Yapi_statigi 1 & 2

SAKARYA ÜNİVERSİTESİ MF İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

Department of Civil Engineering

İNM 214

Yapı mühendisliğinin amacı Yapı Tasarım Süreci Yapı statiğinde yapılan kabuller – varsayımlar Süperpozisyon kuralı Yapı statiğinde yapılan idealleştirmeler Düğüm noktaları/ Mesnetler

YAPI STATİĞİ I

Y.DOÇ.DR. MUSTAFA KUTANİS [email protected] Sakarya Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü Yapı Anabilim Dalı

07.02.2013

DR.MUSTAFA KUTANİS

07.02.2013

GENEL BİLGİLER (1/3)

SLIDE 1

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 2

07.02.2013

07.02.2013

Yapı mühendisliğinin amacı

MÜHENDİSSİZ BİR DÜNYA DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 3

Yapı tarihi insanlık tarihi kadar eskidir. İnsanoğlunun ilk yapıyı oluşturduğundan bu yana, temel amaç güvenlik olmuştur. Eski çağlarda yapı mekaniği bilinmediğinden tasarımda en önemli rolü, yapımcının deneyimi ve mühendislik önsezisi oynamıştır. İlerleyen zaman içinde, özellikle 19. yüzyılda endüstri devrimi ile yapılması gereken yapı sayısı hızla artmıştır. Bu durumda tüm bu yapıların ustalar tarafından gerçekleştirilmesi olanaksız duruma gelmiştir. Bu nedenle, sorumluluğun daha az yetenekli, ancak bu konuda eğitim görmüş kişilere verilmesi kaçınılmaz olmuştur. Mühendis olarak adlandırılan bu meslek sınıfının ortaya çıkması, yapı güvenliğinin belirli kurallara bağlanmasını gerektirmiş ve bunun doğal sonucu olarak yönetmelik ve standartlar oluşmaya başlamıştır (Ersoy ve Özcebe, 2001). DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 4

Yapı mühendisliğinin amacı (...devam)

Yapı mühendisliğinin gayesi: Yapıları belirli bir emniyet ve yeter rijitlik altında ekonomik ve amacına en uygun şekilde boyutlandırmaktır (Çakıroğlu ve Çetmeli, 1990). Yapı, etkiyen olası en elverişsiz yük veya yük grupları için (işletme yükleri), mutlaka insan hayatını tehlikeye düşürmeyecek kadar emniyetli olmalıdır. Yapı işlevsel olmalı, yüklerden dolayı meydana gelebilecek aşırı yerdeğiştirmeler sınırlandırılmalıdır. Yapı mühendisi, emniyetli sınırlar içinde kalarak en ekonomik yapı projesini ortaya çıkarmalıdır

Yapı statiğinin amacı, İşletme yükleri altında yapıda oluşan bütün iç (kesit tesirleri- moment, kesme kuvveti, Normal kuvvet, burulma momenti) ve dış kuvvetlerin (mesnet tepkileri) büyüklüklerini belirlemektir. Bir yapı tasarımında, yapı statiği analizi en önemli adımlardan biridir. Sisteme etkiyen yükler ve kesit boyutları belli olduktan sonra bu aşamada, yüklerin oluşturduğu kesit zorlamaları (kesit tesirleri ve mesnet tepkileri) hesaplanır.

“engineering ... is the art of doing well with one dollar which any bungler can do with two after a fashion” - A. M. Wellington (1887) DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

07.02.2013

07.02.2013

Yapı mühendisliğinin amacı (...devam)

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 5

Yapı mühendisliğinin amacı (...devam)

SLIDE 6

Yapı mühendisliğinin amacı (...devam)

07.02.2013

07.02.2013

“Yapı” lar yükleri güvenli bir şekilde aktaran sistemlerdir. Örneğin İnsan iskeleti, İnsan vücudunun şeklini korur. Organları bir arada tutar Kaslardan aktarılan yükü zemine iletir.

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 7

Birbirine Mafsallarla (!) Bağlı 206 Parçalı Bir Yapı: İskelet Bir yetişkinin vücudunda 206 kemik var. İnsan vücudunun ağırlığının yaklaşık yüzde 20'sini kemikler oluşturur. Kendi ağırlığının 5 misli bedeni taşır, ayakta tutar, hareket ettirir. Kemiklerin en önemli özelliği ise insana çok çeşitli şekillerde hareket imkanı sağlayabilmeleridir. Bu özellik, uzun yıllardır türlü makine ve robotlar üzerinde uygulanmaya çalışılmış, ancak son derece kısıtlı sonuçlara ulaşılmıştır. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 8

07.02.2013

07.02.2013

Kemiklerdeki kafes yapının sağlamlığı mühendisler için de esin kaynağı olmuştur. Kemiğin yapısına benzeyecek şekilde geliştirilen inşaat teknikleri sayesinde çok daha dayanıklı ve ucuz yapılar inşa edilmiştir.

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 9

yapı tasarımı

tasarım süreci Mimari Fonksiyonel Tasarım

İyi bir yapı mühendisliği tasarımı

İşlevsel (İhtiyaca cevap verme) Emniyetli (Yapı ekonomik ömrü süresince karşılaşacağı

Yapısal Sistem

her türlü yükü emniyetle aktarabilmeli (Şartnameler, Yönetmelikler -Codes, Regulations)

Ekonomik (Min malzeme ve işçilik maliyeti; Min Estetik: ? 07.02.2013

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 11

r: resist, dayanım, sunulan

d: design, tasarım, gereken, yük

Detaylandırma Evet

Müh. varlık nedeni

Emniyetten ASLA taviz vermeden

Final Proje

Ön Tasarım

Bakım

07.02.2013

ve onarım maliyeti)

SLIDE 10

Modelleme

Kesit Revizyonu

Çözümleme

Eleman Kesit tasarımı

Hayır

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

r>d

SLIDE 12

Güvenlik

GÜVENLİK

Dış etkilerden (yüklerden) dolayı yapıda oluşan zorlanmalar, yapının taşıyabileceği (karşı koyabileceği) sınır değerlerden belirli bir güvenlik katsayısı kadar küçük olmalıdır. Emniyet Katsayısı

Fi

→

Güvenlik Gerilmesi

Malzemenin sınır değeri 07.02.2013

Zorlanmalar (Gerilmeler) İç kuvvetler

07.02.2013

Yapıya etkiyen yükler (İşletme Yükleri)

Hammurabi Kanunu M.Ö. 2200 Eğer yapımcı binayı gereği gibi sağlam yapmamış ve bina çökmüşse, yapımcı mal sahibinin kaybını ödeyecek. Eğer mal sahibi çöken binanın enkazı altında kalıp ölürse, yapımcı derhal idam edilecektir.

V ≤ Vem = Vs /GS

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 13

Taşıma Gücü esasına göre tasarım

Yapıda bulunması gerekenler

Fi ·e1≤Ru/e2 Fi : Yapıya etkiyen yükler Ru : Yapının taşıma gücü e1 : yük güvenlik katsayısı e2 : malzeme güvenlik katsayısı

07.02.2013

: Fd=1.4Q+1.6Q : fcd=fck/J

07.02.2013

Yük etkisi arttırılır Malzeme dayanımı azaltılır

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 14

SLIDE 15

1. Dayanım, Mukavemet, Strength 2. Stiffness, Direngenlik, Rijitlik 3. Stabilite, Kararlılık 4. Düktilite, Süneklik Malzeme, Yapı Elemanı ve Yapı Sistemi Rijitlik – Stiffness-Direngenlik: Dış yüklerden dolayı yapıda meydana gelen yerdeğiştirmeler sınırlı olmalıdır. Duvar, döşeme kaplaması, fayans vb... gevrek ikincil yapı elemanlarının hasar görmesinin önlenmesi ikinci mertebe etkilerinin sınıflandırılması Titreşimlerin azaltılması göz güvenliğinin ve estetiğinin sağlanması

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 16

ÖRNEK PROJE

PROJE MÜHENDİSİ ne tür bilgiler verilmeli !

07.02.2013

07.02.2013

Geoteknik Müh: arazinin zemin durumunu (zemin etüdü) Topoğrafya Müh: yapılacak yapının boyutlarının bilinmesi (açıklık-yükseklik)

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

PM yapının tipini düşünmeye başlar.... Önce malzemeye karar verir: Çelik? Betonarme? (yerinde döküm- cast-in-place) Öngerilmeli beton? veya Kompozit malzeme!... Hangi malzemeyi seçeceğine hava şartları, maliyet, yapının konumu (kırsal-şehir) gibi f. e. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 17

SLIDE 18

TAŞIYICI SİSTEM SEÇİMİ – YAPI FORMU

07.02.2013

07.02.2013

PROJENİN ÖN TASARIMI BİTTİ.... ARTIK MUKAVEMET VE KULLANILABİLİRLİK HESAPLARINA GEÇEBİLİRİZ.. Yapının formu, mesnetleri, birleşim noktaları, vs... idealleştirilerek hesap modeli kurulur.

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 19

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 20

YAPIYI MATEMATİK MODELE İNDİRGEMEK KOLAY BİR İŞ DEĞİLDİR. KABUL EDİLEN MATEMATİK MODELİN, YAPIYI ZORLAYACAK YÜK ETKİLERİNİ EN İY BİR ŞEKİLDE YANSITMASI GEREKİR. SONRAKİ AŞAMA, YAPININ ÖMRÜ BOYUNCA YAPIYA GELECEK YÜKLERİN BELİRLENMESİ... İşletme Yükleri. (Yapının kendi ağırlığı, üzerinden geçecek insanlar, kar, rüzgar, deprem, ısı farklılıkları vs...)

MATEMATİK MODEL (Yapıyı çizgi elemanları ile kağıt üstünde göstermek) yapı sistemi → idealleştirilmiş sistem → hesap modeli Statik çözümlemesi yapılan yapı değildir!.. Onun matematik modelidir.

07.02.2013

07.02.2013

TDY 2006 TS 498- Kasım 1997 TS 9194- Kasım 1997

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 21

SLIDE 22

Yapı statiğinde yapılan kabuller -1

VE ANALİZ.... Yapının kesit(geometrik) boyutları tecrübeye dayalı olarak belirlenir. Hesaplanan yük durumları için statik ve betonarme analiz yapılır. yerdeğiştirmeler sınırlandırılır. Donatılar (demir) belirlenir. Detay proje Hazırlanır.

DOĞRUSAL ELASTİK DAVRANIŞ Yapıların lineer elastik davranışı, malzeme özelliklerine ve uygulanan deformasyonun büyüklüğüne bağlıdır. Eğer malzeme lineer elastik ve deformasyonlar yeterince küçükse, yapı lineer davranış gösterecektir.

07.02.2013

07.02.2013

Yani, yapının geometrisinde ve boyutlarında meydana gelecek deformasyonlar, ilk haline göre oldukça küçüktür.

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 23

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 24

Yapı statiğinde yapılan kabuller-2

Yapı statiğinde yapılan kabuller -3

2-Yapı statiğinde incelenecek sistemler yüklerin şekline ve şiddetine bağlı değildir. c

a

d

b

07.02.2013

07.02.2013

P

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 25

Yapı statiğinde yapılan kabuller -4

SLIDE 26

Yapı statiğinde yapılan kabuller

07.02.2013

07.02.2013

Bunun sonucu olarak kuvvet-yerdeğiştirme ilişkileri lineer olacak ve SÜPERPOZİSYON kuralı geçerli olacaktır.

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 27

Superpozisyon kuralı: Yapının geometrisi yükleme sırasında değişirse Yapının kuvvet-yerdeğiştirme ilişkisi lineer davranış göstermezse (non-lineer) durumlarında uygulanamaz. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 28

Kafeslerde omafsallı birleşim

Yapı statiğinde yapılan idealleştirmeler Eleman birleşim noktaları rijittir.

07.02.2013

07.02.2013

Anlamı ? Yerdeğiştirmeden önce ve yerdeğiştirmeden sonra …..

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 29

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 30

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 32

Düğüm noktaları/ Mesnetler /Mafsallar Elemanların birbiri ile birleştikleri noktalara “düğüm noktası” (nod) denir. Doğal dn Elemanların birleşim noktaları Mesnetler Serbest üçlar (?) Mafsallar Eleman kesitinin değiştiği noktalar (?)

07.02.2013

07.02.2013

Yapay dn

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 31

Düğüm noktaları/ Mesnetler /Mafsallar

Mesnetler Bir taşıyıcı sistemdeki tepkileri başka bir taşıyıcı sisteme veya ortama ileten yapı elemanlarına mesnet denir. Ankastre Mesnet (Fixed) Sabit Mesnet (Hinge support)

07.02.2013

07.02.2013

Hareketli Mesnetler (Roller) Elastik Mesnetler

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 33

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 34

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 36

07.02.2013

07.02.2013

Ankastre (Fixed) Mesnet

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 35

07.02.2013

07.02.2013

Sabit (Pinned-Mafsallı) Mesnet

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 37

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 38

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 40

07.02.2013

07.02.2013

Hareketli (Kayıcı-Roller) Mesnet

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 39

07.02.2013

07.02.2013

Mesnetler -2

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 41

SLIDE 42

Mesnetler -3 M V

P

07.02.2013

07.02.2013

M

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 43

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 44

SAKARYA ÜNİVERSİTESİ

GENEL BİLGİLER

MF İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

Department of Civil Engineering

İNM 214

YAPI STATİĞİ I

GENEL BİLGİLER (2/3)

07.02.2013

YAPI MÜHENDİSLİĞİ “STRUCTURAL ENGINEERING”

07.02.2013

DR.MUSTAFA KUTANİS

SLIDE 1

Yapı sistemlerinin sınıflandırılması Eleman Türlerine İlettikleri yüklere bağlı olarak Yapısal formlar Yüklerin sınıflandırılması Yönetmelikler Yük kombinasyonları DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 2

Eleman türlerine bağlı olarak

Yapı sistemlerinin sınıflandırılması

L

07.02.2013

07.02.2013

Yapı Elemanları : Yapıyı oluşturan elemanlardır.

b

h

1- boyutlu elemanlar: 2 boyutu uzunluğunun, üçüncü boyutunun yanında çok küçük olan elemanlardır. KAFES KABLO KİRİŞ, KOLON sabit enkesitli, değişken enkesitli doğru eksenli, eğri eksenli

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 3

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 4

Eleman türlerine bağlı olarak (....devam)

Eleman türlerine bağlı olarak (....devam): Plak

07.02.2013

07.02.2013

2-boyutlu (yüzeysel elemanlar). Kalınlığı diğer iki boyutunun yanında küçük olan elemanlar. Plak: Düzlemine dik yükler etkisindeki; Levha: Düzlemi içindeki yükler etkisinde olan; Perde: Düzlemi içinde ve düzlemine dik yükler etkisindeki; Kabuk: Eğri yüzeyli elemanlardır

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 5

SLIDE 6

Eleman türlerine bağlı olarak (....devam): Levha ve Kabuk

07.02.2013

07.02.2013

Eleman türlerine bağlı olarak (....devam): Perde

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 7

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 8

Eleman türlerine bağlı olarak (....devam)

Eleman Boyutları

3-boyutlu elemanlar: Her 3 boyutu da aynı önemde olan elemanlar: Kalın, plak, kalın kabuk, temel blokları, baraj gövdesi

1 B Elemanlar (Kiriş tip) 1B 2B, 3B Model 2-3 nodlu (düğüm noktalı) A, I

Truss and Beam Elements (1D,2D,3D)

2 B Elemanlar (Levha tip) 2B ve 3B Model 3-9 nodlu. Kalınlık

Plane Stress, Plane Strain, Axisymmetric, Plate and Shell Elements (2D,3D)

07.02.2013

07.02.2013

3 B Elemanlar (Brik tip)

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

3B Model 6-20 Nodlu. Brick Elements

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 9

Yapı sistemlerinin sınıflandırılması: İlettikleri yüklere bağlı olarak

SLIDE 10

KABLO-ZİNCİR Sadece çekme kuvveti alır

07.02.2013

07.02.2013

Kablolu sistemler Kemer Çubuk Kiriş Kolon Kabuk, Plak

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 11

DR. MUSTAFA KUTANİS İ SAÜ İ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 12

KEMERLER - Arc

Çubuklar

Sadece basınç kuvveti alır

07.02.2013

07.02.2013

Sadece eksenel çekme veya basınç kuvvetlerini taşır

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 13

SLIDE 14

Kiriş - Beam Kirişler-Eğilmeye Çalışan Elemanlar Basınç

07.02.2013

07.02.2013

Çekme

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 15

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 16

Kolon - Column

Plak- Kabuk (Plate-Shell)

07.02.2013

07.02.2013

Kolonlar- Eğilmeye ve basınca çalışan

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 17

Yapısal formlar- yapı sistemleri: Çerçeve

SLIDE 18

Kemer; 3B Katı Model

(a) Real Structure

(b) Solid Model

(c) 3D Plate-Frame

(d) 3D Frame

Fig. 1 Various Ways to Model a Real Struture

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

07.02.2013

07.02.2013

(e) 2D Frame

SLIDE 19

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 20

07.02.2013

07.02.2013

Yapısal formlar- yapı sistemleri: Kafes düzlem veya kafes

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 21

Yüklerin sınıflandırılması

DIŞ YÜKLER Zati yükler (yapının kendi ağırlığı) → DÜŞEY Hareketli yükler (insan, eşya, kar, vs...) → DÜŞEY Rüzgar Yükü → YANAL Deprem yükü → YANAL Çarpma Yükleri ISI FARKLILIKLARI RÖTRE MESNET HAREKETLERİ ELEMAN KUSURLARI (özellikle kafes. uzun, kısa eleman) ÖNGERME (PRE-STRESS) ARDGERME (POST-TENSION) DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

07.02.2013

07.02.2013

Yüklerin sınıflandırılması

SLIDE 22

SLIDE 23

Tekil (Point load) yük Yayılı (distribüted) yükler Trafik yükü (katar yükü)

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 24

yükler sınıflama

Yüklerin etkimesi

YÜKLER

STATİK

HAREKETLİ YÜKLER

07.02.2013

ZATİ AĞIRLIK

SABİTLENMİŞ

EŞYALAR

HİDROSTATİK

OTURMA TERMAL

SÜREKLİ

ŞOK

İKAMET

DEPREM

ÇEVRESEL (KAR)

