Analisis Y Evaluacion De Proyectos De Inversion 2da Ed. - Coss Bu Raul
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1
Análisis y evalua-ción de. proyectos de inversión '-
....
RAúL
Coss Bu
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY
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l.A PRESENTACIÓN Y DISPOSICIÓN EN CONJUNTO DE ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS DE INVERSIÓN
SON PROPIEDAD DEL EDITOR.
NiNGUNA PARTE DE
ESTA OBRA PUEDE SER REP RODUCIDA O TRANS
MITIDA, MEDIANTE NINGÚN SISTEMA O MÉTODO, ELECTRÓNICO O MECÁNICO COPIADO, LA GRABACióN
(INCllJYENX) a FOTO
O CUALQUIER SISTEMA DE
RECUPERACIÓN Y ALMACENAMIENTO DE INFORMA CIÓN) , SIN CONSENllMIENTO POR ESCRITO DEL
E-DITOR. DERECHOS RESERVADOS:
@ 1995, EDITORIAL U MUSA, S .A. DE C.V. GRUPO NORIEGA EDITORES BALDERAS 95, MéXICO, D.F.
C.P. 06040 '1M 521-21-05
�
512-29-03
CANIEM NúM. 121 DéCIMA REIMPRESIÓN HECHO EN MÉXICO
ISBN 968-18-1327-8
•
A mi esposa Idalia y a mi<� hijos Karlita y Raulito
Prólogo
Este libro ha sido escrito teniendo como principal objetivo contribuir en mínima parte al desarrollo y estudio de esta materia. Además, puesto que la gran mayoría de los libros existentes relacionados con esta materia, están escritos en inglés, y los que están escritos en español son traducciones, con este libro se pretende dar una idea de la aplica ción de las técnicas de análisis y evaluación de proyectos dentro del contexto de nuestro país, es decir, a través de los ejemplos presentados a lo largo del texto, se intenta descri bir la situación actual de México, y no la de países extranjeros a los cuales pertenecen la gran mayoría de los autores relacionados con esta materia. El contenido del libro es presentado a través de dieciséis capítulos. En los primeros doce capítulos se describen las principales técnicas que se utilizan para evaluar proyectos bajo certeza. En esta primera parte, además de presentar los métodos tradicionales de eva luación de proyectos, se da especial atención y se enfatiza el impacto que la inflación tiene en el rendimiento de un proyecto y en el costo de la fuente utilizada para financiar lo. En la segunda parte del libro, se describen y explican a través de ejemplos Sencillos, las técnicas más utilizadas para manejar el riesgo y la incertidumbre que es inherente a todo nuevo proyecto de inversión. El desarrollo de este libro ha sido influenciado por dos factores. El primero se refie re a la gran cantidad de experiencias y opiniones recopiladas en el salón de clase, y en las enseñanzas obtenidas de varios maestros y amigos, como: Dr. Alberto Sabino Parra, Dr. Fernando González, Robert Oakford, Grant Ireson, etc. El segundo se refiere a las expe riencias prácticas obtenidas en el análisis y evaluación de nuevos proyectos de inversión reales. En este aspecto agradezco proful).damente al Sr. Fernando Oíaz Villanueva la gran oportunidad que me brindó para adquirir experiencia práctica en esta materia. Enumerar todas las personas que contribuyeron directa o indirectamente al desarro llo de este libro podría ser interminable. Sin embargo, merecen especial mención, Martha Graciela Serna Ríos, quien se encargó de mecanografiar el manuscrito de este libro, y Ro lando Santos y Celso Ramírez quienes se encargaron de desarrollar las tablas de interés. 7
•
8 Prólogo
Finalmente, agradezco profundamente a mi esposa Idalia su paciencia durante la preparación de este libro. Ella demostró gran interés durante el desarrollo del libro al pre �untar constantemente: "Si sabes mucho sobre evaluación de nuevas inversiones, ¿por qué no somos ricos?"
Raúl Coss Bu
--
Contenido
15
l. iNTRODUCCION
15
1.1.
Identificación de alternativas.
1.2.
Consecuencias cuantificables.
1.3.
Consecuencias no cuantificables
16
1.4.
Análisis de las alternativas.
16
1.5.
Control de la alternativa seleccionada.
17
16
2. V AWR DEL DINERO A TRAVES DEL TIEMPO
19
2.1.
Valor del dinero a través del tiempo.
19
2.2.
Interés simple e interés compuesto.
19
2.3.
Fórmulas de equivalencia asumiendo interés compuesto discreto.
20
2.3.1.
Rujos de efectivo únicos.
20
2.3.2.
Series uniformes de flujos de efectivo.
22
2.3.2.1.
Valor futuro de una serie uniforme de flujos 22
de efectivo. 2.3.2.2.
Valor presente de una serie uniforme de flujos 24
de efectivo. . 2.3.3.
A u jos de efectivo en forma de gradientes aritméticos y
geométricos.
25
2.3.3.1.
Gradientes aritméticos.
25
2.3.3.2.
Gradientes geométricos
27
2.4.
Interés nominal e interés efectivo.
29
2.5.
Interés real.
31
2.6.
Fórmulas de equivalencia asumiendo interés compuesto continuo
33
2.6.1.
Rujas de efectivo únicos.
33
2.6.2.
Series uniformes de flujos de efectivo.
34
9
10 Contenido
2.6.2.1.
Valor futuro de una serie uniforme de flujos de efectivo.
2.6.2.2
flujos de efectivo.
2.6.3. Flujos de efectivo en forma de gradientes aritméticos y geométricos. / 2.6.3.1. Gradientes aritméticos. 2.6.3.2. Gradientes geométricos 2.7.
3.
111'
38 39 41
METODO DEL VALOR ANUAL EQUIVALENTE
47
3.1. 3.2.
4_7 49 49 50 51
Análisis y evaluación de un proyecto individual. Selección de alternativas mutuamente exclusivas.
3.3.
Selección de alternativas mutuamente exclusivas cuando más de dos
3.4.
Anualidades de inversiones de larga vida.
alternativas son consideradas.
+ 4. METODO DEL VAWR PRESENTE 4.1. 4.2.
Análisis y evaluación de un proyecto individual. Selección de proyectos mutuamente exlcusivos.
4.2H. Valor presente de la inversión total. 4.2.2. Valor presente del incremento en la inversión. 4.3
METODO DE LA TASA INTERNA DE RENDIMIENTO PARTE l.
5.1. 5.2. 5.3. 5.4.
54 55
61 61 64 64 66
Inconsistencia del método del valor presente al comparar alternativas mutuamente exclusivas.
5.
37 37 37
2.7 .1. Valor presente de un flujo de fondos. 2.7 .2. Valor futuro de un flujo de fondos.
3.2.1. Los ingresos y gastos son conocidos. 3.2.2. Solamente los gastos son conocidos. 3.2.3. Las vidas de las alternativas son diferentes.
t
35
Fórmulas de equivalencia suponiendo que los flujos de efectivo son a través del p eríodo.
'V
34
Valor presente de una serie uniforme de
69
73
PROYECTOS CON UNA SOLA TASA INTERNA DE RENDIMIENTO
73
Tasa interna de rendimiento (TIR)
73 74 75 78
Significado de la tasa interna de rendimiento. Evaluación de un proyecto individual. Evaluación de proyectos mutuamente exclusivos.
PARTE 2.
fROYECTOS CON MULTIPLES TASAS INTERNAS DE REN DIMIENTO
80
Contenido 11 S.S.
Proyectos sin tasas internas de rendimiento.
81
S.6.
Proyectos con una sola tasa interna de rendimiento.
81
S.7.
Proyectos con múltiples tasas internas de rendimiento.
81
S.8.
Algoritmo de James C. T. Mao.
82
S.8.1. Clasificación de los proyectos.
82
S.8.2. Descripción del algoritmo ..
84
6. CONSIDERACION DE IMPUESTOS EN ESTUDIOS ECONOMICOS
91
6.1.
Depreciación -qué significa.
91
6.2.
Métodos de depreciación.
92
6.3.
Ganancias y pérdidas extraordinarias de capital.
94
6.4.
Tasa interna de rendimiento y valor presente después de impuestos.
6.5.
Certificados de promoción fiscal (CEPROFI).
101
6.6.
Depreciación acelerada.
105
7. TECNICAS DE ANALISIS EN ESTUDIOS DE REEMPLAZO 7 .1.
Consideraciones de un estudio de reemplazo.
96
113
113
7.1.1.
Causas que originan un estudio de reemplazo.
113
7 .1.2.
Factores a considerar en un estudio de reemplazo.
115
7.1.3. Tipos de reemplazo.
116
7.2.
Determinación de la vida económica de un activo.
116
7 .3.
Análisis de reemplazo del activo actual.
120
7.3.1. Vida del defensor mayor o igual a la vida económica del 7 .3.2. 7.4.
retador.
121
Horizonte de planeación conocido.
122
Conclusiones.
125
8. SELECCION DE PROYECTOS EN CONDICIONES LIMITADAS
DE PRESUPUESTO
129
8.1
Generación de alternativas mutuamente exclusivas.
130
8.2'.
Selección entre muchos proyectos con restricciones.
134
8.3.
Formulación con programación entera.
134
8.3.1. Construcción del modelo sin considerar pasivo.
135
8.3.2. Construcción del modelo considerando incrementos en el pasivo e inversiones líquidas.
8.4.
138
8.3.3. Utilidad y aplicabilidad.
139
Métodos de selección aproximados.
139
8.4.1.
Ordenado-por tasa interna de rendimiento. A)
por dos divisiones.
B)
141
Asignación de recursos en una corporación formada
141
Asignación de recursos en una corporación formada por muchas divisiones.
8.4.2. Ordr.nado del valor presente por peso invertido.
143 143
L.
12 Contenido
8.4.3. Ordenados combinados. 8.5. Decisiones secuenciales vs. decisiones en grupo.
9. EVALUACION DE PROYECTOS DE INVERSION EN SITUACIONES INFLACIONARIAS 9.1. Inflación - qué significa. 9.2. Efecto de la inflación sobre el valor presente. 9.3. Efecto de la inflación sobre la tasa interna de rendimiento. 9.4. Efecto de la inflación en inversiones de activo fij o. 9.5. Efecto de la inflación en inversiones de activo circulante. 9.6. Efecto de la inflación en nuevas inversiones con diferentes proporciones de activo circulante.
,..
9.7. Efecto de la inflación en activos no depreciables. 9.8. Inflación diferencial. 9.9. Conclusiones.
10. COSTO DE CAPITAL
151 151 152 153 154 159 160 162 165 1 67
171
1 0.1 Costo de capital - cómo se calcula. PARTE l.
144 145
COSTO DE CAPITAL DE FUENTES EXTERNAS
1 0.2. Proveedóres. 10.3. Préstamos bancarios de corto plazo. 10.4. Pasivo a largo plazo. Obligaciones. Crédito hipotecario industrial. Crédito hipotecario normal. Crédito hipotecario con inflación. Crédito hipotecario con tasas flotantes e inflación. Crédito hipotecario con cambios de paridad e inflación. Crédito hipotecario con deslizamiento e inflación
172 173 173 174 176 176 179 179 180 181 184185
Crédito hipotecario con tasas flotantes, inflación y cambios de paridad. Arrendamiento financiero. PARTE
10.5. 10.6. 1O. 7. 10.8. 10.9.
2.
COSTO DE CAPITAL DE FUENTES INTERNAS
Acciones preferentes. Acciones comunes. Utilidades retenidas. Costo ponderado del capital. Conclusiones.
APENDICE "A" al capítulo
186 187 192 192 194 196 197 198
1 O. Amortiz"ación creciente,
un nuevo método de amortización
203
Contenido
A.l 0.1
Introducción
A.l 0.2
Análisis comparativo de los métodos tradicionales
13 205
de amortización
205
A.l 0.2.1 Flujo de efectivo cuando la amortización es constante
205
A.1 0.2.2 Flujo de efectivo cuando el capital se amortiza en partes iguales y los intereses son sobre saldos insolutos
206
A.1 0.2.3 Flujo de efectivo cuando la amortización es en forma creciente, pero con valor presente constante
208
A.i 0.2.4 Comparación de los flujos de efectivo que resultan con cada forma de amortización A.1 0.3
210
Costo después de impuestos que se obtiene con los diferentes métodos de amortización A.1 0.3.1
213
Costo después de impuestos cuando la amortización es constante
A.1 0.3.2
213
Costo después de impuesto� cuando el capital se amortiza en partes iguales y los intereses son sobre saldos insolutos.
213
A.1 0.3.3 Costo después de impuestos cuando la amortización es en forma creciente pero con valor presente constante A.l 0.4 A.10.5
214
Costo después de impuestos que se obtiene en los diferentes métodos de amortización, al considerar la inflación
215
Conclusiones
217
Saldo del crédito cuando la amortizacíón de capital'e- in-t� constante
218
11. EFECTO DE LA INFLACION EN EL RENDIMIENTO DE UN PROYECTO Y EN EL COSTO DE LA FUENTE UTILIZADA PARA FINANCIARW
221
11.1. Efecto de la inflación sobre el rendimiento de un proyecto.
222
11.2. Efecto de la inflación sobre el costo de un crédito hipotecario.
222
11.3. Efecto de la inflación en la aceptación de un proyecto de inversión.
223
11.4. Conclusiones
227
12. DISTINCION ENTRE DECISIONES DE INVERSION Y DECISIONES DE FINANCIAMIENTO
229
12.1. Decisión de inversión y decisión de financiamiento.
229
12.2. Combinación de la decisión de inversión y la decisión de fmanciarniento.
232
12.3 Conclusión.
237
13. ANALISIS DE SENSIBILIDAD 13.1. Sensibilidad de una propuesta individual.
239 239
13.2. Isocuanta de una propuesta individual.
245
13.3. Sensibilidad de varias propuestas.
.248
13.4. Conclusiones.
250
,.
14 Contenido
14. ARBOLES DE DECISION
253
14.1. Arboles de decisión.
253
14.2. Conclusiones.
259
15. ANALISIS DE RIESGO
263
15.1. Distribuciones de probabilidad más utilizadas en análisis de riesgo.
, ..
264
15.1.1.
Distribución normal.
264
15.1.2.
Distribución triangular.
265
15.2. Teorema del límite central.
267
15.3. Distribución de probabilidad del valor presente neto.
267
15.4. Distribución de probabilidad del valor anual equivalente.
272
15.5. Distribución de probabilidad de la tasa interna de rendimiento.
273
15.6. Conclusiones.
275
16. SIMULACION
279
16.1. Ideas básicas en análisis de riesgo.
279
16.2. Lógica de la simulación.
280
16.3. Conclusiones.
288 �
APENDICE A.
iNTERES COMPUESTO DISCRETO
291
APENDICE B.
INTERES COMPUESTO CONTINUO
317
APENDICE C.
FLUJOS DE FONDOS
343
APENDICE D.
SOLUCIONES A PROBLEMAS
363
APENDICE E.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
371
1 Introducción
Este libro es en última instancia, una presen)ación de algunas técnicas utilizadas en el proceso de toma de decisiones. Aun cuando el grueso-de este libro se limita a cierto tipo de decisiones, es de cualquier modo conveniente decir algunas ideas sobre decisiones en general. El hecho de que a lo largo de nuestra vida debemos tomar un sinnúmero de decisio nes,
podría
hacernos pensar que el dirigir esfuerzos a estudiar algo que todo mundo hace,
es perder el tiempo. Sin embargo, la mayor parte de las decisiones que tomamos son tri viales, esto significa que no se requiere de ningún procedimiento formal o estructurado para tomarlas. Además, cuando las decisiones son triviales, las consecuencias de no tomar la mejor decisión son despreciables. Por el contrario, cuando tenemos que tomar una deci sión importante, no debemos proceder de igual manera, es decir, no debemos tomar la decisión de una manera intuitiva, sino que debemos establecer un procedimiento gene ral que nos ayude a seleccionar la decisión que producirá los mejores resultados para no. sotros. 1.1
IDENTIFICACION DE ALTER
minar los posibles cursos de acción que se pueden seguir. La existencia de diferentes cursos de acción es un requisito indispensable en el proceso de toma de decisiones. Cuando sólo se tiene una sola alternativa de decisión, no es necesario perder tiempo en analizar cómo proceder; se deberá seguir la única alternativa existente. Este' paso del proceso de toma de decisiones requiere que se generen todas las alter nativas disponibles. Lo anterior significa que se debe tener mucho cuidado en tratar de incluir _todas las alternativas. Para esto, debemos estar capacitados para reconocer cuando ya se han agotado los diferentes cursos de acción a través de los cuales una decisión puede ser tomada. La recomendación anterior es muy importante, puesto que sería muy indeseable descubrir una mejor forma de hacer las cosas, después de habernos comprome tido irreversiblemente en otro curso de acción. Se ha dicho que es recomendable generar todas las alternativas disponibles para una determinada decisión. Sin embargo, esto no significa que siempre estaremos generando
15
16 Introducción
nuevas alternativas, y postergando por consiguiente la decisión, sino por el contrario, tam bién vale la pena preguntarnos cuándo vamos a dejar de generar alternativas y empezar a analizar las disponibles. La respuesta a la pregunta anterior es clave, ya que de otra mane ra el proceso de toma de decisiones sería demasiado lento.
1.2
CONSECUENCIAS CUANTIFICABLES Una vez que se han generado todas las alternativas a analizar, el siguiente paso �s de
terminar las consecuencias cuantificables de cada alternativa, es decir, es necesario evaluar todo aquello que sea factible de cuantificar. Si aplicamos estas ideas generales en la eva luación de proyectos de inversión, entonces, después de generar las alternativas con las cuales se puede realizar el proyecto, se debe tratar de expresar en términos monetarios las consecuencias de cada curso de acción. Es muy importante distinguir claramente cuáles resultados son relevantes. Lo que es l 11 •.� 1
común a todas las alternativas bajo análisis es irrelevante. Por ejemplo, si en la compra de cierto equipo los ingresos son independientes del tipo de equipo, entonces, en el análisís del tipo de equipo a adquirir, los ingresos serían irrelevantes y sólo se deben considerar los costos que se tendrían con cada tipo diferente de equipo. También es importante seña lar que el pasado por ser común a todas las alternativas es irrelevante. El único valor que puede tener el pasado es para ayudarnos a predecir el futuro.
1.3 CONSECUENCIAS NO CUANTIFICABLES Al analizar las diferentes alternativas disponibles, es muy común encontrar factores que son importantes pero que no se pueden medir monetariarnente. Por ejemplo, todos sabernos que un Renault Mirage es más económico que un LeBaron; sin embargo, muchas veces la gente se decide por comprar un--LeBaron, ya sea porque le gusta más, o porque· es de más "status" tener este tipo de carro. Aun cuando no es posible medir cuantitativamente ciertos factores relevantes, éstos deben ser considerados en el análisis antes de tomar la decisión. Normalmente lo que se hace es seleccionar aquellas alternativas que presenten las_!llayores ventajas monetarias a menos de que los factores imponderables pesen más que los que se pueden evaluar obje tivamente.
1.4
ANALISIS DE LAS ALTERNATIVAS Una vez que las alternativas han sido generadas y sus consecuencias cuantificables
evaluadas, el siguiente paso es utilizar algún procedimiento general que ayude a seleccio nar la mejor de ellas. El grueso de este libro precisamente está dedicado a indicar cómo se deben comparar estas alternativas. En la evaluación de las alternativas se tomará el punto de vista de un analista y no el de un ejecutivo. Lo anterior significa que el analista es responsable de hacer un análisis que soporte mejor la decisión del ejecutivo, el cual antes de tornar la decisión deberá considerar los factores imponderables. Aun cuando el resto del libro está dedicado al análisis de alternativas, es conve-
Control de la alternativa seleccionada 17 niente me n cionar algunas consideraciones generales que debemos seguir cuando las anali
zamos. La primera establece que es necesario hacer una diferenciación con respecto al ta maño de los proyectos a analizar, es decir, no podemos utilizar el mismo método de análi
sis o asignar la misma cantidad de recursos, cuando se está decidiendo comprar una máquina de escribir, que cuando se desea incursionar en nuevos mercados con nuevas líneas de productos. El análisis de las alternativas como cualquier otro estudio, requiere de recursos para
realizarse_ Por consiguiente, debemos de preguntarnos ¿cuánto estamos dispuestos a gastar en el análisis? La respues ta es simple: nunca debemos gastar más de los benefi cios que esperamos recibir_ Lo anterior significa que las decisiones poco importantes, donde
una mala decisión no tenga consecuencias desastrosas, deberán tomarse después de un análisis muy superficiaL Por otra parte, otra consideración que debemos tomar en cuenta son los diferen tes métodos de análisis, de los cuales podemos distinguir: los empíricos y los cuantitativos.
La diferencia entre estos métodos estriba en que en estos últimos se utilizan técnicas nu méricas que nos ayudan a visualizar mejor las dife-rencias entre las alternativas, mientras que con los primeros solamente se hace una evaluación subjetiva de dichas diferencias. Lo anterior significa que el usar métodos cuantitativos nos lleva a ser más consistentes en nues tras decisiones, porque siempre se usaría la misma lógica para arribar a la decisión reco mendada. Además, es de esperarse que el usar procedimientos lógicos, basados en cálculos matemáticos, nos ayudará consistentemente a tomar mejores decisiones. Finalmente, es conveniente decir algunas ideas sobre lo que es una buena decisión. Debemos distinguir entre una buena decisión y un buen resultado. Para la mayoría de las personas esta distinción no es fácil de hacer. Una buena decisión es una basada en la in[or mación disponible y tomada después de un análisis lógico que considere todas las conse cuencias de las diferentes alternativas. Sin embargo, una buena decisión no necesariamente producirá buenos resultados, y una mala decisión puede producir buenos resultados, esto �s, nadie espera que una persona obtenga buenos resultados de todas y cada una de las decisiones que tome, sin embargo, si una persona toma consistentemente buenas decisio nes, entonces, tendrá un alto porcentaje de buenos resultados.
LS
CONTROL DE LA ALTERNATIVA SELECCIONADA Procedimientos para seguir y controlar las propuestas de inversión seleccionadas,
aseguran el logro de las metas fijadas por la organización y permiten mejorar-el proceso de planeación al eliminar aquellas estrategias que conducen a la organización hacia un objetivo no planeado y no deseado. Mediante procedimientos de seguimiento y control del proyecto seleccionado, es posible comparar la inversión actual, los ingresos netos obtenidos, y el rendimiento real obtenido, con las estimaciones de inversión, ingresos netos y rendimiento esperado del proyecto. Estos procedimientos de seguimiento y control de las inversiones es muy reco mendable que sean implantados en toda organización, pues permiten comparar los resultados obtenidos con los planeados. Cuando sistemáticamente los costos incurridos en un proyecto de inversión son mayores que los estimados, entonces es obvio que el ren dimiento real obtenido en este proyecto será mucho menor que el esperado. Para este tipo de situaciones, vale la pena preguntarse si los procedimientos de evaluación que se utilizan
'/
18 Introducción
son los adecuados, o si vale la pena ser más pesimista al estimar las inversiones, ingresos y gastos del proyecto de inversión. Para -implantar procedimientos de seguimiento y control de las inversiones, se re comienda emitir reportes periódicos durante la vida de la inversión y al término de ésta. Con los reportes que se emitan durante la vida del proyecto, se podrá cambiar de direc ción, o establecer medidas correctivas que encaucen o dirijan a la organización h
�
2 Valor del dinero a través del tiempo
La palabra interés significa la renta que se paga por utilizar dinero ajeno, o bien la renta que se gana al invertir nuestro dinero. Puesto que estas dos situaciones se presen tan en innumerables formas, es conveniente desarrollar una serie de fórmulas de equivalencia cori las cuales se pueda evaluar más exactamente: el rendimiento obtenido en una deter minada inversión, o el costo real que representa una determinada fuente de fmanciarniento. Por consiguiente, el objetivo de este capítulo es presentar las fórmulas de equivalencia más utilizadas considerando interés compuesto, tanto discreto como continuo, así como también flujos de fondos.
2.1
VALOR DEL DINERO A TRAVES DEL TIEMPO Puesto que el dinero puede ganar un cierto interés, cuando se invierte por un cierto
período usualmente un año, es importante reconocer que un peso que se reciba en el futuro valdrá menos que un peso que se tenga actualmente. Es precisamente esta relación entre el interés y tiempo lo que conduce al concepto del valor del dinero a través del tiem po. Por ejemplo, un peso que se tenga actualmente puede acumular intereses durante un año, mientras que un peso que se reciba dentro de un año no nos producirá ningún rendi miento. Por consiguiente, el valor del dinero a través del tiempo significa que cantidades iguales de dinero no tienen el mismo valor, si se encuentran en puntos diferentes en el tiempo y si la tasa de interés es mayor que cero.
2.2
INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO La diferencia fundamental entre interés simple e interés compuesto estriba en el
hecho de que cuando se utiliza interés compuesto, los intereses a su vez generan intereses, mientras que cuando se utiliza interés simple los intereses son función únicamente del prin cipal, el número de períodos y la tasa de interés.
Para ilustrar la diferencia entre estos dos conceptos, suponga que se han pedido pres-
19
20 Valor del dinero a través del tiempo
tactos
$1 ,000
para pagarlos dentro de dos años a una tasa de interés del
10% .
Si se utiliza
interés simple, entonces, la cantidad a pagar sería:
1000
+
1000 (2) ( 1 ) .
=
1200
Por otra parte, si se utiliza interés compuysto, el adeudo al final del segundo año se ría como se muestra a continuación:
Adeudo al
Adeudo al final
principio del año
Año
del año
Intereses
1000
100
1100
1100
110
1210
2
Como se puede observar, existe una diferencia entre los adeudos obtenidos median te estos dos enfoques. Esta diferencia se debe precisamente a los intereses dujeron los intereses
2.3
($100) generados
($1O) que pro
en el primer año.
FORMULAS DE EQUNALENCIA ASUMIENDO INTERES COMPUESTO DISCRETO Puesto que el interés compuesto es más frecuentemente encontrado en la práctica
que el interés simple, a lo largo de este capítulo se supondrá que el interés es compuesto, a menos de que se especifique lo contrario. También en esta sección se va a suponer que los períodos de interés son discretos, es decir, las tasas de interés utilizadas serán anuales, semestrales, mensuales, etc. Bajo estas suposiciones, en esta sección se van a desarrollar fórmulas de equivalencia que relacionan flujos de efectivo únicos, series uniformes de flu jos de efectivo y flujos de efectivo con gradientes aritméticos y geométricos.
2.3.1 Flujos de efectivo únicos
Para desarrollar la fórmula de equivalencia que relaciona una cantidad presente con una cantidad futura, veamos primero la figura
2.1.
En esta figura,
P representa el desem
bolso inicial, el cual ocurre al principio del primer período, F la cantidad que se va a recu perar al fmal del período una tasa de interés de
n,
i%
.
y
n
es el número de períodos durante los cuales se está ganando
Puesto que el interés es compuesto, la cantidad acumulada al
final del primer período sería
P +Pi,
la cual es equivalente a
P (1
+
i),
y la cantidad acu
mulada al final del segundo período, sería la cantidad que se tiene al principio del segundo período (fmal del primer período)
P (1 + i )i,
P (1 + i), más los intereses
generados por esta cantidad
es decir, la cantidad acumulada al final del se.gundo período sería P
(1 + i)2•
Si
guiendo esta misma lógica, se pueden seguir obteniendo las cantidades que se acumulan al fmal de los siguientes períodos (ver tabla
2-1) .
De esta tabla se puede observar que la
fórmula que relaciona una cantidad presente con una cantidad futura es:
"
Fórmulas de equivalencia 21
F=P(l +ijl
(2.1)
esto es, para obtener la cantidad que se acumula después de n períodos a una tasa de inte rés de
i% ,
solamente se multiplica la cantidad presente
neralmente se denota por (F/P,
i%,
1 '
n).
-�. ..
....-----....
1
P por el factor (l +i}n, el cual ge
2
..
3
r n-
1
n
p
FIGURA 2.1. Diagrama de flujo que relaciona un valor presente con un valor futuro.
TABLA 2-1. Desarrollo del factor que relaciona ana cantidad p:t;e.sente con una.
cantidad futura.
Intereses Año Cantidad acumulada ganados al principio del año Pi p p(1+i) i 2 p (1 +i) p (1+ i)2i 3 p (1 +i)2
n
p (1
+ i)n-1
p
(1 + i)n-1i
Cantidad acumulada al final del año P+Pi p (1 +i}+p (1 +i) i p (1 + i)2 +p (1 +iff
P(l +i)n-l+P(l
+i)n-1¡
=P(l +i} =P(l +i)z =P (1 + i)3
�
=P(l+i)n
También la ecuación (2.1) puede ser presentada en la forma siguiente:
P=F
1 (1+i'f
(2.2)
la cual se utilizará para determinar la cantidad presente que se tiene que invertir durante n períodos a una tasa de interés de se le denota por (P/F,
i%, para acumular una cantidad F. Al factor 1/(1 + i'f i %, n). Este factor al igual que el anterior y los próximos a derivar, se
pueden encontrar en tablas (ver apéndice), o bien muchas de las calculadoras de bolsillo producidas por la Hewlett Packard o por la Texas lnstruments, tienen la facilidad de obtenerlos directamente.
Ejemplo 2.1 Una persona pide prestado la cantidad de una tasa de interés del
20%
$1000
para pagarla dentro de 5 años a
anual. ¿Cuánto pagaría esta persona al final del quinto año?
'
22 Valor del dinero a través del tiempo
Utilizando la ecuación
(2.1) tenemos: F F
=
=
1000 (1 + 0.2)5 1000 (2.4883) 2488.30 =
esto es, la cantidad a pagar al fmal del quinto año sería de 2.3.2
$2488.30.
Series uniformes de flujos de efectivo Existen situaciones tales como: depósitos constantes al fmal de cada período, o
percepción de ingresos constantes al fmal de cada período, en las cuales es conveniente derivar fórmulas para obtener la equivalencia de estos flujos en el presente, o bien su equi valencia en el futuro.
2.3.2.1
Valor futuro de una serie uniforme de flujos de eféctivo
Para determinar la equivalencia en el futuro de una serie uniforme de flujos de e fec
2.2)
tivo, es necesario introducir una nueva variable, la cual denotaremos por A (ver figura Esta variable representa el flujo neto al final del período, el cual ocurre durante
F al final del año n, se ) de cada una de las A 's.
dos. Por consiguiente, la cantidad acumulada mar la equivalencia (al fmal del período
n
n
perío
puede obtener al su
F
.o
3
1
2
.
'
A
A
A
j 1 1
n-3
n-2
A
A
·
n-1
n
' A
A
FIGURA 2.2. Diagrama de flujo que relaciona una cantidad futura con una
serie uniforme de flujos de efectivo. Por ejemplo, la equivalencia de la última
A
en el tiempo n es A, puesto que este flujo no
produce ningún interés. Sin embargo, la penúltima A produce intereses durante un perío
do-, por lo cual su equivalencia en eltiempo n es A
(1 + i).
Siguiendo esta misma lógica, la
-'primera A produce intereses durante n -!períodos por lo cual su equivalencia en el tiempo
n es A (1 + i)n-1.
S umando las equiva1encias de las nA� encontramos:
F =A (1 + (1 + i) + (1 + i)2 + . .
+
(1 + it -l)
la cual se reduce a:
(2.3) ó
F=A (FjA, i%, n)
Fónnulas de equivalencia 23
La ecuación
(2.3) también puede ser expresada en la forma siguiente: (2.4)
A = F (----)-==--(1 + if- 1 ó
A= F (AfF, i%, n) esto es, con esta última expresión se trata de determinar el flujo neto período durante ríodo
n
n
A al
períodos, que es necesario desembolsar, para acumular
una cantidad
fmal de cada
al final del pe
F.
Ejemplo 2.2 Un estudiante del
ITESM que actualmente está cursando su último semestre de la $250,000; desea conocer lo que sus futuros hijos pagarán de colegiatura semestral en el ITESM. Para esto se va a asumir que la colegiatura aumentará 20% P.Or semestre y que su primer hijo ingresará al ITESM a cur sar una carrera profesional dentro de 20 años. Utilizando la ecuación .(2.1) tenemos: carrera, y que paga actualmente una colegiatura de
F
(1 �000 "'""
.2)40
+
$367,442,900
=
Ejemplo 2.3 Con_sidere usted que en este momento tiene valen a
1,000
��
- �E��>Cl)que a la paridad actual equi: DÍG. Si los bancos en México pagan un interés anual de SO% en depósitos
a un �ño, y los bancos en U.S.A. pagafí" un
10% anual en depósitos similares, ¿cuál es el U.S.A.?
deslizamiento diario a partir del cual conviene depositar nuestro dinero en Utilizando la ecuación
(2.1) tenemos:
FMEXICO
=
250,000 (1 �-
1,000 (1
Fu.S.A.
--
+
.5)
=
+
.
1)
=
375,000 pesos
( !
1,100 doláres
si se igualan las dos ecuaciones anteriores y se onsidera a d como el deslizamiento diario, ·
se obtiene lo siguiente:
/-
1,100(250
....---
+
36Sd)
=
d
=
l37 s,ooo [ 1,000
24.9
37s,ooo· ,._.,
lo cual se reduce a:
d
=
l j
- 2So
centavos/día
/
365
j
24 Valor del dinero a través del tiempo
Ejemplo 2.4 Una persona d�pos!ta al final de cada!fleS, durante dos años, la cantidad de $1000. Si la cuenta de ahorros paga el 1.5%mensual, ¿cuánto se acumularía al fmal del segundo año? Utilizando la ecuación (2.3) se tien!: F= 1000 (
(1
+ .015)24- 1
)
' \._
.015 F= 1000 (28.6335) = 28,633.5
esto es, al fmal del segundo año se habrá acumulado la cantidad de $28, 633.50
.. '
2.3.2.2 Valor presente de una serie uniforme de flujos de efectiv o La figura 2.3 muestra un diagrama de flujo que relaciona una cantidad en el presen
te con una serie uniforme de flujos de efectivo. Para determinar la equivalencia en el tiempo cero de estos flujos netos al fmal de cada período durante n períodos, se puede proceder en igual forma que en el inciso anterior, es decir, la equivalencia en el tiempo cero de esta serie uniforme de flujos de efectivo, se puede obtener al sumar la equivalencia en el tiem po cero de cada urla de las A
A
o
nA
s.
A
......
2
A
A
n-2
n-I
'
A
1 1 1
n
/ p FIGURA 2.3. Diagrama de flujo que relaciona una cantidad presente con una serie
de flujos de efectivo. Por ejemplo, la equivaler-::ia en el tiempo cero ctel primer flujo es A/(1 +
i) y la equivalen
cia del segundo es Af(l + z)'·. Siguiendo esta misma lógica, la equivalencia del último flujo
en el tiempo cero es A/(1 +
p
=A (
i'f. Sumando todas estas equivalencias encontramos: +
1
(1 +
i)
1
(1 +
i)2
+.
. .
+
1 (1 +
it
)
y simplificando la expresión anterior se obtiene:
p=
A (
it - 1 ) ; o + i)n (1 +
(2.5)
Fórmulas de equivalencia 25
ó P=A (PjA, también
i%,
n
)
la ecuación (2.5) se puede poner en la forma siguiente: p A=
(
i (1 +i)n ) (l+i)n-1
�.;,t!PL' Or
f:Ci:>u\Ufl..,f"''..l' l
(2.6)
ó A= P (AjP,
i%, n)
la cual se utiliza para determinar la cantidad A que se recibiría (pagaría) al fmal de cada período durante
n
períodos, si en el tiempo cero se invierte (recibe) una cantidad P.
Ejemplo 2.5 Una persona deposita
$100,000
en una cuenta que paga el
5%
semestral. Si esta
persona quisiera retirar cantidades iguales al fmal de cada semestre durante
5
años, ¿de
qué tamaño sería cada retiro? Sustituyendo esta información en la ecuación
A=100,000
(2.6) se tiene:
05 (1 +.05)1 o ( . (1 + .o5Y o 1
)
_
A
=
esto significa que dicha persona
100,000 (.12950)
=
12,950
podrá hacer 10 retiros iguales de $12,950 al final de los
cuales se agotará la cuenta.
2.3.3 Flujos de efectivo en forma de gradientes aritméticos y geométricos Ciertos proyectos de inversión generan flujos de efectivo que crecen o disminuyen una cierta cantidad constante cada período. Por ejemplo, los gastos de mantenimiento de un cierto equipo se pueden incrementar una cierta cantidad constante cada periodo. Tam bién, es posible que ciertos proyectos generen flujos que se incrementan un cierto porcen taje constante por cada periodo. Este último caso se comprende fácilmente cuando se supo ne que los flujos por el efecto de la inflación crecen a un porcentaje constante por período. Por consiguiente, en el presente inciso se van a desarrollar fórmulas de equivalencias para flujos de efectivo que se comporten en forma de gradiente ya sea aritmético o geométrico.
2.3.3.1 Gradientes aritméticos Un flujo de efectivo en forma de gradiente aritmético sería aquel que aparece en la figura
2A. Como puede observarse
en esta figura, el flujo del primer año es A 1 , y del segun-
26
Valor del dinero a través del tiempo
do año en adelante el flujo se incrementa en una cantidad constante g. Por consiguiente, si quisiéramos transformar el flujo de efectivo de la figura 2.4 a uno parecido al de la figura
el cual es completamente equivalente, una alternativa es considerar que en el
2.5,
período dos empieza una serie uniforme de flujos de efectivo de tamaño g. También otra serie uni forme de flujos de efectivo empieza en el período tres y así sucesivamente hasta
d
,
l
-,
g_r-
d
l
A
1
g�
2
-·
· · · ·
n-1
n-2
3
n
FIGURA 2.4. Flujos de efectivo en f orma de gradientes aritméticos.
A2
A¡ 2
n-2
3
n-1
n
FIGURA 2.5. Flujo de efectivo equivalente al mostrado en la figura 2.4.
llegar al último período. De acuerdo con esta lógica, la cantidad tiplicar la suma de los valo�es futuros de estas series por (A/F,
A2 se puede obtener al mul i%, n) , esto es, A2 se puede
determinar por medio de la siguiente expresión:
A2�( (F/A. i%, n-1) + (F/A, i%,
n-
2) + ... + (F/A, i%, 2) + ...
. . . +(F/A, i%, 1 ) ) (A/F, i%, n) A2
=
� 1
( (1 + i)"
-
1
2 + (1 + i)" -2 + ... + (1 + i) + (1 + i)-(n- 1 )) (A/F, i%, n)
A2
=
f(
(1 + if - 1
)
Fónnurosdeequwaknda
27
la cual se reduce a: 1
A2 =g ( --
-
----
(2.7)
ó
A2 =g (Ajg, i%, n) Es importante señalar que a pesar de que el gradiente empieza en el período dos, en 1a
obtención del factor
(Ajg, i%, n) se
utiliza el valor den y no el den- l.
Ejemplo 2.6 Una persona piensa abrir una cuenta de ahorros que paga el 12% anual. Para empe zar, esta persona piensa depositar al fmal del año$ 5,000. Sin embargo, puesto que su sala rio está creciendo constantemente, esta persona cree poder incrementar la cantidad a ahorrar en $1,000 cada año. Si esta misma persona lúciera depósitos anuales de la misma magnitud, ¿de qué tamaño tendrían que ser para que la cantidad acumulada en 10 años fuera la misma?
Utilizando la ecuación (2. 7) y sustituyendo la información presentada en el ejemplo,
esta persona tendría que depositar:
A= 5,000 + 1,000
A =5,000
(-1-
10
_
.12
(1
+
.
)
1 2) 1 o-1
+ 1,000 (3.585)
A=$8,585 es decir, depositar $8,585 al final del año durante diez años, es equivalente a depositar al final del primer año $5,000 y después incrementar el depósito en$1,000 por año.
2.3.3.2
Gradientes geométricos
Los flujos de efectivo en forma de gradientes geométricos (ver figura 2.6) ocurren como se mencionaba anteriormente en ambientes crónicos inflacionarios o bien en épo
�ujos de efectivo de un período al siguiente pueden
cas de recesión. Esto significa que l
aumentar o disminuir de acuerdo a un porcentaje fijo, es decir, el flujo de (!fectivo delK período se puede representar como:
AK=Ak-1 (1 +j)
paraK=2,3, .. ,n
ó AK
= A1
(1 + il-1
1
paraK= ,
2,
3,
.
. ,n
th
28 Valor del dinero a través del tiempo
An An! An-2
n-2
/
n-[
n
p FIGURA 2.6. Flujos de efectivo en forma de gradiente geométrico.
donde
j
representa el porcentaje fijo de cambio (aumento o disminución) del flujo de
efectivo entre un período y el siguiente. Conc.::i!!ndo este porcentaje de cambio entre un período y el siguiente, el valor presente de estos flujos vendría dado por la siguiente expresión:
) -1 n A1 (1 +jK n AK P=� =� -=K=l(l+if" K=l (1 +if" -
ó
P-
A1
n 1 +j � (-- K l+i ) +jK=l 1
--
la cual se reduce a:
P= A 1
(
1
-
(1 +D"/(1 +. i)" ) (i- j)
Si i =Fj
(2.8)
o a la siguiente expresión:
P=
nA1 1 +j
Si i = j
(2.9)
Independientemente de que j sea igual o diferente a i, las ecuaciones (2.8) y (2.9) se repre sentan en forma general de acuerdo a la expresión siguiente:
P=A1 (PjA,
i%,j%,
n)
Interés nominal e interés efectivo 29 Ejemplo 2. 7 Un padre de familia ha destinado un cierto fondo de dinero para que su hijo estudie la carrera de liS en el ITESM. La carrera en esta institución dura inflación, la colegiatura aumenta el
8%
9 semestres y debido a la
semestral. Si el padre de familia deposita este
6% semestral, ¿cuánto tendría que depositar si $10,000? Suponga que el pago de la colegiatura
fondo en una cuenta bancaria que paga el la colegiatura del primer semestre es de ocurre al fmal del semestre.
Sustituyendo esta información en la ecuación
se obtiene:
1- (1 + .08l /(1 + .06)9 (.06- .08)
p=
10,000 (
p
10,000 (9.1603)
=
(2.8),
=
)
91,603
lo cual significa que este padre de familia tiene que depositar ahorita
$91,603,
con los
cuales se pagaría la colegiatura de los próximos nueve semestres.
2.4 INTERES NOMINAL E INTERES EFECTIVO Generalmente, en muchos estudios económicos las tasas de interés utilizadas son en bases anuales. Sin embargo, en la práctica es posible encontrar situaciones en las cuales los intereses se tengan que pagar más frecuentemente, ya sea cada semestre, cada trimestre o cada mes. En tales situaciones,/ conviene analizar, por ejemplo, si existe alguna diferencia
12% anual. Para analizar si existe realmente diferencia, $1 ,000 y ha recurrido al banco a solicitarlos. El banco ha acordado prestárselos a una tasa del 12% anual. Por otra parte, usted conoce a otra persona, la cual le presta la misma cantidad de dinero cobrándole el 1% mensual. Si el
entre pagar el
1%
mensual y el
suponga que usted necesita
plazo que se le da para reponer el dinero es de un año, entonces, usted tendría que pagar a cada parte lo siguiente:
Fbanco
=
Fpersona:
1000 (1 + . 12Y =
=
1000 (1 + .01)12
$1,120.00 =
$1,126.80
como se puede observar, aceptar el dinero al
12%
anual resulta más conveniente.. Este
resultado no es nada sorpren¡:iente, puesto que al cobrarse los intereses en base mensual, es obvio que se acumularán más intereses, ya que cuando el interés que se cobra es com puesto, los intereses generados a su vez producen más intereses. Del ejemplo anterior se puede concluir que el
1%
mensual no equivale al
12% anual.
Por consiguiente, si quisiéramos determinar el interés efectivo anual al cual equivale el lo/. mensual, tendríamos que hacer el siguiente cálculo:
1,126.80- 1,000
=
1,000
- � ...
12.68%
.
,
30 Valor del dinero a través del tiempo
Esto significa que la fórmula general para determinar el interés efectivo anual sería: 1
P(l
_
e¡-
+r/M)M -P P
(2.1 O)
ó
le¡= (1 +r/Mf1- 1
(2.10)
donde:
le¡= interés efectivo anual r
M
= interés nominal anual =
número de períodos en los cuales se divide el año
Por ejemplo, el 12% anual si se capitaliza cada semestre,.equivale all2.36% efectivo anual; si se capitaliza cada trimestre, equivale al 12.55% efectivo anual; si se capitaliza cada mes,
equivale al 12.68% y así sucesivamente. Sin embargo, si la capitalización es más frecuente aún, el interés efectivo anual no aumenta gran cosa, esto significa que en el caso límite de capitalizar un número infmito de períodos en el año, esto es, continuamente, el interés efectivo anual converge a:
le¡=
( (1
Lím M�oo
+r¡�/r {- 1
pero Lím (1 M-+OO
+ r/�/r =e
Por consiguiente:
\le¡=
1 ) --�__.,
e'-
(2.11)
---
es decir, si el interés nominal anual efectivo anual es e'
-
r
se capitaliza continuamente, entonces, el interés
l.
Para fmalizar este inciso, conviene puntualizar que siempre el interés a utilizar en un determinado problema, debe corresponder al tamaño del período seleccionado, es decir, si el período es de un semestre, el interés debe ser expresado en forma semestral. También conviene señalar que cuando la capitalización es más frecuente que un año (mensual, tri mestral, etc.) y los flujos de efectivo ocurren sólo al fmal del año, entonces, existen dos alternativas de resolver el problema:
1)
seleccionar como período ya sea el mes, trimes
tre o semestre y la tasa de interés correspondiente, o 2) seleccionar como período un año y utilizar el interés efectivo anual. Cuando son flujos únicos es indistinto usar cualquiera de las dos alternativas, sin embargo, cuando se están manejando series uniformes de flujos de efectivo, conviene utilizar la segunda alternativa.
Interés real 31 2.5 INTERES REAL Existen en la práctica ciertos problemas en los cuales se nos asegura que nos van a cargar una cierta tasa de interés. Los problemas más comunes de este tipo son las compras que se hacen a crédito, los préstamos bancarios, etc. Sin embargo, muy probablemente en la mayoría de estas transacciones el interés real es mucho mayor al que supuestamente se nos está cobrando. El concepto de interés real es muy similar al de interés efectivo, de hecho, son equi valentes. Sin embargo, cuando hablamos de interés efectivo, normalmente nos referimos a un año, y cuando hablamos de interés real, el tamaño del período puede ser de un mes, un
trimestre o un semestre. Lo anterior significa que al interés real también le podemos lla mar interés real efectivo. Para comprender mejor este concepto analicemos los siguientes ejemplos:
Ejemplo2.8 Una persona ha solicitado al banco un préstamo por la cantidad de
$10,000.
El ban
co para este tipo de préstamos otorga un plazo de seis meses a un interés del1.5% men sual. Si la persona recibe
$10,000 menos los intereses generados por el préstamo,
¿cuál es
el interés real mensual en esta transacción? Primeramente se va a determinar la cantidad neta de dinero que esta persona recibe: / 1>
P= 10,000- (10,000 (1 +
.015)6
�
P:=
10,000)
P=9,066 es decir, la persona va a recíbir
$9,066
{O,(Jt)Q
tL;:; e;.,....�,).;-. t -:: l . CJ; �/.
a cambio de pagar
$10,000
r'f """""
1
dentro de seis meses.
Lo anterior significa que el interés real mensual en este préstamo, sería la tasa de interés que hace
$9,066 igual a $10,000 dentro de seis meses, esto es: 9,066 (1 + iR)6 = 10,000
y despejando iR encontramos: -
1 L iR= (e ( 6 n
vr,f,t;f10,000 ) 9,066 t(,()b)f-
)-1 = 1.65% 1.65% mensual, el cual.equivale a 1.65% representa también el inte
Por consiguiente, el interés real de este préstamo es de 21.70% anual efectivo. Además, conviene señalar que
rés efectivo mensual, es decir, en este caso es indistinto usar el término interés real men sual o interés efectivo mensual. La razón por la cual el interés real resultó mayor que 1.5%, estriba en el hecho de
que los intereses se están calculando sobre una cantidad mayor a la que estamos recibien do, y además se están cobrando por adelantado.
Ejemplo2.9 Un alto ejecutivo desea comprar un automóvil que vaya de acuerdo con el nivel je
rárquico que ocupa. Para esto ya se ha decidido por un "Century Limited" modelo 1985,
r
32 Valor del dinero a través del tiempo
el cual cuesta $5,000,000. Las condiciones de pago son dar el 20% de enganche y el resto a 36 meses. Si el banco le financia el80 % del valor del automóvil y le cobra un 2.6% glo bal mensual y le determina el tam�o de los pagos mensuales de la siguiente manera:
Mensualidad=
0�6000 (.026)(36)
4,000,000 + 4,0
=
215 ,l l l
¿Cuál sería el interés real mensual que resulta de aceptar esta fuente de financiamiento? El interés real mensual en esta operación sería la tasa de interés que iguala el valor presente de 36 mensualidades de $215,111, con el valor del financiamiento de $4,000,000, esto es:
4,000,000
=
215,111 (P/A, iR% , 36)
y el valor de iR que satisface la ecuación anterior es de 4.13% . Lo anterior significa que
si se acepta el financiamiento del banco, el interés real mensual sería de 4.13% y el efec tivo anual de 62.52%:
Ejemplo 2.10 Una persona planea casarse dentro de cuatro meses. Su principal preocupación por el momento es comprar lo más indispensable para la casa, como lo son: la estufa, el come dor, el refrigerador, la sala y la recámara. Específicamente esta persona está interesada en comprar una recámara modelo "provenzal delicias", la cual está marcada a un precio de
$30,000. Sin embargo, esta persona tiene dos opciones para comprar dicha recámara: 1) comprarla de contado a un precio de $18,000, o 2) comprarla a crédito (12 pagos men suales) a una tasa de interés del 1.5% mensual. Si esta persona compra la recámara a cré dito, ¿cuál sería el interés real mensual? Antes de evaluar el interés real mensual, primero es necesario determinar la magni tud de cada pago mensual para la alternativa de comprar a crédito. Tal mensualidad la mueblería la calcula de la manera siguiente:
A= 30,000 + 30,000 (.015) (12)
=
2,950
12 Por cons.iguiente, el interés real mensual en esta transacción, sería la tasa de interés que iguala el valor presente de doce mensualidades de tamaño $2,950 con el valor de contado el cual es de $18,000, esto es:
18,000= 2,950
(P/A, iR%, 12)
y el valor de iR que satisface la ecuación anterior es de 12.3%. Esto significa que si la re
cámara se compra a crédito, el interés real mensual sería de 12.3% y el efectivo anual de
302%. Existen básicamente dos razones por las cuales el interés real en este ejemplo es excesivamente alto: 1) primeramente, los intereses se obtienen a partir del precio a crédi-
Fórmukls de equivalencia 33
to
($30,000)
y
2) los
intereses generados en el futuro (próximos
12
meses) se están su
mando como si estuvieran en el mismo punto del tiempo. Los dos ejemplos anteriores muestran claramente la importancia de manejar bien estos conceptos, puesto que de esta manera se podrán tomar mejores decisiones en la compra de activos a crédito, es decir, se podrán e�coger mejor las fuentes de financiamien to (más baratas) con las cuales se adquirirán los activos.
2.6 FORMULAS DE EQUNALENCIA ASUMIENDO INTERES COMPUESTO CONTINUO Puesto que generalmente las transacciones monetarias dentro de una empresa ocu rren diariamente, y el dinero normalmente se pone a trabajar inmediatamente después de que se recibe, vale la pena desarrollar fórmulas de equivalencia en las cuales se considere que el interés compuesto es capitalizado continuamente. Por consiguiente, en esta sección se van a desarrollar las mismas fórmulas presentadas anteriormente, pero asumiendo una
capitalización continua.
2.6.1 Flujos de efectivo únicos Para determinar la fórmula de equivalencia que relaciona un valor presente P con valor futuro
F,
cuando el interés nominal anual
un
r se capitaliza continuamente, los intere
ses generados a cada instante deben ser agregados al principal
(P) al fmal de cada
infinitesi·
mal período de interés, esto es, si la capitalización es anual, el valor futuro sería:
F=P(l
+rf
1
<()
si la capitalización es semestral, el valor futuro sería:
F=P (l +r/2)2n
,..,
y\
,\-r(
si la capitalización es mensual, el valor futuro sería:
F=P(l
+r/12) 12n
y si la capitalización es continua, el valor futuro sería:
F=
P (1
Lím
+ r/Mf!n
M�oo
pero rearreglando términos tenemos:
F=
Lím P M-+-
( (1 +r/Mf! lryn
\_\]IJ
"'\ 1
'
34
Valor del dinero a través del tiempo
y como
I
Lím (1 + r!M'/" r= e' M-+oo
entonces, el valor futuro se obtiene con la si guiente expresión: F=Pe'n y al factor resultante
(2.12)
¿n comúnmente se le representa por (FjP, r%,
n) .
La ecuación (2.12) también se puede representar como:
P=Fe-rn
(2.13)
en la cual se trata de obtener el valor presente dado que se conoce el valor futuro. Al fac tor resultante e-rn se le denota por
(P/F, r%, n).
Ejemplo 2.11 En países con altas tasas de inflación como Bolivia, donde se han llegado a padecer. inflaciones del 30,000% anual, se puede considerar para propósitos prácticos, que la capi talización es continua, ya que los precios de los bienes y de los servicios suben casi a cada momento. Si se asume que la inflación en este país es de .5% cada seis horas, y un automó vil mediano cuesta $20,000,000, ¿cuánto costará dicho automóvil dentro de un año? Puesto que la tasa de inflación cada seis horas es de .5%, entonces, la tasa anual no minal es de 730% y usando la ecuación (2.12) el valor del coche sería:
F = 20,000,000 e< 7.3) = 2.6.2
29 ,606 millones
Series uniformes de flujos de efectivo
2.6.2.1
Valor futuro de una serie uniforme de flujos de efectivo
Siguiendo el mismo razonamiento presentado en las secciones anteriores, la suma acumulada al fmal del año las A 's en el año
n,
n,
se puede obtener al sumar las equivalencias de cada una de
es decir:
F= A
(1
+e r +e 2r
+ ..
. + e
la cual se reduce a:
F=A
(
¿n- 1 e'- 1
ó
F=A (F/A, r%, n)
)
(2.14)
Fórmulas de equivalencia 35 también la ecuación (2.14) puede _ser expresada en la forma:
A=F(
é-l)
(2.15)
ern- 1 ó
A=F (A/F,
r%,
n)
Ejemplo 2.12 Seis depósitos semestrales iguales de $10,000 son hechos en t =O, 1, 2, 3, 4 y 5 en una cuenta que paga el 40% anual capitalizable continuamente. Posteriormente se van a h acer dos retiros iguales de $ X en t = 8 y t = 11. Si con el segundo retiro se agota la cuenta, ¿cuál es el tamaño de estos retiros? De acuerdo con la figura que se presenta a continuación y aplicando las ecuaciones
(2.12),(2.13) y (2.14) se obtiene: �
1$X I i I i 1 í::. , 8
9
10
t$X
11
,
A= $10,0.00
10,000
(F/p.
20%, 5) + 10,000
(F/A,
20%, 5) =X (P/F, 20%, 3) +X (P/F, 20%, 6) y
sustituyendo los factores que aparecen en el apéndice B se obtiene:
10,000(2.7183) + 10,000(7.7609)=X(.5488) +X(.3012) X= 104,792 .8498 X= $123,314/
2.6.2.2
Valor presente de una serie uniforme de flujos de efectivo
La equivalencia en él tiempo cero de una serie uniforme de flujos de efectivo, se puede obtener siguiendo la misma lógica del inciso anterior, es decir, sumando las equi
valencias en el tiempo cero de cada una de las A
's, esto es:
P=A (e-r + e-2r +
. . .
+ e -nr)
la cual se reduce a:
P=A(
1 - e-rn
-y--e -1 )
(2.16)
?:
36 Valor del dinero a través del tiempo ó P=A (P/A,
la ecuación
(2.16) también se puede
r%,
n
)
expresar como:
' A=P(e -1 ) 1 -e-rn
(2.17)
ó A
=P(AjP, r%, n)
Ejemplo 2.13 30% anual ca 5 retiros anuales iguales de $100,000, em
¿Cuánto es necesario depositar en una cuenta de ahorros que paga el pitalizable continuamente, si se quieren hacer
pezando dos años después de hacer el depósito? El diagrama de flujo de efectivo de este ejemplo se presenta a continuación:
A =100,000
l
1
2
4
3
6
5
p =?
De acuerdo con esta figura y aplicando las.ecuaciones P
(2.12) y (2.16), se obtiene:
100,000 (P/A, 30%, 5) (P/F, 30%, 1)
=
y sustituyendo los factores que aparecen en el apéndice B, se obtiene: p=
100,000 (2.2205) (.7408)
=
$164,490
Ejemplo 2.14 Considere una tasa nominal anual de
$300% y que un refrigerador cuesta $500,000.
¿De qué tamaño serían 3 anualidades iguales que saldaran dicha cantidad?· Utilizando la ecuación (2 .17) y la información presentada en el ejemplo, se obtiene: A
=
500,000 (A/P, 300%, 3)
A=
500,000 [(e3- 1)/(1 - e-9)]
A=
$9,543,723
'
FórmuliJs de equivalencia 37
Flujos de efectivo en fonna de gradientes aritméticos y geométricos
2.6.3
Gradientes aritméticos
2.6.3.1
De acuerdo a las figuras
2.4 y 2.5 y a la ecuación (2.14), la cantidad A2 se puede
determinar por medio de la siguiente expresión:
A2 =g ( (FjA, r%, n- 1)+(F/A, r%, n- 2)+ ... +(F/A, r%, 1) )(AjF, r%, n) A2 =
+ (e(n-l)r+eCn-2)r+. . . ... +e'-(n-1)(é-1 ) e -1 rn-1 e
A2
(
g
= e'-: 1
(
ern- 1 e' - 1
)
-
gn
e'- 1
)(
e' - 1 ern- 1
l
)
la cual se reduce a:
A2
1
n
) = g(e· ,1 e rn- 1
� ..
ó
)
(2.18) ':
?O�·'
A2 =g(Ajg, r%, n)
t.
t
-�
1¡
9e 5
�
f'
Ejemplo 2.15
¿Cuánto es necesario depositar en una cuenta que paga el 30% anual capitalizable. continuamente, si se requiere hacer 5 retiros anuales? Suponga que el primer retiro es de
$20,000 y a partir del segundo los retiros aumentan a una razón constante de $5,000. Utilizando las ecuaciones (2.16) y (2.18) y la información presentada en el ejemplo, se obtiene:
P
=
[20,000 + 5,000 (Ajg, 30%, 5)] (P/A, 30% , 5)
y sustituyendo los factores que aparecen en el apéndice B, se obtiene: p p 2.6.3.2
=
=
[20,000 + 5,000 (1.4222)] (2.2205) $60,200
Gradientes geométricos
De acuerdo a la figura 2.6 y a la ecuación (2.13) y suponiendo que el flujo de efecti vo del Kth período se puede expresar como:
38
Valor del dinero a través del tiempo
j)K-1 AK=A¡ (1 +
para K=
1, 2, 3, . . .
n
el valor presente de estos flujos de efectivo vendría dado por la siguiente ex p resió n :
�
p=
A 1 (1 + j)K- 1
e rK
K= 1 .-'
ó p
i:
A¡
=
(1 +j)
1 +j '
K=l(
K
)
e
la cual se reduce a:
P=A1
(+
( 1-((1 +j)fe't 1 -( 1 +j)/ e'
e
) )
(2.19)
ó
P = A1 (PjA, r%, j%, n) Ejemplo 2.16 Una persona ha depositado
$100,000
en una cuenta de ahorros que paga el
anual capitalizable continuamente. Si esta persona desea sacar de la cuenta crezcan a una razón de
15%
5
30%
retiros que
anual, ¿cuál sería el tamaño del primer retiro, de tal modc
que al hacer el quinto se agote la cuenta? Utilizando la ecuación
(2.19) y la información A1
=
presentada en el ejemplo, se tiene:
100,000 (P/A, 30%, 15%, 5)
y sustituyendo el factor que aparece en el apéndice B, se obtiene:
A1
2. 7
=
100,000 2.7580
=
$36,258
FORMULAS DE EQUIVALENCIA SUPONIENDO QUE LOS FLUJOS DE EFECTNO SON A TRAVES DEL PERIODO En las secciones anteriores se suponía que los flujos de efectivo ocurrían al fmal del
período. Sirl embargo, es muy probable que en algunos casos el dirlero fluya a través del pe
ríodo. Por consiguiente, en algunas ocasiones es conveniente suponer que el dirlero fluye contirluarnente a través del período a una razón constante. En tales situaciones, en vez de tener una serie uniforme de flujos de efectivo discretos de magnitud A, se va a tener un flujo A, el cual fluye uniforme y continuamente a través del período de tiempo dado.
Fórmulas de equivalencia 39
2.7.1 Valor presente qe un flujo de fondos
Para determinar la fórmula de equivalencia que determina el valor presente de una serie uniforme de flujos de fondos, vamos a analizar el comportamiento del valor presente a medida que se desparrama el flujo a través del período, esto es, primero se va a detenni
A pesos al final del año durante r. Tal valor presente viene dado por:
nar, por ejemplo, el valor presente de gastar (recibir) si el interés nominal anual es
n
años
P= A ( (1 +rt - 1 ) r(l +rt Ahora, si en lugar de gastar (recibir) final de cada semestre (durante
n
A pesos al fmal del año gastarnos (recibirnos) A/2 al
años), entonces, el valor presente sería:
p
=
A_ ( (1 + r/2in- 1) 2 _!_ (1 +r/2)2n
2
y si por otra parte se gasta (se recibe)
A/4 pesos al fmal de cada t�irnestre (durante n años),
entonces, el valor presente sería:
P=
1 A( (1 +r/4)4n 4 _!_ (1 + r/4)4n
)
4
Es obvio que la expresión anterior a medida que se desparrama más el flujo durante el año, más se aproxima a un valor límite. Este límite se alcanza precisamente cuando el número de períodos
en
el año es infmito, es decir, cuando el flujo de efectivo fluye a través del
año. El valor �resente en tal situación sería:
P=
\
Lím M-+-
A_ ( (1+ r[M)Mn - 1 M
_!_ (1 M
+r/M'f'Tn
)
rearreglando la expresión anterior encontrarnos:
�
r l +r¡Mfll') n - 1 ( P=A ) ' rn -r (o+r¡Mfll ) la cual se red uce a:
p
/.��
=
A(
e'n.--; 1 )
(2.20)
/
Valor del dinero a través del tiempo
40
ó P=A (P/A, es importante señalar que la ecuación
r%, n)
(2.20) aunque se desarrolló suponiendo que los pe·
ríodos son de un año, también se puede aplicar a casos en los cuales el período sea menor que un año. Lo importante en la aplicación de esta fórmula es suponer que el flujo será a través del p eríodo. Por ejemplo, si A es el flujo que fluye a través de un semestre, enton ces,
r sería el interés
nominal semestral.
Por otra parte, la ecuación
(2.20) también puede ser expresada en la forma
A=P
�rn ( r
siguiente:
__
(2.21)
)
ó A=P(A/P,
r%. n)
Ejemplo 2.17 ¿Cuál es el valor presente de un flujo de efectivo que fluye a través del año durante
5
años y que crece a una razón de
año es de
$25,000 y la
30%
anual? Suponga que el flujo de efectivo del primer
tasa de interés nominal anual es de
Utilizando la ecuación
(2.20) para P
=
25%.
el flujo del primer año, se tiene:
25,000 (P/A, 25%,
l)
y sustituyendo el factor que aparece en el apéndice C, se obtiene:
p \
=
25,000 (.8848)
=
$22,120
Lo anterior significa que el flujo de fondos original, se transforma en un flujo de efectivo que se comporta de acuerdo con un gradiente geométrico, que crece a una razón anual de
30%.
En forma gráfica, el flujo de efectivo resultante, sería como el que se muestra a con
tinuación:
A¡= 22,120 (1.3)
=
28,756
� 2 p =?
3
4
Fórmulas de equivalencia 41 Por consiguiente, si se aplica la ecuación (2.19), el valor presente de dicho flujo sería: P
=
22,120 + 28,756 (P/A. 25%. 30%. 4)
y sustituyendo el factor que aparece en el apéndice B, se obtiene:
2.7.2
p
=
P
=
22,120 + 28,756 (3.1738)
S113,386
Valor futuro de un flujo de fondos Siguiendo el mismo razonamiento que eh el inciso anterior, el valor futuro de una
serie unifonne de flujo de fondos que ocurren durante
n
períodos, vendría dado por la
expresión:
F=
Lím M-+..
A_ ( (1 M
r/M/'n -
+
1
r/M
)
y rearreglando la expresión anteüor encontramos:
F=
Lím A
(
(
(1
+
r/M/' Ir yn r
M-+oo
1
)
la cual se reduce a:
¿n -1 F=A ( r
)
(2.22)
ó
F =A (F/A.
r%, n)
Por otra parte la ecuación (2.22) también puede ser expresada como:
A=F(
r ¿n
-1
)
(2.23)
42 Valor del dinero a través del tiempo ó
A= F(Ajr� r%, n)
�inalmente, conviene
señalar que aunque interés compuesto continuo y flujos de
fondos representan más de cerca las transacciones que ocurren en una empresa, estos con ceptos no han sido ampliamente aceptados por los analistas encargados de evaluar proyec tos de inversión.
Ejemplo 2.18
¿Cuál es el valor futuro de gastar $100,000, $120,000, $140,000, $160,000 y $180,000 en t = 1, 2, 3, 4 y 5 respectivamente si los desembolsos se hacen a través del periodo, y la tasa de interés nominal anual es de 20%. Utilizando la ecuaciún (2 .22) para un período de un año, el flujo de efectivo origi-
. nal se transforma en un flujo con gradiente aritmético, como el que se muestra a conti nuación:
F=?
3
2
¡
110,700
4
1
5
I 1 1
132,840
154,980
"".> •
•
/
�.�" r d·�' .nD'\. 1 . ·rJ,�t.\ + 1 _· r•
·
·
·
,.,
• J
-t �
.)
�u
177,120 199,260
Lo anterior significa que ahora se tiene un flujo de efectivo con gradiente aritmético de $22,140, y por consiguiente, el valor futuro será: F
=
[110,700 + (22.140) (Ajg, 20%, 5)] (F/A, 20%, 5)
y sustituyendo los factores que aparecen en el apéndice B, se obtiene: F
F
=
=
[ 110,700
+
$Ll35 ,111
(22,140) (1.6068)] (7 .7609)
·
"
Problemas 43
-l PROBLEMAS
/
en una cuenta de ahorros que paga el 1_�'!...anttal se depositan $1,000 aimales / durante 5 años, ¿qué cantidad se acumularía al tinaf del año 10) si e( primer depó to se ruzo al final del iño 1? ¿Qué cantidad es. necesario depo�tar ahora �n una cuenta de ahorros que paga el . ) 1O% pata acumular al final del quinto año $1O,OOQ? ¿Cuál es el interés que se gana en un proy'ecto que requiere de una ·inversión inicial /2.3 de $10,000 y produce $20,114 al término de su vida de 5 años? / ¿CIJál es el tamaño de 60 mensualidades y de 5 anualidades que resultan de la 2.4 compra de un terreno con valor de $500,000, si la tasa de interés es de 18% anual, y las condiciones__Qe pago son 1 O% de enganche y el resto se reparte por igual en , mensualidades y anualidades? ¿Cuánto tiempo tomaría una cantidad de $P en duplicarse, si la tasa de interés es de 10% anual? 2. 6 Un padre de familia desea que su hijo de 7 años estudie una carrera profesional en el ITESM. Las carreras en este Instituto duran normalmente 8 semestres, y la cole �h¡ ? giatura semestral que actualmente es de $20,000, crece por el efecto de la inflación a una razón del 10% semestral. Para lo�ar este objetivo, el padre de familia pien sa ahorrar una cantidad anual durante 1 O años, empezando al final del octavo ani .-it;,t'o versariÓ del nacimiento de su hifo. Si l�enta de a4orros paga un 1 §%anual, y el primer pago semestral se hace al final de la primera mitad del añ� 18�a) ¿De qué tamaño deben ser las anualidades que se depositan en.la cuenta deahorros, de tal modo que al hacer el pago de la última cuota semestral se agote la cuentª?b)_� que tamañoaeoe sef. el primer depÓsito� si las cantidades que se depositan ca_ año pueden crecer a una razón constante de $5,000? 2.7 Una persona deposita en una cuenta de ahorros una cantidad anual que va dismi nuyendo a una razón constante de $500 por año. La magnitud del primer depósito que se hace es de $1O,000 y el último de $5,500. Si en la cuenta de ahorros se gana un 15% anual, ¿de qué magnitud debe ser un depósito anual constante durante el mismo tiempo, de tal modo que la cantidad acumulada sea la misma? 2 .8 ¿Qué cantidad debe ser depositada en una cuenta de ahorros que paga ellO%anual, de modo ·que se pMedan retirar $700 al fmal del año 1, $1,500 al final del año 3 y ,- $2,000 al fmal del año 5, y la cuenta quede agotada? 2.9 Una persona deposita en una cuenta de ahorros $10,000 anuales durante 5 años, al fmal de los cuales la mitad del saldo acumulado es retirado. Posteriormente, $20,000 anuales son depositados en la misma cuenta durante 5 años más, siendo el saldo acumulado retírado ai fmal del año 15. Si en la cuenta de ahorros se gana un 10% / anual, ¿qué cantidad sería retirada: a) al fmal del quinto añ? ;b) al fmal del año 15? 2.10 Una deuda por valor de $X es contraída en t =O. Si el interés que se cobra es de 10%, y los pagos que se acordaron hacer son de $5,000, $4,000, $3,000, $2,000 y $1,000 en t = 6, 7, 8, 9 y 1 O respectivamente, determine el valor de $X. Si
/
/< f0 _
1
·
2.11
2"r2 2.13
¿Cuál. es el interés efec _ tivo de una tasa de interés de 18% a.hu;;'I si se capitaliza:
a) anualmente, b) senw-stnrlmente, e) mensu)lmente y d) continuamente?
Si se hacen depósitós anuales' de $1,000 durante 5 años, en una cuenta de ahorros que paga el 5% semestral, ¿cuál es la cantidad que se acumula al fmal del año 5? Una persona desea recibir $1,000 al fmal de cada uno de los próximos cuatro tri-
r
44
Valor del dinero a través del tiempo
mestres. Si la cuenta de_ ahorros paga un 8% anual capitalizable cada trimestre, ¿cuál es el depósito inicial requerido? 2Jl4 Una persona ha solicitado un préstamo de $10,000 a una tasa interés de 1 O% anual capitalizable cada trimestre, el cual piensa pagar en 10 pagos semestrales iguales. Si el primer pago se hace un año después de conseguir el préstamo, ¿cuál sería la magnitud de estos pagos? 20 2.15 ¿Cuánto tiempo tomaría una cantidad de $P en triplicarse, si la tasa de interés es de 10% anual capitalizable cada semestre? Una· persona ha solicitado un préstamo de $10,000 a una institución bancaria que ¿112°-<í$2.16 le cobra un interés de 12% anual capitalizable cada semestre. Esta persona desea .:::3. teoq--:+ devolver el préstamo en seis anualidades iguales. Si el primer pago se hace al mo mento de recibir el préstamo, ¿cuál sería el-tamaño de estas anualidades? ...., . 1'2 o -2.17 Después de haber analizado los intereses reales que se cobran en diferentes esta blecimientos comerciales, una persona ha decidido dedicarse a prestamista. Para ello, va a establecer la compañía llamada "El Ultimo Recurso". En esta compañía, la forma de operar es la siguiente: Cuando una persona solicite un préstamo de $P, esta cantidad será transladada al final del plazo concedido en años, de acuerdo a la expresión: F P (F/P, 10%, n). Posteriormente, para determinar el tamaño de-los pagos anuales, la cantidad _F es dividida entre el número de años que abarca el préstamo. Si una persona solicita a esta compañía un préstamo de $P a un plazo ---t de 5 años, ¿cuál sería el interés real anual que resulta de esta transacción? ·2.18 Una persona obtuvo un préstamo de $5,000 a un plazo de 3 años, y a una tasa de interés de 15% anual. Los intereses que se generan en este plazo se determinaron como sigue:
r 1.
=
r
•·
Intereses= 5,000 (FjP, 1 5%, 3)
-
5,000
=
2',605
fueron deducidos del principal. Por consiguiente, esta persona recibió la canti dad de $2,395.00 a cambio de pagar $5,000 dentro de 3 años. ¿Cuál es el interés ·- .:.' ·reiil anual que se va a pagar en este préstamo? Una persona lill solicitado un préstamo de $100,000 para comprar un automóvil. Ella desea pagar este préstamo en 36 mensualidades iguales. Si la agencia prestamis ta cobra un 2% mensual y determina el tamaño de los pagos mensuales de la si guiente manera: y
2.19
,
ál A r\..-
11¡ (f¡V1 1
0
____
2.21
M ensua lida d -
_
100,000
+
//"
100,000 (.02) 36 J$411 773 , , ./ 36 ./ �'
sería el interés real mensual que re�ulta de aceptar esta fuente de fmanciaento? uatro depósitos trimestrales iguales de $1,000 son hechos en t =O, 1, 2 y 3 (los períodos son trimestres) en una cuenta que paga ellO% anual capitalizable conti nuamente. Posteriormente se van a hacer dos retiros iguales de $X en t = 5 y t = 1 O. Si con el segundo retiro se agota la cuenta, ¿cuál es el tamaño de estos retiros?
Depósitos semestrales de $500 son hechos en una cuenta que paga el 12% anual capitalizable continuamente. ¿Cuál sería el valor acumulado en esta cuenta des pués de hacer 10 depósitos.? ,., (j
1/) l..\ ¡- .
-,
.._,
..
1
Problemas 45
) ¿Cuánto es necesario depositar '-...___./ capitalizable con tinuamente, si
l 2.22
en una cuenta de ahorros que paga el 10% anual se quieren hacer 10 retiros anuales? Suponga que
el primer retiro �de $1,000 y a partir del segundo, los retiros aumentan a una ra zón constante de $500. -
2.23
'
Una persona ha depositado $10,000 en una cuenta de ahorros que paga e
l�
anual capitalizable continuamente. Si esta persona desea sacar de la cuenta 10 re tiros que crezcan a una razón de
�·nual, ¿cuál sería el tamaño del primer reti
ro, de tal modÓ que al hacer el décimo se agote la cuenta? 2.24
"
¿Cuál es el valor presente de un flujo de efectivo que fluye a través del año duran te 5 años' y que crece a una razón del 20% anual? SUponga que el flujo de efectivo del primer año es de $5,000 y la tasa de i nterés nominal anual es de 10%.
2.25
¿Cuál es el valor futuro de gastar $10,000,$15,000 y $20,000 en t
=
1, 3 y 5 res
pectivamen te, si los desembolsos se hac�n a través del período, y la tasa de in terés nominal anual es de 15%?
2.26
Para el siguiente diagran1a de flujo de efectivo, determine el factor (Pjg, i%,
n
)
.
J
g ·q l>
2
2.27
•
3
•
•
•
o
l
.
n
_L A .
-
1
Para el siguiente diagrama de flujo de efectivo, determine los factores (P/A, i %, nx) y (FjA, i%, nx .
Nota: X es
)
u·n
A
A
•
1
X
2X
número entero mayor que l.
A '
A
3X
nX
Á
46 Valor del dinero a través del tiempo
2.28
Resolver el problema 2.26 suponiendo que:
a) la
capitalización es continua y b)
los flujos de efectivo son a través del período.
2.29 2.30
Resolver el problema 2.27 suponiendo que la capitalización es continua. Para el siguiente diagrama de flujo de efectivo, determine los factores (A/g, y
(A/g, r%,
nx
i%, nx)
).
j_ 3X
� .
)X
X
...
3 Método del valor anual equivalente
/
"
El concepto del valor del dinero a través del tiempo introducido en capítulos ante riores, revela que los flujos de efectivo pueden ser trasladados a cantidades equivalentes -a cualquier punto del tiempo. Existen tres procedimientos que comparan estas cantidades equivalentes: • • •
Método del valor anual equivalente' Método del valor presente Método de la tasa interna de rendimiento
Los tres métodos anteriores son equivalentes, es decir, si un proyecto de inversión es ana lizado correctamente con cada uno de estos métodos, la decisión recomendada será la misma. La selección de cuál método usar dependerá del problema que se vaya a analizar, �e las pr��ias del analista y' �e cuál arroja loúesl!!tado_s e� una forma que sea fácil mente comprendida por las personª-s�involucradas en el proceso de toma de decisiones. De los tres métodos mencionados, en este capítulo se discutirá y analizará el mé todo del valor anual. En el capítulo, primeramente se explica el significado e interpr_eta ción del método del valor anual cu_ando éste se aplica al an!liSis y evaluación de Ún proyecto individual. Posteriormente, en el capítulo se muestra cÓ�J2licar el método del valor am¿al cuando: 1) Los ingresos y gastos de las alternativas son conocidos; 2) Solamente los �- de �ada altérnativa son conocidos; y 3) Las vid�s de las alternativas s?; diferep.tes. Finalmente, en el capítulo se muestra el proceso de selección de alternativas mutuamente exclusivas 9lªDci9- má� de d�s alternativas son conside¿adas y, cÓrpo analizar proyectos de inversión de vida infmita. Por otra parte, cabe hacer la aclaración que los análisis n:tostrados en este capítulo son al\tes de imp�stos. El efecto de los impuestos eneStúdios �nómicos será tratado en capítulos subsiguientes.. · -
3.1 ANALISIS Y EVALUACION DE UN PROYECTO INDMDUAL .1 \
�
Con el método del valor anual equivalente, todos lQs ingresos y gastos que ocurren durante un período sqn co�vertidos a una anualidad equivalente (uniforme). C uando di-
>f
41
,.
48 Método del valor anual equivalente
�
cha�u_alid w!s positt@, entonces, es recomendable que & proyec�o sea_ '!-cep!ad9. Este método es m_uy popular porque la mayorí.a_ddos ingresos y gastos que origina un proyecto
son medidós en bases af!llJ!!�s. Esta característica hace al método más fácil - de aplicar y de entender que los otros métodos meñci��dos.
Para comprender mejor la mecánica-de este método, suponga que usted está intere
sado en comprar una computadora
HP-3000
con la cual se podría proporcionar servicios
de consultoría a la pequeña y mediana industria. Tales servicios podrían ser: nómina, mo
vimientos de personal, facturación, distribución, inventarios, etc. También, asuma que
investigaciones preliminares de la inversión requerida y del mercado, arrojan la siguiente información: la computadora ya instalada cuesta un millón de pesos y su valor de rescate
después de
5
años de uso intensivo se considera despreciable, y el mercado para �te nego
cio es tal que la utilidad proyectada en los próximos
5
años es de
$.400,000/�.
Final
mente, suponga que usted ha pedido prestado el millón de pesos a una institución bancaria
la cual le cobrará una tasa de interés anual de anualidades iguales.
20%
y le exige devolver el préstamo en 5
Para esta información, el método del valor anual equivalente sugiere transformar
todos los flujos que origina este proyecto (ver figura
3.1)
a una base anual. Por consiguiente,
el valor anual neto sería la diferencia entre los ingresos anuales y la anualidad pagada al .
banco:
.
\J,¡,"-ne.
;
71'
lf>.>.-Y
�M� oOO
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l "'u "t>OOO u
(jo .;;.<>. 1.n2f 11 i/
r��� -:-�\lO ()(lO �?3133'Li9i/1-
A 400,000 - l ,000,000 (Ajp, 20 %, 5) A = 400,000- 1,000,000(.33438) A =$65 '620 =
¡,rDrW
-::::
(,5(/S-
oC>(UJ ,1t;,i' , ' ,_ � v "" v
Puesto que la anualidad equivalente es positiva, e::tonces, vale la pena emprender este pro
yecto de inversión.
� 400,000
(l.?P'I'l
'
400,000
(l
�o) '-
2
� '.
.,. 1,000,000
( -; � \:::� : }.¡ (\
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3
o
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(.1-• 400,000
400,000.
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4
5 (
1
.
J'
o.�\1::\. "'(o '- u� =� r
FIGURA 3. L Flujo de efectivo que resulta de la adquisición de una computadora HP-3000.
El ejemplo anterior sugiere que cada vez que la anualidad sea positiva, se acepte el
proyecto en cuestión. Sin embargo, este criterio de decisión puede resultar peligroso si en
la determinación de la anualidad neta se utiliza como tasa de interés i el costo de capital
(costo ponderado de las fuentes de fmanciamiento utilizadas para financiar los proyectos
de inversión). Para comprender mejor esta deficiencia, suponga que las ·utilidades proyec tadas en lugar de ser de
$400,000
anuales sean de$340,000. Con la información modifi
cada, la anualidad equivalente sería de $5,562. Sin embargo, es obvio que este nivel de
Selección de al ternativas 49
utilidad es dema,siado pequeño comparado con la inversión total realizada y sería insufi ciente para reemplazar en el futuro el equipo actual. Por consiguiente, se recomienda seguir ,utilizando el mismo criterio de decisión (aceptar si la anualidad equivalente es positiva),
�ero utilizando como tasa de interés, una tasa mayor que el c�to d�apital_y a la cual se
le denotará como TREMA (tasa de recuperación mínima atractiva). De esta-manera, no
existe ningún riesgo en aceptar proyectos con anualidades cercanas a cero, ya que en el caso crítico de tener un pro¿::cto con una anualidad de cer9, significaría que el rendimiento
ob!e_!lido es exactamente igual al mínimo requ�rido. Además, el utilizar como valor de i la
TREMA, tiene la ventaja de ser establecida muy fácilmente, porque en ella se pueden con siderar factores tales como: 1) El riesgo que representa un determinado proyecto; 2) � disponibilidad de dinero de la empresa; y nomía nacional. Para
3)
La tasa de inflación prevaleciente en la eco-
___1
fmalizar esta sección, se muestran a continuación las fórmulas generales que se
pueden utilizar pru;a detei1Tljnar la anualidad equivalente de un proyecto de inversión:
A
=
-p(Ajp, i%, n)
+
{�
S
t=l
t
(l+i)t
}
(Ajp, i%,n)
+
F(A/F, i%, n) (3.1) .
donde:
A p St
F n
=
Anualidad equivalente.
=
Inversión inicial.
=
Flujo de efectivo neto del año t
- Valor de rescate. =
Número de años de vida del proyecto. Tasa de recuperación mínima atractiva (TREMA).
También, la fórmula (3.1) puede ser presentada de otra forma, si se hace uso de la identidad
(Ajp, i%, n)
=
(A/F, i%, n)
+
i%
(3.2)
y si además se supone que los flujos de efectivo netos de todos los años son iguales, la ecuación
(3.1)
se transforma en:
A
=
S
-
{(p-F ) (Ajp, i%, n) + F(i%)}
(3.3)
3.2 SELECCION DE ALTERNATNAS MUTUAMENTE EXCLUSIVAS '
La selección de alternativas mutuamente exclusivas se puede presentar en diversas
formas, es decir, puede ser que de las alternativas a comparar se conozcan los ingresos y gastos o solamente se conozcan los gastos, o bien pueden ser que las vidas de las alterna tivas sean diferentes. A continuación se detallan cada uno de estos casos.
3.2.1 Los ingresos y gastos son conocidos Cuando los ingresos y gastos que generan las alternativas de inversión son conocidos, la alternativa seleccionada será aquella qu.e tenga el mayor valor anual equivalente (siem-
50 Método del valor anual equivalente
pre y cuando esta anualidad sea positiva). Para ilustrar esta situación, analicemos el mismo ejemplo presentado en la sección anterior, pero suponiendo que existen actualmente en el mercado dos tipos de compu tadora con las cuales el servicio de consultoría se podría proporcionar adecuadamente. La información para cada alternativa se muestra en la tabla 3-1. También, considere que pa ra comparar estas dos alternativas se va a utilizar un valor de TREMA de 25%. Para esta información, y aplicando la ecuación (3.3), las anualidades que se obtienen para cada alternativa SOn:
41,
,
1:;¡·
4'�"�·� 'd• ._- / W V
G'
,
\
r� '.O r"- vO�J'}
" "',.• $28 400 ;¡-:rtg AH = 400,000 - 1,000,000 (A/p, 25%, 5) ;.. p o .:c)b "l.¡ � "" O• . ,, ' '' [JOO 000 o· 1 (J .. . :: � C . z.r n l-t o t-- 1' c.· · ti!' 1 �'\_� JI' ��\ t.!> t ?>1IV'i� .'i!i '-<.'15 �'1,\o
'
=
1")"'j
G�
y
AH
w
= 600,000
·'
�
-
')X 1
�1 t �j
p
-{1,200,000(A/ , 25%, 5) + 300,000(.25)}= $79,080
iJ�b/f>O
_:¡SollO
y puesto que la anualidad mayor corresponde a la computadora Honeywell, entonces esta alternativa deberá ser seleccionada.
"'-
TABLA
pesos).
3-1. Flujos de efectivo para las dos computadoras consideradas (miles de HP- 3000
Inversión inicial Ingresos anuales Gastos anuales Valor de rescate Vida
-$1,000 _ 700 1.\1�1) 300_
5 años
________..
Honeywell 4080
wG ]).t¡.¡'
-$1,500 _700 br:J) 1 1 100' 300 �t.O _
��p¡ '
5 años
Finalmente, conviene mencionar que es posible que en ciertos casos cuando se ana lizan álternativas mutuamente exclusivas, todas tengan valores anuales negativos. En tales casos, la decisión a tomar es "no hacer nada", es decir, se deberán rechazar todas las alter nativas disponibles.
3.2.2
�olamente los gastos son conocidos Frecuentemente ocurre que cada una de las alternativas mutuamente exclusivas que
se están analizando, generan los mismos ingresos, ahorros, o beneficios. También, es muy posible que estos ahorros o beneficios sean intangibles o muy difíciles de estimar, por lo que las alternativas deberán ser juzgadas de acuerdo a sus valores anuales negativos o más apropiadamente, de acuerdo a sus costos anuales equivalentes. Por ejemplo, los ingresos que se derivan de una máquina cortadora de cintas adhesivas son muy difíciles de evaluar porque la máquina puede cortar cintas adhesivas de diferentes medidas, con. diferentes precios y con costos agregados distintos. Para este tipo de situación, las máquinas corta ' doras que satisfagan las necesidades actuales deberán ser evaluadas en base a sus º-QS_!:os relativos, porque cada alternativa que sea capaz de satisfacer los requerimientos del sistema
producirá
el mismo ingreso al sistema. Cuando es aparente que en una evaluación sola-
'
Selección de alternativas 51
/ mente los costos son conocidos, es conveniente ignorar la convención de signos negativos ' y comparar laS alternativas en base al valor absoluto de los costos. Para ilustrar el caso que surge cuando solamente los gastos son conocidos, analice mos el ejemplo de las máquinas cortadoras. Suponga que Industrias Tuck, S. A., para efec tos de balancear sus líneas de producción y de satisfacer la demanda creciente de cintas adhesivas en sus diferentes tipos y presentaciones (masking, celofán, etc.), esté analizando la necesidad de comprar una máquina cortadora. Investigaciones recientes sobre los costos ' de los posibles proveedores (Alemania y Estados Unidos de América) arrojaron los resul tados mostrados en la tabla 3-2. También, suponga que la empresa utiliza una TREMA de 25% para evaluar sus proyectos de inversión. Para esta información y aplicando la ecua ción (3.3), los costos anuales equivalentes que se obtienen para cada alternativa son:
�
150,000
=
.
y
CA = 80,000
+
.
{400,ÓOO (1./P, 25%, 5)
1'
� +
100,000 (25)}= $323,640
+;_�_w ooo(o,)111") +- ;zsoo�
{640,000(Ajp,25%,5)
+
160,000(.25)}= $357,824
De éste modo, la máquina cortadora fabricada en los Estados Unidos, teniendo el menor costo anual equivalente, se transforma en la mejor alternativa.
·TABLA
3-2.
Flujos de efectivo para las dos máquinas cortadoras consideradas.
Cortadora (Estados Unidos) Inversión inicial Gastos anuales Valor de
rescate
Vida
$500,000 150,000--100,000 5 años
Cortadora (Alemania)
$800,000 80.000 160,000 S años
Finalmente, cabe señalar que en el caso de conocer solamente los gastos, la alterna tiva "no hacer nada" no se puede considerar, es decir, !orzosamente se tendrá que selec cionar una de las alternativas (la de menor costo anual equivalente). Lo anterior es obvio r puesto que los ingresos, ahorros· o beneficios aunque desconocidos, generalmente justifican las inversiones requeridas. Por el contrario, si estos ingresos fueran insuficientes, se estaría hablando de inversiones obligatorias pero injustificables desde el punto de vista económico.
3.2.3 Las vidas de las alternativas son diferentes En los ejemplos hasta ahora presentados, se analizan y se comparan alternativas mu tuamente exclusivas de igual vida. Sin embargo, sería interesante analizar las �J!caciones que surgen cuando alternativas mutuamente exclusivas de diferentes vidas son evaluadas. Para tarefecto, considere que en el ejemplo presentado en la sección anterior, la máquina
52 Método del valor anual equivalente
cortadora que surte Alemania tiene una vida de 1 _años en lugar de
inicial de tabla
O 5, tiene un costo $900,000, gastos anuále_s de $60,000 y un valor de réscate de $100,000 (ver
3-3). Además suponga que dada la naturaleza del negocio (Industrias Tuck, S. A.),
el servicio que van a proporcionar estas máquinas cortadoras será requerido por un tiempo de al menos 10 años. fara esta nueva información, el costo anual equivalente de cada al ternativa sería: CU.S.A.
J'
=
150,000
+
'
-
........--
.....
/-•' .Y
4
{400,000( ' Ajp, 25%, 5)
/100,0- 00(.25)}
=
$323,640
��7'
y
--.......,. CA =i=
60,00cY
�
i
+
{800,000(Ajp, 25% ,10)
+
{OO;OOO(.25)}
�/
=
$309,080
.
�
y puesto que el menor costo anual equivalente corresponde a la máquina cortadora que
surte Alemania, entonces esta alternativa deberá ser seleccionada.
..,..
TABLA 3-3. Flujos de efectivo para las máquinas cortadoras suponiendo que éstas
tienen vidas diferentes.
_/
Cortadora (Estados Unidos) Inversión inicial'· Gastos anuales
$j00,000 150,000 100,000 5 años
r
Valor de rescate , Vida
Cortadora (Alemania) $900,000 60,000 100,000 10 años
La suposición implícita del ejemplo que se acaba de presentar, es que
2 cortadoras
de las surtidas por Estados Unidos, deben ser adquiridas consecutivamente para propor
cionar la misma longitud de servicio que la máquina cortadora surtida por Alemania. El costo anual equivalente de 1 O años de operación de las máquinas cortadoras del prir,er
tipo desde luego que no cambia y sigue siendo el mismo que se calculó anteriormente
($323,740). Sin embargo, el hecho de que el costo anual equivalente sea el mismo, im plica que los flujos de-efectivo del segundo ciclo son exactamente iguales a los del primer ciclo (vttr figura
3.2). A manera de comprobación, a continuación se muestra el costo
anual equivalente de dos ciclos consecutivos de la primera alternativa: CU.S.A.
=
500,000(Ajp, 25%,10) +
+
100,000(AjF, 25%, 10)
400,000(PjF, 25%, 5)(Ajp,25%,10) +
150,000
=
$323,640
De acuerdo al análisis anterior, la mejor alternativa es la máquina cortadora que surte Alemania. Sin embargo, esta decisión no necesariamente va a producir los mejores resultados. La razón de ello se basa en el hecho de que en la primera alternativa se consi deró implícitamente que al final del año
5 se va a comprar una máquina cortadora idén
tica a la anterior. Sin embargo, es obvio que en el año 5 habrá en el mercado nacional e
internacional, máquinas cortadoras cuyas características tecnológicas y ?e operación sean
•
Selección de al ternativas 53 100
150
'
'
•
'
150
150
150
150
t
' 150
150
150
1so
10
9
!l
3
2
' 150
l
' 500
500
Figura 3.2. Flujos de efectivo ·para dos ciclos consecutivos de la alternativa de me nor vida (miles de pesos).
mucho más atractivas y ventajosas que la máquina cortadora actual, y .entonces, puede ser
que la combinación de esas dos máquinas cortadoras (la que surte ahora Estados Unidos y la que estará disponible en el mercado dentro de ahora nos puede surtir Alemania.
5 años) sea
mejor que la máquina que
La principal deficiencia al considerar como horizonte de planeación el mínimo co�
mún múltipfo de las vidas de las diferentes alternativas, es suponer que en los ciclos suce-
sivos de cada alternativa se tendrán flujos de efectivo idénticos a los del primer ciclo. Sin
embargo, Jo anterior no es correcto dado el constante avance tecnológico a que están su jetos los activos y a las altas tasas de inflación que prevalecen en el país. Lo correcto en estos casos sería:
1) Pronosticar
con mayor exactitud lo que va a ocurrir en el futuro, es
decir, considerando la inflación y las innovaciones tecnológicas, tratar de predecir con
mayor exactitud· Jos flujos de efectivo de las diferentes alternativas que estarán disponi
bles en el mercado para ese t�empo; ó
2) Utilizar como horizonte de planeación ��
de .Jos _@_!]l�e vi� de laslalternativas consideradas. Es-obvio qúe este curso de acción
implica recalcular al término del horizonte de planeación seleccionado, los valores de res
cate de las alternativas de mayor vida. Estos valores de rescate se recomienda que se ob tengan a partir de los valores presentes (evaluados al final del horizonte de planeación) de
los ingresos netos que cada alternativa genera en los períodos subsiguientes al horizonte de planeación seleccionado.
De los criterios propuestos para comparar alternativas mutuamente exclusivas de
diferentes vidas, el más conveniente es sin lugar a dudas el segundo, ya que con el primero
se requiere pronosticar las nuevas alternativas que estarán disponibles en el futuro. Para
ilustrar la- aplfcación del segundo criterio, suponga que una empresa que utiliza una TREMA
de 25% desea seleccionar alguna d.e las alternativas mostradas en la tabla
3.4.
Puesto que las vidas de las dos alternativas son diferentes, primeramente el horizonte
de planeación se fija en nativa B es calculado: VR
=
5 años.
En seguida, el valor de rescate al final del año
5 de la alter
o
/e 60,000 (P/A, 25%, 5) + 20,000 (P/F, 25%, 5)
=
$167,910
Con esta modificación, las alternativas quedarían como aparecen en la tabla
Para esta in formación, el valor anual equivalente de cada alternativa sería:
¿'�
'-AA = 40,000- {80,000 (Ajp,25%,5)
+
20,000 (.25)}= $5,272
3.5.
_d-
54 Método del valor anual equivalente y
A8
=
60,000 - {32,090 (Ajp, 25%, 5) + 167,910(.25) }= $6,098
y puesto que la mayor anualidad equivalente corresponde a la alternativa B, entonces esta alternativa deberá ser seleccionada.
TABLA 3.4. Flujos de efectivo de dos alternativas mutuamente exclusivas de diferentes vidas.
_.
A
B
Inversión inicial
-$100,000
Ingresos anuales
80,000
80,000
Gastos anuales .
. 40,000
20,000
Valor de rescate
20,000
20,000
Vida
5 años
10 años
-$200,000
TABLA 3.5. Flujos de efectivo corregidos de dos alternativas mutuamente exclu sivas de diferentes vidas. A
B
Inversión inicial
-$100,000
Ingresos anuales
80,000
80,000
Gastos anuales
40,000
20,000
Valor de rescate
20,000
167,910
Vida
5 años
5 años
-$200,000
3.3 SELECCION DE ALTERNATN AS MUTUAMENTE EXCLUSN AS CUANDO MAS DE DOS ALTERNATNAS SON CONSIDERADAS Si más de dos alternativas son comparadas por este método, el procedimiento para calcular el valor anual de cada alternativa y también el criterio para seleccionar fa mejor, son e� actamente idénticos a los aplicados al caso de dos alternativas. Para ilustrar este caso, suponga que una empresa que utiliza una TREMA de
20%, desea seleccionar la me
jor de las alternativas mostradas en la tabla 3-6. Para esta información, el valor anual equi valente de cada alternativa sería: '
AA
15,000 - {40,000 (Ajp, 20%, 5) + 10,000 (.20)}
A B = 32,000 - {80,000 (Ajp, 20%, 5) + 20,000 (.20)} Ac AD
=
=
-$375 $1,250
=
50,000 - {120,000 (Ajp, 20%, 5) + 30,000 (.20)} 55,000- {160,000 (Ajp, 20%,5) + 40,00G'(.20)}
=
=
$3,874 -$6,500
Anualidades de inversiones 55
Por consiguiente, la alternativa C teniendo el mayor valor anual, se considera la mejor alternativa.
Tabla 3.6. Flujos de efectivo para varias alternativas mutuamente exclusivas. A
B
-$50,000 15,090 10,000 5 años
Inversión inicial Ingresos netos anuales Valor de rescate Vida
D
e
-$100,000 32,000 20,0_00 5 años
-$150,000 50,000 30,000 5 años
-$200,000 5 5,000 40,000 5 años
3.4 ANUALIDADES DE INVERSIONES DE LARGA VIDA
Algunas veces se encuentran en la práctica proyectos cuyas vidas se pueden consi derar indefinidas, o más específicamente, infinitas. Ejemplos de estos tipos podrían ser las presas, los puentes, etc. Si alternativas de este tipo van a ser wmparadas, es conveniente saber a qué converge el factor
Lím
(Ajp, i%, n) cuando n � �: i(1 + i)11 (1 + i)/1 -1
(Ajp, i%, n)
n ��
Si se divide el numerador y denominador por el mismo factor (1
+ i)11
el resultado no
se altera: Lím
�¡
(Ajp, i%, n)
1 - 1/(1 + i) 11
n ��
Por consiguiente, se puede decir que:
(Ajp, i%,
oo
) i =
Para ilustrar un ejemplo de este tipo, suponga que el gobierno desea construir en el estado de Chiapas una presa con la cual se podrían cultivar grandes extensiones de tierra y a su vez emplear en actividades agropecuarias a una gran cantidad de campesinos. Para esto, el gobierno ha solicitado las cotizaciones respectivas de dos grandes compañías cons tructoras (ver tabla 3-7). Si el gobierno utiliza una TREMA de 20% para evaluar sus pro yectos de inversión, ¿qué compañía deberá ser seleccionada? Para la información mostrada
en la tabla 7, el costo anual equivalente de cada alternativa sería:
AA
=
lOO,OOO,Oqo
+ 800,000,000 (.20)
=
$260,000,000
y
AB
= 50,000,000
+
1,000,000,000 (.20)
=
$250,000,000
,.--.
56 Método del valor anual equivalente
Por consiguiente, el gobierno debería contratar los servLcios de la constructora B por co rresponderle a ésta el menor costo anual equivalente.
TABLA 3-7. Flujos de efectivo que resultan en la construcción de la presa (millones ·
de pesos).
Constructora A
'
Inversión inicial Gastos anuales
B
$800
$1,000
100
50
PROBLEMAS Una compañía requiere proporcionar automóviles a sus vendedores. Como un signo
3.1
de prestigio, el presidente de la compañía ha establecido la política de que los ven dedores no usen automóviles cuyo modelo sea tres años más viejo que el reciente. El tipo de automóvil que usan estos vendedores actualmente tiene un costo de $200,000 y tendrá un valor de rescate de $150,000 después de tres años de uso. Los costos anuales de mantenimiento, seguros, etc., se estiman en $50,000. Por otra parte, se sabe que el mismo tipo de automóvil puede ser rentªdo en $80,000
\
� anuales,
-
/,
los cuales incluyen el mantenimiento, seguros, etc., del automóvil. Si la
\ TREMA de la compañía.es de 25%, ¿cuál alternativa debe ser seleccionada?
�
3.2
f
.Una empresa ha solicitacro-- un préstamo de $1.,000,000 para comprar un torno automático. El préstamo ha sido obtenido de una institución bancaria que exige una tasa de interés de 20% anual y la devolución del préstamo en cinco anuali-.
/�
'
)
,
3.3
,11'
f
dades iguales. Si las utilidades netas anuales generadas por este torno se estiman en $308,000, y su valor de rescate al final del año cinco se estima--.?-n $200,000, ¿debería esta empresa adquirir el torno? Justifique su respuesta. La compañía CANSA (Cintas Adhesivas del Norte, S. A.), desea adquirir una má quina cortadora para destinarla al nuevo producto que se va a lanzar al mercado.
¿
Para este propósito ha iniciado las invest gaciones respectivas y ha encontrado que las alternativas disponibles son: 1) Adquinr la máquina cortadora en U .S.A. a un cos to de $1,000,000. Este tipo de máquina puede cortar a una razón de 1 ,000 n-{2 /hora y requiere para su manejo. a una persona cuyo salario por hora es de $)0;
2) Ad
quirir 2 máquinas cortadoi:'asen Alemania a un costo de $350,000 cada una. Este tipo de máquina tiene una razón de corte de 500 m2 /hora y demanda para suma nejo una persona cuyo salario es de $30/hora. Ambos tipos de máquina tienen una vida estimada de I O años al final de los cuales el valor de rescate se considera des preciable. Otra información relevante sobre las alternativas se muestra a continua ción:
Problemas 57
Cortadora
Cortadora Alemania
U. S.A.
Seguros/año
$80,000 10,000
Mantenimiento fijo/año
Mantenimiento var ./hora
$50,000 _7,000 4 5
3
Costo de la energía/hora
8
a ) Si la producción anual esperada del nuevo producto en los próximos 10 años es
de 5,000,000 m2, y la
TREMA es de 25%, ¿cuál alternativa es la que tiene el
menor. costo anual equivalente?
b) ¿A qué razón de producción anual sería indiferente seleccionar cualquiera de las dos alternativas disponibles?
·
Una compañía está considerando la posibilidad de arrendat o comprar una mmi·
3.4
computadora. Si la computadora es comprada, su costo sería de $1,000,000, sus gastos anuales de operación y mantenimiento serían de $300,000 y su valor de res cate al final de un horizonte de planeación de 5 años sería de $200,000. Si la compu tadora es arrendada, tanto los gastos de operación como de mantenimiento serían de
$X (X< 300,000 porque parte de los gastos son absorbidos por la compañía
arrendadora) y la renta anual sería $40,000 mayor que los gastos de mantenimiento. Si la
TREMA es de 25%, ¿cuál es el valor de la renta anual que hace indiferente la -
selección entre estas dos alternativas?
Cierta compañía que utiliza en sus evaluaciones económicas una
3.5
TREMA de 20%,
desea seleccionar la mejor de las siguientes alternativas:
, Inversión inicial
Máquina
Máquina
Máquina
Tipo 1
Tipo 2
Tipo 3
$100,000 5 años
Horizonte de planeación
-Valor de rescate
10,000
Costos de operación y tenimiento del año K
$150,000 5 años 22,000
$200,000 5 años 40,000
20,000(1.10){{-l 15,000 (1.08)K-I 10,000
+ l,OOOK
a compañía hotelera está considerando la posibilidad de construir un nuevo
�
otel en la Isla del Padre. El costo inicial de este hotel de 200 cuarto se estima en
$1QO,OOO,OOO y la amueblada, la cual es conveniente realizar cada cinco años_se estima en $l0,00üpüü. Los costos anuales de operación se estima que serían del orden de.$20,000,000, y la cuota diaria que se piensa cobrar es de $800. Por otra yarte, esta '20mpa.fiía utiliza un horizonte de planeación de 1 O_años para evaluar sus proyectos de inversión, Por consiguiente; para este problema 'en particular la compañía estima que el valor de rescate del hotel después de 10 años de uso es de
$1 0,000,000 y el valor de rescate de los muebles después de 5 años de uso es prac�------
-----,....
ticamente nulo. Estimando una razón de ocupación diaria de 50% , 70% , SO%y
90%, una TREMA DE 20%, y 365 días de operación al año, ¿debería el hotel ser construido?,
1.
V
i'
58 Método del valor an�,Jal equivalente
1
Un motor utilizado en un sistema de irrigación va a ser reemplazado. Dos diferen
3.7
tes motores de 20 HP están siendo considerados. El m'Jt::>r X cuesta $30,000 y opera a una eficiencia de 90%. El motor Y cuesta $20,000 y opera a una eficien cia de 80%. El costo de .la electricidad es de $5/kilowatt-hora, y la demanda anual para este tipo de motores es de 4,000 horas. Además, en este tipo de estudios se
\.
utiliza generalmente un horizonte de planeación de 5 años. Si los valores de res
cate de estos motores al término del horizonte de planeación son depreciables, y
si la TREMA que se recomienda utilizar es de 20%, ¿cuál motor debe ser selec cionado? (Nota: Un hp 0.746 kilowatt} =
3.8
Cierta empresa que utiliza en sus evaluaciones económicas una TREMA de 25%, , desea seleccionar la mejor de las siguientes alternativas: ..� ::: .. � -... � <
Inversión inicial Vida
Valor de rescate
Ingresos netos/año
Máquina A
Máquina B
_/ $5 00,000 5 años 100,000 200,000
$800,000
8 años.
120
000 250,000 ,
Una cierta compañía requiere de un nuevo Almacén. El Almacén puede ser cortstrui
3.9
do a uh costo de $20,000,000, o arrendado pagando una renta anual de $2,000,000. Si el horizonte de planeación es de 2� años al final de los cuales el almacén costará $1,000,000 y la TREMA es de.l5%,
3.10
cq�é alternativa seleccionaría?
Una compañía está considerando la posibilidad de reemplazar su equipo actual de manejo de materiales, por uno que puede ser comprado o arrendado. Con el sistema actual se tienen ..gastos de operación y mantenimiento anuales de $400,000, urta
•
vida remanente estimada de lO aftos y un valor de rescate al término de esta �ida de $25,000. El valor de rescate actual es de $500,000. El nuevo sistema cuyo costo inicial es de $2,000,000, tiene una vida de 10 años, un valor de rescate de $200,000, y gastos anuales de operación y mantenimiento de $200,000. Si este sistema es comprado, el sistema actual puede ser vendido.eil $250,000. >
.
Si el nuevo sistema es arrendado, la renta que se pagaría sería de $250,000 al prin cipio de cada año. Además, se incurrirían en gastos adicionales de operación y
mantenimiento de $100,000/año. Si el nuevo sistema es arrendado, el sistema ac tual no tendría ningún valor de rescate.
'
Usando una TREMA de 20% y el método del valor anual equivalente, determine cuál de las tres alternativas mencionadas es la mejor.
( 3.11
Una compañía está considerando la posibilidad de reemplazar la computadora que actualmente utiliza y que adquirió hace tres años a un costo de $10,000,000. Los costos de operación y mantenimiento para esta computadora han sido y se mantendrá¡;¡ en el 'futuro en $1,000,000/año. Si se compra una nueva computado ra, se obtendría a cambio de la actual una bonificación de $5,000,000. Por otra parte, el costo de la nueva computadora se estima en $15 ,000,000, su vida en éin co años, su valor de rescate en $3,000,000, y sus gastos anuales de operación y mantenimiento se estiman eljl $1,500,000.
Problemas 59
Si se continúa con la computadora actual, se requerirá comprar otra computadora pequeña que proporcione la capacidad adicional requerida. Si se continúa eÓn la computadora actual, ésta tendría una vida remanente estimada de 5 años y un va lor de rescate de $500,000. Por otra parte, el costo de la pequeña computadora es de $5,000,000, su valor de rescate al término de su vida económica de 5 años se estima en $800,000 y los costos anuales de operación y mantenimiento se estiman en $600,000. Usando el método del valor anual, y una TREMA de 30%, determine el curso de acción preferido.
3.12
Se desea determi�ar la altura óptima de un edificio cuya vida esperada es de 40 años al término del cual su valor de rescate se considera despreciable. La información que s'e tiene di�onible es la siguiente: � ' >·
/
Número de pisos 3
Inversión inicial Ingresos netos/año
4
5
$20,000,000
$25,000,000
$32,000,000
3,000,000
4,000,000
5,000,000
Además del costo del edificio, se requiere hacer una inversión de $5,000,000 en terreno, el cual se espera que-mantenga ese mismo valor durante la vida del edificio. Si la TREMA es de 20%, selec.Giln l e mediante el método del valor anual la altura óptima del edificio.
..
-')
.
'
4 Método del valor presente
El propósito del siguiente capítulo es mostrar un panorama completo de lo que es el
método del valor presente, sus principales usos y su significado.
En el capítulo primeramente se describen las principales características del método
del valor presente y se explica detalladamente cómo aplicar este método al análisis y
evaluación de un proyecto individual. I;:nseguida, se explican los dos enfoques más usados del valor presente que se utilizan en el análisis y selección de alternativas mutu
�x
clusivas. Finalmente, en el capítulo se presentan algunas inconsistencias que pueden resul tar al aplicar este método en la selección de alternativas mutuamente exclusivas.
También, es importante señalar que en este capítulo no se discute la aplicación del
método del valor presente a la selección de alternativas independientes, por considerarse
éste un tema relacionado con la selección de proyectos en condiciones limitadas de presu
puesto.
4.1
ANALISIS Y EV ALUACION DE UN PROYECTO INDIVIDUAL ------
-
--
------
El método del valor presente es uno de los criterios económicos más ampliamente
utilizados en la evaluación de proyectos de inversión. Consiste en determinar la equi
valencia en el tiempo cero de los flujos de efectivo futuros que genera un proyecto
y-comparar esta equivalencia c
Para comprender mejor la definición anterior a continuación se muestra la fór-
mula utilizada para evaluar el valor presente de los flujos generados por un proyecto de inversión:
VPN=S 0
n
+t�l
Sr
(I + i )t 61
(4.1)
62 Método del valor presente
donde: VPN.
S0 Sr n
=
Valor presente neto.
=
Inversión inicial.
=
Flujo de efectivo neto del período t.
=
Número de períodos de vida del proyecto. Tasa de recuperación mínima atractiva.
La fórmula anterior tiene una serie de características que la hacen apropiada para utilizarse como base de comparación capaz de resumir las diferencias más importantes que se derivan de las diferentes alternativas de inversión disponibles. Primero, la fórmula ante rior considera el valor del dinero a través del tiempo al seleccionar un valor adecuado de i. Cabe mencionar que algunos autores utilizan como valor de i el costo de capital (pondera do de las diferentes fuentes de fmanciamiento que utiliza la empresa) en lugar de TREMA (tasa de recuperación mínima atractiva). Sin embargo, existen algunas desventajas al usar como valor de i el costo de capital. Algunas de estas desventajas son:
1)
Difícil de evaluar
y actualizar y 2) Puede conducir a tomar malas decisiones puesto que al utilizar el costo de capital, proyectos con valores presentes positivos cercanos a cem serían aceptados. Sin embargo, es obvio que estos proyectos en general no son muy atractivos. Por otra
parte, el utilizar como valor de i la TREMA, tiene la ventaja de ser establecida muy fácil mente, además es muy fácil considerar en ella factores tales como el riesgo que represen- . ta un determinado proyecto, la disponibilidad de dinero de la empresa y la tasa de inflación prevaleciente en la economía nacional. Además de la característica anterior, el método del valor presente tiene la ventaja de ser siempre único, independientemente del comportamiento que sigan los flujos de efecti vo que genera el proyecto de inversión: Esta característica del método del valor presente
¡JI
lo hace ser preferido para utilizarse en situaciones en que el comportamiento irregular de
lh
los flujos de efectivo, origina el fenómeno de tasas múltiples de rendimiento. Finalmente, conviene mencionar que en la mayoría de los casos, el valor presente pa ra diferentes valores de i, se comporta como aparece en la figura 4.1. Lo anterior se debe
.
r
VPN
In tcrés
FIGURA 4.1
más frecuente.
Valor presente neto como una función de la tasa de interés. Caso
Análisis y evaluación de un proyecto individual 63
al hecho de que generalmente todos los proyectos de inversión demandan des�mbolsos en su etapa micial y generan ingresos'en lo sucesivo. Sin embargo, no se debe de descartar la posibilidad de encontrar proyectos de inversión con gráficas completamente diferentes a-la mostrada en la figura 4.1.
---lL:.-::: Para ilustrar cómo el método del valor presente se puede aplicar al análisis y evalua-1'?ión de un proyecto individual� suponga que cierta empresa desea hacer una inversión en
'
equipo relacionado con el manejo de materiales. Se estima que el nuevo equipo tiene un
valor en el mercado de $100,000 y representará para la compañía un ahorro en mano de
/:) l\;
obra y desperdicio de materiales .del orden de $40,000 anuales. Considere también que la vida estimada para el nuevo equipo es de cinco años al final de los cuales se espera una
recuperació'n monetaria de $20,000. Por último, asuma que esta empresa ha fijado su
TREMA en 25%.
