18713_statistika Dan Probabilitas

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala rahmat-Nya sehingga Diktat MKDT ini dapat disusun hingga rampung. Ucapan terima kasih yang sebesar-besarnya pula kami ucapkan kepada seluruh IMD dan IMPI yang telah berkontribusi dalam pengerjaan diktat ini dengan memberikan materi soal dan pembahasan untuk diktat MKDT pada semester genap ini. Besar harapan kami AKPRO BEM FTUI 2018 agar diktat ini dapat benar-benar membantu mahasiswa, utamanya mahasiswa tingkat satu, untuk mempersiapakn diri menghadapi Ujian Tengah Semester. Semoga diktat MKDT ini dapat menambah pengetahuan dan dapat melatih mahasiswa untuk terbiasa mengerjakan soal agar nanti pada saat ujian dapat mengerjakan soal dengan baik dan benar. Untuk segala bentuk kekurangan dalam penyusunan diktat ini sebelumnya kami mohon maaf dan berharap dapat menerima saran dan kritik yang membangun dari segenap mahasiswa agar kedepannya dapat kami jadikan pelajaran dan demi diktat yang lebih baik. Sebagai penegasan, diktat ini tidak memberikan jaminan kelulusan mahasiswa dalam mata kuliah berkaitan, tetapi kami berharap dengan adanya diktat ini dapat benarbenar membantu setiap mahasiswa untuk belajar memahami lebih lanjut mata kuliah yang akan diujiankan nantinya. Diktat ini bersifat suplementer sehingga nilai kalian pada ujian nanti tidak ditentukan oleh diktat ini, namun tentunya oleh usaha kalian sendiri Selamat berjuang para singa Teknik, gemakan Gaungmu dalam menghadapi ujian dan selalu sertakan Tuhan dalam setiap perjuanganmu menuntut ilmu. Mari bersama mempersiapakn diri untuk membangun Indonesia. Mei 2018

AKPRO BEM FTUI 2018

Statistika dan Probabilitas Oleh : BEM FTUI 2018

Soal 1. Seorang peneliti tertarik untuk melihat antara hubungan konsentrasi pectin (0%, 1,5% dan 3%) dari botol pada kekuatan kaleng ubi jalar setelah penyimpanan dalam lingkungan yang terkendali bersuhu 25º C. Data dari kaleng sebagai berikut:

Kekuatan Konsentrasi Pektin

50,5

46,8

62,3

67,7

80,1

79,2

0

0

1,5

1,5

3

3

a. Buatlah table anova bila 𝛼 = ,

. Berikan kesimpulannya

b. Tentukan nilai koefisien determinasinya. Menurut Anda, apakah model regresinya sudah baik? Jelaskan c. Tentukan selang kepercayaan 95% bagi

pada x = 1,5

2. Sebuah perusahaan baru yang sedang mengajukan ijin pemasaran mobil, diperiksa oleh petugas pemerintah untuk menentukan apakah layak perusahaan tersebut diberikan izin. Suatu perusahaan mobil akan diberi izin memasarkan produknya jika rata-rata emisi ga CO-nya tidak melebihi 50 ppm. Untuk itu, sebanyak 20 mobil diambil secara acak dan diuji emisi CO-nya. Dari data didapatkan, ternyata rata-rata emisi gas CO-nya sebesar 50 ppm dengan standard deviasi 7 ppm. Berdasarkan data tersebut, susunlah selang kepercayaan 955 bagi rata-rata emisi gas CO. Apakah menutrut Anda perusahaan tersebut layak diberi izin? Berikan argumen Anda. 3. Dalam sebuah percobaan untuk menentukan kemanjuran aspirin dalam mencegah serangan jantung, 22.000 pria sehat paruh baya secara acak dibagi menjadi dua kelompok yang sama. Salah satu kelompok diberi placebo aspirin (kontrol) dan kelompok lainnya diberi aspirin. Dari percobaan diketahui 104 pria dalam kelompok aspirin dan 189 pada kelompok kontrol mengalami serangan jantung. Gunakan data ini

untuk menguji hipotesis apakah serangan jantung pada kelompok peminum aspirin lebih rendah dibanding kelompok kontrol? Hitunglah selang kepercayaan 95% untuk selisih kedua proporsi peminum aspirin dan peminum placebo aspirin yang mengalami serangan jantung. 4. Pada suatu survey 63 dari 300 penduduk di perkotaan yang diambil sampel menyatakan setuju terhadap rencana penambahan batas kecepatan di jalan tol dalam kota dari 80 km/jam menjadi 85 km/jam. Sedangkan 4 dari 180 penduduk di daerah pinggiran menyatakan persetujuannya untuk hal yang sama. Apakah data ini mengindikasikan perbedaan pandangan antara penduduk kota dengan daerah pinggiran dalam rencana peningkatan kecepatan yang di[erbolehkan di jalan tol? a. Uji apakah yang sesuai untuk mengetahui ada tidak perbedan pandangan tersebut? b. Nyatakan kalimat hipotesis yang sesuai c. Lakukan analisis dalam uji tersebut dengan menggunakan α = 0.05 dab ambil kesimpulan analisis Anda dengan menggunakan P value-nya d. Carilah selang kepercayaan dari perbedaan dua proporsi tersebut 5. Produsen obat diet ingin mengetahui efektivitas pengaruh obatnya terhadap penurunan berat badan. Maka diambil sampel sebanyak 10 orang. Sepuluh orang tersebut mendapat perlakuan diberi obat diet. Setelah satu bulan, berat badan sampel ditimbang dan hasilnya seperti ditunjukkan tabel berikut Tanpa Obat

Dengan Obat

81

76

78

78

86

79

79

69

82

82

88

77

92

79

84

78

81

73

77

80

828

771

a. Hitung pendugan mean bagi sampel sebelum dan sesudah diberi obat diet b. Berikan selang kepercayaannya c. Dengan menggunakan tangka kepentingan 0,05, apakah terjadi perubahan berat badan sampel setelah 1 bulan?

