Saraievo,2OOr
BLAGoTALUdTc LJUBo pEne
71RIKz,AD
Iz-WEWII(E I DIO
Sarajevo,2005.
Naziv publikacije: ZBIRKA ZADATAKA IZ MATEMATIKE
I dio Autor: Dr. Blagota Ludi6 Mr'. Ljubo Peji6
Recenzenti: Dr. Hamid Dr$evi6 Dr. Lejla Smajlovi6
IzdavaE: Ekonomski fakultet u Sarajevu IzdavaEka djelatnost
TadavaEa: Dekan Prof. dr. Muris eiEi6
Urcdnik: Prof. dr. Hman Muratovi€
DTP: Rasim Kova€evi€, dipl. matemtiEar
Godina
5ffit*#.-panja: TiraZ: 500 primjeraka
€mU:t.o.o. Foinica Odgovorno lie Stam pariiel
,,Sramparija
Sefrzqa Buljina
- Kotologizocfio u Publikociji Nocionolno i univezitetsko bibliotekq, Bosne i Hercegovine, Sorojevo
CIP
5t2(075.8) (076.1) 5t7.5(075.8) 8076..|) LUelC, Blogoto Zbirko zodqtoko. Dio I / Blogoto Ludi6, Ljubo Peji6. - Sorojevo : Ekonomski fokultet, 2m5' 285 str. : grof. Prikozi
:24 cm
- 605 l. Peji6, Ljubo
-8
lsBN 9958
coBlss.
BH-
67
lD 13904390
Mi5ljenjem Upravnog odbora Uprave za indireKno oporezivanje broi 15-03-05-28/05 od 15. OE.)O[S. godine, publikacija je proizvod iz ilana 13. tadka 13. Zakona o porezu na promet proiaroda i usluga, na diji se promet ne placa porez na promet proiaroda.
SADRZAJ
I.
ELEMENTI OPSTE ALGEBRE
1. El.nt*nti opite ug"bt" 1.1. El"*enti matematidke logike
........
.. .. . . . 1 . .. . 1 .. .. ....4
operacije I.I.2. Irkurtt" fot*,rl" 1.1.3. Kvantif,katori .. ..... . r]l 1.1.1. Oroorrrre logi;k"
r.2.
Ukupovi
.... . . ..6
......
rk,rpu ... ... 1.2.2. Jednakost rk,rporru I.2.3. Komlement rknpu 1.2.4. Unija skupova (u) 1.2.5. Preslek rk,rporru (n) .. L.2.6. R*liku ,k,rpolru (\) .. I.2.7. Simetriina t*liku (A) tupova 1.2.8. Partitivni .k,rp ,,..... t.2.9. Uredeni p*. D"k*tov t'roizvod ....
......... .7 ........ .7 .....7 ......8 ..... 8
L.z.I. Podrk,tp
.
.....
T\I
.
.. 10 .. .....10 .....10 .
relacije
1.3.1. Ornorno
.......
13
o*bl.r" relacije
ili futcija Vrste proliku*nja ..
.....I7 ........18
r.4. Ptolikarranje 1.4.1.
.... . ..9
........9
.
1.3. .binarne
1
.. 1.4.3. Kompozicija funlcija .. . . 1.5. Bi"atne operacije .... 1.5.1. Orrrorrn" o*birr" operacija 1.4.2. Irrrr"rrrro preslikavanle ..
.
.....:.
..19
.. ..19
........23 .. . ..
. . . 23
II - ELEMENTI LINTEARNE
ALGEBRE
c) it /t Z. IVlatrice ..
..
q1 n Z.I. Usnovnipojmovi.... oq '1.'1.
........27
n Uperacije sa
matricama 2.3. Determinante
r g?1 n 'I L.tr.L. Jsobine determinanta
..
.
rnatrica 2.5. Ra"g matrice 2.6. Matriinejednaiine..
..
3.3.
Matriinametoda....
o,t
/1 J.4. Gausova
I
metoda
.......44 ........44 sa
n
nepoznanica
.
........
+. Vektorski prostor
4.1.Ostotnipojmovi.... {.2. Sist**i
'ektora
44
........47
......
3.5. R;"Su*nje i saglasnost nehomogenog sistema od * linearnih jednadina n nepoznatih . .. ... .. 3.6. Sist"* linearnih homogenih / rr I I
33
........40
.
lin"*nih ;ednaiina
.. ..
....34
3.1.Ostounipojmovi.... 3.2. N"ho*ogeni sistem od n
... 28 ...29 ...29
.)tl T '1.4. Inverzna
3. Sirt"*i linearnih 3ednadina
.. .27
jedna6ina
...
49
sa 56 59
.... 64 ........64 ........66 ...
FUNKCIJE REALNE PROMJENLJIVE
1. Pojam funkcije ,"uln. promjenlli
2. Crufi.i elementarnih T\T. o. ' I\rzovl .... /l^.vlfl +. \rranrcna vr{ednost
...... ....Tg
funkcija tunkcije
4.1. Upor"divan;e beskorraino 4.2. 0graniienost funLcije
5.
r.
...
10J
. 118
*ulih i beskona6rro rr"likih.,o"libiou ...
5.1. Osnolrrr" orobirr" t"pr"kidrrih
119 119
.......l3b
funkci;a
6. Difet"ncijalni ra6un funkcije jedne promjenjl;irr"
f,rt"i;"
.. funkcija
6.2. 0sno'tnapravila diferenciranja 6.3. Tubli.aizvod,aosnovnih 6.4. Ir"od sloZene
84
.. ..
N.pr"kidnostfunLcije 6.1. Ir"od
.....
..
130
....
14b
..
14b
.......146 .......146
fu*"i3"
......
6.5. Ir"odi funkci3a koje nisu eksplicitno 6.6. Diferencijal
funlcije
zadaft
151
...154
.. 157 6.7. Ir"od i diferencijul .,"ktor-frrtk"i;* ko-pl"ksr,e i matridne funkcije .. .. 165 6.8. Irrrodi i diferenci5ali .iSeg reda .. . 174 6.9. 0srro.rne teoreme diferencg alrrog raduna 6.9.1. Rolonu, Langraiova i Koiijeva
tmrema
.......180 .. 184
teorema 6.9.3. G3lo.onu i Maklorenova for-rrlu 6.9.2. Lopitalova
7. Ispitivanje
futcija
pomo6u izvoda
..
....... 189
.
.
Nejedntosti 7.2. Ekstremne vrijednosti funkcije 7.1. RaS6eqje i opadanje funkcije.
7.3. NaSveia i najmanja vrijednost funLci;e na segmentu lll
.. ...
204
...203 ....210
...
.. .218
fu"kcije
7.4. Ko"l*"nost, konveksnost i prevojne taike 7.5. Asi*ptote
futcije . .
7.6. KonstruLcija gtuf,ku
8. F,tnk.ije viie
funkcije
promjenl;i"ih
8.2. Pa.cilalni izvodi i totalni diferencijal 8.2.1. Parcijalni
.
....
....
3i,l;:',jj:.1**;il,; [ot*,tlu
.. . ..
:: :
. vrijednosti futciie dvije promj"ttlit'"
8.5. Te;lorova i Maklor"torru
..
..:
8.6.1. Dorroljni uslovi za egzistenciju lokalnih ekstrema
ekstremi 8.7.1. Metod eliminacije 8.7.2. LangraZov metod
8.7. Utlo"ni (vezani)
lv
....220
.......251 .....251
izvodi
8.2.2. Tot*ltidiferencilal
..
.......224 .....228
8.1. Ornonni pojmovi, graniina vrijednost i neptekidnost
8.6. Ekstrernne
..
..
.
260
... .. 260 .....264
iT, .. .. ....272
...274 .. .. .. 275 -..279
....279 ....279
1.
Elementi opste agebre
1.1. Elementi matematidke
logike
Svaka redenica koja ima smisla i kojoj se moZe pridruZiti sarno jedna od istinitosti vrijednosti tadan (T) ili netadan (-J_) naziva se iskaz (ili sud) . Iskaze obidno oznadavamo malim slovima p,Q,r,... a istinitosnu vrijednost iskaza oznadavamo sa r (p), r (q), .... Iskazi su napr. reienice: p :"Sarajevo je najveci grad u Evropi', q ,"2 + 3 . 4 :14, pri iemu je ,(p): _L, r(q) : T. Redenica "Matematika je veoma interesantna nauka" nije iskaz, jer je za nekog ta redenica tabna, a za nekog nije. Ni redenica " r +3: 5" nije iskaz sve dok z ne uzme odredenu vrijednost. Za n :2 to je taian iskaa, a za sve ostale vrijednosti je netadan iskaz. Od iskaza se, logibkim operacijama, prave sloZeni iskaai, koji mogu biti tadni ili netadni, Sto zavisi od polaanih isk#a.
1.1.1. Osnovne logieke operacije 1.1.1.1. Negacija Iskaza (-) Neka je dat neki isl
Tablica istinitosnih vrijednosti za negaciju je:
Napomena: Iz prakticnih raaloga umjesto r(p) utablicama istinitosnih wijednosti moZemo pisati sarno p, Sto uz dodatni oprez neie izazvati zabunu. Napr.: negacija iskaaa p :2 * 3 : b (tadan iskaa) je iskaa -p : Nije 2 * 3 :b (netadan iskaz)
(n) Neka su p i q dva iskaza. Is\az p i i q i u matematidkoj logici oznadava se sombolom p n g
1.1.1.2. Konjunkcija dvaju iskaza konjunlecija iskaza p
g zove se
Thblica istinitosnih vrijednosti za konjunkciju je: p
q
p Aq
T T
T
T
I
I I
T
I I
l_
l_
Konjunkcija dva iskaza je istinita samo onda kad su istinita oba iskaza. Napr.: p: Broj 6 je prost broj (I) i q: Glavni grad BiH je Sarajevo (T) Iskaz. p Aq: "6 je prost broj i glavi grad BiH je Sarajevo".
1.1.1.3. Disjunkcija dvaju iskaza
(I)
(V)
Neka su dati iskazi p i q. Isalie,z p iIi q zove se logici oznalava se simbolompv q. Tablica istinitosnih vrijednosti za disjunkciju je:
disjunkcija iskaza
pi qi u matematidkoj
p
q
pv
T T
T
I I
T
T T T
I
I
I
q
Disjunkcija dva iskaza je netadna sarno u sludaju kad su oba iskaza netadna. U svim ostalim sludajevima disjunkcij aje tadan iskaz. Napr.: p: Kvadrat je pravougaonik (T) q:2 < -5 (L) Islrc,z p v q: Kvadrat je pravougaonik ili 2 < -5(T)
=L.!.L.
. Implikacija dvaju iskaza (+)
Neka su data dva iskaza p i q. Iskaz ako p, onda q naaiva se hnplilcacija iskaza p \ q i u matematiikoj logici ozna(ava
p ---; q Tablica istinitosnih vrijednosti za implikaciju je:
se simbolom
p
q
p*q
T T
T
T
I
I
I I
T
T T
I
Implikacija dva iskaza je netacna samo u sludaju kada je prvi iskaz taian a drugi netadan ("iz istine ne moZe slijediti lui"), a u svim ostalim sludajevima implikacija je ta6an iskaz. Kod implikacije p 1 Q, p se zove cpretpostavka (hipoteza), a q je zakljui,ak (teza), pa se matematidke teoreme najde56e izraiavaju u obliku implikacija. Navest 6emo neke primjere za implikaciju: 1. p: Sarajevo je najve6i grad u Evropi
(J_)
q: Sarajevo je ve6e od Zenice (T)
+ q: Ako je Sarajevo najve6i grad u Evropi, onda je Sarajevo ve6e od Zenice (T) 2. p: 7:2 (I) i q: L2:7 (I) p + q: Ako je 7 :2, onda je 12 : 7 tadan iskaz, jer ako je T : 2, onda se dodavanjem objema stranam jednakosti 5, dobija t2 :7. p
1.1.1-.5. Ekvivalencija dvaju iskaza (+=+) Neka su p i q dva iskaza. Iskaa ako p, ondaq i ako q, ondapzove se elwiaalenci,jaisk,azap saiskazom q i umatematiikoj logici oznadava se simbolom p e q. Tablica istinitosnih wijednosti za ekvivalenciju je:
p#q
p
q
T T
T
T
I T
I I
l_
T
I I
Ekvivalencija dva iskaza je tadna sarno onda kada su oba iskaza tadna ili oba netadna. Naprimjer
p: T[okut je pravougli, q: Kvadrat nad jednom stranicom trokuta jednak je zbiru kvadrata nad drugim dvjema stranicama. p e q: Ako je trokut pravougli, onda je kvadrat nad jednom stranicom trokuta jednak zbiru kvadrata nad drugim dvjema stranicama i ako je kvadrat nad jednom stranicom trokuta jednak zbiru kvadrata nad drugim dvjema stranama, onda je trokut pravougli. ((T <=+ T) : T)
1,.L.2. Iskazne formule Sva,ka redenica (koja
ima smisla), zapisana matematidkim simbolima, zove
se formula.
Iskaane formule su: Iskazna slwa p, Qt rt... -p,p AQ , pV Q, F I Q, p # 4 su iskazne formule Iskaznom formulom zovemo sve ono Sto se iz I i 2 mode dobiti konadnom primjenom. Iskazne formule su napr. (p v q) 1 r, -(p A q) <==+ (-p + -q)
Primjer: Formirati tablicu istinitosti za formulu
(p
+
q) <==+
(-q
+ -p)
Rjeienje:
p+q
p
q
-tq
-tpt
T T
T
T
I
T
I
I
T
I I
T
T T
T
T T
T T
I I
I
I
-tll*
=pl
I
(p +
q) <=:+ (-g
+
-p)
T T T T
Iz posljednjeg stupca ove tablice se vidi da je ova formula tadna za sve wijednosti iskaanih slova koja se u formuli pojavljuju. Takav iskazna formula zove se toutologija. Zad,aci
1. Koriste6i simbole matematidke logike kra6e zapisati reienice
. a) Ako je bar jedan od brojeva c i y jednak nuli, onda je i njihov proizvod jednak nuli.
b)
Ako je proizvod dra broja jednak nuli,
r i y jednak nuli, onda je bar jedan od tih brojeva
c) Ako su dva broja oba pozitivna ili
d)
oba negati',ma, onda je njihov proizvod pozi-
tivan, i obrnuto, Ako je broj u veti od broj y, onda broj g nije ve6i od broja n i ta dva broja su razlitita.
2. Izrabunati:
a)
T+(T^r)
b)
(T v J-) <+
(I +
T) v (T
a
-(J-))
3. Koju istinitosnu vrijednost ima
skaz
(r rel="nofollow"> 1 Ar < a) <+ (n:2Y r:3) r : a) I, b) 2, c) 3, d) 4, e) 5? 4.
za sljede6e vrijednosti promjenljive
DoL
a)
(p Ap)
b)
(p
+
p,
v q) <+ (qv p),
c) ((p^q) <+ (pn(qnr)), ^r) d) (p^ (q vr)) s ((pnq) v (p^r)) Rje5eqie:
1.
a) (r : 0Vg :0) ==+ (r.?: 0), b) (c.U : 0) ---+ @: 0Vg :0), c) ((c rel="nofollow"> 0ns > 0) v (c < 0As < 0)) <==+ (u. A > 0), d) c>v+-(s>r)n(nl$.
2. a) T ===+(Tn
-L):T+l-:f, b) T<+TVT:TVT:T.
3. a) (1>1n 1<4)a==1(l:2V1:3), (f A T) <+ (r v 1) : -L +=+ l- : T, b) T, c) T, d) T, e) T. 4. a) Tautologija, b) tautologija
c)
p
q
r
T T T T
T T
T
I
T
I I
T
I I I I
T
T
I I l_, I
I
T I
I I
p Aq
r
T
l_
I
I
(pnq)^r T
Ar pA(qnr) Formula T f
I I I I I I
i ova formula je tautologija. d) Tautologija.
q
I I T
I I I
T
I I I I I I I
T T T T T T T T
1.1.3. Kvantifikatori Simbol Y znabi suakt, bilo koji, ma koji i naziva se unraerzatnr, kaanti,fikator. Simbol I znadi bar jedan, najmanje jedan, neki, postoji... koji i naziva se eg zi,st en cij alni ku anti f k at o r.
Primjeri:
1. Kra6e zapisati
redenice:
a) 1je najmanji prirodni broj, b) ne postoji najve6i prirodan broj, c) za svaki realan broj je (r + 2)2 : 12 + 4n + 4. 2. Proditati formule:
a)
(lre n)(r>0nr<2),
b) -(3re n)(c<1nn>2), c) -(Vc e 8)(c < 0), d) (lc e n)(Vy e R)(o 'y : a). Rje5enje:
1. a)
(Vn,
e N)n >
1,,
b) -(1ne N)(Vrn€N)m
"
:
y.
L.2. Skupovi Skup ie jedan od osnovnih pojmova u matematici i ne defini5e se. Zami5ljamo ga kao cjelina razli'iitih objekata, a te objekte nazivamo elementr,ma skupa. Skupove oznadavamo velikim latinskim slovima A,8,C..., a elemente malim slovima a, b, c,... Ako je r elemenat
skupaAondapi5emor€A,aakognijeelemenatskupa.4pi5emoyfA.Obidnoelemente skupastavljamounutarvelikezagrade. Napr. A:{o,b,c,d) toznadidasu a,b,cidelementi skupa A. Ako skup ima mnogo elemenata, onda ovakav nadin predstavljanja nije praktidan, a ako skup ima bezbroj elemenata, onda je i nemogu6e napisati sve elemente unutar velike zagrade. Navedeni skup mogii smo i ovako oznaditi A: {r I p(z)i i ditati "skup A je skup od prva detiri slova abecede". Ustvari to je skup ,4 6iji elementi imaju osobinu P(n). Skupove grafibki predstavljamo Venovim dijagramima. U oblast omedenu nekom zatvorenom linijom (s1.1) upisujemo elemente skupa. Skup koji nema elemente zove se pr&zan slrup, a oznadavamo ga sa {} iIi g Prazan skup, na primjer, je jo5 uvjek skup svih nebodera na Zemlji visokih preko 1000 metara.
Slika
1.
Slika 2.
L.2.1. Podskup skupa Skup A je podsleup skupa B (A e B) ako je svaki elemenat skupa A ujedno i elemenat skupa B,ti. AgB aa (s e A+n e B), (vidi sliku 2) Umjesto AgB (A je podskup od .B) moLe se re6i da je skup A dio skupa B. A je praui dio od B (A cB) ako postoji neki element u skupu B koji ne pripada skupu A. To se dobro vidi na slici 2.
L.2.2. Jednakost skupova Dva skupa A i B su jednaka (A : B) ako su sastavljeni od istih
A:BeA-CBABEA,
elemenata. To znadi
Prirnjer: Popuniti tablice
a)
C
{L,2, 3}
{1, 2}
T
{3} {3, 10}
{3, 4 ,7}
T
b)
I
{2,L} {2,3,2} {r,2, 3}
{1,2} T
{2,3}
I I
T
I
I
L.2.3. Komlernent skupa Ako je A podskup skupa B, onda je komplement skupa A u odnosu na skup B, skup ,4 ciji elemnti pripadaju skupu B i ne pripadaju skupu A. Komplement skupa A u odnosu na skup B ozna(ava se i sa Cs(A) (vidi sliku 3).
Slika 3.
Srafirani dio na slici 3. predstavlja Ca(A).
Primjer: Neka je B skup prirodnih brojeva.B - .nr, a skup A je skup parnih brojeva. Onda je njegov komplement C n(A)skup neparnih prirodnih brojeva.
L.2.4. Unija skupova (U) Pod unijorn skupova Ai B (oznaka A ili iz skupa B. Dakle, Au B: {c
I
Au B ) podraaumijeva
r e Av r e B},
Slika 4.
se skup
diji su elemnti iz skupa
Primjer: Nadi uniju skupova A Rje5enje:
: {r I r < 9nz e .n/} i B :
{_8,_2,_1,0, 1,2}.
AUB:{rl -4
L.2.5. Presjek skupova (n) Pod presjekorn skupova A i B (oznaka An B) podraaumijeva se skup diji su elementi iz
skupa Aiiz'skupa B ( slika b.) Dakle An B: {r I r e A nr e B}.
Slika 5.
Primjer: Dati su skupovi A - {* n <9 Ar |
iti An B.
€lr) iB -{y l1
Odred-
Rje5enje: A - {t,2,8,4, b,6, 2,8}, B - {2,3,4,5}, AnB - {2,9,4,5}. Ako je prijesjek dva skup prazan skup, onda za te skupove ka"Zemo da su d,i,sjunktni,.
1.2.6. Razlika skupova (\) Pod razlikom skupova Ai B (oznaka,, \B) .4 i nisu iz skupa
Dakle,
A\
B
r.
podrazumjeva se skup diji su elementi iz skupa
(s1.6).
: {r I x e A nx ( B}.
Slika 6.
Primjer: Odrediti raalikuskupovaA: {1,2,9,4,5,6,7,9,9}i Rje5enje: A \ B
:
{I,2,0, 2,8,9}.
B: {rl2
L.2.7. Simetridna razlika (A) skupova Simetri,ina razlika skupova A i B (oznaka A Dakle, A L B (A\ B) u (B \ A).
:
L B) je unija razlika A \ B i
Slika
Primjer: Dati su skupovi A skupova
Ai
:
{L,2,3),
B
\
,4 (slika 7).
7.
B:
{3,4,5}. odrediti simetridnu razliku
B.
Rje5enje:
A\B - {L,2,}, B\ A:{4,5}, AAB: {I,2,4,5).
1.2.8. Partitivni skup Pod partitianim skupom skupa A (oznaka P(A)) Podrazumjevanlo skup svih podskupova skupa A. Dakle, P(A) : {r | * A}. -c
Napomena: 1. Prazan skup je podskup svakog skupa 2. Svaki skup je podskup samog sebe.
Primjer: Dat je skup A
:
{a,b,c}. Naci P(A).
:
Rje5enje: P(A) {s, {o},{b} , {"} , {o,b} , {a,c}, {b, c} , {4. b, c}} , Ako skup A ima n elemenata, onda skup P(,4) itna 2" eletlttrtlata.
L.2.9. Uredeni par. Dekartov proizvod Skup od dva elementa {o, b} naaiva se joS i par. Ovdje redosljed elemenata nije bitan. Ako se tadno zna koji je element prvi a koji drugi, onda se takav skup od dva elementa zove uredeni par i oznadava sa (a,b). Uop5te je (o, b) + (b,a), a {a,b} : {b,a} . Dva uredena paxa su jednaka ako su im jednake prve koordinate (ili komponente) i jednake druge koordinate (komponente). Dakle, (a,b) : (c,d) e (a: c nb: d) Graf uredenog para (o, b) predstavljen je na slici 8. 10
,/
/,t'
------------.-
---.
.r/'
\
-'\\.
\
\\
\\
t t
\
o
o
a
Slika 8. Deleartou proizaoilskupova
Ai B (oznaka Ax B)je skup uredenih
parova kod kojih je
prva komponenta iz skupa A, a druga iz skupa B. Dakle, A x B : {(r,il | r € A ny e B} .
Primjer: Dati suskupovi proizvodaskupova Rje5enje: A x
AiB.
B:
A:
{1,2}i
B:
{a,b,c}. Nadi AxBinacrtati graf Dekartovog
{(1, a),(L,b), (1, c),(2,a\,(2,b),(2,c)}.Graf je prikazan na slici 9.
Slika 9.
Zadaci 1.
2.
Dat su skupovi A: {u lc < 10nre N} i B: {c lZ Odrediti: a) AuB, b) AnB, c) A\8, d) Ce(B)
( n<6nre N}.
Svaki uienik jedne Skole udi bar jedan od tri strana jezika i to: 300 utenika udi engleski, 270 udenika udi francuski, 240 ubenika uii njemadki, 150 udenika udi engleski i francuski, 120 uienika uii engleski i njemadki, 90 udenika udi francuski i njemadki a 30 uienika ubi sva tri jezika. Koliko udenika ima ta Skola?
3. Dati su skupovi A: {nl -2
(
c < 6n r € Z},
B:
{c lc
( 6nc e N} i
C-{nlul12nn€N}. a) Odrediti sve elemente skupova A, B, i C.
b) Odrediti skupove (A n B) \ C i (A\ B) n C. c) Predstaviti Venovim dijagramima An B, B \ C, C n B.
11
4.
Svaki udenik jedne Skole udi bar jedan od tri strana jezika i to:220 udenika udi engleski, 155 uci francuski, 160 uii njemadki, 40 uci engieski i francuski, 25 udi francuski i njemacki, 30 udi engleski i njemadki, a sva tri jezika ne udi ni jedan udenik. Koliko udenika ima u toj Skoli? jednom odjeljenju neke Skole 3 uienika igraju samo nogomet, 5 igra samo ko5arku, 4 uienika igra samo odbojku, 12 udenika igra nogomet i odbojku, 11 igra nogomet i ko5arku, 13 ubenika igra odbojku i koSarku, a 8 udenika igra sve tri igre. Koliko udenika ima u tom odjeljenju?
5. U
Rje5enje:
I.
a)
AnB:A,b) AfiB:B,c) A\B:
2. zadatak
{I,6,7,8,9}, d) Ce(B):A\.B.
6emo rije5iti pomo6u Venovih dijagrama (slika 10).
Slika 10. Sa slike se vidi da Skola ima ukpno 480 udenika.
3. a) A - {-2,-1,0, 1,2,314,5}, B: {1,2,3,4,5,6}, C: {1,2,3,4,6,12}, b)(A n B) \ C - {r,2,3, 4, 5} \ {1,2, 3,4,6,12} : {5} , (.4
\ B) iC
: {-2,-t,0} n {1,2,3,4,6,12} :
@,
c) Venovi dijagrami skupova An B, B \ C, C u B dati su na slikama 11 c)
4. Skoh ima 440 udenika. 5. U tom odjeljenju ima
32 udenika.
12
11.
a), 11.b) i
,s
AnB
B\C
Slika 1la.
1.3.
.12
:g
CvB
Slika 1lb.
Slika 1lc.
Binarne relacije
Neka je dat skup A A2
:
:
{2,4,6,8}. Dekartov kvadrat skup
,4
je
2),(4,4),(4,6), (4,8), (6,8), (8,2), (8,4), (8,6), (8,8))
{(2,2),(2,4),(2,6), (2,8),
(4,
(6,
2),(6,4), (6,6),
Ako iz Dekartovog kvadrata izdvojimo pa,rove (r,y) za koje wijedi r I U (r se sadrZi u g), onda dobijemo skup uredenih paxova p: {(2,2),(2,4),(2,6),(2,8), (4, 4),(4,8), (6,6), (8,8)} u skupu p su samo oni parovi 6ije su komponente n i y u relaciji p ,tj. izmedu njih vrijedi odnos "r se sadrZi u y" Prema tome, npv enlU @je u relaciji sa y ako i samo ako se r sadrZi u y). Binamom rvlacijom skupa A nazivamo svaki podskup p Dekartovog kvadrata ,q? b g A2). Binamom relacijom sa skupa A u skup B nazivamo svaki podskup p Dekatrovog proizvoda
AxB(peAxB). Umjesto (n,y\ e p desto se pi5e cpy.
Primjer 1. U skupu A: {2,3,4,5} definirana je relacija p : tpy e r +U <7. Napisati skup p i predstaviti ga koordinatnom slikom. Rjeienje: p : {(2,2) (2,3) (2,4) (3,2) (3,3) (4,2)} Srafirani dio na slici 12. predstavlja koordinatnu sliku relacije
p.
Primjer 2. Dati su skupovi A:.{2,4,6} i B : {1,3,5} i relacija p sa A n + U < 2r * 1- Napisati skup p i predstaviti koordinatnu sliku te relacije.
:
{(2,1), (4, 1), (4,3), (6, 1), (6,3), (6, 5)}. Koordinatna slika relacije p vidi se na slici 13. QieSerqie: p
1.3.1. Osnovne osobine relacije 1. Relacija p skupa A je
refl,ekshm,a ako (Vz e 13
A),rpr,
t
B: rpy
s
A
Slika
12.
2. Relacija p skupa A je simetricna ako (Yn,U € A),nplt 1Upn,
+ (n:U), 4. Relacija p skupa A je tranzitivna ako (Yn,U, z e A) ((npy) n (Upz)) a (sp2) 3. Relacija p skupa A je antisimetriina ako (Vr,
A
e A)(npd n(ypu)
.
Medu vaZnije relacije ubrajamo relaciju ekuiualencije i relaciju poretka. Relacija sa osobinama refleksivnosti, simetridnosti i tranzitivnosti naziva rvlacij a ekaia alencij e.
Primjer: Jelnakost
(:) je relacija ekvivalencije,
se
jer:
l. a:a 2. a.:$al-s,, 3. a:bnb:c+a-c. Relacija sa osobinama refleksivnosti, antisimetridnosti i tranzitivnosti naziva rclacija poretka.
se
Primjeri:
1. Dat je skup A: {I,2,9,4,5,6,7,8,9,10}, i relacija p:nW e hsjsvi n iy pri djeljenju sa tri imaju isti ostatak. To je kongruencija po modulu 3, tj. r = y (mod 3). Dokaaati da je p relacija ekvivalencije. L4
A
Slika
13.
Rje5enje:
( p- {
t
(1'1)' (1, 4),
(1, 7), (1, 10), (4, 1), (4, 4), (4, 7), (4, 10), (7,t), (7, 4), (7,7), (2, 10) , (10, 1) , (10, 4) , (10, 7) , (10, L0) , (2,2), (2, 5) , (2, 8) , (5, 2) , (5, 5) , (5, 8) (8,2) , (8, 5), (8, 8), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (6, 3), (6, 6), (6, 9), (9, 3), (9, 6), (9, 9)
,)
Ova relacija je reflelrsna, jer je LpL,2p2,3p3,... simetridna, jer je Lp4 A 4pL,2p5 A 5p2, ......
tranzitna, jer je lp4 A4pT
a lpf
Dakle , p je relacija ekvivalencUe.
2. Dat je skup A - {L,2,3,4,5,6}
relagije p : n I y
(r se sadrzi u y). dokazati da je p
relacija poretka. Rje5enje: P
:
{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2,2), (2, 4), (2,6), (3, 3) , (3, 6) , (4,4)
,
(5, 5) , (6,6))
Ova relacija je refleksivnajer je
1-p1,
2p2,3p3,...
ne simetridna, jer je Lp4 ali nije 4p1,
tranzitivna, jer je
LpZ
A2p4
Dakle, p je relacija poretka.
15
+
LpA,
Zadaci
1. Dat je skup A: {-b,-4,-J,-2,-1,0,L,2,3,4,b} i relacija p:rpU e n *g:0. Napisati sve elemente relacije p i nacrtati koordinatnu sliku te relacije.
2. Datje skup
B:
{-2,-1,0,1,2} i relacija p:rpysa2:y2. Napisati
sve elemente
relacije.
3. U skupu cjelih brojeva definisana je relacija p: rpA relacija ekvivalencije.
e
4|
("
- g). PoI,a,zati
da je p
4. Dat je skup A : {1, 2,3,4,5, 6} i u njemu relaciju p definisana na sljede6ei nadin:r W nA :6, r,U € A. Odrediti relaciju p c A2 i predstaviti je grafiiki.
r
:
{1,2,3,4,5,6,7,8} i relacija kongruencije po modulu 3. r = U pri y i djeljenju sa 3 imaju isti ostatak. Dokazati da je to relacija
5. Dat je skup A (mod 3)<+
e
ekvivalencije. Rje5enje:
L. p: {(-5,5),(-4,4),(-3,3),(-2,2),(-1,1),(0,0),(1,-1),(2,-2),(3,-3),(4,-4),(5,-5)} Kordinatna slika je na slici 14.
-i---;-- * ? -s l---i--- i----i- --= --'+
t
-1-
+\
Slika 14.
: t?2, -2), (-2,2), (-1, -1), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (1, -1), (2, 2), (2, -2)I Za (Yx e Z) wijedi refleksivnost jer je l (c - o), tj. 4l0 za (Ys,g € Z) za koje je l@-il + l-@-y) + al(U- r) lto znafi da je relacija p simetridna (Yx,y, z e Z) ako je 4 | (n - 0 4 | (y - z) + 4 | ((n - u) + (y - z)) + a | @ - z) pa
2. p 3.
je relacija tranzitivna. Kako je^ ova relacija refleksivna, simetridna i tranzitna, to je p relacija ekvivalencije. 16
4. p - {(1,6)
,
(0, 1) , (2,8)
, (g
,2)} .Graf relacije p je na slici lb.
2 3 4
Slika
5
15.
5. Relacija = (mod t) : / (1,1),(1,4),(L,7),(4,1),(4,4),(4,7),(7,L),(7,4),(7;7),(2,2),(2,5),(2,8), (5,2),(5,5),(5,8),(8,2),(8,5),(8,8),(3,3),(3,6),(6,3),(6,6) l. PoSto ova relacija ima svojstvo refleksnosti, simetridnosti
to je relacija :
L.4.
i tranzitivnosti,
(mod B) relacija ekvivalencije.
Preslikavanje
Preslikavanjeilifunkcija osobine:
)
f
ili funkcija sa
Au B(f :A-B) je svaki podskup f s A,xB koji ima
1. (Vr e A)(1y e B) (n,il € f ,
2. (s,0 e f n(n,z) €.f --r
A:
z.
Drugim rjedima, svakom elementu iz skupa A (La" prvom u paru), moZe se pridruZiti sarno jedan elemenat iz skupa B (lra" drugi u paru) Umjesto (n,y) € f pi5emo y argument , ef (r) je slika ili vrijednost funkcije. Skup A naaiva se d,omen ili oblast definisanosti funkcije, a, skup B je antidomen ili kodomen ili oblast vrijednosti funkcije (rl.10)
AB
F:A+ B
Slika L7
16.
L.4.L. Vrste pres]ikavania
Slika
Slika 17.
18.
Preslikavanj e : A --+ B je konstantno 1h konstanta ako je f (A) jednodlan skup (vidi sliku 17). R Preslikavanje f : A --+,4 je identi\no preslikavanje <+ f (n): r,(Yr € A). Ako je (simetrala I (R je skup realnih brojeva) onda je graf identidnog preslikavanja prava U
f
A:
:r
i II
kvadranta) (s1.18.) : A --+ B je sirjekcija (preslikavanje NA) ako Preslikavanje (svaki element skupa B je slika nekog elementa iz A). Preslikavanje
!
<+ e*b===+ f Preslikavanje
f
je f (A) :
f
r
(s1.19)
: A -* B je injekciia
Slika 20. Slika 19. (a) * f (b) (vidi slika 20) (r azLrci tim orginalima odgovaraj u r azlieite slik" :A+B je bijekcija <+ / je sirjekcija i injekcija (slika 2I.)
)
.
Slika 2I. Primjeri:
1. Dati su skupovi A
:
{!,2,9,4,5} i B : {3,5, 7,9,1L,12} . Odrediti wstu preslikarranja
f:A-Bdatog.tablicom fi
1
2
3
4
5
f (r)
3
5
7
9
11
g o ova,raiu
Ovo preslikavanje je injektivno jer razliditim orginalima
razlidite slike 18
2.
Dati su skupovi A - {L,2,3,4, 5} i B
f:A- rel="nofollow">Bdatog
tablicim:
r
1
2
3
4
5
f (n)
1
1
4
4
7
-
{I,2,3,4,5,6 ,7). Odrediti vrstu preslikavanja
Ovo preslikavanje nije sirjekcija, nije ni injekcija, pa kailemo
a ie to nreslikavani vanJe sa A u B. 3.
Dati su skupovi A datog tablicom:
{0, 1,2,J,4}
r
0
1
2
3
4
f (r)
1
2
3
4
c
iB
Ovo preslikavanje je bijekcija.
1.4.2. Inverzno preslikavanje Ako je preslikavanje f : A --+ B bijektivno, onda postoji irwerzno preslikaaanje f-L: B --+ A, definisano sa (y, r) e f-t e (n,y) e f . Po5to su tadke (*,y) i (U,x) u koordinatnom sistemu simetridne u odnosu na pravu U : *, to su i grafici inverznih funkcija simetridni u odnosu na pravu g : n. .
1.4.3. Kompozicija funkcija Neka su data preslikavanja
f : A-r B i g : B --+ C.
Slika 22.
Pod,kompozicijompreslikavanjafigpodraaumjevasepreslikavanjeh:gofrA--+C definisano sa (s o f) @) : g (f (n)) ,Yr e A (vidi sliku 22.) -Primjer: Date su funkcije f (n): -2n*L: A: {t,Z,Z,+y --+ B: {-1,-3, -5,-7,-gl, :10*c : B : {-1,-A, -5,-7,-g} * C : {I,9,5,7,9, j.1}. Odrediti kompoziciju funkcija / i g.
g(x)
19
Rje5enje: .f
g:
:
-I) ,(2,-3) , (3, -b), (4, -T)} , {(-I,9),(-3,7),(-5,5),(-7,3), (-9,1)}, h: {(1,
o/:
{(1,9),(2,7),(8,5),(4,9)i
h:9o f : g (/(z)):10+ (-2n-t 1):1t -2r,paje h:
{(1,9) ,(2,7),(g,b),(4,8)}.
Ili
g
drukdije:
Zadaci 1. Data su preslikavanja: a) b) c). Kakva su preslikavanja u sludaju
a)
, b) , c)?
ABBA
6"\'{ {,'\
w:, aDc
2. Dati su skupovi A
-
b
:
{a,b,c,d} i B
{1,2,3}. Koje je preslikavanje sirjekcija:
(u) f - {(o, 1), (b,2),(c,1), (d,,z)I , (b) s - {(o, 1) , (b,3) ,(c,2) ,(d,3)} ,
(.) h 3.
4.
{(o, 1), (b, 1), (c, 1), (d,L)}?
Dati su skupovi A - {I,2,3,4, 5} i B : {5,7,3, 11,9} i funkcija Odrediti 7-r @) : B * A, p& naii 7-t (7) . Date su funkcije
Odrediti
f (r) -\tr -
g"(fos)-t.
1:
R-> R i g(r) -2tr +5: R --+ n.
A: {*2,-L,0,1,2}, B : {0,L,2,4} i C: f (r) : x2 : A --+ B i g (n).: n, - 3 : B -> C.
5. Dati su skupovi preslikavanja
(a) Predstaviti grafom kompoziciju H preslikavanja (b) Napisati sve elemnte gunkcija l, g i h. 6. Dati su skupovi
A:
{n l3 <
f(r)-2tr+1 :A+8.
r < 10n c e fi} i B:
(u) odrediti jedno bijektivno preslikavanje (b) odrediti / (5) . 20
f
t
A
*
f
i
{-3, -2,-1,0,1,2,3} i
g,
{c l3 < r
7. Dati su skupovi
{rl-i 1nZ-4An€R} i B: {rlLz-r
jedno bijektno preslikavanj e f : A
8. Data su preslikavanja / (n)
--+
B, pa nati
f (-2)
<11A n€Rl. Odrediti
.
:3r * 5 : R --+ R i g (n) : -2t*
1
:,&
--+
fi.
Na6i
(a) kompoziciju preslikavanj a f (n) i g (n) , (b) inverzno preslikavanje prslikavanja g o f . 9. Data su preslikavanja f (3n-1)
: -Jr*2:
R -+ R
i
Odrediti:
s(r): -+r- |,
n---+ R.
(a) kompoziciju preslikavanj a f (r) i g (n) , (b) inverzno preslikavanje preslikavanja g o f
f (-?-- 1) : -2n * 4: Na6i kompoziciju fr\dtj" t 6l i g (r)
10. Date su funkcije
R--+
R
lt \ t i ,fA'*r):t-i*:R-+R.
.
Rje5enje:
I.
u)
f je preslikavanje
sa
{a,b,c,d,} u B : {1,2,3,4} {a,b,c,d} na B : {L,2,3,4},
A:
b) g je bijekcija sa A : c) h je sirjekcija sa A : {'!.,2,3,4} na 3
:
,
{a,b,c}.
2. Preslikavanje pod b) je sirjekcija, jer g (A) : B. 3. Ako je / (c) :2r
* L, onda je inverzna funkcija t :2f-t (r) +l + f-r(c) : iA -t) : a - A, f-r (n :r(Z- r; :3 4. f (x):3t- 1 : ,?--+ R, g(n) :2n f-5 : R--+ R, $ " g) (x) : f (s (n)) : 3 (2r+ 5) - L : 6s * 14, x :6(I o g)-' * 14 + (I o g)-L: L4) 1," ,
(o "
u'e)-')
@)
: zl*,' - tnt] * 5 : +(r + 1).
2T
Slika 23.
5. a) h-(g"f)(r):n2 -3. Kompozicija preslikavanja
f i g data je na grafu (slika 23).
b) f (r)- {(-2,4),(-1,1), (0,0), g (r)
(1, 1) ,(2,4)),
h(r)- {(-2, 1), (-L,-2) ,(0, -3), (I,-2), (2, 1)}. 6. A : {3, 4, 5, 6,7 r8,9, 10} , B : {3, 4, 5, 6,7,8,9, 10, 1l-, 12,13,14,15,16, 17} a) postavimo kroz tadke M (3,3) i N (10, 17) pravu A : kr * n 3-3k*n I je f (n) 2tr - 3 (11.24). Traiena flrnkcija ' LT:lok;" j+k-2'Ttr: -3. x+ / +----/: + b) /(5) -7. re* i/i 17
16
rs* r+* ii+ 12t 11
i/
i i i
+
10+
et i Et / 6+ i s* +* // 3+/ , ; ,'l
t
,r
r
I
r
r
I
'3456289r0
-
Y
Slika 24. 7.
A
- {-1,0, L,2,8,4} i B-
{L,2,,J,4,b,6,7,8,9,
f(r):2tr+3 f (-2) ne postoji, jer -2 # A.
22
10, 11}
(3r-1): -3ut2, 3n-L- t_ , *: t+r -E-,
9. f
f (t):-3 (g"
+
*2:-t+r,paje/ (r):r-r.
f)(r):g(f (r)): -i,t -r)
-l:+r-
6r * 11 U:--Z-1y:Zr+V (s o f)-' (r) : sr *|.
6n:2n - rL
10.
/ (n):3n+7,
1.5. Binarne
+
- lr::.- +
11
g(n):2-o, h(n):(g" f)(n):
g(f
(r)):
==*
*:*u- *
==*
_Bc _b.
operacije
Binama opracija na skupu A je svako preslikavanje * skupa 42 u skupu ,4 Dakle, *: A2 -+ A Ako paru (4,6) e L2 binarnom operacijom x pridruZujemo elemenat c e A,onda pi5emo
*(a,b):cili a*b-c
Napr. dat je skup A : {L,2,8,6} i a*b Y NZS {a,bl Formirati tablicu za operaciju * skupa A ,F
1
2
3
6
1
1
2
3
6 6
2
2
2
6
3
3
6
3
6
6
6
6
6
6
Ovo je Kejlijeva tablica za datu operaciju. Skup A ako je (Va,be A) a*beA.
je
zataoren
u odnosu na operaciju
x
1.5.1. Osnovne osobine operacija Neka su *
i o (zvjezdica i kruZi6) binarne
1. Ako je (va,
2. Ako je
b,
e A) a * b -b * o, onda kazemo da je operacija * komutatirma.
(Va, b,c
3. Ako postoji
operacije u skupu A
e A) (o x b) * c: o,*
e e A, tal
(b *
c), ondalaZemo da je operacija
je (Vo e A) a*e
element. 23
:
a*
0,:
* asocijathna.
a, onda je e jeitinicnd (neutralni)
4. Ako za ae A postoji a' e A takav da je o *a'
: a'*&:
e, onda
je at inuerzni element
elementa a.
5. Ako je c*(o
o b)
:
(c x a)o(c * b) , onda kaZemo da
je operacija * distributivna (slijeva)
prema operaciji o.
Zadatak: Dat je skup ,S : {-1, l, -i,i\ i operacija mnoZenja. Formirati Kejlijevu tablicu za datu operaciju na datom skupu. I 1 -i -1 I i 1 -1 -1 I -i I 1 -1 -l -1 1 I -i I 1 -1 -l Iz ove tablice se vidi da je skup Sza voren u oonosu na operaciju. Yaili asocijativnost komutativni zakon. Jedinicni element je 1. (Vr € S) (3*' € ^9) n'tr' : nt ' tr : 1.
I
i
24
II - ELEMENTI LINEARNE ALGEBRE
l-.
2.
Matrice
2.L. Osnovni pojmovi Ako je uredeni par (K, +) Abelova grupa i (l( \ {0},.) takoder Abelova grupa i ako jo5 usto vrijedi distributivni zakon mnoZenja u odnosu na sabiranje, onda se skup 1f, +,.) naziva polje. Sa K oznadavamo bilo skup .R bilo skup C. F\rnkcija f(i,j):a,ii od. dvije varijable i i i definisana na skupu {r,2,...,m} x {L,2,...,n} sa vrijednostima u nekom polju K naziva se MATRICA. Zbog jednostavnosti kazemo r::"rTtna sema oblika
*f":*r;f
o?': o:^ Io" tl o"'*
Matrice obiljeZavamo velikim
( ort &rz
t-l
A: | "?t .
|
&z.z :
ar,,
: :
o:^ .
,tHfi"
TL,;
\ | in naee 4:
|
/
ili
(aa)^,n, \vJ'"*'v'
A
:ll wi ll-*". ili A: [ailT
|
\ orot &m2 o** / Sto znadi da je matrica A ti,pa n"t, x n) ili red,a rn x n, odnosno matrica A je formata n1, x n (rn redaka ili vrsta i n stupaca ili kolona). Dvije matrice A i B su jednake ako i samo ako su istog tipa i ako su im odgovaraju6i elementi jednaki ti. A: B e &;j.: b7,(i : l, 2, ...,ffi i j : L,Z...,n). ,
Ako je ffi : tu! matrica je kvadratna, a ako ie m # n,I
(an o ... o \
o:l | '::, : Ako su u dijagonalnoj marrict ,rt\t;or"* | slovom E:
I
t*': ,lfiln*
je jedinicna i obiljezava
se
(t l :: s) E',:l; ;..
I
l
Matrica 0, eiji su svi elementi j"d""k\ rrl*o.r*r*t ,r,rtu matrica. Ttansponovana matrica matrice A: (au)^r' je matrica ,4 : (a!ii)ny* za koju ju je
27
alj
:
(i: !,2,...,fl i i :1,2...,m).
ain
Ona se dobija kada se wste matrice A uzmu za odgovaraju6e kolone matrice At. Tbansponovana matrica oznadava se i sa A".
2.2.
Operacije sa matricama
Zbi,rdvtjematriceAiBistogtipajematricaCzakojussqj-aq*bq(i,:I,2,...,ffi1
j :1,2...,n).
Naprimjer,
A-(
*)
B:(
(2 3\ :(l 0/1f\ +l-t o l\ 0 5/ 2
+ i)=+
A+B
(,lii,, 2+o \
j
-
Proizaod skalara^€ L12...rfl).
l{a primjer odrediti
A-(
i
:,)
k imatriceB jematrica Az a koju je aU -
5 . A ako
+b
?l; ) o+bI \z bl
A-b
)tbu
U,
je
(i
;) :(li
5.1\ 5.2 )
:(l
'x)
je A_ (ar)rnxp i B - (b,,) p x n, onda je Proi,zaod matrica A i B (A. B) jednak matrici C - (cn)rrr,xn za\oii ie ai - Iaapbpi,(i: Lr2r " ') rrl'; j - L12---rfr) Neka
lc-L
Prirnjer: Odrediti proizvod matrice A -
AB: 'Le
( 3 21\ B- 112 [ -r 0 \2 0 4 )r \01 )
j, 'r) : (3 1+2 (-1) +1.0 ? i) f +4-0 \2 o4l \;;)\2-L+0.(-1)
(:
28
3.2 +2.0 +
2.2+0.0+ '^i)
:(;I)
2.3.
Determinante
Determinanta matrice A je kvadratna shema od n2 brojeva, cija je vrijednost jednaka zbiru n! sabiraka oblika (-1)" o,1n,a2i2...oairy, gdje je s broj inverzija permutacij e (jt, jz, ...j*), ti. An An ... Aln detA-D- &Zt AZZ ... AZn (-1)t outt azj2...anjn. I
::::
(j, ,jr,-..
j".) erut
ArnL Am2 ... Amn
Neposrednom primjenom definicij e, izradunavamo determinante drugog
an atz):D_ ott an det( l azt azz | - D (-1)' oti,&zi \ azt azz / | | (jt,ir) (ju jz) - (I,2) (broj inverzija 0,
i treieg
reda:
I
a1ra22
-
atzazt
(2,I) broj inverzija 1).
an an aB / an an ats \ on azz Dazs azr azz azs | II -- I| ast &zz aes I \ ail asz ass / (jb jz, js) : (1 ,2,8) (0 inverzija) , I
det
I
(-1)" orj, , azjz, asjs,
Ut 'iz'is)
(1,3,2) (1 inverzija) , (2,1,3) (1 inverzija), (2,3,1) (2 inverzija), (3,
D:
1,2)
(3,2, anAZZagB
-
1)
(2 inverzija) (3 inverzija)
ALL&28&32
-
, .
An&2tagg
*
&rZaZeart
*
Cng,AZtaeZ
:
&1gA22O,g1
Svaki element determante D ima dva indekas (q3) prvi indeks kaauje iz kojeg retka (wste) je element, a drugi indeks kazuje iz kojeg stupca (kolone) je taj elemenat. Ako u determinanti D retci i stupci zamijene mjesta dobije se transponovana determinanta.
2.3.L, Osobine determinanta 1. Tbanspozicijom
se vrijednost determinante ne mjenja
2. Ako se redak (ili stupac) neke determinante je nova determinanta B : (-L)*A.
tj.
.4 pomjeri
det(A")
:
det(A)
za mredova (stupaca) onda
3. Ako u nekoj determinanti dva retka (ili stupca) zamjene mjesta, onda
se promijeni
znak determinante.
4. Ako su kod neke determinarrte dva retka (ili stupca) jednaka, determinanta je jednaka nuli.
29
5. Determinanta kod koje su svi elementi jednog retka (stupca) jednaki nuli, identidki je jednaka nuli.
6. Determinanta se mnoZi nekim skalarom ,\ tako da se svaki elemenat jednog retka (stupca) pomnoZi tim skalarom 7. Ako su odgovaraju6i elementi dvaju redaka (stupaca) proporcionalni, onda je ta determinanta jednaka nuli.
8. Determinanta ne mjenja svoju wijednost ako elemente ma kojeg retka (stupca) pomnoZimo nekorn konstantom. pa dodamo bilo kojem retku (stupacu). 9. Laplasova teorema: Determinanta D jednaka je zbiru proizvoda elemenata bilo kog retka (stupca) sa odgovaraju6im kofaktorima,
Ati jekofaktor ili
ti. D :
algebarski komplement element A,ii
:
?t1o+i
d,
fioorA.,r.
aii, draduna
se
po formuli
*".
Mii je minor (subdeterminanta) koja odgovara elementu a;i. Dobije se kad u determinanti D izostavimo elemente i-tog retka i j-tog stupca. Laplasova teorema desto se koristi pri izradunavanju determinanata detvrtog i vi5eg reda.
Prirqier: Izradunati determinantu D:
1-22 1 -2 D- -12 1 2 -1 0 1-1 1 2 1
Ako primjenimo Laplasovu teoremu, pa razvijemo ovu determinantu po elementima tre6eg retka,dobit iemo: D :2. (-l)t+t Mil *(-1) - (-1)t+' Msz *0. (-t;a+e Mss *1 . (-r;3+a Msa:
1-22 -2 2 1l | 1 2 -21 t 2 -2 l+l-t 2 -2 l-l_1 12 1
-1 1 2 | | 1 1
2
1 -1
1
Za izr&wavanje determinante tredeg reda najie56e se koristi Sarusovo pravilo. Ono se sastoji u tome da determinanti dopi5emo prvu i drugu kolonu a onda obraaujemo proizvode elemenata koje leZe na dijagonalama:
30
I %z _ &n%z&tt*
zhtdst* flr th,r&32 - (a, thz&rz + %zht&n* &ttQ2tatil . ttr
Proizvodi elernenata dijagonala paralelnih sa glavnom dijagonalom bi6e pozitivno oznaieni, a proizvodi elemenata dijagonala paralelnih sa sporednom dijagonalom bi6e negativno oznadeni. Algebarski zbir svih proizvoda bi6e wijednost ove determinante. D : 2(-8 + 4 + 1 + 2 - 4 - 4) + (4 - 4 - 1 - 2 +2 + 4) -
-(1
-4+2-2+2-2): -18+3+ 3:
-L2
Po5to je u tredem retku bila jedna nula determinanta detvrtog reda svela se na tri determinante tre6eg reda. Poku5ajmo sada elementarnim transformacijama u nekom retku (stupcu) dobiti tri nule. Ako detvrti stupac pomnoZimo sa -2 pa dodamo prvom, zatim ietwbi stupac dodamo drugom, tre6i stupac prepi5emo i detvrti prepi5emo, dobijamo u tre6em retku na tri mjesta nule:
-1 -1 2 D_ 3-1 2-2 0 00 1 -3 11 2 1
Ako ovu determinantu razvijemo po elementima tre6eg retka fier tu imamo
dobit 6emo: D - 0.ll +oll +oll +1.(-1)3+4
-1 -1 2 3 -1 2 [--(1 -3 111 |
10. det (AB)
Mst:
+6+6-o+z+B)-
-Lz
det(A) det(B) (Teorema Bine-Cauchy),
-
Zadaei
1. Izradunati wijednost determinante: a)
c)
n+y
:;"1,
r-y
cos 0
+isinr 1
cos
b)
r:
cosf sin r osinr
-sinr cos r d)
l,
31
34 -5 21 8 87 -2
tri nule),
e)
1134 200 3002 4475
8
f)
7213 10 2 304 6324 5122
4
0
3
0
7 5
3
Rje5enje:
1. a) 4ra, b)
1,
c) o, d) 68, e) 1oo, f) -2.
2. Izradunati vrijednost determinante: a)
1 logo b
I+a2 lo96 o 1
,b)
2a
L-a2 L-a2 ,c) 2a L*a2 I=A2 L-a2
a2+ab+b2 a*b a,2-ab+b2 a-b
Rje5enje:
a) o, b) 1, c) 3.
-2b3 .
Rje5iti jednadinu: a)
r-3 n*2 r-L r*2 n-4 fr r-I r*4 r-5
0,b)
2r-6 r*L n-L 2r*4 r-5 r-5 -0 2r-2 r*L r-5
Rje5enje:
a) mnoZenjem prvog retka sa -1 i dodavanjem druom retku, pa ponovo pomnoZimo prvi redak sa -1 pa dodamo tre6em, dobit 6emo:
n-3 n+2 r-L 5-6 1 -0+ 22-4 122*al 424 (x - 3) + 2 (n r 2) + 10 (c -
r)
*
L2
(n
-
32
1)
- 2 (n * 3) + 20 (n + z1 :
s
Rjesiti nejednadinu:
4.
12 1
a)
lr 2
lr
-1
1
1
1
1
2 1
5
r*2 -1 \ r*6 -2 t r+4' -3 r 1
11
1
c)
1
2-n
r2 2-r
,''t rel="nofollow">0.
12
1
Rje5enje:
a) re-_[-oo,-zlu[1,2] ,b) r€[-0, 4l ,c) r e [-oo , -2] U [1, 2J Ako je:
5.
A-(
( -1 2 -3\
/ +o zl,o-t -[\ ls bl \ -1
I i) ,B
Izradunati
0
(AB), det (C D)
det
1
ii) 7 8/
.
Rje5enje:
- det(A) det(B) - (-2) . 3 --6 det (C D) det (O) det (D) : 66 . (- 1) det(AB)
6.
-66.
Provjeriti sljedede rezultate:
a)
l1 o, bc lt cb ac l-(a-b)(b-c)(cab lt I
a),
I
la b+c 1l b) a o+:
ll i:
|I c a*b 11 |l:o,c) |i 1
2.4.
1l
ll11
I l:
1
@-1)'
al
Inverzrra matrica
Za kvadratnu matricu- A kaZemo da je regularna ako je det A det
A-0.
# 0. Singulama je ako je
Za regularnu kvadratnu matricu A kaZemo da ima inverznu matricu
akoje
A.A-L- A-r-A:8.
33
4-t ako i samo
Tada je
An (l' t lAzt Azz A-'-daol
A,,\t Azn I
\ a"t A,z
)
t
, : . A*,: l:*oo-
A* je adjugovana matrica matrice A i ozna(ava se i sa ad;jA. Matrica ,4 dobije se tako Sto se elementi ati matrice A zamjene njihovim kofaktorima Au, pa se tako dobijena matrica transponuje.
/ L 2 3\
Primjer:A:l 2 5 7 f ,odreditiA-r \-2 -4 -5/ 1 2 3l . 1 (An Arz Arr\t | :l A-':
d?
-25
-
28
-
lfi
24+
30
i:: :::: i: ) + *
Atr:(-l)t+t*,:
-
(-10
* L4) :
./4t:l_i I 2-4,s |
20
28
I
'det'4
1"
-l -; l:
l:
-25+28:3,Arz:(-1)t+' Mt2:
-l -: j | :
| z el _; l:-8+10:2,421:-l_; _; l:-r,
. | 1 st: r, Azs: - I r 2l:n ,qrr:l _i _; | | _, _4 . 12 3l a , lt 3l e": |
l
-7 -i -;
i ; l: -t,a",: -li
A-'\:+(-i
; l:
ii )':(i
lt zl
-t,t':li ; l: t, L-i )
2.5. Rang matrice Pod, minorom matrice A: (u)*r,, podrazumijeva se svaka kvadratna matrica koja se m&e sadiniti od elemenata date matrice. Za matricu A kaZemo da ima rnng r (tj. rang A: r) ako postoji bar jedan regularan minor reda r, a svi minori reda r * L i viSeg su singularni. minora r-tog reda. Matrica A: (4,i\,o,.," ima ukupno (?) .
ff)
34
Primjer:Odredditi rangmatrice
(i i ; ^: \r 2 r
Svi minori tre6egg reda, a njih je ukupno nUe
(;) :
t, 3 e +/) 10, su singularni, pa rang matrice A
tri. Posmatrr:ajmo sada minore drugog reda kojih ima ukupn" (;) (;) :
30. Neki od njih rsu regutarni to je napr. minor u lijevom gornjem
1 2\ { 6 : -2,pa je rang A:2ovaj \3 4/ --ltl3I '^l: ili glavni minor (M,sr: ( L 2 \' \ z + )t. det(
rr* ( I
3.
?
10
)r*
: r"
minor zvat 6emo bazni minor
Nekad je isuvi5e dugadak put do nala/,enja baanog minora, pa se koriste elementarne transformacije. Elementarne transformacije matrica su: 1. zamjena mjesta dva retka ili stupca, 2. pomnoZimo elemente nekog retka ili stupca brojem raaliditim od nule, 3. elemente nekog retka ili stupca, pomnoZene brojem raaliditim od nule, dodamo odgovarajudir_n elementima nekog drugog retka ili stupca. Matrice, koje se mogu transformisati jedna u drugu primjenom koiaeno mnogo elementarnih transformacija nazivamo ekvi,ualentnim matncarna u oznaci A B, onda je rang A rangB. Primjenimo ovaj postupak na matricu A iz prethodnog primjera:
-
:
lL2L
34\
lr
2 L 3 4\
.tll A: 4 2 6 e | - | o -2 -1 _s _4 | IJ2 \1 r 3 4/ \o 0 0 0 ol
Prvi redak matrice /, pomnoZili smo sa -3 i dodali elementima drugog retka, p& smo dobili ekvivalentnu matricu koja u tre6em retku ima sve elemente jednake nuli. Otuda su svi minori tre6eg reda singularni, pa je rang rnatrice A dva jer na glavnoj dijagonali trapezne matrice imarno dva elementa ra"zlidita od nule. Rattg matrice A jednak je maksimalnom broju linearno nezavisnih redaka te matrice.
Zadaei
1. Date su matrice A a) A+
B,
b)
A- B,
B-( t) } c)3A-28, A.B,
( ;i
d)
35
_:) e)
odrediti
B. A.
ili
stubaca
Rjeienje:
(: l; +),,, (-i :;),., (ll '' (-i !i,i ) ",
i,fi
)
.,
ffi ii_ii )
Ako uporedimo rezultate d) i e) vidimo da opdenito A.B + B-A. Dakle, za mnoilenje matrica ne vrijedi zakon komutacije.
2. Izradunati:
u(; -i ) (; i),"(i i l) ",(;
i)
(3 t):
r)(, b ")
.,(i )
(i i,l ),
f; !
-:;)
(i)
Rj esenJe: a)
e)
,",(i) ,' , a),
; I3),c) (il ;i) ,d) (i") ,b) (ii \ 3 b/ \3e 18 80/
(j lt
11)
/2 4 6\ I t 2 3I,f)a*2b*3c.
\3 6 e l
3. Izradunati A-(B + C).D ako je A -
(: : \10
/1 D- ( , 2:2 o; ;01\ \r -1 )
I
Rjesenje: A. (B + C) . p
40 80 -11 - (\ 5 10 -1 36
-1 2
0
1)
4. Ako je f (n)
-2-5r*
3n2
1
?)
3
(l
i A:
( I i)
pokazati da je
+3(l ?) (l
f (A)
2
8 2 18
)
(-1 I ?)
b. Naii adjugovanu matricu matrice A -
011)
\
Rje5enje: od,j A
( An An Arc : I Art Azz Azs\I \ An Asz Ass /
An AzI
A;3- 1, 111 - -3,4n - -1
-
(-1)2+t Mzt
An
/r33
1
2
1
1
:IrAzz--LrA2g-_1
1,
:
6. ltlaii inverznu mat,rlcu d at,e matrice:
a)A-(?1), \5 3 )
b)
A-
c,,:fi lt) ll) fi
Rje5enje:
a) a-t
b) 4-t -
1 (An An \t 1 ( detA\ Azr Azz )-1\-1
(j, :,; \o
)
-1 1)
c)
; )': (j, ;' ) 4-t - G (j, l+) g
1
37
3
,3
)
?)