Para esta información y aplicando la ecuación (4.1) se obtiene:
VPN=-100,000 +
40,000 --
(1 +.25)
+
40,000
(1 +.25?
+
40,000
+
(1 +.25)3
40,000
---
+
(! +.25)4
60,000 (1+.25)5
VPN= S 14,125 Puesto que el valor presente neto es positivo, se recomienda adquirir el nuevo equipo.
De acuerdo a este ejemplo es obvio que siempre .qué el...Yal.Qr_sp..r.e ev�de un m:QYec
to sea positivo, la decisión será em¡m:.nderlo. Sin embargQ. )ier.ía__convel)iente analizar la • .
'jUSTihcacióñde esta regla de decisión. Primero, cuando el valor presente es positivO,'"sig nifica que el rendumento que se espera obtener del proyecto de inversión es mayor al
r�ndirniento mínimo requerido por la empresa (TREMA). También, cuando el valor pre
sente de un proyecto es positivo, significa que se va a incrementar el valor del capital
de los accionistas.
En el ejemplo anterior la decisión era aceptar el proyecto. Sin embargo, veamos qué
pasa si en el mismo ejemplo presentado anteriormente, la empresa en lugar de fijar su TREMA en 2�% la hubiera fijado en 40%.
,
Para esta nueva modificación el valor presentado que se obtiene sería:
VPN= -100,000 +
VPN
=-
40,000 (1+.4)1
+
40,000 (1+.4)2
+
40,000
40,0001 60,000 ++ (1 + .4)3 (1+.4)4 (1+.4)5
--
-.,...-.-
$14,875
Y como el valor presente es negativo, entonces, el proyecto debe ser rechazado. Lo anterior
igcifica
s
que Cl ' a l nd - o la TREMA es derñasia'cto-gnmcl·e-;-exis'f'en
m�ilidade
��?
)
'---'
�
_e_.
uevos proyectos e inversión. El resultado anterior es bastante obvio, pueso recha .__...-to que un valor grande de TREMA significa que una cantidad pequeña en el presente se puede transformar en una cantidad muy grande en el futuro, o equivalentemente, que una cantidad futura representa una cantidad muy pequeña en el presente.
Finalmente, si en el ejemplo analizado se hubiera supuesto un valor pequeño de TRE
MA, el valor presente hubiera resultado muy grande. Esto significa que cuando TREMA
es pequeña existen mayores probabilidades de aceptación, puesto que en estas condicio-
64 Método del valor presente
nes. el dinero no tendría ningún valor a través del tiempo. Para terminar la discusión de este ejemplo, la figura
4.2
muestra cómo sería el valor presente que se obtiene en la com
pra del nuevo equipo para diferentes valores de TREMA.
VPN
14,125 35 25
40
30
TREMA(%)
14,875
FIGURA 4.2 Valor presente como una función de TREMA para el equipo de manejo de materiales.
�--
4.2 SELECCION DE PROYECTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS ----- --- - --En la sección anterior se describieron las guías generales que se deben seguir para evaluar un proyecto individual. Sin embargo, sería conveniente mostrar la metodología
�
a seguir cuando se quiere seleccionar una "alternativa de entre varias mutuamente exclusi vas. Para esta situación existen varios procedimiento · equivalentes, es decir, la decisión final a la cual se llega con cada uno de ellos es la misma. Estos procedimientos son: valor presente de la inversión tg_taLy_y:alor presente del increm nto en la invers ----
�
4.2. 1 Valor presente de la inversión total Puesto que el objetivo en la selección de estas alternativas es escoger aquella que ma ximice el valor presente, las normas de utilización de este criterio son muy simples.
T�
lo gue se requiere hacer es determinar el valor presente de los flujos de efectivo que ge� ·-
--
nera cada alternativa y entonces seleccionar aquella que tenga el valor prestmte-má�-me-;----.. Sin embargo, conviene señalar que el valor presente de la alte-rnativa seleccionada deberá ser mayor que cero, ya que de esta manera el rendimiento que se obtiene es mayor· que -el interés"'"mínimo atractivo.
ojconsidere que cierta empre
Para ilustrar la simplicidad computacional de este criteri
sa desea seleccionar una de las alternativas mostradas en la tabla 4.1. También, suponga que esta empresa utiliza para evaluar sus proyectos de inversión una TREMA de Para esta inform_3.ción, el valor presente que se obtiene con cada alternativa es: 5
VPNA=-
100,000 + �
j= 1
40,000 .
.
(1 +.25)1'
=
$ 7,571
25%.
Selección de proyectos mutuamente exclusivos 65
VPN8
=
5'
80,000
i= 1
(1+.25)'
-180,000 + L:
.
=
5
85,000
i= 1
(1+.25)/
VPNc =·-210,000 + L:
.
.
$ 35,142
$ 18,600
=
y puesto, que el mayor valor presente corresponde a la alternativa B, entonces se debe de ·
seleccionar esta alternativa.
TABLA 4.1. Flujos de efectivo de alternativas mutuamente exclusivas.
ALTERNATIVA A
AÑO
-$100,000 40,000
o
1-5
e ·
B �
-$210,000 85,000
$180,000 80,000
En este ejemplo que se acaba de analizar, se seleccionó una alternativa. Sin embargo, es posible que en ciertos casos cuando se analizan alternativas mutuamente exclusivas, todas tengan valores presentes n;gativo�. En taJes casos, la decísión a to'ffi'ar es"'lühacer nada""; es decir, se deberán rechazar todas las alférñativas disponibles. Por otra parte, si
�ternativas
que se tienen solamente se conocen sus costos, entonces la ;egta de de
cisión será minimizar el valor presente de los cOstos. También, es conveniente mencionar que bajo esta situación, la alternativa "no hacer nada" no se puede considerar, es decir, forzosamente se tendrá que se ecc1onar una e as alternativas si se c_onsideran los costos con signo positivo).. Se ha visto cómo utilizar el método del
a e valor presente mínimo
�or presente en la comparación de alterna
�
tivas mutuamente exclusivas de igual vida. Sin e bargo, sería interesante analizarlas impli caciones que resultan de comparar alternativas mutuamente �Xd!Jsivas de qifer�!!t_es �ida� _ _
Para tal efecto suponga que cierta empresa desea adquirir un montacargas con el cual se agi !izaría el transporte interno en el almacén de productos terminados. Investigaciones pre liminares sobre los diferentes tipos de montacargas disponibles en el mercado han arrojado los resultados mostrados en la tabla 4.2. Considere también que la empresa utiliza una TRE MA de 20%. Por último suponga que el servicio que van a proporcionar estos montacargas será requerido por un tiempo de al menos 10 años. Para esta información el valor presente
de estas alternativas sería:
VPNA VPNA
=
=
.� �. oH1
t.. ·"'
\ ' 5 (-150,000 + � -
1= 1
·
55 000
. ) 0+
'
(1+.2F
1 .)J 5 ) (1+. 2)
io
VPNB
=
:- 2C �(!t.l ·):A
$ 20,299
y
VPN8
\ C\
\Ü
1· 1.-
-
250,000 + L:
43,500
i= 1
70,000
(1
+
.2y
.
-==
�; L-¡),'-1
Ot.¡60
'S 9
'
66 Método del valor presente
Y como el valor presente del montacargas B es mayor, entonces se debe de seleccionar di
cho montacargas.
TABLA 4-2. Flujos de efectivo de los montacargas. Montacargas B
A
150,000 5 años 55,000
Inversión inicial
-$
Vida ,
Ahorros netos/año
250,000 10 años 70,000
-$
El análisis anterior muestra que la mejor alternativa es el montacargas B. Sin embar go, esta decisión puede ser engañosa, es decir, probablemente esta alternativa no sea la_ mejor. La razón por la que esta decisión no necesariamente es la mejor, se basa en el he cho de que en la primera alternativa se consideró implícitamente que en el año 5 se va a comprar un montacargas idéntico al anterior. Sin embargo, es obvio que en el año 5 habrá en el mercado montacargas cuyas características tecnológicas y de operación sean mucho más atractivas y ventajosas que las del montacargas actual y entonces, puede ser posible que la combinación de esos dos montacargas (montacargas A y el disponible en el año
5)
sea mejor que el montacargas B.
/ La principal deficiencia al considerar como horizonte de planeacióri el mínimo común _
múltiplo de las vidas de las diferentes alternativas, es suponer que en los ciclos sucesivos de
,l
cada alternativa se tendrán flujos de efectivos idénticos a los del primer ciclo. Lo razo nable en estos casos sería:
1)
��car con mayor exactitud lo que va ocurrir en vas diferentes alternativas que estarán disponibles
Pron
á
el futuro, es decir, tratar de predecir en el mercado para ese tiempo, ó
2)
J)tilizar como horizonte de planeación el menor
de los tiempos de vida de las diferentes alternativas.
4.2.2 Valor presente del incremento en la inversión
Cuando se analizan alternativas mutuamente exclusivas, son .las diferencias entre ellas lo que sería más relevante al tomador de decisiones. El valor presente deí incremento en la inversión precisamente determina si se justifican esos incrementos de inversión que deman dan las alternativas de mayor inversión. Cuando se comparan dos alternativas mutuamente exclusivas mediante este enfoque,
1� primers_ gue
se debe-hacer es de�e�lQ� flujos <;le efectivo netos-de la difer!'Lncia
��jGS-de--efeetiva-.de las-do� alternativas analizadas.
Enseguida se determina si
el incremento en la inversión_s e_justifica. El incremeH-to_en.J a.in.v_e_rsjQ_ILse c.ons.idera acep.:_ tab lesi S!!J"endimie_!lto �x_c e_de-la-tasa de recupe _ raciQ(Ul}Ínima atractiva, es decir, si el �s�n.te...d.e L incre m.e nto en lajny_ lis� es mayor �e �erQ_¡ cl incremento se ,con sidera deseable y la alternativa que requiere esta inversión adicional se considera como la más atractiva. Cuando se aplica el criterio del valor presente del incremento en la inversióry. en la selección de alternativas mutuamente exclusivas, los pasos a seguir serían:
Selección de proyectos mutuamente exclusivos 61 l. Poner las alternativas en �scendente de acuerdo a_su inveJ..SWQiniffiil.
2. Seleccionar como la �e·or alternativa a
que la
lla-de menor costo. Cabe señalar
ternativa de menor costo siempre será "no hacer nada", es decir, esta
alternativa sería la base contra la cual se comparará la siguiente alternativa
de menor costo. La alternativa "no hacer nada" conviene siempre considerar
la puesto que se pueden presentar casos en los cuales todas las alternativas disponibles tengan valores presentes negativos.
3. Comparar la mejor alternativa con la siguie11te de acuerdo al ordenamiento
dcl paso l. La comparación entre' estas dos alternativas se basa en deter�i
� clVaiOr
ferenci
presente del incremento en la inversión
flu·os de efectivos di-
es . Si este valor presente es mayor que cero, entonces la alternativa::
retadora se transforma en la mejor alternativa. Por el contrario, si el valor
presente del incremento en la inversión es negativo, entonces la mejor alter-
nativa sigue siendo la defensora y la retadora se elimina de posterior consi deración.
g ve ¡¿ 1]
+
'
.
../"
4. Repetir el paso 3 hasta que tod..as_.laS-altmti.v.as_dis.p.on.ib.ks hayan sido ana
lizadas : La altema�iva que maximiza el valQLpr..esen�na un ren-. . dimiento mayor que TREMA, es_la...a . ltur.latiya_de ma.xor inversion cuyos incrementos de inversión se justifica�.
Si se aplican los pasos anteriores a las alternativas mostradas en la tabla 4-1, y si
además se supone el mismo valor de TREMA de 25%, los cálculos que resultan son los
siguientes:
VPNA
5
=-
40,000
100,000 + L j= 1
=
(1+.25)j
$
7,571
)
puesto que el valor presente de la alternativa de menor inversión es positivo, entonces,
la alternativa A es mejor que la alternativa "no hacer nada". Por consiguiente, la mejor
alternativa hasta el momento es la A, la cual pasa a ser considerada como la alternati
va defensora y la alternativa B pasa a ser la alternativa retadora, es decir, la alternaÚva
B se va a comparar con la A de acuerdo a una base incremental: VPN, B-A
=
f
-80 000+ ' j=l
40,000
=
(1+.25)j
$27 571 '
y como el valor presente del incremento en la inversión es positivo, entonces la alterna
tiva B pasa a ser la defensora y la alternativa C la retadora. Si se comparan estas alter nativas sobre una base incremental se obtiene: VPNc-B
5
=
-30,000+ L
5,000
j=l 1+.
(
25). J
- $16,553
y puesto que este valor presente es negativo, la alternativa B se transforma en la mejor al
ternativa. De acuerdo al paso 4 cuando todas las alternativas han sido consideradas, la
mejor alternativa es la que maximiza el valor presente y proporciona un rendimiento ma
yor que TREMA. Por consiguiente, la alternativa B es la selección óptima del conjunto de alternativas mostradas en la tabla 4-1. Como se puede observar, la decisión recomen-
"'
68 Método del valor presente
dada al aplicar este criterio coincide con la obtenida al utilizar el valor presente de la in versión total. Lo anterior significa que ambos criterios son equivalentes.
El valqr_pr. esente del incrememo en la inversión también se p�ap�r en la selec
ción de alternativas mutuamente exclusivas en las cuales sólo se tiene informaciórukJ.Q� costos. Sin embargo, bajo esta nueva situación, a diferencia de cuando los ingresos son
CoñOcidos; la alternativa " º-.ha_cer nada" no puede ser considerl!da en el análisis como una alternativa facti
e. Lo anterior es justificable puesto que es obvio que es preferible no
gastar nada a tener puros desembolsos. Para ilustrar el procedimiento a seguir cuando sólo
se tiene la información de los costos de las diferentes alternativas disponibles, considere que una empresa que utili�a una TREMA de 20%, desea seleccionar una de las alternativas que aparecen en la tabla
4-3.
TABLA 4-3. Flujos de efectivo de alternativas mutuamente exch,¡sivas de las cu_ales
solamente sus costos son conocidos.
Alternativas Año
A
o
B
-$10,000
e
-$12,000
-$15,000
3,000
-
2,500
-
1,500
2
3,500
-
3,000
-
1,500
3
4,000
-
3,000
1,500
Como la alternativa "no hacer nada" no es considerada, entonces•la alternativa A se
transforma en la mejor alternativ'!., es decir, inicialmente la alternativa A es la defensoruy ' - ....--�� ---- ...---=� � -ra=alternati_va_B_la .-retadora. Aplicando el valor presente sobre una base incremental a e� tas alternativas se obtiene: VPNs-A V PNs-A
y puesto
=
-2,000 +
=
- $657
�+ (1+.2) ]'
(_
')
500 (1 +.2?
a
,
1,000
+ !l.
(1 ,
+
J il ''"'
.2)3 '
.....
""'
\
, ..J
{
�
" 6'
\¡_7 ;,
resente es ne ativo, la alternativa B se elimina de posterior conside
ue
ración. Por consiguiente, la alternativa A seguirá siendo la defensora y a a erna tva Cpasa a ser considerada la retadora. Ahora, si se comparan estas alternativas sobre una base incre
mental se obtiene:
VPNc-A VPNc-A
-5,000 +
=
--
1,500
(1+.2)
+
2,500 + -o + .2)2 (1 + .2r 2,000
- $914
y como el valor presente es negativo, la alternativa C es desechada. Puesto que ya no eXIS
ten más alternativas, entonces la alternativa A es la selección ó ------
Inconsistencia del método del valor presente 69
4.3 �EJ:;METOU<JlJELVALOR PRESENTE AL COMPARAR ALTERNATN AS MUTUAMENTE EXCLUSNAS
----
Existe cierto tipo de alternativas en las que la decisión de cuál seleccionar depende del valor de TREMA utilizado. Por ejernpio, asuma que cierta empresa que usa un valor de
TREMA de 1 O%, desea seleccionar una de las alternativas que aparecen en la tabla
44.
TABLA 4-4. Alternativas mutuamente exclusivas. Alternativas Año
A
o
- $
B
195
-$
188
150
40
2
40
40
40 50
4
40
180
3
Si se aplica el criterio del valor presente sobre la inversión total se obtiene: VPN A
4 150 40 = -1 95 + (1+.1)+ j 1 (1+.1)i = $31.79 =
VPN
= -188 +
B
180 2 40 50 = $ 41.63 + + . jE1 (1+ lY (1+.1)3 (1+.l t
lo cual indica que el proyecto B debe ser seleccionado. Sin embargo, veamos qué pasa si en lugar de usar un valor de TREMA de
10% se utiliza un valor de 18% . Con esta nueva modifi•
cación los valores presentes de cada alternativa serían:
VPNA
�+1: 40 = -195 + . . (1+ 18) j=2 (1+.18)1
VPN B
= -188
$5.82
2 ____1Q_ _jQ_ 180 + + J=Y (1+.18}i (1 +.18)3 (1+.18)
4
-$2.10
lo cual indica que el proyecto A debe ser seleccionado. Corno se puede observar, esta de cisión en contradictoria a la que se hubiera tomado si la TREMA fuera de la realidad es que ambas decisiones son correctas, es decir, cuando la la alternativa B será preferida, y la aternativa
10%. Sin embargo,
TREMA sea pequeña
A será preferida cuando la TREMA sea gran
de. La explicación a estas decisiones aparentemente contradictorias se basa en lo siguiente:
70 Método del valor presente
l. Cuando la
TREMA es grande, existe una te�a a seleccionar aquellas alterna
�rezcan �imeros
ti
2.
años de vida 1QS.maymes-flujos-de-efe.ct1vo
_
C�RtMA se-tiende que ---es peque_fta, . a selecci-onar a aquellas alternativas --
ofrezcan_ los_ma;r-or_e_s_beneficios, aunque éstos estén muy retirados del período
...ík_iniciació_n_de la-vida.de la alternativa.
---
·
Finalmente, en la figura 4.3 se muestra cómo varía el valor presente de cada una de
estas alternativas como una función de TREMA. Como se pfiede apreciar en esta figura, para valores de TREMA menores a 14.1% la alternativa preferida es la B y la alternativa A sería preferida para valores de
VPN
TREMA mayores a 14.1 % .
. -
Alternativa B
�-----
TREMA ( %)
FIGURA 4-3. Valor presente como una función de TREMA.
PROBLEMAS 4.1.
Cuál es la cantidad máxima que un inversionista está dispuesto a pagar por un bono,
si se desea obtener en su compra un rendimiento del� onga que el bono tiene un valor nominal de $10,000, una vida de 5 aftos y paga tiña-ta-s'-t
le interés
de 20% anual.
�4.2.
Suponga que cierto proyecto de inversión requiere de una inversión inicial de $200,000. Sus gastos de operación y matenimiento son de $20,000 para el primer
\
año, y se espera que estos C?stos crezcan en el futuro a una razón del 10% anua . La vida estimada del proyecto es de 1 O años al final de los cuales
su
valor de rescate
se estima en $50,000. Finalmente, suponga que los�que genera este pro yecto son de $50 ,ooo- el primer año y se espera en lo sucesivo que éstos aume�' a una razón constante de $4,000/año. Si la
TREMA es de
25%, ¿debería este pro
yecto ser aceptado? 4.3.
Una persona ha solicitado un préstamo de $lOO ,000 a una tasa de interés de 1.5% mensual y
a
un plazo de cinco años. Esta persona desea devolver el préstamo en
60 mensualidades iguales. Si esta persona después de haber hecho 15 pagos men" suales, decide pagar elll:ln solo pago (al final del mes 16) el saldo de la deuda, ¿cuánto tendría que pagar?
Problemas 71
Una compañía está analizando la posibilidad de comprar un compresor. Para ello
4.4.
ya se han iniciado las investigaciones respectivas y los resultados obtenidos son los siguientes:
.//
Compresor 1
Inversión inicial
Compresor
$ 100,000
$ 200,000
40,000
25,000
Gastos anuales
Valor de rescate Vida
11
25,000
25,000
10 años
5 años
Si la TREMA es de 20% , ¿qué alternativa debe ser seleccionada? (Utilice el valor presente del incremento en la inversión.) 4.5.
Una compañía desea reemplazar la bomba que actualmente está utilizando. Con esta bomba la compañía tiene gastos de operación y matenimiento de $50,000 anuales. Además, se sabe que esta bomba puede ser mantenida en la compañía por cinco años más, al final de los cuales tendrá un valor de rescate de cero. La bomba actual puede ser tomada a cuenta de una nueva. Si la compra de la bom ba nueva se realiza, se obtiene una bonificación de $25,000 por la vieja. El costo inicial de la nueva bomba es de $120,000, su vida económica es de 5 años, su valor de rescate después de 5 años de uso se estima en $40,000 y los gastos de operación y mantenimiento se espera que sean del orden de $20,000/año. Si la TREMA es de 20% , ¿qué alternativa seleccionaría?
4.6.
Una compañía manufacturera paga al final de cada año, regalías de $10 por unidad producida durante el año. La patente estará vigente por un período adicional de cinco años. Además, se sabe que la producción estimada de los próximos cinco años será de 20,000, 22,000, 24,000, 26,000 y 28,000. Si esta compañía decide pagar en este momento las regalías de los próximos cinco años, ¿cuánto tendría que pagar si su TREMA es de 25%?
4.7.
Un ingeniero· que ha terminado sus estudio� de sistemas computacionales, está contemplando la posibilidad de obtener en el ITESM la Maestría en Sistemas de
Y(
Información. Esta persona estima que con el título-de Ingeniero en Sistemas Com
�a de $200,000 el primer año y
putacionales, su sueldo en los próximos 6 añ
en los subsiguientes el sueldo anual estaría aumentando a una razón de 20% anual. Por otra parte, si esta persona decide continuar con la maestría, el tiempo que se tardaría en obtenerla sería de un año y los gastos que se incurrirían en este tiempo
(2(i'%) �
, y los aumentos de serían de $150,000. Si la TREMA de esta persona es de sueldo con un título de maestría se estiman en 25%¿de qu año tendría que ser el sueldo del primer año después de terminar la maestría, de tal modo que a esta persona le sea indiferente estudiarla? (Suponga el mismo período de 6 años.)
4.8.
Cierta compañía que utiliza en sus evaluaciones económicas una TREMA de 20%, desea seleccionar mediante el enfoque incremental del método del valor presente, la mejor de las siguientes alternativas:
'
72 Método del valor presente
A
Inversión inicial
B
D
e
-$200,000
-$50,000
-$75,000
-$120,000
Gastos netos/año
30,000
25,000
20,000
10,000
Vida
5 años
5 años
5 años
5
4.9.
años
Suponga que al grupo industrial "A" se le ha ofrecido la compra de la compañíaX. Investigaciones preliminares realizadas por el grupo industrial, demuestran que la compañía X puede generar flujos de efectivo netos anuales que crecen a una razón de .20% . Si el flujo de efectivo neto de la companía X para el próximo año es de $20,000,000, y la TREMA que utiliza el grupo industrial es de 20%, ¿cuál es la cantidad máxima que el grupo estaría dispuesto a ofrecer por la companía X? (Considere un horizonte de planeación de 10 años.)
4.10.
Una máquina cuyos gastos de operación y mantenimiento se incrementan a una razón de $20,000/año, puede ser reparada. Con la reparación cuyo costo es de $150,000, se eliminarían los incrementos en los gastos de operación y manteni miento. Para una TREMA de 20%, y un horizonte de planeación de 5 años, ¿con vendría reparar la máquina? (Suponga que los ingresos y el valor de rescate no se modifican si la máquina es reparada.)
\
178 24
5 Método de la tasa interna de rendimiento
El propósito de este capítulo es mostrar un análisis completo del método de la tasa _
interna de rendimiento.
En la primera parte se explica el procedimiento que se debe seguir cuando se analiza un proyecto individual, así como también el enfoque incremental con que se debe aplicar este método cuando se analizan varios proyectos mutuamente exclusivos. En esta primera
parte se hace é;:;fuSis en el significado de la tasa interna de rendimiento, así como en las condiciones que deberán reunirse para que ésta sea única.
En la segunda parte se muestra un algoritmo (ligeramente modificado) que propuso James C. T . .tyiao para resolver el difícil problema de tasas múltiples de rendimiento. En esta parte, primeramente se explica cómo distinguir cuándo una inversión no tiene, tiene solamente una, o tiene múltiples tasas de rendimiento. En seguida, se propone una forma en la cual los proyectos pueden ser clasificados y finalmente se explica el algoritmo general que deberá ser utilizado en la evaluación de inversiones no-simples.
PROYECTOS CON UNA SOLA TASA INTERNA DE RENDIMIENTO 5.1 TASA INTERNA DE RENDIMIENTO
(�)
En todos los criterios de decisión, se utiliza alguna clase de índice, medida de equi valencia, o base de comparación capaz de resumir las diferencias de importancia que exis ten entre las alternativas de inversión. Es importante distinguir entre criterio de decisión y una base de comparación. Esta última es un índice que contiene cierta clase de informa ción sobre la serie de ingresos y gastos a que da lugar una oportunidad de inversión. La tasá· interna de rendimiento, como se le llama frecuentemente, es un índice de rentabi1ldad ampliamente aceptado. Está definida como la tasa de interés que reduce a cero el valor presente, el valor futuro, o el valormual equivalente de una serie de ingresos esta de inversión, es aquella m terna de rendimiento de una p
;c;pli asidein terés i* que satisface cualquiera de las siguientes ecuaciones:
y egre·sus.ES decJr, la tasa t
73
..
74 Método de la tasa interna de rendimiento
n 2:
t= o n 2:
t= o
sr (1 + i* l st (1
+
t i*)n- = o
n 2:
t=O
St (P/F,
(5 .1)
= o
i*,
t) (A/P,
(5 .2)
i*,
n) = O
(5.3)
donde:·
St = n =
Flujo de efectivo neto del período
t.
Vida de la propuesta de inversión.
En la mayoría de las situaciones prácticas es suficiente considerar el intervalo
-1
< i*
<S
oo
como ámbito de la tasa interna de rendimiento, ya que es muy poco probable que en un proyecto de inversión se pierda más de la cantidad que se invirtió. Por otra parte, la figura
5.1
ilustra la forma más común de las gráficas de valor presente, valor futuro y valor anual
equivalente, en función de la tasa de interés. En esta figura, se puede apreciar que todas estas curvas cortan al eje horizontal en el mismo punto, es decir, todas ellas pasan a través del punto que corresponde a la tasa interna de rendimiento del proyecto de inversión.
VAE
VPN
VF
FIGURA 5.1. Gráficas del valor presente, valor futuro y valor anual equivalente, en función de la tasa de interés.
·
5.2 SIGNIFICADO DE LA TASA INTERNA DE RENDIMIENTO En términos económicos la tasa interna de rendimiento repr��enta el porcentaje o la tasa de interés que se gana sobre el saldo no recupenicíocfellña inversión:-
Elsaldo no re-
•
Evaluación de un proyecto individual 15 cuperado de una inversión en cualquier punto del tiempo de la vida del proyecto, puede ser visto como la porción de la inversión original que aún permanece sin recuperar en ese
tiempo. El saldo no recuperado de una inversión al tiempo t, se evalúa de acuerdo a la si
guiente expresión: t
2:
Ft
s
j= o
i
(1 + i*) t-i
(5.4)
Es decir, el saldo no recuperado de una propuesta de inversión en el tiempo t, es el valor futuro de la propuesta en ese tiempo. Para comprender mejor el significado de la tasa in tema de rendimiento, la tabla de rendimiento son (le
5-1 muestra dos pro yectos de inversión cuyas tasas internas 15%. Cada uno de estos proyectos pu�de ser interpretado como un
acuerdo en el que una persona ha pedido prestad un
�omprometiéndose
15% sobre el saldo, y reducirlo a cero al final del plazo del crédito. TABLA 5.1. Dos propuestas de inversión con la misma TIR Año
Propuesta B
Propuesta A
o
-$1,000
-$1,000
2
350
150
4
350
1,150
;/ 1"
/)
150
350
150
350
3
,,!2,
a pagar
El saldo no recuperado de una inversión en el tiempo t, también se puede encontrar de acuerdo a la siguiente expresión: F t
=
F t-l
(l
(5.5)
+ i*) + St
Para aclarar la aplicación de la ecuación (5.4) o la (5.5), la tabla 5-2 muestra los saldos no recuperados para cada uno de los años de las propuestas mostradas en la tabla 5-1. A través de la tabla 5-2 se puede comprender mejor el significado de la tasa interna de rendimiento.
Una de las equivocaciones más comunes que se cometen CQ!l el significado de
1�
TIR, es considerarla como la tasa de interés que se gana sobre la inversión iniciai requerida
por la propuesta.
Sin embargo, lo anterior es correcto solamente en el caso de propuestas
cuyas vidas sean de un período. Para el caso de la propuesta B mostrada en la tabla 5-2,
la tasa interna de rendimiento sí indica el rendimiento obtenido sobre la inversión inicial.
En conclusión, de las ideas presentadas en esta sección, surge el significado funda
mental de la TIR: "Es la tasa de interés que se gana sobre el saldo no recuperado de una inversión , de t�odo que el saldo al final de la vida de la propuesta es cero".
-�---� --- -------
5.3
- ---
EVALUACION DE UN PROYECTO INDIVIDUAL Con el método de la tasa interna de rendimiento, es necesario calcular la tasa de
interés
(5 .3) y compararla (/*) que satisface cualquiera de las ecuaciOnes (5"1), {5:2) o-con ---
---
--
--· ·--
--
.
76 Método de la tasa interna de rendimiento
TABLA 5-2. Dos propuestas de inversión que demuestran el significado básico de
laTIR.
Propuesta A
B
Año
Flujo de efectivo al final del año t
o
-$1,000
1
350
-$1,000.0
-$150.0
2
350
800.0
-\20.0
3
350
570.0
-
85.5
-
44.5
Saldo al comienzo del año t
Intereses sobre el saldo
Saldo al final del año t -$1,000.0
- .
4
350
o
-$1,000
1
150
-$1,000
-$150
305.5
800.0 -
570.0
-
305.5 0.0
-$1,000
-
- 1,000
2
150
- 1,000
- 150
- 1,000
3
150
1,000
150
- 1,000
4
1 ,150
1,000
- 150
o
la tasa de recuperación mínima atractiva
(TREMA).
Cuando i* sea mayor que
TREMA,,
conviene que el proyecto sea emprendido. El método de la tasa interna de rendimiento y los métodos explicados en capítulos anteriores, so
� es decir, que para un mismo proyecto, con cada uno de estos
métodos se llegaría a la misma decisión. Lo anterior puede ser más fácilmente compren dido si se observa la figura 5.2.
A
través de esta figura: se puede comparar la equivalencia
del método de laTIR y el método del valor presente. Por ejemplo, en dicha figura se puede apreciar! que si i* es mayor que TREMA, entonces VPN(TREMA1) es inayor que cero. Por el contrario, si i* es menor'que
TREMA,
entonces VPN(TREMA2)es menor que cero.
Por consiguiente, es obvio que con ambos métodos se llegaría a la misma decisión de acep tar o rechazar el proyecto. VPN
\) :s-.1 u..( •
./• �
. rVPN(TREMA¡)
.::.,cJl
\/
\e_
e r:i /o
·-¿
}'
TREMA2
TREMA¡
TREMA(%) VPN (TREMA2)
FIGURA 5.2. Valor presente neto y
su
relación con el método de laTIR.
Para comprender mejor la mecánica de este método, a continuación unos ejemplos son evaluados por el método de
laTIR.
·
Evaluación de un proyecto individual 77
Ejemplo5.1 Suponga que cierto grupo industrial desea incursionar· en el negocio de camionetas utilizadas en la exploración y análisis de pozos petroleros. Entre los servicios que este tipo de camioneta puede proporcionar se pueden mencionar los siguientes: la localización y evaluación de zonas petroleras, la determinación de la estructura del terreno en el pozo (rocoso, arenoso, etc.), la estimación de la porosidad y permeabilidad adentro del pozo, la evaluación de la calidad de la cimentación de la tubería, y fmalmente se pueden hacer los orificios necesarios a través de los cuales se podrá extraer el fluido.También, considere que la inversión inicial requerida por una camioneta, la cual consiste de una micro-computadora, de un sistema de aire acondicionado que mantiene a la micro-computadora trabajando a una temperatura adecuada, y de un generador que proporciona la energía requerida por la camioneta, es del orden de
$4,000,000.
Por otra parte, suponga que los ingresos netos
anuales que se pueden obtener en este tipo de negocio son de
$1,500,000.
Finalmente,
suponga que la vida de la camioneta es de 5 años, al final de los cuales se podría vender en
$500, 000 y
que la TREMA es de
20%.
Para la información anterior, la tasa interna de rendimiento es la tasa de interés
i*
que satisface la ecuación:
-4,000,000
+
1,500,000(P/A, i*,5)
y haciendo tanteos se encuentra que
i*
=
+
27.3%.
500,000(P/F, i*,5)
Puesto que
i* es
=
O
mayor queTREMA, el
proyecto deberá ser aceptado.
Ejemplo5.2 Suponga que una persona adquirió un bono por la cantidad de
$1 ,000.
Si la vida del
bono es de 5 años, al fmal de los cuales se recupera el valor de la inversión, y los intereses que se ganan al final de cada año son de
$200,
¿cuál es laTIR que se obtiene en esta in
versión? La TIR que se,obtiene en la compra del bono, es la tasa de interés
i*
que satisface la
ecuación:
- 1,000
+
200(P/A, i*, 5)
+
1,OOCX._P/F, i*, 5)
=
O
Sin embargo, para los casos en que el valor del rescate es igual a la inversión, la TIR se debe obtener al encontrar la tasa de interés
i*
que iguale a cero el valor anual equiva
lente. Para lograr esto, es necesario utilizar la siguiente identidad:
(A(P, i%, n)
=
(A/F, i%, n)
+
i%
(5.6)
Por consiguiente, para encontrar la TIR de esta inversión, es necesario encontrar la tasa de interés i* que satisface "ra ecuación:
- l ,OOCX._A /P , i*, 5) y utilizando la identidad
+
200
(5 .6) se obtiene:
+
l,OOCX._A/F,
i*,
n
)
=
O
78 Método de la tasa interna de rendimiento
- 1 ,000( (A/F, i*, 5) + i*) + 200 + IOOO(A/F, i*, 5) =O y simplificando se obtiene que
i*
=
20%.
En conclusión, se puede decir que cada vez que el valor de rescate sea igual a la in
versión, y los flujos de efectivo netos de cada período sean constantes, la tasa interna de
rendimiento no depende de la vida de la propuesta y se obtiene por medio de la siguiente expresión:
i*
Flujo de efectivo anual neto
(5.7)
inversión inicial
5.4 EVALUACION DE PROYECTOS MUTUAMENTE EXCLUSNOS
En la evaluación de proyectos mutuamente exclusivos por el método de la TIR,
existen dos princi.E_ios que se deben de tomar muy en cuenta. Estos principios son los si guientes: •
Cada incremento de inversión debe ser justificado, es decir, la alternativa de mayor
·-in-versiOn será la mejor siempre y cuando, la fasa interna de· rendimiento del in crei11eñÍoenÍ; inversión sea mayor que TREM¡:--
V
•
Solamente se puede comparar una alternativa de mayor inversión con una de ----
menoriñVefsión, si ésta ya ha sido justificada.
El criterio usual de selección al utilizar este método, es escoger el proyecto de ma
yor inversión para el cual todos los incrementos de inversión fueron justificados. Debe ser
notado que cuando el método de la TIR es utilizado, seleccionar el proyecto de mayor TIR podría conducir a decisiones subóptimas.
-
Con el criterio de decisión anterior, se está tratando de máx1mizar la cantidad de
dinero en términos absolutos, en lugar de maximizar la eficiencia en la utilización del dine ro. Lo anterior significa que si una determinada empresa ha establecido una TREMA
20%, dicha empresa preferirá ganar $250 alhacer una inver� $1-�000en� � lOalhaceruna inversión de$15. de
--
-
--
-
-
-
-
La aplicación del �riteri; de selección que se recomienda utilizar con el método de
la TlR, implica determinar la tasa interna de rendimiento del incremento de inversión. Esta tasa de rendimiento puede ser encontrada por cualquiera de las siguientes alternativas: •
•
•
Encontrar la tasa de. interés para la cual los valores anuales equivalentes de las dos alternativas son iguales.
Encontrar la tasa de interés para la cual los valores presentes de las dos alterna" tivas son iguales.
Encontrar la tasa de interés para la cual el valor presente del flujo de efectivo neto de la diferencia entre las dos alternativas es igual a cero.
Para comprender mejor el criterio de decisión utilizado en el método de la TIR
cuando varios proyectos mutuamente exclusivos son comparados, a continuación una serie de ejemplos son presentados.
Y-r!ell"Y�S6'
Evaluación de proyectos mutuamente exclusivos 19
Ejemplu5.3
51
rn<::>.'/'0
y
J U r1J'jvr- '"-r>�no(
Q n
Se desea seleccionar de entre los siguientes proyectos de inversión, el más adecuado. Suponga una TREMA de 15%. Propuesta
$10,000 S años 3,344
Inversión Vida Ingresos netos/año
Propuesta B
A
$1S,OOO S años 4,500
De acuerdo al procedimiento descrito anteriormente, es necesario primero justificar el proyecto de menor inversión. En este caso, la TIR del proyecto A es la tasa de interés que satisface la siguiente ecu� ión:
+
-10,000
3,344{P/A. i*A, 5)
"
lj '"""
=
O
)"-
"' �...,t �-..,
v
la cual resulta ser de 20%. Como laTIR del proyecto A es mayor queTREMA, entonces, el proyecto de menor inversión ha sido justificado .. Cabe señalar que en el caso de que se tengan muchos proyectos, el procedimiento anterior es repetido hasta que el primer pro yecto se justifi ue. Si ningún proyecto es JUStlÍicado, entonces la mejor deci§.ió.n_g:ría "no
-J)
O
acer nada'.
Una vez gue el proyecto A ha sido justificado. el siguiente paso es justificar el incre mento en la inversión que requiere el proyec o
;
orma siguiente:
4
,500/año
1'
15,000
5
¡
_
�
-
añ
3,344/ o
1
10,000
B.
.p fr::' � '/ 7 ¡vfT
ro ecto B. Para tal propósito, vamos a e<>pr!!sa..I.Ji.L
�
\,
1,156/año
••
1
5
5
+
5,000
A
1
\ ..,
(B-A)
(;,
1 ) (/ " r
'>
•
.:!:)
(')'C':I
Del diagrama anterior, se puede observar que el proyecto B puede ser interpretado como la suma del proyecto A (el cual ya ha sido justificado), más una inversión de $5,000, la cual genera $1,156 cada año durante 5 años. Lo anterior significa, que el proyecto B debe ser aceptado en lugar del A, si laTIR del incremento en la inversión que requiere, es mayor que 1REMA. Esto es obvio, puesto que sería ilógico iñCrerñeñtar Ta inversión si esta no produce al menos un rendimiento igual a TREMA. Por consiguiente, la TIR del increm;;ñ� �n la inversión que requiere el proyecto B, ()S la tasa de interés i* - que sa BA tisface la ecuación: 2
-5,000
+
1,156(P/A,i* B -A'5)
=
O
L!
_ti-
la cual resulta ser de 5%. Puesto que este rendimiento es menor queTREMA, entonces el incremento en 1'!, inversión no se justifica y el mejor proyecto es el A. '
\
0 t
-..;J')
sec o.
1 \..y..., .:fe
'-;;. . e- Ñ' 1 ¡\( h) VP
r
... v
/ _.
\�
-l' r (, ,{:,<> 1
..,."'
f) -e
o
�
'\,) �'")
'! ' ..... Jo
\1
(
\)
�
----
,� .\ )0.,\l�y � '><>-lct� .J___-·.:::;--,
"1'2
80 Método de la tasa interna de rendimiento
"E/empló5A
¡-..
--z
)ILI \O'-
C-
'
C- p., .
c.
)
"''¡?JI'<
:V
�pq•¡' ,-
- -
·· · - ··
\)
Con el propósito de ilustrar y aclarar la aplicación de esta metodología al caso en el cual solamente los costos son conocido� enseguida se comparan los siguientes proyectos. Para este análisis se considera una TREMA de 15%. Propuesta A
Inversión Vida
Propuesta B
$10,000
$15,000
5 años
5 años
Costos netos/año
4,000
2,600
los cuales Como se explicará más adelante, existen flujos de efectivo para - no existe - .......__,_--
tasa interna de rendimiento. Las propuestas A y B pertenecen a esta categoría, ya que sus flu}oscieéTectivo están formad Cuando
se
�ros egresos. �- Iffi)yectos donde solamente los gastos son conocidos,
c
implícitamente suponiendo cualquiera de las siguientes situaciones: neran los mismos ingresos, ó
2)
1)
se
está
Los proyectos ge
con todos los proyectos se ahorra la misma cantidad de
dinero. Para comparar proyectos en las circunstancias descritas anteriormente, además de las suposiciones previas, es necesario estimar que el proxecto de menor inversión está._@s- / tificado de antemano, es decir, cuando solamente los gastos de los proyectos son cono-
---
cidos,
1� !!ªda" no puede ser considerada. Por consiguiente, el�r
paso en la comparación de proyectos mutuamente exclusivos, sería justificar el incre'ffien!o en la inversión de segyndo proyecto de mayor inversión con respe�or
i�.Qn.
i este incremento no se justifica, entonces se tratará de JUStificar el incremento
en la inversión del tercer proyecto con respecto al primero, y así sucesivamente. de que ningún incremento de inversión se justifique, el____2!:__0ye_cto-sel�eeieA-a-d.o-menor mversión.
�aso
s�e
--
Para el caso particular que se está analizando, el proyecto B requiere de una inver-
sión adicional de
$5,000, a cambio de la cual producirá un ahorro en los costos de $1 ,400
por año. Para esta información, la tasa de rendimiento del incremento en la inversión se obtiene al resolver la siguiente ecuación:
-5,000
+
I,400(P/A,
i*B-A'
5)
=
O
y puesto que la tasa de interés (i*B- ) que satisface la ecuación anterior es 12.37%, en A tonces el incremento en la inversión no se justifica, y el mejor proyecto es el A.
PROYECTOS CON MULTIPLES TASAS INTERNAS DE RENDIMIENTO La mayoría de las propuestas de inversión que son analizadas en una empresa, con sisten de un desembolso inicial, o una serie de desembolsos iniciales, seguidos por una serie de ingresos positivos. Para estas situaciones, como más adelante se verá, la existencia de una sola tasa interna de rendimiento facilita grandemente el proceso de toma de deci-
Proyectos con múltiples tasas internas de rendimiento 81
siones. Sin embargo, no todas las propuestas de inversión generan flujos de efectivo de este tipo. Para algunas propuestas, los desembolsos requeridos no están restringidos a los primeros períodos de vida de la inversión. Por consiguiente, es posible que en los flujos de efectivo netos existan varios cambios de signo. Para estos casos, es posible que la propuesta presente el fenómeno de tasas múltiples de rendimiento. Es indudable que la discusión de proyectos con tasas múltiples de rendimiento, aumentará el entendimiento que se tiene del método de laTIR. Por consiguiente, en esta sección del capítulo se describe y explica un método que se recomienda usar cuando la propuesta posee múltiples tasas de rendimiento.
5.5 PROYECTOS SIN TASAS DE RENDIMIENTO
Se debe de reconocer que existen algunos proyectos para los cuales no existe tasa interna de rendimiento. El ejemplo común de esta situación se presenta en los casos en que el flujo de efectivo está formado en su totalidad, ya sea por ingresos o egresos. Generalmente, los casos más comunes de este tipo son los proyectos para los cuales se conocen solamente los egresos. Para este caso, no es posible determinar la tasa interna de rendimiento de cada proyecto en forma individual. Sin embargo, como ya se explicó anteriormente, sí es posible aplicar el método de laTIR en una forma in_cremental a lisis y evaluación de proyectos mutuamente exclusivos donde SQ.l(!mente los gastos son conocidos.
5.6 PROYECTOS CON UNA SOLA TASA INTERNA DE RENDIMIENTO
Porque es deseable y fácil de analizar las propuestas con una sola tasa interna de rendimiento, es necesario conocer las condiciones que se tienen que cumplir para que se garantice la existencia de una sola tasa de rendimiento. Se puede decir por norma general, que toda propuesta de inversión cuyos desembolsos ocurranen los primeros períodos de
su vida, y los l.ñgresos en los períodos posterillres:-y -;;:d��á�Cüñipla que lasillna-al;>so
lutaaelos 1ngreso·s es mayor que la suma absoluta de iosegresos, teñdrá umif·urrción de
valor presentesimilar a la presentada en la figura 5.2, es decir, la propuesta tendría una -sola tasa interna derendi�i;nto. - La tabla 5� muestra los flujos de efectivos de dos propuestas (A y B) que sí cumplen con las condiciones anteriores y dos propuestas (C y D) que no las cumplen. Para la pro
puesta A la suma de los ingresos ($15 ,000) es mayor que la suma de los egresos ($5 ,000) y para la propuesta B también los ingresos ($6,000) exceden a los egresos ($3,500). Para estas propuestas sí se garantiza la existencia de una sola tasa interna de rendimiento. Sin
embargo, para las propuestas C y D es posible que sus funciones de valor presente sean di ferentes a la mostrada en la figura 5 .2.
5.7 PROYECTOS CON MULJIPLES TASAS INTERNAS DE RENDIMIENTO
Para la toma de decisiones, los proyectos con una sola tasa interna de rendimiento son mucho más fáciles de manejar que los proyectos con tasas múltiples de rendimiento. Cl]ando se tienen varias tasas de rendimiento surgen preguntas tales como: ¿Cuál tasa de
-.....
82 Método de la tasa interna de rendimiento
TABLA S-3. Proyectos con diferentes comportamientos de flujos de efectivo. Año o
1 2 3 4 5
Propuesta A
Propuesta B
Propuesta C
Propuesta D
-$5,000 1,000 2,000 3,000 4,000 5,000
-$2,000 1,000 500 1,500 2,000 2,500
-$10,000 5,000 6,000 - 15,000 8,000 10,000
-$3,000 o
4,000 o
- 5,000 8,000
rendimiento es la correcta? O ¿son aplicables las reglas de decisión para la selección de pro yectos cuando se presentan tasas múltiples de rendimiento? La respuesta a estas preguntas se comprenderá mejor cuando se analice el método de James C. T. Mao. Para identificar la posibilidad de tasas múltiples de rendimiento, a continuación se
·
muestra la expresión para evaluar el valor presente de la propuesta e mostrada en la tabla 5-3.
VPN
=-
10.000 + __2,QQQ__ + (1 + i)
6,000 (1 + i)
15.000 2
(l + i)3
+
8,000 4 (1 + i)
+
10,000 s (1 + i)
=
o
y sustituyendo X= 1/(1 + i) en la ecuación anterior, se obtiene: -1 O ,000 + 5 ,OOOX + 6,000X2
- 15 ,OOOX3 + 8 ,OOOX4 + 1O ,OOOX5
=
O
Para este polinomio es posible que existan 5 raíces que satisfagan la ecuación. El número de raíces reales positivas (X) es igual al número de tasas múltiples de rendimiento que tiene la propuesta de inversión. Sin embargo, la pregunta que surge en este momento es: ¿Cuál es el efecto del comportamiento del flujo de efectivo de la propuesta en el número de tasas int ernas de rendimiento?
Una regla útil para identificar la posibilidad de tasas
múltiples de rendimiento, es la regla de los signos de Descartes para un polinomio de grado n,
n.
Esta regla dice que el número de raíces reales positivas de un polinomio de grado
con coeficientes reales, no es nunca mayor que el número de cambios de signo en la
sucesión de sus coeficientes, en caso de que el_ número de tales raíces sea menor, la dife rencia será un número par. Por ejemplo, para las propuestas A y B de la tabla 5-3, la regla de los signos indica que no existe más de una tasa de rendimiento. En el caso de las propuestas e y D la regla de Descartes nos indica que el número máximo de raíces reales positivas, es tres.
LGORITMO DE JAMES C. T. MAO La aplicación del algoritmo de James C. T. Mao, requiere que los proyectos sean cla sificados en ciertas categorías. Esta clasificación permite visualizar más rápidamente a aquellos proyectos que presentan el fenómeno de tasas múltiples de rendimiento. 5.8.1
Clasificación de los proyectos Las inversiones en general -pueden ser clasificadas de acuerdo al diagrama mostrado
en la figura 5.3. En este diagrama se puede observar que las inversiones pueden ser de dos
Algoritmo de James C. T. Mao 83 tipos: simples y no-simples. En los flujos de efectivo de las inversiones simples, solamente puede haber un cambio de signo. Con esto se garantiza la existencia de una sola tasa interna de rendimiento. Por el contrario, en los flujos de efectivo de las inversiones no-simples, ·pueden existir_varios cambios de signo. Las inversiones no-simples a su vez se subdividen en do-;tipos: inversioneS'puras e inversiones mixtas. De estos dos tipos de inversiones, las
que presentan el problema de tasas múltiples de rendimiento son las inversiones mixtas. Debe ser notado que aunque las inversiones puras tienen varios cambios de signo en sus flujos de efectivo, éstas solamente tienen una sola tasa interna de rendimiento.
Simples (una sola TIR)
(
Inversiones
Puras (una sola TIR) No-simples Mixtas (varias TIR's) FIGURA 5.3. Clasificación de las inversiones.
La distinción entre inversiones simples y no-simples es muy sencilla, basta con de terminar el número de cambios de signo en el flujo de efectivo de la inversión. Sin em bargo, la clasificación de las inversiones no-simples en puras y mixtas es más difícil de visualizar. No obstante esta dificu1tad se han desarrollado dos criterios que resuelven este problema.
Con el primer criterio, una inversión pura está definida como una inversión en la
que los saldos no recuperados (ver ecuaciones rendimiento de la inversión
(i*)
,
5.4
y
.
5.5) evaluados con la tasa
Por consiguiente, una iffi'ers�ón es pura si, y sólo sí
Ft (i� < O para t =O. 1, 2 . . ,.!!_ -l. Po_r r�(i*) �O pa_@ �lgu_nos valo
el contrario, una inversió�. mixt� es un proyecto para el cual res de t y
Fr(i*) .,;; O
interna de
son negativos o ceros a través de la vida de la propuesta.
para el resto. Para inversiones puras sí podemos hablar de su tasa
interna de rendimiento, mientras que para las mixtas el rendimiento obtenido tiende a variar con la TREMA de la empresa. Otra forma de clasificar los proyectos es explicada a continuación. Debe ser notado que debido a que la inversión inicial es un desembolso, se puede lograr que cualquier in
versión satisfaga la condición
i
r�(i) < O para t =O,
1 ,2, ... , n-1, al incrementar el valor de
a alg� valor _crítico que llamaremos 'mín. Con este valor de
i, 1-�1 (r111 bz)
puede ser
Puesto que
r* > ;·nzín,
positivo, cero, o negativo. Si
entonces existe alguna tasa de interés
(rendimiento sobre el capital
que hará r� (r*)
entonces
F11(r111zí1) > O, invertido) > 'm in
r�(r*) < O para t =O, 1, 2,... , n-1 y por r� (rm ín) < O, existe alguna r* < rm in que
embargo, si
=O.
r*
lo tanto la inversión es pura. Sin
hará
¡.� (r*) =O.
Puesto que rm in es
84 Método de la tasa interna de rendimiento la mínima tasa de interés para la que los saldos del proyecto para t = O, 1 , 2, ... , n-l son ceros o negativos, el proyecto no será una inversión pura, ya que los saldos no recupera dos del proyecto utilizando
r*
pueden ser positivos o negativos. Por consiguiente, se
puede concluir que una inversión es pura si Fnfrm in) >O, y la inversión será mixta si Fn(rm¡,)
TABLA 5-4. Criterios utilizados en la clasificación de las inversiones no-simples en puras y mixtas.
Criterio l. Sea Si Si
i* un valor tal que VPN(i*) Fr (i*) � O para t =O, l, 2, ... , Ft(i*) � O para algunos valores =
O. n-l entonces la inversión es pura. de t y
F1(i*);;;. O
para el resto, entonces la in
versión es mixta. Criterio 2. Sea Si Si
rmín un valor tal que F1(rmín) �O para t =O, F�(rm ín) >O, entonces la inversión es pura Fn(rm in)< O, entonces la inversión es mixta
.
1, 2,.. , n-1
( 5.8.2 Descripción de algoritmo !;1 algoritmo de James C.
T.
Mao es un procedimiento que se recomienda utilizaLill.lft
evaluación de inversiones no-simples. La descripción de este algoritmo se muestra en la fi gura 5.4. En esta figura, se puede observar que el primer paso en la aJili.cación de e�te algo ritmo es encontrar por tanteos r m
ín�elv.al.or de rm ín se evalúaFn('in ín2_Y se determina
si la invw;ió.ILe_s_pura o mixta. Si la inversión es gura, el problema de tasa� múltiples de rendimiento no existe y la evaluación sería similar a la de las inversiones sir!!ples. Por el contrario, si la inversió�mixta es necesario calcular invertido) de modo que Fn fr * , TREMA)
=
r*
(rendimiento sobre el capital
O. Si el-¡endimiento sobre el capital invertido
es mayor que TREMA, el proyecto debe ser aceptado. La diferencia fundamental entre inversiones puras y mixtas estriba en los saldos del proyecto. En las inversiones puras, el saldQ_no__recuperado deJa inversión siemp�ega tivo, es decir_, eL proyecto de i�versión siempre nos deb� y esta deuda se reduce a_c_e_tO-al fmal de su vjda. En las inversiones mixtas, el saldo no recuperado de la inversiól]_g.ueae-ser ¡>Ositivo o negativo. Si el saldo es negativo, entonces después de transcurrir un período el proyecto nos deberá una cantidad que depende de r*. Por otra parte, si el saldo es positivo, entonces sigrufica que se dispone de cierta cantídaa de dinero que puede .ser invertida a una tasa de interés igual a TREMA. Para comprender mejor la lógica de este algoritmo, a continuación una serie de ejem plos son presentados.
Algoritmo de James C. T. Mao 85 Paso l. Paso2. Paso J.
Encontrar por intento y error
)
Fn(rm ín)F11(rmín) >O?
valuar
¿Es
rm
·
{n.
Si la respuesta es afirmativa, entonces el proyecto es una
inversión pura y por consiguiente existe una sola tasa interna de rendimiento, la cual deberá ser comparada con TREMA. Si la TIR >TREMA la inver sión debe ser aceptada. Por el contrario, si la respuesta es negativacontinúe _
con el paso Paso4:
4.
Calcular los saldos no recuperados del proyecto en la forma siguiente: F,(r*, TREMA) Ft(r*, TREMA)
Paso5.
Fr.1 (1 +r*) +Sr
==
si Fr_1
Ft-1 (I +TREMA) + Sr
==
sif't-J >O
Determine el valor der* de modo que: f�(r*, TREMA)
=
O
sir*> TREMA, entonces el proyecto debe ser aceptado. FIGURA 5.4. Descripción inversiones no-simples.
del
algoritmo
de James C.T. Mao en la evaluación de
6]emplo5.5
- r ,
:::;1' -:t
Suponga que cierta compañía que usa una TREMA de 25%, se encuentra analizando la deseabilidad económica de una inversión que promete geñerar la siguiente serie de flu jos de efectivo: Año
2
3
4
200
-400
1,000
o
-200
Flujo de efectivo
100
Puesto que la inversión es no-simple, el primer paso del análisis es determinar si el proyecto es una _i!!yersión pura o una mixta. Para este proyecto, se van a utilizar los cri terios que aparecen en la tabla de interés que iguala
-200
a-
lOO
+
5-4.
De acuerdo_'!} criterio_l_, se requiere encontrar la tasa
cero el valor presente del proyecto:
(1
+ i*)
+
200 (1 + i*)2
(1 + i*)3
y la tasa de interés i* que satisface la ecuación anterior es rendimiento los saldos no recuperados del proyecto son: Fo (58.7%) F2 (58.7%) F4 (58.7%)
==
=
=
-200
F1
-145
F3
O
o
400
+
l ,000
(1
58.7%. '
(58.7%) (58.7%)
o
+ i*)4
,¡pt. J
(-::- s:s.+
Con esta tasa interna de
-217
4
-630.2
-0.
(V'
86· Método de la tasa interna de rendimiento
y puesto que pura.
Ft
(58.7%)
Por otra parte, de acuerdo al segundo criterio,
larmín de este proyecto sería la tasa
de interés que hace igual a cero el saldo del proyecto al tmal del año 2. Lo anterior es obvio, puesto 'que si el saldo en el año 2 es cero, esto significa que el saldo del proyecto al fmal del año 1 es negativo y con esto se cumpliría que F/!m in)
Por consiguiente, r m in es la tasa de interés que satisface la siguiente ecuación: -200(1 +rm ,
m )2
y el valor de
rm ín
+ 100(1 +rm ,n ) + 200
z
=
O
que resulta de resolver esta ecuación es 28.1%. Con este valor de rm
el saldo del proyecto al finalizar el año 4 sería:
F4(28.1%)=-400 (l + .281) +
l,OQO
=
ín,
487.6
y puesto que este valor es positivo, el proyecto es una inversión pura.
\
Puesto que la inversióTJ es pura, existe una sola tasa interna de rendimiento que es 58.7%. Como laTIR es mayor queTREMA, el proyecto debe ser aceptado.
Finalmente, es importante señalar que de los criterios presentados para distinguir cuando una inversión es pura o mixta, el segundo es más fácil y rápido de aplicar. Por consiguiente, en los ejemplos subsiguientes se utilizará únicamente este segundo criterio.
·1
11 ,,,
,,,
Ejemplo5.6 Suponga que cierta empresa que usa unaTREMA de 25%, desea evaluar un proyecto de inversión que promete generar los siguientes flujos de efectivo: 1
Añ-
e>
Flujo de efectivo
-600
2 800
-600
3
4
700
100
Para distinguir si este proyecto es una inversión ;mra o una mixta, es necesario pri mero determinar
existe una r m ín al final del año
l
rmfn
y enseguida evaluar F4
(rmfn)·
Del flujo de efectivo, es obvio que
para el año O y l. Estarmín 1 de 33.33% l:ace que el saldo del proyecto sea cero. También, del mismo flujo de efectivo se desprende que para el
año 2 y 3 existe otra rmí n
de 16.67% que hace que el saldo del proyecto al final del año
3 sea cero (considerando el año 2 y 3 únicamente). De estas dos tasas de interés, la que
satisface que Ft ( rmín)
para t = O, 1, 2, 3, . . . , n-l.
F/rm ín)
Con el va 1or derm in = 33.33%, el saldo del proyecto al final del año 4 sería: F4(33.33%) =
-600(1+ .333)2 + 700(1 + .333) + 100
=
y puesto que este valor es negativo, el proyecto es una inversión mixta.
-33.33
·
Problemas 87
Como el proyecto es una inversión mixta, el siguiente paso de acuerdo a la figura 5.4, es encontrar el rendimiento sobre el capital invertido r*. El valor de r* se obtiene al resolver la siguiente ecuación: F4(r*,TREMA)
=
O
Normalmente el procedimiento para encóntrar el valor de r* requiere de una serie de tanteos. Sin embargo, se recomienda que el primer tanteo para r* sea un valor igual a
TREMA.
De esta manera, si F4(r*,TREMA)> O, entonces significa que r* >TREMA y
el proyecto debe ser aceptado. Por el contrario, si F4(r*,TREMA)< O, entonces signi fica que r*
=
25%,
el saldo del proyecto al fmal del año cuatro sería: 4 3 F4(25%) = -600(1.25) + 800(1.25) -600(1. 25)2 + 700(1.25) + 100
=
135
puesto que este valor es positivo, r* > 25% y el_proyecto debe ser aceptado. hra deter minar el valor exacto de r*, es necesario hacer una serie de tanteos hasta que su valor exacto es determinado. Por ejemplo, el siguiente tanteo para r* será de 31%. Con este valor de r*,los saldos del proyecto para cada uno de sus años serían: F0
- -600
F1
=
F2
F3 F4
= = =
-600 (1 + .31) + 800 14 (1 + .25) -600
=
=-
-582.5(1 + .31) + 700
14
582.5 =
-63.08
-63.08(1 + .31) + 100 = 17.32
y como el saldo del proyecto al fmal del año 4 es positivo,es necesario aumentar el valor de r* para satisfacer que F4(r*,TREMA)= O. Por consiguiente,etsiguiente tanteo para r* será de 32%. Con este nuevo valor de r *,los saldos del proyecto serían: F0 F1
=
=
-600 -600 (1 + .32) + 800
F2
=
8(1 + .25) -600
F3
=
-590(1 + .32) + 700
F4
=
-78.8(1 + .32) + 100
=
8
=
-590 =
=
-78.80 -4.01
y puesto que el saldo del proyecto al fmal del año 4 es negativo, el valor exacto de r* está entre 31% y 32%. Interpolando entre estos valores se encuentra que r*
=
31.8%.
PROBLEMAS 5 .1
/
Un cierto componente que es utilizado en la producción de un producto fabricado por la compañía X, tiene actualmente un costo de $1 00/.unidad. La
compañía X
con el propósito de ahorrarse la gran cantidad de dinero que anualmente· se gasta en la compra de este componente, está analizando la posibilidad de comprar el equipo necesario para su producción. Investigaciones preliminares del equipo re-
88 Método de la tasa interna de rendimiento
querido indican que su costo inicial es de $100,000 y su valor de rescate después de 5 años de uso es de $20,000. Además, si el equipo es adquirido, los costos fijos anuales serían de $5,000 y los gastos variables serían de $25/unidad. Si la demanda anual para este componente es de 500 unidades, ¿cuál es la tasa interna de rendi miento que resulta de adquirir el equipo necesario para su producción? Un estudiante que actualmente ha terminado su carrera de Ingeniero Mecánico
5.2
Administrador en el ITESM, estima que los costos incurridos durante su carrera equivalen al momento de su graduación a $250,000. Si en virtud de esta prepara ción adicional, dicho I ngeniero espera ganar el primer año de trabajo $30,000 más que lo que ganaría una persona sin preparación profesional, ¿cuál es la tasa interna de rendimiento que obtiene este Ingeniero si los aumentos adicionales en sueldo se estima que crecerán a una razón de 15% anual? (Considere un horizonte de 5.3
/
planeación infinito.) Un torno puede ser adquirido a un valor de $1 ,000,000. Se estima que este torno va a producir ahorros en los costos de producción de $150,000 anuales. Si la vida de este aparato es de lO años al final de los cuales su valor de rescate se considera despreciable, ¿cuál sería la tasa interna de rendimiento que resulta de la adquisi ción de esí:e equipo?
5.4
Dos tipos de compresores están siendo evaluados por la compañía X. El com presor A cuesta $100,000 y sus costos de operación y mantenimiento se estiman
\
en $30,000 anuales. Por otra parte, el compresor B cuesta $80,000 y sus costos de operación y mantenimiento se estiman en $35,000 anuales. Si se utiliza un hori
n� de 25%, y los valores de rescate de
zonte de planeación de 8 años, u
j
5.5
\
estos compresores se estiman en 15% de su valor original; ¿qué alternativa selec'7 1 rz. cionaría? '/ Considere las siguientes alternativas de inversión:
A
B
Ingresos anuales
-$300,000 200,000 120,000
-$400,000 250,000
Valor de rescate Vida
60,000 5 años
50,000
Inversión inicial Gastos anuales
150,000 5 años
Si la TREMA es de 25%, ¿cuál es la TIR del incremento en la inversión que de 5.6
manda la alternativa B?
Usando una TREMA de 20%, determine laTIR del incremento en la inversión re querido por la alternativa B:
A
B
.
---
Inversión i;licial
$500,000
Gastos anuales del año K
50,000(l.l)K-l 60,000
Vida
10 años
Valor de rescate
$750,000 20,000(1.1 )K.¡ 100,000 lO años
Problemas 89
/ Una compañía está considerando la posibilidad de arrendar o comprar una copia
5 _7
dora. Si la copiadora es arrendada se pagaría al principio de cada año una cantidad de $100,000_ Si se compra la copiadora su costo inicial sería de S400,000 y su valor de rescate después de 5 años de uso sería de SSO,OOO_ Si la TREMA es de 20%, ¿debería la compa11ía comprar o arrendar la copiadora? Una destilería está considerando la posibilidad de construir una planta para pro
5 _8
ducir botellas_ La destilería anualmente requiere 500,000 botellas. La inversión inicial requerida por la planta se estima en $1 ,000,000, su valor de rescate después de 1O años de operación se estima en $150,000 y sus gastos anuales de 6percrtión \ y mantenimiento se estiman en $50,000_ Si la TREMA es de 25%, ¿para qué pre cio de la botella debería la destilería construir la planta? Un bono con valor nominal de $100,000 que paga intereses semestrales del l2%
5_9 ""*
del valor nominal, y cuya vida es de 10 años, va a ser vendido después de recibir los intereses correspondientes al sexto semestre en S 120,000 ¿Cuál es la TI R que _
se obtendría en esta transacción? 5.1O
Una cierta compaüía está analizando cinco alternativas con las cuales se puede realizar un cierto trabajo. El valor de rescate de cada alternativa se estima después de 5 afíos de vida en 100% de su inversión originaL Si la TREMA de esta compafíía es de 25%, ¿qué alternativa debe ser seleccionada?
Inversión inicial Ingresos netos/año
A
B
e
D
E
$10,000
$12,000
$15,000
$20,000
$30,000
2,000
3,000
3,500
5,500
7,500
lj
5.11
Determinar si el siguiente proyecto de inversión es una inversión pura o una mixta.
11
,,
También determine si con una TREMA de 20% el proyecto debe ser aceptado_
Año Flujo de efectivo
5.12
o
1
2
3
4
-2,000
o
10,000
o
o
5 -10,000
La compai'íía X se encuentra analizando el siguiente proyecto de inversión:
Año Flujo de efectivo
o -1,000
1 4,700
2
3
-7,200
3,600
Si !á TREMA es de 30% ¿debería el proyecto ser aceptado? ¿Cambiaría su decisión si la TREMA es de 60% '? 5.13
Para el siguiente proyecto de inversión, determine si con una TREMA de 30% el proyecto se justifica.
� /"''
90 Método de la tasa interna de rendimiento
5.14
3
Año
o
1
2
Flujo de efe.ctivo
-200
100
300
'---200
4 500
La compañía Y que utiliza una TREMA de 30% para evaluar sus proyectos de in-· versión, desea saber si el proyecto que se muestra a continuación es rentable.
Año
Flujo de efectivo
5.15
o
1
-200
1,000
2 -200
3
4
800
500
Una cierta compañía desea saber si vale la pena emprender el proyecto de inver sión que se muestra a continuación, si se usa una TREMA de 30%.
Año
Flujo de efectivo
'•
o -200
1
2
3
4
600
-200
800
500
6 Consideración de impuestos en estudios económicos
En capítulos anteriores
se
ha explicado la forma de determinar el rendimiento de un
proyecto. Sin embargo, los procedimientos presentados para este propósito no reflejan el impacto que en el rendimiento de un proyecto tienen los impuestos. La consideración de impuestos en estudios económicos es un factor muy decisivo en la selección de proyectos de invérsión, pues evita la aceptación de proyectos cuyos rendi mientos después de impuestos son mediocres. Por otra parte, el considerar el efecto de los impuestos en estudios económicos, im plica determ.ip.ar la forma en que los activos bajo consideración van a ser depreciados. Aunque la depreciación no es un gasto desembolsable para la empresa, su magnitud y el t!.!mpo de ocurrencia influyen considerablemente en la cantidad de impuestos a pagar. Est� capítulo presenta las diferentes formas de depreciar los activos más frecuente mente utilizados por una empresa, así como la metodología general que se debe seguir en la evaluación de un proyecto cuando los impuestos son considerados.
6.1 DEPRECIACION -QUE SIGNIFICA Cun excepción de los terrenos, la mayoría de los r.:.tivos fijos tienen una vida limita da, es decir, ellos serán de utilidad para la empresa por un número limitado de períodos contables futuros. Lo anterior significa que el costo de
un
activo deberá ser distribuido
adecuadamente en los períodos contables en los que el activo será utilizado por la empre sa. El proceso contable para esta conversión gradual de activo fijo en gasto es llamado depreciación. Es importante enfatizar que la depreciación no es un gasto real sino virtual y es con siderada como gasto solamente para propósitos de determinar los impuestos a pagar. Cuando las deducciones por depreciación son significativas, el ingreso gravable disminuye. Si el in greso gravable disminuye, entonces, también se disminuyen los impuestos a pagar y por consiguiente la empresa tendrá disponibles mayores fondos para reinversión. El concepto de depreciación es muy importante, puesto que depreciar activos en pe ríodos cortos, tiene el efecto de diferir el pago de los impuestos. Además, puesto que el
91
¿
92 Considerac ión de i mpuestos en estudios económicos
dinero tiene un valor a través del tiempo, es generalmente más deseable depreciar mayores cantidades en los primeros años de vida del activo, ya que es obvio que una empresa pre fiere pagar un peso de impuestos dentro de un año, a pagarlo ahora.
6.2 METODOS DE DEPRECIACION Existe gran cantidad de literatura que trata sobre métodos de depreciación. Normal mente en esta literatura se explica el método de la línea recta, el método de suma de años dígitos y el método de saldos decrecientes; los cuales para su aplicación requieren del co nocimiento del costo inicial del activo (el monto original de la inversión comprende ade más del precio del bien, los impuestos efectivamente pagados con motivo de la adquisición o importación del mismo a excepción del impuesto al valor agregado, así como las eroga ciones por concepto de derechos, fletes, transportes, acarreas, seguros contra riesgos en la transportación, manejo, comisiones sobre compras y honorarios a agentes aduanales), su vida útil, y una estimación del valor de rescate al momento de su venta.Sin embargo, el método de suma de años dígitos y el método de saldos decrecientes sólo se permiten .Por el contrario, en México sólo es válido depreciar los activos en línea usar en U.S.A. recta. Tal depreciación se determina en función del tipo de activo y de la actividad in dustrial en la que son utilizados. Para dar una idea de cómo la depreciación debe ser evaluada, la tabla 6.1 muestra cómo se deprecian los diferentes activos fijos tangibles y los intangibles utilizados por una empresa. TABLA 6.1.
�ctivos fijos tangibles y amortización de los intangibles.
a)
Activos intangibles:
/
1 Cargos diferidos .. ..... . ... . . . . . .... .... . .......... . 5% 2 Patentes de invención, marcas, diseños comerciales o industriales, nombres comerciales, asistencia técnica o transferencia de tecnología y otros gastos diferidos, así como las erogaciones realizadas en perío-
dos preoperativos ..
.
.
. .. . . . .. ... . . . .... .... . .. .l O% .
.
.
.
.
_
b) Bienes de activo fijo emp leados normalmente por los diversos tipos de em· presas en el curso de sus actividades: Edificios y construcciones, salvo las viviendas que a continuación se citan ... . . ... . .... . ..... .. . . .. . . ....... .... ...... 5o/o 2 Ferrocarriles, carros de ferrocarril, locomotoras y embarcaciones (ex cepto los comprendidos en el inciso e) No.8). ..... ..... . ..... 6% . ... .. . . .. . ... . fO% �-s::::Mobiliario y equipo de oficina ..... .. 4 .Automoviles, camiones de carga, tractocamiones, remolques y maquinaria y equipo para la industria de la construcción ... .. ... .. ...20% 11% . . . . .. . 5 Autobuses . .. ... ..... .. . . .... . .... 6 Equipo periférico del contenido en el subinciso 9); perforadoras de .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
tarjetas, verif icadoras, tabuladoras, intercaladoras y demás que no queden comprendidas en dicho inciso .. ........... .... .. . .. 12% 7 Aviones (excepto los comprendidos en el inciso e) No.9) ......... 17% 8 Equipo de cómputo electrónico consistente en una máquina o grupo .
.
.
Métodos de depreciación 93 TABLA 6.1 Continuación. de máquinas, interconectadas conteniendo unidades de entrada, alma cenamiento, computación, control y unidades de salida, usando circuitos electrónicos en los elementos principales para ejecutar operaciones aritméticas o lógicas en forma automática por medio de instrucciones programadas, almacenadas internamente o controladas externamente
9 Dados, troqueles, moldes, matrices y herramental
.
25%
. .... . . ... .. 35% .
10 Equipo destinado a prevenir y controlar la contaminación ambiental en cumplimiento de las disposiciones legales respectivas .
. ....... 35%
.
11 Equipo destinado directamente a la investigación de nuevos productos o desarrollo de tecnología en el país ...... . ... .
. .. .... . . .. 35%
.
12 Equipo destinado para la conversión a consumo de combustóleo y gas natural en las industrias ... . .. . ...... . ...
e)
.
. . . . ... .... . 35% .
Maquinaria y equipo distintos de los mencionados en el inciso anterior, utilizados por empresas dedicadas a:
Producción de energía eléctrica o su distribución; transportes eléctricos ...... .. . . ... . ... . .... ..... ... . .. ... ... . 3% 2 Molienda de granos; producción de azúcar y derivados; de aceites co mestibles; transportación marítima, fluvial y lacustre . .. ......... S% 3 Producción de metal (obtenido en primer proceso); productos de tabaco y derivados del carbón natural .. . . . . .. . . . . . . . ... . . . . . . . 6% .
.
.
.
.
-
4
Fabricación de vehículos de motor y sus partes; construcción de ferro carriles y navíos; fabricación de productos de metal, de maquinaria y de instrumentos profesionales y científicos; producción de alimentos y bebidas (excepto granos, azúcar, aceites comestibles y derivados). ... 8%
5
Fabricación de pulpa, papel y productos similares, petróleo y gas natural. .. . . .. .. . .... . . . .... .... . . ..... ...... ... . . .
7%
6 Curtido de piel y fabricación de artículos de piel; de productos químicos, petroquímicos y farmacobiólogos; de productos de caucho y de produétos plásticos; impresión y publicación ... .... . . .. . . .. . 9% 7 Fabricación de ropa; fabricación de productos textiles, acabado, teñido y·eStampado. . ........ ... ... ... . ... .... . . ..... 11% 8 Construcción de aeronaves; compañías de transporte terrestre, de carga y de pasajeros ... .. . ...... ... . ... ... .... . .. . .... 12% 9 Compañías de transporte aéreo; transmisión de radio y televisión . .. 16% .
.
.
.
.
..
.
d) Actividades agrop ecuarias:
Agricultura (incluyendo maquinaria y equipo)
2 Cría de ganado mayor .. . 3 Cría de ganado menor ........ . . .
e)
·
.
.
.
.
.
.
...... 20% ...... 11% .. ............. 25o/o
Otras actiJ•idades nu especificadas en la enumeraciún anterior
.
.
.
..... 10%
Nota: La información con tenida en esta tabla fue obtenida dt• la Ley dd InÍpuo:stn sobrt' la Renta.
94 Consideración de impuestos en estu dios económicos
Como se puede observar en la tabla 6.1, la depreciación a la que está sujeto un acti vo depende principalmente de su vida esperada, es decir, entre mayor sea la vida esperada de un activo, menor será la depreciación anual permitida. En la tabla 6.1 se muestra el porcentaje anual del valor inicial del activo que se per mite depreciar. Sin embargo, existen casos especiales en que los activos pueden ser depre ciados en períodos relativamente cortos. Estos casos de depreciación acelerada de los equipos, son mecanismos que el gobierno ha puesto en marcha para fomentar el desarrollo industrial de zonas rurales. Además, estos casos se aplicarían más frecuentemente en evaluaciones económicas de nuevas plantas que se vayan a instalar en zonas no-industriali zadas. Por otra parte, las reformas fiscales de 1979 a la ley del impuesto sobre la renta, permiten una deducción adicional por depreciación, es decir, además de la depreciación que se obtiene utilizando la información de la tabla 6.1, es posible deducir una cantidad adicional. Esta cantidad adicional se obtiene como un porcentaje de la diferencia entre activos financieros (cuentas por cobrar, inversiones líquidas, etc.) y pasivos. Sin embargo, esta deducción adicional no será considerada en los ejemplos presentados en este capítulo, por desconocer la estructura financiera de la empresa que adquiere el activo. Además, la simplificación anterior se puede justificar por el hecho de que la mayoría de las empresas tiene una estructura financiera tal, que su pasivo rebasa generalmente a los activos fman cieros.
¡Í
ll
6.3 GANANCIAS Y PERDIDAS EXTRAORDINARIAS DE CAPITAL
'
Cuando un adivo que no forma parte de los productos que distribuye una empresa, •' ,,
es vendido, una ganancia o pérdida extraordinaria de capital puede resultar si el valor de
•'
venta del activo es diferente de su valor en libros. Estas ganancias o pérdidas que resultan de la venta de un activo, obviamente afectan los impuestos por pagar. El efecto en los im puestos por pagar va a depender de la magnitud d� la ganancia o pérdida extraordinaria, así como de la tasa de impuestos que grava las utilidades d� la empresa. Anteriormente, las ganancias n pérdidas de capital se obtenían como la diferencia en tre el valor de rescate de�om.ento de la yenta y su valor enñoros. Sin embargo, a partir de las reformas fiscales de 1979, las ganancias o pérdidas de capital se deben obtener como la diferencia entre el valor de rescate del activo al momento de la venta y un costo ajustado. Este costo ajustado depende de la edad del activo y se obtiene al multi plicar su valor en libros por en factor de ajuste. La tabla 6.2 muestra los diferentes facto res de ajuste para diferentes edades del activo. Como se puede apreciar en esta tabla, entre mayor sea la edad del activo mayor será su factor de ajuste, es decir, si dos activos del mis mo tipo son comprados en dos fechas distintas, el activo comprado más recientemente tendrá un factor de ajuste menor. Es obvio que esta nueva reforma fiscal beneficia no sólo a las empresas, sino también a las personas físicas, ya que con esta reforma las ganancias que resultan de la venta de acciones, terrenos y construcciones serán menores. También, es conveniente enfatizar que los beneficios fiscales que resultan cuando el activo es vendido por una cantidad menor que su valor en libros, serán mayores, puesto que la pérdida a deducir en el estado de re sultados de l:t empresa será mayor.
Ganancias y pérdidas extraordinarias de capital 95 TABLA 6.2. Factores de ajuste / Edad
�./
Factor
Hasta un año
Edad
Factor
1.00
Más de 25 años hasta 26 años
56.90
Más de
1 año
hasta
2 años
1.55
Más de 26 años hasta 27 años
59.85
Más de
2 años hasta
3 años
2.�
63.42
Más de
3 años ha�ta__A años
( �.57
Más de 27 años hasta 28 años Más de 28 años hasta 29 años
68.35
7.17
Más de 29 años hasta 30 años
73.74
Más de 30 años hasta 31 años
82.38
Más de
4 anos hasta
5 años
Más de
5 años hasta
6 años
¡__.._
9.3 1....:.
Más de
6 años hasta
7 años
11.17
Más de 31 años hasta 32 años
91.74
Más de
7 años hasta
8 años
12.98
Más de 32 años hasta 33 años
91.41
Más de
8 años hasta
9 años
15.66
Más de 33 años hasta 34 años
100.16
Más de
9 años hasta 1 O años
Más de 34 años hasta 35 años
118.17
¡:§)¡';V
Más de 10 años hasta 11 años
22.17
Más de 35 años hasta 36 años
Más de 11 años hasta 12 años
26.74
Más de 36 años hasta 37 años
125.33
Más de 12 años hasta 13 años
32.45
Más de 37 años hasta 38 años
125.82 135.82
122.56
Más de 13 años hasta 14 años
34.26
Más de 38 años hasta 39 años
Más de 14 años hasta 15 años
35.96
Más de 39 años hasta 40 años
179.15
Más de 15 años hasta 16 años
37.61
Más de 40 años hasta 41 años
186.49
Más de 16 años hasta 17 años
39.95
Más de 41 eños hasta 42 años
256.5 9
Más de 17 años hasta 18 años
40.96
Más de 42 años hasta 43 años
299.14
Más de 18 años hasta 19 años
�
Más de 19 años hasta 20 años
Más de 43 años hasta 44 años
326.33
44.29
Más de 44 años hasta 45 años
328.5 8 345.44
Más de 20 años hasta 21 años
45.40
Más de 45 años hasta 46 años
Más de 21 años hasta 22 años
48.22
Más de 46 años hasta 47 años
353.35
Más de 22 años hasta 23 años
50.21
Más de 47 años hasta 48 años
370.98
Más de 23 años hasta 24 años
51.95
Más de 48 años hasta 49 años
463.39
Más de 24 años hasta 25 años
54.23
Más de 49 años en adelante
510.28
Nota: La información cor.tenida en esta tabl
Para ilustrar cómo las ganancias o pérdidas de capital son evaluadas a continuación una serie de ejemplos son presentados.
Ejemplo
6.1
Suponga que cierta empresa compró a principios de 1964 una propiedad a un costo de $1,300 de los cuales $390 correspondían al terreno y $910 a edificios. También supon
ga que esta empresa vende la propiedad a finales de 1982 por una cantidad de $20,000. Si la tasa de impuestos de esta empresa es del 50%, ¿cuáles serían los impuesios que se tienen
que pagar por la ganancia de capital que resulta de la venta de la propiedad? El impuesto por pagar sería ef SO% de la diferencia entre el valor de rescate y el cos to ajustado de la propiedad. Para determinar el costo ajustado es necesario determinar pri mero el valor en libros de la propiedad al momento de la vent�. Para tal propósito. de 6.1 , es sabido que los edificios se deprecian a una razón del 5% anual. En
acuerdo a la tabla
seguida, de acuerdo a la tabla 6.2 se obtiene el factor de ajuste que corresponde a una pro
piedad que se compró hace más de 18 años, el cual resulta ser de 42.16. Por consiguiente, el costo ajustado de esta propiedad sería:
Activo Terreno Edificio
Costo original
Depreciación acumulada
S 390 910
o $ 864.5
Valor en libros al momento de la venta $ 390.0 45.�
Factor de ajuste
Costo ajustado
$42.16 42.16
$ 16,442.40 1,918.28 $ 18,360.68
y los impuestos a pagar por la ganancia extraordinaria de capital serían de $81 9.66.
96 Consideración de impuestos en estudios económicos
6.4 TASA INTERNA DE RENDIMIENTO Y VALOR PRESENTE DESPUES DE IMPUESTOS En capítulos anteriores los impuestos no eran considerados, es decir, se considera ba que no eran aplicables en estudios económicos. Sin embargo, de hecho sí se conside raban en una fom1a implícita, puesto que los valores fijados para TREMA eran mayores. La determinación de la tasa interna de rendimiento después de impuestos, no puede determinarse de una fonna directa y simple. Algunos autores mencionan que existe una relación aproximada entre rendimiento después de impuestos y rendimiento antes de impuestos. Tal relación la expresan de la siguiente manera:
TlR después de imp.
=
TlR antes de imp. (1 -Tasa de impuestos)
Sin embargo, esta expresión sería válida en el caso de que la propiedad analizada sea no depreciable y totalmente fmanciada con capital contable. La realidad es que la mayoría de los activos fijos que posee una empresa son depreciables y un porcentaje de ellos ha sido financiado con pasivo. Por consiguiente, en la práctica es más recomendable hacer un análisis completo de los flujos de efectivo después de impuestos que genera el proyecto de inversión, en lugar de obtener la TIR después de impuestos utilizando la expresión anterior. Análisis después de impuestos son realizados exactamente en la misma forma que los análisis antes de impuestos son hechos. La única diferencia estriba en que unos flujos de efectivo son antes de impuestos y otros son después de impuestos. Sin embargo, para analizar flujos de efecti vo después de impuestos es necesario primero saber cómo se deter minan. Por consiguiente, a continuación se muestra el procedimiento tabular que se reco mienda seguir en la obtención de tales flujos:
/
/ Flujo de
Flujos de
efectivo
efectivo
antes de
AIIO
(l)
impuestos
Depreciación
(2)
(3)
(4)
Ingreso
Impuestos o
después de
gravable
ahor ros
impuestos
=
(2) + (3) (5)
=-
(4) t* (6)
=
(2) + (5)
La columna (2) contiene exactamente la misma información que se utilizaba en los análi sis antes de impuestos. La columna (3) muestra cómo el activo bajo consideración v a a ser depreciado en los diferentes años que abarca el horizonte de planeación del estudio por
*t= t�sa
de imput·,tos
_
Tasa interna de rendimiento 97
realizar. Debe ser notado que la depreciación se considera como un gasto para propósitos de impuestos. Sin embargo, es obvio que la depreciación no representa para la empresa un desembolso efectivo de dinero. La columna
(4) representa el ingreso neto (costo neto) al
cual se le aplica la tasa de impuestos para determinar los impuestos (ahorros). La columna
(S) muestra Jos impuestos por pagar o los ahorros obtenidos. Es obvio, que en esta colum na aparecerían impuestos si el ingreso gravable es positivo, y ahorros si el ingreso gravable es negativo. Finalmente, en la columna
(6)
se muestran los flujos de efectivo después de
impuestos, los cuales serían utilizados directamente en el análisis económico después de impuestos. Además, para facilidad de cómputo, cada columna de esta tabla muestra las operaciones aritméticas que son requeridas para su obtención. Es muy importante señalar que la columna
(6)
se obtiene sumando la columna
(2) y la (5)
y no la
(4) y la (5). Esta
aparente incongruencia se debe a que en estudios económicos Jo que interesa son flujos de efectivo y no las utilidade·s que mostraría un estado de resultados. Para ilustrar cómo los flujos de efectivo después de impuestos son obtenidos y Jos análisis económicos después de im puestos son realizados, a continuación una serie de ejemplos son presentados.
Ejemplo
6.2
Suponga que cierta empresa desea desarrollar
e
implantar un sistema de información
con el cual se manejarían los movimientos de personal. Para esto, el gerente de Recursos Humanos de dicha empresa, ha iniciado pláticas preliminares con el gerente del Centro Electrónico de Cálculo, el cual considera que dicho sistema de información demandaría equipo adicional por valor de
$500,000.
Además, se piensa que se requiere un año para
desarrollar e iniciar la operación de tal sistema. Se estima que los costos ine¡�rridos duran te el período de desanollo serían de
suponga que el nuevo sistema que
origina gastos incrementales de
$200,000. También $50,000, realizaría el
trabajo que actualmente vienen 1
haciendo
4 personas del departamento de Recursos Humanos, las cuales perciben ingresos anuales de $150,000 cada una. Por otra parte, dado el gran avance tecnológico de las com
putadoras y la disponibilidad constante de nuevos e quipos de hardware y software, el ge rente del C.E.C. considera que el nuevo sistema estaría obsoleto a finales del año 6. Además, esta persona considera que en ese tiempo no se tendrá ninguna recuperación monetaria por el equipo que demanda el nuevo sistema. Finalmente, considere que esta empresa pa ga impuestos a una tasa del
50%
y utiliza una TREMA de
20%
para evaluar sus nuevos
proyectos de inversión. Los flujos de efectivo después de impuestos para este ejemplo aparecen en la tabla
6-3. En esta tabla se puede apreciar que la inversión en equipo periférico se va a depreciar en un período de 8.33 años (12% anual) y los gastos preoperativos en un período de 10 años (10% anual). Es importante señalar que estos períodos de amortización se obtuvie ron de la información presentada en la tabla 6.1. Por otra parte, suponga que para decidir si se acepta o se rechaza el nuevo sistema de información, el método de la tasa interna de rendimiento será utilizado_ Por consi guiente, el siguiente paso a realizar es encontrar la tasa de interés que iguala a cero el valor presente de los flujos de efectivo después de impuestos que aparecen en la tabla tasa de interés resulta ser de
28.7%
nuevo sistema deberá ser desarrollado.
6.3. Tal
y puesto que es mayor que TREMA, entonces, el
/
'
98 Consideración de impuestos en estudios económicos
TABLA 6. 3. Flujos de efectivo después de impuestos para el nuevo sistema de infor
mación propuesto (miles de pesos).
'v Flujo de
Flujo de efectivo antes de Año
impuestos
o
-$ 500
1
-
efectivo
:J Depreciación
Ingreso
Impuestos
después de
gravable
o ahorros
impuestos
+
$- 500 - 170
330
30 -235 -165
- 20
- 20
10
10
-
- 20
- 20
10
10
9
-
- 20
- 20
10
10
10
-
- 20
- 20
10
10
- 20
- 20
10
10
200
- 60
- 60
2-5
550
- 80
470
6
550
-220*
7
-
8
11
(Ji
l2)
l3J
CtJ
{5J
315
385
(f.) (..z\1\_�
Ejemplo 6.3
Suponga que una institución bancaria desea instalar una red de teleproceso, con la cual se conectarían a la matriz todas las sucursales distribuidas en el país. Con esta nueva
�
red de teleproceso la alta direcci�n de esta institución piensa resolver los randes proble mas por los cuales actualmente atraviesa. Uno de los principales problemas� los que se en frenta la institución es la captación lenta y poco confiable de la información proveniente de las sucursales (la información se envía usando el servicio de valija). Obviamente con esta nueva red, se piensa que la información se podrá captar y transmitir más rápidamente de un lugar a otro. Además, con esta red se podrán generar los reportes financieros que tan frecuentemente demandan los a ltos directivos en una forma más pre-cisa, más confiable, más periódica y más oportuna. Por otra parte, considere que dada la alta importancia y la gran inversión que este proyecto representa, la alta dirección ha decidido encargar el estudio de este proyecto a un grupo de personas. Suponga que estas personas ya han iniciado las investigaciones per tinentes con diferentes proveedores de equipo, y han resumido la información recolectada en la forma como aparece en la tabla 6.4. También, suponga que la alta dirección ha mani festado en repetidas ocasiones que el horizonte de planeación en este tipo de proyectos
*220 60 (de preciación del equipo periférico) + 140 (pérdida en la venta del equipo periférico) + 20 (amortización de los gastos preoperativos). Además, se considera que la tasa de impuestos es la misma =
para utilidades (pérdidas) ordinarias y extraordi narias.
, Tasa interna de rendimiento 99
5
no debe ser ma•ror de
años, dado el gran avance tecnológico de las compu tadoras y la
disponibilidad constante de nuevos equipos de hardware y software. Además, considere que esta institución deprecia este tipo de equipo en 4 años, y amortiza los gastos preope
(arranque
rativos
y desarrollo) en
impuestos a una tasa del
50% y
10
años. Finalmente, asuma que esta institución paga
utiliza una tasa de interés de
25% para
evaluar los nuevos
proyectos de inversión.
TABLA 6.4. Costos de diferentes proveedores d.: equipo (miles de pesos).
Proveedor B
A
Inversión en equipo
$
$
2,000
---
e
$
3,000
2,500
Arranque y desarrollo
700
500
400
Operación y transmisión
800
600
500
Valor de rescate
400
500
600
Para esta información, la tabla
6.5
muestra los flujos de efectivo después de im
puestos de cada una de las alternativas consideradas. De acuerdo a estos flujos, el valor presente (J.Tiiles de pesos) de cada alternativa sería:
VPN A
=
-
VPNA
=
-
VPNB
=
VPN8
=-
VPN
e
VPNc
2,700 -
115 (1.25)4
71 (1.25)5
(_
+
____]]_ + __)]_ (1.25)2
(1.25)
+
__]]____ + ____]]___ (1.25:"
(1.25t
+
(!,
_1L (1.25)5
•
$2,899
- 3 400
+
'
=-
115 (1.25?
$2,995
- 3,000
=
115 _____1_!2 (1.25) - (1.25?
�
(1.25)
+
____l1L
(1.25)2
+
___l1i_ (1.25)3
+
___l1i_ (1.25t
+
____.!.1!_ (1.25)5
$3,017
lo cual significa que la alternativa B debe ser seleccionada, es decir, el equipo requerido por
1; nueva red de teleproceso deberá ser comprado al proveedor B.
100 Consideración de impuestos en estudios económicos TABLA 6.5. Flujos de efectivo después de impuestos para cada una de las tres al ternativas consideradas (miles de pesos).
Flujo de
Flujo de
efectivo
efectivo impuestos
después de
Ingreso
antes de Año
impuestos
Depreciación
gravable
-570
-1,370
685
570
-1,370
685
-
Ahorros
Proveedor A
1 -$ 2,700
o
800
- $ 2,700 115
2
-
800
3
-
800
-570
-1,370
685
-
115
4
--
800
-570
-1,370
685
-
1 15
5
-
800
- 70
-
435
�
870
-
400
5
115
365 294
2
'1 t../
Proveedor B
o
-$3,000
-$3,000
600
-675
- 1,275
637
37
2
-
600
-675
-1,275
637
37
3
-
600
-675
-1,275
637
37
4
-
600
-675
-1,275
637
37
5
-
600
-
-
650
325
275
50
500
5
317
e+
Proveedor C
o
-$3,400
1
-
500
-790
-1,290
645
+
145
2
-
500
-790
-1,290
645
+
145
-$ 3,400
3
-
500
-790
-1,290
645
+
145
4
-
500
-790
-1,290
645
+
145
5
-
500
- 40
-
540
270
5
600
230 354
(,1-}
Ejemplo 6.4 Suponga que ciert a c orporación desea incursionar en un nuevo negocio cuya inver swn inicial requerida es de $100,000,000 (70 millones de activo fijo y 30 millones de activo circulante). Asimismo, suponga que el activo fijo se va a depreciar en línea recta en un período de 5 años, y que el valor de rescate al final de los 5 años es un 20% del activo
1
Incluye
2
lncluyL·
te
dL·
los
invl·rsiún en L'(jUipo y los gastos prcopcrativos de arranque y desarrollo. l'l valor dL' rescate dnpués de impuestos (400- 0.5 (400)) y el v alor pn:sen hcncfieios fiscales de los gastos prcopcrativos amortizados en los últimos 5
la
años (6-LO).
V
e,
d)'
t
')""'
Certificados de promoción fiscal 101 fijo y un 100% del activo circulante. Si los flujos de efectivo que se esperan de este pro yecto antes de depreciación e impuestos son de 45 millones, la tasa de impuestos es de SO% y la TREMA utilizada es de 20%, ¿debería la corporación emprender este nuevo
proyecto de inversión? La diferencia de este ejemplo con los anteriores, estriba en el hecho de que en este
caso particular se está suponiendo que el nuevo proyecto de inversión requiere de una inversión adicional en activo circulante. Esta situación es más real puesto que todo proyecto de inversión trae consigo un aumento en las necesidades de activo circulante (caja, cartera, inventarios, etc.). También, en este ejemplo se supone que el activo circu lante puede ser recuperado en un 100% al término del horizonte de planeación considera do. Finalmente, conviene señalar que en el ejemplo se consideran inversiones en activo circulante y no en capital de trabajo. La razón de esto como más adelante se verá (capítu lo 12), es muy obvia, puesto que es necesario distinguir y hacer en forma separada las decisiones de inversión y las decisiones de financiamiento. Tomando en cuenta las consideraciones anteriores y la información presentada en el ejemplo, la tabla 6.6 muestra los flujos de efectivo después de impuestos que se esperan obtener con el nuevo proyecto. De acuerdo a estos flujos, el valor presente neto del pro yecto sería:
VPN
=-
100,000 + 29 ,500
(P/A,
20%,
5)
+ 37,000
(P/F,
20%, 5)
=
3,099
y puesto que este valor es positivo, el proyecto debe ser emprendido.
TABLA 6.6. Flujo de efectivo después de impuestos (miles de pesos).
Flujo de
Flujo de
efectivo
efee tivo
antes de
Año
;&
o 1 2 3 4 5 5
impuestos
- $ 100,000 45,000 45,000 45,000 45,000 45,000 44,000
-
Ingreso
ciación
gravable
14,000 14,000 14,000 14,000 14,000
-
r
L._
6.5
Depre-
31,000 31,000 31,000 31,000 31,000
ro
después de Impuestos
-
15,500 15,500 15,500 15,500 15,500 7,000*
-
impuestos
- $ 100.000 29,500 29,500 29,500 29,500 29,500 37,000
(
-"
CERTIFICADOS DE PROMOCION FISCAL (CEPROFI) En las últimas décadas, el país ha logrado un ritmo de crecimiento económico ade
cuado. Sin embargo, este crecimiento se ha concentrado sectorial y regionalmente en un
*Corresponden al impuesto que
se
paga por la ganancia extraordinaria del activo fij o ($14,000,000).
102 Consideración de impuestos en estudios económicos
número reducido de ciudades del territorio nacional. Además, se han generado graves desequilibrios reflejados en un desordenado crecimiento de los centros de población, en la inadecuada distribución de la población en el territorio nacional y en el incremento incon trolable del fenómeno de migración de la población hacia ciertas regiones del territorio nacional. Para eliminar o reducir en cierto grado lós problemas antes señalados, el gobierno a través de la Secretaría de Hacienda y Crédito Público, ha introducido una serie de reformas fiscales entre otras, los certificados de promoción fiscal (CEPROFI). Estos incentivos fiscales que fueron introducidos en 1979, tienen como objetivo: aumentar el empleo, promover la inversión, impulsar el desarrollo de la mediana y pequeña industria, fomentar la producción de bienes de capital, propiciar la mayor utilización de la capacidad instalada, promover un desarrollo regional equilibrado y la promoción de exportaciones. Un resumen de los nuevos estímulos fiscales, se muestra en la tabla 6.7. Como se puede observar en esta tabla, los estímulos fiscales dependen básicamente de dos cosas: Del tipo de industria en que se está o se desea invertir y del lugar donde se está o se pretende ubicar. Por otra parte, la magnitud de los beneficios fiscales, depende de: •
lnversion. La realización de inversiones de empresas industriales destinada a iniciar o ampliar una actividad prioritaria dará lugar al otorgamiento de un crédito contra impuestos federales, cuyo importe se determinará aplicando al monto de las inversiones beneficiadas, el porcentaje que corresponda de la aplicación de las bases que a continuación se señalan: Actividad
Ubicación
industrial
de las
de
prioritaria
inversiones
estz'mulos
A. En cualquier lugar del
Porcentaje
20% )
territorio nacional excepto Categorúz l.
en la Zona III. B. En la Zona III B, sólo
20%
ampliaciones. A. En la Zona l. B. En la Zonirr.
Categorz'a 2.
c:-Enel resto del país,
ft 10%
excepto en la Zona III A, sólo amplificaciones.
los estímulos fiscales que se muestran en la tabla anterior. se determinan toman do como base la inversión total en activo fijo. •
Empleo. Toda actividad industrial destinada a iniciar o ampliar una actividad prioritaria, que redunde en nuevos empleos generados o en el establecimiento de tumos adicionales de trabajo, dará lugar a un crédito contra impuestos federales, equivalente al 20% del salario mínimo anual de la zona económica correspon diente, multiplicado por el número de empleos generados directamente por la inversión. Este estímulo se otorgará durante dos años, y su monto se calculará sobre una base anual.
TABLA 6. 7. Plan de estímulos fiscales.
P LAN NACIONAL DE DESARRO L LO INDUSTRIAL
BENEF ICIO S FISCALES
�
ZO NA lA Desarrollo portuario jndustrial
S
1
20%
Zona lB Desarrollo urbano industrial
ZONAII
RESTO
ZONA III B
ZONA III A
Prioridades
DEL
Area de
Crecimiento
estatales
PAIS
consolidación
controlado
20%
20%
20%
20%
de la inversión
de la inversión
para ampliación
No hay estímulo
CATEGORIAl
20%
20%
20%
20%
20% No hay
�el empleo generado por la inversión
;::¡ ;::¡ �
estímulo
�
f-< Cll
< t: ;::¡ � o
15%
o
25 ;;¡
¡:>..
15%
JO%
No !¡.ay estímulo
para ampliación
CATEGORIA 11
20%
JO%
de la inversión
de la inversión
20%
10%
20%
20%
20%
� .... .:;; ¡::;·
No hay estímulo
del empleo generado por la inversión
t:::>
25%
25%
25%
de la inversión
de la inversión
20% TODA LA INDUSTR IA
20%
estímulo
para ampliación
20%
� �
20%
20%
o '"'
No hay
MANUFAC TURERA
estímulo
del empleo generado por turnos adicionales
5%
TODAS LAS ACTIVIDADES
-----------
"' � �
No hay
PEQUEÑAINDUSTRIA
ECO NOM ICAS
g.
25%
25%
)'•
5%
5%
5%
5%
de la adquisición de bienes de capital nacionales y nuevos
--------
1
CJ
o:
;:s
� 2 -
o w
104 Consideración de impuestos en estudios económicos • Maquinaria.
La adquisición de maquinaria y equipos nuevos de producción
nacional que formen parte del activo fijo de las empresas, destinadas al des arrollo de cualquier actividad económica en el territorio nacional, dará origen a un crédito contra impuestos federales, equivalente al5%del valor de adquisición de dichos bienes.*
··
Finalmente, conviene señalar que el período que la Secretaría de Hacienda y Crédito Público otorga para la bonificación de los estímulos fiscales, tiene una duración máxima de 5 años. Sin embargo, el plazo para acreditar los estímulos fiscales, depende del tipo de inversión, de la actividad industrial y de la ubicación de la Planta. 1
Ejemplo 6.5 Un grupo industrial desea incursionar en el negocio de industrialización de frutas y legumbres. Para hacer uso de ciertas franquicias fiscales, el grupo piensa instalar la nueva planta en Linares, N .L., el cual está catalogado como Zona 11. La inverSión requerida por este nuevo negocio se estima en:
Activo fijo:
.(Edificio
$
13,200,000 16,500,000 ' 990,000 1,310,000
$
32,000,000 8,000,000
$
40,000,000
$
19,800,000 20,000,000 5,200,000 45,000,000
Maquinaria* � '-Mobiliario
,1
Te:rreno
1�1 1
Activo circulante: ••1
¡ll ,.,
Activo total
•"'
Los gastos esperados anuales se estiman en: Materia prima Sueldos y salarios** G .G . de fabricación
$
Si los ingresos anuales que generará este negocio son de 65 millones, la TREM¡'\ es· 20%, la tasa de impuestos es de 50%, el valor de rescate en el año 10 es un 10% de' ac tivo fijo más un 100% del activo circulante. ¿Debería este grupo emprender este proyecto
de
de inversión? Para esta información, los estímulos fiscales serían: *En Junio de 1981, se publicó en el diario oficial una modificación que permite un crédito contra impuestos federales del 15% del valor de adquisición de los bienes, si los fabricantes se encuentran inscritos en un programa de fomento otorgado por la secretaría de patrimonio y fomento industrial (SEPAFIN). *El
SO%
de la maquinaria es de importación y el resto es nacional, y además se asume que el fabrican·
te no está inscrito en el programa de fomento. **La nueva empresa se estima que generará 40 empleos de mano de obra directa e indirecta.
Depreciación acelerada 1 OS
Inversión.
. •
Puesto que la inversión en activo fijo es:
Activo fijo:
_1 $ 13,200,000 16,500,000 990,000 1,310,000
Edificio Maquinaria Mobiliario Terreno
Total
'--
El estímulo fiscal a que da origen e�ta inversión sería de •
Empleo.
$ 32,000,000
$6,400,000.
Sj,...se considera un .:;alarib mínimo anual en la zona de
tonces, el estímulo fiscal a que da origen la creación de
$2,880,000.
40
$360,000,
en
empleos sería de
Puesto que este estímulo se otorga durante dos años, se estima que
esta misma-cantidad se bonifica en el primer y segundo año de operación de la
empresa. •
Maquinaria.
Puesto que la inversión en maquinaria nacional es ,
d e $8,250,000,
entonces, el estímulo fiscal a que da origen esta inversión sería de $412,500 .. Además, esta cantidad se considera que se acredita en el p rimer año de op erac ión de l a empresa.
Tomando en cuenta las bonificaciones anteriores, la tabla 6.8 muestra los flujos de efectivo después de impuestos que origina esta inversión. Para estos flujos de efectivo, el valor presente resulta ser de
$19,402,350. Puesto que
el valor presente es positivo, enton
ces, se justifica emprenóer el nuevo proyecto de inversión.
TABLA 6.8. Flujo de efectivo de impuestos (Miles de Pesos). Flujo de
Flujo de
efectivo
efectivo Ingreso
antes de Año
impuestos
o 1
- $ 40,000 20,900
2
20,0 Q O
3-10
20,000
10
11,200
Depreciación l.
gravable
Impuestos
CEPROFIS
-2,409
17,591
-8,795.5
9,692.5
-2,409
�7,591
-8,795.5
2,880.0
-2;4 09
1'7,591
-8,795._5
después de impuestos
"'
- $ 40,000.00
+ 3,35_?.0
2
20,897.00 14,084.50 11,204.50 14,555.00
6.6 DEPRECIACION ACELERADA Una de las reformas fiscales más importantes que entraron en vigor en
1984
fue, sin
Jugar a dudas, el otorgamiento de la depreciación acelerada en las nuevas inversiones rea lizadas. Las inversiones que se realicen en
1984
tendrán derecho a una depreciación del
1I..a depreciación se asume en 10% de la maquinaria y mobiliario, y en 5% del edificio. 2Para esta situación no se toma en cuenta el costo ajustado porque en el ejemplo no se considera la in flación. La pérdida fiscal es de $3,200 - $9,910.00
/
=
-
$6,71 O.
____./
106 Consideración de impuestos en estudios económicos
75%;las que se hagan en 1985 tendrán derecho a un 50% y,por último,las que se realicen en 1986 gozarán de un 25%, o de un 50% si se realizan en Zonas de Máxima Prioridad Nacional. Sobre los tipos de inversiones que tienen derecho al estímulo,se incluyen todas las inversiones en activos fijos, con excepción de las inversiones en terrenos (que no se depre cian)y las referentes a mobiliario y equipo de oficina. En cuanto a los requisitos que hay que cumplir para tener derecho ál estímulo se pueden mencionar los siguientes: Que sean bienes nuevos o que no hayan sido utilizados y que además se adquie ran directamente del fabricante o de personas que realicen actividades comercia
•
•
les. Lo anterior significa que los bienes importados tienen derecho al estímulo aunque sean usados. Que las empresas no gocen de ningún estímulo o subsidio sobre sus bienes de activo fijo o por,la realización de sus actividades. Cabe señalar que la aplicación de este estímulo no se puede aplicar conjuntamente con los CEPROFIS, es de. cir, la empresa deberá seleccionar de acuerdo con un análisis económico,cuál de los dos estímulos fi�cales (depreciación acelerada y CEPROFIS) representa m.a yores ventajas económicas en las nuevas inversiones que realice.
•
¡l�
Ir
1
Que los bienes que vayan a gozar de estímulo,permanezcan en el activo fijo du rante los cinco ejercicios siguientes a aquel en que se adquirieron,¡;on excepción de aquellos bienes en que la ley establece un factor de depreciación superior al 15%. En estos casos la permanencia exigida se reduce a tres años.
También es necesario señalar que si la aplicación de este estímulo fiscal origina que la empresa incurra en pérdida fiscal, ésta podrá amortizarse en los cinco ejercicios poste riores. Finalmente, conviene describir el procedimiento para depreciar el saldo remanente, que queda después de haber aplicado el estímulo, el cual se obtiene de acuerdo con la si guiente expresión: H d'
(1 -Da) =
' n
donde:
n
100
' =
d
-
1
y d ' n
Da d'
=
=
=
=
%de depreciación anual del bien. Número de ejercicios donde se deprecia el saldo remanente de la inversión. %de depreciación acelerada autorizada. %de depreciación anual corregida.
Problemas 107
Ejemplo 6.6 Considere que la inversión requerida por el proyecto presentado en el ejemplo fue realizada a principios de
1984.
6.5,
Si toda la demás información es similar, ¿qué estímulo
fiscal seleccionaría? Para esta información. primeramente
es
qecesario determinar la depreciación anual
que resulta en condiciones normales y la depreciación anual acelerada:
Año
Depreciación
Depreciación
normal (miles)
acelerada (miles)
$ 2,409.
$23,017.50
2-10
2,409.
659.51
11-20
660.
173.68
1
De acuerdo con la tabla anterior, el beneficio fiscal de la depreciación acelerada sería: Beneficio fiscal=
0.5 { [23,017.5 (P/F, 20%, 1) + 659.51 (P/A,.20%, 9)(P/F, 20%, 1) + 173.68 (P/A, 20%, lO)(P/F, 20%, 10] - [2,409 (P/A, 20%, 10) + 660 (P/A, 20%, 10) (P/F, 20%, 10)]}
Beneficio fiscal
0.5 [21 ,513 - 10,546 ]
=
=
5,483,500
Puesto que el beneficio fiscal de los CEPROFIS es mayor, entonces no se j ustifica utj}izar depreciación acelerada, y por consiguiente_,..la solución -de este-problema es-l-a presentada en' el ejemplo
6.5.·
Finalmente, es� necesario señalar que,no todas las inversio� que emprende una em
presa pertenecén a un nuevo proyecto de inversión. Lo anterior significa que, en estos ca sos específicos (automóviles por ejemplo), la empresa optará por depreciar estos activos de acuerdo con las tasas de depreciación acelerada que prevalezcan en el momento de ad quirirlos.
PROBLEMAS
6.1.
Equipos_ utilizados en una determinada operación son evaluados periódicamente. El método de análisis compara el valor actual del_activo con el V!!_lor presel).te de
�-
los flujos de efectivo que el equipo generará en el- f�!.l!IOJ En base a este análisis,
se puede continuar con el equipo/ venderlo o reemplazarlo por una unidad más
eficiente,
Si se utiliza una TREMA de
25%
y una tasa de impuestos de
50%,
¿con cuál de
los siguientes equipos se recomienda seguir operando? (S uponga que los equipos se compraron hace tres años y que de acuerdo a la ley del impuesto sobre la renta se deben depreciar en un período de
10
años).
;/
108 Consideración de impuestos en estudios económicos Equipo 1
Costo original ¡l
.
Depr. acumulada
�1
....•-", ,...
Valor en libros (actual) Valor realizable (actual) Vida remanente · Valor de rescate Ingresos netos del año K
-":> ,.,
Equipo JI --
$ 200,000
$ 500,000
60,000
150,000
140,000
190,000 7 años '\., 20,000 l 30,000 (1.08 -
l
350,000 250,000 7 años 60,000
60,000 ( 1.1 )K-l
..;
(Asuma K= O para el a ño_3)
6.2.
Considere que cierta compañía compró hace 5 años una propiedad a un costo de $5,000,000 de los cuales $1,000,000 correspondían al terreno y $4,000,000 a edifi cios y construcciones. Asimismo suponga que esta colnpañía vende la propiedad ahora en una cantidad de $30,000,000. Si la tasa de impuestos de esta compañía es el 50% ¿cuáles serían los impuestos que se tienen que pagar por la ganancia de capital que resulta de la venta de la propiedad? (Estime que los edificios y las cons
�
trucciones se deprecian en un período de 20 años.) 6.3.
Resolver el problema 3.3 suponiendo que el período de depreciación de las má quinas es de 10 años y la tasa de impuestos es de 50%. (Utilice el método del valor anual.)
6.4.
Resolver el problema 3.5 suponiendo una tasa de impuestos de 40%, y un período de qepreciación de las máquinas de 5 años. (Utilice el método ·de1 valor presente.)
,6.5.
Resolver el problema 3.6 suporuendo que:
'1)
La cuota diaria es de $2,000, 2) La
razón de ocupación diaria es de 90%, 3) La tasa de impuestos es de 50%, 4) Los edificios del hotel se deprecian en un período de 20 años y 5). Los muebles y equi po de oficina se deprecian en un período de 10 años. (Utilice el método de la TI R.) 6.6.
Resolver el problema 3.7 suponiendo una tasa de impuestos de 40%, y un período de depreciación para las bombas de 5 año.s. (Utilice el método de la TIR.)
6.7.
Resolver el problema 3.10 suponiendo que: 1) El equipo act6al se deprecia en un período de 10 años, 2) El equipo actual se compró hace 2 años a un costo de $ 300,000, 3) La renta en caso de que el equipo sea arrendado es totalmente dedu cible, 4) El equipo nuevo se deprecia en un período de 10 años y 5) La tasa de impuestos es de 50%. (Utilice el método del valor presente con un enfoque incremental.)
6.8.
Resolver el problema 3.11 suponiendo que: 1) Las computa<;loras se deprecian en un período de 4 años y 2) La tasa de ímpuestos es de 40%. (Utilice el método del valor anual equivalente.)
