b
Assim:
4 7. 95 95%
de
4. 500
4
3
5
V
r
4
3
5
8
5
4
esfer a
5
4. 500
8
3
4. 275
5
3
3
100 a
3
Logo,
o
volume
de
água
é
4.275π
1 8.
2
5
V
r
h
A
21.
V
3
6
2
5 t r onco
de
8
2
1
(4
8
4
2
1
2
)
5 168
cone
2
1
3 V
4r
2
( 2r )
5
h
h
5
B
Assim,
o
volume
máximo
de
líquido
que
a
xícara
pode
Assim,
3
conter
é
168
V
5
4V
B
cm
Na alter nativa
3
3
A
embalagem
B
cabe
o
quádruplo
do
conteúdo
da
observação
da
a
embalagem
alter nativa
V
A.
d
esfer a
22.
V
5
1
V
pião
cone
2
9. 1 V
4
5
1
3
8
8
8
2
1
2
8
8
2
8
4
pião
2
3
3
32 5
V
pião
3
Pela
32 Assim,
o
volume
de
cada
pião
é
figura,
3
concluímos
cm
3
que a distância entre r os
23.
Vamos
deter minar
os
volumes
dos
dois
tipos
de
O
planos
e
b
é
r
taça.
P
3
1
4 π3 5
2
18π
2
b 1
a
2
8
π
8
3
8
h
5
3πh OCCES
3
Para
ter
volumes
iguais,
basta
igualar
os
volumes
das 10.
12
A
5 bola
então:
18π
3πh
V
h
x
A
maior
bola
6 2
alter nativa
12
4π(2r)
48
4πr
2
5
x
4πr
b 2
π
8
r
2
8
h
8
α
5
V
π
8
25
x 8
30
5
8
5
2
5
x
4πr
:SEÕÇARTSULI
2
24.
menor
NOSLIDA
taças;
48
30° 5
1. 562, 5 π
f a t ia
360°
360°
Logo,
podem-se
fazer
48
bolas
menores.
3
Assim,
o
volume
de
cada
fatia
é
1.562,5 π
cm
alter nativa
c
Guia do professor
311
Cap ítulo
8
Matrizes e
determinantes
Esse
capítulo
matriz,
tem
realizar
determinante
por
o b j e t i vo
o p e ra ç õ e s
de
uma
identificar
com
matriz
matrizes,
e
classificar
além
de
uma
calcular
o
estudo
de
aplicações,
matrizes
a
e
determinantes
resolução
de
i
1
5
j
5
a
4
5
a
5
27
q u a d ra d a .
5.
O
a
equações
subsidia,
entre
Resposta
possível:
o u t ra s
⎛ 1
matriciais.
Dada
a
matriz
A
5
⎝
1
1
2
4
8
3
9
27
1⎞
16
,
observe:
81 ⎠
Resoluções e comentários
a
5
1
5
1
5
1
5
1
a
11
Exercícios p rop ostos
5
2
5
2
5
4
5
2
5
3
3
(uma
linha
e
três
3
5
5
8
5
5
27
5
3
5
81
5
3
3
2
23
33
colunas) a
5
1
5
4
1
a
14
e
3
5
32
4
linhas
5
9
3
13
1
3
5
2
a
22
3
a)
5 31
2
a
12
1.
a
21
2
a
b)
3
3
1
(três
uma
c)
2
3
1
(duas
linhas
e
uma
d)
2
3
2
(duas
linhas
e
duas
5
16
5
4
2
a
24
34
coluna)
j
Assim,
a 12
a 13
14
A
5
a
a
a
21
⎝
23
a
uma
a
32
lei
33
5
a
8
a
lei
de
for mação,
1
1
2
1
5
obtemos:
a
3
1
1
2
2
5
7
a
5
3
1
1
2
3
5
9
a
5
3
1
1
2
4
5
11
a
5
8
A
é
5
3
2
1
2
1
5
8
a
2
1
2
pois
e
elas
tipo
1
é
5
12
do
Comentário:
5
3
2
1
2
4
5
14
5
3
3
1
2
1
5
11
5
3
3
1
2
2
5
13
5
3
3
1
2
3
5
15
5
3
3
1
2
4
5
17
fato
7.
5
3
2
1
2
2
5
10
a
3
não
do
5
são
tipo
5
(matriz
Uma
curioso:
as
que
as
5
7
9
1 1⎞
pr op o r
um
para
c ria,
outro
um
p or
de -
m e io
descobrir
tipo.
(matriz
coluna)
e
a
segunda
é
linha).
simples,
ambas
matrizes
a
1
2b
5
7
2 a
1
3b
5
8
sejam
dadas
sejam
A
5
8
10
12
⎝
11
13
mas
que
for madas
são
iguais,
mostra
pelos
diferentes.
devemos
⎛ b
b 11
12
15
17
5
1,
8.
22
b
b 31
os
sistemas,
b
5
3,
c
5
21
e
A
a 11
12
a
a 21
⎠
i
5
j,
1
1
5
0
b
5
2
1
5
5
1;
5
a
;
12
3 2 5
a
5
1
22
i
j,
2
temos:
5
3
2
5
6
b
5
3
1
5
3
b
12
5
3
1
5
3
5
3
2
5
6
1
⎛
31
⎞
1
21
Portanto:
A
2
5
32
⎝ ⎛ 0
Portanto:
B
5
3
3
3
6
A
5
a 11
⎛ a
a
a 21
⎝
a 31
13
a
⎞
0
⎝
3
a 22
a
23
a 31
a 32
⎠
33
13
a 22
a
⎞
$26$
⎞
a 12
a 12
a 21
11
1
⎠
9.
a
2
6⎞
⎛ a ⎝
5
8
7
7
5
$24$
23
a 32
33
⎝
⎠
9
Diagonal
principal:
⎠
2
a
5
2
1
1
1
5
2
2
1
2
3
1
3
5
3
11
2
i
5
j,
a
temos:
5
8
5
15
22
2
5
a
$
$
5
6;
a
11
312
22
Guia do professor
5
7;
a 33
5
9
a 33
5
8
5
a
5
21
2
11
i
2
1
5
a
temos:
2
5
23
⎞
1
⎛
5
22
1
b
obtemos:
5
11
b
d
⎠
2
5
3
32
b
5
5 21
⎞
⎝ ⎝
d
⎠
b 21
2d
⎩
⎛ a b
2
1
⎨
14
a
5
3c
2 2c
⎧
e
⎨
Resolvendo
mesmo
1
matrizes
⎩ Portanto:
A
do
3
questão
embora
números,
Para
⎧
matriz
de
vice-versa.
34
⎛
uma
que
33
22
B
em
32
21
3.
conven iên cia
a lun os
formação,
essa
primeira
mos
a
a
de
31
14
a
A valiar
um
24
13
a
i
23
5 12
a
5
⎠
11
a
a i j
duplas
de
que
34
Não,
Aplicando
lei
em
3 4
24
a
31
entr e
, 3
a
22
a
)
⎞
que 2.
(a
Comentário :
colunas)
de a 11
5
i j
safio
⎛ a
A
coluna)
⎠
1
2;
ter:
mes-
Diagonal
secundária:
14.
a)
B
2
A
⎛ 2
0⎞
⎛ 4
3
1 ⎠
2
1⎞
2
⎛
5
1⎞
5
2
a
5
2
1
1
3
5
2
2
1
2
5
2
3
1
1
5
11
5
8
5
7
⎝
13
⎝
0
⎠
1
⎝
1 ⎠
2
a 22
4
1
2
⎞⎤
⎛
⎞
⎡⎛
⎞
⎛
2
a
0
1
0
0
1
31
b)
A
2
(B
1
I
)
5
1
5
2
Portanto,
cipal
e
os
11,
elementos
8
e
7,
na
3,
dia
8
e
15
onal
estão
na
diagonal
2
prin-
secundária.
4
1
⎝ b
b 11
b
B
0
⎠ ⎦
⎞
⎛ 1
1
5
⎠
⎝
1
⎝
⎠
0
⎠
b 23
24
c)
B
2
(A
1
0
)
5
B
2
A
5
2
5 b
b
b
31
32
b
b 33
b
34
b
41
⎝
42
⎛ 2
0⎞
3
1 ⎠
b
i
5
⎛ 4
1⎞
⎛
2
1⎞
1
1 ⎠
b 43
44
5
⎠
5
⎝
0
3
⎝
⎠
14
b 22
0
⎞
b 13
b 21
10.
b 12
3 2
2
1
⎝ ⎣
⎞
⎛
⎞
⎛
3
⎠
⎝
5
⎛
0
j
5
1
1
1
5
2
b
5
2
1
2
5
4
b
11
i
2
⎝
0
⎠
⎝
j
5
1
4
5
23
5
2
3
5
21
14
⎛ 5 b 22
23
5
b
3
1
3
5
6
15.
b
33
5
3
2
5
1
5
4
1
5
3
a)
X
3⎞
⎛ 2
1⎞
4
1 ⎠
3
⎛
5
4⎞
5
⎝
3
4
⎠
⎝
1
⎝
5
⎠
32
5
b
4
1
4
5
8
b
o
produto
44
41
⎛ 1
b) Calculando
dos
elementos
de
cada
X
2⎞
2
⎛
5
4⎞
⎝
3
4
6
0⎞
4
2
⎛
1
diagonal,
⎛
1
⎠
1
⎝
0
3
6⎞
6
6
5
⎠
⎝
⎝
⎠
⎠
obtemos:
4
6
8
5
384
16.
a)
c
é
elemento
da
matriz
C
5
1
B;
logo,
pode
ser
22
3)
(
1)
1
5 representado
por
5
c
a
22
Portanto,
a
diferença
entre
o
produto
dos
elementos
da
mentos
a
e
b
22
diagonal
principal
e
o
produto
dos
elementos
da
,
ordem,
é
384
9
5
5
2
1
2
5
⎛ 1
ele-
22
temos:
c
8
8
1
e
b
que
6
5
os
5
3
2
5
6
14
alunos
percebam
que
não
é
neces-
0⎞
(matriz
5
quadrada
de
ordem
2)
sário
2
⎝
os
22
5
Espera-se
I
Calculando
375. Assim:
11.
22
.
22
22
nessa
b
diagonal a
secundária,
1
0
1
deter minar
todos
os
elementos
das
matrizes
A
e
⎠
B,
pois
indica
c
a
soma
dos
elementos
a
22
e
b
22
22
2
⎛
k
⎞ 1
k
⎛ 1
Se
0⎞
5
⎝
2 k
1
1
k
, 0
⎝
⎠
1
temos:
b)
Não
existe,
triz
A,
pois,
para
qua
uer
e
emento
a
ma-
⎠ >
a
2
e,
para
qualquer
elemento
da
j
2
k
k
5
1
V
k
5
11
ou
k
5
21
matrizB
>
b
3.
Portanto,
qualquer
elemento
da
ma-
i j
1
5
0
V
k
5
riz
C
5
A
1
B
é
tal
que
>
c
5.
i j
k
1
5
0
V
k
5
1 Caso
k
5
os
as
Portanto,
o
valor
de
k
é
matrizes
e,
Assim,
⎧ i 5
(a
a
) i j
3
5 j
3 3
A
apresentem
e
B
por
meio
dúvidas,
da
lei
de
pode-se
construir
for mação
de
cada
1. uma
12.
alunos
1
j,
8
se
i
5
seguida,
eles
calcular
poderão
a
verificar
soma
que
das
matrizes.
qualquer
elemento
j da
⎨
em
matriz
C
é
maior
ou
igual
a
5.
j 11
,
i
se
i
i
j
⎩
Comentário :
⎛ a
a 11
A
5
a
a ⎝
a 22
Portanto,
5
a 32
o
1
1
4
4
33
traço
⎠
da
⎝
percebam
16
27
9
elementos
matriz
é
9
igual
Nessa
⎠
a
de
1
1
4
1
5
a
possibilidade
pedidos
construir
as
13.
a)
A
1
B
5
1
1
1
2
⎝ 4
⎛
⎞
0 ⎠
2
0
⎛
⎞
3
5
1
2
1
a)
3
8
A
5
3
2
1 C ) 5 (A
1
B) 1 C
5
2⎞
1
3
4
⎠
as
em
somas
que
os
alunos
separadamente
sem
a
9⎞
6
12 ⎠
⎡ 1 8
(A
1
B)
5
⎛
1
0⎞
1
21
⎛ 6
5
3
0
6
7
3⎞
1⎞ ⎤
⎛ 2
1
⎝
2
4
5
⎠
⎝
4
0
⎣
2⎞
7
⎛ 1
8 3
⎠ ⎦
2
⎛
⎞
1 ⎝
5
2
⎠
⎝
2
5
⎝
⎠
⎠
⎛ 3
1 5
2⎞
8 3
3 5
⎝
6
4
4
⎠ 2
⎛
c)
( (A
1
B )
1
I
5
5
2
1
3
⎞
⎛
1
1
0
0
1
0
⎞
⎝
3
⎠
0
3
⎝ 5
⎝ 0
2 ⎠
0
1 ⎠ ⎛
1 c)
Não
são
é
possível
do
mesmo
adicionar
essas
matrizes,
pois
elas
2
8
A
2
8
B
Nessa
questão,
pode-se
pedir
aos
matrizes.
2
1⎞
⎝ 4
0⎠
8 3
2
6 ⎞
para
testar
as
propriedades
da
2
1
3
3
⎛
⎞
adição
2
5
4
19
3
3
⎞
⎝
4
5
8 ⎠
4
8 0
de
⎛
1 2
4⎠
alunos ⎛
aproveitem
3⎞
1
8
tipo.
5 que
2
⎝ 2
⎛
Comentário:
5
3
não
⎝
3
8 ⎠
⎝
3
os
necessidade
questão.
⎛ 3
⎝
2 ⎠
3
1 (B
interessante
encontrar
5
⎝
1
A
3⎞
8
⎞
b)
⎛ 5
é
3
⎝ 5
2 ⎠
⎝ 1
5
efetuar
matrizes
⎛ 1
3
e
de
14.
17. ⎛
questão,
⎞
23
a 31
1
13
a 21
⎛
⎞
a 12
⎠
Guia do professor
313
d)
2
A
(B
1
C )
⎛ 2
5 1
⎛
B
b) ⎛ 1
5
2
⎡
3⎞
8
⎛ 2
1⎞
A
3
1
2
4
⎠
4
⎝
0
⎠
4
⎝
2
6⎞
⎛ 2
7⎞
4
8
0
⎛
2
⎝
8
⎝
2
colunas
⎠
4
⎝
2
(A (
C )
1
3
(B
A)
que
da
os
alunos
matriz
5 2
1
3
⎛
⎞
8
0
6
4
2
⎤
⎞
⎡
2 2
⎝
4
1 3
⎠
⎝
⎞ 9
1
⎛
⎞ 1
2
⎛
1
3
2
4
⎞
⎤
2 0
4
⎝
⎠
A;
logo,
não
c)
A
8
C
5
é
possível
4⎞
1
1 3
8
calcular
⎛ 4
5
⎝
0
4⎞
2
de
o
produto
B
A
5
1 ⎠
0
⎝
1
1 ⎠
0
⎝
1
⎠
⎦
⎞ 4
1
8
5
10
4
5
2
⎤
8
(A
d)
8
B)
5
C
⎤
2
4 ⎠
2 ⎝
2 ⎠
número
⎛ 0⎞
2
⎡ 2
⎝
o
1 ⎠
⎝
⎠
⎡ 5 2
que
2⎞
2
5
⎝
⎣
⎦
⎛
⎛
8
⎠
⎣
percebam
B
⎛ ⎛
possível
5
⎛ 2
⎡
é
6 ⎠
matriz
e)
não
1 3⎞
5
⎠
&
1 ⎠
⎦
Espera-se ⎛ 2
0
⎠
⎣
5
2
⎠
5 ⎝
⎝
4⎞
⎞
1
⎝
1
0
5
6⎞ ⎤
⎛ 0
2
8
5 1 ⎣
⎞ 18
⎛ 2
⎛ 3
⎞ 12
6 ⎝
12 ⎠
1
5 4
⎝
⎛ 5
⎞ 6
2 ⎝
8 ⎠
B
1
C
2
⎡
I
220
1
(2 4 )
210
1
(2 2 )
⎛
⎞
1
5
⎞
6
0
⎛
1
2
1
0
⎝ 4
1⎞
⎛ 2
8
2
7
⎛ 0
6⎞
⎛ 2
0
4
0⎞
2
⎠
⎝
4
2
1 ⎠
0
⎝
2
(B
8
8
C)
5
0
8
⎝
4
2
1
2
4
1
2
itemd,
pois
Vejamos:
Caso
6
6
os
( (A
( (A
1
matricial
1
B )
B )
alunos
5
i
falsa
6A
6
A
1
1
a
( (A
criando
1
B )
i
as
8
A
matrizes
1
apresentada
no
0
⎝
Sugestão:
3⎞
A
e
B
2
⎛
e
2
0
1
1
1
⎞
⎤
⎝
⎠
⎠
26
1
2
4
28
2
14
⎞
⎛
24
⎞
⎞
5
12
⎠
⎠
0
⎝
e
pode -se
exem
mostrando
que
⎛
3
y ⎞
⎝
x
2 ⎠
⎛
2⎞
⎝
3⎠
⎛
1⎞
⎝
5⎠
7
1
⎛ 26
5
⎝
⎠
2
3y ⎞
V
7
⎠
⎛
1 ⎞
⎝
5⎠
5
⎝
2x
⎠
6
B
alando
as
matrizes
e
resolvendo
o
sistema,
obtemos:
0⎞
5 7
⎧ 0
1
B.