Pembahasan 1. Pembahasan Diketahui : data konsentrasi pektin. Ditanya : a) buat tabel ANOVA dan bila digunakan α = 0.05, apa kesimpulannya, b) tentukan nilai koefisien determinasinya, c) tentukan selang kepercayaan 95% bagi µ y pada x =1,5. Jawab : a) Untuk membuat tabel ANOVA, hipotesis pada soal ini pun ada dua: H0 : µ1= µ2= µ3= ... = µk H1 : tidak seluruh mean populasi sama Jadi cara menyelesaikannya : Sumber

SS

df

MS

Frasio

Ftabel

Between

SSB

k-1

SSB/k-1

(SSB/k-1)/(SSW/N-k)

Fk-1, N-k, α

Within

SSW

N-k

SSW/N-k

Total

SST

N-1

koreksi SSbetween = nA (ӯA – ӯtotal)2 + nB (ӯB – ӯtotal)2 SStotal koreksi = Σ (yi – ӯtotal)2 SSwithin = SStotal koreksi - SSbetween

Uji ke- Konsentrasi

Kekuatan

pektin (yA)

kaleng (yB)

1

0

50.5

2

0

46.8

3

1.5

62.3

4

1.5

67.7

5

3

80.1

6

3

79.2

Rata-

1.5

64.43

rata SSbetween = 6 (1.5–((1.5+64.43)/2))2 + 6 (64.43–((1.5+64.43)/2))2= 11880.5547 SStotal koreksi = 12875.925 SSwithin = 12875.925 – 11880.5547 = 995.3706 Sumber SS

df

MS

Between 11880.5547

1

11880.5547 119.358 99.537

Within

995.3706

10

Total

12875.925

11

Frasio

Ftabel F1, 10, 0.05 = 4.9646

koreksi Oleh karena α perhitungan pasti lebih kecil dari 0.05; dan F tabel lebih besar dari F rasio, maka H0 ditolak dan H1 diterima, dimana kesimpulannya adalah tidak seluruh mean populasinya sama. b) Koefisien determinasi didefinisikan sebagai perbandingan dari variasi terjelaskan dengan variasi total (lihat buku referensi halaman 219) : 𝑟 =

∑ ̂− ̅ ∑ −̅

Kita kembali pada nomor a) untuk menyelesaikan hal ini. Bila data diinput, maka r2 nya adalah 0.976201, dimana relasi antar data yang didapatkan dengan pemodelan matematik regresinya nyaris sempurna (apabila 0, tidak ada relasi; dan apabila 1, relasi sempurna).

c) Pada x = 1,5; µ y = (62.3 + 67.7)/2 = 65. Deviasi standarnya : 𝜎 =√

∑𝑁 𝑖= 𝑁

𝑖

.

=√

−

Maka confidence interval 95%-nya adalah : ̅ − 𝑡𝑛− −𝑡

−𝑡

;

;

.

; .

<

𝛼.𝜎 .√𝑛 √

.

<

=√

−

< ̅ + 𝑡𝑛−

<

<

<

+𝑡

;

.

𝛼.𝜎 .√𝑛

+𝑡

; .

.

;

√

−

= .

.

t1;0.168 dapat dianggap sebagai t1;0.25 (pendekatan); maka kita akan mendapatkan CI pada 64 < µ y < 66. 2. Diketahui : Jika rata-rata emisi gas < 50 ppm, maka lulus. Diambil 20 mobil secara acak dan didapatkan rata-rata emisi gas 56 ppm, deviasi standar 7 ppm. Ditanya : a) Confidence interval 95% untuk kasus ini, b) Apakah perusahaan yang dimaksud layak diberi ijin? Jawab : a) Pertama, kita susun dulu hipotesis yang kita inginkan : H0 : µemisi gas<= 50 ppm H1 : µemisi gas > 50 ppm Tentukan kelengkapan data : α = 0.05, dan n = 20. Karena n = 20, kita bisa memakai rasio uji z atau rasio uji t untuk mendapatkan confidence interval. CI untuk soal ini adalah : −∞ < µx < x̅ + zα. σ

√n

−∞ < µx < −∞ < µx <

−∞ < µx <

+z

.

+z

. .

.

√

b) Karena informasi yang diberikan sebelumnya masih belum memuaskan, kita perlu mengetahui daerah penolakannya. Kita bisa memakai rasio uji t untuk menguji apakah rata-rata emisi gas 56 ppm itu layak diluluskan. Caranya : RUt =

x̅ − µ

σ/√n

=

−

/√

= .

Daerah penolakan yang diambil ∶ +t 𝑛−

;𝛼

=+ .

Oleh karena thitungan > ttabel, maka H0 ditolak dan perusahaan tersebut tidak layak diberi ijin. 3. Diketahui : 22000 pria paruh baya dibagi menjadi kelompok placebo aspirin kontrol dan kelompok aspirin. 189 pada kelompok kontrol dan 104 pria pada kelompok aspirin mengalami serangan jantung. Ditanya : a) Gunakan data ini untuk menguji hipotesis ‘apakah kelompok aspirin memiliki serangan jantung lebih rendah dibanding kelompok kontrol’, b) Hitung confidence interval 95% untuk selisih kedua proporsi peminum aspirin dan peminum placebo. Jawab : a) Lihat kata kuncinya: lebih rendah. Lebih rendah disini bisa diubah menjadi kalimat matematik : H0 : π1>= π2(presentase serangan jantung pada kelompok kontrol lebih besar dari presentase serangan jantung pada kelompok aspirin) H1 : π1< π2 Lalu lihat kelengkapan datanya : α = 0.05 dan n = 22000 (gunakan distribusi z). Cara menyelesaikan persoalan ini, karena kita tidak diberi deviasi standar dan n > 30, kita dapat memakai pengujian hipotesis presentase (lihat halaman 186-187 di buku referensi). Sekarang kita hitung rasio ujinya :

RU = = =

√

√ √ .

𝑝

𝑛

𝑝 −𝑝

−𝑝

. − .

.

= .

+

𝑝

𝑛

.

−

.

− . +

.

−𝑝

−

. +

=

− .

−

− −

√ .

Sementara untuk daerah penolakan nilai z

.

.

. + .

−

=− .

Oleh karena nilai RUz tidak berada pada daerah penolakan, maka H0 dapat diterima. Berarti pernyataan ‘kelompok aspirin memiliki serangan jantung lebih rendah dibanding kelompok kontrol’ adalah benar. b) Untuk confidence interval 95% dari selisih proporsi peminum aspirin dan placebo : π −π .

.

− .

±z

±z

± zα .

.

.

.σ√ + n n

.√ .

−5

< 𝜋 −𝜋

x

−

+ .

x

−

.√

< .