RÜZGAR

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

07.02.2013

ÖLÜ YÜKLER

DİNAMİK

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ LÜMÜ

SLIDE 25

Yük aktarma sistemi

SLIDE 26

Yönetmelikler Türk Deprem Yönetmeliği (TDY) 2007 (Deprem

Kar, Yağmur, Rüzgar Çatı + Zati yük

Bölgelerinde Yapılacak Binalar Hakkında Yönetmelik-Turkish Earthquake Codes)

Döşeme Yükleri

Döşeme + Zati yük

Duvar yükü

Rüzgar ve Deprem Yükü

Kolon + Zati Yük 07.02.2013

07.02.2013

Kiriş + Zati Yük

Temeller DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 27

TS 498- Kasım 1997 (YAPI ELEMANLARININ BOYUTLANDIRILMASINDA ALINACAK YÜKLERİN HESAP DEĞERLERİ- Design loads for buildings) TS 9194- Kasım 1997 (YAPILARIN PROJELENDİRİLME ESASLARI - TAŞIYICI OLAN VE OLMAYAN ELEMANLAR - DEPOLANMIŞ MALZEMELER – YOĞUNLUK) Karayolları Teknik Şartnamesi [EUROCODE 1 ve EUROCODE 8]

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 28

TS 500 -ŞUBAT 2000 (BETONARME YAPILARIN TASARIM VE YAPIM KURALLARI- Requirement for design and construction of reinforced concrete structures) TS 648 -Aralık 1980 (ÇELİK YAPILARIN HESAP VE YAPIM KURALLARI- Building Code for Steel Structures) TS 4561 –Ekim 1985 (ÇELİK YAPILARIN PLASTİK TEORİYE GÖRE GÖRE HESAP KURALLARI- Rules for plastic design of Steel Strucrures) TS 3357 -Nisan 1979 (ÇELİK YAPILARDA KAYNAKLI BİRLEŞİMLERİN HESAP VE YAPIM KURALLARI Building Code for the Design and execution of Welded Connections ın Steel Structures ) DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

07.02.2013

TS500 6.2.2. Yük Katsayıları ve Yük Birleşimleri Yalnız düşey yükler için, Fd = 1,4G + 1,6Q Fd = 1,0G + 1,2Q + 1,2T

T, sıcaklık değişimi, büzülme, farklı oturma vb şekil değiştirmeler ve yer değiştirmeler nedeniyle oluşan yük etkisidir. Bu yük birleşimi, bu tür etkilerin ihmal edilemeyeceği durumlar da gözönüne alınmalıdır. Rüzgar yükünün sözkonusu olduğu durumlarda, Fd = 1,4G + 1,6Q Fd = 1,0G + 1,2Q + 1,2T Fd = 1,0G + 1,3Q + 1,3W Fd = 0,9G + 1,3W

Depremin sözkonusu olduğu durumlarda, 07.02.2013

07.02.2013

YÖNETMELİKLER

Fd = 1,4G + 1,6Q Fd = 1,0G + 1,2Q + 1,2T Fd = 1,0G + 1,0Q + 1,0E Fd = 0,9G + 1,0E

.... DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 29

TS 468 2.3 - YÜK KABULLERİ VE YÜKLEME HALLERİ

SAKARYA ÜNİVERSİTESİ

2.3.3 - Yüklerin Ayrılması : Bir yapıyı etkileyen yükler, esas yükler ve tali yükler olarak ikiye ayrılır. Esas yükler : Öz yükleri, munzam ve hareketli yükleri, kar (rüzgarsız olarak, makinelerin kitle kuvvetlerini kapsar. İlave yükler : Rüzgar etkisini, deprem etkisi fren kuvvetlerini, yatay yanal kuvvetleri (kreynlerde-Bu çeşit kreynlerin öz yükleri ve sık sık işler halde ise hareketli yükleri esas yüklerden sayılır) seyrek olarak montaj ve tamir işlerinde kullanılan işler haldeki (kreynlerde) ısı etkilerini (işletmeye bağlı ve atmosferik) kapsar. 2.3.3 - Yükleme Durumları Hesaplar ve dayanım tahkikleri için aşağıdaki yükleme durumları hesaba katılır : EY Yüklemesi : Esas yüklerin toplamı, EIY Yüklemesi : Esas ve ilave yüklerin toplamı. Eğer bir yapıya öz yükünden başka yalnız tali yükler tesir ediyorsa tâli yüklerden en büyüğü esas yük yerine geçer.

MF İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 31

SLIDE 30

Department of Civil Engineering

İNM 214

YAPI STATİĞİ I

GENEL BİLGİLER (3/3) Hesap yöntemleri Y.DOÇ.DR. MUSTAFA KUTANİS [email protected] Sakarya Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü Yapı Anabilim Dalı

07.02.2013

DR.MUSTAFA KUTANİS

SLIDE 1

Hesap yöntemleri (Newton)

Serbest Cisim Diyagramı

07.02.2013

07.02.2013

Newton 1. kanunu Eylemsizlik Prensibi 6F = 0 Newton 2. kanunu Dinamiğin Temel Prensibi 6F = ma Newton 3. kanunu Etki-Tepki Prensibi

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 2

Hesap yöntemleri

İZOSTATİK YAPI SİSTEMLERİ

Denge denklemleri

Yapı analizinin amacı, dış etkilerden meydana gelen kesit tesirlerini, şekil değiştirmelerini ve yer değiştirmelerini tayin etmektir. İzostatik sistemlerde, yalnız denge denklemleriyle kesit tesirleri ve bunlara bağlı olarak şekil değiştirmeler ve yer değiştirmeler bulunabilir. Yapı Analizi (statik çözümleme) Gerilmeler, Stress (iç kuvvetler, Moment, Kesme kuvveti Normal Kuvvet) Şekildeğiştirmeler, strains (yerdeğiştirmeler)

Geometrik Uygunluk denklemleri

Malzeme Kanunları

07.02.2013

07.02.2013

∆Ay=0; ∆Ax=0; TA=0

V=H∙E DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 3

SLIDE 4

“Denge denklemleri” DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 5

HİPERSTATİK YAPI SİSTEMLERİ

HİPERSTATİK YAPI SİSTEMLERİ-2

07.02.2013

07.02.2013

STATİKÇE BELİRSİZLİK= HİPERSTATİKLİK Hiperstatik sistemlerde ise, kesit tesirlerini ve şekil değiştirmeleri tayin etmek için yalnız denge denklemleri yetmez. Bunlara süreklilik şartlan denilen Geometrik uygunluk şartları ile Gerilme- şekildeğiştirme (malzeme kanunu) bağıntılarının da eklenmesi gerekir.

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

Yapı Analizi (statik çözümleme) Gerilmeler, Stress (iç kuvvetler, Moment, Kesme kuvveti Normal Kuvvet) Şekildeğiştirmeler, strains (yerdeğiştirmeler) Çözümlemede bilinmeyen olarak: İç kuvvet veya mesnet kuvvetleri Ÿ [KUVVET] Yerdeğiştirmeler Ÿ [DEPLASMAN] Her iki yaklaşımda da Denge denklemleri Uygunluk denklemleri ve Malzeme davranışı ile ilgili kanunlar

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 6

HİPERSTATİK YAPI SİSTEMLERİ-3

SLIDE 7

Hiperstatik – izostatik karşılaştırma

Çözüm yolları ve formülasyon ile ilgili diğer bir sınıflama: Klasik Yöntemler (Enerji –kuvvet-uygunluk yöntemleri; Açı yöntemi; Moment dağıtma-Kros) Matris Yöntemleri (Bilgisayar programcılığı için geliştirilen yöntemler-Matris Deplasman-Sonlu elemanlar...)

Yükler (Dış Etkiler)

İZOSTATİK

HİPERSTATİK

KZ

KZ

ŞD

YD

ŞD

YD

Dış yükler Isı, rötre

Mesnet çökmesi İmalat kusuru Ön-ard germe

07.02.2013

07.02.2013

KZ: Kesit zoru- iç kuvvetler (internal forces)

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 8

ŞD: Şekildeğiştirme (deformation) YD: Yerdeğiştirme (displacement) DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 9

İzostatik

İzostatik Yapılar

Hiperstatik Oturmalar

07.02.2013

07.02.2013

Hiperstatik Yapılar

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

İzostatik

Etki yok

Ciddi etki

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 10

Hiperstatik

İzostatik

SLIDE 11

Hiperstatik lŠ–•–”iG

Isı artışı

PL / 8

PL / 8

PL / 8

Etki yok

Ciddi Etki

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

07.02.2013

07.02.2013

PL / 4

SLIDE 12

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 13

kŒ›Œ™”•ˆ›ŒG

izostatik

Hiperstatik

z›ˆ‰“›eG

Sehim

P L3 1 9 2E I

G[

07.02.2013

07.02.2013

P L3 4 8 EI

Hiperstatik

GX

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 14

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 15

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 2

SAKARYA ÜNİVERSİTESİ MF İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

Department of Civil Engineering

İNM 212

YAPI STATİĞİ I

Y.DOÇ.DR. MUSTAFA KUTANİS [email protected] Sakarya Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü Yapı Anabilim Dalı

07.02.2013

DR.MUSTAFA KUTANİS

SLIDE 1

07.02.2013

STABİLİTE STATİKÇE BELİRSİZLİK KİNEMATİK BELİRSİZLİK

2B DENGE DENKLEMLERİ (Özet)

İç kuvvetler (Kesit Tesirleri)

Bir yapıya uygulanan kuvvetlerin bileşkesi ve herhangi bir noktaya göre alınan momentlerin bileşkesi sıfıra eşitse, yapı dengede demektir. Py P

¦F ¦F ¦M

y O

0

Bx Px

0 0

By

Ay

3 denklem + sınır şartlarından (mafsallar vs…) doğan ilave denklemler...

07.02.2013

07.02.2013

x

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 3

Mekanizma-İzostatik -Hiperstatik

SLIDE 4

İnşaat Mühendisliği Yapılarında Stabilite Bazı durumlarda yapı İZOSTATİK veya HİPERSTATİK gibi gözükse de yapıda “GEOMETRİK KARARSIZ” lık (geometrically unstable) (?) veya kısmen kararsızlık durumunda bulunabilir.

Makine Mühendisliğinde yapılar: Mekanizma (hareketli) (Statically unstable – Statikçe karasız) sistem statik değil

İnşaat Mühendisliği yapıları: İzostatik (Statically determinate – statikçe belirli)

2B uzayda (x, y) Nx, Ty, Mz 2B uzayda (x, y) Nx, Ty, Tz, Mx -torsiyon, My, Mz

Bu durumdaki yapıları, yapı mekaniği temel prensiplerini gözönünde bulundurarak belirleyebiliriz.

ΣFx=0 ΣFy=0 ΣM=0

07.02.2013

07.02.2013

Hiperstatik (Statically indeterminate /redundant– statikçe belirsiz)

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 5

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 6

MESNET VE MAFSAL TÜRLERİ

GEOMETRİK KARARSIZ (???)

N

V

M

0 0 0

0 0

0

Mafsal:

Bilinmeyen iç kuvvet (Kesit zoru) sayısını azaltır

0 0

07.02.2013

07.02.2013

0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

0

0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 7

Kararlılık - Stabilite

SLIDE 8

STATİKÇE KARARSIZLIK Mesnet tepkisi sayısı denge denklemi sayısından az ise, yapı sistemi hareketli (mekanizma) bir sistemdir. Dengede değildir. Newton 2. kanunu “Dinamiğin Temel Prensibi” geçerlidir (F=m·a).

07.02.2013

07.02.2013

KARARSIZLIK Statikçe kararsızlık (bilinmeyen kuvvet sayısı denklem sayısından az ise) Geometrik olarak kararsız (bilinmeyen kuvvet sayısı denklem sayısına eşit veya fazla fakat yapı sistemi kararlı kalabilmek için uygun değil)

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 9

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 10

KARARSIZLIK NEDENLERİ – 1/3

07.02.2013

07.02.2013

Mesnet tepkilerinin hepsinin bir noktada kesişmesi durumu (concurrency)

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 11

KARARSIZLIK NEDENLERİ – 2/3

SLIDE 12

KARARSIZLIK NEDENLERİ – 3/3 Bir açıklıkta, bir duğrultuda ard arda 3 mafsal bulunuyorsa

07.02.2013

07.02.2013

Mesnet tepkilerinin hepsinin birbirine paralel olması durumu

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 13

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 14

GEREKLİ HESAPLAR -1

İçten – Dıştan hiperstatik Hiperstatik (K ! 0 Statikçe belirsiz, hiperstatik) sistemler içten veya dıştan veya hem içten hem dıştan hiperstatik olabilir.

Aşağıda ş ğ verilen formüller gerekli; fakat çoğunlukla yetersizdir.

K= r–3∙n K 0 K =0 K !0

olmak üzere Statikçe kararsız Statikçe belirli, izostatik Statikçe belirsiz, hiperstatik

r: Mesnet tepkileri + İç kuvvetlerin toplamı n: Toplam parça sayısı: 1. Yapı sistemi mafsallardan ayrılmalı. 2. Kapalı sistemler kesilerek ayrılmalıdır DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

07.02.2013

07.02.2013

Geometrik olarak kararsızlık kontrol edilecek

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 15

Gerekli ama yetersiz hesaplar

SLIDE 16

Yapı sistemi mafsallardan ayrılmalı

Sistem mafsallardan ayrılmalı

riç kuvvet=2 n=3

riç kuvvet=4 Kapalı sistem ayrılmalı

riç kuvvet=2 07.02.2013

07.02.2013

n=2

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 17

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 18

GEREKLİ HESAPLAR -2 Kafes Sistemler

:

Kiriş ve Çerçeveler

:

K = m+r-2j K = (3m+r)-(3j+s)

K= m+r-2j 0 K= m+r-2j=0 K= m+r-2j !0

Statikçe kararsız Statikçe belirli, izostatik Statikçe belirsiz, hiperstatik Geometrik olarak kararsızlık kontrol edilecek

riç kuvvet= 12

07.02.2013

07.02.2013

s=1

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

s=1

s=1

s=2 s=1

s=3

s=2

s=1

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 19

KİRİŞ SİSTEMLERİ

SLIDE 20

Sürekli Kiriş (Hiperstatik)

Basit kiriş

K=n-1=3-1=2q

Sürekli kiriş

K= (3m+r)-(3j+s) m=4; r=5; j=5 K=17-15=2

Gerber kirişi

K=r-3n K=5-3·1=2

Birden fazla açıklığı bulunan, biri sabit veya ankastre ve diğerleri hareketli mesnetler üzerine oturan doğru eksenli çubuklardan oluşan düzlem sistemlere "Sürekli Kiriş" denir. n açıklıklı, bir mesnedi sabit sürekli kirişte n+2 tane bilinmeyen mesnet tepkisi vardır. Sistem üzerinde 3 denge denklemi yazılabileceğinden sistem: n+2-3 = n-1 inci dereceden hiperstatiktir. Bir mesnedi ankastre olan sistemlerin hiperstatik derecesi n+3-3 = n dir. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 21

K=n=4=4q K= (3m+r)-(3j+s) m=5; r=7; j=6 K=22-18=4

K=r-3n K=7-3·1=4

07.02.2013

07.02.2013

s=2

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 22

Gerber Kirişi (izostatik) – Tasarım-

Hiperstatik sistemlerde, mesnetlerde çubuk eksenine dik yönde meydana gelen çökmelerden etkilenirler. Özellikle köprü kirişlerinde bu mesnetler altındaki orta ayakların oturduğu zemin sağlam değilse veya akarsu içerisindeki orta ayakların olması halinde bu mesnetlerde çökmeler meydana gelebilir. Bu çökmelerden de sürekli kirişlerde kesme kuvvetleri ve eğilme momentleri meydana gelir. Öte yandan izostatik sistemlerde mesnet hareketlerinden dolayı kesme kuvveti ve eğilme momenti meydana gelmez. Bundan dolayı hiperstatik sürekli kirişlerde açıklıklarda uygun yerlere mafsallar konularak izostatik duruma getirilir. Mafsal eklenerek izostatik hale getirilmiş sürekli kirişlere re "Gerber Kirişler" denir. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

Daha öncede belirttiğimiz gibi sisteme eklenen her mafsal için ilave bir denge denklemi yazılabiliyordu. Öyleyse K inci dereceden hiperstatik bir sistemi izostatik hale getirmek için K sayıda mafsal eklenmesi gerekir. O halde bir mesnedi sabit n açıklıklı sürekli kirişte n-1 adet, diğer bir deyişle iç mesnet sayısı kadar mafsal koymak gerekir. Yalnız mafsallar konulurken sistemin taşıyıcılık özelliğine dikkat edilmeli, sistemin bir kısmının taşıyıcılık özelliği bozulup bir kısmı hiperstatik olarak kalmamalıdır. Bunun için: 07.02.2013

07.02.2013

Gerber Kirişi (izostatik)

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE IDE E 23 23

SLIDE 24

Uygun mafsallar

konulmalıdır. Aşağıdaki Şekil 'de bazı mafsal düzenlemeleri gösterilmiştir DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

07.02.2013

07.02.2013

A. Orta açıklıklara en fazla iki mafsal, B. Kenar açıklıkta uçta sabit ve hareketli mesnet bulunmasında en fazla bir, uçta ankastre mesnedin bulunmasında en az bir en fazla iki mafsal, C. Bir ORTA açıklıkta iki mafsal varsa bunun yanındaki açıklıklara en fazla bir mafsal,

SLIDE 25

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 26

Ankastre mesnet en az 1 mafsal olmalı

07.02.2013

07.02.2013

Uygun olmayan mafsallar

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 27

SLIDE 28

07.02.2013

07.02.2013

Kararlılık - Stabilite

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 29

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 30

ÇERÇEVELER

07.02.2013

07.02.2013

Basit Çerçeveler; Bileşik (Compound) Çerçeveler

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 33

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 32

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 34

07.02.2013

SLIDE 31

07.02.2013

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

Soru 1

Soru 2 qL2 L/2

L/2

qL2

L/2

qL2

L/2 L/2

L/2

q

qL2 L/2

L/2

L/2

L/2

L/2

L/2

L/2

L/2

L/2

L/2

L/2

L/2

L/2

L/2

L/2

L/2

07.02.2013

L/2

07.02.2013

L/2

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 35

KAFES SİSTEMLERİ

SLIDE 36

STATİKÇE KARARSIZ

07.02.2013

07.02.2013

K = m+r-2j K = 8+3-2*6 K = -1

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 37

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 38

Geometrik olarak kararsızlık

07.02.2013

07.02.2013

K = m+r-2j K = 30+3-2*16 K = +1

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 41

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 40

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 42

07.02.2013

SLIDE 39

07.02.2013

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

07.02.2013

07.02.2013

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 43

SLIDE 44

Sorular

İzostatik hiperstatik-içten hiperstatik-dıştan kararlılık kararsız „ statikçe

07.02.2013

07.02.2013

kararsız„geometrik

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 45

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 46

Verilen yapı modellerinin herbiri için, sistemin kararsız (statikçe veya geometrik olarak kararsız), izostatik ((statikçe belirli)) veya hiperstatik (statikçe belirsiz) mi olduklarını belirtiniz. Ayrıca herbir modeli aşağıdaki işlemleri yerine getiriniz.

