003 La Hidraulica De Canales Aguirre Pe
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H1 DRAUL 1 e A D E
e ANAL E S
~JAORRES
<~oCivi'
e.LV. N'? 471411
Jul ián Aguirre Pe
~ In~
~lS-- '_AV\~~~RRES
--,-"",c'"-.geniero
Civil
e.I.V. N'? 47144
Primera Impresión: 1974 Primera Reimp;cesión: 1980 Segund? Reimp~esión: 1986
lENNIS A. AVILA TORRES Ingeniero Civil e.l.v. N'? 47'144
IN Die E
PROLO GO CAPIT ULO
CONC EPTOS BASIC OS DEL FLUJO DE FLUID OS
1.
1. 1. 1.2. 1.3. 1.4. 1. 5. 1.6. lo 7. 1.8.
Defi nici ones Tipos de Flujo en Canale s Abiert os Ecuaci ón de Contin uidad Ecuaci ón del Movim iento Aceler ación Tangen cial y Norma l, Local y Conve ctiva Ecuaci ón de Bernou lli Distrib ución de Veloci dades y de Presión en Flujo Curvil íneo Ecuaci ón de' la Cantid ad de Movim iento Ejercic ios
2 3 5
6 8
11 16 19 1-
CAPIT ULO
2.
LOS PRINC IPIOS DE ENER GIA Y CANT IDAD DE MOVI MIENT O APLIC ADOS AL FLUJO EN CANA LES Energí a Especí fica y 'Profun didade s Alterna s 2.1. El Flujo Crítico en Seccio nes no Rectan gulares 2.2. Ocurre ncia del Flujo Crítico . Seccio nes de Contro l 2.3. La Fuerza Especí fica Aplica da al Estudi o de Canale s 2.4. Ejercic ios EL FLUJO UNIFO RME EN CANA LES ABIER TOS Caract erística s del Flujo Unifor me 3.1. La Resi stenci a y las Ecu aci ones del Flu jo Un iforme 3.2. La Ecuaci ón de Mannin g 3.3. El Cálcul o del Flujo Un ¡forme 3.4. 3.4.1. Seccio nes ¡Circul ares Secció n Hidráu lica Optim a de un Canal 3.5. Flujo en Canale s con Rugosi dades Compu estas 3.6. Eleme ntos de Erosió n y Sedim entació n 3.7. 3.7.1. Métod o de la Veloci dad Permis ible 3.7.2. Métod o de la Fuerza Tradiv á 3.7.3. El Proble ma de los Talude s 3.7.4. Secció n Hidráu lica Estable Ejercic ios
CAPIT ULO 3.
CAPIT ULO
4.
EL FLUJO GRAD UALM ENTE VARIA DO Consí deraci ones Fu ndame ntales 4.1.
, 21 27 30
31 40
43 43
49 51
53 55 58 59
60 63
66 70
76
79
111
4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6.
4.7.
CAPIT ULO
5.
CAPIT ULO 6.
Ecuaci ón Genera l del Flujo Gradua lmente Variad o Clasifi cación de los Perfiles Superf iciales Seccio nes de Contro l, Análisis de los Perfiles Perfiles de Contin uidad Integra ción de la Ecuaci ón renci al del FI ujo Gradua lmente Variad o 4.6.1. Canale s Horizo ntales de Gran Anchu ra 4.6.2. Cálcul o de los Perfiles Superf iciales por medio de la Funció n de 8resse Métod os Numér icos para el Cálcul o del Flujo Gradua l mente Variad o 4.7.1. Métod o Tipo de las roxima ciones Sucesiv as 4.7.2. Cálcul o de Perfiles Adime nsiona les
CASOS PRAC TICaS DE FLUJO GRAD UALM ENTE VARIA DO 5. ~j. de caudal hacia un Canal 5. Efecto de las Pilas de un Puente 5.3. Flujo Dividid o por islas o Deriva ciones 5.4. Conflu encia de Ríos 5.5. FI en Alcant arillas rcicios EL FLUJO RAPIDArViENTE VARIA DO Caract erística s del Flujo El Proble ma de I Transic iones FI sobre Verted eros de Cresta 6.4. La Caída Libre 6.5. Verted eros de Cresta Ancha 6.6. Aliviad eros 6. Estrud u de Ca ída R El Resalto Hidráu lico 6.R lo El Contro l de los Resalto s de Fondo
da
79 82 85 88 88 92 95 c
100 100 106 111
11 5
121 124 129 130 133
135 135 139 143 145
146 152 156
161 164 169
CAPIT ULO
IV
7.
TRAN SICiO NES EN FLUJO RAP!D AMEN TE VARIA DO Definic iones Transic iones en Su bcrític o Transic iones en Su 7.3.10 lVIecán lea de las Pertu rbacion es
173
174 181 181
7.4.
CAPITULO 8.
8.3.
9.3. 9.4. 9.5. 9.6.
209 209 210 211 212 219
El Problema del Flujo no Permanente Ecuaciones Dinámicas del Flujo Impermanente en Ca nal es Abíe rtos Solución de las Ecuaciones del Movimiento, Método de las Características Tránsito de u na Onda de Crecida Perfil de Avenida por Ruptura de un Dique Tránsito de Avenidas Calculado por Incrementos Fin itos rc ic ios
221 222 224 231 238 241 247
DISPERSION TURBULENTA EN CANALES 10. 1 10.2. 10.3. 10.4. 10.5.
APENDICE A.
Pri nci pi os Básicos Ecuaciones Dinámicas del Flujo Gradual Espacialmente Variado 8.2.1. Flujo con Incrementos de Caudal 8.2.2. Flujo con Disminución de Caudal Análisis de Perfiles Superficiales Ejercicios
EL FLUJO NO PERMANENTE EN CANALES ABIERTOS 9.1. 9.2.
CAPITULO 10.
194 196 198 201 201 205 207
EL FLUJO ESPACIALMENTE VARIADO EN CANALES 8.1. 8.2.
CAPITULO 9.
7.3.2. Frentes con Disipación de Energía 7.3.3. Contracciones en Flujo Supercrítico 7.3.4. Expansiones en Flujo Supercrítico Canales en Curva 7.4.1. Flujo Subcrítico en Espiral 7,4.2. Flujo Supercrítico con Ondas Cruzadas Eje rcicios
La Dispersión en Flujo Unidimensional Inyección Instantánea en el Origen Concentración Constante en el Origen Dispersión Transversal sin Diferencia de Densidad Dispersión Transversal con Diferencia de Densidad Eje rc leí os
249 251 255 257 263 265
PRACTICAS DE LABORATORIO A.lo A.2. A.3. A.4.
Compuerta de Admisión Inferior Cal i braci ón de u n Ve rtedero Rectan gu la r Resalto Hidráulico Aforador Ballofett
269 272 274 278
v
A.5.
APENDICE B.
B.2.
VI
281
METODO ITERATIVO DE NEWTON - RAPHSON
B.l.
BIBLlOGRAFIA
Flujo Gradualmente Variado
Introducción Desarrollo Anal ítico Ejercicios
287 287 290 293
PROLO GO A LA prnME H,A EDICI ON de Hidráu lica de Canale s El texto que aquí se presen ta fue prepar ado para el curso Recurs os Hidráu licos el cual que forma parte del pensum de Postgr ado en Desarr ollo de de la Univer sidad de los desarro llan, en forma conjun ta, la Facult ad de Interam erican o (:e'-}~saCentro el y a través del Depart amento de Hidr8u lica y rro11o Integra l de Aguas y Tierras . ¡,q"\A'"oJo
hace un afio y su análisis y reLos seis primer os temas fueron editado s, y adicion es en los corres iones correcc visión, en el curso pasado , pern1it ió hacer así co-temas cuatro los escrito han se es, entonc pondie ntes capítul os. Desde ha ex~ se én Tambi ico. torio y cálculo numér lTIO los ápendi ces sobre práctic as de labora tema, cada de final al tendid o el capítu lo quinto y se han incluid o los del texto es relativ arnente conven cional y La orienta cion e Ven Te Ch~)w y F.rv'L Hende rson en sus S2 aproxi ma a la secuen cia que Hunter con insupe rables libros sobre cariales . Ellos, tambié n Oín genera les sobre los que se puedan estruct urar criterio s el cur~ en sher ~L"~>L',HX'-~'-'U por Edvlf8rd :Nauda se analiza n alguna s contrib ucione s of te lnstitu el lowa so que sobre canales se dictara en el la literatu ra actuali~ Resear ch. Adicio nalInen te, se ha hecho ados por otros elabor a zada. Se ha buscad o la aplicac ión práctic Yn"nnr>rl en propon se autore s, para los cuales se tratan aspecto s como el de variado y proces os de difusió n incorp orado al texto L~",,~H.'~U cUllndo realiza i¡a L,iS pl'imel'u:) líaeas del texto fueron escrita s en mayo d~~ 19'Y2. Boach Jesús el J belios práctic qs [}:'ra el CIDIA .T--UL A rni activid ad in:i.ciando unos accedió a que el Direct or del CIDIA T idioma castell ano. el ó estimu ló, autoriz La Univer sidad de los /o\ndes los dibujo s y las continu ara"
tr:_~-
.Y
Luego de presen tados los sejs Eduard o fesores Eduard o ron interes antm: o¡'~iervaciones y anotar on en'oref;. haher realiza do o pecial crédito ,U """'.H'-''''," la.s e durant relativ o al bió por primer a cual he realjz;) do f3oJ::Hnente el en y o ofrecid o para ser incluid ClOnes. J ulián Aguirr e Pe Abril 1974
CAPITULO 1
CONCEPTOS BASICOS DEL FLUJO DE FLUIDOS 1. 1. Defin iciol1cS La velocidad, como cantidad vectorial que es, se caracteriza por tener una magnitud
y una dirección. En un fluido en movimiento, el vector velocidad está definido por tres componentes, que en general pueden variar de un instante a otro y de un punto a otro punto. La línea de corriente se define como una línea que pasando por un punto tiene la dirección del flujo en un instante dado. En consecuencia, la línea de corriente debe ser tangente a todos los vectores velocidad en su recorrido. Así, el componente de velocidad normal a la línea de corriente, en el punto de tangencia, debe ser nulo. Si el vector velocidad no cambia en magnitud y dirección cuando transcurre el tiempo, en un punto, entonces se dice que el flujo es permanente; en caso contrario se habla de un flujo impermanente. Algunos autores emplean los términos estacionario y no estacionario. La diferencia entre flujo permanente y no permanente puede se l en algunos casos, subjetiva. Supongamos por ejemplo que un sistel1ia de conducción de agua con una superficie libre, un canal, se cierra instantáneamente por medio de una compuerta. La profundidad del fluido que se dcLiene contra la compuerta cambia abruptamente, formándose una ola que se desplaza hacia aguas arriba, como se ilustra en la Fig. 1.1.
_:;;_
OLA EN
~-~-_
:-:_::_==- ~
----
¡--
-------~~
FLUJO NO PERTURBADO
flG. 1.1. Movimiento de una ola producida por el cierre repentino de un callal. Un observador si tuado en la orilla del canal vería cambiar la profundidad y la velocidad del fl uj () debido al paso de la ola. Si el observador se moviera con la ola, a su misma velocidad, no advertiría ningún cambio en las condiciones de flujo hasta que el efecto de rozamiento causara la decadencia ele la ola. En mecánica de fluidos es posible convertir otros problemas de flujo no permanente en problemas de flujo permanente, cambiando el punto de vista del observador, como se hizo en el caso anterior. Cuando el flujo es permanente, un elemento fluido recorre un camino que coincide con la línea de corriente.
1
El flujo uniforme se define como aquél en que el vector velocidad permanece conslte en todo el campo del flujo. Sí el vector no es constante, entonces el ±lujo es_no unilorme Ó variado . En una sección transversal en cualquier flujo de un fluido real, en tuberías o canales, existe un perfil no uniforme de velocidades. Debido a este hecho, se acostumbra despreciar la no uniformidad en la sección transversa] y usualmente se dice que un flujo en un canal recto en que no existan cambios de seccIón transversal, ni variaciones de velocidad en la dirección del movimiento, es un flujo uniforme según se ilustra en la Fig. 1.2. PERFILES
DE
VELOCIOAD IDENTICOS
lln demento transversal de área 6A 1 Y el conjunto infinito de líneas de corriente qUt' pasan por su constituyen un tubo de corriente" De la definicÍón de J Ínea de corriente, es cvidente que no puede haber flujo (l través de las paredes de un tub,') de corrientc" Si la velocidad en los c!ementos ele área 6/\1 y 6A 2 se considera represen:;' la por las velocidades medias V 1 Y V 2 respectivamente entonces el flujo en un tubo (k 0rrienle puede someLcn;e a un an~íJisis' unidimensionaL
1.2. Tipos de Phi/os en Canales Abiertos Un celDal ahierto puede consídcr
2
Si la profundidad en una seCClOn del canal no varia en el intervalo de tiempo en consideraci(m se dice que el flujo es permanente. Si la profundidad varía, entonces, el flujo es no permanenteo Para cualquiera de los dos casos, el caudal Q, o el volumen de fluido que fluye por la sección en la unidad de tiempo está dado por
Q=VA
(1.1 )
donde V es la velocidad media de la sección normal al flujo de área transversal A. En la mayoría de los problemas en que el flujo es permanente, el caudal o descarga es constan.4 te en el traIno en consideración. En este caso se dice que el flujo es contülUo y la ecuación que gobierna el flujo desde el punto de vista de la conservación de masa se llama ecuación de la continuidad. Es ta ecuación aplicada a las secciones 1 se puede escri bir:
(1. 2) . Cuando en un flujo permanente esta ecuación no es aplicable se dice que el flujo es discontinuo y físicamente corresponde él casos en que existe una alimentación o pérdida de fluido a lo largo del recorrido del canaL Si la profundidad es la misma en todas las secciones del canal entonces se dice que el flujo es uniforme, independiente de que el flujo sea permanente o no,. Si el flujo no es uniforme entonces se le llama variado, Si la variación de la profundidad se produce por efecto del rozamiento en un tramo relativan'lente largo, al flujo se le llama graduahnente variado. Cuando la variación de la profundidad se produce por un cambio de geometría en un tramo corto, el flujo es nipidamentc variado. Los distintos casos se pueden clasificar como sigue: a. Flujo perrnanente
Flujo uniforme Flujo variado L Flujo gradualmente variado Flujo rápidamente variado b"Flujo no permanente b" l. Fluj o tmiforrne no permanente (caso teórico) Flujo variado y no permanente l. o no permanente gradualmente variado Flujo no pcrnIanentc rápidamente variado <:Ll
;102
1" 3" 1iC/A.ación de Coniirluidad J,:1''] co de de masa p,ua flujo pcnrwncntc e lJlcomprcsiblc for·· mulado en la ce.. 1 "2,, es aplicable a un flujo discontinuo mediante sumatoria de gastos correspondientes él cada una de las discontinuidades.. Por ejemplo, si un canal que tnll1S~
porta un gasto Q1 se ramifica en otros dos de gastos Q2 y Q3 entonces la ecuaciún de continuidad toma la forma:
(1. 3) Para flujo no permanente, o impermanente, la conservaciún de masa, referida a la Fig. 1.4 indica que la diferencia entre el volumen de fluido que entra por la secci(')n 1 y el que sale por la sección 2, separadas por una distancia 6x, debe ser igual al volumen almacenado en el tiempo en consideración. 2 ~--
y
x
FIG.1.4 Esquema de definición para la ecuación de continuidad.
En un tiempo elemental, 6t, el volumen almacenado
está dado por la tasa a la cual el gasto decrece, en lct dirección x, multiplicada por la (listancia en la que se produce la disminuciún del caudal y por el tiempo 6t. Se emplean derivadas parciales ya que las varÍaciones de Q y de la profundidad y, son función de x y de L El volumen almacenado en un 6t será
ay
T (~ ) 6t ~x donde T es el ancho constante del área superficial T 6x. y la cantidad ~6t es la variat cihn de profundidad en el tiempo considerado. La ecuación de continuidad para flujo impermanente en un canal de anchura constante, luego de igualar las expresiones anteriores y simplificar por 6t 6x se puede expresar por
a
aQ
ax 4
+ T
ay
at
o
(1 .4)
Un caso típico de aplicación de esta ecuacic')n corresponde al paso de una creciente por una secci(m de un río.
1.4. licuaciones del JYlovimicnto Consideremos un elemento infinitesimal de fluido. de dimensiones f::,s, f::,A, ilustrado en la Fig. 1.5, el cual se mueve en b dirección s a lo largo de una línea de corriente. El
.....---s
datum
x
F IG. 1.5 Esquema de definición para el estudio de la energía de un elemento fluido.
conjunto de fuerzas que actúan sobre la partícula elemental en la dirección del movimiento debe ser igual al producto de la masa de la partícula por la aceleración as' a lo largo de la línea de corriente, de acuerdo con la segunda ley de Newton. La ecuación de equilibrio puede escribirse
p~A - (p
ap
+ a;-- ~s)
~A - 'Y ~A~s senO'
= p ~A ~s
(1. 5) as
donde "1 Y P son el peso específico V la densidad del fluido respectivamente. Silnplifican~z
do términos se mejan tes, dividiendo por D..A D..s
y tomando en cuenta que senO' = D..s'
la
ecuación ~\11 tcrior se transforma en: ap ,6..z ------=pa as D..s s
5
o
donde en luga r de L
~z
uS
debe escribirse
UZ
as ;va
C] L1e bs variaciones en b
pueden ocurrir tanto por variaciones de posición en Agru pando tér minos tenemos
- -ª- (p + as
el ireccÍón
z
la dirección s como en b dirección n.
ryz)=pa s
(1.6)
Similarmente, para la dirección normal n se puede escribir
a an
(p
+ ')' z) =
p an
(1.7 )
Las ecs. 1.6 y 1.7 son las ecuaciones de E,ulcl (Leonardo Eukl', matcm[ttico suizo del siglo XVIII) en coordenadas naturales y expresan,. en torma dIferencial, las condiciones de equilibrio dinámico de un elemento fluido en el que se desprecian los efectos de rozamiento.
1.5. Aceleración Tangencial y Nonnal, Convectiva y Local Los compon en tes de la el ccleración as y ;I n en las ecs. ".6 Y 1.7, se puecten expresar en función de la tas,) de cl!nbio del vector veloddad en LIS direcciones s y 11 por dV n dv s ,y , a a n s
dt
dt
Considerell1os las líneas de corriente que se muestran en la Fig. 1.5, las cuales no son equidistantes ni rectas. En el intervalo de tiempo ~t, el elernen to de fluido se ITloverá una distancia 6s a lo largo de la línea de corriente central. Su velocidad, luego del cambio de posición, habrá cambiado en magnitud y dirección.
flG. 1,6. COmp(melllltes del vector velocidad a lo 6
de Lina línea de corriente.
El cambio del vector velocidad V, cuyo módulo coincide con V s' en el espacio 6 8, será igual él la t~l~
/::;.V
dv
s/::;.
~
s
s.
, y , ~V
n
dV = __ n6 ds
s
Dividiendo las expresiones anteriores por 6t y cambiando a elementos diferenciales se tiene: dVs
dV
ds
s
d t = ¿-;- --a-t
Pero como
dV n
' y,
dt
dV n
-. ds
ds
---crt
ds
dt = V s ' tenemos que dV
--_s-V as - ds s'
y,
a
n
dv __ n-V ds s
De la similitud de triángulos de la Fig. 1.6 se deduce que dV n
Vs
ds
r
donde r es el radio de curvatura de la línea de corriente. Si además se recuerda, del cálculo diferencial, que
v2
vdv=d ( - ) 2
entonces la expresión para la aceleración tangencial será a
( 1.8)
s
donde se ha eliminado el subíndice s de la velocidad ya que el vector velocidad coincide en magnitud y direccié)l1 con la componente en la dirección s. La aceleración norn1al se expresa por an
=
r
7
Las aceleraciones descritas en los párrafos anteriores se llaman aceleraciones convectivas ya que ellas se refieren a la convección o traslación del fluido en el espacio y no tienen nada que ver con los cambios de velocidad que ocurren debido a la existencia de un flujo impermanente. Los cambios de velocidad en un punto producidos por el hecho de la alteración de las características de permanencia con relación al tien1po producen una aceleración llamada local. De esta manera, en general, la aceleración tendrá una componente convectiva, dada por las ecs. 1.8 y 1.9 Y una componente local debido a la impermanencia del flujo. Incorporando la componente local a las ecuaciones anteriores y cambiando a derivadas parciales en la eco 1.8 se obtiene
dV s
as
av s
1
at
2
--+
dt dv n dt
(1.10)
as
av n
v2
at
r
a =---=---+ n
2
a (V )
(1.11)
Un movin1iento cuya aceleración estuviera dada por las ecs. 1.10 Y 1.11 estaría sometido a acciones de rotación, deformación y alteración de las líneas de corriente con respecto al tiernpo. Para flujo permanente, la aceleración a introducir en la ecuación de Euler no tiene componente local y su expresión toma las formas simples correspondientes a las ecs. L8 y 1.9.
1.6. Ecuación de Bernoulli Si se introduce la aceleración convectiva de la ce. 1.8 en la ee. 1.6 de Euler, se obtiene para flujo permanente
Debido a que las derivadas parciales ucurren únicamente con respecto a la dirección s , lícitamente se cambia a diferenciales totales 2
d ( p+/,z+ - ¿-;-
p
V~. .!.
)--0
Esta forma permite la integración directa, obteniéndose p
+ /'
z
V
+ P 2
2
=
constante
Siendo constante la sumatoria del miembro izquierdo, los valores en secciones 1 y 2 serán los mismos. Si además dividimos por ry podremos finalmente escribir la forma usual
8
de la ecuación de Euler inte2Yada~ la cual recibe el nombre de ecuación de Bernovlli. en honor al científico suizo Daniel Benloulli (1 700-1782) q uien bajo consideraciones energéticas escribió por primera vez la ecuación
P1 - -~ + z1 +
V 2 1 2g
P2
2 V2
--+z +-~ 2 2g
(1.12)
donde g es la aceleración de gravedad. La ecuación de Bernoulli en la forma dada es aplicable a lo largo de una línea de corriente, en flujo permanente y sin disipación viscosa de energía. En la formulación de la ecuación de continuidad se supuso que el tubo de corriente ocupaba la sección total del flujo; de tal forma que las velocidades que aparecen en dicha ecuación son las velocidades medias en la sección. Este tipo de análisis que considera las características medias del flujo en una sección y estudia las variaciones de los fenómenos físicos únicamente en la dirección del flujo se acostumbra llamarlo análisis unidimensiona1. La ecuación de Bernoulli requiere consideraciones adicionales en relación con su po sible aplicación en un tipo de análisis unidimensionaL Veamos en primer lugar las variaciones en una sección transversal de flujo, correspondiente a la sección n de las Figs. 1.5 y 1.6.
Si el radio de curvatura de las líneas de corriente es infini to o, en otros términos, el flujo es paralelo y recto, la aceleración normal convectiva es nula y la ee. 1. 7 se puede escribir
o
nn
( p + ~ z) == O
(1.13)
La integración de esta ecuaClOn indica que para las condiciones dadas el término (p + 'Y z) es constan te en la dirección transversal, y corresponde a la distribución hidrostática de presiones que ocurre en un fluido en reposo. Por otra parte, si a ambos miembros de la
1.7 le restamos el término
1 p oV2 2
an
()btcnemo~
o
--(pf'Y z on
+
1 2
2 aVn av pV )=pV-- - - pV on as
o también
_0_ 1 2 oV n av on (P+~z+-2-PV )=pV(-a-s--~)
(1,14)
Cuando el elemento fluido en consideración no está sometido a rotación sobre su eje transversal el flujo es irrotacional y se verifica que
9
av as
av =
_ _11_ _ _ _ _
el1
(1.15)
O
En estas condiciones la eco 1.14 se puede integrar directamente en la dirección n y se obtiene para dos puntos 1 y 2 que
V 2 1
V 2
p?
--~-+z
ry
20-tJ
2
+
2
En resumen, la ecuación, de Bernoulli se puede aplicar él lo largo de una lírica de colTiente en un flujo de fluido ideal sin rozamiento, pero la aplicación de la misma ecuación en dirección perpendicular exige que el flujo sea irrotacional. En canales no se produce, en condiciones normales, flujo irrotacional y por consiguiente la ecuación de Bernoulli no se debe aplicar en distintos puntos de una sección transversal; por otra parte la distribución hidrostática de presiones, indicada en la eco 1.13, para las secciones perpendiculares del flujo requiere un conocimiento previo de la condición de curvatura de las líneas de corriente. Estudiemos ahora la aplicación de la ecuación de- Bernoulli bajo consideraciones unidimensionales. La sumatoria de los tres términos de la ecuación representa la energía total de la unidad de peso que pasa a lo largo del tubo de corriente que limita al elemento en consideración. Es evidente que la energía total disponible en una sección, obtenida de la integración de las energías parciales correspondientes a los infinitos tubos elementales de corriente, tendrá que conservarse si se desprecia la disipación de energía por electo Cid rozamiento. El peso, por unidad de tiempo,correspondiente al elemento infinitesÍ1nal que se mueve a lo largo de una línea de corriente es ')'dQ. La energía total en dos secciones 1 y 2 de un tubo de corriente que comprenda da la sección de flujo es
J A1
(~+ 'Y
zl
+
V 2 1 2g
él
p?
'"'( dQ = J (-~- + z2 +
A
2
Pl Si el flujo es rectilíneo, los términos -ry-
ry
+ zl ' correspondientes él
la energía produ-
cida por la presión y la el1ergía de posición pueden ser sélcados del integral ya que su matoria es consta.nte, así podemos escribir
10
to-
SLl-
tes a cualqu ier líneo de En esta ecuaci ón V 1 Y V 2 son las velocid ades corresp ondien emplea do en relamente previa to concep , corrien te. La velocid ad media en una sección expres ión de las la facilita que rística caracte una es ción con la ecuaci ón de contin uidad, ro pueden expres arse en funcondic iones de un flujo. Las integra les del segund o miemb numér ico ex tal que mulfactor un de ón ción de la velocid ad media V n1edia nte la inclusi fluido que circula por la del total peso el tiplica do por la energí a cinétic a produc ida por a total obteni da por incinétic a energí la sección a una supues ta velocid ad media origine tegraci ón, es decir 2 2 a 2 V2 Q - ; (Xl V1 Q Q (Pl + I 2 1 - P2 - I z2) ::: (1.16)
1-
a cinétic a, se obtien e donde, luego de igualar los corresp ondien tes términ os de energí f V 13 dA A (1.17) _1_ f ( ~ ) 3 dA 1 ::: 0'] ::: Al 2Q Al 1 1 1 se substit uye por índice el ente y otra expres ión equiva lente para 0'2 en la que únicam las barras teniend o amos elimin les 2 V 2. Si en la ee. 1.16 simplif icamos por Q, y a VI Y las seccion es coen ad velocid de medios presen te que ahora ellas represe ntarán valores desde un punto a, aplicad lli Bernou de rrespo ndient es obtene mos finalm ente la ecuaci ón rectas. te corrien de líneas de vista unidim ension al, en flujo sin rozami ento y de
V
2 V1
Pl
--+ z +0' 1 -2gI
1
V
2 V2
P2
--+ z +0' 2 - 2g I
( 1.18)
2
unifor me en la sección , Los valores de O' varían desde 1,0 para un flujo de velocid ad iones norma les el vacondic en lica; hasta 2,0 para una distrib ución de velocid ades parabó cuando se escribe la razón, esta por lor anda cerca de la unidad y mucha s veces se omite, flujo. del ecuaci ón de Bernou lli aplicad a a toda la sección
neo 1.7. Distrib ución de Velocid ades y de Presión en Flujo curvilí superfi cie libre,so bre Repres entemo s en la Fig. 1. 7 el flujo de un canal abierto con un fondo convex o visto desde arriba. La acelera ción norma l dada en la eco 1. 9 es a ::: n
r
11
-'-'-'-'-2
'-'L-'
VO /2 g
H
,
o
1,
n I
v
FIG.1.1 Esquema de definición para fiujo convexo.
y de la geometría del diagrama vectorial en la Fig. 1,6 se tiene
v r
dv dn
además, si el flujo es irrotacional
±
v r
donde el signo + corresponde al flujo convexo mostrado en la Fig. 1.7 Y el signo - al flujo cóncavo. De la ecuación anterior se tiene
dV
V
~
dn
ti- "'---r
La integración de esta ecuación, entre la superficie libre de velocidad conocida Vo y otro punto de velocidad V a una profundidad n desde la superficie se expresa por
12
n
dv
± J
v
o
dn r
es decir n
dn
± J -ro
o también
V
=
n dn V o exp (± J' -.r-)
( 1.19)
o
En general el radio de curvatura r varía en la dirección normal r = r (11.). Esta función se puede determinar Inediante una red de flujo. Luego, se halla la distribución de velocidades de la ee. 1.19 lnediante una integración gráfica. Si r = r (n) se aproxima por un valor lnedio constante, entonces la ee. 1.19 se transforma en
V
=V
(n)
=
V o exp (±
n
( 1.20)
- t - ·)
La cota piezométrica (suma de la energía de presión y la energía potencial por unidad de peso) es
h= (-p-+ z)= Hry
SI
2g
se cOlnpara con
h
o
:=
H-
para la superficie libre, se ob tiene la desviación de la carga piezométrica de aquel valor constante correspondiente a condiciones hidrostáticas, así 'L V o ún ) ] h - ho = -;;-g [1 - exp ( --1'.!. (1.21)
±
r')
Si se expande la función exponencial n1.ediante una serie y se desprecian términos de segundo o más alto orden, se obtiene
13
'h - ho
=-+
(1.22)
n a
b
r
donde el signo - corresponde al flujo convexo de la Fig. 1. 7 Y el signo + a flujo conca vo. Cuando r = 00, h = h o ' lo cual indica que la cota piezométrica coincide con la superficie libre. Esquemáticamente, en la Fig. 1.8 se señalan los tres casos de distribución de presiones, de acuerdo con la descripción y el análisis realizados en los párrafos anteriores.
tubo piezométrico
FLUJO RECTllINEO Distribución hidrostática de presiones
FLUJO CONVEXO
distribución debida al flujo cóncavo
distribución hidroltótica
FLUJO CONCAVO FIG.1.8 Distribución de presiones en flujo recto y curvilíneo. 14
Ejemplo 1.1. La curva de transición entre la cara de un aliviadero y la regi6n horizontal de descarga tiene 60° y un radio de 6,10 m. Se supone que el flujo en la transición tiene una profundidad normal de 1,50 m. y una, velocidad media de 12,20 mis en la entrada. Se pide la presión en B (a medio camino de la transición). Compararla con el valor simplificado dado en la eco 1.22. So lución --=~_=-""'="-=_ __ _
2
v = 12,2 mis.
Vo 2g
...01
3,05 m.
L
6,1 - 4, 6
COII.
:30° : 2,12 m
FIG.1.9, Esquema de definición del Ejemplo 1.1.
y2 La carga total H = - 2g L
+
-12'Y
+ z=
12,22 2x9,8
+ ~ + 2
3,05=11,40m
con d = 1,5 constante. Para Yo
2g
2
= H - 2,12 = 9,28 In., donde 2,12=6,10-(6,10-1,50) cos 30°
se tiene;
Yo =y 19,6 x 9,28 = 13,5 mis.
Para un datumque pase por B se tiene que ho = 1,5 x cos 30° = 1,30 m.
15
Usa
la
o
ce.. 1,
I + -----,,---,
=l
l,
I Sl,,6
0,:565 ) =
111
b ec 1,22
Jl
U
+
h()
=
1",30
+
2m
1,8, Ecuación
la Cantidad de lVioiJimiento
eternos l1lJCVamf::i1tc el elemento fluído de la 1,5" De nuestro conocimiena la ecuación de impulso~momentujTl) el producto en el que actúa ( dc la ) es al IV! (1 el (~uerpo) sobre el que actLl;~ la fUC::fí',8) y la ele lTlovinlicrüo) ITlomentulll y el irnplllso son raI1Licl~1C ni ~1, el i í e e ció n ' tenemos
(11
(j
te; u na for m a el
eCUélción cJlJC es
te
el e
la
SCFU u
él
ecu,ación
j\Tewi:oJ.l
F'
=
\; b
M
c1v
~
__..l
el I
IJCiZ;¡
1;1 I
{III,IU
en
I I(
rncnlu
1)('I'I11;II1CI\[('
ele
dcnsicl~\cl cunsLlIILt', 1'] Iu¡eíllbro
Il1d
(J
de f1uído" clHunccs
d (p cls (1/\
dF
d¡,I-
di
(1" dA
o
\1 e1 (,
p
av
els elO di
se pu
Volviendo a
Lt ecudición del impu1so-momentum y simplificando por dt se obtiene
dF = P
x
a vx as
~-'
ds (lQ J
Ya que dQ es cQnstante a lo largo del tubo de corriente que circunda al elemento fluído, la integración entre las secciones 1 y 2 de la Fig. 1.5 conduce a
donde ~Fx es la diferencia de fuerzas, entre las secciones 1 y 2 sobre las porciones correspondientes al tubo que comprende al cuerpo elemental de fluido. Una integración posterior de la última ecuación con respecto a Q, dará una expresión similar para el tubo de corriente grande que contiene al tubo elemental. Se obtiene así
(1.23)
Cada elemento fluido q l1e comprende el tubo total de corriente sufre esfuerzos que son ejercidos por aq uellos elementos con los cuales él está en contacto. Debido a que cada sección req ti iere 1J 11;\ reaccihn igual y opuesta, todas las fuerzas internas se anulan en el proceso de in tegración, con el resultado de que la sumatoria 2:F x com prende solamente la componente del peso del fluido en la dirección x, y las fuerzas ejercidas externamente sobre s us caras limitan tes. La :EF x se puede determinar indirectamente mediante el cálculo del miembro de la derecha de la ee. 1. 23. Por la conveniencia discutida cuando determinábamos la ecuación de Bernoulli para los valores medios de velocidad, la in tegración de este miembro puede igualarse, mediante la aplicación de un coeficiente ~, a los valores de cantidad de movimiento que se obtendrían con las componentes en la dirección x de las velocidades me\_\i~lS en LIS secciones '1 y 2, Vx -¡ y Vx2 de forma clue
(1.24 )
donde V x2 Y V xl representan los valores medios de velocidad, habiéndose eliminado de una vez las barras superiores sobre ellas. Los valores de ~ se pueden obtener para cualquier sección nlediante la ecuación
f3=
Q
J
vx
r
-~-.-dQ=
Vx
A
J
Vx
V
V
V
~
x
dA (1.25)
1
La cantidad (3 P QV representa la tasa de flujo de momentum en una sección dada. Hjemplo 1.2. La distribución de velocidades en un río muy ancho de 2,5 m. de profundidad varía desde 0,6 mis muy c~rc;:a del fOlido hasta 1,8 mis en la superficie, de acuerdo con la ecuación V = 0,6 + 1,2 (y/Yo)O,5. Cuales son los coeficientes O' y (3 cuya inclusión en las ecuaciones de Bernoulli y momentum respectivamente permite el análisis unidimensial correcto.
Solución
O'
= -- I (- ~ ) 3 A
A
1
(3 =
--¡;- J
dA
V
V
(V )2dA
A
La velocidad media
v= v
V es
°
2,5 Q 1~ Y 1 [0,6+1,2 (y/2,5)' 5-} d-y - - = - - rOVdy = . - - I A Yo o 2,5 o 0,6
+
1
a= - -
Yo
Yo J o
-1 (X=
- -
2,5
2,5
I
()
O/.
18
= 1,15
1,4 mis
0,8
1 ,43
1
°
5 3 dy - - [0,6 + 1,2 (y/2,5) ,] 3 1 ,4
[.0,6
~
+ 1,2
5 2 (y/2,5) O,] dy
= 1,07
EJERCICIOS
Ejercicio 1.1.
El agua entra hacia una esclusa en un canal de navegación a través de 300 orificios de 1,0 m. de diámetro, cada uno. La esclusa tiene 300 m. de longitud y 30 m. de ancho. Durante la operación de llenado, la superficie libre en la esclusa se eleva a razón de 1,5 m. " por minuto. Determinar la velocidad del agua en los orificios. Ejercicio 1.2.
La velocidad de un fluido de gran viscosidad en una sección convergente entre placas planas varía de acuerdo con la ecuación
v=v c
(T- x)
Para un espesor L, a. Calcular el caudal en función de V c,T y L. b. Calcular la velocidad media. c. Hallar expresiones para los coeficientes ()( y ~ de ener gía y cantidad de movimiento.
Ejercicio 1.3.
La distribución de velocidades, en un plano, alrededor de una pila de puente' está dada por la relación V=2V osen8, si se adopta la hipótesis de flujo irrotacional. Determinar la ¡resión para los ángulos 8 de 0'0, 15°, 30°,45 , 60°,75°,90°, 120°, 150°, Y 180°. R~ presentar gráficamente la distribución de presiones.
19
¿Cuál es la fuerza que soporta la pila? . Es esta una solución físicamente posible? . Qué ocurre en el problema real? .
Ejercicio 1.4. Aplicando la ecuación de cantidad de movimiento, determinar la altura Yo que alcal1Za el agua en el pozo de estancamiento detrás de la vena de descarga de una caída libre la cual incide con un ángulo de 45° sobre el escalón donde se acumula el agua con un movimiento de circulación de relativamente pequeña intensidad.
20
CAPITULO 2 LOS PRH,YCIPIOS DE ENERGIA Y- CANTIDAD DE MOVIMIENTO j-\PLICADOS AL EN
y Profúndidades A ltenlas
2.1 . Energ/a
especifica E como la energía referida al fondo del cauce corno
Se datum
(2.1 ) donde y es la profundidad del canal) la cual corresponde a la suma
líneas 'Y
de corriente rectas,_ concepto de específica fue introducid o por Boris A" en 1912 y su adecuada consideración se pueden los más complejos problemas de transiciones cortas en las que los rozamiento son preciables, el considerando el caso de un canal de b.. ele ancho q = Q/b y escribimos nuevo la ee o que O~::-= 1, en la forma:
E:c:c: y -1Esta ecuación te; Las dos rrespondiente él 18 energía E y ciben el un gasto es constante,
(2,2)
E como función de y para un valor de q constany representable en un plano para un valor de E constante" la ee 202.. se rnuestréll1 en la Fig. 2,1. La co~ 2,1,30 que existen el os profundidades para cada valor
estas dos profundidades son posibles n> La mí nima para que ec 2.2. con a y, recordando que el
::::---~)
k
0.- Cúr\lo~ de eoerOlo {t1}pocí1ica, q;: cons!onie
/
----.l ______ L _____ l _ _
...J
"Ir,'
b.- Curvas do gO!)to contra profundidod, E:; cOnJtonh,
dE
dy
2 1-~ gy3
la cual es cero cuando (2.3)
Esta profundidad a la cual-corresponde un valor mínimo de la energía se llama profundidad crítica y 6 sustituyendo el valor de q en 1á eco 2.2 se 'obtiene la energía específica mínima .,E m , (2.4 )
Por otra parte, si en la eco 2.2 E es constante, el máxÍlno gasto que puede pasar por una sección con la energía dada se obtiene derivando q2 = 2 gy 2 (E-y)
(2.5)
de tal f onna que si
-
d q2
entonces,
= O
dy
2 y= ..,3
E
Se observa gue ésta es la misma profundidad crítica de la ee. 2.4. Como consecuenCIa, se deduce que el' flujo a profundid~d crítica representa no. sólo un flujo con una energía específica mínima para un caudal por unidad de ancho dado sino, tambien, el flujo de caudal máximo por unidad de ancho para una energía específica dada. Los gráficos de la Fig. 2.1. se pueden generalizar y hacer adimensiona1es. Así, si se d,~vide
la eco 2.2. por la profundidad crítica obtenida en la eco 2.3. que designamos y c' se obtiene
20-t:> y2 Yc
22
FIG,2,2
ma adimensional de energía
es~ecífica
y también 2
~=--L+~ Yc
Yc
2y2
(2.6)
la cual no depende de q. La eco 2.6. se representa en la Fig. 2.2. De la eco 2.3 se encuentra el gasto máximo, q = qm' para y = Yc. ')
Si la ee, 2.5
se divide por q;¡; q
2
(-c-"-) -Jm
2g =
entonces tenemos: ')
y~
Y3 e
g
3 ( - y - y) 2 e
es decir
2 2 3 (-g-) = 2 (-y ) ( 2 gm Yc
J ,0
o
J
5
- - - - - - - - -
- - -
- -
- - -
I---------j----:;,f'--------,
(2.7)
la cual no depende de E. La re presentación gráfica de esta ecuación se muestra en la Fig. 2.3. La velocidad ll1edia, en condiciones de flujo ctÍ tico, se llama velocidad ctÍ tica V c' La energía cinética en esta condición se obtiene de la eco 2.4.
3 2
f~G,.
:tJ
D
ma
de descarga
Yc
Yc +
V2 e 2g
ele la cu~d se dcd uce g uc V
c
=
Por otra pa rte, en hidrodinámi-cfl se ll1UestL\ g llC la velocidad e de una onda de longitud L en élgUél de profundid;ld ji, e11 reposo, está dactl p~r la ecuación
gL
e2
2 17'
(2.8 )
tanh
Si L (:'s grande en comparación con y, entonces 2rry/L es pequeño y tanh (2rry/L) se :1Jiroxima él 21(y/L~ por 10 tanto C2
=
gy
(2.9)
Se ha establecido así que en flujo crítico/el agua se n1.ueve a la misma velocidad que una onda que resulta de una pequeña perturbación en el flujo. Cuando la velocidad del fluido es lTIayor que la crítica se dice que el régimen de flujo es supercrítico y cuando es menor se dice que el régimen es subcrí tico.
IV
A la relación V gy, se le llama nÚmero F de Fraude (en honor de un ingeniero inglés del siglo XIX que utilizó este factor en un estadio de similitud de barcos). La condición de flujo supercrítico se produce para F 1, flujo subcrítico para F < 1, Y crítico para F = 1. Los tipos de flujo están representados claramente en las curvas de energía específica y caudal. En ellas, las ramas superiores corresponden a flujo subcrí tico (y y d y las inferiores a flujo sl1pcrcrítico (y < y ). Esta discuslc'm, y otras posteriores, indicarán que e¡ número de Froude c:s una cSDecie ~e indicador univers81 en la caracterización del flujo de superficie libre. EI1 ¡-luio sl1bcrítico un;] perturbación puede moverse hacia aguas arriba, y esto significa, en términos prácticos) que mecanismos o condiciones de control tales corno una compuerta o una caída influyen sobre las condiciones de flujo aguas arriba del control;. por ello se afirma que el flujo subcrítieo está controlado por las condiciones de aguas abajo. Por otra parte, los controles de aguas abajo no pueden influir en el flujo supererí tico ya que las perturbaciones en una sección sólo pueden viajar hacia aguas abajo estableciendo así los posibles controles únicamente del lado de aguas arriba.
>
>
Los conceptos desarrollados en esta sección son válidos también para secciones no rectangulares. En este caso la ee. 2.1. con relación a la Fig. 2.4. puede escribirse para (X = 1 como E
=
y
+ (2.10)
donde Q es la descarga total y A es el área de la sección transversal. De nuevo, derivando con respecto a y, podemos hallar la condición de energía específica mínima, dE
=
dA
1 _
dy
dy
en .donde dA/dy tiene una representación física en el ancho T,de la superficie libre. El incremento de área dA producido por un incremento dy de la p,rofundidad es dA = Tdy. Si
aE
se substituye esta expresión en la ecuación anterior para
Q2 g
T A3
=
- - = 0, se obtiene: dy
(2.11)
1
J,ji>
T
~I
\ -~ dA
A
fIG.2.4 Sección Transversal de un canal no rectangular.
la cual expresa la condición para flujo crítico, es decir la condición con velocidad y pro-' fundidad crítica; así
26
Si definimos A/T como la profundidad hidráuÍica media y m del flujo, tenemos que
y2 c
(2,12)
g
donde el subíndice c indica que las variables toman los valores correspondientes a las condiciones críticas. La velocidad crítica en este caso es
(2.13) que tiene una forma equivalente a la celeridad de la ec, 2.9. Como el número de Froude en una sección rectangular se define por la relación entre la velocidad en la sección dada y la celeridad en la misma, es conveniente definir el número de Froude en una sección no rectangular de la misma manera, así
y
F=
..¡ g
Ym '
(2.14)
Algunos casos tí picos y usuales d.e secciones no rectangulares son las trapezoidales y las circulares.
2.2. El flujo Crítico en Secciones no Rectangulares Para el cálculo de profundidades críticas en secciones no rectangulares, es frecuente el empleo del factor de sección FS definido como el producto del área y la raíz cuadrada de la profundidad hidráulica media FS = A,¡y;;, =
Al ; ,
(2.15)
Si esta expresión se substituye en la eco 2.13, se obtiene, para un flujo crítico
Q
ygu
FS
(2,16)
Cuando el coeficiente de energía ex es distinto de la unidad, la ecuación anterior puede escribirse
Q=FS~
( 2.17) 27
Las ecs. 2.16 y 2.17 son de gran utilidad en el cálculo y análisis del flujo crítico en un canal abierto. Para un caudal dado, las ecuaciones anteriores dan el factor de sección crítico FS c y por consiguiente la profundidad crítica y c' En la Fig. 2.5 se presentan, con el fin de facilitar el cálculo, curvas adimensidnales que dan la relación entre la profundidad y el factor de sección para canales rectangulares, trapezoidales, ovoides y circulares, en base a los gráficos elaborados en 1944 por Lehmann según indica DOlnínguez en 1959.
Efemplo 201. Hallar una ecuación que exprese el caudal crítico o caudal m:lximo que pucdf', pasar por una sección de un canal rectangular en función de la ;-¡l1ChUr;l del canal y rl.~ la cuga totaL
Solución Para una sección rectangular, en condiciones de flujo crítico, la profundidad
y c es
-i-
de
la energía E (ec. 2.4.). El factor de sección FS ( de la
eCo
2.15) es FS
=
b yl,5
Sustituyendo en la eco 2.16 se obtiene
Q
b
Yg'
2
3
E) 1,5, de donde
2
Q=
3
Ejemplo 2.2. Calcular la profundidad crítica y la velocidad en un canal trapezoidal que tiene una base b = 6,0 m. y taludes en proporción de 2 horizontal a 1 vertical, para un gasto de 12,,000 l/s. ' Solución El factor de sección FS es
Q FS
28
12
3,84 m 5 / 2
29
por lo tanto, FS
3,84
= FS . b . De ]él Flg. 2.5 se o tlene para -::¡--5 correspondiente'
T
b~,
0,0436
0,0436 Y de la curva
P;Hél
el canal tra pezoidJI
= 0)115
Por lo tanto la profundidad crítica y c
0,115 x 6,0
0,69 m
La velocidad crítica es
vc
=
12 x 2
= 2,36 mis
'2.3. Ocurrencia del Flújo Crt'tico. Seccwnes de Control.
El control del flujo en un canal es un concepto que se define de diversa'~ maneras. La' definición que nosotros adoptamos par-a sección de control es la de una sección en la cual se establece una condición única de flujo, o más específicamente es una sección en la cual existe una relación definida entre la descarga y la altura del flujo. Debido a que la sección de control exhibe esta relación única entre descarga y nivel superficial, el sitio es siempre apropiado para la· localización de una estación de medición y para la elaboración de Ll na Cllrva de p;ofundidad-ca udal. En condiciones de flujo crítico se puede establecer una relación única de profundi~ dad contra caudal y ella está representada por las ecs. 2.15 y.2.16. Estas ecuaciones muestran que la relación entre profundidad y caudal es independiente de la rugosidad del canal y de otras circunstancias incontroladas. Por 10 tanto, una sección de flujo crítico es una sección de control. La sección de control, controla el flujo restringiendo la transmisión del efecto de un cambio en las condiciones de flujo en las direcciones de aguas arriba y de aguas abajo. Algunos mecanismos que pueden originar secciones de control son compuertas, reducciones en la anchLlra del canal, elevación del fondo del mismo, etc. En base al principio del flujo crítico, se han desarrollado distintos tipos de aforadores siendo los mas usuales, las compuertas sobre las que vierte un fluido o vertederos, y los mecanismos de estrechamiento del cauce o de elevación del fondo para producir fluj() crítico, tales como los aforadores de Parshall (en honor del ingeniero americano R.L. Parshall, quien desarrolló el instrum,ento en 1926) Y de Balloffet (en honor de Armando Balloffet, investigadot argentino quien en 1955 hizo un estudio sobre distintos tipos de aforadores de flujo crítico). 30
2.4. La Fuerza Específica Aplicada al Estudio ele Canales
En la eco 1.24 de cantidad de movimiento
el miembro de la izquierda representa la sumatoria de todas las fuerzas externas ejei'cidas, en la dirección dada, sobre el cuerpo libre de fluido contenido entre las dos secciones ter-minales, la superficie y el contorno sólido, Estas fuerzas incluyen las fuerzas producidas por las presiones en las secciones terminales, las fuerzas producidas por los esfuerzos cot'~ tantes en los contornos sólidos y las componentes del peso en la dirección considerad~L La sumatoria de la cantidad de movimiento en una sección y la fuerza externa hidros~ática producida sobre la misma divididas por ,'Y decidinio~ llamarla fuerza específica
--.M. , así
y se simboliza por
'Y
P
- 'Y Q ~x Vx ~ ~
+
-'Y
'Y
y A
donde 'YY es la presión en el centro de gravedad del área. Para una dirección x coincidente con la dirección del niovimiento tenemos, si ~ = 1, que M
La~ dimensiones de la fuerza específica son las del cubo de una longitud. Para e] so de un canal rectangular, se acostumbra expresar la fuerza específica por unidad an-cho y en este caso .la profundidad crítica y e es un parámetro apropiado para hacer mensional1a eco 2.1EL Así, para los canales rectangulares, con flujo rectilíneo y ~ = 1 en la sección de estudio se tiene
M
'Ybyc
9 2
2
2 2
gy Yc
+
Y 2 y2 ' c
o también
M 'Yb Yc
2
'Yc Y
1
+--' 2
~y-
Yc
2 )
19)
Esta ecuación se representa en la Fig. 2.6.) en la cual se verifica que la fuerza específica adimensional mínima se produce para la profundidad crítica. Una aplicación directa de la fórmula de fuerza específica permite encontrar la ecuación de resalto hidráulico en un canal rectangular, horizontal y sin obstáculos.
3~----
---/1/
1-
i
I
/ //
/ I
\
!
2~'!
i
,
i
.-
I
I
,
I
---t~-~---------, I
I y y e
o
FIG.2.6 Forma adimensional de la hmción de fuerza
I I
I
/
La eco 1.24 este caso se puede , con reFerencia a 18 Fig, 2.7, si miento sobre el fondo es despreciabJe) en la forma
'l'
+
+PQ
'Y
P
el r02a-
(2.20)
la cual expresa que la fuerza especifica en la sección 1 es igual a la fuerza específica en la 2, es decir
y Y¡
_c
Y1 2
1
+--z, (-) Y
(2.21)
c
Estas dos pro[u ndidades y 1 e y,) antes y después del resalto que corresponden a una misma fuerza específica en la Fig. 2.6 se llaman profundidades secuentes o conjugadas. La ecuación de resalto, en su forma ordinaria se obtiene, para canales rectangulares, multiplicando la ee. 2. 21 por
ytr
q2 Yf ---+---
q
2
')
2
+
Y2 2
gY2
la cual se puede escribir 1 )'1
1
1
Y2
2
_ _ )= _ _ (y2
2
es decir
9
1. 2
La substitución q = y 1 Y1 conduce a
y2. 1
o también 1
(2.22)
2
donde F 1 es el número de Froude en la sección 1. Esta ecuación es cuadrática en y 2/Y 1 Y la solución física está dada por
Y2
1
y1
2
-- = -
(-
1
+
j
1
+ 8F
1
') ) ~
¡
(2.23)
que es la forma ordinaria de la popular ecuación del resalto hidráulico, Otra forma que presenta cierta utilidad, cuando se conocen las características de aguas abajo del ~esalto, es 1
2
( 2.24)
. En general, ya que las ecuaciones del resalto hidráulico contienen tres cantidades independientes, es necesario conocer previamente dos de ellas para proceder al cálculo de la tercera. En cuanto a la condición física del resalto, es importante tener en cuenta que la profundidad y 2 no tiene causa en la condición de aguas arriba sino en algún control que actúa en algún lugar hacia aguas abajo. Si este control produce la profundidad y 2 secuente de y l' entonces se fbrmará el resalto. Imaginemos el caso en que tenemos la relación adecuada entre y 1 e y 2 para la formación de un resalto aguas abajo de la compuerta de la Fig. 2.8.
34
/"'" E (energ{o total)
~-
q
Y=f(M)
FIG.2.8 Esquema del control producido por una compuerta de fondo Las profundidades alternas antes y después de la compuerta corresponden a flujo sub y supercrí tico respectivamente y a un valor único de q en el diagrama de energía específica. Las profundidades se cuentes y 1 e Y;2 del resalto corresponden a un valor único de la fuerza específica. La profundidad subcn tica y 2 del resalto es menor que la profundidad antes de la compuerta debido a la pérdida de energía ~E correspondiente al resalto. La pérdida de energía en el resalto se obtiene restando la energía específica antes y después del mismo y el resultado se pyede expresar por
(2.25)
~E=
Supongamos que mediante un'control, de aguas abajo del resalto,. se incrementa la profundidad y 2' El salto se correrá hacia aguas arriba hasta que él "ahogue" la compuerta. Si por el contrario, y 2 se hace menor, el resalto se moverá hacia aguas abajo hasta que el flujo supercrítico se produzca en el control de aguas abajo. Si Y2 t;iene el valor correcto, el resalto tiende a desplazarse inestablemente hacia aguas arriba y abajo. Debido a esta' circunstancia, se trata de localizar el resalto por medio de escalones o die11tes en el piso de aquellas estructuras hidráulicas en las que se producen resaltos hidráulicos,
Ejemplo 2.3.
Aplicando las ecuaciones de cantidad de movimiento y de continuidad, al análisis de un resalto hidráulico sumergido en la salida de una compuerta de fondo en un canal rectangular, mostrar que
-~ = ~ + 2F 2 Y2 2
(1-
~; Y1 35
es la altura de la vena con traída, y 2 es la aguas abajo yF2, = V 2/ = g/ (yi g) 1/2 es el número de Froude 3guas abajo de la compuerta. Despreciar la resistencia en el canal. Solución p, plicélndo la ce. 2.20 (de c\ntidad el e eSCI¡¡em~(
de de
')1
2 (
la
mOViIYl ¡ento)
en el vol u men de control
tenemos
ys
2
2
- y 2 ) = Pq (V 2 - VI)
Substituyendo cn la ecuación antcrior q por Y2 V'J' y, V por V Y2/ Yl ( formas de 2 " 1 J tenemos, ya que g =~/p, ~ 1 1 contll1UlCau) ce (Y
~
]
(y ~ 2 s
y2
2
)
= y2
') V 2~ (l -
y'J
-~-
y1
)
Y2 ')
-1=2---- ( 1
- - - ) , es decir
Y2~
Y1
r,
Ys
----
2
/
(1
Y2 -~
)'1
\'2
+
1
2.4. En un c;1ll~d rect~ll1gltlar, hOI~izon tLlL de 4,0 11'1 de ancho se coloca una C0111que origina una \'cn~\' de descarga de 60 cm. El agua se represa élgU~lS ~Hriba de ella hasta una al tura ele ~1)3 m. Despreciando el roz~1 miento se pide, el caudal que corre por el cJt1aL la fuerza sobre tI compuerta, tI altura sccucntc)Tr de] resalto y la energ{a disipada 1"':.1 ,,1 mismo.
LjCl/lplo pucrt;l
1,8 m
0,6 m. //~ /
Fig. 2.1 (]
Esquema de definición de!
2.4.
Sol/( ciúlI P;ILI
illlstr;\r la utiliebd de los diagram;\s adirnensionalcs de energía y fuerza espedfi-
¡:él, V;llllOS;\
utiliz;lrlos
e11
la solucicm de este problema.
P;¡L\ determinar el c
la Fig.
2.2105 dosva-
lores de )'/Ye- lus dividil110S entre si y los graficamüs como YII)'2 contra E/yc en la Fig. 2.11
31
J_=____ j-;~~~~
6
V!
4
2
--
/"
V"
3
'-
~/?'
/' V' I
I
I
I
I
I
1,
I
1
I
2.5
3.5
En este diagrarna encontramos que para Y1 /Y 2 = 1,80/0,6 = 3,0 el valor de E/y c correspondiente es 1,97
o
Con E/Y e = 1,97' volvemos a la Fig. 2.2 Y encontramos que Y2/Y c = 0,6; Yl/Y c =
1,8, por 10 tanto 'Y c = 1,00 m. El gasto q, por unidad de ancho es
q=
3,13
El gasto total
Q=qxb=3)3x4,O=12,52 m 3 /s
La altura secuente del resalto se encuentra directamente de la cul'va de fuerza específica en la Figo 2.6. Con y/y = 0,6 se entra en el gráfico 111encionado h:;lsta cortar la rama inferior de la curva; luego~ como la fuerza específica es constante en las dos secciones del resalto, subimos a la rama superior y se encuentra que y/Yc = 1,56.
Por
10 tanto,
=
yr
1,56 x 1,00
= 1,56 m.
La fuerza sobre la eOlupuerta se puede obtener de la Fig. 2.6, Con Yl/Y = 1,8; e Y2/ Ye = 0,6 obtenemos que M 'YY e
M 2
0,32 x 'Y x y e
2
0,32
.., aSl"
La fuerza sobre la compuerta es F =
F =
2,17 - 1,85
b
x b = 0,32 x 1000 x 4 = 1.280 Kg.
La energía L\E disipada en el resalto se puede obtener de la Fig. 2.1. En este diagralua se tiene E Ye E
además
Ye
1,97 para -yYe
1,74 para
0,6
~ Ye
L\E
luego
Ye
1,97 - 1,74
0,23
Energía disipa~a L\E
0,23 x 1,00
0,23 m.
0,56
EJERCICIOS
Ejercicio 2.1.
Un resalto hidráulico que se forma aguas abajo de una compuerta produce un cambio de profundidad de 0,6 m. a 1,5 m. Cuáles son: a. b. c. d.
La carga o energía específica en la compuerta? El caudal por unidad de ancho? La pérdida de energía en el resalto? La fuerza contra la compuerta?
Ejercicio 2.2. Téll como se indica en el esquema, el agua que en UJl canal rcctangLlbr fluye C011 una velocidad V y Ullél profúndidad y se retiene POI- med i o de un a com puerta. El ,1gU~1 fluye sin ~r,lndcs perturbaciones, hélci;1 una descarga ele fundo. Calcular b sobrcelevélciém, ,6. y, en la su pcrficie del aguél. aguas éllTiba de b C0111 puertél:
a. b.
Haciendo MI = M 2
Suponer que ,6.y/y es pequeño. Cuál de las dos respuestas es correcta y por qué?
l~ierciciu 2.3.
-¡ -~
=b1
~~----~--'"'-- ~ 1 / < ! I 1 - - " ¡-
40
b
-~
Calcular, en función de Q, el CIncho b de la base de un canal triangular C01110 clmostrado en el esq uema si se d ise fla de tal forma g uc la profundidad crítica seél y e = b/ 3.
Ejercicio 2.4.
Un río que fluye hacia el mar con una velocidad de 5 Km. p.or hora. 8. una profundidad de 2,0 m., se encuentra con una marea que tiene unaprofundidadde 4,5 m. Como consecuencia del avance de la marea se origina una ola que se mueve rápidamente hacia aguas arriba. Mediante consideraciones de movimiento relativo, calcular la velocidad de la ola. Qué velocidad y dirección tendrá el flujo después del paso de la ola? . Ejercicio 2.5.
En un canal rectangular muy ancho, la profundidad del agua es de 3,0 m. y la velocidad es de 1,5 mis. Repentinamente, el caudal en la toma del canal es brúscamente duplicado. Encontrar la velocidad con que se mueve la ola originada, hacia aguas abajo, así como la profundidad resultante. Considerar el movimiento relativo.
41
LENNIS A. AVil"
Ingeniero e.LV 1\1'
I
CAPITULO 3 EL FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS
3. i. Caractedsticas del Flujo Uniforme Para que un flujo se considere uniforme, debe exhibir las siguientes características: la profundidad, el ái-ea transversal, la velocidad, y el caudal en cada sección del canal deben ser constantes; además la línea de energía, la línea de nivel superficial y el fondo del canal deben ser paralelos. El flujo uniformes es, para cualquier propósito práctico, también permanente ya que el flujo impermanente y uniforme no existen en la naturaleza. Usualmente se considera que el flujo en canales y ríos es uniforme; sin embargo, la condición de uniformidad es muy poco frecuente en la naturaleza y debe entenderse que únicamente porque los cálculos para flujo uniforme son relativamente sencillos y porque estos aportan soluciones satisfactorias y parámetros límites se justifica esta simplificación. Cuando el agua fluye en un canal abierto, por efecto de la acción de la gravedad, en los contornos de contacto entre el fluido y el sólido se origina una fuerza de resistencia que se opone al movimiento y que eventualmente contrarrestará la fuerza de gravedad, si de hecho se produce el flujo uniforme. 3.2. La Resistencia y las Ecuaciones de Flujo Unifor111e
Las ecuaciones de flujo uniforme se pueden obtener del balance de fuerzas que oculTen en Ul{ ele··mento fluido no sometido a acciones de áceleración. ConsIderemos la sección de canal mostrada en la Fig. 3.1. En las caras perpendiculares a la dirección del flujo, separadas entre sí por una distancia L actúan fuerzas hidrostáticas iguales y de sentido contrario cuya magnitud es igual al producto de la presión en el centro de gravedad ENERGIA TOTAL
h
f
FI G. J.1 Esquema de definición correspondiente a la ecuación de resistencia. 43
P()i (~,j ~TC (~I
r1U i l
Ille'Ii()
l'" Lél" IJtT~IS fIICr/;¡S llLlC C()lllplct;\11 Lt COl1díci(lI1 dc :'C¡1 ¡lihrí() s()n: b elel I)C'~() l'jl Ll cllIC'cci(lll I m()Villlicllt(), 1';'\[' senO', y lel ele I'u',clmiento cn~ v el ,,()tllr {I ',(ll]clu Tu LP donde T() es el esfu(<\,zl) Ull't~\:ltc' y P es el pcrí~
;ítc;¡
C(;1ll!1()lll'1II'(' j t ()
s{llidu
•
q:I(' 1110;\
TO
(,1 \":I"icl()
('!\
I;¡
tr;li1,'-;Vl'IS;I1.
SCCC'¡(lJl
,
Ll CClLICí¿ll ele cc]uilibrío es
(3.1 )
PL = 'y ALsenCli
CUlll() 1:1 1(lle:1 de cllcrgí:1 (' !¡;\¡;I!c,h ,Il fundu y ;1 Lt sllpcrficie libre se tienc (jl!C LI PlTclida de CI1CTSÍ:¡ en 1;1 cli~;t;ll1cj;\ L ~'~:~ hf= L senO'. D,-,filliclldu el Llcliu hiddulico rz por LI rcl;\c;fl11 entre 1 ~íl!';l v el jlCdiIICt!(¡ 111Uidcl() [CI1CI1lUS que ti CCl1;lciól1 ;1!llcrj()I' se 11Lleclc c:jCTih ¡r
( 3,,2)
El esfuerzo corté\tlte se euec1e P10S
'~I
con
fricción f de Darr:y
el
SI
reCOl'~
ue ') \/~
4P velc.~i,.:
clunde V. F ',(,ti Reernpla,n i de :~!
,¡
i)
"lO!
(J,3)
2crtJ
¡jt¡ :
é')
c',eL
l' I
¡
p
( 3.4)
expresión para
el
v ,.1..;1
L" ,j
r)
(
q l' e ¡! I!; (), rl:
t1;: ' 1:
'nrl ¡r:cI ni.'
\i;ldoi
'.1:1 I,,!
"
,J,
l/anal'
1\
~) ~)
J}
Históricamente, las fórmulas para el cálculo de canales tuvíeror¡\.jtro desz¡LTollo. En
1768, Chézy, ingeniero fra \leé .. " recibió el encargo de disefíar una canal para el sLuninistro de agua a París. Las experiencias realizadas por Chézy le permitieron establecer 18 fórm u-la
v=c!Rs:
'J ( ..),.
6\/
donde e es un coeficiente C[Uf' nte nxibió el nombre de te y So es la pelldiente del fondo canaL Es eL observar que para pendientes pec¡uerL\~~" como las gue corresponden en a cualquier canal real, senO~ = So para todo~~ ÜJS efectos prácticos. Si se comparan las ces. 3.5 Y 3 . 6 se observa el ue el coeficiente
( 3.7)
cumo f, de la~ rugosidades núrnero de Reynolds. Si el número de Reyno1ch c~) suficientemente con ncÍJ amplianlente desarrollada, entonces elL,cl:ut ele f y el coeficiente de scm inclepencHentes ele él. Los experimentos os pOl l'hkura¿lse" y otiOS ue ¡JU rnitieron grafiGH r=:.l diagrama r1 lJWf'str:ln que en la zona t:Clt (':n(:o con plena rugosidad) c()1110 se [Cl en , la rc~lacLón entre el factor c1f' ti Y la rugosidad relativa 417" clonc1c k se f:()mo el metro de los nos de arenJ en una recubierta de arena que procluce Uln iguala la el el rnaterial considerado, está definida por la ecuación
de
e
1
21og 10 (12
k
csLlblccieb por Thcodore von ICu l11;Í n , ingcn iero éllem~ll1, en 19 JO . Pella otros regímenes de ilujo, para los cLlJles existen fórmulas que relacionan el fc\CUlf de fricción con el llllme¡"O de Rcynolds y lél rugosiebcl rdativa se pueden cstab1c:ccr las sigllien-
b cual fue
tes rcbciullcs 'ldici()Jl;\lcs. Pé\!";\ superficies lisas y R ,< 10 5 se puede , ( Blé\sills, ;\Sl en b curva illfcr¡u!"l1c1 diélgL\111él de [\¡1uody,
I~
__ _
t --
0,316
Cm¡)!c;ll
b
CClIé\ci()I!
(3.9 )
de donde
c=j--LL
8 g_ 0,316
R 1/8 e
Cuando) en las superficies lisas, Re
(3.10) c::
>
10 J entonces
1
- - - - 2,0 log 10 (
(3.11 )
vf='
y también
( ,'=4()\/V1u~ '1 ~ vl () ( R.~ e V us 2,51C
(3.12 )
.)
o 10 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05
J:.-
1" 0.04 >N 1"dio Iv 0.03
0.006 0004
0025
z
2
0.020
u u
a;: lA.
o w
O 015
MATERIAL VI'drlo, bronco. cobr;,
Hierro forjado y ocero
o 0005 ¿g
Fundición osfallado Hierro galvanizado Fundición
0.0002
Ilt:
o
lieo
1-
u
q:
'''-
0.0004
rU\joeio
0.010 0.009 0.008 ]03
3
2 (10 ) 4
6 010
4
4
2(10 )
NU~ERO
F!G.3.2
46
4
6 810
5
5
2(10 )
DE REYNOLDS R
4 iIll
6
ti 8 'lO" 2(10 )
4-
7
7
6 810 2{10 )
4
~ ¿~ '1{
ma de resistencias de Moody para el cálculo de flujo uniforme.
6 810
8
I,!)
::;:¡ Ilt:
Para el régimen de transición entre contornos lisos y contornos rugosos que producen turbulencia completamente desarrollada, eolebrook halló para el flujo en tuberías comerciales de madera, me tal y concreto que
e
1
VE'
k 2log 10 ( - - 14,83R
Vsg
+
2,51 ReY[
)
Los coeficientes anteriores se deben modificar ligeramente, p0r el efecto de la forma, cuando la ecuación se quiere aplicar a canales. En este caso
e
1
VE'
k
v8g
- 2 log 10 ( - 12R
+
2,51e
(3.13 )
ReYsg
Los tres tipos de régimen: suave, transición y completamente rugoso se pueden delimitar por el número adimensional kv* Iv, el cual es un cierto número de Reynolds, en donde
~p
(3.14)
cuando el flujo es uniforme. El régimen de transición ocurre para
4<
v*k
v
<
100
\ 3.15)
El límite infenor define la terminación del régimen suave y el superior el comienzo o iniciación del flujo desarrollado por una rugosidad luarcada. Los estudios de la resistencia con10 función del número de Reynolds y de la rugosidad relativa, correspondientes a las ecuaciones anteriores, fueron realizadns entre 1930 Y 1940. Previo a estos estudios se presentaron distintas fónuulas para el cálculo de e, específicamente en 1869, Ganguillet y Kutter dieron a conocer una fórmula para e, bastante complicad~, que alcanzó mucha popularidad. Ppro Gauckler en 1868 y Hagen en 1881 ll.egaron, indep~ndientemente, a la conclusión de que los dat~s de C'anguillet y Kutter se ajustaban, con Igual grado de precisión a una fórmula en la cual e variaba con la raíz sexta de R. ~"1je1Ytplo
3.1. Se establece un flujo de agua en un canal de alivio con una pendiente de 30 0 . La sección transversal es rectangular de "1,80 m. de ancho, la rugosidad de fondo es muy pronunciada. La profundidad promedio vertical es de 0,60 m.
47
a. Determinar los valores promedios de intensidad de preSlOn y de intensidad de corte en el foncl o (recuerde que la distribución de presiones debe ser hidrostá tic a a través de una sección normal y que la carga de presión no es igual, por lo tanto, a la profundidad vertical bajo de b superficie). b. Si el canal está apoyéldo en intervalos de 2,40 m. a lo largo de la pendiente, qué fuerza resultante debe soportar cada apoyo?
FI G. 3.3 Esquema de Definición rJara el Ejemplo 3.1. SoluciÓ1/
a. Como la preslOn tiene una distribución hidrostática mal ob, la carga de presión en b será Pb - - = d cosa= 0,6
')
cos~
)'
Pb
450 Kg/m
ex;
él
10 largo de la sección nor-
Pb = 0,6 x 1000 x cos
2
30°
2
'La intensidad de corte en los contornos se obtiene aplicando la ec. 3.2 así,
T
o
)'R senex. Sin embargo, si la rugosidad pronunciada sólo se presenta en el fondo, se puede considerar que el corte sólo se desarrolla en el fondo de ancho B, y entonces el perímetro mojado P sed igual él B, así R' = d = A/B. Entonces 7' =)'d senex = 1000 x 0,6 2 o cosex x sena = 260 Kg/m . b.
S U poniendo una distribución uniforme de presión y de corte, las cargas que y tangencial mente al fondo son respectivamente
élCL~,cll1 perpendicular
48
F1
= Pb
BL
450 x 1,80 x 2,40 = 1944 Kg.
F
=
BL
= 260 x 1,80 x 2,40 = 1123 Kg.
2
T
b
La resultante Fr debe ser igual al peso del agua contenido en el tramo L:
2245 Kg. El peso es
\Al
= 'Y dBL = 1000 x 0,6 x cus 30° x 1,80 x 2,40 = 2245 Kg.
3.3. La Ecudción de J\!Ianning
ele
En 1891 Flam~mtJ investigador Francés, atribuyó en forma equivocadél, la conclusión Gauckler y Hagen al ingeniero Irlandés R. Manning, y escribió
c=
R1 / 6 (3.16 )
n
donde 11. es una constante qüe, supuestamente, sólo depcnde de la rugosid::ld. El análisis dimensional del problema nos indica clue ello no es estrictalllj~~1te correcto ya que siendo C función del número de Reynolds y de Lt rugosida.d, también lo debe ser la llamada rugosidad de Manning n. La ee 3.16 introducida en la ee 3.6 produce
\1 =
_1 R2/3 (' 1/2 11
.:)
o
(3. J 7)
q LlC es probablemente la ecuación mas empleada en el país, en el cálculo de céu1ales. Para que la eco 3.17 sca dinlcnsional mente hOlTlOgénca; las dimensiones de 11 deben ser las de tiempo dividido por longitud él la potencia un tercio, indicando que los valores de 11 deberÍé1l1 variar de un sistema de unidades a otre;. Sin embargo, los valores de n que fueron establecidos inicialmente en el sistemét técnico métrico empezaron él usarse en el sistema inglés de unidades, sin al tCLn su valor numórico, estableciendo arbitrariarnente l] ue n fuese constante en cLlalq uier sistema de unidélcles y que el factor de conversión se incorporara él la cc. 3. -17 haciendo n
49
1,486 v= n
/
R2 3 SJ/2 o
(3.18 )
L~s ecs. 3.17 y 3.18 de ~anning en el sistema técnico métrico y en el sistema inglés respectIvamente se usan amplIamente con los coeficientes de n señalados en la Tabla 3.1.
T A B L A 3.1 Valores de la Rugosidad n de Manning
n
0,010 0,011 0,013 0,017 0,020 0,025 0,035 0,040
Superficie Muy lisa; vidrio; plástico, cobre. Concreto muy liso. Madera suave, metal, concreto. Canales de tierra, buenas condiciones Canales na turales de tierra, libres de vegetación. Canales naturales con alguna vegetación y piedras esparcidas en el fondo. Canales naturales con abundante vegetadón. Arroyos de montaña con muchas piedras,
Sin embargo, debemos conocer las limita ciones que ofrece la ecuación de Manning, o ecuación de Strickler como se le conoce algunas veces en Europa Continental.
., R 1/6/ n en 1~I ec. 3.1 ~ ú) es un para111etro ' d e rugos1'd· ' S11111 " 1al'' a 1él La re 1aClon aa re l~1t1va relación R/k de la ee. 3.8 en donde se le asigna él n las dimensiones de raíz sexta de una longitud. Si la ce. 3.17 de Mannin~ tuv,iera el mismo; grado de p~-ecisión que la ec:).? ,)os valores de R/k graficados contra Rl/6/ n para los m1smos valores de f, 0, C, pl'oduClnan una línea re'cta - con una pendiente de 6: 1 en papel logarítmico. De la liaturaleza de las dos ecuaciones esta relación se descart,1 de inmediato, y la desviación de la fórmula de Manning de la fun~ión real se puede observar en la Fig, 3.4 presentada por H. Rouse.pl 1943. Aunque LIs fhr111ulas empíricas del tipo de b fórrnub ele Manning constituyen un~1 herramien L\ útil p(lr~\ los d leu los de ca m po, e xísten dos hechos que ahora son e videntes: t~dcs fórmulas, por su misma naturaleza, sólo tornan en cuent,l la rugosidctd de los contornos y por lo tanto no deben apliGlrse en b región en que el flujo depende, apreciablemente, de los efectos VIscosos. AdemJs, como LIs fl)rmulas empíric\s sblo son precis~\s en un rango de rugosidad rela ti va l im itad a, se debe esper~H que su él plicacibn prod UZC1 errores, que no esün presen tes en la ee 3.8.
50
10.000
,----,.......-.....,..-.......,.-''''''''i'"'-,.........,
Manning 1/6
1
Yf
R
= -n-
e
1
""V'89' : -veg
1. 00 O t-----+-------f.--+___,
2R
K 100~----~~~+---~--+--+~
10h-----~
4
5
__~____~~b-~~ 6
7
8
9
10
1/6
n
FI G. 3.4 Relación entre las Ecuaciones de rugosidad de VO!l-Kármán y de Manning. 3.4. Bl Cálculo de Flujo Uniforme La fórmula de Manning se ha convertido en el principal instrumento para. el cálculo práctico de canales. El gasto total Q que circula por un canal se obtiene al multiplicar la velocidad media, de la eco 3.17, por el área transversallTIojada, A, del canal. La expresión resultante se puede escribir Qn Sl/2 o
=
AR 2/3
(3.19 )
donde a la expresión AR 2/3 se le denomina, factor de forma para el cálculo de flujo un 1forme. El factor de forma depende únicamente de la geometría mojada y para una determinada forma crece continuamente con la profundidad y. Para valores de Q, n y So dados habrá un único valor de y que haga el tactor de form~ igual al valor dado en la ec.3.19.
51
En la Fig. 3.5, desarrollada en base a los ábacos de Lehmann en 1944 se dan los vaforrn;¡ adimensiollal, contra la profundidad adimensional paJores del factor de ra canales de diferentes formas. En el su puesto de tenerse como dato la reladón y /b y el talud, () la reLlción y/d, el factor de forma correspondiente permite determinar el caudal de circub ción en flujo uniforme. Si los datos son Q, n y S ,la profundidad normal es la incógnita que se obtiene rápidamente de la Fig. 3.5. o 1,5
1,4 1,3
1,2
1--l---+-_._,':+---:V'-.'1---;¡/f--j 0,60
1,1 1,0
>.C
0,50
0,9 0,8
'''O
........
0,7
>.c
0,6
0,30
0,5
0,4
1----+--4---+------4 0,20
0,3 '---l--l---l--t----+~-l 0,10
0,2 0,1
o
1,0
fiG.
2,0
3,0
Curvas para la
0,10
mlllilClO11
de 1"
0,20
normal.
E.'jemplo 3.2. Un canal de concreto, n = 0,013, [iene un;..l anchura de 3,0 111. en :J fondo con unos taludes de pendiente ti· vcrticd él 1 horizontal. Su pendiente es de 3,8 11", por kilómetro. CU[ll ser:1 la profundiebd de flujo cuando el caudal sea de 5,0 m 3 /s. Solución De la ee. 3.1 9 tenemos que Qn
5 x 0,013
o,0038 1 / 2 52
x 3 R/ 3
0,0563
De la Fig. 3.5 interpolando entre 1ll=0 y 111=0,5; para m=1/4 se tiene por lo tantoyn= 3,0 x 0,2 = 0,60
yn
b=
0,20;
111.
Si en lugar de emplear la Fig. 3.5. aplicnramos directamente la ce. 3.19 hubieramos tenido que recurrir a un tedioso proceso de tanteos. 3.4.1.
Secciones Circulares.
El cálculo de canales de sección circular, o de tuberías en régimen de superficie libre se refiere con alguna frecuencia a la condición de sección llena. Si se supone que al variar la profundidad del flujo uniforme, en un canal de sección circ;ular no varía la rugosidad n; la ce. 3.19 puede dividirse por S1 misma para la condición de sección llena, obteniéndose que AR 2/3 Q (3.20) (AR 2/3) llena o también
v
(3.21 )
R 2/3 llena
Las ces. 3.20 y :t21 muestran que las relaciones adiniensionales de gasto y velocidad media en un canal circular en flujo uniforme solamente dependen de la relación de profundidad y, con respecto al diámetro d, ya que los miembros de la derecha en ambas ecuaciones son únicamente relaciones geométricas. Estas se grafican en la Fig. 3.6. 1.0 0.9
0.8
/
0.7
V
Q
Q IIBno
1"""
I
/,/P 0.4
'L,
J-.
0.2 0.1
~
o
I <)
I
-
./'
V
V
V II@no
-
-
-~
~#
~
¡,.-
0.1
Vv
1/
V
11
I
,/
0.:'1
*
v
~¡-
0.20.3 0.4 0.5 0.6 0.1 0.9 0.9
Q
1.0 LI
UI
v
QiI;';';'V'ij';,,@
FIG.3.6 CaHilcterísticas de
en mm Sección Circular.
53
Calculando el caudal y la velocidad para la sección llena, la Fig. 3.6 permite encontrar las correspondientes cantidades en una sección parcialmente llena. Los niveles a los cuales se presen ta el caudal y la velocidad má x ¡!)la corresponden a y=0,94d ey=0,81 d respectivamente.
Ejemplo 3.3. Por una alcantarilla de drenaje fluye un caudal de 56 lis en flujo uniforme. La alcantarilla tiene una pendiente del 1 por mil, un diámetro de 45 cm. y un valor n de 0,015. Calcular el nivel y la velocidad. Solución Este ejemplo se puede resolver en forma similar al ejemplo anterior por medio de la Fig. 3.5, pero con el fin de mostrar la utilidad de la Fig. 3.6 haremos uso de ella en la solución.
lrt ecuación de Manning sería
Si el flujo llenara la tubería, el caudal según 1 QUeno = ,015
0,45
°
4
Q
56
QUeno
78
?/'i
)~ ~ 0,001 1 / 2 = 0,078
0,719. De la Fig. 3.6 se obtiene
y
0,63d
Luego y = 0,63 x 45
28,4 cm.
v
Para la condición dada
1,1
Vllel10
v
1
lleno
v =
54
0,OJ5
0,45
4
1,J x 0,49 =0,54 mis
2/3
)
0.001
1/2
0,49 mis;
111 3 /s
Ciertamente si no se tiene un criterio previo para escogencia de la relación y/b en canales prismáticos y de y/d en los circulares, existe un infjnito número de soluciones para valores dados de Q, n y So' Así, parece conveniente diseñar los canales con un área transversal mojada mínima con el objeto de que la sección de excavación produzca el menor costo en construcción. 3.5.
Sección Hidráulica Optinlcl de un Canal
Si el radio hidráulico, en la eco 3.19 de Manning, se substituye por la relación área sobre perímetro mojado P, entonces A= Dp 2/5
d ond e D
=
( 3.22)
2 5 (Qn/ S O 1/ ) 3/ , 1o que muestra que cuan d o e1 area es mlnlma e1 peI
l'
rímetro mojado también debe ser mÍnim? Así la sección óptima desde el punto de vista de la economía en la excavación también es hidráulicamente óptima por cuanto produce mínima infiltración y mínimo recubrimiento. Para un canal trapezoidal de ancho en el fondo b, taludes m, y profundidad y, la sección óptima se obtendrá derivando el perímetro mojado con respecto él y e igualando a cero; si además de establecer la relación óptima entre b e y quisiéramos obtener el talud óptimo, sería necesario, también, hallar la derivada del perímetro mojado con respecto a' m e igualar a cero. Usualmente, el talud se '.' diseña considerando el ángulo de reposo del material que lo compone con el fin de establecer los criterios de estabilidad adecuados. Para el canal trapezoidal en la Fig. 3.5 se tiene que A
= by +
P= b
7
myk"
+2Yj
(3.23 ) 1
+ m2
(3.24 )
Substitu,yendo b de la eco 3.24 en la eco 3.23 y luego en la eco 3.22 se obtiene que
Py -
2y
2
j 1 +. m""' 7
1
+ my 2 = D
p2/5
(3.25)
Derivando P con res pecto a y, tenel110S
Y
ap + ay-
P -
4y
j
1
2'
+m +
2my
=
+
D P - 3/5
~~
55
Haciendo ap/ay = 0, se obtiene el pedmetro mojado mínimo P m
(3,26)
2my
El radio hidráulico óptimo Ro correspondiente será
R'o
=
Pmy - 2y2 p
A P
j
1
+ m 2 + my2
m
m
donde,la substitución de P 111 de la eco 3.26 permite ob tener que 4y
2) 1 + m i -
2my 2 -- 2y 2 \ / 1
j 4y
Ro
1
+ lTl
2'
-
+ 111 2' + my 2
-y-
(3.27)
2
2my
Para el caso específico de un canal rectangular m=O, entonces
b Si
se iguala
él
= 2y
(3.28 )
el talud fuera variable entonces P 111 de la eco
3.26 se deriva con respecto a
111
y
cero, obteniéndose
4 Y m )'1 + m 2\
2y
°
ele donde 111
=
\./3'
(3.29)
3
lo cual indica que de tudas las secciones trapezoidales la semiexagonal es la mejor desde el pLlllto de vista hidráulico. La inclinación del talud puede tener la lünitación correspondiente él la condición de deslizamiento que impone la fuerza tractiva y el ángulo de reposo del mél tcriaL
56
Ejelnplo 3.4. En un canal \11.uy liso; n
= 0,01; tra pezoidal, con una pendiente del 1 por mil y cuyos taludes están en la relación de 2"horizontal a 1 vertical, trabajando en régimen uniforme bajo condiciones hidráulicas óptimas, se determina el 'esfuerzo cortante (esfuerzo tractivo) promedio 'fo = 0,5 x 10- 4 Kg/cm 2
a. b. c.
d. e.
Cuales son las dimensiones b, e y del canal? Cual es el gasto? Cual es la C de Chézy? Cual es el factor de fricción f (de Darcy) COlTf'spondiente? . Cual es el diámetro k de los granos de arena (en el diagrama de Moocly) que producen una rugosidad equivalente?
Solución
a.
Como la sección hidráulica es óptima introducimos R =
y=
J_ (ec. 3.27) en la ee. 3.2 y obtenemos 2
_--,-2_,,_x 0,5
y Pero como R =
1000 x 0,001
7 So
2
+ 2y2 b + 2yV i +27 by
- - - J ==""--, entonces b = OA8 m 1
b.
El caudal se obtiene aplicando la eco de Manning, así
Q =
~ A R 2/3 So 1/2 = O,~l
c.
De la eco 3.1 6 tenem.os
x 2,48x (-})2/3 x 0,001 1 / 2
C= _1 R 1/ 6 =_1_ (_1) 1/6= 882 , n 0,01 2
s
~
8er
8 x 9,8 -8-8-22- - = 0,01 ,
C~
d.
De la eco 3.7 obtenemos f =
e.
El número de Reynolds es Re =
Qx4R A xv
Para v = 10- 6 m 2 /s. se tiene Re = 3,98 x 10 6
Con f
= 0,01;
R
_k_
=
4R Por
3.6.
10
=
e
6 3,98 x 10 obtenemos en el diagrama de Moody que
000001 '
tanto k = 4 x 0,5 x 0,00001 m
= 0,02
mm.
Flujo en Canales con Rugosidades Compuestas
En algunos canales, la rugosidad a 10 largo del perímetro mojado puede ser diferente en distintos segmentos de la sección transversal. Cuando se trata de aplicar la fórmula de Manning a esos canales, puede ser conveniente determinar una n de Manning única para todo el perímetro, que tenga el mismo efecto que los coeficientes de rugosidad parciales n , n . . . . . 11m. Suponiendo que la velocidad sea única en todos los elementos 1 2 del área, es decir que V 1 = V 2 .... = V m = V, entonces A 2/ 3
A 2/3
n P 2/3
2/3 nI P 1
A
1
n
2
P
2
2/3
n
m
m
2/3
P
(3.30) m
2/3
donde Ai,P i representan el área y el perímetro mojado, respectivamente, correspondiente al factor 11i; Y A, P los correspondientes él la sección transversal total, entonces A
A·= 1
3/2 P i llí
P n 3/ 2
111
Y
C01110,
A =
tenemos A A=
58
P n 3/2
~
1
111
~
1
p. n. 3/2J 1
1
de donde
A·1
n=
P n 1,5 1 1
+ ... + P m n
m
1,5) 2/3 (3.31)
p2/3
Si la forma de la sección transversal del canal es tal que no permita, lícitamente, suponer que velocidad sea única,como por ejemplo en el caso de canales aluvionales en los cuales se producen inundaciones en épocas de alta precipitación, entonces la rugosidad equivalente se puede hallar haciendo la sumatoria de los gastos correspondientes a los canales parciales. Consideremos, en la Fig. 3.7. el canal compuesto por las secciones 1 y 2 con parámetros de subíndice 1 y 2.
FIG.3.7 Canal de rugosidad compuesta y velocidad no uniforme. De la fórmula de Manning para el gasto total Q = Q1
por
1
A 5/3
n
p 2/3
2
~
1
se obtiene que
A 5/3 i (- --) n' P'1 2/3 1 1
10 tanto, en general 1
n=
(3.32)
m ~
1
3,7
+ Q2
n P
2/3
Elementos de Erosión y Sedilnentación
La mayoría de los canales con recubrimiento pueden soportar la erosión,y se pueden considerar como no erosionables. Los canales sin recubrimiento, por el contrario, son erosionables; a excepción de aquellos que se excavan en fundación firme tal como en roca. Por lo tanto el diseño de canales debe hacerse considerando si el canal va a estar o no revestido. 59
Si el canal se va a revestir lo mas aconsejable es diseñar el canal empleando el cri terio de sección hidráulica eficiente descrito en la Sección 3.5. Es posible que esta sección pueda sufrir alguna modificación puesto que la excavación y el recubrimiento incluye el borde libre y su costo puede ser comparativamente mayor que el de un canal mas estrecho pero con sección hidráulica no eficiente. ' Si el canal no se recubre, las fórmulas de flujo uniforme que son aptas para el diseño de secciones no erosionables, proveen una condición insuficiente para el diseño de ca,nales erosionables. Esto se debe a que la estabilidad de los canales erosionables, la cual gobierna el diseño, depende principalmente de las propiedades del material que forma los contornos del canal antes que de las condiciones hidráulicas del flujo. Sólo después de que se obtenga una sección estable del canal erosionable se pueden aplicar las ecuac,iones del flujo uniforme para el cálculo de la velocidad y del caudal. Usualmente se distinguen tres procedimientos para el cálculo de la sección estable: El Método de la Velocidad Permisible, el Método de la Fuerza Tractiva y el Método del Régimen. Cuando, por alguno de estos u otros métodos, se diseñe un canal para que resista la erosión será necesario comprobar finalmente que la velocidad no sea tan pequeña como para que las corrientes que lleven sedime?tos en suspensión los depongan. Esta velocidad mínima, evidentemente, depende del tamaño de los sedimentos que son acarreados. Si el agua no transporta sedimentos, la velocidad mínima es un factor que no tiene significación, excepto por su influencia en el crecimiento de plantas. En general, se puede tomar una velocidad media mínima entre 0,6.0 y 0,90 mis con cierta seguridad de que no se producirá sedimentación cuando el porcentaje de material suspendido es pequeño. Una velocidad media no menor ,de 0,75 mis. evitará el crecimiento de plantas que pueda limitar la capacidad del canal. 3.7.1.
lvIétodo de la Velocidad Permisible.
La máxima velocidad permisible o la velocidad no erosionante es la mayor velocidad que no causará seria erosión en los contornos del canal. Esta velocidad es muy imprecisa y variable y sólo se puede estimar con experiencia previa y buen juicio. En general, los canales viejos soportarán mayores velocidades que los nuevos ya que en aquellos el fondo está mejor estabilizado debido a la deposición de sustancias coloidales. Un canal profundo podrá conducir el agua a mayores velocidades, sin erosión, que otro menos profundo ya que las velocidades del fondo son mayores en este que en aquel cuando la velocidad media es la misma. Maza en 1967 recopiló y a~tualizó experiencias de otros investigadores y presentó las Tablas 3.2 y 3.3 de velocidades máximas no erosivas para suelos cohesivos y no cohesivos. Usando la velocidad máxima permisible como criterio, el procedimiento de diseño para un canal, con sección trapezoidal, se puede seguir en los siguientes pasos: 1. Estimar el coeficiente de rugosidad n, de acuerdo con el material que compone el canal; el angula del talud (de acuerdo con la Tabla 3.4 dada por V.T. Chow) y la velocidad máxima permisible (según Tablas 3.2 y 3.3).
60
2.
Calcular el radio hidráulico R por la fórmula de Manning.
3. Calcular el área mojada requerida para el caudal dado y la velocidad máxima permisible A = Q/V. 4.
Calcular el perímetro mojado P
= A/R.
5. Empleando las expresiones de A y P en función del ancho b de la base y la profundidad y, resolver para b,e,y. 6. Añadir un borde libre apropiado y modificar la sección en función de la operación constructiva, si ello es necesario.
T A B LA
3.2.
VELOCIDADES .MEDIAS DE LA CORRIENTE DEL AGUA, QUE SON ADMISffiLES (NO EROSIVAS) PARA SUELOS NO COHESIVOS, EN mIs. Diámetro Medio de las Partículas en mm. Polvo y limo Arena fina Arena media Arena Gruesa Gravilla fina Gravilla media Gravilla gruesa Grava fina Grava media Grava gruesa Guijarro fino Guijarro medio Guijarro grueso Canto rodado fino Canto rodado medio Canto rodado grueso
0.005 0.05 0.25 1.0 2.5 5.0 10 15 25 40 75 100 150 200 300 400
--
0.05 0.25 1.0 2.5 5.0 10 15 25 40 75 100 150 200 300 400 500
Profundidad Media de la Corriente en m.
0.40
1.00
2.00
3.00
5.00
MiÍs de 10
0.15-0.2 0.20-0.35 0.35-0.50 0.50-0.65 0.65-0.80 0.80-0.90 0.90-1.10 1.10-1.25 1.25-1.50 1.50-2.00 2.00-2.45 2.45-3.00 3.00-3.50 3.50-3.85
0.2 -0.30 0.3 -0.45 0.45-0.60 0.60-0.75 0.75-0.85 0.85-1.05 1.05-1.20 1.20-1.45 1.45-1.85 1.85-2.40 2.40-2.80 2.80-3.35 3.35-3.80 3.80-4.35 4.35-4.75
0.25-0.40 0.40-0.55 0.55-0.70 0.70-0.80 0.80-1.00 1.00-1.15 1.15-1.35 1.35-1.65 1.65-2.10 2.10-2.75 2.75-3.20 3.20-3.75 3.75-4.30 4.30-4.70 4.70-4.95 4.95-5.35
0.30-0.45 0.45-0.60 0.60-0.75 0.75-0.90 0.90-1.10 1.10-1.30 1.30-1.50 1.50-1.85 1.85-2.30 2.::10-3.10 3.10-3.50 3.50-4.10 4.10-4.65 4.65-4.90 4.90-5.30 5.30-5.50
0.40-0.55 0.55-0.70 0.70-0.85 0.80-1.00 2.00-1.20 1.20-1.45 1.45-1.65 1.65-2.00 2.00-2.45 2.45-3.30 3.30-3.80 3.80-4.40 4.40-5.00 5.00-5.50 5.50-5.60 5.60-6.00
0.45-0.65 0.65-0.80 0.80-0.45 0.95-1.20 1.20-i.50 1.50-1.75 1.75-2.00 2.00-2.30 2.30-2.70 2.70-3.60 5.60-4.20 4.20-4.50 4.50-5.40 5.40-5.90 5.90-6.00 6.00-6.20
omiÍs
61
T A B LA 3.3 VELOCIDADES MEDIAS DE LA CORRIENTE DEL AGUA QUE SON ADMISIBLES (NO EROSIVAS) PARA SUELOS COHESIVOS, EN MIS
Profundidades medias de La corri('ole en ro
Denominación de los suelos
Porcentaje del conlenl· de partículas
<0.005 Arcillas.
0.005--{l./J5
30-50
Tierras fuertemente arcillosas
20-30
70--50 80-70
Tierras ligeramente arciUosas
10-20
90-80
Suelos poco compactos,
ier~lv~~~mhe::~~ol ~e6 ~~3
Suelos medianamente compactados. peso volumétrico del malerial seco 1 1 20-1.66 t/m 3
Suelos I..'ompactos peso vo lumétrico del material M'CO de 1.66-2,04 t/m 3
Suelos muy compacllls, el peso volumétrico del mnterial seco 2.04-2.14 tlm 3
0.4
1.0
2.0
3.0
004
1.0
2.0
3.0
0.4
1.0
2.0
3.0
0.4
1.0
2.0
0.35
0.4
0.45
0.5
0.7
0.R5
0.95
1.1
1.0
1.2
1.4
1.5
lA
1.7
1.9
2.1
0.3ó
0.4
0.45
O.fl
0.65
0.8
0.9
1.0
0.95
1.2
1.4
1.5
1.4
1.7
1.9
2,1
0.6
0.7
0.8
0.85
0,8
1.0
1.2
1.3
1.1
1.3
1.5
1.7
3.0
Suelos de Aluvión Arcillas margosas
Tíenas arE' nosas
I
5-1°1
20-40
SegÍJn
la
Tabla
3.2
ell
relución
con
el
l,aml1ño
de
las
fra('<'Íones
arenosas
T A B L A 3.4 Taludes Apropiados para Distintos Tipos de Material
*
62
Material
Talud (H:V)
Roca Suelos de turba y detritos Arcilla compacta o tierra con re cubrimiento de c'oncreto
Prácticamente Vertical 1/4: 1
x
1/2:1 hasta 1:1
Tierra con recubrimiento de piedra o tierra en grandes canales
1:1
Arcilla firme o tierra en canales pequeños
1,5: 1
Tierra arenosa suel ta
2:1
Greda arenosa o arcilla porosa
3:1
El U.S. Bureau of Reclamation recomienda un talud único de 1,5:1 para los canales usuales, en sus diseños.
3.7.2.
Jl.1étudo de: Id Fuerza Tractilhl.
Cuando el ~\gU(\ fluye en un canal, el esfuerzo cortante, o tractivo, To ' que se genera en sus con torn os, tiende <1 producir a.rrastre del úlaterial que los compone. El esfuerzo que usualmente tiene valor significativo, en los cálculos es el promedio sobre el perímetro mojado. T
donde So es
o
'Y RS o
(3.33 )
la pendiente hidráulica que corresponde, para pequeñas inclinaciones al senO'
empleado en la eco 3.2. En un canal muy ancho el radio hidráulico coincide con la profundidad y del flujo, así la ecuación anterior se transforma en T
o = 'YYS o
(3.34)
El esfuerzo cortante que produce movimiento en el material de fondo, fue determinado experimentalmente para material suelto, o no cohesivo, por shields en 1936. Shields encontró, mediante consideraciones dimensionales que
(3.35)
donde
T C
es el valor del esfuerzo cortante necesario para la iniciación del movimiento,
'Ys es el peso específico del nlaterial del fondo, 'Y y P son el peso específico y la densidad del fluido respectivamente, d es el diámetro del sedimento de tamaño uniforme y, la viscosidad cinemá tica del fluido. En la Fig. 3.8 se presentan resultados, modificados, del diagrama de Shields, para agua a 24°C y un sedimento con peso específico
v es
'Ys =
2650 Kg/m 3 . Este gráfico, aunque menos general, que el de Shields es más di-
recto desde un punto de vista práctico ya que entrando con el diámetro d del material de fondo se obtiene el valor de T c I 'Y =RS o ' que produce n10vimiento sobre el diámetro da do. Esta información permite calcular, sin considerar los esfuerzos en los taludes, un canal de fondo estable. Debido a que el material del fondo, en canales, no es uniforme se ha adoptado, con aceptación universal, el empleo del diámetro d 75 que corresponde al 75 % del material, en peso, cuando este se va acumulando desde los diá metros menores hacia los mayores, como diámetro de diseño que conducirá a un acorazamiento del fondo el cual, teóricamente, q uedarí él armado con partículas de diámetro igualo mayor que d 75.
63
- 1--1-
-
f--- --1-- -
-~
---
--
~-i~-+---+-+---I-+++---
- -- - ---- - - -
/v
~- -+-+--+---I--if-+-"-------1~_h;"__I-+__-
- --~-I--+-_!_-l-
V
lo-;H-++++--+--+-+-+--I--I--+-+-H-+--/*--+--I-I--i-+-I-+-+-f-f 1---4-+-+-++---+-~~-+--+-+-+-+-l -I-+---:7'/L--I---+---I-
1---4-+-+-++---+-~~-+--+-+-+-+-l-I-.llf/~-t--+-I--I A gua o 24 Oc l 1,: 2600 _./m'
~I~
~
2
I---+V.",q ...--+----- I-il--+--+ -++-I---
1----- I----+-+-- -I--
-+ -!.--l---!--I- -I
lo-.t:ttttt=~I/==t=t:t=t±t±t:l:t==t=t=!=t=t±t=t:ttl /'
11
v
1----I--+-l ---l--lf---- l--J----4-
~---
-- ___ 1--
el (cm)
FI G. 3.8 Esfuerzo cortante crítico, obtenido de la información experimental de Shieds, en función del diámetro del material no cohesivo del fondo. Para otras temper aturas o pes~s específ icos se puede usar en forma genera l la ecuaci ón (3.36)
En la Fig. 3.9 se presen tan los esfuerz os cortan tes crítico s en suelos cohesiv os según experie ncias realiza das y publica das en Rusia en 1936. La rugosid ad del fondo acoraz ado para flujo turbule nto puede obtene rse de una
frJr1l1uLt expone ncial presen tada por J. William son en 1951, según la cu~d 64
f=
o)113
(_k_)1/3
(3.37 )
R
Si f se escribe en función de la n de Manning, empleando las ecs. 3.13 y 3.16 se obtiene que
(3.38 ) Igualando las ecs. 3.38 y 3.37, Y empleando el d 75 en sustitución de k en esta última, se halla en el sistema técnico métrico n
d 1/6 75 26
=
(3.39 )
_-'-c:..-_
5,0
~~~~~~--~~~~--,------,------.
i
~
,
I
',0 ~~~-~- ~-------!.-~-----'--~---1~I---------l--------i-----+--
___LLL ____~~~__
3,0
','
1,0
.~
0,9
~
1),'1
~
O,7
!
0,6
I----l--~I__--l-
I-- __ ~ ___ ~----+_ ---~~------'-~--,
-1-
0,2
M"
o,, ',5
0,2
0,3
0,4
o,~
O,';
0,7
a,e
0,9 1,0
1,2
>,0
fIG.3.9 Esfuerzo cortante crítico en suelos cohesivos. Según datos de U.R.S.S. publicado en Hydrotechnical Construction, 1936 Moscí•.
65
ESt~1 rebci (l!l hab í~\ sido presen tada C0l110 una ecuación empl rlCéI en 1923 por Stricklcr, con un coeficiente muy próximo pé\r~1 d igu,¡\ ,11 tamaño medio de los granos en corrientes de superficie libre con fondo de gr;\v,\.
hjernplu 3.5 Un cm;1} debe transportar 2800 l/s él tré1vés de un terreno compuesto de granzón grueso con d 5 = 5 cm. L\ eXCélVacic)n para el canal tiene una pendiente S 0= 7 0,005 las orillas est
75
= 5 cm. encontralllOS en b Fig. 3.R, considerando 'Ys = 2650 Kg/m 3 ,
no produce arrastre,. RS o Y, T = 24° e, el múximo valor de RS o Llue "] Para S = ü
0,005 tenemos R = 0,70
= 3,5 x 1o-3 m
111.
La rugosid,¡d de Mallning correspondiente es (según ce. 3.39)
n
= 0,05 1 / 6 / 26
Le1 velocidad media es (según
v=
_1
= 0,023
le! ec. 3.17)
R 2/3 S 1/2
n
o
0,005 1 / 2
0,023
=
2,42 mis
Considerando, en una primera aproximaci()Jl, R = y, tenel1lUS
b=
--º'-yv
2,8 0,70 x 2,42
Una anchura conscrv,¡dora sería b = 2,00
1,65
lll.
111.
