1.dio Iz Kombinatorike.pdf

Kombinatorika i diskretna matematika predavanja i vježbe 2011.-2012.

doc.dr.sc. Snježana Braić [email protected]

Literatura 1. D. Veljan, Kombinatorna i diskretna matematika, Algoritam, Zagreb, 2001. 2. M. Cvitković, Kombinatorika, zbirka zadataka, Element, Zagreb, 1994.

Oblici provođenja nastave: Frontalna predavanja s auditornim vježbama Način provjere znanja i polaganje ispita: Završni pismeni ispit, te završni usmeni ispit. Pismeni i usmeni dio ispita se jednako vrednuju u konačnoj ocjeni.

SADRŽAJ I. Uvod i osnovni pojmovi 1. Neki primjeri 2. Osnovni pojmovi 3. Algoritmi 4. Dirichletov princip

II. Kombinatorna prebrojavanja 1. Osnovna pravila prebrojavanja 2. Prebrojavanje funkcija, podskupova, injekcija i bijekcija 3. Permutacije skupova 4. Kombinacije skupova 5. Permutacije i kombinacije multiskupova 6. Binomni i multinomni koeficijenti

III. Neki rekurzivni problemi 1. Fibonaccijevi brojevi 2. Linearne rekurzije s konstantnim koeficijentima 3. Neke linearne rekurzije, svođenje na njih i neki sustavi rekurzija

IV. Formula uključivanja-isključivanja 1. Formula uključivanja-isključivanja

V. Funkcije izvodnice 1. Osnovna ideja i jednostavni primjeri 2. Rekurzije i funkcije izvodnice

VI. Uvod u teoriju grafova 1. Osnovni pojmovi teorije grafova 2. Ciklusi i stabla 3. Obilasci grafova i digrafovi 4. Povezanost grafova 5. Bojenje grafova i kromatski broj 6. Planarni grafovi 7. Sparivanje u grafovima

I. Uvod i osnovni pojmovi 1. Neki primjeri Kombinatorna i diskretna matematika, ili kraće kombinatorika, je matematička disciplina koja uglavnom proučava konačne skupove i strukture. Od davnina su se matematičari bavili problemom prebrojavanja elemenata konačnih skupova i često su u praksi ti skupovi pred nama; npr. slova na ovoj stranici ili sva drveća u nekom drvoredu... U tim je slučajevima lako prebrojiti sve elemente tog skupa i doći do prirodnog broja n (ili nule) koji označava broj elemenata tog skupa.

Međutim, često elementi skupa čine neku pravilnu konfiguraciju ili su pak zadani opisno pomoću nekog svojstva. Ako nas npr. zanima samo broj elemenata takvih skupova, onda ne moramo efektivno brojiti, već se možemo poslužiti nekim enumerativnim metodama. Ti skupovi i svojstva mogu biti od sasvim jednostavnih do vrlo suptilnih, pa se u kombinatorici istražuju različite metode koje daju odgovor na pitanja kao što su: koliko ima objekata s danim svojstvom, na koliko se načina može dogoditi izvjestan događaj... Navedimo nekoliko tipičnih jednostavnih kombinatornih zadataka.

Kombinatorika izgleda kao zabava, ali ona nije samo zabava. Riječ je o iznimno važnoj i korisnoj matematičkoj disciplini koja svoj procvat doživljava razvojem osobnih računala. Riječ kombinatorika dolazi od riječi kombinacija, a ona od latinske riječi combinare = slagati.

Ljudi pod tim obično podrazumjevaju: permutacije kao neke vrste premještaja, odnosno promjene slijeda određenog broja stvari (od lat. permutare = promijeniti), kombinacije kao svaku moguću skupinu određenog broja neke množine elemenata i varijacije kao promjene, preinake (od lat. variatio = različitost). No, to je samo djelomično točno.

Riječ diskretan (lat. discrenere = razlučiti, razlikovati) u ovom kontekstu znači da objekte koje proučavamo možemo jasno i nedvojbeno razlikovati po nekom redoslijedu (kao npr. elemente skupa {1,2,...,n}, N).

problem prebrojavanja, poopćenje na n ×m

§3. Algoritmi Često se kaže da se teorijska računalna znanost sastoji od nalaženja i proučavanja algoritama. Što je algoritam? Definicije iz leksikona poput “...svaki pravilni postupak pri računanju” nisu zadovoljavajuće jer ti pojmovi nisu dovoljno precizni. Malo preciznije, ali još uvijek intuitivno, može se reći: Algoritam je konačan niz propisanih postupaka, pravila, naredbi ili recepata (uglavnom računskih), koji, ako se dosljedno slijedi, izvršava konkretan zadatak. Svaki algoritam mora zadovoljavati sljedeće:

1. Ulaz (input). Algoritam ima nekoliko (možda i nula) ulaznih podataka, tj. podataka koji su mu zadani izvana i prije samog početka rada. 2. Izlaz (output). Algoritam daje kao rezultat barem jednu veličinu koja ima točno određen odnos prema ulaznim podacima. 3. Određenost. Svaka naredba algoritma mora biti jedinstveno određena, tj. jasna i nedvosmislena. 4. Konačnost. Kad se slijede pravila algoritma, kakvi god bili ulazni podaci algoritam završava nakon konačno mnogo koraka. I kao posljednji, ali ne i nužan uvjet traži se efikasnost, tj. da algoritam bude i provediv.

Formalno, algoritam se definira na sljedeći način: Računski postupak ili metoda je četvorka (Q,U,I,f), gdje je Q skup s podskupovima U,I, a f:Q→Q funkcija za koju je f(q)=q, za sve qϵI. Skupove Q,U,I redom zovemo računska stanja, ulazi i izlazi, a f se zove pravilo računski. Nadalje, za svaki ulaz xϵU definiramo izračunljiv niz x0, x1, ... rekurzivno sa x0=x, xk+1=f(xk), za k≥0.

Kažemo da izračunljiv niz završava nakon p koraka ako je p≥0 najmanji cijeli broj za koji je xpϵI, te u tom slučaju kažemo da on daje izlaz xp za zadanu vrijednost ulaza x. Algoritam je računski postupak koji završava za sve vrijednosti ulaza xϵU. Program je zapis algoritma (ili čak računske metode) na jednom od programskih jezika.

Npr., jedan od najstarijih poznatih algoritama je Euklidov algoritam za nalaženje najveće zajedničke mjere M(m,n) dvaju danih brojeva m,n ϵ N. Podsjetimo se: Neka su m,n ϵ N. Podijeli se m s n, i dobije ostatak r (0≤r
Ono što je u praksi zanimljivo pripada tzv. analizi algoritama. Tu se uglavnom ispituju radne karakteristike algoritama, tj. njihova efikasnost i to prije svega vremenska složenost. Vremenska složenost, ili jednostavno složenost algoritma (vrijeme računanja ili rada algoritma) jest naprosto broj osnovnih računskih koraka koje algoritam izvodi prilikom prijelaza od ulaznih podataka do izlaznih rezultata.

Složenost algoritma je, dakle, funkcija veličine ulaznih podataka ili veličine problema. Često je vrlo teško odrediti točnu vrijednost složenosti. Tako se npr. ona ne zna za Euklidov algoritam, tj. ne znamo koliki je broj dijeljenja kao funkcija od m i n. Najčešće se stoga pod složenošću algoritma misli na složenost najgoreg slučaja, tj. najveći broj osnovnih računskih koraka koje izvodi algoritam uz bilo koje ulazne podatke čiji je broj jednak n. Isto tako se često traži prosječna složenost. No, često je i to teško naći pa se zadovoljavamo gornjim i donjim međama za “najgori slučaj” ili “prosjek” ili njihovo asimptotsko ponašanje kada je broj ulaza velik, tj. kada n→∞.

Složenosti dvaju algoritama za isti problem mogu se, naravno, razlikovati. Neka su npr. A1 i A2 dva algoritma složenosti redom n²/7 i 4n. Tada je očito A2 brži i efikasniji algoritam od A1 za sve probleme veličine n>28. Štoviše, uvijek će A2 biti brži i efikasniji od A1 za sve n počevši od nekog n0 bez obzira na to koji su koeficijenti uz n² i n. Kaže se da je A2 manjeg reda nego A1. Npr. eksponencijalna funkcija s bazom a>1 je većeg reda od bilo kojeg polinoma jer je n /n r  , a lim n r /a n  0 lim a n→ n→

Odavde se lako dobiva da n puno brže raste od npr. log n.

Asimptotska složenost određuje u biti najveći problem koji se može uraditi. Ako su dva algoritma za isti problem istog reda, onda grubo govoreći nijedan od njih ne odavlja zadatak bitno bolje od drugog. Za dovoljno velike n razlika postaje zanemariva s obzirom na razliku dvaju algoritama različitog reda.