(I|) :(-3 _i) +(
?) +3
T4
-5 -15
i3 )+
7. Odrediti rang matrice: a)
1 2 3\ 2 3 4 t,
A-
3 b Tl
/ 2 -1
3
f a -24
c) A-
\2 -1
1
b)
1-2 0 A-( -1 1 -1 2-4
-2 1
8
t)
d)
A-
I
1:)
(\ii
-2 0 2 2
I
Rje5enje:
/t ")
:, -:r)-rl :, 1\ "'':[3 iit -(L \o -1 -z) \o o o )-r(A):2'
(L -2 l3)-li--io,'ul
b)'a:tii
i:)ls il-r
I
Prvi redak smo prepisali, pa smo ga dodali drugom, pa prvi redak pomnoZili sa -1" i dodali tre6em, pa pomnoZili sa -2 i dodali detvrtom. Sada zamjenimo tre6i redak sa drugim, pa je
? 9 z\ - | 3 _t, I ? | ta."si redak mnoZimom sa dva, pa dodamo tre6em) \; o ' -t) /t-2 o 2\
(:
- I 3 I I -: or
| -eJ
\o
,'"ut mnoZimo
(t: -l,s si,)
sa
,,\
s iT,l-r(A):3'
c)
r(A):2,
d)
r(A):2.
38
-1 i dodamo detwtom
8. Diskutovatirangmatricer:
(? ; I i)
^raznevrijednosti,\.
Rje5enje:
(L ,\ -1 2\ /r 2 -1 \ A:[ 2 -! s l-l z b -1 ^ ^ t) \r 1 10 -6/ ^ l\1 10 -6 lL 2 A -1 \ /1 2 -1 \ ^ A+2 - I o 1 -1 --21 ^+2 l- [ o I -1,-2^ I \0 -1 10-.\ -5 / \0 o e_3I A_3/ za \ :3 tre6i redak matrice ima sve nule pa je r (A) :2 za * g, r (,4) :
3.
^
9. odredi rang matr ,*"
ib.
o: (tu '^ t -: 3 ) zavisnosti od reatnih parametara o \g s 2 -6 b/ "
Rje5enje:
lt 5 4 -2 2\ \3 3 2 -6 b/
A- [ 2 4 3 -a a I (prvi stupac smo podjelili sa tri. Sada prvi redak mnoZimo sa -2 i dodamo drugom)
lr -10 \o lr -l o \0
5 4 -2 -o -b 4-a -r2 -10 o 5 4 -2
2 \ -1 f b-6) 2 \
-6 -b 4-a -r
(drugiredakmnoZimosa-2idodamotre6em)
I
0 0 2a-8 b-4/ (a) za a,: 4 Ab : 4 u tre6em retku svi elemnti matrice su nule, pa je r (A) :2, (b) za a{4vblar(A):3.
10. Odrediti realne brojeve o i b tako da je rang matrice
/t 3 1 1\
A:l 2 6 -B -4 |
j"atr*auu.
\a b 6 2 /
39
Rje5enje:
Za&-26Ab:78r(A)-2. 11. utvrditi rang matrice
o: ( ^ irt ,11, jr )
\ B o x+r)
Rjeienje: 1. .\ : 2 + r(A)
r(A) :3.
:
1,2.
^-
-!a
u ,uuirnosti od parametra
r(A)
:2
3.
^
l.
+2n\ # -4 +
2.6. Matridne jednadine - B,Y'A:
X:
B, gdje su X i B, A.X Neka su A i B poznate matrice. Jednadine A+ Y nepoznate matrice nazivamo linearne matri\nim iedna\inama. B B ima jedinstveno rje5enje X B A. Jednadina Jednadina A+ A-L ' B mnoZenjem sa A-1 slijeva (ako je matrica A regularna) dobije se A-1 'A'X je A-1..B, Slidno Y.A: B (popretpostavci A regularna matrica) A-r.B jednadine A-1 sdesna dobije se sa mnoZenjem
:
X:
-
1){:
E.X:
y .A.A-r _ B.A-t
+y .E:
B.A-1
__+
y
: B .A-\
Zadaci
1. Rije5iti jednatine:
(a)x
A:B,akojer:(;
+ +)
(i i,?) ":(* i i) (ii?):(ri (i " i;) ''
":(: ii)
(b,
40
r?
l)
A'X : : +
Rje5enje:
(u)
': (i:: B A-L:+ i:: i::) det A \
Asr
Asz Ass I
1(-1 -1 1\" (l 1 o
1 2 1\
x- [/oI o o \I I/ r \oo-11 \-1 (b)
(.)
:r:r)
-B -2 l-[ 1 1/
/1 -3 -2 r 21 \1 -1 -1 )
/6 4 5\
x-lz
1z
l, \3 3 3 / A - X . B - C + A-IAXB . g-r - A-rg . g-t x-A-tg-g-t+x \2 B 1/
2. Rije5iti jednadine:
(u) A-x-X*8, gdje je A -
1t' 1)
(b) AX-E_ X*E,akoje A-
fi il)
(.) A- X-r - A- X-l ,ako je A -
(:?;)
Rje5enje:
(u)
Ax-x-8, (A-E)X:8,-
g E)-'(t- E),x - (A- E)-t .8,
EXG
4T
B
/Bn
x- g-r-:det B 1
-1 det
B
Bzz Bsz
/-2 -4
[ -r \0
-3 1
-
t
E::)
:
I )': (li 1)
-1, -2, Bn
- -4, BLs : -5, Bzt- -1, Bzz - -3 , Bze - -3, Bn - 0, Bsz: !,BBs - 1. AX_X-E+E (A-E)-X-28 (A - E)-' . (A - E) - X - (A - E)- 1 .28 =+ X - 2(A- E)-t, 1/ o 2 2\ (A-E)-':;lz r\zzo/o 21, Bn-
(b)
Iu" \ Bst
Bn Bts \
2\
(01 x-, ;, I(0.,2 z o 2 f - [ r l) \22 ol \11 o) o
(.) Ax-l + y-r
A+E_AX,
- A===+ (A + E) y-t -A=:=+(A+ E) Y-t 'X - A'X ==+
A-t (A+ E') - A-IAX,
A-t(A+E)-X
x-l(5\-1 '/L
==+
11\ b
X-E+4-r
=+
x_( I
0\ I 1(2 -1 \ 1/ -- 3\1 -2 ), |
!
)'
3. Rije5iti matri6nu jednabinu (E + A) (x + r)-t 42
:
A, ako je ,4,:
(| i)
Rje5enje:
E+A-A(X+tr), E+A-AX+A, AX 4.
-
E =+ X
- 4-t
,(
Ii
i)
Rije5iti matridne jednaci ne: (u)
AX-r+X-l - B, ako je A- (
1
0 1 2\ 2 3 41. 101)
(b) Ax - A - 2EX * E,ako je A -
(.) A2x -
E, ako je A -
(d) sE - z (X + A)-t
-
i)
i), 8
3
(i ; ;
28, ako je A
-
[1ll l)
Rje5enje:
(a) (A + E)y-r
- B --
A+ E : BX
+
X
:
B-r.(A+
r, : (t
; ), (b) (A -2l;--)X:A+E+X:(A-zn)-r.(A+rr:( 71 l), \-+ L -t/ (.)
x-(A,)-l :
(d) 3E
( ; ; -d) \-3 0 2/
,
-2I' - 2(X * A1-t ===> X + A -28-+X-28-A-
( o o -3 -1\
1l -ll-s-+ -6o-e -z -2 l' \-1
-4 -B 4)
43
3.
Sistemi linearnih jednaeina
3.1.
Osnovni pojmovi
Skup od rn linearnih jednadina sa n nepoznanica
annt+&tzitz++atnfrn:bt dzrrr+azzixz++&2nfrn:bz(1) arntq +
emznz
+ amnfrn:
+
brn
nazivamo sistemom od m linearnih jednadina sa n nepoznanica. Brojevi aai (i : L,2,...m1 j:I,2,...n) sukoeficijentr,uz nepoznanice, bi su slobodni glanoui sistema. Prvi indeks.I U Arr oznaeava redni broj jednadine, a drugu indeks j oznaiva redni broj nepoznanice. Rije5iti sistem (1) znadi nadi vrijednosti brojeva nr,n2,...nn u zavisnosti od a;i i br tako da bude zadovoljena svaka od jednadina tog sistema. Ako su svi slobodni dlanovi jednaki nuli sistem je homogen. Ako je bar jedan od slobodnih dlanova bli: L,2,...m) razlidit od nule, sistem ie nehomogen Ako sistem (1) ima sarno jedno rje5enje, sistem je odredjen, a ako ima beskonadno nmogo rjeSenja, sistem je neodreiljen. Ako sistem (1) uop5te nema rje5enja, sistem je nemogud (protivrjeban). Za sistem koji ima rje5enje fiedno ili beskonadno) lraZemo da je saglasan, a ako nema rje5enja sistem je nesaglasan.
si.stem od n linearnih jednaeina '" 3.2. Nehomogeni sannepoznanica Neka je dat sistem:
anfrt + arzfiz + "' aztfrt + azzfiz + "'
+ &Lnfrn + a2nfin -
bt
Ar*fit + T'rnfrZ + "'
+
bn
Q,nnfrn
-
bz
(2)
Formirajmo determinantu sastavljenu od koeficijenata uz nepoznanice u sistemu (2), pa je obiljeiimo sa D. An. AtZ "' Aln OZn AZt &ZZ "'
D-
A,nt &n2 "'
Ann
44
Ako sa D6 oznalimo determinantu koju dobijerno kada u determinanti D i-ti stupac zamijenimo slobodnim dlanovima, onda vrijedi krameroua teorema koja glasi: Vrijednost nepoznanice ra dobije se kao kolicnik determinante Dt i determinante sistema D: D;, /v1.
'P7'-
(3)
D,
Primjer: Rije5iti sistem jednadina
fr1+fr2 2rt + n2 fr1
fr2
fr3
+ r3 + fr3
0
4. 4
Rje5enje:
11 -1 01-4 D- 21 4, Dr: 41 1 -1 1 4 -1 1
Ds:
11 12 |1
1
0
1
4
-1
4
-
4, p& je
rt -
1
1
10-1 - 8, Dz: 241 141
-
-4,
2t frz
Ako je determinanta sistema (Z) jednaka nuli (D :0), onda sistem(2) nema rjesenje u obliku (3). Pokazat 6emo da pod izvjesnim uslovima sistem (2) moie imati beskonadno nmogo rje5enja (tj. da je neodreden) ili da nema rje5enja (tj. da je nemogu6 ili protivrjedan). Ako je D :0, onda posmatramo o Enowr,u matricu sistema
( &n atz ' aln\ . I CIzt azz .. .azn A-l l: \ &nr an2 "
i utvrdujemo
I I
' Artn, ) njen rang (sigurno nije n, jer
je matrica A singularna, p& joj je rang
manji od n). Ako je rang matrice Ar(r(A) : r), to znaii da je bar jedan minor reda r regularan, odnosno postoji bar jedna determinanta r-tog reda koja je raalidita od nule tu determinantu nazivarno glaunirn minororn ili bamim rnonororn CItt AtZ ... Atr &ZL AZZ "' &Zr
det(Md:
&rL
&r2
&m
45
Sistem (2) moi,emo pisati u obliku
anfrt
+
+
anfrz
br
+
aztfrt
&rLfrt
i
a2rfrr
i
arcfrr
+ Arr*Ifrr+I +
&r2fr2
b,
+
&r+r2fr2
br+t
bn
&2nfrn
&rnfrn
(4)
o'r*Irfir
"'
+
aLnfrn
.1
0'r*Lr*Lfrr+L
&n2fr2
+
antfrt
+ azr*tfrr+r
+
&r*ttfrt
:
azzfrz
bz
abfrr
aLr*tfrr+l
anr*rfir*L
+
&r*Lnfrn
anrfrr
-
annfrn
Prvih r jednabina sistema ( ) irna rje5enje koje se moZe dobiti po Kramerovom pravilu. Vrijednosti nepoznani cd fi1, fi2t ...r nn izraiene su preko fir*rt frr*2t ...t tn kao parametara, pa je to bezbroj rje5enja. Da li 6e to rje5enje zadovoljavati preostalih n - r jednaiina zaviside o lcarakteri,str,inim minorima Kr(s:r*L,r*2,...,n). Determinantu karakteristidnog minora dobijemo kada determinantu glavnog minora pro5irimo jednim retkom (koeficijentima s-te jednadine) i jednim stupcem (odgovaraju6im slobodnim 6lanovima). Ako determinente svih karakteristidnih minora budu jednake nuli, onda 6e rje5enje prvih r jednabina zadovoljavati i preostalihn-r jednadina, pa ie sistem (2) imati bezbroj rje5enja (sistem je neodreden). Ako bar jedna determinanta karakteristidnog minora bude razlidita od nule, onda rjeSenje sistema od prvih r jednadina ne bi zadovoljavalo onu jednadinu 6ija determinarrta karakteristidnog minora nije jednaka nuli, pa sistem (2) nema rje5enja i kaZemo sistem je nemogu6 ili protivrjedan.
An &tz " ' aLr &2r CIZI AZZ
K":
bt bz
, s: r
a. a:
A,rt &r2 " ' Ail &s2 " '
&ry &sr
*I, r +2,...fl.
b, b"
Primj er: Rije5iti sistem jednacina 3nt 2nt frt 4nt
+ 2nz + 4rs + 3nz + 6ns + 4nz + 8rs +fr2+2ns
+ + + +
,
6ra 9ra L2na
\na
3
?
IJ
-4 1 I-
46
Rjt:S€ nJle:
(
A-l \
3
2
2
3
1
4
4
1
46 8L2 /t 4 8 12\ ( 14 69 0-5 -10 -15 t\) lz 3 6 812 la 2 42 3l\ 00 -10 -24 -30 I 23 -15 -30 -45 ) \41 14 8 L2 \ 0-5 -10 -15 ' A)-2 00 0 0 I't 00 0 0)
:l-l
,\,
To znn€acci da su pr ve dvije jednad inem ed usobno nezavi sne pa je determinanta glavnog
mlnora
3
2
2
3
3
- 9- 4-
5
,
KrL:
2 1
32 0 3 3 - ,Kr2: 23 4 4 41 6na 32 23 - ul 9ra ,D: 2
2
2 3
-0
1
\rt + 2rz -2 4rs 2rt + 3rz -3 6rs 2 -4rs -6na, 2 Dt 3 -6rs -9na 3 - 6 - 12rz- 18ra- 6 + 12nz * LSra- 0, 3 2 -4rs -6na 9 1813 27ra 4* 8r3 12ra- 5 1}re- 1\ra, D2 + 2 3 -6rs -9ra - fr1 - 0, frz:1 - 2re-3tr4. l-
Ovo rje5enje zadovoljava s ve detiri zadane jednadine, jer su determinante oba karakteristidna minora jednaka nuli (K"r - 0, Ksz - 0) .
3.3.
Matridna metoda
Ako u sistemu (2) koeficijente vz nepozn ate tretiramo kao elemente matrice sistema, nepoznanice frLt fi2t ..., nn kao matricu stu pca tipa n x 1, a slobodne dlanove bt,bz, ...,bn opet kao jednostupdanu matricu.
atz "' aLn \ azr &zz ... a2n -'e I
tarJ,a
(an
, I A-
I ,
I,x
t'
I
\ t: je
{11
I
t2
(a.l
ann / \ &nt AnZ \ frn )iB:\ Sistem (2) moie se u matridnom obliku pisati ka,o:
AX - B.
Rjesenje ove jednadine je
47
;-) X-
A-L - B.
Primjer: Rije5iti matridnom metodom sistem jednadina
fr2+ 2rs 3rz + frs - -1 2rz + frS
fr1 + 2rt 4rt RjeSenje:
Sistem moi,e mcolp issati i u obliku AX
.t
r
a-L--
det A
(v / _1
\t
A-
fr6 fr
1
2
2
-3 -2
1
+\ L*
1
or;)
-1 -5 7\ 2-7 3l 86 -5 )
l, -3+ 4- 8+24+2-2:17,
1
An-2, Ari.-8, Azz - -7, Azs - 6, Ass . -5, Asz - 3,
An
X_
Asz
B, pa je rje5enje
*/
1
4
Azt Asr
\rAs31 n7 5
lL7
det
/tA111 An aru\ ItAz2T Azz Aze
-
7,
157 -fr -'fr273 fr-frn 865
fr
fr
T7 -77
)l\ (-?B)): (,;) \s/
Rje5enje datog sistema jednadina glasi: fr1
-
1rfr2
-2,frs-3.
48
x - 4-t-8,
3.4.
Gausova metoda
Sistem jednadina (2) elementarnim transformacijama moZe se svesti na ekvivalentan sistem trouglastog oblika. Matrica takvog sistema je trouglasta, jer su ispod glavne dijagonale svi elementi jednaki nuli.
Primjer: Gausovom metodom rije5iti sistem jednadina:
n1 + it2 2re + 4ra : -1 I .eq I .eD / .es) 3rr+2rzfrs+3na:0 2u ix2 + 3rz n4: I 1rt 2rz + fis 2ra : I fr1
+
fr2
3rz 7rz
fr1 +
+ + +
9u
7rs
9ra 22ra
ILrs +
+
\rs
-1 11 L4
4na
1 I
2 t)
, / . (-3)
+ + 4Ira
+
8rg +
l.(-3) l.(-7)
3
9ra LSra
Zne
frZ
fr2
4ra
\re
2re 5rs 8rg 24rs
fr2
fr2+
fr1 +
+
2ns
fr2
ZI
t-, t
f
4na
-1
9na
3
LSna
2
LSra
-13
Sistem je doveden na trouglasti oblik. zadrye jednadine n4 : I, iz predzadnje 13 : 2. Iz druge jednaiine je n2 prve jednadine je rr: L. Dakle rje$enje datog sistema glasi
lz
fr1
- 1rfiz: -2rfrg-2rfi4
-
- -2, a iz
1.
Zadaci
1. Sistem linearnih jednadina
2n 3y + z+I 3r + U 2z:
n+ y+
z-
a) Kramerovom metodom,
0
-1
6
rije5iti:
b) Matridnom metodoil,
49
c) Gausovom metodom.,
Rje5enje:
21 3y + z: 3r + y 2z: n + A + z-1 -3 1l -1 1 -2 l-23,D2: 6 1 1l r-1,U:2,2:3. (2 -3 1\ /*\ 1-2 I lrl ls tftr \1 1 1/ \z/ A
A- (1 det
-3 1 1
1\
-2
2
-1
-1 , D-
3
6
1
2 -1 3 -1 -2 -
-3 1-2 11
1
1
46, Ds
:2 +6+3 :
1
/-1 \
[\ -r6/ l,Ax - B, X -- 4-r'B
X
B
B-(il
I,
1/
,c:( :r
2-3 1 A- 31 -2 1 11
)
- 3, An: -5, - 4, 422: 1, -2+6+3-1+4+9-23, An - 5, Asz: 7, 51 4 3 / /3 4 5\ I 23 23 23 \ An
Azt
1
4-r
23
l-r 1 T f - l-,1 * 2 \ LLI \8 -n5 \z -b 4 5\ 3 /
*lI 11
,5/
a 8 \ I -1 \ +* #, I -1 | a -8 a/ \ 6/
fr
l
+
X-
r-L,U-2,2-3 2r 3r + fr +
r =+
2n
3y + z-
-1 -1
c)ry
a, y
&A'
y + z-
+ v+ 3v+
'3n +y2
69.
6 4
lt 4 at
4 lt
l=+
6 l-(2)l-Q)
-1 -1
50
=+
AB - 2, Azg- -5, Aee- 11,
1+4+9
r + y+ z =-> by z- -13 /.(?) 2y 5z - -19 n + U + z6 5yz
23*
69
tZ iz druge je
A
-
-u
2, a iz prve je
===+
r-
Z:3 1, pa je
r-L,U-2,2-3
traZeno rje5enje.
2. Rije5iti sistem jednadina:
a)
}rt+4rz+2rs brt
Gnz
4rs
-4rt + 5rz + 3rs Zrt fr2 + 3rs b) }rt 2nz + 4rs
fr1fr2+fig:2 fr1+fr2+frs c) fr1 fr2 + frs-1) fr1+frs lrt + 7rz 2rs + 4nt 2rz + 6rs 4na' d) -}rt \rt + 5rz 3rs + Zra:
2rt + 6rz
5rs +
3
6'
\ua
Rje5enje:
a)
n1
2rr
t2 +
3rs
b) 3rr 2rz + 4rz fr1 fr2 + frs /2 -1 3\
A- [e -2 \r -1
det (Mil
4l , r@)
..:*
11
2
,D:ll -2 11 -1
4l
4- 4-9+6+8+3:0,
1l
-2
L/
13 -21
e -1 12 det(r(")_ls -2 11 l--8-11 -27+18+22+6- -4 6+46-0 lr -1 2l I
51
To znadi da ie rje5enje prve dvije jednaiine zadovoljavati i tre6u. I{api5imo prve dvije jednadine tako da im glavni minor bude matrica sistema
2ntn2:9-3rz \nt 2tz : 11
4U ---; rr
Po5to rje5enje (nr nz) zavisi o ima.mo razlidita rje5enja.
:7 - 2rs, frz : 5 - rs
promjdljivoj
13,
to znadi da za razlidite vrijednosti
13
Dakle, zabezbroj vrijednosti 13 imamo bezbroj rje5enja datog sistema. Prema tome sistem je saglasan i neodreden, c) Sistem je nemogu6, jer determinanta karakteristidnog minora nije jednaka nuli. dakle taj sistem je nesaglasan, d) :r1 : L, u,2:2, fr3:7, 14 - -3.
3. Diskutirati rje5enja sljede6ih sistema jednadina za razne vrijednosti parametara
tx2
fi1 +
frs
+
ns : : (l+ra)) !t2 +
a) nr + (l+,\)sz + n1
+
^ 2^ 0
+frs ^ 2xr + + \)rz +fis+fr2 + Ans- -,\
fr1
+fr2
=+ fr1
(1
fi1
+ +
&frt
b)
:
n1 fr1
fr2
fr3
1
&fi2
frg
1 I)
fr2
a*s
I
1
I
n+
y+z c)&n+ 4y+z 6r+ (a*2)a +
2z
Rje5enje: l1
1
1l
l1
1
Al
a)'.1D- lr 1+A 1l :A2 Za A * 0AA jedinstveno rj 10
fr1
*
l2+t
20ZaA {Dt + fr1 + fr1 +
sistem
frZ
{ts
fiZ
*
+
+frs
0
0 , A: 0
1).
0, pa se sistem moZe rije5iti Kramerovom metodom odreden i rje5enje glasi:
A+1
-0 fr2
1, D
+A+1+1-1 - A - 1- l -,\2 - A - A(l -
(i I l) , \rro)
52
det
(Mil: li :l0l - -1. 11
i ima
Glavni minor je u donjem desnom uglu, p& moiemo rje5avati zadnje dvije jednadine po nepoznanicama fr2 | frs u zavisnosti od fr1. Da li (,e to rje5enje zadovoljavati i prvu jednadinu zavisi o determinanti karakteristidnog minora
11
K,
1 ol
Ir 1 ol
Dakle sistem je saglasan i neodreden a r.je5enje glasi 30 Za l - 1 sistem glasi:
fr1 + fr2 +
fr2
frs
fr1+2rz+frs-2 rt* nz*rz--L Prva i treia jednadina su kontradiktorne, p& sistem nema rje5enja, odnosno sistem je protivrjedan. b) 10 Za a l0 n a / tl, sistem je odred€r, 20 Za a - 0 V a - -1, sistem je nemogui, 30 Za a - l, sistem je neodreden. c) 10 Za a / 4 Aa / -8, sistem je saglasan i odreden, 20 Za o, - -3, sistem je saglasan i neodreden, 3" za a : 4, sistem je nesaglasan ili nemogu6.
4. Diskutirati sistem, u pogledu rje5enja, za razne wijednosti parametara:
a'r + 4y + z-0 a)zy Bz 2nbz+2-0 1
efit
b)
n1 fr1
+fr2
+ +
brz Zbrz
+ + +
fr3
4
fr3
30
fr9,
4
RjeSenje:
a)
an+4y 2y 2u
-2(ab +
l
tri.
+
z 3z bz
-0 1 t
_, 2
la 4 1l
,D-lo z -31 --zab 24 4_ -2ab 28 lz o
-bl
14).
I -L4sistem je odreden i ima jedinstveno rje5enje, 2o ab : -l4onda je determinanta sistema jednaka nuli, pa rang matrice sistema nije ab
Ako je rang dva, onda postoji bar jedan minor drugog reda razlidita od nule.to je na primjer: 53
iija je determinanta
4
1l
, r,
.
,
,
; _; I, pa ie to determinanta glavnog minora
410 K,- 2 -3 -24+4b+4-28+4b -0 zab- -7,, 0 -b-2 1. Dakle, za a:2 Ab : -7 sistem je neodreden i ima bezbroj rje5enja. 1
2. Za b I
7 A ab
:
-L4 karakteristidni minor nijejednak nuli, pa je sistem nemogu6
(nema rje5enja). b) Za a I nb Osistem je odreden, 2 Za b :Osistem je nemogu6,
l
I
I
1' SoZaa:LAb== lsistem je nmdreden,
4o Za
a:
L
Ab
5. a) Ispitati
je nemogu6. I lsistem 2-
saglasnost sistema
(a*l)n + V + z :1 n+(a+I)U+z:a, n + U + (a*L)z : a u zavisnosti od parametra a. b) Diskutirati i rije5iti sistem jednadina
fr1 + n1 + fr1 + za
rauzne
frz
(1
+a)rz fr2
wijednosti parametra
+frg:& +frs + (1 +a)re -
1
o.
c) Rije5iti sistem jednadina:
fr1 +
2rt
3nt
2rt
+ 3rs + fr2 + 2ne + 2rz + fr3 + 3nz + 2ns 2nz
+ + + +
4ra: }raZra: \ra:
d) Diskutirati rje5enje sistema fi kn k2n
+ ky + + v + + kry +
za rafrne wijednosti parametra k. 54
kz: kz:1 kz:1
k
5 1
1
5
Rje5enje:
D: lo a *
a2(a*3)
a)
0A
a
I -3, sistem je odreden i ima jedinstveno rje5enje koje se mole dobiti
Kramerovom metodom, 20 o, : 0t sistem je nemogu6, 30 a, - -3, sistem je nemogui.
b)
*
10 a
20 a
:
0, sistem je odreden
i tje5enje glasi n1
,fr2
0, sistem je nemogu6,
*n),nz-2tns:Itt -sn+). -:(5+ D+ d) 10 k *0 k +1 k * -i, sistem je odred€r, ^ 1 ^' je protivrjedan, 20 k_ ov k- --;, sistem 30 k : L, sistem je neodreden. c) n1--
6. Rije5iti
n1 + Znz ns - 6 \rt 3rz + Zrs _ -1 2rt + fr2 + \ne: 15
sistem jednadina
a) Matridnom
metodom, b) Gausovom metodom.
Rje5enje:
fr1-1, frz-4rfrg -3. 7. a) Ispitati
saglasnost sistema
W+ fr+ aAy + fr+ W+
o,r +
Z-1 Z-b o,z-1
u zavisnosti od realnih parametara aib.
b) Diskutirati rje5enje sistema
+g +z :b +ay +z : +y +&z -d
a,r
u zavisnosti od realnih parametara
cr,,
b, c
i
d.
Rje5enje:
a)
a/ lnal-2Ab#0, sistemje odreder, l1 n b : 0, sistem je nemogu6,
10
20 a 30 o,40 a
-
1n b:0,sistemjeneodreden, -2A b : 1, sistem je nemogu6,
55
11
u
b) 10
20 3o 40 50
D- (a+2)(a-I)' a* -2 A a * 1, sistem je odrecl€tr, neodreden, Q'- 1 A b - c : dt sistem je 0,- 1 A b + c * d, sistem je nemogui, a- -2 A b + c + d : 0, sistem je neodreden, A,- -2 Ab + c + d * 0, sistem je nemogu6.
3.5.
Rje5avanje i saglasnost nehomogenog sistema odm linearnih jednadina sa n nepoznatih
Ako je dat sistem (1), onda formiramo matricu sistema
/ ott An azz
A-
H
Am2 "'
:)
i utvrdimo njen rang. Dalje sprovodimo kompletnu diskusiju kao i kod sistema (2) kada je determinanta sistema bila jednaka nuli. Mogu nastupiti ovi sludajevi: 1. 1' Sistet" (1) ima jedinstveno rje5enje ako je r(A) : r : rn: n. 2" Sistem (1) nema rje5enje ako je r(A) : rA determinanta bar jednog karakteristidnog minora nije jednaka nuli. 3o Sistem (1) ima bezbroj rje5enje ako istidnih minora su jednake nuli.
je r(A)
: rn determinante svih karakter-
Primjer: Rije5iti sistem jednadina
2rt + \rt + fr1 + 4rt + 3rr + 7rt +
3rz 4rz 2rz fr2
2rz 5rz
+ 9rz + 6ra:2 + L2ns + 8na + 6ne + 4ra:1 + Tns + 2fA: + 6rs + 4ra:3 + LSns + LAra
A
4)'L-
56
2 3I6 5 4L2 8 12 6 4 413 2 32 6 4 75157 )
]
det
(Mil:
|; il,
Po5to su determinante svih karakteristicnih minora jednake nuli, to rje5enje prvih dviju jednadina, gdj€ su tr1 | nz izrai,eni preko ns | fra, zadovoljavaju sve ostale jednadine. Dakle, rje5enje glasi:
2rt + \rt +
9ns I2rs
3rz 4rz
frL
:
1,
lXZ
: -}frg -
6ra
8ra
2fa.
Na sistem (1) moZe se primjeniti i Kroneker-Kapelijeva teorema koja glasi: Sistem linearnih jednadina je saglasan ako i samo ako je r(A): r(Ar), tj. ako je rang osnovne matrice sistema jednak rangu pro5irene matrice.
::: :::
/ ot,
Ap:
t;
Am2 "'
Amn
t,
)
bm,
Saglasan sistem (1) ima jedinstveno rje5enje ako je r(A) r(Ap) : Tt, a sistem (1) 6e imati beskonadno mnogo rje5enja ako je r(A)-r(Ap)-r<-n. Ako je r(A) * r(A) sistem je nemogu6. U prethodnom primjeru
23 54 12 41 32 75
AlAo
2
9
6
L2
8
6
4
3
2
6.
4
15
10
6
4
1
-1 -3 -2 -6 -18 -12
0
-7 -2r -r4 -4 -L2 -8 -9 -27 -2L
0
0 0 0
r(A)
Po5to je r(A) : r(4) prvih dviju jednadina:
Znt+3rz:29re 5rr + 4rz:5
:2
126 4 2 3I 6 5 412 8 413 2 32 6 .4 7 5 15 10 26 4l -1 -3 -2i 00 ol 00 ol 00 ol 00 ol r(Ap)
1
2 5
4 3
7 1
0 0
0 0 0
2.
<-4, to sistem ima bezbroj rje5enja koje dobijemo rjqSavanjem
6ra
L2rs
go=n+nr -1tfrz: -3rs -2tr4' 57
Zadaci
1. Odrediti parametar k tako da sistem 2rt fr1
3rz +
+ fr2
-fr1
krt
frs
0
frs:
1
2rz + \rs 0 3rz frs - -1
ima rje5enje, pa nadi to rje5enje. Rje5enje:
/ 2 -3
At Ao-
/1
1
111 -1 -2 3 \ k -3-1
j,) \
I
1 -1 \JI: -23 1 -3 \- 1 -3 -1 (t 1 -1 (1
2
k
n,ft 1-g t.3
za k
:3,
r(A)
-
r(Ap)
-
01 0-5
)ft
1 1
z
)[l
2
1
k1+ 1 1
, -1
1
k +-2
II -1
l2 \k 1
1
_.
nrl; -1 -t -3 -2 -2 \o 1 -1
1 -1 1\
I
t
l-(i
-',
i 3l
-3 -1 -Ll
-1
-2 3 -3 1 -2 -2
-i,)
1 -1
-1 -t
o-t
0-5 1 -1
-1 -t 01 00
rl ,)
-i,)
3.
Sistem glasi:
3nz + fis - o) 1 I +q -1, fr2 -1rfi}-1. fr1+fi2fis: 2rz + 3ns - o) -fit fis: 3rz }nt -1 Rje5enje dobiveno iz prve tri jednadine zadovoljava i detvrtu.
2nt
58
2. Nadi bazna rjedenja sistema
2nz + 3rs + ixa frt -2rt + 5rz 4re fr4 - -5 -fr1 + 4nz + frs + fr4 Rje5enje:
Pokaaat 6emo najprije da je sistem saglasan
3 1l
/r-2
4\
i
neodreden
/1,-2 3114\
AlAp:l-2 5-4 -1 l-5 1-lo 4 | 1 2/ \-1
|
12r l3l-
2 4 2 | 6/
\0
(r -2 3 1 I 4\ -f o 1 2 | I B f +r(A):rh):2. \o o o o I o/ To znadi da rje5avaju6i prve dvije jednadine dobijemo da je:
a1 : 10
7rs fr2:3-2nsfr4.
\nn,
Ovo je op5te rje5enje izraieno preko proizvoljnih wijednosti nepoznatih rs
i ra
U ovom slubaju bazna rje5enja su ona kod kojih su wijednosti dviju nepoznatih (bilo kojih) jednake nuli. Skup baznih rje5enja prikazat 6emo tablicom: fr1
fi2
frZ
fiZ
10
3
0
0
1
0
0
3
5
0
J
,
0
0
0 I 7
1
1
10
0
0
T
I
0 0
3.6.
t
-E
T
l0
Sistem linearnih homogenih jednadina ;
Sistem jednacina
anfit+atzlEz++atnfin:0 aztfit+&zzfiz++azntm-Q .': I -: amtfrt+ernznz++a,nnfrn-0 nazivamo homogenim sistemom linearnih jednabina. 59
:
(5)
:
Odigledno, svaki homogeni sistem ima rje5enj€ o1 0, fr2: o, ..., tn:0 koje nazivamo trivijalnim rje5enjem. To rje5enje nije ni od kakvog interesa, pa nas zanima moZe li, i pod kakvim uslovima, homogeni sistem imati rje5enje u kojem je wijednost bar jedne nepoznanice razlidita od nule. Takvo rje5enje naaivamo netrivijalnim rjeSenjem Potreban i dovoljan uslov da homogen sistem n-tog reda ima netrivijalno rje5enje jeste da determinanta sistema bqde jednaka nuli. Dakle, D :0. Svaki homogen sistem, u kojem je broj jednacina manji od broja nepoznatih (m < n), ima netrivijalna rje5enja. Ako je rang matrice sistema (5) jednak broju nepoznatih (r (A*"n) r n), onda je trivijalno rjedenje i jedino rje5enje tog sistema.
: :
Zad,aci
1. Rijeiiti sistem jednadina
4rs :
2rt + tx2 a) 3rr + 5rz 4ut 5rz
0
|xz: 0' : 0
6re
{01 +fi2-4nt:0
h\3.xt+\nz+2xt:o 4st + 7rz + lre: 0' 2xt+9rz+6rz:0 fi1+2uz+4xs\ra:0 : o ..\ 3ct + 5rz + 6ns 4na :0' 2ns + \na, 4nr + \nz lsr + 8nz + 24us l9na : 0 Rje5enje:
a)'l
12
1
a: la 5
la -b
-41
-71
:0,
pa homogeni sistemi ima netrivijalno rje5enje.
-61
(2 1 -4\ b rl MatricasistemaA: u, -z^l imarangdvajer jeaet(rtzrr): il : to-3 [: li \4 -5 -6/ 7
*0.
Determinarrta karakteristiinog minora homogenog sistema uvijek je jedna^ka nuli, jer su svi slobodni dlanovi nule, pa sistem ima netrivijalno rjeSenje u obliku n2
:
2
i*t
ili
132fi2 fir- Tt, - itt
frB
-
t 60
*r:#*r,
tiil.(i :il.(i 3.[i 1il.(i tT)
-3.
Po5to je rang matrice sistema jednak broju nepoznatih, to znadi da ovaj sistem ima sarno trivijalno rje5enje fir :0, fr2 :0, fia
:0.
Ir 2 4 -s\ lr 2 4 -s\ lt 2 4 -s\ \, le b 6 -rl-lo -1 -6 r l_lo -1 -6 sl *t, 3 | to -B -; ; l-l; t o ; l,r(A):2' "7e:lii8 -, \e 24 -rn) \o 2 12 -ro) \o o o al
Po5to je rang matrice sistema manji od broja nepoznatih, sistem ima netrivijalno rje5enje koje dobijemo rje5avanjem prvih dviju jednadina po nepoznanicama u1i 12
!r.*l:8rg7nq, rmarno le --------- oa ---d-
12 : -Gns +
\nd.
Ovo je op5te rjeienje koje zavisi od izbora nepoznanica n3 i n4.
Ako uzmemo da je fii obliku kao
:
cLt
fi4:
c2r onda se op$te rje$enje moi'e
?a\ /''\ (t1 + lcz *:l',2 o l:", lrz l:l-6cr I lcto + I c,) + \'nl \
napisati u matriinom
(s-\ /-t\ rl 1-9 1*"1 r. ol' I o/ 'l tJ \ \
odnosnoX:CtXt*CzXz,gdjematriceXl:(g -6 1 0)iXr:(-Z
predstavljaju fundamentalni sistem rje5enja datog homogenog sistema. 2.
a) Odrediti
I
3z -0 + \y 3r Y + 5z -0 2y + (A+7)z - 0 r
tako da sistem 2n
ima netrivijalno rje5enje, pa za to ,\ rije5iti sistem.
b) Odrediti
parametar a tako da
sistem n2 + afit+\nz+fis fr1 + afiz
ima netrivijalna rje5enja, pa nadi ta rje5enja.
61
ns
:0 -0
b 0 t)
c) Odrediti parametar a tako da sistern
:x1 +arz+fr3:0 :01 + o2n, + (\+a)ns : (I+a)q + n2 + ns :
0 0
ima netrivijalna rje5enja, a zatim nadi ta rje5enja.
d) Odrediti parametar ,\ tako da sistem
n + \y ),n +2\a + fr+2A,
),2
2z
+$a:0
ima netrivijalna rje5enj a, pa za najveiu vrijednost A na6i ta rjeSenja.
e) Za koje vrijednosti parametra ,\ sistem
\rt + fr2 + frs + fr4: fr1 + Arz + fis + fr4 fr1+fi2+Irs+fi4:0 fr1+fr2+fis+Ara_0
o
ima netrivijalna rje5enja?
js
Rje5enje:
2 -3 ^ 5 |3 -1 1 -1 A+7
a)p-
-3A2
-
181
Sistem ima netrivijalno rje5enje 10 Za.\ :
+2L- -3(A - 1).(,\ +7). 1v
- -7. 1, sistem glasi 2r + y 3z - 0 3n y +52-0 r2y+82-0, zo" A
-
pa ie netrivijalno rje5enje dato u obliku
ili:
A
r-
-?Ur, U :
f ,,
r--?r,a:*r,z:t. oo
20 Za
I - -7, netrivijalno rje5enje glasi r 62
2y, z
- -y.
b) D -
a2
- 4-
(a - z) (a + 2).
Sistem ima netrivijalna rjesenj a za
- 2va10 Za a - 2, sistem glasi n2 + frs 2rt+5rz+frs fr1 + 2rz a,
0 0 0,
frz: -frg. 20 Za o, - -2, sistem glasi frz + ixs: -2rr + 5rz + fis fr1 2rz netrivijalno rje5enje je n1 - -2rs, n2: -ns. a netrivijalno rje5enje je
11
-
Zns,
0 0 0,
c) D-2a2-a-a(za-1). za a -
0
va-
sistem ima netrivijalna *, 2
Za o:0, fr1 -frg, fr2 t 20 za,,:,,fit 10
d)
0.
Ar -2,Azp-*rft,z,aA-2 n1
1111 e) D- 1411 1141 1114 A A+1 1 1-A 00 1-A 1-A l-1 1-,\ 1-A 0
l_1 Za ), :1 V .\ :
-ttn2
All 1-l l-1 0 0 1-A 0 A-1 0 1-A 0 0 A-1 1
1l
1
0 0
I-1
1 1l
:(l-t)tl l,\+t -t t
rjesenja:
ol
11 - A
0! 0
^
- 1i
:(r-r)t(A+1+1+1) :(A-r;81.r+e;.
011
-B determinanta homogenog sistema je jednaka nuli, p& sistem tom sludaju ima netrivijalna rje5enja.
63
4.
Vektorski prostor
4.L.
Osnovni pojmovi
Neka je V : {at, az, ..., an} skup bilo kakvih elemenata u kojem su definisane operacije sabiranja i mnoZenja skalarom elemenata iz ovog skupa. VEKTORSKIM PROSTOROM nad poljem K : {a, A, ''t, ---l} nazivamo skup V : {at a2, ...t ar,} u kome su definisane I Unutra5nja binarna operacija (zbir) u odnosu na koju je skup V Abelova grupa: 1o
a* b:b*a, (a€V
2o
(a*b) +c: aI (b+c), (a,b, ce Iz) (asocijativnost sabiranja)
3o
a*0:0* &:&,
Ab e V) (komutativnost zbira)
(0 je neutralni element
4" (Ya e V)3(-o eV) :a+ (-o)
II
:0
zazbit)
(komutativnost zbira)
Spolja5nja binarna operacija koja zadovoljava sljede6e aksiome:
: aa*ab, (a,b eV, a€lf) (distributivnost mnoZenja prema sabiranju) 6' (o * 0) a : aa| Fa, (a e V, a, g e ^K) (distributivnost sabiranja prema mnoZenju) 7" (a|)a : a(Fa) (a €V, a, B e K) 8o L .a : a.l: a CIedinica neutralni element za mnoZenje) 5o
o(o+b)
Elementi vektorskog prostora Y nazivaju se vektori.
Primjer.
Polca,Zimo
da skup V svih matrica drugog reda dini jedan vektorski prostor.
Rjesenje: Theba provjeriti da
Neka
li
za skup svih takvih matrica vrijede osobine
t B:(!' ieA:(o' o'\ P) \0s ba/ \aa aa/
A+ Dakle, ako je A, B
asuprotni
-A
B: ( ::lll
8o.
i:In)
eV, tadaje i A + B eV,tj.
:( -o^' -? ) \-aa -aa/
-
Tadaje
u skupu V definisano je sabiranje.
Osobine 1o-4o su osobine sabiranja matrica pri 6emu je neutralni elemenat
-
1o
zasvakumatricu
64
A:(::
a4 / \os '::\
O: ( :0 I0 ),
\
J',
- 8". Provjerimo osobinu 5o: ( aot*ab1 oo'!"9'):
Za mnolenje matrica skalarom vrijede osobine
a(A+B\:a( o'*ut \ae*ba
aat \ craz - aA* aB.
aaz \ -f aaa ) ,
Dakle, a(A+ B)
(
\
oz*bz
aa*ba/:\
5o
aaz*abe olaalobn):
:i: :i:) :"( :::i) *"( i:l;) :
: aA*
aB.
Za vektore arta2t...,arl
K takvi
a"a-.(I) Svaki skup linearno nezavisnih vektora iz vektorskog prostora V dini bazu tog prostora. Vektor a eVn iz jednakosti (1) moie se prestaviti u obliku a: (abezt...to') gdje su skalari or, d2, ...,&r e K koordinate (komponente) vektora a u odnosu na bazu {auaz, ...,an} prostora Vo. Broj elemenatabaze vektorskog prostora iini dimenziju tog prostora. Ako je n najve6i mogu6i broj linearno nezavisnih vektora vektorskog prostora V, taAa ka^Zemo da je n dimenzija prostora V i da je taj prostor n-dimenzionalan. Oznadimo ga sa 7o. Svaku binarnu funkciju vektorskog prostora I/ nad poljem realnih brojeva, koja uredenom paru vektora (a,b) pridruZuje jedan realan broj, u oznani 1a,b ): (a,b), naaivamo skalarnim proizvodom vektora a i b ako zadovoljava osobine: 1) (Va, b eV) 1a,b ):
: a 1 a,b ),
3) (Vo,b,ceV) . Vektorski prostor snabdjeven skalarnim proizvodom koji ima i osobinu a) $a € Y) < &,a): $ a=e a:0 na,zirriamo euklidskim prostorom. Obidno ga oznadavamo sa En. Posmatrajmo realni ndimenzionalni euklidski prostor ,ff. Vektori ovog prostora su uredene n-torke realnih brojeria (au az, ..., qr). Neka su dati vektori & : (ab&2t...,o") i b: (br, bz,...,bo). DefiniSimo njihovu jednakost i neke operacije sa njima: 1) a : b <+ (at : bt,az : h,...,an: b,.), jednalost vektora 2) a+b:(au&2t...ta-)+(bt,bz,...,A): (ar + buaz+k,|..,o,n+b,.), sabiranje vektora 3) a(o1, &zt...ten): (dayaa2,...,ao*),d€ R, mnoZenje vektora skalarom 4) < (ar, a2t...ta,").(br, b2,...,b') >: dtbt*azbz+...+anbn, (skalarno mnoZenje vektora). 65
4.2.
Sistemi vektora
Neka je dat sistem od rn vektora:
at : (anrat2, ..., aln) a,z :
a* :
(aztra22, ...,
.,
Cr2n) ,
(arnr,'a)*2, ..., arr*)
.
Matricu M, dije su kolone komponente tih vektora, nazivarno matricom sistema vektora:
( ott o,rz M:l I ort az2
l::::f \ arrrt am2
ot,, \ azn I
l.
ar* /
Dati vektori arta2t...,am su linearno zavisni ako je rang matrice sistema vektora manji od broja vektora, a vektori su linearno nezavisni ako je rang matrice sistema vektora jednak broju vektora. Zadaci
1.
a: b) Ispitati linearnu zavisnost vektora o : a) Ispitati linearnu zavisnost vektora
(2,3,
-a),
(3,1,8),
b
-2,0) i a : (0,1,1). (3,4,5) i c: (2,3,3).
:
b:
(3,
c) Zakojevrijednostiparametaraavektori (a,l-a,a),(2a,2a-l,a+2)i(-2a,a,-a) dine bazu trodimenzionalnog vektorskog prostora? Rje5enje,
a) tur-
/2
| r \-4
3
-2 o
t)
.det(-U)
- -,4-12-9*
0pa je r(M)
-3
Rang matrice sis tem a vektora jednak je broju vektor&, pa su vektori linearno fiezavisni.
b)
(3 3 2 \ tu[- [ r 4 3 l,r(M)\8 b B l
2,p&suvektorizavisni.
c) Tbi vektora dine baau trodimenzionalnog vektorskog prostora, ako su
arno nezavisni. Dakle, rang matrice sistema vektora mora biti tri:
2a -2a\ / a I lt/[- [ 1-a 2a-L a l, \ a a+2 -0, I 66
oni line-
detM
: -a2(2e-1)+ 2a3 -2a(r-o)(o +2)+2a2(2a-1) - a2(a+2)+2a2(r-a) : : -2a3 +a2 +2a3 -2a(ar2 -a2 -2a) * 4a3 -2a2 - a3 -za2 +2a2 -2aB : :3o3ta2-4a:
:
a(a _ r)(a +
za a f 0 A a prostora.
2.
I
1,
Aa
t)
*-f
oui vektori dine baau trodimenzionalnog vektorskog
a) Dati su vektori or :
a: b) Vektor d, : vektor
(2, -1,1)
(1, -2);az: (2,3) u dvodimenzionalnom prostoru. (20,23) kao linearnu kombinaciju vektora ar i az.
(1,0,1) izraziti kao linearnu kombinaciju vektora a
i c:
:
Izraziti
(2,1,0), b
:
(0, 2, 0).
Rje5enje: a)
o,-aat*laz ( 20 zs ) -
a(1 -z ) + P(2 3 ) (Vektore smo pisali kao jednoreddane matrice) (20 2s )-(a -za ) + ( 2p 3p ) (Saberemo matrice) (a+zfr ( 20 zs -2a+3p) Jednakost matrica
)-
20:a*20'l
2J:-za+zpl=+a- 2,0:9, b)
a
:
d:
* 0b * 1c ---; o : -*,9 -*o +b + Lnc
aa
:
paje o,-Zat*9a2 t,.,r
3. Dati su vektori'o: (1,1.1),b: (1,1,2) i
:t
c:
(1,2,4). Dokazati da rrektori a,b i c iine bazu vektorskogprostora V3 i nadi koordinate vektora n -- (6,9,14) u odnosu na tu bazu. Rje5enje:
. Rang matrice sistema vektora je tri, pa su vektori a,b i c nezavisni i iine
baau.
r-aa+pb+ .yc --; o : 1, P -- 2,.y :3, pa je n : (I,2,3) u odnosu na novu baau. 4. Neka su date baze 81: {or, az,at} i 82: {bt,bz,b3} u trodimenzionalnom prostoru Ve Sdje su ay : (1,1,2),a2: (2,?,-1),os : (-1,0,1),b1 : (1,L,2),b2: (2,1,0) i bs : (1, 0, -1). Odrediti koordinate vektora t : 2at *\az - 4as, uodnosu nabant Bz.
67
Rje5enje:
Ovdje treba preii iz baze 81 u novu bazu 82
r-
* 7bz * lbs a, fr i 1 su komponente 2ar * 3az - 4as abr * 7bz * lbe abt
2(L,I,2) + 3(2,3, -1) (2,2, 4) + (6,9,
- 4(-1,0, 1) -
vektora
r u novoj baai
a(1, 1,2) + P(2,L, 0) + ?(1,0, -1).
* (1,0, -?)
-3) + (4 ,0, -4)
.
(12, 11, -3)
a + 2p + 'Ya +p
2a
^,1
r : -13h 5.
tojke
12 I
+ 24b2 -
23bs
ili r
vektora {at,az,os}
i
:
(-13,24, -23)
{b1, bz,bs} dine
baau u 7e. Njihove komponente su
(2,2,3),a2: (3,4,0),as: (0,1,z),bL: (2,0,0),bz: (3,3,2) i vektor
c:
&r
-
2az
*
ag pomo6u komponenata
Rje5enje:
"
b3 :
a,1
:
(4,4,3). Izraziti
u odnosu na bazu {h,bz,bsl
.
: (+,,-3b,2b).
6. Neka je {ar, a2,as), baza vektorskog prostora Vs. Dokazati da i trojka vektora {h,I>z,be}, gdje je fu : \at - a2 - alt b2 : o,r * az - aB, bz - 2at r az +og dini
a:
ar
*
a,z
(L,2,4),a2: (-1,0,m),ae
:
(0,2,4),a.a: 1-1,0,0);
bazu, pa odrediti komplemente vektora
*
as
u odnosu na novu bazu
Rjeienje:
7. Dati su vektori
ar:
a) Zakoje vrijednosti parame tra msu dati vektori linearno zavisni? b) U sludaju zavisnosti odrediti sve baae datog skupa vektora. c) Izraziti
preostale vektore pomo6u jedne od baza.
68
Rje5enje: a)
Dati vektori odredeni su sa po tri komponente, pa pripadaju euklidskom prostoru .83. U tom prostoru najve6i mogu6i broj iinearno nezavisnih vektora je tri, a svaka detiri su linearno zavisni. Zato su linearno zavisni i dati vektori bez obzira na wijednost parametra m,Sto se moZe provjeriti odrerdivanjem ra,nga matrice M sistema vektora:
lr -1 0 -1\
tw:l2 o 2 o l,r(M)<3. \a nx 4 o / b) Odredimo sve trojke linearno nezavisnih vektora, jer 6e svaka izmedu tih trojki biti jedna baza.
/ 1 -1 o -1\
/-t
1 o -1\
14n't,40fl044mf a2 aB an/
ar oB or/
M:l 2 o 2 o l-l o 2 2 o l\ot
1 o -1\ o -ll0 g z0 2 0 n"t, I \on arasa2) (-t
\4,
I
10
20
Za m 10, svaki od skupova {at,az,aa},{az,ag,aa} i {or, az,ae! dini bazu. Skup vektora {abaz,aa} ne dini bazu, jer njemu odgovarajuda matrica nije regularna.
Za m
:
0
je r(M)
odgovarajueu
c) Za m I
:
2, pd bazu dine po dva vektora osim vektor& az
*utri.u
(1,
a4 jer
( ? T ) "t " regularna.
0, naprimjer, vektor o3 pomo6u baze {o1, a2,a4]1 l glasi a3
8. Dati su vektori o1 :
i
3),a2: (-2,4) i
a3
:
:
ar
*
a4.
(-3,2).
a) Pokazati da se skup {41, a2} moile uzeti za bazu vektorskog prostora 82. b) Prikaaati vektor a3 kao linearnu kornbinaciju vektora baze {aya2}. RjeSenje:
b) 0,s
- e,ar* gazte: -t,F:
i*.
69
FUNKCUE REALNE PROMJENLJIVE
1. Pojam funkcije realne promjenljive Neka su
X i Y skupovi realnih brojeva i /
jednoznaino preslikavanje skupa
Y,(f : X --+ y) ili (f ,x --* /(r)). Tadapi5emo y: f(r),n€X,A ey gr
jednoznadna funkcija od realne promjenjljive
Drugim rijeiima, relacija
X
na skup i kaZemoda je
r.
f g X x Y je funkcija ako i samo ako (vr€ x)(lyeY)(r,ilef). :
X
naziva se domenom (oblast definisanosti) funkcije y f (r), a Y kodomenom te funkcije. Eksplicitni oblik zadavanja funkcije f je f @), a implicitni F(r,g) Grafikom funkcije , X -+Y nazivarno skup Skup
a:
:0.
f
G
:
{(r, f(")) : r e X, f(") eYI i G e X xY.
ro za funkciju /(r), definisanu u intervalu (-o,o), kaZemo da je parna ako je /(-r) : f (x), a neparna ako je f (-r) : -/(r). 2" funkcija /(r) je periodicna ako postoji takav broj o l0 daje u svakoj tadki oblasti definisanosti funkcije /(r) ispunjen uslov f (r + u) : f (r). Najmanji takav pozitivan broj c"..' za kojeg vrijedi f (x + w) : f (x) naziva se osnovnim periodom funkcije
/(r). 3o Ako jeza 11 < n2, rr,r2 e X , f(r) < f(rz), (ftrr) > 7@z)) funkcija je neopadaju6a (nerastu6a), a ako je /(rr) < f(rz) 11(rr) > f(rz)), funkcija je rastu6a (opadajuca). Sve se one nazivaju monotonim.
: p(y) !uk* da je y : f (p(y)) ili F'(tp(il,fi: 0, onda se g(y) naziva inverznom funkcijom funkcije U : f @) koja se oznaiava i
4" Ako postoji tunkcija x funkcija r : sa
"f-1.
(f , X -'Y,f-7 :Y -- X i f(f-L(s)) 73
:
U, Yy
€Yi f-L(/(r)) : r, Vr e X.
Primjeri:
1. Dati su skupovi X : {1,2,3} iY : {0,0,5}. Odrediti sve jednoznadne f , X ---+ Y. Da Ii neka od tih funkcija obostrano jednoznaina? Rje5enje:
fi (2) :
0,
Na slidan nadin prikazuju se i ostale jednoznaine funkcije, definisane na cijelom skupu
X:
Jedna od jednoznadnih funkcija fi(3) 5, Sto se moZe Prikazati kao
:
h, y
funkcije
---*
Y
definisana je sa:
/r(1)
:
0,
(tz a\ /4:\b 3\ B\ /5:\o . (r2 3\ /e:\o ,.(tz ,-.(tz " /r'[o s)' s o o), i o)' o o), 3\ 23\ /8:\5 9\. k(t /7:\5 ru,(!? ''(tz 5) 5 o)' 5 '\u o s), Ni jedna od inverznih funkcija f;!,(1, - 1,. . . ,8) nije jednoznadna, na primjel, /il preslikava element 0 skupa Y u dva raalidita elementa skupa X (1 i 3), ti. iz fsL(a) + /tl(b) ne slijedi af b (a,b eY. Zato ni jedna od funkcija ft, Q: I,2,...,8) ne moie biti ni obostrano jednoznaina. Primijetimo da flL i /tl nisu definisane na cijelom skupu Y. Oblast definisanih tunkcija i;t i" st up iO), u obl*t definisa,nosti funkcije /tt i* skup {5} o
2. Dati su skupovi X
:
{1,2,3}
iY : {2,4,6}. Odrediti sve jednoznadne funkcije
f t X --+Y i njihove inverzne funkcije. Koje inverzne funkci.ie su jednoznadne? o 3. Neka je preslikavanje f : R* [-1,1] zadato jednako56u f (r): sinr. Odrediti: ((-+,+)), d) /-1(0), ") /-'(;), a) f(0), b) / (t-+ ,El), ") f f) /-1
(+),
s)
/-1([-1,1]),
h)
/-1((-1,1)), i) /-1 (t0,tl)'
Rje5enje:
:0, b) / (-+) - -1, f (il: a) /(0)
:
sin$
1 i ako argument sinusa uzima sve vrijednosti od tada ie vrijednost sinusa mijenja od -1 do *1. Dakle, [-1,1], {sinr : -$ f
(l-9,+)l:
3" 3E}:
74
-L, do $,
c) Analogno b) je: f ((-L*g)) : {sinr : r e (-$,il} : (-1, 1), d) Kako je sin r :0 akoje tr : kr, k eZ,toje /-1(0) - {r : sinr : 0}, e) Ako je sinr: |, to je r: (-1)"arcsin $+nn: (-1)" + A + ntr, n €2,
:
(-1') $ + nn,n € Z, f) Analogno ka,o pode) imamo: f-t (+): pa ie .f -1
(+)
: {r: sinr +}:e\T*ntr,n€2,
: {r : f (r):
sinr € [-1, 1]]. Pokazimo da je /-1([-1,1]) : lR. Neka je u € /-1([-1,1]) i o: sintr, tada je f (n): d,, ot€ [-1,1], pa je r € ((-1)'larcsin a*ntr),r € IR, i slijedi da je /-1([-1,1]) c lR. Ako je r €.R, tada je sinr€ [-1,1] i r€ /-1([-1,1]), tj. Rc /-1([-1,1]). Dakle, /-1([-1,1]) :R, h) L jednakosti sinr: *1 odredujemo skup A: {r: s: T lnn}, n €Z vrijednosti r koje ne pripadaju /-1((-1, 1)), pa je na osnovu g) /-1((-1, 1)) : R \ A. i) Imamo: l-'_([q,-*]) : {":sinr€ [0,+]]. Neka je n e f-L ([0,]]) i o: sinr, tada je o € 10, il i": (-l)"arcsinr*nn,n €2. Ako je n:2k -fiksno, tada je r : arcsin a t 2ky i pri promjeni vrijednosti o od 0 do I promjenlji\xa r se mijenja od 2kr do (z/c + *) tj. r € lztur, (zte + *) "]. ", Ako j9 n:?!r*1-fiksno, tada jer: -arcsinr +(2k*1)zr izacle [0,*], r e l(zte + 8) (2k + t)rl. ",
g) /-1([-1,1])
(.u- lzren,(zrc+ *)"1), (, l(2k+fi)tr,(zk+ 1)"1) \kez, / \kez / Vati io!ra!1o, akor elzkn,(zte +f)'r] ili rel(zte+t)",(2k+1)zr], tada srijedi,
/-'([0,*])
.
sinr € [0,]]. Dakre,
/-, ([0,]l) :
(
(, [(2k+ ft)n,(2k+ 1)"]) . , / \tc€z /
.U-lzrnr,(zre+ 6)"1)
\kez, 4. Neka je "f r R + [-1, t] i /(r): cosn. Odrediti: a) f(0), b) / (f;), c) f (l-t,tl), d) / ((-g ,q)\, 0
/-'(*),
s)
5. Zafunkciju /,
/-1 ([-1,0]), h) /-,
zadatu sa: 1)
[0,
E] -lR
b)
/ ([6,$]),
a)
/ ([0,6]),
e)
r-r({*,1,f})
([o,f]),
c)
")
i) /-1
/ ([0,6]),
(l-+,+l) .
f(r) : tgr, 2) f(d :
/-1 ((0,11), d) /-1
o
75
ctg rodrediti:
([#,f,r]),
( ,", -1
Rezultat:
I;2;2; 7.
fi;
z.
Neka su .4., B,
. X i Y takvi
skupovi daje:
je
f (Au
B):
f , X ---rY, A c X i B CX. Dokazati da
f (A)u f
(B).
(1)
Dokaz:
{f
Poznato nam je da ako je zadato preslikavanje (r) €Y : r € D}, pa imamo:
f (Au
B):
f : X --.Y i D c X, onda je f (D):
{f (r) : r € Au B}.
f(r) e f(AUB),tada jer € (AUB), tj. r e AYn€ B. No, ako je t€ AVr€ B,toj" /(o) e f(A) v/(r) € f(B) i /(r) € (/(A)u/(B)),pa je Neka
je
f (Au B)
c (f (A) u /(B)).
je f(x) e (f(A) u/(B)), tada je l@) e f(A)v n € AVr € B,tj. n € (AU B), pa je /(r) e f (Au B) i Neka
(/(/) u /(B)) c f (Au B). Iz 2) i 3) neposredno slijedi (1)
(2)
f(") e f(B). odatle je (3)
o
8. Dokazati, da akoje "f r X --Y i A c Y, B CY,
ondaje:
a) f-r(An B) : /-1(A) n /-1(B),
b) /-1(,4 \ B) : f-r(4 \ /-r(B), c) /-1( Au B): /-1(A) u /*t(B)
o
9. Neka je funkcija / definisana sa: /(n) : # n € N. Odrediti oblast definisanosti funkcije / i njene inverzne funkcije "f-t. Du li postoji prirodan broj rn takav da je f
(m): f-L(*)
iri 2f (m)
- 1 - f-t\rn 76
1)?