3.7.3. lJ prublcrnd de lus td!udes Si el :lngulo de reposo de un determinado material es Q el criterio de cq uilibrio par,1 ese 111é\ tcrial en un talud sobre el g ue actú,l aguél cn reposo, se cst;lblece, con referenciél él la Fig. 3.1 O, como sigue
66
FI G. 3.10 Condición de equilibrio de un talud. la y Si P es el peso del agua por unidad de área, sobre una partícu del talud, se tiene en el límite del equilib rio que P sene = P cos
e
, es dedr,
tg¡:P
tg
e=
e es el angulo
tge¡;
se combi na con Si ex.iste flujo, la compo nente del peso en la dirpcci ón del talud nte es resistiresulta F la fuerza produc ida por el esfuerz o cortan te actuan te 6' La fuerza compo nente del peso por da por una fuerza que no puede ex.ceder el valor norma l de la el factor de fricció n, es decir F = P cos e tg
Así tendre mos T
C
F~
tg
cos
e
tg
<1)
y la fuerza T = P sene, será T
T~ -L..-
tg
sen
e 67
Si consideré1l11Os
r
10
2
')
cus~
c
el
Lictor de pruporcioné!lidf:\C1 es unitari o podrem os escribi r ')
e
y- 2 u
+
sen~e ------
2
y
c
cu;¡} conduc e él T T
el
CJlIC
()
=
cos
e
C
F 1 -
-~
to-~
e
-~to-~
;:,
(1)
(3.40)
Ex presicm ésta que permit e hé¡]L!r el esfuerz o corta nte Cl'l tlco en un talud, dados (¡ngulo dd mismo y el úngulo de reposo del m;lteri; ¡] que lo compo ne,.
El U.S. B ureélll of RecLt 111 él tion ha real iZé\do e x tensos estudio s pélr;\ determ in;\¡- el éíngulo de reposo de los distint os m;\teri ales y b distrib ución de esfuerz os cortan tes en los uludes , y;\ que no es sé\tisfa ctorio us;\r un esfuerz o corté\l1 te único igual ~d prome dio en Lt sección . Como produc to de estéIs inveStlg
I
~---
. o
~
30
¡
- --1
.+---- --1
o
:;
""
e o
25.
+--__ _-(
'----
......
----~- --~--
0,25
0,50
Diomefro
1,00
los
1,50
2,00 2,50
porl(r.'Jlos
5,00
1,50 10,00
(centíme tros)
FI G. 3.11 Angulo de reposo de material no cohesivo, seg(m el U.S. Bureau of Reclamation.
68
, es eviden te que estél dcbe variar la base, e, y es b profun didad. e.n y l,a .rdaclo ;l ~/y donde b es el ancho con el angula }";lr que el esfuerz o cortcll1 te conside Pero para los propoS ltos practlc os de diseilo se puede en el fondo es
,En relació n con L~ ,distrib ución de esfuerz os
,
e
7() --
7
0
¡ry,So
(3.41 )
y que el máxim o en los taludes esd dado por
7
0
(3.42)
= 0,75 ¡ryS o
tes pasos: El proced imient o de diseño se puede resumi r en los siguien
e
Determ inación del talud estable < c[) donde Determ inación de la relació n de esfuerz os, 7 o / 7c , en el talud senlae c. 3.36). Altern a=075¡ ryc y 7 c =0.05 6(¡r s -¡r)d 75 (criteri o de Shield 7 °0" ' o nlax , para las condic iones señalad as tiva mente, el védor de 7 c puede tom;us e de la Fig. 3.8 a. b.
en
ella. c.
d. e.
Cálcul o de yS o (rn:lxim o)' Determ inación de y, o de S c:1lcul o de b, emplean~lo la o ecuélci ón de Mannin g.
3 r en un terreno , con Lijemplo 3.6. Un canal que debe conduc ir 54 m /s se piensa excava
con un d 75 = 5 cni. Las piedras pendie nte del 1 por mil. d~ deposi ciones aluvial es gruesas inar valores adecua dos para pueden consid erarse "mode r,ldam ente redond eadas" . Determ la base b y los taludes . SO[IICió11.
a.
De la Fig. 3.8 obt'ene mos
tI>
= 37° d; ag uí clue ctgq)= 1,33.
Cualqu ier talud que tenga un ángulo menor que
<1>
será adecua do.
algo rróxim o él ct~ 37° = Un talud con n~lación m = 1,5 (ctg e = 1 ,?,) tiene un valor, dlsena mos con, fj = arc aSI, 1,75; = = 1,33. Por ello tomam os un talud con rebclo n m = 0,868 ctg 1,75 para el cual cos
e
b.
Introdu ciendo valores en
~=O,868~ 7
1a eco 3.40 se tiene
,,'
1, 33~
= O 565
1,7 52
'
e
69
7
el cri terio de diseño debe ser ~ ~ 0,565 donde 7o es el esfuerzo cortante má7 -.;:;:;,
entonces
C
ximo en
el talud dado por
c.
7
0
= 0,7 5'YYS
o
De la eco 3.36, para ('Ys-'Y) / 1'= 1,65 se tiene
substituyendo obtenemos
Ys o d.
0,565 0,75 x 11
~
= 0,001
Un valor de S o
y
~
conduce
él
3,42 m.
Si tomamos un factor de seguridad del :25 %
y
= 3,42
x 0,75
= 2,56
m.
Escogemos para el diseño y = 2,5 e.
tendremos
°
m.
Ahora hallaremos el ancho b para conducir el caudal de diseño,
De la ce. 3.39 (de Stricklcr), n
= 0,05 1 / 6/26 = 0,023
Aplicamos la ecuación de Manning y por tanteos sucesivos encontramos que la ecuación 1
54 =
0,023
AR 2/ 3 O,OO~ 1/2
se sadsface para b = 6,8 m.
3.7.4
Sección hidráulica estable
La sección estable ideal debería alcanzar la misma condiciém de resistenci;l al movimicnto, en todos sus puntos, simult;tneamentc. P;lra un tipo de suelo dado y para
70
cierto caudal de diseilo, esta sección ideal tiene la menor eXG1V~lción, la menor anchura y b velocidad media mel xima aceptable. El análisis para determinar esta sección, seguido por el U.S. -Sureau of Reclamation es como sigue:
FI G. 3.12 Esquema de definición para el análisis de una Sección Hidráulicamente Estable En el nivel superficial, y arriba de él, el talud tiene el ángulo de reposo del material bajo la acción de la fuerza de gravedad. La fuerza tractiva 7 0 en el elemento de área diferencial, de longitud unitaria y ancho dxl cos ~ es
7
7
~ = 'YyS dx, o
o
dxl cos
o
= 'YyS o cos~
es decir
(3.43)
El esfuerzo cortante m,lximo
7
, G
70
7
J11aX
ma x = 'YY o So' entonces
o
--..Iy'---- cos ~ Yo
CUélndo se inicia el movimiento
mos gue
en y = Yo es
:0 ='CüS ~j1. c
t
7
onlax =
7
c
la eco 3.40 , pero como según v
tene-
g: @'
tg-cfl
71
en tonces (3.44 )
Haciendo en la ecuación anterior tg (3 = dy/dx,
(
Para x
=.
dy 2
0,
y
Y ') (--)~ yo
+
) dx
') tg~ <1>
y arreglando términos
')
= tg~ 1>
= Yo' Con esta condición hallamos
la solución de la ecuación diferen-
cial anterior x tg
~= cos ( Yo
la sección estable correspollde
Lo cual nos indica que La anchura máxima T
T =
'ir
(3.45)
Yo
yo/tg
= 2x o
él
la de una curva coseno.
es
(3.46)
El área transversal se obtiene integrando 'ir
A = 2yo
yo/2 tg
J
cos (
dx = 2y; / tg
o
(3.4 7)
<1>
El perímetro P es
P =
2?0 j
1
l)
=
2~o /1 + o
72
+ (~)
i dx =
dx
( 1 -
') cos~
x tg(l>
(---
Yo
dx
Es decir
rr!2
f
P=
o
x tg
w=
donde
J
1 -
SCn
2
2 (ll
sen w dw;
Yo
o también
P
2 Yo = --senQl
E
(3.48 )
donde E es la integral elí ptica dada en sas tablas, como las de Allen.
la ecuación anterior y para la cual existen numero-
El radio híddulico es R = Yo cOS
lE y el caudal Q de circulación estará dado por
la ecuacibn de Manníng Sí la descarga que debe transportar el canal Ql' es menor que Q, entonces será necesario remover un segmento en la sección central calculada del canal. Si TI es la anchura a remover en la sección central se p·uede mostrar que
TI
= T (I -
J Ql IQ)
(3.49)
Por otra pélrte si el canal debe transportar un gasto Q2 mayor que Q, será necesano agregar una sección rectangular de anchura T 2 en el centro. Esta anchura está dada por 11 (Q2 - Q)
T2
= Yo
5/3
So
1/~
(3.50)
~
Los canales modificados se muestran en la Fig. 3.12
73
1..-.-------------
T t T 2 - - - - - - - - - - - - -.. ---.~
~
1
:
I I
~-Tl/?..
T2
FIG. 3.13. Secciones estables alteradas.
lijemplo 3.7. Se desea determinar el perfil de la sección hidráulica estable que reelnplace la sección trapezoidal del canal calculado en el Ejemplo 3.6. a. Est~blecer la sección hidráulica estable para la pendiente y el esfuerzo cortante crítico correspondiente ;11 material dcllecho. b.
Encontrar el caudal correspondiente
c. Modificar la sea 54 m 3 /s. d.
Dibujar
;1
sección
él
dicha sección.
encontrada de tal forma que el caudal transportado
escala la sección estable adoptada.
Solucióll a.
Según
el criterio de 5hields (ec. 3.36), T c = 0,056 ('Y s -'Y) d 75
P;.¡ r;l, T c = T o = 'Y Yo 5 ()' y, ('Y s -'Y) / 'Y= 1 ,65, t en e 111 o s
'Yo
= d 7 5 x 0,0965/5 0 = 0,05 x 0,0965/0,001 = 4,62
x o = T/2 = rr y j (2tg ? A=2Yo~/tg(I)
P = 2y oE/sen
(1) )
=
17
x 4,62/ (2 x tg37°) = 9,63 m
= 2 x 21,34/tg37° =56,65 <1>,
donde E = 1,4171 p;lra
(1)
?
m~
= 37°
Así P = 21,76 m., y. R = A/P = Yocos
74
111
El caudal que corresp onde a esta sección será
b. Q
=
=
_1_ AR 2/3 S o 1/2 n
1 0,023
1 2 56,65 x 2,60 1 / 3 x 0,001 /
= 145
m 3 /s
3 3 r la secció n Como Q = 145 m /s es mayor que 54 m /s, tendre mos que reduci c. así 3.49, eco la con o en un ancho Ti en la región central , de acuerd
Ti =T (1
-J Q 1/ Q )'
=
19,26 (1-J5 4/145 ') = 7,52 m.
La anchur a de diseño será T - T 1 donde
T - Ti == 19,26 -7,52 == 11,74 m do la eco 3.45, Para la sección estable calcula da en el aparte a., tenemo s, aplican que
x (m) Y (m)
.
x (m) Y (m)
0,00
1,00
2,00
3,00
3,76
4,00
5,00
6,00
7,00
4,62
4,56
4,38
4,08
3,76
3,67
3,17
2,58
1,92
8,00 1,21
9,00 0,47
9,50
9,63 0,00
0,09
nto central de Para la sección modifi cada, en el aparte c, elimin amos un segme que corres,y) (x pares 1 ancho T l' de tal forma que para las nuevas abscisas Xl se fijan x, Xl se relacio nan por ponden a los pares (x,y) de la sección inicial. Las abscisas para x
> T 1/2
Por lo tanto la sección modifi cada es
Xl (m)
0,00
0,24
1,24
2,24
3,24
4,24
5,24
5,74
5,87
Y (m)
3,76
3,67
3,17
2,58
1,92
1,21
0,47
0,09
0,00
15
d.
En los grá ficos q L1C siguen se eL! n bs seccion es hidrá ulicas estable s pata Q = 145 m 3 / s , y p:¡r:¡ Q1 = 54 111 3 /s
FIG. 3.14. Secciones Calculadas en Ejemplo 3.7. EJERC ICIOS hjf'rcic io 3.1.
Demos trar que para flujo crítico en un canéd de sección circula r de dütlTIe tro D y con celudal Q se tiene. con referen cia al esquem a que
(O'
~ senO' cosO') 3 64 senO'
76
Ljercic io 3.2. El can:t1 circula r ilustra do en el esquem a conduc é' un caudal Q=10m 3 /s. con una velocid ad media de 2,0 mis. y una profun didad normal Yn=0,7 5D. Para una rugosid ad de Manni ng 11=0,01 2:
a.
Cuál es la pendie nte So que corresp onde a dicho flujo uniform e? .
b.
Cuál es el régime n de flujo, sub o supercrítico ? .
lijercic io 3.3.
k Toman do los valores del diagr~\111a de Moody y gr~lficando f=f ( ) en papel R logarít mico, hallar la corresp ondien te ecuaci ón y compa rarla con la fórmul a expone ncial propue sta por J. William son.
Eijercicio 3,4. Se tiene un río de 200 m. de ancho, en la superfi cie libre, con pendie nte de 10 cm. por Km., con un caudal de 200 m 3 /s y una velocid ad media de 0,5 In/s. Determ inar: él.
b. c. d. e.
f. g. h.
i.
La 'profun didad hidráu lica (media ).
El radio hidrá ulico. El coefici ente n de la fórmul a de Mannin g. El coefici ente C de Chéz y. El flctor de fricció n f de Darcy. El esfuerz o trclctivo prome dio T en los contor nos. La Cllturél de los grél110s de arenao que produc e un~1 rugosid ad equiva lente en d diagramél de Moody . Si el fondo fuerel, en efecto, de materia l suelto, sería este fondo estable a la erosiC)!l? . CUéll es el esfuerz o corLl11te crítico ? . Cuál es b profun didad altern<1 que curresp onde a la miSIDél energí a específ i-
el? .
77
Ejercicio 3.5.
Diseñar un canal trapezoidal estable por los métodos de la velocidad permisible y de la fuerza tractiva crítica que conduzca un caudal Q=4,O m 3 /s. El suelo en que se realizaría la excavación tiene un d 7S =S mm. y un So=O,OOl. Las partículas del material de fondo son muy angulares.
78
CAPITULO 4
EL FLUJO GRADUALMENTE VARIADO
4.1.
COllsÍdcrucÍulIcS hll1dd/l/clltdes
CUél11do sc piensé\ en \.'~\rié\ciones gré\dua1cs cn las características del flujo en un c\nal- podrL\ consider;\rse que ellas ocurren con rcspccto a b distancié\ o con rcspccto al ticmpu. Sin e I1lb ;\rgo , si dcsca mos atcncrnos a lél tcrminologí él dc nu mcrosos él u torcs como H. ROllSC, Vcn Tc Chow, r.M. Hcndcrson, C.J. Pusey, F.J. Domingucz, R. Silbcr, R. D. Cotté\, J.5. Cé\ndolfo, A. B;\l1ofct, L.M. Cotc11i, C.A. Mcoli y R. COlTIolct, dcbemos 1ill1it;\rnos e11 cl cstudiu ele I flujo gradualmcnte variado, Llllicé\l11entc a los cambios cspaci,dcs. La pc\Ltbré\ graduc¡] implica que hs vélrié\cioncs se produccn pé\uLltinél () ]cnté\ltlente. Las ;t!teL\ciunes LJue producen las fucrz;\s de rOZé\l1JiCllto cn cl nivel superficial dc un canét! abicrto, CU;111c10 el flujo 110 es uniformc, son gradué¡\cs. Asi, sc pucde dcfinir el f1uju gradu;¡]1l1Cl1tc vari;\docOlllO, el flu,io permancnte y no uniformc ljlJC sufrc varié\ci~)¡1CS imperccptibles en sus caractcrísticas, cn pcqucüas distancias, producidé\s por el rozamiento del fluido CO!1 los c()nt()rn()s ,s()lidos que lo cnC\UZ;\l1. Los C\SUS dc f1uio pCrmé\l1entc en quc b llrofundid;\o v;\r!;\ t;ll1 r{\pidal11cnte que el radio dc curvatura de la supcrficie es del mismo ordcn de magnitud li uc la profundidad, se excluycn de esta ctefinicicm. El flujo sobrc vertederos, ;¡ tré\Vl~S dc constricci()nes, ,¡jrcdedor dc curv;~s, en b proxilllicbd de C1111b ios bruscos c n el 11 i vc] el el fOl1d () () en trél11 siciol1 es d c b For mél del C\l1étl, 11 o se tra té\re'! en cste c\ pí tu lo. El cí lcu]o del fl ujo gr,\d uall\lente vJrl;ldo sc dcnomln;¡, a Igu nas veccs, dlcl1lo ele las curVéiS de rellléll1SU. El proble1l1;\ princip;¡j del flujo gy"dUéd111cntc Vélrié\do es b predicción del perfil ele b superficie libre o, C'11 otros C\SOS, del nivcl supcrfici,¡j fijo () cOlltrolado en deterl1linanDS puntos.
Se scfi.al{), cn el capítulo ;\1ltcrior, llue en el flujo pCrJllé\l1el1te y uniformc la pendicnte dc Lt líne;\ de cnergí" S, es igUéd quc b pcndiente S (te] fondo del cal1cd. Si el flujo es gréldu;t!111ente variado, las vé\ri;¡ciones de profundidad ()I velucidad no pucden dcsprcCié\rse. Si, en \;¡ Fig. 4.'1, designé\1l1os por Z la elcvaci()]1 del fondo con respecto él un d,\tum arbin;\rio, tcndrcl1los que b encrgÍ;\ tot;t1 H, dc Lt enlélCi()Jl de Bernoulli (ec. 1.18) est(¡ dada por
H
=z + y
coscp
+ O'
__Q2 (4.1 )
79
dUllde
í/J
es el ;'lllgLlI()
r.k
inc!ill;ICi(lll del f()lldu, L\' e,s el cod'icielllc
!1lT~WllllicLlL¡r¡lll'lltl' C()ll.,>idl'ITlllUS llLle ~¡ y O' SOll
de
ClllTg(;I,
y
es LI
;11 f'()I1c!(»),
Q
es el g;lstu
elel CIll;¡].
C()llSLIlltes
L'1l
el tr;llll() del GIILII elll'studiu. LI
l'iv;llla dl' ];¡ lbr;í
el1 dUl1de
pr()~
y A LI sl'ccir')1l tr;llls\'lTs;ll
fUlldicbd ItullLllb
dl'~
ec. 4.1 COII I'e,'>pect() ;1 b ·iilTcci<')1l .\, c.ic c()ITeslwlHlil'llte ;11 f(l!ldo tkl cll1;ll,
dH
eh
el\
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\=ccl~J: bU'·
. c_~ccc
..
1---~,··~.~ _ i__
~~~_
.. _
__L_
----~
Cr;I\J!f'
FIG.4.1 Esquema de Definición para la Ecuación del Flujo Gradualmente variado. 80
dcbidu;\ ljLlC S()
e xcep rn
-s =
el (H-z': / eh = dE/d:\.
FrecuentemClltc sc tom,\ cos cp = l. exceptu Cl1 canales ele fuerte pendiel1te, y, 0'=1 e11 clIL\1 e,c; l'()J1 el istrib Ll ci¿m ele velociebdes cun poca uniformidad.
L\s ecs. 4.3 y 4.4. conocid~\s como bs ecuaciones de resistcnci,l del flujo ~radu,11Illellte v,\ri'ldu. SOI1 eCLl;lciulles diferellci,\les en y=f(x). llUC en gencLtlnu son cxplícitaIllelltL' sulubles, pero cxisten l1LlllleruSOS ll1l~todos Iluméricos para obtener soluciones. El problclll;\ princip,t1 COIl estéIS ecu,\ciolles es que su formé\ no permite estélbleccr de inl11e(li,\t,) Lt vé\riélCitll1 cu,tliLltivé\ elel perfil superficÍ;ll. Es dese,lblc, por consiguiente. des;1l"roIL,- U11 pr()cesu sistCI1l,ítico l]Lle nos !,nmitc\ definir el tipo de vari,\ción que sufrid un perni supuficiét1. si en Ull,\ det('rlllill(\cb Sl'CCillll se CO]locen sus cclr,\cterístic\s hidr:1ll1icéls. Es f-reCllel1tl' ITCLlITi,- é\ los c\ll,\lcs n_'ct:\llgllb'Ts de ~Llll élllchur,l. COIl elistribtlciém uniforme dc vclocilLtc1cs y con inclin,\cil)ll t:ll l]LUl' C()S cp .: :-:.L I 1),lré\ el élllé11isis Clléllit,ltivu ele los :)erfiles sllpuCiciétles. Lél pcndiellte S ele h ll'ncél dc l'l1ergLl curresponelc ;1 l;¡ LllJe se puede ubteller de L\ ecu,lcilJl1 dl' Mé\lll1ing es
S \'
(4.5 )
I ()/3
dondl' II es l,l Sélstu po,- LlllicLtd de é\llchu. Así l;¡ ce. 4 ..1. p;tr;\ bs cundiciunes scfLdaebs, se !l11ede l'snihir I :2 II ~
1\
s----. 10/j 'c)
V -----_/_-
( 4.6)
')
_ _l~ lY
~
,
l]~
,Sé\ 1)l'I\lUS l]lIe
--lr-
V
3
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2
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) ! J 1 Y~_ ' c C (lUnClC
~
fllndicLtcl crítica.
Po¡-
')
~
I - II -~ I (\g Y-),) --
3 1 -
)'
y
c
3
Cllljlle y ces 1;\ pro-
lu Llnto Lt cc. 4,r) se fJllcde cntollces t¡-;\l1SFOrl11élr en
S
o
Y10/3 , 3
(4.7)
1 - -~~3 )'
81
En b ecu,\cié)l1 ;\nteriur, S o es t,\1l1Diél1 b pendiente de b líne;\ de encr~~Jé\ del flujo , l1nifur¡lle de profundilbd normal Y ' P,\r;\ las cUlldiciones de flujo unifurme, de Ie\ eClwcilm de n M,\nnil1g se ohtiene ~
')
')
II ~
s
()
=
Yn
Il
~
(4.H)
1 O!3
')
')
En esta ecuacié)n se puede despejar q~ Il~, Y recmpb:;,,\rlo en
dy dx
so
y 10;3 (_lL) Y
la cc. 4.7, petra ubtener
(4.9)
Yc 3 (---) Y
Est;1 eCUélCié)1l [Jcrl1lite estudié\r b L\S,I de c\Jllhiu longitudiné\l de Lt profundidad en fUllcilm de tres Pél!",íl1letrus tUllda1l1el1t(¡jes: Lt pendiellte del tondo, LI reLtcicm entre L\ profundid,\d llorlllétl de flujo l1J1iforllle y b profundidé\d existerlte, y la rebción cntre Ic\ prof un d ilb d c rí t iel )' b pro fu n el ieb d e x is ten te. Cld-,'tj,'cLlcic'm ({(' los ¡>crfiles SII!-)('r/lcid!cS
4.3. d
El illterés primé\riu en el élllÚlisis cllét!it
d Y ' yé\
de
x crece en b dircccilm ele agUéIS abé\jo.
Cé\
Un" ITV1S1011 sistel1l,\tlC\ de b ce. 4.<) nos llev,I¡',í el1 primer lug,\r a distinguir tres sos: En el 1)L ri mero.y lllél S frec ue n te SU > O, e s decir, b COLl el eIn ive 1del fond o decrece
en la direcciém de é\~"rl1éIS ah'l]'o. En el segund() CISO S o < 0, el fondo rI)rescl1L\ Ull" •Dl'ndiellte 'Idver:;,l. En el tercero So = O. En el primer casu se pueden distinguir bs siguientes posiL ) .
v
hilidéldcs: él. L\ profundidad en b SeCCil)J1 el1 estlldiu es mayor que b prufund i(Lld nurl1l,d y éstel él su vez es \llayur que b proful1ctiebel crítica, y> Yn > )'c' El nUI11Cl'é\(.iol' y denOlllinéldur de b ec, 4.9 se hélce!l positivos y por
t;~!lto §.~
es'p:)sitivo, indicando c]l1e b
profundict~ld debe ~lull\enLtr en Lt direcci{)]1 del flujo. El f1uju es subcríticu y Lt curVél del nivel superfici~tl CUy;1 pendiente se ubtiel1e de lel ec. 4.() se nombra M (siguicndo b 1l()1 lllcncbturé\ llortcéllllerican'I).
82
b. En la seceiém en estudio, b profundj(bd es menor yue la profundidacl normal pero mayor que b profundidad crítica, Y > y> y c' Elnurnerad.or de la eco 4.9 se h8n el' ne~a tivo y el den omin~ld 01' positivo da ndo un valor nega tivo a ~. Por tan to, la profundicbd debe disminuir en la dirección del flujo. El flujo es suberítico y la C1JrV~l delnivel su perficia 1 se design;l M . 2 C. Lel profund i(-Lld cn la sccci(m de es tudio es menor que b cn tICl y ésté\ es a vez lllenor iJue le! IJrof111lcliebd nOrmé\l, y n>/ e v > )f. Ambos, numcr;\dor \// Jenomina] t dor de b ce. 4.9 se hacen negativos)' el nivel superficLd se iIlCl'emellté\ en la dirección del flujc). El flujo es supcrcrítico peru corresponcle ;1 condiciones de flujo uniforme subcrítico. La cu rva se c1csign;\ M 3' SI!
d.
La profu nehlld en
Lt
sección de estud io es ma y or que
la profund idad cd tic a
y ésta es ;\ su vez mé\yor que \;¡ norma], )' > y c > )'n' En la ce. 4.9, ambos numerador y deJlominador son positivos, produciendo incrementos positivos del nivel superfici;¡] en la direccj()J1 del flujo. E] flujo es suberítico pero corresponde él condiciones uniformes de flujo supererítico. L\ curv~) se designa S1 . c. La profulldiebd en b sección de estudio es menor que la prf,)fulldidad crítica pero mayor que Lt 1lormaL Yc > y> y . El numer"dor de la ec. 4.9 es positivo y el denon minador negé\ tivo, indic;llllio un descenso del nivel supcrfici;d en la dirección de] fluju. El flujo es sup~rerític() y lel CllrV;l se designé) S2'
h secciéln de estudio es menor que la profundidad llorla profundicbJ crítica y c > )'n > y. Ambos, numerador y denominadur de la ec. 4.9 son negativos y b profundidad crece en Lt dirección del flujo. f.
l11éd )'
l:SLI, ,\
La profundidad en su vez, \llenor Llue
El f1uju es supererítieu y la curVél se designé\ Sy Ll profundid~\d en
la sección de estudio es mayor que la profundidad crítica /v ésta coincide cun b nOr111é\1,. V , > Yc ,y n = y c,. En este caso ClX es positivo y mayor que g.
S(\. Si
4-
b pendiente de la líne;\ de energÍ;l S en b ec. 4.5 se hubiese escrito en función del
eoeficiell te de Chéz)/, en tOílCCS ~ seda igual él S o . El nerfil se nombré\ el' r L
dx
h. L\ pr()fuIHtid;\cl en la secci{)n de estudio es menor que la profundidad crítica, y esLl es igu;¡j que b n orl11,d, Yc > y, Yc = Y11' La pelld iente del n ivel su perficial también es positiva y !11,lyor clLle So' u igual, si ~e hubiese cmpleéldo la ecu,lció;t de Chézy. El perfil se denominél
e3.
83
Par,1 el segu ndo C
< O, b
ce. 4.9 n o proporciona le! inform~l ció n de-
seada y,l que Yn 110 ticnc significldo físico (en condicio!1es de flujo uniforme IlO hay clLld;¡] posible en un canal de pendicnte ;ldvers;I), sin cmbéHgo Jc¡ cc. 4.7 permite determinar b forma del nivel su perfici,¡]. Se present,1l1 Lis siguientes dos ,¡j ternati vas: 1.
LI profundidad e11 b seccil)Jl de estudio es 111ayor ljue b CrItIca, y> yc' El
nU11lcT,ldor de la ce. 4.7 es negativo y el denominador positivo,
pUl'
t;lnto
ddj' seLí neg,lti:\
vu indicll1do una disminucic>11 de la profundidad en b dirección del flujo. La curV;1 de nivel su perfici,¡J se designa A . 2
l
Ll prof '.l11did y. Am-
bos, nUl11c'r,ldor y den\)min,ldor de b ec. 4.7 SOI1 negativos, indiG\11do l]lle Ll profundid,ld debe aumentar en b di1 'cción del flujo. La curv;1 se de!1omin;1 Ay En el tercn CISO cuando S () = 0, es cunveniente estudielr b variación de altur,ls en
la ec. 4.7 ya Llue e!1 un can;¡[ horizuntal 110 existe proful1diebd norlllal de flujo uniforme excepto par,l y = 00 como cOlldicil)J1 limite. También ahoLl se ~~resent;\ll dos ,¡]tern;ltiv;IS que cOlllplet;:ll las doce curV,IS de lTI11,I!1S0 posibles. k.
L;l f1rofundidacl en ];¡ SCCCil)Jl de estudio es
111<1Y01-
l]llC LI n{ticl, y> yc' El
1H1nler;ldor de Lt ec. 4.7 es neg;ltivo y el denomin;ldor pusitivo. Ll protLll1diebd disminl1ye cn b direccil)11 dcl flujo y el perfil se denomin,l H . 2
1. La profundid;ld en la sección de estucHo es ll1elWr que Lt ,~rític;\, Y _> y. Ambos, nUl11er:lclur y denominador son Ileg'ltivos. Ll profullclicLtd ;IU:l1cllta cn L~ dirección del fllljo y el perfil se denumin;\ HJ' Las cundiciones I{lllites dc los perfiles se present:111 CLl;ll1d() la prohUldicLtd se ;qil:oxilll;\ ;1 la proful1dieLtd normal, y ;1 ];¡ prufunclicLtd en'ticl. Cl1;lndu se ;lcerea ,1 Ll profl111ctid,ld llUrlll;¡], y-+, V ,el nl1l11eLldor de Lt ec. 4. C) tiende ;1 ceru y ~ -+ 0, por Llllto el 11 eh ¡
perfil supcrficiéll sc hace asintótico ,¡j nivel de prufulldid;¡d nurlll'll. Cuando b profulldid;ld se acerca (l la profulldidéld eríticl, el denomin,ldor de b ec. 4.9 tiende a cero v
dy
dx
-+
00
indiGlIldu q Lle el perfil superficial, p,\ra valores próximos ,1 la profundiebd
crí ti Cl, tiende ,\ hacersc perpend i cubr ,1 Lt I{nca de profundidad u{ ti ca. El estudio rc;¡Ji/;ldo se puede esquem;ltizar gr;íficllllentc cn b Fig. 4.2 en l]Lle, bs lungitudes en b dirc<¿cillll del, flujo estJn enormemcnte red ucid,lS Y;l LJ ue si los perfiles sc gr,lficarcln a ('sol;¡ lit) dist()r~On,ld;l, ,lpen,IS se noLlrían los cambios sU]Jerfici;des. Es de ;¡dvertir l]LlC ;111111jUe Ll PCi-H,il'llte S ) del tondo SC,I hiclr:luliGllllentc prollunciad,l, ;lpcn;IS SC desvi;¡r<Í UllUS pocos gr;ldos dc Ll I~()ri/,untal, si el flujo ha de ser el1 rc;diebd gr;\du;¡]11lcll-
84
tc v~\ri;ldo, y por lo Llnto ticnc POC\ il1lp()rt~\1lci;1 el que L\s profuncliebcles se tomen verti c;tl1l1cl1te CU1ll() se gL\fic\ en Lt figur;1 o e11 úngulo recto ;tI fondo elel C;111;¡} cum() estrict~l111('!l te CUITes po 11(1 e.
4.4
/,;\ de
Scccio//C's
ele Co//trul, ,''1 l/(ílisis ({e lus f)crfiles
El ;\llúlisis cllaliL\tivo de b v;lri;lciún de prOflll1c1icLtdcs, en un C;\11;1I (Lldo, se l'ealifur1l1~\: Se c\lcubn los 1);Il'{\Jlletl'OS)1 e \'. c 11;11':,1 el u2;1~;IO V, bs c;lr;\cterlsr 11 r
Lt siguiente ,
tic\s del CIILd chelos y Sl' g1':\ficIIJ, a escILt, en Ull di;\~!/;\1l1d de pcrfilcs en \.1)1 bs longitud e s c 11 b el i l' e c c i<-')]l el e 1 111 o vi 1ll i e 11 t él Vie 11 e 11 r e el u cid;¡ s , Lti e gu :3 e c;¡ le Ll b 11 Lt s [J 1U f ! llll ;eL) d e ~; en Lts sccciunes cuy;\S c\r;\cter¡'stiCls de Fl\lj() l'sLíl1 predctl"'l\Iin;\ch~, /';ccciol1cS di' control o controles), es decir l'11 t(.J111;\ vertederos, UlIT1)'ucrtas, u {cb:·; lilHes y l]uichrcs ell Lt I
pendielltc dcl
en cuel1Lt Ljlle los perfiles sobre h:; ]{:1Cd;; de plOFUlldí~lgu;\S ;\b;\jo: y ¡jlle l(~s r'(,l'filcs b;\jo Lts línc;\s de pr()fullclid~¡cl crítíc\ cst~íJ1 detenl1illdclus [JO]' los cuntTu!cs de J~~U{\~; anib;\, E11 otro,s tlTl1lilWS, Lts perturD"ciollcs producieL!s en una sccción de u¡]ltrol s(\lo pueden ví;\j;¡r e11 b dircccil)1l de ;\guas ;¡lTib;\ si Lt vcl()ciebd del flujo cs mcn()!' Ljue Lt celeridad de Lts l'lbs u OI1(Lts CIc1l1l'llt;\les (es decir, sl)lo si ];¡ profllllclid;\(l es 111;)yur que b cdtle\), Luq2;u se dibllj;\ll, sutHe el di;\gr:\11\;\ del cma]' L\s purciones djJIUpi;¡d;lS de los perfiles de 1;\ Fig. 4.2. Si ;\p:\ITCicL\ lIn;\ descol1tillLliehd l'n un trv/ C cntrc dus secciUIles de cOlltrol), cllu indic\rí:l invélríablemente ' (';\11;\1.
tOlll;\lldo
1l1uy
(bd cr{tic\ vienen dcterll1ilUd()s !'()r lus controles ele
,
i
I;¡ form;\c;(m ele UIl res;\ltu hiddulico situ;\du en Ul1~\ pusicilm comp;üible CO\) b reL\ci()11 dc prufunditLtdes propias del res;\lto. Es f{sic;\ll1ente imposible lll\C el perfil supcrficl;d cruce Lt 1íne;¡ de proflll1did;\d nOrl11:1], u Ll de prufullc1id;ld cn'ticé), sin cluC c\lllbic b configllL\ci()ll del C()llturno. Un;\ vcz llLlC se hayan l1eterl1lin;ldo bs caL\cterístiG1S gCllcr;\1es d(~l llivel supcrfici;t1, éstc se puede ulcuLtr lllccli;\1lte un IJruceso de ;ntegr;¡C\(')ll por difere11ci;\s fillit;¡s o cílculus sucesivlls. l:j(,1I1fJlo 4.1. Un C\Il,¡\ de gran lungitud cunducc ~\gu;\, dcsde un cmb;t1se de gy;tndes dilllel\siones, lusu un(\ seccilHl tcrmill;d de c\íeta lible. En un pUlltu medio, apro:.:il1l;\d;.\Illl'llte, se co]UC\ Lill~\ cUl1ljJue\'t;\ desliz;l11te, Se pide: CUl\1pal';lr bs v;\r1"ciol1es gel1cr;t!es ele- l)\'ufundid;\d p;\r;) un,\ pendiel1te: (1) subcl'ÍLicl, b) supcrcríticc\. SOllfCicJlI [1\ el C\S() ;\), L\ Ilile;\ de \xoFulldi(bcl l1onn;¡] esLí sitll:lCL! pUl' encima de la 1Inc;1 de pr()fuml jebe! Clític:1 ~,l'g{111 ,se indic\ ell el eSL}Ul'í1LI. Y;\ que ;lgll;\S ;\r¡-ih;\ de le! compuerL\ se !)roc1LlCC un:1 \Jr()FIIIHlidJd 1\),\)'01' Lllle Ll cdtic\ y ;lgU;\S ,ID,lju, L\ :tltcrlJ;I, IllCIl()r gLlC Lt cdticl, !:\ CUl1'1HI('I't:\ c()lltruLlLÍ el perfil slIpnfici,t! ell ;llllb
85
tiende lo suficiente CO!1l0 ¡XI 1',1 que se produ:/,cl un res,t1tu hidr,íulico el1 lel zun,1 en que, ell el perfil M , se procluzG\ L\ profundicbd secuente de Yn ' 3 En el G\SU b). también Lt cOlllpuert;\ controb el flujo e11 é\tnb,ls direcciones y el ped'il Sl qUL' se extiende h,\cia
<1
alcanzar la profundidad nor111<11 Yn'
So> o, Yn :.. Yc (Peodleote subcrítlca)
50
.:::0
01
Yc.J> Y/1
(PendlPflle ~;jp(~r·:r¡llrn)
-
~
, ...- "'~r
-. ----.--~. C2'"
~ ~~
,J
So>O¡
Yn = Yc
So'" O
(Pendiente critica)
(Pendiente adversa)
So" O (Peodlente nula)
FIG.4.2 Perfiles superficiales en flujo gradualmente variado.
86
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1
1
EM8ALSE
1
1
1
1
1
1
1
1
1 -~
1
fIG.4.3. Esquemas del Perfil Superlicial en el Eiemplo 4.1.
81
4.5.
j)erji"lcs (fe
CUlltillllidLld
Con el prop()sito de Llcilitar el ,IIlJlisis de continujebd e11 los perfiles supcrficiédes, se presentan en la Fig. 4.4 los ClSOS mas frecuentes en la variacié)]1 de los perfiles superficiales cuando e:\iste un quiebre en la pendiente del terreno. En las figuréls que siguen, Se es la pencliell te crític\, aquelb que en flujo uniforme pruduce Ulla profundidad crítica yc' 501 es b pendiente del c,ll1al de profundicbd norm~tl Yn'1' y, 5 02 es la pendiente del c\l1é\1 de profl1lldiebd norméd y n~. ')
4.6.
Illtegrclciúl1 de Id liC/lLlciÚll Diferellcitd del Flujo Crdcllld/ll/C/lte Variado.
La ce. 4.3, conocida como ccuacic)]l general del flujo gr,ldu~tllllente variado, en forma diferencial ~e puede integrar para obtener le! dist,\l1ciél -"1 . 2 necesaria parél pas~\r de
la profundidad y 1
él
la prot'undidad y 2' P,lr,l cos cp ; ;:; ; . 1, )',
a;;;:;;;;' 1 se puede escribir
(4.10)
IntegL\11c10 entre Y1' e Y2 tenemos
dy
( 4.1 1 )
Cu,ll1du el nUI11CT,ldor de b Función il1tegr~ll es cero, el flujo es crítico, indic\l1do Llue no ]1;IY c;llllbio en :\ ,¡] variar y (despreci,llldo b curv~ltur,1 de las líneas de corriente y h distribuci<Jl) de presiones 110 hidrostútic;1 en b sección). Cu,l11do esto ocurre 110 se puede decir tjLle el flujo se,1 gr,lclu,¡j1l1ente v,lriéldo y bs Fé)rmubs ,ll1teriores no dan result,ldos llue describan con precisión Ll vélri,lciélll del flujo CLléllldo éste estéí pr()ximo él su valor crítico, CUéll1do el de;lol1lin,ldor de b fLll1cic)]l integral es cero, el flujo es uniforme )' b pro fU!ld id:1 el ha :d C\1l zac1 o s Ll v:tl nr 11 or 1l1;d.
88
1
1 1 1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
89
'90
19.
502>
Se::: 1501
20. So
de gran longitud, con quiebre FIG. 4.4. Perfiles de flujo gradualmente variado en canales prismáticos en la pendiente de fo ndo.
91
b
Par,1 un clllal de sección tréll1SVerSéd 1)0 vélriaLic, con valores de n y So consta ntes, fu nción in tcgra 1 de pClld e úniclll 1ente de y. Si esta fUllció n se denom ina F (y) téll que
F (y)
=
_Q2 T / (gA 3) S -n 2Q2! (A2R4 /3) ()
entonc cs se tiene
Y2 J F(y) dy Y1 La represe ntación grc'lficl de F (y) en un esqucm a como el de la Fig. 4.5 permit e halbr el v,t!or del éírea béljO la curva F (y) entre )'1' e, )'2 el cual es igual a la distan da Xl -2.
Ev~dcntemente,
se puede hallar una numéri ca de la integra l divi- F (y) diendo el élrea en prisma s de base L.l y, y altura F (y) que permit an obtene r una sumato ria que será tanto m8S precisa cuanto m;'lS pequeño.? sean Ios in cremen tos L.l y. FIG. 4.5 Integración gráfico de la ecuación del flujo grad ualmente variado G 4.6.1. Cm/ale s horizo ntales de gran dllchur a. él proxim ación'
Como yél se estable ció anterio rmente , en los céln;tles de gr;\ll allchur él, el radio hidré'tulico es igual él la profun didad: en los canales de fondo horiL'.ontal So =0. Por cOllsi guiente , Lt ce. 4.11 puede silllpli ficlrse. Si q=Q p;lrél T=], se tiene
)'2
J
(4.12)
y luego de illtegra r 3 2
92
4
( Y24/3
4/3 )
Y'I
3 13
(4.13)
I
l'
hjeJllj>lo 4.2. Bajo una compuert~l fluye un caudal de ¿¡gua de 6,1 m 3 /s, por metro de ~Hl cho. El Cll1;¡] donde ocurre la descarga es horizunta 1 con una rugosidad ¿ e M;¡lí nil1Q 1l~0.c)15. El (:;ln;lI se exticnd~ 600, m. aguas ;lb;lju de b ven;1 cuntLlí~L, de 0,6 1l1. ele F'r(~ funcliel;\d. La tcunin;ldón del CIl1;¡] de' dcsc\1'g;l es abrupta.
Ca 1cub l' y el ibuj;lr el perfil superficial resulta n te. Si se produce un res;l1to, determinar su ubiclción. SO/I/CiÓII
L;I profu ndicbd cI"Í ticl
yc=
~ 3
-, '1
q~/g
yc estú délda por
= \
y
:3
'1
-¡
6,1~/9,H=I,561l1.
Agu;ls ;\b;'ljo de LI compUerL¡ se prud u ce un pelJi I 11 , ·eu yo dlcul 0, a pa nir de b 3 ven;¡ cuntr" íd;¡, se r(';¡Jiz;¡ empleando la ee. 4.13 b Clul se ;lplicl tramo a tramo. Los re sult;ldos de estos cl1culos se present~\I1 en el cuadro de.: ab;ljo, par;l y 1 =0,6 m.
0,70
)'2 (m)
0,80
1m~,o
72,2
COI\l()
se obsel'v:t,
I)or consiguiente, ('st;¡
0,90
Se'
1,30 '143,()
172,7
202,2
225,7
1,40
'1,50 254,3
b p,'()ful1dicbd c¡{ticI se ;¡!c¿1l1z;¡n'a antes de lIegar.;I la c\{cl:1. t¡';¡nsform;¡ e'11 sccciém \,le cOl1trnl, COl1 profundicbd crític\, y
d~sdc ;dlú h;\ci;\ agUéIS ;Irrib;\ se cxtcnderú un perfil H
hast;l una sección tal que tenga 2 Ull;\ profundicbcl secuente ¿\ h del perfil H , produciéndose un res¿llto. El perfil H , co-. 3 2 rrcspondicntc, est:\ eLIdo:) contil1u;\ci¿Jl1, par:) y 2=:= 1,56 In.
Y-I (111) Al
2 (111)
1,70
10.2
1 ,8 ()
1,90
2,()(}
2J ()
2,20
2,30
2,40
30,3
93
Lt
LI cllrva ele pl'ofundicbdes seeucntcs ;¡ LIs del perfil H'], se ubtienc ;lplic;lndo ee. 2.23 dell'cs~tlto hic1rúulic(). Esu eCll;lcióll produce los siguiel1'~es reslllt;ldos.
0,60
0,70
3,26
2,97
o,C)O
2,ú9
1 ,00
1 ,1 ()
2,30
2,14
1 ,9~
La represcnL\ción grúfic¡ de lcts curvas H 2 , H3 Y de profundidades sccucntes del rcs;t1eo nos indic\ que el rcs;tlto se produce en Lt sección de intcrsccci[m de Lts curvas H3 y ele profLlndid;¡des secucntes del res~tlto. Est;1 sección est;'¡ ubic!cb ;1 136 Ill. de b ven;¡ contr;lÍd;\.
3,0 -
Profund Idades secuentes
2,0
y(m)
t,O y
e
FI G. 4J)
94
Perfil
4.2
4.6.2.
Cálculo de los Perfilr:s Superficiales por lncdio de la Función de Bresse.
La consideración de un canal de gran anchura parél el análisis cualitativo de los perfiles superficiales condujo a la ec. 4.9, luego de aplicar la ecuación de Manning para establecer la pendiente de la línea de energía y el valor y n de la profundidad normaL El exponente 10/3 en Chézy para hallar la V.T. Chow escribió, diferencial del flujo
el numerador puede convertirse en 3 si se emplea la ecuación de pendiente de la línea de energía y el valor de la profundidad normal. en 1959, para canales de distintas formas prismáticas, la ecuación gradualmente variado, en una forma similar a la ec, 4.9, como
Yn N 1- ( - )
Y
dy
--= S dx o
(4.14 ) M
1- (
~) Y
donde N Y M son exponentes que varían con la ecuación de resistencia empleada, con la forma del canal y con la profundidad. Si hacemos y=z.y n; así que, dy=yndz se puede escribir la ee. 4.14 en la forma
1-- ( 1s- )M_1_
Yn
dx
z
M
(4.15 )
1-
Yn dz
la cual se puede transformar en
dx Yn dz
[
1 ]
-
1 ~-z N
Yc
+ (--) Yn
M
N-M
~--
1 - 7;N
(4.16 )
e integrando se tiene
J
Yn dx= -S- [ z o
-J
dz Ye M zN-M --N-+ ( - ) J - N - dz 1-z yn 1-z
( 4.17)
95
Esta ccuaClOn cs conocida como la fórmula general para el flujo gradualmente variado en cé\l1ales prisméi ticos. La primer,1 in tegra l del segundo miemhro fu e calculada por B. A. Ba kh I1lcteff ell tre 1 91 4 Y 1 91 5 g uien en esa época erél profesor de Hidráulica G eIleral y Avanzada en el Institu to Politécnico Emperador Pedro el Grande, San Petcrsburgo, Rusia. Como consecuencia de b situación originada por la Revoluci(m Rus,l, en 1917, las tablas de Bakhmeteff se perdieron. El tLlbajo fue realizé\do nuevamente con valores de N desde 2.~ él 5,4 Y publicado en 1932 cuando Bakhmeteff comenzó a dar clases en la Universidad de Columbia, U.S.A. Al mismo tiempo én Lt U.R.S.S. las té\bIas originales, copiad,\s e11 manuscrito, fueron cncontradas y publicadas en 192B con valores de N desde 2,0 hélsta 5,5. A la segunda integréd del segundo miembro de la ec. 4.17 se le puede dar una forma igual é\ b de la ¡1r,imeré\ integré\l. V.T. chow presenta extensas tablas de estas integrales.
y,\ ('11 1B60 el profesor francés J.A. Ch. Bresse, había hallado las integr,¡jes de la ec. 4.17 para u n canal de gran anchura en el que uSélba las ecuaciones de resistencia de Chézy. Paré\ este CISO en gue N=M=3 la ec. 4.17 se convierte en
;-\=
3 yc
Yn S ()
rz
(,
1 J --3 Yn
dz
( 4.1 8)
z3
I
u también en
Y11 [1donde
(1)
yc
(--)
3
( 4.1 9)
](\)
Yn
es la fu nción de Bresse dada por
1 --111 6
é\rctg
. 2z+ 1
+
Al
( 4.20)
la que Al es un;l COllsté\l1te de integraci(m. Después que Lt evidencia cxpcrimenté¡J 1ll0Str<) lltle la C de Chézy no er;\ COllsté\llte, b función de Bresse C\yó en desuso. Más tarde,
en
sin' el11bé\rgo, se el1cor1trc') gue la funci(m de Bresse, si bs c()nstantes se eligen él propié\dé\mente, proporCiOIlé\ Uné\ rel11arc\bleJ1lentc buell;\ aproximación é\ bs curvas que se obtienen !11ediante solución numéricI de Lt ecu;\ción diferenci;t1 del flujo gradualmente vélriéldo. El védor de y é\ empleé\r debe ser lo mús preciso posible, determinado por observ;lción directé\ si ello 11s posible, o si no, cdcuLtdu con la ccué\ción de Méll1ning con el mejor védor
96
dc n disponible. En b TabLt 4.1 se prescntan los valores de la función de (I' de Bresse para los d isti ntos ti pos de perfil su perfíei;l!. Le) v:uL:lble indepcnd ien re 7. = n pe 1"111 i te encon-
trar el v;dor de
z 1.000 1.001 1. 002 1.003 1.004 1.005 10006 1.007 l.008 1.009 10010 1. 011 1.012 1.013
1.014 1.(l1S 1.016
1.017 1.01& 1. 019 1. 020 1.021 1. 022 1. (2) 1.02~
1. 025 1. 026
027 1 028 L029 1.030 .031 1. 032 1. 033
<1' ;l
ser usado en
t(Z}
2.1837 1.9530 1. 3182 1. 7226 1.16486 lo 5891 1.5371 1. 4929 1.4540 1. 4192 1.3878 1.:3591 1.3327 1.3083 L21357 1.2645 1.2446
1.2259 1. 2082 1.1914 1~1755
1.1603 1.1458
1.1320 1 un
1.1060 1.0937 1,(j8
1.034
1.0706 1.0596 1. 0490 1.03B7 1.0288 1.0191
1. 035
1.00913
1. ()36
.0007
lo 037
o. ~)91 SI
L038 L()39 1.,040
0.9834 0,9750 0.9669
1.041 1. 042 1. 043 1. 044 1.045 1. 046 1. 04"}
0.9513 0.9438 0.9364 0.9293 0.9223 0.9154
L048
.0491.050 1. 052
le! ee. 4.19.
O.959ü
0.9087 0.9022 1J.895Ú
0.81334
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1 qS4 1.056 1. OSS 1.060 1.062 1.064 1.066 1.068 1.070 1.072
0.8714 0;8599
1.29
0.8489
1.30 1. 31
0.8382
1.32
0.8279
1.33 1.34
0.8180 0.8084
0.7990 0.1900
0.7813
1. 35 1.36 1.37 1.38 1..39 1 40
1. 074 1 076
0.7728
1.070
0.7565 0.7487 0.7411 (L 7337 CL 1265 0.7194 0.7126
1."1
0.7059
1. 4B
0.6993 0.6929
1.080
L082 1.084 1. OB6 LOBS 1.090
1.092 1. 094 1.096 1.099 1.100 1.105 1.110 1.115 L 120 lo 12S 1.130
1.135 1.140
1.145 1.150 1.155 1.160 1.165 1.170 1.175 L 180 1. lB5 1.190 1.195 1. 200 1.21
0.7645
.45 1. 4G 1. 47
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1.56
0.6519
1. !58 1. 60 L62 1. 64 1.66 1.68 1. 70 1. 72 1. "14 1. 76 1.78 1. 60 1. 82 1. 84 1.86 1. 88 1..90 L92 1. 94 1. 9f 1. 98 2.00 2.05 2.H)
0.6867
0.6397 0.6260
0.6139 0.6025 0.5913 0.5808 0.5707 0.5608 0.5514 0.5423 0.5335 0.5251 0.,5169 0.5(190 0.5014 0.4939 0.4868
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1.23 1.24 1.25
0.4419 0.4306 0.419 B 0.41096 0.3998 0.:1905
1.26
1.
1. 49 1.50 1. 52 1.':>4
1.22
1. 21 1. 28
1.42 1. 43
0.3916 0.3731
2 .. 30 2.35
0.364 9 0.3570
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0.3495 0.3422 0.3352 0.3285 0.3220 O. )158 o 3098 0.3039 0.:2983 O.:::9:lS
2.60 :2 65
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0.09°'8 0.0935
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O.
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0,062F.
0.0604
0.2875 O.282,~
0.'2715 2727
o
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l) ,,(H.
0.2591 0.2546
O"
.0 0.349 0.0 0.0315 0.02990.0285 0.0272 0.0259
o. o.
o
389
0.2315 0.2246 0.2179
O.211f< CJ.2056 o 1999 0.1944 0.1892 0.1842 0.1794
{L 0248
0.00231 C.0227
0.0218 0.0209
0.1748 0.1704
0.0201
o
Ohí6 060139 O.Ol1B 0.0102 0.0089 0.0077 0.0069
0.1662 0.1621 0.15f32
0,1:>45 0.1509
0.1474 0.1440 0.1.408 CL 1377
0.1347 0.1318 O.12~9
2.15
0.1186 0.1128
2.20 2.25
0.10'14. 0.1024
t;4
0431
r;\,0062
10.0 12.0 15.0 20.0 30.0c) 50.00
100.00
.0055 0.0050 0.0035 0.002 0,0013 0,0006 0.0002 0.0001,
0.0000
97
(Continuación)
Curvas
Curvas Z 0.00 0.10 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50
0.52 0.54
0.56 0.58 0.60 0.62
0.64 0.66 0.68
0.70 0.11 0.72 0.73
0.74 0.75 0.76 0.77
0.78 0.79
O.BO 0.81 0.82 0.83 0.84 0.85 0.86 0.87 0.88 0.139 0.900 0.905 0.910 0.91.) 0.920 0.925 0.930
98
~(Z)
Z
t (Z)
Z
t(Z)
Z
~(Z)
0.0000 0.1000 0.2004
0.935 0.940
1.3744 1.4336
1. 2092 1.1092 1. 0593 1 0096 O.960l 0.9112
-1. 50
0.945 0.(51)
-0.00 -0.10 -0.15 .. 0.20
O.862~
.. 1. 80 -1. as .. 1. 90
0.1999 0.1899 0.1787 0.1692 0.1605 0.1523 O•
0.2511) O. ,3021.
0.9152
0.3S3~
0.954
O.406'S
0.956 0.958 0.960 0.962 0.964
0.4608 0.5169 0.5399 0.5634 0.5874 0.6120 0.6371 0.6630 0.6897 0.7173 0.7459 0.7757 0.7910 0.8068 0.8230 0.8396
0.8566 0.8742 0.8923 0.9110 0.9304 0.9505 0.9714 0.9932 1.0160 1.0399 1. 0651 1.0918 1. 1202 1.1505 1.1831 1.2184 1. 2313 1.2571
1.2779 1. 2999 1. 3232 1. 34 79
0.966 0.968 0.970 0.971
0.972 0.973
0.974 0.975 0.976 0.977 0.978 0.979 0.980 0.991 0.982 0.983 0.984 0.985 0.986 0.987 0.988 0.989 0.990 0.991 0.992 0.993 0.994 0.995 0.996 0.997 0.998 0.999 1.000
1.4028 L 4670 1.4813 1. 4962 1. 5117 1.5279
-0.25 -O. JO .. 0.35 -0.40
0.8154
1.5448
-0.45
0.7689
1. 5626 1.5813 1.6011 1.6220 1.6442 1.6558 1.6678 1. 6 903 1.6932
.. 0.50 -0.60
0.72 )8 0.6801 0.6381
-0.65
0.5979
.. 0.70
0.5597 0.5234
1. 7066 1. 7206 1.7351 1. 7503 1. 7661 1.7827 1.8001 1.8185 1. 8379 1.8584 lo 8805 1. 90 36 1. 9:2 87 1.9557 1..9850 2.0171 2.0526 2.0922 2.1370 2.1887 2.2498
2.3246 2.4208 2.5563 2.7877
-0.55
-O~7S
-0.80 -0.85 -0.90
0.4894 0.4574
-1. SS ~l. 60 -1. 65
-1.70 -1.75
.. 1.95
0.1249
-2.0 "2.1
.. 2.2
0.1192 0.1.0 S 8 0.0996
-2 1
0.0916
-2.
O.O~HS
-2 S -2.6
0.0790 0.0723
0.0612 (L0626 o 058S 0.0548
o
0.4274
~2.7
3995 0.3736
-2.8
.. 1. 02 .. L04 .. L06 .. L08
0.3637
-3.0
-1.10
0.3272 0.3187 o .3105 0.0326 0.2919 0.2975 0.2802 0.2733 0.2665 0.2599 o 2536 0.2474 0.2414 0.2357 0.2301
.. 0.95 .. LOO
-1.12
-1.14 -1.16 -LiS -1.20 -1. 22 -1.:2 4 -1. 26 -1. 213 -1. JO -1. 32 -1. 34
-1.36 -1. 38 -1. 40 -1.42 -1. 44 -1. 46 .. 1.48
0.3541 0.3449
0.3359
o
2246
0.2194 0.2143 0:2093 0.2045
o.
0.131,1
-2.9
.. 3.2
.. f,4 -3.6
.. ).s .0
-4.2
.. 4." .. 4.6
-4. S
-S.O -5.5 -6.0 -6. ~7.0
-8.0 -9.0 .. 10.0 -1:2.0 -15.0 -20.0 -30.0 -50.0
o o
82 0.0428
0.0383 0.0344 0.0311 0282 0.0257 0.0235 0.0216 0.0199 0.0165 0.0139 0.0118
o
0.0102 0.0078 0.0062 0.0050 0.0035 0.0022 0.0013 0.0006 0.0002 0.0000
pendie nte uniform e Ejernplu 4.3. Un do de fondo ancho, casi rectang ular, tiene una inar la curva de reDeterm m. =3,00 n y l norma 4 y presen ta una profun didad So =0,000 de 7,5 manso produc ida por una presa la cual origina una profun didad Bresse, de n sidad de Manning n=0,02 2 y la funció
°m. Use una rugo-
Soluci ón
Aplica ndo la ecuaci ón de Manni ng se ob tiene
v=--0,022
32/3xO ,00041 /2 = 1,89 mis
i
7
1,89 .... x 3,0 98
3
La profun didad crítica es y c = Ya que y c
< y n < y,'
2'
,
= 1,49 m,·
la curva de remans o será un perfil M1 , Emple ando la ee.
4.18, se puede escribir en el sistem a técnico métric o .
. 3,00 x= -0-,0-0 -04- [
es decir x=750 0 [,z. -- 0,877
(1)
;Z
-- (
1 -
]
El cálculo puede hacerc e en forma tabulad a como sigue
Z~=y/y n
el)
( z:)
z-0,87 7
(l>
x
(m)
'Distan cia desde la presa en Km.
2,50
0,0821
2,43
18.225
0,00
2,30
0,0978
2,21
16.575
1,65
2,10
0,1186
2,00
15.000
3,22
1,90
0,1474
1,77
13.275
4,95
1,70
0,1892
1,53
11.475
6,75
1,50
0,2548
1,28
9.600
8,62
1,30
0,3731
0,97
7.275
10,95
1,10
0,6806
0,50
3.750
14,47
1,01
1,4192
- 0,23
- 1.725
19,95
99
NOT A:
x representa la distancia desde un origen arbitrario el cual se encuentra, para este caso, a
18,23 Kms. aguas arriba de la presa. El número de valores z podría haber sido mayor o menor dependiendo del número ne puntos requeridos en la curva.
4.7.
.NIétodos Numéricos para el Cálculo del Flujo Gradualnwnte Variado
La aproximación numérica para el cálculo de los perfiles superficiales, indicada en la Sección 4.6., se puede realizé'lr mediante una télbulacióil siste111ática. Una de las formas más difundidas corresponde al l!¿imado Método Tipo de las Aproximaciones Sucesivas.
4. 7.1. }¡1(~todo Tipo de las Aproximaciones St~cesivas Si hallamos, en la Fig. 4.7, la sumatoria de energía en dos secciones suficientemente próximas 1 y 2 podemos escribir
(4.21 ) de donde
6.x =
( 4.22)
........
FIG.4.7 Esquema de definición para el cálculo numérico del flujo gradualmente variado.
100
La preparación del método de cálculo depende de que la rugosidad varíe con la profundidad y del número de curvas de remanso, para los diferentes caudales correspondientes a las elevaciones iniciales, que sea necesario calcular. Si la rugosidad no cambia con la elevación, y no se requiere el cálculo de muchas curvas, los datos de área-elevación y de radio hidráulico para cada sección se grafican empleando escalas no distorsionadas y se comienza el cálculo sin ningún trabajo preliminar adicional. Si se emplea la ecuación de Manning, los pasos a seguir se pueden ordenar en una forma tabulada, ·con columnas señaladas COlUO sigue: 1.
Identificación de la sección, tal como x=300 m., o, "Puente El Tirano".
2.
Valor de 6.x entre la sección en estudio y la sección anterior.
3. Profundidad en la sección. Se adopta un valor de tanteo, el cual se verifica en los cálculos que se realizan en las co1U1unas siguientes. Los cálculos se inician con un valor de profundidad conocida. La indicación de un aumento o disminución en la profundidad, en la dirección en que se realizan los cálculos, surge el análisis cualitativo del tipo de perfil, de acuerdo con lo estudiado en la S.ección 4.4.
4. Arca de la sección transversal correspondiente a la profundidad de la columna anterior.
5.
Area al cuadrado.
6.
En~rg{a cinética correspondiente al caudal dado
7.
y al área de la columna 4. Energía específica, la cual se obtiene de la sumatoria de las columnas 3 y 6,
8.
Radio hidráulico correspondiente a la profundidad de la columna '3.
9.
Radio hidráulico elevado a la potencia cuatro-tercios.
si 0'=1.
10. Pendiente de la línea de energía en la sección. Si se emplea la ecuación de Mafll1ing se puede escribir. 2 V 2 SI' = -2~ (2gn) t>
1 R 4/3
11. Valor promedio de la pendiente de la línea de energía en el tramo. Este valor se aproxima tomando la media aritmética de la pendiente de la línea de energía calculada en la column~\ anterior y el valor correspondiente al paso anterim". 12. Valor numérico del denominador de la eco 4.22. Este es igual del fondo del canal, menos la pendiente. obtenida en la columna 11.
13.
él
la pendiente
Se obtiene un nuevo valor de la energía específica por aplicación de la ee,
4.22. AS1, si estamos calculando el perfil superficial desde aguas abajo haclc1 aguas arriba despejamos E 1 y obtenemos El = E 2 -- (S o --S) 6.x
101
donde los índjces 2 y 1 se refieren a bs secciones de aguas abajo yaguas arriba respectivamente. Si este valor de la energía específica no es igualo suficientemente próximo al valor de la energía específica en b columna 7, toda la línea de cálculos debe ser eliminada y se debe comenzar nuevamente con un valor tentativo diferente de la profundidad en la columna 3. El tanteo viejo, no debe ser borrado ya que puede servir como guía en las nuevas estimaciones de la profundidad y permitirá una comprobación parcial, por comparación, en los cálculos sigu ientes. Si con la alteración de profundidad se produce un cambio apreciable en la rugosidad, la tabla descrita en esta sección debe ser arreglada con el propósito de considerar las variaciones en la rugosidad.
La forma práctica del cálculo por este método se ilustra en los ejemplos que siguen.
Bjemplo 4.4. Un canal trapezoidal de concreto con rugosidad n=0,012 de 4,0 m. de ancho en el fondo y taludes la terales en la proporción 2 horizon tal a 1 vertical, tiene una pendiente SO =0,U009. Por el canal circula un caudal de 18 m 3 /s y en una dctermmada sec ción la profundidad es de 2,30 m. calcular la profundidad a 50 y 100 m. en la dirección de aguas abajo, siguiendo el Método Tipo de las Aproximaciones Sucesivas. Solución Como paso preliminar, es necesario calcular la profundidad normal y la profundidad crítica. Mediante los procedimientos estudiados previamente se obtiene: La profundidad normal)
Yn= 1,24 m.
La profundidad crí tic a ,
y c= 1,06 m.
Por lo tanto, aguas abajo 'de la profundidad y=2,30 m. se extenderá un perfil M 1 con profundidad creciente. Los cálculos se presentan en forma tabulada en el cuadro siguiente, en el que se supone que la rugosidad es constante y la distribución de velocidades es uniforme. 2 X·
6x
00
56
56
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
y
A
A2
V 2 /2g
E
R
R 4 /3
10 7 S¡
10 7 S
10 7 (So-S)
E
2,30
19,78
391,25
0,042
2,34
1,38
1,54
776
2,40
21,12
44{"O5
0,03'1
2,44
1,43
1,62
648
712
8288
2,38
2,34
50
50
2,34
20,45
418,20
0,039
2,38
1,41
1,58
705
740
8260
2,38
100
50
2,38
20,82
433,47
0,038
2,42
1,42
1,60
651
678
8322
2,42
102
h)'emplo 4.5. calcular, realizando un programa a ser corrido en una com.putadora y siguiendo los pasos del Método Tipo de las Aproximaciones Sucesivas, el perfil superficial del agua en un canal trapezoidal con pendiente del 0,16 ° /0 ~ rugosidad n=0,025, y talu des en proporción de 2 horizontal a 1 vertical, la anchura en el fondo es de 6,0 m. El canal transporta un caudal Q=11,0 m 3/s. Dibujar a escalas ~\propiadas, la curva de remanso originada por una presa que retiene el agua hasta una profundidad de 1,60 m. Tomar un coeficiente de energía cinética 0'=1,10. Tome intervalos Lx=50 m. y considerese que se ha alcanzado la profundidad normal cuando la desviación de ésta no es mayor que el 0,1 Ojo •. Solución De inmediato se procede al cálculo, mediante un programa, o por los Inedios expeditos descritos anteriormente, de las profundidades normal y crítica. Así, se obtiene
Yn = 1,0157 m., e, y c = 0,6400 m. Por lo tanto, el perfil sed M 1 y se extenderá desde y=1,60 m. hacia aguas arriba disminuyendo la profundidad. El proceso de cálculo es directo y se ilustra en el diagrama de flujo siguiente. El algoritmo en1pleado en las iteraciones proporciona una rápida convergencia hacia la solución en este tipo de curva. Su clara presentación en el diagrama de flujo no requiere comen tarios adicionales. Para los da tos dados, es decir para
Q=11,00;
SO=0,0016
DEL T AX=50,00
ALFA=1,10 ;
M= 2,00
B = 6,00
N=0,025
y=1,60
YC=0,64
YI'-J=] ,01 57
:
y para los valores adoptados ERR=0,001; NUM=99; se obtuvo en una calculadora IBM 360-40 el listado siguiente: .
x (m)
°
50
]00
150
200
250
300
350
y (m)
1,6000
1,5325
1,4674
1,4052
1,3464
1,2917
1,2417
1,1970
103
x (m)
400
450
500
550
600
650
700
750
y (m)
1,1579
1,1248
1,0976
1,0760
1,0593
1,0467
1,0375
1,0309
x (m)
800
850
900
950
1000
1050
1100
1150
1,0229
1,0207
1.0191
1.0180
1.0173
1,0167
1,0164
y (111) 1.0262
Ll
curva de remanso se prcscn t~l, median te escalas distorsionadas en el grúJico que sigue.
1,5
1,0
y(m) 0,5
1.400
1.2QO
1000
600
800
400
X(m)
FIG.4.8 Perfil Superficial correspondiente al Ejemplo 4.5.
104
200
o
DIAGRAMA DE FLUJO Método tipo de las aproximaciones sucesivas
1-0-_'"'---.. I
SO-(SNUEVA tSVIEJA)/2.- S EVIEJA - S*, Deltox -
Q, SO, M, B, YN,
ENUEVA
YC, n, Y, DELTAX NUM, ERR,ALFA _,0
2.
IEPRUEBA - ENUEVA 1- ERR
*.¡ 1. t M * x2. - C l
* * x·e.)
19.6 (n
-C2
Y*(B+M*Y)-
A
B+Cl*Y
P
A/P Alfo
R
*
((O/A)
y + VCARGA
*" ++
2.) / 19.6 -
-
C2*VCARGA/((R
VCARGA
EPRUEBA IH
1.33333) ++ alfo) -
SNUEVA
105
4,7,2
Cálculo de perfiles ddimel1siunales
El caso simple de flujo gradualmente variado en un canal de gran anchura, con factor de corrección del factor de energía ey=l y COS(I)~l ha sido normalizado por C.L. Chen y C.T. Wang, en 1969. Las sol uciones numéricas, en forma adimenslonal, partiendo de las ecuaciones y Manning, y su representélciém gráfica universal facilita y simplifica los cálculos de muchos problenias prácticos. En esta solución el número de Froude correspondiente a la profundidad normal F n consti tuye el único parámetro de con trol en
~e resistencia de Chézy
b ,diferenciación de las soluciones. Previamente él la normalización de la ecuación del flujo, revisemos algu nas expresiones que per mitirán realizar las transformaciones adecuadas. Para la velocidad de flul'o . uniforme V n y
F = n
Vn
Yc
Vgy~
Yn
--~=(--)
la ofofundidad y n se tiene t
3/2
( 4.23)
Cuando la pend iente S es negativa o adversa, la profundidad normal no se puede definir a partir de las fórmulfs de flujo uniforme. Sin embargo, los valores absolutos de S se pueden ·introducir en las fórmulas de flujo normal determinando una profundidad que sepucde denominar "conceptual", y* la cual se emplea para definir el número n
de Froude "cunceptual" F* n . Este parámetro caracteriza la solución , del perfil su perficia 1 en una familia de curvas en pendientes adversas. Si S =0, la profundidad normal corresponde a un valor infinito, impidiendo su
o
,
uso para normalizar la ecuación del flujo. En este caso, la única longitud característica re-' levante es la profundidad crítica. Recordemos que la pendiente crítica S es aquella que . c en las ecu~lciünes de flujo uniforme produce una profundidad y c para un gasto q en el canal de rugosidad dada. Con el fin de tener un sistema de coordenadas adimensional unificado en todas pendientes se incorpora Yc junto con Sc en la normalizaci,ón de las coordenadas y se usa otro parámetro Fn ( a F ; ) para identificlr 1
dy _ dx
S
o
-- S
1 - F2
el flujo. Si en la eco
4.7.
incorporamos los padmctros normalizadores
So
d(y/y d d( S eX/y c)
S
-----
=
1-
)
F~
Podemos escribir para pendientes positivas:
scgú n Chézy,
( 4.24)
------=
xS
d (_c_) Yc
según Manning, F 20/9 n
Y 10/3 e - (-)
y
(4.25 )
xS el (_----""c_ Yc Para flujo con pend ientes adversas: según Chézy
y d(-) Yc (4.26)
xS
d (_c_) Yc
yc 10/3 F*20/9 n
scgún Méulning,
+ (--) y ( 4.27)
107
Parél flujo en canales horizontales:
d
v (_1_) )' c '
según Chézy,
----s
(4.28) c
d( x - )
Yc d(-Y-)
Yc
yc Y
(-)
10/3
según Manning,
( 4.29)
Sc d(x--)
Yc
Para los efectos de las soluciones numéricas de las ecuaciones anteriores se debe tener presen te que las condiciones de borde de las secciones terminales de aguas élrribél y aguas abajo no se pueden prescribir simultáneamente, bajo condic'iones de flujo libre, ya que la ecuación que gobierna el flujo es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden. En un canal prismatlco, para condicione.s de flujo libre, el único lugar en el que puede existir una condidón interna de borde es donde el flujo cambiél de super él subcrídco, es decir donde se presenta un resalto hidráulico. En canales no prism:tticos, todas las secciones correspondientes él tf'émsidones rápidéls, tales como en vertederos y compuertas, se pueden tratar como condiciones internas de borde, las cuales se especifican esencialmente mediante la aplicación ele la ecuación de lllomentum y de resulté-Idos experimenté-Iles. Los gráficos correspondientes ~l las ecuélciones norma] izadas an terlor"es se presentan en las Figs 4.9 a 4.14.
FIG.4.9 Curvas normalizadas, Ml , Cl , y C . 2 108
---~ t
C
2_ _ .
~
-
-..f, :...0.:;. __
- - - Chezy
--- -
[
o
-2
-4
-6
-8
0.4 _____________
- - - Manning
....
I
I
~r-----------------0.6------------------------
~~-----------------0.8----------------------------,1 C2
I
:---..--t----+---+---+---l----f----+---+---::::oII. 1 -1
i
1.j Ji
-0.8
.L-...L...-.~_--1...._ _L - - _ . . L - _ - ' -_ _ ..J
-0.6
-0.4
-0.2
O
FIG. 4.10 Curvas normalizadas M2, M3, C2 y C3
- - Chézy
- - - - Manning
C2
F--t--~~-+--+-l---r~I~+I-+--+I~-r--+-~-+--+-r-~ ~'::::_---------------- F
= 1.2 - - - - - - - 1
~~~~=============================I:~========~ - - - - - - - - - - - 2.0 ------------=S-=2--::1 ~--------------------30-------------1
0.4
---L_~~_~~_L-~~_~_~_~~_~~
a
0.'5
La
__~~~__4
1.5
)( s e
FIG.4.11 Curvas normalizadas Sl' S2' C1 y el 109
1.0 -
0.5 ChoÍzy Monnln~-~~~"'
o
0.5
1.0
1.5
Y
e
IG.4.12 Cmvas mnmaiizm:!as
Ch¡¡zy Monnlng -
2 ~
--<-
O
-Q5
FUi. 4.1 J Cmvm; rrunmalizad€Jls
y
Yc
IG.4.14 Cmvas IUlHl1alizadas
110
y
E]ERCrCIOS
Ejercico 4.1. Demostrar que la ecuación diferencial del flujo gradualmente variado
dy dx
se puede escribir en la forma
dy
dx
so
1 - (Q/Q¿)
2
donde Q es el caudal del flujo gradualmente variado
él
la profundidad y, Qn es el gasto
normal a una profundidad y, y, Qc es el gasto crítico a una profundidad y.
Ejercicio 4.2. Un canal rectangular, muy ~\ncho, consiste de tres tramos de diferentes pendientes. El can~d tiene una rugosidad n=0,015. Determiné1r: a.
Las profundidades normales y críticas en cada tramo.
b.
Los perfiles superficiales.
Cota
J;
S 02 = 0,0004
r-
IN/~'q~~
I 150 m ·-.,,¡.¡rlr---
997 m.
500
m.----;,,'*I
300
m.--~
111
h'jcrcicio 4.3. Un canal rectangular tiene un ancho de 10,0 m. y transporta un gasto de 10 111 3 /S. El canal termina en una compuerta en la cual el nivel del agua es de 2 m. Aguas arriba, él una distancia de 200 m. de la compuerta existe una transición sobre una distancLI de 20 m' l en forma tal que él 220 m. de la compuerta el canal cs' trapezoidal con una base de 7 m. de ancho y una pendiente de talud m=2,O. Calcular la distancia aguas arriba de la compuerta para la cual la profundidad del ;lgua es de 1 ~01 de la profundidad normal. La rugosidad es n=0,022 y la pendiente S =0,001 S. Suponer, en la transjción de 20 m. de longitud, que la energía es constante. o
7 . ;:,,::;· 7:.,=...~.,-:;.:~ .:;, ;:;:-:,;:C" ;:::; -::::z:. ~'."; .:ki ".' ."., . 'c ,., : , .,., ..... " ... ,·"J'T·:; :'. . ,;,': ,',''<-', ..,. ' ..... Canal Rectangular T=10,O m.
Canal Trapezoidal
lijercicio 4.4. Por un canal trapezoidal de 3,0 m. de ancho en el fondo y taludes él 45° fluye un caudal de 15.0 m 3 /s. La ru~osidéld de Manning es n=0,01 S v la pendiente es S o =0,001. L'
u
I
El flujo termina en una caíd,1 libre. Cc¡]cular y graficar el perfil de la superficie libre hast~l que se alcance la profundidad normal. Se pudrían tomar incrementus de elevación de la su perficie libre de 1 O cm.
lijercicio 4.5. En el esquema que se ilustra, la profundidad inmediatamente aguas abajo de la compuerta es de n,5 111. y la velucidad es de 10,0 mis. El can;1] es muy ancho. Calcular, empleando los gr8ficos de C. L. Chen y C. Wallg, la profundidad en el extremo de agu~1s abajo de la pendiente adversa.
112
100 m.
--------....,¡
113
R LE.NN\S A. AV\LA 10R E.S
\ngen'ler o Ci\li\
C.t\!. N9 47144
CAPITULO 5
CASOS PRACTICOS DE FLUJO GRADUALMENTE VARIADO 5.1.
Aporte de Caudal hacia u1'l Canal
En el Ca pÍ tulo anterior, cuando se estudia el perfil longitudinal de un canal, se ha considerado qUe el caudal es conocido. En muchos casos, tales como el señalado en el Ejemplo 4.1 (Caso a) el caudal no se conoce previamente. Uno de los problemas mas frecucn¿es se presenta cuando desde un depósito de agua en relativo reposo, de suficiente extensión, parte un canal de dimensiones y pendiente dadas. Si la pendiente del canal es supercrítica, en la sección de entrada se producirá un flujo 'crítico el cual se prolongará hacia aguas abajo mediante un perfil S2' Evidentemente, para los efectos del cálculo, será necesario hacer la hipótesis de flujo supercrítico hacia aguas abajo de la eiltrada, antes de calcJbr el caudal suponiendo que el flujo es crítico en ella. En el aspecto constructivo, la curvatura de la cresta de entrada debe ser suficientemente suave con el fin de evitar presiones nega tivéls que alteren la distribución hidrostática por efecto, de la curvatura del flujo que produce aceleraciones verticales las cuales pueden ser de importancia. La evidencia, experimental muestra que justamente él la derecha de la toma del canalla profundidad es (5/7)y c y que y = y se produce a una distancia igual a 2 ó 3 veces"y' hacia atrás de la toma. Si la entrada eCstá debida mente construída y se supone que fas pérdidas en ella se pueden despreciar, se procecle al cálculo de la profundidad crítica la cual será ~ 2/ 3 )EO' para entradas de secc1 rectangular, donde Eo es la energía específica en el d~pósito de agua por encima del nivel de la cresta. La proful1 didad crÍ tica permite el cálculo del caudal y este a su vez el de la profundidad normal. Si la hipótesis de flujo supercrítico es acertada, la profundidad normül debe corresponder a la de un flujo super'crítico; en otro caso, serú. necesario proceder en forma diferente. En los casos prácticos, los canales de pendiente pronunciada o supercríticé.!- son cortos tal como en los aliviaderos de embalses o en descargas de aguas de lluvia. Si el canal tiene mucha pendiente, se desarrolla un flu-:jo permanente. Cuando la pendiente del canal produce un flujo uniforme de profundidad crítica, esta se prolonga hasta la misma entrada. Es te ti po de flujo es inestable y debe evi tarse.
cm
El caso de flujo sub crítico es mucho mas común. La forma mas simple de este problema se presenta con la descarga desde un lago o embalse de nivel conocido hacia un canal de pendiente uniforme y suficientemente largo para que los efectos de aguas abajo no perturben el flujo de profundidad normal. Dadas estas circunstancias: no pueden prod ucirse perfiles MI o M 2 que hagan variar la profundidad desde el valor de Eo dado hasta la profundidad nonnal. El flujo adorHa, por tanto, la profundid:ld normal apenas entra en el canal. El caudal Q y la profundidad normal y n se halbn resolviendo simultáneamente las ecuaciones de Manning y de energía específica. Si la entr;.¡da produce pérdidas que de-
115
h;ll1 'ser cOllsidcl;ICLtS, C'StélS se illcurpOr,lr;\Il, en tc~rlllil1os de eiler~l;1 cinc,ticl u de h f\!.ndid;lcl l1ur111;1I, ;1 Lt ecu,;lcic)n de enngÍ;1 ('speclf'ica. -
))1'0-
CU;llldu los cuntroles de agu;ls )¡;ljo nupertllitel1 (llle se pruduzca Lt prllfundicLtc1 1l0rllLtl l~l1 LIs cerClnÍ
E.
El prublcm;l de los perf--iYcs termill;lles ele un clll;ll o de Cl11lbio ele pendiel1te en el se ha desarrollado ;1l11pli;llllellte cn LIS F'igs. 4,3 dcl C~lpítLlI() 4. Dos problern;ls típicos se ilustr;lll en los Ejel1lplos 5.2 y 5.3.
111iSl110
O. -
Flujo uni forme supercrítico.
e.- Flujo uniforrne crítico.
Fi G. 5.1
116
b.- Flujo uniforme subcr(tico. COllol lur~)o.
d.- Entrado en conol subcríiico con contro ele oguos Clbajo.
Un c;\n;d rectangular de SU:lve
O
y redoncteacb, El nivel del :\gua
111.
de ~\11cho toma ;¡gU;l de un embalse, Ll tom;l es la cresta de entrad;\ es de E()='I,85 111, El Cé\-
s()bl~e
y muy largo, L\ pendiente es S()=O,OOl, c;dcular el célud;\l y el tipo de perfil superficial en lél cntr;lcb del cll1al si se sUllone ljue bs pérdin;I1, de concreto con 11=0,013; es I'ccto
cl:\s
despreci;\blcs,
SOI1
Suht ciólI Supongamos llllC b pendiente es superen tlCl, COlllO el cll1é\l es rectangular, la prof\;l1dicbd crítica ser;'\ Yc=E 02 (2/3), Es clecil' Yc=l,85 (2/3)=1,23 Jn. La cnergL\ cinética es V ~/2g=1 ,85( '(/3)=0,,62
111.
Ll correspondiente velocicbd está dacb por V c=3,48 mis, y
el g;\sto Q=3,48 x "1,23 x 3,70 = 15,85 111 3 /s. Este caucbl ser:l cunectu sobmel1te si b híp()tesis de pendiente supercrítica es acertada, Para comprobar esta hipótesis se cllcuLl la profundidad normal de flujo uniforme. De la ce 3,19 se tiene l1ue
QI1
15,85 x 0,013 0,001"1/2 x 3,70 8 / 3
c.,l/2 l) 8/3 o
u
De
b Fig,
3.4, se obtiene el cOlTespondiente valor
Por lo Llllto Yn=(),,50 x 3.,70 =1,85
11l.
y/b=0,50
Como esta pl'ofllndid;ld es mayor que
le!
nltic\, b pendiente ser;\ subcrltic\ (:t1 l11enos para el g:lsto Q=1 5,85m 3 /s) y b hipótesis su pUeSL\ es i ncorre e téL En tonces, b sol Llci [m eOiTes ponder:l ;\ Lt elel C;lS0 b, en lel Fig, 5 J Se pl'oceder;l, entonces ;\ resolver SilllUIL\ne;l111cnte b ecu;lci()l1 ele M;lnning y b de cllcrg{a espccífic" 10 Cll;t! se h;\r:í por télflteus, en fortn:\ t;lbuLlcla, h;\Stél ubtener un:\ Yl1 que origine
Llll
V;t!OI- ele E=E o De
L\
T;\GLl que sigue, )'n=1,6 1
111,
En cOllsecuenci;l, el nivel elel embalsc sobre la cresta bajarcí h;lSL;¡ y n=-I.,6 1 est;) prof'undicbcl se m;\ntcnclr:\ CI1 el CII1;¡], correspondiente a Lt Fig. 5 . 1 (C;lS0 b)"
11L )'
(m) ,Y n
(supuesta)
n
y n lb
81 / 2 b 8/3
<)
Q(rnV/s)
2 A(m )
\,T( mis)
--- (tn)
E (m)
:L~25
6,.2-9
2,'j~
",¡--:'}-
2,00-
o
g,:l--9~
117
hjemplo 5.2 Dos emb'alses están conectados por un canal prismático, largo: ue pendiente: a) Suave (subcríticaL b) Pronunciada (supercrítica). Discutir y elaborar los esquemas correspondientes al perfil superficial, si la superfide del Jgua en el embalse superior se mélntiene en un nivel constante. Indicar como se puede determinar Q para las diferentes posiciones del embalse inferior.
Solución Los esquemas correspondientes a los dos casos se presentan en los esq uemas que siguen
_. _._._I._L.
NS
¡
a. -
1
Nr
Pendiente sUDercrítica '
NS
1
1--
I
--------~------~-----~~~
-TU
§-_._~
I I
b.- Pendiente sub crítica
FI G. 5.2
118
Perfil superficial entre dos embalses
IV
--~---
a.
Perfil su perficial con pendien te su percrí tica. I. Si el nivel del depósito inferior, NI se encuentra en esta región del gráfi-
co, b curva S1 sumerge la entrada haciendo disminuir el caudal. La curva Sl se hace muy alargada. " 11. En esta regi[)J1 el perfil S1 se prolonga hacia aguas arriba, hasta que
p;lsa a UIl;\ profundid;H.-l secuente, en la curva S2' El ~lgua entra hacia el canal con profundidad crítica. El res;dto hidráulico e's de altJ~hl variable, según su posici(Jn. II l. El nivel su perficial pasa desde Lt profundidad normal hasta su profundidad secuente, él través de un resalto, él partir de la cual se continúa con u n perfil Sl .
IV. En esta región, entre el nivel de profundidad llormal y el de profundidad secuente, se forma un salto imperfecto en la proximidad de la sección terminal del canal. b.
Perfil superficial con pendien te sub~rí tica. 1. Cuando la superficie libre NI se encuentra en esta región, se produce un perfil su perficial M 1 que sumerge o ahoga la entrada. El caudal dismi·· nuye y la curva M 1 se hace alargada. '. [ 1. La cur'va M1 termina aguas abajo de la entrada del canal en la cual se produce la profundidad normal
lII. Cuando NI se encuentra entre la profundidad normal y la profundidad crítica, se produce un perfil M 2 cuya elevación terminal es la de NI.
i En la región IV del Caso b, o en la V del Caso a, el nivel NI no tiene influencia sobre el perfil de agua en el canal. En relación con el caudal, este permanece co'nstantemientras NI permanece fuera de la región I en los dos casos. Para el canal su percrí tico, si se desprecian las pérdidas de
la entrada, el caudal será Q=bVg (E 2/3) 3/2
donde b es el ancho del canal si este es o rectangular. Para el célnal subcrítico el procedimiento para el cálculo del caud~d se describió en el Ejemplo 5.1 . Para el nivel NI en la región 1 el caudal se determina por tanteos, según se describió en esta sección.
hjcll/plu 5.3. Por Ull canal rcctallCYU lar.. muy,·laro·o y' de gran anchura que tiene una rugosidad b b v 3 n=0,015 y una pendiente de 0,0025 circula un caudal por unidad de ancho q=5m /s. 119
En cierLI scccic)l1 Lt IJcndicl1te ;lUl11Cnt~1 él O,OJOO perlll,ll1ecicndo consLlntes la rugusicbel \' ;II1Ch\lr;1 l_cl eIJ1;11. Cómo es el lJcrFil supcd'ici;ll en L1S pro;.,:illlidclclcs del Cjuicl.He en 1:1
Lt
pcndicn te del
C;lI1;¡]?
Soluciól/ Las profundidades normales en los c\n~llcs de aguas ~llTjb;l y (¡guas ;lb;ljo para R=y, se pueden obtener dit'ecL\l11ente de b fc)rmLlb ele Mé1nning, ,IS{
5/3 1/2 Yn2 S02
(5/3 S1/2 =
c¡=
)111
n
Col
n
5 x 0,015
y n-I
5 x 0,015
YIL,')
1,276
O,OO~5 -1/2
=
) 3/5
0,606 m.
0,0300 1 / 2
1,36
LI profundidéld cdeicl es )le
S ')
o~
111.
Jl),
El esguel11él del perfil superficial cot/esponde al de la Fig. 4.4 (Caso 11) en donde en forma equivalente y > v' > y '). El Glnal de arriba mantiene su e 1\1 ¡Lo
> So 1 > Se, o
J
profundidad nor purque Lis perturbaciones no VÚ\j;11l en el fluju supc,-cdtico, hacia at~uas arriba. Se producc, así, una profunclid,ld norm;\] Y 1 en el lluidHC ele pendiente, a n partir ele este se extiendc un perfil~ que se prolonga 11'"ci;\ aguas abé\jo hélst;\ alcc\llZar h
profundid;\d normal y
%,:, /
'J"
n~
/
G.J 120
En una pnmera aproxilllación, ~\plicando
DX C;' 02 -
e
d()nde
V
/111
es
q
2 2, íl
¡\l J
l:J
ee. 4.22 en un sólo p~lSO se tiene C;~le
'10/)
,,,, 1I I
b IJl'ofllndicbcl medí;l ent\e y n '1 e y 11 2. r
Así
'7
q~
Ll X
(Yn2 -1- - - - - ) 2 '7cr Yn2 ~b
= ----- ---,-,---SOl -
D )(
5.2.
I:fecto ele lels Pi/dS de
0.,0231
1/1/
2
Yn1
q2 ]12 / )' n~ 0/3
g7 m.
PI/ente
L\s contr;\CCi()l1eS ]oc\le,'> en lé\ ~\nChUr~l de un do o un call~d, t;\1 como bs proclucidas por l'iLts de puentes en UIl can;\1 uniforme c!e gran longitud y pendiente subcr1ticL, 1110d i fic\ 11 L\ tonn;l de b su per ricie 1¡bre, Si Lt contracciémno es proporcional mcn te g1';\ nde y el flujo no t'eepliclc cncrgÍ;\ cspccífic\ aclicioll;\1 par;1 P;\S;1\' ;\ tT:1Vés ele ella, el problc111;.\ se puede resolver, P;1\:, C\I\~1Ics rect;1I1guLtrcs, haciendo uso ele h 2,3 b cu;d nos indic\ que en 1<~~)illl(,1l suhclÍtico al ~\umento del ~r;\sto c¡ por unicLtd de ;1llcho cst;í <1soci;.\c!;\ un;\ disminuci{;'ll de la profullclid;\c1 elel flujo. Si 1';1 ;mchura de la contT~\ccíón se disminuye ºL\clLJ~,IJllente sc 11c~!;\¡-(¡ ;11 límite en que 1:\ cncn1í;\ cspecílíca disponible es apenas suHcicn~'e para que el c;\ucl;'tl pase ;\ tL,. de la conlr';~cción. CL:ando esto ocurre, la contracción se convien~c en un control. Si Lt <1l1chura de ];¡ contr;\cc¡ón continLl;\ disrninuycndo y el ca11;.11 es suficientemente largo k\cia ;\guas JITib;\, se producir:, un;1 sobreclcvélción, aguas ;tr1.;~);\ ele L contr;\cci()l1, hasta que se gé\lle suficicllte energÍ<\ específiGl pélré\ que el caudal p;\se cn flujo crítico;\ trdvés ele ella. Aguas ab;\jo cte Asta, se inici:\ un flujo supercrítico que p;\S;1r:\ ~1 '-1'é\ vés ele un res;\ 1lo é\ la profu ndictad nonn~11 11 o pcrturb ~\(b. AgU:1s anibé\ de b con tl;\ cción se extiende un perfil (VI 'Ih asta alcanz:\t la pi ofu ndid
Si el C\11,¡] no es suficientemente largo, la hipótesis de caudal constante falla ya que el perfil M1 puede ahogar la entrada del canal produciendo una disminución en el "mismo. En L1 Fig. 5.2sc muestran las distintas posibilid
-:..~Ml
nivel ori9inol
__
(
-
¡----
-T- " nivel original
T
MJ
Y c
""V'L-...
%
"-
Pequeña contracción
Cont+acción se convierte en control
Energía 0lterod9 por efecto de lo controcclOn {
C--=fl----'-f~-~-----'==-=-=------'-t----"_=-_=-:.:e~""'1\" Eo
"__
--~r---"=-_"-=~_'
M,
---=::=::-
Perfi I longitudinal producido por una cont roce ión
flG. 5.4
122
,
formación de una sección de control por efecto de una contracción. Efecto en el perfil longitudinal.
Ejemplo 5.4.
En un canal rectangular se instala una pila como se indica en el esquema. Dibujar el canal horizontal.
y discutir los posibles perfiles superficiales en
a.
Si el canal termina en una caída a una distancia variable, aguas abajo de la pila.
b.
Si el flujo se controla por una compuerta de fondo, aguas arriba de la pila.
",
'"-., ... ,.,
FIG.5.5 SolHción
a.
Sin control de aguas arriba: Para una caída situada aguas arriba de la sección JI, se produce una curva H 3 la cual está controlada por la profundidad crítica en la sección (2) la que, por lo tanto, debe ser calculada desde la sección (3) de profundidad y 3 hacia aguas abajo. Si la caída está situada aguas abajo de II (por ejemplo, entre Il y IlI), se establece un control adicional en la caída originando un resalto hidráulico aguas abajo de la pila, o bien, si la caída se sitúa mas alejada de la pila (mas lejos que IIl) el perfil se transformará en un H2 debido a la aparición de una nueva sección de control con profundidad crítica en la caída. El flujo en la sección de la pila será subcfÍ tic o y el perfil H2 se prolongará aguas arriba de ella.
~ ~ I
.....---1'-. - H2
--==---d .. ·· ...
---1------Yc
-
L ____ -
-
:'_~ ---
/J
123
el cOlltro! ({(' dglldS drribu: En L1 sección (1) por ejemplo se ubicI la compuert;\ de fondo. El control produce un perfll H3, el CL1~d se e:\ticnde en la forllla que se ilustL.I, solamente si no se alclnz~1 la profundid~ld crítiel en b sección (2) U en la sección de CI í d~\. S i el flujo con pl-ofund icLld
b.
COIl
supercrítica, en la secci(m (2), no es posible, se estableccrú un contrul ;Idicional aquí originanclo un rcs~¡\to hidr~íl1lico entre las secciunes (1) y_(2) () bien el ~lhog:11lliellt() de \;¡ cOl1lpUcrLl. Si \;¡ Clích se produce l1l:ís abajo que en b sccci()!1 IV, se pruclucirú un control ~ldicion:ll urigin:lndo, igu;¡]lllentc, un res~llt() o el :dWg:lll1icl1to de b cOl11puert~\.
Q
(0 I
-
-
--
-;.'
/
11
5 . .3. l,'lujo 1)-i"icfido
por [slds o 1)erilhlciollcs
Cuand u u n;1 corriel1 te se di vide pOI i 11 ter pUSICl 011 ele Ull:1 isLI \;¡ rg;l) los c;\lld:\ les p:lrcié\les l.¡UC fluyen por clda U!10 de los cIllé\les circul1d:I\1tes puedel1 dctc¡-¡llin~lrse PO\mediu del cílculo de los perfiles su pel-ficiales. Si el fluju es sub crítico, el cuntrol de :Iguas :Ibajo determina los perfiles sUIJCrficiales en cld:1 uno de los canales que circuncLtn L\ isb.
Q
124
Le1 solucic)\1 !Juedc establecerse su I)U\1 icndo un ¡xn de valures Q¡ y \¿2 q uc su SUllL1 se~1 igu~d al cludal Q. Con estos v;dures se cIlcuLtn los perfiles supcrfici~dcs el1 los dus clnalcs, haciel aguas arriba y ~I pelnil" ele la profundicbd cunocida en B. Si le! pl'()ft1ndi~ ebd calculadel FJaI'~1 h sección A es b l1lisll1~1 pur cacb uno de los c1I1cdes. lus védores de Q1 Y su puestos Sel":\Jl los corree tus, En CISO con trel ríu, serú neces;1 río p I'üsegu ir los c'tlcu!os cun lluevos vedurcs de C)'11 v ,
¡
Si lus flujos sun supCl"uíticus, 1;1 sección ele contl'ol se ubicI en A. Los caudales Llue cil'cLlhn pOI' C;I(\;\ uno de los c\11;lles clepender:'11 de 1;1 cundición ele cl1trCld;1 en L\ di ~ visori;" EII concticiulles l1onll;lles, se puede suponer ,que todos los flujos son uniforrnes y la divisi()]l de estus eSL\¡-ú deter1l1ine\da ;q)l"oxillL1cbmente por Lts rebciones .
C¿l = KI
SI :,
=K :2
eU;l nd () e x is le l! 11;1 de l' iV;1 ei ón, los prucecl i 111 ic n tos deseri tos ;\lllC ri u 1" 111 e n tc sIguen siendo v;'llidus. En el ejemplu que sigue se resuelve C011 clculle el probleln~1 l:.lne\ bihn«lcil)11 COll flu})s SL1hcdtjc()~;.
Un cll1,\1 eOIl recubrimiento ele COllLlctu (n=O,OI ~í), de seCClUíl IccL1l1gubr, etc 17,,0 111. de :¡llchu" C()n pendientes de 0,0375 (\ /0 se biCLlICI en dos C<1l1Cl!es que 11 recubiertos c()n el 111i:,ll10 CUI1C.:'I'Cto en pend ientes de 0,:2 % y OJ % . Si las secciones tré11lS VCIs;l]es dc los dos c:ln:,ks sun rect:l1,~gLlL\I'es e lúetr:\uliC
El
c\llcbl en uno ele l()s cIlLlles biFurcIlltes. El perfil sU¡1crficial en el c;\I1:ll prillcip:IL Despreciar bs p{~rdicbs ele cnergLt
:1..
b.
en h L111il)11. SO!lIcióll Las
cho h
2
(\sí
illcé)~rlljLIS del problema son: el ~Yast() Q'J\ la profundicle,d n0i'111;\l Y'l/ y el ;In~ gelSto Q31 h jJloCunclideld nOl111(71)'n Y el :II1Cho b3 en loslc;n:tles bi-
COll)(~ el
¡'lll"ClI1lCS:, :Ide m;Ís
b
~;eccié)11
b pro fu nd icl,ld n DI IllCl I Yn"1
en
el C\ll e1l PI inc i p;d Y \el rJrofund icbcl y A en
cliViS()j'jeL itas son:
De con ti 11 u icbc\:, Oc lV!;\l1nillg;
+
3. 4,
Seccio nes eficiell tes;
5.
6. Energí a específ ica en A, suponi cndo que c:q=o:'2 =
CY 3
= 1
y3
+ V~/2g =
7.
~.
y A + V'i/ 2g
Substi tuyend o las rebcio nes (5) y (6) en las (3) y (4) Y reempl azando valores tenemo s 3~1.
Q2=0, 594 b 8/3 2
4<1.
=0 420 b 8/3 Q3 ' 3
Substi tuyend o cn la ex presión (1) tenemo s 9.
71,5
Alguno s valores corresp ondien tes de b y b 3 son 2
126
°
1,50
3,00
4,50
6,01
6,85
6,77
6,42
5,42
o
De las relaciones (7) y (8) tenemos E =E , es decir 2 3 b2 2
') Q2 2 ~ +----= 4 g b2
b
3
2
y substituyendo los gastos de las relaciones (3a) y (4a) obtenemos
10.
E2 = 0,5 b
2
+
0,0722 b 4/ 3 2
Algunos valores de estas ecuaciones son
b 2 (m)
O
1,50
3,00
4,50
E2 (m)
O
0,874
1,812
2,784
b 3 (m)
O O
1,50 0,815
3,00 1,664
4,50 2,530
E3 (m)
Para evitar el cálculo por tanteos de b 2 y b 3' se puede preparar un g~áfico de E 2 con tra b 2 Y de b 3 contra E 3' De estas dos curvas se puede grafkar una tercera de b2 contra b 3 para la condición E2=E3' De la intersecciól: de esta curva con la curva dada por b expresión (9) se obtiene la solución b 2 =4,72 m; y; b 3=5,15 m. Para estas anchuras, los caudales Q2 y Q3 se hallan de
las relaciones (3a) y (4a),
así
127
6
ec
"11
re loción entre y D;; pnrCl [2 =
(\
O~~--~--~·----·----~-------~·--------~---
1]
___ ~_--L______ -----~---p
2
iFt¡
h..
l110SU;11 lJue el flujo es (ticu en ludus los c;ln~tlcs. En C()jl~;Clas h i e l uc en los 2 y 3 se .los un mes hasta b unión (A) cst:m clebicLtlllcntc justífic;lC.t\S, L;\ [Jlofunclld;lc1 en b sccci¿m ( se CJbticllC ele 1;1 l'cL!clóll iL
Se
CllCIlCl
J
+
0,,9U5 ,90:, ele donde
y
''-70
.,/0111,
profundicbJ
La
110rl11;1I
en
el can,d
Qn
principal
71,,5
se obtiene de la
0.,015
x
3.4, Para
= 0,0286
o
Yn
se tlenc CJ ue
n
\j
El
<,
su
¡elHe
MI' se .!Juedc cdcubr aplicando en forma ta-
bulada b ce . 4 ,22. El m{~I:oclo c¡ ue ~;c plcsent~\ constituye el Nlétodo Directo ,8/3
uí,
(l)
1/2 S.) se puede obtener de b 2.
valor ele S.
(-Lldo por S¡
1
para distin tos valores
J
ele y/h.
=
los Pasos
0~318 =.6 x 10 ---:r--
1 K
K
(nd 2.
I/(m)
n
O, J /
iI
60
O ,L\/j
l'
iI
, :)0
0,
, dO
0,
iI
(ro)
.:\0
'2 ,
.S.
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U()"?
O t' 1(,
~s)
c¡ .. :I . .
y/b
ilf': (w)
(\/1,2
U
O ,0J'7
7]0
11
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O iI
2 ,. G/le,
ü, O [\9
O i t '7
O ,OJ3
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0 1 (llIU
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O t. OJ:¿
1
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O, 011(;
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1"10
()}[ (m)
(m)
HU
O
2
20G
crn
311
]01
O , (j3J
10 },O '
331
321
o ,0:19
1190
169
lU
965
965
ID
788 1753
'14
119U 2943
4
20
1590
:n
4.00 6933
(/ (' R Cuando se tr(lt~l11 de determinélr los trjJIH~ll(O es neces;ulO
su
I
'\
-
-
•
tCilTllJ1;l(
1él
~lgUelS eu-ritJa ele tI COl1-
. latamente es subcrítico en el río principal, agu;ls ~\b;,jo de la confluenci;l, con 9;lstO entonces Lt profundidad 1101'111,11 1'n3) en b Fi b . 5,9' se cr;l hélst;\LJ Lt éllTiba de éSL\ b profuncliebd pennancce inV~l¡-t;lblc" '--~;i hs velocidades ~;un ncq y por lo t~\I1tO se pueden desprcci;H las pérdid;l;' producicL\s por lus Lcmolillos1de la uni{m. Si [;\5 vclocicbdes son mayores que, digamos, 3 mis. ser;'l conveniente consic1er;t¡- bs pérclid:ls ele remolino y (lsign;lrle a estas un v,!lor del! J de L, el ¡ferencía ele enCl'gÍ;ls cinéticas entre corrientes de aguas abajo y de aguas arrib;L Aplicando b ecuélción ele BernouJli C011 le\ JnClusión de LIS pórdid;ls de remolino se pueden hallar Jets profundiclc1c1es inmedLltarncnte aguas ~lrrib(l de la confluencia. Estas plofundiebdes se continú;.\n,) hacLl agu<\s arrib;\ con perfiles M" (1r_ucnCJ~1 'J ele un no y su
r
1-
1
1
prOTunC1Cl~IC ~
129
Q?