A 5
⎝
2
B
dúvidas,
I
⎛ 1
⎛
5
⎛
21. plificar
⎞
B
6
apr esentem
é
1
⎦
5
⎝ igualdade
0
3
⎣
⎠
⎞ ⎛
única
1
⎠ ⎛
A
⎞
⎝ 0
⎝
⎠
2
1
7⎞
⎛ 0
5
18.
⎦
⎡⎛ A
5
⎠
⎣
5 ⎝ 0
2 ⎠
1
⎝
⎤
⎞
e)
5
24
12
⎦
⎛
0 ⎠
⎝ 4
⎡
5
6 11 ⎣
2
⎤
5 2
⎛
⎦
5
4 ⎠
5
f )
⎦
1
3 ⎣
⎠
1
⎝
3
26
⎠
2
3y
5
1
V
y
5 2 3
⎨ ⎡
6
⎛
1
3
0
1
⎞
⎛
8
2
0
⎞
1
⎤
⎛
1
⎝
i
⎠
1
⎝
3
6
3
0
1
⎞
⎛
8
2
0
⎞
2x
1
⎠
⎣
1
⎝
⎠
2
6
5 25
V
x
5 2
⎩ 1
⎝
3
⎠
⎦
7
1 1
⎛
3⎞
⎛ 6
1 8⎞
2
⎛
Portanto:
0⎞
x
5
e
y
5 2 3
2 6
i 1
⎝
⎛
4
6
1 8⎞
6
24
1
⎠
⎝
0
⎛ 4
6
⎠
1
⎝
3
⎠
22.
1 8⎞
Aplicando
à
equação
matricial
as
propriedades
da
adição,
i
⎝
⎠
⎝
1
9
obtemos:
⎠
A
19.
Resolvendo
o
sistema,
X
1
B
1
2X
1
Y
5
2
A
V 2
2Y
5
2
B
5
C
C
1
0
⎝
⎛ 0
1⎞
3
1 ⎠
8
5 2B ⎝
2 3
A
B,
(
B )
Y
5
A
B
5
⎛
8⎞
⎝
1 ⎠
C
B
5
⎝
1
⎠
X
⎛
8⎞
⎝
1 ⎠
5 3 n
2
2 3 1
então:
Assim, 2
⎠
X
B
2A
m
5
A
⎛ 5⎞
2
B
Então:
Y
V
B
⎩
2X
B )
⎨
X
Como
(
3⎞
⎛
⎧
B
⎨ 23X ⎩
B )
temos:
Calculando
⎧
(
V
Y
5
A
são
condições
para
ocorrência
dessa
B
cação: ⎛ 2
Assim:
Y
3⎞
⎛
5
2
6⎞
1
⎝
0
5
⎠
⎛
0
3⎞
5
⎝
1
7
⎠
1
⎝
12
plica
⎛ 2
Portanto:
X
6⎞
5
⎛
e
⎝
1
7
Y
0
⎝
1
12
r
4⎞
⎛ 2 ⎛
1
duas
colunas;
2
X
⎠ tem
⎛ 2
tem
3⎞
5
⎠
X
⎠
12
0
1
4⎞
0
1
2
uma
coluna.
n
0⎞ ⎛ a ⎞
20.
a)
A
8
B
5
1
2
5
⎝
⎝
0
1 ⎠
3
1
1
2
6
X
5
⎠
⎝
0
1
3
0
2
⎝
1 ⎠
b
⎠
Resolvendo ⎛
A
8
B
5
10
5
a
equação
2
⎛ 0
1⎞
3
1 ⎠
⎛ a ⎞
8
⎝
314
3
A
X
5
C
B,
obtemos:
4⎞
1
Guia do professor
⎠
⎝
⎛
8⎞
⎝
1 ⎠
5
⎝
b
⎠
b
⎛
⎞
V
⎛
8⎞
⎝
1 ⎠
5
⎝
3a
1
b
⎠
multipli-
Igualando
2 b
⎧
as
matrizes
V 1
resolvendo
o
sistema,
b)
obtemos:
b
Os
produtos
matrizes
⎨ 3a
e
5 28
5
b
8
e
5
a
obtidos
são
iguais,
respectivamente,
às
inventadas.
3 Espera-se
5 21
que
os
alunos
percebam
que
o
produto
de
⎩
qualquer
X
ordem,
5 8
⎝
atingido
⎛ 3
X
2⎞
⎛ 3
8 m
Assim,
1
são
⎠
5
é
tem
⎝
própria
pedindo
em
qualquer
matriz.
testar
aos
2⎞
ção,
obtenham
os
tem
ordem
m
⎠
2
se
alunos
para
3
produtos
o
objetivo
que,
M
I
sem
e
I
dessa
efetuar
M M,
em
questão
a
foi
multiplica-
ter
ocorrência
dessa
tem
duas
X
colunas,
pois
a
matriz
que
a
3
4⎞
3
3
4
1
2
6
⎛ 2
3
4⎞
3
3
4
150
1
2
6
200
⎝
mul
c
d
b
c
d
⎞
⎛
5
z
e
que
m
21
a
5
matrizM
w
22
⎛ 3 0 0⎞
8
150
⎠
⎝
200
⎛ 2
8
300
1
3
8
150
1
4
8
3
8
300
1
3
8
150
1
4
8
200
1
8
300
1
2
8
150
1
6
8
200
5
⎠
⎝
2 0 0⎞
⎠
⎛ 3 0 0⎞
⎛ 1. 850 ⎞
5
2. 150
⎠
⎝
⎠
⎝
1. 800
3
2
5
1
⎞
⎛
3
2
5
1
gráfica
que
apresentou
⎞
o
⎠
menor
⎛ 2
3
3
3
4
1
2
6
custo
foi
a
C.
4⎞
5
⎠
⎝
5b
1
m
então:
8
3a
y
⎠
A
a
5
b⎞
⎝
Teremos,
m 12
⎛ 2
a)
5
⎝
x,
linhas.
⎛ a Portanto:
5
multiplicação:
25.
duas
e
2
linhas;
X
2
11
2
condições
duas
tiplica
⎛
a
Pode-se
1
⎝
(I ),
5 5
2 3
⎛
identidade
3 n
⎝
matriz
⎠ Comentário:
23.
pela
3⎞
⎛
Logo:
matriz
2a
⎠
⎝
b
1
⎞
⎛
⎠
b)
3
2
5
1
(0, 2 5
0, 4 5
0, 3 0)
8
⎝
⎞
5
(2, 15
2, 70
4, 60)
⎠
5 O ⎝
3c
1
5d
2c
1
d
⎠
⎝
custo
tipo
Igualando
as
matrizes
e
resolvendo
os
sistemas,
de
⎧3a
1
5b
5
a
V 1
oi
que
de:
a
PB
agência
R$
2,15,
teve
CK
em
R$
cada
2,70
4,60.
R$
3
⎨ 2a
médio
impressão
obtemos: CKX
unitário
⎠
b
5
2
5d
5
5
5
1
b
e
5
0 26.
a)
det
b)
det
5
$2$
5
2
⎩
⎧3c
1
V
⎨ 2c
1
d
5
c
5
0
e
d
5
B
1
2
1
3
5
5 1
1
8
3
2
2
8
(2 1 )
5
5
1
⎩
1 ⎛ 1
X
Logo:
det 0
⎝
2
1
0⎞
5 1
C
5
0
1
2
⎠
3
4
0
X Pela
a
matriz
regra
de
Sarrus:
identidade.
1 Espera-se
que
os
alunos
percebam
que
a
matriz
1
0 dade
é
a
neutro
matriz
na
tal
que
X
multiplicação
Comentário:
Esse
A
de
exercício
5
A,
ou
seja,
é
o
1
elemento
matrizes.
propicia
aos
3
alunos
a
percep8
ção
de
que
a
multiplicação
24.
Resposta
matriz
entre
identidade
as
é
o
elemento
neutro
na
Assim,
matrizes.
det
27.
supor
que
A
5
(4),
B
⎛
C
1
0
0
5
⎝
1
e
D
5
a)
0
2
Pela
1
0
1
1 ⎞
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0 ⎠
8
5
(4)
(1)
5
8
I
8)
5
21
regra
de
Sarrus:
0
0
⎛
1
0 ⎞
⎝
0
2 ⎠
5
8
0
0
obtemos:
(4) (8
B
3
⎠
0 ⎠
0
I
(
0⎞
Assim,
A
212
5
⎝
a)
0
1 ⎞
1
1
12
obtemos:
5
⎝
⎛
C
0
possível:
⎛ 1
Vamos
1
identi-
⎛
1
0 ⎞
⎝
0
1 ⎠
8
⎛
1
0 ⎞
⎝
0
2 ⎠
1
0
1
0)
Portanto,
o
(8
1
0
1
0)
deter minante
5
é
0
igual
a
0.
a
0.
5
2
b)
Pela
regra
de
Sarrus:
a ⎛ 1
C
8
I
5
0
1 ⎞
0
1
1
1
0
0 ⎠
⎛ 1
8
0
⎛ 1
0 ⎞
0
1
0
0
0
1 ⎠
5
0
1 ⎞
0
1
1
1
0
0 ⎠
0
3
⎝
⎝
⎝
b
0
⎛
D
8
I
1
0
1
1 ⎞
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0 ⎠
5
⎛
1
0
0
0 ⎞
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1 ⎠
8
⎛
1
0
1
1 ⎞
0
0
0
1
1
Assim,
1
1
0
0
b (a c b)
1
0
0
0 ⎠
Portanto,
0
0
obtemos:
5
4
⎝
⎝
⎝
(a c b b)
o
5
0
deter minante
é
igual
Guia do professor
315
e
2
1
1
2
Assim,
28.
5
2
8
2
2
1
8
1
5
obtemos:
3 0
1
0
1
0
Portanto,
5
(0
o
1
0
1
0)
5
deter minante
0
é
igual
a
0,
pois
uma
matriz
3 com 5
8
5
8
2
2
3
8
8
uma
linha
de
zeros
tem
deter minante
igual
a
zero.
5 214
2 b)
7
2
5
1
Caso
Pela
5
7
8
1
2
2
8
5
em
que
regra
uma
de
linha
é
“o
dobro
de
outra
linha”:
Sarrus:
5 23
a
b
c
a
b
2a
2b
2c
2a
2b
e
f
d
Então:
2
1
5
3
7
1 1
2
2
2
8
5
2
5
3
1
(2 14 )
2
(2 3 )
5 28 2ace
2bcd
1
Assim,
⎛
29.
a)
A
8
B
⎞ 1
2
⎛
0
4
⎛
⎞
5
1
10
(2abf
⎞
2abf
2abf
2ace
2bcd
obtemos:
1
bcd
1
e)
(2bcd
1
ace
1
abf
)
5
5
3
⎝
4 ⎠
⎝
21
22
⎠
⎝
24
2 20
Logo,
uma
matriz
outra
linha”
em
que
uma
linha
é
o
“dobro
de
⎠
tem
deter minante
igual
a
zero.
Então:
1 det
(A
B)
8
(2 2 0 )
8
2 10
⎛
B
8
A
Caso
em
0
(2 4 )
8
4
Pela
220
⎛
⎞
regra
⎞ 1
2
⎝
21
22
3
⎝
⎠
4
⎛
12
16
4
7
⎞
⎝
⎠
12
16
A)
4
7
5
8
(2 1 2 ) 2 1 6
2 det
A
8
a
b
3a
3b b
3c
3a
3b
e
f
3ace
4
5
2
5
0
20
4
8
0
5
Então,
(2 1 )
2
8
(2 3 )
5
a
b
c
d
3
1
uma
1
B
A
det
1
B
5
3⎞
5
4
2
(2 1 )
8
5
4
5
2
⎛
7
det
4
⎠
3
⎝
0
5
(A
1
B)
5
b)
A
5
⎛ 1
⎝
⎠
5 1
1 V
7
det
4⎞
4
8
4
4
21
)
5
0
“triplo
de
zero.
2
bc
3b 3ad
2
3bc
5
3
8
( ad
2
bc )
d
a
3b
c
3d
3ad
Portanto,
se
tem
fila
2
4
8
4
uma
2
3bc
5
3
8
( ad
2
bc )
o
deter minante
triplicada,
de
seu
uma
valor
matriz
de
ordem2
triplica.
5 212
a
b
c
d
5
ad
2
a
c
b
d
bc
5
ad
2
bc
5
7
4
⎦ Logo,
5
a
o
⎠
3
5
A
4
⎣
igual
3abf
é
4
⎤
3
deter minante
1
linha
4
d) 1
3
4
4
⎡
1
uma
5
1
Então:
(3
que
20
1⎞
1
⎝
)
em
22
5
A
tem
ad
5
a)
3
matriz
linha”
5
c
30.
3ace
3bcd
5
3a
⎛
3abf
4
21
det
d
3abf
4
5
Então:
linha”:
obtemos:
1
c)
B
outra
1
5
3
det
de
5
outra
c)
triplo
c
⎠
(3abf
(2 7 )
“o
b
Assim,
5
é
a
3bcd
8
linha
Sarrus:
5
5
(B
uma
de
20
5
Então:
det
que
5
24
5 1
10
5
8
4
2
3
8
7
5
ao
Então:
3
det
A
5
o
deter minante
de
uma
matriz
de
ordem
2
é
igual
225
3
(
25)
5
da
matriz
obtida
dessa,
trocando-se
as
linhas
por
275 colunas.
1
⎛
c)
3
8
A
5
3
3⎞
8
3
⎛
9⎞
a
b
c
d
5 e) 7
⎝
4
⎠
⎝
21
12
⎠
5
a d
2
bc
5
bc
2
ad
5 2 (ad
2
bc )
5
bc
2
ad
5 2 (ad
2
bc )
Então:
3 det
3A
5 23
21
det
A
1
det
B
8
(1 2 )
2
9
8
21
5 2225
d
b
b
a
d
c
12
1 d)
c
a
9
5
2
3
1
1
5
7
5
3
4
0
Então, 5
21
4
3
7
1
0
1
(
3)
5
os
deter minantes
222
per mutadas
31.
a)
Pela
regra
de
Sarrus:
e
316
Pela
regra
0
a
c
a
0
f
d
0
0
f )
0
Guia do professor
são
de
opostos.
Sarrus:
a
0
0
c
0
0
0
abc
0
que
têm
linhas
ou
colunas
Assim,
(abc
obtemos:
1
0
1
Portanto,
0)
o
Agora,
(0
1
0
1
0)
deter minante
de
uma
matriz
diagonal
3
é
sempre
igual
ao
produto
dos
elementos
⎛ 3
5
7⎞
3
5
7
3
5
7
8
X
5
2
A
3
B
2 3
⎛ 2
1
0⎞
4
3
2
6
5
4
8
0
⎛
5
7
26
1 4⎞
1
8
da
⎝ diagonal
calcular:
de 2
ordem
vamos
abc
⎠
⎝
⎠
⎝
21 2
25
2
⎠
principal.
Comentário: Essa é uma questão importante para validar a es-
0
⎛
7
1 4⎞
tratégia de promover a oportunidade de os alunos descobrirem Portanto:
por
si,
ou
em
grupo,
certas
propriedades
dos
X
5
26
det
I
5
$1$
5
1
det
I
1
0
0
1
5
5
8
determinantes. ⎝
32.
1
1
2
0
5
1
3.