RjeSenje: F\rnkcija /(n) definisana je za svako n € N za koje je2n-3 +0, Dakle, Df : N. Skup vrijednosti funkcije f j" Rf : {#,n e N}. F\rnkciju
/
(Vidi zadatak 1) moZemo napisati i
tj. za svako n, € N.
ovako:
eL.: r,(l ' \-T ?tt::. 1 5 fr4 "',1) Fbnkcija
/-1 j.
odnosno f-r(q)
definisana na skupu Ry sa f * I 2qf-r(q) Jq.
Rje5avanjem po
:
-
(l-L(q)): e, (e e R), ti. #ffi:
/-1(q) dobija se: (1 - zq)f-L(q)
q,
: -3q- 1, tj. f-r(q): ffi.
€ R/ zakoje je 2q- 1 + 0. Ispitajmo da li je * e Rf , tj. da li postoji nz € N takav da ie ffi: |. Ova jednakost moZe biti tadna za one rrz € N za koji je2m*2:2m- 3,Sto je nemogu6e. Dakle, h 4 pa je \, 1-1 definisana za sve q € fi1 i pri tome je f (f-r(q)) : q. F\rnkcija q
- Wje
definisana za svako q
: f-r(*), tj. {#: W ima rjesenj a ru,2: 'lfr f X. Jednadina 2f (m) - 1 - f-r?rn- 1), tj. 2# ekvivalenrna - 1 - W#je jednaiini #: Ws i nema rjeSenja u skupu R, pa ni u skupu N o 10. Nekasufunkcijefigdefinisanesa: f (n): #,(n € N), g(n):2n,(n € N). odrediti oblasti definisanosti funkcija f i S i njihovih inverznih funkcija. Odrediti f (S@D i Jednadina f (m)
njenu inverznu funkciju, a zatim
g-rff-Lk)),
q
e Rr.
Rje3enje:
: {#,n e N}, Rg: {2",n, € N}, f-r(q): ffi,q € R1, g-Lk) - logz q,(q e Rs), Dy-r: Rf , Ds-r - Rg, f (g(n)): {H,, a njena inverzna tunkcija je s -* tos, f+ . s-|ff-r(q)) : tos, #++. Df -- N\{1}, Dq:
N,
fiJ
Primijetimo da je funkcija q -* g-L(f-l(q)) inverzna funkciji n -> f (g(n)). Ovo je tadno i u op5tem slubaju, za proizvoljne funkcije f i g .
77
11. Data je funkcija y - l.t(
-
1
2).
a) Odrediti inverznu funkciju,
b) Odrediti oblast definisanosti date funkcije i njene inverzne funkcije, c) Odrediti parnost, neparnost, periodidnost date funkcije. Rje5enje:
tggg!*".ga : ln(t/F - t ax@ 1:fi 4
a) Na osnovu definicije prirodnog
{F - 1- 2. odatle je r :
2) slijedi
d,a
je eu :
Invezna futk ituJg,4ukl".4voznadna. Svakom g e IR odgovaraju dvije razlidite brojne vriiednosti: t/ kv + 2)2 + I i - J kY + 2)2 + I. Ako nezavisno pro4jenljivu i ovdje oznabimo sa s, inverzna funkcija ima analitidki izraz a +J@n +2)2 + 1.
-
b)ob1astdefiniSanoStifunkcijey-l''({n-2)jeskup D
-{r -{r
ltt(lm € IR; (r - 1)(r +
€R) oln {r€lR;
€lR;
-2 G2-L>2},
odakle je
O
:
((-rc, -1)
U [1, +oo)) n
((--,
-^/Sl v (Ji,+oo))
Oblast definisanosti inverzne funkcije je
IR
: (--,
: (-*, -tfl) u (ffi, *m).
+m).
c) F\rnkcija g :
ln("/F= - 2) j" paxna, jer je U@) : y(-r); tj. ln(1ffir2- 1- 2) : tn(1ffi)z- t - 2) zasvako r e b. F\rnkcija y :ln("/rTT- 2) nije periodidna, jer ne postoji konstanta u ) 0 takva da
j"y@l1g)_Ak)
za svako
x € D.
Zusta,izg(x*u): y(r), (.r e D.r > 0) slijedi
In({@+6f -t-2):ln(t@ -t-2), @ e D,a > 0), odakle je (r +r)2 - 1,'-I, (r e D,, > 0) tj. w(2r*ar):0, (r € D,w > 0). Kako ie'' * 0, to je w : -2r za svako r e D,5to je nemogu6e jer je r,;-konstanta o L2. Data je tunkcija a)
u: p6fug.
Odrediti inverznu funkciju,
b) Odrediti oblast definisanosti date funkcije c) Da
li je data funkcija periodiEna?
78
i njene inverzne funkcije,
Rje5enje:
a) Inverzna funkcija je y:3arcsin(ell*r - I), b) oblast definisanosti tunkcije je skup D : {re R; ffiT + sinS + 0 i t*sin$ > 0}, odakle ie D: {r e R; rlSkri,*T +(6k *4)r,keZ}.
Dt: (--,0) U [#,**), i njen osnovni period je w : 6r o
Oblast definisanosti inverzne funkcije je skup
c) Data funkcija jeste periodidna 1-3. Data je funkcija f (r)
a) Odrediti
12 -4 :Gjq'
inverznu funkciju,
b) Odrediti oblast definisanosti
date funkcije i njene inverzne funkcije,
c) Ispitati parnost funkcija f i f -1. Rje5enje:
a) uzmimo da je z - ,|ffi, odakle je r f -t (r) b) Oblast definisanosti date funkcije je skup D : (-m, -3) Oblast definisanosti funkcije
Df
/-1
je skup
U l-2,21.
-, -{r€ IR; -i"'+; 14 - L2r2 * 16 € R) - {r € lR; 14 -{r € IR; ; (r - :xt) (" - ixzX" - {ts) (" - r,4)
L2r2
+ 16
odakle je Df _,
c) F\rnkcija f (r) nije parna.
:
Dvoznabnom funkcijom f -t(r) *r, + jednoznadne funkcije tzv. grane funkcije f-r(r). Neka su to fi(r) + + ta i F\rnkcije /r(r) i /2(r) su parne o
lt/Fwm
: -**' l'/W
14. Odrediti period
s: #76r,
u)
n,
b)
2r,
: -4* - |vM.
sljede6ih funkcija:
a) U :3*sinzrr, b) g
") Rezultat:
fz(r)
su definisane bar dvije
0
c)
: 2sinr-3cosr,
")
U:5*2sin(l-c),
u: sinr* !sin2r+$sin3r.
2n,
d)
r,
e)
r, f) 2tr o 79
d) y
:
tS
(r+3),
15. Odrediti oblast definisanosti funkcija:
a: #*, b) g: d) A:A: \h+I+ $-r+er/', a)
h)
a: ffi,
Rezultat: a) D :
1)
, e)
c)
u: fffir,
A:12 -4*ln(-z),
y:lnarcsinffi, i) g:
(2
- sinr)*.
b) D : (-*, *), c) D: (-oo,-1) U(-1,1)U(1,+m), d) D:l-1,0) U(0,3J, e) D: (--,0), f) D:l-4,-2), g) D: {" > 0,xf lur,le :0,1,...}, h) D: [-1,0)U(0,1),
i)
D:
(--,
2) U (2,3) U (3,
(-2,,81, j)
16. Dokazati
da
D:
**),
lR o
i"mffi:
2rn(r/F + |
- r)
iodrediti oblast definisanosti funkcije
kr\/"Z+r-" \/fi'+l+t Rezultat: D
: (-6, *oo)
17. Odrediti
inverznu funkciju date funkcije i njihovu oblast definisanosti:
a)a c)
o
,c)ro
tr'
-h
\
a-Ioso@'+tffi1
,o, Pod kojim je uslovima funkcija f Rje5enje:
-r jednozna(na?
+W: \M'zpordobijaser-tfu'+ : Funkcija 3r). f-t(")je jednoznadna i D f :D1-1 : IR. f-L(*) t@t* b) Df - R.. Inverzna funkcija, data a,nalitidkim izraaom, je U : tarccos(lnffi + 2kn, le e Z. Ona je jednoznadna ako se postavi uslov: g € [0, n],(g t 0,k - 0). < 1}. Funkcija Kako..je cosgf - hffi, to je Dy-t : {r e $,-1 S h# t -+ et je rastuda, pa je Dy-t: {" € R,: Sry# < r} : {r e R,i < #} n {r e R, ffi se} : ((-m,-1)u l#,+*)) nl#e,-l) : [F*,-t). a)
RjeSaranjem jednadine y
3y). Dakle,
F\rnkcija f jednoznadne grane,
fr(")
l-a- -a-vT'
-t (r) ima bar dvije
d) Dr
Df-t
- R \ tInt, ln ry,hT,...,ln ry,...)
o
18. Odrediti parnost i periodicnost sljeddih funkcija: a)
y-los(r*'ffiy,
c) y-
cosr-sinr* 1,
b)
y- W+
d) y-
sin
*
r)2
r(r + 2).
Rje5enje:
a) F\rnkcija nije ni parna, ni neparna, ni periodidna,
b) F\rnkcija je parna, ali nije periodidna, c) funkcija nije ni parna, ni neparna, ali je periodidna sa periodom tt :27r, d) F\rnkcija nije ni parna, ni neparna. Period funkcije je w : 2, jer je sinz,(r + 2) : sinzr[(r+cr) * 2]+2k7i,(r e IR,, > 0) ekvivalentno sa zr(e +iy:r[(r+'w) +i]+ 2letr,keZ,(x €lR,c..r>0),tj.qr(t:2kr(keZ,w>0). Najmanjipozitivanbroj r.r za koji je tadna jednakost a :2lc je a :2 za lc: 1 r 19- Odrediti eksplicitni oblik funkcije jednako56u
sinr-cosA:0,
f , lT,Yl -
n€
|
31
5a'l
Lz'T),
[4zr,5rl koja
y€
je
zadata implicitno
[an,Sn]. (1)
Rje5enje: [Jzmimo da je sinr l+,+1 , e € [-1,lJ. Tada jednadina cosy segmentu [an,54'] ima jedinstveno rje5enje, Sto znaei da postoji funkcija
gr
-: _* lan,Snl. f: l|L-"2'. bz'l 2 | ,
J
Da bismo odredili analitiiki izraa funkcije .f, jednakost (1) napisemo u obliku '71 sinr -sm(t-a):u,
odakle je
2sinrycosry-0. 81
(2)
_
q na
Iz (2) slijedi da funkcija y ima dvije vrijednosti 7l
u:r-]+2kn,n€2,
(3)
U: -r+:2 + 2kn, n €v''
(4)
U sludaju (3) funkcija ne zadovoljava zadate uslove. U relaciji @) iz uslova r €
l+,n
fu"t
"i;e
shjedi da
je9 e[(2n-2)n,(2n-
1 ;"'
a:
-tr+
l)ur']
c fltr,Srlzan:3,
..1+,+) +, Z LZ L
paeksplicitni oblik
o
J
20. Odrediti eksplicitni oblik funkcije
f ,ln,2n\---, f+,+l Lz z l zadate implicitno sin
r *cos U :0,
r€ fn,Ztrl, A€
(1)
l+,T1.
Rezultat:
v--r*ryo 2L. Odrediti eksplicitni oblik funkcije -l
+ [1,31 f : lzi ,2n]+ lz'TJ zadate implicitno cos
fr -sin
U
:0, r
eltr,ZnJ,
Rezultat:
a-r-+o 82
lr
3".]
A€ l=.^-l' y2' 2 J
(1)
22. Napisati u eksplicitnom obliku a) *2
-
y2 -
4,
sljedede funkcije,
b) 2r3 .a2
implicitno date:
c) er*Y
Rezultat:
y-*rEry,
+ ffit c) y-log32 -r, d) a-*5 23. Odrediti eksplicitni oblik funkcije f (") date u parametarskom obliku: a) r- 0cost,U:asinf,0 b) r- 0cost,A:asint,T c) rtE, - sin t +cos t,U: cos2 (t - ? - sin(t + T), d) r - tgt,U : sin 2t + 2cos2t, e) 12 -logzt*2,A:t2 L,(t€lR+), a)
b)
a-
1f
f) r- #+,a: ffi,0
s)
r- #,a:#,-oo
Rje5enje:
a) Kako je funkcija r + acosf, f e [0,2r] bijekcija [0,2-] -* I-o.ol, to Vr e[-a,aliz jednakosti r : acos t odredimo jedinstvenu vrijednost t : o,rccos koja pripada segmentu f [0,n]. Uvr5tavanjem ove vrijednosti u drugu jednakost, dobidemo y : osin(arccos fi) :
: o{r:$,
,@
tj. y
b) Neka je r*u
: \/;r42, x e l-a,al,
u € [0,n'], to je
jednakosti.r- -acosy. Funkcija u --+ -acos u je bijekcija
[0, o'J
a,rccor
arccos
(-;)
jednakost, dobi6emo : y
- n,
- - lm,
c)
y-
e)
A-2212-4_1, f) r_
tr2
r
t € [n,Ztr]. Pri tome je, ir, prve
-+ [-o, o], pa za svako n € l-o,
fi.
o1
je u
€ f- a, a\,
lcosa-
d) Koristedi
dobijase
u-2W,
ffi,oay
83
-
IJvr5tavanjem ove vrijednosti u drugu
2. Grafici elementarnih funkcija Porno6u grafika G osnovnih elementranih funkcija A naotati grafici sljede6ih funkcija:
:
f @), neposredno se mogu
A: f @ - a) - translacija gra,fika G paralelno r-osi za wijednost a, 2) y: f(r) + b - translacija grafikona G paralelno g - osi, zab, 7)
3)
y:
4)
y:
5)
g: -f
6)
U: f ?")
- uve6anje srafika G c puta,
"f(x) f (kr)-
smanjenje apcisa grafika G k puta,
(n) - simetribno preslikavanje grafika G u odnosu na r-osu,
- simetridno preslikavanje grafika G u odnosu na
Pomo6u grafika G, funkcije
/(r),
gf-osu
mogu se pribliZno nacrtati grafici funkcija:
y: fu.,, 2o U: l/(r)1, 3o u: /(l"l), 4o y: f(x)+g(x), So y: f (x) . s@), 6" y: ffi, f a: /[p(o)], itd r"
o
U daljem radu, na osnovu grafika G funkcije 'sanih
A.: f (r), crtaiemo grafike transformi-
funkcija.
24. Na osnovu pravila a) y
:
(* -2)2,
1) nacrtati grafike funkcija:
b)
g: loglp(r -2),
Rje5enje:
a) (sl.
1),
b)
(s1.
2),
c) (sl. 3) o 84
c) y
: fu.
v
\ y=*'
\
Y
2.5
2.5
2
2
\
1 1
\
y=
1.5
y= (x-2)2
1.5
\
tog*x
-0.5
\
-0.5
-L
-1
-1.5
sI .2.
\l -)
1
v 6
1 \ Y=; \
5 4
v- x2+3 /
t
1
\-1
<_
"\
-z
\r
l-
v 3
2
lo9* (x- 2 )
\
0.5
0.5
y=
sl .3
/ ,/
Y=x2
\_3
,U
.
Nacrtati grafike funkcija:
a)v (rr 2)2. b) g : loglp@*2), y :3**2, d) y : fi, d U: ") f) v- Vr * 1, g) y: r/r -I, h) g: log2(r-2), i) y:log2(x*2), i)
#,
a- cos(r+$), k) y: tS@-t), l)U: arccos(r-2), ^)y: arctg("-l).
26. Kori56enjem
pravil a 2), nacrtati grafike funkcija:
a)U-12+3, b)!-sinr*2,
c)y-*
Rje5enje:
a) (rl.
4),
b) (rl.
5),
c) (rl. 6) o 85
1.
\
27. Nacrtati
_,
gra,fike funkcija:
y:sinr- 2, c) U:*+t, d) gr: r/i+t, e) A:3"-1, il u :Iog/zr * l, g) y: {i + t, h) g: arctgr * 1, i) g: (*)" + t . a)
A:n2 -J,
b)
28. Kori5tenjem pravila 3), nacrtati a) a :2x2, b) Rje5enje:
a) (sl.
7),
a:2sinr,
b) (rl. 8),
c) y
/
2
1.5
: Itft.
c) (sl. 9) o
2.5
y=2x2
grafike funkcija:
/
/
Y=x2
/Y=sin x
1
0.5
sl .7. v
Y
2.5
2
2
1.5
1.5
<-
-1 1
J,
0.5
Y=sln x
0.5
1tY=T Vx
2x\ 7(n
'/' -1 86
4z sI . f_0.
29. Nacrtati graflke funkcija: a)
a
a-2.2*,
g)
30. Kori5tenjem a) y
-
sin
a-Lz",h) a-
c) v I at.tin
e)
v
r,
i)
A
-
Zarctg
r
a-
*lostlzr,
o
pravil a 4), nacrtati grafike funkcija:
2r,
b) A - arcsin
2r,
c) y
Rje5enje:
a)
(tl. 10), b) (tl. 11), c) (tl.
YY
12)
o
2
1.5 1
x 0.5
Y1.5
S1 .L2
31. Nacrtati grafike
funkcija:
u) A : sin(q2J, b) y: arcsin(f), c) y: f) U : (0, SI*, g) U:log11s?)r, h) g :
32. Kori5tdem pravila 5), nacrtati u) a : Rje5enje:
a) (sl.
-*2, 13)
,
b) g : b)
-cosr,
tE, d) U: 4/8*, e) a-52, *t(f )' i) U : tg2r o
grafike funkcija:
y
")
(rl. 14), c) (sl.
: -\fr-
15) o
v
v{=*'
2
sl.13 87
\
Y=cPs x
f)
33. Nacrtati grafike funkcija:
a)y--r3, b)a--W, f) y - -tgr,
g) A -
c)
a--*,
-arctgn,
d)
a- -3n,
h) Y --sinr,
e) Y -
(t)"
i) y - -log3r
,
o
34. Kori5tenjem pravila 6), nacrtati grafike funkcija: a)
b)y-loge(-") , c)u-3-tr.
y-\R,
Rje5enje:
a) (tl.
b) (t1.
16),
LT),
c) (tt. 18)
o
v
- logz
(
-x)
35. Nacrtati grafike funkcija: a)
y-y-rosttz(-"),
e) y
-
arctg (-")
b)
a- (*) -*,
c) A-
lR,
d)
y-
arcsin(-*),
o
:
* br * c, a + 0 MoZemo je transformisati i tapisati u drugom obliku (kanonidkom): A - o,(r - a)2 + P, gdje je o - -*, g:4. Grafik ove funkcije je parabola. Prava r - a naz,iva se osa parabole. Tadka f @, 0) Neka je data funkcij a y
Q,trZ
-
je tjeme parabole.
88
36. Nacrtati grafik funkcije:
A
-
2r2
-
Br +
5.
Rje5enje: Datu funkciju (polinom drugog stepena) moZemo napisati u kanoniikom obliku g 2(* - 2)'- 3. Crtanje grafika posmatrademo kroz vi5e faza: Grafik funkcije A - 12 smatramo poznatim, b) Prema pravilu 3) , crtamo grafik funkcije A -
:
a)
2*2
,
c) Prema pravilu 1), crtamo grafik funkcije A 2(* -
(tl. 19) o
d) Prema pravilu 2), crtamo grafik funkcije A 2(* -
v
Y
3
2
y=lxI
1
Y=2 (x
-1
./
Y=x
-1 -2
sl
.20
-3
37. Nacrtati
grafike funkcija:
a:2(r-b)2- 1, b) y: -*("+J)2 -2, ") y :12 -4r+L, g: 3r-12, y : -2r2 -Jr*4, f) y :4x-x2-3 r ") 7) Pomo6u grafika G funkcije y: f (x), moZemo nacrtati Srafik funkcije U: lf (x)1. f (r)' /(r) > 0' " \' : ( _/i"i; Kako ie u :1 /(r)l to da bismo nacrtali grafik tunkcije s : t lti: .,, l/(r)1, ria osnovu Srafika G funkcije U l@), potrebno je dio grafika funkcije a : f @), ^) d)
koji se nalazi iznad s-ose ostaviti bez promjene, a dio grafika G ispod r-ose simetridno preslikati u odnosu na tu osu.
38. Nacrtati
grafike funkcija:
a)y:lrl, b)y:lr*11, ")U: lt-lrll. Rje5enje: a) (sl. 20), b) (sl. 21), c) (sl. 22) o 89
Y
!= lx+11
S) Neka je dat grafik G funkcije
A: f @). Nacrtati grafik funkcije g:
Da bismo nacrtali grafik funkcije y -- f
potrebnojenacrtatigrafikfunkcije
(lrl)
f (l"l).
na osnovu grafika G funkcije A
U: f@)zar)
:
0pagasimetridnopreslikatiuodnosu
na y-osu.
39. Nacrtati grafike funkcija: a) y
- \/Wl,
b) y
- losg l"l,
c) y
-
sin
l"l.
Rje5enje: a) (t1. 23),
b) (rl.
24),
c) (sl. 25) o
Y
1.5 1
y=1ogg
y=1ffi[
lxl
sI .24.
90
f @)
Y
-l-rn \l /
\o=sinrxl n
n
z
2
-0.5
\,
j
sl .25. 40. Nacrtati
grafike funkcija:
u)a:lzr2-alxl+sl,
b)
y: l#81, ") u: (1)t"-t+r, d)y: -arctg gr-L).
Rje5enje: a) Nacrtali smo Srafik funkcije cemo nacrtati grafik funkcije U
U:2r2
-8rf
Szan
)
:
U
:
2r2
2r2
-
-
Slrl
8r
* 5 (vidi sl. 19). Kako je 12 :
lrl2, to
* 5l prema pravilu 8). Nacrtamo parabolu
0, pa je simetridno preslikamo uodnosu nay-osu (sl. 26). Prema
pravilu 7) nacrtamo grafik date funkcije (sl. 27).
y= | 2x2-B
lxl+5
|
Y=2x2
b) Datu funkciju napi5imo u obliku y: lL + fu|, pa grafit crtamo sljedeiim redom: 1) Grafik funkcije A : * sma,tramo poznatim, 2) Crtamo grafik funkcije U : 11 ft, Crtamo grafik funkgije a : fu,4) Crtamo $afik funkcije u : L + Crtamo grafik #,5) funkcije y : lr + (sl. 28).
"iTl,
91
lr
+l
2l
x+3
I
(x-+)+1
-r -r
S1 .28
c) Kako ie y: (})t"-t * 1 : i1;lt"-tl * 1, to 6emo grafik crtati ovim redom: 1) Grafik funkcije ,': G)'smatrarno poznatim, 2) Crtamo grafik funkcije a : -(L)t'
3) Crtamo grafik funkcile y
,
: (t)t('-t', n) Crbamo grafik funkcije g,: (l)t("-t) * t (rn.
2e).
d) Datu funkciju napi5imo u drugom obliku: U: -arctegx - 1) : -arctga(" - 1) i crtamo grafik sljede6im redom: 1) Grafik funkcije y : arctgx smatramo poznatim, 2) Crtamo grafik funkcije 9 : arctg4s,3) Crtamo grafik funkcije U: arctg+(" - t), 4) Crtamo grafik tunkcije U: -arcte4(r - i), (tl. 30) e
y--arctg
(4x-1-
)
sI .30. 4L. Nacrtati grafike funkcija:
a)af) U -
j) s e) Neka
1+#, b)a- ft-1,
(0, 25)r+3, g) y 3arctg (3r + 1),
c)
y-ffi, y-\ffi\, ,c)
i) y-\arcsin ry
h) y - - arcsin +, -k) -22r-r, l) y Zarccos u
je poznat grafik G funkcije y
v- \ffi-
Pri crtanju grafika funkcije y -
-
#,
-
_ f (").
f (*),
TL
92
:
e) g - 3*-2, 2arctg (2* - 1),
Pomo6u njega nacrtati grafik funkcije
2t treba postupiti na ovaj nadin:
10
Konstruisati grafik G funkcije
At:
f (x),
2" Odstraniti oblast u kojoj je funkcija W: f @) negativna, 30 Povu6i pravu
U: l,
40 Prema nulama funkcije W tim tadkama,
:
f (r), odredi
se
karakter tangente krive g
:
f (*)
5o Odrediti brzinu rasta funkcije A
6o Kriva
y
-
vidu pravilo: ispod presjeka s pravom
A
1 je \m,
f @), a iznad,presjeka s pravom
y-
1je
tm.
f@)
o
42. Nacrtati grafik funkcija:
a)a-\m,
z, c)y- ffi,
b)y-v
d)v-@
Rje5enje:
a) Nacrtamo grafik funkcije Rrnkcija y
- \m
h
raste sporije od prave,
(rl.
t
je nula prvog reda funkcije
AL.
31),
b) (sl. 32),
c) Budu6i da je At
- n2 3r polinom drugog reda, to ie kriva rasti brzinom prave, dakle, imaie dvije kose asimptote. Asimptote odredujemo na sljedeii nadin: I 4
tj.
asimptote su prave: y
d) (tl. 34) o
- r - g i U - -n + t, (rl. Bg),
93
=x
(x-2)'{
Uodimo da je grafik funkcije A : t/ar2 * br * c gornja polovina hiprebole (kao u c) za a > 0, gornja polovina elipse (kao u b) zao < 0 i gornji polukrug zd" e : -1.
43.
Pomo6u grafika funkcije f
u)
y:
Rjeienje: a)
(s1.
fu,
b)
(x):
/ : l/(z)1,
35), b) (sl. 36), yv
12
c)
- 4r nacrtati grafike funkcija:
u:
\tI6
c) (sl. 37) o
y=lx2 - 4 x
\l / -\-L Y=x2 - 4x 44. Nacrtati grafike funkcUat
a)
Io)
y-**{n,
b)
y-+ym,
Pomo6u grafika G funkcije
c) y -
*/sinr,
d) A -*1@
o
U: f @) nacrtati grafik grafik funkcije U: iM.
Kubni korjen postoji za sve realne brojeve, pa je funkcija y sve vrijednosti z - a zakojeje definisana funkcija At: f (r).
: <m
definisana za
Ako je poznat grafik funkcije U : l@), grafik funkcije y : W moZemo dobiti izraiunavanjem tre6eg korijena iz svake ordinate krive yr. Pri tome treba voditi raduna o 94
sljededim relacijama:
lfr: a zae,-0,e:1ia--1, W a za e,€ (-oo, -1) i a e (0, 1). Dakle, kriva
f (") poklapa
U
su ordinate 0; 1 i
se sa
krivom
At
-1.
y: |m, moZemo uraditi na sljedeii nadin: 1o Nacrta se grafik funkcije h: f (r), 2" Povuku se prave U :1i u : -I, 3" Na osnovu nula funkcije gr : f (r) odredi se karakter tangenata krive y : W Dakle, crtanje grafika funkcije
tim tadkama,
4" Odredi
se brzina rasta funkcije
,: {7@
i
: lm crtamo imaju6i u vidu sljede6e: a) zay < -1 je {gt } Ur, b) za Ut: -L je l/W: AL,
5o Grafik funkcije y
c) za
-1
d) zayr e)
-
0 je
W:0,
2,a 0
f) za yr g) za yt
45. Nacrtati a) d)
grafike funkcija:
y: {i,
b)
y: i[-,
y: W=ry,
y: W - L, e) u: W6, f) a: "\
Rje3enje:
a) (sl.
38),
b) (sl. 3e) 95
W*.
u
Y
Y
3p
31
f
t I
Y=1
I
'l
I
2l
dI
Y=1
--{
45
3
1
Y=-1
-2
sI
.39
.
-3
c) Kako su ff - 1 | tr - -1 nule prvog reda funkclie gt raste sporije od prave (tl. 40).
:tr2-l,tokrivay_ i.ffi v
Y
4
l"= \3 =1
d) (sl.
4I),
e)
(2x-L):
2x-l L) t,
\,
I
_-y= 1
(tl. 42), f) (tl. 43) Y
Y
2
-1
x
34
-3 1
t_,
I
_,
y=-r
sI .43 .
46. Nacrtati grafike funkcija: a)
a-
|ffi, b) a-
c)
v96
d)y-W
o
11) Pomo6u grafika G funkcije
/(r)
konstruisati grafik funkcije y
:
:
sf (t).
Za konstrukciju grafika funkcije y sf (t) ukoliko je poznat grafik funkcije f (r), potrebno je broj e stepenovati svakom ordinatom funkcije W f @). Pri tome treba voditi raduna o sljededim dinjenicama:
10 F\rnkcija y
u: f @),
U:
:
: tf(c) 6g6nisana je za sve vrijednosti x-a za koje je definisana funkcija
20 U nulama funkcije AL: f(n) kriva y : sf(a) uzima wijednost 1 (e0: 1). Kriva y: sf @) sijede pravu U : I pod istim uglom pod kojim kriva yL: f (x) sijede r-osu,
3" Ako Ut -+ &, t
---+ frOt
tada y
---+
@r
x
---+
fr1t a ako
lrl
--* 6s,
Uf
---+
I+IIt 40 Ako je At - 0, lrl -* oo, tada je A - 1, ako je yL - k,l"l --* m, tada je y ako
je Ur+ --
47. Primjenom pravila
a)y:"-", Rje3enje: a) Neka je yt
b)
(r) :"k,l*l sf
-@) fi
---+
fi1t tada gr '--+ S,
--+ oor
-+oo i to brZe od bilo kojeg stepena rn
o
11) nacrtati grafike funkcija:
g:
"r-t, c)y:"&,
d)g:
"ffi.
: -r2. Kako Ut -+ -oo, lrl ---+ oo, to slijedi asimptotska u
relacija
- 0, lrl --+ m' A:
F\rnkcija gl dostiZe maksimalnu vrijednost I za ma}simalnu wijednost funkcije gr (sl. 44). (Prevojne taike iitalac moile tadno da odredi primjenom diferencijalnog raduna (glava IV)), v 4r
Y=1
\3
1
SI .45 b) (t1. 45), c) Kako y1 ---+ & -+ -1 ,l*l 97
F,toU+e -1
1
g)
l"l
---+
\ oo,
(tl- 46),
\l
\r\
\\
d) Neka je Ar -
48. Nacrtati a)
lz)
JFi.
Po5to ie
At-lrl,
\l--
l"l---r@, to ie
y-sl"l,l*|*oo
(sl. 47) o
grafike funkcija:
u-"*,
b)
y-"W,
Pomo6u grafika G funkcije
c)a-r-h, d)u-* /(r)
e)
y-rarctst
o
konstruisati grafik funkcije U :ln f (x).
Ako je poznat Stufik funkcije W: f (x), grafik funkcije U :Ln/(c) dobiva se logaritmiranjem ordinata krive 91 f (r). Za ovoje potrebno znati neke dinjenice:
:
: ln /(r) definisana je za f (r) > 0, 20 Ako l@) * 0, r -- rs, tada ln/(r) , -oo, tr + ro. Dakle, u nulama funkcije W : f @) grafik funkcije I : ln /(r) ima vertikalne asimptote, 1"
F\rnkcij a U
3" F\rnkcijaA: ln/(c) je negativna u intervalima u kojima je 0 1gt < 1, a.pozitivnaza h > 1. Nule funkcije y : tn /(r) su rje5enja jednadine f (r) :1, tj. kriva g : ln,f (r)
sijeie r-osu za one vrijednosti r-a za koje je funkcija W : f @) jednaka jedinici. 40 PoSto je lno < a, zakljuiujemo da se grafik funkcije U : Inf (r) nalazi ispod krive
w: f @). 49. Nacrtati grafik funkcije a)
y:ln(3-2r),
b)
gr:lnlrl,
c)
a:ln(2r-*2),
d)
g:ln(r*
1)2'
Rje5enje:
,:
a) Kako je yr < 0zar.r },to je funkcijag:ln(3-2r) definisarLazar tje vertikalna asimptota krive y. U:0 za y1: I; U : t za at: e itdF\rnkcija g
:
ln(3
-
2r) raste sporije od prave, (sl. 48). 98
<|.
Prava
Y
r'p g{
t\
1
S1
2
b) (rl.
c) (sl. 50),
4s),
d) (tl. 51) o
v
Y
2
L
0.5
Y=e
3
1.5
\
l-\ 23
-o/u
-4
1\
t\
-1
/-1.5 /_2
\l
\\
2
14,
t-t /
,,t
2
sl .51-.
tsl
'
50. Nacrtati grafik funkcija: u) a
:Inr2,
b)
il U : lncosr, r3)
gr: ln(r2 -
g)
y:
lnarcsinr, ") h)
Neka su dati grafici funkcija
y: f(x)* g(x).
t),
u:
u
:\nffi,
U
f @) i
:}n(er
d) gr + 1) o
: lnffi,
e) g
: EFI)' 1
yr:9(r). Nacrtati grafi.Ii funkcije
Da bismo nacrtali grafik funkcije g : f (r) f g@) potrebno je sabrati (oduzeti) odgovaraju6e wijednosti ordinata grafika funkcija At i Uz.
51. Nacrtati grafik funkcija: a) y-r+sinr,
b) y-n+€*,
c)
U
-
q+
GT\
d) U -lnr
*
er.
Rje5enje: a) F\rnkcija gr definisana je zasvako r € R. Njen grafik dobi6emo grafidkim sabiranjem odgovarajudih vrijednosti ordinata yr i yz, tj. y : yL * yz, (sl. 52). Nacrtamo srafik funkcije Ut:riUz: sinr. Utadkama: r:0,*r,*2tr,... imamo: A2:0,y1 :x,i y: ar * 0 : r, itd. b) (sl. 53), c) (sl. 54), d) (sl. 55) o 99
Yt=x,/
/ Y=x+ sin x
Nt=
-4
e* ,/
-2
Y=x + et Y 4 3
2 /
{y;i(-,
t/2 //t
/ .-'
1
-'
-1 -2 -3
52. Nacrtati grafik funkcija:
yd)Y a)
Ia)
l"l
*n,
b)
#-u
y-sinr+
lsinrl,
e)Y-W-
Neka su poznati grafici funkcija
a:
yr': f (r) i y2:g(r). Nacrtati grafik funkcije
f @)'g(r). Da bismo nacrtali grafik funkcije V : f @) . S@) potrebno je pomnoZiti odgovarajuie wijednosti ordinata grafika funkcija At i Uz.
53. Nacrtati grafik funkcija: a)
y: xsinr,
RjeSenje:
b)
g: *2"-",
")
u: -ry|4'.
a) F\rnkcijaydefinisana jezasvako r e R. Kakosufunkcije UL:siUz:sinr neparne, to je i funkcija g neparna, pa je dovoljno nacrtati za x ) 0. Nacrtamo grafike funkcija W i yz. Grafik funkcije y dobi6emo mnoZenjem odgovaraju6ih ordinata yt i Tz, U:Ut'92. tJ taikama fr:7r,2r,... U:0iU:Ut.Uz:0, a u tadkama n: E,+,... 100
Az: *I iy: gr.(+1) - *r, tj.
odgovaraju6e tadke grafika funkcije yIei,e na pravima
AL: ri At: -r i grafik oscilira izmedu tih pravih kada r -+ oo. Kako je sin x - nL
{l=-{ Yz=s
Yr=x
4
in x
7
Y=x
sin x
n)
_( \ -2
\
sI.55
r
b) Neka je At : n2,
to je r-osa asimptota,
A2
(rl. 57). c) (rl. 58) o
at'u2 definisana je za svako r € lR. Za -jea-2, --+ oo, itd. Kako 0 kada
U
l"l
54. Nacrtati grafik funkcija: a) lrl
sin
r,
f) A-ZtE*,
g:clsinrf,
b) g) U :log1p(r
t),
c)
A:
- *'),
x(x2 -L), d) g: t+3t3t, U:2*2-2*, ") h) g: logz#, i) a : log2 lsinrl, l) y :Iogalx *21,
s: Io&nW, -) g : lloga lr+ 2ll,- r) y : ,l arcsin ffi, o) U :
i)
v
- logz( l/ifi
+
55. Nacrtati grafik funkcije
k)
r: t2 U :2t' 101
-2arctgft,
p),a-ffio
Rje5enje:
Ako su date parametarske jednadine krive, ona se mole konstruisati pomo6u tadaka, ili da se odredi U@) pa nacrta grafik te funkcije (sl. 59).
t
-2
-1
0
X
4
1
V
-4
-2
1
2
0
1
4
0
2
4
Eliminacijom parametrat iz datih jednaiina dobijamo jednadinu parabole
56. Nacrtati grafik funkcija:
r: lt+ll-2 12:5 - ltl ^., o: 2cost. d) n: a.os3, ,, b) ' y:asinJt' ,:t2-3 a2:t+4' ") ,:2sint . 0: a(t - sint) ") o:a,(l-cost)' ^., u)
102
U2
vi5e
:4r .
3. Nizovi Nizom elemenata skupa
E
nazivamo preslikavanje
N--+E:n-+frnt tj.
funkciju koja svakom prirodnom broju n€ N pridruZuje odgovarajudi elemenat rn€ E. Niz se ozna(ava sa {r"} ili (rp)pEry ili {r1, nzt. . .txnt. ..} ili r" : l(n), n € N. Elementi
frttt2t.
,frn,. . . nazivaju se dlanovima niza, rr., op5tim dlanom niza. Skup E moZe biti, naprimjer, R,R-, C[a,bl, ts skup matrica, itd. Ako je ,E : R tada niz nazivamo brojnim, a ako je E : lRm vektorskim, a ako je E: B matridnim, itd. Broj a € lR je granidna vrijednost ruza {rn} ako za svaki proizvoljan broj e rel="nofollow"> 0 postoji prirodan broj N(e), takav da je za svaki n, > N(e) ..
Sto se simbolidno pi5e
,rl!g
xn:
l*" - al1€, a ili rn -* a kada rz --) oo.
Svaki niz koji ima granidnu vrijednost naaiva se konvergentim, a u protivnom je divergentan. Za
rrdz
{rrs}
ka,ilemo da
je monotono opadaju6i (rastu6i) ako je (Vn €
N)r" > rn+r (rn < rn+r).
Niz {22} je ograniden ako postoji broj M > 0 takav da je
(Vn,€N)lr"l <M. Niz {rp} je ograniien sa donje strane ako postoji b.oj g takav da je
(Vn€N)9(r2, 103
gdje se broj g naziva donje ogranidenje (minoranta) niza. Najveia minoranta naziva donja meda (infimum). Niz {rp} je ograniden sa gornje strane ako postoji broj G takav da je (Vn € N)
r,, (
se
Q,
gdje se broj G naziva gornje ogranidenje (majoranta) niza. Najmanja majoranta naziva se gornja meda (supremum). Tadka o takav da je "
je tacka nagomilavanja niza {cp} ako postoji podniz xnr,frn2,.-. ,frnk,-'.
lim *nr:
o
,k--* Najmanja tadka nagomilavanj anizanaziva
se
limes inferior
i
oznaiava se
sa lirlg rrr.
Najveda tadka nagomilavanj a niza naaiva se limes superior i oznadava se sa
m
r??.
Ako su svi dlanovi mza {rn} za n > I[o (Ns fiksirano) ve6i od nekog proizvoljnog broja M rka?emo da niz konvergira beskonadnosti i piZemo ,l5g frn: oo. Svaki ograniden niz koji ima samo jednu tadku nagomilavanja, a konergentan je i granidna vrijednost mu je jednaka a. Svaki monoton i ograniden niz je konvergentan
Potreban i dovoljan uslov da bi niz {xn]; konvergirao jeste da za svako e > 0 postoji broj N(e) takav da je lr2 - rn+pl < e zarz > N(e) i p > 0 (Ko5ijev teorem). Za granidne vrijednosti konvergentnih nizova vaZe sljededa pravila:
lirn un, lim r' I n-+oo lo n+3C lim (rr, + ttn\: fL---+@ -
2o ,r$o("" 'yr) :
n\*"' Jgu", r\m !!- 'S"" (\n--+&v'3o n'* ' gn nIrya" lim an#o).
Ako je
,rS "" :
0'
rn
se naziva beskonadno mala'
Niz {r2} elemenata metrid}og prostora ,E konvergira broju o, e E ako za svako e > 0 postoji prirodan broj N(e) takav da je p(xp,a) < e zaYn > 1V(e). Prirodan broj N(e) moZemo zamijeniti realnim pozitivnim brojem o ukoliko iz nejednakosti n>a slijedi n>Ial:ru(e). 104
Ako je u prostorulRm zadan
(i
:
nizrn: (frtn,fr2nt...,fi*r),n € N, takav da1ffifrin,
1,2,. .. ,nx)) ladaje niz konvergentan i vaii jednakost
,r$"" : (rlgrtn,rrl* Analogno, ako je t B zadat niz
('l!) At:
I
[,,*t takav da
fr2n>...,,r19 r*n).
"l\)
,g \
,n
"g,)
l, *.*,
l,lim &, b-- 1,2,...,ffi, e:1,2,...,n),onje rk--+oo " lim *-t:
,hm "lt) "l!) tc--+oo --
,tim
konvergentan i vaZi jednakost
,f,+oo
"n
,lim Ap:
, lc, € N[
lr-+oo
lim
k-*oo
1.
"nl
lim
,lim "#,
k-*oo
6_-+@
,*)"
Napisati nekoliko dlanova niza diji je op5ti dlan rp: a) rn-- *, b) xn: e) *n: 1-t1" + |,
f,, ") *n: fa1, f) *n: (-1)'cosn7r.
d)
*n: (-L)*,
Rje5enje: u) e)
2.
r,i,},:..,
*,+, I,..., 0,i, -6,..., f) 1,1,1,...o ") b)
*,?,1,...,
d) -1,1,-11
Napisati opSte dlanove niza datih sa nekoliko prvih dlanova:
a) -1, Rje5enje: a)
t,t,
..
rn: #,
.,
b) *, -3, 1, -t,.
b)
: (-Dn+I,
",, 3. Ispitati monotonost i ogranibenost.
.) ")
(#),
b)
.
.,
c) 1,0, -1,0,
1, . . ..
rn:
o
c)
sinn|
nizova:
(ffi), .) (#+*), d) (cosnf),
((-1)"sinrzg), f)
(nsin
ffi),
s)
(rz
105
"orffi),
h) (t
- *).
Rje3enje:
a) Niz monotono
opada, jer je za svako n € N,
n€N,0.*.+,
t,
i ograniden je, jer je za svako
#
b) Nz je monotono rastu6i i ograniden, c) Niz je monotono rastu6i i ograniden, d) Niz nije monoton ali je ograniben, e) Niz nije monoton ali je ograniden,
f)
Niz nije monoton ali je ograniden, g) Niz nije monoton ali je ograniden,
h)
Niz je monotono rastu6i i ograniden o
4. Dat je niz {ffi}.
eoUzati
da je njegova granidna
dazan > N(e), bude zadovoljen uslov
l*n- il .
wijednost
}.
Odrediti lf (e) takav,
O,Ot.
Rje3enje:
: *, j"t i" lnn- al : l# - tl : ffi < € za svako 2). tz lrn - : #+A < 0,01 slijedi da je n, t T, pa je N(e) ) 25 o "l ", ie 5. Pokazati da niz T : rnt rL € N konvergira broju 2. Grarridna vrijednost je a
Rje5enje:
2j1: *.Zasvako E ) 0, lN(e) € N takav da je 7y{4 < e (vidi'realne brojeve). Tada zaVn > N(e) vaZi nejedb{ott * < e pa je l*n - 2l < e ti. Imamo,
lim a,r, :2
n+lc
6.
lrr-21:|ry
-
o
Dat je niz
rn:1
+
$P.
Dokaaati da je
)ry"":
ilanova niza t'a,n e-okoline te granidne wijednosti ako ie
1,
a zatlm odrediti koliko je
e:
10-1.
Rje3enje:
jee > 0 irn € (1 -e,1+6), ti. lrn- 1l < ezasver, € Nzakoje je * W - tl . e ti. h< e. Otudaieln t l, ti. Iog2n> lost. Otuaa ielxn- 1l < e lt'zan Neka
>
#
Prema tome, van e-okoline broja
1
nalaai
* [+tr] dlanova niza {xJ}nay-
za€:10-1 je t+F] : [#] :[3,32] :3,ti.svidlanovi nnzd,n]4senalazeu okolini (t - #,1+ t) tadke 1. Samo prva tri 6lana su van te okoline o 106
7.
Koristedi definiciju granidne vrijednosti niza, dokazati da je: a)
,lg
ffi:
?, b) Jgo* m*,,L : o, .) JlS, *q#,:
?.
Koliko ilanova ovih nizova se nalazi van e-okoline granidne vrijednosti ako je e : I0-2?
Rezultat: a) N(e)
-
11,
b) prvih [tOt/t1 (samo konadno mnogo) dlanova niza je van e-okoline tadke 0, [tOti'1 - 16100, c) lr(e) :22 o
8. Koristedi definiciju a)
gra,nidne vrijednosti niza, dolazati da je:
,I$ #^2 : +a,
U)
: Jgg("2 - na) - -@, c) ,l]g log | -*. --
, n
,.
-
r
Koliko ilanova ovih nizova ne prevazilaai gornje ogranidenje M, odnosno donje ogranidenje
-M
ako
je
M:
102.
RjeSenje:
-- lU + \/WTMI
a) Prvih N(M)
M.
Svi ostali su ve6i. Za
9.
:
102
je
N:
200,
:
3 dlanova niza je ve6 od donjeg ograrridenja,
19100
ila,nova niza je ve6e od donjeg ogranidenja o
b) Sarno prvih N c) Prvih N
M:
ilanova niza je manje od gornjeg ogranidenja
{r"},
je:. ffi*n, n,B"" ako a) rn: L l- *, b) *n: 1 * c) xn: (-1)" (r + ;h), #, d)rn:(-11n*t (z+*), e)rn:1* n*L*rcosff, f)rp: korT+(-t)"-r] Za nizove
n € N odrediti inf{xn}, sup{rrr};
n.
Rje5enje:
a) Skup vrijednosti nrza {rn}n€jv je skup {rrr;7? € N}: {1 + *,t+t,t + i,...}. : 9z : ,r. Kako;e Dati niz je monotono opadaju6i, pa je : t, to je
inf c,". : 1.'?'=-oo Em rh: -neN
_lim-m tl+oo
tn: I. Broj 1 je jedina taeka nagomilavanja
b) Skup vrijednosti niza {xn]tn€N je skup {cp,n € N}
Dati niznijemonoton. Medutim,r2lr-1: otuda i" t
ui|ir"r*-l
,$gr"
;E$""
;{*"" ;:$"r*
{1- *,t+t,l-1,1++,.. .}. < 1+ #u:x2prasvakofue X. jERr"". Niz rzh-r je monotono rastu6i
1- tnst :
107
:
datog niza,
.ittf _rzk-t - #, > t - fi : t2ta-!,k e N, pa ie kg,n/ Niz r2pje monotono opadajuti: r2gr'r1) : 1+ # S 1 + #,-' plp,"zr - 12 : $. xat o j. ,lg5 nn: l, to i" ,F__* *n : ]H*n N
(po
/ce
k): rz&+r)-t-
1
c) inf*rn : -3, ;ERr-
:
t, F* tn
konvergentan,
d)
,?lo
*n: -1,;:R,*:5' #H rn:
e) Kako ie r+n-z
jll
1r2n-r l
: -t i rn : ",l*.
-2
n4nt pri demu ie
: P**": ,,4b r4n-2: ,,lg _riry^qn: -lin^ *n (r + ffi) : z, rL---+@
to je
1
2'
e'v
nn
je
1, nrz {*n}rze
,nI nije
i -lim nn:2' {ra"-z} 0-
opadajudi a
ffi) :
{r+"}
tn
o, ;ER,
rastu6i niz,
: E*"" -
n--+@
f) Sljede6a
detiri podniza odreduju tatke nagomilavanj a riza
(
fr4n-3:
(4ry_
\cos-
/
_3)" +.r) z /
-
(+n
_ 3) : 4n _
z1r
1) : [cos- z - / -2(4n / An-L)r +1): 4n-!, fr4n-r: (cos: Z / 4ntr | I4n: -r) ar,: o.
fr4n-2:
@n
\cos
Kako
j"
,"lgg"an-3: nly:*rnn-r
I :
'T,-+F
a) nnc) nn
,l$""
2),
T2n-r: *co. to je sup rrz : *oo, a :0, rn : -oo i Iim rn: *@ i ,liL x4n a
,r\n*
F**
ako je:
#cos ry,tu€N,
b)
rys: (t + *)" (-1)n + sinff,n € N,
Rje5enje: a)
b)
*_W**" - J*o
J,
/
,n4n-2- -€r pa i" jEi, tn: -6 10. Na6i lim zn i
{rn}nex
nrn-z:
-+, tt
lim
??--+oo
-e-h' l-
u$nva-mnsn-r-
lim frJn: nn: ?z-+oo
,rF* fin 108
n1-JJ.
1,
o
Iim x4n-0, c) Iim rrr: fr--+OO
lim tn- Iim xqn-z:1r n"+(n
n-+@
TI+OO
11. Odrediti inf{rp}, sup{rp},
n\**n, "Bo"'
ako je:
rn: t# * !45!1, b) *n: ry, c) rn: @P, d) ,n: (sin T + el)-t) n, e) rn: sin T, f) rn: sin ff + e*)" a)
.
Rezultat:
- -1' ;:$"" : 3' u$5 rn: o' Is nn: r' b) tnf rn: r, np: *ao, *oo, ,y._-*"": m u)
;81,""
;ERr"n:
c)
n€N-rn: inf
2,
sup_
n€N
rn
:
3,
inf Iim rr, n€N-rn: rr'-+Oo -
e) '
i\f^,*r: lim rr: -#1 n-+6
n€N
sup 02
neN
rn: -4 - *, ;:R,", =+
o;ef"
12. Odrediti tabke nagomilavanja
nn:
cosn
rllTt
:
Iim rr,
rt---rcp
:
-% n
sup trn: Iim rrr: -F, n€N n--+oo
d)
je: a)
rr,
2-+oo -lig
b)
+
: 1,
r'--+oo -Em
F-*_
frn
:
2,
*oo,
rn: 4, xn: -4,
,B rn: $
nizova datih opitim ilanom i na6i
*n: 1 * 2(-ty+t,
c)
*n: \#.
n--fu--**n,
o
r[5""
ut o
RjeSenje:
a) Napi5imo nekoliko prvih dlanora niza:
-1,
1,
T2
ograniien i divergent&r, lim frn
fr2n+L
lim -1, n+@
r'1
frn
b) Tadke nagomilavanja su - 1 i 3. Niz je ograniden i divergent&r, lim rn ??-+oo Iim frn -: 3,
- - 1,
n->@
c) Tadka nagomilavanja je 0. Niz je ogranieen i konvergentan,
109
usr"r:rrl}5
fr6:Q
t
13. Odrediti tadke nagomilavanja i utvrditi
?l)"*, b) *n: #, (-1)" sinff, f) rn:
a) xn: e) nn:
c)
konvergenciju nizova:
rn: ?L)""*',
d)
xn:
c'osrtr'trt
3-n.
Rezultat: a) Tabka nagomilavanja je 0; konvergira,
b) Taaka nagomilavanja je 1; konvergira,
-1 i 1; divergira, su -1 i 1; divergira, su -1 i 1; divergira,
c) Tadke nagomilavanja su
d) Taike nagomilavanja e) Tadke nagomilavanja
f) Tadka
nagomilavanja je 0; konvergira o
14. Odrediti graniine wijednosti
nizova:
ffi, b)*n:ffi, c) rn:W,
a) frn':
d)",:##{,,1=1S'
Rje5enje:
a) 1,
r:--- L+#. _ 1, Iim nz:fzn+gb) -r nJoo -rrgb#*
d)mffi-,,%ffi, L5. Odrediti
c) 1, s+Z
Iim # rl---+oo 2n*fi
granidne vrijednosti nizova:
c) nn:2f .or 2n - #, f,+ #, b) nn nl)-ffi+ #r.7ftn. a) ?, b) 0, c) -*, d) -3 o
a) nn: d) nn,: (cos
Rezultat:
L6. Izradunati
granidne vrijednosti nizova: (zn*r)(n+2) lim c) ' r7,+& 6W,
d)JgW, e)m(rffi-fi), r)Jis%, s)Jgffi, h)J%(ffi- ffi1 ' TL->&
.
110
Rje3enje: rr
lim a) ' n+@ # {n.*L
1
??-)oo lt , I
y'-a I l-"'-r-*t : g, : 6* 5* (z'r+/Xnt=z) -V-S d)' n-+6 {n4+n+3 n--+oe L+A
e) MnoZenjem i dijeljenjem datogizraza sa y^ ({-n+r:y6')(t/-n+t+t/n) lim
l/n + L + t/n, dobija se:
??--+oo 1t1"+r+t+ - r'i'& --J-:0 @a@ f) Racionalisanjem brojioca, dobija se: 6^ 6/&+n-n)('/ffi+n) _ Iim __l_:
- "' o
dji& g) 1,
n'3& 11/-=-a11n) - "1 h) mnoZenjem i dijeljenjem sa (\/ATn+l+
rD--+oo
z
nb/&+n+n) -
u^&-z-t' (r/nz+n+L*t/nz-n+l)
17. Odrediti
b)
rn:nifr- +ffiTW=, g)
*n:n6ffi+t-
i) xn-
(sinn!)
Rezultat: a) -2, b)
il-3,
se:
nn:ffi;, c)rn:ffi-^,
f) nvl: h)
dobija
granidne wijednosti nizova zaAatih op5tim dlanom:
a)rn:#*#, d)
t/ffi - n+I),
.
nv.
tffi-nz -9,
h+ #. &,
1; ") *.
k)or
e)
d)
-gVA,
,n: Jr*
6:&,
y n+Vn+\/n i) nn: f,cosns k)
rn:
Q r, r)
w),
c)m @.ffi,.?f;,...\n),
e),mh(*+ffi +ffi) 111
ffi,
h"orffi - rhffi
lt/2,
18. Nadi sljedede granidne vrijednosti:
a),tgL(** $+*-.-+
t/-n-
s)
1, h) t{r,
i) -+,
Rje5enje: a) Uzmimo da je Sn
:
*+
it
+
:t
+
sn-Lsn:++ (;, - ;,) *(*- #) : L+ (++ t +...+ ;-) - W, Sn: r+
1
ry+.
Tada je
* + (T -W) -W :
r I + !+.. + fi, - W: *'E
-fiL,vaje
1
:,"1g5 (t . - T):,,1gg (r + z ,"rgs, :,,r|sls -,lg* -2 nr%& + ;+"5:z.
#
+
Ovdje smo koristili to da
:"1&l
za proizvoljno e > 0, ako ie n > t
: nfit : u
+?,
;- - T) : +"'+
t.
t: Jg5 & :0,
: h.,
#
b) Primijetimo da je
g+fi+...+#: ;g(#+#+ c) Kako je
(t-*) +(*-i) +'+(*-#) .-+#"n) :,t5g(r-#) =r,
\n-ffi,.W"'2W-zt*i+"'+h
+ 2T
izan
2
/1 \ 1l+...+ 1+nlZw \/
(rh
kada n
vrijednost datog izraza ie
a)
:,,g
(,t#+frtu
"B
---+
oo
i granidna
2,
:,,s %#h?itffiiL :,,rgo 6#ffiffifiv :
h(+ * 4+
"' +
ry):,,g #:
1
o,
r
19. Odrediti granidne vrijednosti:
-t .= a T7 1 +... + ,n+@ffi(.ffi+ffi+"'+W
a) lim =L (
u),g (* * fi +...* m-#ruar), LL2
*,.*r*, d),lg t2+22+#::'*n2 "),lS.
"'+23+... *n3 e) Iim*, ' fL+6
f)
i)
i)
Tl,=
,Ilgb(*)"#H+,
m)
,gW,
1-5 Y+r -sn*2 lim h) s) ^^/ hm otn^-''?bW) rz-t& gW)
,H" Vf*)" + (i)
n)
Rezultat:
,lgffia,
o
,rt*
u)
1, U) l,
e)
|, koristiti (r' + 23 + -. - tn3- /n(n+r)\2\
h)
-1, i) 3,:) i,
(r + 2 + .- . *
c) {, koristiti
r) ,rggffi, ,ggffi, r:*
k)
@+2) !+(n+1)!
n: ry\,
d)
': \ry) )' t) t' k)0, l)0, m) o, n) o,o)1o
\
+,
s) 1'
2O. Dolsazati da je: a)
]y*n" -
0, z& lql
lim *:0,&) c)I?,+@ -
d)
1,
f)
m ffi-0, e) Jgg nqn - o za lql
_lirgr_.ry-o, ??-).OO '
t'
a
Rje5enje: a) Ako jeq:0, to jeprva jednakost oiigledna. Neka jee > 0 i 0 osnovu Bernulijeve nejednadine, imamo:
< lql < 1. Tada, na
1)
Odatle je
lql je lql >
: lq"l <#m < € zavn >"Eidt
i A > 0-proizvoljno. Tada iz nejednakosti lql" :(t + (lql - 1))' > 1 + n(lql- 1) > "(lql Slijedi da je lql" Neka
1
- 1) > A.
b) Jednakost slijedi iz nejednakosti 0
i iz toga da G)" ---+ o kada TL + oo' f)Zaa: ljednakost je odigledna. Neka je a 1+ nr-; n +(w- 1))'
0< *
w-l
)
L, tada
je f/A>
€
Irto, tada
je:
J5g W-,rl*b
113
fr
1, ((1
**)"
>
h) Pokazirno da je n!
t (3)". Primijeniiemo
matematicku indukciju. Nejednakost
je tadna za n. : r. Ako je ona tadna za nj tada za n + | imamo: (n + l)! : nl(n * 1) > (3)n Qt + 1) : (+)"*t t (t+)"*t. Posljednja nejednakost vaZi,jer je
d),
1
ffi 'r
-a \\
1
n!
1+1+ *tt 1+1+ *+
*l+ rl
-1-F
Jednakost nuli i egzistencija granidne vrijednosti proizllazi iz nejednakosti: koja vaii zasvako e > 0 pri n > .
o. h.
fu
21. Dokazati
da
: *.e,
f
je niz
rrr: (t + :)" ne N ,
)
monotono rastu6i i ogranidne odozgo, a niz
n€N)
Un
monotono opadaju6i i ograniden odozdo
i da je
/
1\', / !) '*' .;) -J,ru(1 + '%(1 22. \afi
granidne vrijednosti:
"i ,\'L
(,+)",
b)
Jl% F + *)'", ") ,$g
(#)'"*',
(r * uh)', k. N, "),rgg (ry)'", 0,lgg (9), "lg s) ,gt n(tn(n+ 1) - Inn), h) JllB" @) a)
RjeSenje:
b)
e2,
c)_liu \ rt'TL, ' f7,+@ (#r1zn+t-Jiry ??+@ ft:
(t_f a1y
rr4
23.
Kakoi",l!5
:
n!5g(r+r +*.+$+...+*.) ". e:_2++++#+...+f, +ffigdje je0 < O < 1i izraiunati broj
G+*)":
e, dokazati da;"
Izvesti formulu: e s tadno56u do 10-c.
Rje3enje: n(n-I)(n-2) 3!
:
(I + *)": 1* #+?.%!#+ 1 r -_ __t -r. .. *n(n-L)(n-?)..-(n-k+t) r. .. -n(n-r)(n-2)...2.r *...+ kl nl. nn
Prelaskom na granidnu vrijednost u nejednakosti
rn
*
e+"'+
n,
h(r-*) +&(r-*) (r-3) +...+#(r-*) (r- il
+
(r-f)
r."a"
e) 2+# + S+..'+ fi: gp,kojavaiizasvako /c. Kako u skupu {316} nema najve6eg elementa, to za k : n je gn : 2 + +.+ # +.. . + f, < e, tj. znak jednakosti je nemogu6. Osim toga, rn: (t + *)" .2 + *+ t + ... + S.- gr,r. Na : : je ovaj nadin rn I ln 1 r i rr\** tn e. Otuda slijedi aa rr!5g Un e. Prelaskom na granidnu wijednost u nejednakosti ypan - un : + ... + 1,,+rn + & d.^T. ffi(t*# +#+ ) :6.m. # zafiksno nim '-1 oo, dobi6emo 0 < e - a" < ffi. oznadimo sa o : < o < 1 dobi6emo trazenu #,0 formulu. Nejednaksot 0 < e-An. #. < 10-5 vaiizara ) 8, pa je ??
--+ oo, dobi6emo nejednakost
e
x2+ jr + t + i + t + # + # + # -
24. Dola,zati nejednakosti u)
")
2,Tr828
o
:
G.+ *): < fi, n e N, b) (3)" < n! < "(+)", "air
05
25. Koriste6i teoremu o monotonim i ogranidenim nizovima, dokazati konvergentnost xn: (L + +) (1 + *) ... (t + #).
niza
Rje3enje: Kako :" T jednakosti: Inxn
:
1
*#
,
1, to je dati niz rastudi. Ogranidenost slijedi iz ne-
+tn(t+i) +...*ln(t+#) < l+ | +...+ i" . - t"(1,+.+) : * +i+ "' + $, +' +#: L, tn< r. Dukl", niz je koivergentan J
26. Koriste6i Ko5ijev kriterijum konvergencije nizova, utwditi
konvergenciju sljede6ih ni-
zova:
rn: e# +V+...+sff, n e N, b) rn: i++##+...+ffiS,n c)nn:1*f +...+*, n€N, d)rr:#+#+...+#, ne X. a)
115
€ N,
Rje3enje: a) Neka je
lrn+p-rnl
€
-lW *W
1-,1rr1r,r-l.1Ta'
W -r"'-1-W
1-"'
b) konvergentan, c) divregentan,
27. Odrediti a)
lsin(n+2[+.. .* I'il9te)l 'iqlr,,tp) | .- lqin(ry+t)l ,z1n,-+_T- znw-r"'-T zw wl # d) divergentan o
granicnu vrijednost vektorskih nizova:
*n: ((+)" ,(#)"),
n€
N,
b)
*n: (+,W,..-,#),
n € N,
rn: (rn+8,r8+2-",\/rT2-F) , n e N, d) rn: (un,r2n,...,n*n), gdje je rin:(r+r * fu + "' + ffi), (, : r,2,-..,n), n € N,
")
rn: ((t + *)",(t + t)* ,...,(t + #)"), n € N,. r)rn: (tt* *)"*t,(t+ *)"*t,...,(t +h)"**) , n,e x,
e)
s)
h)
xn: (q-,H*t1),...,q@#a)
(t/yw,
fr@ +@,
,
r, e
x,
+/FTq, n € N.