FIG.5.10 Confluencia de dos ríos en flujo subcrítico.
5.5. Fllljo
('/1
Alccwtarillas
En este texto, se considera el flujo en alcant~lr1llas como el flujo en tuberías de relativamente gran diúmetro y pequeña longitud, usualmente enterradas, empleadas en desagües y cruces bajo C Vé\ría desde 1 ,20 él 1 ,5D donde O es el diámetro de un,l alcantarilb circular, () la éll tura en UI1;\ recté\l1gub r, d epend lendo de la gcometd él de, la en tr;\da y de las ca ractcd sticas del flujo en b mism~l. Para un análisis préíctico preliminar se puede tonur H k =1 ,50. CUélndo el flujo de secciém contraída en la entrada de la alC<\Jltarilla !lO se exp
130
ga H meilClr que la crítica H* y profundidad de descarga rrayor qlle la profundidad crítica y c), Tipo 5 (carga H menor que la crítica H*, profundidad en la descarga menor que la crítica Yc' y pendiente subcrítica), Tipo 6 (carga H menor que la crítica H*, profundidad en la descarga menor que la profundidad crítjca y pendiente supercrítica). TIPO (1)
PERFIL
Salido sumergido
H
~
r, :.
D O
Alcantarilla neo o
(2)
Solido no lumerQida
H
~
HII
>',
"IC
O
Alcantori!!" llena
(3)
Solido no lumuOldo
H
~
>',
~
Hit O
Parcialmente lleno
(4)
Solido no sumerQldo
H'" H* Flujo lubcrítieo
(~)
Solida no sumerlJldo
Flujo subcritlco Control en lolida
(6)
Salida no lumeroido H ... H"
"
FlUJO 'iupElrcdtlco
Control en entrodo
FI G. 5.11
Tipos de Flujo en Alcantarrillas según Henderson
~1966)
Los dos primeros tipos corresponden él flujo confinado en tuberías y los otros tipos él flujo en cal1édes abiertos. En el flujo del Tipo 3 la alcantarilla actúa como un orificio con un coeficiente de descarga variable entre 0,45 y 0,75 dependiendo de la geometría de la entrad~1. En el flujo de los Tipos 4,5 y 6 la entrada se com.porta como un vertedero con un coeficiente de descarga variable entre 0,75 y 0,95. El flujo Tipo 4es subcrítico en toda la longitud de la alcantarilla. El flujo Tipo 5, siendo también subcrítico, tiene su control en la sección de salida. El flujo del Tipo 6 es supercrítico y tiene la sección de control en la entrada. Para pendientes 0,02S<So<0,361, F.W. Blaisdcll, en 1960, encontró que la descarga en una alcantarilla, cuya toma estuviera cortada en bisel con una proyección d.~ la p~\rte superior b,cia el interior de la toma igual a 3D/4, estaba dada, de acuerdo con el análisis de F .M. Henderson en 1966, para 0
131
S 0,05 o Q ·----""-----=0,48 (--) 0 2 V gu 0,4
H 1 ,9 (-) O
r::D
(5.1)
y en el r~l11go 0,8
Q
°44 (--) ,Jo
----=
02 ~ V r,LJ
0,05
H
1,5 (5.2)
(-) D '
'0,4
En b Fig. 5.12 est:ll1 represent,lcbs bs CUl'Vé)S correspondlcntes~ obtenicbs por Henderson, P,)r
Otr()s proldellL\ 1~1\':lcticos ele rllIju lI~\IJ1lCllLe v;\li;tclo, Llles CUíll() el ele lo~; re\ll;1IlS0S procluciclos por los clifcrciltes tipos de estribus y pibs ele pu ll¡ch 11 s 1)1'Csen Llclos por Víctor s;¡ ¡'el i Socorro y Cc lesti no ¡Vlartlllez de 1;1 Z:.l, en 1 97?
ERClfCIOS
Jjjercicio 5. i. 'v
Un ctl1al rectan~uLH de ~),O m ele :\11cho torn:l éIQTI;\ elc un eI1lD;'llse. El cm;t! es de concreto.) I1=CL,OI2, y tj:~l1c un;\ pendiente COJlSU1I1te Su=O,003'cn 1111 tré!1110 rnuy Ltqy). L\
pérdida dc cnergJ:\ en Lt :\.
C¡ltLHlJ hé!cia
el
se puede
esiim;\!' ell
0.,2 (
el nivel del cmD:dsc, por encimé! del del pUlltO IllJS (dto elel CLlé¡j el Clujo unifolll1C en cl C\1l~lI e~~ cdtico. c~llcLlbc el G1llcbl Cl¡;\l1do f;] ílivd del elllb;\]sc esl::t d 2.,20 lit. PO[" enCIlllé] fOlldo del C1r1dl,
Determinar
fondu del C\11;1I IJéH;l el
b.
(~ll¿' c!cv,\CiÓ¡l,
C,
d,l ele p;¡r;t
1111,1
que el
sob(c cllliveJ del fonclo del
cln;¡l.
COill\JUcrt;\ ele fOIH.-lo ubicada ,1 '1500 C;JucL!J COlTCSpO
llle;1
pu
[~I:eilcr
ti
la pregull!:l (,\) ¡~Jo
vell:) CO!lU;lí-
de la cnir1
;1!:2·U:1S
se ::11tcle.
5.2. UII G\¡l;ll ree LH ele ,O 111 Jl1cho que un clUcbl l,enetr,) :1 tL1Vés de un;\ 1j}()ilt,\llc\ ¡1Le un túnel con lél rnis!n,[ seCClon flujo de superficie libre. can,!i tiellC una ac1 n=O,Crl'¡ 5 y el túnel él.
b. e
HélllJr PéH,\ una pendiente del tondo constante, ::)0=0,01 en las pro .\imicl acles del el mb jo de ¡-ugCJsiebd. Dctcrminé\f h (esal!:o hidiúulico
Cll
te del 'Céllléd de aprOXil1lé)ción el interior del túnel con
Cu:d es b pendiente del elimina
CUéllc.Juic¡'
C111;1] de ;1 pro:<.imclción con flujo no uniforme.
el
superfici~ll
l'.J'ercicio 5.3. Un cana] trapezoidal con un ancho en el fonclo de 5,0 111. Y taludes en ía relacit>l1 2H: 1 V tiene una pendiente So=0,0009. El canal alivia un embalse y la máxima carga de agu~l que se cree es Cl2~17 de producir el embalse es de 3,0 m. por encimél del fondo del canal en la sallcb del embalse.
134
a.
Calcular el caudal111{¡ximo que circularía por el can'l1.
b.
A 1000 111. aguas abajo de la toma el canal es intersectado por una carretera. Si se diseña un,1 alcantarilla en lugar de un puente, para la intersección, calcular cuál es el mínimo di[¡metro a emplear para clue b alcantarilla no remanse el agua en el canal.
c.
En el caso anterior, calcular el mínimo diámetro tal que no disminuya el céludal proveniente del emhalse,
CAPITULO 6
EL FLUJO':RAPIDAMENTE VARIADO 6.1. Caractc>dsticas del Plujo. El flujo rápidamente variado presenta, en general, un~l cúrvatura pronunciadél de las 1í !leas de corriente. Como consecuenciJ de esta curvatura se produce tina distribución de presiones no hidrostática. La alter~\ción en la trayectoria rectilínea de las líneas de corriente se produce por ~111a alteración brusca en la geolTIetd a de los contornos la cual induce una variación rápilla en el régimen del flujo. La variación se presenta en un tramo reh! tiva 111 en te corto. Consecuentemente, la fricción que se origina en los con tornos es comparativatnente pequeüél y en la mayoría de los casos es despreciable. Aparte de estas consideraciones zeneralcs, siempre debe tenerse presente cuando ocurren cambios rápidos del área mojada en el fll~io rápidamente variado que los coeficientes ex y p de distribqción de velocidades en las ecuaciones de el~er:::ía y de cantidad de movimiento son usualmente mucho mayores que la unidad y frecuentemente debe recurrirse a la experimentación para su determinacicm precisa. En las secciones de flujo divergente, este tiende a separarse de los contornos complicando la estructUL1 del flujo con vórtices y torbellinos. En estos cas.,)s el flujo principal se Iímüa por una () mas zonas de 'separación en lugar de hacerlo por los con tornos sólidos. Enl. distintus estudios de Hidrodinámic<\ Clásica se han encontrado soluciones maL.\S hipótesis fundamcnta1es suponen un fluido sin viscosidád en condiciones de flujo potencial. Por lo tanto, lus efectos de le\ fricción y disipación de energía se desprecian en el problema real. Algunos de los estudios mas relevantes s~ deben él Joseph Boussinesq (1842-1929, científICO francés, profesor en la Sorbona) quien en 1872 presentó ante la Academia de Ciencias de Fr~1l1cia el trabajo de 7 00 p~gi nas" Essai sur la théorie eles eaux courantes". En las teorías de Boussinesq se su pone que la curvatura de las líneas de conien te crece linealmente desde el fondo del canal hasta la superficie libre. tem~ític;ls para flujo rápübmente variado de superficie libre continua.
Modernamente, cuanrl.o se trata de c;llcular un flujo potencial no viscoso, se recurrc a b solución gráfica ciada por b red, de flujo o al análisis por métodos numéricos. A pesar de la gran variedad de soluciones, los ingenieros hidráulicos han estudiado por separ,ldo 11111ch os de los prob le 111,1 s posibles (le flujo reí pida mente variado, in troduciendo coeficientes ex peril1lcn tales en las eCUél dones de en ~~rgía, de cantidad de movinllell to y en la forma de la superficie libre. El an:t1isis dimensional también ha permitido la presentación generalizada de diversas soluciones experimentales.
6.2. nI Pro blcl11Ll de> las Transicio/1(!S Una rápida variaci()]l en la geometría de un canal induce una variaci6n en el perfil Jc la su pcrficie libre. L{)s casus mélS sim pIes, cu ya solución se obtiene de la aplic~lción directa de las ecu;1cioncs de energía y continuidad, se refieren :t la existencia de una grada que elev,\ o baja el fondo del canal y él un estrechamiento en la sección transvers,\1. En
135
el csquem;\ de definici/ll1 de Lt fig. 6.1 (;¡) la condición c1e flujo el1 el estreCh;\1l1iento, suficientemente SLL1VC !J;\r;1 que r:1S pérdicLls de energLl se;ln c1espreciables, se c1ctcnnin:l iguabndo b cncrgLl específica cle b seccicml, cle c;\ractel-Ístic\s claclas, con Ll cnergLl cs[Jccífic\ de L\ secci())l 2. En el C;ipítulo 2 se encontrl) l1ue Lt ecu;tCiC))l resubtl1te, en gene1':11, present;1 dus soluciones reales. Aquelh físic:ll11ellte posible se establece por b condición del flujo ;¡gu;\S ;\rrib;1 (subcríticu o supercrítico). Si el cstrech;lllliento cs t;\11 prUl1tlllci;\clo c()mo pan establecer un f1uju crítico en 1.\ g;\I-gant;1., en elb se origin;\ ulla sección ele control con flujo suhcríticu h;\cia ;lgu;\S :m-ib;1 y flujo supercríticu h;ICi;1 ;\gu;\S :lb;tjo. Ell b Fig. 6.1 (b) b energía específica en I;¡ secci{)11 -1, E'¡, es igu;d ;1 la SUln;1 de la energía específic\ en Ll SC¡¡:ci(ln 2, E2' mas I;¡ elcvaci()]l de Ll gr;\da . El =E2 -+ .6.z. L\ solución físicllllentc posible clc este probleln;1 clepelldc t:llllbién de las c¡racterísticas c1el flujo ;\gu;\S ;¡rrib;\. L¡ Fig. 2.2 de enugÍé\ específica PlTlllite lulbr, rúpid;\l1lente, las soluciones de estas transiciones. En el Caso él, Lts protundid;\des críticas par;1 los gastos c¡ de las secciones 1 y 2 son diferentes V Ll ellen,í;1 cspecíficl igU;11. En d, C;IS0 b, los g;IStos q en ]¡¡s dos secciones sun los mismo; pero las ~~\lergLls espec/ficlS E son diferentcs. L
___ r~ ~ _________"________ _ --'::=-+----~-'~----------I---=-=-=---
2 a, -
Estrechamiento del cauce
FI G. 6.1
2 b.-
Elevocion del cauce de un conal
Transiciones
Un;l '\1)liclcic'll1 li LJu CI";llllent('- diferente ele! eli~WI-;lm;l de energía eSfJecífica se puc'" o de realiz~lr cU;1lldo el estrech;ll1liento, o b ampliación del Caso a se produce en un~1 longi tLld \11;1 y or. Su pong;11l1US que los efectos ele roz;uniell to siguen siendo des prcciab 1es en el cIllal rectc\l1gular C011 paredes divergentes, de b Fig. 6.2. Y;\ guc el g;tsto Q pcrm;¡l1cce I1cces;lria11lente const;mte de secci/m Cll secci(m, el gasto c¡ dccrecer:l e11 1l1;¡gnitucl;1 medida Cjue Lt SCCC1()!l del flujo se h;\ce 11l;¡yur. C01110 E es 1;\ mism;\ en tud;ls bs;;ecciolles, la prufundilbd y debe CreCel" u decrecer en b direcciém del flujo dependiendu de que la profulldid;\d se;1 111;lyor u mellor que Ll protul1elidac1 crítica Ye Ya que c¡ es invers;ll1lente proporciona] ;1 Ll clisLlllci;1 en b direccicnl elel fluju, los perfiles sU!Je,-ficialcs estún cLtdus di rcc t;\ lTlen te por bs d()s 1';1 m;ls del d¡;lg)";1 ma ele c\lId a les cOlFr;1 profulld idades, e 11 b Fig. 2.3, reproducido en escd:l :\p,-opi;lcb y C()Il LIS cO'Tespunclicntes dimensiones. Como se observ;1 en 1: 1 Fig. 6.2, solamente se p,-uducc f1uju con un;\ distlibuci(JI1 hiclrosL'lticl de IJI"esiolles., par;1 el v';d()r de E d:ld(), cU;illdo ];¡:I11chur;1 del c\11;11 excede un v~llor mínimo, CU;\llclo el fluj() tiene Ll clil-ecci/)l1 cOlltr;\ri,¡ las cundiciones ;lILt!íticas son icléllticlS. l~
136
~
L-
1""----------"------ D,)i. - - - - - - - - - ,
F I L1 j
I
(l
!li
LIt)
e 1" I y¡ e n
Vale b pen;\ observar quc la eCLl:1Ci()n diferencial del flujo gradl1~,lmente v~Hiado (por ejemplo 1:1 ce.. LI,22) es ;\ pHcdilc, al flujo convergente, o divergente, correspondiente a b tr;\11sici.<'lll ;\nte¡ior, h;\cienc!o en ella s=o (1:1 [lllca ele cnergía es horizontal) Para una pcndiente del fondo se tiene
Llx
El
(6.1 )
=-----
so
Evickn te Ille Illc, cu;mdo S()=O, como en
Las transiciones
la
F
. - 2 Y 3--4 ele la Fig. 6.3 conectan
(rél
mos muy largos de canales
rcci;'ll~;llhrcs, LIS línc;\s ele l)roPunclidades críticas y norm;,lcs sc ilustran cn b Figura. t+dbr en el cli;\~í/;\ll1(\ ele cllcrgL\ específiCl, para el gé\sto cbdo, las p~siblcs profundidades YI' >'2' Y3' Y4; y gr;\ los respectivos pel-files supcrficiales, J
SOlUCÚJ11
El perfil su perficial posible se c;b tiene estableciendo algunas hipótesis, las cuales cleben ser constatadas en funci{m de lus result:ldos obtenidos. SupongamQs por ejemplo que el flujo es siempre supercrltico, tanto en los tr:lmos largos como en las transiciones. De acuerdo con esta hipótesis, el flujo estú controlado por la profundidad de aguas arriba. Así ep el primer canalla profundidad permanecería constant9 con un valor Yn correspondiente él un flujo uniforme. Entre las secciones 1 y 2, la energía específicl E debe disminuir en un valor Zo igual él l:t sobree]ev:lción del fondo. Si la energía E d~ la secci[)TI 1, correspondiente él la profundidad Y , se disminuyera en zo' se encontrénía que la nueva n energía específica 110 es suficiente para que pase el caudal q. Este caudal requiere una energía ¡nínima para la cual se produce la profundiebd cdticl yc' De esta forma, nuestra hipótesis; de flujo supercrítico en todas las secciones falla debido a que en 1:1 sección 2 s<; produce flujo crítico. La' sección '2 se transforma en una sección de control. Ahorél, la energía específica mínima de Lt sección 2 se incrementa en Zo parcl lél sección 1 , estableciéndose en ella la profundid:ld y 1, aguas él rrib:l de la cual se e xtie'nde un perfil S1 hasta c¡ ue sobre él se produzcl 1:1 profundidad secuente de Yn correspondiente él un resalto"hidráulico. Desde la sección 2 hacia aguas abajo se extiende un perfil S2 hasta que la profundidad alcance su valor norm:d. En la SeCCil)]1 3 se produce una energía específic;:a que corresponde a la profundidad normal. En la sección 4 esta energía se aumenta en Zo obtenié'ndose,', en el di~gr;lma de ~¡~ergía específi,ca, una profundidad Y4 menor que y n' Desde la SCCClOn 4 hacla agu~ls abélJo la profundld~ld aumenta gradLlalmente median te UrI perfil S 3, hasta alclll/-ar b profund idad normal. La solución CUél n ti tativa del problema se puede obtener para el céludal q déldo del diagrama adimensional en ,la Fig .. 2.2.
-----~---E
FIG. 6.3 138
6.3. Flujo Sobre Vertederos de Cresta Aguda
El vertedero de cresta aguda consiste en una lámina vertical con cresta de filo, como en la Fig. 6.4 , colocada en dirección perpendicular al flujo. Los vertederos estab1ecen un control en la secciói1 de su ubicación, originando una relación definida entre descarga y profundidad en la proximidad del instrumento. Los vertederos se emplean en el aforo de caudales y el estudio de la mecánica de su comportamiento proporciona la teoría fundan1ental para el diseño de otros tipos de aliviaderos. Debido a que el rozamiento se limita a la cara vertical del vertedero, dond y las velocidades son muy bajas, se pueden despreciar los efectos viscosos así como la disipación de energía resultante. Consideremos el caso bidimensional en que la lámina del vertedero ocupa toda la anchura del canal y ésta es suficientemente grande como para despreciar los efectos de contracción lateral. Suponganlos que el flujo no se contrae cuando pasa sobre el vertedero y que la presión relativa es nula en la sección AB. Obtengamos el gasto teórico qt por unidad de ancho integrando el gasto elemental en la sección de descarga no contraída de tal forma que si y es la profundidad medida desde el nivel de la línea de enerfía total y, consiguientenlente, la velocidad en el punto característico C es V=(2gy) /2, podemos escribir
h +V 0 2/2g qt =
J
2
2
y'2gy
dy
-3 .j2g
((
2 V o /2g
3/2
Vo
+ h )
2g
v~
)
- ( 2g
3/2
]
v o2
I~ -_.~._._.
El efecto de la contracción y de la curvatura en las líneas de corriente que origina la distribución de presiones que se indican en la Fig. 6.4. se expresa por un coeficiente de contracción e c' el cual per mite escrib ir que el gasto real q se expresa por
2 2
q
Vo
=-c .~[(-+h) 3 c y L.g 2g
D
FI G. 6.4 Vertedero de Cresta Aguda 2 3/')
v 3/? ~_(_o) '-']
2g
( 6.2)
139
.\¡
La ec. 6.2 se puede ex presar en forllla lllas compacta definiendu un coeficiente Cd t;\l LJ ue
2
~ (~) 2gh
el
cual permite, finalmente, escribir
3/2 ]
(6.3 )
la ce. 6.2 en la for111.;\
(6.4 )
Cd = 0,611
+
0,08 h/w
(6.5 )
2 El coeficiente C c y la relación Vo /(2gh) dehen depender de lel geometría del C\~na1 de aproximación, dad;\ por la rebción h/w. Por lu tanto Cd es también, únkamente, función de h/w. Ya en -1929, T. Rehbock había establecido ex pel-iment;llmente la rebCiÓll de acuerdo con la cu;t! C n se aproxim;\ a 0,611 cU;\I1do w se h;lce muy gr~\nde. Ya
V~/(2gh) se hace muy pequef'io, la ce. 6.3 ll111estr;¡ que también Ce es igual a 0,611. En eJ siglo pasado, K irchoff hab L\ mostrado, en sus tra hajos de h id romeclniG\, que el coeficiente de contracci()n en un chorro sin disipación de energía, e11 el que se despreci;m los efectos de gravedad es C c= 1T/(7T+2)=O,611. Posteriormente, R. von Mises, en 1917, extendió la solución al (';ISO en que el dep{)sico de clescHga es ele dimensiones finitas. l1 ue en este caso
Por otra parte, se debe esperar lllle cuando h/w se haga gr;\l1de la ee. 6.5 no proporcione un valor de Cd preciso. En efecto, H. Rouse, en 1936; y; H. Ruuse y L. Reid, en 1935; han mostrado que la ce. 6.5 es correcta con un buen grado de aproxil1lélción h;\sta h/w=5. Par;\ v;dores mayores se produce un;1 desvi;\ción gr,\du,d de b función lineal debido al célmbio en escala llcg;\lldo ;1 un val()r de Cd=J) 135 cU;llldo h/w=-¡ O. Si '''' se hace infinitamente peC]ueI1o, entonces w/h=O~ estableciéndose una c\íd" libre cun profundichd crítica. Experimel1 tal mente se ha enCOI1 trado que en vertederos de mu y peq u e 11,1 altura para h/w>20, L\mbién se origina la profundidad C¡-{ticl just;\l11cntc agu;ls ,lrríb;1 del vertedero. Estos pequcí'ios vertederos se conocen mas apropi;ldamente con el nombre de rebordes. Par,\ este caso se puede escribir
140
(6.6 ) Substituyendo en la cc. 6.4 obtenemos
C = 1,06 (1 d
+
~'V
)3/
2
(6.7)
la cllal es aplicable él vertederos muy bajos o rebordes para h/w>20. Para el rango de 1 O
1.1
1.0
Cd
0.9
e c. 0.8
0.7
0.6 O
:3
4
5-0.2
0.1
o
VI
h
FI G. 6.5 Variación de
con h/w y con w/h en vertederos de Cresta
Talllbién mostr() e x perimental mente q lle el rango de perfil es su perficiales, posibles, se puede reducir <1 di;1gré\tn~\s ele forma similar él la función de desG,rgé\. En b Pig. 6.6 se grafican los perfiles superficiales pélr;\ diferentes vé1101-es de h/w. En las Figs. 6.7a y 6.7 L se represen tan los valores de xl h y de z/h, donde x,z son la s coorde naebs corres pondientes al eje de lis ;\bscisas y de bs orden;ldas respectiv;lIllcnte, a 10 largo de tI superficie su perior e inferior para cu;t1q uier <1 !tu ra reLl tíva de] vertedero o del reborde. La escala de las abscis;1s es simiLtr ;1 la correspondiente escala de la Fig. 6.5; esencialmente todé\s bs curvas son line;l]es y confocalcs y la intersección se produce para un valor w/h~O,067. Más "lLí. de la zon;1 grélfic;lc1a, LIS curv:lS su perficialcs continb;1l1 como parábobs correspondientes a la Glida libre.
141
x
h
FI G. 6.6
o, s
Gráfico compuesto de los perfiles superficiales para diferentes valores de h/w.
O'I,~~~
f----+--~
-0,5
l
h -1. 5
f----t----7'IF----f-----7I~_+__.+-+-~
- 2.0
r-----r---rl--f---/-f----f---+---I
-2,S 1---+--+-7"Y---+---O:-4-----\---~
I
..L,._
L............J..~i~--:--'-----'---...l.-...........-.J 3
4
5-02
0.1 4
h
W
w
11
fl G. 6.7a Coordenadas generalizadas de la superficie superior de la vena de descarga.
142
S-O.Z
0.1
w
h
fl G. 6.7b Coordenadas generalizadas de la superficie inferior de la vena de descarga.
6.4. La Ca{da Libre
La caída libre represen1:a el caso límite de flujo sobre vertedero o rebordes. Sin embargo, se debe tornar en cuenta que los perfiles superficiales de la vena de corresponden también al flujo de gravedad en una sección de control para la que el número de Froude, en términos de la velocidad crítica y de la profundidad uniforme, es igual a b unidad. Las experiencias de 1-1. Rouse indican que para una caída libre la fundidad no se produce en la sección del salto. En la profundidad Yb es una fracción constante de la profundidad La relación Yb/ Y .=0,715 es en ) al un vertedero de ~rest:a aguda y de altura nula. La profundidad distancia aproximadamente igual a o, 4y c hacia aguas arriba en un vertedero de cresta ancha con buena ventilación, o en cualq uier corno control, se puede deternúnar en términos de la proEundidad J
'-,"Jv'--'-'-'H.'-"
Q
T
(~-
vg
0,715
)3/2
1,65 T
donde T es el ancho del vertedero de sección rectangular. Se puede mostrar por simples consideraciones de cantidad de lTlOvimiento, que el espesor línüte uniforme de la vena de descarga libre en una sección en que la presión interna sea igual a la presión atm,osférica dadopory: mm =(2/3)y. c Cuando los nluueros de Froude en la caída son lTIayores que la unidad, tal como corresponde al flujo de la sección terminal de un canal de pendiente supercrítica o a la sección de descarga de una compuerta de fond 0, la ser un control y el fH de la vena de descarga se hace función del número de Froude. En la 608 se tan los perfiles superficiales de la vena de descarga, en forma adimensional, como ciones del número de Froude, según los resultados experimentales de H. Rouse,
o
Fil
I 1---1--1---1
Ejernplo 6.2 Mostrar que para la presión p=o en cualquier punto de la vena de descarga, b vertical entre. el perfil superior y el inferior aguas abajo de u na G\ libre es igual a 2/3 y_. Verificclf si la corres ponelien te distancia el en la vena g ue se e
produce desde u,n reborde terminaL par~l w
2
c
2
Solución Cuando la caída es libre) la aplicación de la ecuación ele cantidad de movimiento entre las "r:cciones 1 y 2 nos permite escribir
2
r)
+- 'Y Y
pv~~
donde q es el rrespondiente 2 = q Ig,
=P q y)
de él
es la
la velocidad co-
la sección 2, en la dirección x. Reemplazando, y teniendo en C1Jenta que
I
T
'Yy 2 c
Ir2
De
d=
2 y, c 3
'yy
3 c
Id
Si w
Comocllniembro de la izquierda es menor que en el caso anterior, también el de la derecha tendrá que ser menor y por lo tanto d será mayor, así d > ~ Yc'
6.5. Vertederos de Cresta Ancha Un vertedero de suficientt:- longitud como para que las líneas de corriente sean rectilíneas y, en consecuencia, produzca una distribución hidrostática de presiones en el flujo sobre la estructura se conoce como un vertedero de cresta ancha. Aparentemente, la profundidad debeda ser crítica y el caudal sería, como en el Ejemplo 2.1
q=
2
( 6.9)
3
El esquema que se rnuestra en la Fig. 6.10a está, sin embargo, excesivamente idealizado y, erÍ. la práctica, nunca se produ ce la profundidad ctÍ tica. La resistencia en los contornos puede ser importante y por lo tanto, en el análisis se deben considerar los efectos viscosos. La energía específica E en la ee. 6.9 se pLwde reducir en una cantidad 0* igual al máximo espesor despl~\ zado de la ca pa límite, así el caudal q de la eco 6.9 se multiplica por un coeficiente
c= (1_o*/E)3/2
b) Vor ledero corto
alFluJoidfllolizodo
el Verhdlilro
loqJO
FI G. [],1 O Vertedero de Cresta Ancha
GoHo Hall, en 1962~ encontró para vertederos de cresta ancha con entrada bisela-da (no redondeada como en la Fig06.10)que
C = 1 - 0,069 (L/E - 1
+ 2,84
R 0,25) 0,8 e
R -0,2 e
donde Re = V 1 E/ves el número de Reynolds en función de la velocidad V 1=
J
teórica
2gE/3: El coeficiente 2,84 puede ser menor dependiendo de la profundidad
en el depósito de toma. Cuando el vertedero tiene una anchura T finita, el crecimiento de las capas línütes en los lados introduce otro coeficienteo
C
T
=1~
2 0*
T
=1-
4E(1-C)
3T
(6.12 )
ya q ne, aproximadamente, C=1-30* /2E. Si la entrada es redondeada se deberla esperar que ésta tuviera alguna influencia en el desarrollo de la capa] ímite y habría cierta inseguridad para aplicar las ecuaciones 6.11 y 6.120 En este caso) o cuando quiera que se disponga de la profundidad Yb en la sección de caída libre, se puede determinar el caudal empleando la cc. 6.8. Si el vertedero es corto, como en la Fig. 6010b, se obtienen buenos resultados aplicando directamente la ee 6.9; cuando L> 3E es necesario afectar dicha ecuación con los coeficientes de las ecso 6011 Y 6.120
6.6. Aliviaderos El aliviadero consiste en una estructura cuyo perfil reproduce usualmente la superficie libre inferior de la vena de descarga de un vertedero de cresta aguda. Si el perfil fuera muy angular o las líneas de corriente tuvieran peq uefío radio de curvatura, se establecerían zonas de presión redudda con peligro de separación o cavÜacióno Al establecer un perfil como el de la vena de descarga libre se le asigna a] contorno sólido la forma precisa para que se reproduzca la presión nula que existe en la superficie inferior de la vena de descarga ventilada. Por supuesto que al introducir un contorno sólido establecemos un esfuerzo cortante adicional en la parte inferior de la yenao Este problema se puede estudiar analizando el crecimiento de la capa lí nlÍte el cual se hace mas pronunciado en los modelos que en las estructuras prototipo debido a la mayor inrportancia de los efectos viscosos en aq uelios. Pero como, en cualq ~ier caso, las distancias longitudinales son relativamente pequeñas, el efecto cleformante de la capa límite en b curvatura de las líneas de corriente no es grande y la dístrih II ción de presion es que se ob tiene en los modelos se corresponde con la de un flujo irrotacionaL
146
Consideremos q uc el aliviadero de la Fig. 6.11 es muy alto. El vertedero de cresta aguda cq uivalente, con h/w=O. tiene un coeficiente C d =O,611 (ec. 6:5) el cual reemplazamos en la eco 6.4 para ob tener
·~h3/2 q =0576 , Yb
( 6.13)
Experilllcntal men te se ha encontrad o que la sobreelevación desde la cresta hasta el punto mas al to de la vena es 0,11 h. Entonces la eco 6.13, en función de h D (denominada altura de disefí.o), se convierte en
q
=
( 6.14 )
0,686
a) Vista general
fIG.6.11
b) Cresta y vertedero equivalente
I:scllH;!ma de un Aliviadero
El aliviadero una vez construído operará, posiblemente, también con diferentes cargas que la altura h D de diseño. Las cargas mayores que h de diseño producirán presiones subatmosféricas que pueden llegar al valor de la presión de vapor del agua. Sin embargo, debido él la continua curvatura del aliviadero, se puede exceder la carga de diseDO considerablemente sin que se produzca el fenómeno de separación. Los experimentos de O. Dillnlann en 1933 y de H. Rouse y L. Reíd en 1935; los cuales se presentan en forma a.dimensional en la Fig. 6.12 indican que la carga de operación he puede exceder la carga de diseílo en un 50 % con apen~\s un incremento del 10 0/0 en el coeficiente de descarga, en el su puesto de que la presión local no baje hasta la presión de va por.
0.90,------,.------,----.....-----
~oroclón \
\
O. BO
q
.--t---~~+__----+_-'........:...::::!.!!m........¡ -1
070r-----,y~ ---~----~-----~_2
(p/~)m;n hO
C:--2 d ';;
h:/
0.60 r------#--...,-
-3
-4
050'-"----O
4 Corga Coroo d. DI •• ño
FI G, 6.12
Características de un aliviadero con carga he diferente de la de Diseño, para he/w = O
El Cuerpo de Ingenieros del Ejérdto de U.S.A. ha adoptado, después de haber realizado una labor experimental muy amplia, el perfil señalado en la Fig. 6.13, como perfil de diseño tí pico para este tipo de aliviaderos, el cual se ajusta con mucha precisión a la su perficie infcdor de la descarga libre de un aliviadero de cresta aguda.
---.. 0.282 h
D
Origen de coordenados
FI G. 6.13
148
Cresta Ti¡1.{) de Aliviadero (U.S. Army Engineers Waterways Experi ment Station)
El flujo a lo largo de la cara del alivi~1dero, usualmente con un ángulo o(:~45°, correspondiell te ,,11 esq uema de la Fig. 6.14 es de na turaleza mas bien complicada. Cuando el desarrollo de la capa límite, la cual se inicié\ en la cresta del aliviadero, alcanza la superficie libre en el punto C, el flujo se hace completamente turbulento y se produce una incorporación masiva de aire hacia la corriente de 8gua, ;:dejardo el perfil superficial de la curva S') que se podría esperar de este flujo en el cual el rozamiento actúa predominantemente. la incorporación ele aire al flujo origina el aspecto espumoso característico en el flujo sobre las GIréIS inclinadas de los aUviélderos. La cantidad de aire que se encuentré1 incorporad;1 éd flujo en el pie del alivié\dero clebic!"é), aparentemente, ser función de h,
FIG.6,14 Desarrollo de la
límite en la cara de un Ali"iadem.
Lz y a. De los resultados de una gran variedad de experimentos realizados por L.G. y A.G. Anderson, en 1960, se pudo concluir que la concentración media del aire C, definida por la relación en volúmenes aire/( aire+agua), está dada por una función C=f(a,q). Posteriormente el A.S.C.E. Task Committee on Aerated Flows in Open Channe]s en 1 961, encon tró que la concentración media de aire se podía exprcsai', en el sistema inglés, por ~raub
~
. 1/5
C=0,743]og'IO(senO'/cJ
)
+
0,876
Desafortunadamente, est;\ fórmula empírica no es dimensional mente humogénea, peru su validez hel sido comprobada re petiebmente. En
el
sistem~1 técni
e = 0,743 log1 °(senO'/q 1/5) + 0,723
(6.15)
149
S tra ub y LOrCll tz ob tuvieron las relaciones adimensionales de velocid;\d y pro fundidad, entre la velocidad media Va de un flujo aireado con respecto ;1 b velocidad media V m que se produciría en un flujo sin aire y entre b profundidad media Ya del flujo aheéldo (tomada como la profundidad hasta un punto en que la concentraci¿m e es 0,99) con respecto a la profundidad med ia Ym del flujo no él ¡reado (ambas medidas en düección perpend icular al fondo), en fu nción de la concentración medi;t C. Estos resultados se presen tan en las Figs. 6.15 y 6.1 6 \'
2.0.
1.8
E
--
1.6
VJJ.
II --
1.4
Vm 1.2
-1----
1.0
I 0.8 O
0.1
0.2
~~/
/
/ -,
7,5!: <"'<. < 75 Q
I
I
I
0.3
0.4
05
e (ConcentrGc,¿n Fi G. 6.15 Inflm.Hlda de la
V
/
:---~
0.6
0.7
I
I
0..8
0.9
1.0
f"ledia).
de Aire en la Velocidad de
La sol ución de un pr'oblema pr{lCtico, de flujo sobre la cara de un aliviadero, requerid, en primer lugar, la determinación de b velocidad media y de la profundidad, no aireadas" para el empIco adecuado de las Figs. 6.15 y 6.16. Si no existierel rozamiento en la cara del aliviadero, la velocidad 'media en'-la sección terminal estaría dada, con referenci,1 a la Fig. 6.14, pUl' Debido él que 6z depende de Ym, la solución de esta ecuación se obtiene mediante su aplicación SÜ11ultánca con la ecuación de continuidad. La velocidad rea I en el Hu í do no aireado es liger'l mente menor g ue la velocidad teórica; sin embargo, Lt hipótesis de un flujo ideal para calcular la velocidad media V rn proporciona su ficicnte él proximación en Jos resultados como para justificar su aplicación. En términos prácticos, una vez calculada la vclocidéld y profundidad del flujo no aireado, podemos establecer la velocidad y profundidad del flujo ;1ireado, aguas abajo del punto en que b' Cél pa I1mite a]Cll1Zél la superficie libre" entrando con el parámetru en las Figs. 6.15 y 6.16. La concenrración se determina previamente apHcando la ec. 6.15, para los valores Oc g, y, O' dados.
e
150
I
3.8
I
3.6
1/
3.4 3.2 3.0 2.8
Ya
2.6
Ym
2.4
-~
2.2 2.0
V
1.8 1.6
1.4 1.2
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V 7,5~'<.<
152 -
L
~."...
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I
0.2
0.3
e
0.4
05
(Concent racion
0.6
0.7
08
C9
1.0
Medio)
fl G. 6.16 lilfluencia de la Concentración de Aire en la Profundidad del flujo. merece consid eraEl desarro llo de la capa límite, sobre la cara del aliviad ero no nta, el espeso r D para una ciones particu lares. Si la capa lÍlnite es compl etamen te turbule y1/7, según lo mostra ron supues ta distrib ución de velocid ades expone ncial tal que v C( L. Prandt1 y O.G. Tietjen s, en 1934; está dada por 0,37 R 1/ 5 x
x
(6.16 )
la capa lÍlnite hasta la secdonde Rx = V m x/v donde x es la distanc ia de desarro llo de Bauer, en 1954; enconción de espeso r (j y v es la viscosi dad cinemá tica del agua. W.J. podía expres arse con lÍlnite capa tró que, para cálculo s práctic os, el crecim iento de la buena aproxi mación por
x
=
0,024
( 6.17)
(x/k) 0,13
iento desde 0, para la cual donde x se toma igual a la distanc ia, en la direcci ón de] movim
151
el espeso r de la ca pa lí mite es o, k es el espeso r de las rugosid ades. El espeso r despla zado 0* de la capa límite turbule nta para la distrib ución de velocid ades supues ta es el 1 O o /o de
o,
así
0* x
0,037 R 1/5
(6.18)
x
Se puede consid erar que el espeso r despla zado 0* equiva le a un nuevo contor no sólido. La profun didad real del flujo no aireado será entonc es igual al espeso r efectiv o g/V m más el espeso r desplaz ad(, iS ~. Cuand o la profun didad del flujo es relativ amente pequeña, se puede simplif icar el dlculo emplea ndo la energía cinétic a en lugar de la energía específ ica en la determ inación del perfil superfi cial. l~j(,1'71plo 6.3
Un élliviad ero de concre to tiene una inclina ción 0'=58° y unél rugosid ad tal que k=0,00 15 m. Calcul ar la longitu d de desarro llo de la c
Solucié m La longitu d de desarro llo de b Cél pa límite determ ina la sección en que la turbulencia OCl1 pa toda la sección transve rsal y ,lguas abajo de la cual ocurre incorp oració n de aire. Los cálculo s se reédizéll1 pelSO él paso en la tabla que sigue: x (m)
x/k
2 vm /2g (m)
V (m/s)
( 4)
(5)
(6)
0,0073
(1)
(2)
15
lx10
0,11
12,7
30
2:;~104
O,OCGC
0,20
60
4x10 4
0,0060
0,36
120
8xl0 4
0,0055 0,0052
(3)
4
12x:!.04 180 --_._ -_.
152
o (m)
o/x
m
q (m) v m
ym(m)
(7)
(8)
15,8
2,15
2,16
25,6
22,4
1
r= <)
...l..,VkI
1,64
51,0
31,6
1,07
1,11
0,66
102,0
45,2
0,75
0,82
0,94.
153,0
54,8
0,62
0,71
. Los valo res en la se ha asig nad o arb itra riam ente La lon gitu d x en la colu mna (1) a mul tipl ican do x por 6.17 . La colu mn a (4) se llen ce. la de en ien obt se (3) colu mna n~=0,85x. El esp eso r de mna (5) se apr oxi ma por xse O/x. La el1e¡-gía ciné tica en la colu tivo del fluj o q/V m más el 111na (8) es igua l al esp eso r efec la L1 min a de desCéll-ga en la colu o'f = 0,1 o. de él cue rdo con la ec. 6.18 es esp eso r des pbz é\do oeJ, el cuá l, esca las log arít mic as ite, calc ulad as, se gra nca n en La sup erfi cie libr e y la cap a l{m la sec ción a parica ind inte rsec ción de los dos perf iles la en la Fig. 6.17 . El pun to de La lon gitu d del des arro llo de C01'n pIe tam en te des arro llad o. está o fluj el cUéd la t\ en o de ent tir m. Un inc rem lté\d o en el gráf ico es de 145 resu el con o erd acu de ite, cap a lllll arro llo de la cap a inu ción en la lon gitu d de des dism una e duc pro ro iade aliv rug osid ad del 1í mit e. -__
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40
60 70 80901 00 Di OI<&ncla X 1m) 50
200
150
,J
300
FIG.6.17 as aba jo de x=1 45 La con cen trac ión de aire , agu 1 5 c= 0,7 43l og 10 (0,8 5/3 4 / )
+ 0)2 3 =
111.,
se obt ien e de la ec. 6.1 5, así
0,4 43
.16 y enc ont ram os ram os en las Figs . 6.1 5y6 Con esté! con cen trac ión ent fluj o aire ado just ame nte La velo cida d y pro fun did ad del V) V m =1, 07: y)y m =1, 70. 111., son é-\glW S aba jo de x = 145
153
1,07 x 49,1
Ya = 1,70 x 0,78
52,5 mis
1,33 m
6.7. Estruc turas de Ca{da
Cuand o el terreno sobre el que se constru ye un canal tiene una pendie nte pronuncia da, se acostu mbra diseí1ar el canal con una pendie nte menor que la del terreno y se constr uyen estruct uras de caída tales como la ilustrad a en la Fig. 6.18 con el fin de disipar b energí a sin produc ir erosión y socava ción en el canal.
FI G. 6.18 Estructura de Ca ída. El resalto que se produc e en la caída surge desde una profun didad y l' La transferenci a de energí a desde la vena líq uida de caída hacia el fluido que circula en el pozo de acumu lación, de caudal Q. , dismin uye la energía dispon ible en la sección (1). Esta pérdida de energía que sufre e~ flujo pdncip al fue determ inada experi mental mente por W.L. Moore , en 1943. En una discusi ón que M.P. White hizo del trabajo de Moore , en la misma publica ción, presen tó un análisis teórico del proble ma en base a los siguien tes supues tos: Cerca del punto A una capa delgad a de agua, con un mome ntum despre ciable, propor ciona al chorro un gasto Q3; cuando el chorro hace contac to con el fondo en B, la corriente se divide en una princip al con velocid ad V 1 Y otra menor de gasto Q3 g ue regresa hacia el pozo de acumu lación. La aplicac ión del princip io de cantid ad de movim iento conduj o a \Vhite a la ecuaci ón .
V2: 1,06
154
+
j
21 Z o Yc +
(6.19)
3 2
la cual permite escribir la ecuación adlmensional de energía específica (ec. 2.6) disponible en la sección (1)
( ~)3] Y1
2'
(6.20)
en la Fig. 6.16 en función de Azo/y c sori' muy tl L os va1ores d e ( Ho') 1 /Yc o-raficados próximos a los valores experimentales obtenidos por Moore. ~l error, relativamente grande, para valores de Azo/y c pequeños se debe a que Whlte supuso que
V=j2 (Azo + ~ 2
Yc)' mientras que la velocidad real debería estar dada por
O-
b
-
j
V =
3 I -2- Yc - YI)
2g (L.z o
+
16
1 '
!=+=.lli2)'= __v
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I 10
12
14
FI G. 6.19 Disipación de Energía en la Base de una Estructura de Ca ída.
+
+ y c' Y la o curva ex perimenta 1 (H o ) 1 indica la pérdida de energía H que se produce por efecto del L pozo de acumulación aguas arriba del punto de incidencia del chorro. La profundidad rela6va yp/y c en el pozo, debajo de la vena fluida fue determinado analíticalnente por Moore suponiendo que el ángulo de incidencia e está dada por En la Fig. 6.19 1 la distancia horizontal entre la carga inicial Ho =L.z
155
J
l
1,06
cose
(6.22 )
oh teniendo '-l UC, Yp 2 Y1 2 (-) = (-) . Yc Yc
+2
-
Yc
Y1
-
3
( 6.23)
la cual concuerd~l con las mediciones ex perimentales. Con un valor de y 1 conocido, para ciertas condiciones geométricas e hidráulicas, la profundidad y 2 del resalto se puede calcular empleando la eco 2.23. De las lnediciol1es de Moore'll así corno de experiencias realizadas Por W. Rand, en 1955, se obdene, con errores menores del 5 por ciento, que la longitud del pozo de acumulacic'm Ld y la del resalto L· están dadas por las ecu~lciones empíricas
J
Y 4,30 (_c ) 6z o
0.81
.
(6.24)
y por (6.25 )
La disipación de energía en el resalto se obtiene aplicando la eco 2.25 o del uso combinado de las Figs. 2.2 y 2.6
6.8 lil Resalto Hidráulico Las transiciones de flujo supercrítico él flujo subcrítico él través de resaltos, se dísefian con el propósito de generar disipación de energía y de evitar la erosión y socavación que podría producir el flujo supercrítico. Adicionalmente, b m;lcroturbulencia y la aereación propias del resalto se pueden aprovechar para mezclar los productos químicos usados en la purificación del agua y para airear el agua él usarse en abastecimientos urbanos. Un resalto se produce cuando un flujo supercrítico de profundidad y 1 que tiende él aumentar su profundidad y él el isminuiT su velocidad, por efecto del rozamiento, en la dirección del flujo, encuentra una profundidad y 2 mayor que la crí tica (la cual se genera
156
por un control de aguas abajo) y esta profundidad es tal que satisface la eco 2.23. Esta ecuación ha sido verificada satisfc1ctoriamente en innumerables experimentos. El número de Froude, F 1 = V 1/ gy l' que determina la relación y 2/Y 1 proporciona un índice para la clasificación de los resaltos en secciones rectangulares de fondo plano. De acuerdo con el U.S. Bureau of Reclamation, en 1955, los resaltos se pueden definir como sigue:
V
Para F 1=1 hasta 1,7; la superficie del agua presenta ondulaciones y se nombra Resalto Ondular. Para Fl=l,7 hasta 2,5; se desarrollan una serie de pequeños vórtices en la superfiCIe del resalto pero la superticle libre, aguas abaJo, permanece tranquila. La velocidad en una sección tr,lnsversal es bastante uniforme y la pérdida de energía es pequeña. Se denomina Resalto Débil. Para F 1 =2,5 hasta 4,5; ocurre un chorro oscilante entre el fondo y. la superficie libre sin periodicidad alguna. Cada oscilación produce una onda 4e período irregular la cual puede viajar grandes tr~lyectos antes de decaer, producien~(~~daíios en los taludes de los canales. Este fenómeno se denomina Resc'llto Oscilante. Par~l F 1 = 4,5 hastél 9,0; la región terminal del vórtice prin cipal coincide con la ubicación en la que el chorro ocupa toda la sección. El resalto cs bastante estable y poco scnsible ~l los cambios del nivel de aguas abajo. La disipación de energía varía ent1"e el45 y el 70 % de la energí8 específica El en la sección 1. Este se denomina un Resalto Estable.
Para F 1 >9,0; se generan olas intermitentemente, que se desplazan hacia aguas abajo del resalto originanJo una superficie libre bastante alterada. La disipación de energía puede llegar hasta 0,85 El' El fenómeno se denomina Resalto Fuerte. En la Fig. 6.20 se presentan los modelos de flujo de los diferentes tipos de resalto. Chcrrc
F=I,7-2,:i
ResLllte)
Debil
F =4,5 - 9, O
F)9,U
FI G. 6.20
Reselto
Oscilante
Resolto
Es table
Fuerte
de Resalto
157
Desde que Giorgio Bidone, presentó el trabajo "Observations sur le Hauteur Du Ressaut Hydrélulique" a la Real Academia de Ciencias de Tudn, en 1819; se ha ido ganando conocimiento sobre el comportamiento de los diferentes tipos de resaltos, de la energía que disipan y de su geoll1etría. La forma de la superficie libre del vórtice principal fue medida por Moore cuando estudiaba las estructuras de caída y por B. A. Bakhmeteff y A. E. Matzke, en 1936. Estos valores experimentales se presentan en la Fig. 6.21 en la que se observa que la longitud de los distintos resaltos está bastante bien representada por la eco 6.25. 1.01-IT-I-----,I-T-2~:::;;¡~~r-_, 0.9
f--+----+-----+----t--~
.~..::-__""'1F__i.r.~-+---I_____-_I
0.81-+--+------1O'71-+--+--~'.c.....,,,L_
Moore
C. 61----+---+---\:c.
~ Y2.- YI
F¡ = 6;69 o F.= 4,95 + - - - - t - - - - j - - - F; = 4,24 @I
0.51--+--f' 0'4I_____+--I'-A--Y
Iff 11= 4,06
0.3 ¡-----.... ,....-v,..;¡r
Bakhmeteff- Matzke
2
FIG.6.21
--l------I
7
3
8
Perfiles superficiales adimensionales del Resalto Hidráulico.
Mediciones de Bakhmeteff, Ma tzke y otros investigadores entre quienes sobresalen David L. Yarnell y Cad E. Kinsvater en 1938; han permitido establecer las relaciones experimentales de profundidades y longitudes de resaltos en canales rectanguIélres con inclinaciones So= senO'. Estos resultados se presentan en las Figs. 6.22 y 6.23 3
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12 13 14 15
16 17 18 19 20
F, =\I,¡../O"d,
FI G. 6.22 Profundidades Secuentes en Canales Inclinados.
158
4 5
6
7
8
9
10
11
12
13 14
l5
16
17 18 i 9 20
~~~/v'O~
ation) FI G. 6.23 longitud de Resaltos en canales con pendiente (U.S. g'ureau of Reclam 6.8.1. El cOl'ltro l de los resalto s por medio de sobree leLa formac ión y situaci ón de los resalto s puede ser contro lada es de cresta aguda o de vacion es o caídas en el fondo del canal, por la acción de rebord amorti guació n, entre otros. cresta ancha, y por la localizé1ción de dientes en un pozo de estudia do, analíti ca y El efecto de una sobree levació n LlZ o en el fondo del canal fue 1949. Los resulta dos experiexperi men talmen te, por ].W. Forste r y R.A. Skrind e, en Fig. 6.24, son menor es que mental es indican que los valores de y 3' según se indica en la cantida d de movim iento de ón ecuaci la los obteni dos anal1ti camen te por aplicac ión de se produc e por efecescalém entre las seccion es 1 y 3, suponi endo que el empuje sobre el la profun didad Y2' La razón to de b distrib ución hidros dtica de presion es que produc e chorro de aproxi mación no de esta discrep ancia puede explica rse por el hecho de (lue el un impact o sobre la grada el se un1fol'111iza compl etamen te despué s del resalto y produc e perime ntos el resalto se ]0ex cual genera una fuerza mayor que la su puesta. En todos los trabajo de Forste r y Skrind e .calizó en una longitu d Lj=5 (Ll·¿o + Y3)' Los resulta dos del se presen tan en la Fig. 6.24
159
FIG.6.24 Características del Resalto Hidráulico producido por una Sobreelevación . CUéll1do el fondo dd canal tiene una Célída LlZ , el dtlculo de L relació n Y2/Yl del o resalto produc ido varía depend iendo de que el vórtice princip al entre u nu hacia el canal de agUéIS arriba. H. Rouse, B.V. Bhouta y E.Y. Hsu, en 1949, invesó garon el efecto estabilizéld or de las caídas y encont raron que entre los límites sel1édados pUl' el Caso a, y el Caso b, en la Fig. 6.25 se presen ta una región de transic ión caracte rizélda por un Resalto Ondul ar el cual es altame nte inestab le pudien do transfo rmarse en un resalto del Caso él o del Caso b. Las relacio nes de cantida d de movim iento y de contin uidad pennit en desarrolla r las ecuaci ones de los resalto s corres pondie n tes al Caso a
(6.26 )
y al Caso b (6.27)
Estas ecuaci ones así como la curVél de transic ión, la cliéll no se puede predec ir por la teoría, se presen tan en la Fig. 6.25
160
10
Y2 Y1
8
6
4 2
O
O
2
3
4
5
6
7
8
9
10
F¡:v/~
FIG.
Características del Salto Hidráulico producido por una caída.
Aunque bs ecs. 6.26 y 6.27 deben ser resueltas por tanteos, el uso de la Fig. 6.25 permite la lectura directa de Y2/Y1' o de ,6.zo/Yl) para valores dados de f:j.Z 0/Y1' o de
y 2/ Yl' Y de F l' Un pozo de amortiguación consiste en una estructura corta, pavimentada, situada al pie de un aliviadero o en las cercanías de cualquier fuente de flujo supercrítico, destinada a producir y retener un resalto hidráulico con el fin de generar flujo subcrítíco antes de que alcance el fondo expuesto y no pavim.entado de aguas abajo. Un pozo de amortiguación eficiente debe ser tan corto como sea físicamente posible. J. W. Forster y R. A. Skrinde, en 195 O, presentan los resultad os experimentales sobre la formación de resaltos por efecto de rebordes. Los resultados adimensionales de resaltos producidos por rebordes de cresta aguda determinan el campo para el cual se producen resaltos dados por el número de Froude F 1 y la altura adimensional del reborde h/y l' en la Fig. 6.26. En el supuesto de que la profundidad y 3 no afecte el caudal sobre la cresta del reborde o vertedero. es decir cuando Y3
5
4
3~----+-----+-----4-----~~~~----~~L---+---~
2~----+-----+-----~~~~~~-+----~~----+---~
OL-----L---__ I
2
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____
~
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4
____
~
____
5
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____
6
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____
~
8
7
__
~
9
FI G. 6.26 Resalto producido por un Reborde ó Vertedero. Un punto nws bajo que la .curV;l inferior indicaría que el reborde es bajo produciéndose un desplazamiento del resalto hacia aguas abajo; el reborde perdería su función de fijador del resalto. Forstcr y Skrindc también estudi;Hon el control del res~llto por medio de un vertedero de cresta ancha. Si la profundidad y3' en Ll Fig. 6.? 7, de aguas abajo es menor que la profundidad crítica sobre el vertedero, es decir, .si y 3«2Y2+h)/3, la profundidad de aguas abajo no afectará la relación entre profundidad de aguas arriba y caudal. Suponiendo que sobre el vertedero se produzca la profundidad crítica y reemplazando el caudal correspondiente él esta profundidad en la ecuación del resa] to h idrá ulico, se ob tiene con referencia ;¡} esquema de definición de la Fig. 6.27 la relación
21,33
F~
+ 8 F21) 3 1
(-1-2h/Y1
- 1 + )1- 8 F ;
(-1 + 2h/ Y1 + )1 + 8
I
la cu;¡] se graficl en b Fig. 6.27.
162
+)1
__________________ =
F~
i
( 6.28)
b
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V
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2
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2
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7
9
fl G. 6.21 Resalto producido por un Vertedero de Cresta Ancha. En obras hidráulicas de gran envergadura o en aquellas de módulos repetidos es convenien te recurrir a dispositivos que produzcan pozos de amortiguación ampliamente estudiados experimentalmente, que desde el punto de vista de la economía proporcionen los mejores resultados. Estos dispositivos incluyen rebordes y dientes en diversas posiciones. El U.S. Burcau of Reclamation ha establecido modelos tipo de pozos de amortiguación como resultados de los trabajos de J.N. Bradley y A.]. Peterka, en 1957. Estos modelos de pozos de amortiguación se presentan en la Fig. 6.28 ~~===================9
1 + - - - - L,.= 4,3 Yz
(a) Pozo Tipo 1t
---------1
.F,~4.5
v.~2om/s
Y3: 0.91Y2
(b ) Pozo Tipo :llI.
t=; ~4.5 y
3
(e) Pozo Tipo nz:
V.<20 mis
=0,83 Y
2
2.5(F,< 4.5
fl G. 6.28 Pozos de Amortiguación recomendados por el U.S Bureau of Reclamation.
163
La prindpal diferencia entre el Tipo 11 y e,l Tipo 111 es que éste último permite la insél mas altas velocidades, sufrirían dailos graves. La resistcncia adicional proporcionada por los dientes intermedios permite diseñar un pozo de' amortiguación 111
sari<\s, correspondientes al rango 6
6.9. Compuertas de ~Fondo Típicamente las compuertas de fondo pueden ser verticales, radiales o compuertas Tetinter, y compuertas con sección de tambor. La compuerta vertical, ilustrada en la Fig. 6.29" presenta el inconveniente desde el punto de vista prJctico, de requerir un sistema de dcslizé\mieptn vertical costoso. El flulO esd dirigido por el fondo horizontal V en consecuencia I~\ :pr-esi6n no es atmosférica en la vena ele descarga sino que presenta urla dtstnDuci{)}1 hidro~stática. Aplicando b ecuación de energía entre las O y 1 de b Fig. 6.29 se puede escribir, 2 V1
y2 o
2g
+h=-- +eb 2g
c
\J'~ 1
r ~~~'1
!.
(6.29 )
'¡
i \
Reemplazando Y
= Yl.C b/h en oc'
la
ee. 6.29 se tiene
(6.30)
Pero como q = VI Cch tenemos que el gasto por unidad de
e (1 =
164
,-.-_ _ c __, _
b
J 2gh'
J
Llcho es
(6.31)
v; _--L[_~g_<__.
Energia
Total
h
Vertical,
q = Cdb
Ya que C c depende sola mente de b geometda de los conturnos, es decir de b/h
j
<
C
es Ll1l1bién únicamente funci()n. de b/h. Cuando b/h se aproxima
él
cero, C
tiene
;1
d d C c y p;\ra esta cond ici()\l el ;\ l1é1lisis del fj uj() potencial indic;\, como en el vertcdero) (llIe C = 0,611. Para valorcs mayores de b/h, cl coeficientc dc descarga decrece hasta c C = 0,5 para b/h ~ 0,5, de acuerdo con las experienciéls de I-LR. Henry) en '1949. En d su trabajo, I-Ienry ta mbién estudió el efccto q uc el ahogamien to de la dcscarga procl uce sobre cl gastu y, con referenci,\ ,ti esquema de la Fig. 6.30, encontró para Lt~ variables ele las ecs. 6.31 Y 6.32 los coeficicn tes de gasto para elistlflLas relaciones de Y3/b. Los resultados expcrimcntales obtenidos por Henry se presentéln en la Fig. 6.31 en líneas llenas. En el mismo gdfico se llcv,\ll algunos resulta0üs teóricos, en líneas intclTupidas, para un valor de C =0,6, los cUédes se obtienen siguiendo el procedimiento empleado en el Ejemplo c 2.3, en el cual se apliG\ la eCUélc1ón de cantidad de movimiento entre las secciones de profu nd ¡d,¡des y s e y 3'
h
FI G. 6.30 Salida ahogada en una Compuerta de Fondo, 07t--..--,.-O,61--I------!--
0!51--"'f---.O,LIJ--+-+---+---!J'CeI Q31---I+-
0,21--#--1-1--
O,_~_~~~~
°
2
4
6
__~_~~_~
8
10
12
14
16
h
b
FI G, 6.31
Coeficiente de Gasto en una Compuerta Vertical de Fondo, con Descarga libre y Sumergida.
La capa 1í mite que se desarro]]a en la salida de la compuerta tiene p0;.,.u efecto en los caudales que se miden en el laboratorio ya g ue ella simplemente incrementa la elevación del chorro emergente en una distancia igual él la capa límite desplazada. La capa límite es mas bien laminar ya que el flujo es convergente y el fondo es usuahncnte liso. Para la capa límite se tien e
(6.33)
o, en términos de la capa límite desplazada 8
8* x
166
1,74 V Vxjv i
*-
(6.3'4 )
y 6.32 se alterar ún cuanLos coefici entes de cuntrac Cl011 y descarg a de bs ces. 6.31 ert:\ radial o Tainte r, que do la compu erta 110 sea vertica l. Así, por ejempl o, en la compu es eviden tement e mayor que se muestr a en la Fig. 6.32, el coefici ente de contra cción el extrem o inferio r de la 0,611 debido a que' las líneas de corrien te salen guiada s por erta vertica l; D.E. Metzlc r, compu erta con Ull úngulo mucho mas suave que en la compu
_1
-1 o
t
h
FIG.li32
Radial
1:1
Compuerta Tainter
los coefici entes de gastos en 1948. Y A. Toch, en 1955, encont raron experi mental mente ales neces;1 rios: el radio de de bs compu crt;\S radi;tlc s incluy endo dos paráme tros adicion sumer~~idas con prola compu erta r y su posicil m a. Las caracte rístic\s de las compu ertas adicion al Y3 ' Los resulta dos fl111dicbcles Y3 de :lgn;\s abajo se especif ic;m con el par{un etro os valores de airo Metzlc r distint experim enLlles de Toch se present:11l en la Fíg. 6.33\, para s par,( factore s consta ntes encont ré) b c\istribuci
0..8 r---.--.-----;-----;,---.---,-__,r-~-___rr ~O.I =0..5
(J/
Gjr
I 0..6
0.2
flG. 13.33a Coefieielltes de
Circulares.
167
o 0 0,
06
08
10
h/
1,2
1,4
16
18
r
;;1(,
En
ente ~) la
ele el
e
el lJ
:ser (l
el
upcr
ví~t,l cunsl:l~uct¡VO,
pUlltu
se le
flUldl)
P]()JC,¡
d
pre-
Energia Total ____.
E h
---_ CALCULADA -MEDIDA
fl G. 6.35 Distribución de Presiones en una Compuerta con sección de Tambor, ó Cilíndrica. I •
La alta inestabiliebd hidráulica de esta compuerta inclina al ingeniero que realiza el disCl'io a preferir la compuert~l radial a la cilíndrica. Si la compl1erta. cilíndrica se provee con un diente radial inferior, su comportamiento hidráulico es similar al de la compuerta r<¡(:tial y sus coeficientes de contracción y gasto se pueden ·obtener, con cierta aproximación. de los correspondientes a las compuertas radiales de geometría comparable.
EJERCICIOS
J:jcrciciu 6. 1. Un canal rectangular de 2,0 m. de ancho conduce un caudal.de 1,5 m 3 /s en flujo uniforme con una profundidad de 1 ,0 1l1. Cuál es la posición de la superficie libre en un estrechamiento en el clÍal la
l:'jcrciciu 6.2. Los modelos de superficie libre, sin rozamiento, deben establecerse guardando similitud de Froude; es decir, el número de Froude en el modelo y en el prototipo debe ser el n1.ismo.
169
Se dese;¡ construir un modelo d escala 1: 1 O de un aliviadero que permita el paso de una crecida Q=500 'm 3 /s y tenga una anchura de 5,0 m. Se supone que sobre la cresta del aliviadero se produce la profundidad crítica. a. b. c.
Cuál sed el gasto de prueb;¡ en el modelo? Cuál ser,Í la anchura del aliviadero ell el modelo? Cuál sed la profundidad sobre la crest,¡ delllloddo?
l:jerciriu h.3. El aliviadero de 10,0 m. de ancho en un cmbalse, fUé diseiiado para un gasto de 500 111 3 /S. o
a.
Cuál fué la altur,¡ de diseiiu?
b. c.
Determinar las características del aliviadero tipo (U.S.A. E.W.E.S) Cuál es el múxil1lo clUdal que pel'mite el alivi,¡dero sin L1 11C se produzc
d.
Cldl es el 1llúximo caudal que admite el ,diviadero si no se dese,¡ que la presi('Jl1 sea menor Ljlle-O,l . Kg/CIIl 2 ? . Cuál es l·l nivel de agua para dicho c
1:jerriciu 6.4. Para el c¡s"u en Ljlle .:11. c/Yl =4 en el resalto que se produce en la situación ilustrada en el esquel1l;¡, supolliendo que la distribución de presiones en el C'scal()]) es hidrost:ltica, determinarla por la profundidad Y2' vcrificar Lj ue cu;mdo F 1 =8, la relaci()ll y 31 Y1 tiene el valor correspondiente a la lí¡;ea interrumpida de la Fig. 6.24. Determinar la fuerza real sobre el escalón, COIno un múltiplo dé 'YY?, reLJucrida p;¡ra obtener el valor experimental de y 3/Y1 = 5.
170
Ejercicio 6.5. El vertedero de cresta aguda, en un canal muy ancho, ilustrado en el esquema vierte un caudal q=2,0 m 3 /s. por metro de ancho
1
a.
y
1,0 m
b.
Cuál es la ecuación de descarga de· dicho vertedero? Cuánto valen C c' Cd , e y?
hjercicio 6.6. Un vertedero de cresta aguda y una compuerta de fondo combinadas, según se indica en el esquema, estJn ubicadas en un canal muy ancho que conduce un caudall]=2,O 111 3 /S por metru de 'll1cho.
~
1
a.
,l l[ ".'.
b.
Cu,lI es la profundidad y del agua? Cuál es la fuerza que soporta la Límina que divide el flujo? Compararla con la fuerza hidrostática sobre la misma.
lijercicio 6.7. Suponiendo que entre Y1 e )'2 se desarrolle un resalto de longitud L, diseñar la escalera de cascadas que se ilustra en el esquema para E=3,0 111 y H=l ,O m. COTA lOOO m.
I
I
~,! ~-=-'.
±S __~ ~
f Y,
I
So
I
¡'--L---j COTA 900 m,
r=
~ ¡...I.----------LT m··--------...,·I '100
171
del tipo seo
Toma
El númeru b Co
¡ente S o
Los
El
{) en la
El;;
l
1
v
Las cáracterísticas físicas de la transición se definen básicamente por el tipo de contorno geométrico y por el régimen de flujo establecido por la celeridad de las perturbaciones. En la mayoría de los casos, para. los efectos de diseño/se debe predecir el ¡;;omporta miento de la transición en función de la información ex perimental. Los detalles y los ,diversos aspectos de los diferentes tipos de transición se describen y diferencian en las siguientes secciones.
7.2. Transiciones en Flujo Subcrítico En el diseño de las transiciones sub críticas se trata de producir la menor pérdida de energía posible y se establecen las condiciones que permitan fijar las siguientes caracte, rísticas:
1.
El gradiente de energía se supone constante en toda la tranSlClon y se puede calcular con suficiente aproximación en un proceso de pa.sos sucesivos.
2.
Los factores de corrección C\' y {3 de las ecuaciones de energía y de cantidad de movimiento ~e pueden calcular, si son diferentes de la unidad, en las secciones terminales y la diferencia se reparte proporcionalmente a lo largo de la transición.
3.
Se establece una distribución hidrostática de presiones y se evita el fenómeno de separación limitando el ángulo de alineación de las paredes en la transición.
En general, el flujo.t-que se origina por el diseño geométrico o la adaptación de éste a un flujo preestablecido, puede estudiarse empicando los cónceptos de energía específica previamente tratados. La pérdida de energía entre dos secciones convergentes con un ándife:... gulo C\' ~ 12° 30 se puede expresar según J. Hinds, en 1928; por un décimo de la renda de energía cinética entre las secciones terminales. así
(7.1) _
t¡ ..... ,.
FIG.7.1 174
" .•
!.
Planta de una transición Subcrítica Convergente
"
donde K = 0,10 para la~ condiciones establecidas por Hinds. Debido a la complejidad del modelo de flujo en las estructuras de transición, es prácticamente imposible separar las pérdidas correspondientes a la fricción de las pérdidas debidas al cambio de geometría; sin embargo, la repartición proporcional de las pérdidas en toda la longitud permite un diseño con suficiente precisión. Existen tres tipos de transiciones desdé canales trapezoidales hacia canales rectangulares que han alcanzado importancia significativa: a.· b. c.
La transición cilíndrica La transición en cuña La transición conformada
En la Fig. 7.2 se presentan los tres tipos de translClOI1eS subcríticas descritas por Hinds. Las dos p~imeras se recomiendan para valores del número de Froude F= V/ygy menores que 0,5. Desde un punto de vista constructivo, la transición cilíndrica es mas conveniente en estructuras de pequeñas dimensiones. Las tomas de canales con entradas redondeadas pueden considerarse como el caso límite de la transición cilíndrica. La forma exacta de las paredes no es de gran importancia, siempre que los contornos establezcan curvas razonablemente suaves sin esquinas agudas.
,!
O. - Transición Cillndr'ica
b.- Transición en Cuño
t. ./
C.-
Transición Conformado
FIG.7.2
Transiciones Típicas de Flujo Subcrítico 175
L
Tomemos
> [( L
10,5 -- 6,0 )
I (
2 tg 12° 30" )
10,1 m.
1
11,0 nL
La
se supone
= 0,1
(
E
)1
2 - 1,00 2 )/19,6
=0,1(1
= 0,0065
Para el di
m.
12 estaciones establecise puede determinar la energía reparte proporcionalmente en los 11 7.1, mna 8, se presentan las sucesi~1 una elevación fondo, supuesnLAsl, la elevación inicial dc la =101 m.
3.
Ll
te
que revierentrada y salida,
transicilln y
h ccu,lci[m y = (_x_)2
En la
7 ,3.c se muestn en la elevación del específica me-
nos ja
== 1..50 + 1
~.2.,O-lj
-o
lB.
en la ',ecclón S es entonces 99,Sgm. En la Columna 2 de la de est,) Clones in termen ias calculate C()n las
la línea de cl1E:rgia y cota:; eSI)ecífíea e11 est,lci¿lll enla
fondu L!ll1na 9.
se obtienen
1
5.
La geometría de la seCClOn transversal en las estaciones intermedias se puede determinar como sigue: Los puntos superiores de las paredes de la transición . tienen la misma elevación en este caso particular, y en planta, en la Fig. 7.3.b se trazó una línea recta para definir su localización lateral. En la Columna 6 se dan las distancias desde el plano de simetría. Con las elevaciones conocidas del fondo y de la se.cción superior de la transición, se tomó una variación lineal para la pendiente del talud tal como se presenta en la Columna 3 de la Tabla 7.1. La anchura del fondo en eada estación se calcula én la Columna 7.
6.
Con la geometría del canal conocida y con la energía específica en cada estación, el cálculo de la profundidad se puede obtener de la siguiente manera: Se calcula la energía específica para dos valores distintos de profundidad, dentro del rango de profundidades posibles. Estos valores se pueden graficar en el diagrama de energía específica mostrado en la Fig. . 7.3.d, la cual define una porción del diagrama de energía específica para cada sección transversal. Para cada valor de la energía específica en la Columna 9 se puede leer el valor correspondiente de la profundidad. Los resultadós de este método que evita las aproximaciones sucesivas se presentan en la Columna 10.
L/
(
3
4/
Elevación del Fondo (supuesta)
Pendiente del talud
Proyección Vertical del talud
Párabola que revi(,>rle
escogida
2
1
O 1 2 3 ·1
5 6 7 8 9 10 11
178
100,000 99,992 99,972 . 99,937 99,889 99,826 99,754 99,691 99,642 99,608 99,587 99,580
m
0,00 0,13 0,26 0,39 0,52 0,66 0,80 0,94 1,08 1,22 1,36 1,50
I
t/
6'
1
5
Proyección Horizontal
Ancho Libre Ancho de Hasta eL Fondo
Cota S1tperior 101,88 m
Talud (3) x (4)
Tomado Fig. Ej. 7.ib
1,880 1,887' .1,91l8\
0,00 0,25 0,50 0,77 1,07 1,35 . 1,70 2,06 2,42 2,77 3,12 3,45
t;9.A~/
1,991 2,054 2,126 2,189 2,238 2,272
2.293 2,300
3,00 3,25 3,50 3,75 4,00 4,24 .1,48 4,72 4,96 5,20 5,45 5,70
2r(6). (5) 6,00 6,00 6,00 5,96 5,86 5,78 5,56 5,32 5,08 4,86 4,66 '4,50
8
~
Línea de
Energía
Ener ía Elevación ..
.
101,642 101,642 101,641 101,641 101,640 101,639 101,638 1UJ,637 101,636 101,636 101,635 101,635
10
SUPA~~!e del
Tomado Fig. Ej ..7.1d .
(2\+nO\
íf"
E (~).
(2)
1,642 1,649 1,669 1,704 1,751 1,813 1,884 1,946 1,994 2,028 2,048 2,055
11
Profu,~didad
1,50 1,52 1,55 1,60 1,66 1,73 1,82 1,88 1,93 1,97 1,99 2,00
101,50 101,51 101,52 101,54 101,55 101,56 101,57 101,57 101,57 101,58 101,58 101,58
SECCION DE TRANSICION
~
SECCION ~ECTA~GULAR
SECCION TRAPEZOIDAL
plano de simatn'o
.
-_._'_._,-_.--,_._-, L._._._ . 11.00 m. ---------~.. ..¡I
FIG.1.3b.
Transición Vista 'en Planta
borde superior del canal
101,
"y '"" o:;'"
~perfiCiil
--- --- I
libra
---
o
! I:'l
_ _ _ _ _ _ _ _ -=-==- _
.JL-
IOI,a
o IOO,~
'0
100,0
6
I
I I
x(m)
7
9
10
II (estocionlHl)
I I
I
99,S
/
L/2
e
7\
,\/
s
"9,0
flG. 7.3. c.
Transición Corte longitudinal
179
2,1
~
Jl
2,0
10
9
/".
/U
1,9
E
..,
..., o
" "c:
1,8
" ...
O
C.
1,7
1,6
o 1,9
2,0
2,1
enerQlo especifica ""E (m)
flG. 7.3. d. 7.
Diagrama de Energía Específica
LIs dev:lciones de la superficie del agua en la Colufnna 11 se obtienen sumando la elevación ¿¡e] fondo (en b Columna 2) y las profundidades de la Columna 10. Si los resultados gráficus indicaran que la superficie del agua cambia muy fÚpidamente, se podd,l modificar el perfil del fondo de tal forma que se obtenga una superficie libre, de cambios mas graduales, En este problema la superficie libre obtenida p::1rece suficientemente suave como para no alterar el fondo inici,dmente supuesto.
8.
Consideraciones generales. Debe tenerse en cuenta que el ajuste único del fondo no produce, necesariamente, un perfil superficial satisfacturiu y en tal caso se pueden tomar las siguientes previsiunes: a.
180
Se puede clmbiar el espaciamiento entre las estaciones según otro modelo consistente, diferente del tonudo en este problema. Los dlcu[os de las
pues los gradien tes de energía , no se se pequef ws pena requer lr ajustes . La longitu d de la transic ión son mcrem entaría . b.
de las estaSe pueden cambia r los taludes laterale s y las anchur a.s de fondo áreas uiente consig cambia ndo por Clones curvas ,en estas ser necesa rio c1ib la geome tría local pueden ser rea específ ica. Estos ajustes un modelo georné trico caracte rístico para toda la transidos confor me ción.
curvatu ras En genera l, se deben evitar El gradien te s. grande produc ir separa ción y en la determ inación de la transic ión adecua da, com.o es gencia en los
Una variant e, gue ,¡justad o ;¡
del
tas, consist e en la fijación del perfil 51.1paL1bo la que reviert e, y el consig uiente cinétic a dada per la diferen cia de
si el flujo era subcrí tico claram ente que 7.3.d se podría enCOl1y en la salida de se puede
El c¡ue
7.3. Tnn lsicíone.' 7.3.1. Mcc.5.nica de
.
no tieflw'l conto¡; y cruzan el 'C;lI."s ~ en consec uencia ,
caracte rí stios de
el en
181
las tra nsicion cs superc rí ticas e xcepto cuando éstas corresp onden a canales de seCClOn ¡. transve rsal rectang ular con parede s paralel as. En este caso, en el cual la anchur a se mantiene consta nte, los cambio s en la elevaci ón de fondo y de la superfi cie libre se pueden calcula r siguien do el mismo proced imient o que en flujo sub crítico , hacien do uso del diagd.ma de energí a específ ica y consid erando la energí a total en las seccion es de entrad a y sal ida para su reparti ción propor cional en las estacio nes in tcrmed ias. Si en un canal rectilín eo con velocid ad superc rítica Vl, Y profun didad Y1, se onglnará Ulla perturb ación, la celerid ad de la misma c 1=y'gY1 estable cería una onda estacionari a con ángulo de inciden cia f31 tal q tle senf31 = c l;V 1 = 1/ F 1 según se indica en la Fig.7. 4
FIG.7.4.
Frente de Onda producido por una pequeña perturbación en un Canal Recto
Cuan8 u la perturb ación se proeluce .porqu e el cont~rno lateral, vertica l, de un canal sufre Ulla ddlexi ón fj.8, los cambio s de clevaci{ll1 fj. y, positiv os o negativ os, pueden determin arse aplican do las ecuaci ones de contin uidad y cantida d ele movim iento suponi endo que las compo nentes vertica les de las velocid ades son despre ciables . En la Fig.7.5 la profun didad cambia de Y1 a Y2' Supon iendo que las velocid ades sean uniform es en toda b profun did;ld, que exista una distribuci(ll1 hidros tática de presion es y que la disipac ión de energí;l a lo largo del fondo sea despre ciada, tenemo s por contin uidad
182
V
------.L-------------'"~c___
---/
I
~A
-------------
10-°_ - - " , - - - - - . -
-Vn~
SECCION
Esquema del Frente de Onda originado por una lJeflexión en la Pared
FIG.7.5.
Y1
A·A
VIl]
=
Y2 V n 2
(7.2)
y también, por cantiebd de movimiento 2 'YY1 2
2
+
-l lY
t>
Y1
V2 n1
'YY~ + --'L 2
cr
t>
(7,3)
V2 Y2
n2
La fuerz~l resultante de las presiones, la cual actúa desacelerando el flujo, solamente afecta la cantidad de movimiento en dirección perpendicular al frente de onda y debido ~1 cllle no existen componentes de fuerza paralelos al frente, bs componentes tangenciales de b velocidad V tl y V t2 permanecen inalterables al paso del fluido a través del frente de onda. De las dos últimas ecuaciones, conjuntamente con las relaciones geométricas apropiadas del diagrama vector'ial de la Fig. 7.5 se obtiene b expresión básica de la celeridad y del ángulo del frente de ond~l para cambios finitos en la profundidad 6.Y=Y2 - Yl' así Y2
(1+ - )
(7.4 )
Yl 183
la
eCl1~lci(li1 ele ca
de la
se h~l su
b ce, 7 A
perpendicular
se sitÚcl en
co para
fl
Vn1 com,; b estacionario, Oc acuerdo um Ulcr en fluJo
se
movimIento,
y se Cllllvlcrte en el
se
h
empez~\ra
el fl
~I
es
pruftl
í
al a
per-
es
ce, 70"1- se convierte en
sen ~1
(7.5)
ccr
~
V )
ca
se
nas Lel
7.
la geome-
CCHH1CS
ele los senos a
f\BC
¡3 1 +
nc
dv 11
(7 6) iTlllVi 111 ieH tu
elv
fZctlD
el)'
(7 7)
---,y
\f
n
V 11 por
LJ
de 1:.:5
:~,.Cu~\cl0ncs ~1n
tenures
os
tener
Esta ecuación diferencial se puede integrar para obtener el cambio gradual de la profundidad en función del cambio gradual en la deflexión angular de la corriente si se relaciona ~ y V en función de y, lo cual puede hacerse recordando una de las hipótesis básicas consideradas en este estudio, la disipaciém de energía puede despreciarse a través de las distintas ondas y por consiguiente, la energía E=y+ V2/2g puede suponerse constante. En base a esta hipótesis la ec. 7.8 puede transformarse en
,j E
2y' (1 _ -y-) E
dv
----'- =
(7.9)
E
de
La cual fue establecida en 1936 por Van Karmán, según lo señaló A.T. Ippen, en 1949. 1<1 integrdcibn de la ee. 7.9 da
e=
\1} arc tg
Jm ~ l-y/yc
1
- el
arc to- - -
bVT
(7.10)
en la cual yc=2E/3. Alternativamente y debido a que 3y/(2E)=3/(2+p2), la eco 7.10 se puede expresar por
e =vY arc
1 arc ter -;::;;::::=::;--- ,0 l'
.jp2 _
e1
(7.11)
en las cuales el cOllstitnye la constante de integración definida por la condición e=o para la profundidad inicial Y=Yl' En la Fig. 7.6 está representada en fun~ión de F y de y/ E. El empleo de este gráfico o de las e.cs. 7.10 Y 7.11 puede hacerse en la práctica, partiendo de un valor de el el cual se establece en el punto inicial donde se calcula el vaJor d,~ yl E con el [in de determinar e, en la curva. Luego, se pueden leer los valores de yl E de la curva a medida que los ángulos de una línea de corriente en el contorno se agregan o se sustraen del valor de el. Los cambios en y pueden ser positivos o negativos dependiendo de (lue la curvatura del contorno sea hacia la corriente o se aleje de ella. Awbas posibilidades se incliC:1l1 en la Fig. 7.6 por medio de las flechas que señalan hacia la izquierda y hacia la derecha a partir del valor inicial de supuesto.
e
e
el
185
0,667
...,0,5
./
0,4
e
O,!
I
B.
1
~
""
/
O,Z
,
1'/ 0 1 14
8,
,
i,/
0,1
0,08
y/E
O,OE; 6
0,05
I
1I
0,04
7
J
0,03
9
,
0,02
0,0
10
~4
0;01
FIG. 7.6.
12
J J
Solución Gráfica de () en
deFydey/E
Una de las primeras confrontaciones de la teoría enunciada con mediciones de laboratorio fue publicada por A.T. !ppen, y Dawson, J,H. en 1949. La profundidad determinada t:::oricamente en un canal cuyas paredes seguían la forma de una curva compuesta por dos arcos circulares que revierten, cada uno con un ángülo central de 16° para diferentes números de Fraude se presentan en la Fig. 7.7. Si se supone que existe una constante a través de toda la zona de deflexiéll1, ello conduce a relaciones geométricas diferentes que las presentadas en la Fig. 7.5, pero se obtiene una expresión mas simple que las ecs. 7.10 y 7.11. En flujo que se deAecta gradualmente es razonablemente adecuada la hipótesis de una velocidad constante y para ella tenemos
-()-
2
186
)
(7.12)
donde
(31
are
sen
(7.13)
L l'~'-'
._._.-.-._.-._._.-. -
L:"eo de Centro
V2
0.15 m.
0.30 m.
/
y/y,
2
V ..",.
....
.... :--.... .... ~
.... V"
.....
7~
V
V
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l/
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i
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5
5
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Y!Y,.
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3
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3
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02
162
89
-
.V
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pY"
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". i'-.
F,' 6
Y/Y,
../V
\"
.....
3~-4-..~.V'~~~~+-~
i:::"'V
..... "
02 F,' 10
FIG.7.7.
Perfiles de Profundidad Medidos (líneas continuas) y Calculados (lineas interrumpidas), en una Contracción Circular 187
En 1<1 mayoría de los casos pr;lCtico::; investigados la cc. 7.12 coincide con buena ;lproximación cun la eCo 7.10 Y proporciona valores apcnas ligeramente inferiores y por consiguiente es muy útil en cálculos simplificados. Cua1cluier eu rV;1 de con torno pnec1 e re t.ll"C~C ntarse C01110 una serie de tangentes o cuerdas con cambios angubres sucesivos, peqúeiios pero finitos. Cadd cambio angular /j,{j se convierte en el origen de una línea de pequcíias perturbaciones o frente de onda el cual C
F,
FIG.1.8.
Pequeña Deflexión Angular en las paredes de un Canal Rectangular
De acuerdo con la teoría, las perturbaciolles que se producen en A y B se comunican únicamente a lo largo de los frentes AC y BC sin efecto alguno sobre el flujo en el sector ABe. A lo largo de BC y de AC el tlujo es desviado un ángulo !.le. Enl~ljo q~e-pasa por BC es parcllelo a la pared que se prolonga hacia aguas abajo de B, disminuyendo la profundidad y aumentando la velocidad de acuerdo con las ecuaciones desarrolladas; en otras palabras, se produce una depresión en el frente BC. El punto C es la intersección del otras palabras, se produce una depresj(m en el frente Be. El punto C es la intersección del frente negativo y de una onda positiva que deflecta el flujo que pasa a través de AC con el mismo ángulo !.le. Este frente positivo continúa lIlJ.S al1<1 de C y entra en un camp'0 de flujo, el cual ya se ha deflectado !.le, Cle profundidad Illenor y con número de cfroude F2' Por consiguiente, el flujo se reorienta en una nueva dirección con un ángulo menor que el anterior. La onda positiva produce la deflexión del flujo hacia el frente y e t~l valor menor de yen el campo F-2 se convierte en Yl, reestableciendo el valor original -de F1 mas allá de CD. A su vez, el frente negativo BC entra en el campo con características hidráulicas F +2. Debido a que la deflexión !.le de la onda negativa corresponde a un
188
E s ab aj o de C ie nt e de ag ua rr co o de uj fl as el que las lí ne d e ta l fo rm a de a al in ea r en ti de te o es ad aj id c, ab nt del E la p ro fu n d cs tú n ag ua s :l 1e ja m ie nt o lo la rg o de A aq u cl b s l}Ue A de l' n r no rF ió cc de re r di al va lo ba jo de l va lo ra de r au st po en la m is m a re e uy se in én sm de C E ta m bi , él lo la rg o de nt os E y C di co ns ig ui en te ag ua s ab a en tr e lo s pu or e P qu n. s io ra ex nt fl ie s de re fl esu re ev'1 m E n lo s p u n to on da B C E y no rm al se el l. b Y de e qu ia nc es lo s p u n to s y m en or a la in t1 ue ad cr ec e; en id d n fu ro p la e. A ná lo en el p u n to n d id ad de cr ec fu ro p la di l p u n to te rn a pr of un '-lue em an a de xi on D el fl uj o al y B s s na to zo n u p . En r lo s ón lp e pasa po e la n o rm al de qu es e or !:l ay lo m gu 1 of un di da de s em pr e un án ga m en te , a 10 rm al co n pr fl uj o ti en e si no el la em pr e, e, si e nt , qu ie es rr s o m en o re de s el fl uj tr o de la co re n pa ce s el la a en pr e es ta ad no rm al na s y de A si em B de de p ro fu n d id o n b s ot ra s zo aj E ab ag ua s a la s el le s. co n re sp ec to la re s ad ic io na , ro gu ca m bi os an o a ellas, pe ci on es in de m en os CI UC se n las pe rt ur ba p er tu rb ad o a va ue m re se si ti va in du fo rm a q u e un a on da po r po a ad ul a, la on pu ed a se r an En la Fig. 7 .9 9. 7. ig F la an en ar ía en el qu e se il us tr qu e se or ig in rv a, a se gú n se ob se en B p o r un ua s ag e e tab~ec AB en B. Est la cu al se es B ón xi se e: e fl h de ne ga ti va qu 7. 9. b la on da icu al de be ub al pu n to A el ui li br io . el de se ad o eq pu ed en su p e. cr ít ic o m o lo hi zo co rr ie nt e co em pl a· un ca na l se re a co n re sp ec to 10 , 1942. Se en la Fig. 7. A.T. 1pp en en ca s ti ~-1 ís nC~ ca ra ct er a sc cu c za n po e un se al tr av és de l cu la
las 1{-
pr od uc en s \15 F1 ha st a F + ón i uc di s m in nC1a co un a nverge qu e no s ec e a m ed id a cr ie ic rf pe la su ex is ta la a m en os qu e
189
-=--~F~l--------~~~~9~~ = ~ ¡:-:... ===--De
__ __~__ __ __
__ __~~1
2
-(-O-)----A~
FIG.7.9.
De
Pequeñas Deflexiones de las paredes destinados ¡¡ elimina r las Pertubaciones Ene rgía El Se
V, f--- ->1
Par ed
Cón cavo
L¡'ne os de Pert urba cion es
POS itiVO S
F, F
o~
Pare d
4'? Con ve)( o
Líne as de Pert urba cion es
FIG. 7.10.
19 0
- 2
Neg ativ as
Flujo SU¡Jercrítico en Curva s
Las líneas de perturbación negativas se originan por la existencia de paredes con curvaturas convexas. En el caso de la Fig. 7.10. b cada depresión en la superficie libre corresponde a un ángulo de 4°. A medida que las profundidades y los ángulos {J decrecen, las velocidades V y los números de Fraude F aumentan. Debido a que los ángulos de los frentes de onda se producen respecto al flujo precedente, aquellos deben divergir sin generar frentes inclinados. Cuando las líneas producidas por una pared convexa se in tersectan con las líneas producidas por un pared cóncava, se produce un balance o un equilibrio el cual puede conducir a la anulaciém de los efectos indeseables mediante un diseño apropiado.
lijemplo 7.2 Suponiendo que la eco 7.12 pueda aplicarse a una expansión negativa, repentina de la pared con' 8=10° para F1=5, calcular el cambio de profundidad y deter,minar la localización de las líneas de perturbación que confinan la transición entre la profundidad inicial y final. Comparar esta solución con la correspondiente a la hipótesis de energía específica constante.
Solución Las 1íneas de perturbación generadas por una deflexión negativa de la pared divergen, como se Í,;1dica en la Fig. 7.10 Y la profundidad cambia gradualmente. Aún para un cambio abrupto en la alineación de la pared, en CJue las líneas de perturbación se Concentran en el origen, el cambio en profundidad es gradual. Consecuentemente; la hipótesis de una onda de altura infinitesimal dy puede aplicarse y el ángulo de la onda puede obtenerse de la ee. 7.5. donde V e y son la velocidad y profundidad locales, respectivamente, y {J está medido con respecto a la dirección del flujo. La primera línea'¿e perturbación incluye, por 10 tanto, un ángulo
sen{J
1
F
C V
V
donde V e y son la velocidad y profundidad locales, respectivamente, y {J está medido con respecto él la dirección del fI ujo. La primera línea de perturbaGión incluye, por 10 tanto, un ángulo
{J1 = are sen
== are sen
1
5
= 11,52°
191
rnos b
7.1
sen
:2
+
8' 2
\ '
---1
te
(115 2u-~ 5 )
y 32:2 Y¡ , pCéro eo mo
(1
=
cnton
5
cun
== d re
,SCll
r-:
[."0
U,]
9 1 -+ í2 0.024
------)7
() ,07 Lj,_
la on~l
e 2--/ ~O v--,/F==O )"!, --; 024 !.
o
Jl
y que ~2 = arc sen
6,38°
Se puede mostrar, p,lrJ energía específica constante, que
F2 1
Yl
+
2
0,325
F2él + 2
---
REGION PERTURBADA
SECCION
FIG. 7.11.
a-o
Esquema de las Perturbaciones
Se puede considerar que la disminución de la profundidad se produce por una serie de pasos II ondas infinitesimales. El ángulo de cada onda sucesiva depende del valor local del número de Froude el cual varia continuamente. Cada onda puede representarse por um línea de profundidad constante. La hipótesis de un;1 distribución hidrostática de presiones no puede ser mantenida en la vecindad de lct esgl1in,\ ya ljliC en ella la curvatura de bs líneas de corriente es te{¡rÍcamellte infinita, así, rnientras qUe en la esquina las configuraciones superficiales no muestran concurdancia con Lis mentales, ;l cierta distallcia de ella, donde la curvatura de las líneas de corriente se obtiene buena precisión en los cálculos.
193
CU;lndo un cierto número de perturbaciunes positivas, sucesivas, de pequcfLI intensicbe!, se concentr;\, se origina un freme e!e olld;\ de ,\ltura signifiG\tiv;1. Ent()llces, el des,lrro11o ;\l1;¡]ír¡,,;; previo debe ser revis;le!O en vil,tue! de que ];¡ ;¡]tur¡1 finiLI de Lt one!a introduce elelllcl':'lS ,Illiciulla!cs en el ;¡n:t!isis. Así, llueva mente, con referencia ;¡ la Fi;;. 7.5. el Gllllbiu ;ll1gubr (J (que reelllplaza ;¡ t::.e en el anúlisis ;mterior) se puede relaci()nar cun ~1 de ;Icucrdo con Lt geometrí;¡ del e!iagr;11l1;\ vectorial por
V t1 = Vn1/tg ~l = Vn:zJtg (~1 -e) en la cual, según la ecuaci{)]1 de Por
continuidad,
lo tanto"
(7.14 ) y resolviendo pafa
to' o
e en la
e
ce. 7.14 se tiene
tg{31 (1-Yl/Y2) 1 + (Yl /Y 2) tg 2 ,6 1
(7.15 )
De acuerdo con las ecs. 7.4 y 7.15, el :tngulo del frente de onda ~l y su profundidad quedan fijados para un número de Fruude f', y para un ángulo e. Así, de la combin;\ci¿')]1 de est;ls ecuaciones se puede escribir )';
2--=-1
Y1
+J 1 + 8
[21 sen 2 {31
(7.' 6)
u también
tg ~l - tg
e
(7.17)
La altur,\ reJa tiva del fren te y el número de [rouele inici;¡] se pueden rebci()!l;¡r con clnúlI1ero de Fruudc F 2 aguas ab;lj() del frente de ond~l. por
194
Y2 1)
2
Yl
+
1)
2
]
(7 .1 8 )
re la ee . 7 .1 6 d el fr e n te ; s é v b ía a a tr h a e rg ía el c u a l se 0 , p a ra if ll 1 d e e n ac 0 9 ip = is la s d ~1 n e te p a ra e x is1 l d e b e se r c e n e ra d ió a s x p e re d fl u lo e va ed o es a q :l11gulo d ré s p rá c ti c ~=90°, el a e o fr e c e in te d n o c o rr e sp 2 !y 1 q u e x im o d e Y . Jo re sd e F I d o s lo s v a
e
e,
e
va lo re s
fIG.7.12.
de
e
nerales entre Relaciones ge
n de Energ¡a con disipació 195
7
3,
CU 71t m,c ciu IIC S CII
1
co n fhlS y ci¿Jll
ce n tr: ms lci on es en DaWSOl1, tl'C S
lH .,
cn
19 49
sc
ti
agu:.lS
tra nsi cii ')n co rta pa r;\ 11 la,s co ntr ;\c clo nc s la B2 co ns ti -
Si la contraCClOl1 es recta, se produce un esquema aparece en la Fig. 7JLI. Ll longitud L de b contracción en el esquema
se
cee con un:)
ción.
7 .12 se obtiene el
h
de
máticllHente
la
b?
..J
L= L
1+
-1-
2 tg
---~----
corn!()
7 4
y también
L=
2 tg
(7.20)
e
esta relación, j unto con la ecuación de cominuidad, b 1 Y1 v=b 3 y 3 V 3 es decir
(7 21)
permite el diseño de la contracción empleando la Fig. 7.12 en aprox1l11acioncs sucesivas. Alternativamente, para una y 2 supuesta tal que y 3>Y 2>Y 1 se puede calcular (31' para F l' Y2 e y 1 a través de la ce. 7.4 Y con los parámetros
13] ,y 2 e y 1 se puede
obtener () de la ee.
7.15. Luego se calcula L, Ll Y L 2 en las ecs. 7.19 Y 7.20 Y se obtiene
í3 2
Se calcula
- 8={J
(7.22)
la relación Y3 /Y 2 tg ( P' tg
+ () ) í3'
(7.23)
para los ángulos p ye correspondientes a la ce. 7.14. Si el valor de Y3 despejado de la ee. 7.23 coincide con y 3 verdadero la solución es correcta y el valor de Y2 supuesto es adecuado, en caso con trario es necesario reiniciar el proceso con otro valor de Y2.
7.3.4. ExpansionE's en Flujo Supercdtico En una expansión, la energía específica del flujo no se altera y el ángulo {3 de las ondas en cualquier posición está dado por el valor local (3=arc sen l/F. En consecuencia,
198
no se generan frentes de onda con gradientes pronunciados y se puede suponer q.u~ existe una distribución hidrostática de presiones. Consideremos el caso de una expansión abrupta desde una anchura B1 hasta una anchura infinita. El análisis dimensional nos indica que la variación de profundidad y, relativa a la profundidad inicial y 1 para la cual existe un número Fraude F 1 , se puede expresar por la relación funcional
(7.24) donde x es la coordenada longitudinal medida desde la sección de salida y, z es la coordenada lateral medida desde la línea de centro del canal. Esta relación funcional fue desarrollada por H. Rouse, Bhoota, B.V.; y Hsu, E. en 1949, y el diagrama adimensional generalizado con valores experimentales se presenta en la Fig. 7.15 en la cual se observa algunas desviaciones para los diferentes números de Froude.- De acuerdo con los resultados experimentales la función que representa el contorno sólido para la expansión más eficiente está dada por 1
=
2
_x __ )
3/2
B1 F 1
+
1
(7.25)
2
15 r - - - - - - - - , - - - - 7 7 - - r - ; r - - - - - - , - ; ; ; r - - - - - - - , 1. 5
F, , F,
I
=2
.-. .-.-.-
\.0 ~---___,,~+-~~~'--+_=........==-----t------_i lO
..L
..
8,
\
---
..
\...
o
\
o
.
,
E Je de SlmetrlQ
2.0
0.5
o
x
e,F,
FIG.7.15.
Superficie libre generalizada para una corriente con Expansión Abrupta
199
1 5 r---'-":o=:-::-:;~",,------'-------r.~------' 1.5 Valores de 'i/~ F,'l -"-
F,' 2 F,' 4
F,'
1
e
J--1-,., ----1 10 o f------+------;1Ii"'----"'~-_+' '0'''0.
~.
0,to
' ".
"'.. \ \ \
----'...-!------\.-1
FIG.1.16.
0.5
Generalización experimental de la Expansión Gradual más eficiente.
Esta forma de contorno corresponde aproximadamente a la línea de corriente que confina cerca del 90 % del flujo y elimina la formación de ondas transversales; sin embargo, el contorno diverge indefinidamente. En los problemas prácticos, las paredes divergentes de la expansión se continuarán usualmente en una transición abrupta o en una grad ual, originándose perturbaciories positivas. Cuando las circunstancias lo permitan parece conveniente establecer un resalto hidráulico en la próximidad de la sección terminal de la expansión y este puede estabilizarse mediante alguno de los dispositivos estudiados previamente. Rouse y sus colaboradores encontraron que las perturbaciones que se originan en el canal de aguas abajo pueden ser eliminadas mediante una curva que revierte en tal forma que las perturb,lciones positivas y negativas se anulen dando lugar a un flujo uniforme completamente restaurado aguas abajo. Las curvas de los'contornos, en la Fig. 7.17 , fueron halladas por el método de las características y permiten una buena aproximación en el disel10 de expansiones en canales en los cuales la anchura se expande desde una anchura B 1 hasta otra anchura B 2 .
200
2.5
I
11
#'
l'
Lrn --r¡ _,d 8.¡ ,
,~J-c_~.__b
20
I
~.
••
~¡; ~
l·
¡51
8,
~
J~
I 1.0
05
O
f1
vamente.,
7. 4.1.
_L._~___~J_J 9
10
Il
12'
fluido cerca del fondo tiende a seguir una curvatura mucho mas pronunciada para mantener el balance entre las fuerzas centrífugas y las fuerzas de presión. Como se req uiere que exista continuidad en el flujo de las masas del fluido, este fluye hacia arriba a lo largo del contorno convexo mas interno mientras que el ±luido en la proximidad del contorno cóncavo mas externo fluye hacia abajo. Las corrientes en espiral inducidas tienden a transportar el material erosionado hacia el contorno interno donde se establecen zonas de deposición. a) -
VISTA EN
PLANTA
y
o
R
I
A
-8- - - - - -
I
8
b)- ESQUEMA DE LA SECCION TRANSVERSAL /
FIG. 7.18.
Flujo con Trayectoria en Espiral en una Curva
Si consideramos que el flujo que se aproxima a la curva es irrotacional, lo cual correspondería a una condición de completa uniformidad en la entrada, podernos suponer que la ecuación del movimiento irrotacional sigue siendo válida para una partícula en el interior de la curva y por lo tanto la ecuación de Euler en la dirección normal se puede escribir como
a
(P+'Yz)
al'
(7.26)
donde (p + 'Y z) = 'Yy corresponde a la presión sobre el fondo causada por la profundidad y del callal en el pUllto donde está ubicada la partícula en consideración y a es la aceleracil)!l normal, la cual según la ec. 1.9 está d
202
p
'Y
r
ay ar
(7.27)
Suponiendo que la velocidad sea aproximadamente constante, la integración de la ec. 7.27 conduce a
v
2 y= - - - 1 n r g
+
C
(7.28)
donde g.= "1/ p. El valor de C se determina para la condición hipotética y=y en r=R,
I
aSl
C = y - (V 2 /g) lnR, y por lo tanto
y
-y =
r
In
R
(7.29)
Esta ecuación nos dá la elevación de la superficie libre relativa a la profundidad normal de aproximación y para cualquier punto ubicado a una distancia r del centro de giro para un fondo que no haya sido sometido al proceso de erosión. Si se produce erosión y deposición, entonces en la sección A de la Fig. 7.18.b aumenta la resistencia con respecto a B ya que la profundidad es menor que en B y en consecuencia la velocidad en A es menor que en B originando un flujo rotacional al cual no se le pueden aplicar las hipótesis desarrolladas para un fondo fijo. En el canal estable se puede evitar la sobree1evación de la su perficie libre diseñando un fondo con una curva simétrica a la de la superficie, por debajo del fondo horizontal. Ejemplo 7.3
Para hallar la diferencia de elevación entre los dos con tontos laterales de una curva de radio R=500 m., y una velocidad V=l m/s y una anchura en la superficie libre B=200 ill., el Dr. Mamak, en 1964, desarrolló una ecuación con forma logarítmica, de forma semejante a la obtenida en este tex,to en la eco 7.29. Mamak halló, con su ecuación que .6.y=4 cm. Comparar la solución con la correspondiente a la eco 7.29.
203
contorne):] cónc¡~\Jo
7
vi , ! t
f·
·.1,.,,'\ f"~: ~~-_. \- _¡). II
')0 , • ...J
/
~---
2
-{- 1
repentinamente; la sobreelevación hasta alcanzar su después profundidad el la de la curva.
La~ VJf!~1Cionc:; COnl1(;rp~a
a
OCUíTl¡
(7 31)
:0;:
7.4J lYlediante secciones sinlrectos, producien-
8=L/ (R+
f)
donde
= are
tg
(7,32)
R+
e 205
R.T. Knapp, en 1949, halló que la máxima sobreelevación sobre el nivel del flujo de aproximación, en flujo supercrítico era igual a
(7.33)
o
FIG.7.19.
Esquema de Perturbaciones en un Canal en Curva Circular
valor que corresponde a dos veces la sobreelevación que se produciría en un flujo subcrÍtico con distribución irrotacional de velocidades. En la sección transversal CD, donde ocurre el primer máximo, la línea a'a representa la posición teórica de la superficie de agua si el canal fuera recto, la línea bb' representa la posición teórica de la superficie libre en flujo subcrí tico y la línea cc' la superficie del flujo supercrí tico. En la sección transversal FG, donde se produce la mínima profundidad en el contorno cóncavo, la superficie libre coincide con
206
Las perturbaciones que se prolongan aguas abajo de la secclOn tangente de salida también tienen una longitud de onda igual a 2B/tg~, pero como el cambio repentino en la curvatura produce perturbaciones adicionales quc se superponen con las anteriores, de igual longitud de onda, se puede. diseñar la curva con angulos 28, 48, 68 o siguientes de tal forma que se anulen todas las perturbaciones hacia aguas abajo de la sección de salida. EJERCICIOS F.jercicio 7.1. Un conducto con una sección transversal como la mostrada termina en una caída abrupta. Si la sección terminal en (2) fluye llena hasta la mitad, determinar, despreciando las pérdidas: a. b.
El caudal. La máxima elevación permisible Zo de la sección (2) para que persista la condición de su perficie libre en el condu cto, aguas arriba de la secciór. (1)
Iy
I
___
___ r-o
_1Ejercicio 7.2. Diseñar una transición entre un canal rectangular de 3,0 m. dc ancho y otro de 1,5 m. La profundidad del agua en el primer canal es Ynl = 0,10 m. y en el segundo es Yn2= = 1,5 m. El gasto es de 7 m 3 /s. Tomar el perfil de parábola que revierte para la superficie libre del agua. Ejercicio 7.3. Un canal rectangular de 1,5 m. de ancho tiene una pendiente de 1 por miL El caudal es de 1,8 m 3 /s y el factor de rugosidad de Manning es n=0,012. Determinar la profundidad del flujo norm,11 y hallar la anchura de una contracción, en el canal, que produzca flujo crítico. Despreciar las pérdidas de energía en la transición. Obtener el perfil de la superficie libre él lo largo de la sección que se contrae linealmente desde la anchura dada has ta la ,mch ura crítica.
207
Ejercicio 7.4. Un flujo super crítico definido por las condiciones F 1=4, Y1=0,35 m. pasa a través
e,
de una sección que se contrae linealmente con un ángulo de deflexión el cual causa un aumento de profundidad del 100°,0. La anchura inicial del canal es B=1,42 m. La longitud L de la contracción se determina por la intersección de los frentes de onda oblicuos en el eje central del canal. Más allá de este punto el fondo del canal cae abruptamente a un nivel mucho menor. Para la realización de los cálculos, se puede suponer q tie los frentes de onda son verticales. a. b. c.
Determinar la longitud L de la transición. Hallar la anchura b de la sección terminal. Establecer el número de Froude del flujodeflectado.
Ejercicio 7.5. Demostrar que la diferencia de elevaciones Óy de la superficie libre de un canal abierto en flujo sub crítico, en una curva de radio R y con una anchura B en la superficie libre, si se supone gue el flujo es irrotacional a través de la curva del canal, est<Í dada por
!.::.y
')
= V~ BI
(Rg)
donde Ves la velocidad mecha del flujo en la entrada. Ejercicio 7.6. El flujo en un canal de 12,0 m. de ancho y 1,2 m. de profundidad hasta la superficie libre entra en una CurV3 de 9 m. de radio en el centro de la curva, con una vd ocidad de
°
9,0 mis.
Calcular el perfil superficial él lo largo de las dos paredes del canal hasta a1canz:1r la profundidad máxima. Grafic:1rla en forma adimensional.
208
ESP AC IAL lvIE rH'E
o
(1
En r,:::ste
8.2.1. Flujo con increm entos de Caud,!l Si en la Fig. 8.1, el canal fuera horizo ntal, sin rozami ento, y el caudal entrara en dirección perpen dicular al movim iento, la cantida d de movim iento Iv! sería la misma en las seccion es 1 y 2 separad as entre si por un dx, indepe ndient emente del increm ento en ,,1 caudal dQ que se produj era emré las dos seccion es. La pendie nte del canal y el rozami ento origina n una variaci ón dM en la cantida d de movim iento dada. Consid erando el equilibrio de fuerzas en la Fig. 8.1 pur la expres ión
-v
fIG.8J .
de Defi Ilicilm T
donde
(8.1)
o
es el esfuerz o cortan te prome dio expres ión anterio r se puede substit uir por 70
1
el períme tro P
área /-1,
La
dM A (
elx
- S)
(8.2 )
donde
s o =Por otra parte,
y,
el
-(
dx
210
y
1'= AS.
se tiene clue 1
donde
Yo
la ubicac ión
dx
cen ero de
(8.3 )
del área transve rsal; así
1 I
2Q dQ gA dx
dM
dx
Q2 gA2
dA + d(Ay) dx dy
~ dx
(804)
Haciendo d (Ay)/dy=A en la expresión anterior y combinando las ecs. 8.2 8.4- se puede escribir
s o -sdy dx
2Q
dQ
o-A 2
dx
::o
y
(8.5)
1 - p2
en la cual se ha hecho T =dA/dy para anchura constante en la dirección x, y también
p2=Q2 T / gA 3.
En esta ecuaóón puede considerarse la falta de uniformidad en la distribución de velocidades a través de un ~ocficiente de energía O!. el cuztl modificaría el denominador de la ee. 8.5 a la forma 1- O!. Q2 T / gA 3. Cuando dQ/dx= O, la ee. 8.5 se convierte en laecuación dinámica del flujo gradualmente variado con caudal constante. W.H. Li, en 1955, presentó un análisis de la eco 8.5 por integración numérica para cuatro condiciones de flujo distintas definidas por diferentes relaciones entre P n , y, o G=S n L/y , donde el subíndice n representa el flujo en condiciones normales y L es la longitud del tramo en estudio.
8.2.2.
Flujo con Disminución de Caudal
Para el análisis de este tipo de flujo, la ecuación de energía es aplicable directamente. La energía total en la sección 1 de la Fig. 8.1 es
H=z+y+
(8.6)
~2gA~
la
donde z es la cota de fondo sobre un datum no indicado en la Fig. 80L con respecto a x, se tiene que
eh dx -
dx
¿.¡
1
2Q
dQ
+ d~ + ~(Al ~
2Q2
ee.
8,6
dA
- ----;:;- ~)
(8.7)
Recordando llue dH/dx = - S, dz/dx = - So y gue para anchura constante
211
la ee iLl se
con venir en
-s1-
(8
"
F~
ecuaClc 'n En la ee 8 . 8 el tercer
o
1l1.0V1J111ento en este caso no se 1
Las ces. 8 5 Y ción x, b
varfa con
La nos casos
r
En el caso
el
la diree-
en
extrcfD .O
y
el (8. )
Q=xd
La cor¡
2
CUJ'I
)1,
A=Ty donde T es la
en
lel ee 8.9
d
d>:. )
2
-f--[gy-
(310)
la
Esta es una ecuación mente
la
es
es -,
-
g
Y
(R ] 1 )
--~------ -I~
c1 on
e
lJ1
cuntofJll) cn (:1
cnla ce, g 1. 1
E
( ,2
\ L
y
y
J
+
('itnc
8,12)
la x
--)
2=
1
+
( O
o
( (;-
o
3 e
'i
(8, 4)
----
T
1
eh
Se observa que F es una forma del número de Froude en la salida. Si la caída es hc bre, el flujo en la salida es crítico y por consiguiente F c=l. La ecuación del perfil super fícial es X? . L
3 2
L
(-)~=-
_ _ 1 (.--L)3
Yc
2
(8.15)
yc
donde y c corresponde ahora a la profundidad crítica para el caudal total Q. La profundidad en el extremo opuesto, cerrado, del canal es y c yTT Se pueden realizar análisis semejantes en canales con contornos laterales verticales y fondos irregulares y para canales con paredes laterales inclinadas. El clso de los aliviaderos laterales presentados en la Fig. 8.2 corresponde a una aplicación de la eco 8.8, sin embargo, Q no es una función conocida de x ya que el caudal de salida en cada sección transversal depende de la profundidad del flujo. El caudal, por unidad de longitud, q, para cierta elevación h sobre la cresta del vertedero puede aproximarse por la expresión convencional
q --
e v10"::'2 "'g .!, 3/2 1-
(8.16)
·1
f)
fl---~--~----'n=l1<~ ~
L
'1 '1
'¡
---~--+
' - - - - 1
(o) SUBCRITICO
f::.::.::.=:::=r-~~ -yc.
*
1oc
1< 1<
"
,
1
===:::o==t
w
le) PERFIL CON RESALTO
FIG.8.2.
214
Perfiles Superficiales -en Aliviaderos laterales
, pack er s, en 1957 A P. ca di in n l a 0, 51 1 se gú co ef ic ie nt e e en si on al ig ua ob ab le qU é el im pr ad s e E nt o. ie er ic rt ed to s pr ác ti n co ef cr es ta de l ve pa ra lo s ef ec , la d o n d e C es u ro e br pe so n ió os ac o de ba ro x im h m ed id fl uj o su b cr ít ic l fl uj o de ap de en ra va lo re s de e o d is u ec ro F pr n ú m er o de fi ci en te m en te va rí e co n el pa re ce ser su s er ck A e d ie nt e ic o y su pe rcos, el co ef ic fl uj o su b cr ít en e ca o a d. ev r co n u n ja ve lo ci da ie li br e se el na l re ct an gu la ca n u a ar u e la su pe rf ic P q 2. en la Fig. 8. e el al iv ia de ro Se pu ed e m o se in di ca er ta do y a q u co ac , es te en al m cu va ti ex pl ío, lo cr ít ic o, re sp ec ó la so lu ci ón y para S o=S= tr n e co nt ta en , ns 4 3 co 9 to de e M ar ch i, en 1 va lo r su p u es co rt o, G. de te en m va ti la es re "" tc
ci ta de
(8 .1 7 )
dQ
-rx
ad o p o r ca ud al es tá d el n, ió cc se r ie l. E n cu al qu ca na l pr in ci pa el en al ud el ca (8 .1 8) d o n d e Q es ,; 2 g ( E - y
Q=
)
1/°"'"
de ro . te , en el al iv ia an st n co , ca fi en er gí a es pe cí , co nd uc e a d o n d e E es la , pa ra S o =S=O .8 8 . ee la en pr es io ne s ó n de es ta s ex L a su b st it u ci
~_
2e
dx
T
( 3y - 2 E )
i, o b te n ie n d o po r de M ar ch a ad gr te in e la cu al fu xC T
W_ _ 2 _ E_ _3 _
E
W
(8 .1 9)
- W ) 3' ¡ ( E - y ) (y
j __
E_---'--y _ _
y
W
3a rc se n
j
E- Y
.+ el
(8 .2 0)
y-W
su bc rí rn o . E n fl uj o to n co de s las co nd ic io ne o se co n o ce e d ep en d e de q u e en el la n u a q y te o aj an st ab n s ag ua ed e se r un a co la se cc ió n de E l fl uj o n o pu d o n d e e l es en s. o eo ul nt lc ta cá el de u ed e in ic ia r , u n pr oc es o ti co n o se p co ns ec ue nc ia en o ri sa ce ne Q, ha ci én do se
215
una can tidé ld fmi ta y
dQ/dx=tü,
(~n
la ce 8.0 se ele l~ ()
h
FlG .8.: t
Espacialmente Variado ¡:¡m Salid<1!3n ,1
en
:rav és de reji llas
(~.! fj lJ
C'11 lLll(l
preC l-
de rondo C11
el fon du d
se ¡]aigua l ~t la
G;
del
fClll dcJ
1l1éti,.-'! e11
Si
la
pres en j.
el pele ,! sup er UllH _:n
cor resp ond e ,1 b Pig. 0.3. Si sup one mos que el ,íng ulu de ene rgía es igu: ll a la uni dad se pue de escr ibir ¡,[uc b
CI ¡
I,!
16
lJOr
U1~;1 tOl1l ,1 de fU'ldu e11 un de ¿¡gua en el cau ce I1ci pal
Pa LI
U 11~\
en
E constante, es decir para dE/dx=o se tiene
específica
Qy
dy
dQ
(-~)
( 8.22)
eh
donde -dQ/eh es el c1Ulbl alivi~ldo por
~\.
el fondo en una longitud dx.
P~lr~1 fluJo verti~';¡] en b rejilla con orificios continuos y longitudinales:
El clUcbl aliviado es dQ eh
cl(l]Jcte K es h
Jilb en el Q=
V
K C T
l).
El
2g
El
(8.23)
un entre el 8í'ca de los orifIcios y el área total de según la ee. 8.'18 (J de la ee. 8.21 es
./ 2g (E-y)
/¡ Itrllcl 11 eiencl u est;l l' x preSlOl1 eando se ubtiene
2 K
del
ellns de la ce. 8.23 en la ee. 8.22 y simplifi-
Cl
.JE(l:,--=-V1
C
3y-
(8
E
b ce. B.24
escribir que
-y-
(B.25 )
KC Gonete el se determina ele b cUllclici'~)l1 Asi se puede l'std
la re-
Cl
y
=
Y1'
P;Wl
x
= (L
en Cjue
21
KC
x=
-
(Y1
y
(8,26)
Si para y=O se h~ICC x=Lll' cn J;, ce. 0.26 sc puede obtcner
h lungitud
IlCCCSdrla
para divertir todo el g;lstu por cl fondo, así
L
Y1 q
(8,27)
=~--
KC
y rccmpbzandu y 1 dc];¡ ce. S.18 se obtienc
Lq =
KCT
dunde Q] es el caudal que entra por el cual se corresponde con cl caud;d b.
divcrtido
Par;l flujo inclinado en b cn b longitud dx, es
dQ
d
con
secci¿m él
h cl
tr;lvés clones:
El
en este
C1SO,
(8.20)
KCT
vA
la ce. 8.29" y Q de b ce. 8.1 S, en la ce 8,22 y
Substituycndu -dQjdx, do, se obtiene
2 KC
',/y- (E- );) -2E
Cimeri() Nosed;l, en 1955, jntegre> la ce. S.30 ¡"'.ra obtener t" L
E
KC
218
j
f - - arccos 2
+
(8 31)
donde C 2 se puede obtener de la condicibn Y=Yl para x=O. Para que todo el caudal que entra sea desviado por e! fondo se requiere una longitud L q la cual corresponde a x para y = dada por
°
L
E 3 L = [q KC 2
j
-
Yl E
Yl 1 2Yl (1 - - - ) - - arcsen (1 - - ) E 4 E
7T
+ -] 8
(8.32)
Para una longitud L, menor que Le' con una profundidad Y2 en el extremo de aguas abajo, el GlUdal Qw 1que se divierte por el fondo tal que Ql -Qw =Q2' donde Q2 es e! caudal que permanece en el canal de haber pasado por la rejilla, está dado por
Qw =C y ~T (1~tJ
Y2 yE - Y2' _ _ _ _ _ _ ) E 3/ 2
Yl
(8.33)
V E -Yl'
EJERCICIOS
Ejercicio 8.1.
Sobre el pavimento de un callej6n sin salida. de pendiente So =0,01 y rugosidad de Manning n=0,020, se produce una precipitación con intensída'd de 100 mm/hora. Al final de! pavimento se produce una caída libre con profundidad crítica. El callejón tiene 100 m. de longitud. Despreciando la cantidad de movimiento de las gotas: a.
Calcular y graficar el perfil superficial suponiendo que la pendiente es nula.
b.
Desarrollar un procedimiento para obtener valores numéricos de profundidad para So =1=0 Y aplicarlo el caso dado graficando el perfil a la misma escala que en el punto anterior. Comparar los resultados.
219
l:jercicío 8.2. Un canal de concreto con una rugosidad n=O,.Ol 5 y una pendiente S )=0,0009 tiene una sección rectangular con una anchura T=4, Om. El canal conduce, en flujo unirorme, un caudal Q=10,0 m 3/s. En cierta sección, el fondo del canal está interrumpido por una rejilla de piso consistente en barras de acero longitudinales de 7,5 cm. de espesor separadas 2,5 cm. entre sí. Obtener una ecuación que exprese el gasto relativo desviado con respecto al gasto de entrada Qw/ Q l como una función de la longitud de b rejilla de fondo. Determinar la longitud total Lq necesaria para la diversión de todo el gasto.
220
CAPITULO
9
EL FLUJO NO PERMANENTE EN CANALES ABIERTOS
9.1. El Problema del Flujo
11.0
Permanente
El tipo de flujo no permanente, o impermanente, mas comunmente encontrado en canales se refiere a la traslación de ondas de gravedad que producen un desplazamiento apreciable de las partlculas del fluido en la dirección del movimiento. El flujo imperma nentese puede dividir, para los efectos de estudio, en flujo gradualmente variado y flujo rápidamente variado. El flujo impermanente gradualmente variado se caracteriza por una curvatura suave en el perfil de la onda, por cambios graduales en la profundidad y consecuentemente por una aceleración vertical de las partículas despreciable en relación con la aceleración en la dirección del movimiento. Este tipo de flujo en el que la fricción constituye una fuerza de primordial importancia se presenta comunmente en ríos y canales por los que transitan avenidas o crecientes y en canales en donde se operan compuertas y controles que alteran las secciones de flujo en forma gradual. En el flujo impermanente rápidamente variado la curvatura del perfil superficial es muy pronunciada, llegando a constituir olas de perfil discontinuo. La aceleración vertical de las partículas de fluido es muy importante pero lasfuerzas de fricci~m se hacen despreciables en relación a los efectos dinámicos del flujo. Este tipo de flujo se puede producir en el movimie'nto i~'icial de una onda alt~ generada por lan;pt'ur~ de u~ dique o también en el movimiento de olas causadas por la operación de las estructuras de control. Los estudios que se realizan en este capítulo están orientados principalmente hacia el tratamiento de los problemas de flnjo impermanente gradualmente variado pero en ocasiones se mencionan y estudian explícitamente problemas de flujo rápidamente variado .
. . En general, la ecuación de continuidad, eco 1.4., desarrollada previamente puede ad-
q.~1r1r algunas formas especiales. Si al canal de anchura T en la superficie libre, es de secClan rectangular, la citada ecuación se puede escribir como
aq
av
-ax+ - at '
o
(9.1)
221
donde q es e' caudal por unidad de ancho, x es b dirección del movimiento, y es la profllndid;¡d y t es el tiempo. Alternativamente, expandiendo el término aQ/ax=a (AV) / ax se obtiene
A
av
~+
ax
V
aA
ax
+T
ay at
o
(9.2)
donde A, V representan el áre;¡ transversal y la velocid;¡d media de la SCCClon ubicada a una distancia x del origen. En est;¡ CCllaClon los tres términos representan, en orden, el almacenamiento en el prisma o canal, el almacenamiento de la cufia, y la tasa de cambio de profundidad, respectiv·;¡l11ente. La profundidad hidr;íulica media Ym=A/T puede introducirse en la ecuación anterior, considerando que aA=TDy, para obtener
av+V~+~ ax
ax
at
o
(9.3)
Estas expresiones,junto cun LI ee. 1.4.,
aQ
ax
ay
+T--'
at
o
constituyen un conjunto de fonnas de la ecuación de continuidad en flujo impermanente en canales abiertos, LIs cuales, junto con las ecuaciones dinámicas permiten la solución de los problemas objeto de nuestro estudio.
9.2. ],'cuacioflcs Dinámicas del Flujo 1mpcrJnu¡¡en te en CmlLdcs Abiertos La ecuaci()!l diferencial en derivadas parciales que representa el flujo impermanente en un canal se plantea considerando, usualmente, que el flujo varía gradualmente de tal forma que se puedan despreciar las aceleraciones verticales de las partículas de fluido y que el esfuerzo resistente obtenido para el flujo uniforme en una sección transvers;¡j cualq lliera es a p [icab le a la misma se cci (1l1 con igual velocidad cuando en ella se presenta un flujo no uniforme e impermanente. En la Fig. 9.1, de acuerdo con la condici(lll dl'
222
/
PENDIENTE DE LA LINEA DE ENCliGIA., S
"-
_.~.
FIG. 9.1
SUPERFICIE LIBRE
Esquema de Definición para las Ecuaciones Dinámicas del Flujo Impermanente.
equilibrio de fuerzas según Newton tenemos que
ah
Tx
- ¡ A
eh
-
pdx
70
=
p Adx
a
x
(9.4 )
donde el primer término representa la componente del peso en la dirección del movimiento, el segundo representa la fuerza de fricción generada por el esfuerzo cortante promedio 7 0 sobre el ped metro mojado P y el segundo miembro es la masa del cuerpo sometida a la aceleración a x la cuaL según la ee. 1.10 puede escribirse
a
dv dt
x
av ax
y-+
av at
(9.5)
De esta forma, substituyendo la ec. 9.5 y la relación do por ¡Adx se obtiene
ah ();
- s=
y cr b
av
-dx+
1
av
o-
at
b
70 =
¡ SR::::')' SA/P y simplifican-
(9.6)
donde g=y / p. La pendiente S correspondien Le a la fricción puede expresarse de acuer do con la ecuacicm de Chézy por S=Y2/ (C 2 R), en la cual C es el factor de fricción de Chézy y R es el radio hiddulico. La eco 9.6 puede reescribirse agrupando términos en la forma_.
(-) dx
av
y2
(h+ - - ) + 2g-
g
--+ at
S
O
(9.7)
223
Pero como
H=h
+
v2
(9.8)
2g
se tiene que
aH
1
av
-dx+ --+ g a t s=o
(9.9)
Si por conveniencia, se hace Se= - él H I él x, y, Sa =- élV/g élt, emonces,
s =S e + Sa
(9.10)
Esta expresión indica que en flujo impermanente gradualmente variado la pendiente de fricción es igual a la suma de la pendiente de la línea de energía y del llamado gradiente de accler
S=
S ()
-~- v av
ax
él x
av o-
D
(9.11)
at
Esta expresión contiene las formas básicas de las ecuaciones de energía en flujo uniforme, en flujo permanente gradualmente variado yen flujo impermanente gradualmente variado. En efecto, el primer miembro igu~11ado con So representa el flujo uniforme, si adicionalmente tomamos en cuenta los dos términos siguientes, la ecuación representa el flujo permanente gradualmente variado, y el último término de la ecuación de energía señala la condición de impcrmanencia.
9.3. Solución de las J::cuacíones df'l Movimíf'nto, Método de las Caracterlsticas La solución de las variables clependientes V e y en las ecuaciones dinámicas y de continuidad no puede obtenerse en forma explí cita excepto en ~11gunos casos específicos. Uno de los procedimientos mas ilustrativos es el llamado Método de las Características
224
odo des arrc llatas en form a sem igrá fica . El mét
exp líci el cual per mit e obt ene r solu cion es por J.U. Sto ker , en tado de una man era clara y sim ple sen pre sido ha ado pas o sigl el do en 195 7. rect ang ular con anun can al de seccil>l1 tran sve rsal Con side rem os, en prim er luga r, ond a soli tari a en un ord emo s que la cele rida d c de una Rec tes. stan con nte die pen y chu ra exp resi ón al expresi¿>l1 c=v~ Ele van do esta la por a dad está y ad did fun canal de pro se obt iene a x, y sub stit uye ndo en la ce. 9.11 cua dra do, der ivan do con resp ecto
ay dc -+ 2c - - + v -ax dx
ay
ot
(9.1 2)
g (So - S)
ució n, la cua l pery=y m' se hac e la mis ma sub stit En la ce. 9.3 de con tinu idad , para mit e escr ibir dc (9.1 3) OV Oc --+ 2 --=0 2Y ._ + cox at dx.
e la sum a de las ecs. 9.1 2 y 9.1 3 con duc
ay at+ (Y +c )
el
oc
ay
ax+2~+2(Y+c)
ac ax
g(S o-S )
(9.1 4)
9.1 3 con duc e a y la diferencié] de las ecs. 9.J 2 Y
c o-c- 2 (Y -c)o-= oy ay o-( S -S ) - + ( V - c ) - - 2ot o o ax ox dt
(9.1 5)
del cálc ulo dife renc ial, que Rec urd emo s, de las def inic ion es
df
dt
af
dx él x dt
----
af
+at
(9.1 6)
6 se pue de inte rpre tar, fíien te de x y de t. En la ce. 9.1 don de f es una variable dep end dx/ dt cae en cue nta de se des plac e con una velo cida d que r ado erv obs un que te, men sica
225
los cambio s de la variabl e f con respec to ;d tiempo s,egún la tasa ex presada por la ce. 9.16. De acuerrt o C011 este criterio , bs ecs. 9.14 y 9.15 pueden escribi rse en la fornia d (V+2c ) dt
d (V -2c) dt
= (v+c)
(V-c)
a (V+2c ox ~-2c)
)
--+
ax
a (V+2c )
+
él t
a
=
Cr
(V-2c )
at
IS o-S)
tJ \
(T
t'J
(S o-S)
(9.17)
(9.18)
en las cuales se ha hecho dx/dt= v+ c, y, dx/dt= v -c respec tivame nte. Las derivad as totales d (V+2c ) / dt, y, d (V-2c) /dt represe ntan las tasas de cambio de las funcio nes con respec to de observ adores que se desplaz an con velocid ades (V+c) y (V--c). Consid eremos en el canal de la Fig. 9.2 los puntos Pa y P , para los cuales se conoce n las caracte rística s b hidrául icas en un instant e t, situado s aguas arrib, y abajo, respec tivame nte, del punto en donde se trélta etc obtene r b inform ación hidrául ica (ln'res pondie nte al tiempo t+L1t. Las ecs. 9.14, 9.15, 9.17 Y 9.18 se pueden escribi r en diferen cias finitas de la forma. (9.19) ~ (V
± 2 c)
g (So - S) Ll
t
(9.20)
Las cuales corresp onden a trayect orias o caracte rísticas que pueden seguir dos observ ado· res que interca mbian inform ación para genera r nuevas condic iones. En las ecs. 9.19 y 9.20 se pueden tomar los valores prome dio de V y de e en 1a~ exp,res iones V=(Va + V)/2, c=( ca + c)/2 y tambié n \1=( V b + V)/2, y c=( cb +c)/2 segun el caso. La solució n mas simpíe de las ecuaci ones de las caracte rística s corresp onde a una onda que se propag a en un cmal horizo ntal sin rozami ento; Esta situac.i,ón .hi.p~tética para lo cual S =s=o puede represe ntar con buena aproxl maclO n la condlc lon 111lclal del movimien to del agua que se libera cuando se accion a una compu erta creand o cC.lIldiciones de inercia mas import antes que las de rozami ento. En este caso en clue las derivad as totales de V ±2c son nulas, los observ adores que se despla zan con velocid ades V ±c no encont ra¡-(lD cambio alauno en los valores de V±2 c. , tJ
226
--------------------~
Or---------------------~------
x
t.t:.t
FI G. 9.2
Esquema Gráfico para la Solución de las Ecuaciones de las Características.
Ejemplo 9.1. hacia un embals e Un canal rectang ular con profun didad norma l y n=1,5 m., fluye que el nivel de la supercon una velocid ad de 1,0 mis. Si el nivel inicial del embals e, igual 3 horas por efecto del vaficie libre del canal en la sección termin al descien de 0,6 m. en r el tiempo para que calcula s, turbina ciado origina do por la alimen tación de un grupo de del embals e. Hasta arriba el nivel del canal baje 0,3 m. a una distanc ia de 1 Km. aguas ficar el proble ma supodónde ha podido avanza r la perturb ación en ese instant e? . Simpli niendo pendie nte nula y rozam iento despre ciable. Suluci ón
la velocid ad y celeSi consid eramos positiv a la direcci ón de aguas arriba tenemo s que ridad iniciales están dadas por
Vo =-1,0 m/s., y,
C
o =) 1,5 x 9,8'= 3,83 mis.
227
En la Fig. 9 3 el problcl1i:¡ se ¡ndjc¡ el tnlllto B situadu a 1.000 1J1. haci~¡ aguas arriba el cu;¡] cUITesponelc ,¡ una prufundicbd y=~j ,5-0,3=1,2 l1l. Y ,¡ una ce(criebd c=,j 1,2 x 9,8'-
=3,43 mis. L¡ c¡r,lcterística AB en t
lo ];¡rgo ele la cual c=3,43 mis se origina en el puntu boca del río, de prufulldjebel 1,2 111. b cual se produce para cl]] ticmpu
la
= O,3x3/0,6 = 1,5
A,
;1
huras.
t 4
:3 b
----------------------
~
2 A
El
I
y' 1,2 m.
__ 1_ - -- _ \I_,~::.. ~~7 J5'Tl./J:'f_ - - - - - ::--=;;";;;;.,,;i"f'-"-~~, I
(J
~<m/l"
I
I
I
I
I
1
..-!-_.J-_-'-_-'-_~__'___'_I ~ _ _ J'__
2
8
6
FIG. 9.3
10
_'__
12
_'__ 14
_'__
_'I~ 16 X(Km)
Solución GrtHica !.le las Ecuaciones de las
A lo brgo de la característica
c¡racterística eJ, se nene
V(I)+e(t)
(9.21 )
en Lt o¡;¡] se puede establecer b dependencia entre V (t) y c (t) cOl1sideLll1du que A lXII-te un,¡ caractel'Ísticl e2 en que
V(t)-2c(t)=V () -2c o
(9.22)
Reempb/.ando altern,¡tiv,IIllCJ1te C (t) y V (t) de 1:1 eCo 9.22 en
dx dt
228
3 'J
V (t) -
:2
vu + c ()
la ce 9.21 se tiene
(9
y t~1111bién (9 .24 )
eh - = 3c (t) eh
+
V o
2c o
pu ed e esc rib ir es en la ec. 9.2 4 se Su bs tit uy en do va lur
~;
9,4 7 Km /hr . x 3,8 3 = 2,6 3 mi s = 2 ,O 1 3 3,4 x = 3
mino 20 S. El Km fh r)= 0,1 0s 6 hr= 6 ,47 /(9 Km 1,0 es B ad en B o en tre A y ha sta qu e la pf of un did lse ba El int erv alo de tie mp em l de o ns sce inc iac ión del de tie mp o tot al de sd e la m. es ha ya de sc en did o 0,3 1 hr. 36 mino 20 S. t B = 1,5 + 0,1 05 6 = emb,d~ tan te t=O cu an do el , ori gin ad a en el ins ión ac rb rtu 60 56 ; pe 1, ra )x me pri x= (V o +c o Para t= 1.6 05 6 hr. la a dis tan cia xt al qu e un sta ha do í'.a ll1 av' : er, ha br se l'lllpeí'.(l a dl' sce nd e tie ne ou -1 1/s=10,188 K' n/h r. se 11 3 2.8 3= 3,8 + 0 1, =- O ' +c J ra V( así 1),l r = 16 ,35 Km x = 10 ,18 8 x 1,6 05 6 las qu e co ser po sit iva s tal co mo en ed pu l na ca un en od uc ida s dis mi nu ye la profundi~ Las pe rtu rb ac ion es pr , () ne ga tIv as cu an do ad did un of pr de nto rel lle a me did a qu e pa sa rre sp on de n "a un inc se ha ce ma s pe gu ei' ia (t) c ;l, tiv ga ne es rb ac ión t au me nta . As í, da d. Cu an do la pe rtu llu ye a me did a qu e ml dis t fd dl\ de lor on un cia da s, l1encia, el va gr ad ua lm en te ma s pr n el tie mp o y en C0l 1 SeC ce ha se e qu Cl plo ca rac ter íst ica s ilu str ad o en el Ej em las pe nd ien tes de las de l eje t seg ún fue ha rec de sec la tt:r in cia ha en erg en co nv erg en un a posici{¡n, div las ca rac ter íst ica s Cl as, tiv si po n es so lor va es s ion do rb ac la pr of un did ad ten dr ía 9.1 . Cu an do las pe rtu ers ec ció n ind ica qu e int ta ce en un a Es du . tra nto se pu ico ún fen úm ell o fís t,ín do se en alg El o. mp tie o sm mi n dc l siste~ o lug ar y a un ola qu e po r tra sla ció a un dif erc nte s en un mi sm a e nd spo lTc cO ari o, pr on un cia do qu e rm an en te o es tac ion ond;1 co n un fre nte a co mo un res alt o pe iad tud es el ser en e e ed uc pu od do s se pr m
22 9
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
¡'r.ttriftCClon "l
I
61
T
~
_ _ _ _ _ _ _ _ _L _ _ _ _ _ _ _
O
FIG.9.4
x,
~
x
Convergencia de las Características en 1, a Partir de Donde el Frente de la Ola se Hace Pronunciado.
La interse cciún de un par de caracte rísticas próxim as se puede estable cer, en la Fig. 9.4, median te las relacio nes geomé tricas
.6.t sen e .6. = - - - sen ()
e
.6.t
x/
sen 2
e
x·1
y tambié n
.6. ()
= .6.
(tg ())
7
COS~ ()
Por lo tanto
x·1 =
.6.t tg 2 () .6. (tg e )
d (V+c) /dt
(9.25)
Si se substit uye la ee. 9.24 en la cc. 9.25 se obtien e finalm ente x·1 =
[3c(t ) +V o -2c o ]2 3 dc (t) I dt
(9.26)
La envolv ente en el plano x--t señab el contor no a travós del cual no se transm iten las caracte rística s ya que en esta se pruduc e la pérdid a de energía corres pondie nte al re-
salto.
230
Volviendo al problema de la onda negativa sin rozamiento, la forma de la onda se puede obtener reempbzando dx/dt=x/t en la ce. 9.24 10 cual es posible si se elige un origen adecu;ldo. Así tenemos
x
(9.27)
t
El perfil instantáneo de la onda, según lo indicado por la eco 9.27 es una par:lbola tangente al fondo del cana1. Los problemas de flujo impermanente con rozamiento pueden resolverse por medio de gráficos similares, con las dificultades ad 1cionales contenidas en los términos S o y S en
la ecuaci¿m del movimiento. A continuación se estudian algunos casos particulares de flujo impermanente con rozamiento.
9.4.
Tránsito de una Onda de Crecida Una onda generada en un canal uniforme que avanza con velocidad constante V w
entre una región de flujo uniforme de profundidad y 1 Y otra región de profundidad y 2 Y flujo uniforme es una onda de forma estable y recibe el nombre de Onda Monoclinal de Crecida. El an(¡lisis de este tipo de onda puede simplificarse tomando un sistema de ejes coordenados que se desplace a la misma velocidad V w de la onda, o en otras palabras, sumando una velocidad -v w a todo el sistema y convirtiendo el problema en uno de flujo permanente.
FI G. 9.5
Análisis de una Onda de Crecida por medio del Principio del Movimiento Relativo.
231
Sig;\lllOS el des;¡no[[u de B.R, Gi1crest. en 19S0. E11
L\
Fig. 9.5, 11;\llle11111S ;\ Qr el
g;\stu ficticio corrcspll11diclltl';\ h Iluev;\ situ;\ci¿JI1 reLtiv;\. El g;¡sto Qr estarú daclu p()r
(V
w
~V
lA 2:2
(9 .2S)
d()nde Al v A:2 rcprl'SellL\11 bs Jre;\s cmrcspondicl1tcs;\ las prllfl11ll1ilhdes Y1" Y2 rcspectiV;\\llClltC. De la ce. 9.2S se pucdl' obtener l1 U l'
(9.29 )
COlllhin;\ndll Lts ccs. 9.21-5 y 9.29 se ubtiellc e1 gasto ficticio relativo, ;\sí
(9.30)
~A
I
l'
FIG. 9.6
=V
w
Representación Gráfica de la Velocidad de una Onda Estable.
Es evidente ljUC la velocidad de la ond;\ l'xccde LIS velocidad V 1 v V r, va que / !.. ¡
> e.!.. > el' r,
\lI,l
De hecho. substituyendo V\-\1 =dQ/dA en un cana] recull!o':ubr y haciendo u I
Q=AC y1/2 S 1 /2 de ;Icuerdo cun la ecuacillll de Chézy se obtiene llue
232
e >
=3V/2.
La forma del perfil se puede obtener mediante una substitución adecuada en la eco 9.1]. En flujo impermanente gradualmente variado, la onda avanza con una velocidad V w; por 10 tanto en una determinada sección, la tasa de cambio de la velocidad con respecto al tiempo es igual a la velncid ad de la onda por la tasa de cambio de la velocidad con respecto a la distancia, con signo negativo. Así, en la igualdad
av
av
(9.31)
Tt=-Vw(ax) se puede substituir aV/ax derivando la relación V = Vw -Q r lA de tal forma que
av
a-t
(9.32)
donde T es el ancho en la- superficie libre. La substitución en la eco 9.11 conduce a V -V
g
w
av a
x
(9.33)
de donde
s o -s
ay ~
')
1 -
(9.34)
TQ r g A
3
en la cual Qr tiene el significado correspondiente a la ce. 9.28. El cambio de elevación del nivel superficial en una determinada estacion, ay/at, es igual él V way/ox; así, la ce. 9.34 permite el cálculo del cambio de elevación en una sección. La subsistencia de la onda se puede estudiar a partir de la hipótesis de que la velocidad de traslación de la onda se conoce por el estudio de registros hidrográficos previos o que esta se puede obtener de la relación
vw
1 T
dQ ~
(9.35)
233
curresp onde ,¡] esquel11" de la Fig.9.6 . P. Forchh eimer. en 1930, desarro lló el siguiente métod o para la determ inación de la atenua ción de la altura ele la onda en canales rect;lIl gubres anchos : P,¡r;\ flujo imperm anente , emplea ndo L\ ec. de Chézy. se ruede c:seribir CUi1l0
Q= AC) /2 (S J
o
_o y _) 1/2
ox
y derivan du eun respec tu ;\ x
aQ
) dV)1/ 2 él (Av 1I? .~ 1/? ~-(ACy~) ax élx ?iS ~
--=C(S-~
ax
u
(9.37) :;/:;,1 /2
\ u-uy Ux)
pero en b crest;\ se tiene que ay/dx= O y tambié n a Ala:: = O. así
oQ
ax
y 1/2 -2s1/2- AC
Cl
a2 y
-¡-2x
Qn 2S ()
e,
a..c y ----:--Tax~
(9.3g)
dunde Q¡ = ACv 1/2 S 1/2. Pero. de b ecuaci ón de cOl1till uicbel, se puede rccYll¡Jbzar 1 • () . - a Q/ax por Ta/at y la ce. 9.38 se transfo rma en
ay T dt
2S o
?
élx~
(9.39)
El c;¡mbio de prufun diebd en la cresta de la unda cuando elb trdllsit, l hacia aguas abajo, expres ada por la derivad " total, e11 términ us de velocid ad de b onda, es
~ dt
-~ +
at
(9.40)
Pero en la cre"sta se tiene c]lIe ay/ax= o y por lo tanto <11 reempl azar la ee. 9.40 en la ce. 9.39 se ob tiene
234
~_= dt
él 2
(9.4 1)
~ -')
Qn
ax~
:2TS o
tiem po i:1 t=i:1 xl Vw con la velo cida d Vw req uier e un La cres ta de la ond a que ava nza ta es cam bio de pro fun did ad de la cres paré) reco rrer la dist anc ia i:1x; el
i:1x
dy i:1y
V
dt
vw
w
(9.4 2)
lme nte disp oni ble ar por otra exp resi ón más Hci plaz 2 reem 2 de pue se t/ox él a La deri vad si se tom a en clle nta que ~
élQ
aQ
ox
ox y por 10 tan to
élQ ay
En
Y que , ély/élx=O, así la cres ta se tien e que TV w = élQ/ély,
pue de escr ibir y reem plaz and o en la ee. 9.42 se
i:1y
=
Qn
~-----
2T 2 S o V:2 w
_él :2 Q _ ') él x~
i:1 x
(9.4 3)
235
a
Con el [in de determinar el valor de 2 Q/d se puede suponer lItle el perfil de la ond,) se curresponde, en la vecindad de la nest,\' con un cIrco de círculo subtendidopor ulla cuerdJ que une dos valores igu,¡]cs ell el diagLlma de descarg'l. Se puede tomar la longitud L de la cuerda tal que subtienda a la onda para un clllebl correspondiente ,¡ la descarga pico Qpe cn exceso de la descmr<1 normal. Ll lOllg:itud de la cuerda se rIluede dar [Jor L= u · L'
L'1t L donde L'1t L e~ el intervalo de tiempo necesario para que la cresta recorra la longitud L. La curvatura 2Q/ dx 2 del arco subtendido se puede ,¡proximar por el inverso del radio de curvatur,¡ r en la vecindad de la crest,l, de tal forma que
a
1
--=-8
Q"pe
(9,44 )
')
r
Reemplazando
8 Qpc w (L'1tL)~
la expresión ,mterior en la ce 9,43 se puede obtener
4 Qn Qpe L'1x ---
2
ce el
Cuando se
P,lSO
ele
la cresta
y la ee 9.4 S se puec1 e tran
ce¡ L1
(9A5 )
r
b ond,¡ se puede en
que
es
4
(9.46 )
tenerse que la cnergÍél y que la carga de se clespbza con una velocidad CUl1St,1I1tC y que el perfil de 1<1 un arco de Le) c1ón ubtenida hél m()stra~ en probkrn
2 Un tramo de do tiene 4S Km. de un,¡ anchur:.¡ de 1500 m. y una El río conduce pcrm,ITlCnl:cmcnte un c¡mbl 1000 rn Se jJrodu~ ce una currc.~p()nclc ,1 un c¡urbl m:íxinlO, exceso IT el caud,¡l pcnn,¡~
aguas arr iba pasar po r la sec ció n de ra pa ras ho 30 re uie el de sce ns o 3 La on da req Km. del río . Calcular ne nte , de 25 0 m /s. 45 los rer or rec en alc an za ra 20 ho ras cu an do la cre sta ha ya o pic del río y la cresta de mo al ud ca l de n sta y la dis mi nu ció de elevación de la cre s ab ajo . do el ex tre mo de agua
Solución cre cid a es ns tan te, de la on da de co , ito ns trá de d ida La ve loc 45 Yw =~_O x
10 00 36 00
0,6 25 mis.
sar , de ac ue rd o co n la scarga se pu ed e ex pre de de l rfi pe l de ra El rad io de cu rv atu ec. 9.4 4, po r 2 = - 22 78 12 5 s/ m. (0 ,62 5 8x x3025x0 36 00 ) r= 5, así se ob tie ne de la eco 9.4 El de sce ns o de la cre sta
~y
=
Qn
~X
2T 2 S O y2w
r
Vw
- - - - - _l b.y -=---=,,-:::-:-:--,.tl"'!. - - - --:,- ~
r -- -- vw.;;.- -
I
I :mlilY/.dii h1YMliljMlI¡w/ ;I
i> /t'/AlI ll"'W.A1II\iw),{iiilWAi¡liW.J¡¡¡11
¡-- --- ti"
4~ Km.
45 00 0
10 00
-
~y=-
I ;J1fillf$
2x 15 00 2 xO,0004xO,62
52
22 78 12 5
------.¡ ~
y = - 0,0 28 m.
9.4 6 es de ac ue rd o co n la eco o, xim O1á al ud ca el La red uc ció n en _4_50_0_0_ _ _ = _ _4_x_l_0_0_0_x_2_5_0_x 3 x 30 2 x 3600 2 15 00 x 0,0 00 4 x 0,6 25
_ 26 .34
01 3 / s
23 7
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
La reducc ión anterio r se corresp onde eviden tement e con la expres ión
9.5. Perfil de Avenid a por Rupt'ura de un Dique La ruptur a comple ta de una represa origina la liberaci()J1 repent ina del agua en el embals e. Emple ando la ecuaci ón de ehézy se puede determ inar el perfil de la a venida correspo ndient e al flujo si se supone un canal rectang ular muy ancho. En este caso especia l con referen cia a la Fig. 9.5.y a las ecs. 9.28 y 9.29, se tienc que
Al
=O;
V1 = O ; Q r
= O ,y,
EmpIc ando la ecuaci ón de ehézy para
V
'v
= V = es 1/2 2
o
Vw
=
V')~
la velocid ad se puede cscribi r
, 1/2 Y2
y tambié n
donde
Q = V w A - Q r = V? Ty ~ Substi tuyend o
las expres iones anterio res en la ec. 9.34 se obtien c
~ él x
so -s=s o
Y2 ' []---]
Y
(9.47)
Es de anotar que si en lugar de. emplea r la ecuaci ón de resiste ncia de ehézy se hubiera empica do la de Manni ng se habría obteni do
~
ax
238
y') So [ 1 _ ( - - ) 4/3 ]
Y
(9.48 )
Si se hace la hipótesis q ve E. Naudascher propuso en 1967, de que la fuente de suministro permanece constante, se podría emplear la profundidad normal en la cresta de la avenida para L, cual el flujo es prácticamente uniforme. Así, para Y2=Yn' la eco 9.47 se puede transformar en 1
d](
=
" ( S-
1 ) dy 1 - Y/Yn .
l-
o
(9.49)
Escogiendo tI punta del frente de la avenida como el origen de coordenadas donde y=O para x=O, la ce. 9.49 se puede integrar entre O e y; así
1 So
.
1
) dy
(9.50)
= ~+ In (1-~)
(9.51)
x=--
(1~----
-
1-Y/Yn
la cual conduce a xS _ _0_ _
Yn
Yn
Yn
Algunos valores numéricos de esta ecuación se presentan en la Tabla 9.1 TABLA 9.1 Perfil de la Avenida Producida por Ruptura de un Dique
Y/Y n
x So/Yn
1,0 -00
0,8 -1,809
0,7 -0,507
0,6 -0,316
0,5 --0,194
0,4 -0,110
0,3 -0,057
0,2
O
0,020
°
La ce. 9.51 se presenta también grahcada en la Fig. 9.7. Esta indica que la avenida se desplaza con un frente de agua de pendiente muy pronunciada, casi vertical. Para realizar un análisis cuan ti tativo en un problema particular, se requiere información sobre los valores de v de S . J o
239
que se supone que
la
FIG, 9,1
en
pUf ruptura la onda negativa se
la fig,9,8) se
de [Jrefillil":iülIl pawa la Deternl1nación de~ Caudal Li~ bemdo,
Gráfico P,¡Jimensional del Perfil de AlJemiclr:t
(9.52)
por la ecuaci¿ll1
se
Q =T (
dQ
-1-=0= o
ex muestran q es máximo, Así para
la
-2\1
íén d
1
(9.
g Yo por
lo tanto el
I Q= ----1'
4
240
lY
b
g
v= y
es
_'-_J_) V
-d)V=T(y o - v
, Diversus forma que el Cél
se
movimiento,
es
g Yo
(9 55)
g que se
tío ron
Inc ren Ien tos
9.6.
+1
la
1 :2
o
en
- vI
-
+
2
C(__
o
9.5
Y-J;,
se
811
1
J
,-
L}"t --}-
o
2
o
+ - 2- 01~
Út
'57 )
En Ulla segund a a prox illla ci on se consid era un almace namien to en "cuña" el cual se obtien e midien do los valores instant áneos de los caudal es de entrad a y salida y se relaciona con el almace namien to de "prism a" represe ntados en la Fig. 9.9.
Almacenam iento en Ilcul'lo" = K X (1-0) /
Caudal da trabajo
~--L
__~~"'"--
O
-o-~
FI G. 9.9
Representación de los Almacenamientos en "Prisma"
y
en "CU~¡¡".
Supon iendo una relació n line~ll ,lI1áloga ;1 la anterio r, entre volume n almace nado y caudal de salida para el almace namien to de "prism a" y otra relació n lineal para el almacenam iento en "cuña" depend iente de la diferen cia 1-0, entonc es, el almace namien to total será "V=K [O+ X(I- O)]
(9.59)
Esta ecuaci ón es la base del métod o de Muskin gum desarro llado por el U.S. Corps oE Engine ers para la cuenca del río Muskin gulll, Ohio. El cambio de almace namien to en un interva lo de tiempo selecci onado se puede expres ar por
(9.60) Combi nando las ecs. 9.56 y 9.60, con el apropi ado .cambio de subínd ices y hacien do Llt= 2KX, se puede obtene r
(9.61)
El concep to de caudal de trabajo , o caudal D, represe nta el flujo perma nente que produc iría igual almace namien to que el corresp ondien te a los valores de flujo de entrad a 1 y salida O. Se observ a en la Fig. 9.9. que
242
KX (I-O)
(9.62)
= K (O-O)
de donde
0=
D - IX
(9.63)
1-X
o también O=D-
X 1 -X (I-X)
(9.64)
A estas expresiones se les pueden asignar los subíndices correspondientes a diferentes niveles de tiempo para obtener otras expresiones que las presentadas en las ecuaciones anteriores. El ejemplo que sigue, desarrollado por E. Naudascher, ilustra un pr.oceso de cálculo del tránsito de un,l avenida.
Ejemplo 93. Una avenida con el hidrógrafo de entrada dado en la tabla de abajo, entra hacia un embalse con un área superficial de 800.000 m 2 . La salida del embalse ocurre sobre un aliviadero cuya cresta tiene 60 m. de longitud, adicionalmente a una salida constante de 14 m 3 /s. hacia una central hidroeléctrica. Determinar el hidrógrafo de salida si el nivel del embalse es igual que el nivel del aliviadero antes de la llegada de la avenida. Para simplificar el cálculo se supone que la superficie del agua en el embalse es horizontal y que su área es independiente de la elevación.
Hidrógrafo de Entrada Tiempo (Horas) Caudal (m 3 /s)
O
2
4
6
8
10
12
14
30
78
84
58
28
14
La ecuación de salida por el aliviadero es
= C d Bh 3 / 2 V2g donde Cd = 0,433. 243
Solución Por convemcncw, la solución numérica para el presenta en la siguiente tabla
h ( 1)
° (m /s) 3
en el aliviadero se
de
I
0,03
0,05
0,10
I
O
-l,29
3,63 10,30 118,99 129,10
0,20
I 0,30 1 OAO
0,50
0,60
O 53,50
párrafos anteriores, la relación de continuidad de
Con hipótesis indicadas en la ce. 9.57 es
donde el subíndice 111 representa medios de los en el intervalo tiem po ~ t. El caudal medio de salida es O = (01 + 0 11 ) =0 1 + O" donde 0 11 es el ca i 111 m 111 , constante ele 14 111-/S que la central ca. SI el de del embalse el intervalo el e el incremento en almacenamiento se puede corno
ll'\f=Silh la SImplificación que supone un área S constante int,::rvalo de
¿ir
=2
7200 800.000
244
eCLlaciol1ES
-O' 11.1 -1 11!
Con una anteriores se
Los
en la Tabla de
se
____+-__-24~____+_----~~------~.-----~----~----.-~.. !imITada !v'!ed ii:l 1m
22
0,
2:
0,7 0,066
54
lO
10
4
0.,210
6
0,270
0,336 (0,471)
71
55
,o 5"
43 10
28
-"" ,¿
14
14
lL}
(0,614) 0,011
46
21
27
46
00470 (0,380)
-OJ80
55
0,62<1 (0,546)
-0,153
37
0,606
27
0)290
14
14
14 14
En la
la representaClón gráfica de la
máximo se m'J/ s y que tiene un desplazamiento en minutos. En de Volúmenes se presentan los al resto de presentaciones en el gráfico de la solución.
245
r
140
r-~~r-~~~~~,-~~,-~~~~~~~~~~~-,~~--.2,S
0,6
120
~~~~~7--,~~~~~-.~~~~~~2,4
0,5
100
0,4
~ '".5 SO
0,7
I
!
E
0,3
o"
~t--~-t---~
2,
E
° "'o-
1,6
~ N
1,2
60
H
;:j o
[,-,1
0,2
40
0,1
20
°
CAUDAL
DE SALIDA O
.",L-+-"'~-+~~-----jf---~~l--~--I
0,4
o
°
Tiempo
(Ilr)
flGo EJEMPLO !13
de
~aiid¡¡o
Tabla de Volúmenes Tiempo
Llc.t
(hr)
(1000m 3)
(1000m 3 )
(IOOOm 3 )
(IOOOm 3 )
O
O
O
O
O
2
154
101
5
106
4
547
202
77
279
6
1132
303
343
646
8
1642
404
740
1144
10
1952
505
1070
1575
12
2102
606
1264
1869
14
16
246
0,8
LO
LO c.t
Loc.t
EJERCICIOS
Ejercicio 9.1. Un río fluye hacia un estuario con profundidad normal y n =16 m. y una velocidad de 1 mis. Antes de comenzar la subida de la marea el nivel del río y el del estuario son los mismos. La marea comienza a subir a una rata de 30 cms ..por hora durante 2 1/2 horas. Determinar: a.
Para una distancia de 2 Kms. aguas arriba del estuario, cuánto tiempo tardará el nivel del río en subir 50 cms.
b.
A qué distancia hacia aguas arriba se intersectan todas las ondas?
Bjercicio 9.2. Mostrar que el caudal relativo y la velocidad en una onda monoclinál de crecida un canal rectangular muy ancho pueden expresarse respectivamente por
en
Qr = y por
vw =v 1 donde C es el factor de resistencia de Chézy.
Bjercicio 9.3. Empleando la ecuación de resistencia de Manning y tomando en cuenta que V w =
=
+
~;
según lo señalado en la sección 9.4, determinar la relación entre la velo-
cidad de la onda y la velocidad media del flujo en una onda monoclinal de crecida, en
247
,L
Un
rectangular muy ancho,
Un.
triangular,
Determinar la velocidad de la onda y el perfil del nivel superficiél1 para un flujo impermanente gradualmente variado en un canal rectangular muy ancho si y 1=3,00 m., Y2=7,5 m.)
So=0,0004 y si el factor de resistencia de
es C=80 m I / 2 /s.
9.5.
Completar los cálculos para el Hidrógrafo de
248
en el Ejcmplo 9.3.
nlJLG 1
DISPERSlON TURBULEl'JTA El\f CANALES
10. ( Le¡
I
en
Ui¡
'.' U í11 O
at
~:-
ac = \/ ---él x
ac x
cC ----) + l(
,
r
(HU)
p
:1.]
1, la
.ex; 1,),
COí,.,¡cct;va de maS;l, COl1vecelmovJmiento
en tfe la convección real de el tér-
¡(en
J111110
noce
y se
longitudinaL En la Fig. esquemáticamente el
el sustancia nL\llcr~l
del dueto pur 11 1
¿1
capas
249
tes de fluido se mueven con dlferentes velocidades longitudinales originando una dispersion que se superpone ~1 la propia difusión turbulent,L La dispersión longitudinal resulunte es mucho mas amplia, según se indica en el gráfico de concentraciones en la Fig, 10,1. b, Sir G,l. or, en 1954, dcmostró en tuberJas, que el coeficiente dc dispersión longitudinal Cll un conductu recto podría c por
Kd = 20,2 R
(10,2)
~_.-
'"
t 1 1=0
.§ t= l' ,
J
e
r-v--j ~~~
~~~~
n Tmb!J!fmta
ti
. ed io en los co nto rn os esf ue rzo co rta nte pr om el es ro y len o bu lic tur ráu hid dif us ión do nd e R es el rad io e el valor me dio de la qu r yo ma ces ve 0 20 rca de r es nu la tas a de pr od uc ció n Este valor de Kd es ce al cu la en , va ati erv un a su sta nc ia co ns 10 .1 se ta Kx ' Pa ra el caso de ina l es co ns tan te, la eco ud git lon ón rsi pe dis co efi cie nte de la y su po nie nd o qu e el fo rm a pu ed e sim pli fic ar en la
c a2ac= K ac V -+ d ax 2 ax at
(10 .3)
on es iniciaifi ca ció n de las co nd ici ec esp la de e nd pe de ua ció n nti nu ac ión . La so luc ión de es ta ec sib les se es tud ian a co po as lem ob pr los de les y de bo rd e; alg un os
tánea en el Origen 10.2 In ye cc ión Instan
ca na l se inun a tub erí a o de un de l rsa ve ns tra n ció do r pa tod a la sec d"e un ma ter ial tra za ita Su po ng am os qu e en fin d da nti ca a un y un ifo rm em en te ció n de aguas ab ajo , tro du ce ins tan tán ea se dis pe rsa en la dir ec y do rta po ns tra es ter ial ra x=O, t=O. El ma . 10 .2. Fig la en seg ún se ind ica
C( f= O)
I* -- -- -- -- -- -- -V l
v
--~
----------
•
x de un trazador en Introducción Instantánea una a par es on aci ntr de Conce FIG. 10.2 Distribución O. = t o, x = fu nc ión Di ra c- de lta en tér mi no s de la se sar pre ex e ed pu en tra ció n int ro La co nd ici ón inicial pu lso inicial de co nc im un ra pa ca áti tem en te la ión ma ita de ma ter ia. In ici alm fin o (x) la cual es un a fuyncge d da nti ca a un r ne rad o po lso se ap ro xim a a ce ro du cid o en x=O, t=O e el esp eso r del im pu qu s tra en mi to ini inf a ta la ma sa to tal de l co nc en tra ció n tie nd e pu lso , la cu al rep res en im l de ión nc fu la jo a ba de tal fo rm a qu e el áre pre sar se po r ta pr op ied ad pu ed e ex Es te. tan tra za do r, es co ns
o
+= f
o (x) dx = 1
(1 0.4 )
251
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Ición
se rep rese nta cor no
e (x,O) don
M
P A 8 (x)
(l.í. S)
M es la m~\S~l
o y A es
el ;ln:,¡
de
la secc iói1
La mas a del tL\L ado r se con serv a, ,1sí
+OG J
+-= J e (x,O)dx
=
con torn o se en x = ± = , l S 1
par, ]
Par a
+=
ívl
f
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e (±= ) t ) = o
señ alad as, h
[vI
pA o c¡ uc
la
t> O.
con ccn trac ión es
b ce. 1 CU
011
t -1/ 2 le == - - - - - - - ex 1) -(x -
M
o(
2
(HU )
4
r.1 u e
L
b masCI
ora se lnue ve en sím étri Cl en la con cent r,¡C i()jl 111dXlí1¡;\ se mue ve COil b ve
la L11C r
el!
la
dircCCll111 rd-
m,¡yl.'¡-C'S quc 20, 2.en curv as rlci, \s real izad as por J. en 197 0, ()
en rerm ln,¡ cilll l
()
el
con ccn trac 1on cs'J se x
4
tI
cc. COH·
Por el que el coc o b curv ;ltur ;¡S SUll de peC Juei lo mie nto s y otr,1 5 ,¡]te r,\ci une s (jLle sc pro duc en se c un prr) Ccs o ex p;¡r;\ la deuna el istr ibuc iúll Gau ssia n
2 1 /') '1 ~
t
(10,13)
donde x1/2 se define como un medio de la longitud de tubería o canal que contiene fluido de concentración mayor que la mitad de
la máxima. Por otra parte (1 ,
~
donde t so es dos veces el lapso de tiempo u entr'" de un elemento de .volumen con la mitad de la conccntr~'.ción con máxima concentración,. Substituyendo la ce. 10.9 en Loe ee. despejando se obtiene, siendo X la disLmcia al punto de concentración
(JCUO)
Finalmenté (2RVi')', donde \1*= V~)P; guc se de terminar, substituyendo por su de f es el factOl fricción Darcy, mediante la
Kd ( 10,11) 2RV",
en la
R ec; En
la
7,84 R X [1/2
hiel
r
Fig,j O,}
de
concentrac¡onc:~
'" nida en una sección hidráulico, aguas abajo del sitio de myeccicm, para un número Reynolds Re del flujo, = 4VRjv = 71800, Eh dícha Figura, ei tlempo 7 se define por 7 = ( x - X ) IV. Si en la ce. 10,7 fijamos nuestra atenci(m en el punto de conccntranón máxima Para x =Vt, Se obtiene Cm
= Bt
- 1/2
\ 10.12)
dCHide B es una constante si Kd se supone constante.
Dividiendu vdlorcs de concentración m<Í xima en dos secciones 1 y 2 distintas y tomémclo IObantmos se tiene
253
0,10 ~
X/R
Re
248
=7/800
/' t'\
0,08
V \
\\
I
0,06
I
."
~ '-
I
\,)
0,04
~o: O 57 se!};?
ILl IJ
1--0,02
_1
I
V ./
0,00 1,0
0,8
0,2
0,6
O
\
\ \ 0,2
I'~
0,4
Í'. _"""
0,6
r--
0,8
1,0
248 R.
FiG. HUI
log
c, ¿
2
loatJ
Substitu
( 10.13)
y Xl
la ecuación anterior se
en
locy tJ
l(- tJ
)cr
2
En la 1 ü.4 se graficl b cunccn tracÍoncs distancias pa];l un número de y una concentr,lCiém de En dicho gráfico la sección 1 se tomó ~\ 248 R de la seco(m de 2 se usé) para indicar la sección
254
(10.14)
const,) ote. índice
..., ~
10 9 8
/
7 6 5
r
m en ta /e Pu nt os ex pe ri
s
Ve
11>
~
0 1\~ =7 1. 80
,V 1/ 2
el
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2
1
V 1
V
/'
/'
"~V
5
~
6
~
1
"'"
8 9 10
20
30
40
50
2
x, fIG.H1.4
de
es Máximas. de Concentracion
ef ic ie nt e de ia so br e el co nc ue fl in r te ne o, el ~oe o pa re ce no rc a d el m is m uj ce fl l ro de pe s n; ld ió se R ey no si ti o de in ye cc n o ld s, se gú n El n ú m er o de ua s ab aj o de l n' le ro d e R ey ag nú a ci al an al st on di er ta te pr op or ci di sp er si ón ci es d ir ec ta m en ón si er sp di e fi ci en te d la Fig, 10 .5 , m ue st ra en te en el a co nc en ci ón C on st an ra nt ce on C te nc ia d e u n is ex 10 ,3 la r o p nc en ad a er si ón or ig in lm en te la co sp ia di ic e In d a o, m x= le el p ro b t=O, el el or ig en , pa ra C on si de re m os E n el ti em p o x, en te , C a' en e an d m vo er ti p si y r po n tr ac ió n st an te cu al qu ie r va lo ci a d e co n ce tr ac ió n, co n ra an st pa su la la nu o e I za nd o co ns ig su bs ta nc ia es co n to rn o , q u d u et o , de sp la tr ac io n d e la ic ia le s y de el in s en ne se io er ic ov nd co a a m m ed ia V. L as fl ui do em pi ez a ve lo ci da d un n co ' C .6 so n lo ca li za da o en la Fig. 1 0 te en am ic át es q u em se m ue st ra n pa ra t: ? 0, C( + = It ) = 0 o; > x ra pa ,o )= O ra t) o; C (x C (o ,t )= C o pa
255
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erro r erf
en las Ta ne s ta le s co m o io ac ic bl pu as rs ve da en di ve ió n C o /2 se m ue en cu en tr a ta bu la a de co nc en tr ac rv cu la Es ta fu nc ió n se en io ed va lo r m as de A lle n. El bl as M at em át ic d m ed ia V. co n un a ve lo ci da 5 se re du ce a V=O, la ee. 10 .1 e qu en al ci pe En el ca so es er fc (
x
2ytK¿'
) = 1
~
(1 0. 16 )
x -) er f ( - - - -
2 V tK ¿
va lo re s ili da de s co nt ra ab ob pr de la ca .1 6, en un a es co ns ta nt e. /C ' de la eco 10 a si K d es un a ct re ea lín a El gr áf ic o de C o un ón tu rrr es po nd e a nt e K x de di fu si ie ic aritmétj¡.-~, co ef la co ca el es n a co un , ta de x/-,jt en de , en es te ca so te ni en do en cu en di sp er si ón co in ci se pu ed e ha lla r de ón e si nt fu ie di ic ef de co e El co ef ic ie nt . 10 .1 6 se tie ne r nu m ér ic o de l ~ En la ee = bu le nt a. El va lo /0 x al cu un pu nt o pa ra el qu e de be ha be r
"hrK x '
er f ( --) = 1 1 - er f ( - 2 V "K ;
~
)
0, 21
2
n el fin de de x/ yt '= V 71 'K ; co de r lo va e nt ie es po nd ,2 1 se le e el co rr A sí , pa ra C /C o=0 . r nu m ér ic o de K x te rm in ar el va lo re le va nt e im po rpu ed e ad qu ir ir jo flu l de fes vé tra l a es tu ar io s. Es to s di sp er si ón la te ra d ua le s en rí o y si re s te se en ar lu m El es tu di o de la ef xi ap ro ga de o el de la de sc ar za m ie nt o pu ed en m ro n co s co so s jo ca flu en co s so de nta nc ia y ot ro ns ve rs al en rí os er si ón . Pa ra el ca sp tra di a cl la ez de m al de on m en si io ne s esnó m en os la ec ua ci ón tri di ie re n co ns id er ac qu de re n ió se ac or lic pt ap ce En m ed ia nt e la qu e la de l rí o re po r la de sc ar ga . e es pr od uc id a fe re nt e de ns id ad di qu l de ra , s po 74 te m an 19 te in en ia m ta ge l, nd ar ci rc ul ac ió n se cu A gu ir re y M. R en la J. , a S. do a bi rp . de Ze ad es id E. al r ns de pe ci tu ad a po n di fe re nc ia de bi bl io gr áf ic a ef ec ve rs al si n y co ns tra un a re co pi la ci ón ón si er sp di s pr oc es os de se de sc ri be n lo O cn si da d si n O ife rc nc ia de l sa er sv an Tr n 10 .4 D is pe rs ió s in ve st ig ad ore sp ec to po r ot ro al os ad iz al re aj os do en un pe na ch o ge ne ra 72 , an al iz ó tr ab 19 un en de s, al rs ok ve ro B ns tra N. H. ig ó la ex pa ns ió n , en 19 70 , in ve st res. ]. K . O ko ye
257
punto de origen en c.:I flujo uniform e de un canal abierto . Inyect ó un trazad or con flotación neutra , contin uamen te, con la misma velocid ad del flujo en el canal, él través de un orificio dentro del flujo. La concen tración del trazéldor se midió in situ en varios puntos aguas abajo empica ndo sond;ls de conduc tividad . Los experi mento s fueron realiza dos en un canal inclina do de 40 m. de longitu d y 1,10 111. de
V
2
da = - ? - --dx
donde a 2 es la va.r.ianza del perfil de concen tración en la direcci ón transve rsal nivel del flujo y a2 es el valor del a 2 prome diado sobre la profun didad.
258
(10.17 )
~
él
cualqu ier
Las bases teof]cas para esta relación en un flujo con dadas en detalle por Okoye en su trabajo. El coeficiente turbulenta y la dispersión transversal, asociadas con las de .a 2 aumenta ~1 una tasa lineal, con la distancia aguas KZ independiente de x. El coeficiente de dispersión es
mezcla vertical y horizontal son así definido incluye la difusión corrientes secundarias. El valor abajo haciendo de este modo a normalizado dividiendo por el
producto V * byn, así
¡y
T
1
r - - - - - ¡.. -
.. -
.. -'i~-------~-y¡".-- - - - - - - - - - - - - - - PENACHO OIPUSOR
Tti I .J.~~~~;",;;;;~~~,~,~r~~~x DISTIUSUCION DE VELOCIDAD
L/MIrE DEL F"ONDO SOLIDO
(Cerco del origen) PEflP/L DE CONCENTRACION VERTICAL
0).- SECCION CONTORNO LATERAL
T T
I
1 bl- PLANTA
FIG.HU
de Oefinici(¡n de !a
de un Penacho y sus Ejes Coordenados.
8=
(10.18)
,ionde V *b" es la velocidad cortante en el fondo, Yn es la profundidad. En la Fig. 10.8 se resumen los resultados del estudio de Okoye comparados con otras mediciones de laburatorio y de campo.
259
1,00
~
~
~
MEDICIONES DE LABORATORIO,
~ ~
.. ,
, "
0,40
,,
~
'"
SULLlVAN
~
'L
¡..--
I!l &.
Bc(~)
.....
'"' ~
KALlNSKE y P/EN PRYCH
. .
... .......
®" ~~ "6
()
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e
.... ¡..
e
- -
r-
- - r- -
rr-
--
1-
--
1-
--
Canal S1} OKOYE S2 R2
MEDICIONES DE CAMPO,
.... "l!I.
e(~
0,10
ELOER
~ W
1',
""
®
ee
yorSUKURA F/SCHER GLOVER
-
- r-
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~~ V ~ ¡....1"'- r-- r--~ ~
'V
~
- -
[~
"""
¡-......
~
K
r-
6
0,04 0,01
0,04
0,10
0,40
1,00
FIG.10.8 Variación del Coeficiente Adimensional de Dispersión Transversal.
e
Se encontn:l que el valor de es una función de la relación profundidad--an cho, yn/T="A Los valores de tienen un rango que varía desde 0,24 (para "A=0,015) aO,093 (para "A=0.20) en el laboratorio. La pequeña parte de valores medidos en el campo por otros investigadores son cerca del doble, presumiblemente debido a las fuertes corrientes secundarias causadas por curvaturas o irregularidades del canal.
e
Para h~lcer comparaciones puede notarse que el valor de K ;v", Yn el coeficiente normalizado de dispersión vertical es k/6=0,07 (k es la constante di;' von Kárman). Así en el canal, el coeficiente de dispersión transversal es del orden de 1,3 a 3 veces mayor que el coeficiente de dispersión vertical. En la segunda fase se estudian los fenómenos asociados con las fluctuaciones en el penacho o pluma. Para un penacho fluctuante, la Fig. 10.9 ilustra el concepto de las regiones de intermitencia.
260
L/mite instantáneo del penacho Región de intermitencia
Centro de registro continuo
ORIGEN
:"
.. ,'
Regian de intermitencia
I
'c; ,:,,:
~- -~'-,"-'.~~
v
' " LImite extremo del borde del penacho
z
a) Caracter/sticas geométricas del modelo f/sico (PLANTA)
NOTA:
If (x,.;y¡ j z)= Factor de intermitencia para la seccion x, y nivel Y¡
'~"",.,'" f"""""O '~ I\ ",."",'0 r-z z Region deIn-
Centro de
Conllfluo
I I
Region de
z = Posición media de lo
parte frontal del penacho.
-O
b) Distribución del factor de intermitencia a través del penacho
FIG. 10.9 Variación del Factor de Intermitencia. Los puntos en
el interior de esas regiones están dentro del penacho durante parte
del t i,--mpo; la fracción del tiem-po en que están dentro del penacho se denomina factor de intermitencia Dentro de la pluma o penacho ~stá un punto para el cual trI, significando que la región está siempre dentro del penacho. El crecimiento de esas zonas se muestran en la Fig. 10.1 para un experimento ti pico; Wf es el límite extremo (If= = O) medido desde el eje central; Ll es el borde exterior de la parte externa continua (1f=l); Z es la posición media del borde del penacho (IFO,S). Para todos los experimentos en canales rectangulares anchos, esas anchuras se ajustaron a las siguientes relaciones ad imensionalcs:
1r
°
261
LIMITE EXTREMO DEL SORDE DEL PENACHO
(Ir
40
r--
80RDE EXTERIOR DE LA RE6/0N CENTRAL
~
(I,ZOI5OJ
(I,: ',0 J...
I I
'3~
..'"
V
30
~
o:
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L
20
o:
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w, _!::>-'¡,....;"'" V
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¡..- l--
I
I
'-....¿
V
M EDICION
eo2.
Canal 52 (Okoye)
j...p5,36 cm.
,/'
u
I
... ........ W, Z
~O) ....
POS/CION MEDIA DE LA PARTE FRONT.4L DEL PENACHO
V-=. 43,7 cm/uo!
1/=2,17 cm/SII9
Re:
I
1,173 xlO
I 200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
x (cm.)
FIG. 10.10 Crecimiento de las Características Geométricas de la Región de Intermitencia. 3,6 R
3,3 Rz y
W
(~ Yn
(~) y
) 2/3
v
11
v
(10.19)
(10.20)
(10.21)
donde
R
w
= (fs /f)r
1/4
(10.22)
(10.23)
262
ción obs erv ado del del lech o liso .' f r el {ac tor de fric ción fric de or flct el { les. en las cua , s par a el orig en virt ual de Wf" nlo r de x corr egid o lige ram ente el X y o, lech
D ijere11 cia. de Den sida d 10, 5 Dis per sión '1 'rans1Jc}'sal con son más pes ado s o s en un río o en un estu ario Si 10s con tam inan tos des carg ado de fluj o sec und ario por r, se intr odu ce un fue rte pat rón pto rece do flui el que ros lige más ace lera r la exp ans ión tam inan tcs. Est e efec to pue de con los de n nsió asce o to ien el hun dim ical los exp and irá uni{ orper o gra dua lme nte la mez cla vert tran sve rsal del con t
263
v
f
d
L
~ SECCION
DENSIDAD - CIRCULACION SECUNDARIA INDUCIDA
A-A
x
.,.. '
.¡
"
~~----------------~-z
' ..
:."
PLANTA
FI G. 10.11 Esquema de Definición en Experimentos con Mezcla Transversal.
264
EJERCICIOS
l-:jercicio 10. 1
a.
Determinar el coeficiente de dispersión lungitudinal Kd en un canal rectangular de concreto con rugosidad n=0,013 si la anchura del canal es de 1,00 111. Y la profundidad de 0.1 m. la velocidad media del agua a 20° C es de 1,8 mis.
b.
la viscosidad cinemcltica de remulino, promedio, en la sección transversal del canal (considerar que el cll1al es muy
Comparar el valor de Kd con el valor de
ancho). La viscosidad cinem,ítica de remolino E est;í d;lda por la expresilln
E=
r¡ p
?
dv
1 - [ - - ] = [k
dv/dy
dy
dv
(10.24)
dy
d()nde 1 es la lungitud de mezcb de Prandtl, r¡ es la viscosid;ld dinámica de remulino y k es la llamada constallte universal de von K:u'mán. El esfuerzu cortante T en función de esd dada por la expresión
T
=
P E
dv dy
la viscosidad cinemática de remolino
(10.25)
1:jercicio 10.2
Suponiendo que el cueficiente verticd de difusión turbulenta K , o de dispersión vertical, sea igual a la viscosidad cinem;ítica de remolinu, se puede obtenlr que
K y = O,4y (1 - ~y-) Yn
V gRS'
(10.26)
265
..
donde y es la elevación desde el fondo del canal, R el radio hidráulico, S la pendlente'Yn es la profundidad y g la aceleración de gravedad. Por otra parte, la ecuación para la distribución vertical de sedimento suspendido en flujo turbulento de superficie libre está dada por
w
c=-
K
~
Y dy
(10.27)
donde c es la concentración de sedimento suspendido en el agua, y, w es la velocidad de caída del sedimento en agua en reposo. Determinar la concentración vertical de sedimento suspendido en función de una concentración conocida ca a un nivel a =a y n donde a es cualquier valor numérico tal que
O
266
APENDICE A
PRACTICAS DE LABORATORIO
A.1
Inferior
de
ALL
Propósito'
Hallar admisión inferior.
A1.2.
características que determinan el gasto de una compuerta de
Equipo: Una compuerta de admisión inferior montada en un canal metálico.
AJ.3.
Consideraciones Analíticas: uso de dos de las tres ecuaciones fundamentales flujo. En laFig.)\.lse muestra sección admisión inferior.
En esta que gobiernan
P,/y
¡ fl . A.1
Esquema de Definición
Si suponemos que no hay pérdida de energía entre las secciones de flujo rectílineo 1 y 2, podemos escribir la ecuación de Bernoulli como
,,2 v2
P2
+---=---+z + - 'Y
2g
2
'Y
(Al)
269
Pero debido a que el flujo es rectílineo, la distribución de presiones es hidrostática y por tanto, para cualquier punto,
Substituyendo estas expresiones en la ee. A.l tenemos
v 12 --+
(A.2)
2g
2g
donde y 2 = aC c ' en la cual C c es el coeficiente de contracción. Además, aplicando la ecuación de continuidad tenemos
(A.3)
Si la eco A3 se introduce en la eCo A.2, y se reemplaza Y2 por aC c ' se obtiene
Yl
V2
= (2g
aC
_ _ _ _ _ _c_ _ _ ) 1/2
2
1 - C c (a/Y1)
2
2g_Y1 = ( __ __
(AA)
ya que q=V 2 a C c C, . v donde q es el gasto por unidad de ancho y C v es un coeficien~ te de velocidad, la eco AA se puede transformar en
q=
Cc Cv
(A.S)
) ten em os qu e (co efi cie nte de de sca rga C na mi no d de se -------C c Cv
Si
(1
la
+ C c a/Y1)1/2
ir co mo eco A5 se pu ed e esc rib
(A 6)
de ter mi na r ex pe riYl e Y2 se pu ed en a, s cia tan dis las y se pu eYa qu e el ca ud al q, y C d . Si ell o se ha ce , C s nte cie c efi co los r le de ter mi na la Fig. A2 . me nta lm en te es po sib qu e se mu es tra n en los mo co les na sio ad im en de n ob ten er grá fic os 1 Valo r teór ico= 0,61
él,6 Ce
Cd
""'---
Cd
0,50 ,0
fiG. A.2 A l.4 .
ca do r de pro ve en ).
0,5
s de Contr¡¡¡cción y Descarga Coeficientes Experimentale
en tal : Pr oc ed im ien to Ex pe rim
so br e el indil y lec tur a de so nd a na ca l de o nd fo de s e se 1. To ma r los nivele (us ar las do s so nd as qu de sca ns e en el fo nd o a ést do an cu rta ue la co mp un a dis tan cia a. 2. Su bir la co mp ue rta
e el ag ua lle gu e al de l ca na l de fo rm a qu n ció nta me ali de ve ng a un y 1 co ns 3, Ab rir la lla es ta ma ne ra se ma nte de y ión ac xim ro ap o de reb os e en el de pó sit tan te. mi na r YI ' a, Y2' es qu e pe rm ita n de ter 4. To ma r las me dic ion , cu ya ec ua ció n ve rte de ro , ag ua s ab ajo un nte dia me Q al 5. Medir el ca ud de ca lib rac ión es
(A.7)
271
donde Q es el gasto y H el la cresta, Los A y m están determ inados ,
6.
AJ.S.
el
el verted ero
él
al menos cinco veces, con distint os valores de
Presen tación de
1. Presen tar
y
2. Presen tar curvas aritmé ticas. 3, ecuacié m que se ob
ción con
por encima de la para
calcula das en
Ce y C d contra
en pél pcl dc sobre el mismo
al
1 tal como en la
an
A,2
en
contra a, y escribi r "'¡a unidad es, con
la
ubda,
la
la ecuaci ún
ee,
PL6 y
1
la a pro Xlma-
un Verted eru
existen te entr'~ la
la cresta
A.2.2.
y cronóm etro,
Un verter por encnn;¡ otro de] ?gua que se le
en el Los
una arista
uido a esconstr uir de
la cresta, conta cto sobre una cresta presen ta una )j
y la lám ina de da tien e una cres ta hor izon tal agu ta cres de r gula 111 rect; ro El ver tede ca en la Fig. A.3 . sup erio r e infe rior , seg ún se indi agu,) se con trae en bs par tes
t- · - - - H
! w
ta Aguda de Definición enun Vertedero de Cres
Fig. A.3 se pue de estede ro rect ang ular ilus trad o la La ecuaci()!1 del gas to Q del ver o crib ir en form a sim plif icad a, com 1
(A.8) de hall ar exp erim enro, e un coe fici ente que se pue tede ver del ho anc el es L de don agu as arri ba en re la cres ta del 'ver tede ro med ida sob a agu del ra altu la H y talm ente de obs erva r en la ee. ca con trac ción algu na. Se pue un,) sec ción don de no se pro duz men te de H ya que ina do ver tede ro dep end ería sola 1',.8 que (J g,lsto par a un det erm ulas emp íric as que dan Hay un gra n núm ero de fórm tes. stan con s ore fact son e L y ula de Reh boc k. de las más com une s es la fórm el gas to en fun ción de H. Una 2
Q
3
(0,6 11
+
0,08 HjW)
(A. 9)
ació n ada s pre viam ente y W es la elev L y H son las can tida des men cion en don de el fon do del can al. de la cres ta del ver tede ro sob re
A.2 A.
Pro ced imi ento Exp erim enta l:
nte, sob re la cres ta del verb son da de pun ta en el carr o des liza ·1. L y H. esar ias para obt ene r ted ero y tom ar las lect ura s nec rien te se esn del can al y esp erar que la cor 2 Abr ir la llave de aliment<1ció tabi lice . rnen te a erfi cial , con la son da, apro xim .ada 3. Tor nar la lect ura del nive l sup ro. 2 1l1etros agu as arri ba del ver tede
273
4, Cambiar la posición del bajante de agua hacia el tanque receptor y medir una altura inicial accionando simultáneamente el cronómetro, Transcurrido un tiempo, por ejemplo 120 segundos, volver el bajante a su posición inicial.
5. Cuando el agua en el tanque receptor se encuentre tranquila hacer la lectura finaL El área del tanque y las lecturas aCluí obtenidas permiten calcular el gasto Q por medio de la relación, volumen sobre tiempo. 6. Tomar nuevamente la lectura del nivel superficial en el canal para promediarla con la obtenida anteriormente. 7, Repetir el experimento, al menos cinco veces, con distintas aperturas de la nave de alimentación del canaL
A2,5.
Presentación de Resultados:
L Elaborar una tabla con los datos y las cantidades que se debe calcular para la realización de los gráficos que se piden en los puntos siguientes, escribiendo las fórmulas se utilicen.
2.
Qy
en papel logarítmico de 2 por 2 ciclos l
plear.
3. por la fórmula de Rehbock el gasto correspondiente a 2 alturas extren,as y trazar en el mismo gráfico, elaborado anteriormente, la recta que une esos
rimento la
4. Presentar un gráfico de H contra el error que produciría en cada expede la ecuación
A.3. A.3.1.
Aplicación del método unidimensional de análisis del flujo al estudio de la
A.3,2.
co mp
ca na l me tál ico y un a eri or mo nta da en un inf n sió mi ad de rta Un a co mp ue ab ajo de la an ter ior . ue rta de cie rre ag ua s
A. 3.3 .
tic as: Co ns ide rac ion es An alí
es de un res alt o ac ion es ex pe rim en tal rel las n na mi ter de ión En est a prá cti ca se s me dia nte la ap lic ac lor es teó ric os ob ten ido va los la n co tra n es ara mu mp se la Fig. A. 4 hid rá uli co y se wo ía y co nti nu ida d. En erg en m, ntu me mo de las ec ua cio ne s de su s lín ea s de en erg ía o hid ráu lic o así co mo alt res un de l rsa ve ns sec ció n tra
d .de mo vim ien to, po r un ida n de la ca n tidacl de ció ua ec la ca pli a se Si las sec cio ne s 1 y 2 se ) ~lYl (V 2 - VI
10)
g
2
d se tie ne qu e Co mo po r co nti nu ida fo rm ar en
ter ior se pu ed e tra ns =V 2 Y2' la ec~ación an
Yl
(--1) 2
en tre
(A .11 )
a b
2 ob tie ne se div ide n po r y 1 se ior ter an n ció ua ec la de os br em mi s Y si am bo
(~-1) Y2 de 2 cu ad rad o de nú me ro VI / (gY l) co mo el a e oc on rec se ior En la ex pr es ión an ter ra y 2/ Y1 se tie ne n 1. Re so lvi en do pa ció sec la en 1 F de Fr au
275
~--- = Yl
+j
- 1
1
+8
F 21 '
(A,12)
La ecuaci ón anterio r nos dice que el númer o de Fraude es la única variabl e indepe ndiente que determ ina los valores de Y2 / Yl y por lo tanto constit uye el factor de sien este proble ma (así corno en otros) de su libre. Si se quiere
el valor la en la Fig.
la ecuaci ón de Bern se
=H 2
tiene
se puede hacer uso de + LlH, Desarr ollando
(A.13) Si se substit uye b ecuaci ón de contin uidad en la ce. A,J 3 Y ambos miemb ros de esta ecuaci ón se dividen por Yl se obtiene
y2
?
1
1+
__ Y_2_
+ ( _Y_l_ )2 ~__ + ~fj"",l:-:c.'-l_ Y¡
(A.14)
En la ce. AJ 4 se tiene q ue V~ I (gy 1) =F~; como nción rp 1 A,12), entonc es en la ee. f'L14 el deF 1 Jsí,
(A.15) p
l-ln
,
5 se
t~\
contra F
una
en
18 q
los
(de
la
una curva e
ce.
'1i
A.3,LL 1
sistern a gc
la
~
Sr''-'
Clón adimcn s]Undl
L
2
¿1)" ['
Y
ciertas
esté u
3. Operar la compuerta de aguas abajo con el fin de establecer un resalto cerca de la compuerta de descarga. Una vez que el resalto sea estacionario, medir las alturas y 1 e y 2 usando la sonda que se provee. Determinar también la longitud L del resalto. 12r-----,------r-----,------~~--,
2'
11
22
10~----4_-----+----~----~+_----~ 20 1
9
a
16
" 12
l::.H/v,
10
6 4
O
6
9
10
v, F'I
,fiY,
FIG. A.5 Relaciones fundamentales en un Resalto Hidráulico 4. Medir el caudal Q mediante un vertedero, situado aguas abajo. 5. Repetir el experimento para obtener al menos 5 puntos bien distribuídos en cada curva de la Fig. A.S. Es conveniente repetir 3 veces la lectura de cada punto. El número de Fraude se puede cambiar modificando la apertura de la compuerta de descarga. A.3.S.
Presentación de Resultados: 1. Presentar la reducción de los datos medidos en forma tabulada.
? Representar gráficamente las ecuaciones teóricas A.12 y A.1S en un gráfico semejante al de la Fig. A.S.
3. Marcar sobre el gráfico anterior los valores experimentales. Añadir la curva experimental de la reladón medida L/y 2 contra el número de Froude. 4. Discutir los resultados. La discusión no deberá ser mas extensa que una página.
277
.,1.4. Aforador Ballofett A.4.l.
.Propósito:
Determinar la curva de gastos de un canal, mediante un dispositivo que produce flujo crítico. A.4.2.
Equipo: Un aforador de Ballofett instalado en un canal metálico.
A.4.3.
Consideraciones Analíticas:
En esta práctica se hace uso de las ecuaciones de Bernoulli y continuidad, así como del concepto de energía específica mínima para determinar el gasto que circula por un canal en flujo sub crítico. Un tipo de aforador muy popular entre la gente que se dedica al riego es el aforador Parshall. Este tipo de aforador se basa en los mismos principios que el aforador Ballofett. El procedimiento que se seguirá tanto en la deducción de la ecuación como en la calibración práctica del aforador Ballofett puede ser repetido para el Parshall sin mayores modificaciones. En la Fig. A.6 se muestra un aforador de Ballofett, el cual consiste en un estrechamiento, tal que en la garganta produzca una condición de flujo crítico. Si se aplica la ecuación de Bernoulli entre las secciones J y 2 de velocidades y l' Y 2 Y profundidades y l' Y2 se tiene
y2 V2 ] 2 -2-·-+ Y1 = - 2 - + Y2
g
(A.16)
g
2
FI G. A.S
Esquema de Definición del Aforador Ballofetl
sección 2 se produc e donde las cotas del fondo en 1 y 2 son iguales. Cuand o en la flujo crítico , se puede escribi r
3 2
(A.17)
A.16, se puede Debido a l1ue V 1==Q/ (YI B), substit uyendo la eco A.17 en la ce. obtene r
3 2
(A.18)
aproxi mación práctic a, La ce. A.18 es una ecuació n de tercer grado Gn Q2. En una el primer o se la solució n se puede enfoca r desde dos puntos de vista diferen tes. En palabra s otras en o ciable despre consid era que la velocid ad de aproxi mación VI es Q2/ (B 2 2gyi) se puede elimina r de la ee. A.18, en cuyo caso
Q = K b (2g) 1/2
yi/ 2
(A.19)
o, seguid o por el prodonde K es un coefici ente numér ico adimen sionaL El segund origina l. La raíz real fesor Ballof ett consist e en resolve r la ecuaci ón de tercer grado como solució n la exgue corresp onde a las condic iones del proble ma tambié n tiene presión Q = K b (2g) 1/2
yi/ 2
de que el flujo en la Para la condic ión de calibra ción, se cumpli rá con la condic ión el resalto que se forgargan ta sea crítico ( o que aguas abajo sea superc rítico) y que ción volum étrica calibra una de s ma no ah,)gue la salida del aforad or. Si nos valemo corres ponde a que Q hacien do uso de un cronóm etro se puede determ inar el gasto del coefici ente K. Se cada lectura y l' por lo tanto tambié n se puede hallar el valor II
en las expres iones emobserv a que la eco A.19 tiene la forma Q = ey tan frecue nte de aforad ores. En la píricas que dan los gastos experi mental es plra diferen tes tipos Für. A.7 se presen ta una curva de calibra ción típica.
279
40
I 30
20
V
l
,.-" 10
O
/
V
10
/
V
/
20
/'
30
v I
40
V
50
60
Q(lh./ug.l
FI G. A.7
A.4.4.
Curva de Calibración en un Aforador de Flujo Crítico
Proced imie nto Ex perimen tal: 1. Comprobar que la bomba del sistema general esté funcionando.
2. Abrir la llave que alimenta el canal cuyo gasto se va a determinar. 3. Medir el nivel y l' usando una sonda piezométrica y determinar el gasto volumétricamente, usando un tanque calibrado y un cronómetro. 4. Repetir el experimento para determinar por lo menos 5 puntos bien distribuídos e11 la Fig. A. 7. Es conveniente repetir 3 veces la lectura de cada pu nto.
A.4.5.
Presentación de Resultados: 1. Presentar la reducción de los datos medidos en forma tabular.
2. Presentar un gráfico de V 1 con~ra el valor K determinado de la ec. A.19. A¡'jadir otra escala en que V 1 se reemplace por el número de Fraude con el fin de ex presar el gráfico en forma más general y y h~l c~rlo ad imensional.
280
4. Los valores de C y 11 en la ecuación Q=C y~ se pueden encontrar sencillamente si los valores medidos de Q e YI se grafican en un papel logarítmico de ordenadas Q y abscisas y 1 . Los puntos deben caer en una línea recta de pendiente n que cortará el eje de las ordenadas cuando y 1=1 en un valor Q=C. Hacer el gráfico correspondiente y determinar la ecuacilllL
.5. Discutir los resultados. La discusión no deberá ser mas extensa que una
p~lgina.
A. S. Flujo Cradua lmente Variado. A.5.1.
Prop{lsito:
Comparacifll1 entre los resultados obtenidos mediante la aplicación de las ecuaciones de flujo gradualmente variado y los medidos en el Laboratorio.
A.5.2.
Equipo:
Un canal metálico con fondo de gran rugosidad relativa, constituído por piedras sueltas. Un par de compuertas de regulación, la una de admisión y la otra de cob. Una S()nd~l par~l la medición de profundidades. Un vertedero de afarq. Consideraciones Analíticas: Si en la Fig. A.8, que representa un corte longitudinal en la dirección del flujo en un canal, se aplica la ecuación de Bernoulli entre las secciones 1 y 2 de profundidades y l' Y2 Y velocidades y l' Y 2 respectivamente se obtiene
y2
y2
b
b
, 1 2 1 1 + Y1 + ~ = z2 + y 2 + ~
+S~X
donde zl' z2 son las cotas del fondo en las secciones 1 S, S o = (zl - z'») ~ pectivamente.
I
(A.20)
y
2 respectivamente y
~ x, las pendientes de la línea de energía y del fondo
res-
Agru pando términos en la ee. A.2 O Y dividiendo por Ll.X se tiene que
281
2--V 1 / 2g
~-
S
-----_ ---
~'Ó' --IV:
v,
12 9
-:.:=--
z,
FIG. A.S
Esquema de Definición para el cillculo del Flujo Gradualmente Variado Z2 -- zl
,c,x Pero
V~ -
+
v~
_ V2 1 2g ,c,x
Vf es el incremento del cuadrado de la velocidad ,c,(V 2 ): así
1
=-s o +2g- -
,c, V 2 ,c, x
+ Y2)/2, y, q
(A.21 )
+S
. .., I\(V2) =LlCj iI( 2/2)_ 3) EnunapnmeraaprOXll11
+s
j
es el gasto por unidad de ancho.Además. como
tenemos
3
en! o/ m
282
donde
+s
Por tan to So -
Y2 -Y 1
==
S
(~.22)
q2
Clx
1-
3 ay b m
se pu ed e su po ad crí tic a y c; ad em ás, did un of pr la de bo es el cu r un flu jo un ifo rm e En la eco A. 22 , q 2/ g en erg ía pr od uc ida po de ea lín la de te ien an do la ec ua ne r qu e S es la pe nd ed e esc rib irs e, em ple pu te ien nd pe ta Es sea y m. ráu lic o co inc ide co n do nd e la pr of un did ad ur a en qu e el rad io hid ch an n gra de l na ca ció n de Ch éz y, pa ra un la pr of un did ad , co mo (A .23 )
S=
do nd e
e es el co efi cie nte de Ch éz y.
a la lín ea de en erdel ter ren o So pa ral ela te ien nd pe a un n co a irí así El ga sto q se pr od uc of un did ad no rm al y n' jo un ifo rm e au na pr flu de es on ici nd co gía en (A .24 )
en la ee. A. 23 , se tie ne A. 24 , y su bs tit uy en do ee. la de q o nd eja sp De 3
So Yn S=
(A .25 )
3
Ym 283
Si se sub stit uye la ee. A.2 5 en la ce. A2 2 se pue de obt ene r la ecu ació n de fluj o gra dua lme nte vari ado para can ales de gran anc hur a, en la form a
YI1
Y2 - Y1 ------=S L1;.;
1 - ( - )3
o
(A2 6) y
1_ (_· c_ )3
Ym Es de ;ldv erti r que en el des arro llo de la ecu ació n de fluj o gra dua lme nte vari ado para dist ;mc ias fini tas, frec uen tem ent e se tom a la dire cció n X i lo larg o del fon do del can al. En tal caso S y So se tom all igua l él los sen os de los áng ulos de incl inac ión de las lí l1eas de ene rgía , en 1uga r de sus tang en tes com o en el pre sen te ;méilisis. La ecu ació n resu ltan te es la mis ma, y los valo res num éric os son , para los efec tos prác tico s, idén tico s ya que para peq ueil os ángulos., el sen o, la tang ente y el áng ulo mis mo se con fun dell . Se pod rá emp lear la ce. A.2 6 cua ndo el sea, hidr :wli cam el1t e, de gra n anc hur a. En el can al en el que se real izan los exp erim ento s, el fon do está form ado por piedra s cuy o ch~lmetro pro med io es 2 cm. y las pare des son de met al liso . El fact or determ inan te, pur tan to, es la rug osid ad del fon do y la anc hur a del can al tien e una influe ncia des pre ciab le sob re el mod elo de fluj o. En este caso , el can al es, hid ráu lica men te, de g¡-an anc hur ;\. Esta sup osic ión con duc e a erro res no may ore s, en los cálculo s, del unu por cien to. A.S A.
Pro ced i mie n to Ex pcri mel ltal : 1. Com pro bar que
la bom ba gen eral del sist ema esté fun cion and o.
2. Med ir la anc hur a elel c;m;¡] y esL lblc eer un fluj o uni form e en la secc ión
v 3. Cal cula r el coe fici ente de Ché Ly C= - - - - - - el ,/R So '
R'e s el
Lid io
hid ráu licu CF1C en el pre sen te C¡S() cOl ncid c con la pro fun did; ¡d, V h velu cida d media del ;¡gua en el clll a!, dete rmi nae ];¡ cxperiml'nt~llmentc mec ti;l1lte la med ició n del gas to en un ver tede ro cuy;¡ eCll ;lCill1l de desc¡rg~1 es Q=A H Ill , don de H es el nivel SLlperfici~l] de fluj o uni furm e sob re la cresLl del ver tede ro, Q es L des c¡rg a del mis mo y A es lI();¡ COllsLII1 te.
284
4. Repeti r el experi mento un valur prome dio r~ILI C.
ClllCO
veces, con diferen tes caudal es, y hallar
Nikura dse que 5. Con el valor prome dio de C se determ ina el LIctor k de según la ce. 3.8 estú dado por la relacill11
e = 2 y0lgl ug (12
~-
(A.27)
)
un valor de R prodonde k es el di:lmet ro del l1l~ltcrial de fondo. Se puede tomar dio en flujo uniform e. mediu entre los usadus para detenn in:lr el valor de C prome
corresp on6. Estable cer UIl flujo gradu:! 1mente variadu y l11l'dir el caudal en las medir, ¡ 6x ia distanc diente. Estable cer dus seccion es, sep;lr:¡ das entre sí una te median Yn norm:!1 que se determ inan Yl e Y2' Determ in:¡r la prufun didad ecuacilll1 es el la ce. A.24 p:¡r:¡ el v;¡]or de So fijad(). El valor de C a usar en dich;¡ compr endidu s entre calcula do en el punto ;l1lterio r, siempr e y cuando Yl e Y2 estén los límites de y medido s en fluju uniform e. de R I Y R 2 en la ec. En casu contr;¡ rio, habrú que cdcula r C l y C 2 para valores se hallar;í un prOllleA27 con el valor prome dio de k determ inado ;\1lteri orment e; dio entre C l y C 2 que luego pennit irú cdcula r Yn .
7. Se determ ina Ym A.S.S.
= (Yl + Y2)/2,
e Yc .
Presen tacillll de Result ados: tabubr . 1. Presen tar la reducc ión de Jos ebtos medidu s en furm<1 e. 2. Cdcula r lus v~¡jores prome dio de e y k para el flujo uniform
el caso
P,¡L¡ ndo Jo señalad o en el proced imient o, estable cer y e ,)/ 11 ,y 111 3. Siguie ~ So el con y de flujo gLldua lmente v;lriado . Llevar los v;dores ;¡ ];¡ ec. A.26
dado estable cer el vaJor teórico de (Y2
Y1) I 6:-;.
4. Compa rar el valor de (y 2 - Y1) I 6A calcula do con el valor mental correc to. Determ inar el porcen taje de error.
expen-
285
APEN DíCE E
IviETODO ITERA TIVO DE N
- RAPH SON
fU req uerlr.rllCn-
La solució n nte frecue tos suceSlv as Clón
JI 67,
a
la
CCUaCí Ó¡!
f( !)
dx
2
df
dx y como x n =
X
o
- tan
Q'
=
(B.2)
+ xl' entonces
(x)
xn------~
FI G. 8-1 Esquema de Definición f(X o ) (B.3)
Como es fácil de apreciar, la convergencia hacia el valor deseado se lleva a cab o de una manera ordenada y rápida, lo cual permite usar éste método en programas de computación. Como la mayoría de los métodos numéricos, el método de Newton-Raphson presenta algunas limitaciones y no se puede aplicar para todas las funciones, ya que es requisito indispensable para garantizar la continuidad de la iteración que la función sea continua y que el punto inicial sea escogido adecuadamente. En la Fig. B.2 quéda ilustrado el hecho de como un punto inicial inadecuado impide la convergenCia hacia la solución correcta.
288
Cuando se escr'üle un programa en FORTRAN, es muy ro m~í)(imo de iteraciones j L]Ue se ,) evitJx, en el caso do no sea aplicable, que la máquina caiga en un la~w sin l~(,lIlplu
elnúmc;-
B.1,
Obtener una raíz ele
la
SOhlcióII
Haciendo un siguiente programa:
tanteo encontramos
el
O
READ(L100)y 100 FORMAT (F1CL5)
J :=
JO
N := -\
10 F
3-10.7S
=
DF:= 3. U :=
y
xk
2+155.
yi '1- 21S'
F
y=y-U IF (ABS (F). LT.
01, OR, 1"1 GT
) CO TO 70
l'l=l'~+
GO TOlO
70 WRITE (6, 103) Y, [\1 Hl3 FORIV1AT (1 Hl,
STOP END
11,
13)
l:jerciciu B.l. A
la
ecu~:ción de Manni[Jg tan frecuentcmente emple;[eb p
fluju uniforme en canales abiertos puede aplicárselc el Illétudo dcscrito. Para callales trape~uicbles b ccu;\citl]] se escribe en la forma
I 2.)5/3 (b Y T,lllY .
(--2=
._-'---'-
11
(b
+2
V
I
') ln-"
') ¡ ~ y)~ .)
r
+1
Q es el g;\st(), b es el ancho del fondu elel clll;d . y es el tirante, In es la pcnelic!ll" :id t,¡Jud, 11 es el cocficiente ele Mannill~ \' S o b nelldícllte dci G/In] u dc 1:1 hncl de t en dunr1c
~)
i
,
Escribir un IJr0gr:lm;¡ ','n FORTRAN, p;lra suluci()nar '- u~¡]lluicr:l siguientes:
, 'u ¿o ¡-es Q,
11..
y.
b
b, S u
Ji
2
Q, n,
3
Q, n, y. b, S ()
Se debe
ti
III ,
11l
el illétudu ele Nevvton
R:ljJhson.
5GO()
y
C()!110
príncipal. Para lus ({¿¡tos: C,lSO
'1 :
CiSO
2.
Cas()
-¡.
Q
\11 == 0,5 Q == 5000 l/s
III
290
j.
l/s.
== 0.5
]1= 0,015:
== 0,001: 11
S( 1
Cl == 224
11l
Y = 7,00
ill
3( S I
1\
=
0,001 . 0,01
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Presentar en una carpeta: a.
b. c.
d.
Diagrama de flujo. Listado del programa. Listado con los resultados (se deben incluir datos y número de iteraciones). Instrucciones para el uso del programa.
291
LENNIS A. AVILA TORRES Ingeniero Civil C.i.V. N? 47144
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295
i<--lJuse, H. , Y Re íd , L. , "Me)c1el Re sc ar ch un Sp En er u, 19 36 . illW;ly O 'e st s' " Civil En gi nc er in g, R ou se , H. B ho ot ,l, B. V ., y H su , E. Y ., "D es ig n of C ha nn cl Ex in~<; A S. C .E ., Novi'~1llbrc 19 p, l1 ls iu ns ", Pr ()c 49 . ec ~ R ou sc , H. y Ill CC , S. "H is to ry uf Hyc1rdLl lics", D ov er Pu 19 63 . bl ic at io l1 s. Nu cv;¡ Y or k, Sa rd V ., y M ar tln cz de L: Ph /.a , C. "M,lJ1ual de Pr oc cd im ie nt H id r:\ U lic o fl uv ia l dc Pu cn te s" os pa ra el Cí 1c ul o , Ed iL ld o po r SI O bn ls Pú bl ic as M CA pa ra el M de V en ez ue la , in is te rio de Ca ra ca s, 19 72 . Sh ie 1d s, A ., "A nw cn du ng de r A eh nl ic hk ei ts lll ec ha ni c um l de au f di e G cs ch ie r TurhuL~nzfl)rs bc bc w eg un g" , chung M itt ci tu ng en dc r Pr eu ss ss cb an un d Sc , ve rs uc hs an st hi ff ba u, N ° 26 fU f Wa~ , B er lín , 19 36 : tr A pp lic lti on of ad uc id o al in gl Si m ib ri ty Pr in és co mo ci pl es ai ld Tu rb Lo ad M ov el lle ul en ce R es ea rc nt ". S. C. S. Co up h to B cd cr ;lt iv e La bo ra Te ch n ol ug y. Pa to ry , Ca lif or ni a s;lclcn'l. Ca Jifur!1 In st itu te of ia . St ok er , J.Jo, "W ;lt er W ;lv es ", J oh n W i]e y an d So ns , N Lleva St r;\ U b, L.G" , 19 57 . y Al1c!erson. A. C" Se lf- A er ;lt ed Tr an s, lc tio ns A 111 Oj lC l1 C .S .e B., Vo l. ha nn cl s" , 12 5, 19 60 . T1 yl or , G .l. , D is pe rs io n uf M at te r in T m bu Pr uc ee lli ng s R oy le nt rl ow Th ru , So c. , Lo nd re ug h ;1 Pi pe ", s A , 19 54 . To ch , A ., "D is ch ar ge C ha ra ct cr is tic s uf Ta in V ol . 11 5 19 55 te r C at es ", Tr ,lJ . ls ,\c tio ns /\. S. C . E., U S 3u re ,lu uf Rc c! am ;lt i') ]1 , "t ze sc ar ch St ud ie s O] ] Stil1il1~ pa to rs
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296
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Jul ián Aguirre Pe
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Civil
e.I.V. N'? 47144
Primera Impresión: 1974 Primera Reimp;cesión: 1980 Segund? Reimp~esión: 1986
lENNIS A. AVILA TORRES Ingeniero Civil e.l.v. N'? 47'144
IN Die E
PROLO GO CAPIT ULO
CONC EPTOS BASIC OS DEL FLUJO DE FLUID OS
1.
1. 1. 1.2. 1.3. 1.4. 1. 5. 1.6. lo 7. 1.8.
Defi nici ones Tipos de Flujo en Canale s Abiert os Ecuaci ón de Contin uidad Ecuaci ón del Movim iento Aceler ación Tangen cial y Norma l, Local y Conve ctiva Ecuaci ón de Bernou lli Distrib ución de Veloci dades y de Presión en Flujo Curvil íneo Ecuaci ón de' la Cantid ad de Movim iento Ejercic ios
2 3 5
6 8
11 16 19 1-
CAPIT ULO
2.
LOS PRINC IPIOS DE ENER GIA Y CANT IDAD DE MOVI MIENT O APLIC ADOS AL FLUJO EN CANA LES Energí a Especí fica y 'Profun didade s Alterna s 2.1. El Flujo Crítico en Seccio nes no Rectan gulares 2.2. Ocurre ncia del Flujo Crítico . Seccio nes de Contro l 2.3. La Fuerza Especí fica Aplica da al Estudi o de Canale s 2.4. Ejercic ios EL FLUJO UNIFO RME EN CANA LES ABIER TOS Caract erística s del Flujo Unifor me 3.1. La Resi stenci a y las Ecu aci ones del Flu jo Un iforme 3.2. La Ecuaci ón de Mannin g 3.3. El Cálcul o del Flujo Un ¡forme 3.4. 3.4.1. Seccio nes ¡Circul ares Secció n Hidráu lica Optim a de un Canal 3.5. Flujo en Canale s con Rugosi dades Compu estas 3.6. Eleme ntos de Erosió n y Sedim entació n 3.7. 3.7.1. Métod o de la Veloci dad Permis ible 3.7.2. Métod o de la Fuerza Tradiv á 3.7.3. El Proble ma de los Talude s 3.7.4. Secció n Hidráu lica Estable Ejercic ios
CAPIT ULO 3.
CAPIT ULO
4.
EL FLUJO GRAD UALM ENTE VARIA DO Consí deraci ones Fu ndame ntales 4.1.
, 21 27 30
31 40
43 43
49 51
53 55 58 59
60 63
66 70
76
79
111
4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6.
4.7.
CAPIT ULO
5.
CAPIT ULO 6.
Ecuaci ón Genera l del Flujo Gradua lmente Variad o Clasifi cación de los Perfiles Superf iciales Seccio nes de Contro l, Análisis de los Perfiles Perfiles de Contin uidad Integra ción de la Ecuaci ón renci al del FI ujo Gradua lmente Variad o 4.6.1. Canale s Horizo ntales de Gran Anchu ra 4.6.2. Cálcul o de los Perfiles Superf iciales por medio de la Funció n de 8resse Métod os Numér icos para el Cálcul o del Flujo Gradua l mente Variad o 4.7.1. Métod o Tipo de las roxima ciones Sucesiv as 4.7.2. Cálcul o de Perfiles Adime nsiona les
CASOS PRAC TICaS DE FLUJO GRAD UALM ENTE VARIA DO 5. ~j. de caudal hacia un Canal 5. Efecto de las Pilas de un Puente 5.3. Flujo Dividid o por islas o Deriva ciones 5.4. Conflu encia de Ríos 5.5. FI en Alcant arillas rcicios EL FLUJO RAPIDArViENTE VARIA DO Caract erística s del Flujo El Proble ma de I Transic iones FI sobre Verted eros de Cresta 6.4. La Caída Libre 6.5. Verted eros de Cresta Ancha 6.6. Aliviad eros 6. Estrud u de Ca ída R El Resalto Hidráu lico 6.R lo El Contro l de los Resalto s de Fondo
da
79 82 85 88 88 92 95 c
100 100 106 111
11 5
121 124 129 130 133
135 135 139 143 145
146 152 156
161 164 169
CAPIT ULO
IV
7.
TRAN SICiO NES EN FLUJO RAP!D AMEN TE VARIA DO Definic iones Transic iones en Su bcrític o Transic iones en Su 7.3.10 lVIecán lea de las Pertu rbacion es
173
174 181 181
7.4.
CAPITULO 8.
8.3.
9.3. 9.4. 9.5. 9.6.
209 209 210 211 212 219
El Problema del Flujo no Permanente Ecuaciones Dinámicas del Flujo Impermanente en Ca nal es Abíe rtos Solución de las Ecuaciones del Movimiento, Método de las Características Tránsito de u na Onda de Crecida Perfil de Avenida por Ruptura de un Dique Tránsito de Avenidas Calculado por Incrementos Fin itos rc ic ios
221 222 224 231 238 241 247
DISPERSION TURBULENTA EN CANALES 10. 1 10.2. 10.3. 10.4. 10.5.
APENDICE A.
Pri nci pi os Básicos Ecuaciones Dinámicas del Flujo Gradual Espacialmente Variado 8.2.1. Flujo con Incrementos de Caudal 8.2.2. Flujo con Disminución de Caudal Análisis de Perfiles Superficiales Ejercicios
EL FLUJO NO PERMANENTE EN CANALES ABIERTOS 9.1. 9.2.
CAPITULO 10.
194 196 198 201 201 205 207
EL FLUJO ESPACIALMENTE VARIADO EN CANALES 8.1. 8.2.
CAPITULO 9.
7.3.2. Frentes con Disipación de Energía 7.3.3. Contracciones en Flujo Supercrítico 7.3.4. Expansiones en Flujo Supercrítico Canales en Curva 7.4.1. Flujo Subcrítico en Espiral 7,4.2. Flujo Supercrítico con Ondas Cruzadas Eje rcicios
La Dispersión en Flujo Unidimensional Inyección Instantánea en el Origen Concentración Constante en el Origen Dispersión Transversal sin Diferencia de Densidad Dispersión Transversal con Diferencia de Densidad Eje rc leí os
249 251 255 257 263 265
PRACTICAS DE LABORATORIO A.lo A.2. A.3. A.4.
Compuerta de Admisión Inferior Cal i braci ón de u n Ve rtedero Rectan gu la r Resalto Hidráulico Aforador Ballofett
269 272 274 278
v
A.5.
APENDICE B.
B.2.
VI
281
METODO ITERATIVO DE NEWTON - RAPHSON
B.l.
BIBLlOGRAFIA
Flujo Gradualmente Variado
Introducción Desarrollo Anal ítico Ejercicios
287 287 290 293
PROLO GO A LA prnME H,A EDICI ON de Hidráu lica de Canale s El texto que aquí se presen ta fue prepar ado para el curso Recurs os Hidráu licos el cual que forma parte del pensum de Postgr ado en Desarr ollo de de la Univer sidad de los desarro llan, en forma conjun ta, la Facult ad de Interam erican o (:e'-}~saCentro el y a través del Depart amento de Hidr8u lica y rro11o Integra l de Aguas y Tierras . ¡,q"\A'"oJo
hace un afio y su análisis y reLos seis primer os temas fueron editado s, y adicion es en los corres iones correcc visión, en el curso pasado , pern1it ió hacer así co-temas cuatro los escrito han se es, entonc pondie ntes capítul os. Desde ha ex~ se én Tambi ico. torio y cálculo numér lTIO los ápendi ces sobre práctic as de labora tema, cada de final al tendid o el capítu lo quinto y se han incluid o los del texto es relativ arnente conven cional y La orienta cion e Ven Te Ch~)w y F.rv'L Hende rson en sus S2 aproxi ma a la secuen cia que Hunter con insupe rables libros sobre cariales . Ellos, tambié n Oín genera les sobre los que se puedan estruct urar criterio s el cur~ en sher ~L"~>L',HX'-~'-'U por Edvlf8rd :Nauda se analiza n alguna s contrib ucione s of te lnstitu el lowa so que sobre canales se dictara en el la literatu ra actuali~ Resear ch. Adicio nalInen te, se ha hecho ados por otros elabor a zada. Se ha buscad o la aplicac ión práctic Yn"nnr>rl en propon se autore s, para los cuales se tratan aspecto s como el de variado y proces os de difusió n incorp orado al texto L~",,~H.'~U cUllndo realiza i¡a L,iS pl'imel'u:) líaeas del texto fueron escrita s en mayo d~~ 19'Y2. Boach Jesús el J belios práctic qs [}:'ra el CIDIA .T--UL A rni activid ad in:i.ciando unos accedió a que el Direct or del CIDIA T idioma castell ano. el ó estimu ló, autoriz La Univer sidad de los /o\ndes los dibujo s y las continu ara"
tr:_~-
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Luego de presen tados los sejs Eduard o fesores Eduard o ron interes antm: o¡'~iervaciones y anotar on en'oref;. haher realiza do o pecial crédito ,U """'.H'-''''," la.s e durant relativ o al bió por primer a cual he realjz;) do f3oJ::Hnente el en y o ofrecid o para ser incluid ClOnes. J ulián Aguirr e Pe Abril 1974
CAPITULO 1
CONCEPTOS BASICOS DEL FLUJO DE FLUIDOS 1. 1. Defin iciol1cS La velocidad, como cantidad vectorial que es, se caracteriza por tener una magnitud
y una dirección. En un fluido en movimiento, el vector velocidad está definido por tres componentes, que en general pueden variar de un instante a otro y de un punto a otro punto. La línea de corriente se define como una línea que pasando por un punto tiene la dirección del flujo en un instante dado. En consecuencia, la línea de corriente debe ser tangente a todos los vectores velocidad en su recorrido. Así, el componente de velocidad normal a la línea de corriente, en el punto de tangencia, debe ser nulo. Si el vector velocidad no cambia en magnitud y dirección cuando transcurre el tiempo, en un punto, entonces se dice que el flujo es permanente; en caso contrario se habla de un flujo impermanente. Algunos autores emplean los términos estacionario y no estacionario. La diferencia entre flujo permanente y no permanente puede se l en algunos casos, subjetiva. Supongamos por ejemplo que un sistel1ia de conducción de agua con una superficie libre, un canal, se cierra instantáneamente por medio de una compuerta. La profundidad del fluido que se dcLiene contra la compuerta cambia abruptamente, formándose una ola que se desplaza hacia aguas arriba, como se ilustra en la Fig. 1.1.
_:;;_
OLA EN
~-~-_
:-:_::_==- ~
----
¡--
-------~~
FLUJO NO PERTURBADO
flG. 1.1. Movimiento de una ola producida por el cierre repentino de un callal. Un observador si tuado en la orilla del canal vería cambiar la profundidad y la velocidad del fl uj () debido al paso de la ola. Si el observador se moviera con la ola, a su misma velocidad, no advertiría ningún cambio en las condiciones de flujo hasta que el efecto de rozamiento causara la decadencia ele la ola. En mecánica de fluidos es posible convertir otros problemas de flujo no permanente en problemas de flujo permanente, cambiando el punto de vista del observador, como se hizo en el caso anterior. Cuando el flujo es permanente, un elemento fluido recorre un camino que coincide con la línea de corriente.
1
El flujo uniforme se define como aquél en que el vector velocidad permanece conslte en todo el campo del flujo. Sí el vector no es constante, entonces el ±lujo es_no unilorme Ó variado . En una sección transversal en cualquier flujo de un fluido real, en tuberías o canales, existe un perfil no uniforme de velocidades. Debido a este hecho, se acostumbra despreciar la no uniformidad en la sección transversa] y usualmente se dice que un flujo en un canal recto en que no existan cambios de seccIón transversal, ni variaciones de velocidad en la dirección del movimiento, es un flujo uniforme según se ilustra en la Fig. 1.2. PERFILES
DE
VELOCIOAD IDENTICOS
lln demento transversal de área 6A 1 Y el conjunto infinito de líneas de corriente qUt' pasan por su constituyen un tubo de corriente" De la definicÍón de J Ínea de corriente, es cvidente que no puede haber flujo (l través de las paredes de un tub,') de corrientc" Si la velocidad en los c!ementos ele área 6/\1 y 6A 2 se considera represen:;' la por las velocidades medias V 1 Y V 2 respectivamente entonces el flujo en un tubo (k 0rrienle puede someLcn;e a un an~íJisis' unidimensionaL
1.2. Tipos de Phi/os en Canales Abiertos Un celDal ahierto puede consídcr
2
Si la profundidad en una seCClOn del canal no varia en el intervalo de tiempo en consideraci(m se dice que el flujo es permanente. Si la profundidad varía, entonces, el flujo es no permanenteo Para cualquiera de los dos casos, el caudal Q, o el volumen de fluido que fluye por la sección en la unidad de tiempo está dado por
Q=VA
(1.1 )
donde V es la velocidad media de la sección normal al flujo de área transversal A. En la mayoría de los problemas en que el flujo es permanente, el caudal o descarga es constan.4 te en el traIno en consideración. En este caso se dice que el flujo es contülUo y la ecuación que gobierna el flujo desde el punto de vista de la conservación de masa se llama ecuación de la continuidad. Es ta ecuación aplicada a las secciones 1 se puede escri bir:
(1. 2) . Cuando en un flujo permanente esta ecuación no es aplicable se dice que el flujo es discontinuo y físicamente corresponde él casos en que existe una alimentación o pérdida de fluido a lo largo del recorrido del canaL Si la profundidad es la misma en todas las secciones del canal entonces se dice que el flujo es uniforme, independiente de que el flujo sea permanente o no,. Si el flujo no es uniforme entonces se le llama variado, Si la variación de la profundidad se produce por efecto del rozamiento en un tramo relativan'lente largo, al flujo se le llama graduahnente variado. Cuando la variación de la profundidad se produce por un cambio de geometría en un tramo corto, el flujo es nipidamentc variado. Los distintos casos se pueden clasificar como sigue: a. Flujo perrnanente
Flujo uniforme Flujo variado L Flujo gradualmente variado Flujo rápidamente variado b"Flujo no permanente b" l. Fluj o tmiforrne no permanente (caso teórico) Flujo variado y no permanente l. o no permanente gradualmente variado Flujo no pcrnIanentc rápidamente variado <:Ll
;102
1" 3" 1iC/A.ación de Coniirluidad J,:1''] co de de masa p,ua flujo pcnrwncntc e lJlcomprcsiblc for·· mulado en la ce.. 1 "2,, es aplicable a un flujo discontinuo mediante sumatoria de gastos correspondientes él cada una de las discontinuidades.. Por ejemplo, si un canal que tnll1S~
porta un gasto Q1 se ramifica en otros dos de gastos Q2 y Q3 entonces la ecuaciún de continuidad toma la forma:
(1. 3) Para flujo no permanente, o impermanente, la conservaciún de masa, referida a la Fig. 1.4 indica que la diferencia entre el volumen de fluido que entra por la secci(')n 1 y el que sale por la sección 2, separadas por una distancia 6x, debe ser igual al volumen almacenado en el tiempo en consideración. 2 ~--
y
x
FIG.1.4 Esquema de definición para la ecuación de continuidad.
En un tiempo elemental, 6t, el volumen almacenado
está dado por la tasa a la cual el gasto decrece, en lct dirección x, multiplicada por la (listancia en la que se produce la disminuciún del caudal y por el tiempo 6t. Se emplean derivadas parciales ya que las varÍaciones de Q y de la profundidad y, son función de x y de L El volumen almacenado en un 6t será
ay
T (~ ) 6t ~x donde T es el ancho constante del área superficial T 6x. y la cantidad ~6t es la variat cihn de profundidad en el tiempo considerado. La ecuación de continuidad para flujo impermanente en un canal de anchura constante, luego de igualar las expresiones anteriores y simplificar por 6t 6x se puede expresar por
a
aQ
ax 4
+ T
ay
at
o
(1 .4)
Un caso típico de aplicación de esta ecuacic')n corresponde al paso de una creciente por una secci(m de un río.
1.4. licuaciones del JYlovimicnto Consideremos un elemento infinitesimal de fluido. de dimensiones f::,s, f::,A, ilustrado en la Fig. 1.5, el cual se mueve en b dirección s a lo largo de una línea de corriente. El
.....---s
datum
x
F IG. 1.5 Esquema de definición para el estudio de la energía de un elemento fluido.
conjunto de fuerzas que actúan sobre la partícula elemental en la dirección del movimiento debe ser igual al producto de la masa de la partícula por la aceleración as' a lo largo de la línea de corriente, de acuerdo con la segunda ley de Newton. La ecuación de equilibrio puede escribirse
p~A - (p
ap
+ a;-- ~s)
~A - 'Y ~A~s senO'
= p ~A ~s
(1. 5) as
donde "1 Y P son el peso específico V la densidad del fluido respectivamente. Silnplifican~z
do términos se mejan tes, dividiendo por D..A D..s
y tomando en cuenta que senO' = D..s'
la
ecuación ~\11 tcrior se transforma en: ap ,6..z ------=pa as D..s s
5
o
donde en luga r de L
~z
uS
debe escribirse
UZ
as ;va
C] L1e bs variaciones en b
pueden ocurrir tanto por variaciones de posición en Agru pando tér minos tenemos
- -ª- (p + as
el ireccÍón
z
la dirección s como en b dirección n.
ryz)=pa s
(1.6)
Similarmente, para la dirección normal n se puede escribir
a an
(p
+ ')' z) =
p an
(1.7 )
Las ecs. 1.6 y 1.7 son las ecuaciones de E,ulcl (Leonardo Eukl', matcm[ttico suizo del siglo XVIII) en coordenadas naturales y expresan,. en torma dIferencial, las condiciones de equilibrio dinámico de un elemento fluido en el que se desprecian los efectos de rozamiento.
1.5. Aceleración Tangencial y Nonnal, Convectiva y Local Los compon en tes de la el ccleración as y ;I n en las ecs. ".6 Y 1.7, se puecten expresar en función de la tas,) de cl!nbio del vector veloddad en LIS direcciones s y 11 por dV n dv s ,y , a a n s
dt
dt
Considerell1os las líneas de corriente que se muestran en la Fig. 1.5, las cuales no son equidistantes ni rectas. En el intervalo de tiempo ~t, el elernen to de fluido se ITloverá una distancia 6s a lo largo de la línea de corriente central. Su velocidad, luego del cambio de posición, habrá cambiado en magnitud y dirección.
flG. 1,6. COmp(melllltes del vector velocidad a lo 6
de Lina línea de corriente.
El cambio del vector velocidad V, cuyo módulo coincide con V s' en el espacio 6 8, será igual él la t~l~
/::;.V
dv
s/::;.
~
s
s.
, y , ~V
n
dV = __ n6 ds
s
Dividiendo las expresiones anteriores por 6t y cambiando a elementos diferenciales se tiene: dVs
dV
ds
s
d t = ¿-;- --a-t
Pero como
dV n
' y,
dt
dV n
-. ds
ds
---crt
ds
dt = V s ' tenemos que dV
--_s-V as - ds s'
y,
a
n
dv __ n-V ds s
De la similitud de triángulos de la Fig. 1.6 se deduce que dV n
Vs
ds
r
donde r es el radio de curvatura de la línea de corriente. Si además se recuerda, del cálculo diferencial, que
v2
vdv=d ( - ) 2
entonces la expresión para la aceleración tangencial será a
( 1.8)
s
donde se ha eliminado el subíndice s de la velocidad ya que el vector velocidad coincide en magnitud y direccié)l1 con la componente en la dirección s. La aceleración norn1al se expresa por an
=
r
7
Las aceleraciones descritas en los párrafos anteriores se llaman aceleraciones convectivas ya que ellas se refieren a la convección o traslación del fluido en el espacio y no tienen nada que ver con los cambios de velocidad que ocurren debido a la existencia de un flujo impermanente. Los cambios de velocidad en un punto producidos por el hecho de la alteración de las características de permanencia con relación al tien1po producen una aceleración llamada local. De esta manera, en general, la aceleración tendrá una componente convectiva, dada por las ecs. 1.8 y 1.9 Y una componente local debido a la impermanencia del flujo. Incorporando la componente local a las ecuaciones anteriores y cambiando a derivadas parciales en la eco 1.8 se obtiene
dV s
as
av s
1
at
2
--+
dt dv n dt
(1.10)
as
av n
v2
at
r
a =---=---+ n
2
a (V )
(1.11)
Un movin1iento cuya aceleración estuviera dada por las ecs. 1.10 Y 1.11 estaría sometido a acciones de rotación, deformación y alteración de las líneas de corriente con respecto al tiernpo. Para flujo permanente, la aceleración a introducir en la ecuación de Euler no tiene componente local y su expresión toma las formas simples correspondientes a las ecs. L8 y 1.9.
1.6. Ecuación de Bernoulli Si se introduce la aceleración convectiva de la ce. 1.8 en la ee. 1.6 de Euler, se obtiene para flujo permanente
Debido a que las derivadas parciales ucurren únicamente con respecto a la dirección s , lícitamente se cambia a diferenciales totales 2
d ( p+/,z+ - ¿-;-
p
V~. .!.
)--0
Esta forma permite la integración directa, obteniéndose p
+ /'
z
V
+ P 2
2
=
constante
Siendo constante la sumatoria del miembro izquierdo, los valores en secciones 1 y 2 serán los mismos. Si además dividimos por ry podremos finalmente escribir la forma usual
8
de la ecuación de Euler inte2Yada~ la cual recibe el nombre de ecuación de Bernovlli. en honor al científico suizo Daniel Benloulli (1 700-1782) q uien bajo consideraciones energéticas escribió por primera vez la ecuación
P1 - -~ + z1 +
V 2 1 2g
P2
2 V2
--+z +-~ 2 2g
(1.12)
donde g es la aceleración de gravedad. La ecuación de Bernoulli en la forma dada es aplicable a lo largo de una línea de corriente, en flujo permanente y sin disipación viscosa de energía. En la formulación de la ecuación de continuidad se supuso que el tubo de corriente ocupaba la sección total del flujo; de tal forma que las velocidades que aparecen en dicha ecuación son las velocidades medias en la sección. Este tipo de análisis que considera las características medias del flujo en una sección y estudia las variaciones de los fenómenos físicos únicamente en la dirección del flujo se acostumbra llamarlo análisis unidimensiona1. La ecuación de Bernoulli requiere consideraciones adicionales en relación con su po sible aplicación en un tipo de análisis unidimensionaL Veamos en primer lugar las variaciones en una sección transversal de flujo, correspondiente a la sección n de las Figs. 1.5 y 1.6.
Si el radio de curvatura de las líneas de corriente es infini to o, en otros términos, el flujo es paralelo y recto, la aceleración normal convectiva es nula y la ee. 1. 7 se puede escribir
o
nn
( p + ~ z) == O
(1.13)
La integración de esta ecuaClOn indica que para las condiciones dadas el término (p + 'Y z) es constan te en la dirección transversal, y corresponde a la distribución hidrostática de presiones que ocurre en un fluido en reposo. Por otra parte, si a ambos miembros de la
1.7 le restamos el término
1 p oV2 2
an
()btcnemo~
o
--(pf'Y z on
+
1 2
2 aVn av pV )=pV-- - - pV on as
o también
_0_ 1 2 oV n av on (P+~z+-2-PV )=pV(-a-s--~)
(1,14)
Cuando el elemento fluido en consideración no está sometido a rotación sobre su eje transversal el flujo es irrotacional y se verifica que
9
av as
av =
_ _11_ _ _ _ _
el1
(1.15)
O
En estas condiciones la eco 1.14 se puede integrar directamente en la dirección n y se obtiene para dos puntos 1 y 2 que
V 2 1
V 2
p?
--~-+z
ry
20-tJ
2
+
2
En resumen, la ecuación, de Bernoulli se puede aplicar él lo largo de una lírica de colTiente en un flujo de fluido ideal sin rozamiento, pero la aplicación de la misma ecuación en dirección perpendicular exige que el flujo sea irrotacional. En canales no se produce, en condiciones normales, flujo irrotacional y por consiguiente la ecuación de Bernoulli no se debe aplicar en distintos puntos de una sección transversal; por otra parte la distribución hidrostática de presiones, indicada en la eco 1.13, para las secciones perpendiculares del flujo requiere un conocimiento previo de la condición de curvatura de las líneas de corriente. Estudiemos ahora la aplicación de la ecuación de- Bernoulli bajo consideraciones unidimensionales. La sumatoria de los tres términos de la ecuación representa la energía total de la unidad de peso que pasa a lo largo del tubo de corriente que limita al elemento en consideración. Es evidente que la energía total disponible en una sección, obtenida de la integración de las energías parciales correspondientes a los infinitos tubos elementales de corriente, tendrá que conservarse si se desprecia la disipación de energía por electo Cid rozamiento. El peso, por unidad de tiempo,correspondiente al elemento infinitesÍ1nal que se mueve a lo largo de una línea de corriente es ')'dQ. La energía total en dos secciones 1 y 2 de un tubo de corriente que comprenda da la sección de flujo es
J A1
(~+ 'Y
zl
+
V 2 1 2g
él
p?
'"'( dQ = J (-~- + z2 +
A
2
Pl Si el flujo es rectilíneo, los términos -ry-
ry
+ zl ' correspondientes él
la energía produ-
cida por la presión y la el1ergía de posición pueden ser sélcados del integral ya que su matoria es consta.nte, así podemos escribir
10
to-
SLl-
tes a cualqu ier líneo de En esta ecuaci ón V 1 Y V 2 son las velocid ades corresp ondien emplea do en relamente previa to concep , corrien te. La velocid ad media en una sección expres ión de las la facilita que rística caracte una es ción con la ecuaci ón de contin uidad, ro pueden expres arse en funcondic iones de un flujo. Las integra les del segund o miemb numér ico ex tal que mulfactor un de ón ción de la velocid ad media V n1edia nte la inclusi fluido que circula por la del total peso el tiplica do por la energí a cinétic a produc ida por a total obteni da por incinétic a energí la sección a una supues ta velocid ad media origine tegraci ón, es decir 2 2 a 2 V2 Q - ; (Xl V1 Q Q (Pl + I 2 1 - P2 - I z2) ::: (1.16)
1-
a cinétic a, se obtien e donde, luego de igualar los corresp ondien tes términ os de energí f V 13 dA A (1.17) _1_ f ( ~ ) 3 dA 1 ::: 0'] ::: Al 2Q Al 1 1 1 se substit uye por índice el ente y otra expres ión equiva lente para 0'2 en la que únicam las barras teniend o amos elimin les 2 V 2. Si en la ee. 1.16 simplif icamos por Q, y a VI Y las seccion es coen ad velocid de medios presen te que ahora ellas represe ntarán valores desde un punto a, aplicad lli Bernou de rrespo ndient es obtene mos finalm ente la ecuaci ón rectas. te corrien de líneas de vista unidim ension al, en flujo sin rozami ento y de
V
2 V1
Pl
--+ z +0' 1 -2gI
1
V
2 V2
P2
--+ z +0' 2 - 2g I
( 1.18)
2
unifor me en la sección , Los valores de O' varían desde 1,0 para un flujo de velocid ad iones norma les el vacondic en lica; hasta 2,0 para una distrib ución de velocid ades parabó cuando se escribe la razón, esta por lor anda cerca de la unidad y mucha s veces se omite, flujo. del ecuaci ón de Bernou lli aplicad a a toda la sección
neo 1.7. Distrib ución de Velocid ades y de Presión en Flujo curvilí superfi cie libre,so bre Repres entemo s en la Fig. 1. 7 el flujo de un canal abierto con un fondo convex o visto desde arriba. La acelera ción norma l dada en la eco 1. 9 es a ::: n
r
11
-'-'-'-'-2
'-'L-'
VO /2 g
H
,
o
1,
n I
v
FIG.1.1 Esquema de definición para fiujo convexo.
y de la geometría del diagrama vectorial en la Fig. 1,6 se tiene
v r
dv dn
además, si el flujo es irrotacional
±
v r
donde el signo + corresponde al flujo convexo mostrado en la Fig. 1.7 Y el signo - al flujo cóncavo. De la ecuación anterior se tiene
dV
V
~
dn
ti- "'---r
La integración de esta ecuación, entre la superficie libre de velocidad conocida Vo y otro punto de velocidad V a una profundidad n desde la superficie se expresa por
12
n
dv
± J
v
o
dn r
es decir n
dn
± J -ro
o también
V
=
n dn V o exp (± J' -.r-)
( 1.19)
o
En general el radio de curvatura r varía en la dirección normal r = r (11.). Esta función se puede determinar Inediante una red de flujo. Luego, se halla la distribución de velocidades de la ee. 1.19 lnediante una integración gráfica. Si r = r (n) se aproxima por un valor lnedio constante, entonces la ee. 1.19 se transforma en
V
=V
(n)
=
V o exp (±
n
( 1.20)
- t - ·)
La cota piezométrica (suma de la energía de presión y la energía potencial por unidad de peso) es
h= (-p-+ z)= Hry
SI
2g
se cOlnpara con
h
o
:=
H-
para la superficie libre, se ob tiene la desviación de la carga piezométrica de aquel valor constante correspondiente a condiciones hidrostáticas, así 'L V o ún ) ] h - ho = -;;-g [1 - exp ( --1'.!. (1.21)
±
r')
Si se expande la función exponencial n1.ediante una serie y se desprecian términos de segundo o más alto orden, se obtiene
13
'h - ho
=-+
(1.22)
n a
b
r
donde el signo - corresponde al flujo convexo de la Fig. 1. 7 Y el signo + a flujo conca vo. Cuando r = 00, h = h o ' lo cual indica que la cota piezométrica coincide con la superficie libre. Esquemáticamente, en la Fig. 1.8 se señalan los tres casos de distribución de presiones, de acuerdo con la descripción y el análisis realizados en los párrafos anteriores.
tubo piezométrico
FLUJO RECTllINEO Distribución hidrostática de presiones
FLUJO CONVEXO
distribución debida al flujo cóncavo
distribución hidroltótica
FLUJO CONCAVO FIG.1.8 Distribución de presiones en flujo recto y curvilíneo. 14
Ejemplo 1.1. La curva de transición entre la cara de un aliviadero y la regi6n horizontal de descarga tiene 60° y un radio de 6,10 m. Se supone que el flujo en la transición tiene una profundidad normal de 1,50 m. y una, velocidad media de 12,20 mis en la entrada. Se pide la presión en B (a medio camino de la transición). Compararla con el valor simplificado dado en la eco 1.22. So lución --=~_=-""'="-=_ __ _
2
v = 12,2 mis.
Vo 2g
...01
3,05 m.
L
6,1 - 4, 6
COII.
:30° : 2,12 m
FIG.1.9, Esquema de definición del Ejemplo 1.1.
y2 La carga total H = - 2g L
+
-12'Y
+ z=
12,22 2x9,8
+ ~ + 2
3,05=11,40m
con d = 1,5 constante. Para Yo
2g
2
= H - 2,12 = 9,28 In., donde 2,12=6,10-(6,10-1,50) cos 30°
se tiene;
Yo =y 19,6 x 9,28 = 13,5 mis.
Para un datumque pase por B se tiene que ho = 1,5 x cos 30° = 1,30 m.
15
Usa
la
o
ce.. 1,
I + -----,,---,
=l
l,
I Sl,,6
0,:565 ) =
111
b ec 1,22
Jl
U
+
h()
=
1",30
+
2m
1,8, Ecuación
la Cantidad de lVioiJimiento
eternos l1lJCVamf::i1tc el elemento fluído de la 1,5" De nuestro conocimiena la ecuación de impulso~momentujTl) el producto en el que actúa ( dc la ) es al IV! (1 el (~uerpo) sobre el que actLl;~ la fUC::fí',8) y la ele lTlovinlicrüo) ITlomentulll y el irnplllso son raI1Licl~1C ni ~1, el i í e e ció n ' tenemos
(11
(j
te; u na for m a el
eCUélción cJlJC es
te
el e
la
SCFU u
él
ecu,ación
j\Tewi:oJ.l
F'
=
\; b
M
c1v
~
__..l
el I
IJCiZ;¡
1;1 I
{III,IU
en
I I(
rncnlu
1)('I'I11;II1CI\[('
ele
dcnsicl~\cl cunsLlIILt', 1'] Iu¡eíllbro
Il1d
(J
de f1uído" clHunccs
d (p cls (1/\
dF
d¡,I-
di
(1" dA
o
\1 e1 (,
p
av
els elO di
se pu
Volviendo a
Lt ecudición del impu1so-momentum y simplificando por dt se obtiene
dF = P
x
a vx as
~-'
ds (lQ J
Ya que dQ es cQnstante a lo largo del tubo de corriente que circunda al elemento fluído, la integración entre las secciones 1 y 2 de la Fig. 1.5 conduce a
donde ~Fx es la diferencia de fuerzas, entre las secciones 1 y 2 sobre las porciones correspondientes al tubo que comprende al cuerpo elemental de fluido. Una integración posterior de la última ecuación con respecto a Q, dará una expresión similar para el tubo de corriente grande que contiene al tubo elemental. Se obtiene así
(1.23)
Cada elemento fluido q l1e comprende el tubo total de corriente sufre esfuerzos que son ejercidos por aq uellos elementos con los cuales él está en contacto. Debido a que cada sección req ti iere 1J 11;\ reaccihn igual y opuesta, todas las fuerzas internas se anulan en el proceso de in tegración, con el resultado de que la sumatoria 2:F x com prende solamente la componente del peso del fluido en la dirección x, y las fuerzas ejercidas externamente sobre s us caras limitan tes. La :EF x se puede determinar indirectamente mediante el cálculo del miembro de la derecha de la ee. 1. 23. Por la conveniencia discutida cuando determinábamos la ecuación de Bernoulli para los valores medios de velocidad, la in tegración de este miembro puede igualarse, mediante la aplicación de un coeficiente ~, a los valores de cantidad de movimiento que se obtendrían con las componentes en la dirección x de las velocidades me\_\i~lS en LIS secciones '1 y 2, Vx -¡ y Vx2 de forma clue
(1.24 )
donde V x2 Y V xl representan los valores medios de velocidad, habiéndose eliminado de una vez las barras superiores sobre ellas. Los valores de ~ se pueden obtener para cualquier sección nlediante la ecuación
f3=
Q
J
vx
r
-~-.-dQ=
Vx
A
J
Vx
V
V
V
~
x
dA (1.25)
1
La cantidad (3 P QV representa la tasa de flujo de momentum en una sección dada. Hjemplo 1.2. La distribución de velocidades en un río muy ancho de 2,5 m. de profundidad varía desde 0,6 mis muy c~rc;:a del fOlido hasta 1,8 mis en la superficie, de acuerdo con la ecuación V = 0,6 + 1,2 (y/Yo)O,5. Cuales son los coeficientes O' y (3 cuya inclusión en las ecuaciones de Bernoulli y momentum respectivamente permite el análisis unidimensial correcto.
Solución
O'
= -- I (- ~ ) 3 A
A
1
(3 =
--¡;- J
dA
V
V
(V )2dA
A
La velocidad media
v= v
V es
°
2,5 Q 1~ Y 1 [0,6+1,2 (y/2,5)' 5-} d-y - - = - - rOVdy = . - - I A Yo o 2,5 o 0,6
+
1
a= - -
Yo
Yo J o
-1 (X=
- -
2,5
2,5
I
()
O/.
18
= 1,15
1,4 mis
0,8
1 ,43
1
°
5 3 dy - - [0,6 + 1,2 (y/2,5) ,] 3 1 ,4
[.0,6
~
+ 1,2
5 2 (y/2,5) O,] dy
= 1,07
EJERCICIOS
Ejercicio 1.1.
El agua entra hacia una esclusa en un canal de navegación a través de 300 orificios de 1,0 m. de diámetro, cada uno. La esclusa tiene 300 m. de longitud y 30 m. de ancho. Durante la operación de llenado, la superficie libre en la esclusa se eleva a razón de 1,5 m. " por minuto. Determinar la velocidad del agua en los orificios. Ejercicio 1.2.
La velocidad de un fluido de gran viscosidad en una sección convergente entre placas planas varía de acuerdo con la ecuación
v=v c
(T- x)
Para un espesor L, a. Calcular el caudal en función de V c,T y L. b. Calcular la velocidad media. c. Hallar expresiones para los coeficientes ()( y ~ de ener gía y cantidad de movimiento.
Ejercicio 1.3.
La distribución de velocidades, en un plano, alrededor de una pila de puente' está dada por la relación V=2V osen8, si se adopta la hipótesis de flujo irrotacional. Determinar la ¡resión para los ángulos 8 de 0'0, 15°, 30°,45 , 60°,75°,90°, 120°, 150°, Y 180°. R~ presentar gráficamente la distribución de presiones.
19
¿Cuál es la fuerza que soporta la pila? . Es esta una solución físicamente posible? . Qué ocurre en el problema real? .
Ejercicio 1.4. Aplicando la ecuación de cantidad de movimiento, determinar la altura Yo que alcal1Za el agua en el pozo de estancamiento detrás de la vena de descarga de una caída libre la cual incide con un ángulo de 45° sobre el escalón donde se acumula el agua con un movimiento de circulación de relativamente pequeña intensidad.
20
CAPITULO 2 LOS PRH,YCIPIOS DE ENERGIA Y- CANTIDAD DE MOVIMIENTO j-\PLICADOS AL EN
y Profúndidades A ltenlas
2.1 . Energ/a
especifica E como la energía referida al fondo del cauce corno
Se datum
(2.1 ) donde y es la profundidad del canal) la cual corresponde a la suma
líneas 'Y
de corriente rectas,_ concepto de específica fue introducid o por Boris A" en 1912 y su adecuada consideración se pueden los más complejos problemas de transiciones cortas en las que los rozamiento son preciables, el considerando el caso de un canal de b.. ele ancho q = Q/b y escribimos nuevo la ee o que O~::-= 1, en la forma:
E:c:c: y -1Esta ecuación te; Las dos rrespondiente él 18 energía E y ciben el un gasto es constante,
(2,2)
E como función de y para un valor de q constany representable en un plano para un valor de E constante" la ee 202.. se rnuestréll1 en la Fig. 2,1. La co~ 2,1,30 que existen el os profundidades para cada valor
estas dos profundidades son posibles n> La mí nima para que ec 2.2. con a y, recordando que el
::::---~)
k
0.- Cúr\lo~ de eoerOlo {t1}pocí1ica, q;: cons!onie
/
----.l ______ L _____ l _ _
...J
"Ir,'
b.- Curvas do gO!)to contra profundidod, E:; cOnJtonh,
dE
dy
2 1-~ gy3
la cual es cero cuando (2.3)
Esta profundidad a la cual-corresponde un valor mínimo de la energía se llama profundidad crítica y 6 sustituyendo el valor de q en 1á eco 2.2 se 'obtiene la energía específica mínima .,E m , (2.4 )
Por otra parte, si en la eco 2.2 E es constante, el máxÍlno gasto que puede pasar por una sección con la energía dada se obtiene derivando q2 = 2 gy 2 (E-y)
(2.5)
de tal f onna que si
-
d q2
entonces,
= O
dy
2 y= ..,3
E
Se observa gue ésta es la misma profundidad crítica de la ee. 2.4. Como consecuenCIa, se deduce que el' flujo a profundid~d crítica representa no. sólo un flujo con una energía específica mínima para un caudal por unidad de ancho dado sino, tambien, el flujo de caudal máximo por unidad de ancho para una energía específica dada. Los gráficos de la Fig. 2.1. se pueden generalizar y hacer adimensiona1es. Así, si se d,~vide
la eco 2.2. por la profundidad crítica obtenida en la eco 2.3. que designamos y c' se obtiene
20-t:> y2 Yc
22
FIG,2,2
ma adimensional de energía
es~ecífica
y también 2
~=--L+~ Yc
Yc
2y2
(2.6)
la cual no depende de q. La eco 2.6. se representa en la Fig. 2.2. De la eco 2.3 se encuentra el gasto máximo, q = qm' para y = Yc. ')
Si la ee, 2.5
se divide por q;¡; q
2
(-c-"-) -Jm
2g =
entonces tenemos: ')
y~
Y3 e
g
3 ( - y - y) 2 e
es decir
2 2 3 (-g-) = 2 (-y ) ( 2 gm Yc
J ,0
o
J
5
- - - - - - - - -
- - -
- -
- - -
I---------j----:;,f'--------,
(2.7)
la cual no depende de E. La re presentación gráfica de esta ecuación se muestra en la Fig. 2.3. La velocidad ll1edia, en condiciones de flujo ctÍ tico, se llama velocidad ctÍ tica V c' La energía cinética en esta condición se obtiene de la eco 2.4.
3 2
f~G,.
:tJ
D
ma
de descarga
Yc
Yc +
V2 e 2g
ele la cu~d se dcd uce g uc V
c
=
Por otra pa rte, en hidrodinámi-cfl se ll1UestL\ g llC la velocidad e de una onda de longitud L en élgUél de profundid;ld ji, e11 reposo, está dactl p~r la ecuación
gL
e2
2 17'
(2.8 )
tanh
Si L (:'s grande en comparación con y, entonces 2rry/L es pequeño y tanh (2rry/L) se :1Jiroxima él 21(y/L~ por 10 tanto C2
=
gy
(2.9)
Se ha establecido así que en flujo crítico/el agua se n1.ueve a la misma velocidad que una onda que resulta de una pequeña perturbación en el flujo. Cuando la velocidad del fluido es lTIayor que la crítica se dice que el régimen de flujo es supercrítico y cuando es menor se dice que el régimen es subcrí tico.
IV
A la relación V gy, se le llama nÚmero F de Fraude (en honor de un ingeniero inglés del siglo XIX que utilizó este factor en un estadio de similitud de barcos). La condición de flujo supercrítico se produce para F 1, flujo subcrítico para F < 1, Y crítico para F = 1. Los tipos de flujo están representados claramente en las curvas de energía específica y caudal. En ellas, las ramas superiores corresponden a flujo subcrí tico (y y d y las inferiores a flujo sl1pcrcrítico (y < y ). Esta discuslc'm, y otras posteriores, indicarán que e¡ número de Froude c:s una cSDecie ~e indicador univers81 en la caracterización del flujo de superficie libre. EI1 ¡-luio sl1bcrítico un;] perturbación puede moverse hacia aguas arriba, y esto significa, en términos prácticos) que mecanismos o condiciones de control tales corno una compuerta o una caída influyen sobre las condiciones de flujo aguas arriba del control;. por ello se afirma que el flujo subcrítieo está controlado por las condiciones de aguas abajo. Por otra parte, los controles de aguas abajo no pueden influir en el flujo supererí tico ya que las perturbaciones en una sección sólo pueden viajar hacia aguas abajo estableciendo así los posibles controles únicamente del lado de aguas arriba.
>
>
Los conceptos desarrollados en esta sección son válidos también para secciones no rectangulares. En este caso la ee. 2.1. con relación a la Fig. 2.4. puede escribirse para (X = 1 como E
=
y
+ (2.10)
donde Q es la descarga total y A es el área de la sección transversal. De nuevo, derivando con respecto a y, podemos hallar la condición de energía específica mínima, dE
=
dA
1 _
dy
dy
en .donde dA/dy tiene una representación física en el ancho T,de la superficie libre. El incremento de área dA producido por un incremento dy de la p,rofundidad es dA = Tdy. Si
aE
se substituye esta expresión en la ecuación anterior para
Q2 g
T A3
=
- - = 0, se obtiene: dy
(2.11)
1
J,ji>
T
~I
\ -~ dA
A
fIG.2.4 Sección Transversal de un canal no rectangular.
la cual expresa la condición para flujo crítico, es decir la condición con velocidad y pro-' fundidad crítica; así
26
Si definimos A/T como la profundidad hidráuÍica media y m del flujo, tenemos que
y2 c
(2,12)
g
donde el subíndice c indica que las variables toman los valores correspondientes a las condiciones críticas. La velocidad crítica en este caso es
(2.13) que tiene una forma equivalente a la celeridad de la ec, 2.9. Como el número de Froude en una sección rectangular se define por la relación entre la velocidad en la sección dada y la celeridad en la misma, es conveniente definir el número de Froude en una sección no rectangular de la misma manera, así
y
F=
..¡ g
Ym '
(2.14)
Algunos casos tí picos y usuales d.e secciones no rectangulares son las trapezoidales y las circulares.
2.2. El flujo Crítico en Secciones no Rectangulares Para el cálculo de profundidades críticas en secciones no rectangulares, es frecuente el empleo del factor de sección FS definido como el producto del área y la raíz cuadrada de la profundidad hidráulica media FS = A,¡y;;, =
Al ; ,
(2.15)
Si esta expresión se substituye en la eco 2.13, se obtiene, para un flujo crítico
Q
ygu
FS
(2,16)
Cuando el coeficiente de energía ex es distinto de la unidad, la ecuación anterior puede escribirse
Q=FS~
( 2.17) 27
Las ecs. 2.16 y 2.17 son de gran utilidad en el cálculo y análisis del flujo crítico en un canal abierto. Para un caudal dado, las ecuaciones anteriores dan el factor de sección crítico FS c y por consiguiente la profundidad crítica y c' En la Fig. 2.5 se presentan, con el fin de facilitar el cálculo, curvas adimensidnales que dan la relación entre la profundidad y el factor de sección para canales rectangulares, trapezoidales, ovoides y circulares, en base a los gráficos elaborados en 1944 por Lehmann según indica DOlnínguez en 1959.
Efemplo 201. Hallar una ecuación que exprese el caudal crítico o caudal m:lximo que pucdf', pasar por una sección de un canal rectangular en función de la ;-¡l1ChUr;l del canal y rl.~ la cuga totaL
Solución Para una sección rectangular, en condiciones de flujo crítico, la profundidad
y c es
-i-
de
la energía E (ec. 2.4.). El factor de sección FS ( de la
eCo
2.15) es FS
=
b yl,5
Sustituyendo en la eco 2.16 se obtiene
Q
b
Yg'
2
3
E) 1,5, de donde
2
Q=
3
Ejemplo 2.2. Calcular la profundidad crítica y la velocidad en un canal trapezoidal que tiene una base b = 6,0 m. y taludes en proporción de 2 horizontal a 1 vertical, para un gasto de 12,,000 l/s. ' Solución El factor de sección FS es
Q FS
28
12
3,84 m 5 / 2
29
por lo tanto, FS
3,84
= FS . b . De ]él Flg. 2.5 se o tlene para -::¡--5 correspondiente'
T
b~,
0,0436
0,0436 Y de la curva
P;Hél
el canal tra pezoidJI
= 0)115
Por lo tanto la profundidad crítica y c
0,115 x 6,0
0,69 m
La velocidad crítica es
vc
=
12 x 2
= 2,36 mis
'2.3. Ocurrencia del Flújo Crt'tico. Seccwnes de Control.
El control del flujo en un canal es un concepto que se define de diversa'~ maneras. La' definición que nosotros adoptamos par-a sección de control es la de una sección en la cual se establece una condición única de flujo, o más específicamente es una sección en la cual existe una relación definida entre la descarga y la altura del flujo. Debido a que la sección de control exhibe esta relación única entre descarga y nivel superficial, el sitio es siempre apropiado para la· localización de una estación de medición y para la elaboración de Ll na Cllrva de p;ofundidad-ca udal. En condiciones de flujo crítico se puede establecer una relación única de profundi~ dad contra caudal y ella está representada por las ecs. 2.15 y.2.16. Estas ecuaciones muestran que la relación entre profundidad y caudal es independiente de la rugosidad del canal y de otras circunstancias incontroladas. Por 10 tanto, una sección de flujo crítico es una sección de control. La sección de control, controla el flujo restringiendo la transmisión del efecto de un cambio en las condiciones de flujo en las direcciones de aguas arriba y de aguas abajo. Algunos mecanismos que pueden originar secciones de control son compuertas, reducciones en la anchLlra del canal, elevación del fondo del mismo, etc. En base al principio del flujo crítico, se han desarrollado distintos tipos de aforadores siendo los mas usuales, las compuertas sobre las que vierte un fluido o vertederos, y los mecanismos de estrechamiento del cauce o de elevación del fondo para producir fluj() crítico, tales como los aforadores de Parshall (en honor del ingeniero americano R.L. Parshall, quien desarrolló el instrum,ento en 1926) Y de Balloffet (en honor de Armando Balloffet, investigadot argentino quien en 1955 hizo un estudio sobre distintos tipos de aforadores de flujo crítico). 30
2.4. La Fuerza Específica Aplicada al Estudio ele Canales
En la eco 1.24 de cantidad de movimiento
el miembro de la izquierda representa la sumatoria de todas las fuerzas externas ejei'cidas, en la dirección dada, sobre el cuerpo libre de fluido contenido entre las dos secciones ter-minales, la superficie y el contorno sólido, Estas fuerzas incluyen las fuerzas producidas por las presiones en las secciones terminales, las fuerzas producidas por los esfuerzos cot'~ tantes en los contornos sólidos y las componentes del peso en la dirección considerad~L La sumatoria de la cantidad de movimiento en una sección y la fuerza externa hidros~ática producida sobre la misma divididas por ,'Y decidinio~ llamarla fuerza específica
--.M. , así
y se simboliza por
'Y
P
- 'Y Q ~x Vx ~ ~
+
-'Y
'Y
y A
donde 'YY es la presión en el centro de gravedad del área. Para una dirección x coincidente con la dirección del niovimiento tenemos, si ~ = 1, que M
La~ dimensiones de la fuerza específica son las del cubo de una longitud. Para e] so de un canal rectangular, se acostumbra expresar la fuerza específica por unidad an-cho y en este caso .la profundidad crítica y e es un parámetro apropiado para hacer mensional1a eco 2.1EL Así, para los canales rectangulares, con flujo rectilíneo y ~ = 1 en la sección de estudio se tiene
M
'Ybyc
9 2
2
2 2
gy Yc
+
Y 2 y2 ' c
o también
M 'Yb Yc
2
'Yc Y
1
+--' 2
~y-
Yc
2 )
19)
Esta ecuación se representa en la Fig. 2.6.) en la cual se verifica que la fuerza específica adimensional mínima se produce para la profundidad crítica. Una aplicación directa de la fórmula de fuerza específica permite encontrar la ecuación de resalto hidráulico en un canal rectangular, horizontal y sin obstáculos.
3~----
---/1/
1-
i
I
/ //
/ I
\
!
2~'!
i
,
i
.-
I
I
,
I
---t~-~---------, I
I y y e
o
FIG.2.6 Forma adimensional de la hmción de fuerza
I I
I
/
La eco 1.24 este caso se puede , con reFerencia a 18 Fig, 2.7, si miento sobre el fondo es despreciabJe) en la forma
'l'
+
+PQ
'Y
P
el r02a-
(2.20)
la cual expresa que la fuerza especifica en la sección 1 es igual a la fuerza específica en la 2, es decir
y Y¡
_c
Y1 2
1
+--z, (-) Y
(2.21)
c
Estas dos pro[u ndidades y 1 e y,) antes y después del resalto que corresponden a una misma fuerza específica en la Fig. 2.6 se llaman profundidades secuentes o conjugadas. La ecuación de resalto, en su forma ordinaria se obtiene, para canales rectangulares, multiplicando la ee. 2. 21 por
ytr
q2 Yf ---+---
q
2
')
2
+
Y2 2
gY2
la cual se puede escribir 1 )'1
1
1
Y2
2
_ _ )= _ _ (y2
2
es decir
9
1. 2
La substitución q = y 1 Y1 conduce a
y2. 1
o también 1
(2.22)
2
donde F 1 es el número de Froude en la sección 1. Esta ecuación es cuadrática en y 2/Y 1 Y la solución física está dada por
Y2
1
y1
2
-- = -
(-
1
+
j
1
+ 8F
1
') ) ~
¡
(2.23)
que es la forma ordinaria de la popular ecuación del resalto hidráulico, Otra forma que presenta cierta utilidad, cuando se conocen las características de aguas abajo del ~esalto, es 1
2
( 2.24)
. En general, ya que las ecuaciones del resalto hidráulico contienen tres cantidades independientes, es necesario conocer previamente dos de ellas para proceder al cálculo de la tercera. En cuanto a la condición física del resalto, es importante tener en cuenta que la profundidad y 2 no tiene causa en la condición de aguas arriba sino en algún control que actúa en algún lugar hacia aguas abajo. Si este control produce la profundidad y 2 secuente de y l' entonces se fbrmará el resalto. Imaginemos el caso en que tenemos la relación adecuada entre y 1 e y 2 para la formación de un resalto aguas abajo de la compuerta de la Fig. 2.8.
34
/"'" E (energ{o total)
~-
q
Y=f(M)
FIG.2.8 Esquema del control producido por una compuerta de fondo Las profundidades alternas antes y después de la compuerta corresponden a flujo sub y supercrí tico respectivamente y a un valor único de q en el diagrama de energía específica. Las profundidades se cuentes y 1 e Y;2 del resalto corresponden a un valor único de la fuerza específica. La profundidad subcn tica y 2 del resalto es menor que la profundidad antes de la compuerta debido a la pérdida de energía ~E correspondiente al resalto. La pérdida de energía en el resalto se obtiene restando la energía específica antes y después del mismo y el resultado se pyede expresar por
(2.25)
~E=
Supongamos que mediante un'control, de aguas abajo del resalto,. se incrementa la profundidad y 2' El salto se correrá hacia aguas arriba hasta que él "ahogue" la compuerta. Si por el contrario, y 2 se hace menor, el resalto se moverá hacia aguas abajo hasta que el flujo supercrítico se produzca en el control de aguas abajo. Si Y2 t;iene el valor correcto, el resalto tiende a desplazarse inestablemente hacia aguas arriba y abajo. Debido a esta' circunstancia, se trata de localizar el resalto por medio de escalones o die11tes en el piso de aquellas estructuras hidráulicas en las que se producen resaltos hidráulicos,
Ejemplo 2.3.
Aplicando las ecuaciones de cantidad de movimiento y de continuidad, al análisis de un resalto hidráulico sumergido en la salida de una compuerta de fondo en un canal rectangular, mostrar que
-~ = ~ + 2F 2 Y2 2
(1-
~; Y1 35
es la altura de la vena con traída, y 2 es la aguas abajo yF2, = V 2/ = g/ (yi g) 1/2 es el número de Froude 3guas abajo de la compuerta. Despreciar la resistencia en el canal. Solución p, plicélndo la ce. 2.20 (de c\ntidad el e eSCI¡¡em~(
de de
')1
2 (
la
mOViIYl ¡ento)
en el vol u men de control
tenemos
ys
2
2
- y 2 ) = Pq (V 2 - VI)
Substituyendo cn la ecuación antcrior q por Y2 V'J' y, V por V Y2/ Yl ( formas de 2 " 1 J tenemos, ya que g =~/p, ~ 1 1 contll1UlCau) ce (Y
~
]
(y ~ 2 s
y2
2
)
= y2
') V 2~ (l -
y'J
-~-
y1
)
Y2 ')
-1=2---- ( 1
- - - ) , es decir
Y2~
Y1
r,
Ys
----
2
/
(1
Y2 -~
)'1
\'2
+
1
2.4. En un c;1ll~d rect~ll1gltlar, hOI~izon tLlL de 4,0 11'1 de ancho se coloca una C0111que origina una \'cn~\' de descarga de 60 cm. El agua se represa élgU~lS ~Hriba de ella hasta una al tura ele ~1)3 m. Despreciando el roz~1 miento se pide, el caudal que corre por el cJt1aL la fuerza sobre tI compuerta, tI altura sccucntc)Tr de] resalto y la energ{a disipada 1"':.1 ,,1 mismo.
LjCl/lplo pucrt;l
1,8 m
0,6 m. //~ /
Fig. 2.1 (]
Esquema de definición de!
2.4.
Sol/( ciúlI P;ILI
illlstr;\r la utiliebd de los diagram;\s adirnensionalcs de energía y fuerza espedfi-
¡:él, V;llllOS;\
utiliz;lrlos
e11
la solucicm de este problema.
P;¡L\ determinar el c
la Fig.
2.2105 dosva-
lores de )'/Ye- lus dividil110S entre si y los graficamüs como YII)'2 contra E/yc en la Fig. 2.11
31
J_=____ j-;~~~~
6
V!
4
2
--
/"
V"
3
'-
~/?'
/' V' I
I
I
I
I
I
1,
I
1
I
2.5
3.5
En este diagrarna encontramos que para Y1 /Y 2 = 1,80/0,6 = 3,0 el valor de E/y c correspondiente es 1,97
o
Con E/Y e = 1,97' volvemos a la Fig. 2.2 Y encontramos que Y2/Y c = 0,6; Yl/Y c =
1,8, por 10 tanto 'Y c = 1,00 m. El gasto q, por unidad de ancho es
q=
3,13
El gasto total
Q=qxb=3)3x4,O=12,52 m 3 /s
La altura secuente del resalto se encuentra directamente de la cul'va de fuerza específica en la Figo 2.6. Con y/y = 0,6 se entra en el gráfico 111encionado h:;lsta cortar la rama inferior de la curva; luego~ como la fuerza específica es constante en las dos secciones del resalto, subimos a la rama superior y se encuentra que y/Yc = 1,56.
Por
10 tanto,
=
yr
1,56 x 1,00
= 1,56 m.
La fuerza sobre la eOlupuerta se puede obtener de la Fig. 2.6, Con Yl/Y = 1,8; e Y2/ Ye = 0,6 obtenemos que M 'YY e
M 2
0,32 x 'Y x y e
2
0,32
.., aSl"
La fuerza sobre la compuerta es F =
F =
2,17 - 1,85
b
x b = 0,32 x 1000 x 4 = 1.280 Kg.
La energía L\E disipada en el resalto se puede obtener de la Fig. 2.1. En este diagralua se tiene E Ye E
además
Ye
1,97 para -yYe
1,74 para
0,6
~ Ye
L\E
luego
Ye
1,97 - 1,74
0,23
Energía disipa~a L\E
0,23 x 1,00
0,23 m.
0,56
EJERCICIOS
Ejercicio 2.1.
Un resalto hidráulico que se forma aguas abajo de una compuerta produce un cambio de profundidad de 0,6 m. a 1,5 m. Cuáles son: a. b. c. d.
La carga o energía específica en la compuerta? El caudal por unidad de ancho? La pérdida de energía en el resalto? La fuerza contra la compuerta?
Ejercicio 2.2. Téll como se indica en el esquema, el agua que en UJl canal rcctangLlbr fluye C011 una velocidad V y Ullél profúndidad y se retiene POI- med i o de un a com puerta. El ,1gU~1 fluye sin ~r,lndcs perturbaciones, hélci;1 una descarga ele fundo. Calcular b sobrcelevélciém, ,6. y, en la su pcrficie del aguél. aguas éllTiba de b C0111 puertél:
a. b.
Haciendo MI = M 2
Suponer que ,6.y/y es pequeño. Cuál de las dos respuestas es correcta y por qué?
l~ierciciu 2.3.
-¡ -~
=b1
~~----~--'"'-- ~ 1 / < ! I 1 - - " ¡-
40
b
-~
Calcular, en función de Q, el CIncho b de la base de un canal triangular C01110 clmostrado en el esq uema si se d ise fla de tal forma g uc la profundidad crítica seél y e = b/ 3.
Ejercicio 2.4.
Un río que fluye hacia el mar con una velocidad de 5 Km. p.or hora. 8. una profundidad de 2,0 m., se encuentra con una marea que tiene unaprofundidadde 4,5 m. Como consecuencia del avance de la marea se origina una ola que se mueve rápidamente hacia aguas arriba. Mediante consideraciones de movimiento relativo, calcular la velocidad de la ola. Qué velocidad y dirección tendrá el flujo después del paso de la ola? . Ejercicio 2.5.
En un canal rectangular muy ancho, la profundidad del agua es de 3,0 m. y la velocidad es de 1,5 mis. Repentinamente, el caudal en la toma del canal es brúscamente duplicado. Encontrar la velocidad con que se mueve la ola originada, hacia aguas abajo, así como la profundidad resultante. Considerar el movimiento relativo.
41
LENNIS A. AVil"
Ingeniero e.LV 1\1'
I
CAPITULO 3 EL FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS
3. i. Caractedsticas del Flujo Uniforme Para que un flujo se considere uniforme, debe exhibir las siguientes características: la profundidad, el ái-ea transversal, la velocidad, y el caudal en cada sección del canal deben ser constantes; además la línea de energía, la línea de nivel superficial y el fondo del canal deben ser paralelos. El flujo uniformes es, para cualquier propósito práctico, también permanente ya que el flujo impermanente y uniforme no existen en la naturaleza. Usualmente se considera que el flujo en canales y ríos es uniforme; sin embargo, la condición de uniformidad es muy poco frecuente en la naturaleza y debe entenderse que únicamente porque los cálculos para flujo uniforme son relativamente sencillos y porque estos aportan soluciones satisfactorias y parámetros límites se justifica esta simplificación. Cuando el agua fluye en un canal abierto, por efecto de la acción de la gravedad, en los contornos de contacto entre el fluido y el sólido se origina una fuerza de resistencia que se opone al movimiento y que eventualmente contrarrestará la fuerza de gravedad, si de hecho se produce el flujo uniforme. 3.2. La Resistencia y las Ecuaciones de Flujo Unifor111e
Las ecuaciones de flujo uniforme se pueden obtener del balance de fuerzas que oculTen en Ul{ ele··mento fluido no sometido a acciones de áceleración. ConsIderemos la sección de canal mostrada en la Fig. 3.1. En las caras perpendiculares a la dirección del flujo, separadas entre sí por una distancia L actúan fuerzas hidrostáticas iguales y de sentido contrario cuya magnitud es igual al producto de la presión en el centro de gravedad ENERGIA TOTAL
h
f
FI G. J.1 Esquema de definición correspondiente a la ecuación de resistencia. 43
P()i (~,j ~TC (~I
r1U i l
Ille'Ii()
l'" Lél" IJtT~IS fIICr/;¡S llLlC C()lllplct;\11 Lt COl1díci(lI1 dc :'C¡1 ¡lihrí() s()n: b elel I)C'~() l'jl Ll cllIC'cci(lll I m()Villlicllt(), 1';'\[' senO', y lel ele I'u',clmiento cn~ v el ,,()tllr {I ',(ll]clu Tu LP donde T() es el esfu(<\,zl) Ull't~\:ltc' y P es el pcrí~
;ítc;¡
C(;1ll!1()lll'1II'(' j t ()
s{llidu
•
q:I(' 1110;\
TO
(,1 \":I"icl()
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I;¡
tr;li1,'-;Vl'IS;I1.
SCCC'¡(lJl
,
Ll CClLICí¿ll ele cc]uilibrío es
(3.1 )
PL = 'y ALsenCli
CUlll() 1:1 1(lle:1 de cllcrgí:1 (' !¡;\¡;I!c,h ,Il fundu y ;1 Lt sllpcrficie libre se tienc (jl!C LI PlTclida de CI1CTSÍ:¡ en 1;1 cli~;t;ll1cj;\ L ~'~:~ hf= L senO'. D,-,filliclldu el Llcliu hiddulico rz por LI rcl;\c;fl11 entre 1 ~íl!';l v el jlCdiIICt!(¡ 111Uidcl() [CI1CI1lUS que ti CCl1;lciól1 ;1!llcrj()I' se 11Lleclc c:jCTih ¡r
( 3,,2)
El esfuerzo corté\tlte se euec1e P10S
'~I
con
fricción f de Darr:y
el
SI
reCOl'~
ue ') \/~
4P velc.~i,.:
clunde V. F ',(,ti Reernpla,n i de :~!
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(J,3)
2crtJ
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p
( 3.4)
expresión para
el
v ,.1..;1
L" ,j
r)
(
q l' e ¡! I!; (), rl:
t1;: ' 1:
'nrl ¡r:cI ni.'
\i;ldoi
'.1:1 I,,!
"
,J,
l/anal'
1\
~) ~)
J}
Históricamente, las fórmulas para el cálculo de canales tuvíeror¡\.jtro desz¡LTollo. En
1768, Chézy, ingeniero fra \leé .. " recibió el encargo de disefíar una canal para el sLuninistro de agua a París. Las experiencias realizadas por Chézy le permitieron establecer 18 fórm u-la
v=c!Rs:
'J ( ..),.
6\/
donde e es un coeficiente C[Uf' nte nxibió el nombre de te y So es la pelldiente del fondo canaL Es eL observar que para pendientes pec¡uerL\~~" como las gue corresponden en a cualquier canal real, senO~ = So para todo~~ ÜJS efectos prácticos. Si se comparan las ces. 3.5 Y 3 . 6 se observa el ue el coeficiente
( 3.7)
cumo f, de la~ rugosidades núrnero de Reynolds. Si el número de Reyno1ch c~) suficientemente con ncÍJ amplianlente desarrollada, entonces elL,cl:ut ele f y el coeficiente de scm inclepencHentes ele él. Los experimentos os pOl l'hkura¿lse" y otiOS ue ¡JU rnitieron grafiGH r=:.l diagrama r1 lJWf'str:ln que en la zona t:Clt (':n(:o con plena rugosidad) c()1110 se [Cl en , la rc~lacLón entre el factor c1f' ti Y la rugosidad relativa 417" clonc1c k se f:()mo el metro de los nos de arenJ en una recubierta de arena que procluce Uln iguala la el el rnaterial considerado, está definida por la ecuación
de
e
1
21og 10 (12
k
csLlblccieb por Thcodore von ICu l11;Í n , ingcn iero éllem~ll1, en 19 JO . Pella otros regímenes de ilujo, para los cLlJles existen fórmulas que relacionan el fc\CUlf de fricción con el llllme¡"O de Rcynolds y lél rugosiebcl rdativa se pueden cstab1c:ccr las sigllien-
b cual fue
tes rcbciullcs 'ldici()Jl;\lcs. Pé\!";\ superficies lisas y R ,< 10 5 se puede , ( Blé\sills, ;\Sl en b curva illfcr¡u!"l1c1 diélgL\111él de [\¡1uody,
I~
__ _
t --
0,316
Cm¡)!c;ll
b
CClIé\ci()I!
(3.9 )
de donde
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(3.10) c::
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10 J entonces
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(3.12 )
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2
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MATERIAL VI'drlo, bronco. cobr;,
Hierro forjado y ocero
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Fundición osfallado Hierro galvanizado Fundición
0.0002
Ilt:
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0.0004
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3
2 (10 ) 4
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4
4
2(10 )
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4
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5
5
2(10 )
DE REYNOLDS R
4 iIll
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7
6 810 2{10 )
4
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ma de resistencias de Moody para el cálculo de flujo uniforme.
6 810
8
I,!)
::;:¡ Ilt:
Para el régimen de transición entre contornos lisos y contornos rugosos que producen turbulencia completamente desarrollada, eolebrook halló para el flujo en tuberías comerciales de madera, me tal y concreto que
e
1
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k 2log 10 ( - - 14,83R
Vsg
+
2,51 ReY[
)
Los coeficientes anteriores se deben modificar ligeramente, p0r el efecto de la forma, cuando la ecuación se quiere aplicar a canales. En este caso
e
1
VE'
k
v8g
- 2 log 10 ( - 12R
+
2,51e
(3.13 )
ReYsg
Los tres tipos de régimen: suave, transición y completamente rugoso se pueden delimitar por el número adimensional kv* Iv, el cual es un cierto número de Reynolds, en donde
~p
(3.14)
cuando el flujo es uniforme. El régimen de transición ocurre para
4<
v*k
v
<
100
\ 3.15)
El límite infenor define la terminación del régimen suave y el superior el comienzo o iniciación del flujo desarrollado por una rugosidad luarcada. Los estudios de la resistencia con10 función del número de Reynolds y de la rugosidad relativa, correspondientes a las ecuaciones anteriores, fueron realizadns entre 1930 Y 1940. Previo a estos estudios se presentaron distintas fónuulas para el cálculo de e, específicamente en 1869, Ganguillet y Kutter dieron a conocer una fórmula para e, bastante complicad~, que alcanzó mucha popularidad. Ppro Gauckler en 1868 y Hagen en 1881 ll.egaron, indep~ndientemente, a la conclusión de que los dat~s de C'anguillet y Kutter se ajustaban, con Igual grado de precisión a una fórmula en la cual e variaba con la raíz sexta de R. ~"1je1Ytplo
3.1. Se establece un flujo de agua en un canal de alivio con una pendiente de 30 0 . La sección transversal es rectangular de "1,80 m. de ancho, la rugosidad de fondo es muy pronunciada. La profundidad promedio vertical es de 0,60 m.
47
a. Determinar los valores promedios de intensidad de preSlOn y de intensidad de corte en el foncl o (recuerde que la distribución de presiones debe ser hidrostá tic a a través de una sección normal y que la carga de presión no es igual, por lo tanto, a la profundidad vertical bajo de b superficie). b. Si el canal está apoyéldo en intervalos de 2,40 m. a lo largo de la pendiente, qué fuerza resultante debe soportar cada apoyo?
FI G. 3.3 Esquema de Definición rJara el Ejemplo 3.1. SoluciÓ1/
a. Como la preslOn tiene una distribución hidrostática mal ob, la carga de presión en b será Pb - - = d cosa= 0,6
')
cos~
)'
Pb
450 Kg/m
ex;
él
10 largo de la sección nor-
Pb = 0,6 x 1000 x cos
2
30°
2
'La intensidad de corte en los contornos se obtiene aplicando la ec. 3.2 así,
T
o
)'R senex. Sin embargo, si la rugosidad pronunciada sólo se presenta en el fondo, se puede considerar que el corte sólo se desarrolla en el fondo de ancho B, y entonces el perímetro mojado P sed igual él B, así R' = d = A/B. Entonces 7' =)'d senex = 1000 x 0,6 2 o cosex x sena = 260 Kg/m . b.
S U poniendo una distribución uniforme de presión y de corte, las cargas que y tangencial mente al fondo son respectivamente
élCL~,cll1 perpendicular
48
F1
= Pb
BL
450 x 1,80 x 2,40 = 1944 Kg.
F
=
BL
= 260 x 1,80 x 2,40 = 1123 Kg.
2
T
b
La resultante Fr debe ser igual al peso del agua contenido en el tramo L:
2245 Kg. El peso es
\Al
= 'Y dBL = 1000 x 0,6 x cus 30° x 1,80 x 2,40 = 2245 Kg.
3.3. La Ecudción de J\!Ianning
ele
En 1891 Flam~mtJ investigador Francés, atribuyó en forma equivocadél, la conclusión Gauckler y Hagen al ingeniero Irlandés R. Manning, y escribió
c=
R1 / 6 (3.16 )
n
donde 11. es una constante qüe, supuestamente, sólo depcnde de la rugosid::ld. El análisis dimensional del problema nos indica clue ello no es estrictalllj~~1te correcto ya que siendo C función del número de Reynolds y de Lt rugosida.d, también lo debe ser la llamada rugosidad de Manning n. La ee 3.16 introducida en la ee 3.6 produce
\1 =
_1 R2/3 (' 1/2 11
.:)
o
(3. J 7)
q LlC es probablemente la ecuación mas empleada en el país, en el cálculo de céu1ales. Para que la eco 3.17 sca dinlcnsional mente hOlTlOgénca; las dimensiones de 11 deben ser las de tiempo dividido por longitud él la potencia un tercio, indicando que los valores de 11 deberÍé1l1 variar de un sistema de unidades a otre;. Sin embargo, los valores de n que fueron establecidos inicialmente en el sistemét técnico métrico empezaron él usarse en el sistema inglés de unidades, sin al tCLn su valor numórico, estableciendo arbitrariarnente l] ue n fuese constante en cLlalq uier sistema de unidélcles y que el factor de conversión se incorporara él la cc. 3. -17 haciendo n
49
1,486 v= n
/
R2 3 SJ/2 o
(3.18 )
L~s ecs. 3.17 y 3.18 de ~anning en el sistema técnico métrico y en el sistema inglés respectIvamente se usan amplIamente con los coeficientes de n señalados en la Tabla 3.1.
T A B L A 3.1 Valores de la Rugosidad n de Manning
n
0,010 0,011 0,013 0,017 0,020 0,025 0,035 0,040
Superficie Muy lisa; vidrio; plástico, cobre. Concreto muy liso. Madera suave, metal, concreto. Canales de tierra, buenas condiciones Canales na turales de tierra, libres de vegetación. Canales naturales con alguna vegetación y piedras esparcidas en el fondo. Canales naturales con abundante vegetadón. Arroyos de montaña con muchas piedras,
Sin embargo, debemos conocer las limita ciones que ofrece la ecuación de Manning, o ecuación de Strickler como se le conoce algunas veces en Europa Continental.
., R 1/6/ n en 1~I ec. 3.1 ~ ú) es un para111etro ' d e rugos1'd· ' S11111 " 1al'' a 1él La re 1aClon aa re l~1t1va relación R/k de la ee. 3.8 en donde se le asigna él n las dimensiones de raíz sexta de una longitud. Si la ce. 3.17 de Mannin~ tuv,iera el mismo; grado de p~-ecisión que la ec:).? ,)os valores de R/k graficados contra Rl/6/ n para los m1smos valores de f, 0, C, pl'oduClnan una línea re'cta - con una pendiente de 6: 1 en papel logarítmico. De la liaturaleza de las dos ecuaciones esta relación se descart,1 de inmediato, y la desviación de la fórmula de Manning de la fun~ión real se puede observar en la Fig, 3.4 presentada por H. Rouse.pl 1943. Aunque LIs fhr111ulas empíricas del tipo de b fórrnub ele Manning constituyen un~1 herramien L\ útil p(lr~\ los d leu los de ca m po, e xísten dos hechos que ahora son e videntes: t~dcs fórmulas, por su misma naturaleza, sólo tornan en cuent,l la rugosidctd de los contornos y por lo tanto no deben apliGlrse en b región en que el flujo depende, apreciablemente, de los efectos VIscosos. AdemJs, como LIs fl)rmulas empíric\s sblo son precis~\s en un rango de rugosidad rela ti va l im itad a, se debe esper~H que su él plicacibn prod UZC1 errores, que no esün presen tes en la ee 3.8.
50
10.000
,----,.......-.....,..-.......,.-''''''''i'"'-,.........,
Manning 1/6
1
Yf
R
= -n-
e
1
""V'89' : -veg
1. 00 O t-----+-------f.--+___,
2R
K 100~----~~~+---~--+--+~
10h-----~
4
5
__~____~~b-~~ 6
7
8
9
10
1/6
n
FI G. 3.4 Relación entre las Ecuaciones de rugosidad de VO!l-Kármán y de Manning. 3.4. Bl Cálculo de Flujo Uniforme La fórmula de Manning se ha convertido en el principal instrumento para. el cálculo práctico de canales. El gasto total Q que circula por un canal se obtiene al multiplicar la velocidad media, de la eco 3.17, por el área transversallTIojada, A, del canal. La expresión resultante se puede escribir Qn Sl/2 o
=
AR 2/3
(3.19 )
donde a la expresión AR 2/3 se le denomina, factor de forma para el cálculo de flujo un 1forme. El factor de forma depende únicamente de la geometría mojada y para una determinada forma crece continuamente con la profundidad y. Para valores de Q, n y So dados habrá un único valor de y que haga el tactor de form~ igual al valor dado en la ec.3.19.
51
En la Fig. 3.5, desarrollada en base a los ábacos de Lehmann en 1944 se dan los vaforrn;¡ adimensiollal, contra la profundidad adimensional paJores del factor de ra canales de diferentes formas. En el su puesto de tenerse como dato la reladón y /b y el talud, () la reLlción y/d, el factor de forma correspondiente permite determinar el caudal de circub ción en flujo uniforme. Si los datos son Q, n y S ,la profundidad normal es la incógnita que se obtiene rápidamente de la Fig. 3.5. o 1,5
1,4 1,3
1,2
1--l---+-_._,':+---:V'-.'1---;¡/f--j 0,60
1,1 1,0
>.C
0,50
0,9 0,8
'''O
........
0,7
>.c
0,6
0,30
0,5
0,4
1----+--4---+------4 0,20
0,3 '---l--l---l--t----+~-l 0,10
0,2 0,1
o
1,0
fiG.
2,0
3,0
Curvas para la
0,10
mlllilClO11
de 1"
0,20
normal.
E.'jemplo 3.2. Un canal de concreto, n = 0,013, [iene un;..l anchura de 3,0 111. en :J fondo con unos taludes de pendiente ti· vcrticd él 1 horizontal. Su pendiente es de 3,8 11", por kilómetro. CU[ll ser:1 la profundiebd de flujo cuando el caudal sea de 5,0 m 3 /s. Solución De la ee. 3.1 9 tenemos que Qn
5 x 0,013
o,0038 1 / 2 52
x 3 R/ 3
0,0563
De la Fig. 3.5 interpolando entre 1ll=0 y 111=0,5; para m=1/4 se tiene por lo tantoyn= 3,0 x 0,2 = 0,60
yn
b=
0,20;
111.
Si en lugar de emplear la Fig. 3.5. aplicnramos directamente la ce. 3.19 hubieramos tenido que recurrir a un tedioso proceso de tanteos. 3.4.1.
Secciones Circulares.
El cálculo de canales de sección circular, o de tuberías en régimen de superficie libre se refiere con alguna frecuencia a la condición de sección llena. Si se supone que al variar la profundidad del flujo uniforme, en un canal de sección circ;ular no varía la rugosidad n; la ce. 3.19 puede dividirse por S1 misma para la condición de sección llena, obteniéndose que AR 2/3 Q (3.20) (AR 2/3) llena o también
v
(3.21 )
R 2/3 llena
Las ces. 3.20 y :t21 muestran que las relaciones adiniensionales de gasto y velocidad media en un canal circular en flujo uniforme solamente dependen de la relación de profundidad y, con respecto al diámetro d, ya que los miembros de la derecha en ambas ecuaciones son únicamente relaciones geométricas. Estas se grafican en la Fig. 3.6. 1.0 0.9
0.8
/
0.7
V
Q
Q IIBno
1"""
I
/,/P 0.4
'L,
J-.
0.2 0.1
~
o
I <)
I
-
./'
V
V
V II@no
-
-
-~
~#
~
¡,.-
0.1
Vv
1/
V
11
I
,/
0.:'1
*
v
~¡-
0.20.3 0.4 0.5 0.6 0.1 0.9 0.9
Q
1.0 LI
UI
v
QiI;';';'V'ij';,,@
FIG.3.6 CaHilcterísticas de
en mm Sección Circular.
53
Calculando el caudal y la velocidad para la sección llena, la Fig. 3.6 permite encontrar las correspondientes cantidades en una sección parcialmente llena. Los niveles a los cuales se presen ta el caudal y la velocidad má x ¡!)la corresponden a y=0,94d ey=0,81 d respectivamente.
Ejemplo 3.3. Por una alcantarilla de drenaje fluye un caudal de 56 lis en flujo uniforme. La alcantarilla tiene una pendiente del 1 por mil, un diámetro de 45 cm. y un valor n de 0,015. Calcular el nivel y la velocidad. Solución Este ejemplo se puede resolver en forma similar al ejemplo anterior por medio de la Fig. 3.5, pero con el fin de mostrar la utilidad de la Fig. 3.6 haremos uso de ella en la solución.
lrt ecuación de Manning sería
Si el flujo llenara la tubería, el caudal según 1 QUeno = ,015
0,45
°
4
Q
56
QUeno
78
?/'i
)~ ~ 0,001 1 / 2 = 0,078
0,719. De la Fig. 3.6 se obtiene
y
0,63d
Luego y = 0,63 x 45
28,4 cm.
v
Para la condición dada
1,1
Vllel10
v
1
lleno
v =
54
0,OJ5
0,45
4
1,J x 0,49 =0,54 mis
2/3
)
0.001
1/2
0,49 mis;
111 3 /s
Ciertamente si no se tiene un criterio previo para escogencia de la relación y/b en canales prismáticos y de y/d en los circulares, existe un infjnito número de soluciones para valores dados de Q, n y So' Así, parece conveniente diseñar los canales con un área transversal mojada mínima con el objeto de que la sección de excavación produzca el menor costo en construcción. 3.5.
Sección Hidráulica Optinlcl de un Canal
Si el radio hidráulico, en la eco 3.19 de Manning, se substituye por la relación área sobre perímetro mojado P, entonces A= Dp 2/5
d ond e D
=
( 3.22)
2 5 (Qn/ S O 1/ ) 3/ , 1o que muestra que cuan d o e1 area es mlnlma e1 peI
l'
rímetro mojado también debe ser mÍnim? Así la sección óptima desde el punto de vista de la economía en la excavación también es hidráulicamente óptima por cuanto produce mínima infiltración y mínimo recubrimiento. Para un canal trapezoidal de ancho en el fondo b, taludes m, y profundidad y, la sección óptima se obtendrá derivando el perímetro mojado con respecto él y e igualando a cero; si además de establecer la relación óptima entre b e y quisiéramos obtener el talud óptimo, sería necesario, también, hallar la derivada del perímetro mojado con respecto a' m e igualar a cero. Usualmente, el talud se '.' diseña considerando el ángulo de reposo del material que lo compone con el fin de establecer los criterios de estabilidad adecuados. Para el canal trapezoidal en la Fig. 3.5 se tiene que A
= by +
P= b
7
myk"
+2Yj
(3.23 ) 1
+ m2
(3.24 )
Substitu,yendo b de la eco 3.24 en la eco 3.23 y luego en la eco 3.22 se obtiene que
Py -
2y
2
j 1 +. m""' 7
1
+ my 2 = D
p2/5
(3.25)
Derivando P con res pecto a y, tenel110S
Y
ap + ay-
P -
4y
j
1
2'
+m +
2my
=
+
D P - 3/5
~~
55
Haciendo ap/ay = 0, se obtiene el pedmetro mojado mínimo P m
(3,26)
2my
El radio hidráulico óptimo Ro correspondiente será
R'o
=
Pmy - 2y2 p
A P
j
1
+ m 2 + my2
m
m
donde,la substitución de P 111 de la eco 3.26 permite ob tener que 4y
2) 1 + m i -
2my 2 -- 2y 2 \ / 1
j 4y
Ro
1
+ lTl
2'
-
+ 111 2' + my 2
-y-
(3.27)
2
2my
Para el caso específico de un canal rectangular m=O, entonces
b Si
se iguala
él
= 2y
(3.28 )
el talud fuera variable entonces P 111 de la eco
3.26 se deriva con respecto a
111
y
cero, obteniéndose
4 Y m )'1 + m 2\
2y
°
ele donde 111
=
\./3'
(3.29)
3
lo cual indica que de tudas las secciones trapezoidales la semiexagonal es la mejor desde el pLlllto de vista hidráulico. La inclinación del talud puede tener la lünitación correspondiente él la condición de deslizamiento que impone la fuerza tractiva y el ángulo de reposo del mél tcriaL
56
Ejelnplo 3.4. En un canal \11.uy liso; n
= 0,01; tra pezoidal, con una pendiente del 1 por mil y cuyos taludes están en la relación de 2"horizontal a 1 vertical, trabajando en régimen uniforme bajo condiciones hidráulicas óptimas, se determina el 'esfuerzo cortante (esfuerzo tractivo) promedio 'fo = 0,5 x 10- 4 Kg/cm 2
a. b. c.
d. e.
Cuales son las dimensiones b, e y del canal? Cual es el gasto? Cual es la C de Chézy? Cual es el factor de fricción f (de Darcy) COlTf'spondiente? . Cual es el diámetro k de los granos de arena (en el diagrama de Moocly) que producen una rugosidad equivalente?
Solución
a.
Como la sección hidráulica es óptima introducimos R =
y=
J_ (ec. 3.27) en la ee. 3.2 y obtenemos 2
_--,-2_,,_x 0,5
y Pero como R =
1000 x 0,001
7 So
2
+ 2y2 b + 2yV i +27 by
- - - J ==""--, entonces b = OA8 m 1
b.
El caudal se obtiene aplicando la eco de Manning, así
Q =
~ A R 2/3 So 1/2 = O,~l
c.
De la eco 3.1 6 tenem.os
x 2,48x (-})2/3 x 0,001 1 / 2
C= _1 R 1/ 6 =_1_ (_1) 1/6= 882 , n 0,01 2
s
~
8er
8 x 9,8 -8-8-22- - = 0,01 ,
C~
d.
De la eco 3.7 obtenemos f =
e.
El número de Reynolds es Re =
Qx4R A xv
Para v = 10- 6 m 2 /s. se tiene Re = 3,98 x 10 6
Con f
= 0,01;
R
_k_
=
4R Por
3.6.
10
=
e
6 3,98 x 10 obtenemos en el diagrama de Moody que
000001 '
tanto k = 4 x 0,5 x 0,00001 m
= 0,02
mm.
Flujo en Canales con Rugosidades Compuestas
En algunos canales, la rugosidad a 10 largo del perímetro mojado puede ser diferente en distintos segmentos de la sección transversal. Cuando se trata de aplicar la fórmula de Manning a esos canales, puede ser conveniente determinar una n de Manning única para todo el perímetro, que tenga el mismo efecto que los coeficientes de rugosidad parciales n , n . . . . . 11m. Suponiendo que la velocidad sea única en todos los elementos 1 2 del área, es decir que V 1 = V 2 .... = V m = V, entonces A 2/ 3
A 2/3
n P 2/3
2/3 nI P 1
A
1
n
2
P
2
2/3
n
m
m
2/3
P
(3.30) m
2/3
donde Ai,P i representan el área y el perímetro mojado, respectivamente, correspondiente al factor 11i; Y A, P los correspondientes él la sección transversal total, entonces A
A·= 1
3/2 P i llí
P n 3/ 2
111
Y
C01110,
A =
tenemos A A=
58
P n 3/2
~
1
111
~
1
p. n. 3/2J 1
1
de donde
A·1
n=
P n 1,5 1 1
+ ... + P m n
m
1,5) 2/3 (3.31)
p2/3
Si la forma de la sección transversal del canal es tal que no permita, lícitamente, suponer que velocidad sea única,como por ejemplo en el caso de canales aluvionales en los cuales se producen inundaciones en épocas de alta precipitación, entonces la rugosidad equivalente se puede hallar haciendo la sumatoria de los gastos correspondientes a los canales parciales. Consideremos, en la Fig. 3.7. el canal compuesto por las secciones 1 y 2 con parámetros de subíndice 1 y 2.
FIG.3.7 Canal de rugosidad compuesta y velocidad no uniforme. De la fórmula de Manning para el gasto total Q = Q1
por
1
A 5/3
n
p 2/3
2
~
1
se obtiene que
A 5/3 i (- --) n' P'1 2/3 1 1
10 tanto, en general 1
n=
(3.32)
m ~
1
3,7
+ Q2
n P
2/3
Elementos de Erosión y Sedilnentación
La mayoría de los canales con recubrimiento pueden soportar la erosión,y se pueden considerar como no erosionables. Los canales sin recubrimiento, por el contrario, son erosionables; a excepción de aquellos que se excavan en fundación firme tal como en roca. Por lo tanto el diseño de canales debe hacerse considerando si el canal va a estar o no revestido. 59
Si el canal se va a revestir lo mas aconsejable es diseñar el canal empleando el cri terio de sección hidráulica eficiente descrito en la Sección 3.5. Es posible que esta sección pueda sufrir alguna modificación puesto que la excavación y el recubrimiento incluye el borde libre y su costo puede ser comparativamente mayor que el de un canal mas estrecho pero con sección hidráulica no eficiente. ' Si el canal no se recubre, las fórmulas de flujo uniforme que son aptas para el diseño de secciones no erosionables, proveen una condición insuficiente para el diseño de ca,nales erosionables. Esto se debe a que la estabilidad de los canales erosionables, la cual gobierna el diseño, depende principalmente de las propiedades del material que forma los contornos del canal antes que de las condiciones hidráulicas del flujo. Sólo después de que se obtenga una sección estable del canal erosionable se pueden aplicar las ecuac,iones del flujo uniforme para el cálculo de la velocidad y del caudal. Usualmente se distinguen tres procedimientos para el cálculo de la sección estable: El Método de la Velocidad Permisible, el Método de la Fuerza Tractiva y el Método del Régimen. Cuando, por alguno de estos u otros métodos, se diseñe un canal para que resista la erosión será necesario comprobar finalmente que la velocidad no sea tan pequeña como para que las corrientes que lleven sedime?tos en suspensión los depongan. Esta velocidad mínima, evidentemente, depende del tamaño de los sedimentos que son acarreados. Si el agua no transporta sedimentos, la velocidad mínima es un factor que no tiene significación, excepto por su influencia en el crecimiento de plantas. En general, se puede tomar una velocidad media mínima entre 0,6.0 y 0,90 mis con cierta seguridad de que no se producirá sedimentación cuando el porcentaje de material suspendido es pequeño. Una velocidad media no menor ,de 0,75 mis. evitará el crecimiento de plantas que pueda limitar la capacidad del canal. 3.7.1.
lvIétodo de la Velocidad Permisible.
La máxima velocidad permisible o la velocidad no erosionante es la mayor velocidad que no causará seria erosión en los contornos del canal. Esta velocidad es muy imprecisa y variable y sólo se puede estimar con experiencia previa y buen juicio. En general, los canales viejos soportarán mayores velocidades que los nuevos ya que en aquellos el fondo está mejor estabilizado debido a la deposición de sustancias coloidales. Un canal profundo podrá conducir el agua a mayores velocidades, sin erosión, que otro menos profundo ya que las velocidades del fondo son mayores en este que en aquel cuando la velocidad media es la misma. Maza en 1967 recopiló y a~tualizó experiencias de otros investigadores y presentó las Tablas 3.2 y 3.3 de velocidades máximas no erosivas para suelos cohesivos y no cohesivos. Usando la velocidad máxima permisible como criterio, el procedimiento de diseño para un canal, con sección trapezoidal, se puede seguir en los siguientes pasos: 1. Estimar el coeficiente de rugosidad n, de acuerdo con el material que compone el canal; el angula del talud (de acuerdo con la Tabla 3.4 dada por V.T. Chow) y la velocidad máxima permisible (según Tablas 3.2 y 3.3).
60
2.
Calcular el radio hidráulico R por la fórmula de Manning.
3. Calcular el área mojada requerida para el caudal dado y la velocidad máxima permisible A = Q/V. 4.
Calcular el perímetro mojado P
= A/R.
5. Empleando las expresiones de A y P en función del ancho b de la base y la profundidad y, resolver para b,e,y. 6. Añadir un borde libre apropiado y modificar la sección en función de la operación constructiva, si ello es necesario.
T A B LA
3.2.
VELOCIDADES .MEDIAS DE LA CORRIENTE DEL AGUA, QUE SON ADMISffiLES (NO EROSIVAS) PARA SUELOS NO COHESIVOS, EN mIs. Diámetro Medio de las Partículas en mm. Polvo y limo Arena fina Arena media Arena Gruesa Gravilla fina Gravilla media Gravilla gruesa Grava fina Grava media Grava gruesa Guijarro fino Guijarro medio Guijarro grueso Canto rodado fino Canto rodado medio Canto rodado grueso
0.005 0.05 0.25 1.0 2.5 5.0 10 15 25 40 75 100 150 200 300 400
--
0.05 0.25 1.0 2.5 5.0 10 15 25 40 75 100 150 200 300 400 500
Profundidad Media de la Corriente en m.
0.40
1.00
2.00
3.00
5.00
MiÍs de 10
0.15-0.2 0.20-0.35 0.35-0.50 0.50-0.65 0.65-0.80 0.80-0.90 0.90-1.10 1.10-1.25 1.25-1.50 1.50-2.00 2.00-2.45 2.45-3.00 3.00-3.50 3.50-3.85
0.2 -0.30 0.3 -0.45 0.45-0.60 0.60-0.75 0.75-0.85 0.85-1.05 1.05-1.20 1.20-1.45 1.45-1.85 1.85-2.40 2.40-2.80 2.80-3.35 3.35-3.80 3.80-4.35 4.35-4.75
0.25-0.40 0.40-0.55 0.55-0.70 0.70-0.80 0.80-1.00 1.00-1.15 1.15-1.35 1.35-1.65 1.65-2.10 2.10-2.75 2.75-3.20 3.20-3.75 3.75-4.30 4.30-4.70 4.70-4.95 4.95-5.35
0.30-0.45 0.45-0.60 0.60-0.75 0.75-0.90 0.90-1.10 1.10-1.30 1.30-1.50 1.50-1.85 1.85-2.30 2.::10-3.10 3.10-3.50 3.50-4.10 4.10-4.65 4.65-4.90 4.90-5.30 5.30-5.50
0.40-0.55 0.55-0.70 0.70-0.85 0.80-1.00 2.00-1.20 1.20-1.45 1.45-1.65 1.65-2.00 2.00-2.45 2.45-3.30 3.30-3.80 3.80-4.40 4.40-5.00 5.00-5.50 5.50-5.60 5.60-6.00
0.45-0.65 0.65-0.80 0.80-0.45 0.95-1.20 1.20-i.50 1.50-1.75 1.75-2.00 2.00-2.30 2.30-2.70 2.70-3.60 5.60-4.20 4.20-4.50 4.50-5.40 5.40-5.90 5.90-6.00 6.00-6.20
omiÍs
61
T A B LA 3.3 VELOCIDADES MEDIAS DE LA CORRIENTE DEL AGUA QUE SON ADMISIBLES (NO EROSIVAS) PARA SUELOS COHESIVOS, EN MIS
Profundidades medias de La corri('ole en ro
Denominación de los suelos
Porcentaje del conlenl· de partículas
<0.005 Arcillas.
0.005--{l./J5
30-50
Tierras fuertemente arcillosas
20-30
70--50 80-70
Tierras ligeramente arciUosas
10-20
90-80
Suelos poco compactos,
ier~lv~~~mhe::~~ol ~e6 ~~3
Suelos medianamente compactados. peso volumétrico del malerial seco 1 1 20-1.66 t/m 3
Suelos I..'ompactos peso vo lumétrico del material M'CO de 1.66-2,04 t/m 3
Suelos muy compacllls, el peso volumétrico del mnterial seco 2.04-2.14 tlm 3
0.4
1.0
2.0
3.0
004
1.0
2.0
3.0
0.4
1.0
2.0
3.0
0.4
1.0
2.0
0.35
0.4
0.45
0.5
0.7
0.R5
0.95
1.1
1.0
1.2
1.4
1.5
lA
1.7
1.9
2.1
0.3ó
0.4
0.45
O.fl
0.65
0.8
0.9
1.0
0.95
1.2
1.4
1.5
1.4
1.7
1.9
2,1
0.6
0.7
0.8
0.85
0,8
1.0
1.2
1.3
1.1
1.3
1.5
1.7
3.0
Suelos de Aluvión Arcillas margosas
Tíenas arE' nosas
I
5-1°1
20-40
SegÍJn
la
Tabla
3.2
ell
relución
con
el
l,aml1ño
de
las
fra('<'Íones
arenosas
T A B L A 3.4 Taludes Apropiados para Distintos Tipos de Material
*
62
Material
Talud (H:V)
Roca Suelos de turba y detritos Arcilla compacta o tierra con re cubrimiento de c'oncreto
Prácticamente Vertical 1/4: 1
x
1/2:1 hasta 1:1
Tierra con recubrimiento de piedra o tierra en grandes canales
1:1
Arcilla firme o tierra en canales pequeños
1,5: 1
Tierra arenosa suel ta
2:1
Greda arenosa o arcilla porosa
3:1
El U.S. Bureau of Reclamation recomienda un talud único de 1,5:1 para los canales usuales, en sus diseños.
3.7.2.
Jl.1étudo de: Id Fuerza Tractilhl.
Cuando el ~\gU(\ fluye en un canal, el esfuerzo cortante, o tractivo, To ' que se genera en sus con torn os, tiende <1 producir a.rrastre del úlaterial que los compone. El esfuerzo que usualmente tiene valor significativo, en los cálculos es el promedio sobre el perímetro mojado. T
donde So es
o
'Y RS o
(3.33 )
la pendiente hidráulica que corresponde, para pequeñas inclinaciones al senO'
empleado en la eco 3.2. En un canal muy ancho el radio hidráulico coincide con la profundidad y del flujo, así la ecuación anterior se transforma en T
o = 'YYS o
(3.34)
El esfuerzo cortante que produce movimiento en el material de fondo, fue determinado experimentalmente para material suelto, o no cohesivo, por shields en 1936. Shields encontró, mediante consideraciones dimensionales que
(3.35)
donde
T C
es el valor del esfuerzo cortante necesario para la iniciación del movimiento,
'Ys es el peso específico del nlaterial del fondo, 'Y y P son el peso específico y la densidad del fluido respectivamente, d es el diámetro del sedimento de tamaño uniforme y, la viscosidad cinemá tica del fluido. En la Fig. 3.8 se presentan resultados, modificados, del diagrama de Shields, para agua a 24°C y un sedimento con peso específico
v es
'Ys =
2650 Kg/m 3 . Este gráfico, aunque menos general, que el de Shields es más di-
recto desde un punto de vista práctico ya que entrando con el diámetro d del material de fondo se obtiene el valor de T c I 'Y =RS o ' que produce n10vimiento sobre el diámetro da do. Esta información permite calcular, sin considerar los esfuerzos en los taludes, un canal de fondo estable. Debido a que el material del fondo, en canales, no es uniforme se ha adoptado, con aceptación universal, el empleo del diámetro d 75 que corresponde al 75 % del material, en peso, cuando este se va acumulando desde los diá metros menores hacia los mayores, como diámetro de diseño que conducirá a un acorazamiento del fondo el cual, teóricamente, q uedarí él armado con partículas de diámetro igualo mayor que d 75.
63
- 1--1-
-
f--- --1-- -
-~
---
--
~-i~-+---+-+---I-+++---
- -- - ---- - - -
/v
~- -+-+--+---I--if-+-"-------1~_h;"__I-+__-
- --~-I--+-_!_-l-
V
lo-;H-++++--+--+-+-+--I--I--+-+-H-+--/*--+--I-I--i-+-I-+-+-f-f 1---4-+-+-++---+-~~-+--+-+-+-+-l -I-+---:7'/L--I---+---I-
1---4-+-+-++---+-~~-+--+-+-+-+-l-I-.llf/~-t--+-I--I A gua o 24 Oc l 1,: 2600 _./m'
~I~
~
2
I---+V.",q ...--+----- I-il--+--+ -++-I---
1----- I----+-+-- -I--
-+ -!.--l---!--I- -I
lo-.t:ttttt=~I/==t=t:t=t±t±t:l:t==t=t=!=t=t±t=t:ttl /'
11
v
1----I--+-l ---l--lf---- l--J----4-
~---
-- ___ 1--
el (cm)
FI G. 3.8 Esfuerzo cortante crítico, obtenido de la información experimental de Shieds, en función del diámetro del material no cohesivo del fondo. Para otras temper aturas o pes~s específ icos se puede usar en forma genera l la ecuaci ón (3.36)
En la Fig. 3.9 se presen tan los esfuerz os cortan tes crítico s en suelos cohesiv os según experie ncias realiza das y publica das en Rusia en 1936. La rugosid ad del fondo acoraz ado para flujo turbule nto puede obtene rse de una
frJr1l1uLt expone ncial presen tada por J. William son en 1951, según la cu~d 64
f=
o)113
(_k_)1/3
(3.37 )
R
Si f se escribe en función de la n de Manning, empleando las ecs. 3.13 y 3.16 se obtiene que
(3.38 ) Igualando las ecs. 3.38 y 3.37, Y empleando el d 75 en sustitución de k en esta última, se halla en el sistema técnico métrico n
d 1/6 75 26
=
(3.39 )
_-'-c:..-_
5,0
~~~~~~--~~~~--,------,------.
i
~
,
I
',0 ~~~-~- ~-------!.-~-----'--~---1~I---------l--------i-----+--
___LLL ____~~~__
3,0
','
1,0
.~
0,9
~
1),'1
~
O,7
!
0,6
I----l--~I__--l-
I-- __ ~ ___ ~----+_ ---~~------'-~--,
-1-
0,2
M"
o,, ',5
0,2
0,3
0,4
o,~
O,';
0,7
a,e
0,9 1,0
1,2
>,0
fIG.3.9 Esfuerzo cortante crítico en suelos cohesivos. Según datos de U.R.S.S. publicado en Hydrotechnical Construction, 1936 Moscí•.
65
ESt~1 rebci (l!l hab í~\ sido presen tada C0l110 una ecuación empl rlCéI en 1923 por Stricklcr, con un coeficiente muy próximo pé\r~1 d igu,¡\ ,11 tamaño medio de los granos en corrientes de superficie libre con fondo de gr;\v,\.
hjernplu 3.5 Un cm;1} debe transportar 2800 l/s él tré1vés de un terreno compuesto de granzón grueso con d 5 = 5 cm. L\ eXCélVacic)n para el canal tiene una pendiente S 0= 7 0,005 las orillas est
75
= 5 cm. encontralllOS en b Fig. 3.R, considerando 'Ys = 2650 Kg/m 3 ,
no produce arrastre,. RS o Y, T = 24° e, el múximo valor de RS o Llue "] Para S = ü
0,005 tenemos R = 0,70
= 3,5 x 1o-3 m
111.
La rugosid,¡d de Mallning correspondiente es (según ce. 3.39)
n
= 0,05 1 / 6 / 26
Le1 velocidad media es (según
v=
_1
= 0,023
le! ec. 3.17)
R 2/3 S 1/2
n
o
0,005 1 / 2
0,023
=
2,42 mis
Considerando, en una primera aproximaci()Jl, R = y, tenel1lUS
b=
--º'-yv
2,8 0,70 x 2,42
Una anchura conscrv,¡dora sería b = 2,00
1,65
lll.