6.9. '
hÓ ,o6o
Cierta compañía se encuentra analizando un nuevo proyecto de inversión. Dic
proyecto de inversión requiere de una inversión inicial en activo fijo de $5,000 y de una inversión inicial en activo circulante de $2,500,000. El horizonte de pla neación que utiliza esta compañía para evaluar sus proyectos de inversión es de 10 años. Al término de este tiempo la compañía estima que va a recuperar un 12% de la inversión inicial en activo fijo y un 100% de la inversión inicial en activo circulante. Por otra parte, la compañía estima que la capacidad inicial instalada seríá utiliza da en su totalidad durante el año 5. Por consiguiente, la compañía piensa que para satisfacer la demanda creciente de los últimos 5 años, es necesario hacer al tina! del año 5 una inversión adicional en activo fijo de $2,000,000, y una de $1,000,000
Problemas 109
.e n activo circulante. Además, la compañía estima que los ingresos y costos en los pri . meros 5 años serían de $4,000,000 y $2;000,000 respectivamente ;y de $6,000,000
y $3,000,000 en los últimos 5 años. Si la TREMA de esta compañía es de 25%, su
tasa de .iffipuestos de 40% , y las inversiones en activo fijo se deprecian en un pe ríodo de 1 O años, ¿debería esta compañía emprender este nuevo proyecto de inver: sión? (considere que los valores de rescate en el año 1 O, de las inversiones·hechas en el año 5. son 20% del activo fijo y 100% del activo circulante.)
6.10.
La alta administración de una compañía ha decidido introducir al mercado unJ nuevo producto a un precio de $200 por unidad. De acuerdo a investigaciones pre liminares del mercado, la compañía estima que la demanda anual para este nuevo producto sería de 50,000 unidades. Por otra parte, la compañía se encuentra ana_lizando dos tipos de equipo que podrían ser utilizados en la producción de este nuevo producto. Con el primer tipo, solamente se pueden producir 10,000 unidades
al año. Por consiguiente, si este tipo de equipo es adquirido, sería necesario com prar cinco equipos idénticos para poder garantizar sa ti�facer la demanda antjc ipada.. El costo de cada uno de estos equipos es de $2,000,000, su vida útil se estima en 5
años, su valor de rescate al término de 5 años es despreciable y su períodd de de preciación es de 5 años. Los costos de operación de cada uno de estos equipos es como sigue:
Capac�dad de producción/año
1 O ,000 unidades
5 unidades
Razón d,e producción/hora Costos por unidad de producto: Materiales directos Accesorios
$40
10 "
Costos por hC?ra de operación: Mano de obra,
20
Ma ntenimiento
10 10
Energíá ·Costos fijos por año
50,000
Con el segundo tipo de equipo es posible producir 50,000 unidades de producto al
� o. El costo de este equipo es de $12,000,000, su vida Ü til se estima en 5 años, su
valor de rescate al término de estos cinco años es de $1,500,000, y su período de
depreciación es de 5 años. Los costos de operación para este equipo son como sigue:
Capacidad de producción/año
50,000 unidades 25 unidades
Razón de producción/hora Costos por unidad de producto: Materiales directos Accesorios
$40
10
Costos por hora. de operació_!l Mano de obra Mantenimiento Energía Costos fijos por ¡illo
20 .515 20,000
J
""'
110
Consideración de impuestos en estudios económicos Además, la alta administración estima que si el nuevo producto se lanza al merca
$3,000,000 es requer;da, la cual 5. Si la TREMA de esta compañía es
do, una inversión adicional en activo circulante de
sería totalmente recuperada al final del año de
30%,
su tasa de impuestos de 50%, ¿debería h compañía producir este nuevo
producto?
6.11.
La corporación X desea inveytir en un nuevo negocio cuya inversión inicial reque
rida es de
$200
millones
(150
millones de activo fijo y
50
millones de activo cir
culante). Esta corporación estima que los flujos de efectivo que se esperan de esl6 proyecto antes de depreciación e impuestos son de $ 100 millones para el primt
año y se espera que estos flujos crezcan en lo sucesivo a una razón del 20% anual. f
Puesto que los ingresos crecen a una razón anual del
20%, la corporación ha esti
mado que sus necesidades adicionales de activo circulante también crecerán en lo _,
sucesivo a una razón del
20%
período se estima en un
10%
anual. Además se sabe que el período de deprecia
ción de los activos fijos es de
�¡
1O
años, 'y el valor de rescate al término de este
del activó fijo y un
mulaáo. Si la tasa de impuestos �s de
luar nuevos proyectos es de
25%,
proyecto de inversión?
l
1!¡,,
��11
65
La compañía Z produce.
40,000
50%
100% del activo circulant� 'acu
y la TREMA 9.u� utiliza para eva
¿debería la .corporación X aceptar este nuevo
unidades/año de un cierto producto. El·costo de
producción de estas unidades se desglosa como sigue:
1
Materiales directos
$ 40
Mano de obra directa
7
'-
G .G. de fabricación var.
Costo unitario variable
3 50
Actualmente esta compañía tiene la posibilidad de comprar este producto a un
precio unitario de $55. Si la compañía decide comprar a un proveedor este pro ducto, el equipo actual que se utiliza para producirlo puede ser vendido en $350,000 (considere que este valor coincide con el valor en libros) Además, la compañía es
tima que la vida remanente para el activo es de 5 años, su valor de rescate al térmi
no de este tiempo es despreciable, y su depreciación anual es de de impuestos es de
50%
y la TREMA es de
30%,
nuar produciendo dicho producto?
6.13..
$70,000. Si la tasa
¿debería la compañía L cont'
El grupo industrial "B" desea emprender un nuevo negocio relacionado con la·
fabricación de harina de soya y trigo (categoría
I).
Para hacer uso de ciertas fran
quicias fiscales, el grupo piensa instalar la nueva planta en Piedras Negras, Coahuila,
el cual está catalogado como zona l. La inversión requerida por este nuevo negocio
se estima en:
/
Problemas 111
Activo fijo: $ 8,800,000 11,000,000 1,100,000 1,000,000
Edificio Maquinaria* Mobiliario Terreno
Activo circulante' A el ivo
•
total:
21,900,000 6,000,000 27,900,000
Y los gastos anual e� en:
Materia prima Sueldos y salarios G .G. de fabricación
13,200,000 9,900,000 3,900,000 27,000,000
$45 millones, la TREMA 2S%, la tasa de impuestos es el SO%, el valor de rescate en'el año 10 es un 1 O% del activo fijo más un 1 ÓO% del activo circulante, ¿debería este gruP.o empren
Si los ingresos anuales que generará este negocio son de es de
der el nuevo proyecto de inversión;'(Considere que la nueva empresa va a generar
100 empleos y que el salario mínimo de la zona es de $360,000 anuales. Además, 10% anual y el edificio un S% anual). suponga que la maquinaria y el mobjliario se deprecian un
·,
es de ;mportación, y el fabricante de equipo nacional está inscrito en el programa de fomento de SEPAFIN.
-,. *E.I 20% de la maquinaria
7 Técnicas de análisis en estudios de reemplazo
La formulación de un plan de reemplazamiento juega un papel muy importante en .la determinación de la tecnología básica y el progreso económico de una empresa. Un reemplazamiento apresurado o indebido origina en la empresa una disminución en su capi tal y por lo tanto una disminución en la disponibilidad de dinero para emprender proyectos de inversión más rentables. Por otra parte, un reemplazamiento retardado origina excesivos costos de operación y rnantenirniepto para la empresa. Es por estas razones que toda em presa debe de establecer una política eficiente de reemplazo para cada uno de los activos que utiliza. No hacerlo, significa estar en desventaja con respecto a las empresas competi doras que sí han establecido políticas efectivas y económicas de reemplazo.
7.1 CONSIDERACIONES DE UN ESTUDIO DE REEMPLAZO 7 .1.1 Causas que originan la necesidad de
un
estudio de reemplazo
Las causas principales que llevan al reemplazo de un activo se pueden clasificar corno: insuficiencia e ineptitud, mantenimiento excesivo, eficiencia decreciente y antigüedad. Cualquiera de las causas anteriores puede indicar la necesidad de un estudio de reemplazo, sin embargo, por lo general son dos o más causas las que indican la urgencia de tal estudio.
A. Reemplazo por insuficiencia
Un activo físico cuya capacidad sea inadecuada para prestar los servicios que se es peran de él, es un candidato lógico para la substitución. Por ejemplo, suponga que una empresa compró hace dos años una mini-computadora con la cual se pretendía resolver principalmente el problema de la nómina. También suponga que actualmente esta empresa ha crecido considerablemente, por lo cual nuevos sistemas de información tales como: distribución del producto, inventarios, altas y bajas de personal, etc., requieren ser mane jados por medio de una computadora. En este caso, el factor a tomar en cuenta al estudiar 113
114 Técnicas de análisis en estudios de reemplazo
el reemplazo de la computadora, es la insuficiencia. Aunque la computadora que la em . presa tiene en este momento es moderna, eficiente y se encuentra en magníficas condicio nes, es imperativo estudiar su reemplazo por la necesidad de mayor capacidad.
B.
Reemplazo por mantenimiento excesivo En muy pocas ocasiones se dañan al mismo tiempo todas las partes de una máquina.
La experiencia ha demostrado que es económico reparar muchos tipos de activos para mantener y extender su utilidad. Sin embargo, puede llegar un momento en que los de sembolsos por las reparaciones de la máquina se hacen tan excesivos, que vale la pena hacer un análisis cuidadoso para determinar si el servicio requerido podría ser suministrado más económicamente con otras alternativas.
l¡ i
C.
Reemplazo por eficiencia decreciente
Generalmente, un equipo trabaja con máximo rendimiento en los primeros años de _ su vida, y este rendimiento va disminuyendo con el uso y edad. Por ejemplo, un motor de gasolina alcanza generalmente su rendimiento máximo después de un cierto período de ajuste, con posterioridad al cual su rendimiento disminuye a medida que se deterioran los cilindros, pistones, anillos, carburador y el sistema de encendido. Cuando los costos que origina la ineficiencia de operación de una máquina son ex cesivos, conviene investigar si existen otras máquinas en el mercado con las cuales se pueda obtener el mismo servicio a un costo menor.
O.
Reemplazo por antigüedad (obsolescencia) La obsolescencia surge como el resultado del mejoramiento continuo de los activos,
es decir, en el mercado siempre existirán activos con características tecnológicas más ven tajosas que las de los activos actualmente utilizados. Con frecuencia el mejoramiento tec nológico es tan rápido que resulta �conómico reemplazar un activo en buenas condiciones de operación. Por consiguiente, la obsolescencia se caracteriza por cambios externos al activo, y es utilizado como una razón para justificar el reemplazo cuando éste se considere necesario y conveniente. E.
Reemplazo por una combinación de factores En la mayoría de los casos es una combinación de factores, más que una sola causa,
lo que conduce al reemplazo. A medida que aumenta la edad del equipo, es de esperar que disminuya su eficiencia y rendimiento mientras aumenta el mantenimiento requerido. Además, entre más antiguo sea un equipo, más modernos y ventajosos serán los equipos disponibles en el mercado. Independientemente de la causa o combinación de causas que llevan a un estudio de reemplazo, el análisis y la decisión deben de estar basadas en estimativos de lo que ocurrir� en el futuro. El pasado no debe tener importancia en este análisis, es decir, el pasado es irrelevante.
Consideraciones de un estudio de reemplazo 115
7. 1..2 Factores a considerar en un estudio de reemplazo En un análisis de reemplazo es necesario considerar una serie de factores sin los cua les la decisión a la que se llega con tal estudio, no produce los resultados deseados. A con tinuación se explican brevemente algunos de estos factores.
A. Horizonte de planeación El horizonte de planeación en un estudio de reemplazo, es el lapso de tiempo futuro que se considera en el análisis. A menudo, un horizonte de planeación infinito es usado cuando es difícil o imposible predecir cuándo la actividad bajo consideración será termi nada. Sin embargo, es importante señalar que tal suposición no es muy adecuada, puesto que es muy difícil predecir las ventajas tecnológicas que tendrán los equipos en un futuro distante con respecto a los equipos actualmente utilizados. Además, los flujos de efectivo en un futuro muy distante es muy probable que se comporten de manera muy diferente a .os actuales. Por otra parte, sobre todo cuando la duración del proyecto es predecible, es más realista y se recomienda basar el estudio en un horizonte de planeación finito.
B. La tecnología Es muy importante en un análisis de reemplazo, sobre todo para ciertos tipos de equipos, considerar las características tecnológicas de los equipos que son candidatos a reemplazar a aquellos bajo análisis. No hacerlo, supone que los equipos futuros serán igua les a los actualmente utilizados, y esto implica que no hay progreso tecnológico para ese tipo de equipo. Sin embargo, es más realista esperar alguna obsolescencia del equipo viejo con respecto a los nuevos equipos disponibles. El ejemplo prototipo para esta situación son las computadoras, las cuales continuamente se están mejorando a un ritmo bastante acelerado, es decir, nuevas computadoras con mayor capacidad de Hardware y Software originan que las computadoras que se usan actualmente estén en amplia desventaja. En tales situaciones, vale la pena analizar si la reducción en tiempo y el aumento de eficien cia de la nueva computadora justifican reemplazar a la actual.
C. Comportamiento de los ingresos y los gastos Es práctica común asumir que el comportamiento de los ingresos y los gastos a lo largo del horizonte de planeación es constante, o bien, en algunas ocasiones se estima que tienen un comportamiento lineal ascendente o descendente. Sin embargo, es muy impor tante señalar que cuando se ha detectado un cierto patrón de comportamiento en los gastos o se vislumbra cómo la inflación va afectar a los ingresos y los gastos, tales consi deraciones deben ser incluidas en el estudio de reemplazo. D. Disponibilidad de capital Es necesario dentro de un análisis de reemplazo considerar la disponibilidad de ca pital de la compañía, puesto que es obvio que las fuentes de financiamiento que la empresa utiliza para emprender sus proyectos de inversión (utilidad que genera, capital social y apacidad de endeudamiento) no son ilimitadas. No tomar en cuenta estas consideraciones
116 Técnicas de análisis en estudios de reemplazo
puede originar que un reemplazo que ya ha sido justificado no se pueda emprender por falta de fondos. E.
Inflación Otro factor muy importante que se debe de considerar en un estudio de reemplazo
es la inflación. En épocas inflacionarias el acceso a pasivos de largo plazo es muy limitado, puesto que la inflación al ser mayor que el rendimiento que ofrecen las instituciones ban carias en los diferentes tipos de inversión (cuenta de ahorros, certificados, bonos fmancieros, etc.), disminuye la captación por parte de éstas. Al disminuir la oferta de préstamos hipo tecarios de largo plazo, las empresas tienen que crecer al ritmo de crecimiento de sus uti lidades generadas. Esto significa que en situaciones inflacionarias las decisiones de inversión, en este caso reemplazo de equipo, deben ser realizadas cuidadosamente, ya que una mala decisión puede significar una reducción en la disponibilidad de capital de períodos futuros.
l
\1 t:
1
., .,
7 .1.3 Tipos de reemplazo Los estudios de reemplazo son de dos Tipos Generales. El primer tipo busca deter minar por adelantado el servicio de vida económica (período durante el cual se optimiza el valor anual equivalente) de un activo. Para este problema como luego se verá, se han desarrollado una serie de modelos matemáticos con diferentes suposiciones, todas ellas tendientes a determinar por adelantado el período óptimo de reemplazo del activo. El segundo tipo analiza si conviene mantener el activo viejo (algunas veces llamado
',1
11:
ii,¡,
defensor) o reemplazarlo por uno nuevo (algunas veces llamado retador). Este problema como más adelante se verá, puede ser resuelto con diferentes enfoques. El primero de ellos establece como horizonte de planeación la vida económica del activo nuevo. En el se gundo enfoque se selecciona un horizonte de planeación mayor que la vida remanente del activo viejo y se obtiene mediante programación dinámica la serie de activos que se uti lizarán durante tal período.
7.2 DETERMINACION DE LA VIDA ECONOMICA DE UN ACTNO Para determinar la vida económica de un nuevo activo se deben de considerar los siguientes costos:
a)
inversión inicial,
b) costos
inherentes del activo (operación y mante
nimiento) y e) costos relativos a modelos mejorados. Los costos más difíciles de evaluar de los tres anteriormente mencionados son sin duda los costos. relativos a modelos mejorados, puesto que es muy difícil predecir con exactitud sobre todo para tiempos futuros muy distantes, el grado de mejoramiento tecnológico que sufrirá un activo. Sin embargo, este costo es muy importante considerarlo en estudios de reemplazo de activos sujetos a obso lescencias muy aceleradas. Por otra parte, hay que tener presente que los costos anteriores son costos de oportunidad (lo que se deja de ahorrar [ganar]por no tener el mejor activo disponible en el mercado) y por lo tanto no constituyen un desembolso real para la com pañía. En la figura 7.1 se muestra en forma gráfica el comportamiento teórico de los costos inherentes y de los relativos de un activo. Como se puede apreciar en dicha figura, los costos inherentes del activo siguen una tendencia ascendente, lo cual se debe principal-
La vida económica de un activo 117
mente al mantenimiento excesivo y a la eficiencia decreciente que la edad de un activo origina. Por otra parte, en dicha figura también se muestran los costos, que se tendrían en cada uno de los años si se dispusiera del mejor activo que en ese momento existe en el mercado. Como puede observarse, estos costos disminuyen con el tiempo, dependiendo del grado de obsolescencia del activo en cuestión. Finalmente, en esta misma figura se puede apreciar que los costos relativos (costos de oportunidad) crecen con la edad del activo, es decir, entre más viejo sea un activo mayor será la cantidad que se deja de ahorrar (ganar) por no disponer del mejor activo que actualmente exista en el mercado.
�ostos inherentes del activo
Costos relativos
�Costos del activo mejorado tiempo FIGURA 7.1. Comportamiento de los costos inherentes y relativos del activo bajo
análisis.
Por otra parte, en la figura 7 .2, se muestra el comportamiento del costo anual equi valente de los costos inherentes y relativos del activo. También, en dicha figura se muestra
la curva del costo total a partir de la cual se obtiene el período óptimo de reemplazo (N*).
Finalmente, a continuación se presenta un modelo matemático que determina la vida económica del activo. Cabe hacer la aclaración de que hay una variedad infinita de modelos matemáticos para analizar situaciones de reemplazo. Los resultados obtenidos on estos modelos dependen del tipo de suposiciones y del grado de complejidad de los mismos. El modelo matemático que s¡_: propone es el siguiente:
Mín
(
-P +
... +
N �
D-t-C RJ--C¡¡(l-t) J
j==1
.
(1 + ¡)i
FN- (FN- EN) (1 + 1.)N
te)
ande: P
D. J
==
inversión inicial en el activo. depreciación del activo en el año j.
+ ...
(Ajp, i %, N)
(7.1)
118 Técnicas de análisis en estudios de reemplazo t
C¡¡
CRi
FN
EN
N te
= tasa de impuestos. =
costos inherentes del activo en el año j.
= costos relativos del activo en el año j. =
valor realizable del activo al final del año N
-
valor en libros del activo al final del año N.
-
período óptimo de tiempo a permanecer con el activo.
=
tasa de impuestos que grava pérdidas o ganancias extraordinarias de capital.
en el cual se probarán diferentes valores de N hasta encontrar aquel que minimiza el costo total anual equivalente.
Costo total
anual equivalente
Costo anual equivalente los costos inherentes
relativos del activo
+------
Costo anual ---.:_ la in versión
:
y
de
equivalentt: dt:
N*
tiempo
,
FIGURA 7 .2. Costo total equivalente del activo para diferentes tiempos de
permanencia.
Con el propósito de ilustrar una aplicación de este modelo matemático, suponga que una empresa desea adquirir cierto equipo para reemplazar el actualmente utilizado.
El costo del equipo se estima en $50,000 y los valores de rescate, valores en libros, costos
inherentes y costos relativos, para los diferentes años de vida del activo se muestran en la
tabla 7-1. También, considere que la tasa de impuestos es de 50% y que esta misma tasa , se aplica para gravar ganancias o pérdidas extraordinarias de capital. Por último, supon
ga que la empresa utiliza una TREMA de 20% para evaluar sus proyectos de inversión.
TABLA 7-1 Final del año
2 3 4 5
Valor en
Valor
Costos
Costos
libros
realizable
inherentes
relativos
$40,000 30,000 20,000 10,000
$36,000 28,000 24,000 16,000 2,000
$ 5,000 6,CiOO 7,000 9,000 11,000
$
o
o
2,000 2,500 4,000 6,000
"
La vida económica de un activo 119
TABLA 7-2. Flujos de efectivo para diferentes períodos de permanenci� en el
(í)
ac �ivo .
�
4-
l't\�..
C\-o5. re\o..i"�
Flujo de efectivo antes de
impuestos
Año
3 ®
50 or:P
o= �-... 5
Depreciación
T)fj!'t"�(f..� -t-@).. 6) f � tlf() 2. t 3
'�
t"'"
.
([}
2.-rS
Flujo de efectivo
Cantidad
Ahorro en
después de
gravable
impuestos
impuestos
�m
anecer un año con el activo
o
-50,000
1
- 5,000
-50,000 -10,000
36,000
�
-15,000
- c¡,ne,_,C..
7,5Q O
z.,ooe-
2,500 38,000
anecer dos años con el activo
o
-50,000
1
- 5,000
-10,000
-15,000
7,500
2
- 8,000
-10,000
-16,000
8,000
2
28,000
- z.'()(:;(:;
1¡(:/::JO
-50,000
�
2,500
o 29,000
manecer tres años con el activo
o
-50,000
1
- 5,000
-10,000
-15,000
7,500
2
- 8,000
-10,000
-16,000
8,000
o
3
- 9,500
-10,000
-17,000
8,500
-1,000
3
24,000
-50,000
t.f1éX1:.':>
-2,�
2,500
22,000
,./
ermanecer cuatro años con el activo
o
-50,000
1
- 5,000
-10,000
-15,000
7,500
2
- 8,000
-10,000
-16,000
8,000
o
3
- 9,500
-10,000
-17,000
8,500
- 1,000
4
-13,000
-10,000
-19,000
9,500
- 3,500
4
16,000
-50,000
�,ooa
-3,000
2,500
13,000
Permanecer cinco años con el activo
o
-50,000
-50,000 - 5,000
-10,000
-15,000
7,500
2
- 8,000
-10,000
-16,000
8,000
o
3
- 9,500
-10,000
-17,000
8,500
- 1,000
4
-13,000
-10,000
-19,000
9,500
- 3,500
5
-17,000
-10,000
-21,000
10,500
- 6,500
5
2,000
Z,oOt.:>
-1�0
2,500
1,000
120 Técnicas de análisis en estudios de reemplazo A partir de esta información, primeramente se muestran en la tabla 7-2 los flujos de
efectivo después de impuestos para los diferentes períodos de permanencia con el activo. Debe ser notado en esta tabla que en la cantidad gravable sólo se incluyen los costos in· herentes y la depreciación. Los costos de oportunidad por ser no-desembolsables no se pueden considerar como deducibles. A partir de la tabla 7-2 se obtiene la tabla 7-3 en la cual se trata de mostrar principalmente el costo anual equivalente que se tendría si se per
1, 2, 3, 4 ó 5 años. En esta tabla se puede apreciar que el costo anual 4 años. Esto significa que el período óptimo de reemplazo del activo es de 4 años. manece con el activo
equivalente es mínimo para un período de
En este ejemplo y en el próximo se supuso que los costos relativos son conocidos. Sin embargo, los costos relativos por ser costos de oportunidad son muy difíciles de eva luar en la práctica. Por consiguiente, si en un problema específico no es posible determinar los costos relativos, con considerar los costos inherentes es suficiente.
r
�
�l.
TABLA 7-3. Costo anual equivalente para diferentes períodos de permanencia con el activo.
:� r.
'�
Valor presente
Costos
.. ·;
Valores realizables
totales Año
después de
después de
impuestos
impuestos
Factor de
si se permanece
N años con el activo
anualidad
Costo anual
equivalente
equivalente
1.2000 0.6546 0.4747 0.3863 0.3344
-19,500 -18,184 -16,977 1-16,963 1 -17,520
�
o
'� �• j,.
1 2 3 4 5
-$50,000 2,500 o
- 1,000 - 3,500 - 6,500
38,000 29,000 22,000 13,000 1,000
-16,250 -27,779 -35,764 -43,913 -52,393
�
7.3 ANALISIS DE REEMPLAZO DEL ACTIVO ACTUAL
En el inciso anterior se analizó el problema de determinar por adelantado la vida económica de un activo. Este tipo de problema surge cada vez que se desea adquirir un nuevo activo por primera vez. Sin embargo, existen ocasiones en las cuales se tiene actual mente un activo en uso, y lo que se desea es determinar el tiempo adicional que se debe permanecer con dicho activo, es decir, se trata de determinar su fecha de reemplazo. Puesto que en este tipo de situaciones el principal problema es fijar el horizonte de planeación, a continuación se describen algunas reglas que pueden ser utilizadas en la fijación de éste. A. Horizonte de planeación igual a la vida económica del retador.
Para el caso en que la vida remanente del defensor sea mayor- o igual a la vida eco nómica del retador, se recomienda fijar ésta como el horizonte de planeación. Esta idea es bastante lógica, puesto que el tiempo a permanecer con el activo nuevo es precisamen te su vida económica.
Análisis de reemplazo del activo actual 121 B. Horizonte de planeación igual a la vida remanente del defensor
Cuando la vida remanente del defensor es menor a la vida económica del retador, se pueden hacer dos cosas: fijar el horizonte de planeación igual a la vida remanente del de fensor, lo cual no es muy aconsejable, o bien fijar un horizonte mayor o igual a la vida económica del retador y determinar la serie de activos que se deben de tener durante este período de tiempo de tal modo que se optimice algún criterio económico (aplicación de .
programación dinámica).
Estas reglas deben de tomarse muy en cuenta puesto que no fijar horizontes de planeación en estudios de reemplazo puede llevarnos a realizar análisis incorrectos. Por ejemplo, si en un estudio de reemplazo de un defensor con vida remanente de dos años y un retador con una vida económica de 1 O años, se utiliza el método del valor anual para decidir si se hace ahora o dentro de dos años el reemplazo, entonces se está implicando al utilizar este método, que en el período de 1 O años se pueden utilizar: un solo activo nuevo o cinco activos exactamente iguales al defensor. Sin embargo, es obvio que esta suposición es incorrecta, puesto que no es posible comprar dentro de dos, cuatro, seis y ocho años, un activo con características similares al que actualmente se está utilizando . Lo correcto sería, o fijar el horizonte de planeación en 2 años lo cual no es muy aconsejable, o bien si el horizonte de planeación se fija en diez años, comparar la alternativa de permanecer diez años con el activo nuevo con la alternativa de permanecer los próximos dos años con el defensor y luego ocho años con el retador. 7.3.1 Vida del defensor mayor o igual a la vida económica del retador
Para ilustrar el caso que se presenta cuando la vida remanente del defensor es mayor o igual a la vida económica del retador, suponga que una empresa actualmente está utili zando un activo que compró hace dos años. Se estima que el valor .fealizable y el valor en libros de este activo en este momento es de $30,000 y $25,000 respectivamente. Los va lores en libros, valores realizables, costos inherentes y relativos para los próximos 5 años de vida remanente del activo se muestran en la tabla 7-4. Por otra parte, esta compañía iene la alternativa de reemplazar este activo por uno con características idénticas al pre entado en la sección anterior, el cual tiene una vida económica de 4 años. Por último, onsidere que la tasa de impuestos que grava utilidades o pérdidas ordinarias y extraordinarias es de 50% y la TREMA
=
20%.
Puesto que la vida económica del retador es de 4 años, este período de tiempo se onsiderará como el horizonte de planeación en el análisis de reemplazo de estos activos.
TABLA 7-4. Flujos de efectivo del defensor. Valor
Valor
Costos
Costos
inherentes
relativos
24,000 18,000
$ 4,000
$2,000
7,000
3,000
15,000 8,000 4,000
11,500
3,500
13,500 18,000
4,500 6,000
Año
en libros
realizable
o
$25,000
$30,000
1 2
20,000
3 4
1_0,000
5
o
15�000 5,000
--
'
�
122 Técnicas de análisis en estudios de reemplazo
Por consiguiente, el primer paso en la comparación de estas dos alternativas es evaluar sus flujos de efectivo después de impuestos. Tal información aparece en la tabla 7-5. Ahora, para determinar cuál de las dos alternativas es la mejor, se obtiene el flujo de efectivo di ferencial entre estas dos alternativas, el cual aparece en la tabla 7-6. En seguida, para de terminar si el incremento en la inversión del nuevo activo se justifica, se obtiene el valor presente del flujo de efectivo diferencial:
VPN=_:__22.500 +
'
4,000 + 4,000 + 5,750 +
(1.2)
(1.2)2
(1.2)3
11,750
(1.2)4
el cual después de algunas simplificaciones resulta ser de - 7,395. Por consiguiente, la de
cisión es permanecer tres años más con el activo viejo.
TABLA 7-5. Flujos de efectivo después de impuestos del retador y del defensor.
Flujo de
Flujo de
efectivo
efectivo
antes de Año
impuestos
Cantidad
Ahorro en
después de
Depreciación
gravable
impuestos
impuestos
- 5,000
- 9,000
4,500
- 1,500
Defensor
'�
o
-30,000
1
- 6,000
2
-10,000
- 5,000
-12,000
6,000
- 4,000
3
-15,000
- 5,000
-16,500
8,250
- 6,750
4
-18,000
- 5,000
-1 8,500
9,250
- 8,750
4
8,000
-27,500'
6,500
Retador -50,000
o
-50,000
1
- 5,000
-10,000
-15,000
7,500
2
- 8,000
-10,000
-16,000
8,000
o
3
- 9,500
-10,000
-17,000
8,500
4
-13,000
-10,000
-19,000
9,500
- 1,000 - 3,500
4
16,000
2,500
13,000
7 .3.2 Horizonte de planeación conocido
Cuando la vida remanente del defensor es menor a la vida económica del retador, o bien cuando se conoce con exactitud el período de tiempo durante el cual se va a requerir el servicio que proporciona el activo (horizonte de planeación conocido), es conveniente aplicar una metodología completamente diferente a la anteriormente explicada. Tal téc nica, es el algoritmo de programación dinámica, el cual permite eliminar la suposición de que el servicio proporcionado por el activo será requerido indefmidamente.
Análisis de reemplazo del activo actual 123 TABLA 7-6. Flujo de efectivo diferencial entre el defensor y el retador.
Flujo de efectivo después de impuestos (retador)
Flujo de efectivo después de impuestos (defensor) Año
Diferencia
(retador-defensor)
o
-27,500
-50,000
-22,500
1
- 1,500
2,500
4,000
2
- 4,000
o
4,000
3
- 6,750
- 1,000
5,750
4
-8,750
- 3,500
5,250
4
6,500
13,000
6,500
Puesto que el algoritmo de programación dinámica que se recomienda aplicar en estudios de reemplazo, es hacia adelante, el primer paso para la aplicación de este algo ritmo es obtener tanto para el defensor como para el retador, el valor futuro de los flujos de efectivo respectivos para cada uno de los próximos años. En seguida, después de fijar el horizonte de planeación que se utilizará en el estudio de reemplazo, se empieza a ana lizar para el primer año, si vale la pena continuar un año más con el defensor o se adquie re el nuevo activo. Para el segundo año las alternativas serían: hacer el último reemplazo en el año cero, lo cual significa que se vende inmediatamente el defensor, o bien hacer el último reemplazo en el año
1, y
fmalmente otra alternativa a analizar sería la permanencia
de los dos años adicionales con el activo viejo. Para los siguientes años, la lógica de la ge neración de alternativas es idéntica. Una vez analizadas todas las alternativas de cada uno de los años que comprende el horizonte de planeación, el problema se reduce a determinar la solución óptima, es decir, a determinar la serie de activos que maximizan el valor futuro al fmal del horizonte de pla neación utilizado. La determinación de esta serie de activos se obtiene a partir de la si guiente fórmula de recurrencia:
Máx
{FSA(Tur) (1
+
¡/ ua
+
FNA(Tua)}
para Tua =0, 1, 2,
.
.
.
t
donde:
Tur Tua FNACtua)
=
=
=
tiempo en el cual se hizo el último reemplazo. tiempo de permanencia con el último activo de la serie. valor futuro del nuevo activo si se permanece con él un tiempo igual a
FSACtur)
=
tua·
valor futuro en el tiempo
lur
de uno o una secuencia de activos, los
cuales pueden ser: el defensor, el retador, el defensor y una serie de retadores, o bien esta secuencia puede estar formada por puros reta dores. Una explicación gráfica de esta fórmula se muestra en la figura 7-3. En esta figura, es un período de tiempo menor o igual al horizonte de planeación seleccionado, tiempo en el cual se va a introducir el último activo de la serie y va a permanecer con este activo.
tua
t tur es el
es el tiempo que se
124 Técnicas de análisis en estudios de reemplazo
Para ilustrar la aplicación de este algoritmo, suponga que actualmente se tiene ope rando un activo el cual se compró hace dos años. Cuando este activo se adquirió, el valor FNA(t ua)
FSA(tur)
1
Serie de activos
¡· l--
tua
tur
FIGURA 7.3 Serie de activos a utilizar durante un tiempo t.
de rescate y la utilidad neta como una función del tiempo, �e representaba por las siguien
, �
tes expresiones:
¡�
·r
100(.75)t 50(.85)t-l
VR(t) UN(t)
para
t
para t
O, 1, 2, 3,
1, 2, 3, 4,
... o
o
o
ahora, después de dos años se cree que estas funciones siguen siendo válidas para el caso de comprar nuevamente el activo (retador). Para esta información, suponiendo que no hay mejoramiento teconológico, inflación e impuestos y considerando un horizonte de planeación de seis años, el primer paso en la aplicación de este algoritmo, sería obtener el valor futuro para diferentes períodos de tiempo, tanto del defensor como del retador.
�
Esta información aparece en la tabla futuro al fmal del período aparecen en la tabla
7-S.
t
7-7.
A partir de esta tabla se puede obtener el valor
de cada una de las combinaciones posibles. Estos cálculos
Como se puede apreciar en esta tabla, en el último año (período
seis) el análisis indica hacer el último reemplazo en el año dos y en el año dos el análisis in dica hacer el último reemplazo en el año cero. Lo anterior significa que la solución a este problema es permanecer dos años adicionales con el activo actual y entonces comprar
un
nuevo con el cual se permanecerá los cuatro años restantes. TABLA 7-7. Valores futuros para diferentes tiempos de permanencia con el defen sor y con el retador.
..
A ño
Defensor
Retador
1
16.4375
2
34.0219
32.7500
3
52.4501
52.4625
15.0000
4
73.6494
5
96.0404
6
119.5241
En el ejemplo anterior se supuso que no existe mejoramiento tecnológico para ese tipo de activo, también se supuso que no había impuestos y a la inflación no se tomó en cuenta. Sin embargo, si estas consideraciones son introducidas al modelo, la lógica del al goritmo seguiría siendo la misma.
Conclusiones 125 TABLA 7-8. Combinación óptima de activos para cada período de tiempo analizado.
2 3
t ua
tu
1
1
6
33.0813
o
1
32.7500
2
52.4241
1
3
o
1 2 3
-
=
FSA(tur)" (1.1) tu a
+
16.4375(1.1)*
+
15.0000
34.0219(1.1)
+
15.0000
o
=
52.6394
16.4375(1.1)2
o
52.4625
=
3
72.9033
=
2
73.9165
1
-
o
74.3408 73.9464
-
1
4
96.7749
-
2
3
96.4437
-
3
2
97.7456
-
4·
1
97.7155
34.0219(1.1)3
=
16.4375(1.1)4
4 5
FSA(t)
2 2
4
r
5
o
1
5
96.0404
122.5202
2
4
122.7024
3
3
4
2
122.5255
5
1
o
6
123.4609
-
-
=
= -
=
122.5132 119.5241
52.6394(1.1) 34.0219(1.1)2 16.4375(1.1)3
o
74.3408(1.1) 52.6394(1.1?
o
+
+ +
+ + +
+
+
+
+
+
97.7456(1.1)
+
52.6394(1.1)3
+
74.3408(1.1)2
34.0219(1.1)4
16.4375(1.1)5 -
+
o
+
FNA(tua)
32.7500
32.7500 52.4625
15.0000 32.7500 52.4625 73.9464 15.0000 32.7500 52.4625 73.6494
96.0404
15.0000 32.7500
52.4625
+
73.6494
+
119.5241
+
96.0404
*La TREMA que se utilizó en este ejemplo es de 10%. Nota: Para t
=
l y 2 la mejor alternativa es continuar con el activo viejo.
7.4 CONCLUSIONES
A lo largo de este capítulo se han presentado una serie de consideraciones y de mo
delos matemáticos que se recomienda utilizar en estudios de reemplazo. Sin embargo, el punto más importante de este capítulo es comprender la necesidad de establecer dentro de una compañía,. políticas óptimas de reemplazo para cada uno de los activos utilizados. Otra cuestión muy importante a enfatizar en estudios de reemplazo es la dificultad de predecir con exactitud los valores realizables del activo a través de su vida útil, así como también los mejoramientos tecnológicos a que estaría sujeto dicho activo. Estas dificultades generalmente obligan al analista a hacer suposiciones muy simples sobre estos factores. Sin embargo, conviene hacer un esfuerzo por predecir el futuro lo más correctamente posible, ya que de esta forma los resultados que se obtengan con tales estudios de reem plazo, irán más de acuerdo a las metas y objetivos fijados por la organización.
.
1
126 Técnicas de análisis en estudios de reemplazo
PROBLEMAS 7.1
El costo inicial requerido por un cierto equipo es de $i00,000. Sus gastos de ope ración y mantenimiento son de $ 30,000 para el primer año y se espera que estos gastos se incrementen en lo sucesivo a·una razón de $10,000/año. El valor reali zable de este activo en los próximos años se espera que se comporte de la siguiente manera: VR k
=
100,000- 15,000(k) para k
=
1, 2, ... 5
Si el período de depreciación del activo es de 5 años, la tasa de impuestos que grava utilidad(pérdidas) ordinarias y extraordinarias es de 50%, y laTREMA que se utiliza es de 20% , determine el período óptimo de reemplazo de este activo. 7.2
La inversión inicial requerida por una nueva máquina es de $500,000. Sus gastos de operación y mantenimiento son de $150,000 para el primer año y se espera que
1
estos gastos se incrementen en lo sucesivo a una razón de 10% anual.El valor rea lizable de este activo en los próximos años se espera que se comporte de la siguiente manera:
,
VR k
i1
'
11 ji 11
=
500,000
(.90)k
para k
=
1, 2, ... 10
Si el período de depreciación del activo es de 1 O años, la tasa de impuestos que grava utilidades (pérdidas) ordinarias y extraordinarias es de 40%, y la TREMA que se utiliza es de 30%, determine el período óptimo de reemplazo del activo. 7.3
Un cierto tipo de máquina fue instalada hace 5 años a un costo de $840,000. Ac tualmente esta máquina tiene un valor realizable de $740,000. Si se continúa operando con esta máquina se estima que su vida remanente sea de 1 O años, sus
, , 1
gastos de operación y mantenimiento se estiman en $200,000, y su valor de res
•'
cate en los próximos años se espera que se comporte de acuerdo a la siguiente expresión: VR
k
=
740,000 - 20,000 (k) para k
=
1, 2, .. .10
Además, esta máquina está siendo depreciada en línea recta usando una vida de 12 años. La máquina vieja puede ser reemplazada por una versión mejorada que cuesta $1,200,000, tiene gastos de operación y mantenimiento de $100,000 y un valor de rescate de $150,000 al término de su vida económica de 8 años. Si el reemplazo se realiza, la máquina nueva será depreciada de acuerdo a la ley en un período de 1O años. Si la tasa de impuestos que grava utilidades(pérdidas) ordinarias y extra ordinarias es de 50%, y laTREMA utilizada es de 25%, determine usando el método del valor anual equivalente la mejor alternativa. ¿Cuál sería laTIR del incremento en la inversión que demanda la máquina nueva? 7.4
Una compañía utiliza en su proceso productivo una mezcladora automática que compró hace 5 años. La mezcladora originalmente costó $800,000. Actualmente la mezcladora puede ser vendida en $500,000. Además, con esta mezcladora se pue de seguir operando por 1O años adicionales al fmal de los cuales el valor de rescate
Problemas 127 se estima en $100,000. También, se estima que los costos anuales de operación y
manteninúento en los próximos
1 O años
serían del orden de
$250,000. Finalmente, 10 años.
considere que el período de depreciación de esta máquina es de
Puesto que la demanda que enfrenta esta compañía ha sufrido un· incremento significativo, una nueva mezcladora es requerida. Si se continúa operando con la mezcladora actual, solamente sería requerido adquirir una mezcladora cuyo costo inicial es de
$750,000, sus
gastos de operación y manteninúento son de
$200,000/ $100,000. Además, de acuerdo a la ley es de 1O años.
año y su valor de rescate después de 10 años de uso se estima en el período de depreciación de esta máquina
Por otra parte si la mezcladora actual es vendida, una mezcladora de mucha ma yor capacidad sería adquirida. El costo inicial de ésta se estima en $2,000,000, su valor de rescate al final de su vida fiscal de
$200,000, y sus $250,000. Si la tasa ordinarias y extraordinarias es de 50%, 1O
años se estima en
gastos anuales de operación y mantenimiento se estiman en de impuestos que grava utilidades (pérdidas) y la TREMA utilizada es de
30%, determine usando el método de la TIR la mejor
alternativa.
7.5
La compañía X actualmente utiliza una máquina que tiene un valor de mercado de
$500,000
(considere que este valor realizable es igual al valor en libros del activo l
Los costos anuales de operación y mantenimiento y el valor de rescate de la má quina para los próximos
8
años pueden ser expresados respectivamente en la forma·
siguiente:
COMk
=
80,000
+
20,000(k-1)
para
k
1' 2, ... 8
y
VRk
=
500,000 - 50,000k
para
k
1, 2, ... 8
==
Además, se sabe que la depreciación anual de esta máquina en los próximos será de
5 años
$80,000.
La máquina actual puede ser reemplazada por una versión mejorada cuyo costo inicial es de
$800,000, sus gastos anuales de operación y mantenimiento y el valor 8 años pueden ser expresados respectivamente para las
de rescate en los próximos siguientes funciones:
50,000(1.1)k-l
COMk
para
k
1, 2, ... 8
=
y
VR k
=
800,000(0.8l
Si la vida fiscal de la nueva máquina es de
para
8
k
=
1, 2, ...8
años, la tasa de impuestos que grava
utilidades (pérdidas) ordinarias y extraordinarias es de es de
7.6
25%,
50%, y
la TREMA utilizada
¿qué alternativa de acción recomendaría?
Un conjunto de cintas magnéticas que se utilizan en la operación del sistema compu tacional de la compañía X, tuvieron un costo inicial hace dos años de
$500,000.
Sin embargo, debido al gran avance tecnológico que existe,en esta área, actualmen te existen en el mercado cintas magnéticas que pueden incrementar significativa-
128 Técnicas ae análisis en estudios de reemplazo
mente la velocidad de procesamiento del sistema computacional. La reducción en el tiempo de procesamiento de la información se estima que sea del orden de 20%. Si las cintas actuales son vendidas su valor realizable se estima en $300,000.Además, se sabe que el costo inicial del nuevo conjunto de cintas magnéticas es de $1 ,000,000. Por otra parte, se anticipa que la actual computadora será reemplazada dentro de 4 años cuando entren al mercado las computadoras de la siguiente generación. Los valores de rescate de las cintas magnéticas actuales y del nuevo conjunto al tér mino de 4 años se estiman en $100,000 y $500,000 respectivamente. También, se sabe que la computadora trabaja 8 horas diarias durante 20 días al mes. Si el costo de operación de la computadora es de 500/hora, la vida fiscal de las cintas magné ticas es de 8 años, la tasa de interés que grava utilidades (pérdidas) ordinarias y ex traordinarias es de 50% y la TREMA utilizada es de 20%, ¿debería reemplazarse el conjunto actual de cintas magnéticas? 7.7
Un hospital está considerando la posibilidad de reemplazar una de sus máquinas artificiales para el riñón.La máquina que actualmente se utiliza, costó hace cuatro años $800,000. Si se continúa con esta máquina sus costos anuales de operación y mantenimiento y los valores de rescate en los próximos años serían: COM
k
==
k l 400,000(1.15) -
para k
==
·
1, 2, ...5
y
VR
k
==
400,000 - 60,000 k
para k
==
1, 2, . .5 .
La máquina nueva que se está considerando para reemplazar a la actual tiene un costo inicial de $1 ,400,000, gastos anuales de operación y mantenimientp de $350,000, una vida económica de 5 años, y un valor de rescate al término de este período de $300,000.Si el valor de mercado de la máquina actual es de $400,000, la vida fiscal de las máquinas es de 8 años para la vieja y 5 años para la nueva, la tasa de impuestos que grava utilidades (pérdidas) ordinarias y extraordinarias es de 50% y la TREMA que se utiliza es de 25%, ¿debería reemplazarse la máquina actual? 7.8
Para tin valor de TREMA de 10%, encuentre la vida económica del siguiente activo cuyos ingresos netos anuales y valores de rescate en los próximos años se com
portan de acuerdo a las siguientes funciones: !N k
==
k l 50(.85) -
para k
1' 2, ...
y
VR k 7.9
==
100(.75)
k
para k
==
O, 1, . ..
Para el activo presentado en el problema 7-8, determine aplicando programación dinámica, la política óptima de reemplazo si se considera un horizonte de planea ción de 6 años.
7 JO
Suponga que actualmente se tiene operando un activo idéntico al del problema 7-8, el cual se compró hace 3 años. Para este tipo de activo, determine por medio de
programación dinámica, la política óptima de reemplazo si se usa un horizonte de planeación de 8 años.
8 Selección de proyectos en condiciones limitadas de presupuesto
La optimización del uso de los recursos dentro de una corporación es un problema de bastante alcance. Para resolverlo se requiere determinar los flujos de efectivo que cada división genera, sus capacidades de endeudamiento, las fuentes de financiamiento a las cuales se tiene acceso y los flujos de efectivo que son transferidos de una división a otra. Una vez conocida esta información se pueden desarrollar modelos aproximados y exactos, los cuales tendrán como objetivo maximizar el valor presente de la corporación. En el presente capítulo se habla primero del proceso de generación de alternativas mutuamente exclusivas, haciendo énfasis en los diferentes tipos de interrelaciones que pueden existir entre todas las propuestas que se generan dentro de una corporación. En seguida se explica cómo debe hacerse el proceso de selección entre muchos proyectos cuando existen limitaciones económicas. Es importante señalar que en esta sección se explica solamente el procedimiento manual. La tercera sección muestra cómo el problema de restricciones en el presupuesto puede ser resuelto a través de modelos m atemáticos de programación entera. En esta sec ción, primero se analiza un modelo que no permite endeudamiento en ninguna de las divi siones que forman la corporación. En seguida, se presenta un modelo más generalizado, el cual permite endeudamiento por parte de las divisiones y además asume que el exceso de ·
efectivo que se pueda presentar en una división puede ser destinado a inversiones líquidas de corto plazo. Como el uso y aplicación de modelos matemáticos requiere del dominio y entendi miento de éstos, así como de un sistema de información eficiente, en la cuarta sección se muestran los diferentes métodos aproximados que una corporación puede utilizar en el proceso de selección y asignación de recursos. Estos métodos aproximados tienen algunas deficiencias teóricas, pero la compensan con su sencillez, su facilidad de cómputo y su f ácil entendimiento. Finalmente, en la quinta sección se analiza el grado de efectividad que se logra cuan do las decisiones se hacen en forma secuencial y cuando se hacen en forma periódica.
129
130 Selección de proyectos en condiciones limitadas de p resupuesto
8.1 GENERACION DE ALTERNATNAS MUTUAMENTE EXCLUSN AS Las interdependencias que pueden existir en un conjunto de propuestas de inver sión, pueden ser de los siguientes tipos:
•
Mutuamente exclusivas
•
Independientes
•
Contingentes
Conociendo el tipo de interdependencias que pueden existir entre las propuestas de inversión, es posible desarrollar una metodología que facilite la formación o agrupación de propuestas en alternativas mutuamente exclusivas. Todo lo que ésto requiere es la enu meración de todas las combinaciones factibles de las propuestas bajo consideración. Cada combinación de propuestas representa una alternativa mutuamente exclusiva puesto que cada combinación es única y el aceptar una combinación de propuestas elimina la acepta ción de cualquier otra combinación. Los flujos de efectivo de cada alternativa son obteni dos, período por período, al sumar los flujos de efectivo de cada propuesta contenida en dicha alternativa. Para ilustrar el proceso de generación de alternativas mutuamente exclusivas, consi dere una corporación formada por 3 divisiones (ver figura 8.1). Ahora, para propósitos de ilustración, suponga que en un período de tiempo determinado se genera una propuesta de inversión en cada división. Para este caso particular, el número de alternativas mutua mente exclusivas que se pueden formar son mostradas en la tabla 8 .1. En dicha tabla se puede observar que cada renglón representa una alternativa mutuamente exclusiva. Ade más, en esta tabla se utilizan números binarios: el cero que significa rechazo de la pro puesta, y el uno que significa aceptación.
Corporación
División 2
FIGURA 8.1. Corporación formada por tres divisiones.
Ahora suponga que existen dos alternativas de llevar a cabo la propuesta generada en la división 1 y la generada en la división 2. Además, suponga que en esta ocasión, la división 3 no genera ninguna propuesta de inversión. Para esta nueva situación, la tabla 8.2 muestra el conjunto de alternativas mutuamente exclusivas que se pueden formar. Con viene señalar que tanto las propuestasA 1 y A2 como B 1 y B2 son mutuamente exclusivas. Sin embargo, la selección de cualquier propuesta del conjunto de propuestas A 1 y A2 es independiente de la selección de cualquier propuesta del conjunto de propuestas B1 y B2•
Generación de ulternativas mutuamente exclusivas 131
TABLA 8.1. Alternativas mu tuam ente exclusivas para tres propuestas independientes. Propuestas División 1
Alternativas
División 2
División 3
mutuamente exclusivas
1
o
o
o
2
1
o
o
3
o
1
o
4
o
o
1
5
1
1
o
6
1
o
1
7 8
o
1
1
1
1
1
-�
TABLA 8.2. Alternativas mutuamente exclusivas para dos conjuntos independientes de propuestas mutuamente exclusivas.
División 2
Alternativas
División 1
mutuamente exclusivas
A¡
A2
B¡
B2
1
o
o
o
o
2
1
o
o
o
3
o
1
o
o
4
o
o
1
o
5
o
o
o
1
6
1
o
1
o
7.
1
o
o
1
8
o
1
1
o
9
o
1
o
1
l
----
Si las propuestas son contingentes, también es posible agruparlas en un conjunto de alterna tivas mutuamente exclusivas. Suponga que en una determinada división se generan tres propuestas: A, B y e, donde la propuesta e es contingente a la aceptación de la pro puesta A y B, y la propuesta B es contingente a la aceptación de la propuesta A. La tabla 8.3 muestra las alternativas mutuamente exclusivas que pueden formarse para el grupo de propuestas con las relaciones de contingencia descritas. TABLA 8.3. Alternativas mutuamente exclusivas para propuestas contingentes
Alt ernativas
Propues tas
mutuamente exclusivas
A
B
e
1
o
o
o
2
1
o
o
3
1
1
o
4
1
1
1
132 Selección de proyectos en condiciones limit adas de presupuesto
Hasta ahora, los ejemplos que se han explicado son demasiado sencillos. Sin embar go, es obvio que en una división existen muchas áreas de inversión (producción, distribu ción, mercadotecnia, etc.), y dentro de cada área de inversión pueden existir varias propues tas mutuamente exclusivas. Esta nueva situación implica que la enumeración exhaustiva de alternativas mutuamente exclusivas podría ser impráctica y tediosa. Sin embargo, como más adelante se verá, la programación lineal o entera alivian esta gran dificultad. La figura 8.2 muestra en forma de diagrama la situación más general que se podría presentar en una corporación formada por 2 divisiones. Para este caso, es obvio que el número total de alternativas mutuamente exclusivas que se forman, puede ser obtenido con la siguiente expresión.
( � \P1,j
)(
'
N= ¡= 1
donde:
P 1 ,¡ P2 j
1 n2
n
=
-
=
+ 1)
_�2 (P2j + 1)
¡=1
)
(8.1)
cantidad de propuestas mutuamente exclusivas del áreaj dentro de la divi sión l. cantidad de propuestas mutuamente exclusivas del áreaj dentro de la divi sión 2. cantidad de áreas de inversión dentro de la división l. cantidad de áreas de inversión dentro de la división 2.
Para ilustrar la aplicación de la fórmula anterior, suponga que en la división 1 hay 5 áreas de inversión, cada una con 2, 3, 4, 2 y 2 propuestas mutuamente exclusivas respecti vamente, y en la división 2 hay 4 áreas cada una con 2, 3, 3 y 2 propuestas mutuamente exclusivas respectivamente, entonces, de acuerdo a la fórmula 8.1 el número total de al ternativas mutuamente exclusivas sería: N=
.
( (2 + 1 ) (3 + 1) (4 + 1) (2
+
1) (2 + 1) )
( (2 + 1) (3 + 1) (3 + 1) (2
+
1) )
N= 77,760
Por consiguiente, es claro que un análisis manual de esta cantidad de alternativas sería prácticamente imposible. Además, conviene señalar que el ejemplo ilustrado no es repre sentativo de lo que ocurre en una corporación, esto es, generalmente en una corporación existen más divisiones, y dentro de cada división pueden existir una gran cantidad de áreas de inversión. Finalmente, se muestra la fórmula que se utiliza para determinar el número total de alternativas mutuamente exclusivas que se pueden formar en una corporación que tiene muchas divisiones: N
/ =lrr
n
i= 1
nJ (P1-,] + 1) ·
j= 1
)
(8.2)
donde:
Pi,j
=
cantidad de propuestas mutuamente exclusivas del área j dentro de la divi sión i.
...... . -
División 1
-----5] �
........ ----@
e;") � ::S �
¡:¡
..... (3:
Corporación
::S
�
División 2 ·
-
·
·
·
·
·
·
______J-;,:-¡ �
� !:.. � � 1:¡
�..,
::¡
S::
E' 1:¡
·
·
·
·
·
·
·
·
-@
::¡
� � � .....
¡: ..,
�FIGURA 8.2. Generación de alternativas en una corporación.
.... (j.l (j.l
134 Selección de proyectos en condicion es limitadas de presupuesto
n¡ n
=
=
cantidad de áreas de inversión dentro de la división i. cantidad de divisiones.
La generación de alternativas mutuamente exclusivas en condiciones limitadas de presupuesto difiere un poco del procedimiento explicádo anteriormente. Al igual que an tes, todas las posibles combinaciones de propuestas son listadas y los flujos de efectivo de estas alternativas mutuamente exclusivas son determinados. El único procedimiento adi cional requerido es la eliminación de todas las alternativas mutuamente exclusivas que requieran más dinero del que se dispone.
8.2 SELECCION ENTRE MUCHOS PROYECTOS CON RESTRICCIONES Cuando estamos frente a un grupo de muchas áreas de inversión con interrelaciones técnicas dentro de ellas y además limitaciones económicas, se presentan problemas com 1� '
plicados computacionalmente. Para ilustrar la aplicación de la técnica que considera limitaciones económicas, es necesario formar todas las combinaciones posibles de propuestas tomando en cuenta rela ciones técnicas, eliminando aquellas a las cuales los recursos las hagan no factibles, y esco
1¡,
�
giendo aquellas para las que se obtenga mayor valor presente. Ahora por simplicidad, suponga que en una división determinada de la corporación se tienen únicamente dos áreas de inversión, separadas y bien definidas (ver tabla disponen de
8.4). Además, suponga de que se
$400,000 para inversiones.
Es claramente visible que en el pnmer grupo de proyectos (área 1 ), la propuesta
P1 ,4 puede ser descartada, puesto que cuesta
$200,000 y rinde $7 6,000, cuando existe, (180,000) y rinde más ($80,000). Las
en la misma área, un equipo que cuesta menos
otras propuestas rinden mayor valor presente neto, a mayor costo, lo cual hace posible incluirlas en la formulación. Además, existe la opción "hacer nada" o sea, no tomar nin guna propuesta de ese grupo. En la tabla
8.5
se enumeran todas las alternativas mutuamente exclusivas que se
pueden generar (todas las alternativas incluyen una propuesta del área obligada) con su costo total y se marcan con un
*
las alternativas cuyo costo excede el presupuesto total.
La mejor alternativa consiste en aceptar la propuesta P1 ,1 del área 1 y las propues tasPz,3 yP2 ,3 del área
2.
Usualmente el valor presente de la inversión total es el criterio más eficiente y el que más se utiliza para resolver el problema de selección de pr_oyectos en condiciones limitadas de presupuesto. Es importante señalar que sería igualmente válido y correcto utilizar alguna otra base de comparación como: anualidad equivalente, valor futuro o tasa interna de rendimiento.
8.3 FORMULACION CON PROGRAMACION ENTERA Muchas corporaciones evalúan la deseabilidad económica de sus propuestas usando métodos tradicionales de presupuestos de capital como el período de recuperación y la tasa interna de rendimiento. Estos métodos tradicionales pueden ser satisfactorios cuando se está analizando un solo proyecto en un punto particular en el tiempo. Sin embargo, estos métodos no son adecuados cuando en la corporación se generan muchas propuestas
Formulación con programación entera 135 TABLA 8.4. Inversión inicial y valor prese.nte neto de cada propuesta.
Area
Propuestas mutuamente
Inversión
presente
exclusivas
inicial
neto
pl,l
$
Valor
P1,2
1
(obligada)
2 2 y P 2 3 son '
'
68,000 80,000 137,000
pl.4
200,000
76,000
60,000
- 30,000
p2 2 * 1• P2,2
100,000
20,000
20,000
15,000
p2 3 * P 3
208,000
100,000
32,000
28,000
$
t
P
$
P1,3
P2,1
2
150,000 180,000 300,000
contingentes a P2 2 y P2 3 respectivamente. '
,
de inversión. Las limitaciones en dinero, las interrelaciones técnicas entre las propuestas y las tendencüis de crecimiento de cada una de las divisiones que integran la corporación, requiere de la formulación y el desarrollo de un modelo de programación entera. Por con siguiente, el objetivo de esta sección es desarrollar un modelo de programación entera que resuelva el problema de selección de propuestas en condiciones económicas limitadas.
8.3.1. Construcción del modelo sin considerar pasivo Un modelo matemático de programación entera tiene
1)
3
componentes principales:
la -función objetivo, la cual puede ser maximizada o minimizada;
2)
restricciones y
3)
condición de no-negatividad de las variables de decisión. En nuestro modelo la condición
de no-negatividad se restringe a que las variables de decisión sólo pueden tomar el valor de
cero (cuando la propuesta es rechazada) y el valor de l(cuando la propuesta es aceptada). La función objetivo puede ser matemáticamente expresada como sigue:
MAX
VPN
S·kt n T J X jk � L: � j=l k=lt=O (1 +zi m
donde: VPN
Sjkt X jk
=
valor presente neto.
flujo de efectivo neto del proyecto j en la división k durante el período t.
variable de decisión la cual puede tomar un valor de cero cuando el proyec to
j de la división
aceptado.
k es rechazado o un valor de uno cuandG el proyecto es '
tasa de recuperación mínima atractiva
(TREMA).
Por otra parte, las restricciones más comunes que se presentan en este tipo de mode los mat�máticos son las siguientes:
---..
... �Jo) Cl'l
f€l ;-
TABLA 8.5. Combinaciones factibles.
.... ....
<S� mutuamente exclusivas
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
-
Inversión
Propuestas
Alternativas
P1,1
P1,2
o
o
o
o
o
o
P2,1
P2,2
1 p 2,2
P2,a
1 p 2,3
1
o
o
o
o
1
o
o
o
1
o
o
o
1 1
·O
o
o
o
o
1
o
1
o
o
o
o
o
o
o
o 1
o
o
1
o
o
1
o o
o
1
o
1
o o
o
1
1
o
o
o
o o
Alternativa Óptima.
Pl,3
o
1
o o
o
1
1 1 1
o
o
1
o o
o o
o o
1
o
o
o
o 1
o
o
1
o
o
o
o
1 1 1 1 1 1
o
o
o
o o
o
o o
o
o o
o o o o
o
1 o
o
o
o
o
o
o o 1
1
1
o
o
o
o o
o
o
o
1
o o o
o
o
o
o
o o o
1 1 1 1 1 1
o o o o
o o o
1
1 1
inicial
$
Valor
presente neto
60,000 $100,000 120,000 208,000 240,000 210,000 240,000 360,000 250,000 280,000 400,000 270,000. 300,000 420,000* 358,000 388,000 508,000* 390,000 420,000* 540,000* .
30,000 20,000 35,000 100,000 128,000 38,000 50,000 107,000 88,000 100,000 157,000 103.000 115,000 172,000 . 168,000 180,ÓOO 237,000 196,0001 208,000 265,000
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Formulación con programación entera 137
A. Restricción financiera
m
T
n
n
T
� � � A¡kt X¡k < � � bkt k=1t=O i=l k=l t=O donde:
A¡kt
=
necesidades de efectivo (nuevas inversiones) del proyecto j en la división k
bkt
=
disponibilidad de capital en la división
durante el período t
k durante el período t. Conviene
señalar que estas disponibilidades de dinero tendrán que ser pronosticadas.
B. Propuestas mutuamente exclusivas
Pueden existir propuestas que se consideren mutuamente exclusivas, esto es, la aceptac.ión de una de ellas implica el rechazo del resto. Por ejemplo, suponga que los pro yectos· 1, 2 y
3 de la división 1 son mutuamente exclusivos, entonces, matemáticamente
esta relación puede ser expresada como sigue:
X1,1 + X2,1 + X3,1 � 1 En esta restricción, sólo una de las variables puede tomar el valor de 1 y el resto estarán forzadas a tomar el valor de cero. Además, en esta restricción no se descarta la posibilidad de rechazar todas las propuestas.
C Relaciones de contingencia Existen situaciones en las cuales la aceptación de un proyecto depende de la acepta ción previa de otro proyecto al cual se está relacionado. Por ejemplo, no se puede justifi car la compra de equipo periférico mientras no se haya comprado una computadora. Para ilustrar la expresión matemática que representa a este tipo de restricción, suponga que el proyecto 1 de la división 1 es contingente al proyecto 2 de la división 1 (el proyecto 1 só lo se puede aceptar si el proyecto 2 ha sido aceptado), entonces: -X1,1 +x2.J
:>o
En esta restricción, no se permite que X 1 ,1 valga 1 a menos que X 2 ,1 valga l. Pero X2,1
puede ser uno con X1 1 igual a cero. También queda abierta la posibilidad de que tanto xl,l comox2,1 sean cero. D. Area obligada
Es posible que en algunas ocasiones, existan dentro de alguna división "áreas obliga das", esto es, áreas en las cuales es forzoso escoger U:na propuesta de entre las varias que pertenecen a dicha área. Por ejemplo, suponga que en el área de almacén·de producto ter-
138
Selección de proyectos en condiciones limitadas de presupuesto
núnado se requiera urgentemente comprar un montacargas, el cual agilizaría grandemente ·el traslado del produCto terminado del departamento de inspección y empaque al almacén. Ahora, suponga que en el mercado sólo existen tres tipos de montacargas: el A, el By el
e, entonces, la expresión matemática que representa a este tipo de restricción sería: x1,1
donde:
+
x2,1
+ X3,1
=
1
comprar el montacargas tipo A para la división 1
x1,i X2,1 X3,1
comprar el montacargas tipo B para la división
1 comprar el montacargas tipo e para la división 1
E. Restricción de no-negatividad La condición de no-negatividad restringe los valores de las variables de decisión a: cero cuando el proyecto se rechaza o
1 cuando el proyecto se acepta. Lo anterior significa
que cada variable de decisión puede tomar sólo dos valores. Sin embargo, si la condición de no-negatividad se expresa en la forma siguiente: O
<Xjk < 1
implica la posibilidad de aceptar sólo una parte del proyecto y rechazar el resto. Este tipo de formulación (programación lineal) es factible de utilizar sólo en los casos en los cuales los tipos de proyectos son bonos, acciones, etc. Sin embargo, si el proyecto que se está analizando es la adquisición de un torno, entonces, el uso de programación lineal sería inadecuado.
Construcción del modelo considerando incrementos en el pasivo e inversiones líquidas
8.3.2
En el modelo anterior no se considera la posibilidad de aumentar el pasivo de cada una de las divisiones. Sin embargo, cuando esta situación es factible es obvio que proyec tos que antes eran rechazados por falta de recursos, ahora podrán ser aceptados. También, es necesario señalar que a pesar de que la mejor forma de financiarse generalmente es a través de pasivos, éstos no deben de aumentarse en forma desmedida debido a los peligros que implica una palanca fmancieTa excesiva. Además de la posibilidad de aumentar el pasivo, en este nuevo modelo se considera factible invertir toda la disponibilidad de dinero ocioso en inversiones líquidas de corto plazo. Bajo estos nuevos supuestos, el modelo de programación entera queda como se mues
tra en la figura 8.3. Las variables diferentes que aparecen en este nuevo modelo son:
Pk' t Aek,t
=
cantidad de dinero obtenido a través de pasivo por la división período
=
plazo durante el período
=
k durante el
1 período).
cantidad de dinero que la división k destina a inversiones líquidas de corto ríodo).
llk,t
t (Los plazos de estos pasivos se asumen de
t (la vida de estas inversiones se asumen de 1 pe
nivel máximo de pasivo que la división k puede tener durante el período
t.
Métodos de selección aproximados 139 ib iL
-
-
costo de las fuentes de fmanciamiento (pasivo). rendimiento obtenido en las inversiones líquidas de corto plazo.
Por otra parte, es necesario señalar que en este nuevo modelo se pueden tener el mismo tipo de restricciones que se explicaron en el modelo anterior, tales como: propues tas mutuamente exclusivas, relaciones de contingencia y áreas obligadas. 8.3.3 Utilidad y aplicabilidad Para situaciones en que haya muchas áreas de inversión con muchas alternativas, ca da una de poco monto, el uso de programación entera resulta inútil pues la obtención de "la mejor solución" puede no justificar los gastos de tiempo de computadora (los algorit mos de programación entera que existen actualmente son un tanto ineficientes computa cionalmente). En tal caso, será mejor usar algún método de selección aproximado. En casos en que haya números medianos de áreas de inversión con algunos proyec tos requiriendo inversiones fuertes de dinero o recursos, el uso de estas formulaciones per mite explorar ordenadamente todas las combinaciones posibles de propuestas y obtener la mejor combinación.
8.4 METODOS DE SELECCION APROXIMADOS A pesar de los grandes y recientes avances que han ocurrido en el campo de la inves tigación de operaciones, la alta administración ha mostrado poco o ningún interés en el uso de programación lineal o programación entera para resolver el problema de selección de proyectos en condiciones limitadas de presupuesto. Esto no significa que no se tenga conciencia de los beneficios potenciales de estas herramientas, sino que es posible utilizar otros métodos de selección aproximados tales como: ordenado por tasa interna de rendi miento, ordenado por valor presente por peso invertido, etc., los cuales tienen alguna des ventaja teórica pero la compensan con su facilidad de cómputo. Al igual que con otras nuevas técnicas, un tiempo de aprendizaje insuficiente puede ser la causa del desuso de la programación matemática en los problemas en los cuales exis ten limitaciones económicas. Cualquiera que sea la causa, su difusión como herramienta útil en el proceso de toma de decisiones sería un proceso lento, puesto que su .implemen tación a nivel staff requiere no solamente entendimiento, sino además un sistema de infor mación capaz de proporcionar la información veraz, oportuna y actualizada que el modelo matematico requiere. Por las razones mencionadas anteriormente, existen pocos motivos para pensar que los métodos de selección aproximados, van a ser reemplazados en lo sucesivo por métodos más exactos tales como: programación lineal o programación entera. Además, en una empresa real es imposible medir el efecto de tomar decisione-s por uno u otro método, pues esto tendría que basarse en puras conjeturas de "lo que hubiese pasado si hubiésemos tomado la otra decisión". Sin embargo, se han realizado algunos estudios en situaciones simuladas*, en los cuales se ha comprobado que no existe mucha diferencia en la efectivi dad entre los métodos aproximados y los métodos exactos.
*
A.S. Parra Vázquez y R.V. Oakford, "simulations as a technique for comparing decision procedures",
the Engineering Economist, volumen 21, número 4, pp. 221-236.
.... .¡:. Q
�
�
�
MAX VPN
Sujeto a:
m
=
n
T
� � 1: J=l K=l t=O
m
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S· � Xk
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A¡k1 i =l k=l m
�
n
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x.k 1
T
� A¡kt X¡k
i=l k=l t=2 n
�
-T
�
k=1 t=2
�
•
n
+ (1 +
ib)
�
+
k =1
ACk 1 •
T
n
�
�
�
Pk,t-1
k=1 t=2
T �
n
__!s!_ + i L (1 + ii
k=l t=O
- � pk 1
k=1
p
T �
n
ib
n
n
�
ii ¡
-
�
k=l t=O
AC
(5� ::S 1:). "' 'l:;;
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.., "' ::S
n
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k=l
•
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T
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k=1 t=2
ACk,t-1
"' e ::S 1:). ;::;· (5' ::S
�
§= Pk t •
+
n
�
T
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k=1 t =2
ACk t •
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n
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T
�
k=1 t=2 Pk,t
�
bk t •
1:). "' 'l:;;
;¡¡ ..,
LPk,t
.§
X¡k puede ser cero o uno Pk, tYACk,t;;;.
s· g. ..,
Opara k=1,2,... nyT=l,2... T
FIGURA 8.3. Modelo matemático de programación entera que considera incrementos en el pasivo e inversiones líquidas.
1::
"'
..,
e
Métodos de selección aproximados 141 8.4.1 Ordenado por tasa interna de rendimiento
Bajo esta idea, se procede a escoger dentro de cada área de inversión, la mejor alter nativa. En seguida se ordenan las mejores alternativas en orden descendente de acuerdo a su tasa interna de rendimiento y se aceptan propuestas hasta que se agoten las propuestas o se agota el dinero dedicado a inversión. Este método simplificado es muy conocido, y ha recibido muchas simpatías por su sencillez, y también porque casi siempre da unas selecciones bastante buenas si se le com bina con un poco de criterio del analista. En pruebas simuladas opera obteniendo selec · ciones con valores presentes cercanos a los de la selección óptima. Para ilustrar el proceso de selección utilizando este método aproximado, considere que en una determinada división dentro de la corporación se generaron las propuestas mostra das en la tabla 8.6. También, suponga que la cantidad de dinero disponible para invertir es de $1000. Bajo estos supuestos en la figura 8.4 se muestra en forma gráfica el ordena miento de las propuestas de acuerdo a su tasa interna de rendimiento. Como puede apre ciarse en dicha figura, las propuestas que deben ser seleccionadas son de la A a la E. Es obvio que esta selección no es la óptima ya que es preferible ganar un rendimiento del
26% sobre una inversión de $350 (propuesta F) a ganar un rendimiento de 37% sobre una inv�rsión de $100 (propuesta B). Esta es precisamente una de las desventajas teóricas del método de ordenado por tasa interna de rendimiento. En el ejemplo anterior se supuso que el dinero disponible para nuevas inversiones provenía netamente de las utilidades generadas por la división. Sin embargo, es práctica común que todo negocio utilice pasivo para financiar parte de las nuevas inversiones (la mejor forma de fmanciarse es con pasivo, siempre y cuando el rendimiento obtenido en
TABLA 8.6. Generación de propuestas independientes.
Propuesta Inversión inicial TIR (%)
A
B
D
E
150
100
300
250
200
350
175
40
37
35
30
28
26
25
e
F
G
las nuevas inversiones sea mayor que el costo del pasivo). Con estas nuevas suposiciones, el proceso de selección sería como se muestra en la figura 8.5. En esta figura se puede ob servar que todos los proyectos antes del punto pasivo permitido es mayor que
(X- ilUR).
X
serían aceptados si el incremento en
Por el contrario, si el incremento en pasivo
permisible es muy raquítico, entonces, ciertos proyectos tendrán que ser rechazados a pesar de tener un rendimiento aceptable. Lo anterior es consecuencia del hecho de no poder aumentar el pasivo en forma irracional y desmedida, sino de acuerdo a una cierta estructura financiera previamente establecida. Finalmente conviene señalar que el 1 en el eje de las abscisas puede estar a la izquierda o a la derecha del punto
X, dependiendo del
incremento en. pasivo permitido.
A. Asignación de recursos en una corporación formada por dos divisiones El pmceso de selección y de asignación de recursos que hasta ahora se ha discutido, corresponden al caso de tener solamente una división. Sin embargo, es conveniente expli car cómo se haría el proceso de selección y de asignación de recursos en una corporación
142 Selección de proyectos en condiciones limitadas de presupuesto
TIR+
JIk =Inversión inicial requerida por la propuesta k.
PD =Presupuesto disponible.
30
25
1
A•B 1
e
D
E
F
1
G,
t
¡
(:
l
I!k PD
FIGURA 8.4. Ordenado por tasa interna de rendimiento.
J¡
""
�
TIR
t
,
.
t::.UR. =Incremento en utilidades retenidas. M. =Incremento en pasivo.
L inversión inicial t::.UR.
X
t::.UR. +M.
FIGURA 8.5. Proceso de selección considerando apalancamiento financiero.
Métodos de selección aproximados 143
formada por dos divisiones. La figura 8.6 ilustra tal procedimiento. En esta figura se ob serva que del presupuesto disponible, la proporción OX se deberá asignar a la división l. También, es posible considerar en este caso incrementar el pasivo para financiar parte de las nuevas inve.rsiones.
TIR
TIR
División 2------.. .,
L; k
L; Ilk k
o
X
Ilk PD
o
PD
FIGURA 8.6. Asignación de recursos en una corporación formada por 2 divisiones.
B. Asignación de recursos en una corporación fonnada por muchas divisiones
Para el caso de tener una corporación formada por muchas divisiones, el proceso de selección y de asignación de recursos puede realizarse al recopilar las propuestas indepen dientes de cada una de las divisiones y ordenarlas en orden descendente de acuerdo a su tasa iilterna de rendimiento tal como lo muestra la figura 8.7. Para poder hacer la selec ción, es necesario determinar el monto real de las utilidades generadas por cada una de las divisiones, así como sus incrementos en pasivos permisibles. Con esta información, el pro ceso de selección es similar al descrito en el inciso 8.4.1 para el caso de una división. Una vez realizado el proceso de selección, se determina cuántas y cuáles propuestas se acepta ron de cada división, para fmalmente determinar la cantidad de recursos que se asignarán a cada división.
8.4.2 Ordenado del valor presente por peso invertido La mecánica de este método es similar al anterior, con la diferencia de que se obtie e
la relación de valor presente a inversión requerida para las mejores alternativas dentro
:e cada área de inversión, y esa relación se usa para ordenar las propuestas, poniendo pri-
144 Selección de proyectos en condiciones limitadas de presupuesto
!:.UR¡
=
Incremento en las utilidades retenidas de la división j.
M¡ /Ik
=
=
Incremento en el pasivo de la división j. Inversión inicial requerida por la propuesta k.
� /I k k
f
!:.UR¡
---j
X
� j
!:.UR· + � 1 j
f:.l'. 1
FIGURA 8.7. Asignación de recursos en una corporación formada por muchas divisiones.
mero a las de mayor índice. Lo anterior significa que tendrán mayor prioridad aquellos proyectos que ofrezcan mayor "ganancia por peso invertido", y el cómputo es muy simple, más aún que en el ordenado por tasa interna de rendimiento. Este índice no tiene un atractivo intuitivo tan grande como la tasa interna de rendi miento, pero en pruebas simuladas opera al menos tan bien como el anterior, y con menos cálculos. En la tabla 8.7 se muestra un ejemplo en el cual se utiliza este método aproximado. Paia la solución de este problema se supuso que el dinero disponible para nuevas inversio nes es de $400 y que la división cuenta con dos áreas de inversión. Finalmente, es impor tante señalar que la solución obtenida con este método es la misma que se hubiera obtenido
al utilizar programación entera, es decir, la solución que se obtuvo es la óptima.
8.4.3 Ordenados combinados Ofrecen la ventaja de permitir tres o cuatro ordenamientos y selecciones lo que nos dará, en general, mejores soluciones que en los casos en que se usa un solo índice. Específicamente, se defmen varios índices, por ejemplo tasa interna de rendimiento, valor presente por peso invertido o relación beneficio costo (para casos en que haya pro yectos con desembolsos netos en más de un período). En seguida, se generan todas las alternativas mutuamente excluyentes dentro de ca da área de inversión para todas las divisiones que integran la corporación. Luego, se ordenan todas las alternativas generadas con respecto a uno de los índices, intercalándolas a medida que sea necesario. Se empiezan a seleccionar alternativas en su orden de aparición respecto al índice en tumo. Al aceptar una alternativa dentro de una área de inversión, sé eliminan todas las
otras alternativas dentro de esa área que aparezcan posteriormente. En caso de que algunas alternativas no se puedan aceptar por falta de fondos, se brinca a la siguiente que sí se pueda aceptar. El proceso continúa hasta que se acaben las alternativas o se acabe el dine ro. Se anota cuál fue la selección y cuál es la suma de los valores presentes de los proyec tos seleccionados.
Decisiones secuenciales �.r. decisiones en grupo 14S
TABLA 8. 7. Ordenado por relación de valor presente a inversión requerida.
Costo Area
2 2 1 1 1 2 2 2
Propuesta
VPN
128 100 137 68 80 35 20 - 30
Bs B4 A3 A¡ A2 B3 B2 B¡
Costo
240 208 300 150 180 120 100 60
VPN/Costo
0.533 0.481 0.457 0.453 0.444 0.242 0.200 - 0.500
Decisión
acumulado
A R A R$
240 240 240 390 390 390 390 390
A
R A R A RA R A
donde: A = Aceptar R$ = Rechazar por falta de dinero R A =Rechazar porque otro proyecto de la misma
área de inversión ha sido aceptado Decisión recomendada: Aceptar la propuesta B 5 y la A 1 con las cuales se obtiene un valor presente de $196.
El proceso se hace para todos los índices que parezca oportuno y se selecciona aquella alternativa con la cual se maximiza el valor presente. Esta ligera complicación (fácil de hacer manualmente en casi todos los casos) rinde muy buenas selecciones, que en muchos casos coinciden con las obtenidas por medio de la programación entera. Finalmente, es importante señalar los problemas que se pueden presentar cuando una área de inversión es obligada. Para este caso se puede hacer lo siguiente: •
Si las áreas obligatorias tienen alternativas únicas, adoptarlas de antemano (son decisiones ya hechas).
•
Si las áreas obligatorias tienen varias alternativas, establecer límites al dinero que se pueda gastar antes de seleccionar alguna alternativa del área obligada, de tal modo que el proyecto más pequeño del área se pueda tomar.
8.5 DECISIONES SECUENCIALES
vs.
DECISIONES EN GRUPO
Tanto los modelos de programación entera como los métodos aproximados que fue ron presentados en las secciones anteriores, suponen que al tomador de decisiones se le presenta un grupo de proyectos, los cuales están actualmente disponibles o lo estarán en un tiempo específico del futuro. Sin embargo, es obvio que los proyectos aparecen gene ralmente en forma secuencia}. Ante esta .discrepancia en el proceso real de generación de
146 Selección de proyectos en condiciones limitadas de presupuesto
propuestas, es conveniente analizar qué procedimiento de decisión
P.�
más efectivo: deci-
siones secuenciales o decisiones en grupo.
. Tomar decisiones en forma secuencial a medida que las propuestas de inversión van
surgiendo, tiene la ventaja aparente de que no habrá ningúnretraso en la aceptación e im plantación de propuestas a ltamente productivas. Por otra parte, tomar decisiones en forma periódica sobre un grupo de propuestas, tiene la ventaja de que el tomador de deci ·siones rechazará aquellas propuestas que no presenten ningún atractivo, sobre todo en el caso de tener fondos limitados para inversión. Una comparación entre estos dos procedimientos de decisión sería un tanto difícil de realizar, ya que esto implicaría pronosticar los resultados que se hubieran logrado con cada uno de ellos. Sfu embargo, aparentemente tomar decisiones en forma periódica es más efectivo que hacerlo en forma secuencial. Esta conclusión se deriva del hecho de que al tomar decisiones en forma secuencial, se pueden aceptar propuestas que a pesar de te ner un rendimiento superior al míitimo requerido, son peores que otras propuestas que se van a presentar posteriormente. Lo anterior significa, que una propuesta atractiva se acep taría independientemente del procedimiento de decisión utilizado, sin embargo, una pro puesta no muy atractiva (con rendimiento superior al mínimo requerido) puede ser aceptada si las decisiones son hechas en forma secuencial, pero probablemente sería rechazada si la decisión estuviera basada en un grupo de propuestas. Hasta la fecha se han realizado varios estudios, entre otros, la disertación doctoral de A. Sabino Parra Vázquez en la cual se trata de determinar mediante simulación, cuál de los siguientes procedimientos de decisión es el más efectivo:
•
Las decisiones son hechas anualmente sobre un grupo de propuestas.
•
Similar al anterior excepto que las decisiones son repetidas ocho veces por año.
•
Las decisiones son hechas en forma secuencial a medida que las propuestas se van generando. Bajo este procedimiento de decisión, alternativas económicamente aceptables que no pueden ser aceptadas por insuficiencia de fondos, no son con sideradas posteriormente.
•
Las decisiones son hechas en forma secuencial como en el punto anterior, excep to que las alternativas económicamente atractivas que fueron rechazadas por fal ta de fondos, podrán competir con las propuestas que se generen durante el próximo año.
Los resultados de tal estudio revelaron que de los procedimientos de decisión anali zados el más efectivo es el primero, esto es, cuando las decisiones son hechas anualmente sobre un grupo de propuestas se logran mayores rendimientos. Sin embargo, es convenien te señalar que las diferencias en los rendimientos que se obtuvieron con cada uno de estos procedimientos de decisión son insignificantes.
PROBLEMAS 8.1.
Suponga que la corporación "B" está formada por tres divisiones. Si en la división 1 ha� 3 áreas de inversión cada una con 3, 2 y 1 propuestas mutuamente exclusi
vas respectivamente, en la división 2 hay 2 áreas de inversión cada una con 3 y 4 propuestas mutuamente exclusivas respectivamente, y en la división 3 hay una
Problemas 147
área de inversión con una sola propuesta, determine el número total de alternati vas mutuamente exclusivas que se pueden formar.
8.2.
La compañía X actualmente está analizando 4 propuestas de inversión. La pro puesta A es contingente a la aceptación de la propuesta e o la propuesta D. La propuesta e es contingente a la aceptación de la propuesta D, mientras que la pro puesta D es contingente a la aceptación de la propuesta A o la propuesta B. Si el presupuesto disponible de esta compañía es de $2,000,000, y la TREMA es de
10%, ¿qué alternativa debe ser seleccionada? Año o
8.3.
A
B
e
D
-$ 400,000 -$ 500,000-$ 100,000 30,000 75,000 100,000
-$ 60,000 10,000
2
100,000
85,000
30,000
15,000
3
100,000
95,000
30,000
20,000
4
100,000
105,000
30,000
25,000
5
200,000
300,000
30,000
30,000
Cuatro propuestas de inversión están siendo consideradas por la compañía Y. Las propuestas B y D son mutuamente exclusivas. La propuesta e es contingente a la aceptación de la propuesta B o la propuesta D. Las propuestas A y e son mutua mente exclusivas. Además, la propuesta Bo la D debe ser incluida en la alternativa seleccionada (propuesta obligatoria). Si el presupuesto disponible de esta campa nía es de $2,000,000, y la TREMA es de 20%, determine mediante el método de laTIR la mejor alternativa. Año o
1-8 8
8.4.
A
B
e
-$1,000,000 -$1,250,000 -$ 300,000 500,000 400,000
100,000
D
900,000 -$1,000,000 250,000
200,000
1,200,000
1,000,000
La compañía W actualmente se encuentra analizando tres propuestas de inversión. Las propuestas B y e son mutuamente exclusivas, y la propuesta e es contingente a la aceptación de la propuesta A. Si la cantidad de dinero que dispone esta com pañía es de $1,250,000 y la TREMA es de 10%, determine mediante el método del valor presente la mejor alternativa. Año o
1 2 3 4 5 8.5.
A
B
-$1,000,000 -$500,000 200,000 200,000 300,000 200,000 400,000 200,000 500,000 200,000 600,000 200,000
e
-$200,000 50,000 50,000 50,000 50,000 150,000
La compañía Z se encuentra actualmente analizando cuatro propuestas de inver sión. Las propuestas A y B son mutuamente exclusivas, así como A y D. La pro-
148 Selección de proyectos en condiciones limitadas de presupuesto puesta C es contingente a la aceptación d_e la propuesta D. Si el presupuesto disponible que tiene esta compañía para nuevas inversiones es de TREMA es de
25%,
¿qué propuestas debería la compañía seleccionar? B
A
D
e
Inversión inicial
$4,500,000
$6,000,000
$3,500,000
$3,000,000
Ingresos anuales
3,000,000
4,500,000
2,000,000
3,500,000
Gastos anuales
1,000,000
2,000,000
500,000
2,000,000
500,000
1,000,000
500,000
500,000
10 años
10 años
10 años
10 añm
Valor de rescate Vida
8.6.
$7,500,000, y la
La compañía "B" se encuentra actualmente analizando cuatro propuestas de in versión. Las propuestas A y e son mutuamente exclusivas, y la propuesta D es contingente a la aceptación de la propuesta B. Si la compañía dispone de un fondo
$4,000,000 para emprender nuevos proyectos 20%, ¿qué propuestas deben ser seleccionadas?
de
B
A
D
e
Inversión inicial
$2,000,000
$2,000,000
$3,000,000
$1,500,000
Ingresos anuales
1,400,000
1,600,000
2,000,000
2,000,000
Gastos anuales
1,100,000
1,250,000
1,200,000
1,500,000
500,000
500,000
1,000,000
500,000
10 años
10 años
10 años
10 años
Valor de rescate Vida
8.7.
de inversión, y la TREMA es de
El director de producción de la compañía X ha recibido un conjunto de propues tas que provienen de tres actividades independientes de producción. Las propuestas que pertenecen a una misma área de producción se identifican con la misma letra y son mutuamente exclusivas. Si las vidas de las propuestas son de
10
años, los
valores de rescate al término de este tiempo son despreciables y la TREMA es. de
25%,
¿qué propuestas deben seleccionarse si la cantidad de dinero disponible para
nuevas inversiones es:
Propuesta
a) ilimitada, b) $500,000
Inversión inicial
y
e) $200,000?
Ingreso neto anual
Actividad A A¡
$ 100,000
$ 30,000
A2
200,000
65,000
A3
300,000
85,000
Actividad B B¡
50,000
10,000
B2
100,000
50,000
B3
150,000
60,000
B4
200,000
70,000
el
150,000
45,000
e2
300,000
80,000
Actividad e
Problemas 149
8.8.
Una corporación ha recibido propuestas de inversión de sus cuatro divisiones. Las propuestas de cada división se consideran mutuamente exclusivas y sus vidas espe radas son de 10 años. Las propuestas de una división son independientes de las propuestas de otras divisiones. Si los valores de rescate de las propuestas son des preciables, y la TREMA es de 15%; ¿qué propuestas deben seleccionarse si la can tidad de dinero disponible para nuevas inversiones es a ) ilimitada, b) $7,000,000,
e)
$4,500,000 y
d)
$3,500,000? (Utilice el método aproximado de ordenado por
tasa interna de rendimiento.) Propuesta
D�visión
Inversión inicial
Ingreso neto anual
1
D1,1
$ 1,000,000
$ 200,000
D1,2
1,200,000
240,000
Du
1,300,000
220,000
Dr,4
1,400,000
300,000
D2,1
1,500,000
350,000
D2,2
1,800,000
400,000
D3,1
2,000,000
320,000
D3,2
2,400,000
500,000
División 2
División 3
División 4
8.9.
D4,l
4,000,000
900,000
D4,2
5,000,000
1,200,000
Resolver el problema 8.7 utilizando el método aproximado de ordenado del valor presente por peso invertido.
8.10.
La compañía X está evaluando un grupo de propuestas de investigación relaciona
das con 3 de sus productos. Ya se ha decidido que una propuesta del conjunto de
Propuesta
Inversión inicial
Costo neto anual
Producto A A¡
$ 400,000
A2
600,000
$
50,000 20,000
Producto B B¡
200,000
60,000
B2
250,000
50,000
B3
300,000
40,000
C¡
150,000
100,000
c2
200,000
90,000
c3
400,000
50,000
c4
500,000
35,000
Producto C
. 150 Selección de proyutos en condiciones limitadas de presupuesto
propuestas relacionadas a un producto debe ser seleccionada. Las propuestas para un mismo producto son mutuamente exclusivas, e independientes de las propues-· tas de otros productos. Además, la vida esperada de estas propuestas de investiga ción es de 5 años, al término de los cuales los valores de rescate de las propuestas son nulos: .Si la TREMA es de 25%, y todas estas propuestas producen a_�_�mpa-_ ñía los mismos beneficios ($300,000/año), ¿qué propuestas deben ser seleccio nadas si la cantidad de dinero disponible para nuevas inversiones es
b)
$1,150,000,
e)
a)
ilimitada,
$950,000? (Utilice el método aproximado de ordenado del va
lor presente por peso invertido.) 8.11.
Formular el modelo de programación entera para los problemas 8.7, 8.8 y 8.10.
8.12.
La compañía W se encuentra actualmente analizando las propuestas de inversión de cuatro de sus áreas más importantes. Las propuestas de inversión del área A son mutuamente exclusivas. El área B es obligada, es decir, es obligatorio seleccionar una propuesta de inversión de esta área. En el área C la propuesta C 2 es contingen te a C1 y la C3 es contingente a C1 o C2. En el área D la propuesta D2 es contin gente a D1 o D3• Si el dinero disponible de esta compañía para nuevas inversiones es de $1,000,000, y la TREMA es de 30%, ¿cuál sería el modelo de programación entera que maximiza el valor presente de estas propuestas? (Considere que la vida de las propuestas es de 5 años).
Propuesta
Inversión inicial
Ingreso neto anual
Valor de rescate
AreaA A¡
$ 300,000
$ 120,000
A2 A3
400,000
140,000
80,000
500,000
200,000
100,000
B¡
700,000
300,000
200,000
B2
800,000
340,000
250,000
C¡
350,000
140,000
80,000
c2 c3
100,000
40,000
30,000
80,000
35,000
20,000
D¡
380,000
160,000
80,000
D2 D3
150,000
60,000
40,000
250,000
90,000
60,000
$
50,000
AreaB
Area e
AreaD
9 Evaluación de proyectos de inversión en situaciones inflacionarias
Incrementos significativ..os e�l-nivel geneFal-de-preeios -tant�e-los.artíGule-s--eemo de los servicios, han originado la necesidad de modificar IQ� IJro�e-ªiroientos tr.adicio_nale.s. de evaluación de propuestas de inversión, con el objeto de lograr una m�Qr asignación-del
capital. ....:..---
Un �biente crónico inflacionario disminuye notablemente el poder de compra -
e la unidad monetaria, causando grandes divergencias entre flujos de efectivo futuros
reales �y nominales. De esta forma, puesto que estamos interesados en determinar rendi mientos reales, debemos incluir explícitamente el impacto de la inflación al hacer un aná lisis económico. El propósito de este capítulo es presentar una estructura, que explícitamente incor pore una cierta inflación, anticipada en los flujos de efectivo�onsiderar eLefecto d.e
la inflación� tiende a producir decisiones cuyos resultados no van de a<;;u�rdo a las metas ó · s �
�� i
{ Yüi)jeÍi�os f�ados por una·organizaciáa....Además, es un hecho que la inflación �
ñltícativame!tl.-e_los -ahorros�en...irnpu.estos atr_ibuible�la dep_riciación, puesto que
procedimientos tradiéionales basan los cálculos de depreciación en los costos 1:ústóricos de los activos. Decisiones subóptimas también pueden resultar al no considerar la disminución en el rendimiento real debido a impuestos e inflación. Sin inflación, una tasa de impuestos del 50% y una tasa interna de rendimiento antes de impuestos de 4% , se obtiene un ren dimiento real después de impuestos de aproximadamente 2%
.
Sin embargo, si una tasa de
inflación del 4% es considerada, el rendimiento antes de impuestos debe ser incrementado a 12% para poder compensar los efectos combinados de impuestos e inflación. Incremen tar en 4% el rendimiento antes de impuestos para contrarrestar el 4% de inflación es insufi ciente y causaría una reducción del 2% en el rendimiento real, ya que los impuestos son pagados sobre ingresos nominales y no sobre ingresos re�es.
9.1 INFLACION-QUE SIGNIFICA
Aunque la palabra inflación es utilizada todos los días, mucha gente encuentra difícil defmirla. La mayoría d!Llas--personas-están.ce-ncientes-
"'
1-.
152
Proyectos de inversión en situaciones inflacionarias
� diner_o ..CQJTipLa .cada v.s:.z..�menos canjidad de artículos y sPn!icioS-a-med-ida...q.u.esl tidad d -t
�urre.
Sin embargo, muy probablemente esta gente nt- está capacitada
p ara
expresar este conocimiento cuantitativamente. Antes de discutir el impacto de la inflación en la tasa interna de rendimiento, es conveniente decir algunas ideas sobre cómo medir la inflación. En términos simples, los resultados de las actividades de un negocio son expresados en pesos. Sin embargo, los pe. sos. son una unidad imperfecta de medida, puesto que su valor cambia a través del tiempo. La inflación es el término que se usa para expresar esa disminución en valor. Por ejemplo, si se depositan $1,000 en una cuenta de ahorro que paga el 10% anual, y el dinero es reti rado después de un año, se puede decir que la tasa interna de rendimiento es 10%. Lo an terior es cierto siempre y cuando el poder adquisitivo del dinero retirado sea el mismo del año anterior, o expresado en otras palabras, el rendimiento es 10% si con el dinero obtenido puedo comprar un 10% más de bienes y servicios. Sin embargo, si la inflación ha reducido el valor del dinero en un 20%, entonces, el rendimiento real resulta en una pérdida econó mica en el poder de compra de un 10%. Por consiguiente, se puede decir que la inflación 1 '- �/
es la medida de la disminución en el poder de compra del peso.
_ t: Existen dos cl�es de inflación que pu.tde-n�nside�;adas;_gen.ecal_o inflación,.ab.ie
rifl'rida Q..Ílfl la. ción d.i.fuwlcia.J .
,�
�1 primer:__ca.s.o,_Lo-<;lQ�jos preciQ.§_,y�e...i.n:..
c�ementan_en la misma ¡:noporciQ,n:.. �e_Lsegunclo caso, la tasa de inflación d·epelTile-rá del sector económicojnvoluynido. Por ejemplo, los costos de mano de obra y materia pri ma dentro de una empresa, pueden incrementarse a distintas tasas de inflación. Finalmente, es necesario mencio�ar que el efecto de la inflación en el valor real de los flujos de efectivo futuros de un proyecto no debe ser confundido con los cambios de valor que el dinero tiene a través del tiempo. Las dos situaciones anteriores producen el mismo efecto; un peso el próximo año tiene un valor menor que un peso ahora. Sin embargo, el cambio del valor del dinero a través del tiempo surge debido a que un peso ahora puede ser invertido a la tasa de interés prevaleciente en el mercado y recuperar ese peso y los intereses el próximo año. Por el contrario, el efecto de la inflación surge simple mente porque con un peso se compra más ahora que en el próximo año, debido a la alza general de los precios. Esta distinción se comprenderá mejor en las siguientes secciones.
9.2 EFECTO DE LA INFLACION SOBRE EL VALOR PRESENTE El valor presente de los flujos de efectivo generados por un proyecto (ver figura 9 .l) pueden ser calculados utilizando la siguiente fórmula:
VPN
=
-
S0
+
n
L t=l
�
--
---
(9 .1)
(1 + i) 1
donde S1 es el flujo de efectivo neto del período t y S0 es la inversión inicial. Sin embargo, la expresión anterior sólo es válida cuando no existe inflación. Para el caso de que exista
una tasa de inflación generaf i. (ver figura 9 .2), los flujos de efectivo futuros no tendrán el '-.J.-
mismo poder adquisitivo del año cero. Por consiguiente, antes de determinar el valor presente, los flujos deberán s�r deflactad_os. Una vez hecho lo anterior, la ecuación de valor
presente puede ser escrita en la forma siguiente:
Efecto de la inflación sobre la tasa interna de rendimiento 153 n
VPN ==-S0
+
L t==l
S'r
f(l�i_J_!__
(9.2)
(1 + i) t
Esta última ecuación corrige el poder adquisitivo de los flujos de efectivo futuros. Si la tasa de inflación es cero, entonces, la última ecuación se transforma idéntica a la primera. Finalmente, es conveniente señalar que los flujos de efectivo que aparecen en las figuras
9.1
y
9.2
n o son iguales. Lo anterior es obvio, puesto que en épocas inflacionarias
los flujos de efectivo se están incrementando de acuerdo a las tasas de inflación prevale-
·
cientes.
St
s2
1
2
sn
_j n
so FIGURA 9.1. Flujos de efectivo sin considerar inflación.
S' t /(1 + i¡)
S'2/(l +
S'11/ (1 + i¡)
i/
11
r----'---L _j 2
.
.
.
.
"C\Y
t so
FIGURA 9.2. Flujos de efectivo considerando inflación.
f.�
9.3 EFECTO DE LA INFLACION SOBRE LA TASA INTERNA DE RENDIMIENTO
Un flujo de efectivo X tendría un valor de X(l
+
i) al final del próximo año si es
invertido a una tasa de interés i. Si la tasa de interés es tal que el valor presente es cero, entonces, a dicha tasa de interés se le conoce como la tasa interna de rendinüento. Si hay una tasa de inflación anual i¡, entonces, una tasa interna de rendimiento efec tiva, ie, puede ser obtenida por la siguiente ecuación:
154
Proyectos de inversión en situaciones inflacionarias
X(l +ie)
X(l+i) =
(1 + i¡)
y simplificando: ¡ e ie
i e i¡
(9.3)
(i- i¡) / (1 + i¡)
(9.4)
i[
=
En esta ecuación, i puede ser vista como la tas·a interna de rendimiento nominal (sin considerar inflación) y ie se puede considerar como la verdadera o real tasa interna de ren dimiento. Es práctica común en vez de usar la ecuación 9.3, tratar de obtener el valor real de la tasa interna de rendimiento de la forma siguiente: ¡
e
i¡
(9.5)
La ecuación (9 .3) muestra que la ecuación (9 .5) es sólo una aproximación, que de bería usarse sólo en el caso de que tanto las tasas de interés y de inflación sean bajas. Las fórmulas presentadas anteriormente es obvio que solamente son válidas para inversiones de un período, es decir, si se hace por ejemplo una inversión a un año en la cual el rendimiento esperado es 20%y la tasa de inflación anual es 20%, entonces, el ren dimiento real o efectivo es cero. Por el contrario, las fórmulas anteriores no son válidas para inversiones cuyas vidas sean mayores a un período (mes, trimestre, año, etc.). Para estos casos, es necesario primero deflactar los flujos de efectivo después de impuestos y luego encontrar la tasa de interés efectiva que íguala a cero su valor presente.
9.4 EFECTO DE LA INFLACION EN INVERSIONES DE ACTNO FIJO
·
. Básicamente el efecto nocivo de la inflación en inversiones de activo fijo, se debe principalmente al hecho de que la depreciación se obtiene en función del costo histórico del activo. El efecto de determinar la depreciación en esta forma, es incrementar los im puestos a pagar en términos reales y disminuir por ende los flujos de efectivo reales des pués de impuestos. Para ilustrar y aclarar el impacto de la inflación en una inversión de activo fijo, ana licemos el siguiente ejemplo; suponga que una empresa está considerando la posibilidad de reemplazar una máquina vieja por una nueva. Su TREMA es de 10%. El precio actual de la nueva máquina instalada es de $3,000. Esta máquina se piensa que ahorrará en los próximos cinco años una cantidad anual de $1,000. Al término de la vida económica esta máquina tendrá cero valor de rescate . Además, la tasa de impuestos es de 50%y la empre sa va a depreciar al activo en línea recta . Finalmente, es asumido que las p'ersonas involu cradas en esta evaluación, podrán proyectar en una forma aproximada la tasa de inflación de los próximos cinco años.
Efecto de la inflación en inversiones de activo fijo 155 Primeramente, la decisión de reemplazar el activo debe ser analizada bajo la influen cia de diferentes niveles de inflación. La tabla 9-1 muestra los resultados del análisis sin que la inflación sea considerada. En este caso el valor presente de los flujos de efectivo es de $32. Por consiguiente, el rendimiento sobre la inversión es mayor que 10% y la máqui na vieja debe ser reemplazada.
TABLA 9.l. Opción de compra sin considerar inflación
Año
Flujo de efectivo antes de impuestos
o
-$ 3,000
Depreciación
Ingreso gravable
Impuestos
Rlujo de efectivo después de impuestos
Valor presente (10%)
-$ 3,080
-$ 3,000
1,000
600
400
200
800
727
2
1,000
600
400
200
800
661
3
1,000
600
400
200
800
601
4
1,000
.600
400
200
800
546
5
1,000
600
400
200
800
497 32
Ahora, si se modifica este ejemplo y se supone que hay una tasa general de inflación del 5% y 10% por año, y se aplica erróneamente la ecuación 9.1 (ver tablas 9-3 y 9.5), los resultados que se obtienen son demasiado engañosos puesto que el rendimiento que se ob tiene en dicha inversión parece ser mayor de lo que realmente es. Sin embargo, si la infla ción es correctamente considerada (ver tablas 9-2 y 9-4) los resultados son estrictamente diferentes. La figura 9.3 muestra los resultados obtenidos cuando la inflación es o no co rrectamente considerada. Es evidente de los ejemplos analizados que el valor presente obtenido utilizando la
l
ecuación (9.2) es menor al obtenido u llizando la ecuación (9.1). Más aún, entre mayor sea la tasa de inflación, mayor será la diferencia· en los resultados obtenidos con ambos métodos. La razón de esta diferencia puede ser explicada al examinar la forma en que la depreciación es calculada y los impuestos son pagados. Las deducciones por depreciación son calculadas tomando como base los valores históricos de los activos, no sus valores de mercado, y por otra parte los impuestos son función directa de los ingresos, no del poder adquisitivo de ellos. Por consiguiente, a medida que los ingresos se incrementan como un resultado de la inflación y las deducciones por concepto de depreciación son mantenidas constantes, el ingreso gravable crece desmesuradamente. Esto origina que una empresa no pueda recuperar a través de la depreciación, el costo de reemplazo de un activo en tiempos de altas tasas inflacionarias. La disminución en el valor presente considerando correctamente la inflación (ver tablas 9-2 y 9-4), se debe exclusivamente a los impuestos pagados. La depreciación es un gasto deducible el cual reduce los impuestos a pagar y por consiguiente aumenta el flujo de efectivo en esa cantidad ahorrada. Sin embargo, el gasto por depreciación de acuerdo a la Ley del Impuesto sobre la Renta, debe ser calculada de acuerdo a los costos históricos-de.. los activos. Lo anterior significa que a medida que el tiempo transcurre, la depreciación
156 1
Proyectos de inversión en situaciones inflacionarias .
que se está deduciendo está expresada en pesos con menor poder de compra; y como resul
tado, el costo "real" de los activos no está totalmente reflejado en los gastos por depr�cia
ción. Los gastos por depreciación por consiguiente están subestimados y el ingreso gravable está sobreestimado. Para ilustrar el efecto de la inflación en los impuestos pagados, la tabla 9-6 muestra cómo los impuestos en términos reales se están incrementando en proporción directa a la
·
tasa de inflación y a la vida del activo. Desde luego, a medida que la tasa efectiva o real de impuestos se incremente, la tasa interna de rendimiento disminuye. Finalmente, en la tabla 9-7 se muestra cómo los ahorros que origina la depreciación,. en términos reales, disminuyen en proporción directa a la tasa de inflación y a la vida d el , activo. ·
TABLA 9.2. Opción de compra con 5% de inflación y deflactando los flujos de efectivo
después de impuestos,
o
.
1,¡1 1
"
Flujos de efectivo antes de
��'1:.
Año impuestos 1
1¡
o
1¡ '
.
-$ 3 ,000
1 ,OSO
1¡
Flujos de Flujos de efectivo efectivo después de después de
o
2
1,102
Depreciación , ,v
gravab!e
/ 450
o-"600
-('
*,.��� '7 Ingre�<' �
503
600
../
Impuestos
�
�
Valor.
'tf
(1 0%)
impuestos
(pesos co
(pesos con.Y:l.. presente
rrientes)
tan tes)
-$ 3,000
-$ 3,000 1 "-$ 3,000
251
) ,
851
.
879
3
1,158
600
558
4
1,216
. 600
616
- 279 \ 308 �
908
5
1,276
600
676
- 338
938
'
·
impuestos
(825
-�
�
_g
,
" 1 86)1¡
'
715
7721
638 .
759
570
747 735
,
51.0 456 -111
TABLA 9.3. Opción de compra con 5% de inflación y sin deflactar
después de impuestos.
los flujos de efectivo
Flujos de efectiva Flujos de
Año o
1
efectivo antes de impuestos
-$ 3,000
Ingreso Depreciación
gravable
Impuestos
después de impuestos (pesos co-
Valar presente
rrientes)
(JO%)
-$ 3,000
-$ 3,000
1,050
600
450
225
2
1,103
600
503
251
851
703
3
1,158
600
558
279
879
660
4
1,216
600
616
308
908
620
S
1,276
600
676
338
938
582
....
825
750
315
Efecto de la inflación en inversiones de activo fijo 157 TABLA 9 4 .
Opción de compra con 10% de inflación y deflactando los flujos de efectivo
.
después de impuestos.
Flujos de efectivo efectivo después de después de
Flujos de Flujos de
(pesos ca-
Valor impuestos (pesos cons- presente
rrientes)
tantes)
impuestos
efectivo Ingreso
antes de
Depreciación gravable
Año impuestos
Impuestos
( 10%)
-$ 3,000
-$ 3,000
-$ 3,000
1,100
600
500
250
850
773
703
2
1,21o
600
610
305
905
748
618
3
1,331
600
731
366
965
725
545
4
1,464
600
864
432
1,032
705
482
5
1,610
600
1,010
505
1,105
686
426
-$ 3,000
o
-226
; TABLA 9 5 .
.
Opción de compra con 10% de inflación y sin deflaétar los flujos de efectivo
despu� s de impuestos.
Flujos de efectivo Flujos de
efectivo Aiio
antes de impuestos
Ingreso Depreciación gravable
Impuestos
después de impuestos (pesos carrientes)
Valor presente
-$ 3,000
-$ 3,000
(JO%)
.o
-$ 3,000
·1
1,100
600
500
150
850
773
2
1,21 o
600
610
305
905
748 725
3
1,331
600
731
366
965
4
1,464
600
864
432
1,032
705
5
1,61 o
600
1,010
505
1,105
686 639
TABLA 9-6. Efecto de la inflación en los impuestos pagados.
Impuesto con 5% de inflación Im puesto s sin considerar inflación
A iio
Pesos
Pesos
::orrientes
constantes
Impuesto con 1 O% de inflación
Pesos corrientes
Pesos constantes
$200
$225
$214
$250
2
$ 227
200
251
228
305
3
252
200
279
241
366
275
4
200
308
253
432
295
200
338
264
505
314
S
,
158
Proyectos de inversión en situaciones inflacionarias
TABLA 9-7. Efecto de la inflación en los ahorros atribuibles a la depreciación.
Año
Ahorro por depreciación
Ahorro por depreciación en términos reales
sin considerar inflación
Con 5%de inflación
$
$
300
Con 10%de inflación. $
286
273
2
300
272
248
3
300
259
225
4
300
247
205
5
300
235
186 1
. VPN "'
637
INFLACION ERRONEAMENTE CONSIDERADA
315
..._______________ _
VPN =O
:
-111
-226
T
--- -------------.--------------
INFLACION CORRECTAMENTE CONSIDERADA
1 1 1
5
Figura 9.3.
10
INFLACION
(% )
Valor presente como una función de tasa de inflación.
Efecto de la inflación en inversiones de activo circulante 159 9.5 -EFECTO DE LA INFLACION EN INVERSIONES DE ACTIVO CIRCULANfE .�
-�
Se ha visto cómo la inflación afecta o incide significativamente en el rendimiento de una inversión de activo fijo. Sin embargo, las inversiones en activo circulante también son tremendamente afectadas por la inflación. pr�ect�s que requier�n mayores niveles de a_c tivo circulante son afectados por la inflación porque dinero adicional debe ser invértido . para mantener los artículos a los nuevos niveles de precios. Por ejemplo, si el inventario es igual a
3
meses de ventas y si el costo de los inventarios se incrementa, se requiere de
una inversión adicional que mantenga este nivel de inventarios. Un fenómeno similar ocu rre con los fondos invertidos en cuentas por cobrar. Estas inversiones adicionales de activo circulante, pueden reducir seriamente la tasa interna de rendimiento del proyecto de in versión. Para ilustrar el efecto de la inflación en el rendimiento de una inversión en activo circulante: suponga que Cierta empresa piensa que incrementar su inversión de activo cir·
culante (caja, inventarios, cuentas por cobrar, etc.) en
$100,000 originará �n aumento en $40,000 anuales, durante 5 años, al final de los cuales la inversión inicial sería en un 100% . Finalmente, suponga que la tasa de impuestos es de 50% y la tasa
utilidades de recuperada
de inflación puede ser pronosticada. Primeramente, como se muestra en la tabla de rendimiento de inflación de
10%
20%
3.3:3%
.
tiene una tasa interna
anual es introducida, el rendimiento de la inversión baja a
tabla 9-9) y si la tasa de inflación es de baja a
9 .8, esta inversión
cuando la inflación no es considerada. Sin embargo, si una tasa de
10.9% (ver 20% anual, entonces, el rendimiento de la inversión
Esto significa que la tasa interna de rendimiento de una inversión en activo
circulante disminuye en proporción directa a la tasa de inflación, es decir, si la tasa de in flación es de
5%, entonces, el rendimiento disminuye 5% y así sucesivamente.
Lo anterior
es más exacto entre más pequeña sea la tasa de inflación. Finalinente, conviene señalar que a medida que la tasa de inflación se incrementa, el rendimiento de una inversión en activo circulante es mayormente afectado que el ren dimiento de una inversión en activo fijo. Lo anterior es obvio puesto que las inversiones adicionales de activo circulante castigan más el rendimiento del proyecto que la disminu ción en los ahorros atribuibles a la depreciación y el aumento en los impuestos reales paga'dos que origina una inversión en activo fijo. TABLA 9-8. Flujos de efectivo después de impuestos sin considerar inflación.
Flujos de
Flujos de
efectivo
efectivo
antes de
Incremento
Incremento
después
Año
impuestos
en utilidades
en impuestos
impuestos
o
1
-$ 100,000 40,000
2
de
-$ 100,000 20,000
20,000
40,000
40,000 40,000
20,000
20,000
3
40,000
40,000
20,000
20,000
4
40,000
40,000
20,000
20,000
5
40,000
40,000
20,000
5*
-
100,ÓOO TASA INTERNA DE RENDIMIENTO= 20%
*Valor de rescate.
20,000 100,000
160
Proyectos de inversión en situaciones inflacionarias
TABLA 9.9.
Flujos de efectivo después de impuestos considerando una inflación del 10%
anual.
A1'io
Flujos de
Flujos de
efectivo
efectivo
Inversión
Flujos de
después de
después
adicional
efectivo
impuestos
impuestos
en activo circu !ante
antes de impuestos
(pesos corrientes/
(pesos constantes)
•
Incremento
Incremento
en utilidades
en impuestos
-$ 100,000
-$ 100,000
o 1
-10,000
2
-11,080
3
-12,100
4
�13,31 o
5
-14,641
1
-$ 100,000
44,000
44,000
-22,000
12,000
10,909
48.400
48,400
"'24,200
13,200
10,909
53,240
53,240
""26,620
14,520
10,909
58,564
58,564
-29,282
15,972
10,909
64,420
64,420
.-32,210
161,051
5
de
\
17,569
10,909
161 ,OSI
100,000
TASA INH:RNA DL RENDIMIENTO= 10.9%
TABLA
9.10.
Flujos de efectivo después de impuestos considerando una inflación del
20% anual.
Inversión adicional en activo Aí'io circulante
Flujos de efectivo antes de
Incremento
Incremento
impuestos
en utilidades
en impuestos
Flujos de efectivo
después de
después de impuestos (pesos cons-
impuestos (pesos corrientes) -$ 100,000
-$ 100,000
o
Flujos de efectivo
tantes) -$ 100,000
20,000
48,000
48,000
24,000
4,000·
3,333
2
24,000
57,600
57,600
28,800
4,800
3,333
3
28,800
69,120
69,120
34,560
5,760
3,333
4
34,560
82,944
82,944
41,472
6,912
3,333
5
41,472
99,533
99,533
49,767
8,294
3,333
248,832
100,000.