Rje3enje:
,rg(#)")
a) --/
-li* -ny1 \tz-*go vI rz-*oo c) (2,L, 1), d) (ltt 2,In3, . . . ,ln(m* 1)), e) g) (ltt 2,In3,. . . ,lt(rn + 1)), h) (3, 4, 6) o 28. Odrediti
(",t',...
,e*),
,*),
f) (t,tft, . . ., Tre),
granidnu vrijednost matricnih nizova:
\.An: t(#rz n*sinn h 6h\ 4:' ' -rn
a)
b) (r,t'...
los
\Y
|
/
b)
r
An: ((' + *),") ,i:Tp;j-Tg,n€N.
c)An:tmffiffi T T \---7 ( @+Dz-r* @+zt1-n3
(n+q!-na
116
n€N, )
Rje5enje:
1
/n
Iim [ ::t lim An: n->@\ry a) --/ T?,+@
(:x# t ry lim \n5& n
b) (,ii), c)
29. Odrediti
W
ry
Jv*h
1
('n)' 4
m&
hm n*sinn n+@ 2n
(:, j, ]?r),
4
d)
('
granidne vrijednosti niza
An
(n\ "Y;'
(
I ' - I =r"'r lffis-6+"'+ffi,
t
Rezultat:
lim An
??+oo
L
zdJ
ffi+#+"'+#,
zdi>i-
o 1"8 ht ':' r"t o h$ "' l"$ "f nl h* "' l"f o
L"E 1"$ L"E ...
TT7
4. Graniena vrrjednost funkcije Neka je funkcija
Funkcija f
/(c)
definisana u okolini tadke rs, osim, moida, u samoj tadki rs.
(r) ima granibnu
vrijednost, kada
1AelR AVe > 0,3d(e) > 0 : 0 <
r
---+
lr-rol
r0, ako
<
Broj A naaivamo granidnom vrijedno56u funkcije lim /(c)' :.4 ili f (r) - A kad x --+:ro.
a+oo,. F\rnkcija
/(z)
+ l/(r) -
/(r)
ima beskonadnu granidnu vrijednost kad
VM >0,1d(M) : 0 < Sto pi5emo
d
lim /(r)
a--+to
:
lr-
"ol
Al < r.
u tadki re,
r+
Sto zapisujemo
r0, ako
< 6(M)+ l/(r)l
) M,
oo.
F\rnkcija f (r), koja je definisana na neogranibenom intervalu, ima granidnu vrijednost, kada lrl --) oo. ako lA € lRn Ve > 0 JM > 0: Vc M(e) < e,Sto pi5emo , lim f A.
lcl--m
Funkcija
(r):
/(r)
+ l/(c)-Al
lrl>
ima u tadki re granidnu vrijednost slijeva (sdesna) ako
lA € lR nV€ > 0,3d(e) > 0 : 0 ( ro - r < 6 (0
u tadki rs, Sto \ciie /(r)
lim ^ f(d I lim ^/(") ). f(ro-0) (/(ro+0))ilit-+fio-v \r+ro+u /
F\rnkcija /(r) ima granidnu vrijednost u taiki re ako i samo ako postoji desna i lijeva granidna vrijednost u tadki rs i ako su medusobno jednake, tj.
lim
^ f(x) a-ao-D"
:
lim
_ f(r) c+cgfO"'
118
: t-1ro lim /(r) -
A
.
4.L. Uporedivanje
beskona6no malih i beskonadno velikih velieina
Beskonadno malom velidinom ili infinitezimalom nazivamo svaku funkciju je granidna vrijednost jednaka nuli kada --+ not (r tj. f @) 0.
- *-),
r
sa
/(r) :
kojoj
"lgo
@): oo, tadafunkciju f (r)nazivamobeskonadnovelikomkada r --+ trl. /(r) i S@) su istog reda ako j" ffi : C, (C I 0, m), te se oznadava
Akoje"lgx, f Infinitezimale
:
/(r)
"lj3o
O(g(r)).
Infinitezimala f (x) je viSeg (niZeg) reda u odnosu na infinitezimalu g(r) ako je
6 lp: 9lr)
o
n--+ro
i
(rm)
/(r) :
o(g(x)). Infinitezimala l@) je reda k > 0 u odnosu na infinitezimalu g(r) ako je
Pise se
/(c)=:a(a : c (c I o' oo) ,,_ l,sdff
'#o
Infinitezimale f (n) i g(x) su ekvivalentne ako je
/!'J : u* r-ro glr)
.
r
pi5e se f (*) - g(r), (r -* ro). Kada su infinitezimale f (") i 9(r) ekvivalentne, onda tu iinjenicumoZemokraceopisati jednako56u f (r)-S@): o(S@D ili /(r) : g(n): o(g(r)). koju nazivamo asimptotskom jednako56u (sinr : t * o(x), tgr : x Io(r)) kad r * 0).
i
Infinitezimale f (r) i g(r) su neuporedljive, ako ffi th #i ne teZe nikakvoj granidnoj wijednosti kaAa r + no. Slicno se uporeduju i beskonadno velike velidine.
4.2.
Ogranieenost funkcije
Rrnkcija I , X * R, X c R ogranidena takvi da je m I f(r) < M, r e X. Brojevi tunkcije
jenaskupuX akopostojebrojevi mi M
rr7,o:,t${/(r)} (Mo: sul{/(r)})
/(r)
na skupu X. 119
nazivaju se donjom (gornjom) granicom
Ako funkcija f : X -* IR ima konadnu granidnu vrijednost u tadki ro € X, tada je ona ogranidena u nekoj okolini tadke zs.
1. Koristeii a)
definiciju granidne wrjednosti, dokazati da je:
lsry re
* 1) lg1(3r
lim (*' - r) d)2+fOO
9*2-,
e)
,Iflrm
RjeSenje: a) Prema definiciji granidne vrijednosti slijedi da 6e broj 4 biti grnidna vrijednost funkcije y 3r*1 u tadki tr 1 ako zasvaki e > 0 postoji d > 0 takav da je l(3r+ 1) - 4l < e 3lr- 1l < e, slijedi daje d E i za svaki r L i kadgod je 1l < d. Iz l(3r- 1) - 4l je 4l l" 1l < d, ispunjen uslov l(3r 1) - < e, odnosno da je broj 4 granidna vrijednost date funkcije,
:
:
-
:
:
lr-
I
-
: 4;#4l: rl*- to je nejednako*l+ - tl : e>0ekvivalentnasalc-11 <92: d(e). Dakle,zaproizvoljnomaloepostoji 5(e):7 b) Kako
:"1#-
3l
11,
. € zasve x zakojeje 0 < lr * 1l < d. E*StD : f (r): +: {",;"'o1ol,t'u,u, Itl, c) Neka je e > 0. Kako t" l# - 1l : ffi, to je nejednakost l# - tl < 6 ekvivalentno sa Fi-T. e, tj. lr+ 1l > $, odnosno r*l > f iti n*1. -3. Dakle, za tako da
:"1#-
tl
M(e):1* !
proizvoljno malo e > 0 postoji
f(x) : e* : # - h- - ft1, * + -1.
tatno da je
l#-
1l .
t
zasvex <
-M.
1
d) Kakor
x2
r, 12
-r--r(x+ zakoje je
M.
-r>
r
mole sepretpostaviti da je.r > 1. Tada jer > r-L, paie 1) > (*-L)2.Neka je M > 0 (proizvoljno r-eliki broj). Tada je za svako - I > tfM, tj. r > I + \/M : d(:l{), ispunjeno (* - t)2 } M,a time i
+ *oo,
(
) r- I,
1l
I .
-r
fr->L
-*
2r
-T21 tj.
"
-0
tj, lr *
*2. I
fr
toJezar - I1-r n ef, \ r' *34- hr,'r *?-*2= jf je pokazati da je rim 4 -_nm ) ' Dovoljno r-rl "gtoT"-rr "jlffi *1L 1 lim 12: 1. d;L - 0 moZe se pretpostaviti da je 0 < r e) Po5to je lr
1l
l*'
(1)
1l
120
j"lr- 1l <min{t,1}: d(e), s obziromna (1), : 1. (Analogno se dokazuje da je : ispunjeno l*' - tl < e. Dakle , ,!T_o*t ,Igo"' t, pa ie 12 : I). ]gr1 f) Neka je M > 0. MoZe se pretpostaviti da je M > I. Ispitaierno zakojer > 0 jezadovoljenanejednakost eLl* > M. erl*, Mjeekvivalentno salnetl* >InM,tj. * t tnM, odakle i" * < #m. Dakle, za sve r za kojeje 0 <, < #M : 5(M) ie "r/*>M. Neka
2.
jee >0. Tadazasvako rzakoje
Odrediti lijevu i desnu granidnu wijednost funkcija:
y: W u tadki n: -1, c)a:#utadkir:0.
b) a
a)
:
1f=iT
u ta6ki
r:
1,
Rje5enje: a) Uvodenjem smjene
vrijednosr,,jg b)
-1,+1,
c) Ako
r
---+
-oo , a erlr
+0, to ---+
a
-oo,
*
0, pa je
*oo
dobija se desna granidna
lim
*oo,
fr+-1--0
i#
fu -
,Lto
Na osnovu definicije granidne wijednosti pokazati da je: a)
lyrr2
: +, rs
u)
+
"_li3*(
4.
h+0,
*oW - ;To
r + -0, to * 3.
r - -1 + h, h
x27
*oo, .) jgr, *!;z :
s, d) *_riq # * -oo, f) : g, c) ,!io f;fl ,Iporah
u)
lg1
6+:
+.y@ ou
1
Odrediti lijevu ri u'e$'u desnu granidnu vrrJegJrosL' funkcije Lu'KcrJe g Ert''[rurru vrijednost o:
r: L.
(
t
+ I zar -r 2r * 2 zar
u tadki
Rje3enje: Uzmimo da je
f51lz(t
+ h) + zl
Analogno, za
:
t :
L
#jb(4
+h, h > 0 i
*
2h)
: 4.
kada
r : L * h, h > 0 slijedi da je
L2I
r*
1, h
"jpo(-r+
+ }paie rlgo{2" +2) : 1)
:
;gb(-(l -
h)
*
1)
: g.
5.
Odrediti lijevu i desnu granidnu wijednost funkcije u ta6ki
r:
: fu, n:2, b) a : *"#, n:r, c) a : ffie-", r:*L, or=.If , : t, n: r, e) a: d) gr: I " {t***ti,
a) a
#, (zr+t,
r>\ (a-r_r :x:r,x:r, s)y:ttil'rc|,n:0, r
f)a:l t
[ ;' h) s: #H,(a
> 1), tr :
o.
Rezultat:
- -€, ,Ifr09: *oo, b) ,Ipos:0, ,Ifrou: : *' : *ooi t) "Ipos y: -oo, "Ifro : 5' "jt$*og: o' ") "IPog l, d) "-IS-o Y: l' ,Ilou oa: "Ifro a: "3Po f) "IP ,IPog: t, "Ifr oa:3, g) "S- u: d',tll8* v:lna' h) a: r t u : -r,
u)
,H_
*oo,
,E$*
6. Uporediti beskonadno
male velidine f
(r) i g(x):
u) /(") : sinffr g@) :tgr, r--. 0, b) f(x) : r", g(r) :tb,(a > 0,b > 0), c) /(r) : rsin *, g("): xQ, (o > o), r * o, d) /(r) - 1-cosr, g(t):12, r-0, /(") :tg7., g(t):r, n-+0, ") r, g(x) #, (n € N), x o, f) /(r)
r'
0,
: : tGi : *oo' r'--+ m (r + #) , e) /(r) # - fu, s(d:
Rje5enje: a) Kako j"
]g6 H b) Ako je a > b, tj.
: a
1, to su
sinr i tgr ekvivalentne beskonaino male velidine,
- b >0, tada je 15; ifi
Iirq ro-b
r-+0
-
0, tj . fro je beskonabno
mala vi5eg reda od rb (*o brZe teii nuli od rb). 0,
Zaa re,Ca
tj. ro je beskonadno
mala niZeg
od rb,
c) Uzmimo da je
je r - liot
0
# :
z-O g\fr)
htq trr-o sin f
7->0
mala velidina vi5eg reda od
(o
r22
ro.
Za
,. f(r\ o,: rI i". Jtjb ffi
:
jrgSsin
|.
O"a granidna vrijednost ne postoji, jer kada
| -' oo, sin I
-1 i l pasursinf irneuporedljivebeskonadnomalevelidine. Zaa> L, ti. a-1 > 0i" ]tjb ffi:Hb#: O*granidna vrijednost ne postoji, ]Eb# pa su f (r) i g(r) neuporedljive beskonadno male velitine, osciliraizmedu
: : t, to su besi" JT' m : j'gt ]\"0+ (Y)' "* "ri:,,''#: konadno male velidine /(r) i S@) istog redai 1- cosr :$ +o(x2), n -0, e) Iz nejednakosti l1 - cos rl:2sin2$ < lrl slijedi da je liqcos tr: I,;tjbry : lt* +" ' # : 1, p& su tgr i r ekvivalentne beskonadno male velidine. Dakle, tgr : x I o(r), r + 0. (Analogno, t, jryo %q : 1 je sinr : n I o(r), r-* 0), d) Kako
\E+r:t,pdje 1* x:tn ir:tn-I,onda je In3ff=: : # : r. znai.ji f (*) i e(r) su ekvivalentne bes-
f) Uzmimo da je
Jg
$*
jt"l
ffi
konadnomalevelidine,tj.r lffi1 +#*o(#), r )0, g) F\mkcije f (r) i g(") su ekvivalentne beskonadno male velidine 7. Uporediti beskonadno male velidine f (") i g(n): a) f(n):sin2r, c) /(r):2a -1,
Rezultat: a) Istog
o
g(x):n, r---+0, b) /(r)-1-cos/, g(x)-_sinr, r---+0, g(r):r, t-'-+0, d) /(r) : #, g(*):Y, @>0),
"+too.
reda, b) Vi5eg reda," c) Istog reda, d) Za a'< 2, g(x) je vi5eg reda u odnosu na /(r). Za a) 2, f (r) i g(s) su neuporedljive beskonadno male rcliiine r 8.
Uporediti beskonadno velike velidine l@) i g(x): a) /(r) :x2-3, g(a):r3+3r, a -r, oo, b) /(r):E-L\, g(r):r2+2x*J, ff c) /(r) : lt", g(x): n2; n -* oor d) /(r) : \/TTVT, i@) : r, x -r oo, + L. e) f ("): ;!, g(*): A|-.-.', r
+
oor
Rezultat: a) NiZeg
9.
reda,
b) Vi5eg reda, c) NiZeg reda,
It[eka tr -> 0. Dokaaati jednakosti:
d) Ekvivalentne, e) Istog reda
: o(n-'), e ) 0, L I nr * o(r), d) arctg I: O(L), e) (1 + *)n:IInr+%!"2 +o1r21, f) (aszt-\n:O(er2+r1, r>A. a) rsin
"ft -: c) (1 + r)n
r3/2
+0(13/27, b) lnr
123
o
10. Ako o(f (r)) oznadava beskonadno malu velidinu vi5eg reda u odnosu na /(r), kada tr '-'+ xlt dokazati sljede6a pravila za radunanje: a) o(r") + o(rb) : o(r"), c: min{o,b}, (a,b > 0), tr '0, b) o(r") 'o@\: o(no+b), (o,b > 0),r -- 0, c) k'o(ra): o(to), (o >
d)ro'o(r"):o(ro*o), (o> -&,a >0),tr'0, 0),r
---+
0),r -* e) [o(r")J':o(r.oo), (a,a
0,
0.
Rje5enje: DokaZimo, na primjer, osobinu b). Tbeba pokazati da je 0(zo) .o(rb) beskonadno mala
veli6inavi5egredao6*a*bka,dar-*0,tj.trebapokazatidaje}g6w:0.Kako
:"}sw:Jgb#$to(*o),odnosnoo(xb)ozna6avabeskonadnomalu 9!P :lE6 velidinu viseg reda od ro,odnosno *b , to:" I : 0o lE5
L1. Izradunati granidne vrijednosti: a) e)
jSrm, r.
lim r?-tr!s b)'tr->*.*ffi' r-3 f ) littL
,2 -I
rim4,
t->0
'
"r
fr->J
\ffi-2t
- *)*, i) "IT* "llg*(ffi k) lim tft-{a+tffi'
i)
.)
,IH-ffi, !#-L. tT
g)
Iim
t->0 t/ tz+L6-4'
{tF
+m
-z'F+
Iim d) 'r+*@
-st-
--1
h) --/ lim VL*t-nVL-t -
i-;b r + r7'
)
t+a
Rje5enje: a) Kako je ar2
yx##':
b) Kako
*
* c:
- r)(x - x2), to ie : r I : ]'s, 8=]85i ;s rE -2, t
*
bx
:
ffi
nadno male kada
v5
rr-
Iim #
ffi,
: ##,
r -r aoo, to ju ,jT*
..lL-;' c)ffi_ {r2 Ve?l+ t-r-oo Vffi
a(x
t-
v;8
L
Kako je
ffi:
,E:
-1, L24
111 a runkcije Ttpt7
o,
lrl, a W
- n)to je "If,- ffi
su besko-
:
{ r+t/n+t[r d)t s lim +l@ 1/ r*L
1
tJ
e) Racionalisanjem brojioca dobija
lim frffi-'Dfi@+tD r(1ffi,+th r+o f)
;5^o
se:
t@+\n
Racionalisanjem imenioca dobija se:
g) Mnozenjem brojioca i imenioca sa
limry rT
r-+0 t/ r" +1+1-
Jry,
1 Ft
2\/ 2'
eW@:
6ffi11
Jtjb(\6TT * + 4), dobija
2)
:
4,
se:
'
GM_vF)G,M+@W
h) Dati izraz jednak je: lim r->0 2 r+0 i) Izraz J7 + I - r je neodreden kada
2
$r
r+
*oor pa je neophodna sljede6a transfor:x*-v &-rL-r& macija: r(r/F+t-*) :r(r/F +t-fl@ . Posljednja '{az+l+r t+++l \f L 1 jednakost va.Zi samo za n > 0, pa j" :,IT* t x) + 2' Kada o lL*ar+t "]j1,*(y'7
r-+-oo,
t/F +
izraz
i) Irnamo:
- r---+4
"IT*
k) Imamt,:
:i'r}
e)
h) r)
vr-
nije neodreden, pa
je lim x(r/F + t-*):-oo(+m):-oo, l.
"5+;"*rffi1sa21ffi
- r;+*t
({i:{4-*
r/?-rfg+..F
-
: ;:$ : lim \tr;T_a ' r._a. \ {;r;2 / t ' \F+o))-4o -
I
\ffia-at --=--
r'lg-"-)
"/za-
sljedede graniine vrijednosti:
,Hnffi,
b)J%ffi, c)j'*w,
is(* #),r)j'gl"M;\ffi,
%!, "rjlr, li+
tr-+too
2s6,ffi-r-t) rrrrr *
- zvw * d
r(rffi
/
L2. Izraiunati a)
11nr
I-r
i)
6m-r),
Jso
ffi, m) Ii+
i)
s)igt
ffi, "li1-
Gffi-n)n, L25
k)
"-li1*
%=e,
41
") "lip_(
!IT;+F - \/T:T +7\
Rezultat: u)
-1q,
b)
-12, .) $,
j) +1,(r -* *oo), k) -1, n) *1, (r -* *oo) o 13. Koriste6i ekvivalentnost
")
h,
h)
*oo),
-#,
i) ;,
m) 0,
beskonabno malih velibina, odrediti granidne vrijednosti:
Jgb@*,
b)
l\#,
")
.)]TrW,
d)jSryJ,nez, \ r' q6-l s, jgl ffiA, (*,n €
#,
f) ") -t, 1, r) I) *oo,(r -* -m) it,@ *
d)
z),
h)
jg1
G+*-#),
r)
rn,n€N,
)n#Oa,
jT, W,
i) jt$ (Gi7+*\o=r(Jtl7-'\n, n € N.
RjeSenje: a) It[a osnovu Njutnove binomne formule imamo:
hrq (cl*z - C'*n' + liq QT*'-chn21t2*o(t2) - r--_+0 - r_>O \ b) Uzimarno da je r- 1 + t i t ---+ 0 kada r --) 1,
mn(n-m) 2
i
r. mt+oQ
paiel51#
rrl
jgb nt l;pi- nt
r- 1+t), d)'Neka je t/T+r - 1- t, tada jer: (t+t)" - 1. Uzmimo daie lrl < 1, pa je 1- lrl < frGi < 1+ lrl, odakle:" JIb itr+r: 1, ti. t -+ 0 kada r * 0, pa imamo: f' Dakle' ffTi: 1* ft+ o(r1' r +0' ;rnlY$J-: rlsrt#'=i : Js c)
ry
(smjena:
e) Kada fr
+
7, imamo da
je:
ffiR- zffi-z$+ffi o(r
-
7),
paielgW (fGffi:t),
"iro:
tffi,:3
+ o(r-T),
+
#)
ffi
+ o(r -T),
*t)*"), h) #, (1-x:t), il I*b 6/@+')n=,b/W-")n : ;ijb !@xgffi)"-l + o(r)): : I5r(" (\fr + x)n-t + 9) :2n o r)
**,
d #,(r:
(1
126
s(1
+#) +
aorn+aLrn-L +...+an
L4. Neka je R(*)
€ R,oo +0,b0+ 0. Dokazatr da je
bor*+bLrffi)r
oozan Iim R(*)
fr->@
*oo
za n-ffi,
0 zan
Dokaz: Neka
veliko
ie n > m. Tadaje ln(r)l
lrl. Kako i"
hln-mlo"+oq+ --,r',
"Bol*l'-*ffi:
t*'-*lnl ^dovorjno l;E;#l' : es. je Tn: n, to i" '
to
Ako
oo,
"lggr?(r)
j""Bor?(r):"wffi:ffi.Akojefl1ffi,to,zadovoljnovelikolr|,je ln(")l .6fu1#l,odakle
j",[gft(r):
15. Neka je P(r): aotrn *a1xn-L+ lim *oo o c+oo lP(")l -
"'+
s
3
au di e IR, (i :1,2,...,n).Dokazati
L6. Neka je P(") -o,Lfr*a2rz +- . . + ctrnfrn i m e Z. Dokazti
tr. Dot
da
je littt tfi\ffi-t c---+0
da je
__44 o rTL
fi, *,n e z o 18. Pokaaati da je"[g(1 +r)(1 +r2)(L+r4)...(1+ r'n): ]7ru lrl < t o #+
U sljededim primjerima koristiti poznate granidne vrijednosti:
lim e*q 'J;
C___+0
:
1,' lim
(r+l)":ei lim(t+r)* :e. ut Z_+Ot
tr+@ \
19. Na6i granidne vrijednosti:
a)#+ffiF, b)"li:''rry#, c)JElry, ")
l,gbry, i) lim te3,--}tlr ^t;;b
r) jE6
ffi,
sin(1+r)-sin(1-r)
hm ft ;:+@) . l)' tr- rel="nofollow">g lim @JrW. k) Iim sln' u r-+0 {L*t sin c- 1/cos t' h)
r27
d)
lig''"ry, \re-@ 2r
s)
sin
'
l*u#, )
r n) lim a'rctg --' ;-5b n
Rje3enje:
,P,cosg r--cog2-rtttezr to r'ie lim zsrnu
b) Kako je
i;b
c) oeigledno je da:.
:
#T
hm
limfi---+&
cos
fr---+a
J,_Tr*.-"*,*
T :
: JgL '"t"T*:f# :
cos a,
d) Koriste6i formulu razlike kotangensa, imamo: )!ILU#:
: jg#ffi"- : j'i) (-q#)
*
;ry"# : -;fu, a f
kn,k e z,
e) Izraa u brojniku napi5emo u obliku proizvoda, pa je
lin1:ry=jgb*,?zsin$sin('+Y)*2sinfsin(a+f)): : ]ryrt-#2sin$.2sin $cos(a+ r)) - -coso, q ert, s) ffi, o * n, k e v', c-+0
t'l
x'
: tsr(tsr+tg$)"',"ffitfta : : ,lj1*# "t+*ffi3 i -oo (r--* 0-), r(tgr ts$)"*-ft - -24, i) *oo (r -* "tT+
+
j)"tTbt* Racionalisanjem
Iim
brojioca se dobija:
1 -+ :"I+ffiffisn Iimcos'rfftgr+\ffii- lim ^]ztgfr_1fftgr+\m'-''- r+7r
;iL.io,,uffi em,J*a ilm-lim
;5^0
frz
\ffi-1fisr
01)
rcobij a se
i* rz1ffi+t@r Iim 1'*tsinr-cosn
r->0
ri,.,-,,rffi+r@ r I-COS rt I
T+V
TTT t
Sln
!
3r,5 .6osr l9gll lirq # l) Dodavanjem i oduzimanjem u brojiocu jedinice, dobiie se: r+o f
, 1- 96sn\ --i )
--12)
/ r+o\r@r
sffi-
\
\1 /lt-
I2t
dobijase sin?z (n - 0kad *'L) m) Smjenomarctg(I-2x): n,ti. l-2x: : -t, n) Smjenom arctgr : n, ti- x : tgn (n -0 kada r * 0) : ,tT+ Wi *1r dobija se da :" lgb ry" -
128
20. Odrediti
granidne vrijednosbi:
sin r -cos / a)' lim @, r-t
e)'
limT4, L-tr"
tr+I
lglry;
b)
f) -/
t
c)
lim
s)
fiq
m)
)
tfr-\m'
tr->E+o
(1-sinz)(cos2'Et1)-isin2s;
t)
r
k)'
sin2 sin r -cos tr '
tr@.
lim
)
-a2. ?-rlim ,. slntr-a), r+a
d)
2sin(t@-L s)li* r r*o
li"rry; tu t;b r->A t/ L*r
l) r-ri+O lim @' -/ sinr
j,*ffi; '
lim
r*E
n) _-^. lim !-sinz.r ' "t n-4 A l*cos 4rt
ti'L#
h)
.
2
n-i
sin2
2sin2
q)
x)tgff; lTo Jryr(t ")
r-sin r__L r-3sinr*1
_li,\Pr#, r-i
te(a+r)te3a'*)-te2a
Rezultat:
b; c) 4; d) 2a; i) oo, (r - z - t); j) 1; k) -3; a)
-h,
-'E;
m) u) -ffi?*
n)
o
i;
L,
d
Ak9 g(r) ln.u(r) -* b kad [u($]u(t) ---+ su(r) lnu(r). Ako
tfr.
b)
jea+fro lim_ u(r) :
t,
o)
--+
:
T),\. r) *; 3zr
nlt tada [u(r)]'(")
--
rb kud
r -*
xo, jer
:
m (oblik 1m), tada je (t + ru- rr"5) @-r)a: r"\?o('-t)'. t* q-:ro \ /
1, _liq4 u(r) fr+ao
lim r4to u"
31
o;
21. Na6i granidne vrijednosti: b)
jt5(t * r2)crs,*; e)
"$5(sin
c)
f + cos *)";
L29
Jryr(l
f)
)
+ sin nrr)ctsTrn'
jsr(m) il%
.
Rjeienje: a) U ovom primjeru u
Iim lr.-&
tim
(4)"'
ofr-;,oe W-\rt
\"'-2 )
& *2
- H,
-2
-
p3
n
:
je da je
d) Imamo da je li$ e) Kako je
,tgg(sin
f)
fr
sin| +
Jg1(l
lim azctg2 ritq-(#o)' ^ sx+o : eE+0\"6'' : je hq(l *rz) ctgza lim sinzrcctsTrr lim coszro 1.
u'*
-
ffi rJTb
#
rirn
zs,ilz
e;
g)
t t, to 1"
-e;
je (u - l)u
tg
0i1+sinr,v 1,sin2r,\,fr3,r
rim (lt'{+l;ffi
:
: es'r
: *+ 1 + o1|) Uaa / ---+ oo i +.ot]; : "[g(tit']
| +cos *)"
Kako
ie
* sin zrr)ctgTtr - sn+r
(m)
"or +
- L)u - #pa
-
b) Analogno prethodnom primjeru c) Ocigledno
12, (u
r(1
cos
r) n3
0,toje jryo("
1)u
- r*
;'ib \ l+sinr /
22. Odrediti granidne wijednosti:
- d*;
Jjb(r + *)"*'; ") "qg(1 ?)*; lEb',9, e) * 3tgr)ct*c' 0 s) ,ITt (ffi)**'; "IT* "lg1(1 ltszalctc2a' i) }m-(2- T)t"'; k) h) (&)-; i) linr(l+ "l+(.sr)'s3', "-li?* n)Jgb(*sr) I)' tiq(cos r)7; m)l55(ry) u)
;gb(r
1
t+O'
d)
+
u)
(ffi)';
t;
1
Rezultat: a) tt b)
e; c) e2; d) 2; e) e3; f) "*, k) e-L; l) ,-+; m) "-+; n) "-* o
130
s)
e-2;
h)
,-';
i) e3; i)
2 eIr ;
23. Odrediti
granidne vrijednosti:
'h->o
a)'
Ii*^trP' r+0
b) lim los(r+b)+log( r-h)-2
al
]TrHffi'
.)
s)
j'gbry,m€lR;
r/
i) ]t:t
"o*2
c,o?o
]Er,
lo1
+,o > o; rl j':b
; ,IT*ffi' @#a,rn c)
€
h) jrgb "*2-(eo"d{2; i)
*-r , a /
}tX#,
IR;
a,
0.
Rje5enje:
")
J'jbE+4: jgbln((l +r;*; : Ine:1. Dakle, In(l + ,): **o(x),r-* 0;
b) Na osnovu osobine logaritama dobijamo da je:
rn(rlr+l)lim @) c) -r rjToo
1. $r
*;T* loln"+r@
-ffi:
d) Koriste6i asimptotskelednakosti, dobijarno:
l'sb
ffi: i"a'-I:tif
H*# :
]ry'
jsb
l,jb
# : #,
+0 kadr*0, pa:" j55 #:rt5#F*: Ina. Dakle, at : L * rlna -l o(x),x -* 0(e" : I * n * o(n)); jEb## ' rnrnO+c) : ffi, jer rnln(l * r) '-.. 0.c -* 0, 0 ;gb ry: Itgb#(#: t, jtgbLP:1. Dakle, (1+ *)*:L*mr+o(r) kada r - 0: e) Neka
e) Na osnovu f) imamo:
h) Kako n
t+1,
ry
(1+(co8?:ti*-1
tn#: ]S : *l;t + $ssff- :
ry:
T;
T,to je na sonovu ") i e) razultar
i)tansformi5imodatiizraa:#:aoffil_o"_'W.Granidnavrijednost prvog sabirka jgdnat
131
j) Dati izraz molemo
mW ,rg
oau2
napisati u ovom obiiku:
:
:@
t, -1 acos-o
24. Odrediti
n: et lnt#f:
t-cft" x. #ocos2* * -
o to i" jEb "o'2 "*Po
*-r:
b)
jgiffi' lim e)' tr+A
.)
Jry,ritr$d'
ffi,o fil't -A,Y
*2 ,n2
I
t Iim l%-#l \ ,a rel="nofollow">0,b) h) ");3^o\W) /
Iim n2(W i)- xs+fOO Rezultat: u) ooln(oe);
25.
o
granidne vrijednosti:
")lgl#,a>o;
g
0
Kako je
o2-82 eT;
Poh,azati da
o*, +b*2
0;
j) y7->@ Iim sinkrtffi).
n+W),r
-t): -t+o(t)); d fiaa-7,(r-a:t); f) (ln t)-t; g) In8; t) h; i) lnr; i) 0. 0 fr;
c) -2,(sin2(z'2"):ti koristitiln(l
je funkcija f (r)
: {f$
oO*idena na intervalt
(-*,
+oo).
Rje5enje:
(r) > 0, tj. funkcija je ograni[ena slijeva (odo{o). g-r2j z 0 stiiediar;" xato;"i+ *n > L+ | :!. oatte, o < /(r) S 8, -* < r < *oo o O6igledno je da je f
26. Ispitati
r,^i"ffi: i;-+ft
ft s|
ogranidenost funkcije
Iz nejednakosti
/(t) :
<
ltt'r'sin2 $ na intervalu (0,e)'
RjeSenje: Kako je 0 < sin2 $ ( 1, a funkcija c -- lnr monotono rastuii, to je -tl. t @) je ogranidena zdesna (odozgo). Uzmimo da ie rn : fuf (r) 3 man{0,lne}, Tada, poiev5i od nekog broja ft;, xn pripada nekom intervalu (0,e) i f@n):lnzf:o.-;_: - ln(t + (n + *)) r -(n + i) r -oo kada n ---+ oo, ti. tunkcija /(r) j" neogranidena slijeva (odozdo)o
27. Polazati dafunkcija gornju
M:1.
f(r): fr
uintervalu0
132
(r(
ooimadonjugranicu
n't,:0,a
Rje5enje: Ocigledno je da je 0
f (*)
za o <
Kako
oo. Neka je e proizvoljnoi 0 < 6 < 1. Tada je
:
r < -L1_r, pu i. o.lfl*{/(r)}
o.
L-e
je #
sup {/(') }
0(z(oo
28.
<;h,0 ( c (
€
, toje
1o
Neka je funkcija
je,gglu{/(")}:
/(r)
definisana
f (") i
i monotono rastu6a na intervalu
osuru{.f(")}:
/(b)
[o,
b]. Pokazati da
.
29. Odrediti donju i gornju granicu funkcije f t E postoje) takve da je /(r) : sup{,f (r)}, /(s) :
---+
F.
Odrediti tadke
r,A € E
(ako
$[{/(r)},
a) f
(r):7!,lrl S 1; b) /(r):I,,
e (-1,t)\{oh c) /(r)
- *',r
Rezultat:
: /(*1) : -*, inf{/} : /(1) : 1; c) sup{/} : 4, inf{,f} : 0 .
: *oo, inf{J} -
-oo;
je0 < r <-L, to je0 < lnTW 3 WikaXoj"rlggW:1,
to je
a) sup{/}
b) sup{/}
30.- Nacrtati grafik funkcije:
c) y
- rlT*(sin r)zn;
e)y-_li+_*[fl"] + n--+*OO tl
Rje3enje:
a) Ako
f"
-rVh*1
Jiu W-1.Akojel
??'+OO
n-> F, paie b) a-
rljg fM
- r. Dakle,a:
l"l {"*1za t 0 zal*l 133
S
r S;1,
r
iVfu+1--+1kad
c)
r- [+ kr,k € v', (rl. 62); v- za r/ v-,, kn,k € \o ;* 11
za
v
v
,l
4
sF
3
I
'I
2
,tf 1
n
T
3n
n
1.5
2
sI.62.
( 1zaU ,\ | *zal a" d) Y{ ,*2
2
sl .53 .
(rl. 63); e) y - l"l +
tTzaz
134
*, (rl. 64) o
2.5
5. Neprekidnost funkcije F\rnkciju f , X -* IR,X c lR nazivamo neprekidnom u tadki ra C jedna od ekvivalentnih uslorra:
X
ako zadovoljava
> 0 fd > 0 tako da je
1) Ve
lf(r)- f(xal<e
(1)
iimjeruXilr-"ol .d. 2) Za svaki niz rn l'artalsa, iz vergira tadki /(rs), ti. iz
/(,lS3)
rn)
:
/(ro).
"ITt
X koji konvergira
nn:
ca slijedi
,IT* f @") :
f(r) : f(rd ili /(r) - /(ro) ---+ 0 kada r - ro-' "!3,+ Ar) : o.
-
ollgo[/("0
oo, ntz f (rn) kon(ro) ut f ,_llT* f @")
tadki ro kada n
0,
---+
:
tj.
/("0)]
Iz definicije neprekidnosti funkcije u tadki re slijedi da je
Jg rf
(r): /('!30")'
Ako je funkcija neprekidna za svako r (a,b).
e (a,b),
kaza6emo da je neprekidna na intervalu
F\rnkcija f , (o,"0] * R, (/ r ko, b) * R) neprekidna je u tadki ako zadovoljava jedan od ekvivalentnih uslova: 1) Ve
> 0 fd > 0 tako da je nejednakost (1) zadovoljena
(ro
s)
:
,_|#_o f
rs
dim je
slijeva (sdesna)
ro-d < r l
ro
@):;1ro) (,.*H*o f @): /(so)), ili kra6e, f (*o- 0) = /(rs) (/(ro +
/(ro)). 135
neprekidna je u tadki ro tada i samo tada kada je ona u toj tacki neprekidna zdesna, tj. (2) f (ro 0) /(rs) /(ro +
funkcija
i slijeva i
/
-
:
:
0).
Ako su funkcije f , X ---+lR i g: X -*lR, X C R. neprekidne u tadki tge X, tada su i funkcije f + g, ts i { b@o) l0) neprekidne u tatki ro. Vektor-funkcija r --- f(r), f(*) : (h@),...,f"(*)) r € X neprekidna je u tadki
ro€.Xlakoje
"\To
/tt)
:
/(ro)'
F\rnkcionalna matrica n ---+ A(r), gdje je I,2,...,n neprekidna je u tadki xs € X, ako je
Moa61:
A(r) : (oti@D,'i : I,2,...,Tr1, j : A(ro)'
Vektor-funkcija r --- f(n), f(r) : (/r(r), ..., f^(r)) r e X neprekidna je u tadki ro € X tada i samo tada kada su u toj tadki neprekidne svaka od funkcija r --+ f6@). L,2,...,n1, j : F\nkcionalna matrica tr ---+ A(r), gdje je A(x) : (oU@D, i: 1,2,...,r2 neprekidna je u tabki ro € X tada i sarno tada kada su u toj taiki nepre' kidni svi elementi matrice r ---+ o,ij(r), i : 1,2,. . .,ffi, i : I,2,...,n.
:
Za funkciju f (r) Ia,Zemo da je prekidna u tadki n no ako uslov (2) nije ispunjen. Ako postoje vrijednosti /(ro 0), /("0) i /(ro + 0) i ako medusobno nisu jednake, tadku ro nazivamo tadkom prekida prvog reda. Prekidi koji nisu prekidi prvog reda naziraju se prekidima drugog reda.
-
Funkcija
f , X ---* IR naziva se ravnomjerno neprekidnom na skupu X, ako Ve > 0 fd > 0 :Vr,y€ Xn l" - ul< d + lf(x) - f(y)l < e.
5.1. Osnovne osobine neprekidnih funkcija F\rnkcija f ,la,b] + R. neprekidna je na segmentu [a,b], ako je ona neprekidna na intervalu (o, b) i u tadki a neprekidna sdesna a u tadki b slijeva. Neka je funkcija
f
,Ia,b] -*
1) postoji konstanta
K
IR neprekidna
takva da je
na segmentu [4, b], tada:
l/(r) I K, 136
2) ako
iem:
,Llr,or{f
rz takve da je /(r1)
{*)},
M
na segmentu [a,b] postoje tabke 11 i
":t;,{/(r)},
: *,
7@z) - M, 3) uzima na svakom segmentu 1o,01, lo,0l c [o, b] sve meduvrijednosti izmedu /(a) i f (P). Specijalan sludaj: ako je /("). f (P) < 0, onda /(r) ima bar jedan realan korjen izmedu a,0, tj. postoji takvo .y (d < ^r < 0 da je /(7) : 6. Ako je /(r) neprekidna funkcija na segmentu [a, b], tada je ona i ravnomjerno neprekidna na tom segmentu (Cantorova teorema).
1. Ispitati neprekidnost a)
y:12 +r,
f)
u:
b)
costr'
funkcija:
y: ;h,
c)
a:sinc,
d)
y: sinl/i,
e)
a:lr*11,
Rje5enje: a) Kako je Ag/ : neprekidna za svako
(r
r
t
€
h)2
+|
-
(*2 + 1)
:
h(2n
IR,
b) F\rnkcija je neprekidnazasvako kada h + 0.
r, jer La :
c) F\mkcija jeneprekidnazasvakor, jer 0 kada h -+ 0,
'
h)
-
0 kada h
-'
0, to je funkcija
pffiffi
f*+-;fr:
-,
Ly -- sin(r*h)-sinr:2sin !cos@+!1
d) Funkcija je neprekidna za svako r, jer Ly
2sin{i+E-{E
*
: sint/iTE -
"orW:2sin ffi*r$fr
sin
o
-,
tfr:
--* 0 kada
h.-0,
e) Funkcija je neprekidna za srako u, jer je:
zar) -1, Ly :(r+ h - 1) - {r+ 1) : h - o,kadaO -0, 2o zar I -L, LU :-(r+ h + t) * (r* L) : -h---+ o, kada h -- 0, :,Jt$_o lz + t; : g. 3o za r: -l j" ,jtS*o lr + 1l lo
Dakle, funkcija je neprekidna za svako
f) Funkcija je neprekidnazasvako
b-0kada 2.
r. r jer je Ly:cos(o +h)
-cosr: -2sinlsin(r+
h---+0c
- 5' rasudivanja dokaaati neprekidnost sljede6ih funkcija za svako r € IR: a)y:ar*b, a+0, b)a:*2, c)g:lfr, d) g':arctgr, e)u:sinr. Pomo6u
'€
137
Rje3enje: a) Odaberimo e > 0 proizvoljno. Za svako fiksno ro € lR imamo: lan
lolln- "ol < e akoi" lr-rol < Tfo : d, b) Neka jee > 0proizvoljnoire € lR. Tada jelr2_ r7l:l(r-*r)'*2rs(r-ro)l
*b
- axo- bl :
l*-*ol2 +2lnl.lr-tol < e, ako j" lr-rol < 1frffi+r- lrol :d, c) Za svako
:
l*-rol
€
s
ffi
S
*#- ( e, ako ie lr - rol < 1\14'e :
d.
Neprekidnost
l{rr[ : ilrl < € za lrl < e3 : d. < lrsl. Ako je arctg(ro+h) -arctgno:t,tada d) Neka j" l"ol > 0 i lhJ :lr"ol je tgt : ,*fu,. Kako ie ltl S ltgtl za ltl < E, to je larctg ("0 + h) - arctg"ol : funkcije u tadki rs slijedi iz nejednakosti
je lhl : l*-*ol. <e ffi:0. l*f*l .(*\: iz arctgr u tadki n: Neprekidnost funkcije f "#*
: lil .ltgtl :
ako
larctgx-wctg0[ :larctgrl
A shjedi
3. Ispitati neprekidnost sljededih funkcija i nactati grafike: ( rlnlrl, r+0..
a)y-l t, t
nejednakosti
e
;t0uixo -0,
b)
a-[ffi, t0,r
rfl
u
ira-1.
Rje5enje:
a) Kako
t.Th
r -
0, moZemo pretpostaviti da ie 0
t 0. Iz lnl"l : -hfi
shjedi
llnrll
< lrl <
: lt"kll :hfi,
1,
t3. l"lt t
1, odnosno
na je (1)
lrln lrll Na kraju zadatlca pokaza6emo da je
lnt < ,/I *
ln 2 (t
>
1), tako da iz (1) slijedi (2)
lrln l"ll Neka
je e > 0 proizvoljno mali broj. Zalxl< min
T _ Ei lrl tn2 e2
{A,#,+):6(e)
je
t/d
E. Otud aiz (2) slijedi da ie lr ln l"ll 138
< rfr <
< l"l < d, dime je pokazano
za svako n zakoieje 0 Kako je /(0)
@
1, to funkcija nije neprekidna u tadki
da
je liq
ro
:
f(*): li-^"lnlzl :
g.
0 (sl. 65). Prekid je otklonjiv.
F(r): {"ttl"'l trt-\ t je neprekidna za svako r e IR. Primijetimo da funkcija h@) : rln lrl nije definisana, pa prema tome ni neprekidna za r:0. F\rnkcija f{r) se moZe dodefinisati, tako da bude defi.nisana a i neprekidna na cijelom intervalu (-*, *oo). Time se dobija ba5 funkcija Dovoljno je umjesto
/(0)g1 uzeti da je /(0)340.
Funkcija
F(r).
t < & tIn2 (t > 1). U odjeljku Realni brojevi dokazali smo da (n IQ. < ,/n e Neka je t > L -proizvoljan realan broj. Postoji prirodan broj n. takav da je n
je lnn,
:r-1,paje
b) Zax>Ljelr-11
-|.
f(r):t'.
Ot,rauj""Ifto
Xat
prekid u taiki
4. Ispitati
x:
1 (sl. 66). Prekid je neotklonjiv
r
f@):*,u"Ipo f@): Jgr,
/("),
pa funkcija ima
neprekidnost sljededih funkcija:
: #,
g:
ft1, c) g: #,
u: ;r#*r, zb-tl .\ r)y: a7alit g)A: i/Z*t, h)U:s*,r:0, i)A:"#, j\y:+, +l a) y
b)
d) gr: * +
ffi,
e)
k) y: +,n+0,/(0):1, l)y:ry,t)-L,n+A,/(0) :0, n) y : n[r], o) s: [*], p) y :"1*1.
eE
m)
gr: [r],
Rje5enje: a) Fbnkcija nije definisana u taEki r: -1, pa u njoj ima prekid druge vrste, b) Funkcija je neprekidna, c) Funkcija i.ma prekid druge wste u tadki r : 1, d) Prekid je u tadki tr : -L, e) Prekid je u tadki t -- -L, f) Prekidi su u tadkama r:1 i r : 0, g) Prekid je u tadki r: 0, h) Prekid druge vrste u r:0 (r!6L*U: *oo,"LT_?:0),
i) Prekid je u tadki
r: l, (rlfro U: &,"Iflog: 139
0),
j) U taeki r
: 0 ima prekid, jer je ("!1il A: l,"g3_ U -- -I),,
k) funkcija je neprekidna, l) Prekid je u tadki r: A,
m) Prekidi u taikama tr: k, k e Z, n) Prekidi u tadkama r, : k, Ic e Z, o) Tadke prekida su u : i, tt rZ i r p) Taike prekida su r : h, t,Zi r
: :
0,
0
o
.5. Ispitati neprekidnost sljededih funkcija u tadki zs: a)
a:{ qf' :Zl,r0
€
IR'
a:
b)
i rs: I :!-i,r':0 {Pr'l'
Rje5enje: a) F\rnkcija je neprekidna, b) Funkcija je neprekidna u o0
:
0, a ima neotklonjiv prekid prve vrste u
rs : I
o
6. Ispitati neprekidnost sljede6ih funkcija:
")
u: { ++oi
1)
, a: \f Ets-f'
e)
+
1,
n>
:ti,
d)
s: {"Hi, ; ; 3
,
n)9,-,--,, 0, f) g: {t@+r)e-?, r: 0 l pot@zatr d,aza 0.
-rZ, z(0 I t/2+x,
[
z+1,
r<0
r e l-2,2] funkcija y vzima sve wijednosti izmedu f (-2) i f (2). RjeSenje: a) Funkcija ima prekid u tadki r :2, b) Prekid u tadki r : -2, c) Prekid u tadki tr: L, d) Neprekidna, e) Neprekidna, f) Neprekidna je za r € (-*,0) i r € [0,+qo). Za x :0 prekid prvog reda. f ezt - -1, /(-1) : 0, /(0) :.0, f (2) : 1. Posto je funkcija neprekidna za r e [-1, Il, f (r) uzima sve vrijednosti izmedu -1 i 0 ukljuduju6i -l i 0. Isto tako f(r) uzima sve vrijednosti od 0 do !, jer je neprekidna za 10,21 o
140
7.
Odrediti wijednost parametra a tako da date funkcije budu neprekidne:
(3r+r' x.-L **-I , b)y:I e*, '59 ' c)a:lrari, L 0, fr:-r' 'o= la+'2, t2o' ')t' ( ,2-t
a)a:1t,,,-;_, Rje5enje:
a) Kako je za r I 1 funkcija neprekidna, dovoljno je odrediti vrijednost a za koju je funkcija neprekidna u tadki r : -!. Ta vrijednost je o - -2,jer je +# : :"H, : I i - L) : -2, b) F\rnkcija je neprekidna za a:1, jer j" "!61n "11151 "$r(" : 1, c) a: o
/(0)
-3
8. Odrediti
wijednosti parametra a tako da funkcija bude neprekidna u tadki rs
(.r2_r ,^ a)u--{ #, "#9zB,rs:0, t a, n:0
(l-r2, r0
U)s:{ oi
:
0.
Rje3enje: 2, sliiedi da je funkcija neprekidn a za a:2, Jg6 b) Funkcija je neprekidna za a: I c
a) kako
9.
i.
#:
Odrediti /(0) tako da funkcija
/(o)
bude neprekidna za s'uako
u: e#,r € lR, b) gr: u sin ],r € R, c\ u: ffi.,(r z -1), d) gr: ut4#4,
r
€
lR:
a)
(-1 < u < t).
Rje5enje:
bila neprekidna u tadki irg : 0, potrebno je i dovoljno. da je : t, Dakle, za f (0) treba uzeti jrgS t*: ]tg5f(r) /(0). b) /(0) : jgSrsin * :0, c) /(0) : ;, d) /(0) :2 o a) Da bi funkcija
/(r)
10. Ispitati neprekidnost sljede6ih
funkcija:
'
y:(-1)t=+gl1*r" * sin d :2t/21+),o € R, : b) gr : arctg ffi + " lWl, r { ntr + $, f (ntr + g) nr, n € z, r € R, c') U: t"1(t"1 - (-t)l"tcoszrr),t € IR,, a)
: sin r arcsin ff r # L, * ten, f (E * ktr) : 0, le € Z, e) u :f-rl [4"#1 1ri.," * cos r) + z"/z + lW],r € lR, d) y
,
L4L
:
: o, ftarcts{ft +f rsr' n + 0, r + 0, /(o) s) a :arctg *# + " l#l ,x I (2n* 1)n', f ((zn+ 1)zr) :0,n Q z, h) y : I t.* kr, f(g + ktr) : 0,lc e Z, Ve;n,* i) y : arcsin(sin r)arctg #,r * nn, f (n") : \,n € Z. f) y
RjeSenje: a) Neka
i" lT#]:
n. Tada
r pripada intervalu l(n - I)r t
f,,nn + f;), na je
f (r)
(1)
neprekidna. Tbeba provjeriti neprekidnost funkcije u tabkama ntr
f (ntr* f-
-o) :
liry-
r-+ntrti-O^(-l)"(cosrtsinr)
*f;,n € Z. Iz (L) slijedi:
+2{2n:1/z(zn+l),,
- 1)r, +;D +2\/r@- r). (2) Ako u (2) umjesto uzmemo n*L, dobidemo da je f (mr +X): (-1)n+1(cos(rzn'+ t) + sin(nn + f)) + z'/2(n + 1) : tfr,(zn + t). Dakle, vrijednost tunkcije /(r) tadkama " f
(("-
1)zr'*
['l:
t-tt'cos((n - l)n +f,1+sin((n.
Tt.
mr * [, n € Zjednaka je odgova^raju6im granibnim vrijednostima slijeva u tim tadkama, pa je funkcija neprekidna u svakoj od tadaka ntr * L4, ft e Z lto zajedno sa (1) nam omogu6ava da zakljudimo da je funkcija neprekidna na ditavoj brojnoj pravoj,
f (ntr ++ + 0), Vn eZi f (n) je neprekidna na IR, 'c) Naprekidna na IR, jer za lr): n je l(n) : /(n - 0), d) Funkcija je prekidna u tadkama r : + + kr,lc € Z, b) f (nr
++ -0):
e) Funkcija je neprekidna,
f) Funkcija je neprekidna, g) F\rnkcija je prekidna u tadkama
t:
(2n
+ I)r,n € Z,
r: $ + kr,k eZ su tadke prekida, i) r : nr,n € Z su tadke prekida o h)
11. Ispitati neprekidnost vektor-funkcije: ,n # o,/(o):(1,1,0). f (*):(-t,
+,=#)
r42
Rje5enje: F\rnkcija
/(r) j" za n t' 0 neprekidna. Kako je
: (]El#'Jryo {f ,l'*=" : ) "ti5to/(r) za r:0 o /.i\
,r,1,0), on'da je funkcija neprekidna i
12. Ispitati neprekidnost sljedeiih vektor-funkcija: a)
a:(cosr,sinr,1),r
€
lR, b) g: { (tt" I'*'Y*1"''*m-rsin}) ' t +0 (1,0,...,0), r:0'
t
r+o { ("F,lrl,cosr), (r,0, 1), r : o'
.
[ d) s:(ft *";*,1t +zfl*,...,(1 +mg*),r € (-1,+oo) \ {0}, ")
/(0): (","',...,e*). Rezultat: a) - d) neprekidne funkcije
o
13. Ispitati neprekidnost funkcionalne matrice:
A(r): (l*l'inn* ?) r)'"." e n.
\ -r
Rje3enje: Data matrica je neprekidna na
IR,
jer su joj svi elementi neprekidne funkcije na IR. o
14. Ispitati neprekidnost sljedeiih funkcionalnih matrica:
'
a)
sinr t ," e R, \-rsu 1 1-r))
,+1r1: ( .,1
(+ o
o\
\o o
#l
b),a(r):lo #
Rezultat: a) Neprekidna, b) r
0l.r+0,A(01
:
0
je tacka prekida
:s.
o
15. Ispitati ravnomjernu neprekidnost sljede6ih funkcija:
a)y:12,ne(-t,t), b) gr:12,r €lR; c)u: *r,r e [-1,1], d) g: Y,* e (0,2tr), e) a: ercos !,, e (0,1), f) u: arctgr,r € lR., g) y: rsino,0 ( r ( *oo, h) U: ,/Ft"r,L 1r ( *m. L43
Rje5enje:
a) Neka je e > 0 -proizvoljno zadati broj. Tada i. l/(t) - /(g)l : lt2,-A2l: : l* allr + yl< (l"l + lsl)lr - al < 2tlr - sl < e zaVr,a e (-l,l) n lr - vl
-
ravnomjerno neprekidna, d) Funkcija je ravnomjerno neprekidna,
e) Neka ie nn: #,An -- dM, n € N. Tada l*n-Anl - 0, kada n -+ oo i lf (r") - f @")l > 2,Vn € N, pa funkcija nii.e ravnomjerno neprekidna,
f)
R^avnomjerno neprekidna,
g) Neka iern- T7,7TtUn:T?,T+*,n e N. Tada l*n-Ynl: * *0 kadan-+ oo, a 17@il - f fu")|, E Vn ) ffi, pd funkcija nije rarmomjerno neprekidna, h) Funkcija je ravnomjerno neprekidna o
16. Pokaaati
L7.
da je neogranidena funkcija
f
(r):r*sinr
ravnomjerno neprekidna na lR
o
Dolcazati da suma i proizvod konadnog broja ravnomjerno neprekidnih funkcija na intervalu (o, b) je ravnomjerno neprekidna funkcija na intervalu (4, b) e
1-8. Ispitati ravnomjernu neprekidnost sljede6ih funkcija: a)
Y- JF +t,r€1R.,
d) u-
b)
y:
r/7rn*,0
r\nx,r € (0,1), e) U: trcostr'r € lR' f) A':
12cos
r,x € [0,t ].
Rezultat:
a)-e)
ravnomjerno neprekidne,
f) nije ravnomjerno neprekidna o
L44
6. Diferencijalni radun funkcije jedne promjenjljive 6.L.
Izvod, funkcije
t (a,b) * R". Razlika Lr: rr - no (ro,xr e (a, b)) naziva se prira5tajem nezavisno promjenjljive u tadki rs, a ra.zlika LU : f @o + A") - /(ro) : A/(ro) prira5tajem wijednosti funkcije / u tadki rs. Granidna wijednost kolidnika ff, kaau L,r - 0, ako postoji, naziva se prvi izvod funkcije A: f @) u tadki r: xo i obiljeZava se yl : #: W:,UL. Dakle, Neka
je zaAata funkcija
f
Y': Ar+0 'lim Y L'7 U proizvoljnoj tadki
r
f
@o
* Ar) - f(ro)
Az--+0
Lr
-
f'(ro).
prvi izvod je:
,r'e'
*Ar) - f(*)
(" lim f
A,r
Ar-+0
Granidne vrijednosti:
f'-(r)_
oiT_o
- f (") i f'*("): ajg+o f (" +Ar) L,r
L,r
nazivaju se lijevi i desni izvod funkcije u taiki r. Da bi postojao //(r) potrebno je da funkcija bude neprekidna, a potrebno je i dovoljno da je f'_(r) : f'+("). Za funkciju y : f (r) koja ima konadan izvod u tadki r \
Ako je tunkcija
y:
l@) neprekidna
u
da funkcija ima beskonadan izvod u tadki na u-osu u toj tadki.
AST'
r.
rkffi:
*oo (-oo),
ondaka,zemo
U tom sludaju je tangenta na krivoj normalna
Postupak kojim funkciji pridruZujemo njen izvod nazivamo diferenciranjem.
r45
6.2.
Osnovna pravila diferenciranja
g@) t u : r!(r) diferencijabilne funkcije za I) (au + gu)' : aLtt * 0u' , a,0 - konstante, 2) (uu)t :'t.!,t't) * utr.t,,
Neka su
u:
r € (a,b). Tada je:
: d3*,u@) lo.
3) (ff)'
6.3. Tablica izvoda osnovnih funkcija 1.
2.
(o")t
3.
4.
(1r, l"l)t
6.
(sin
8.
(tg
10.
(arcsinr)
L2.
(arctg
14.
(rh
r)' -
16.
(th
r)'
18.
(l"l)' :
5.
(logol"l)t- .t ,o rLn a'
7.
(cos
r)'
9.
(cts
r)'
11.
(arccosr) |
I sin2
r'
--+,il*l VI
<1),
-
(arcct
15.
(.h
L7.
(cth
19.
(["J)'
gr)t -
r)' -
sh
r)' -:
1*r2' r, sh2r'
- o,r#k,k€ v'. 146
-
r)' :
1,
1,
r
cos tr,
r)':#,
-X.
13.
a* ln a, &
t_
+,Q*l 1p7"
r)' -1+12' chnt 1
ch2r' sgrr
n,n
*
0,
<1),
1.
Po definiciji odrediti izvod sljede6ih funkcija:
a) f (r): Rje5enje:
Ji,
b)
/(r) : r,,/i,
(r):
c) f
13
*2r,
d)
/(r) :3rsinr.
lirn t'F+M-t/Of,/r+E+Ji: lim lim \F+tr-fi a\ ft6\:Az_+o M- --/i;!W -tt:ffi+G - if,aj b) Neka ie r rel="nofollow"> 0, jer u protivnom sluiaju gra.nidna wijednost ne postoji. Odaberimo Ar tako da je lArl < r. Tada ie f'(r): .lim @+L'r){?+Ls-tt/r Lt nr-*o
' : lim . -.- (r.+4r)3-# _ - lim Ar--+0 a*gr+a4@ar1/-rl: o']10 c)
f'(*) -^lim Ar+0
Iim 8rz
Ar->0'
(r + Lr)3 +2(r
+ L,n)
L,r
Bt2+BrLc+L,a2 3r2
ffi:
- 13 -zr
* 3rAr + A,r2 +2) -3r2 *2,
ffi:
1i,.", -d5e
13
+gr2
-
B r= ) 0' it/t'r
Ar+gr\r2+Lr3+2r+2^.r-r3 -2r
gt*Arsin(c*Ac)-3tsinr
l:* gts&sin(c+Ar)-3osinz ot]30-----------7G-: otilo-:
-rr Ir//-r o) \n): r:*
:3r- lim 3&(sinccosAc+coscsinAo)-sinz :3rsinr lim gAsc*31\o-1 ---------M1 a?__ro Ar+o a&
*3ccos"Ji3o#:3"(ln3sinr*cos2;,1erjeo}]o#:1,a*g,#: : JE' (#-costr + *#i) :;l=o"osAro$30# - zol1oq# : tn3 o 2.
Odrediti izvod funkcije u datoj tadci:
!(r) : s3* *ln2r,*: *, b) /(r) c) /(r) : (* - 1) arcsin ,fft,r -- L.
: ffi,r:
a)
!,
Rje5enje: u)
/,(*)
:
"t(**o')*,o(,!il-o"))-"9-t,
:
s\G *
z,
^*30 a,,jo -Bu
Ar__+o
---ArD-
o$30
5(l+An)-3
b)
f'(r)
Ar--+o
r
-l$offi:*gos-Ftb
Ar---+0
A,r arcsin
c) f '(L)
Ar--+o T
2
r(rE;)Tr-3
Ar--+o L47
"g("t*-r)tt(1*ro")
3.
Ispitati diferencij abilnost sljedeiih funkcij
a:
a) f (r)
tr
c)
f -2r-z,
f(*)
Io, +b,
tri-_i, d) f(*)
r+0 r-0
R,je5enje:
a) Datu funkciju moZemo predstaviti kao r e U(2kr , (Zk + t)n) sin
(
r, k e Z. PokaZimo da je data funkcija difer: kr [ -sinr, r e((2k+ 1)zr,zkr). rencijabilna za svako r f kr,k e Z. Neka je n e Upas(2kn.,(2k + I)r). Tada je Ar f
b\ : { O,
in(r*AC-sinu *ffry f'(*):o110ry:Jlg, L)'b Ar--+0
Slidno se pokaauje da je f'(*) : Medutim, u tadkama oblika
Ar---+0
T
- cosr ako je r € upE2(Qk * 1)z', 2hr). r -- 2kr (k e Z) funkcija nije diferencijabilna, jer je za r, cos2ktr
: f*Qktr):olgb*s%d :o1'g'**# : : -cos 2kr: -1. slidno, za ft-(2ktr\ Zj':b_s%S;jn:**ru
r:2kr
(k e z),
r:
(2k*1)zr, (k e Z), je ft*((zk+ 1)zr): t i /l((zk+t)r) - -L, odalle slijedi da data funkcija nije diferencijabilna ni u jednoj od tacaka skupa {ktrlk e Z}, a. Ako je r : L b) Ako je r < 1, tada i" f'(r) - e', a za r > 1 ie f'(t) onda
je /i(1)
:
iezaa|-b:eia:e,tj. zab:0 ia:e u taiki r: l. dok zaaf eilib l0 funkcijanijediferencijabilna da
/l(1) - Ac-+O^lint +:e,stoznadi funkcijadiferencijabilnai za
t:
I,
c) Odigledno je da je za r da je
= : ("*W) ol,g,o* {.:" :::It|:,
tEW: olg,o*
r: -2, pai,
+ -2
data funkcija neprekidna i diferencijabilna. Uzmimo slijedi da
"jg*/(r):,j9r*(2r+6):2: je funkcija neprekidna i u tacki r
,I\r_t-zr-2)
2,
-
f'-(-z): tadki
oJTo
r - -2,
_:
d) Rrnkcija u
r/0i r*rn:#, i r+r7r.
u
ima izvod za svako r € lR, a funkcija o: lcos$l imaizvod'za k e Z, pa je funkcUa /(") : u,' 'u diferencijabilna za svako r I 0
Razmotrimo sludaj kada je n
:
0 148
i r : xk.
