86113336 Lucrare Gradul I

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

INTRODUCERE Matematica contribuie esential la educarea memoriei, atentiei, vointei, imaginatiei, la amplificarea setei de cunoastere si are un rol important in educatia estetica a celor ce o studiaza. Algebra este una dintre ramurile cele mai importante ale matematicii, cunoscand in timp o dezvoltare foarte accentuate. Problematica de care se ocupa a devenit mai vasta si mai variata. Tema acestei lucrari metodico-stiintifice este “Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar” Intre teoremele aritmeticii numerelor intregi si unele teoreme ale aritmeticii polinoamelor exista o mare asemanare. Predarea lor prin analogie duce la o intelegere mai profunda a notiunilor. Aritmetica are rol formativ foarte important, dar a fost diminuata prin reforma actuala. Dupa programele actuale se mai predau doar cateva notiuni de aritmetica numerelor naturale prin gimnaziu , mai precis in clasa a VI-a. Pana in clasa a XII-a (cand ar trebui facuta analogia intre aritmetica numerelor intregi si aritmetica polinoamelor), aceste notiuni nu sunt diversificate sau amplificate . In clasele de gimnaziu trebuie predate cunostinte ce inlesnesc formarea unei structuri cognitive operationale si a unei baze acceptabile de modelare intuitiva . Datorita dificultatilor interioare ale aritmeticii asimilare ei nu se poate face direct la nivelul de rigoare dorit si atunci sunt necesare “spirale” successive pana la sfarsitul clasei a XII-a. Predarea notiunilor se va face intr-o forma succesibila elevilor de liceu apoi se vor da exemple si de alte multimi de numere pentru care se pot da teoreme de impartire cu rest care sa ne permita sa construim si pentru ele o anumita aritmetica. In cadrul acestei lucrari se va arata ca aritmetica numerelor intregi , aritmetica polinoamelor cat si alte aritmetici se pot trata in cadrul invatamantului preuniversitar intr-un mod unitar. Aceasta va genera performante superioare . Un plus de rigoare in scoala determina un plus accentuat in facultate. Lucrarea de fata este structurata pe sase capitole . Primul capitol are ca scop introducerea notinii de inel, a notiunilor de morfisme si izomorfisme de inele, corpuri, subcorpuri , extinderi de corpuri si proprietatile lor. In capitolul al II-lea se prezinta proprietatile aritmetice ale inelelor , urmarindu-se prezentarea unor rezultate utile in teoria algebrica a numerelor . In capitolulal III-lea sunt prezentate inelele de polinoame , modul de constructive al lor, polinoamele de o nedeterminata . In capitolul IV sunt ilustrate proprietatile radacinilor uni polinom, derivate unui polinom, teoria fundamental a algebrei si ecuatiile algebrice. Ultimul capitol cuprinde metode legate depredarea matematicii in general si a polinoamelor in particular . Mai intai sunt trecute in revista principiile didacticii “adaptate”

1

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

la matematica, apoi metodele. Se evidentiaza aplicatii metodice, parcurgandu-se cu ajutorul exemplelor , al problemelor, notiunile studiate anterior .Tipurile de exercitii si metodele de rezolvare propuse in acesta lucrare vor adduce cu siguranta o imbunatatire a rezultatelor obtinute de elevi. Problemele sunt deosebit de utile din punct de vedere metodologic, findca determina folosirea de strategii variate si rationamente fine prin cerinte de ordin calitativ. Ele au grade de dificultate variata si deschid noi orizonturi in vederea insusirii matematicii, in particular a inelelor de polinoame, in invatamantul preuniversitar . Paragraful VI.5 evidentiaza etapele in care au fost parcurse in cercetarea realizata . Lucrarea urmareste ca elevii sa capete o deschidere cat mai larga spre studiul sistematic al polinoamelor si ecuatiilor algebrice iar prin aceasta sa le inlesneasca trecera catre studiul unei problematici de nivel mai inalt.

2

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

CAPITOLUL I INELE I.1 INEL.NOTIUNI INTRODUCTIVE Multimea Z a numerelor intregi inzestrata cu operatiile de adunare si inmultire a servit ca baza a aritmeticii si algebrei in care, prin preluarea diferitelor proprietati al acestei multimi, s-au construit noi structuri. Definitia I.1.1 Fie M o multime nevida. O aplicatie :MxM→M, (x,y)→x y se numeste lege de compozitie interna (pe scurt o lege de compozitie) pe multimea M. Definita I1.2 Fie o lege de compozitie pe multimea nevida M. Atunci: 1) Legea de compozitie este asociativa daca (x y) z=x (y z), pentru oricare x, y, z M 2) Legea de compozitie este comutativa daca x y=y x, pentru oricare x, y M 3) Legea de compozitie admite element neutru daca exista e M astfel incat x e=e x=x, pentru oricare x M 4) Daca legea de compozitie pe multimea M admite elemental neutru e, atunci un element x M se numeste simetrizabil in raport cu , daca exista ̃ M, astfel incat x* ̃ ̃ . Elementul ̃ se numeste simetricul elementului x. Observatia I.1.1 In notatie aditiva, elementul neutru se noteaza cu 0 si se mai numeste elementul nul. In notatie multiplicativa , elementul neutru se noteaza cu 1 si se mai numeste elementul unitate. Daca o lege de compozitie admite un element neutru, acesta este unic determinat. Daca o lege de compozitie este asociativa si cu element, atunci simetricul unui element simetrizabil este unic. Definitia I.1.3 Fie M o multime pe care este definite o lege de compozitie . O submultime H include M se numeste parte stabile a lui M in raport cu operatia , daca oricare x, y H rezulta x y H. Daca H este o parte stabile a lui M, restrictia operatiei la multimea H se numeste lege de compozitie indusa de pe H. Definitia I.1.4 Fie M o multime, M diferit de Ø si o lege de compozitie pe M. Atunci (M, ) se numeste semigrup daca legea de compozitie este asociativa. Daca in plus legea de compozitie este comutativa atunci (M, ) se numeste semigrup comutativ.

3

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Definitia I.1.5 Fie M o multime, M diferit de Ø si o lege de compozitie pe M. Atunci (M, ) se numeste monoid daca legea de compozitie satisfice axiomele: 1) este asociativa; 2) admite element neutru; Daca legea de compozitie satisfice si axioma: 3)legea este comutativa, atunci monoidul (M, ) se numeste monoid comutativ. Definitia I.1.6 Fie G o multime nevida si o lege de compozitie pe G. Atunci (G, ) se numeste grup daca sunt satisfacute axiomele : 1) este asociativa; 2) admite element neutru; 3)orice element din G este simetrizabil fata de operatia . Daca in plus este satisfacuta axioma: 4) este comutativa, spunem ca (G, ) este grup comutativ (sau grup abelian). Definitia I.1.7 Se numeste inel o multime nevida A inzestrata cu doua legi de compozitie notate de obicei aditiv si multiplicativ care satisfice urmatoarele conditii : +:AxA→A, (x,y)→x+y :AxA→A, (x,y)→x y 1. A are o structura de grup abelian in raport cu legea aditiva; 2. A are o structura de semigrup in raport cu legea multiplicativa; 3. Legea multiplicativa este distributiva in raport cu legea aditiva, adica x, y, z A x (y+z)=x y+x z; (x+y) z=x z+y z Observatia I.1.2 Elementul neutru al grupului abelian al unui inel A se noteaza de obicei cu 0 si se numeste elemental zero al inelului; iar opusul fata de adunare al unui element oarecare a A se noteaza deobicei cu –a. Daca in plus operatia multiplicativa are element unitate, atunci inelul se numeste inel unitar (sau inel cu unitate). Elementul sau unitate, atunci cand nu exista pericolul unei confuzii, se noteaza cu 1 si se numeste element unitate al inelului. Definitia I.1.8 Daca A este un inel unitar, atunci elementele lui A care sunt simetrizabile in raport cu operatia multiplicativa se numesc elemente inversbile sau unitati ale inelului A. Inversul (sau simetricul) lui a se noteaza cu . Multimea elementelor inversabile ale inelului A se noteaza cu U(A). U(A) are o structura de grup in raport cu operatia multiplicative. Acest grup, (U(A), ) se numeste grup multiplicativ al elementelor inversabile ale inelului A. Elementul unitate 1, are rol de element neutru pentru grupul (U(a), ).

4

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Exemple: 1) (Z,+, ). Multimea numerelor intregi cu operatiile de adunare si inmultire obisnuite, este inel comutativ si unitar. 2) Tot inele comutative si unitare sunt si (Q,+, ), (R,+, ), (C,+, ) in raport cu adunarea si inmultirea obisnuite. 3) Daca n Z, atunci multimea nZ={nk|k Z} este inel comutativ fata de adunarea si inmultirea obisnuita a numerelor intregi . 4) Multimea Zn={ ̂ , ̂ , , ̂ } a claselor de resturi modulo n N, n 2, in raport cu adunarea si inmultirea claselor: ̂ ̂+ ̂ + , ̂, ̂ ̂ ̂ ̂, ̂, ̂ formeaza un inel comutativ si unitar, numit inelul claselor de resturi modulo n. 5) Multimea Z[i]={x C|x=a+bi|a,b Z}, in raport cu operatiile de adunare si de inmultire a numerelor complexe formeaza un inel numit inelul intregilor lui Gauss. (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i (a+bi) (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc) i, oricare a+bi, c+di Z[i], acestea fiind operatiile induse pe Z[i] de adunarea si inmultirea numerelor complexe. 6) Un interes aparte prin aplicatiile pe care la are in domeniul tehnicii il prezinta inelul ( , , )

Din axiomele inelului se pot deduce o serie de consecinte care de obicei sunt numite reguli de calcul intr-un inel. Propozitia I.1.1 Daca (A,+, ) este un inel atunci: 1. a 0=0 a=0, a A; 2. (-a) (-b)=a b, a,b A; 3. a (b-c)=a b-a c si (a-b) c=a c-b c, a,b,c A; 4. a (∑ )=∑ , (∑ ) b=∑ , unde n N, iar a, b, particular: a (n b)=n (a b)=(n a) b; 5. (∑ ) (∑ ) ∑ ∑ , fi n, m N, , , , , , 6. Daca A este inel comutativ iar a,b sunt elemente din A si n ∑ binomului lui Newton: (a+b)

5

, ,

,

A. In

,

, atunci are loc formula

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Demonstratie: Din relatia 0+0=0 obtinem, inmultind cu a la stanga , ca a(0+0)=a →a 0=a 0 si adunand in ambii membri –(a 0), obtinem a 0=0. Analog , se demonstreaza relatia 0 a=0. 1. Din relatia b+(-b)=0 rezulta inmultind ca a la stanga: a (b+(-b))=a → a b+a (-b)=a 0, deci a (-b)=-(a b). Analog , se arata ca (-a) b=-(a b)→a (-b)=(-a) b. Daca in relatia (-a) b=-(a b) inlocuind pe b cu –b obtinem tinand seama de faptul ca –(-a)=a, oricare ar fi a A:(-a) (-b)=-(a (-b))=-(-(a b))=a b. 2. Avem :a (b-c)=a (b+(-c))=a b+a (-c)=a b+(-(a c))=a b-a c. 3. Demonstram afirmatia prin inductie dupa n N. Pentru n=0: a 0=0 adevarata conform cu 1. Presupunem propozitia din enunt adevarata pentru n si o vom demonstra pentru n+1. ∑ ∑ a(∑ ) (∑ + )=a∑ + + 4. Vom demonstra prin inductie dupa m N. ∑ Pentru m= →(∑ ) adevarata. Presupunem propozitia adevarata pentru m. Avem: ∑ (∑ )(∑ ) (∑ ) (∑ + ) ∑ +∑ ∑

∑

+∑

∑

∑

(

).

5. Daca A este un inel comutativ, vom demonstra formula binomului lui Newton prin inductie. ∑ Pentru n →(a+b) + adevarata. Presupunem relatia adevarata pentru k si o vom demonstra pentru k+1. ∑ Stim ca (a+b) (a+b) (∑ )( + ) ∑ +∑ + ( ) ( ) ( ) + + + + + + + ) +( + ) +( + ) + +( + + + ( + ) + + Deoarece: (a+b)

+ +

,

+

+

+

, obtinem + +

+

Deci formula este adevarata pentru k+1. Propozitia I.1.2 Daca in inelul unitar A avem 1=0, atunci A este inelul nul.

Demonstratie: Intr-adevar, pentru orice a A avem a=1 a=0 a=0 si deci a=0. Astfel conditia 1=0 este necesara si suficienta ca un inel sa fie nul. Deci un inel A cu cel putin doua elemente 1≠0. 6

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Definitia I.1.9 Daca (A,+, ) este un inel, atunci elemental a A se numeste divizor la stanga (la dreapta) al lui zero daca exista b A, b≠0 astfel incat ab=0 (respectiv ba=0). Daca inelul A este comutativ, atunci notiunile de divizor la stanga (respectiv la dreapta) al lui zero coincid. Daca elemental a A nu este divizor la stanga sau la dreapta al lui zero si b,c A, atunci din ab=ac rezulta b=c.(ab=ac→a(b-c)=0→b-c=0→b=c) Definitia I.1.10 Un inel A nenul, comutativ, unitar si fara divizori ai lui zero, diferiti de zero, se numeste domeniu de integritate(sau inel integru) Observatie I.1.3 Intr-un domeniu de intergitate, ambii membri ai unei egalitati pot fi simplificati prin acelasi element nenul. Exemple: 1) (Z,+, ), (Q,+, ), (R,+, ), (C,+, ) sunt inele integre; 2) Multimea (Z[i],+, ) este un domeniu de integritate. Elementele inversabile ale acestui inel sunt:+1,-1,+i,-i; 3) Fie doua inele A, B in care operatiile sunt notate cu + si . Produsul cartezian A B se poate inzestra natural cu o structura de inel astfel: (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) (a,b)*(c,d)=(ac,bd),oricare ar fi a Asi b B. Inelul obtinut se numeste produsul direct al inelelor A si B. Perechea ( , ) este elemental neutru in raport cu operatia de adunare in inelul A B. Daca a A si b B atunci elementele de forma (a, ) si ( , b) sunt divizori ai lui zero in inelul A B. ) ( , ) Conform Intr-adevar (a, ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , definitiei legii multiplicative si a regulilor de calcul intr-un inel, daca A si B sunt inele unitare, atunci, A B este un inel unitar, elementul sau unitate fiind ( , ) Daca A B sunt inele commutative, atunci si produsul direct A B este inel comutativ. Deoarece in inelul produs direct A B exista intotdeauna divizori ai lui zero (pentru A, B inele nenule) observam ca produsul direct a doua inele integre nu este un inel integru. Propozitia I.1.3 Daca inelul unitar A este diferit de inelul nul, atunci orice element inversabil din A nu este divizor comun al lui zero. Demonstratie: Presupunem prin absurd ca a A este inversabil si ca este divizor al lui zero la stanga. Atunci exista b A, b≠0 astfel incat → contradictie.

7

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

I.2 MORFISME SI IZOMORFISME DE INELE Definitia I.2.1 Fiind date doua inele A si B (A,+, ),(B, , ) , atunci o functie :A→B se numeste morfism (sau omorfism) de la inelul A la inelul B daca satisfice urmatoarele identitati: 1) (a+b)= (a) (b) 2) (a b)= (a) (b), oricare ar fi a,b A Acolo unde nu exista pericolul unei confuzii, operatiile multiplicative si aditive pe inelele A si B se pot nota la fel. Definitia I.2.2 Un morfism de inele unitare f:A→B care satisface conditia f( ) se numeste morfism unitar de inele. Obsevatia I.2.1 Daca A si B sunt inele unitare si f:A→B este un morfism de inele, iar f este o functie surjectiva, atunci f este morfism surjectiv. Justificare: Fie A si B inele unitare si f:A→B morfism surjectiv de inele. Atunci: oricare ar fi b B, exista a A astfel incat f(a)=b. Deoarece a 1=1 a=a si f este morfism de inele rezulta ca f(a)=f(a 1)=f(a) f(1)=b f(1)=b, si f(a)=f(1 a)=f(1) f(a)=f(1) b=b. Deci b f(1)=f(1) b=b. Din unicitatea elementului unitate intr-un inel rezulta ca f(1)=1. Observatia I.2.2 Daca A este un inel, atunci aplicatia identica a lui A, notate este un morfism al inelului A.

:

→ ,

Observatia I.2.3 Daca f:A→B si g:B→C sunt morfisme de inele, atunci g f:A→C este de asemenea un morfism de inele. Justificare: Intr-adevar oricare ar fi a,b A avem: (g f)(a+b)= g(f(a+b)) = g(f(a)+f(b)) =g(f(a)+g(f(b))=(g f)(a)+(g f)(b) si analog : (g f)(a b)=(g f)(a) (g f)(b). Definitia I.2.3 Daca :A→B este un morfism de inele, atunci multimea Kerϕ={a A|ϕ(a)=0} se numeste nucleul morfismului . Definitia I.2.4 Un morfism de inele se numeste morfism injectiv daca functia care il defineste este injectiva. Observatia I.2.4 Un morfism de inele :A→B se numeste morfism surjectiv daca functia este surjectiva. Definitia I.2.5 Morfismul de inele :A→B se numeste izomorfism de inele daca si numai daca exista un morfism de inele ψ:B→A astfel incat ψ si ψ = .

8

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Observatia I.2.5 Un morfism de inele este izomorfism daca si numai daca este un morfism bijectiv de inele. Justificare”→” Intr-adevar un izomorfism de inele :A→B este bijectiv “←” Fie :A→B morfism bijectiv de inele Sa demonstram ca functia inversa este de semenea un morfism de inele. (b ) + ( (b ) ( )(b + b ) Fie , . Atunci b + b ( ( )( ( (b )) (b + b ) (b ) + (b )) (b )) + ( ( ( ( (b + b ) (b ) + (b ) ( )(b b ) (b b )) b b ( (b ) ( (b )) (b ) (b )) → ( (b b )) b b ( ( (b ) ( (b )) ( ) ( ) ( ) Deoarece e bijectiva, deci si injectiva→ Definitia I.2.6 Un morfism de inele de la A la A se numeste endomorfism al inelului A. Exemple: 1) Daca A si B sunt inele, atunci aplicatiile canonice: : → , ( ) ( , ) : → , ( ) ( , ) : → , ( , ) : → , ( , ) , , , sunt morfisme de inele. Aplcatiile si sunt morfisme surjective unitare daca inelele A si B sunt unitare , in timp ce si nu sunt morfisme unitare pentru A si B inele unitare nenule; ele sunt insa injective. 2) Fie inelele unitare Z si Q. Functia i:Z→Q, definite prin i(n)=n, este un morfism injectiv de inele. 3) Daca n>0 este un numar natural, atunci functia p:Z→ definite prin p(a)= ̂, oricare ar fi a Z este un morfism surjectiv de inele. ( ) + ( ) si Intr-adevar daca a, b Z atunci : p(a+b)= ̂ +̂ ̂+̂ ( ) ( ), iar din definitie rezulta ca p este un morfism surjectiv. p(a b)=̂ ̂ ̂

I.3 SUBINEL Definitia I.3.1 O submultime nevida S, a inelului A se numeste subinel al inelului A daca operatiile din A induc pe S o structura de inel.

9

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Propozitia I.3.1 Fie A un inel si S A o submultime nevida a sa. Atunci S este un subinel al lui A daca si numai daca: 1)oricare ar fi x, y S→x-y S 2)oricare ar fi x, y S→x y S Daca inelul A este unitar si elementul unitate apartine subinelului S, spunem ca S este subinel unitar. Demonstratie: “→” Fie S A, S≠Ø, S subinel→(S,+) este subgrup al grupului (A,+), deci oricare ar fi x,y S→x-y S. De asemenea S este o parte stabile a lui A in raport cu operatia multiplicativa. Deci oricare ar fi x, y S→x y S. “←” Din conditia )→(S,+) este un subgrup al grupului (A,+), iar din conditia 2)→S este parte stabila in raport cu operatia muliplicativa din A. Distributivitatea operatiei multiplicative in raport cu operatia aditiva pentru elementele din S rezulta din faptul ca aceasta proprietate o au toate elementele din A, deci in particular, si cele din S A.

Exemple: 1) Daca A este un inel, atunci A si {0} sunt subinele ale sale. (0 este elementul nul al inelului A). Acestea se numesc subinele improprii ale inelului A. 2) Z Q R sunt subinele unul celuilalt, in ordinea incluziunilor. 3) Fie n Z. Atunci multimea nZ={nk|k Z} subinel al inelului Z. Propozitia I.3.2 Daca { + este o familie cel mult numarabila de subinele ale inelului A, atunci ⋂ este un subinel al lui A. Demonstratie: Notam S=⋂ ≠ Ø, deoarece 0 S. Daca a,b S, atunci a,b ⋂ . Deci oricare ar fi i I, a si b , iar fiind subinele →a-b si a b , oricare ar fi i I→a-b S si a b S, deci S este subinel al inelului A. Propozitia I.3.3 Fie f: A→ un morfism de inele. Atunci : a) Daca S este un subinel al lui A, atunci f(S) este subinel al lui . In particular, Imf=f(A) este subinel al inelului A. b) Daca este un subinel al lui , atunci ( ) este un subinel al lui A care include multimea Ker f={a A|f(a)=0}; c) Fie δ(A, Ker f) multimea subinelelor lui A care include Ker f si δ( ) multimea subinelelor lui Daca f este morfism surjectiv, atunci aplicatia F:δ(A,Ker f)→δ( ) definita prin F(S)=f(S), S A este o bijectie care pastreaza incluziunea.

Demonstratie: a) Daca , f(S), atunci exista , S astfel incat ( ) si ( ) ( ) si =f( ) ( ) Deoarece S este subinel al lui A→ Deci si ( ) este subinel al lui 10

( ); si

.

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

( ) deci f( b) Fie f( ) ( )=f( ) si f( Din b) deducem , in particular ca c) Sa definim G: δ( ) → ( , demonstram egalitatile: F G=1 ( ) si G F=1 ( ,

), ( ) Deoarece este subinel al lui , ) ( ) ( ) , adica si ( ). ( ) este subinel al lui A. ( ) Este suficient sa ), punand G( ) ).

( ) ( G)( ) ( )) Fie ( deoarece f este surjectiv. Fie S δ(A,Ker f) (G F)(S)= ( ( )) Fie x ( (S)). Rezulta ca f(x) f(S) si deci exista z S astfel incat f(x)=f(z) sau f(x-z)=0 si x-z=a Ker f S. Atunci x=a+z S si am demonstrate incluziunea ( ( )) si faptul ca G F=1 ( , )

I.4 CORPURI. SUBCORPURI. EXTINDERI DE CORPURI. Definitia I.4.1 Un inel A unitar care contine cel putin doua elemente se numeste corp daca orice element nenul din A este inversabil fata de operatia de inmultire din A. In aceasta definitie cerinta ca inelul sa fie unitar, adica inelul A sa aiba element unitate fata de inmultire, este necesara pentru a exista elemente inversabile, iar cerinta ca inelul sa contina cel putin doua elemente este echivalenta cu faptul ca A este diferit de inelul nul sau 1 ≠0. Prin urmare, se exclude, prin definitie, ca inelul nul, adica format dintrun singur element(= elemental nul) sa fie corp. Acest fapt este o conventie general acceptata. Din propozitia I.1.3 stim ca in orice inel nenul un divizor al lui zero nu este inversabil. De aici rezulte ca un corp nu are divizori ai lui zero diferiti de zero. Elementele nenule dintr-un corp formeaza grup fata de operatia de inmultire, cum de altfel formeaza grup elementele inversabile din orice inel. Un corp se numeste corp comutativ daca inmultirea este operatie comutativa.

Exemple: Multimea numerelor rationale Q, multime numerelor reale R si multimea numerelor complexe C cu operatiile obisnuite de adunare si inmultire formeaza corpuri. Pentru p numar intreg prim inelul al claselor de resturi modulo p este corp. Pentru d intreg liber de patrate, Q[√ - * + √ , + formeaza corp de numere patratice. Toate exemplele de corpuri de mai sus sunt grupuri comutative. Deoarece orice corp este inel, toate proprietatile inelelor raman valabile in cazul corpurilor.

11

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Definitia I.4.2 Se numeste subcorp k al unui corp K, o submultime a lui K, notata k K, ce contine cel putin doua elemente si are proprietatea ca operatiile de adunare si inmultire din K induc pe submultimea k o structura de corp. Aceasta inseamna ca submultime k in raport cu adunarea este subgrup al grupului (K,+) ceea ce este echivalent cu: a) oricare ar fi x, y k → x-y k, apoi ca elementele din k\{0} ( observam ca deoarece k este subgrup al grupului aditiv al lui K, rezulta ca 0 k) formeaza subgrup al grupului elementelor nenule din K, ceea ce revine la: b) oricare ar fi x, y k, x≠ → x Prin urmare, putem spune ca un subcorp al corpului K este o submultime k care contine cel putin doua elemente si care verifica conditiile a)si b) de mai sus. Mai observam ca in conditia b) se poate omite cererea ca x≠ , deoarece pentru x se obtine x k. Din definitia subcorpului rezulta ca orice subcorp contine elementul nul si elementul unitate al corpului .

Exemple: Fie K un corp. Atunci K este evident un subcorp al lui K. In corpul numerelor complexe C, corpul numerelor reale R si corpul numerelor rationale Q sunt subcorpuri . De asemenea Q este subcorp al lui R; Q(i) este subcorp al luixC. si Q nu au alte subcorpuri in afara de ele insele. Observatia I.4.1 Sa observam ca daca submultimea k K este subcorp al corpului K si la randul sau, K este subcorp al corpului L, atunci rezulta ca submultimea k este subcorp al corpului L. Prin urmare subcorpurile poseda o proprietate de tranzitivitate. Definitia I.4.3 O intersectie de subcorpuri ale unui corp este un subcorp.

Demonstratie : Fie K un corp si , i I o multime arbitrara de subcorpuri ale lui K. Atunci k=⋂ contine cel putin elementele 0 si 1 din K. Sa verificam conditiile a) si b) pentru k. Fie x, y k. Atunci rezulta ca x,y , oricare ar fi i I .Deci x-y si daca y≠ , x , oricare ar fi i I, deoarece este subcorp al lui K. De aici deduce ca x-y ⋂ k si daca y≠ , x ⋂ Definitia I.4.4 Fie k K o extindere de corpuri si M o submultime a lui K. Intersectia subcorpurilor lui K ce contin subcorpul k si submultimea M se noteaza cu k(M) si este un subcorp al lui K, conform propozitiei precedente . Corpul k(M) se numeste subcorpul lui K

generat de M peste subcorpul k. Exemple: Daca consideram extinderea decorpuri Q C si subcorpul lui C generat de i C peste Q se obtine corpul Q(i) carea este format din toate elementele de forma x=a+bi, a,b Q. Intr-adevar, elementele de forma indicate formeaza un subcorp al lui C. Pe de alta parte , 12

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

orice subcorp al lui C care contine pe i si pe Q contine toate elementele de forma a+bi cu a, b Q. In mod analg subcorpul R generat peste Q de √2 se noteaza cu Q(√2) si este format de elementele de forma a+b√2, a,b Q. Observam ca si subcorpul generat de √2 peste Q in C coincide tot cu Q(√2). Acest fapt exprima o anumita independenta a corpului k(M) fata de corpul K. Definitia I.4.5 Un corp care nu are alte subcorpuri in afara de al insusi se numeste corp prim.

Exemple : , p prim si Q sunt corpuri prime . Observatia I.4.2 Orice corp prim este izomorf sau cu corpul Q al numerelor rationale sau cu un anumit corp , p prim. Definitia I.4.6 Un corp comutativ K ce contine un subcorp prim izomorf cu Q se spune ca este corp de caracteristica zero si scriem carK=0 . Daca subcorpul prim al lui K este izomorf cu , p prim , atunci corpul K este de caracteristica p si scriem carK=p. Exemple 1) Corpurile Q, R au caracteristica zero. 2) Daca p este un numar prim , si orice alta extindere a sa au caracteristica p.