2
Com
base
na
21 2
25
tabela
I,
2
⎠
podemos
construir
a
matriz
A
talque:
det
I
5 3
1
0
0
0
1
0
0
0
regra
de
0
1⎞
0
1
2
1
1
1
1
2
0
1 A
Pela
⎛ 2
5
Sarrus:
⎝
1
0
0
⎠
0
1
E,
pela
tabela
II,
podemos
construir
a
matriz
B
tal
que:
0
⎛ 3⎞ 0
1
0
B
0
0
5
1
0
0
⎝
Assim,
det
I
o
5
0
⎠
temos:
(1
1
0
1
0)
(0
1
0
1
0)
5
Calculando
1
A
B
emos:
3
O
deter minante
de
I
deve
ser
1.
4
Espera-se
da
matriz
que
os
alunos
identidade
Comentário:
Após
a
é
percebam
sempre
resolução
que
o
⎛ 2
0
1⎞
0
1
2
1
1
1
1
2
0
que
o
do
exercício
deter minante
31,
da
da
questão,
conduzir
matriz
1
8
1.
que
é
uma
os
alunos
identidade
à
dedução
será
sempre
5
1
4
⎝
am⎝
pliação
⎛ 6⎞
⎛ 3⎞
deter minante
0
⎠ ⎝
⎠
5
⎠
de
Para
1.
obter
desejada
a
matriz
C,
devemos
observar
que
a
ordem
é:
Exercícios comp lementares ⎡Nor uega
⎤
M ar r ocos ⎛ a
1.
a 11
12
⎛ b
⎞
A 5
b 11
12
⎞
C
5
B 5
⎝
a
a 21
2 2⎠
Escóci a ⎝
b
b 21
⎠
22
Br asil ⎣ Aplicando
a
lei
de
for mação,
⎦
temos:
⎡5 ⎤ 3 a
5
1
1
5
0
b
8
(1
2
1)
5
5
0
11
11
1
1
4
1 Por t ant o:
1 3 a
5
1
2
5
1
b
8
(12
5 21 1 1
3 a
5
2
1
5
1
b
8
6
2
(2 2
⎣
⎦
1)
5
5
1
5
0
alter nativa
c
21
21
2
3 a
2)
5 12
12
5
2
2
5
0
b
8
1 1
(2 2
2)
4.
5
a)
Errado,
pois
a
quantidade
de
produto
do
tipo
ven
P
i
2
22
22
2
1
2
a
pela
loja
L
é
10
a
(2
coluna).
2
⎛ 0
Portanto:
A 5
1⎞ Errado,
B 5
⎝
1
0
pois
a
quantidade
⎠
de
produto
a
dido
pela
loja
L
é
20
(1
do
tipo
P
ven-
a
linha
e
3
coluna).
3
⎛ a
2.
A 5
a 11
a
12
a 21
⎝
a
a
⎞
13
a 22
a 31
⎛ b
B 5
a
11
b
23
32
b 12
b 21
⎝
⎠
33
b
b
b
pois
⎠
d
33
Errado,
a
lei
de
for mação,
1
1
2
1
5
3
11
a
b
5
1
1
2
2
5
5
b
5
1
1
2
3
5
7
b
5
2
1
1
1
1
5
2
5
2
1
2
5
2
1
3
1
1
5
1
1
1
5
0
5
2
2
1
1
1
5
4
5
2
5
2
2
2
1
1
5
2
3
1
1
5
2
5
5
2
3
1
1
5
6
2
3
2
e)
12
13
(30
1
2
1
5
3
5
1
1
2
2
5
5
1
1
2
3
5
b
b
5.
de
16
produtos
5
1
2
1
2
2
5
b
3
31
pois
a
por
soma
L ,
das
com
i
5
quantidades
1,
2,
3,
...,
de
produtos
1
19
1
20
1
15
1
10
1
8
1
12
1
16
1
11).
e
Temos:
⎛ 2
3⎞ ⎛ 8
1
5
32
b
1
1
5
H
5
4
5
e
S
7
8
7
11
10
7 ⎞
5
32
⎝ 5
1
1
8
3
5
7
P
é
31
1
P
11).
23
a
33
(12
22
7
23
a
39
21
22
a
quantidades
é
Correto.
alter nativa 1
21
a
das
lojas
13
5
a
três
11
12
a
pelas
temos:
141 5
a
soma
23
vendidos Aplicando
a
3
vendidos
b 32
Errado,
13
b 22
31
c)
⎞
b 33
5
8
3
3
1
1
5
⎝
1
6
9
8
⎠
2 ⎠
Guia do professor
317
a)
H
S 3
3 2
e 2
(H
9.
S )
3 5
3
a)
Aplicando
adição,
⎛ 34
41
à
equação
matricial
as
propriedades
49
44
3 8⎞
87
78
68
obtemos:
1
(1
B )
5
I
1
(3B )
V
X
5
I
3
b)
S
5
62
73
da
3 5
1
B
3
Então:
20
⎝
25
30
27
23
⎠ ⎛
O
produto
nos
produzidas
c)
Na
dá
em
o
total
cada
segunda-feira
dia
são
de
da
peças
dos
itens
A,
B
e
0
⎝ 0
62
itens
B
e
⎞
0
⎛
3
semana.
pr oduzidos
1
X
C
na
b)
Temos
0
X
1 ⎠
5
I
3B,
5
0
1
2
3
0
2
7
⎝
1
1
⎛
⎞
5
⎠
⎝
4
15
0
3
5
9
21
0
⎞
⎠
então:
3
quinta-feira
são
produzidos
27
itens
C. ⎛
X 6.
a)
Pela
regra
de
1
0
⎞
0
⎛
5
1
3
1
5
0
1
2
3
0
2
⎞
Sarrus:
0
0
7
⎝
1
⎝
⎠
⎠
x
⎛
2
15
0
3
7
9
0
5
⎞
4
X
x
1
2 21
⎝
4x
2
6x
4x
3
10.
Assim,
⎠
4x
a)
medida
da
base:
5
1
5
4
obtemos: m
i
ra:
4
1
5
3
2
(4x
1
3
1
4x )
(4x
1
2x
1
6x )
5
5 4 A
3
5
5
6
ABC
Portanto:
2
2
4x
8x
2
5
0
x
V
5
ou
x
Portanto,
5
2
b) 0
3
x
2
4
1
Pela
regra
de
6
unidades
de
área.
Sarrus:
5
6
1
1
1
2
1 1
Pela
é
1
0 1
área
2 3x
b)
a
2
regra
de
1
Sarrus:
2
4
Assim, x
4
x
1
1
D
5
2
temos:
(1
1
2
1
20)
(2
1
4
1
5)
5
12
1
Calculando 0
4
5
3x
12
A
D
,
temos:
2x
1 Assim,
A
obtemos:
5 ABC
2
(12
1
2x )
(4
3x )
5
5x
1
8 Portanto
Calculando
o
segundo
a
Comentário:
x
antecipa, 5
área
é
6
unidades
de
área.
deter minante:
x
5
Essa
em
atividade,
caráter
subsidiada
pelo
i n t r a d i s c i p l i n a r,
exercícioR9
conceito
a
ser
x o
0
2
estudado
em
Geometria
analítica,
no
volume
do
3
ano.
Assim:
11. (5x
1
8)
(6x )
5
6
V
x
5
M
⎡0
2
4⎤
0
0
3
5
2
⎦
⎣
M 1
7.
A 5
V
⎝
0
1
1 ⎠
k
.
0,
temos:
1
0
1
⎡0
1
2
⎤
5
M
0
0
3k
n
Calculando
(det
como
A A)
um
número
inteiro
positivo, Calculando
$D$
para
pela
regra
as
coordenadas
expressas
nessa
temos: nova n
(det
A A)
matriz
1
5
temos:
1
3
1 ⎛
A
Sarrus,
n
5
0
8.
de
x
y
1
5
⎞
0
0
0
0
2k
0
4k
3k k
1
0
1
2k
1
4k
0
C
⎝ 3
⎝
⎠
0
⎛
1
0
0
6k
1 ⎛
0
0
Assim,
⎞
D
1
⎝ 3
⎝
temos:
2
10 2x
3k
⎠
5
6k
⎠
3 A
Igualando
as
matrizes
e
resolvendo
o
sistema,
obtemos: n
⎧
1
5
0
1
5
5 2
⎨ y
1
5
n
r
r
A
D
5 2 3
0
⎩
2
1
⎛ 2
5
⎞
2 2
Portanto:
B
3
5
318
A
3
A
⎝
1
Guia do professor
5
⎠
5 B
3k
C
alter nativa
d
B
C
,
devemos
y
12.
Assim,
é
condição
para
ocorrência
dessa
multiplicação
X D
4
Para
OCCES
4 C
3
4
B
B
A
5
A
3
2
2
NOSLIDA
Portanto,
é
Y,
5
temos:
Y
3
m
con
n
ição
para
ocorrência
A
e
essa
mu
tip
icação
Y A
3
Logo, 2
0
6
os
produtos
4
B
4
B
A
são,
respectivamente,
x
dos
tipos
2
3
2
e
3
3
3.
–1 B
alter nativa
Para
calcular
a
área
do
quadrilátero
AB
D,
vamos
en-
4. contrar
as
áreas
dos
triân
ulos
e
As
matrizes
pertencem
à
regra
de
pois
principal
os
são
elementos
que
não
nulos.
d
Sarrus:
5. 0
diagonais,
diagonal
ABC alter nativa
Pela
são
D
1
0
Na
multiplicação
de
matrizes,
o
número
de
colunas
da
pri-
0
0
meira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda.
1
1
1
alter nativa
a
1
0
Assim,
0
9
0
⎛
temos:
6.
⎞
3
5
1
21
⎛1
2
1
2
3
4⎞
8
⎝
1
2
⎠ 2 3
D
5
9
(
6)
5
15
⎝
0
3
4
⎠ 3 3 2
1
1
5
A
8 $D$5
8 $ 1 5$5
7, 5
(3
ABC
2
3
2)
(2
3
alter nativa
Pela
4)
5
(3
3
4)
2
regra
de
a
ACD
Sarrus:
7.
Na
multiplicação
de
matrizes,
não
é
válida
a
propriedade
comutativa. 0
0
1
0
1
6
0
alter nativa
c
1 2
3
4
5
8. 0
Assim,
0
5 210
24
6
8 $ 1 8$5
2
9
9.
A
dos
5
ABCD
1
a
área
A
ABC
a
det
i
do
quadrilátero,
basta
somar
matriz
as
0,
linha,
não
nem
se
5
7,5
1
9
5
alter nativa
16,5
é
afir mar
matriz
do
quadrilátero
AB
D
é
16,5
rio:
cio 10,
Essa
portanto
atividade
de
é
caráter
uma
ampliação
intradisciplinar
do
com
exercí-
a
.
onsiderando
analítica,
a
ser
estudada
no
volume
do
3
Vamos
A
a
b
c
d
⎡
,
2A
as
uma
obtemos
det
A
5
ad
bc
2 a
2 b
2 c
2 d
uma
matriz
possui
o
número
de
linhas
igual
ao
(
colunas,
5
det
(
(
a )
A A)
ela
é
é
uma
de
matriz
ordem
1
A
quadrada.
2,
ou
seja,
é
do
d )
det
A
(
5
dadas
nas
tipo
2
3
5
a
b
c
d
⎤
8
b )
(
c )
matriz
é
⎣
b
10
c
d
10
10
⎦
a
det
com
a
definição,
só
podemos
adicionar
d
5 10
matrizes
de
mesmo
det
5
⎡
2A
5
2
8
a
b
5
X,
B 2
3
3
5
(a d
2
bc )
5
5
0, 0 5
0, 5
⎡
2a
2b
2c
2d
⎤
5 d ⎦
⎣
⎦
temos: det
A
⎤
8 c
B
8 100
tipo.
c
A
5 10
100
⎣ 4
1
8 10
1
A
Para
c
2 10
10
alter nativa
⎦
b
8 10
ou Então:
subtrair
bc
quadrada.
b
acordo
ad
5
10
2,
A alter nativa
5
⎤
a
10
⎣ essa
alter nativas.
5
⎡
10 matriz
5
(
número
a
situações
⎦
A A)
⎡
Como
⎦
5
Logo:
4
é
matriz
ano.
t
3.
é
⎤
⎣
De
que
⎤
5
examinar
Geo-
o
metria
2.
matriz
área.
Coment
de
a
nem
d
⎣
Se
e
unidades ⎡
1.
que
nula
ACD
área
1 de
pode
que
diagonal.
triângulos:
A
Portanto,
Se
2
encontrar
áreas
d
1 8 $D$5
ACD
Para
5 222
18
1 5
A
12
temos:
alter nativa D
2
0
2A
5
2a
8
2d
2
2b
8
2c
5
4
8
(a d
2 bc )
X m
n
Logo:
det
alter nativa
2
5
4
5
=
20
d
Guia do professor
319
Cap ítulo
9
Sistemas lineares
Multiplicando
Esse capítulo tem por objetivos: representar e resolver situações-
problema
usando
sistemas
lineares;
reconhecer
e
as
classificar
duas
sistemas lineares; apresentar sistema linear em forma de equação
a
⎧
matricial
e
vice-versa;
e
aplicar
o
método
do
escalonamento
a
primeira
equações,
equação
por
(
3)
e
adicionando
obtemos:
b
⎨
na
1
5
2
⎩
resolução
de
sistemas
lineares. 1
3
2
2
1 Logo,
Resoluções e comentários
5
5 2
Exercícios p rop ostos
6.
Temos:
x 1.
a)
Substituindo
por
1,
por
3
e
z
por
2
na
(2x
2
1
y)
1
2
1
3
3
2
5
2)
é
11,
que
é
uma
ver
a
y
o
sen-
Su
2
ordenado
2x
3z
stituin
2
o
2
(1,
3,
solução
da
é
5
0
e
S
x
5
5
x,
3
o
2
ter no
5
e
5
Para
que
dada,
2x
2
1
3
o
i
11;
3
6
1
3k
k
5
2
5
3
portanto,
a
equação
⎧A
inear sistema
(2,
2,
2)
não
é
solução
5
0
5
os
alunos
solução
igual
que
à
uma
solução
0
0
A
reta
r
ordenado
(3,
k )
seja
solução
da
equação
ter:
2
passa
2
A
reta
0
1
s
n
0
pelos
5
passa
1
5
6
2
V
pontos
2m
pelos
V
n
5
(2,
12
nadas
2
0)
a
m
e
(6,
5
(0,
1);
então:
0)
e
1
(0,
1);
então:
6
r
constituem
V
pontos
5
P
5
com
tem
⎨
e
solução
à
reta
do
s ;
logo,
suas
coorde-
sistema:
12 ⎧
y 5 V
⎨
k
5
2,
o
par
(3,
k )
é
solução
da
y 5
⎨
y 5
⎩ se
=
11.
⎧
Logo,
comentar
B
da
12
k
A
⎩
ordenado
3z
par
tipo
B
2x
devemos
1
do
z
12
m
2.
0)}.
Convém
11.
7. equação
V
0
{(0,
satisfeita.
Logo,
5 5 0
equação
do
não
1
eira.
ter no
equação b)
0
⎨ y
Comentário: inear
5
⎩
Então, Logo,
3y)
5
⎩
y tença
1
2x x V
1 obtemos
x
equação ⎨
dada,
(
x
⎩
y
5 2
equação
1 2x
1
3
5
y
12.
5
x
5
2 1
⎛ 3.
Respostas
Portanto,
possíveis:
P
⎞
3,
=
=
2
Os
ter nos
soluções
(0,
da
0,
0),
(1,
equação
1,
2a
1
1),
3b
(1,
c
1,
5
5)
e
(
2,
2,
2)
são
⎧x
0. 8.
y
5
0
⎨ x
y
2
⎩ 2 4.
Substituindo
x
por
3
e
y
por
na
equação
x
3y
5
1, a)
Respostas
possíveis:
3
2 5
3
1,
que
é
uma
sentença
Para
x
Para
x
y
5
0:
(0,
0),
(1,
1),
(
y
5
2:
(1,
1),
(2,
0),
(0,
2,
2
verdadeira.
3 1
2)
2 Substituindo
x
por
3
e
y
por
na
equação
x
1
3y
5
5, b)
x
y
5
0
3
2 5
3
5,
que
também
é
uma
sentença
y y
3
verdadeira.
0
0
4
4
x
+
y
=
x
2
y
=
0
4 2
⎛
⎞ é
⎝
3
solução
comum
das
duas
equações
dadas.