4. Diketahui : 63 dari 300 orang di kota setuju untuk menambah speedlimit. 54 dari 180 orang pinggiran menyatakan hal yang sama. Ditanya : a) Uji apakah yang sesuai untuk mengetahui adakah perbedaan pandangan diantara keduanya, b) Nyatakan kalimat hipotesisnya, c) Lakukan analisis dalam pengujian ini dengan menggunakan α = 0.05 dan ambil kesimpulan dengan P-value yang didapatkan, d) cari confidence interval-nya. Jawab : a) Masih sama seperti nomor 3, pada soal ini lebih cocok digunakan pengujian hipotesis presentase. b) Hipotesisnya adalah :

H0 : π1 = π2(presentase persetujuan di kota sama dengan di pinggiran) H1 : π1 ≠ π2 c) Sekarang kita hitung lagi rasio ujinya : RU =

𝑝

√

𝑛

−𝑝

=

=

√

−

𝑝 −𝑝

√

−

+

𝑝

𝑛

−𝑝

.

−

=

−

+

.

. √ .

− −

+

. + .

Sementara untuk daerah penolakan nilai z

−

.

=− . .

=± .

Oleh karena zhitung > ztabel, maka H0 ditolak. Kesimpulannya adalah ada perbedaan pandangan diantara kedua pihak di kota dan di pinggiran. d) Confidence interval yang dimaksud : π −π

− ±z

− ±z −

± zα .

.

.√

x

.σ√ + n n

. .√ −

. < 𝜋 −𝜋

<− .

5. Diketahui : tabel data 10 orang yang dalam percobaan obat diet. Ditanya : a) Hitung penduga mean bagi sampel sebelum dan sesudah diberi obat diet, b) Confidence interval, c) Dengan menggunakan tingkat kepentingan 0.05 apakah terjadi perubahan berat badan setelah sebulan? Jawab : a) Penduga mean yang dimaksud adalah hipotesis mean, lalu buktikan hipotesisnya. Dalam soal ini kita akan menggunakan pengujian mean untuk dua sampel yang dependen, dan hipotesisnya adalah :

H0 : δ = δ0(dengan kata lain, µ 1 – µ 2 = µ 2 – µ 1 = 0) H1 : δ ≠ δ0 Kita akan menduga bahwa selisih mean antara sampel sebelum dan sesudah diberi obat diet adalah nol, sehingga kita bisa kembali pada tabel data diberikan No

Tanpa obat (s1) Dengan obat (s2) s1 - s2 = d

d – d bar

(d – d bar)2

1

81

76

5

-5.36

28.768

2

78

78

0

-10.36

107.405

3

86

79

7

-3.36

11.314

4

79

69

10

-0.36

0.132

5

82

82

0

-10.36

107.405

6

88

77

11

0.63

0.404

7

92

79

13

2.63

6.950

8

84

78

6

-4.36

19.041

9

81

73

8

-2.36

5.586

10

77

80

-3

-13.36

178.586

Σ

828

771

57

-46.63

465.595

140.18

10.363

-8.47

84.653

Rata- 150.54 rata

Kita akan menggunakan rasio uji t untuk persoalan ini : d̅ − δ . − RUt = = = . σd̅ /√n . /√ Daerah penolakannya adalah ∶ ±t 𝑛− ;𝛼.σ /√n = ± . ̅ d

untuk α = .

Oleh karena RUt berada didalam daerah penolakan, maka H0 bisa ditolak. b) Confidence interval-nya : x̅ − x̅ ± t α .

.

±𝑡

𝑛 +𝑛 − ; .σ√ + n n

; .

.

√

±𝑡 ; . . < x̅ − x̅ < . Sudah dijawab pada nomor a), karena H0 ditolak, berarti terjadi perubahan berat badan selama sebulan.

Statistika dan Probabilitas Oleh : IMM FTUI 2018

Soal

1. Format Hasil menunjukan bahwa rata-rata teman dekat untuk populasi sesorang yang tinggal di Jakarta adalah sebanyak 5.7 dengan stadart deviasi 1.3. Seorang peneliti memprediksi bahwa jumlah teman seorang introvert akan berbeda secara signfikan dengan populasi tsb. Pengambilan sampel dari 26 orang introvert memberikan hasil jumlah teman dekat (mean) sebanyak 6.5. Apakah data sampel ini mendukung pendapat peniliti diatas ? (Alfa = 0.05)

2. Dua pengamatan dari uniformity etching pada silicon wafer dilakukan untuk melihat kinerja proses etching tersebut. Berikut data yang diperoleh (satuan dalam micrometer/menit) 5.3

6.6

4.7

6.0

7.5

5.5

5.9

7.3

5.4

5.2

6.3

6.6

a. Berikan estimasi varians dengan alfa 5% ! b. Lakukan uji hipotesis bahwa varians = 1 dengan menggunakan alfa 0.05. Apa kesimpulan anda?

3. Manager bagian kendali mutu perusahaan suku cadang mesin mobil memilihi secara acak sejumlah 100 piston untuk mengestimasi presentase produksi piston yang layak pakai. Berapakah probabilitas bahwa proporsi dari sampel yang memenuhi tersebut berada kisaran 5 persen dari proporsi populasinya?

4. Pipa api untuk boier yang dimanufaktur oleh sebuah perusahaan memiliki daya tahan rata-rata 8000 jam pemakaian dengan deviasi standard 600 jam. Tentukan probabilitas bahwa suatu sampel acak yang terdiri dari 16 pipa memiliki usia pakai antara 7900 dan 8100 jam!

5. Cetakan logam produk suatu perusahaan memiliki berat rata-rata 0,5 N dan deviasi standard 0,02 N. Tentukan probabilitas bahwa dua lor ptoduk terdiri dari 1000 cetakan akan berbeda berat lebih dari 2 N! (berat kontainer lot diabaikan) 6. Sebuah artikel di ASME Journal melaporkan bahwa dari 871 perusahaan yang bergerak di bidang industri, 22 diantaranya tidak mensyaratkan insinyur yang bekerja di perusahaan tersebut memiliki sertifikasi insinyur profesional. Dengan tingkat kepercayaan 90%, tentukan presentasi populasi dari perusahaan yang mensyaratkan diperlukan sertifikat insinyur yang bisa diterima bekerja! 7. Sebuah sampel acak terdiri dari 110 sinyal radar yang dikirimkan dari daerah tertentu menghasilkan pantulan radar balik dalam jangka waktu rata-rata 0,81 detik dan deviasi standard 0,34 detik. Hitunglah estimasi interval dari rata-rata waktu pantul populasinya dengan tingkat kepercayaan 99%! Pembahasan 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Statistika dan Probabilitas Oleh : BEM FTUI 2018