SLIDE 47

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 49

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 48

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 50

07.02.2013

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

07.02.2013

Eğer kararsız ise x Bir birim yük uygulayarak, sistemin göçme mekanizma şeklini çiziniz. x Sistemde gerekli değişiklikler (mesnet veya iç kuvvet) yaparak, kararlı ve izostatik duruma getiriniz. 2. Eğer izostatik ise x Sistemden bir mesnet tepkisi veya iç kevvet kaldırınız. x Değiştirilmiş bu sisteme birim yük uygulayarak göçme mekanizmasını çiziniz. 3. Eğer hiperstatik ise x Hiperstatiklik derecesini hesaplayınız. x Sistemi izostatik duruma getirmek için gerekli değişiklikleri (mesnet veya iç kuvvet) yapınız. x Değiştirilmiş modeli çiziniz

07.02.2013

07.02.2013

1.

07.02.2013

07.02.2013

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 53

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 52

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 54

07.02.2013

SLIDE 51

07.02.2013

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

07.02.2013

07.02.2013

DR. MUSTAFA KUTANİS İ SAÜ Ü İ İNŞ.MÜH. Ü BÖLÜMÜ Ö Ü Ü

SLIDE 57

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 56

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 58

07.02.2013

SLIDE 55

07.02.2013

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

Statik Prensipler (Özet)

07.02.2013

07.02.2013

Denge konumundaki bir elemana uygulanan iki kuvvetin bileşkeleri, aynı doğrultuda, aynı büyüklükte fakat zıt yönlüdür.

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 59

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 60

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 62

Statik Prensipler (Özet)

07.02.2013

07.02.2013

Denge konumundaki bir elemana uygulanan üç kuvvet, bir noktada kesişen (concurrent) veya paralel kuvvetlerdir.

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 61

07.02.2013

07.02.2013

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 63

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

N

V

M

0 0

mafsallar

0

0

MESNETLER

0

0

0 0 0

0

0

SLIDE 64

V=0

M=0

M=0 N=0

V=0

N=0 V=0 M=0

V=0

T.C. SAKARYA ÜNİVERSİTESİ MF İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ Department of Civil Engineering İNM 212 YAPI STATIĞI I

İç Kuvvetler- Internal Forces • Bir Yapı sisteminde yüklerden (dış etkilerden) oluşan iç kuvvet bileşenlerine kesit tesirleri (kesit zorları, iç kuvvetler) denir • Yükler ve bunlardan oluşan mesnet tepkileri altında dengede olan bir sistem herhangi bir noktasından kesilerek iki parçaya ayrıldığında, her bir parçanın diğerine etkittiği gerilmelerin bileşkeleri kesit zorları olarak tanımlanır.

Y.DOÇ.DR. MUSTAFA KUTANİS [email protected] Sakarya Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü Yapı Anabilim Dalı

07.02.2013

DR. MUSTAFA KUTANİS

07.02.2013

KESİT TESİRLERİ (1/3)

SLIDE 1

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

İLETİLEN İÇ KUVVETLER kiriş, kolon, kafes, zincir, kemer,...

SLIDE 2

07.02.2013

07.02.2013

Kesit Tesirleri

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 3

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 4

Kesme Kuvveti Normal Kuvvet

07.02.2013

07.02.2013

Eğilme Momenti

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 5

SLIDE 6

•

Düzlemi içindeki kuvvetlerin etkisindeki düzlem sistemlerde kesit tesirleri: 1. Normal Kuvvet (N) :  normal gerilmelerin toplamıdır. 2. Kesme kuvveti (T) :  kayma gerilmelerin toplamıdır. 3. Eğilme momenti (M) :  normal gerilmelerinin, kesitin ağırlık merkezinden geçen ve sistem düzlemine dik olan eksene göre statik momentleri toplamıdır.

07.02.2013

07.02.2013

Etki-Tepki prensibine göre, sol ve sağ parçalara etkiyen kesit tesirleri birbirine EŞİT şiddette ve TERS yöndedir.

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 7

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 8

UZAY (3B) ÇUBUK • • • • •

POZİTİF YÖNLER; BAKIŞ YÖNÜ

Uzay çubuk sistemlerde kesit tesirleri 6 tanedir. N : Normal kuvvet Tx, T y : Kesme kuvvetleri Mx, My : Eğilme momentleri Mb : Burulma momenti

• Kesit tesirlerinin pozitif yönlerinin tanımlanmasında bakış (açısı) yönünden yararlanılır. Bunun için, her çubuğun bir tarafı bakış yönü olarak işaretlenir.

07.02.2013

07.02.2013

Bakış yönü

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 9

Bakış yönleri

• Bakış yönü, statik hesabı yapan ve değerlendiren arasındaki bir anlaşmadır. Hesapların sonuna kadar aynı bakış yönü kullanılır.

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 10

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 12

İŞARET YÖNÜ

07.02.2013

07.02.2013

N: Çubukta uzama meydana getirecek yönde pozitiftir. T: Çubuğu saat yönünde döndürmesi halinde pozitiftir. M: Bakış yönü tarafındaki liflerde çekme (uzama), meydana getirmesi halinde pozitiftir.

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 11

Pozitif

07.02.2013

07.02.2013

Pozitif

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 13

SLIDE 14

Sistemin tümü dış kuvvetler ve bunlardan oluşan mesnet tepkileri altında dengededir. Sistem herhangi bir noktasından kesilerek iki parçaya ayrıldığında, bu parçaların herbirinin dengede olabilmesi için: a) Sol parçaya etkiyen dış kuvvetlere eşdeğer olan iç kuvvetlerin sağ parça üzerindeki kesite b) Sağ parçaya etkiyen dış kuvvetlere eşdeğer olan iç kuvvetlerin sol parça üzerindeki kesite etkitilmesi gerekmektedir. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 15

Buna göre: a) Sağ kesitteki kesit tesirleri, sol parçaya etkiyen dış kuvvetlerin, kesit tesirlerinin pozitif yönleri üzerindeki izdüşümüdür. b) Sol kesitteki kesit tesirleri, sağ parçaya etkiyen dış kuvvetlerin, kesit tesirlerinin pozitif yönleri üzerindeki izdüşümüdür.

07.02.2013

07.02.2013

KESİT TESİRLERİ HESABI

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 16

ÖRNEK 1

ÖRNEK 1

M  0 F  0 F  0 A

Normal kuvvetle yüklü bir sistem B ve C noktasında iç normal kuvvet=?

X

MA  0 AX  0

Y

AY  16  12  4  0

07.02.2013

07.02.2013

AY  8 kN

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 17

AB SEGMENTİ

Segment AB

F

Y

0

DC SEGMENTI

Segment DC

D C

F

Y

8  NB  0 N B  8 kN

SLIDE 18

0

D C

NC  4  0 N C  4 kN

B

B A

07.02.2013

07.02.2013

A

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 19

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 20

T.C. SAKARYA ÜNİVERSİTESİ MF İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ Department of Civil Engineering İNM 212 YAPI STATIĞI I

Açıklama Notasyon: Yayılı yük Moment Kesme Kuvveti

w(x) veya q(x) M T veya V

kN/m kNm kN

Y.DOÇ.DR. MUSTAFA KUTANİS [email protected] Sakarya Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü Yapı Anabilim Dalı 07.02.2013

DR. MUSTAFA KUTANİS

07.02.2013

KESİT TESİRLERİ (2/3)

SLIDE 28

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

İç Kuvvetlerin Bulunması (3 Yol)

SLIDE 29

Örnek Soru

1. Yapı elemanı üzerinde belirli bir noktada (Kritik kesit olabilir) kesit tesirlerinin bulunması 2. Fonksiyonlar Yöntemi: Yapı elemanda kesit tesirlerinin değişimini fonksiyona bağlı olarak bulunması V=f(x); M=g(x)

07.02.2013

07.02.2013

3. Kesit tesirlerini, mesnet tepkilerini hesapladıktan sonra YÜK„KESME KUVVETİ „ MOMENT arasındaki ilişkilerden yararlanarak bulunması

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 30

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 31

SCD (Serbest Cisim Diyagramı)

ÖRNEK SORU 3

07.02.2013

07.02.2013

• ND=?; TD=?; MD=?

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 32

ÇÖZÜM (2/3)

ÇÖZÜM (1/3) BC elemanı

  M C  0

By

3m

AB Elemanı

 M A  0

Bx 1.5 m

4.5(1.5)  Bx (3)  0

Bx  2.25 kN

SLIDE IDE 33 33

2.25(3)  3(1)  By (3)  0

4.5 kN 1.5 m

2m

By

3 kN

By  1.25kN

Cx Cy

2.25 kN

1m

Ax Ay

    Fx  0

2.25  C x  4.5  0 07.02.2013

07.02.2013

C x  2.25 kN

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 34

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 35

Çözüm (3/3)

Soru: İç kuvvetler (M, V, N) eleman ekseni boyunca nasıl değişiyor? veya İç kuvvetler eleman ekseni boyunca nerede en kritik değeri alıyor?

DB Elemanı:     Fx  0

 N D  2.25  0

N D  2.25kN

VD MD

1.5 m

ND

2.25 kN 1.25 kN

  Fy  0 VD  1.25  0

VD  1.25kN

07.02.2013

07.02.2013

 M O  0  M D  1.25(1.5)  0

M D  1.88kN.m DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 36

Kesim yöntemi

SLIDE 37

Soru

• Kesim yöntemi ile M ve V (veya T) nin x-ekseni boyunca değişimi veya M ve V nin x’e bağlı bir fonksiyon olarak yazılabilir.

• Aşağıda verilen kirişe ait kesme kuvveti ve eğilme momenti diyagramını çiziniz.

• Böylece M ve V’nin maximum ve minimum değerleri hesaplanabilir

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

07.02.2013

07.02.2013

• M ve V nin x’e bağlı değişimi grafik olarak gösterilebilir (Moment ve kesme Kuvveti diyagramı).

SLIDE 38

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 39

Çözüm Mesnet tepkileri bulunur.     Fx  0

Ax  0

  M

A

0

27kN

B y (9)  27 (6)  0

B y  18 kN

Ay  18  27  0

Ax Ay

6m

3m

By

Ay  9kN DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

07.02.2013

07.02.2013

  Fy  0

x mesafesinde yük değeri =

 x2  V   9  kN 3 

1 9  x2 V  0 3  x2 

V   9  kN 3  

 x2   V   9    0 3 

0

x  5.2m 07.02.2013

1  x M  x2    9x  0 3 3 07.02.2013

SLIDE 41

• kesme kuvveti diyagramı

  Fy  0

 x3 

M   9 x  kN .m 9   DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

2   x  x  2 3   x x mesafesinde bileşke kuvvet= 2 3 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 40

• Kesme kuvveti ve Moment’in x- bağlı fonksiyonu:

  M

6 2 x x 9 3

SLIDE 42

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 43

• Moment Diyagramı:

 x3  M   9 x  kN .m 9  türev alıp sıfıra eşitlersek : x  5.2

Soru: Yayılı yük, Kesme Kuvveti, Moment arasında matematiksel bir ilişki var mıdır?

07.02.2013

07.02.2013

 (5.2) 3  kN .m

M max   9(5.2)  9  

M max  31 .2kN .m

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 44

Yayılı yük İşaret Yönü: (+) Yayılı yük aşağıya doğru pozitif olsun

SLIDE 45

  Fy  0

V  w( x)x  (V  V )  0

V   w( x)x

  M

O

0

Vx  M  w( x)x[k (x)]  ( M  M )  0

07.02.2013

07.02.2013

M  Vx  w( x)k (x) 2

Δx sadece yayılı yükün etkidiği kesitten seçildi!.. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 46

Δx sadece yayılı yükün etkidiği kesitten seçildi!.. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 47

Yorum -1

V   w( x)x

dV   w(x) dx

dV

  w( x) dx

dM V dx

M  Vx  w( x)k (x) 2 dM

V dx Δx sadece yayılı yükün etkidiği kesitten seçildi!..

M BC   Vdx

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

Moment diyagramında eğim, kesme kuvvetini verir

07.02.2013

07.02.2013

VBC    w( x)dx

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 48

Yorum -2

VBC   w( x)dx

dM V dx

Yayılı yük diyagramının alanı (-1), Kesme kuvvetindeki değişim miktarını verir

SLIDE 50

Eğim Kesme kuvvetini veriyorsa

V 0

dM 0 dx

Kesme kuvvetinin sıfır olduğu nokta moment extremum noktalarıdır. Maxima

07.02.2013

Kesme kuvveti diyagramının alanı, momentteki değişim miktarını verir

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 49

Yorum -3

07.02.2013

M BC  Vdx

Kesme Kuvveti diyagramında eğim, yükün şiddetinin ters işaretlisini verir

Minima

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 51

Pratik Sonuçlar

Yorum -4

VBC    w( x ) dx

V V

ve

dV

M BC   Vdx Eğer w = w(x), n inci dereceden bir polinom ise V = V(x), n+1 dereceden bir fonksiyon M = M(x), n+2 dereceden bir fonksiyon Bunun sonucunda: 07.02.2013

07.02.2013

a. b. c.

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

w=0 ise (yayılı yük yok) w=sabit ise (düzgün yayılı yük) w=doğrusal ise (üçgen veya trapez)

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 52

DİKKAT !

  M  0

M  M O

  Fy  0 Kesme kuvvetindeki değişim

M0 ‘ın SY de uygulanması halinde momentteki değişim pozitiftir. M diyagramında pozitif yönde sıçrama (artış);

 yönünde F için V,  yönde F kadar sıçrar

yönünde F için V, yönde F kadar sıçrar DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 54

M0 ‘ın TSY de uygulanması halinde momentteki değişim negatiftir. M diyagramında negatif yönde sıçrama (azalma) görülür.

07.02.2013

Kesme kuvveti diyagramında: 07.02.2013

SLIDE 53

DİKKAT !

• Tekil kuvvet veya moment, kesme kuvveti ve moment diyagramlarında süreksizlik oluşturur.

V   F

V=sabit M=1o (doğrusal) o V=1 (doğrusal) M=2o (parabol) V=2o (parabol) M=3o (parabol)

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 55

Eğim Eğim

+ Eğim Eğim

Eğim Eğim

Eğim

VL

Eğim

Eğim Eğim

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

Eğim

07.02.2013

07.02.2013

VL

Eğim

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 56

SLIDE 57

07.02.2013

07.02.2013

Çerçeve KK ve M diyagramı

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 58

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 59

+ -

-

P2

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

07.02.2013

07.02.2013

-

Parabolik eğri DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 60

SLIDE 61

M (kN.m)

Diyagram çizerken…

-20

+70 M (kN.m)

+90 M (kN.m) -20

-20

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 62

07.02.2013

07.02.2013

M (kN.m)

1. Kesit tesirleri diyagramı ölçekli veya yaklaşık olarak ölçekli olarak çizilirler ve ordinatları doğrultusunda taranırlar. 2. Diyagramların üzerine başlıca noktalardaki değerleri yazılır ve bölgelerin işareti konur. 3. Pozitif Kesme Kuvveti ve Normal kuvvet değerleri, bakış yönünün üzerine çizilmelidir. İşareti konulmalıdır. 4. Pozitif momentin bakış yönünü tarafında çizilmesi genellikle tercih edilir. Bu durumda, M diyagramı, kesitin uzama oluşan lifleri tarafına çizilmiş olur. 5. Pozitif moment bakış yönünün aksi tarafında da çizilebilir. Her iki durumda da işaretler konur ve tüm çizim boyunca kabul edilen yaklaşım devam ettirilir. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 63

!

07.02.2013

07.02.2013

9m

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 64

Soru • Aşağıda verilen kirişin Moment ve Kesme kuvveti diyagramlarını çiziniz.

07.02.2013

07.02.2013

!

SLIDE 65

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 66

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 85

Çözüm: Mesnet Tepkileri bulunur.

  M

SCD Kesme Kuvveti 8 kN

A

8 kN 15 kN/m

20 kN.m

0

D y (3)  8(1)  8(2)  15(3.5)  20  0

A

D y  32 .17 kN

C

B

Dy=32.17 kN

Ay=1.17 kN 1m

 Fx=0; Ax=0

  Fy  0

D

0.75 m

1m

1m

0.25 m

V (kN)

32 .17  8  8  15  Ay  0

0

Ay  1.17 kN

-1.17

15.0

1

2

4

3

x (m)

Ay

Dy

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

8 kN 8 kN 20 kN.m A

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 86

Dikkat !

Dy=32.17 kN

1m

0.75 m

1m

1

2

Yük

1m 15.0

0.25 m

0

SLIDE 87

D

Ay=1.17 kN

V (kN)

-17.17

15 kN/m

C

B

07.02.2013

07.02.2013

-9.17

4

3

w (kuvvet/birim uzunluk)

x (m)

-1.17

Yükseklik

-9.17 -17.17

-7.5 0

-1.17

-3.46 3

2

4

1 9.67 16.54 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

Kesme

x (m) 07.02.2013

07.02.2013

M (kN.m)

SLIDE 88

Genişlik

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 95

Soru •

Soru: Aşağıda verilen yapı sisteminin Moment ve Kesme Kuvveti diyagramlarını çiziniz.

+ 07.02.2013

07.02.2013

Kesme kuvveti 0  Moment extremum Moment 0  yerdeğiştirme eğrisinde (inflection) büküm noktası

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

-1.5

+

2

3.5 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 96

Soru

SLIDE 97

Çözüm: Mesnet tepkileri

• Soru: Aşağıda verilen yapı sisteminin Moment ve Kesme Kuvveti diyagramlarını çiziniz.

Mafsal

07.02.2013

07.02.2013

Mafsal

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 98

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 99

DİKKAT

Moment sıfır noktası, elastik eğride bükülme noktasıdır-

07.02.2013

07.02.2013

(Inflection point)

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 100

Soru

SLIDE 101

Çözüm: Mesnet tepkileri

• Soru: Aşağıda verilen yapı sisteminin Moment ve Kesme Kuvveti diyagramlarını çiziniz.

Mafsal

07.02.2013

07.02.2013

Mafsal

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 102

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 103

SORU • Soru: Aşağıda verilen yapı sisteminin Moment ve Kesme Kuvveti diyagramlarını çiziniz.

-180

07.02.2013

07.02.2013

-96

+

60 64

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 104

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 105

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 107

Çözüm: Mesnet tepkileri

07.02.2013

07.02.2013

Dikkat: iki ucu mafsallı çubuk, yani pandül ayak. Ancak, pandül ayağa dış kuvvet etkidiği için kesme kuvveti oluşuyor.

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 106

+5 -27 -42

-5

-42

-42

+27

+5

+41

+276 +

_ -60

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 110

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 109

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 111

07.02.2013

SLIDE 108

07.02.2013

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

07.02.2013

+168

07.02.2013

+276

07.02.2013

07.02.2013

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 114

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 113

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 115

07.02.2013

SLIDE 112

07.02.2013

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SORU • Soru: Aşağıda verilen yapı sisteminin Moment ve Kesme Kuvveti diyagramlarını çiziniz.

B

A

+8.33

07.02.2013

07.02.2013

-6.67

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 116

SLIDE 117

5 1    x 2  8.33  0 6 2 2 x  20 x 4.472m de Kesme kuvveti sıfırdır.

VBC    w( x ) dx M BC   Vdx

Momentin extremum olduğu yerde Kesme kuvveti sıfırdır.

-20 X +4.83

5 x 6

5 1 V x     w x   dx     x 2  8.33 6 2 5 M x    V x   dx    x 3  8.33 x  c2 36

M 4.472   

x=0; V=+8.33 „c1 =8.33

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

x=0; M=-20 „ c2 = -20

SLIDE 118

5 3  x  8.33 x  20  4.83 36

07.02.2013

07.02.2013

w( x) 

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 119

SORU

Mesnet tepkileri

07.02.2013

07.02.2013

• Soru: Aşağıda verilen yapı sisteminin Moment ve Kesme Kuvveti diyagramlarını çiziniz.

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 120

SLIDE 121

07.02.2013

07.02.2013

M kNm

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 122

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 123

SORU

Mesnet Tepkileri

07.02.2013

07.02.2013

• Soru: Aşağıda verilen yapı sisteminin Moment ve Kesme Kuvveti diyagramlarını çiziniz.

SLIDE 124

(1) ve (2) nolu bağıntıdan

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 125

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 127

07.02.2013

07.02.2013

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 126

07.02.2013

07.02.2013

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 128

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 129

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 131

Y

x' % Cos& Sin& " X     # y'  $ Sin& Cos&! Y  α=21.80 X=-8.85

-2.62

α X

x' % 0.928 0.371" X     # y'  $ 0.371 0.928! Y 

Y=-2.62

Cx’=7.2

0.85 -8.85 9.2

x’=-9.2

07.02.2013

07.02.2013

y’=0.85

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 130

07.02.2013

07.02.2013

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 132

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 133

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 135

Açıklama:

Kontrol: D dn:

07.02.2013

07.02.2013

E dn:

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 134

T.C. SAKARYA ÜNİVERSİTESİ MF İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ Department of Civil Engineering İNM 212 YAPI STATIĞI I

Mafsallar • Moment mafsalları • Kesme Kuvveti mafsalları • Normal Kuvvet mafsalları

M=0 V'0 N'0

Kesit Tersirleri: Özet (3/3)

M'0 V=0 N'0

07.02.2013

SLIDE 136

DR. MUSTAFA KUTANİS

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 137

M'0 V'0 N=0

M'0 V=0 N'0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

M'0 V=0 N=0

M=0 V=0 07.02.2013

07.02.2013

07.02.2013

Y.DOÇ.DR. MUSTAFA KUTANİS [email protected] Sakarya Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü Yapı Anabilim Dalı

M=0 V=0 N'0

SLIDE 138

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 139

Uygulamalar -1

Uygulamalar - 2 dV dM   w( x) V dx dx

VBC    w( x ) dx ve M BC   Vdx

V

Vi Vi Vi

07.02.2013

07.02.2013

Vi+1

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 140

Uygulamalar - 3

SLIDE 141

Uygulamalar - 4 dV dM   w( x) V dx dx

dV dM   w( x) V dx dx

V

V Vi

07.02.2013

07.02.2013

Vi

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 142

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 143

Uygulamalar - 4

KRİTİK KESİTLER dV dM   w( x) V dx dx

07.02.2013

Vi

07.02.2013

V

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 144

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 145

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 147

07.02.2013

07.02.2013

Kesme Kuvveti ve Eğilme Momenti Diyagramlarını çiziniz

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 146

07.02.2013

07.02.2013

SLIDE 148

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 150

07.02.2013

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 149

SAÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ

GENEL BİLGİLER

İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ İNM 212 YAPI STATİĞİ I

• Yapısal çözümlemeler, eleman iç kuvvetlerinin yanısıra yapı sisteminin çeşitli etkiler nedeniyle yaptığı yerdeğiştirmelerin hesabınıda içerir. • Yerdeğiştirmeler, dış yükler, ısı farklılıkları, imalat hataları ve oturmalar nedeniyle oluşabilir. Yapısal ve yapısal olmayan yapı elemanlarının hasar görmemesi açısından, yerdeğiştirmelerin hesabı çok önemlidir.

İZOSTATİK SİSTEMLERDE YERDEĞİŞTİRMELER VE ŞEKİL DEĞİŞTİRMELERİN HESABI

07.02.2013

DR. MUSTAFA KUTANİS

07.02.2013

Y.DOÇ.DR. MUSTAFA KUTANİS [email protected] Sakarya Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü Yapı Anabilim Dalı SLIDE 1

 : Dönme ∆ : Yerdeğiştirme

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 2

Rijit birleşim. düğüm noktası bağlantısı rijit olduğundan dolayı, bu duğum noktasına bağlanan elemanların dönme açıları eşit olur.

Sabit veya hareketli mesnet

∆=0

Ankastre mesnet

∆=0  =0

07.02.2013

07.02.2013

Mafsallı bağlantıda düğüm noktasına bağlanan elemanların dönme açıları farklı olur

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 3

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 4

Max yerdeğiştirme

SLIDE 5

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 7

P

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 6

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 8

07.02.2013

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

P

07.02.2013

ELEMANLAR için KURALLAR – Eleman, yükün uygulama doğrultusunda deforme olur – Öncelikle, yüklü elemanların deforme olmuş şekli çizilir. – Eleman ve düğüm noktası, mafsalla birbirine bağlanmadıkça, aynı biçimde şekildeğiştirir. – Rijitliği düşük elemanlar (EI/L) daha çok deforme olur. – Kalitatif olarak deforme olmuş şekil çizilirken, kiriş ve kolonların boyunun sabit kaldığı varsayılır. DÜĞÜM NOKTASI için KURALLAR – Düğüm Noktalarının rijit olduğu varsayımında; rijit düğüm noktası yerdeğiştirebilir, ancak deforme olmaz. Rijit düğüm noktasına bağlı elemanların, yerdeğiştirmeden önce ve sonra göreli konumları değişmez.

07.02.2013

07.02.2013

YAPI SİSTEMLERİNİN YERDEĞİŞTİRMİŞ HALİNİN ÇİZİLMESİ

07.02.2013

07.02.2013

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 9

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 10

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 12

L

07.02.2013

07.02.2013

L

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 11

q1

q2

07.02.2013

q1 q2

07.02.2013

L1 L2

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 13

SLIDE 14

07.02.2013

07.02.2013

Moment pozitif  alt liflerde uzama

Moment negatif  üst liflerde uzama DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 15

Moment sıfır  büküm noktası

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 16

50

07.02.2013

07.02.2013

50

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 17

SLIDE 18

ELASTİK KİRİŞ TEORİSİ 20

20

07.02.2013

07.02.2013

∆ : dx segmenti toplam uzama miktarı

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 19

İç kuvvetler ve yerdeğiştirmiş (şekildeğiştirmiş) kiriş arasındaki ilişkileri belirlemek amacıyla yularıdaki şekilde verilen basit kiriş ele alınmıştır. Hook kanununa göre birim şekildeğiştirme: =∆/dx Gerilme birim şekildeğiştirme arasındaki ilişki: =/E Eğilme momenti tarafından meydana gelen gerilme: =M∙y/I DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 20

Eğilme momenti tarafından meydana gelen gerilme • Lineer elastik malzemeler için y x E x  Em c y  m c • Denge denkleminden

Kirişin segmentinin uzunluğu: dx Deformasyondan sonra tarafsız eksenin boyu dx olarak kalır. Diğer kesitlerde

dx'   y  

y  x  m c

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

y Fx 0   x dA    m dA c

 0  m  y dA c

07.02.2013

07.02.2013

 dx'  dx   y      y   y y  x  dx



c c m or ρ ( m : max birim şd)

m

M c  c m

I

m E  m

1  m m 1 M c M

c E c E c I EI d2y 1

dx2   dy 2  1      dx  

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 21

3/ 2

SLIDE 22

Yerdeğiştirmelerin Hesabında Enerji metotları

YERDEĞİŞTİRME HESABI

Termodinamiğin Birinci Kanunu: • Toplam enerjinin (kinetik ve iç enerji) birim zamandaki değişimi, dış kuvvetler tarafında yapılan iş ve birim zamanda ısı miktarındaki değişimin toplamlarına eşittir.

d K  U We  H dt

07.02.2013

07.02.2013

• Geometrik yöntemler (Birim şekil değiştirme ilişkileri) – Moment Eğrilik (Çift Entegrasyon) – Moment Alan yöntemi – Fiktif kiriş • Enerji yöntemleri (Enerjinin korunumu) – Eksenel kuvvet şd enerjisi – Kesme ve burulma şd enerjisi – Eğilme momenti şd enerjisi

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

 y  M   y x dA   y  m  dA c   m 2 m I M y dA c  c M c m I My y  x  m için  x  I c

m 

SLIDE 23

Burada, K Kinetik enerji, U, iç enerji (birim şekildeğiştirme enerjisi ), We, dış kuvvetlerin yaptığı iş, H, ısı girişi’ dir. Isı değişimi yok varsayılır ve sistem statikse, bağıntı: We=U olarak sadeleştirilebilir. Yani, dış kuvvetlerin yaptığı birim şekildeğiştirme enerjisine eşittir. “Enerjinin korunumu kanunu” geçerliliği; – Yükler kademeli uygulanıyor yani ivme sıfırsa – Birim şekildeğiştirmeler lineer elastik sınırı aşmıyorsa DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 24

Elastik yay (lineer veya dönme) problemi

İş = kuvvet x yol 1

Kuvvet

0

dWe

dx ∆1 Deplasman

1

F

1 F

 11 x dx 2 11 x 0

2 1 0



1 F1 1 2

F1+F2

07.02.2013

dWe=F(x)∙dx DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

∆1+∆2

• İş = kuvvet x yol • Elastik bir çubuğa artımsal olarak uygulanan F1 kuvveti altında, çubuk ∆1 kadar uzamaktadır. Yapılan iş kuvvet-deplasman eğrisi altındaki alana (taralı alan) eşittir: 07.02.2013

We

F1 kuvvetinden sonra F2 kuvvetinin artımsal olarak

Kuvvet

F1

F1 x 1

Yükler kademeli uygulanıyor  ivme=sıfır

∆1 F

F(x)

We  F( x ) dx

F1

F1

F2

III

II

I

∆1

F1+F2

∆1+∆2

Deplasman

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 25

We=½∙F1∙∆1+ F1∙∆2+ ½∙F2∙∆2

SLIDE 26

Örnek

Yukarıdaki ifadede : birinci terim, F1 kuvveti ile yapılan işi (alan no I), üçüncü terim F2 kuvveti ile yapılan işi (alan no III ) göstermektedir. F2 kuvveti uygulanırken F1 kuvveti sabit bir yük olarak kaldığından, ikinci terim bu yük altında yapılan işi göstermektedir (alan no II). F2 kuvvetinin virtüel kuvvet (gerçek değil); Alan No II ile gösterilen iş, virtüel iş olarak isimlendirilecektir. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

We=½∙F1∙∆1+ ½∙F2∙∆2 + F1∙∆2 07.02.2013

07.02.2013

• F1 kuvvetinden sonra F2 kuvvetinin kademe kademe uygulanması durumunda toplam yerdeğiştirme ∆1+∆2 olacaktır. Toplam iş yine kuvvet deplasman eğrisinin altındaki alana eşit olacaktır. We=½∙F1∙∆1+ F1∙∆2+ ½∙F2∙∆2

SLIDE 27

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 28

Dış İş - Moment

Birim Şekil Değişirme Enerjisi- Eksenel Yük

d

M

Moment

M1 +M2 III

M1

II

I

Dönme









07.02.2013

07.02.2013

We=½∙M1∙1+ M1∙2+ ½∙M2∙2

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 29

Birim Şekil Değişirme Enerjisi- Eksenel Yük

07.02.2013

07.02.2013

Birim Şekil Değişirme Enerjisi- Eksenel Yük

SLIDE 30

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 31

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 32

Birim Şekil Değişirme Enerjisi- Eğilme

Gerçek iş: Farklı bir yol 1 M d 2 1 M dx egrilik d

EI dWiç

L

L



dx

07.02.2013

07.02.2013

M M M2 Wi  dx  2 EI 2 EI 0 0

d

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 33

İş ve Enerji Prensibi (Neden Virtuel İş?)

(Neden Virtuel İş?) Gerçek iş: • sadece tekil yük için uygulanabilir • sadece tekil yükün altındaki yer değiştirme bulunabilir



Kuvvet

Gerilme

F



Deformasyon

Deplasman ∆

1 We F1 1 2

SLIDE 34

L

U i 0

M dx 2EI

07.02.2013

Gerçek işe ilave olarak, • Eksenel yük, kesme, eğilme ve burulma şekil değiştirmelere uygulanabilir. • Kiriş, çerçeve ve kafesler çözülebilir

07.02.2013

We=Ui

Dikkat! Bu sınırlama virtüel iş ile kaldırılabilir:

2

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 35

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 36

VİRTÜEL İŞ •

•

Tümler-İş – “Complementary Work” • Diğer bir “iş” türü ise “Tümler-İş” tir (complementary work). Tümler-iş, kuvvet deplasman eğrisinin üzerinde kalan alana eşittir. WC simgesi ile gösterilebilir. • Birinci durum da tümler-iş: WC =We=½∙F1∙∆1 • İkinci durumda ise WC =½∙F1∙∆1+ F2∙∆1+ ½∙F2∙∆2

Dengede olan bir sisteme, geometrik süreklilik koşullarını sağlayan küçük bir virtüel (in essence but not in fact) şekildeğiştirme verilirse, dış kuvvetlerin yaptığı iş, iç kuvvetlerin yaptığı işe eşittir. Virtüel iş enerjinin korunumu kanununa dayanmaktadır. Geçerli olabilmesi için: 1. Dış ve iç kuvvetler dengede, 2. Malzeme elastik limitlerde, 3. Mesnet hareketi olmamalıdır.

ye eşit olur.

F

F

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

D

Deplasman

D SLIDE 38

P

.

A ΔA

x

ΔA

Bu bağıntıdan hareketle, virtüel birim şekildeğiştirme enerjisinin hesaplanması durumunda, aranan ∆1 yerdeğiştirmesi:

y

C: complementary tümler V: virtüel

SLIDE 39

Gerçek yapı: P yükü altında A noktasında ΔA kadar deplasman yapıyor

1 birim

.

Fiktif yapı: aynı deformasyonu birim yük altında yapıyor.

Dış kuvvetin yaptığı iş=1 ΔA dır. 07.02.2013

Burada ∆1 yerdeğiştirmesinin doğrultusu, F2 kuvveti ile aynı doğrultudadır.

x

y

WCV=UCV=F2∙∆1

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

İş

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 37

Tümler-iş denkleminin ikinci terimi, F2 kuvvetinin virtüel kuvvet olması halinde, “tümler virtüel iş” olarak isimlendirilir. Lineer elastik sistemlerde iş ve tümler-iş birbirine eşittir. Non-lineer malzeme davranışlarda birbirine eşit değildir. Enerjinin korunumu kanununa göre, tümler virtüel iş, tümler birim şekildeğiştirme enerjisine eşittir.

07.02.2013

Kuvvet

Deplasman

WC =½∙F1∙∆1+ F2∙∆1+ ½∙F2∙∆2

U 1 C V F2

Tümler iş

İş

07.02.2013

07.02.2013

Kuvvet

Tümler iş

Çünkü 1 br kuvvet sabit (deplasman süresince sabit kalıyor) ½ faktörü yok.

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 40

UYGULAMA We 1  A dx

eğrilik



Wi 

L

0

1





M EI

A

M m d  m dx 0 EI

VL

VR

T.E.

dA

L

1 br virtüel yükten dolayı moment

L

m M dx EI 0

1  A  07.02.2013

y

dx

Gerçek deformasyon

L

Virtüel dış kuvvetlerin yaptığı

P3

HL

Virtüel dış yüklerden dolayı oluşan iç kuvvetlerin yaptığı

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

07.02.2013

d

P2

P1

A noktasında, P1, P2 ve P3 kuvvetlerinden dolayı oluşan düşey deplasman, ∆, hesaplanacaktır. Bu amaçla A noktasına birim virtüel yük uygulanacaktır. Daha sonra bu yükten dolayı, virtüel iş ve virtüel şekildeğiştirme enerjisi hesaplanacaktır.

