203057_2 David Chaves_tarea 4

CÁLCULO MULTIVARIADO Tarea 4 Integrales de funciones de varias variables

GRUPO: 203057_2

PRESENTADO POR: NELSON DAVID CHAVES

PRESENTADO A: CARLOS AUGUSTO GONZALES (TUTOR)

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y ADISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍAECBIT Octubre 2019

1. INTRODUCCIÓN. 2. EJERCICIO 1 INTEGRALES DOBLES. Momento de Inercia.

Si una partícula de masa m está a una distancia d de una recta fija, su momento de inercia respecto de la recta se define como: 𝑰 = 𝒎𝒅𝟐 = (𝒎𝒂𝒔𝒂)(𝒅𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂)𝟐 Se puede generalizar este concepto para obtener los momentos de inercia de una lámina de densidad variable respecto de los ejes 𝑥 y 𝑦. Estos segundos momentos se denotan por 𝑰𝒙 e 𝑰𝒚 y en cada caso el momento es el producto de una masa por el cuadrado de una distancia.

Donde (𝑦 2 ) es el cuadrado de la distancia al eje 𝑥 (𝑥 2 ) es el cuadrado de la distancia al eje 𝑦 𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 es la Masa A la suma de los momentos e se le llama el momento polar de inercia y se denota Por 𝑰𝟎 . Evaluar la integral doble requerida para hallar el momento de inercia I, con respecto a la recta dada, de la lámina limitada o acotada por las gráficas de las siguientes ecuaciones. Realizar las gráficas en Geogebra:

e. 𝒚 = 𝟒𝟐 − 𝒙𝟐 , 𝒚 = 𝟎, donde 𝝆 = 𝒌, y la recta 𝒚 = 𝟑

SOLUCION Integramos con respecto a 𝒙

𝑰𝑿 = ∬ 𝒚𝟐 ∗ 𝝆(𝒙, 𝒚)𝒅𝑨

16−𝑥 2

4

(3 − 𝑦)2 ∗ 𝑘 𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝐼𝑋 = ∫ ∫ −4 0

Como 𝒌 es una constante sale de la integral 16−𝑥 2

4

𝐼 = 𝒌∫ ∫

(9 − 6𝑦 + 𝑦 2 ) ∗ 𝑑𝑦 𝑑𝑥

−4 0

4

6𝑦 𝑦 3 16 − 𝑥 2 𝐼 = 𝒌 ∫ [9𝑦 − + ]| 2 3 0 −4

4

𝐼 = 𝒌 ∫ [9𝑦 − 3𝑦 + −4

𝑦 3 16 − 𝑥 2 ]| 3 0

4

𝐼 = 𝒌 ∫ [9(16 − 𝑥 2 ) − 3(16 − 𝑥 2 ) + −4

(16 − 𝑥 2 )3 ] 3

Simplificamos 4

(16 − 𝑥 2 )3 𝐼 = 𝒌 ∫ (−3𝑥 + 87𝑥 + − 624) 𝑑𝑥 3 −4 4

2

Realizamos la segunda integral 260864 𝐼=𝑘 ( ) 105 𝑰 = 𝟐𝟒𝟖𝟒, 𝟒𝟏𝒌 GRAFICA

3. EJERCICIOS 2 INTEGRALES TRIPLES. Utilice integrales triples para calcular el valor promedio de 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) sobre la región dada: e. 𝑭(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒚𝟐 + 𝟐𝒛𝟐 sobre el cubo en el primer octante acotado por los planos coordenados y los planos 𝒙 = 𝟐, 𝒚 = 𝟐 y 𝒛=𝟐 SOLUCION Volumen del cubo 𝒗 = 𝟐𝟑 = 𝟖 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒄𝒖𝒃𝒊𝒄𝒂𝒔 Calculamos el valor de la integral F sobre el cubo 𝟐

𝟐

𝟐

∫ ∫ ∫ 𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒚𝟐 + 𝟐𝒛𝟐 𝒅𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒛 𝟎

𝟎

𝟎

Solucionamos la primera integral

2

2

𝑉𝑝𝑟𝑜𝑚 = ∫ ∫ [2𝑥 2 𝑧 − 3𝑦 2 𝑧 + 0 2

0

2𝑧 3 2 ]| 3 0

2

2(2)3 2 𝑉𝑝𝑟𝑜𝑚 = ∫ ∫ [2𝑥 (2) − 3𝑦 (2) + ]| 0 3 0 0 2

𝟐

2

𝟐

𝑽𝒑𝒓𝒐𝒎 = ∫ ∫ [𝟒𝒙𝟐 − 𝟔𝒚𝟐 + 𝟎

𝟎

𝟏𝟔 ] 𝟑

segunda integral

2

2

𝑉𝑝𝑟𝑜𝑚 = ∫ ∫ 4𝑥 2 − 6𝑦 2 + 0 2

0

16 𝑑𝑥𝑑𝑦 3

2

𝑉𝑝𝑟𝑜𝑚 = ∫ ∫ 4𝑥 2 𝑦 − 6𝑦 3 + 0

0

16 2 𝑦| 0 3

𝟐

𝟔𝒚𝟑 𝟏𝟔 2 𝑽𝒑𝒓𝒐𝒎 = ∫ 𝟒𝒙 (𝟐) − + (𝟐) | 0 𝟑 𝟑 𝟎 𝟐

𝟐

𝑽𝒑𝒓𝒐𝒎 = ∫ 𝟖𝒙𝟐 − 𝟏𝟔 + 𝟎

𝟑𝟐 2 | 𝟑 0

Tercera integral

2

𝑉𝑝𝑟𝑜𝑚 = ∫ 8𝑥 2 − 16 + 0

2

32 𝑑𝑥 3

8𝑥 3 16 𝑉𝑝𝑟𝑜𝑚 = ∫ − 𝑑𝑥 3 0 3

8𝑥 3 16 2 − 𝑥 | 0 3 3

𝑉𝑝𝑟𝑜𝑚 =

𝑽𝒑𝒓𝒐𝒎 =

𝟑𝟐 = 𝟏𝟎. 𝟔 𝟑

Dividiendo el resultado de la integral triple en el volumen del cubo, tenemos: 𝑉𝑝𝑟𝑜𝑚 =

10.6 8

𝑽𝒑𝒓𝒐𝒎 = 𝟏. 𝟑𝟑

4. EJERCICIOS 3 – INTEGRALES DE LÍNEA.

Calcule el trabajo total realizado al mover una partícula a lo largo del arco C si el movimiento lo ocasiona el campo de fuerza F. Suponga que el campo que el arco se mide en metros y la fuerza en Newton. e. 𝑭(𝒙, 𝒚) = −𝒙𝟐 𝒚𝒊 + 𝟐𝒚𝒋 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝑪: el segmento de recta desde el punto (𝒂, 𝟎) hasta el punto (𝟎, 𝒂).

SOLUCION

Pendiente del segmento 𝒎=

𝒂−𝟎 𝒂 = 𝟎 − 𝒂 −𝒂

𝒎 = −𝟏

𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃 0 = −1(𝑎) + 𝑏

𝒂=𝒃 Ecuación del segmento de la recta 𝒚 = −𝒙 + 𝒂 Parametros 𝒙=𝒕 𝒚 = −𝒕 + 𝒂 𝒅𝒚 = −𝒅𝒕

𝑭𝟏 (𝒙, 𝒚) = −𝒙𝟐 𝒚 𝑭𝟐 (𝒙, 𝒚) = 𝟐𝒚

𝟎

𝟎

𝟎

⃗ ∗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ∫ 𝑭 𝒅𝒓 = ∫ −𝒙𝟐 𝒚 ∗ 𝒅𝒙 + ∫ 𝟐𝒚 ∗ 𝒅𝒚 𝒄

𝒂

𝒂

Dominio del tiempo 𝟎

𝟎

𝑾 = ∫ −𝒕𝟐 (−𝒕 + 𝒂)𝒅𝒕 + ∫ 𝟐(−𝒕 + 𝒂)(−𝒅𝒕) 𝒂

𝒂 0

0 3

2

𝑊 = ∫ 𝑡 − 𝑎𝑡 ∗ 𝑑𝑡 + ∫ 2𝑡 − 2𝑎 ∗ 𝑑𝑡 𝑎

𝑊=

𝑎

𝑡4 𝑡3 2𝑡 2 0 − 𝑎+ − 2𝑎𝑡 | 𝑎 4 3 2

04 03 𝑎4 𝑎3 2 𝑊 = ( − 𝑎 + 0 − 2𝑎(0)) − ( − (𝑎) + 𝑎2 − 2𝑎2 ) 4 3 4 3

𝑎4 𝑎4 𝑊 = − ( − − 𝑎2 ) 4 3 𝒂𝟒 𝑾 = − ( − 𝒂𝟐 ) 𝑵𝒎 𝟏𝟐 5. EJERCICIOS 4 – INTEGRALES DE FLUJO

En los siguientes ejercicios utilizar la Ley de Gauss para hallar la carga total en el interior de la superficie dada: e. Sea 𝑬 = −𝟐𝒙𝒚𝒊 + 𝟒𝒙𝒛𝒋 + 𝟑𝒚𝒛𝒌 un campo electrostático. Usar la Ley de Gauss para hallar la carga total que hay en el interior de la superficie cerrada formada por el hemisferio 𝒛 = √𝟐 − 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 y su base circular en el plano 𝒙𝒚. SOLUCION

⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗ ∗ 𝒅𝑺 𝛟 = ∬𝑬

𝒒 𝜺𝟎

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA

⃗ ∗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝒅𝑽 ∬ ⃗𝑬 𝒅𝑺 = ∭ 𝛁 ∗ ⃗𝑬 𝑺

⃗⃗ = (( 𝛁∗𝑬

𝑽

𝒂 𝒂 𝒂 ⃗ ) 𝒊 ( ) 𝒋 ( ) 𝒌) ∗ 𝑬 𝒂𝒙 𝒂𝒚 𝒂𝒛

Producto punto entre el campo eléctrico y su divergencia

𝒂 𝒂 𝒂 ) 𝒊 ( ) 𝒋 ( ) 𝒌) ∗ (−𝟐𝒙𝒚𝒊 + 𝟒𝒙𝒛𝒋 + 𝟑𝒚𝒛𝒌) 𝒂𝒙 𝒂𝒚 𝒂𝒛

𝛁 ∗ ⃗𝑬 = ((

∇ ∗ 𝐸⃗ = ((

𝑎(−2𝑥𝑦) 𝑎(4𝑥𝑧) 𝑎(3𝑦𝑧) )𝑖( )𝑗( ) 𝑘) 𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧

∇ ∗ 𝐸⃗ = (−2𝑦 + 3𝑦)

𝛁 ∗ ⃗𝑬 = 𝒚

𝛟 = ∭ 𝛁 ∗ ⃗𝑬 𝒅𝑽 𝑽

𝛟 = ∭ 𝐲 𝒅𝑽 𝑽

Coordenadas esféricas 𝒙 = 𝝆 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝐜𝐨𝐬 𝜽

𝒚 = 𝝆 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝐬𝐢𝐧 𝜽

𝒛 = 𝐜𝐨𝐬 𝝋

Ecuacion de la esfera 𝝆 es el radio

𝝆𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐

𝒅𝑽 = 𝝆𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒅𝝆𝒅𝜽𝒅𝝋

𝛟 = ∭ 𝐲 𝒅𝑽 𝑽

𝛟 = ∭(𝝆 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝐬𝐢𝐧 𝜽) (𝝆𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒅𝝆𝒅𝜽𝒅𝝋) 𝑽

𝛟 = ∭ 𝝆𝟑 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝝋 𝐬𝐢𝐧 𝜽𝒅𝝆𝒅𝜽𝒅𝝋 𝑽

Hallamos los limites

𝝆 = 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝟎 𝒂 √𝟐 𝜽 = 𝒑𝒓𝒐𝒚𝒆𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒂𝒍 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒑𝒍𝒂𝒏𝒐 𝒙𝒚 = 𝟎 𝒂 𝟐𝝅 𝝋 = 𝑨𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒅𝒐 𝒄𝒐𝒏 𝒆𝒍 𝒆𝒋𝒆 𝒛 𝟎 𝒂

𝝅⁄ 𝟐

𝟐𝝅

√𝟐

∫ 𝝆𝟑 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝝋 𝐬𝐢𝐧 𝜽𝒅𝝆𝒅𝜽𝒅𝝋

𝛟=∫ ∫ 𝟎

𝟎

𝝅 𝒉𝒆𝒎𝒊𝒔𝒇𝒆𝒓𝒊𝒐 𝒔𝒖𝒑𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 𝟐

𝟎

√2

∫ 𝜌3 𝑑𝜌 0

𝜌4 √2 √24 04 | = − =1 4 0 4 4 𝜋⁄ 2

2𝜋

∫ ∫ 1 sin2 𝜑 sin 𝜃𝑑𝜌𝑑𝜃𝑑𝜑 0

0

2𝜋

1sin2 𝜑 ∫ sin 𝜃𝑑𝜌𝑑𝜃𝑑𝜑 0

2𝜋 1sin2 𝜑 − cos 𝜃 | 0

1sin2 𝜑 − (cos 2𝜋 − cos 0)

1sin2 𝜑 − (1 − 1)

1sin2 𝜑 − 0

𝐬𝐢𝐧𝟐 𝝋 𝜋⁄ 2

∫ 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝝋 𝒅𝝋 0

𝜋⁄ 2

1 ∫ 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬(𝟐 𝝋) 𝒅𝝋 2 0

𝜋⁄ 1 1 (𝝋 − sin(2𝝋)) | 2 2 2 0

1 𝜋 1 1 [( ⁄2 − sin(2 𝜋⁄2 )) − (0 − sin(0))] 2 2 2

1 𝜋 1 1 [( ⁄2 − sin(𝜋)) − (0 − sin(0))] 2 2 2

1 𝜋 1 𝜋 [( − sin(𝜋)) − 0] = 2 2 2 4

⃗ 𝒅𝑽 = 𝛟 = ∭𝛁 ∗ 𝑬 𝑽

𝒒=

𝜋 𝒒 = 4 𝜺𝟎

𝝅𝜺𝟎 𝟒

6. EJERCICIOS 5 – TEOREMAS DE INTEGRACIÓN

En los siguientes ejercicios el movimiento de un líquido en un recipiente cilíndrico de radio 1, se define mediante el campo de velocidad 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧). Hallar

Donde S es la superficie superior del recipiente cilíndrico: e. 𝑭(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝟐𝒛𝒊 − 𝒚𝒋 + 𝟑𝒙𝒌 SOLUCION

⃗𝑭(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝑷(𝒙, 𝒚, 𝒛)𝒊 + 𝑸(𝒙, 𝒚, 𝒛)𝒋 + 𝑹(𝒙, 𝒚, 𝒛)𝒌 𝒂𝑹 𝒂𝑸 𝒂𝑷 𝒂𝑹 𝒂𝑸 𝒂𝑷 ⃗ =𝛁∗ 𝑭 ⃗ =( 𝒓𝒐𝒕𝑭 − )𝒊 + ( − )𝒋 + ( − )𝒌 𝒂𝒚 𝒂𝒛 𝒂𝒛 𝒂𝒙 𝒂𝒙 𝒂𝒚 𝛁 = 𝑮𝒓𝒂𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆

Hallamos la rotación de la función

⃗ = 𝛁 ∗ ⃗𝑭 𝒓𝒐𝒕𝑭

𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑧𝑖 − 𝑦𝑗 + 3𝑥𝑘 𝑷(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 2𝑧𝒊 𝑸(𝒙, 𝒚, 𝒛) = −𝑦𝒋 𝑹(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 3𝑥𝒌

𝛁 ∗ ⃗𝑭 = (

𝒂𝑹 𝒂𝑸 𝒂𝑷 𝒂𝑹 𝒂𝑸 𝒂𝑷 − )𝒊 + ( − )𝒋 + ( − )𝒌 𝒂𝒚 𝒂𝒛 𝒂𝒛 𝒂𝒙 𝒂𝒙 𝒂𝒚

𝑎3𝑥 𝑎(−𝑦) 𝑎2𝑧 𝑎3𝑥 𝑎(−𝑦) 𝑎2𝑧 ∇∗ 𝐹 =( − )𝑖 + ( − )𝑗 + ( − )𝑘 𝑎𝑦 𝑎𝑧 𝑎𝑧 𝑎𝑥 𝑎𝑥 𝑎𝑦

∇ ∗ 𝐹 = (0 − 0)𝑖 + (2 − 3)𝑗 + (0 − 0)𝑘 ∇ ∗ 𝐹 = (0)𝑖 + (−1)𝑗 + (0)𝑘

⃗ =𝛁∗ 𝑭 ⃗ = (𝟎, −𝟏, 𝟎) 𝒓𝒐𝒕𝑭

Ecuación del cilindro

𝒙 𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏

Ecuación del movimiento de un cilindro z en el plano

𝒁 = 𝒁𝟎 𝒁 − 𝒁𝟎 = 𝟎

Vector unitario superficie S

𝑭(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒁 − 𝒁𝟎 = 𝟎

𝒂𝒇 𝒂𝒇 𝒂𝒇 𝛁𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = ( ) 𝒊 + ( ) 𝒋 + ( ) 𝒌 𝒂𝒙 𝒂𝒚 𝒂𝒛

𝛁𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = (

𝒂(𝒁 − 𝒁𝟎 ) 𝒂(𝒁 − 𝒁𝟎 ) 𝒂(𝒁 − 𝒁𝟎 ) )𝒊 + ( )𝒋 + ( )𝒌 𝒂𝒙 𝒂𝒚 𝒂𝒛

⃗⃗ 𝛁𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝟎)𝒊 + (𝟎)𝒋 + (𝟏)𝒌 = 𝒏

⃗ = (𝟎, 𝟎, 𝟏) 𝒏 Procedemos a hallar

⃗ ) ∗ (𝒏 ⃗ 𝒅𝑺) ∬(𝒓𝒐𝒕𝑭 𝒔

⃗ )∗ 𝒏 ⃗ = (𝟎, −𝟏, 𝟎)(𝟎, 𝟎, 𝟏) (𝒓𝒐𝒕𝑭

⃗ )∗ 𝒏 ⃗ =𝟎 (𝒓𝒐𝒕𝑭

Parametrizamos la ecuación del cilindro

𝑥2 + 𝑦2 = 1 𝑦2 = 1 − 𝑥2 𝒚 = ±√𝟏 − 𝒙𝟐 = {

√𝟏 − 𝒙𝟐 −√𝟏 − 𝒙𝟐

𝒍𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆𝒔 𝒆𝒏 𝒚

𝑥2 + 𝑦2 = 1 𝑥 2 + 02 = 1 𝑥2 = 1

𝟏 𝒙 = ±√𝟏 = { 𝒍𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆𝒔 𝒆𝒏 𝒙 −𝟏

√𝟏−𝒙𝟐

𝟏

(𝟎)𝒅𝒙𝒅𝒚

∫ ∫ −𝟏 −√𝟏−𝒙𝟐

Se realiza cambio de variables

𝟐𝝅

𝟏

∫ (𝟎)𝒓𝒅𝒓𝒅𝜽

∫ 𝟎

𝟎

Se realiza la integral

𝟐𝝅

∫ 𝟎

𝟏

∫ (𝟎)𝒓𝒅𝒓𝒅𝜽 = 𝟎 𝟎

7. LINK DEL VIDEO

https://www.youtube.com/watch?v=ebjlDP3v5aE&feature=youtu.be

8. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS EN NORMAS APA.