Jedan od razloga zašto je složenost algoritma važna “kompjuterašima” jest taj da sama egzistencija algoritma još ne jamči da se problem može praktički riješiti. Naime, algoritam može biti tako neefikasan da bi čak i s računalima novih generacija sa sve većom brzinom, bilo nemoguće dobiti rezultate u nekom korisnom vremenu. Stoga treba karakterizirati “korisne” algoritme sa stajališta prakse. Spomenuta razmatranja i praksa pokazuju da su to polinomski algoritmi. Kažemo da je algoritam efikasan ili dobar ako mu je složenost polinomska.

Stoga eksponencijalni i pogotovo faktorijelni algoritmi nisu efikasni, dok je npr. algoritam sa složenošću nlog2n efikasan i, štoviše, efikasniji od algoritma složenosti n². Ima međutim situacija, kao npr. u linearnom programiranju da su u praktičnoj upotrebi algoritmi koji u “najgorem slučaju” imaju eksponencijalnu složenost, ali u praksi pokazuju linearnu složenost (kao npr. razne simpleks-metode).

§4. Dirichletov princip Dirichletov princip jedan je od najjednostavnijih elementarnih kombinatornih principa. U literaturi je još poznat pod imenima: “princip pretinaca”, “princip kutija” il i”princip golubinjaka”. Mi ćemo da zvati Dirichletov princip prema njemačkom matematičaru Dirichletu (1805-1859) koji ga je prvi jasno formulirao i često se njime koristio pri svojim istraživanjima u teoriji brojeva i analizi. Slikovito rečeno, taj princip kaže da ako vrlo mnogo golubova doleti u nekoliko golubinjaka, onda će bar u jednom golubinjaku biti bar dva goluba. Malo preciznije, Dirichletov princip možemo ovako formulirati:

Dirichletov princip. Ako n+1 predmeta bilo kako rasporedimo u n kutija onda bar jedna kutija sadrži bar dva predmeta. Dokaz je gotovo nepotreban, a ide kontradikcijom. Pretpostavimo da svaka kutija sadrži najviše jedan predmet. Tada bi i predmeta bilo najviše n, a mi ih imamo n+1, pa je to kontradikcija. Dirichletov princip. Neka su S i T konačni skupovi, |S|>|T|, a f:S→T neko preslikavanje. Tada f nije injekcija.

Primjer 1. Među 13 ljudi uvijek postoje dvoje rođenih u istom mjesecu. Primjer 2. Pet različitih pari rukavica nalazi se u jednom pretincu. Izvlačimo nasumce po jednu rukavicu i ne vraćamo ih natrag u pretinac. Koliko je najmanje izvlačenja potrebno da bismo bili sigurni da imamo obje rukavice istog para? Primjer 3. Neka su a1,a2,...,am cijeli brojevi. Tada postoje k,lϵ{1,2,...,m}, k
Primjer 4. (P.Erdos). Iz skupa [2n]={1,2,...,2n} odabran je podskup S od n+1 elemenata. Tada postoje x,y ϵ S tako da je x djeljiv s y.

Primjer 6. Unutar kvadrata stranice 1 dano je 9 točaka. Tada postoje 3 točke od danih 9 koje su sadržane u krugu radijusa 2/5.

Primjer 7. Pripremajući se za svjetsko nogometno prvenstvo, nogometna je reprezentacija imala 11 tjedana pripreme. Stručni je štab odlučio da reprezentacija igra svaki dan bar jednu probnu utakmicu. No, da se igrači ne bi premorili, odlučeno je da se u svakom tjednu (7 dana) odigra najviše 12 probnih utakmica. Dokažite da će na tim pripremama reprezentacija odigrati u nekoliko uzastopnih dana točno 21 utakmicu.

Primjer 8. Među 44 ljudi bar četvero je rođeno u istom mjesecu.

Primjer 9. Zamislimo da se neki zatvor sastoji od 64 ćelije čiji tlocrt izgleda kao šahovska ploča 8×8. Između svake dvije susjedne ćelije postoje vrata. Zatvoreniku u donjoj lijevoj ćeliji je rečeno da za sebe može izboriti slobodu ako uspije doći do desne gornje ćelije tako sa svaku od 64 ćelije obiđe samo jednom. Može li taj zatvorenik za sebe izboriti slobodu?

Ne može- dijagonalna polja su iste boje.

Zadatak 1. Topovi (ili kule) u šahu se napadaju ako su u istom retku ili stupcu na šahovskoj ploči. Dokažite da se 8 topova može postaviti na šahovsku ploču a da se ne napadaju.