Soal 1. Rata-rata waktu yang dibutuhkan oleh mahasiswa untuk mendaftar ulang pada awal semester di Universitas A pada semester yang lalu sekitar 45 menit. Suatu pendaftaran baru dengan memakai computer yang dilengkapi dengan software sedang dicobakan yang diharapkan dapat mengurangi waktu pendaftaran mahasiswa dibandingkan dengan cara lama. Untuk itu, diambil sampel secara acak sebanyak 10 mahasiswa yang telah mendaftar pada semester berikutnya dengan memakai cara pendaftaran baru tersebut. Ternyata, rata-rata waktu yang diperlukan untuk mendaftar adalah sekitar 35 menit dengan simpangan baku 9.5 menit. a. Apakah anda percaya dengan tingkat signifikan 5% rata-rata waktu mendaftar ulang kurang dari 45 menit dengan sistem yang baru? b. Buatlah selang kepercayaan untuk mean (rata-rata) populasi! 2. Suatu penelitian tentang kekuatan teekan dari beton dan rasio antara semen dan air diperoleh hasil sebagai berikut. Pada setiap kekuatan tekan tertentu diamati sebanyak enam kali. Dari kiri ke kanan merupakan data kekuatan beton pada rasio semen dengan air 0,45; 0,55 dan 0,65. Kekuatan beton tersebut adalah 40,7; 39,9; 40,4; 42,5; 41,4; 41,7; 36; 35,6; 26,6; 26,3; 30,7; 28,2; 24,7; 30,6; 21,9; 23,9; 27,6. Hasil dari tabel anova: MS Within 9,868 dan SS Total terkoreksi 913,520. a. Peneiti ingin menguji apakah ada pengaruh rasio semen terhadap kekuatan tekan beton. Buat tabel anoba dari hasil penelitian tersebut. b. Apa variable independen dan variable dependen dalam penelitian ini c. Buat suatu persamaan regresi linier sederhana, jika hasil analisisnya sebagai berikut: Model Konstan

B

SE

t

Sig

5.431

14.125

0

9.606

-8.154

0

Lengkapi tabel yang belum terisi, buat persamaan regresi dan interpretasikan hasilnya d. Hitung koefisien determinasi (R2) dan koefisien korelasinya 3. Banyaknya kecelakaan harian yang terjadi kecelakaan di setiap perusahaan pada shift yang berurutan A, B, dan C pada 300 hari pengamatan masing-masing sebagai berikut. Banyaknya hari tanpa kecelakaan untuk setiap shift yang diperoleh melalui pengurangannya. Banyak kecelakaan shift A yaitu 5 hari, shift B sebanyak 6 hari dan shift C sebanyak 7 hari. a. Buat ringkasan dalam bentuk tabel 4. Buat analisis yang sesuai dengan permasalahan tersebutData berikut menggambarkan umur 40 batere mobil yang merupakan sampel dari 1000 batere mobil yang diproduksi suatu pabrik 2,2

4,1

3,5

4,5

3,2

3,7

3,0

2,6

3,4

1,66

,3,1

3,3

3,8

3,1

4,7

3,7

2,5

4,3

3,4

3,6

2,9

3,3

3,9

3,1

3,3

3,1

3,7

4,4

3,2

4,1

1,9

3,4

4,7

3,8

3,2

2,6

3,9

3,0

4,2

3,5

a) Hitunglah semua ukuran pemusatan dan penyebaran yang mungkin b) Buatlah tabel distribusi frekuensi dari data tersebut c) Bila data ini data kontinu, menurut distribusi apakah data itu menyebar? d) Berapakah peluangnya jika 2 dari 10 batere diambil secara acak mempunyai umur lebih dari 3 tahun? 5. Dalam suatu proses produksi yang menghasilkan barang dari gelas, terjadi gelembung atau cacar yang kadang-kadang menyebabkan barang tersebut sulit dipasarkan. Diketahui bahwa rata-rata 1 dari 1000 barang yang dihasilkan mempunyai satu atau lebih gelembung a) Pendekatan distribusi apakah yang bisa digunakan untuk masalah ini? b) Berapakah peluang bahwa dalam sampel acak sebesar 8000 barang akan berisi kurang dari 7 yang bergelembung?

c) Bila dalam sampel acak sebesar 8000 itu dibatasi presentase yang cacat maksimal 20%, berapakah maksimal barang yang cacat yang bisa ditolerir? 6. Seorang pemborong akan mengajukan penawaran suatu proyek bernilai Rp. 50.000.0000. Peluang ia akan memenangkan proyek adalah 0.4, sementara itu dia akan kehilangan Rp. 5.000.000 bila ia kalah tender. Sebagai tambahan, pemborong akan mengajukan penawaran bila hasil yang diperkirakan melebihi Rp. 12.000.000. Apakah ia akan menyiapkan penawaran untuk proyek ini? 7. Suatu sampel acak berukuran n = 100 diambil dari populasi dengan 𝜎 = , . Bila diketahui bahwa mean sampel ̅ =

populasi .

, . Buatlah selang kepercayaan 95% dari mean

8. Rata-rata hilang bobot dari n=16 bola asah setelah melalui suatu proses adalah 3,42 gram dengan simpangan baku 0,68 gram. Buatlah selang kepercayaan 99% dari rata-rata hilang bobot sebenarnya dari bola asah itu. 9. Suatu perusahaan truk ragu akan pernyataan bahwa rata-rata umur bannya paling sedikit 28,000 miles. Untuk mengecek pernyataan ini, perusahaan mengambil 40 ban dan mendapatkan rata-rata umurnya 27,463 miles dengan simpangan baku 1,348 miles. Apa yang dapat disimpulkan jika peluang galat tipe 1 paling banyak 0,01?

1. Diketahui : rata-rata waktu semester lama 45 menit. Setelah diambil sampel acak 10, rata-rata semester baru 35 menit dan deviasi standar 9.5 menit. Ditanya : a) buktikan sistem yang baru lebih baik dari yang lama dengan tingkat kepentingan 5%, b) buatlah confidence interval untuk mean populasi. Jawab : a) Mari kita buktikan bahwa : H0 : µ <= 45 menit H1 : µ > 45 menit Karena sampel acak 10, kita mengambil rasio uji t : RUt =

x̅ − µ

σx̅ /√n

=

−

. /√

Daerah penolakannya adalah ∶ +t 𝑛−

;𝛼

=− .

=+ .

untuk α = .

Oleh karena RUt tidak berada didalam daerah penolakan, maka H0 bisa diterima (sistem yang baru lebih baik daripada yang lama dengan tingkat kepentingan 5%). b) CI yang diinginkan adalah : −∞ < µx < x̅ + t n−

−∞ < µx < −∞ < µx <

−∞ < µx <

2. Diketahui : tabel data.

+t

.