⎠
2 x
Para
o
ponto
A
5
, ⎝
y
5
2
1
1 ,
temos:
⎠
3
OCCES
5.
1
⎞
⎛
0 y
4
2
x
NOSLIDA
1 ⎛
⎞ 5
1
(I)
0
2
2
0
3
Para
a
o
1
ponto
b
5
Resolvendo
⎧
B
2
o
5
(1,
2),
temos:
(II)
sistema
a
c)
for mado
pelas
equações
(I)
e
(II):
A
solução
retas,
ou
do
sistema
seja,
S
{(1,
é
o
ponto
de
intersecção
das
1)}.
Comentário: Avaliar a conveniência de explorar mais o exer 1
3 ⎨
1
5
320
cício
pedindo
uma
reta
aos
alunos
que
tracem,
no
plano
cartesiano,
2
⎩
Guia do professor
paralela
ao
eixo
y
pelo
ponto
(3,0).
Em
seguida,
eles
devem
primeira
identificar
equação
do
que
ponto
sistema
e
dessa
que
reta
ponto
é
solução
dela
é
da
⎧
12. dasegunda
equação.
Por
fim,
devem
verificar
x
2
5
x
que
as
x
1
5
V
⎨
coor x
0
kz
kz
x
o
número
de
meninas
e
y
o
número
de
0
5
⎩
a)
Sendo
3
y 5
⎨
denadas desses pontos satisfazem as respectivas equações.
9.
2
5
solução
Se
k
5
0,
temos
um
SPI.
meninos, Fazendo
z
5
a
a
Ñ
R,
as
infinitas
soluções
do
sistema
obtemos: são
⎧2 ( x
y
y
x
⎧ V
⎨
y
0
x
5
V y
14
Assim,
x
e
x
1
for ma
b)
Se
5
k
i
cuja
⎩
no
Chamando
a).
0,
temos
solução
um
para
o
sistema
sistema
possível
é
(2,
3,
e
deter minado
0).
12
y
5
13.
26.
total,
26
alunos
faziam
prova
nessa
a)
Multiplicando
de
x
o
tipo
de
leite
com
2%
de
por
a
primeira
3,
equação
por
(
2)
e
a
segunda
obtemos:
sala.
12x
⎧ 10.
3,
V 2x
equação Portanto,
(2,
y
⎨
2
⎩
⎩
x
⎧ V
⎨
x
da
gordura
e
y
o
5 2
a
5 2
a
⎨ 1
1
⎩ tipo
com
4%
de
gordura,
obtemos:
0x ⎧x
1
80
x
⎧ V
⎨
4 x
80
1
V
2,
x
y
1
15
80
⎨ 1
5
Ou
seja,
o
sistema
só
é
possível
e
indeter minado
se:
200
⎩ 100
15
100 2a
1
15
5
0
V
a
5 2
x
⎧ V
5 21
y
5
⎨
V
0
x
e
60 15
⎧ 1
2x
5 200
3y
15
⎩ Para
Portanto,
foram
misturados
60
c
de
leite
com
2%
de
a
,
5
temos:
5 2
⎨
2
gor -
2
5
5
⎩ dura
e
20
c
de
leite
com
4%
de
gordura. 5 Para
5
k,
temos:
4x
1
2k
=
5
V
x
2k
5 4
⎧ 11.
x
y 5
3
x
y 5
6
Assim,
⎨
⎩
⎧ ⎛ Resolvendo
o
sistema,
obtemos
x
5
3
e
y
5
S
0.
o
conjunto
5
k
⎝
tem
o
conjunto
uma
única
Portanto,
o
solução
é
S
5
{(3,
0)},
isto
é,
o
é
b)
possível
e
deter minado
Do
b)
y
5
3
y
5
6
a,
outra.
pode
ser
dado
por
R ⎬
⎭
de
podemos
Assim,
observar
podemos
que
uma
concluir
linha
que
é
não
múltipla
existe
um
a
Comentário:
⎨ x
k
4
item
da
(SPD).
valor ⎧
sistema
sistema
solução.
sistema
do
⎫
⎨
⎩ Logo,
solução
2k
Essa
atividade
pode
ser
mais
bem
explorada
⎩ se, A
segunda
equação
é
equivalente
à
primeira
todos
os
ter mos
da
primeira
para
a
resolução,
for
pedido
aos
alunos
que
calculem
(basta os
multiplicar
após
obter
v
res
a
a 1
segunda).
Algumas
das
infinitas
soluções
desse
-se
sis-
que
eles
concluam
que
a
deve
ser
diferente
de 2
tema
e
(
são
(4,
1,5;
1),
(1,
4,5).
2),
Note
(3,
que
0),
(0,
essas
3),
(5,
soluções
2),
(
são
3,
do
6)
5
S
k
k),
com
k
Ñ
5
3y 5
m
⎨
2
R
5
⎧ 3x S
e
⎨
1
1
1
⎧ x
tipo 14.
(3
6
x
1
e
y
n
⎩
Logo,
S
5
{(3
,
)$
Ñ
R},
e
esse
sistema
é
possível Resolvendo
e
indeter minado
Logo,
⎧ c)
x
y 5
S
,
obtemos
x
5
1
5
2.
(SPI).
3
(1,
Como
2)
e
S
é
solução
S
devem
de
ser
S
sistemas
equivalentes,
então
2
⎨
x
⎩
y 5
(1,
9
2)
também
deve
ser
solu
1
y
ão
de
S 2
Resolvendo
o
sistema,
Substituindo
obtemos:
x
por
e
por
2
em
S
,
obtemos:
2
3
⎧
3
⎧
⎨
m
5
⎧
3 V
⎨ 3
3y
9
5
n
5
f
x
lsa )
5
m
1
⎨ 5
n
1
3
⎩
⎩
Logo,
os
sistemas
S
e
S
serão
equivalentes
para
2
Não
há
valores
para
dadeira.
Portanto,
⎧x
y
S
x
e
5
que
Ö,
o
tor nem
sistema
é
a
sentença
m
ver
impossível
1
e
⎨
Como
o
⎧
y
n
5
3.
(SI).
15.
d)
5
sistema
é
homogêneo,
⎧
5
5
temos:
2
3
⎩
O
sistema
é
equivalente
2 ⎨
a:
c
0
b ⎧x
y 5
3
y 5
3
c
V
c ⎨
5
5 24
b 5 23
⎩
⎩
⎨ x
Logo,
a
5
2,
b
5
23
e
c
5
24.
⎩
Ou
seja,
as
duas
equações
são
idênticas.
Algumas
das 1
⎧ infinitas
soluções
desse
sistema
são
(4,
1),
(1,
⎧
2), 16.
(3,
0)
e
(5,
2).
Note
que
essas
soluções
são
do
a)
x
1
z
5
b)
tipo
5x
1
z
⎨
1
k
Logo,
k
S
k
5
{(3
1
Ñ
k
indeter minado
Comentário:
aos
alunos
Esse
que
k)$k
Ñ
R},
e
esse
sistema
é
desse
modo,
exercício
pode
representem
os
ser
ampliado
sistemas
se
for
pedido
enfatiza-se
a
opção
obra
por
1
1
1
1
⎞
⎛
5
17.
geometricamente
desta
3
1
⎠
3
1
⎝
1
na
qual
são
relacionadas
sistematicamente
as b)
resoluções
algébricas
com
as
geométricas.
1
1
0
2
1
1
7
⎞
10
3
⎠
uma
⎛ abordagem
0
3
possível
(SPI).
⎝
e,
5
5
x
R
⎛ e
5 22
1
x
5
⎩ 3
y
2
⎨
2
3
⎞
0
5
⎝
1
1
2
⎠
⎝
1
1
2
2
Guia do professor
321
⎧ y
⎧ 18.
a)
1
b) x
y
x
y
5
x
y
5
e)
1
Substituindo
x
por
(
1),
1
z
⎛1
5 x
y
1
1⎞
⎝
1 Substituindo
x
y
por
na
equação
5
5
1
⎞
2
1
⎛
0
⎛
⎞
⎛
0⎞
⎝
2 ⎠
1
⎞
5
⎛
0
igualdade
⎛
21.
igualdade
acima
os
ter nos
⎞ 1
1
a)
das
⎞
x
a)
⎛
8
é
uma
sentença
sentença
falsa.
alter nativas
b,
c
e
d
são
soluções
0
10
questão
quando
⎞
5 y
1 ⎠
da
equação
matricial
x
dada.
y
5
8
Portanto,
S
2
⎩
⎠
5
Substituindo
solução
⎠
10
⎨ é
2
⎠
⎝
8
⎝
verdadeira.
⎞
Portanto, ⎝
uma
dada.
⎧x 1
1
⎛
é
⎠ ⎝
20.
acima
1, 1, 0) não é solução da equação matricial dada.
equação
5 ⎝
⎠
⎠
5
⎞
⎝
0 ⎠
0
1⎠
0 ⎠
⎠
da
2
A
⎝
Portanto, ⎝
)
⎝ 3
1
⎞
5
1
1
1
⎛ 0⎞
Logo, (
)
6
1)
⎠
5
A
⎛
⎛ 0⎞
⎞
1
5
⎝ 2⎠
⎛
1
⎠
1
1
5
⎝
⎝
0
⎝
⎞
1
⎠
obtemos:
5
8
⎝
0,
matricial
5
⎝
6
por
⎠
obtemos:
2
z
1 e
por 2
⎛
e
5
⎠
⎝
⎛
1
⎛ 0⎞
1
5
⎩
dada,
por
1⎞
⎛
2
⎩
19.
y
5 2
⎨
x
y
e
z
por
1,
5
{(2,
8
}.
obtemos:
⎛ 1
1
1⎞
0
1
1
0
0
1 ⎠
⎛ 6⎞
⎛ x ⎞
⎛ 1⎞ ⎛1
1
1
1
1⎞
b)
⎛ 0⎞
5
1
⎝
2
0
⎠
⎝
⎝
1
1
1
1
1
y
⎠
)
1
2
6
5
y
⎨ 1
3
⎝
⎛ 0⎞
⎞
5
⎝
⎠
1 ⎠
⎧ 1
⎛
z
⎝
⎠
⎝
0
z
5
y
V
x
5
⎠ z
3
5
⎩ ⎛ 3⎞
⎛ 0⎞ Portanto,
5 2
⎝
⎠
⎝
0
S
omentário:
A
igualdade
Logo,
b)
(1,
5
{(1,
2,
3)}.
⎠
1,
acima
1)
não
Substituindo
x
é
y
é
uma
sentença
solução
e
z
por
da
0,
falsa.
equação
abordar
matricial
dada.
alunosque
nessa
obtemos:
Convém
sistema
as
retomar
escalonado.
equações
questão,
isto
é,
essa
Comentar,
matriciais,
do
tipo
A
os
elementos
de
A
são
dados
3
n
por
1
1
1
que
= n
a
com
B
, n
0,
os
aparecem
3
= i
⎛ ⎛
as
X n
que
como
então,
se
i
em
3
.
j,
são
j
⎞ ⎛
⎞
0
associadas
⎞
a
sistemas
na
for ma
escalonada.
5 ⎝1
2 ⎠
1
⎝ 0 ⎠ ⎝
⎠ ⎧x 22.
⎛
⎞
⎛
S
5 1
y
5
0
x
⎨ x
0
y
y
5
1
2
⎩
5
⎝
⎝ 0 ⎠
⎠
by
⎧ S
5 2
1
y A
igualdade
Logo,
(0,
0,
acima
0)
é
é
uma
solução
sentença
da
equação
matricial
Substituindo
x
por
(
3),
y
por
1
e
z
por
2,
obtemos:
1⎞
e
5
1
⎛ 9⎞
8 3
O
⎛ 0⎞
1
⎝
⎛ x ⎞
5⎞
23.
⎝
1
0
1
⎩
2
5
⎝
⎠
y
⎠
⎝
4
⎠
3⎞
⎛ ⎛1
5
dada.
⎛ 2
c)
5
⎨
1
⎩
verdadeira.
5 1
⎧ V
⎨
⎠ 2
correspondente
a
essa
equação
é:
5 0
⎝
sistema
⎧
⎠
⎠
5y
5
y
5
⎨ 4
⎩
⎛
⎝
1
1
1
1
1
1)
2
1
⎞
⎛ 0⎞
⎠
⎝
Resolvendo
0 ⎠
S
5
{(2,
esse
Substituindo A
igualdade
Logo,
(
3,
acima
1,
2)
é
é
uma
solução
sentença
da
equação
matricial
dada.
⎛m
5
x
⎞
x
por
3,
y
por
(
1)
e
z
por
(
2),
4
n
⎞
⎛
21
⎝
5 0
⎠
⎝
2
⎠
e
4
y
por
5
1
em
obt em os:
⎠
n
⎛ 0⎞
⎛ 2⎞ 5
⎝
⎠
1
⎠
⎝
5
⎠
1
1
0
m
1
1
(
2)
⎝
⎛ 0⎞
⎞
8
n
⎠
5
5
m
0 V
1
⎝
1
Portanto,
acima
(3,
1,
é
) ⎠
uma
2)
é
⎝
0
sentença
322
dada.
Guia do professor
3
⎠
solução
verdadeira.
da
equação
sentem
para
que
sistemas
matrim
cial
2
n ⎩
Portanto,
igualdade
5 2
⎨
n
5
A
5
⎧
⎠
⎨ 1
solução
⎠
m
⎛
conjunto
⎞ ,
⎝
8
0⎞
8 2
⎝
2
5
⎝
⎠
3⎞
⎞
o
obtemos:
⎛m ⎛ ⎛1
por
⎛ x ⎞ 8
Substituindo
encontramos
verdadeira.
⎝ d)
sistema,
1)}.
n
essas
lineares
equações
matriciais
equivalentes,
r epr e-
devemos
ter
x
⎧
24.
Temos:
S
5
x
y
z
⎨
3
5
(H)
z
5
(I)
⎩
1
2(1
3k)
x
2
6k
x
7k
6z
equação
5
6
V
z
I
5
y
5
22
y
5
2
22
2
S
5
{
7k
4,
1
3k
$k
k
Ñ
R},
e
o
sistema
:
é
1
Substituindo
5
k
4
Portanto, Pela
k
(G)
z
z
por
1
na
equação
(H),
SPI.
obtemos:
x
⎧
1 26.
a)
Temos:
y
5
⎨ x
y
5
⎩
Substituindo
z
por
1
e
y
por
(
2)
na
equação
(G),
obtemos: Conservamos
2
(
2)
a
Multiplicamos x
5
primeira
equação.
5
a
primeira
equação
por
(
2)
e
a
adicio
2
Logo,
a
solução
de
é
S
(2,
2,
namos
à
segunda.
Assim,
temos
1).
3
Substituindo
e
S
S
,
x
por
2,
por
(
2)
e
z
por
1
nos
sistemas
obtemos:
o
sistema
ori
inal
escalonado:
⎧
2
x
⎨
⎧
2
(
1
5
dadeir a) 3 ⎩
S
5 1
2)
⎨
1
5
dadeir a)
Da 3
2
5
segunda
equação,
obtemos
y
5
3.
( ver dadeir a)
⎩ Substituindo
⎧
2
2
2
5
5 2
1
⎨
5
por
3
na
primeira
equação,
obtemos
ver dadeir a) x
S
y
5
2.
ver dadeir a) Logo,
dade
S
5
{(2,
3)}.
r a)
⎩
⎧2 x Logo,
(2,
2,
1)
é
solução
de
S
e
S
também.
b)
2
Temos:
y
⎨ x
y
5
6
⎩
1
⎧ 25.
a)
Temos:
y
5 2
1
Para
⎨ 2y
⎧
a
Da
2
equação,
simplificar,
escrevemos
o
sistema
equivalente:
5 22
obtemos
y
5
x
y
x
y
21. ⎨
Substituindo
x
5
y
por
(
1)
na
primeira
equação,
obtemos
5
⎩
2. Conservamos
Logo,
S
5
{(2,
1)},
e
temos
um
sistema
ossível
a
Multiplicamos
deter minado
a
primeira
equação.
equação
por
(
2)
e
a
adicio-
(SPD).
⎧ b)
primeira
e
namos
à
segunda.
Assim,
temos
o
sistema
original
escalonado:
Temos: y
5
0
⎩
Se
o
⎧x
sistema
admite
solução
com
z
5
k,
com
k
y
⎨
real,
y ⎩ temos:
Da
segunda
equação,
obtemos
y
5
21.
⎧
⎨
Substituindo y
5
y
por
(
1)
na
primeira
equação,
obtemos
0
⎩ x
Da
segunda
equação,
obtemos
y
5
5
3.
k Logo,
Substituindo
o
valor
k
em
y
na
primeira
S
5
obtemos:
⎧
c) 3x
k
{(3,
1
k
5
3
V
x
5
1)}.
equação,
Temos:
x
y
5
x
y
5
34
⎨
1
⎩ Portanto,
a
solução
do
sistema
será
do
tipo
(1,
k
k k),
Escrevendo com
k
Logo,
Ñ
o
o
sistema
de
for ma
equivalente,
temos:
R
sistema
é
x
y
5
x
y
5
⎧
SPI.
⎨
⎧
c)
Temos:
5
y
y
⎨
⎩
Da
terceira
5
5
z
5
equação,
Substituindo
y
z
z
3
por
V
y
(
Conservamos
na
z
1.
segunda
equação,
obtemos:
namos
à
Assim,
temos
primeira
a
primeira
equação.
equação
por
(
4)
e
a
adicio-
segunda.
o
sistema
original
escalonado:
2 ⎧x
Substituindo y por (
a
Multiplicamos
obtemos
1)
5
34
⎩
2
2) e z por (
y
5
1) na primeira equação, 26
y ⎩ obtemos:
x
2
1
1
Portanto,
5
2
5
V
x
5
Da
3
{(3,
1)},
e
o
sistema
é
SPD.
x ⎧x d)
Temos:
y
z
5 2
z
5
segunda
⎨
5
y
por
(
obtemos
1)
na
y
5
primeira
21.
equação,
obtemos
8.
Logo, y
equação,
Substituindo
S
5
{(8,
1)}.
⎩
Se
o
sistema
admite
solução
com
z
5
k
k
real,
⎧
temos: d)
Temos:
x
y
x ⎧
y
k
5 2
y
k
5
4
⎨ y
5
⎩
⎨ 1
Conservamos
a
primeira
equação.
⎩
Multiplicamos Da
segunda
equação,
Substituindo
obtemos:
por
obtemos
(1
3k) k
y
na
1
a
primeira
equação
por
3
e
a
adicio-
3k
primeira
equação,
namos
à
segunda.
Assim,
temos
o
sistema
original
escalonado:
Guia do professor
323
⎧ x
y
⎧
4
x
y
x
y
1
⎨ y
5
d)
5
Temos:
⎨
z
0
5
⎩
Da
segunda
equação,
Substituindo
x
5
y
obtemos
3)
na
y
primeira
equação,
obtemos
Conservamos
1.
Logo,
S
y
⎩
a
Multiplicamos
5
{(
1,
namos
3)}.
à
y
a)
Temos:
x
⎨
y
5
y
5
à
z
1
a
equação
por
(
2)
e
a
adicio-
a
primeira
equação
por
(
1)
e
a
adicio-
terceira.
1
⎩
Conservamos
primeira
2 ⎧ x
x
equação.
4 namos
27.
primeira
a
1
5
segunda.
Multiplicamos x
⎧
1
primeira
5
1
5 2
0
equação. y
1
0
⎩ Multiplicamos
a
primeira
equação
por
(
1
e
a
adicioEscrevemos
namos
à
o
se
uinte
sistema
equivalente:
segunda.
⎧ Multiplicamos
a
primeira
equação
por
5)
e
a
⎨ namos
z
y
z
y
5
1
adicio-
0
terceira.
2 ⎩ 4
⎧ x
⎧ x
V
⎨
4
y
Da
terceira
equação,
obtemos
y
5
2.
⎨ Substituindo
3
y
por
2
na
segunda
equação,
obtemos
primeira
equação,
⎩ 3 ⎩
z
Da
segunda
equação,
Substituindo
x
5
y
por
3
obtemos
na
y
5
primeira
3.
equação,
obtemos
22.
Substituindo
y
obtemos
1.
Logo,
1.
Logo,
5
S
5
{(1,
3)},
e
o
sistema
é
S
x
5
5
{(1,
⎨
e
2)},
x
⎧
b)
2,
2
e
Temos:
y
x
y
5 2
x
y
5
por
o
(
2)
na
sistema
é
SPD.
y
z
⎨ y
x
z
SPD.
e)
⎧
por
Conservamos
a
Multiplicamos
1
5
3
primeira
a
equação.
primeira
equação
por
2
e
a
adiciona-
⎩
mos Escrevemos
o
seguinte
sistema
x
y
5
segunda.
equivalente:
x
⎧ ⎧
à
y
z
1 ⎨ y
z
5
⎩ ⎨
x
y
Se x
y
o
sistema
admite
solução
com
z
5
k
k
real,
temos:
5 2
⎩ x
⎧
Multiplicamos
a
primeira
equação
por
(
2)
e
a
y
k
y
k
⎨
adicio-
5
⎩ namos
à
segunda. 1
Adicionamos
a
primeira
equação
à
Da
terceira.
segunda
equação,
obtemos
k e
5
substi-
5
⎧ x
y
⎨
5
tuin
1
esse
v
r
k
y
5
y
5 22
x
5 5
⎩ Logo,
seu
conjunto
so
ução
é
o
tipo
1 Como
pela
segunda
equação
obtemos
e,
y
pela
3
⎧ ⎛ S
terceira, obtemos
Logo,
S
5
Ö,
e
o
y 5
5
2, o sistema não admite solução.
sistema
é
⎫
k ,
⎨ ⎝
,
5
k
k
R
⎬
,
e
o
sistema
é
5
SI. SPI.
⎧
y
5
0 ⎧
c)
Temos:
x
⎨
y
1
z
y
f )
Temos: ⎨
y
⎩
1
5
4
5 x
y
1
z
x
y
1
z
3
5 5
⎩ Conservamos
a
primeira
equação. Conservamos
Multiplicamos
a
primeira
equação
por
(
2)
e
a
a
Multiplicamos namos
à
a
Multiplicamos
a
primeira
equação
por
3)
e
a
à
y
5
por
(
5)
e
a
adicio-
equação
por
(
6)
e
a
adicio-
idênticas.
Então,
adicio-
à
a
primeira
terceira.
0 y
⎧ y
⎨
equação
terceira. namos
⎧
equação.
segunda.
Multiplicamos
à
primeira
segunda. namos
namos
primeira
adicio-
z
5
⎨ y
4
3
z
z
5 217
z
5 217
e
a
4
⎩ y ⎩ Multiplicamos
a
segunda
equação
por
(
1)
e
a
adicio-
A namos
à
segunda
podemos ⎧
terceira
equações
são
terceira.
y
5
o
sistema
equivalente:
0
y
⎧ ⎨
escrever
z
5
4
3 ⎨ y
z
5 217
⎩ z
5
Se Como
a
terceira
equação
é
uma
sentença
falsa,
o
⎧ tema
não
admite
o
sistema
admite
sis-
y
5
4
solução. ⎨ y
Logo,
324
S
5
Ö,
e
o
sistema
Guia do professor
é
SI.
z
5 21
solução
com
z
5
k
k
real,
temos:
1 Da
segunda
equação,
obtemos
y
k
4a e
5
5
14
subs-
3 7 tituindo
esse
valor
de
y
na
primeira
equação,
a
obtemos
3, 50 2
5 x
O
preço
de
três
pacotes
de
1
kg
do
sabão
da
marca
A
seria
5 3 3
Logo,
o
conjunto
solução
é
do
R$ 3,
0,
S
seja,
R$
10,
0.
tipo
alter nativa ⎧ ⎛
ou
b
⎫ 2
5
17
2 k
⎨ 3
⎩
⎬,
3
e
o
sistema
éSPI.
⎭
⎧6 x
6.
y
3x ⎨
y
Exercícios comp lementares k x
1
2y
⎩
1.
Substituindo
3k
2
k
x
k
por
1
2
40
e
5
y
por
k
na
equação
dada,
obtemos:
Das
duas
primeiras
1
⎛ o
5
sistema:
6k
1
40
5
0
,
⎝
1
5
10
ou
k
5
a Usando
n
solução
para
⎬
⎭
24 Para
2.
uma
⎠
3
⎩
k
obtemos
⎞
⎨
2
1
equações,
0
para
representar
o
número
de
residências
e
que
essa
terceira
solução
equação
seja
única,
ela
deve
ser
válida
para
também.
x
1 para
representar
o
número
de
recenseadores,
obtemos:
Então,
substituindo
x
por
e
y
por
1
na
terceira
equa
3 ⎧ ção,
x
n
obtemos:
1
k 1
k
5
3
3 100x
2x
5
5
102x
60 7.
x
5
Sejam
x
y
e
z
as
quantidades
Substituindo
x
por
30
na
primeira
equação,
30
5
peras
e
laranjas,
1
x
5
z
z
3.060
5
⎨ Logo,
10. 000
102
x n
maçãs,
então:
temos:
⎧ 5
de
30 respectivamente;
n
9
k
3
60
há
3.060
residências
na
50
60
140
100
cidade.
z 20
3.
Usando
r
para
representar
o
raio
de
atendimento
da
A
r
para
o
raio
de
B
e
B
⎧
r
r ⎨
r
r
para
o
raio
de
C,
temos: ⎧
C
18
⎨
B
1 6
3. 300 100
x
1
z
x
1
3z
5
42. 000
x
1
3z
99. 000
10. 000
⎩
C
r
10 60
⎩
A
legacia
40 50
de
12
1
⎧x
⎩
Multiplicamos
a
primeira
equação
por
(
1)
e
a
y
⎨
adiciona
z
5
z
5 218. 000
10. 000
(I)
II
(III) mos
à
⎩
segunda:
(III) ⎧
1
z
II 1
⎨
5
5.000
18
r
y
3
5.000
5
218.000
V
y
5
V
x
3.000
5 22
C
(I) 1
x
1
3.000
1
5.000
5
10.000
5
2.000
1
⎩ Portanto,
Adicionamos
a
segunda
equação
à
estão
1
trans
ortadas
2.000 maçãs,
terceira: 3.000peras
⎧
sendo
e
5.000laranjas.
18
8. 1
r
sando
m
e
t
5 22
C
⎨
de
r
5
0
manhãs
e
o
considerando
C
número
que
a
de
tardes
viagem
teve
que
durou
tantas
a
viagem
manhãs
⎩
tardes, Da
terceira
equação,
obtemos
r
5
então:
5.
C
Substituindo
r
por
5
na
segunda
equação,
m
5
t
obtemos
C
r
5 7 .
Substituindo
r
B
por
7
na
primeira
5
m
6
equação,
B
obtemos
r
5
11.
Logo,
raios
5
t
3
A
são,
os
respec
de
atendimentos
ivamente,
11
km,
7
das
km
delegacias
e
5
A,
B
e
C
Assim:
km. (I
⎧
⎨ 4.
Substituindo
x
por
2m
e
y
por
(
m
no
sistema
m
dado,
t
II)
⎩
obtemos: Substituindo ⎧m ⎧2
⎧5m
5 2
⎨
⎨ 3m
m
⎨
2
6
5
1
5
6
1
m
3
(II),
5
V
obtemos:
m
5
7
5 5 2
Logo,
5
t
5
7.
6
⎩
Portanto, Logo,
m
5
a
viagem
alter nativa
de
a
o
preço
do
sabão
da
marca
A,
b
o
7
dias.
b
preço Substituindo
sabão
durou
21.
Chamando
do
em
5
⎩
⎩
5.
(I)
5 21
5 25
da
marca
B
e
c
o
preço
do
sabão
da
marca
y
por
0
no
sistema
⎧
1
dado,
obtemos:
C,
⎧
λ
1
1
5
0
5
temos: V
⎨
a
⎧2
5 V
⎨
1
5
1
c
0
c
14
⎨ 2
b
b
1
Su
as
3
segunda
equação,
obtemos
x
5
3.
⎩
⎩
Adicionando
5
x ⎩
Da 1
⎨
5
x ⎩
⎧
equações,
temos:
(h
stituin
1
1)
3
o
5
x
0
por
V
h
3
1
na
1
primeira
5
0
V
h
5
equação,
o
temos:
21
Guia do professor
e
quantas
325
10.
No
f
ponto
(2)
5
(2,
a
5),
2
b
temos:
5
5
V
Logo,
2a
b
5
5
(I)
S No
ponto
(
3,
1),
o
⎧ ⎛
sistema
34
1
13
13
é
⎨
temos:
(
3)
5
a
(
3)
1
b
5
1
V
23a
1
b
5
1
equações
(I)
e
(II),
b
5
(SPD),
e
⎠ ⎭
1 x
obtemos: b)
2
⎧
deter minado
(II)
⎧ Das
e
⎬
⎝ ⎩
f
possível
⎫
⎞
Temos:
2
y
⎨
5 y ⎩
⎨ 3a
1
⎩
Multiplicando
Multiplicando
por
(
1)
e
a
segunda
equação,
adicionando-a
à
membro
primeira,
a
membro,
⎧2x
y
x
y
a
primeira
equação
por
2,
obtemos:
4
V
temos:
2x
y
(SPI)
⎩ ⎧2
b
5
b
5
5
Se
o
sistema
admite
solução
x
a
a
real,
obtemos
o
⎨ 3
1
⎩
valor
y
5
4
2a
17
4 5
de
5
e
5
Logo,
o
sistema
é
possível
e
indeter minado
(SPI),
e
5
o
Logo,
a
lei
da
função
4
polinomial
do
1
grau
S
é
x ⎧ 5
A
equação
No
igua
da
a
linear
primeiro
inclinação
e
ou
a
caso,
reta;
no
5
lei
o
14.
ax
de
for mação
coeficiente
segundo
caso,
a
o
de
está
uma
função
associado
mesmo
⎨
2a)
a
Ñ R}.
x
1
1
z
5
x
1
1
z
5
x
1
1
z
1
⎩
à
Escalonando
relacionado
com
a
taxa
de
variação
da
o
sistema,
1
z
5
x
1
z
x
1
z
temos:
coeficiente x
⎧
está
4
5
Comentário:
afim.
{(a,
17
x
uma
5
função.
1
1
Inde⎨
5
pendentemente do significado dessa igualdade, a represen5
(falso)
⎩ tação
gráfica
no
plano
cartesiano
é
dada
pela
mesma
reta.
Portanto,
11.
y
5
2x
6
5
2x
o
15.
1
2
é
impossível.
4 alter nativa
2
sistema
2
O
sistema
pelo
c
dado
menos,
Para
a
é
um
sistema
solução
escalonar
o
trivial
sistema,
homo
(0,
0,
êneo.
Lo
o,
admite,
seguinte
sistema
0).
escrevemos
o
equivalente:
y
y
=
2x
–
4 ⎧
y 1
–
y
5
0
6
2 ⎨
ES
0
3
x
y
x
y
12z
0
x 1
z
⎩
NOSLIDA
Multiplicamos
a
primeira
equação
por
(
3)
e
a
adiciona-
primeira
equação
por
(
2)
e
a
a
equação
por
e
a
adiciona-
– 1
mos
à
segunda.
Multiplicamos
a
iciona-
– 2 mos
b)
Os
gráficos
não
do
item
apresentam
solução
do
a
são
pontos
sistema
duas
em
retas
paralelas,
comum.
for mado
pelas
Logo,
o
equações
ou
⎧
seja,
conjunto
é
S
à
terceira.
y
⎨
5
y
z
5
y
z
5
0
5 ⎩
omentário:
A
classi
icação
de
um
sistema
linear
2
3
2
⎛ Multiplicamos
composto
ax
1
b
de
duas
pode
ser
equações
feita
apresentadas
comparando
o
valor
do
na
a
segunda
for ma
y
5
a
nas duas equações e, em seguida, o valor do coeficiente
⎝
mos
coeficiente
à
1
5
⎞
⎠
terceira.
y
⎧
5
0
b Assim,
o
sistema
original
escalonado
é:
⎨ y
z
⎩ 12.
Montando
o
sistema
de
acordo
com
o
enunciado,
temos: Se
A
⎧
1
6
D
5
C
3
1
sistema
admite
solução
com
z
5
a
a
real,
temos
I) y
⎨
o
5
21
5
4
(II)
5
3a
5
Portanto,
S
2a
5
{(2a,
3a
a)
a
Ñ R
(III)
⎩
⎧ x Multiplicando
equação(I),
⎧
⎨
4A
6
4A
6
a
equação
(III)
por
(
2)
e
adicionando-a
16.
a)
5
y
⎨
5 2
2
2
6
1
à
temos:
⎩
2D
5 248 Da
terceira
equação,
obtemos
y
5
2.
5 ⎩
Substituindo
Portanto,
o
sistema
é
rn
por
(
2)
e,
5
Logo, x
y
2x
y
⎧
na
primeira
S
5
5
Temos:
equação,
⎞
⎨
equação,
obtemos
obtemos
x
5
5.
⎫
⎬ 3
⎩ a
segunda
3
iv
⎧ ⎛
13.
na
5
impossível. z
l
y
⎠ ⎭
⎨
⎩ 1
⎧
Multiplicando
a
primeira
equação
por
(
2)
e
1
z
5
0
y
nando-a
à
segunda
equação
e
obtemos:
b)
⎨ z
⎧
2
y
6
adicio-
5 2
5
3 ⎩
⎨ 2x
5
Da
quarta
equação,
obtemos
z
5
3.
⎩
326
Guia do professor
1
34
Substituindo
13
13
y
5
2.
z
por
3
na
terceira
equação,
obtemos
Substituindo
obtemos
x
z
5
Substituindo
equação,
por
3
e
y
por
2
na
segunda
equação,
Multiplicando
1.
z
por
obtemos
3,
u
y
5
por
2
e
x
por
1
na
primeira
equação
(II);
por
e
(
5)
a
equação
em
adicionando
5
{(0,
1,
2,
2
(
2)
e
adicionando
à
equação
( III ),
a
equação
à
( I )
temos:
5
z
3)}.
⎨
⎧
por
multiplicando
0.
x Logo,
( I )
seguida,
x
z
5
x
z
5
10 75
⎩ c)
b
⎨
21
5
x 3b
z
1
⎩ ⎨ Adicionando
o
oposto
do
dobro
da
primeira
equação
x
1
x
1
1
z
5
à 1 1z
375
⎩ terceira,
Em
obtemos
seguida,
equações
a
5
e
b
5
1.
substituindo
adicionando
a
b
na
primeira
primeira
à
e
Assim,
segunda
segunda,
obtemos
Logo,
3.
a
Finalmente,
substituindo
a
e
b
na
segunda
de
podemos
a
obter
quantidade
castanha-de-caju
c
5
5
{(3,
1,
De
acor
o
sistema
com
de
5
é
0,125
é
0,125
e
0,250kg
kg
ou
x
5
ou
125 g
0,25.
250g,
é
0,125
kg
ou
125
e
a
de
g.
Nessa
o
atividade
e
em
outras,
igualmente
5)}.
contextualizadas,
17.
0,125,
5.
Comentário : Logo,
5
amendoim
equação, castanha-do-pará
obtemos
z
de
enuncia
o,
po
emos
escrever
o
seguinte
do
equações:
estudo
de
de
é
interessante
sistemas
problemas
do
dia
a
como
observar
a
instrumento
im
da
ortância
resolução
dia.
i
⎧ 14
5
42 i
1
12
d(
d
1
4 2i
I)
⎧
x
y
1
t
x
y
1
t
5
4
II )
i
5
⎩
60 1
5
⎨
i
i
1
⎧ ou
⎨
19.
12
5
⎨
⎩
y
z
168 ( I )
14(i
12)
5
42i
V
14i
168
5
42i
V
i
5
5
x
6
1
y
5
t
28
Substituindo
i
por
6
em
( II ),
Dividimos
obtemos:
360 d (i
1
12)
5
60i
V
(6
1
12)
5
60
6
V
d
5
5
a
primeira
⎧
2
equação
por
2.
1 t
5
2
t
5
5
t
5
18 2
Portanto,
a
enfer meira
deverá
ministrar
uma
dosagem
2
de x
y
1
⎨ 20miligramas
do
medicamento
X.
y alter nativa
x
⎩
18.
Seja
x
a
z
b
quantidade
de
amendoim,
y
a
quantidade
y
1
de Multiplicamos
castanha-de-caju
e
z
a
quantidade
de
mos todas
elas
em
à
primeira
equação
por
(
3)
e
a
adiciona-
segunda.
quilograma.
Adicionamos a)
a
castanha-do-pará,
Considerando
que
o
quilograma
do
amendoim
a
primeira
equação
à
quarta.
à
quarta.
custa
1 $
5,00,
o
da
castanha-de-caju
custa
R$
20,00
e
o
da
x
1
1
5
2 castanha-do-pará
5x
1
20y
Como
tura,
1
cada
16z
lata
custa
5
R$
5,75
deve
1
2
2
temos: 15
5
2
2
1
(I)
conter
meio
quilograma
da
mis-
temos:
y
1
y
1
1
1
5 t
2
⎩
5
8
2
5 2
Adicionamos x
y
z
5
1
a
x a
equação
1
⎧
Como
segunda
II
quantidade
de
castanha -de-caju
deve
1
1
5
2
ser 2
um
terço
da
soma
das
quantidades
das
outras
duas,
1
1 y
z
1
⎨ 2
temos:
x y
2
y
z
1
5 5
3 ⎩
x
y
z
(III) Da
Com
⎧
as
equações
(I),
(II)
e
(III),
obtemos
o
quarta
Substituindo x
y
1
z
5
x
y
1
z
5
y
1
z
5
t
5
Finalmente, ⎩
x
primeira
b)
No
sistema
obtido
no
item
a,
trocando
de
lugar
a
e
a
terceira
y
x
equações,
z
5
x
1
1
por
(
1)
S
5
{(1,
1,
y
x
, 75
⎧ 2
z
⎧
1 1
5 8
⎨ x
y
2,
⎨
1
y
2
por
x
na
1,
5
segunda
equação,
z
por
2
e
t
por
3
1 1 1
⎧
2
5
⎨ x
3
9
5 3
⎧
x
2y
9
5
3
⎨ 2y
5
5
9
⎩
⎩
⎩
z
5
( I)
z
5
II
⎧
x
y
5
esse
último
sistema
de
for ma
conveniente:
3
⎨ x ⎩
na
1.
3
5
y
Reescrevendo
1
por
3)}.
⎨
9
z
x
x
z
obtemos
x
2
V
⎩
⎧
e
substituindo
equação,
5
x
21.
temos:
20. ⎨
5
3.
y
⎧
y
priLogo,
meira
obtemos
1) na terceira equação, obtemos z 5 2.
, 75
obtemos ⎨
equação,
Substituindo y por (
sistema:
5
, 75
x
( III )
y
⎩
Guia do professor
327
Adicionando
as
duas
equações,
membr o
a
membr o,
obtemos:
1. x
⎧
2 1
y
y
a
com
equação
y
2x
5
S
{(21,
2
u
⎧
v V
⎨ 1
8vu
5
u
v
⎧ V
⎨
1
z
0
compõe
um
sistema
linear
2.
a
A
solução
de
5
v
⎩
nado
são
as
um
sistema
linear
duas
retas
coordenadas
do
2
3
ponto
2
possível
de
e
deter mi
intersecção
entre
concorrentes.
alter nativa
e
⎨
5
5
u
⎩ 3.
1 u
2y
6)}.
3
u
1
1
2. Logo,
⎩
3
alter nativa
V
21.
3
5 2
⎩
⎧
Somente
5
⎨
A
solução
do
primeiro
sistema
é
(4,
1).
Substituindo
x
por
4
v e y por 1 na primeira equação do segundo sistema, obtemos:
Multiplicamos
a
primeira
equação
por
(
3)
e
a
adiciona 2
mos
à
4
1
1
5
a
alter nativa
v
⎧
V
a
5
9
segunda. c
5 4.
Todo
sistema
linear
homogêneo
é
SPD
ou
SPI.
⎨ v
u v
⎩
alter nativa
Sabendo
que
u
i
0
e
v
i
0,
obtemos: 5.
u
5
1
a
1
3
5
0
V
alter nativa
5
e
a
a
5
23
d
2
⎧ ⎛ Logo,
5
S
1
3⎞
⎛
⎛ 2⎞
⎞
5
6.
⎬ 2
⎩
22.
⎛ 2
⎫
⎞
1,
⎨
⎭
1
⎝
⎠
⎝
x
⎧
Como o sistema é possível e não admite uma solução trivial,
4
y
⎠
1 ⎠
⎝
y
⎨ então
SPD
Multi
⎧
ou
licando
SPI
a
e
k
i
terceira
x
1
5
x
1
5
x
1
x
0.
e
1
⎩
uação
do
sistema
or
2,
temos:
alter nativa
7.
No
b
primeiro
para
que
a
sistema,
primeira
vamos
tenha
trocar
1
como
as
equações
coeficiente
de
de
lugar
x
⎨
2
5
⎧
⎧
1
x
⎩
5 Para
que
o
sistema
seja
SPI,
devemos
ter,
5
k
V
k
5
1
(pois
k
i
x
⎩
0)
sistema
⎧ x 5
1
2
5
obtemos
o
segundo
sis-
1
y
⎨ 1
⎩
⎧x
z
5
z
5 2
z
5 235
0
V
7
segunda
equação,
obtemos
o
valor
de
⎨
0
5
7
2 2z
m
x
1
y
5
1
y
5
1
1
1
m
Substituindo
x
m [1
x
m
(1
y
na
primeira
m ) x ]
1
5
equação,
1
os
mx
1
m
x
5
⎧
8.
m
m
1
1)
5
A
B
5
B
equivalentes.
A ⎭
B
1
A ⎫
50
⎨
2
1
são
b
temos:
m
1
sistemas
x
2
1
67
⎩
alter nativa
x (m
1
y Portanto,
1
5
z
y
)
⎩ Da
1
m
⎨
1
2
obtido,
tema
⎧ a)
o
k 2
23.
⎨
⎩
Escalonando
1 Logo,
V
temos:
2
k
5
1
5
45
⎩
2
e
i
0,
terá
um
único
valor
para
cada Substituindo
número
real
na
terceira
equação:
m 55
A
1
50
A
45
1 x
2
5
5
60
2
1
1 A
Vamos
considerar
a
função
quadrática
5
30
Assim,
B
5
25
e
C
5
20.
2
(m )
5
m
1
m
1
1.
A
B
C
Portanto, Como
a
parábola,
que
é
gráfico
de
para
cima
e
d
5
23
,
0,
um
a
7
soma
esboço
do
dos
artigos
,
B
e
C
OCCES
cada
peça,
NOSLIDA
2 f
⎧
c
cada
temos
o
preço
pela
seguinte
letra
inicial
do
nome
sistema:
5
+
2c
⎨
5
m f
5
143
⎩ f
(m )
nunca
se
anula,
ou
seja,
para Escalonando
cada
valor
real
de
m
x
é
único.
y
e
o
par
(x
y ),
solução
do
o
sistema,
temos:
Consequentemente,
⎧ sistema,
também
são
x
1
f
5
143
únicos.
⎨ b)
f (m )
2
deve
2c ter
um
valor
mínimo.
Isso
ocorre
quando
m
assume
o
⎩
De
2c
5 2156,
obtemos
c
5
78.
f
Portanto, m
5
5 a
328
Guia do professor
é
gráficoé:
Representando
+
preços
75,00.
alter nativa
+
dos
f
R$ voltada
5
o
preço
5 2 alter nativa
c
unitário
da
colcha
é
R$
78,00.
de
Já
Comp reensão do texto
que
x
1.
Energia,
carboidratos,
proteínas
e
gorduras
sistema
tem
4
equações
e
6
O
b)
No sistema, cada equação corresponde a um nutriente, e
as
um
alimento
representa o feijão, x
0.
maior
Portanto,
x
,
menor
x
.
Assim,
x
6
x
2,76x
é 6
1
6
inequações
<
1,94x
>
0,04x
6
2
78.
5
são:
(x x
representa
representa o frango, x
o
arroz,
6
x
1,12
1
4,79
5
x
representa
1 5
x a
5
incógnitas. x
incógnita,
x 4
a)
cada
quanto
4
se
totais.
Assim,
2.
0, 4
máximo
0,30x 6
11,04 5
4
o suco, x
representa o pão e x
representa a margarina).
x
5
<
22,76x
6
3.
Como
temos
apenas
4
equações
para
6
incógnitas,
dizer
que
o
sistema
é
possível
e
Temos:
indeter minado. ⎧
1 , 94
x
1 ,1 2
6
alter nativa
25,78
pode6.
mos
1 5
(I)
5
b
0,
x
4, 7
6
⎧x
x 5
(II)
5
⎨
6
0, 3 0
x
, 04
(III)
6
x
x
6 5
4.
V
⎨ x
0, 25 3
⎩
x
0, 45
2, 7 6
x
, 78
(IV)
6
5
4
⎩
Fazendo
⎧x
5
1
6
x
8, 05
0
figura
a
esboço
seguir,
em
dos
que
quatro
a
gráficos
parte
mais
encontramos
escura
a
representa
1, 68
2
V
um
x
1
a
intersecção
das
quatro
inequações,
ou
seja,
o
conjunto
nas
equações
⎨ x
9
x
16
3
6
x
11
solução
do
sistema:
x
60
4
⎩
x 6
IV
(I)
⎧
5
x
5 28
05
6
2
1
(II)
10
2
Temos:
OCCES
5.
⎨ 5
x
III)
3
8
5
x
(IV)
NOSLIDA
x 4
⎩
6
II (I)
5
x
0,19
1
0,33x
0,17x 5
0,17x
5
0,19
1
2
6
0,33x
6
x 5
0 1
4
2
x
6
8
10
12
x 5
x
5 6
0,
alter nativa
d
x 1
q
1 0, 17
7.
Se
x
5
5
e
x
5
6,
substituindo
esses
valores
6
Como
sabemos
que
x
>
0,
então,
quanto
maior
x x
⎧
menor
x
.
Assim,
x
6
é
máximo
quando
x
5
0.
5
6
Logo,
6
x
5 28, 05
0, 0
1, 68
2
x
<1,94x 6
1
1,12.
,
⎨
5
x
9
6
0, 45x
x
(II)
5
⎩
x
8,05
0,07x
2
1
1,68x
5
1,68x
0,07x 6
1
1
5
x
6
8,05
x
5
0,19
x
2
encontramos:
x
16
3
1
0,33
8,05
5
0,07
0,17
5
1
6
5
1,68
0,82
6
1,68
2
x
x
x
x
5
9,16
0,25
5
11,60
5
0,83
6
5
2,93
3
6
68 x
1,24
0,45
5
2,7
x 2
x
x
1
Sendo
5
x
o
arroz,
multiplicando
o
valor
encontrado
por
1, 68
50 Temos
x
0,
então,
quanto
maior
x
2
,
maior
x
2
.
g
(quantidade
é
mínimo
quando
x
6
5
0.
Logo,
x
2
referência
na
tabela),
a
dieta
deve
Assim,
6
conter x
de
>
0,04x
6
1
0,82
50
g
5
41
g.
4,79.
5
representa
x
o
feijão;
a
quantidade,
em
grama,
de
feijão
2
(III)
x
a
5
1
0,25x
3
5
20,25x
6
Analogamente,
6
1
9,16
na
dieta
deve
ser
de
1,68
30
g
5
50,4
a
quantidade,
em
grama,
de
frango
g.
deve
x
5
ser
3
1
2,93
80
g
5
234,4
g
e
a
de
suco,
em
mc,
deve
ser
x
2,7 x
consumido
x 5
,83x
ser
2
mc
5
540
mc
5 6
0, 8 3
x
8.
3
x
x
Energia
ou
valor
energético :
energia
11, 04 0, 83 produzida
Como
x
>
0,
se
x
aumenta,
x
diminui.
Então,
x
quando
x
5
0.
Portanto,
x
<
20,30x
1 5
corpo
que
provém
dos
carboidratos,
é das
máximo
pelo
proteínas
e
das
gorduras
totais;
é
expresso
em
11,04. quilocaloria
(kcal)
ou
em
quilo
oule
(kJ).
(IV) Carboidratos:
x
5
11,60
1,24x
4
sua
0,45x
5
21,24x
1
11,60
principal
parte
função
é
dos
chamados
for necer
energia
energéticos
imediata
e
para
x
5
4
as
1, 24x
células
do
corpo,
principalmente
as
do
cérebro;
x
5
x
fazem
0,45x 5
6
encontrados
em
maior
açúcar,
pães,
quantidade
em
massas,
arroz,
4
x
mel,
farinhas,
tubérculos
(como
batata,
4
x
x
25, 78 5
0, 45
mandioca
e
inhame)
e
doces
em
geral.