13

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

CAPITOLUL II INELE INTEGRE.PROPRIETATI ARITMETICE II.1 DIVIZIBILITATEA IN INELE INTEGRE Teoria divizibilitatii intr-un inel integru constituie o generalizare naturala a teoriei divizibilitatii din inelul Z al numerelor intregi . Din punctul de vedere al divizibilitatii vom vedea ca inelul Z se incadreaza intr-o clasa speciala de inele integre, si anume in clasa inelelor integre in care se poate efectua o impartire cu rest. Aceste inele se numesc inele euclidiene. In ceea ce urmeaza vom nota cu A un inel comutativ care este domeniu de integritate. Cu U(A) notam multimea elementelor inversabile din A, iar cu A*=A/{0}. Definitia II.1.1 Fie A un inel integru Relatia binara” ” definite in A astfel: x|y z A astfel incat y=xz, se numeste relatia de divizibilitate in A. Daca x|y se spune ca x divide pe y sau ca y este un multiplu de x. Definitia II.1.2 Relatia binara “~” este definite in A astfel: x~y x|y si y|x se numeste relatia de asociere in divizibilitate, iar daca x~y spunem ca x si y sunt asociate. Teorema II.1.1 : 1) Relatia de divizibilitate este o relatie de preordine, adica este reflexive (a|a, oricare ar fi a A) si tranzitiva ( oricare ar fi a,b,c astfel incat a|b si b|c atunci a|c); 2) , , , A daca atunci si daca atunci ( + ), , , , A; 3) x, , A daca x| + si x| atunci x|

Demonstratie: 1) Fie a A oarecare . Deoarece a=1 a→a a→reflexivitatea relatiei de divizibilitate Fie a, b, c A oarecare. Daca a|b si b|c atunci exista u, v A astfel incat b=ua si c vb→c v(u a)=(v u) a→a|c. Deci din relatia de divizibilitate este tranzitiva. 2) Daca atunci exista u, v A astfel incat . Prin calcul ( )( ) ( )( )→ obtinem: Daca atunci exista u, w A astfel incat . Se obtine + + ( + ) → ( + ) 3) Daca x|( + ) atunci exista p, q A astfel incat + , Dar ( ) → + →

14

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Teorema II.1.2 1) Relatia de asociere ”~” este o relatie de echivalenta 2) Daca x A si ̅ ~ este clasa de echivalenta a lui x in raport cu “~” atunci: x̅ *xu A u inversabil in A+, adica doua elemente sunt associate daca si numai daca ele difera printr-un factor inversabil. 3) Un element u A este u~1 u U(A) adica ̅ * +.

Demonstratie : 1) Din definitia relatiei “~” si din faptul ca relatia de divizibilitate “ ” este o preordine, avem ca “~” este o relatie de preordine Din faptul ca “ ” este reflexive avem , → x x→x~x Apoi din x~y si y~z avem x|y, y|x, y|z, z|y, adica { → , → ~ ~ este tranzitiva. Sa arata ca relatia”~” este simetrica: ~ → → ~ 2) Vom demonstra ca ̅ ={xu A|u este inversabil in A} prin dubla incluziune. “ ” Avem x xu, iar daca u este inversabil , atunci x (ux), adica xu x→x~xxu , adica xu ̅ . “ ” Daca x ̅ atunci x~y, adica x y si y x→exista u,v A astfel incat y ux si x vy→y (uv)y , de unde, daca y≠ urmeaza uv , deci y este de forma y=xu cu u inversabil. Daca y=0, atunci x=0 si 0 este singurul element din clasa ̅ . 3) Fie u A , u~1, atunci u|1 si deci exista b A astfel incat 1=ub, deci u U(A), deci ̅ ={u A/ u inversabil}.(inlocuim x=1 in definitia ̅ ). Observatia II.1.1 a) Corpurile commutative coincid cu inelele integre A care au numai doua clase de elemente asociate si anume ̅ ={0} si ̅ *; b) Relatia de divizibilitate nu este , in general , o relatie de ordine. De exemplu in Z relatia de divizibilitate nu este asimetrica , deoarece n divide pe –n si –n divide pe n, dar n≠-n, pentru n≠ c) Relatia de divizibilitate este o relatie de ordine daca si numai daca relatia de asociere coincide cu relatia de egalitate. Singurul inel integru in care aceasta are loc este Definitia II.1.3 Pentru orice x A, elementele inversabile si elementele asociate cu x sunt divizori ai lui x. Un divizor al lui x diferit de acestia se numeste divizor propriu al lui x. Definitia II.1.4 Un element p A* neinversabil se numeste ireductibil daca p nu are divizori proprii. In caz contrar p este reductibil. Daca p este ireductibil, atunci orice element din A asociat cu p este ireductibil. Observatia II.1.2 Fie p A* neinversabil. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente: 15

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

(a) P este reductibil; (b) Din p=xy rezulta ca unul din elementele x,y este inversabil, iar celalalt este asociat cu p. Definitia II.1.5 Un element p A* neinversabil se numeste prim daca p xy→p y Observatia II.1.3 a) Daca p este prim , atunci orice element asociat cu p este prim. b) Daca p este prim si p divide produsul , , ,2, cel putin unul din factorii .

,

atunci p divide

Teorema II.1.3 Orice element prim este ireductibil. Demonstratie: Daca p este prim si p=xy atunci p|xy si x|p, y|p. Din p|xy si p prim rezulta p|x sau p|y. Daca p|x si avand si x|p rezulta ca x~p. Deci exista u U(A) astefel incat x=pu p=xy=puy rezulta 1=uy, adica u este inversul lui y, deci y este inversabil. Rezulta ca p este ireductibil.

Exemple: Fie Z[i] inelul intregilor lui Gauss. Consideram aplicatia :Z,i-→N, (x+iy)= + are urmatoarele proprietati: i) este surjectiva; ii) (z z’) (z) (z’) oricare ar fi z si z’ Z[i]; iii) (1)=1 iv) z≠ , este inversabil in Z,i(z)=1 In Z[i], 3 este ireductibil. ,Presupunem prin absurd ca 3 ar fi reductibil rezulta ca exista , neinversabil astfel ca 3= . Aplicand functia avem (3)= ( ) ( ) ( )→9 ( ) ( ), ( ) ( ) ≠ pentru ca , neinversabile , deci ( ) ( ) . Daca + → ( ) + .Nu exista numere intregi care sa verifice aceasta egalitate. Deci 3 este ireductibil in Z[i]. In Z[i], 2 si 5 sunt reductibile , dar nu sunt prime. Intr-adevar 2=(1+i)(1-i), ϕ(1-i)= ( 1-i) = 2≠ rezulta 1+i si 1-i nu sunt elemente inversabile. Deci 2 este reductibil in Z[i]. Daca 2 ar fi prim , din 2|(i+1) sau 2|(1i), adica 1+i=2(a+ib)rezulta 1=2a, a Z, nu exista. Deci 2 nu este prim in Z[i]. Daca 5 ar fi prim , cum 5|(2+i)(2-i) sau 5|(2-i), adica 2+i=5a+5ib rezulta 5a=2, a Z nu exista. Deci 5 nu este prim in Z[i]. Definitia II.1.6 Fie si d A.Vom spune ca d este un cel mai mare divisor comun (c.m.m.d.c) al elementelor , , , daca verifica conditiile: i) d| , * , +adica d este un divizor comun al elementelor , , , 16

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

ii) daca d’ , * , elementelor ,i {1, ,n}.

+ atunci d’ d adica d se divide prin orice alt divizor comun al

Observatia II.1.4 Daca d este cel mai mare divizor comun elementelor , , , atunci un alt element A este cel mai mare divizor comun al acelorasi elemente daca si numai daca d si sunt asociate. Deci, daca cel mai mare divizor comun exista, este determinat pana la o asociere. Definitia II.1.7 Daca cel mai mare divizor comun al elementelor spunem ca elementele , , , sunt relativ prime.

,

,

,

este 1

Observatia II.1.5 1) Daca atunci ( , )= si reciproc daca ( , )= atunci 2) Daca orice doua elemente din A au cel mai mare divizor comun , atunci orice sistem finit de elemente din A au cel mai mare divizor comun. 3) Daca in A oricare doua elemente au un c.m.m.d.c atunci pentru orice , , exista relatia :( , ( , )) (( , ), ) ( , , ) Teorema II.1.3 Daca in A oricare doua elemente au c.m.m.d.c atunci pentru oricare , , avem: (1) ( , ) ( , ) ( , ) (2) Daca ( , ) atunci ( , ) Demonstratie: Relatia (1) este evidenta pentru .Demonstram ca este adevarata si pentru ≠ ( , ) →( , ) ( , ) →( , ) ) ( ) Deci ( , ) ( , ) →exista y A astfel incat (( , ( ) Totodata exista y’ A astfel incat , ( ) de unde dupa ( ) simplificare cu se obtine : , . Analog se obtine ( , ) . Deci ( , ) este un divizor comun al lui de unde ( , )y divide pe ( , ). Rezulta ca y este inversabil in A, adica ( , ) si ( , ) sunt asociate. Am aratat ca ( , ) ( , ) ( , ) (2) Observam ca din ( ) ) →( , ), )) ( ( , ) ) ( ) Deci ( , ) (( , ) ( ( , , ceea ce demonstreaza (2). Corolar II.1.1 Daca in A , oricare doua elemente au un c.m.m.d.c si daca d=( , si si atunci ( , ) 17

)≠

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Demonstratie: d=(

)

(

)

,

Definitia II.1.8 Doua elemente

(

,

)

→(

,

)

se numesc prime intre ele daca ( ,

,

)

Definitia II.1.9 Fie , , , si m A.Vom spune ca m este cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c) al elementelor daca verifica conditiile: i) , * , +, adica m este un multiplu al elementelor ii) Daca , * , +, m’ A, atunci m m’, adica orice alt multiplu comun al elementelor , , , este un multiplu al lui m. Observatia II.1.6 1) Daca m este cel mai mic multiplu comun al elementelor , , , atunci un alt element este cel mai mic multiplu comun al acelorasi elemente daca si numai daca m si sunt asociate. 2) Daca exista un cel mai mic multiplu comun m al elementelor , , , atunci unul dintre elementele asociate cu m va fi [ , , , ] 3) Daca in A oricare doua elemente au c.m.m.m.c atunci orice sistem finit de elemente din A au un c.m.m.m.c Teorema II.1.4 Daca in A oricare doua elemente au un c.m.m.m.c , atunci exista un ( , ) , , -, oricare ar fi c.m.m.m.c al oricarui doua elemente si in plus,

Demonstratie: Fie d=( ) si , Avem ,adica m= este un multiplu comun al elementelor Daca m’ A este un alt multiplu comun al elementelor , adica m’ , atunci m dx u si m dx v Deci m x mv si m x mu adica m este un divizor comun al elementelor m x si m x prin urmare , m divide si pe (m’ ,m’ ) m’( , ) , adica m m’ Rezulta m=[ -. Din m= → . Teorema II.1.5 Daca pentru orice pereche de elemente din A exista cel mai mare divisor comun , atunci in A orice element ireductibil este prim. Demonstratie: Fie p A un element ireductibil si , .Daca p| si p nu divide pe , atunci ( , ) (

,(

, ))

(

si ( , )

, )=p. Deci ( , )

( ( , ), )

.(

,

), /

, de unde rezulta ca p| .Prin urmare , p este prim.

Teorema II.1.6 Daca in inelul A orice pereche de elemente are un c.m.m.d.c si a,b,c A astfel incat a|bc iar (a,b)=1, atunci a|c.

18

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Demonstratie: Din (a,b)=1 rezulta (ac,bc)=c si cum a|ac iar a|bc se obtine a|c.

II.2 INELE FACTORIALE * , + Definitia II.1.2 Fie a A*, , , * , + si (1) a= (2) a= doua descompuneri ale lui a in factori . Descompunerile(1) si (2) se numesc asociate daca n=k si daca, dupa o eventuala renumerotare a factorilor din (2), avem ~ , pentru i {1, , n}. Exemplu: Daca 1= , atunci descompunerea (1) este asociata cu descompunerea a =( ) ( ). Definitia II.2.2 Un inel integru A se numeste inel factorial (domeniu factorial) sau cu descompunere unica in factori primi ( ireductibili), daca oricare ar fi a A* neinversabil se descompune intr-un produs finit de elemente ireductibile din A si orice doua descompuneri ale lui a in produse finite de elemente ireductibile sunt associate, adica elementul a are o descompunere unica in produs de elemente ireductibile. Exemplu: Inelele Z si Z[i] sunt factoriale. Teorema II.2.1 Daca A este un inel factorial , atunci : 1) In inelul A nu exista siruri de elemente , , , astfel incat divide pentru price i N. 2) Orice pereche de elemente din A are un cel mai mare divizor comun.

,

si

nu

Demonstratie : 1) Vom numi lungimea unui element a A* si o vom nota cu l(a), numarul factorilor dintr-o descompunere a lui a in produs de factori ireductibili daca a este neinversabil si 0 daca a este inversabil. Daca a= atunci l(a)=l( ) + ( ). Daca ar exista un sir cu proprietatile din 1) atunci ar rezulta sirul de numere natural ( ) l( ) ceea ce nu este posibil. ( , ) 2) Fie A. Daca , .Presupunem ca , *. Fie , , , elemente ireductibile din A astfel ca fiecare divizor ireductibil al lui sa fie asociat cu unul si numai unul dintre aceste elemente. Deci: si unde u si u’ sunt elemente ireversabile din A si 0, 0, i * +. Orice divizor x al lui se poate scrie sub forma x u” , unde u” este inversabil si 0 si ki, i * n+ si o afirmatie analoga are loc pentru divizorii lui

19

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Observatia II.2.1 Un inel integru A este factorial daca si numai daca oricare ar fi a A*, neinversabil, este produs finit de factori primi.

II.3 INELE EUCLIDIENE Definitia II.3.1 Se numeste inel euclidian o pereche formata dintr-un inel integru A si o functie :A*→N, care verifica conditia pentru oricare ar fi a A si oricare ar fi b A, exista q, r A astfel incat a bq+r unde r sau (r)< (b) In acest caz notam prin (A, ) inelul definit pe inelul integru A.

Exemple: 1) Inelul (Z,+, ) impreuna cu functia valoare absoluta :Z*→N, (n) n , este inel euclidian . Stim ca in Z este adevarata o afirmatie mai precisa . Anume, pentru a,b≠ numere intregi exista q, r Z astfel incat a=bq+r si 0 r<|b|, care este numita teorema impartirii cu rest. In plus q si r sunt unice. 2) Inelul intregilor lui Gauss Z,i- impreuna cu functia :Z,i-→N, (m+ni)= + este un inel euclidian 3) Orice corp este inel euclidian. Intr-adevar daca multimea K este corp atunci consideram :K*→M, (a) , pentru orice a K*. Teorema II.3.1 daca (A, ) este inel euclidian si a,b apartin lui A atunci exista un cel mai mare divisor comun allui a si b.

Demonstratie: In cazul a=b=0, elementul d=0 este cel mai mare divizor comun al lor, conform definitiei. Asadar putem presupune ca a≠ Daca b=0, atunci a este un divizor comun al lui a si b , deoarece a=a 1 si b=a 0. Daca d’ este un divizor comun al lui a si b atunnci d’ este, in particular , un divizor al lui a. Deci d=a este un cel mai mare divizor comun al lui a si b. Sa consideram cazul cand b≠ Aplicand formula impartirii cu rest elementelor a si b gasim doua elemente , astfel incat: a=bq + r cu r sau (r ) < ( ) (E1) Daca r ≠ , exista elementele q , r A astfel incat b=r q + r cu r sau (r ) < (r ) (E2) Repetand acest produs , obtinem elementele q , q ,q si r , r , r din A astfel incat r r q + r cu r sau (r ) < (r ) (E3) r

r

r

r q

q +r +r

sau (r ) < (r sau (r

)

(En)

) < (r )

20

(En+1)

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

( ) ( ) ( ) Cum ( ) si cum N este bine ordonata, exista un numar natural n astfel incat ≠ si . Vom arata ca este cel mai mare divizor comun al elementelor a si b. Cum , rezulta ca . Dar deoarece + rezulta ca . In continuare folosim egalitatea + si tinand cont ca , rezulta ca . Din aproape in aproape , tinand cont de egalitatile (E3), rezulta ca divide elementele , , , Din egalitatea (E2) rezulta ca , iar din egalitatea (E1) obtinem ca . Deci este un divizor comun al elementelor a si b . Fie d’ un divizor comun al elementelor a si b. Din(E1) obţinem că =a b şi deci d’ . Din egalitatea (E2) obţinem că =b. Cum d’ şi d’ b, atunci d’ . Acum, folosind egalităţile (E3), din aproape in aproape, obţinem că d’ divide elementele , , Aşadar (ultimul rest nenul) este cel mai mare divizor comun al elementelor a şi b Şirul de egalităţi (E1), (E2) (En) poartă denumirea de algoritmul lui Euclid. Acest şir de egalităţi ne permite să determinăm pentru un inel euclidian un cel mai mare divizor comun a două elemente Ultimul rest nenul din acest şir de egalităţi este un cel mai mare divizor comun al elementelor date. Teorema ne asigură că pentru un inel euclidian există un cel mai mare divizor comun a două elemente. Se pune intrebarea dacă cel mai mare divizor comun este unic determinat. Acest lucru este clarificat de următoarea teoremă: Teorema II.3.2 Fie a si b două elemente din inelul euclidian (A, ) şi d un cel mai mare divizor comun al lui a şi b Atunci: 1) Dacă u U(A), atunci ud este un cel mai mare divizor comun al elemntelor a şi b 2) Invers, daca d’ este un cel mai mare divizor comun al lui a şi b, există u U(A) astfel incat d’ ud (adică d şi d’ sunt asociate în divizibilitate)

Demonstraţie : 1) Deoarece d= (ud) atunci ud|d. Din d|a si d|b, rezulta ud a şi ud b Fie d’ A astfel incât d’ a şi d’ b Atunci d’ d Deoarece d|ud, atunci d’ ud şi deci ud este un cel mai mare divizor comun al elementelor a şi b 2) Presupunem că şi d’ este un cel mai mare divizor comun al lui a şi b Deoarece d este un divizor comun al lui a şi b rezultă că d d’ La rândul său d este un cel mai mare divizor comun al lui a şi b, adică d’ d Rezulta că d este un asociat în divizibilitate cu d’

Exemplu : Fie în inelul Z[i] elementele a=- 6+4 i şi b

4+ 8i

Să aflăm cel mai mare divizor comun al acestor numere Stabilim algoritmul lui Euclid asociat acestor numere:

21

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

-36+41i=(14+18i)2i+13i unde

(13i)<

14+18i=13i(1-i)+(1+5i) unde

(1+5i)<

13i=(1+5i)(2+i)+3+2i unde

(14+18i)

(3+2i)<

(13i) (1+5i)

1+5i=(3+2i)(1+i) Deci cel mai mare divizor comun al numerelor - 6+4i şi 4+ 8i este +2i Teorema II.3.3 Fie (A, ) un inel euclidian şi a,b A. Dacă d este un cel mai mare divizor comun al elemntelor a şi b, există elementele k, l A astfel incat: d=ka+lb

Demonstraţie: Fie şirul împărţirilor successive din algoritmul lui Euclid: a=b + unde b=

=0 sau ( ) < ( )

+ unde

=

=0 sau

+ unde

( )<

sau

( )<

(E1)

( )

(E2)

( )

(E3)

. . . =

+ unde

sau

( )<

(

)

= Unde ultimul rest nenul

(En) (En+1)

este cel mai mare divizor comun al elementelor a şi b

Observaţia II Elementele a,b A sunt prime între ele dacă şi numai dacă exista k,l A astfel incât 1=ka+lb

Exemple : 1)În inelul Z numerele a=24,b=17, sunt prime intre ele. 2)În inelul Z[i] numerele a=13+2i, b=-14+2i sunt prime între ele. Observaţia II 2 Deoarece pentru orice pereche dintr-un inel euclidian există cel mai mare divizor comun atunci în inelul Euclidian(A, ) orice element ireductibil este prim. Deci într-un inel euclidian, nu există nici o deosebire între conceptele de element 22

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

ireductibil şi element prim Totuşi pentru anumite inele euclidiene (ca de exemplu Z,Z[i],etc.) folosim curent denumirea de element prim, iar pentru alte inele euclidiene (ca de exemplu Q[X], R[X], C[X]) folosim curent denumirea de element ireductibil (în cazul de faţă polinom ireductibil) Teorema II.3.4 –Teorema de descompunere în factori primi Fie(A, ) un inel euclidian. Oricare ar fi un element a nenul şi neinversabil din A, există o descompunere a sa in produs de elemente prime, adică există un număr finit de elemente prime , , , astfel incât a= . În plus această descompunere este unică în sensul că dacă a este o altă descompunere în factori primi a elementului a, atunci m n şi există o renumerotare , , elementelor , , , astfel încât să avem ~ oricare ar fi i n

Demonstraţie : Existenţa descompunerii Vom dovedi că orice element nenul şi neinversabil din A este un produs finit de elemente prime din A. Presupunem că această afirmaţie nu este adevărată Să notăm cu X mulţimea elementelor nenule şi inversabile din A care nu sunt produse de elemente prime Înseamnă că X≠Ø Fie a X este clar că a nu este prim şi deci a nu este ireductibil Înseamnă că există , A nenule şi inversabile astfel incât a . Cel puţin unul dintre elementele , apartine lui X (deoarece in cazul , nu aparţin lui X rezultă sau sunt produse de elemente prime din A şi deci a este un produs de elemente prime, adică a nu apartine lui X, contradicţie) Să presupunem că X este clar că nu este prim şi deci nu este ireductibil Există atunci elementele , nenule şi neinversabile astfel incât a . Raţionând ca mai sus, cel puţin unul din elementele sau X. Să presupunem că găsim şirurile de elemente a= , = , , = cu I=⋃ .

,

X. Continuând raţionamentul de mai sus, prin recurenţă , , , , , , nenule şi neinversabile astfel incât , (*) Să notăm prin *λ λ A+ oricare ar fi k şi

Fie :A-* +→N funcţia relativ la care A este inel euclidian Să notăm cu M * (a) a I,a≠ + Cum M≠∅, există în M un cel mai mic număr fie acesta . Există atunci b I, b≠ , astfel încât (b) Fie x I oarecare există q,r A astfel încât x bq+r unde r sau (r)< (b) Cum x, b I, există k,l astfel încât x ,b . Deci x λ şi b μ unde λ, μ A Cum r=x-bq, atunci r λ -μq . Pentru k , din şirul egalităţi (*) avem | şi deci =c . 23

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Atunci r λc -μq (λc-μq) ceea ce arată că x , adică r I Analog se arată că şi în cazul k obţinem de asemenea r I Dacă r ar fi nenul, din condiţia (r)< (b) ar rezulta (r)< ceea ce ar contrazice faptul că este cel mai mic element din M. Deci trebuie ca r şi deci x bq, adică b divide orice element din I Deoarece b μ ,atunci b şi deci divide orice element din I. În particular | . Din şirul (*) | şi = rezulta ca este inversabil, contradicţie Prin urmare X ∅

Unicitate. Să presupunem că avem pentru elementul a două descompuneri în factori primi: a=

= Vom proceda prin inducţie după n Dacă n , avem . Deoarece este ireductibil, atunci există un astfel incât ~ şi ceilalţi factori sunt inversabili. Deci trebuie ca m=1. Am arătat că m n si ~ . Presupunem afirmaţia adevărată pentru n-1. Din egalitatea = rezultă că . Deoarece este prim, există un astfel incât | Deoarece este ireductibil, rezultă ~ . Putem presupune (renumerotând elementele un ) că un = . Deci există un element inversabil u A astfel încât =u şi atunci =u de unde prin simplificare cu obţinem =(u ) Deoarece u este de asemenea element prim (u ~ ), prin ipoteza de inducţie rezultă că n-1=m- şi deci n m În plus elementele , , şi u , , sunt asociate în divizibilitate două câte două Să presupunem că ~ u , , ~ . Deoarece u este inversabil rezultă că ~ ceea ce incheie demonstraţia teoremei de descompunere în factori primi.

24

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

CAPITOLUL III INELE DE POLINOAME

În acest capitol, inelele vor fi presupuse comutative şi unitare Morfismele de inele vor fi unitare, iar subiectele conţin elementul unitate al inelului

III.1 INELUL POLINOAMELOR DE O NEDETERMINATĂ

Noţiunea de polinom este una din noţiunile fundamentale ale algebrei Originea acestei noţiuni se găseşte într-o problemă foarte veche de matematică şi anume aceea de a elabora un formalism general al calculelor algebrice care se efectuează de obicei cu sume şi produse în care intervin un număr finit de numere Definiţia III Dacă C A o submulţime, considerăm familia de subinele: M *C’ C’⊇C, C’⊇M, C’ subinel în A+ Atunci C[M] =⋂ este subinelul generat de C şi M în inelul A (sau subinelul obţinut prin adjuncţionare lui M laC în A) Definiţia III 2 Oricare ar fi , , , N, un produs de forma c , unde c≡C şi , , , M, aparţine lui C,M- şi se numeşte monom sau, mai precis, monom în elementele , , , cu coeficientul c C. Dacă ( ∑

, , ,

)

, , , , , ,

expresie polinomială în

,

, , ,

este o familie finită de monoame atunci suma finită

aparţine de asemenea lui C,M- şi vom numi această sumă – , , cu coeficienţi în C

Propozitia III.1.1 Inelul C[M] coincide cu multimea elementelor A care se pot scrie ca expresii polinomiale in elemente din M cu coeficienti in C.

Deminstratie: Observam mai intai ca multimea expresiilor polinomiale in elementele din M cu coeficienti in C formeaza un subinel Pentru ca

→ , -

dar

25

, - si obtinem C,M-

.

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Observatia III.1.1 Daca M este o multime finite, M={ , , , + , atunci scriem C[ , , , ] in lov de C[{ , , , +- si avem: C[ , , , - * , , , ∑ , , , + unde familia ( , , , ) este o familie finita, , , , indezata de multiindicii ( , , , ) . In particular, daca M={x} avem ∑ C[x]={ * , , , + Fie A un inel comutativ si unitar si consideram multimea a functiilor de la N la A * : → , +. Daca scriem o astefel de prin multimea ordonata a Deci valorilor sale si f(i)= , i N atunci este multimea sirurilor f=( , , , , ), , Sirurile f=( , , , , ) g ( , , , , ) sunt egale daca si numai daca , ( , )→ + Pe multimea definim adunarea : +: → Astfel: f,g : f=( , , , , ) g ( , , , , ) → + ( + , + , , + , ) Propoziţia III 2 (

,+) formează grup abelian

Demonstraţie 1) Asociativitatea: ( )f,g,h Fie h=( ,

,

,

→(f+g)+h f+(h+g)

, ).

Astfel: (f+g)+h=( + , + , , + , .)+( , ) + , , ( + ) + , ) =(( + ( + ), ( + f+(g+h) (datorită asociativităţii adunării în inelul A) 2) Comutativitate: ( )f, g

=>f+g=g+f

f+g=( + , + , , + , .) =( comutativităţii adunării în inelul A) 3) Elementul neutru este ( )f

, f+0=0+f=f ; f+0=(

, )=(( + )+ , ( + , ,( + ) + , ) =

, , )+

( , , , + ,

+

,

+

,

,

+

, .)= g+f

(datorită

) + ,

,

4) Opusul oricărui element f este –f=( f)=(-f)+f=0

,

+ , ,

,

) =( ,

,

,

,

,

)

f

) Se verifică imediat că f+(-

Dacă f şi g sunt două polinoame suma f+(-g) se notează simplu, prin f-g şi se numeşte diferenţa dintre f şi g Operaţia prin care oricăror două polinoame f şi g li se asociază diferenţa lor se numeşte scădere

26

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

În mulţimea considerăm submulţimea ( ) a şirurilor care au un număr finit de termini nenuli. Aceasta înseamnă că f ( ) dacă şi numai dacă există m N cu proprietatea f(i) dacă i m Multimea de numere natural asociată lui f , {m N f(i) dacă i m+ admite un prim element, fie acesta egal cu n. Dacă n rezultă că f , iar dacă n rezultă că f(n- )≠ In acest ultim caz, numărul natural n- se numeşte gradul lui f şi se noteaza gr(f). Pentru f convenim să considerăm gradul său ca fiind -∞, adoptând convenţiile uzuale şi anume: -∞
gr(f+g)={

,

,

,

,

). Dacă f,g

( )

≠ ( )+ ( )≠ ( )+ ( )

,

adica gr(f+g) max( gr(f),gr(g)) Multimea

este deci un subgroup al grupului tuturor sirurilor cu elemente din inelul A. ( )

Introducem pe

( )

: Astfel: f=(

,

o lege de compozitie notate multiplicative:

,

,

( )

,

→

)

g

( )

( , )

( ,

,

∑ Este clar ca gr(fg) Inmultirea pe

( )

( , +

,

+

,

(

)

,

,

( )

(f)+gr(g), deci f este:

) si (

Notand h=( ,

,

,

,

( ,

,

,

), unde e

)

),

,

+

( )

1) Asociativa , adica f, g, h

(f

,

)

( ∑

:( ,

) , d c

27

,

,

)

∑

,

)

,

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

e

∑ d c

∑ ( ∑ a b )c

(

Daca g

,

,

,

2) Comutativa:

gf (

,

, ,

( )

f, g

) unde

a (∑ )

∑ abc

bc) (

∑

abc

∑

abc

)

:

∑

)unde

,

∑

e , m→(

Am aratat deci ca e

=( ,

)cu d

∑ abc

si ∑ ∑

Dar A este inel comutativ =>

∑

=

3) Elementul neutru este şirul ε( ) ( , , , , , ) 4) înmulţirea este distributivă faţă de adunare Astfel dacă f=(

,

,

,

,

)

( ,

g

,

,

,

):

f (g+h) ( , , , , )) cu = f g+f h ( , , , , ) cu =∑ + ∑ dar înmulţirea în inelul A este distributivă faţă de adunare şi deci = ,( )k f (g+h) f g+f h. Analog(f+g) h f h+g h Propoziţia III Mulţimea sus,este inel comutativ. Elementele inelului (

( )

( )

împreună cu adunarea şi înmulţirea definite mai

,+, )se numesc serii formale cu coeficienţi în inelul A

Propoziţia III 4 Funcţia ε:A→ de inele.