Ako je
#
:
hlcosf;l, to ;e
/'(O): lgbrtcosf;l :0, ti. funkcija ima izvod u tadki n:0. Zan:
16 imamo da je
fL(+)
ft,nlt**l.o'(ry+ (W
n (rln t 2
(2k
\"'u
I
')) )
I
f'@n ) ne postoji 4. Pokazati da je tunkcija
/(c)
:
{ttt',"
x:rk:kTrkeZo
o. Ispitati diferencijabilnost funkcije
/(r)
,
*|Rt*
diferencijabilna u tadkama
ako je:
:lrl, b) /(r) : {""il*' It|, c) /(r) : tra|, d) /(r): a)
o
/(")
{ff,
{I'*-"1,,
Rezultat:
Ial,.
a) F\rnkcija je diferencijabilna za r f 0, b) Funkcija je diferencijabilna za r f 0, c) F\rnkcija je diferencijabilna, d) F\rnkcija nije diferencijabilna u taiki r : 1 r
6.
zatunkciju
!(*)
:
tl'
|'tB {arcts [1* lim f'(*) i utvrdit da li postoji /'(0). \ t+0-e
odrediti:
/l(0), 4(0),
Rezultat f'-(0)- oo, 4(0) /i(0) 7.
I
f'(n), //(o) ne postoji
o
"Ug* Odrediti lijevi i desni izvod u tadkama prekida sljede6ih funkcija: a)
(4 ^" **o , /(c): { Tf', [ 1, r:0
c)
/(r)
:
Rezultat: a) /l(o) c) /l(o)
{*"?F' :
*oo,
:tl,
/j-(o): o,
:0, 4(0) - -@,
b)
x#o f /(r): { -l-. ;F' t 0, r:0
d)
/(")
b) /l(0) d) /1(0)
:
{'.:'f
:t
,
' :tZ
- -F, 11(o) : o, - -1, /i(0): *oo r L49
"gg*
f'(r),
8.
:
pokaaati da je funkcija f (r) iako u toj tadki ne postoji ni lijevi ni desni izvod.
{%sin},
neprekidna u tadki
#3,
r:
0
Rje5enje:
i" lTo (*frt sin;) : 0, /(0) : 0, to je prema definiciji neprekidnosti funl@#9 : kcije u tadki, funkcija /(r) neprekidna u tadki n :0. Po5to ie /i(0) : nlj3* Kako
:
o\T*
" "tsinf, i za h #, t
h
hr,
:
fir, tc---+ toor i. *IT* Wsinfr
nm -4 too, je .lim
izvodi ne postoje u tabki
r:0
o
:
arcsinh2,
rysinf, k-+*oo Tsrn6; ''k
:
izilazt da desni 1, to proizilazi
0, a za
i lijevi
'
9. Koriste6i osnovna pravila i tablicu izvoda odrediti prvi izvod sljede6ih funkcija: a) u: ar4-bx2, b) gr: 3x5 -r3+8n-2, c) y : t+!+$+,,fr, d) y :2t -3'5r, e)
g:
e*
+!nr- kt\fr, il a:sinr*cosr*tgr,
g) a
:2+t{F - ** #-
Rezultat: a)
d) \,
y':4ar3 -zbr,
b)
u':llra
*3r2
+8,
ln2-3.5rln5, e) t:e'-f{r, {:?f 111
g) A'
:
nT"+;2
c)
f)
y': -h - # *#,
g':
cosu
- t*W'
-sinr* #,
10. Odrediti prve izvode sljede6ih funkcija: a\ y: rsinr, b) y -- r\nr, c) A: (3r2 +2r *S)Inr, d) g : sinrlnr, e) y: tF@ *lnr), f) U: re', g) U: r2e2', h) y: (2cosr - sinr)et. Rje5enje: Na osnovu pravila za na)aienje izvoda proizvoda dvije funkcije, dobija se:
r*rcosr, b) y':.1*lnr, 2+ *, d) /:cosrlnr*ff, f) u' : (r * l)en, g) g' : (*' +2r)er, h) / :(cosr a) u--fr,u:sinr,y! :sin c) {: (6r+ 2)lnx*3r*
e) 3sin
{ --W,
r)e'
o
11. Odrediti izvod sljede6ih funkcija: a)
u: ffi,
f) y :
ry9,
b)
s: g)
c) y: ffi, #ffi#, ln3eir#+coss.
U:
150
d)
s:
H,
e)
u: ffi+rctgr,
Rjeienje: Primjenom pravila za nalailenje izvoda koliinika dvije funkcije, dobija a) u
6.4.
: r + L,'u : r - l, A :
ff, A'
se:
: tu#fo : 1LiF#Dj : - (*kr,
Izvod, sloZene funkcije
:
f (u) a rr : p(r), tada y nazivamo funkcijom od funkcije ili sloZenom r, tj. y: f (e@D. Ako su funkcije f (u) i rp(r) diferencijabilne, tada je # : # - # ih yL fL.L/*. Formule izvoda osnovnih funkcija dobijaju sada op5ti oblik:
Ako je y tunkcijom od
-
1.
(un)'
(o")'
3.
("")' :- eu ' Itr' ,
(lr,
5.
(loeo lrl) 'l
7.
(cos u)'
9.
- k,
(ctg u)'
:
au ln
lul)'-
(sin u)'
(ts u)' :
e,
{, u
u.
cos
ut
,
ut^
cos2
(arcsinu)t -
SIN- U
a' L,,', a )
u'
L
lm)
11.
(arccosu)t
- -L.
(arctg
u)': L 1 * u2'
13.
(arcctgu) |
- -
(rh u)'
-
15.
(.h u)'
17.
(cth u)'
-
\mr u' ^. 1= + Lr2'
sh rr - 'tr',
(th
: - sh2tt' !,
.
151
ch
u.
ut
u)': ch2u' =4
,
o,
a*
1,
L2. Odrediti izvod sljededih funkcija: a)
y-(3+*2)5,
e)
a -rnts$, f) a _ r"u#,
h)
b)
a-ratctEr,
c)
y-
ffi,
d) y
-nfir,
s) a
a-t"ffi*arcts*,o€R'
Rje3enje: a) Data funkcija moZe se napisati u obliku A y' sua -r..t' 5(3 + r2)n(g +
:
b) y - eu, u - arctgr,
/r_
,
rT
-
c) Ako je
u5
1
Pa
ie At : ,atcts"
Odavde je
: yL. u'r - z|- fu-.nfu;.
2
- ffit
*r, P& ie y - lnu, odakle ie Y' : : : &(tg il'" "' ;il*r,
d) Neka ie u e) a'
r)
:
3+ n2,paie
#r,
* tg2r
2, pa je yL
jeu-
Sdje
{"_
1
2
ffi,
vL:
s) v'
h) v'
13. Odrediti izvod sljededih funkcija: a)
y-(*'-r+r)-r'**t,
b)
u-7*2*2r,
y=rarcsin,l l"ft * arct1\fr j) y -arctg e2* * rn ,ffi. h)
I
t
c)
A-Z*'\ffi,
d)
A-
In
1*sin
1-sin
r r
;
s)y--rffi*rn/#, tfr,
i) y _ ln(l * sin' *)
2 sin
rarctg (sin r),
Rezultat: a)
A': 2r2e2r*3, b) y' :7*2+zsh
7(2r+2),
d) v' L52
c)
y': #[(atn
2)r2+(4 rnz)r*1]
,
f) a'
zvsffi
i) y' : -2cos rarctg
h) a'
N N, L4. Na6i izvod sljedeiih funkcija:
(sin
*
o,l Y
s(ffiyi +@'
l3
r),
j)
"o"2 ri,t%t
s
,,1
@-r@
a) v
b) c)
a- a@-ztfrurcts@+1 v- hltg(t+t) | ilk 3#rur4, n2
d)
n2
a- #rm#*#arctg
Rezultat: \
u)
15.
18
Neka su u (c),
a)
12
L\ ^/
(2@*'
H-,*
a':ffi, b) u':@ni@, ,
,
1
+t))
r
| 1 {:"i"4"*r, ")
r\
d)
+3.
{: 1r,ft*"T . ,
a
o(r) diferencijabilne funkcije. Odrediti izvod funkcije y : f (x),
/("):yP,u)0,
b)
/(r) : I/d,uf 0,u)0, .) /("):log,, a,u)
5g.2
ako je:
0,u >0.
QieSenje: a) Datu funkciju A : ua moZemo napisati u obliku y : eornu, pa primijeniti formulu za odredivanje izvoda eksponencijalne funkcije. Tada j", U' : (earnulr : eurnu(alnu)/ :
u'(r'Inu + u{). Izvod ovakvih funkcija moZe se odrediti i primjenom tzv. metoda logaritamskog diferenciranja. Naime, logirtmovanjem lijeve i desne strane jednakosti u : r.tru , dobi6emo h g a\n u, odakle je diferenciranjem : r*' u + .'{, odoos no yt : u, (at In u + o*),
-
*
ln b) Slidno kao pod a), kada umjesto u pi5enro
|, c) Kako je logob: #* b ie y: H, u # r. /: (H)t - uu'rw,-ubtna
otuda diferenciranjem dobijamo
16. Odrediti izvod datih funkcija metodom logaritamskog
a)U=(ril")"*', y: (Inr)t
b) g :d,in,,
diferenciranja:
d) y
")U:(1+f;"-t,
:nx,
u)
y:rbr,
f)
Rje5enje: . a) Logaritmiranjem se dobija lny : cosrlnsinr, odakle je, poslije diferenciranja d : (cos r)/ ln sin c * cos r(ln sin r)/ : (sin r)"* c-l 1cos2 - rin) r ln sinr),
"
153
b) ln 91 : sinr Inr, g! : trsinr(cosrlnr + %c)'
c)a':(+)"-' (t'+-6), d)a':f(lnt*l), e) a'
:2nlnt-t1t",
f) a' : [nr)r(ln(lnr)
* #) .
O.S. Izvodi funkcija koje nisu eksplicitno zadate 1) Izvod inverzne funkcije
*:
Diferencijabilna monotona funkcij a f : (o, b) f-'(g) eiji se izvod izradunava prema formuli:
-*
R., 34
I
0 ima inverznu funkciju
tll
"n: ,L:
gr.
2) Izvod implicitne funkciie Ako je U : f @) diferencijabilna funkcija zadata formulom F(r,y) : tj. F(r, f (r)) : 0 i ako ie F[(r,y) + 0, onda je
r vL: S) Izvod
Fl(r,o'\ili :ffi,il : ft@t",/(r)))
g
d
o.
funkciie date u parametarskom obliku
Ako jefunkcija f zadata parametarski: r: p(t)iy:rbft),a funkcije f ,p,1h diferencijabilne i tpl(t) f 0, tada je:
< t < B, gdje su
aL:ro:H:m a Y\"t E 17. Odrediti a)
r!
ako je:
g:rllnr,n)0,
b)
r:3u5 +2a2 +a, L54
c)
y: {i,
d)
gr:
en
+n'
Rjeienje: a) Kako j" gL: @ *Inr)t : 1 * * t 0, to je data funkcija strogo monotono rastu6a za r > 0. Dakle, ona ima inverznu funkciju i rtn: #,
b) Kako je c) aL
r|:
: #,
d) Kako
18. Odrediti
h:
l5y4 a rto
*
a) r3 + rzA
*
1,
fo je
: 3+/F,
i" yL: er + l,
*
49
to je
{r: tsrfr4*r,
r|: #e.
implicitno zadanih funkcija:
* y2 :0,
b)
eu
d)arctgA-y*r:0.
-
e-* + rU
:0,
c) e' singr
- e-u cosfi :
0,
Rje5enje:
a) Kako je
d":
F(r,U):rs **2U+92, F!(r,U):3r2 +2ry, F[(r,U):12 *2y,to
-ffi : -##,
12
je
t 2a # o,
b) Po5to je F(r, U) : ev - e-n
I
rA, a F!(r,U)
: e-t + y, F[(r,A) :
{.:-ffi:-#?#!,e!*r+0,
ev
*r,
to je
F(z,U): e'siny-e-ecosx, F[(r,U): e'sing* e-usinr, f[@,d: : *ffiffffi, eo cos u * e-v cosx f 0, e'cos g -f e-v cosu, to ie {r: -ffi c) Kako je
d) aL
19. Odrediti yL implicitno zadanih funkcija: a)
,222 c)r5*As:o,3
lnr + e-*
d) r-A*arcctgy, e) enY-12+y3
-0,
f)
Rezultat:
+y,r#0, b) ffi,a* -b, c) -|ft,
a)
"Y 20. Izrdunati izvod inverznih funkcija: a)
d)
fi+l, e) *, r) #o
a-'r*t*u, b)a-2r-ry, c)u-2r2-14
Rezultat a)rl
4t a-F
#, b)#,
c)
#o 155
21. Odrediti {n funkcija datih u parametarskom obliku: a) n :3t3 + 9t,g :1e , b) r : t2,y : |t3, . c) c:2ln(ctgt),U: tgt*ctgt, d) r: etsint,A: etcost.
RjeSenje:
*: ffi,
b) vL: |t, aL: c) x!r: #u,ir: -ffi,aL: ffi - ctg 2t,t+ $,k ez, d) rtr: et(cost * sint), y't: et("ost - sint), 9l : ffi ' 22. Odrediti /r funkcija datih u parametarskom obliku: a) r: nsinf - sinnt, A: ncosf * cosnt, b) r: a(t - sint), U: a(L c) r: arccos #,9: arcsin #, d) r: *+r,a: (#)'. a)
cosf),
Rezultat: a)
-W,
23. Odrediti
b)
ctg$,t/zkr,lc € v,,
c)
fi@ i fi(") , ako su funkcije h i fz
yL: -1, { 1,
t t
3, d) ho
zadate i mplici tno sistemom jednadina:
Y?-Ylrrr:2 Yl+a?*2t:r' RjeSenje: Uvr5tavanjem vrijednosti 91
: f{n) i Az: fz(r) ,t dati sistem jednadina, dobi6emo: /i(") - t3@*3r=2 t?@+f?@)*2r:L'
Odatle je, diferenciranjem
t?@t't@)
-fl(") tL@)+1-Q
fl(*) +fz(")fi@)+1-Q t7@ -r3(") * 0, slijedi da je fir)- f{r) fz@) /r (r)
Ako je determinanta
,
fi@): wrfvi#tnan.
24. Odrediti ftt(r) i fl@), ako gr1 : h@) i gr: f2(x) zailovoljavaju jednadine: 13:O,A?+A'r:r', b) euw*uzsinu - l- x,y?+"y3: u) ggz+ ffi.) yr + rbfut + yil +uz * sinr : 0, rh(a? + a| + *21 : *156
fi2,
6.6. Diferencijal funkcije Geometrijsla interpretacija izvoda Ako je funkcija
jeLyl gdje o
-*
0 kada
A:
f @),
i diferecijala
r e (a,b) diferencijabilna u taiki y:
Ar -* 0. Odatle
n1t ixg
€ (o,b), tada
Lr:u ta'
(1)
:
(2)
je
Lu
at
Ln
* aLr.
Glavni dro { Lr prirasta Ag funkcije, linearan s obzirom na Ar, nazivamo diferencijalom funkcije i oznaiavamo ga sa dy: dy
:
yt
L,r.
r dobijamo da je dr : i Lr : Lr, pa je diferencijal proizdy : gtdn. (3) Ovaj obrazac ostaje u rnZnosti i u sludaju da je r funkcija neke druge nezavisno
Specijalno, za funkciju voljne funkcije / u taiki r
promjenljive.
L
(L) slijedi da je Ag N dy
ili
(4) f (r + Ar) * /(r) + tj. za dovoljno mali dn : Lr prirast funkcije pribliZno je jednak njenom diferencijalu. Pri tome se dini apsolutna gre5ka l\y -dgrl i relativna d : l\v-:!vl.
|'@)tx
Geometrijski, diferencijal predstavlja prira5taj ordinate tangente konstruisane u tadki Ar: dr (sl. 65).
M(*o,1(ro)) koje odgovara prira5taju
Y=f (x
Xe
Xs +AX
sl.55. 157
Koeficijent pravca tangente krive y : f (r) u tadki M (ro,/("0)) je prvi izvod f '(*) u tatln M(ro,,f(ro)), tj. tS a: f'(ro). Jednadina tangente glasi: g -A0: f'(*o)(r -"0). Jednadina normnale u
taiki M(ro,11ro)) glasi: r - ro : -
1t@o)(A
-
Aa).
25. Odrediti diferencijal funkcija: a) A : 13 +3n, b) gr: 2n d) y arcsinfr, e) a
3-r + \/i, c) A : n€'", :u.a-2, f) a : arctgff.
:
-
Rje5enje:
* 3x)tdr : (3r2 + 3)dr :3(r2 * I)dr, b) d,A : (2' - 3-o + t/r)t dr : (2'ln2 * 3-' ln 3 + #)d,r, c) du : 1re*2)td*: e2 (z* * l)d,r, a)
dg:
(r3
d) Kako je d(arcsin to je d(arcsin
fr)
1fr)
:
(arcsin
t"l{L-+ '
u)'tu,u:
fii d,u : d(fi) :
26. Odrediti
d) y a) y
W
: -"#d,n,
'
e) Prema pravilu diferenciranj a ranlomaka ie
f) d,(arct1?-
-haQ"D
d(
#) _
a2
du-ud(u2) a4
du
2udu
&-T,u#0,
o
diferencij al sljededih funkcij a:
c) y- # *arcts*, -Jr2 *Jr, b) y - tm, arcsin |, e) a - (2t - 5)8, f) s : ,tn.
13
Rezultat:
- 3(r - t)zdr, b) du - ffi, c) da--ffi. d) du - -#, e) d,u - L6(2t- 5)'dt, f ) ds- 4t3 ett dt a) da
27. Odrediti: a)
#@t -2l.6 -*s), b) ,r*r(ry).
Rje5enje: Kako je df (")
du
(5)
gdje je u-diferencijabilna funkcija neke promjenljive, to date primjere moi,emo rije5iti na dva nadina. 158
2no
a) Uzmimo da je Lt,: 13. Tada, naosnovu prve jdnakosti (5), imamo: a1$t*t
-
-Jr6,rf
0.
-rs): fut"-2u-u3):(u-2u-u,)' - 1- 4u-Juz - t-
Do ovog rezultata moZemo do6i koriste6i drugu jednakost iz
d(r3-2r6-rn)
----,6)
(s",-r2n'-gng)dn _ - ------W6-- - r -
_
1
4r3
-316,rf
(l):
4r3
#@t -
d@\=f) : ffi,1\ /a / - \ t/n t *%ttt
2u{u rcoso-sinr - =:#:,rf - J rt) o
28. Izradunati prira5taj i diferencijal funkcije
-
re)
:
0,
b) Analogno kao pod a). Uzmimo da je u : 12, pa je d, lsinr\ -d- f "t"f\ --!-;- ,rcosc;sinr - /sinlF\t - t/ucost/ulin^/u
d, lsinrr d(t#) : _ffi-: - i&f A@\=;):
2z.6
-:ffi:,tf\,lli 4
a:3r2 -nzar: I i Ar:0,01 i na6i
greSku prilikom zamjene prira5taj a diferencij alom.
Rje5enje:
Lg: 3(r*Ar)2-(r+Lx)-3r2+x : (6r-1)4r*3A12, dry: (6r-1)Ar, to r: I i Ar : 0,01 dobija: LU :0, 0503 i dA :0,0500. Apsolutna greika pribliZne jednakosti Ly = dy ie l\y - dUl : 0,0003. Za relativnu gre5ku pribliZne wijednosti jednakosti Ly * d,y vimase odnos W Sto iznosi 0,6Yo o Kako se za
je
29. Odrediti pribliZnu vrijednost cos 610. Rje3enje:
r :
: I i A,x : *g1o : ft u formuli (4), dobi6emo: cos61o: cos(60o + 1"): cos($ + #) A, cos$ -,rsin$ = 0,5- o,,0I7.+:0,48b . Uzmimo da je
arc60o
30. Odrediti pribliZnu vrijednost Vm. RjeSenje:
(r): \/i. Kako j" f'(x): #, to je, na osnovu formule (4), gdie je n proizvoljan prirodan b1oj. tE +M x \/x + #, Analogno, W: W6 N iM * #rrur. 6 : 5,08 o Uzmimo da je f
31. Odrediti pribliZnu wijednost: a)
sin31", b) tg44o, c) arctg1,05, d) ffi0.
Rezultat: a)
0,515, b) 0,965,
")
t
+ 0,025
nr
0,81, d) 2,S907 r 159
32. Izrahtnati prira"Staj funkcije i diferencijal funkcije:
L'r:0,01, -frzar:Ii :9 i Ar : 0,002. A : \/r za fr a)
y--2r2
b)
y:
13
-2rzafi: -2i Lr-- 0,02, c)
Rezultat:
Ay:0,0302, d,a:0,03, b) Ag/ :0,202404, dy:0,2, c) Ag/:0,00033, dry: o,ooo3 r
a)
33. Izradunati prira5taj funkcije i diferencijal date funkcije, pa izradunati apsolutnu i relativnu gre5ku koja se dobije pri zamjeni prira5taja diferencijalom: a\ g : 13 -
3n2
*
I0 za
r:
3
i Ar
:
0,001, b) y : t/* ,u r
: I i Ar :
0,61.
Rezultat: a) Lg: 0,009006001, dU : 0,009, apsolutna gre5ka 0,00006001, relativna 0, 000666 b) Ag : 0, 1, d,y : A,L667, Ly - dU :0,0667, W: -0,667o
34. Date suparametarske
jet:3idt:0.02.
jednabine krive
r:1t
t3,U:L+*. Izradunati dni dy ako
Rezultat:
d,s:0,54,
dU
:0,12
o
35. Date su paxametarske jednadine kruga r : acost, y pomodu t i dt, a zatim dgr pomodu r,y i dr.
: asinf. Izradunati dn i dy
Rezultat:
dr - -a,sin tdt, dy 36. Dokazati pribliZnu formulu odnosu na
W
N
a
o,n.
Dokaz: Neka
f
je l"l
@): tF|
dega
37.
je
Dai
<
:
an iU #8. Tada, primjenom formule o malim priraitajima na funkciju nl 1* #,,nu osnovu dobi6e se /(s) /(0) + f'(O)u, odakle ie
formulu
-
ffiy
ttr+":o,* #-r,o ) 0, x)O,gdje je 0 < r .#. 160
38.
Pokazati daje:
Ar) nv sin r * Lxcos tr, b) su+Ac x e' * A,xe$ , nv 1-ozadovoljnomaleo, d) ny 7ft; 1- tatadovoljnomaleo
a) sin(r +
#
")
o
39. Odrediti
geometrijsko znadenje zamjene priraStaja povr5ine kruga P njenim diferen* cijaiom dP.
RjeSenje:
Geometrijski, to je kruZni prsten (sl. 66). Naime, za male vrijednosti Ar krugovi se raalikuju medusobno vrlo malo i zato se povr5ina prstena mole, s vedim stepenom tadnosti, zamijeniti pow5inom pravougaonika iija je osnova jednaka 2rn, a visina Ar. Zaista, povr5ina toga pravougaonika i jeste diferencijal dP: dP : (r2n)t .Ar : 2rrLr. IJ pribliZnoj jednakosti AP ry dP dopu5ta se apsolutna greSka ILP dPl: lArl2 i relativna -
_^:r_^ gres*a
40.
Il"P-dPl larl2;: <_ (Lr)z Ar c^ TP-: ffi: ffi z-,r$#(N'
Strana kvadrata je 8cm. Za koliko se uve6a njegova powsina ako mu se strana pove6a za 0,5cm. Ocijeniti relativnu gre5ku zamjene prira5taja diferencijalom.
Rezultat: LU
:
8,25,
dy:
E, d
:
3,03% e
41. Ivice
kocke mjerene sa tadno56u do 0,02cm duzine su 8cm. Kolike su apsolutna relativna gre5ka pri radunanju zapremine kocke.'
i
Rezultat:
LV x d,V:3,84cm3, +
nv
42. Odrediti jednadinu tangente
0,008
ili
A,8To o
i
normale krive a
b)
y:Lr*, -x,xg: -1,
apscisarna:
a)
y:12 -2r*5,og:0,
Rje5enje:
")
y:-sinr, ro:T.
a) Kako ie /(0) : 5 a A' : 2x - Z i {10) - -2, to je jednadina tangente u tadki A(0,5) : Y : -2r *5, a normale g : Lrr + 5, 161
b) Jednacina tangente c) Jednabina tangent
43. Odrediti jednaiinu A(2, -1).
e
ieY: -2tr - l, je y
anormale
: ** + + - +a
tangente i normale krive
g: lt *2,
normale,
:
-1[2r + + +
r:t2 +3t- 8,A:2* -2t-5
+ . u tadki
Rje3enje: Kako je jednadina tangente u tacki M (r(t), a(t)
s
y(t)
: -*r, - r(t)), {, + a,to 6emo najprije odrediti vrijednost parametra tzakojije r: 2iU - -1. Rje5avajuii jednadinet2 +3t- 8:2i2t2 -2t-5 - -1, dobijamo: Iz prve jednabine t:2it: -1, odakle t:2-5,4i2 druge t:2it: je jednadina traZene tangente t yl:4t-2i rlr:2t+3 zat:2 imamo #: +, pa g * L: F@ - 2) anormale g + l: -t@ - 2) . 44. Odrediti jednadinu tangente i normale cikloide r : r(t- sin t), A : r(l- cos t) u tadki ffi koja odgovara vrijednosti to: T. normale a - aQ)
Rje5enje: Kako
je
{": t% glasi
ixo
: nG)
i YL@Q
1), aa - 1, pa jednadina tangente i normale u tadki M(*0,y0)
y- r*r(2-+) i y- -n+rE
A-r-r-T+r,tj.
45. Odrediti jednadinu tangente t krive
o
A
pravu p: a)
y: \B:7,tLp,p:2r:g,
c\ a
b)
gl: Inr/i-L,tLp,p:y: r{!,
: W + VF - l/-az, tllp, p : a : x -
2.
Rezultat:
a)U: -L"+8,
U) Takvatangentanepostoji, c) t1 :
46. Iz tadke M(4,I) postaviti tangente na krivu U :
*
U:tr-ft,t2:a- r+fto
i odrediti dodirnu taiku.
Rje5enje: Ta6ka M(4,I) ne pripada datgj jednadinatangente a-ar:
/@i:
ffi :
krivoj.
Neka
ffi@-xr),
to je #r, odakleie +,, krivoj, pa ie zadovoljena jednakost' ff
je M(*t,gr) dodirna tadka. Tada je
odakle
sr: fi!+ f 1 : +, 162
jerbl: ffi:at@i. 1. Thcka M(q,sr) odakle je 11
:
2.
Kako je ptipada datoj UvrStavanjem
vrijednosti
rt:2
a t:y:f,r. 47. Odrediti
u 91, dobija se da j"
ar:
f . Dakle, dodirna taika tangente ie
ugao pod kojim se sijeku krive kr
i
u(z,l),
k2 ako je:
a)fu:y:sinr, kz:A:costr, b) k1 :U:fr2,k2:r:A2, c) k1 : y: +-+: l, k2:y2+r2 - 36, d) ,kr : 12+r6y2 e) k1 : 2y : 12, k2 : 29 : 8 - 12.
4o2,
k2:12*a2:
a2,
Rje5enje: Ugao o pod kojim se sijeku krive &r tadki presjeka na date krive.
a) Koordinate tadke presjeka krivih
i
le2
je ugao izmedu tangenti
h i tz povulenih
h i kz su rjesenja sistema jednadina:
U: sinr 9: costr' Iz jednadine sinr : cosr dobija se r : f; + letr, k e Z. Za parne
k (k:2n) je:
: +, pravca tangente t2 (cos(f, + Zntr))rr: sin - T: -+,pa
1) Koeficijent pravca tangente t1 (sin(f; + 2ntr))r*: cos T 2) Koeficijent
l(tt,tz) Za neparne
k (k : 2n *
rt,tn &rcftffi
_ B,rctgTtfr.
r22
1) je:
3) Koeficijent pravca tangente t1 cos(f;
4) Koeficijent
je
*
*
:
+ T) :
-+, pravca tangente tz -sin(T *2ntr *zr) : -sin(n +T): *,pui" l(tt,tz) -
b) Koordinate tadke presjeka
Zntr
&rctgTtn.
su rje5enje sistema:
U: 12 fi-y2' 163
z')
cos(zr
i
Tledke presjeka
U tadki M(0,0) ;e g{(O) njih je $. U tadki
kzimaju izvode Ul : 2t i U'z : +#. oo, p& tangente su r-osa i gr-osa i ugao izmedu
hi
su: M(0, A), M{1,1). Krive
Mr(I,t)
;e
:
0, a at(O)
sf(t) :2,
a
l(h,tz)
:
/20) -- *, z- 1 &rctg# I -r .t
B
2
l(h,tz) e) l(t1,tz): c)
arctg$
e
ugao izmedu tangenti povudenih u tadkama sa apscisom os krive ako je /(r) dato slijede6irn relacijama:
48. Odrediti a) (r
-
t)2 + (y +
1, b) 12
3)2
c) n2+4y2 2r*8y*4_0, tunkcije f (r), o, e) a- arctg|' - tffi:0,
-y2-2r*4y-19:0, d)
{xg
arctg9**
-h
Rezultat: a) 0, b) arctg 15, c) arctg
*8, d) 0,
e) 0
o
49. Odrediti ugao pod kojim se sijeku krive: a)
n:t,U:t2itr-$cost, Y- f sint,
r - tfrcht, U: tfrsht i r - 3\ncost' a - z\nsint, rO 8o3 c) trz:4ayiy- ;ry;z'
b)
Rezultat: a) aN87o, 10',
b)
a- 90o, c) a-
y: f (t),
arctgSo
164
12
+y2
0,
{xs
je nula
6.7.
Izvod. i diferencijal vektor-funkcije kompleksne i
matridne funkcije Ako komponente vektor-funkcije
f(r)
:
(/r(r), fz(r),..., f"(r))
imaju konadne izvode, tada je
f' (*) -- Ul@), f'r(*),
. . . , f'"(r)).
Ako elementi matridne funkcije
A(x)
:
(ori@D,
gdje je (o;i@D -funkcionalna matrica tipa m x n, imaju konadne izvode izvod matridne funkcije izradunava prema formuli:
A'(r): \&t -
4i@), tada se
/ "1t@) drz@) ai"(r) \ ah.@) 42.@) at'(r) |
:I
(4.i@D \qij\&)t
\r;;,",
";;@)
rial)
Kriterijum diferencijabilnosti funkcija vaZi i za ove funkcije. Ako su A(r) i B(x) - diferencijabilne matridne funkcije, au(r) diferencijabilna vektorfunkcija, tada je:
r) d(A+ B) : dA* dB, 2) d(A.u) 3) d(AB): (d,A)B + A(dB).
:
(dA)u+ Adu,
Ako je tunkcija
P(t):u(x)+iu(t) pri demu su u(r) i u(x) diferencijabilne funkcije, tada prema formuli:
p'(*)
:
utlr) + iut(r)
165
se izvod funkcije .
9@) izralunava
50. Odrediti Lf (ro)
ako je:
a) f (r)
c) f('r)
: (trn \") \shr 1 )
Rje5enje:
A/(r) imamo da je f (r)-/(eo) - (*-ro,sinr-sinro,er -sro1: (Ar,zsinffcos(rs
Prema definiciji
a) A/(rs)
:
"*o("L*
_
b) Lf(ro) -
l
("
f(*) f("d
-BL^r
r-r
( rn-rt t"#\ lrr(1 + Aror\
\z'h+ch(rs+*l f ' (L) ako je
ro\
m)
\4-
,no+4,L,r+4-ns.
c) /,f'("0) \" /I (*o* Ar)n - rff 51. Odrediti
+*),
1)),
o
no
)I
\thr-shrs
0 )
o
)-
f (")
Rje5enje: Prema definicfi izvoda funkcije, imamo:
ln(l + Ar)\ r\ tt,#)
f'(r)
52. Odrediti izvod matridne funkcije
f(r)ako je
oll)
"3)
f
( ot (")
\
ort
(")
arctgr
ttre"r*+ *zLIL ^(r) I "-*'trZ "r?r) 166
arz(") &zz@)
\ )
za l"l za l"l za l"l za l"l
\2,
tz,r)o
Rje5enje: O,Creclimo izvod elemenata date
matrice. Za l"l (
1
+
1i
r/
0 imamo:
zr\ r,-1 -/ 1,
a\t(")
1,
(, alz(")
-
a!2r
za l"l za l"l
(") a!zz(")
-
sgfi rr.
Odredimo lijevi i desni izvod funkcija aU@) u tadkama
a\t+(-
1)
a\r- (-
1)
a\t+(1)
a\t-
(1)
(-
1)
alz+(-
1)
a\z-
_
lim
f ssn(-t + h) + *(-r
+ h - r) +
h+O-
lim
Iim h- rel="nofollow">0-
h+A-
h) h2,
arctg(l +
11 t
" h= -
t 2'
h
h--+0*
-
I
h
h-+0*
T
o.
(-1 +t)2e-(-1 +h)z
1
h--+0*
: Analogno odredimo
+h)+T
arctg(-l
r: l, n : -L i r:0:
11
; oS. 6ttt -
o\r*(l)
:0,
zn
4z+(0)
+
-
n21g + 2h
n2
+ o(n2y
: *t.
Dakle.
/r. t*A I \ z"t -"'
(r
Zre-r'(t -
- r\
(+ o \ \6
ssn
")
167
12)
sgntr
\ )
za0 za l"l
- r) :
o.
(t o\ r tttn':(6 =(8 o\ /i(1)-(+ ir),/l(-1) i),/i(o)
/r :(6 i,)
Kako je a/rt(-t) : *oo, to data matridna funkcija u tadki r : - 1 nema konadan izvod. U tadki ft: r zadovoljena je jednakost /i(1) : /l(t; i //(1) : /i(1) je funkcija diferencijabilna u tadki r : 1. U tadki r: 0 desni i lijevi limes postoji ali su medusobno razliditi, p" /'(O) ne postoji o
53.
Pokaaati da funkcija
) tr+O f (")
) tr ima prekidan izvod
0,
o
54. Odredi ti izvod funkcije: a)
f(r)- (arcsin fr, ["] sin2 rr),
/(f)- ("e cos t,€ot sin t,u(+),u(sint)), c) f(")- (sin ("'*), e'i" * ,/(sin' *), p(cor2 ")), ' \ / t2+y ...i.,-,fi(n sinr("il d) f(r)_ { ty )
b)
.
\ ("g;sinv ,sin(tY) /
Rezultat:
a) f '(r) _
(-#,r!rlsin
2rr),1*l >
1'
b) f'(t) _ ((" cos t - sin t)rot, (o sin t + cos t)rot , - hu'( *), ut(sin t) cos t) c) f'(*) - (2 cos ("'*)r'* 1ssir12 r sin Zr,//(sinz rsin 2r, -,p'(cos2 r sin 2*), d)
f
'(*):
ffi vY ;y)'io
(hsin(ry) +
ffi)sinut"v) \ (*y) /
(*Y) Inacos ,l*sin
55. Odrediti /'(1) ako je: a) f (r) - cos r* isin(r - 1), /r 12 b) f(r): t lie \ tg arcsin (r - ,))
"
168
o
,
Rezultat:
?) .
a) f '(L)
56. Dokazati da vektor-funkcija f (*) (__:_-1
p(r)
gdje je
t
o,
n:0,
57. Utvrdit i diferencijabilnost funkcije f (") a) Lf(ro) _ (sin &.h(1 * (r -
"o)2),"*-to
/_1
b) Lflro)
:
ako je: 1),
\ no r + lr -"013 - I (sin(r-l 'r' * |
(e Gdu
I { l n^\2a(rn , \t" -ils)2rsr,(ts#) (-i$;f)r"-'c / arcsin
Rje3enje: a)Kako je
lim
A/(ro)
t,+fro i[ -
{x0
ln(l + :x
\r+r9
lim r-+r0
ln(1 -L (r
(r-*o)' sln .
-
ixa
1 et-to 1\ r. llm , nlno {t-fr, I I r-fr1
er-to r. lim
- ,o)'
1
rero f - fiO - Jt6 to postoji konadan izvod vektor-funkcije f (") i f' (ro) - (0, 1). Dakle, vektor-funkcija /(r) j" diferencijabilna i Jl'
df (ro)
:
10,
t)dr
:
(0,
dr).
b) Matriina funkcija /(r) je diferencijabilnau taiki ro i
dr(ro):
(B l)*: (B 169
f).
58. Odrediti a) f (*)
") /(,)
df (ra) ako je:
\rt2r/
:(-:T-
/ cos(re2')-cos(ne-2') tn(t1r2e2) \
W),.+oi/(o):(3
59. Dokazati, da ako funkcij" izvod determinante
(1)
D(r):
oU@), i, j : I,2,...n imaju konarne izvode, tada det(aa;(r)) moi:e se izrabunati prema jednoj od formula:
arn(*)
ezt(") azz(")
azn@)
ann(")
etr@) atz(")
o,1,r(") atz(")
l'n
:
:
anL(") &n2(")
l-r I
a2n@)
oa
t-rr-t ln I
aa
o,n;@) an2@)
&nn(")
I
.
.
aLn(")
aa
a
aa
a'1rr(r) a'1rr(r)
r-t
aLn(") t'
&zt@) azz@)
(2)
o)o
aii
&rt(") arz(") :
0\
'
.
o|rn@)
aa
a
aa
ant(r) anz(r)
. ann(")
.
ett(")
.
.
.
oltt
azt(")
.
'
'
olzt @)
l-t
(")
. arn(") . . . a2n(") ..
a
:
&nt
(")
-
-
";;@)
...
&nn(")
Dokaz: Kako je, prema d efiniciji determinante,
att(") etz(") azr(") ezz(") :
:
a,n;@)
anz(r)
.. ..
. aLn@) .
CL2n@) :
.
.
.
ar7,n(")
170
I(s{
1
)t
ohtai'2
. . . a,i,nrr,,
gdje je
s
broj inverzija permutacije [ir,iz,...,in), to je (
T
-
1
)t o;,a,i,z2 . . . ainn)'
1)t o'lpai22 . . . a,trln
I(-
ss
I
I
+I(-
1
)t olrta',i22 . . . &irn+ . . . +
I(- l)t otflai22 . . . o|nn o\t(") atz(") ... arn(") | lart(*) o'r2(") ... to!',
I
I
aLt(") o,zz(") ... azn(r)l*l"rr(") a|z@) ... ::: ::: aLt(") an2(") .. . ann(") &n! (") aLz(") ... ert(") atz(") ... a!tn@) ..+ ezr(") azz@) .. . a!in@)
&rn(") &2n(")
+
ann@)
aaa
aaa
enL(") anz(r) ... a!*(") Dakle, dobili smo formulu (2). Analogno, iz
D(") dobija se formula (1)
o
:
60. Odrediti izvod determinante: a)
l-':* r*
:ff;
:l,b)
r 12 12 13 13 14
r3l 14 l.
r5l
Rje5enje: cosr-2 sin2c c9so2r l': | {ri""2)t (cosr2)'| 'sinr? * | . sinr2 (sinr2)t I -t -0, cosrz\' "l l-coszr sinzr I - l-cosc2 l- lt-
b) 0o 61.
N_eka
je A(x)
- kvadratna
matrica koja ima konadan izvod i inverznu matricu
Pokaaati daje
(A-t("))'
: -A-t(") A'(*)A-t("). L7L
)
A-t(r).
Dokaz: Ako su
A(r) i B(r) matrice
sa konadnim izvodima, tada vaZi formula:
(A(r)B(n))'
:
A'(*)B(") + A(r)Bt(r),
na osnovu koje je:
(A(r)A-t(r))' Kako je
A(r)A-t(t)
(1)
: f
:
et67'+-r(x) + A(r)(t-t(r)\'
.
fiedinidna matrica), to je
l'1r1'l-r1x)+A(r)(/-1(e;;/:g
MnoZenjem jednakosti (1) slijeva matricom
A-t(*),
(nula-matrica)
dobi6e se traZena formula o
62. Neka je A(r) - matrica koja ima konaban izvod. Dokazati da vaZi formula: (An("))'
-
nAn-t (") A' (*), fr € N
o
63. Neka je A(r) == Pokazati da matrica
A(r)
( sina'rr to::3) u): @Ttst. , w - w',dl -cosr.r(r) sinar
\
)'
zadovoljava diferencijalnu jednadinu
A" (r) + w2A(x1
64.
: g, A" (r) :
1At(r))t
.
Dokazrrti da r-ektor-funkcija
X (t)- (sin t, zadovoljava jednadinu
cos
t,
e-')'
x'(f)- A(t)x(r)+ f(t),
gdje je
/e_t
1
,_sinr\
A(t):{cost sinf # l,f(t) tt" pl tg7rn;r; t / 172
/ Zcost \ \ -e-t(t + t) /
6.8. Izvodi i diferencijali
vi5eg reda
Neka funkcija /(r) ima u tadki r prvi izvod f'("). U op5tem sludaju, //(c) takode je realna funkcija realne nezavisno promjenljive e. Ako postoji prvi izvod funkcije f'(*) u tadki r, on se naziva drugim izvodom funkcije /(r) u toj tadki i ozna(ava se sa ///(r) ili
y"nfu.
Uop5te, neka je primjenom tog postupka definisan (n
/(") (rz
-
l)-vi izvod f(n-r) @) funkcije u tadki r, tada n-ti izvod funkcije /("), tadki z, u oznaci f(n)@),je prvi izvod 1)-og izvoda 1(n-t) @) funkcije /(r) u toj tabki tj. y(n)@)
:
1y("-t)61yt, n € N,
-
yto)12)
:
f(r).
Drugi diferencijal funkcije f(z) u tadki r, u oznaci & f (") ili d2y,jeste prvi diferencijal njenog prvog diferencijala u toj tadki. Njen n-ti diferencijal u tadki r, u ozrraci dPf (r), jeste prvi diferencijal njenog (n, 1)-og diferencijala u tadki r, tj.
-
*f(") : d(tr-rf@)), Ako je x-nezavisnopromjenljiva, tada je tom sludaju je
*f("):
n€
N, ff(")
:
f(r).
dn:unst.i&r: dgr:... --ilx:0.
U
y(")1r1dn",
odakle je
n_y@)1x1. CI:D'"
je funkcija definisana jednabinama u parametarskom obliku r : p(t) iy : Q(t) i neka u uodenoj tadki t funkcije g(t) i /(t) imaju prve i druge izvode, pri 6emu je 9'ft) 10, Neka
tadaje
t!: rdst: ,4r:- lrullt : - d"rar' w - d*\8.1 Ar4'd" d
d
- "'$yl (dt)t
dit"'r
s$j.e
je
{i: #, O*: #,
u(t)- Na slidan nadin
se mogu
a dn,
&r,
d,y
i &y
dzydr
- dyd2r
6*t su prvi
)
i drugr diferencijali tunkcije r(t),
dobiti izvodi tre6eg, detvrtog i vi5eg reda.
lsh
r/! vr -3 dr w
173
it,c.
'
Ako funkcije
u(r) i u(r) u taiki r imaju sve izvode @. uy@):
do n-tog zakljucno, tada je
iffi\o( f\,r"-k)u&). /
Ova formula naziva se Lajbnicovom formulom
(G W. Leibniz).
Ako su komponente vektor-funkcije
f (x)
:
(h@), fz(r),. . ., fn@))
n-puta diferencijabilne u tadki c, onda vaZi:
: (fl") @), f[") @),. .. , ff) @)), * f (r) : (tr f1@), * fz(x),. ., * fn@D.
y@1e
.
Analogno, za kompleksnu funkciju
/(r)
i matridnu funkciju A(x)
uot,r(") no,r,(") " '
:( \
r'o n(d ffotz(")
65. Odrediti f" (*) funkcije:
u-13-12+1, b) y-(*'+1)3, c) y #,r* -8, ,c) y- Cffi,tr a)
e)
y-ln\m,r
Rje5enje:
a) Kako j" { b) 'at - 6r(12 + c) d
2r, to j" u" - (3*2 - Z*)' - 6tr - z, 1.)2, d' :6(5ra + 612 + 1), 3r2
-
-6fu,u"- (r#'
d)
yt-#r,{':-ffi,
e) yt -#,y":-&
o
174
vane formule:
dnoL.lr,',
\.
... troin@ )
66. Dokazati da, za svaki prirodan broj n, vaii:
:
> 0, b) @\(n) : m(m- 1). .. (m - n * l)rm-,, rn € IR, c) (ln(r))(Q - ?D'-lJn-t')t , a) (at)(tz)
an lnn a, a
: e) (cos r)(") : d) (sinr)(")
sin(r + ry), cos(r
+ ry).
Dokaz:
a) za
u
:
ar je {
:
arlna,,
Pretpostavimo da ie y@) nakost tabna za svako n € N.
yl -- a"(Ino)2, uI' : a*(lna)3, . ..
:
ar(kta)n. Dokazaiemo indukcijom da je posljednja jed-
Zan : 1, jednakost je tadna. Pretpostavimo indukcije). Tada je
da jednakost
vaiizan
:
k (pretpostavka
,(k+r) :1y&)1r: (o'(lna)k)': a'(ln a)k+r dime je pokazano da jednakost ,ruZi i za
n:
k+
1.
Na osnovu principa matematiike indukcije, zakljudujemo da je y@) : at(Ina)n za svako n € N[. Slidno se dokazuju tvrdnje 67
.
b)-.)
o
Odrediti n-ti izvod funkcije f (r) ) n
a)y-\G b)y-W, c)y-\trm,
d)
y-
1
1/1,-2r'
e)
u-
Rje5enje:
: rL, y, : l*-*, l, : *. t-bl"-t, {', :
et). et)*-l, a@) : +. eil. (-g). (-i) . *-1, ..., a@):,-H-' . 1 . s. b. ... . (2n - 3)r-T : cpt2n- J)u$, b) s@): (-?;-' .2.s. 8. ... . (3rz - r)x-W: ep13rz - 4)!!! .#, a) a
#e"-
Lr.
+ze-T
;gn-tpn-J)uffi, d)y:(t_zfl_t,a@)-#Q"_1)!!(1_2fl_W.e2)":ffi, (-L)n-r(2n+r)tt , u@) a:1r e - e-W : %Pn F*r* ") "1-B ")
u: g+zx1i, a@) -
B)!!(1
175
.2n --
Napomena. Proizvod neparnih brojeva od 1 do 2n | oznadava se sa (2n, 1)!! (tzv. dvostruki faktorijel), a proizvod svih parnih brojeva od 2 do 2n oznadava se sa (2n)!!. (3n - 2)lll, 2' 5' 8' . . .' (3n 1) (3rz 1)!!! Slidno, proizvodi: L. 4. 7. 10 . . . .' (3n - 2) i 3 . 6 . 9 . .. .. 3n (3n)!!! se naaivaju trostrukim faktorijelima r
-
:
:
-
68. Odrediti n-ti izvod funkcije A -- f (r)., n) a)
-
b) y_ln(l
a-ln(l -r),
*r),
c)
:
-
2:
y-ht#,
d)
L*r L-r t e) A -
a-ln
rlnr.
Rje5enje:
a) y' :
b) c)
*.(-
L), u"
(-1)n: (-112n-L'ffi _ (-r)'-1(n-r)t ,(n) (r+r)n v- ln(l-z) -ln(l *x), y : y{r) -yz(r), gdje je s{r): v': /, - yL, ..., u@) : ufn) - nf), r(n) : -@ -ryr ,
ln(l +r), y2(r): +
ln(l*r),
lffi 6$],
d) ln
L+n
l-r
es/-):ffi. t
tlnl-2
69. Odrediti n-ti izvod funkcije y: f (r); n) a) a: sinor, b) g: cosou, u: e"(r ")
g : e2'
sin2
f) u :
r,
2:
cosr), d) g:
*
") zrcos2(fi), g) y: sin4r + cos4r, h) g : sin3r. cos2r,
Rje5enje: a) y :sinor, y' : ocoso;p, u" : -o2sinoc, a"' : -a3 wsar, a(4) :a4sin an, y(5) : a5 cos ar,A(6) : -a6 sinor, .. .. Zan:Zle ,r(n) : FL)ko'k sinar : o2k sin(axlkr), aza n: 2k*l, r(n) : (tlkozx+l cos ar - o2k+L sin(ax*letr*$), pa je n@) : an sin(ar*n$),
b)
y(tz)
:
a? os(ar + n$),
c) Kako j" { : -cosr * sinc), VG) : en(l +4cosr), g(8) : e'(I - l6cosr), ""(L : u$2) et(L + 64cosr), . . ., to se moZe zakljuditi da je g$k) : erlL + (-t;r-t 22k cosrl, & e N, odakle je: ,(4k+t1
_ e"lL+ (-1)e-t2kcos r + (-11k2zk sinr] , k € N,
,(+k+21
:en[l +(-1)kzk+1 sinr], keN
,(4k+t7
:
enlr + (-1)k22k*1 sin r 176
*
i
(-11k2zk+1 cosr]
,
k € N.
d) Primjenom Lajbnicove formule, uzimaju6i da je u,: 12, u : cos 2r dobi6e se y@) z" (*, - t@J)cos(2r + ry) 2nnrsin(2r + ry).
:
i
rezultata b),
*
Q y(n) :2n-r11
-
:
ry),
ff)) .e2", q u(") : (?)"-L(nsin(f + ry) + trcos(f + ry\, g) Datu funkciju moZemo napisati u obliku y : i * cos 4r, pa je ] O(o)
4n-L cos(4r +
zZ cos(2r +
h) Datu funkciju moZemo napisati u obliku y : Zsin r ,(n): f sin(r +ry) - tzsin(3r +T). o
70. Odrediti
/]: #, ako je: ra:
a) 12 +u2 -_ 25, b) a*+W c, c) 12 e) b2r2 +o2y2:a2&, f) en+u:na, d,/i+
i) arctg
- f sin 3r, pa je
A: y - r, j) lnrg - r.
xU-g2:0, d) y2 -JyI2ax:0, \/y: {a, h) U:cos(r*g),
Rje5enje:
: -ffi
a) Kako i" /, _ _r2+;t, : v"
b ie /,
_4.
: -fr, adJ : ({,), : }t# : -4
: -# : W- 1 - #, * : #,
s)
{,
j)
{":&*,{l:wP
71. Odrediti {J i
{!
h){l
r
:F-#-DI', i) il :ry,
o
akoje tunkcija y : f (r) parametarski zadata:
: a(t- sint),
: 2t - *, " #, ") n: a(l -cosf), u: gt - f , "' ,: #, ,,, r: tgt * ctgt, ": f,k' - "-r), o' ") , : i, * ,. , :2ln(ctg t), '' ^\ u'
b) u' "
177
:
Rjeienje: a) t* a't' tL : a't' t, *',
: @D't' tL : (t'*tz);' h : : -;Gc*lrp , y'J' : @!)'t.rL: (;F*il; 4t+" : ;ffily, b) ai: a6$, il'-- r6fu,, c) y!J: *(#)',y'! : !#4f d) ,i: -4#!*,/r: -#fr,{*: ts2t, a'l : -#*, u'l' : ud#H2, . , a'J' : aL : y*, a'J : :
: a(1- cos t), yL: ffi,
u'l
,
-ffif
")
72. Odrediti
A'J' za funkcij
uy
-
ffi
f (*) parametarski zadatu:
. r Q,cosf, b) r a) y --:':':' - bsint, y -
e-t cost' \ tr-e-ot, c) e-t sint, u-eat .
a'l':ffi,
a'{:
Rezultat: a)
b)
+ezt
(z sint-co?t) t
c) a'l'
-
6"4at
o
73. Odrediti dJ ako je a) y
- (r *'i)t'*,
c) y
- f("),r:5t+f
( tgr thr \ \rhr2 chr2 )'
b) y ,A
RjeSenje:
: eit + i(r + i)ei" : iei'n, /' : *), "i"(i ") /, sinr , ( 1. # \.o,,:/ b) u' : ( o (,*", g;r
ri*,
") v,t:
zr-iir2 ),
-shc
rhr, "a*z ffi **, )
ilfu, ("-":l;ru -"rr!;:*, 'tJ:':r:,*,) .
74. Koriste6i jednakost I 12
+1
2i
178
\
'',
dokazati da je
( 1 \(r,): G:onnl . ,, l)arcctgr) o (, -/ @r;#sin((rz* 75. Ako su u : u(r) i u : u(n) n-puta diferencijabilne vektor-funkcije, tada je (u(r), u(g1@) Dokazati
:i
(
?\
\-/
;
urn, 1r1, u@-k) g11.
o
76. Dolazati da formula Lajbnica vaii za proizvod matridnih funkcija A(r) i B(r), tj. (A(x) B(r) ;(n) ako funkcije
:-
A(r) i B(r) imaju sve izvode
77. Odredit f{n)1x1, f @) : (u(*),u(r\)
, u(r): a) u(x) :
do n-tog zakljudno o
ako je:
sin2r,...,sinnr) r \ u(x): (cosr, cos2r,...,cosrur) (e*,e2'-,. .. ,en') ' D) u(x) : (*,*',. . . ,xn) (sinr,
78. Odrediti n-ti izvod funkcije f (r) a)
( T,) aro 61n@-k) 1r1,
:
A(x)B(.r) ako je:
A(r): (_".13;" :ffffi), u,", : (_':#;" :h;;), / ' r:2 \
b) A(r)
*'9!"' Gfrl' - (*"* r rn \ "4* *'*)'B@):(T ' \t"" lni*/
79. Pokaaati da vektor-funkcija x(t)
:" (i)', .', (,".i|:i,",) . * (,,i;lii.,,),
C,;
-
const., zadovoljava jednadinu
# /-t
2\
21. A-l-z -2 -1 sl \-s -2 80.
Pokazati da vektor-funkcija
r(t):s,fl),' *c,(l),-' +c,( I )," *"n( ? )," \-1l \1/ \-1l ':r) ." ()'1. "-". * (-?, ) '-"
zadovoljava jednadinu
##
:
Ar,
gdje je
;'
o:(!+
3) \-1 -1 =l)
6.9.
o
Osnovne teoreme diferencijalnog raeuna
6.9.1. Rolova, LagranZova i KoSijeva teorema Teorema. (M. Rolle). Ako je funkcija /(r) neprekidna na intervalt [o,b], diferencijabilna na intervalu (a,b) i f (a): /(b). onda (3c € (4, b))
f'(")
Teorema. (J. L. Lagrange) Ako je funkcija diferencijabilna. na intervalu (o, b), onda
:
o.
/(r)
neprekidna na intervalu [o, b] i
(3c€ (o,b)) f (b) - f (o): f'(c)(b- a). Teorema. (A. Cauchy) Ako su funkcije f (") i g(r) neprekidne na intervalu [o,b] i diferencijabilne na intervalu (a,b) i (Vr € (a,b)) S'@) # 0, onda
(3c€1o,a))4}{{:f',\"!. "" g(b) g(") -
180
s'k)'
81. Ispitati da li data funkcija ispunjava
uslove Rolove teoreme na zadatom intervalu. Ako ispunjava, odrediti odgovaraju6u vrijednost za c:
a) f @) b) /(r)
- 1- W,1-r,t1, :n2 - 6r*
10, [1,51,
: V@ - gP, [0,16], d) /(r) : sin ,1, [-E,T), c) f (r)
I
(r): ln(sin *),lT,+1.
e) f Rje3enje:
a) Data funkcija je neprekidna na ditavoj brojevnoj pravoj, pa je neprekidna i na intervalu [-1,1]. Na krajevima intervala je /(*1) : /(1) : 0. Ipak, izvod yt : -& u tadki
r :0
ne postoji.
Kako je tadka
r:
0 unutra5nja taika intervla [-1,1], to funkcija jabilna u intervalu (-1,1), pa ne ispunjava uslove Rolove teoreme,
/(r)
nije diferenci-
b) Data funkcija je neprekidna na intervalu [1,5] i diferencijabilna na (1,5). Tbkode je /(t) /(5) : 5, p&, prema Rolovoj teoremi, (3c € (1, 5)) f'(") : 2c- 6: 0, odakle je -
c:
3.
c) Data funkcija je neprekidna na intervalu [0, 16] i /(0) : /(16) : 4, ali nije diferencijabilna na intervalu (0,16) ier iz ,' : shjedi da funkcija nije diferencijabilna u ffi taiki r: 8, p& ne ispunjava uslove Rolove'teoreme.
r
d) Funkcija nije diferencijabilna u taiki r: 0. e) Funkcija je neprekidna na intervalu t6, Tl i /(6_) /(+) = 3. pa je funlicija diferencijabilna na intervalu (6,ff; i tafta
:
:
t, a u, :
c:
E
.
ffi :0 za
82. Ispitati da li data funkcija ispunjava uslove
Rolove teoreme na datom intervalu. Ako ispunjava, odrediti odgovaraju6u wijednost za c:
a)
/(r) : iE;-A, [0,8],
b)
/(r) :4fio*, [0,r],
Rezultat: a) F\rnkcija zadovoljava uslove Rnlove teoreme i b) F\rnkcija zadovoljava uslove Rolove teoreme i c) F\rnkcija zadovoljava uslove Rolove teoreme i
83.
Pokazati da jednadina 13 + 3r
- 6-
c: c: c:
c)
/(r) :14 -2r2,[o,1fz].
4,
$, Lo
0 ima sarno jedan realan korijen. 181
Rje5enje: Polinom P(r) : 13 +3r-6 ima bar jednu realnu nulu, jer se radi o polinomu neparnog stepena. Ako bi polinom P(r) ima,o vi5e od jedne realne nule, na primjer, a i b i a 1b, onda kao funkcija A : P(r), kao polinom, zadovoljava sve uslove Rolove teoreme na intervalu [a,.b], jer po na5oj pretpostavci je P(o) : P(b) :0, p& (3c € (o,b)) pt(c) -- 0. Medutim P'(r) : 3r2 + 3 > 0, p&, ipak, posmatrana jednadina ,r" -oz" imati vise od jednog realnog korijena o da funkcija f (r) : rn + pr * g ne moZe imati vi5e od dva realna korijena ukoliko je n, paran broj i vi5e od tri za nepaxno n o
84. Dokazati
85. U intervalima (-1, 1) i (1,2) odrediti tadke u kojima je tangenta povuiena na krivu f (n) : (*, - 1)(r - 2) paralelna s u-osom. Rezultat: ix1
_
2-tfr
2+\n
,frz
86. Ispitati da li data funkcija ispunjava
uslove LagranZove teoreme na zadatom intervalu. Ukoliko zadovoljava, odrediti vrijednost za c:
a) /(r) d) /(r)
:2r - x2, [1,3f, b) /(r) : : arctgr, [0,1].
en
- r, lr,2], c) /(r) :
lr2
-
11,
[0,2],
RjeSenje: a) Data funkcija neprekidna je na intervalu [1,3] i diferencijabilna na intervalu (1,3), pa prema LagranZovoj teoremi (3c € (1,3)) (-1) Q 2c)(3 1), odakle je
:
-
c:2,
-
b) Funkcija je neprekidna na intervalu [1,2] i diferencijabilna na intervalu (1.2), pa prema LagranZovoj teoremi (3c € (1, 2)) e2 - e - 1 - ("' - I)(2 - 1). odakle je c :
In(e-1)+1,
c) F\rnkcija
/(r) nije diferencijabilna
za
x:
L,
d) Funkcija je neprekidna na intervalu [0,1] i diferencijabilna na intervalu (0, 1), pa prema LagranZovoj teoremi (3c € (0, 1)) on : -|. fu(l - 0), odakle je c:
{g"
87. Ispitati da li data funkcija
ispunjava uslove LagranZove teoreme na zadatom intervalu. Ukoliko zadovoljava, odrediti vrijednost za c:
a)
/(r) - r -
x3,
Rezultat: a) c: -1, b) c:
e
1-2,11, b)
- T,
/(r) : lnr,
c) Funkcija
/(r) 182
[1,
e],
c)
/(r) -- +/A, [-1, 1].
nije diferencijabilna za
o:
0
o
88. Odrediti koordinate tadke u kojoj je tangenta krive y gdje je:
a) f (r): 13 * r, A(t,2), B(2,10), b) c) /(r) :\ntr, A(e,1), B(e2,2).
/(r) - 4-
: f (r) paralelna tetivi ,4,8,
12, A1-2,0), B(1,3),
Rje5enje:
a) Koeficijent pravca tangente u traZenoj tacki date krive jednak je koeficijentu prave koja sadrZi tetivu AB,tako da apscisu ctraiene tacke moZemo odrediti iz uslova : f'(c), tj. Jc2* r : 8, odakle je c : rf, ut : -1fr. Kako se radi o tetivi sa W "
rr : I i 12 : 2, to je tra.zena apscisa (1,2), pa koordinate tra^zene ": 1f, € tadke'" (/1, *lil, b) (-*,f,o), (e2 - e,tn(e2 - e)) . apscisama
")
89. Primjenom
LagranZove teoreme dokaaati da je:
* arccos ,: T za r € [-1, 1], b) 2 arctg r * arcsin ;+I : 7r za n € [1, +oo) , a) arcsinr
c) lsina
-
sinbl < la - bl,
q+.h#.+zal
a)
arcsinr*arccosr. Tadazar € (-1,l)je //(r) : #-fu=rz:0, 5to znadi da je funkcija /(r) konstantna (/(r) - C) na intervalu (-1,1). Kako je /(0) : $, to je c : Tz,a takode je /(-t) : /(1) : g. Dakle, f (r) : $ zar e [-1. 11. Neka je
f
(r):
b) Slidno se dokazuje kao a), c) Neka je /(r) : sinor pa (3c e (a,b)) sinb- sino: cosc(b- o), pa prema tome
:
- ol S lb - al, jer lcosrl ( 1, =In*, e) Sli6no, uzimaju6i /(r)
lsinb lcoscl . lb Sli6no, uzimaju6i f (n)
sinal
d) 90. Ispitati
i:
: tgr o
da li date funkcije f (r) i S@) zadovoljavaju uslove Ko5ijeve teoreme na datom intervalu. Ukoliko zadovoljavaju, odrediti wijednost c:
: tr2 - 2x * 3, g(r) : x3 - 7x2 l- 20x- 5, [1, 4], b) /(r) * n3, g(x): arctgr, [0,1], c) f (r) : en-r, g(r) : x, lr,2l, d)/(r) : In(a2 + 1), 9(r) -- 13 a) f (x)
183
2r, l0,ll.
Rje5enje:
a) F\rnkcije f (x) i g(r) su neprekidne i diferencijabilne na datom intervalu, a osim toga je S'@) * 0 na intervalu [1, 4], pa prema Ko5ijevoj teoremi imamo:
i{3# : ffi,odnosno
(3c € (1,4))
(3c€(1,4))
(1)
:
I
2c-2 3c2 L4c + 2a
(X
Rje5enja jednadine (1) su cL 2 i c2 < c < 4, traiena tadka je c -- cr 2.
:
:4.
Kako tabka c mora zadovoljiti nejednakost
b) Funkcij" f (r) i g(r) zadovoljavaju uslove Ko5ijeve teoreme, pa (3c €
: ffi,odnosno (3c € (0,1)) (f,: z&(c, * r)), odakte je
(0,l))#+J:#*i
€ c)
c:
1
+ ln(e -
1),
d)
(0, 1). Fr\rnkcij u S@) ne zadovoljava uslove
jer je
S't1ft1:
0
o
91. Ispitati da li funkcije f (r) i g(r)
zadovoljavaju uslove Ko5ijeve teoreme na datom intervalu. Ukoliko zadovoljavaju, odrediti vrijednost za c:
f(x) : e2t, g(*) : | * en, la,bl, b) f (r) - ,t, g(r) : 12 + l, [0, 2], c) /(r): sin0r g@): costr, [0, $], d) /(r) : sinff, g@) : r t cos r,, [0,$1. a)
Rezultat: a) eb -aa:2e',
b)c: $, c)c:[,
d)2(1
-sinc)
:(n -2)cosco
6.9.2. Lopitalora teorema Tborema. (G. F. A. l'Hospital) Neka su funkcije
/(r) i 9(r). definisane i diferencija-
bilne u okolini tadke o, osim, moZda, u samoj tadki o i neka je:
Jg
f@)
- j'jLg@) -o ui Jg; f@) =;gg(r) g'(n)+0 za r#a. 184
Tada, ako postoji granidna wijednost
i granidna vrijednost
pri
)n[8
demu
lrg"ffi (konaina ili beskonadna), onda postoji
je
mffi:JslH Teorema vaii
92. Odrediti
i u slubaju da r --
a
-
A
* 0.
r - sinr c)jgl T-'
d)jg+,.)l'gbffi,
,f,/
r)
lim
Tr
-
2 arctgr
0->+oo ei3
1
, h) lim T : t"arctgr
J'*
"*+b"
Rje5enje:
a)
---+a
granidne wijednosti:
a)j'*ry, b)j'*#, s)
ix
*
#,
j':ary-j,jb#-#jbry
b) lior 1=t ' t;l Inr
hm @^- !),' - "*i (ltt r)' - ;l5i n
r-sinr c) lim -/;;-o 1
w (1
T
r. sinr I
=llm 6 t;-o
d)' litl r+0
r
+-fi
6' hm
@r;r')'-1,
cjO
(r),
(11 li*^ "=1"'"*,)=' 1i=_ r+o r - sin r t-0 (r sin r),
e)' liol
7r
- 2arctgr eil
_\ r:_ 2 -
s)
jgb
(e*
-
2
3'
* e-n) cos fr
1
-5' -G7 1
L
2
r+I. i4 Glau 2
185
r--+*oo
f2 +
1
-cosr)'
r. sinr
93.
Pokazati da je:
13-Jr2+z
a)' lim
13-4r2+B
lim
rn(l + #)
r+l
c) u
-'+oo Tr
e)' lim
-
2 arctg
b)' lim
r)
r->0
c
1 cosr
T
rr+t(kr r
r
1
*
-r
1)
1-r
r+I
(1*r)n-1
r->0
94. Odrediti granidne vrijednosti:
lim a) lim *. ,-' =, b) -/ "/ c^-*?b t;+bo 13u'!t tr3' + 4r * 1' t1(" - q .' tim *, ,c) c) -/ tim njlm en'
i-;A\n(en
-
e")
Rje5enje:
lim -2r3 .- 2 a) ' r+**tr3 -4r*
1
lim r+*oo
e* r+*@ Br2
c) lim t ' s-+f@ er
ntrn-r r+*oo er
95. Odrediti
-
(*'*
- 2)'
4r + 1)'
("")'
lim ttro b) ' fr+*oo
d)limg --/ rJa ln(eu
(z*3
-
05Too {B*2),
n(n
-
r->*oo
L)an-2
nl 0--+oo
efr
ert
eo)
granidne vrijednosti:
j'*(# fi1, b) jgb(. tsr - )1, c) ;,g;t* Rje5enje: a)
d) linr(-l*1, en L,, "/ ;;bt srn r
ly
r
U navedenim primjerima, izraai su neodredenog oblika oo oo, koje iemo transformisati u neodredenosti oblika I ih *, a zatim, primjenom Lopitalove teoreme, odrediti traZene granidne vrijednosti.
.;H(#
a)
fir
r-1-Inr r+L (r - 1) lnr r-1 lim - r+L rln r * r -
1--Lt
r+L
lnr* (rI
1
186
2'
1)
1
fr
b)
liq(cts r r--+o\ v
tr+o'tr
r: efr
er
rsinr
r+0
cosr-trslnr-cosr lim r+0 sinr*rcosr
11
c)' li-^(^
trcosr-stnr
(e31 1) f'
lim r+A Slnf
-1) r'
1
e*
r.
-r
r-'b r(e* 1) ;;b
1
er
I
er
- 1 * rer i;b
en
(i a r)
s-lrns: lim - 1-cosr : [m sin r lim(-l- -)- 1;: t;b d)'r--+O'sinn 1r' rsinr z_ibsinx*rcosx r+0 2cos r - rsinr
96. Odrediti
0o
granidne vrijednosti:
a) lim ,2--/ r*+oo
"L-t
)
b)
o*
"Ip*(
Rje5enje:
- \*
(o >
0),
Dati izra"zi su neodredenosti oblika 0 . m,
")
j'51(r
sve56emo
r2"r-r:"1$
- dwT,
ih na oblik
Lopitalovu teoremu.
u)
2'
rtnr.
d)
"gB*
$, pa primjeniti
h:,[g#:0,
#:,rg5 ".Ip* r.aEl b)xr--++oo liry @* L)r - lim r u+*OO 1
t
c)' c-+1 lim(lt - r)WT 2
(1 t+l
r\ o, nm rlnr- lim ry ' t-+0* r-+0* I
- r)sin#
cosff
c-+0*
1
lim tr-0o
_+
r->0*
T'
. Odrediti granidne vrijednosti: linr (1 - arctgfl*, al.f-*]C' -' lirr, n*, \-, -' t b) 2 f-0+ d),gB*(1"
7r
l_
r.
gT
?
'
dzcos,', ;Y, e) j:t(ts 2
c) liq(sin r)*, fi->v
f) j5(t
*r2)#
Rje5enje:
Dati izrazi su neodredenosti oblika 00, 60 i lm. Pogodnim transformacijama transformi5emo ih u neodredenosti oblika iti I *. Naime, pri odredivanju granidne wijednosti
jg;(/("Ds@), f@) koristimo se jednakoSiu lf (")10@) 187
lim (+ arctgd* a) v ' ' t,+oe''2 A
-
Iim 11rr,(1
-
,f r->@
arctsr))
rr,1
$-arcts
- Ji-
ln($
r)
-
,"t9*f
-
* mt $ -arcte r))
lim r*
c)' liq(sin r)* r->0
eo
:1
J
1,
z-+0*
r--+0*
"A
vt-w r. t-arctgr tr+@ 1
arctgr)
: b)
-
1
fr->O
1)' ,C) lim (tn ' xt-*0+ ' fr'
..
. -1*) 2lntgr
e) Kako je (tS frlzcosr ,*2
:
e2cosrlntgr
"
l%" -2lim =g-2lim r tsr n*# tgo t ":E sec
li*- (ts d2
cos
n-i
n : eo :
;gb(t *
98. Odrediti
-effii
2lim ,-E
sec ,t
ffi
tg
r
1,
\' ''i'*oefi-r-l ^#tn(t+r2) i hm ln(l + 12) ee*-n-L
f) Kako je (1+ r\r#to je
-T-
r\ F-"r-t -
,2 o
granidne vrijednosti:
188
r-+oefi-1
.
,2tnx
"i)
-,
,IT-ffir,
r) rim (te(sinz)\ 'i;i'o
o)
Rezultat: f;)
"li6nC#",*r,p)
# o\ ( s/ ri-
\'t"Gd/ '
")
(+)+
"ll3+
m0 + r)
\tu;Fl/
(hr)rrn'
"IT*W, \;;;'
#,b) 0, c)2, d) 0, e) er, f) a-b, s) *, h) 1, i) 1, j) rr, \
rt, ^) e-?, r) e-*, nj) 0, o) 1, p) 0, r) 1, ,; ,-{.
e?, l) i,
6.9.3. Tejlorova i Maklorenova formula Tejlorova (8. Thylor) formula na intervalu je f , (a,b) -+ R i neka 3/(n+t1 na (a,b). Tada Yr,rs e (a,b)AVp > dava,ii formula: Neka
0lO
takvo
f(x):7@o)-+f,@o)-g#f,,(*o\+...+#,(,)(ro) - co)"+l y@+D(xo+ O(r _ ,' (1 - o)"1+_1_(r (")tp
"o)),
(0 <
o<
1).
U specijalnom sludaju, kada je o0 : 0, imamo Maklorenovu formulu (C. Maclaurin):
f(r):/(0)+frr,rol+fir,'{o)+...+frtoltol*ffiF7@+t)1@x), (o
Rn+t(r)-
(1
p:
(n + 1), ili, za p
-
L
- or)n9 - no)z+t;(n+r)(ro * or(s ro)), (0 < 01 < 1) -
ostatkom u KoSijevom obliku.
189
Lokalna Tejlorova formula ili Tejlorova formula sa ostatkom u Peanovom obliku Ako je funkcija tada vaZi formula:
f
/
definisana u nekoj okolini tadke
re i ima konadan izvod 1@)@fi,
(r): f(ro)+ f'(r-"0) +...+'r \d@--to) +o((*-ro)n),,tr-+r0. nl.
Ako je
r - 0:
0, tada imamo lokalnu Maklorenovu formulu.
Tejlorova formula za vektor-funkcije Neka vektor-funkcija f , (a,b) - Ek ima izvod (n, * 1)-og reda na (o,b), Tada Yr,rs e (a,b) nYpj > 0l@i, j : I,2,... ,k, takvi da vaZi formula
za
n
r(;r r-- t llflz :I (r) f @ - *o)i + R^+r(r),
i:0
gdje je:
/(u):(/r(r),fz(x),...,fn@)),Ra+t(r):(RL+Jx),R?n+t@),,...,Rh'*,(d)W, ' Rt^*r(*) : "(n*1)' - @)"-ni*l, 0 < oj < 1. Za vektor-funkciju takode wQ
vrijedi lokalna Tejlorova formula.
: i @ndk f&)(rs) naziva se Tejlorovim polinomom funkcije /(r) u k:0 okolini tadke re. Specijalno, zarg : 0 polinom P"(u) naziva se Maklorenovim polinomom. Polinom Pn@)
99. Koriste6i Tejlorovu formulu razloditi polinom a) Pa@) :3r4
:
- 9r * 1 po stepenima binoma (x - 2\, b) P3(r) : -2r3 * 5r2 * 3u * 1 po stepenima binoma (r * 1), c) Ps(r) :15 -2na +13 -x2 *2r- l postepenimabinoma ("Rje5enje: a) Kako je
4r3
: : Pt(") P" (*) :
- 4r3 - 9r * 1 i PaQ) - -1, i Pt(z)- 39, t2r3 - l2r2 -9 I Ptt (2): 96, 36x2 - 24x :72r i Pttt (2) - r2o, P"'(*) - 24 p(t)@) -_72 i P(4)(2) - 72,
Pa,@)
3r4
190
1).
to Tejlorova fomula glasi:
p(r)
:
p(z) +
- q +'SW -
ffA
D2
*
#A - D' *'+6
- 2)n
- -1 * frt" - 2) +ffa - z)2 +fft, - 2)' *Ta - z)n - -l + 39(r - 2) + 48(r - z)' + z}(n - z)t + B(r - 2)a, b) P(r) - 5 - t3(r+ 1) + (r+ 1)2 - 2@+ 1)3, c)
P(r): 3(r -
1)3
+ 3(r
-
1)4
* (r -
1)5 o
100. Odrediti polinom tre6eg stepena tako
da je
P(-1):P'(-1) :P"(-l):P"'(-1):6.
RjeSenje: Prema Tejlorovoj formuli to 6e biti polinom
;i#;il | l,',',1 ffi :::: :.ff :,,: j " 101. Odrediti tri 6lana razlaganja funkcije f (r) binoma (" - 1).
: t/i
po cijelim pozitivnim stepenima
Rje5enje: Na osnovu Tejlorove formule sa Peanovim ostatkom imamo:
f (*)
:/(1) + f'(t)(r-
I
.f(1): 1, f,(*): Paje
t) + /'1jD
(' -
t)2 +
o((r-
1)2), n - r,
+., f,(r):t, f,,(r): -#*, 1
l
f"(r): -I,
l@):t+ ,t"- 1)- gf"- \2 +o((r- 1)2), r---+Lo 102. F\rnkciiu /(r) : ffi, c e (-oo, *oo), razladiti piema Tejlorovoj formuli sa La. granZovim ostatkom. Razlaganje uraditi u okolini tadke ro : 1 i odrediti prva tri 6lana razlaganja.
191
Rje3enje: TlaZeno razlaganje ima oblik:
f(r) :/(1) Kako je
+ f'
(r)(r-
/(r) 4 r, f | (r):
f(r)
1)
+
ffA - \r- fE-,4@ (, - r)r, 0 < o <
-t, f,,(r): -], ro je
:t - *t" - 1) - |r" - t)2 + flq.,-'p@(r - 1)3 :
r:0
/(r) etsinr u okolini tabke pena, pa ocijeniti gre5ku koja se dini za r
103. F\mkciju
1.
e
[0,
o
aproksimirati polinomom tre6eg ste-
fi].
Rje3enje:
-
Maklorenov polinom tre6eg stepena glasi:
f (x):/(0) + !'(o)*
tu(r) Kako je:
* l"$) *z * f"'-Q) ,z + R4,(n),
: ?]f@){o*), o < o <
: f'(') : f" (') : f"'(*) : f (t)
e*
1.
sinr'
r en cosfi, 2er cos r' 2er cos r - 2et sinr., en sinl,"
7@@): -4etsinr i
/(0):0, /'(0): 1, f"(0):2, f"'(0):2,
/(4)(or)
:
-4eo' sinor,
to je
e*sinr:n**,
**+
R+(r), Ra@):fi{-n""rsinor), 0 < o < t.
Dakle, u intervalu t0,+l uzimamo da je et pri tome dini odredi6emo na slededi nadin:
sinr N r *
n4n-.
1
"' + 4. e
l&(")l : ?"t"lsinOrl < ffiarr L92
sin
Procjenu gre5ke koja
O r,
se
jer je gre5ka najve6a na kraju posmatranog intervala, za osobinu broja O,
,S.
elro
i
sio n to to je
lzt(r)l
r : #.
<2
I
1
'srnm'
10'
.6.;r"Sri,'$. #e#si,,+.
Dakle, ako uzmemo da
I
je etsinr x
r*r'+4
Kako je, s obzirom na
"h: "h
zar € t0,,o1], dinimo gresku manju
od
B{05'
Napomenimo da ie broi tadan na k decimala ako je gre5ka manja od Kako je tfnr, to pomo6u dobijenog polinoma wijednosti date funkci;e u inteivatu [0, roa] moZemo izradunati na pet tadnih decimala. Tako je, na primjer,
#.
I# .
.1 : enr 1 I 1 sin, = to + roo + gooo :0,11033 1
/(m) na pet decimala tadno o
104. Aproksimirati funkciju f (r) : r2ln2r u okolini tadke detwtog stepena i procijeniti gre5ku za r € [0,9; 1, 1].
ro: I Tejlorovim polinomom
Rezultat:
x2tn2x:(r-\2 +(r- 1)3- #@- t)n+ Rt(r),lfts(r)l ( 10-4, r€ [0,9;1,1] o 105. Funkciju f (r) : t/I + r u okolini tadke no: -! aproksimirati Tejlorovim polinomom drugog stepena, pa ocijeniti gre5ku koja se dim zar e [-t, -f]. Rje5enje: Tejlorov polinom drugog stepena u okolini tadke ro : + 1) + + D2* r?3(r), /(r) /(-1) +
:
#("
#t"
: f(x):(2+$* i /(-1):1, f'(r):l1z+"1-* i l(t1 :|,
fts(r)
t"ti)t/rtt(-r+ o(r+ 1)), 0 < o < 1. Kako je
f"(r)
: *LQ + g-B i
f,,(-L)
:
-La, 193
-1
glasi:
fttt
(")
Za procjenu gre5ke imamo:
ie J-
lfig(")l -
l"t 5 (*+r)]2 l
16[1+o
64 - : 'iezag ffi,-.T naJVeC
16(1+?) z
,
Prema tome, uzmemo Ii da je \tr+r = i napravi6emo gre5ku koja je manja od fi .
106. a) Aproksimirati funkciju
1* i@ + t) - *(" + t)'
za
x€
[-t,-*],
/(") : \E+ r
Tejlorovim polinomom drugog stepena u okolini tadke ixo - 0 i procijeniti gre5ki za n € [0, 1] , b) Koristedi dobijeni Tejlorov polinom, odrediti pribliilno
Rezultat: a) t/iTT:
t
Rs(r), lfts(r)l < 0,063, r e [0, 1], 1,19858 + 0,0054, rtt,gZS + 0,063. 1,09948?5 b) 0,00058, Brojevi 0,00058, 0,0054, 0,063 su gornje granice apsolutnih gre5aka o
\FT:
1
* *" - t"'
t
'6 4:
10?. a) Aproksimirati funkciju /(r) : W Tejlorovim polinomom n-tog stepena u okolini tadke r;o: 4 i procijeniti gre5ku za r € [3,5;4,5], b) Odrediti najmanji stepen Tejlorova polinoma za koji je gre5ka aproksimacije na datom intervalu manja od 10-8, c) Izradunati f/fi s tadno56u na
Rezultat: a)
W- Wlr++# LI
lTn+t(") | -
&
l/(n+t) (ggJ -(r-e)'al
.
tri
decirnale ako je poznato da
lr
,
-
L,58740.
(r-4\nl (.tr)"1 + R'"+l(r),
r-4\2 \T'l T (
je lf4 --
r
4ln+L
€ [3,5)4,57,
b) Dovoljno je nadi Sto manje n tako da
c)
ffi-
1,5467*0,0005o
108. Aproksimirati date funkcije Maklorenovim polinomom treieg stepena i procijeniti ostatak u naznadenom intervalu:
- ln{ffi,, € (0,6), - tg r,lrl S #.
a) f (")- (2*2 * 3r) e-n, l"l c) f(") 194
Rezultat: a) (2r2 b)
*Jr)e-r : Jr - *, - *nt * Ra(r),lft+(r)l (
Ini*#* ::x-
#Herra,
6"u+
(0
10-5,
l"l S #,
< o < r),lR+(r)l < 0,000e za tr € (0,f),
ai: 1 * 12 + |x3 * Ra(r), l&+(r)l < 0,005 za r e [0,]1, d)tg(r) :r**+nn(*), lfta(r)l <3'10-3 zalrlS#. c) 1 + x2tfi
109. Odrediti Maklorenovim polinomom koji funkciju
/(r)
na oznadenom intervalu, aprok-
simira s tadno56u do e:
(r): #,a1r
a) f c) /(r):cos2*,1*l
(
S 1,
t,r: j'10-2, b) /(r):
e:10-2,
d)
Rje5enje:
: FW, f("+1) (or) : ffi, e
y@)1x1
llft,"1ry(r)l
s
%## #"
y@+r)7r1
R6as(4 za
$=fr
€
/("):sin2n,r
: Cffi, . :
ffibilo
b) ln(l
e (0,$), e :10-1. y(n)10)
*1. Da bi *tO-' : 0,005, Sto je ispunjeno za
t0,
:
(2n
_ r)|,
G&)", . ft,, lft1n+r1(r)l . lto-' za x € [0, *],
je da i" #" < %## --r I r' r+|x2 + R+(r),lfte(r)l < 0,00b zar € [0,*],
dovoljno
I
r
ln(l -r),0
n
:
3, pa je
-r): -r-+ -+ -+ -+ - + *R7(r),Inz(r)l < 0,01 zare[0,*],
c) cos 2r:l-2r2
h*u *Re(r), lRz@)l < 0,01 zar € [-1,1], d) sin 2r : 2r - *rt * R5(r), lfts(r)l < 0,001 za r € [0, $] . 110. Ocijeniti tadnost pribliZne jednakosti sinr = tr za n € [-t,tl. +?*n
-
Rje5enje:
P(r): r Maklorenov polinom drugog stepena funkcije f(x): sinr, pa jesinr: r1-Rs(r), fis(r) : $lrirrr)"', r: @r,ti. r?3(u): {1-.oror),0 < o < 1. odavde;e Inr(r)l : Stcosorl . u.rt", pu "iF"osfr. vrijednost funkcije kako je ,idr . fr i pribliZna jednakost sinr nz r, izraiunavamo /(r) : sinr za r € [-#,#] "" tri tadna decimala . Odigledno je da je
195
tl-t. Izralunati pribliZnu vrijednost: a) sin18o, b) arctg0,g. Rje5enje: a) Prema Maklorenovoj formuli sa Lagraniovim ostatkom imamo: sin180:sinft: ft - tfi+ + * Rz(r),gdje je lftz(r)l h.fr,oui"
.
##
sin18o
# (t - # - #)
=
-
= 0,8141bn (t
(gffiP)
- #.
0,314159(1 0,016449 ^r b) Prema Tejlorovoj formuli, za
+ 0,000079) = 0,309012 , ro: 1 je arctg0,8 : arctg ("0
-
0,2)
x
0,67474 c
112. Odrediti interval u kome Maklorenov-polinom drugog stepena aproksirnira funkciju f (r): cosr Rje5enje:
sa gre5kom manjom
od
#.
Maklorenov polinom drugog stepena date funkcije jeste:
cosr l%a(")l
: I- +i
Ra(r),
R+(r): $sinOr, 0 < O < 1. Po5to je
- l#sin @rl . *tsinrl
Dakle, polinom
intervalu
-W
<
t-$
W
aproksimirafunkciju f
(")-
cosff s greskom maniom od
r
#
u
113. Izralunati: a)
cos 9o s tadno56u
do
10-5, b) v6 r tadno56u do 10-4.
Rezultat: a) cosgo
nY
0,98769,
/(r) : \/r
relzloiliti prema Tejlorovoj formuli u okolini tacke rs : 4, pa u dobijenom razlaganju uzeti da je r : 5. Dobi6e se) za n ) 4 da je r,/5 x 2,236022 o
b) F'unkciju
114. Napisati Maklorenov polinom n-tog stepena sa LagranZovim ostatkom za funkciju f @) : eo , pd koriste6i tako dobijeni polinom izradunati ffi ou betiri decimala tadno. RjeSenje: Kakole 1(r)1r; : eo i 1tr)(0) :lzalc:A,1,..., ni f(n+t)(6lr): ee', to;e
ea:r+fi+
r:
***+...+
fi+R*+t(x), &,+{r1 :
ffi"e,,
!, to je ffi- "+ - 1+ ah + 7*6+e! +...+ n +r(1): a,+rfory,e?, o< o < 1.
da je
196
fi6+
0
<
a-+t(i),
1. Uzmimo
Da bismo odredili koliko je sabiraka najmanje potrebno sabrati da bi se dobila traZena
n"+r(j) . Wffiul, . @&4. Dakle, mora biti zadovoljeno N++fi. . #,a to je zadovoljeno za n ) 4. Prema tome je {e x 1 + ah + iA + ;r!i + iA: 1,2840 na detiri decimala tadno o tadnost, postupimo ovako:
115. Koristeii lokalnu Maklorenovu formulu dokazati slijede6e (asimptotske) formule:
- r -4 +... + (-t)"-t## + o(rzn), tr - 0, 2. cos x : r - 4 +... + (-t)" ffi + o(r2n+ry, tr - 0, 1.
sinr
*(*-I)(m-2)...(m-n+I Irn nl
4. ln(l
*x):"-++...+ (-t!"-r*
:
o(rk),
o,
r*
0,
Na primjer, u 1. je
trk
Rzn(*)
o(rn), n -*
*o(rn),o-*0.
Napomena: U svakom od navedenih primjera treba pokazati da je ,R7r(r)
tj. daie liq e9:0. r---+O
*
(-11n*2n*1 cos @r (2n
* 1)!
,JgbW
116. Procijeniti, pomo6u Tejlorove formule sa LagranZovim ostatkom, apsolutnu gre5ku ubinjenu uzimajuii da je:
a)sinr Ntr-++f;|,1*l <
1,
b)cosnNl
Irl s
nL
*++ #
c)
erN I #,0(rr: k-o
d)
tsr r..-r++,
e)ln(1
f)
0,5,
l"l
+r) Nr-+++
tffixr+t
+,l"l
++# ,0
Rezultat: a)
h, b) zt -8!, c)
ffi,
d)
2
.10-6,
e) 2 .10-6,
197
f) 1,5 . 10-3 o
117. RazloZiti date funkcije po cijelim pozitivnim stepenima promjenjljive x do navedenog dlana zakljudno:
a) f (*) c) f (") e) f (*)
b) f (*) - e2*-n2 do dlana s ff5, d) f (*) - ln cos r do dlana s rG ,
L-fr+fr'
Rje5enje:
f(r):L+(2r+2r2)(L +"3)-1. Na osnovu asimptotske formule 3. imamo da je (1 +"t)-t - 1- rs +o(r51t n + 0, pa je f(n) : r + (2r + 2n\(L - 13 +o("u)) : 1 * 2r r 2x2 - 2ra + o(ra),n * 0, b) szr-tz : 1 * 2r * 12 * ?r' - 8#- *ru + o(r5),r * 0, a) Datu funkciju moZemonapisati u obliku:
c) gGnF
- n - * - #+o(116), r -
o,
r-
d) lncos
e) sin(sin
r)
118. Ako je l"l mala velidir&, pokazati da je:
L-r N$r, b) w mfu
L*r L-r
a)
N#
119. Pokazati da je: a) e*z..*l I
b)
e-7
c)
er{r= 1 * *rf*
+
# * e#+...
+
g#
120. Odrediti koeficijente A i B tako da, kada r ctsr: + o@5).
*
* W#,
0<€<
rtz,c
>0r
0, vaZi jednakost
#
RjeSenje: Kako je
ctgr
:
ffi#
:
##+o@6),to
je
(rtBr3)
I. i 2. imamo: + o@u)) : (1 + Ar2)(r-
cos
r:
(r+Ar2)sinr+o(r7).
Na osnovu asimptotskih formula
(r
+
Br3)g
-$+#
198
$+$
+ o1*')) + o(r7), odakle je
* o(*,)*
"-**#
odakle je
A:
-f;,
Br3
- n$ --r-* * *+o@71 11 -;* A-;, ": 1,81A 24- t: 120 - 6'
1-
Arr
- #*'+o(r7),pa je
n: -* .
12L. Odrediti koeficijente A, B, C i D tako da, kada n 0, va,Zi asimptotska fomula: -
"":frffi+o@5). A: *, 8: #,C: -t,D: -#.
Rezultat:
: (*,#,arctgr) , t € R\ {0, _2]. , razroZiti po stepenima binoma (c - 1) do dlana (* - I)2 zakljudno.
122. vektor-funkciju l@) Rje3enje:
Prema Tejlorovoj formuli za vektor-funkciju imamo da je:
/(r)+ 7t$.(y-1)+ *.t"[email protected]_1)rift3,^ {(1) : (1, Lr;T),-/,(1).: (-t,^3,1r), /'l (t) : _(2, - h, -+), pa je f(d : (1, t, i)+ ( -r, 3, *) f"- rl+1r, - *, -il ti-rf\hL, gdje je
f(r):
R3 -ostatak u bilo kom obliku o
123. RazloZiti prema Tejlorovoj formuli
sljede6e funkcije:
(r): (cos(sinr)),sin(cosr)),e"i'"), r € lR u okolini tadke ro:0 do dlanas 14, !) /(r) : (h@),fz(r),/s(r)) uokolini tadke r0:0 do dlana s 15, gdje je fi(r): 44, r * 0, n(0) : z, fz(r) : ry, n +0, /z(0) : -I, fs(r):arcsinr o a) f
124. Odrediti
lim,,
#,
sdi" I--+O g\&)' " -
ie /(0)
:
9(0)
:
0.
Pretpostavlja se da se funkcije f(x) i g(r) mogu razlohiti po Maklorenovoj formuli ogranidavaju6i se na prvi ilan koji je razlidit od nule u razlaganju tih funkcija:
#;l=tffiI{ffii, tig Ako je rn
=
flt tada je hm
a..-o
l(r) : ,. g@
itib 199
t o(t) : bnn + o(A -
arn
q 6'
Akoje
n)ffi,tadaje]gb#:0,a
Na primjer, odrediti
lgb
zan'L>r,j. jTo &:*.
ffi_g*r2
arcslnr-slntr
Rje5enje: F\rnkcije u brojiocu i imeniocu beskonadno su male veliiine kada prema Maklorenovoj formuli,
sinr: arcsinr --
- sinr :1
^l
"-?+o(r3),
r*0,
r *( + o6t1, n --+ o,
o(r3\, r --+ a. Na osnovu zadatl
to je arcsinc
+
x
* *"t + o(r3), tr -* 0, slijedi da je: * frt"'")3 + o(tg3r;
:
\F +xex
:,':i:;',? =L*r+ i*- - -rr-lte*)2 r*'*f,"t+o(c3):1* *-i*'* Ako je en :
L
r -- 0. Po5to je,
* r * **' +t"t + o(*t),tada
i"t
+o(r3).
je:
@-4*rz Dakle,
,. ffi-er*r2 jgb affi L25.
?*t + o(r3) r---r0
t*t * o(r3)
Odreditilgtry.
Rje3enje: Na osno\ru asimptotskih formula i jednakosti g(t) es(c) rn f @) , f @) t/(")l -
slijedi da je
_ lim t+0 "-3(1
^sin c ln rosr) hm I e_-_ - u---+0 <
(1
* sinrlncos r * 13
ltt(l r+O
o(r3))
sinz
2g.2
200
r) : 1 r. Ilm
2 r- rel="nofollow">0
sin2
-
lim
r---+0
r + o@2) 12
ln cos r
r' 1
-:o 2
L26. Odred
irilsa(tr6-fffi)
Rj eSenje: Transf ormacijom datog izraza i primjenom asimptotske formule
B.
dobiiemo da je:
/
lim :-++oo t\
Prirnjena Lopitarova pravila i asimptotskih formura 127. Odrediti
gra.nidne vrijednosti:
a), lim t--' i;o _
,
c)
-'* *;,
j'$hF;+
ec e) lim a--+o x
'
b)
_ ln(1 _ x)
J,jbhos(rer)
r"1fyy*d-a,
a)
_ rfrr*'
,
ffi,
Jjb
- {t + zxW , r\ * tgx- sin2r ', !go6/t + r - d*
,
1. 12, ;l - *;), il fr_ liq ((r3 t*cc ., k)
,Iti*((r3
12
i)_ri+(w-
+:2'+ r)e*
+ r) rir,
lt--+*OO
1 t n6 -Jr4 * 1).
15
-
Rezultat: a)
2, b)
"-?, c) "-*,
d) -1, e) ?, f)
t-t,
128. odrediti granidne vrijednosti: t |
a)' lim t+0
c)' lim
t,+0
1
(thr)-tz fry);z \t/ \t) -.r
(+)
b)' lim r+0
f arshu
\
rn
"i, h)*,i) #, j) ?, k)+o
1
T,
(arcsjnr) # \ t I
g)
t
* \#
,l
, d)
frn
"s*tg"(l 2AI
- r*),
*
ra),
L
_rfm
e)' lim
./'P2
,
fr->O
/
sinnrtr-cos
r)timlr ' n->L
\ arcsinr
S
_
(\:, s)]':trll: 1
\l ,l,
1
+
r?
h(n+qr -1)
T
.)
tro
trn rn+L
)
+l rsinr r
*2n-t
&'*l)
sln r 1 1*r2
tr cos tr 12 tgr
sln
h)
1),
--cts(r-L)'
:
*n+L
rIn(t"
arcsln(.e*
e*-L sin2 r 1 ltt(l * r)
Rezultat: a)
-#"t, n- 2,
d) 1, e) (-*,0,
1),
b)
f)
-2rht,TL:0,
(-ffi ?),
c) 0,
h)
+,
202
ns2, i) 1o
'),
7. Ispitivanje funkcija pomoiu izvoda T.l. Ra5denje i opadanje funkcije. Nejednakosti F\rnkciju f
(r)
nazivamo rastu6om (opadajuiom) na interval,, [o,bJ ako je
7@z) > Ako je funkcija a (a,b) tada:
:
/(rr)
17@z)
<
/(rr)) Vr1,r2 e [a,b] i rr I
f @) neprekidna na intervah
[o, b]
i
xz.
diferencijabilna u intervalu
(1) Ako je f'(x) > 0 za svako x e (a,b) funkcija raste na [a,b], (2) Ako je f'(r) < 0 funkcija opada na [a,b], (3) Ako ie f'(r) : 0 za svako r € (a,b) funkcija je konstantna na
[a, b].
129. Odrediti intervale monotonosti sljede6ih funkcija: a) y
:2x3 -gr2 +12r, b) g:
rh,
Rje3enje:
")
y
: #,
d) a
:*
a) Kako j"U':6("-1)("2): Ozza.rl: l i x2:2i y,>Azar e (-m,1) i x e (2,*oo), to funkcija raste na intervalima (-cc, 1) i (2, **), a opada na intervalu (1,2),jer je { <0 za svako r e (t,2):
b) F\rnkcija
je definisana za n +
funkcija opada za tr € R,
-1.
Kako je A'
203
c) funkcija je definis ana za r + t. Po5to j" y' : -# > 0 za lrl < 1, to funkcija rastezar€ (-1,1). Kako i"{ <0zalrl > 1, tofunkcijaopada zar€ (-oo, - 1) i r € (1, *-), d) F\rnkcija je definisanazar + -L. Kako j"t : > 0 zasvako r € IR., to funkcija raste za
&
r € lR o
130. Odrediti intervale u kojima su funkcije rastuie, a) A e) A-
r\nr,
b) A - 12 lnr, c) A -
lnr*1,
f)
lnlrl,
odnosno opadajude:
d) A:
A- ln(r+2), g) U:In
ZIn
12
*12 ,h)
Rje5enje:
a) F\rnkcija je definisa&azar > 0. funkcija raste za r e (e-r,*oo),
i"{ : Inr*
Po5to a opada za n
1
a
r,
(1
le
zar
t"
zar
> 0 zar> e -1, to slijedi da
€ (0, e-1),
__L . ^ b) F\rnkcijajedefinisanazar > 0. Kako jeU':x(2lnr+1) > 0zax> e-2, to funkcija raste za x € ("-* ,**), a opada za x € (0, e-*;, c) F\rnkcija je definisana za R\{0}. Poito je
(I
.t lrl' I v:W:l_:
EI
\lul odnosno ll' a opada za
: *. to je yt > 0 za r ) r € (-x,0),
d) Data funkcija
0, A'
zar>o zar<0,
< 0 za r <0, pa funkcija raste
za tr
€
(0,
+oo),
r > 0. Po5to j" y' : ry > 0, zar e (1, *oo), to € (1,+oo). Kako j"{ <0zar € (0,1), tofunkcija opadaza
definisana je za
funkcijarastezar r e (0,1),
e) Datafunkcija definisana jezax >'0. Izvod funkcije j"A' : * t 0 zar € (0,+oo), pa funkcija raste za r e (0, **), f) F\rnkcija definisana je za.r > -2. Kako j" A' : # , 0 za r iz oblasti definisanosti, funkcija je rastu6a.
g) Ftmkcija je definisartazar e IR. Kako ie{: #;t>0zar > 0 tofunkcijaraste re (0,**), aopada zar <0 jer je U'<0zane (-*,0), 204
za
h)
F\rnkcija je diferencijabilna na ditavoj brojnoj pravoj, pri demu je
v
I r 0 t-r
zar{e, zar) e.
Kako ie y' 10 za svako z, to je data funkcija nerastu 6a na ditavoj brojevnoj pravoj. Konstantna je za r € (-oo, e), a strogo opadaju6a u intervalu (e, *oo) o
131. Odrediti intervale monotonosti slijede6ih funkcija:
u)y:re-*,
b)
y: *2"-,', dy:*,
d)y:ek*,lr>0,
Rje5enje:
a) Data funkcija definisana je za svako r € IR.. Kako je a' (-oo, 1), to funkcija raste za r € (-m, 1), & opada u intervalu zar € (1,+oo),
b) Rrnkcija definisana je za r € IR. posto j" y' r (0, 1),
2re_n2(1 _
€
")y:(1 +*)". (1,
+oo) jer je
r\
to funkcija u tim intervalima raste, aopadazar € (-1,0) jer je za te wijednosti r y' ( 0,
c)
F\rnkcijajedefinisanazarl 0. Kako j"{:Lr l,b za r < 1, pa funkcija raste za r > 1, a opada zaV < L,
i.
d) Po5to
A'
:
r
€ lR, to funkcija raste za r € R,
e) F\rnkcija raste za
r € (-oo, -l)
i
za
>0
ir € (1,+oo),
jeyt>0zax}L,u/
za svako
lcek'
U'
r € (0, +oo) .
L32. odrediti intervale u kojima su funkcije rastu6e, odnosno opadajuie: u)
y:r-2sinr,
d)
y:2sinr*cos 2r, (0 1r thr),
RjeSenje:
a)
Po5to
(0
1x/--2r),
b)
g:cos($), ")
")
y:r*tgr.
y:.(\fir*sin(ln r)), r>
j"{:1-2cosr >02a, e(t,T),
tofunkcijaraste za
zar€ (0,$) izax e (T,hr), jerleia{evrijednosti ,y,<0, b)
0,
/(0):0.
,e (#,T), uopada
Data funkcija je parna, pa je dovoljno odrediti intervale monotonosti za r > 0. Kako ie g' : ftsinT > 0 za 0 < fr < r i 2kr . # < r *zletr,k e N, to funkcija r strogo raste za e (1, +oo) i za e tr e x. u intervalima (fi, /c e N j. { < 0, pa u njima funkcija stroso opada. Ako je t u-0, taaa, Loristeei parnost funkcije, / > 0 za n € (-*,-#), k e N, pa funkcija strogo raste za
r
r (#,#), 205
#r),
r € (-;8,-#),a
strogo opada za
jer je u tim intervalima
r €(-*,-1)
i za r €
(-#,-*),k
d < A,
c) Data funkcija definisana je za r e IR\Lfr_q7 {e#"lk e V,}. Po5to j" za svako
d)
r
e N,
iz oblasti definisanosti, to je funkcija rastu6a,
A'
:1
+
"*z
,rl
>
0
i" y' :2cosr(l - 2sinr) > 0 zar € (0, 8) i * € (+,ff) i za * € $,?tr), to funkcija raste u navedenim intervalima, a opada za r € (t,+) i za r € (T, !f), j", Po5to
je u tim intervalima At .--0,
e) Flrnkcija raste na intervalu @-18+zkn,"W+zko), a opada na pW"+2htr,"l$n+zt'n1,
leeZo
133. Odrediti intervale monotonosti funkcija: l-r+"'2 ,lt - 3r2 2r, b) v- *r+ft, c)y-r-€*, d) a-#, e) A-2r2 -lnr, f) a- r * cosr, g) y - ln(r + tffi\ h) u-rtffi,a )0, i) a-arccot#, i) u-r(L+*)" \
a) y
,
Rezultat: a) F\nkcija raste za r € ($, +*1, a opada za r € (-*,t), b) F'unkcijaraste zar €. (--,-1) i zax € (1,+oo), aopada zar € (-1,1), c) Fbnkcija raste za r € (-*,0), a opada za r e (0, +m), d) F\rnkcijaraste zar€{e,*m), aopada zar€ (0,1) i zar€ (1,e), e) Za, e (*,*m) funkcija raste, a opada za r € (0,+),
f)
F\rnkcija monotono raste,
g) F\rnkcija monotono raste, h) Fbnkcija raste za r e (0, io),
a opada za
r
e (f;a,a) o
134. Dokazati da ako su funkcije p(r) i {.t(r) n-puta diferencijabilne (t) i rp(k)1zo; ,p(k)@fi, k : 0, 1,2,...,n- 1, (2) a 9{")1z-1 , t1r(")1r) za r > re, (B) tada
p(r)>z!(x)zan>ro.
lp J"
Dokaz:
:
Ako na funkciju u@-r) ,(n-t) -rp(n-t) primijenimo LagranZovu teoremu o srednjim wijednostima na intervalu fxa,rl, ima,6emo:
u(n-t) (")
-
u@-1) (ro) 206
-
r,t(n)
(r)
(r -
r0) ,
odakle je, na osnovu (2)
i
(3),
u(n-r)(r) Analogno dokazuje se da je u("-z) 1s) > 0,
>0, tlro. itd. u(r) > 0, tj. p(r) > {(r)
za n
}
:xs o
135. Dokazati nejednakosti:
"- $ .n1t*r) < r, n > 0, c)r-qr1 <sinr '0, d)tgr >x*4,0. r<$. a)
e' > L + r, r + 0, b)
Dokaz: a) Neka je p(x): er irh@):L*r. Kako j" p(0) :th(Q), p'(x) >r1.,'(r) zan) 0, to na osnovu primjera 134. slijedi da je p(r) > ,b@), za x > 0. Uzmimo da je r : za
r(
-t
0, dobi6emo:
: e-t, rltft) : L - t, t > 0. > rb'(t), t ) 0, to je rp(r) > $(t) zat> 0,tj. e'>L+r za fi10, g(t)
Kako je p(0)
:4)(0),,p'(t)
b) Neka j. p(x)
p(0) :
- r-1,rb@): ln(l *r), n(r):
x,
x)
Q. Odigledno je da je
rh@) :?(0) i p'(r) < rlt' @) < n' @) za n > 0, pa je, na osnovu primjera
p(r)
n)0,
c) Koristeii oznake
f(x) imamo:
p(0) za n
>0i
r l2kz'.
:
:, - +, t/(0)
,1,@)
:sinr,
rt(r): r,
: a(0), e'@) <'h'@)
< q'(r)
Na osnovu primjera L23. vali nejednakost
p(r)
r:2ler imamo nejednakosti 2kn(r-Yl
/ce N.
134.
tj. eQkn) Na taj nadin ) za tr
vazi nejednakost
p(r) d) Uzmimo da je
s(x)
:tsr,
$(x)
:***,3'
o
=*.n-
Kako je p(0) : r/(0) i p'(r) > rlt'@) zaA < r. t @'@): 1* tg2n, rb'@): I*12, tg2, > 12 za 0 < r < r), to, na osnovu prethodnog primjera, moZemo zakljuditi da je 7T
v@) 1
36.
Doka zati slijedeie nejednakosti
o
2
:
*), .e < (1 +|;'+t, x ) o, r' - 1 > o(* - 1), o ) 2, r > I, ") d) W - VA < tF - a, fr ) L, r > a> 0,
b) (1 +
e)
1+2\nr1*',r>0,
2ln(l1o) r)-ff-ffi d #ln(l s1
ta+2
>o,r>0,
+ |1 + t"21t + *)
*tl n r-*+*-
- 4-^*+p > o, r > o,
ffi(sinr <,^-#*gl --..r ffi,r)0,n€N.
h)c-11
- ffi (
j) e" > | * x + * + ... + ff, r
cos
r.-l-$+...+ffi.,r2€
) o, n € N,
k)sinr<#("-r),0<-r1r,
I)cosr(1-#,lrl3E, m) 1) ter
2
f,,
a<
r
S
X, 2) tgr S f", T < * < E, 208
N,
n)sinr*tgr)2r,0y za svako
k:
1,,2,... ,fr.
(rcy)
ako
iert >atr(rtr
Analogno, vektor-funkcija
r(t)
: (a(t),rz(t),.
rn(t)), t e [a,b] je monotona rastu6a (opadajuia) na intervalu ? c b] ako [o, . .,
vh,tz € T (h rel="nofollow"> tz) =+ (r(r1) > r(t2))(r(rr) < r(t2)).
Pokazati da je vektor-funkcija
r(t): rastu6a na intervalu (0,
{)
(sint,f cost, t"-t')
o
138. odrediti intervale monotonosti datih vektor-funkcija: a) f (t): (2lcosrl * lcos 2tl + 4t,ir + sin4r * 1), t b)
/(r)
c) f (t)
: (&,{r,z
-
t+
+ - +),
\ ztfr'mrr\vl'-
/
:
naaivamo monotono rastuiom (opaftltrjenq funkciju A.(t).: (a;i-GD, i;l L,2,....,n, '(a,b) dajucom) na intervalu (a.a; i[o ,aM4,fu e iz (1r > fz) + (A(rr) > A(tz)), (A(ti < A(tz)). Za matrice A i B ka2emo da je A > B (A < -B), ako je aU > bu @ti j :Ir2r..-rn.
i,
139. odrediti intervale monotonosti slijede6ih matribnih funkcija:
a)
A(t): (.tili t
t, + ,t3 *,r, )
,
.ar"t\ : (".!' ch2t ry 1t1+t)' \sh2t c) A(t) : (;TJJ,il'l *",Ii;."') b) A(r) \'
'
209
7.2. Ekstremne vrijednosti funkcije je funkcija A -- f (r) diferncijabilna u nekoj e-okolini tadke r : tro i neka je f'(*o):0. Tada, ako je f'(*) >0zaVr € ("0 - €,n0) i f'(r) <0zaVr e (rs, ro+,e), funkcija /(r) u tacki ro ima lokalni maksimum a ukoliko i" f'(*) < 0 zaVr e (16 - €,ro) i f'(r) > 0 za Vz € (ro,ro *e), funkcija /(r) u tadki n: n0 ima lokalni minimum. Vrijednost lokalnog ekstrema je g*,*(-in) : 7@o). Ako je f'(*) > 0 (f'(r) < 0) za Vr e (zs - €,xo * e), tada funkcija /(r) tadki ro nema lokalnog ekstremuma. " Drugim rijedima, ako funkcij a f'(r) pri prolazu kroz tabku s0 sa lijeva na desno Neka
mijenja znak, tada u ta6ki ro funkcija ima ekstremnu vrijednost. Ovaj se uslov mode prikazati tabelom:
r v'
+
0 0
a' a'
f (r) mil(
i[g
+
0
+ +
min nema ekstremuma nema ekstremuma
0
v'
A: f @) n, puta diferencijabilnau okolini tadke r: ro i neka je f'@d: f"(ro): ... : 1("-t)@d:0, a 1(")@fi f 0, tada je: I) Zan-paranbroj i 7(")@$ < 0, tabka n:r0 tadkalokalnogmaksimumalazanNeka
je funkcija
paran b.oj
i 7(')@$ > 0 tadka r -- roje tadka lokalnog
2) Za n - neparan broj tadka n: Ako je
n:2 i f'(*o):
minimuma.
tro nije tadka lokalnog ekstremuma funkcije
0, tada funkcija u tadki
r : ro ima:
/(r).
a) lokahri maksimum ako je
f"(*o) <0, b) lokalni minimum ako je f"(ro) > 0, Ako je
f"@d:
0, pitanje ekstremnih vrijednosti se rje5ava pomo6u izvoda vi5eg reda.
140. Odrediti lokalne ekstremne wijednosti funkcija:
a) y:3r2 -2x, b) y --.(r - z)'(* + 1)3.
y:
rs +2r2
*r-4,
c)
g:3ra -4*3 -12* +2, d)
Rje5enje:
a) Kako
j"g' :2(3r- 1):0 zax:!iU" -6 > 0zasvakor, slijedi dafunkcijaima
Iokalni minimum za
tr: t i y*nn: -1,
210
b) I(ako je a' biti samo u tackatna I(ako je A" (- *l
-3 irz 1
rr1
| fr2.
lokalni minimum, a u tacki
Mz(-1,-#)
0, to data funkcija u tacki lokalni maksimum,
c) Kako j" A' -1, 12 mogu biti samo u tadkama rL, 12 i rs. Za njihovo
Data funkcija u tadkama Mr(-l,-3) Ms(0,2) ima lokalni maksimum,
d)
Mt(- + ,4) ima
odreclivanje koristi6emo tabelu:
i M2(2,-30)
ima lokatni minimum, a u tabki
Po5to jey'q:5(x-2)(x+t)2(x-f):0zax1- -1, ,r:t i13:2, tolokalni ekstremumi mogu biti sarno u tadkama rrt fr2 i rg. Odredidemo ih na osnsvu promjene znaka funkcije U' pri prolazu kroz tadke 11, 12 i rs:
r (r*12 r-B4 r-2
4
-1 +
0
+ 0
+ +
+
0
+ + +
U
/
0
v'
+
v
/
0
+
0
/
n
+
2
o
\
Data funkcija u tadki U{t;8,4) ima lokalni maksimum, a u tabki M2(2,0) lokalni minimum. Kako fiinkcija U' pn prolazu kroz tadku c,L: -l ne mijenja znak, to u tadki xr: -l data funkcija nema ekstremuma .
141. Na6i lokalne ekstremne wijednosti funkcija:
rm*rF,
2LT
Rje5enje:
a)Datafunkcijajedefinisanazat+|0.Kakoj"a,:w:0zatt:4i r,2: 16, agtt: dfop, to ie gtt( ) < 0, agtt(t6) t d, pu'funkcija ima u tadki b)
M{4,1) lokalni maksimum, a u tadki M2(16,25) lokalni minimum, r_r\./.r./ I Data funkcUa je definisana za Vr € lR. Po5to j" y' -- $2l}J-
a"
c)
: zar w (+) > 0, slijedi da funkcija ima u talki M1(|,-#) lokalni minimum,
F\rnkcija je definisanaza
lrl < 1. Kako j" g' :
za
ffi:0
n u
*r: -iri *r: h,
a/,:ffi,tojea,,(h)(0,&a,,?h)}0,Paslijedidafunkcijautadki Ut(ir,$; ima maksimum, a u tabki Ur(-#r,-|) minimum, d)Datafunkcijadefinisanajeza|r|)1.Kakoj"/:wl0zasvakor iz te oblasti definisanosti, to funkcija nema ekstremnih vrijednosti,
e) F\rnkcija ima maksimum u Mt(*,*W i minimum u M2(1,0) o 142. Odrediti lokalne ekstremne wijednosti funkcija:
a)y-r\nr, b)y r-lnr, c)y-ry, e)
a -2ln(1 + r) + +
- r,
f) y -arcts r
d)y
-|
fnlr
r
€
IR.
Rje5enje:
a) F\rnkcija je definisanazar > 0. Kako j"y': lnr* 1:0 zar:€-r,dyrt: f,to je U" @-L) : e ) 0, pa'funkcija u tacki Mt(e-r , -"-L) ima minimum, b) F\rnkcija jedefinisanazar > 0. Kaiio j"yt:#:0zar:1, a /'(I) > 0, slijedi da funkcija u taiki :1[(1, 1) ima minimum. c) F\rnkcija definisana je zar > 0. Po5to j" y' : -V :0 za r: 1, a ylt : ff, Va j. U" (t) < 0, odakle slijedi da funkcija u tadki M{1,1) ima maksimum, d) F\rnkcfja je definisartazar > 0. Kako j"Ut:ry:0zat: t €ta{' :W {'(") < 0, to slijedi da funkcija u tacki Mr(e,}) ima maksimum,
'
e) Datafunkcija je definisanazatr > nema ekstremuma,
f)
Flrnkcija ima maksimum u
-1.
Po5to
j"l :S
Mr(l, T- *1"2), jer j"
2L2
y':ffi:O
r 0zar za
n:l
e R, funkcija a y'(1) <
0r
143. Na6i lokalne ekstremne vrijednosti funkcija:
a)A:r2e-', b)y:*r"*, c)A:(l-x)en, d)g: #{r, e) y : f) a : lrle-@-tl,r € lR. + "* "-*,
Rje5enje:
a) F\rnkcija je definisana za svako r € lR. po$to i" U, : r(2 t)s-* : 0 zaur : 0 i t2 : 2, a A't : (*, - 4r * 2)e-r, to je A,,e), 0, u A,,e) ( 0, pa funkcija u tadki Mt(0,0) ima minimum, a u tadki Mz(2,4e-2) maksimum,
b) Data funkcija je definisana za * 0: Kako ie A, : er \e* : 0 za r : t L, a /'(+) > 0, to tunkcija u ta6ki ur(t,fo) i^mi,iimum, c) F\rnkcija je definisanazaVr e lR. Kako je{: -rer:0zar:0,a{,(0) < 0, to funkcija u tabki M{0,1) ima maksimum, d) F\nkcija je definisanazax+ -3. Podto ieut : +fj# :02atr: ayil(-I) > 0, to funkcija u tadki M{-1,*)
e) F\rnkcija je definisanaza vr e lR. Kako
j.
y,
:
*@Z
to funkcija ima u tadki M1(0,2) minimum,
f)
-1,
(,'-
i*u -irri*,r*,
- "-t1 :0
za
r :0, t,(0)
>
0,
Fbnkcija ima maksimum u tadkama Mt(-L,e-2y, M211,1), a minimum u tadki Ms(0, O) .
144. Na6i lokalne ekstremume funkcija:
U:sinr*coso, b) g:_sin3r*cos3 n, fi e[A,hr), c) A-r*cosr, d) y: r *tgx, e) y : *), * +0, f(0) :0. "-hOn*sin Rje5enje: a)
j" A' :cosr - sinr :
: {' : 4 za r : f, + zlur, a g" : -* :
a) Kako
funkcija ima za s minimum Urnin:
b) Kako j"{.:
0 za
x
X+
kr, k € Z, aU,, :
,u * .:
[ +2kzr lokalni maksimum,
-tn,
Ssinrcosc(sinr-cosr)
-sinr-
cosc, to je
T * 2kn, k e Z, pa slijedi da data um'a : {i, a za x : ! +zkr lokalni
:0zarr:0,
nz: X,:trs:
xt:
$, nl.n-1: T, lo: ff, a{' :3(sinr*cosr)(Ssintrcosr- 1), to i" y"(q i o, {'G) > 0, a"(T) < 0, {'(") a0, {'(+) < 0, y',(+) ) 0, pa funkcija u tadkama M1 (0,] ), Uz($, t) i Me(T, ima maksimum, a u tadkam u tt t 4X, - - *) $1, U u1n, - ty i tWa(T,-l) minimum, 2t3
c) Kako j" y' : 1 -sin r : 0 za tr : $ +2lur, k e 2,, a U't : - cos r, to je A" (E +Zkn) : 0, u /" : sinr i g"' (q +2ktr) : 1 imamo da funkcija u tadkama unG *Zkr,$ + zkrl, ke
V, nema ekstremuma,
d) Kako i" A' :1 + ;h > 0 za r € lR, to data funkcija nema ekstremnih vrijednosti, e) F\rnkcija ima minimum u taiki 1141(0,0) o 145. Odrediti vrijednost parametra a tako da funkcija za r: $. Du li je to maksimum ili minimum?
A
:
asin
r * { sin 3r ima ekstremum
Rje5enje: Po5to
j" y' :
acosr
*
cosSr
:
0 za x
su: Ut :2cosr*cos3e iy" : funkcija ima maksimum u tadki U{5,^fZ\ .
2sinr*$sin3r
146. Odrediti parametre
fit : I i 12 : ). minimum za rt:
ai
btako dafunkcija
: [,
a: 2. Izvodi funkcije g :
to je
-2sin r-3sin3r.
A: alnr*
Kako
j"y"(T) < 0, to
bn2+rimaekstremumeza
Pokazati da za te vrijednosti parametara 1, a maksimum za, x2: l.
i
o,
b data funkcija ima
Rje5enje: Po5to datafunkcija imaekstremne vrijednosti z;0,fr1
_1ifZ-2,
paje
zafrti12,toi"A' : fi+ZUr * 1:0
a+2b: 1l+ a-
a+8b: 2) bF\rnkciia y * 12 +r ima minumum zB, 11 -jer-?hrje
maksimum,
A"
2
3 1
6'
t
jer je a"0)
Q)
147. Jedan hotel, sa 40 soba izdaje te sobe po cijeni 100 DE\l dner':to. Ako se cijena poveia za 5 DEM, jedna soba ostaje prazna, a ako se poveia za I0 DEII dvije sobe ostaju prazne, itd. Tbo5kovi odrZavanja po sobi su 10 DEM dnevno. Koliko treba da bude cijena izdavar{a sobe pa da zarada hotela bude maksimalna.
Rje5enje:
r
:
(40- r)(100 + 5r) Oznabimo sa y zaradu, a sa broi praanih soba, tada je A 11, odnosno za cijenu po sobi od 155 (40 r) . 10. Maksimalna vrijednost g je za n
:
-
DEM
o
2t4
-
148. Na6i najveiu zapreminu valjka upisanog u datu kupu (sl. 6Z). Rje5enje:
rtl
sl
.57
fI
Neka je zadata kupa sa visinom i radijusom osnovice .R. Oznadimo sa valjka i sa r radijus osnovice valjka upisanog u datu kupu. Neka je lBtutl
h visinu
: *. Tada : : : lPBl r tglK MA r # i r R - x. Zapremina valjka je V : rr2h. U naiem primjeru V(r):,r(R- d2s#. Kako jeV,(r): #(n- d@- 3") :0 zar: Ri r : *, to funkcija V(r) ima *ukri*utn r vrijednost y(+) : finHR2 za r : * . 7, :
149. Medu pravim kruZnim kupama date povrSine P odrediti onu koja ima najve6u zapreminu.
Rezultat:
p- 1 tP - Wlupreinik osnovice r n: ir,/f
150. Medu prarim kruZnim kupama koje
su opisane oko lopte poluprednika
r odrediti
onu
koja ima najmanju zaprenrinu.
Rezultat:
R:rtfr,H:4ro LloL. Izvozjedne zemlje bio je u 1000 tona: 1985. godine 120; 1988. godine 200; a 1990. godine 180. Odrediti funkciju izvoza oblika U : an2 -tbr *c i odrediti godinu kada je izvoz iz rastenja pre5ao u op_adanje. Rje3enje: Godine izvoza obiljeZimo na r-osi tkao Sto 1985. godinu uzmemo kao koordinatni po6etak. Prema tome 1985. obiljeZi6emo sa 0, 1988. gd. sa 3, a 1990. sa 5. Na y-osi 2L5
prenosimo izvoz tzrailen u tonama. F\rnkcija Ms(5, 180), p& mora biti:
ie pro6i kroz tadke
Mo(O, 120), Ms(3,200) i
odakle je
ga* 3b+ c-
ifi) ' )
25a+5b*c-
&
b: - -+, J
4B:, 3'
c: r2o.
Tra"ilena funkcij a izvoza je
y: -r!*' + qe?*+ 120. JJ
Kako j" U' : -ffr+ $ : 0 za x izvoz pre5ao iz rastenja u opadanje
152. Tijelo
se krede po zakonu
Rezultat: umoo:64m/sec
s:
:
r
3,32, toje g u 3-ioj godini, odnosno 1g88. godini
-f3 + 18t2 + 10r. Odrediti njegovu
maksimalnu brzinu.
o
153. Na6i pravougaonik najve6e povriine koji je upisan u krug poluprednika r. Rezultat: ThaZeni pravougaonik je kvadrat strane rt/i .
154. Medu pravouglim paralelopipedima date powsine P dija je osnovica kvadrat, odrediti onaj koji ima najve6u zapreminu. Rezultat: Kocka
iice
f !.
155. U loptu poluprednika
IR
upisati prav kruZni cilindar maksimalne zapremine.
Rje5enje:
sl .59. 2L6
Oznadimo visinu cilindra sa
r. Tada (sl. 63) je poluprednik osnovice cilindra
!as 22
1_
AC2
-
BCz
i{+n, - t2, 'l
a zapremina cilindra
1-
v(*)
ttrlt 4,
edje je r € [0,2ft] . Tleba odrediti maksimalnu vrijednost funkcije V (*) na intervalu rR2 in*t 0 za * Iz(0) O, [0, 2,R]. Kako je Vt (r) furABt=.J i v(zL): 0, to trazeni cilindar maksimalne zapremine ima visinu 'Y .
:
:
-
: #,a
: V(4y :
156. Odrediti minimum funkcije f (x)
:
ma>r{2lrl, lt +
rl}.
Rje5enje:
.
-t
Ako je2lxl > 11+rl, to je ma:<{2lrl,lL*rl} : 2lrl. Znaii, f (r) : Zlxl za -& iti r L. Ako je 2lrl < l1 +rl, to je max{zlcl,lr+rl} 11 + rl, paje /(r)
)
:
za-i
..,. f "\' L11+rl 2lrl f (")
(r(
: lr* 1l
za* za
r#(-t,l).
za
*
.
Kako je
.(1
e' f'(*)
L2sgnr za
to u tadkama $r
r#[-*,lJ
,
moze imati ekstremum. Uporedujudi brojeve
/(-t)
30
157" Odrediti minimum funkcije: a)
f(x)
:
ma>r{ch
*+
*,4- chr}, b) /(r) :
ma:<{l
-
lc+
31, 1
-
lrl,
1
*
@
- 2)2} o
158. Odrediti maksimum funkcije: a) f
(r):
min{c
* b,lnr, | - *},
b)
/(r) 217
:
min{-z ,(r *D2
- *, -t"'-H("*t)t.
7.3. Najveda i najmanja vrijednost funkcije na segmentu je funkcija A : f @) neprekidna na intervalu [a,b] i
i:
neka su oi € [a,b], L,2, . .. , n, ta6ke u kojima funkcija ima lokalne ekstremume, tada ona na intervalu [a, ima: Neka
b]
a) Najve6uvrijednost M: max{/(r1) ,f(rz),,...,f (r"),f (a),f(b)}, b) Najmanju vrijednost rn: min{/(r1),..., f (r"\, f (a), f (b)}. Ako je funkcija A : f @) diferencijabilna na intervalu [a, b], tada je, pri izboru taiaka 16 € fa,bl, i:1,2,...,n, dovoljno utvrditi da su to stacionarne tadke funkcije bez ispitivanja postojanja i wste lokalnog ekstremuma o 159. Odrediti najve6u i najmanju vrijednost funkcije u naanadenom intervalu:
- zr2 - JOr - 8' b) y - #; c) y-r-zlnr; d) y - sin 2r - r; e) U-tr3en; f) a-@-3)2tl*l; s) u-rlr-3| *4; F -8. -n3 h) y - s-7 # o; $n * sin #),r ( a) y -
i) y-
2r3
-
t
[-3,0] [0,4]
,
[1,t]
,
,
I-+,TJ, l-4,21, [-1 ,4],
[I,I],
[-r,r], r t' z; [-an, nf. o, r-kn,f: k€
In ^r^rL/r4^ lsinrl'
Rje5enje:
a) Po5to je data funkcija diferencijabilna ntr interralu [-3,6], pri demu i" / :6r.2 6x - 36 : 6(r - 3)(r +2) : A za x1 - -2 i 12 : 3, to su xt i rz stacionarne tadke u kojima je /(rr) - 36, 71nz): -89. Vrijednost funkcije u krajnjim tadkama datog intervala je /(-3) : 19 i /(6) : 100. Odavde slijedi da je najve6a wijednost funkcije na [*3,6]:
l/[ - rqax f (*) c€[-3,6]'
:
max{/(-3), f (-2),/(3), /(6)}
:
ma>c{19,36,
dok je najmanja wijednost
: min f (n) 'rn,:c€[-3,6]" '
min{19,36, -89,100} 218
:
-39,
-89,100}
:
1gg,
b) c)
:
: n:2
Najve6a wijednost funkcije f (4) 1, f , a najmanja /(0) s:2 Kako i" A' 0 za i funkcija u tadki ima minimalnu wijednost Umi.n:2(L -In2), a vrijednosti funkcije na krajevima datog intervala su: /(1) 1 1 f (") e -2, to je najve6a vrijednost funkcije /(1) 1, a najmanj a f (2) 2(I- ln 2),
:
r:2
-
:
:
d) Kako j" A'
: 2cos2r- 1 -
0 za
r :
:
:
LT, to je
yynaa
: + -E
ru
r : t
i
, E za r : -8. Vrijednost funkcije na krajevima intervala jeste: -: 2i (+) : -{. Odavde slijedi da je najve6a vrijednost funkcije na datom f eE) T f intervalu f (-+) : t, a najmanja f (T): -+, e) Kako j" A' : #e'(r+ 3) : 0 za 11 : 0 i xz- -3, to data funkcija u taiki x2 : -3 7t--'fit vrnxn
f)
ima minimalnu vrijednost 9r,o6 : -27e-3, & u taiki z1 : 0 ima prevojnu tadku. Vrijednost firnkcije na krajevima datog intervala jeste: f (-4) : -64e-4 i lQ) : 8e2 , pa je najve6a wijednost funkcije 8e2, a najmanja -27e-3, Kako je
@-J)2e', xla g: t (r-J)2e-', r1o, I to data funkcija:
t) Zar > 0 ima Umaa : 4e pri t : l, 2) Za r ( 0, ima g*6n: 0 pri r:3.
g)
Umin
:0
Kako je na krajevima intervala /(-1) : L6e wijednost f @): e4, a najmanju /(3) : g, Kako je
pri
i
r:
f (4)
-
3, a za fr
:0,
g(0)
:
9.
e4, to funkcija ima najve6u
12-3r*4, rZ3.
a- I I-*2+Jr*4, r to data funkcija ima:
I) A^n : 2)
4 za
U*o*: ff
t:
za
3, a za
*:8.
r
> 3 nema ekstremuma.
Vrijednost funkcije na krajevima datog intervala jggte: /(1) : 6 i f (t) slijedi da funkcija ima najve6u vrijednost /(;) : T, a najmanju /(5)
160. Odrediti najma,nju i najve6u wijednost datih funkcija na naanadenom intervalu: a) a d) y
:
x2
-4n+6, [-3,10],
:2r, f-L,sf,
e) g
b)
a
-Jr+21, [-10,10],
: affi;,=lx2l0,2rl. 2t9
c) a
: *+I,
[+,100],
Rezultat:
m:2, M - 66, b) *:0, M : I32, c) m:2, M: 100,01, d) m: |, M :32, e) Na datom intervalu funkcija nema ni najmanju ni najve6u vrijednost o
a)
161. Odrediti najmanju vrijednost sljede6ih funkcija u datom intervalu: a)
a:**t"t -*r'-X*+1,
c)u:
[-3,2],
-sin(asinr), lo,+1, a)oo
b)
gr:
Df],
sinkrr,ll,4),
162. Odrediti najve6u vrijednost sljedeiih funkcija u naznadenom intervalu:
a)a:@-r)2(r-2)2, [-3,4], b)s: (r , ,'' c) y: =n {[4 . "F ,u,url o. 7
A.
Konkavnost, konveksnost
:
Gfu,
[-r,r],
i prevojne tatke funkcije
Neka je funkcija y f (r) neprekidna sa neprekidnim izvodima na intervalu [o,b] i neka postoii f"(*) za svako e (a,b). Tada, ako je f"(*) > 0 (f"(r) < 0) za srako r € (a,b), grafik funkcije je konkavan (konveksa,n) na intervalu [4, b].
r
r:
ro. Da bi tadka Mo(xo,;(ro)) neprekidna funkcija u okolini tadke bila prevojna tadka grafika funkcije, potrebno je da bude y" (ro): 0. Dovolian uslov da bi tadka Mo bila prevojna taika grafika funkcije U f @) jeste da i" {'(*) razlibitog znalsa, u intewalima (re - €,ro) i ("0, ro * e), e > 0 o Neka ie
f"(r)
:
163. Odrediti prevojne tadke i intrevale kom'eksnosti i konkavnosti funkcija: a) a : 13 -
6x2
r
l2r * 4, b) y -
lo-11 ' c)y:ffi,d)g:
o{p,
n2e-',
: Y, f\ A: rsin(lnr), : e2' + 14, h) g : r * cosr, i) y : n2 +2sinx, i) y- 1 - l*3 - zl, k) y : (l + *)e-*' + *, l) g : arccos i* +3r- 8.
e) U g) y
220
Rje5enje:
:6(r - 2) :0 za n:2, u /' > A za n ) 2, to je data funkcija konkavna u intervalu (2,+oo), a konveksna u intrevalu (-oo,2), jer je zasvako r 12,A" <0. Po5to tadka n :2 dijeli oblast definisanosti funkcije na dio u kome je ona konveksna
a) Kako i" A"
i dio u kome je konkavna, to je M(2,12) prevojna taika grafika date funkcije,
:0 za b) funkcija je diferencijabilna za svako r € R\{1}, pri temu i" A" : r+# rr -- -2- t/5 i ,z : -2+r/5. PoSto i" g" < 0 za r € (-oo, -2- t/S)U (-2+ /5, 1), u a" > azar e (-2-Ji,-z+t/3)u(1,+m) imamo da je data funkcijakonveksnaza r e (-oo, -2 - {3) u (-2 + \/3,1), a konak vna za x e (-2 - t/3, -2 + \/3)u ( 1, +oo). Prevojne taike su M1(n1,/(rr)) i M2(r2,1@)), c) F\rnkcija je definisana u intervalu (0, +m) i diferencijabilna je u svakoj tadki toga intervala, osim u tadki Kako je
r:
1.
( 3 r-5
fTl r v-{ i|za tffi za r<1
4' rJ. u": )) 3 5-r{r
za
t 4'iql to jegtt >0zare (0,1)U(5,**), za
r € (1, +oo) r€(0,
)
i y" -0 za fr:S, 1)
uA" <0zax e (1,5). Dakle, uintervalima (0,1) i (5, +oo) data funkcija je konkavna, a u intervalu (1,5) konveksna. Taika U1S, ftu)
jeste prevojna tadka grafika date funkcije,
t/2 i 12 : Z + rfr i ytt > 0 za uy" <0 zax e (2- tfz,z+ rfz), to je grafik o € (-oo, z"/2) ^fr,+*), date funkcije konkavan na intervalu (-m, Z - tD) i (2 + t/2,,+*), a konveksan na intervalu (2 - ,/r,z + t/2). Prevojne tadke jesu: Mr(z - ,fr,(z - fr)2"-(2-{2\ i MzQ + r/2, 1z + tfz)z e- 1z+{z) 1, ikako je e) F\rnkcijadefinisanaiezar > 0. Kako iu{':ry:0za*: "t {' < o za r € (0, e8; i u" > 0 za r e @t,**), to je grafik funkcije konveksan na intevalu (0, eB), a konkavan na intervalu (e8, *oo). Prevojna tadka grafika funkcije je
d)
Kako
'
i" A" : (*' -
/e
\"''
4r *2)e-" u (2+
:
0 za xL
g\ ,"t )'
22I
:
Z
-
f)
j"A": j(coslnr-sinlnr) :0zar: s[*kn, k e ZiU" <0zar € ptr(ak-z)l+,"tr(8k+\la) i a,, > 0 za r e (e7.(8k+L)14,"n@k+s)l+1, lc e z, toje grafik funkcije konveksan za r € pn@k-z)/+,eir(8h+t)l\, k e Z, akonka,van za r € ptr@k+t)lt,,"tr(sk+5)/1, k e z. Ta(ke, k €z snprevojne ta6ke grafika "n(Aktqla, Kako
tunkcije,
i"a" :4(e2" +3*t) > 0 zar € 1R., to je funkcija konkavna za svako r € lR, h) Po5to i"A": -cos t:Azar e [+ktr, k eZi{'>Azar e(E +2kr,{ *2kn), k eZi {' <0 za r e (-+ l2kr,$ +Zkr\, k eZ, to je grafik funkcije konkavan na intervalu ($ +Zkn,! +Zttn1, k eZ, a konveksan na intervalu (-+ *2lvr,$ +Zkr1, g)
Po5to
*
k e Z. Prevojne tabke su Mp($
i)
Po5to
i"y":2(L-
j)
rf
ten1,
k e Z,
:0za*:t*2kn,keV,iA" >0zar+T +2br,to je
sinr)
funkcija konkavna za k eZ,
kn,$ +
$ +Zkr , k e
Z. Prevojne
ta6ke su Mpl$ *2letr, ($ +Ztcn1z1,
Kako je
( J-12 a-1",
1
za l"l za l*l
l"l l"l
to je funkcija konveksna za l*l > t/2, a konkavnazalrl funkcije su M16n,\ i Mz?tn, 1),
k) funkcija konveks
l) funkcija
<
Prevojne tadke grafika
^n.
na za l*l
je konkavna za tr
L64. Pokaaati da je grafik funkcije
zary A
- In(r2
1)
uvijek konveksan.
Dokaz: Kako
i. u" : -ffi
konveksna za te wijednosti
< 0 zasvako rr
165. Pokaaati da prevojne tadke krive
r iz oblasti definisanosti, to je funkcija uvijek
y: rsinr
pripadaju krivoj
y'(q+ r') : 4*'
Dokaz:
r - rsinx :0 za r -- #f2, to funkcija ima prevojne taike za ,: W. Uvr5tavanje wijednosti r u datu funkciju, dobi6emo A:2cosr. Zamjenom Kako
j" u" :
wijednosti x i y
l
2cos
datu krivu y'(++
*'):4r2 222
dobi6emo traZeni identitet o
166. Odrediti intervale konveksnosti, konkavnosti i prevojne tadke funkcija:
: 15 - ror2 tJr, a) g : fi, c) a : VW:Tfr,, d) A : r *sinr, e)y:"-*', f)y:*tn#, a) y
g) y
:
eaxctsr
)
h)
A
:
Z
_
lr5
_ tl.,
1)y:ffi-5x, i)s: ft-1*Br. Rezultat: a) F\rnkcija je konkavna za r € (-oo, 1), a konveksna za fr €. (I,**),
r:
I je prevojna
tadka,
b) funkcija je konkavna za r €
rc)
ryje
3+2rAr (0, T)1
a konveksna za r
€ ( 3+2\re , *oo), tadka 3
prevoina tadh,
(-*, *tfr) i 10, /5) funkcija je konveksna, a konkavna na intervalima e\re,0) i (/5, +m). Tadke x:0 i r: *t/5 su prevojne tadke,
Na intervalima
d) Na intervalima (2len,(2k + l)r), k e Z, furftflja je konkavna, a konveksna na intervalima l(2k+I)r,(2k*2)rl, k e V,. Tadke n: lcr, k eZ, prevojne su tadke, e) Na intervalima (-oo, -il i (h,*oo) funkcija je konveksna, a konkavna na intervalu eh,ft). Prevojne tadke iu +ir,
r:
f)
F\rnkcija je konkavnazar prevojna je ta6ka,
g) Na intervalu
e (0, 10e1@, a konveksnaza
r
e (L\e1fr,, *oo); r: I\etfe
(-*, j) nrnt.ilu je konveksna, a na intenalu
(|.
prevojna je tadka,
h)
F\mkcija je konveksna za z €
tadkajer:0,
i) j)
(-m,0)
+*;
U (1, **), a konkavna za tr
konkavna,
a)
'L' r+0, a_{""il*' :t8,,, b) u- !*ucos+, ro, t o.
223
1
2
€ (0, 1). Prevojna
Rrnkcija je konkavna na intervalima (0, 1) i (3, +oo), a konveksna na (1,3), F\rnkcija je konveksna za n
L67. Odrediti tadke prevoja, ako postoje, u nulama datih funkcija:
r:
Rezultat: a) Prevoja nema, b) Prevoja nema
o
168. Odrediti intervale konveksnosti sijededih funkcija: a) f c) /
:X ---+Y, tr:(t+t)2, a:(t-I)2, b) /' X--Y, n:tlnt, y:-Get-Jt2, : X ---+Y, tr :(f +t;*, A :(t +t;1+*.
Rezultat: a) Grafikfunkcije jekonkavan zat> -1, b)ZaO je konveksan, c) Grafik funkcije je konkavan o
e grafikfunkcije
7.5. Asimptote funkcije r
Pravu U : A nazivamo horizontalnom asimptotom grafika funkcije y --+ *oo (* -oo) ako je lim f (n) : A.
-
rllXr
Pravu s, : tro naaivaom vertikalnom asimptotom grafika funkcije y ispunjen bar jedan od uslova:
:
1)
*oo,
r
f (x)
Ieada
f (n) ako je
: +m.
2)
"JH*o.f(r)
"jt#_o.f(r)
:
:
Pravu U : lcx*n (k + 0) nazivamo kosom asimptotom grafika funkcije -+ *oo (r ---+ -m) ako funkciju /(r) moZemo prikazati u obliku
g:
f (r)L
f(r):kt*n*a(e), gdje je
(r
a(r) -r
Prava U
*
-oo),
0 kada
: kr *
r -+ *oo (r -* -oo).
n je kosa asimptota grafika funkcije U : f @), kada
ako postoje granidne wijednosti
lim f9:ni fr
foo (r+ -m) s--+
hm t/(")*lexl:n.
s-+ +oo (c-+ -m)
224
r +
*oo
1-69. Nadi asimptote funkcija:
c)a-W,
a)a
e)y-W,
f)
a-ry,
s)
d)
a-tffi,
v-ry, h) y-r*ry
Rje5enje:
a) Oblast definisanosti
ove funkcije je
D
: (-*,0)
U (0, +oo). Tadka
x
:
0 jeste tacka
prekida drugog reda u kojoj je
,. r2*2r-3
llm o--+-0f'r--+10f, pa je prava
:*OO.
A
llm
r2+2r-J
r:
0 vertikalna asimptota (V.A) Srafika funkcije. Horizontalnih asimptota (H.A) nema jer je: -:-OO.
lim r-+*oo
12*2r-3
-
*oo.
Tbeba odrediti kose asimptote (K.A)'
k-
,: b)
(") lim f
s---+*oo
r
"IT*[/(")
z--+*oo
- kr]:
\
2 3\ a__ F)
.
/2x -3\
"_liT* \;
)
:,
Dakle. pra\a A : r * 2 je kosa asimptota grafika date funkcije, Funkcija je definisana za r * L. Prava x : Lje vertikalna asimptota, jer je
,. Iim x7+r - :
. ,. : *oo. Horizontalnih asimptota i lim -oo r+1-0 r-I r+lfo r-l r -r *oo (r * -oo) to g + *m (g/ --* -*), r2+r
Kako je
k:,Ifio i
to je prava
ry:,_liT*fi:,
':"-lig*l#-"1 :',
A
: t + 1 kosa asimptota Srafika funkcije. 225
nema
jer ako
c)
Posto je funkcija neprekidna za svako
r
€
IR,
to vertikalnih asimptota nema. Kako je
li^*' I"u2?rl:g, k- 0_+@ +I ,. fr2 -zr*L 7l:rq; 1ff:t, to kosih asimptota nema- Prava U: r je horizontalna asimptota' d) V.A. nema, H.A. nema. Odredimo kose asimptote:
h
,T'
7__+fOO
fr-+
.AJ
r
-oo 3
rL1
Ttz: Dakle, kada
a--r-i,,
r
2'
u-++oo-
-t 3
"IgL(
--+ *oo, funkcija ima kosu asimptotu
r + 8, a kada r a
U
---+
-oo,
e) H.A. nema,V.A. nema, akako jek: 1,fr: -2,tojepravay-_ k-2kosaasimptota, f) oblast definisanosti ove funkcije je skup D : (0, +oo). Kako i" ,ll]g* bs - -oo, to je prava PoSto
r :0
vertikalna asimptota.
je
rim 2I tim E#: k- &--++(n r---+le i:0, I. ,:,rT* tT _ 0."] :
".!iT*l:0,
to funkcija nema kosih asimptota. Prava g -_.0 je horizontalna asimptota. I, H.A. Y: 0, K.A. nema. V.A.
g) tr: h) V.A. r:A, H.A. nema, K.A.
U: r
o
170. Na6i asimptote funkcija: a)
a-tr2en, b) a-re*,
c)
u-#,
d) a_ 226
+. L+er
Rje5enje: a) Kako je
r2e' : +6 + ' 'I?* "I1,* to funkcija nema horizontalnu, odnosno kosu
--
+*'
asimptotu kada
Kada
r --+ -oo, imamo da je lim
tr- rel="nofollow">
tr2
e*
-oo
2r fr->-oo e-t
pa funkcija ima horizontalnu asimptotu A
b)
F\rnkcija nema horizontalnih asimptota jer je Pobto
je
to je prava x Kako je
:0
vertikalna asimptota sa lijeve strane,
lim
d)
lim L:0, a r,+_oo,r*L
+:*oo,
U:0
horizontalna asimptota kada u --+ Fbnkcija je definisana za n + 0. Kako je
'
U: *je
horizontalna asimptota kada
171. Odrediti asimptote funkcije
y-
#,
-oo. Drugih asimptota
1,-0. lim-l---=:1 hr++fc1+e* 2 c--+0*I+ei;
,ryg-rfu:t, "r,lt to prava
1:cx,.
: Ii- * : *oo i lim re* :0. *---+0-l j r---+o-
r_+*oorr*I to je prava
: ,IT* re*
:0,
I
hm re* r-r0* c)
:
tr1-oo -e-r 0 kad r ) -&,
r -r *m.
i
#:;,
r --* *oo o
y: /(r):
a- rffi, c) ue) A- 1 +*"7, f) u - 1"" - 11, g) r i) a- (1 **), j) A - logsU- *2), k) u-r+Vf, l) ya)
m)
nema.
b)
u-ffi,n)
0.
227
#,
a-#,
Rezultat: b) H.A. A:L,Y.A.r--2, c) H.A. A:0, a) H.A. A:O,V.A. r-*1, d) V.A. n: -4, K.A. g : n-2t e) V.A. n:0t K.A. g : rI3, i) H.A. U:€, f) H.A. U:L, g) r+g*a:0, h) gt: -2t*2,U:-I, m) K.A. l) V.A. k) K.A.
j)V.A.r:tL,
y--t+*.
r:?,
A:n,
7.6. Konstrukcija grafika funkcije Za ispitivanje funkcije
i crtanje
njenog grafika, potrebno je:
10 Odrediti oblast definisanosti funkcije,
20 Odrediti nule i znak funkcije, 30 Ispitati parnost, neprekidnost i periodidnost funkcije (specifidna svojstva funkcije), 49 Utvrditi pona5anje funkcije na krajevima intervala definisanosti i asimptote funkcije, 50 Odrediti ekstremne wijednosti i monotonost funkcije, 60 Odrediti konveksnost i prevojne tadke funkcije. Na osnovu dobijenih rezultata moZemo pribliZno konstruisati grafik funkcije
I72.
o
Konstruisati grafike funkcija: a) y
:
r c) y --
13 +6n2
r9r,
(r-1)2
r\ d)
ftft-,
b) g :
H,,
y: ftt, 'rg
e)y:rh+#, Du:*+#, s)a:*+#, h)s: #
Rje5enje: a) 1" Data funkcija je definisana za r € R29 Kako;e rs + 6x2 +9r i 13 nule funkcije.
: r(x+ 3)2 :0 zarl :
0, fi2: -3
i xs: -3, to stt rr, fi2
30 F\rnkcija nije: parna, nepaxna, ogranidena, periodidna. 40 Funkcija nema asimptota, jer je
50 Po$to
{'(-L) :
j" y' : 6,
3r2
/t(-3) :
"]if_
/(r) : *m.
12r * 9 : 0 za rt : 1 i :02 : -3, & {t : 6x * L2 i -6, to funkcija ima maksimum u ta[ki M1(-3,0), a minimum
+
228
t M2(-I,-4). A'
)
0,a
Funkcija raste u intervalima (-oo, -3) i opada u intervalu (-3, -1), jer je A' < 0 za r
zafi: -2iA"
i"A":6r*12:0 (-*,
(-1,
jer je u ovoj oblasti
€(-3, -1). l0zar € (-oo,-2), to jefunkcija
6o Kako _2), a konkavna u intervalu konveksna u intervalu r e (-2,+oo). Prevojna tadka je P(-2,-2).
Grafik funkcije je nacrtan:ra (sl.
**),
69).
(-2, +oo), jer je ytt > 0 za y
I I I
I I I
b) 1o F\rnkcija je definisanazax2 -4+ 0, odnosno r (-2,2)
U (2, +oo).
20 Nule funkcije y > 0 za r e
surl - -1 irz-
(-*,
(ND
I *2, pa je D: (-m,-2)U
L. Znakfunkcije: y <0zax€ (-2,-1) U(1,2), -2) U (-1, 1) U (2, +oo), odredi6emo pomo6u tabele:
- funkcija nije definisana)
30 Funkcija 40 Kako
x2:2
je parna
i" ,-lip*
H:1,
to je prava U
:
Lhorizontalna asimptota. Tadke tL
i u njihovoj okolini je: , 12 frz - 1 r. r.fr21r.r21 r. lim nm 11m __ IrJ2+0 trz - 4 r*--i-O rz - 4 r+-2-0 -r-ri-o frz - 4 trz pa su prave r - -2 i fr - 2 vertikalne asimptote date funkcije. i
: -2
su taike prekida funkcije ,.,
rl4l4
229
drl
1
- -oo,
i"y' : 6r-'^j" :0 za:r:0 i funkcija a' pri prelazu slijeva na desno kroz tacku r :0 rnijenja znak sa .t na -, to funkcija ima maksimurn u tacki n4(0, i). 6o Kako i" a" : VJP > 0 zalrl> 2,to je data funkcija zalxl> 2 konkavna, aza 50 Po5to
lrl < 2 konveksna jer je y!' < 0 za lrl < 2.
Grafik funkcije prikazan je na (sl. 70). c) funkcija je definisana za r * I I 0, odnosno r I -L, ti. D : (-oo, -1) U (-1, +oo). Nulafunkcije jer:1. F\rnkcijajenegativna, tj. y < 0zar € (-oo,-1), apozitivna, A ) A, za r e (-1, +oo). F\rnkcija nije parna, nije neparna, nije periodidna. Kako u okolini tadke prekida
*m,
to je prava
n- -1 funkcija i*a lipo$:
-oo t ,Ilro$: " -1 vertikalna asimptota grafika date funkcije. Horizontalnih
r:
asimptota nema. Kosa asimptota je prava U :
k
n Kako
i" at :
r-
3,
jer je
_ lirn f @)__: lim 9- tl'. z-**oo r z**oo r(r * 1)
lirnrc tf@) k*l:,Ifr- (# - r-+*<
t#+A
-- 0 za
rr:
- ")
-3 i 12:1, to iemo ekstremume i monotonost
date funkcije odrediti pomo6u tabele: I
r-1 r*3 (r+\2
-3 0
a'
+ +
0
u
/
n
Dakle, funkcija ima minimum u F\rnkcUa raste za svako
r e (-1, +1). Po5to i" y" : 1;fur f
r
I
-1 + +
\
0
ND ND
I
-T-
0l:+ +
\
tI
|{
+ + 0
+
U
/
tatki M{1,0), u maksimum u tadki M2(-3,-8). a opada za r € (-3, -1) i za
€ (-oo, -3) i za r € (1, +m),
r <--l
je
{' < 0, u U" > 0 za r ) -1, pa je funkcija konveksna za r < -1, a konkavna za r > -L. 0, to funkcija nema prevojnih tadaka. Za
Grafik funkcije dat je na (sl. 71).
230
Y
Y-x-3
-8
sl .7\
I *'L. Nula funkcije je r : 0. Vertikalne aspimtote su u : -I i r : 1, a kosa g_- -s. Ekstremne vrijednosti funkcije su u taikama Mr(-{3,*l t Mz(J3,-#1 Grafik funkcije je prikazan na (sl. 72). e) F\rnkcija je definis ana za r I *L. Nula funkcije je r : 0. Kako j" U, : + O## 0 za svako r € R, to funkcija
d)
F\rnkcija
je definisana za x
nema ekstremnih vrijednosti. Prevojna tafka;e'P(ti, O).
Horizontalna asimptota je
je dat na (rl.
y:
0, o vertikalne asimptote su
r : -l i x: *1. Grafik
73). Y
Y 6r
f)
Oblast definisanosti funkcija je D : (-oo,0) u (0,1) u (1,+oo). Nula funkcije je * : L. Horizontalna asimptota je y: 0, a vertikalne su r : 0 i r : 1. Funkcija nema ekstremnih vrijednosti. Prevojna tacka j" P(i,0). Grafik je prikaaan na (sl. 74).
g) F\mkcija je definisana za x + 0. Nula funkcije je r
- -1.
Vertikalna asimptota je
a kosa U : n. Funkcija ima maksimum u tadki funkcije je prikazan na (sl. 75). prava
n:0,
23L
MGn,+). ' v2
Grafik
Y 5 4 3
2
2
P2
-1
1
/'L
./ -1
P
sl .75
sl .75
-2
h)
-2
1 ,-r!
F\rnkcija je definisana za svako
i"a' :ffi
r
€
IR.. Nula funkcije
je
r : 0. Kosa asimptota je
> 0zasvakor € R\{0}, tofunkcijanema ekstremnih vrijednosti, vei stalno raste. Prevojne tadke su: P1(-/$ ,-*), P2(0,0) i Ps({g,*l Funkcija je konkavnazar € (-oo, -rfg) i r € (0,/3), a konveksna prava
za
u:2r.
Kako
r e (-t/3,0) i r € (/5, +oo). Grafik funkcije je prikazan na (sl. 76) o
173. Konstruisati grafike funkcija: a)
a-@*Dlf,
b)
y-
t+r
c) y-1+nz\m, d)
,
Rje5enje:
a-W.
v ML
-t I
I I
I I I
Itlz 1
sl .78
2
a) F\rnkcija je definisana za svako nema asimptota. Kako
i" {
r
€ lR. Nule funkcije su t
: ryW
: -L i r
:0 za q: -fr i 12
g'(0): oo, tofunkcijautaiki znakuokolinitadke *: -hir:0i ima maksimum, a u tadki Mz(0,0) minimum. pobto
i" l,
: *W
2
-1 i
M1
(-t
A'mijenja
,N 0,35)
:0 za nL: -r i 12: -nri6 i ns: 4, 232
.
to
su tadke:
P1(-1,0),
Pr(t#,N
funkcije. funkcija je konveksna zan e za
r
, -/-
€ (-1,-#)
i
r
€
i h(#,E
0, 12)
(-*,
(#,+oo).
0,49) prevojne tadke date
-1) i r e e#,1#),a
konkavna
Grafik funkcije je prikazan na (sl. 77).
D: (-*,-1) u (-1,*oo). Nule funkcije su r:aifr:1.Vertikalnaasimptotajepravar:_|.Kakoj"a,:ffi:o za r : -3 i x : t i Ut (I) : *m, to funkcija u tadkama Mt(-3,ry 3, 9) i M2(L,,0)
b) Oblasti definisanosti date funkcije je
ima minumum, a u taiki Ms(+, N 0,2) maksimum. Prevojna tadka je 16 € (-8, -7). Funkcija je konveksrra za r € (-oo, rs) i r € (-1, f*), a konkavna za r € (16, -1). Grafik tunkcije je dat na (sl. 78).
c) Oblast definisanosti date funkcije je D: [-1,+oo).
Funkcija nema nula. Funkcija M1(-!,nz 1,3) (max)i
nema asimptote. Ekstremne vrijednosti funkcije su u tadkama:
Mz(0,1) (rnin). Prevojna tadka j* na (sl. 79).
p(-* +W,x l,L7). Grafik funkcije je prikazan v
Y 2r
3r
L
I
I
-2
-45 o
.2
0.4
-
1-
x
14
v:z
\
-1
S1
.80.
-2
{
3
Y:-x+ 2
d) F\mkcija jedefinisanazasvakor e R.. Nulefunkcijesu r:Aix:2. Kosa asimptota je prava g : -x *?. F\rnkcija je iznad asimptote kada r ---+.*oo, a ispod kada r + -6o. Presjedna tadka funkcije i asimptote je A(fr, $). Kako je 4-3t ^l za r: t i y/ mijenja znak u okolini tabke * -- fi, [o funkcija u v - siffi:0 taiki M1($ ,N L,03) ima maksimum. PoSto j" g'(O) : {(2): *oo, to postoje dvije
:
:
tarrgente normalne na o osu: r 2. F\rnkcija !r okolini tadke c 0ir znak sa na pa data funkcija ima minimum u tadki M2(0,0).
-
/
*
F\rnkcija nema prevojnih tadat
Grafik funkcije je dat na (sl. 80)
:
o
233
n*;ffi=;ry
i
:
0 mijenja
a" (z) nije definisana.
174. Konstruisati grafike funkcija:
a)y:r2e-*, b)y:as*, Qy:ft, d)y:--t, l+ee' I : r"r5,
e) u Rje3enje:
f) y
rr-r : #,
g)
a:
t,
h) a
:
"p:*.
€ lR. Nula funkcije je r : 0. Po5to je funkcija neprekidna za svako r € IR, to vertikalnih asimptota nema, nema ni kosih, ni horizontalnih kada r ---+ -oo. Kako je
a) F\rnkcija je definisanaza
svako
r
tim f@) k_ r-+foo r
,:
"-liT-If
r- rel="nofollow">*oo
@) - ktl:
,
"IT* ft
: o,
to je prava A : 0 horizontalna asimptota grafika funkcije kada r --+ *oo. Kako je / : x(2-r)s-o :0 zaol : 0 i 12:2, a{, : (*, - r*Z)e-r pri bemu;e grrl(O) > O i /'(2) < 0, to funkcija u tadki M{A,O) ima minumum, a t M2(2,4"-2) maksimurr. Prevojne tadke su: Pl lz - tn,Q - {2)2"-12-'h1i P2lz + rt;Q + {2)2e-12+t/z)1. F\rnkcija je konkavnazan € (-oo,2- t/r) i zar e (2 + t/2,+*), a konveksna za n e (2 - \n,2 + Grafik funkcije je dat na (st. 81). Y
b)
"n).
F\rnkcija je definisana za
v
r # 0. U okolini
lim
fr->a-
lim
rel"
r-+0+
n-
0 je:
ne*
r -+ 0+. Prava A : n + 1je kosa grafika date funkcije. Kako je 1/ 0 za n- 1 i y"(L) at - 4r*_
to je prava r asimptota
tadke
kada
234
funkcija u tadki M(I,e) ima minimum. Po5to j" A" : #"* + 0 za svako r iz oblasti definisanosti, to funkcija nema prevojnih tadaka. Konveksna je u intervalu (-oo,0), a konkavna u intervalu (0, +oo). Grafik je dat na (sl. 82).
c) F\rnkcija je definisana za svako z € (-oo,-1) U (-1,+oo). F\rnkcija nema nula. Pona5anje funkcije na krajevima domena:
a:
#:0,
"IT*r *oo, pa je prava A :0 horizontalna asimptota kada je prava r : -I jer je
Iim L r->-1-0 r *
:
:
Iim r->-1+0
1
r:
---+
-cp.
au:
#:
"_!lT* Vertikalna asimptota
Px' \''
r+1
: W
Kako j" y' i a,,0) > 0, to funkcija ima 0, u y,, d-iy 0 za minimum u tadki M(O,L). Funkcija nema prevojnih tadaka, konveksna je za r ( -1, a konkavna za tr > -1. Grafik je prikazan na (sl. 83).
d)
F\rnkcija je definisana za srako 6emu je:
r € R\{0}.
11 rlii+1*ei ---T liru
Ako je
r;+-oo L+e*
Zna(i,prava U: tje horizontalna asimptota kada ispod te prave za fi > 0, za r I 0, A> | i
t= lim r-*o1
Dakle, prava A nalazi iznad te prave kada je
r
-oo
+ e*
en
iA
2'
r ---+ *oo i grafik funkcije se nalazi
L+e*
asimptota kada r 235
1
r
2'
-oo 1 a glafik funkcije
se
Kako
i" U' : rz(l+ed)z ;. "* r:; l0 zar e R\{0},
to funkcija nema ekstremnih wijednosti.
Grafik funkcije je dat na (sl. 84).
e) F\rnkcija je definisana na oblasti D
0.
:
(-@,2) U (2, +oo). Nula funkcije je r Funkcija nema horizontalnih asimptota jer je jE* rei4 : *oo. Kako je 11
: 0+ i : *\T*o*"* *oor to funkcija ima vertikalnu asimptotl,r it:2. Prava U : tr * 1 je kosa asimptota date funkcije i pri tome je grafik funkcije iznad . :0 za asimptote kad r -+ *oor a ispod kad r ---+ -oo. Kako i" A' : +W "# tr: I i x2:4 i / mijenj a znaku okolini tacaka x1i c;2, to funkcija u tadki U{I,!) : 0 ,u ima maksimum, a u taiki Mz(4,41/d) minimum. Po5to i" A" : ffir*, i y// mijenjaznaku okolini taike s: 8, to je tadka P(8,&) prevojnatadka. ": f je Ftrnkcija konveksnazar € (-oo,f) i za r e (2,*-), akonkavnazar € (9,2). ,Iflo
asE=2
Grafik funkcije je prikazan na (sl. 85). v 10 8 6
4
Y=x+ 1 2 P 4
sl .95 f)
F\rnkcija je definisana za x
Kako je
lim-
# o+-oo -
:0,
+ -2, tj. r € (-*, -2)
to je pravao
Vertikalna asimptota je prava tr
:
lim t:*69
r-+-2*0I+Z
U
:
-2,jer
U (2, +oo). Funkcija nema nula.
0 horizontalna asimptota kada u --+ -oo. je
i
lim t:-oo.
t+-2-or+Z
i" / : ffig*' :0 za r: -l i 9' mi;en;a znak u okolini tadke r: -1 na *), to funkcija u tadki M(-1,1) ima minimum.
PoSto
-
F\rnkcija nema prevojnih tadaka jer je n" 236
: ftffi
I
0
zasvako
(sa
r iz oblasti
definisanosti. Konveksna je u intervalu Grafik funkcije je prikazan na (sl. 86).
(-*,
-2),
u konkavna u intervalu
(-2, +oo).
g) Fbnkcija je definisana za x I +.t/5. Horizontalna asimptota je prava g : 0 kada t --+ -oo, a kada r -> *oo funkcija nema asimptotu. Vertikalne asimptote su: ,: -{3 i tr: +\/5.funkcija irna minimum u tadki Mt(J,*), u maksimum u ta6ki Mz(-L, -*l Grafik je prikazan na (sl. 87). v
v
4r
h)
F\rnkcija je definisaf,La za svako
+oo). F\rnkciia nema nula,
(2,
je prava A :
r gr
zakoje ie x2 - 2r
{
0, tj.
D:
(*oo,0) U (0,2) U
em :
> 0 za svako x € D. Kako jr
L horizontalna asimptota kada
r+
1, to
"_lig*
*oo.
Pobtoi",1T_u: ,!T+ou: *oo i to su prave r:0 "UB*u: ,!y_ra:01,
i
r:
: 0 za r : Ii grl mijenja Zvertikalne asimptote. Kako je u' : A&"** znak (sa * na -) u okolini tadke r: L, to funkcija u tadki M(I,t) ima maksimum. Grafik funkcije je prikazan na (sl. 88) o L75. Konstruiasti grafike funkcija:
a)y- r\nr, b)y-ry, c)!. #,,C)Ae)
y-r*ry,
1-ln
fr,
r
f) u-ln(r2 -zr+z).
Rje5enje:
a) funkcija je definisana
r
za e (0, +oo). Nula funkcije je krajevima oblasti definisanosti:
lim rlnr r---+0*
Iim
r---+0*
lnr 1
i
237
0i
r:
1. Pona5anje funkcije na
lim rlnr-
r_+*oO
*oo.
F\rnkcija ima minimum u tadki M(!,-!). Nema prevojnih tadaka kavna. Grafik funkcije je prikaaan na (sl. 89).
i
uvijek je kon-
Y
0.5 0.4 0.2
r0.2 -0.4
sI .90
-0.5
b)
y:0, je P({&,#)
:
r e (0, **),
nula je r L. Horizontalna asimptota funkcije Maksimum funkcije je u tadki tW(",|). Prevojna tadka je Grafik nacrtan na (sl. 90).
F\rnkcija je definisarra za a vertikalna ie
u:0.
c) F\rnkcija jedefinisanazar e (0,1)U(1,+m).
Kadar*
0+
i f(r)
---+
0_.
F\rn-
kcija nema horizontalnih i kosih asimptota. Vertikalna asimptota je r : 1, jer je : -*. Minimurn funkcije je u tadki M(e,e), a pre#c : *oo i
,Ifro
,Ipo#
vojna tabka ie e1e2,$). F\nkcija je konveksnaza konkavna za x € (l,e'). Grafik je nacrtan na (sl. 91). v v
5r
d)
r € (0,1) i r € (e2,*m), a
0.2
:
F\rnkcija je definis ana za r e (0, +oo). Nula funkcije je r e. Horizontalna asimptota funkcije ie A a vertikalna c 0. Minimum funkcije je u tadki M("2,-*), " prevojna tadka je P(e2{e,&l.Grafik je nacrtan na (sl. 92).
:0,
:
238
e) funkcija je definisana za r €
Inr
rs € (3,t). (rl.
Kako U
j"
(0,
+oo). Kako je r +
ry
Inr
rje5avanje ove jednadine dobija da je A@a) 93).
,!5t*(" + Yl
- -F,
to je
r:
0 vertikalna asimptota. Kosa asimptota je
: r i grafik funkcije je iznad asimptote ka"d,a r + *oo. Tacka A(I,D je presjedna
tacka kose asimptote i grafika funkcije. F\rnkcija nema ekstremnih wijednosti, ve6 monotono raste na cijelom interrialu deflnisanosti. Prevojna tadka je p(e1G,nz 4, g). F\rnkcija je konvel<snazar € (0, eG), a konkavna zar € ("tfr,*oo). Grafik funkcije je prikazan na (sl. 94).
f)
Kako i.*2 -2r*2> 0 zasvakor € IR, to je funkcija definisanazan e IR. Nula funkcije jerje5enjejednadine 12-2r+2:1, ato jer:1. F\rnkcijanemaasimptota, minimum je u tadki M(r,a), a prevojne tadke su: p1(0,In 2) i pz(2,In 2). Na krajevima oblasti'definisanosti i.,-li1r* f (r) : *oo. Grafik je prikazan na (sl. 95) o
v
v
1.5
1.5"
L.25 1
0.
P1-
0.5
0.4
o.25 0.5
-o.25
-0.5
sl.95
239
0.6
0.81
L76. Konstruisati grafike funkcija: a)
g: t/l- nln(l-r),
d) a :l'H,
b)
g: r+ln(22 + 1),
e) a : i+#, f) y: ln(cosr).
c)
A: (r-
1)ln2(t
-r),
Rje3enje:
a) F\rnkcija je definisana za r € (-m, 1). Nula funkcije je r - 0. Funkcija nema horizontalnih asimptota jer je lim url - rIn(I - r): *oo. F\rnkcija nema vertikalnih 1 ni kosih asirnptota. Kako je A' - - 2tln(l-r) >.\F 0 za r a I yt mijenj a - na *) u okolini tadke tr : I - *,1 tofunkcija ima minimum u tadki M(l 1 tangenta krive. Kako i"g" u i,,IFo yt +a slijedi da je
:
znak (ru
1 2r Tt-7-a )t &,
: nO1ffi:
r:
O
it : 0 i U" mijenja znak (sa * na -) u okolini tabke tr : O,to funkcija ima prevojnu tadku P(0,0). Grafikl funkcije prikazan je na (sl. 96). b) F\rnkcija nije definisana za r € [*1,1]. Nuta funkcije je rs e (L,\f2). Kako je + In(r2 1)) -oo t * ln(r2 1)) *oo, to su prave fr za
:
-
"jr5_o("
:
-
"Ifro("
vertikalne asimptote. Horizontalnih i kosih asimptota nema. Po5to
0zax - -1 +\n, to funkcijau taiki r:
i"A'
-l-\n
: W
:
imamaksimum. KaJo je prevojnih y" : +W I 0jezasvako r e D i /' < 0 za r e D, tofunkcija nema na 6itavoj oblasti definisanosti. Grafik funkcije je dat na (sl. tadaka, konveksna e7).
v
v
2r
1r
0.75 0.5 I
0
-2
.25
0.5
_L
S1.98
0.7s
i I
-a
I
4
c) F\rnkcija je definisatrrazar e (-oo,l): D. Nulafunkcije je r:0 i g l0zar e D. ' F\rnkcija nema asimptota, jer je - -€, ,Ipoy - 0- i Y -- +*. "IT_ "JlT*v Kako j" / : ln(l -r)[n(l -r) + 2]:0 zar:0 i r: L- * to tunkcija ima maksimum u tadki Mr(0,0), a minimum u tadki 240
uz(L- b,-hl.Tadka P(l- L,-Ll
jeprevojnatadkafunkcijejerje rrt - 2lrn(!=?)+rl :0iAtt(l-1):0iA,, mijenjaznak (ru - na*) uokolini tadke r:rj. zuntcija je konveksnazar€ (-oo, t-t),a konkavna za x € (1 - :, 1). Grafik funkci;e je prikaaan na (sr. 9g). d) F\rnkcija je definisanazasvako r € (-oo, I): D. Nula funkcije je r:0iy > 0 za r ( 0, ay <0zar € (0, 1). Kakoi.rIT_u:0+, to jeprava a:0 horizontalna asimptota kada o -* -oo, u U : -@ pa je vertikalna asimptota prava r : I.
:"IFo 0 za x : 1- e2 i y/ mijenja znak (sa * na -) u e2, to funkcija ima maksimum u ta6ki M(r - "r,Z). Kako je : 0 za r : l- r$ i u okolini ove tadke y" miieryaznak (sa +
i" / : ffi okolini tadke r : L Posto
/' : ffi
ra -), to je tacka P(l prevojna tadka funkcije. funkcija je konkavna za "?,;bE) r € (-oo, r - ,8), a konveksn a za t€ (1 - ,8, r). Grafik funkcije je dat na (sl. 99).
za r e (e,+m). Nula funkcije je r : : -L. F\rnkcija nema ekstremnih wijednosti, asimptote su: r - t: i y :
e) funkcija je definisana za o "gB*U Prevojna
tadka
€
(0, e) _i
j" P(L,0). Grafik funkcije je dat na (sl. 100).
ii
-1.
f) F\rnkcijaU:
ln(cosc) periodidna je sa periodom 2zr pa je dovoljno ispitati zax € fl,Ztrl. Na tome intervalu, funkcija je definisana za r € [0,4) u (*,2"] - D. Nule funkcije su r : 0 i r : 2r i y < 0 za r € (0,9) u 1\,2i1. Kako je lim ut: liT. ln(0+) - -6, to su vertikalne asimpiote 1t i : $. Na
a-+$-0" r-$+o^y:
"
"
ogranidenom intervalu l}r2trl nema smisla ispitivanje postojanja horizontalnih i kosih asimptota Kako ieU' iU,Q):{(2n):0, a y,, --Jo- <0 za svako e D, to je funkcija konveksna za € D i U,,@iD ylt(ztr): -i*1"0, ou funkcija ima maksimum za i r 2z'. Grafik funkcije je prikazan na (sl. 101) o
(** a*).
r
: -tgr r : r:0 241
:
:
5ltt
-T-
3lx
-T-
-anl
I
t,
rl rl it rl
L77
.
i
I
I
\r
I
-0
li
rf
Ir ll
:l
ll
d)
A )sinr*cos2r,
y-fi+arcsinffi,
b) e)
I
I
tl
I I
-P l
IF
I
Konstruisati grafike funkcija: a)
a
-0.
U-
m,
y- ffir
sin2
r
v- arctg(l + * ), ,t f) v- tf;m' c)
cos
Rje5enje: v 2r
n 5x 2
a) Datu funkciju
moZemo napisati u obliku
y
-
2 sin
r*cos2r
je -2sin2 r * 2 sin r * 1. Rrnkcija je periodidna sa periodom 2n, pa dovoljno islritati za r € l0,2nl. Rrnkcija je definisana za svako r € [0,22r] i Kakoje # trigonometrijski krug, se dobija da je xz e
y(ri
(#,2n);y> 0za+
< sinr < 1. Koriste6i ponovo trigonometrijski htg, (0, x) i r e (rz,2r), a za r € (nurz) je y < 0. nema asimptota. Kako i" y' :2cosr(l - 2sinr) :0 za r e {5,T,t,T}
zakljudujemo da je y > A zar e F\rnkcija
iy" : -2sinr-4cos2ri{t($) - 2> 0,Umin: y(t): t; {'(T):6 > 0, umin:u(T) - -3; a,,(t) - -8, umar:s(T):8,u,,(T) - -1 <0,ymar: : y(*) : $. f'untccija ima detiri prevojne tadke: {t : -2sirtt 242
4(cos2
x
-
sin2
t)
r-2sinr- 4:0 za sin": $#. Svaka od jednadina sin, : t*# i sinr: =# ima dva rjesenja (vidi sliku). Grafik funkcije je dat na (sl. 102). b) funkcija je periodidna sa periodom 2tr, pa 6emo je ispitivati na intervalu [0,2n]. Nule funkcije su r : 0, r : 7r i n : 2r i y > 0 za r € (0, r), a A < 0 za n e (tr, 2r). Funkcija : 0 za r : + i r : T i A, mijenja znak u nema asimptota. Kako i" A' : ffi okolini tih tacaka, to funkcija u tacki. Mt(t,l) ima maksimum, a u taiki uz(T,D minimum i g'(0) : yt(2tr): 1-oo, y'(") I -F, p& u tadkama 0, zc i 2r 1p1ngiente 8sin2
na krivu su normalne na r-osu. Kako
j"
y"(tr) #0,U" 10 zar e
a": 1ffi#
i a,,b) nije definisano tj..
(0, T), aAtt > 0 zar € (tr,2tr),paje funkcija konveksna na intervalu (0,r), a konkavna na intervalu (tr,%r). F\rnkcija ima jednu prevojnu tadku na intervalu [0,22r] (za r : zr). Grafik funkcije je prikaaan na (sl. 108).
sI .103 c) F\rnkcija je definisarra za r € (-oo,0) U (0, +oo). Nula funkcij e je r - -1. Kako j. 9 : arctg(l + 0) : t + 0, ,_liT_ gr : arctg(l - 0) : T - 0, to je prava "_li11U : T horizontalna a-ritnptota. Kada r -+ *oo funkcija je iznad asimptote, a za : : tr -+ -oo ispod arinrprure. PoSto j",!bt*g : ,jf*arctgt T - 0, ,[T_, : ,IT* arctg t -t * 0, to funkcija nema vertikalnu asimptotu za r :0 iako za r : 0
nije definisana. Kako i" a' : < 0 za r € D, to funkcija nema ekstremnih #i wijednosti. Primijetimo da j" a' : *\_yt : -1, ti. da granidni polozaji "lgfi* tangenti na krivu u tadki prekida zahvataju sa r-osom ugao od T (tS T : -t). Kako i"y" : -ii grtl mijenjaznak u okolini tadk; *: -t, Offi:0zar-: pa je P(- t, -il prevojna tacka funkcije. Grafik funkcije je prikazan na (sl. 104). d) Oblast definisanosti funkcije D : (-€, *m). Nula funkcije je r : 0. F\rnkcija je neparna' Kakoi",-llp-u: +r-liT*arcsin *oo i
"-liT*f
243
,n4t: *oo*0:
lim to funkcija nema horizontalne asimptote. Kosa asimptota je y fr+-@ A - -oo, i kada r --+ *oo' grafik funkcije je iznad asimptote, a za r ---+ -oo ispod. Kako je
-
z(L
1
v'
I
2'
I
(1
* /2)
-
r.2)
(1
-
z(L
1
r,2)
,+ (1 *r2)lt-*21
r2)2
(1 ),
It
2 zar € (-1,1), +;-r+fr" 2
t,
i
-
lr
{(-L) i y'(L) nije definis*o i
R
zar€ (-m,-l) u(1,+m)
od: *}\_o/:-}, "Iprr':,jtg* ou':t n : -l i tr : 1 imaju koeficijent
"Ift u tadkama slijedi da granidni poloZaji tangenti pravca i i 8. U okolini tadaka
r : -! r : 1 funkcija izgleda ovako: Za n € :0zax'o: -t/5i *: {5.U (-*,-1)U (1,+oo), yt : *- G?A: #iu' okolini tadke n: -t/3 prvi izvod (y/) mijenjaznak (sa * na -), pa funkcija ima ma^ksimum u taiki M{-{3,-+ - $),u minimum u tacki Mz({5,$ +$) ie, y' u okolini tadke * : {S,mijenja znak sa - na -1. Zar e (-1, \, { : * + #A "" mijenja znak. Zar e (-*,-1)U(1,+oo), {': #r,azare (-1,1),A" :-#. Prevojne tadke su: P1(-1 ,-+ - E), Pz{(,0) i P3(1, t + Tl. Grafik funkcije prikaaan -t
je na (sl. 105).
v
v
1.5 L.25
1
-x
0.75 0.5 0.25
-2 -3 -4
sl . L05
-0.25 -0 .5
n
3n 2
sl.105.
e) F\rnkcija je definisana za svako r e R. F\rnkcija je ni parna ni neparna,'periodiina je sa periodom 2zr, pa 6emo je ispitati na intervalu [0,2r']. Nule funkcije su r : 0, :D:it ir:2tr iy >0zasvakor e (0,22r). Fbnkcija imaminimum u tadki M1(tr,0), a maksimum u tabkama Uz(8,11 i Ur(T,1). Grafik je prikazan na (sl. 106). 244
f)
F\rnkcija je periodidna sa periodom 2tr, paje dovoljno ispitati na intervalu [0,22i]. Nulefunkcijesu S. Xato
r:tir:
i"u': #ffi;:0za*:Ti*:\tiyl
mijenja znak u okolini ovih tadaka, pa funkcija ima minimum u tadki a maksimum u tadki Mr(Y,$). C.unk je prikazan na (sl. 107) o
Mr(T,-#1,
Y 1
0.75 0"
0.25
7n 6
n
5A
2n
-0.25
2
-0.5
sI .107.
-0.75 -1
178. Konstruisati grafike funkcija: a\ y: coss - ln(cosr), b) y: cosr t d) y: arcsin e) y :f - arccos
#,
f,.sin2r,
c)
u:
cosrcos2r,
il y :sinrsin(r+ $).
h,
Rezultat: a) F\rnkcija je definisana u intervalima (-T + 2lcr,$ * 2kr), k e Z. Period je hr. Za r : 2kn Umin: 1. Prave, : E * ktr, k eZjesu asimptote (sl. 108). b) F\rnkcija je definisano za svako r € IR., periodidno sa periodom 2n. Presjedne ta.dke s osama su ,4(0, L), B(+,0) i C(+,0). Za i y*in: ,u T je A*o,
:+ , : T. Prevojne tadke su: P1($, 0), P2Qr * arcsin(|), -#), arcsin(|), #l (sl. loe). v v *:
1.5
3
.5 2
.5
n 7( 3n2n 5n3x 222
sI .108 .
Pr(Y,0)
i
-3f
Pa(2r
-
c)
zau € lR. Period ie 2tr. funkcije f (*) :0 za r: [, r : $, intervalu ll,nlA*or: L zat:0, Umaa: #r"x:7r -*.tit/8,
F\rnkcija je definisana
r: +.U d Umin : -#u
-l za tr :'Ir. Prevojne tadke su: p1(arccos /X,*rA), pz(q,0) i p3(zr - axccos tlfr,+rlfr) (sl. 110).
d)
za
r:
arcsin
tft
I Umin :
F\mkcija je definisanaza svako r e R. Zar:L yma,r:t, aAmin: -t rutr: -l i y'(L + 0) : -I, y'(L - 0) : 1. Prava a :0 je asimptota. Prevojna tadka je P(0,0)
(tl. 111).
e) Rrnkcija je definisana za svako r € IR. Za r
1 I
r- -rfr, a za tr je P(0 ,-+) i a' (-1 - 0) a ry je asimptota (tl. II2)vv
i amar: _tfr{5"
za
zar 3 f;t a'(1 + o)
3
2
1
t-
3
4
sI .LL2.
5
f)
F\rnkcija je definisarra za svako fr € ]R. Rrnkcija f kr,k € 7',Amin k € Z. Zar 113) o 246
(")
ry
.A/
kn,
-3 * lur, k€ V, (rl. 7t
179. Odrediti parametre a i b tako da funkcija A: -l ekstremumlaza ffiimazar: r -- -2 prevojnu tadku. Ispitati dobijenu funkciju i nacrtati njen grafik. RjeSenje:
y: f (r) imaekstremnuvrijednost utaikiro € D ako j. /'("0) :0 ili f'(*o) nijedefinisaniako//(r)mijenjaznakuokolinitaikers. OvdjejeD: {r e IR, r,2+b > 0}, b-at Tadke u kojima yt nije definisan: {r e lR, 12 +b < 0} ne pripadaju oblasti o,t v - u/@Ti]EF-D, tkao da funkcija moZe imati ekstremu m za r - - 1 sarno ako je g' (_l) : 0, tj F\rnkcija
.
b-ar Kako je U"
(1)
,totadkeukojimay,,nijedefiniSana:{r€R,r2+b<
{("r+b)5 pripadaju oblasti D, tako da y ima prevojnu tacku za
tj.
8a*6b-ab
Izsistema (1)
* b- 0 t * 6b -
" i (z) se dobija' { go
a)
(a
-
0
tu_0
r
-0.
(2)
odakle je
- o' ili b) f o- 2-2
ab
la-
a)Zaa,-0ib:0je f (r)
T
r
{12 -
l*l'
( 1, r
sgnr- { 0, rI I
\ -1, n I
0 0
0,
I@) : sgnn za x f a. Kako je zasve r < 0, /(r) - -1, to je /'(r) : 0, ft'(r) : 0 (r < 0), tj. ni ft(r) ni f"(*) ne mijenja znakza r ( 0, pani u okolini tadakar: -1 i
r: -2. Iz togarcaloga, dobijena funkcija ne zadovoljava uslove zadatL
b: 2 je s(x) : jF+;. Kako j" s'@) : ffi, e'(-1) : 0, g(_r):_{3ig,,(*):ffi,g,,(_2):s,,(*):0isez):#,s(!):-t, b)
zaa:
-2 i
247
to na osnovu promjene znal
-@.
i p2(+,-I). F\rnkcija je konvekslaza r € (-oo, -2) i za r € (1,+-), r e (-2,|;. Cta*
je prikazan na (sl. 114)
S1
a konkavna za
o
.LL4
180. Grafik funkcije a : H prolazi kroz taiku A(1, 3), a prave A : I i r : 2 su mu asimptote. Odrediti vrijednosti parametar"a pod tim uslovom pa ispitati dobivenu funkciju i nacrtati njen grafik. Rezultat:
c:
'Pod
-
datim uslovima, vrijednosti paralnetara su: a - 1, b - -4, -2, p& y #4. F\rnkcija je definisana za r # 2. l\ula funkcije ie r Rrnkcija nema ekstremnih vruedrrosti. Iionkavlla je za r € (-m ,2) j a konveksna za r e (2, +oo) (rl. 115) o
181. F\rnkclja g : ffi i^u stacionarnu tadku za r :3, a grafik joj prolaai kroz tadku A(0,1). Odrediti wijednost parametara, pa ispitati dobivenu funkciju i nacrtati njen grafik.
Rezultat:
. u : : : Vrijednosti parametara su: o i, b I, pu g ft. Funkcija je definisana za r # L. Za r:3 je U*o*: -$er/2. Prave r: L i y :0 su asimptote. Grafik funkcije je konkavan za
r € (-oo, 1), a konveksan
za
r e (1, +oo). (sl. 116) o 248
L82. F\rnkciiaa -@+r#=q ima ekstremum u tatki A(2,-1). Odrediti vrijednost para, metara pod tim uslovom pa ispitati dobivenu funkciju i nacrtati njen grafik.
Rezultat: Vrijednosti pa.rametara su: a : I, b: 0, a funkcija je A : @&4. Funkcija je definisana za r f L i x I 4. Za fr : -2 Amin :-$, a Umon : -I za r : 2. Prave U : 0, r: L i r:4 su asimptote (sl. 117) o
183. Odrediti realne vrijednosti parametara a ib tako da grafik funkcije U : ;ffi ekstremum u tadki (+,i), pa dobivenu funkciju ispitati i nacrtati njen grafik.
ima
Rezultat:
a,:Irb:-4. 184. Odrediti parametre a i b tako da tadka A(2;2,5) bude prevojna tadka krive zadate jednadinom rzy * ar *W: 0, p& nacrtati grafik tako dobijene funkcije. Rezultat:
o:_T,b:t.
185. Nacrtati grafik funkglje
r:
sin
t, A : tgt.
Rje5enje:
:
tg(2arcsinr) ie definisana za r € (-1, -*lU e+,*lu Nule funkcije su r: *1 i t :0. Asimptote krive su tr : *$ q*. 118) r F\rnkcija
y
249
(*,t).
sl sI .118. 1-86. Nacrtati grafike funkcija:
r - tgt
lYr JJ
3f(1
- r)
, r -tet b) L+t2 1,c) 3t a - ri"t a - te-t' a- 1-t+# -
a)
Rezultat: a) (tl. 119), b) (rl.
120)
,
c) (tl.
L2L).
Y
\
\
SI .L2L.
\
250
.
119.
8. F\rnkcije vi5e promjenljivih 8.1. Osnovni pojmovi, granidna vrijednost i neprekidnost F\rnkcije sa dvije i vi5e nezavisno promjenljivih tretiraiemo kao specijalan sludaj funkcija definisanih u ru-dimenzionim euklidskim prostorima. Prema tome, sa D oznadidemo definiciono podrudje funkcije definisano u rz-dimenzionalnom prostoru IRn sa vrijedno(xt,x2,... ,rn) zna(i neku taiku stima u rn-dimenzionalnom prostoru IRm, pri demu (rt,rz,...,r*) znadi nekutadkuu Rm. Specijalno, ako je uR', onda je rijed o funkcijama f (q,r2) dviju realnih nezavisno promjenljivih 11 i 12. Kada stavimo fr, ix2: U,bi6e f (q,rz) f (r,y) ,.
/
,:
ar:
:
rr:
cR
:
/
dviju nezavisno promjenljivih r, g dodjeljuje svakom uredenom paru jednu x IR i samo jednu odredenu wijednost z € lR, u oznaci
Dakle, funkcija
(r,U) e D
n:2,2,m:L
z: f (r,y), ili
"f
, lR2 --+ lR.
Vrijednost funkcije z : l(r,g) u nekoj tadL
.-
Tacka .11(r,
,: f (Md: f (xa,Ud.
g,z), gdjeje (r, A) e D, a z: l@,0 obrazuju povr5 u prostoru
IR3.