Guia do professor
329
Proteínas :
função
de
são
chamadas
construir
sendo
as
massa
muscular;
e
principais
construtor es,
manter
órgãos,
responsáveis
encontradas
em
pois
tecidos
pela
e
têm
for mação
car nes,
a
ovos,
no
de
leite
benefícios,
e
e
nas
leguminosas
(feijões,
soja
e
mau
totais:
referem-se
à
soma
das
gorduras,
tanto
animal
(saturadas)
quanto
vegetal
principais
fontes
de
energia
no
corpo,
ao
grupo
dos
energéticos s
e
ajudam
na
e
no
transporte
das
vitaminas
redução
e
K),
na
composição
das
lipossolúveis
membranas
(A,
equilíbrio
tér mico
do
celulares
e
de
Gorduras
origem
frango,
de
diabetes);
origem
regula
os
total,
bom
redução
colesterol
e
redução
presentes
da
em
hiper
diversos
vegetal,
como
frutas,
hortaliças,
integrais.
fluidos
participa
contrações
saturadas:
presentes
da
extracelulares
condução
dos
e
o
volume
impulsos
plas-
nervosos
musculares;
presente
no
sal
de
e
cozinha
animal,
como
car nes,
em
alimentos
queijos,
leite
integral,
industrializados.
em
toucinho,
iogurtes,
a
produtos
com
baixas
%VD
para
gorduras
manteiga saturadas
e
triglicerídios
do
alimentos
ferência
pele
do
organismo. e
de
colesterol
no
alimentos
do
aumento
e
diversos
D,
das
dos
(controle
e
mático, E
(LDL),
promovem
absor
Sódio: ção
redução
no
digestão
também
feijões pertencem
intestino;
auxiliam
na
(insa-
alimentos turadas);
do
sobretudo
de
glicemia origem
como
colesterol
a limentare s :
atuando
ervilha).
(HDL), Gorduras
Fibras
geral,
funcionamento
do derivados
metabolismo
células,
(que
contribuem
para
a
obesidade
e
aumen-
requeijão. tam
Gorduras
trans:
encontradas
em
produtos
o
que
utilizam
gordura
vegetal
de
doenças
(além
de
desnecessárias
margarina,
com
cremes
(salgadinhos
tos
fritos
e
o
hidrogênio)
vegetais,
prontos),
lanches
Cap ítulo
em
seu
biscoitos,
produtos
de
gorduras
ao
nosso
organismo,
hidrogenada colaboram
(combinada
cardiovasculares),
industria trans
lizados
risco
preparo,
sorvetes,
panificação,
como
para
snacks
e
alimen-
aumento
sódio
com
salgados.
o
para
(que
elevação
do
risco
promove
altas%VD
a
para
do
de
colesterol
doenças
aumento
fibras
da
e,
portanto,
cardiovasculares)
pressão
arterial)
e
alimentares.
10
Análise combinatória
o
O
o b j e t i vo
desse
capítulo
é
compreender
e
aplicar
o
prin-
3.
12
cavalos
podem
ganhar
o
1
prêmio,
e
11
cavalos
(todos
o
cípio
fundamental
da
contagem,
identificar
a
natureza
os
dos
cavalos
menos
o
que
ganhar
o
1
prêmio)
podem
ganhar
o
problemas
problemas
e
de
os
contagem
conceitos
e
e
as
e m p r e ga r
fórmulas
na
de
resolução
o
desses
permutação, arranjo
2
prêmio.
Pelo
princípio
multiplicativo:
o
combinação.
Logo,
o
12
11
5
132
o
1
e
o
pr êmios
podem
ser
distribuídos
de
132maneiras.
Resoluções e comentários
4.
10
possibilidades
10
possibilidades
10
possibilidades
Exercícios p rop ostos
1.
E
(escolha
de
um
tipo
de
macarrão):
3
possibilidades 9
E
(escolha
de
um
tipo
de
molho):
2
possibilidades:
(1,
possibilidades
2,
3,
4,
5,
6,
7,
8
e
9)
2
Pelo Pelo
princípio
multiplicativo:
3
2
5
princípio
de
podem
ser
preparadas
6
opções
de
pratos
há
9.000
Comentário:
macarronada.
rismo, Para
ir
da
cidade
A
à
cidade
B
há
3
possibilidades
e
B
à
C
há
4
princípio
o
9
5
9.000
com
pois
o
o
questão,
zero
não
número
é
4
algarismos.
pode
ficaria
importante
ser
usado
apenas
que
no
com
os
alunos
primeiro
três
alga
algarismos.
também
importante
que
percebam
que
pela
grande
possibilidades.
multiplicativo:
3
4
5
percurso
ABC
pode
ser
de
possibilidades
não
convém
fazer
a
árvore
12 de
Então,
números
Nessa
que
quantidade Pelo
10
da
É cidade
10
diferentes
percebam
2.
10
6
Logo, Logo,
multiplicativo:
feito
de
12
possibilidades
e,
sim,
aplicar
o
princípio
multiplicativo.
modos
diferentes. 5.
Comentário:
Observar
quentemente
tica,
frota
330
como
de
na
ocorre
que
em
de
Guia do professor
é
empresas
elaboração
caminhões
essa
de
uma
uma
que
questão
fazem
planilha
recolhimento
do
lixo
uso
que
da
fre-
logís-
de
operação
de
uma
da
cidade.
5
5
4
4
Logo,
3
5
3
2
2
1
livros
prateleira
de
5
1
120
podem
ser
colocados
120maneiras
lado
distintas.
a
lado
em
uma
letras
algarismos
11.
1
bandeira
hasteada:
2
bandeiras
hasteadas:
3
bandeiras
hasteadas:
4
bandeiras
hasteadas:
5
bandeiras
hasteadas:
5
6.
5 8
possibilidades
9
possibilidades
9
possibilidades
não
23
pode
ser
zero
5
4
3
5
4
3
2
3
2
possibilidades
24
possibilidades
25
possibilidades
5
Total
25
5
5
1
Portanto,
princípio
1
60
1
120
4
1
1
120
5
325
enviadas
325
mensagens
possibilidades
(não
Pelo
20
pode
ser
podem
ser
distintas.
z z)
multiplicativo:
3
25
25
24
Podem
ser
senhas
de
23
9
9
criadas,
acesso
ao
8
5
223.560.000
portanto,
12.
223.560.000
Ao
resolver
essa
questão,
os
alunos
que
tidade de
a
escolha
dígitos
de
uma
senha
(caracteres
depende
da
alfanuméricos)
número
de
dígitos
de
uma
senha
pode
1
podemos
4
1
8
1
de
ela
ser
dificultar
Números
de
5.000
5
8
5
16
30
letras
distintas
a
5.999:
total
1.000
descoberta. 10
de
10
6.000
6
a
6.999:
V
total
5
1.000
possibilidades
10
6
possibilidades
9
possibilidades:
10
Números
(não
pode
começar
por
de
10
5.000
a
multiplicativo:
5
6
6
for mados
que
não
contêm
o
algarismo
3:
V
180
total
5
contêm
o
algarismo
3:
729
180 9
ser
5.999
zero)
5
princípio
podem
.
V
Números
Logo,
as
7.
Pelo
quan
10
6
representar
16
5
chances
5
usados. 13.
O
2
devem (2
perceber
site Logo,
Comentário:
4
difer entes
números
de
3
9
9
dígitos.
Números
de
6.000
a
6.999
que
não
b) 6
4
possibilidades
5
possibilidades
5
possibilidades:
V
9
Total
de
1.000 (não
pode
começar
por
princípio
multiplicativo:
5
5
4
5
sem
podem
repetir
ser
os
for mados
5
729
1.000
que
contêm
729
729
o
5
algarismo
3:
542
100
542
números
de
5.000
a
6.999
contêm
pelo
menos
estratégia
usada
100
um Logo,
números
1
total
9
zero)
Logo, Pelo
9
números
de
3
algarismo
3.
dígitos
algarismos.
Comentário:
nesta
É
interessante
resolução,
ou
seja,
reforçar
para
a
encontrar
a
quantidade
de
8. números
a 2
possibilidades
3
possibilidades
4
possibilidades
4
possibilidades:
14.
Pelo
princípio
Logo,
multiplicativo:
podemos
for mar
96
2
3
5
(1,
3,
5
e
que
contêm
quantidade
de
o
algarismo
números
que
3,
basta
não
subtrair
contêm
do
total
nenhum
3.
7)
96
números.
Pelo
princípio
para
as
duas
26
possibilidades
26
possibilidades
multiplicativo,
primeiras
letras
o
número
de
um
de
nome
possibilidades
é:
26
5
676
26
a
9.
(escolha da resposta para a 1
questão): 3 possibilidades
a
(escolha da resposta para a 2
questão): 3 possibilidades
2
as
mesmas
duas
letras
iniciais
de
seus
nomes.
a
E
(escolha da resposta para a 3
questão): 3 possibilidades
3
Comentário:
a
E
(escolha da resposta para a 4
Avaliar
a
conveniência
de
dar
uma
dica
aos
questão): 3 possibilidades
4
alunos: se essa escola tivesse 367 alunos, então, necessariaa
E
(escolha da resposta para a 5
E
(escolha da resposta para a 6
questão): 3 possibilidades
mente, pelo menos dois alunos aniversariam na mesma data. a
questão): 3 possibilidades
6
Pelo
princípio
multiplicativo: 1
.
código
de
área
prefixo
linha
6
3
3
3
Logo,
o
3
3
3
cartão
5
po
3
e
5
ser
729
preenc
i
o
e
729
maneiras
não
pode
ser
0
ou
1
diferentes.
a)
8
10.
10
equipe: Pelo 6
5
4
princípio
multiplicativo:
8
800
códigos
10
10
5
800
1
Logo,
melhor
a
2
10
melhor
a
1
existem
diferentes
de
área.
equipe:
3
Pelo
princípio
Logo,
o
2
técnico
distintas.
1
multiplicativo:
pode
for mar
1
b)
6
5
4
os
times
3
2
1
de
720
5
4
1
720
maneiras
8
8
8
Logo,
10
5
8
10
640
existem
640
prefixos
para
esse
código
Guia do professor
de
área.
331
c)
4
3
1
2
2
3
5
10
10
10
10
1
Logo,
são
possíveis
9.999
números
de
3
2
1
2
1
3
5
18
8
10
9.999
8
10
Logo,
6
1
8
8
ou
3
linha. 3
4
4
9.999 3
d)
2,
9.999
são
5
ou
3
6.399.360
possíveis
6.399.360
diferentes
números
de
7
dígitos
dentro
desse
código
de
1
4
2
de 3
telefone
2
2
1
2
5
12
12
1
18
área. Total
5
1
12
5
42
e) Logo, 8
10
10
8
8
podem
ser
for mados
42
números
pares.
10
9.999
22. 8
10
10
8
8
10
9.999
5
5.119.488.000
temos: Logo,
são
possíveis
5.119.488.000
números
de
telefone
5
P de
10
dígitos
nesse
país.
5!
120
5
7! 16.
a)
5
5 23.
4!
4 !
escolhido
3!
7
7
b)
6!
vogal,
sobram
4
letras
para
serem
per -
mutadas.
5 4!
essa
5
6!
3!
vogalé:
2
5! 17.
a)
2
P
4!
2
24
48
4
5
5
5
4 !
5
5!
5
comece
b)
o
anagrama
e
2
possibilidades
de
escolher
uma
4 ! 2!
2 consoante
7!
5!
)
4!
c)
que
termine
o
anagrama.
Tendo
escolhido
es-
sas consoantes, sobram 3 letras para serem permutadas.
5 4
4
4
205 nam
4 !
por
consoante
é:
5 4 3
2
P
5
3
3!
2
5
3
6
2
5
36
3
Portanto,
temos
48
anagramas
que
começam
por
vogal
e
n! 18.
a)
5 n
30 36
)!
n
ana
ramas
que
começam
e
ter minam
por
consoante.
(n 30 24. n
Vamos
2 n
(n
per mutar
1)
5
letras
8!
3, 2
n
letras
com
a
repetição
de
3
letras
R
e
A.
30
2
n
8
)!
30
5
0
P
40. 320
5
5
5
3. 360
8
3!
2!
o
Resolvendo
essa
equação
do
2
grau,
obtemos:
n
5
6
Logo,
ou
n
n
5
5
25
(não
6. 25.
5
b)
convém)
que
72
há
um
mulheres
)
grupo
podem
com
se
três
mulheres
posicionar
de
P
e
que
essas
três
maneiras.
(n
Tendo
escolhido
a
posição
do
grupo
de
mulheres,
sobram
5 )
5
n
1
1)
n
5
72
homens
uma
que
irão
per mutação
permutar
de
6
com
esse
elementos
(5
grupo,
ou
homens
seja,
e
será
1 grupo
2
n
1
n
72
5
0
de
mulheres).
o
Resolvendo
n
5
8
ou
n
essa
5
equação
29
(não
do
2
grau,
temos:
Pelo
princípio
P
P
3
Logo,
n
5
multiplicativo,
temos:
convém) 3!
6!
6
720
4.320
6
8. Portanto,
4.320
as
pessoas
maneiras
dessa
diferentes,
fila
de
podem
modo
se
posicionar
que
as
de
mulheres
19.
6
6!
5
5
6
4
5
3
4
2
3
2
1
fiquem
1
5
juntas.
720 Devemos
Logo,
as
6
letras
podem
ser
escritas
de
720
per mutar
6
bandeiras,
sendo
2
ver melhas
e
maneiras
diferentes. 6!
2, 3
720
5
5
5
60
6
2!
3!
20. Podemos 5
5!
4
5
3
2
27. Logo,
os
portões
podem
ser
pintados
de
120
a)
P
5
P
4
2
3
332
2
1
12!
P
4
3
60
sinais
diferentes.
P
3
Portanto,
ou
2
5
Guia do professor
6
5
479.001.600
12
maneiras.
b)
21.
emitir
1
120
arrumados
de
uma
P
5
se
5
4!
3!
5!
3!
5
103.680
3
não
de
houver
restrições
os
livros
479.001.600 maneiras,
mesma
matéria
103.680maneiras
de
tiverem
de
arrumá-los.
mas
ficar
poderão
se
os
juntos
ser
livros
haverá
28.
a)
A
sequência
pode
ser
representada
assim:
Pelo
princípio
diferentes A
Portanto,
1
1
P
Logo,
5
teremos
6
1
1
3!
sequências
5
de
Assim,
2
P
etapas,
pelo
5
2
ou
5
seja,
princípio
4!
2
per mutar
4
soma
5
Logo,
de
temos
48
procurada
225
caminhos
de
caminhos
15
15
5
225
diferentes.
3
60
2!
pessoas
modos
podem
sentar
em
um
sofá
de
5
lugares
diferentes.
10!
10!
9
8!
33.
sequências
de
5
(
)
tem
P
das
unidades
2)!
8!
90
8 !
etapas.
parcelas:
P
5
!
5
há
90
possíveis
resultados
simples
(U),
cada
algarismo
5!
apa
5!
outras
(número
de
eleição.
120 5
5,
vezes
da
12
5
34.
24
nas
é:
10, 2
ordem
rece
C
temos:
48
5
Na
para
60
Logo,
A
quantidade
A
5!
3)!
(10
.
a
de
3
(5
elementos.
multiplicativo,
24
possíveis
5!
4
Portanto,
2
ir
A 5,
para
6
demais
são
etapas. 32.
b)
multiplicativo,
possíveis
per mutações
dos
(5
Logo,
ordens).
60
3
algarismos
há
3)
60
2
possíveis
resultados
para
as
3
primeiras
colocações.
DM
UM
C
1
2
3
D
U
20! 35.
1
3
4
há
1
3
2
4
5
3
1
4
5
36.
5
A x,
2)!
380
primeiros
2
18!
possibilidades
de
classificação
x
3
4
1
2
5
3
4
1
os
dois
156
x
!
(x 156
156
2
para
lugares.
2
x
5
380
2
Logo,
5
8 5
20,
(20
2
20!
A
5
)!
x
2
x
x
156
x
5
1
ou
(5
valores
1
5
1
...
absolutos,
1
5)
1
(4
em
1
4
cada
1
...
ordem,
1
4)
1
essa
x
5
1
3
1
...
1
3)
x
5
1
1
(2
1
5
24
2
1
24
...
1
2)
1
(1
vezes
1
1
3
1
vezes
24
1
24
...
1
4
1
24
1)
30 2)!
Logo,
uma
outra
de
2
1
24
1
5
4!
pessoa
30
pode
maneiras
360
U
1
S
5
360
1
3.600
S
5
3.999.960
Portanto,
a
360
D
1
1
36.000
é
.
por
uma
porta
e
sair
por
1
1
360
UM
360.000
1
1
360
DM
9
3.600.000
.
síveis
.