Zadatak 2. Lovci (ili lauferi) u šahu se napadaju ako se nalaze na istoj dijagonali. Dokažite da se na običnu šahovsku ploču može postaviti najviše 14 lovaca koji se međusobno ne napadaju. Dokažite da je analogan broj za ploču n×n jednak 2n-2.

II. Kombinatorna prebrojavanja §1. Osnovna pravila prebrojavanja

Često se u praksi susrećemo s problemom kako prebrojiti elemente nekog skupa, npr., sve stranice neke knjige ili sva drveća u nekom drvoredu... Ako nas zanima samo broj elemenata takvih skupova, onda ne moramo efektivno brojiti elemente, već se možemo poslužiti nekim enumerativnim metodama.

Razlikujemo tri osnovne metode ili pravila prebrojavanja: 1. pravilo jednakosti ili bijektivne korespodencije), 2. pravilo zbroja, 3. pravilo produkta, ovisno o tome znamo li direktno odrediti broj elemenata nekog skupa, njegove dijelove ili njegove faktore.

Teorem o uzastopnom prebrojavanju: Neka je nϵN, S1,S2,…,Sn konačni skupovi i S podskup od S1×S2×…×Sn skup uređenih n-torki (x1,x2,…,xn) definiranih na sljedeći način: - prvu komponentu x1 možemo birati na p1 različitih načina; - za svaku već odabranu prvu komponentu, drugu komponentu x2 možemo birati na p2 načina; itd. -za svaki izbor komponenti x1,x2,…,xn-1 n-tu komponentu xn možemo birati na pn različitih načina. Tada je |S|=p1·p2·…·pn

Primjer 1. Koliko je načina da se između 5 muškaraca, 7 žena, 3 dječaka i 4 djevojčice izabere (a) jedna osoba, (b) po jedan muškarac, jedna žena, jedan dječak i jedna djevojčica?

Primjer 2. Netko želi poslati svakome od svojih 5 prijatelja po jednu od 20 različitih razglednica. Na koliko to načina može učiniti?

Primjer 3. Registarska tablica na vozilima sastoji se nakon oznake mjesta od 3 ili 4 brojke, te jednog ili dva slova abecede. Koliko se različitih tablica može izdati u istom gradu?

Primjer 4. Koliko ima peteroznamenkastih brojeva čije su sve susjedne znamenke različite? Primjer 5. Svaki od četvorice dječaka izabere jednu od šest djevojaka kao partnericu za ples. Na koliko to načina može učiniti?

Primjer 6. Na polici su hrpe od: 8 jabuka, 10 krušaka, 7 breskvi, 6 banana i 3 ananasa. Za spremanje voćne salate potrebno je nekoliko komada voća (uključujući i praznu salatu). Koliko se ukupno voćnih salati može spraviti od ponuđenog voća?

Primjer 7. Osnovni teorem aritmetike kaže da se svaki prirodni broj n>1 može jednoznačno napisati u obliku n  p 1 1  p 2 2 . . . p k k g d je su p 1  p 2 . . .  p k p rosti b rojevi, a  1 ,  2 , . . . ,  k p rirod n i b rojevi.

Odredite broj svih djelitelja od n.

Primjer 8. Dvanaestero djece treba prijeći ulicu, pa ih teta iz vrtića želi razvrstati u 6 grupa po dvoje (tj. u 6 parova). Na koliko to načina može učiniti?

Primjer 9. Koliko ima prirodnih brojeva manjih od bilijun koji sadrže znamenku 2 u svom dekadskom zapisu? Kojih brojeva ima više, onih koji sadrže ili onih koji ne sadrže 2?

Primjer 10. Koliko ima neparnih brojeva između 1000 i 10000 od kojih svaki ima različite znamenke?

§2. Prebrojavanje funkcija, podskupova, injekcija i bijekcija

§4. Kombinacije skupova Neka je S skup od n elemenata. Bilo koji r-člani podskup od S zove se r-kombinacija skupa S. Drugim riječima, r-kombinacija od S je neuređeni izbor od r (različitih) elemenata iz S.

S r a broj svih r-kombinacija n-članog skupa s nr Skup svih r-kombinacija iz S označavamo

n⋅

Koliko ima rastava prirodnog broja n u r dijelova?

Napomena: n−r

∑

k 0

r  k r



r r



r  1 r

. . . 

n r



n  1 r  1

Što ako svako dijete mora dobiti barem jednu jabuku, jednu krušku i jednu bananu? Što ako svako dijete mora dobiti barem dvije jabuke, jednu krušku i jednu bananu? Primjer 37. Koliko ima nepadajućih nizova duljine r čiji su članovi iz skupa {1,2,...,n}?

PONOVIMO: