260040949 5 Aplicaciones De La Derivada

APLICACIONES DE LA DERIVADA En los ejercicios 1 – 24. Determine los máximos y/o mínimos en las siguientes funciones. 1. y  2 x 3  6 x  1 2. y  x 3  x 2  5 x 3. y  x 4  2x 3 4. y  3 x 4  2 x 3 5. y  x 3  5 x 2  3x  4 1 2 x  12 x  1 2

6. y  2 x 3  7. y 

1 4 1 3 x  x  x 2 1 4 3

8. y  3 x 4  4 x 3  6 x 2  4 9. y  3 x 5  5 x 4 10. y 

1 4 x x3 4

11. y  x 2  x  4  2 12. f ( x ) 

x2 1 x

13. f ( x)  x 

9 x

14. f ( x) 

x2 x 1

15. f ( x) 

2x x 2 1

16. y  3 x 17. y  x

1 3

18. y  3x 19. y  3 x

2 3

 2x 4 3

 2x 4 3 1 3

 4x x

20. y   x 2  1  21. y   x  5 

5

2 3

22. f ( x) 

x2  3 x 1

23. f ( x) 

x2  4 x2 4

Aplicaciones de la Derivada 24. y 

1 5 5 3 x  x  4x  1 5 3

25. Encuentre dos números cuya suma sea 40 y suyo producto sea máximo.

Sol. 20 y 20

26. Determine dos números cuya suma sea 10 y tales que su producto sea máximo.

Sol. 5 y 5

27. Determine dos números positivos cuya suma sea 75, tales que el producto de uno por el cuadrado del otro sea máximo.

Sol. 50 y 25

28. Demuestre que entre todos los rectángulos de superficie igual a 100 cm 2 , el que tiene perímetro más pequeño es el cuadrado de lado igual a 10 cm. 29. ¿Cuál es el área del máximo rectángulo que puede inscribirse en un círculo de radio a? 30. Dado un cilindro circular recto, determinar el cono circunscrito de volumen mínimo. 31. Determinar el cilindro de volumen máximo, inscrito en una esfera dada. V 

Sol.

4 R 3 3

3

32. ¿Cuál es el área del máximo rectángulo que puede inscribirse en un semicírculo de radio a? Sol. a 2 33. Un granjero desea delimitar un terreno rectangular de área 900 m 2 . La cerca tiene un costo de $ 15 por metro. ¿Cuáles deberían ser las dimensiones del terreno de modo que se minimice el costo del cercado? ¿Cómo cambia su respuesta si el costo del cercado sube a $ 20? 34. Repita el ejercicio 33 en el caso de que uno de los lados del terreno es común a una cerca ya existente y sólo es necesario cercar tres lados.

Sol. 30

2 ; 15

2

35. Obtenga la distancia más corta desde el origen a la recta 3 x  y  6 y determine el punto P de dicha recta que está más cerca del origen. Después demuestre que el origen está situado en una perpendicular a la recta en P.



Sol. P  

9 3 ,  5 5

36. Se dispone de 320 m de cerca para encerrar un campo rectangular. ¿Cómo debe usarse la cerca para que el área encerrada se lo más grande posible?

Sol. 80  80 m

37. Un folleto impreso ha de contener 48 pulgadas cuadradas de espacio impreso con márgenes de 3 pulgadas en la parte superior e inferior y márgenes laterales de 1 pulgada. ¿Qué dimensiones del folleto consumirán la mínima cantidad de papel? 38. Se construirá una cisterna con capacidad de 324 pies cúbicos de agua. Deberá tener una base cuadrada con cuatro lados verticales, todos fabricados con concreto, y una tapa superior de acero.

Msc. William A. Santy R.

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Aplicaciones de la Derivada Si la unidad de área de acero cuesta el doble que la correspondiente al concreto, determine las dimensiones de la cisterna que minimizan el costo total de construcción. Sol. Largo: 6 pies,

ancho: 6 pies,

altura: 9 pies

39. Repita el ejercicio 38 si la forma de la cisterna es un cilindro con base y tapa circulares. 40. Se ha pedido a un carpintero construir una caja abierta con una base cuadrada. Los lados de la caja costarán $ 3 por pie cuadrado y la base costará $ 4 por pie cuadrado. ¿Cuáles son las dimensiones Sol. 2  2 

de la caja de volumen máximo que puede construirse con $ 48?