( )

, ε(a) (a, , , ), a A, este un morfism injective

Demonstraţie într-adevăr dacă a,b A atunci ε(a+b) (a+b, , ) (a, , , )+(b, , , ) ε(a)+ε(b) şi ε(ab) (ab, , , ) (a, , , )(b, , , ) ε(a)ε(b) Mai mult,dacă ε(a) ε(b), atunci (a, , , ) (b, , , )şi deci a b

28

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Definiţia III Inelul ( ) se numeşte inelul polinoamelor de o nedeterminată cu ( ) coeficienţi în A.Un element f se numeşte polinom de o nedeterminată cu coeficienţi din inelul A. Dacă n gr(f) şi f ( , , , , , ), atunci elementele A, i * ,2, ,n+ se numesc coeficienţii polinomului f, se numeşte coeficientul dominant al polinomului f, iar se numeşte termenul liber al polinomului f Observaţia III 2 Morfismul ε determină un izomorfism al inelului A pe subinelul ( ) A *(a, , , ) a A} al lui , ceea ce permite să se identifice elementul a din A cu imaginea sa prin izomorfismul ε, adică cu polinomul (a, , , ) din ( ) . Astfel A se poate considera ca un subinel al lui ( ) . Polinoamele de forma (a, , , ) a se numesc polinoame constante. Pe de altă parte, notăm prin X polinomul( , , , )care se numeşte nederminata X. Înmulţirea seriilor formale conduce la ( , , , , ) şi, mai general, pentru orice număr natural n: ( , , , , , ) unde se află pe poziţia a n+ -a. De asemenea, dacă a A, atunci pentru orice n N se obţine formula: ε(a) Dacă f

( )

( , , , ,a, ),unde a se găseşte pe poziţia a n+ -a.

şi n gr(f),ţinând seama de formula( ), obţinem:

f=( , , , , , ) ( , , , , )+( , , , )+ +( , , , , , , ) ( ( , , , , )( , , , )+( ,0, , , )( , , , )+ +(a_n, , , , )( , , , , , , ) ( ) ∑ =∑ + + + +

, , ,

)+ (2)

Din aceste relaţii se deduce următoarea propoziţie: Propoziţia III 5 Inelul adjuncţionarea lui X la subinelul A Orice polinom f f= ∑

( )

( )

coincide cu subinelul său A,X- obţinut prin

se scrie in mod unic ca o expresie polinominală

unde n gr(f) şi

sunt coeficientii lui f.

Această reprezentare a polinoamelor se numeşte forma algebrică a polinoamelor Polinomul de forma a unde a A şi n este un număr natural este un monom Orice polinom nenul este o sumă finită de monoame nenule Propoziţia de mai sus explicitează structura algebrică a inelului polinoamelor şi justifică următoarea schimbare de notaţie: în loc de ( ) vom nota cu A[X] inelul 29

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

polinoamelor de o nedeterminată cu coeficienţii în A Notaţia este evident convenţională, deoarece ea introduce o literă,şi anume X, pentru a desemna polinomul( , , , ) Vom folosi uneori notaţiile A,Y-, A[T], A[t], etc., dacă în raţionament apar mai multe inele de polinoame. Dacă f A[X] este un polinom, vom nota uneori pe f cu f(X) şi aceasta mai ales când se foloseşte scrierea(2) a lui f, sau este necesar să se pună în evidenţă nedeterminata Inelul A poate fi: inelul Z al întregilor raţionali, inelul al claselor de resturi modulo n, poate fi un corp comutativ, de exemplu: Q, R, C, , p număr prim Obţinem astfel inelele de polinoame:Z[X], [X], Q[X], C[X], cu coeficienţi în Z, ,Q, R, C, respectiv.

Aplicaţie Care din următoarele afirmaţii este adevărată? încercuieşte litera A dacă afirmaţia este adevărată, în caz contrar încercuieşte litera F 

În polinomul 3



Gradul polinomului 3



Polinomul 7



Expresia algebrică 2

-5X+13, coeficientul lui X este 5

-9

-7x+5 este 2

+13X-6 are trei termeni +3X-5 este un polinom

A

(F)

(A)

F

A

(F)

A

(F)

Observaţia III.1.3 Folosind scrierea (2) a polinoamelor, operaţiile de adunare şi înmulţire se transcriu astfel: Dacă f f+g=

+ +

+ +(

+( +

+

+

+

) +(

+ )

+ +

)

) +(

+ şi g +

+

+

+(

+

+

)

+ )

+

+

+

atunci

+

+

+(

+

+

Exemple: 1. Calculaţi suma (-9

+7

-5X+3)+(13

+2

-8X-6)

Soluţii a) Se grupează termenii asemenea: (-9 (-9

+13

)+(7

+2

+7

-5X+3)+(13 +2

)+(-5X-8X)+(3-6)=4

30

+9

-8X-6)=

+(-13X)+(-3)=4

+9

-13X-3

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

b) Polinoamele se pot aduna aranjând termenii asemenea în coloane: -9

+7

-5X

+3

13

+2

-8X -6

4

+9

-13X -3

găsindu-se acelaşi rezultat ca la punctual a) 2. Calculate produsul (X+3)(X+2) Solutii: i) (X+3)(X+2)=X(X+2)+X(X+3)=

+5 +6

ii) Putem verifica rezultateledemai sus folosind aria dreptunghiului {

aria este = 2

2

+5 +6

6

Observaţia III 4 De multe ori este foarte utilă scrierea polinomului f sub forma f= + + + + , lucru întotdeauna posibil tinând seama că adunarea polinoamelor este comutativă Reamintim că cel mai mare număr natural n astfel incât ≠ se numeşte gradul lui f notat gr(f). Polinomul constant f=a, a A ,a≠ are gradul , deci gr(f)=0. Teorema III.1.1 Fie A un inel comutativ şi unitar şi inelul polinoamelor A,X- Atunci au loc afirmatiile: 1) Un element a A este inversabil în A dacă şi numai dacă este inversabil în A,X2) Dacă A este un domeniu de integritate, atunci U(A)=U(A[X]) Demonstraţie 1) → Dacă a U(A) atuci avem a b ,b A. Această relaţie, considerată în A,X- a şi b fiind polinoame de grad 0, înseamnă că a este inversabil în inelul A,X“← Dacă a U(A,X-) atunci există f A[X] astfel incât af=1. Presupunând că f

+

+

+

+

,

31

≠ avem:

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

+ a U(A)

+

+

+

=1 => prin identificarea coeficienţilor, că

=1=>

2) Dacă A este domeniu de integritate atunci A,X- este domeniu de integritate Din punctual precedent rezultă că U(A) U(A,X-) Pentru a demonstra incluziunea U(A,X-) U(A) Considerăm polinomul f + + + + , ≠ inversabil în A,X- Atunci există f + + + + astfel că f g Avem gr(f g) gr( ) ţinând cont de faptul că A,X- este domeniu de integrate că gr(f)+gr(g) sau m+n si deci m n Astfel rezultă că f

A, g=

A şi, cum 1=fg=

, obţinem că f

U(A).

Observaţia III 5 1) În particular dacă A K este un corp, atunci elementele inversabile din inelul K[X] sunt polinoamele de grad zero. 2) In inelul Z[X] unitatile sunt +1,-1. 3) Propozitia precedenta nu este adevarata pentru inelele care nu sunt integer. Intradevar in inelul [X] polinomul 2X+1 este inversabil deoarece (2X+1)( 2X+1)=1 Teorema III.1.2 – proprietatea de universalitate a inelelor de polinoame de o nedeterminata Fie A un inel comutativ si unitar , A[X] inelul polinoamelor de o nedeterminata cu coeficienti in A si : → , - morfismul canonic ( ) . Atunci oricare ar fi inelulcomutativ si unitar B, morfismul unitar de inele v:A→B si x B, exista un unic morfismf de inele :A[X] →B astfel ca (X)=x si diagrama

A

A[X] v B

sa fie comutativa, adica

Demonstratie: Sa definim

daca f

A,X-, f

∑

a X , atunci ( )

32

∑

( )

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Aratam ca are proprietatile din enunt. Fie g=∑ b X , un alt polinom din A[X] sis a presupunem ca m n. Completand eventual polinomul f cu termini ai caror coeficienti sunt zero putem scrie f=∑ a X , unde a a atunci ( + ) (∑ ( + ( + ) ∑ ( ( ) + ( )) ∑ ( ) +∑ ( ) ) ) ∑ ∑ ( ) +∑ ( ) ( )+ ( ) Daca notam cu , coeficientii produsului fg avem ∑ de inele obtinem v( ) ( ) ( )

∑

si cum v este morfism

Tinand seama de acest lucru se verifica imediat ca v(fg)=v(f)v(g). Deci ( ) inele. Mai mult (X)= ( ) .

este morfism de

Sa verificamacum comutativitatea diagramei. Intradevar daca a ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) si deci .

(

)( )

Unicitatea : sa presupunem ca ̃: , - → este morfism de inele astfel incat ̃( ) , ̃ . Atunci pentru f=∑ a X avem: ̃( )

̃ (∑

si deci ̄

aX)

∑ ̃(a ) ̃(X )

∑ ̃( (a )) ̃(X )

∑ v(a )x

(f)

.

Fie acum un inel B, A B un subinel al sau si v:A→ incluziunea, adica v(a)=a. Teorema precedenta aplicata in acest, ne da pentru oricare x un morfism de inele : , - → ( ) astfel incat ( ∑ a X ) ∑ a x A,X-, formula care justifica relatia ( ) ( ) Vom numi elementul f(x) valoarea polinomului f in x. , - Se stie din Din egalitatea de mai sus rezulta ca imaginea lui este ( , -) proprietatile morfismelor ca nucleul morfismului este un ideal al lui A[X], si anume: * ( ) , - ( ) + Definitia III.1.4 Spunem ca elementul x B anuleaza polinomul f=∑ sau ca x este o radacina sau un zero al lui f daca f(x)=0, adica ∑ a X .

a X din A[X]

Observatia III.1.5 Conform teoremei fundamentale de izomorfism pentru inele se deduce pentru urmatorul izomorfism: ̄ , - definit prin ( ( )̂ : , → A[X] nu admite pe x ca radacina avem

33

)

( ) Daca nici un polinom nenul din si deci devine un izomorfism:

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

̄ , -. Aceasta insemana ca A[X] este izomorfism cu un inel de polinoame cu : , -→ coeficienti in A daca si numai daca =0.

Aplicatii: 1) Polinomul -0.02 + 2 + 22 este folosit de antrenori pentru a stimula atletii pentru a fi mai performanti. Polinomul reprezinta nivelul de performanta care are legatura cu variatii ale nivelului de entuziasmare, de la x=1 (entuziasm minim) la x=100 (nivelul maxim de entuziasm) Aflaţi, valorile polinomului în x 2 , x 5 şi x 8 performanţele pe măsură ce suntem mult mai stimulaţi

Descrieţi ce se întâmplă cu

2) Sunt cunoscute neplăcerile provocate de răceală Răcim când virusul răcelii intră in corpul nostru şi se înmulţeşte Valoarea polinomului -0,75 + 3 + 5 în X, descrie bilioanele de particule virale aflate în corp dupa x zile de la invazie Găsiţi numarul de particule virale, în bilioane, dupa o zi, 2 zile, zile, 4 zile După câte zile numărul particulelor virale este maxim şi în consecinţă ziua în care ne simţim cel mai rău? După cât timp ne vom simţi complet refăcuţi? Funcţia asociată unui polinom Fie polinomul ƒ A ,X- Asociind orcărui element x valoarea f(x) a polinomului f în punctul x se obţine o funcţie ̃ƒ :A → A ̃ƒ (x) f(x), ( )x numită funcţia polinomială asociată polinomului ƒ

A A,

O funcţie α:A→ A se numeşte functie polinomială daca există un polinom f A,X- astfel încăt α ̃ƒ.

Exemple: a. Functia g: C→C, g(x) f=2i

2i

-(3+i)x+4 este polinomiala, deoarece g=ƒ̃, unde

-(3+i)X+4.

b. Ibuprofen este un medicament folosit pentru ameliorarea durerii. Functia f:R→R, f(x) ,5 +3,45 -96,65 +347,7x este o functie polinomiala. Pentru x 6 ea este folosită în estimarea numărului de miligrame de ibuprofen aflat în sânge la x ore după ce 4 mg de medicament au fost înghiţite

34

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

x

f(x)

0

0

1

255

1.5

318.26

2

344.4

3

306.9

4

193.2

5

66

6 0 X=2

0

2

6

c. În anul 1980, s-a observat o tendinţă a creşterii temperaturii pe glob şi astfel a apărut termenul de „încalzire globală” Oameni de ştiinţă sunt din ce in ce mai convinşi că arderile de cărbune, uleiurile si gazele rezultate din industrie etc , determină creşterea temperaturii planetei Pentru a afla cu căte grade creşte temperatura y a globului dupa x ani, din 98 până în prezent, se foloseşte formula: y=

-

+

X.

Aflaţi cu câte grade va fi mai mare temperatura planetei în anul 2 4

2 1 0

30

60 ani dupa 1980

d. Relaţiadintre rata morţii omului, calculată pe de oameni, şi media numărului de ore în care doarme într-o zi este dată de funcţia polinomială:

35

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

f: R→R, f(x) 9 2857 429

-1336x+5460828571

nr.orelor de somn, x rata morţii (pe

5 oameni), f(x)

6

1121 805

Precizaţi rata morţii oamenilor care dorm 4 h, 5, 5 h, 7, 5h şi

7

8

626

813

9 967

h pe zi.

Observaţia III 6 Dacă A este un inel si f, g sunt polinoamele egale din A,X-, atunci este evident că funcţiile polinomiale ̃ƒ şi ̃ sunt egale. Există însă şi polonoame diferite care să aibă funcţiile polinomiale egale

Exemplu: Considerăm polinoamele f=X+ ̂ şi g

+ ̂ , din

[X].

Fie ̃ƒ: → , ̃: → funcţiile polinomiale asociate lui f si g. Avem ̃ƒ (0)= ̃ (0)= ̂ şi ̃ƒ ( ̂ )=g( ̂ )=0. Deci ̃ƒ = ̃ dar, evident f ≠ g Observaţia III 7 Se ştie din Analiza matematică că orice funcţie polinomială f: R→R este o funcltie continuă şi indefinit derivabilă Funcţia exponenţială este continuă şi indefinit derivabilă si nu este polinomiala Există aşadar funcţii reale de o variabilă reală care nu sunt polinomiale.

III 2 ÎMPĂRŢIREA POLINOAMELOR

Învăţând mai multă matematică veţi descoperi noi metode de a descrie lumea De exemplu să considerăm un polinom care modelează numărul anual al condamnaţilor pentru trafic de droguri şi un alt polinom care modelează numărul arestărilor pentru traficul de droguri Prin împărţirea acestor polinoame, obţinem o expresie algebrică care descrie rata condamnaţilor pentru arestările traficanţilor de droguri În acest paragraf vom arăta cum se împart polinoamele Doua dintre cele mai importante teoreme din algebră sunt teorema împărţirii cu rest pentru numere întregi (vezi II.3) cat şi teorema împărţirii cu rest pentru polinoame

36

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Teorema III.2.1-Teorema împărţirii cu rest pentru polinoame : Fie K un corp comutativ si g K,X-, g≠ Oricare ar fi polinomul f K,X-, există polinomele q, r K,X] astfel încât: f = gq + r, gr(r) < gr(g). În plus polinoamele q si r sunt unice satisfăcând propietăţile anterioare Polinoamele q şi r se numesc, respectiv, câtul şi restul împărţirii polinomului g Ce se observă? Această relaţie este aproape identica cu acea din teorema împărţirii cu rest pentru numere întregi Este suficient să schimbăm cuvântul „număr întreg” cu acela de „polinom” şi obţinem relaţia de mai sus cu o mică deosebire: condiţia r< b se schimbă în condiţia gr(r)
Demonstraţia teoremei împărţirii cu rest Demonstraţia teoremei împărţirii cu rest pentru numere întregi pentru polinoame Dacă există q Z astel încăt a bq atunci consideram r Presupunem deci că a≠bq oricare ar fi q Z Considerăm mulţimea M *n N ( )k Z astfel încât n=|a-kb + Este clar ca M ≠ ∅ Deoarece N este bine ordonată, există în mulţimea M un cel mai mic element; fie acesta r. Deci există q Z astfel încăt r a-qb|. Evident ca r Să arătăm că r< b Prin reducere la absurd presupunem că r b Daca a-qb>0, atunci r=a-qb b

Dacă există q K,X- astfel încăt f qg atunci considerăm r Presupunem deci că f≠gq oricare ar fi q K,X- Considerăm mulţimea M *n N ( )h K,X- astfel încât n gr(fgh)+ Este clar că M ≠∅ Cum N este bine ordonată, există M un cel mai mic element, fie acesta m Deci există q K,X- astfel încât m=gr(f-gq). Notam r=f-qg şi deci f qg+r Vom arata că gr(r)
Prin reducere la absurd presupunem gr(r) gr(g) Fie t=gr(g) Deci m t Notăm , q şi este clar că m’ gr(r’)
Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

r’
Acum, daca a-qb>0, avem r=a-bq şi deci a bq+r ceea ce arată că q este câtul si r restul împărţirii lui a la b Dacă a-qb avem r=bq-a şi deci a bq-r=bq-|b|+|b|r=b(q-sgnb)+r’ unde r’ b -r. Cum r< b atunci este clar că r’< b şi deci q-sgnb este câtul şi r’ este restul împărţirii lui a la b

Prin scădere membru cu membru a ultimilor două egalităţi obţinem g(q-q’) r’r. Dacă q-q’≠ atunci gr(g(q-q’)) gr(g) dar din inegalităţile gr(r)
Unicitatea Să presupunem că avem doua scrieri: a bq+r, r< b şi a bq’+r’, r’< b Prin scădere membru cu membru obţinem b(q-q’) r’-r şi deci

şi deci q q’ În Acest

|b||q-q’ r’-r Dacă q’-q ≠ atunci b qq’ b Din inegalităţile r< b şi r’< b rezultă că r’-r < b şi deci este imposibilă egalitatea |b||q-q’ r’-r|. Prin urmare trebuie ca |q-q’ de unde q q’, caz în care şi r r’

Rezultă deci că: Daca mulţimea K este un corp, atunci inelul de polinoame K,X- este inel euclidian relativ la funcţia: :K,X--* +→N, (f) gr(f), ( )f K*,X-

Exemple: 1. Fie Polinoamele f=3 3 -3

+

-2 +12

+6X+1

-4 3

+

+10X+4

38

+

-2

+6X+ şi g=

-4

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

/

+10

+X+1

-

+4

/ 10

+4

-10

+6X +1

+40X

/ 4

+46X+1

-4

+16

/

46X+17 =r

Deci câtul este q=3 Proba: (

-4) (3

+

+

+10X+4, iar restul r=46X+17 +10X+4)+(46X+17) = 3

+

-2

+6X+1 = f

2. Folosind tabelele operaţiilor corpului şi organizarea uzuala a calculelor din algoritmul împărţirii polnoamelor, avem: 2̂

+̂

2̂

+

+2̂

+4̂

+ ̂ X+2̂

+̂ +

+2̂

2̂

+

+̂ / 4̂

Proba: (2̂

+2̂

+ ̂ X+2

+ ̂ X+2̂ + ̂ X+ ̂

4

Rezultă q

+X+ ̂ +

/ 2̂

/

2̂

/

X+ ̂

+

+2̂ şi r X+ ̂ .

+X+ ̂ )(

+

+2̂)+ X+ ̂ = 2̂

+̂

+4̂

+2̂

+ ̂ X+2̂

Teorema III.2.2 - Teorema restului Fie K un corp comutativ, f K,X- şi a K Atunci valoarea f(a) a polinomului f în punctul a este egală cu restul împărţirii lui f prin X-a

Demonstraţie : Fie q, r K,X- astfel încăt: f(x)=(X-a)q+r, gr(r)
Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Rezultă că r K şi deci f(a)=((X-a)q+r)(a)=(a-a)q(a)+r(a)=r(a)= r Această teoremă ne ajută să găsim restul împărţirii unui polinom oarecare prin polinomul X-a fără a mai efectua împărţirea lui f prin X-a.

Exemplu: Să se găsească restul împărţirii polinomului f

-2i

+4X+1+2i prin

binomul X+i. Conform teoremei de mai sus restul reste r=f(-i)= ( 4i+1+2i=4-2i

) -2i (

) +4(-i)+1+2i =1+2-

Teorema de mai sus are dezavantajul că nu afirmă nimic relativ la expresia cătului împărţirii polinomului f prin binomul X-a. Vom indica acum un procedeu de aflare a câtului împărţirii polinomului f prin binomul X-a. Să presupunem că f este polinomul de forma: f=∑

a X , an≠ .

Dacă scriem formula împărţirii cu rest pentru polinoamele f si X-a obţinem egalitatea f = (X-a)q+r, gr(r)
bX ,b

≠

Egalitatea (1) devine în acest caz: + + + )+

+

+

+

(

+

)(

+

Efectuând înmulţirea în partea dreaptă obţinem: (

)(

+

+(

+ + +( )

+

+ ) + + )

+ +(

Prin identificarea celor două polinoame obţinem că:

40

)

+

+(

)

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

= =

–a

=

–a

(2) =

–a

=r–a

Din egalităţile (2) obţinem succesiv:

= =

+a

(3) =

+a

r=

+a

Egalităţile ( ) se trec în tabelul următor:

…………………… a a

+

…………………… ……………………..

+a

+a r

În rândul de mai sus al tabelului se scriu coeficienţii polinomului f, iar în rândul de jos coeficienţii , ,..., ai câtului şi restul r Tabelul (4) poartă denumirea de schema lui Horner.

41

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Exemplu polinomului f=3

Utilizând schema lui Horner să se determine câtul şi restul împărţitii -11 +12 -5X-2. X

3 2

-11

3

-

b3

12

+2 3=-5

2+2 (-5)=2

b2

Câtul şi restul împărţirii sunt q

-5 -5+2 2 -1

b1

-2 -2+2 (-1)=-4 r

X -5X2+2X- şi r -4

Observaţia III 2 Schema lui Horner ne oferă nu numai un procedeu de obţinere a câtului împărţirii polinomului f prin binomul X-a, dar şi un procedeu de determinare a restului. Observaţia III 2 2 Un alt procedeu pentru determinarea câtului şi a restului împărţirii unui polinom f prin altul f se bazează pe observaţia că gr(q) gr(f)-gr(g), gr(r)
+2

=(-1+2

)(a+bX+c

)+d+eX. Aceasca conduce la sistemul de ecuaţii:

5 = -a+d -1 = -b+e 3 = 2a-c , din care rezultă c

,b

, a 2, d 7, e -1

0 = 2b 2 = 2c Metoda aceasta se numeşte metoda coeficienţilor nedeterminaţi 42

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

CAPITOLUL IV PROPIETĂŢI ARITMETICE ALE INELELOR DE POLINOAME

În acest capitol, K este un corp comutatic K[X] inelul polinoameor în nedeterminata X cu coeficienţi în K

IV DIVIZIBILITATEA ÎN INELE DE POLINOAME DE O NEDETERMINATĂ

Din teorema III

rezultă că inelul K,X- este un inel integru

Propoziţia IV rezultă f g

Dacă f, g, h sunt polinoame în K,X-, astfel încât f h

Demonstraţie: Într-adevăr avem (f-g)h

g h şi h≠ ,

, prin urmare unul din factori trebuie să

fie nul Cum h≠ , rezultă ca f-g=0, adica f=g. În continuare vom reconstitui în inelul K[X] teoria divizibilităţii Definiţia IV Fie f, g două polinoame din K,X- Spunem că g divide f (sau f este divizibil prin g, sau g este un divizor al lui f, sau încât f este un multiplu al lui g) şi scriem g f, dacă există un polinom h K,X- astfel încât: f g h

Exemplu : Considerăm polinoamele f Deoarece

+

-4X+12=( X+2)(

Observaţia IV

+

-4X+12 şi g X+2

-5X+6) rezultă că g f

:

1. Din teorema îmărţirii cu rest rezultă că g divide pe f dacă şi numai dacă restul împărţirii lui f la g este zero. 2. Daca g f şi f≠ atunci gr(g) gr(f)

43

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Într-adevăr, deoarece g f există un polinom h astfe încât f gh Deoarece f≠ , atunci gr(f) gr(g)+gr(h) Dar gr(h) şi deci gr(g) gr(f) 3. Polinoamele de grad zero, adică constantele nenule, divid orice polinom Într-adevăr, daca a K, a≠ şi f este un polinom oarecare putem scrie f (a şi deci a f

a)f a (

a f)

Propoziţia IV 2 Fie f, g, h K,X- Daca h g şi g f atunci h f (tranzitivitatea relaţiei de divizibilitate)

Demonstraţie: Într-adevăr, cum h g=h Cum g f, există un polinom g=h , obţinem că f (h ) . =h( Propoziţia IV Fie fi polinoamele , K,X-

,

g, atunci există un polinom , astfel încât astfel înât f=g Înlocuind în această egalitate pe .) şi deci h f

, g K,X- Dacă g|

şi g

, atunci g |

Demonstraţie:

Într-adevăr deoarece g , există polinomul deoarece g| , există polinomul astfel încât =g . Atunci avem +

=

(gg1)+

(gg2)=g(

+

) şi deci g

+

+

, oricare ar

astfel încât

=g

;

.

Observaţia IV 2 Din propoziţia III 6 ştim că elementele inversabile din K,X- sunt polinoamele de grad, zero, nenule, adică elementele diferite de zero din K Înseamnă că elementele inversabile din K,X- formează grup multiplicativ, anume K* (grupul elementelor nenule din K). Propoziţia IV 4 Fie f, g K,X- Dacă g f şi f g atunci există a K* astfel încât f a g Definiţia IV 2 Două polinoame din K,X- care se obţin unul din altul prin înmulţire cu un element inversabil din K se numesc polinoame asociate Când polinoamele f şi g sunt asociate notăm simbolic f~g. Din propoziţia anterioară rezultă că f~g dacă şi numai dacă f g şi g|f.

Exemplu:

+ şi 2

+2 sunt polinoame asociate în Q[X].

Observaţia IV Orice polinom este divizibil prin elementele inversabile şi prin polinoamele asociate cu el . Propoziţia IV 5 i=1, ,n.

Fie f=

+

+

+

44

K,X- şi a K Dacă a f, atunci a|

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Demonstratie: Deoarece a f există g +

+

. Dacă f

Dacă f≠ atunci m n şi

atunci

=a

+ + + , astfel încât f a g =0, i=1, ,n şi în acest caz a| i=1, ,n.

+

deci a| , i= , ,n

Teorema IV.1.1 Teorema lui Bezout Polinomul f K,X- se divide cu X-a, a K dacă şi numai dacă f(a)

Demonstraţie : Din teorema împărţirii cu rest pentru polinoame în care notăm g(X)=X-a retultă că f(X)=(X-a)q(X)+r,unde q(X) K,X- şi r K Atunci X-a divide pe f dacă şi numai dacă r , deci dacă şi numai dacă f(a) r Propoziţia IV 6 Inelul polinoamelr K[X] este euclidian.

Demonstraţie: Definim funcţia : K,X--* +→N , (f) gr(f) Avem evident (fg) (f)+ (g) Din teorema împărţirii cu rest rezultă că inelul polinoamelor K[X] este euclidian. Deci K,X- se bucură de toate proprietăţile aritmetice ale inelelor euclidiene. În K,X- există un cel mai mare divizor comun şi un cel mai mic multiplu comun a două polinoame. Definiţia IV Fie f, g K,X- Un polinom d K,X- se numeşte un cel mai mare divizor comun al lui f şi g dacă: d f şi d g Dacă d’ K,X- astfel încât d’ f şi d’ g atunci d’ d Teorema IV.1.2 Oricare ar fi f,g K,X- atunci există un cel mai mare divizor comun al lui f şi g

Demonstraţie: Dacă f g

atunci d este c m m d c al lor Dacă f≠ şi g atunci d f deoarece f este divizor comun al lui f şi g pentru că f f şi g f Iar dacă d este divizor comun al lui f şi g atunci d f d f este c m m d c (f,g) Să analizăm cazul f≠ şi g≠ Din teorema împărţirii cu rest pentru polinoamele f şi g acem că există două elemente K,X- astfel încât f g + cu gr( )
,

şi

K,X-

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Repetând acest proceedeu ,obţinem elementele ( )< ( ) r= +

,

,.., şi (E3)

,

,...,

K,X- astfel încât :

.................................................... +

,

(

)<

( )

Deoarece gr(r)>gr( )<...gr( un număr natural n astfel încât ≠ şi Vom arăta că

(

(En+1) ) şi mulţimea ℕ este bine ordonată, atunci există ) =0.

este c m m d c al lui f şi g

Cum + şi ţinând seamă că | , iar . Obţinem din aproape în aproape că divide elementele este divizor comun al polinoamelor f şi g

,...,

,

+ , atunci | şi din (E ) |f. Deci

Să arătăm că este şi cel mai mare cu această proprietate Fie d’ un divizor comun al polinoamelor f şi g Din (E ) obţinem că , =f-g şi cum d’ f şi d’ g arunti d’ ,apoi din (E2) d’ şi din aproape în aproape avem d’ , ceea ce trebuia să demosntrăm Am constatat că obţinut prin aplicarea succesivă a teoremei împărţirii cu rest a polinoamelor este c m m d c al polinoamelor f şi g Acest procedeu se numeşte şi în acest caz Algoritmul lui Euclid. Observaţia IV 4 Din definiţia anterioară rezultă că dacă =c.m.m.d.c.(f,g), atunci d| şi d prin urmare d şi sunt polinoamel asociate . Reciproc dacă d este c.m.m.d.c.(f,g), orice polinom asociat cu d, adică orice polinom de forma αd cu α K* este şi el c.m.m.d.c.(f,g). Deci c m m d c a două polinoamel f şi g este unic , abstracţie făcând de un factor constrant nenul .

Exemplu: Dacă f

- şi g - ,orice polinom de forma αd g şi orice polinom h, care divide pe f si g, divide pe d; prin urmare şi pe α d Observaţia IV 5 În clasa polinoamelor care sunt c m m d c (f,g) există unul singur care are coeficientul dominant egal cu 1 ; acela se notează cu simbolul (f,g) şi el este de obicei c m m d c al polinoamelor f şi g Astfel cu această convenţie acem (

-1,

-1)=X-1.

Exemplu: Fie f=

- -3X+3, g=2 -2 -X+1. Observăm că (f,g) (2f,g) De aceea şi pentru a nu lucra cu numere fracţionare, căutăm restul împărţirii lui 2f la g:

46

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

2 2

2

6 +6

+2

2

+

2

+

X 7 +6

Astfel

=

-7X+6. Căutăm acum restul împărţirii lui g la 2 2

2

+

+ 4

2

7 +6

2

2

:

12X+12 +

+ 84

72

71X - 71 Prin urmare =71X-71;putem considera în locul lui amplicând încă o dată împărţirea lui la :

polinomul asociat X-1;

7 +6 +

X-6

-6X+6 6X-6 / / Obţinem că (f,g) X-1 Teorema IV.1.3 Fie f şi g două polinoame nenule din K,X- Dacă d este un c m m d c al lui f si g atunci există două polinoame u,v K,X- astfel încât d=uf+vg

Demonstraţie: Am căzut că ultimul rest nenul c m m d c al polinoamelor f şi g

47

din algoritmul lui Euclid este

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Din (E ) obţinem că

=

g-(

)f+(1-

f+ g)

=-(

f+ g, unde )g=

şi

=- . Din (E2) obţinem că

f+g, unde

=-

şi

=g-

=

=1-

Continuând procedeul putem să presupunem că pentru orice i ( polinoamele astfel încât = f+ g.

i n-1) am determinat

Din algoritmul lui Euclid avem că = . Deoarece = f+ g si = f+ , atunci = f+ g-( f+ g) =( )f+( )g= f+ g, unde am notat = şi = . Dacă d este un c m m d c al polinoamelod f şi g ,rezultă că există un a K* astfel încâd d= .Deci d= + +uf+vg,unde u= şi v . Definiţia IV 4 Polinoamele f,g din K[X] se numesc prime între ele daca singurii lor divizori comuni sunt elementele inversabile din K,X-,adică nu există în K,X- nici un polinom de grad pozitiv ,care să dividă pe f şi pe g Rezultatul obţinut se poate formula în : Teorema IV.1.4 Condiţia necesară şi suficientă ca polinoamele f şi g din K,X- sa fie prime între ele este dată de relaţia 1=uf+vg. In care u şi v sunt polinoame din K,XObservaţia IV 6 Aşa cum am definit cel mai mare divizor comun a două polinoame, putem defini c m m d c a unui număr finit de polinoame, mai precis, dacă , ,..., K,X-, atunci un polinom d K,X- se numeşte un c.m.m.d.c. al polinoamelor , ,,..., dacă verifică următoarele condiţii: 1. d| ,d| ,....,d| ; 2. dacă d’ este un polinom astfel încât d’| , d’| ,...., d’|

atunci d’ d

Fiind date polinoamele , , un c.m.m.d.c. al lor se calculeaza astfel : se determină un c.m.m.d.c al polinoamelor , apoi se determină un c.m.m.d.c. al polinoamelor si , apoi se determină un c.m.m.d.c. al polinoamelo şi ,..., apoi se determină un c.m.m.d.c. al polinoamelor şi . Polinomul d= este un c.m.m.d.c. al polinoamelor , , , . Definiţia IV 5 Fie f,g K,X- Un polinom m K,X- se numeşte un cel mai mic multiplu comun al polinoamelor f şi g dacă: 48

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

1. f m şi g m 2. Dacă m’ K,X- astfel încăt f m’ şi g m’ atunci m m’ Ca şi teorema II 4, demsnotraţia teoremei care urmează constrituie un procedeu de a obţine un c m m m c a două polinoame Teorema IV.1.5 Fie f, g K,X- două polinoame dintre care cel puţin unul este nenul Dacă d K,X- este un c m m d c al lui f şi g, atunci polinomul m=fg/d este un c.m.m.m.c. al lui f şi g (aici fg/d înseamnă câtul împarţirii polinomului fg prin d)

Demsnotraţie:

Deoarece d f şi d g, există polinoamele f’ si g’ încât f df’ şi g dg’

În plus , polinoamele f’ şi g’ sunt prime între ele Deci m f’g fg’, ceea ce arată că m este un multiplu comun al lui f şi g Fie m’ un polinom astfel încât f m’ şi g m’ Deci există polinoamele şi astfel încât m’ şi m’ . Avem m’ d şi m’ d . Polinoamele f’ şi g’ fiind prime între ele, există polinoamele u şi v astfel încât uf’+vg’ Înmulţind această egalitate cu (de exemplu), obţinem ca = u f’+vg’ =u f’+vf’+vf’ f’(u +v ), ceea ce arată că f’ . Deci există un polinom , astfel încât f’ . Deoarece m’ g , atunci m’ gf’ =m şi deci m m’ Deci polinomul

m fg d este un c m m m c al lui f şi g Observaţia IV 7 Aşa cum am definit c m m m c a două polinoame putem defini c m m m c al unui număr oarecare finit,de polinoame Mai precis : dacă , ,..., K,Xatunci un polinom m K,X- se numeşte un c m m m c al polinoamelor, , ,..., dacă verifică următoarele condiţii: |m,

|m,...,

|m;

dacă m’ K,X- astfel încât

m’,

m’, ,

m’ atunci m m’

Ultima teoremă nu se poate extinde la cazult când avem n polinoame , , cu n În acest caz c m m m c al polinoamelor se calculează astfel :se determină un c.m.m.m.c, m1 al polinoamelor , ; apoi se determină un c m m m c , , al polinoamelor şi ,..., în final, se determina un c.m.m.m.c., , al polinoamelor şi . Polinomul m= este un c.m.m.m.c. al polinoamelor , ,

49

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

IV.2 POLINOAME IREDUCTIBILE. CRITERII DE IREDUCTIBILITATE

Aşa cum am afirmat, nu există nici o deosebre între conceptele de element ireductibil şi element prim într-un inel euclidian. Totuşi pentru anumite inele euclidiene (ca de exemplu Z, Z[i], etc) folosim curent denumirea de element prim , iar pentru alte inele euclidiene (ca de exemplu Q[X], R[X], C[X])folosim curent denumirea de element ireducitibil (în cazul de faţă polinomm ireductibil) Definiţia IV 2 Orice divizor al polinomului f K,X-,care nu este nici inversabil şi nici asociat cu f, se numeşte divizor propriu al lui f Rezultă că dacă g este divizor propriu al lui f,atunci gr(g)
, deci

2) Orice polinom f K,X] de gradul 2 sau 3,care nu admite un factor de gradul 1 în K[X], este ireductibil peste K. Într-adevăr,dacă presupunem că f este reductibil peste k, atunci există g, h K,X- astfel încât f g h, gr(g)
50

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Exemplu : Polinomul f=

+

Q,X- este irecutibil peste Q

Într-adevăr, din egalitatea (aX+b)(cX+d)= + rezultă ac , ab+bc=0, bd=3. Din prima şi ultima ecuaţie rezultă că ab≠ Împărţind cu ab ecuaţia a doua , obţinem d/b=-c/a=u; prin urmare - u=1, u=3, de unde - / =3, ceea ce este absurd, 3 nefiind un număr negativ. Aşadar polinomul +3 nu are divizori de grad 1; înseamnă că singurii lui divizori în Q[X] sunt polinoamele de grad 2, deci asociate, şi cele de grad , deci inversabile. Să observăm că acelaşi polinom se poate scrie f (X-i√ )(x+i√ ), X+i√ C[X], deci f este reductibil peste C. Teorema IV.2.1 Fie f, g, h K,X- Dacă h este prim cu f şi divide produsul fg, atunci h divide polinomul g. Deci,dacă (f,h)

şi f fg⟹h|g/

Demosntraţie:

Din(f,g)=1 rezultă că există u,v K,X- astfel încât fu+hv Înmulţind cu g obţinem fgu+ghv=g. Deoarece h|fg ⟹( )r K,X- astfel Încât fg hr prin urmare h(ru+gv)=g, de unde rezultă că h g Corolar IV.2.1 Fie f, , ,..., K,X- dacă f este ireductibil peste K şi divide produsul , , , atunci cel mai puţin unul dintre factorii ,..., este divizibil cu f. Demonstraţia se realizează prin inducţie matematică asupra lui r, folosind teorema precedentă Pentru r=2 suntem în cazul acelei teoreme. Presupunem că afirmaţia este adevărată pentru produsul de factori în număr mai mic decât r. Împărţind factorii ,..., în două grupe ,..., şi ,..., ,să notăm p ... , q= ... . Prin ipoteză f pq Dacă f p, concluzia rezultă în baza ipotezei de inducţie dacă f p, atunci f fiind ireductibil este prim cu p; prin urmare în baza teoremei precedente divide produsul q şi ,tot în baza ipotezei de inducţie , divide unul din factorii ... . Din paragraful precedent ştim că inelul K,X- este euclidian În particular K[X] este un inel factorial. Deci şi în K,X- există o teorema de deoscumpunere în factori primi Teorema IV.2.2 Fie f K,X- un polinom de grad mai mare ca Atunci f se descompune într-un produs finit de polinoame ireductibile peste K;descompunerea fiind unică, abstracţie făcând de înmulţirea cu elemente inversabile din K,X- şi de ordinea factorilor.

51

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Demonstraţie: Demonstraţia primei părţi a afirmaţiei se face prin inducţie matematică asupra gradului polinoamelor Fie n=gr(f). Daca n=1, atunci f este ireductibil peste K (printre produsele finite acceptăm şi produsele cu un singur factor) Presupunem că n şi că afirmaţia este adevărată pentru polinoame de grad mai mic ca n Dacă f este ireductibil atunci afirmaţia este adevărată În caz contrar există g, h K,X] care nu sunt nici inversabile nici asociate cu f, astfel încât f=gh, gr(g)
Exemplu:4 =4(X+1) (X-1) (

-4 -4 +4 + - -X+1=(X+1)(X-1) (2 +X-1/2)( -X+1/2)

+2X+1)(2

-2X+1)

Observaţia IV.2.2 Teorema împărţirii cu rest şi teorema lui Bezout sunt utile atunci când dorim să verificăm dacă un polinom f admite un factor de grad întâi de forma X-a. Această verificare este suficientă pentru a proba ireductibilitatea lui f atunci când gradul lui f este 2 sau şi coeficienţii săi sunt într-un corp. În general însă nu dispunem în algebră de criterii genreale care să ne permită să decidem dacă un polinom arbitrar este sau nu este ireductibil. Un criteriu care contituie o condiţie suficientă pentru ca un polinom să fie ireductibil este criteriul lui Eisenstein, enunţat în următoarea teoremă: Teorema IV.2.3 Fie f= + +...+ X+ un polinom având coeficienţii intr-un inel factorial A. Presupuenm că există un element prim p A astfel încât p| ,....,p| , p şi . Atunci f este polinom ireductibil în A[X].

52

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Demosntraţie : Presupunem că f admite o descompunere într-un produs în care factorii au gradele strict mai mici decât gradul lui f , deci : + +....+ X+ = ( +...+ )( +...+ ), şi în plus, r>0. Reducând modulo p această egalitate şi notând cu ̂ clasele modulo pe ale coeficienţilor se obţine în (A pA),X-egalitatea: ̂

=(̂

+....+̂) ( ̂

Presupuenm că ̂≠ atunci din ̂

(̂

̂

+....+̂ )

recultă

+

+̂)( ̂

simplificând cu X se obţine :

+

+ ̂ )

În continoare se procedează analog şi după n-r paşi se obţine egalitatea: ̂

̂ .(̂

+

+̂)/ ,

̂

Atunci ̂ şi aceasta implică ̂=0,ceea ce este imposibil. Rămâne aşadar că ̂ şi deci ̂=0. Trecând în Z obţinem că = este divizibil cu . Aceasta contrazice ipoteza şi în cosecinţă f este polinom ireductibil

Exemple: 1.

Fie poinomul f= + 5 +2 -40X+35.Acest polinom este ireductibil în Q,X- deoarece luând numărul prim p 5 sunt îndeplinite condiţiile criteriului lui Eisenstein.

2.

Deşi criteriu lui Eisenstein este destul de restrictiv,prin ipotezele sale, el ne permite să puenm în evidenţă o clasă numeroasă de polinoame ireductibile. De exemplu polinoamele +p. Unde p este prim , sunt ireductibile. În concluzie, in Z[x](deci şi în Q,X-) există o infinitate de polinoame ireductibile.

3.

Uneori criteriul lui Eisenstein nu se aplică direct,aşa cum se poate vedea din următorul exemplu clasic: Dacă p este număr natural prim, atunci polinomul f= + +....+X+1 Z,X- este ireductibil în Q[X]. Sub această formă nu putem aplica criteriul lui Eisenstein, dar obsercăm că f este ireducbitil dacă polinomul f(X+ ) este ireductibil. Considerăm automorfismul : Z,X-→Z[Y] definit prin

(X) Y+

Cum

53

f=

obtinem ca

(f)

(

)

=

+

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

+

+

+

+

+

+

+ Deoarece p este prim , avem ca p | , oricare ar fi k p- şi deci , conform criteriului lui Eisenstein, (f) este un polinom ireductibil în Z,X-, deci şi în Q,X-

54

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

CAPITOLUL V RĂDĂCINILE POLINOAMELOR ECUAŢII ALGEBRICE

V PROPRIETĂŢI ALE RĂDĂCINILOR UNUI POLINOM DE O NEDETERMINATĂ DERIVATA UNUI POLINOM

Definiţia V Fie K un corp şi f K,X- Un element a K se numeşte rădăcină a polinomului f dacă f(a) Se ştie din teorema lui Bezout, că a este rădăcină a lui f dacă şi numai dacă X-a divide pe f. Din observaţia IV 2 , ştim că dacă un polinomu f K,X-, de grad n 2, este ireductibil peste K, atunci f nu admite rădăcini în K Reciproc, dacă un polinomu f K,X- de grad 2 sau nu admite rădăcini în K, atunci f este ireductibil peste K. Definiţia V 2 Elementul a f K se numeşte rădăcină multiplă de ordin polinomului f K,X-, daca (X-a) f şi (X-a) f.

a

Propoziţia V Fie K un corp şi f, g K,X- Dacă a K este rădăcină multiplă de ordin i a lui f şi respectiv rădăcină multiplă de ordin j a lui g , atunci a este rădăcină multiplă de ordin i+j a produsului fg.

Demonstraţie: Conform ipotezei f=(X-a)

cu (a)≠ şi g (X-a) Atunci fg=(x-a) şi deoarece K este domeniu de integritate, rezultă că Deci a este rădăcină de ordin de multiplicitate i+j al lui fg

cu (a)

(a) ≠ (a) ≠

Propoziţia V 2 Fie K un corp şi f K,X- un polinom de grad Dacă ,..., sunt elemente distincte din K şi care sunt rădăcini multiple ale lui f de ordine de multiplicitate respectiv , , atunci f=( ) ( ) ( ) g , unde g K,X-

Demonstraţie: Procedăm prin inducţie după r Pentru r=1, propoziţia rezultă din definiţia V 2 Presupunem că propoziţia este adevărată pentru r- şi să arătăm că ea este adevărătă pentru r Există deci K,X- astfel încât f=( ) ( ) ( )

55

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Atunci f( )= ( i r-1, rezultă

) ( ( ))=0.

)

(

( )

)

şi cum

≠

pentru orice

Notând h=( ) ( ) ( ) avem f=h cu h( )≠ şi deoarece este rădăcină a lui f de ordin de multiplicitate este clar că este rădăcină a lui de acelaşi ordin de multiplicitate. Într-adevăr, =(X- ) şi f ( ) cu ( )≠ Atunci ( ) =(X- ) h, de unde (X- ) = ( )h( ). Deoarece h( )≠ , atunci ( )=0, adică =(X- ) . Avem deci =(X- ) şi continuăm procedeul de atâtea ori cât este ordinul de multiplicitate al rădăcinii a lui f Obţinem deci =(X- ) g şi deci f ( ) ( ) ( ) Observaţia V Când numărăm rădăcinile unui polinomu şi nu spedificăm faptul că sunt distincte, considerăm fiecare rădăcină de atâtea ori cât este ordinul său de multiplicitate. Corolar V.1.1 Dacă f este un polinomu cu coeficienţii într-un corp şi gr(f) n atunci f are cel mult n rădăcini în acel corp Observaţia V 2 1) Fie f,g K,X- Din definiţia divizibilităţii polinoamelor şi teorema lui Bezout avem că polinomul f este divizibil prin polinomul g dacă şi numai dacă orice rădăcină a polinomului g este rădăcină şi a plinomului f cu un ordin de multiplicitate cel puţin egal cu cel pe care îl are pentru polinmul g. 2) Rădăcinile comune a două polinoame sunt rădăcinile celui mai mare divizor comun al polinoamelor . 3) Pentru a afla dacă polinoamele f g= + + + determinantul Sylvester:

+

+ C[X]

+

au

o

+

rădăcină

0 0 0 0 D=

.... .... ..... ..... ..... 0

..... .... ..... ..... .......

0

+ comună,

0

0

0 .......

0

0 ......

0

0 ......

.... .... ..... ...... ..... ..... .....

56

calculăm

.....

..... ..... .... ..... .... .... ... ..... ..... ..... ..... .... ..... ..... 0

,

0

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

0 .... ..... 0

....

.... ....

...

0

0 .... ...... ..... ..... ....

...

....

... .... .....

0

0

0 ....

0

....

0

..... ... ... ... .... .... .... ....

0

.... ..... ..... ... ....

Polinoamele f şi g au o rădăcină comună dacă şi numai dacă determinantul Sylvester al coeficienţilor lor este nul 4) Condiţia necesară şi sufientă ca două polinoame din C,X- să aibă aceleaşi rădăcini este ca ele să aibă coeficienţii termenilor de acelaşi grad proporţionali Propoziţia V -Relaţiile lui Viete Fie A un domeniu de integritate şi f + + + , ≠ , un polinom nenul din A[X]. Dacă , , , sunt rădăcinile lui f în A, atunci f= (X- )(X- )...(X- ) şi +

+ +

+

=

+

+

+

+

=

........................................................................... +

+

+

(

)

.............................................................................. (

)

Demonstraţie: Pe baza propoziţiei V 2 putem scrie f ( cu g A,X- Identificând coeficientul lui

)

(

)g

) ( ) ( + + + ) + ( + ) ( + + + + ( ) + + + ) + +( ) , de unde prin identificarea coeficienţilor în cele două scrieri ale lui f , se obţin relaţiile cerute f=

( +

)( din ambii memtri , avem g= .

)(

Relaţiile din propoziţia precedentă se numesc relaţiile dintre rădăcinile şi coeficienţii unui polinom sau relaţiile lui Viete

57

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Teorema V.1.1 Dacă un polinom f,cu coeficienţii reali ,are rădăcina complexă z=u+iv, u,v R, v≠ , atunci f are şi rădăcină ̅=u-iv.

Demonstraţie: Folosind proprietăţile numerelor conjugate avem f( ̅)= ̅̅̅̅̅̅ ( ),( )z C Cum f(z)=0, atunci f( ̅)

şi deci ̅ este o rădăcină a lui f.

Observaţia V  Rădăcinile z şi ̅ au acelaşi ordin de multiplicitate  Un polinom cu ceficienţii reali nu poate avea decăt un număr par de rădăcini complexe u+iv, v≠  Un polinom cu coeficienţi reali de grad impar are cel puţin o rădăcină reală  Singurele polinoame ireductibile peste R sunt polinoamele de gradul întâi şi polinoamele de gradul al doilea fără rădăcini reale Teorema V.1.2 Fie a,b Q, b>0, √b∉ Q Dacă un polinom f, cu coeficienţii raţionali,are rădăcina a+√b, atunci f are şi rădăcina a-√b

Demontraţie:

Pentru orice a, b Q, b>0, √b∉ Q avem f(a±√b) A±B√b Însă f(a+√b) , deci A+B√b , obţinem că a În acest caz f(a-√b) A-B√b , şi deci a-√b este de asemenea o rădăcină a lui f Observaţia V 4 Rădăcinile a+√b şi a-√b au aceleaşi ordine de multiplicitate. Teorema V.1.3 Dacă polinomul cu coeficienţi întregi, f= admite rădăcina raţională p q, unde p şi q sunt prime între ele, atunci i.

Demonstraţie: Fie f Z,X-, f + i)

+ +

+

+

,

p este divizor al termenului liber ,

ii. q este un divizor al coeficientului dominant,

Avem deci f( )=0 sau

+

( ) + +

+ +

+

+ =0

+

=0 ,

.

≠ , cu rădăcina , (p,q)=1.

=0, de unde prin înmulţire cu

,obţinem

(1).

Din egalitatea (1) avem ( că p . Cum p şi q sunt prime între ele,vp şi trebuie ca p să dividă pe .

58

. Rezultă sunt prime între ele şi deci

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

ii)

Analog din egalitatea (1) avem =( obţinem q| . Cum p şi q sunt prime între ele rezultă q

Corolarul V.1.2 Dacă polinomul cu coeficienţi întregi f rădăcină întreagă p, atunci p este divizor al termenului liber .

), de unde . +

+

+

are

Vom introduce noţiunea de derivată a unui polinom pentru a enunţa un criteriu important relativ la studiul rădăcinilor multiple ale unui polinom cu coeficienţi într-un corp comutativ. Se consideră K, un corp comutativ, şi K[X] inelul polinoamelor în nedeterminata X cu coeficienţi în K Fie funcţia d:K,X-→K[X], definită astfel: Dacă a K, atunci d(a)=0, iar dacă f=∑ atunci d(f)= ∑

d(

este polinom al cărui grad este

Conform definiţiei funcţiei d, avem că d( ) ) (i+j) ( )+( ) ( )+ (

, pentru i

,

şi deci

)

Aceasta funcţie se numeşte derivare iar dacă f este un polinom, atunci d(f) se ( ) ( ) numeşte derivata lui f şi se mai notează cu ( ) . Prin recurenţă definim ( ) ( )) pentru orice număr natural n şi se numeşte derivata de ordinul n a lui f. Pentru ( ) ( ) n=0, ( ) Ţinând seamă de rezultatele anterioare , rezultă proprietăţile următoare: 1. d(fg)=fd(g)d(f)g, 2. d(f+g)=d(f)+d(g), 3. d(af)=ad(f), oricare ar fi f,g K,X- şi a K Verificarea acestor proprietăţi se face cu uşurinţă prin calcul Lema V.1.1 Fie K un corp comutativ, f un polinom nenul de grad n din K[X]. Dacă K, atunci f se poate scrie sub forma f= ∑ Mai mult, dacă carK

(

) unde

K, oricare ar fi i=0, ,n.

, atunci această scriere este unică

Demonstraţie: Pentru a demonstra ecistenţa unei astfel de scrieri ,precedăm prin inducţie după n gr(f) Pentru n=1, fie f=

+

59

,

≠ Avem f=(

+

)+

(

) şi

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

deci luăm + K,X- şi K Să presupunem acum că afirmaţia este adevărată pentru polinoamele de grad egal cu n- şi s-o demonstrăm pentru polinomul f, de gradul n. Fie polinomul h(X)=f(X)-f( ).Avem h( )=f( )-f( ) polinomul g astfel încât

şi deci X

h(X) Atunci există

h(X)=(X- )g(X), de unde f(X)-f( )= Deci

(X-)g(X ).

f(X)=(X- )g+ , unde

=f( ) K

Deoarece gr(g)=n-1, din ipoteza de inductivă g se scrie sub forma g(X)= ∑ şi deci f (X- ) ∑ Notăm j+

(

(

i şi

)

) + = +∑

(

, pentru a obţine f

+∑

)+ Această identitate f + ( dezvoltarea polinomului f după puterile lui X- . Derivănd obţinem ( ) ( ) Derivând (2) obţinem

)

+2 (

(

) =∑

(

)+

+

( )

( ) 2 + 2 ( )+ ) + ( departe acest procedeu găsim în general ( ) ( ) k

) +

+

(

)

( (

) ) numeşte

(2)⟹

( )

( )

( )

( ) 2 . Utilizând mai , pentru k n

Ținand seama de aceste relații și poate =f( )) , identitatea (1) , se mai poate scrie sub forma. Aceasta este polinomul lui Taylor de grad n. În cazul in care carK

, rezultă de aici că toți coeficienți

Aplicație: Fie f=

-3

,

k n, sunt unic determinați

+X-2 Scrieți dezvoltarea acestui polinom dupa puterile lui

X-3. Solutie: Coeficienți

,

1

1

-3

0

,

se calculeaza aplicând succesiv schema lui Horner.

-2

60

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

3

1

0

0

1

3

1

3

9

28

3

1

6

27

3 1

1

9

Prin urmare f(X)=(X+1) +9(X-3) +27(X-3) +28(X-3)+1. Coeficienții

,

,

,

se pot calcula și cu ajutorul polinomului lui Taylor.

Teorema V.1.4 Fie K un corp, f un polinom nenul din K[X], r un element din K. Atunci 1. Dacă (

un număr natural și

K este o rădacină multiplă de ordin r a lui f, rezultă f( ) ( )

2. Daca carK=0 si f( ) ( ) ( ) rădacina multiplă de ordin r a lui f

(

)

( )=0 iar

( )

)=

( )

( ) ≠ , rezulta ca

( )

este

Demonstratie: Dacă gr(f) n, atunci, conform lemei precedente, f se scrie sub forma F=∑

(

)

1. Dacă este rădăcina multiplă de ordin r, din formula precedentă , care conține expresia lui f, rezultă și prin derivarea acestea membru cu membru obținem succesiv , , 0 oricare ar fi i=0, ,r- și cum ( ) ( ) pentru orice i n, rezulta ( ) ( ), pentru orice i=0, ,r-1 2. Corpul K avand caracteristica zero ( ) ( ) =0, pentru orice i r-1 conform lemei precedente rezultă =0, pentru orice i r-1. Deci (X- ) |f și ( ) deoarece ( )≠ avem (X- ) . Prin urmare este rădăcină multiplă de ordin r a lui f.

Aplicații 1. Fie polinomul f R,X-, f= -11 +42 polinomul să aibă o rădăcină triplă

+mX+n. Să se determine m și n astfel incat ( ) ( ) ( ) ( ) -66x+84, ( )=24x-66.

Solutie: Dacă x este rădăcină triplă a lui f atunci f(x) Avem

( )

( )

4

-33

+84x+m,

( )

( )=12

61

( )

și

( )

( )≠

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Ecutația ( ) ( ) are rădăcinile 2 si 7 2, deci rădăcina triplă nu poate fi decat unul din aceste numere. Nici unul din ele nu este rădăcină a ecuației ( ) ( ) . ( ) a) Înlocuind x cu 2 , obtinem sistemul de ecuații (2)=68+m=0, f(2)=96+2m+n=0, cu soluția m=-68, n=40. În acest caz f= -11 +42 68X+40

b) Înlocuim x cu 7/2.Din 11

+42

( )

obținem m -245 4 și n=343/16. Deci f=

-

-245/4 X+343/16.

2. Pentru a afla ordinul de multiplicitate al rădăcinii 2 +4X-8 Q[X] se poate folosi schema lui Horner :

2

1

-5

7

-2

4

8

2

1

-3

1

0

4

0

2

1

-1

-1

-2

0

2

1

1

1

0

2

1

3

5

Am obținut ca f (

=2 polinomului f=

-5

+7

+X+1)(X-2) deci ordinul de multiplicitate al rădăcinii

-

=2

este 3. Observatie V.1.5 Rădăcinile multiple ale unui polinom f sunt rădăcinile celui mai mare divizor comun al polinoamelor f si ( ) Observatie V.1.6 Fiind dat un polinom cu coeficienți într-un corp K se poate ca el să nu admită nici o rădăcină în K De exemplu, pentru K R și f= +1, polinomul f are rădăcinile in corpul C, care este o extindere a lui R Vom arăta in continuare că această proprietate se generalizează Propozitia V1.4. Fie K un corp si f K,X- cu gr(f) corpului K in care f are cel putin o rădăcină

Atunci există o extindere L a

Demonstratie: Fie g un factor ireductibil al lui f. Daca gr(g)=1, atunci f are o rădăcină in K În cazul contrar, vom construi o extindere L a lui K in care g are o rădăcină Considerăm inelul factor L=K[X]/gK[X] al lui K[X] in raport cu idealul generat de g. Deoarece polinomul g este ireductibil, rezulta că L este corp Dacă ∝ L, atunci ∝ h, unde h K,X- și ∝≠ , ceea ce 62

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

este echivalent cu h∉gK,X- Rezultă că h este relativ prim cu g, deci există polinoamele h’ și g’, din K[X] astfel incat h’h+g’g, deoarece K[X] este inel euclidian. Urmează că h’h , deci clasa lui h’ in L este inversul lui ∝ Să observăm că clasa ̂ a lui X în L este o rădăcină a lui g. Întradevar avem g( ̂ )= ̂=0. Propozitia V.1.5 Fie K un corp si f K,X-, cu gr(f) n Atunci exista o extindere L a lui K in care f are n rădăcini (numărand fiecare rădăcină cu ordinul săau de multiplicitate)

Demonstratie: Inducție după n Dacă n

, atunci f are o rădăcină în K , deci afirmatia este dovedita in acest caz. Presupunem afirmatia adevărată pentru n- și o dovedim pentru n. Din propoziția precedentă rezultă o extindere L’ a lui K astfel incat în L’ polinomul f are o rădăcină a Deci in L’,X- polinomul f se descompune sub forma f=(X-a)f’, f L' [X]. Prin ipoteza inductivă deoarece gr(f’) n-1, rezultă că exista o extindere L a lui L’ in care f’ are nrădăcini Atunci în L polinomul f are n rădăcini Definitia V.1.3 Fie K L o extindere de corpuri Un element x L se numeşte element algebric peste K dacă există un polinom nenul f K,X- astfel încât f(x) Un element din L care nu este algebric peste K se numeşte element transcendent peste K Extinderea K L se numeşte extindere algebrică dacă orice element din L este algebric peste K şi extindere transcendentă în caz contrar. Observatia V.1.7 Pentru orice extindere de corpuri K L un element x K este algebric peste K deoarece este rădăcină a polinomului X-x din K,X- Dacă x L este un element algebric peste K, atunci mulţimea M a polinoamelor nenule g K,X- cu proprietatea că g(x) este nevidă Deci în mulţimea M există un polinom de grad minim Fie f un polinom de grad minim din M si g M Aplicând teorema împărţirii cu rest se obtine g=fg+r, unde q, r K,X- şi gr(r)
Demonstraţie: Fie q polinomul minimal al lui x peste K Dacă q ar fi reductibil ar exista două polinoame g,h K,X- cu grade strict mai mici decât gradul lui q astfel încât

63

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

q=gh. Deoarece g(x)h(x)=q(x)+0 rezultă sau g(x) sau h(x) , ceea ce contrazice faptul că q este polinomul de grad minim care are pe x ca rădăcină Partea a doua a propoziţiei se deduce din faptul că q divide in K,X- pe f conform celor demonstrate în alineatul care precede propoziţia Observaţia V 8 Polinomul minimal al unui element depinde , în mod esenţial , de corpul peste care se consideră polinomul minimal Astfel dacă se consideră extinderea Q C , elementul √2 are ca polinomul minimal peste Q peste -2, iar dacă se consideră extinderea R C , atunci polinomul minimal al lui √2 peste R este X- √2 Polinomul minimal al lui √2 ( +i) 2 C peste Q este +1, iar peste R este -√2 X+

V TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ALGEBREI

Propoziţia V

Fie K un corp Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente:

a) Orice polinom f K,X- cu gr(f)

are cel puţin o rădăcină în K

b) Orice polinom f K,X- cu gr(f) n c) Orice polinom f K,X- cu gr(f)

are n rădăcini în K este produs de polinoame de gradul

d) Orice polinom ireductibil din K[X] este de gradul 1.

Demonstraţie: a) b) rezultă prin inducţie după gr(f) n astfel : Dacă n K

, afirmaţia b) este evidentă Dacă n

, atunci din a) rezultă că f are o rădăcină

Atunci există g K,X- astfel încât f=(X- )g. Cum gradul lui g este n-1 din ipoteza inductivă b) c) rezultă din propoziţia V.1.2. c) d) este evidentă, iar d) a) rezultă din faptul că în K,X- orice polinom de grad se divide cu un polinom ireductibil care, fiind de gradul întâi , are o rădăcină în K, deci polinomul are o rădăcină în K Definiţia V Un corp K care satisface una dintre condiţiile echivalente ale propoziţiei precedente(deci le satisface pe toate), se numeşte corp algebric închis.

64

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Din această definiţie rezultă că Q şi R nu sunt corpuri algebric închise deoarece polinomul + Q,X- nu are rădăcini în Q şi R Alte exemple de corpuri care nu sunt algebric închise rezultă din următoarea propoziţie∶ Propoziţia V 2 Orice corp finit nu este algebric închis.

Demonstraţie: Fie K un corp finit Arătăm că există un polinom f în K[X], cu gr(f) care nu are nici o rădăcină în K Fie 0,1, , , elementele lui K Atunci considerăm polinomul f=X(X-1)(X- )....(X- )+ Avem gr(f) t+2 2 şi f(a) ≠ pentru orice a K Deci f nu are nici o rădăcină în K Teorema V.3.1 – Teorema fundamentală a algebrei Corpul numerelor complexe este algebric închis.

Demonstraţie: Este suficient să arătăm că orice polinom f C,X-cu gr(f) puţin o rădăcină în C. Dacă gr(f)

are cel

, afirmaţia este evidentă

Dacă gr(f) 2, de asemenea, se obţine o rădăcină a lui f în C cu ajutorul formulei de rezolvare prin radicali Adică dacă f a

+bX+c, cu a≠ , atunci x=

√

este o

rădăcină a lui f în C. Pentru cazul în care gr(f)>2 vom proceda în modul următor. Presupunem, mai întâi, că f R,X- Dacă gr(f) este impar, folosind faptul că lim → ) f(x)f( x)< şi continuitatea funcţiei polinomiale asociate f∶R→R, se deduce că f are o rădăcină în R Dacă gradul n al lui f este par, vom scrie n=2 n, unde n este număr impar şi vom face o inducţie după s Când s , n este impar şi afirmaţia a fost dovedită mai sus . Presupunem afirmaţia adevărată pentru s- şi o dovedim pentru s. Există o extindere K a lui C în care f are n rădăcini , , . Pentru fiecare a R notăm + ( + ) pentru toţi i, j N, i<j n Considerăm polinomul =∏ ( ) care are evident coeficienţi în K,X- şi gradul egal cu numărul elementelor din K. Coeficienţii polinomolui sunt polinoame simetrice elementare de

.

Mai mult, având în vedere expresiile lui

,

i j n, rezultă că aceşti coeficienţi, ca

polinoame de sunt simetrice, deoarece orice permutare a acestora are ca efect schimbarea elementelor , i<j n, între ele Din teorema fundamentală a polinoamelor simetrice deducem că are coeficienţi în R, căci coeficienţii lui sunt polinoame cu coeficienţi reali de coeficienţi lui f. Deoarece gradul lui este m= (

)

2

(2

) rezultă că 2

divide pe m si 2 nu divide m, deducem, din ipoteza

inductivă, că are o rădăcină în C. Întrucât mulţimea R este infinită, iar mulţimea perechilor (i,j) cu i<j n este finită, rezultă că există indicii s, r, cu s
Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Deci ) C

(

)(

+

) C, adică

+

C Obţinem apoi că

=

-a(

+

Urmează că şi sunt rădăcini ale unui polinom de grad 2 cu coeficienţi în C Până acum am arătat că orice polinom cu coeficienţi reali are o rădăcină complexă Fie acum f C,X- Notăm ̅ polinom obţinut din f luând conjugatul fiecărui coeficient al lui f. Adică dacă f=∑ , C, i=o, ,n. Notând cu ̅ conjugatul unui număr complex a, ̅ ∑ ̅ , obţinem = Se deduce imediat că polinomul produs f ̅ are coeficienţi în R ̅ f=f ̅ ̅ deoarece f̅ = .̅ Rezultă că f ̅ are o rădăcină a C Deci f ̅ (a)=f(a) (a)=0, de unde ̅ deducem că f(a) se obţine că 0= (a)=f( ̅), deci ̅ este o rădăcină a lui f Prin urmare, f are o rădăcină în C. Observaţia V Din teorema fundamentală a algebrei şi teorema lui Bezout rezultă că un polinom cu coeficienţi complecşi este ireductibil în C,X- dacă şi numai dacă, este de gradul întâi.

V 4 ECUAŢII ALGEBRICE

Ecuaţiile algebrice sunt folosite în diverse domenii ale ştiinţei, afaceri, medicină, psihologie, sociologie, etc. De exemplu, dacă un automobilist parcurge 490 km în 8 ore, mergând cu 55 km h şi cu 65 km/h pentru a afla cât timp a condus cu 55 km/h şi cât timp a condus cu 65 km/h trebuie în primul rând rezolvată ecuaţia x/55+(490-x)/65-8=0 unde x este numărul de km parcurşi cu 55 km/h. Definiţia V 4 Fie K un corp şi f K,X- un polinom de gradul n O rădăcină a polinomului f dintr-o extindere a lui K se numeşte soluţie( sau rădăcină) a ecuaţiei asociate f(x)=0. Pentru simplificarea limbajului vom numi, în continuare, o astfel de ecuaţie, ecuaţia algebrică Încă din antichitate, matematicienii ştiau să determine rădăcinile ecuaţiilor de gradul I şi gradul II

66

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Pentru ecuaţia algebrică de gradul al doilea de forma a≠ , soluţiile se determină cu ajutorul formulei∶

,

(

+bx+c=0 unde a,b,c R, ±√

formulă rămâne valabilă şi în cazul în care a,b,c C Prin √ 4 oarecare a ecuaţiei -( -4ac)=0, într-o eventuală extindere a lui K.

4

)/2a Această

înţelege o rădăcină

S-a încercat exprimarea soluţiilor oricărei ecuaţii algebrice ca funcţii raţionale de soluţii ale unor ecuaţii de forma -a=0, a K, a≠ In secolul trecut s-a aratat, datorita teoriei lui Galois, ca aceasta problema nu are intotdeauna solutie, adica exista ecuatii algebrice a caror solutii nu se pot exprima ca functii rationale de radicali. Mai mult pentru un corp dat, teoria lui Galois ofera conditii necesare si suficiente ca o ecuatie algebrica sa posede numai solutii care se scriu ca functii rationale de radicali. Din aceasta teorie se deduce ca ecuatiile algebrice de grad mai mic sau egal cu 4 sunt intotdeauna rezolvate prin radicali. Inconvenientul formulelor pentru ecuatiile de gradele 3 si 4 consta in aceea ca sunt foarte complicate si nu au nicio utilizare practica. Abel-Ruffini a demonstrat ca pentru ecuatia generala de grad mai mare sau egal cu 5 nu se pot da formule pentru determinarea radacinilor prin radicali Exista insa anumite categorii de ecuatii de grad mai mare sau egal cu 3 care pot fi rezolvate, dintre care mentionam: ecuatiile binome, ecuatiile trinome si ecuatiile reciproce. Ecuatii binome. Forma ecuatiilor binome este: a

+b=0, a, b C, a≠ , n N, n 2

Rezolvarea in C a unei ecuatii binome, revine la determinarea radacinilor de ordinul n ale numarului -b/a, scris sub forma trigonometrica. Ecuatii trinome. O ecuatie de forma: ecuatie trinoma. Introducand necunoscuta auxiliara radacinile

(-b+√

4

)/2a si

+

+c=0,unde n N* a,b,c C, a≠ se numeste

=y, obtinem ecuatia de gradul doi a =(-b-√

4

+by+c=0 cu

) 2

Deci rezolvarea unei ecuatii trinome se reduce la rezolvarea a doua ecuatii binome In cazul n=2 obtinem a +b +c=0, numita ecuatie bipatrata. Ecuatii reciproce. O ecuatie de forma + avand proprietatea , oricare ar fi k * , gradul n.

67

+ + + + , (an≠ ) n+, se numeste ecuatie reciproca de

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Proprietatile ecuatiilor reciproce de gradul n: 1) Daca ecuatie reciproca are radacina α, atunci ea are si radacina

α

Intr-adevar, daca f(x)= + + + + + =0 este o ecuatie reciproca avand radacina atunci + + + + + 0. Cum α≠ (in caz contrar, ar rezulta =0 si deci =0) putem sa impartim cu si obtinem relatia +

( )+

ar fi k * ,

+

. /

+

n+ obtinem

( )

( ) +

+

( ) =0. Tinand cont ca

( )

+

+

( ) +

oricare

( )+

=0 si deci

α

este de asemenea radacina. 2) Orice ecuatie reciproca de grad impar are radacina x=-1. Intr-adevar fie f(x)= , o ecuatie reciproca de grad impar n=2p+1. Inlocuind x=-1, obtinem in membrul stang numarul f(-1)= + ,

(

( ) + ( ) + + + ( ) +....+ ( ) + ( ) + ( ) + +( )+ Cum , , atunci gupand termenul egal departati de extreme obtinem

) +

+ ,

f(-1)=( )+( )+ +( ) ( radacina pentru ecuatia reciproca de grad major impar.

)=0. Rezulta ca x=-1 este

3) Orice ecuatie reciproca de grad impar f(x)= + +...+ + , se reduce la rezovarea ecuatiei x+1=0 si a unei ecuatii reciproce de grad par g(x)= + + + + =0. Intr-adevar din 2) ecuatia f(x)=0 are radacina x=-1. Conform teoremei lui Bezout putem scrie f(x)=(x+1)g(x). Presupunem ca g(x)= + + + + Deci + de unde obtinem +

, +

Cum + .

+...+ ,

+

( + )(

+

+

+

+

) ,

+ ,

+

, oricare ar fi k( + obtinem

k 2p+ ) obtinem din primele egalitati . Cum . Din urmatoarele egalitati obtinem ca

68

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Procedand la fel, din egalitatile urmatoare deduce in final ca k 2p Deci ecuatia

+

+

+

+

oricare ar fi

este reciproca.

Ecuatii reciproce de gradul III. Forma generala a ecuatiei reciproce de gradul 3 este: +

+bx+a

(a≠ )

Aceasta ecuatie are radacina x=-1. Atunci putem sa scriem (x+1)[ +(b-a)x+a]=0. Ecuatia (1) admite radacinile date de ecuatia +(b-a)x+a=0.

Exemplu: Sa rezolvam ecuatia2

+ +3x+2=0. Aceasta ecuatie este o ecuatie reciproca de gradul III. Ea se scrie (x+1)(2 +x+2)=0 care are radacinile , care sunt radacinile ecuatiei 2

√

+ +2=0, adica

,

=

√

.

Ecuatii reciproce de gradul IV. Forma generala e ecuatie reciproce de gradul 4 este: +

+

+bx+a

, (a≠ )

Cum a≠ , ecuatia (1) nu admite ca radacina pe x=0. In (1) impartim cu si obtinem ecuatia +bx+c+b/x+a/ =0 sau grupand termenii in mod convenabil avem: +

+ + +

Facem substituţia y x+ . Cum a(

=0. +

=

-2)+by+c=0 sau (2)

2 obţinem ecuaţia în y∶ +by+c-2a=0

Ecuaţia (2) se numeşte rezolvanta ecuaţiei (1). Dacă x+ =

,

sunt rădăcinile ecuaţiei (2) atunci obţinem două ecuaţii∶ şi x+ =

sau (3)

x+

şi (4)

Dacă sunt rădăcinile ecuaţiei ( ) şi sunt rădăcinile ecuaţiei ( )

Exemplu Să se rezolve ecuaţia

x+1=0.

sunt rădăcinile ecuaţiei (4) atunci

+

+2

+x+3=0

Această ecuaţie este o ecuaţie de gradul IV Împarţim cu

69

şi obţinem∶

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

+

+2+ +

⇔ (

Notăm cu y x+ . Cum 3(

-2)+y+2

⇔

+y-4

Avem ecuaţiile ∶ x+ Se obţin rădăcinile

+ =

+

) + ( + )+2=0 -2 obţinem ecuaţia∶

care are rădăcinile

şi

=- .

şi x+ =- . ,

( ±i√ ) 2 şi x_ ,4 (-2±i√5)

Observaţia V 4 Orice ecuaţie reciprocă de gradul n 2p se reduce, folosind aceeaşi substituţie şi binomul lui Newton, la rezolvarea unei ecuaţii de gradul p şi a p ecuaţii de gradul II. Observaţia V 4 2 Alte metode care pot fi folosite în rezolvarea ecuaţiilor sunt∶ descompunerea în factori, folosirea unor relaţii suplimentare relativ la soluţii şi metoda grafică

Metoda grafică Folosind graficul funcţiei polinomiale se pot găsi soluţiile ecuaţiei asociate. De exemplu pentru a rezolva ecuaţia ( ) -14( -x)+24=0, folosim calculatorul pentru a reprezenta graficul funcţiei f(x)= ( ) -14( -x)+24

60 50 40 30 20 10 0 -4

-2

-10 -20 70

2

4

6

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Se observă pe grafic că soluţiile sunt -3 ,-1, 2 şi 4 De asemenea graficul se poate folosi pentru verificarea rapidă a soluţiei algebrice. În matematică, ca şi în alte domenii, există numeroase probleme a căror rezolvare revine la rezolvarea unei ecuaţii algebrice Cu ajutorul calculatorului putem rezolva ecuaţiile, aplicând metoda de rezolvare prin încercări atunci când este vorba de soluţii în numere întregi, şi diferite metode de aproximări succesive atunci când este vorba de soluţii în numere raţionale

Exemple : 1) Arătaţi că funcţia f∶R→R, f(x)=

+

-7x+6 este surjectivă şi nu este injectivă

Se observă că pentru orice y R, ecuaţia f(x) y sau + -7x+6-y=0, are cel puţin o rădăcină reală, fiind o ecuaţie de grad impar cu coeficenţi reali Rezultă că f este surjectivă Avem f(x)=x( +x-7)+6, unde ecuaţia +x-7 are două rădăcini reale distincte R, astfel încât ≠ şi f( )=f( ), ceea ce înseamnă că f nu este injectivă 2) Arătaţi că pentru orice a (-1,1) există x R, x>0, astfel încât numerele 1+ +x să fie în progresie geometrică Într-adevăr avem (1+ ) =(1+ )( +x)⇔ + o soluţie reala , fiind o ecuaţie de grad impar. Avem

=-

+1>0 deci

Dacă < , rezultă conjugate şi am avea

şi

>0, sau

(

-1)-x+(

< şi

, 1+x şi

-1)=0 care are cel puţin

<0.

sunt numere reale (dacă ar fi complexe, ar trebui să fie >0 ). Deci < şi R, atunci >0 sau >0.

71

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

CAPITOLUL VI CONSIDERAŢII METODICE

Matematica este o ştiinţă a realităţii; obiectivul ei final este o mai adâncă cunoaştere şi stăpânire a naturii. Ea este o ştiinţă mai abstractă decât celelalte dintre toate însuşirile materiei le studiază pe cele mai generale Ca metodă, matematica este o ştiinţă, în cea mai mare parte deductivă Din această cauză, nu orice adevăr matematic are o aplicaţie practică directă Sunt adevăruri matematice al căror prim rol este acela de inel al lanţului logic Nu înseamnă că ele sunt inutile; ele sunt utile, însă nu direct, ci prin aceea că servesc fundamentarii altor adevăruri–acestea de utilitate directă Punctele de plecare şi punctele de sosire ale matematicii sunt, fără îndoială, în realitate. Matematica nu este un joc pur al abstracţiilor Abstracţiile sunt utile prin aceea că dau un orizont mai larg, aspecte mai generale, calităţi esenţiale, cu condiţia să nu se rupă legătura cu materialul faptic din care au luat naştere Dacă nu orice adevăr matematic parţial are aplicaţie directă, oricare din ele are un folos şi un rost Şi problema principală este tocmai să facem pe elevi să vadă şi să simtă acest rost, pentru ca ei să muncească conştienţi de scop, deci cu interes. Pe langă mobilul principal care constă în cunoaşterea folosului practic, mai general a rostului viu al fiecărei probleme, nu trebuie să neglijăm alte mobiluri sufleteşti care apar în mod natural în cursul muncii de cercetare a ştiinţei: dragostea de adevăr, plăcerea gândirii creatoare, tendinţa de perfecţionare a gândirii sau a voinţei

VI.1 PRINCIPIILE DIDACTICII ŞI VALORIFICAREA LOR ÎN ÎNVĂŢĂMÂNTUL MATEMATIC

Principiile didactice sunt teze teoretico-practice generale care exprimă concepţia de bază asupra învăţământului matematicii, altfel spus normele generale care direcţionează activitatea didactică Matematica, ca şi celelalte obiecte de învăţământ, prezintă o structură conceptuală de bază, respectiv un nucleu de noţiuni în jurul cărora gravitează toate celelalte Activitatea de predare învăţare trebuie să pornească de la această realitate pentru a contura la elev o viziune de ansamblu asupra lumii înconjuratoare. 72

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Principiile au un caracter de sistem. Tratarea lor izolată este justificată doar de necesitatea expunerii Ele trebuie să acţioneze împreună

1. Principiul caracterului ştiinţific al învăţământului matematic În primul rând, acest principiu este asigurat de corectitudinea informaţiilor extrase din matematică Aceste informaţii parvin prioritar prin manuale şi, în general, nu sunt afectate de erori periodice. În al doilea rând, caracterul ştiinţific al predării matematicii este asigurat de nivelul de rigoare adoptat(desigur, corelat cu gradul de accesibilitate) Marcăm aici faptul că accesibilitatea afectează, de regulă, doar rigoarea argumentării şi nu pe cea a definiţiilor sau teoremelor. În al treilea rând, argumentăm principiul este validat de însuşirea treptată, dar conştientă, a metodelor şi limbajului ,,matematicii ştiinţă,, În al patrulea rând, argumentăm principiul prin existenţa unor sisteme de evaluare precisă, în cadrul cărora subiectivitatea şi şansa sunt sunt reduse la minimum. Este de la sine înţeles că acest principiu nu restrânge creativitatea predării, învăţării, evaluării sau a elevului, ci le potenţează suplimentar.

2. Principiul participării conştiente şi active a elevilor în activitatea predării-învăţăriievaluării Esenţa acestui principiu se exprimă în considerarea elevului ca subiect al propriului proces de devenire, de asimilare a celor transmise şi de formare a personalităţii sale Exprimă cerinţa ca însuşire cunoştinţelor de elevi să se facă într-un proces activ de prelucrare a acestora, prin efort propriu, pentru a ajunge la sesizarea trăsăturilor esenţiale şi înţelegerea lor Deşi nici un om al şcolii nu susţine învăţarea fără înţelegere, totuşi în practică, mai ales în cazul matematicii, fenomenul este destul de răspândit Cerinţele acestui principiu se manifestă în: 

Întelegerea conţinutului materiei de învăţământ



Stimularea activităţii elevului în toate etapele învăţării



Dezvoltarea la elevi a conştientizării participării lor la propria instruire.

73

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Prima treaptă a conştientizării constă în înţelegere segmentului materie prevăzut în lecţia sau fragmentul de lecţie Se ştie că exemplificările au un mare rol cognitiv. Un exemplu, un desen poate să lumineze o întreagă etapă de cunoaştere. Ce nu se inţelege? Se spune ca demonstraţiile Poate ca defecţiunea constă in necunoaşterea semnificaţiilor unor teoreme, iar neputinţa de a sesiza demonstraţia in intregime se datorează numărului prea mare al paşilor Încercând să se refacă mersul istoric de dezvoltare a cunoşinţelor de matematică, elevul trebuie pus in faţa acelei situaţii interogative, a cărei rezolvare a condus la introducerea unei noţiuni, procedeu, metodă de reyolvare sau teoreme. În sub diferite forme: întreruperea expunerii prin dialog, descoperirea făcuta de către elevi sub dirijarea profesorului, ilustrările, exemplificările, comentariile, întrebarile venite din partea elevilor. Pentru a putea vorbi de o activizare autentică, participarea la activitatea de predare, să i se cultive curiozitatea intelecutală, dorinţa de succes, interesele si aspiraţiile, voinţa de a cunoaşte, de a şti Coparticiparea elevului la propria instruire reprezintă soluţia multor deficienţe 3. Principiul caracterului intuitiv al învăţământului Esenţa acestui principiu exprimă cerinţa de a asigura o bază perceptivă, concretsenzorială învăţării, cerinţă potrivit căreia actul cunoaşterii realizate de elevi trebuie să se bazeze pe contactul nemijlocit cu realitatea obiectivă, pe activitatea directă a elevului cu obiectele şi fenomenele Evidenţiază necesitatea uniăţii dintre intuitiv şi logic, sezorial şi raţional concret şi abstract, prin asigurarea unui substrat concret, intuitiv învăţării Se afirmă că un mare matematician demonstrează numai lucrurile despre care este convins că sunt adevărate, subliniindu-se astfel rolul intuiţiei la cel mai înalt nivel de creaţie, deci cu atât mai mult este de aşteptat ca ea să aibă un rol în învaţarea matematicii la orice vârsta. Descoperirea pur logică a adevărurilor matematice este un fapt destul de rar. Este adevărat că paşii unei demonstraţii sunt silogisme logice dar orientarea, selecţionarea din multitudinea de implicaţii posibile a aceleia care conduce către un rezultat semnificativ, se datoreaza intuiţiei În baza experienţei şi cunoştinţelor anterioare, o propoziţie abstract devine mai concretă pe baza unui model convenabil ales. Deşi nu se încadreaza în principiul intuiţiei (aşa cum apare acesta în didactica general) o foarte important faţetă a acestui princiupiu în metodica predarii matematicii constă în analiza raporturilor între general şi particular

74

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Dupa cum spunea Montaigne: „Adevărul este un lucru atât de mare, încât nu trebuie să dispreţuim nici unul dintre mijloacele ce ne pot conduce la el De aceea dacă sufletul vă îndeamnă să fiţi un pic poetic sau un pic vulgar în clasă, nu vă lăsaţi împiedicatţi de o jenă nejustificată” O anumită libertate de limbaj pentru care pledăm, nu se referă la definiţiile şi teoremele prezentate de profesor, ci la comentariile sale explicative sau stimulative. Atitudinea pe care trebuie să o aibă profesorul de matematică faţă de acest principiu se poate exprima simplu în felul următor: intuiţia trebuie să participe la toate etapele şi toate vârstele învăţării matematicii. 4. Principiul sistematizării şi continuităţii în învăţare Exprimă, în esenţă, cerinţa conform căreia atât conţinutul a ceea ce învăţa elevul,cât şi modalităţile de organizare a activităţii să se desfăşoare într-o succesiune logică, dupa un sistem care să asigure un progres continuu. Potrivit acestui principiu toate informaţiile ce se transmit elevilor trebuie să fie organizate şi programate astfel să se integreze în experienţa anterioară a acestora Acest principiu este condiţionat de: a) Logica internă a matematicii; b) Structura organizată a învăţământului c) Corelarea cu celelalte obiecte de studiu; d) Structura şi evoluţia psihologică a elevilor Logica internă a matematicii este determinată de caracterul său deductiv În principiu, orice afirmaţie nouă se bazează pe cele acceptate sau cele deja demonstrate Acesta face să apară segmentul: noţiunii–definiţii matematice–demonstraţii Dar însăşi matemica-ştiinţa se separă în teorie şi aplicaţii deci cu atât mai mult în învăţarea matematicii trebuie să accentuăm ponderea problemelor care apar de obicei dupa teorie, astfel încât mai avem segmentul: teorie–probleme Motivaţia învăţării, principiul intuiţiei şi însăşi calea istorică a dezvoltării matematicii pun in evidenţă unele probleme care au provocat apariţia teoriei deci putem cosnidera şi lanţul: probleme introductive–teorie– aplicaţii Aplicând principiul socratic al conversaţiei euristice în forma sa „absolută”, profesorul poate obţine de la elev orice rezultat prin întrebări bine alese (şi cât mai fragmentate). Sistematizarea vizează desfăşurarea ordonată logic şi pedagogic a conţinuturilor, ordonarea capitolelor si paragrafelor, succesiunea ideilor şi argumentelor 75

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Continuitatea se referă la un ritm de receptare, asimilare şi fixare a cunoştinţelor permiţând evaluări, controale şi reglări Sistematizarea şi continuitatea se condiţionează reciproc, una fiind nerealizabilă în absenţa celeilalte Aceste principiu trebuie să se manifeste zi cu zi în activitatea de la catedră Planificarea calendaristică este o formă de materializare a lui Pregătind apoi succesiv grupuri de lecţii, profesorul îşi detaliază planificarea iniţială respectând acelaşi principiu. Modul de organizare a învăţământului poate fi: liniar sau ciclic (în spirală) Organizarea matematicii la noi este considerată ca fiind de al dolea tip, ceea ce dă posibilitatea unor completări succesive atât în conţinut cât şi în puncte de vedere, evoluând, aşa cum e normal, spre nivelurile tot mai înalte de abstractizare şi rigoare 5. Principiul integrării teoriei cu practica Exprimă, în esenţă, cerinţa ca ceea ce se însuşeşte în procesul de învăţământ să fie valorificat în activităţile ulterioare, fie că acestea sunt activităţi de învăţare, fie că sunt activităţi materiale, productive Are în vedere că ceea ce se învaţă din perspectiva unei aplicaţii concrete,imediate sau de perspectivă este susţinut de o motivaţie mai puternică şi se însuşeşte mai temeinic Necesitatea acestui principiu rezultă din unitatea indisolubilă care se stabileşte între teorie şi practică în procesul cunoaşterii, precum şi din finalităţile acţiunii educaţionale În cazul în care finalitatea învăţării nu se poate realiza imediat, elevii trebuie conştientizaţi de importanţa pracitcă a unor cunoştinţe în contexte cât mai variate În felul acesta pracitca, experienţa de învăţare intervin ca elemente importante în constituirea cunoaşterii personale, prevenind teoretizarea excesivă şi formalismul La matematică, problemele sunt distinse drept „practică˝ în raport cu teoria

Exemple:

a) În x zile fabrica de becuri produce 3x - x+ becuri Dacă 2 2t becuri sunt defecte, găsiţi formula pentru numărul de becuri bune produse in x zile Găsiţi numărul becurilor produse in 4 zile a. Formula y = 0,036 - 2,8x + 58, 4 modelează numărul z al morţilor pe an la de oameni, pentru oameni care au x ani, cu 4 x 6 Aproximaţi câţi oameni la mie, care au 5 ani, mor în fiecare an? Pentru aceasta se va inlocui x cu 5 , obţinându-se y = 8,14, deci aproximativ 8 oameni la mie, care au 50 de ani, mor în fiecare an.

76

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Matematica devine interesantă prin înfăţişarea legăturii cu practica a chestiunilor de matematică ori de câte ori este posibil şi prin arătarea rostului acelor teme care nu sunt legate direct şi imediat de practică Ori de câte ori profesorul are prilejul să arate latura practică a unei chestiuni matematice, el trebuie să o facă şi aceasta cu dublu scop: Pentru aspectul direct al chestiunii, pentru ca elevii să devină oameni utili care şiu să aplice, să folosească ceea ce au învăţat şi pentru că lucrurile sunt cu adevărat şi complet înţelese numai dacă pot fi aplicate Pentru aspectul psihologic al chestiunii, pentru că în acest fel interesul pentru matematica devine viu şi deci munca rodnică Tocmai de aceea, profesorul de matematică trebuie să aibă pe lângă orizontul ştiinţific larg si un orizont filosofic şi unul psihologic 6. Principiul accesibilităţii şi luării în considerare a particularităţilor de vârstă şi individuale ale elevilor Exprima în esenţă cerinţa ca procesul de învăţământ să se desfăşoare în concordanţă cu nivelul dezvoltării ontogenice a elevilor şi tot odată să o stimuleze După precizarea programei analitice, principiul accesibilităţii impune profesorului: alegeri de metode şi procedee didactice, sinteza logică a itemilor, dezvoltării de motivaţii specifice, selecţii de probleme semnificative şi adaptării de criterii de evaluare După ce profesorul şi-a proiectat şi realizat lecţiile la nivelul de accesibilitate sperat, problema accesibilităţii se transferă fiecărui elev şi, fără a nega existenţa a divere grade de dificultate, se poate presupune că se realizează o învăţare conştientă, activă şi durabilă Intervine în discuţie şi faptul grupul de elevi (clasa) nu este omogen (în raport cu diverse criterii posibile), iar strategiile didactice trebuie alese de profesor pentru a fi eficiente în procent maximal Aceasta înseamnă că predarea-învăţarea-evaluarea trebuie să fie adecvată la modul individual Desigur că o serie de parametri ai predării-învăţăriievaluării au caracter unitar şi nu pot fi individualizaţi, dar există şi alţii (de exemplu evaluarea) ce se pot diferenţia Apare astfel datoria profesorului de a lua în considerarea o mare varietate de date individuale spre a adapta poziţia faţă de fiecare elev O modalitate eficientă de individualizare o reprezintă utilizarea fişelor de muncă independentă: fişe de recuperare (pentru elevii ce rămân în urmă şa învăţătura), fişe de dezvoltare pentru elevii buni şi foarte buni), fişe de exersare (pentru formarea de principii şi deprinderi) fişe de autoinstruire (pentru însuşirea metodelor şi tehnicilor de învăţare)

77

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Tot mai frecvent se apelează, mai ales în cazul orelor de verificare şi aplicaţii, la împărţirea clasei în grupe care pot fi omogene, de obicei, de trei niveluri, dar pot fi şi neomogene. O cerinţă a principiului îndeamnă pe profesor să se implice mai mult în organizarea activităţii elevului în afara clasei: teme diferenţiate pentru acasă, elabolarea unor materiale (referate, proiecte, recenzii), confecţionarea unor planşe, corpuri geometrice etc 7. Principiul însuşirii temeinice a cunoaştinţelor priceperilor şi deprinderilor Exprimă în esenţă cerinţa potrivit căreia cunoştinţelor priceperile şi deprinderile pe care le gândesc elevii în şcoală să fie astfel însuşite încât să dureze în timp pentru a putea fi analizate si utilizate atunci când sunt necesare Orientează activitatea cadrelor didactice asupra calităţii rezultatelor învăţării în sensul trăiniciei şi durabilităţii acestora Dintre cele mai frecvente activităţi ale profesorului, orientate spre asigurarea temeiniciei cunoştinţelor acumulate, recomandăm: -

Recapitulări îmbogăţite;

-

Prezentări de noi criterii logice şi scheme de organizare a cunoştinţelor;

-

Evaluări în concepţii variate;

-

Reîmprospătări şi consolidări

În general nu se poate vorbi despre o însuşire temeinică a unei teme chiar în ora de predare, temeinicia necesitând consolidări, sedimentări şi restructurări În analiza temeiniciei cunoaşterii unei teme funcţionează comparaţia cu lanţul ce are tăria celei mai slabe verigi ale sale Temeinicia învăţării se opune superficialităţii, învăţării în salturi sau cu lacune şi învăţării formale, ultima fiind relativ frecvent depistată la matematică Pentru a asigura temeinicia pregătirii elevilor trebuie să se respecte toate celelalte principii didactice. 8. Principiul conexiunii inverse în procesul de învăţământ Exprimă cerinţa analizei şi îmbunătăţirii activităţii instructiv-educative şi a rezultatelor ei, în funcţie de informaţiile primite asupra rezultatelor anterioare Impune ca efectele acţiunii educative să se raporteze permanent la cauze, urmând ca demersul

78

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

instructiv-educativ să fie regândit în raport cu datele oferite prin conexiunea inversă şi a efectele pe care le urmăreşte Are rolul de a ţine permanent sub supraveghere evoluţia procesului de învăţământ, menţinând-o pe direcţia maximilizării efectelor pozitive şi minimalizării celor negative Principiul conexiunii inverse impune ca principală cerinţă exercitarea unui control operativ sistematic asupra rezultatelor şi proceselor care au condus la aceste rezultate şi valorificarea informaţiilor în scopul reglării şi autoreglării procesului de învăţământ îm vederea unei optime funcţionalităţi Se folosesc în acest scop observaţiile curente, chestionările orale, probele de evaluare de diferite tipuri Acestea trebuie să-l conştientizeze pe elev cu privire la nivelul de pregătire atins, să-l ajute să depisteze lacunele, să-l motiveze pentru continuarea eforturilor de învăţare Aici evalurea nu trebuie gândită stricto-sensu; majoritatea profesorilor simt chiar în timpul predării efective „fluxul” care îi informează despre receptivitatea elevilor În raport cu planificarea anterioară, fiecare informaţie primită de la clasă permite o adaptare mai eficientă a demersului instructiv-educativ Controlul temei de acasă constituie un alt element important de reglare. Concomintent, el poate şi trebuie să-i stimuleze pe elevi să se autoevalueze şi, pe această bază, să corecteze şi să amelioreze cunoştinţele dobândite Pentru profesorii şi elevii buni, aceste feed-back-uri capătă caracter de continuitate

VI.2 STABILIREA OBIECTIVELOR Lucrarea de faţă a fost concepută ca o demonstraţie a unităţii profunde care exista între aritmetică, polinoame şi structuri algebrice În procesul de modernizare a învăţământului matematic, teoria numerelor şi structurile reprezintă cadrul natural indispensabil abordării problemelor de matematică, făcând posibilă tratarea în mod unitar şi sistematic a matematicii în liceu, evidenţiindu-se unitatea internă a matematicii Metodica îşi are rădăcinile în grecescul „methodos” care înseamnă „drum” deci ea este cea care conturează drumul pe care trebuie să-l urmeze profesorul pentru atingerea obiectivelor. Primele documente de lucru ale profesorului sunt programa şi manualul Profesorul trebuie să formuleze competenţele specifice pentru clasele a IX-a–a XII-a(se vor scrie în planificarea anuală), apoi obiectivele operaţionale sau concrete pentru fiecare lecţie (se vor scrie în rapoarte de lecţie)

79

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

În general competenţele se definesc ca ansambluri structurate de cunoştinţe şi deprinderi dobândite prin învăţare Ele permit identificarea şi rezolvarea unor probleme specifice în contexte diverse. Competenţele generale au rolul de a orienta demersul didactic pe întreg parcursul disciplinei şi de a da seama asupra achiziţiilor finale ale elevului în urma studierii disciplinei în cauză Competenţele specifice se formează pe durata unui an de studiu şi sunt deduse din competenţele generale, fiind etape în dobândirea acestora Competenţelor specifice le corespund anuminte conţinuturi Competeţele generale şi specifice au fost stabilite în ultimii ani de minister, de aceea se întâlnesc in aceeaşi formă în planificările tuturor profesorilor, dar ele trebuie să reflecte şi particularităţile intelectuale ale grupului de elevi

Competenţe generale: -

Folosirea corectă a terminologiei specifice matematicii în contexte variate de aplicare;

-

Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunţuri matematice

-

Utilizarea corectă a algoritmilor matematici în rezolvarea de probleme cu diferite grade de dificultate;

-

Exprimarea şi redactarea corectă şi incorectă în limbaj formal sau în limbaj cotidian, a rezolvării sau a strategiilor de rezolvare a unei probleme

-

Analiza unei situaţii problematice şi determinarea ipotezelor necesare pentru obţinerea concluziei

-

Generalizarea unor propietăţi prin modificarea contextului iniţial de definire a problemei sau prin îmbunătaţirea sau generalizarea algoritmilor

Competenţe specifice: -

Utilizarea terminologiei corespunzătoare noţiunii de polinom şi a unor caracteristici ale acestuia;

80

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

-

Întreruperea soluţiilor unor ecuaţii polinominale în rezolvarea de probleme practice;

-

Aplicarea calculului polinomial în rezolvarea unor ecuaţii algebrice

-

Traspunerea în limbajul ecuaţiilor polinomiale a unor situaţii concrete;

-

Determinarea unor polinoame sau ecuaţii polinomiale care satisfac anumite condiţii preizate

-

Aplicarea prin analogie a metodelor de lucru din aritmetica numerelor în calculul cu ponoame;

-

Compararea proprietăţilor operaţiilor cu numere reale, respective complexe şi aplicarea acestor proprietăţi în rezolvarea ecuaţiilor

Obiectivele operationale ce se pot formula pentru o lecţie diferă de la un profesor la altul, ceea ce face ca mulţimea lor să fie considerabilă Un grup de specialişti condus de Benjamin Bloom a propus o împărţire a obiectivelor operaţionale în trei domenii: Cognitiv (vizează cunoştinţele şi aptitudinile intelectuale ) Afectiv ( vizează sentimentele, motivaţiile, interesele, atitudinile, valorile ) Psihomotor (vizează aptitudinile manuale şi senzoriale) După B Bloom domeniul cognitiv se referă la următoarele clase de comportamente: Însuşirea cunoştinţelor: cunoaşterea terminologiei, particularităţilor, convenţiilor, criteriilor, principiilor, metodelor pentru formularea cărora se pot folosi următoarele verbe: a define, a distinge, a identifica, a recunoaşte, a dobândi şi următoarele complemente directe: termeni, terminologie, semnificaţie, date, proprietăţi, reguli, mijloace, clasificări, tehnici; Întelegerea elementară a cunoştinţelor transpunerea, interpretarea, extrapolarea folosind următoarele verbe: a traduce, a exprima în propriile cuvinte, a reprezenta, a redefine, a distinge, a ilustra, a interpreta, a rearanja, a stabili, a determina, a extinde, a completa şi următoarele complemente: definiţie, semnificaţie, concluzii, metode, consecinţe, efecte Aplicarea cunoştinţelor ce se poate descrie cu ajutorul verbelor: a aplica, a utiluza, a generaliza, alege, a stabili legături, a dezvolta, a organiza, a clsifica şi cu ajutorul complementelor: principii, concluzii, metode, situaţii, fenomene, procese

81

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Analiza cunoştinţelor: determinarea elementelor componente, a principiilor şi relaţiilor folosind verbele: a distinge, a identifica, a compara, a deduce, a analiza, a recunoaşte şi complementele : elemente, ipoteze, concluzii, argumente, relaţii, teme, idei, scopuri; Sinteza cunoştinţelor: îmbinarea elementelor component determinate în urma analizei în scopul elaborării unor soluţii, strategii, algoritmi, relaţii folosind verbele: a constitui, a modifica, a propune, a planifica, a proiecta, a deriva, a combina, a formula, a sintetiza, a dezvolta şi complementele: structură, model, soluţie, schemă Daca prima clasă se referă la însuşirea şi redarea informaţiilor transmise prin cunoştinţe ( şi este cel mai bine surprinsă de majoritatea profesorilor), a doua se referă la deprinderi intelectuale adică modalităţile de operare cu informaţia transmisă, modelarea atitudinilor, formarea judecaţilor de valoare, iar cea de a treia la formarea priceperilor şi deprinderlor practice. Nu toate obiectivele pot fi traduse în termeni comportamentali; de exemplu, dezvoltarea creativităţii se produce în timp şi nu este uşor vizibilă Obiectivele operaţionale reprezintă puncte de pornire în proiectarea lecţiei, în elaborarea instrumentelor de măsurare şi în stabilirea criteriilor de evaluare a rezultatelor obţinute

Exemple : Să prezinte forma algebrică a unui polinom cu coeficienţi într-un inel comutativ A; Să determine gradul sumei şi al produsului a două polinoame Să calculeze valoarea unui polinom pentru anumite valori ale nedeterminatei Să efectueze operaţii cu polinoame Să aplice schema lui Horner pentru aflarea câtului şi restului polinomului f prin polinomul g; Să determine coeficienţii polinomului f astfel încât acesta să fie divizibil cu polinomul dat g; Să descompună în factori ireductibili un polinom f, gr(f) comutativ; Să folosească realţiile lui Viète Să afle rădăcinile unui polinom în condiţii date

82

, f

K,X-, K – corp

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Să folosească proprietăţile polinoamelor şi ale rădăcinilor lor în rezolvarea unor ecuaţii Să găsească c m m d c al polinoamelor f şi g După prima etapă, în care s-au stabilit obiectivele, trebuie să facem analiza şi stabilirea resurselor educaţionale disponibile

VI ANALIZA ŞI STABILIREA RESURSELOR EDUCAŢIONALE DISPONIBILE

Profesorul trebuie să ştie ce îi oferă manualul pentru îndeplinirea obiectivelor şi are dreptul sau chiar obligaţia să regândească conţinutul propus de manual, deoarece acesta sar putea să nu cuprindă ultimele noutăţi din domeniu sau să aibe o viziune idealistă sau să nu corespundă nivelului de pregătire a elevilor Profesorul va selecta, organiza şi prelucra informaţiile pe care le are la îndemână Selectarea materialului se va face ţinând cont de impărţirea obiectivelor în cele trei domenii şi de aspectele catitativ şi calitativ care trebuie să fie greu în echilibru Organizarea materialului ce va fi prezentat în lecţie se va face astfel încât esenţialul să fie bine reliefat în context, de asemenea trebuie să se determine un echilibru între componentele informative şi cele formative Prelucrarea materialului de care dispune profesorul se referă la găsirea celor mai bune moduri de prezentare (tabele, ecuaţii, simboluri, etc ) Pe tot parcursul derulării acestor momente trebuie avut în vedere colectivul de elevi cu care se va lucra, ce nivel de cunoştinţe are, ce capacitate de receptare, acumulare şi utilizare a informaţiilor pe care îl avem la dispoziţie sau cel al resurselor de care dispunem. După ce am stabilit atât de multe lucruri apare o altă întrebare: Cum putem face toate acestea? Nu este o întrebare comodă şi cu cât profesorul este mai tânăr cu atât este mai greu de răspuns Pentru a scăpa de stresul acestui răspuns se impune :

VI 4 PROECTAREA LECŢIEI

Pentru ca drumul dificil pe care-l au de parcurs elevii în aprofundarea noţiunilor de matematică să fie mai eficient şi mai uşor, trebuie respectată logica ştiinţei (selectarea şi prezentarea noţiunilor să urmeze ordinea lor firească) şi logica didacticii (prezentarea 83

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

conţinutului făcându-se numai în funcţie de capacităţile reale de asimilarea ale elevilor) De asemenea, noile achiziţii vor fi introduse în mod sistematic şi selectiv Introducerea fiecărei noţiuni parcurge următoarele etape:  De elaborare şi motivaţie  Formarea propriu-zisă a noţiunii  De consolidare prin operarea cu noţiunea respectivă O noţiune se consideră asimilată dacă ea devine instrument de dobândire a unor noi cunoştinţe şi dacă elevii pot lucra cu ea în situaţii noi În acest sens trebuie ca în mintea elevilor să existe o ordonare a noţiunilor, o corelare firească a lor, o motivaţie, pentru că numai o bază de cunoştinţe bine asimilate facilitează asimilarea cunoştinţelor noi. Alegerea celor mai adecvate metode de predare poate contribui la accentuarea caracterului formativ activ şi conştient al dobândirii cunoştinţelor Un punct central în aplicarea oricărei metode didactice este urmărirea unui grad cât mai înalt de participare activă a elevilor Metode expozitve Metode expozitive povestirea, descrierea, explicaţia prelegerea sunt metode care asigură transmiterea ordonată, sistematică şi continuă a cunoştinţelor, reprezentând o cale simplă, rapidă economică şi eficientă de instruire Expunerea trebuie să suscite imaginaţia elevilor, să fie clară, accesibilă, expresivă Ea trebuie să fie însoţită, de frumuseţea şi plasticitatea cuvântului, eleganţa dicţiei, spre expresia emoţională Profesorul însuşi trebuie să para interesat, să manifeste curiozitate în timpul propriei sale expuneri, să realizeze o comunicare vie cu elevii, solicitându-le permanent atenţia Profesorul trebuie să controleze dacă este urmărit de elevi Mimica elevilor este edificatoare întrebări, repetiţii, explicaţii suplimentare, permit şi ele acest control Explicaţiile survin când se introduc termeni matematici noi, când se introduce un nou tip de demonstraţie sau când se elaborează şi fixează o schemă generală de rezolvare a unor probleme În general în matematică recurgem la explicaţie atunci când tema este complet nouă şi printr-o alta metodă mai activă nu se poate descoperi acest nou Metodele expozitive nu se aplică de-a lungul unei ore întregi ci se îmbină cu celelalte metode de predare Metoda conservaţiei Conservaţia este una din metodele de bază în dialogul necesar dintre profesor şi elev În funcţie de tipul lecţiei se poate folosi conservaţia euristică, de consolidare, de

84

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

sistematizare, de coerificare Conservaţia euristică, ca activitate comună de gândire, căutare, cercetare poate conduce la evitarea transmiterii de noi cunoştinţe într-un singur sens (spre elev) Valoarea primitvă a conversaţiei, eficienţa ei sunt condiţionate de structura întrebărilor care trebuie să fie concise, bine direcţionate şi enunţate astfel încât dificultăţile să fie eşalonate gradat, dozând scopul între întrebare şi răspuns, care trebuie să fie unic şi neambiguu Chiar dacă o metodă de rezolvare propusă de elev nu este optimă, ea nu trebuie reprimată ei substituită prin alta căreia îi subliniem prin comparaţiei avantajele O importanţă deosebită a metodei conversaţiei este aceea că ea ajută la dezvoltarea limbajului matematic, contribuind astfel la dezvoltarea personalităţii elevului Problematizarea Este metoda care se bazează pe crearea unor situaţii–problemă a căror rezolvare solicită efort autentic de investigare în vederea găsirii soluţiilor, ceea ce conduce la îmbogăţirea fontului cognitiv Noţiunea de situaţie–problemă desemnează o stare contradictorie, conflictuală ce rezultă din trairea a două realităţii de cunoaştere şi motivaţionale diferite pe de o parte, experienţa anterioara de care dispune elevul (informaţia existentă), iar pe de altă parte, elementul de noutate, necunoscutul cu care este confruntat şi în faţa căruia datele vechi se dovedesc a fi eficiente pentru a-l înţelege şi a duce la rezolvarea dorită Această confruntare generează o stare de curiozitate, de uimire, incită la investigaţii, formulare de ipoteze, soluţii Contradicţii de acest gen pot să apară între: •

Cunoştinţele vechi şi datele noi ce nu pot fi explicate pe baza informaţiei anterioare

•

Concepţii vechi si ipoteze noi

•

Abordarea teoretica a unor probleme si rezolvarea lor practica;

•

Moduri diferite de acţiuni practică

În folosirea acestei metode se disting trei momente succesive: •

Momentul pregătitor care consta in crearea situaţiei-problemă

• Momentul tensional,când se conştientizează contradicţia dintre problema pe care elevii o au de rezolvat si conştiinţele de care ei dispun,obstacolul pe care ei trebuie să îl depăşească prin mijloace cognitive •

Momentul rezolutiv care vizează aflarea soluţiei şi confirmarea de către profesor

85

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Rezolvarea problemelor îndeamnă la observaţii,la reflecţii adânci,la experimentarea mintală şi la originalitate în găsirea răspunsurilor.Bucuria de a descoperi creeză şi întreţine o trebuinţă lăuntrică de cunoaştere şi de autodepăşire Metoda descoperirii Prin aplicarea în practică a problematizării,rezultatul final este întotdeauna descoperirea soluţiei problemei puse Descoperirea deci,în matematică,o vedem ca o întregire a problematizării Vorbim despre descoperire dacă elevul găşesti el însuşi, printr-un efort personal de analiză, inducţie, generalizare o teoremă, o demonstraţie,un procedeu de calcul etc. Descoperirea face parte din metodele asa-zice formtiv-participative. Ea solicita elevul să gândeasca, îi pune la îi pune la încercarea voinţa, îi dezvoltă imaginaţia şi îi îmbogaţeşte experienţa de rezolvare a diverselor problme Aplicarea acestei metode trebuie să ţină seama de nivelul de dezvolare intelectuală a elevilor, de complexitatea problemelor iar, rezultatele obţinute individual trebuie să fie analizate şi sistematizate cu întreaga clasă Învăţarea prin descoperire poate fi de tip inductiv,deductiv sau analog dupa natura raţionamentelor utilizate Descoperirea este inductivă când elevii,analizând o serie de cazuri particulare, elaborează o regulă generală care apoi este demonstrată În descoperirea de tip deductiv elevii obţin rezultate noi(pentru ei)aplicând raţionamente asupra cunoştinţelor anterioare,combinându-le între ele sau cu noi informaţii Acest tip de descoperire apare frecvent la toate disciplinele matematice. Descoperirea prin analogie constă în transpunerea unor relaţii, algoritmi, etc. La contexte diferite dar analoage într-un sens bine precizat. Evident că, corectitudinea în noul context trebuie verificată printr-o demonstraţie specifică Analogiile în matematica pot fi de conţinut sau de raţionament Ele pot fi de anvergură mai mare sau cu efect „local” În această lucrare este scoasă în evidenţă analogia de primul tip dintre aritmetica numerelor întregi şi aritmetică polinoamelor Analogii din ultimul tip se întâlnesc foare frecvent. Rolul analogiilor în procesul de rezolvarea problemelor este la fel de mare,fie că este vorba de analogii „mici” sau de analogii „mari”, fie că este vorba de analogii de conţinut sau analogii de metodă În rezolvarea unor probleme analogiile pot apărea în aspecte felurite, în diverse puncte ale rezolvării

86

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Cunoştinţele obşinute prin metoda descoperirii sunt mai stabilite, cu mai mare şansă de a fi integrate în sistemul general de cunoştinţe Munca cu manualul şi alte cărţi Cartea continuă să fie o sursă valoroasă de informaţii şi cunoaştere,condensând şi transmiţând inestimabilul tezaur al valorilor culturale ale umanităţii Manualele, culegerile de probleme,alte cărţi de matematică îi ajută pe elevi să-şi însuşească noi cunoştinţe,să le sistematizeze şi fixeze,să-şiformeze priceperi şi deprinderi de muncă intelectuală Elevii trebuie să înveţe în şcoală cum să folosească manualele şi alte cărţi pentru a şti cum să le utilizeze ulterior pentru perfecţionarea lor continuă Lucrul cu manualul de matematică presupune în primul rând descifrarea textului matematic. Prin natura lor textele de matematică nu pot să conţină absolut toate detaliile:manualele ar deveni enorme. Apare astfel necesar un efort al elevului de a completa detaliile lipsă, efort care este evident un efort de înţelegere a textului şi deseori de recreare a acestuia. Lucrând cu manualul,elevul este activ,obţine cunoştinţe printr-un efort propriu încât această metodă „o cale de intruire prin descoperire” Metoda exerciţiului Constă în efectuarea conştientă şi repetată a unor acţiuni şi operaţii,în scopul formarii unor deprinderi teoretice şi practice,consolidării cunoştinţelor, dezvoltării unor aptitudini şi capacităţi,stimulării potenţialului creativ Este o metodă care stimulează intens activitatea elevelui, solicitând din partea acestuia,efort intelectual sau fizic. Are o largă aplicabilitate, putând fi folosită la toate clasele şi obiectele de studiu şi pentru realizarea unor variate sarcini didactice: -formarea deprinderilor de natură intelectuală şi practică, acţională -mai buna înţelegere a cunoştinţelor teoretice prin aplicarea lor în situaţii ţi contexte diferite; -consolidarea cunoştinţelor şi deprinderilor însuşite anterior -prevenirea uitării, evitarea fenomenului de interferenţă -asigurarea capacităţii operatorii a cunoştinţelor, priceperilor şi deprinderilor, crearea posibilităţilor de transfer ale acestora

87

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

-dezvoltarea unor capacităţi intelectuale şi fizice,a unor trăsături de voinţă şi caracter -stimularea şi dezvoltarea capacităţilor creative, a originalităţii, a spiritului de independenţă şi iniţiativa Rezultă că exerciţiul nu trebuie înţeles ca având numai un caracter reproductiv, el poate avea în egală măsură, şi un caracter productiv atunci când se desfăşoara sub forma unor activităţi libere,creatoare şi generează noi forme de acţiune Pentru a şti dacă obiectivul a fost atins trebuie stabilite modalităţi de evaluare.

VI.5. EVALUAREA Ca şi altor concepte, evaluării i se dau mai multe accepţiuni Radu T Ion defineşte evaluarea ca un proces complex menit să măsoare şi să aprecieze valoarea rezultatului sistemului de educaţie sau a unei părţi a acesteia, eficacitatea resurselor,a condiţiilor şi a operaţiilor folosite în desfăşurarea activtăţii,prin compararea rezultatelor cu obiectivele propuse, în vederea luării deciziilor privind ameliorarea activităţii în etapele următoare Rezultatele evaluării prezintă importanţă pentru toţi factorii implicaţi în procesul de formare a noilor generaţii:profesori,elevi,părinţi şi chiar societate • După volumul de infromaţii, experienţe acumulate de elevi care fac obiectul evaluării, s-au stabilit două tipuri de evaluare: a) Evaluare parţială prin care se verifică secvenţial un volum redusde cunoştinţe şi achiziţii comportamentale; b) Evaluare globală când se verifică un volum mai mare de cunoştinţe, priceperi, deprinderi, abilităţi •

În funcţie de perspectiva temporală din care se realizează evaluarea distingem:

a) Evaluare iniţială care se face la începutul unui program de instruire b) Evaluare finală care se realizează la închieirea unei etape de instruire. •

După modul în care se integrează în procesul didactic, evaluarea cunoaşte trei forme

a) evaluarea iniţială care se realizează la începutul unui program de instruire

88

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

b) evaluare continuă formativă care se realizează pe tot parcursul procesului intructiv educativ; c) evaluare sumativă ce se realizează la încheierea unei etape mai lungi de intruire • În funcţie de factorii care realizează evaluarea se conturează două forme sau tipuri de evaluare; a) evaluare internă efectuată de aceeaşi persoană instituţie care realizează efectiv şi activitatea de intruire; b) evaluarea externă realizată de o persoană sau instituţie diferită de cea care a asigurat realizarea efectivă a procesului de învăţământ În metodele tradiţionale de evaluare sunt incluse probele orale, probele scrise şi probele practice. Pentru realizarea funcţiilor evaluării se impune o folosire echilibrată a strategiilor de evaluare,dar şi diversificarea metodelor de evaluare,metodele complementare de evaluare oferă informţii suplimentare despre activitatea şi nivelul de achiziţii ale elevului, competează metodele tradiţionale de evaluare În categoria metodelor complementare de evaluare sunt incluse: observaţia sistematică a activităţii şi comportamentului elevilor, investigaţia proiectul portofoliul autoevaluarea Un loc de prim rang în verificarea nivelului de pregătire al elevilor îl ocupă probele scrise. Metodologia verificării prin probe scrise impuse folosirea diferitelor forme lucrări scrise de control curent (extemporale), lucrări de control la sfârşitul unui capitol (teste), lucrări scrise semestriale (teze) Avantajele folosirii formelor de evaluare scrisă sunt următoarele: -

obiectivitate, prin anonimatul lucrărilor scrise

-

verificarea unui număr mare de elevi într-un timp dat;

-

posibilitatea compararii rezultatelor obţinute de toţi elevii

realizarea feed-back-ului la sfărşitul unei secvenţe de intruire sau la ce al unui capitol Dezavantajele acestor probe, sunt:

89

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

-

nu permit elucidarea unor erori din timpul examinării

-

nu se pot introduce întrebări suplimentare

Pentru a realiza o evaluare relevantă şi eficace,intrumentele de evaluare (extemporale, teze, teste) trebuie să îndeplinească anumite cerinţe, să întrunească anumite „calităţi tehnice” indispensabile atingerii scopului pentru care au fost proiectate Principalele calităţi ale unui intrument de evaluare sunt: validitatea, fidelitatea, obiectivitatea şi aplicabilitatea • Validitatea este dată de precizia,acurateăea cu care intrumentul testul măsoară ce şi-a propus să măsoare • Fidelitatea reprezintă acea calitate a nui test de a produce rezultate constante (sau foarte apropiate) în urma aplicării sale repetate în condiţii identice, aceluiaşi grup de elevi • Obiectivitatea reprezintă gradul de concordanţă între aprecierile făcute de evaluatori independenţi asupra răspunsurilor pentru fiecare dintre itemii testului • Aplicabilitatea desemnează calitatea testului de a fi administrat şi interpretat cu uşurinţă Elaborarea de către profesor a unui intrument de evaluar este o activitate deosebit de complexă ce presupune parcurgerea mai multor etape: 1. Stabilirea obiectivelor-constă în precizarea a ceea ce trebuie să ştie şi să facă elevul după ce a parcurs o lecţie, un capitol, materia unui semestru sau an şcolar 2. Stabilirea numărukui de întrebări (itemi) şi formularea lor Numărul întrebărilor poate varia de la câteva (în cazul unei lecţii) până la o sută şi peste o sută (în cazul unui an şcolar), profesorul avăand grijă ca ele să cuprindă probleme de bază, esenţiale ale materiei parcurse. Întrebările trebuie să fie clar formulate, precise, concise, să nu solicite decât un singur răspuns posibil şi să fie adaptate particularităţilor de vârstă ale elevului 3. Stabilirea modalităţilor de răspuns După modul de alcătuire,itemurile se pot clasifica astfel; I. Itemi cu răspuns deschis a) Itemi de completare –propoziţii lacunare, care solicita răspunsuri scurte (completări de cuvinte, definiţii)

90

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Exemplu În inelul comutativ şi unitar ( Z [X],+,*) se consideră polinoamele f X şi g X³ Determintaţi funcţiile polinomiale ƒ şi g asociate polinoamelor f şi g Remarcaţi că f si şi g sunt ....... dar ̃ƒ si ̃ sunt ........ b) Itemi de formulare sau de reprezentare–întrebări a căror rezolvare solicită redactări, formularea lor bazându-se pe operaţii de gândire (deducţii, comparaţii, sistematizări, generalizări, etc). Acest tip de itemi se folosesc pentru a testa capacitatea de sinteză a elevilor,originalitatea în tratarea unui subiect, claritatea stilului. II. Itemi cu răspuns închis a)Itemi cu alternativă binară–cu răspuns „corect–greşit” , cu răspuns „adevărat– fals”, cu răspuns „ da–nu” Exemplu: Se consideră polinomul f polinomului f sunt:

X +(i+ )X2+(2+ i)X+6

A F 1. X=i

A F 3. X=3

A F 2. X=-1

A F 4. X= -3

ℂ ,X- Atunci rădăcini ale

Dacă afirmatia este adevărată încercuiţi litera A În caz contrar încercuiţi litera F b) Itemi de selecţie Exemplu: Care din afirmaţiile de mai jos nu sunt corecte? A) Orice polinom este divizibil prin elementele inversabile şi prin polinoamele asociate cu el; B)

Orice polinom f ℝ,X- cu gr(f)

are cel puţin o rădăcină în ℝ

C)

Orice polinom f ℂ,X- cu gr(f)

este produs de polinoame de gradul 1;

D)

Orice polinom ireductibil din ℚ ,X- este de gradul

91

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

c)

Itemi de combinare(de asociaţie)–asociaţie simplă şi asociaţie multiplă Exemplu:

Înscrie în spaţiul din stânga fiecărei proprietăţi polinomul din a doua coloană ce corespunde acestuia _______ polinomul este ireductibil în ℤ ,X-

ƒ

-2

_______2. polinomul este ireductibil în ℚ ,X-

g=

+X+1

_______3. polinomul este ireductibil în ℝ [X]

h=

+X

_______4. Polinomul este ireductibil în ℂ ,X-

p

+

+

+X+1

q= 2X+ 3 d) Itemi cu alegere multiplă Exemplu: Polinomul ƒ 5 a)

5X-7

b) X-2

-7X+2 ℝ X] este divizibil prin:

c) X-1

d) 5X-1.

4 Ierarhizarea (aranjarea) itemilor se face în funcţie de natura,complexitate şi dificultatea cunoştinţelor pe care le cuprind, fie pornind de la cele mai simple şi sfârşind cu cele mai complexe, fie în ordine ciclică de dificltate, pe itemi aranjaţi în ordine de dificultate crescând. De regulă se pun la început întrebările considerate de bază,esenţiale deci absolut necesare pentru obţinerea unei note de trecere, ţinând seama şi de faptul că unele întrebări nu trebuie să sugereze răspunsul altora 5 Elaborarea instrucţiunilor de răspuns Acestea se pun de obicei la început şi cuprind indicaţii asupra modului în care trebuie procedat pentru rezolvarea testului 6. Redactarea formularului de răspuns În cazul în care formularul nu prevede spaţiul pentru răspunsuri, se elaborează un formular de răspuns care cuprinde şcoala, clasa, numele şi prenumele elevului, obiectul, data, loc pentru răspunsuri,în funcţie de modalităţile de răspuns solicitate de fiecare item în parte loc pentru înscrierea numărului de puncte atribute de profesor fiecărui item, cu ocazia corectării 7 Aplicarea experimentală În scopul stabilirii variantei optime de formulare a întrebărilor, a modalităţilor şia timpului de parcurs, precum şi pentru definitivarea instrucţiunilor sub toate aspectele, testul se aplică experimental pe un eşantion alcătuit din

92

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

elevi mai slabi, mijlocii şi buni Ulterior,după mai multe aplicări,i se pot aduce şi alte îmbunătăţiri 8 Stabilirea cotei (scorului) testului Fiecărui răspuns corect i se atribuie unul sau mai multe puncte, în functie de gradul de dificultate al itemului şi de numarul de operaţii pe care îl aplică rezolvarea La alcătuirea itemului, profesorul stabileşte şi valoarea răspunsurilor parţiale, carora le acordă puncte sau fracţiuni de puncte. Numărul punctelor rezultate din totalul răspunsurilor corecte reprezintă cota sau scorul testului 9. Stabilirea timpului acordat pentru rezolvarea testului-se face în raport cu natura problemei,dificultatea întrebărilor, numarul aplicaţiilor necesare pentru obţinerea răspunsurilor Valorificarea notelor se face prin analiza colectivă a greşelilor tipice şi perfecţionarea activitaţii celor doi factori a procesului instructiv-educativ (profesor şi elev). Se recomandă folosirea testelor, alături de celelalte metode de avaluare, datorită avantajelor acestora: obiectivitate, operativitate,surprinderea mai exactă a nivelului de cunoştinţe şi deprinderi În concluzie,în centrul atenţiei unui procedeu de evaluare se situează: •

obiectivele ce vor fi evaluate

•

motivaţia evaluării

•

metoda de predare aplicată

Toate cele prezentate anterior se vor sintetiza într-un proiect de lecţie ca în modelul următor La verificarea modului de întocmire a planificării calendaristice este util să controlăm:    

dacă planificarea respectă structura recomandată dacă planificarea este făcută pe un număr de ore în acord cu planul cadru şi dacă au fost rezervate ore pentru recapitulări semestriale; dacă au fost cuprinse toate obiectivele de referinţă competenţele specifice prevăzute în programă în cel puţin o unitate de învăţare dacă au fost cuprinse toate conţinuturile din programă în unităţile de învăţare precizate în planificare

1. Proiectarea unei unităţi de învăţare-ANEXA A

93

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Odată realizata planificarea calendaristică, următoarea etapa o constituie realizarea proiectării unităţilor de învăţare Această proiectare se realizează pe parcursului anului şcolar înaintea abordării la clasă a unităţii respective Deci elementul generator al planificării calendaristice este unitatea de învăţare Unitatea de învăţare - reprezintă o structura didactică deschisă şi flexibilă, care are următoarele caracteristici:    

determina formarea la elevi a unui comportament specific, generat prin integrarea unor obiective de referinţă competenţe specifice este unitară din punct de vedere tematic se desfăşoară în mod sistematic şi continuu pe o perioadă de timp se finalizează prin evaluare

Proiectul unei unităţi de învăţare poate fi întocmit pornind de la următoarea rubricaţie:

Şcoala Disciplina Clasa Unitatea de învăţare nr Nr de ore alocate

Proiectul unităţii de învăţare

Conţinuturi

Competente

( detalieri )

specifice

0

1

94

Activităţi de învăţare

Resurse

Evaluare

2

3

4

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

    

În rubrica referitore la Conţinuturi apar inclusiv detalieri de conţinut necesare în explicitarea anumitor parcursuri, respectiv în cuplarea lor la baza proprie de cunoaştere a elevilor În rubrica Competenţe specifice se trec obiectivele de referinţă competenţele specifice din programa şcolară Activităţile de învăţare pot fi cele din programa şcolară, completate, modificate sau chiar înlocuite cu altele pe care profesorul le consideră adecvate pentru atingerea obiectivelor propuse; Rubrica Resurse cuprinde specificări de timp, de loc, forme de organizare a clasei, material didactic folosit, etc. În rubrica Evaluare se menţionează instrumentele sau modalităţile de evaluare aplicate la clasă Totodată, finalul fiecărei unităţi de învăţare presupune evaluarea sumativă.

Deşi denumirea şi alocarea de timp pentru unităţile de învăţare se stabilesc la începutul anului şcolar prin planificare, este recomandabil ca proiectele unităţilor de învăţare să se completeze ritmic pe parcursul anului, având în avans un interval de timp optim pentru ca aceasta să reflecte cât mai bine realitatea În completarea rubricaţiei, se urmăreşte corelarea elementelor celor cinci coloane Proiectarea unităţii de învăţare începe prin parcurgerea unei scheme , care precizează elementele procesului didactic într-o succesiune logică, în vederea atingerii ţintelor stabilite. In ce scop voi face

 Ce voi face

 Cu ce face

voi  Cum voi face

 Cât s-a realizat











Identificarea obiectivelor/ competentelor

Selectarea conţinuturilor

Analiza resurselor

Determinarea activităţilor de învăţare

Stabilirea instrumentelor de evaluare

Identificarea unei unităţi de învăţare se face prin tema acesteia Temele sunt enunţuri complexe, formulate original sau preluate fie din lista de conţinuturi a programei fie din manual. Activităţile de învăţare se construiesc prin corelarea obiectivelor de referinţă competenţelor şi conţinuturilor şi presupun un anumit scop, redat prin tema activităţii În proiectul unităţii de învăţare, profesorul va asocia fiecărei activităţi acele resurse pe care le consideră necesare pentru realizarea demersului didactic Faţă de proiectarea tradiţională axată pe lecţie, proiectarea unităţii de învăţare are următoarele avantaje: 95

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Creează un mediu de învăţare coerent în care aşteptările elevilor devin clare pe termen mediu si lung; Implică elevii in rezolvare de probleme complexe, luare de decizii - cu accent pe explorare şi reflecţie Implica profesorul intr-un proiect didactic pe termen lung si mediu, cu accent pe ritmurile proprii ale elevilor; Dă perspectiva lecţiilor în funcţie de secvenţa unităţii de învăţare în care se află Proiectul unei unităţi de învăţare conţine suficiente elemente pentru a oferi o imagine asupra fiecărei ore, astfel încât devine posibilă renunţarea la Proiectul de lecţie

2. Proiectarea lecţiei –ANEXA B În mod obişnuit, proiectele de lecţii conţin următoarele elemente:  obiective de instruire  materiale didactice  timpul necesar instruirii (estimativ)  procedee didactice specifice. Pentru un profesor este foarte important să poată elabora proiecte de lecţii detaliate Proiectarea temeinica a lecţiilor prezintă următoarele avantaje:    

Contribuie la clarificarea unor probleme de conţinut şi de strategie didactica Profesorii vor fi mai bine pregătiţi pentru lecţie Asigură mijloacele de evaluare Dă profesorilor posibilitatea unei mai mari flexibilităţi în timpul lecţiilor  Stabilirea unor obiective adecvate

Obiectivele lecţiei sunt importante pentru că direcţionează şi focalizează învăţarea Însă, nu de puţine ori, apar dificultăţi în stabilirea acestor obiective Specialiştii au păreri împărţite în legătura cu gradul de precizie cu care se cuvine a fi descris, la nivelul unui obiectiv, ceea ce vor fi capabili elevii să facă De exemplu, unii pedagogi susţin ca obiectivele trebuie să descrie în termeni observabili condiţiile învăţării şi, totodată, criteriile de evaluare a performanţei minime acceptabile Cei mai mulţi sunt de acord că stabilirea obiectivelor lecţiei implică o proiectare temeinică, ghidează procesul instructiv şi este utilă pentru evaluare Un obiectiv de instruire trebuie să aibă, totuşi, anumite caracteristici minimale: 1. Să precizeze cine este subiectul vizat În mod obişnuit, persoana vizată este elevul

96

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

2. Să precizeze strategiile de învăţare. Exemple de asemenea strategii de învăţare sunt: conversaţia frontală, demonstraţia, lectura, activităţile în grup sau simularea 3. Să precizeze conceptele sau principiile care urmează a fi explicate sau reluate 4. Să precizeze operaţiile intelectuale implicate de atingerea obiectivelor. Verbe care exprima asemenea operaţii sunt: a defini, a recunoaşte, a enumera, a preciza, a identifica, a

ordona, a compara, a evidenţia, a explica, a discuta s a m d  Identificarea materialelor didactice În mod obişnuit, un proiect de lecţie trebuie să conţină şi referiri la materialele didactice ce vor fi folosite Asemenea materiale pot fi: manuale, fişe de lucru, planşe (proiecţii sau alte mijloace vizuale) Reţineţi că materialele didactice pe care v-aţi gândit să le folosiţi la o anumită lecţie trebuie să fie adecvate acesteia  Procedeele Desfăşurarea lecţiei este elementul central al oricărui proiect didactic Procedeele utilizate reprezintă, de fapt, activităţile de învăţare în care vor fi antrenaţi elevii Un profesor bun stabileşte cu precizie ce tip de activitate şi ce secvenţă va desfăşura cu clasa În desfăşurarea lecţiei se derulează momente principale La începutul lecţiei, profesorul urmăreşte să capteze atenţia elevilor Pentru a realiza aceasta, el explică elevilor care este scopul lecţiei, reia anumite probleme, discutate anterior, face o prezentare generală a lecţiei sau pune o problemă Acesta este momentul introductiv al lecţiei Apoi, pe măsură ce lecţia se derulează, profesorul oferă informaţii noi sau propune diferite activităţi Aceasta este desfăşurarea propriu-zisă a lecţiei În finalul lecţiei, profesorul fixează principalele probleme, de exemplu printr-o discuţie de sinteza a ideilor de bază Aceasta este încheierea lecţiei  Estimarea timpului Odată identificate procedeele didactice, este important ca profesorul să ştie cât timp este necesar pentru desfăşurarea activităţilor pe care şi le-a propus Nu uitaţi că timpul necesar unei lecţii depinde şi de elevi, de capacităţile şi nivelul de pregătire la care se află, precum şi de felul în care răspund solicitărilor Astfel, o discuţie poate dura minute cu un grup de elevi sau o jumătate de oră cu un alt grup

97

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Profesorul dă dovadă de înţelepciune dacă apreciază cu grijă timpul necesar activităţilor de învăţare Profesorii sunt surprinşi de cât de repede trece timpul, mai ales atunci când ţin o lecţie pentru prima dată Reţineţi că, atunci când este vorba de estimarea timpului necesar unei lecţii, este mai bine să fii conservator În felul acesta, profesorul va fi pregătit şi va putea face ajustările necesare, pe măsură ce lecţia se derulează  Sfaturi utile pentru proiectarea unei lecţii reuşite Când începeţi să proiectaţi o lecţie, ţineţi cont de aspectele practice Iată câteva sugestii: 1. Diversitatea: Elevii învaţă mai uşor dacă în timpul lecţiei se folosesc diferite tehnici de instruire O lecţie reuşită presupune, de obicei, -4 tipuri diferite de activităţi de învăţare Acordaţi atenţie activităţilor introductive, celor de învăţare propriu-zisă, precum şi celor finale; acestea pot asigura lecţiei diversitatea necesară

2. Ritmul: Dacă o activitate durează prea mult, elevii se pot plictisi iar dacă nu au la dispoziţie timp suficient pentru a putea reţine ideile prezentate, se pot simţi frustraţi Aveţi grijă ca o activitate să nu dureze mai mult de 5-20 de minute În orice caz, reţineţi că unele activităţi cum sunt cele de învăţare prin cooperare, problematizarea sau simulările pot capta interesul mai mult timp, îndeosebi, în cazul elevilor mai mari.

3. Relevanţa: De multe ori elevii nu înţeleg cu adevărat de ce le este necesară o anumita informaţie Le ia ceva mai mult timp să înţeleagă de ce este important un material pe care l-au studiat.

4. Cunoştinţele anterioare: Nu presupuneţi că elevii au anumite cunoştinţe anterioare Chiar dacă unii dintre elevi au aceste cunoştinţe, în nici un caz nu le au toţi Se recomandă să verificaţi nivelul iniţial de cunoştinţe al elevilor, precum şi deprinderile acestora şi să vă proiectaţi lecţiile ţinând cont de acest nivel

5. Supraîncărcarea: Unii profesori au tendinţa de a prezenta, cu uşurinţă, multe concepte într-un interval de timp relativ scurt Aceeaşi tendinţă se constată, deseori, şi în manualele Însă, elevii învaţă mai bine dacă lecţia este centrată pe una sau doua idei de bază Deci, descompuneţi activităţile de învăţare într-o serie de paşi mici, focalizaţi pe un anumit concept sau idee şi, apoi, daţi elevilor posibilitatea să exerseze

6. Procedeele: Proiectaţi desfăşurarea lecţiei pas cu pas, astfel încât să puteţi urma cu uşurinţă procedeele didactice stabilite Instrucţiunile pentru desfăşurarea diferitelor activităţi să fie redactate la persoana a treia

7. Fiţi la obiect: Formulaţi întrebări la obiect şi într-un limbaj pe care elevii îl înţeleg 98

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

VI.6 EXPERIMENTUL PEDAGOGIC

Prima metodă de cercetare propusă pentru realizarea obiectivelor cercetării este experimentul psihopedagogic/didactic. Termenul „experiment” provine din latinescul „experimentum”, termen care are semnificaţia de probă, verificare, experienţă în cazul cercetărilor pedagogice este vorba de verificarea unei ipoteze, ceea ce justifică realizarea experimentului, îi asigură sensul Metoda experimentului constă în modificarea intenţionată a unui factor, dintre cei presupuşi a influenţa comportamentul unei persoane, într-o anumită situaţie, cu scopul de a observa efectele acestei modificări asupra comportamentului respectiv Din acet motiv, experimentul este uneori denumit „observaţie provocată”. In continuare voi descrie etapele realizarii experimentului pedagogic.

VI.6.1 OBIECTIVELE CERCETARII 

Aplicarea prin analogie a metodelor de lucru din aritmetica numerelor in calculul cu polinoame



Imbunatatirea proceselor instructive educative



Cresterea nivelului de performanta a alevilor



Intelegerea unei teorii matematice unitare, a inlantuirii teoremelor intr-un sistem



Transferul de cunostinte in rezolvarea problemelor



Dezvoltarea capacitatii de utilizare a cunsotintelor: priceperi, deprinderi, stapanirea unor moduri de lucru



Dezvolatrea capacitatilor intelectuale



Formarea si dezvolatrea capacitatii de a reflecta asupra lumii



Analiza de situatii



Realizarea de conexiuni si transferuri intre domeniile studiate din matematica

99

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

VI.6.2 ETAPELE LUCRARII o Documentarea teoretica a lucrarii o Stabilirea clasei experimentale a XII-a A si a clasei de control a XII-a D o Alegerea subiectelor si baremurilor de notare pentru pretest si posttest o Selectionarea si sistematizarea problemelor de la simplu la complex o Intocmirea si multiplicarea testelor pentru verificarea lectiei de zi, pentru predarea noilor cunostinte si pentru fixarea lectiei noi o Recolatrea datelor initiale si finale o Prelucrarea statistica a datelor in vederea analizei si generalizarii activitatii desfasurate

VI.6.3 METODE DE INVESTIGATIE FOLOSITE



Studiul literaturii de specialitate;



Studiul documentelor scolare;



Observatia pedagogica;



Metoda experimentului;



Metoda testelor;



Prezentarea si prelucrarea matematico-statistica a datelor cercetarii.

VI.6.4 DESFASURAREA CERCETARII

Experimental s-a desfasurat in anul scolar 2010-2011. Am realizat planificarea calendaristica dupa care am predat pe parcursul semenstrului al doilea cate o ora in plus la clasa a XII-a A. Deci la aceasta clasa experimentala am invatat elevii sa aplice teorema 100

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

impartirii cu rest in Z, sa utilizeze proprietatile relatiei de divizibilitate in Z, sa calculeze cel mai mare divizor comun in Z cu algoritmul lui Euclid, sa demonstreze ca un numar este ireductibil sau nu. Folosind metoda analogiei am predate apoi divizibilitatea in inele integre si in inelul polinoamelor. Elevii au invatat sa generalizeze, sa particularizeze unele enunturi si sa utilizeze corect algoritmii matematici in rezolvarea de probleme cu grade diferite de dificulate. La matematica orice exercitiu sau problema vine cu noi necunoscute, care pot fi solutionate numai in masura in care elevii se antreneaza permanent in rezolvarea unui numar cat mai mare de exercitii si probleme. In primul rand elevii trebuie invatati urmatoarele “linii” pe care le urmarim: 1. Trebuie sa intelegem problema; 2. Gasim calea de la necunoscuta la date, considerand eventual, probleme intermediare; 3. Realizam idea solutiei; 4. Cautam alte solutii; 5. Alegem cea mai buna solutie; 6. Verificam rezultatul si il analizam critic; Astfel, urmarim schemele: SCRIE CE GANDESTI, LISTEAZA GANDURILE

GRUPEAZA

GANDESTE SI ORGANIZEAZA

COMPARA

101

PUNE IN ORDINEA CORECTA

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

CREAZA NOI IDEI IMAGINEAZA

INTRABA-TE " CE -AR FI DACA..."

REGANDESTE

REEXAMINEAZA

REARANJEAZA

( ESTE CEA MAI BUNA CALE?)

(ESTE CEA MAI BUNA ORDINE?)

VERIFICA EVALUEAZA CRITICA

102

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Aplicatia 1: Aratati ca orice element din Z[i] este divizor al unui nmar prim din Z. Solutie: Z[i] este un inel Euclidian relative la functia ϕ: Z[i]→N,ϕ(x+iy)= + .Fie z un element prim din Z[i]. Avem ϕ(z)=z*z. Cum ϕ(z)ϵN si ϕ(z)>1, atunci ϕ(z)= unde sunt numere prime din Z. Avem Z*Z= si deci z| . Cum z este prim, exista un astfel incat z| . Aplicatia 2: Orice numar prim p>2 este de forma p=4k=1 sau p=4k+3 unde k>0. Solutie: Intr-adevar p are una din uramtoarele forme : p=4k, p=4k+1, p=4k+2, p=4k+3. Cum p este prim si p>2, atunci nu poate avea decat forma 4k+1 sau 4k+3. Aplicatia 3: Descompuneti in factori primi numerele 5;17;600 in Z[i]. ( +2 ) ( (2 ) 2) (1+2i) si (1-2i) sunt prime in Z[i]. 17=16- =(4+i)*(4-i) 17=1-(4i) =(1-4i)*(1+4i) Se observa ca 4+i este asociat in divizibilitate cu 1-4i. (4+i)*(a+ib)=1-4i↔4a-b+i(a+4b)=1-4i. 4 (4 + )( ) Identificand , obtinem : 2 2 , 4 +4 4 De asemenea (4-i)~(1+4i) deoarece rezulta analog ca (4-i)*(i)=1+4i ( ) ( + ) 600=2 5 ( +2 ) ( 2) .

Solutie: 5=1+4=

Aplicatia 4: Calculati in Z[i] cel mai mare divizor comun al numerelor a=-36+41i si b=14+18i. Solutie: Formand algoritmul lui Euclid asociat acestor numere: -36+41i=(14+18i)*2i+13i unde ϕ(13i)<ϕ(14+18i) 14+18i=13i(1-i)+(1+5i) unde ϕ(1+5i)<ϕ(1+5i) 1+5i=(3+2i)*(1+i) C.m.m.d.c al numerelor -36+41i si 14+18i este 3+2i. Aplicatia 5: Gasiti o solutie necesara si suficienta pentru ca sa se divida cu (p n) Solutie: Impartim pe n la p , deci n=1p+r, unde 0 r
Solutie: Presupunem prin absurd ca exista ϕ:R→R[X] izomorfism. Fie zϵR* si R fiind corp ,

exista ϵR astfel ca ϕ(z* )=ϕ(1)=1 ϕ(z* )=ϕ(z)*ϕ( ), deci ϕ(z)ϵR[X] este inversibil in R[x]. Cum z a fost ales arbitrar si ϕ este izomorfism ar rezulta ca orice polinom din R[X] are invers in R[X] ceea ce este o contradictie. Aplicatia 7: Fie f un polinom cu coeficienti intregi. In trei puncte diferite, de abscisa intreaga are valoarea 2. Sa se arate ca in nici un punct de abscisa intreaga nu are valoarea 3. 103

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Solutie: Demonstram ca f(x)-f(y) (x-y), oricare ar fi x,yϵZ. F(x)= + + + F(x)= + + + F(x)-f(y)=(x-y)g(x,y) ( ) { ( ) ( )

+ , + , ( ) ( )

2 2 2

( ) Presupunem ca exista dϵZ astfel incat f(d) { ( ) ( ) 2

( ) ( ) ( )

{

± ± ±

sau d-c=-1; imposibil, caci ar implica a=c sau b=c.

Acelasi rationament pentru celelalte cazuri. Aplicatia 8: Valoarea polinomului f= 2 pentru x=11 este : a) 0 b)12 c)1 d) 1 e)11 Solutie: x x+ 2 ( + ) ( + ) F(x)= +( + ) + + + + +

2

+

+ 2

2

+

2

+

( + ) +( + ) + +

Aplicatia 9: Catul impartirii (6 7 + + 2): (2 + 2) este : a)-3X-1 b) 3X+1 c) 2X-3 d) 4 + Solutie: Din teorema impartirii cu rest avem f=g*q+r, gr(r)
Aplicatia 11: Sa se determine coeficientii reali m si n astfel incat polinomul fϵR[x], + + sa se divida prin g= + + .