111.
3.7.3. lJ prublcrnd de lus td!udes Si el :lngulo de reposo de un determinado material es Q el criterio de cq uilibrio par,1 ese 111é\ tcrial en un talud sobre el g ue actú,l aguél cn reposo, se cst;lblece, con referenciél él la Fig. 3.1 O, como sigue
66
FI G. 3.10 Condición de equilibrio de un talud. la y Si P es el peso del agua por unidad de área, sobre una partícu del talud, se tiene en el límite del equilib rio que P sene = P cos
e
, es dedr,
tg¡:P
tg
e=
e es el angulo
tge¡;
se combi na con Si ex.iste flujo, la compo nente del peso en la dirpcci ón del talud nte es resistiresulta F la fuerza produc ida por el esfuerz o cortan te actuan te 6' La fuerza compo nente del peso por da por una fuerza que no puede ex.ceder el valor norma l de la el factor de fricció n, es decir F = P cos e tg
Así tendre mos T
C
F~
tg
cos
e
tg
<1)
y la fuerza T = P sene, será T
T~ -L..-
tg
sen
e 67
Si consideré1l11Os
r
10
2
')
cus~
c
el
Lictor de pruporcioné!lidf:\C1 es unitari o podrem os escribi r ')
e
y- 2 u
+
sen~e ------
2
y
c
cu;¡} conduc e él T T
el
CJlIC
()
=
cos
e
C
F 1 -
-~
to-~
e
-~to-~
;:,
(1)
(3.40)
Ex presicm ésta que permit e hé¡]L!r el esfuerz o corta nte Cl'l tlco en un talud, dados (¡ngulo dd mismo y el úngulo de reposo del m;lteri; ¡] que lo compo ne,.
El U.S. B ureélll of RecLt 111 él tion ha real iZé\do e x tensos estudio s pélr;\ determ in;\¡- el éíngulo de reposo de los distint os m;\teri ales y b distrib ución de esfuerz os cortan tes en los uludes , y;\ que no es sé\tisfa ctorio us;\r un esfuerz o corté\l1 te único igual ~d prome dio en Lt sección . Como produc to de estéIs inveStlg
I
~---
. o
~
30
¡
- --1
.+---- --1
o
:;
""
e o
25.
+--__ _-(
'----
......
----~- --~--
0,25
0,50
Diomefro
1,00
los
1,50
2,00 2,50
porl(r.'Jlos
5,00
1,50 10,00
(centíme tros)
FI G. 3.11 Angulo de reposo de material no cohesivo, seg(m el U.S. Bureau of Reclamation.
68
, es eviden te que estél dcbe variar la base, e, y es b profun didad. e.n y l,a .rdaclo ;l ~/y donde b es el ancho con el angula }";lr que el esfuerz o cortcll1 te conside Pero para los propoS ltos practlc os de diseilo se puede en el fondo es
,En relació n con L~ ,distrib ución de esfuerz os
,
e
7() --
7
0
¡ry,So
(3.41 )
y que el máxim o en los taludes esd dado por
7
0
(3.42)
= 0,75 ¡ryS o
tes pasos: El proced imient o de diseño se puede resumi r en los siguien
e
Determ inación del talud estable < c[) donde Determ inación de la relació n de esfuerz os, 7 o / 7c , en el talud senlae c. 3.36). Altern a=075¡ ryc y 7 c =0.05 6(¡r s -¡r)d 75 (criteri o de Shield 7 °0" ' o nlax , para las condic iones señalad as tiva mente, el védor de 7 c puede tom;us e de la Fig. 3.8 a. b.
en
ella. c.
d. e.
Cálcul o de yS o (rn:lxim o)' Determ inación de y, o de S c:1lcul o de b, emplean~lo la o ecuélci ón de Mannin g.
3 r en un terreno , con Lijemplo 3.6. Un canal que debe conduc ir 54 m /s se piensa excava
con un d 75 = 5 cni. Las piedras pendie nte del 1 por mil. d~ deposi ciones aluvial es gruesas inar valores adecua dos para pueden consid erarse "mode r,ldam ente redond eadas" . Determ la base b y los taludes . SO[IICió11.
a.
De la Fig. 3.8 obt'ene mos
tI>
= 37° d; ag uí clue ctgq)= 1,33.
Cualqu ier talud que tenga un ángulo menor que
<1>
será adecua do.
algo rróxim o él ct~ 37° = Un talud con n~lación m = 1,5 (ctg e = 1 ,?,) tiene un valor, dlsena mos con, fj = arc aSI, 1,75; = = 1,33. Por ello tomam os un talud con rebclo n m = 0,868 ctg 1,75 para el cual cos
e
b.
Introdu ciendo valores en
~=O,868~ 7
1a eco 3.40 se tiene
,,'
1, 33~
= O 565
1,7 52
'
e
69
7
el cri terio de diseño debe ser ~ ~ 0,565 donde 7o es el esfuerzo cortante má7 -.;:;:;,
entonces
C
ximo en
el talud dado por
c.
7
0
= 0,7 5'YYS
o
De la eco 3.36, para ('Ys-'Y) / 1'= 1,65 se tiene
substituyendo obtenemos
Ys o d.
0,565 0,75 x 11
~
= 0,001
Un valor de S o
y
~
conduce
él
3,42 m.
Si tomamos un factor de seguridad del :25 %
y
= 3,42
x 0,75
= 2,56
m.
Escogemos para el diseño y = 2,5 e.
tendremos
°
m.
Ahora hallaremos el ancho b para conducir el caudal de diseño,
De la ce. 3.39 (de Stricklcr), n
= 0,05 1 / 6/26 = 0,023
Aplicamos la ecuación de Manning y por tanteos sucesivos encontramos que la ecuación 1
54 =
0,023
AR 2/ 3 O,OO~ 1/2
se sadsface para b = 6,8 m.
3.7.4
Sección hidráulica estable
La sección estable ideal debería alcanzar la misma condiciém de resistenci;l al movimicnto, en todos sus puntos, simult;tneamentc. P;lra un tipo de suelo dado y para
70
cierto caudal de diseilo, esta sección ideal tiene la menor eXG1V~lción, la menor anchura y b velocidad media mel xima aceptable. El análisis para determinar esta sección, seguido por el U.S. -Sureau of Reclamation es como sigue:
FI G. 3.12 Esquema de definición para el análisis de una Sección Hidráulicamente Estable En el nivel superficial, y arriba de él, el talud tiene el ángulo de reposo del material bajo la acción de la fuerza de gravedad. La fuerza tractiva 7 0 en el elemento de área diferencial, de longitud unitaria y ancho dxl cos ~ es
7
7
~ = 'YyS dx, o
o
dxl cos
o
= 'YyS o cos~
es decir
(3.43)
El esfuerzo cortante m,lximo
7
, G
70
7
J11aX
ma x = 'YY o So' entonces
o
--..Iy'---- cos ~ Yo
CUélndo se inicia el movimiento
mos gue
en y = Yo es
:0 ='CüS ~j1. c
t
7
onlax =
7
c
la eco 3.40 , pero como según v
tene-
g: @'
tg-cfl
71
en tonces (3.44 )
Haciendo en la ecuación anterior tg (3 = dy/dx,
(
Para x
=.
dy 2
0,
y
Y ') (--)~ yo
+
) dx
') tg~ <1>
y arreglando términos
')
= tg~ 1>
= Yo' Con esta condición hallamos
la solución de la ecuación diferen-
cial anterior x tg
~= cos ( Yo
la sección estable correspollde
Lo cual nos indica que La anchura máxima T
T =
'ir
(3.45)
Yo
yo/tg
= 2x o
él
la de una curva coseno.
es
(3.46)
El área transversal se obtiene integrando 'ir
A = 2yo
yo/2 tg
J
cos (
dx = 2y; / tg
o
(3.4 7)
<1>
El perímetro P es
P =
2?0 j
1
l)
=
2~o /1 + o
72
+ (~)
i dx =
dx
( 1 -
') cos~
x tg(l>
(---
Yo
dx
Es decir
rr!2
f
P=
o
x tg
w=
donde
J
1 -
SCn
2
2 (ll
sen w dw;
Yo
o también
P
2 Yo = --senQl
E
(3.48 )
donde E es la integral elí ptica dada en sas tablas, como las de Allen.
la ecuación anterior y para la cual existen numero-
El radio híddulico es R = Yo cOS
lE y el caudal Q de circulación estará dado por
la ecuacibn de Manníng Sí la descarga que debe transportar el canal Ql' es menor que Q, entonces será necesario remover un segmento en la sección central calculada del canal. Si TI es la anchura a remover en la sección central se p·uede mostrar que
TI
= T (I -
J Ql IQ)
(3.49)
Por otra pélrte si el canal debe transportar un gasto Q2 mayor que Q, será necesano agregar una sección rectangular de anchura T 2 en el centro. Esta anchura está dada por 11 (Q2 - Q)
T2
= Yo
5/3
So
1/~
(3.50)
~
Los canales modificados se muestran en la Fig. 3.12
73
1..-.-------------
T t T 2 - - - - - - - - - - - - -.. ---.~
~
1
:
I I
~-Tl/?..
T2
FIG. 3.13. Secciones estables alteradas.
lijemplo 3.7. Se desea determinar el perfil de la sección hidráulica estable que reelnplace la sección trapezoidal del canal calculado en el Ejemplo 3.6. a. Est~blecer la sección hidráulica estable para la pendiente y el esfuerzo cortante crítico correspondiente ;11 material dcllecho. b.
Encontrar el caudal correspondiente
c. Modificar la sea 54 m 3 /s. d.
Dibujar
;1
sección
él
dicha sección.
encontrada de tal forma que el caudal transportado
escala la sección estable adoptada.
Solucióll a.
Según
el criterio de 5hields (ec. 3.36), T c = 0,056 ('Y s -'Y) d 75
P;.¡ r;l, T c = T o = 'Y Yo 5 ()' y, ('Y s -'Y) / 'Y= 1 ,65, t en e 111 o s
'Yo
= d 7 5 x 0,0965/5 0 = 0,05 x 0,0965/0,001 = 4,62
x o = T/2 = rr y j (2tg ? A=2Yo~/tg(I)
P = 2y oE/sen
(1) )
=
17
x 4,62/ (2 x tg37°) = 9,63 m
= 2 x 21,34/tg37° =56,65 <1>,
donde E = 1,4171 p;lra
(1)
?
m~
= 37°
Así P = 21,76 m., y. R = A/P = Yocos
74
111
El caudal que corresp onde a esta sección será
b. Q
=
=
_1_ AR 2/3 S o 1/2 n
1 0,023
1 2 56,65 x 2,60 1 / 3 x 0,001 /
= 145
m 3 /s
3 3 r la secció n Como Q = 145 m /s es mayor que 54 m /s, tendre mos que reduci c. así 3.49, eco la con o en un ancho Ti en la región central , de acuerd
Ti =T (1
-J Q 1/ Q )'
=
19,26 (1-J5 4/145 ') = 7,52 m.
La anchur a de diseño será T - T 1 donde
T - Ti == 19,26 -7,52 == 11,74 m do la eco 3.45, Para la sección estable calcula da en el aparte a., tenemo s, aplican que
x (m) Y (m)
.
x (m) Y (m)
0,00
1,00
2,00
3,00
3,76
4,00
5,00
6,00
7,00
4,62
4,56
4,38
4,08
3,76
3,67
3,17
2,58
1,92
8,00 1,21
9,00 0,47
9,50
9,63 0,00
0,09
nto central de Para la sección modifi cada, en el aparte c, elimin amos un segme que corres,y) (x pares 1 ancho T l' de tal forma que para las nuevas abscisas Xl se fijan x, Xl se relacio nan por ponden a los pares (x,y) de la sección inicial. Las abscisas para x
> T 1/2
Por lo tanto la sección modifi cada es
Xl (m)
0,00
0,24
1,24
2,24
3,24
4,24
5,24
5,74
5,87
Y (m)
3,76
3,67
3,17
2,58
1,92
1,21
0,47
0,09
0,00
15
d.
En los grá ficos q L1C siguen se eL! n bs seccion es hidrá ulicas estable s pata Q = 145 m 3 / s , y p:¡r:¡ Q1 = 54 111 3 /s
FIG. 3.14. Secciones Calculadas en Ejemplo 3.7. EJERC ICIOS hjf'rcic io 3.1.
Demos trar que para flujo crítico en un canéd de sección circula r de dütlTIe tro D y con celudal Q se tiene. con referen cia al esquem a que
(O'
~ senO' cosO') 3 64 senO'
76
Ljercic io 3.2. El can:t1 circula r ilustra do en el esquem a conduc é' un caudal Q=10m 3 /s. con una velocid ad media de 2,0 mis. y una profun didad normal Yn=0,7 5D. Para una rugosid ad de Manni ng 11=0,01 2:
a.
Cuál es la pendie nte So que corresp onde a dicho flujo uniform e? .
b.
Cuál es el régime n de flujo, sub o supercrítico ? .
lijercic io 3.3.
k Toman do los valores del diagr~\111a de Moody y gr~lficando f=f ( ) en papel R logarít mico, hallar la corresp ondien te ecuaci ón y compa rarla con la fórmul a expone ncial propue sta por J. William son.
Eijercicio 3,4. Se tiene un río de 200 m. de ancho, en la superfi cie libre, con pendie nte de 10 cm. por Km., con un caudal de 200 m 3 /s y una velocid ad media de 0,5 In/s. Determ inar: él.
b. c. d. e.
f. g. h.
i.
La 'profun didad hidráu lica (media ).
El radio hidrá ulico. El coefici ente n de la fórmul a de Mannin g. El coefici ente C de Chéz y. El flctor de fricció n f de Darcy. El esfuerz o trclctivo prome dio T en los contor nos. La Cllturél de los grél110s de arenao que produc e un~1 rugosid ad equiva lente en d diagramél de Moody . Si el fondo fuerel, en efecto, de materia l suelto, sería este fondo estable a la erosiC)!l? . CUéll es el esfuerz o corLl11te crítico ? . Cuál es b profun didad altern<1 que curresp onde a la miSIDél energí a específ i-
el? .
77
Ejercicio 3.5.
Diseñar un canal trapezoidal estable por los métodos de la velocidad permisible y de la fuerza tractiva crítica que conduzca un caudal Q=4,O m 3 /s. El suelo en que se realizaría la excavación tiene un d 7S =S mm. y un So=O,OOl. Las partículas del material de fondo son muy angulares.
78
CAPITULO 4
EL FLUJO GRADUALMENTE VARIADO
4.1.
COllsÍdcrucÍulIcS hll1dd/l/clltdes
CUél11do sc piensé\ en \.'~\rié\ciones gré\dua1cs cn las características del flujo en un c\nal- podrL\ consider;\rse que ellas ocurren con rcspccto a b distancié\ o con rcspccto al ticmpu. Sin e I1lb ;\rgo , si dcsca mos atcncrnos a lél tcrminologí él dc nu mcrosos él u torcs como H. ROllSC, Vcn Tc Chow, r.M. Hcndcrson, C.J. Pusey, F.J. Domingucz, R. Silbcr, R. D. Cotté\, J.5. Cé\ndolfo, A. B;\l1ofct, L.M. Cotc11i, C.A. Mcoli y R. COlTIolct, dcbemos 1ill1it;\rnos e11 cl cstudiu ele I flujo gradualmcnte variado, Llllicé\l11entc a los cambios cspaci,dcs. La pc\Ltbré\ graduc¡] implica que hs vélrié\cioncs se produccn pé\uLltinél () ]cnté\ltlente. Las ;t!teL\ciunes LJue producen las fucrz;\s de rOZé\l1JiCllto cn cl nivel superficial dc un canét! abicrto, CU;111c10 el flujo 110 es uniformc, son gradué¡\cs. Asi, sc pucde dcfinir el f1uju gradu;¡]1l1Cl1tc vari;\docOlllO, el flu,io permancnte y no uniformc ljlJC sufrc varié\ci~)¡1CS imperccptibles en sus caractcrísticas, cn pcqucüas distancias, producidé\s por el rozamiento del fluido CO!1 los c()nt()rn()s ,s()lidos que lo cnC\UZ;\l1. Los C\SUS dc f1uio pCrmé\l1entc en quc b llrofundid;\o v;\r!;\ t;ll1 r{\pidal11cnte que el radio dc curvatura de la supcrficie es del mismo ordcn de magnitud li uc la profundidad, se excluycn de esta ctefinicicm. El flujo sobrc vertederos, ;¡ tré\Vl~S dc constricci()nes, ,¡jrcdedor dc curv;~s, en b proxilllicbd de C1111b ios bruscos c n el 11 i vc] el el fOl1d () () en trél11 siciol1 es d c b For mél del C\l1étl, 11 o se tra té\re'! en cste c\ pí tu lo. El cí lcu]o del fl ujo gr,\d uall\lente vJrl;ldo sc dcnomln;¡, a Igu nas veccs, dlcl1lo ele las curVéiS de rellléll1SU. El proble1l1;\ princip;¡j del flujo gy"dUéd111cntc Vélrié\do es b predicción del perfil ele b superficie libre o, C'11 otros C\SOS, del nivcl supcrfici,¡j fijo () cOlltrolado en deterl1linanDS puntos.
Se scfi.al{), cn el capítulo ;\1ltcrior, llue en el flujo pCrJllé\l1el1te y uniformc la pendicnte dc Lt líne;\ de cnergí" S, es igUéd quc b pcndiente S (te] fondo del cal1cd. Si el flujo es gréldu;t!111ente variado, las vé\ri;¡ciones de profundidad ()I velucidad no pucden dcsprcCié\rse. Si, en \;¡ Fig. 4.'1, designé\1l1os por Z la elcvaci()]1 del fondo con respecto él un d,\tum arbin;\rio, tcndrcl1los que b encrgÍ;\ tot;t1 H, dc Lt enlélCi()Jl de Bernoulli (ec. 1.18) est(¡ dada por
H
=z + y
coscp
+ O'
__Q2 (4.1 )
79
dUllde
í/J
es el ;'lllgLlI()
r.k
inc!ill;ICi(lll del f()lldu, L\' e,s el cod'icielllc
!1lT~WllllicLlL¡r¡lll'lltl' C()ll.,>idl'ITlllUS llLle ~¡ y O' SOll
de
ClllTg(;I,
y
es LI
;11 f'()I1c!(»),
Q
es el g;lstu
elel CIll;¡].
C()llSLIlltes
L'1l
el tr;llll() del GIILII elll'studiu. LI
l'iv;llla dl' ];¡ lbr;í
el1 dUl1de
pr()~
y A LI sl'ccir')1l tr;llls\'lTs;ll
fUlldicbd ItullLllb
dl'~
ec. 4.1 COII I'e,'>pect() ;1 b ·iilTcci<')1l .\, c.ic c()ITeslwlHlil'llte ;11 f(l!ldo tkl cll1;ll,
dH
eh
el\
el,
+
J
(2~
el\' e()s
cp
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dH/ch =- s: dl./lh =-S : ,v, ()
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!4.2;
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d,v/eh. ASl', ]i()delllOS escribir
so -s (4.31
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(4.4 )
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'-',,~1 IJ/2fi)
l
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\=ccl~J: bU'·
. c_~ccc
..
1---~,··~.~ _ i__
~~~_
.. _
__L_
----~
Cr;I\J!f'
FIG.4.1 Esquema de Definición para la Ecuación del Flujo Gradualmente variado. 80
dcbidu;\ ljLlC S()
e xcep rn
-s =
el (H-z': / eh = dE/d:\.
FrecuentemClltc sc tom,\ cos cp = l. exceptu Cl1 canales ele fuerte pendiel1te, y, 0'=1 e11 clIL\1 e,c; l'()J1 el istrib Ll ci¿m ele velociebdes cun poca uniformidad.
L\s ecs. 4.3 y 4.4. conocid~\s como bs ecuaciones de resistcnci,l del flujo ~radu,11Illellte v,\ri'ldu. SOI1 eCLl;lciulles diferellci,\les en y=f(x). llUC en gencLtlnu son cxplícitaIllelltL' sulubles, pero cxisten l1LlllleruSOS ll1l~todos Iluméricos para obtener soluciones. El problclll;\ princip,t1 COIl estéIS ecu,\ciolles es que su formé\ no permite estélbleccr de inl11e(li,\t,) Lt vé\riélCitll1 cu,tliLltivé\ elel perfil superficÍ;ll. Es dese,lblc, por consiguiente. des;1l"roIL,- U11 pr()cesu sistCI1l,ítico l]Lle nos !,nmitc\ definir el tipo de vari,\ción que sufrid un perni supuficiét1. si en Ull,\ det('rlllill(\cb Sl'CCillll se CO]locen sus cclr,\cterístic\s hidr:1ll1icéls. Es f-reCllel1tl' ITCLlITi,- é\ los c\ll,\lcs n_'ct:\llgllb'Ts de ~Llll élllchur,l. COIl elistribtlciém uniforme dc vclocilLtc1cs y con inclin,\cil)ll t:ll l]LUl' C()S cp .: :-:.L I 1),lré\ el élllé11isis Clléllit,ltivu ele los :)erfiles sllpuCiciétles. Lél pcndiellte S ele h ll'ncél dc l'l1ergLl curresponelc ;1 l;¡ LllJe se puede ubteller de L\ ecu,lcilJl1 dl' Mé\lll1ing es
S \'
(4.5 )
I ()/3
dondl' II es l,l Sélstu po,- LlllicLtd de é\llchu. Así l;¡ ce. 4 ..1. p;tr;\ bs cundiciunes scfLdaebs, se !l11ede l'snihir I :2 II ~
1\
s----. 10/j 'c)
V -----_/_-
( 4.6)
')
_ _l~ lY
~
,
l]~
,Sé\ 1)l'I\lUS l]lIe
--lr-
V
3
,
2
=
) ! J 1 Y~_ ' c C (lUnClC
~
fllndicLtcl crítica.
Po¡-
')
~
I - II -~ I (\g Y-),) --
3 1 -
)'
y
c
3
Cllljlle y ces 1;\ pro-
lu Llnto Lt cc. 4,r) se fJllcde cntollces t¡-;\l1SFOrl11élr en
S
o
Y10/3 , 3
(4.7)
1 - -~~3 )'
81
En b ecu,\cié)l1 ;\nteriur, S o es t,\1l1Diél1 b pendiente de b líne;\ de encr~~Jé\ del flujo , l1nifur¡lle de profundilbd normal Y ' P,\r;\ las cUlldiciones de flujo unifurme, de Ie\ eClwcilm de n M,\nnil1g se ohtiene ~
')
')
II ~
s
()
=
Yn
Il
~
(4.H)
1 O!3
')
')
En esta ecuacié)n se puede despejar q~ Il~, Y recmpb:;,,\rlo en
dy dx
so
y 10;3 (_lL) Y
la cc. 4.7, petra ubtener
(4.9)
Yc 3 (---) Y
Est;1 eCUélCié)1l [Jcrl1lite estudié\r b L\S,I de c\Jllhiu longitudiné\l de Lt profundidad en fUllcilm de tres Pél!",íl1letrus tUllda1l1el1t(¡jes: Lt pendiellte del tondo, LI reLtcicm entre L\ profundid,\d llorlllétl de flujo l1J1iforllle y b profundidé\d existerlte, y la rebción cntre Ic\ prof un d ilb d c rí t iel )' b pro fu n el ieb d e x is ten te. Cld-,'tj,'cLlcic'm ({(' los ¡>crfiles SII!-)('r/lcid!cS
4.3. d
El illterés primé\riu en el élllÚlisis cllét!it
d Y ' yé\
de
x crece en b dircccilm ele agUéIS abé\jo.
Cé\
Un" ITV1S1011 sistel1l,\tlC\ de b ce. 4.<) nos llev,I¡',í el1 primer lug,\r a distinguir tres sos: En el 1)L ri mero.y lllél S frec ue n te SU > O, e s decir, b COLl el eIn ive 1del fond o decrece
en la direcciém de é\~"rl1éIS ah'l]'o. En el segund() CISO S o < 0, el fondo rI)rescl1L\ Ull" •Dl'ndiellte 'Idver:;,l. En el tercero So = O. En el primer casu se pueden distinguir bs siguientes posiL ) .
v
hilidéldcs: él. L\ profundidad en b SeCCil)J1 el1 estlldiu es mayor que b prufund i(Lld nurl1l,d y éstel él su vez es \llayur que b proful1ctiebel crítica, y> Yn > )'c' El nUI11Cl'é\(.iol' y denOlllinéldur de b ec, 4.9 se hélce!l positivos y por
t;~!lto §.~
es'p:)sitivo, indicando c]l1e b
profundict~ld debe ~lull\enLtr en Lt direcci{)]1 del flujo. El f1uju es subcríticu y Lt curVél del nivel superfici~tl CUy;1 pendiente se ubtiel1e de lel ec. 4.() se nombra M (siguicndo b 1l()1 lllcncbturé\ llortcéllllerican'I).
82
b. En la seceiém en estudio, b profundj(bd es menor yue la profundidacl normal pero mayor que b profundidad crítica, Y > y> y c' Elnurnerad.or de la eco 4.9 se h8n el' ne~a tivo y el den omin~ld 01' positivo da ndo un valor nega tivo a ~. Por tan to, la profundicbd debe disminuir en la dirección del flujo. El flujo es suberítico y la C1JrV~l delnivel su perficia 1 se design;l M . 2 C. Lel profund i(-Lld cn la sccci(m de es tudio es menor que b cn tICl y ésté\ es a vez lllenor iJue le! IJrof111lcliebd nOrmé\l, y n>/ e v > )f. Ambos, numcr;\dor \// Jenomina] t dor de b ce. 4.9 se hacen negativos)' el nivel superficLd se iIlCl'emellté\ en la dirección del flujc). El flujo es supcrcrítico peru corresponcle ;1 condiciones de flujo uniforme subcrítico. La cu rva se c1csign;\ M 3' SI!
d.
La profu nehlld en
Lt
sección de estud io es ma y or que
la profund idad cd tic a
y ésta es ;\ su vez mé\yor que \;¡ norma], )' > y c > )'n' En la ce. 4.9, ambos numerador y deJlominador son positivos, produciendo incrementos positivos del nivel superfici;¡] en la direccj()J1 del flujo. E] flujo es suberítico pero corresponde él condiciones uniformes de flujo supererítico. L\ curv~) se designa S1 . c. La profulldiebd en b sección de estudio es menor que la prf,)fulldidad crítica pero mayor que Lt 1lormaL Yc > y> y . El numer"dor de la ec. 4.9 es positivo y el denon minador negé\ tivo, indic;llllio un descenso del nivel supcrfici;d en la dirección de] fluju. El flujo es sup~rerític() y lel CllrV;l se designé) S2'
h secciéln de estudio es menor que la profundidad llorla profundicbJ crítica y c > )'n > y. Ambos, numerador y denominadur de la ec. 4.9 son negativos y b profundidad crece en Lt dirección del flujo. f.
l11éd )'
l:SLI, ,\
La profundidad en su vez, \llenor Llue
El f1uju es supererítieu y la curVél se designé\ Sy Ll profundid~\d en
la sección de estudio es mayor que la profundidad crítica /v ésta coincide cun b nOr111é\1,. V , > Yc ,y n = y c,. En este caso ClX es positivo y mayor que g.
S(\. Si
4-
b pendiente de la líne;\ de energÍ;l S en b ec. 4.5 se hubiese escrito en función del
eoeficiell te de Chéz)/, en tOílCCS ~ seda igual él S o . El nerfil se nombré\ el' r L
dx
h. L\ pr()fuIHtid;\cl en la secci{)n de estudio es menor que la profundidad crítica, y esLl es igu;¡j que b n orl11,d, Yc > y, Yc = Y11' La pelld iente del n ivel su perficial también es positiva y !11,lyor clLle So' u igual, si ~e hubiese cmpleéldo la ecu,lció;t de Chézy. El perfil se denominél
e3.
83
Par,1 el segu ndo C
< O, b
ce. 4.9 n o proporciona le! inform~l ció n de-
seada y,l que Yn 110 ticnc significldo físico (en condicio!1es de flujo uniforme IlO hay clLld;¡] posible en un canal de pendicnte ;ldvers;I), sin cmbéHgo Jc¡ cc. 4.7 permite determinar b forma del nivel su perfici,¡]. Se present,1l1 Lis siguientes dos ,¡j ternati vas: 1.
LI profundidad e11 b seccil)Jl de estudio es 111ayor ljue b CrItIca, y> yc' El
nU11lcT,ldor de la ce. 4.7 es negativo y el denominador positivo,
pUl'
t;lnto
ddj' seLí neg,lti:\
vu indicll1do una disminucic>11 de la profundidad en b dirección del flujo. La curV;1 de nivel su perfici,¡J se designa A . 2
l
Ll prof '.l11did
bos, nUl11c'r,ldor y den\)min,ldor de b ec. 4.7 SOI1 negativos, indiG\11do l]lle Ll profundid,ld debe aumentar en b di1 'cción del flujo. La curv;1 se de!1omin;1 Ay En el tercn CISO cuando S () = 0, es cunveniente estudielr b variación de altur,ls en
la ec. 4.7 ya Llue e!1 un can;¡[ horizuntal 110 existe proful1diebd norlllal de flujo uniforme excepto par,l y = 00 como cOlldicil)J1 limite. También ahoLl se ~~resent;\ll dos ,¡]tern;ltiv;IS que cOlllplet;:ll las doce curV,IS de lTI11,I!1S0 posibles. k.
L;l f1rofundidacl en ];¡ SCCCil)Jl de estudio es
111<1Y01-
l]llC LI n{ticl, y> yc' El
1H1nler;ldor de Lt ec. 4.7 es neg;ltivo y el denomin;ldor pusitivo. Ll protLll1diebd disminl1ye cn b direccil)11 dcl flujo y el perfil se denomin,l H . 2
1. La profundid;ld en la sección de estucHo es ll1elWr que Lt ,~rític;\, Y _> y. Ambos, nUl11er:lclur y denominador son Ileg'ltivos. Ll profullclicLtd ;IU:l1cllta cn L~ dirección del fllljo y el perfil se denumin;\ HJ' Las cundiciones I{lllites dc los perfiles se present:111 CLl;ll1d() la prohUldicLtd se ;qil:oxilll;\ ;1 la proful1dieLtd normal, y ;1 ];¡ prufunclicLtd en'ticl. Cl1;lndu se ;lcerea ,1 Ll profl111ctid,ld llUrlll;¡], y-+, V ,el nl1l11eLldor de Lt ec. 4. C) tiende ;1 ceru y ~ -+ 0, por Llllto el 11 eh ¡
perfil supcrficiéll sc hace asintótico ,¡j nivel de prufulldid;¡d nurlll'll. Cuando b profulldid;ld se acerca (l la profulldidéld eríticl, el denomin,ldor de b ec. 4.9 tiende a cero v
dy
dx
-+
00
indiGlIldu q Lle el perfil superficial, p,\ra valores próximos ,1 la profundiebd
crí ti Cl, tiende ,\ hacersc perpend i cubr ,1 Lt I{nca de profundidad u{ ti ca. El estudio rc;¡Ji/;ldo se puede esquem;ltizar gr;íficllllentc cn b Fig. 4.2 en l]Lle, bs lungitudes en b dirc<¿cillll del, flujo estJn enormemcnte red ucid,lS Y;l LJ ue si los perfiles sc gr,lficarcln a ('sol;¡ lit) dist()r~On,ld;l, ,lpen,IS se noLlrían los cambios sU]Jerfici;des. Es de ;¡dvertir l]LlC ;111111jUe Ll PCi-H,il'llte S ) del tondo SC,I hiclr:luliGllllentc prollunciad,l, ;lpcn;IS SC desvi;¡r<Í UllUS pocos gr;ldos dc Ll I~()ri/,untal, si el flujo ha de ser el1 rc;diebd gr;\du;¡]11lcll-
84
tc v~\ri;ldo, y por lo Llnto ticnc POC\ il1lp()rt~\1lci;1 el que L\s profuncliebcles se tomen verti c;tl1l1cl1te CU1ll() se gL\fic\ en Lt figur;1 o e11 úngulo recto ;tI fondo elel C;111;¡} cum() estrict~l111('!l te CUITes po 11(1 e.
4.4
/,;\ de
Scccio//C's
ele Co//trul, ,''1 l/(ílisis ({e lus f)crfiles
El ;\llúlisis cllaliL\tivo de b v;lri;lciún de prOflll1c1icLtdcs, en un C;\11;1I (Lldo, se l'ealifur1l1~\: Se c\lcubn los 1);Il'{\Jlletl'OS)1 e \'. c 11;11':,1 el u2;1~;IO V, bs c;lr;\cterlsr 11 r
Lt siguiente ,
tic\s del CIILd chelos y Sl' g1':\ficIIJ, a escILt, en Ull di;\~!/;\1l1d de pcrfilcs en \.1)1 bs longitud e s c 11 b el i l' e c c i<-')]l el e 1 111 o vi 1ll i e 11 t él Vie 11 e 11 r e el u cid;¡ s , Lti e gu :3 e c;¡ le Ll b 11 Lt s [J 1U f ! llll ;eL) d e ~; en Lts sccciunes cuy;\S c\r;\cter¡'stiCls de Fl\lj() l'sLíl1 predctl"'l\Iin;\ch~, /';ccciol1cS di' control o controles), es decir l'11 t(.J111;\ vertederos, UlIT1)'ucrtas, u {cb:·; lilHes y l]uichrcs ell Lt I
pendielltc dcl
en cuel1Lt Ljlle los perfiles sobre h:; ]{:1Cd;; de plOFUlldí~lgu;\S ;\b;\jo: y ¡jlle l(~s r'(,l'filcs b;\jo Lts línc;\s de pr()fullclid~¡cl crítíc\ cst~íJ1 detenl1illdclus [JO]' los cuntTu!cs de J~~U{\~; anib;\, E11 otro,s tlTl1lilWS, Lts perturD"ciollcs producieL!s en una sccción de u¡]ltrol s(\lo pueden ví;\j;¡r e11 b dircccil)1l de ;\guas ;¡lTib;\ si Lt vcl()ciebd del flujo cs mcn()!' Ljue Lt celeridad de Lts l'lbs u OI1(Lts CIc1l1l'llt;\les (es decir, sl)lo si ];¡ profllllclid;\(l es 111;)yur que b cdtle\), Luq2;u se dibllj;\ll, sutHe el di;\gr:\11\;\ del cma]' L\s purciones djJIUpi;¡d;lS de los perfiles de 1;\ Fig. 4.2. Si ;\p:\ITCicL\ lIn;\ descol1tillLliehd l'n un tr
tOlll;\lldo
1l1uy
(bd cr{tic\ vienen dcterll1ilUd()s !'()r lus controles ele
,
i
I;¡ form;\c;(m ele UIl res;\ltu hiddulico situ;\du en Ul1~\ pusicilm comp;üible CO\) b reL\ci()11 dc prufunditLtdes propias del res;\lto. Es f{sic;\ll1ente imposible lll\C el perfil supcrficl;d cruce Lt 1íne;¡ de proflll1did;\d nOrl11:1], u Ll de prufullc1id;ld cn'ticé), sin cluC c\lllbic b configllL\ci()ll del C()llturno. Un;\ vcz llLlC se hayan l1eterl1lin;ldo bs caL\cterístiG1S gCllcr;\1es d(~l llivel supcrfici;t1, éstc se puede ulcuLtr lllccli;\1lte un IJruceso de ;ntegr;¡C\(')ll por difere11ci;\s fillit;¡s o cílculus sucesivlls. l:j(,1I1fJlo 4.1. Un C\Il,¡\ de gran lungitud cunducc ~\gu;\, dcsde un cmb;t1se de gy;tndes dilllel\siones, lusu un(\ seccilHl tcrmill;d de c\íeta lible. En un pUlltu medio, apro:.:il1l;\d;.\Illl'llte, se co]UC\ Lill~\ cUl1ljJue\'t;\ desliz;l11te, Se pide: CUl\1pal';lr bs v;\r1"ciol1es gel1cr;t!es ele- l)\'ufundid;\d p;\r;) un,\ pendiel1te: (1) subcl'ÍLicl, b) supcrcríticc\. SOllfCicJlI [1\ el C\S() ;\), L\ Ilile;\ de \xoFulldi(bcl l1onn;¡] esLí sitll:lCL! pUl' encima de la 1Inc;1 de pr()fuml jebe! Clític:1 ~,l'g{111 ,se indic\ ell el eSL}Ul'í1LI. Y;\ que ;lgll;\S ;\r¡-ih;\ de le! compuerL\ se !)roc1LlCC un:1 \Jr()FIIIHlidJd 1\),\)'01' Lllle Ll cdtic\ y ;lgU;\S ,ID,lju, L\ :tltcrlJ;I, IllCIl()r gLlC Lt cdticl, !:\ CUl1'1HI('I't:\ c()lltruLlLÍ el perfil slIpnfici,t! ell ;llllb
85
tiende lo suficiente CO!1l0 ¡XI 1',1 que se produ:/,cl un res,t1tu hidr,íulico el1 lel zun,1 en que, ell el perfil M , se procluzG\ L\ profundicbd secuente de Yn ' 3 En el G\SU b). también Lt cOlllpuert;\ controb el flujo e11 é\tnb,ls direcciones y el ped'il Sl qUL' se extiende h,\cia
<1
alcanzar la profundidad nor111<11 Yn'
So> o, Yn :.. Yc (Peodleote subcrítlca)
50
.:::0
01
Yc.J> Y/1
(PendlPflle ~;jp(~r·:r¡llrn)
-
~
, ...- "'~r
-. ----.--~. C2'"
~ ~~
,J
So>O¡
Yn = Yc
So'" O
(Pendiente critica)
(Pendiente adversa)
So" O (Peodlente nula)
FIG.4.2 Perfiles superficiales en flujo gradualmente variado.
86
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1
1
EM8ALSE
1
1
1
1
1
1
1
1
1 -~
1
fIG.4.3. Esquemas del Perfil Superlicial en el Eiemplo 4.1.
81
4.5.
j)erji"lcs (fe
CUlltillllidLld
Con el prop()sito de Llcilitar el ,IIlJlisis de continujebd e11 los perfiles supcrficiédes, se presentan en la Fig. 4.4 los ClSOS mas frecuentes en la variacié)]1 de los perfiles superficiales cuando e:\iste un quiebre en la pendiente del terreno. En las figuréls que siguen, Se es la pencliell te crític\, aquelb que en flujo uniforme pruduce Ulla profundidad crítica yc' 501 es b pendiente del c,ll1al de profundicbd norm~tl Yn'1' y, 5 02 es la pendiente del c\l1é\1 de profl1lldiebd norméd y n~. ')
4.6.
Illtegrclciúl1 de Id liC/lLlciÚll Diferellcitd del Flujo Crdcllld/ll/C/lte Variado.
La ce. 4.3, conocida como ccuacic)]l general del flujo gr,ldu~tllllente variado, en forma diferencial ~e puede integrar para obtener le! dist,\l1ciél -"1 . 2 necesaria parél pas~\r de
la profundidad y 1
él
la prot'undidad y 2' P,lr,l cos cp ; ;:; ; . 1, )',
a;;;:;;;;' 1 se puede escribir
(4.10)
IntegL\11c10 entre Y1' e Y2 tenemos
dy
( 4.1 1 )
Cu,ll1du el nUI11CT,ldor de b Función il1tegr~ll es cero, el flujo es crítico, indic\l1do Llue no ]1;IY c;llllbio en :\ ,¡] variar y (despreci,llldo b curv~ltur,1 de las líneas de corriente y h distribuci<Jl) de presiones 110 hidrostútic;1 en b sección). Cu,l11do esto ocurre 110 se puede decir tjLle el flujo se,1 gr,lclu,¡j1l1ente v,lriéldo y bs Fé)rmubs ,ll1teriores no dan result,ldos llue describan con precisión Ll vélri,lciélll del flujo CLléllldo éste estéí pr()ximo él su valor crítico, CUéll1do el de;lol1lin,ldor de b fLll1cic)]l integral es cero, el flujo es uniforme )' b pro fU!ld id:1 el ha :d C\1l zac1 o s Ll v:tl nr 11 or 1l1;d.
88
1
1 1 1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
89
'90
19.
502>
Se::: 1501
20. So
de gran longitud, con quiebre FIG. 4.4. Perfiles de flujo gradualmente variado en canales prismáticos en la pendiente de fo ndo.
91
b
Par,1 un clllal de sección tréll1SVerSéd 1)0 vélriaLic, con valores de n y So consta ntes, fu nción in tcgra 1 de pClld e úniclll 1ente de y. Si esta fUllció n se denom ina F (y) téll que
F (y)
=
_Q2 T / (gA 3) S -n 2Q2! (A2R4 /3) ()
entonc cs se tiene
Y2 J F(y) dy Y1 La represe ntación grc'lficl de F (y) en un esqucm a como el de la Fig. 4.5 permit e halbr el v,t!or del éírea béljO la curva F (y) entre )'1' e, )'2 el cual es igual a la distan da Xl -2.
Ev~dcntemente,
se puede hallar una numéri ca de la integra l divi- F (y) diendo el élrea en prisma s de base L.l y, y altura F (y) que permit an obtene r una sumato ria que será tanto m8S precisa cuanto m;'lS pequeño.? sean Ios in cremen tos L.l y. FIG. 4.5 Integración gráfico de la ecuación del flujo grad ualmente variado G 4.6.1. Cm/ale s horizo ntales de gran dllchur a. él proxim ación'
Como yél se estable ció anterio rmente , en los céln;tles de gr;\ll allchur él, el radio hidré'tulico es igual él la profun didad: en los canales de fondo horiL'.ontal So =0. Por cOllsi guiente , Lt ce. 4.11 puede silllpli ficlrse. Si q=Q p;lrél T=], se tiene
)'2
J
(4.12)
y luego de illtegra r 3 2
92
4
( Y24/3
4/3 )
Y'I
3 13
(4.13)
I
l'
hjeJllj>lo 4.2. Bajo una compuert~l fluye un caudal de ¿¡gua de 6,1 m 3 /s, por metro de ~Hl cho. El Cll1;¡] donde ocurre la descarga es horizunta 1 con una rugosidad ¿ e M;¡lí nil1Q 1l~0.c)15. El (:;ln;lI se exticnd~ 600, m. aguas ;lb;lju de b ven;1 cuntLlí~L, de 0,6 1l1. ele F'r(~ funcliel;\d. La tcunin;ldón del CIl1;¡] de' dcsc\1'g;l es abrupta.
Ca 1cub l' y el ibuj;lr el perfil superficial resulta n te. Si se produce un res;l1to, determinar su ubiclción. SO/I/CiÓII
L;I profu ndicbd cI"Í ticl
yc=
~ 3
-, '1
q~/g
yc estú délda por
= \
y
:3
'1
-¡
6,1~/9,H=I,561l1.
Agu;ls ;\b;'ljo de LI compUerL¡ se prud u ce un pelJi I 11 , ·eu yo dlcul 0, a pa nir de b 3 ven;¡ cuntr" íd;¡, se r(';¡Jiz;¡ empleando la ee. 4.13 b Clul se ;lplicl tramo a tramo. Los re sult;ldos de estos cl1culos se present~\I1 en el cuadro de.: ab;ljo, par;l y 1 =0,6 m.
0,70
)'2 (m)
0,80
1m~,o
72,2
COI\l()
se obsel'v:t,
I)or consiguiente, ('st;¡
0,90
Se'
1,30 '143,()
172,7
202,2
225,7
1,40
'1,50 254,3
b p,'()ful1dicbd c¡{ticI se ;¡!c¿1l1z;¡n'a antes de lIegar.;I la c\{cl:1. t¡';¡nsform;¡ e'11 sccciém \,le cOl1trnl, COl1 profundicbd crític\, y
d~sdc ;dlú h;\ci;\ agUéIS ;Irrib;\ se cxtcnderú un perfil H
hast;l una sección tal que tenga 2 Ull;\ profundicbcl secuente ¿\ h del perfil H , produciéndose un res¿llto. El perfil H , co-. 3 2 rrcspondicntc, est:\ eLIdo:) contil1u;\ci¿Jl1, par:) y 2=:= 1,56 In.
Y-I (111) Al
2 (111)
1,70
10.2
1 ,8 ()
1,90
2,()(}
2J ()
2,20
2,30
2,40
30,3
93
Lt
LI cllrva ele pl'ofundicbdes seeucntcs ;¡ LIs del perfil H'], se ubtienc ;lplic;lndo ee. 2.23 dell'cs~tlto hic1rúulic(). Esu eCll;lcióll produce los siguiel1'~es reslllt;ldos.
0,60
0,70
3,26
2,97
o,C)O
2,ú9
1 ,00
1 ,1 ()
2,30
2,14
1 ,9~
La represcnL\ción grúfic¡ de lcts curvas H 2 , H3 Y de profundidades sccucntes del rcs;t1eo nos indic\ que el rcs;tlto se produce en Lt sección de intcrsccci[m de Lts curvas H3 y ele profLlndid;¡des secucntes del res~tlto. Est;1 sección est;'¡ ubic!cb ;1 136 Ill. de b ven;¡ contr;lÍd;\.
3,0 -
Profund Idades secuentes
2,0
y(m)
t,O y
e
FI G. 4J)
94
Perfil
4.2
4.6.2.
Cálculo de los Perfilr:s Superficiales por lncdio de la Función de Bresse.
La consideración de un canal de gran anchura parél el análisis cualitativo de los perfiles superficiales condujo a la ec. 4.9, luego de aplicar la ecuación de Manning para establecer la pendiente de la línea de energía y el valor y n de la profundidad normaL El exponente 10/3 en Chézy para hallar la V.T. Chow escribió, diferencial del flujo
el numerador puede convertirse en 3 si se emplea la ecuación de pendiente de la línea de energía y el valor de la profundidad normal. en 1959, para canales de distintas formas prismáticas, la ecuación gradualmente variado, en una forma similar a la ec, 4.9, como
Yn N 1- ( - )
Y
dy
--= S dx o
(4.14 ) M
1- (
~) Y
donde N Y M son exponentes que varían con la ecuación de resistencia empleada, con la forma del canal y con la profundidad. Si hacemos y=z.y n; así que, dy=yndz se puede escribir la ee. 4.14 en la forma
1-- ( 1s- )M_1_
Yn
dx
z
M
(4.15 )
1-
Yn dz
la cual se puede transformar en
dx Yn dz
[
1 ]
-
1 ~-z N
Yc
+ (--) Yn
M
N-M
~--
1 - 7;N
(4.16 )
e integrando se tiene
J
Yn dx= -S- [ z o
-J
dz Ye M zN-M --N-+ ( - ) J - N - dz 1-z yn 1-z
( 4.17)
95
Esta ccuaClOn cs conocida como la fórmula general para el flujo gradualmente variado en cé\l1ales prisméi ticos. La primer,1 in tegra l del segundo miemhro fu e calculada por B. A. Ba kh I1lcteff ell tre 1 91 4 Y 1 91 5 g uien en esa época erél profesor de Hidráulica G eIleral y Avanzada en el Institu to Politécnico Emperador Pedro el Grande, San Petcrsburgo, Rusia. Como consecuencia de b situación originada por la Revoluci(m Rus,l, en 1917, las tablas de Bakhmeteff se perdieron. El tLlbajo fue realizé\do nuevamente con valores de N desde 2.~ él 5,4 Y publicado en 1932 cuando Bakhmeteff comenzó a dar clases en la Universidad de Columbia, U.S.A. Al mismo tiempo én Lt U.R.S.S. las té\bIas originales, copiad,\s e11 manuscrito, fueron cncontradas y publicadas en 192B con valores de N desde 2,0 hélsta 5,5. A la segunda integréd del segundo miembro de la ec. 4.17 se le puede dar una forma igual é\ b de la ¡1r,imeré\ integré\l. V.T. chow presenta extensas tablas de estas integrales.
y,\ ('11 1B60 el profesor francés J.A. Ch. Bresse, había hallado las integr,¡jes de la ec. 4.17 para u n canal de gran anchura en el que uSélba las ecuaciones de resistencia de Chézy. Paré\ este CISO en gue N=M=3 la ec. 4.17 se convierte en
;-\=
3 yc
Yn S ()
rz
(,
1 J --3 Yn
dz
( 4.1 8)
z3
I
u también en
Y11 [1donde
(1)
yc
(--)
3
( 4.1 9)
](\)
Yn
es la fu nción de Bresse dada por
1 --111 6
é\rctg
. 2z+ 1
+
Al
( 4.20)
la que Al es un;l COllsté\l1te de integraci(m. Después que Lt evidencia cxpcrimenté¡J 1ll0Str<) lltle la C de Chézy no er;\ COllsté\llte, b función de Bresse C\yó en desuso. Más tarde,
en
sin' el11bé\rgo, se el1cor1trc') gue la funci(m de Bresse, si bs c()nstantes se eligen él propié\dé\mente, proporCiOIlé\ Uné\ rel11arc\bleJ1lentc buell;\ aproximación é\ bs curvas que se obtienen !11ediante solución numéricI de Lt ecu;\ción diferenci;t1 del flujo gradualmente vélriéldo. El védor de y é\ empleé\r debe ser lo mús preciso posible, determinado por observ;lción directé\ si ello 11s posible, o si no, cdcuLtdu con la ccué\ción de Méll1ning con el mejor védor
96
dc n disponible. En b TabLt 4.1 se prescntan los valores de la función de (I' de Bresse para los d isti ntos ti pos de perfil su perfíei;l!. Le) v:uL:lble indepcnd ien re 7. = n pe 1"111 i te encon-
trar el v;dor de
z 1.000 1.001 1. 002 1.003 1.004 1.005 10006 1.007 l.008 1.009 10010 1. 011 1.012 1.013
1.014 1.(l1S 1.016
1.017 1.01& 1. 019 1. 020 1.021 1. 022 1. (2) 1.02~
1. 025 1. 026
027 1 028 L029 1.030 .031 1. 032 1. 033
<1' ;l
ser usado en
t(Z}
2.1837 1.9530 1. 3182 1. 7226 1.16486 lo 5891 1.5371 1. 4929 1.4540 1. 4192 1.3878 1.:3591 1.3327 1.3083 L21357 1.2645 1.2446
1.2259 1. 2082 1.1914 1~1755
1.1603 1.1458
1.1320 1 un
1.1060 1.0937 1,(j8
1.034
1.0706 1.0596 1. 0490 1.03B7 1.0288 1.0191
1. 035
1.00913
1. ()36
.0007
lo 037
o. ~)91 SI
L038 L()39 1.,040
0.9834 0,9750 0.9669
1.041 1. 042 1. 043 1. 044 1.045 1. 046 1. 04"}
0.9513 0.9438 0.9364 0.9293 0.9223 0.9154
L048
.0491.050 1. 052
le! ee. 4.19.
O.959ü
0.9087 0.9022 1J.895Ú
0.81334
~(Z)
1 qS4 1.056 1. OSS 1.060 1.062 1.064 1.066 1.068 1.070 1.072
0.8714 0;8599
1.29
0.8489
1.30 1. 31
0.8382
1.32
0.8279
1.33 1.34
0.8180 0.8084
0.7990 0.1900
0.7813
1. 35 1.36 1.37 1.38 1..39 1 40
1. 074 1 076
0.7728
1.070
0.7565 0.7487 0.7411 (L 7337 CL 1265 0.7194 0.7126
1."1
0.7059
1. 4B
0.6993 0.6929
1.080
L082 1.084 1. OB6 LOBS 1.090
1.092 1. 094 1.096 1.099 1.100 1.105 1.110 1.115 L 120 lo 12S 1.130
1.135 1.140
1.145 1.150 1.155 1.160 1.165 1.170 1.175 L 180 1. lB5 1.190 1.195 1. 200 1.21
0.7645
.45 1. 4G 1. 47
':.'l. 680i) 0.66~9
1.56
0.6519
1. !58 1. 60 L62 1. 64 1.66 1.68 1. 70 1. 72 1. "14 1. 76 1.78 1. 60 1. 82 1. 84 1.86 1. 88 1..90 L92 1. 94 1. 9f 1. 98 2.00 2.05 2.H)
0.6867
0.6397 0.6260
0.6139 0.6025 0.5913 0.5808 0.5707 0.5608 0.5514 0.5423 0.5335 0.5251 0.,5169 0.5(190 0.5014 0.4939 0.4868
004664 0.453El
1.23 1.24 1.25
0.4419 0.4306 0.419 B 0.41096 0.3998 0.:1905
1.26
1.
1. 49 1.50 1. 52 1.':>4
1.22
1. 21 1. 28
1.42 1. 43
0.3916 0.3731
2 .. 30 2.35
0.364 9 0.3570
2.40 2.45 2.50 2.55
0.3495 0.3422 0.3352 0.3285 0.3220 O. )158 o 3098 0.3039 0.:2983 O.:::9:lS
2.60 :2 65
G10
0.09°'8 0.0935
o
089~
0.OSS7 0.08:21 fL0768
0.0757 0.0728 0.0700 0.0674
O.
(l
0,062F.
0.0604
0.2875 O.282,~
0.'2715 2727
o
(i,26:&0 (Jo 2635
l) ,,(H.
0.2591 0.2546
O"
.0 0.349 0.0 0.0315 0.02990.0285 0.0272 0.0259
o. o.
o
389
0.2315 0.2246 0.2179
O.211f< CJ.2056 o 1999 0.1944 0.1892 0.1842 0.1794
{L 0248
0.00231 C.0227
0.0218 0.0209
0.1748 0.1704
0.0201
o
Ohí6 060139 O.Ol1B 0.0102 0.0089 0.0077 0.0069
0.1662 0.1621 0.15f32
0,1:>45 0.1509
0.1474 0.1440 0.1.408 CL 1377
0.1347 0.1318 O.12~9
2.15
0.1186 0.1128
2.20 2.25
0.10'14. 0.1024
t;4
0431
r;\,0062
10.0 12.0 15.0 20.0 30.0c) 50.00
100.00
.0055 0.0050 0.0035 0.002 0,0013 0,0006 0.0002 0.0001,
0.0000
97
(Continuación)
Curvas
Curvas Z 0.00 0.10 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50
0.52 0.54
0.56 0.58 0.60 0.62
0.64 0.66 0.68
0.70 0.11 0.72 0.73
0.74 0.75 0.76 0.77
0.78 0.79
O.BO 0.81 0.82 0.83 0.84 0.85 0.86 0.87 0.88 0.139 0.900 0.905 0.910 0.91.) 0.920 0.925 0.930
98
~(Z)
Z
t (Z)
Z
t(Z)
Z
~(Z)
0.0000 0.1000 0.2004
0.935 0.940
1.3744 1.4336
1. 2092 1.1092 1. 0593 1 0096 O.960l 0.9112
-1. 50
0.945 0.(51)
-0.00 -0.10 -0.15 .. 0.20
O.862~
.. 1. 80 -1. as .. 1. 90
0.1999 0.1899 0.1787 0.1692 0.1605 0.1523 O•
0.2511) O. ,3021.
0.9152
0.3S3~
0.954
O.406'S
0.956 0.958 0.960 0.962 0.964
0.4608 0.5169 0.5399 0.5634 0.5874 0.6120 0.6371 0.6630 0.6897 0.7173 0.7459 0.7757 0.7910 0.8068 0.8230 0.8396
0.8566 0.8742 0.8923 0.9110 0.9304 0.9505 0.9714 0.9932 1.0160 1.0399 1. 0651 1.0918 1. 1202 1.1505 1.1831 1.2184 1. 2313 1.2571
1.2779 1. 2999 1. 3232 1. 34 79
0.966 0.968 0.970 0.971
0.972 0.973
0.974 0.975 0.976 0.977 0.978 0.979 0.980 0.991 0.982 0.983 0.984 0.985 0.986 0.987 0.988 0.989 0.990 0.991 0.992 0.993 0.994 0.995 0.996 0.997 0.998 0.999 1.000
1.4028 L 4670 1.4813 1. 4962 1. 5117 1.5279
-0.25 -O. JO .. 0.35 -0.40
0.8154
1.5448
-0.45
0.7689
1. 5626 1.5813 1.6011 1.6220 1.6442 1.6558 1.6678 1. 6 903 1.6932
.. 0.50 -0.60
0.72 )8 0.6801 0.6381
-0.65
0.5979
.. 0.70
0.5597 0.5234
1. 7066 1. 7206 1.7351 1. 7503 1. 7661 1.7827 1.8001 1.8185 1. 8379 1.8584 lo 8805 1. 90 36 1. 9:2 87 1.9557 1..9850 2.0171 2.0526 2.0922 2.1370 2.1887 2.2498
2.3246 2.4208 2.5563 2.7877
-0.55
-O~7S
-0.80 -0.85 -0.90
0.4894 0.4574
-1. SS ~l. 60 -1. 65
-1.70 -1.75
.. 1.95
0.1249
-2.0 "2.1
.. 2.2
0.1192 0.1.0 S 8 0.0996
-2 1
0.0916
-2.
O.O~HS
-2 S -2.6
0.0790 0.0723
0.0612 (L0626 o 058S 0.0548
o
0.4274
~2.7
3995 0.3736
-2.8
.. 1. 02 .. L04 .. L06 .. L08
0.3637
-3.0
-1.10
0.3272 0.3187 o .3105 0.0326 0.2919 0.2975 0.2802 0.2733 0.2665 0.2599 o 2536 0.2474 0.2414 0.2357 0.2301
.. 0.95 .. LOO
-1.12
-1.14 -1.16 -LiS -1.20 -1. 22 -1.:2 4 -1. 26 -1. 213 -1. JO -1. 32 -1. 34
-1.36 -1. 38 -1. 40 -1.42 -1. 44 -1. 46 .. 1.48
0.3541 0.3449
0.3359
o
2246
0.2194 0.2143 0:2093 0.2045
o.
0.131,1
-2.9
.. 3.2
.. f,4 -3.6
.. ).s .0
-4.2
.. 4." .. 4.6
-4. S
-S.O -5.5 -6.0 -6. ~7.0
-8.0 -9.0 .. 10.0 -1:2.0 -15.0 -20.0 -30.0 -50.0
o o
82 0.0428
0.0383 0.0344 0.0311 0282 0.0257 0.0235 0.0216 0.0199 0.0165 0.0139 0.0118
o
0.0102 0.0078 0.0062 0.0050 0.0035 0.0022 0.0013 0.0006 0.0002 0.0000
pendie nte uniform e Ejernplu 4.3. Un do de fondo ancho, casi rectang ular, tiene una inar la curva de reDeterm m. =3,00 n y l norma 4 y presen ta una profun didad So =0,000 de 7,5 manso produc ida por una presa la cual origina una profun didad Bresse, de n sidad de Manning n=0,02 2 y la funció
°m. Use una rugo-
Soluci ón
Aplica ndo la ecuaci ón de Manni ng se ob tiene
v=--0,022
32/3xO ,00041 /2 = 1,89 mis
i
7
1,89 .... x 3,0 98
3
La profun didad crítica es y c = Ya que y c
< y n < y,'
2'
,
= 1,49 m,·
la curva de remans o será un perfil M1 , Emple ando la ee.
4.18, se puede escribir en el sistem a técnico métric o .
. 3,00 x= -0-,0-0 -04- [
es decir x=750 0 [,z. -- 0,877
(1)
;Z
-- (
1 -
]
El cálculo puede hacerc e en forma tabulad a como sigue
Z~=y/y n
el)
( z:)
z-0,87 7
(l>
x
(m)
'Distan cia desde la presa en Km.
2,50
0,0821
2,43
18.225
0,00
2,30
0,0978
2,21
16.575
1,65
2,10
0,1186
2,00
15.000
3,22
1,90
0,1474
1,77
13.275
4,95
1,70
0,1892
1,53
11.475
6,75
1,50
0,2548
1,28
9.600
8,62
1,30
0,3731
0,97
7.275
10,95
1,10
0,6806
0,50
3.750
14,47
1,01
1,4192
- 0,23
- 1.725
19,95
99
NOT A:
x representa la distancia desde un origen arbitrario el cual se encuentra, para este caso, a
18,23 Kms. aguas arriba de la presa. El número de valores z podría haber sido mayor o menor dependiendo del número ne puntos requeridos en la curva.
4.7.
.NIétodos Numéricos para el Cálculo del Flujo Gradualnwnte Variado
La aproximación numérica para el cálculo de los perfiles superficiales, indicada en la Sección 4.6., se puede realizé'lr mediante una télbulacióil siste111ática. Una de las formas más difundidas corresponde al l!¿imado Método Tipo de las Aproximaciones Sucesivas.
4. 7.1. }¡1(~todo Tipo de las Aproximaciones St~cesivas Si hallamos, en la Fig. 4.7, la sumatoria de energía en dos secciones suficientemente próximas 1 y 2 podemos escribir
(4.21 ) de donde
6.x =
( 4.22)
........
FIG.4.7 Esquema de definición para el cálculo numérico del flujo gradualmente variado.
100
La preparación del método de cálculo depende de que la rugosidad varíe con la profundidad y del número de curvas de remanso, para los diferentes caudales correspondientes a las elevaciones iniciales, que sea necesario calcular. Si la rugosidad no cambia con la elevación, y no se requiere el cálculo de muchas curvas, los datos de área-elevación y de radio hidráulico para cada sección se grafican empleando escalas no distorsionadas y se comienza el cálculo sin ningún trabajo preliminar adicional. Si se emplea la ecuación de Manning, los pasos a seguir se pueden ordenar en una forma tabulada, ·con columnas señaladas COlUO sigue: 1.
Identificación de la sección, tal como x=300 m., o, "Puente El Tirano".
2.
Valor de 6.x entre la sección en estudio y la sección anterior.
3. Profundidad en la sección. Se adopta un valor de tanteo, el cual se verifica en los cálculos que se realizan en las co1U1unas siguientes. Los cálculos se inician con un valor de profundidad conocida. La indicación de un aumento o disminución en la profundidad, en la dirección en que se realizan los cálculos, surge el análisis cualitativo del tipo de perfil, de acuerdo con lo estudiado en la S.ección 4.4.
4. Arca de la sección transversal correspondiente a la profundidad de la columna anterior.
5.
Area al cuadrado.
6.
En~rg{a cinética correspondiente al caudal dado
7.
y al área de la columna 4. Energía específica, la cual se obtiene de la sumatoria de las columnas 3 y 6,
8.
Radio hidráulico correspondiente a la profundidad de la columna '3.
9.
Radio hidráulico elevado a la potencia cuatro-tercios.
si 0'=1.
10. Pendiente de la línea de energía en la sección. Si se emplea la ecuación de Mafll1ing se puede escribir. 2 V 2 SI' = -2~ (2gn) t>
1 R 4/3
11. Valor promedio de la pendiente de la línea de energía en el tramo. Este valor se aproxima tomando la media aritmética de la pendiente de la línea de energía calculada en la column~\ anterior y el valor correspondiente al paso anterim". 12. Valor numérico del denominador de la eco 4.22. Este es igual del fondo del canal, menos la pendiente. obtenida en la columna 11.
13.
él
la pendiente
Se obtiene un nuevo valor de la energía específica por aplicación de la ee,
4.22. AS1, si estamos calculando el perfil superficial desde aguas abajo haclc1 aguas arriba despejamos E 1 y obtenemos El = E 2 -- (S o --S) 6.x
101
donde los índjces 2 y 1 se refieren a bs secciones de aguas abajo yaguas arriba respectivamente. Si este valor de la energía específica no es igualo suficientemente próximo al valor de la energía específica en b columna 7, toda la línea de cálculos debe ser eliminada y se debe comenzar nuevamente con un valor tentativo diferente de la profundidad en la columna 3. El tanteo viejo, no debe ser borrado ya que puede servir como guía en las nuevas estimaciones de la profundidad y permitirá una comprobación parcial, por comparación, en los cálculos sigu ientes. Si con la alteración de profundidad se produce un cambio apreciable en la rugosidad, la tabla descrita en esta sección debe ser arreglada con el propósito de considerar las variaciones en la rugosidad.
La forma práctica del cálculo por este método se ilustra en los ejemplos que siguen.
Bjemplo 4.4. Un canal trapezoidal de concreto con rugosidad n=0,012 de 4,0 m. de ancho en el fondo y taludes la terales en la proporción 2 horizon tal a 1 vertical, tiene una pendiente SO =0,U009. Por el canal circula un caudal de 18 m 3 /s y en una dctermmada sec ción la profundidad es de 2,30 m. calcular la profundidad a 50 y 100 m. en la dirección de aguas abajo, siguiendo el Método Tipo de las Aproximaciones Sucesivas. Solución Como paso preliminar, es necesario calcular la profundidad normal y la profundidad crítica. Mediante los procedimientos estudiados previamente se obtiene: La profundidad normal)
Yn= 1,24 m.
La profundidad crí tic a ,
y c= 1,06 m.
Por lo tanto, aguas abajo 'de la profundidad y=2,30 m. se extenderá un perfil M 1 con profundidad creciente. Los cálculos se presentan en forma tabulada en el cuadro siguiente, en el que se supone que la rugosidad es constante y la distribución de velocidades es uniforme. 2 X·
6x
00
56
56
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
y
A
A2
V 2 /2g
E
R
R 4 /3
10 7 S¡
10 7 S
10 7 (So-S)
E
2,30
19,78
391,25
0,042
2,34
1,38
1,54
776
2,40
21,12
44{"O5
0,03'1
2,44
1,43
1,62
648
712
8288
2,38
2,34
50
50
2,34
20,45
418,20
0,039
2,38
1,41
1,58
705
740
8260
2,38
100
50
2,38
20,82
433,47
0,038
2,42
1,42
1,60
651
678
8322
2,42
102
h)'emplo 4.5. calcular, realizando un programa a ser corrido en una com.putadora y siguiendo los pasos del Método Tipo de las Aproximaciones Sucesivas, el perfil superficial del agua en un canal trapezoidal con pendiente del 0,16 ° /0 ~ rugosidad n=0,025, y talu des en proporción de 2 horizontal a 1 vertical, la anchura en el fondo es de 6,0 m. El canal transporta un caudal Q=11,0 m 3/s. Dibujar a escalas ~\propiadas, la curva de remanso originada por una presa que retiene el agua hasta una profundidad de 1,60 m. Tomar un coeficiente de energía cinética 0'=1,10. Tome intervalos Lx=50 m. y considerese que se ha alcanzado la profundidad normal cuando la desviación de ésta no es mayor que el 0,1 Ojo •. Solución De inmediato se procede al cálculo, mediante un programa, o por los Inedios expeditos descritos anteriormente, de las profundidades normal y crítica. Así, se obtiene
Yn = 1,0157 m., e, y c = 0,6400 m. Por lo tanto, el perfil sed M 1 y se extenderá desde y=1,60 m. hacia aguas arriba disminuyendo la profundidad. El proceso de cálculo es directo y se ilustra en el diagrama de flujo siguiente. El algoritmo en1pleado en las iteraciones proporciona una rápida convergencia hacia la solución en este tipo de curva. Su clara presentación en el diagrama de flujo no requiere comen tarios adicionales. Para los da tos dados, es decir para
Q=11,00;
SO=0,0016
DEL T AX=50,00
ALFA=1,10 ;
M= 2,00
B = 6,00
N=0,025
y=1,60
YC=0,64
YI'-J=] ,01 57
:
y para los valores adoptados ERR=0,001; NUM=99; se obtuvo en una calculadora IBM 360-40 el listado siguiente: .
x (m)
°
50
]00
150
200
250
300
350
y (m)
1,6000
1,5325
1,4674
1,4052
1,3464
1,2917
1,2417
1,1970
103
x (m)
400
450
500
550
600
650
700
750
y (m)
1,1579
1,1248
1,0976
1,0760
1,0593
1,0467
1,0375
1,0309
x (m)
800
850
900
950
1000
1050
1100
1150
1,0229
1,0207
1.0191
1.0180
1.0173
1,0167
1,0164
y (111) 1.0262
Ll
curva de remanso se prcscn t~l, median te escalas distorsionadas en el grúJico que sigue.
1,5
1,0
y(m) 0,5
1.400
1.2QO
1000
600
800
400
X(m)
FIG.4.8 Perfil Superficial correspondiente al Ejemplo 4.5.
104
200
o
DIAGRAMA DE FLUJO Método tipo de las aproximaciones sucesivas
1-0-_'"'---.. I
SO-(SNUEVA tSVIEJA)/2.- S EVIEJA - S*, Deltox -
Q, SO, M, B, YN,
ENUEVA
YC, n, Y, DELTAX NUM, ERR,ALFA _,0
2.
IEPRUEBA - ENUEVA 1- ERR
*.¡ 1. t M * x2. - C l
* * x·e.)
19.6 (n
-C2
Y*(B+M*Y)-
A
B+Cl*Y
P
A/P Alfo
R
*
((O/A)
y + VCARGA
*" ++
2.) / 19.6 -
-
C2*VCARGA/((R
VCARGA
EPRUEBA IH
1.33333) ++ alfo) -
SNUEVA
105
4,7,2
Cálculo de perfiles ddimel1siunales
El caso simple de flujo gradualmente variado en un canal de gran anchura, con factor de corrección del factor de energía ey=l y COS(I)~l ha sido normalizado por C.L. Chen y C.T. Wang, en 1969. Las sol uciones numéricas, en forma adimenslonal, partiendo de las ecuaciones y Manning, y su representélciém gráfica universal facilita y simplifica los cálculos de muchos problenias prácticos. En esta solución el número de Froude correspondiente a la profundidad normal F n consti tuye el único parámetro de con trol en
~e resistencia de Chézy
b ,diferenciación de las soluciones. Previamente él la normalización de la ecuación del flujo, revisemos algu nas expresiones que per mitirán realizar las transformaciones adecuadas. Para la velocidad de flul'o . uniforme V n y
F = n
Vn
Yc
Vgy~
Yn
--~=(--)
la ofofundidad y n se tiene t
3/2
( 4.23)
Cuando la pend iente S es negativa o adversa, la profundidad normal no se puede definir a partir de las fórmulfs de flujo uniforme. Sin embargo, los valores absolutos de S se pueden ·introducir en las fórmulas de flujo normal determinando una profundidad que sepucde denominar "conceptual", y* la cual se emplea para definir el número n
de Froude "cunceptual" F* n . Este parámetro caracteriza la solución , del perfil su perficia 1 en una familia de curvas en pendientes adversas. Si S =0, la profundidad normal corresponde a un valor infinito, impidiendo su
o
,
uso para normalizar la ecuación del flujo. En este caso, la única longitud característica re-' levante es la profundidad crítica. Recordemos que la pendiente crítica S es aquella que . c en las ecu~lciünes de flujo uniforme produce una profundidad y c para un gasto q en el canal de rugosidad dada. Con el fin de tener un sistema de coordenadas adimensional unificado en todas pendientes se incorpora Yc junto con Sc en la normalizaci,ón de las coordenadas y se usa otro parámetro Fn ( a F ; ) para identificlr 1
dy _ dx
S
o
-- S
1 - F2
el flujo. Si en la eco
4.7.
incorporamos los padmctros normalizadores
So
d(y/y d d( S eX/y c)
S
-----
=
1-
)
F~
Podemos escribir para pendientes positivas:
scgú n Chézy,
( 4.24)
------=
xS
d (_c_) Yc
según Manning, F 20/9 n
Y 10/3 e - (-)
y
(4.25 )
xS el (_----""c_ Yc Para flujo con pend ientes adversas: según Chézy
y d(-) Yc (4.26)
xS
d (_c_) Yc
yc 10/3 F*20/9 n
scgún Méulning,
+ (--) y ( 4.27)
107
Parél flujo en canales horizontales:
d
v (_1_) )' c '
según Chézy,
----s
(4.28) c
d( x - )
Yc d(-Y-)
Yc
yc Y
(-)
10/3
según Manning,
( 4.29)
Sc d(x--)
Yc
Para los efectos de las soluciones numéricas de las ecuaciones anteriores se debe tener presen te que las condiciones de borde de las secciones terminales de aguas élrribél y aguas abajo no se pueden prescribir simultáneamente, bajo condic'iones de flujo libre, ya que la ecuación que gobierna el flujo es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden. En un canal prismatlco, para condicione.s de flujo libre, el único lugar en el que puede existir una condidón interna de borde es donde el flujo cambiél de super él subcrídco, es decir donde se presenta un resalto hidráulico. En canales no prism:tticos, todas las secciones correspondientes él tf'émsidones rápidéls, tales como en vertederos y compuertas, se pueden tratar como condiciones internas de borde, las cuales se especifican esencialmente mediante la aplicación ele la ecuación de lllomentum y de resulté-Idos experimenté-Iles. Los gráficos correspondientes ~l las ecuélciones norma] izadas an terlor"es se presentan en las Figs 4.9 a 4.14.
FIG.4.9 Curvas normalizadas, Ml , Cl , y C . 2 108
---~ t
C
2_ _ .
~
-
-..f, :...0.:;. __
- - - Chezy
--- -
[
o
-2
-4
-6
-8
0.4 _____________
- - - Manning
....
I
I
~r-----------------0.6------------------------
~~-----------------0.8----------------------------,1 C2
I
:---..--t----+---+---+---l----f----+---+---::::oII. 1 -1
i
1.j Ji
-0.8
.L-...L...-.~_--1...._ _L - - _ . . L - _ - ' -_ _ ..J
-0.6
-0.4
-0.2
O
FIG. 4.10 Curvas normalizadas M2, M3, C2 y C3
- - Chézy
- - - - Manning
C2
F--t--~~-+--+-l---r~I~+I-+--+I~-r--+-~-+--+-r-~ ~'::::_---------------- F
= 1.2 - - - - - - - 1
~~~~=============================I:~========~ - - - - - - - - - - - 2.0 ------------=S-=2--::1 ~--------------------30-------------1
0.4
---L_~~_~~_L-~~_~_~_~~_~~
a
0.'5
La
__~~~__4
1.5
)( s e
FIG.4.11 Curvas normalizadas Sl' S2' C1 y el 109
1.0 -
0.5 ChoÍzy Monnln~-~~~"'
o
0.5
1.0
1.5
Y
e
IG.4.12 Cmvas mnmaiizm:!as
Ch¡¡zy Monnlng -
2 ~
--<-
O
-Q5
FUi. 4.1 J Cmvm; rrunmalizad€Jls
y
Yc
IG.4.14 Cmvas IUlHl1alizadas
110
y
E]ERCrCIOS
Ejercico 4.1. Demostrar que la ecuación diferencial del flujo gradualmente variado
dy dx
se puede escribir en la forma
dy
dx
so
1 - (Q/Q¿)
2
donde Q es el caudal del flujo gradualmente variado
él
la profundidad y, Qn es el gasto
normal a una profundidad y, y, Qc es el gasto crítico a una profundidad y.
Ejercicio 4.2. Un canal rectangular, muy ~\ncho, consiste de tres tramos de diferentes pendientes. El can~d tiene una rugosidad n=0,015. Determiné1r: a.
Las profundidades normales y críticas en cada tramo.
b.
Los perfiles superficiales.
Cota
J;
S 02 = 0,0004
r-
IN/~'q~~
I 150 m ·-.,,¡.¡rlr---
997 m.
500
m.----;,,'*I
300
m.--~
111
h'jcrcicio 4.3. Un canal rectangular tiene un ancho de 10,0 m. y transporta un gasto de 10 111 3 /S. El canal termina en una compuerta en la cual el nivel del agua es de 2 m. Aguas arriba, él una distancia de 200 m. de la compuerta existe una transición sobre una distancLI de 20 m' l en forma tal que él 220 m. de la compuerta el canal cs' trapezoidal con una base de 7 m. de ancho y una pendiente de talud m=2,O. Calcular la distancia aguas arriba de la compuerta para la cual la profundidad del ;lgua es de 1 ~01 de la profundidad normal. La rugosidad es n=0,022 y la pendiente S =0,001 S. Suponer, en la transjción de 20 m. de longitud, que la energía es constante. o
7 . ;:,,::;· 7:.,=...~.,-:;.:~ .:;, ;:;:-:,;:C" ;:::; -::::z:. ~'."; .:ki ".' ."., . 'c ,., : , .,., ..... " ... ,·"J'T·:; :'. . ,;,': ,',''<-', ..,. ' ..... Canal Rectangular T=10,O m.
Canal Trapezoidal
lijercicio 4.4. Por un canal trapezoidal de 3,0 m. de ancho en el fondo y taludes él 45° fluye un caudal de 15.0 m 3 /s. La ru~osidéld de Manning es n=0,01 S v la pendiente es S o =0,001. L'
u
I
El flujo termina en una caíd,1 libre. Cc¡]cular y graficar el perfil de la superficie libre hast~l que se alcance la profundidad normal. Se pudrían tomar incrementus de elevación de la su perficie libre de 1 O cm.
lijercicio 4.5. En el esquema que se ilustra, la profundidad inmediatamente aguas abajo de la compuerta es de n,5 111. y la velucidad es de 10,0 mis. El can;1] es muy ancho. Calcular, empleando los gr8ficos de C. L. Chen y C. Wallg, la profundidad en el extremo de agu~1s abajo de la pendiente adversa.
112
100 m.
--------....,¡
113
R LE.NN\S A. AV\LA 10R E.S
\ngen'ler o Ci\li\
C.t\!. N9 47144
CAPITULO 5
CASOS PRACTICOS DE FLUJO GRADUALMENTE VARIADO 5.1.
Aporte de Caudal hacia u1'l Canal
En el Ca pÍ tulo anterior, cuando se estudia el perfil longitudinal de un canal, se ha considerado qUe el caudal es conocido. En muchos casos, tales como el señalado en el Ejemplo 4.1 (Caso a) el caudal no se conoce previamente. Uno de los problemas mas frecucn¿es se presenta cuando desde un depósito de agua en relativo reposo, de suficiente extensión, parte un canal de dimensiones y pendiente dadas. Si la pendiente del canal es supercrítica, en la sección de entrada se producirá un flujo 'crítico el cual se prolongará hacia aguas abajo mediante un perfil S2' Evidentemente, para los efectos del cálculo, será necesario hacer la hipótesis de flujo supercrítico hacia aguas abajo de la eiltrada, antes de calcJbr el caudal suponiendo que el flujo es crítico en ella. En el aspecto constructivo, la curvatura de la cresta de entrada debe ser suficientemente suave con el fin de evitar presiones nega tivéls que alteren la distribución hidrostática por efecto, de la curvatura del flujo que produce aceleraciones verticales las cuales pueden ser de importancia. La evidencia, experimental muestra que justamente él la derecha de la toma del canalla profundidad es (5/7)y c y que y = y se produce a una distancia igual a 2 ó 3 veces"y' hacia atrás de la toma. Si la entrada eCstá debida mente construída y se supone que fas pérdidas en ella se pueden despreciar, se procecle al cálculo de la profundidad crítica la cual será ~ 2/ 3 )EO' para entradas de secc1 rectangular, donde Eo es la energía específica en el d~pósito de agua por encima del nivel de la cresta. La proful1 didad crÍ tica permite el cálculo del caudal y este a su vez el de la profundidad normal. Si la hipótesis de flujo supercrítico es acertada, la profundidad normül debe corresponder a la de un flujo super'crítico; en otro caso, serú. necesario proceder en forma diferente. En los casos prácticos, los canales de pendiente pronunciada o supercríticé.!- son cortos tal como en los aliviaderos de embalses o en descargas de aguas de lluvia. Si el canal tiene mucha pendiente, se desarrolla un flu-:jo permanente. Cuando la pendiente del canal produce un flujo uniforme de profundidad crítica, esta se prolonga hasta la misma entrada. Es te ti po de flujo es inestable y debe evi tarse.
cm
El caso de flujo sub crítico es mucho mas común. La forma mas simple de este problema se presenta con la descarga desde un lago o embalse de nivel conocido hacia un canal de pendiente uniforme y suficientemente largo para que los efectos de aguas abajo no perturben el flujo de profundidad normal. Dadas estas circunstancias: no pueden prod ucirse perfiles MI o M 2 que hagan variar la profundidad desde el valor de Eo dado hasta la profundidad nonnal. El flujo adorHa, por tanto, la profundid:ld normal apenas entra en el canal. El caudal Q y la profundidad normal y n se halbn resolviendo simultáneamente las ecuaciones de Manning y de energía específica. Si la entr;.¡da produce pérdidas que de-
115
h;ll1 'ser cOllsidcl;ICLtS, C'StélS se illcurpOr,lr;\Il, en tc~rlllil1os de eiler~l;1 cinc,ticl u de h f\!.ndid;lcl l1ur111;1I, ;1 Lt ecu,;lcic)n de enngÍ;1 ('speclf'ica. -
))1'0-
CU;llldu los cuntroles de agu;ls )¡;ljo nupertllitel1 (llle se pruduzca Lt prllfundicLtc1 1l0rllLtl l~l1 LIs cerClnÍ
E.
El prublcm;l de los perf--iYcs termill;lles ele un clll;ll o de Cl11lbio ele pendiel1te en el se ha desarrollado ;1l11pli;llllellte cn LIS F'igs. 4,3 dcl C~lpítLlI() 4. Dos problern;ls típicos se ilustr;lll en los Ejel1lplos 5.2 y 5.3.
111iSl110
O. -
Flujo uni forme supercrítico.
e.- Flujo uniforrne crítico.
Fi G. 5.1
116
b.- Flujo uniforme subcr(tico. COllol lur~)o.
d.- Entrado en conol subcríiico con contro ele oguos Clbajo.
Un c;\n;d rectangular de SU:lve
O
y redoncteacb, El nivel del :\gua
111.
de ~\11cho toma ;¡gU;l de un embalse, Ll tom;l es la cresta de entrad;\ es de E()='I,85 111, El Cé\-
s()bl~e
y muy largo, L\ pendiente es S()=O,OOl, c;dcular el célud;\l y el tipo de perfil superficial en lél cntr;lcb del cll1al si se sUllone ljue bs pérdin;I1, de concreto con 11=0,013; es I'ccto
cl:\s
despreci;\blcs,
SOI1
Suht ciólI Supongamos llllC b pendiente es superen tlCl, COlllO el cll1é\l es rectangular, la prof\;l1dicbd crítica ser;'\ Yc=E 02 (2/3), Es clecil' Yc=l,85 (2/3)=1,23 Jn. La cnergL\ cinética es V ~/2g=1 ,85( '(/3)=0,,62
111.
Ll correspondiente velocicbd está dacb por V c=3,48 mis, y
el g;\sto Q=3,48 x "1,23 x 3,70 = 15,85 111 3 /s. Este caucbl ser:l cunectu sobmel1te si b híp()tesis de pendiente supercrítica es acertada, Para comprobar esta hipótesis se cllcuLl la profundidad normal de flujo uniforme. De la ce 3,19 se tiene l1ue
QI1
15,85 x 0,013 0,001"1/2 x 3,70 8 / 3
c.,l/2 l) 8/3 o
u
De
b Fig,
3.4, se obtiene el cOlTespondiente valor
Por lo Llllto Yn=(),,50 x 3.,70 =1,85
11l.
y/b=0,50
Como esta pl'ofllndid;ld es mayor que
le!
nltic\, b pendiente ser;\ subcrltic\ (:t1 l11enos para el g:lsto Q=1 5,85m 3 /s) y b hipótesis su pUeSL\ es i ncorre e téL En tonces, b sol Llci [m eOiTes ponder:l ;\ Lt elel C;lS0 b, en lel Fig, 5 J Se pl'oceder;l, entonces ;\ resolver SilllUIL\ne;l111cnte b ecu;lci()l1 ele M;lnning y b de cllcrg{a espccífic" 10 Cll;t! se h;\r:í por télflteus, en fortn:\ t;lbuLlcla, h;\Stél ubtener un:\ Yl1 que origine
Llll
V;t!OI- ele E=E o De
L\
T;\GLl que sigue, )'n=1,6 1
111,
En cOllsecuenci;l, el nivel elel embalsc sobre la cresta bajarcí h;lSL;¡ y n=-I.,6 1 est;) prof'undicbcl se m;\ntcnclr:\ CI1 el CII1;¡], correspondiente a Lt Fig. 5 . 1 (C;lS0 b)"
11L )'
(m) ,Y n
(supuesta)
n
y n lb
81 / 2 b 8/3
<)
Q(rnV/s)
2 A(m )
\,T( mis)
--- (tn)
E (m)
:L~25
6,.2-9
2,'j~
",¡--:'}-
2,00-
o
g,:l--9~
117
hjemplo 5.2 Dos emb'alses están conectados por un canal prismático, largo: ue pendiente: a) Suave (subcríticaL b) Pronunciada (supercrítica). Discutir y elaborar los esquemas correspondientes al perfil superficial, si la superfide del Jgua en el embalse superior se mélntiene en un nivel constante. Indicar como se puede determinar Q para las diferentes posiciones del embalse inferior.
Solución Los esquemas correspondientes a los dos casos se presentan en los esq uemas que siguen
_. _._._I._L.
NS
¡
a. -
1
Nr
Pendiente sUDercrítica '
NS
1
1--
I
--------~------~-----~~~
-TU
§-_._~
I I
b.- Pendiente sub crítica
FI G. 5.2
118
Perfil superficial entre dos embalses
IV
--~---
a.
Perfil su perficial con pendien te su percrí tica. I. Si el nivel del depósito inferior, NI se encuentra en esta región del gráfi-
co, b curva S1 sumerge la entrada haciendo disminuir el caudal. La curva Sl se hace muy alargada. " 11. En esta regi[)J1 el perfil S1 se prolonga hacia aguas arriba, hasta que
p;lsa a UIl;\ profundid;H.-l secuente, en la curva S2' El ~lgua entra hacia el canal con profundidad crítica. El res;dto hidráulico e's de altJ~hl variable, según su posici(Jn. II l. El nivel su perficial pasa desde Lt profundidad normal hasta su profundidad secuente, él través de un resalto, él partir de la cual se continúa con u n perfil Sl .
IV. En esta región, entre el nivel de profundidad llormal y el de profundidad secuente, se forma un salto imperfecto en la proximidad de la sección terminal del canal. b.
Perfil superficial con pendien te sub~rí tica. 1. Cuando la superficie libre NI se encuentra en esta región, se produce un perfil su perficial M 1 que sumerge o ahoga la entrada. El caudal dismi·· nuye y la curva M 1 se hace alargada. '. [ 1. La cur'va M1 termina aguas abajo de la entrada del canal en la cual se produce la profundidad normal
lII. Cuando NI se encuentra entre la profundidad normal y la profundidad crítica, se produce un perfil M 2 cuya elevación terminal es la de NI.
i En la región IV del Caso b, o en la V del Caso a, el nivel NI no tiene influencia sobre el perfil de agua en el canal. En relación con el caudal, este permanece co'nstantemientras NI permanece fuera de la región I en los dos casos. Para el canal su percrí tico, si se desprecian las pérdidas de
la entrada, el caudal será Q=bVg (E 2/3) 3/2
donde b es el ancho del canal si este es o rectangular. Para el célnal subcrítico el procedimiento para el cálculo del caud~d se describió en el Ejemplo 5.1 . Para el nivel NI en la región 1 el caudal se determina por tanteos, según se describió en esta sección.
hjcll/plu 5.3. Por Ull canal rcctallCYU lar.. muy,·laro·o y' de gran anchura que tiene una rugosidad b b v 3 n=0,015 y una pendiente de 0,0025 circula un caudal por unidad de ancho q=5m /s. 119
En cierLI scccic)l1 Lt IJcndicl1te ;lUl11Cnt~1 él O,OJOO perlll,ll1ecicndo consLlntes la rugusicbel \' ;II1Ch\lr;1 l_cl eIJ1;11. Cómo es el lJcrFil supcd'ici;ll en L1S pro;.,:illlidclclcs del Cjuicl.He en 1:1
Lt
pcndicn te del
C;lI1;¡]?
Soluciól/ Las profundidades normales en los c\n~llcs de aguas ~llTjb;l y (¡guas ;lb;ljo para R=y, se pueden obtener dit'ecL\l11ente de b fc)rmLlb ele Mé1nning, ,IS{
5/3 1/2 Yn2 S02
(5/3 S1/2 =
c¡=
)111
n
Col
n
5 x 0,015
y n-I
5 x 0,015
YIL,')
1,276
O,OO~5 -1/2
=
) 3/5
0,606 m.
0,0300 1 / 2
1,36
LI profundidéld cdeicl es )le
S ')
o~
111.
Jl),
El esguel11él del perfil superficial cot/esponde al de la Fig. 4.4 (Caso 11) en donde en forma equivalente y > v' > y '). El Glnal de arriba mantiene su e 1\1 ¡Lo
> So 1 > Se, o
J
profundidad nor purque Lis perturbaciones no VÚ\j;11l en el fluju supc,-cdtico, hacia at~uas arriba. Se producc, así, una profunclid,ld norm;\] Y 1 en el lluidHC ele pendiente, a n partir ele este se extiendc un perfil~ que se prolonga 11'"ci;\ aguas abé\jo hélst;\ alcc\llZar h
profundid;\d normal y
%,:, /
'J"
n~
/
G.J 120
En una pnmera aproxilllación, ~\plicando
DX C;' 02 -
e
d()nde
V
/111
es
q
2 2, íl
¡\l J
l:J
ee. 4.22 en un sólo p~lSO se tiene C;~le
'10/)
,,,, 1I I
b IJl'ofllndicbcl medí;l ent\e y n '1 e y 11 2. r
Así
'7
q~
Ll X
(Yn2 -1- - - - - ) 2 '7cr Yn2 ~b
= ----- ---,-,---SOl -
D )(
5.2.
I:fecto ele lels Pi/dS de
0.,0231
1/1/
2
Yn1
q2 ]12 / )' n~ 0/3
g7 m.
PI/ente
L\s contr;\CCi()l1eS ]oc\le,'> en lé\ ~\nChUr~l de un do o un call~d, t;\1 como bs proclucidas por l'iLts de puentes en UIl can;\1 uniforme c!e gran longitud y pendiente subcr1ticL, 1110d i fic\ 11 L\ tonn;l de b su per ricie 1¡bre, Si Lt contracciémno es proporcional mcn te g1';\ nde y el flujo no t'eepliclc cncrgÍ;\ cspccífic\ aclicioll;\1 par;1 P;\S;1\' ;\ tT:1Vés ele ella, el problc111;.\ se puede resolver, P;1\:, C\I\~1Ics rect;1I1guLtrcs, haciendo uso ele h 2,3 b cu;d nos indic\ que en 1<~~)illl(,1l suhclÍtico al ~\umento del ~r;\sto c¡ por unicLtd de ;1llcho cst;í <1soci;.\c!;\ un;\ disminuci{;'ll de la profullclid;\c1 elel flujo. Si 1';1 ;mchura de la contT~\ccíón se disminuye ºL\clLJ~,IJllente sc 11c~!;\¡-(¡ ;11 límite en que 1:\ cncn1í;\ cspecílíca disponible es apenas suHcicn~'e para que el c;\ucl;'tl pase ;\ tL,. de la conlr';~cción. CL:ando esto ocurre, la contracción se convien~c en un control. Si Lt <1l1chura de ];¡ contr;\cc¡ón continLl;\ disrninuycndo y el ca11;.11 es suficientemente largo k\cia ;\guas JITib;\, se producir:, un;1 sobreclcvélción, aguas ;tr1.;~);\ ele L contr;\cci()l1, hasta que se gé\lle suficicllte energÍ<\ específiGl pélré\ que el caudal p;\se cn flujo crítico;\ trdvés ele ella. Aguas ab;\jo cte Asta, se inici:\ un flujo supercrítico que p;\S;1r:\ ~1 '-1'é\ vés ele un res;\ 1lo é\ la profu ndictad nonn~11 11 o pcrturb ~\(b. AgU:1s anibé\ de b con tl;\ cción se extiende un perfil (VI 'Ih asta alcanz:\t la pi ofu ndid
Si el C\11,¡] no es suficientemente largo, la hipótesis de caudal constante falla ya que el perfil M1 puede ahogar la entrada del canal produciendo una disminución en el "mismo. En L1 Fig. 5.2sc muestran las distintas posibilid
-:..~Ml
nivel ori9inol
__
(
-
¡----
-T- " nivel original
T
MJ
Y c
""V'L-...
%
"-
Pequeña contracción
Cont+acción se convierte en control
Energía 0lterod9 por efecto de lo controcclOn {
C--=fl----'-f~-~-----'==-=-=------'-t----"_=-_=-:.:e~""'1\" Eo
"__
--~r---"=-_"-=~_'
M,
---=::=::-
Perfi I longitudinal producido por una cont roce ión
flG. 5.4
122
,
formación de una sección de control por efecto de una contracción. Efecto en el perfil longitudinal.
Ejemplo 5.4.
En un canal rectangular se instala una pila como se indica en el esquema. Dibujar el canal horizontal.
y discutir los posibles perfiles superficiales en
a.
Si el canal termina en una caída a una distancia variable, aguas abajo de la pila.
b.
Si el flujo se controla por una compuerta de fondo, aguas arriba de la pila.
",
'"-., ... ,.,
FIG.5.5 SolHción
a.
Sin control de aguas arriba: Para una caída situada aguas arriba de la sección JI, se produce una curva H 3 la cual está controlada por la profundidad crítica en la sección (2) la que, por lo tanto, debe ser calculada desde la sección (3) de profundidad y 3 hacia aguas abajo. Si la caída está situada aguas abajo de II (por ejemplo, entre Il y IlI), se establece un control adicional en la caída originando un resalto hidráulico aguas abajo de la pila, o bien, si la caída se sitúa mas alejada de la pila (mas lejos que IIl) el perfil se transformará en un H2 debido a la aparición de una nueva sección de control con profundidad crítica en la caída. El flujo en la sección de la pila será subcfÍ tic o y el perfil H2 se prolongará aguas arriba de ella.
~ ~ I
.....---1'-. - H2
--==---d .. ·· ...
---1------Yc
-
L ____ -
-
:'_~ ---
/J
123
el cOlltro! ({(' dglldS drribu: En L1 sección (1) por ejemplo se ubicI la compuert;\ de fondo. El control produce un perfll H3, el CL1~d se e:\ticnde en la forllla que se ilustL.I, solamente si no se alclnz~1 la profundid~ld crítiel en b sección (2) U en la sección de CI í d~\. S i el flujo con pl-ofund icLld
b.
COIl
supercrítica, en la secci(m (2), no es posible, se estableccrú un contrul ;Idicional aquí originanclo un rcs~¡\to hidr~íl1lico entre las secciunes (1) y_(2) () bien el ~lhog:11lliellt() de \;¡ cOl1lpUcrLl. Si \;¡ Clích se produce l1l:ís abajo que en b sccci()!1 IV, se pruclucirú un control ~ldicion:ll urigin:lndo, igu;¡]lllentc, un res~llt() o el :dWg:lll1icl1to de b cOl11puert~\.
Q
(0 I
-
-
--
-;.'
/
11
5 . .3. l,'lujo 1)-i"icfido
por [slds o 1)erilhlciollcs
Cuand u u n;1 corriel1 te se di vide pOI i 11 ter pUSICl 011 ele Ull:1 isLI \;¡ rg;l) los c;\lld:\ les p:lrcié\les l.¡UC fluyen por clda U!10 de los cIllé\les circul1d:I\1tes puedel1 dctc¡-¡llin~lrse PO\mediu del cílculo de los perfiles su pel-ficiales. Si el fluju es sub crítico, el cuntrol de :Iguas :Ibajo determina los perfiles sUIJCrficiales en cld:1 uno de los canales que circuncLtn L\ isb.
Q
124
Le1 solucic)\1 !Juedc establecerse su I)U\1 icndo un ¡xn de valures Q¡ y \¿2 q uc su SUllL1 se~1 igu~d al cludal Q. Con estos v;dures se cIlcuLtn los perfiles supcrfici~dcs el1 los dus clnalcs, haciel aguas arriba y ~I pelnil" ele la profundicbd cunocida en B. Si le! pl'()ft1ndi~ ebd calculadel FJaI'~1 h sección A es b l1lisll1~1 pur cacb uno de los c1I1cdes. lus védores de Q1 Y su puestos Sel":\Jl los corree tus, En CISO con trel ríu, serú neces;1 río p I'üsegu ir los c'tlcu!os cun lluevos vedurcs de C)'11 v ,
¡
Si lus flujos sun supCl"uíticus, 1;1 sección ele contl'ol se ubicI en A. Los caudales Llue cil'cLlhn pOI' C;I(\;\ uno de los c\11;lles clepender:'11 de 1;1 cundición ele cl1trCld;1 en L\ di ~ visori;" EII concticiulles l1onll;lles, se puede suponer ,que todos los flujos son uniforrnes y la divisi()]l de estus eSL\¡-ú deter1l1ine\da ;q)l"oxillL1cbmente por Lts rebciones .
C¿l = KI
SI :,
=K :2
eU;l nd () e x is le l! 11;1 de l' iV;1 ei ón, los prucecl i 111 ic n tos deseri tos ;\lllC ri u 1" 111 e n tc sIguen siendo v;'llidus. En el ejemplu que sigue se resuelve C011 clculle el probleln~1 l:.lne\ bihn«lcil)11 COll flu})s SL1hcdtjc()~;.
Un cll1,\1 eOIl recubrimiento ele COllLlctu (n=O,OI ~í), de seCClUíl IccL1l1gubr, etc 17,,0 111. de :¡llchu" C()n pendientes de 0,0375 (\ /0 se biCLlICI en dos C<1l1Cl!es que 11 recubiertos c()n el 111i:,ll10 CUI1C.:'I'Cto en pend ientes de 0,:2 % y OJ % . Si las secciones tré11lS VCIs;l]es dc los dos c:ln:,ks sun rect:l1,~gLlL\I'es e lúetr:\uliC
El
c\llcbl en uno ele l()s cIlLlles biFurcIlltes. El perfil sU¡1crficial en el c;\I1:ll prillcip:IL Despreciar bs p{~rdicbs ele cnergLt
:1..
b.
en h L111il)11. SO!lIcióll Las
cho h
2
(\sí
illcé)~rlljLIS del problema son: el ~Yast() Q'J\ la profundicle,d n0i'111;\l Y'l/ y el ;In~ gelSto Q31 h jJloCunclideld nOl111(71)'n Y el :II1Cho b3 en loslc;n:tles bi-
COll)(~ el
¡'lll"ClI1lCS:, :Ide m;Ís
b
~;eccié)11
b pro fu nd icl,ld n DI IllCl I Yn"1
en
el C\ll e1l PI inc i p;d Y \el rJrofund icbcl y A en
cliViS()j'jeL itas son:
De con ti 11 u icbc\:, Oc lV!;\l1nillg;
+
3. 4,
Seccio nes eficiell tes;
5.
6. Energí a específ ica en A, suponi cndo que c:q=o:'2 =
CY 3
= 1
y3
+ V~/2g =
7.
~.
y A + V'i/ 2g
Substi tuyend o las rebcio nes (5) y (6) en las (3) y (4) Y reempl azando valores tenemo s 3~1.
Q2=0, 594 b 8/3 2
4<1.
=0 420 b 8/3 Q3 ' 3
Substi tuyend o cn la ex presión (1) tenemo s 9.
71,5
Alguno s valores corresp ondien tes de b y b 3 son 2
126
°
1,50
3,00
4,50
6,01
6,85
6,77
6,42
5,42
o
De las relaciones (7) y (8) tenemos E =E , es decir 2 3 b2 2
') Q2 2 ~ +----= 4 g b2
b
3
2
y substituyendo los gastos de las relaciones (3a) y (4a) obtenemos
10.
E2 = 0,5 b
2
+
0,0722 b 4/ 3 2
Algunos valores de estas ecuaciones son
b 2 (m)
O
1,50
3,00
4,50
E2 (m)
O
0,874
1,812
2,784
b 3 (m)
O O
1,50 0,815
3,00 1,664
4,50 2,530
E3 (m)
Para evitar el cálculo por tanteos de b 2 y b 3' se puede preparar un g~áfico de E 2 con tra b 2 Y de b 3 contra E 3' De estas dos curvas se puede grafkar una tercera de b2 contra b 3 para la condición E2=E3' De la intersecciól: de esta curva con la curva dada por b expresión (9) se obtiene la solución b 2 =4,72 m; y; b 3=5,15 m. Para estas anchuras, los caudales Q2 y Q3 se hallan de
las relaciones (3a) y (4a),
así
127
6
ec
"11
re loción entre y D;; pnrCl [2 =
(\
O~~--~--~·----·----~-------~·--------~---
1]
___ ~_--L______ -----~---p
2
iFt¡
h..
l110SU;11 lJue el flujo es (ticu en ludus los c;ln~tlcs. En C()jl~;Clas h i e l uc en los 2 y 3 se .los un mes hasta b unión (A) cst:m clebicLtlllcntc justífic;lC.t\S, L;\ [Jlofunclld;lc1 en b sccci¿m ( se CJbticllC ele 1;1 l'cL!clóll iL
Se
CllCIlCl
J
+
0,,9U5 ,90:, ele donde
y
''-70
.,/0111,
profundicbJ
La
110rl11;1I
en
el can,d
Qn
principal
71,,5
se obtiene de la
0.,015
x
3.4, Para
= 0,0286
o
Yn
se tlenc CJ ue
n
\j
El
<,
su
¡elHe
MI' se .!Juedc cdcubr aplicando en forma ta-
bulada b ce . 4 ,22. El m{~I:oclo c¡ ue ~;c plcsent~\ constituye el Nlétodo Directo ,8/3
uí,
(l)
1/2 S.) se puede obtener de b 2.
valor ele S.
(-Lldo por S¡
1
para distin tos valores
J
ele y/h.
=
los Pasos
0~318 =.6 x 10 ---:r--
1 K
K
(nd 2.
I/(m)
n
O, J /
iI
60
O ,L\/j
l'
iI
, :)0
0,
, dO
0,
iI
(ro)
.:\0
'2 ,
.S.
/1
~'(.
1/( ,)
U()"?
O t' 1(,
~s)
c¡ .. :I . .
y/b
ilf': (w)
(\/1,2
U
O ,0J'7
7]0
11
!
n, .IG]
O iI
2 ,. G/le,
ü, O [\9
O i t '7
O ,OJ3
'j
0 1 (llIU
O LtJ.l
O t. OJ:¿
1
O t' 71
:;>
l'
1\ 71
O, 011(;
(1
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Me
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iI
1"10
()}[ (m)
(m)
HU
O
2
20G
crn
311
]01
O , (j3J
10 },O '
331
321
o ,0:19
1190
169
lU
965
965
ID
788 1753
'14
119U 2943
4
20
1590
:n
4.00 6933
(/ (' R Cuando se tr(lt~l11 de determinélr los trjJIH~ll(O es neces;ulO
su
I
'\
-
-
•
tCilTllJ1;l(
1él
~lgUelS eu-ritJa ele tI COl1-
. latamente es subcrítico en el río principal, agu;ls ~\b;,jo de la confluenci;l, con 9;lstO entonces Lt profundidad 1101'111,11 1'n3) en b Fi b . 5,9' se cr;l hélst;\LJ Lt éllTiba de éSL\ b profuncliebd pennancce inV~l¡-t;lblc" '--~;i hs velocidades ~;un ncq y por lo t~\I1tO se pueden desprcci;H las pérdid;l;' producicL\s por lus Lcmolillos1de la uni{m. Si [;\5 vclocicbdes son mayores que, digamos, 3 mis. ser;'l conveniente consic1er;t¡- bs pérclid:ls ele remolino y (lsign;lrle a estas un v,!lor del! J de L, el ¡ferencía ele enCl'gÍ;ls cinéticas entre corrientes de aguas abajo y de aguas arrib;L Aplicando b ecuélción ele BernouJli C011 le\ JnClusión de LIS pórdid;ls de remolino se pueden hallar Jets profundiclc1c1es inmedLltarncnte aguas ~lrrib(l de la confluencia. Estas plofundiebdes se continú;.\n,) hacLl agu<\s arrib;\ con perfiles M" (1r_ucnCJ~1 'J ele un no y su
r
1-
1
1
prOTunC1Cl~IC ~
129
Q?
FIG.5.10 Confluencia de dos ríos en flujo subcrítico.
5.5. Fllljo
('/1
Alccwtarillas
En este texto, se considera el flujo en alcant~lr1llas como el flujo en tuberías de relativamente gran diúmetro y pequeña longitud, usualmente enterradas, empleadas en desagües y cruces bajo C
130
ga H meilClr que la crítica H* y profundidad de descarga rrayor qlle la profundidad crítica y c), Tipo 5 (carga H menor que la crítica H*, profundidad en la descarga menor que la crítica Yc' y pendiente subcrítica), Tipo 6 (carga H menor que la crítica H*, profundidad en la descarga menor que la profundidad crítjca y pendiente supercrítica). TIPO (1)
PERFIL
Salido sumergido
H
~
r, :.
D O
Alcantarilla neo o
(2)
Solido no lumerQida
H
~
HII
>',
"IC
O
Alcantori!!" llena
(3)
Solido no lumuOldo
H
~
>',
~
Hit O
Parcialmente lleno
(4)
Solido no sumerQldo
H'" H* Flujo lubcrítieo
(~)
Solida no sumerlJldo
Flujo subcritlco Control en lolida
(6)
Salida no lumeroido H ... H"
"
FlUJO 'iupElrcdtlco
Control en entrodo
FI G. 5.11
Tipos de Flujo en Alcantarrillas según Henderson
~1966)
Los dos primeros tipos corresponden él flujo confinado en tuberías y los otros tipos él flujo en cal1édes abiertos. En el flujo del Tipo 3 la alcantarilla actúa como un orificio con un coeficiente de descarga variable entre 0,45 y 0,75 dependiendo de la geometría de la entrad~1. En el flujo de los Tipos 4,5 y 6 la entrada se com.porta como un vertedero con un coeficiente de descarga variable entre 0,75 y 0,95. El flujo Tipo 4es subcrítico en toda la longitud de la alcantarilla. El flujo Tipo 5, siendo también subcrítico, tiene su control en la sección de salida. El flujo del Tipo 6 es supercrítico y tiene la sección de control en la entrada. Para pendientes 0,02S<So<0,361, F.W. Blaisdcll, en 1960, encontró que la descarga en una alcantarilla, cuya toma estuviera cortada en bisel con una proyección d.~ la p~\rte superior b,cia el interior de la toma igual a 3D/4, estaba dada, de acuerdo con el análisis de F .M. Henderson en 1966, para 0
131
S 0,05 o Q ·----""-----=0,48 (--) 0 2 V gu 0,4
H 1 ,9 (-) O
r::D
(5.1)
y en el r~l11go 0,8
Q
°44 (--) ,Jo
----=
02 ~ V r,LJ
0,05
H
1,5 (5.2)
(-) D '
'0,4
En b Fig. 5.12 est:ll1 represent,lcbs bs CUl'Vé)S correspondlcntes~ obtenicbs por Henderson, P,)r
Otr()s proldellL\ 1~1\':lcticos ele rllIju lI~\IJ1lCllLe v;\li;tclo, Llles CUíll() el ele lo~; re\ll;1IlS0S procluciclos por los clifcrciltes tipos de estribus y pibs ele pu ll¡ch 11 s 1)1'Csen Llclos por Víctor s;¡ ¡'el i Socorro y Cc lesti no ¡Vlartlllez de 1;1 Z:.l, en 1 97?
ERClfCIOS
Jjjercicio 5. i. 'v
Un ctl1al rectan~uLH de ~),O m ele :\11cho torn:l éIQTI;\ elc un eI1lD;'llse. El cm;t! es de concreto.) I1=CL,OI2, y tj:~l1c un;\ pendiente COJlSU1I1te Su=O,003'cn 1111 tré!1110 rnuy Ltqy). L\
pérdida dc cnergJ:\ en Lt :\.
C¡ltLHlJ hé!cia
el
se puede
esiim;\!' ell
0.,2 (
el nivel del cmD:dsc, por encimé! del del pUlltO IllJS (dto elel CLlé¡j el Clujo unifolll1C en cl C\1l~lI e~~ cdtico. c~llcLlbc el G1llcbl Cl¡;\l1do f;] ílivd del elllb;\]sc esl::t d 2.,20 lit. PO[" enCIlllé] fOlldo del C1r1dl,
Determinar
fondu del C\11;1I IJéH;l el
b.
(~ll¿' c!cv,\CiÓ¡l,
C,
d,l ele p;¡r;t
1111,1
que el
sob(c cllliveJ del fonclo del
cln;¡l.
COill\JUcrt;\ ele fOIH.-lo ubicada ,1 '1500 C;JucL!J COlTCSpO
llle;1
pu
[~I:eilcr
ti
la pregull!:l (,\) ¡~Jo
vell:) CO!lU;lí-
de la cnir1
;1!:2·U:1S
se ::11tcle.
5.2. UII G\¡l;ll ree LH ele ,O 111 Jl1cho que un clUcbl l,enetr,) :1 tL1Vés de un;\ 1j}()ilt,\llc\ ¡1Le un túnel con lél rnis!n,[ seCClon flujo de superficie libre. can,!i tiellC una ac1 n=O,Crl'¡ 5 y el túnel él.
b. e
HélllJr PéH,\ una pendiente del tondo constante, ::)0=0,01 en las pro .\imicl acles del el mb jo de ¡-ugCJsiebd. Dctcrminé\f h (esal!:o hidiúulico
Cll
te del 'Céllléd de aprOXil1lé)ción el interior del túnel con
Cu:d es b pendiente del elimina
CUéllc.Juic¡'
C111;1] de ;1 pro:<.imclción con flujo no uniforme.
el
superfici~ll
l'.J'ercicio 5.3. Un cana] trapezoidal con un ancho en el fonclo de 5,0 111. Y taludes en ía relacit>l1 2H: 1 V tiene una pendiente So=0,0009. El canal alivia un embalse y la máxima carga de agu~l que se cree es Cl2~17 de producir el embalse es de 3,0 m. por encimél del fondo del canal en la sallcb del embalse.
134
a.
Calcular el caudal111{¡ximo que circularía por el can'l1.
b.
A 1000 111. aguas abajo de la toma el canal es intersectado por una carretera. Si se diseña un,1 alcantarilla en lugar de un puente, para la intersección, calcular cuál es el mínimo di[¡metro a emplear para clue b alcantarilla no remanse el agua en el canal.
c.
En el caso anterior, calcular el mínimo diámetro tal que no disminuya el céludal proveniente del emhalse,
CAPITULO 6
EL FLUJO':RAPIDAMENTE VARIADO 6.1. Caractc>dsticas del Plujo. El flujo rápidamente variado presenta, en general, un~l cúrvatura pronunciadél de las 1í !leas de corriente. Como consecuenciJ de esta curvatura se produce tina distribución de presiones no hidrostática. La alter~\ción en la trayectoria rectilínea de las líneas de corriente se produce por ~111a alteración brusca en la geolTIetd a de los contornos la cual induce una variación rápilla en el régimen del flujo. La variación se presenta en un tramo reh! tiva 111 en te corto. Consecuentemente, la fricción que se origina en los con tornos es comparativatnente pequeüél y en la mayoría de los casos es despreciable. Aparte de estas consideraciones zeneralcs, siempre debe tenerse presente cuando ocurren cambios rápidos del área mojada en el fll~io rápidamente variado que los coeficientes ex y p de distribqción de velocidades en las ecuaciones de el~er:::ía y de cantidad de movimiento son usualmente mucho mayores que la unidad y frecuentemente debe recurrirse a la experimentación para su determinacicm precisa. En las secciones de flujo divergente, este tiende a separarse de los contornos complicando la estructUL1 del flujo con vórtices y torbellinos. En estos cas.,)s el flujo principal se Iímüa por una () mas zonas de 'separación en lugar de hacerlo por los con tornos sólidos. Enl. distintus estudios de Hidrodinámic<\ Clásica se han encontrado soluciones maL.\S hipótesis fundamcnta1es suponen un fluido sin viscosidád en condiciones de flujo potencial. Por lo tanto, lus efectos de le\ fricción y disipación de energía se desprecian en el problema real. Algunos de los estudios mas relevantes s~ deben él Joseph Boussinesq (1842-1929, científICO francés, profesor en la Sorbona) quien en 1872 presentó ante la Academia de Ciencias de Fr~1l1cia el trabajo de 7 00 p~gi nas" Essai sur la théorie eles eaux courantes". En las teorías de Boussinesq se su pone que la curvatura de las líneas de conien te crece linealmente desde el fondo del canal hasta la superficie libre. tem~ític;ls para flujo rápübmente variado de superficie libre continua.
Modernamente, cuanrl.o se trata de c;llcular un flujo potencial no viscoso, se recurrc a b solución gráfica ciada por b red, de flujo o al análisis por métodos numéricos. A pesar de la gran variedad de soluciones, los ingenieros hidráulicos han estudiado por separ,ldo 11111ch os de los prob le 111,1 s posibles (le flujo reí pida mente variado, in troduciendo coeficientes ex peril1lcn tales en las eCUél dones de en ~~rgía, de cantidad de movinllell to y en la forma de la superficie libre. El an:t1isis dimensional también ha permitido la presentación generalizada de diversas soluciones experimentales.
6.2. nI Pro blcl11Ll de> las Transicio/1(!S Una rápida variaci()]l en la geometría de un canal induce una variaci6n en el perfil Jc la su pcrficie libre. L{)s casus mélS sim pIes, cu ya solución se obtiene de la aplic~lción directa de las ecu;1cioncs de energía y continuidad, se refieren :t la existencia de una grada que elev,\ o baja el fondo del canal y él un estrechamiento en la sección transvers,\1. En
135
el csquem;\ de definici/ll1 de Lt fig. 6.1 (;¡) la condición c1e flujo el1 el estreCh;\1l1iento, suficientemente SLL1VC !J;\r;1 que r:1S pérdicLls de energLl se;ln c1espreciables, se c1ctcnnin:l iguabndo b cncrgLl específica cle b seccicml, cle c;\ractel-Ístic\s claclas, con Ll cnergLl cs[Jccífic\ de L\ secci())l 2. En el C;ipítulo 2 se encontrl) l1ue Lt ecu;tCiC))l resubtl1te, en gene1':11, present;1 dus soluciones reales. Aquelh físic:ll11ellte posible se establece por b condición del flujo ;¡gu;\S ;\rrib;1 (subcríticu o supercrítico). Si el cstrech;lllliento cs t;\11 prUl1tlllci;\clo c()mo pan establecer un f1uju crítico en 1.\ g;\I-gant;1., en elb se origin;\ ulla sección ele control con flujo suhcríticu h;\cia ;lgu;\S :m-ib;1 y flujo supercríticu h;ICi;1 ;\gu;\S :lb;tjo. Ell b Fig. 6.1 (b) b energía específica en I;¡ secci{)11 -1, E'¡, es igu;d ;1 la SUln;1 de la energía específic\ en Ll SC¡¡:ci(ln 2, E2' mas I;¡ elcvaci()]l de Ll gr;\da . El =E2 -+ .6.z. L\ solución físicllllentc posible clc este probleln;1 clepelldc t:llllbién de las c¡racterísticas c1el flujo ;\gu;\S ;¡rrib;\. L¡ Fig. 2.2 de enugÍé\ específica PlTlllite lulbr, rúpid;\l1lente, las soluciones de estas transiciones. En el Caso él, Lts protundid;\des críticas par;1 los gastos c¡ de las secciones 1 y 2 son diferentes V Ll ellen,í;1 cspecíficl igU;11. En d, C;IS0 b, los g;IStos q en ]¡¡s dos secciones sun los mismo; pero las ~~\lergLls espec/ficlS E son diferentcs. L
___ r~ ~ _________"________ _ --'::=-+----~-'~----------I---=-=-=---
2 a, -
Estrechamiento del cauce
FI G. 6.1
2 b.-
Elevocion del cauce de un conal
Transiciones
Un;l '\1)liclcic'll1 li LJu CI";llllent('- diferente ele! eli~WI-;lm;l de energía eSfJecífica se puc'" o de realiz~lr cU;1lldo el estrech;ll1liento, o b ampliación del Caso a se produce en un~1 longi tLld \11;1 y or. Su pong;11l1US que los efectos ele roz;uniell to siguen siendo des prcciab 1es en el cIllal rectc\l1gular C011 paredes divergentes, de b Fig. 6.2. Y;\ guc el g;tsto Q pcrm;¡l1cce I1cces;lria11lente const;mte de secci/m Cll secci(m, el gasto c¡ dccrecer:l e11 1l1;¡gnitucl;1 medida Cjue Lt SCCC1()!l del flujo se h;\ce 11l;¡yur. C01110 E es 1;\ mism;\ en tud;ls bs;;ecciolles, la prufundilbd y debe CreCel" u decrecer en b direcciém del flujo dependiendu de que la profulldid;\d se;1 111;lyor u mellor que Ll protul1elidac1 crítica Ye Ya que c¡ es invers;ll1lente proporciona] ;1 Ll clisLlllci;1 en b direccicnl elel fluju, los perfiles sU!Je,-ficialcs estún cLtdus di rcc t;\ lTlen te por bs d()s 1';1 m;ls del d¡;lg)";1 ma ele c\lId a les cOlFr;1 profulld idades, e 11 b Fig. 2.3, reproducido en escd:l :\p,-opi;lcb y C()Il LIS cO'Tespunclicntes dimensiones. Como se observ;1 en 1: 1 Fig. 6.2, solamente se p,-uducc f1uju con un;\ distlibuci(JI1 hiclrosL'lticl de IJI"esiolles., par;1 el v';d()r de E d:ld(), cU;illdo ];¡:I11chur;1 del c\11;11 excede un v~llor mínimo, CU;\llclo el fluj() tiene Ll clil-ecci/)l1 cOlltr;\ri,¡ las cundiciones ;lILt!íticas son icléllticlS. l~
136
~
L-
1""----------"------ D,)i. - - - - - - - - - ,
F I L1 j
I
(l
!li
LIt)
e 1" I y¡ e n
Vale b pen;\ observar quc la eCLl:1Ci()n diferencial del flujo gradl1~,lmente v~Hiado (por ejemplo 1:1 ce.. LI,22) es ;\ pHcdilc, al flujo convergente, o divergente, correspondiente a b tr;\11sici.<'lll ;\nte¡ior, h;\cienc!o en ella s=o (1:1 [lllca ele cnergía es horizontal) Para una pcndiente del fondo se tiene
Llx
El
(6.1 )
=-----
so
Evickn te Ille Illc, cu;mdo S()=O, como en
Las transiciones
la
F
. - 2 Y 3--4 ele la Fig. 6.3 conectan
(rél
mos muy largos de canales
rcci;'ll~;llhrcs, LIS línc;\s ele l)roPunclidades críticas y norm;,lcs sc ilustran cn b Figura. t+dbr en el cli;\~í/;\ll1(\ ele cllcrgL\ específiCl, para el gé\sto cbdo, las p~siblcs profundidades YI' >'2' Y3' Y4; y gr;\ los respectivos pel-files supcrficiales, J
SOlUCÚJ11
El perfil su perficial posible se c;b tiene estableciendo algunas hipótesis, las cuales cleben ser constatadas en funci{m de lus result:ldos obtenidos. SupongamQs por ejemplo que el flujo es siempre supercrltico, tanto en los tr:lmos largos como en las transiciones. De acuerdo con esta hipótesis, el flujo estú controlado por la profundidad de aguas arriba. Así ep el primer canalla profundidad permanecería constant9 con un valor Yn correspondiente él un flujo uniforme. Entre las secciones 1 y 2, la energía específicl E debe disminuir en un valor Zo igual él l:t sobree]ev:lción del fondo. Si la energía E d~ la secci[)TI 1, correspondiente él la profundidad Y , se disminuyera en zo' se encontrénía que la nueva n energía específica 110 es suficiente para que pase el caudal q. Este caudal requiere una energía ¡nínima para la cual se produce la profundiebd cdticl yc' De esta forma, nuestra hipótesis; de flujo supercrítico en todas las secciones falla debido a que en 1:1 sección 2 s<; produce flujo crítico. La' sección '2 se transforma en una sección de control. Ahorél, la energía específica mínima de Lt sección 2 se incrementa en Zo parcl lél sección 1 , estableciéndose en ella la profundid:ld y 1, aguas él rrib:l de la cual se e xtie'nde un perfil S1 hasta c¡ ue sobre él se produzcl 1:1 profundidad secuente de Yn correspondiente él un resalto"hidráulico. Desde la sección 2 hacia aguas abajo se extiende un perfil S2 hasta que la profundidad alcance su valor norm:d. En la SeCCil)]1 3 se produce una energía específic;:a que corresponde a la profundidad normal. En la sección 4 esta energía se aumenta en Zo obtenié'ndose,', en el di~gr;lma de ~¡~ergía específi,ca, una profundidad Y4 menor que y n' Desde la SCCClOn 4 hacla agu~ls abélJo la profundld~ld aumenta gradLlalmente median te UrI perfil S 3, hasta alclll/-ar b profund idad normal. La solución CUél n ti tativa del problema se puede obtener para el céludal q déldo del diagrama adimensional en ,la Fig .. 2.2.
-----~---E
FIG. 6.3 138
6.3. Flujo Sobre Vertederos de Cresta Aguda
El vertedero de cresta aguda consiste en una lámina vertical con cresta de filo, como en la Fig. 6.4 , colocada en dirección perpendicular al flujo. Los vertederos estab1ecen un control en la secciói1 de su ubicación, originando una relación definida entre descarga y profundidad en la proximidad del instrumento. Los vertederos se emplean en el aforo de caudales y el estudio de la mecánica de su comportamiento proporciona la teoría fundan1ental para el diseño de otros tipos de aliviaderos. Debido a que el rozamiento se limita a la cara vertical del vertedero, dond y las velocidades son muy bajas, se pueden despreciar los efectos viscosos así como la disipación de energía resultante. Consideremos el caso bidimensional en que la lámina del vertedero ocupa toda la anchura del canal y ésta es suficientemente grande como para despreciar los efectos de contracción lateral. Suponganlos que el flujo no se contrae cuando pasa sobre el vertedero y que la presión relativa es nula en la sección AB. Obtengamos el gasto teórico qt por unidad de ancho integrando el gasto elemental en la sección de descarga no contraída de tal forma que si y es la profundidad medida desde el nivel de la línea de enerfía total y, consiguientenlente, la velocidad en el punto característico C es V=(2gy) /2, podemos escribir
h +V 0 2/2g qt =
J
2
2
y'2gy
dy
-3 .j2g
((
2 V o /2g
3/2
Vo
+ h )
2g
v~
)
- ( 2g
3/2
]
v o2
I~ -_.~._._.
El efecto de la contracción y de la curvatura en las líneas de corriente que origina la distribución de presiones que se indican en la Fig. 6.4. se expresa por un coeficiente de contracción e c' el cual per mite escrib ir que el gasto real q se expresa por
2 2
q
Vo
=-c .~[(-+h) 3 c y L.g 2g
D
FI G. 6.4 Vertedero de Cresta Aguda 2 3/')
v 3/? ~_(_o) '-']
2g
( 6.2)
139
.\¡
La ec. 6.2 se puede ex presar en forllla lllas compacta definiendu un coeficiente Cd t;\l LJ ue
2
~ (~) 2gh
el
cual permite, finalmente, escribir
3/2 ]
(6.3 )
la ce. 6.2 en la for111.;\
(6.4 )
Cd = 0,611
+
0,08 h/w
(6.5 )
2 El coeficiente C c y la relación Vo /(2gh) dehen depender de lel geometría del C\~na1 de aproximación, dad;\ por la rebción h/w. Por lu tanto Cd es también, únkamente, función de h/w. Ya en -1929, T. Rehbock había establecido ex pel-iment;llmente la rebCiÓll de acuerdo con la cu;t! C n se aproxim;\ a 0,611 cU;\I1do w se h;lce muy gr~\nde. Ya
V~/(2gh) se hace muy pequef'io, la ce. 6.3 ll111estr;¡ que también Ce es igual a 0,611. En eJ siglo pasado, K irchoff hab L\ mostrado, en sus tra hajos de h id romeclniG\, que el coeficiente de contracci()n en un chorro sin disipación de energía, e11 el que se despreci;m los efectos de gravedad es C c= 1T/(7T+2)=O,611. Posteriormente, R. von Mises, en 1917, extendió la solución al (';ISO en que el dep{)sico de clescHga es ele dimensiones finitas. l1 ue en este caso
Por otra parte, se debe esperar lllle cuando h/w se haga gr;\l1de la ee. 6.5 no proporcione un valor de Cd preciso. En efecto, H. Rouse, en 1936; y; H. Ruuse y L. Reid, en 1935; han mostrado que la ce. 6.5 es correcta con un buen grado de aproxil1lélción h;\sta h/w=5. Par;\ v;dores mayores se produce un;1 desvi;\ción gr,\du,d de b función lineal debido al célmbio en escala llcg;\lldo ;1 un val()r de Cd=J) 135 cU;llldo h/w=-¡ O. Si '''' se hace infinitamente peC]ueI1o, entonces w/h=O~ estableciéndose una c\íd" libre cun profundichd crítica. Experimel1 tal mente se ha enCOI1 trado que en vertederos de mu y peq u e 11,1 altura para h/w>20, L\mbién se origina la profundidad C¡-{ticl just;\l11cntc agu;ls ,lrríb;1 del vertedero. Estos pequcí'ios vertederos se conocen mas apropi;ldamente con el nombre de rebordes. Par,\ este caso se puede escribir
140
(6.6 ) Substituyendo en la cc. 6.4 obtenemos
C = 1,06 (1 d
+
~'V
)3/
2
(6.7)
la cllal es aplicable él vertederos muy bajos o rebordes para h/w>20. Para el rango de 1 O
1.1
1.0
Cd
0.9
e c. 0.8
0.7
0.6 O
:3
4
5-0.2
0.1
o
VI
h
FI G. 6.5 Variación de
con h/w y con w/h en vertederos de Cresta
Talllbién mostr() e x perimental mente q lle el rango de perfil es su perficiales, posibles, se puede reducir <1 di;1gré\tn~\s ele forma similar él la función de desG,rgé\. En b Pig. 6.6 se grafican los perfiles superficiales pélr;\ diferentes vé1101-es de h/w. En las Figs. 6.7a y 6.7 L se represen tan los valores de xl h y de z/h, donde x,z son la s coorde naebs corres pondientes al eje de lis ;\bscisas y de bs orden;ldas respectiv;lIllcnte, a 10 largo de tI superficie su perior e inferior para cu;t1q uier <1 !tu ra reLl tíva de] vertedero o del reborde. La escala de las abscis;1s es simiLtr ;1 la correspondiente escala de la Fig. 6.5; esencialmente todé\s bs curvas son line;l]es y confocalcs y la intersección se produce para un valor w/h~O,067. Más "lLí. de la zon;1 grélfic;lc1a, LIS curv:lS su perficialcs continb;1l1 como parábobs correspondientes a la Glida libre.
141
x
h
FI G. 6.6
o, s
Gráfico compuesto de los perfiles superficiales para diferentes valores de h/w.
O'I,~~~
f----+--~
-0,5
l
h -1. 5
f----t----7'IF----f-----7I~_+__.+-+-~
- 2.0
r-----r---rl--f---/-f----f---+---I
-2,S 1---+--+-7"Y---+---O:-4-----\---~
I
..L,._
L............J..~i~--:--'-----'---...l.-...........-.J 3
4
5-02
0.1 4
h
W
w
11
fl G. 6.7a Coordenadas generalizadas de la superficie superior de la vena de descarga.
142
S-O.Z
0.1
w
h
fl G. 6.7b Coordenadas generalizadas de la superficie inferior de la vena de descarga.
6.4. La Ca{da Libre
La caída libre represen1:a el caso límite de flujo sobre vertedero o rebordes. Sin embargo, se debe tornar en cuenta que los perfiles superficiales de la vena de corresponden también al flujo de gravedad en una sección de control para la que el número de Froude, en términos de la velocidad crítica y de la profundidad uniforme, es igual a b unidad. Las experiencias de 1-1. Rouse indican que para una caída libre la fundidad no se produce en la sección del salto. En la profundidad Yb es una fracción constante de la profundidad La relación Yb/ Y .=0,715 es en ) al un vertedero de ~rest:a aguda y de altura nula. La profundidad distancia aproximadamente igual a o, 4y c hacia aguas arriba en un vertedero de cresta ancha con buena ventilación, o en cualq uier corno control, se puede deternúnar en términos de la proEundidad J
'-,"Jv'--'-'-'H.'-"
Q
T
(~-
vg
0,715
)3/2
1,65 T
donde T es el ancho del vertedero de sección rectangular. Se puede mostrar por simples consideraciones de cantidad de lTlOvimiento, que el espesor línüte uniforme de la vena de descarga libre en una sección en que la presión interna sea igual a la presión atm,osférica dadopory: mm =(2/3)y. c Cuando los nluueros de Froude en la caída son lTIayores que la unidad, tal como corresponde al flujo de la sección terminal de un canal de pendiente supercrítica o a la sección de descarga de una compuerta de fond 0, la ser un control y el fH de la vena de descarga se hace función del número de Froude. En la 608 se tan los perfiles superficiales de la vena de descarga, en forma adimensional, como ciones del número de Froude, según los resultados experimentales de H. Rouse,
o
Fil
I 1---1--1---1
Ejernplo 6.2 Mostrar que para la presión p=o en cualquier punto de la vena de descarga, b vertical entre. el perfil superior y el inferior aguas abajo de u na G\ libre es igual a 2/3 y_. Verificclf si la corres ponelien te distancia el en la vena g ue se e
produce desde u,n reborde terminaL par~l w
2
c
2
Solución Cuando la caída es libre) la aplicación de la ecuación ele cantidad de movimiento entre las "r:cciones 1 y 2 nos permite escribir
2
r)
+- 'Y Y
pv~~
donde q es el rrespondiente 2 = q Ig,
=P q y)
de él
es la
la velocidad co-
la sección 2, en la dirección x. Reemplazando, y teniendo en C1Jenta que
I
T
'Yy 2 c
Ir2
De
d=
2 y, c 3
'yy
3 c
Id
Si w
Comocllniembro de la izquierda es menor que en el caso anterior, también el de la derecha tendrá que ser menor y por lo tanto d será mayor, así d > ~ Yc'
6.5. Vertederos de Cresta Ancha Un vertedero de suficientt:- longitud como para que las líneas de corriente sean rectilíneas y, en consecuencia, produzca una distribución hidrostática de presiones en el flujo sobre la estructura se conoce como un vertedero de cresta ancha. Aparentemente, la profundidad debeda ser crítica y el caudal sería, como en el Ejemplo 2.1
q=
2
( 6.9)
3
El esquema que se rnuestra en la Fig. 6.10a está, sin embargo, excesivamente idealizado y, erÍ. la práctica, nunca se produ ce la profundidad ctÍ tica. La resistencia en los contornos puede ser importante y por lo tanto, en el análisis se deben considerar los efectos viscosos. La energía específica E en la ee. 6.9 se pLwde reducir en una cantidad 0* igual al máximo espesor despl~\ zado de la ca pa límite, así el caudal q de la eco 6.9 se multiplica por un coeficiente
c= (1_o*/E)3/2
b) Vor ledero corto
alFluJoidfllolizodo
el Verhdlilro
loqJO
FI G. [],1 O Vertedero de Cresta Ancha
GoHo Hall, en 1962~ encontró para vertederos de cresta ancha con entrada bisela-da (no redondeada como en la Fig06.10)que
C = 1 - 0,069 (L/E - 1
+ 2,84
R 0,25) 0,8 e
R -0,2 e
donde Re = V 1 E/ves el número de Reynolds en función de la velocidad V 1=
J
teórica
2gE/3: El coeficiente 2,84 puede ser menor dependiendo de la profundidad
en el depósito de toma. Cuando el vertedero tiene una anchura T finita, el crecimiento de las capas línütes en los lados introduce otro coeficienteo
C
T
=1~
2 0*
T
=1-
4E(1-C)
3T
(6.12 )
ya q ne, aproximadamente, C=1-30* /2E. Si la entrada es redondeada se deberla esperar que ésta tuviera alguna influencia en el desarrollo de la capa] ímite y habría cierta inseguridad para aplicar las ecuaciones 6.11 y 6.120 En este caso) o cuando quiera que se disponga de la profundidad Yb en la sección de caída libre, se puede determinar el caudal empleando la cc. 6.8. Si el vertedero es corto, como en la Fig. 6010b, se obtienen buenos resultados aplicando directamente la ee 6.9; cuando L> 3E es necesario afectar dicha ecuación con los coeficientes de las ecso 6011 Y 6.120
6.6. Aliviaderos El aliviadero consiste en una estructura cuyo perfil reproduce usualmente la superficie libre inferior de la vena de descarga de un vertedero de cresta aguda. Si el perfil fuera muy angular o las líneas de corriente tuvieran peq uefío radio de curvatura, se establecerían zonas de presión redudda con peligro de separación o cavÜacióno Al establecer un perfil como el de la vena de descarga libre se le asigna a] contorno sólido la forma precisa para que se reproduzca la presión nula que existe en la superficie inferior de la vena de descarga ventilada. Por supuesto que al introducir un contorno sólido establecemos un esfuerzo cortante adicional en la parte inferior de la yenao Este problema se puede estudiar analizando el crecimiento de la capa lí nlÍte el cual se hace mas pronunciado en los modelos que en las estructuras prototipo debido a la mayor inrportancia de los efectos viscosos en aq uelios. Pero como, en cualq ~ier caso, las distancias longitudinales son relativamente pequeñas, el efecto cleformante de la capa límite en b curvatura de las líneas de corriente no es grande y la dístrih II ción de presion es que se ob tiene en los modelos se corresponde con la de un flujo irrotacionaL
146
Consideremos q uc el aliviadero de la Fig. 6.11 es muy alto. El vertedero de cresta aguda cq uivalente, con h/w=O. tiene un coeficiente C d =O,611 (ec. 6:5) el cual reemplazamos en la eco 6.4 para ob tener
·~h3/2 q =0576 , Yb
( 6.13)
Experilllcntal men te se ha encontrad o que la sobreelevación desde la cresta hasta el punto mas al to de la vena es 0,11 h. Entonces la eco 6.13, en función de h D (denominada altura de disefí.o), se convierte en
q
=
( 6.14 )
0,686
a) Vista general
fIG.6.11
b) Cresta y vertedero equivalente
I:scllH;!ma de un Aliviadero
El aliviadero una vez construído operará, posiblemente, también con diferentes cargas que la altura h D de diseño. Las cargas mayores que h de diseño producirán presiones subatmosféricas que pueden llegar al valor de la presión de vapor del agua. Sin embargo, debido él la continua curvatura del aliviadero, se puede exceder la carga de diseDO considerablemente sin que se produzca el fenómeno de separación. Los experimentos de O. Dillnlann en 1933 y de H. Rouse y L. Reíd en 1935; los cuales se presentan en forma a.dimensional en la Fig. 6.12 indican que la carga de operación he puede exceder la carga de diseílo en un 50 % con apen~\s un incremento del 10 0/0 en el coeficiente de descarga, en el su puesto de que la presión local no baje hasta la presión de va por.
0.90,------,.------,----.....-----
~oroclón \
\
O. BO
q
.--t---~~+__----+_-'........:...::::!.!!m........¡ -1
070r-----,y~ ---~----~-----~_2
(p/~)m;n hO
C:--2 d ';;
h:/
0.60 r------#--...,-
-3
-4
050'-"----O
4 Corga Coroo d. DI •• ño
FI G, 6.12
Características de un aliviadero con carga he diferente de la de Diseño, para he/w = O
El Cuerpo de Ingenieros del Ejérdto de U.S.A. ha adoptado, después de haber realizado una labor experimental muy amplia, el perfil señalado en la Fig. 6.13, como perfil de diseño tí pico para este tipo de aliviaderos, el cual se ajusta con mucha precisión a la su perficie infcdor de la descarga libre de un aliviadero de cresta aguda.
---.. 0.282 h
D
Origen de coordenados
FI G. 6.13
148
Cresta Ti¡1.{) de Aliviadero (U.S. Army Engineers Waterways Experi ment Station)
El flujo a lo largo de la cara del alivi~1dero, usualmente con un ángulo o(:~45°, correspondiell te ,,11 esq uema de la Fig. 6.14 es de na turaleza mas bien complicada. Cuando el desarrollo de la capa límite, la cual se inicié\ en la cresta del aliviadero, alcanza la superficie libre en el punto C, el flujo se hace completamente turbulento y se produce una incorporación masiva de aire hacia la corriente de 8gua, ;:dejardo el perfil superficial de la curva S') que se podría esperar de este flujo en el cual el rozamiento actúa predominantemente. la incorporación ele aire al flujo origina el aspecto espumoso característico en el flujo sobre las GIréIS inclinadas de los aUviélderos. La cantidad de aire que se encuentré1 incorporad;1 éd flujo en el pie del alivié\dero clebic!"é), aparentemente, ser función de h,
FIG.6,14 Desarrollo de la
límite en la cara de un Ali"iadem.
Lz y a. De los resultados de una gran variedad de experimentos realizados por L.G. y A.G. Anderson, en 1960, se pudo concluir que la concentración media del aire C, definida por la relación en volúmenes aire/( aire+agua), está dada por una función C=f(a,q). Posteriormente el A.S.C.E. Task Committee on Aerated Flows in Open Channe]s en 1 961, encon tró que la concentración media de aire se podía exprcsai', en el sistema inglés, por ~raub
~
. 1/5
C=0,743]og'IO(senO'/cJ
)
+
0,876
Desafortunadamente, est;\ fórmula empírica no es dimensional mente humogénea, peru su validez hel sido comprobada re petiebmente. En
el
sistem~1 técni
e = 0,743 log1 °(senO'/q 1/5) + 0,723
(6.15)
149
S tra ub y LOrCll tz ob tuvieron las relaciones adimensionales de velocid;\d y pro fundidad, entre la velocidad media Va de un flujo aireado con respecto ;1 b velocidad media V m que se produciría en un flujo sin aire y entre b profundidad media Ya del flujo aheéldo (tomada como la profundidad hasta un punto en que la concentraci¿m e es 0,99) con respecto a la profundidad med ia Ym del flujo no él ¡reado (ambas medidas en düección perpend icular al fondo), en fu nción de la concentración medi;t C. Estos resultados se presen tan en las Figs. 6.15 y 6.1 6 \'
2.0.
1.8
E
--
1.6
VJJ.
II --
1.4
Vm 1.2
-1----
1.0
I 0.8 O
0.1
0.2
~~/
/
/ -,
7,5!: <"'<. < 75 Q
I
I
I
0.3
0.4
05
e (ConcentrGc,¿n Fi G. 6.15 Inflm.Hlda de la
V
/
:---~
0.6
0.7
I
I
0..8
0.9
1.0
f"ledia).
de Aire en la Velocidad de
La sol ución de un pr'oblema pr{lCtico, de flujo sobre la cara de un aliviadero, requerid, en primer lugar, la determinación de b velocidad media y de la profundidad, no aireadas" para el empIco adecuado de las Figs. 6.15 y 6.16. Si no existierel rozamiento en la cara del aliviadero, la velocidad 'media en'-la sección terminal estaría dada, con referenci,1 a la Fig. 6.14, pUl' Debido él que 6z depende de Ym, la solución de esta ecuación se obtiene mediante su aplicación SÜ11ultánca con la ecuación de continuidad. La velocidad rea I en el Hu í do no aireado es liger'l mente menor g ue la velocidad teórica; sin embargo, Lt hipótesis de un flujo ideal para calcular la velocidad media V rn proporciona su ficicnte él proximación en Jos resultados como para justificar su aplicación. En términos prácticos, una vez calculada la vclocidéld y profundidad del flujo no aireado, podemos establecer la velocidad y profundidad del flujo ;1ireado, aguas abajo del punto en que b' Cél pa I1mite a]Cll1Zél la superficie libre" entrando con el parámetru en las Figs. 6.15 y 6.16. La concenrración se determina previamente apHcando la ec. 6.15, para los valores Oc g, y, O' dados.
e
150
I
3.8
I
3.6
1/
3.4 3.2 3.0 2.8
Ya
2.6
Ym
2.4
-~
2.2 2.0
V
1.8 1.6
1.4 1.2
."...-
.-.V"
/
/
/
/
/
I I
V 7,5~'
152 -
L
~."...
al
I
I
0.2
0.3
e
0.4
05
(Concent racion
0.6
0.7
08
C9
1.0
Medio)
fl G. 6.16 lilfluencia de la Concentración de Aire en la Profundidad del flujo. merece consid eraEl desarro llo de la capa límite, sobre la cara del aliviad ero no nta, el espeso r D para una ciones particu lares. Si la capa lÍlnite es compl etamen te turbule y1/7, según lo mostra ron supues ta distrib ución de velocid ades expone ncial tal que v C( L. Prandt1 y O.G. Tietjen s, en 1934; está dada por 0,37 R 1/ 5 x
x
(6.16 )
la capa lÍlnite hasta la secdonde Rx = V m x/v donde x es la distanc ia de desarro llo de Bauer, en 1954; enconción de espeso r (j y v es la viscosi dad cinemá tica del agua. W.J. podía expres arse con lÍlnite capa tró que, para cálculo s práctic os, el crecim iento de la buena aproxi mación por
x
=
0,024
( 6.17)
(x/k) 0,13
iento desde 0, para la cual donde x se toma igual a la distanc ia, en la direcci ón de] movim
151
el espeso r de la ca pa lí mite es o, k es el espeso r de las rugosid ades. El espeso r despla zado 0* de la capa límite turbule nta para la distrib ución de velocid ades supues ta es el 1 O o /o de
o,
así
0* x
0,037 R 1/5
(6.18)
x
Se puede consid erar que el espeso r despla zado 0* equiva le a un nuevo contor no sólido. La profun didad real del flujo no aireado será entonc es igual al espeso r efectiv o g/V m más el espeso r desplaz ad(, iS ~. Cuand o la profun didad del flujo es relativ amente pequeña, se puede simplif icar el dlculo emplea ndo la energía cinétic a en lugar de la energía específ ica en la determ inación del perfil superfi cial. l~j(,1'71plo 6.3
Un élliviad ero de concre to tiene una inclina ción 0'=58° y unél rugosid ad tal que k=0,00 15 m. Calcul ar la longitu d de desarro llo de la c
Solucié m La longitu d de desarro llo de b Cél pa límite determ ina la sección en que la turbulencia OCl1 pa toda la sección transve rsal y ,lguas abajo de la cual ocurre incorp oració n de aire. Los cálculo s se reédizéll1 pelSO él paso en la tabla que sigue: x (m)
x/k
2 vm /2g (m)
V (m/s)
( 4)
(5)
(6)
0,0073
(1)
(2)
15
lx10
0,11
12,7
30
2:;~104
O,OCGC
0,20
60
4x10 4
0,0060
0,36
120
8xl0 4
0,0055 0,0052
(3)
4
12x:!.04 180 --_._ -_.
152
o (m)
o/x
m
q (m) v m
ym(m)
(7)
(8)
15,8
2,15
2,16
25,6
22,4
1
r= <)
...l..,VkI
1,64
51,0
31,6
1,07
1,11
0,66
102,0
45,2
0,75
0,82
0,94.
153,0
54,8
0,62
0,71
. Los valo res en la se ha asig nad o arb itra riam ente La lon gitu d x en la colu mna (1) a mul tipl ican do x por 6.17 . La colu mn a (4) se llen ce. la de en ien obt se (3) colu mna n~=0,85x. El esp eso r de mna (5) se apr oxi ma por xse O/x. La el1e¡-gía ciné tica en la colu tivo del fluj o q/V m más el 111na (8) es igua l al esp eso r efec la L1 min a de desCéll-ga en la colu o'f = 0,1 o. de él cue rdo con la ec. 6.18 es esp eso r des pbz é\do oeJ, el cuá l, esca las log arít mic as ite, calc ulad as, se gra nca n en La sup erfi cie libr e y la cap a l{m la sec ción a parica ind inte rsec ción de los dos perf iles la en la Fig. 6.17 . El pun to de La lon gitu d del des arro llo de C01'n pIe tam en te des arro llad o. está o fluj el cUéd la t\ en o de ent tir m. Un inc rem lté\d o en el gráf ico es de 145 resu el con o erd acu de ite, cap a lllll arro llo de la cap a inu ción en la lon gitu d de des dism una e duc pro ro iade aliv rug osid ad del 1í mit e. -__
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1 30
40
60 70 80901 00 Di OI<&ncla X 1m) 50
200
150
,J
300
FIG.6.17 as aba jo de x=1 45 La con cen trac ión de aire , agu 1 5 c= 0,7 43l og 10 (0,8 5/3 4 / )
+ 0)2 3 =
111.,
se obt ien e de la ec. 6.1 5, así
0,4 43
.16 y enc ont ram os ram os en las Figs . 6.1 5y6 Con esté! con cen trac ión ent fluj o aire ado just ame nte La velo cida d y pro fun did ad del V) V m =1, 07: y)y m =1, 70. 111., son é-\glW S aba jo de x = 145
153
1,07 x 49,1
Ya = 1,70 x 0,78
52,5 mis
1,33 m
6.7. Estruc turas de Ca{da
Cuand o el terreno sobre el que se constru ye un canal tiene una pendie nte pronuncia da, se acostu mbra diseí1ar el canal con una pendie nte menor que la del terreno y se constr uyen estruct uras de caída tales como la ilustrad a en la Fig. 6.18 con el fin de disipar b energí a sin produc ir erosión y socava ción en el canal.
FI G. 6.18 Estructura de Ca ída. El resalto que se produc e en la caída surge desde una profun didad y l' La transferenci a de energí a desde la vena líq uida de caída hacia el fluido que circula en el pozo de acumu lación, de caudal Q. , dismin uye la energía dispon ible en la sección (1). Esta pérdida de energía que sufre e~ flujo pdncip al fue determ inada experi mental mente por W.L. Moore , en 1943. En una discusi ón que M.P. White hizo del trabajo de Moore , en la misma publica ción, presen tó un análisis teórico del proble ma en base a los siguien tes supues tos: Cerca del punto A una capa delgad a de agua, con un mome ntum despre ciable, propor ciona al chorro un gasto Q3; cuando el chorro hace contac to con el fondo en B, la corriente se divide en una princip al con velocid ad V 1 Y otra menor de gasto Q3 g ue regresa hacia el pozo de acumu lación. La aplicac ión del princip io de cantid ad de movim iento conduj o a \Vhite a la ecuaci ón .
V2: 1,06
154
+
j
21 Z o Yc +
(6.19)
3 2
la cual permite escribir la ecuación adlmensional de energía específica (ec. 2.6) disponible en la sección (1)
( ~)3] Y1
2'
(6.20)
en la Fig. 6.16 en función de Azo/y c sori' muy tl L os va1ores d e ( Ho') 1 /Yc o-raficados próximos a los valores experimentales obtenidos por Moore. ~l error, relativamente grande, para valores de Azo/y c pequeños se debe a que Whlte supuso que
V=j2 (Azo + ~ 2
Yc)' mientras que la velocidad real debería estar dada por
O-
b
-
j
V =
3 I -2- Yc - YI)
2g (L.z o
+
16
1 '
!=+=.lli2)'= __v
14
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I 10
12
14
FI G. 6.19 Disipación de Energía en la Base de una Estructura de Ca ída.
+
+ y c' Y la o curva ex perimenta 1 (H o ) 1 indica la pérdida de energía H que se produce por efecto del L pozo de acumulación aguas arriba del punto de incidencia del chorro. La profundidad rela6va yp/y c en el pozo, debajo de la vena fluida fue determinado analíticalnente por Moore suponiendo que el ángulo de incidencia e está dada por En la Fig. 6.19 1 la distancia horizontal entre la carga inicial Ho =L.z
155
J
l
1,06
cose
(6.22 )
oh teniendo '-l UC, Yp 2 Y1 2 (-) = (-) . Yc Yc
+2
-
Yc
Y1
-
3
( 6.23)
la cual concuerd~l con las mediciones ex perimentales. Con un valor de y 1 conocido, para ciertas condiciones geométricas e hidráulicas, la profundidad y 2 del resalto se puede calcular empleando la eco 2.23. De las lnediciol1es de Moore'll así corno de experiencias realizadas Por W. Rand, en 1955, se obdene, con errores menores del 5 por ciento, que la longitud del pozo de acumulacic'm Ld y la del resalto L· están dadas por las ecu~lciones empíricas
J
Y 4,30 (_c ) 6z o
0.81
.
(6.24)
y por (6.25 )
La disipación de energía en el resalto se obtiene aplicando la eco 2.25 o del uso combinado de las Figs. 2.2 y 2.6
6.8 lil Resalto Hidráulico Las transiciones de flujo supercrítico él flujo subcrítico él través de resaltos, se dísefian con el propósito de generar disipación de energía y de evitar la erosión y socavación que podría producir el flujo supercrítico. Adicionalmente, b m;lcroturbulencia y la aereación propias del resalto se pueden aprovechar para mezclar los productos químicos usados en la purificación del agua y para airear el agua él usarse en abastecimientos urbanos. Un resalto se produce cuando un flujo supercrítico de profundidad y 1 que tiende él aumentar su profundidad y él el isminuiT su velocidad, por efecto del rozamiento, en la dirección del flujo, encuentra una profundidad y 2 mayor que la crí tica (la cual se genera
156
por un control de aguas abajo) y esta profundidad es tal que satisface la eco 2.23. Esta ecuación ha sido verificada satisfc1ctoriamente en innumerables experimentos. El número de Froude, F 1 = V 1/ gy l' que determina la relación y 2/Y 1 proporciona un índice para la clasificación de los resaltos en secciones rectangulares de fondo plano. De acuerdo con el U.S. Bureau of Reclamation, en 1955, los resaltos se pueden definir como sigue:
V
Para F 1=1 hasta 1,7; la superficie del agua presenta ondulaciones y se nombra Resalto Ondular. Para Fl=l,7 hasta 2,5; se desarrollan una serie de pequeños vórtices en la superfiCIe del resalto pero la superticle libre, aguas abaJo, permanece tranquila. La velocidad en una sección tr,lnsversal es bastante uniforme y la pérdida de energía es pequeña. Se denomina Resalto Débil. Para F 1 =2,5 hasta 4,5; ocurre un chorro oscilante entre el fondo y. la superficie libre sin periodicidad alguna. Cada oscilación produce una onda 4e período irregular la cual puede viajar grandes tr~lyectos antes de decaer, producien~(~~daíios en los taludes de los canales. Este fenómeno se denomina Resc'llto Oscilante. Par~l F 1 = 4,5 hastél 9,0; la región terminal del vórtice prin cipal coincide con la ubicación en la que el chorro ocupa toda la sección. El resalto cs bastante estable y poco scnsible ~l los cambios del nivel de aguas abajo. La disipación de energía varía ent1"e el45 y el 70 % de la energí8 específica El en la sección 1. Este se denomina un Resalto Estable.
Para F 1 >9,0; se generan olas intermitentemente, que se desplazan hacia aguas abajo del resalto originanJo una superficie libre bastante alterada. La disipación de energía puede llegar hasta 0,85 El' El fenómeno se denomina Resalto Fuerte. En la Fig. 6.20 se presentan los modelos de flujo de los diferentes tipos de resalto. Chcrrc
F=I,7-2,:i
ResLllte)
Debil
F =4,5 - 9, O
F)9,U
FI G. 6.20
Reselto
Oscilante
Resolto
Es table
Fuerte
de Resalto
157
Desde que Giorgio Bidone, presentó el trabajo "Observations sur le Hauteur Du Ressaut Hydrélulique" a la Real Academia de Ciencias de Tudn, en 1819; se ha ido ganando conocimiento sobre el comportamiento de los diferentes tipos de resaltos, de la energía que disipan y de su geoll1etría. La forma de la superficie libre del vórtice principal fue medida por Moore cuando estudiaba las estructuras de caída y por B. A. Bakhmeteff y A. E. Matzke, en 1936. Estos valores experimentales se presentan en la Fig. 6.21 en la que se observa que la longitud de los distintos resaltos está bastante bien representada por la eco 6.25. 1.01-IT-I-----,I-T-2~:::;;¡~~r-_, 0.9
f--+----+-----+----t--~
.~..::-__""'1F__i.r.~-+---I_____-_I
0.81-+--+------1O'71-+--+--~'.c.....,,,L_
Moore
C. 61----+---+---\:c.
~ Y2.- YI
F¡ = 6;69 o F.= 4,95 + - - - - t - - - - j - - - F; = 4,24 @I
0.51--+--f' 0'4I_____+--I'-A--Y
Iff 11= 4,06
0.3 ¡-----.... ,....-v,..;¡r
Bakhmeteff- Matzke
2
FIG.6.21
--l------I
7
3
8
Perfiles superficiales adimensionales del Resalto Hidráulico.
Mediciones de Bakhmeteff, Ma tzke y otros investigadores entre quienes sobresalen David L. Yarnell y Cad E. Kinsvater en 1938; han permitido establecer las relaciones experimentales de profundidades y longitudes de resaltos en canales rectanguIélres con inclinaciones So= senO'. Estos resultados se presentan en las Figs. 6.22 y 6.23 3
J V ti /
2a
26
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24
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8
9
10"
12 13 14 15
16 17 18 19 20
F, =\I,¡../O"d,
FI G. 6.22 Profundidades Secuentes en Canales Inclinados.
158
4 5
6
7
8
9
10
11
12
13 14
l5
16
17 18 i 9 20
~~~/v'O~
ation) FI G. 6.23 longitud de Resaltos en canales con pendiente (U.S. g'ureau of Reclam 6.8.1. El cOl'ltro l de los resalto s por medio de sobree leLa formac ión y situaci ón de los resalto s puede ser contro lada es de cresta aguda o de vacion es o caídas en el fondo del canal, por la acción de rebord amorti guació n, entre otros. cresta ancha, y por la localizé1ción de dientes en un pozo de estudia do, analíti ca y El efecto de una sobree levació n LlZ o en el fondo del canal fue 1949. Los resulta dos experiexperi men talmen te, por ].W. Forste r y R.A. Skrind e, en Fig. 6.24, son menor es que mental es indican que los valores de y 3' según se indica en la cantida d de movim iento de ón ecuaci la los obteni dos anal1ti camen te por aplicac ión de se produc e por efecescalém entre las seccion es 1 y 3, suponi endo que el empuje sobre el la profun didad Y2' La razón to de b distrib ución hidros dtica de presion es que produc e chorro de aproxi mación no de esta discrep ancia puede explica rse por el hecho de (lue el un impact o sobre la grada el se un1fol'111iza compl etamen te despué s del resalto y produc e perime ntos el resalto se ]0ex cual genera una fuerza mayor que la su puesta. En todos los trabajo de Forste r y Skrind e .calizó en una longitu d Lj=5 (Ll·¿o + Y3)' Los resulta dos del se presen tan en la Fig. 6.24
159
FIG.6.24 Características del Resalto Hidráulico producido por una Sobreelevación . CUéll1do el fondo dd canal tiene una Célída LlZ , el dtlculo de L relació n Y2/Yl del o resalto produc ido varía depend iendo de que el vórtice princip al entre u nu hacia el canal de agUéIS arriba. H. Rouse, B.V. Bhouta y E.Y. Hsu, en 1949, invesó garon el efecto estabilizéld or de las caídas y encont raron que entre los límites sel1édados pUl' el Caso a, y el Caso b, en la Fig. 6.25 se presen ta una región de transic ión caracte rizélda por un Resalto Ondul ar el cual es altame nte inestab le pudien do transfo rmarse en un resalto del Caso él o del Caso b. Las relacio nes de cantida d de movim iento y de contin uidad pennit en desarrolla r las ecuaci ones de los resalto s corres pondie n tes al Caso a
(6.26 )
y al Caso b (6.27)
Estas ecuaci ones así como la curVél de transic ión, la cliéll no se puede predec ir por la teoría, se presen tan en la Fig. 6.25
160
10
Y2 Y1
8
6
4 2
O
O
2
3
4
5
6
7
8
9
10
F¡:v/~
FIG.
Características del Salto Hidráulico producido por una caída.
Aunque bs ecs. 6.26 y 6.27 deben ser resueltas por tanteos, el uso de la Fig. 6.25 permite la lectura directa de Y2/Y1' o de ,6.zo/Yl) para valores dados de f:j.Z 0/Y1' o de
y 2/ Yl' Y de F l' Un pozo de amortiguación consiste en una estructura corta, pavimentada, situada al pie de un aliviadero o en las cercanías de cualquier fuente de flujo supercrítico, destinada a producir y retener un resalto hidráulico con el fin de generar flujo subcrítíco antes de que alcance el fondo expuesto y no pavim.entado de aguas abajo. Un pozo de amortiguación eficiente debe ser tan corto como sea físicamente posible. J. W. Forster y R. A. Skrinde, en 195 O, presentan los resultad os experimentales sobre la formación de resaltos por efecto de rebordes. Los resultados adimensionales de resaltos producidos por rebordes de cresta aguda determinan el campo para el cual se producen resaltos dados por el número de Froude F 1 y la altura adimensional del reborde h/y l' en la Fig. 6.26. En el supuesto de que la profundidad y 3 no afecte el caudal sobre la cresta del reborde o vertedero. es decir cuando Y3
5
4
3~----+-----+-----4-----~~~~----~~L---+---~
2~----+-----+-----~~~~~~-+----~~----+---~
OL-----L---__ I
2
~
____
~
:3
4
____
~
____
5
~
____
6
~~
____
~
8
7
__
~
9
FI G. 6.26 Resalto producido por un Reborde ó Vertedero. Un punto nws bajo que la .curV;l inferior indicaría que el reborde es bajo produciéndose un desplazamiento del resalto hacia aguas abajo; el reborde perdería su función de fijador del resalto. Forstcr y Skrindc también estudi;Hon el control del res~llto por medio de un vertedero de cresta ancha. Si la profundidad y3' en Ll Fig. 6.? 7, de aguas abajo es menor que la profundidad crítica sobre el vertedero, es decir, .si y 3«2Y2+h)/3, la profundidad de aguas abajo no afectará la relación entre profundidad de aguas arriba y caudal. Suponiendo que sobre el vertedero se produzca la profundidad crítica y reemplazando el caudal correspondiente él esta profundidad en la ecuación del resa] to h idrá ulico, se ob tiene con referencia ;¡} esquema de definición de la Fig. 6.27 la relación
21,33
F~
+ 8 F21) 3 1
(-1-2h/Y1
- 1 + )1- 8 F ;
(-1 + 2h/ Y1 + )1 + 8
I
la cu;¡] se graficl en b Fig. 6.27.
162
+)1
__________________ =
F~
i
( 6.28)
b
I
I
::..'"
~
4 f--
I
1.: i
_F"~~ /
V
/
/
-I
2
V
2
V
/
/'
3
8
7
9
fl G. 6.21 Resalto producido por un Vertedero de Cresta Ancha. En obras hidráulicas de gran envergadura o en aquellas de módulos repetidos es convenien te recurrir a dispositivos que produzcan pozos de amortiguación ampliamente estudiados experimentalmente, que desde el punto de vista de la economía proporcionen los mejores resultados. Estos dispositivos incluyen rebordes y dientes en diversas posiciones. El U.S. Burcau of Reclamation ha establecido modelos tipo de pozos de amortiguación como resultados de los trabajos de J.N. Bradley y A.]. Peterka, en 1957. Estos modelos de pozos de amortiguación se presentan en la Fig. 6.28 ~~===================9
1 + - - - - L,.= 4,3 Yz
(a) Pozo Tipo 1t
---------1
.F,~4.5
v.~2om/s
Y3: 0.91Y2
(b ) Pozo Tipo :llI.
t=; ~4.5 y
3
(e) Pozo Tipo nz:
V.<20 mis
=0,83 Y
2
2.5(F,< 4.5
fl G. 6.28 Pozos de Amortiguación recomendados por el U.S Bureau of Reclamation.
163
La prindpal diferencia entre el Tipo 11 y e,l Tipo 111 es que éste último permite la insél mas altas velocidades, sufrirían dailos graves. La resistcncia adicional proporcionada por los dientes intermedios permite diseñar un pozo de' amortiguación 111
sari<\s, correspondientes al rango 6
6.9. Compuertas de ~Fondo Típicamente las compuertas de fondo pueden ser verticales, radiales o compuertas Tetinter, y compuertas con sección de tambor. La compuerta vertical, ilustrada en la Fig. 6.29" presenta el inconveniente desde el punto de vista prJctico, de requerir un sistema de dcslizé\mieptn vertical costoso. El flulO esd dirigido por el fondo horizontal V en consecuencia I~\ :pr-esi6n no es atmosférica en la vena ele descarga sino que presenta urla dtstnDuci{)}1 hidro~stática. Aplicando b ecuación de energía entre las O y 1 de b Fig. 6.29 se puede escribir, 2 V1
y2 o
2g
+h=-- +eb 2g
c
\J'~ 1
r ~~~'1
!.
(6.29 )
'¡
i \
Reemplazando Y
= Yl.C b/h en oc'
la
ee. 6.29 se tiene
(6.30)
Pero como q = VI Cch tenemos que el gasto por unidad de
e (1 =
164
,-.-_ _ c __, _
b
J 2gh'
J
Llcho es
(6.31)
v; _--L[_~g_<__.
Energia
Total
h
Vertical,
q = Cdb
Ya que C c depende sola mente de b geometda de los conturnos, es decir de b/h
j
<
C
es Ll1l1bién únicamente funci()n. de b/h. Cuando b/h se aproxima
él
cero, C
tiene
;1
d d C c y p;\ra esta cond ici()\l el ;\ l1é1lisis del fj uj() potencial indic;\, como en el vertcdero) (llIe C = 0,611. Para valorcs mayores de b/h, cl coeficientc dc descarga decrece hasta c C = 0,5 para b/h ~ 0,5, de acuerdo con las experienciéls de I-LR. Henry) en '1949. En d su trabajo, I-Ienry ta mbién estudió el efccto q uc el ahogamien to de la dcscarga procl uce sobre cl gastu y, con referenci,\ ,ti esquema de la Fig. 6.30, encontró para Lt~ variables ele las ecs. 6.31 Y 6.32 los coeficicn tes de gasto para elistlflLas relaciones de Y3/b. Los resultados expcrimcntales obtenidos por Henry se presentéln en la Fig. 6.31 en líneas llenas. En el mismo gdfico se llcv,\ll algunos resulta0üs teóricos, en líneas intclTupidas, para un valor de C =0,6, los cUédes se obtienen siguiendo el procedimiento empleado en el Ejemplo c 2.3, en el cual se apliG\ la eCUélc1ón de cantidad de movimiento entre las secciones de profu nd ¡d,¡des y s e y 3'
h
FI G. 6.30 Salida ahogada en una Compuerta de Fondo, 07t--..--,.-O,61--I------!--
0!51--"'f---.O,LIJ--+-+---+---!J'CeI Q31---I+-
0,21--#--1-1--
O,_~_~~~~
°
2
4
6
__~_~~_~
8
10
12
14
16
h
b
FI G, 6.31
Coeficiente de Gasto en una Compuerta Vertical de Fondo, con Descarga libre y Sumergida.
La capa 1í mite que se desarro]]a en la salida de la compuerta tiene p0;.,.u efecto en los caudales que se miden en el laboratorio ya g ue ella simplemente incrementa la elevación del chorro emergente en una distancia igual él la capa límite desplazada. La capa límite es mas bien laminar ya que el flujo es convergente y el fondo es usuahncnte liso. Para la capa límite se tien e
(6.33)
o, en términos de la capa límite desplazada 8
8* x
166
1,74 V Vxjv i
*-
(6.3'4 )
y 6.32 se alterar ún cuanLos coefici entes de cuntrac Cl011 y descarg a de bs ces. 6.31 ert:\ radial o Tainte r, que do la compu erta 110 sea vertica l. Así, por ejempl o, en la compu es eviden tement e mayor que se muestr a en la Fig. 6.32, el coefici ente de contra cción el extrem o inferio r de la 0,611 debido a que' las líneas de corrien te salen guiada s por erta vertica l; D.E. Metzlc r, compu erta con Ull úngulo mucho mas suave que en la compu
_1
-1 o
t
h
FIG.li32
Radial
1:1
Compuerta Tainter
los coefici entes de gastos en 1948. Y A. Toch, en 1955, encont raron experi mental mente ales neces;1 rios: el radio de de bs compu crt;\S radi;tlc s incluy endo dos paráme tros adicion sumer~~idas con prola compu erta r y su posicil m a. Las caracte rístic\s de las compu ertas adicion al Y3 ' Los resulta dos fl111dicbcles Y3 de :lgn;\s abajo se especif ic;m con el par{un etro os valores de airo Metzlc r distint experim enLlles de Toch se present:11l en la Fíg. 6.33\, para s par,( factore s consta ntes encont ré) b c\istribuci
0..8 r---.--.-----;-----;,---.---,-__,r-~-___rr ~O.I =0..5
(J/
Gjr
I 0..6
0.2
flG. 13.33a Coefieielltes de
Circulares.
167
o 0 0,
06
08
10
h/
1,2
1,4
16
18
r
;;1(,
En
ente ~) la
ele el
e
el lJ
:ser (l
el
upcr
ví~t,l cunsl:l~uct¡VO,
pUlltu
se le
flUldl)
P]()JC,¡
d
pre-
Energia Total ____.
E h
---_ CALCULADA -MEDIDA
fl G. 6.35 Distribución de Presiones en una Compuerta con sección de Tambor, ó Cilíndrica. I •
La alta inestabiliebd hidráulica de esta compuerta inclina al ingeniero que realiza el disCl'io a preferir la compuert~l radial a la cilíndrica. Si la compl1erta. cilíndrica se provee con un diente radial inferior, su comportamiento hidráulico es similar al de la compuerta r<¡(:tial y sus coeficientes de contracción y gasto se pueden ·obtener, con cierta aproximación. de los correspondientes a las compuertas radiales de geometría comparable.
EJERCICIOS
J:jcrciciu 6. 1. Un canal rectangular de 2,0 m. de ancho conduce un caudal.de 1,5 m 3 /s en flujo uniforme con una profundidad de 1 ,0 1l1. Cuál es la posición de la superficie libre en un estrechamiento en el clÍal la
l:'jcrciciu 6.2. Los modelos de superficie libre, sin rozamiento, deben establecerse guardando similitud de Froude; es decir, el número de Froude en el modelo y en el prototipo debe ser el n1.ismo.
169
Se dese;¡ construir un modelo d escala 1: 1 O de un aliviadero que permita el paso de una crecida Q=500 'm 3 /s y tenga una anchura de 5,0 m. Se supone que sobre la cresta del aliviadero se produce la profundidad crítica. a. b. c.
Cuál sed el gasto de prueb;¡ en el modelo? Cuál ser,Í la anchura del aliviadero ell el modelo? Cuál sed la profundidad sobre la crest,¡ delllloddo?
l:jerciriu h.3. El aliviadero de 10,0 m. de ancho en un cmbalse, fUé diseiiado para un gasto de 500 111 3 /S. o
a.
Cuál fué la altur,¡ de diseiiu?
b. c.
Determinar las características del aliviadero tipo (U.S.A. E.W.E.S) Cuál es el múxil1lo clUdal que pel'mite el alivi,¡dero sin L1 11C se produzc
d.
Cldl es el 1llúximo caudal que admite el ,diviadero si no se dese,¡ que la presi('Jl1 sea menor Ljlle-O,l . Kg/CIIl 2 ? . Cuál es l·l nivel de agua para dicho c
1:jerriciu 6.4. Para el c¡s"u en Ljlle .:11. c/Yl =4 en el resalto que se produce en la situación ilustrada en el esquel1l;¡, supolliendo que la distribución de presiones en el C'scal()]) es hidrost:ltica, determinarla por la profundidad Y2' vcrificar Lj ue cu;mdo F 1 =8, la relaci()ll y 31 Y1 tiene el valor correspondiente a la lí¡;ea interrumpida de la Fig. 6.24. Determinar la fuerza real sobre el escalón, COIno un múltiplo dé 'YY?, reLJucrida p;¡ra obtener el valor experimental de y 3/Y1 = 5.
170
Ejercicio 6.5. El vertedero de cresta aguda, en un canal muy ancho, ilustrado en el esquema vierte un caudal q=2,0 m 3 /s. por metro de ancho
1
a.
y
1,0 m
b.
Cuál es la ecuación de descarga de· dicho vertedero? Cuánto valen C c' Cd , e y?
hjercicio 6.6. Un vertedero de cresta aguda y una compuerta de fondo combinadas, según se indica en el esquema, estJn ubicadas en un canal muy ancho que conduce un caudall]=2,O 111 3 /S por metru de 'll1cho.
~
1
a.
,l l[ ".'.
b.
Cu,lI es la profundidad y del agua? Cuál es la fuerza que soporta la Límina que divide el flujo? Compararla con la fuerza hidrostática sobre la misma.
lijercicio 6.7. Suponiendo que entre Y1 e )'2 se desarrolle un resalto de longitud L, diseñar la escalera de cascadas que se ilustra en el esquema para E=3,0 111 y H=l ,O m. COTA lOOO m.
I
I
~,! ~-=-'.
±S __~ ~
f Y,
I
So
I
¡'--L---j COTA 900 m,
r=
~ ¡...I.----------LT m··--------...,·I '100
171
del tipo seo
Toma
El númeru b Co
¡ente S o
Los
El
{) en la
El;;
l
1
v
Las cáracterísticas físicas de la transición se definen básicamente por el tipo de contorno geométrico y por el régimen de flujo establecido por la celeridad de las perturbaciones. En la mayoría de los casos, para. los efectos de diseño/se debe predecir el ¡;;omporta miento de la transición en función de la información ex perimental. Los detalles y los ,diversos aspectos de los diferentes tipos de transición se describen y diferencian en las siguientes secciones.
7.2. Transiciones en Flujo Subcrítico En el diseño de las transiciones sub críticas se trata de producir la menor pérdida de energía posible y se establecen las condiciones que permitan fijar las siguientes caracte, rísticas:
1.
El gradiente de energía se supone constante en toda la tranSlClon y se puede calcular con suficiente aproximación en un proceso de pa.sos sucesivos.
2.
Los factores de corrección C\' y {3 de las ecuaciones de energía y de cantidad de movimiento ~e pueden calcular, si son diferentes de la unidad, en las secciones terminales y la diferencia se reparte proporcionalmente a lo largo de la transición.
3.
Se establece una distribución hidrostática de presiones y se evita el fenómeno de separación limitando el ángulo de alineación de las paredes en la transición.
En general, el flujo.t-que se origina por el diseño geométrico o la adaptación de éste a un flujo preestablecido, puede estudiarse empicando los cónceptos de energía específica previamente tratados. La pérdida de energía entre dos secciones convergentes con un ándife:... gulo C\' ~ 12° 30 se puede expresar según J. Hinds, en 1928; por un décimo de la renda de energía cinética entre las secciones terminales. así
(7.1) _
t¡ ..... ,.
FIG.7.1 174
" .•
!.
Planta de una transición Subcrítica Convergente
"
donde K = 0,10 para la~ condiciones establecidas por Hinds. Debido a la complejidad del modelo de flujo en las estructuras de transición, es prácticamente imposible separar las pérdidas correspondientes a la fricción de las pérdidas debidas al cambio de geometría; sin embargo, la repartición proporcional de las pérdidas en toda la longitud permite un diseño con suficiente precisión. Existen tres tipos de transiciones desdé canales trapezoidales hacia canales rectangulares que han alcanzado importancia significativa: a.· b. c.
La transición cilíndrica La transición en cuña La transición conformada
En la Fig. 7.2 se presentan los tres tipos de translClOI1eS subcríticas descritas por Hinds. Las dos p~imeras se recomiendan para valores del número de Froude F= V/ygy menores que 0,5. Desde un punto de vista constructivo, la transición cilíndrica es mas conveniente en estructuras de pequeñas dimensiones. Las tomas de canales con entradas redondeadas pueden considerarse como el caso límite de la transición cilíndrica. La forma exacta de las paredes no es de gran importancia, siempre que los contornos establezcan curvas razonablemente suaves sin esquinas agudas.
,!
O. - Transición Cillndr'ica
b.- Transición en Cuño
t. ./
C.-
Transición Conformado
FIG.7.2
Transiciones Típicas de Flujo Subcrítico 175
L
Tomemos
> [( L
10,5 -- 6,0 )
I (
2 tg 12° 30" )
10,1 m.
1
11,0 nL
La
se supone
= 0,1
(
E
)1
2 - 1,00 2 )/19,6
=0,1(1
= 0,0065
Para el di
m.
12 estaciones establecise puede determinar la energía reparte proporcionalmente en los 11 7.1, mna 8, se presentan las sucesi~1 una elevación fondo, supuesnLAsl, la elevación inicial dc la =101 m.
3.
Ll
te
que revierentrada y salida,
transicilln y
h ccu,lci[m y = (_x_)2
En la
7 ,3.c se muestn en la elevación del específica me-
nos ja
== 1..50 + 1
~.2.,O-lj
-o
lB.
en la ',ecclón S es entonces 99,Sgm. En la Columna 2 de la de est,) Clones in termen ias calculate C()n las
la línea de cl1E:rgia y cota:; eSI)ecífíea e11 est,lci¿lll enla
fondu L!ll1na 9.
se obtienen
1
5.
La geometría de la seCClOn transversal en las estaciones intermedias se puede determinar como sigue: Los puntos superiores de las paredes de la transición . tienen la misma elevación en este caso particular, y en planta, en la Fig. 7.3.b se trazó una línea recta para definir su localización lateral. En la Columna 6 se dan las distancias desde el plano de simetría. Con las elevaciones conocidas del fondo y de la se.cción superior de la transición, se tomó una variación lineal para la pendiente del talud tal como se presenta en la Columna 3 de la Tabla 7.1. La anchura del fondo en eada estación se calcula én la Columna 7.
6.
Con la geometría del canal conocida y con la energía específica en cada estación, el cálculo de la profundidad se puede obtener de la siguiente manera: Se calcula la energía específica para dos valores distintos de profundidad, dentro del rango de profundidades posibles. Estos valores se pueden graficar en el diagrama de energía específica mostrado en la Fig. . 7.3.d, la cual define una porción del diagrama de energía específica para cada sección transversal. Para cada valor de la energía específica en la Columna 9 se puede leer el valor correspondiente de la profundidad. Los resultadós de este método que evita las aproximaciones sucesivas se presentan en la Columna 10.
L/
(
3
4/
Elevación del Fondo (supuesta)
Pendiente del talud
Proyección Vertical del talud
Párabola que revi(,>rle
escogida
2
1
O 1 2 3 ·1
5 6 7 8 9 10 11
178
100,000 99,992 99,972 . 99,937 99,889 99,826 99,754 99,691 99,642 99,608 99,587 99,580
m
0,00 0,13 0,26 0,39 0,52 0,66 0,80 0,94 1,08 1,22 1,36 1,50
I
t/
6'
1
5
Proyección Horizontal
Ancho Libre Ancho de Hasta eL Fondo
Cota S1tperior 101,88 m
Talud (3) x (4)
Tomado Fig. Ej. 7.ib
1,880 1,887' .1,91l8\
0,00 0,25 0,50 0,77 1,07 1,35 . 1,70 2,06 2,42 2,77 3,12 3,45
t;9.A~/
1,991 2,054 2,126 2,189 2,238 2,272
2.293 2,300
3,00 3,25 3,50 3,75 4,00 4,24 .1,48 4,72 4,96 5,20 5,45 5,70
2r(6). (5) 6,00 6,00 6,00 5,96 5,86 5,78 5,56 5,32 5,08 4,86 4,66 '4,50
8
~
Línea de
Energía
Ener ía Elevación ..
.
101,642 101,642 101,641 101,641 101,640 101,639 101,638 1UJ,637 101,636 101,636 101,635 101,635
10
SUPA~~!e del
Tomado Fig. Ej ..7.1d .
(2\+nO\
íf"
E (~).
(2)
1,642 1,649 1,669 1,704 1,751 1,813 1,884 1,946 1,994 2,028 2,048 2,055
11
Profu,~didad
1,50 1,52 1,55 1,60 1,66 1,73 1,82 1,88 1,93 1,97 1,99 2,00
101,50 101,51 101,52 101,54 101,55 101,56 101,57 101,57 101,57 101,58 101,58 101,58
SECCION DE TRANSICION
~
SECCION ~ECTA~GULAR
SECCION TRAPEZOIDAL
plano de simatn'o
.
-_._'_._,-_.--,_._-, L._._._ . 11.00 m. ---------~.. ..¡I
FIG.1.3b.
Transición Vista 'en Planta
borde superior del canal
101,
"y '"" o:;'"
~perfiCiil
--- --- I
libra
---
o
! I:'l
_ _ _ _ _ _ _ _ -=-==- _
.JL-
IOI,a
o IOO,~
'0
100,0
6
I
I I
x(m)
7
9
10
II (estocionlHl)
I I
I
99,S
/
L/2
e
7\
,\/
s
"9,0
flG. 7.3. c.
Transición Corte longitudinal
179
2,1
~
Jl
2,0
10
9
/".
/U
1,9
E
..,
..., o
" "c:
1,8
" ...
O
C.
1,7
1,6
o 1,9
2,0
2,1
enerQlo especifica ""E (m)
flG. 7.3. d. 7.
Diagrama de Energía Específica
LIs dev:lciones de la superficie del agua en la Colufnna 11 se obtienen sumando la elevación ¿¡e] fondo (en b Columna 2) y las profundidades de la Columna 10. Si los resultados gráficus indicaran que la superficie del agua cambia muy fÚpidamente, se podd,l modificar el perfil del fondo de tal forma que se obtenga una superficie libre, de cambios mas graduales, En este problema la superficie libre obtenida p::1rece suficientemente suave como para no alterar el fondo inici,dmente supuesto.
8.
Consideraciones generales. Debe tenerse en cuenta que el ajuste único del fondo no produce, necesariamente, un perfil superficial satisfacturiu y en tal caso se pueden tomar las siguientes previsiunes: a.
180
Se puede clmbiar el espaciamiento entre las estaciones según otro modelo consistente, diferente del tonudo en este problema. Los dlcu[os de las
pues los gradien tes de energía , no se se pequef ws pena requer lr ajustes . La longitu d de la transic ión son mcrem entaría . b.
de las estaSe pueden cambia r los taludes laterale s y las anchur a.s de fondo áreas uiente consig cambia ndo por Clones curvas ,en estas ser necesa rio c1ib la geome tría local pueden ser rea específ ica. Estos ajustes un modelo georné trico caracte rístico para toda la transidos confor me ción.
curvatu ras En genera l, se deben evitar El gradien te s. grande produc ir separa ción y en la determ inación de la transic ión adecua da, com.o es gencia en los
Una variant e, gue ,¡justad o ;¡
del
tas, consist e en la fijación del perfil 51.1paL1bo la que reviert e, y el consig uiente cinétic a dada per la diferen cia de
si el flujo era subcrí tico claram ente que 7.3.d se podría enCOl1y en la salida de se puede
El c¡ue
7.3. Tnn lsicíone.' 7.3.1. Mcc.5.nica de
.
no tieflw'l conto¡; y cruzan el 'C;lI."s ~ en consec uencia ,
caracte rí stios de
el en
181
las tra nsicion cs superc rí ticas e xcepto cuando éstas corresp onden a canales de seCClOn ¡. transve rsal rectang ular con parede s paralel as. En este caso, en el cual la anchur a se mantiene consta nte, los cambio s en la elevaci ón de fondo y de la superfi cie libre se pueden calcula r siguien do el mismo proced imient o que en flujo sub crítico , hacien do uso del diagd.ma de energí a específ ica y consid erando la energí a total en las seccion es de entrad a y sal ida para su reparti ción propor cional en las estacio nes in tcrmed ias. Si en un canal rectilín eo con velocid ad superc rítica Vl, Y profun didad Y1, se onglnará Ulla perturb ación, la celerid ad de la misma c 1=y'gY1 estable cería una onda estacionari a con ángulo de inciden cia f31 tal q tle senf31 = c l;V 1 = 1/ F 1 según se indica en la Fig.7. 4
FIG.7.4.
Frente de Onda producido por una pequeña perturbación en un Canal Recto
Cuan8 u la perturb ación se proeluce .porqu e el cont~rno lateral, vertica l, de un canal sufre Ulla ddlexi ón fj.8, los cambio s de clevaci{ll1 fj. y, positiv os o negativ os, pueden determin arse aplican do las ecuaci ones de contin uidad y cantida d ele movim iento suponi endo que las compo nentes vertica les de las velocid ades son despre ciables . En la Fig.7.5 la profun didad cambia de Y1 a Y2' Supon iendo que las velocid ades sean uniform es en toda b profun did;ld, que exista una distribuci(ll1 hidros tática de presion es y que la disipac ión de energí;l a lo largo del fondo sea despre ciada, tenemo s por contin uidad
182
V
------.L-------------'"~c___
---/
I
~A
-------------
10-°_ - - " , - - - - - . -
-Vn~
SECCION
Esquema del Frente de Onda originado por una lJeflexión en la Pared
FIG.7.5.
Y1
A·A
VIl]
=
Y2 V n 2
(7.2)
y también, por cantiebd de movimiento 2 'YY1 2
2
+
-l lY
t>
Y1
V2 n1
'YY~ + --'L 2
cr
t>
(7,3)
V2 Y2
n2
La fuerz~l resultante de las presiones, la cual actúa desacelerando el flujo, solamente afecta la cantidad de movimiento en dirección perpendicular al frente de onda y debido ~1 cllle no existen componentes de fuerza paralelos al frente, bs componentes tangenciales de b velocidad V tl y V t2 permanecen inalterables al paso del fluido a través del frente de onda. De las dos últimas ecuaciones, conjuntamente con las relaciones geométricas apropiadas del diagrama vector'ial de la Fig. 7.5 se obtiene b expresión básica de la celeridad y del ángulo del frente de ond~l para cambios finitos en la profundidad 6.Y=Y2 - Yl' así Y2
(1+ - )
(7.4 )
Yl 183
la
eCl1~lci(li1 ele ca
de la
se h~l su
b ce, 7 A
perpendicular
se sitÚcl en
co para
fl
Vn1 com,; b estacionario, Oc acuerdo um Ulcr en fluJo
se
movimIento,
y se Cllllvlcrte en el
se
h
empez~\ra
el fl
~I
es
pruftl
í
al a
per-
es
ce, 70"1- se convierte en
sen ~1
(7.5)
ccr
~
V )
ca
se
nas Lel
7.
la geome-
CCHH1CS
ele los senos a
f\BC
¡3 1 +
nc
dv 11
(7 6) iTlllVi 111 ieH tu
elv
fZctlD
el)'
(7 7)
---,y
\f
n
V 11 por
LJ
de 1:.:5
:~,.Cu~\cl0ncs ~1n
tenures
os
tener
Esta ecuación diferencial se puede integrar para obtener el cambio gradual de la profundidad en función del cambio gradual en la deflexión angular de la corriente si se relaciona ~ y V en función de y, lo cual puede hacerse recordando una de las hipótesis básicas consideradas en este estudio, la disipaciém de energía puede despreciarse a través de las distintas ondas y por consiguiente, la energía E=y+ V2/2g puede suponerse constante. En base a esta hipótesis la ec. 7.8 puede transformarse en
,j E
2y' (1 _ -y-) E
dv
----'- =
(7.9)
E
de
La cual fue establecida en 1936 por Van Karmán, según lo señaló A.T. Ippen, en 1949. 1<1 integrdcibn de la ee. 7.9 da
e=
\1} arc tg
Jm ~ l-y/yc
1
- el
arc to- - -
bVT
(7.10)
en la cual yc=2E/3. Alternativamente y debido a que 3y/(2E)=3/(2+p2), la eco 7.10 se puede expresar por
e =vY arc
1 arc ter -;::;;::::=::;--- ,0 l'
.jp2 _
e1
(7.11)
en las cuales el cOllstitnye la constante de integración definida por la condición e=o para la profundidad inicial Y=Yl' En la Fig. 7.6 está representada en fun~ión de F y de y/ E. El empleo de este gráfico o de las e.cs. 7.10 Y 7.11 puede hacerse en la práctica, partiendo de un valor de el el cual se establece en el punto inicial donde se calcula el vaJor d,~ yl E con el [in de determinar e, en la curva. Luego, se pueden leer los valores de yl E de la curva a medida que los ángulos de una línea de corriente en el contorno se agregan o se sustraen del valor de el. Los cambios en y pueden ser positivos o negativos dependiendo de (lue la curvatura del contorno sea hacia la corriente o se aleje de ella. Awbas posibilidades se incliC:1l1 en la Fig. 7.6 por medio de las flechas que señalan hacia la izquierda y hacia la derecha a partir del valor inicial de supuesto.
e
e
el
185
0,667
...,0,5
./
0,4
e
O,!
I
B.
1
~
""
/
O,Z
,
1'/ 0 1 14
8,
,
i,/
0,1
0,08
y/E
O,OE; 6
0,05
I
1I
0,04
7
J
0,03
9
,
0,02
0,0
10
~4
0;01
FIG. 7.6.
12
J J
Solución Gráfica de () en
deFydey/E
Una de las primeras confrontaciones de la teoría enunciada con mediciones de laboratorio fue publicada por A.T. !ppen, y Dawson, J,H. en 1949. La profundidad determinada t:::oricamente en un canal cuyas paredes seguían la forma de una curva compuesta por dos arcos circulares que revierten, cada uno con un ángülo central de 16° para diferentes números de Fraude se presentan en la Fig. 7.7. Si se supone que existe una constante a través de toda la zona de deflexiéll1, ello conduce a relaciones geométricas diferentes que las presentadas en la Fig. 7.5, pero se obtiene una expresión mas simple que las ecs. 7.10 y 7.11. En flujo que se deAecta gradualmente es razonablemente adecuada la hipótesis de una velocidad constante y para ella tenemos
-()-
2
186
)
(7.12)
donde
(31
are
sen
(7.13)
L l'~'-'
._._.-.-._.-._._.-. -
L:"eo de Centro
V2
0.15 m.
0.30 m.
/
y/y,
2
V ..",.
....
.... :--.... .... ~
.... V"
.....
7~
V
V
....
l/
,
i
',,~
:;)
"~ ,/
5
5
.. '.- i-....
Y!Y,.
/,
-::- "-
3
V ./
3
.... \
/
,,~
02
162
89
-
.V
_/
pY"
...
"
'\ \ "
". i'-.
F,' 6
Y/Y,
../V
\"
.....
3~-4-..~.V'~~~~+-~
i:::"'V
..... "
02 F,' 10
FIG.7.7.
Perfiles de Profundidad Medidos (líneas continuas) y Calculados (lineas interrumpidas), en una Contracción Circular 187
En 1<1 mayoría de los casos pr;lCtico::; investigados la cc. 7.12 coincide con buena ;lproximación cun la eCo 7.10 Y proporciona valores apcnas ligeramente inferiores y por consiguiente es muy útil en cálculos simplificados. Cua1cluier eu rV;1 de con torno pnec1 e re t.ll"C~C ntarse C01110 una serie de tangentes o cuerdas con cambios angubres sucesivos, peqúeiios pero finitos. Cadd cambio angular /j,{j se convierte en el origen de una línea de pequcíias perturbaciones o frente de onda el cual C
F,
FIG.1.8.
Pequeña Deflexión Angular en las paredes de un Canal Rectangular
De acuerdo con la teoría, las perturbaciolles que se producen en A y B se comunican únicamente a lo largo de los frentes AC y BC sin efecto alguno sobre el flujo en el sector ABe. A lo largo de BC y de AC el tlujo es desviado un ángulo !.le. Enl~ljo q~e-pasa por BC es parcllelo a la pared que se prolonga hacia aguas abajo de B, disminuyendo la profundidad y aumentando la velocidad de acuerdo con las ecuaciones desarrolladas; en otras palabras, se produce una depresión en el frente BC. El punto C es la intersección del otras palabras, se produce una depresj(m en el frente Be. El punto C es la intersección del frente negativo y de una onda positiva que deflecta el flujo que pasa a través de AC con el mismo ángulo !.le. Este frente positivo continúa lIlJ.S al1<1 de C y entra en un camp'0 de flujo, el cual ya se ha deflectado !.le, Cle profundidad Illenor y con número de cfroude F2' Por consiguiente, el flujo se reorienta en una nueva dirección con un ángulo menor que el anterior. La onda positiva produce la deflexión del flujo hacia el frente y e t~l valor menor de yen el campo F-2 se convierte en Yl, reestableciendo el valor original -de F1 mas allá de CD. A su vez, el frente negativo BC entra en el campo con características hidráulicas F +2. Debido a que la deflexión !.le de la onda negativa corresponde a un
188
E s ab aj o de C ie nt e de ag ua rr co o de uj fl as el que las lí ne d e ta l fo rm a de a al in ea r en ti de te o es ad aj id c, ab nt del E la p ro fu n d cs tú n ag ua s :l 1e ja m ie nt o lo la rg o de A aq u cl b s l}Ue A de l' n r no rF ió cc de re r di al va lo ba jo de l va lo ra de r au st po en la m is m a re e uy se in én sm de C E ta m bi , él lo la rg o de nt os E y C di co ns ig ui en te ag ua s ab a en tr e lo s pu or e P qu n. s io ra ex nt fl ie s de re fl esu re ev'1 m E n lo s p u n to on da B C E y no rm al se el l. b Y de e qu ia nc es lo s p u n to s y m en or a la in t1 ue ad cr ec e; en id d n fu ro p la e. A ná lo en el p u n to n d id ad de cr ec fu ro p la di l p u n to te rn a pr of un '-lue em an a de xi on D el fl uj o al y B s s na to zo n u p . En r lo s ón lp e pasa po e la n o rm al de qu es e or !:l ay lo m gu 1 of un di da de s em pr e un án ga m en te , a 10 rm al co n pr fl uj o ti en e si no el la em pr e, e, si e nt , qu ie es rr s o m en o re de s el fl uj tr o de la co re n pa ce s el la a en pr e es ta ad no rm al na s y de A si em B de de p ro fu n d id o n b s ot ra s zo aj E ab ag ua s a la s el le s. co n re sp ec to la re s ad ic io na , ro gu ca m bi os an o a ellas, pe ci on es in de m en os CI UC se n las pe rt ur ba p er tu rb ad o a va ue m re se si ti va in du fo rm a q u e un a on da po r po a ad ul a, la on pu ed a se r an En la Fig. 7 .9 9. 7. ig F la an en ar ía en el qu e se il us tr qu e se or ig in rv a, a se gú n se ob se en B p o r un ua s ag e e tab~ec AB en B. Est la cu al se es B ón xi se e: e fl h de ne ga ti va qu 7. 9. b la on da icu al de be ub al pu n to A el ui li br io . el de se ad o eq pu ed en su p e. cr ít ic o m o lo hi zo co rr ie nt e co em pl a· un ca na l se re a co n re sp ec to 10 , 1942. Se en la Fig. 7. A.T. 1pp en en ca s ti ~-1 ís nC~ ca ra ct er a sc cu c za n po e un se al tr av és de l cu la
las 1{-
pr od uc en s \15 F1 ha st a F + ón i uc di s m in nC1a co un a nverge qu e no s ec e a m ed id a cr ie ic rf pe la su ex is ta la a m en os qu e
189
-=--~F~l--------~~~~9~~ = ~ ¡:-:... ===--De
__ __~__ __ __
__ __~~1
2
-(-O-)----A~
FIG.7.9.
De
Pequeñas Deflexiones de las paredes destinados ¡¡ elimina r las Pertubaciones Ene rgía El Se
V, f--- ->1
Par ed
Cón cavo
L¡'ne os de Pert urba cion es
POS itiVO S
F, F
o~
Pare d
4'? Con ve)( o
Líne as de Pert urba cion es
FIG. 7.10.
19 0
- 2
Neg ativ as
Flujo SU¡Jercrítico en Curva s
Las líneas de perturbación negativas se originan por la existencia de paredes con curvaturas convexas. En el caso de la Fig. 7.10. b cada depresión en la superficie libre corresponde a un ángulo de 4°. A medida que las profundidades y los ángulos {J decrecen, las velocidades V y los números de Fraude F aumentan. Debido a que los ángulos de los frentes de onda se producen respecto al flujo precedente, aquellos deben divergir sin generar frentes inclinados. Cuando las líneas producidas por una pared convexa se in tersectan con las líneas producidas por un pared cóncava, se produce un balance o un equilibrio el cual puede conducir a la anulaciém de los efectos indeseables mediante un diseño apropiado.
lijemplo 7.2 Suponiendo que la eco 7.12 pueda aplicarse a una expansión negativa, repentina de la pared con' 8=10° para F1=5, calcular el cambio de profundidad y deter,minar la localización de las líneas de perturbación que confinan la transición entre la profundidad inicial y final. Comparar esta solución con la correspondiente a la hipótesis de energía específica constante.
Solución Las 1íneas de perturbación generadas por una deflexión negativa de la pared divergen, como se Í,;1dica en la Fig. 7.10 Y la profundidad cambia gradualmente. Aún para un cambio abrupto en la alineación de la pared, en CJue las líneas de perturbación se Concentran en el origen, el cambio en profundidad es gradual. Consecuentemente; la hipótesis de una onda de altura infinitesimal dy puede aplicarse y el ángulo de la onda puede obtenerse de la ee. 7.5. donde V e y son la velocidad y profundidad locales, respectivamente, y {J está medido con respecto a la dirección del flujo. La primera línea'¿e perturbación incluye, por 10 tanto, un ángulo
sen{J
1
F
C V
V
donde V e y son la velocidad y profundidad locales, respectivamente, y {J está medido con respecto él la dirección del fI ujo. La primera línea de perturbaGión incluye, por 10 tanto, un ángulo
{J1 = are sen
== are sen
1
5
= 11,52°
191
rnos b
7.1
sen
:2
+
8' 2
\ '
---1
te
(115 2u-~ 5 )
y 32:2 Y¡ , pCéro eo mo
(1
=
cnton
5
cun
== d re
,SCll
r-:
[."0
U,]
9 1 -+ í2 0.024
------)7
() ,07 Lj,_
la on~l
e 2--/ ~O v--,/F==O )"!, --; 024 !.
o
Jl
y que ~2 = arc sen
6,38°
Se puede mostrar, p,lrJ energía específica constante, que
F2 1
Yl
+
2
0,325
F2él + 2
---
REGION PERTURBADA
SECCION
FIG. 7.11.
a-o
Esquema de las Perturbaciones
Se puede considerar que la disminución de la profundidad se produce por una serie de pasos II ondas infinitesimales. El ángulo de cada onda sucesiva depende del valor local del número de Froude el cual varia continuamente. Cada onda puede representarse por um línea de profundidad constante. La hipótesis de un;1 distribución hidrostática de presiones no puede ser mantenida en la vecindad de lct esgl1in,\ ya ljliC en ella la curvatura de bs líneas de corriente es te{¡rÍcamellte infinita, así, rnientras qUe en la esquina las configuraciones superficiales no muestran concurdancia con Lis mentales, ;l cierta distallcia de ella, donde la curvatura de las líneas de corriente se obtiene buena precisión en los cálculos.
193
CU;lndo un cierto número de perturbaciunes positivas, sucesivas, de pequcfLI intensicbe!, se concentr;\, se origina un freme e!e olld;\ de ,\ltura signifiG\tiv;1. Ent()llces, el des,lrro11o ;\l1;¡]ír¡,,;; previo debe ser revis;le!O en vil,tue! de que ];¡ ;¡]tur¡1 finiLI de Lt one!a introduce elelllcl':'lS ,Illiciulla!cs en el ;¡n:t!isis. Así, llueva mente, con referencia ;¡ la Fi;;. 7.5. el Gllllbiu ;ll1gubr (J (que reelllplaza ;¡ t::.e en el anúlisis ;mterior) se puede relaci()nar cun ~1 de ;Icucrdo con Lt geometrí;¡ del e!iagr;11l1;\ vectorial por
V t1 = Vn1/tg ~l = Vn:zJtg (~1 -e) en la cual, según la ecuaci{)]1 de Por
continuidad,
lo tanto"
(7.14 ) y resolviendo pafa
to' o
e en la
e
ce. 7.14 se tiene
tg{31 (1-Yl/Y2) 1 + (Yl /Y 2) tg 2 ,6 1
(7.15 )
De acuerdo con las ecs. 7.4 y 7.15, el :tngulo del frente de onda ~l y su profundidad quedan fijados para un número de Fruude f', y para un ángulo e. Así, de la combin;\ci¿')]1 de est;ls ecuaciones se puede escribir )';
2--=-1
Y1
+J 1 + 8
[21 sen 2 {31
(7.' 6)
u también
tg ~l - tg
e
(7.17)
La altur,\ reJa tiva del fren te y el número de [rouele inici;¡] se pueden rebci()!l;¡r con clnúlI1ero de Fruudc F 2 aguas ab;lj() del frente de ond~l. por
194
Y2 1)
2
Yl
+
1)
2
]
(7 .1 8 )
re la ee . 7 .1 6 d el fr e n te ; s é v b ía a a tr h a e rg ía el c u a l se 0 , p a ra if ll 1 d e e n ac 0 9 ip = is la s d ~1 n e te p a ra e x is
e
e,
e
va lo re s
fIG.7.12.
de
e
nerales entre Relaciones ge
n de Energ¡a con disipació 195
7
3,
CU 71t m,c ciu IIC S CII
1
co n fhlS y ci¿Jll
ce n tr: ms lci on es en DaWSOl1, tl'C S
lH .,
cn
19 49
sc
ti
agu:.lS
tra nsi cii ')n co rta pa r;\ 11 la,s co ntr ;\c clo nc s la B2 co ns ti -
Si la contraCClOl1 es recta, se produce un esquema aparece en la Fig. 7JLI. Ll longitud L de b contracción en el esquema
se
cee con un:)
ción.
7 .12 se obtiene el
h
de
máticllHente
la
b?
..J
L= L
1+
-1-
2 tg
---~----
corn!()
7 4
y también
L=
2 tg
(7.20)
e
esta relación, j unto con la ecuación de cominuidad, b 1 Y1 v=b 3 y 3 V 3 es decir
(7 21)
permite el diseño de la contracción empleando la Fig. 7.12 en aprox1l11acioncs sucesivas. Alternativamente, para una y 2 supuesta tal que y 3>Y 2>Y 1 se puede calcular (31' para F l' Y2 e y 1 a través de la ce. 7.4 Y con los parámetros
13] ,y 2 e y 1 se puede
obtener () de la ee.
7.15. Luego se calcula L, Ll Y L 2 en las ecs. 7.19 Y 7.20 Y se obtiene
í3 2
Se calcula
- 8={J
(7.22)
la relación Y3 /Y 2 tg ( P' tg
+ () ) í3'
(7.23)
para los ángulos p ye correspondientes a la ce. 7.14. Si el valor de Y3 despejado de la ee. 7.23 coincide con y 3 verdadero la solución es correcta y el valor de Y2 supuesto es adecuado, en caso con trario es necesario reiniciar el proceso con otro valor de Y2.
7.3.4. ExpansionE's en Flujo Supercdtico En una expansión, la energía específica del flujo no se altera y el ángulo {3 de las ondas en cualquier posición está dado por el valor local (3=arc sen l/F. En consecuencia,
198
no se generan frentes de onda con gradientes pronunciados y se puede suponer q.u~ existe una distribución hidrostática de presiones. Consideremos el caso de una expansión abrupta desde una anchura B1 hasta una anchura infinita. El análisis dimensional nos indica que la variación de profundidad y, relativa a la profundidad inicial y 1 para la cual existe un número Fraude F 1 , se puede expresar por la relación funcional
(7.24) donde x es la coordenada longitudinal medida desde la sección de salida y, z es la coordenada lateral medida desde la línea de centro del canal. Esta relación funcional fue desarrollada por H. Rouse, Bhoota, B.V.; y Hsu, E. en 1949, y el diagrama adimensional generalizado con valores experimentales se presenta en la Fig. 7.15 en la cual se observa algunas desviaciones para los diferentes números de Froude.- De acuerdo con los resultados experimentales la función que representa el contorno sólido para la expansión más eficiente está dada por 1
=
2
_x __ )
3/2
B1 F 1
+
1
(7.25)
2
15 r - - - - - - - - , - - - - 7 7 - - r - ; r - - - - - - , - ; ; ; r - - - - - - - , 1. 5
F, , F,
I
=2
.-. .-.-.-
\.0 ~---___,,~+-~~~'--+_=........==-----t------_i lO
..L
..
8,
\
---
..
\...
o
\
o
.
,
E Je de SlmetrlQ
2.0
0.5
o
x
e,F,
FIG.7.15.
Superficie libre generalizada para una corriente con Expansión Abrupta
199
1 5 r---'-":o=:-::-:;~",,------'-------r.~------' 1.5 Valores de 'i/~ F,'l -"-
F,' 2 F,' 4
F,'
1
e
J--1-,., ----1 10 o f------+------;1Ii"'----"'~-_+' '0'''0.
~.
0,to
' ".
"'.. \ \ \
----'...-!------\.-1
FIG.1.16.
0.5
Generalización experimental de la Expansión Gradual más eficiente.
Esta forma de contorno corresponde aproximadamente a la línea de corriente que confina cerca del 90 % del flujo y elimina la formación de ondas transversales; sin embargo, el contorno diverge indefinidamente. En los problemas prácticos, las paredes divergentes de la expansión se continuarán usualmente en una transición abrupta o en una grad ual, originándose perturbaciories positivas. Cuando las circunstancias lo permitan parece conveniente establecer un resalto hidráulico en la próximidad de la sección terminal de la expansión y este puede estabilizarse mediante alguno de los dispositivos estudiados previamente. Rouse y sus colaboradores encontraron que las perturbaciones que se originan en el canal de aguas abajo pueden ser eliminadas mediante una curva que revierte en tal forma que las perturb,lciones positivas y negativas se anulen dando lugar a un flujo uniforme completamente restaurado aguas abajo. Las curvas de los'contornos, en la Fig. 7.17 , fueron halladas por el método de las características y permiten una buena aproximación en el disel10 de expansiones en canales en los cuales la anchura se expande desde una anchura B 1 hasta otra anchura B 2 .
200
2.5
I
11
#'
l'
Lrn --r¡ _,d 8.¡ ,
,~J-c_~.__b
20
I
~.
••
~¡; ~
l·
¡51
8,
~
J~
I 1.0
05
O
f1
vamente.,
7. 4.1.
_L._~___~J_J 9
10
Il
12'
fluido cerca del fondo tiende a seguir una curvatura mucho mas pronunciada para mantener el balance entre las fuerzas centrífugas y las fuerzas de presión. Como se req uiere que exista continuidad en el flujo de las masas del fluido, este fluye hacia arriba a lo largo del contorno convexo mas interno mientras que el ±luido en la proximidad del contorno cóncavo mas externo fluye hacia abajo. Las corrientes en espiral inducidas tienden a transportar el material erosionado hacia el contorno interno donde se establecen zonas de deposición. a) -
VISTA EN
PLANTA
y
o
R
I
A
-8- - - - - -
I
8
b)- ESQUEMA DE LA SECCION TRANSVERSAL /
FIG. 7.18.
Flujo con Trayectoria en Espiral en una Curva
Si consideramos que el flujo que se aproxima a la curva es irrotacional, lo cual correspondería a una condición de completa uniformidad en la entrada, podernos suponer que la ecuación del movimiento irrotacional sigue siendo válida para una partícula en el interior de la curva y por lo tanto la ecuación de Euler en la dirección normal se puede escribir como
a
(P+'Yz)
al'
(7.26)
donde (p + 'Y z) = 'Yy corresponde a la presión sobre el fondo causada por la profundidad y del callal en el pUllto donde está ubicada la partícula en consideración y a es la aceleracil)!l normal, la cual según la ec. 1.9 está d
202
p
'Y
r
ay ar
(7.27)
Suponiendo que la velocidad sea aproximadamente constante, la integración de la ec. 7.27 conduce a
v
2 y= - - - 1 n r g
+
C
(7.28)
donde g.= "1/ p. El valor de C se determina para la condición hipotética y=y en r=R,
I
aSl
C = y - (V 2 /g) lnR, y por lo tanto
y
-y =
r
In
R
(7.29)
Esta ecuación nos dá la elevación de la superficie libre relativa a la profundidad normal de aproximación y para cualquier punto ubicado a una distancia r del centro de giro para un fondo que no haya sido sometido al proceso de erosión. Si se produce erosión y deposición, entonces en la sección A de la Fig. 7.18.b aumenta la resistencia con respecto a B ya que la profundidad es menor que en B y en consecuencia la velocidad en A es menor que en B originando un flujo rotacional al cual no se le pueden aplicar las hipótesis desarrolladas para un fondo fijo. En el canal estable se puede evitar la sobree1evación de la su perficie libre diseñando un fondo con una curva simétrica a la de la superficie, por debajo del fondo horizontal. Ejemplo 7.3
Para hallar la diferencia de elevación entre los dos con tontos laterales de una curva de radio R=500 m., y una velocidad V=l m/s y una anchura en la superficie libre B=200 ill., el Dr. Mamak, en 1964, desarrolló una ecuación con forma logarítmica, de forma semejante a la obtenida en este tex,to en la eco 7.29. Mamak halló, con su ecuación que .6.y=4 cm. Comparar la solución con la correspondiente a la eco 7.29.
203
contorne):] cónc¡~\Jo
7
vi , ! t
f·
·.1,.,,'\ f"~: ~~-_. \- _¡). II
')0 , • ...J
/
~---
2
-{- 1
repentinamente; la sobreelevación hasta alcanzar su después profundidad el la de la curva.