4 pies 3

41. Una caja abierta ha de hacerse con un pedazo de cartón cuadrado de 18  18 cm recortando un pequeño cuadrado de cada esquina y luego doblando las aletas para formar los lados. ¿Cuáles son Sol. 12  12  3 cm

las dimensiones de la caja que tiene el volumen máximo?

42. Una empresa dispone de $ 3000 para cercar una porción rectangular de terreno adyacente a un río usando a éste como un lado del área cercada. El costo de la cerca paralela al río es de $ 5 por metro instalado y el de la cerca para los otros dos lados restantes es de $ 3 por metro instalado. Encuentre las dimensiones del área máxima cercada.

Sol. Largo: 300 m,

ancho: 250 m

43. Un impresor recibe un pedido para producir un cartel rectangular que contiene 25 pu lg 2 de impresión rodeada por márgenes de 2 pu lg a cada lado y 4 pu lg en las partes superior e inferior. ¿Cuáles son las dimensiones del pedazo de papel más pequeño que puede usarse para hacer el

cartel?





Sol. 5 2  8 

5

2 8 2



pu lg

44. Cada año el propietario de un restaurante espera vender 800 botellas de cierto vino. El costo del vino es de 85 centavos por botella, los derechos de pedido son de $ 10 por despacho y el costo de almacenamiento de una botella durante un año es de 40 centavos. El vino se consume a una rata uniforme durante todo el año y cada despacho llega apenas se ha terminado de usar el despacho anterior. ¿Cuántas botellas debe pedir el propietario en cada despacho para reducir al mínimo sus costos? ¿Con qué frecuencia debe pedir el vino? 45. El departamento de carreteras planea construir un área de descanso para choferes al lado de una carretera principal. Será rectangular, tendrá un área de 5000 m 2 y estará cercada por los tres lados no adyacentes a la carretera. ¿Cuál es la menor cantidad de cerca necesaria para el trabajo? Sol. 200 m 46. Una compañía está buscando un terreno rectangular en el cual pueda construir un almacén nuevo. El área del almacén debe ser de 6400 m 2 . Tiene que tener en un lado del edificio 40 m de ancho Msc. William A. Santy R.

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Aplicaciones de la Derivada para la zona de carga y al frente 10 m de ancho para estacionamiento. ¿Cuál es el área mínima de terreno que la compañía debe buscar?

Sol. 10000 m 2

47. Un cultivador de frutas cítricas estima que si se plantan 60 naranjos, la producción media por árbol será de 400 naranjas, la cual disminuirá en promedio 4 naranjas para cada árbol adicional que se plante en la misma área. ¿Cuántos árboles debería plantar el cultivador para maximizar la producción total?

Sol. 80

48. Se requiere tender en forma aérea un cable desde una central eléctrica situada a la orilla de un río de ancho 900 m, hasta una fábrica que dista 3000 m río abajo en la otra orilla. El costo de tender el cable sobre el río es de $ 5 por m y a lo largo de la orilla es de $ 4 por m. ¿Cuál es la ruta más económica para tender el cable?

Sol. Sobre la orilla 1800 m; sobre el río 1500 m

49. Se estima que el costo de construcción de un edificio de oficinas que tiene n pisos está dado por la función: C (n)  2n 2  500n  800 miles de dólares. ¿Cuántos pisos debería tener el edificio para minimizar el costo medio por piso?

Sol. 20 pisos

50. Un restaurante especializado en carnes determina que al precio de $ 5 por platillo de carne tendrán en promedio 200 clientes por noche, mientras que si lo vende a $ 7 el número promedio de clientes bajará a 100. Encuentre el precio que maximiza el ingreso. 51. Un grupo de biólogos estudiaron los efectos nutritivos en ratas a las que se les administró una dieta que contenía un 10 % de proteína. La proteína consistió en levadura y harina de semillas de algodón. Al variar el porcentaje p de levadura en la mezcla con proteína, el grupo encontró que el aumento f

de

peso

 p   160  p 

(promedio

900 , p  10

en

gramos)

0  p  100 .

de

una

rata

en

un

período

fue

de:

Encuentre: a) el aumento de peso máximo y b) el 9

Sol. a) 110 g, b) 51 11

aumento de peso mínimo. g

52. La severidad R de la reacción del cuerpo humano a una dosis inicial d de un medicamento está 

2 dada por: R  d   d 



C d    , donde la constante C denota la cantidad máxima de 2 3 

medicamento que puede administrarse. Demuestre que R tiene una razón de cambio máxima cuando d 

C . 2

53. Una empresa de bienes raíces posee 100 departamentos tipo jardín. Cada departamento puede rentarse en $ 400 por mes. Sin embargo, por cada $ 10 mensuales de incremento, habrá dos Msc. William A. Santy R.

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Aplicaciones de la Derivada departamentos vacíos, sin posibilidad de rentarlos de nuevo. ¿Qué renta por departamento maximizará el ingreso mensual? 54. Se va a construir un edificio de un piso con una planta rectangular de 1320 m 2 , requiriéndose aceras de 22 m tanto en el frente como atrás y andadores libres de 15 m en los laterales. Obtenga las dimensiones del terreno con la menor área posible que sirva para este propósito. Sol. Largo 88 m, ancho 60 m 55. Una empresa de cable de televisión tiene 4800 suscriptores que pagan cada uno $ 18 mensuales, puede conseguir 150 suscriptores más por cada $ 0,50 menos en la renta mensual. ¿Cuál será la renta que maximice el ingreso y cuál será este ingreso?

Sol. $ 17;

$ 86700

56. Obtenga una ecuación de la recta tangente a la curva: y  x 3  3 x 2  5 x cuya pendiente sea Sol. 2 x  y  1  0

mínima.

57. Un fabricante de recipientes está diseñando una caja sin tapa y con base cuadrada, que debe tener un volumen de 32 pies cúbicos. Para que la caja requiera de una cantidad mínima de material, ¿qué dimensiones debe tener la caja?

Sol. l = 4 pies; a = 4 pies; h = 2 pies

58. Una caja sin tapa va a fabricarse cortando cuadrados iguales de cada esquina de una lámina cuadrada de 12 pulgadas de lado, doblando luego hacia arriba los lados. Encuentre la longitud del lado del lado del cuadrado que debe recortarse para que el volumen de la caja sea máximo. ¿Cuál es el volumen máximo?

Sol. l = 2 pulgadas;V = 128 pulgadas cúbicas

59. Una lata cilíndrica sin tapa debe tener un volumen K. Demuestre que si se usa la cantidad mínima de material, entonces el radio y la altura serán iguales a

3

K 

.

60. Se corta un cuadrado de tamaño x de cada esquina de una cartulina rectangular que mide 12  18 pulgadas y las cuatro aristas se doblan para formar una caja de profundidad x. Encuentre el valor de x que da la caja de volumen máximo. 61. Se corta un cuadrado de tamaño x de cada esquina de una cartulina cuadrada de tamaño y  y , las cuatro aristas se doblan para formar una caja de profundidad x. Se requiere que la caja tenga un volumen de 128 cm 3 . Encuentre los valores de x y y que minimizan el área de la cartulina original. Sol. x  2 cm ;

y  12 cm

62. Una compañía forestal planea desmontar cierta área de pinos después de cierto número de años. El número promedio de pies que se obtienen por árbol en un período dado de tiempo se sabe que es igual a: 50  0,5 x , en donde x es el número de árboles por acre, con x entre 35 y 80. ¿Qué densidad de árboles debe conservarse a fin de maximizar la cantidad de madera por acre? Sol. x = 50 Msc. William A. Santy R.

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Aplicaciones de la Derivada 63. Una ventana gótica consta de un semicírculo montado en un rectángulo. Si el perímetro de la ventana gótica debe ser de 32 pies, determine cuál debe ser el radio del semicírculo y la altura del rectángulo para que pase la mayor cantidad de luz por la ventana.

Sol.

32 pies 4

64. Se va a construir un granero con la forma de un cilindro vertical con un techo semiesférico. El granero debe ser capaz de contener 10000 pies 3 de grano. (Suponga que el grano se guarda únicamente en la parte cilíndrica y no en el techo). El techo semiesférico cuesta el doble por unidad de área que la parte cilíndrica. ¿Qué dimensiones debe tener el granero para minimizar el costo total?

Sol. r = 9,27 pies;

h = 37,07

pies 65. La empresa Imperial Educational Services (IES) está considerando ofrecer un seminario sobre asignación de recursos a directivos de la Acme Corporation. Para hacer el ofrecimiento económicamente factible, IES considera que por lo menos 30 personas deben inscribirse y cubrir un costo de $ 50 cada una. La IES acepta reducir la cuota en $ 1,25 por cada persona adicional de las primeras 30. ¿Cuántas personas deben inscribirse para que el ingreso de IES sea máximo? Suponga que el número máximo de asistentes se limita a 40 personas.

Sol. 35 personas

66. La rigidez de una viga rectangular es proporcional al producto de la anchura por el cubo del espesor. Calcular las dimensiones de la viga más rígida que puede cortarse de una troza cilíndrica Sol. r  r

de radio r.

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67. Una empresa fabrica diariamente x toneladas del producto químico A  x  4  y y toneladas del producto químico B, con: y 

24  6 x . La utilidad con A es de $ 2000 por tonelada y con B es de 5 x

$ 1000 por tonelada. ¿Cuántas toneladas de A deben producirse por día para maximizar la utilidad? Conteste la misma pregunta si la utilidad con A es de P por tonelada y con B es de tonelada.

Sol. 5 

P por 2

3 toneladas

68. Se desea construir una línea telefónica entre dos torres A y B situadas en orillas opuestas de un río. El ancho del río es de 1 Km, y B está situada 2 Km río abajo de A. Tiene un costo de $ 15 por Km tender una línea sobre tierra y de $ 30 por Km abajo del agua. La línea telefónica seguirá la orilla del río a partir de A una distancia x (en Km) y luego cruzará diagonalmente el río en línea recta directamente hasta B. Determine el valor de x que minimiza el costo total. Msc. William A. Santy R.

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Aplicaciones de la Derivada 69. Obtenga la pendiente de la recta tangente en cada uno de los puntos de la gráfica: y  x 4  x 3  3x 2 donde la intensidad de variación de la pendiente es cero.

70. En el transcurso de una epidemia, la proporción de población infectada después de un tiempo t es

igual a:

t2

5  1 t 2



2

, (t está medido en meses, y la epidemia empieza en t = 0). Encuentre la

máxima proporción de población que llega a infectarse, así como el tiempo en el cual la proporción de individuos infectados crece más rápidamente. 71. Una compañía de petróleo requiere un oleoducto de una torre de perforación situada mar adentro a una refinería que se construye en la costa cercana. La distancia de la torre de perforación al punto más cercano P sobre la costa es de 20 Km y la distancia a lo largo de la costa de P a la refinería es de 50 Km. A partir de la refinería, el oleoducto recorrerá una distancia x a lo largo de la costa, después seguirá una línea recta hasta la torre de perforación. El costo por Km de oleoducto bajo el agua es de tres veces el correspondiente a la sección sobre tierra. Encuentre el valor de x que Sol. x  50  5

minimiza el costo total del oleoducto.

2  42,9 Km

72. Al depositarse en un lago, los desperdicios orgánicos disminuyen el contenido de oxígeno del agua. Si t denota el tiempo en días después que se deposita el desperdicio, se encuentra experimentalmente en un caso que el contenido de oxígeno es: y  t 3  30 t 2  6000 , con 0  t  25 . Encuentre los valores máximo y mínimo de y durante los primeros 25 días siguientes al vaciado del desperdicio.

Sol. y máx  6000 en t  0 ;

y mín  2000 en t  20

73. En una prueba realizada a pilotos aviadores sobre la velocidad de reacción en una crisis simulada, se encontró que el tiempo total requerido para reaccionar a la crisis variaba con la edad x del piloto de acuerdo a la función: R  x   0, 04 1700  80 x  x 2

sobre un rango de edad 30  x  55 .

Dentro de este rango ¿a qué edad es el tiempo mínimo de reacción? 74. Un fabricante de calzado puede destinar su planta a producir zapatos para caballero o para dama. Si produce x y y miles de pares por semana, respectivamente, se sigue que x y y están relacionados por la ecuación: 2 x 2  y 2  25 . La utilidad del fabricante es de $ 10 por cada par de zapatos para caballero y de $ 8 por cada par de zapatos para dama. Determine cuántos pares de cada uno deberá producir a fin de maximizar sus utilidades semanales. Sol. Caballero = 2341 pares;

Msc. William A. Santy R.

Dama = 3746 pares

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