104

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

a)2

b)2

c)2

d)2

2

Solutie: METODA 1 Radacinile ecuatiei + + sunt , =(-1± √ ) 2 notate in cele ce urmeaza cu ω ,2 (radacinil cubice complexe ale unitatii cu proprietatile + + , , , , + , ). Astfel fiind, conditia ca f sa se divida prin g ete ca f( ) , adica + + + + ,( ) √

Inlocuind in (1) pe , cu valorile corespunzatoare m(-1/2)+n+(-1/2)+i (m- ) ,( ’) Din ( ’) rezultand m si n (s-a tinut seama ca A+ib A ,B ) METODA 2 Gradul lui f nefiind prea mare , se poate efectua impartirea direct , punandu-se conditia ca restul sa fie identic nul METODA 3 Se poate folosi metoda identificarii coeficientilor, punand + + ( + + )( + + + ), (2) Dezvoltam membrul al doilea din (2) si identificand cu membrul intai, obtinem a—1, b=0, n=1,m=1. Aplicatia 12: Sa se arate ca polinomul f=(X-1) g= + Solutie: Notam P(K): (X-1) ( ) Se observa ca Presupunem ca ( ) +( ) ( ) +( ) ( ) ( ( ) +( ) (( ( ) +( ) Aplicatia 13: a) Aratati ca polinomul pϵR[x], p= b) Fie polinomul qϵR[x], q= +( 4|q(s) oricare ar fi sϵN, s numar prim , s 5.

+(

)

, - se divide cu

si de aici (X-1) )+( +( ) ) + )

)

997 + 996 se divide cu (X-1) . ) Aratati ca oricare ar fi nϵN, n 2,

Solutie:

a) Aratam ca 1 este radacina dubla a lui p. ( ) ( ) P(1)=1-1997+1996=0; dar ( ) ( ) 997 997 ceea ce trebuia demonstrate b) Fie s un numar prim, s 5, s este un numar impar 4 (s-1) . (1) Aratam ca (s-1) ( ): ( ) ( ) q(1)=1-n+n-1=0 si ( ) ( ) Deci (X-1) |q, oricare ar fi nϵN, n 2 (s-1) |q(s). (2) Din ( ) si (2) 4 q(s), roicare ar fi nϵN, n 2, sϵN, s numar prim , s 5.

997

997

,

s 2k+ ,kϵN 2 s-

Aplicatia 14: Sa se determine cel mai mare divisor comun al polinoamelor f= + 2 si g= 2 +2 2 + a) b)X-1 c)X+2 d) (X-1) Solutie : Se pot folosi urmatoarele metode: METODA 1: Descompunerea in factori a celor doua polinoame si constituirea divizorului comun, asemanator ca in cazurile numerice, luandu-se factorii polinomiali comuni la

105

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

puterile cele mai mici. Din f+(X-1) ( + 2) ( ) ( + ), rezulta ca cel mai mare divisor comun este polinomul d=(X-1) . Aceasta metoda se aplica atunci cand polinoamele respective se pot descompune usor in factori . METODA 2: Folosirea algoritmului lui Euclid in cazul in care prima metoda nu este aplicabila si nu se cunoaste gradul divizorului comun. a) Prima impartire 2 +2 2 + +2 + - 2X X-2 / -2 + 5 4 + 2 - 6X + 4 / 5 +5 b)

A doua impartire

Ultimul rest nenul

+2 2 + +2 X+2 / 2 4 +2 -2 + 4 2 / / / 2 ( ) este cel mai mare divizor comun.

Aplicatia 15: Aflati radacinile polinoamelor f, gϵR[x], f=2 + =0, 4 + , stiind ca admit radacini comune. Solutie: Presupunand ca cele doua ecuatii au cel putin o radacina comuna, rezulta ca polinoamele f si g au un divizor comun de gradul intai, divizor ce se poate determina fie prin algoritmul lui Euclid, fie prin metoda scaderilor successive METODA 1: Aflam cel mai mare divizor comun d prin algoritmul lui Euclid. Avem: g(x)=f(x)2+(2 + ) f(x)=(2 + ) +2 1 2 + (2 + )( ) 2 1cu radacina 2, , ( ± √ )/2 (2 1)(2 + ) cu radacinile , , ( ± √7) 4. METODA 2: Folosim metoda scaderilor successive . Notam p(X)=g(X)-2f(X)=2 + ( ) ( ) ( ) 2 Rezulta ca divizorul comun este ( ) 2 , x=1/2 Se rezolva ecuatiile si se constata ca singura radacina comuna este x=1/2. Se putea observa ca polinoamele f si g nu au doua radacini commune, deoarece p=2 + are ca radacini pe , . Dar x=1 nu este radacina nici a lui f si nici a lui g. g=4

Aplicatia 16: Fie f Z[x] un polinom. Presupunem caexista a Z astfel incat f(a) si f(a+1) sunt numere impare. Sa se arate ca f nu are radacini in Z.

106

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Solutie: Presupunem prin absurd ca exista m Z astfel incat f(m)=0. Conform teoremei lui

Bezout, exista un polinom g astfel incat f=(X-m)g. Se observa ca g are coeficienti intregi. Au loc in Z relatiile urmatoare: f(a)=(a-m)g(a) si f(a+1)=(a+1-m)g(a+1).Cum unele din numerele f(a) si f(a+1) este par, ceea ce contravene ipotezei. Aplicatia 17: Sa se resolve ecuatia

+2

Solutie:

stiind ca are radacini multiple.

METODA 1 Se folosesc relatiile lui Viete la care se adauga . ( ) METODA 2 Deoarece f(X) si ( ) se anuleaza pentru acelasi x= rezulta ca polinoamele ( ) f(X) si ( ) au un divizor comun de gradul intai, care se poate determina fie cu algoritmul lui Euclid, fie prin metoda scaderilor successive METODA 3 Se observa ca ecuatia nu poate avea radacina multipla mai mare decat 1 deoarece 2, si in consecinta putem pune f=(X-1) ( + 2) METODA 4 Se observa ca x=1 este solutie a ecuatiei, apoi se foloseste schema lui Horner. Aplicatia 18: Sa se determine parametrul real m si sa se resolve ecuatia 2 + 28 , stiind ca radacinile reale ale ecuatiei sunt in progresie aritmetica. a) M=0 b)m=28 c)m=39 d)m=1 Solutie: Daca , , sunt radacinile ecuatiei, atunci conditia ca ele sa fie in progresie aritmetica este 2 + . Acestei relatii ii asociem sistemul de relatii Viete: + + 2 + + { 28 Din prima relatie a lui Viete si relatia data rezulta 2, adica 4 + 8, (1). Din ultima relatie a lui Viete se deduce 7,(2). Din (1) si (2) gasim 7 sau 7 . Din a doua relatie a lui Viete gasim m=39. Aplicatia 19: Sa se arate ca polinomul f=2̂ + ̂ + ̂ + ̂ Z4[X] nu are nicio radacina in Z4, dar se poate descompune in Z4[X]. Solutie: Se verifica prin calcul ca f( ̂ ),f( ̂ ),f(2̂),f( ̂ ) diferit de ̂ Punem f=(aX+b)(c +dX+e),a,b,c,d,e Z4. Dezvoltand in membrul drept si apoi identificand gasim a=2̂, b= ̂ , c= ̂ , d= ̂ , e= ̂ . Deci f=(2̂ + ̂ )( + + ̂ ). Notiunea de element ireductibil sau reductibil se defineste doar pentru domenii de inegritate. Z4 nu este domeniu de integritate , de aceea folosim formularea “f se descompune in produsul a doua polinoame” Aplicatia 20: Fie a un numar diferit de zero si polinomul f= + [X]. Sa se arate ca f este ireductibil in Z[X]. Solutie: Divizorii termenului liber sunt -1 si 1. ( + + ) Calculam f(1)=a+ + ( F(-1)=-a+ + ) Rezulta ca f nu are radacini intregi, deci nu are factori de gradul intai in Z[x]. Presupunem prin absurd ca f=gh, unde gr(g)=gr(h)=2/ Putem presupune ca g= + + , h= + ,m,n Z

107

+

+

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Deoarece f(-a)=g(-a)h(-a)=Consideram urmatoarele cazuri : 1. + Dar identitatea ( + + )( adevarata. 2. + + Le scadem si obtinem –a(m-n)=-4 ( + ) Le adunam si avem 2

(

+ )(

) ↔ ( + + )

↔{ +

Atunci

f=[

+. + /

, +

2

4 {

)

+.

+

1

+2

nu

este

+ 2

2 + -0

+

/

. + /

+ + + Deci f nu se descompune in Z[x] Profesorul trebuie sa creeze conditii favorabile fiecarui elev de a-si forma si dezvolta competentele intr-un ritm individual, de a-si transfera cunostintele acumulate dintr-o zona de studiu in alta. Trebuie vizate urmatoarele aspect ale invatarii: -citirea corecta si constienta a enuntului unei probleme -interpretarea parametrilor unei probleme ca o parte a ipotezei acesteia -analiza secventelor logice in etapele de rezolvare a unei probleme. -exprimarea rezultatelor rezolvarii unei probleme in limbaj matematic -compararea, obsrvarea, unor asemanari si deosebiri, folosirea unor criterii de clasificare pentru descoperirea unor proprietati, reguli -utilizarea unor repere standard sau a unor formule standard in rezolvarea de probleme -formarea obisnuintei de a verifica daca o problema este sau nu determinata -exprimarea prin metode specifice a unor clase de probleme; formarea obisnuintei de a cauta toate solutile sau de a stabili unicitatea solutiilor analiza rezultatelor -folosirea particularizarii, a generalizarii, a inductiei sau a analogiei pentru alcatuirea sau rezolvarea de problem noi, pornind de la proprietatea sau problema data -initiere si realizarea creative a unor investigatii -intuirea algoritmului dupa care este construita o succesiune data, exprimata verbal sau simbolic -reformularea unei problem echivalnte sau inrudite -transferul si extrapolarea solutiilor unei probleme pentru rezolvarea altora -utilizarea rezultatelor si a metodelor pentru creearea de strategii de lucru. De asemeni pentru a spori interesul si gradul de participare al elevilor, ei au fost incurajati sa rezolve problemele si cu ajutorul calculatorului. Folosirea calculatorului se dovedeste foarte utile in rezolvarea problemelor de divizibilitate, de aflare a celui mai mare divizor comun a doua numere sau a doua polinoame, aflarea valorii unui polinom, operatii cu polinoame si rezolvarea ecuatiilor pentru care nu exista formule.

108

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

VI.6.5 SISTEMUL DE VERIFICARE SI EVALUARE Matematica, alaturi de celelate discipline, isi aduc o contributie importanta la formarea elevului pentru o activitate sociala si profesionala utila. Pentru a face o incursiune in cunostintele insusite de elevii claselor a XII-a A si D, la inceputul anului scolar am dat urmatorul test initial Testul initial I 1) Enuntati teorema impartirii cu rest in Z? 2) Care sunt proprietatile divizibilitatii in Z? 3) Definit cal mai mare divizor comun a doua numere intregi. II 1)Restul impartirii lui -21 la 5 este: a)1 b)0 c)4 d)-1 2)Daca ab=37800si [a;b]=2520 atunci (a;b) este: a) 168 b)15 c) 150 d) 2520 3) Daca n N si +2n este prim atunci n este: a)0 b) 1 c)2 d)p,p prim III 1) Aratati ca daca impartim numerele ab,bc si ca la acelasi numar natural obtinem caturile a si respective a si resturile c, a respective b , atunci a=b=c.Aflati impartitorul 2) Sa se arate ca daca a, b si d sunt numere intregi astfel incat a este prim cu b este prim cu b si d divide suma a+b, atunci d este prim cu a si cu b. 3) Fie expresia E(x)=. + + / a) Aduceti expresia la forma cea mai simpla b) Calculati E(1) si E(-1) c) Determinati multimea {xϵN|E(x)=

}

Punctajul acordat : se acorda pentru fiecare exercitiu cate 1 punct; din oficiu 1 punct Prin acest test am urmarit sa verific daca elevii cunosc teorema impartirii cu rest in Z si o pot utiliza in situatii date; daca elevii cunosc proprietatile divizibilitatii in Z, si stiu sa le aplice in rezolvarea problemelor; daca elevii stiu sa efectueze calcule cu expresii algebrice, sa determine valoarea unei expresii pentru un x dat si sa resolve o ecuatie algebrica simpla. La subiecul III sa urmarit si exprimarea riguroasa, justificarea prin argumente inlantiute logic a pasilor de rezolvare a problemelor In urma cercetarii acestiu , s-au obtiut urmatoarele rezultate: NOTA XII A XII D

10 -

9 -

8 -

7 1 3

6 4 6

109

5 5 5

4 5 3

3 4 3

2 3 2

MEDIA 4.59 4.86

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Se constata o diferenta mica intre mediile generale ale celor doua clase, ceea ce reflecta un nivel apropiat al cunostintelor dar, foarte scazut. Aceste medii au demonstrat ca elevii nu poseda cunstinte de aritmetica numerelor intregi, ceea ce ne arate ca nu se acorda atentia cuvenita aritmeticii in programele scoalre. Astfel nu se vor putea preda notiunile de aritmetica polinoamelor prin analogie cu cele din aritmetica numerelor intregi. De aceea in timp ce la clasa de control a XII a D s-a lucrat in mod obisnuit, la clasa experimental a XII a A am predate capitolul “polinoame” utilizand o strategie complexa din metodele active prezentate in paragrafele anterioare si completand cu orele suplimentare. In plus lectiile sau bazat pe munca in grup a elevilor, fiecare gupa fiind alcatiuita din 3-4 colegi din bancile invecinate, si pe activitatea independenta. In cadrul acestei lectii am urmarit: -cooperarea ca modalitate eficienta de realizare a sarcinilor didactice, cooperarea privita in stransa legatura cu munca individuala , independenat -priceperea si deprinderea de munca intelectuala independent, de aplicare n prctica a celor invatate -dezvoltarea capacitatilor de investigare ale elevilor -exercitii de fixare a algoritmilor, fomulelor si teoremelor de aplicare a lor in diferite conditii date -stimularea gandirii creative -intelegerea unei teorii matematice a inlantiurii intr-un sistem Elevii au fost anuntati ca vor primi nota maxima aceia care vor efectua tema pentru acas prin mai multe metode si vor sti sa raspunda correct la intrebari in legatura cu tema prezentata. Am dorit astfel ca in afara clasei elevii sa fie preocupati de efectuarea corecta a sarcinilor, sai determin sa desluseasca active si constient notiunile. Ca urmare la verificarea temei pentru acasa am constatat dorinta elevilor de a se angaja active si constient in rezolvarea corecta a ei unii dovedind ca au lucrat foarte mult, dar din cauza nestapanirii metodelor de luru, au facut si greseli. Atat in clasa cat si acasa sau lucrat foarte multe probleme, prin diverse metode , deoarece un elev stie sa se descurce la matematica daca a invatat fiecare notiune predate si a aplicat-o in rezolvari de exercitii si probleme. Rezolvarea fiecarei problem de matematica reprezinta o creatie pentru cel cei gaseste multimea solutiilor, iar elevul nu poate afirma “am invatat cutare lectie si acum stiu matematica” invatarea temeinica e lectiei respective presupune certitudinea elevului exprimata in afirmatia “ stiu lectia pentru ca am rezolvat n problem(de diferite tipuri) in care am aplicat notiunile invatate” De asemenea dupa fiecare unitate de invatare verificat oral sau prin teste scrise , gradul de intelegere si asimilare a cunostintelor. La sfarsitul anului am dat celor 2 clase urmatoeul test: Test final

I 1) Enuntati teorema impartirii cu rest a polinoamelor 2) Care sunt proprietatile divizibilitatii polinoamelor? 3) Definiti cel mai mare divizor comun a doua polinoame II Se considera polinomul fϵR[x], f=4 4 +2 +7 1) Sa se determine restul impartirii polinomului f la X-1 110

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

a) 7 b) X+6 c) 8 d) 6 2) Multimea {aϵR|f(a)>0} este: a) (0,∞) b) R c) (-∞,0) d) (-7, ∞) 3)Numarul de radacini rationale sle polinomului f este: a) 4 b)0 c) 1 d)2 4)Sa se calculeze + + + a) 1 b)9/16 c) 5/2 d)5/4 5)Se considera polinoamele f,gϵR[x], f=2 + 2 si g=8 . Determinati cel mai mare divizor comun al lor a) X+1 b) 2X+1 c) 2X+3 d)2 + + III Sa se demonstreze ca polinoamele f, gϵR[x], f= 6 + g=4 + 2 + sunt ireductibile in Q[x]

+ 8

+7

2 + 5 si

Punctajul se acorda pentru fiecare exercitiu cate 1 punct ;din oficiu 1 punct Prin acest test am urmarit sa verific daca elevii cunosc teorema impartirii cu rest a polinoamelor, proprietatile divizibilitatii polinoamelor si daca stiu sa le aplice ; daca stiu sa aplice proprietatile polinoamelor si ale radacinilor lor; daca cunosc notiunea d cel mai mare divizor comun si stiu sa aplice algoritmul lui Euclid. In afara de achizitia de cunostinte am evaluat intelegerea terminologiei si principiilor; abilitatea de a expica , abilitatea de a calucula si de a rezolva problem noi; dezvoltarea capacitatii de a recepta si de a produce teste scrise In urma testului final s-au obtinut urmatoarele rezultate. NOTA XII A XII D

10 -

9 1 -

8 4 1

7 5 7

6 7 4

5 2 5

4 1 3

3 2

2 -

MEDIA 6.60 5.63

Dupa cum se observa de data aceasta, diferenta este de aproape un punct, ceea ce confirma ipoteza. Reprezentand grafic rezultatele obtinute in urma prelucrarii testelor se obtin graficele de mai jos.

111

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

1)Graficele 1A si 1D pentru testul initial

test initial 7 6

frecventa

5 4 XII A

3

XII D

2 1 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

nota

2)Graficele 2A si 2D pentru testul final

Test final 8 7

frecventa

6 5 4

XII A

3

XII D

2 1 0 1

2

3

4

5

6 nota

112

7

8

9

10

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

In urma corectarii testului final, se observa ca diferenta intre mediile generale ale celor 2 clase se accentueaza in favoarea clasei experimentale, ceea ce confirma ipoteza enuntata la inceput. Datorita experimentului facut, elevii clasei experimentale au manifestat inters sporit pentru studiul polinoamelor. Strategiile active, creative, au fost cadrul unei invatari active-constiente prin decoperire si analogie; o invatare intense si eficienta cu un pronuntat character formative respectand principiile didactice si legitatile psihologice privind principalele aspect ale sctului invatarii; luarea in seama a particularitatilor psiho-cognitive, mentinerea unei motivatii ridicate, crearea conditiilor pentru intelegerea si realizarea transferului a ceea ce se invata, asigurarea unei ample exersari si a unei bune retentii a celor invatate. Aplicatii – exercitii pentru pregatirea examenului de bacalaureat 1. Se consideră polinoamele g  X 2  2 X  24 .

cu

coeficenţi

reali

f  X 4  aX 3  28 X 2  bX  96 şi

a) Să se scrie forma algebrică a polinomului h  ( X 2  2 X  24 )( X 2  4). b) Să se determine a, b  R astfel încât polinoamele f şi h  ( X 2  2 X  24 )( X 2  4) să fie egale. c) Să se rezolve în R ecuaţia 16 x  2  8 x  28  4 x  8  2 x  96  0. 2. Se consideră polinomul f  X 3  9 X 2  X  9 care are rădăcinile x1 , x2 .x3  R. a) Să se determine câtul şi restul împărţirii polinomului f la X 2  1. b) Să se verifice că x13  x23  x33  9( x12  x22  x32 )  18 . c) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia f (3 x )  0. 3. Fie polinomul f a  X 3  aX 2  aX  4 care are coeficienţii numere reale a) Să se determine a  R astfel încât x1  x2  x3  2, unde x1 , x2 , x3 sunt rădăcinile reale ale polinomului f a . b) Să se determine a  R astfel încât polinomul f a să fie divizibil cu polinomul X 2  2. 4. Se consideră inelul polinoamelor z3 [ X ]. a) Pentru g  Z [ X ], g  ( X  2ˆ ) 2 ( X  1ˆ), să se calculeze g (0ˆ ). 3

b) Dacă f  Z3[ X ], f  X 3  2ˆ X , să se arate că f ( x)  0ˆ , x  Z3 . f , g  Z 5 [ X ], f  (3ˆ a  3ˆ b) X 2  2ˆ X  2ˆ a  3ˆ b şi 5. Se consideră polinoamele g  2ˆ X 2  2ˆ X  3ˆ a  2ˆ b. a) Să se determine a, b  Z 5 astfel încât cele două polinoame să fie egale b) Pentru a  b  2ˆ , să se calculeze în Z 5 suma f (0ˆ )  f (1ˆ)  f (2ˆ )  f (3ˆ )  f (4ˆ ). c) Pentru a  b  2ˆ , să se rezolve în Z ecuaţia f ( x)  0ˆ . 5

6. Se consideră mulţimea G  (5, ) , iar pe R se defineşte legea de compoziţie

113

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

x*y = xy-5x-5y+30, x, y  R . a) Să se calculeze: x*y (x-5)(y-5)+5, x, y  R b) Să se arate că oricare ar fi x, y  G avem x * y  G . c) Să se arate că (x*y)*z = x*(y*z), x, y, z  R . d) Să se determine elementul neutru al legii “*” e). Să se arate că (G, *) este grup comutativ f). Să se rezolve ecuaţia 5 x * 5 x  5 . 7. Pe mulţimea R se consideră legea de compoziţie: x  y  xy  2 x  2 y  6 3 a. Calculati 2  ; 4 b. Sa se arate ca x  y  ( x  2)( y  2)  2 , x, y  R c. Verificati daca legea este comutativa; d. Verificati daca legea este asociativa; e. Determinati elementul neutru al legii; f. Determinati elementele simetrizabile in raport cu legea data. 8. Calculati suma S = 3ˆ  4ˆ  5ˆ  6ˆ  7ˆ in Z8. 9. Determinati inversul lui 3ˆ in Z13 in raport cu operatia de inmultire. 10. Fie legea de compozitie "" definita pe R , x  y  xy  2 x  3 y  5 . Rezolvati ecuatia

2  x  6.

APLICATII 1. Să se calculeze f+g, f–g, 4f+2g, 5f–4g, fg, f:g, g:f unde: f(x) = 5X4–2X3–4X2+X– şi g(x) X2+2X–1. f(x) = 2X4+5X3–3X2+2X–4 şi g(x)

X2+3X–2.

f(x) = 3X4–4X3–7X2+4X–8 şi g(x) X2+4X–5. f(x) = 6X4–3X3–4X2+8X–7 şi g(x) X2+3X–2. f(x) = 7X5–2X3–5X– şi g(x) f(x) = 4X6–3X4–5X2– şi g(x)

X2 – 1. X2 + 1

2. Folosind schema lui Horner, determinaţi câtul şi restul împărţirii polinomului f la binomul g dacă: f(x) = 5X4–2X3–4X2+X– şi g(x) X – 1. f(x) = 2X4+5X3–3X2+2X–4 şi g(x) X – 2. f(x) = 3X4–4X3–7X2+4X–8 şi g(x) X – 5. 114

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

f(x) = 6X4–3X3–4X2+8X–7 şi g(x) f(x) = 7X5–2X3–5X– şi g(x) f(x) = 4X6–3X4–5X2– şi g(x)

X2 – 2.

X+ X +

3. Aflaţi restul împărţirii polinomului f la binomul g dacă: f = X2008 + 3X2 – 5X + 2 şi g X – 1. f = X2008 + 3X2 – 5X + 2 şi g X + f = X2008 + 3X2007 – 5X + 2 şi g

X+

f = X2008 + 3X2007 – 5X + 2 şi g

X – 1.

4. Determinaţi c m m d c şi c m m m c al polinoamelor f, g şi h dacă: f = (X–2)5(X–1)3X8(X+1)6(X+2), g = (X–2)3(X–1)4(X+2)3(X+3)4 şi h 1)2(X+2)4(X+5)2. f = (X–3)6(X–1)2X2(X+1)3(X+7), g = (X–3)2(X–1)3(X+1)2(X+3)4 şi h 1)(X+1)4(X+7)2.

(X–2)6(X– (X–3)6(X–

5. Daca polinomul P(X) = X3 – 2X2 – 2X – m ,este divizibil cu ( X – 3), atunci: m este : a) –3 , b) 3 ,c) 6 ,d) 1 6. Fie polinomul P(x) = 8X3 + 2X2 +bX +c I. Daca restul împartirii lui P(x) la (X – 1) este 10 ,atunci b +c este: a)0; b)1; c)2; d)3 II. Daca ,în plus P(x) se divide la (2X – 1) atunci b si c sunt: A) b=3; c= -3 ; B) b=c=3, C) b=c=2 , D) b=1 , c=3 7. Daca Polinomul X3- mX2 +nX +4 se divide la (X2 – 4) ,atunci m si n sunt : a) m= -1 ; n= -8 , b) m= 1 ; n= -4 ; c) m=n=1 , d) m= -8 ; n= -1; 8. Fie X1 ; X2 ; X3 radacinile ecuaţiei X3 + X2 +X - 5 = 0 Calculaţi log5 (X1 X2 X3) . a) 5 ; b) -5 , c) -1 ; d) 1 9. Se consideră polinomul f  x 3  13 x 2  39 x  27 . Să se determine câtul şi restul împărtirii polinomului f prin x 2  4 x  3 . Să se rezolve ecuaţia f(x) , xC . Să se rezolve inecuaţia f(x)  0 , x R . Să se rezolve ecuaţia f( x) = 0, xR . Să se rezolve ecuatia f log 2 x   0, x  0 . Determinaţi probabilitatea ca un element x * , ,2, ,4,5,6+ să fie soluţie a ecuaţiei f(x) = 0. 10. Se consideră ecuaţia x3+5x2+2x–3= cu rădăcinile x1, x2, x3 C. a) b) c) d) e) f)

115

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

1 1 1   . x1 x 2 x3 b) Să se calculeze valoarea determinanţilor x1 2 3 x1 x 2 x3

a) Să se calculeze

1  3

x2

2 ,  2  x3

x1

2

3

x3

x3

x2

x2 . x1

11. Se consideră polinomul f  x 3  4 x 2  mx  n , unde m si n sunt parametrii reali. a) Să se determine parametrii reali m şin astfel încât ( x  1)(x  2) f . b) Pentru m şi n -6 rezolvaţi inecuaţia f(x) , xR. 4 3 2 12. Se consideră polinomul f  x  15 x  ax  bx  c , unde a,b,c sunt parametrii reali.





a) Să se determine parametrii reali a, b, c astfel încât încât f  x 3  7 x 2  14 x  8 . b) Pentru a, b, c determinaţi la punctul a) rezolvaţi ecuaţia f(x) c) Pentru a, b, c determinaţi la punctul a) rezolvaţi ecuaţia f(2x) = 0. 13. Se consideră ecuaţia x3–9x2+23x+a= , unde a este un parametru real Determinaţi pe a şi apoi rezolvaţi ecuaţia ştiind că are rădăcinile în progresie aritmetică 14. Se consideră ecuaţia x3+ax2+56x–64=0, unde a este un parametru real Determinaţi pe a şi apoi rezolvaţi ecuaţia ştiind că are rădăcinile reale şi în progresie geometrică 15. Să se rezolve ecuaţia x3–12x2+39x–28= ştiind că are rădăcinile în progresie aritmetică VI.6.6 CONCLUZII SI PROPUNERI Desi s-a pornit de la un nivel initial foarte apropiat, dupa aplicarea experimentului, atingerea obiectivelor s-a facut in mod diferentiat. Experimentul, desi nu a evidentiat rezultate spectaculoase, a adus o ameliorare a situatiei la invatatura a elevilor din clasa a XII-a A. Insusirea cunostintelor este cu atat mai eficienta, cu cat se sprijina pe activitatea proprie a elevului, care trebuie pus in fata unor intrebari, fiind antrenat continuu in gasirea de noi legaturi, in stabilirea unor concluzii, in “descoperirea” unor noi adevaruri Munca in grup favorizeaza asimilarea constienta a cunostintelor de matematica de catre toti elevii, deoarece obliga la o gandire activa a tuturor in cadrul cooperarii si intrajutorarii cu prilejul rezolvarii problemelor.

116

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

Programele liceale trebuie regandite pe directia formarii capacitatilor de baza ale specialistului de astazi: 

Capacitatea de abstractizare;



Capacitatea de a gandi sistematic o problema;



Capacitatea de testare a solutiilor;



Capacitatea de a folosi tehnicile informationale.

Odata cu reducerea numarului de ore de matematica la clasa, au fost scoase o serie de notiuni, fara sa se tina cont de importanta lor in studiul altor notiuni. Ceea ce influenteaza celmai mult invatarea sunt cunostintele pe care elevul le poseda la plecare. Prin exersarea, atat la clasa cat si acasa, pe seama unor continuturi mai mult sau mai putin similare, se fixeaza strategiile formate sau se elaboreaza altele. In fiecare scoala profesorul de matematica trebuie sa aiba la dispozitie un calculator pentru a realiza fise de lucru bazate pe o sistematizare a problemelor pentru crearea unor programe de rezolvare a probemelor de matematica si pentru realizarea unor lectii fovorizand o motivatie mai puternica pentru studiul matematicii. Evident, exista elevi slabi la matematica, dar foarte importanta este stradania profesorilor de matematica de a face ca numarul celor buni sa tinda catre numarul total de elevi, iar numarul celor slabi s atinda catre zero.

117