+t

σ ;α. √n

; . ; .

√

Ditanya : a) buatlah tabel ANOVA, b) tentukan variabel independen dan variabel dependen, c) Buat persamaan regresi linear dan melengkapi tabel, d) Hitung koefisien determinasi dan koefisien korelasi. Jawab : a) Untuk membuat sebuah tabel ANOVA kita harus melengkapi tabel data yang ada : Semen/kekuatan 1 2 3 4 5 6 Rata-rata Rata-rata total SSbetween SStotal koreksi SSwithin

0.45 40.7 39.9 40.4 42.5 41.4 41.7 41.7

0.55 0.65 36 24.7 35.6 30.6 26.6 21.9 26.3 23.9 30.7 23.9 28.2 27.6 28.2 27.6 32.367 2 nA (ӯA – ӯtotal) + nB (ӯB – ӯtotal)2 + nC (ӯC – ӯtotal)2 = 765.49 Σ (yi – ӯtotal)2 = 913.52 SStotal koreksi - SSbetween = 148.026

Sumber

SS

df

Between

765.49

2

Within

148.03

15

Total koreksi 913.52

17

MS SSB/k-1 = 382.745 SSW/N-k = 9.868

Frasio

Ftabel

(SSB/k-1)/(SSW/N-k) = 38.786

F2, 15, 0.05 = 3.6823

Oleh karena Frasio > Ftabel, hipotesis standar ditolak; artinya ada pengaruh antara rasio semen dan kekuatan beton.

b) Variabel independennya adalah rasio semen, sementara variabel dependennya adalah kekuatan beton. c) Untuk menyelesaikan tabel regresi tersebut, kita harus menyusun lagi tabel datanya : No Semen Output xy x2 y2 (x) (y) 1 0.45 40.7 18.315 0.2025 1656.49 2 0.45 39.9 17.955 0.2025 1592.01 3 0.45 40.4 18.18 0.2025 1632.16 4 0.45 42.5 19.125 0.2025 1806.25 5 0.45 41.4 18.63 0.2025 1713.96 6 0.45 41.7 18.765 0.2025 1738.89 7 0.55 36 19.8 0.3025 1296 8 0.55 35.6 19.58 0.3025 1267.36 9 0.55 26.6 14.63 0.3025 707.56 10 0.55 26.3 14.465 0.3025 691.69 11 0.55 30.7 16.885 0.3025 942.49 12 0.55 28.2 15.51 0.3025 795.24 13 0.65 24.7 16.055 0.4225 610.09 14 0.65 30.6 19.89 0.4225 936.36 15 0.65 21.9 14.235 0.4225 479.61 16 0.65 23.9 15.535 0.4225 571.21 17 0.65 23.9 15.535 0.4225 571.21 18 0.65 27.6 17.94 0.4225 761.76 Jumlah 9.9 582.6 311.03 5.565 19770.34 Sekarang, kita cari b0 dan b1 –nya: 𝑛 Σ − Σ Σ . − . 𝑏 = = 𝑛 Σ − Σ . − 𝑏 = ̅−𝑏 ̅ = . − − . Persamaan yang kita dapatkan : ̂= . − . Apabila kita sandingkan dengan grafik :

.

.

.

=

=

− .

.

.

=−

.

Kemudian untuk melengkapi tabelnya : No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Ratarata

Semen (x) 0.45 0.45 0.45 0.45 0.45 0.45 0.55 0.55 0.55 0.55 0.55 0.55 0.65 0.65 0.65 0.65 0.65 0.65

Output (y) 40.7 39.9 40.4 42.5 41.4 41.7 36 35.6 26.6 26.3 30.7 28.2 24.7 30.6 21.9 23.9 23.9 27.6

y hasil kalkulasi (ŷ) 40.20 40.20 40.20 40.20 40.20 40.20 32.37 32.37 32.37 32.37 32.37 32.37 24.54 24.54 24.54 24.54 24.54 24.54

Error (e) [y- ŷ] 0.50 -0.30 0.20 2.30 1.20 1.50 3.63 3.23 -5.77 -6.07 -1.67 -4.17 0.16 6.06 -2.64 -0.64 -0.64 3.06

0.55

32.37

32.37

0.00

Model

B

SE

t

1

75.45

5.341

X

-78.33

9.606

A . = SE . B . =− SE .

a) Koefisien determinasi :

Koefisien korelasi :

𝑟 =

∑ ̂− ̅ ∑ −̅

=

.

=− .

= .

𝑟 = √𝑟 = . Artinya, persamaan least square yang kita dapatkan nyaris sempurna. 3. Diketahui : banyak kecelakaan shift A 5 hari, B 6 hari, C 7 hari; dari 300 hari pengamatan. Ditanya : a) Buat ringkasan dalam bentuk tabel, b) Buat analisis yang sesuai dengan permasalahan ini. Jawaban a dan b : Kita akan memakai metode chi-square untuk membuat tabelnya, seperti ini (per shift dialokasikan 100 hari) : Baris Kolom Shift A Jumlah hari Shift B kecelakaan Shift C Shift A Jumlah hari tidak Shift B kecelakaan Shift C Jumlah

Observasi 5 6 7 95 94 93 300

Estimasi 6 6 6 94 94 94 300

O–E -1 0 1 1 0 -1 0

(O – E)2 1 0 1 1 0 1 4

(O – E)2 /E 0.17 0.00 0.17 0.01 0.00 0.01 0.35

Kolom ‘Estimasi’ didapat dari pengalian jumlah baris terhadap jumlah kolom dibagi jumlah data total. Misalnya, untuk Hari kecelakaan – Shift A :jumlah baris hari kecelakaan (5+6+7) dikali dengan jumlah kolom Shift A (5+95), lalu dibagi dengan jumlah total (300) sehingga menghasilkan 6. Begitu seterusnya. 4. Nilai yang kita ingin uji adalah nilai (O – E)2 /E total (bisa kita sebut sebagai χ2test), yakni 0.354. Untuk mendapatkan RUχ metode chi-square, χ – nya adalah χ2(baris-1)(kolom-1);α = χ22;0.05 = 5.991. Oleh karena χ2test < χ2tabel, maka kesimpulannya adalah tidak ada

hubungan antara banyaknya hari kecelakaan dengan jumlah banyaknya shift kerja.Untuk soal ini yang harus dikerjakan: a) Ukuran pemusatan adalah mean, modus, dan median. Mean adalah nilai rata-rata dari data, dalam hal ini data sampel, modus adalah nilai yang paling sering muncul, dan median adalah nilai tengah. Mean = 3,4125