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 41

SLIDE 42

ÖRNEK 2kN/m

15 m 10 m I=4.162E-4 m4 , E=2.0E+8 kN/m2 olmak üzere, A noktasında düşey yerdeğiştirmeyi ve eğimi hesaplayınız. Gerçek yük

Gerçek Kuvvetler:

Virtüel yük

M(x)=15x-x2 Virtüel Kuvvet: 07.02.2013

07.02.2013

M : dış yüklerden dolayı kirişte oluşan moment m : virtüel birim yükden dolayı kirişte oluşan moment

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 43

m(x)=x/3

0 x10

m(x)=10-2x/3

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

10 x15

SLIDE 44

Virtüel İş Denklemleri 10 M(x) m(x)

A 

0

EI

dx 

Virtüel Moment

15M(x) m(x)

10

EI

dx

10 M(x) m (x)

A 

0

07.02.2013

1145,8333 EI

07.02.2013

A

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

EI

dx

135.41667 EI SLIDE 46

YERDEĞŞTİRME HESABINDA KISAYOLLU (SHORT-CUT) ÇÖZÜM  

• Aşağıda verilen konsol kiriş sisteminin ucunda düşey yerdeğiştirmeyi bulunuz. EI sabit. Mx = -P∙x

15M(x) m (x)

10

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 45

Konsol Kiriş Örneği

P

A

EI

dx 

Mx

M(x) m(x) dx EI

  Mi Mk dx



 EI

x

A L

1

1  

LM m

0

3 L

dx 

0

 P x   1 x  dx

mx = -1∙x

EI

mx

x

P x P L  EI  3  3 EI 0

3

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

07.02.2013

07.02.2013



EI

L

SLIDE 47

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 48

ÇARPIM TABLOSU 2-Çarpımlarda ordinatların cebrik değerleri kullanılacaktır, Böylece tablolar ters işaretli olan trapez diyagramlarin çarpımı için de kullanılabilmektedir.

07.02.2013

07.02.2013

1-Trapez diyagramlarda i1, k1 soldaki, i2, k2 ise sağdaki ordinatları göstermektedir. Bu diyagramlara ait çarpım ifadeleri, i1i2 (k1>k2) hallerinin her ikisi için de geçerlidir.

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 49

3-Yarım parabol diyagramlara ait çarpım ifadeleri, bu diyagramların bir uçtaki teğetlerinin yatay olması halinde (eğim=0) geçerlidir. m=0, teğet 2o Parabol

SLIDE 50

4-Tabloda bulunmayan bazı moment diyagramlarının çarpım integrali süperpozisyonla yapılabilir.

2o Parabol

i1 -

m=0, teğet

+

k1

- k2 + L

=?

07.02.2013

07.02.2013

L

i2

x

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 51

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 52

k1

+ L

-

-

k2

L

i2

x

L

L

1 U kuvvet y erdeğişti rme 2

+ + km 07.02.2013

L

+ km L DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

Yerdeğiştirmemiktarı: 

1 n  s2 L  U  i i  2 i 1  Ei Ai 

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

Tümler virtüel birim şekildeğiştirme enerjisi

Virtüel Kuvvet DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

Gerçek şekil S L değiştirme EA SLIDE 55

Yerdeğiştirmeye geçemiyorum SLIDE 54

Tümler-iş Kafes yapı sistemi çok sayıda çubuk elemanlardan oluşmaktadır. Bir çubuğun tümler virtüel birim şekildeğiştirme enerjisi, gerçek kuvvetler tarafından meydana gelen şekildeğiştirme ile virtüel kuvvet tarafından meydana gelen çubuk kuvvetlerinin çarpımına eşittir. Tüm çubukların tümler virtüel birim şekildeğiştirme enerjisi n   S L  UC V  sV   i 1   AE  i

 S L    i 1   AE i 1 F2 n



 s

07.02.2013

07.02.2013

Yerdeğiştirmelerin hesabında tümler-iş prensibi kullanılacaktır. Bu amaçla iki sistem gözönünde bulundurulacaktır. Birinci sistem, gerçek yüklerle yüklüdür. • İkinci sistem, yerdeğiştimesi hesaplanacak doğrultuda virtüel yükle yüklü sistemdir. Tümler virtüel birim şekildeğiştirme enerjisi, gerçek kuvvetler tarafından meydana gelen şekildeğiştirme ile virtüel kuvvet tarafından meydana gelen çubuk kuvvetlerinin çarpımına eşittir. WCV=UCV=F2∙∆1

1 s L U s   2  EA 

İş- Enerji prensibine göre, kafes sistemde çok sayıda çubuk bulunacağından:

SLIDE 53

Çünkü: We=½∙F1∙∆1 (sadece kuvvetin altındaki) O zaman,

s L EA

s Burada, eğer, s virtüel (veya gerçek) bir kuvvet ise,  ‘da virtüel (veya gerçek) bir deplasmandır. Bir çubuğun birim şekildeğiştirme enerjisi,

k2

k1 + +

k1 + 07.02.2013

+ L

- k2

i1 -

 s Birim boy değişmesi L EA

- k2

k1

km

L

q



EKSENEL KUVVET

1

UC V F2

V

Not: F2=1 ‘dir.

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 56

Kafes Sistem Örnek 1

B Düğüm noktası

P=3 kN

Gerçek Kuvvetler

10m

3@10m

Virtüel kuvvetler

07.02.2013

07.02.2013

B ve C düğüm noktalarında düşey deplasmanları hesaplayınız.

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 57

B Düğüm noktası Virtüel İş Denklemleri

SLIDE 58

C Düğüm noktası

n S s L   

i 1  AE  i

Gerçek Kuvvetler si

Si

Li

siSiLi

By DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

51.61 EA SLIDE 59

07.02.2013

07.02.2013

Virtüel kuvvetler

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 60

C Düğüm noktası Virtüel İş Denklemleri

Kafes Sistem Örnek 2

n S s L   

i 1  AE  i

si

Si

Li

3m

siSiLi

18kN

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

Cy

83.215 EA 61 SLIDE

07.02.2013

07.02.2013

6m

6m

D düğüm noktasında yatay ve düşey deplasmanları hesaplayınız. Çubuk kesit alanları, çubuk üzerinde parantez içerisinde verilmektedir.

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

Gerçek Kuvvetler

SLIDE 62

Virtüel kuvvetler

Yatay

07.02.2013

07.02.2013

Düşey

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 63

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 64

Virtüel İş Denklemleri n S s L   

i 1  AE  i

sVi

sHi

Si

Li

Ai

sViSiLi/Ai

H

488.34 E 07.02.2013

432.35 E

07.02.2013

V

sHiSiLi/Ai

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 65

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 66

SAKARYA ÜNİVERSİTESİ

İZOSTATİK YAPI SİSTEMLERİ

MF İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

Department of Civil Engineering

Bir statik çözümleme hesabının amacı, dış etkilerden meydana gelen kesit tesirlerini, şekil değiştirmelerini ve yer değiştirmelerini tayin etmektir. İzostatik sistemlerde, yalnız denge denklemleriyle kesit tesirleri ve bunlara bağlı olarak şekil değiştirmeler ve yer değiştirmeler bulunabilir.

İNM 212 YAPI STATIĞI I

Y.DOÇ.DR. MUSTAFA KUTANİS [email protected] Sakarya Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü Yapı Anabilim Dalı

07.02.2013

DR.MUSTAFA KUTANİS

07.02.2013

KUVVET –ENERJİ veya UYGUNLUK YÖNTEMİ-1

SLIDE 1

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

HİPERSTATİK YAPI SİSTEMLERİ

Geometrik uygunluk şartları ile Gerilme- birim şekildeğiştirme (malzeme kanunu) bağıntılarının da

eklenmesi gerekir. (STATİKÇE BELİRSİZLİK= HİPERSTATİKLİK)

07.02.2013

07.02.2013

SLIDE 2

HİPERSTATİK YAPI SİSTEMLERİ-2

Hiperstatik sistemlerde ise, kesit tesirlerini ve şekil değiştirmeleri tayin etmek için yalnız denge denklemleri yetmez. Bir sistemin bütün kesit tesirlerini ve mesnet reaksiyonlarını tayin edebilmek için denge denklemlerine eklenmesi gereken denklem sayısına, sistemin hiperstatiklik derecesi denir. Bunu tayin etmek için, sistemde bazı düzenlemeler yapılarak izostatik bir sistem (izostatik esas sistem - ies) elde edilir. Bu düzenlemelerde kaldırılan mesnet reaksiyonları ile kesit tesirlerinin sayısı sistemin hiperstatiklik derecesini verir. Denge denklemlerine, süreklilik şartları denilen,

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

“Denge denklemleri” 2 B (Düzlem)  Fx=0  Fy=0  M=0

SLIDE 3

Yapı Analizi (statik çözümleme) Gerilmeler, Stress (iç kuvvetler, Moment, Kesme kuvveti Normal Kuvvet) Şekildeğiştirmeler, strains (yerdeğiştirmeler) Çözümlemede bilinmeyen olarak: İç kuvvet veya mesnet kuvvetleri  [KUVVET] Yerdeğiştirmeler  [DEPLASMAN] Her iki yaklaşımda da Denge denklemleri Uygunluk denklemleri ve Malzeme davranışı ile ilgili kanunlar

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 4

İZOSTATİK – HİPERSTATİK KARŞILAŞTIRMA

07.02.2013

07.02.2013

İZOSTATİK – HİPERSTATİK KARŞILAŞTIRMA

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 5

İZOSTATİK - HİPERSTATİK AVANTAJ ve DEZANAVTAJLARI

HİPERSTATİK HESAP YÖNTEMLERİ

HİPERSTATİK Daha küçük kesitler, %20 daha ekonomik olabilir Yüksek emniyet faktörü Yeniden dağılım-uyum: elemanlardan biri göçerse diğer elemanlar kuvveti alır Yüksek rijitlik, düşük deplasmanlar Zemin koşulları iyi değilse veya oturmalar sözkonusu ise arzu edilmeyebilir, çünkü, mesnet hareketleri ilave iç kuvvet ve gerimeler oluşturur Isı farklılıkları, imalat hataları Hesaplamada güçlükler

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 6

SLIDE 7

Çözüm yolları ve formülasyon ile ilgili diğer bir sınıflama: Klasik Yöntemler Kuvvet (Enerji-Uygunluk-Fleksibilite; Maxwell-Mohr Yöntemi) Yöntemleri; Açı yöntemi; Moment dağıtma-Kros

Matris Yöntemleri Bilgisayar programcılığı için geliştirilen yöntemler – Matris Deplasman – Sonlu elemanlar 07.02.2013

07.02.2013

İZOSTATİK Kesitler büyük Betonarme yapılarda mafsalların teşkili kolay değil Elemanlardan biri göçerse, sistem göçer Isı farklılıkları, imalat hataları ve mesnet hareketlerinden etkilenmez Büyük hesap kolaylığı

Not: 1516+2234=3750

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 9

PROBLEM ÇÖZÜM

KUVVET – UYGUNLUK YÖNTEMİ James Clerk Maxwell (1864) “Consistent Force Method For Analyzing Statically Indeterminate Structures” Otto Mohr (1874) Yöntemin günümüzdeki formunu geliştirdi Bu nedenle yönteme : Maxwell-Mohr Yöntemi’ de denir.

07.02.2013

07.02.2013

Kuvvet yöntemi, geometrik uygunluk koşullarından faydalanarak, bilinmeyen (veya ”ARTIK” - redundant) kuvvetlerinin bulunmasını amaçlar.

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

Yukarıda verilen kiriş A mesnedi ankastre, B mesnedi hareketli mesnetlerle mesnetlenmiştir. Bu nedenle: Denge denklemi sayısı : 3 Mesnet tepkisi sayısı : 4 “Artık kuvvet” sayısı : 1 veya hiperstatiklik derecesi Eğer mesnet tepkilerinden biri (artık kuvvet) bir şekilde hesaplanabilmiş olsaydı veya ilave 1 denklemimiz daha olsaydı sistemde bilinmeyen tüm kuvvetlerin hesaplanması mümkün olacaktı. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 10

SLIDE 11

“Artık Kuvvetler” Nasıl Bulunacak? Geometrik uygunluk sınır şartları

Artık kuvvetin seçimi çok önemlidir. Artık kuvvetler kaldırılarak elde edilen sisteme: İZOSTATİK ESAS SİSTEM (ies veya #0 ‘lu sistem) denir. Bu nedenle “artık kuvvet” kaldırıldığında sistem kısmen kararsız duruma düşmemelidir. Yukarıda, B mesnet tepkisi artık kuvvet olarak seçilirek sağda verilen izostatik esas sistem oluşturulmuştur. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 12

Cevap: Geometrik uygunluk ve süperpozisyon kurallarından faydalanarak. B mesnet tepkisi “artık kuvvet” olarak seçilmişti. B mesnedinde artık kuvvet doğrultusunda yerdeğiştirmenin: 07.02.2013

07.02.2013

izostatik esas sistem

∆By=0 olduğu bilinmektedir. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 13

Süperpozisyon Kuralı ∆B=0

+ ∆P1 , P1 MP1, VP1, NP1

∆1

∆0

∆P2 , P2 MP2, VP2, NP2

∆B= ∆0 + ∆1=0

07.02.2013

=

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

 kN/m

 kN/m

A

 kN/m

=

B

L

L

L

By

07.02.2013

A

L

 kN/m

= L

By

∆0, ies

Enerji prensibine göre yerdeğiştirme hesap yöntemleri kullanılarak bulunabilir.

∆ 1, By

+

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

∆1

∆B=0 B

A

By

∆0

 kN/m

Eğer “ies” ve “artık kuvvet” yüklemelerinden dolayı oluşan yerdeğiştirmeler hesaplanabilirse bilinmeyen “artık kuvvet” bulunabilir. ∆0, ies ve ∆1, By bulunabilir?

+

L By SLIDE 16

07.02.2013

B

SLIDE 15

Uygunluk Denklemi: ∆B=0 ∆B= ∆0, ies + ∆1, By=0

∆B=0 : Geometrik uygunluk şartı

L

A

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 14

By : Artık kuvvet B

A

07.02.2013

∆P= ∆P1 + ∆P2 P= P1 + P2 MP= MP1 + MP2 VP= VP1 + VP2 NP= NP1 + NP2

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 17

∆

 kN/m A

B

L

L

  L2 2

By

By∙L =By∙(1∙L)

-

+

1 kN

A

1 kN

B

A

1∙L

    L2  1

By   1  L  L  L  0 B  L  L    2 4 3   

B

L

L

+

1∙L

By

M m 0 0 1  dx EI

3  L kN 8

+ [m1]

[m1]

M0  m1 m m dx By  1 1 dx 0 EI EI

∆B= ∆0, ies + By∙ f11=0

[m1] [M0]

07.02.2013

B

B y  f11 B y 

07.02.2013



∆B= ∆0, ies + ∆1, By=0

B

∆

A

m1  m1  dx EI

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 18

ALTERNATİF “ARTIK KUVVET”

Örnek 2 Soru: Mesnet tepkilerini bulunuz, A dönme miktarını hesaplayınız

 kN/m B

A

 kN/m B

A

+

L

L

A=0 07.02.2013

=

MA

 0, ies

B A

L

 1, MA 07.02.2013

 kN/m B

A

Artık kuvvet olarak By mesnet tepkisi seçildi.

“Artık kuvvet” olarak MA seçildi

L MA

SLIDE 19

B= 0, ies + 1, MA=0 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 21

∆B=0

∆B,0

∆B,1

∆B= ∆0, ies + ∆1, B=0 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 22

∆B= ∆0, ies + RB∙f11=0 + RB ∙

2 1 1 11  1 2   L   2L     L4  0, ies  L  1     i m  k  L  1    

 3 3 972  3 3   8   9 

1

1 1 4  2L   2L   L3 1, B  L  i  k  L    

3 3 9 9 243    

Hesaplanan bu değerler yukarıdaki denklemde yerlerine yazılırsa:

Denge denklemlerinden veya süperpozisyon kuralından:

  L2 8 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

RA 0.271wL 

2L 9

RC 0.0413wL 

07.02.2013

-

+ 07.02.2013

RB=0.6875∙ ∙L↑

∆B,1

∆B,0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 23

A=?

A=?

Süperpozisyon kuralı gereğince:

+ RB ∙

EI∙ A=  0, ies +RB∙  1,B A

SLIDE 24

1

M0  m  m  m  dx R B   1 dx EI EI  

∆B,1

∆B,0

1 kNm A

  L2 8

+

[ m ]

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 25

1

+

[ M0 ]

L

1

[ m ]

2L 9

[ m1 ]

L 07.02.2013

07.02.2013

L

1

-

+

C

+

[ m ]

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 26

ARTIK (REDUNDANT) KUVVETLER P2

2L/3

1

D

A

B

D

2L 9

+ RB ∙

 L 8 L

A=

C

P3 C

2

P1

H

+

L/3

MB

L A

+

1

B

Bx

+ L

EI∙A=∙L3/24 + 0.6875∙∙L∙[-4/81∙L2]

C

D

07.02.2013

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

D

MC

∙L3

07.02.2013

EI∙A=0.007716

C

By

MA A

MB B

MB A

Bx DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 27

SAKARYA ÜNİVERSİTESİ

B

Bx

SLIDE 28

KİRİŞ; ARTIK KUVVET SAYISI :1

MF İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

Department of Civil Engineering

İNM 212 YAPI STATIĞI I

Y.DOÇ.DR. MUSTAFA KUTANİS [email protected] Sakarya Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü Yapı Anabilim Dalı

07.02.2013

DR.MUSTAFA KUTANİS

SLIDE 29

07.02.2013

KUVVET –ENERJİ veya UYGUNLUK YÖNTEMİ -2

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 30

Maxwell.s Theorem of Reciprocal Displacements; Betti.s Law

07.02.2013

07.02.2013

KİRİŞ; ARTIK KUVVET SAYISI :2

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 31

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 32

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 34

07.02.2013

07.02.2013

Maxwell.s Theorem of Reciprocal Displacements; Betti.s Law

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 33

SAKARYA ÜNİVERSİTESİ MF İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

Department of Civil Engineering

İNM 212 YAPI STATIĞI I

SLAYTLARDA VERİLEN ÖRNEK DIŞINDA İKİ KAFES ÇÖZ 1 FN DENEME SORUSU Prob 36 Prob 47

KUVVET –ENERJİ veya UYGUNLUK YÖNTEMİ -3 Y.DOÇ.DR. MUSTAFA KUTANİS [email protected] Sakarya Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü Yapı Anabilim Dalı 07.02.2013

07.02.2013

KAFES YAPILAR

SLIDE 35

DR.MUSTAFA KUTANİS

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

Soru 1: çubuk kuvvetlerini bulunuz.

superpozisyon kuralı

P=100KN

1

3

P=100KN

1

5

3

5

=2o hiperstatik

F23 4m

F23 4

4m

2 07.02.2013

07.02.2013

EA= sabit

4

2

2m

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 36

SLIDE 37

R4y

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 38

uygunluk denklemi

ies: dış yükler #0

 4y 0

P=100KN

1

3

5

 23 0 4

07.02.2013

07.02.2013

2

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 39

ies: birim yük #1

1

3

ies: birim yük #2

1

5

R4y *

F23 *

3

5

1kN 1kN

4

4

2

2 1kN

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

07.02.2013

07.02.2013

SLIDE 40

SLIDE 41

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 42

Uygunluk denklemimim açılımı

 4y0 

 4 y  4 y 0 R 4 y  f44 F23  f 4 F 0 23

f4, 4 

 23  F 0 R 4 y  f4 F F23  f F F 0 23

F 0 

s F i Soi Li 23

A i Ei

23

A i Ei

s4i  s4i  Li Ai Ei

f4 yF  23

s 4 yi  s F i  Li 23

A i Ei

23 23

fF F 

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

s F i  s F i  Li 23

23

A i Ei

23 23

07.02.2013

07.02.2013

23

s 4 yi Soi Li

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 43

[S0]

SLIDE 44

#1 P=100KN

150kN

1

+50

3

+50

1kN

5

1

3

0

0

1kN 100kN

-111,8

+141,4

-1.41

1kN

4

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

4 2

-150 07.02.2013

2

07.02.2013

150kN

0

0

0

5

SLIDE 45

+1 1kN

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 46

#2 Çubuk

-0707 1

3

0

0

5

-0707kN

-0707

-0707 1kN

0

s1

s2

s1SoL

s2SoL

s12L

s22L

s 1s 2L

5

+50

0

-0.707

0

-141.4

0

+2

0

1-4

5.66

+141.4

-1.41

+1

-1131.37

+800

+11.31

+5.66

-8

2-4

4

-150

+1

-0.707

-600

+424.2

+4

+2

-2.83

3-4

4

0

0

-0.707

0

0

0

+2

0

3-5

2

+50

0

0

0

0

0

0

0

4-5

4.47

-111.8

0

0

0

0

0

0

0

2-3

5.66

-

-

+1

-

-

-

+5.66

-

-1731.37

+1082.8

+15.31

+17.31

-10.83

∑

-0707

0

So

1-3

1kN

-0707kN

L

4

07.02.2013

07.02.2013

2

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 47

SLIDE 48

Çubuk kuvvetleri

 4 y  4 y 0 R 4 y  f 44 F23  f 4 F 0 23

 23  F 0 R 4 y  f 4 F F23  f F 23

23

2 3F2 3

Si S0i R4y  s1i F23  s2i 0

0

 1731,37 R 4 y  15,31 F23  ( 10,83) 0 1082,8 R 4 y  ( 10,83) F23  17,31 0

F23=14.70 kN

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

07.02.2013

07.02.2013

R4y=123.50 kN

SLIDE 49

S13=+50+(0)+(-0.707)(14.7)= +39.6 kN S14=+141.4+(-1.41)(123.50)+(1)(14.7)= -18.52 S24=-150+(1)(123.50)+(-0.707)(14.7)= -36.91 S34=0+(0)+(-0.707)(14.7)= -10.40 S35=+50 S45= -111.8 Mesnet tepkileri R1x = - 150+(1)(123.50)+(0)= -26.51 kN R1y =+100+(-1)(123.50)+(0.707)(14.7)= -13.1 R2x =+150+(-1)(123.50)+(0)= +26.51 R2y =0+(0)+(-0.707)(14.7)= -10.40 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 50

Soru 2: çubuk kuvvetlerini bulunuz.

superpozisyon kuralı

E

E 2m

A

FED A

D

2m D

FBD

3m

3m

=2o hiperstatik

FBD C

B

4m 07.02.2013

4m 07.02.2013

C

B

10 KN

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

10 KN

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 51

uygunluk denklemi

SLIDE 52

ies: dış yükler #0

 ED 0

E

A

D

 BD 0 07.02.2013

07.02.2013

B

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 53

C

10 KN

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 54

ies: birim yük #1

ies: birim yük #2

E

E

A

A

D

FBD *

1 KN 1 KN

D

FED *

1 KN 1 KN C

C

07.02.2013

B

07.02.2013

B

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 55

SLIDE 56

Uygunluk denklemimim açılımı

 BD0 

 B D  B D0 FB D  f B D,B D FE D  f B D,E D 0

sBDi Soi Li Ai Ei

 ED0 

s s L fBD,BD  BDi BDi i Ai Ei

 E D  E D0 FB D  f E D,B D FE D  f E D,E D 0

fED,ED 

07.02.2013

07.02.2013

fBD,ED 

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 57

sEDi Soi Li Ai Ei

s EDi  s EDi  Li Ai Ei

s BDi  s EDi  Li Ai Ei

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 58

[S0] 10

#1

E

E

A

D

0

13.33

0

0

A

-0.8

D

+1

+16.67

0

0

1 KN

-0.6

-0.6

1 KN

13.33

0

C

B

C

-0.8

B

07.02.2013

07.02.2013

-13.33 10 KN

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 59

SLIDE 60

#2

E

1 A

0

D

1 KN 1 KN

1.33 -1.67 0

+1

Çubuk

L

So

s1

s2

s1SoL

s2SoL

s12L

s22L

s1s2L

S

AD

4

0

-0.8

0

0

0

+2.56

0

0

+0.83

AC

5

+16.67

+1

-1.67

+83.35

-139.2

+5

+13.95

-8.35

+3.11

AB

3

0

-0.6

0

0

0

+1.08

0

0

+0.62

BC

4

-13.33

-0.8

+1.33

+42.668

-70.92

+2.56

+7.075

-4.25

-2.52

BD

5

-

+1

-

-

-

+5

-

-

-1.04

CD

3

0

-0.6

+1

0

0

+1.08

+3

-1.8

+8.12

DE

2

-

-

+1

+7.5

∑

-

-

-

+2

-

+126.018

-210.12

+17.28

+26.02

-14.4

1.33 C 07.02.2013

+1.33

07.02.2013

B

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 61

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 62

 B D  B D0 FB D  f B D,B D FE D  f B D,E D 0  E D  E D0 FB D  f E D,B D FE D  f E D,E D 0

126.018 FB D  17.28 FE D  ( 14,40) 0  210.12 FB D  ( 14,40) FE D  26,02 0

L

So

s1

s2

4

0

-0.8

0

AC

5

16.7

1

-1.67

AB

3

0

-0.6

0

F_BD

-1.04

F_ED

7.5

0.832 3.105 0.624 -2.523

BC

4

-13.3

-0.8

1.33

BD

5

0

1

0

-1.04

CD

3

0

-0.6

1

8.124

DE

2

0

0

1

7.5

07.02.2013

FED=7.50 kN

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 63

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 65

07.02.2013

07.02.2013

FBD=-1.04 kN

Si

Çubuk AD

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 64

SAKARYA ÜNİVERSİTESİ

Prof. G.A Maney

MF İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

Department of Civil Engineering

Açı yöntemi, Prof. G.A Maney (UNIV. Of MINNESOTA da, 1915’de BİLİMSEL TOPLANTIDA SUNULDU) tarafından rijit düğüm noktalı sistemlerin hesabında kullanılan genel bir yöntem olarak ortaya konulmuştur. Deplasman yöntemi Sürekli kiriş ve çerçevelerin çözümünde 1932 yılında Hardy Cross bu yöntemi daha genel olarak kendi adı ile anılan moment dağıtım yöntemine uyarlamıştır.

İNM 303 YAPI STATIĞI II

Y.DOÇ.DR. MUSTAFA KUTANİS [email protected] Sakarya Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü Yapı Anabilim Dalı

07.02.2013

DR.MUSTAFA KUTANİS

07.02.2013

AÇI YÖNTEMİ Slope-deflection Method

SLIDE 1

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 2

Açı-deplasman bağıntıları Açı-deplasman bağıntıları, bir çubuktaki 3 genel değişken grubu ile ifade edilir: 1. Çubuk uçlarına uygulanan uç kuvvetler (Uç momentler, çubuk eksenine dik uç kuvvet ve çubuk eksenine paralel uç kuvvet). 2. Çubuk uçlarında meydana gelen uç yer değiştirmeler (çubuğun elastik eğrisinin her bir ucundaki teğetinin eğimi, elastik eğri kirişinin uç noktalarının dönme açısı veya iki çubuğun ucunun bir birine göre rölatif yer değiştirmesi). 3. Çubuğa uygulanan dış kuvvetler. 07.02.2013

07.02.2013

Bu eşitliklerde eğilme momentinden meydana gelen şekil değiştirmeler göz önüne alınmış, kesme kuvveti ve normal kuvvetten meydana gelen şekil değiştirmeler ise göz ardı edilmiştir. Birçok hiperstatik kirişin ve çerçevenin hesabında normal kuvvet ve kesme kuvvetinin etkisi çok küçük olduğundan sadece eğilme momenti etkisi göz önüne alınarak yazılan açı eşitlikleri ile yapılan hesaplar sonucunda ortaya çıkacak hatalar da oldukça küçük olacaktır.

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 3

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 4

Derivasyon

örnek

y

P

X-ekseni tarafsız eksenden geçiyor

x

i

L, EI

y

y

x

j

P  x3 3  L  x2  6  EI

L, EI

y : yerdeğiştirme, deplasman

07.02.2013

y  y 

y'   

θ

dy   : eğim, slope dx 07.02.2013

i-j kirişinde

d2y M   : eğrilik , curvature  dx 2 EI

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

P  3x2 6  L  x 6  EI

y' '   

Eğrilik birim dönme açısı (birim boya gelen dönme miktarı)

M P  x L  EI EI

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 5

Derivasyon (devam)

SLIDE 6

Derivasyon (devam) y

j

Pi y

 x 

i

j

q (x) yi

Ti i Mi

j L, EI

i

Ti, yi

y(x) x

Tj,yj

x

TJ

yj Mj, j x

MJ

Mi, i

i

j

07.02.2013

07.02.2013

L, EI

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 7

Deplasmanlar i ucunda y1, θ1; j ucunda y2, θ2;

İç kuvvetler i ucunda T1, M1; j ucunda T2, M2;

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 8

Derivasyon (devam)

Derivasyon (devam)

T1

Derivasyonda eleman üzerindeki yükler (yayılı veya tekil) neden dikkate alınmadı?

x M1 i ucundan x mesafesinde eğilme momenti: M+M1-T1x=0 M=-M1+T1x=0 Eğrilik

d2y M   : eğrilik , curvature  dx 2 EI

EIy  M1 T1  x

EIy  M1  x T1 

(denklem no 1)

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

EIy  M1 

x2 x3

T1  c1  x c2 2 6

y  M 1 

x2 x

T1 

1 2 EI EI

y  M1 

x x

T1 

1  x y1 2 EI 6 EI

SLIDE 10

Derivasyon (devam) Sınır şartları 2 x=L için y=y2 y’=θ2 Sınır şartları için 2 ve 3 nolu denklemler çözülür ve düzenlenirse:

c1=EI θ1 c2=EI y1

M1  K  2  1 2 3 T1  3  K  1  2 2

(denklem no 2)

Elde edilir. Burada

3

(denklem no 3)

2EI L



y2 y1 L

07.02.2013

K

07.02.2013

2

(denklem no 3)

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 9

Sınır şartları 1

y’=θ1 y=y1

(denklem no 2)

Eğim denkleminin integrali yerdeğiştirmeyi, y, verir:

Derivasyon (devam)

2 no denklem de x=0 için 3 no denklem de x=0 için

x2

c1 2

07.02.2013

07.02.2013

y 

Eğrilik denkleminin integrali eğimi, y’, verir

Soru:

M

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 11

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 12

Genel Prensipler

ANKASTRELİK UÇ MOMENTLERİ İki ucu mesnetli tek açıklıklı bir yapının çeşitli dış etkilerden dolayı mesnetlerinde oluşan mesnet tepkilerine ANKASTRELİK UÇ MOMENTLERİ diyoruz.

Bir yapı elemanında, eleman uçlarında oluşan toplam momentler: Eleman üzerindeki dış etkilerden (yük) dolayı, eleman uşlarında oluşan “Ankastrelik momentleri”, FEM 2. Eleman uçlarının birbirine göre relatif hareketi ile oluşan momentler, [] 3. Eleman uçlarının dönmesi ile oluşan momentler [ θi, θj ] den oluşmaktadır.

w

w

A

B

A

L

wL 12

2

FEMAB 

FEMBA

wL2  12

B L

FEMAB 

wL2 8

07.02.2013

07.02.2013

1.

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 13

Genel Prensipler [devam]

SLIDE 14

Daha somut olarak;

Statik çözümlemede işaret yönü: 1-Pozitif Uç Momentleri: Elemanlarda TERS SAAT YÖNÜ (CCW) Düğüm noktalarında SAAT YÖNÜ (CW) 2- Kesme Kuvveti: Çubuğu saat yönü çeviren kuvvetler pozitif Elemanın TSY (CCW) dönme açısısi pozitif

oturma

T

07.02.2013

07.02.2013

T

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 15

Mij 

2EI     2  i  j 3 MijF L  L





Mij  K  2  i  j 3 ij MijF

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

Notasyon: Text içinde Φ yerine bazen Ψ kullanılabilir SLIDE 16

Matris formunda

Matris formunda

Mij  MFij K  2  i j 3ij 

Bağıntısı açık yazılırsa ij=0 için:

Stifnes Matrisi

Ankastrelik Moment

07.02.2013

07.02.2013

Matrisi

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

Deplasman Matrisi

Yük Vektörü

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 17

SLIDE 18

ÖRNEK PROBLEM

DENGE ŞARTI:

07.02.2013

07.02.2013

P1 ve P2 açıklık ortasında; kesitler sabit

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 19

B İÇİN ÇÖZÜLÜR DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 20

Bulunan B MAB, MBA, MBC ve MCB

07.02.2013

07.02.2013

denklemlerinde yerine yazılırsa:

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 21

özetle

SLIDE 22

Açı denklemi öğeleri

07.02.2013

07.02.2013

Oturma=j

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 23

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 24

i-j elemanı açı denklemi M ij 

4EI 2 EI i

 j M ijF L L



Not:

 M  

M ji 

F ij Dış Yükler

Tablo’daki değerler kullanılacaksa

2EI 4 EI i

 j M Fji L L



 M  

F ji Dış Yükler

Mij 

2EI     2  i  j 3 MijF L  L

Tablodan alınacak değer

bağıntısı yerine

4EI 2 EI i

 j M ijiF L L



 M  

F ij Dış Yükler

07.02.2013

07.02.2013

M ij 

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 25

SLIDE 26

Ankastrelik Momentleri (1/2)

ANKASTRELİK MOMENTLERİ

07.02.2013

07.02.2013

Ezbere bilinmesine gerek yok tablo kullanılabilir

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 27

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 28

07.02.2013

Kenar mesnet: Sabit-hareketli (1/2)

07.02.2013

Ankastrelik Momentleri (2/2)

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 29

SLIDE 30

Kenar mesnet: Sabit-hareketli (2/2)

HESAPTA İZLENEN YOL

(2) nolu denklemi 2 ile çarpıp 1 nolu denklemden çıkarılırsa:

1. Açı denklemlerinde, eğilme momentinden meydana gelen şekil değiştirmeler göz önüne alındığından, incelenen yapı sisteminin kinematik serbestliği, dönme açısıve yanal deplasmanlar () olarak b belirlenir 2. Ankastrelik momentleri hesaplanır. 3. Mesnet hareketlerinden kaynaklanan etkiler hesaplanır.

M BA  3

EI FEM AAB  B FEM BBA 2 L



3EI M ij   i M ijF L

Bu terim; bir ucu ankastre, bir ucu sabit mesnetli sistemin ankastrelik momentidir.

 M 

F ij Dış Yükle r



M ij 

A





 M  

F ij Dış Yükler

4. Her elemanın iki ucu için açı denklemi yazılır.

5. Düğüm noktalarında denge denklemleri yazılır; bu denklemlerden yararlanarak, düğüm noktalarının bilinmeyen dönme açıları

MBA =0 A

4EI 2 EI i

 j M ijF L L

hesaplanır.

B L

B FEMAB 

3EI L2

07.02.2013

07.02.2013

L

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 31

6. Hesaplanan dönme açıları, açı denklemlerinde yerine yazılarak, eleman uç momentleri hesaplanır ve moment diyagramı çizilir. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 32

SORU

07.02.2013

07.02.2013

M, T, N diyagramını çiziniz.

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 35

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 34

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 36

07.02.2013

SLIDE 33

07.02.2013

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SAKARYA ÜNİVERSİTESİ MF İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

Department of Civil Engineering

İNM 303 YAPI STATIĞI II

AÇI YÖNTEMİ Slope-deflection Method

07.02.2013

....devam 2 Düğüm noktaları hareketli sistemler (Yanal deplasmanlı- with sidesway)

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 37

07.02.2013ı

Yanal Deplasmansız Sistemler

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

DR MUSTAFA KUTANİS

SLIDE 1

Yanal Deplasmansız Sistemler

SLIDE 2

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 3

Soru: Moment diyagramı=?

SLIDE 4

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

07.02.2013

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 5

Çözüm: Birinci adım Denge Koşulları Genel Bakış

Bilinmeyenler

Sınır Şartları

Çerçevenin tamamı için:

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 6

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 7

2 ve 3üncü adım AÇI DENKLEMLERİ

1.875

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 8

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 9

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 11

Denge koşulları

Açı Denklemleri

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 10

07.02.2013

denklemler çözülürse

(2) ve (3) ü (1*) de yerine koy

(5) ve (6) ü (2*) de yerine koy

(7) ve (8) den

Mesnetlerde yatay mesnet tepkisi

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 12

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 13

Soru 2

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 14

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 15

Genel Bakış

AÇI DENKLEMLERİ

Kinematik Belirsizlik

Sınır Şartları

Denge Şartı 1: B düğüm noktası

Denge Şartı 1: Çerçevenin tamamı 07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 16

07.02.2013

Denge Şartı

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 17

Denklem Çözümü (2) ve (3 ), (1*) de yerine koy

Yatay mesnet tepkileri

Açı denklemleri

(5) ve (6 ), (2*) de yerine koy

(7) ve (8 ) denklemlerini çöz

B ve  değerlerini açı denklemlerinde yerine koyarak Moment değerlerini bul

Yatay mesnet tepkileri

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 18

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 19

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 20

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 21

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 22

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 23

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 24

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 25

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 26

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 27

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 28

SAKARYA ÜNİVERSİTESİ

HARDY CROSS

MF İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

Department of Civil Engineering

1932 yılında Prof Hardy Cross tarafından gelişirilmiştir. Statikçe belirsiz (hiperstatik) kiriş ve çerçeve yapılarının statik çözümlemesinde kullanılan iteratif bir yöntemdir.

İNM 303 YAPI STATIĞI II

MOMENT DAĞITMA HARDY CROSS YÖNTEMİ

Cross, H. 1932.

“Analysis of Continuous Frames by Distributing Fixed-End Moments”.

07.02.2013

DR.MUSTAFA KUTANİS

Transactions of the American Society of Civil Engineers 96, Paper no. 1793.

07.02.2013

Y.DOÇ.DR. MUSTAFA KUTANİS [email protected] Sakarya Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü Yapı Anabilim Dalı SLIDE 1

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

AÇI YÖNTEMİ-2

Dış etkiler altında şekil değiştirip denge konumuna gelen düğüm noktaları sabit bir sistemin şekil değiştirmiş durumunu belirlemek için, rijit düğüm noktalarının  dönmelerini tayin etmek yeterlidir. Çünkü rijit düğüm noktalarında birleşen çubukların  uç dönmeleri birbirine eşittir ve düğüm noktalarının lineer (eksenel deformasyon) yerdeğiştirmeleri sıfıra eşittir. Bundan dolayı, bilinmeyen olarak  dönmelerini ve bunları tayin etmek içinde düğüm noktalarının moment denge denklemlerini kullanmak gerekmektedir. Bunun için her rijit düğüm noktasında birleşen çubukların bu uçlarındaki Mij uç moment lerinin  dönmelerine bağlı olarak DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 3

M ij 

4 EI 2 EI  i   j  M ijF  M ij L L

ifadesinden faydalanılır. Denge şartından, her rijit düğüm noktasında uç momentleri toplamının sıfır olduğu yazılır. ’ların sayısına eşit olan bu denklemler çözülerek  dönmeleri bulunur. Daha sonra her çubuğun Mij uç momentleri ve buna bağlı olarak kesme kuvvetleri hesaplanır. Bu yöntem açı yöntemidir. 07.02.2013

07.02.2013

AÇI YÖNTEMİ

SLIDE 2

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 4

Moment Dağıtma yöntemi -2

MOMENT DAĞITMA YÖNTEMİ -1

Tüm düğüm noktalarının (mafsalla bağlanmış kenar mesnetler hariç) geçici olarak, dönmeye karşı kilitlenmesi; Bu haliyle, iki ucu kilitli elemanlardan, Dış yüklerden Mesnet hareketleri veya Isı farklılığından dolayı, eleman uçlarında oluşan ankastrelik momentlerinin hesaplanması ve kaydedilmesi;

Moment Dağıtma Yöntemi esas olarak açı denklem takımının rölaksasyon yöntemi ile çözülmesi haline karşı gelir. Fakat, Cross yönteminde denklem takımı yazılmadan, aşağıda açıklandığı gibi, adım adım denge durumuna yaklaşılmaktadır. Birinci mertebe teorisi halinde, katsayılar matrisi simetrik olduğu, ve bütün minörlere ait determinantlarda pozitif oldukları için bu iterasyon yakınsaktır.

0 0 K '   EA L 0 0

12 EI L3 6 EI L2

6 EI L2 4 EI L

0

0



12 EI L3 6 EI L2

6 EI L2 2 EI L



0 0 EA L 0 0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

12 EI L3 6 EI  2 L



0 12 EI L3 6 EI  2 L

0 6 EI  2 L 4 EI L

6 EI L2 2 EI L

07.02.2013

07.02.2013

Yakınsaklığın hızı da köşegen üzerindeki katsayılar, ait oldukları satırlardaki katsayılardan ne kadar büyükseler, o kadar büyük olur. Diğer bir deyimle, dağıtma katsayıları ile kendilerine ait geçiş katsayılarının çarpımları ne kadar küçükse, yakınsaklığın  EA   EA hızı da o kadar büyük olur. 0 0 0 0 L L

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 5

SLIDE 6

Moment Dağıtma yöntemi -2

ÖN ÇALIŞMA

Düğüm noktalarının kilitlerinin sırasıyla birer birer açılarak, açığa çıkan düğüm noktası dengelenmemiş momentlerinin 1. Dengelenmesini 2. Düğüm noktasına bağlanan elemanların rijitlikleri oranında dağıtılmasını ve 3. Geçiş katsayısıyla komşu uçlara taşınmasını ve tekrar düğüm noktasının kilitlenmesi, aşamalarını içerir (Dengele-Dağıt-Taşı).

Bu işlemlerin gerçekleştirilebilmesi için; Farklı yükleme koşulları için ankastrelik momentlerinin belirlenmesi, Eleman rijitliklerinin hesaplanması, Dengelenmemiş momentlerin, düğüm noktalarına bağlanan elemanlara, rijitlikleri oranında dağıtılabilmesi için dağıtma katsayılarının belirlenmesine, Geçiş katsayılarının belirlenmesi, ön işlemlerinin yapılması gerekmektedir.

Bu işlem diğer düğüm noktaları içinde tekrarlanır. 07.02.2013

07.02.2013

Yeterli yakınsaklık sağlanıncaya kadar devam edilir.

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 7

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 8

POZİTİF İŞARET YÖNÜ

ANKASTRELİK MOMENTLERİ

Statik çözümlemede işaret yönü:

07.02.2013

07.02.2013

Elemanlarda TERS SAAT YÖNÜ (CCW) Düğüm noktalarında SAAT YÖNÜ (CW)

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 9

SLIDE 10

ELEMAN RİJİTLİK FAKTÖRÜ-2

ELEMAN RİJİTLİK FAKTÖRÜ-1

Mij  MijF 

i mafsallı kenar mesnet (yakın uç) j ankastre mesnet (uzak uç) olmak üzere i düğüm noktasında =1 radyan birim dönmesi yapabilecek momente “eleman rijitlik faktörü” denir.

2EI  2  i  j 3ij  L

açı denkleminde =1 rad için: M ij  0 

Mji

2 E  I 4 EI 4 EI  2  i 0 j 0  1  L L L

bulunur.

Mij

i

j

i

Ri

E, I – Eleman Özellikleri DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

Rj

SLIDE 11

07.02.2013

07.02.2013

L

4EI değeri mutlak rijitlik katsayısıdır. L I K  ise relatif rijitlik katsayısıdır. L DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 12

ELEMAN RİJİTLİK FAKTÖRÜ-3

ELEMAN RİJİTLİK FAKTÖRÜ-4 j uzak uç düğüm noktasının da mafsallı olması halinde eleman rijitlik matrisi:

Açı denklemi j düğüm noktası için yazılırsa:

M ji  0 

2 E I 2EI 2EI eşit olur.  i   1  L L L

1 M ji  Mij 2

i L

Ri E, I – Eleman Özellikleri

Burada verilen Cij , geçiş katsayısıdir.

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 13

ELEMAN RİJİTLİK FAKTÖRÜ-4

SLIDE 14

Dağıtma Katsayısı (Distribution Factor) 3

2 E I 3EI 3EI  2  i 0 j 0  1  L L L

M ji  0

4

2

bulunur. Bu durumda da:

1

M0

07.02.2013

3EI değeri mutlak rijitlik katsayısıdır. L I K  0.75 ise relatif rijitlik katsayısıdır. L DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

Rj

07.02.2013

07.02.2013

M ji  Cij  Mij

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

07.02.2013

j

i

Yani i-j çubuğunun i ucunda uygulanan Mij momentinden dolayı j ucunda oluşan Mji momentinin değeri Mij’nin yarısı kadardır. Bu ifade aşağıdaki biçimde yazılabilir:

Mij  0  0.75

Mj

Mi

olduğu açıkça görülmektedir.

SLIDE 15

5

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 17

Dağıtma Katsayısı (Distribution Factor)

Dağıtma Katsayısı (Distribution Factor)

3

3

4

2

07.02.2013

1

5

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

5

ifadeleri yukarıda verilen denge denkleminde yerine yazılırsa: 4∙EK12∙+4∙EK13∙+4∙EK14∙+4∙EK15∙=M0 M0=4∙E∙∙(K12+K13+K14+K15) M0=4∙E∙∙K

M1=0 M12+M13+M14+M15−M0 =0

Mij  4  Eij  Kij  ij 07.02.2013

olm aküzere

07.02.2013

Lij

SLIDE 19

M12 = 4∙EK12∙ M13 = 4∙EK13∙ M14 = 4∙EK14∙ M15 = 4∙EK15∙

Yukarıdaki şekilde, 1 nolu düğüm noktasına M0 momenti uygulanmaktadır. Bu momentten dolayı, 1 nolu düğüm noktasına rijit bir şekilde bağlı bulunan tüm elemanlarda  dönmesi oluşmuştur. 1 nolu düğüm noktasında denge denklemi yazılırsa:

Iij

12=13=14=15=

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 18

Dağıtma Katsayısı (Distribution Factor)-2

Kij 

2

1

M0

07.02.2013

4

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 20



M0 4E  K

olarak bulunur.  değeri M12, M13, M14 ve M15 ifadelerinde yerine yazılırsa: DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 21

Dağıtma Katsayısı (Distribution Factor)-5

M12  M0  M14 M0  Kij K

K12 K

K14 K

M13  M0 

K13 K

A

B

C

IAB

K M15  M0  15 K

Dağıtma faktörü: Ankastre kenar mesnetlerde DF=0 ‘dır. Mafsallı kenar mesnetlerde ise DF=1 ’dir.

DFBA

LBC

LCD

DFCB 

K BA  K BA  K BC

KAB 0 KAB  

DFBC 

K CB  1.0 K CB  0

K BC K BA  K BC

DFCD 

0 KCB  0

0

07.02.2013

07.02.2013

DFAB 

ICD

IBC

LAB

katsay ısına dağıtm afaktörü(katsay ısı) DFij denir

D

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 22

Geçiş Katsayısı (Carry Over Factor)

SLIDE 23

UYGULAMA

Geçiş katsayısı, doğru eksenli ve sabit enkesit alanlı çubuklarda: Ankastre veya “kilitli” mesnetlere 0.5 ‘tir; Diğer durumlarda (mesela kenar mesnedin mafsallı olması durumu) 0’dır.

150 kN

15 kN/m

10 kN/m

3m D A

2I 8m

B

I

C

6m

3I 8m

07.02.2013

07.02.2013

ÖN İŞLEMLER: HAZIRLIK Farklı yükleme koşulları için ankastrelik momentlerinin hesaplanması Eleman rijitliklerinin hesaplanması, Dengelenmemiş momentlerin, düğüm noktalarına bağlanan elemanlara, rijitlikleri oranında dağıtılabilmesi için dağıtma katsayılarının belirlenmesine, Geçiş katsayılarının belirlenmesi,

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 24

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 25

ELEMAN RİJİTLİK KATSAYILARI VE DAĞITMA FAKTÖRLERİ

BİRİNCİ ADIM 150 kN

15 kN/m

10 kN/m

K D A

B

2I

C

I

3I

Tüm düğüm noktaları kilitlenir ve ankastrelik momentleri hesaplanır.

Iij Lij

2I K AB DFAB   8 0 K AB   2I   8 DFBA

80 kNm

15 kN/m

A

112.5 kNm 3m

B 6m

80 kNm

C C

8m 07.02.2013

B

112.5kNm

07.02.2013

8m

80 kNm

10 kN/m

150 kN

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 26

2I K BA   8  0.6 K BA  K BC 2I  I 8 6 I K BC 6 DFBC    0.4 K BA  K BC 2I  I 8 6

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 27

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 29

ELEMAN RİJİTLİK KATSAYILARI VE DAĞITMA FAKTÖRLERİ

I K CB 6 DFCB    0.372 K CB  K CD I  0.75  3I 6 8

3I 0.75  K DC 8  1.0  DFDC  K DC 0.75  3I 8 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 28

07.02.2013

07.02.2013

3I 0.75  K CD 8  0.628 DFCD   K CB  K CD I  0.75  3I 6 8

07.02.2013

07.02.2013

...........

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 30

SLIDE 31

SORU

SAKARYA ÜNİVERSİTESİ MF İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ Department of Civil Engineering İNM 303 YAPI STATIĞI II

Çerçeve ve Mesnet Hareketi Örneği Y.DOÇ.DR. MUSTAFA KUTANİS [email protected] Sakarya Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü Yapı Anabilim Dalı

07.02.2013

DR MUSTAFA KUTANİS

SLIDE 1

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 2

MBA

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 3

07.02.2013

MESNET HAREKETİ

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 4

SORU 1

B mesnedinin 10 mm çökmesi halinde, “Moment Dağıtma” yöntemini kullanarak kesit tesirleri diyagramlarını çiziniz. (E=200GPa; I=50x106mm4 ) EI=10000kNm2

TERS SAAT YÖNÜ

SAAT YÖNÜ

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 5

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 6



32 EI   9.375 L2

DN Momenti

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 7

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 8

Soru 2

A mesnedinin 10 mm çökmesi halinde, “Moment Dağıtma” yöntemini kullanarak kesit tesirleri diyagramlarını çiziniz. (E=200GPa; I=50x106mm4 ) EI=10000kNm2 07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 9

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 10



31.5 EI   50 32

DN Momenti

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 11

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 12

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 13

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 14

Soru

Eleman rijitlikleri ve DF

F

G

Dağıtma Faktörleri

2 kN/m

A

C

2 kN/m

B

B

D

12

Iko l= 0.5 Ikiriş J

H 25m

6

K

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 15

DF

C

K

DF

BA

0.0375

0.246

CB

0.04

0.314

BF

0.0375

0.246

CG

0.0375

0.294

BC

0.04

0.262

CD

0

0.000

BH

0.0375

0.246

CJ

0.05

0.392

 07.02.2013

Düğüm Noktası

Düğüm Noktası

10

8

10

40 kN

 0.1275

0.1525

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 16

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 18

Ankastrelik Momentleri F

G

2 kN/m

C

2 kN/m

B

D

12

Iko l= 0.5 Ikiriş J

H 25m

07.02.2013

10

8

10

40 kN A

6

MBA

-134.400

MBC

104.167

MCD

36

MCB

-104.17

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 17

Soru

Eleman rijitlikleri, Ankastrelik Momentleri 50 kN

2.5 kN/m A

B

C

12m

I=Tüm el. aynı ve sabit; Yanal öteleme önlenmiş

D

2.5 kN/m

20m

07.02.2013

E

2.5 kN/m 10

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

F 10

SLIDE 19

Köşelerde kiriş: K=I/20 kolon K=I/12 Merkezlerde kiriş: K=I/20 kiriş: K=I/20 kolon K=I/12

DF=0.375 DF=0.625 DF=0.272 DF=0.272 DF=0.456

Ankastrelik momentleri ise MABF= MDEF= MEFF= ± 83.33kNm MBCF=±125kNm 07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 20

SAKARYA ÜNİVERSİTESİ MF İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ Department of Civil Engineering İNM 303 YAPI STATIĞI II

İNM303 YAPI STATIĞ II

MOMENT DAĞITMA SİMETRİKANTİMETRİK

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 21

07.02.201331 Ekim 2006 Salı

DR MUSTAFA KUTANİS

SLIDE 22

MOMENT DAĞITMA SİMETRİK

MOMENT DAĞITMA ANTİMETRİK

• Bir simetri eksenine göre tüm elemanları ve mesnet şartları benzer olan taşıyıcı sisteme simetrik sistem denir. Simetrik taşıyıcı sistemde yüklerde simetrik etkirse bu sistemlere simetrik sistemler denir (Şekil ).

M

M a

Q

P

P

M

a

a

Q

a

Q

Q

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 23

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 24

Antimetrik sistemde  kesme kuvveti,  ux simetri eksenine dik yer değiştirmeler   dönme açısı simetrik,

Simetrik sistemlerde:    

P M

P

07.02.2013

• Simetrik taşıyıcı sisteme yükler antimetrik etkirse bu sistemlere antimetrik sistemler denir (Şekil ).

mesnet tepkileri, eğilme momenti, normal kuvvet ve uy simetri eksenine paralel yer değiştirmeler simetrik,

• Mesnet tepkileri,  kesme kuvveti ,   dönme açıları ve  ux simetri eksenine dik yer değiştirmeler antimetriktir. Simetrik sistemde simetri eksenin geçtiği bir kesitte antimetrik statik büyüklüklerin değeri sıfırdır, (V= 0 ; ux = 0 ve  = 0). 07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 25

• eğilme momenti,

• normal kuvvet • uy simetri eksenine paralel yer değiştirmeler antimetriktir.