10! 5
720
3
(10
ou
soma
entrar
diferentes.
A
360
5
2)
vezes
24
Assim:
S
>
2
10!
24
temos:
pois
6!
5
A
10,
1
convém,
vezes
38. 5
rau,
2
.
(6
24
(não
6!
1 6,
vezes
212
do
é:
(3
37.
24
0
equação
Logo,
dos
5
o
Resolvendo
3)!
segredos,
seja,
2
horas
Comentário:
7!
vai
gastar
para
Uma
7.200
testar
variação
segundos
todos
desse
os
possíveis
exercício
(720
10),
segredos.
pode
ser
feita
considerando que o disco do cofre tem, no lugar dos algaris30.
cada
um
deles
um
número,
de
acordo
com
a
caixa
em concluam
que
ele
1
ros
será
(pois
colocado.
5
objetos
Assim,
devem
deveremos
ser
ter
colocados
na
5
que
1
caixa
),
modos
pela
3
de
e
2
distribuir
per mutação
repetições
do
2
3
números
esses
de
e
10
2
números
números
repetições
entre
com
do
os
5
objetos
43
horas
e
20
minutos.
é
repetições
60 (5
Logo,
o
360
2
dada
do
3!
5 3,
números
necessárias
5! 39.
3
seriam
núme-
número
3)!
de
(3
2)!
sequências
numéricas
será
360.
1
15!
3 ):
40.
15!
5 15
5
5
3. 003
10
10!
5!
10!
5, 3, 2
P
5
5
5
2. 520
Logo,
10
ele
poderá
escolher
as
10
questões
de
3.003
for mas.
3!
Logo,
podemos
guardar
os
10
objetos
nas
3
caixas
de 41.
2.520
Diagonal
dois
de
Para
se
locomover
de
A
para
B,
a
pessoa
deverá
polígono
o
vértices
número
de
não
é
n
vértices,
diferentes
possíveis
pode
ser
dada
pela
n
per mutação
de
n,
reta
que
une
diagonais
6!
2
6
5
de
um
polígono
de
n
lados
o
de
diagonais
1
n
de
lados
2
d
5
d
5
6
C
n n
n!
n
n
5
n
) n
2
n 4,
de
temos:
o
segmento
C
o
consecutivos.
deslo-
e
um
seus
31.
de
modos.
2
30
P
15
6
4!
2!
se
car -se
4,
2
locomover
vezes
)
n d
Para
para
de
a
B
para
direita
e
C,
4
a
pessoa
vezes
para
deverá
baixo,
5 2
deslo-
assim:
Comentário
2
5 15
ciplinar
com
Geometria
plana.
6
Guia do professor
333
7! 42.
C
6
7!
5
5
Comentário:
!
5
5
Seria
interessante
propor
uma
pesquisa
sobre
35
7, 3
(7
Podem
ser
os
for madas
35
comissões
loteria
diferentes.
a
10! 43.
C 10,
loterias
para
chance
cada
que
existentes.
grupo
uma
e
Pode-se
pedir
aposta
aos
simples
sortear
alunos
tem
de
um
que
ser
a
tipo
de
calculem
5
5
5
vencedora
no respectivo jogo. Provavelmente haverá surpresa entre os
45
2
)!
2!
8!
2
8 ! alunos
Foram
trocados
45
apertos
de
6! 44.
5 2)!
há
300
icarem
que
a
chance
de
sucesso
em
loterias
remota.
5
, 3
Portanto,
veri
bastante
6!
5 2
ao
mão. é
6
de
!
10!
5
tipos
Exercícios comp lementares
3)!
possibilidades
de
comissão. 1.
E
E
(escolha
da
entrada):
(escolha
do
prato
3
possibilidades
(escolha
da
sobremesa):
principal):
2
possibilidades
2
5! 45.
10!
5 5
2
1
5
5
,
2)!
E
for mar
1.200
conjuntos
diferentes
de
5
princípio
com
2
letras
diferentes
e
3
algarismos
S
U
C
Como
E
SS
U,
C,
E
e
24
as
grupos
de
3
combinações
letras
distintas,
for madas
2
4
5
24
Estação
de
partida:
Estação
de
chegada:
11
possibilidades
com
devemos
as
letras
Pelo
S,
princípio
Logo,
são
10
possibilidades
multiplicativo:
necessários
110
11
tipos
10
de
5
110
bilhete.
O:
10! 3!
5! C
3
opções.
O
queremos
considerar
são
distintos.
2.
46.
multiplicativo:
eleLogo,
mentos
possibilidades
3
)!
Pelo Podemos
4
3.
5
5
9
10!
A
5 10,
5
720
3
10
(10
5, 3
3)!
7!
(5
Logo, Logo,
podem
ser
constituídos
10
grupos
de
3
o
pódio
pode
ser
for mado
com
3
pilotos
de
720ma-
letras
neiras
diferentes.
distintas.
São
2
consoantes
e
3
vogais
e,
portanto,
não
há
grupos 3,
4.
4
6!
2
P
60 6
sem
vogal.
Logo,
47.
1,
2,
3,
Temos
4,
...,
nesse
podem
ser
for mados
60
números
grupo
8
números
ímpares
e
7
números
pares.
5! C
5
5
5
5
56
35
5
1.960
, 3
Portanto,
são
Comentário: ser
escolhidos
1.960
diferentes
grupos
as
possíveis
questão
escolhas.
permite
com
Química.
O
uma
cálculo
atividade
matemático
interdis-
indica
que
números.
as
escolhas
consultar 48.
10
Essa
de
ciplinar 8
2
7!
5
podem
10
3
(5
Logo,
distintos.
5!
5 5,
8! C
inteiros
15
Em
um
baralho
de
52
cartas,
há
13
cartas
de
professor
de
ter nos
são
Química
10,
para
porém
saber
convém
levam
realmente
a
um
novo
quais
produto
das
químico.
10!
13! 5
13 ,
o
dos
espadas.
escolhas
C
possíveis
5
5
286
3
3!
10!
7! 6.
C
5!
5
5
5, 2
(7 Lo
o,
podem
ser
selecionados
286
rupos
de
3
(5
cartas
6 de
espadas.
5
5
35
2
49.
Vamos
de
combinar
combinações
8
bolas
das
3
tomadas
bolas
3
a
3
e
retirar
ver melhas,
o
Podem
número
tomadas
3
a
ser
for mados
350
grupos.
3.
8! 7.
3 !
8 !
C
9!
5
5
9, 7
(8
3 !
(9
5 ! 7 5
5
56
5 ! 2
5
5
2
5
5
A
Logo,
o
número
de
maneiras
diferentes
de
retirar
3
seleção
mo
o
que
não
saiam
somente
o
as
ver me
ser
feita
de
2.016
maneiras.
8!
5, 3
e
pode
bolas,
as,
é
8.
P
5
5
56
8
50.
Para
for mar
os
triângulos,
devemos
escolher
2
pontos
Se
dos
as
bolas
forem
colocadas
em
fila,
há
56
resultados
possíveis. 7
de
dos
uma
7
de
reta
uma
e
1
reta
ponto
e
2
dos
pontos
4
dos
da
4
outra,
da
ou
1
ponto
outra. n!
7 ! C
C 7,
2
1 4,
C
1
C 7,
1
4,
9.
4 !
5
4
C
28
28 n,
n
(
1)
5
56
V
2
(
5
)!
2
2
V n 5
21
4
1
7
6
5
84
1
42
5
n
Logo, Portanto,
podem
ser
for mados
126
triân
n
5
5
V
n
5
ou
na
festa
8
10. 5 2
2 2 . 9 5 7. 4 8 0
ogador
pode
escolher
maneiras.
334
Guia do professor
6
27
(não
convém)
O professor pode ministrar as aulas das seguintes maneiras:
5 3
O
5
amigos.
53, 6
5
n
10
! C
5
8.
ulos. Estavam
17
51.
56
126
números
de
22.957.480
Então:
3
1
3
alter nativa
b
5
∫
3
maneiras
∫
3
maneiras
6
O 11.
tempo
gasto
em
ca
a
sequência
é
1min
30s
5
90s.
Assim,
(60 2
possibilidades:
(2
ou
o
90)
tempo
s
5
possibilidades
3
possibilidades
5.400
s
5
necessário
90
será:
min
4)
alter nativa
4
mínimo
16.
Podemos
b
iluminar
essa
sala
com:
4
4
2
5
P
24
5
2, 3
Logo,
poderemos
for mar
24
números
pares
com
os
alga-
5
2, 3
rismos
1,
2,
3,
4
e
5
sem
repetição.
P
5
4
(P
5
12.
5
(P
). 5
Logo,
2
6
possibilidades
17.
princípio
multiplicativo,
temos:
de
escolhas
modos
para
de
2
6
as
4
homens
mulheres
1,
2,
3,
5,
7
e
excluir
desse
conjunto
os
números
que
algarismos
iguais
e
os
que
têm
todos
os
cada
as
para
com
5
4
4
5
um
3!
2!
que
tenhamos
exatamente
2
a
quantidade
algarismos
iguais.
desses
duplas
os
5
homens
3
8
2!
5
2
60
2
60grupos
mistas
podem
de
ser
2homens
escolhidas
e
2mulhe-
de
2for mas
algarismos
de
60
5
120
números Portanto,
pares
4!
5
distintos,
entre
têm res,
3
mulheres
31.
9. Para
Precisamos
é
, 2
2!
entre
2
sala
disponíveis:
5!
e
essa
5
C
iluminar
possibilidades
e
Pelo
total
de 6
o
as
e
ui
es
odem
ser
selecionadas
de
120ma-
Assim: neiras.
18. tanto,
1
A
quantidade
de
sucos
diferentes
que
a
fábrica
produz
é
número.
dada
por:
2
1
(5
C
)
5,
totalizam:
5
4
5
20
quantidade
de
5
30
2
duplo
Logo,
a
2algarismos
alter nativa
iguais
é
números
dada
por:
pares
36
com
1
exatamente
20
5
simples
açúcar
15
alter nativa
c
19.
a)
P
5
6!
ou
adoçante
a
5
720
6
13.
Para
João
e
Maria
ocuparem
duas
poltronas
dessa
fila 1
sem
que
haja
um
corredor
entre
eles,
devemos
5
1
5!
possível
bilidades
720
números,
e
120
iniciam
com
o
1.
(P
b)
2
120
for mar
algarismo
5
ter: É
P
A
quantidade
garismos
1,
de
2,
3
números
ou
4
é
4
que
começam
5
P
com
os
al-
5
lidades
(P
512.346
é
o
primeiro
que
inicia
com
o
algarismo
5,
3
a
bilidades
sua
A
).
(P
posição
é
quantidade
481
de
números
que
iniciam
com
o
algaris-
2
mo 1 Logo,
eles
podem
ocupar
duas
poltronas
dessa
fila,
é
1
haja
um
corredor
entre
eles,
de
10
feccionar
2a2,
é
1
P
5
modos.
a
posição241
e
o
número
que
ocupa
a
posição242
d
é
14.
5
pa alter nativa
5
sem
algarismo2 que
P
as
n
o
número
embalagens,
produz
30
de
se
embalagens
cores
a
de
papéis
combinação
diferentes,
para
de
n
significa
con
20.
cores,
que:
312.465.
Temos
de
quantas
per mutar
senhas
os
são
algarismos
menores
que
1,
a
3,
de
5,
7
e
9
e
número
contar
75.913.
30
A n,
2
1,
3
ou
5
n! 5
30 3
n
3 n
P
)!
(n
1)
5
4!
5
3
24
5
72
30
2
n
n
n
5
6
Logo,
O
30
ou
n
n
5
número
5
5
0
25
(não
1
convém)
6.
ou
7
de
cores
diferentes
é
Descartando
as
ordens
simétricas,
temos:
1
3!
5
ou
2
o A
3
P
terceiro
6
5
é
1
12
ou
3:
A
7
5
1
ou
3
P
2
P 5
5!
120
2
2
5 2
c
2
15.
6. 2
alter nativa
3:
P
60 2!
5
8
5
Guia do professor
335
Assim,
é
a
dada
quantidade
de
números
menores
que
75.913
Assim,
junto
por:
do 72
1
12
1
4
5
a
quantidade
4
letras
alfabeto
com
de
maneiras
escolhidas
2
das
de
entre
letras
a,
b
se
as
e
c
10
é:
for mar
um
primeiras
3
21
5
con-
letras
63
88
Portanto,
a
de
ordem
de
chamada
do
candidato
de
número
para
cada
um
desses
conjuntos
de
4
letras,
teremos
P 4
.913
é
89. anagramas.
Logo:
P
63
5
4!
63
5
1.512
4
alter nativa
e Portanto,
podemos
alter nativa 21.
n n)!
(log
5
24
V
(log
n n)!
3
5
4!
for mar
1.512
anagramas.
d
V
3
4
V log
n
5
4
n
5
3
n
5
81
3
Logo,
S
5
{81}.
Comentário
1.
necessidade
prévia
de
revisar
o
A
conceito.
3
4
5
Logo,
22.
C
120 10,
presidente
v vice-presidente
1
12
existem
há
15.840
maneiras
de
ir
da
cidade
A
até
a
cidade
supervis v ores
rn
Logo,
12
.840
3
maneiras
de
compor
uma
iv
comissão.
2.
2
23.
7
56
5
2
Portanto nados
horários
fixos
(13
h
e
17
h),
o
aposentado
r ealizar
a
atividade
das
13
h
(levar
o
neto
que
não
escola)
escola).
antes
da
Assim,
atividade
das
considerando
a
17
h
(pegar
r ealização
o
da
neto
13
h,
temos
o
seguinte
esquema
para
a
56
números
algarismos
naturais
de
4algaris-
repetidos.
b
na
atividade 3.
das
têm
para
alter nativa a
9
deve
mos sempr e
existem
or dem
6!
5
6
5!
das alter nativa
d
atividades:
4.
5
P
4!
5
24
4
13
h ∫ 4
3
2
24
Logo,
maneiras
são
possíveis
alter nativa
não
pode
ser
a
atividade
das
17
3
3
2
18
não
8 !
2, 3
P
1
5
5
pode
ser
a
13
atividade
das
17
h
3 !
2
12
Uma
reta
passará
será
h
17
por
2
pontos
desses
15.
O
número
de
2
h ∫
6
maneiras alter nativa
2
c
1
5!
7.
5
C 5,
10
2
2! 18
12
6
5
aposentado
3!
60
Logo, pode
realizar
as
atividades
em
há
10
diferente
de
alter nativa
60
possibilidades
de
escolha
da
dupla.
ordem
alter nativa
b
maneiras.
b 8.
situações
C 15,
13
receberá
2trabalhos
2trabalhos.
dados
a
Podemos
uma
mesma
escolher
empresa
o
C
quais
a
ordem
não
é
importante.
conjunto
de
nas
alter nativa las
maneiras
retas
o
d
2
6.
3
3. 360
2
h ∫
3
5
8
alter nativa
24.
prova.
maneiras
2 !
Logo,
nessa
h ∫
24
classificações
d
h
5.
1
24
1
c
de
modos 4,2
2 trabalhos
restantes
podem
ser
distribuídos
q
para
3empresas
de
P
modos.
ç
as
Assim:
3
ria
aliada
ao
uso
de
tecnologia.
Os
QR
Codes
estão
presentes
4 ! C
P
5
36 2 !
em
pr opagandas,
os
trabalhos
podem
ser
distribuídos
de
quantidade
de
maneiras
de
se
escolher
2 letras
entre
Code
e
c
é
dada
por:
C
nos
a
poderão
5
5
surgir
importância
qualquer
3 ! b
entr e
alguns
dados
difer entes
sobr e
o
c
QR
a,
games,
conteúdos.
decifrado,
A
sites
distintas.
alter nativa
25.
de
36ma
neiras
codificações
2 !
outr os Portanto,
em
de
fontes
confiáveis
na
pesquisa
sobr e
tema.
3
3, 2
2 !
Para
tras
escolher,
para
entre
for mar
o
as
7
1!
letras
anagrama,
restantes,
temos:
as
outras
2
le-
o
a
C
Code,
ampliação
uso
7 !
QR
do
21 7, 2
2 !
336
5 !
2
Guia do professor
das
celular
inter essante.
para
que
os
alunos
combinações
como
possam
realizadas.
dispositivo
compr eender
Além
decodificador
é
disso,
o
bastante
ISBN
9
978-85-16-10505-1
7 8 8 5 1 6
1 0 5 0 5 1
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