; Median = 3,4

; Modus = 3.4

Ukuran penyebaran adalah variansi dan standar deviasi Variansi = 0,4939

; Standar Deviasi = 0,7

b) Untuk membuat tabel distribusi frekuensi: 

Tentukan jumlah kelas



Tentukan lebar kelas (lebar kelas = range/jumlah kelas)



Tempatkan batas-batas kelas



Masukkan frekuensi masing-masing data

c) Bila dianggap data kontinu, karena mean dan median hampir sama maka digunakan distribusi normal. Jadi, bila diambil perumpamaan, kemudian ditanya di suatu Gudang ditemukan suatu batere, berapa peluang batere itu umurnya lebih dari 2 tahun maka digunakan distribusi normal dengan mean dan standar deviasi dari samel d) Bila data dari sampel itu diambil 10 batere, kemudan kita tahu peluang >3 adalah 33/40, maka bisa digunakan binomial dengan n=40 dan x=2 5. Untuk soal ini, yang harus dikerjakan adalah: a) Oleh karena n cukup besar dan p sangat kecil, maka digunakan distribusi Poisson b) Hitung dengan distribusi Poisson dengan

=

= 𝑛𝑝 = . Dan x = 6

c) Bila diketahui Poisson (x,8) < 0,2 maka dari tabel x = 5 jadi banyaknya barang yang cacat tidak boleh lebih dari 5 6. Misalkan Y adalah peubah acak yang menggambarkan hasil yang akan diperoleh sang pemborong. Ada dua kemungkinan : dia akan kehilangan Rp. 5.000.000 bila kalah atau dia akan menang Rp. 50.000.000 dengan peluang masing-masing 0,6 dan 0,4. Distribusi peluang dari hasil Y adalah: y

P(y)

- Rp. 5.000.000

0,6

Rp. 50.000.000

0,4

Hasil yang diharapkan adalah : E(y) = ∑ 𝑃

= - Rp. 5.000.000*0,6 + Rp. 50.000.000*0,4 = Rp. 18.000.000

Oleh karena hasil yang diharapkan melebihi Rp. 12.000.000 maka pemborong itu akan tetap mengajukan penawaran.

7. n = 100

;𝜎 =

,

; ̅=

=

= ,

,

Error standardnya diperoleh 𝜎̅=

𝜎

√𝑛

,

√

; tingkat kepercayaan = 95%

Dengan tingkat kepercayaan 95%, maka nilai z = 1,96 (diperoleh dari tabel statistika), dapat diperolah ̅− 𝜎̅<

< ̅+ 𝜎

, − ,

,

𝟎, 𝟎𝟎 < 𝝁𝒙 <

8. n = 16

;𝜎 =

<

,

,

̅

<

, + ,

; ̅= ,

, ; tingkat kepercayaan = 99%

Error standardnya diperoleh 𝜎̅=

𝜎

√𝑛

=

,

= ,

√

Dengan tingkat kepercayaan 99%, maka nilai z = 2,575 (diperoleh dari tabel statistika), dapat diperolah ̅− 𝜎̅< ,

,

− ,

9. Tahapan

< ̅+ 𝜎 ,

< 𝝁𝒙 <

< ,

̅

<

,

+ ,

1) Hipotesis Ho: H1: 2) 𝛼 =

=

< ,

,

,

(tingkat kepentingan 1%)

3) n = 40 > 30 (digunakan distribusi z) 4) Batas daerah penolakan uji ujung kiri:

,

𝛼=

,

 -Z0,01

-Z0,01 = -2,325

5) Aturan keputusan : Tolak Ho dan terima H1 jika 𝑅𝑈 < -2,325, otherwise terima Ho

6) Rasio Uji :

𝑅𝑈 = −

̅− 𝜎̅

=−

7) Pengambilan Keputusan :

̅− 𝜎 √𝑛

= −

,

−

, √

,

= −

, ,

= − ,

Karena 𝑅𝑈 < -2,325, maka Ho ditolak. Ini berarti klaim perusahaan truk terkait tidak dapat diterima (ditolak)

Statistika dan Probabilitas Oleh : IMTK FTUI 2018

Soal 1. Pipa api untuk boiler yang dimanufaktur oleh sebuah perusahaan memiliki daya tahan ratarata 8000 jam pemakaian dengan deviasi standard 600 jam. Tentukan probabilitas bahwa suatu sampel acak yang terdiri dari 16 pipa memiliki usia pakai: a. Antara 7900 dan 8100 jam b. Kurang dari 7850 jam c. Lebih dari 8200 jam d. Agar probabilitasnya tidak kurang dari 90%, berapakah kisaran (range) usia pakai yang bisa direkomendasikan dari sampel tersebut? 2. Cetakan logam produk suatu perusahaan memiliki berat rata-rata 0.5 N dan deviasi standard 0.02 N. Tentukan probabilitas bahwa dua lot produk terdiri dari 1000 cetakan akan berbeda berat lebih dari 2 N (berat container lot diabaikan) 3. Kekuatan rusak (breaking strength) sebuah paku keling memiliki mean 10.000 N/m2 dan deviasi standard 500 N/m2 a. Berapakah probabilitas mean kekuatan rusak dari sebuah sampel acak yang terdiri dari 40 paku keling akan berada antara 9900 sampai 10.200 N/m2? b. Jika sampelnya berukuran 15, tentukan probabilitas bahwa yang ditanyakan pada (a) dapat dihitung dengan informasi yang diberikan. 4. Kekerasan Rockwell dari sejenis pin logam memiliki mean 50 dan deviasi standard 1.2 a. Jika distribusinya adalah normal, berapa probabilitas bahwa mean kekerasan dari sebuah sampel acak yang terdiri atas 9 pin sekurang-kurangnya 51? b. Berapa probabilitas bahwa mean kekerasan dari sebuah sampel acak yang terdiri atas 40 pin sekurang-kurangnya 51? 5. Tugas pertama dalam sebuah kuliah dasar komputer adalah membuat dan menjalankan sebuah program. Pengalaman sebelumnya menunjukan bahwa 40% dari mahasiswa tidak

membuat kesalahan pemrograman. Jika kuliah dasar computer ini diikuti oleh 50 mahasiswa, tentukan probabilitas: a. Sekurang-kurangnya 25 mahasiswa tidak membuat kesalahan pemrograman. b. Antara 15 sampai 25 mahasiswa tidak membuat kesalahan pemrograman. 6. Sebuah artikel di ASME Journal melaporkan bahwa dari 871 perusahaan yang bergerak di bidang industri 22 diantaranya tidak mesyaratkan insinyur yang bekerja di perusahaan tersebut memiliki sertifikasi insinyur professional. Dengan tingkat kepercayaan 90% tentukan persentase populasi dari perusahaan yang mensyaratkan diperlukan sertifikat insinyur untuk bisa diterima kerja. 7. Sebuah sampel acak yang terdiri dari 110 sinyal radar yang dikirimkan dari daerah tertentu menghasilkan pantulan radar balik dalam jangka waktu rata-rata 0,81 detik dan deviasi standard 0,34 detik. Hitunglah estimate interval dari rata-rata waktu pantul populasinya dengan tingkat kepercayaan 99% 8. Dalam suatu artikel mengenai kinerja kiln (tungku pemroses bahan keramik) dilaporkan informasi sebagai berikut. Kekuatan terhadap retak 168 batang keramik yang diproses dengan kiln tersebut mempunyai rata-rata 89,10 MPa dan deviasi standard 3,73 MPa. Hitunglah estimate interval dari kekuatan retak rata-rata sesungguhnya (populasi) dengan tingkat kepercayaan 99% 9. Pengamatan terhadap viskositas specimen aspal menunjukkan nilai 2781, 2900, 3013, 2856, 2888. Jika diasumsikan viskositas aspal ini mendekati suatu distribusi yang berbentuk lonceng (bel-shaped curve). Tentukan estimate viskositas rata-rata dengan tingkat keakuratan yang mencukupi. 10. Tentukanlah: a. Persentil ke-95 dari distribusi chi-kuadrat dengan n = 10 b. Persentil ke-5 dari distribusi chi-kuadrat dengan n = 10 c. P(10,98 ≤ X2 ≤ 36,78) di mana X2 adalah variabel acak chi-kuadrat dengan n = 22 11. Titik leleh dari 16 sampel suatu minyak nabati yang dihidrogenasi menunjukkan rata-rata 94,32°C. Jika diasumsikan distribusi titik leleh tersebut norma dengan deviasi standard 𝜎= ,

°𝐶:

a. Ujilah hipotesis 𝐻 : 𝜇 =

dan 𝐻 ≠

dengan tingkat kepentingan 0,01.

b. Jika tingkat kepentingan 0,01 digunakan, tentukan probabilitas terjadinya kesalahan jenis kedua (type-2 error) jika 𝜇 =

12. Persentasi SiO2 yang diinginkan dalam sejenis semen adalah 5,5. Untuk menguji apakah persentase rata-rata sebenarnya yang dihasilkan sebuah fasilitas produksi sesuai dengan yang diinginkan, 16 sampel yang diperoleh secara bebas dianalisis. Misalkan persentase SiO2 dalam sampel terdistribusi normal dengan deviasi standard𝜎 = ,

dan rata-rata

persentase sampel adalah 5,25. Maka:

a. Apakah hasil di atas menunjukkan bahwa persentase sesungguhnya yang dihasilkan berbeda dari 5,5 b. Jika persentase sesungguhnya 𝜇 = , dan dengan menggunakan uji hipotesis dengan

tingkat kepentingan 0,01 dengan sampel berukuran 16, berapakah probabilitas bahwa nilai ini berbeda dengan hipotesis nolnya? 13. Sebuah klaim menyatakan bahwa mobil balap dengan mesin Honda lebih cepat daripada

mobil dengan mesin Toyota. Untuk itu dilakukan pendataan sebagai berikut. Dari sampel 11 mobil balap bermesin Toyota yang diuji di sirkuit, kesebelasnya mampu menempuh satu lap dengan waktu rata-rata 199,02 detik dan deviasi standard 1,76 detik. Sedangkan 11 mobil balap dengan mesin Honda mampu menempuh satu lap dengan waktu rata-rata 118,50 dan deviasi standard 1,24 detik. Tentukan dengan uji hipotesis pada tingkat kepentingan 0,05 apakah klaim di atas benar. 14. Dua pabrik pembuat pencatu daya (power supply) komputer A dan B bersaing untuk menjadi pemasok bagi kebutuhan manufkatur komputer prbiadi berkelas internasional. Untuk menjamin ketersediaan pasokan, perusahaan manufaktur komputer tersebut ingin memberi power supply masing-masing separuh dari kedua pabrik tersebut dengan terlebih dahulu memastikan bahwa tidak terdapat perbedaan kualitas pada produk kedua pabrik itu. Masing-masing 10 buah sampel power supply diuji ketahanannya dalam pengoperasian terus-menerus sampai terjadinya kegagalan (dalam jam). Hasilnya adalah rata-rata ketahanan power supply A = 1210 jam dengan varians = 2550, sementara produk B rata-ratanya = 1175 dengan varians = 3600. Kesimpulan apa yang bisa ditarik dari data tersebut dengan tingkat kepentingan 0,05?

Pembahasan 1. 𝜇𝑥̅ = 𝜎𝑥̅ =

a. 𝑃

𝜎

√𝑛

=

√

=

𝑥

−

= 𝑃(

=𝑃 − .

=∅ .

𝑥

−∅ − .

= .

− .

= .

b. 𝑃 𝑥

= 𝑃 (𝑧 =𝑃 𝑧

−

−

=∅ − = .

c. 𝑃 𝑥

= 𝑃 (𝑧

=𝑃 𝑧 = d.

=

−𝑛

.

− .

𝑧

=𝑃

+𝑛

𝑧

𝑧

=∅ 𝑛 −∅ =∅ 𝑛 =𝑛

.

)

−

−∅ .

= 𝑃

.

𝑥

.

)

= . 𝑛

𝑛

.

. .

.

−

)

− .

=

𝑥 =

𝑥 −

𝑥 =

𝑥

2. 𝜇 = 𝜇 = 𝑆 =𝑆 =

√

.

× . =

.

= .

×

Untuk distribusi 𝑥 − 𝑥 𝜇 =𝜇 −𝜇

𝜇=

−

=

𝑆 𝑆 =√ 𝑆=√ + 𝑛 𝑛

𝑃 𝑥>

= 𝑃 𝑧> .

.

=

𝑁

−

×

= 𝑃 𝑧>

− ×

.

=

𝑥 −

−∅ .

−

−

= .

×

≈

3. a. 𝜇𝑥̅ = 𝜎𝑥̅ =

𝑃

𝜎

√𝑛

=

=𝑃 − . =∅ .

𝜎𝑥̅ =

𝜎

√𝑛

.