F\rnkciju dviju nezavisno promjenljivih moZemo predstaviti u: eksplicitnom obliku:
z:
implicitnom obliku:
F(r,y,z)
parametarskom oblikui
f (r,U),
r:
:0,
r(u,u), y : U(u,u),
z:
z(u,u).
Pod okolinom poluprednika r tabke Mo(ro,gs) podrazumijevamo skup svih tadaka (x, y) eiie koordinate zadovolj avaju nejednakost
tl@-ro)'*(s-vd2
skup svih tada,ka koje leZe unutar kruga polupreinika
25I
r
sa centrom u tadki Mo.
f (n,g) definisana u nekoj oblasti D ravni Ory i neka tacka Ma(ro,ys) ledi unutar oblasti D ili na njenoj granici. Broj A se naziva granicom funkcije f (r,y) u tadki Mo(ro,go), ako se za svaki proizvoljno mali realan broj e rel="nofollow"> 0 moZe na6i takav broj r > 0 da za sve tadke M(*,y), zakoie je ispunjena nejednakost M Mo < r jeste Neka
je funkcija z
:
lf@,il-Al
(n,ill,ada M(r,g) '-* Ms(ro,9o), tada
pi5emo
. .liry ,f@,A): lim f(x,A):4.
la,U)+lto,ao, Za ovaj se limes
kaZe da
;:;1,
je dvojni limes. MoZe se desiti da u funkciii z
: f(r,g)
pwo
vrijednosti, a zatim druga. Te granidne iteriranim grariidnim vrijednostima i zapisujemo ih
teZi jedna nezavisno promjenljiva svojoj granidnoj
vrijednosti nazivamo ponovljenim sa
"tl1rL\?,
(r,il|:
f
ili
*rfiov@)
ili
Jryrtl,3x, l@,d1- /So,h(d.
Neka tadka Mo(xo,ys) pripada oblasti definisanosti funkcije f f (r,y) je neprekidna u tadki Mo(ro,gs) ako ima smisla jednakost:
(x,d.
F\rnkcija
Iim f (*,y): f (ro,Uo)
z
:
(1)
;:;: pri 6emu tadka M(x,g) na proizr.oljan nadin teZi tadki Mo(ro,ys) ostaju6i u oblasti definisanosti funkcije.
Ako oznabimo
r:
lim
o Ag- 0 Ar''+
r0
*
Lx, u :
Uo
* Ag, iednakost
f (ro + L*,yo + Agr) : f (xo,yo)
(1) se moZe napisati
ili lim Ac+
AY-+
Az
:0.
o 0
F\rnkcija je neprekidna u datoj oblasti ako jq neprekidna u srakoj tadki te oblasti.
252
1-87. Odrediti oblast definisanosti D slijede6ih funkcija:
a) z
ffi+ffi.
e) z
Rje5enje:
a) F\rnkcija je definisanazal-a,2 -A'>0, odnosno uunutra5njosti kruga 12 +y2 tj. D : {(*,il|,*' + a' < I,r € lR,y e R}.
I r <-2, a drugi za rA ) 0, pa oblast definisanosti je odredenanejednakostima: -2< r ( 0, y 30 0 ( r 12,y) 0, tj. D : {(x,il| - Z I r S0,U 10n0 < r S2,y ) 0,r € lR,gr € R}. c) F\rnkcija je definisana za sve tadke iz Dekartove ravni koje ne pripadaju pravoj U : x, tj. D : {(x,y)lr I U,r €JR,g e R}. d) F\rnkcija je definisaf,Lazasve taike Dekartove ravni koje ne pripadaju pravima r*y : g i r - y: 0, tj. D : {(r,illxz - y2 * 0,r € R,g € R}. e) D: {(r,y)l - 1 1 r I 1,-1 ( U Sl,r € IR,y e R}. f) D: {(r,y)l2kr 1r 1(2k+I)o,y > 0n (2k+ 1)n.< x < (2k*2)r,y S0,r € R.,gr € b) Prvi sabirak je definisan zB, -2
R,k eZ\.
s)
D:
{(r,g/)l
tnf,;p>
0A
*
+
y2- 9 > 0 An2 +u2 l0}
:
{(r, illr2 + U2 : 9}
.
188. Odrediti oblast definisanosti funkcija:
z-r+r", b) z-ln(y2-4r+8) d) z-ffi. e): rr-arccosg, a)
g)
z-
arccos(rz + y2 -
,
2), h) z
i)
z- In(rh(y-r)).
Rezultat:
D: {(r,$ln*0,y *0,r € lR,g € IR}, b) t: {(*,U)l*.* +2,x e R, g € IR), D: {(x,dl*2 +a2 tg,r€ lR,y € R}, d) D: {(r,il!*>0,a2 > r}, D: {(r,y)l-t<-u<-l,se lR}. f) D: {(*,y)l*1< n+U ( 1,r€ IR, U € R), g) D: {(r,g)lf S x2 +a2 1 3,r€ R,9 € R}, h) D : {(r,U)lr :S nr' +a2 i) D : {(x,y)l("> 0n u > r+ 1) V (r < 0 Ar 1A < r+ 1)} r a) c) e)
253
189. Data je funkcija z a) Odrediti oblast definisanosti funkcije z i dati geometrijsko tumaienje, b) Pokazati daza funkciju z vaili ,(-*,-il -- ,(r,A),
c) Odrediti vrijednost funkcije z u tadkama kruga 12 + y2 :
v2.
Rje5enje:
a) F\rnkcija z : IR2 ---+ lR. definisana je u tadka ma (r,g/) e R2 u kojima irr* {ffiff imasmislaulR,tj. zaonetadkezakoje ieI-r2-y2 +0,tj. D: {(r, illrz+g2 i* Geometrijski, oblast definisanosti su sve tabke ravni rOy koje ne pripadaju krugu 12 + U2
:1,
b) z(-r, -A) c) z(r,*
rffil
190. Odreditifunkcije
Rjesenje:
f iz izuslova r(g,r): tfA+f6/i-D, z(l,r):r, r ) 0,9>
z(r,r):1* f("ft-1) :r =+ f(r/i-1) : r-r.
t/i-L:t,dobijase /(t) :t2 *2t:t(t*2),paie r(U,r): t/y*n-l f (u,a) ako je f (" * A, r - A) - ry + y2
Poslijesmjene
L91. Odrediti
.
Rezultat:
f (u,u)
2
f (r,u)
Lgz. Ako je f ("
0.
* y,Y) -
n2
-
y2, odrediti
Rezultat:
f(*,a) L93. Odrediti funkcije
-
tr2
2
f (r,A).
. !, -, V
\ * y" - u,L'tr L*y @
u)
f i g definisane uslovima g(r,A)- r*A
Rezultat: f
("):
tr2
- r, g@,il 254
o
+ f @-A),g(r,0) :f2
o
Lg4. Odrediti funkciju f (*) ako je 12
Rezultat:
+y2
,
frru
\ffi
-TI-
f (r)
195. i\a6i granidne vrijednosti: a)
b) j* (*'+a2) ffi, * "tT, y*0 y*0 sin
Rje5enje:
a)
"tTr# g+o
y*o
L96. Za datu funkciju lz-
:
Iim ( lim
/
: R2
-'
R,
odrediti granidne wijednosti:
11
: I'g(l'I)., (r,il) fr+u y+u f
i
g)). Da li rpostoji granidna wijednost I : lim f (", y)? ----------'--r---------t e
\ 'v" g-+0'A---+O'/(r,
;:Z
(x,il: ffi, b) f (*,u): ffi, c) f (r,il: ffi, d)f(r,al:ffi,e)!(g,a):a#r^,_Lny,f)f(r,y):(r*g)sin}sin}. a) f
RjeSenje:
: j5rrS :
r, 12:
-t :
-r, h # lz +l
a)
11
b)
Jjb(JEb f+y-t): Jtjb(;':', f+s-J lL lz 0. Ako se uzme da ie y taika (*,y) teZi tadki (0,0) po krivima U : aix, a e R i tada wijedi
Jtjb
lim :\ f" *
r+ 0 y+0
ne postoji,
- : :
:
o,n,onda
0'
Yo
t+A frz * aztrz
t->0
L*az
znaii da granidna wijednost zavisi od krive po kojoj tadka pa limes ne postoji, Sto
255
1+ a2' (x,y)
teZi tadki (0,0),
c) Kako je 11 : L,lz: -1, to I ne Postoji, d) lt : t, lz : -l,l ne Postoji, e) 11 : 0,lZ:0, pokaza6emo da granidna vrijednost I ne postoji: Za nizove tadaka (rn,yn) : (*,*) i (*;,g') : (*,, kada rz ---+ oo, granidna vrijednost funkcije je:
-il
koji konvergiraju tadki (0' 0)
1
t'
,\of t*''un): )*1: 11
)yyf tn",uL): "WFt5:; f)
Kako su dobijene granidne vrijednosti razlidite, zakljuiujemo da granibna wijednost I ne postoji, n€ N, tadaje ysin + o. Nizovi nn -- i Neka j" u #
.I # ";: ffi," konvergiraju nuli kada n ---' oo. Kakoi" Jgg f(rn,U):0, rlg f (dn,a): asinf ,o f @,y) ne postoji. Analogno pokazujemo da ne postoji Egrf (r,il. Dakle, fi,
*
,
lrg5 uzastopne granidne vrijednosti I ne postoji:
hilz ne postoje.
Pokaza6emo da granidna vrijednost
0
pa Je
0
Dakle,
<
lim l/(r,s)l
;:i
<
lim ([rl + lsl)
:
o.
;t3
l: lim /(r,9) :0 I r-+ 0 g+0
197. Odrediti dvojnu granidnu vrijednost I :
lim
f (r,U), ako je:
;:;i a) f (n,a)
: pffi,
c)
:
f(r,U)
(r2
+
no:go
g2)e-@+u),
: *oo, b) /(", ,) : ffi,
ro:
3/0
:
*69, d) /(r,
256
A)
: Y#,
no: ro
:
Yo:O, 0, ys
:
2,
.) /(",
il : fuln(r2
s) f@,r)
: %!,
+
ro
a2),
:go
ro: ao:0, t) f (r,il
: o, h) f(r,il :
Rezultat:
: ffia,
ffiffit
no
na:
g0
: 0,
: ao : o.
a)l:0, b)l:2, c)l:0, d)l:0, e)lnepostoji, f)l:0, g)l:0, h)lne Postoji
r
198. Odrediti uzastopne granidne wijednosti lim f (r,a)) i 12: y---+yo lim ( lim f (r,d) ako je: lim (y---+yo It: fr-+fr,o r--+fro
(r,a): ##, ro:U0 : oo, b) /(r, y): #,tro : oo, 9o : *0, c) f (r,9): sin #r+', ro:uo: €, d) /(r, u): L*tsffi, tro:0, g0: oo,
a) f
e)f(r,y):W,Io:yo:0,t)f(r,g):log'(r*a),fro:|,9o:0. Rezultat:
: 0,12: l, b) t1 : l,Iz: l, c) 11 : Iz: -1, f) h : I,l2ne postoji r 199. Ispitati neprekidnost funkcije , : *2 + U2. a)
11
A,
12:
l,
d) h
: 0,12: I,, e) 11 :
1,
Rje5enje: Data funkcija neprekidna je u svakoj tadki ravni rOg. Naime, za proizvoljne vrijednosti r, U, Lr i Ag imamo:
Lz: [(r+Ar)2 +(y + Lil'- @'+y\]:2rL,r*2yLy*
L,r2
*
La2,
pa je
lim L,z: A o
ff:3 200. Na6i tadke prekida firnkcije:
(r,il:;t-b, d: #q,
a) f d) /(r,
b) .f(r, e) f
il: ffi, (r,y):
c) f
ffi,
(r,0:
ffi, : ln(l
f) f (r,y)
- 12 -
u2).
Rje5enje:
a) F\rnkcijaimaprekidutadki M(0,0) jer f (r,U) - mkada to znadi da u tadki M(0,0) pows ima beskonadni vrh, 257
r -+ 0iy -
0. Geometrijski
b) Tadke prekida funkcije su sve tacke parabole A : tr2, c) Funkcija ima prekid u tacki M(0,0), d) F\rnkcija ima tadke prekida u tadkama koje IeZe na krugu e)
Tadka prekida je M(0,0),
f)
Tadke prekida su tadke koje pripadaju krugu
12 + y2
:
i unutra5njosti kruga
1,
12
+A2:
1o
2AL. Pokazati da je funkcija
cos(*-y)-cos(r+A) 12 *y2
@,u) ")
ro neprekidna p o promjenljivoj kidna u tadki M(o, o).
ienliivoi r i po promienljivoj
* (o, o)
(*,y)
A u tacki M (0, 0), a da nije nepre-
Rje3enje: Kako je cos
lim (f(0 \-
A-i-*ot'
o1;30{/{0,0
+ As)
-
/(0, 0))
to zakljudujemo da je funkcija f u tabki M(0,0). Iz
otjio(/(o Ay-+
: J;30{0,As) : oliio*%# : o,
(*,il
neprekidna po promjenljivoj
+,fr.o ; Jy) - /(o,o))
0
:
AY-+ 0
da lim A/(r,y) Ar--+
r i po promjenljivoi g
otjio
r.
slijedi
A,r - cos L'r (A")2
2 sin
Ar--+
0
ay->
o
ne postoji,.pa funkcija f
0
Ag--+ 0
258
L,rsin Ly
t 5'
A,r:
LU,
A,r
2LU,
-
(t,y) nije neprekidnaut adki M (0, 0) o
f
2A2. Pokazat\ da su funkcije
: IR2 --+
IR.
definisane tztazrma:
( sin(r - s) - sin(r * s) a) f (*, a)
t
(
b) f (r, a)
#
t
(0,0)
o, (*, v) rza
t
o,
(r, y) neprekidne po promjenljivoj r i promjenljivoj y u tacki M(0,0), a da nisu neprekidne u tadki M(0,0) r
203. Ispitati neprekidnost funkcije a)
f(r,y) :
*'a'
(
{ TT7g - t'
r'u -2, #o
z, r2y:o I ( *2u' b)/(r,r):{ffi'ra+aa10,
utadki M(0,1),
4
( o' T:u:g, c) f (*,il: 1,6!6, d) .f(r, u): ffi,
Rezultat:
a) Neprekidna, b) Prekidna, c) Prekidna je u tabki M(0,0) i na kruZnici n2 + y2 d) Prekidqta na paraboli y2
204. Odrediti tadke prekida funkcija:
(r,y): ffi,
b)
f(r,y) c) f (",y) - (1"( L - 12 - uz))-t, d) / (*, a) a) f
e) f
(r,v): ffi,,
- cos +,
f) f (r,v)
Rezultat:
,)
Tabke prave
U: -n, b) (fr12', U), (*,k2tr), k1,k2 €2,
(", y) tako da je 12 + u2 ) 1 i ta6ka M(0,0), d) (",0), (0, g), e) Tadke na kruZnici 12 + y2 : 4, f) Prekidna je na ,' + y' ) l,
")
259
U
: t.
:
1,
8.2. Parcijalni izvodi i totalni diferencijal 8.2.1. Parcijalni izvodi Neka je z: f (r,y) realna funkcija dviju realnih nezavisno promjenljivih r,3r i neka je M(n,g) jedna odredena, inade bilo koja, unutra5nja tadka definicionog podrudja D funkcije f. Ato fiksiramo ordinatu g tadke M, d apscisu r mijenjamo, moZemo funkciju / interpretirati kao realnu funkciju jedne realne nezavisno promjenljive r i tra"iliti limes lim
r. Lrz df-'o A,r
L,r
Ar->0
)
prira5taj funkcije z : f (r,il.Ako taj limes postoji, nazivase parcijalnim ili djelimidnim izvodom po r funkcije z : f (r,3r) u tadki M(*,y) i oznabava se na jedan od slijededih nadina:
gdje je
Ar prirastaj nezavisno promjenljive r, a Lsz parcijalni af . 9'il . A, ' Ar' 0z
ft-b.y), J''\&t
lL, D,f (r,u), f*(r,u), f,-
Analogno se parcijalni izvod funkcije z Po A, r-fiksno, defini5e kao
lim
f (r,U*Ay)
Lvz
Ay--+0
Ly
Ly
ay->o
- f @,a)
i oznadava se na jedan od nadina:
0z 0f (*,y) Ag' Aa ' Parcijalni izvodi
# t#
r^ 'tvrr'tU)t
ct
fL' Dvl@'u)' fv(*'u)' fv
nazivaju se i parcijalni izvodi prvog reda.
Parcijalni izvodi prvog reda su, uop5te govore6i, funkcije promjenljivih r i A. Zato se od njih mogu ponovo traZiti parcijalni izvodi. Ovi izvodi se nazivaju parcijalnim izvodima drugog reda funkcije z: f (x,y) koji su, takode, funkcije promjenljivih r i y. ProduZayaju6i ovaj postupak mogu6e je definisati parcijalne izvode vi5eg reda uopSte, pri 6emu se uvode specijalne oznake.
Parcijalni izvodi drugog reda:
022 azf
0r2 0r2
iti
a
0r
(#) '
a2f oyor
:
&(#) '
a2f 0r0y
fk,f"ly f{*, fh iti jednostavno f *2, f*y, fy*, frz. 260
: 'oa" /a/\ a2f a(af\
\A/'W
Analogno se defini5u
i
ozna(avaju parcijalni izvodi vi5eg reda. Na primjer,
032 A (A'z\
a ( 03r\
7az
ffi- a"\a* )'
6n*1
a;W
,
7rn0y
&(#)
Ako u nekoj okolini tadke M(*,y) funkcija f (r,y) ima parcijalne izvode prvog reda fL i f[ koji su neprekidni u tadki M(*,gr), ona je diferencijabilna u toj tabki.
205. Odrediti prve parcijalne izvode po r i g slijededih funkcija: a)
z:rn+an-2*'at,
b)
r:t,
c)
z:ffi,
z: reY, e) z: fie'*9, f) z: er(sinn * sing), g) z : e#, h) z: e2* sin}y, i) z: e"-Y' j) z:rsinc*sinv, k) z:"(*-u)2, l) z:ln(r* ,/"2+A2), m) z : rlnfi, n) z: In(r * singr), nj) z: arctgfi, o) z:sinficos$, p) r: (sinr)sinv. d)
,
Rezultat:
il #r:4r3 - 4ru2, %:
+Yt
-
4r2u,
k:
+,#: -ft, q #: d{ry, #: &r, il # : €e, % : *"o, d #: (r * L)en+u, ft: *"'*o
b)
il y":
e"(sinr
t
sing
*
cos
d,#:
,
et cosut
s)
k: --$eI,ft: +"f , h) H:2e2rsin3s, #:t""cos3st,
1)
H
:
i) Y" k)
k:
2tre*2-u2,
:
% -rr"'2-u2, ,sinc*sinu cosr, ft : e"inr+sing 2(r
- y)e@-il', # :
0z'tTr-Gry'W-W' rtdr-
-2(x
cos g,
- s)e@-d2,
9
'd
k: I * r"t, # : -t, il k: ffi, "tk:;fu,%---fu 26L
%:
ffi,
o)
k
p)
H
f sin s, sinI
206. Na6i vrijednost prvih parcijalnih izvoda datih funkcija u taiki M(r,g) a) z
:
nU
*
U,
c) z -"sinta, e) ln(rz
M(1,2), b)
,
ako je:
z: {FTfi, M\,I),
M(1,+), d) z:
z:
M(5,+), ln(r* fi), u1t,z1,
"sin(t+v),
- y27, M1z,-17, f) z: g) z: arctgrg, M(L,T), h) z: ffi#ffi,
M(0,0).
Rje5enje:
j" %: r * | i k: A, to :" k:2, :2, # q #: a,#y:0, +,#: +, = - -1, -r, q H: t,#:3,
a) Kako
k il # D
#: il k:0,#:I, s) k: Dk-\#:-1
#fo, #:
-ffi
o
207. Polazati da date funkcije zadovoljavaju relacije: a) z
:lo(r2 * ry *
b)z
ny
+;
gr2)
relaciju
"#,
+ y%
relaciju z(rffi + a%)
:2,
: nU,
- In(e* * ea * e') relaciju # + W + W d) z - In(e" + eY) relaciju ffi + % e) z - rln$ relaciju ny- + a% - ntn|., r) u- #+# relaciju fr+ft+#*g# -0. c) u
Rje5enje:
a) Kako je #
0z 0z 2r*U r*2y *a*+Yay-n' *y' n2*ry*A2 n2*ry*y2 262
2r2*2ry*2a2 12+ry*A2 -2.
208. Odrediti parcijalne izvode drugog reda datih funkcija: a) z : ra + 3r2g2 - 2a4, b) z :In(n2 + u2),
z:
c)
z:
nU
e)
z:
arctg!, f) z:
+
t,
d)
er cosg, arcsin
Rje5enje: a) Kako je
ffi
y:4x3 +G*a2, y: ' "*v' 0a 0r
Gr2y
-
8y3,
to je
022 A (0r\
w:rt\M)(0r\ 022 A
@-*\d
A
/,
:
w(+*'*6rY2) 0 ln:
# : A:#+, {& : -&,T,, ffi : -@#,T,, # : ffi "l #:0,ffi-1- h,ffi-1- h,ffr:#,
b)
# : er cesut #6, : -er siny, ffi :-e'sin r, ffi : -ercosgr, q {* : d#,y, g& : dffi , # : -@t*ulry, #h : ffi,y,
ul
rt {*
: -#,y, {& :
209. Pokaaati da funkcija a)
,:
ffi,
# : #Ly, u # o .
f (x,g) zadovoljava datu jednadinu ako je:
z: *"-*, "#fu +z (k * %) : a*i,
z:W,"#+nffi:2k, c) z : arcts(2r - s), {# + zffi : b)
o.
263
,
8.2.2. Totalni diferencijal Ako funkcija z: f (*,y) ima u ta1ki M(r,y)
neprekidne parcijalne izvode, tada njen
totalni prira5taj moZemo prikazati u obliku
Lz
: *-o* + *na or oa * ep,
(1)
kt" * Ho, glavni dio totalnog prira5taja Lz i nazivamo ga totalnim diferencijalom prvog redi funkciie z - f (r,il i gdje e -.+ 0 za p
: \/lEffiTW
oznadava^mo sa dz:
-* 0. Tada ie izraz
ar: ?L, ot
Ako se u (2) uzme da je
z:trili z:
+*Ls. oa
y, dobi6e se Ar
(2)
-
d'fr,
LA: dg,paie
ar: fia* *H* Slijedi da je L,z x d,z, tj. pri dovoljno malom pribliZno je jednak njenom totalnom diferencijalu. 12
i
"
(t)
Lr i Ly totlani prira5taj
funkcije
Totatni diferencijal drugog reda funkcije z: f (r,il je totalni diferencijal prvog totalnog diferencijala shva6enog kao funkcija od x i g: d,(d,z)
:
d,2
z
: * (k* . . o. H*) * & (#* Tr*) * (a, r ar-.\'-z. A2, 02r,^ + 2;aydrdy : fifidr2 * * 02r,, : Uo, ) #or' \i;0"
Analogno se dobija totalni diferencijal tre6eg red,a d'(d,22)
:
Uop5te, totalni diferencijal n-tog reda je jednak
a ' \' z' *r:(o\4"o"* oron) 2L0. Odrediti totalni diferencijal prvog reda dz funkcije: a) z
-
ln(rz
*
c) z
-
arcsin
fi,
g2), b) z - r2ya
-
r3a3 + *4y2,
d) z 264
d,Lz:
(*0, + ftaa)' ''
:
e) z
g)
sin
r
cos
z: ffi,
y, f.) z :
h)
z:
rA sin(r
r"*2+*e+u2
I
A2),
.
Rje5enje:
a)
:" #":
Kako
;fu, %: ;+rt, to je d,z -- ffidr * #or: ;fud', + fud'u,
b) d,z: ra(2a3 - 3*a2 4- 4r2g)d,n * ry(4g2r - 3yr2 12r3)dy, c)' d,z : t-*"+d+, d) d,z: cos ry(gd,r * rd,y), yvg'-s e)
dz:
cos
rcosgdn
-
sinr sinydg,
t) d,z:g[sin(r +a2)*rcos(z +y\]an*r[sin(r s) dz:6fu{r2dr-y2d,a), h) d,z -
+a2)+2u2 cos(r +y\]dy,
+rv)d,r+(x2 +zrv)d,yl
o
"r2+rv+u'11t+2r2 211. Odrediti totalni diferencijal drugog reda &z datih funkcija: a) z
d)
:
12
- ry + y2, b) z --ln(r2 *
z: reu + y\nr, e) z :\nffi,
a2), c) z : rsinz y, t) , -- y cosfi + xsin!,
z, h) f(*,a,2) : 2n3 ht(r. A z), j) f(x,A,z) : ree * yez + zet.
d f@,u,2) :
e*a
+
3y3
+ r2zy
-
z2
+
rgz, i) f(r,u,z)
:
Rje5enje:
k:2r-V, # - -n*2A,to jed,z: (2r-ild,n+(2A{e- -1, # : 2, pa ie & z : 2dr2 - 2dnd'Y *
a) Kako :"
z)d7i
2d,Y2,
b) d,2z:
Hmd,r2
* ffirya"du
+
ffidu',
c) dzz: 2sin 2ydrdy * 2rcos 2UdA2, d) d2z - *rt-r2drz * Zr(rea + \drdu * rseYd,uz), e) &z + qdf - (r' + y\dpag, @+Tr@ud*z 11 &z 6z - (b cos{ds2+ -u'(#"" * +
: :
it*'f)
*
}'i" g)
* 2ry (# *' t * *sin $) dnd,u, d &f --y2etudr2 +r2enuduz +2e"v(l*rg)dxdy, h) &f : (t2r*2yz)dr2 -18udry2 -2d22 t-22(2r+L)dnda *2g(2n+l)dxdz
*2r(x+t)dydz,
z6s
ffi:2,
f : - (#o*' * hoo' + Sar'), i) d2f : ze'd,n+revdry2 *ye'dz2 +z(eudadg*etdrd'z*ezdydz) i)
d,2
o
212. odrediti totalni diferencijal tre6eg reda d3l date funkcije:
z:ylnr,
a)
Rezultat: a) d,3z : Hd*r
b)
-
z:gen,
c)
z--nt;y, f(*,y,r):#,e)
/(r,U,z):ln(ryz)'
: fiar2ag, b) d}z (ydr3 + 3dr2dy)e",
;$t (ryLda3 +6sinvd,rd,v2), d) d3l : -& (#*t * itdrt + $az3 + foaa2az + fodudz2 + ;rrdrzdv c) d,3z:
+ j4ax2az + fudrduz +
") dst
*"J2a*a22
:r(# +$ * %-) .
213. Na6i prira5taj i diferencijal funkcije
Lx -- 0,1, AY :
+ fuaxaaar),
z:
t2U u tadki M(L,2) ako je
A,2.
RjeSenje: Prira5taj funkcije je L'z(x,a) Kako
:"
:
z(r1 A", a + Ld
- z(x,u) :
z(l,r;2,2)
-
z(1,2)
k :2ru, %: ,',to je diferencijal , oz^ + A' :0,4 + 0,2: 0,6 r a= : frLr fiL,a
214. Na6i vrijednost totalnog diferencijala dz funkcije: a) z :
e*U za
r : I, A : t, Lr :0,
:
L,
dz:0,25e, b) dz:
*,
: fu
zar :
15, AY
:
0,1,
Lr: 0,01, LA :0,03, c) z: x + y - @W za r.:3, U : 4, An: 0, 1, LU :0,2.
b)
z
2, A
Rezultat: a)
c)
dz:0,08 266
o
:
0,662'
2L5. Zamjenjuju6i priraStaj funkcije totalnim diferencijalom pribliZno izradunati:
q
{qTlcos610, .) iffi,, d) (1,02)3.(0,97)2, e) sin 32".cossgo, f) ln($ffi + ffi - 1). a) t,042,02,,
Rje5enje:
a) Posmatrajmo funkciju z : 4 za tr : I, A : I, LF : 0,04, LA : A,02. PribliZna : formula L,z x 4, : ffiLr * #O, daje Az x yra-r A,r * ru InrLy 2' 12-Lg, 04 + 12In1 - 0,02 : 0,08, pa je 1, 942,02 ry 1 * 0,08 : 1,08,
b) 0,972. Uputstvo:
z
: t/i
cosA,
Lg:1o:#N0,0L745,
r:
4,
L,r:
0,02, A : 60o,
: 2, Lr :0, 1, Agr : -0,05, d) 1,00. Uputstvo: z : tr3g2,pa staviti r : L, A : l, Lr : 0,A2, LU :-0,03, e) 0,273. Uputstvo: z : sin rcos7, fr -- t, U: E, Lr: #, LA: -#, f) 0,005. Uputstvo: e:ln( W+ W-L),r:I,U:I,L'r:0,03, LA: -0,02. c) Posmatrati funkciju z :
fu
O" radunati dz za fr
:
L, U
8.3. Tzvod sloZene funkcije F\nkcija z: F(u,o) jesloZenaakosu u i u funkcijepromjenljivih i u : tb(x,a), paje funkcija z posredno funkcija promjenljivih c i y:
z:
r iy: u--p(r,U)
F(p(n,U),r!(r,A)).
Ako funkcije F(u. t'), ,?(r,y), th@,g) imaju neprekidne parcijalne izvode po svojim argumentima' ta(la je:
oz oz ou oz ou 0r- 0u 0r' 0u 0r' -: 0z 0z 0u 0z Aa
N 6:fr 6+6 (1) i (2)
Ako imamo vedi broj promjenljivih, formule funkciju u : F(u,u,s), gdje u, u is zavise od
Q)
se uop5tavaju. Na primjer, za
ri 0w- 0w 0u 0w 0u 0w y je:
0s
a*: a"'a"+ aa'ar+ ar'o*'
0w 0w -;-:;-'-
0u 0w 0u 0w 0s 0y 0u 0y ' 0u 0y' 0s 0y' 267
Parcijalni izvodi vi5eg reda, na primjer, izvoda
ffi i"rt" prvi izvod po u prvog parcijalnog
ffi.
Totalni diferencijal prvog reda jeste
oz' oz' d': ': a*** *o'' 216. Na6i kt#akoje
z:rL+a2iu,:n2 *sing, u:ln(r*A)'.
Rje3enje:
k : L, k - 2u, # :2*, # : "otu, * : # :;fu, to1" k : z* + zaf*n : 2r *'W, % : "oru + zufu: cos u + ?%@' Kako
:"
217. Odrediti prve parcijalne izvode po r i po g datih funkcija: a)
z: u2Inu, u: fr, u :3r - 3g,
b) z :arcsin(u - a), u - 3r, t) : 4fr3, c) z: f(u),u:ryt$, d) z: f (u,u), ,.,,: 12 - U2, a : e4, e) z: u2t)2, tr: Ltr * a, U:'tt, -'ut f) z : u. 8 r'It : fr2 * y2r, : ry,
E) z : u2u *'tr,?)z, r, : tr cosy, a : nsiny Rezultat:
")
k:
4rn(sx
-
2y)
*
ffi,
#
: -SnQ, - 2il - Fffi,
qk:ffi,qk:u(l_$)f't"v+*),?fr:@+I)f'@u+I), ttt
"2+g2 D k : +(2rsy+2xa *2x2y2 -r' -f), ?fr : #(2ry3 g) ?fr: r3("osy 218. OdreAti
-
siny)(3 singrcosy
ft ako je u:
r2U3r, & x
* \, k :
:
t,
U
:
268
+2x2y2 +2*a
Sx2sinycosg(sin g * cosy)
t2,
z:
sint.
r
-*' -a'),
Rje3enje:
4d,t-:Y0r *dt'+*.9 dt 0z *: 0g dt'*Y
t7(8sint*tcost),
ili na drugi nadin:
4u: !d, ofr Kako je
dn:
*aa oz oa + *a,
+
dt, dy :Ztdt,
-- 2ry2 zd,r
*
3r2s2 zd,g
+ r2v3d,z.
dz: costdt, to je du
t7(8sint
i:
* tcost) r
21g. Odrediti parcijalne izvode i totalni diferencijal prvog reda funkciie z : x2 - Y2, gdJe je
r:
ucnsu, U
:
usinu.
Rezultat: k: zuas2u,
k : -ru' sin2u, d,z :2u(cos}u&t' - usin2udn) o 220. Odrediti totatni diferencijal prvog reda funkciie z : F(u,u).ako je u: Rezultat: dz:2(rdr
+
flz sdy)fi+
, ,02 (sdr + xdy)
*
12
*A2, a
: nU-
o
221. Odrediti totalni diferencijal prvog reda zadate funkcije:
: b) z: a) z
enY lr';(x
*
U),
r:
t3, U pcos g,
: ! - t3, U: psing,
- tA2, x c) z:cos(2t + 4r2 - U), n: t, a : #, x2A
Rezultat:
a) dz :0, b) itz:p21(sinZp-sin2p)cos9*(cos2 p-sin29sinfi)dp+p3((cos2rp-sin29)cosg(sin 2p
-
sinz
c) d,z:-sin 222.
Pok
9) sin p)dp,
(zt+b-$(r-# -ffi)*.
da funkcija
jednaiine
,: ffi, gdje je r:'tlcos?r, U = usint' predstavlja rje5enje oz 2z o o oz - uctsufioo 269
"*rr:
'
8.4. Izvod implicitne funkcije Jednadina
F(r,A,z)
:0
odreduje zkao funkciju od
r
i g, koja ima parcijalne izvode:
oz_ W oz -E' # a*: aa: -E 223. Odrediti g/, y" , *o ie 12 + ry + y2 : Rje3enje: Kako je Zrdr
g.
:0, (r + zildy : -(2r * y)dr, to je ^,,_dA_ 2r*A r* ^J
* rd,A 1- ydr *
u;:
2ydy
#: -ffi,
, : d2y
a"
224. Adrediti dz i
&
z
ako
-2a,
18
H;: -6TW, n * -2y .
je
Y-rn1+L.
zy
Rje5enje: Kako ie
z:
z(r,A), to diferenciranjem date jednakosti, imamo:
zd,x-rdz A ydz-zdy ___7-:;.-F-, odakle je za y
l0
i z 10,
or_z(vd_r+240. Ulx
I
z)
r*_2.
tfuY-i!t-.
d,2z: _Lgr(**"\s
270
r*-zo , *7
.
225. Odrediti dz za funkciju z: a)
z3+3122:2ny,
d)
cos2
z
* cos2 u *
b)
cos2
lR2
--
IR,
datu implicitno:
r+ a+z-"-(r+u+z), Q zln(r+z)-Y:0,
z:
L.
Rezultat: a) d,z
b)
dz
.-\ tL. )n v)
d)
Q3-yz(r*z))dr+rz(raz)dy
t
d,z
226. Odrediti
d2
z za funkciju z : p2
+
IR.
zadatu implicitno:
? - lnf;, b) #, *{, * 5 d) z - r - arctg *, e) 12 + y2 + 22 a)
Rezultat: a) d,2 z
b) d,2z -
-*K#+ !,)$+
,-\ v)w.,12 , - _zr[*yg
d)
d,2z
ffiardu* (T?. i)#1,
d*2 +(*2y2+z-*yr2 -za)d,*d,y+*3gdy21
- -r(r.ld1;?,#+;ir\dur,
e) d,2 z 227. Odrediti
d2 z
u tacki M (*,U, z) ako je:
a) 3*'y' * 2z2dy - 2zr3 * 4zy3 - 4:0, M(2,L,2), b) rs + z3 - 2arz - as - o, M(a, 0, o). Rezultat: a) d? z - -3 L,5dr2 + 354drda + b) d,2z: *@"' + d,y\.
275dy2
,
27r
8.5. Tejlorova i Maklorenova formula :
Neka funkcija z f (r,d ima u okolini tadke Mo(xa,go) neprekidne sve parcijalne f (r,A) izvode do reda n*L zakljudno. Tejlorova formula koja daje razvitak funkcije u okolini tadke Mo(ro,g6) glasi:
z:
z: f (r,a): f (ro,yol+it(, + 2(x
,ilff\*"+
- rdtu - dffi6o
+
l(s @
- a|frlut+*K. - ,d'ffi|*o
- ud'ffiluoJ + . . . +
(l) n -,0)'-1(, - ro)ffii*"
+
*d"ffiluo+ firr" =
+
(;)
+
(;) (a - va)n#luol + Rn(*,v),
@
n-Ztu
-"0)
(1)
on'
- vo)'yrn-rA7luo +'
gdje je ostatak u LagranZovom obliku
R*(r, v)
:6fu +("it)
ro) n+L#l [t"
@-ro)
pri iemu je Mo(ro+ O(c
-
*
n(u--ua)ffil
no),uo
+@(s-
,,+-
yo)), 0
+(a-aa1n*l
Wlr,]
< O < 1. U datoj formuli
#lrri"
wijednost /c-tog parcijalnog izvoda u tadki Mo. Maklorenova formula dobija se iz (1) i (2) kada se u tim formulama umjesto ro i
Aa
sta've nule.
228. Na6i tejlorov polinom drugog stepena funkcije tadke Mo(l, -1). Rje3enje: Kako je
z:
12
*xy*Y'+, *9
/(1,-1): L,k:2r*U +t, fuW:r,%: r*2y
: r, W
Il,
- r, W :2, toje Tejlorov polinom f(r,y)*z 1 * 2(r -i; + 1" - D2 + 2@- tXs + t) + (y + r)2 . 272
u okolini
u''idt'':0,
229. Odrediti Tejlorov raavoj zafunkciju z:2n2 -nA-A2 M(1,-2).
-6n-Jyi
5
uokolini tabke
Rje5enje: Parcijalni izvodi date funkcije vi5eg reda od dva su jednaki nuli, pa prema Tejlorovoj formuli je:
Krt,-z) +#rt,-z)(y + z) +i(#r, + zffit:,-2)(r- r)(s +2) +#tr,-z)(a *a')
f (r,y): f (1,-2) +
-2)(r
- I)'
.
ffi(t,-2): #0,-2) : o, ffi$,-2): +ffi0,-2) : -r, ffi(l,-2): -2, ^n
Kako ie to je
f
(r,il:5 r 2(r - t)' - (*- tXy +2) - (a +2)2 .
230. Aproksimirati funkciju z:
sinl."singr Tejlorovim polinomom drugog stepena u okolini
tadke Ms(T,T).
Rezultat:
231. Aproksimirati funkciju Mo(l,
z:
tru Tejlorovim polinomom drugog stepena u okolini tadke
1).
Rezultat:
f (",y) 232. Odrediti Tejlorov polinom detvrtog stepena za funkciju z tadke Ma(0,0).
-12-az
u okolini
Rezultat: f (r,g)
233. Odrediti Maklorenov polinom drugog stepena za funkciju
z:
ertu
Rezultat:
Pz(r,u):r+ (r+ u) +f,@z *2ry +u2) *t@'*3r2y *3ry2 +u2) . 273
234. Na6i Maklorenov polinom funkcije z : er cosy za n:2'
Rezultat:
12
f(r,a):1+"*T-T.
Zg5. Odrediti Maklorenov polinom treieg stepena
za
funkciju
t:
e$ sin y, a zalim
pribliZno
izradunati eo'l sin 0, 49tr.
Rezultat:
f @,il :
y+
ry +
1 .,
,rzg -
r e eu'' n1 . 'Ur", sin 0,49r
= 1, 1051 r
* :0 aproksimirati : 1'
lR definisanu izrazom z3 2rz A polinomom drugog stepena u okolini tadke Mo(1,-1) ako ie z(1,-1)
-
286. Implicitnu funkciju z : lR.2 -+ Rezultat:
z(r,a)ar 1- 2(x-r)
1)' +20(r- r)(v+ 1)+6(s+ 1)2). - (s+ 1) + |1101"2'
definisana je implicitno jednadinom dlanova njene Maklorenove formule.
287. F\rnkcija z(x,y)
Rezultat:
1
1
zsxz'+Ar*
1
:
0. Na6i nekoliko
12.1
z(x,g)- -1 - ir + Eg - g*' + StU 1 ..
-
g.6. Ekstremne vrijednosti funkcije dvije promjenljive Realna funkcija z -- f (r,31) ima u tadki M(ro,yo) lokalni minimum (maksimum) ako postoji neka okolina te taEke u kojoj je stalno f (r,g\- f (r,o,yo) rel="nofollow"> 0 (/(r, y)- f (to,Ad < 0). Jednim imenom, lokalni minimum i lokalni maksimum funkcija sa dvije nezavisno promjenljive naaivaju se lokalni ekstremi. Da bi diferencijabilna flnkcija z f (n,y) u nekoj taikl M(ro,go) imala ekstremnu wijednost, potrebno je da u toj taiki parcijalni izvodi prvog reda budu jednaki nuli, tj.
:
B/({o,g/o)-o rof(*-o,ao)-
0r
0Y
0.
Tadke 6ije su koordinate rje5enja jednadina (1) nazivaju se stacionarnim. 274
(1)
8.6.1 Dovoljni uslovi za egzistenciju lokalnih ekstrema Neka funkcija
M(xo,gs) i
neka
z : f (r,g) ima neprekidne parcijalne izvode drugog
reda u tadki
je M(rs,go) stacionarna tadka te funkcije, tj. o
f (ra,
n
ao)
0r
af(ro,yo)
Tada:
a)
:
:
ako je A AC - 82 > 0, funkcija, f(r,y) imau taiki M(ro,yo) lokalni ririnimum za A> 0 (C > 0), a lokalni maksimum za A< 0 (C < 0),
b) ako je A < 0, funkcija f (r,il nema lokalnih ekstrema u tabki M(ro,Ua), c) ako je A : 0 problem ekstrema ostaje nerije5en te ga dalje treba ispitivati. Ovdje smo uveli oznake:
02f(*o,uo) R_02f(*o,uo) n_02f(*o,yo)
A z-f-T)-D
238. Odrediti ekstremne wijednosti datih funkcija: a) z - 14 + a4 - 12 - zra c) f (r,y, z)
-
y2, b) z -
ns + y3
-
Jry,
Rje5enje:
a) Stacionarne tadke odredujemo iz sistema: 0z
\
M -o'l ,. 4rs-2r-zy-o tq
4Yt-2r-2Y:0, -o & I-J' 0z
6ija su rje5enja rt:0, Ut: A, 12: Uz: -I, fig: su: M1(0, 0), M2(-L, -1) i Ms(1,1). Kako je A(r,g)
:
Us-: l. Stacionarne ta6ke g# -- I2r2 - 2, B(x,y) :
c(r,r): # : Lzu2 -2, L,(r,il : AC - a' - (r2r2 -2)(12y2 -2) - 4 i L(M2) : A(M3) : 96 > 0 A A(Mil : A(Mi : 10 ) 0, to u taikama M2 i Ms
#ft:
-2,
funkcija z ima minimum i z*in: z(l,l): z(-I,-l): -2. U tadki Mt(0,0) je A(M1) : A(0,0) : 0, pa je pitanje postojanja ekstremuma u toj tadki otvoreno pitanje. Prira5taj funkcije u tadki M(0,0) je Az(0, 0) : z(x,y)-z(0,0). 275
za y
-r i 0 < r < 1ft, nrp,O) :
2r2(r2- 3) . 0, azau
: -xi r
>
0,
Az(0, 0) :2ra > 0. Kako priraitaj A,z(0,0) mijenja znak u okolini tadke Mt(0,0), to u tadki Mt(0,0) funkcija nema ekstremuma.
L(M):
)
A(1,1) > 0 i A(1,1):6 0, pa b) Stacionarne tadke su M1(0,0)i M2(1,\. A(0,0) < 0, funkcija u tadki Mz(1,1) ima minimurn, zmin: -1. Kako je A(M1) to funkcija nema ni maksimum ni minimum u tadki M1(0,0).
:
c) Stacionarne tadke odredujemo iz sistema jednadina:
vor
2(r-1) +22-0
Y-o
3(a+4)
dy
a:0
4z*2tr-0.
y:0 oz
-1) i M2(2,-4,-l).Kako i" # : r, # :6y * 12, a, &f(r,a,z) :2d,x2 + (6s +12)dy2 + #I 4, .Y& :0, : 2da2 * l2dy2 * 4dz2 * 4d,rdz : d,r2 * L2dy2 + (dr + 2dz)2 i 4dz2 + d,rdz, a2 l(Ui &f (Ur) > 0 zald,nl+ld,ul+ld"l* 0, pa u tatki M1(2,0, -1) funkcija ima minimum i f*in: f(2,0,-1) - -1. Poito je # f (Ur) : 2dr2 - L2dg2 +4d22 +Adndz, za dr : dz : 0, dy * 0, d2 f (Mil < 0, azady:0, dr: dz *0, d2f (tttt2) > 0, to &f (Mz) mijenja znak zavisno od dn, du, Stacionarne tadke sr: M1(2,0,
:
H:2, {"+:
dz, pa u tadki M2 funkcija nema ekstremum
239. Odrediti
o
stacionaxne tadke datih funkcija:
: zxs + nu2 + 5r2 + a2, b) z : e2'(r + y2 + zy), c) z: rU@ - r - U), d\ z: (2ar - r211zUy - u2), e) z :sinr * sing * cos(r + y), (0 I r I T,0 < U 3 on), a) z
f) z: Rezultat:
a)
m,
g)
z: ut/w r + ntRv-
M1(0,0), Mz(*$,0), M3(- 1,2),
c) M1(0,0),
Ma(-L,-2), b) M1(*,-1),
M2(0, a), Ms(a,0), M+(&,&),
276
d)
Mt (0,0), Mz(O,2b), Ms(a,b), Ma(2a,0), M5(2a,2b),
e)
w(t,t),
.
t) Mr(*,fi), s) Mt(-3,-3)
240. Odrediti ekstremne wijednosti funkcije z
zadate implicitno relacijom:
z(r2 + 22) + 3(2a2 + 1) + 8(rz Rje3enje:
- y) -
4r
:
0.
0z I 2z-r Az 2-3A 0r z*2r ' 0A z*Ztr'
Stacionarne tadke dobijemo iz sistema
L-22-r:0 2-3Y:Q z(r2 + r') + 3(2u2 + t) + 8(nz - y) - 4n: o.
ffi(-$ ,3,4\ i ur(4,?,4).Kako 022 (z *2r)?z# 1) (1 - 2z - r)(# *rl
Stacionarne tadke su:
(z
012
*
je
2r)2
o2z e *2r)(-z#l (1 zz - dyy 0r0y
(z
w:w,
* 2*)2
022 Q+22)(-s)-(2
)
-silft
# t %je jednako 0, to je 022 3z -2 3 A2z ^ 022 arr:@, a*aa:u, 6rr:- ,+2n
i u stacionarnim tadkama
i
' L(x,a):
3(32 - 2) -ffi#,
A(Ml)
: L(Mz):2 ) 0,
pa funkcija z imaekstremum i u tadki Mr i u tatl
A(Mr): + > 0n A(Ml) ) 0, &utadki M2 maksimum n-{ . o A A(M2) > a i z*6n: O#, zrno,n :
jer je
277
jer je
A(M2):-{6<
24L
Odrediti ekstremne wijednosti date funkcije:
12*ra*a2 2r-3a, b) z-(r-\2 + @-D2 *3, c) z (r-\2*2a2, d) z - ra(6 - r - a), e) z- e*'-ss (8 2r * y), f) z : en-u (n2 - 2y2), a) z
er-y (*, + a2), h)
s) z
L+r-y
i) z-
z-raln(r2+a2),
i\ 7 rl^/
\ffit
Rezultat: u)
:3, : "*in: t(t, f ) : -5, b) ,*in: ,(L,2): c) z*in: z(I,0) 0, d) ,*or: z(2,2) 8, ,*o*: z(J,-!) : 4, f) ,*o, : z(-4,-2) :8"-2, ")
g)
z*a:
z(0,0)
:
0,
,*rn: ,Gh,*t[hl : -*",, zmst: ,\*h,-h): i) z*or: z(1,-1) : 3, i) z*m: z(4,2) :6 .
h)
242. Odrediti ekstremne wijednosti funkcije z a) xa +yu + rn -2a2(r2 +92 c) x2
I
-lTl&I
d)
zadate implicitno:
a>
+y'+ r'-2x-l2g -42- 10:0,
Rezultat: a) zmin z(0,0)
b) zntin c) zmin
+ t'):0,
L*,
d)
: art, zrnin :
z(*:a,*a) rfr,
-::
zmar
278
0, b) 12 rryz-*y' -13:0,
+
*2a2
- z2r*z:0.
: -"\E +&,
zmo,r
:
z(0,0)
:
-ar/2,
8.7. Uslovni (vezani) ekstrem Pretpostavimo da treba odrediti maksimume i minimume funkcije z: f(n,y) pod. uslovom da su r i y vezani jednacinom g(x,g) : 0. Ovakve ekstreme nazivamo uslovnim. Za izradunavanje uslovnih ekstrema koristi se metod eliminacije i LagranZov metod.
8.7.1. Metod eliminacije Ako je mogu6e rije5iti jednadinu veze p(x,9) : 0 po jednoj promjenljivoj, na primjer po u, u : rlt@), gdje je p(x,rb@D: 0, onda 6e lokalni ekstremum funkcije jedne promjenljive F(r) : l(r,rh@D biti istowemeno uslovni ekstremum funkcije z: f (r,g).
8.7.2. LagranZov metod Pri odredivanju uslovnih ekstrema, prvo formirarno LagranZovu funkciju
F(x,y,))
:
/(r,
il
+
^p@,d,
gdje je ,\ proizvoljan realan parametar. Uslovni ekstremi su ekstremi funkcije F'(r, gr) koje ispitujemo na slijede6i nadin:
Iz jednadina
AF 0z ,0p n n6;:u,
a;:
a**
;_
;_
Y,:
p(t,g)
AF: 02,,0p _r a,\
: oY n_;_ dY
n
v,
:0,
odredi6emo vrijednosti r, U i ), tj. taike M(r,g) u kojima furrk,.ija moZe imati ekstrem. Egzistenciju i karakter ekstrema u stacionarnim tadkama .r1/(r. y) odredujemo koriste6i dtug, diferencijal funkcije F (r, y):
d2F:ffia*, +zffia*ar*#ar2 pri uslovu koji veziju dn i dy,
tj.
0
+
0to
fra- ffiaa Ako je dzF
tad*
-o : o, d,x2o+ as' + o.
< 0 (&F > 0), tada funkcija F(r,y) ima uslovni maksimum (minimum) u
M(x,v)-
2Tg
Prirodu uslovnog ekstrema moZemo ispitati kao obidan ekstrem funkcije F (*, y) u njenim stacionarnim tadkama.
243. Odrediti ekstremne wijednosti funk
cije z
:
A
+ 21 4- 3 uz uslov 12 - 6r
* y+5
Rje5enje: Formiramo LagranZovu funkciju:
F(*,A,,\)
: A * 2r *3 * )(r2 - 6n l- y + 5).
Stacionarne tadke odredimo iz sistema jednadina:
AF
,^, -0 or
2+2),r-6,\:0
OF
^ -0 'alOF -0
tj.
:
:
oy
4, U RjeSenje sistema jednadina je: x uslovni ekstremum je ta6ka M(4,3).
1
+ ,\ -
0
12-6r*a+5:0. 3, ,\
: -1- Tadka u kojoj funkcija mole imati
:" t# - 2\, {&:0,0#: 0, to ie d2F(4,,3): -2dn2. lz d.atog uslova je 2rdn-6dn+dry:0 a u tabki M(4,3) dA: -2dci &F(4,3) +0 zaldnl+ldul*0,pa Kako
ie &f$,3) < 0, odnosno u tadki M(4,3), funkcija ima uslolrni maksimutrr zmqn:3 o 244. Odrediti ekstremne. wijednosti funkciie z - 6 - 4r-3y uz uslov * +A2 - 1:0. Rje5enje: LagranZova funkcija glasi:
F(r,Y,))
: O-
4n
-
3Y
*
A(x2
+
Y2
-
L),
a njeni parcijalni izvodi su: nn
#-
on
-4*2\r, H :
-J * 2\v,
Potrebni uslovi egzistencije ekstremuma svode
se
-4 * 2),r -3 *2\y 12 +a2 280
#,:
*2 + v2
- L'
na sistem jednadina: 0 0 1
dija su rje5enja:
,5
+A
AL
,.5
g#
:"
Az
a
'l-/
c
# - 2\, #& : o, ffi - 2^, to je za \ : E, * : t,s : $, A :
g# - e"&Y :25
) 0, Sto znadida u tadki uilt,f)
obzirom na to da je ,4 : f# Analogno se pokazuje da za
zmo,r: Ll
-3
A -I
Az
Kako
3
At:'5,
c-)
,\
o
$
funkcila
z
imaekstrem. s
2 0, to u tatki Ml funkcija ima minimurw z*6n: I.
: -8, * : -t,a : -E funkcija z ima maksimum:
245. Odrediti ekstremne vrijednosti funkcije
fr)A,U)0,2>0.
g: nytyz
ako
ie 12 +y2:2,g*
z:2,
Rje5enje: LagranZova funkcija je
F(r,U, z) : xy
I
9#
*
zy -f
\(*2
+
A2
-
2) + Az@
* z-
: U * 2\tr : 0, 4# : n * z * 2A1yf ,\2 : 9E : U * Az : 0, 12 *U2 : 2, y I z : 2. r: u: z:
2)
g,
lr : -*,lz : : -dft -
Rjesenje dobijenog sistema jeste: 1, -1, pa stacionarna tadka j" M(\,1,1). Kako je&F:2At(drz +d,U2)*2d,xd,y+za"ay to je za Ar 'd2F pa je dzF -6*z da2 2d,rdg + 2d,zdy. Iz uslova je: dy
:
-
t
-6*z -3dy2 -2d22 <0 zaldrl+laul+ldrl* gmar: g(I,L,1):2. 246. Odrediti ekstremume date funkcije uz
0,
tj. funkcijaima
: -*,
-d,2,
uslovni maksimum:
zadate uslove:
: rI2y, 12 +y2- 5 : 0, b) z : tU, fr lU : l, c) z : 12 * y2, t+ t : t, d) z : x2 + !2xy + Zf , +8 + U2 : 25, e) z:h*#,x*y:c, f) g: rgz,x2 +y2+22:J, g) g: xyz, fiz +f + 22 : l, fr +y * z:0, h) z: asin2 V+b2 cos2g, y r: [, :sinrsingrsinz, -t : g i) r y * z t, r ) 0, U ) A, z > 0. a) z
281
Rezultat: a) z*in - z(-L,-2)
b) ,*o*
- -5, z,nro,r :
z(I,21
:5,
: z(I, t) : 1, c) z*in : ,(g*b" {&t : ## ,
: ,(*.l,+4) : ff, z*tn: z(*2,*3) : e) z*n: ,(3,8): #,
d) t*on
,
-59,
f) g*m : -1 u tadkama: M{-L,L,I), M2(I, -1, 1) i Ms(1,1, -1), M+(-1,1, -1) i M5(I,-1,1),
Ms(1,1,
-1), grn'a : I
za
1r i Msert,ft Mz(*,-rt,h) h), tre\ft' &),9mar h,h)i r-d, uu(ft uu{un? -{r, - h, - ft\, # "" h, - h, ft), -Jr, h) z*m: t@+b - {FWy, zmar : *(o+ b + t/7TF7,
g) gmin
11
1
,
i) g*o*: g(T,6,6): I .
247. Medu pravougaonicima datog obima 2l odrediti pravougaonih najve6e pow5ine. Rje5enje: Ako su r i g stranice pravougaonika, tada treba da bude z : r'A Odakle slijedi da kvadrat sa stranicottt { i*u najvedu powsinu o
248.
:
max,
r*y-I :
0.
Neka se medu pravouglim trouglovima zadate hipotenuze c nade onaj koji ima najve6u povr5inu.
Rje3enje:
P:Lra:max
ili
z:tra:max)fi2 +y2 -e:0.
249. Na6i pravougli paralelopiped
odakle
jex:a: ft.
najved'e zirl)renilne sa zadatim zbirom ivica.
Rje5enje: Ako oznadimo sa
r,
A, z dimenzije paralelopipeda, tada treba da bude
V:ryz:max, r+g*z:o,. Odakle
ieV*o,
: fi ,ur : : z :$, ) : -+ . U
250. U prav kruZni konus poluprednika
osnove .R i visine h upisati vatjak maksimalne zapre-
mine, tako da donja osnova valjka IeLi na osnovi konusa, a gornja dodiruje izvodnice konusa. 282
Rezultat:
vmar:
ry
.
251. Na parabolu 12 :2A odrediti tacku koja je najbliZa pravoj
r - A - 2:0.
Rje5enje: Rastojanje ma koje tadke M(*o,go) od prave dato je obrascem d -- gr+-2. Po5to taika M(*o,gs) mora lei,ati na paraboli x2 : 29, bi6e r2o : 2Ao. Dakle, treba na6i ekstremnu wijednost funkcije d(*,il : uz uslov 12 - 2y : g. tazena tacka je
M(r,l)
T
o
252. Odrediti najkra6e rastojanje
tadke na elipsoidu 12 +2y2 +422
:
1
od ravni
r*g* z :
4.
RjeSenje: Rastojanje tadke
M(*,y,2)
od,ravni
r *y*z:4
je
d,:lrt#=|.
LagranZova
F: (r+U* z- +)'+ ),(r2 +2y'+422 - 1). Uzeli smo kvadrat od tf\d,,rbog lakseg ra,iunanja. d*i^: o(h,#,#r) : . funkcija je
253. Odrediti najkrade rastojanje tadke M(I,O) od elipsoida
4r2
* 9A2: 36.
Rezultat:
d,*m:
h'
254. Odrediti taiku ravni 3r-22: 0 tako da suma kvadrata odstojanja te tadke od tadaka I,t(L.I,1) i N(2,3,4) bude najmanja. Rje5enje: Iz usiora zadatka slijedi da treba prona6i ekstremume funkcije
g: (r-\2 +@-
t)2 +
("-L)2 +(r-Z)2 +(u-il2 +(z-4)2
tazena taika i" M(#,2,$fi)
uz uslov
Jr-22:0.
.
255. Dat je trougao ABC. U unutra5njosti tog trougla odrediti tadku koja ima osobinu da je suma kvadrata njenih rastojanja od tjemena A, B i C minimalna.
283
Rezultat: TeZiSte
trougla ABC
o
256. U datu loptu poluprednil
R:2
upisati pravougli paralelopiped najve6e zapremine.
Rezultat: Kocka ivice
257. Broj
12
ft
o
rastaviti na tri sabirka tako da njihov proizvod bude Sto ve6i.
Rje3enje:
f (r,y, z)=rgz:max, tp(x,A, z):r * y * z - l2:0. Odakle se dobije n-!- z:4 o 258. Odrediti najve6u (sup.) i najmanju (inf.) vrijednost funkcije f (n,il: ew u oblasti
D:{(r,g)11 < r12,lrsl S1}.
RjeSenje:
/ , R2 -+ R. dostiZe svoju najve6u (najmanju)
vrijednost u zatvorenoj i ogranidenoj oblasti D u tadkama koje su stacionarne tadke te funkcije i pripadaju oblasti D ili u tadkama ruba te oblasti (granidnim ta6kama).
funkcija
Data funkcija ima stacionarnu tadku M(0,0) koja ne pripada oblasti D, paona postiZe svoju najve6u i najmanju vrijednost u tadkama ruba te oblasti.
Rub oblasti D je
ft:
{(r,
a)lr:1n
lsl < 1} u {(s,s)11
1r 12 nlyl: t}tt u {(", a)ln:2
je e-l < f (r,y) < e. Najveda wijednost funkcije je e, a najmanja e-r,
Za svako (r,U) e
nlyl
IR
ti.
11 : f (2,;): ...: f (r,t) : ", r € lI,2l, f;ny:/(1,-1) : f(2,-f,1:...: f(x,-|):"-t, r e[1,2]' f ,up: /(1,1)
259. Odrediti najve6u i najmanju wijednost funkcije 'Ir:
12+92+22
284
tr2
I2y2 *
322 ako
je
=l
Rje5enje: F\rnkcija u ima stacionarnu tadku M(0,0,0), koja ne pripada datoj oblasti. Vrijednost funkcije u tadki M(0,0,0)je 0. Svoju najve6u, odnosno najmanju vrijednost funkcija ima u toj tadki ili u tadkama ruba te oblasti, tj. ako ie 12 + A2 + 22: 100. Na osnovu LagranZove funkcije
F(r,a, z) : dobi6e se da je lt4up
:
12
*
2a2
z(0,0, 10)
:
r
Jz2
*
A(r2 + y2 + z2 - to01
339, uinf
:
u(0,0,0)
: 0.
260. odrediti najve6u i najmanju vrijednost funkcije u oblasti D:
D:
a) f (x,u): @+B)2 *y2, {(r,il\@- r)2 + u2 S2,, b) f (r,U) rz7lnn, D {(n,illL 1x 1e,L 1y S n2},
:
:
f(r,a) :ln(ry), D : {(r,y)ll"+ 3l S L,-4 1 y 1 r}, d) /(r, U,z): (* - t)2 +y2 + (z +2)2, D: {(r,y,z)l(r e) a : r + A * z, D: {(r, y,z)lr2 * Uz 1 z < l}. c)
D2 +u2
+ (z + L)z < 1},
RjeSenje:
a) f""p:/(1 +"/2,0):18 +8rt, f;nf : f(L- \/2,q:t8-8fr, b) f : f (e,e2) : fnf : /(1, 1) : 0, "up "a, c) f'up: f (-2,-4):Ln8,-f;ny: f ?2,-2):1n4, : g, d) f 'p: "f (1,0,0) 4, f ;nf(: - f(0. 0. -2; : e) uputstvo: uslov r,2+A2 i ekt-ir.aientan jeuslovima: z:7'2*y2,012,'-L. Flormirati LagranZovu funkciju F: x*y* z* A(z-r;2 -g2;. nafie postupati ka,o u zadatku25g.,vode6iradunaouslovu 0(-2 < 1. Dobi6eseu,sup= 1* fr,uinf : -t.
285