Simetri ekseninde antimetrik kesit tesirleri ve çubuk eksenine paralel yer değiştirme sıfırdır (M = 0; N = 0;, v =0). 07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 26

SİMETRİK YÜKLÜ, SİMETRİ EKSENİ AÇIKLIK ORTASINDAN GEÇEN

SİMETRİ EKSENİ

P1

P2

P1

P2

P2

P1

• AÇIKLIK ORTASINDAN GEÇEN • KOLONDAN GEÇEN • MESNETTEN GEÇEN

K’=0.5K

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 27

07.02.2013

ANTİMETRİK YÜKLÜ, SİMETRİ EKSENİ AÇIKLIK ORTASINDAN GEÇEN P1

P2

P2

SLIDE 28

SİMETRİK YÜKLÜ, SİMETRİ EKSENİ KOLONDAN GEÇEN

P1

P M

Q P1

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

P

P M

M

Q

Q

P2

K’=1.5 K

kolon üst başı: ux=0; uy≠ 0; =0; Mkolon=0; Vkolon=0

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 29

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 30

SİMETRİK YÜKLÜ, SİMETRİ EKSENİ MESNETTEN GEÇEN

ANTİMETRİK YÜKLÜ, SİMETRİ EKSENİ KOLONDAN GEÇEN P

P

M

P

P

Q

P

M

M

a

Q

Q

a

I

3I

3I

I

L1

L2

L2

L1

P a

ux=0; uy=0; =0 kolon üst başı: uy=0; Mkolon üstbaşı=0; Nkolon üstbaşı=0; Nkolon=0

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

I

3I

L1

L2

SLIDE 31

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 32

SLIDE 33

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 34

ANTİMETRİK YÜKLÜ, SİMETRİ EKSENİ MESNETTEN GEÇEN P

P

a

a

I

3I

3I

I

L1

L2

L2

L1

P

ux=0; uy=0; ≠0 M=0; N=0

a

07.02.2013

I

3I

L1

L2

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SİMETRİDE

Dağıtma sayıları simetrik K=0.45

DF

ab

ba

bc

be

eb

ab

ba

bc

be

eb

1

0.33

0.22

0.45

0

1

0.23

0.46

0.31

0

ANTİ-SİMETRİDE

MF K=0.65

Toplam

-93.75

-93.75

30.93

20.63

42.2

21.1

21.56

43.12

29.06

14.53

-62.82

20.63

42.2

21.1

-72.2

43.12

29.06

14.53

Süperpozisyon kuralı gereğince

3PL  93.75 Mb a  16 07.02.2013

antimetrik

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 35

Mba= (-62.82)+(-72.2)=-135kNm

Mcd= (+62.82)+(-72.2)=9.38kNm

Mbc= 20.63+43.12=63.75kNm

Mcb= (-20.63)+43.12=22.5kNm

Mbe=42.2+29.06=71.26kNm

Mcf=(-42.2)+29.06= 13.14kNm

Meb=21.1+14.53=35.63kNm

Mfc=(-21.1)+14.53= 6.57kNm

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 36

Süperpozisyon Yukarıda yapılan süperpozisyon işleminde, • Simetri ekseninin  solundaki moment değerleri elde edilirken, simetrik ve antimetrik Cross sonuçlarının AYNEN alındığına; • Simetri ekseninin  sağındaki moment değerleri elde edilirken, simetrik kros sonuçlarının ZIT İŞARETLİSİ , antimetrik Cross sonuçlarının ise BENZER İŞARETLİSİNİN alındığına dikkat ediniz.

07.02.2013

DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 37



07.02.2013



DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 38

SAKARYA ÜNİVERSİTESİ

ÖRNEKLER

MF İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

4 t/m

Department of Civil Engineering A

D 15 m

AB

20

BA

BC

1

2/3

1/3

MF

0

-60

133.33

48.88

-24.44

07.02.2013

15

MOMENT DAĞITMA YÖNTEMİ HARDY CROSS YANAL DEPLASMANLI SİSTEMLER

KBA=0.75 I/15=0.05 KBC=0.5I/20=0.025 ∑K=0.075 DFBA=2/3 DFBC=1/3

DF

0

İNM 303 YAPI STATIĞI II

C

B

Y.DOÇ.DR. MUSTAFA KUTANİS [email protected] Sakarya Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü Yapı Anabilim Dalı

MFAB = 0 MFBA = -60 tm MFBC = 133.3 tm

- 108.89 108.8 8 DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖL.

SLIDE 39

07.02.2013

DR.MUSTAFA KUTANİS

SLIDE 1

Düğüm Noktaları Hareketli Sistemler Soru 1

∑Fx≠0

· X1

Fiktif mesnedi kaldır Yanal deplasman oluşur

R’ burada sisteme  deplasmanını yaptırıyor

∑Fx=0:

07.02.2013

07.02.2013

Fiktif mesnet koy. Yanal deplasman yok

R + R’ · X1=0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 2

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 3

C düğüm noktasına fiktif mesnet konulur, düğüm noktaları sabit sistem Cross’la çözülür.

Elde edilen sonuçlara göre, yatay mesnet tepkileri

07.02.2013

07.02.2013

(Ax ve Dx) elde edilir. Sisteme etkiyen tüm yatay kuvvetler serbest cisim diyagramında gösterilir.

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 4

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 5

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 7

R=7+8.27-6.23=9.04k R 7.0 k

?

Ax=8.27 k

07.02.2013

07.02.2013

Dx=6.23 k

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 6

(RASTGELE(ARBITRARY) DN YERD)

 dn hareketinden dolayı MABF=-1000 k olduğunu varsayalım. Rijitlikleri oranından MDCF bulunur. Sistem Cross la çözülür.

MFAB 

07.02.2013

M

(Ax ve Dx) elde edilir. Sisteme etkiyen tüm yatay kuvvetler serbest cisim diyagramında gösterilir.

6EI  2   390.625k 16

07.02.2013

F DC

Elde edilen sonuçlara göre, yatay mesnet tepkileri

6EI 6EI  2   1000k L2 10

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 8

SLIDE 9

? 7.0 k

+ X ·

Ax=104.9k Dx=36.7 k

Ax=8.25 k

Ax=104.9k

R’=104.9+36.7=141.6k

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

Dx=36.7 k

07.02.2013

07.02.2013

Dx=6.23 k

SLIDE 10

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 11

[7+8.25-6.23]+X·[104.9+36.7]=0

9.02+X ·141.6=0 X=-0.0637 bulunur.

07.02.2013

07.02.2013

Gerçek moment değeri = Case I + X ·Case 2

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 12

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 13

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 15

07.02.2013

07.02.2013

Soru 2

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 14

07.02.2013

07.02.2013

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 16

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 17

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 19

Fiktif DN kaldırılır

07.02.2013

07.02.2013

R’ nedeniyle oluşan  deplasmanından dolayı oluşan ankastrelik momentinin =100kNm olduğunu varsayalım!

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 18

R+X·R’=0 -0.92+X 56=0 X=0.92/56=0.016428 bulunur. Gerçek moment değeri = 1. durum + X ·2.durum

07.02.2013

07.02.2013

süperpozisyonuyla elde edilir.

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 20

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 21

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 23

07.02.2013

07.02.2013

SON HALİ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 22

EI= sabit

07.02.2013

07.02.2013

Örnek Soru

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

Fiktif mesnetli

Fiktif mesnet

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 24

kaldırıldı

Fiktif mesnetli

SLIDE 25

Fiktif mesnet kaldırıldı Ankastrelik Momentleri

Varsayım:

07.02.2013

07.02.2013

Denge şartı:

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 26

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 27

07.02.2013

07.02.2013

Denge şartı:

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 30

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 29

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 31

07.02.2013

SLIDE 28

07.02.2013

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

TC. SAKARYA ÜNİVERSİTESİ, MF İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ Department of Civil Engineering

TANIM • Tesir çizgisi: Sistem üzerinde belirli bir doğrultuda hareket eden 1 birimlik bir kuvvetten dolayı belirli bir kesitteki statik büyüklüğün (mesnet tepkisi, moment, kesme kuvveti, ... ) değişimini gösterir.

YAPI STATİĞİ 1 TESİR ÇİZGİLERİ

07.02.2013

DR. MUSTAFA KUTANİS

07.02.2013

İZOSTATİK SİSTEMLERİN HAREKETLİ YÜKLERE GÖRE HESABI SLIDE 1

• Sistem üzerinde hareket etmekte olan 1 kN luk düşey kuvvetin herhangi bir konumda, herhangi bir büyüklüğün (mesnet tepkisi, eğilme momenti, kesme kuvveti, ...) değerini, 1 kN luk kuvvetin altında ordinat almak suretiyle çizilen diyagrama, bu büyüklüğe ait tesir çizgisi diyagramı denir. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

HAREKETLİ YÜK ÇEŞİTLERİ

SLIDE 2

HAREKETLİ YÜK ÇEŞİTLERİ

07.02.2013

07.02.2013

İlgili Standartlar:

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 3

TS498; ASCE 7-01; EUROCODE 1 (garajlarda hafif araç yükleri) KARAYOLLARI TEKNİK ŞARTNAMESİ; AASHTO (Ağır tekerlikli araç yükleri)

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 4

07.02.2013

07.02.2013

HAREKETLİ YÜK ÇEŞİTLERİ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 7

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 6

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 8

07.02.2013

SLIDE 5

07.02.2013

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

STANDARD DESIGN VEHICLES The AASHTO Standard Specifications for Highway Bridges identifies three types of design vehicle loads. The first two represent categories of individual vehicles and are routinely referred to as the H or HS truck. • The H truck configuration includes only two theoretical axles and represents dump truck vehicles.

Figure 82. H20 design truck vehicle (after AASHTO standard specifications) [8,000 lbs = 3,632 kg; 32,000 lbs = 14,528 kg].

– The AASHTO specifications present information related to two sizes of H-type vehicles: 1.

07.02.2013

07.02.2013

2.

Standard 20-ton (18-metric ton (MT)) (i.e., H20 (M18) truck, as in figure 82) or A smaller 15-ton (13.5-MT) vehicle (the H15 (M13.5)).

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

Figure 83. HS20 design truck vehicle (after AASHTO standard specifications) [8,000 lbs = 3,632 kg; 32,000 lbs = 14,528 kg].

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 9

SLIDE 10

Araç altında yayılı yük – AASHTO identifies the conventional semi- or tractor-trailer vehicle as an HS truck configuration. It is identical to the H truck, but with an extra 32,000-pound (14,528-kg) axle representing the rear axle of the trailer. The standard HS20 vehicle weighs 36 tons (32.7 MT), and the smaller HS15 weighs 27 tons (24.5 MT) (see figure 83).

m (30 ft) between the rear axle of one vehicle and the front axle of the following vehicle), with a heavier H20 truck in the middle of the string. This type of vehicular load is important for long-span structures, where slow traffic can lead to a bunching effect, with heavier loads than those generated by higher speed traffic and traveling with more space between vehicles (see figure 84).

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 11

Figure 84. Lane load configuration (after AASHTO standard specifications) [18,000 lbs = 8,182 kg; 11,818 kg, 640 lbs/ft = 954 kg/m].

07.02.2013

07.02.2013

• The third type of design-vehicular load is what AASHTO terms lane load. This uniform load scheme represents a string of closely spaced H15 single trucks (with 9.15

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 12

HAREKETLİ YÜKLERE GÖRE HESAP

07.02.2013

• As the trucking industry has consistently managed to obtain permission from regulatory agencies for bigger and heavier trucks, there has been commensurate pressure to increase the design vehicle used for bridge design. Several years ago, States began addressing this issue by adopting a scaled-up version of the HS20 vehicle, the HS25. Since then, this has become a common design vehicle, albeit incompatible with the typical types of vehicles traveling through a covered bridge. AASHTO also has an LRFD specification, in which an HL93 loading is used. The HL93 is an HS20 truck with the lane load added. These very heavy rigs do not travel very often on the secondary roadways where most covered bridges are located. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

07.02.2013

• These three vehicular load types evolved from the initial AASHTO specifications, published in 1935. While each load type is a simplified representation of the diverse vehicle configurations and weights that actually travel the roadways, this trio of AASHTO loads is acceptably accurate for the purposes of designing most bridge components. Consistent design load, unless it is completely unrealistic or radical, serves the structural design profession well.

• Hareketli yüklerin sistem üzerindeki konumları değişkendir. • Hareketli yükler etkisindeki bir yapı sisteminin boyutlandırılması için, sistemin her kesitinde, hareketli yüklerden oluşan en elverişsiz (maksimum veya minimum) kesit zorlarının hesaplanması gerekmektedir. • Hareketli yüklerden oluşan en elverişsiz büyüklükler genel olarak araştırma ile bulunabilir. Bunun için, hareketli yük sistemin üzerinde hareket ettirilerek, yükün her konumu için aranan büyüklüğün değeri hesaplanır. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 13

•

Sisteme ait herhangi bir büyüklüğün tesir çizgisi diyagramı çizildikten sonra, bu diyagramdan yararlanarak; – Verilen bir yükleme için sözkonusu büyüklüğün değeri – Verilen bir hareketli yük için sözkonusu büyüklüğün alacağı en elverişsiz değerler

07.02.2013

07.02.2013

• Araştırmanın daha sistematik olarak yapılabilmesi için, TESİR ÇİZGİLERİNDEN yararlanılır. Bunun için 1 kN luk (1 birimlik) düşey kuvvet sistem üzerinde hareket ettirilerek, kuvvetin her konumu için aranan büyüklüğün değeri hesaplanır ve bu değerlerden yararlanarak TESİR ÇİZGİSİ DİYAGRAMI çizilir.

SLIDE 14

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 15

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 16

07.02.2013

07.02.2013

Tesir Çizgisi Diyagramlarının Çiziminde Uyulacak Kurallar

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 17

VİRTÜEL İŞ

Ay mesnet tepkisi için A ucunda 1 birimlik bir düşey virtüel deplasman uygulanmıştır. Bu bir birimlik deformasyon uygulandıktan sonra meydana gelen mekanizma durumunda B deki dönme açısı 1/L ve B den x’ uzaklığındaki deplasman y’ =x’/L dir (genlik=açıXmesafe) DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 19

• Virtüel İş: (iş=kuvvet * yol) DÖNME AÇISI YETERİNCE KÜÇÜKSE Dış kuvvetlerin yaptığı iş= iç kuvvetlerin yaptığı iş AY·(1)-P· y’+ BY·(0)=0 P=1 için: AY= y’ olur

07.02.2013

07.02.2013

Tesir Çizgisi Diyagramının Elde Edilmesi: VİRTÜEL İŞ

SLIDE 18

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 20

TC. SAKARYA ÜNİVERSİTESİ, MF İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ Department of Civil Engineering

Sabit Mesnet

MEKANİZMA

07.02.2013

İzostatik sistem -1 SD ni kaldır = Mekanizma DN larının dönmesi prensibi

07.02.2013

DR. MUSTAFA KUTANİS

SLIDE 21

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

07.02.2013

Kesme Kuvveti TÇ

07.02.2013

Ankastre

SLIDE 22

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 23

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 24

07.02.2013

Ankastre

07.02.2013

Sabit Mesnet

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 25

Eğilme Momenti TÇ

SLIDE 26

Sabit Mesnet

M+

07.02.2013

07.02.2013

M+

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 27

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 28

07.02.2013

kesme tç genel-1

07.02.2013

Ankastre

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 29

07.02.2013

moment tç genel -1

07.02.2013

kesme tç genel-2

SLIDE 30

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 31

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 32

moment tç genel -2

Soru-1

07.02.2013

07.02.2013

Mafsal

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

Tesir çizgilerini çiziniz. A, C ve E mesnet tepkileri için D noktası Kesme Kuvveti D noktasında Moment C mesnedinden önce ve sonra Kesme kuvveti için C noktasında moment

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 33

07.02.2013

C mesnet tepkisi TÇ

07.02.2013

A mesnet tepkisi TÇ

SLIDE 34

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 35

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 36

D noktası Kesme Kuvveti TÇ

07.02.2013

07.02.2013

E mesnet tepkisi TÇ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 37

SLIDE 38

Csol (ve Csağ ) Kesme Kuvveti TÇ (1/3)

07.02.2013

07.02.2013

D noktası Moment TÇ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 39

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 40

(Csol ve) Csağ Kesme Kuvveti TÇ (2/3)

(Csol ve) Csağ Kesme Kuvveti TÇ (3/3)

C+ da TÇ hesaplanıyor. Bu nedenle sadece CDE Serb.Cisim D çizilmesi yeterli olur

07.02.2013

07.02.2013

Denge Koşulu

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 41

C noktası Moment TÇ

07.02.2013

07.02.2013

Denge Koşulu

C noktası Moment TÇ

SLIDE 42

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 43

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 44

A mesnet tepkisi TÇ

Tesir çizgilerini çiziniz. A, ve C mesnet tepkileri için D, E ve F noktası Kesme Kuvvetleri D E ve F noktası Momentleri

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

07.02.2013

07.02.2013

Soru-2

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 45

07.02.2013

D noktası Kesme Kuvvetleri

07.02.2013

C mesnet tepkisi TÇ

SLIDE 46

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 47

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 48

07.02.2013

F noktası Kesme Kuvvetleri

07.02.2013

E noktası Kesme Kuvvetleri

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 49

07.02.2013

E noktası Moment TÇ

07.02.2013

D noktası Moment TÇ

SLIDE 50

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 51

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 52

TESİR ÇİZGİLERİN KULLANILMASI

F noktası Moment TÇ

CL

VL Mesnet tepkisi tesir çizgisi diyagramı

07.02.2013

07.02.2013

Kiriş orta açıklığında Moment tesir çizgisi MCL diyagramı

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 53

SLIDE 54

Elverişsiz yükleme 1

07.02.2013

07.02.2013

1

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 55

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 56

1

1

1

1

+

+

-

-

07.02.2013

-

07.02.2013

-

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 57

Elverişsiz yükleme nasıl elde edilir?

SLIDE 58

ARAÇ YÜKLERİ

a1

a2

a1

2. durum

07.02.2013

07.02.2013

1. durum

a2

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 59

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 60

ARAŞTIRMA

ÖRNEK • Şekilde verilen sistemde A, B, H, Mm, Tm, Nr,Tr, Mn tesir çizgilerini çizimi. (1 birimlik düşey yük C-D-E arasında dolaşmaktadır.)

Mm=Q11+Q22+Q33

M’m=Q1’1+Q2’2+Q3’3

07.02.2013

07.02.2013

M”m=Q1”1+Q2”2+Q3”3

ELVERİŞSİZ OLAN DEĞER maksimum Mm OLARAK ALINIR DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ Ö Ü

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 61

07.02.2013

Çözüm (2/3)

07.02.2013

Çözüm (1/3)

SLIDE 62

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 63

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 64

Çözüm (3/3)

Örnek 2

07.02.2013

07.02.2013

• Aşağıda verilen sabit düşey yüklerden dolayı m kesitinde oluşan Mm, Tm kesit tesirlerini hesaplayınız. • [Boyutlar önceki örnekle aynı]

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 65

Çözüm (1/1)

SLIDE 66

Örnek 3 • Aşağıdaki şekilde verilen hareketli yük için, önceki örnekteki sistemin maksimum ve minimum Mm, Tm kesit zorlarını hesaplayınız.

M m  30 1.2  50 2.4  1 1 1 10  1.2 2  2.4 4  2.4  1.6 2  2 2  2   160 kNm

2

4

2

1 1 1 10 0.2 2  0.4 4  0.6  0.4 2  2 2 2   10kN

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 67

07.02.2013

07.02.2013

Tm  30 0.2  50 0.4 

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 68

07.02.2013

07.02.2013

Çözüm (1/1)

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 69

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ

SLIDE 70