𝑧

−∅ − .

= .

b. 𝜇𝑥̅ =

𝑥

−

= 𝑃(

=

√

=

√

=

. 𝑍

.

.

− .

)

−

𝑃

𝑥

−

= 𝑃(

=𝑃 − . =∅ .

.

𝑧

−∅ − .

= .

.

−

𝑍

.

)

4. a. 𝜇𝑥̅ = 𝜎𝑥̅ = 𝑃 𝑥

𝜎

=

√𝑛

. − .

= 𝑃 (𝑧 =

= .

−∅ .

b. 𝜇𝑥̅ =

𝜎𝑥̅ = 𝑃 𝑥

𝜎

=

√𝑛

√

= 𝑃 (𝑧 =

−𝑃 𝑧

= . ×

= .

√

−

.

)=𝑃 𝑧

.

= .

− .

.

)=𝑃 𝑧

.

5. a. 𝜇𝑥̅ = . 𝜎𝑥̅ = √

.

− .

= .

25 mahasiswa, maka x = 25/50 = 0.5, faktor koreksi 1/2n = 0.01, P = 0.5-0.01 = 0.49

𝑃 𝑥

.

= 𝑃 (𝑧

=

.

−𝑃 𝑧

− .

.

)=𝑃 𝑧

.

=

.

−∅ .

=

− .

= .

b. 𝜇𝑥̅ = . 𝜎𝑥̅ = .

15 mahasiswa, maka x = 15/50 = 0.3, faktor koreksi 1/2n = 0.01, P = 0.3-0.01 = 0.29 25 mahasiswa, maka x = 25/50 = 0.5, faktor koreksi 1/2n = 0.01, P = 0.5-0.01 = 0.49 𝑃 .

= 𝑃(

=∅ .

.

.

𝑥

.

− .

.

𝑥

−∅ − .

.

= .

− .

)=𝑃 − .

− .

= .

.

6. 𝑛=

=

𝑝=

,

%

Tingkat Kepercayaan 90% 𝑧= ,

Error Standard 𝜎̂ = √

𝑝

𝑛

−𝑝

=√

Estimasi Proporsi

𝑝 − 𝑧. 𝜎̂ < 𝜋 < 𝑝 + 𝑧. 𝜎̂ ,

,

,

−

− .

,

<𝜋<

,

<𝜋<

,

,

−

<𝜋< ,

,

+ .

,

+

= .

,

,

Jadi persentase populasi perusahaan bersyarat sertifikasi adalah antara 96,594% sampai 98,345%

7. 𝑛=

𝑥̅ = ,

𝜎𝑥 = ,

Tingkat Kepercayaan 99% 𝑧= ,

𝜎𝑥̅ =

𝜎𝑥

=

√𝑛

√

,

Estimate Interval

= .

𝑥̅ − 𝑧. 𝜎𝑥̅ < 𝜇𝑥 < 𝑥̅ + 𝑧. 𝜎𝑥̅ ,

−

,

− ,

,

,

.

< 𝜇𝑥 < ,

< 𝜇𝑥 < ,

+

+ ,

< 𝜇𝑥 < ,

,

.

8. 𝑛=

𝑥̅ =

,

𝜎𝑥 = ,

Tingkat Kepercayaan 99% 𝑧= ,

𝜎𝑥̅ =

𝜎𝑥

√𝑛

=

√

,

Estimate Interval

= .

𝑥̅ − 𝑧. 𝜎𝑥̅ < 𝜇𝑥 < 𝑥̅ + 𝑧. 𝜎𝑥̅ ,

,

,

−

− ,

,

,

< 𝜇𝑥 <

< 𝜇𝑥 <

,

+

+

< 𝜇𝑥 <

,

,

+ ,

+

,

,

9. 𝑥̅ =

+

+

=

,

∑ 𝑥 − 𝑥̅ 𝑆=√ 𝑛−

=

,

Asumsi tingkat kepercayaan 95%, sehingga: 𝛼=

− .

𝑣=𝑛−

= .

=

−

=

Dengan nilai tersebut maka didapatkan nilai t sebesar 2,766. 𝑆

𝜎̂𝑥 =

,

=

√𝑛

√

=

,

,

< 𝜇𝑥 <

Estimate Interval , −

,

,

< 𝜇𝑥 <

,

, +

10. a. 𝛼 =

− .

𝑛=

𝑑𝑓 = 𝑋 =

b. 𝛼 =

𝑑𝑓 =

,

− .

𝑋 = ,

c. 𝑃

= .

,

= . 𝑋

,

Dengan nilai derajat kebebasan n = 22 𝛼 = ,

𝛼 = , ,

𝑝= , 𝑃 𝑋

𝑝= , ,

11. a. Asumsi tingkat kepercayaan = 95%

t0,025,15 = ± 2,131

,

,

,

𝑡=

−

= -2,267

, /√

Karena t tidak berada di -2,| | < 𝑥 < , | |, maka Ho ditolak (Ho = 𝜇 =

)

b. 𝛼 = , 𝜇=

,

𝑡=

−

= 1,067

, /√

t1,067,15 = 0,155 Jadi probabilitasnya 0,155 12. a. Asumsi tingkat kepercayaan 95% t0,025,15 = ± 2,131 ,

𝑡=

− ,

, /√

= -3,33

Karena t tidak berada di -2,| | < 𝑥 < , | |, maka Ho ditolak (Ho = 𝜇 = , ) ,

b. RUz =

√ ,

− ,

RUz = 1,166

− ,

+√

,

− ,

Z0,025 = ± , 13.

Karena RUz < Z, maka Ho diterima (Ho : 𝜋1 = 𝜋2)

Uji F pada varians RUf =

,

,

RUf = 1,969 Fkritis = F0,025,10,10 = 3,717 Maka RUf < Fkritis sehingga 𝜎 Uji T pada mean RUt =

√ ,

RUt = 0,801

−

,

−

+ , + −

tkritis = t0,025,20 = 2,086

,

−

√

+

=𝜎

RUt < tkritis sehingga Ho diterima ( Ho = 𝜇 1 = 𝜇 2)

14.

Uji F pada varians RUf = RUf = 1,412 Fkritis = F0,025,9,9 = 4,026 Karena RUf < Fkritis , maka Ho diterima (𝜎 Uji T pada mean RUt =

√

RUt = 1,602

−

−

+ + −

−

√

=𝜎

+

tkritis = t0,025,18 = 2,101 Karena RUt < tkritis, maka Ho diterima Ho = 𝜇 1 = 𝜇 2