La~ VJf!~1Cionc:; COnl1(;rp~a
a
OCUíTl¡
(7 31)
:0;:
7.4J lYlediante secciones sinlrectos, producien-
8=L/ (R+
f)
donde
= are
tg
(7,32)
R+
e 205
R.T. Knapp, en 1949, halló que la máxima sobreelevación sobre el nivel del flujo de aproximación, en flujo supercrítico era igual a
(7.33)
o
FIG.7.19.
Esquema de Perturbaciones en un Canal en Curva Circular
valor que corresponde a dos veces la sobreelevación que se produciría en un flujo subcrÍtico con distribución irrotacional de velocidades. En la sección transversal CD, donde ocurre el primer máximo, la línea a'a representa la posición teórica de la superficie de agua si el canal fuera recto, la línea bb' representa la posición teórica de la superficie libre en flujo subcrí tico y la línea cc' la superficie del flujo supercrí tico. En la sección transversal FG, donde se produce la mínima profundidad en el contorno cóncavo, la superficie libre coincide con
206
Las perturbaciones que se prolongan aguas abajo de la secclOn tangente de salida también tienen una longitud de onda igual a 2B/tg~, pero como el cambio repentino en la curvatura produce perturbaciones adicionales quc se superponen con las anteriores, de igual longitud de onda, se puede. diseñar la curva con angulos 28, 48, 68 o siguientes de tal forma que se anulen todas las perturbaciones hacia aguas abajo de la sección de salida. EJERCICIOS F.jercicio 7.1. Un conducto con una sección transversal como la mostrada termina en una caída abrupta. Si la sección terminal en (2) fluye llena hasta la mitad, determinar, despreciando las pérdidas: a. b.
El caudal. La máxima elevación permisible Zo de la sección (2) para que persista la condición de su perficie libre en el condu cto, aguas arriba de la secciór. (1)
Iy
I
___
___ r-o
_1Ejercicio 7.2. Diseñar una transición entre un canal rectangular de 3,0 m. dc ancho y otro de 1,5 m. La profundidad del agua en el primer canal es Ynl = 0,10 m. y en el segundo es Yn2= = 1,5 m. El gasto es de 7 m 3 /s. Tomar el perfil de parábola que revierte para la superficie libre del agua. Ejercicio 7.3. Un canal rectangular de 1,5 m. de ancho tiene una pendiente de 1 por miL El caudal es de 1,8 m 3 /s y el factor de rugosidad de Manning es n=0,012. Determinar la profundidad del flujo norm,11 y hallar la anchura de una contracción, en el canal, que produzca flujo crítico. Despreciar las pérdidas de energía en la transición. Obtener el perfil de la superficie libre él lo largo de la sección que se contrae linealmente desde la anchura dada has ta la ,mch ura crítica.
207
Ejercicio 7.4. Un flujo super crítico definido por las condiciones F 1=4, Y1=0,35 m. pasa a través
e,
de una sección que se contrae linealmente con un ángulo de deflexión el cual causa un aumento de profundidad del 100°,0. La anchura inicial del canal es B=1,42 m. La longitud L de la contracción se determina por la intersección de los frentes de onda oblicuos en el eje central del canal. Más allá de este punto el fondo del canal cae abruptamente a un nivel mucho menor. Para la realización de los cálculos, se puede suponer q tie los frentes de onda son verticales. a. b. c.
Determinar la longitud L de la transición. Hallar la anchura b de la sección terminal. Establecer el número de Froude del flujodeflectado.
Ejercicio 7.5. Demostrar que la diferencia de elevaciones Óy de la superficie libre de un canal abierto en flujo sub crítico, en una curva de radio R y con una anchura B en la superficie libre, si se supone gue el flujo es irrotacional a través de la curva del canal, est<Í dada por
!.::.y
')
= V~ BI
(Rg)
donde Ves la velocidad mecha del flujo en la entrada. Ejercicio 7.6. El flujo en un canal de 12,0 m. de ancho y 1,2 m. de profundidad hasta la superficie libre entra en una CurV3 de 9 m. de radio en el centro de la curva, con una vd ocidad de
°
9,0 mis.
Calcular el perfil superficial él lo largo de las dos paredes del canal hasta a1canz:1r la profundidad máxima. Grafic:1rla en forma adimensional.
208
ESP AC IAL lvIE rH'E
o
(1
En r,:::ste
8.2.1. Flujo con increm entos de Caud,!l Si en la Fig. 8.1, el canal fuera horizo ntal, sin rozami ento, y el caudal entrara en dirección perpen dicular al movim iento, la cantida d de movim iento Iv! sería la misma en las seccion es 1 y 2 separad as entre si por un dx, indepe ndient emente del increm ento en ,,1 caudal dQ que se produj era emré las dos seccion es. La pendie nte del canal y el rozami ento origina n una variaci ón dM en la cantida d de movim iento dada. Consid erando el equilibrio de fuerzas en la Fig. 8.1 pur la expres ión
-v
fIG.8J .
de Defi Ilicilm T
donde
(8.1)
o
es el esfuerz o cortan te prome dio expres ión anterio r se puede substit uir por 70
1
el períme tro P
área /-1,
La
dM A (
elx
- S)
(8.2 )
donde
s o =Por otra parte,
y,
el
-(
dx
210
y
1'= AS.
se tiene clue 1
donde
Yo
la ubicac ión
dx
cen ero de
(8.3 )
del área transve rsal; así
1 I
2Q dQ gA dx
dM
dx
Q2 gA2
dA + d(Ay) dx dy
~ dx
(804)
Haciendo d (Ay)/dy=A en la expresión anterior y combinando las ecs. 8.2 8.4- se puede escribir
s o -sdy dx
2Q
dQ
o-A 2
dx
::o
y
(8.5)
1 - p2
en la cual se ha hecho T =dA/dy para anchura constante en la dirección x, y también
p2=Q2 T / gA 3.
En esta ecuaóón puede considerarse la falta de uniformidad en la distribución de velocidades a través de un ~ocficiente de energía O!. el cuztl modificaría el denominador de la ee. 8.5 a la forma 1- O!. Q2 T / gA 3. Cuando dQ/dx= O, la ee. 8.5 se convierte en laecuación dinámica del flujo gradualmente variado con caudal constante. W.H. Li, en 1955, presentó un análisis de la eco 8.5 por integración numérica para cuatro condiciones de flujo distintas definidas por diferentes relaciones entre P n , y, o G=S n L/y , donde el subíndice n representa el flujo en condiciones normales y L es la longitud del tramo en estudio.
8.2.2.
Flujo con Disminución de Caudal
Para el análisis de este tipo de flujo, la ecuación de energía es aplicable directamente. La energía total en la sección 1 de la Fig. 8.1 es
H=z+y+
(8.6)
~2gA~
la
donde z es la cota de fondo sobre un datum no indicado en la Fig. 80L con respecto a x, se tiene que
eh dx -
dx
¿.¡
1
2Q
dQ
+ d~ + ~(Al ~
2Q2
ee.
8,6
dA
- ----;:;- ~)
(8.7)
Recordando llue dH/dx = - S, dz/dx = - So y gue para anchura constante
211
la ee iLl se
con venir en
-s1-
(8
"
F~
ecuaClc 'n En la ee 8 . 8 el tercer
o
1l1.0V1J111ento en este caso no se 1
Las ces. 8 5 Y ción x, b
varfa con
La nos casos
r
En el caso
el
la diree-
en
extrcfD .O
y
el (8. )
Q=xd
La cor¡
2
CUJ'I
)1,
A=Ty donde T es la
en
lel ee 8.9
d
d>:. )
2
-f--[gy-
(310)
la
Esta es una ecuación mente
la
es
es -,
-
g
Y
(R ] 1 )
--~------ -I~
c1 on
e
lJ1
cuntofJll) cn (:1
cnla ce, g 1. 1
E
( ,2
\ L
y
y
J
+
('itnc
8,12)
la x
--)
2=
1
+
( O
o
( (;-
o
3 e
'i
(8, 4)
----
T
1
eh
Se observa que F es una forma del número de Froude en la salida. Si la caída es hc bre, el flujo en la salida es crítico y por consiguiente F c=l. La ecuación del perfil super fícial es X? . L
3 2
L
(-)~=-
_ _ 1 (.--L)3
Yc
2
(8.15)
yc
donde y c corresponde ahora a la profundidad crítica para el caudal total Q. La profundidad en el extremo opuesto, cerrado, del canal es y c yTT Se pueden realizar análisis semejantes en canales con contornos laterales verticales y fondos irregulares y para canales con paredes laterales inclinadas. El clso de los aliviaderos laterales presentados en la Fig. 8.2 corresponde a una aplicación de la eco 8.8, sin embargo, Q no es una función conocida de x ya que el caudal de salida en cada sección transversal depende de la profundidad del flujo. El caudal, por unidad de longitud, q, para cierta elevación h sobre la cresta del vertedero puede aproximarse por la expresión convencional
q --
e v10"::'2 "'g .!, 3/2 1-
(8.16)
·1
f)
fl---~--~----'n=l1<~ ~
L
'1 '1
'¡
---~--+
' - - - - 1
(o) SUBCRITICO
f::.::.::.=:::=r-~~ -yc.
*
1oc
1< 1<
"
,
1
===:::o==t
w
le) PERFIL CON RESALTO
FIG.8.2.
214
Perfiles Superficiales -en Aliviaderos laterales
, pack er s, en 1957 A P. ca di in n l a 0, 51 1 se gú co ef ic ie nt e e en si on al ig ua ob ab le qU é el im pr ad s e E nt o. ie er ic rt ed to s pr ác ti n co ef cr es ta de l ve pa ra lo s ef ec , la d o n d e C es u ro e br pe so n ió os ac o de ba ro x im h m ed id fl uj o su b cr ít ic l fl uj o de ap de en ra va lo re s de e o d is u ec ro F pr n ú m er o de fi ci en te m en te va rí e co n el pa re ce ser su s er ck A e d ie nt e ic o y su pe rcos, el co ef ic fl uj o su b cr ít en e ca o a d. ev r co n u n ja ve lo ci da ie li br e se el na l re ct an gu la ca n u a ar u e la su pe rf ic P q 2. en la Fig. 8. e el al iv ia de ro Se pu ed e m o se in di ca er ta do y a q u co ac , es te en al m cu va ti ex pl ío, lo cr ít ic o, re sp ec ó la so lu ci ón y para S o=S= tr n e co nt ta en , ns 4 3 co 9 to de e M ar ch i, en 1 va lo r su p u es co rt o, G. de te en m va ti la es re "" tc
ci ta de
(8 .1 7 )
dQ
-rx
ad o p o r ca ud al es tá d el n, ió cc se r ie l. E n cu al qu ca na l pr in ci pa el en al ud el ca (8 .1 8) d o n d e Q es ,; 2 g ( E - y
Q=
)
1/°"'"
de ro . te , en el al iv ia an st n co , ca fi en er gí a es pe cí , co nd uc e a d o n d e E es la , pa ra S o =S=O .8 8 . ee la en pr es io ne s ó n de es ta s ex L a su b st it u ci
~_
2e
dx
T
( 3y - 2 E )
i, o b te n ie n d o po r de M ar ch a ad gr te in e la cu al fu xC T
W_ _ 2 _ E_ _3 _
E
W
(8 .1 9)
- W ) 3' ¡ ( E - y ) (y
j __
E_---'--y _ _
y
W
3a rc se n
j
E- Y
.+ el
(8 .2 0)
y-W
su bc rí rn o . E n fl uj o to n co de s las co nd ic io ne o se co n o ce e d ep en d e de q u e en el la n u a q y te o aj an st ab n s ag ua ed e se r un a co la se cc ió n de E l fl uj o n o pu d o n d e e l es en s. o eo ul nt lc ta cá el de u ed e in ic ia r , u n pr oc es o ti co n o se p co ns ec ue nc ia en o ri sa ce ne Q, ha ci én do se
215
una can tidé ld fmi ta y
dQ/dx=tü,
(~n
la ce 8.0 se ele l~ ()
h
FlG .8.: t
Espacialmente Variado ¡:¡m Salid<1!3n ,1
en
:rav és de reji llas
(~.! fj lJ
C'11 lLll(l
preC l-
de rondo C11
el fon du d
se ¡]aigua l ~t la
G;
del
fClll dcJ
1l1éti,.-'! e11
Si
la
pres en j.
el pele ,! sup er UllH _:n
cor resp ond e ,1 b Pig. 0.3. Si sup one mos que el ,íng ulu de ene rgía es igu: ll a la uni dad se pue de escr ibir ¡,[uc b
CI ¡
I,!
16
lJOr
U1~;1 tOl1l ,1 de fU'ldu e11 un de ¿¡gua en el cau ce I1ci pal
Pa LI
U 11~\
en
E constante, es decir para dE/dx=o se tiene
específica
Qy
dy
dQ
(-~)
( 8.22)
eh
donde -dQ/eh es el c1Ulbl alivi~ldo por
~\.
el fondo en una longitud dx.
P~lr~1 fluJo verti~';¡] en b rejilla con orificios continuos y longitudinales:
El clUcbl aliviado es dQ eh
cl(l]Jcte K es h
Jilb en el Q=
V
K C T
l).
El
2g
El
(8.23)
un entre el 8í'ca de los orifIcios y el área total de según la ee. 8.'18 (J de la ee. 8.21 es
./ 2g (E-y)
/¡ Itrllcl 11 eiencl u est;l l' x preSlOl1 eando se ubtiene
2 K
del
ellns de la ce. 8.23 en la ee. 8.22 y simplifi-
Cl
.JE(l:,--=-V1
C
3y-
(8
E
b ce. B.24
escribir que
-y-
(B.25 )
KC Gonete el se determina ele b cUllclici'~)l1 Asi se puede l'std
la re-
Cl
y
=
Y1'
P;Wl
x
= (L
en Cjue
21
KC
x=
-
(Y1
y
(8,26)
Si para y=O se h~ICC x=Lll' cn J;, ce. 0.26 sc puede obtcner
h lungitud
IlCCCSdrla
para divertir todo el g;lstu por cl fondo, así
L
Y1 q
(8,27)
=~--
KC
y rccmpbzandu y 1 dc];¡ ce. S.18 se obtienc
Lq =
KCT
dunde Q] es el caudal que entra por el cual se corresponde con cl caud;d b.
divcrtido
Par;l flujo inclinado en b cn b longitud dx, es
dQ
d
con
secci¿m él
h cl
tr;lvés clones:
El
en este
C1SO,
(8.20)
KCT
vA
la ce. 8.29" y Q de b ce. 8.1 S, en la ce 8,22 y
Substituycndu -dQjdx, do, se obtiene
2 KC
',/y- (E- );) -2E
Cimeri() Nosed;l, en 1955, jntegre> la ce. S.30 ¡"'.ra obtener t" L
E
KC
218
j
f - - arccos 2
+
(8 31)
donde C 2 se puede obtener de la condicibn Y=Yl para x=O. Para que todo el caudal que entra sea desviado por e! fondo se requiere una longitud L q la cual corresponde a x para y = dada por
°
L
E 3 L = [q KC 2
j
-
Yl E
Yl 1 2Yl (1 - - - ) - - arcsen (1 - - ) E 4 E
7T
+ -] 8
(8.32)
Para una longitud L, menor que Le' con una profundidad Y2 en el extremo de aguas abajo, el GlUdal Qw 1que se divierte por el fondo tal que Ql -Qw =Q2' donde Q2 es e! caudal que permanece en el canal de haber pasado por la rejilla, está dado por
Qw =C y ~T (1~tJ
Y2 yE - Y2' _ _ _ _ _ _ ) E 3/ 2
Yl
(8.33)
V E -Yl'
EJERCICIOS
Ejercicio 8.1.
Sobre el pavimento de un callej6n sin salida. de pendiente So =0,01 y rugosidad de Manning n=0,020, se produce una precipitación con intensída'd de 100 mm/hora. Al final de! pavimento se produce una caída libre con profundidad crítica. El callejón tiene 100 m. de longitud. Despreciando la cantidad de movimiento de las gotas: a.
Calcular y graficar el perfil superficial suponiendo que la pendiente es nula.
b.
Desarrollar un procedimiento para obtener valores numéricos de profundidad para So =1=0 Y aplicarlo el caso dado graficando el perfil a la misma escala que en el punto anterior. Comparar los resultados.
219
l:jercicío 8.2. Un canal de concreto con una rugosidad n=O,.Ol 5 y una pendiente S )=0,0009 tiene una sección rectangular con una anchura T=4, Om. El canal conduce, en flujo unirorme, un caudal Q=10,0 m 3/s. En cierta sección, el fondo del canal está interrumpido por una rejilla de piso consistente en barras de acero longitudinales de 7,5 cm. de espesor separadas 2,5 cm. entre sí. Obtener una ecuación que exprese el gasto relativo desviado con respecto al gasto de entrada Qw/ Q l como una función de la longitud de b rejilla de fondo. Determinar la longitud total Lq necesaria para la diversión de todo el gasto.
220
CAPITULO
9
EL FLUJO NO PERMANENTE EN CANALES ABIERTOS
9.1. El Problema del Flujo
11.0
Permanente
El tipo de flujo no permanente, o impermanente, mas comunmente encontrado en canales se refiere a la traslación de ondas de gravedad que producen un desplazamiento apreciable de las partlculas del fluido en la dirección del movimiento. El flujo imperma nentese puede dividir, para los efectos de estudio, en flujo gradualmente variado y flujo rápidamente variado. El flujo impermanente gradualmente variado se caracteriza por una curvatura suave en el perfil de la onda, por cambios graduales en la profundidad y consecuentemente por una aceleración vertical de las partículas despreciable en relación con la aceleración en la dirección del movimiento. Este tipo de flujo en el que la fricción constituye una fuerza de primordial importancia se presenta comunmente en ríos y canales por los que transitan avenidas o crecientes y en canales en donde se operan compuertas y controles que alteran las secciones de flujo en forma gradual. En el flujo impermanente rápidamente variado la curvatura del perfil superficial es muy pronunciada, llegando a constituir olas de perfil discontinuo. La aceleración vertical de las partículas de fluido es muy importante pero lasfuerzas de fricci~m se hacen despreciables en relación a los efectos dinámicos del flujo. Este tipo de flujo se puede producir en el movimie'nto i~'icial de una onda alt~ generada por lan;pt'ur~ de u~ dique o también en el movimiento de olas causadas por la operación de las estructuras de control. Los estudios que se realizan en este capítulo están orientados principalmente hacia el tratamiento de los problemas de flnjo impermanente gradualmente variado pero en ocasiones se mencionan y estudian explícitamente problemas de flujo rápidamente variado .
. . En general, la ecuación de continuidad, eco 1.4., desarrollada previamente puede ad-
q.~1r1r algunas formas especiales. Si al canal de anchura T en la superficie libre, es de secClan rectangular, la citada ecuación se puede escribir como
aq
av
-ax+ - at '
o
(9.1)
221
donde q es e' caudal por unidad de ancho, x es b dirección del movimiento, y es la profllndid;¡d y t es el tiempo. Alternativamente, expandiendo el término aQ/ax=a (AV) / ax se obtiene
A
av
~+
ax
V
aA
ax
+T
ay at
o
(9.2)
donde A, V representan el áre;¡ transversal y la velocid;¡d media de la SCCClon ubicada a una distancia x del origen. En est;¡ CCllaClon los tres términos representan, en orden, el almacenamiento en el prisma o canal, el almacenamiento de la cufia, y la tasa de cambio de profundidad, respectiv·;¡l11ente. La profundidad hidr;íulica media Ym=A/T puede introducirse en la ecuación anterior, considerando que aA=TDy, para obtener
av+V~+~ ax
ax
at
o
(9.3)
Estas expresiones,junto cun LI ee. 1.4.,
aQ
ax
ay
+T--'
at
o
constituyen un conjunto de fonnas de la ecuación de continuidad en flujo impermanente en canales abiertos, LIs cuales, junto con las ecuaciones dinámicas permiten la solución de los problemas objeto de nuestro estudio.
9.2. ],'cuacioflcs Dinámicas del Flujo 1mpcrJnu¡¡en te en CmlLdcs Abiertos La ecuaci()!l diferencial en derivadas parciales que representa el flujo impermanente en un canal se plantea considerando, usualmente, que el flujo varía gradualmente de tal forma que se puedan despreciar las aceleraciones verticales de las partículas de fluido y que el esfuerzo resistente obtenido para el flujo uniforme en una sección transvers;¡j cualq lliera es a p [icab le a la misma se cci (1l1 con igual velocidad cuando en ella se presenta un flujo no uniforme e impermanente. En la Fig. 9.1, de acuerdo con la condici(lll dl'
222
/
PENDIENTE DE LA LINEA DE ENCliGIA., S
"-
_.~.
FIG. 9.1
SUPERFICIE LIBRE
Esquema de Definición para las Ecuaciones Dinámicas del Flujo Impermanente.
equilibrio de fuerzas según Newton tenemos que
ah
Tx
- ¡ A
eh
-
pdx
70
=
p Adx
a
x
(9.4 )
donde el primer término representa la componente del peso en la dirección del movimiento, el segundo representa la fuerza de fricción generada por el esfuerzo cortante promedio 7 0 sobre el ped metro mojado P y el segundo miembro es la masa del cuerpo sometida a la aceleración a x la cuaL según la ee. 1.10 puede escribirse
a
dv dt
x
av ax
y-+
av at
(9.5)
De esta forma, substituyendo la ec. 9.5 y la relación do por ¡Adx se obtiene
ah ();
- s=
y cr b
av
-dx+
1
av
o-
at
b
70 =
¡ SR::::')' SA/P y simplifican-
(9.6)
donde g=y / p. La pendiente S correspondien Le a la fricción puede expresarse de acuer do con la ecuacicm de Chézy por S=Y2/ (C 2 R), en la cual C es el factor de fricción de Chézy y R es el radio hiddulico. La eco 9.6 puede reescribirse agrupando términos en la forma_.
(-) dx
av
y2
(h+ - - ) + 2g-
g
--+ at
S
O
(9.7)
223
Pero como
H=h
+
v2
(9.8)
2g
se tiene que
aH
1
av
-dx+ --+ g a t s=o
(9.9)
Si por conveniencia, se hace Se= - él H I él x, y, Sa =- élV/g élt, emonces,
s =S e + Sa
(9.10)
Esta expresión indica que en flujo impermanente gradualmente variado la pendiente de fricción es igual a la suma de la pendiente de la línea de energía y del llamado gradiente de accler
S=
S ()
-~- v av
ax
él x
av o-
D
(9.11)
at
Esta expresión contiene las formas básicas de las ecuaciones de energía en flujo uniforme, en flujo permanente gradualmente variado yen flujo impermanente gradualmente variado. En efecto, el primer miembro igu~11ado con So representa el flujo uniforme, si adicionalmente tomamos en cuenta los dos términos siguientes, la ecuación representa el flujo permanente gradualmente variado, y el último término de la ecuación de energía señala la condición de impcrmanencia.
9.3. Solución de las J::cuacíones df'l Movimíf'nto, Método de las Caracterlsticas La solución de las variables clependientes V e y en las ecuaciones dinámicas y de continuidad no puede obtenerse en forma explí cita excepto en ~11gunos casos específicos. Uno de los procedimientos mas ilustrativos es el llamado Método de las Características
224
odo des arrc llatas en form a sem igrá fica . El mét
exp líci el cual per mit e obt ene r solu cion es por J.U. Sto ker , en tado de una man era clara y sim ple sen pre sido ha ado pas o sigl el do en 195 7. rect ang ular con anun can al de seccil>l1 tran sve rsal Con side rem os, en prim er luga r, ond a soli tari a en un ord emo s que la cele rida d c de una Rec tes. stan con nte die pen y chu ra exp resi ón al expresi¿>l1 c=v~ Ele van do esta la por a dad está y ad did fun canal de pro se obt iene a x, y sub stit uye ndo en la ce. 9.11 cua dra do, der ivan do con resp ecto
ay dc -+ 2c - - + v -ax dx
ay
ot
(9.1 2)
g (So - S)
ució n, la cua l pery=y m' se hac e la mis ma sub stit En la ce. 9.3 de con tinu idad , para mit e escr ibir dc (9.1 3) OV Oc --+ 2 --=0 2Y ._ + cox at dx.
e la sum a de las ecs. 9.1 2 y 9.1 3 con duc
ay at+ (Y +c )
el
oc
ay
ax+2~+2(Y+c)
ac ax
g(S o-S )
(9.1 4)
9.1 3 con duc e a y la diferencié] de las ecs. 9.J 2 Y
c o-c- 2 (Y -c)o-= oy ay o-( S -S ) - + ( V - c ) - - 2ot o o ax ox dt
(9.1 5)
del cálc ulo dife renc ial, que Rec urd emo s, de las def inic ion es
df
dt
af
dx él x dt
----
af
+at
(9.1 6)
6 se pue de inte rpre tar, fíien te de x y de t. En la ce. 9.1 don de f es una variable dep end dx/ dt cae en cue nta de se des plac e con una velo cida d que r ado erv obs un que te, men sica
225
los cambio s de la variabl e f con respec to ;d tiempo s,egún la tasa ex presada por la ce. 9.16. De acuerrt o C011 este criterio , bs ecs. 9.14 y 9.15 pueden escribi rse en la fornia d (V+2c ) dt
d (V -2c) dt
= (v+c)
(V-c)
a (V+2c ox ~-2c)
)
--+
ax
a (V+2c )
+
él t
a
=
Cr
(V-2c )
at
IS o-S)
tJ \
(T
t'J
(S o-S)
(9.17)
(9.18)
en las cuales se ha hecho dx/dt= v+ c, y, dx/dt= v -c respec tivame nte. Las derivad as totales d (V+2c ) / dt, y, d (V-2c) /dt represe ntan las tasas de cambio de las funcio nes con respec to de observ adores que se desplaz an con velocid ades (V+c) y (V--c). Consid eremos en el canal de la Fig. 9.2 los puntos Pa y P , para los cuales se conoce n las caracte rística s b hidrául icas en un instant e t, situado s aguas arrib, y abajo, respec tivame nte, del punto en donde se trélta etc obtene r b inform ación hidrául ica (ln'res pondie nte al tiempo t+L1t. Las ecs. 9.14, 9.15, 9.17 Y 9.18 se pueden escribi r en diferen cias finitas de la forma. (9.19) ~ (V
± 2 c)
g (So - S) Ll
t
(9.20)
Las cuales corresp onden a trayect orias o caracte rísticas que pueden seguir dos observ ado· res que interca mbian inform ación para genera r nuevas condic iones. En las ecs. 9.19 y 9.20 se pueden tomar los valores prome dio de V y de e en 1a~ exp,res iones V=(Va + V)/2, c=( ca + c)/2 y tambié n \1=( V b + V)/2, y c=( cb +c)/2 segun el caso. La solució n mas simpíe de las ecuaci ones de las caracte rística s corresp onde a una onda que se propag a en un cmal horizo ntal sin rozami ento; Esta situac.i,ón .hi.p~tética para lo cual S =s=o puede represe ntar con buena aproxl maclO n la condlc lon 111lclal del movimien to del agua que se libera cuando se accion a una compu erta creand o cC.lIldiciones de inercia mas import antes que las de rozami ento. En este caso en clue las derivad as totales de V ±2c son nulas, los observ adores que se despla zan con velocid ades V ±c no encont ra¡-(lD cambio alauno en los valores de V±2 c. , tJ
226
--------------------~
Or---------------------~------
x
t.t:.t
FI G. 9.2
Esquema Gráfico para la Solución de las Ecuaciones de las Características.
Ejemplo 9.1. hacia un embals e Un canal rectang ular con profun didad norma l y n=1,5 m., fluye que el nivel de la supercon una velocid ad de 1,0 mis. Si el nivel inicial del embals e, igual 3 horas por efecto del vaficie libre del canal en la sección termin al descien de 0,6 m. en r el tiempo para que calcula s, turbina ciado origina do por la alimen tación de un grupo de del embals e. Hasta arriba el nivel del canal baje 0,3 m. a una distanc ia de 1 Km. aguas ficar el proble ma supodónde ha podido avanza r la perturb ación en ese instant e? . Simpli niendo pendie nte nula y rozam iento despre ciable. Suluci ón
la velocid ad y celeSi consid eramos positiv a la direcci ón de aguas arriba tenemo s que ridad iniciales están dadas por
Vo =-1,0 m/s., y,
C
o =) 1,5 x 9,8'= 3,83 mis.
227
En la Fig. 9 3 el problcl1i:¡ se ¡ndjc¡ el tnlllto B situadu a 1.000 1J1. haci~¡ aguas arriba el cu;¡] cUITesponelc ,¡ una prufundicbd y=~j ,5-0,3=1,2 l1l. Y ,¡ una ce(criebd c=,j 1,2 x 9,8'-
=3,43 mis. L¡ c¡r,lcterística AB en t
lo ];¡rgo ele la cual c=3,43 mis se origina en el puntu boca del río, de prufulldjebel 1,2 111. b cual se produce para cl]] ticmpu
la
= O,3x3/0,6 = 1,5
A,
;1
huras.
t 4
:3 b
----------------------
~
2 A
El
I
y' 1,2 m.
__ 1_ - -- _ \I_,~::.. ~~7 J5'Tl./J:'f_ - - - - - ::--=;;";;;;.,,;i"f'-"-~~, I
(J
~<m/l"
I
I
I
I
I
1
..-!-_.J-_-'-_-'-_~__'___'_I ~ _ _ J'__
2
8
6
FIG. 9.3
10
_'__
12
_'__ 14
_'__
_'I~ 16 X(Km)
Solución GrtHica !.le las Ecuaciones de las
A lo brgo de la característica
c¡racterística eJ, se nene
V(I)+e(t)
(9.21 )
en Lt o¡;¡] se puede establecer b dependencia entre V (t) y c (t) cOl1sideLll1du que A lXII-te un,¡ caractel'Ísticl e2 en que
V(t)-2c(t)=V () -2c o
(9.22)
Reempb/.ando altern,¡tiv,IIllCJ1te C (t) y V (t) de 1:1 eCo 9.22 en
dx dt
228
3 'J
V (t) -
:2
vu + c ()
la ce 9.21 se tiene
(9
y t~1111bién (9 .24 )
eh - = 3c (t) eh
+
V o
2c o
pu ed e esc rib ir es en la ec. 9.2 4 se Su bs tit uy en do va lur
~;
9,4 7 Km /hr . x 3,8 3 = 2,6 3 mi s = 2 ,O 1 3 3,4 x = 3
mino 20 S. El Km fh r)= 0,1 0s 6 hr= 6 ,47 /(9 Km 1,0 es B ad en B o en tre A y ha sta qu e la pf of un did lse ba El int erv alo de tie mp em l de o ns sce inc iac ión del de tie mp o tot al de sd e la m. es ha ya de sc en did o 0,3 1 hr. 36 mino 20 S. t B = 1,5 + 0,1 05 6 = emb,d~ tan te t=O cu an do el , ori gin ad a en el ins ión ac rb rtu 60 56 ; pe 1, ra )x me pri x= (V o +c o Para t= 1.6 05 6 hr. la a dis tan cia xt al qu e un sta ha do í'.a ll1 av' : er, ha br se l'lllpeí'.(l a dl' sce nd e tie ne ou -1 1/s=10,188 K' n/h r. se 11 3 2.8 3= 3,8 + 0 1, =- O ' +c J ra V( así 1),l r = 16 ,35 Km x = 10 ,18 8 x 1,6 05 6 las qu e co ser po sit iva s tal co mo en ed pu l na ca un en od uc ida s dis mi nu ye la profundi~ Las pe rtu rb ac ion es pr , () ne ga tIv as cu an do ad did un of pr de nto rel lle a me did a qu e pa sa rre sp on de n "a un inc se ha ce ma s pe gu ei' ia (t) c ;l, tiv ga ne es rb ac ión t au me nta . As í, da d. Cu an do la pe rtu llu ye a me did a qu e ml dis t fd dl\ de lor on un cia da s, l1encia, el va gr ad ua lm en te ma s pr n el tie mp o y en C0l 1 SeC ce ha se e qu Cl plo ca rac ter íst ica s ilu str ad o en el Ej em las pe nd ien tes de las de l eje t seg ún fue ha rec de sec la tt:r in cia ha en erg en co nv erg en un a posici{¡n, div las ca rac ter íst ica s Cl as, tiv si po n es so lor va es s ion do rb ac la pr of un did ad ten dr ía 9.1 . Cu an do las pe rtu ers ec ció n ind ica qu e int ta ce en un a Es du . tra nto se pu ico ún fen úm ell o fís t,ín do se en alg El o. mp tie o sm mi n dc l siste~ o lug ar y a un ola qu e po r tra sla ció a un dif erc nte s en un mi sm a e nd spo lTc cO ari o, pr on un cia do qu e rm an en te o es tac ion ond;1 co n un fre nte a co mo un res alt o pe iad tud es el ser en e e ed uc pu od do s se pr m
22 9
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
¡'r.ttriftCClon "l
I
61
T
~
_ _ _ _ _ _ _ _ _L _ _ _ _ _ _ _
O
FIG.9.4
x,
~
x
Convergencia de las Características en 1, a Partir de Donde el Frente de la Ola se Hace Pronunciado.
La interse cciún de un par de caracte rísticas próxim as se puede estable cer, en la Fig. 9.4, median te las relacio nes geomé tricas
.6.t sen e .6. = - - - sen ()
e
.6.t
x/
sen 2
e
x·1
y tambié n
.6. ()
= .6.
(tg ())
7
COS~ ()
Por lo tanto
x·1 =
.6.t tg 2 () .6. (tg e )
d (V+c) /dt
(9.25)
Si se substit uye la ee. 9.24 en la cc. 9.25 se obtien e finalm ente x·1 =
[3c(t ) +V o -2c o ]2 3 dc (t) I dt
(9.26)
La envolv ente en el plano x--t señab el contor no a travós del cual no se transm iten las caracte rística s ya que en esta se pruduc e la pérdid a de energía corres pondie nte al re-
salto.
230
Volviendo al problema de la onda negativa sin rozamiento, la forma de la onda se puede obtener reempbzando dx/dt=x/t en la ce. 9.24 10 cual es posible si se elige un origen adecu;ldo. Así tenemos
x
(9.27)
t
El perfil instantáneo de la onda, según lo indicado por la eco 9.27 es una par:lbola tangente al fondo del cana1. Los problemas de flujo impermanente con rozamiento pueden resolverse por medio de gráficos similares, con las dificultades ad 1cionales contenidas en los términos S o y S en
la ecuaci¿m del movimiento. A continuación se estudian algunos casos particulares de flujo impermanente con rozamiento.
9.4.
Tránsito de una Onda de Crecida Una onda generada en un canal uniforme que avanza con velocidad constante V w
entre una región de flujo uniforme de profundidad y 1 Y otra región de profundidad y 2 Y flujo uniforme es una onda de forma estable y recibe el nombre de Onda Monoclinal de Crecida. El an(¡lisis de este tipo de onda puede simplificarse tomando un sistema de ejes coordenados que se desplace a la misma velocidad V w de la onda, o en otras palabras, sumando una velocidad -v w a todo el sistema y convirtiendo el problema en uno de flujo permanente.
FI G. 9.5
Análisis de una Onda de Crecida por medio del Principio del Movimiento Relativo.
231
Sig;\lllOS el des;¡no[[u de B.R, Gi1crest. en 19S0. E11
L\
Fig. 9.5, 11;\llle11111S ;\ Qr el
g;\stu ficticio corrcspll11diclltl';\ h Iluev;\ situ;\ci¿JI1 reLtiv;\. El g;¡sto Qr estarú daclu p()r
(V
w
~V
lA 2:2
(9 .2S)
d()nde Al v A:2 rcprl'SellL\11 bs Jre;\s cmrcspondicl1tcs;\ las prllfl11ll1ilhdes Y1" Y2 rcspectiV;\\llClltC. De la ce. 9.2S se pucdl' obtener l1 U l'
(9.29 )
COlllhin;\ndll Lts ccs. 9.21-5 y 9.29 se ubtiellc e1 gasto ficticio relativo, ;\sí
(9.30)
~A
I
l'
FIG. 9.6
=V
w
Representación Gráfica de la Velocidad de una Onda Estable.
Es evidente ljUC la velocidad de la ond;\ l'xccde LIS velocidad V 1 v V r, va que / !.. ¡
> e.!.. > el' r,
\lI,l
De hecho. substituyendo V\-\1 =dQ/dA en un cana] recull!o':ubr y haciendo u I
Q=AC y1/2 S 1 /2 de ;Icuerdo cun la ecuacillll de Chézy se obtiene llue
232
e >
=3V/2.
La forma del perfil se puede obtener mediante una substitución adecuada en la eco 9.1]. En flujo impermanente gradualmente variado, la onda avanza con una velocidad V w; por 10 tanto en una determinada sección, la tasa de cambio de la velocidad con respecto al tiempo es igual a la velncid ad de la onda por la tasa de cambio de la velocidad con respecto a la distancia, con signo negativo. Así, en la igualdad
av
av
(9.31)
Tt=-Vw(ax) se puede substituir aV/ax derivando la relación V = Vw -Q r lA de tal forma que
av
a-t
(9.32)
donde T es el ancho en la- superficie libre. La substitución en la eco 9.11 conduce a V -V
g
w
av a
x
(9.33)
de donde
s o -s
ay ~
')
1 -
(9.34)
TQ r g A
3
en la cual Qr tiene el significado correspondiente a la ce. 9.28. El cambio de elevación del nivel superficial en una determinada estacion, ay/at, es igual él V way/ox; así, la ce. 9.34 permite el cálculo del cambio de elevación en una sección. La subsistencia de la onda se puede estudiar a partir de la hipótesis de que la velocidad de traslación de la onda se conoce por el estudio de registros hidrográficos previos o que esta se puede obtener de la relación
vw
1 T
dQ ~
(9.35)
233
curresp onde ,¡] esquel11" de la Fig.9.6 . P. Forchh eimer. en 1930, desarro lló el siguiente métod o para la determ inación de la atenua ción de la altura ele la onda en canales rect;lIl gubres anchos : P,¡r;\ flujo imperm anente , emplea ndo L\ ec. de Chézy. se ruede c:seribir CUi1l0
Q= AC) /2 (S J
o
_o y _) 1/2
ox
y derivan du eun respec tu ;\ x
aQ
) dV)1/ 2 él (Av 1I? .~ 1/? ~-(ACy~) ax élx ?iS ~
--=C(S-~
ax
u
(9.37) :;/:;,1 /2
\ u-uy Ux)
pero en b crest;\ se tiene que ay/dx= O y tambié n a Ala:: = O. así
oQ
ax
y 1/2 -2s1/2- AC
Cl
a2 y
-¡-2x
Qn 2S ()
e,
a..c y ----:--Tax~
(9.3g)
dunde Q¡ = ACv 1/2 S 1/2. Pero. de b ecuaci ón de cOl1till uicbel, se puede rccYll¡Jbzar 1 • () . - a Q/ax por Ta/at y la ce. 9.38 se transfo rma en
ay T dt
2S o
?
élx~
(9.39)
El c;¡mbio de prufun diebd en la cresta de la unda cuando elb trdllsit, l hacia aguas abajo, expres ada por la derivad " total, e11 términ us de velocid ad de b onda, es
~ dt
-~ +
at
(9.40)
Pero en la cre"sta se tiene c]lIe ay/ax= o y por lo tanto <11 reempl azar la ee. 9.40 en la ce. 9.39 se ob tiene
234
~_= dt
él 2
(9.4 1)
~ -')
Qn
ax~
:2TS o
tiem po i:1 t=i:1 xl Vw con la velo cida d Vw req uier e un La cres ta de la ond a que ava nza ta es cam bio de pro fun did ad de la cres paré) reco rrer la dist anc ia i:1x; el
i:1x
dy i:1y
V
dt
vw
w
(9.4 2)
lme nte disp oni ble ar por otra exp resi ón más Hci plaz 2 reem 2 de pue se t/ox él a La deri vad si se tom a en clle nta que ~
élQ
aQ
ox
ox y por 10 tan to
élQ ay
En
Y que , ély/élx=O, así la cres ta se tien e que TV w = élQ/ély,
pue de escr ibir y reem plaz and o en la ee. 9.42 se
i:1y
=
Qn
~-----
2T 2 S o V:2 w
_él :2 Q _ ') él x~
i:1 x
(9.4 3)
235
a
Con el [in de determinar el valor de 2 Q/d se puede suponer lItle el perfil de la ond,) se curresponde, en la vecindad de la nest,\' con un cIrco de círculo subtendidopor ulla cuerdJ que une dos valores igu,¡]cs ell el diagLlma de descarg'l. Se puede tomar la longitud L de la cuerda tal que subtienda a la onda para un clllebl correspondiente ,¡ la descarga pico Qpe cn exceso de la descmr<1 normal. Ll lOllg:itud de la cuerda se rIluede dar [Jor L= u · L'
L'1t L donde L'1t L e~ el intervalo de tiempo necesario para que la cresta recorra la longitud L. La curvatura 2Q/ dx 2 del arco subtendido se puede ,¡proximar por el inverso del radio de curvatur,¡ r en la vecindad de la crest,l, de tal forma que
a
1
--=-8
Q"pe
(9,44 )
')
r
Reemplazando
8 Qpc w (L'1tL)~
la expresión ,mterior en la ce 9,43 se puede obtener
4 Qn Qpe L'1x ---
2
ce el
Cuando se
P,lSO
ele
la cresta
y la ee 9.4 S se puec1 e tran
ce¡ L1
(9A5 )
r
b ond,¡ se puede en
que
es
4
(9.46 )
tenerse que la cnergÍél y que la carga de se clespbza con una velocidad CUl1St,1I1tC y que el perfil de 1<1 un arco de Le) c1ón ubtenida hél m()stra~ en probkrn
2 Un tramo de do tiene 4S Km. de un,¡ anchur:.¡ de 1500 m. y una El río conduce pcrm,ITlCnl:cmcnte un c¡mbl 1000 rn Se jJrodu~ ce una currc.~p()nclc ,1 un c¡urbl m:íxinlO, exceso IT el caud,¡l pcnn,¡~
aguas arr iba pasar po r la sec ció n de ra pa ras ho 30 re uie el de sce ns o 3 La on da req Km. del río . Calcular ne nte , de 25 0 m /s. 45 los rer or rec en alc an za ra 20 ho ras cu an do la cre sta ha ya o pic del río y la cresta de mo al ud ca l de n sta y la dis mi nu ció de elevación de la cre s ab ajo . do el ex tre mo de agua
Solución cre cid a es ns tan te, de la on da de co , ito ns trá de d ida La ve loc 45 Yw =~_O x
10 00 36 00
0,6 25 mis.
sar , de ac ue rd o co n la scarga se pu ed e ex pre de de l rfi pe l de ra El rad io de cu rv atu ec. 9.4 4, po r 2 = - 22 78 12 5 s/ m. (0 ,62 5 8x x3025x0 36 00 ) r= 5, así se ob tie ne de la eco 9.4 El de sce ns o de la cre sta
~y
=
Qn
~X
2T 2 S O y2w
r
Vw
- - - - - _l b.y -=---=,,-:::-:-:--,.tl"'!. - - - --:,- ~
r -- -- vw.;;.- -
I
I :mlilY/.dii h1YMliljMlI¡w/ ;I
i> /t'/AlI ll"'W.A1II\iw),{iiilWAi¡liW.J¡¡¡11
¡-- --- ti"
4~ Km.
45 00 0
10 00
-
~y=-
I ;J1fillf$
2x 15 00 2 xO,0004xO,62
52
22 78 12 5
------.¡ ~
y = - 0,0 28 m.
9.4 6 es de ac ue rd o co n la eco o, xim O1á al ud ca el La red uc ció n en _4_50_0_0_ _ _ = _ _4_x_l_0_0_0_x_2_5_0_x 3 x 30 2 x 3600 2 15 00 x 0,0 00 4 x 0,6 25
_ 26 .34
01 3 / s
23 7
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
La reducc ión anterio r se corresp onde eviden tement e con la expres ión
9.5. Perfil de Avenid a por Rupt'ura de un Dique La ruptur a comple ta de una represa origina la liberaci()J1 repent ina del agua en el embals e. Emple ando la ecuaci ón de ehézy se puede determ inar el perfil de la a venida correspo ndient e al flujo si se supone un canal rectang ular muy ancho. En este caso especia l con referen cia a la Fig. 9.5.y a las ecs. 9.28 y 9.29, se tienc que
Al
=O;
V1 = O ; Q r
= O ,y,
EmpIc ando la ecuaci ón de ehézy para
V
'v
= V = es 1/2 2
o
Vw
=
V')~
la velocid ad se puede cscribi r
, 1/2 Y2
y tambié n
donde
Q = V w A - Q r = V? Ty ~ Substi tuyend o
las expres iones anterio res en la ec. 9.34 se obtien c
~ él x
so -s=s o
Y2 ' []---]
Y
(9.47)
Es de anotar que si en lugar de. emplea r la ecuaci ón de resiste ncia de ehézy se hubiera empica do la de Manni ng se habría obteni do
~
ax
238
y') So [ 1 _ ( - - ) 4/3 ]
Y
(9.48 )
Si se hace la hipótesis q ve E. Naudascher propuso en 1967, de que la fuente de suministro permanece constante, se podría emplear la profundidad normal en la cresta de la avenida para L, cual el flujo es prácticamente uniforme. Así, para Y2=Yn' la eco 9.47 se puede transformar en 1
d](
=
" ( S-
1 ) dy 1 - Y/Yn .
l-
o
(9.49)
Escogiendo tI punta del frente de la avenida como el origen de coordenadas donde y=O para x=O, la ce. 9.49 se puede integrar entre O e y; así
1 So
.
1
) dy
(9.50)
= ~+ In (1-~)
(9.51)
x=--
(1~----
-
1-Y/Yn
la cual conduce a xS _ _0_ _
Yn
Yn
Yn
Algunos valores numéricos de esta ecuación se presentan en la Tabla 9.1 TABLA 9.1 Perfil de la Avenida Producida por Ruptura de un Dique
Y/Y n
x So/Yn
1,0 -00
0,8 -1,809
0,7 -0,507
0,6 -0,316
0,5 --0,194
0,4 -0,110
0,3 -0,057
0,2
O
0,020
°
La ce. 9.51 se presenta también grahcada en la Fig. 9.7. Esta indica que la avenida se desplaza con un frente de agua de pendiente muy pronunciada, casi vertical. Para realizar un análisis cuan ti tativo en un problema particular, se requiere información sobre los valores de v de S . J o
239
que se supone que
la
FIG, 9,1
en
pUf ruptura la onda negativa se
la fig,9,8) se
de [Jrefillil":iülIl pawa la Deternl1nación de~ Caudal Li~ bemdo,
Gráfico P,¡Jimensional del Perfil de AlJemiclr:t
(9.52)
por la ecuaci¿ll1
se
Q =T (
dQ
-1-=0= o
ex muestran q es máximo, Así para
la
-2\1
íén d
1
(9.
g Yo por
lo tanto el
I Q= ----1'
4
240
lY
b
g
v= y
es
_'-_J_) V
-d)V=T(y o - v
, Diversus forma que el Cél
se
movimiento,
es
g Yo
(9 55)
g que se
tío ron
Inc ren Ien tos
9.6.
+1
la
1 :2
o
en
- vI
-
+
2
C(__
o
9.5
Y-J;,
se
811
1
J
,-
L}"t --}-
o
2
o
+ - 2- 01~
Út
'57 )
En Ulla segund a a prox illla ci on se consid era un almace namien to en "cuña" el cual se obtien e midien do los valores instant áneos de los caudal es de entrad a y salida y se relaciona con el almace namien to de "prism a" represe ntados en la Fig. 9.9.
Almacenam iento en Ilcul'lo" = K X (1-0) /
Caudal da trabajo
~--L
__~~"'"--
O
-o-~
FI G. 9.9
Representación de los Almacenamientos en "Prisma"
y
en "CU~¡¡".
Supon iendo una relació n line~ll ,lI1áloga ;1 la anterio r, entre volume n almace nado y caudal de salida para el almace namien to de "prism a" y otra relació n lineal para el almacenam iento en "cuña" depend iente de la diferen cia 1-0, entonc es, el almace namien to total será "V=K [O+ X(I- O)]
(9.59)
Esta ecuaci ón es la base del métod o de Muskin gum desarro llado por el U.S. Corps oE Engine ers para la cuenca del río Muskin gulll, Ohio. El cambio de almace namien to en un interva lo de tiempo selecci onado se puede expres ar por
(9.60) Combi nando las ecs. 9.56 y 9.60, con el apropi ado .cambio de subínd ices y hacien do Llt= 2KX, se puede obtene r
(9.61)
El concep to de caudal de trabajo , o caudal D, represe nta el flujo perma nente que produc iría igual almace namien to que el corresp ondien te a los valores de flujo de entrad a 1 y salida O. Se observ a en la Fig. 9.9. que
242
KX (I-O)
(9.62)
= K (O-O)
de donde
0=
D - IX
(9.63)
1-X
o también O=D-
X 1 -X (I-X)
(9.64)
A estas expresiones se les pueden asignar los subíndices correspondientes a diferentes niveles de tiempo para obtener otras expresiones que las presentadas en las ecuaciones anteriores. El ejemplo que sigue, desarrollado por E. Naudascher, ilustra un pr.oceso de cálculo del tránsito de un,l avenida.
Ejemplo 93. Una avenida con el hidrógrafo de entrada dado en la tabla de abajo, entra hacia un embalse con un área superficial de 800.000 m 2 . La salida del embalse ocurre sobre un aliviadero cuya cresta tiene 60 m. de longitud, adicionalmente a una salida constante de 14 m 3 /s. hacia una central hidroeléctrica. Determinar el hidrógrafo de salida si el nivel del embalse es igual que el nivel del aliviadero antes de la llegada de la avenida. Para simplificar el cálculo se supone que la superficie del agua en el embalse es horizontal y que su área es independiente de la elevación.
Hidrógrafo de Entrada Tiempo (Horas) Caudal (m 3 /s)
O
2
4
6
8
10
12
14
30
78
84
58
28
14
La ecuación de salida por el aliviadero es
= C d Bh 3 / 2 V2g donde Cd = 0,433. 243
Solución Por convemcncw, la solución numérica para el presenta en la siguiente tabla
h ( 1)
° (m /s) 3
en el aliviadero se
de
I
0,03
0,05
0,10
I
O
-l,29
3,63 10,30 118,99 129,10
0,20
I 0,30 1 OAO
0,50
0,60
O 53,50
párrafos anteriores, la relación de continuidad de
Con hipótesis indicadas en la ce. 9.57 es
donde el subíndice 111 representa medios de los en el intervalo tiem po ~ t. El caudal medio de salida es O = (01 + 0 11 ) =0 1 + O" donde 0 11 es el ca i 111 m 111 , constante ele 14 111-/S que la central ca. SI el de del embalse el intervalo el e el incremento en almacenamiento se puede corno
ll'\f=Silh la SImplificación que supone un área S constante int,::rvalo de
¿ir
=2
7200 800.000
244
eCLlaciol1ES
-O' 11.1 -1 11!
Con una anteriores se
Los
en la Tabla de
se
____+-__-24~____+_----~~------~.-----~----~----.-~.. !imITada !v'!ed ii:l 1m
22
0,
2:
0,7 0,066
54
lO
10
4
0.,210
6
0,270
0,336 (0,471)
71
55
,o 5"
43 10
28
-"" ,¿
14
14
lL}
(0,614) 0,011
46
21
27
46
00470 (0,380)
-OJ80
55
0,62<1 (0,546)
-0,153
37
0,606
27
0)290
14
14
14 14
En la
la representaClón gráfica de la
máximo se m'J/ s y que tiene un desplazamiento en minutos. En de Volúmenes se presentan los al resto de presentaciones en el gráfico de la solución.
245
r
140
r-~~r-~~~~~,-~~,-~~~~~~~~~~~-,~~--.2,S
0,6
120
~~~~~7--,~~~~~-.~~~~~~2,4
0,5
100
0,4
~ '".5 SO
0,7
I
!
E
0,3
o"
~t--~-t---~
2,
E
° "'o-
1,6
~ N
1,2
60
H
;:j o
[,-,1
0,2
40
0,1
20
°
CAUDAL
DE SALIDA O
.",L-+-"'~-+~~-----jf---~~l--~--I
0,4
o
°
Tiempo
(Ilr)
flGo EJEMPLO !13
de
~aiid¡¡o
Tabla de Volúmenes Tiempo
Llc.t
(hr)
(1000m 3)
(1000m 3 )
(IOOOm 3 )
(IOOOm 3 )
O
O
O
O
O
2
154
101
5
106
4
547
202
77
279
6
1132
303
343
646
8
1642
404
740
1144
10
1952
505
1070
1575
12
2102
606
1264
1869
14
16
246
0,8
LO
LO c.t
Loc.t
EJERCICIOS
Ejercicio 9.1. Un río fluye hacia un estuario con profundidad normal y n =16 m. y una velocidad de 1 mis. Antes de comenzar la subida de la marea el nivel del río y el del estuario son los mismos. La marea comienza a subir a una rata de 30 cms ..por hora durante 2 1/2 horas. Determinar: a.
Para una distancia de 2 Kms. aguas arriba del estuario, cuánto tiempo tardará el nivel del río en subir 50 cms.
b.
A qué distancia hacia aguas arriba se intersectan todas las ondas?
Bjercicio 9.2. Mostrar que el caudal relativo y la velocidad en una onda monoclinál de crecida un canal rectangular muy ancho pueden expresarse respectivamente por
en
Qr = y por
vw =v 1 donde C es el factor de resistencia de Chézy.
Bjercicio 9.3. Empleando la ecuación de resistencia de Manning y tomando en cuenta que V w =
=
+
~;
según lo señalado en la sección 9.4, determinar la relación entre la velo-
cidad de la onda y la velocidad media del flujo en una onda monoclinal de crecida, en
247
,L
Un
rectangular muy ancho,
Un.
triangular,
Determinar la velocidad de la onda y el perfil del nivel superficiél1 para un flujo impermanente gradualmente variado en un canal rectangular muy ancho si y 1=3,00 m., Y2=7,5 m.)
So=0,0004 y si el factor de resistencia de
es C=80 m I / 2 /s.
9.5.
Completar los cálculos para el Hidrógrafo de
248
en el Ejcmplo 9.3.
nlJLG 1
DISPERSlON TURBULEl'JTA El\f CANALES
10. ( Le¡
I
en
Ui¡
'.' U í11 O
at
~:-
ac = \/ ---él x
ac x
cC ----) + l(
,
r
(HU)
p
:1.]
1, la
.ex; 1,),
COí,.,¡cct;va de maS;l, COl1vecelmovJmiento
en tfe la convección real de el tér-
¡(en
J111110
noce
y se
longitudinaL En la Fig. esquemáticamente el
el sustancia nL\llcr~l
del dueto pur 11 1
¿1
capas
249
tes de fluido se mueven con dlferentes velocidades longitudinales originando una dispersion que se superpone ~1 la propia difusión turbulent,L La dispersión longitudinal resulunte es mucho mas amplia, según se indica en el gráfico de concentraciones en la Fig, 10,1. b, Sir G,l. or, en 1954, dcmostró en tuberJas, que el coeficiente dc dispersión longitudinal Cll un conductu recto podría c por
Kd = 20,2 R
(10,2)
~_.-
'"
t 1 1=0
.§ t= l' ,
J
e
r-v--j ~~~
~~~~
n Tmb!J!fmta
ti
. ed io en los co nto rn os esf ue rzo co rta nte pr om el es ro y len o bu lic tur ráu hid dif us ión do nd e R es el rad io e el valor me dio de la qu r yo ma ces ve 0 20 rca de r es nu la tas a de pr od uc ció n Este valor de Kd es ce al cu la en , va ati erv un a su sta nc ia co ns 10 .1 se ta Kx ' Pa ra el caso de ina l es co ns tan te, la eco ud git lon ón rsi pe dis co efi cie nte de la y su po nie nd o qu e el fo rm a pu ed e sim pli fic ar en la
c a2ac= K ac V -+ d ax 2 ax at
(10 .3)
on es iniciaifi ca ció n de las co nd ici ec esp la de e nd pe de ua ció n nti nu ac ión . La so luc ión de es ta ec sib les se es tud ian a co po as lem ob pr los de les y de bo rd e; alg un os
tánea en el Origen 10.2 In ye cc ión Instan
ca na l se inun a tub erí a o de un de l rsa ve ns tra n ció do r pa tod a la sec d"e un ma ter ial tra za ita Su po ng am os qu e en fin d da nti ca a un y un ifo rm em en te ció n de aguas ab ajo , tro du ce ins tan tán ea se dis pe rsa en la dir ec y do rta po ns tra es ter ial ra x=O, t=O. El ma . 10 .2. Fig la en seg ún se ind ica
C( f= O)
I* -- -- -- -- -- -- -V l
v
--~
----------
•
x de un trazador en Introducción Instantánea una a par es on aci ntr de Conce FIG. 10.2 Distribución O. = t o, x = fu nc ión Di ra c- de lta en tér mi no s de la se sar pre ex e ed pu en tra ció n int ro La co nd ici ón inicial pu lso inicial de co nc im un ra pa ca áti tem en te la ión ma ita de ma ter ia. In ici alm fin o (x) la cual es un a fuyncge d da nti ca a un r ne rad o po lso se ap ro xim a a ce ro du cid o en x=O, t=O e el esp eso r del im pu qu s tra en mi to ini inf a ta la ma sa to tal de l co nc en tra ció n tie nd e pu lso , la cu al rep res en im l de ión nc fu la jo a ba de tal fo rm a qu e el áre pre sar se po r ta pr op ied ad pu ed e ex Es te. tan tra za do r, es co ns
o
+= f
o (x) dx = 1
(1 0.4 )
251
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Ición
se rep rese nta cor no
e (x,O) don
M
P A 8 (x)
(l.í. S)
M es la m~\S~l
o y A es
el ;ln:,¡
de
la secc iói1
La mas a del tL\L ado r se con serv a, ,1sí
+OG J
+-= J e (x,O)dx
=
con torn o se en x = ± = , l S 1
par, ]
Par a
+=
ívl
f
pA
e (±= ) t ) = o
señ alad as, h
[vI
pA o c¡ uc
la
t> O.
con ccn trac ión es
b ce. 1 CU
011
t -1/ 2 le == - - - - - - - ex 1) -(x -
M
o(
2
(HU )
4
r.1 u e
L
b masCI
ora se lnue ve en sím étri Cl en la con cent r,¡C i()jl 111dXlí1¡;\ se mue ve COil b ve
la L11C r
el!
la
dircCCll111 rd-
m,¡yl.'¡-C'S quc 20, 2.en curv as rlci, \s real izad as por J. en 197 0, ()
en rerm ln,¡ cilll l
()
el
con ccn trac 1on cs'J se x
4
tI
cc. COH·
Por el que el coc o b curv ;ltur ;¡S SUll de peC Juei lo mie nto s y otr,1 5 ,¡]te r,\ci une s (jLle sc pro duc en se c un prr) Ccs o ex p;¡r;\ la deuna el istr ibuc iúll Gau ssia n
2 1 /') '1 ~
t
(10,13)
donde x1/2 se define como un medio de la longitud de tubería o canal que contiene fluido de concentración mayor que la mitad de
la máxima. Por otra parte (1 ,
~
donde t so es dos veces el lapso de tiempo u entr'" de un elemento de .volumen con la mitad de la conccntr~'.ción con máxima concentración,. Substituyendo la ce. 10.9 en Loe ee. despejando se obtiene, siendo X la disLmcia al punto de concentración
(JCUO)
Finalmenté (2RVi')', donde \1*= V~)P; guc se de terminar, substituyendo por su de f es el factOl fricción Darcy, mediante la
Kd ( 10,11) 2RV",
en la
R ec; En
la
7,84 R X [1/2
hiel
r
Fig,j O,}
de
concentrac¡onc:~
'" nida en una sección hidráulico, aguas abajo del sitio de myeccicm, para un número Reynolds Re del flujo, = 4VRjv = 71800, Eh dícha Figura, ei tlempo 7 se define por 7 = ( x - X ) IV. Si en la ce. 10,7 fijamos nuestra atenci(m en el punto de conccntranón máxima Para x =Vt, Se obtiene Cm
= Bt
- 1/2
\ 10.12)
dCHide B es una constante si Kd se supone constante.
Dividiendu vdlorcs de concentración m<Í xima en dos secciones 1 y 2 distintas y tomémclo IObantmos se tiene
253
0,10 ~
X/R
Re
248
=7/800
/' t'\
0,08
V \
\\
I
0,06
I
."
~ '-
I
\,)
0,04
~o: O 57 se!};?
ILl IJ
1--0,02
_1
I
V ./
0,00 1,0
0,8
0,2
0,6
O
\
\ \ 0,2
I'~
0,4
Í'. _"""
0,6
r--
0,8
1,0
248 R.
FiG. HUI
log
c, ¿
2
loatJ
Substitu
( 10.13)
y Xl
la ecuación anterior se
en
locy tJ
l(- tJ
)cr
2
En la 1 ü.4 se graficl b cunccn tracÍoncs distancias pa];l un número de y una concentr,lCiém de En dicho gráfico la sección 1 se tomó ~\ 248 R de la seco(m de 2 se usé) para indicar la sección
254
(10.14)
const,) ote. índice
..., ~
10 9 8
/
7 6 5
r
m en ta /e Pu nt os ex pe ri
s
Ve
11>
~
0 1\~ =7 1. 80
,V 1/ 2
el
3
--::
2
1
V 1
V
/'
/'
"~V
5
~
6
~
1
"'"
8 9 10
20
30
40
50
2
x, fIG.H1.4
de
es Máximas. de Concentracion
ef ic ie nt e de ia so br e el co nc ue fl in r te ne o, el ~oe o pa re ce no rc a d el m is m uj ce fl l ro de pe s n; ld ió se R ey no si ti o de in ye cc n o ld s, se gú n El n ú m er o de ua s ab aj o de l n' le ro d e R ey ag nú a ci al an al st on di er ta te pr op or ci di sp er si ón ci es d ir ec ta m en ón si er sp di e fi ci en te d la Fig, 10 .5 , m ue st ra en te en el a co nc en ci ón C on st an ra nt ce on C te nc ia d e u n is ex 10 ,3 la r o p nc en ad a er si ón or ig in lm en te la co sp ia di ic e In d a o, m x= le el p ro b t=O, el el or ig en , pa ra C on si de re m os E n el ti em p o x, en te , C a' en e an d m vo er ti p si y r po n tr ac ió n st an te cu al qu ie r va lo ci a d e co n ce tr ac ió n, co n ra an st pa su la la nu o e I za nd o co ns ig su bs ta nc ia es co n to rn o , q u d u et o , de sp la tr ac io n d e la ic ia le s y de el in s en ne se io er ic ov nd co a a m m ed ia V. L as fl ui do em pi ez a ve lo ci da d un n co ' C .6 so n lo ca li za da o en la Fig. 1 0 te en am ic át es q u em se m ue st ra n pa ra t: ? 0, C( + = It ) = 0 o; > x ra pa ,o )= O ra t) o; C (x C (o ,t )= C o pa
255
--
/1"
21
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19
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l
(13), y la
~Vj~
-
(10 ,15 ;
erro r erf
en las Ta ne s ta le s co m o io ac ic bl pu as rs ve da en di ve ió n C o /2 se m ue en cu en tr a ta bu la a de co nc en tr ac rv cu la Es ta fu nc ió n se en io ed va lo r m as de A lle n. El bl as M at em át ic d m ed ia V. co n un a ve lo ci da 5 se re du ce a V=O, la ee. 10 .1 e qu en al ci pe En el ca so es er fc (
x
2ytK¿'
) = 1
~
(1 0. 16 )
x -) er f ( - - - -
2 V tK ¿
va lo re s ili da de s co nt ra ab ob pr de la ca .1 6, en un a es co ns ta nt e. /C ' de la eco 10 a si K d es un a ct re ea lín a El gr áf ic o de C o un ón tu rrr es po nd e a nt e K x de di fu si ie ic aritmétj¡.-~, co ef la co ca el es n a co un , ta de x/-,jt en de , en es te ca so te ni en do en cu en di sp er si ón co in ci se pu ed e ha lla r de ón e si nt fu ie di ic ef de co e El co ef ic ie nt . 10 .1 6 se tie ne r nu m ér ic o de l ~ En la ee = bu le nt a. El va lo /0 x al cu un pu nt o pa ra el qu e de be ha be r
"hrK x '
er f ( --) = 1 1 - er f ( - 2 V "K ;
~
)
0, 21
2
n el fin de de x/ yt '= V 71 'K ; co de r lo va e nt ie es po nd ,2 1 se le e el co rr A sí , pa ra C /C o=0 . r nu m ér ic o de K x te rm in ar el va lo re le va nt e im po rpu ed e ad qu ir ir jo flu l de fes vé tra l a es tu ar io s. Es to s di sp er si ón la te ra d ua le s en rí o y si re s te se en ar lu m El es tu di o de la ef xi ap ro ga de o el de la de sc ar za m ie nt o pu ed en m ro n co s co so s jo ca flu en co s so de nta nc ia y ot ro ns ve rs al en rí os er si ón . Pa ra el ca sp tra di a cl la ez de m al de on m en si io ne s esnó m en os la ec ua ci ón tri di ie re n co ns id er ac qu de re n ió se ac or lic pt ap ce En m ed ia nt e la qu e la de l rí o re po r la de sc ar ga . e es pr od uc id a fe re nt e de ns id ad di qu l de ra , s po 74 te m an 19 te in en ia m ta ge l, nd ar ci rc ul ac ió n se cu A gu ir re y M. R en la J. , a S. do a bi rp . de Ze ad es id E. al r ns de pe ci tu ad a po n di fe re nc ia de bi bl io gr áf ic a ef ec ve rs al si n y co ns tra un a re co pi la ci ón ón si er sp di s pr oc es os de se de sc ri be n lo O cn si da d si n O ife rc nc ia de l sa er sv an Tr n 10 .4 D is pe rs ió s in ve st ig ad ore sp ec to po r ot ro al os ad iz al re aj os do en un pe na ch o ge ne ra 72 , an al iz ó tr ab 19 un en de s, al rs ok ve ro B ns tra N. H. ig ó la ex pa ns ió n , en 19 70 , in ve st res. ]. K . O ko ye
257
punto de origen en c.:I flujo uniform e de un canal abierto . Inyect ó un trazad or con flotación neutra , contin uamen te, con la misma velocid ad del flujo en el canal, él través de un orificio dentro del flujo. La concen tración del trazéldor se midió in situ en varios puntos aguas abajo empica ndo sond;ls de conduc tividad . Los experi mento s fueron realiza dos en un canal inclina do de 40 m. de longitu d y 1,10 111. de
V
2
da = - ? - --dx
donde a 2 es la va.r.ianza del perfil de concen tración en la direcci ón transve rsal nivel del flujo y a2 es el valor del a 2 prome diado sobre la profun didad.
258
(10.17 )
~
él
cualqu ier
Las bases teof]cas para esta relación en un flujo con dadas en detalle por Okoye en su trabajo. El coeficiente turbulenta y la dispersión transversal, asociadas con las de .a 2 aumenta ~1 una tasa lineal, con la distancia aguas KZ independiente de x. El coeficiente de dispersión es
mezcla vertical y horizontal son así definido incluye la difusión corrientes secundarias. El valor abajo haciendo de este modo a normalizado dividiendo por el
producto V * byn, así
¡y
T
1
r - - - - - ¡.. -
.. -
.. -'i~-------~-y¡".-- - - - - - - - - - - - - - - PENACHO OIPUSOR
Tti I .J.~~~~;",;;;;~~~,~,~r~~~x DISTIUSUCION DE VELOCIDAD
L/MIrE DEL F"ONDO SOLIDO
(Cerco del origen) PEflP/L DE CONCENTRACION VERTICAL
0).- SECCION CONTORNO LATERAL
T T
I
1 bl- PLANTA
FIG.HU
de Oefinici(¡n de !a
de un Penacho y sus Ejes Coordenados.
8=
(10.18)
,ionde V *b" es la velocidad cortante en el fondo, Yn es la profundidad. En la Fig. 10.8 se resumen los resultados del estudio de Okoye comparados con otras mediciones de laburatorio y de campo.
259
1,00
~
~
~
MEDICIONES DE LABORATORIO,
~ ~
.. ,
, "
0,40
,,
~
'"
SULLlVAN
~
'L
¡..--
I!l &.
Bc(~)
.....
'"' ~
KALlNSKE y P/EN PRYCH
. .
... .......
®" ~~ "6
()
!!!!I
e
.... ¡..
e
- -
r-
- - r- -
rr-
--
1-
--
1-
--
Canal S1} OKOYE S2 R2
MEDICIONES DE CAMPO,
.... "l!I.
e(~
0,10
ELOER
~ W
1',
""
®
ee
yorSUKURA F/SCHER GLOVER
-
- r-
'''1''
~~ V ~ ¡....1"'- r-- r--~ ~
'V
~
- -
[~
"""
¡-......
~
K
r-
6
0,04 0,01
0,04
0,10
0,40
1,00
FIG.10.8 Variación del Coeficiente Adimensional de Dispersión Transversal.
e
Se encontn:l que el valor de es una función de la relación profundidad--an cho, yn/T="A Los valores de tienen un rango que varía desde 0,24 (para "A=0,015) aO,093 (para "A=0.20) en el laboratorio. La pequeña parte de valores medidos en el campo por otros investigadores son cerca del doble, presumiblemente debido a las fuertes corrientes secundarias causadas por curvaturas o irregularidades del canal.
e
Para h~lcer comparaciones puede notarse que el valor de K ;v", Yn el coeficiente normalizado de dispersión vertical es k/6=0,07 (k es la constante di;' von Kárman). Así en el canal, el coeficiente de dispersión transversal es del orden de 1,3 a 3 veces mayor que el coeficiente de dispersión vertical. En la segunda fase se estudian los fenómenos asociados con las fluctuaciones en el penacho o pluma. Para un penacho fluctuante, la Fig. 10.9 ilustra el concepto de las regiones de intermitencia.
260
L/mite instantáneo del penacho Región de intermitencia
Centro de registro continuo
ORIGEN
:"
.. ,'
Regian de intermitencia
I
'c; ,:,,:
~- -~'-,"-'.~~
v
' " LImite extremo del borde del penacho
z
a) Caracter/sticas geométricas del modelo f/sico (PLANTA)
NOTA:
If (x,.;y¡ j z)= Factor de intermitencia para la seccion x, y nivel Y¡
'~"",.,'" f"""""O '~ I\ ",."",'0 r-z z Region deIn-
Centro de
Conllfluo
I I
Region de
z = Posición media de lo
parte frontal del penacho.
-O
b) Distribución del factor de intermitencia a través del penacho
FIG. 10.9 Variación del Factor de Intermitencia. Los puntos en
el interior de esas regiones están dentro del penacho durante parte
del t i,--mpo; la fracción del tiem-po en que están dentro del penacho se denomina factor de intermitencia Dentro de la pluma o penacho ~stá un punto para el cual trI, significando que la región está siempre dentro del penacho. El crecimiento de esas zonas se muestran en la Fig. 10.1 para un experimento ti pico; Wf es el límite extremo (If= = O) medido desde el eje central; Ll es el borde exterior de la parte externa continua (1f=l); Z es la posición media del borde del penacho (IFO,S). Para todos los experimentos en canales rectangulares anchos, esas anchuras se ajustaron a las siguientes relaciones ad imensionalcs:
1r
°
261
LIMITE EXTREMO DEL SORDE DEL PENACHO
(Ir
40
r--
80RDE EXTERIOR DE LA RE6/0N CENTRAL
~
(I,ZOI5OJ
(I,: ',0 J...
I I
'3~
..'"
V
30
~
o:
....
w o w
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L
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V
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V
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V
L
20
o:
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w, _!::>-'¡,....;"'" V
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J...,.....( ~
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¡......-
¡..- l--
I
I
'-....¿
V
M EDICION
eo2.
Canal 52 (Okoye)
j...p5,36 cm.
,/'
u
I
... ........ W, Z
~O) ....
POS/CION MEDIA DE LA PARTE FRONT.4L DEL PENACHO
V-=. 43,7 cm/uo!
1/=2,17 cm/SII9
Re:
I
1,173 xlO
I 200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
x (cm.)
FIG. 10.10 Crecimiento de las Características Geométricas de la Región de Intermitencia. 3,6 R
3,3 Rz y
W
(~ Yn
(~) y
) 2/3
v
11
v
(10.19)
(10.20)
(10.21)
donde
R
w
= (fs /f)r
1/4
(10.22)
(10.23)
262
ción obs erv ado del del lech o liso .' f r el {ac tor de fric ción fric de or flct el { les. en las cua , s par a el orig en virt ual de Wf" nlo r de x corr egid o lige ram ente el X y o, lech
D ijere11 cia. de Den sida d 10, 5 Dis per sión '1 'rans1Jc}'sal con son más pes ado s o s en un río o en un estu ario Si 10s con tam inan tos des carg ado de fluj o sec und ario por r, se intr odu ce un fue rte pat rón pto rece do flui el que ros lige más ace lera r la exp ans ión tam inan tcs. Est e efec to pue de con los de n nsió asce o to ien el hun dim ical los exp and irá uni{ orper o gra dua lme nte la mez cla vert tran sve rsal del con t
263
v
f
d
L
~ SECCION
DENSIDAD - CIRCULACION SECUNDARIA INDUCIDA
A-A
x
.,.. '
.¡
"
~~----------------~-z
' ..
:."
PLANTA
FI G. 10.11 Esquema de Definición en Experimentos con Mezcla Transversal.
264
EJERCICIOS
l-:jercicio 10. 1
a.
Determinar el coeficiente de dispersión lungitudinal Kd en un canal rectangular de concreto con rugosidad n=0,013 si la anchura del canal es de 1,00 111. Y la profundidad de 0.1 m. la velocidad media del agua a 20° C es de 1,8 mis.
b.
la viscosidad cinemcltica de remulino, promedio, en la sección transversal del canal (considerar que el cll1al es muy
Comparar el valor de Kd con el valor de
ancho). La viscosidad cinem,ítica de remolino E est;í d;lda por la expresilln
E=
r¡ p
?
dv
1 - [ - - ] = [k
dv/dy
dy
dv
(10.24)
dy
d()nde 1 es la lungitud de mezcb de Prandtl, r¡ es la viscosid;ld dinámica de remulino y k es la llamada constallte universal de von K:u'mán. El esfuerzu cortante T en función de esd dada por la expresión
T
=
P E
dv dy
la viscosidad cinemática de remolino
(10.25)
1:jercicio 10.2
Suponiendo que el cueficiente verticd de difusión turbulenta K , o de dispersión vertical, sea igual a la viscosidad cinem;ítica de remolinu, se puede obtenlr que
K y = O,4y (1 - ~y-) Yn
V gRS'
(10.26)
265
..
donde y es la elevación desde el fondo del canal, R el radio hidráulico, S la pendlente'Yn es la profundidad y g la aceleración de gravedad. Por otra parte, la ecuación para la distribución vertical de sedimento suspendido en flujo turbulento de superficie libre está dada por
w
c=-
K
~
Y dy
(10.27)
donde c es la concentración de sedimento suspendido en el agua, y, w es la velocidad de caída del sedimento en agua en reposo. Determinar la concentración vertical de sedimento suspendido en función de una concentración conocida ca a un nivel a =a y n donde a es cualquier valor numérico tal que
O
266
APENDICE A
PRACTICAS DE LABORATORIO
A.1
Inferior
de
ALL
Propósito'
Hallar admisión inferior.
A1.2.
características que determinan el gasto de una compuerta de
Equipo: Una compuerta de admisión inferior montada en un canal metálico.
AJ.3.
Consideraciones Analíticas: uso de dos de las tres ecuaciones fundamentales flujo. En laFig.)\.lse muestra sección admisión inferior.
En esta que gobiernan
P,/y
¡ fl . A.1
Esquema de Definición
Si suponemos que no hay pérdida de energía entre las secciones de flujo rectílineo 1 y 2, podemos escribir la ecuación de Bernoulli como
,,2 v2
P2
+---=---+z + - 'Y
2g
2
'Y
(Al)
269
Pero debido a que el flujo es rectílineo, la distribución de presiones es hidrostática y por tanto, para cualquier punto,
Substituyendo estas expresiones en la ee. A.l tenemos
v 12 --+
(A.2)
2g
2g
donde y 2 = aC c ' en la cual C c es el coeficiente de contracción. Además, aplicando la ecuación de continuidad tenemos
(A.3)
Si la eco A3 se introduce en la eCo A.2, y se reemplaza Y2 por aC c ' se obtiene
Yl
V2
= (2g
aC
_ _ _ _ _ _c_ _ _ ) 1/2
2
1 - C c (a/Y1)
2
2g_Y1 = ( __ __
(AA)
ya que q=V 2 a C c C, . v donde q es el gasto por unidad de ancho y C v es un coeficien~ te de velocidad, la eco AA se puede transformar en
q=
Cc Cv
(A.S)
) ten em os qu e (co efi cie nte de de sca rga C na mi no d de se -------C c Cv
Si
(1
la
+ C c a/Y1)1/2
ir co mo eco A5 se pu ed e esc rib
(A 6)
de ter mi na r ex pe riYl e Y2 se pu ed en a, s cia tan dis las y se pu eYa qu e el ca ud al q, y C d . Si ell o se ha ce , C s nte cie c efi co los r le de ter mi na la Fig. A2 . me nta lm en te es po sib qu e se mu es tra n en los mo co les na sio ad im en de n ob ten er grá fic os 1 Valo r teór ico= 0,61
él,6 Ce
Cd
""'---
Cd
0,50 ,0
fiG. A.2 A l.4 .
ca do r de pro ve en ).
0,5
s de Contr¡¡¡cción y Descarga Coeficientes Experimentale
en tal : Pr oc ed im ien to Ex pe rim
so br e el indil y lec tur a de so nd a na ca l de o nd fo de s e se 1. To ma r los nivele (us ar las do s so nd as qu de sca ns e en el fo nd o a ést do an cu rta ue la co mp un a dis tan cia a. 2. Su bir la co mp ue rta
e el ag ua lle gu e al de l ca na l de fo rm a qu n ció nta me ali de ve ng a un y 1 co ns 3, Ab rir la lla es ta ma ne ra se ma nte de y ión ac xim ro ap o de reb os e en el de pó sit tan te. mi na r YI ' a, Y2' es qu e pe rm ita n de ter 4. To ma r las me dic ion , cu ya ec ua ció n ve rte de ro , ag ua s ab ajo un nte dia me Q al 5. Medir el ca ud de ca lib rac ión es
(A.7)
271
donde Q es el gasto y H el la cresta, Los A y m están determ inados ,
6.
AJ.S.
el
el verted ero
él
al menos cinco veces, con distint os valores de
Presen tación de
1. Presen tar
y
2. Presen tar curvas aritmé ticas. 3, ecuacié m que se ob
ción con
por encima de la para
calcula das en
Ce y C d contra
en pél pcl dc sobre el mismo
al
1 tal como en la
an
A,2
en
contra a, y escribi r "'¡a unidad es, con
la
ubda,
la
la ecuaci ún
ee,
PL6 y
1
la a pro Xlma-
un Verted eru
existen te entr'~ la
la cresta
A.2.2.
y cronóm etro,
Un verter por encnn;¡ otro de] ?gua que se le
en el Los
una arista
uido a esconstr uir de
la cresta, conta cto sobre una cresta presen ta una )j
y la lám ina de da tien e una cres ta hor izon tal agu ta cres de r gula 111 rect; ro El ver tede ca en la Fig. A.3 . sup erio r e infe rior , seg ún se indi agu,) se con trae en bs par tes
t- · - - - H
! w
ta Aguda de Definición enun Vertedero de Cres
Fig. A.3 se pue de estede ro rect ang ular ilus trad o la La ecuaci()!1 del gas to Q del ver o crib ir en form a sim plif icad a, com 1
(A.8) de hall ar exp erim enro, e un coe fici ente que se pue tede ver del ho anc el es L de don agu as arri ba en re la cres ta del 'ver tede ro med ida sob a agu del ra altu la H y talm ente de obs erva r en la ee. ca con trac ción algu na. Se pue un,) sec ción don de no se pro duz men te de H ya que ina do ver tede ro dep end ería sola 1',.8 que (J g,lsto par a un det erm ulas emp íric as que dan Hay un gra n núm ero de fórm tes. stan con s ore fact son e L y ula de Reh boc k. de las más com une s es la fórm el gas to en fun ción de H. Una 2
Q
3
(0,6 11
+
0,08 HjW)
(A. 9)
ació n ada s pre viam ente y W es la elev L y H son las can tida des men cion en don de el fon do del can al. de la cres ta del ver tede ro sob re
A.2 A.
Pro ced imi ento Exp erim enta l:
nte, sob re la cres ta del verb son da de pun ta en el carr o des liza ·1. L y H. esar ias para obt ene r ted ero y tom ar las lect ura s nec rien te se esn del can al y esp erar que la cor 2 Abr ir la llave de aliment<1ció tabi lice . rnen te a erfi cial , con la son da, apro xim .ada 3. Tor nar la lect ura del nive l sup ro. 2 1l1etros agu as arri ba del ver tede
273
4, Cambiar la posición del bajante de agua hacia el tanque receptor y medir una altura inicial accionando simultáneamente el cronómetro, Transcurrido un tiempo, por ejemplo 120 segundos, volver el bajante a su posición inicial.
5. Cuando el agua en el tanque receptor se encuentre tranquila hacer la lectura finaL El área del tanque y las lecturas aCluí obtenidas permiten calcular el gasto Q por medio de la relación, volumen sobre tiempo. 6. Tomar nuevamente la lectura del nivel superficial en el canal para promediarla con la obtenida anteriormente. 7, Repetir el experimento, al menos cinco veces, con distintas aperturas de la nave de alimentación del canaL
A2,5.
Presentación de Resultados:
L Elaborar una tabla con los datos y las cantidades que se debe calcular para la realización de los gráficos que se piden en los puntos siguientes, escribiendo las fórmulas se utilicen.
2.
Qy
en papel logarítmico de 2 por 2 ciclos l
plear.
3. por la fórmula de Rehbock el gasto correspondiente a 2 alturas extren,as y trazar en el mismo gráfico, elaborado anteriormente, la recta que une esos
rimento la
4. Presentar un gráfico de H contra el error que produciría en cada expede la ecuación
A.3. A.3.1.
Aplicación del método unidimensional de análisis del flujo al estudio de la
A.3,2.
co mp
ca na l me tál ico y un a eri or mo nta da en un inf n sió mi ad de rta Un a co mp ue ab ajo de la an ter ior . ue rta de cie rre ag ua s
A. 3.3 .
tic as: Co ns ide rac ion es An alí
es de un res alt o ac ion es ex pe rim en tal rel las n na mi ter de ión En est a prá cti ca se s me dia nte la ap lic ac lor es teó ric os ob ten ido va los la n co tra n es ara mu mp se la Fig. A. 4 hid rá uli co y se wo ía y co nti nu ida d. En erg en m, ntu me mo de las ec ua cio ne s de su s lín ea s de en erg ía o hid ráu lic o así co mo alt res un de l rsa ve ns sec ció n tra
d .de mo vim ien to, po r un ida n de la ca n tidacl de ció ua ec la ca pli a se Si las sec cio ne s 1 y 2 se ) ~lYl (V 2 - VI
10)
g
2
d se tie ne qu e Co mo po r co nti nu ida fo rm ar en
ter ior se pu ed e tra ns =V 2 Y2' la ec~ación an
Yl
(--1) 2
en tre
(A .11 )
a b
2 ob tie ne se div ide n po r y 1 se ior ter an n ció ua ec la de os br em mi s Y si am bo
(~-1) Y2 de 2 cu ad rad o de nú me ro VI / (gY l) co mo el a e oc on rec se ior En la ex pr es ión an ter ra y 2/ Y1 se tie ne n 1. Re so lvi en do pa ció sec la en 1 F de Fr au
275
~--- = Yl
+j
- 1
1
+8
F 21 '
(A,12)
La ecuaci ón anterio r nos dice que el númer o de Fraude es la única variabl e indepe ndiente que determ ina los valores de Y2 / Yl y por lo tanto constit uye el factor de sien este proble ma (así corno en otros) de su libre. Si se quiere
el valor la en la Fig.
la ecuaci ón de Bern se
=H 2
tiene
se puede hacer uso de + LlH, Desarr ollando
(A.13) Si se substit uye b ecuaci ón de contin uidad en la ce. A,J 3 Y ambos miemb ros de esta ecuaci ón se dividen por Yl se obtiene
y2
?
1
1+
__ Y_2_
+ ( _Y_l_ )2 ~__ + ~fj"",l:-:c.'-l_ Y¡
(A.14)
En la ce. AJ 4 se tiene q ue V~ I (gy 1) =F~; como nción rp 1 A,12), entonc es en la ee. f'L14 el deF 1 Jsí,
(A.15) p
l-ln
,
5 se
t~\
contra F
una
en
18 q
los
(de
la
una curva e
ce.
'1i
A.3,LL 1
sistern a gc
la
~
Sr''-'
Clón adimcn s]Undl
L
2
¿1)" ['
Y
ciertas
esté u
3. Operar la compuerta de aguas abajo con el fin de establecer un resalto cerca de la compuerta de descarga. Una vez que el resalto sea estacionario, medir las alturas y 1 e y 2 usando la sonda que se provee. Determinar también la longitud L del resalto. 12r-----,------r-----,------~~--,
2'
11
22
10~----4_-----+----~----~+_----~ 20 1
9
a
16
" 12
l::.H/v,
10
6 4
O
6
9
10
v, F'I
,fiY,
FIG. A.5 Relaciones fundamentales en un Resalto Hidráulico 4. Medir el caudal Q mediante un vertedero, situado aguas abajo. 5. Repetir el experimento para obtener al menos 5 puntos bien distribuídos en cada curva de la Fig. A.S. Es conveniente repetir 3 veces la lectura de cada punto. El número de Fraude se puede cambiar modificando la apertura de la compuerta de descarga. A.3.S.
Presentación de Resultados: 1. Presentar la reducción de los datos medidos en forma tabulada.
? Representar gráficamente las ecuaciones teóricas A.12 y A.1S en un gráfico semejante al de la Fig. A.S.
3. Marcar sobre el gráfico anterior los valores experimentales. Añadir la curva experimental de la reladón medida L/y 2 contra el número de Froude. 4. Discutir los resultados. La discusión no deberá ser mas extensa que una página.
277
.,1.4. Aforador Ballofett A.4.l.
.Propósito:
Determinar la curva de gastos de un canal, mediante un dispositivo que produce flujo crítico. A.4.2.
Equipo: Un aforador de Ballofett instalado en un canal metálico.
A.4.3.
Consideraciones Analíticas:
En esta práctica se hace uso de las ecuaciones de Bernoulli y continuidad, así como del concepto de energía específica mínima para determinar el gasto que circula por un canal en flujo sub crítico. Un tipo de aforador muy popular entre la gente que se dedica al riego es el aforador Parshall. Este tipo de aforador se basa en los mismos principios que el aforador Ballofett. El procedimiento que se seguirá tanto en la deducción de la ecuación como en la calibración práctica del aforador Ballofett puede ser repetido para el Parshall sin mayores modificaciones. En la Fig. A.6 se muestra un aforador de Ballofett, el cual consiste en un estrechamiento, tal que en la garganta produzca una condición de flujo crítico. Si se aplica la ecuación de Bernoulli entre las secciones J y 2 de velocidades y l' Y 2 Y profundidades y l' Y2 se tiene
y2 V2 ] 2 -2-·-+ Y1 = - 2 - + Y2
g
(A.16)
g
2
FI G. A.S
Esquema de Definición del Aforador Ballofetl
sección 2 se produc e donde las cotas del fondo en 1 y 2 son iguales. Cuand o en la flujo crítico , se puede escribi r
3 2
(A.17)
A.16, se puede Debido a l1ue V 1==Q/ (YI B), substit uyendo la eco A.17 en la ce. obtene r
3 2
(A.18)
aproxi mación práctic a, La ce. A.18 es una ecuació n de tercer grado Gn Q2. En una el primer o se la solució n se puede enfoca r desde dos puntos de vista diferen tes. En palabra s otras en o ciable despre consid era que la velocid ad de aproxi mación VI es Q2/ (B 2 2gyi) se puede elimina r de la ee. A.18, en cuyo caso
Q = K b (2g) 1/2
yi/ 2
(A.19)
o, seguid o por el prodonde K es un coefici ente numér ico adimen sionaL El segund origina l. La raíz real fesor Ballof ett consist e en resolve r la ecuaci ón de tercer grado como solució n la exgue corresp onde a las condic iones del proble ma tambié n tiene presión Q = K b (2g) 1/2
yi/ 2
de que el flujo en la Para la condic ión de calibra ción, se cumpli rá con la condic ión el resalto que se forgargan ta sea crítico ( o que aguas abajo sea superc rítico) y que ción volum étrica calibra una de s ma no ah,)gue la salida del aforad or. Si nos valemo corres ponde a que Q hacien do uso de un cronóm etro se puede determ inar el gasto del coefici ente K. Se cada lectura y l' por lo tanto tambié n se puede hallar el valor II
en las expres iones emobserv a que la eco A.19 tiene la forma Q = ey tan frecue nte de aforad ores. En la píricas que dan los gastos experi mental es plra diferen tes tipos Für. A.7 se presen ta una curva de calibra ción típica.
279
40
I 30
20
V
l
,.-" 10
O
/
V
10
/
V
/
20
/'
30
v I
40
V
50
60
Q(lh./ug.l
FI G. A.7
A.4.4.
Curva de Calibración en un Aforador de Flujo Crítico
Proced imie nto Ex perimen tal: 1. Comprobar que la bomba del sistema general esté funcionando.
2. Abrir la llave que alimenta el canal cuyo gasto se va a determinar. 3. Medir el nivel y l' usando una sonda piezométrica y determinar el gasto volumétricamente, usando un tanque calibrado y un cronómetro. 4. Repetir el experimento para determinar por lo menos 5 puntos bien distribuídos e11 la Fig. A. 7. Es conveniente repetir 3 veces la lectura de cada pu nto.
A.4.5.
Presentación de Resultados: 1. Presentar la reducción de los datos medidos en forma tabular.
2. Presentar un gráfico de V 1 con~ra el valor K determinado de la ec. A.19. A¡'jadir otra escala en que V 1 se reemplace por el número de Fraude con el fin de ex presar el gráfico en forma más general y y h~l c~rlo ad imensional.
280
4. Los valores de C y 11 en la ecuación Q=C y~ se pueden encontrar sencillamente si los valores medidos de Q e YI se grafican en un papel logarítmico de ordenadas Q y abscisas y 1 . Los puntos deben caer en una línea recta de pendiente n que cortará el eje de las ordenadas cuando y 1=1 en un valor Q=C. Hacer el gráfico correspondiente y determinar la ecuacilllL
.5. Discutir los resultados. La discusión no deberá ser mas extensa que una
p~lgina.
A. S. Flujo Cradua lmente Variado. A.5.1.
Prop{lsito:
Comparacifll1 entre los resultados obtenidos mediante la aplicación de las ecuaciones de flujo gradualmente variado y los medidos en el Laboratorio.
A.5.2.
Equipo:
Un canal metálico con fondo de gran rugosidad relativa, constituído por piedras sueltas. Un par de compuertas de regulación, la una de admisión y la otra de cob. Una S()nd~l par~l la medición de profundidades. Un vertedero de afarq. Consideraciones Analíticas: Si en la Fig. A.8, que representa un corte longitudinal en la dirección del flujo en un canal, se aplica la ecuación de Bernoulli entre las secciones 1 y 2 de profundidades y l' Y2 Y velocidades y l' Y 2 respectivamente se obtiene
y2
y2
b
b
, 1 2 1 1 + Y1 + ~ = z2 + y 2 + ~
+S~X
donde zl' z2 son las cotas del fondo en las secciones 1 S, S o = (zl - z'») ~ pectivamente.
I
(A.20)
y
2 respectivamente y
~ x, las pendientes de la línea de energía y del fondo
res-
Agru pando términos en la ee. A.2 O Y dividiendo por Ll.X se tiene que
281
2--V 1 / 2g
~-
S
-----_ ---
~'Ó' --IV:
v,
12 9
-:.:=--
z,
FIG. A.S
Esquema de Definición para el cillculo del Flujo Gradualmente Variado Z2 -- zl
,c,x Pero
V~ -
+
v~
_ V2 1 2g ,c,x
Vf es el incremento del cuadrado de la velocidad ,c,(V 2 ): así
1
=-s o +2g- -
,c, V 2 ,c, x
+ Y2)/2, y, q
(A.21 )
+S
. .., I\(V2) =LlCj iI( 2/2)_ 3) EnunapnmeraaprOXll11
+s
j
es el gasto por unidad de ancho.Además. como
tenemos
3
en! o/ m
282
donde
+s
Por tan to So -
Y2 -Y 1
==
S
(~.22)
q2
Clx
1-
3 ay b m
se pu ed e su po ad crí tic a y c; ad em ás, did un of pr la de bo es el cu r un flu jo un ifo rm e En la eco A. 22 , q 2/ g en erg ía pr od uc ida po de ea lín la de te ien an do la ec ua ne r qu e S es la pe nd ed e esc rib irs e, em ple pu te ien nd pe ta Es sea y m. ráu lic o co inc ide co n do nd e la pr of un did ad ur a en qu e el rad io hid ch an n gra de l na ca ció n de Ch éz y, pa ra un la pr of un did ad , co mo (A .23 )
S=
do nd e
e es el co efi cie nte de Ch éz y.
a la lín ea de en erdel ter ren o So pa ral ela te ien nd pe a un n co a irí así El ga sto q se pr od uc of un did ad no rm al y n' jo un ifo rm e au na pr flu de es on ici nd co gía en (A .24 )
en la ee. A. 23 , se tie ne A. 24 , y su bs tit uy en do ee. la de q o nd eja sp De 3
So Yn S=
(A .25 )
3
Ym 283
Si se sub stit uye la ee. A.2 5 en la ce. A2 2 se pue de obt ene r la ecu ació n de fluj o gra dua lme nte vari ado para can ales de gran anc hur a, en la form a
YI1
Y2 - Y1 ------=S L1;.;
1 - ( - )3
o
(A2 6) y
1_ (_· c_ )3
Ym Es de ;ldv erti r que en el des arro llo de la ecu ació n de fluj o gra dua lme nte vari ado para dist ;mc ias fini tas, frec uen tem ent e se tom a la dire cció n X i lo larg o del fon do del can al. En tal caso S y So se tom all igua l él los sen os de los áng ulos de incl inac ión de las lí l1eas de ene rgía , en 1uga r de sus tang en tes com o en el pre sen te ;méilisis. La ecu ació n resu ltan te es la mis ma, y los valo res num éric os son , para los efec tos prác tico s, idén tico s ya que para peq ueil os ángulos., el sen o, la tang ente y el áng ulo mis mo se con fun dell . Se pod rá emp lear la ce. A.2 6 cua ndo el sea, hidr :wli cam el1t e, de gra n anc hur a. En el can al en el que se real izan los exp erim ento s, el fon do está form ado por piedra s cuy o ch~lmetro pro med io es 2 cm. y las pare des son de met al liso . El fact or determ inan te, pur tan to, es la rug osid ad del fon do y la anc hur a del can al tien e una influe ncia des pre ciab le sob re el mod elo de fluj o. En este caso , el can al es, hid ráu lica men te, de g¡-an anc hur ;\. Esta sup osic ión con duc e a erro res no may ore s, en los cálculo s, del unu por cien to. A.S A.
Pro ced i mie n to Ex pcri mel ltal : 1. Com pro bar que
la bom ba gen eral del sist ema esté fun cion and o.
2. Med ir la anc hur a elel c;m;¡] y esL lblc eer un fluj o uni form e en la secc ión
v 3. Cal cula r el coe fici ente de Ché Ly C= - - - - - - el ,/R So '
R'e s el
Lid io
hid ráu licu CF1C en el pre sen te C¡S() cOl ncid c con la pro fun did; ¡d, V h velu cida d media del ;¡gua en el clll a!, dete rmi nae ];¡ cxperiml'nt~llmentc mec ti;l1lte la med ició n del gas to en un ver tede ro cuy;¡ eCll ;lCill1l de desc¡rg~1 es Q=A H Ill , don de H es el nivel SLlperfici~l] de fluj o uni furm e sob re la cresLl del ver tede ro, Q es L des c¡rg a del mis mo y A es lI();¡ COllsLII1 te.
284
4. Repeti r el experi mento un valur prome dio r~ILI C.
ClllCO
veces, con diferen tes caudal es, y hallar
Nikura dse que 5. Con el valor prome dio de C se determ ina el LIctor k de según la ce. 3.8 estú dado por la relacill11
e = 2 y0lgl ug (12
~-
(A.27)
)
un valor de R prodonde k es el di:lmet ro del l1l~ltcrial de fondo. Se puede tomar dio en flujo uniform e. mediu entre los usadus para detenn in:lr el valor de C prome
corresp on6. Estable cer UIl flujo gradu:! 1mente variadu y l11l'dir el caudal en las medir, ¡ 6x ia distanc diente. Estable cer dus seccion es, sep;lr:¡ das entre sí una te median Yn norm:!1 que se determ inan Yl e Y2' Determ in:¡r la prufun didad ecuacilll1 es el la ce. A.24 p:¡r:¡ el v;¡]or de So fijad(). El valor de C a usar en dich;¡ compr endidu s entre calcula do en el punto ;l1lterio r, siempr e y cuando Yl e Y2 estén los límites de y medido s en fluju uniform e. de R I Y R 2 en la ec. En casu contr;¡ rio, habrú que cdcula r C l y C 2 para valores se hallar;í un prOllleA27 con el valor prome dio de k determ inado ;\1lteri orment e; dio entre C l y C 2 que luego pennit irú cdcula r Yn .
7. Se determ ina Ym A.S.S.
= (Yl + Y2)/2,
e Yc .
Presen tacillll de Result ados: tabubr . 1. Presen tar la reducc ión de Jos ebtos medidu s en furm<1 e. 2. Cdcula r lus v~¡jores prome dio de e y k para el flujo uniform
el caso
P,¡L¡ ndo Jo señalad o en el proced imient o, estable cer y e ,)/ 11 ,y 111 3. Siguie ~ So el con y de flujo gLldua lmente v;lriado . Llevar los v;dores ;¡ ];¡ ec. A.26
dado estable cer el vaJor teórico de (Y2
Y1) I 6:-;.
4. Compa rar el valor de (y 2 - Y1) I 6A calcula do con el valor mental correc to. Determ inar el porcen taje de error.
expen-
285
APEN DíCE E
IviETODO ITERA TIVO DE N
- RAPH SON
fU req uerlr.rllCn-
La solució n nte frecue tos suceSlv as Clón
JI 67,
a
la
CCUaCí Ó¡!
f( !)
dx
2
df
dx y como x n =
X
o
- tan
Q'
=
(B.2)
+ xl' entonces
(x)
xn------~
FI G. 8-1 Esquema de Definición f(X o ) (B.3)
Como es fácil de apreciar, la convergencia hacia el valor deseado se lleva a cab o de una manera ordenada y rápida, lo cual permite usar éste método en programas de computación. Como la mayoría de los métodos numéricos, el método de Newton-Raphson presenta algunas limitaciones y no se puede aplicar para todas las funciones, ya que es requisito indispensable para garantizar la continuidad de la iteración que la función sea continua y que el punto inicial sea escogido adecuadamente. En la Fig. B.2 quéda ilustrado el hecho de como un punto inicial inadecuado impide la convergenCia hacia la solución correcta.
288
Cuando se escr'üle un programa en FORTRAN, es muy ro m~í)(imo de iteraciones j L]Ue se ,) evitJx, en el caso do no sea aplicable, que la máquina caiga en un la~w sin l~(,lIlplu
elnúmc;-
B.1,
Obtener una raíz ele
la
SOhlcióII
Haciendo un siguiente programa:
tanteo encontramos
el
O
READ(L100)y 100 FORMAT (F1CL5)
J :=
JO
N := -\
10 F
3-10.7S
=
DF:= 3. U :=
y
xk
2+155.
yi '1- 21S'
F
y=y-U IF (ABS (F). LT.
01, OR, 1"1 GT
) CO TO 70
l'l=l'~+
GO TOlO
70 WRITE (6, 103) Y, [\1 Hl3 FORIV1AT (1 Hl,
STOP END
11,
13)
l:jerciciu B.l. A
la
ecu~:ción de Manni[Jg tan frecuentcmente emple;[eb p
fluju uniforme en canales abiertos puede aplicárselc el Illétudo dcscrito. Para callales trape~uicbles b ccu;\citl]] se escribe en la forma
I 2.)5/3 (b Y T,lllY .
(--2=
._-'---'-
11
(b
+2
V
I
') ln-"
') ¡ ~ y)~ .)
r
+1
Q es el g;\st(), b es el ancho del fondu elel clll;d . y es el tirante, In es la pcnelic!ll" :id t,¡Jud, 11 es el cocficiente ele Mannill~ \' S o b nelldícllte dci G/In] u dc 1:1 hncl de t en dunr1c
~)
i
,
Escribir un IJr0gr:lm;¡ ','n FORTRAN, p;lra suluci()nar '- u~¡]lluicr:l siguientes:
, 'u ¿o ¡-es Q,
11..
y.
b
b, S u
Ji
2
Q, n,
3
Q, n, y. b, S ()
Se debe
ti
III ,
11l
el illétudu ele Nevvton
R:ljJhson.
5GO()
y
C()!110
príncipal. Para lus ({¿¡tos: C,lSO
'1 :
CiSO
2.
Cas()
-¡.
Q
\11 == 0,5 Q == 5000 l/s
III
290
j.
l/s.
== 0.5
]1= 0,015:
== 0,001: 11
S( 1
Cl == 224
11l
Y = 7,00
ill
3( S I
1\
=
0,001 . 0,01
(í:
1 ,2 () 11I.
blb- b
0.01 S; h =
3.()()
m.
h;t1b¡- y. b == 9.UO
IlL
S () == 0.0005 ; h;\
casos
{IlCúullitiJ
o
S
(I':S
.,
COllOCÚ10S
m,
],,:,
r
lll.
subrutinél dc] prugram;¡
Presentar en una carpeta: a.
b. c.
d.
Diagrama de flujo. Listado del programa. Listado con los resultados (se deben incluir datos y número de iteraciones). Instrucciones para el uso del programa.
291
LENNIS A. AVILA TORRES Ingeniero Civil C.i.V. N? 47144
lo "El
CClC
V
j\¡lcmor Ícl
¡ 97 O.
C:ol1lm ittec o
F
A
1;1 1872.
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C~O
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\1 \f/ang
1
el P.\rís 1860.
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\,.J)
296
;
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