5
248,832
TASA INTFRNA DI·: RLNDIMIFNTO = 3.33%
9.6 EFECTO DE LA INFLACION EN NUEVAS INVERSIONES CON DIFERENTES PROPORCIONES DE ACTNO CIRCULANTE En párrafos anteriores se ha enfatizado que las inversiones en activo circulante son mayormente afectadas por l<1 in n <J c iú n que las inversiones en activo fij o. Esto signific<J que dos empresas con el mismo nivel de inversión total (activo fijo+ activo circulante), el mis-
mo nivel de ingresos y gastos.·pero diferente propor ción de activo circulante, verán afec tados sus rcnd im ientos en difcrentes proporciones; teniendo la inflación un mayor impacto en el rendimiento de la empresa con mayor nivel de activo circulante. Lo anterior es obvio,
1
¡Efecto de la inflación en nuevas inversiones 161. puesto que empresas con altos niveles de activos circulantes requieren de inversiones adi cionales futuras, capaces de mantener los inventarios de seguridad requeridos y el adecuado nivel de cuentas por cobrar, mientras que las empresas intensivas en activo fijo, no requie ren de inversiones adicionales sino hasta el momento de reemplazar a los activos. Además, es perfectamente claro que es menos rentable hacer inversiones cada año a hacer inversio nes cada cinco o diez años. Por otra parte, ya se ha explicado que daña menos el rendi miento de un proyecto, el pagar más impuestos en términos reales, que las inversiones. adicionales periódicas requeridas por una inversión en activo circulante. Para ilustrar el efecto de la inflación en empresas con la misma inversión total, el rr:ismo nivel de ingresos y gastos y diferentes proporciones de activo circulante; suponga que cierto grupo industrial desea incursionar en un nuevo negocio, el cual requiere de 100 millones de inversión inicial (50 millones de activo circulante y 50 millones de activo fijo). Los flujos antes de depreciación e impuestos que se anticipan para los próximo9 cinco años son del orden de 40 millones por año. Por otra parte, asuma que el valor de rescate se estima en 20% del activo fijo y 100% del activo circulante, la depreciación del activo fijo es en línea recta y la tasa de impuestos es de 50%. Finalmente, suponga que la inflación promedio anual de los próximos 5 años es de 10%. Con la i nformación anterior, primeramente se muestan en la tabla 9.11 los flujos de ·efectivo después de impuestos y la tasa interna de rendimiento que se obtienen si la infla ción no es considerada. En seguida, la tabla 9.12 muestra el nuevo rendimiento obtenido si una inflación del l 0".-b
anual es introdt.:�ida. Como se puede apreciar en dichas tablas,
-una inflación del lO% anual redujo el rendimiento del proyecto de 18.8% a 12.3%. Veamos ahora qué le pasa al rendimiento del proyecto, si de los 100 millones: 75
corresponden a activo fijo y 25 a activo circula b te. Para esta nueva situación, la tabla 9.13
muestra el rendimiento que se obtiene si una tasa de inflación de 10% anual es considera da. Como se puede observar en las tablas 9-12 y 9-13 dos proyectos de inversión con la
,
misma inversión total, el mismo nivel de ingresos y gastos, pero diferentes prup-cnciones de activo circulante; presentan diferentes rendimientos, correspondiendo el menor al pro yecto con mayor nivel de activo circulante.
TABLA 9.11. Flujos de efectivo después de impuestos sin considerar inflación (mi
les de pesos). Flujos
Flujos de
de
eji!ctil'o
efectwo antes de
dcspuó
Ingreso Impuestos
d('
impuestos
Año
impuestos
o
-$ 100,000
1
40,000
10,000
30,000
15,000
2
40.000
10,000
30,000
15,000
25,000
3
40,000
10,000
30,000
15,000
25,000
4
40,000
10,000
30,000
15,000
25,000
5
40,000
10,000
30,000
15,000
5*
60,000
Depreciación
graJ,able
-$ 100,000
5,000 TASi\ INTFRNi\ DI·: RENDIMIENTO
*Se pagaron 5
=
18.8%
millones por concepto de ganancias extraordinarias de capital.
25,000
25,000 55,000*
162 Proyectos de inversión en situaciones inflacionarias
Tabla 9-12. Flujos de· efectivo después de impuestos considerando una tasa de inflación
anual de 10% (miles de pesos).
Inversión adicional en activo Año circulante
Flujos de efectivo antes de impuestos
o
-$ 100,000 44,000 48,400 53,240 58,564 64,420 96,636
5,000 5,500 6,050 6,655 7,321
1 2 3 4 5 5
Flujos de efectivo después de impuestos Ingreso (pesos co· Depreciación gravable Impuestos rrientes)
10,000 10,000 10,000 10,000 10,000
34,000 38,400 43,240 48,564 54,420
-$ 100,000 -$100,000 20,000 22,000 19,587 23,700 19,211 25,570 18,870 27,627 18,559 29,889 55,000 88,581
17,000 19,200 21,620 24,282 27,210 8,055
TASA INTERNA DE RENDIMIENTO
=
Flujos de efectivo después de impuestos (pesos cons· tantes)
12.3%
TABLA 9.13. Flujos de efectivo después de impuestos considerando una tasa de inflación·
de 1 O%
(miles de pesos).
Inversión Flujos de efectivo adicional antes de en activo Año circulante impuestos o
1 2 3 4 5 5
2,500 2,750 3,025 3,327 3,660
-$ 100,000 44,000 48,400 53,240 58,564 64,420 64,421
Flujos de efectivo después de impuestos Ingreso (pesos coDepreciación gravable Impuestos rrientes)
15,000 15,000 15,000 15,000 15,000
29,000 33,400 38,240 43,564 49,420
14,500 16,700 19,120 21,782 24,710 12,079
TASA INTERNA DE RENDIMIENTO
=
-$ 100,000 27,000 28,950 31,095 33,455 36,050 52,342
Flujos de efectivo después de impuestos (pesos cons· tantes) -$ 100,000 24,545 23,926 23,362 22,850 22,384 32,500
13.2%
Finalmente, en la figura 9.4 se muestra una serie de curvas que muestran el compor tamiento de la tasa interna de rendimiento, para diferentes tasas de inflación y diferentes proporciones de activo circulante en la inversión total.
9.7 EFECTO DE LA INFLACION EN ACTNOS NO DEPRECIARLES
Muchas inversiones de capital pueden consistir parcialmente de terrenos que aumen tan de precio de acuerdo al ritmo de la inflación. Aparentemente estas inversiones no sufren
'.-•_:.·
Efecto de la inflación en activos no depreciables 163 .l
jnR
..
e%)
,
1 1 1
Inversión total= constante ingresos= constante gastos= constante
25% de A.C. SO% de A.C.
75% de A.C.
----�-__ ---� __. INFLACION ( % )
FIGURA 9.4. Variación de la TIR para diferentes tasas de inflación y para diferentes
proporciones de activo circulant� en la inversion total. el efecto de la inflación y se les considera como inversiones atractivas en épocas inflaciona rias. Sin embargo, ni estas inversiones son inmunes al efecto nocivo de la inflación, puesto que si el valor del activo se incrementa con el nivel general de precios, esto ocasionará una ganancia extraordinaria de capital al momento de venderlo. Como las ganancias extraordina rias son gravables, entonces, el rendimiento que se obtiene en la adquisición de un terreno, disminuye signifi::ativamente debido a los impuestos que se pagan sobre dichas ganancias. Para apreciar el efecto de la inflación en inversiones de activos no depreciables; su ponga que se ha adquirido un terreno a un precio de $100, el cual se piensa vender dentro de 5 años a un precio estimado de $161. También, asuma que la tasa de impuestos que grava las ganancias extraordinarias de capital es de 50%. Para esta información, la figura 9.5 muestra el flujo de efectivo antes y después de impuestos sin considerar inflación. Si consideramos el flujo de efectivo después de impuestos y se obtiene la tasa de interés que iguala a cero el valor presente de dicho flujo, entonces, lo que se obtiene es la tasa interna de rendimiento de la inversión en el terreno. Dicha tasa de interés resulta ser en este caso de 5.46%. Por otra parte, veamos qué le pasa al rendimiento de 5.46%, si una inflación anual de 50% es introducida (ver figura 9 .6). Con este nivel de inflación el valor de rescate del terreno en el año 5 es de $1 ,223 (161(1.5)5 ). Esto significa que los impuestos por concep to de ganancias extraordinarias de capital serian de $561.50 en lugar de $30.5. Por con siguiente, el flujo de efectivo después de impuestos a pesos corrientes sería de $662 y a pesos constantes de $87. Tomando en cuenta este último flujo, el rendimiento que se obtiene es de- 2.7%. Como se puede apreciar, la inflación redujo el rendimiento del pro-
164
Proyectos de inversión en situaciones inflacionarias •
161
130.S
1 S
�
-�S
y
100
100 l'luju
F lujo de cfcctivo de· impuestos
de cfcctivo
dt· spu és
an\L'S de impuestos
FIGURA 9.5. Flujos de efectivo antes y después de impuestos para la compra de un te rreno sin considerar infl ación .
l
1,223
' 87
662
S
5
5 '
'
100
lOO
Flujo de ckctivn
lOO
de efectivo despu¿s de impuestos
despu és de impuestos
(pesos corrit•ntcs)
(pesos constantes)
flujo de cfL,ctivo
!'lujo
antc·s de impuesto'
FIGURA 9.6. Flujos de efectivo antes rreno considerando una inflación del
y
después de impuestos para la compra de un te
SO% anual.
l
11,223
_,
1r---
128
970
5
5
' lOO
'
lOO
lOO
5
Flujo dl' o:fect ivo
Flujo
anll's de impuestos
dc·spués de impuo:stos
dcspués
(po:sos cnrri<·ntcs)
(pcso\ constantes)
de o:kct ivo
Flujo
dc efe el ivo
de impucstos
FIGURA 9.7. Flujos de efectivo antes y después de impuestos para la compra d e un te rreno ·considerando una inflación del
yecto de
5.46%
a
-
2.7%.
La
SO% anual y ajustando el costo futuro del terreno.
explicación
a este h echo, son los impuestos que se pagan
por las ganancias de capital, los cuales son mayores en términos reales
(561 equivalen a
74 que es mayor que 30.5). En
párrafos anteriores se mostró cómo la inflación castiga las inversiones en activos
no depreciables. Sin embargo ,
en
las reformas fi sc al e s a la ley del impuesto sobre la renta
de 1979, las gananc ias extraordinarias de c a pit al se calculan de una manera diferente. An teriormente, las ganancias o pérdidas de capital se obtenían como la d ife re nci a entre el valor de rescate del activo al momento de la venta y su valflr en l ibros. Sin embargo , a par-
Inflación diferencial 165 tir de las reformas fiscales de 1979, las ganancias o pérdidas extraordinarias de capital se deben obtener como la diferencia entre el valor de rescate del activo al momento de la venta y un costo ajustado. Este costo ajustado depende de la edad del activo y se obtiene _ al multiplicar el valor en libros al momento de la venta por un factor de ajuste*. Para el caso particular que se está analizando, el factor de ajuste es de 7.17. Para este factor de ajuste, la ganancia extraordinaria de capital es de $S06 y los impuestos correspondien tes de $2S3. Por consiguiente, el flujo de efectivo después de impuestos a pesos corrientes es de $970 y a pesos constantes de $128 (ver figura 9.7). Tomando en cuenta este último flujo, el rendimiento que se obtiene es de S .1%. En resumen, se puede decir que la reforma fiscal de 1979 beneficia considerablemen te las inversiones en activos no depreciables, puesto que los rendimientos obtenidos en épocas inflacionarias, son similares a los que se obtienen cuando no existe inflación. 9.8 INFLACION DIFERENCIAL
En los ejemplos presentados anteriormente se utiliza inflación gene ral es decir, se ,
supone que todos los elementos que intervienen en un mismo proyecto de inversión, se in crementan en la misma proporción. Sin embargo, es obvio que la mano de obra directa e indirecta, la materia prima, los gastos generales de fabricación, etc., se pueden incrementar a diferentes tasas de inflación. Para ilustrar el caso que se presenta cuando inflación diferencial es introducida; su ponga que la corporación í3 se encuentra analizando la posibilidad de entrar en el negocio de fabricación de plataformas marinas, las cuales se utilizan en la exploración y ex plota<.:ión del petróleo en la región del Golfo de México. Investigaciones preliminares indican que la inversión requerida para este tipo de negocio será de
200 millones ( 100 millones de activo
circulante y 100 millones de activo fijo). Por otra parte, considere que la producción anual esperada en los próximos 5 años será del orden de 5,000 toneladas anuales, las cuales serán vendidas a un precio de $40,000/tonelada. También, se sabe que cada tonelada de produc to terminado requiere de $2,SOO de mano de obra (directa e indirecta). $7,SOO de material, $11 ,000 de maquila y $1 ,000 de fletes. Además, suponga que la inversión en activo fijo se deprecia en 5 años en línea recta, la tasa de impuestos es de SO% y e l valor de rescate se supone en 20% del activo fijo y 100% del activo circulante. Por último, suponga que se ha pronosticado g �e el precio de venta se va a incrementar en 10%, la mano de obra en
10%, el material en 15%, h.1
m a4 uila
en 12% y los fletes en S%. y ade m á s la tasa de infla ,
ción promedio anual de los pr óximos 5 años será de 1 'i%.
Para la información anterior, primeramente se muestra en la tabla 9.14 el rendimien to que se <�btiene si la inflación no es considerada, el cual resulta ser de 21 .b% . Por ei contrario, si las tasas de inflación de los diferentes suministros son introducidas, es ob vio que el rendimiento del proyecto se verá afectado. Para determinar d rendi m i e nto que se obtiene cuand o inflación diferencial es tomada eri cu ent a primeramente en la tabla ,
9.15 se muestran los márgenes de contribución por tonelada antes de dep reciación e im puestos para los próximos 5 años. En seguida, en la tahJ¡¡ 9.1 6 se mues! ra una ponderación de los porcentajes de inflación de los diferentes suministros utilizados. Esta ponderación es la que
se
utili1.a para determinar las inversiones adicionales de activo circulante de los
próximos cinco años. Finalmente, en la tabla 9.17 se muestra el rendimiento obtenid o
cuando in nación diferencial es introducida, el cual resulta ser de 7.9% *Para los l"actort>s
<.k ajust<:
ver <:1 artículo
70
dt· la Ley d<.!llmpucsto sobre la Renta o la tabla
6.2.
166 Proyectos de inversiófl en situaciones inflacionarias
TABLA 9-14. Flujos de efectivo después de impuestos sin considerar inflación (mi les de pesos).
Flujos de
Flujos de
efectivo
efectivo Año
impuestos
después
Ingreso
antes de
gravable
Depreciación
Impuestos
de
impuestos -$ 200,000
o
-$ 200,000
1
90,000
20,000
70,000
35,000
55,000
2
90,000
20,000
70,000
35,000
55,000
3
90,000
20,000
70,000
35,000
55,000
4
90,000
20,000
70,000
35,000
55,000
5
90,000
20,000
70,000
35,000
55,000
5
120,000
10,000
110,000
TASA INTERNA DE RENDIMIENTO
TABLA 9-15.
=
21.6%
Márgenes de contrib ución por tonelada antes de depreci ación e im-
puestos para los próximos 5 años.
1 Precio
$44,000
2
3
$48,400
4
$53,240
$58,564
5 $64,420
Costo: Mano de obra
2,750
3,025
3,327
3,660
4,026
Material
8,625
9,919
11,407
13,11�
15,085
Maquila
12,320
13,798
15,454
17;308
19,386
1,050
1,103
1,158
1,216
1,276
$19,255
·$20,555
$21,894
$23,261
$24,647
Fletes M. C./Ton.
TABLA 9.16. Ponderación de los porcentajes de inflación de los diferentes s uminis tros considerados.
Mano de obra
Costo por
%del
%de
tonelada
total
inflación
Ponderación
$ 2,500
. 11.36
10
Material
7,500
34.09
15
5.1135
Maquila
11,000
50.00
12
6.0000
1,000
4.55
5
0.2275
Fletes Total
$22,000
100.00
1.1360
12.4770
(%)
Conclusiones 167
TABLA 9.17. Flujos de efectivo después de impuestos cons iderando inflación diferencial
(miles de pesos).
Inversión adicional de activo Año circulante
Flujos de efectivo antes de impuestos
o
-$ 200,000
Flujos de efectivo después de impuestos Ingreso (pesos coDepreciación gravable Impuestos rrientes)
Flujos de efectivo después de impuestos (pesos constantes)
-$ 200,000 -$ 200,000 39,702
1
12,480
96,275
20,000
76,275
38,138
45,657
2
14,038
102,775
20,000
82,775
41,388
47,349
35,803
3
15,789
109,470
20,000
89,470
44,735
48,946
32,183
4
17,760
116,305
20,000
96,305
48,153
50,392
28,812
5
19,976
123,235
20,000
103,235
51,618
51,641
25,675
20,114
200,156
99,513
5
220,270
TASA INTERNA DE RENDIMIENTO
=
7.9%
9.9 CONCLUSIONES
Aunque es difícil evaluar propuestas de inversión en tiempos de altas tasas infla cionarias, es importante predecirlas y considerarlas en los estudios económicos. Hasta hace relativamente poco tiempo, los negocios han tendido a ignorar el efecto inflacionario en la evaluación de sus nuevos proyectos de inversión, por considerarla de poco impacto en los rendimientos reales obtenidos. Muchos otros ejecutivos creen que ig norar la inflación es adoptar una postura conservadora. Sin embargo, se ha demostrado que la realidad es muy diferente, puesto que la mayoría de las inversiones son castigadas duramente por la inflación y se puede decir que casi no existen inversiones de capital in munes al efecto nocivo de la inflación. Aunque es muy recomendable considerar el impacto de la inflación en los estudios económicos, esta alternativa presenta la dificultad de predecir los niveles generales de precios que van a prevalecer en el futuro. Sin embargo, si no se tiene la certeza del nivel de in flación de los próximos años, se puede utilizar la técnica de simulación o un enfoque pro babilístico que determine la distribución de probabilidad de la tasa interna de rendimiento, para las diferentes tasas de inflación consideradas, es decir, se pueden hacer estimaciones optimistas, pesimistas y más probables para las tasas de inflación, y en base a ello, deter minar y definir la distribución de probabilidad de la tasa interna de rendimiento de acuerdo a cualquiera de la técnicas antes mencionadas. Finalmente, cabe mencionar que en tiempos de altas tasas inflacionarias, los diferen tes cursos de acción que se pueden tomar son: 1) incrementar los precios a una tasa mayor que la inflacionaria; 2) incrementar la tasa de recuperación mínima atractiva; 3) de ser posible arrendar el equipo en lugar de comprarlo; 4) incrementar las inversiones en acti vos no depreci
168
Proyectos de inversión en situaciones inflacionarias PROBLEMAS
/9.1
Suponga que cierta empresa está considerando la posibilidad d � -eemplazar una má quina vieja por una nueva. El precio actual de la nueva máquina instalada es de $100,000. Los beneficios antes de depreciación e impuestos (suponiendo que no hay inflación) se estiman en $40,000 para los próximos cinco años. Al término de este tiempo el valor de rescate será de $30,000. Si la inflación promedio anual de los próximos años es de 15%, la vida fiscal del activo es de 5 años, y la tasa de impues tos es de 50%, ¿cuál es laTIR que esta empresa obtiene en la adquisición de este activo sin considerar y tomando en cuenta la inflación?
9.2
Para el problema anterior determine una gráfica que relacione laTIR con inflacio nes de 5%, 10%, 15% y 20%anual .
./
9.3
¿Cuál es laTIR que se obtiene -en el problema 9-1 si la inflación en los próximos 5 años es de 10%, 12%, 14%, 16%y 18%respectivamente?
9.4
La compañía W desea seleccionar la mejor de las máquinas que se muestran a con
tinuación. Si la tasa de inflación de los próximos 5 años es de 20%anual, laTREMA es de 20%y la tasa de impuestos es 50%, ¿cuál máquina representaría la mejor alternativa para la compañía W?
Máq. 1
Inversión inicial Costos en el año K Valor de rescate Vida fiscal
9.5
$100,000 40,000(1.10)k-1 30,000 5 años
Máq.
2
$150,000 30,000(1.08)k-1 40,000 5 años
•
1
$250,000 15,000(1.05)k-1 60,000 5 años
Resuelva el problema anterior suponiendo que la inflación en los próximq_s 5 a�os es de 14%, 16% , 18%, 20% y 22%respectivamente.
9.6
Máq. 3
\
La compañía Z desea incrementar su inversión en activo circulante (caja, inventarios;/
cuentas por cobrar, etc.), en un millón de pesos. Con esta inversión la compañía piensa que sus utilidades
se
van a incrementar en $450,000 anuales, durante 5 años,
al final de los cuales la inversión inicial será recuperada en un 100% . Si la tasa de im puestos es de 50% , y la inflación promedio anual de los próximos 5 años es de 18%, ¿cuál es laTIR que la compañía obtiene en esta inversión? 9. 7
/ 9.8
Resolver el problema 6-9 suponiendo que la inflación en los próximos 10 años es de 20% anual. Resolver el problema 6-11 suponiendo que la inflación en los próximos 10 años es de
9.9
15% anual
La compañía
X acaba de comprar un terreno a un precio de $5,000,000, el cual
piensa vender dentro de 5 años en $10,000,000. �i la tasa de impuestos es de 50%, y la tasa de inflación promedio anual es de
a)
no
se
considera inflación,
activo al momento de
40%, ¿cua1 es laTIR que se obtiene si b) se considera inflación pero no se ajusta el valor del
la venta, y e)- se considera inflación y se ajusta el valor del ac-
tivo al momento de la venta?
Problemas ·169 .
'/ 9.10
El grupo industrial "B" desea incursionar en el negocio de jarabe
75
o
BX (producto
substituto del azúcar). La producción anual esperada de producto terminado para el primer año de operaciones es de cantidad en un
10% anual (se
27,941
toneladas y se espera incrementar esta
asume que todo lo que se produce se vende). La capa
cidad inicial instalada de la nueva planta será de
45,000 toneladas. Puesto que la 6, el grupo industrial aumentará la capacidad de producción a 75,000 toneladas a partir del año 7. ión inici�n este tipo de negocio se estima en $70 millones Por otra parte, la in � (50 millones de activo fijó y 20 millones de activo circulante). Además, al final del año seis el grupo it)dustrial estima que el aumento en capacidad de 30,000 toneladas costará $20 millones(También, puesto que las ventas están creciendo a una razón del 10% anual, capacidad inicial instalada se agota al fmal del año
·
el grupo ha determinado que las inversiones adicionales en activo circulante crecerán a una razón de
. 0..)
$800 por tonelada adicional vendida.
Con respecto a los gastos administrativos y de operación, el grupo industrial ha. de
terminado lo siguiente: Costos fijos por año: Administrativos Generales de fabricación
$ 2,000,000 1,750,000
(primeros ci. nco años) Generales de fabricación
3,000,000
(últimos cinco años) Costos var. por ton.: Materia prima Distribución Energía Mano de obra directa Ventas
$ 3,000 300 180 60. 50 1
50%, y la vida fiscal de las inversiones en activo fijo es de 10 años, al término de los cuales �alor de rescate e'S de $10.......----- millones para la primera iriversión (}_n activo fijo y de $5 millones para la inversión a realiZar al.fmal del añó 6. También, estime-Elue la inversión inicial en activo circulante y las inversiones adicionales posteriores, son recuperables al fmal del año 1 O en un 100%. Si la inflación promedio anual de los próximos 1 O años es de 20%, ¿cuál és la TIR que el grupo industrial Finalmente, suponga que la tasa de impuestos es de
�
obtendría· al em}2re!_lder este proyecto de inversión?
Si suponemos una tasa de inflación promedio anual de
__
20%
de operación érecen de acuerdo a las siguientes tasas de inflación: Precio Gastos administrativos Gastos generales de fabricación Materia prima Distribución Energía
15% 10% 10% 15% 12% 20%
,
y el precio y los costos
·,
170
Proyectos de inversión en situaciones inflacionarias Mano de obra directa
14% 12%
Ventas
\?l
¿cuál es la TIR que se obtendría en este proyecto d� inversión? {Considere que las inver siones adicionales en activo circulante dependen únicamente de los costos variables y que el precio de venta por tonelada es de $5,000).
¡,¡;1,¡¡
�¡!
·
¡u. lij,
�.
��
..
''"
\
10 Costo de capital
El conocimiento que del costo de.capital debe tener una empresa es muy importante, puesto que en toda evaluación económica y fmanciera se requiere tener una idea aproxi mada de los costos de las diferentes fuentes de fmanciamiento que la empresa utiliza para emprender sus proyectos de inversión. Además, el conocimiento del costo de capital y cómo es éste influenciado por el apalancamiento fmanciero, permiten tomar mejores de cisiones en cuanto a la estructura fmanciera de la empresa. Finalmente, existe otro gran número de decisiones tales como: estrategias de crecimiento, arrendamientos y políticas de capital de trabajo, las cuales requieren del conocimiento del costo de capital de la em presa, para que los resultados obtenidos con tales decisiones sean acordes a las metas y ob jetivos que la organización ha establecido. Actualmente existen un gran número de defmiciones de este concepto entre las cuales podemos mencionar las siguientes:
•
La tasa de interés que los inversionistas tanto acreedores como propietarios, de sean le sea pagada para conservar e incrementar sus inversiones en la empresa.·
• •
Ponderado de las diferentes fuei\_tes de fmanciamiento. La tasa de interés que iguala el valor presente de los flujos netos recibidos por la empresa, con el valor presente de los desembolsos esperados (interés, pago del principal, dividendos, etc.).
•
El límite inferior de la tasa interna de rendimiento que un proyecto debe rendir
\
para que se justifique el empleo del capital para adoptarlo. Obviamente, todas estas defmiciones son equivalentes. Lo importante es desarrollar una metodología específica que determine el costo de cada una de las fuentes de fman ciamiento (externas e internas) que la empresa utiliza para fmanciar sus proyectos de inversión. Por consiguiente, el objetivo de este capítulo es presentar en forma clara y con cisa cómo el costo de capital de cada fuente de financiamiento es evaluado. 171
172 Costo de capital. 10.1 COSTO DE CAPITAL -COMO SE CALCULA
Antes de proceder al cálculo del costo de capital de cada fuente de financiamiento, es conveniente describir e!l forma genérica el procedimiento a seguir en la evaluación del costo de capital de cualquier fuente. Toda fuente de financiamiento implica un desembolso inicial para el inversionista (bancos, accionistas, obligacionistas, etc.) y una captación para la empresa. También, dicha fuente de fmanciamiento implica recepciones periódicas para el inversionista y de sembolsos de la misma magnitud para la empresa. Esta explicación se puede comprender mejor al examinar la figura
10.1. En esta figura se puede
apreciar que la cantidad aportada
por el inversionista no necesariamente es igual a la cantidad captada por la empresa. Esta diferencia se puede deber al hecho de que en algunos tipos de fmanciamiento, la empresa incurre en ciertos gastos (emisión, comisiones, etc.), lo cual origina que la captación por parte de la empresa sea menor a la cantidad aportada por el inversionista (P'
p
'
1
S¡
3
2
Sz
. . .
.
.
n-1 '
n
1
S3
r
8n-l
sn
s3
8n-1
sn
1
n
'
Empresa
S¡
Sz
�
1
2
3
.
.
. . . .
n-1
1
p
Inversionista FIGURA 10.1. Flujo de efectivo �ue origina una fuente de financiamiento desde
el punto de vista empresa y desde ef punto de vista inversionista.
Por cp nsiguiente, de la figura
10.1, �
es obvio que el costo de cualquier fuente de
fmanciami�to, se obtiene al encontrar la tasa de interés que satisface la siguiente ecuación: n
p' t
=
s
t
1 (1
+
i)t
=o
Proveedores 173
COSTO DE CAPITAL DE FUENTES EXTERNAS 10.2 PROVEEDORES
Una de las fuentes de fmanciarrúento más utilizadas por una empresa son los pro veedores, los cuales se pueden clasificar en dos tipos: aquellos que conceden descuentos por pronto pago y aquellos que no lo conceden. Si además estos últimos no cobran in tereses, entonces, su costo de fmanciarrúento es cero. Como el costo de los proveedores que no conceden descuentos por pronto pago y además no cobran intereses, no necesita ser evaluado, entonces, en el presente inciso se enfatiza la forma como debe ser calculado el costo de los proveedores que sí lo otorgan.
Para este último caso se va a analizar el costo en que una empresa incurre al no aprovechar
los descuentos, puesto que es muy importante señalar que cuando una empresa los apro vecha, querrá decir que la empresa no quiso utilizar el plazo de crédito ofrecido o sea la forma de fmanciarniento propuesto y por lo tanto no existirá un costo explícito por este concepto. Para evaluar lo que a una empresa le cuesta no aprovechar un descuento, suponga mos que una empresa ha recibido mercancía, la cual, si es pagada al final del período de descuento cuesta Tal situación
se
P
y si se paga al fmal del período de fmanciarrúento cuesta
F (P < F).
muestra en forma gráfica en la figura 10.2.
'P
Período de fmanciarniento (x días)
Período de descuento
F FIGURA 10.2. Flujo de efectivo que resulta de no aprovechar un descuento por pronto pago.
/
Como no se aprovecha el descuento, la figura 10.2 se puede interpretar como que la empresa recibe al fmal de período de descuento, mercancía por valor de P pesos, a cambio de pagar al fmal del período de fmanciarrúento, una cantidad de
F pesos. Por
consiguiente, el costo
antes de impuestos de no aprovechar el descuento sería:
Kpr
F-P p
F =
p
Sin embargo, el interés anterior es por un período de
- 1
x
(10.1)
días, lo cual significa que si qui
siéramos evaluar el costo anual efectivo de no aprovechar el descuento, éste vendría dado por la siguiente expresión:
174 Costo de capital
JEA
=
(F/P) 36sjx
(10.2).
1
_
Para aclarar la evaluación del costo de no aprovechar un descuento, supongamos que los términos de un proveedor en una compra de si la factura es liquidada dentro de los lo pagamos a treinta días
$100
sean:
3% de descuento por pronto
10 días.siguientes
pago
a la fecha de compra o el neto si
(3/10, n/30).
Para esta situación, la aplicación de la ecuación Sin embargo, este costo es para un período de
(10.1)
arroja un valor de
3.093%.
días (período de financiamiento). El . costo anual efectivo vendría dado por la ecuación que sigue:
J EA
=
(1.031)
20
365/20 - 1
=
74.35%
Como puede apreciarse, no aprovechar el descuento representa un costo anual efectivo de
74.35%.
Esto significa, que cuando los descuentos por pronto pago no se aprovechán,
el crédito de proveedores es una de las fuentes de financiamiento más caras que podemos encontrar. Ante esta situación vale la pena preguntarnos cuánto costaría un préstamo que cubriese nuestro pasivo promedio con proveedores. Obviamente el costo sería menor. Sin embargo, en términos generales conviene financiarse con proveedores siempre y cuando su costo no sea mayor al costo de un préstamo, es decir, cuando se detecta un costo de proveedores excesivamente alto, conviene solicitar un préstamo por la cantidad que nues tra capacidad de crédito y liquidez lo permita. Finalmente, como la subcuenta de "descuentos por pronto pago no utilizados" es deducible, el costo anual efectivo después de impuestos de no aprovechar un descuento, se obtiene con la expresión:
(
F- (F-P)t p
)365/x
_
1
(10 , .3)
10.3 PRESTAMOS BANCARIOS DE CORTO PLAZO En cuanto a los créditos bancarios a corto plazo, la mayoría de las veces éstos se otorgan en forma directa, esto es, sin ninguna garantía real y después de que la institución
tf ha considerado que la empresa es sujeta de crédito.
de crédi
El costo principal de este recurso es el interés que la empresa habrá de pagar a la ins titución de crédito por utilizar sus fondos. Normalmente, estos intereses son cobrados por anticipado por el otorgante del crédito. Además de este costo, es frecuente que las insti tuciones bancarias soliciten a sus clientes que mantengan un nivel promedio en cuentas de cheques como "reciprocidad" o "compensación". Este factor que para la empresa signi fica inmovilización de recursos, también se deberá tomar en cuenta al evaluar el costo de este recurso. Finalmente, es posible que al solicitar un préstamo se incurra en gastos, los cuales normalmente son por cuenta del cliente, tales como comisiones de apertura de cré dito y otro tipo de cargos que pudieran ser de importancia. Tomando en cuenta los factores antes mencionados, el flujo de efectivo para la em presa que origina un préstamo bancario de corto plazo, es como sigue:
Préstamos bancarios de corto plazo 115
P-1-GB-RE
1---
x meses
1 ' P-RE
donde: P
=
Cantidad solicitada.
1
=
Intereses que genera la cantidad solicitada.
GB RE
=
=
Gastos bancarios de apertura de crédito. Nivel promedio en cuentas de cheques como reciprocidad o compensación.
Por consiguiente, el costo antes de impuestos que esta fuente de fmanciamiento repre senta para la empresa, se obtiene al encontrar la tasa de interés ecuación:
P-1-GB-RE
Como la tasa de interés
(Kpcp)
(Kp p) c
que satisface la
P-RE
( 1 0. 4)
(1 +K cp)X p
que satisface la ecuación anterior es el interés real mensual
del préstamo, entonces, si se quiere determinar el interés efectivo anual que el préstamo significa, se utilizaría la ecuación siguiente: 1 EA
=
(1 +K p)12 - 1 pc
(10.5)
Para ilustrar la aplicación de las fórmulas previamente desarrolladas, supongamos que una empresa solicita un préstamo bancario directo a seis meses por la cantidad de La institución bancaria exige: una reciprocidad de
al
1%
10%
mensual simple pagados anticipadamente y gastos bancarios por
información,
l
la aplicación de la ecuación (1 0.4) produce lo siguiente:
500,000-30,000-50,000-50,000
(1 +Kp p) 6 c
=
y simplificando la ecuación anterior se obtiene
senta un interés efectivo anual de
47.92%.
$500,000.
del valor del préstamo, intereses
$50,000. Para
esta
.....:...
450,000
(1 +Kpcp) 6
450,000 . 370,000
Kp cp
=
3.32% mensual, el cual repre
Antes de concluir este inciso, es conveniente señalar que la ecuación
(10.4)
es el
caso general, es decir, esta ecuación considera que todo préstamo bancario origina gastos
176 Costo de capital
y reciprocidad, sin embargo, si un préstamo no los origina GB y RE serían eliminados de
dicha ecuación.
Finalmente, como algunos de los gastos que se incurren en un préstamo bancario son deducibles, el costo después de impuestos de un préstamo de corto plazo se puede ' obtener al encontrar la tasa de interés K c que satisface la siguiente ecuación: p p
p-
donde
t
1(1- t)-
GB (1-
t)- RE
=
(1
P-RE ' )x +K pc p
(10.6)
es la tasa de impuestos.
10.4 PASNO A LARGO PLAZO Obligaciones Las obligaciones son alternativas de fmanciamiento a largo plazo
(5
o más años) por
medio de las cuales se captan fondos del público inversionista al cual se le garantiza a cam bio, un rendimiento determinado. Estas obligaciones representan para la empresa emis_ora una deuda a largo plazo, la cual se pagaría en varias amortizaciones periódicas. El costo principal de esta alternativa de financiamiento son los intereses que pagarán las obligaciones a sus tenedores. Sin embargo, toda emisión de obligación lleva implícitos una serie de gastos entre los cuales podemos resaltar los siguientes:
•
Honórarios de un profesionista independiente por la elaboración del estudio técnico económico-fmanciero que por ley requiere la Comisión Nacional de Valores.
•
Impresión del prospecto de la emisión.
•
Honorarios al notario por la protocolización del acta de la emisión.
•
Registro del acta en el registro público.
•
Comisión del colocador primario.
•
Inscripción en bolsa de valores y registro de valores.
•
Impresión de certificados provisionales en papel seguridad.
•
Impresión de los títulos defmitivos y sus cupones.
Tomando en cuenta los costos antes mencionados, el flujo de efectivo neto que para
�
la empresa signific una emisión de obligaciones, es como sigue:
P'
=
P- GT
I
2
3
n-1
' I
I
I
n
p +I
Pasivo a largo plazo 177
donde: ' p = Es la cantidad neta obtenida de la emisión. 1 = Intereses percibidos por el inversionista.
P = Valor nominal de la emisión.
GT
=
Gastos totales que origina la emisión.
Es. obvio que este diagrama de flujo de efectivo no es el único que puede resultar de una emisión de obligaciones, puesto que es posible pagar el valor de la emisión en varias amortizaciones periódicas. Sin embargo, el pagar la emisión en amortizaciones periódicas de igual magnitud, originaría un flujo de efectivo idéntico al que origina un crédito hipo. tecario industrial. Por consiguiente, en esta sección solamente se analiza el caso de amor tizar el valor nominal de las obligaciones en un solo pago. Considerando el diagrama de flujo de efectivo mostrado, es obvio que: el costo antes de impuestos de una emisión de obligaciones, es la tasa de interés ecuación: ' p _
c ·n
�
=1
.
1
(l+KoY
_
+
P
) =
(K0)
que satisface la
(10.7)
o
y puesto que los intereses y los gastos originados por la emisión son deducibles, el costo
después de impuestos de esta fuente de fmanciamiento, sería la tasa de interés satisface la ecuación:
{P- GT (1
- -e§
1 (1
t) )
l
-
t)
(I +K'oY
+
:
(!+ '.)"
)
=
o
(K'0) que
(10.8)
con el propósito de ilustrar la evaluación numérica del costo de esta alternativa de finan ciamiento, suponga que una empresa emite $1,000,000 en obligaciones al12% anual con vencimiento a 10 años. También, considere que los gastos que esta emisión origina son de
$100,000, y la tasa de impuestos es de 50%. Para esta información, la tabla 10-1 muestra
los flujos de efectivo después de impuestos que origina la emisión. Para estos flujos, la aplicación de la ecuación (10.8) arroja un valor de 6.7%. Finalmente, dada nuestra situación económica actual ( ambiente crónico inflacio nario), conviene señalar cómo
la inflación afecta el costo de esta alternativa de fmancia
miento. Para este propósito el diagrama de flujo de efectivo previamente presentado se transforma a: �
P'
=
P- G1
1
2
1
1
(1 + i¡ )
(1 + Í¡)2
\
n
n-1
'
1
(1 + i¡)
n-1
P +/ (1 + Í
¡)
n
178 Costo de capital TABLA 10-1. Flujos de efectivo después de impuestos para una emisión de obliga
ciones sin considerar inflación (miles de pesos). Flujo de
Flujo de
efectivo
efectivo
antes de impuestos
Año
Deducciones
900 - 120
-100 -120
3
- 120 - 120
-120 -120
4
- 120
5
6
- 120 - 120
-120 -120 -120
7
- 120
8
- 120 - 120 - 120 -1000
-120
o
$
1 2
9 10 10
Ahorro en
·después de
impuestos
impuestos
50
$
60 60
--
60
-
60
950 60 60 60 60
60
-
60
-
60 60
-120
60
-120 -120
60
-
60 60
-
60
60 60
-
60
-1000 COSTO REAL
=
6.7%
donde:
i.
=
l
tasa de inflación promedio por período.
y el costo de la emisión después de impuestos se obtendría al encontrar la tasa de interés
(K0¡)
que satisface la ecuación:
{P
-GT (1 -
t)}
_
(� j=l
� i¡)Í
+iY) + + Ko¡)n (I+K0¡)'
I(I
- t)/(1
P/(1
(1
l
O. (10.9)
,.
Para ilustrar la obtención del costo después de impuestos de una emisión de obliga ciones en épocas inflacionarias, suponga que la emisión descrita previamente, se hizo en un ambiente inflacionario del 10% promedio anual. Para esta información, la tabla
10-2'
muestra los flujos de efectivo después de impuestos (a pesos constantes) que resultan de la emisión. Para estos flujos, la aplicación de la ecuación
�a un valor de -3%.
(1 0.9) ar
Como puede advertirse, en ambientes crónicos inflacionariOS, los financiamientos a largo plazo son muy atractivos, sobre todo cuando las emisiones son a tasas fijas. La ex plicación lógica de esta aseveración, se basa en el hecho de que los pagos futuros que ori gina el fmanciamiento se har{an con pesos superdevaluados.
Pasivo a largo plazo 179 TABLA 10-2. Flujos de efectivo después de impuestos para una emisión de obliga ciones, considerando una inflación del 10% anual (miles de pesos).
Año
Flujo de efectivo antes de' impuestos
Deducciones
Ahorro en impuestos
Flujo de efectivo después de impuestos (pesos corrientes)
Flujo de efectivo después de impuestos pesos constantes)
900
-lOO
50
$ 950
$ 950.00
1
- 120
-120
60
- 60
- 54.54
2
- 120
-120
60
- 60
- 49.58
3
- 120
-120
60
- 60
- 45.08
4
120
-120
60
- 60
- 40.98
5
- 120
-120
60
- 60
- 37.25
6
120
-120
60
- 60
- 33.86
7
120
-120
60
- 6G
- 30.78
8
120
-120
60
- 60
- 27.99 - 25.44
o
$
9
120
-120
60
- 60
10
- 120
-120
60
- 60
10
-1000
23.13 -385.54
COSTO REAL
=
-3%
Crédito hipotecario industrial Los créditos hipotecarios son créditos que las instituciones bancarias otorgan a un plazo mayor de un año (3 a 1 O) y en los cuales los activos de la empresa son utilizados para garantizar la devolución del préstamo. En la evaluación de esta alternativa de financiamiento se van a considerar diferentes situaciones tales como: tasas flotantes, ambientes inflacionarios y cambios de paridad; las cuales afectan significativamente el costo de este pasivo. Además, en el apéndice, al final de este capítulo, se analiza esta alternativa de financ iamiento bajo un esquema de pasos crecientes. Crédito hipotecario normal En este inciso se evalúa el costo de un crédito hipotecario sin considerar las situa ciones antes mencionadas. En tales circunstancias, el flujo de efectivo para la empresa que origina un crédito hipotecario es como sigue: 'p- GT.
2
j
T
P/n+ Pi(!·- (j -1)/n) P/n+ Pi
P/n+ Pi(l-1/n)
n
\
P/n+ Pi(l/n)
180 Costo de capital
donde:
P
=
Magnitud del préstamo solicitado.
GT
=
Gastos totales que origina el préstamo.
n
=
Plazo concedido para pagar el préstamo.
i
=
Tasa nominal de interés sobre saldos insolutos.
y puesto que los gastos e intereses que origina el préstamo son deducibles, el costo des pués de impuestos de esta alternativa de financiamiento, sería la tasa de interés satisface la ecuación:
. {P-GT l-t }) (
(� j
=
P(i)(l-(j- l)/ri)(I� t)+Pfn (1 + Kh)' 1
\ }
(K h) que.
O
=
(10.10)
Para ejemplificar la utilización de esta fórmula, suponga que una empresa ha obte nido un préstamo de $1,000,000 a 1 O años de una institución bancaria que le cobraría el 20% sobre saldos insolutos. También, considere que la obtención de tal préstamo le oca sionó a la empresa gastos del orden de $100,000. Finalmente, considere que la tasa de impuestos es de 50%. Para esta información, la tabla 10.3 muestra los flujos de efectivo después de impuestos que origina la captación de este pasivo. Para los flujos mostrados en dicha tabla, la aplicación de la ecuación (10.10) produce un resultado de 11.4%. TABLA 10-3. Flujos de efectivo después de impuestos de un crédito hipotecario
normal sin considerar inflación (miles de pesos). Flujo de efectivo antes de impuestos
Año
CAP. o
1
$
Deducciones
INT.
900 -100
Ahorro en impuestos
Flujo de efectivo después de impuestos
-200
-100
50
-200
100
-200
$
950
2
-100
-180
-180
90
-190
3
-100
-160
-160
80
-1-80-
4
-100
-140
-140
70
-170
5
-100
-120
-120
60
-160
6
-100
-100
-100
50
-150
7
-100
- 80
- 80
40
-140
8.
-100
- 60
- 60
30
-130
9
-100
40
- 40
20
-120
10
-100
- 20
- 20
10
-110
COSTO REAL
=
11.4%
Crédito hipatecario con inflación Si el crédito hipotecario se obtiene en épocas inflacionarias, es obvio que el costo de esta fuente de fmanciarniento disminuye considerablemente. Además, cuando una in-
\
Pasivo a largo plazo 181
flación
(i¡) es introducida,
el diagrama de flujo de efectivo previo se transforma en:
P- GT
2
j
n
T····¡
-
;
P/n + P (l/n)
P /n + Pi(l-(j-1)/n) (l+i.)j
P/n + Pi(l-1/n)
1
(1 + i¡)2
P/n +Pi (1 + i¡)
(1 + i¡) n
y el costo después de impuesto de esta fuente de financiamiento, sería la tasa de interés
(Kh¡) que satisface la ecuación:
{P
-
GT(l
� t)}
-( �
j= 1
{P(i) (1
-
(j- l)/n) (1 � t) + P/n} /(1 + i¡ (1
+ Khi)'
�
)
= 0
(10.11)
.
Para ilustrar la aplicación de esta ecuación, la tabla 10.4 muestra los flujos de efec. _.....-'
tivo después de impuestos que se obtendrían si en el ejemplo previo se considera una in-
10%. Como se puede apreciar en dicha tabla, la aplicación de (10.11) arroja un resultado de 1.2%. En resumen, se puede decir que los re sultados mostrados en las tablas 1 O.3 y 1 O .4 indican que el costo real de un crédito hipo flación·promedio anual de
la ecuación
tecario en épocas inflacionarias, se reduce en una cantidad apr.oximadamente igual a la tasa de infláción promedio anual.
Crédito hipotecario con tasas flotantes e inflación Si el costo o interés del crédito hipotecario pactado en el contrato, es a base de ta sas variables con ajustes periódicos dependiendo del entorno económico en el cual se de senvuelve la empresa, entonces, el diagrama de flujo de efectivo para esta situación sería:
182
Costo
de
<¡apital
{ P- GT f 2
n
j
TI
P/n+ Pin(lfn)
P/n + Pi¡(l-(j-1)/n)
'
-
j
P/n+ Pi2Cl·l/n) P/n +Pi1
2 7T
j =t
(l+i¡ ) l
(1 j =t 7T
.
(1 +z ..)
n
7T
j =t
+i-·)
(1 +n IJ
IJ
IJ
donde: i;
-
Tasa de interés que se cobra en el período j.
i¡ ¡
=
Tasa de inflación promedio del período j.
y el costo después de impuestos de esta alternativa de fmanciamiento, sería la tasa de in terés
(Khfi)
que satisface la ecuación:
{P-GT(l-t)}-
c�l
{PCi)O - (j-1)/n)(1 (1
-
t)
+Khfi)i
+P/n} /
t (1 +i¡¡) )
=O
{1 0.12)
Para ilustrar un ejemplo de este tipo, suponga que cierta empresa ha solicitado un préstamo de $1 ,000,000 a una institución bancaria del país a un plazo de 1O años. Tam bién, suponga que la inflación en los próximos 2 años sería de 10%, en los próximos 4 años de 15% y en los 4 restantes de 20%. Por otra parte, considere que la institución ban caria pensando en las tasas de inflación que van a prevalecer en el futuro, ha pronosticado que las tasas de interés que se van a cobrar en los próximos 2 años serán de 20%, 25% en los próximos 4 años y 30% en los 4 restantes. Finalmente, considere que la captación de este pasivo le originó a la empresa gastos del orden de $50,000 y que la tasa de impuestos de esta empresa es de 50%. Para esta situación, la tabla 10.5 muestra los flujos de efectivo después de impuestos (a pesos constantes) que se originan. Para estos flujos, la aplicación de la ecuación {10.12) produce un resultado de -0.8%. Es muy importante señalar que la evaluación del costo de un crédito hipotecario conSiderando tasas flotantes e inflación, es una mera aproximación, puesto que se están usando estimaciones de las tasas de interés que se pagarán en el futuro y de las tasas de inflación que existirán en lo sucesivo. Por. consiguiente, para los ejemplos presentados anteriormente y los que se presentarán más adelante, vale la pena mencionar que cuando existe incertidumbre con respecto al valor que una variable (inflación, tasas de interés, tipo de cambio, etc.), tomará en el futuro, el uso de simulación es recomendable. Con el uso de simulación es posible obtener la distribución de probabilidad del costo real de las fuentes de financiamiento más utilizadas por una empresa.
Pasivo a largo plazo 183
TABLA 10-4. Flujo de efectivo después de impuesto de un crédito hipotecario suponiendo una inflación de 1O% anual (miles de pesos).
Año
Flujo de efectivo antes de impuestos CAP.
o
1 2 3 4 S 6 7 8 9 10
$ 900 -lOO -lOO -lOO -lOO -lOO -lOO -lOO -lOO -lOO -100
Deducciones
Ahorro en impuestos
Flujo de efectivo después de impuestos (pesos corrientes)
Flujo de efectivo después de impuestos (pesos· constantes)
$ 9SO -200 -190
$
INT.
-200 -180 -160 -140 -120 -100 - 80 - 60 - 40 20
-lOO -200 -180 -160 -140 -120 -lOO 80 - 60 40 20 COSTO REAL
so 100 90 80 70
60 so 40 30 20 10 =
-180 -170 -160 -150 -140 -130 -120 -110
9SO -182 -1S7 -13S -116 99 - 8S - 72 - 61 SI 42
1.2%
TABLA 10-5. Flujos de efectivo después de impuestos considerando tasas flotantes e inflación (miles de pesos). •
Año
Flujo de efectivo antes de impuestos CAP.
o 1
$ 9SO -100
2 3 4 S 6 7 8 9 10
-lOO
-100 :...}00 -lOO -100 -100 -lOO -100 -100
Deducciones
Ahorro en impuestos
Flujo de efectivo después de impuestos (pesos corrientes)
Flujo de efectivo después de impuestos (pesos constantes)
$ 97S -200
$ 97S -182
-190 -200 -187 -17S -162 -160 -14S -130 -11S
-IS7 -144 -117 - 9S - 77 - 63 - 48 - 36 - 26
IN T.
2S 100 90 100 88 7S 63 60 4S 30 lS
- so
-200 -180 -200 -175 -lSO -12S -120 - 90 - 60 - 30
-200 -180 -200 -17S 1SO -12S -120 - 90 -
60 - 30 COSTO REAL
=
-0.8%
184 Costo de capital
Crédito hipotecario con cambios de paridad e inflación En ambientes crónicos inflacionarios, la devaluación es un hecho natural y necesa rio. Es por esta razón que conviene analizar como cambios en la paridad de un financia miento en moneda extranjera, afectan el costo de esta alternativa de financiamiento. Para este propósito, suponga que TC¡ sea el tipo de cambio en el período j y P la magnitud del préstamo en moneda extranjera. Bajo este supuesto, el diagrama de flujo de efectivo que resulta sería:
P(TC0) -GT
1
T '
1
' P(TCn)(1/n)i +P(TCn)/n n 1T (1 +¡1] ..)
P(TC¡)(I-U-1)/n)i+P(TC )fn ¡ P(TC2)(1-1/n)i +P(TC2)/7 2 P(TC )i+P(TC )/n 1T (1 +iIJ..) 1 1
¡
j 1T
j
=
j =¡
(1 + Í¡.) 1 1
j =¡
(1 +i¡ )
1
y como los cambios de paridad originan pérdidas considerables para la empresa, las cuales son deducibles (en el período en que se incurren), el costo después de impuestos cuando hay cambios én la paridad, se obtendría al encontrar la tasa de interés la ecuación:
{P(!l'C0)-GT(l-t)}-
(:
(Khp¡) que satisface
.
{P(TC¡)(l-(j-1)/n)(l-t)i+P(TC¡-(TC¡-TC0)t)/n} / i (1 +i¡¡) :,_ ; 1 � . i=1 (1 +K,1p¡)1
)
=0(10.13)
Para ilustrar el caso de cambios en la paridad: considere que cierta empresa ha soli citado un préstamo a una institución bancaria de los Estados Unidos. La magnitud del préstamo es de un millón de dólares, el plazo para pagarlo es es de
10% anual
1 O años, y la tasa de interés
sobre saldos. También, considere que la obtención de este préstamo ori
ginó gastos del orden de un millón de pesos y la tasa de impuestos es de suponga que la paridad y la inflación en los primeros mente, y de
$30 y 15% en los 5
años restantes.
Para la información anterior, la tabla
5
años es de
50%. Finalmente, $23 y 10% respectiva
10-6 muestra los flujos de efectivo después de
impuestos (a pesos constantes) que origina la captación de este pasivo en moneda extran jera. Para tales flujos, la tasa de interés que satisface la ecuación (10.13) es de Finalmente, es importante señalar que la ecuación
(10.13)
-3.8%.
es aplicable a cualquier
fmanciarniento en moneda extranjera (dólares, yens, francos suizos, libras, etc.). También, vale la pena volver a señalar que si existe incertidumbre con ·respecto a las tasas de infla ción y tipos de cambio que va a prevalecer en el futuro, se establezcan las distribuciones
Pasivo a largo plazo 185
de probabilidad de estas variables y en función de ello, determinar mediante simulación la distribución de probabilidad del costo real de este tipo de fmanciamiento.
TABLA 10�. Flujos de efectivo después de impuestos para un préstamo en moneda extranjera ' .con cambios en la paridad (miles de pesos).
Año
Flujo de efectivo antes de impuestos CAP.
Deducciones IN T.
INT.
F1ujo de efectivo deSPués de. impuestos (pesos constantes)
PERD. -1,000
o
$ 22,000
- 2,300
--,2,300
-2,300
2
- 2,300
-2,070
-2,070
-
3
- 2,300
�1,840
-1,840
-
4
- 2,300
-1,610
-1,610
5
- 2,300
-1,380
-1,380
1
Aho"o en impuestos
F1ujo de efectivo después de impuestos (pesos corrientes)
500
$ 22,500
$ 22,500
1,035
- 3,335
- 2,756 - 2,419
1,150
-
- 3,450
- 3,136
920
- 3,220
805
- 3,105
- 2,121
690
- 2,990
- 1,857
6
- 3,000
-1,500
-1,500
-
700
1,100
- 3,400
- 1,834
7
- 3,000
-1,200
-1,200
-
700
950
- 3,250
- 1,526
8
- 3,000
-
900
-
900
-
700
800
- 3,100
- 1,266
9
- 3,000
-
600
-
600
-
700
650
- 2,950
- 1,047
10
- 3,000
-
300
-
300
-
700
500
- 2,800
-
COSTO REAL
=
864
-3.8%
Oédito hipotecario con deslizamiento e inflación
En el inciso anterior � analizó el caso de devaluación repentina. Sin embargo, sería interesante estudiar la mecánica a seguir cuando la devaluación de nuestra moneda es a través de un deslizamiento diario d. Para este caso particular, el diagrama de flujo efectivo de la sección anterior y la ecuación (10.13) siguen siendo válidas, con la salvedad de que
TC¡ estaría expresada de la siguiente manera: TC¡ TC0 =
+ j (365 d) . .
Para ilustrar el caso de devaluación a través de deslizamiento, asuma que cierta em presa ha solicitado un préstamo a una institución bancaria de Estados Unidos. La mag nitud del préstamo es de un millón de dólares, el plazo para pagarlo es de 1O años, y la tasa de inte'rés es de 10% anual sobre saldos. También considere que la obtención de este préstamo originó gastos del orden de un millón de pesos y que la tasa de impuestos es de 50%. Finalmente asuma que la paridad en este momento es de $23, el deslizamiento
diario será de $.02 centavos y la inflación en los próximos 1O años será de 1O% anual. Para la información anterior, la tabla 10.6.1 muestra los flujos de efectivo después de impuestos (a pesos constantes) que origina la captación de este pasivo en moneda ex tranjera. Para tales flujos, la tasa de interés que satisface la ecuación (1 0.13) es de 9.1%.
186 Costo de capital TABLA 10.6.1. Flujos de efectivo después de impuestos para un préstamo en moneda extranjera con deslizamiento diario (miles de pesos)
Flujo de efectivo antes de impuestos
Año Paridad
CAP.
ji
Deducciones
INT.
INT.
PERD.
o
$23.0
$22,000
1
30.3
-3,030
-3,030
-3,030
-
2
37.6
-3,760
-3,384
3
44.9
-4,490
-3,592
4
52.2
-5,220
-3,675
5
59.5
-5,950
-3,570
$ 22,500
$-1,000
$ 500
$22,500
730
1,880
-4,180
-3,384 '
-1,460
2,422
-4,722
-3,902
-3,592
-2,190
2,891
-5,191
-3,900
-3,675
-2,920
3,298
-5,597
-3,822
-3,570
-3,650
3,610
-5,910
-3,670
�
-3,800
6
66.8
-6,680
--3,340
-3,340
-4,380
3,860
-6,160
-3,477
7
74.1
-7,410
-2,964
-2,964
-5,110
4,037
-6,337
-3,252
8
81.4
-8,140
-2,442
-2,442
-5,840
4,141
-6,441
-3,005
9
88.7
-8,870
-1,774
-1,774
-6,570
4,172
-6,472
-2,745
10
96.0
-9,600
-
-7,300
4,130
' -6,430
-2,479
-
960
,¡
960
COSTO REAL= 9.1%
11: ;11 ,.
Flujo de Flujo de efectivo efectivo después de después de ·impuestos impuestos (pesos Aho"o en (pesos impuestos corrientes) constantes)
Crédito hipotecario con tasas flotantes, inflación y cambios de paridad Para fmalizar la sección de créditos hipotecarios, a continuación se muestra el dia
,¡
1" ''·
grama de flujo de efectivo que resulta: cuando el financiamiento es en moneda extranjera, las tasas de interés son flotantes y los pagos se hacen en un ambiente económico inflacio nario:
P(TC0)-GT
1
T
..
"
P(TCn)(l/n)in + P(TCn)/n
P(TC¡)Cl-(j -1)/n)i¡ +P(TC¡)fn '
P(TC2)(1 -1/n)i2 +P(TC2)/n t
P (TC1)i1 +P(TC1)/n
�
¡= 1
(1 +i-·) 11
j 1r (1 +H ¡= 1 11
n 1r (1 + it¡}
j=l
\ \
(1 +i. )
11
y el costo después de impuestos de este tipo de fmanciarniento (captado en las condiciones
antes mencionadas) sería hi tasa de interés (K
hfip
) que satisface la ecuación:
Pasivo a largo plazo 187
.
{P(TC0) -GT(l-t)}
-(
j rr Cl +H P {P(T9(1-(j-1)/n)(1-t)ij+ (TC¡-(TC¡-TC ) t)/n}lj=1 0
n �
(1
i=l
+
. 11)
.
. =O
Khfp¡'/
(10.14)
Para aclarar la evaluación del costo de un crédito hipotecario en el caso general, es decir, suponiendo tasas flotantes, inflación y cambios en la paridad; suponga que una em
presa ha solicitado un préstamo a una institución bancaria �e los Estados Unidos por la
cantidad de i!n millón de dólares, el cual va a originar gastos del orden de un millón de pesos. Suponga además que la paridad pronosticada para los próximos
pesos por dólar en los primeros
5
años y
$30
pesos por dólar en los
5
10
años es de
$23
restantes. Asimismo,
considere que la tasa de interés que se cobrará en los próximos
3 años es de 20% y 30% 50% y la in 5 años y 15% en los últimos.
en los años restantes. Finalmente, considere que la tasa de impuestos es de flación en los próximos
10
años será de
Para esta informació9, la tabla
10% en los primeros 10.7 muestra los flujos
de efectivo después de im puestos (a pesos constantes) que se obtienen en este pasivo captado en moneda extran
jera, con cambios de paridad, tasas flotantes e inflación. La aplicación de la ecuación
(10.14) a estos flujos arroja un valor de 1.9%.
un
TABLA 10-7. Flujos de efectivo después de impuestos para préstamo en moneda extranjera con cambios de paridad, tasas flotantes e inflación (miles de pesos). ·
Flujo de efectivo antes de impuestos
Año
IN T.
CAP. o
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
$ 22,000 ·
-
-
2,300 2,300 2,300 2,300 2,300 3,000 3,000 3,000 3,000 3,000
-4,600 -4,140 -3,680 -3,220 -2,760 -4,500 -3,600 -2,700 -1,800 - 900
•
Deducciones INT.
Ahorro en impuestos
Flujo de efectivo después de impuestos (pesos corrientes)
Flujo de efectivo después de impuestos (pesos constantes)
PERD.
-4,600 -4,140 -3,680 ..:.3,220 -2,760 -4,500 -3,600 -2,700 -1,800 - 900
-1,000
500 2,300 2,070 1,840 1,610 1,380 2,600 2,150 1,700 1,250 800
--
-
700 700 700 700 700
COSTO REAL
=
$ 22,500
-
4,600 4,370 4,140 3,910 3,680 4,900 4,450 4,000 �,550 3,100
$ 22,500
-
-
4,282 3,612 3,110 2,671 2,285 2,646 2,089 1,633 1,260 957
1.9%
Arrendamiento financiero Otra forma que la empresa utiliza para fmanciarse a largo plazo, es lo que se conoce
como arrendamiento fmanciaro. Mediante esta forma de fmanciamiento, la empresa ad-
;
188 Costo de capital
quiere los servicios de un activo a cambio de una renta, la cual es pagada al arrendado� durante un período previamente establecido en el contrato. ;:\.1 término de éste, la empresa tiene la opción de: 1) Prorrogar el contrato por un plazo cierto, con pagos inferiores a los del contrato inicial,
3)
2)
Adquirir el equipo por una cantidad inferior al valor del mercado,
Enajenar el equipo a un tercero y
4) Alguna otra opción, con autorización de la Secre
taría de Hacienda y Crédito Público. Por consiguiente, el flujo de efectivo que para la· empresa resulta de arrendar un activo, es como sigue: p
��
1
2
3
n-1
R
R
R
R
n
R + VR
donde:
J
11: :1�
r
.
.�
P = Costo inicial del activo.
R*
VR
=
Renta anual.
=
Valor de rescate del activo al final del período
n.
Esta cantidad es percibida
por el arrendador puesto que es el dueño del activo. n
=
Plazo del contrato en años .
y el costo antes de impuestos de esta alternativa de fmanciamiento es la tasa de interés
(Ka 1) que satisface , la ecuación: P-
(�
R
(1 +Ka /
+
VR
(1 +Kaf)
n
)
=
O
(10.15)
Por otra parte, si se quisiera evaluar el costo después de impuestos de esta fuente, el flujo de efectivo que resulta para la empresa es como sigue: p 2
R + Dt
R + Dt
3
n-1
R + Dt
R + Dt
n
R + Dt + VR.
*Las rentas pactadas en los contratos de arrendamiento generalmente son mensuales. Sin embargo,
para propósitos de ilustrar la evaluación d.el costo de esta fuente, se supone anual.
Pasivo a largo plazo 189
Como se puede observar en este diagrama, a diferencia del anterior, el arrendador recibe además de la renta
(R),
el beneficio fiscal de la depreciación (Dt) puesto que es el dueño
del activo. A pesar que el ahorro en impuestos atribuible a la depreciación.(Dt) no es un gasto desembolsable sino un costo de oportunidad para el arrendatario, es necesario tomarlo en cuenta en la evaluación del costo real de esta fuente de financiamiento. Lo anterior significa que el arrendatario, además de la renta
(R)
que paga al arrendador, le propor
ciona a éste un beneficio indirecto equivalente a Dt. Además del diagrama de flujo anterior, la evaluación del costo después de impuestos de un arrendamiento fmanciero, implica conocer la forma en que la renta deberá ser amortizada. Para este propósito, el artículo
21
de la ley del impuesto sobre la renta espe
cifica que del total de pagos convenido en el término forzoso inicial del contrato, el
70%
se considerará como costo de adquisición de los bienes, por lo que la cantidad que resulte de aplicar dicho porcentaje sería amortizada en el mismo período que dicha ley permite depreciar al activo. El
30%
restante, se amortizará en anualidades iguales durante el plazo
inicial del contrato. Por otra parte, si el plazo del contrato es menor al período de depre ciación del activo, y si el arrendatario ejerciera la compra, o bien se prorrogará el contrato por un plazo cierto, el monto total de las mismas se considera complemento del costo del bien y se depreciará en el tiempo que falte para que el bien se termine de depreciar con forme a las tasas que indica la ley. Finalmente, si el plazo del contrato es igual al período de depreciación del activo, y el arrendatario ejerce la opción de compra, el monto total es completamente deducible en el período fiscal en que se originó la compra. Tomando en cuenta lo expresado en párrafos anteriores, el costo después de im
(
)
puestos cuando el plazo del contrato es igual al período de depreciación del activo, vendría dado por la siguiente expresión:
{P+ACO -t)}-
donde:
AC t D
=
=
=
.
n
Dt +
R(I
¡; j= 1 (1 +Ka
- t)
.
l
+
VR(l- t) (1 +Ka¡)n
=
O
(10.16)
Gastos de apertura de crédito. Tasa de impuestos. Depreciación anual de! activo.
(10.16); considere que se desea arrendar $1,000,000 y el cual de acuerdo al artículo 21 de la Ley del Impuesto sobre la Renta se debe depreciar en un período de 5 años. También suponga que el plazo del contrato es de 5 años y la renta anual de $400,000. Si en el contrato se estipula comprar el activo al término de éste a un costo de $70,000, los gastos de apertura de crédito son de $10,000 y la tasa de impuestos es de 50%, ¿cuál es el Para ilustrar una aplicación de la ecuación
un activo que tiene un precio de mercado de
costo de arrendar el activo? Para esta información, la tabla
10.8
muestra los flujos de efectivo después de im
puestos que se obtienen en el arrendamiento. Para tales flujos, la aplicación de la ecua ción
(10.16) resulta en un valor de 15.7%. Por otra parte, el costo después de impuestos de un arrendamiento fmanciero cuando
una tasa de inflación
(i¡)
es introducida, y el plazo del contrato es igual al período de de
preciación del activo, vendría dado por la siguiente expresión:
190 Costo de capital
{P+AC(l -t)}-
(; = j
{Dt+R(l-t
�
)} (l+i.)i
-f
VR(l - t)/(1 + i.)n ,n
(1 +Kaf 1
(1 +Ka )1
f
1
)=
o (1 0.17)
Por ejemplo, si en el caso presentado en la tabla 10-8 una tasa de inflación de 10% anual . es considerada, la aplicación de la ecuación (10.17) produce un resultado de 5.2% (ver ·
tabla 10.9).
TABLA 10.8. Flujos de efectivo después de impuestos sin considerar inflación ·
(miles de pesos).
Flujo de efectivo antes de impuestos
Año
o
$ 1,01o 400 400 400 - 400 470
2 3 4' 5
-
Beneficio de la depreciación (arrendador)
Deducible
-lOO
- 10 -400
-100 -100 -100 -100
··-
5 200 200 200 200 235
IÍ ·�')
-400 -400 -470
COSTO REAL
=
Ahorro en impuestos
Flujo de efectivo después de impuestos
$ 1,005 - 300 300 - 300 - 300 - 335
�
15.7%
TABLA 10.9. Flujos de efectivo después de impuestos considerando una inflación
del 10% anual (miles de pesos).
Año
o 1 2 3 4 S
Flujo de efectivo antes de impuestos
-
$ 1,010 400 - 400 - 400 400 470
Beneficio de la depreciación (arrendador)
-100 -100 -100 -100 -100
Deducible
- 1Ó -400 -400 -400 -400 -470 COSTO REAL
Ahorro en impuestos
=
5 200 200 200 200 235
Flujo de Flujo de efectivo efectivo después de después de impuestos impuestos (pesos (pesos corrientes) constantes)
$
---
1,005 300 300 300 300 335
--
$ 1,005 273 248 - 225 - 205 208
5.2%
En el ejemplo anterior, se determina el costo de arrendamiento cuando el plazo del contrato es igual al período de depreciación del activo. Sin embargo, sería interesante ana lizar el caso de un arrendamiento cuando el plazo del contrato es menor a la vida fiscal del
activo. Para este caso, puesto que al concluir el contrato, no existe ningún desembolso del
Pasivo a largo pklz o 191
arrendatario, ni beneficio fiscal de la depreciación por parte del arrendador, y puesto que parte de la renta y el desembolso que hace el arrendatario si ejerce la opción de compra, se amortizan en el tiempo que falta para que el bien se termine de depreciar conforme a las tasas que indica la ley, entonces, el flujo de efectivo después de impuestos en Jos úl timos períodos será positivo. Lo anterior significa que el flujo de efectivo después de impuestos que resulta en este tipo de arrendamiento, es no-simple, y por consiguiente existe el fenómeno de "múltiples costos de arrendamiento". Para resolver este proble ma, es necesario aplicar el algoritmo de 1 ames C. T. Mao presentado en el capítulo 5. Sin embargo, para aplicar este algoritmo al caso de arrendamiento con múltiples costos, es necesario hacer las siguientes modificaciones:
- 1 el flujo
•
Multiplicar por
•
Calcular los saldos no recuperados en la forma siguiente:
•
de efectivo después de impuestos.
Fr(Kaf' TREMA)=Ft_1 (1 +Ka¡) +St
si Ft_1
F t(Kaf• TREMA)=Ft_1 (1 +TREMA) +St
si Ft_1 >O
Determinar el valor de Kaf que satisface:
Fn(Kaf• TREMA)= O
Si Ka¡ < TREMA, entonces, el arrendamiento es atractivo, puesto que su costo es menor que la .tasa de recuperación mínima atractiva que ofrece el proyecto que va a ser fi nanciado a través de esta fuente. Para ilustrar un ejemplo de este tipo: suponga que se desea arrendar un activo que _tiene un precio de mercado de $1,500,000 y cuya tasa de depreciación anual es de 20%. También, suponga que el plazo del contrato es de 3 años, durante los cuales el arrendatario pagará una renta anual de $800,000. Si en el contrato se establece adquirir el activo al final de su duración a un costo de $500,000, Jos gastos de apertura de crédito son de $15,000, la tasa de impuestos es de 50% y la TREMA es de 30%, ¿cuál es el costo de arrendar el activo? Para esta información y aplicando el método de Mao con las modificaciones señala das anteriormente, se obtiene un valor para el costo del arrenda miento de 1 7.7 5% (ver tabla 10-10). Puesto que el costo del arrendamiento es menor que TREMA, entonces, conviene aceptar esta fuente de fmanciarniento. Por otra parte, si en este mismo problema una tasa de inflación de 10% anual es introducida, la aplicación del algoritmo de Mao arro ja un valor de 8.1% (ver tabla 10-11), y puesto que este costo disminuye, entonces, esta fuente de fmanc:;iamiento se hace más atractiva.
192 Costo de capital
TABLA 10-10. Flujos de efectivo después de impuestos sin considerar inflación(mi
les de pesos).
Año
Flujo de efectivo antes de impuestos
Benefic io de la depr. (arrendador)
Deducible 70%
30%
Compra
Flujo de efectivo Ahorro en despuésde impuestos impuestos '- 7.5
$1,507.5
o
$1 ,515
1
-800
-150
-336
- 240
288.0
-662.0
2
- 800
- 150
- 336
- 240
288.0
- 662.0
3
-1,300
- 150
-336
-240
288.0
-1,1 62.0
4
- 336
- 250
293.0
293:0
5
- 336
- 250
293.0
293.0
COSTO REAL= 17.75% TABLA10-11. Flujos de efectivo después de impuestos considerando inflación
(miles de pesos).
Año o
Flujo de Beneficio efectivo de la depr. antes de impuestos (arrendador)
De d u c ible 30% Compra
70%
$1,515
Ahorro en impuestos
Flujo de efectivo después de impuestos (pesos comentes)
FLujo de efectivo después de impuestos (pesos c onstantes) $1,507.5
·
-7.5
$1,507.5
1
- 800
-150
- 336-240
288.0
-662.0
-601.8
2
- 800
- 150
288.0
- 662.0
- 547.1
3
- 1,300
-150
-336-240 - 336 -240
- 873.0
288.0
-1,162.0
4
- 336
-250
293.0
293.0
200.1
5
- 336
- 250
293.0
293.0
181.9
COSTO REAL= 8.1%
COSTO DE CAPITAL DE FUENTES INTERNAS
10.5 ACCIONES PREFERENTES Se conoce como acciones preferentes aquellas que representan una parte del capital social de una compañía pero que, a diferencia de las acciones comunes, tiene su rendi miento o dividendo garantizado y a cambio de este privilegio tienen limitaciones en la participación de la administración de la empresa. La garantía del rendimiento o dividendo a este tipo de acción, permanece aun cuando en algún ejercicio la empresa no haya tenido utilidades, ya que en cuanto ésta vuelva a generarlas se aplicarán preferentemente al pago de los dividendos de las acciones preferentes. Esta forma de fmanciamiento es utilizada en los casos en que no se desee o no se puedan aumentar los p asivos de la empresa (capacidad de crédito limitada) y los actuales accionistas no quieran perder o compartir su control sobre la misma. Como hemos mencionado, estas acciones tienen un dividendo garantizado y fijo por lo cual el flujo de efectivo que se origina en la empresa después de una emisión de acciones de este tipo, es como sigue:
Accionespreferentes 193
4
P =lB
-
GT
D
2
3
D
D
donde:
P = = GT = D = lB
Cantidad neta recibida. Ingresos brutos recibidos de la emisión. Gastos de colocación, emisión, descuentos, etc. Dividendo percibido por el poseedor de la acción.
Por consiguiente, el costo de esta alternativa de financiamiento es la tasa de interés que satisface la ecuación:
(Kap )
00
p
D
¿;
j j= 1 (1 +Kap )
(10.20)
o
= D/P. y resolviendo la ecuación anterior encontramos que K ap Es muy importante señalar que en la ecuación (10.20) se está considerando que siempre se reparten los dividendos. Sin embargo, si en un período no se reparten dividen dos y éstos
se
acumulan para futuros ejercicios, entonces, el costo de esta fuente dismi
nuye y su valor se obtendría de acuerdo a la siguiente expresión:
00
P -
D
¿;
j=1 donde
Dj
j (1 +Kap /
es el dividendo que se reparte en el período
(10.21)
o
j el
cual puede ser cero o un múl
tiplo de D. También, como los dividendos tanto de las acciones preferentes como de las comu nes no son deducibles, pero sí lo son los gastos que origina la emisión, entonces, el costo después de impuestos de esta fuente se obtiene con la expresión:
00
lB - GT(l- t)
¿;
j=1
D ' (1 +K ap )j
y resolviendo la ecuación anterior encontramos que:
K'ap
=
D¡'(IB- GT(1- t))
o
(10.22)
194 Costo de capital
Finalmente, vale la pena mencionar cómo la emisión de acciones preferentes en ambientes económicos inflacionarios, afecta considerablemente el co�to de las mismas. Para tal propósito, considere que
i¡
·
es la tasa promedio de inflación por período. Por
consiguiente, el costo después de impuestos de esta alternativa de fmanciamiento sería la tasa de interés
K�P que satisface la ecuación: lB- GT (1
_
t)
D/(1 + i¡)i
00
�
_
.
J
=
(10.23)
o
i 1 (1 +K'ap )
y resolviendo la ecuación anterior encontramos que:
K'ap
D /(1 +i¡)
i¡
(IB- GT(l- t))
(1 + i.) l
Para ilustrar cómo el costo después de impuestos de esta alternativa de financiamiento es evaluado en épocas inflacionarias, suponga que una empresa emitió acciones preferentes por valor de
$1,000,000 y los
gastos de emisión incurridos fueron de
también que: el dividendo anual garantizado es un
15% del
$100,000. Considere
valor nominal de la acción y
que el dividendo siempre será repartido, es decir, considere que la empresa va a generar siempre utilidades. Por otra parte, la empresa considera que la inflación promedio anual en los próximos años es del orden del puestos a una tasa del
10%.
Por último suponga que la empresa paga im
50%. (10.23) arroja un valor de:
Para la información anterior, la aplicación de la ecuación
K'ap
150,000/(1.1) 950,0 0 0
_.1 1.1
,-2� :b."':l,Ji) 10.6. ACCIONES COMUNES
60 000
=
5.26%
d ,.. \
::::-
\· 3 � f:,f:, s,.w ó
L q qt<'<. <'t 'i$'
•
q
El capital común está formado por las aportaciones de capital y/o de especie de los accionistas. Estas aportaciones por parte de los accionistas son ·generalmente motivadas por cualquiera de las siguientes·razones:
•
Percepción de dividendos.
•
Especulación, es decir, las acciones son compradas con la intención de venderlas
•
Obtención de fuente de trabajo, esto es, con la adquisición de acciones comunes
posteriormente y obtener una fuerte utilidad en la venta. se puede aspirar a un puesto (consejero, asesor, etc.) con el cual se obtendría un' sobre-sueldo y parte de los gastos personales del accionista serían absorbidos por el negocio. También, los accionistas esperan en estas inversiones, además de un rendimiento libre de riesgo, una prima por el riesgo del negocio. Es precisamente esta incertidumbre con respecto al futuro del negocio lo que dificulta el cómputo del costo del capital común,
A�úones comunes 195
el cual algunos autores lo han definido como "El rendimiento requerido por los accionistas comunes", o bien como "El rendimiento mínimo que la compañía debe garantizar a fm de que el valor de mercado de las acciones permanezca inalterable. Como se puede advertir, el costo de las acciones comunes es uno de los más difíciles de evaluar. Tal dificultad se debe precisamente al hecho de no poder pronosticar con exactitud los dividendos que en el futuro la empresa pagaría a sus accionistas. No obstante estas dificultades, se han desarrollado algunos métodos para evaluar el costo de esta alter nativa de fmanciámiento. Entre estos métodos podemos mencionar aquél que considera que los dividendos futuros son conocidos y crecen a una razón constante "g". Con esta
suposición, el flujo de efectivo para la empresa que resulta de una emisión de acciones
comunes, és como sigue:
P =lB
-
GT
.!!>
1
2
3
j
D D(l
+
g)
D(l
+
2 g)
D(l
+
g)i-1
donde
D = g =
Dividendo neto del primer período. Razón de crecimiento del dividendo por período.
y el costo antes . de impuestos de esta fuente, es la tasa de interés
ecuación: 00
p
-
¿
j= 1
D(l (1
i· l
+g)
i a e)
+K
(Kac )
que satisface la
(10.24)
o
y resolviendo la ecuación anterior encontramos que:
Ka e
Q p
+
g
Por otra parte, como los gastos totales que origina la emisión son deducibles, el costo después de impuestos de esta fuente, es la tasa de interés .
ecuación:
•
(K'ac )
que satisface la
196 Costo de capital
D(l +g)i-1
00
lB-
GT(1- t)
�
-
j
=
1
(1 +K'
ae
(10.25)
o
)i
y resolviendo la ecuación anterior encontrarnos que:.
K'
a
c
D/(lB-
=
GT(1- t))
+
g
Finalmente, como esta fuente de fmanciarniento es de largo plazo, el costo después de impuestos considerando una tasa de inflación promedio por período de dría al resolver la ecuación: 00
lB-
GT(1- t)
D(I
�
+ g)i-1 /(1 +
¡_)i
(1 + K'a e )i
j=1
o
i¡,
se· obten
(10.26)
y la tasa de interés que satisface la ecuación anterior es:
g
D/(1 + i¡)
K'
ae
(lB-
+
GT(1- t) )
-
i¡
(1 + i.) l
Para aclarar la aplicación de esta última ecuación, suponga que una empresa ha emitido acciones comunes por valor de de
$50,000.
$1,000,000.
Tal emisión originó gastos totales del orden
$200,000 en dividendos, los cua 5%. Además, la empresa ha pronosticado que la años será de 15% anual. Por último, la tasa de im
La empresa espera repartir en el primer año
les se espera que crezcan a una razón del inflación promedio en los próximos puestos de esta empresa es de
SO%.
Para la información anterior, la aplicación de la ecuación ParaK'
ae
(10.28)
arroja un valor
de:
K'
200,000/(1.15)
ae
(975,000)
+
(.05- .15)
9.14%
(1.15)
Por último, antes de terminar el inciso conviene mencionar que, además del método ex plicado, se han desarrollado otros métodos para medir el costo del capital común tales como: Simulación del rendimiento obtenido por el accionista y razón de utilidad a capital contable. Sin embargo, estos métodos al igual que el anteriormente explicado, implican pronosticar una serie de eventos futuros (precios por acción, utilidades, etc.) cuyo grado de seguridad es muy relativo.
10.7 UTILIDADES RETENIDAS
Las utilidades retenidas son recursos generados internamente por la empresa. Este hecho ha originado que muchas empresas consideren su costo erróneamente como cero.
.
Costo ponderado del capital 197
Sin embargo
al evaluar el costo de estos recursos debemos considerar los posibles usos
que éstos pueden tener como son: ser reinvertidos en la empresa, o ser repartidos a los ac cionistas. Para el primer caso, se espera que el rendimiento obtenido sea e! mismo que el del capital común, ya que para el accionista representan una inversión similar. Para el segundo caso, el costo de las utilidades retenidas puede ser considerado como un costo de oportunidad el cual está representado por el rendimiento que podría lograr el accionista al haber invertido el dividendo no recibido en otra alternativa de inver-· sión. Si este fuere el caso, el costo de las utilidades retenidas se podría encontrar con la expresión: K
R(l-t) (1-c)
ur
(10.27)
donde:
R t
=
e
=
=
Rendimiento bruto obtenido. Tasa marginal de impuestos del accionista. Comisiones (expresadas en porcentaje).
La idea anterior se basa en el supuesto de que si la compañía no puede generar oportuni dades de inversión atractivas para sus accionistas, éstos podrían encontrar otros proyectos para invertir con el mismo grado de riesgo y con un rendimiento mayor. Por las dificultades obvias que esta segunda alternativa de cálculo implica, la prác tica común es considerar el costo de las utilidades retenidas, igual al del capital común.
10.8 COSTO PONDERADO DEL CAPITAL
Una vez que hemos determinado el costo individual de cada una de las diferentes fuentes de financiamiento (externas e internas) que forman el capital de la empresa, po demos proceder a calcular el costo ponderado del capital. Ese cálculo se puede hacer sobre bases históricas, sin embargo, el pasivo y el capital contable actual de la empresa ya se encuentran invertidos, por lo cual evaluar su costo sería irrelevante. Lo que vale la pena es determinar el costo ponderado de las diferentes fuentes que se van a captar en el fu turo y compararlo con el rendimiento esperado de los proyectos de inversión que se tienen en cartera. Si dichos proyectos de inversión generan un rendimiento mayor al costo pro medio ponderado del capital, el precio de mercado de la acción aumentará. ·Conociendo las fuentes de fmanciarniento que se van a captar, sus costos después de impuestos y el porcentaje que cada una representa del total obtenido, entonces, el costo ponderado de capital vendría dado por la expresión: n K
K¡X¡
:¿ i=
1
donde: K K¡
= Costo promedio ponderado del capital. = Costo después de impuestos de la fuente i.
(10.28)
198 Costo de capital X¡
=
n
=
Porcentaje que la fuente i representa del totai de fondos próximos a recabarse. Número de alternativas de financiamiento próximas a obtenerse.
Para finalizar este capítulo se explica cómo el costo ponderado del capital es evaluado. Pa ra esto, suponga que una empresa piensa obtener fondos a través de un préstamo banca rio, una emisión de obligaciones y otra de acciones comunes. Además, para que la empresa
1: 1 se ha pensado en solicitar un préstamo bancario. $25,000, emitir obligaciones por $25,000 y finalmente emitir acciones comunes por valor de $50,000. El costo después de impuestos de estas fuentes de financiamiento son de: 10%, 11% y 15% respectivamente. Para la información anterior, la aplicación de la ecuación (10.28) produce un valor para el costo p_onderado del capital de 12.75% (ver tabla 10.12). Lo anterior significa que mantenga una estructura financiera por
todos los proyectos que se van a emprender utilizando parte del capital obtenido a través de estas fuentes, d�berán tener un rendimiento mayor al costo ponderado de las mismás.
TABLA 10-12. Costo ponderado del capital
Cantidad
Proporción
Costo
obtenida
con respecto
después de
Costo
al total
impuestos
ponderado
por fuente
Préstamo bancario
25%
.10
2.50
Obligaciones
25,000
25
.11
2.75
Acciones comunes
50.000
50
.15
7.50
$ 25,000
$100,000
12.75%
10.9 CONCLUSIONES A lo.largo de este capítulo se ha explicado la forma de evaluar el costo de las dife rentes fuentes de financiamiento (externas e internas) que la empresa utiliza para financiar sus proyectos de inversión. Sin embargo, el punto más importante de este capítulo es com prender que un proyecto de inversión debe ser aceptado si su tasa interna de rendimiento supera el costo ponderado del capital utilizado para emprenderlo. Otra cuestión muy importante a enfatizar, es el hecho de que el conocimiento del costo de las diferentes al ternativas de fmanciamiento a las cuales una empresa tiene acceso, permite tomar mejores decisiones en cuanto a estructuras financieras, puesto que es obvio que el problema de seleccionar la fuente de fmanciamiento más adecuada debe ser resuelto independiente mente de la utilización que se les den a los fondos obtenidos. Comprender con exactitud el costo que cada fuente de fmanciamiento implica, per mite también en algunas ocasiones substituir una fuente por otra, por ejemplo, si nos percatamos que el costo de no aprovechar un descuento es demasiado alto, entonces, vale la pena preguntarnos cuál sería el costo de un préstamo que cubriese el saldo promedio que normalmente se tienen con los proveedores. Si el costo del préstamo es menor, sigru fica que en lo sucesivo se deberían pedir préstamos y aprovechar siempre los descuentos por pronto pago.
Problemas 199
·También, de este capítulo se puede concluir que la mejor forma de fmanciarse siem pre será con pasivo, puesto que los intereses son deducibles. Además, si los pasivos se captan a tasas fijas y en ambientes inflacionarios, entonces el costo de esta fuente se reduce considerablemente. Por otra parte, es bien sabido que los dividendos no son deducibles, además, generalmente éstos crecen de acuerdo a las tasas de inflación prevalecientes. Lo an\erior origina que el costo de las fuentes internas de la empresa sea generalmente supe rior al costo de las fuentes externas. Sin embargo, a pesar de saber que el pasivo es más barato que el capital contable, una empresa no puede aumentar en forma desmedida su nivel de pasivo, ya que éste debe ser regulado de acuerdo a su liquidez y capacidad de endeudamiento. Finalmente, es importante resaltar el hecho de que si bien la inflación castiga enor memente "los méritos económicos y fmancieros de un proyecto de inversión, también disminuye considerablemente el costo real de las fuentes de fmanciamiento de largo plazo, es decir, si un proyecto es fmanciado con un crédito hipotecario en una época en la cual la tasa de inflación promedio anual es mayor que el costo anual fijo pactado para este préstamo, entonces, el costo real de esta alternativa de fmanciamiento es negativa. Bajo este supuesto el proyecto deberá ser aceptado si su tasa interna de rendimiento es positiva.
PROBLEMAS 10.1.
Los términos de venta de un proveedor para un producto con valor de $1,000 son: 1) 2% de descuento por pronto pago si la factura es liquidada dentro de los 1 O días siguientes a la fecha de compra, ó 2) el neto si se paga a treinta días. ¿Cuál es el interés efectivo anual de no aprovechar el descuento?
10.2.
Una persona ha solicitado un préstamo bancario directo a seis meses por la can tidad de $100,000. La institución bancaria exige un interés de 1% mensual simple pagado anticipadamente, y los gastos bancarios incurridos en la captación de este préstamo son de $10,000. ¿Cuál es el interés efectivo anual que pagaría esta per sona si acepta el préstamo?
10.3.
Una empresa ha solicitado un préstamo bancario directo a seis meses por la canti dad de un inillón de pesos. La institución bancaria exige: una reciprocidad del 10%, intereses al 1.5% mensual simple pagados anticipadamente y gastos bancarios por $50,000. ¿Cuál-es el interés efectivo anual que pagaría esta empresa si acepta el préstamo?
10.4.
La compañía W ha emitido $20,000,000 en obligaciones al 22% anual con venci miento a cinco años. Los gastos de emisión se estiman en $1,000,000. Si la tasa de impuestos es de 50%, y la inflación en los próximos años es 20%, ¿cuál es el costo de esta fuente de fmanciarniento sin considerar y tomando en cuenta la inflación?
10.5.
La compañía X ha obtenido un préstamo de $50 millones a 5 años de una institu ción bancaria del país, la cual le cobrará el 20% sobre saldos insolutos. También, considere que la obtención de tal préstamo le ocasionó a la empresa gastos del or den de $2,000,000. Si la tasa de impuestos es de 50%, y la inflación promedio anual en los próximos años es de 18%, ¿cuál es el costo de este pasivo a largo plazo sin considerar y tomando en cuenta la inflación?
1 O .6.
Una empresa ha solicitado un préstamo de $40 millones a una institución bancaria del país a un plazo de 10 años. Además, la gerencia de planeación estratégica de esta empresa estima que la inflación en los próximos 3 años será de 15%, en los
200 Costo de capital ·
3 años subsigUientes será .de 18%, y en los últimos 4 años se estima que será de . 22%. Por otra parte, la gerencia de planeacion considera que la institución ban caria pensando en las
.____
s de inflación que van a prevalecer en el futuro, cobrará
..... ---
intereses de 20% en los tres primeros años, de 25% en los siguientes 3 años y -
-
8%
en los últimos cuatro años� Sí ra captación de este pasivo le originó a la empresa gastos del orden de $1,500,000, y la tasa de impuestos es de 50%, ¿cuál sería el. costo real de esta fuente de fmanciamiento? 10.7.
Una empresa ha solicitado un préstamo a una institución bancaria de los Estados Unidos. La magnitud del préstamo es de $5 millones de dólares, el plazo para pa garlo es 10 años, y la tasa de interés es de 12% sobre sal�os. Además, esta empresa estima que la paridad en el año t puede ser obtenida de acuerdo a la siguiente ex presión:.
t
(1 +INM.) J
1T p t
=
p o
J
=
1
y P0
t
=
23 pesos
(1 +INUSA¡ )
1T
j
=
1
donde: INM¡ INUSA¡
=
tasa de inflación en México para el año j.
=
tasa de inflación en Estados Unidos para el año j.
Si las tasas de inflación en México y Estados Unidos para los próximos 1O años son:
Año México U.S.A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
18
20
22
25
28
30
35
40
50
8
10
12
f4
16
18
20
22
24
25
Los gastos que origina la obtención del préstamo son de dos millones de pesos y la tasa de impuestos es de 50% , ¿cuál es el costo real de este pasivo de largo plazo en moneda extranjera?
(
u\ 10.8.
esolver el problema anterior suponiendo que las tasas de interés que cobra la stitución bancaria en los próximos 1o años son:
Año Tasa de interés
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
-----
Problemas 201
10.9.
La compañía X desea establecer un contrato de arrendamiento de un activo que
tiene un precio de mercado de $500,000 y una vida fiscal de 5 años. El plazo del co!ltrato es de 5 años y la renta anual es de $220,000. Además, en el contrato se estipula que la compañía X comprará el activo al fmal del año 5 a un precio de $30,000. Si los gastos de apertura de crédito son de $5,000, la tasa de impuestos es de 50%' y la inflación promedio anual de los próximos años es de 15%' ¿cuál es el costo de este arrendamiento sin considerar y tomando en cuenta la inflación? 10.10. La compañía Z desea establecer un contrato de arrendamiento de un activo que tiene un precio de mercado de $3,000,000 y una vida fiscal de 5 años. El plazo del contrato es de 3 años y la renta anual es de $1,400,000. Además, en el contrato se establece que la compañía Z a¡lquirirá el activo al término del plazo del con trató a un precio de $100,000. Si los gastos de apertura de crédito son de $30,000, la tasa de impuestos es de 50%, y la inflación promedio anual en los próximos años es de 20%, ¿cuál es el costo de este arrendamiento sin considerar y tomando en cuenta la inflación. (Asuma una TREMA del 25%) 10.11. Cierta empresa ha emitido acciones preferentes por valor de $15,000,000 y los gastos de emisión incurridos fueron de $750,000. Si el dividendo es un 20% del valor nominal de la acción (considere que siempre se reparte), la tasa de iinpuestos es de 50%, y la inflación promedio anual de los próximos años es de 15%, ¿cuál es el costo ql,le esta emisión representa para la empresa? 10.12. Cierta empresa ha emitido acciones comunes por valor de $10,000,000. Tal emi sión originó gastos totales del orden de $600,000. Esta empresa espera repartir en el primer año $1,800,000 en dividendos, los cuales se espera que crezcan a una ra
/8-oTo) Si la tasa de impuestos es de 50%, y la inflación promedio anual xJna{años es de { �o , ¿cuál es el costo que para la empresa representa esta emisión de acciones coW s?
zón anual d de los pró
10.13. La compañía "B" con el propósito de fmanciar la gran cantidad de propuestas de inversión que actualmente se están analizando, ha decidido incrementar el pasivo y el capital contable en una proporción de 1: l . Para este propósito la compañía "B" ha solicitado un préstamo por $5,000,000, ha emitido obligaciones por valor
de $5,000,000 y fmalmente ha emitido acciones comunes por valor de $10,000,000. Si los costos después de impuestos de estas fuentes de financiamiento son de 12%, 14% y. 20% respectivamente, ¿cuál es el rendimiento mínimo que los proyectos que se están analizando deben rendir p�ra que se justifique el empleo del capital para adoptarlos?
1;_ X. VrY\ d\ ·
,
Apéndice "A" al capítulo 10
Amortización creciente, un nuevo método de amortización
Análisis comparativo de los métodos de amortización 205 A.lO.l INTRODUCCION
En
la actualidad, la gran mayoría de las organizadones públicas y privadas atravie
san por graves problemas de liquidez. Este problema se debe principalmente a la crisis
económica que vive el país y que ha traído consigo una baja significativa en la demanda
agregada. Si a lo anterior se añade que esta crisis sorprendió a la mayoría de las organiza
ciones con altos endeudamientos en moneda nacional y extranjera, entonces se compre'n de por qué ahora las empresas enfrentan problemas fmancieros tan serios.
Conscientes de la problemática anterior, el Gobierno Federal a través del Banco de
México, ha instrumentado una serie de procedimientos tendientes a aliviar el problema
de liquidez de las empresas. El primer sistema que se creó fue FICORCA (Fideicomiso de
. cobertura de riesgos cambiarios), y ahora la mayoría de los créditos que otorga FONEI, pueden ser amortizados en forma creciente, al igual que fueron estructurados los créditos
en moneda extranjera mediante dicho fideicomiso. La clave de esto's nuevos sistemas de amortización creciente que otorga FONEI, está en adecuar de mejor manera las eroga
•
ciones del deudor a su capacidad de pago, evitando con ello que dichas erogaciones se re
carguen, en términos reales, en la primera etapa de vida del crédito, lo cual normalmente ocurre con los procedimientos tradicionales de amortización.
El presente apéndice, por consiguiente, tiene como objetivo principal hacer un aná
lisis comparativo de los procedimientos tradicionales de amortización, con el nuevo mé
todo de amortización creciente.
A.l0.2 ANALISIS COMPARATIVO DE LOS METODOS TRADICIONALES DE AMORTIZACION En el presente inciso se analizan en forma comparativa los métodos de amortización
que actualmente se usan con más frecuencia. En este punto en particular se hará énfasis en los flujos de efectivós que resultan con cada uno de los métodos, así como en el com
portamiento que se tendrá en Jos saldos del crédito al utilizar diferentes formas de amor
tización.
Para propósitos del análisis comparativo, se considera que se ha obtenido un cré
dito de $1 ,000 a una tasa del 60% anual y a un plazo de ocho años; y para entender la
derivación matemática del flujo de efectivo que resulta en cada tipo de amortización, a continuación se explica el significado de cada una de las variahles que serán utilizadas:
P Ax
= =
n
=
i
=
Sx Ix A.l0.2.1
= =
Valor del crédito. Valor de la amortización anual del año x.
Plazo del crédito.
\
Tasa de interés anual.
Saldo del crédito al fmal del añG x.
Incremento del saldo del crédito en el año x.
Flujo de
efectivo cuando la amortización es constante
Si el crédito que se menciona en el párrafo anterior se amortiza en cantidades igua
les cada año, el valor de la amortización vendría dado por la siguiente fórmula:
Ax
=
P
(
i
(1
+
i)n
(l+i)-1 n
¡
Para
x =
1 , 2, ..
.
. .n
'
206
Apéndice A al capítulo
1O
Por consiguiente, el saldo del crédito al final del año
x sería como se muestra a C<'ln
tinuación (ver tabla A.lO.l):
¡
ifSx �P (! +
¡
i (1 + i)n (1 + i)n -1
i (1 + i)n+l (1 + i)n -1
i)n +2 i (1 + i) n -1
(!+ •)"+(x-•l (1 + i)n -1
i(I
+
l
Es evidente que este saldo al final del año n, debe ser cero. Lo anterior se demuestra 1, al fmal de este apéndice.
en el apéndice
Si aplicamos las fórmulas presentadas en la tabla A.lO.l al ejemplo antes mencio
r:
_9-
nado se obtienen los resulta os que aparecen en la tabla A.l0.2.
' ¡
1 t
r
TABLA A.10.2. Flujo de efectivo cuando la amortización es constante.
1
Saldo del crédito al Saldo del
Saldo del
crédito al
¡
1
ll
...
crédito al
Amortización
principio
intereses
final
al final
deducir la
Año
del año
devengados
del año
del año
amortización
1 2 3 4 5 6
$l,QOO.OO 985.70 962.82 926.21 867.64 773.92 623.97 384·.05
$600.00 591.42 577.69 555.73 520.58 464.35 374.38 230.43
$1,600.00 1,577.12 1,540.51 1,481.94 1,388.22 1,238.27 998.35 614.30
7
8
'
final del año
'
después de
$614.30 614.30 614.30 614.30 614.30 614.30 614.30 . 614.30
$985.70 962.82 926.21 867.64 773.92 623.97 384.05 o
Flujo de efectivo cuando el capital se amortiza en partes iguales y los intereses son sobre saldos insolutos
A.l0.2.2
y los intere x se calcularía con la si
Si en el crédito en mención, se amortiza su capital en partes iguales, ses son sobre saldos insolutos, �ntonces la amortización del año guiente fórmula:
Ax��+P{!-
Así, el .saldo del crédito
(x ;;- 1 )
�
al final del año x sería como se muestra a continuación (ver
tabla A.l0.3): X
sx =Po- n)
TABLA A.10.3.
Flujo de efectivo cuando el capital se .amortiza en partes iguales y los intereses son sobre saldos insolutos .
Año
Saldo del crédito al principio del año
1
p
Intereses #vengados
Saldo del crédito al final del año
•
p (1
P¡
---
.
+
Amortización al final del año
!.+pi
i)
n
Saldo del crédito al final del año después de deducir la amortización
p
:t..
1
:::r 1:1.
;;e:·
(1- -) n
C'\ <;:)
1 P(l-·-)
2
n
.
P(l-l)i
P(l - l)( l
n
n
+
1 . p - + P( l - -) z n n
i)
.g �::t.
p (1- -) 2
n
� �
. . X .
p(1 - (x -J2) •
.
n
p (1
_
(x n
1)
) i
p(1 - (x - 1) ) (1 n
+
i)
!_ + p (1 n
_
(x - 1 ) )i n
P(l- -) n X
.
�-
. .
n
S'
..
�
p(1 - (n -1)) n
-1) P(l-.Q!_ )i n
- -- -
.
Q
p (1 - (n - 1) ) (1 .
----- --- -
. n
-- -�
+
i)
----L-
!_ + P (1 n
_
(n - 1) )i n
P(l--)=0 n n
a , �
�
<;:)
a
�· Q; :::1 N e ....,¡
,.
208 Apéndice A al capítulo 1 O
Si se aplican las fórmulas presentadas en la tabla A.10.3 a los datos presentados en el ejemplo anterior, se obtienen los resultados que aparecen en la tabla A.l0.4. TABLA A.10.4. Flujo de efectivo cuando el capital se amortiza en partes iguales y los in tereses son sobre saldos insolutos. Saldo del crédito al final de(año
Saldo del
Saldo del
crédito al
crédito al
Amortización
después de
principio
Intereses
final
al final
deducir la
del año
devengados
del año
del año
amo rtización
1 2 3
$1,000.00 875.00 750.00
$600.00 525.00 450.00
$1,600.00 1,400.00 1,200.00
575.00
625.00
4
625.00
375.00
1,000.00
500.00
500.00
Año.
$725.00 650.00·
$875.00 750.00
S
500.00 375.00
300.00 225.00
800.00 600.00
425.00 350.00
375.00
6 7
250.00
150.00
400.00
275.00
125.00
8
125.00
75.00
200.00
200.00
o
250.00
Flujo de efectivo cuando la amortización es en forma creciente, pero con valor presente constante
A.l0.2.3
Las formas de amortización que se presentan en los dos párrafos anteriores, _son las tradicionalmente utilizadas. Sin embargo, recientemente a raíz del FICORCA surgió una nueva forma de amortización, cuya característica principal es que el valor presente de to das las amortizaciones que se harán para saldar el crédito, es constante. Si el crédito del ejemplo que se ha venido utilizando se amortiza de acuerdo con este nuevo procedimiento, entonces la amortización del año x vendría dada por la siguien te fórmula:
Ax
=
*
(1 + i)x
Y el valor presente de la amortización A
VP
==
x
vendría dado por:
� (1 + i)x /(1 + i)x * =
Lo anterior significa que el valor presente de cualquier amortización que se haga en el futuro seráP/n.
· Para este nuevo sistema de amortización, el saldo del crédito al fmal del año x sería
como se muestra a continuaciÓn (ver tabla A.10.5):
Sx
=P(I
+ i)x (1-
�)
TABLA A.lO.S.
Alfo
Flujo de efectivo cuando la amortización es en forma creciente pero con valor presente constante
Saldo del crédito al principio del alfo
Intereses devengados
Saldo del crédito al final del alfo
Amortización al final del año
Saldo del crédito al final del año después de deducir la amortización
p
P¡
p (1+i)
!. n (1+i)
P(1+i)(1- ..!_) n
) P(1+i)2(1-..!. n
!.(J=i) 2 n
P(1+i)2 (1-l) n
�
2
X
n
) P(l+i)(l-1. n
P(1+i)X-l (1-�) n P(1 +i)n-J
n (1- ( -12) n
p(1+i)(1 -
i l.) n
::S Q,
-
¡¡;· t;· ("¡ e 3 �
�
::t. -.: e
P(1+rY-1 (1-�) i n
p (1+i)x (1 -
(x;;1))
!.,(1 +i )x n
) P(1+i)x (1-.?:. n
PÚ+i)n-l (1- ..0...=..!l) i n
) P(1+i)n (1-� n
!. (1 +i)n n
P(1 +i)n (1- !J.)= O n
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S' ... 3 �-
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§.. � Q
3 e
..
)
R· �
5� ::S
� Q -.e
1
u
21 O Apéndice A al capítulo 1 O Y puesto que la cantidad amortizada en las etapas iniciales del crédito es inferior a los intereses devengados, el saldo del crédito en estas primeras etapas aumentaría. En particular, el aumento del saldo del crédito en los primeros años y la reducción de dicho saldo en los últimos, se obtendría con la_ siguiente fórmula:
J
x
=
P
(i + i)x-'
i
i
-
� (1
+
xi)
.. ,
]
Si se áplican las fórmulas presentadas en la tabla A .1 O .5, a los datos del ejemplo ci tado, se obtienen los resultados que se muestran en la tabla A.l0.6. TABLA A.10.6. Flujo de efectivo cuando la amortización es en forma creciente pero con
valor presente constante. Saldo del
crédito al
Año
Saldo del crédito al principio del año
1
$1,000.00
2 3 4
1,400.00 1,920.00 2,560.00 3,276.80 3,932.16 4,194.30 3,355.44
S
6 7 8
final del año después de deducir la
Saldo del Intereses devengados $
600.00
crédito al final del año
840.00
$1,600.00 2,240.00
1,152.00 1,536.00 1,966.08 2,359.29 2,516.58 2,013.26
3,072.00 4,096.00 5,242.88 6,291.45 6,710.88 5,368.71)
Amortización al final del año $
amortización
200.00
$1,400.00
320.00 512.00 819.20 1,310.72 2,097.15 3,355.44 5,368.70
1,920.00 2,560.00 3,276.80 3,932.16
�
4,194.30 3,335.00 o
A.l0.2.4
Comparación de los flujos de efectivo que resultan con cada forma de amortización Los tres métodos de amortización son presentados en forma gráfica en las figuras
A.IO.l y A.lO.i. Por ejemplo, en la figura A.lO.l se muestra la amortización anual que resulta en cada método de amortización y la figura A.10.2 muestra el saldo del crédito al final del año. En estas gráficas se puede observar cómo el nuevo método de amortiza ción creciente tiene un comportamiento totalmente distinto al de los métodos tradicio nalmente usados. Este nuevo comportamiento representa para el nuevo método en cues tión una serie de ventajas y desvent�jas: Ventajas: Entre las ventajas que ofrece el método de amortización creciente, se pue den mencionar las siguientes:
1) Libera una gran cantidad de flujo de efectivo en los
primeros años de vida del crédito, lo cual garantiza la buena marcha del negocio en sus inicios,
2) Se mejoran los índices fmancieros de liquidez, puesto que el exceden
te de efectivo que resulta de los intereses no liquidados normalmente aumenta los niveles de activo circulante de la empresa (los intereses no liquidados se convierten en pasivos de largo plazo). y
3)
Puesto que las amortizaciones son pequeñas en los
primeros añ�, el índice de cobertura se mejora significativamente.
Amortización Amortización creciente
5,000
- -- - -
Amortización constante
-- -- -
Amortización constante de capital e interés sobre saldos
4,000
�
:::!
2.: o::· o::·
3,000
!") Q
� a
�-
2,000
�
Q ..
;:¡
(11,
o
� ..
1,000
�
1::1 ------
;:¡ -
Q ...
--
Año 2
3
4
5
6
FIGURA A.lO.l. Amortización anual de lo\ tres métodos de amortización.
7
8
il· �
s� :::!
N .... ....
¡...) ,_. ¡...)
Saldo del crédito
;¡,.
�-
4,000
::S
S.
(')' �
;¡,. Q (')
.§
ª'
3,000
CS'
..... e
Amortización creciente 2,000
1,000
------
-
A m ortización constante
----
-- -----�·
-------
........ -- ....... .....
--
- .......
.....
--
.....
-------
Año 2
4
5
6
FIGURA A.10.2. Saldo del crédito para los tres métodos de amortización.
7
8
Costo después de impuestos'
213
Desventajas: Las ventajas anteriores pueden ser contrarrestadas o eliminadas si los excedentes del flujo de efectivo que se originan en las etapas iniciales del erédito, no son manejados en forma efectiva y rentable. Las desventajas que pueden surgir
�1 final de la vida del crédito son
las siguientes: 1) El pasivo y los gastos finan-
cieros crecerán en forma excesiva, lo cual puede originar problemas de liquidez, y
2) La utilidad puede ser negativa.
A.10.3 COSTO DESPUES DE IMPUESTOS QUE SE OBTIENE CON LOS DIFERENTES METODOS DE AMORTIZACION
En las secciones anteriores se hizo un análisis comparativo de los métodos tradicio nales de amortización con el nuevo método de amortización creciente. En este análisis se enfatizaron las ventajas que el método de amortización creciente tiene sobre los de más. Sin embargo, existe otro factor que es necesario considerar en la comparación
�
.de
es� s tip s de amortización. Este f ct r es el costo despué s de im e resulta al � � � � _ utiliZar diferentes formas de amortiZación. Este factor obviamente resulta mas relevante
y más objetivo al comparar y seleccionar la forma de amortizar un nuevo crédito. Por con
siguiente, en esta sección se determinará, para cada tipo de amortización, el costo después de impuestos del ejemplo planteado al principio de este apéndice.
A.l0.3.1 Costo después
de i mpuestos cuando la amortización es
constante
Para determinar el costo después de impuestos cuando la amortización es constan te, es necesario hacer referencia a la tabla
A.l0.2, donde se puede observar que la amor
tización anual durante 8 años para saldar un crédito de $1,000.00 será de $614.30. La diferencia entre esta cantidad y los intereses devengados que se muestran en la columna dos de la tabla A.l0.2 es precisamente el abono a capital. Consecuentemente, con la amor tización del principal y los intereses devengados se podrá determinar el costo después de impuestos. Esta información aparece en la tabla
A.l0.7. Como se puede apreciar en esta
tabla, el costo después de impuestos que resulta con este tipo de amortización es de 30%. Este costo, es la tasa de interés que reduce a cero el valor presente de la última columna de la tabla A.10.7.
A.l0.3.2 Costo después de impuestos cuando�� capital se amortiza en partes iguales y los intereses son sobre saldos insolutos
Para este caso en particular, el capital se amortiza en parte iguales, es decir, en $125.00 anuales y los intereses, por consiguiente, son sobre saldos insolutos. Los flujos de efectivo para calcular el costo después de impuestos, se muestran en la tabla A.l0.8. En esta tabla se puede apreciar que la tasa de interés que reduce a cero el valor presente
de la última columna es de 30%. Consecuentemente, al igual que en el caso anterior el costo después de impuestos resulta el mismo, como era de esperarse.
'
'
214
Apéndice A al capítulo 1 O
TABLA A.10.7. Costo después de impuestos del crédito, si la amortización es constante. Flujo de efectivo antes
Flujo de
de impuestos Año
Capital
Cantidad
Aho"o en
efectivo después
Intereses
deducible
impuestos
de impuestos
-314.30
o
1,000.00
1
-14.30
-600.00
-600.00
300.00
2
-22.90
-591.42
-591.42
295.71
-318.59
3
-36.60
-577.69
-577.69
288.84
-325.46
4
-58.60
-555.73
-555.73
277.86
-336.44
5
-93.70
-520.58
-520.58
260.29
-354.01
6
- 149.90
-464.35
-464.35
232.17
-382.13
7
-
-374.38
-374.38
187.19
-427.11
-230.43
-230.43
115.21
-499.09
8
23 9..92
- 38J.87
1,000.00
""'
COSTO REAL
•
,
�·
..
=
30%
s�
A.l0.3.3 Costo después de impue fonna creciente pero con valor presente constante
n es en
Cuando la amortización es en forma creciente pero con valor presente constante, el flujo de efectivo que resulta al saldar el crédito en cuestión, se muestra en la tabla A.l0.6. ·En esta tabla se puede observar que en el primer año, por ejemplo, la amortización de $200.00 es menor a los intereses generados de $600.00, y en consecuencia, el pasivo aumen-
tará en $400.00. Sin embargo, se podrán deducir en el primer año de vida del crédito los
1� -
intereses por valor de $600.00. Toda esta información aparece en la tabla A.l0.9. Para el aijo 2 (ver tabla A.l0.6) la amortización es de $320.00 y los intereses devengados son de
$840.00, por lo que el pasivo aumenta $520.00 y la cantidad a deducir será $840.00 (ver
tabla A.10.9).
"
TABLA A.10.8. Costo después de impuestos del crédito, si el capital se amortiza en partes
iguales y los intereses son sobre saldos insolutos. Flujo de
Flujo de
efectivo antes Cantidad
Aho"o en
efectivo después
Intereses
deducible
impuestos
de impuestos
de impuestos Año
Capital
o
1,000.00
1
-125.00
-600.00
-600.00
300.00
-425.00 -387.50
1,000.00
2
-125.00
-525.00
-525.00
262.50
3
-125.00
-450.00
-450.00
225.00
-350.00
4
-125.00
-375.00
-375.00
187.50
-312.50
5
-125.00
-300.00
-300.00
150.00
-275.00
6
-125.00
-225.00
-225.00
112.50
-237.50
7
-125.00
-150.00
-150.00
75.00
8
-200.00
-125.00
-
-
37.50
-162.50
75.00
75.00
COSTO REAL
=
30%
Costo después de impuestos 215 Con base en lo anterior, se puede observar en la tabla A.10.9 que en los primeros 6 años de vida del crédito, el pasivo aumenta hasta un valor de $4,194.3 (ver tabla A.10.6),
cantidad que es amortizada en los años 7 y 8. Por otra parte, la cantidad que aparece co mo deducible en la tabla A.l0.9, es la columna 2 de la tabla A.l0.6. Finalmente, la tasa de interés que reduce a cero el vaior presente de la última columna es 11.9%. Como se p\lede observar, el costo después de impuestos que resulta con esta forma de amortiza ción, es mucho menor al obtenido en los dos casos anteriores. La explicación de esta diferencia en los costos, se basa en que en la última forma de amortización se deducen
la totalidad de los intereses devengados, aunque no sean desembolsados.
A.l0.4 COSTO DESPUES DE IMPUESTOS QUE SE OBTIENE EN LOS DIFERENTES METODOS DE AMORTIZACION, AL
/ �
CONSIDERAR LA INFLACION.
En las tablas A.10.10, A.lO.ll y A.1 0. 12 se muestra el costo después de impuestos que se obtiene con los diferentes métodos de amortización, al considerar una inflación anual de 60%. El costo real que resulta en los dos casos de amortizacion tradicional es de - 18.75%, y en cambio, con amortización creciente, el costo real que resulta es de
- 30.03%.
Se observa que la ventaja obtenida en costo con el método de amortización·
creciente se mantiene, así se considere o no la inflación. Más específicamente, )a ventaja sin considerar inflación es de 18.1%, y considerándola es de 11.28%.
TABLA A.I0.9. Costo después de impuestos del crédito, si las amortizaciones son crecien
tes c on valor pre8ente constante.
Año o
1 2 3
4
5 6 7
8
Flujo de efectivo antes de impuestos Intereses* Capital 1,000.00 400.00
520.00
640.00 716.80 655.36 262.14 -838.86 - 3,35 5.44
-200.00 -320.00
-512.00 -819.20 -1,310.72 -2,097.15 -2,516.58
-2,013.26
Cantidad deducible
Aho"o en impuestos
-600.00
300.00
-1,536.00
768.00
-840.00 -1,152.00
420.00 576.00
-1,966.08 -2,359.29
1,179.65
-2,013.26
1,006.63
-2,516.58
COSTO REAL
=
983.04
1,258.29
Flujo de efectivo después de impuestos 1,000.00
500.00
620.00 704.00
665.60 327.68
- 655.36
-2,097.15
- 4,362.07
11.9%
*Puesto que en los primeros seis años de vida del crédito la amortización es menor que los intereses devengados, entonces, en esta columna aparecerá precisamente dicha amortización. En los años 7 y 8 la amortización ya es mayor que los intereses devengados, y por consiguiente, en esta columna aparecen dichos intereses.
·
216
Apéndice A al capítulo
JO
TABLA A.lO.lO. Costo después de impuestos del crédito, si la amortización es const�nte y se considera una inflación anual de 60%.
Año
Flujo de efectivo antes de impuestos Intereses Capital
·
Cantidad deducible
Ahorro en impuestos
Flujo de Flujo de efectivo . efectivo después de después de· ·impuestos impuestos (pesos (pesos comentes) constantes) $1,000.00
$1,000.00
o
1,000.00
1
- 14.30
-600.00
-600.00
300.00
-314.30
-196.44
2
- 22.90
-591.42
-591.42
295.71
-318.59
-124.45
3
- 36.90
-517.69
-577.69
288.84
-325.46
4
- 58.60
-555.73
-555.73
277.86
-336.44
5
- 93.70
-520.58
-520.58
260.29
-354.01
- 33.76
6
-149.90
-464.35
-464.35
232.17
-382.13
- 22.78
7
-239.92
-374.38
-374.38
187.19
-427.11
8
-383.87
�230.43
-230.43
115.28
. �- �.09
- 1�:46
- 51.34
-
15.91
�
=
COSTO REAL=
-
18.75%
TABLA A.lO.ll. Costo después de impuestos del crédito, si el capital se amortiza en
p ar
tes iguales y los intereses son sobre saldos insolutos y además se considera una inflación anual de 60%.
Año
Flujo de efectivo antes (le impuestos Capital Intereses
Cantidad deducible
Ahorro en impuestos
Flujo de Flujo de efectivo ·efectivo después de después de impuestos impuestos (fJeSOS (pesos corrientes) constantes)
o
$1,000.00
$1,000.00
$1,000.00
1
-125.00
-600.00
-600.00
300.00
-425.00
-265.63
2
-125.00
-525.00
-525.00
262.50
-387.50
- 151.37
3
-125.00
-450.00
-450.00
225.00
-350.00
-
4
-125.00
-375.00
-375.00
187.50
-312.50
- 47.68
5
-17.".00
-300.00
-300.00
150.00
-275.00
- 26.23
6
-125.00
-225.00
-225.00
112.50
-237.50
- 14.16
7
-125".00
-150.00
-150.00
75.00
-200.00
-
7.45
8"
-125.00
-
-
37.50
-162.50
-
3.78
75.00
75.00
COSTO REAL=- 18.75%
85.45
<;onclusiones
217
TABLA A.l0.12. Costo después de impuestos del crédito, si las amortizaciones son cre cientes pero con valor presente constante, y además se considera una inflación anual de 60%.
Flujo de efectivo antes. de impuestos Intereses Capital
.Año
Cantidad deducible
Aho"o en impuestos
Flujo de efectivo después de impuestos (pesos corrientes)
Flujo de efectivo después de impuestos (pesos constantes)
$ 1,000.00
$ 1,000.00
o
$ 1,000.00
1
400.00
-
200.00 -
600.00
300.00
500.00
312.50
'2
520.00
-
320.00 -
840.00
420.00
620.00
242.19
3
640.00
- ·512.00 -1,152.00
576.00
704.00
171.88
4
716.80
-
819.20 -1,536.00
768.00
665.60
101.56
5
655.36
-1,310.72 -1,966.08
983.04
6 7
262.14
-2,097.15 -2,359.29
1,179.65
838.86
-2,516.58 -2,516.58
1,258.29
-2,097.15
-
78.12
-3,355.44
- 2,013.26 -2,013.26
1,006.63
-4,362.07
-
101.56
-
8
COSTO REAL
A.l 0.5
=-
327.68 -
655.36
31.25 -
39.06
30.03%
CONCLUSIONES
Del análisis presentado en las secciones anteriores, se puede concluir que el nuevo sistema de amortización creciente que se utiliza en FICORCA y que en lo sucesivo se uti lizará
�n
la mayoría de los créditos otorgados por FONEI, es muy atractivo y viene a lle
nar un hueco que se requería satisfacer para sacar adelante a las empresas existentes, y asegurar la buena marcha de muchos de los negocios que se emprendan en lo sucesivo. En resumen, se puede decir que el nuevo método de amortización creciente pre senta las siguientes ventajas: 1) Libera flujo de efectivo en las -primeras etapas de la vida del crédito, 2) Se mejoran los índices fmancieros de liquidez y de cobertura de deuda y 3) La principal, el costo después de impuestos que se obtiene, es mucho menor al obte nido con los métodos tradicionales de amortización. Además de las ventajas anteriores del nuevo método de amortización, conviene mencionar las condiciones principales en las que FONEI otorga sus créditos, y que son: 1) Los intereses se cobran vencidos y no en forma anticipada como se realiza tradicional mente en la banca comercial, 2) No se cobra comisión por apertura de crédito, 3) No se exige reciprocidad, 4) La diferencia que se cobra arriba de cpp es fija, y no revisable co
mo normalmente se acostumbra en la banca comercial y 5) Las garantías físicas que se exigen por el crédito son menores a las que la banca exige para otorgar el crédito. En consecuencia, esta situación reduce aún más la tasa efectiva que resulta al utilizar un cré dito de FONEI.
Finalmente, es conveniente mencionar que este nuevo sistema de amortización aún no se utiliza en forma generalizada. El principal obstáculo a vencer es la propia banca. Los argumentos que se exponen son los siguientes: 1) Inmovilizaría una gran cantidad de re cursos si una gran parte de los créditos se otorgan con el nuevo esquema, 2) Puesto que
218
Apéndice A ol capítulo
JO
ef capital de la deud� no se revalúa. se tendría una pérdida al momento de recuperarlo. Obviamente, estos dos obstáculos pueden ser vencidos si se considera, para el primer caso, que no todos los créditos se cambiarían simultáneamente a amortización creciente. Esto significa que si los créditos con el nuevo esquema se otorgan en forma paulatina, con el paso del tiempo las amortizaciones de los créditos más antiguos podrán apoyar las peque ñas amortizaciones de los créditos más recientes, y con ello se eliminaría el problema de liquidez de la banca. Con respecto
al segundo punto, si bien es cierto que el negocio para
la banca no resulta tan atractivo con el nuevo esquema de pagos crecientes, también es cierto que a través de estos nuevos esquemas, la banca podrá contnbuir en mayor medida al desarrollo económico de las empresas y de nuestro país.
SALDO DEL CREDITO CUANDO LA AMORTIZACION DE CAPITAL E INTERES ES CONSTANTE
�
El objetivo de este apéndice es demostrar que:
lo:
�
P
{
(1
+
i)n
_
i (1 + i)n+ (n _1) (1
·
i(1 + i)n (1 + i)n 1 -
+
}
i)n _1
1
i(l+i)n+2
i(1 +i)n+
(1 + i)n -1
(1 + i)n -1 (1)
�o
Por consiguiente, lo anterior se reduce a demostrar que:
� 1� ...
(1
+
i)n -1
{
(1 +i)n+ (n-') + + (1 + i)"
}
�
·
·
(1
·
+
·
(1 + i)"+'
+ (1
+ i)"., + (2)
i)"
Si se observa el lado izquierdo de la ecuación anterior, podemos detectar una progresión geométrica de razón (1 + i). Consecuentemente, la suma de esta parte de la ecuación la podemos obtener de acuerdo con el siguiente procedimiento:
S
=
(1 + i)n + (1
+
i)n + 1 + ( i + i)n +2 + .... (1 + i)n+ (n -1)
Si se multiplican ambos lados de esta ecuación por
S(1 +i) (1 + i)n+ 1 + (1 + i)n+ 2 =
Si se resta la ecuación
+
(1 + i) se obtiene:
(1 + i)n+ 3 +
(3) de la (4) se obtiene:
(3)
·
·
·
·
(1 + i)2n
(4)
Saldo del crédito 219
Si= (1 (1
S=
+
+
i)2n -(1
¡
i)n
i)n = (1
+
(1
+
i)n
+
{ (1
i)n
-1
+
i)n -1
}
(5)
¡
(6)
Si se sustituye la ecuación (6) en (2) se obtiene:
(1
+
i)n-
1
¡
(1
+
i)n
¡
(1
+
i)" - 1
11
Lo cual es exactamente lo que se quería demostrar.
�
(1
+
i)"
11 Efecto de· inflación en el rendimiento de un proyecto y el costo de la fuente utilizada para financiarlo
,
Recientemente se ha publicado gran cantidad de literatura acerca del impacto de la inflación en el rendimiento de un proyecto de inversión. Sin embargo, en esta literatura solamente se menciona la gran disminución que en el rendimiento de un proyecto origina la inflación y no se enfatiza el hecho de que la inflación al mismo tiempo que dismin]Jye el rendimiento del proyecto, disminuye considerablemente el costo real de las diferentes fuentes de financiamiento utilizadas por la empresa, llegando este costo a ser negativo en situaciones en las que la inflación es excesivamente alta. Es por estas razones que el objetivo
del presente capítulo es mostrar un panorama completo de las dos caras de la moneda, es decir, a través de una serie de ejemplos se va a señalar y enfatizar el impacto de �a inflación en el rendimiento de un proyecto y en el costo de la fuente utilizada para fmanciarlo. La idea principal que se pretende mostrar en este capítulo es la consistencia con la
que los proyectos de inversión deben ser evaluados. Por ejemplo, si una empresa no consi
dera la inflación en la evaluación de sus nuevos proyectos de inversión, entonces, los ren dimientos probables de estos proyectos deben ser comparados con el valor nominal
de su costo marginal de capital, o bien lo cual es más recomendable, con un valor de TREMA que sea mayor q�e este costo de capital. Por el contrario, si en una empresa la inflación es considerada en la evaluación de nuevos proyectos de inversión, entonces, los
rendimientos esperados de estos proyectos deben ser comparados con el valor real de su
costo marginal de capital, o bien deberán compararse con un valor de TREMA en el cual se
considere el efecto positivo que la inflación tiene en el costo marginal del capital (so bre todo, en los pasivos captados a largo plazo y a tasa fija).
También, es conveniente señalar que en la mayoría de las situaciones prácticas, las empresas consideran la inflación en la evaluación de sus nuevos proyectos de inversión. Sin
embargo, estas mismas empresas normalmente comparan los rendimientos así obtenidos, ' con el valor nominal de su costo marginal de capital. Obviamente, éon esta práctica se tendería a rechazar una gran cantidad de proyectos que lejos de perjudicar, beneficirían la situación fmanciera de la empresa.
·
Finalmente, conviene señalar que en los ejemplos que se presentarán posteriormente en este capítulo, se supone que los proyectos de inversión van a ser fmanciados con un cré dito hipotecario de largo plazo y a tasa fija. 221
�
222 Efecto de la inflación en el rendimiento de un proyecto
11.1 EFECTO DE LA INFLACION SOBRE EL RENDIMIENTO DE UN PROYECTO La tasa interna de rendimiento (ver capítulo
�
t
...
5)
como se le llama frecuentemente,
está defmida como la tasa de interés que reduce a cero el valor presente de una serie de ·
·
ingresos y egresos, es decir, la tasa interna de rendimiento de una propuesta de inversión es aquella tasa de interés ( i*) que satisface la ecuación.
n �
st
=O
t = o (1+i*)t
St
donde
--
(11.1)
es el flujo de efectivo neto después de impuestos en el período t. Sin embargo,
la expresión anterior s6lo es válida cuando no existe inflación. En el caso de que exista una tasa de inflación promedio anual de
( i 1),
la ecuación anterior debe ser escrita en la
forma siguiente.
s't /(1
n
�
,.
�-
_
t=o
(1
+ i¡)t
+ i*)t
=O
(11.2)
Esta última ecuación corrige el poder adquisitivo de los flujos de efectivo futuros. Si la ta sa de inflación es cero, entonces la ecuación
(11.2)
se transforma idéntica a la
(11.1).
11.2 EFECTO DE LA INFLACION SOBRE EL COSTO DE UN CREDITO HIPOTECARIO
El flujo de efectivo para la empresa que origina 10), es como sigue:
un crédito hipotecario (ver capítulo
""
p
2
1
P/n+Pi
donde:
P n
i NOTA:
. ...
P/n+Pi(l-1/n)
j
T···4
P/n+Pi(l-(j-l)/n)
=
magnitud del préstamo solicitado.
=
plazo concedido para pagar el préstamo (años).
=
tasa nominal de interés sobre saldos.
St =F S� puesto que en S� nomía nacional
se
P/n+Pi(l/n)
están considerando las tasas de inflación prevalecientes en la eco
Efecto de la inflación 223 y el costo antes de impue.stos de esta alternativa de fmanciamiento, sería la tasa de interés ·
(Kh) que satisface la ecuación:
n
P- L j=t
Pi(l- (j -1)/n) + Pfn (1 +Kh)i
=O
(11.3)
y puesto que los intereses que origina el préstamo son deducibles, el costo después de im puestos de un crédito hipotecario, sería la tasa de interés (K' h) que satisface la ecuación:
P-
Pi(1-(j-1)/n'j(1-t) + Pfn
11
L j=t
(1 + KÍz) ¡
=O
(11.4)
Sin embargo, la expresión anterior es válida para situaciones en las cuales no exista infla ción. Para casos en los cuales existe una tasa de inflación promedio anual de (i¡) la expresión anterior se transforma en:
P-
n
L
¡= 1
P i(1-(j-1)/nX1- t) + P/n (1 +
Kh y (1 +i¡)j
(11.5)
=O
y al igual que para el rendimiento de un proyecto, cuando la tasa de inflación es cero, esta ecuación se transforma idéntica a la
(11.4).
11.3 EFECTO DE LA INFLACION EN LA ACEPTACION DE UN PROYECTO DE INVERSION En capítulos anteriores se explicó cómo la inflación afecta el rendimiento de un pro yecto (capítulo
9)
y el costo real de un crédito hipotecario (capítulo
10). Sin embargo, el
rendimiento de un proyecto es menos afectado por la inflación que el costo de un crédito hipotecario. Tal aseveración es válida puesto que en el proyecto de inversión, los flujos de efectivo que el proyecto genera, están creciendo de acuerdo a las tasas de inflación pre valecientes en nuestra economía, y en cambio en el crédito hipotecario, los desembolsos para la empresa ya están fijos (suponiendo que el préStamo se haya obtenido en moneda nacional y a una tasa fija) desde el momento de pactar el préstamo. Con el propósito de aclarar estas ideas, a continuación se resuelve un ejemplo numé rico: considere que una empresa planea emprender un proyecto de inversión, el cual requiere
$100,000 y promete generar flujos de efectivo antes de deprecia $40,000 anuales. La vida útil de esta nueva inversión se estima en 5
de una inversión inicial de ción e impuestos de
años, al final de los cuales no habrá ninguna recuperación económica. También, considere
que la empresa utiliza depreciación en línea recta y paga impuestos a una tasa del SO%. Por
224 Efecto de la inflación en el rendimiento de un proyecto
otra parte, suponga que la empresa para lmancíar este proyecto de inversión, ha obtenido . de una institución bancaria del país, un préstamo de $100,000 a 5 años y a una tasa del 20%anual sobre saldos. Con esta información se determinan primero, los flujos de efectivo después de im puesto que genera el proyecto (ver tabla 11-1). Para estos flujos de efectivo, la tasa interna de rendimiento que se obtiene al aplicar la ecuación (11.1) es de 15. 3% . En seguida, se determina con la ayuda de la ecuación (1 1.4), el costo después de impuestos del crédi
to hipotecario con el cual se va a fmanciar el proyecto, el cual aparece en la tabla 11-2. Como se puede observar en esta tabla, el costo después de impuestos de dicho préstamo es del 10%. Puesto que el rendimiento esperado del proyecto es mayor que el costo de la fuen
te con la cual se va a fmanciar, entonces, vale la pena emprender este proyecto de inversión .. Después de este breve análisis, vean10s qué le pasa al rendimiento del proyecto y al costo del crédito hipotecario, si en las evaluaciones respectivas, se considera por ejemplo un20% de inflación promedio anual. Primeramente en la tabla 11-3, se muestran los flujos de efectivo después de impuestos a pesos constantes que genera el proyecto. También en esta tabla se muestra que aplicando la ecuación
p 1.2 ), la tasa interna de rendimiente que
se obtiene con este proyecto al considerar una tasa de inflación anual del20%es de 9.7% . Por otra parte, en la tabla 11-4 se muestran los flujos de efectivo después de impuestos del crédito hipotecario para el caso de considerar inflación. En esta tabla se puede observar que aplicando la ecuación (11.5) el costo real que se obtiene para esta fuente de financia miento es de -8.3% . Los resultados anteriores confirman lo que se decía al principio de esta sección, es decir, la inflación castiga más a la fuente de fmaniiamiento que al proyecto de inversión. . % a 9.7%y el Por ejemplo, para ei caso anterior, el rendimiento del proyecto b!J.ja de 152 costo del crédito baja de 10% a -8.3% si la inflación es considerada. El ejemplo anterior muestra un caso en el cual el proyecto de inversión es aceptado sin o considerando la inflación. Sin embargo, uno de los objetivos de este capítulo es mos trar cómo un proyecto que es rechazado en condiciones normales (sin inflación), sería aceptado considerando la inflación. Para tal propósito, suponga que en el mismo proyecto presentado anteriormente, los flujos de efectivo antes de depreciación e impuestos en lugar de ser de $40,000 son de $30,000 anuales. Para esta modificación, la tabla 11.5 muestra el rendimiento que se obtiene en este proyecto de inversión (7.9% ) si la inflación no es considerada. Puesto que el costo del crédito después de impuestos sin considerar inflación es de 10% , entonces, este proyecto debe de ser rechazado. De acuerdo al análisis anterior, el nuevo proyecto de inversión debe ser rechazado porque su rendimiento es menor al costo de la fuente utilizada para fmanciarlo. Sin embar go, veamos qué pasa si en la evaluación de este nuevo proyecto, se considera una tasa de inflación del 20% anual. Para esta suposición, la tabla 11.6 muestra el nuevo rendimiento obtenido, el cual resulta ser de 1.7%
·.
Lo anterior significa que considerando una tasa de
inflación del20% , el nuevo proyecto debe ser aceptado puesto que su rendimiento (1.7% ) es mayor que el costo del crédito utilizado para emprenderlo (-83%).
Los resultados anteriores no son nada sorprendentes, puesto que la inflación al be neficiar más al costo de la fuente utilizada (crédito hipotecario), era de esperarse que un proyecto que era malo en sí, resultara bueno al tomar en cuenta la inflación. Finalmente, también de estos resultados se puede concluir que a medida que aumen ta la tasa de inflación anual, es más probable que un proyecto malo se transforme en atractivo.
Efecto de la inflación 225
TABLA 11-l. Flujos de efectivo después de impuestos sin considerar la inflación.
Año
Flujo de afectivo antes de impuestos
o
-$100,000 40,000
1-5
Depreciación
Ingreso gravable
Impuestos
-20,000
20,000
10,000
Flujos de efectivo después de impuestos -$
100,000 30,000
TASA INTERNA DE RENDIMIENTO= 15.2%
TABLA 11-2 ·
•.
Flujos de efectivo después de impuestos del crédito hipo tecario sin
considerar inflación.
Flujo de efectivo antes de impuestos
Año
Flujo de efectivo después de impuestos
Ingreso gravable
Ahorro en impuestos
$
100,000
10,000
-
30,000
8,000
-
28,000
INT.
CAP. o
$ 100,000
i
-
20,000
-20,000
-20,000
2
-
20,000
-16,000
-16,000
3
-
20,000
-12,000
-12,000
6,000
-
26,000
4
-
20,000
- 8,000
- 8,000
4,000
-
24,000
5
-
20,000
- 4,000
- 4,000
2,000
-
22,000
•
COSTO DEL CREDITO = 1 0%
TABLA 11-3. Flujos de efectivo después de impuestos considerando una tasa de
inflación del 20% anual.
Flujo de efeetiPo antes de Año impuestos
Depreciación
Ingreso gravable
Impuestos
Flujo de efectivo después de impuestos (pesos corrientes)
Flujo de efectivo después de i mpuestos (pesos constantes)
o
-$100,000
1
48,000
-20,000
28,000
-14,000
34,000
28,333
2
57,600
-20,000
37,600
-18,800
38,800
26,944
3
69,120
-20,000
49,120
-24,560
44,560
25,787
4
82,944
-20,000
62,944
-31,472
51,472
24,822
5
99,533
-20,000
79,533
-39,766
59,767
24,019
-$100,000 -$100,000
TASA INTERNA DE RENDIMIENTO= 9.7%
226 Efecto de la inflación en el rendimiento de un proyecto
TABLA 11-4. Flujos de efectivo después de impuestos del crédito hipotecario con-
siderando una inflación del 20% anual.
Flujo de efectivo antes de impuestos
Año
Ahorro en impuestos
Ingreso gravable
Flujo de efectivo despuC:.< de impuestos (pesos comentes)
Flujo de efectivo después de impuestos (pesos constantes)
$ 100,000
$ 100,000 - 25,000
INT.
CAP.
o
$ 100,000
1
-
20,000
2
-
3
-
4 5
-20,000
10,000
-
30,000
20,000
-20,000 -16,000
-16,000
8,000
-
28,000
20,000
-12,000
-12,000
6,000
-
2.6,000
-
20,000
- 8,000
- 8,000
4,000
-
24,000
-
11,576
-
20,000
- 4,000
- 4,000
2,000
-
22,000
-
8,841
COSTO DEL CREDITO
-
-
19,444 15,046
8.3%
=-
TABLA 11-S. Flujos de efectivo d espués de impuestos sin considerar inflación.
Año
Flujo de efectivo antes de impuestos
Depreciacilm
Ingreso gravable
Impuestos
Flujo de efectivo desiJués de impuestos
..
o
1-5
-$100,000
-$100,000
30,000
10,000
-20,000
25,000 -
5,000
TASA INTERNA DE RENDIMIENTO
=
7.9%
TABLA 11-6. Flujos de efectivo después de impuestos considerando una tasa de
inflación del 20% anual.
Flujo de efectivo antes de Año impuestos
Depreciación
Ingreso gravable
Impuestos
8,000 .
Flujo de efectivo después de impuestos (pesos co"ientes)
Flujo de efectivo después de impuestos (pesos constantes)
-$100,000 -$100,000
o
-$100,000
1
36,000
-20,000
16,000
2
43,200
23,200
28,000
23,333
31,600
21,944
3
51,840
- 20,000 - 20,000
31,840
15,920
35,920
20,787
4
62,208
-20,000
42�208
21,104
41,104
19,823
5
74,650
- 20,000
54,650
27,325
47,325
19,019
11,600
TASA INTERNA DE RENDIMIENTO
=
1.7%
'
Problemas 227
11.4 CONCLUSIONES La conclusión más importante de este capítulo es comprender que la inflación no sóle castiga los méritos económicos y fmancieros de un proyecto de inversión, sino que también y en mayór grado, los costos de las diferentes fuentes de financiamiento son re ducidos. Lo anterior significa que bajo ciertas condiciones, proyectos que deben ser recha zados, son aceptados si en las evaluaciones económicas se toma en cuenta la intlación. También, vale la pena señalar que ciertas fuentes de fmanciamiento son más afecta das por la inflación. Por ejemplo, es obvio que un préstamo de largo
plazo, con t�sa fija y
en moneda nacional; captado en ambientes crónicos inflacionarios, cuesta mucho menos que un préstamo captado en las mismas circunstancias, pero con tasas flotantes y en mo neda extranjera. Lo anterior es obvio, puesto que un fmanciamiento en moneda extranje ra presenta el peligro de cambios de paridad.
PROBLEMAS 11.1.
La corporación
x
desea incursionar en un nuevo negocio cuya inversión inicial re
querida es de $100 millones ($70 millones de activo fijo y $30 millones de activo circulante). El activo fijo se va a depreciar en línea recta en un período de 5 años y el valor de rescate al término de este tiempo es un 20%del activo fijo y un 100% del activo circulante. Si los flujos que
se
esperan de este proyecto antes de depre
ciación e impuestos son de $40 millones anuales, la tasa de impuestos es de 50%, y la tasa de inflación promedio anual en los próximos años es de 15%, ¿cuál es la tasa interna de rendimiento que promete rendir este proyecto? Por otra parte, la corporación
x
para fmanciar este proyecto de inversión, va a emi-
·
tir $30 millones en obligaciones a una tasa del22% con vehcimiento a 5 años (los gastos de esta emisión se asumen en $600,000). También, la corporación x ha con seguido un préstamo hipotecario de $20 millones a cinco años, a una tasa de interés de 20% sobre saldos y los gastos que originó la captación de este préstamo fueron del orden de $500,000. Finalmente, la corporación x va a emitir acciones comunes por valor de $50 millones, las cuales originarán gastos adicionales de $1 millón. La corporación
x
piensa repartir $10 millones en dividendos el primer año, los cuales
se espera que crezéan a una razón del 8% anuaL Bajo esta situación, ¿debería la corporación
x
emprender el nuevo proyecto de inversión? Cambiaría su decisión
esta corporación si los flujos de efectivo antes de depreciación e impuestos en lugar 11.2.
de ser de $40 millones son de $30 millones? La compañía z desea emprender un proyecto de inversión cuya inversión inicial requerida es de $40 millones ($30 millones de activo fijo y $1O millones de activo circulante). El activo fijo se va a depreciar en línea recta en un período de 1 O años y el valor de rescate al término de este tiempo es un lO%del activo fijo y un 100% del activo circulante. Si los flujos de efectivo que se esperan de este proyecto antes de depreciación e impuestos son de $10 millones anuales, la � de impuestos es de 50%, y el proyecto va a ser fmanciado con el crédito descrito en el problema 10-6, ¿debería la compañía z seguir adelante con el nuevo proyecto de inversión? (Asu· ma la misma tasa de inflación del problema 10-6.)
11.3.
La compañía w está interesada en entrar en un negocio cuya inversión inicial re querida es de $115 millones ($80 millones de activo fijo y $35 millones de activo
228 Efecto de la inflación en el rendimiento de un proyecto
•
circulante). El activo fijo se va a depreciar en línea recta en un período de 1O años
y el valor de rescate al término de este tiempo es uh 15% del activo fijo y un 100% del activo circulante. Si los flujos de efectivo que se esperan de este proyecto antes
de depreciación e impuestos son de $35 millones anuales, la tasa de impuestos es de
50% , y el proyecto va a ser fmanciado con el pasivo descrito en el problema 10�7, ¿debería la compañía w aceptar este proyecto de inversión? (Asuma. la misma tasa
11.4.
de inflación del problema 10-7 .)
La compañía y por su rápido crecimiento requiere de la adquisición de una com putadora. Ya se han iniciado las investigaciones respectivas y se ha decidido comprar
una hp-3000 cuyo costo inicial es de $3,000,000. Esta compañía estima que los � _.
beneficios (ahorro en personal, mejor control de las operaciones de la empresa, información más confiable, periódica y oportuna, etc.) potenciales de esta compu
tadora serán de $1,000,000 anuales. Además, este activo va a ser depreciado en
línea recta en un período de 5 años, y el valor de rescate al término de este tiempo
se estima en $500,000. Si la tasa de impuestos es de 50%, y la computadora va a ser arrendada en los términos descritos en el problema 10-10, ¿debería la compa ñía arrendar la computadora? (Asuma las mismas tasas de inflación del problema 10-10.)
'-
12 Distinción entre decisiones de inversión y decisiones de financiamiento
Los beneficios que en el largo plazo una empresa puede lograr, de¡ienden en gran parte de la forma en que los siguientes problemas son resueltos: 1) Selección de fltentes de !manciamiento adecuadas, y
2)
Racionamiento del capital obtenido entre las diferen
tes propuestas de· inversión disponibles. Las dos decisiones anteriorés deben manejarse en forma separada. La selección de propuestas de inversión debe basarse en los méritos finan cieros de cada propuesta, independientemente de la fuente o costo de la fuente con que se financía cada propuesta. Los fondos para inversión que una empresa posee deben ser con siderados como
una
caja fuerte en la cual no se pueden separar en compartimientos, el
capital obtenido de cada
una
de las diferentes fuentes de fmanciamiento. Además, el pro
blema de seleccionar la fuente de fmanciarniento más adecuada debe ser resuelto indepen dientemente de la utilización que
se
le den a los fondos obtenidos, y se debe basar en
los méritos de cada fuente, esto es, la fuente seleccionada debe ser aquella de menor costo y al mismo tiempo aquella que represente el menor riesgo para la empresa.
12.1 DECISION DE INVERSION Y DECISION DE FINANCIAMIENTO El procedimiento lógico de selección de propuestas de iilversión, debe ser basado en la medición de los méritos financieros de cada propuesta de acuerdo a alguna base de comparación, tales como: Tasa interna de rendimiento, valor presente, período de recupe ración, retorno sobre la inversión, etc. En seguida, después de haber justificado la pro puesta, esto es, después de comprobar que dicha propuesta tiene una TIR mayor que TREMA o un valor presente mayor nue cero y además un período de recuperación acep table, se debe seleccionar la fuente de fmanciamiento más adecuada (menor costo y menor riesgo). Lo anterior significa que en algunas ocasiones es posible identificar las posibles fuentes de !manciamiento 51ue se pueden utilizar en una determinada propuesta. Sin em bargo, si no es posible hacer tal identificación, la propuesta debe ser aceptada, puesto que su rendimiento esperado es mayor que el costo ponderado de las diferentes fuentes de fi nanciamiento que la empresa utiliza. Con el propósito de aclarar estas ideas, a continuación se resuelve un ejemplo numé rico: Suponga que una empresa planea adquirir un nuevo activo el cual cuesta $25,000, y 229
230
Distinción entre decisiones de inversión y de financiamiento
promete generar flujos de efectivo antes de depreciación e impuestos de $1 S ,000 anuales...
La vida útil de este activo se estima en S años, al final de los cuales no habrá ninguna recu peración monetaria. Además asuma que la empresa utiliza depreciación en línea recta, paga impuestos a una tasa del SO% y ha fijado su TREMA en 25%.
·
Con esta información se determinan primeramente los flujos de efectivo después de impuestos, los cuales se muestran en la tabla 12-1. Para estos flujos de efectivo la tasa in-
terna de rendimiento que se obtiene es de 28.6%. Como la TIR > TREMA se justifica
·
·
aceptar la propuesta de inversión. Es muy importante sefialar que la justificación de la deseabilidad económica de la propuesta supone implícitamente financiarla con fondos que . provienen en su totalidad del capital contable.
TABLA
12-1. Flujo de efectivo después de impuestos suponiendo que la inversión
total fue obtenida de los dueños de la empresa.
Año
Flujo de afectivo antes de impuestos
o
-25,000
..
=
!Ci
'111
Depreciación
Ingreso gravable
Impuestos
Flujo de efectivo después de impuestos
4
�·¡ ,
1-5
-25,000 10,000
-5,000
15,000
-5,000
10,000
TASA INTERNA DE RENDIMIENTO= 28 . 6 %.
•
('
�
5-
t
"" " ..
Después de haber justificado la propuesta, el siguiente paso sería identificar las posi bles formas de fmanciarla. Posteriormente se harút un análisis de las mismas, con el propó
sito de seleccionar la más adecuada. Cabe hacer la aclaración, que en la mayoría de los casos no e-s posible identificar las fuentes de fmanciamiento que se van a utilizar en una
determinada propuesta. En tales casos, la propuesta de inversión deberá ser emprendida ya que sus méritos económicos y fmancieros la hacen atractiva, independientemente de la forma como esta propuesta pueda ser financiada.
Para propósitos de aclarar la metodología que se debe seguir en la selección de la
fuente de financiamiento más adecuada, se va a suponer que la propuesta de inversión puede ser fmanci�da de dos maneras: 1) Pedir prestado los $25,000 a una tasa de interés del 20%. Los intereses serían pagados al fmal de cada afio y el principal al fmal del quinto año. 2) Arrendar el activo pagando una renta anual de $8,500.
Para estas dos posibles formas de fmanciamiento, se muestran primero, en la tabla
12.2, los flujos de efectivo después de impuestos, suponiendo que el activo es fmanciado con pasivo y en la tabla 123 se muestran dichos flujos para el caso de arrendar el activo. Con estos flujos y los presentados obtiene el costo de
en
la tabla 12.1 se obtienen los flujos con los cuales se
cada fuente de financiamiento, es decir, el costo del pasivo por ejem
plo, es aquella tasa de interés para la cual el valor presente de los flujos presentados en la
tabla 12.1 es igual al valor presente de los flujos presentados en la tabla 12 .2*. Lo anterior es equivalente a determinar la tasa de interés para la cual el valor presente de la diferencia entre los flujos mencionados es igual a cero. Los flujos de efectivo diferenciales de la al ternativa pedir prestado, son mostrados en la tabla 12.4, y en la tabla 12.5 aparecen los
*
Los costos de estas fuentes de f'manciamiento también se pueden obtener utilizando las ecuaciones
desarrolladas en el capítulo 10.
#
Decisión de inversión y de firtanciamiento 231 flujos diferenciales de la alternativa arrendar el equipo. De los flujos diferenciales mostra dos en las tablas 12.4 y 12.5 se obtienen los costos de financiamiento de cada alternativa,
los cuales e.n este caso resultan ser de: 10% para la alternativa pedir prestado y 10.9% para la alternativa arrendar el equipo.
TABLA -12-2. Flujos de efectivo después de impuestos suponiendo que el activo es finan
ciado en -�u totalidad con pasivo.
Flujos de efectivo antes de Año impuest-osDepreciación Intereses
Flujos de efectivo Ingreso después gravable Impuestos Principal de impuestos o
o
o
5,000
-2,500
7,500
-5,000
s,ooo
-2,500
7,500
-5,000
5,000
-2,SOO
7,500
..:5,000
-S,OOO
5,000
-2,500
7,500
-5,000
-5,000
5,000
-2,SOO
-2S,000-17,500
1
15,000
-5,000
-S,OOO
2
15,000
-5,000
3
15,000
-5,000
4
lS,OOO
S
lS,OOO
TABLA 12.3 Flujos de ef�?ctivo después de impuestos suponiendo que el activo es arrendado.
Flujos de efectivo antes de impuestos
Año
Renta*
Ingreso gravable
Impuestos
Flujos de efectivo después de impuestos
-3,250
o
15,000
-8,500 -8,500
6,500
1
6,500
-3,250
3,250
2
15,000
-8,500
6,500
-3,250
3,250
3
15,000
-8,SOO
6,500
-3,250
3,250
4
15,000-
-8,500
6,500
-3,250
3,250
S
15,000
-8,500
6,500
-3,250
3,250
o
o
TABLA 12.4 Flujos de efectivo diferenciales para la alternativa "pedir prestado".
Flujos de efectivo despues de impuestos Año
Tabla 12.1
Flujo de efectivo después de impuestos Tabla 12.2
Diferencia (Tabla 12.1-Tabla 12.2)
o
-25,000
1
10,000
7,500
2,500
2
10,000
7,500
2,500
3
10,000
7,500
2,500
4
10,000
7,500
2,500
5
10,000
-17,500
27,500
-25,000
COSTO DEL PRESTAMO
=
10%
*Se asume que el plazo del contrato es igual a la vida itscal del activo, y por consiguiente, la renta es deducible en un 100%en el período en que se incurre (ver ecuación 10.16).
232 Distinción entre decisiones de inversión y de financiamiento TABLA 12.5 Flujos de efectivo diferenciales para la alternativa "arrendar el activo".
Año o
1 2 • 3 4 5
Flujos de efectivo después de impuestos Tabla 12.1
Flujos de efectivo después de impuestos Tabla 12.3
-25,000 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000
3,250 3,250 3,250 3,250 3,250
o
Diferencia (Tabla 12.1- Tabla 12.3) -25,000 6;750 6,750 6,750 q,750 6,750
COSTO DE ARRENDAMIENTO= 10,9%
..
i
:l
Del análisis anterior, es obvio que la mejor forma de fmanciar el activo es a través i
r
f
de un préstamo.
12.2 COMBINACION DE LA DECISION DE INVERSION Y LA DECISION DE FINANCIAMIENTO En el inciso anterior se explicó que el procedimiento normal de selección de pro puestas consiste de:
� � •
Justificación de la propuesta.
•
Cuando sea posible, seleccionar la fuente de fmanciarniento más adecuada.
Sin embargo, sería interesante analizar los resultados y las conclusiones que se ob tienen cuando en la evaluación de una propuesta mala (TIR
una
tasa de interés del 20% sobre saldos.
Bajo esta nueva situación, se va a suponer primero que el 20% del valor total del activo va a ser fmanciado a través de pasivo. La tabla 12.7 muestra los flujos de efectivo después de impuestos y laTIR que se obtiene para tal suposición. Como puede apreciar se, el simple hecho de suponer que parte de la inversión será fmanciada con pasivo, aumenta la tasa interna de rendimiento de la propuesta.
Co mbinación áe decisiones 233
En las tablas-12.8, 12.9 y 12.10, se muestra el mismo tipo de análisis para el caso de financiar el 40%, 60% y 80% del valor total del activo, _respectivamente. Como puede ob
servarse, a medida que aumenta la proporción de pasivo en la inversión total, la TIR aumenta más que proporcionalmente, llegando en el caso teórico a ser 00 cuando toda la
inversión es fmanciada con pasivo. En la figura 12.1, se muestra el comportamiento de la TIR para diferentes proporciones de pasivo en la inversión total. En esta figura, se pue
de observar que la propuesta tiende a ser cada vez mejor (en forma exponencial) a medida que se utiliza más pasivo para !manciarla. Tal resultado no es sorprendente, ya que los in tereses, al ser deduetbles, convierten a la propuesta en más deseable a medida que la pro
porción de pasivo aumenta. Sin embargo, es conveniente volver a puntualizar que una
propuesta debe ser aceptada de acuerdo a sus méritos económicos y fmancieros, itidepen dientemente de la forma como se fmancie.
Finalmente, en la misma!tgura 12.1 se puede apreciar que si las decisiones de inversión
y de fmanciamiento son combinadas, la propuesta se aceptaría para niveles de pasivo arri
ba del35% del valor total del activo.
Por otra parte, conviene resaltar el hecho de que las malas decisiones que resultan
de usar el método de la TIR, son exactamente las mismas que resultarían de usar el méto do del valor presente, es decir, si la decisión de inversión y la decisión de fmanciamiento son combinadas y el método del valor presente es utilizado, el proyecto se recharazaría para
niveles de pasivo cercanos a cero (valor presente negativo) y el proyecto resultaría atracti vo para niveles de pasivo arriba del35% del valor total del activo (ver figura 12.2). TABLA 12.6. F1ujos de efectivo después de impuestos suponiendo que el activo es
financiado con capital contable.
Flujos de
Flujos de
efectivo
efectivo Ingreso
antes de Año
impuestos
después de
Depreciación
griiVable
-5,000
7,000
Impuestos
impuestos
-
o
1-5
-25,000 12,000
-25,000
-3,500
8,500
TASA INTERNA DE RENDIMIENTO= 20.8%.
TABLA 12 7. Flujos de efectivo después de impuestos, suponiendo que el20% del
valor total del activo es financiado con pasivo.
Flujos de efec-
Flujos de Pagos
tivo des-
Ingreso
al prin-
pués de
Depreciaciónintereses
griiVable Impuestos
cipal
impues-.
12,000 12,000
-5,000
6,000
12,000
-5,000
efectivo antes de Año o
1
2 3 4· S
impuestos
-20,000
12,000
12,000
-5,000
-5,000
-5,000
-1,000
- 800
6,200
-3,000 -3,100
- 400 - 200
6,600
-3,300
- 600
6,400 6,800
-3,200 -3,400
TASA INTERNA DE RENDIMIENTO= 23.2%
-20,000
-1,000 -1,000
7,100
-1,000
7,300
-1,000
-1,000
7,000
7,200
7,400
234 Distinción entre decisiones de inversión y de financiamiento TABLA 128. Flujos de efectivo después de impuestos, suponiendo que e1 40% del valor to tal del activo es financiado con pasivo. Flujos de Flujo de
Pagos
. efectivo
al prin-
Ingreso
antes de Año impuestos Depreciaciónintereses
gravable
Impuestos
cipal-
efectivo despues de impuestos -15,000
o
-15,000
1
12,000
-5,000
-2,000
5,000
-2,500
-2,000
5,500
2
12,000
-5,000
-1,600
5,400
-2,700
-2,000
5,700
3
12,000
-5,000
-1,200
5,800
-2,900
-2,000
5,900
-3,100
-2,000
6,100
-3,300
-2,000
6,300
4
12,000
-5,000
-
800
6,200
5
12,000
-5,000
-
400
6,600
TASA INTERNA DE RENDIMIENTO= 27%
...
TABLA 12.9. Flujos de efectivo después de impuestos, suponiendo que e1 6� % del
�
valor to tal del activo es financiado con pasivo.
'·
Flujos
.
j
r
de efec.Flujos de
tivo des-
efectivo
tl
'r �-
Ingreso
antes de
Año impuestos Depreciaciónintereses gravable
"'
•• 1
Impuestos
Pagos
pués de
al prin-
impues-.
cipal
tos -10,000
o
-10,000
1
12,000
-5,00(}
-3,000
4,000
-2,000
-3,000
4,000
2
12,000
-5,000
-2,400
4,600
-2,300
-3,000
4,300
3
12,000
-5,000
-1,800
5,200
-2,600
. -3,000
4,600
4
12,000
-5, 000
-1,200
5,800
-2,900
-3,000
4,900
5
12,000
-5, 000
-
6,400
-3,200
-3,000
5,200
...
600
TASA INTERNA DE RENDIMIENTO= 34.1%
TABLA 12.10. Flujos de efectivo después deimpuestos,suponiendoque el 80% del valor to tal del activo es fin a nciado con pasivo . Flujos de efec-
Flujos de
vo des-
efectivo antes de
Ingreso
Año impuestos Depreciaciónintereses
gravable
Impuestos
pués de Pagos al impuesprincipal tos -5,000
o
-5,000
1
12,000
-5,000
-4,000
3,000
-1,500
-4,000
2,500
2
12,000
-5,000
-3,200
3,800
-1,900
-4,000
2,900
3
12,000
-5,000
-2,400
4,600
-2,300
-4,000
3,300
4
12,000
-5,000
-1,600
5,400
-2,700
-4,000
3,700
5
12,000
-5,000
-
6,200
-3,100
-4,000
4,100
800
TASA INTERNA DE RENDIMIENTO= 52.5%
\
Combinación de decisiones 235
TIR
80
70
60
5
40
30
20
10
20%
40%
60%
so%
100%
PASIVO INV. TOTAL
FIGURA 12.1. Comportamiento de laTIR para diferentes proporciones de p asivo en la inversión total.
/
236
.
.
.
Distinción entre decisiones de inversión y de financiamiento
.
-·
VPN
4000
�
V
3000
'
k¿ ·(� �-
�-
2000
� .¡
1
(..-
1000
..
so%
-1000
1
lOO%
PASIVO INV. TOTAL
./
-2000
FIGURA 12.2. Comportamiento del VPN para diferentes proporciones del pasivo en la inversión total.
'\
Problemas 237 12.3 CONCLUSION La conclusión más importante de este capítulo es que las decisiones de inversión y de fmanciamiento, se deben hacer en forma separada. Combinar estas dos decisiones nos pue den llevar a aceptar propuestas malas, sobre todo cuando disminuye la aportación de los accionistas con respecto a la inversión total. Las ideas presentadas en este capítulo también se pUeden hacer extensivas a la adquisición o fusión de empresas ya existentes, o al establecimiento de nuevas empresas. En tales circunstancias, considerar como inversión inicial la aportación de los accionistas al capital contable de la empresa adquirida, o de la nueva empresa establecida, tiende a producir el efecto ilusorio de un alto rendimiento. Sin embargo, un análisis económico co rrecto debe considerar como inversión inicial: 1) Para el caso de adquirir una empresa en operación; el valor de mercado de su capital contable, más el pasivo que actualmente tiene la empresa, y 2) Para el caso de establecer o iniciar una nueva empresa; los activos totales requeridos (activo circulante, más activo fijo).
PROBLEMAS
12.1.
La compañía X desea incursionar en el negocio de fraccionar terrenos. Específica mente, a esta compañía se le ha ofrecido un terreno de 1O hectáreas de área vendi ble, a un precio de $20,000,000. La compañía estima que la venta y urbanización de los lotes tardará 2 años. En el primer año la compañía estima que gastará $1O millones en gastos de urbanización y $3 millones por gastos de venta (comisiones), y en el segundo año los gastos serán de $8 millones y $3 millones respectivamente. Por otra parte, los ingresos estimados en los próximos 7 años son de $8, $10, $12, $14, $15, $15 y $15 millones respectivamente. Si la tasa de i mpuestos es de 50%, y la compañía tiene que pagar por el terreno $10 milloites ahora y el resto a un plazo de 5 años y a una taSa de interés de 20% sobre saldos. ¿Debería la compafíía adquirir el terreno y fraccionarlo? ¿Cuál es laTIR de este proyecto si la decisión de inversión y de fmanciarniento son combinadas?
12.2.
Cie� empresa planea adquirir un nuevo activo cuyo costo inicial es de $750,000. Los flujos de efectivo antes de depreciación e impuestos que promete generar este activo son de $300,000 anuales. La vida fJScal de este activo es de 5 años al fmal de los cuales no existirá ninguna recuperación mon,etaria. Además; esta empresa paga impuestos a una tasa del 50%, y ha fijado su TREMA en 25%. Por otra parte, la empresa considera que este activo puede ser fmanciado de dos maneras: 1) Pedir· prestados los $750,000 a una tasa del 20% sobre saldos y 2) Arrendar el activo. El plazo del contrato_sería de 5 años y la renta anual de $250,000. Si el activo es arrendado, la empresa comprará el activo al fmal del año 5 a un pre cio de $40,000.
Para la información anterior, ¿cuál fuente de fmanciamiento debe la empresa se leccionar? Si la decisión de inversión y de fmanciarniento son combinadas, deter mine una gráfica que relacione TIR con la proporción de pasivo en la inversión total. (Considere proporciones de 20%, 40%,60%,80% y 90%.)
123.
A la corporación ..B, se le ha ofrecido en 'venta la compañía X. La estructura fi nanciera actual y las utilidades proyectadas para los próximos 10 años de esta compañía son como sigue:
238
Distinción entre decisiones de inversión y de financiamie�to Estado de situación financiera
Activo circulante Activo fijo
$50,000,000
Pasivo total
$30,000,000
50,0.0,0,000
Capital contable
70,000,000
Proyección de utilidades (millones de pesos) Año
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
30
30
30
30
30
�o
30
30
30
30
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
Utilidades netas después de impuestos Deprecj.ación
t
:·: 1\
¿
�
1 �
�· ... ...
Si la TREMA de la corporación "B" es de
25%, ¿cuál es la cantidad máxima que
esta corporación estaría dispuesta a pagar por la compañía X? (no tome en cuenta la forma en que la corporación se va a fmanciar, o el pasivo actual que puede se guir utilizando dicha corporación). ¿Cuál sería el rendimiento sobre el capital con
table si la corporación compra
$36 millones del capital contable de la compañía X?
13 Análisis de sensibilidad
Generalmente hay un elemento de incertidumbre asociado a las alternativas estudia das. No sólo son problemáticos los estimativos de las condiciones económicas futuras, si no que además los efectos económicos futuros de la mayoría de los proyectos solamente son conocidos con un grado de seguridad relativo. Es precisamente esta falta de certeza sobre el futuro lo que hace á la toma de decisiones económicas una de las tareas más difí ciles que deben realizar los individuos, las industrias y el gobierno. Además, es un hecho que los tomadores de decisiones rara vez se conforman con los resultados simples de un análisis. Generalmente lo que a estas personas les interesa es un rango completo de los posibles resultados que pueden ocurrir como una consecuencia de variaciones en las estimaciones iniciales de los parámetros del proyecto. Por consiguiente, un estudio económico completo debe de incluir la sensibilidad de los criterios económicos a cambios en las estimaciones usadas.
13.1 SENSffiiLIDAD DE UNA PROPUESTA INDIVIDUAL La sensibilidad de tina propuesta individual debe hacerse con respecto al paráme tro más incierto. Por ejemplo, es posible que en la evaluación de una propuesta se tenga mucha incertidumbre con respecto al precio unitario de venta de los productos o servicios que se pretenden comercializar. En estos casos, es muy conveniente determinar qué tan sensible es la TIR o el VPN a cambios en las estimaciones del precio unitario de venta, es decir, para este tipo de situaciones es muy recomendable determinar el precio unitario de venta a partir del cual la propuesta sería económicamente atractiva. También, es posible que en la evaluación de una propuesta se tenga incertidumbre con respecto a los costos que se van a incurrir, o con respecto a la vida de la propuesta. En estos casos, también es posible determinar una curva que muestre la sensibilidad de la TIRo el VPN a cambios en los costos incurridos, o a cambios en la vida de la propuesta. El análisis de sensibilidad también puede ser utilizado para determinar la vulnerabili dad de un proyecto a cambios en el nivel de demanda. Por ejemplo, en la evaluación de la construcción de un hotel es posible obtener los diferentes rendimientos que se lograrían con distintos grados o porcentajes de ocupación del hotel. 239
240
Análisis de sensibilidad Es importante señalar que la sensibilidad de un proyecto debe hacerse con res
pecto al parámetro más incierto, es decir, o se determina la sensibilidad de la
TIRo
e1
VPN del proyecto a cambios en el precio urütario de venta, o a cambios en los costos, o a cambios en la vida, o a cambios en el nivel de demanda. Cambios simultáneos en varios de los parámetros no es posible realizar por la dificultad de visualizar gráficamente-los resul tados obtenidos (una variación simultánea de dos parámetros implica analiz'
Para comprender mejor la metodología que se debe utilizar cuando se estudia el gra do de sensibilidad de los criterios económicos
{TIR, VPN,
etc.,) a cambios en las estima-·
ciones de los parámetros utilizados, a continuación una serie de ejemplos son presentados.
t
Ejemplo 13.1
.,
1
La corporación "B" se encuentra analizando la posibilidad de entrar en el negocio
1 l
de fabricación de plataformas marinas, las cuales se utilizan en la exploración y explota
�
ción del petróleo en la región del Golfo de México. Investigaciones preliminares realizadas
...
por la dirección de nuevos proyectos de esta corporación indican que la inversión reque rida para este tipo de negocio será de $185,000,000, la cual se compone de los siguientes ·elementos:
1
Activo circulante
$ 70,000,000
Activo fijo:
•· 11 .......
Terreno
10,000,000
Edificios
10,000,000
Maquinaria y equipo
90,000,000
Preoperación y organización
5,000,000 $185,000,000
Los costos variables de operación, el nivel anual de ventas, y la eficiencia de operación de los próximos 10 años {horizonte de planeación que utiliza la corporación) se muestran en la tabla 13.1. Además, se estima que los gastos por concepto de mano de obra indirecta serán del orden de $4,830,000/año, y los gastos indirectos de fabricación de $7,517,000/año. Con respecto a la depreciación, los edificios se van a depreciar en 20 años y la maquinaria y. el equipo y los gastos preoperarivos y de organización en un período de 10 años. Tam bién, se sabe que la tasa de impuestos para esta corporación es de 50%, la TREMA es de 25%, y el va1or de rescate se estima en 10% del activo fijo y 100% del activo circulante. Finalmente, la dirección de nuevos proyectos estima que el precio de venta para este pro ducto es de $40,000/ton.
\
Sensibilidad de una propuesta individual 241 Para la información anterior, la tabla 13.2 muestra los flujos de efectivo después de impuestos que promete generar esta propuesta de inversión. Para estos flujos, la tasa inter na de rendimiento es de 3 1%. Puesto que la TIR >T REMA vale la pena emprender este
nuevo proyecto de inversión. Sin embargo, laTIR de este proyecto sería de 31% si todas las estimaciones que se hicieron con respecto a los parámetros del proyecto fueran co rrectas. Si el precio de venta por tonelada es menor de $40,000, entonces, laTIR defpro yecto disminuye. LaTIR del proyecto también disminuye si los costos variables directos por tonelada se incrementan. Por consiguiente, es recomendable analizar la sensibilidad de 1�TIR de este proyecto a cambios en el precio unitario de venta y a cambios en los cos tos variables directos.
TABLA 13.1. Costos de operación, ventas anuales y eficiencia de operación.
Año
Eficiencia
Ventas
MOD/ton*
Matlfton*
Maqfton*
(Tons/año)
Flete /ton
1
70%
5,917
$4,235
$7,814
2
80%
6,763
3,705
7,814
$ 11,440 11,440
3
90%
7,608
3,294
7,814
11,440
783
4
100%
8,454
2,964
7,814
11,440
783
5-10
100%
8,454
2,964
7,814
11,440
783
$783 783
La sensibilidad de la TIR a cambios en el precio unitario de venta se muestra en la figura 13.1. En esta figura se puede apreciar que el proyecto es atractivo o aceptable si el precio de venta por tonelada es mayor que $36,800. Por consiguiente, si se considera muy probable que el precio de venta por tonelada sea mayor que este valor, entonces se reco mienda seguir adelante con este proyecto. La recomendación anterior es válida si las esti maciones de los demás parámetros son correctas. Como los costos directos representan arriba del 90% de los costos totales, cualquier variación en ellos repercutirá grandemente en laTIR del proyecto. La figura 13.2 muestra la sensibilidad de la TIR a cambios en los costos directos. En esta figura se puede apreciar que si todas las demás estimaciones (precio de venta, gastos indirectos, etc.) son correctas, el proyecto de inversión puede soportar hasta un 15% de aumento en los costos variables directos.También, en la misma IJgUra se puede observar que si los costos variables directos disminuyen un 15%, laTIR obtenida sería de aproximadamente 37.5%. Finalmente, la IJgUTa 13.3 muestra la sensibilidad de laTIR a cambios en el precio unitario de venta y a cambios en los costos variables directos. En esta figura se puede apreciar que la TIR es más sensible a cambios en los costos.También, en esta figura se puede observar que si el precio de venta real es menor que el estimado en una cantidad mayor que 8%, entonces el proyecto de inversión deja de ser atractivo o aceptable.
*"MOD/ton =Mano de obra directa por tonelada Matl/ton Maq/ton
.. Material directo por tonelada = Maquila por tonelada (las láminas de acero son dobladas antes de llegar a la planta).
242 Análisis de sensibl1idad
. .
TIR
40
1
·¡
1
5 3
l
Q
��
1 • .. ,.,
30
25�------�------/------------------------------TREMA
...
20
34
3'6
38
40
42
44
46
FIGURA 13.1. Sensibilidad de laTIR a cambios en el precio de venta.
Precio de venta(ron. (miles de pesos)
Sensibilidad de una propuesta individual 243
TlR
4l}
35
3{)·
25+
�---
--- - - - - - ------------------
-----------
-......
-
--
TREMA
20
-15
·
FIGURA 13. 2. directos.
� s.6
-10
-5
o .
5
10
15
%de des viación del esperado
Sensibilidad de la TIR a variaciones en las estimaciones de los costos
244
Análisis de sensibüidad
.. TIR
Sensibilidad de laTIR a cambios en el precio de
40
venta
35
TIR
30
,r 20 t
--
-
=31%
!!'!l}IA
1 ___ --
--------
L
-----------
Sensibilidad de laTIR a cambios en los costos
1 l. 1 1 1 1 1
!1
-15
-- +--10
1
-5
•p .. o
%
de desvia
ción del es perado
5
10
15
1 FIGURA 13.3. Sensibilidad de laTIR a cambios en el precio de venta y a cambios en los costos variables directos
Isocuanta de una propuesta individual
245
TABLA 13.2 Flujos de efectivo después de impuestos suponiendo un precio de
venta de $ 40,000/Tons. (Miles de pesos)
.
Flujo de
FlujQ de
efectivo
efectivo
antes de Año:
después de
impuestos
Depreciación
Gravable
Impuestos
impuestos
-$ 185,000
o
-$185,000
1
80,716
$10,000
2
97,606
10,000
$
70,716
$ 35,358
45,358
87,606
43,803
53,803 62,236
3
-114,471
10,000
104,471
52,235
4
131,362
10,000
121,362
60,681
70,681
5
131,362
10,000
121,362
60,681
70,681
6
131,362
10,000
121,362
60,681
70,681
1
131,362
10,000
121,362
60,681
70,681
8
131,362
10,000
121,362
60,681
70,681
9
131,362
10,000
121,362
60,681
70,681
10
131,362
10,000
121,362
60,681
70,681
3,250
78,250
81,500
10 .
TASA INTERNA DE RENDIMIENTO= 31%
13.2 ISOCUANTA DE UNA PROPUESTA INDIVIDUAL Otra herranúenta muy útil en análisis de sensibilidad son las isocuantas o líneas de indiferencia. Todos los puntos que pertenecen a estas curvas son equivalentes. Por consi guiente, mediante estas curvas es posible obtener regiones o áreas en las que no se reco mienda invertir, y regiones o áreas en las que el proyecto debe ser emprendido. Para com prender mejor la aplicación de esta técnica, a continuación se presenta un ejemplo.
Ejemplo 13.2 La compañía W está considerando la posibilidad de entrar en el negocio de renta de
Bulldozers. Ya se han iniciado los estudios de mercado correspondientes y aunque.éstos estarán terminados dentro de un mes, se estima que cuando menos se puede rentar el bulldozer por dos horas diarias. En caso de buena demanda se rentaría 8 horas diarias. El valor de rescate de un bulldozer se estima después de 5 años de uso (vida fiscal), en el
50% de su valor original, aunque ya se encuentre totalmente depreciado. Los costos de opera<::ión estimados son:
Costos fijos por año: Mano de obra defoperador Prestaciones Costos variables: Combustibles y materiales Reparación y mantenimiento
$40,000 10,000
$10/hr 30/hr
246 Análisis de sensibilidad
Además, se sabe que en este tipo de negocio se tiene fijada una tarifa de
$400/hora
y sólo se permite trabajar de lunes a viernes. Finalmente, el director de esta compañía que
.
paga impuestos del SO% , ha manifestado en repetidas ocasiones que negocio que no da el 25% después de impuestos no es negocio. Para la información anterior, es posible determinar una isocuanta o línea de indife rencia que permita determinar la cantidad máxima a invertir en el bulldoiet, en función
·
de la cantidad de horas que se va rentar por día. Obviamente, a mayor cantidad de horas rentadas por día, mayor será la cantidad que la compañía W está dispuesta a invertir en el ·
bulldozer.
Para determinar la isocuanta o línea de indiferencia de la inversión contra las horas rentadas por días, suponga que X representa la cantidad de horas rentadas por día. Por . consiguiente, los ingresos y los costos anuales serían:
•
Ingresos anuales
�
días
�
s m
( )(s )(s ) ( X
•
d1a
sem
2
ano
$400/hr
\ J
=
$104,000X
Costos anuales Mano de obra del operador Prestaciones Combustible Rep. y mant.
X(5)(52) (10) = X(5)(52) (30)
$ 40,000 10,000 2,600X 7,800X 50,000 +10,400X
Con estos ingresos y costos anuales, es posible determinar los flujos de efectivo des pués de impuestos. Tales flujos se muestran en la tabla
13.3. A partir de estos flujos se
puede determinar la isocuanta o línea de indiferencia, al igualar
a
cero su valor presente.
Por consiguiente, la ecuación de la isocuanta sería:
- P+(46,800X- 25,000 +0.1 P) (P/A, 25%, 5) +0.25 P(PjF, 25%, 5) =.0
y simplificando se obtiene:
P= 193,885X -103,571 la cual puede ser graficada (ver figura 13 .4) y de esta forma visualizar las áreas en las que es conveniente invertir en dicho proyecto. Por ejemplo, si las horas que se espera rentar el bulldozer por día son
4, entonces la compañía W está dispuesta a hacer una inversión máxi $671,969 en el bulldozer. Si el precio del bulldozer es menor que esta cantidad, la TIR sería mayor que 25%. Para un precio mayor el rendimiento obtenido sería menor ma de
que TREMA.
Isotuanta de una propuesta individual 247
P (Inversión inicial) 1,400,000
1,200,000
No conviene invertir
-� O'
1,000,000
,§'
w
-� ?§' .,"' •t::-
800,000
v
600,000
400,000
Conviene invertir 200,000
•
1 1 1 1
:x (hrs. rentadas por día) 2
FIGURA 12.4
rentadas por día.
4
6
8
Isocuanta de la inversión en el bulldozer en función de las horas
� t
�· .¡
248 Análisis de sensibilidad
TABLA 13.3. Flujo de efectivo después de impuestos que genera el bulldozer. Flujo de
Flujo de
efectivo
efectivo
antes de Año impuestos
Ingreso Depreciación
impuestos -P
-P
o
93,600X 1-5
93,600X
0.20P
-46,800X
-50,000
-50,000
5
·
46,800X
25,000
- 0.20P 0.50P
-25,000
O.lOP
O.lOP
- 0.25P
0.25P
13.3 SENSIBILIDAD DE VARIAS PROPUESTAS Para ilustrar cómo se aplica la técnica de análisis de sensibilidad a varias propuestas, a- continuación se analiza la variación de la anualidad equivalente de dos alternativas de inversión a cambios en la. vida esperada del servicio que van a proporcionar. Para este prc;> pósito, suponga que la compañía X que usa una TREMA de 25%, desea seleccionar la mejor de las siguientes dos alternativas:
f-
fl
después de Impuestos
gra��able
A Inversión inicial
.
$10,000
Ingresos netos/año del añon
10,000
B
$30,000 -
(n
-
1) 1000
13,000
Puesto que el tiempo durante el cual se va a requerir el servicio que pueden propor cionar las alternativas
A
o B, es incierto, es necesario detenninar para cada alternativa su
anualidad equivalente en función de la vida esperada del servicio que van a proporcionar. Tales anualidades serían: •
AA As
=
-
= -
10,000 (A/P, 25o/o.
n) +
10,000- 1,000 (Afg, 25%, n)
30,000 (A/P, 25%, n) + 13,000
y sus valores para distintos valores den se muestran en la tal:íla 13.4. En la figura 13.5
aparecen en forma gráfica estos resultados. En esta figura se puede apreciar que las alter nativas
A
y B requieren que el servicio que van a proporcionar sea demandado al menos
1.3 y 3.8 años respectivamente, si se quiere asegurar una utilidad. También, en esta figura se pueden observar los rangos de la vida del servicio para los cuales una alternativa domina
a la otra. Estos rangos serían: Alternativa preferida
A B
Vida del servicio O,.;;n..;;9.6 9.6,.;;n
Es decir, si la vida del servicio que van a proporcionar estas alternativas es probable que sea menor que 9.6 años, entonces la mejor alternativa sería la
A. Sin embargo, si la mejor
Sensibüidad de varias '[Jropuestas 249
..
Anualidad equivalente
.,..-
5,000 4,000
'
Alternativa B
/
1
3,000
1
.
Alternativa A
.1
2,000
1
1,000
1 2
-1,000
+1
-2,000
!1
-3,000
.
ti
'1
4
6
8
10
12
14
16
18
20
vid¡¡ (n)
1
1 1
FIGURA 13.5. Sensibilidad de la anualidad equivalente a cambios en la vida del
servicio.
-, 250 Análisis de sensibilidad
estimación es mayor que 9.6 años, la mejor alternativa sería la B. Por c�nsiguiente, el im pacto de la subestimación o sobreestimación de la vida esperada del servicio se hace evidente. Este tipo de información es de gran ayuda para la persona encargada de tomar decisiones, ya que entiende �ejor los efectos de_ estimaciones de resultados futuros. TABLA 13.4. Sensibilidad de la anualidad equivalente a cambios en la
viqa del ser
vicio.
1
f[
-$24,500 7,884 2n 2,836 3,988 4,597 4,948 5,284
-$2,500 2,612 4,541 4,744 4,609 4,402 4,202 3,891
2 4 6 8 10 12 16
'
AB
AA
n
13.4 CONCLUSIONES
"'
1�
(J"
...
�
t..
Análisis de sensibilidad es una técnica ampliamente utilizada en la práctica. Sin em bargo, conviene señalar que además de esta técnica existen muchas otras como árboles de decisión, análisis de riesgo y simÚlación, las cuales pueden ser utilizadas para evaluar la incertidumbre de una propuesta de inversión. De hecho, cuando en un proyecto de in versión todos sus parámetros son inciertos (probabilísticos), la técnica de análisis de sen sibilidad no se recomienda utilizar, y entonces es necesario seleccionar la más adecuada de las técnicas mencionadas. Las principales ventajas de utilizar la técnica de análisis de sensibilidad son:
1)
su
fácil e�tendimiento (no se requiere tener conocimientos sobre teoría de probabilidad), y
2)
su facilidad de aplicación. Sus principales desventajas son:
parámetro a la vez, y
2)
1) Analiza variaciones de un
No proporciona la distribución de probabilidad de la TIR o el
VPN para variaciones en las estimaciones de los parámetros del proyecto.
·
PROBLEMAS
13.1.
La compañía W desea introducir al mercado un nuevo producto. La inversión en equipo requerida para la producción de este nuevo producto se estinia en $800,000. La vida fiscal de este activo es de 5 años y su valor de rescate al término de este
tiempo es de
$200,000.
Además, la compañía W estima que el precio unitario de
venta y el costo unitario de producción serían de la tasa de impuestos es de
50%,
$100 y $60 respectivamente. Si 8,000 unida
y la demanda anual esperada es de
des, ¿cual es la TIR esperada para la producción de este nuevo producto? Haga una gráfica que muestre la sensibilidad de la TIR a cambios porcentuales en el pre cio unitario y en el costo unitario.
13.2.
La compañía Z desea entrar en el negocio de renta de grúas. Estos attivos la com
pañía los deprecia en 5 años en línea recta. El valor de rescate de una grúa .des.-
Problemas 251
pués de 5 años de uso se estima en el 40% de su valor original. Los costos de operación estimados para este tipo de negocio son: Costos fijos por año: Operador
$ 80,000
Administrador del negocio
100,000
Costos variables por hora: $ 15/hr.
Combustible
45/hr.
Reparación y mantenimiento "
Si la tarifa en este tipo de negocio es de $500/hora, la tasa de impuestos es de 50%, y-la TREMA es de· 25% , determine la línea de indiferencia de la inversión en función de las horas rentadas por día. 13.3.
La compañía X desea entrar en el negocio de renta de automóviles, los cuales la compañía los deprecia en línea recta en un' período de cinco años, al final de los cuales el valor de rescate se estima en un 60% del valor original. Los costos estima· dos para este tipo de negocio son: Costos fijos por año: $50,000
Operador Administrador del negocio
70,000
Costo variable por kilómetro: $0.70
Combustible Reparación y mantenimiento
1.30
Si la tarifa en este tipo de negocio es de $3/km, la tasa de impuestos es de 50%, y la TREMA es de 30% , determine la línea de indiferencia de la inversión en fun ción de los kilómetros rentados por año. 13.4.
La compañía Y desea seleccionar una de las tres alternativas mutuamel).te exclusi
vas que se muestran a continuación. Sin embargo, esta compañía tiene incertidum bre con respecto al valor de TREMA que debe de utilizar en sus evaluaciones. Por consiguiente, esta compañía desea graficar el valor anual equivalente de cada una de las alternativas en función de TREMA, para de esta forma tomar la mejor deci sión. Determine los rangos de TREMA para los cuales una alternativa domina a las demás. A
Año
B
e
o
$
-$10,000
-$15,000
1
-12,000
- 9,000
- 9,000
2
- 12,000
- 9,000
- 8,000
3
- 12,000
- 9,000
- 7,000
4
-12,000
- 9,000
- 6,000
S
-12,000
- 9,000
- 5,000
o
"'
. .
14 Arboles de decisión
.
.
Las decisiones de inversión son probablemente las decisiones más difíciles y las más importantes que enfrenta la alta a dministración de una organización, por varias razones. Primero, estas decisiones generalmente demandan grandes cantidades de dinero. S egundo, los efectos de una decisión de inversión no son inmediatos. A diferencia de una mal deci sión con respecto a una política de inventarios, los efectos negativos de una mala decisión en proyectos de inversión, repercuten tremendamente en la posición fmanciera de la em presa y en las metas a largo plazo fijadas por la organización. Las inversiones son la implan tación de una estrategia. A través de las nuevas inversiones la alta administración controla
la dirección que debe seguir la organización. Finalmente, y quizás la más importante, las decisiones de inversión son caracterizadas por un grado alto de incertidumbre. Las deci� siones generalmente se basan en predicciones acerca de lo que ocurrirá en el futuro. Por todas estas razones, las decisiones de inversión absorben una gran cantidad del tiempo y la atención de la alta administración. Las decisiones de inversión, a diferencia de las áreas administrativas, son las que quizás han recibido más beneficio del desarrollo de nuevos métodos analíticos dé decisión. En el pasado se han desarrollado una gran cantidad de métodos sencillos y sofisticados para analizar decisiones .de inversión. Ejemplos de estos métodos son los que ya se han
explicado en capítulos anteriores. Sin embargo, uno de los problemas más importantes en decisiones de inversión es el manejo de laincertidumbre,la cual generalmente existe en toda decisión de inversión. Existen varias formas de manejar la incertidumbre. Una es a través de ..árboles de decisión". Las otras como sim�ción, y análisis de riesgo son presentadas en los capítulos sub siguientes.
14.1
ARBOLES DE DECISION
El enfoque de árboles de decisión, una técnica muy similar a programación dinámi ca, es un método conveniente para representar y analizar una serie de inversiones hechas a través del tiempo. La técnica de árboles de decisión consiste básicamente de los siguientes pasos: 253
f
254 Arboles de decisión l. Construir el árbol de decisión. Para la construcción del árbol es necesario consi-.
derar las diferentes alternativas o cursos de acción y los posibles eventos asociados a cada curso de acción. En la construcción de este árbol un O significa un punto
de decisión, es decir, en este punto un curso de acción (el·más adecuado) debe ser seleccionado. Un O representa los posibles eventos asociados a un curso de
acción. Por ejemplo, si actualmente se analiza la posibilidad de prÓducir un nuecursos de acción serían:
��
Noh•=n""
Decisión
�
Co struir una planta pequeña
Construir una planta grande
t.E(
Sin embargo, a cada curso de acción se le puede asociar una serie de eventos. Por
�
to puede ser baja', media o alta. Lo anterior se representa en árboles de decisión
r.
·
VO producto el CUal requiere de la construcciÓn de una nueva planta, los posibles .
ejemplo, es obvio que si se construye la planta pequeña, la demanda del produc de la forma siguiente:
1 Construir una planta pequeña
..
2. Determinar los flujos de efectivo de cada una de las ramas del árbol. 3. Evaluar las probabilidades de cada una de las ramas del árbol obtenido en el paso anterior.
4. Determinar el valor presente de cada una de las ramas del árbol.
5. Resolver el árbol de decisión con el propósito de ver cuál alternativa debe ser se
leccionada. La técnica de solución es muy simple y muy similar a programación
dinámica para atrás (algunos autores de libros en inglés le llaman a esta técnica
"rollback procedure", o "rolling backward").Con esta técnica se comienza en los
extremos de las ramas del árbol de decisión y se marcha hacia atrás hasta alcanzar
el nodo iniéial de decisión. A través de este recorrido, se deben de utilizar las si guientes reglas:
a) b)
Si el nodo es un nodo de posibilidad O, se obtiene el valor esperado de los
eventos asociados a ese nodo.
Si el nodo es un nodo de decisión O, entonces se selecciona la alternativa· que maximiza o minimiza los resultados que están a la derecha de ese nodo.
Arboles de decisión
255
Para ilustrar la aplicación de esta técnica, suponga que cierta empresa piensa intro ducii al mercado, un nuevo producto. Puesto que este producto es completamente diferente a los productos que actualmente se �abrican en la empresa, se requiere construir una nue va planta para la producción del nuevo producto. Los posibles cursos de acción iniciales para la empresa son: construir una planta grande, o construir una planta pequeña. Para es ta última alternativa es posible ampliar la planta si la demanda en los primeros años es ¡i{ta. Específicamente, el costo de la planta grande se estima en $5 millones, y en $3 millones el de la planta chica. Además, esta empresa considera que el horizonte de 10 años que usualmente utiliza en la evaluación de nuevos proyectos de inversión, puede ser dividido en dos períodos. El primero de 3 años que b�sicamente sirve para analizar el comportamiento que la demanda sigue durante este tiempo, y el segundo para tomar la decisión de ampliación en caso de que se haya construido la planta pequeña y la demanda en el primer período haya sido al ta. Por consiguiente, si se construye la planta grande y la demanda es alta en el primer período, entonces los ingresos netos anuales se estiman en $2 millones. Si la demanda es alta en los primeros 3 años, y alta en los 7 restantes, entonces los ingresos netos anuales del segundo periodo se estiman en $2.2 millones. Si la demanda es alta en el primer perío do y en ·el segundo es baja, entonces los ingresos netos anuales del segundo período se estiman en $L5 millones. Si la demanda es baja en el primer período, entonces la demanda también será baja en el segundo período y los ingresos netos anuales durante los 10 años se estiman en $1 millón. Por otra parte, si se construye la planta pequeña, y la demanda es alta en los primeros 3 años, entonces los ingresos netos anuales se estiman en $0.8 millones. Si la demanda es baja en los 3 primeros años, entonces la demanda también será baja en los 7 años restantes, y los ingresos netos anuales durante los 10 años se estiman en $0.4 millones. Si la deman da es alta en el primer período, se puede, o no, ampliar la planta a un costo de $4 millones. Si se amplía la planta y la demanda es alta, entonces los ingresos netos anuales del segundo período se estiman en $2.5 millones. Si se amplía la planta y la demanda es baja, entonces los ingresos netos anuales del segundo período se estiman en $1.5 millones. Si no se amplía la planta, y la demanda es alta, entonces los ingresos netos anuales del segundo período se estiman en $1 millón. Si no se amplía la planta, y la demanda es baja, entonces los in gresos netos anuales del segundo período se estiman en $0.7 millones. Finalmente, considere que la TREMA es de 20%, y que el departamento de Merca dotecnia de esta empresa estima que las probabilidades de que la demanda sea alta o baja en los próximos 10 años son como sigue:
A B
: Primer , :- penodo
:
-.--1
Segundo 1 � penodo 1
=
=
Demanda alta Demanda baja
256
Arboles de decisión Para la información anterior y aplicando la metodología explicada previamente, el.
primer paso sería la construcción del árbol d� decisión, el cual se muestra en la figura
14.1.
En este árbol primero se representa con un O la alternativa de construir una planta pequeña o cpnstruir una planta grande. En seguida se representan los diferentes eventos asociados a estos cursos de acción y los cursos de acción que la empresa puede seguir después de •
años de operación de la planta pequeña.
3
•
Una vez construido el árbol, el siguiente paso es poner los flujos de efectivo en cada: una de las ramas del árbol. Tal información aparece en la figura
14.2.
A 1 1 .
A = demanda alta
B
B = demanda baja PG =planta grande
'
9 �L------------------PP =planta pequeña E = expander
r
·
NE=no expander
A
PG
1
f, k
�;
�-
PP
r
/
1
:
D
1
; ...,._ ""'
Primer período
(3 años)
�;
B
�--------------------------------------�·
;
Segundo período
__. 1
(7 años)
----�
FIGURA 14.1. Arbol de decisión.
Con los flujos de efectivo, es poSible determinar el valor presente de cada rama. Tal información, así como las probabilidades de cada rama aparecen en la figura
14�3.
La solución de este 'árbol de decisión puede ser obtenida si se aplican las reglas des
critas en el paso
5 del procedimiento
propuesto. De acuerdo a este procedimiento, se eva
lúa primero el valor esperado en los nodos Nodo Nodo Nodo
4, 6 y 7. Tales valores
son:
4: 3.8{2/3)+2.34{1/3) = 3.31 6: 159{2/3}050(1/3) = 0 .89 7: 0.77(2/3)+0.15{1/3) = 056
Por consiguiente, en el nodo 5 la mejor decisión es ampliar la planta. En seguida, se evalúan los valores esperados en los nodos Nodo Nodo
2.y 1, los cuales resultan ser de:
2: 3.31(2/3)-0.81 {1/3) 3: 0.89(2/3)-1.32 (1/3)
= =
194 0 .15
Arboles de decisión 257 A (2.2)
·
B (1.5) B (1) A (2.5)
PG (-5)
B (1.5) A (1)
B (0.7)
PP (-3)
B (0.4)
FIGURA 14.2. Inversiones e ingresos para cada una de las ramas del árbol de decisión.
A(2/3) B (1/3) B (1)
B (1/3)
A (2/3) B (1/3)
FIGURA
14.3.
2.34 -{).81
A (2/3)
B (1)
3.80
1.59
-{).SO 0.77 0.15
-1.32
Valor presente para cada una de las ramas del árbol de decisión.
Consecuentemente, la mejor decisión en el nodo 1 es construir la planta grande (ver figU ra
14.4).
Con esta decisión el valor presente esperado sería de $1.94 millones, lo cual ga
rantiza un rendimiento mayor que TREMA.
A partir de este ejemplo, se puede observar que el enfoque de árboles de decisión
puede presentar la desventaja de un gran número de cálculos, puesto que las ramas del
258 Arboles de decisión
árbol se incrementan muy rápidamente a medida que el número de nodos de decisión y nodos de posibilidad se incrementa. La única forma de hacer este enfoque práctico, es limitar a un número muy pequeño la Cl}Iltidad· de ramas que emanan de un nodo de posi bilidad. Estp significa que la distribución de probabilidad en el )lodo de posibilidad repre senta a una variable aleatoria que sólo puede tomar una cantidad muy pequeña de valores diferentes.
•
§
A
•
A
3.80
B
2.34
B
-0.81
PG
.
11
e
0
A
1.59
B
-0.50
A
0.77
pp B
@
B
B
0.15
-1.32
FIGURA 14.4. Solución del árbol de decisión
Por otra pátt e, las respuestas obtenidas a través de un análisis de árboles de decisión son a menudo inadecuadas. La respuesta simple obtenida, el valor presente por ejemplo, representa el valor esperado de todos los posibles valores que el valor presente puede tomar. Más generalmente, el enfoque de árboles de decisión no proporciona todos .los posibles resultados a los que puede dar origen una decisión de inversión. Tampoco proporciona las probabilidades asociadas a estos resultados. En el ejemplo presentado, el enfoque de árboles de decisión indica que construir la planta grande sería la estrategia óptima, puesto que implantando esta decisión se ma
$1.94 (VPN óptimo) representa simplemente la media de 3 posibles resultados-del valor presente: $3.8 millones con una probabilidad de 4/9,$234 millones con una probabilidad . 2/9, y -$0.81 millones con una probabilidad -de 1/3. Lo anterior significa que la decisión de construir la planta grande produce un valor esperado del valor presente de $194 millones con una desviación estándar de $2.02 millones. ximiza el valor esperado del' valor presente neto. Sin embargo, el valor presente de millones
Aunque la decisión de construir la planta grande produce el mayor valor presente esperado, también produce la mayor desviación estándar. Por consiguiente, seleccionar la alternativamente que maximiza el valor esperado del valor presente no es un criterio de deci sión universalmente válido, es decir, no todas las personas tienen el mismo comportamiento
Problemas 259
hacia el riesgo. Algunas personas prefieren sacrificar posibles utilidades a cambio de reducir el riesgo del proyecto.
. A pesar de todas estas desventajas, el enfoque de árboles de decisión es una herra
mienta analítica muy utilizada, pues permite planear y controlar mejor a las nuevas inver siones. Por esta razón, el enfoque de árboles de decisión ha sido, es, y será una herramiypta muy importante en el análisis y evaluación de nuevas inversiones.
14.2 CONCLUSIONES
El uso del concepto de árboles de decisión como una base para analizar y evaluar inversiones, hacen más explícito e intuitivo el proceso de toma de decisiones. A través de esta técnica se puede tener una mejor idea del panorama completo del proyecto de inver sión, es decir, se captan mejor los diferentes cursos de acción y sus posibles eventos asocia dos, así como la magnitud de las inversiones que cada curso de acción origina. Por otra parte, conviene señalar que las principales desventajas de este enfoque pue den ser elinúnadas si se utiliza el enfoque de árboles de decisión estocásticos. Con este últi mo enfoque, cada nodo de posibilidad es representado por una distribución de probabilidad continua, y las cantidades o factores como las inversiones, también son representadas por
distribuciones de probabilidad continuas. Con las distribuciones de probabilidad definidas para todas las variables aleatorias que intervienen en el árbol y utilizando la técnica de si mulación (ver capítulo
16), es posible determinar la distribución de prob"abilidad del valor
presente neto para cada uno de los cursos de acción considerados. Con estas distribucio nes de probabilidad y la actitud del tomador de decisiones hacia el riesgo, se tomaría una
decisión que superaría a la que se tomaría si sólo se utilizara el enfoque de árboles de decisión. PROBLEMAS 14.1.
La corporación X desea introducir al mercado un nuevo producto. Para ésto, la corporación actualmente analiza dos posibles cursos de acción: construir una plan ta pequeña o construir una planta grande. El costo de la planta grande se estima en $ 5 millones y en $2 millones el de la planta pequeña. Si se construye la planta grande y la demanda en los próximos 5 años es alta, media o baja, entonces los- in gresos netos anuales se estiman en $1.8' millones, $15 millones y $1.2 millones respectivamente. Si se construye la planta chica y la demanda en los próximos 5 años es alta, media o baja, entonces los ingresos netos anuales se estiman en millones,
$0.7
$0.8 $0.6 millones respectivamente. Si la TREMA para esta ¿qu§ curso de acción debería ser tomado? ¿Cuál alternati
millones y
corporación es del15%,
va es más riesgosa? Las probabilidades de demanda alta, media y baja son respec-·
tivamente: 2/5, 2/5 y 1/5. 14.2.
Una compañía de alimentos actualmente analiza la capacidad de almacenamiento del almacén de productos terminados. Puesto que la demanda está creciendo, esta compañía siente que una buena estrategia sería ampliar la capacidad del almacén actual o construir uno nuevo. Si un nuevo almacén es construído, su costo inicial se estima en $ 1O millones. Si el almacén se amplía, la inversión inicial requerida se estima en
$4
millones. Si la decisión de ampliar se pospone, la compañía puede
esperar2 años y entonces decidir si el almacén se amplía o se deja como está.
·
260 Arboles de decisión
La demanda de los productos vendidos por esta compafiía puede ser alta
primeros dos años y alta en los tres restantes
los cinco años
(B1
(B1 A2) y
puede ser baja durante
B2). Dependiendo de estos niveles de demanda, los ingresos
netos anuales (millones de pesos) _de los próximos cinco años para cada uno de •
los cursos de acción que se pueden seguir en este momen�o serían:
·
Demanda
Construir un almacén nuevo Ampliar el almacén actual
111 •
A1A2
A1B2
B1A2
B1B2
$ 4.0
$3.8
$ 3.6
$ 3.0
2.0
1.6
1.2
LO
Si la decisión de ampliar el almacén actual se pospone para dentro de
1
inve.rsión requerida por esta ampliación se estima en
. '·
'1
(A1 A2}_
para los cincos años que se utilizan como horizonte de planeación, puede ser alta en los primeros dos afios y baja en los'tres restantes (A1 B2), puede ser baja en los·
$6
:
va, se supone que si la demanda es alta (baja) en los primeros
f:
anuales (millones de pesos) para los próximos tres años serían:
K:
ingresos netos anuales serían de
$1
millón
($0.6
2
años, la
mp.Iones. Para esta alternati
2 años, entonces los
millones). Los ingresos netos_ Demanda
l
A2
Bz
$3.5 0.8
$ 2.8
Ampliar el almacén No ampliar el almacén
Si la TREMA es de
•.
20%, y la distribución
próximos cinco años es como sigue:
0.6
de probabilidad de la demanda para los
Demanda
Probabilidad
A1A2
A1B2
B¡A2
BtB2
0.30
0.20
0.20
0.30
¿Qué curso de acción debería seguir esta compañía?
143.
La compañía Z ha estado experimentando una reducción en la demanda de su pro
$1 ,000. El costo varia $600. El nivel de ventas
ducto principal, el cual tiene un precio unitario de venta de ble unitario de producción para este producto es de esperado en los próximos cinco afios se estima en
10,000
unidades anuales.
Con el propósito de mejorar e incrementar la demanda de este producto, la alta administración de esta compañía desea implantar la mejor de las siguientes dos
estrategias:
1)
Disminuir el precio unitario de venta de
$1,000
a
$950,
y
2) Man-
Problemas 261
tener el mismo precio, pero incrementar los gastos de publicidad en $800,000 al año. Para los primeros dos años, las probabilidades de éxito y fracaso de cada estrategia, así como el incremento en las unidades anuales vendidas se muestran a continuación: Incremento en unidades. Estrategia
Probabilid[ld
Bajar 'precio
anuales vendidas
1 ( éxito)
4,000 unidades
Sostener precio y
0.8 (éxito)
3,000 unidades
Aumentar publicidad
0.2 (fracaso)
1 ,5 00 unidades
Durante los dos primeros años, es posible que el competidor reaccione sobre todo si la estrategia implantada ha sido exitosa. Por consiguiente, a continuación se muestran las probabilidades de que el competidor reaccione, dependiendo si hubo éxito o fracaso en los dos primeros años en la compañía Z. También, a continua ción se muestran los incrementos en las unidades anuales vendidas con respecto al nivel de ventas de los dos primeros años, para cada posibilidad de reacción y no-reac ción del competidor. Si la TREMA de esta compañía es de 25%. ¿Cuál estrategia debería la compañía Z seleccionar? ¿Qué estrategia es más riesgosa?
Incremento en las unzdades Reacción del Est rategia
Bajar precio
Sostener precio y aumentar publicidad
Probabilidad
competidor
vendidas
con respecto al año 2
0.7
reac ciona
1,000
0.3
no reacciona
2,000
0.6 (éxito)*
reacciona
1,500
0.4 (éxito)
no reacciona
3,000
0.2 (fracaso)
reacciona
500
0.8 (fracaso)
no reacciona
800
* 0.6 (éxito) significa que la probabilidad de que el competidor reactione dado que hubo éxito en los dos primeros años es de 0.6.
�
15 Análisis de riesgo
Dos problemas fundamentales están presentes en toda propuesta de inversión. El primero se refiere a la conversión de los flujos de efectivo futuros de acuerdo a cualquiera de los criterios económicos más ampliamente utilizados (valor presente, tasa interna de rendimiento, etc.) y el segundo al entendimiento y evaluación de la incertidumbre. El se gundo problema es a menudo de mayor importancia pero desafortunadamente ha recibido menos atención que el primero, por consiguiente, cuando una propuesta de inversión es analizada, se recomienda, incluir en el análisis alguna variable o medida que considere el riesgo inherente de la propuesta evaluada. Lo anterior es muy aconsejable, puesto que una inversión razonablemente segura con un rendimiento determinado, puede ser preferida a una inversión más riesgosa con un rendimiento esperado mayor. La consideración del riesgo en la evaluación de una propuesta de inversión, se puede defmir como el proceso de desarrollar la distribución de probabilidad de alguno de los criterios económicos o medidas de méritos ya conocidos. Generalmente, las distribuciones de probabilidad que más comúnmente se obtienen en una evaluación, corresponden al valor presente, valor anual y tasa interna de rendimiento. Sin embargo, para determinar
las distribuciones de probabilidad de estas bases de comparación, se requiere conocer las
distribuciones de probabilidad de los elementos inciertos del proyecto como lo son: la
vida, los flujos de efectivo, las tasas de interés, los cambios en la paridad, las tasas de in flación, etc. Los flujos de efectivo que ocurren en un período determinado son a menudo una función de un gran número de variables, entre las cuales se pueden mencionar las siguien
tes: precios de venta, tamaño del mercado, p<;>rción del mercado, razón de crecimiento del mercado, inversión requerida, tasas de inflación, tasa de impuestos, gastos de operación, gastos fijos y valores de rescate de los activos. Además,<es posible que los valores de estas variables sean independientes o estén correlacionados. Consecuentemente, el desarrollo añalítico de la distribución de probabilidad del criterio económico utilizado, generalmente no es fácil de lograrse en muchas situaciones del mundo real. Para estas situaciones, el enfoque de simulación es recomendado. Recientemente, el análisis de riesgo ha ganado una gran aceptación en muchas in dustrias, las cuales lo consideran en �a evaluación de nuevas propuestas de inversión y en la planeación estratégica de corto, mediano Y. largo plazo. , 263
�
264 Atuilisis de riesgo
15.1 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD MAS UTILIZADAS EN ANALISIS DE RIESGO El análisis de riesgo o probabilístico fue desarrollado para tomar en cuenta la incer tidumbre que generalmente se tiene con respecto a las variables que determinan los flujos de efectivo neto de un proyecto de inversión. Esta incertidumbre normalmefl'te es expre sada por medio de distribuciones de probabilidad. Las distribuciones de probabilidad de las variables aleatorias generalmente se desa rrollan en base a probabilidades subjetivas. Típicamente, entre más alejado del presente esté un evento, más incertidumbre habrá con ·respecto al resultado del evento. Por con siguiente, si la variancia es una medida de la incertidumbre, es lógico esperar que las va riancias de las distribuciones de probabilidad crezcan con el tiempo. Entre las distribuciones de probabilidad teóricas más comúnmente utilizadas en análisis de riesgo se pueden mencionar: la distribución nonru¡l y las distribuciones trian gulares. Un resumen escueto de cada distribución es presentado a continuación.
·
15.1.1 Distribución normal La distribución normal es, en muchos aspectos, la piedra angular de la teoría esta dística. Una variable aleatoria X se dice que tiene una distribución normal con parámetros
(-<11<-)
(15.1) e ilustrada 15.1. La distribución normal es tan utilizada, que una notación simplificada X'VN(p., al) es comúnmente usada para indicar que una variable aleatoria X es distribuida normalmente con parámetros 11 y a2 2 y a >O si tiene la función densidad dada en la ecuación
en la figura
•
1
f(x) f(x)
=
e
_!_(x-pi CJ 2
(15.1)
--<x<-
a.¡2if
J.1
FIGURA 15.1. Densidad de probabilidad normal
X
Distribuciones de probabilidad 265
Algunas propiedades de la distribución normal son:
a) f(x)>O b)
Lím
para todax
f(x)
=
O,
y
x�e) f
Lím x-+
{(x +
p.) }
La propiedad
a)
=
--
f(x)
=
O
f f--{x- p.)}
es requerida por todás las densidades 'de probabilidad y la propiedad
e) indica que la densidad es simétrica sobre
p..
Por otra parte, la media y la variancia de la distribución normal son:
/
1
�(X)
X
f
a$
-,
e
--
2 --
(X -1')2 o
dx = Jl
(15.2)'
y
co
VAR(X)
=
f
( x-
1 a..,fiir
iJY
!._ (X - 1' )2 e
2
o
dx
=
a
2
(15.3)
Puesto que la distribución normal solamente se puede integrar por métodos numé ricos, es conveniente hacer
un
cambio de variable que facilite los cálculos de probabilidad.
Dicho cambio de variable es:
Z Esta transformación
=
(X- p.)/a
hace que la evaluación de probabilidades sea independiente de p. y de
a. Con esta transformación, la distribución normal original se convierte en:
l{)(Z)
=
1 e -zl/2. ..¡¡;r
(15.4)
'--
la cual tiene una media de O y una variancia c.Je 1, esto es, Z 'VN(0,1), y esta variable se dice que sigue una distribución normal estándar. La ventaja de esta distribución es que ha sido tabulada y sus resultados se encuentran disponibles en cualquier libro de estadís tica.
15.1.2 Distribución triangular La distribución triangular al igual que la distribución
{3
son ampliamente utilizadas
al introducir riesgo en proyectos de inversión y caminos críticos
(PERT).
Ambas distri-
266 Análisis de riesgo
buciones se basan en una estimación pesimista, una más probable, y una optimista. Sin embargo, la distribución triangular (ver ecuación
15.5
y ftgura
15.2)
por su sencillez es
más fácilmente comprendida por el analista· y por las personas encargadas de interpretar los resultados del estudio.
2
(X: -.a),
(e -a)(b-a)
f(x)
a �x�b·
(15.5)
¡
=
para
2
(c-a)(c-b)
(x-e), parab�x�c
f(x)
••
'
'i ��
�J
t�
i
l .b
a
e
X
FIGURA 15.2. Densidad de probabilidad triangular.
Puesto que la distribución triangular se va a utilizar ampliamente en los ejemplos ·
que se presentarán en las secciones subsiguientes, a continuación se muestra el procedi" miento utilizado para evaluar su media y su variancia:.
E(X)
b
=
f a
2x(x-a) dx (e-a)(b-_a)
e
J
+
b
1
-2x(x- e )dx
(e -a)(c-b)
=
-
3
(a+b+e)
(15.6)
y
VAR(X)
=
/ a
�8
2x2(x-a)dx (e- a)(b-a) { a2
+
b2
+
e
J
b
+ c2 -ab -
- 2x2 (x - e)dx (e-a):(c-b)
ac -be}
- {i
(a+ b+ e)p
(15.7)
Distribución de probabilidad 267
Es obvio que cuando la distribución triangular es simétrica, es decir, b las fórmulas (15.6) y (15.7) se transforman en: a+c
E (X) =
2
=
(a + e)/2
(15.8)
=b
y
VAR (X)
-1
=
24
(e- a) 2
(15.9)
15.2 TEO�EMA DEL LIMITE CENTRAL
Si una variable aleatoria Ypuede ser representada como la suma de n variables alea torias independientes que satisfacen ciertas condiciones, entonces para una n suficiente mente grande, Y sigue aproximadamente una distribución normal. Lo anterior expresado en forma de teorema sería: Si X0, X¡, ... , Xn es una secuencia den variables aleatorias 2 independientes conE(Xj ) JJ.j y VAR(Xj) a (ambas fmitas)y Y= C0X0 + C1X1 + . .. �Xn, entonces bajo ciertas condiciones generales: =
=
n y z
-
!:
j=O
fJJJ.j (15.10)
=
n
!:
j=O
2
2
S oj
tiene una distribuciónN(O, 1) a medida que n se aproxima a infmit?. La demostración de este teorema, así como la discusión rigurosa de las suposiciones que soportan este teorema, están más allá del alcance de esta presentación. Lo importante es el hecho de que Y sigue aproximadamente una distribución normal, independientemente del tipo de distribuciones que tengan cada una de las X/s. Puesto que el teorema establece que Y está normalmente distribuida cuando n se aproxima a infmito, la pregunta que surge en la práctica sería: "¿Qué tan grande debe ser n de modo que la distribución obtenida para Ysea bastante parecida a la distribución nor mal?" La respuesta a esta pregunta no es tan sencilla puesto que la respuesta dependerá de las características de las ·distribuciones de las X¡'s así como del significado de "resultados razonables". Desde un punto de vista práctico, se puede decir que el valor den depende ' del tipo de distribución de las X¡ s. Por ejemplo. si las X¡'s siguen distribuciones simétricas el valor de n debe ser mayor o igual a 4. Por el contrario, si las X/s siguen distribuciones uniformes, el valor de n debe ser mayor o igual a 12. Finalmente, se recomienda que n ;;;. 100 si las distribuciones de las X/s son irregulares. _
15.3 DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DEL VALOR PRESENTE NETO
El valor presente neto de una propuesta de inversión, sin considerar inflación, se calcula de acuerdo a la siguiente expresión:
268
Análisis de riesgo
donde
li 'i
'
!'
x.
(15.11)
--
�
j=O (1
+t)i
ahora es una variable aleatoria que representa el flujo de efectivo neto del pe
X¡
ríodo j y cuya media y variancía son
Jl¡ y aj
respectivamente.
•
•
.
La expresión (15.11) también puede ser expresada como:
VPN =
-Xo +
1 (1 + i)
X¡ +
l (1 + i)2
.. .
x2 +
(1 + i)
n Xn (15.12)
pero si. 1
a-.
. .
n
VPN
c.
=
1
entonces la ecuación
t
-1
Si
j = O (15.13)
Si
(1 + i)i
j = 1,2,
.
.
.
-n
(15.12) se transforma en:
�
VPN =
¡1
C0X0 + C1X1 + .. CnXn =
De acuerdo a las ecuaciones
.
n
�
j=O
(15.14)
C¡X¡
(15.12) y (15.14) es obvio que el valor presente neto en lugar
de ser una constante, es una variable aleatoria. Por consiguiente, para propósitos de eva luar un proyecto, el procedimiento
usual sería determinar la media y la variancia del valor
presente. Puesto que el valor esperado de una suma de variables aleatorias es dado por la suma de valores esperados de cada variable, entonces, el valor esperado del valor presente· vendría dado por:
E (VPN)
n =
�
j=O
C¡ E(X¡)
n =
�
j=O
(15.15)
C¡ll¡ .
.
A la expresión anterior generalmente se le considera como el valor presente neto. Sin embargo, es necesario aclarar que aun cuando el valor esperado del valor presente neto sea positivo, existe cierta probabp.idad de que el valor presente sea negativo. Por consi guiente, es posible que ciertos proyectos sean rechazados aúnque el valor esperado de sus valores presentes sean positivos. Por otra parte, es conveniente mencionar que general mente al comparar alternativas mutuamente exclusivas, se t!ende a seleccionar aquellas alternativas para la cual el valor esperado del valor presente es máximo. Sin embargo, este criterio de decisión no es válido universalmente, es decir, no todos los tomadores de deci siones tienen el mismo comportamiento hacia el riesgo. Algunas personas prefieren sacri ficar utilidades a cambio de reducir el riesgo del proyecto. Para determinar la variancía del valor presente, es necesario considerar primero que X0, X1,
•
•
•
,
Xn
son variables aleatorias independientes. Por consiguiente, bajo este su-
Distribución de probabilidad 269 puesto y de acuerdo al teorema del límite central, el VPN está normalmente distribuido, donde la media_ está dada por la ecuación
VAR (VPN)
(15.15) y la variancia por: n
=
-
L
]=
(15.16)
e? a?
o
1
1
Antes de ilustrar el uso de esta información, se consider_a el caso de que las variables aleatorias
X¡
no sean independientes (los flujos de efectivo de un período a otro están
(15.16) se transforma en:
correlacionados). Para esta nueva situación, la ecuación n
VAR (VPN)
¿
j=O
e? a?+ 2 J
J
n-1 ¿
j=O
n L. C¡Ck Cov(X1, Xk) k j+ 1 =
(15.17) y el valor esperado del valor presente sigue siendo dado por la ecuación
(15.15). Desafor
tunadamente, esta nueva situación no es muy utilizada en la práctica. Las razones son dos:
1) La
falta de información histórica de las variables aleatorias (flujos de efectivo) dificulta
significativamente el cálculo de los coeficientes de correlación
ción de la matriz de covariancias; y
2) No se puede determinar
(p)
y por ende la evalua
con precisión la distribución
de probabilidad del valor presente, por lo que evaluaciones de probabilidades en forma exacta no pue.;ien ser hechas. Para estos casos, la única alternativa de evaluar un proyecto o comparar varios, es usar la desigualdad de Tchebycheff. Finalmente, puesto que las fórmulas
(15.15)
y
(15.16)
fueron obtenidas sin tomar
en cuenta la inflación, conviene señalar que si una tasa de inflación i¡ es introducida, las ecuaciones
(15 .15)
y
(15.16)
siguen siendo válidas, sólo que el factor
-1
C¡*
=
�
1 (l ¡Ji (1 +
Si
+í,)'
Si
j ¡
=
=
C¡
vendría dado por:
O 1, l, .. . , n
(15.18)
Para comprender y asimilar la teoría hasta ahora presentada, una serie de ejemplos
son resueltos.
Ejemplo 15.1 Suponga que cierta empresa desea analizar un proyecto de inversión que promete
generar los flujos de efectivo probabilísticos mostrados en la tabla
15-1. También, consi
dere que los flujos de efectivo de un período a otro son independientes. Finalmente,
considere que esta empresa utiliza una TREMA de 20% para evaluar sus proyectos de in
versión_
*Para el cálculo de este factor, se considera que x1 es el flujo de efectivo después de impuestos a pesos
corrientes.
270
Análisis de riesgo
TABLA 15-L Flujos de efectivos triangulares_ Estimación
Estimación
más probable
- optimista
Estimación Año
pesimista
_
o
-140
-100
-80
l
30
40
60
2
35
40
45
3
30
40
50
4
25
5
20
35
45
40
Para la información mostrada en la tabla
60
15-1, primeramente se obtienen la
media y
la variancia de los flujos de efectivo de cada período. Para este propósito, se utilizan las ecuaciones (15.6) y (15.7) presentadas anteriormente. En seguida, aplicando la ecuación ..
'
r�i
�¡ 1(' �
/
(15.15)
y
(15.16)
se obtiene el valor esperado y la variancia del valor presente. Los resul
tados de estos cálculos aparecen en la tabla
(15-2).
TABLA 1 5-2. Valor esperado y variai_lcia del valor presente. ·Año
C¡
11¡
E(VPN)
e?
a.z
1
VAR(VPN)
1
o
-1.00
107
-107
1.00
156
1
0.83
43
36
0.69
39
4
2
0.69
40
27
0.48
3
0.57
40
23
0.33
17
4
0.48
35
17
0.23
17
5
0.40
40
16
0.16
67
156
27
2 5 4 .
12
....
10
204
15-2, el valor esperado del valor presente es 12 204. Para analizar la aceptación o rechazo de este proyecto, suponga qué
Como se puede observar en la tabla y su variancia es
la empresa ha manifestado en repetidas ocasiones que un proyecto es acep�do solamente . si la probabilidad de que el valor presente sea mayor que cero, es de al menos 90%.
Para determinar si el proyecto satisface el criterio de decisión establecido por la em presa, a continuación se evalúa la probabilidad de que el valor presente sea mayor que cero (ver figura
15.3): P
{VPN> otf
=
=
{
P z
>
0-12 14.28
}
P {z>-0.84f 0.79954
y puesto que esta probabilidad es menor que
90%, el
proyecto deberá ser recha�ado.
Distribución de probabilidad 271
o
12
-0.84
o
FIGURA 15. 3. Distribución nonnal y normal estándar del valor presente neto.
Ejemplo 15.2 Suponga que cierto grupo industrial desea incursionar en el negocio de pailería. Investigaciones preliminares del mercado indican que existe una gran demanda para estos productos. Además, estos estudios previos revelaron que existen cinco lugares estratégicos en la república a los cuales se enviaría la producción. Puesto que la demanda es muy gran de en los sitios considerados como clientes potenciales, suponga también que la planta que se quiere construir .tendrá una capacidad de producción mucho menor a la demanda de estos clientes. También, suponga que la nueva planta enviará toda su producción a un solo sitio, y además, cualquier sitio tiene la misma probabilidad de ser elegido para sur tirle su demanda. Como no todos los sitios están alejados la misma distancia del lugar propuesto para la ubicación de la planta, los flujos de efectivo resultantes serían diferentes dependiendo del lugar al cual se envíe la producción; siendo mayores entre más cercano se encuentre el cliente (los fletes representan un costo muy importante en la evaluación del proyecto) . Por otra parte, considere también que los flujos de efectivo después de im
puestos a pesos corrientes de los próximos cinco años están uniformemente distribuidos entre los siguientes valores:
30, 40, 50, 60 y 70. Finalmente, considere que la inversión 90, la TREMA que utiliza la empresa es de 20%, y la
requerida en la nueva planta es de
tasa de inflación promedio anual de los próximos cinco años se espera que sea del orden de 1 O%. Si la empresa acepta proyectos para los cuales P { VPN �
O}
�
90%,
¿de bería
este proyecto ser aceptado? De acuerdo a la información presentada, primeramente se calcula a continuacíón
la media y la variancia de los flujos de efectivo de cada período:
P¡.
=
i (30+
40+50+60+70)
=
50 paraj
=
1, 2, ...
S
y
·
oj
=
-}- { .(30-50Y! +(40-50)2 +(50-50? +(60-50)2 +(70-50)2 } paraj
En seguida, aplicando las ecuaciones
(15.15)
y
(15.16)
=
1, 2,
. ..
=
200
5
se obtiene el valor esperado y la
variancia del valor presente. Los resultados obtenidos se muestran en la tabla
15-3.
272
Análisis de riesgo TABLA 15-3. Valor esperado y variancia del valor presente para la planta de pai-
lería.
Año
ll¡
1
C*
o
-1.00
2
0.57
1 3
4
-90
90
0.57
50
22
50
13
50
0.43
28
50 50
0.25
a.2 o
o
200
114
0.19
200
38
0.06
200
12
0.33
16
VAR(VPN)
1
1.00
38
0.76
0.33
5
"
C¡2
E(VPN)
200
0.11
66
200
22
27
252
Por consiguiente, la probabilidad de que el valor presente sea mayor que cero, sería:
P
VPN
{ >O }
=
P P
o
Z
{ > {z>
}
-27 15.87
- 1.70
}
0.95543 y puesto que esta probabilidad es mayor que
90%, se recomienda que el proyecto sea em
. prendido.
15.4 DJSTRIBUCION DE PROBABILIDAD DEL VALOR ANUAL EQUIVALENTE El valor anual equivalente de un proyecto de inversión, se calcula de acuerdo a· la siguiente expresión:
A =
l
X¡
n
�
j==O
{1 + i)j
1 ¡·
i{l + i)n (1 + i)n -1
l�-
VPN
l
i�1 +i)n (1 +z)n -1
t �
{15 .19) donde x1 sigue representando al flujo de efectivo del periodo j, el cual es una variable alea toria con media ·
Jl¡ y variancia
af.
Sin embargo, la ecuación {15.19) también puede ser
expresada en la forma siguiente:
A
*C¡
se
=
-KXo +
K --
{1 + i)
X1 +
obtiene aplicando la ecuación (15.18).
K {1 + i)2
X2
+
.
. .
K (1 + i)n
X
n
(15.20)
Distribución de probabilidad 273
donde:
i(l +i)n (1 +i)n -1
K y si
0 se defme como: Si
-K c. 1
entonces la ecuación
j = O
(15.21)
=
Si
K/(1 + i)i
j
=
1, 2,
. . . ,n
(15.20) se transforma en: n
A =
� j=O
(15.22)
e¡ xi
Es obvio, que la anualidad equivalente al igual que el valor presente neto está normalmente distribuida si:
1)
n se aproxima a infmito; y
2) los flujos de efectivo de un período a otro
son independientes entre sí. Además, el valor esperado y a la variancia de
vendrían dados por:
la anualidad
n
E(A)
=
� j=O
C¡ Jl¡
(15.23)
y n
VAR (A) =
� j=O
(15.24)
e? a? 1
1
Finalmente, si una tasa de inflación i¡ es introducida, las ecuaciones (15.23) (15.24) no se alterarían, sólo que el factor 0 vendría dado por la siguiente expresión:
-K C¡
K/(1
+
i)Í (l + i¡)i
Si
j =O
Si
j
=
y
(15.25)
1, 2,
.
.
.n
lS.S DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE LA TASA INTERNA DE RENDIMIENTO El procedimiento propuesto por Hillier1 para encontrar la distribución1de probabi�
lidad de la tasa interna de rendimiento
(TIR) es relativamente directo.
Consiste en encon-
1 Hillier, Frederick 'The derivation on probabilistic information for the evaluation of risky investment". Management Science, Vol. IX, No. 4 (abril, 1963) pp. 443-457.
274 Análisis de riesgo
trar la distribución de probabilidad del valor presente neto (VPN) para varios valores de i y entonces encontrar a partir de estas distribuciones, la distribución acumulada de la TIR: ·
Lo anterior expresado en forma de ecuación s�ría: Prob
La ecuación
(15.26)
{ TIR < i0 f
=
P.
J VPN
< O 1 i
=
io
l
(15.26)
es bastante obvia ya que la TIR sería menor que i0 si el valor pre-·
sente utilizado i0 es negativo. Por consiguiente, para obtener la distribución acumulada de laTIR, lo que se requiere es aplicar la ecuación
(15 .26) tantas veces como se desee.
Una vez obtenida la distribución acumulada de la TIR, esta puede ser utilizada de acuerdo a algún criterio de decisión, en la evaluación de una propuesta de inversión. Por.
(15.26) es válida solamente si la relación 15.4. Por el contrario, la ecuación (15.26) es como aparece en las figuras 15.5, 15.6 y
otra parte, debe ser señalado que la ecuación entre
VPN
e "i" es como aparece en la figura
no es válida si la relación entre
VPN
e "i"
15.7 .
..
VPN
VPN Préstamo
�
?
1 ' 1
FIGURA 15.4
VPN
1
FIGURA 15.5
No existe
VPN
solución
1
Tasas múltiples de rendimiento
i FIGURA 15.6
FIGURA 15.7
Finalmente, antes de discutir la aplicación de la teoría presentada, es conveniente señalar que la distribución de la TIR no es normal aunque el
VPN lo sea. Se aclara esta 2 situación, ya que en el artículo publicado por Hillier se asevera lo contrario.
Ejemplo 15.3 Para los datos presentados en el ejemplo
15.2 encuentre
la distribución acumulada
de laTIR. 2 La demostración de que la distribución de laTIR no es normal se puede realizar mediante simulación.
Conclusiones 275
Como se mencionó anteriormente, para obtener la distribución acumulada de la TIR se requiere conocer la distribución de probabilidad del valor presente para varios va-
lores de "i". Por consiguiente, el primer paso sería obtener la media y la variancia del valor presente para algunos valores de "i". En este caso· particular se seleccionaron valores de 30%, 40% y 50%. Los resultados obtenidos se muestran en la tabla 15-4. Con esta información y aplicando la ecuación
(15.26)
se obtiene la distribución acumulada de la
TIR. Dicha distribución se muestra en la tabla 15.5.
TABLA 15-4. Media y variancia del valor presente neto para distintas tasas de interés. Tasa de interés(%)
20
Año
c. l
Jlj
E(VPN)
c.2 1
VAR(VPN)
a.2 1
o
-1.00
90
-90
1.00
o
o
1
0.76
50
38
0.57
200
114
2
0.57
50
28
0.33
200
66
3
0.43
50
22
0.19
200
38
4
0.33
50
16
0.11
200
22
5
0.25
50
13
0.06
200
12 252
27 30
o
-1.00
90
-90
1.00
o
o
1
0.70
50
35
0.49
200
98
2
0.49
50
24
0.24
200
48
3
0.34
50
17
0.12
200
24
4
0.24
50
12
0.06
200
12
5
0.17
50
9
0.03
200
7 40
o
-1.00
90
-90
1.00
o
o
1
0.65
50
32
0.42
200
84
2
0.42
50
21
0.18
200
36
3
0.27
50
14
0.07
200
14
4
0.18
50
9
0.03
200
6
5
0.16
50
8
0.01
200
2 142
6 50
6 188
o
-1.00
90
-90
1.00
o
o
1
0.61
50
30
0.37
200
74
2
0.37"
50
19
0.13
200
26
3
0.22
50
11
0.05
200
10
4
0.13
50
6
0.02
200
4
5
0.08
50
. 4
0.01
200
2
-20
116
15.6 CONCLUSIONES Diferentes enfoques descriptivos fueron presentados en este capítulo para considerar en forma objetiva la incertidumbre inherente que todo proyecto de inversión implica.
276 Análisis de riesgo
En particular, se discutió la distribución de probabilidad de los tres criterios econónúcos más ampliamente utilizados que son: valor presente neto, valor anual equivalente y tasa:· interna de rendinúento. Sin embargo, es conv!=lniente señalar que la presentación de estos temas fue un tanto simplificada, por c�msiderar que ciertas situacion.es del mundo real son
bastantes difíciles de modelar analíticamente. No obstante la gran dificultad de modelar analíticamente estas situaciones, existen otras técnicas como simulación, l�t.oual se consi- . dera muy apropiada y muy simple de aplicar en estos casos. Finalmente, es necesario enfatizar que el enfoque probabilístico es r�comendable que se use cuando: 1) Las técnicas tradicionales no establecen claramente la deseabilidad econónúca del proyecto, o no establecen claramen�e cuál de los proyectos analizados es el mejor; y 2) La magnitud de la inversión inicial es significativa.
TABLA 15-5. Distribución acumulada de laTIR.
...
Valor presente neto
Distribución
Tasa de inteies (%)
acumulada media
D. estándar
variancia
P{ VPN
de laTIR
r§
20
27
252
15.87
0.04457
F
30
7
188
13.71
0.30503
0.30503
40
-6
142
11.91
0.69146
0.69146
50
-20
116
10.77
0.96784
0.96784
:S
1
0.04457
PROBLEMAS \. 1
15.1.
La compañía X desea entrar en un nuevo negocio, el cual demanda una inversión inicial de $100,000 y promete generar $30,000 anuales. Sin embargo, la vida de este nuevo negocio es incierta. Cuál es la probabilidad de que el negocio sea acep table si la TREMA es de 15%, y la distribución de probabilidad de la vida del pro yecto es la siguiente: Año Probabilidad
15.2.
1
2
3
4
5
OJO
0.15
0.20
0.25
0.15
7
6 0.10
0.05
Para el problema anterior, cuál es la probabilidad de que el negocio sea aceptable si la TREMA sigue la siguiente distribución de probabilidad: TREMA Probabilidad
15.3.
0.10
0.15
0.20
0.20
0.60
0.20
Para el problema 15.1, cuál es la probabilidad de que el negocio sea aceptable si los ingresos netos anuales siguen la siguiente distribución de probabilidad:
-
Ingresos netos Pro habilidad
15.4.
20,000 0.2
Problemas 277
30,000
40,000
0.50
0.30
La compañía Y desea entrar en un nuevo negocio que promete generar los flujos de efectivo probabilísticos que se muestran a continuación. Si los flujos de efec tivo de un período a otro son independientes, y laTREMA es de 15%, ¿cuál es la probabilidad de que el valor presente sea mayor que cero? Si un proyecto es acep tado cuando Prob. { VPN > O}> 0.95, ¿qué decisión tomaría la compañía Y?
Año
Estimacióñ pesimista
Estimación más probable
Estimación optimista
-$300 80 75 80 90 100
-$250 100 100 120 120 130
-$200 120 125 140 150 150
o
1 2 3 4 5
15.5.
Para el problema anterior, determine la distribución acumulada aproximada de laTIR. 15 .6. La corporación Z desea incursionar en un nuevo negocio cuya inversión inicial requerida sigue una distribución normal con media de -$1,200,000, y desviación estándar de $100,000. Si los flujos de efectivo de un período a otro son indepen dientes y normalmente distribuidos con media de $30,000 y desviación estándar de $2,000, la TREMA es de 25%, y la política de la alta administración de esta compañía es aceptar proyectos con Prob. {VPN > O} � 0.95, ¿debería este proyecto ser aceptado? 15.7. Para el problema anterior, determine la distribución acumulada aproximada de laTIR. 15.8. Dos alternativas de inversión están siendo consideradas por la compañía w: Las distribuciones de probabilidad de las dos alternativas se muestran a continuación: A
Inversión inicial Ingresos anuales Valor de rescate Vida
15.9
N(/1 i O; a = 1) N(/1 = 4; a = 0.5) N(/1 = 2; a = 0.3) 5 años =
B N(/1 15; a = 2) N(/1 = 10; a = 1.2) N(/1 = 3; a = 1) 5 años =
Si laTREMA es de 25%, ¿cuál es la probabilidad de que la alternativa A sea mejor que laB? Si en el problema anterior, laTREMA sigue la siguiente distribución de probabilidad:
278 Análisis de riesgo
TREMA
·
Probabilidad
15
20
25
30
0.15
0.25
0.40
0.20
¿Cuál es la probabilidad de que la alternativaA sea mejor que la B?
• •
15.10. Dos alternativas de inversión están siendo evaluadas. Sus distribuciones de proba
bilidad se muestran a continuación: Año
f.lA
a
A
f.lB
a B
o
-$200,000
$20,000
-$300,000
1
80,000
8,000
120,000
12,000
2
100,000
10,000
120,000
12,000
$30,000
3
120,000
12,000
120,000
12,000
4
140,000
14,000
120,000
12,000
5
160,000
16,000
120,000
12,000
Si la TREMA es de 30%, ¿cuál es la probabilidad de que la altern�tivaA sea mejor que B? (Utilice la distribución del valor anual equivalente.)
16 Simulación
La tarea más importante de un ejecutivo es hacer e implantar decisiones. Muchas decisiones, triviales e importantes, deberán ser hechas día con día para encaminar o dirigir la organización hacia el logro de sus metas. Algunas de estas decisiones requerirán perso nal altamente capacitado y grandes inversiones en dinero. Tales decisiones podrían ser: desarrollar
un
nuevo producto, introducirse en una nueva área geográfica, comprar una
compañía, adquirir nuevo equipo, etc. Este tipo de decisiones normalmente requiere un análisis más detallado, y el buen desarrollo de la compañía requiere que muchas de estas decisiones sean hechas correctamente.
16.1 IDEAS BASICAS EN ANALISIS DE RIESGO A la par con el gran desarrollo tecnológico de las computadoras, muchos investiga
dores han desarrollado y perfeccionado un gran número de técnicas útiles para tratar el riesgo y la incertidumbre. Estas técnicas van de las más simples a las altamente sofisticadas. Frederick Hillier profesor de la Universidad de Stanford desarrolló un método de eva-lua ción, el cual es altamente matemático y probabilístico*. A pesar de su fundamento teóri co, el modelo de Hillier y enfoques similares no han recibido una amplia aceptación por parte de ejecutivos y administradores. Las razones son que el problema debe ser especial mente formulado para que se ajuste al modelo, y un alto entendimiento de la teoría de probabilidad es requerido. A diferencia de los métodos probabilísticos, los cuales tienden a ser difíciles de en
tender, la simulación puede ser fácilmente entendida después de un pequeño esfuerzo. Sin embargo, su realización �equiere de una computadora digital. Desde sus inicios durante la Segunda Guerra Mundial, la simulación ha sido una técnica muy valiosa para analizar pro blemas que involucran incertidumbre y relaciones complejas entre sus variables.
*Hillier, Frederick, ''The Derivation of Probabilistic lnformation for the Evaluation of Risky Invest· ments". Management Science, Vol IX, No. 4 (abrill963) pp. 443-457.
279
280 Simulación
Muchas compañías han reconocido la necesidad de incluir el factor riesgo en los estudios económicos, y han destinado recursos al desarrollo de programas donde la técni ca de simulación sea aplicada al análisis de sus ·problemas. Sin embargo, a pesar de la rela tiva facilidad de comprender esta técnica, se ha encontrado que· muchos ejecutivos y administradores se muestran escépticos en los grandes beneficios que se pueden obtener al utilizarla en la toma de decisiones. Hay dos razones aparentes que expll�an esta situa ción. En primer lugar la simulación adolece en menor proporción de la misma desventaja de los modelos probabilísticos, en el sentido de que los ejecutivos no comprenden com pletamente los aspectos técnicos de la simulación. El otro problema es la inversión reque rida en equipo y personal especializado, el cual es requerido al aplicar esta técnica.
16.2 LOGICA DE LA SIMULACION Es obvio que muchos problemas de decisión tienen en común una gran cantidad de elementos. Por ejemplo, inherente a todo problema de decisión son los diferentes cursos ..
de acción de entre los cuales se deberá seleccionar el más adecuado. Estos cursos de acción pueden ser comparados de acuerdo a algún criterio económico. Criterios de este tipo po drían ser: retorno sobre la inversión, tiempo requerido para recuperar la inversión, valor
� ) r
presente, tasa interna de rendimiento, etc. Otro elemento común en la toma de decisiones
1
dos que se obtendrán en el futuro es común a muchas decisiones, y es a menudo posible
es el capital disponible. Además, existen factores de depreciación e impuestos, los cuales son expresados en términos contables estándares. También la incertidumbre en los resulta expresar esta incertidumbre en forma de distribuciones de probabilidad. La gran similitud en los diferentes elementos que intervienen en el proceso de toma de decisiones, facilita el desarrollo de una metodología general de simulación, la cual en este caso sería aplicada al análisis y evaluación de proyectos de inversión (ver figura 16.1).
l.
(
Un par de ejemplos son presentados para aclarar la aplicación de esta técnica.
Ejemplo 16.1 Suponga que una compañía petrolera está considerando construir una nueva esta ción de gasolina. Una investigación preliminar del mercado indica que la mayor incerti dumbre es con respecto al volumen de ventas y al margen de contribución por litro de gasolina vendido. La compañía tradicionalmente ha requerido que sus inversiones ganen al menos una TREMA después de impuestos de 10% sobre la vida esperada del proyecto. Sin embargo, de acuerdo a la fllosofía de incertidumbre representada a través de distribuciones de pro babilidad, la administración ha establecido que un proyecto de inversión será emprendido si Prob.
{I'IR >TREMA}� 0.90.
Después de alguna discusión con respecto a la incertidumbre de las variables que in tervienen en el proyecto, se supuso que el volumen de ventas está normalmente distribui do con media de 350,000 litros/año y desviación estándar de 35,000 litros. El margen de contribución se estima que está uniformemente distribuido entre $.07 y $.10 por litro. Utilidades adicionales de $35,000/año pueden ser obtenidas en la venta de llantas, acumuladores y accesorios. La inversión inicial será de $100,000 y además se tendrán gas tos de operación anuales de $40,000 durante la vida del proyecto la cual se considera de 1 o' años al final de los cuales eÍ valor de rescate es despreciable. Finalmente, una tasa de im puestos del 48% será utilizada.
Lógica de la simulación 281
Datos de entrada Tasa de impuestos, TREMA,
Generador de variables aleatorias
parámetros del proyecto y sus distribuciones de pro
I_A l 1 '1 .111.1
normal
babilidad, etc.
uniforme exponencial empúica
Depreciación Se calcula en función del tipo de activo y de la ac
1
.,¡
M ODELO DE INVERSION •
1�
tividad industrial en la que son utilizados.
Oiterios de evaluación Tasa interna de rendimiento Valor presente Valor anual equivalente Retorno sobre la inversión Período de recuperación
Distribución de probabilidad del criterio de evaluación seleccionado
Histograma Histograma acumulativo
� Luillll
Análisis estadístico
1---
Media Desviación estándar
��
Decisión
Rango
FIGURA 16.1
Diagrama de flujo general para simular un proyecto de inversión.
j
282 Simulación Con la información anterior es posible determinar la distribución de probabilidad de la TIR y en base a ello tomar una deci.sión. Los pasos necesarios para determinar esta dis tribución son: l . Simular el volumen de ventas en litros para los próximos
2.
10 años. 10 años.
Simular el margen de contribución por litro para los próximos
3. Determinar mediante la expresión siguiente, el flujo de efectivo neto después de impuestos para los próximos
St
=
10 años:
(VtMt + UA- G0)(1- T) + DT
para t=
1, 2, ... 10
donde:
Vt. Mt
=
=
Valor simulado de los litros vendidos en el año t.
Valor simulado del margen de contribución del año t
UA = Utilidad por concepto de llantas y accesorios.
G0 D T
= Gastos de operación. =
=
Depreciación anual.
Tasa de impuestos.
4. Calcular la tasa interna de rendimiento para estos valores simulados con la expre
sión siguiente:
_
100,000 +
w
t�1
st -o (1 +TIRf -
5. Repetir estos cuatro pasos tantas veces como se desee. Si se aplica este procedimiento, el resultado será el histograma que representa la dis tribución de probabilidad de laTIR (ver figura
16.2). A partir de este histograma se ob 16.3).En esta última figura se puede aproximadamente 0.30 de que el rendimiento des
tiene la distribución acumulada de laTIR (ver figura apreciar que hay una probabilidad de
pués de impuestos sea menor que 1 O%. Esto significa que la propuesta no satisface el criterio establecido por la administración, de tener al menos una probabilidad de un rendimiento después de
Íl!lpuestos
mayor que
10%. Sui embargo,
0.90
de lograr
debe ser ·señalado
que solamente 250 simulaciones de la TIR fueron realizadas, y que un número mayor de simulaciones podría cambiar ligeram.ente esta distribución.
Ejemplo 16.2 En el ejemplo anterior se supuso que el volumen de ventas estaba normalmente dis tribuido y que el margen de contribución seguía una distribución uniforme. Muy a menu do este tipo de suposiciones no es posible justificar; esto es, generalmente se desconocen las distribuciones de probabilidad que representan a cada una de las variables que intervie nen en el modelo. Esta dificultad puede ser vencida si suponemos que tanto la inversión
Lógica de la simulación 283
f(TIR)
.30
Media Desviación estándar
10.8 2.2
=
14.2
Rango
.17 .
16
.15 .14 .13 .12 .11 .10 .09 .08 .07 .06 .05 .04 .03 .02 .01 o
1
.
2
1 3
1
4
1 5
6
7
8
9
10
u
12
1 FIGURA 16.2 Histograma de la tasa interna de rendimiento.
13
1
14
TIR
\
284 Simulación
..
F(TIR)
l. O
0.9 ...
0.8 ..
� 0.7
1 0.6
u
0.5
(
0.4
0.3
0.2
0.1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
FIGURA 16.3 Distribución acumulada de laTIR.
11
12
13
14
TIR
Lógica
de
la simulación
285
como los flujos de efectivo que genera e] proyecto están representados por distribuciones triangulares.
. Para ilustrar una situación de este tipo, considere que la compañía Z desea analizar ]a
deseabilidad económica de un proyecto de inversión, el cual promete generar los flujos
16.4.
de efectivo triangulares que aparecen en la figura
Además, suponga que esta com
pañía requiere que sus inversiones ganen al menos una TREMA del lO%. Más específica� mente, la administración de esta compañía ha establecido que un proyecto de inversión será emprendido si Prob. {VPN >O }
:;;;;;. 0.90.
Con la información anterior es posible determinar la distribución de probabilidad del VPN y en base a ello tomar una decisión (debe ser notado que para este ejemplo no se está considerando el efecto de los impuestos). Los pasos necesarios para determinar esta distribución de probabilidad son: l. Determinar el valor presente máximo y mínimo que puede resultar de la simula
ción. Tales valores son:
VPNmáx
VPNmín
= -
= _
200 + 170 (1.1)
300
+
100
+
(1.1)
o
+
180 (1.1)1
+
____.2!!
210 (1.1)3
25 (1.1?
(1.1)2
1
=
=
261
-153
2
Tiempo Pesimista
3
Más probable Optimista
o
-300
-250
1
100
140
170
2
90
140
180
3
- 25
80
210
FIGURA 16.4 Estimación de flujos de efectivo.
-200
286 Simulación
2. Dividir este intervalo (-153, 261) en 20 sub intervalos iguales. 3. Simular el valor de los cuatro flujos de efectivo que cqmprende el proyecto. 4. Calcular el valor presente de los flujos de efectivo simulados en el paso anterior,
de acuerdo a la siguiente expresión:
VPN =
J.
t
s t
.
..
;-;0 (I.l)t
donde st es el flujo de efectivo simulado del período t. 5. Repetir los pasos anteriores tantas veces como se desee. Si se aplica este procedimiento, el resultado será el histograma tabulado que aparece en la figura 16.5. A partir de este histograma se obtiene la distribución acumulada del
VPN (ver figura 16.6). En esta última figura se puede apreciar que existe una probabilidad de 0.16 de que el VPN sea menor que cero. Esto significa que de acuerdo a los estándares establecidos por la administración, este proyecto será rechazado. Sin embargo, conviene señalar que en este ejemplo sólo se hicieron 250 simulaciones del VPN, por lo cual la deci sión que se está tomando no es muy confiable. Mayor número de simulaciones es requeri do para determinar con mayor exactitud la distribución de probabilidad del VPN.
Límite inferior
Límite superior
del intervalo
del intervalo
Fracción
Fracción acumulada
-
- 153.4936
- 132.7648
0.000
- 132.7648
- 112.0361
0.000
- 112.036 1 -
-
-
91.30729
0.000
91.30729
-
70.57551
0.004
70.57551
-
49.84974
0.008
49.84974 29.1289
-
-
29.1289
8.3921
8.3921
12.3365
12.3365
33.0653
33.0653
53.7941
53.7941
74.5229
74.5229
95.2516
95.2516
115.9805
115.9805
136.7092
13_6.7092
157.438 178.1668 198.8956
.157.438
178.1668 1 98.8956
219.6243
219.6243
240.3531
240.3531
261.0819
J.lVPN =41.8367
0.028
0.064 0.132 0.183
0.149 0.200 0.144 0.072 0.012 0.000 0.000 0.000
0.000 0.000
0.000
0.000 0.000 0.000 0.004 0.012
0..040 0.104 0.236
0.424
o.s.n: 0.772 0.916 0.988 1.000 1.000 1.000 1.000
1.000 1.000 1.000
aVPN=39.24071.
FIGURA 16.5 Frecuencia acumulada de la distribución del valor presente.
Lógica de la simulación
287
F (VPN)
LOO
0.90
0.1
.
�
- 100
-50
50
lOO
150
. VPN
o FIGURA 16.6 Gráfica acumulativa de la distribución de probabilidad del valor presente.
\.
288 Simulación
16.3 CONCLUSIONES La técnica de simulación es muy fácil de entender y de aplicar en situaciones de riesgo e incertidumbre. Mediante simulación, problemas que no pueden ser resueltos con las técnicas presentadas en el capítulo anterior, pueden ser fácilmente analizados. Por
ejemplo, suponga una situación en la que los flujos de un período a otro estért eórrelaciona dos, que los flujos de un período sean el resultado de una suma de variables aleatorias, y que además existe una tasa de inflación cuya distribución de probabilidad se conoce. Es obvio que en estos casos las técnicas presentadas en el capítulo 15 serían muy difíciles, o
posiblemente imposibles de aplicar. Sin embargo, por medio de la simulación es muy sen cillo establecer o desarrollar un modelo que incorpore toda la información probabilística de las diferentes variables aleatorias que intervienen en el proyecto de inversión.
PROBLEMAS
16.1
La compañía X desea entrar en un nuevo negocio cuya inversión inicial requerida
y los ingresos netos anuales después de impuestos están distribuidos como sigue: Inversión inicial
rv N (Jl =100,000; a=5,000)
Flujo neto del período t
rvN(J1= 30,000;a=3,000)
Si la TREMA es de 30%, y la administración ha establecido que un proyecto de inversión será emprendido si Prob.
{flR >TREMA} ;a. 0.90, ¿debería Ía compa
ñía X aceptar este nuevo proyecto de inversión?
16.2.
La compañía Y desea incursionar en un nuevo negocio cuya inversión inicial re querida está normalmente distribuida con media de $500,000 y desviación estándar de $20,000. Esta inversión inicial la compañía la deprecia en 5 años en línea recta y el valor de res<::ate al término de este tiempo se estima en $150,000. Los ingresos y los costos anuales que este proyecto genera están distribuidos como sigue: Ingresos
rv N (J1 =300,000; a= 30,000)
Costos
rv N (J1 =100,000; a=15,000)
Si la tasa de ÜJ:!.puestos es de 50%, la TREMA de 25%, y la alta administración es tablece que un proyecto .se acepta si Prob. {fiR >TREMA} ;a. 0.95, ¿debería la compañía Y emprender el nuevo proyecto de inversión?
16.3.
La compañía Z está interesada en analizar un negocio cuya inversión inic1al sigue una
distribución triangular:
Estimación pesimista
-130,000
Estimación más probable
-100,000
Hstimación optimista
-80,000
Esta inversión tiene una vida fiscal de 5 años, y un valor de rescate al término de este período distribuido triangularmente: Estimación pesimista
16,000
Estimación más probable
20,000
Estimación optimista
26,000
Problemas 289
Los ingresos netos de los próximos cinco años siguen una distribución uniforme:
1
Año Flujos Probabilidad
2
3
4
.
5
20,000
30,000
40,000
50,000
60,000
1/5
1/5
1/5
I/.5
1/5
.
.
Si la tasa de impuestos es de 50%, la TREMA de 30%, y la alta administración acepta un nuevo proyecto si Prob. {VPN >O}� 0.90, ¿debería la compañía Z emprender este nuevo proyecto de inversión?
16.4.
La corporación "B" que usa una TREMA de 15%, y acepta nuevos proyectos si Prob. {VPN >O} � 0.95, desea analizar si conviene llevar a cabo un proyecto de inversión que promete generar los siguientes flujos de efectivo triangulares:
Año
16.5.
Estimación pesimista
Estimación más probable
Estimación optimista
o
-$ 1,000,000
-$ 800,000
1
·200,000
250,000
270,000
2
200,000
250,000
270,000
3
180,000
200,000
210,000
4
180,000
200,000
210,000
5
150,000
180,000
200,000
-$ 700,000
La corporación X desea incursionar en un nuevo negocio cuya inversión inicial requerida y los flujos de efectivo antes de depreciación e impuestos de los próxi mos cinco años siguen las siguientes distribuciones triangulares:
Activo fijo inicial "Activo circulante inicial Flujo antes de impuestos
Estimación
Estimación más
Estimación
pesimista
probable
optimista
-$100,000
-$70,000
. -$60,000
- 40,000
-30,000
-25,000
30,000
40,000
45,000
Además; esta corporación estima que las tasas de inflación en los próximos cinco años siguen las siguientes distribuciones triangulares:
Tasa de inflación (%)
Año
Estimación pesimista
Estimación más probable
Estimación optimista
1
18
15
12
2
18
15
12
3
22
18
15
4
25
20
18
5
28
22
19
290 Simulación
Si la tasa de impuestos es de 50%, la TREMA de 25% y la alta administración ha establecido que los nuevos proyectos se acepten siProb. {I'IR > TREMÁ} � 0.95, ¿debería la corporación X aceptar este nuevo proyecto de inversión? (Considere que la vida fiscal del activo fijo es de 5 años, y que el valor de rescate es un 20% del valor simulado para el activo fijo, y un 100% del valor simulado para el activo circulante.)
'
•• t
,
.
Ol�l�S!P OlS�ndUIO� S�U�lUI
TABLAS DE FACTORES PARA INTERES COMPUESTO DISCRETO
(F/P.,i %,n)
=
(P/F,i %,n)
·
-
. (A/g,i %,n)
_
=
Q!/A,i % ,n)
1
(1-+0 )e
___:____:_ _
=
(A/F,i %,n)
d
(1 +i) n
=
(F/A,i %,n)
(A /P,i %,n)
(1 + i}n
i
(1 +i)n-1 (1 +i)n-1
=
i(l + i)n (1 +i)n-1
=
=
i(l +i)n
1 n T- (1 + i)n-1
( P/g,i %,j %,n) (P/g,i %,j %,n)
1-( 1 + j)n/(1 + i)n i-j
=
=
1
n +
j
sii=f=j
si i
,_.,
293
=
j
294 Apéndice A
. .
INTERES DISCRETO i N
F/P,i %,n
P/F,i %,n
=
1
%
F{A,i %,n A/F,i %,n
·
P/A,i %,n
A/P,i %,n
(
..... 1
1
1.0100
0.9901
0.9999
1.0001
0.9900
1.0101
2
1.0201
0.9803
2.0098
0.4976
1.9702
3 4
1.0303
0.9706
3.0297
0.3301
2.9406
0.5076 0.3401
1.0406
0.9610
4.0599
0.2463
3.9015.
5
1.0510 1.0615
0.9515
5.1003
0.1961
4.852 . 8...
0.9421
6.1512
0.1626
5.7948
0.1726
1.0721
0.9327
7.2125
0.1386
6.7273
0.1486
6 7
t.>
(.. .
r
'
J
0.2563 0.2061
8
1.0828
0.9235
8.2846
0.1207
7.6507
0.1307
9
1.0937
0.9144
9.3673
0.1068
8.5650
0.1168
10
1.1046
0.9053
10.4608
0.0956
9.4701
0.1056
11.5652
0.0865
10.3663
0.0965
12.6807
0.0789
11.2537
0.0889
13.8074
0.0724
12.1322
11
1.1157
0.8963
12
-1.1268
0.8875
13
1.1381
0.87-8'1
14
1.1495
0.8700
14.9453
0.0669
13.0021
0.0824 0.0769
15
1.1609
0.8614
16.0946
0.0621
16
1.1726
0.8528
17.2554
0.0580
13.8633 14.7161
0.0680
17
1,1843
0.8444
18.4278
0.0543
15.5604
18
1.1961
0.0643
0.8360
19.6119
0.0510
16.3963
19
1.2081
0.0610
0.8278
20.8078
0.0481
17.2239
0.0581
20
1.2202
0.8196
25
1.2824
0.779
-
_§.
30
1.3478
0.7420
35
1.4165
0.7059
40
1.4888
0.6717
45
1 .5647
0.6391
50
1.6445
55
1.7284
60 65
22.0158
0.0454
28.2390
0.0354
34:779'5
18.0434 1
22.0206-'"
0.0721
0.0554 0.0454
0.0288
25.8048
0.0388
0.0240
29.4053
0.0340
48.8786
0.0205
32.8312
0.0305.
56.4717
0.0177
36.0907
0.0277
0.6081
64.4524
0.0255
72.8398
0.0155 0.0137
39.1921
0.5786
42.1430
0.0237
1.8166
0.5505
81.6551
0.0122
44.9506
1.9092
0.0222
0.5238
90.9203
0.0110
47.6221
0.0210
41.6537
70
2.0066
0.4984
100.6578
0.0099
50.1639
75
0.0199
2.1089
0.4742
110.8918
0.0090
52.5823
0.0190
80
2.2165
0.4512
121.6480
0.0082
54.8834
0.0182
85
2.3295
0.4293
132.9528
0.0075
57.0729
• · O.OJ. 75
90
2.4483
0.4084
144.8341
0.0069
59.1560
95
2.5732
0.0169
0.3886
157.3213
0.0064
100
0.0164
0.3698
170.4457
0.0059
120
2.7045 3. 2999
61.1381 63.0240
.0.0159
0.3030
229.9861
0.0043
180
5.9944
69.6957
0.0143
0.1668
499.4370
0.0020
83.3177
0.0120
-
"¿.�
. !>)
o
'f...._
1 .
\
Interés compuesto discreto 295
\.,.
� INTERES DISCRETO i N
F/P,i %,n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1.0150 1.0302 1.0457 1.0614 1.0773 1.0934 1.1098 1.1265 1.1434
P/F, i'Ya,,
55
2.1051 2.2678
0.9852 0.9707 0.9563 0.9422 0.9283 0.9145 0.9010 0.8877 0.8746 0.8617 0.8489 0.8364 0.8240 0.8119 0.7999 0.7880 0.7764 0.7649 0.7536 0.7425 0.6892 0.6398 0.5939 0.5513 0.5117 0.4750 0.4410
60
2.4436
-{).4093
65 70 75
�6318 2.8352 3.0543 3.2903 3.5446 3.8185 4.1136 4.4315 5.9684 14.5809
0.3800
16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50
80 85 90 95 100 120 180
'
1.1605 1.1779 1.1956 1.2135 1.2317
� 1.2690 1.2880 1.3073 1.3269 1.3468 1.4509
1.5630 1.6838 1.8139 1.9541
0.3527 0.3274 0.3039 0.2821
F/A,i %,n
n
1.0000 2.0149
1
1.5%
A/F,i %,n
P/A,i %,n
1.0000 0.4963 0.3284 0.2445 0.1941 0.1605 0.1366 0.1186 0.1046 0.0934 0.0843 0.0767 0.0702 0.0647 0.0600 0.0558 0.0521 0.0488 0.0459 0.0433 0.0333 0.0266 0.0219
3.0450 4.0906 5.1519 6.2290 7.3224 8.4321 9.5585 10.7018 11.8622 13.0400 14.2356 15 89 6805 17. 19.1995 20.4873 21.7946 23.1213 30.0599 37.5346 45.5870 54.2615
-
0.01
0.2619 0.2431 0.2257
152.6876 169.6389 187.8997 207.5717 228.7640_
0.0065 0.0059 0.0053 0.0048 0.0044
0.1675 0.0686
331.2249 905.3928
0.0030 0.0011
1.0150 0.5113 0.3434 0.2595 0.2091 0.1755 0.1516 0.1336 0.1196
9.2215 10.0703 10.9066
0.1084 0.0993 0.0917 0.0852 0.0797 0.0750 0.0708 0.0671 0. 0638 0.0609 0.0583 0.0483
24.0142
0.0416
27.0738 29.9139 32.55()4 34.9976
O.Oii69 0.0334 0.0307 0.0286
37.2694
0.0268
�-3781
--
A/P,i %,n
0.9852 1.9558 2.9120 3.8541 4.7823 5.6967 6.5977 7.4853 8.3599
11.7307 12.5424 13.3422 14.1302 14.9065 15.6714 16.4250 17.1673 20.7181
0.0184 0.0157 0.0136 0.0118
63..6066 73.6736 84.5188 96.2017 108.7877 122.3463 136.9527
=
4i� 43.1527 44.8394
46.4052 47.8586 49.2078 50.4602 51.6227 55.4967 62.0945
0.0254
-'1r.o242 0.0232 0.0223 0.0215 0.0209 0.0203 0.0198 0.0194 0.0180 0.0161
,.
"
296 Apéndice A
. .
INTERES DISCRETO i
=
2%
N
F/P,i %,n
P/F,i %,n
FJA,i %,n
A/F,i %,n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1.0200 . 1.0404 1.0612 1.0824 1.1041 1.1262 1.1487 1.1717 1.1951 1.2190 1.2434 1.2682 1.2936 1.3195 1.3459 1.3728 1.4002
0.9804 0.9612 0.9423 0.9238 0.9057 0.8880 0.87 9-6 0,8535
1.0000 2.0199 3.0603 4.1214 5.2038 6.3078 7.4340 8.5826 9.7542 10.9492 12.1682 13.4115 14.6796 15.9731 17.2926 18.6384 20.0111 21.4112 22.8394 24.2.961 32.0286
1.0000 0.4951 0.3268 0.2426 0.1922 0.1585 0.1345 0.1165 0.1025 0.0913 0.0822 0.0746 0.0681 0.0626 0.0578 0.0537 0.0500 0.0467 0.0438 0.0412
40.5658
0.0247 0.02.00
22,� 958 24.9979-
0.0400
0.0166 0.0139 0.0118 0.0101 0.0088 0.0076 0.0067 0.0059 0.0052 0.0036 0.0040 0.0036 0.0032 0.0020' 0.0006
27.3547 29.4894 31.4228 33.1740 34.7601
0.0366 . 0.0339 0.0318
. 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95
lOO 120 180
1.4282 1.4568 1.4859 1.6406 1.8113 1.9998 2.2080 2.4378 2.6915 2.9716 3.2809 3.6223 3.9993 4.4156 4.8751 5.3825 5.9427 6.5612 7.2440 10.7641 35.3155
0.8368 0.8204 0.8043 0.7885 0.7730 0.7579 0.7430 0.7285 0.7142 0.7002 0.6864 0.6730 0.6095 0.5521 0.5000 0.4529 0.4102 0.3715 0.3365 0.3048 0.2761 0.2500 0.2265 0.2051 0.1858 0.1683 0.1524 0.1380 0.0929 0.0283
49.9915 60.3983 71.8881 84.5737 98. 5 797 114.0433 131.1163 149.9661 170.7779 193.7556 219.1246 247.1342 278.0586 312.2019 488.2039 1715.7737
0.0312
P/A,i %,n
A/P,i %,n
0.9804 1.9415 2.8838 3.8076 4.7133 5.6012 6.4718 7.3252 8.1619 8.9823 9.7865 10.5750
1.0200 0.51()1 0.3468 0.2626 0.2122 0.1785 0.1545 0.1365 0.1225 0.1113 0.1022 0.0946 0.0881 0.0826 0.0778 0.0737
11.3480 12.1058 12.8488 13.5772 14.2914 14.9915 15.6779 16.3509 19.5228
0.0700 0.0667 0.0638 0.0612 0.0512 0.0447
0.0301 0.0288 0.0276 0.0267 0.0259 0.0252
36.1967 37.4979 38.6764 39.7438 40.7106 41.5863 42.3794 43.0978 45.3549 48.5842
•
.
0.0246 0.0240 0.0236 0.0232 0.0220 0.0206
Interés compuesto discreto 297
INTERES DISCRETO i N
1
F/P,i %,n 1.0300
P/F,i %,n
FjA,i %,n
0.9709
1.0000
=
3%
A/F,i %,n
PJA,i %,n
A/P,i %,n
2
1.0609
1.0000
0.9426
0.9709
1.0927
2.0300
0.4926
1.0300
3
0.9151
1.9134
3.0908
4
1.1255
0.3235
0.5226
0.8885
2.8286
1.1593
0.2390
0.8626
4.1835 5.3090
0.3535
5
3.7179
0.1884
0.2690
6
1.1940
0.8375
3.5796
0.1546
0.2184
0.8131
5.4171
7.6622
0.1305
0.1846
8
1.2299 1.2668
6.4682
7
0.7894
6.2301
1.3048
8.8921
0.1125
0.1605
9
0.7664
1.3439
0.0984
0.1425
10
10.1588
7.0195 7.7859
0.7441
11
11.4635
1.3842
0.0872
0.7224
8.5300
12
1.4257
12.8074
0.0781
O.ll-72
0.7014
9.2524
14.1916
0.1081
0.0705
9.9538
0.1005
0.1284
13
1.4685
0.6810
14
1.5126
15.6173
0.0640
0.6611
10.6347
1.5579
0.0585
0.0940
15
17.0857
0.6419
1.6047
0.0538
0.0885
16
18.5983
11.2958
0.6232
11.9377
1.6528
0.0496
0.0838
17 18
20.1562
0.6050
12.5608
21.7608
0.0796
1.7024
0.0460
0.5874
13.1658·
19
1.7535
23.4136
0.0427
0.0780
0.5703
13.7532
1.8061
0.0398
0.0727
20
25.1159
0.5537
2.0937
0.0372
0.0698
25
26.8694
14.3235
0.4776
14.8772
30
2.4272
36.4578
0.0274
0.0672
0.4120
17.4128
2.8138
0.0210
0.0574
35
47.5734
0 .3554
3.2619
60.4593
0.0165
0.0510
40 45
0.3066
19.6001 21.4869-
75.3976
0.0133
23.1144
0.0433
0.0465
3.7815
0.2644
92.7152
0.2281
0.0108
24. 5184
55
4.3837 5.0819
112.7907
0.1968
0.0089
60
5.8913
136.0637
25.7294
0.1697
0.0073
6.8296
0.0061
0.0373
65
163.0435
26.7741
0.1464
7.9174
0.0051
0.0361
70
194.3204
27.6753
0.1263
28.4526
9.1783
0.1090
0.0043
0.0351
75
230.5786 272.6113
0.0037
0.0343
80
0.0940
85
10.6402 12.3348
29.1232 29.7016
321.3389
0.0031
0.0811
30.2005
90
377.8276
0. 0331
14.2994
0.0699
0.0026
30.6310
0.0326
95
16.5768
443.3127
0.0603
0.0023
31.0022
19.2170
0.0520
0.0019
0.0323
100
519.2275
31.3225
34.7075
0.0288
0.0016
0.0319
120
607.2332
0.0049
0.0009
0.0316
204.4722
1123;5820
31.5988
180
6782.4062
32.3729
0.0001
33.1703
0.0309 0.0301
50
0.0408 0.0389
0.0337
,-.
l
.�
298
Apéndice A
•
•
e
INTERES DISCRETO i = 4% N
F/P,i %,n
P/F,i %,n
F/A,i %,n 1.0000 2.0400 0.1216 4.2464
1.0000 0.4902 0. 3204
. A/F,i %,n
P/A,i %,n
A/P,i %,n
1 2 3
1.0400 1.0816 1.1249
0.9615 0.9246 0.8890
"'1
l 1699
08548
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 55 . 60 65 70 75 80 85 90 95 100 120
1.2167 1.2653 1.3159 1.3686 1.4233 1.4802 1.5394 1,fiJllo -1.6651 1.7317 1.8009 1.8730 1.9479 2.0258 2.1068 2.1911 2.6658 3.2433 3.9460 4.8009 5.8410 7.1065 8.6461 10.5192 12.7982 15.5710 18.9444 23.0487 28.0421 34.1174 41.5090 50.5018 110.6544
0.8219 0.7903 0.7599 0.7307 0.7026 0.6756 0.6496
5.4163 6.6329 7.8982 9.2141 10.5826 12.0059 13.4861
0.1846 0.1508 0.1266 0.1085 0.0945 0.0833 0.0742
� 5. 1 6.0020 6.7327 7.4352 8.1108 8.7604
1.0400 0.5302 0.3604 0.2755 0.2246 0.1908 0.1666 9.1485 0.1345 0.1233 0.1142
9.6246
J5021:)5
0.6006 0.5775 0.5553 0.5339 0.5134 0.4936 0.4746 0.4564 0.3751 0.3083 0.2534 0.2083 0.1712 0.1407 0.1157 0.0951 0.0781 0.0642 0.0528 0.0434 0.0357 0.0293 0.0241 0.0198 0.0090
16.6265 18.2916 20.0232 21.8241 23.6970 25.6449 27.6706 29.7774 41.6449 56.0835 73.6502 95.0226 121.0254 152.6617 191.1519 237.9810 294.9556 364.2737 448.6099 551.2163 676.0535 827.9360 1012.7239 1237.5461 2741.3604
110666
9 3850
o]066
o,�aúL _
0.0601 0.0547 0.0499 0.0458 0.0422 0.0390 0.0361 0.0336 0.0240 0.0178 0.0136 0.0105 0.0083 0.0066 0.0052 0.0042 0.0034 0.0027 0.0022 0.0018 0.0015 0.0012 0.0010 0.0008 0.0004
0.9 ' 61!) 1.8861 2.7751 3.6298
9.9855 10.5630 11.1183 11.6522 12.1655 12.6592 13.3338 13.5902 15.6219 17.2919 18.6645 19.7926 20.7199 21.4821 22.1085 22.6234 23.0466 23.3944 23.6803 23.9153 24.1085 24.2672 24.3977 24.5050 24.7741
'·
0.1001 0.0947 0.0899 0.0858 0.0822 0.0790 0.0761 0.0736 0.0640 0.0578 0.0530 0.0505 0.0483 0.0466 0.0452 0.0442 0.0434 0.0427 0.0422 0.0418 0.0415 0.0412 0.0410 . 0.0408 0.0404
•
Inte�és compuesto discreto 299
.. INTERES DISCRETO i N 1 ' 2 3 4 5 6 7 8 9 10' 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 ·100 120
F/P,i
P/F,i
%,n
1.0500 1.1025 1.1576 1.2155 1.2763
� 1.4071 1.4774 1.5513 1.6289 1.7103 1.7958 1.8356 1.9799 2.0789 2.1828 2.2920 2.4066 2.5269 2.6532 3.3863 4.3218 5.5158 7.0397 8.9846 11.4668 14.6348 18.6780 23.8383 30.4243 38.8297 49.5574 63.2489 80.7230 103.0248 131.4880 348.8696
%,n
F/A,i
'� -,__ �
-
0.9070 0.8638 0.8227 0.783_li 4T.'7t'62 0.7107 0.6768 -i 0.6446
�
0.5847 0.5568 0.5303 . 0.5051; 0.48-l:Ó '0.4581 0.4363 0.4155 0.3957 0.3769 0.2953 0.2314 0.1813 0.1421 0.1113 0.0872 0.0683 0.0535 0.0419 0.0329 0.0258 0.0202 0.0158 0.0124 0.0097 0.0076 0.0029
1
%,n
1.0000 2.0500 3.1524 4.3100 - 5.5255 6.8018 8.1418 9.5489 11.0263 12.5776 14.2064 15.9167 17.7125 19.5981 21.5779 23.6568 25.8396 28.1315 30.5380 33.0649 47.7254 66.4362 90.3164 120.7941 159.6920 209.3365 272.6960 353.5608 456.7666 588.4854 756. 5945 971.1487 1244.9785 1594.4607 2040.4956 2609.7f?07 6957.3906
=
A/F,i
5% %,n
1.0000 0.4878 0.3172 0.2320 0.1.810 0.1470 0.1228 0.1047 0.0907 0.0795 0.1)704 0.0628 0.0565 0.0510 0.0463 0.0423 0.0387 0.0355 0.0327 0.0302 0.0210 0.0151 0.0111 0.0083 0.0063 0.0048 0.0037 0.0028 0.0022 0.0017 0.0013 0.0010 0.0008 0.0006 0.0005 0.0004 0.0001
P/A,i
%,n
-0.9524 1.8594 �.7232
.,
,
5.7863 G.4_63J.7.1077
� 8.8631 9.3934 9.8985 10.3795 10.8376 11.2739
11.6894 12.0852 12.4621 14.0938 15.3723 16,3741 17.1590 17.7740 18.2558 18.6334 18.9292 19.1610 19.3426 19.4849 19.5964 19.6838 19.7522 19.8059 19.8479 19.9427
A/P,i.
%,n
1.0500 0.5378 0.3672 0.2820 0.2310 0.1970 0.1728 0.1547 0.1407 0.1295 0.1204 0.1128 0.1065 0.1010 0.0963 0.0923 0.0887 0.0855 0.0827 0.0802 0.0710 0.0651 0.0611 0.0583 0.0563 0.0548 0.0537 0.0528 0.0522 0.0517 0.0513 0.0510 0.0508. 0.0506 0.0505 0.0504 0.0501
.. ...
)
11
)
•
!
1
300
Apéndi�e A
INTERES DISCRETO i
�
�
)
1
N
F/P,i %,n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 55
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PJF,i %,n 0.9259 - 0.8573 0.7938 0.7350
-� 0.5835 0.5403 0.6003 0.4632 0.428"9
--� 0.3677 0.3405
-0� 0.2919 0.2703 0.2503 0.�317 0.2146
o.
o
0.0994 0.0676 0.0460 0.0313 0.0213 0.0145
C..· N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 55
F/P,i %,n , 1.1000 1.2100 1.3310 1.4641
� 1.9487 2.1436 �.35'19
ft,.P937
:2.8531 3.13843.4522 3.7975 4.1772 4.5949 5.0544 5.5598 6.1158 6.7274 10.8345 l't.4489 28.1015 45.2576 72.8876 117.3857 189.0499
A '
8%
FJA,i %,n
A/F,i %,n
PJA,i %,n
1.0000 2.0800 3.2464 4.5061 5.8666 7.3359 8.9227 10.6365 12.4874 14.4864 16.6453 18.9769 21.4950 24.2146 27.1618 30.3239 33.7498 37.4497 41.4457 45.1613 73.1047 113. 810 172.3130 259.0498 386.4949 573.7527 848. 8950
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INTERES DISCRETO i
1.1•
=
=
•
A/P,i %,n
12.2335 12.3186
{�
PJF,i %,n
FJA,i %,n
A/F,(%,n
P/A,i %,n
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1.0000 2.1000 3.3100 4.6410 6.1050. 7.7155 9.4871 11.4357 13.5796 15.9372 18.5309 21.3840 24.5223 27.9745 31.7719 35.9491 40.5440 45.5983 51.1581 57.2738 98 3447 164.4893 271.0154 442.5764 718.8760 1163.8567 1880.4990
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0.9091 1.7355 2.4888
0.8264 \ 0.7513 0.6830 0.§209 0.6645 0.5132 0.4665
Sit1
. 5 0.3186 0.2897 0.2633 0.2394 0.2176 0.1978 0.1799 0.1635 0.1486 0..0923 0.0573 0.0356 0.0221 0.0137 0.0085 0.0053
�
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•
-«
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5.3349.....
A/P,i %,n 1.1000 0,5762 0.4021 0.3155 0.2638 0.22!!_� . 0.2054 0.1874 0.1736 0.1627 0.154,_0 .-&;1:'468 ()..1408 0.1357 0.1315 0.1278 0.1247 0.1219 0.1195 0.11'75 --� 0.1061 0.1037 0.1023 0.1014 0.1009 0.1005
�6.4950 6.1U3'17.1033 7.3687 7.6060 7.8237 8.0215 8.2014 8.3649 8.5135 9-.�770 9.4269 9.8442 9. 6442 9.8628 9.9148 9.9471
Interés compuesto discreto 301 INTERES DISCRETO i N 1 2
S 4 5 6 7 8
9
10
11
12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 55
F/P,i %,n
P/F,i %,n
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A/F,i %,n
' � 0.8929
1
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1.0000 2.1200
1 2 3 4
-0.2875 0.2567 0.2292 0.2046 0.1827 0.1631 0.1456 0. 1300 0.1161 '().1037 0.0588 0.0334 0.0189 0.0107 0.0061 0.0035 0.0020
5 ...,; 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
F/P,i %,n 1.1500 1.3225 1.5209 1.7490
2m14 2.3131
2.6600 3.0590 3.5179 4.0455'4.6524 5.3502 6.1527 7.0756 8.1370 9.3575 10.7611 12.3753 .. 14.2316 16.3663 � 32.9184 66.2104 30 35 133.1722 40 267.8560 538.7522 45 50 1083.6191
PJA,i %,n·
P/F,i %,n
F/A,i %,n
--- -
'0.8696 0.7561 0.6575 0.5718
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0.4.al�.
0.4323 0.3759 0.3269 0.2843 l'0.241 . .20.2149 0.1869 0.1625 0.1413 0.1229 . 0.1069 0.0929 0.0808 0.0703 0.0611 0.0304 .
}
-
0.1574 0.1232 0 .0991 0.0813 0.0677 •
O_,_Q5.7.0_
=
A/P,i %,n
A/F,i %,n
6..742ll
9_,1..1.8.3._
881.1482 1779.0398 3585.0151 7217.4609
1.1200 0.5917 . 0.4163 0.3292 0.2774 0.2432 0.2191 0.2013 0.1877 - 0.1770 0.1684 o.1o14 0.1557 0.1509 0.1468 0.1434 0.1405 0.1379 0.1358 0.1339 0.1275 0.1241 0.1223 0.1213 0.1207 0.1204 0.1202
15%
'1.0000 0.4651 0.2880 0.2003
8.7537 11.0667 13.7267 16.7857 20.3035 24.3490 29.0014 34.3515 40.5042 47.5798 55.7168 65.0743 75.8353 88.2106 102.4420 212.7891
3.6048 4.1114 4.5637 4.9676 5.3282 5.6502 5.9377 6.1944 6.4235 6.6282 6.8109 6.9740 7.1196 7.2497 7.3658 7.4694 7.8431 8.0552 8.1755 8.2438 8.2825" 8.3045 8.3170
0.0484 0.0414 0.0357 0.0309 0.0268 0.023:4 0.0205 0.0179. 0.0158 0.0139 0.0075 0.0041 0.002 . 3 0.0013 0.0007 0.0004 0.0002
1.0000 2.1500 3.4725 4.9933
�434.73580.0075 0.0037 0.0019 0.0009
0.8929 1.6900
-
�.49].&._ 4;'M93 0.2092 3.Ó373
6.3528 8.1152 10.0890 12.2996 14.7756 17.5486 -20.6544 24.1330 28.0289 32.3924 37.2794 42.7530 48.8833 55.7493 63.4391 72.0518 133.3324 241.3297 431.6570 767.0786 1358.2053 2399.9685 4235.9062
�
1.0000 0.4717-
INTERES DISCRETO i No
12%
'
1.1200 1.2544
1.4� 1..5735
FJA,i %,n
=
0.1142 0.0904 0.0729 0.0596 !Q,..Q!931' 0.0411 .().0345 0.0291 0.0247 0.0210 0.0179 0.0154 0.0132 0.0113 0.0098
00047 0.0023 0.0011 0.0006 0.0003 0.0001
P/A,i %,n 0.8696 1.6257 2.2832
,�? .
3.7845 4.1604 4.4873 4.7716 . 5.0188 5.2337 5.4206 5.5831 6.7245 5.8474 5.9542 6.0472 6.1280 6.1982 6.2593
� 6:0 6.6166 6.6418 6.6543 6.E!605
A/P,i %,n 1.1500 0.6151 0.4380 0.3503 0.2988
�
0.2404 0.2229 0.2096 .Q.1993 (Ú9ll 0.1845 0.1791 0.1747 0.1710 0.1679 0.1654 0.1632 0.1613 0.1598.
o,1M7
0.1523 0.1511 0.1506 0.1603 0.1501
/
302 Apéndice A
INTERES DISCRETO i N
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45
�
1
F/P,i %,n
1.1800 1.3924 1.6430 1.9388 2.2877 2.6995 3.1855 3.7588 4.4354 5.2338 6.1759 7.2375 8.5993 10.1471 11.9736 14.1288 16.6720 19.6729 23.2141 27.3926 62.6673 143.3670 327.9875 750.3530 1716.6187
P/F,i %,n
0.8475 0.7182 0.6086
� 7 0.3704
. 0.3139 0.2660 0.2255 0.1911 0.1619 0.1372 0.1163 0.0986 0.0835 0.0708 0.0600 . 0.0508 0.0431 0.0365 0.0160 0.0070 0.0030 0.0013 0.0006
FJA,i %,n
=
18%
A/F,i %,n
�/A,i %,n
1.0000 0.4587 0.2799 0.1917
0.8475 •
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�m+
1.0000 2.1800 3.5724 5.2154 7.1542 9.4419 12.1414 15.3269 19.0857 23.5lU1 28.7548 34.9307 42.2181 50.8174 60.9644 72.9380 87.0668 103.7386 123.4115 146.6254 342.5962 790.9277 1816.5979 4163.0703 9531.2148
A/P,i. %,n
1.1800 0.6387 0.4599 0.3717 0.3198� 0.2859
•
1.5656 2.1743 2.6901
3.8115 4.0776 4.3030 4.4941 4.6560 4.7932 4.9095 5.0081 5.0916 5.1624 5.2223 5.2'132 5.3162 5.3527 5.4669 5.5168
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5.5386 5.5482 5.5523
1
...
.
INTERES DISCRETO i N
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40
F/P,i %,n 1.1900 1.1461 1.8852 2.0053 2.3863 2.8398 3.3793 4.0214 4.7864 5.6947 6.7766 8.0842 9.5964 11.419'7 13.5894 16.1714 19.2439 22.9003 27.2513 32.4290 77.3869 184.6721 440.6912 1051.6423
=
19%
P/F,i %,n
F/A,i % ,n
A/F,i %,n
0.8403 0.7062 0.5934 0.4987
1.0000 2.1900 3.6061 5.2912 7.2966 9.6829 12.5226 15.9019 19.9233 24.7087 30.4033 37.1799 45.2441 54.8404 66.2800 79.8494 96.0207 115.2646 138.1647 165.4160 402.0364 966.6951 2314.1638 5529.6953
1.0000 0.4566 0.2773
�
o 0.2959 0.2487 0.2090 0.1756 0.1476 0.1240 0.1042 0.0876 0.0736 0.0618 0.0520 0.0437 0.0367 0.0308 0.0129 0.0054 0.0023 0.0010
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P/A,i %,n
A/P,i %,n
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-e, 3.7057 3,9544 4.1633 4.3389 4.4865 4.6105 4.7147 0.8023 4.8759 4.9377
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1.1900 0.8466 . 0.4873 •
0.3790 0.3271 0.2933 0.2699 0.2529 0.2402 0.2305 0.2229 0.2169 0.2121 0.2082 0.2051 0.2025 0.2004 0.1987 0.1972 0.1960 0.1925 0.1910 0.1904 0.1902
Interés compuesto discreto 303
INTERES DISCRETO i F/P,i %,n
N 1 2 3 4 5
1.2000 1.4400 1.7280 2.0736 2.4883 2.9860 3.58il2 4.29985.1598
PJF,i %,n
F/A,i% ,n
0.8333 0.6944 0.5787 0.4823
1.0000 2.2000 3.6400 5.3680 7.4416 '9.9Z99 12.9158 16.4990 20.7988 25.9585 32l1502"" 39.5802 48.4963 59.1955 72.0345 87.4413 105.9296 128.1154 154.7384 186.8859 471.9749 1181.8630 2948.2849 7343.6992
¡------
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40
L
�-
0.2791 0.2326 O.l938 0.1615 . o 0.1346 .----&9.16.0 ----�2 0.0935 10.6993 0.0779 12.8391 0.0649 15.4069 0.0541 18.4883 22.1859 0.0451 0.0376 26.6231 0.0313 31.9477 0.0261 38.3372 0.0105 95.3950 237.3726 0.0042 0.0017 590.6570 0.0007 1469.7400
-
�
=
A/F,i %,n
F/P,i%,n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40
.•
1.2100 1.4641 1.7716 2.1436 2.5937 3.1384 3.7975 4.5949 5.5599 6.7274 8.1402 9.8496 11.9180 14.4208 17.4491 21.1134 25.5472 30.9121 37.4036 45.2583 117.3876 304.4714 789.7163 2048.3088
PJF,i%,n 0.8264 0.6830 0.5645 0.4665 0.3855 0.3186 0.2633 0.2176 0.1799
=��=0.1015 0.0839 0.0693 0.0573 0.0474 0.0391 0.0323 0.0267 0.0221 0.0085 0.0033 0.0013 0.0005
F/A,i% ,n 1.0000 2.2100 3.6741 5.4456 7.589.2 10.1829 13.3213 17.1187 21.7136 27.2735 34.0009 42.1410 51.9905 63.9084 78.3291 95.7781 116.6914 142.4384 173.3503 210.7536 554.2268 1445.1021 3755.7922 9749.0898
P/A�í %,n
1.0000· 0.8333 1.3·278 0.4545 0.2747 2.;1.065 0.1863 0•.134.4 0.1007 :" -a-.3255 0.0774 3.6046 0.0606 - 3.8372 0.0 �.0 o. 38&· ..4.lJt2l) . ) li. �11 4.32'Tr 4.4392 o 0253 0.0206 4.5327 0.0169 4.6106 0.0139 4.6755 0.0114 4.7296 0.0094 4.7746 0.0078 4.8122 0.0065 4.6435 0.0054 4.8696 0.0021 4.9476 0.0008 4.9789 0.0003 4.9915 0.0001 .4.9966 �
t�
� g
INTERES DISCRETO i N
20%
=
A/P;i. %,n 1.2QO,O. 0.6545 0.4747 0.3863
� iüro07
0.2774 0.2606 0.2481
�:)
�' 0.2206 0.2169 0.2139 0.2114 0.2094 0.2078 0.2065 0.2054 0.2021 0.2008 0.2003 0.2001
21%
A/F,i %,n 1.0000 0.4525 0.2722 0.1836 0.1318 0.0982 0.0751 0.0584 0.0461 0.0367 0.0294 0.0237 0.01.92 0.0156 0.0128 0.0104 . 0.0086 0.0070 0.0058 0.0047 0.0018 0.0007 0.0003 0.0001
P/A,i %,n 0.8264 1.5095 2.0739 2.5404 2.9260 3.2446 3.5079 3.7256 3.9054 o ,:1.789 ¡¡�¡ 4.2784 4.362.4 4.4317 4.4890 4.5364 4.5755 4.6079 4.8346
i
4.8567 4.7213 4.7463 3.7559 4.75.96
A{P,i %,n 1.2100 0.6625 0.4822. 0.3936 0.3418 0.3082 0.2851 0.2684 0.2561 0.2467 0.2394 0.2337 0.2292 0.2256 0.2228 0.2204 0.2186 0.2170 0.2158 0.2147 0.2118 0.2107 0.2103 0.2101
'-
304 Apéndice A
INTERES DISCRETO i F/P,i %,n
N
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35
1.2200 1.4884 1.8158 2.2153 702 3.2973 4.0227 4.9077 5.9874 7.3046 8.9116 10.8721 13.2640 16.1820 19.7420 24.0853 29.3840 35.8484 43.7351 53.3567 144.2071 389.7478 1053.3704
PJF,i %,n
F/A,i % ,n
=
A/F,i %,n
1 2 3 4
-!-7 8 9 10 11 12 13 14 15 .. 16 17 18• 18 20 25 30 35
F/P,i %,n· 1.2300 1.5129 1.8609 2.2889
.2_.!Jlli__
3.4628 4.2593 5.2389 6.4438 7.9259 9.7489 11.9911 14.7490 18.1413 22.3138 27.4459 33.7585 41.5229 51.0731 62.8199 176.8568 497.9041 1401.7485
!lJP,i %,n
P/A,i %,n
•
e •
0.3033 0.2486 0.2038 0.1670 0.1369 0.1122 0.0920 0.0754 0.0618 0.0507 0.0415 0.0340 0.0279 0.0229 0.0187 0.0069 0.0026 0.0009
0.0958 0.0728 0.0563 0.0441 0.0349 9.9278 · 0.0223 0.0179 0.0145 0.0117 0.0095 0.0078 0.0063 0.0051 0.0042
10.4422 i3.7395 17.7621 22.6698 28.6571 35.9617 44.8732 55.7453 69.0091 85.1911 104.9330 129.0182 158.4021 194.2503 237.9852 650.9414 1767.0356 4783.5000
0.0015 0.0006 0.0002
INTERES DISCRETO i N
22-%
P/F,i %,n 0�8130 0.6610 0.5374 0.4369 0.3552 . . 02888 0.2348 0.1909 0.1552 0.1262 0.1026 0.0834 0.0678 0.0551 0.0448 0.0364 0.0296 0.0241 0.0196 0.0159 0.0057 0.0020 0.0007
F/A,t·% ,n 1.0000 2.2300 3.7429 5.6037 7.8926 1 0.7079 14.1707 18.4299 23.6688 30.1126 38.0385 47.7873 59.7784 74.5273 92.6686 114;9823 142.4281 176.1865 217.7092 268.7820 764.5947 2160.4526 6090.2109
=
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•
23%
A{F,i %,n 1.0000 0.4484 0.2672 0.1785
lU26:Z 0.0934 0.0706 0.0543 0.0422 0.0332 0.0263 0.0209
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A/P,i %,n
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.
1.2300 0.6784 (>.4972 9.4085 0.3567 0.3234 0.3006 0.2843 0.2722 . 0.2632 0.2563
4.0530
0.2509 0.2467
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Interés compuesto discreto 305
INTERES DISCRETO i;, 24% F/P,i %,n
N
PJF,i %,n
F(A,i% ,n
A(F,i %,n
1
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0.8065
1.0000
1.0000
2
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0.6504
2.2400
0.4464
3
0.5245
3.7776
4
1.9066 2.3642
0.4230
5
2.9316
0.3411
P(A,i �,_n
-
0.8065
A/P,i %,n 1.2400
1.4568
0.6864
0.2647
1.9813
0.5047
5.6842
0.1759
2.4043
0.4159
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2.7454
0.3642
6
3.6352
0.2751
10.9800
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3.0205
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7
4.5077
0.2218
14.6152
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0.3084
8
5.5895
0.1789
19.1228
0.0523
3 .2423
0.2993
9
6.931. 0
3.4212
0.1443
24.7123
0.0405
3.5665
0.2805
10
8.5944
0.1164
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0.0316
3.6819
10.6570
0.0938
40.2376
0.0249
3.7757
0.2716 0.2649
11 12
.
..
13.2147
0.0757
60.8946
0.0196
3.8514
0.2596
13
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0.0610
64.1093
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3.9124
0.2556
14
20.3189
0.0492
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3.9816
0.2524
15
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0.0397
100.8143
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0.2499
16
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4.0333
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17
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4.0691
0.2464
18
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0.0208
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0.0061
4.0799
0.2351
19
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0.0168
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0.0041
4.0967
0.2441
20
73.8634
0.0135
303.5974
0.0033
4.1103
0.2433
26
216.6393
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898.0803
0.0011
30
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0.0016
2640.8748
0.0004
4.1474 4.1601
0.2404
35
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0.0005
7750.0820
0.0001
4.1644
0.2401
P/A,i %,n
AJP,i%,n
0.2411
ThnERESDISCRETOi=25% F/P,i- %,n
N
1
1.2500
2
1.5626
3
-1.9531,-
4
2.4414
�-
30618
P/F,i%,n
F/A,i% ,n·
-::_O.B�
0.6400 0.6120
o �
3..8147
7 S.
.9
0.0888
0.2097
15.0735
0.0663
3.1611
5.9605
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3.3289
7.4506
0.1342
H:84ti 2 5JW23
0.3163
0.1678
�
33.2529
0.0301.
2
J.'1
1
11.2588
4.7684
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10
A/F,i %,n
l. .
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42.56 61
859
0.0388 0.0235
--3..4-sM-,
.3.5.lJ).q 3.6564
0..2668
c!
2801,
:27mr
12
14.6519
0.0687
54.2077
0.0184
13
3.7251
18.1899
0.0550-
68.7595
0.0145
3.7801
14
22.7374
0.2645
0.0440
0.0115
15
3.8241
28.4217
0.2615
m-- .
0.'!.35�
86.9495 109.6868
0..0.091
3.8593
:f5:5271
0.2591
0.0281
138.1085
0.0072
3.8874
0.2572'
. 44.4089
0.0225
173.6366
0.0058
17
•
0.2684
3.9099
55.5111
0.0180
0.2558
218.0446
0.0046
19
69.3889
3.9279
0.0144
0.2546
273.5557
0.0037
20
862361..
3.9424
0.2537
=�
18
.
25
Q.QUI:i
342944S
0.0.029-
264.6975
39539
0.0038
1054.7900.
0.0009
3.9849
30
807.7932
0.0012
3227.1729
0.0003
35
3.9950
2465.1890
0.0004
5856.7539
0.0001
3.9984
0.2509
0.2503 0.2501
306 Apéndice A
�RESDISCRET0i=26% FJP,i %,n
N
P/F,i %,n
F/A,i %,n
A/F,i %,n
�
.t
A/P,i %,n
P/A,i %,n
1
1.2600
0.7937
1.0000
1.0000
0.7936
1.2600
2
1.5876
0.6299
2.2600
0.4425
1.4235
0.7025 0.5199
3
2.0004
0.4999
3.8478
0.2599
1.9234
4
2.5205
0.3968
5,8479
0.1710
2.3202
0.4310
5
3.1758
0.3149
8.3684
0.1195
2.6351
0.3795
6
4.0015
0.2499
11.5442
0.0866
2.8850
0.3466
7
5.0419
0.1983
15.5457
0.0643
3.0833
0.3243
8
6.3528
0.1574
20.5875
0.0486
0.3086
9 10
8.0045
0.1249
26.9402
0.0371
3.2407 · 3.3657
10.0856.
0.0992
34.9447
0.0286
3.4648
0.2886
12.7079
0.0787
45.0303
0.0222
3.5435
0.2822
12
16.0119
0.0625
57.7381
0.0173
3.6059
0.2773
13
20.1750
0.0496
73.7499
0.0136
3.6555
0.2736
14
25.4204
0.0393
93.9248
0.0106
3.6949
0.2706
15
32.0297
0.0312
119.3452
0.0084
3.7261
0.2684
16
40.3575
0.0248
151.3748
0.0066
3.7509
0.2666
17
50.8504
0.0197
191.7321
0.0052
3.7705
0.2652
18
64.0714
0.0156
242.5823
0.0041
3.7861
0.2641
19
80.7299
0.0124
306.6533
0.0033
3.7985
0.2633
20
101.7196
0.0098
387.3831
0.0026
3.8083
0.2626
25
323.0396
0.0031
1238.6135
0.0008
3.8342
0.2608
30
1025.9041
0.0010
3941.9387
0.0003
3.8424
0.2603
11
1
0.2971
INTERES DISCRETO i = 27% N
F/P,i %,n
PJF,i %,n
F/A,i %,n
A/F,i %,n
PJA,i %,n
1
1.2700
0.7874
1.0000
1.0000
0.7874
2
1.6129
0.6200
2.2700
0.4405
1.4074
3
2.0484
0.4882 0.3844
3.8829
0.2575
1.8956
5.9313
0.1686
2.2800
8.5327
0.1172
4
2.6014
5
3.3038
6
4.1959
� 0.2383
11.8365
0.0845
7
5.3287
i>.1877
16.0323
0.0624
8
6.7675
0.1478
21.3611
9
8.5947
0.1164
28.1285
10
10.9153 13.8624
0.0916
12 13 14
� o
A/P,i %,n 1.2700 .
0.7105 :0.5275 0.4386 0.3872
3.0087
0.3545 0.3324
0.0468
3.1564
0.3168
0.0356
3.2728
0.3056
36.7232
0.0272
3.3644
0.2972
0.0721
47.6384
0.0210
3.4365
0.2910
17.6052
0.0568
61.5007
0.0163
3.4933
0.2863
22.3586
0.0447
79.1059
0.0126
3.5381
0.2826
28.3954
0.0352
101.4644
0.0099
3.5733
0.2799
15
36.0621
0.0277
0.0077
3.6010
0.2777
16
45.7989
0.0218
129:8597 165.9218
0.0060
17
58.1645
0.0172
211.7205
0.0047
3.6228 3.6400
0.2760 0.'2747
18
73.8689
0.0135
269.8848
0.0037
3.6536
0.2737
19
93.8134
0.0107
343.7534
0.0029
3.6642
0.2729
20
119.1430
0.0084
437.5667
0.0023
3.6726
0.2723
25
393.6277
0.0025
1454.1765
0.0007
3.6943
0.2707
30
1300.4766
0.0008
4812.8750
0.0002
3.7009
0.2702
11
Interés compuesto discreto 307
INTERES DISCRETO i
N
F/P,i %,n
P/F,i %,n
F/A,i %,n
=
28%
A/F,i %,n
1
1.2800
0.7813
1.0000
1.0000
2
1.6384
0.6104
2.2800
0.4386
3
2.0971
0.4768
3.9184
4
2.6844
0.3725
5
3.4360
0.2910
6.0155 8.6999
P/A,i %,n 0.7812
A/P,i %,n 1.2800
0.5916
0.7186
0.2552
18.684
0.5352
0.1662
•
0.4462
6
4.3980
0.2274
12.1359
0.0824
4
5.6295
0.1776
16.5339
0.0605
0.3624
7
2.9370
0.3405
8
7.2057
0.1388
22.1633
0.0451
3.0758
0.3251
9
9.2233
0.1084
29.3691
0.0340
3.1842
0.3140
10
11.8059
0.0847
36.5924
0.0259
3.2889
0.3059
0.1149
0.3949
11
15.1115
0.0682
50.3983
0.0198
3.3351
0.0682
12
19.3427
0.0517
65.5097
0.0153
3.3888
0.2953
13
24.7587 31.6911
0.0404
64.8524
0.0118
3.4272
0.2918
0.0316
109.6111
0.0091
3.4587
0.2891
0.0247
141.3022
0.0071
3.4834
0.2871
16
40.5646 51.9227
0.0193
181.8667
0.0055
3.5026
0.2855
17
66.4610
0.0150
233.7894
0.0043
3.5177
0.2843
18
85.0701
0.0118
300.2502
0.0033
3.5294
0.2833
19
108.8896 139.3787
0.0092
385.3201
0.0026
3.5386
0.2826
0.0072
494.2095
0.0020
3.5458
25
478.9006
0.0021
1706.7881
3.5640
30
1645.4878
0.0006
5873.1680
�
0.2820 0.2806
3.5693
0.2802
14 15
20
0.0002
INTERES DISCRETO i
N
F/P,í %,n
P/F,i %,n
F!A,i %,n
=
29%
A/F,i %,n
P!A,i %,n
1
1.2900
0.7752
1.0000
1.0000
2
1.6641
0.6009
2.2900
0.4367
0.7752 1.3761
3
0.4658
1.8420
4
2.1467 2.7692
5
3.5723
3.9541
0.2529
6.1008
0.1639
A/P,i
%,n
1.2900 0.7267 0.5429 0.4539
0.1127
4.6083
�
8.8700
6
0.2170
12.4423
0.0804
7
5.9447
0.1682
17.0506
0.0586
8
7.6686
0.1304
22.9952
0.0435
2.9986
0.3486 0.3335 0.3226
.
� o
2.8882
0.4027 0.3704
9
9.8925
0.1011
30.6_638
0.0326
3.0997
10
12.7613
0.0784
40.5564
0.0247
3.1781
0.3147
11
16.4621
0.0607
53.3177
0.0188
3.2388
0.3088
12
21.2361
0.0471
69.7798
0.0143
3.2859
13
27.3946
0.3043
0.0365
91.0159
0.0110
3.3224
14
0.3010
35.3391
0.0283
118.4105
0.0084
3.3507
0.2984
15
45.5874
0.0219
153.7496
0.0065
3.3726
16
58.8077
0.2905
0.0170
199.3369
0.0050
17
3.3696
0.2950
75.8619
0.0132
258.1445
0.0039
3.4028
18
0.2939
97.8619
0.0102
334.0063
0.0030
3.4130
19
0.2930
126.2418
0.0079
431.8682
0.0023
3.4210
20
162.8519
0.0061
558.1099
0.0018
3.4271
0.2923 0.2916
25
581.7561
0.0017
2002.6074
0.0005
3.4423
0.2905
30
2078.2080
0.0005
7162.7852
0.0001
3.4466
0.2901
308
Apéndice A
INTERES DISCRETO i N
F!P,i %,n
P/F,i %,n
F/A,i %,n
=
30%
A/F,i %,n
P/A,i %,n
•
X/P,i %,n
1
1.3000
0.7692'
1.0000
2
1.6900
1.0000
0.7692
0.5917-
2.3000
1.3000
0.4348
1.3609
0.7348
1.8161 2.1662
0.5506
3
2.1970
0.4552
3.9900
4
2.8561
0.2506
0.3501,
6.1870
129
0.1616
7
268
12.7560
6.2748
"'g.2§98 0.2072
8
8.1573
0.1226
9
23.8575
10.6044 13.7857
0.0943
32.0148
10
0.0725
11
42.6192
17.9214
0.0558
12 13
23.2979 30.2872
14
5
�
0.1594
9.0431 7.
0.4616
o�
� o
0.3784
0.0569
2.8021
0.0419
2.9247
0.3569 0.3419
0.0312
3.0190
0.3312
0.0235
3.0915
56.4048
0.3235
0.0177
0.0429
3.1473-
74.3262
0.3177
0.0135
0.0330
3.1903
97.6241
0.3135
39.3734
0.0102
0.0254
3.2233
0.3102
15
127.9112
51.1353
0.0078
0.0195
3.2487
0.3078
16
66.5408
0.0150
167.2844 218.4695
0.0060
3.2682
17
86.5030
0.0116
0.0046
3.2832
18
285.0100
0.3060 0.3046
.0.0089
0.0035
3.2948
371.5129
0.3035
19
112.4539 146.1899
0.0068
0.0027
3.3037
0.3027 .
20
190.0467
483.9663
0.0021
0.0053
3.3105
0.3021
25
630.1558
705.6274
0.0016
0.0014
3.3158
0.3016
30
2348.7583
2619.9360
0.0004
0.0004.
3.3286
8729.7852
0.3004
0.0001
3.3321
0.30.01
.r-
' \1-
INTERES DISCRETO i = 35% N
F/P,i %,n
P/F,i %,n
F/A,i %,n
A/F,i %,n
P/A,i %,n
A/P,i %,n
1
1.3500
0.7407
2
1.0000
1.8225
1.0000
0.5487
0.7407
2.3500
1.3500
3
2.4604
0.4255
0.4064
1.2894
4.1725
0.7755
4
3.3215
0.2397
0.3011
1.6959
5 6
4.4840
6.6329 0.5008
0.1508
1.9969
6.0534
0.2230 0.1652
0.1005
2.2200
� '·
0.5897 0:5007 0.4505
7 8
14.4384
8.1721
0.1224
0.0693 0.0488
0.0906
2.3852 2.5075
0.4193
11.0324
20.4918
9
28.6639
14.8937
2.8398
0."0671
2.5982
39.6962
0.3849
0.0252
2.6653
0.3988
10
20.1064.
0.0497
11
54.5898
27.1437
0.0183
2.7150
0.3752 0.3683
12
36.6440 .
0.0368
0.0134
0.0273
2. 7"519
0.3634
13
74.6963 101.8400
49.4693
0.0098
0.0202
2t. 7792
0.3598
14
66.7836
138.4839
0.0072
0.0150
2.7994
187.9531
0.3572
15
90.1578
0.0111
0.0053
2.8144
121.7130
254.7365
16 17
0.0082
0.0039
2.!1255
0.3553 0.3539
164.3125
344.8940
0.0061
0.0029
2.8337
221.8217
466.6069
0.3529
18
0.0045
0.0021
2.8397
19
299.4590
630.9192
0.0033
0.0016
2.8443
20
404.2695
852.7400
0.3521 0.3516
0.0025
0.0012
2.8476
1812.7542
1152.1987
0.3512
25
0.0006
0.0009
5176.4375
2.8501
0.0002
0.3509
2.8556
9.3502
Interés compuesto discreto 309
INTERES DISCRETO i
N
F/P,i %,n
P/F,i %,n
F/A,i %,n
=
40%
A/F,i %,n
P/A,i %,n
AIP,i %,n
-
1 2
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
1.4000 1.9600
2.7440 3.8416 .á..31.8 2
7.5295 10.5413 14.7578 20.6609
28.9253 40.4964 56.6936 79.3709 111.1192 155.6669 217.7935 304.9106 426.8748 697.6245 836.6736
0.7143 0.5102 0.3644
�� . 59 0.1328 0.0949 0.0678 0.0484 0.0346 .0.0247
0.0176 0.0126 0.0090 0.0064 0.0046
0.0033 0.0023 .0.0017 0.0012
1.0000 2.4000� 4.3600 7.1040
109456 16.3238 23.6533 34.3946 49.1524
69.8133 98.7386 139.2339 195.9273 276.2981 386.4172 541.9836
759.7766 1064.6868 1491.5613 2089.1841
1.0000 0.4167 0.2294 0.1408 00914 0.0613 0.0419 0.0291 0.0203 0.0143 0.0101 0.0072 0.0051 0.0036 0.0026 0.0018 0.0013 0.0009 0.0007 0.0006
0.7143 1.2245 1.5889 1.8492
2 0352 2.1680 2.2628 2.3308 2.3790 2.4136 2.4383 2.4559 2.4686 2.4776 2.4839 2.4886
2.4918 2.4941 2.4958 2.4970
1.4000 0.8167 0.6294
� ().4613 0.4419 0.4291 0.4203 0.4143 0.4101 0.4072 0.4061 0.4036 0.4026
0.4018
0.4013 0.4009 0.4007 0.4006
v-
--.
1<
GRADIENTE ARITMETICO CON INTERES DISCRETO (A/g, i%, n)
\ú
....
o
N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75
1.0
5.0
8.0
10.0
12.0
15.0
18.0
20.0
25.0
30.0
35.0
40.0
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80
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1 8 .0174
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8.3181
6.6646
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1.6405 1.9788 2.2902. 2.5755 2.8364 3 ; o1 á 9
2.6048 2.7971
·'
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4.0000 4.0000 4.0000 4.0000 •
4.0000 4.0000 4.0000 4.0000 4.0000 4.0000
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2.8571 2.8571
3.3333 3.3333 3.3333
2.8571 2.8571 2.8571
3.3333 3.3333
2.8571 2.8571
2�5000 2.5000 2.5000
2.8571. 2.8571 -;._ .2.8571 2.8571 2.8571 2.8571 2.8571
2.5000 2.5000 2.5000 2.5000 2.5000 2.5000 2.5000
3.3333 3.3333 3.3333 3.3333 3.3333 3.3333 3.3333
2.4999 2.5000 2".5000 2.5000 2.5000
� '1::1 (1), :S
� '11
�
GRADIENTE GEOMETRICO CON INTERES DISCRETO i = 10% (P/A,i %,j %,n) J
10
12
15
18
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20
25
35
30
N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
13 14
16 16 17 18 19 20
25 30
35
40 45
50
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31.7301 . 34.9469 38.3975 59.8009 90.2048 38.3690 194.7449 281.8950 406.8934
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'
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� �
�
... <') o
� 1::
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� ... Q
� .... ....
lt
---
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tu N
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'¡, ::S GRADIENTE GEOMETRICO CON INTERES DISCRETO i
=
� tl>
15% (P/A,i % ,j% ,n)
:t.. J
10
12
15
18
20
25
30
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35
N 1 2 3 4
ó
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50
0.8696 1.7013 2.4969 3.2579 3.9858 4.6821 5.3481 5.9851 6.5945 . 1.1773 7.7348 8.2681 8.7782 9.2661 9.7328 10.1792 10.6062 11.0146 11.4053 11.7780 13.4173 14.7292 15.7796 16.6207 17.2941 17.8334
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•
0.8696 1.8.904 3.0887 4.4954 6.1468 8.0854 10.3611 13.0326 16.1687 19.8502 24.1720 29.2454 35.2011 42.1927 50.4001 60.0349 71.3454 84.6228 100.2094 118.5067 270.3408 608.8337 1363.4558 3045.7815 6796.2852 15157.5195
GRADIENTE GEOMETRICO CON INTERES DISCRETO i 10
12
16
18
1 2 3 4
0.8333 1.6972 2.2976 2.9393
0.8388 1.6111
�
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0.8833 1.6319 2.3973 3.1807 3.8836 4.6072 5.1627 5.7714
0.8833 1.6528 2.4586 3.2509 4.0301 4.7862
6.2299 7.6479 7.0380
6.7734 7.0422 7.2887 7.5147 7.7218
7.4021 7.7420 8.0692 8.3552 8.6318
7.9116 8.0866 8.2452 8.8642 9.2649 9.6242 9.6920
8.8896 9.1302 9.3548 10.2724 10.9223
9.8007 9.8710
11.9395 12.1030
N
6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 26 30 36 40 45 60
J
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11.3826 11.7086
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5.6496 6.2906 7.0189 .7.7353 8.4397 9.1324 9.8135 10.4883 11.1419 11.7896
16.3660
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17.0636 17.6184
26.6302 28.4218
10.2991 10.7038 11.0907 11.4619 13.0985 15.4906 1.6652
20
0.8383 1.6667 2.6000 3.3883 4.1667 5.0000 5.8333 6.6667 7.6000 8.3888 9.1667 10.0000
=
20% (P/A,i % ,n) 36
30
26
0.8333 1.7014 2.6056
� -
. 6.9324 7,7244 8.8795 10.0829 11.3363 12.6420
0.8333 1.7708 2.8266 4.0120 6.3469
0.8338 1.7861 2.7141 3.7736 4.9214 6.1649 7.5120 8.9713
6.8486 8.5880 10.4386 12.6767 14.9822 17.6883 20.7327 24.1576
10.5622 12.2649 14.1208 16.1303 18.3079
10.8333 11.6667 12.5000 13.3333 14.1667 15.0000 16.8333
14.0021 16.4189 16.8947 18.4320 20.0333 21.7014 23.4390
28.9902 32.2394 36.7694
16.6667 20.8333 26.0000 29.1667
26.2490 36.4949 48.0610 63.4725
33.3333 37.6000 41.6667
82.3736 106.6646 133.9848
39.5726 63.9694 100.3728 134.6919 235.7437
28.0106 32.3452 37;2218 43.7078 48.8797
20.6669 23.2224 25.9910
1
56.8229 63.6342 120.0177 221.6227 404.7185 734.6628 1329.2329 2400.6702
366.6841 637.1463
S' �
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GRADIENTE GEOMETRICO CON INTERES DISCRETOi
=
ft-
25% (P/A,i % ,j% ,n)
111
�lo. J N 1 2 8 4 6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50
10
12
15
18
20
0.8000
0.8000 1.6168
0.8000
0.8000 1.6562
0.8000 1.5680
Ui040 2.1286 2.6687 8.1486 3.5706 3.9422 4.2691 4.6568 4.8100 5.0328 5.2289 5.4014 5.6532 5.6868 6.8044 5.9079 5.9989 6.0791 5.1496 6.3938 6.5226 6.5906 6.6265 6.6466 6.6656
2.1691 2.7846 8.2601 3.7121 4.1261 4.4969 4.8293 5.1270 6.3938 5.6329 6.8470 6.0389 6.2109 6.3660 6.6030 6.6267 6.7375 6.8368 7.1983 7.4070 7.5275 7.5972 7.6374 7.6606
1.6360 2.2181 2.8861 8.4092 3.9366 4.4215 4.8678 5.2784 5.6561 6.0036 6.3233 6.6175 6.8881 7.1370 7.3661
2.2681
2.8068
2.9411
8.0181 3.6926 3.3449
8.5764 4.1761 4.7423 6.2767 5.7812 6.2675 6.7070 7.1314 7 .5321 7.9103
7.5768 7.7706
8.2673 8.6043 8.9225 9.2228
7.9490 8.1131 8.7563 9.1803 9.4598 9.6439 9.7653 9.8453
9.5063 9.7740 10.9035 11.7502 12.3849 12.8608 13.2176 13.4849
4.9711 6.6722 6.1494 6.7034 7.2353 7.7458 8.2360 8.7066 9.1583 8.5920 10.0083
25
0.8000 1.6000 2.4000
0.8000 1.6320
8.2000 4.0000 4.8000 5.6006
8.8971 4.8880 6.3063
6.4000 7.2000 8.0000 8.8000 9.6000 10.4000 11.2000 12.0000 12.8000 13.6000
0.8000 1.6640 2.6971
2.4973
3.6049 4.6933
6.3186
1
5.8687 7.1382
7.3713 8.4662
9.5093 9.9900
9.6048 10.7890
11.5892 13.3163 15.1816 17.1962 19.3718
12,0205 13.3014 14.6334 16.0187
21.7216 24.2593
17.4594 18.9578
10.4080 10.7971 11.1600 12.7921 14.1229 15.2080 16.0927 16.8141
16.0000 20.0000 24.0000 28.0000 32.0000 36.0000
58.9206 76.0187 96.8211
17.4023
40.0000
122.1303
14.4000 15.2000
35
30
20.5161 22.1367 23.8221 33.3163 44.8672
. . ...
27.0000 29.9600 33.1568 26.6093 58.4843 . 90.6256 137.8517 207.2427 309.1992 469.0078
GRADIENTE GEOMETRICO CON INTERES DISCRETO i J
10
12
0.7692 1.4201 1.9709 2.4869 2.8812 8.1649
0.7692 1.4820 2.0029 2.4948 2.9186
15
=
30% (PjA,i % ,j% ,n)
18
20
25
80
0.7692 1.4675 4.1012 1.6765 3.1987 3.6726 4.1029 4.4984 4.8478 6.1696 5.4616 5.7267 5.9673 6.1857 6.3840
0.7692 1.4798 2.1847 2.7398 3.2982 3.8138 4.2896
0.7692 1.5089 2.2201 2.9039 3.5615 4.1937 4.8016 5.3862 5.9483 6.4887 7.0084 7.5081 7.9885 8.4605 8.8947
0.7692 1.5885 2.8077 3.0769 3.8462 4.6164
85
N 1 2 8 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 60
3.4472 3.6861 3.8882 4.0593 4.2040 4.3265 4.4301 4.6178 4.5920 4.6547 4.7079 4.7528 4.7908 4.8230 4.9232 4.9667 4.9856
3.2837 3.5983 3.8693 4.1028 4.3039 4.4772 4.6266 4.7552 4.8660 4.9615 5.0437 5.1146 5.1757 5.2283
4.9937
5.2736 5.4217 5.4920 5.5254 5.5413
4.9973 4.9988
5.5488 5.5524
0.7692 1.4497 2.0517 2.5842 3.0552 3.4719 3.8406 4.1666 4.4551 4.7103 4.9360 5.1357 5.3124 5.4686 5.6089 5.7292 5.8373 5.9330 6.0177 6.0926 6.3557 6.4982 6.5754 6.6172 6.6399 6.6522
4.7289 5.1344
7.0101 7.1322 7.5933 7.8773 8.0524 8.1602
5.6086 5.8541 6.1731 6.4674 6.7392 6.9900 7.2216 7.4353 7.6326 7.8147 7.9828 8.6481 9.0940 9.3�29 9.5931
8.2267 8.2676
9.7273 9.8173
6.5639 6.7272 6.8755
9.3219 9.7326 10.1275 10.6072 10.8723 12.4977 13.8337 14.9318 15.8343 16.6762 17.1859
0.7692 1.5680 2.3976 3.2590 4.1536 5.0826 6.0473 7.0492 8.0896 9.1699 10.2918 11.4569
5.3846 6.1538 6.9231 7.6923 8.4615 9.2308 10.0000
12.6667 13.9232 15.2279 16.5829 17.9899 19.4611
10.7692 11.5385 12.3077 13.0769 13.8462
34.6154
20.9684 22.5441 31.3798 42.0504 54.9372 70.5003 89.2956
38.4615
111.9944
14.6164 15.3846 19.2308 12.0769 26.9231 30.7692
1
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GRADIENTE GEOMETRICO CON INTERES DISCRETO i
=
�::S
35% (P/A,i % j % ,n)
ft
,
�
J
10
12
15
18
20
25
30
0.7407 1.3443 1.8361 2.2368 2.6633 2.8294 3.0462 3.2228 3.3667
0.7407 1.3653 1.8651 2.2881 2.6390 2.9302 3.1717 3.3721 3.5383 3.6762 3.7906 3.8856 3.9643 4.0297
0.7407 1.3717 1.9093 2.3672 2.7672 3.0896 3.3726 3.6136 3.8190
0.7407 1.3882 1.9541 2.4488 2.8812 3.2691 3.6894 3.8782 4.1306
0.7407 1.3992 1.9846 2.5047 2.9671 3.3782
0.7407 1.4640 2.1409 2.8024 3.4393 4.0627
3.9940 4.1430 4.2700 4.3781 4.4703 4.5487 4.6156 4.6725
4.3511 4.5440 4.7125 4.8598 4.9886
0.7407 1.4266 2.0617 2.6497 3.1942 3.6983 4.1661 3.5973 4.9976 6.3681 6.7112 6.0269 6.3230 6.5954 6.8476 7.0811 7.2973 7.4976 7.6829
N
1 2
8 4 6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 4,0 45 50
3.4840 3.5796 3.6574 3.7209 3.7726 3.8147 3.8490 3.8770 3.8997 3.9183 3.9334 3.9761 3.9914 3.9969 3.9989 3.9996 3.9999
4.0839 4.1288 4.1662 4.1971 4.2228 4.2441 4.3071 4.3318 4.3415 4.3454 4.3489 4.3475.
4.7211 4.7624 4.7976 4.9092
6;1011 6.1995 5.2855 5.3607 5.4263 5.4838 5.6790 5.7786
4.9593 4.9617
5.8294
4.9918 4.9983 4.9984
5.8553 5.8886 6.8753
3.7436 4.0684 4.3671 4.6137 4.8418 5.0446 5.2248 5.3850 6.5274 5.6540 5.7666 6.8665 6.9555 6.0345 6.3159 6.4720 6.5586 6.6067 6.6334 6.6482
7.8546 8.5399 9.0063 9.3237 9.5397 9.6868 9.7868
35
0.7407 1.4816 2.2222 2.9630 3.7037 4.4444 ' 6.1862
4.6433 6.2121 6.7698 6.2872
6.9269 6.6667 7.4074 . 8.1482 8.8889 9.6296 10.3704
6.7951 7.2842 7.7651 8.2086 8.6454 9.0659
11.1111 11.8519
9.4709 9.8608 10.2364
12.5926 13.3333 14.0741 14.8148 18.5185 ·22.2222
10.5980 12.2148 13.5536 14.6622
25.9259
15.5801
29.6296
16.3401 16.9695
. -;_
33.3333 37.0370
�
--
OllU!lUO� OlS�ndruo� S�l�llll
TABLAS DE FACTORES PARA INTERES COMPUESTO CONTINUO
(F/P,r%
n ,
) = em
(P/F,r%
,n
) =e-m em-1 e7-1
(F /A,r%
,n
)=
(A/F,r%
,n
) = e7-1 em-1
(P/A,r%
,n
) = 1-e-m e7-1
(A/P,r %
,n
(A/g,r %
,n
)
=
e7-1 1-e-rn
.�l!./
1 er-1
n
__
ern-1
1 1-(1 + j)n fern ) (P/A,r % ,j %, n) = __!_ ( 1-(1 +¡)¡er e7
319
l
320
Apéndice B
•
.e
mTERESCONnNUOr=l% N
'
1 � : !.
' ' l •
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 46 60 65 60 65 70 75 80 85 90 95 100 120 180
F/P,r% ,n 1.0100 1.0202
1.0305 1.0408 1.0513 1.0618 10.725
1.0833 1.0942 1.1052 1.1163 1.1275 1.1388
1.1503 1.1618 1.1735 1.1853 1.1972 1.2092 1.2214 1.2840 1.3499 1.4191 1.4918 1.5683 1.6487 1.7333 1.8221
1.9155 2.0138 2.1170 2.2255 2.3396 2.4596 2.5857 2.7183 3.3201 6.0496
P/F,r%
,n
0.9901 0.9802
0.9704 0.9048
0.9512 0.9418 0.5324 0.9231 0.9139 0.9048
0.8958 0.8869 0.878i 0.8694 0.8607 0.8621 0.8437 0.8363 0.8270 0.8887
0.7788 0.7408' 0.7047 0.6703 0.6376 0.6066 0.5769 0.5488 oJ>220 0.4966 0.4724 0.4493 0.4274 0.4066 0.3867 0.3679
0.3� 0.1 53
F/A,r%
,n
1.0000 2.0102 3.0304 4.0608 5.1017 6.1630 7.2148 8.2874 9.3708 10.4650 11.5701 12.6865 13.8140 14.9528 16.1031 17.2660 18.4386 19.6239 20.8212 22.0305 28.2617 34.8124
41.6990 48.9386 56.5494 64.5505 72.9617 81.8043 91.1002 100.8727 111.1462 121.9465 133.3005 145.2367 157.7848 170.9763
230.8612 502.4609
A/F,r%
,n
1.0000 0.4975
0.3300 0.2463 0.1960
0.1625 0.1386 0.1207 0.1067 0.0956 0.0864 0.0788 0.0724 0.0669 0.0621 0.0579 0.0542
0.0510 0.0480 0.0454 0.0354 0.0287 0.0240 0.0204 0.0177 0.0165 0.0137 0.0122
0.0110 0.0099 0.0090 0.0082 0.0075 0.0069 0.0063 0.0058 0.0043 0.0020
P/A,r% ,n 0.9901 1.9704 2.9408
3.9016 6.8529 5.7947
5.7271 7.6503 8.5642 9.4891 10.3649 11.2519 12.1300 12.9994 13.8601 14.7123 15.5560
16.3913 17.2183 18.0371
22.0103 25.7897 29.3848 32.8045 36.0576 39.1619 42.0953 44.8952
47.5585 50.0919 52.6018 54.7941 56.9746 59.0488 61.0219 62.8987 69.5341 83.0563
Atp,r%
,n.
1.0100 0.5075 0.3400
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Interés compuesto. continuo 321
INTERES CONTINUO N
F/P,r%
,n
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13 14 15
m-
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95 100 120 180
·¡· �
P/F,r%
,n
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9..7�6§ 0.7866 0.7749 0.7634 0.7520 0.7408 0.6873 0.6376 0.5916 0.5488 0.5092 0.4724 0.4382 0.4066
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F/A,r%
,n
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.�= 17.9482 19.2195
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r=
1.5%
A/F,r%
,n
P/A,r%
,n
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G.0599____
13.3319 14.1186
0.0520
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A/P,r%
,n
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Q.07.9.l!
'o.o75o, ---¡)J)768 0.0671 0.0639 0.0609 0.0583 0.0483 0.0417 0.0370 0.0355 0.0308 0.0286 0.0269 0.0255 0.0243 0.0232 0.0224 0.0216 0.021(1 0.0204 0.0199 0.0195 0.0269 0.0162
322
Apéndice B
• •t
ThiTE�CONTINUOr=2% .
N
... ....
1 �
.
l. e ( (
'
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r'
1 2 3 4 5 6 . 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 120 180
F/P,r%
,n
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P/F,r%
,n
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A/P,r% ,n
P/A_,r% ,n 0.9802 1.9409 2.8827 3.8058 4.7106 5.5975 6.4669 7.3190 8.1542 8.9750 9.7755 10.5621 11.3331 12.0889 12.8297 13.5558 14.2676 14.9653 15.8491 16.3194 19.4770 22.3342 24.9194 27.2567 29.3753 31.2905 33.0234 34.5915 36.0103 37.2941 38.4557 39.5068 40.4578 41.3184 42.0970 42.6016 45.0102 48.1483
'
�
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Interés compuesto continuo 323
' ,.
ThnERESCONTINUOr=3% N
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,n
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,n
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,n
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,n
A/P,r%
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·•
324 Apéndice B
• J t•
INTERES CONTINUO r = 4% N
,,
,n
P/F,r%
,n
F{A,r%
,n
A{F,r%
,n
P/A,r%
,n
A{P,r%
,n
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·,
F/P,r%
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55
9.0250
0.1108
60
11.0232
196.6404
0.0051
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75
378.4468
80
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0.0408
0.0021
85
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576.6279
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0.0017
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90
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0.0273
0.0014
95
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0.0011
23.8339
54.5981
0.0183
0.0009
0.0420
100
1070.8289
23.9553
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0.0008
0.0417
120
1313.3381
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24.0546
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0.0416
0.0003
24.3018
0.0411
0.0435 0.0429 :
0.0425 0.0422
Interés compuesto continuo 325
,.
INTERES CONTINUO r = 5% N
Ftp,r%
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1.0513 1.1052 1.1618 1.2214 1.2840 1.3499 1.4191 1.4918 1.5683 1.6487 1.7333 1.8221 1.9155 2.0138 2.1170 2.2255 2.3396 2.4596 2.5857 2. 7183 3.4903 4.4817 5.7546 7.3890 9.4377 12.1825 15.6426 20.0855 25.7903 33.1154 42.5210 54.5981 70.1053 90.0170 115.5842 148.4130 403.4285
,n
P/F,r%
,n
0.9512 0.9048 0.8607 0.8187 0.7788 0.7408 0.7047 0.6703 0.6376 0.6065 0.5769 0.5488 0.5220 0.4966 0.4724 0.4493 0.4274 0.4066 0.3867 0.3679 0.2865 0.2231 0.1738 0.1353 0.1054 0.0821 0.0639 0.0498 0.0388 0.0302 0.0235 0.0163 0.0143 0.0111 0.0087 0.0067 0.0025
FJA,r%
,n
1.0000 2.0513 3.1564 4.3183 5.5396 6.8236 8.1735 9.5926 11.0844 12.6527 14.3014 16.0346 17.8567 19.7723 21.7860 23.9030 26.1285 28.4682 30.9277 33.5134 48.5717 67.9069 92.7338 124.6122 165.5449 218.1035 285.5901 372.2444 483.5110 628.3801 809.8279 1045.3792 1347.8330 1736.1917 2234.8538 2875.1489 7848.9766
A/F,r%
,n
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P/A,r%
1n
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A/P,r%
,n
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326
Apéndice B INTERES CONTINUO r = 8%
N
• >
... ....
l. r
ü
F/P,r%
,n
P/F,r%
,n
F/A,r%
A/F,r%
,n
,n
P/A,r%
A/P,r%
,n
,n
1
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0.9231
1.0000
1.0000
0.9231
1.0833
2
1.1735
0.8521
2.0833
0.4800
3
1.2712
0.7866
3.2568
0.3071
1.7753 • 't 2.5619
0.3903
4
1.3771
0.7261
4.5280
0.2208
2.2880
0.3041
6
1.4918
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5.9052
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6
1.6161
0.6188
7.3970
0.1352
4.5771
0.2185
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7
1.7507
0.5712
9.0131
0.1110
5.1483
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8
1.8965
0.5273
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5.6756
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9
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0.0790
6.1624
0.1623
10
2.2255
0.4493
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0.0680
6.6117
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11
2.4109
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12
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13
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14
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15
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0.3012
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16
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17
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18
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0.1091
19
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0.2187
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0.0233
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20
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0.2019
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0.0211
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0.0963
30
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10.9174
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35
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40
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0.0035
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0.0023
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50
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11.7867
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55
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0.0123
965.9434
0.0010
11.8592
0.0843
i
Ll e ( e . .. ...
INTERES CONTINUO r = 10%
�� N
.l
''- ' "
FfP,r%
,n
P/F,r%
,n
F/A,r%
,n
A/F,r%
,n
P/A,r%
,n
A /P,r%
,n
1
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0.9048
1.0000
1.0000
0.9048
1.1052
2
1.2214
0.818"
2.1052
0.4750
1.7236
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3
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1.4918
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6
1.6487
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6
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7
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9
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13
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0.0394
6.9170
0.1446 0.1396
0.2673 0.2331
. '
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14
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15
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16
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18
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0.126'0
19
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20
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0.1069
55
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0.0041
2317.0908
0.0004
9.4694
0.1056
J
Interés compuesto coñtÚzuo 327
INTERES CONTINUO N
F/P,r%
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,n
P/F,r%
,n
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F/A,r%
A/F,r%
,n
1 2 3 4 5
--¡'f1
8 9 10 11 . 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50
F/P,r%
,n
1.1618 1.3499 1.5683 1.8221
2.U7.Q
'!!A696
.2.8576' 3.3201 3.8574 4.4817 5.2070 6.0496 7.0267 8.1662 9.4377 11.0232 12.8071 14.8797 17.2878 20.0855 42.5210 90.0170 190.5661 403.4285 854.0571 1808.0391
PJF,r%
,n
0.8607 0.7408 0.6376 0.5488 0.4724
--a:-4()'mr0.3499' 0.3012 0.2592 0.2231 0.1920 0.1653 0.1423 0.1225 0.1054 0.0907 0.0781 0.0672 0.0578 0.0498 0.0235 0.0111 0.0052 0.0025 0.0012 0.0006
F/4,r%
,n
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r =
12%
P/A,r%
,n
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INTERES CONTINUO N
r =
A/P,r%
,n
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,n
1.1275 0.5975 0.42i 7 0.3344 0.2826 0.2484 0.2244 0.2066 0.1931 0.1824 0.1740 0.1671 0.1614 0.1567 0.1527 0.1994 0.1496 0.1441 0.1420 0.1402 0.1342 0.1311 0.1294 0.1286 0.1281 0.1278 9.1277
15%
A/F,r%
�
,n
1.0000 0.4626 0.2848 0.1968
-g,J,�l! 0.1109 0.0871 0.0698 0.0566 0.0465 0.0385 0.0320 0.0268 0.0226 0.0191 0.0161 0.0137 0.0117 0.0099
P/A,r%
0.8607 1.6015 2.2392 2.7880 3.2603 3.6669 4.0168 4.3180 4.5775 4.6004 4.9925 5.1578 5.3000 5.4225 5.5279 5.6186 5.6967 5.7639 5.
,n
1.1618 0.6244 0.4466 0.3587 º,3067 0.21'27 0.2490 0.2316 0.2185 0.2083 0.2003 0.1939· 0.1887 0.1844 0.1809 0.1760 0.1755 0.1735
�
� -á. 0.0039 0.0018 0.0009 0.0004 0.0002 0.0001
A/P,r%
,n
6.0339 6.1105 6.1468 6.1639 6.1719 6.1758
.
.
0.1657 0.1637 0.1627 0.162.2 0.1620 0.1619
328
Apéndice B INTERES CONTINUO r = 18%
N
.. "'
1
F/P,r%
,n
P/F,r%
,n
F/A,r%
,n
A/F,r%
,n
P/A,r%
A/P,r% ,n
,n
1
1.1972
0.8353
1.0000
1.0000
0.8353
1.1972
2
1.4333
0.6977_
2.1972
0.4551
1.5329
0.6523
3
1.7160
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3.6306
0.2754
2.1157· ,t
0.4727
4
2.0544
0.4868
5.3466
0.1870
2.6025
0.3843
5
2.4596
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7.4010
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6
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7
3.5254
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12.8053
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0.2753
8
4.2207
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9
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10
6.0496
0.1653
25.6045
Ó.0391
4.0671 4.2524
0.2363
11
7.2427
0.1381
21.6541
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12
8.6711
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13
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0.0210
4.5821
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14
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0.2145
15
14.8797
0.0672
70.3779
0.0142
4.7298
0.2114
16
17.8143
0.0561
85.2576
0.0117
4.7859
0.2089
17
21.3275
0.0469
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0.0097 0.0080
2.2069
25.5337
0.0392
4.8328
18
4.8720
0.2053
19
30.5694
0.0327
149.9332
0.0567
4.9047
0.2039
20
36.5982
0.0273
180.5026
0.0055
4.9320
0.2028
25
90.0170
0.0111
451.3655
0.0022
5.0142
0.1994
30
221.4059 .
0.0045
1117.5806
0.0009
5.0477
0.1981
35
544.5706
0.0018
2756.2053
0.0004
5.0612
40
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0.0007
6786.5742
0.0001
5.0668
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45
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0.0003
16699.6758
0.0001
5.0690
0.1973
. u
¡
�
(
o •·
;.
J �-
INTERES CONTINUO r = 19%
l
N
FfP,r%
,n
P/F,r%
,n
F/A,r%
,n
A/F,r%
,n
P/A,r%
A/P,r%
,n
1
1.2092
0.8270
1.0000
1.0000
2
1.4623
0.6839
2.2093
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3
1.7683
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4
2.1383
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5
2.5857
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7.5781
0.1320
2.5140 2.9308
,n
1.2092 0.8819
.
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6
3.1268
0.3198
10.1638
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•0.3412 0.3070
7
3.7810
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13.2906
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3.5151
0.2845
8
4.5722
0.2187 .
17.0716
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9
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11
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12
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13
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4.3748
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14
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15
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16
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17
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18
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0.0058
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19
30.5694 36.9660
20
44.7012
0.0224
208.8471
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4.6721
0.2140
25
115.5842
0.0087
547.5957
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4.7376
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0.0007
4.7630
0.2100
35
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0.0013
3688.3430
0.0003
4.7728
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40
1998.1948
0.0005
9544.5586
0.0001
4.7766
0.2094
0.2388
0. 2198
0.2151
Interés compuesto continuo 329
INTERES CONTINUO r = 20%
N
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40
F/P,r%
,n
1.2214 1.4918 1.8221 2.2255 2.7183 3.3201 4.0552 4.9530 6.0496 7.3390 9.0250 11.0232 13.4637 16.4446 20.0855 24.5325 29.9641 36.5982 44.7012 54.6981 148.4130 403.4286 1096.6321 2980.9551
P/F,r%
,n
0.8187 0.6703 0.5488 0.4493
-----� 0.3012 0.2466 0.2019 0.1653 0.1353 0.1108 0.0907 0.0743 0.0608 0.0498 0.0408 0.0334 0.0273 0.0224 0.0183 0.0067 0.0025 0.0009 0.0003
F/A,r%
,n
1.0000 2.2214 3.7132 5.5353 7.7609 10.4791 13.7993 17.8544 22.8074 28.8571 36.2462 45.2711 56.2943 69.7580 86.2025 106.2882 130.8206 160.7846 197.3827 242.0837 665.8127 1817.6277 4948.5820 13459.4062
A/F,r%
,n
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P/A,r%
,n
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--a.1563 3.4029 3.6048 3.7701 3.9054 4.0162 4.1069 4.1812 4.2420 4.2918 4.3325 4.3669 4.3932 4.4156 4.4339 4.4862 4.5055 4.5125 4.5151
A/P,r%
,n
1.2214. 0.8716 0.4907 0.4021 0.3503 Ó.3188 0.2939 0.2774 0.2652 0.2561 0.2490 0.2435 0.2392 0.2357 0.2330 0.2308 0.2290 0.2276 0.2265 0.2255 0.2229 0.2220 0.2216 0.2216
INTERES CONTINUO r = 21% N. 1 2 3 4 .5 6 7 8 9 10 11· 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40
F/P,r%
,n
1.2337 1.5220 1.8776 2.3164 2.8576 3.5254 4.3492 5.3656 6.6194 8.1662 10.0744 12.4286 15.3329 18.9158 23.3361 28.7892 35.5166 43.8160 54.0548 66.6862 190.5661 544.5715 1556.1941 4447.0625
P/F,r%
,n
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F/A,r%
,n
1.0000 2.2337 3.7556 5.6333 7.9496 16.8073 14.3327. 18.6819 24.0475 30.6669 38.8330 48.9075 61.3361 76.6689 95.5848 118.9209 147.7100 183.2266 227.0426 281.0974 811.2280 2326.1575 6655.2891 19026.41170
A/F,r%
,n
1.0000 0.4477 0.2663 0.1775 0.1258 0.0925 0.0698 0.0535 0.0416 0.0326 0.0258 0.0204 0.0163 0.0130 0.0105 0.0084 0.0068 0.0055 0.0044 0.0036 0.0012 0.0004 0.0002 0.0001
·P/A,r%
,n
0.8106 1.4676 2.0002 2.4319 2.7819 3.0855 3.2955 3.4818 3.6329 3.7554 3.8546 3.9351 4.0003 4.0532 4.0960 4.1307 4.1589 4.1817 4.2002 4.2152 4.2569 4.2715 4.2766 4.2784
A/P,r%
,n
1.2337 0.6814 0.4999 0.4112 0.3595 0.3262 0.3034 0.2872 0.2753 0.2663 0.2594 0.2541 0.2500 0.2367 0.2441 0.2421 0.2404 0.2391 0.2381 0.2372 0.2349 0.2541 0.2338 0.2337
•.
330
Apéndice B
�
""
1
INTERES CONTINUO r = 22% N
F/P,r%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35
1.2461 1.5527 1.9348 2.4109 3.0042 3.7434 4.6646 5.8124 7.2427 9.0250 11.2458 14.0132 17.4615 21.7584 27.1126 33.7844 42.0979 52.4573 65.3658 81.4508 244.6917 735.0940 2208.3455
,n
.P/F,r%
,n
0.8025 0.6440 0.5169 0.4148 0.3329 0.2671 0.2144 0.1720 0.1381 0.1108 0.0889 0.0714 0.0573 0.0460 0.0369 0.0296 0.0238 0.0191 0.0153 0.0123 0.0041 0.0014 0.0005
F/A,r%
A/F,r%
,n
-
1.0000 2.2461 3.7988 5.7336 8.1445 11.1486 14.8921 19.5566 25.3691 32.6118 41:6368 52.8827 66.8958 84.3574 106.1158 133.2285 167.0128 209.1108 261.5681 326.9336 990.3083 2983.1931 8970.1562
,n
1.0000 0.4452 0.2632 0.1744 0.1228 0.0897 0.0671 0.0511 0.0394 0.0307 0.0240 0.0189 0.0149 0.0119 0.0094 0.0075 0.0060 0.0048 0.0038 0.0031 0.0010 0.0003 0.0001
J!IA,r%
,n
0.8025 1.4466 1.9654 2.3782 2.7111 2.9782 3.1926 3.3646 3.5027 3.6135 3.7024 3.7738 3.8310 3.8770 3.9139 3.9435 3.9672 3.9883 4.0016 4.0139 4.0472 4.0582 4.0819
••
A/P,r%
,n
1.2461 0.6913 0.5093 0.4205 0.3689 0.3358 0.3132 0.2972 0.2855 0.2767 0.2701 0.2650 0.2610 0.2579 0.2555 0.2536 0.2521 0.2509 0.2499 0.2491 0.2471 0.2464 0.2462
-
J.
�: � '
¡-
·'
;: .l
..
�
INTERES CONTINUO N
F/P,r%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35
1.2586 1.5841 1.9937 2.5093 3.1582 3.9749 5.0028 6.2965 7.9248 9.9742 12.5335 15.7998 19.8857 25.0281 31.5004 39.6464 49.8989 62.8027 79.0435 99.4842 314.1899 992.2734 3133.7896
,n
P/F,r%
,n
0.7945 0.6313 0.5016 0.3985 0.3166 0.2516 0.1999 0.1588 0.1262 0.1003 0.0797 0.0633 0.0503 0.0400 0.0317 0.0252 0.0200 0.0159 0.0127 0.0101 0.0032 0.0010 0.0003
F/A,r%
,n
1.0000 2.2586 3.8427 5.8364 8.3457 11.5038 15.4788 20.4815 26.7781 34.7029 44.6770 57.2305 73.0303 92.9160 117.9440 149.4444 189.0907 238.9894 301.7922 380.8354 1211.0967 3833.2271 12114.4102
r =
23%
A/F,r%
,n
1.0000 0.4428 0.2602 0.1713 0.1198 0.0869 0.0646 0.0488 0.0373 0.0288 0.0224 0.0175 0.0137 0.0108 0.0085 0.0067 0.0053 0.0042 0.0033 0.0026 0.0008 0.0003 0.0001
P/A,r%
,n
0.7945 1.4258 1.9274. 2.3259 2.6425 2.6941 3.0940 3.2528 3.3790 3.4793 3.5589 3.6222 3.6725 3.7125 3.7442 3.7694 3.7895 3.8054 3.8181 3.8281 3.8547 3.8631 3.8657
A/P,r%
,n
1.2586 0.7014 0.5188 0.4299 0.3784 0.3455 0.3232 0.3074 0.2959 0.2874 0.2810 0.2761 0.2723 0.2694 0.2671 0.2653 0.2639 0.2628 0.2619 0.2612 0.2594 0.2589 0.2587
Interés compuesto continuo 331 INTERES CONTINUO r = 24% F/P;r%
N 1 2
/
,n
P/F,r%
,n
F/A,r%
,n
A/F,r%
,n
P/A,r%
,n
A/P,r%
,n
1.2712
0.7866
1.0000
1.0000
0.7866
1.2712
1.6161
0.6188
2.2713
0.4403
1.4054
0.7116
3
2.0544
0.4868
3.8873
0.2572 -
1.8922
0.528"5
4
2.6117
. 0.3829
5.9418
0.1683
2.2751
5
3.3201
0.3012
8.5534
0.1169
2.5763
0.4395 0.4882
6
4.2207
0.2369
11.8736
0.0842
2.8132
0.3555
7
5.3656
0.1864
16.0943
0.0621
2.9996
8
6.8210
0.1466
21.4598
3.1462
0.3334 . 0.3178.
3.2615
0.0354
9
8.6711
0.1153
28.2808
0.0466 0.3066
10
11.0232
0.0907
36.9519
0.0271
3.3522
0.2983
11
14.0132
0.0714
47.9751
0.0208
3.4236
0.2921
12
17.8143
0.0561
61.9883
0.0161
3.4797
0.2874
13
22.6464
0.0442
79: 8026
0.0125
3.6239
0.2838
14
28.7892
0.0347
102.4489
0.0098
3.5586
0.2810
15
36.5982
0.0273
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0.0076
3.5859
0.2789
16
46.5254
0.0215
167.8364
0.0060
3.6074
0.2772
17
59.1454
0.0169
214.3619
0.0047
3.6243
18
75.1885
0.0133
273.5071
0.0037
3.6376
0.2759 0.2749 0.2741
19
95.5833
0.0105
348.6958
0.0029
3.6481
20
121.5102
0.0082
444.2791
0.0023
3.6563
0.2735
25
403.4280
0.0025
1483.6118
0.0007
3.6775
0.2719
30 35
1339.4280
0.0007
4934.3164
0.0002
3.6839
0.2715
4447.0547
0.0002
16391.0547
0.0001
3.6858
0.2713
INTERES CONTINUO r = 25% N
F/P,r%
,n
P/F,r%
,n
F/A,r%
,n
A/F,r%
,n
P;i:r %
,
n
A/P,r%
,n
1 2
1.2840
0.7788
1.0000
1.0000
0.7788
1.2840
1.6487
0.6065
2.2840
0.4378
1.3853
0.5218
3
2.1170
0.4724
3.9327 .
0.2543
1.8577
0.5383
4
2.7183
0.36'VL
6.0498
0.1653
2.2256
0.4493 0.3911
5
4.4903
0.2865
8.7680
0.1141
2.5121
6
4.4817
0.2231
14.2584
0.0816
2.7352
7
5.7346
0.1738
16.7401
0.0597
2.9090
8
7.3891
0.1353
22.4947
0.0445
3.0443
0.3285
9
9.4877
0.1054
29.8837
0.0335
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10
12.1825
0.0821
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11
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0.0639
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0.0194
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0.3034
12
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0.0498
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13
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0.0388
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0.0115
3.3843
0.2955
14
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0.0302
113.0725
0.0088
3.4145
0.2929
15
42.5211
0.0235
146.1880
0.0068
3.4380
0.2909
16 17
54.5981
0.0183
188.7091
0.0053
3.4563
0.2896
70.1054
0.0143
243.3073
0.0041
3.4706
0.2881
18
90.0171
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313.4126
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3.4817
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19
115.5843
0.0087
403.4299
0.0025
3.4904
0.2865
20
148.4132
0.0067
519.0142
0.0019
3.4971
0.2860
25
518.0129
0.0019
1820.3064
0.0005
3.5140
0.2846
30
1808.0425
0.0006
6362.2578
0.0002
3.5189
0.2842
35
6310.6875
0.0002
22215.2383
0.0000
3.5203
0.2841
0.3656
0.3438
•
332
Apéndice B
INTERES CONTINUO r = 26% F/P,r%
N
... ""
1 ., �
,n
P/F,r%
,n
F/A,r%
A/F,r%
,n
P/A,r%
,n
,n .,.,t
A/P,r%
,n
1
1.2969
1.0000
0.7711
1.2969
1.6820
0.7711 0.5945
1.0000
2
2.2969
0.4354
1.3656
0.7323
3
2.1815
0.4584
4.9790
0.2513
1.8240
0.5453
4
2.8292
0.3535
6.1604
0.1623
2.1774
0.4593
5
3.6693
0.2725
8".9896
0.1112
2.4500
0.4062
6
4.7588
0.2101
12.6589
0.0790
2.6601
0.3759
7
6.1719
0.1620
17.4177
0.0574
2.8221
0.3543
8
8.0045
0.1249
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0.0424
2.9471
0.3393
9
10.3812
0.0963
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0.0317
3.0434
0.3286
10
13.4637
0.0743
41.9753
0.0238
3.1177
0.3208
11
17.4615
0.0573
55.4390
0.0180
3.1749
0,3150
12
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0.0442
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0.0137
3.2191
0.3106
13
29.3707
0.0340
95.5468
0.0105
3.2531
0.3074
14
38.0918
0.0263
124.9176
0.0080
3.2794
0.3049
15
49.4024
0.0202
163.0094
0.0061
3.2996
0.3031
16
64.0715
0.0156
212.4118
0.0047
3.3152
0.3016
17
83.0962
0.0120
276.4829
0.0036
3.3273
0.3005
18
107.7700
0.0093
359.5791
0.0028
3.3365
0.2997
19
139.7702
0.0072
467.3491
3.3437
0.2991
20
181.2722
0.0055
607.1194
0.0021 0.0016
3.3492
0.2986
25
665.1411
0.0015
2236.6899
0.0004
3.3627
0.2974
30
2440.6001
0.0004
8216.0664
0.0001
3.3664
0.2971
� � u.
e e Ct e .::
.L �-
INTERES CONTINUO r = 27% \ •
¡1
N
F/P,r%
,n
P/F,r%
,n
F/A,r%
,n
A/F,r %
,n
P/A,r%
,n
A/P,r%
,n
1
1.3100
0.7634
1.0000
1.0000
0.7634
1.3100
2
0.5827
2.3100
0.4329
1.3461
0.7429
3
1.7160 .. 2.2479
0.4449
4.0260
0.2484
1.7910
0.5564
4
2.9447
0.3396
6.2739
0.1594
2.1306
0.4694 0.4184
5
3.8574
0.2592
9.2186
0.1085
2.3898-
6
5.0531
0.1979
1a.o16o
0.0765
2.5877
0.3864
7
6.6194
0.1511
18.1291
0.0552
2.7588
0.365-;
8
8.6711
0.1153
24.7485
0.0404
2.8541
0.3504
9
11.3589
0.0880
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0.0299
2.9422
0.3399
10
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0.0672
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0.0223
3.0094
0.3323
11
19.4919
0.0513
59.6582
0.0168
3.0607
0.3257
12
25.5337
0.0392
0.0126
13
33.4482
0.0299
79.1502 . 104.6838
0.0096
3.0998 3.1297
0.3226 0.3195
14
43.8160
0.0228
138.1322
0.0072
3.1525
0.3172
15
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0.0174
181.9482
0.0055
3.1700
0.3155
16
75.1886
0.0133
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0.0042
3.1833
0.3141
17
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0.0102
314.5342
0.0032
3.1934
0.3131
18
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0.0073
413.0288
0.0024
3.2012
0.3124
19
169.0170
0.0059
542.0527
0.0018
3.2071
0.3118
20
221.4063
0.0045
711.0701
0.0014
3.2116
0.3114
25
854.0579
0.0012
2752.1174
0.0004
3.2224
0.3103
30
3294.4663
0.0003
10625.3125
0.0001
3.2252
0.3101
Interés compuesto continuo 333
INTERES CONTINUO N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30
F/P,r%
,n
1.3231 1.7507 2.3164 3.0649 4.0552 5.3656 7.0993 9.3933 12.4286 16.4446 21.7584 28.7892 38.0918 50.4004 66.6862 88.2346 116.7458 154.4699 204.3836 270.4263 1096.6321 4447.0625
P/F,r%
,n
0.7558 0.5712 0.4317 0.3263 0.2466 0.1864 0.1409 0.1065 0.0805 0.0608 0.0460 0.0347 0.0263 0.0198 0.0150 0.0113 0.0086 0.0065 0.0049 0.003.7 0.0009 0.0002
F/A,r%
,n
1.0000 2.3231 4.0738 6.3902 9.4550 13.5102 18.8758 25.9751 35.3684 47.7970 64.2416 86.0001 114.7892 152.8811 203.2814 269.9678 358.2024 474.9482 629.4180 833.8022 3390.6887 13759.3750
r =
28%
A/F,r%
,n
_
P/A,r%
1.0000 0.4305 0.2455 0.1565 0.1058 0.0740 0.0530 0.0385 0.0283 0.0209 0.0156 0.0116 0.0087 0.0065 0.0049 .0037 0.0028 0.0021 0.0016 0.0012 0.0003 0.0001
,n
0.7558 1.3270 1.7587 2.0850 2.3316 2.5180" 2.6588 2.7655 2.8457 2.9065 2.9525 2.9872 3.0135 3.0333 3.0483 3.0597 3.0682 3.0747 3.0796 3.0833 3.0919 3.0940
A/P ,r 'Yq •,'l 1.3231 0.7536 0.5686 0.4798 0.4289 0.3971 0.3761 0.3616 0.3514 0.3441 0.3367 0.3348 0.33l8 0.3297 0.3280 0.3268 0.3259 0.3252 0.3247 0.3243 0.3234 0.3232
INTERES CONTINUO r = 29% N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30
F/P,r%
,n
1.3364 1.7860 2.3869 3.1899 4.2631 5.6973 7.6141 10.1757 14.5990 18.1741 24.2884 32.4597 43.3801 57.9743 77.4784 103.5443 138.3794 184.9341 247.1510 330.2993 1408.1035 6002.9062
P/F,r%
,n
F!A,r%
,n
A/F,r%
,n
0.7483 0.5599 0.4190
1.0000 2.3364 4.1225
1.0000 0.4280 0.2426
0.3135 0.2346 0.1755 0.1313 0.0983 0.0735 0.0550
6.5094 9.6993 13.9624 19.6597
0.1536 0.1031 0.0716
0.0412 0.0308 0.0231 0.0172 0.0129 0.0097 0.0072 0.0054 0.0040 0.0030 0.0007 0.0002
27.2738 37.4495 51.0485 69.2227 93.5110 125.9707 169.3507 227.3250 304.8032 408.3474 546.7268 731.6606 978.8115 4182.4805 17840.1055
0.0509 0.0367 0.0267 0.0196 0.0144 0.0107 0.0079 0.0059 0.0044 0.0033 0.0024 0.0018 0.0014 0.0010 0.0002 0.0001
P!A,r%
. •
,n
0.7483 1.3082 1.7271 2.0408 2.2752 2.4507 2.5820 2.6803 2.7538 2.8089 2.8500 2.8808 2.9039 2.9211 2.9340 2.9437 2.9509 2.9563 2.9604 2.9634 2.9703 2.9719
A/P,r%
,n
1.5364 0.7644 0.5790 0.4901 0.4395 0.4080 0.3873 0.3731 0.3631 0.3560 0.3509 0.3471 0.3444 0.3423 0.3408 0.3397 0.3389 0.3363 0.3378 0.3374 0.3367 0.3365
•
.
334 Apéndice B
INTERES CONTINUO r N 1 2 3 4 5
s----
,
,,
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30
F/P,r%
,n
1.3499 1.8221 2.4596 3.3201 4.4817 6.0496 8.1662 11.0232 14.8797 20.0855 27.1126 36.5982 49.4024 66.6862 90.0170 121.5103 164.0217 221.4061 298.8669 403.4285 1808.0391 6103.0703
--
P/F,r%
F/A,r%
,n
,n
A/F,r%
1.0000 2.3499 4.1720 6.6316 9.9517 14.4334 20.4830 26.6492 39.6724 54,5521 74.6377 101.7504 138.3486 187.7510 254.4374 344.4546 465.9646 629.9868 851.3931 1150.2612 5165.0583 23158.1484
0.7408 0.5488 0.4066 0.3012 0.2231 0.1653 0.1225 0.0907 0.0672 0.0498 0.0369 0.0273 0.0202 0.0150 0.0111· 0.0082 0.0061 0.0045 0.0033 0.0025 0.0006 0.0001
=
30% ,n
1.0000 0.4256 0.2397 0.1508 0.1005 0.0693 -0.0488 0.0349 0.0252 0.0183 0.0134 0.0098 0.0072 0.0053 0.0039 0.0029 0.0021 0.0016 0.0012 0.0009 0.0002 0.0000
P/A,r%
,n
0.7408 1.2896 1.69&2, L 1.9974 2.2205 2.:tl®l 2.5083 2.5990 2.6662 2.7160 2.1529 �.7802 2.8004 2.8154 2.8285 2.8348 2.8409 2.8454 2.8487 2.8512 2.8567 2.8579
A/P,r%
,n
1.3499 0.7754 0.5896 0.5007 0.45030.4191 0.3987 0.3848 1.3751 0.3682 0.5633 0.3597. 0.3571 0.3552 0.3538 0.3528 0.3520 0.3514 0.3510 0.3507 0.3501 0.3499
�:
�t
...,
INTERES CONTINUO r N
F/P,r%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25
1.4191 2.0138 2.8576 4.0552 5.7546 8.1662 11.5883 16.4446 23.3361 33.1154 46.9930 66.6862 94.6323 134.2896 190.5661 270.4263 383.7529 544.5715 772.7832 1096.6321 6310.6836
,n
P!F,r%
F/A,r%
,n
0.7047 0.4966 0.3499 0.4198 0.1738 0.1225 0.0863 0.0608 0.0429 0.0302 0.0213 0.0150 0.0106 0.0074 0.0052 0.0037 0.0026 0.0018 0.0013 0.0009 0.0002
.
,n
1.0000 2.4191 4.4328 7.2905 11.3457 17.1003 25.2664 0.2463 53.2994 76.6354 109.7509 156.7439 223.4303 318.0623 452.3521 642.9187 913.3445 1297.0981 1841.6685 2614.4531 15056.4883
=
35%
A/F,r%
,n
1.0000 0.4134 0.2256 0.1372 0.0881 0.0585 0.0396 0.0271 0.0188 0.0130 0.0091 0.0064 0.0045 0.0031 0.0022 0.0016 0.0011 0.0008 0.0005 0.0004 0.0001
P/A,r%
,n
0.7047 1.2013 1.5512 1.7978 1.97lq 2.0940 2.1803 2.2411 2.2640 2.3142 2.3355 2.3505 2.3610 2.3665 2.3757 2.3774 2.3600 2.3819 2.3832 2.3841 2.3859
A/P,r%
,n
1.4191 0.8324 0.6447 0.5562 0.5072 0.4775 0.4586 0.4462 0.4578 0.4321 0.4262 0.4254 0.4235 0.4222 0.4213 0.4206 0.4202 0.4198 0.4196 0.4194 0.4191
Interés compuesto continuo 335
INTERES CONTINUO N 1
2
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
F/P,r%
,n
P/F,r%
,n
F/A,r%
,n
r =
40%
A/F,r%
,n
P/A,r%
,n
A/P,r%
,n
-
1.4918 2.2255 3.3201 4.9530 7.3890 11.0232 16.4446 25.5325 36.5982 54.5981 81.4508 121.5103 181.2720 270.4263 403.4285 601.8447 897.8467 1339.4292 1998.1948 2980.9551
0.6703 0.4493 0.3012 0.2019 0.1353 0.0907 0.0608 0.0408 0.0273 0.0183
ó.0123-
0.0082 0.0055 0.0037 0.0025 0.0017 0.0011 0.0007 0.0005 0.0003
1.0000 2.4918 4.7174 .8.0375 12.9905 20.3795 31.4027 47.8474 72.3798 108.9780 163.5761 245.0268 366.5369 547.8091 818.2349 1221.6633 1823.5073 2721.3518 4060.6825 6058.9727
1.0000 0.4013 0.2120 .Q.U!! 0.0770 0.0491 0.0318 0.0209 0.0138 0.0092 0.0061 0.0041 0.0027 0.0018 0.0012 0.0008 0.0005 0.0004 0.0002 0.0002
'
0.6703 .1196 .4208 �1i22l,. 1.7581 1.8488 1.9096 1.9504 1.9777 1.9960 2.0083 2.0185 2.0220 2.0257 2.0282 2.0299 2.0310 2.0317 2.0322 2.0326
�
1.4918 0.8931 0.7038 0.6162 0.5688 0.5409 0.5237 0.5127 0.5056 0.5010 0.4979 0.4959 0.4946 0.4937 0.4930 0.4926 0.4924 0.4922 0.4921 0.4920
GRADIENTE ARITMETICO CON INTERES CONTINUO r
1.0
5.0
8.0
10.0
12.0
15.0
18.0
w w C7\
(A{g,r% ,n)
20.0
.
25.0
30.0
35.0
40.0
:S � �·
N 1 2 3 4 5 6
7
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 (15 90 95 100 120 180
0.0000 0.5026 0.9971 1.4905 1.9841 2.4738 2.9630 3.4511 3.9369 4.4212 4.9032 5.3842 5.8634 6.3407 6.8166 7.2908 7.7634 8.2342 8.7036 9.1713 11.4839 13. 75'53 15.9855 16.1744 20.3224 22.4295 24.4960 26.5221 28.5080 30.4538 32.3601 34.2269 36.0547 37.8436 39.5941 41.3066 47.7827 63.8582
o.oooo
0.4874 0.9665 1.4374 1.9000 2.3542 2.8003 3.2381 3.6676 4.0891 4.5024 4.9076 5.3048 5.6940 6.0752 6.4486 6.8141 7.1719 7.5220 7.8645 9.4652 10.8875 12.1427 13.2433 14.2023 14.0328 15.7479 16.3603 16.3520 17.3244 17.6977 18.0114 18.2740 18.4930 18.6749 18.8257 19.2058 19.4818
0.0000 0.4800 0.9467 1.4002 1.8404 2.6452 2.6817 3.0829 3.4712 3.8470 4.2102 4.5611 4.8998 5.2265 5.5414 5.8448 6.1309 6.4178 6.6878 6.9472 8.0937 9.0136 9.7405 10.306,8 10.7425 11.0738 il.3230 11.5088 11.6461 11.7468 11.8203 11.8735 11.911'9 1:L.9394 11.9591 11.9731 11.9985 12.0065
o.oooo
0.4750 0.9334 1.3753 1.8008 2.2101 2.6033 2.9806 3.3422 3.6885 4.0197 4.3361 4.6381 4.9259 5.2000 5.4608 5.7085 5.9437 6.1667 6.3779 7.2727 7.9364 8.4185 , 8.7620 9.0028 9.1691 9.2826 9.3592 9.4104 9.4444 9.4688 9.4815 9.4910 9.4972 9.5012 9.5036 9.5076 9.5083
0.0000 0.4700 0.9202 1.3506 1.7615 2.1531 2.5257 2.8796 3.2153 3.5332 3.8337 4.1174 3.3848 4.6364 0.4926 5.0946 5.3025 5.4969 5.6785 5.8480 6.5334 7.0006 7.3105 7.5114 7.6392 7.7191 7.7684 7.7985 7.8167 7.8276 7.8341 7.8379 7.8402 7.8415 7.8423 7.8427 7.8433 7.8433
0.0000 0.4626 0.9004 1.3137 1.7029 2.0685 2.4110 2.7311 3.0295 3.3070 3.5645 3.8028 4.0228 4.2256 4.4119 4.5829 4.7394 4.8823 5.0127 5.1313 5.5771 5.8422 5.9945 6.0798 6.1264 6.1515 6.1648 6.1718 6.1754 6.1773 6.1782 6.1787 6.1789 6.1791 6.1791 6.1791 6.1792 6.1792
0.0000 0.4551 0.8806 1.2770 1.6450 1.9852 2.2987 2.5866 2.8500 3.0902 3.3085 3.5063 3.8848 3.8456 3.9898 4.1190 4.2343. 4.3369 4.4280 4.5087 4.7897 4.9344 5.0062 5.0407 5.0569 5.0644 5.0878 5.0893 5.0700 5.0703 5.0705 5.0705 5.0705 5.0705 5.0706 5.0706 5.0706 5.0706
0.0000 0.4502 0.8675 1.2528 1.6068 1.9306 2.2255 2.4929 2.7343 2.9515 3.1459 3.3194 3.4736 3.6102 3.7307 3.8367 3.9297 4.0110 4.0819 4.1435 4.3471 4.4421 4.4847 4.5032 4.5111 4.5144 4.5157 4.5163 4.5165 4.5166 4.5165 4.5165 4.5165 4.5166 4.5166 4.5166 4.5166 4.5166
0.0000 0.4378 0.8350 1.1929 1.5131 1.7975 2.0486 2.2687 2.4605 2.6266 2.7696 2.8921 2.9964 3.0849 3.1596 3.2223 3.2748 3.3186 3.3550 3.3851 3.4725 3.5042 3.5153 3.5190 3.5202 3.5206 3.5208 3.5208 3.5208 3.5208 3.5208 3.5208 3.5208 3.5208 3.520B 3.520a. 3.520€. 3.5208
0.0000 0.4256 0.8029 1.1342 1.4222 1.6701 1.8815 2.0601 2.2099 2.3343 2.4370 2.5212 2.5897 2.0282 2.6898 2.7255 2.7540 2.7766 2.7945 2.8086 2.8445 2.8546 2.8573 2.8581 2.8582 2.8583 2.8583 2.8583 2.8583 2.8583 2.8583 2.8583 2.8583 . 2.8583 2.8583" 2.8583 2.8583 2.8583
0.0000 0.4134 0.7713 1.0770 1.3346 1.5490 1.7251 1.868H 1.983<1 2.074!1 2.1471. 2.203E; 2.2474 2.2812 2.3071 2.3269 2.3418 2.3531 2.3616 2.3680 2.3823 2.3854 2.3861 2.3862 2.3862 2.3862 2.3862 2.3863 2.3863 2.3863 2.3863 2.3863 2.3863 2.3863 2.3863 2.3863 2.3863 2.3863
�
'el.
o.oooo
0.4013 0,7402 1.0214 1.2507 1.4346 1.5800 1.6933 1.7804 1.8467 1.8965 1.9337 1.9611 1.9813 1.9960 2.0066 2.0143 2.0198 2.0237 2.0265 2.0321 2.0331 2.0332 2.0332 2.0332 2.0332 2.0332 2.0332 2.0332 2.0332 2.0332 2.0332 2.0332 2.0332 2.0332 2.0332 2.0332 2.0332
fll
�
GRADIENTE GEOMETRICO CON INTERES CONTINUO r J
10
12
15
18
20
=
10% (PjA,r % .j% ,n) _ 25
35
30
N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 36 40 45 50
0.9048 0.9334 2.7018 3.5940 4.4821 5.3669 6.2457 7.1213 7.9928 8.8602 9.7236 10.5830 11.4383 12.2896 13.1369 13.9803 14.8197 15.6552 16.4868 17.3145 21.3952 25.3813 29.2750 33.0785 36.7938 40.4230
0.9048 1.8218 2.2676 3.6927 4.6471 5.6142 6.5944 7.5876 8.5942 9.6143 10.6481 11.6968 12.7575 13.8335 14.9239 16.0288 17.1487 18.2836 10.4337 20.5992 26.6656 33.1503 40.0816 47.4905 55.4100 63.8752
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0.8607
2
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9
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10 11 12
.
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19
10.4 5i o
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. 64.5224
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50
•
•
.. . ..
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10
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0.8187
0.8187
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20
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0.8187
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1.5896
12
=
N 1
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3
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4.7021
151l0
7.6248
8.3313 8.61330
3.6048 4.6555
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7.1742 7.3973
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GRADIENTE GEOMETRICO CON INTERES CONTINUO
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12
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20
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N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 16 17 18 19 20 26 30 35 40 45 50
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.
7.4090 7.4311
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. 0.7788 1.5066 2.1868 2.8225 3.4166 3.9719 4.4907 4.9757 5.4289 5.8524 5.2482 6.6182 6.9639 7.2870 7.5889 7.8711 8.1348 8.3813 8.6116 8.8269 9.7095
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10.3387
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17.9091 19.3517 20.6131 21,.7160
8.6364 9.8690 11.1443 12.4957
9.1198 10.0121 10.9154
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11.8300 12.7659 13.6934 14.6425
20.3633 22.1936 24.1127 26.1304 37.8847 52.9853
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.•
';..
72.3849 97.3073 129.3249 170.4577
GRADIENTE GEOMETRICO CON INTERES CONTINUO r = 30% (PjA, r % ,j% ,n) '
J
10
12
u;
18
20
0.7408 1.3884 1.9646 2.4494 2.8820 3.2602 3.5907 3.8797 4.1323 4.3632 '4.5462 4.7149 4.8625 4.9914 5.1041 5.2027 5.2888 5.3641 5.4299 6.4876 5.6832 4.7831 5.8341 5.8601 5.8734 5.8802
0.7408 1.8994 1.9849 2.5063 2.9680 3.3793 3.7450 4.0700 4.3590 4.6169 4.8443 5.0473 5.2278 5.3882 5.5308 5.6576 5.7704 5.8706 5.9596 6.0388 6.3209 6.4775 6.5644 6.6127 6.6395 6.6644
25
35
30
N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1� 20 25 30 35 40 45 50
0.7408 1.3445 1.8365 2.2373 2.5640 2.8302 3.0472 3.2240 3.�680 3.4854 3.6811 3.6591 3.7226 3.7743 3.8165 3.8509 3.8789 3.9018 3.9204 3.9355 3.9783 3.9936 3.9992 4.0011 4.0019 4.0021
0.7408 1.8556 1.8655 2.2886 2.6897 2.9811 3.1728 3.8733 3.1í397 3.6778 3.7923 3.8874 3.9662 4.0317 4.0860 4.1310 4.1684 4.1994 4.2261 4.2465 4.3096 4.3344 4.3442 4.3480 4.3495 4.3501
0.7408 1.8720 1.9096 2.3677 2.7580 . 3.090li 3.3737 3.6150 3.8206 3.9967 4.1450 4.2721 4.3804 4.4726 4.5512 4.6182 4.6753 4.7239 4.7653 4.8005 4.9124 4.9626 4.9852 4.9963 4.9998 5.0019
0.7408 1.4268 2.0621 2.6504 3.1951 3.6996 4.1667 4.5993 4.9999 5.3708 5.7143 6.0324 6.3270 6.5997 6.8523 7.0862 7.3028 7.5034 7.6891 7.8611 8.5481 9.0169 0.3344 9.5613 9.6990 9.7996
0.7408 1.4543 2.1414 2.8031 '3.4404 4.0541 4.6452 5.2144 5.7627 6.2906 6.7991 7.2888 7.7604 8.2146 8.6519 9.0732 9.4789 9.8696 10.2459 10.6082 12.2289 13.5716 14.6840 15.6066 16.3691 17.0016
.
. · ..
0.7408 1.4816 2.2225 2.9633 3.7041 4.4449 5.1857 5.9265 6.6674 7.4082 8.14!10 8.8898 9.6306 10.3716 11.1123 11.8531 12.5939 13.3347 14.0756 14.8164 13.5273 22.2381 25.9490 29.6599 33.3776 37.0953
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�
GRADIENTE GEOM�TRICO CON INTERES CONTINUO r = J
10
12
1:1:1
35% (P/A,r% ,j% ,n)
15
18
20
25
30
0.7047 1.2758 1.7386 2.1136 2.4175 2.6638 2.8634 3.0252 3.1563 3.2625 3.3486 3.4184 3.4749 3.5207 3.5578 3.5879 3.6123 3.6321 3.6481 3.6611 3.6971 3.7098 3.7142 3.7157 3.7162 3.7164
0.7047 1.2907 1.7779 2.1831 2.5200 2.8001 3.0331 3.2268 3.3879 3.5218 3.6332 3.7258 3.8028 3.8668 3.9201 3.9644 4.0012 4.0318 4.0573 4.0784 4.1414 4.1664 4.1763 4.1803 4.1819 4.1825
0.7047 1.3006 1.8045 2.2306 2.5910 2.8957 3.1533 3.3712 3.5555 3.7113 3.8431 3.9545 4.0487 4.1284 4.1957 4.2527 4.3009 4.3416 4.3761 4.4052 4.4958 4.5350 4.5519 4.5592 4.5624 4.5638
0.7047 1.3254 1.8722 2.3538 2.7781 3.1518 3.4810 3.7709 4.0264 3.2513 4.4495 4.6241 4.7779 4.9133 5.0326 5.1367 5.2503 5.3119 5.3837 5.4470 5.6667 5.7832 5.8450 4.8778 5.8952 5.9044
0.7047 1.3502 1.9416 2.4834 2.9797 3.4344 3.8509 4.2325 4.5821 4.9023 5.1956 5.4644 5.7106 5.9361 6.1427 6.3320 6.5054 6.6642 6.8098 6.9431 7.4595 7.7926 8.0079 8.1463 8.2358 8.2935
35
N 1 2 8 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 . 45 50
0.7047 1.2509 1.6744 2.0026 2.2570 2.4542 2.6071 2.7256 2.8174 2.8887 2.9438 2.9866 3.0198 3.0455 3.0654 3.0809 3.0928 3.1021 3.1093 3.1149 3.1287 3.1326 3.1337 3.1340 3.1341 3.1341
0.7047 1.2609 1.6998 2.0463 2.3197 2.5355 2.7059 2.8403 2.9464 3.0301 3.0962 3.1484 3.1895 3.2220 3.2477 3.2679 3.2839 3.2965 3.3065 3.3143 3.3347 3.3410 3.3429 3.3435 3.3436 3.3437
.
.. .
...
0.7047 1.3751 2.0128 2.6196 3.1968 3.7458 4.2682 4.7652 4.2379 5.6877 6.1155 6.5226 6.9098 7.2782 7.6286 7.9620 8.2792 8.5809 8.8680 9.1410 10.3195 11.2378 11.8533 12.5108 12.9453 13.2838
sopuoJ �p sofnld
,. .
•
TABLAS DE FACTORES PARA FLUJOS DE FONDOS
ern-l
(P/A, r%, n)
=
(AfP, r%, n)
=
(FfA, r%, n )
(A/F, r%, n)
rern
rn re ern-l
ern-l =
=
345
r
r_ ern-l
_
•
346 Apéndice C
"! .t
FLUJO DE FONDOS
.:A
l.
t:. ,.,
�
� � 5 �
)
...
r =
.
1%
N
P/A, r%, n
A/P, r%, n
F/A,r%, n
A/F,r%, n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 120 180
0.9950 1.9802 2.9555 3.9210 4.8771 5.8235 6.7606 7.6884 8.6069 9.5163 10.4166 11.3079 12.1905 13.0641 13.9292 14.7856 15.6335 16.4729 17.3041 18.1270 22.1199 25.9182 29.5312 32.9680 36.2372 39.3469 42.3050 45.1189 47.7954 50.3415 52.7633 55.0671 57.2585 59.3430 61.3259 63.2121 69.8806 83.4701
1.0050 0.5050 0.3384 0.2550 0.2050 0.1717 0.1479 0.1301 0.1162 0.1051 0.0960 0.0884 0.0820 0.0765 0.0718 0.0676 0.0640 0.0607 0.0578 0.0552 0.0452 0.0386 0.0339 0.0303 0.0276 0.0254 0.0236 0.0222 0.0209 0.0199 0.0190 0.0182 0.0175 0.0169 0.0163 0.0158 0.0143 0.0120
1.0050 2.0202 3.0455 4.0811 4.1271 6.1836 7.2508 8.3287 9.4174 10.5171 11.6278 12.7497 13.8828 15.0273 16.1834 17.3510 18.5305 19.7217 20.9249 22.1403 28.4025 34.9858 41.9067 49.1624 56.8312 64.8721 73.3253 82.2119 91.5541 101.3752 111.7000 122.5540 133.9647 145.9603 158.5709 171.8281 232.0114 504.9644
0.9950 0.4950 0.3284 0.2450 0.1950 0.1617 0.1379 0.1201 0.1062 0.0951 0.0860 0.0784 0.0720 0.0665 0.0618 0.0576 0.0540 0.0507 0.0478 0.0452 0.0352 0.0286 0.0239 0.0203 0.0176 0.0154 0.0136 0.0122 0.0109 0.0099 0.0090 0.0082 0.0075 0.0069 0.0063 0.0058 0.0043 0.0020
.
.
.
Flujos ile fondos 347
.
.
FLUJO DE FONDOS r = 1.5%
P/A,r% ,n
N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 55 se-65 70 75 80 85 90 95 100 120 180
-
0.9925 1.9703 2.9335 3.8823 4.8171 5.7379 6.6450 7.5386 8.4190 9.2861 10.1404 10.9820 11.8110 12.6277 13.4322 14.2248 15.0056 15.7747 16.5324 17.2788 20.8474 24.1581 27.5376 30.0792 32.7229 35.1756 37.4510 39.5690 41.5205 43.3375 45.0231 46.5870 48.0379 49.3840 50.6328 51.7913 55.6467 62.1863
A/P,r%,n 1.0075 0.5075 0.3409 0.2576 0.2076 0.1743 0.1505 0.1327 0.1188 0.1077 0.0986 0.0911 0.0847 0.0792 0.0744 0.0703 0.0666 0.0634 0.0605 0.0579 0.0480 0.0414 0 0367 0.0332 0.0306 0.0264 0.0267 0.0253 0.0241 0.0231 0.0222 0.0215 0.0208 0.0202 0.0198 0.0193 0.0180 0.0161
F/A,r%, n 1.0075 2.0303 3.0685 4.1224 5.1922 6.2783 7.3807 8.4998 9.6358 10.7889 U.9595 13.1478 14.3541 15.5785 16.8215 18.0833 19.3641 20.6643 21.9841 23.3239 30.3327 37.8875 46.0305 54.8079 64.2688 74.4666 85.4587 97.3068 110.0778 123.8433 138.8809 154.6742 171.9134 190.4949 210.5237 232.1124 336.6428 925.3145
A/F, r%,n 0.9925 0.4925 0.3259 0.2426 0.1926 0.1593 0.1355 0.1177 0.1038 0.0927 0.0836 0.0761 0.0697 0.0642 0.0594 0.0553 0.0516 0.0484 0.0455 0.0429 0.0330 0.0264 0.0217 0.0182 0.0156 0.0134 0.0117 0.0103 0.0091 0.0081 0.0072 0.0065 0.0058 0.0052 0.0048 0.0043 0.0030 0.0011
1
1
348 Apéndice C
'! .t
FLUJO DE FONDOS r =2% N
P/A, r%, n
A/P,r%, n
F/A,r%,n
A/F, r%, n
1 2
0.9901
1.0100
1.0101
0.9900
3
2.9118
4
3.8442
5
4.7581
1.9805
6
5.6540
7
6.5321
8
7.3928
9
8.2365
10
9.0635
11
9.8741
12
10.6686
13
11.4474
14
12.2108
15
12.9591
16
13.6925
17
14.4115
18
15.1162
19 20 25
15.8069 16.4840 19.6734
0.5101 0.3434 0.2601 0�2102 0.1769 0.1531 0.1353 0.1214 0.1103 0.1013 0.0937
0.0662 0.0633 0.0607 0.0508
22.5694
35 40
25.1707 27.5336
0.0397
45
29.6715
50
31.6060
0.0337
55
33.3664
60
34.9403 36.3734
70
37.6702
75
38.8435
80
39.9052
85
40.8668
90
41.7350
95
42.5216
100
43.2332
120
45.4641
180
48.6338
5.2586
0.0443 0.0363 0.0316 0.0300 0.0286 0.0275 0.0265 0.0257 0.0251 0.0245 0.0240 0.0235 0.0231 0.0220 0.0206
0.1902 0.1569
7.5137
0.1331
8.6755
0.1153
9.8608
0.1014
11.0702
0.0903
12.3038
0.0813
13.5624 16.1565
0.0694
0.2401
6.3748
0.0819 0.0730
0.3234
4.1644
14.8465
0.0772
0.4901
3.0918
0.0874
30
65
2.0405
0.0737 0.0674 0.0619
17.4929
0.0572
18.8564
0.0530
20.2474
0.0494
21.6665
0.0462
23.1142 24.5912
0.0433 0.0407 0.0308
32.4380 41.1059
0.0243
50.6876
0.0197
61.2771
0.0163
72.9802
0.0137
85.9141
0.0116
100.2082
0.0100
116.0058
0.0086
133.4647 152.7599 174.0842 197.6515 223.6973 252.4821 284.2944 319.4523 501.1684 1779.9109
0.0075 •
0.0065 0.0067 0.0051 0.0045 0.0040 0.0035 0.0031 0.0020 0.0006
Flujos lle fondos 349
FLUJO DE FONDOS r = 3% N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 120 180
P/A,r%, n 0.9852 1.9412 2.8690 3.7693 4.6431 5.4910 6.3139 7.1124 7.8873 8.6394 9.3692 10.0775 10.7648 11.4318 12.0791 12.7072 13.3168 13.9084 14.4825 15.0396 17.5878 19.7810 21.6687 23.2935 24.6920 25.8957 26.9317 27.8234 28.5909 29.2514 29.8200 30.3094 30.7306 31.0931 31.4052 31.6738 32.4225 33.1828
A/P, r%, n 1.0151 0.5152 0.3486 0.2653 0.2154 0.1821 0.1584 0.1406 0.1268 0.1157 0.1067 0.0992 0.0929 0.0875 0.0828 0.0787 0.0751 0.0719 0.0690 0.0665 0.0569 0.0506 0.0461 0.0429 0.0405 0.0386 0.0371 0.0359 0.0350 0.0342 0.0335 0.0330 0.0325 0.0322 0.0318 0.0316 0.0308 0.0301
F/A,r%,n 1.0152 2.0612 3.1391 4.2499 5.3945 6.5739 7.7893 9.0416 10.3321 11.6619 13.0323 14.4443 15.8994 17.3987 18.9437 20.5358 22.1764 23.8669 25.6089 27.4039 37.2333 48.6534 61.9216 77.3372 95.2475 116.0562 140.2326 168.3214 200.9562 238.8722 282.9249 334.1057 393.5696 462.6570 542.9255 636.1836 1186.6074 7346.8711
A/F.r%,n 0.9851 0.4852 0.3186 0.2353 0.1854 0.1521 0.1284 0.1106 0.0968 0.0857 0.0767 0.0692 0.0629 0.0575 0.0528 0.0487 0.0451 0.0419 0.0390 0.0365 0.0269 0.0206 0.0161 0.0129 0.0105 0.0086 0.0071 0.0059 0.0050 0.0042 0.0035 0.0030 0.0025 0.0022 0.0018 0.0016 0.0008 0.0001
350 Apéndice C
o '! .t
FLUJO DE FONDOS r = 4%
1
'
J ' ' e ,. :; >
N
P/A, r%, n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 120
0.9803 1.9221 2.8270 3.6964 4.5317 5.3344 6.1054 6.8463 7.6581 8.2420 8.8991 9.5304 10.1370 10.7198 11.2797 11.8177 12.3346 12.8312 13.3083 13.7668 15.8030 17.4701 18.8351 19.9526 20.8675 21.6166 22.2299 22.7320 23.1432 23.4797 23.7553 23.9809 24.1657 24.3169 24.4407 24.5421 24.7943
A/P,r%, n
F/A, r%, n
1.0201 0.5203 0.3537 0.2705 0.2207 0.1875 0.1638 0.1461 0.1323 0.1213 0.1124 0.1049 0.0986 0.0933 0.0887 0.0846 0.0811 0.0779 0.0751 0.0726 0.0633 0.0572 0.0531 0.0501 0.0479 0.0463 0.0450 0.0440 0.0432 0.0426 0.0421 0.0417 0.0414 0.0411 0.0409 0.0407 0.0403
1.0203 2.0822 3.1874 4.3378 5.5351 6.7612 8.0782 9.4282 10.8332 12.2956 13.8177 15.4019 17.0507 18.7608 20.5530 22.4120 24.3469 26.3608 28.4569 30.6385 42.9570 58.0029 76.3800 98.8257 126.2411 159.7262 200.6253 250.5793 311.5933 386.1160 477.1377 588.3132 724.1023 889.9553 1092.5288 1339.9524 3012.7583
A/F, r%, n
.
0.9801 0.4803 0.3137 0.2305 0.1807 0.1475 . 0.1238 0.1061 0.0923 0.0813 0.0724 0.0649 0.0586 0.0533 0.0487 0.0446 0.0411 0.0379 0.0351 0.0326 0.0233 0.0172 0.0131 0.0101 0.0079 0.0063 0.0050 0.0040 0.0032 0.0026 0.0021 0.0017 0.0014 0.0011 0.0009 0.0007 0.0003
Flujos de fondos
351
'
.
FLUJO DE FONDOS r = 5% N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 '15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 55 60. 65 70 75 80 85 90 95 100 120
P/A,r%,n 0.9754 1.9033 2.7858 3.6254 4.4240 5.1836 5.9062 6.5936 7.2474 7.8694 8.4610 9.0238 9.5591 10.0683 10.5527 11.0134
A/P, r%, n 1.0252 0.5254 0.3590 0.2758 0.2260 0.1929 0.1693 0.1517 0.1330 0.1271 0.1182 0.1108 0.1046 0.0993 0.0948 0.0908
11.4517 11.8686 12.2652 12.6424 14.2699 15.5374 16.5245 17.2933 17.8920 18.3583 18.7214 19.0043 19.2245
0.0873 0.0843 0.0815 0.0791 0.0701 0.0644 0.0605 0.0578 0.0559 0.0545
19.3961 19.5296 19.6337
0.0516 0.0512 0.0509 0.0507 0.0506 0.0504 0.0503 0.0501
19.7147 19.7778 19.8270 19.8652 19.9504
0.0534 0.0526 0.0520
F/A,r%,n 1.0254 2.1034 3.2367 4.4281 5.6805 6.9972 8.3813 9.8365 11.3662 12.9744 14.6651 16.4424 18.3108 20.2751 22.3400 24.5108 26.7929 29.1921 31.7142 34.3656 49.8068 69.6337 95.0919 127.7810 169.7545 830.6207 292.8523 381.7102 495.8062 642.3083 830.4207 1071.9619 1382.1069 1780.3408 2291.6633 2948.2605 8048.5664
A/F,r%,n 0.9752 0.4754 0.3090 0.2258 0.1760 0.1429 0.1193 0.1017 0.0880 0.0771 0.0682 0.0608 0.0546 0.0493 0.0448 0.0408 0.0373 0.0343 0.0315 0.0291 0.0201 0.0144 0.0105 0.0078 0.0059 0.0045 0.0034 0.0026 0,0020 0.0016 0.0012 0.0009 0.0007 0.0006 0.0004 0.0003 0.0001
•
352 Apéndice C
FLUJO DE FONDOS r = 8% N
�
,,
�
� 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 55
P/A,r%,n 0.9610 1.8482 2.6672 3.4231 4.1210 4.7652 5.3599 5.9088 6.4156 6.8834 7.3152 -7.7138 8.0818 8.4215 8.7351 9.0245 9.2917 9.5384 9.7661 9.9763 10.8083 11.3660 11.7399 11.9905 12.1585 12.2711 12.3465
�
1.0405 0.5411 0.3749 0.2921 0.2427 0.2099 0.1866 0.1692 0.1559 0.1453 0.1367 0.1296 0.1237 0.1187 0.1145 0.1108 0.1076 0.1048 0.1024 0.1002 0.0925 0.0880 0.0852 0.0834 0.0822 0.0815 0.0810
A/F,r%,n
F/A,r%,n 1.0411 2.1689 3.3906 4.7141 6.1478 7.7009 9.3834 11.2060 13.1804 15.3193 17.6362 20.1462 22.8652 25.8106 29.0014 32.4580 36.2024
.
.�
0.9605 0.4611 0.2949 0.2121 0.1627 0.1299 0.1066 0.0892 0.0759 0.0653 0.0567 0.0496 0.0437 0.0387 0.0345 0.0308
40.2587
0.02'16 0.0248
44.6528 49.4129 79.8631 125.2895 193.0580 294.1562 444.9771 669.9763 1005.6345
0.0224 0.0202 0.0125 0.0080 0.0052 0.0034 0.0022 0.0015 0.0010
FLUJO DE FONDOS r = 10%
e:
�
A/P,r%,n
N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 55
P/A,r%,n 0.9516 1.8127 2.5918 3.2968 3.9347 4.5119 5.0341 5.5067 5.9343 6.3212 6.6713 6.9881 7.2747 7.5340 7.7687 7.981'0 8.1732 8.3470 8.5043 8.6466 9.1792 9.5021 9.6980 9.8168 9.8889 9.9326 9.9591
A/P, r%, n 1.0508 0.5517 0.3858 0.3033 0.2541 0.2216 0.1986 0.1816 0.1685 0.1582 0.1499 0.1431 0.1375 0.1327 0.1287 0.1253 0.1224 0.1198 0.1176 0.1157 0.1089 0.1052 0.1031 0.1019 0.1011 0.1007 0.1004
F/A,r%, n 1.0517 2.2140 3.4966 4.9182 6.4872 8.2212 10.1375 12.2554 14.5960 17.1828 20.0416 23.2011 26.6929 30.5520 34.8168 39.5303 44.7394 50.4964 56.8589 63.8905 111.8249 190.8550 321.1536 535.9807 890.1699 1474.1292 2436.9131
A/F,r%,n 0.9508 0.4517 0.2858
.
0.2033 0.1541 0.1216 0.0986 0.0816 0.0685 0.0582 0.0499 0.0431 0.0375 0.0327 0.0287 0.0253 0.0224 0.0198 0.0176 0.0157 0.0089 0.0052 0.0031 0.0019 0.0011 0.0007 0.0004
Flujos de fondos 353
FLUJO DE FONDOS r = 12% P/A,r%, n
N
A/P,r%, n
F/A,r%, n
A/F,r%,n
1
0.9423
1.0612
1.0625
0.9412
2
1.7781
0.5624
2.2604
0.4424
3
2.5194
0.3969
3.61!1
0.2769
4
3.1766
0.3148
5.1339
0.1948
5
3.7599
0.2660
6.8510
0.1460
6
4.2771
0.2336
8.7869
0.1138
7
4.7357
0.2112
10.9697
0.0912
8
5.1420
0.1945
13.4308
0.0745
9
5.5034
0.1817
10
5.8234
0.1717
16.2056 19.3343
0.0617 0.0517
11
6.1072
0.1637
22.8618
0.0437
12
6.3589
0.1573
26.8391
0.0373
13
6.5822
0.1519
31.3235
0.0319
14
6.7802
0.1475
36.3796
0.0275
15
6.9558
0.1438
42.0803
0.0238
16
7.1116
0.1406
48.5079
0.0206
17
7.2498
0.1379
55.7550
0.0179
18
7.3723
0.1356
63.9261
0.0156
19
7.4810
0.1337
73.1389
0.0137
20
7.5774
0.1320
83.5264
7.9184
0.0120
25
0.1263
159.0459
0.0063
30
8.1056
0.1234
296.6511
0.0034 0.0018
35
8.2084
0.1218
547.3850
40
8.2648
0.1210
1004.2510
0.0010
45
8.2957
0.1205
1836.7148
0.0005
50
8.3127
0.1203
3353.5659
0.0003
55
8.3220
0.1202
6117.4414
0.0002
FLUJO DE FONDOS r = 15% N 1
P/A,r%,n
A/P,r%,n
F/A, r%,n
A/F,r%,n
0.9286
1.0769
1.0789
0.9269
2
1.7279
0.5787
2.3324
0.4287
3
2.4158
0.4139
3.7887
0.2639
4
3.0079
0.3325
5.4808
0.1825
5
3.6176
0.2843
7.4467
0.1343
6
3.9562
0.2528
9.7307
0.1028
7
4.3337
0.2307
12.3843
0.0807
8
4.6587
0.2147
16.4674
0.0647.
9
4.9384
0.2026
19.0495
0.0526
10
5.1791
0.1931
23.2112
0.0431
11
6.3863
0.1857
28.0465
0.0357
12
5.5647
0.1797
33.6643
0.0297
13
5.7182
0.1749
40.1912
0.0249
14
5.8503
0.1709
47.7744
0.0209
15
5.9640
0.1677
56.5849
0.0177
16
6.0619
0.1650
66.8212
0.0150
17
6.1461
0.1627
78.7140
0.0127
18
6.2186
0.1608
92.5314
0.0108
19
6.2810
0.1592
108.5851
0.0092
20
6.3348
0.1579
127.2367
0.0079
25
6.5099
0.1536
276.8069
0.0036
30
6.5926
0.1517
593.4470
0.0017
35
6.6317
0.1508
1263.7739
0.0008
40
6.6601
0.1504
2682.8567
0.0004
45
6.6589
0.1502
5687.0469
0.0002
50
6.6630
0.1501
12046.9256
0.0001
354
Apéndice C
FLUJO DE FONDOS r = 18% N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45
P/A,r%,n 0.9152 1.6796 2.3181 2.8514 3.2968 3.6689 3.9797 4.2393 4.4561 4.6372 4.7885 4.9149 5.0204 5.1086 5.1822 5.2437 5.2951 5.3380 5.3738 5.4038 5.4938 5.5305 5.5454 5.5514 5.5539
A/P, r%, n 1.0927 0.5954 0.4314 0.3507 0.3033 0.2726 0.2513 0.2359 0.2244 0.2156 0.2088 0.2035 0.1992 0.1957 0.1930 0.1907 0.1889 0.1873 0.1861 0.1851 0.1820 0.1808 0.1803 0.1801 0.1801
F/A.r%, n 1.0956 2.4074 3.9778 5.8580 6.1089 10.8038 14.0301 17.8927 22.5171 28.0536 34.6819 42.6174 52.1180 63.4921 77.1095 93.4126 112.9307 136.2983 164.2743 197.7677 494.5388 1224.4775 3019.8372 7435.7109 18297.0039
A/F, r%, n •
,l
0.9127 0.4154 0.2514 0.1707 0.1233 0.0926 0.0713 0.0559 0.0444 0.0356 0.0288 0.0235 0.0192 0.0157 0.0130 0.0107 0.0089 0.0073 0.0061 0.0051 0.0020 0.0008 0.0003 0.0001 0.0001
FLUJO DE FONDOSr= 19% N 1 2 3 4 5 6' 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40
P/A,r%,n 0.9107 1.6639 2.2367 2.8018 3.2277 3.5799 3.8712 4.1120 3.3112 4.4760 4.6122 4.7248 4.8180 4.8950 4.9587 5.011:4, 5.0550 5.0910 5.1208 5.1454 5.2176 5.2455 5.2563 5.2605
A/P,r%, n 1.0980 0.6010 0.4373 0.3569 0.3098 0.2793 0.2583 0.2432 0.2320 0.2234 0.2168 0.2116 0.2076 0.2043 0.2017 0.1995 0.1978 0.1964 0.1953 0.1943 0.1917 0.1906 0.1902 0.1901
F/A,r %, n 1.1013 2.4331 4.0435 5.9909 8.3458 11.1935 14.6371 18.8012 23.8366 29.9257 37.2890 46.1930 56.9602 69.9805 85.7251 104.7644 127.7876 155.6293 189.2949 230.0061 603.0745 1567.7231 4062.0208 10511.5508
A/F. r%, n
.
0.9080 0.4110 0.2473 0.1669 0.1198 0.0893 0.0683 0.0532 0.0420 0.0334 0.0268 0.0216 0.0176 0.0143 0.0117 0.0095 0.0078 0.0064 0.0053 0.0043 0.0017 0.0006 0.0002 0.0001
Flujos de fondos 355
FLUJO DE FONDOS r = 20% N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40
P/A, r%,n 0.9063 1.6484 2.2559 2.7534 3.1606 3.4940 3.7670 3.9905 4.1735 4.3233 4.4460 4.5464 4.6386 4.6960 4.7511 4.7962 4.8331 4.8634 4.8881 4.9084 4.9663 4.9376 4.9954 4.9983
A/P,r%,n 1.1033 0.6066 0.4433 0.3632 0.3164 0.2862 0.2655 0.2506 0.2396 0.2313 0.2249 0.2200 0.2160 0.2129 0.2105 0.2085 0.2069 0.2056 0.2046 0.2037 0.2014 0.2005 0.2002 0.2001
FLUJO DE FONDOS r
F/A,r%,n
A/F, r%,n
-
1.1070 2.4591 4.1106 6.1277 8.5914 11.6006 15.2760 19.7651 25.2482 31.9452 40.1251 50.1159 62.3186 77.2232 95.4276 117.6627 144.8205 177.9911 218.5056 267.9905 737.0649 2012.1423 5478.1602 14899.7734
=
0.9033 0.4066 0.2433 0.1632 0.1164 0.0862 0.0655 0.0506 0.0396 0.0313 0.0249 0.0200 0.0160 0.0129 0.0105 0.0085 0.0069 0.0056 0.0046 0.0037 0.0014 0.0005 0.0002 0.0001
21%
N
PiA,r% ,n
A/P,r% ,n
F/A,r% ,n
1 2 3 4 5 6 7 8· 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40
0.9020 1.6331 2.2258 2.7061 3.0955 3.4112 3.6670 3.8744 4.0425 4.1788 4.2892 4.3788 4.4513 4.5102 4.5578 4.5965 4.6278 4.6532 4.6738 4.6905 4.7369 4.7532 4.7588 4.7608
1.1087 0.6123 0.4493 0.3695 0.3230 0.2932 0.2727 0.2581 0.2474 0.2393 0.2331 0.2284 0.2247 0.2217 0.2194 0.2176 0.2161 0.2149 0.2140 0.2132 0.2111 0.2104 0.2101 0.2100
1.1128 2.4855 4�1791 6.2684 8.8459 12.0258 15.9487 20.7883 26.7589 34.1246 43.2115 54.4219 68.2518 85.3135 106.3622 132.3295 164.3646 203.8857 252.8420 312.7915 902.6956 2588.4360 7405.6836 21171.7266
A/F,r%,n 0.8987 0.4023 0.2393 0.1595 0.1130 0.0832 0.0627 0.0481 0.0374 0.0293 0.0231 0.0184 0.0147 0.0117 0.0094 0.0076 0.0061 0.0049 0.0040 0.0032 0.0011 0.0004 0.0001 0.0000
356
�péndice
e
FLUJO DE FONDOS N
P/A, r%, n
A/P, r%, n
r=
22%
F/A, r%, n
A/F, r%, n
1
0.8976
1.1140
1.1165
2
1.6180
0.6180
2.5123
0.3980
3
0.4553
4.2491
0.2353
4
2.1961 2.6601
0.3759
6.4132
5
3.0324
0.1659
0.3298
6
3.3312
9.1098
0.1098
0.3002
7
3.5710
12.4701
0.0802
0.2800
8
3.7634
16.6572
0.0600
0.2657
9
3.9179
21.8747
0.0457
0.2552
28.3761
0.0352
36.4773
0.0274
•
,.0.8940
10
4.041 8
0.2474
11
4.1413
0.2415
46.5720
12
0.0215
4.2211
0.2369
0.0169 .
13
4.2851
59.1509
0.2334
74.8250
14
4.3365
0.0134
0.2306
94.3563
0.0106 0.0084
15
4.3778
0.2284
16
118.6938
4.4109
0.2267
17
149.0201
4.4375
0.0067
0.2254
186.8089
0.0054 0.0043
18
4.4588
0.2243
19
4.4759
233.8967
0.2334
20
4.4896
292.5718
0.0034
0.2227
365.6853
0.0027 0.0009
26
4.5269
0.2209
30
1107.6895
4.6393
0.2203
35
4.5434
3336.7913
0.0003
0.2201
10033.3867
0.0001
FLUJO DE FONDOS N
P/A, r%, n
A/P, r%,n
r=
23%
F/A, r%, n
A/F, r%, n
1
0.8933
2
1.6031
1.1194 0.3434
3
2.1671
2.5395
0.4615
0.3938
4.3205
0.2315
6.5621
4
2.6161
5 6
0.3824
2.9711
0.3366
7
3.4788
8
0.2875.
3.6573
0.2734
3.2540
0.3073
9
3.7992
0.2632
10
3.9119
0.2556
11
4.0015
12
0.2499
4.0726
0.2455
1.1243
9.3834
0.8894
0.1624 •
0.1066
12.9343
0.0773
17.4035
0.0575
23..0284
0.0434
30.1079
0.0332
39.0181
0.0256
50.2326
0.0199
64.3471
0.0115
13
4.1292
14
0.24 �2
4.1741
82.1116
0.2396
0.0122
104.4700
0.0096
132.6102
0.0075
168.0277
0.0060
212.6039
0.0047
268.7075
0.0037
339.3198
0.0029
428.1919
0.0023
15
4.2098
16
0.2375
4.2382
17
4.2607
0.2360
18
4.2786
19
4.2928
20
4.3041
25
4.3340
30
0.2307
4.3434
1361.6956
0.2303
0.0007
35
4.3464
0.2301
4309.8828
0.0002
13620.8242
0.0001
0.2347 0.2337 0.2329 0.2323
Flujos de fondos 357
FLUJO DE FONDOS N
p¡A, r%,
n
A/P, r%,
n
r
=24%
F/A, r%,
n
A/F, r%,
n
1
0.8891
1.1248
1.1302
0.8848
2
1.5884
0.6296
2.5670
0.3896
3
2.1385
0.4676
4.3935
0.22'76
4
2.5713
0.3889
6.7154
0.1489
5
2.9117
0.6238
9.6671
0.1034
6
3.1795
0.3145
13.4196
0.0745
7
3.3901
0.2950
18.1898
0.0550
8
3.5558
0.2812
24.2540
0.0412
9
3.6861
0.2713
31.9630
0.0313
10
3.7887
0.2639
41.7632
0.0239
11
3.8693
0.2584
54.2216
0.0184
12
3.9328
0.2543
70.0594
0.0143
13
3.9827
0.2511
90.1932
0.0111
14
4.0219
0.2486
115.7882
0.0086
15
4.0528
0.2467
148.3258
0.0067
16
4.0771
0.2453
189.6893
0.0053
17
4.0962
0.2441
242.2726
0.0041
18
4.1113
0.2432
309.1189
0.0032
19
4.1231
0.2425
394.0972
0.0025
20
4.1324
0.2420
502.1257
0.0020
25
4.1563
0.2406 .
1676.7834
30
4.1636
0.2402
5576.7812
0.0006 0.0002
35
4.1657
0.2401
8525.2305
0.0001
FLUJO DE FONDOS r = 25% N
P/A, r%,
n
A/P, r%,
n
F/A, r%,
n
A/F, r%,
n
1
0.8848
1.1302
1.1361
0.8802
2
1.5739
0.6354
2.5949
0.3854
3
2.1105
0.4738
4.4680
0.2238
4
2.5285
0.3955
6.8731
0.1455
5
2.8540
0.3504
9.9614
0.1004
6
3.1075
0.3218
13.9268
0.0718
7
3.3049
0.3026
19.0184
0.0526
8
3.4587
0.2891
25.5562
0.0391'
9
3.5784
0.2795
33.9509
0.0295
10
3.6717
0.2724
44.7300
0.0224
11
3.7443
0.2671
58.5705
0.0171
12
3.8009
0.2631
76.3422
0.0131
13
3.8449
0.2601
99.1614
0.0101
14
3.8792
0.2578
128.4618
0.0078
15
3.9059
0.2560
166.0844
0.0060
16
3.9267
0.2547
214.3926
0.0047
17
3;9429
0.2536
276.4216
0.0036
18
3.9556
0.2528
356.0684
0.0028
19
3.9654
0.2522
458.3372
0.0022
20
3,9730
0.2517
589.6526
0.0017
25
3.9923
0.2505
2068.0518
0.0005
30
3.9978
0.2501
7228.1680
0.0001
35
3.9994
0.2600
25238.7500
0.0000
358
Apéndice C
FLUJO DE FONDOS r N 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
13
14 15
16
17 18 19
20 25 30
P/A,r%,n 0.8806 1.5595 2.0831 2.4867
2.7980 3.0379
3.2230 3.3657
3.4757
3.5605
3.6259 3.6763
3.7152
3.7452 3.7683
3.7861 3.7999
3.8105
3.8186
3.8249
3.8404 3.8446
A/P, r%, n 1.1356
1
2
3
4
5 6
7
8
9
10
11 12
13
14
15
16
17 18 19
20
25 30
P/A, r%, n 0.8754 1.5454
2.6232
0.4801
4.5441
0.4021
7.0354
0.3574
10.2665
0.3292
14.4570
0.3103
19.8918
0.2971
26.9403
0.2877
36.0816
109.1182
0.2654
186.1632
0.2641
242.5828
0.2632
315.7546
0.2624
410.6538
0.2619
533.7314
0.2614
693.3545
0.2604
2654.3889
0.2601
9333.0742
AIP,r%, n 1.1411
3.6870
3.6994
3.7026
F/A, r%, n
4.6219
0.3366
0.3180
90.8656
0.2783
120.1787 158.5779
208.8793
0.2736
274.7725 361.0901
0.2721
474.1633
0.2716
622.2852
0.2712
816.3196
0.2703
3169.4736
0.2701
12198.0234
•
0.0041 0.0032
0.0024
0.0019 d.0014
0.0004
0.0001
A/F, r%, n 0.8711 0.3771 0.2164
0.0352
68.4886
0.2763
0.0070
0.0054
28.4116
61.4064
0.2810
0.0092
0.1388 '0.0945 0.0666
38.3662
0.2895
0.0158
7.2025 10.5831 15.0114
20.8125
0.3052
0.2728
3.6818
0.0277
27%
2.6519
0.4088
3.6661
=
1.1480
0.6471
0.2748
3.6750
0.0371
142.6608
63.3135
0.2692
3.6392 3.6544
0.0503
0.2670
0.2846
3.6192
0.0692
0.0120
3.5137 3.5930
0.0974
83.2553
0.2961
3.5587
0.1421
0.2720
0.2758
3.3776
3.4548
0.3812 0.2201
0.0209
0.3645
3.2766
• • 0.8756
47.9374
2.7436
3.1442
A/F,r%, n
0.2809
0.4864
2.9707
1.1420
.
0.6412
2.0561
2.4459
26%
F/A, r%, n
FLUJO DE FONDOS r N
=
0.0480
0.0261
0.0195 0.0146
O.OllO 0.0083 0.0063
0.0048 0.0036
0.0028
0.0021 0.0016
0.0012 0.0003
0.0001
·
Flujos de fondos 359
FLUJO DE FONDOS r P/A, r%,
N
A/P, r%,
n
1
0.8722
2
1.1465
1.5314
0.6530
2.0296
0.4927
3 4
2.4061
6
7
8
•
0.3134
29.9762
3.3542
0.2581
11
12
3.4073
0.2935
3.4474
0.2901
13
3.4777
0.2875
3.5006
0.2857
14 15
16 17 18
3.5540
25
3.5682
30
1 2 3 4 5 6 7
8 9
10
11
12
13
14
16 16
17 18
19 20
25
30
PIA, r%, 0.8681 1.5176 2.0036 2.3673 2.6394 2.8430 2.9954 3.1094 3.1947
3.2585 3.3063
3.3420 3.3688 3.3888
3.4038
3.4150
3.4234 3.4296 3.4343
3.4378 3.4468
3.4477
1.1520 0.4991 0.4224 0.3789 0.3517 0.3338 0.3216
0.0032
413.3779
0.0024
548.1067
0.0018
962.2366
0.0014 0.0010 0.0003
726.3701
3912.9719
0.2801
0.6589
0.0057 0.0043
311.5522
0.2803
MP, ,..%,
0.0075
234.5938
0.2810
n
0.0101
176.4300
15878.7930
FLUJO DE FONDOS r N
0.0135
132.4708
0.2814
3.5706
0.0181
99.2471
0.2818
3.5582
0.0334
0.0245
55.1594
0.2824
3.5483
0.0459
74.1371
0.2832
3.5408
0.0916 0.0641
40.8164
0.2843
3.5310
0.1356
21.7833
0.3045
3.5179
19
20
7.3745
3.1912
10
0.2127
10.9114
3.0684 3.2841
0.3730
4.7013
15.5913
n
=
0.0001
29% F/A, r%,
n
� 2. 7105
4.7824 7.5515
11.2521
16.1977
22.8072 31.6402
A/F, r%,
n
0.8620
0.3689
0.2091 0.1324 0.0889
0.0617 0.0438 0.0316
0.3130
43.4450
0.0230
0.3025
80.3049
0.0125
146.1381
0.0068
0.3069 0.2992
0.2968
0.2951
0.2938 0.2928 0.2921 0.2916 0.2912
69.2211
108.4817
196.4630 263.7185 363.6008 473.7222 634.2554
848.7964
0.0169 0.0092
0.0051 0.0038
0.0028 0.0021 0.0016 0.0012
0.2909
1135.5149
0.0009
0.2900
20696.2305
0.0000
0.2902
•
4852.0781
n
0.8665
2.6810
0.3441 3.2659
9
A /F , r %,
n
1.1540
0.3716
2.9058
28%
F/A, r%,
n
0.4156
2.6907
5
=
0.0002
• .
360 Apéndice C
FLUJO DE FONDOS r p¡A, r%,
N
1 2
n
AJP, r%,
30%
=
F!A, r%,
n
n
A!F, r%,
n
0.8639
1.1575
1.1662
1.5040
0.6649
2.7404
.0.8575 0.3649
•
•
3
1.9781
0.5055
4.8653
0.2055
4
2.3294
0.4293
7.7337
0.1293
2.5896
0.3862
11.6056
0.0862
2.7823
0.3594
16.8321
7
2.9251
0.3419
23.8872
0.0419
8
3.0309
0.3299
33.4106
0.0299
9
3.1093
0.3216
46.2657
0.0216
1()
3.1674
0.3157
63.6184
0.0157
11
3.2104
0.3115
87.0421
0.0115
12
3.2423 3.2859
0.3084
118.6608
0.0084
13
0.3062
161.3413
0.0062
14
3.2833
0.3046
218.9542
0.0046
15
3.2963
0.3034
296.7234
0.0034
16
3.3059
0.3025
401.7009
0.0025
17
3.3130
0.3018
543.4055
0.0018
18
3.3183
0.3014
734.6870
0.0014
19
3.3222
0.3010
0.0010
3.3251
992.8899
20
0.3007
1341.4282
0.0007
25
3.3315
0.3002
6023.4609
0.0002
30
3.3329
0.3000
27006.9023
0.0000
5 6
FLUJO DE FONDOS r N
P/A, r%,
n
A/P, r%,
=
35%
F/A, r%,
n
0.0594
n
A/F, r%,
n
1
0.8437
1.1852
1.1973
0.8352
2
1.4383
0.6953
2.8964
0.3453
3
1.8573
0.5384
5.3076
0.1884
4
2.1526
0.4646
8.7291
0.1146
5
2.3606
0.4236
13.5846
0.0736
6
2.5073
0.3988
20.4747
7
2.6106
0.3831
30.25�
8 9
2.6834
0.3727
44.1275
0.0227
2.7547
0.3657
63.8173
0.0157
10
2.7709
0.3609
91.7583
0.0109
11
2.7963
0.3576
131.4087
0.0076 0.0053
0.0488 •
0.0331
12
2.8143
0.3553
187.6750
13
2.8270
0.3537
267.5210
0.0037
14
2.8359
0.3526
380.8274
0.0026
15
2.8421
0.3518
541.6174
0.0018
16 17
2.8466
0.3513
769.7893
0.0013
2.8497
0.3509
1093.5798
0.0009
18
2.8519
0.3506
1553.0615
0.0006
19
2.8534
0.3505
2205.0950
0.0005
20
2.8645
0.3503
3130.3777
25
2.8567
0.3501
16027.6680
0.0003 0.0001
•
Flujos de fondos 361 FLUJO DE FONDOS r N
PtA. r%,
n
A/P, r%,
n
=
40%
F/A, r%,
n
A/F, r%,
n
0.8133
1
0.8242
1.2133
1.2296
2
1.3767
0.7264
3.0639
0.3264
3
1.7470
0.5724
5.8003
0.1724
4
1.9953
0.5012
9.8826
0.1012
5
2.1617
0.4626
15.9726
0.0626
6
2.2732
0.4399
25.0579
0.0399
7
2.3480
0.4259
38.6116
0.0259
8
2.3981
0.4170
58.8313
0.0170
9
2.4317
0.4112
88.9955
0.0112
10
2.4542
0.4075
133.9953
0.0075
11
2.4693
0.4050
201.1271
0.0050
12
2.4794
0.4033
301.2756
0.0033
2.4862
0.4022
460.6799
0.0022
14
2.4908
0.4015
673.5657
0.0015
15
2.4938
0.4010
1006.0710
0.0010
16
2.4958
0.4007
1502.1118
0.0007
17
2.4972
0.4004
2242.1167
0.0004
18
2.4981
0.4003
3346.0730
0.0003
19
2.4987
0.4002
4992.9844
0.0002
20
2.4992
0.4001
7449.8867
0.0001
13
.
,...
1
: Soluciones a problemas 365 SOLUCIONES A PROBLEMAS DEL CAPITUW 2
_./l. t/ 2. ./3.
$
13,561.66
$
6,209.00
21.
$
2,320.00' _ 6,647.52
22.
$
17,095.38
23.
$
1,440.00
S años
24.
$
28,215.00
?8,932 .42,-otfi ¿:
25.
$
63,080.00
n
(1+;)
15%
-../4.,
....
Anualidad Mensualidad
s
S. 6. a) $ b) $
�
7
$ -
...-12.
= =
$71,995 5,715
26.
8,308.40
30,525.50 275,819.26
$
7,508.50
a) b) e) á)
27. a)
3
�
14.
•
•
�--
.·
.,.
�J.2S añ�
15. 16.
l.,364.Sl
$
$ -
2,186.95 4
17.
") .J
1
+
¡2(1+l)'l-1
1
_
(1+iJ""
(1+i)x- 1 e-nr -1 + , (e'-1)(1 -e) e'-1 n
--
.
3,807.60
$
. ·'
n 1-e-nr b)- + r(e-r -1)· r
t
)6
r
(1+onx-1
28. a)
6,135.51'
:
(1+,� - 1
b)
18% 18.81% 19.56% 19.72% $
i- --¡r,1-
�
a) $ b) $
r/ 10.
� 11.
•
$
.
il"8. ¡}(9.
�-
1-e-nxr 29. a)-¿cr -1
-
18.32%
18.
27.8% _.--'
19.
3.285% mensual
enxr -1
b)
30. a)
··
e'" -1 1
(1+;:f-::1
b)
n ---
(1+ onx-1
n --exr -1 enxr-1 1
--
SOLUCIONES A PROBLEMAS DEL CAPITULO 3
l. 2.
Rentar automóviles
6.
so% 70% so% 90%
No comprar torno
3. a) Cortadora U.S.A. 2 b) 3,531.176 m /año
4. 5.
343,620 Máquina tipo 1
Razón de ocupación
7.
Motor X
8.
Máquina A
De cisión �No construir No construir No construir Sí construir
J
•
1 366
.JJ
,,tl
)
Apéndice D Arrendar
11.
Sistema actual con la pequeña computadora
Arrendar el equipo
12.
No hacer nada
9. 10.
SOLUCIONES A PROBLEMAS DEL CAPITULO 4 .
l.
8,655.60
2. 3.
83,
4. S.
1
1
t ••
6.
621,930
Rechazado
7.
298,099
�;2]1
8.
Alternativa A
9.
166,666,000
(
Comprar 2 compresores tipo 1
, 1O. Sí conviene reparar la máquina
Bomba nueva
SOLUCIONES A PROBLEMAS DEL CAPITULO S
l.
22.2%
1O.
2.
27%
11.
Alternativa D Inversión mixta
RC/=4S.13% 3.
8.14% 12.
4. Compresor B
(!}
RC/=60.33%
_D .3
S. TIRB-A - -3 5¡ 6.
TIRB-A =12.81%
7.
Arrendar la copiadora
8.
$0.651
9.
14.32%
13.
14. Inversión mixta RC/=393.34% 1S.
VPN = 1 VPN11 =
74 77
2.
$660,000
1\
3.
a) VAEuSA
4. S.
�
6.
VAEAL
�
96,416
i �.
/
=-427,60(}
E =-413,070 2
¡.
·�.,'/· • • X , Máquina l. , ' '
6,709,411.8 m
11R = .
'..,
Inversión p�
TIR =216.31%
I_:_ �AS DE
b)
Inversión pura
TIR =62.S9%
SOLUCIONES A PROB E
l.
Inversión mixta
./ 52.9% fJ
,·· 11R = 256.2.3% ,.
)
/.
CAPITULO 6
�
/:
Arrendar
\.:) 8.
uipo actual +pequeña computadora..
J
�• n� 'VPN,.-2 � VPN -� 10/ NINGUNA VIW21...:-· � 11.1/ VPN= 128,96�,500.� n�7 .../. 9
12.
1
_;��
•
VPN1 =- VPN 1 VPN2 =- VPN2 '
.
= -2,700,354 2,679,160
=-
)
Solucionestz problemas 367
SOLUCIONES A PROBLEMAS DEL CAPITULO 7 l.
2 años
7.
2.
10 años
8.
4 años
9.
3 años
3.
a) 8 años con activo.actual b) -1.91%
4.
TIR
=
11.25%: (Permanecer con la má
10.
•quina actual y comprar·
VPNmc
6.
VPNINC
=
-
año con activo actDal. se
per
3ro. En' el año 5 vender el activo y adquirir
132,35 8: (Continuar con
- 146,197:
un
2do. En el año lro. vender actiYo actual y manecerá 4 ai'ios.
uno nuevo.
máquina actual)
=
lo. Durar
(Continuar con máquina ac tual)
comprar un nuevo con el cual
.otra adicional ) S.
VPNINC = -497,600:
'
(Continuar con las cintas magné ticas actuales)
SOLUCIONES A PROBLEMAS..DELCAPITULO 8 8.
l.
960 alternativas
2.
Aceptar A, e y D. Rechazar B
3.
Aceptar B y rechazar A , e y D
4.
Aceptar A y C. Rechazar B
S.
Aceptar e y D. Rechazar A y B
. 6. 7.
Aceptar A1 Bz Y
Aceptar D¡4, D11• D32 Y D41
a) b) e)
Aceptar A2,B2 Y e,
a) b) e)
AceptarA,,B, ye,
Aceptar D4 1 Y D21 Aceptar D11 Y D14
d) Aceptar D11 � D14
9.
Aceptar C RechazarA, B y D
a) b) e)
a) b) e)
10.
e,
Aceptar Az, B2 Y e, Aceptar A1 y B 1
Aceptar Al• Bz Y e, Aceptar A1 Y B1
Aceptar A l• B1 ye, Aceptar A10 B1 ye1
SOLUCIONES A PROBLEMAS DEL CAPITULO 9 l.
7.
Sin inflación TIR = 18 .26% b) Con inflación TIR = 14.14%
a)
..
·5 % de inflación TIR = 16.6%
2.
Rechazar ei proyecto
8.
10%de inflación TIR = 15..,23%
VPN(25%) =75,161,000 Por lo· tanto: Aceptar el proyecto .
15%de inflación TJR = 14.14% 20%de inflación TIR = 13.17%
3. 4.
TJR =14.73% �
Seleccionar máquina 1
S.
Seleccionar máquina 1
6.
TIR =7.24%
9-.
p
10.
a) TIR = 8.4S% b) TIR =1.8% e ) TIR =18 .5% a) b)
Con 20%de infla ción Con inflación düerencial
. TIR =25.10% TIR =21.S4%
(
SOLUCIONES A PROBLEMAS DEL CAPITULO 10 l.
44.58%
2.
41.72%
../'"
368 Apéndice D Y. a) Sin inflación = 18.37% b) Con inflación= 2.94%
40.23%
3.
4. a) Sin inflación = 1 1.68% b) Con inflación= 6.94%
3.71% 10. a) Sin inflación = b) Con inflación= -12.15%
5. a) Sin inflación = 10.859% b) Con inflación= -6.02%
11.
4.79%
-8.36%
12.
7.25%
- 6.89%
13.
Cuando menos 16.5%
6.
- 4.21%
7. 8.
.
.�
SOLUCIONES A PROBLEMAS DEL CAPtTULO 11
l. a) Ingresos de 40 millones anuales TIR=10.i6% Costo de capital= 4.06% Por lo tanto sí se acepta
b) Ingresos de 30 millones anuales TJR=4.28% Costo de capital = 4.06%
TIR=4.81%
2.
Costo de capital= -4.214% Por lo tanto se acepta el proyecto
TIR=5.491ló
3.
Costo de capital= -8.34% l?or lo tanto se acepta el proyecto
Por lo tanto sí se acepta
SOLUCIONES A PROBLEMAS DEL CAPITULO 12
l.
TIR proyecto = 5.909% TIR combinado = 5.1459%
2. a) Pedir prestado b) Proporción pasivo 20% 40% 60% 80% 90%
3. a) La cantidad máxima a pagar son $219,840,000 b) El rendimiento sobre capital contable es 42.36%
TIR 16.47% 18.34% 21.88% 30.96% 45.04%
SOLUCIONES A PROBLEMAS DEL CAPITULO 13
l.
TIR esperada= 17.81%
2. P=231,125 X -363,692 Donde P=Inversión inicial X =Homs restadas/día
4.
Rango
(-oo, 17.4%) (17.4%,oo)
Mejor alternativa
e A
3. P=1.8022 X -216,273 Donde P =Inversión inicial X = Km rentados/año SOLUCIONES A PROBLEMAS DEL CAPITULO 14
l. a) Construir planta chica b) Existe más riesgo al construir la planta grande
2.
.......
Decisión: Permanecer igual durante 5 años más
3. a) Disminuir el precio de venta b) Existe más riesgo al mantener el precio y _.-aumentar Jos gastos de publicidad
Solucione� a problemas 369 SOLUCIONES A PROBLEMAS DEL CAPITULO IS
l.
0.3
6.
Rechazar.el proyecto P (VPN>O) =0.0001
2.
0.25
7.
Intereses
3.
0.31S
4. S.
Aceptar el proyecto Intereses
Dist. acumulada TIR
20%
0.0009
30%
0.2743
40%
0.9147
so%
0.9982S
,
20%
0.9981
30%
0.9999
40%
l.O
so%
1.0
8.
0.0000207
9.
0.00004063
10.
Dist. acumulada TIR
. .�
0.9678
""'
, .
.
..\
LIBROS DE TEXTO
THUESEN,Fabrycky ; Thuesen, Engineering Ecorwmy, 5a. ed. Prentice-HaD, 1971. ·'
WIUTE, Agee Case, Principies o[ Engineering Economic Analysis, 1a ed., Jonh Wiley & Sons, 1977. CANADA, John R., Intermediare Ecorwmic Analysis [or Management and Engineering, Prentice-Hall, 1971. RIGGS, James L.,Engineering Economics, McGraw-Hill, 1977. F ABRYCKY,Thuesen,Economic Decision Analysis, Prentice-Hall,1974.
BARISH, Kaplan, Economic Analysis [or Engineering and Managerial Decision Making, 2a. ed., McGraw-Hill, 1978. GRANT, Ireson,Principies of Engineering Economy, 6a. ed., Ronald, 1977. OAKFORD, Robert, Capital Budgeting, Ronald, 1970. TARQUIN, Blank,Ingeniería Económica, McGraw-Hill,1978. DE GARMO,Canada,/ngeniería Económica, CECSA,1978. - LOPEZ LEAUTAUD,Evaluaeión Económica, McGraw-Hill,1975. #
MAO JAMES C. T., Quantitative Analysis of Financial Decisions, Mac Millan Publishing Co., lnc., 1969.
VAN HORNE, James, Financia[ Management and Policy, Prentice-Hall, 1977. WESTON, Brigham,Managerial Finance. 5a. ed., HRW, 1975 BRIGHAM, Pappas,Managerial Ecorwmics, HRW,1972. MOORE,Jaedicke,Managerial Accounting, 3a. ed., South Western Publishing, Co., 1972. PHILLIPS, Ravindran, Solberg, Operation Research, John Wiley & Sons,1976. 1
••
HILLIER, Lieberman, Introductfon to Operatiorn Research, 2a ed., Holden-day, 1974. GORDON, Geoffrey,System Simulation, 2a ed., Prentice-Hall, 1978. HINES, Montgomery,Probability and Statistics, Ronald� 1972.
373
/
374 Apéndice E
ARTICULOS
A. S. Parra Vázquez y R.V. Oakford, Simulation as a Technique for Comparing Decision
Procedure, The Engineeri ng Economist, volumen 21-número 4 pp. 221-236. KEVIN J. Reardon, A Multi-stage Model for Capital BÜdgeting with Uncertain'Future ln
vestment Opportunities, Technical report No. 50, agosto 1974, Department of Ope rations Research, Stanford University.
·
FOGLER H. Russell, OVerkill in Capital Budgeting Technique, Financial Management, primavera 1972.
Investment and DisCOl;lnt Rates Under Capital Rationing a Programming Approach, The Economic Joumal,junio 1965.
FINDLAY Y WILLIAMS, Cápital Allocation and the Nature of Ownership Equities, Fi nancia! Management, Verano 1972. FOGLER H. RUSSELL, Ranking Techniques and Capital Budgeting, The Accounting Review, enero 1972. POWELL y VERGIN, A Heuristic Model for Planning Corporate Financing, Financia! Management, verano 1975. PARRA VAZQUEZ A.S., Simulation of Financia! Decisions OVer Time, Unpublished PH. D. Dissertation, Department of Industrial Engineering, Stanford University, febrero 1974. B. ALLEN, Evaluation Capital Expenditures Under lnjlation, A primer, Business Horizons, diciembre 1976, pp. 31-39. R. C. �ATER y R. L. BULLü_CK, lnflation and Replacement Decision, Engineering Eco nomist, volumen 21-número 4, pp. 249-257.
F.A. HOLLAND y F. A. W ATSON, Putting lnflation Into Profitability Studies, Chenú cal Engineering, febrero 14, 1977, pp. 87-91. COOLEY, Roenfeldt, Chew, Capital Budgeting Procedures Under lnjlatión, Financia! Ma-. nagement, invierno 1975, OO. 18-27.
·
·
- B. WAGLE, A Statistical Analysis of Risk in Capital Investment Proyects, Operational Re search Quarterly, volumen 18-número 1, pp.13-33. R ICHARD F. HESPO S y PAUL A. STRASSMAN, Stochastic Decision Tress for the Ana
lysis of Investment Decisions, Management Science, volumen 11-número 10, agosto 1965, OO. 244-259.
·
•
Referencias óibliofl'áficas 37 S JOHN F. MAGEE, How tOo use Decision Trees in Capital Investment, Harvard Business Review, septiembre
jtubre 1964,
pp. 79-96.
FREDERICK S. HlLLIER, The Derivation of Probabilistic Information for the Evalurttion of Risky Investments, Management Science, volumen 9-número 4, abril 1963, pp. 443-456.
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Análisis y evalua-ción de. proyectos de inversión '-
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DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY
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l.A PRESENTACIÓN Y DISPOSICIÓN EN CONJUNTO DE ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS DE INVERSIÓN
SON PROPIEDAD DEL EDITOR.
NiNGUNA PARTE DE
ESTA OBRA PUEDE SER REP RODUCIDA O TRANS
MITIDA, MEDIANTE NINGÚN SISTEMA O MÉTODO, ELECTRÓNICO O MECÁNICO COPIADO, LA GRABACióN
(INCllJYENX) a FOTO
O CUALQUIER SISTEMA DE
RECUPERACIÓN Y ALMACENAMIENTO DE INFORMA CIÓN) , SIN CONSENllMIENTO POR ESCRITO DEL
E-DITOR. DERECHOS RESERVADOS:
@ 1995, EDITORIAL U MUSA, S .A. DE C.V. GRUPO NORIEGA EDITORES BALDERAS 95, MéXICO, D.F.
C.P. 06040 '1M 521-21-05
�
512-29-03
CANIEM NúM. 121 DéCIMA REIMPRESIÓN HECHO EN MÉXICO
ISBN 968-18-1327-8
•
A mi esposa Idalia y a mi<� hijos Karlita y Raulito
Prólogo
Este libro ha sido escrito teniendo como principal objetivo contribuir en mínima parte al desarrollo y estudio de esta materia. Además, puesto que la gran mayoría de los libros existentes relacionados con esta materia, están escritos en inglés, y los que están escritos en español son traducciones, con este libro se pretende dar una idea de la aplica ción de las técnicas de análisis y evaluación de proyectos dentro del contexto de nuestro país, es decir, a través de los ejemplos presentados a lo largo del texto, se intenta descri bir la situación actual de México, y no la de países extranjeros a los cuales pertenecen la gran mayoría de los autores relacionados con esta materia. El contenido del libro es presentado a través de dieciséis capítulos. En los primeros doce capítulos se describen las principales técnicas que se utilizan para evaluar proyectos bajo certeza. En esta primera parte, además de presentar los métodos tradicionales de eva luación de proyectos, se da especial atención y se enfatiza el impacto que la inflación tiene en el rendimiento de un proyecto y en el costo de la fuente utilizada para financiar lo. En la segunda parte del libro, se describen y explican a través de ejemplos Sencillos, las técnicas más utilizadas para manejar el riesgo y la incertidumbre que es inherente a todo nuevo proyecto de inversión. El desarrollo de este libro ha sido influenciado por dos factores. El primero se refie re a la gran cantidad de experiencias y opiniones recopiladas en el salón de clase, y en las enseñanzas obtenidas de varios maestros y amigos, como: Dr. Alberto Sabino Parra, Dr. Fernando González, Robert Oakford, Grant Ireson, etc. El segundo se refiere a las expe riencias prácticas obtenidas en el análisis y evaluación de nuevos proyectos de inversión reales. En este aspecto agradezco proful).damente al Sr. Fernando Oíaz Villanueva la gran oportunidad que me brindó para adquirir experiencia práctica en esta materia. Enumerar todas las personas que contribuyeron directa o indirectamente al desarro llo de este libro podría ser interminable. Sin embargo, merecen especial mención, Martha Graciela Serna Ríos, quien se encargó de mecanografiar el manuscrito de este libro, y Ro lando Santos y Celso Ramírez quienes se encargaron de desarrollar las tablas de interés. 7
•
8 Prólogo
Finalmente, agradezco profundamente a mi esposa Idalia su paciencia durante la preparación de este libro. Ella demostró gran interés durante el desarrollo del libro al pre �untar constantemente: "Si sabes mucho sobre evaluación de nuevas inversiones, ¿por qué no somos ricos?"
Raúl Coss Bu
--
Contenido
15
l. iNTRODUCCION
15
1.1.
Identificación de alternativas.
1.2.
Consecuencias cuantificables.
1.3.
Consecuencias no cuantificables
16
1.4.
Análisis de las alternativas.
16
1.5.
Control de la alternativa seleccionada.
17
16
2. V AWR DEL DINERO A TRAVES DEL TIEMPO
19
2.1.
Valor del dinero a través del tiempo.
19
2.2.
Interés simple e interés compuesto.
19
2.3.
Fórmulas de equivalencia asumiendo interés compuesto discreto.
20
2.3.1.
Rujos de efectivo únicos.
20
2.3.2.
Series uniformes de flujos de efectivo.
22
2.3.2.1.
Valor futuro de una serie uniforme de flujos 22
de efectivo. 2.3.2.2.
Valor presente de una serie uniforme de flujos 24
de efectivo. . 2.3.3.
A u jos de efectivo en forma de gradientes aritméticos y
geométricos.
25
2.3.3.1.
Gradientes aritméticos.
25
2.3.3.2.
Gradientes geométricos
27
2.4.
Interés nominal e interés efectivo.
29
2.5.
Interés real.
31
2.6.
Fórmulas de equivalencia asumiendo interés compuesto continuo
33
2.6.1.
Rujas de efectivo únicos.
33
2.6.2.
Series uniformes de flujos de efectivo.
34
9
10 Contenido
2.6.2.1.
Valor futuro de una serie uniforme de flujos de efectivo.
2.6.2.2
flujos de efectivo.
2.6.3. Flujos de efectivo en forma de gradientes aritméticos y geométricos. / 2.6.3.1. Gradientes aritméticos. 2.6.3.2. Gradientes geométricos 2.7.
3.
111'
38 39 41
METODO DEL VALOR ANUAL EQUIVALENTE
47
3.1. 3.2.
4_7 49 49 50 51
Análisis y evaluación de un proyecto individual. Selección de alternativas mutuamente exclusivas.
3.3.
Selección de alternativas mutuamente exclusivas cuando más de dos
3.4.
Anualidades de inversiones de larga vida.
alternativas son consideradas.
+ 4. METODO DEL VAWR PRESENTE 4.1. 4.2.
Análisis y evaluación de un proyecto individual. Selección de proyectos mutuamente exlcusivos.
4.2H. Valor presente de la inversión total. 4.2.2. Valor presente del incremento en la inversión. 4.3
METODO DE LA TASA INTERNA DE RENDIMIENTO PARTE l.
5.1. 5.2. 5.3. 5.4.
54 55
61 61 64 64 66
Inconsistencia del método del valor presente al comparar alternativas mutuamente exclusivas.
5.
37 37 37
2.7 .1. Valor presente de un flujo de fondos. 2.7 .2. Valor futuro de un flujo de fondos.
3.2.1. Los ingresos y gastos son conocidos. 3.2.2. Solamente los gastos son conocidos. 3.2.3. Las vidas de las alternativas son diferentes.
t
35
Fórmulas de equivalencia suponiendo que los flujos de efectivo son a través del p eríodo.
'V
34
Valor presente de una serie uniforme de
69
73
PROYECTOS CON UNA SOLA TASA INTERNA DE RENDIMIENTO
73
Tasa interna de rendimiento (TIR)
73 74 75 78
Significado de la tasa interna de rendimiento. Evaluación de un proyecto individual. Evaluación de proyectos mutuamente exclusivos.
PARTE 2.
fROYECTOS CON MULTIPLES TASAS INTERNAS DE REN DIMIENTO
80
Contenido 11 S.S.
Proyectos sin tasas internas de rendimiento.
81
S.6.
Proyectos con una sola tasa interna de rendimiento.
81
S.7.
Proyectos con múltiples tasas internas de rendimiento.
81
S.8.
Algoritmo de James C. T. Mao.
82
S.8.1. Clasificación de los proyectos.
82
S.8.2. Descripción del algoritmo ..
84
6. CONSIDERACION DE IMPUESTOS EN ESTUDIOS ECONOMICOS
91
6.1.
Depreciación -qué significa.
91
6.2.
Métodos de depreciación.
92
6.3.
Ganancias y pérdidas extraordinarias de capital.
94
6.4.
Tasa interna de rendimiento y valor presente después de impuestos.
6.5.
Certificados de promoción fiscal (CEPROFI).
101
6.6.
Depreciación acelerada.
105
7. TECNICAS DE ANALISIS EN ESTUDIOS DE REEMPLAZO 7 .1.
Consideraciones de un estudio de reemplazo.
96
113
113
7.1.1.
Causas que originan un estudio de reemplazo.
113
7 .1.2.
Factores a considerar en un estudio de reemplazo.
115
7.1.3. Tipos de reemplazo.
116
7.2.
Determinación de la vida económica de un activo.
116
7 .3.
Análisis de reemplazo del activo actual.
120
7.3.1. Vida del defensor mayor o igual a la vida económica del 7 .3.2. 7.4.
retador.
121
Horizonte de planeación conocido.
122
Conclusiones.
125
8. SELECCION DE PROYECTOS EN CONDICIONES LIMITADAS
DE PRESUPUESTO
129
8.1
Generación de alternativas mutuamente exclusivas.
130
8.2'.
Selección entre muchos proyectos con restricciones.
134
8.3.
Formulación con programación entera.
134
8.3.1. Construcción del modelo sin considerar pasivo.
135
8.3.2. Construcción del modelo considerando incrementos en el pasivo e inversiones líquidas.
8.4.
138
8.3.3. Utilidad y aplicabilidad.
139
Métodos de selección aproximados.
139
8.4.1.
Ordenado-por tasa interna de rendimiento. A)
por dos divisiones.
B)
141
Asignación de recursos en una corporación formada
141
Asignación de recursos en una corporación formada por muchas divisiones.
8.4.2. Ordr.nado del valor presente por peso invertido.
143 143
L.
12 Contenido
8.4.3. Ordenados combinados. 8.5. Decisiones secuenciales vs. decisiones en grupo.
9. EVALUACION DE PROYECTOS DE INVERSION EN SITUACIONES INFLACIONARIAS 9.1. Inflación - qué significa. 9.2. Efecto de la inflación sobre el valor presente. 9.3. Efecto de la inflación sobre la tasa interna de rendimiento. 9.4. Efecto de la inflación en inversiones de activo fij o. 9.5. Efecto de la inflación en inversiones de activo circulante. 9.6. Efecto de la inflación en nuevas inversiones con diferentes proporciones de activo circulante.
,..
9.7. Efecto de la inflación en activos no depreciables. 9.8. Inflación diferencial. 9.9. Conclusiones.
10. COSTO DE CAPITAL
151 151 152 153 154 159 160 162 165 1 67
171
1 0.1 Costo de capital - cómo se calcula. PARTE l.
144 145
COSTO DE CAPITAL DE FUENTES EXTERNAS
1 0.2. Proveedóres. 10.3. Préstamos bancarios de corto plazo. 10.4. Pasivo a largo plazo. Obligaciones. Crédito hipotecario industrial. Crédito hipotecario normal. Crédito hipotecario con inflación. Crédito hipotecario con tasas flotantes e inflación. Crédito hipotecario con cambios de paridad e inflación. Crédito hipotecario con deslizamiento e inflación
172 173 173 174 176 176 179 179 180 181 184185
Crédito hipotecario con tasas flotantes, inflación y cambios de paridad. Arrendamiento financiero. PARTE
10.5. 10.6. 1O. 7. 10.8. 10.9.
2.
COSTO DE CAPITAL DE FUENTES INTERNAS
Acciones preferentes. Acciones comunes. Utilidades retenidas. Costo ponderado del capital. Conclusiones.
APENDICE "A" al capítulo
186 187 192 192 194 196 197 198
1 O. Amortiz"ación creciente,
un nuevo método de amortización
203
Contenido
A.l 0.1
Introducción
A.l 0.2
Análisis comparativo de los métodos tradicionales
13 205
de amortización
205
A.l 0.2.1 Flujo de efectivo cuando la amortización es constante
205
A.1 0.2.2 Flujo de efectivo cuando el capital se amortiza en partes iguales y los intereses son sobre saldos insolutos
206
A.1 0.2.3 Flujo de efectivo cuando la amortización es en forma creciente, pero con valor presente constante
208
A.i 0.2.4 Comparación de los flujos de efectivo que resultan con cada forma de amortización A.1 0.3
210
Costo después de impuestos que se obtiene con los diferentes métodos de amortización A.1 0.3.1
213
Costo después de impuestos cuando la amortización es constante
A.1 0.3.2
213
Costo después de impuesto� cuando el capital se amortiza en partes iguales y los intereses son sobre saldos insolutos.
213
A.1 0.3.3 Costo después de impuestos cuando la amortización es en forma creciente pero con valor presente constante A.l 0.4 A.10.5
214
Costo después de impuestos que se obtiene en los diferentes métodos de amortización, al considerar la inflación
215
Conclusiones
217
Saldo del crédito cuando la amortizacíón de capital'e- in-t� constante
218
11. EFECTO DE LA INFLACION EN EL RENDIMIENTO DE UN PROYECTO Y EN EL COSTO DE LA FUENTE UTILIZADA PARA FINANCIARW
221
11.1. Efecto de la inflación sobre el rendimiento de un proyecto.
222
11.2. Efecto de la inflación sobre el costo de un crédito hipotecario.
222
11.3. Efecto de la inflación en la aceptación de un proyecto de inversión.
223
11.4. Conclusiones
227
12. DISTINCION ENTRE DECISIONES DE INVERSION Y DECISIONES DE FINANCIAMIENTO
229
12.1. Decisión de inversión y decisión de financiamiento.
229
12.2. Combinación de la decisión de inversión y la decisión de fmanciarniento.
232
12.3 Conclusión.
237
13. ANALISIS DE SENSIBILIDAD 13.1. Sensibilidad de una propuesta individual.
239 239
13.2. Isocuanta de una propuesta individual.
245
13.3. Sensibilidad de varias propuestas.
.248
13.4. Conclusiones.
250
,.
14 Contenido
14. ARBOLES DE DECISION
253
14.1. Arboles de decisión.
253
14.2. Conclusiones.
259
15. ANALISIS DE RIESGO
263
15.1. Distribuciones de probabilidad más utilizadas en análisis de riesgo.
, ..
264
15.1.1.
Distribución normal.
264
15.1.2.
Distribución triangular.
265
15.2. Teorema del límite central.
267
15.3. Distribución de probabilidad del valor presente neto.
267
15.4. Distribución de probabilidad del valor anual equivalente.
272
15.5. Distribución de probabilidad de la tasa interna de rendimiento.
273
15.6. Conclusiones.
275
16. SIMULACION
279
16.1. Ideas básicas en análisis de riesgo.
279
16.2. Lógica de la simulación.
280
16.3. Conclusiones.
288 �
APENDICE A.
iNTERES COMPUESTO DISCRETO
291
APENDICE B.
INTERES COMPUESTO CONTINUO
317
APENDICE C.
FLUJOS DE FONDOS
343
APENDICE D.
SOLUCIONES A PROBLEMAS
363
APENDICE E.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
371
1 Introducción
Este libro es en última instancia, una presen)ación de algunas técnicas utilizadas en el proceso de toma de decisiones. Aun cuando el grueso-de este libro se limita a cierto tipo de decisiones, es de cualquier modo conveniente decir algunas ideas sobre decisiones en general. El hecho de que a lo largo de nuestra vida debemos tomar un sinnúmero de decisio nes,
podría
hacernos pensar que el dirigir esfuerzos a estudiar algo que todo mundo hace,
es perder el tiempo. Sin embargo, la mayor parte de las decisiones que tomamos son tri viales, esto significa que no se requiere de ningún procedimiento formal o estructurado para tomarlas. Además, cuando las decisiones son triviales, las consecuencias de no tomar la mejor decisión son despreciables. Por el contrario, cuando tenemos que tomar una deci sión importante, no debemos proceder de igual manera, es decir, no debemos tomar la decisión de una manera intuitiva, sino que debemos establecer un procedimiento gene ral que nos ayude a seleccionar la decisión que producirá los mejores resultados para no. sotros. 1.1
IDENTIFICACION DE ALTER
minar los posibles cursos de acción que se pueden seguir. La existencia de diferentes cursos de acción es un requisito indispensable en el proceso de toma de decisiones. Cuando sólo se tiene una sola alternativa de decisión, no es necesario perder tiempo en analizar cómo proceder; se deberá seguir la única alternativa existente. Este' paso del proceso de toma de decisiones requiere que se generen todas las alter nativas disponibles. Lo anterior significa que se debe tener mucho cuidado en tratar de incluir _todas las alternativas. Para esto, debemos estar capacitados para reconocer cuando ya se han agotado los diferentes cursos de acción a través de los cuales una decisión puede ser tomada. La recomendación anterior es muy importante, puesto que sería muy indeseable descubrir una mejor forma de hacer las cosas, después de habernos comprome tido irreversiblemente en otro curso de acción. Se ha dicho que es recomendable generar todas las alternativas disponibles para una determinada decisión. Sin embargo, esto no significa que siempre estaremos generando
15
16 Introducción
nuevas alternativas, y postergando por consiguiente la decisión, sino por el contrario, tam bién vale la pena preguntarnos cuándo vamos a dejar de generar alternativas y empezar a analizar las disponibles. La respuesta a la pregunta anterior es clave, ya que de otra mane ra el proceso de toma de decisiones sería demasiado lento.
1.2
CONSECUENCIAS CUANTIFICABLES Una vez que se han generado todas las alternativas a analizar, el siguiente paso �s de
terminar las consecuencias cuantificables de cada alternativa, es decir, es necesario evaluar todo aquello que sea factible de cuantificar. Si aplicamos estas ideas generales en la eva luación de proyectos de inversión, entonces, después de generar las alternativas con las cuales se puede realizar el proyecto, se debe tratar de expresar en términos monetarios las consecuencias de cada curso de acción. Es muy importante distinguir claramente cuáles resultados son relevantes. Lo que es l 11 •.� 1
común a todas las alternativas bajo análisis es irrelevante. Por ejemplo, si en la compra de cierto equipo los ingresos son independientes del tipo de equipo, entonces, en el análisís del tipo de equipo a adquirir, los ingresos serían irrelevantes y sólo se deben considerar los costos que se tendrían con cada tipo diferente de equipo. También es importante seña lar que el pasado por ser común a todas las alternativas es irrelevante. El único valor que puede tener el pasado es para ayudarnos a predecir el futuro.
1.3 CONSECUENCIAS NO CUANTIFICABLES Al analizar las diferentes alternativas disponibles, es muy común encontrar factores que son importantes pero que no se pueden medir monetariarnente. Por ejemplo, todos sabernos que un Renault Mirage es más económico que un LeBaron; sin embargo, muchas veces la gente se decide por comprar un--LeBaron, ya sea porque le gusta más, o porque· es de más "status" tener este tipo de carro. Aun cuando no es posible medir cuantitativamente ciertos factores relevantes, éstos deben ser considerados en el análisis antes de tomar la decisión. Normalmente lo que se hace es seleccionar aquellas alternativas que presenten las_!llayores ventajas monetarias a menos de que los factores imponderables pesen más que los que se pueden evaluar obje tivamente.
1.4
ANALISIS DE LAS ALTERNATIVAS Una vez que las alternativas han sido generadas y sus consecuencias cuantificables
evaluadas, el siguiente paso es utilizar algún procedimiento general que ayude a seleccio nar la mejor de ellas. El grueso de este libro precisamente está dedicado a indicar cómo se deben comparar estas alternativas. En la evaluación de las alternativas se tomará el punto de vista de un analista y no el de un ejecutivo. Lo anterior significa que el analista es responsable de hacer un análisis que soporte mejor la decisión del ejecutivo, el cual antes de tornar la decisión deberá considerar los factores imponderables. Aun cuando el resto del libro está dedicado al análisis de alternativas, es conve-
Control de la alternativa seleccionada 17 niente me n cionar algunas consideraciones generales que debemos seguir cuando las anali
zamos. La primera establece que es necesario hacer una diferenciación con respecto al ta maño de los proyectos a analizar, es decir, no podemos utilizar el mismo método de análi
sis o asignar la misma cantidad de recursos, cuando se está decidiendo comprar una máquina de escribir, que cuando se desea incursionar en nuevos mercados con nuevas líneas de productos. El análisis de las alternativas como cualquier otro estudio, requiere de recursos para
realizarse_ Por consiguiente, debemos de preguntarnos ¿cuánto estamos dispuestos a gastar en el análisis? La respues ta es simple: nunca debemos gastar más de los benefi cios que esperamos recibir_ Lo anterior significa que las decisiones poco importantes, donde
una mala decisión no tenga consecuencias desastrosas, deberán tomarse después de un análisis muy superficiaL Por otra parte, otra consideración que debemos tomar en cuenta son los diferen tes métodos de análisis, de los cuales podemos distinguir: los empíricos y los cuantitativos.
La diferencia entre estos métodos estriba en que en estos últimos se utilizan técnicas nu méricas que nos ayudan a visualizar mejor las dife-rencias entre las alternativas, mientras que con los primeros solamente se hace una evaluación subjetiva de dichas diferencias. Lo anterior significa que el usar métodos cuantitativos nos lleva a ser más consistentes en nues tras decisiones, porque siempre se usaría la misma lógica para arribar a la decisión reco mendada. Además, es de esperarse que el usar procedimientos lógicos, basados en cálculos matemáticos, nos ayudará consistentemente a tomar mejores decisiones. Finalmente, es conveniente decir algunas ideas sobre lo que es una buena decisión. Debemos distinguir entre una buena decisión y un buen resultado. Para la mayoría de las personas esta distinción no es fácil de hacer. Una buena decisión es una basada en la in[or mación disponible y tomada después de un análisis lógico que considere todas las conse cuencias de las diferentes alternativas. Sin embargo, una buena decisión no necesariamente producirá buenos resultados, y una mala decisión puede producir buenos resultados, esto �s, nadie espera que una persona obtenga buenos resultados de todas y cada una de las decisiones que tome, sin embargo, si una persona toma consistentemente buenas decisio nes, entonces, tendrá un alto porcentaje de buenos resultados.
LS
CONTROL DE LA ALTERNATIVA SELECCIONADA Procedimientos para seguir y controlar las propuestas de inversión seleccionadas,
aseguran el logro de las metas fijadas por la organización y permiten mejorar-el proceso de planeación al eliminar aquellas estrategias que conducen a la organización hacia un objetivo no planeado y no deseado. Mediante procedimientos de seguimiento y control del proyecto seleccionado, es posible comparar la inversión actual, los ingresos netos obtenidos, y el rendimiento real obtenido, con las estimaciones de inversión, ingresos netos y rendimiento esperado del proyecto. Estos procedimientos de seguimiento y control de las inversiones es muy reco mendable que sean implantados en toda organización, pues permiten comparar los resultados obtenidos con los planeados. Cuando sistemáticamente los costos incurridos en un proyecto de inversión son mayores que los estimados, entonces es obvio que el ren dimiento real obtenido en este proyecto será mucho menor que el esperado. Para este tipo de situaciones, vale la pena preguntarse si los procedimientos de evaluación que se utilizan
'/
18 Introducción
son los adecuados, o si vale la pena ser más pesimista al estimar las inversiones, ingresos y gastos del proyecto de inversión. Para -implantar procedimientos de seguimiento y control de las inversiones, se re comienda emitir reportes periódicos durante la vida de la inversión y al término de ésta. Con los reportes que se emitan durante la vida del proyecto, se podrá cambiar de direc ción, o establecer medidas correctivas que encaucen o dirijan a la organización h
�
2 Valor del dinero a través del tiempo
La palabra interés significa la renta que se paga por utilizar dinero ajeno, o bien la renta que se gana al invertir nuestro dinero. Puesto que estas dos situaciones se presen tan en innumerables formas, es conveniente desarrollar una serie de fórmulas de equivalencia cori las cuales se pueda evaluar más exactamente: el rendimiento obtenido en una deter minada inversión, o el costo real que representa una determinada fuente de fmanciarniento. Por consiguiente, el objetivo de este capítulo es presentar las fórmulas de equivalencia más utilizadas considerando interés compuesto, tanto discreto como continuo, así como también flujos de fondos.
2.1
VALOR DEL DINERO A TRAVES DEL TIEMPO Puesto que el dinero puede ganar un cierto interés, cuando se invierte por un cierto
período usualmente un año, es importante reconocer que un peso que se reciba en el futuro valdrá menos que un peso que se tenga actualmente. Es precisamente esta relación entre el interés y tiempo lo que conduce al concepto del valor del dinero a través del tiem po. Por ejemplo, un peso que se tenga actualmente puede acumular intereses durante un año, mientras que un peso que se reciba dentro de un año no nos producirá ningún rendi miento. Por consiguiente, el valor del dinero a través del tiempo significa que cantidades iguales de dinero no tienen el mismo valor, si se encuentran en puntos diferentes en el tiempo y si la tasa de interés es mayor que cero.
2.2
INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO La diferencia fundamental entre interés simple e interés compuesto estriba en el
hecho de que cuando se utiliza interés compuesto, los intereses a su vez generan intereses, mientras que cuando se utiliza interés simple los intereses son función únicamente del prin cipal, el número de períodos y la tasa de interés.
Para ilustrar la diferencia entre estos dos conceptos, suponga que se han pedido pres-
19
20 Valor del dinero a través del tiempo
tactos
$1 ,000
para pagarlos dentro de dos años a una tasa de interés del
10% .
Si se utiliza
interés simple, entonces, la cantidad a pagar sería:
1000
+
1000 (2) ( 1 ) .
=
1200
Por otra parte, si se utiliza interés compuysto, el adeudo al final del segundo año se ría como se muestra a continuación:
Adeudo al
Adeudo al final
principio del año
Año
del año
Intereses
1000
100
1100
1100
110
1210
2
Como se puede observar, existe una diferencia entre los adeudos obtenidos median te estos dos enfoques. Esta diferencia se debe precisamente a los intereses dujeron los intereses
2.3
($100) generados
($1O) que pro
en el primer año.
FORMULAS DE EQUNALENCIA ASUMIENDO INTERES COMPUESTO DISCRETO Puesto que el interés compuesto es más frecuentemente encontrado en la práctica
que el interés simple, a lo largo de este capítulo se supondrá que el interés es compuesto, a menos de que se especifique lo contrario. También en esta sección se va a suponer que los períodos de interés son discretos, es decir, las tasas de interés utilizadas serán anuales, semestrales, mensuales, etc. Bajo estas suposiciones, en esta sección se van a desarrollar fórmulas de equivalencia que relacionan flujos de efectivo únicos, series uniformes de flu jos de efectivo y flujos de efectivo con gradientes aritméticos y geométricos.
2.3.1 Flujos de efectivo únicos
Para desarrollar la fórmula de equivalencia que relaciona una cantidad presente con una cantidad futura, veamos primero la figura
2.1.
En esta figura,
P representa el desem
bolso inicial, el cual ocurre al principio del primer período, F la cantidad que se va a recu perar al fmal del período una tasa de interés de
n,
i%
.
y
n
es el número de períodos durante los cuales se está ganando
Puesto que el interés es compuesto, la cantidad acumulada al
final del primer período sería
P +Pi,
la cual es equivalente a
P (1
+
i),
y la cantidad acu
mulada al final del segundo período, sería la cantidad que se tiene al principio del segundo período (fmal del primer período)
P (1 + i )i,
P (1 + i), más los intereses
generados por esta cantidad
es decir, la cantidad acumulada al final del se.gundo período sería P
(1 + i)2•
Si
guiendo esta misma lógica, se pueden seguir obteniendo las cantidades que se acumulan al fmal de los siguientes períodos (ver tabla
2-1) .
De esta tabla se puede observar que la
fórmula que relaciona una cantidad presente con una cantidad futura es:
"
Fórmulas de equivalencia 21
F=P(l +ijl
(2.1)
esto es, para obtener la cantidad que se acumula después de n períodos a una tasa de inte rés de
i% ,
solamente se multiplica la cantidad presente
neralmente se denota por (F/P,
i%,
1 '
n).
-�. ..
....-----....
1
P por el factor (l +i}n, el cual ge
2
..
3
r n-
1
n
p
FIGURA 2.1. Diagrama de flujo que relaciona un valor presente con un valor futuro.
TABLA 2-1. Desarrollo del factor que relaciona ana cantidad p:t;e.sente con una.
cantidad futura.
Intereses Año Cantidad acumulada ganados al principio del año Pi p p(1+i) i 2 p (1 +i) p (1+ i)2i 3 p (1 +i)2
n
p (1
+ i)n-1
p
(1 + i)n-1i
Cantidad acumulada al final del año P+Pi p (1 +i}+p (1 +i) i p (1 + i)2 +p (1 +iff
P(l +i)n-l+P(l
+i)n-1¡
=P(l +i} =P(l +i)z =P (1 + i)3
�
=P(l+i)n
También la ecuación (2.1) puede ser presentada en la forma siguiente:
P=F
1 (1+i'f
(2.2)
la cual se utilizará para determinar la cantidad presente que se tiene que invertir durante n períodos a una tasa de interés de se le denota por (P/F,
i%, para acumular una cantidad F. Al factor 1/(1 + i'f i %, n). Este factor al igual que el anterior y los próximos a derivar, se
pueden encontrar en tablas (ver apéndice), o bien muchas de las calculadoras de bolsillo producidas por la Hewlett Packard o por la Texas lnstruments, tienen la facilidad de obtenerlos directamente.
Ejemplo 2.1 Una persona pide prestado la cantidad de una tasa de interés del
20%
$1000
para pagarla dentro de 5 años a
anual. ¿Cuánto pagaría esta persona al final del quinto año?
'
22 Valor del dinero a través del tiempo
Utilizando la ecuación
(2.1) tenemos: F F
=
=
1000 (1 + 0.2)5 1000 (2.4883) 2488.30 =
esto es, la cantidad a pagar al fmal del quinto año sería de 2.3.2
$2488.30.
Series uniformes de flujos de efectivo Existen situaciones tales como: depósitos constantes al fmal de cada período, o
percepción de ingresos constantes al fmal de cada período, en las cuales es conveniente derivar fórmulas para obtener la equivalencia de estos flujos en el presente, o bien su equi valencia en el futuro.
2.3.2.1
Valor futuro de una serie uniforme de flujos de eféctivo
Para determinar la equivalencia en el futuro de una serie uniforme de flujos de e fec
2.2)
tivo, es necesario introducir una nueva variable, la cual denotaremos por A (ver figura Esta variable representa el flujo neto al final del período, el cual ocurre durante
F al final del año n, se ) de cada una de las A 's.
dos. Por consiguiente, la cantidad acumulada mar la equivalencia (al fmal del período
n
n
perío
puede obtener al su
F
.o
3
1
2
.
'
A
A
A
j 1 1
n-3
n-2
A
A
·
n-1
n
' A
A
FIGURA 2.2. Diagrama de flujo que relaciona una cantidad futura con una
serie uniforme de flujos de efectivo. Por ejemplo, la equivalencia de la última
A
en el tiempo n es A, puesto que este flujo no
produce ningún interés. Sin embargo, la penúltima A produce intereses durante un perío
do-, por lo cual su equivalencia en eltiempo n es A
(1 + i).
Siguiendo esta misma lógica, la
-'primera A produce intereses durante n -!períodos por lo cual su equivalencia en el tiempo
n es A (1 + i)n-1.
S umando las equiva1encias de las nA� encontramos:
F =A (1 + (1 + i) + (1 + i)2 + . .
+
(1 + it -l)
la cual se reduce a:
(2.3) ó
F=A (FjA, i%, n)
Fónnulas de equivalencia 23
La ecuación
(2.3) también puede ser expresada en la forma siguiente: (2.4)
A = F (----)-==--(1 + if- 1 ó
A= F (AfF, i%, n) esto es, con esta última expresión se trata de determinar el flujo neto período durante ríodo
n
n
A al
períodos, que es necesario desembolsar, para acumular
una cantidad
fmal de cada
al final del pe
F.
Ejemplo 2.2 Un estudiante del
ITESM que actualmente está cursando su último semestre de la $250,000; desea conocer lo que sus futuros hijos pagarán de colegiatura semestral en el ITESM. Para esto se va a asumir que la colegiatura aumentará 20% P.Or semestre y que su primer hijo ingresará al ITESM a cur sar una carrera profesional dentro de 20 años. Utilizando la ecuación .(2.1) tenemos: carrera, y que paga actualmente una colegiatura de
F
(1 �000 "'""
.2)40
+
$367,442,900
=
Ejemplo 2.3 Con_sidere usted que en este momento tiene valen a
1,000
��
- �E��>Cl)que a la paridad actual equi: DÍG. Si los bancos en México pagan un interés anual de SO% en depósitos
a un �ño, y los bancos en U.S.A. pagafí" un
10% anual en depósitos similares, ¿cuál es el U.S.A.?
deslizamiento diario a partir del cual conviene depositar nuestro dinero en Utilizando la ecuación
(2.1) tenemos:
FMEXICO
=
250,000 (1 �-
1,000 (1
Fu.S.A.
--
+
.5)
=
+
.
1)
=
375,000 pesos
( !
1,100 doláres
si se igualan las dos ecuaciones anteriores y se onsidera a d como el deslizamiento diario, ·
se obtiene lo siguiente:
/-
1,100(250
....---
+
36Sd)
=
d
=
l37 s,ooo [ 1,000
24.9
37s,ooo· ,._.,
lo cual se reduce a:
d
=
l j
- 2So
centavos/día
/
365
j
24 Valor del dinero a través del tiempo
Ejemplo 2.4 Una persona d�pos!ta al final de cada!fleS, durante dos años, la cantidad de $1000. Si la cuenta de ahorros paga el 1.5%mensual, ¿cuánto se acumularía al fmal del segundo año? Utilizando la ecuación (2.3) se tien!: F= 1000 (
(1
+ .015)24- 1
)
' \._
.015 F= 1000 (28.6335) = 28,633.5
esto es, al fmal del segundo año se habrá acumulado la cantidad de $28, 633.50
.. '
2.3.2.2 Valor presente de una serie uniforme de flujos de efectiv o La figura 2.3 muestra un diagrama de flujo que relaciona una cantidad en el presen
te con una serie uniforme de flujos de efectivo. Para determinar la equivalencia en el tiempo cero de estos flujos netos al fmal de cada período durante n períodos, se puede proceder en igual forma que en el inciso anterior, es decir, la equivalencia en el tiempo cero de esta serie uniforme de flujos de efectivo, se puede obtener al sumar la equivalencia en el tiem po cero de cada urla de las A
A
o
nA
s.
A
......
2
A
A
n-2
n-I
'
A
1 1 1
n
/ p FIGURA 2.3. Diagrama de flujo que relaciona una cantidad presente con una serie
de flujos de efectivo. Por ejemplo, la equivaler-::ia en el tiempo cero ctel primer flujo es A/(1 +
i) y la equivalen
cia del segundo es Af(l + z)'·. Siguiendo esta misma lógica, la equivalencia del último flujo
en el tiempo cero es A/(1 +
p
=A (
i'f. Sumando todas estas equivalencias encontramos: +
1
(1 +
i)
1
(1 +
i)2
+.
. .
+
1 (1 +
it
)
y simplificando la expresión anterior se obtiene:
p=
A (
it - 1 ) ; o + i)n (1 +
(2.5)
Fórmulas de equivalencia 25
ó P=A (PjA, también
i%,
n
)
la ecuación (2.5) se puede poner en la forma siguiente: p A=
(
i (1 +i)n ) (l+i)n-1
�.;,t!PL' Or
f:Ci:>u\Ufl..,f"''..l' l
(2.6)
ó A= P (AjP,
i%, n)
la cual se utiliza para determinar la cantidad A que se recibiría (pagaría) al fmal de cada período durante
n
períodos, si en el tiempo cero se invierte (recibe) una cantidad P.
Ejemplo 2.5 Una persona deposita
$100,000
en una cuenta que paga el
5%
semestral. Si esta
persona quisiera retirar cantidades iguales al fmal de cada semestre durante
5
años, ¿de
qué tamaño sería cada retiro? Sustituyendo esta información en la ecuación
A=100,000
(2.6) se tiene:
05 (1 +.05)1 o ( . (1 + .o5Y o 1
)
_
A
=
esto significa que dicha persona
100,000 (.12950)
=
12,950
podrá hacer 10 retiros iguales de $12,950 al final de los
cuales se agotará la cuenta.
2.3.3 Flujos de efectivo en forma de gradientes aritméticos y geométricos Ciertos proyectos de inversión generan flujos de efectivo que crecen o disminuyen una cierta cantidad constante cada período. Por ejemplo, los gastos de mantenimiento de un cierto equipo se pueden incrementar una cierta cantidad constante cada periodo. Tam bién, es posible que ciertos proyectos generen flujos que se incrementan un cierto porcen taje constante por cada periodo. Este último caso se comprende fácilmente cuando se supo ne que los flujos por el efecto de la inflación crecen a un porcentaje constante por período. Por consiguiente, en el presente inciso se van a desarrollar fórmulas de equivalencias para flujos de efectivo que se comporten en forma de gradiente ya sea aritmético o geométrico.
2.3.3.1 Gradientes aritméticos Un flujo de efectivo en forma de gradiente aritmético sería aquel que aparece en la figura
2A. Como puede observarse
en esta figura, el flujo del primer año es A 1 , y del segun-
26
Valor del dinero a través del tiempo
do año en adelante el flujo se incrementa en una cantidad constante g. Por consiguiente, si quisiéramos transformar el flujo de efectivo de la figura 2.4 a uno parecido al de la figura
el cual es completamente equivalente, una alternativa es considerar que en el
2.5,
período dos empieza una serie uniforme de flujos de efectivo de tamaño g. También otra serie uni forme de flujos de efectivo empieza en el período tres y así sucesivamente hasta
d
,
l
-,
g_r-
d
l
A
1
g�
2
-·
· · · ·
n-1
n-2
3
n
FIGURA 2.4. Flujos de efectivo en f orma de gradientes aritméticos.
A2
A¡ 2
n-2
3
n-1
n
FIGURA 2.5. Flujo de efectivo equivalente al mostrado en la figura 2.4.
llegar al último período. De acuerdo con esta lógica, la cantidad tiplicar la suma de los valo�es futuros de estas series por (A/F,
A2 se puede obtener al mul i%, n) , esto es, A2 se puede
determinar por medio de la siguiente expresión:
A2�( (F/A. i%, n-1) + (F/A, i%,
n-
2) + ... + (F/A, i%, 2) + ...
. . . +(F/A, i%, 1 ) ) (A/F, i%, n) A2
=
� 1
( (1 + i)"
-
1
2 + (1 + i)" -2 + ... + (1 + i) + (1 + i)-(n- 1 )) (A/F, i%, n)
A2
=
f(
(1 + if - 1
)
Fónnurosdeequwaknda
27
la cual se reduce a: 1
A2 =g ( --
-
----
(2.7)
ó
A2 =g (Ajg, i%, n) Es importante señalar que a pesar de que el gradiente empieza en el período dos, en 1a
obtención del factor
(Ajg, i%, n) se
utiliza el valor den y no el den- l.
Ejemplo 2.6 Una persona piensa abrir una cuenta de ahorros que paga el 12% anual. Para empe zar, esta persona piensa depositar al fmal del año$ 5,000. Sin embargo, puesto que su sala rio está creciendo constantemente, esta persona cree poder incrementar la cantidad a ahorrar en $1,000 cada año. Si esta misma persona lúciera depósitos anuales de la misma magnitud, ¿de qué tamaño tendrían que ser para que la cantidad acumulada en 10 años fuera la misma?
Utilizando la ecuación (2. 7) y sustituyendo la información presentada en el ejemplo,
esta persona tendría que depositar:
A= 5,000 + 1,000
A =5,000
(-1-
10
_
.12
(1
+
.
)
1 2) 1 o-1
+ 1,000 (3.585)
A=$8,585 es decir, depositar $8,585 al final del año durante diez años, es equivalente a depositar al final del primer año $5,000 y después incrementar el depósito en$1,000 por año.
2.3.3.2
Gradientes geométricos
Los flujos de efectivo en forma de gradientes geométricos (ver figura 2.6) ocurren como se mencionaba anteriormente en ambientes crónicos inflacionarios o bien en épo
�ujos de efectivo de un período al siguiente pueden
cas de recesión. Esto significa que l
aumentar o disminuir de acuerdo a un porcentaje fijo, es decir, el flujo de (!fectivo delK período se puede representar como:
AK=Ak-1 (1 +j)
paraK=2,3, .. ,n
ó AK
= A1
(1 + il-1
1
paraK= ,
2,
3,
.
. ,n
th
28 Valor del dinero a través del tiempo
An An! An-2
n-2
/
n-[
n
p FIGURA 2.6. Flujos de efectivo en forma de gradiente geométrico.
donde
j
representa el porcentaje fijo de cambio (aumento o disminución) del flujo de
efectivo entre un período y el siguiente. Conc.::i!!ndo este porcentaje de cambio entre un período y el siguiente, el valor presente de estos flujos vendría dado por la siguiente expresión:
) -1 n A1 (1 +jK n AK P=� =� -=K=l(l+if" K=l (1 +if" -
ó
P-
A1
n 1 +j � (-- K l+i ) +jK=l 1
--
la cual se reduce a:
P= A 1
(
1
-
(1 +D"/(1 +. i)" ) (i- j)
Si i =Fj
(2.8)
o a la siguiente expresión:
P=
nA1 1 +j
Si i = j
(2.9)
Independientemente de que j sea igual o diferente a i, las ecuaciones (2.8) y (2.9) se repre sentan en forma general de acuerdo a la expresión siguiente:
P=A1 (PjA,
i%,j%,
n)
Interés nominal e interés efectivo 29 Ejemplo 2. 7 Un padre de familia ha destinado un cierto fondo de dinero para que su hijo estudie la carrera de liS en el ITESM. La carrera en esta institución dura inflación, la colegiatura aumenta el
8%
9 semestres y debido a la
semestral. Si el padre de familia deposita este
6% semestral, ¿cuánto tendría que depositar si $10,000? Suponga que el pago de la colegiatura
fondo en una cuenta bancaria que paga el la colegiatura del primer semestre es de ocurre al fmal del semestre.
Sustituyendo esta información en la ecuación
se obtiene:
1- (1 + .08l /(1 + .06)9 (.06- .08)
p=
10,000 (
p
10,000 (9.1603)
=
(2.8),
=
)
91,603
lo cual significa que este padre de familia tiene que depositar ahorita
$91,603,
con los
cuales se pagaría la colegiatura de los próximos nueve semestres.
2.4 INTERES NOMINAL E INTERES EFECTIVO Generalmente, en muchos estudios económicos las tasas de interés utilizadas son en bases anuales. Sin embargo, en la práctica es posible encontrar situaciones en las cuales los intereses se tengan que pagar más frecuentemente, ya sea cada semestre, cada trimestre o cada mes. En tales situaciones,/ conviene analizar, por ejemplo, si existe alguna diferencia
12% anual. Para analizar si existe realmente diferencia, $1 ,000 y ha recurrido al banco a solicitarlos. El banco ha acordado prestárselos a una tasa del 12% anual. Por otra parte, usted conoce a otra persona, la cual le presta la misma cantidad de dinero cobrándole el 1% mensual. Si el
entre pagar el
1%
mensual y el
suponga que usted necesita
plazo que se le da para reponer el dinero es de un año, entonces, usted tendría que pagar a cada parte lo siguiente:
Fbanco
=
Fpersona:
1000 (1 + . 12Y =
=
1000 (1 + .01)12
$1,120.00 =
$1,126.80
como se puede observar, aceptar el dinero al
12%
anual resulta más conveniente.. Este
resultado no es nada sorpren¡:iente, puesto que al cobrarse los intereses en base mensual, es obvio que se acumularán más intereses, ya que cuando el interés que se cobra es com puesto, los intereses generados a su vez producen más intereses. Del ejemplo anterior se puede concluir que el
1%
mensual no equivale al
12% anual.
Por consiguiente, si quisiéramos determinar el interés efectivo anual al cual equivale el lo/. mensual, tendríamos que hacer el siguiente cálculo:
1,126.80- 1,000
=
1,000
- � ...
12.68%
.
,
30 Valor del dinero a través del tiempo
Esto significa que la fórmula general para determinar el interés efectivo anual sería: 1
P(l
_
e¡-
+r/M)M -P P
(2.1 O)
ó
le¡= (1 +r/Mf1- 1
(2.10)
donde:
le¡= interés efectivo anual r
M
= interés nominal anual =
número de períodos en los cuales se divide el año
Por ejemplo, el 12% anual si se capitaliza cada semestre,.equivale all2.36% efectivo anual; si se capitaliza cada trimestre, equivale al 12.55% efectivo anual; si se capitaliza cada mes,
equivale al 12.68% y así sucesivamente. Sin embargo, si la capitalización es más frecuente aún, el interés efectivo anual no aumenta gran cosa, esto significa que en el caso límite de capitalizar un número infmito de períodos en el año, esto es, continuamente, el interés efectivo anual converge a:
le¡=
( (1
Lím M�oo
+r¡�/r {- 1
pero Lím (1 M-+OO
+ r/�/r =e
Por consiguiente:
\le¡=
1 ) --�__.,
e'-
(2.11)
---
es decir, si el interés nominal anual efectivo anual es e'
-
r
se capitaliza continuamente, entonces, el interés
l.
Para fmalizar este inciso, conviene puntualizar que siempre el interés a utilizar en un determinado problema, debe corresponder al tamaño del período seleccionado, es decir, si el período es de un semestre, el interés debe ser expresado en forma semestral. También conviene señalar que cuando la capitalización es más frecuente que un año (mensual, tri mestral, etc.) y los flujos de efectivo ocurren sólo al fmal del año, entonces, existen dos alternativas de resolver el problema:
1)
seleccionar como período ya sea el mes, trimes
tre o semestre y la tasa de interés correspondiente, o 2) seleccionar como período un año y utilizar el interés efectivo anual. Cuando son flujos únicos es indistinto usar cualquiera de las dos alternativas, sin embargo, cuando se están manejando series uniformes de flujos de efectivo, conviene utilizar la segunda alternativa.
Interés real 31 2.5 INTERES REAL Existen en la práctica ciertos problemas en los cuales se nos asegura que nos van a cargar una cierta tasa de interés. Los problemas más comunes de este tipo son las compras que se hacen a crédito, los préstamos bancarios, etc. Sin embargo, muy probablemente en la mayoría de estas transacciones el interés real es mucho mayor al que supuestamente se nos está cobrando. El concepto de interés real es muy similar al de interés efectivo, de hecho, son equi valentes. Sin embargo, cuando hablamos de interés efectivo, normalmente nos referimos a un año, y cuando hablamos de interés real, el tamaño del período puede ser de un mes, un
trimestre o un semestre. Lo anterior significa que al interés real también le podemos lla mar interés real efectivo. Para comprender mejor este concepto analicemos los siguientes ejemplos:
Ejemplo2.8 Una persona ha solicitado al banco un préstamo por la cantidad de
$10,000.
El ban
co para este tipo de préstamos otorga un plazo de seis meses a un interés del1.5% men sual. Si la persona recibe
$10,000 menos los intereses generados por el préstamo,
¿cuál es
el interés real mensual en esta transacción? Primeramente se va a determinar la cantidad neta de dinero que esta persona recibe: / 1>
P= 10,000- (10,000 (1 +
.015)6
�
P:=
10,000)
P=9,066 es decir, la persona va a recíbir
$9,066
{O,(Jt)Q
tL;:; e;.,....�,).;-. t -:: l . CJ; �/.
a cambio de pagar
$10,000
r'f """""
1
dentro de seis meses.
Lo anterior significa que el interés real mensual en este préstamo, sería la tasa de interés que hace
$9,066 igual a $10,000 dentro de seis meses, esto es: 9,066 (1 + iR)6 = 10,000
y despejando iR encontramos: -
1 L iR= (e ( 6 n
vr,f,t;f10,000 ) 9,066 t(,()b)f-
)-1 = 1.65% 1.65% mensual, el cual.equivale a 1.65% representa también el inte
Por consiguiente, el interés real de este préstamo es de 21.70% anual efectivo. Además, conviene señalar que
rés efectivo mensual, es decir, en este caso es indistinto usar el término interés real men sual o interés efectivo mensual. La razón por la cual el interés real resultó mayor que 1.5%, estriba en el hecho de
que los intereses se están calculando sobre una cantidad mayor a la que estamos recibien do, y además se están cobrando por adelantado.
Ejemplo2.9 Un alto ejecutivo desea comprar un automóvil que vaya de acuerdo con el nivel je
rárquico que ocupa. Para esto ya se ha decidido por un "Century Limited" modelo 1985,
r
32 Valor del dinero a través del tiempo
el cual cuesta $5,000,000. Las condiciones de pago son dar el 20% de enganche y el resto a 36 meses. Si el banco le financia el80 % del valor del automóvil y le cobra un 2.6% glo bal mensual y le determina el tam�o de los pagos mensuales de la siguiente manera:
Mensualidad=
0�6000 (.026)(36)
4,000,000 + 4,0
=
215 ,l l l
¿Cuál sería el interés real mensual que resulta de aceptar esta fuente de financiamiento? El interés real mensual en esta operación sería la tasa de interés que iguala el valor presente de 36 mensualidades de $215,111, con el valor del financiamiento de $4,000,000, esto es:
4,000,000
=
215,111 (P/A, iR% , 36)
y el valor de iR que satisface la ecuación anterior es de 4.13% . Lo anterior significa que
si se acepta el financiamiento del banco, el interés real mensual sería de 4.13% y el efec tivo anual de 62.52%:
Ejemplo 2.10 Una persona planea casarse dentro de cuatro meses. Su principal preocupación por el momento es comprar lo más indispensable para la casa, como lo son: la estufa, el come dor, el refrigerador, la sala y la recámara. Específicamente esta persona está interesada en comprar una recámara modelo "provenzal delicias", la cual está marcada a un precio de
$30,000. Sin embargo, esta persona tiene dos opciones para comprar dicha recámara: 1) comprarla de contado a un precio de $18,000, o 2) comprarla a crédito (12 pagos men suales) a una tasa de interés del 1.5% mensual. Si esta persona compra la recámara a cré dito, ¿cuál sería el interés real mensual? Antes de evaluar el interés real mensual, primero es necesario determinar la magni tud de cada pago mensual para la alternativa de comprar a crédito. Tal mensualidad la mueblería la calcula de la manera siguiente:
A= 30,000 + 30,000 (.015) (12)
=
2,950
12 Por cons.iguiente, el interés real mensual en esta transacción, sería la tasa de interés que iguala el valor presente de doce mensualidades de tamaño $2,950 con el valor de contado el cual es de $18,000, esto es:
18,000= 2,950
(P/A, iR%, 12)
y el valor de iR que satisface la ecuación anterior es de 12.3%. Esto significa que si la re
cámara se compra a crédito, el interés real mensual sería de 12.3% y el efectivo anual de
302%. Existen básicamente dos razones por las cuales el interés real en este ejemplo es excesivamente alto: 1) primeramente, los intereses se obtienen a partir del precio a crédi-
Fórmukls de equivalencia 33
to
($30,000)
y
2) los
intereses generados en el futuro (próximos
12
meses) se están su
mando como si estuvieran en el mismo punto del tiempo. Los dos ejemplos anteriores muestran claramente la importancia de manejar bien estos conceptos, puesto que de esta manera se podrán tomar mejores decisiones en la compra de activos a crédito, es decir, se podrán e�coger mejor las fuentes de financiamien to (más baratas) con las cuales se adquirirán los activos.
2.6 FORMULAS DE EQUNALENCIA ASUMIENDO INTERES COMPUESTO CONTINUO Puesto que generalmente las transacciones monetarias dentro de una empresa ocu rren diariamente, y el dinero normalmente se pone a trabajar inmediatamente después de que se recibe, vale la pena desarrollar fórmulas de equivalencia en las cuales se considere que el interés compuesto es capitalizado continuamente. Por consiguiente, en esta sección se van a desarrollar las mismas fórmulas presentadas anteriormente, pero asumiendo una
capitalización continua.
2.6.1 Flujos de efectivo únicos Para determinar la fórmula de equivalencia que relaciona un valor presente P con valor futuro
F,
cuando el interés nominal anual
un
r se capitaliza continuamente, los intere
ses generados a cada instante deben ser agregados al principal
(P) al fmal de cada
infinitesi·
mal período de interés, esto es, si la capitalización es anual, el valor futuro sería:
F=P(l
+rf
1
<()
si la capitalización es semestral, el valor futuro sería:
F=P (l +r/2)2n
,..,
y\
,\-r(
si la capitalización es mensual, el valor futuro sería:
F=P(l
+r/12) 12n
y si la capitalización es continua, el valor futuro sería:
F=
P (1
Lím
+ r/Mf!n
M�oo
pero rearreglando términos tenemos:
F=
Lím P M-+-
( (1 +r/Mf! lryn
\_\]IJ
"'\ 1
'
34
Valor del dinero a través del tiempo
y como
I
Lím (1 + r!M'/" r= e' M-+oo
entonces, el valor futuro se obtiene con la si guiente expresión: F=Pe'n y al factor resultante
(2.12)
¿n comúnmente se le representa por (FjP, r%,
n) .
La ecuación (2.12) también se puede representar como:
P=Fe-rn
(2.13)
en la cual se trata de obtener el valor presente dado que se conoce el valor futuro. Al fac tor resultante e-rn se le denota por
(P/F, r%, n).
Ejemplo 2.11 En países con altas tasas de inflación como Bolivia, donde se han llegado a padecer. inflaciones del 30,000% anual, se puede considerar para propósitos prácticos, que la capi talización es continua, ya que los precios de los bienes y de los servicios suben casi a cada momento. Si se asume que la inflación en este país es de .5% cada seis horas, y un automó vil mediano cuesta $20,000,000, ¿cuánto costará dicho automóvil dentro de un año? Puesto que la tasa de inflación cada seis horas es de .5%, entonces, la tasa anual no minal es de 730% y usando la ecuación (2.12) el valor del coche sería:
F = 20,000,000 e< 7.3) = 2.6.2
29 ,606 millones
Series uniformes de flujos de efectivo
2.6.2.1
Valor futuro de una serie uniforme de flujos de efectivo
Siguiendo el mismo razonamiento presentado en las secciones anteriores, la suma acumulada al fmal del año las A 's en el año
n,
n,
se puede obtener al sumar las equivalencias de cada una de
es decir:
F= A
(1
+e r +e 2r
+ ..
. + e
la cual se reduce a:
F=A
(
¿n- 1 e'- 1
ó
F=A (F/A, r%, n)
)
(2.14)
Fórmulas de equivalencia 35 también la ecuación (2.14) puede _ser expresada en la forma:
A=F(
é-l)
(2.15)
ern- 1 ó
A=F (A/F,
r%,
n)
Ejemplo 2.12 Seis depósitos semestrales iguales de $10,000 son hechos en t =O, 1, 2, 3, 4 y 5 en una cuenta que paga el 40% anual capitalizable continuamente. Posteriormente se van a h acer dos retiros iguales de $ X en t = 8 y t = 11. Si con el segundo retiro se agota la cuenta, ¿cuál es el tamaño de estos retiros? De acuerdo con la figura que se presenta a continuación y aplicando las ecuaciones
(2.12),(2.13) y (2.14) se obtiene: �
1$X I i I i 1 í::. , 8
9
10
t$X
11
,
A= $10,0.00
10,000
(F/p.
20%, 5) + 10,000
(F/A,
20%, 5) =X (P/F, 20%, 3) +X (P/F, 20%, 6) y
sustituyendo los factores que aparecen en el apéndice B se obtiene:
10,000(2.7183) + 10,000(7.7609)=X(.5488) +X(.3012) X= 104,792 .8498 X= $123,314/
2.6.2.2
Valor presente de una serie uniforme de flujos de efectivo
La equivalencia en él tiempo cero de una serie uniforme de flujos de efectivo, se puede obtener siguiendo la misma lógica del inciso anterior, es decir, sumando las equi
valencias en el tiempo cero de cada una de las A
's, esto es:
P=A (e-r + e-2r +
. . .
+ e -nr)
la cual se reduce a:
P=A(
1 - e-rn
-y--e -1 )
(2.16)
?:
36 Valor del dinero a través del tiempo ó P=A (P/A,
la ecuación
(2.16) también se puede
r%,
n
)
expresar como:
' A=P(e -1 ) 1 -e-rn
(2.17)
ó A
=P(AjP, r%, n)
Ejemplo 2.13 30% anual ca 5 retiros anuales iguales de $100,000, em
¿Cuánto es necesario depositar en una cuenta de ahorros que paga el pitalizable continuamente, si se quieren hacer
pezando dos años después de hacer el depósito? El diagrama de flujo de efectivo de este ejemplo se presenta a continuación:
A =100,000
l
1
2
4
3
6
5
p =?
De acuerdo con esta figura y aplicando las.ecuaciones P
(2.12) y (2.16), se obtiene:
100,000 (P/A, 30%, 5) (P/F, 30%, 1)
=
y sustituyendo los factores que aparecen en el apéndice B, se obtiene: p=
100,000 (2.2205) (.7408)
=
$164,490
Ejemplo 2.14 Considere una tasa nominal anual de
$300% y que un refrigerador cuesta $500,000.
¿De qué tamaño serían 3 anualidades iguales que saldaran dicha cantidad?· Utilizando la ecuación (2 .17) y la información presentada en el ejemplo, se obtiene: A
=
500,000 (A/P, 300%, 3)
A=
500,000 [(e3- 1)/(1 - e-9)]
A=
$9,543,723
'
FórmuliJs de equivalencia 37
Flujos de efectivo en fonna de gradientes aritméticos y geométricos
2.6.3
Gradientes aritméticos
2.6.3.1
De acuerdo a las figuras
2.4 y 2.5 y a la ecuación (2.14), la cantidad A2 se puede
determinar por medio de la siguiente expresión:
A2 =g ( (FjA, r%, n- 1)+(F/A, r%, n- 2)+ ... +(F/A, r%, 1) )(AjF, r%, n) A2 =
+ (e(n-l)r+eCn-2)r+. . . ... +e'-(n-1)(é-1 ) e -1 rn-1 e
A2
(
g
= e'-: 1
(
ern- 1 e' - 1
)
-
gn
e'- 1
)(
e' - 1 ern- 1
l
)
la cual se reduce a:
A2
1
n
) = g(e· ,1 e rn- 1
� ..
ó
)
(2.18) ':
?O�·'
A2 =g(Ajg, r%, n)
t.
t
-�
1¡
9e 5
�
f'
Ejemplo 2.15
¿Cuánto es necesario depositar en una cuenta que paga el 30% anual capitalizable. continuamente, si se requiere hacer 5 retiros anuales? Suponga que el primer retiro es de
$20,000 y a partir del segundo los retiros aumentan a una razón constante de $5,000. Utilizando las ecuaciones (2.16) y (2.18) y la información presentada en el ejemplo, se obtiene:
P
=
[20,000 + 5,000 (Ajg, 30%, 5)] (P/A, 30% , 5)
y sustituyendo los factores que aparecen en el apéndice B, se obtiene: p p 2.6.3.2
=
=
[20,000 + 5,000 (1.4222)] (2.2205) $60,200
Gradientes geométricos
De acuerdo a la figura 2.6 y a la ecuación (2.13) y suponiendo que el flujo de efecti vo del Kth período se puede expresar como:
38
Valor del dinero a través del tiempo
j)K-1 AK=A¡ (1 +
para K=
1, 2, 3, . . .
n
el valor presente de estos flujos de efectivo vendría dado por la siguiente ex p resió n :
�
p=
A 1 (1 + j)K- 1
e rK
K= 1 .-'
ó p
i:
A¡
=
(1 +j)
1 +j '
K=l(
K
)
e
la cual se reduce a:
P=A1
(+
( 1-((1 +j)fe't 1 -( 1 +j)/ e'
e
) )
(2.19)
ó
P = A1 (PjA, r%, j%, n) Ejemplo 2.16 Una persona ha depositado
$100,000
en una cuenta de ahorros que paga el
anual capitalizable continuamente. Si esta persona desea sacar de la cuenta crezcan a una razón de
15%
5
30%
retiros que
anual, ¿cuál sería el tamaño del primer retiro, de tal modc
que al hacer el quinto se agote la cuenta? Utilizando la ecuación
(2.19) y la información A1
=
presentada en el ejemplo, se tiene:
100,000 (P/A, 30%, 15%, 5)
y sustituyendo el factor que aparece en el apéndice B, se obtiene:
A1
2. 7
=
100,000 2.7580
=
$36,258
FORMULAS DE EQUIVALENCIA SUPONIENDO QUE LOS FLUJOS DE EFECTNO SON A TRAVES DEL PERIODO En las secciones anteriores se suponía que los flujos de efectivo ocurrían al fmal del
período. Sirl embargo, es muy probable que en algunos casos el dirlero fluya a través del pe
ríodo. Por consiguiente, en algunas ocasiones es conveniente suponer que el dirlero fluye contirluarnente a través del período a una razón constante. En tales situaciones, en vez de tener una serie uniforme de flujos de efectivo discretos de magnitud A, se va a tener un flujo A, el cual fluye uniforme y continuamente a través del período de tiempo dado.
Fórmulas de equivalencia 39
2.7.1 Valor presente qe un flujo de fondos
Para determinar la fórmula de equivalencia que determina el valor presente de una serie uniforme de flujos de fondos, vamos a analizar el comportamiento del valor presente a medida que se desparrama el flujo a través del período, esto es, primero se va a detenni
A pesos al final del año durante r. Tal valor presente viene dado por:
nar, por ejemplo, el valor presente de gastar (recibir) si el interés nominal anual es
n
años
P= A ( (1 +rt - 1 ) r(l +rt Ahora, si en lugar de gastar (recibir) final de cada semestre (durante
n
A pesos al fmal del año gastarnos (recibirnos) A/2 al
años), entonces, el valor presente sería:
p
=
A_ ( (1 + r/2in- 1) 2 _!_ (1 +r/2)2n
2
y si por otra parte se gasta (se recibe)
A/4 pesos al fmal de cada t�irnestre (durante n años),
entonces, el valor presente sería:
P=
1 A( (1 +r/4)4n 4 _!_ (1 + r/4)4n
)
4
Es obvio que la expresión anterior a medida que se desparrama más el flujo durante el año, más se aproxima a un valor límite. Este límite se alcanza precisamente cuando el número de períodos
en
el año es infmito, es decir, cuando el flujo de efectivo fluye a través del
año. El valor �resente en tal situación sería:
P=
\
Lím M-+-
A_ ( (1+ r[M)Mn - 1 M
_!_ (1 M
+r/M'f'Tn
)
rearreglando la expresión anterior encontrarnos:
�
r l +r¡Mfll') n - 1 ( P=A ) ' rn -r (o+r¡Mfll ) la cual se red uce a:
p
/.��
=
A(
e'n.--; 1 )
(2.20)
/
Valor del dinero a través del tiempo
40
ó P=A (P/A, es importante señalar que la ecuación
r%, n)
(2.20) aunque se desarrolló suponiendo que los pe·
ríodos son de un año, también se puede aplicar a casos en los cuales el período sea menor que un año. Lo importante en la aplicación de esta fórmula es suponer que el flujo será a través del p eríodo. Por ejemplo, si A es el flujo que fluye a través de un semestre, enton ces,
r sería el interés
nominal semestral.
Por otra parte, la ecuación
(2.20) también puede ser expresada en la forma
A=P
�rn ( r
siguiente:
__
(2.21)
)
ó A=P(A/P,
r%. n)
Ejemplo 2.17 ¿Cuál es el valor presente de un flujo de efectivo que fluye a través del año durante
5
años y que crece a una razón de
año es de
$25,000 y la
30%
anual? Suponga que el flujo de efectivo del primer
tasa de interés nominal anual es de
Utilizando la ecuación
(2.20) para P
=
25%.
el flujo del primer año, se tiene:
25,000 (P/A, 25%,
l)
y sustituyendo el factor que aparece en el apéndice C, se obtiene:
p \
=
25,000 (.8848)
=
$22,120
Lo anterior significa que el flujo de fondos original, se transforma en un flujo de efectivo que se comporta de acuerdo con un gradiente geométrico, que crece a una razón anual de
30%.
En forma gráfica, el flujo de efectivo resultante, sería como el que se muestra a con
tinuación:
A¡= 22,120 (1.3)
=
28,756
� 2 p =?
3
4
Fórmulas de equivalencia 41 Por consiguiente, si se aplica la ecuación (2.19), el valor presente de dicho flujo sería: P
=
22,120 + 28,756 (P/A. 25%. 30%. 4)
y sustituyendo el factor que aparece en el apéndice B, se obtiene:
2.7.2
p
=
P
=
22,120 + 28,756 (3.1738)
S113,386
Valor futuro de un flujo de fondos Siguiendo el mismo razonamiento que eh el inciso anterior, el valor futuro de una
serie unifonne de flujo de fondos que ocurren durante
n
períodos, vendría dado por la
expresión:
F=
Lím M-+..
A_ ( (1 M
r/M/'n -
+
1
r/M
)
y rearreglando la expresión anteüor encontramos:
F=
Lím A
(
(
(1
+
r/M/' Ir yn r
M-+oo
1
)
la cual se reduce a:
¿n -1 F=A ( r
)
(2.22)
ó
F =A (F/A.
r%, n)
Por otra parte la ecuación (2.22) también puede ser expresada como:
A=F(
r ¿n
-1
)
(2.23)
42 Valor del dinero a través del tiempo ó
A= F(Ajr� r%, n)
�inalmente, conviene
señalar que aunque interés compuesto continuo y flujos de
fondos representan más de cerca las transacciones que ocurren en una empresa, estos con ceptos no han sido ampliamente aceptados por los analistas encargados de evaluar proyec tos de inversión.
Ejemplo 2.18
¿Cuál es el valor futuro de gastar $100,000, $120,000, $140,000, $160,000 y $180,000 en t = 1, 2, 3, 4 y 5 respectivamente si los desembolsos se hacen a través del periodo, y la tasa de interés nominal anual es de 20%. Utilizando la ecuaciún (2 .22) para un período de un año, el flujo de efectivo origi-
. nal se transforma en un flujo con gradiente aritmético, como el que se muestra a conti nuación:
F=?
3
2
¡
110,700
4
1
5
I 1 1
132,840
154,980
"".> •
•
/
�.�" r d·�' .nD'\. 1 . ·rJ,�t.\ + 1 _· r•
·
·
·
,.,
• J
-t �
.)
�u
177,120 199,260
Lo anterior significa que ahora se tiene un flujo de efectivo con gradiente aritmético de $22,140, y por consiguiente, el valor futuro será: F
=
[110,700 + (22.140) (Ajg, 20%, 5)] (F/A, 20%, 5)
y sustituyendo los factores que aparecen en el apéndice B, se obtiene: F
F
=
=
[ 110,700
+
$Ll35 ,111
(22,140) (1.6068)] (7 .7609)
·
"
Problemas 43
-l PROBLEMAS
/
en una cuenta de ahorros que paga el 1_�'!...anttal se depositan $1,000 aimales / durante 5 años, ¿qué cantidad se acumularía al tinaf del año 10) si e( primer depó to se ruzo al final del iño 1? ¿Qué cantidad es. necesario depo�tar ahora �n una cuenta de ahorros que paga el . ) 1O% pata acumular al final del quinto año $1O,OOQ? ¿Cuál es el interés que se gana en un proy'ecto que requiere de una ·inversión inicial /2.3 de $10,000 y produce $20,114 al término de su vida de 5 años? / ¿CIJál es el tamaño de 60 mensualidades y de 5 anualidades que resultan de la 2.4 compra de un terreno con valor de $500,000, si la tasa de interés es de 18% anual, y las condiciones__Qe pago son 1 O% de enganche y el resto se reparte por igual en , mensualidades y anualidades? ¿Cuánto tiempo tomaría una cantidad de $P en duplicarse, si la tasa de interés es de 10% anual? 2. 6 Un padre de familia desea que su hijo de 7 años estudie una carrera profesional en el ITESM. Las carreras en este Instituto duran normalmente 8 semestres, y la cole �h¡ ? giatura semestral que actualmente es de $20,000, crece por el efecto de la inflación a una razón del 10% semestral. Para lo�ar este objetivo, el padre de familia pien sa ahorrar una cantidad anual durante 1 O años, empezando al final del octavo ani .-it;,t'o versariÓ del nacimiento de su hifo. Si l�enta de a4orros paga un 1 §%anual, y el primer pago semestral se hace al final de la primera mitad del añ� 18�a) ¿De qué tamaño deben ser las anualidades que se depositan en.la cuenta deahorros, de tal modo que al hacer el pago de la última cuota semestral se agote la cuentª?b)_� que tamañoaeoe sef. el primer depÓsito� si las cantidades que se depositan ca_
/
/< f0 _
1
·
2.11
2"r2 2.13
¿Cuál. es el interés efec _ tivo de una tasa de interés de 18% a.hu;;'I si se capitaliza:
a) anualmente, b) senw-stnrlmente, e) mensu)lmente y d) continuamente?
Si se hacen depósitós anuales' de $1,000 durante 5 años, en una cuenta de ahorros que paga el 5% semestral, ¿cuál es la cantidad que se acumula al fmal del año 5? Una persona desea recibir $1,000 al fmal de cada uno de los próximos cuatro tri-
r
44
Valor del dinero a través del tiempo
mestres. Si la cuenta de_ ahorros paga un 8% anual capitalizable cada trimestre, ¿cuál es el depósito inicial requerido? 2Jl4 Una persona ha solicitado un préstamo de $10,000 a una tasa interés de 1 O% anual capitalizable cada trimestre, el cual piensa pagar en 10 pagos semestrales iguales. Si el primer pago se hace un año después de conseguir el préstamo, ¿cuál sería la magnitud de estos pagos? 20 2.15 ¿Cuánto tiempo tomaría una cantidad de $P en triplicarse, si la tasa de interés es de 10% anual capitalizable cada semestre? Una· persona ha solicitado un préstamo de $10,000 a una institución bancaria que ¿112°-<í$2.16 le cobra un interés de 12% anual capitalizable cada semestre. Esta persona desea .:::3. teoq--:+ devolver el préstamo en seis anualidades iguales. Si el primer pago se hace al mo mento de recibir el préstamo, ¿cuál sería el-tamaño de estas anualidades? ...., . 1'2 o -2.17 Después de haber analizado los intereses reales que se cobran en diferentes esta blecimientos comerciales, una persona ha decidido dedicarse a prestamista. Para ello, va a establecer la compañía llamada "El Ultimo Recurso". En esta compañía, la forma de operar es la siguiente: Cuando una persona solicite un préstamo de $P, esta cantidad será transladada al final del plazo concedido en años, de acuerdo a la expresión: F P (F/P, 10%, n). Posteriormente, para determinar el tamaño de-los pagos anuales, la cantidad _F es dividida entre el número de años que abarca el préstamo. Si una persona solicita a esta compañía un préstamo de $P a un plazo ---t de 5 años, ¿cuál sería el interés real anual que resulta de esta transacción? ·2.18 Una persona obtuvo un préstamo de $5,000 a un plazo de 3 años, y a una tasa de interés de 15% anual. Los intereses que se generan en este plazo se determinaron como sigue:
r 1.
=
r
•·
Intereses= 5,000 (FjP, 1 5%, 3)
-
5,000
=
2',605
fueron deducidos del principal. Por consiguiente, esta persona recibió la canti dad de $2,395.00 a cambio de pagar $5,000 dentro de 3 años. ¿Cuál es el interés ·- .:.' ·reiil anual que se va a pagar en este préstamo? Una persona lill solicitado un préstamo de $100,000 para comprar un automóvil. Ella desea pagar este préstamo en 36 mensualidades iguales. Si la agencia prestamis ta cobra un 2% mensual y determina el tamaño de los pagos mensuales de la si guiente manera: y
2.19
,
ál A r\..-
11¡ (f¡V1 1
0
____
2.21
M ensua lida d -
_
100,000
+
//"
100,000 (.02) 36 J$411 773 , , ./ 36 ./ �'
sería el interés real mensual que re�ulta de aceptar esta fuente de fmanciaento? uatro depósitos trimestrales iguales de $1,000 son hechos en t =O, 1, 2 y 3 (los períodos son trimestres) en una cuenta que paga ellO% anual capitalizable conti nuamente. Posteriormente se van a hacer dos retiros iguales de $X en t = 5 y t = 1 O. Si con el segundo retiro se agota la cuenta, ¿cuál es el tamaño de estos retiros?
Depósitos semestrales de $500 son hechos en una cuenta que paga el 12% anual capitalizable continuamente. ¿Cuál sería el valor acumulado en esta cuenta des pués de hacer 10 depósitos.? ,., (j
1/) l..\ ¡- .
-,
.._,
..
1
Problemas 45
) ¿Cuánto es necesario depositar '-...___./ capitalizable con tinuamente, si
l 2.22
en una cuenta de ahorros que paga el 10% anual se quieren hacer 10 retiros anuales? Suponga que
el primer retiro �de $1,000 y a partir del segundo, los retiros aumentan a una ra zón constante de $500. -
2.23
'
Una persona ha depositado $10,000 en una cuenta de ahorros que paga e
l�
anual capitalizable continuamente. Si esta persona desea sacar de la cuenta 10 re tiros que crezcan a una razón de
�·nual, ¿cuál sería el tamaño del primer reti
ro, de tal modÓ que al hacer el décimo se agote la cuenta? 2.24
"
¿Cuál es el valor presente de un flujo de efectivo que fluye a través del año duran te 5 años' y que crece a una razón del 20% anual? SUponga que el flujo de efectivo del primer año es de $5,000 y la tasa de i nterés nominal anual es de 10%.
2.25
¿Cuál es el valor futuro de gastar $10,000,$15,000 y $20,000 en t
=
1, 3 y 5 res
pectivamen te, si los desembolsos se hac�n a través del período, y la tasa de in terés nominal anual es de 15%?
2.26
Para el siguiente diagran1a de flujo de efectivo, determine el factor (Pjg, i%,
n
)
.
J
g ·q l>
2
2.27
•
3
•
•
•
o
l
.
n
_L A .
-
1
Para el siguiente diagrama de flujo de efectivo, determine los factores (P/A, i %, nx) y (FjA, i%, nx .
Nota: X es
)
u·n
A
A
•
1
X
2X
número entero mayor que l.
A '
A
3X
nX
Á
46 Valor del dinero a través del tiempo
2.28
Resolver el problema 2.26 suponiendo que:
a) la
capitalización es continua y b)
los flujos de efectivo son a través del período.
2.29 2.30
Resolver el problema 2.27 suponiendo que la capitalización es continua. Para el siguiente diagrama de flujo de efectivo, determine los factores (A/g, y
(A/g, r%,
nx
i%, nx)
).
j_ 3X
� .
)X
X
...
3 Método del valor anual equivalente
/
"
El concepto del valor del dinero a través del tiempo introducido en capítulos ante riores, revela que los flujos de efectivo pueden ser trasladados a cantidades equivalentes -a cualquier punto del tiempo. Existen tres procedimientos que comparan estas cantidades equivalentes: • • •
Método del valor anual equivalente' Método del valor presente Método de la tasa interna de rendimiento
Los tres métodos anteriores son equivalentes, es decir, si un proyecto de inversión es ana lizado correctamente con cada uno de estos métodos, la decisión recomendada será la misma. La selección de cuál método usar dependerá del problema que se vaya a analizar, �e las pr��ias del analista y' �e cuál arroja loúesl!!tado_s e� una forma que sea fácil mente comprendida por las personª-s�involucradas en el proceso de toma de decisiones. De los tres métodos mencionados, en este capítulo se discutirá y analizará el mé todo del valor anual. En el capítulo, primeramente se explica el significado e interpr_eta ción del método del valor anual cu_ando éste se aplica al an!liSis y evaluación de Ún proyecto individual. Posteriormente, en el capítulo se muestra cÓ�J2licar el método del valor am¿al cuando: 1) Los ingresos y gastos de las alternativas son conocidos; 2) Solamente los �- de �ada altérnativa son conocidos; y 3) Las vid�s de las alternativas s?; diferep.tes. Finalmente, en el capítulo se muestra el proceso de selección de alternativas mutuamente exclusivas 9lªDci9- má� de d�s alternativas son conside¿adas y, cÓrpo analizar proyectos de inversión de vida infmita. Por otra parte, cabe hacer la aclaración que los análisis n:tostrados en este capítulo son al\tes de imp�stos. El efecto de los impuestos eneStúdios �nómicos será tratado en capítulos subsiguientes.. · -
3.1 ANALISIS Y EVALUACION DE UN PROYECTO INDMDUAL .1 \
�
Con el método del valor anual equivalente, todos lQs ingresos y gastos que ocurren durante un período sqn co�vertidos a una anualidad equivalente (uniforme). C uando di-
>f
41
,.
48 Método del valor anual equivalente
�
cha�u_alid w!s positt@, entonces, es recomendable que & proyec�o sea_ '!-cep!ad9. Este método es m_uy popular porque la mayorí.a_ddos ingresos y gastos que origina un proyecto
son medidós en bases af!llJ!!�s. Esta característica hace al método más fácil - de aplicar y de entender que los otros métodos meñci��dos.
Para comprender mejor la mecánica-de este método, suponga que usted está intere
sado en comprar una computadora
HP-3000
con la cual se podría proporcionar servicios
de consultoría a la pequeña y mediana industria. Tales servicios podrían ser: nómina, mo
vimientos de personal, facturación, distribución, inventarios, etc. También, asuma que
investigaciones preliminares de la inversión requerida y del mercado, arrojan la siguiente información: la computadora ya instalada cuesta un millón de pesos y su valor de rescate
después de
5
años de uso intensivo se considera despreciable, y el mercado para �te nego
cio es tal que la utilidad proyectada en los próximos
5
años es de
$.400,000/�.
Final
mente, suponga que usted ha pedido prestado el millón de pesos a una institución bancaria
la cual le cobrará una tasa de interés anual de anualidades iguales.
20%
y le exige devolver el préstamo en 5
Para esta información, el método del valor anual equivalente sugiere transformar
todos los flujos que origina este proyecto (ver figura
3.1)
a una base anual. Por consiguiente,
el valor anual neto sería la diferencia entre los ingresos anuales y la anualidad pagada al .
banco:
.
\J,¡,"-ne.
;
71'
lf>.>.-Y
�M� oOO
r'
l "'u "t>OOO u
(jo .;;.<>. 1.n2f 11 i/
r��� -:-�\lO ()(lO �?3133'Li9i/1-
A 400,000 - l ,000,000 (Ajp, 20 %, 5) A = 400,000- 1,000,000(.33438) A =$65 '620 =
¡,rDrW
-::::
(,5(/S-
oC>(UJ ,1t;,i' , ' ,_ � v "" v
Puesto que la anualidad equivalente es positiva, e::tonces, vale la pena emprender este pro
yecto de inversión.
� 400,000
(l.?P'I'l
'
400,000
(l
�o) '-
2
� '.
.,. 1,000,000
( -; � \:::� : }.¡ (\
/
� u.zo 400,000
3
o
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(.1-• 400,000
400,000.
r �-\�:t.o , -=ro\.} :-\ () :
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Ü\
'
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4
5 (
1
.
J'
o.�\1::\. "'(o '- u� =� r
FIGURA 3. L Flujo de efectivo que resulta de la adquisición de una computadora HP-3000.
El ejemplo anterior sugiere que cada vez que la anualidad sea positiva, se acepte el
proyecto en cuestión. Sin embargo, este criterio de decisión puede resultar peligroso si en
la determinación de la anualidad neta se utiliza como tasa de interés i el costo de capital
(costo ponderado de las fuentes de fmanciamiento utilizadas para financiar los proyectos
de inversión). Para comprender mejor esta deficiencia, suponga que las ·utilidades proyec tadas en lugar de ser de
$400,000
anuales sean de$340,000. Con la información modifi
cada, la anualidad equivalente sería de $5,562. Sin embargo, es obvio que este nivel de
Selección de al ternativas 49
utilidad es dema,siado pequeño comparado con la inversión total realizada y sería insufi ciente para reemplazar en el futuro el equipo actual. Por consiguiente, se recomienda seguir ,utilizando el mismo criterio de decisión (aceptar si la anualidad equivalente es positiva),
�ero utilizando como tasa de interés, una tasa mayor que el c�to d�apital_y a la cual se
le denotará como TREMA (tasa de recuperación mínima atractiva). De esta-manera, no
existe ningún riesgo en aceptar proyectos con anualidades cercanas a cero, ya que en el caso crítico de tener un pro¿::cto con una anualidad de cer9, significaría que el rendimiento
ob!e_!lido es exactamente igual al mínimo requ�rido. Además, el utilizar como valor de i la
TREMA, tiene la ventaja de ser establecida muy fácilmente, porque en ella se pueden con siderar factores tales como: 1) El riesgo que representa un determinado proyecto; 2) � disponibilidad de dinero de la empresa; y nomía nacional. Para
3)
La tasa de inflación prevaleciente en la eco-
___1
fmalizar esta sección, se muestran a continuación las fórmulas generales que se
pueden utilizar pru;a detei1Tljnar la anualidad equivalente de un proyecto de inversión:
A
=
-p(Ajp, i%, n)
+
{�
S
t=l
t
(l+i)t
}
(Ajp, i%,n)
+
F(A/F, i%, n) (3.1) .
donde:
A p St
F n
=
Anualidad equivalente.
=
Inversión inicial.
=
Flujo de efectivo neto del año t
- Valor de rescate. =
Número de años de vida del proyecto. Tasa de recuperación mínima atractiva (TREMA).
También, la fórmula (3.1) puede ser presentada de otra forma, si se hace uso de la identidad
(Ajp, i%, n)
=
(A/F, i%, n)
+
i%
(3.2)
y si además se supone que los flujos de efectivo netos de todos los años son iguales, la ecuación
(3.1)
se transforma en:
A
=
S
-
{(p-F ) (Ajp, i%, n) + F(i%)}
(3.3)
3.2 SELECCION DE ALTERNATNAS MUTUAMENTE EXCLUSIVAS '
La selección de alternativas mutuamente exclusivas se puede presentar en diversas
formas, es decir, puede ser que de las alternativas a comparar se conozcan los ingresos y gastos o solamente se conozcan los gastos, o bien pueden ser que las vidas de las alterna tivas sean diferentes. A continuación se detallan cada uno de estos casos.
3.2.1 Los ingresos y gastos son conocidos Cuando los ingresos y gastos que generan las alternativas de inversión son conocidos, la alternativa seleccionada será aquella qu.e tenga el mayor valor anual equivalente (siem-
50 Método del valor anual equivalente
pre y cuando esta anualidad sea positiva). Para ilustrar esta situación, analicemos el mismo ejemplo presentado en la sección anterior, pero suponiendo que existen actualmente en el mercado dos tipos de compu tadora con las cuales el servicio de consultoría se podría proporcionar adecuadamente. La información para cada alternativa se muestra en la tabla 3-1. También, considere que pa ra comparar estas dos alternativas se va a utilizar un valor de TREMA de 25%. Para esta información, y aplicando la ecuación (3.3), las anualidades que se obtienen para cada alternativa SOn:
41,
,
1:;¡·
4'�"�·� 'd• ._- / W V
G'
,
\
r� '.O r"- vO�J'}
" "',.• $28 400 ;¡-:rtg AH = 400,000 - 1,000,000 (A/p, 25%, 5) ;.. p o .:c)b "l.¡ � "" O• . ,, ' '' [JOO 000 o· 1 (J .. . :: � C . z.r n l-t o t-- 1' c.· · ti!' 1 �'\_� JI' ��\ t.!> t ?>1IV'i� .'i!i '-<.'15 �'1,\o
'
=
1")"'j
G�
y
AH
w
= 600,000
·'
�
-
')X 1
�1 t �j
p
-{1,200,000(A/ , 25%, 5) + 300,000(.25)}= $79,080
iJ�b/f>O
_:¡SollO
y puesto que la anualidad mayor corresponde a la computadora Honeywell, entonces esta alternativa deberá ser seleccionada.
"'-
TABLA
pesos).
3-1. Flujos de efectivo para las dos computadoras consideradas (miles de HP- 3000
Inversión inicial Ingresos anuales Gastos anuales Valor de rescate Vida
-$1,000 _ 700 1.\1�1) 300_
5 años
________..
Honeywell 4080
wG ]).t¡.¡'
-$1,500 _700 br:J) 1 1 100' 300 �t.O _
��p¡ '
5 años
Finalmente, conviene mencionar que es posible que en ciertos casos cuando se ana lizan álternativas mutuamente exclusivas, todas tengan valores anuales negativos. En tales casos, la decisión a tomar es "no hacer nada", es decir, se deberán rechazar todas las alter nativas disponibles.
3.2.2
�olamente los gastos son conocidos Frecuentemente ocurre que cada una de las alternativas mutuamente exclusivas que
se están analizando, generan los mismos ingresos, ahorros, o beneficios. También, es muy posible que estos ahorros o beneficios sean intangibles o muy difíciles de estimar, por lo que las alternativas deberán ser juzgadas de acuerdo a sus valores anuales negativos o más apropiadamente, de acuerdo a sus costos anuales equivalentes. Por ejemplo, los ingresos que se derivan de una máquina cortadora de cintas adhesivas son muy difíciles de evaluar porque la máquina puede cortar cintas adhesivas de diferentes medidas, con. diferentes precios y con costos agregados distintos. Para este tipo de situación, las máquinas corta ' doras que satisfagan las necesidades actuales deberán ser evaluadas en base a sus º-QS_!:os relativos, porque cada alternativa que sea capaz de satisfacer los requerimientos del sistema
producirá
el mismo ingreso al sistema. Cuando es aparente que en una evaluación sola-
'
Selección de alternativas 51
/ mente los costos son conocidos, es conveniente ignorar la convención de signos negativos ' y comparar laS alternativas en base al valor absoluto de los costos. Para ilustrar el caso que surge cuando solamente los gastos son conocidos, analice mos el ejemplo de las máquinas cortadoras. Suponga que Industrias Tuck, S. A., para efec tos de balancear sus líneas de producción y de satisfacer la demanda creciente de cintas adhesivas en sus diferentes tipos y presentaciones (masking, celofán, etc.), esté analizando la necesidad de comprar una máquina cortadora. Investigaciones recientes sobre los costos ' de los posibles proveedores (Alemania y Estados Unidos de América) arrojaron los resul tados mostrados en la tabla 3-2. También, suponga que la empresa utiliza una TREMA de 25% para evaluar sus proyectos de inversión. Para esta información y aplicando la ecua ción (3.3), los costos anuales equivalentes que se obtienen para cada alternativa son:
�
150,000
=
.
y
CA = 80,000
+
.
{400,ÓOO (1./P, 25%, 5)
1'
� +
100,000 (25)}= $323,640
+;_�_w ooo(o,)111") +- ;zsoo�
{640,000(Ajp,25%,5)
+
160,000(.25)}= $357,824
De éste modo, la máquina cortadora fabricada en los Estados Unidos, teniendo el menor costo anual equivalente, se transforma en la mejor alternativa.
·TABLA
3-2.
Flujos de efectivo para las dos máquinas cortadoras consideradas.
Cortadora (Estados Unidos) Inversión inicial Gastos anuales Valor de
rescate
Vida
$500,000 150,000--100,000 5 años
Cortadora (Alemania)
$800,000 80.000 160,000 S años
Finalmente, cabe señalar que en el caso de conocer solamente los gastos, la alterna tiva "no hacer nada" no se puede considerar, es decir, !orzosamente se tendrá que selec cionar una de las alternativas (la de menor costo anual equivalente). Lo anterior es obvio r puesto que los ingresos, ahorros· o beneficios aunque desconocidos, generalmente justifican las inversiones requeridas. Por el contrario, si estos ingresos fueran insuficientes, se estaría hablando de inversiones obligatorias pero injustificables desde el punto de vista económico.
3.2.3 Las vidas de las alternativas son diferentes En los ejemplos hasta ahora presentados, se analizan y se comparan alternativas mu tuamente exclusivas de igual vida. Sin embargo, sería interesante analizar las �J!caciones que surgen cuando alternativas mutuamente exclusivas de diferentes vidas son evaluadas. Para tarefecto, considere que en el ejemplo presentado en la sección anterior, la máquina
52 Método del valor anual equivalente
cortadora que surte Alemania tiene una vida de 1 _años en lugar de
inicial de tabla
O 5, tiene un costo $900,000, gastos anuále_s de $60,000 y un valor de réscate de $100,000 (ver
3-3). Además suponga que dada la naturaleza del negocio (Industrias Tuck, S. A.),
el servicio que van a proporcionar estas máquinas cortadoras será requerido por un tiempo de al menos 10 años. fara esta nueva información, el costo anual equivalente de cada al ternativa sería: CU.S.A.
J'
=
150,000
+
'
-
........--
.....
/-•' .Y
4
{400,000( ' Ajp, 25%, 5)
/100,0- 00(.25)}
=
$323,640
��7'
y
--.......,. CA =i=
60,00cY
�
i
+
{800,000(Ajp, 25% ,10)
+
{OO;OOO(.25)}
�/
=
$309,080
.
�
y puesto que el menor costo anual equivalente corresponde a la máquina cortadora que
surte Alemania, entonces esta alternativa deberá ser seleccionada.
..,..
TABLA 3-3. Flujos de efectivo para las máquinas cortadoras suponiendo que éstas
tienen vidas diferentes.
_/
Cortadora (Estados Unidos) Inversión inicial'· Gastos anuales
$j00,000 150,000 100,000 5 años
r
Valor de rescate , Vida
Cortadora (Alemania) $900,000 60,000 100,000 10 años
La suposición implícita del ejemplo que se acaba de presentar, es que
2 cortadoras
de las surtidas por Estados Unidos, deben ser adquiridas consecutivamente para propor
cionar la misma longitud de servicio que la máquina cortadora surtida por Alemania. El costo anual equivalente de 1 O años de operación de las máquinas cortadoras del prir,er
tipo desde luego que no cambia y sigue siendo el mismo que se calculó anteriormente
($323,740). Sin embargo, el hecho de que el costo anual equivalente sea el mismo, im plica que los flujos de-efectivo del segundo ciclo son exactamente iguales a los del primer ciclo (vttr figura
3.2). A manera de comprobación, a continuación se muestra el costo
anual equivalente de dos ciclos consecutivos de la primera alternativa: CU.S.A.
=
500,000(Ajp, 25%,10) +
+
100,000(AjF, 25%, 10)
400,000(PjF, 25%, 5)(Ajp,25%,10) +
150,000
=
$323,640
De acuerdo al análisis anterior, la mejor alternativa es la máquina cortadora que surte Alemania. Sin embargo, esta decisión no necesariamente va a producir los mejores resultados. La razón de ello se basa en el hecho de que en la primera alternativa se consi deró implícitamente que al final del año
5 se va a comprar una máquina cortadora idén
tica a la anterior. Sin embargo, es obvio que en el año 5 habrá en el mercado nacional e
internacional, máquinas cortadoras cuyas características tecnológicas y ?e operación sean
•
Selección de al ternativas 53 100
150
'
'
•
'
150
150
150
150
t
' 150
150
150
1so
10
9
!l
3
2
' 150
l
' 500
500
Figura 3.2. Flujos de efectivo ·para dos ciclos consecutivos de la alternativa de me nor vida (miles de pesos).
mucho más atractivas y ventajosas que la máquina cortadora actual, y .entonces, puede ser
que la combinación de esas dos máquinas cortadoras (la que surte ahora Estados Unidos y la que estará disponible en el mercado dentro de ahora nos puede surtir Alemania.
5 años) sea
mejor que la máquina que
La principal deficiencia al considerar como horizonte de planeación el mínimo co�
mún múltipfo de las vidas de las diferentes alternativas, es suponer que en los ciclos suce-
sivos de cada alternativa se tendrán flujos de efectivo idénticos a los del primer ciclo. Sin
embargo, Jo anterior no es correcto dado el constante avance tecnológico a que están su jetos los activos y a las altas tasas de inflación que prevalecen en el país. Lo correcto en estos casos sería:
1) Pronosticar
con mayor exactitud lo que va a ocurrir en el futuro, es
decir, considerando la inflación y las innovaciones tecnológicas, tratar de predecir con
mayor exactitud· Jos flujos de efectivo de las diferentes alternativas que estarán disponi
bles en el mercado para ese t�empo; ó
2) Utilizar como horizonte de planeación ��
de .Jos _@_!]l�e vi� de laslalternativas consideradas. Es-obvio qúe este curso de acción
implica recalcular al término del horizonte de planeación seleccionado, los valores de res
cate de las alternativas de mayor vida. Estos valores de rescate se recomienda que se ob tengan a partir de los valores presentes (evaluados al final del horizonte de planeación) de
los ingresos netos que cada alternativa genera en los períodos subsiguientes al horizonte de planeación seleccionado.
De los criterios propuestos para comparar alternativas mutuamente exclusivas de
diferentes vidas, el más conveniente es sin lugar a dudas el segundo, ya que con el primero
se requiere pronosticar las nuevas alternativas que estarán disponibles en el futuro. Para
ilustrar la- aplfcación del segundo criterio, suponga que una empresa que utiliza una TREMA
de 25% desea seleccionar alguna d.e las alternativas mostradas en la tabla
3.4.
Puesto que las vidas de las dos alternativas son diferentes, primeramente el horizonte
de planeación se fija en nativa B es calculado: VR
=
5 años.
En seguida, el valor de rescate al final del año
5 de la alter
o
/e 60,000 (P/A, 25%, 5) + 20,000 (P/F, 25%, 5)
=
$167,910
Con esta modificación, las alternativas quedarían como aparecen en la tabla
Para esta in formación, el valor anual equivalente de cada alternativa sería:
¿'�
'-AA = 40,000- {80,000 (Ajp,25%,5)
+
20,000 (.25)}= $5,272
3.5.
_d-
54 Método del valor anual equivalente y
A8
=
60,000 - {32,090 (Ajp, 25%, 5) + 167,910(.25) }= $6,098
y puesto que la mayor anualidad equivalente corresponde a la alternativa B, entonces esta alternativa deberá ser seleccionada.
TABLA 3.4. Flujos de efectivo de dos alternativas mutuamente exclusivas de diferentes vidas.
_.
A
B
Inversión inicial
-$100,000
Ingresos anuales
80,000
80,000
Gastos anuales .
. 40,000
20,000
Valor de rescate
20,000
20,000
Vida
5 años
10 años
-$200,000
TABLA 3.5. Flujos de efectivo corregidos de dos alternativas mutuamente exclu sivas de diferentes vidas. A
B
Inversión inicial
-$100,000
Ingresos anuales
80,000
80,000
Gastos anuales
40,000
20,000
Valor de rescate
20,000
167,910
Vida
5 años
5 años
-$200,000
3.3 SELECCION DE ALTERNATN AS MUTUAMENTE EXCLUSN AS CUANDO MAS DE DOS ALTERNATNAS SON CONSIDERADAS Si más de dos alternativas son comparadas por este método, el procedimiento para calcular el valor anual de cada alternativa y también el criterio para seleccionar fa mejor, son e� actamente idénticos a los aplicados al caso de dos alternativas. Para ilustrar este caso, suponga que una empresa que utiliza una TREMA de
20%, desea seleccionar la me
jor de las alternativas mostradas en la tabla 3-6. Para esta información, el valor anual equi valente de cada alternativa sería: '
AA
15,000 - {40,000 (Ajp, 20%, 5) + 10,000 (.20)}
A B = 32,000 - {80,000 (Ajp, 20%, 5) + 20,000 (.20)} Ac AD
=
=
-$375 $1,250
=
50,000 - {120,000 (Ajp, 20%, 5) + 30,000 (.20)} 55,000- {160,000 (Ajp, 20%,5) + 40,00G'(.20)}
=
=
$3,874 -$6,500
Anualidades de inversiones 55
Por consiguiente, la alternativa C teniendo el mayor valor anual, se considera la mejor alternativa.
Tabla 3.6. Flujos de efectivo para varias alternativas mutuamente exclusivas. A
B
-$50,000 15,090 10,000 5 años
Inversión inicial Ingresos netos anuales Valor de rescate Vida
D
e
-$100,000 32,000 20,0_00 5 años
-$150,000 50,000 30,000 5 años
-$200,000 5 5,000 40,000 5 años
3.4 ANUALIDADES DE INVERSIONES DE LARGA VIDA
Algunas veces se encuentran en la práctica proyectos cuyas vidas se pueden consi derar indefinidas, o más específicamente, infinitas. Ejemplos de estos tipos podrían ser las presas, los puentes, etc. Si alternativas de este tipo van a ser wmparadas, es conveniente saber a qué converge el factor
Lím
(Ajp, i%, n) cuando n � �: i(1 + i)11 (1 + i)/1 -1
(Ajp, i%, n)
n ��
Si se divide el numerador y denominador por el mismo factor (1
+ i)11
el resultado no
se altera: Lím
�¡
(Ajp, i%, n)
1 - 1/(1 + i) 11
n ��
Por consiguiente, se puede decir que:
(Ajp, i%,
oo
) i =
Para ilustrar un ejemplo de este tipo, suponga que el gobierno desea construir en el estado de Chiapas una presa con la cual se podrían cultivar grandes extensiones de tierra y a su vez emplear en actividades agropecuarias a una gran cantidad de campesinos. Para esto, el gobierno ha solicitado las cotizaciones respectivas de dos grandes compañías cons tructoras (ver tabla 3-7). Si el gobierno utiliza una TREMA de 20% para evaluar sus pro yectos de inversión, ¿qué compañía deberá ser seleccionada? Para la información mostrada
en la tabla 7, el costo anual equivalente de cada alternativa sería:
AA
=
lOO,OOO,Oqo
+ 800,000,000 (.20)
=
$260,000,000
y
AB
= 50,000,000
+
1,000,000,000 (.20)
=
$250,000,000
,.--.
56 Método del valor anual equivalente
Por consiguiente, el gobierno debería contratar los servLcios de la constructora B por co rresponderle a ésta el menor costo anual equivalente.
TABLA 3-7. Flujos de efectivo que resultan en la construcción de la presa (millones ·
de pesos).
Constructora A
'
Inversión inicial Gastos anuales
B
$800
$1,000
100
50
PROBLEMAS Una compañía requiere proporcionar automóviles a sus vendedores. Como un signo
3.1
de prestigio, el presidente de la compañía ha establecido la política de que los ven dedores no usen automóviles cuyo modelo sea tres años más viejo que el reciente. El tipo de automóvil que usan estos vendedores actualmente tiene un costo de $200,000 y tendrá un valor de rescate de $150,000 después de tres años de uso. Los costos anuales de mantenimiento, seguros, etc., se estiman en $50,000. Por otra parte, se sabe que el mismo tipo de automóvil puede ser rentªdo en $80,000
\
� anuales,
-
/,
los cuales incluyen el mantenimiento, seguros, etc., del automóvil. Si la
\ TREMA de la compañía.es de 25%, ¿cuál alternativa debe ser seleccionada?
�
3.2
f
.Una empresa ha solicitacro-- un préstamo de $1.,000,000 para comprar un torno automático. El préstamo ha sido obtenido de una institución bancaria que exige una tasa de interés de 20% anual y la devolución del préstamo en cinco anuali-.
/�
'
)
,
3.3
,11'
f
dades iguales. Si las utilidades netas anuales generadas por este torno se estiman en $308,000, y su valor de rescate al final del año cinco se estima--.?-n $200,000, ¿debería esta empresa adquirir el torno? Justifique su respuesta. La compañía CANSA (Cintas Adhesivas del Norte, S. A.), desea adquirir una má quina cortadora para destinarla al nuevo producto que se va a lanzar al mercado.
¿
Para este propósito ha iniciado las invest gaciones respectivas y ha encontrado que las alternativas disponibles son: 1) Adquinr la máquina cortadora en U .S.A. a un cos to de $1,000,000. Este tipo de máquina puede cortar a una razón de 1 ,000 n-{2 /hora y requiere para su manejo. a una persona cuyo salario por hora es de $)0;
2) Ad
quirir 2 máquinas cortadoi:'asen Alemania a un costo de $350,000 cada una. Este tipo de máquina tiene una razón de corte de 500 m2 /hora y demanda para suma nejo una persona cuyo salario es de $30/hora. Ambos tipos de máquina tienen una vida estimada de I O años al final de los cuales el valor de rescate se considera des preciable. Otra información relevante sobre las alternativas se muestra a continua ción:
Problemas 57
Cortadora
Cortadora Alemania
U. S.A.
Seguros/año
$80,000 10,000
Mantenimiento fijo/año
Mantenimiento var ./hora
$50,000 _7,000 4 5
3
Costo de la energía/hora
8
a ) Si la producción anual esperada del nuevo producto en los próximos 10 años es
de 5,000,000 m2, y la
TREMA es de 25%, ¿cuál alternativa es la que tiene el
menor. costo anual equivalente?
b) ¿A qué razón de producción anual sería indiferente seleccionar cualquiera de las dos alternativas disponibles?
·
Una compañía está considerando la posibilidad de arrendat o comprar una mmi·
3.4
computadora. Si la computadora es comprada, su costo sería de $1,000,000, sus gastos anuales de operación y mantenimiento serían de $300,000 y su valor de res cate al final de un horizonte de planeación de 5 años sería de $200,000. Si la compu tadora es arrendada, tanto los gastos de operación como de mantenimiento serían de
$X (X< 300,000 porque parte de los gastos son absorbidos por la compañía
arrendadora) y la renta anual sería $40,000 mayor que los gastos de mantenimiento. Si la
TREMA es de 25%, ¿cuál es el valor de la renta anual que hace indiferente la -
selección entre estas dos alternativas?
Cierta compañía que utiliza en sus evaluaciones económicas una
3.5
TREMA de 20%,
desea seleccionar la mejor de las siguientes alternativas:
, Inversión inicial
Máquina
Máquina
Máquina
Tipo 1
Tipo 2
Tipo 3
$100,000 5 años
Horizonte de planeación
-Valor de rescate
10,000
Costos de operación y tenimiento del año K
$150,000 5 años 22,000
$200,000 5 años 40,000
20,000(1.10){{-l 15,000 (1.08)K-I 10,000
+ l,OOOK
a compañía hotelera está considerando la posibilidad de construir un nuevo
�
otel en la Isla del Padre. El costo inicial de este hotel de 200 cuarto se estima en
$1QO,OOO,OOO y la amueblada, la cual es conveniente realizar cada cinco años_se estima en $l0,00üpüü. Los costos anuales de operación se estima que serían del orden de.$20,000,000, y la cuota diaria que se piensa cobrar es de $800. Por otra yarte, esta '20mpa.fiía utiliza un horizonte de planeación de 1 O_años para evaluar sus proyectos de inversión, Por consiguiente; para este problema 'en particular la compañía estima que el valor de rescate del hotel después de 10 años de uso es de
$1 0,000,000 y el valor de rescate de los muebles después de 5 años de uso es prac�------
-----,....
ticamente nulo. Estimando una razón de ocupación diaria de 50% , 70% , SO%y
90%, una TREMA DE 20%, y 365 días de operación al año, ¿debería el hotel ser construido?,
1.
V
i'
58 Método del valor an�,Jal equivalente
1
Un motor utilizado en un sistema de irrigación va a ser reemplazado. Dos diferen
3.7
tes motores de 20 HP están siendo considerados. El m'Jt::>r X cuesta $30,000 y opera a una eficiencia de 90%. El motor Y cuesta $20,000 y opera a una eficien cia de 80%. El costo de .la electricidad es de $5/kilowatt-hora, y la demanda anual para este tipo de motores es de 4,000 horas. Además, en este tipo de estudios se
\.
utiliza generalmente un horizonte de planeación de 5 años. Si los valores de res
cate de estos motores al término del horizonte de planeación son depreciables, y
si la TREMA que se recomienda utilizar es de 20%, ¿cuál motor debe ser selec cionado? (Nota: Un hp 0.746 kilowatt} =
3.8
Cierta empresa que utiliza en sus evaluaciones económicas una TREMA de 25%, , desea seleccionar la mejor de las siguientes alternativas: ..� ::: .. � -... � <
Inversión inicial Vida
Valor de rescate
Ingresos netos/año
Máquina A
Máquina B
_/ $5 00,000 5 años 100,000 200,000
$800,000
8 años.
120
000 250,000 ,
Una cierta compañía requiere de un nuevo Almacén. El Almacén puede ser cortstrui
3.9
do a uh costo de $20,000,000, o arrendado pagando una renta anual de $2,000,000. Si el horizonte de planeación es de 2� años al final de los cuales el almacén costará $1,000,000 y la TREMA es de.l5%,
3.10
cq�é alternativa seleccionaría?
Una compañía está considerando la posibilidad de reemplazar su equipo actual de manejo de materiales, por uno que puede ser comprado o arrendado. Con el sistema actual se tienen ..gastos de operación y mantenimiento anuales de $400,000, urta
•
vida remanente estimada de lO aftos y un valor de rescate al término de esta �ida de $25,000. El valor de rescate actual es de $500,000. El nuevo sistema cuyo costo inicial es de $2,000,000, tiene una vida de 10 años, un valor de rescate de $200,000, y gastos anuales de operación y mantenimiento de $200,000. Si este sistema es comprado, el sistema actual puede ser vendido.eil $250,000. >
.
Si el nuevo sistema es arrendado, la renta que se pagaría sería de $250,000 al prin cipio de cada año. Además, se incurrirían en gastos adicionales de operación y
mantenimiento de $100,000/año. Si el nuevo sistema es arrendado, el sistema ac tual no tendría ningún valor de rescate.
'
Usando una TREMA de 20% y el método del valor anual equivalente, determine cuál de las tres alternativas mencionadas es la mejor.
( 3.11
Una compañía está considerando la posibilidad de reemplazar la computadora que actualmente utiliza y que adquirió hace tres años a un costo de $10,000,000. Los costos de operación y mantenimiento para esta computadora han sido y se mantendrá¡;¡ en el 'futuro en $1,000,000/año. Si se compra una nueva computado ra, se obtendría a cambio de la actual una bonificación de $5,000,000. Por otra parte, el costo de la nueva computadora se estima en $15 ,000,000, su vida en éin co años, su valor de rescate en $3,000,000, y sus gastos anuales de operación y mantenimiento se estiman eljl $1,500,000.
Problemas 59
Si se continúa con la computadora actual, se requerirá comprar otra computadora pequeña que proporcione la capacidad adicional requerida. Si se continúa eÓn la computadora actual, ésta tendría una vida remanente estimada de 5 años y un va lor de rescate de $500,000. Por otra parte, el costo de la pequeña computadora es de $5,000,000, su valor de rescate al término de su vida económica de 5 años se estima en $800,000 y los costos anuales de operación y mantenimiento se estiman en $600,000. Usando el método del valor anual, y una TREMA de 30%, determine el curso de acción preferido.
3.12
Se desea determi�ar la altura óptima de un edificio cuya vida esperada es de 40 años al término del cual su valor de rescate se considera despreciable. La información que s'e tiene di�onible es la siguiente: � ' >·
/
Número de pisos 3
Inversión inicial Ingresos netos/año
4
5
$20,000,000
$25,000,000
$32,000,000
3,000,000
4,000,000
5,000,000
Además del costo del edificio, se requiere hacer una inversión de $5,000,000 en terreno, el cual se espera que-mantenga ese mismo valor durante la vida del edificio. Si la TREMA es de 20%, selec.Giln l e mediante el método del valor anual la altura óptima del edificio.
..
-')
.
'
4 Método del valor presente
El propósito del siguiente capítulo es mostrar un panorama completo de lo que es el
método del valor presente, sus principales usos y su significado.
En el capítulo primeramente se describen las principales características del método
del valor presente y se explica detalladamente cómo aplicar este método al análisis y
evaluación de un proyecto individual. I;:nseguida, se explican los dos enfoques más usados del valor presente que se utilizan en el análisis y selección de alternativas mutu
�x
clusivas. Finalmente, en el capítulo se presentan algunas inconsistencias que pueden resul tar al aplicar este método en la selección de alternativas mutuamente exclusivas.
También, es importante señalar que en este capítulo no se discute la aplicación del
método del valor presente a la selección de alternativas independientes, por considerarse
éste un tema relacionado con la selección de proyectos en condiciones limitadas de presu
puesto.
4.1
ANALISIS Y EV ALUACION DE UN PROYECTO INDIVIDUAL ------
-
--
------
El método del valor presente es uno de los criterios económicos más ampliamente
utilizados en la evaluación de proyectos de inversión. Consiste en determinar la equi
valencia en el tiempo cero de los flujos de efectivo futuros que genera un proyecto
y-comparar esta equivalencia c
Para comprender mejor la definición anterior a continuación se muestra la fór-
mula utilizada para evaluar el valor presente de los flujos generados por un proyecto de inversión:
VPN=S 0
n
+t�l
Sr
(I + i )t 61
(4.1)
62 Método del valor presente
donde: VPN.
S0 Sr n
=
Valor presente neto.
=
Inversión inicial.
=
Flujo de efectivo neto del período t.
=
Número de períodos de vida del proyecto. Tasa de recuperación mínima atractiva.
La fórmula anterior tiene una serie de características que la hacen apropiada para utilizarse como base de comparación capaz de resumir las diferencias más importantes que se derivan de las diferentes alternativas de inversión disponibles. Primero, la fórmula ante rior considera el valor del dinero a través del tiempo al seleccionar un valor adecuado de i. Cabe mencionar que algunos autores utilizan como valor de i el costo de capital (pondera do de las diferentes fuentes de fmanciamiento que utiliza la empresa) en lugar de TREMA (tasa de recuperación mínima atractiva). Sin embargo, existen algunas desventajas al usar como valor de i el costo de capital. Algunas de estas desventajas son:
1)
Difícil de evaluar
y actualizar y 2) Puede conducir a tomar malas decisiones puesto que al utilizar el costo de capital, proyectos con valores presentes positivos cercanos a cem serían aceptados. Sin embargo, es obvio que estos proyectos en general no son muy atractivos. Por otra
parte, el utilizar como valor de i la TREMA, tiene la ventaja de ser establecida muy fácil mente, además es muy fácil considerar en ella factores tales como el riesgo que represen- . ta un determinado proyecto, la disponibilidad de dinero de la empresa y la tasa de inflación prevaleciente en la economía nacional. Además de la característica anterior, el método del valor presente tiene la ventaja de ser siempre único, independientemente del comportamiento que sigan los flujos de efecti vo que genera el proyecto de inversión: Esta característica del método del valor presente
¡JI
lo hace ser preferido para utilizarse en situaciones en que el comportamiento irregular de
lh
los flujos de efectivo, origina el fenómeno de tasas múltiples de rendimiento. Finalmente, conviene mencionar que en la mayoría de los casos, el valor presente pa ra diferentes valores de i, se comporta como aparece en la figura 4.1. Lo anterior se debe
.
r
VPN
In tcrés
FIGURA 4.1
más frecuente.
Valor presente neto como una función de la tasa de interés. Caso
Análisis y evaluación de un proyecto individual 63
al hecho de que generalmente todos los proyectos de inversión demandan des�mbolsos en su etapa micial y generan ingresos'en lo sucesivo. Sin embargo, no se debe de descartar la posibilidad de encontrar proyectos de inversión con gráficas completamente diferentes a-la mostrada en la figura 4.1.
---lL:.-::: Para ilustrar cómo el método del valor presente se puede aplicar al análisis y evalua-1'?ión de un proyecto individual� suponga que cierta empresa desea hacer una inversión en
'
equipo relacionado con el manejo de materiales. Se estima que el nuevo equipo tiene un
valor en el mercado de $100,000 y representará para la compañía un ahorro en mano de
/:) l\;
obra y desperdicio de materiales .del orden de $40,000 anuales. Considere también que la vida estimada para el nuevo equipo es de cinco años al final de los cuales se espera una
recuperació'n monetaria de $20,000. Por último, asuma que esta empresa ha fijado su
TREMA en 25%.
Para esta información y aplicando la ecuación (4.1) se obtiene:
VPN=-100,000 +
40,000 --
(1 +.25)
+
40,000
(1 +.25?
+
40,000
+
(1 +.25)3
40,000
---
+
(! +.25)4
60,000 (1+.25)5
VPN= S 14,125 Puesto que el valor presente neto es positivo, se recomienda adquirir el nuevo equipo.
De acuerdo a este ejemplo es obvio que siempre .qué el...Yal.Qr_sp..r.e ev�de un m:QYec
to sea positivo, la decisión será em¡m:.nderlo. Sin embargQ. )ier.ía__convel)iente analizar la • .
'jUSTihcacióñde esta regla de decisión. Primero, cuando el valor presente es positivO,'"sig nifica que el rendumento que se espera obtener del proyecto de inversión es mayor al
r�ndirniento mínimo requerido por la empresa (TREMA). También, cuando el valor pre
sente de un proyecto es positivo, significa que se va a incrementar el valor del capital
de los accionistas.
En el ejemplo anterior la decisión era aceptar el proyecto. Sin embargo, veamos qué
pasa si en el mismo ejemplo presentado anteriormente, la empresa en lugar de fijar su TREMA en 2�% la hubiera fijado en 40%.
,
Para esta nueva modificación el valor presentado que se obtiene sería:
VPN= -100,000 +
VPN
=-
40,000 (1+.4)1
+
40,000 (1+.4)2
+
40,000
40,0001 60,000 ++ (1 + .4)3 (1+.4)4 (1+.4)5
--
-.,...-.-
$14,875
Y como el valor presente es negativo, entonces, el proyecto debe ser rechazado. Lo anterior
igcifica
s
que Cl ' a l nd - o la TREMA es derñasia'cto-gnmcl·e-;-exis'f'en
m�ilidade
��?
)
'---'
�
_e_.
uevos proyectos e inversión. El resultado anterior es bastante obvio, pueso recha .__...-to que un valor grande de TREMA significa que una cantidad pequeña en el presente se puede transformar en una cantidad muy grande en el futuro, o equivalentemente, que una cantidad futura representa una cantidad muy pequeña en el presente.
Finalmente, si en el ejemplo analizado se hubiera supuesto un valor pequeño de TRE
MA, el valor presente hubiera resultado muy grande. Esto significa que cuando TREMA
es pequeña existen mayores probabilidades de aceptación, puesto que en estas condicio-
64 Método del valor presente
nes. el dinero no tendría ningún valor a través del tiempo. Para terminar la discusión de este ejemplo, la figura
4.2
muestra cómo sería el valor presente que se obtiene en la com
pra del nuevo equipo para diferentes valores de TREMA.
VPN
14,125 35 25
40
30
TREMA(%)
14,875
FIGURA 4.2 Valor presente como una función de TREMA para el equipo de manejo de materiales.
�--
4.2 SELECCION DE PROYECTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS ----- --- - --En la sección anterior se describieron las guías generales que se deben seguir para evaluar un proyecto individual. Sin embargo, sería conveniente mostrar la metodología
�
a seguir cuando se quiere seleccionar una "alternativa de entre varias mutuamente exclusi vas. Para esta situación existen varios procedimiento · equivalentes, es decir, la decisión final a la cual se llega con cada uno de ellos es la misma. Estos procedimientos son: valor presente de la inversión tg_taLy_y:alor presente del increm nto en la invers ----
�
4.2. 1 Valor presente de la inversión total Puesto que el objetivo en la selección de estas alternativas es escoger aquella que ma ximice el valor presente, las normas de utilización de este criterio son muy simples.
T�
lo gue se requiere hacer es determinar el valor presente de los flujos de efectivo que ge� ·-
--
nera cada alternativa y entonces seleccionar aquella que tenga el valor prestmte-má�-me-;----.. Sin embargo, conviene señalar que el valor presente de la alte-rnativa seleccionada deberá ser mayor que cero, ya que de esta manera el rendimiento que se obtiene es mayor· que -el interés"'"mínimo atractivo.
ojconsidere que cierta empre
Para ilustrar la simplicidad computacional de este criteri
sa desea seleccionar una de las alternativas mostradas en la tabla 4.1. También, suponga que esta empresa utiliza para evaluar sus proyectos de inversión una TREMA de Para esta inform_3.ción, el valor presente que se obtiene con cada alternativa es: 5
VPNA=-
100,000 + �
j= 1
40,000 .
.
(1 +.25)1'
=
$ 7,571
25%.
Selección de proyectos mutuamente exclusivos 65
VPN8
=
5'
80,000
i= 1
(1+.25)'
-180,000 + L:
.
=
5
85,000
i= 1
(1+.25)/
VPNc =·-210,000 + L:
.
.
$ 35,142
$ 18,600
=
y puesto, que el mayor valor presente corresponde a la alternativa B, entonces se debe de ·
seleccionar esta alternativa.
TABLA 4.1. Flujos de efectivo de alternativas mutuamente exclusivas.
ALTERNATIVA A
AÑO
-$100,000 40,000
o
1-5
e ·
B �
-$210,000 85,000
$180,000 80,000
En este ejemplo que se acaba de analizar, se seleccionó una alternativa. Sin embargo, es posible que en ciertos casos cuando se analizan alternativas mutuamente exclusivas, todas tengan valores presentes n;gativo�. En taJes casos, la decísión a to'ffi'ar es"'lühacer nada""; es decir, se deberán rechazar todas las alférñativas disponibles. Por otra parte, si
�ternativas
que se tienen solamente se conocen sus costos, entonces la ;egta de de
cisión será minimizar el valor presente de los cOstos. También, es conveniente mencionar que bajo esta situación, la alternativa "no hacer nada" no se puede considerar, es decir, forzosamente se tendrá que se ecc1onar una e as alternativas si se c_onsideran los costos con signo positivo).. Se ha visto cómo utilizar el método del
a e valor presente mínimo
�or presente en la comparación de alterna
�
tivas mutuamente exclusivas de igual vida. Sin e bargo, sería interesante analizarlas impli caciones que resultan de comparar alternativas mutuamente �Xd!Jsivas de qifer�!!t_es �ida� _ _
Para tal efecto suponga que cierta empresa desea adquirir un montacargas con el cual se agi !izaría el transporte interno en el almacén de productos terminados. Investigaciones pre liminares sobre los diferentes tipos de montacargas disponibles en el mercado han arrojado los resultados mostrados en la tabla 4.2. Considere también que la empresa utiliza una TRE MA de 20%. Por último suponga que el servicio que van a proporcionar estos montacargas será requerido por un tiempo de al menos 10 años. Para esta información el valor presente
de estas alternativas sería:
VPNA VPNA
=
=
.� �. oH1
t.. ·"'
\ ' 5 (-150,000 + � -
1= 1
·
55 000
. ) 0+
'
(1+.2F
1 .)J 5 ) (1+. 2)
io
VPNB
=
:- 2C �(!t.l ·):A
$ 20,299
y
VPN8
\ C\
\Ü
1· 1.-
-
250,000 + L:
43,500
i= 1
70,000
(1
+
.2y
.
-==
�; L-¡),'-1
Ot.¡60
'S 9
'
66 Método del valor presente
Y como el valor presente del montacargas B es mayor, entonces se debe de seleccionar di
cho montacargas.
TABLA 4-2. Flujos de efectivo de los montacargas. Montacargas B
A
150,000 5 años 55,000
Inversión inicial
-$
Vida ,
Ahorros netos/año
250,000 10 años 70,000
-$
El análisis anterior muestra que la mejor alternativa es el montacargas B. Sin embar go, esta decisión puede ser engañosa, es decir, probablemente esta alternativa no sea la_ mejor. La razón por la que esta decisión no necesariamente es la mejor, se basa en el he cho de que en la primera alternativa se consideró implícitamente que en el año 5 se va a comprar un montacargas idéntico al anterior. Sin embargo, es obvio que en el año 5 habrá en el mercado montacargas cuyas características tecnológicas y de operación sean mucho más atractivas y ventajosas que las del montacargas actual y entonces, puede ser posible que la combinación de esos dos montacargas (montacargas A y el disponible en el año
5)
sea mejor que el montacargas B.
/ La principal deficiencia al considerar como horizonte de planeacióri el mínimo común _
múltiplo de las vidas de las diferentes alternativas, es suponer que en los ciclos sucesivos de
,l
cada alternativa se tendrán flujos de efectivos idénticos a los del primer ciclo. Lo razo nable en estos casos sería:
1)
��car con mayor exactitud lo que va ocurrir en vas diferentes alternativas que estarán disponibles
Pron
á
el futuro, es decir, tratar de predecir en el mercado para ese tiempo, ó
2)
J)tilizar como horizonte de planeación el menor
de los tiempos de vida de las diferentes alternativas.
4.2.2 Valor presente del incremento en la inversión
Cuando se analizan alternativas mutuamente exclusivas, son .las diferencias entre ellas lo que sería más relevante al tomador de decisiones. El valor presente deí incremento en la inversión precisamente determina si se justifican esos incrementos de inversión que deman dan las alternativas de mayor inversión. Cuando se comparan dos alternativas mutuamente exclusivas mediante este enfoque,
1� primers_ gue
se debe-hacer es de�e�lQ� flujos <;le efectivo netos-de la difer!'Lncia
��jGS-de--efeetiva-.de las-do� alternativas analizadas.
Enseguida se determina si
el incremento en la inversión_s e_justifica. El incremeH-to_en.J a.in.v_e_rsjQ_ILse c.ons.idera acep.:_ tab lesi S!!J"endimie_!lto �x_c e_de-la-tasa de recupe _ raciQ(Ul}Ínima atractiva, es decir, si el �s�n.te...d.e L incre m.e nto en lajny_ lis� es mayor �e �erQ_¡ cl incremento se ,con sidera deseable y la alternativa que requiere esta inversión adicional se considera como la más atractiva. Cuando se aplica el criterio del valor presente del incremento en la inversióry. en la selección de alternativas mutuamente exclusivas, los pasos a seguir serían:
Selección de proyectos mutuamente exclusivos 61 l. Poner las alternativas en �scendente de acuerdo a_su inveJ..SWQiniffiil.
2. Seleccionar como la �e·or alternativa a
que la
lla-de menor costo. Cabe señalar
ternativa de menor costo siempre será "no hacer nada", es decir, esta
alternativa sería la base contra la cual se comparará la siguiente alternativa
de menor costo. La alternativa "no hacer nada" conviene siempre considerar
la puesto que se pueden presentar casos en los cuales todas las alternativas disponibles tengan valores presentes negativos.
3. Comparar la mejor alternativa con la siguie11te de acuerdo al ordenamiento
dcl paso l. La comparación entre' estas dos alternativas se basa en deter�i
� clVaiOr
ferenci
presente del incremento en la inversión
flu·os de efectivos di-
es . Si este valor presente es mayor que cero, entonces la alternativa::
retadora se transforma en la mejor alternativa. Por el contrario, si el valor
presente del incremento en la inversión es negativo, entonces la mejor alter-
nativa sigue siendo la defensora y la retadora se elimina de posterior consi deración.
g ve ¡¿ 1]
+
'
.
../"
4. Repetir el paso 3 hasta que tod..as_.laS-altmti.v.as_dis.p.on.ib.ks hayan sido ana
lizadas : La altema�iva que maximiza el valQLpr..esen�na un ren-. . dimiento mayor que TREMA, es_la...a . ltur.latiya_de ma.xor inversion cuyos incrementos de inversión se justifica�.
Si se aplican los pasos anteriores a las alternativas mostradas en la tabla 4-1, y si
además se supone el mismo valor de TREMA de 25%, los cálculos que resultan son los
siguientes:
VPNA
5
=-
40,000
100,000 + L j= 1
=
(1+.25)j
$
7,571
)
puesto que el valor presente de la alternativa de menor inversión es positivo, entonces,
la alternativa A es mejor que la alternativa "no hacer nada". Por consiguiente, la mejor
alternativa hasta el momento es la A, la cual pasa a ser considerada como la alternati
va defensora y la alternativa B pasa a ser la alternativa retadora, es decir, la alternaÚva
B se va a comparar con la A de acuerdo a una base incremental: VPN, B-A
=
f
-80 000+ ' j=l
40,000
=
(1+.25)j
$27 571 '
y como el valor presente del incremento en la inversión es positivo, entonces la alterna
tiva B pasa a ser la defensora y la alternativa C la retadora. Si se comparan estas alter nativas sobre una base incremental se obtiene: VPNc-B
5
=
-30,000+ L
5,000
j=l 1+.
(
25). J
- $16,553
y puesto que este valor presente es negativo, la alternativa B se transforma en la mejor al
ternativa. De acuerdo al paso 4 cuando todas las alternativas han sido consideradas, la
mejor alternativa es la que maximiza el valor presente y proporciona un rendimiento ma
yor que TREMA. Por consiguiente, la alternativa B es la selección óptima del conjunto de alternativas mostradas en la tabla 4-1. Como se puede observar, la decisión recomen-
"'
68 Método del valor presente
dada al aplicar este criterio coincide con la obtenida al utilizar el valor presente de la in versión total. Lo anterior significa que ambos criterios son equivalentes.
El valqr_pr. esente del incrememo en la inversión también se p�ap�r en la selec
ción de alternativas mutuamente exclusivas en las cuales sólo se tiene informaciórukJ.Q� costos. Sin embargo, bajo esta nueva situación, a diferencia de cuando los ingresos son
CoñOcidos; la alternativa " º-.ha_cer nada" no puede ser considerl!da en el análisis como una alternativa facti
e. Lo anterior es justificable puesto que es obvio que es preferible no
gastar nada a tener puros desembolsos. Para ilustrar el procedimiento a seguir cuando sólo
se tiene la información de los costos de las diferentes alternativas disponibles, considere que una empresa que utili�a una TREMA de 20%, desea seleccionar una de las alternativas que aparecen en la tabla
4-3.
TABLA 4-3. Flujos de efectivo de alternativas mutuamente exch,¡sivas de las cu_ales
solamente sus costos son conocidos.
Alternativas Año
A
o
B
-$10,000
e
-$12,000
-$15,000
3,000
-
2,500
-
1,500
2
3,500
-
3,000
-
1,500
3
4,000
-
3,000
1,500
Como la alternativa "no hacer nada" no es considerada, entonces•la alternativa A se
transforma en la mejor alternativ'!., es decir, inicialmente la alternativa A es la defensoruy ' - ....--�� ---- ...---=� � -ra=alternati_va_B_la .-retadora. Aplicando el valor presente sobre una base incremental a e� tas alternativas se obtiene: VPNs-A V PNs-A
y puesto
=
-2,000 +
=
- $657
�+ (1+.2) ]'
(_
')
500 (1 +.2?
a
,
1,000
+ !l.
(1 ,
+
J il ''"'
.2)3 '
.....
""'
\
, ..J
{
�
" 6'
\¡_7 ;,
resente es ne ativo, la alternativa B se elimina de posterior conside
ue
ración. Por consiguiente, la alternativa A seguirá siendo la defensora y a a erna tva Cpasa a ser considerada la retadora. Ahora, si se comparan estas alternativas sobre una base incre
mental se obtiene:
VPNc-A VPNc-A
-5,000 +
=
--
1,500
(1+.2)
+
2,500 + -o + .2)2 (1 + .2r 2,000
- $914
y como el valor presente es negativo, la alternativa C es desechada. Puesto que ya no eXIS
ten más alternativas, entonces la alternativa A es la selección ó ------
Inconsistencia del método del valor presente 69
4.3 �EJ:;METOU<JlJELVALOR PRESENTE AL COMPARAR ALTERNATN AS MUTUAMENTE EXCLUSNAS
----
Existe cierto tipo de alternativas en las que la decisión de cuál seleccionar depende del valor de TREMA utilizado. Por ejernpio, asuma que cierta empresa que usa un valor de
TREMA de 1 O%, desea seleccionar una de las alternativas que aparecen en la tabla
44.
TABLA 4-4. Alternativas mutuamente exclusivas. Alternativas Año
A
o
- $
B
195
-$
188
150
40
2
40
40
40 50
4
40
180
3
Si se aplica el criterio del valor presente sobre la inversión total se obtiene: VPN A
4 150 40 = -1 95 + (1+.1)+ j 1 (1+.1)i = $31.79 =
VPN
= -188 +
B
180 2 40 50 = $ 41.63 + + . jE1 (1+ lY (1+.1)3 (1+.l t
lo cual indica que el proyecto B debe ser seleccionado. Sin embargo, veamos qué pasa si en lugar de usar un valor de TREMA de
10% se utiliza un valor de 18% . Con esta nueva modifi•
cación los valores presentes de cada alternativa serían:
VPNA
�+1: 40 = -195 + . . (1+ 18) j=2 (1+.18)1
VPN B
= -188
$5.82
2 ____1Q_ _jQ_ 180 + + J=Y (1+.18}i (1 +.18)3 (1+.18)
4
-$2.10
lo cual indica que el proyecto A debe ser seleccionado. Corno se puede observar, esta de cisión en contradictoria a la que se hubiera tomado si la TREMA fuera de la realidad es que ambas decisiones son correctas, es decir, cuando la la alternativa B será preferida, y la aternativa
10%. Sin embargo,
TREMA sea pequeña
A será preferida cuando la TREMA sea gran
de. La explicación a estas decisiones aparentemente contradictorias se basa en lo siguiente:
70 Método del valor presente
l. Cuando la
TREMA es grande, existe una te�a a seleccionar aquellas alterna
�rezcan �imeros
ti
2.
años de vida 1QS.maymes-flujos-de-efe.ct1vo
_
C�RtMA se-tiende que ---es peque_fta, . a selecci-onar a aquellas alternativas --
ofrezcan_ los_ma;r-or_e_s_beneficios, aunque éstos estén muy retirados del período
...ík_iniciació_n_de la-vida.de la alternativa.
---
·
Finalmente, en la figura 4.3 se muestra cómo varía el valor presente de cada una de
estas alternativas como una función de TREMA. Como se pfiede apreciar en esta figura, para valores de TREMA menores a 14.1% la alternativa preferida es la B y la alternativa A sería preferida para valores de
VPN
TREMA mayores a 14.1 % .
. -
Alternativa B
�-----
TREMA ( %)
FIGURA 4-3. Valor presente como una función de TREMA.
PROBLEMAS 4.1.
Cuál es la cantidad máxima que un inversionista está dispuesto a pagar por un bono,
si se desea obtener en su compra un rendimiento del� onga que el bono tiene un valor nominal de $10,000, una vida de 5 aftos y paga tiña-ta-s'-t
le interés
de 20% anual.
�4.2.
Suponga que cierto proyecto de inversión requiere de una inversión inicial de $200,000. Sus gastos de operación y matenimiento son de $20,000 para el primer
\
año, y se espera que estos C?stos crezcan en el futuro a una razón del 10% anua . La vida estimada del proyecto es de 1 O años al final de los cuales
su
valor de rescate
se estima en $50,000. Finalmente, suponga que los�que genera este pro yecto son de $50 ,ooo- el primer año y se espera en lo sucesivo que éstos aume�' a una razón constante de $4,000/año. Si la
TREMA es de
25%, ¿debería este pro
yecto ser aceptado? 4.3.
Una persona ha solicitado un préstamo de $lOO ,000 a una tasa de interés de 1.5% mensual y
a
un plazo de cinco años. Esta persona desea devolver el préstamo en
60 mensualidades iguales. Si esta persona después de haber hecho 15 pagos men" suales, decide pagar elll:ln solo pago (al final del mes 16) el saldo de la deuda, ¿cuánto tendría que pagar?
Problemas 71
Una compañía está analizando la posibilidad de comprar un compresor. Para ello
4.4.
ya se han iniciado las investigaciones respectivas y los resultados obtenidos son los siguientes:
.//
Compresor 1
Inversión inicial
Compresor
$ 100,000
$ 200,000
40,000
25,000
Gastos anuales
Valor de rescate Vida
11
25,000
25,000
10 años
5 años
Si la TREMA es de 20% , ¿qué alternativa debe ser seleccionada? (Utilice el valor presente del incremento en la inversión.) 4.5.
Una compañía desea reemplazar la bomba que actualmente está utilizando. Con esta bomba la compañía tiene gastos de operación y matenimiento de $50,000 anuales. Además, se sabe que esta bomba puede ser mantenida en la compañía por cinco años más, al final de los cuales tendrá un valor de rescate de cero. La bomba actual puede ser tomada a cuenta de una nueva. Si la compra de la bom ba nueva se realiza, se obtiene una bonificación de $25,000 por la vieja. El costo inicial de la nueva bomba es de $120,000, su vida económica es de 5 años, su valor de rescate después de 5 años de uso se estima en $40,000 y los gastos de operación y mantenimiento se espera que sean del orden de $20,000/año. Si la TREMA es de 20% , ¿qué alternativa seleccionaría?
4.6.
Una compañía manufacturera paga al final de cada año, regalías de $10 por unidad producida durante el año. La patente estará vigente por un período adicional de cinco años. Además, se sabe que la producción estimada de los próximos cinco años será de 20,000, 22,000, 24,000, 26,000 y 28,000. Si esta compañía decide pagar en este momento las regalías de los próximos cinco años, ¿cuánto tendría que pagar si su TREMA es de 25%?
4.7.
Un ingeniero· que ha terminado sus estudio� de sistemas computacionales, está contemplando la posibilidad de obtener en el ITESM la Maestría en Sistemas de
Y(
Información. Esta persona estima que con el título-de Ingeniero en Sistemas Com
�a de $200,000 el primer año y
putacionales, su sueldo en los próximos 6 añ
en los subsiguientes el sueldo anual estaría aumentando a una razón de 20% anual. Por otra parte, si esta persona decide continuar con la maestría, el tiempo que se tardaría en obtenerla sería de un año y los gastos que se incurrirían en este tiempo
(2(i'%) �
, y los aumentos de serían de $150,000. Si la TREMA de esta persona es de sueldo con un título de maestría se estiman en 25%¿de qu año tendría que ser el sueldo del primer año después de terminar la maestría, de tal modo que a esta persona le sea indiferente estudiarla? (Suponga el mismo período de 6 años.)
4.8.
Cierta compañía que utiliza en sus evaluaciones económicas una TREMA de 20%, desea seleccionar mediante el enfoque incremental del método del valor presente, la mejor de las siguientes alternativas:
'
72 Método del valor presente
A
Inversión inicial
B
D
e
-$200,000
-$50,000
-$75,000
-$120,000
Gastos netos/año
30,000
25,000
20,000
10,000
Vida
5 años
5 años
5 años
5
4.9.
años
Suponga que al grupo industrial "A" se le ha ofrecido la compra de la compañíaX. Investigaciones preliminares realizadas por el grupo industrial, demuestran que la compañía X puede generar flujos de efectivo netos anuales que crecen a una razón de .20% . Si el flujo de efectivo neto de la companía X para el próximo año es de $20,000,000, y la TREMA que utiliza el grupo industrial es de 20%, ¿cuál es la cantidad máxima que el grupo estaría dispuesto a ofrecer por la companía X? (Considere un horizonte de planeación de 10 años.)
4.10.
Una máquina cuyos gastos de operación y mantenimiento se incrementan a una razón de $20,000/año, puede ser reparada. Con la reparación cuyo costo es de $150,000, se eliminarían los incrementos en los gastos de operación y manteni miento. Para una TREMA de 20%, y un horizonte de planeación de 5 años, ¿con vendría reparar la máquina? (Suponga que los ingresos y el valor de rescate no se modifican si la máquina es reparada.)
\
178 24
5 Método de la tasa interna de rendimiento
El propósito de este capítulo es mostrar un análisis completo del método de la tasa _
interna de rendimiento.
En la primera parte se explica el procedimiento que se debe seguir cuando se analiza un proyecto individual, así como también el enfoque incremental con que se debe aplicar este método cuando se analizan varios proyectos mutuamente exclusivos. En esta primera
parte se hace é;:;fuSis en el significado de la tasa interna de rendimiento, así como en las condiciones que deberán reunirse para que ésta sea única.
En la segunda parte se muestra un algoritmo (ligeramente modificado) que propuso James C. T . .tyiao para resolver el difícil problema de tasas múltiples de rendimiento. En esta parte, primeramente se explica cómo distinguir cuándo una inversión no tiene, tiene solamente una, o tiene múltiples tasas de rendimiento. En seguida, se propone una forma en la cual los proyectos pueden ser clasificados y finalmente se explica el algoritmo general que deberá ser utilizado en la evaluación de inversiones no-simples.
PROYECTOS CON UNA SOLA TASA INTERNA DE RENDIMIENTO 5.1 TASA INTERNA DE RENDIMIENTO
(�)
En todos los criterios de decisión, se utiliza alguna clase de índice, medida de equi valencia, o base de comparación capaz de resumir las diferencias de importancia que exis ten entre las alternativas de inversión. Es importante distinguir entre criterio de decisión y una base de comparación. Esta última es un índice que contiene cierta clase de informa ción sobre la serie de ingresos y gastos a que da lugar una oportunidad de inversión. La tasá· interna de rendimiento, como se le llama frecuentemente, es un índice de rentabi1ldad ampliamente aceptado. Está definida como la tasa de interés que reduce a cero el valor presente, el valor futuro, o el valormual equivalente de una serie de ingresos esta de inversión, es aquella m terna de rendimiento de una p
;c;pli asidein terés i* que satisface cualquiera de las siguientes ecuaciones:
y egre·sus.ES decJr, la tasa t
73
..
74 Método de la tasa interna de rendimiento
n 2:
t= o n 2:
t= o
sr (1 + i* l st (1
+
t i*)n- = o
n 2:
t=O
St (P/F,
(5 .1)
= o
i*,
t) (A/P,
(5 .2)
i*,
n) = O
(5.3)
donde:·
St = n =
Flujo de efectivo neto del período
t.
Vida de la propuesta de inversión.
En la mayoría de las situaciones prácticas es suficiente considerar el intervalo
-1
< i*
<S
oo
como ámbito de la tasa interna de rendimiento, ya que es muy poco probable que en un proyecto de inversión se pierda más de la cantidad que se invirtió. Por otra parte, la figura
5.1
ilustra la forma más común de las gráficas de valor presente, valor futuro y valor anual
equivalente, en función de la tasa de interés. En esta figura, se puede apreciar que todas estas curvas cortan al eje horizontal en el mismo punto, es decir, todas ellas pasan a través del punto que corresponde a la tasa interna de rendimiento del proyecto de inversión.
VAE
VPN
VF
FIGURA 5.1. Gráficas del valor presente, valor futuro y valor anual equivalente, en función de la tasa de interés.
·
5.2 SIGNIFICADO DE LA TASA INTERNA DE RENDIMIENTO En términos económicos la tasa interna de rendimiento repr��enta el porcentaje o la tasa de interés que se gana sobre el saldo no recupenicíocfellña inversión:-
Elsaldo no re-
•
Evaluación de un proyecto individual 15 cuperado de una inversión en cualquier punto del tiempo de la vida del proyecto, puede ser visto como la porción de la inversión original que aún permanece sin recuperar en ese
tiempo. El saldo no recuperado de una inversión al tiempo t, se evalúa de acuerdo a la si
guiente expresión: t
2:
Ft
s
j= o
i
(1 + i*) t-i
(5.4)
Es decir, el saldo no recuperado de una propuesta de inversión en el tiempo t, es el valor futuro de la propuesta en ese tiempo. Para comprender mejor el significado de la tasa in tema de rendimiento, la tabla de rendimiento son (le
5-1 muestra dos pro yectos de inversión cuyas tasas internas 15%. Cada uno de estos proyectos pu�de ser interpretado como un
acuerdo en el que una persona ha pedido prestad un
�omprometiéndose
15% sobre el saldo, y reducirlo a cero al final del plazo del crédito. TABLA 5.1. Dos propuestas de inversión con la misma TIR Año
Propuesta B
Propuesta A
o
-$1,000
-$1,000
2
350
150
4
350
1,150
;/ 1"
/)
150
350
150
350
3
,,!2,
a pagar
El saldo no recuperado de una inversión en el tiempo t, también se puede encontrar de acuerdo a la siguiente expresión: F t
=
F t-l
(l
(5.5)
+ i*) + St
Para aclarar la aplicación de la ecuación (5.4) o la (5.5), la tabla 5-2 muestra los saldos no recuperados para cada uno de los años de las propuestas mostradas en la tabla 5-1. A través de la tabla 5-2 se puede comprender mejor el significado de la tasa interna de rendimiento.
Una de las equivocaciones más comunes que se cometen CQ!l el significado de
1�
TIR, es considerarla como la tasa de interés que se gana sobre la inversión iniciai requerida
por la propuesta.
Sin embargo, lo anterior es correcto solamente en el caso de propuestas
cuyas vidas sean de un período. Para el caso de la propuesta B mostrada en la tabla 5-2,
la tasa interna de rendimiento sí indica el rendimiento obtenido sobre la inversión inicial.
En conclusión, de las ideas presentadas en esta sección, surge el significado funda
mental de la TIR: "Es la tasa de interés que se gana sobre el saldo no recuperado de una inversión , de t�odo que el saldo al final de la vida de la propuesta es cero".
-�---� --- -------
5.3
- ---
EVALUACION DE UN PROYECTO INDIVIDUAL Con el método de la tasa interna de rendimiento, es necesario calcular la tasa de
interés
(5 .3) y compararla (/*) que satisface cualquiera de las ecuaciOnes (5"1), {5:2) o-con ---
---
--
--· ·--
--
.
76 Método de la tasa interna de rendimiento
TABLA 5-2. Dos propuestas de inversión que demuestran el significado básico de
laTIR.
Propuesta A
B
Año
Flujo de efectivo al final del año t
o
-$1,000
1
350
-$1,000.0
-$150.0
2
350
800.0
-\20.0
3
350
570.0
-
85.5
-
44.5
Saldo al comienzo del año t
Intereses sobre el saldo
Saldo al final del año t -$1,000.0
- .
4
350
o
-$1,000
1
150
-$1,000
-$150
305.5
800.0 -
570.0
-
305.5 0.0
-$1,000
-
- 1,000
2
150
- 1,000
- 150
- 1,000
3
150
1,000
150
- 1,000
4
1 ,150
1,000
- 150
o
la tasa de recuperación mínima atractiva
(TREMA).
Cuando i* sea mayor que
TREMA,,
conviene que el proyecto sea emprendido. El método de la tasa interna de rendimiento y los métodos explicados en capítulos anteriores, so
� es decir, que para un mismo proyecto, con cada uno de estos
métodos se llegaría a la misma decisión. Lo anterior puede ser más fácilmente compren dido si se observa la figura 5.2.
A
través de esta figura: se puede comparar la equivalencia
del método de laTIR y el método del valor presente. Por ejemplo, en dicha figura se puede apreciar! que si i* es mayor que TREMA, entonces VPN(TREMA1) es inayor que cero. Por el contrario, si i* es menor'que
TREMA,
entonces VPN(TREMA2)es menor que cero.
Por consiguiente, es obvio que con ambos métodos se llegaría a la misma decisión de acep tar o rechazar el proyecto. VPN
\) :s-.1 u..( •
./• �
. rVPN(TREMA¡)
.::.,cJl
\/
\e_
e r:i /o
·-¿
}'
TREMA2
TREMA¡
TREMA(%) VPN (TREMA2)
FIGURA 5.2. Valor presente neto y
su
relación con el método de laTIR.
Para comprender mejor la mecánica de este método, a continuación unos ejemplos son evaluados por el método de
laTIR.
·
Evaluación de un proyecto individual 77
Ejemplo5.1 Suponga que cierto grupo industrial desea incursionar· en el negocio de camionetas utilizadas en la exploración y análisis de pozos petroleros. Entre los servicios que este tipo de camioneta puede proporcionar se pueden mencionar los siguientes: la localización y evaluación de zonas petroleras, la determinación de la estructura del terreno en el pozo (rocoso, arenoso, etc.), la estimación de la porosidad y permeabilidad adentro del pozo, la evaluación de la calidad de la cimentación de la tubería, y fmalmente se pueden hacer los orificios necesarios a través de los cuales se podrá extraer el fluido.También, considere que la inversión inicial requerida por una camioneta, la cual consiste de una micro-computadora, de un sistema de aire acondicionado que mantiene a la micro-computadora trabajando a una temperatura adecuada, y de un generador que proporciona la energía requerida por la camioneta, es del orden de
$4,000,000.
Por otra parte, suponga que los ingresos netos
anuales que se pueden obtener en este tipo de negocio son de
$1,500,000.
Finalmente,
suponga que la vida de la camioneta es de 5 años, al final de los cuales se podría vender en
$500, 000 y
que la TREMA es de
20%.
Para la información anterior, la tasa interna de rendimiento es la tasa de interés
i*
que satisface la ecuación:
-4,000,000
+
1,500,000(P/A, i*,5)
y haciendo tanteos se encuentra que
i*
=
+
27.3%.
500,000(P/F, i*,5)
Puesto que
i* es
=
O
mayor queTREMA, el
proyecto deberá ser aceptado.
Ejemplo5.2 Suponga que una persona adquirió un bono por la cantidad de
$1 ,000.
Si la vida del
bono es de 5 años, al fmal de los cuales se recupera el valor de la inversión, y los intereses que se ganan al final de cada año son de
$200,
¿cuál es laTIR que se obtiene en esta in
versión? La TIR que se,obtiene en la compra del bono, es la tasa de interés
i*
que satisface la
ecuación:
- 1,000
+
200(P/A, i*, 5)
+
1,OOCX._P/F, i*, 5)
=
O
Sin embargo, para los casos en que el valor del rescate es igual a la inversión, la TIR se debe obtener al encontrar la tasa de interés
i*
que iguale a cero el valor anual equiva
lente. Para lograr esto, es necesario utilizar la siguiente identidad:
(A(P, i%, n)
=
(A/F, i%, n)
+
i%
(5.6)
Por consiguiente, para encontrar la TIR de esta inversión, es necesario encontrar la tasa de interés i* que satisface "ra ecuación:
- l ,OOCX._A /P , i*, 5) y utilizando la identidad
+
200
(5 .6) se obtiene:
+
l,OOCX._A/F,
i*,
n
)
=
O
78 Método de la tasa interna de rendimiento
- 1 ,000( (A/F, i*, 5) + i*) + 200 + IOOO(A/F, i*, 5) =O y simplificando se obtiene que
i*
=
20%.
En conclusión, se puede decir que cada vez que el valor de rescate sea igual a la in
versión, y los flujos de efectivo netos de cada período sean constantes, la tasa interna de
rendimiento no depende de la vida de la propuesta y se obtiene por medio de la siguiente expresión:
i*
Flujo de efectivo anual neto
(5.7)
inversión inicial
5.4 EVALUACION DE PROYECTOS MUTUAMENTE EXCLUSNOS
En la evaluación de proyectos mutuamente exclusivos por el método de la TIR,
existen dos princi.E_ios que se deben de tomar muy en cuenta. Estos principios son los si guientes: •
Cada incremento de inversión debe ser justificado, es decir, la alternativa de mayor
·-in-versiOn será la mejor siempre y cuando, la fasa interna de· rendimiento del in crei11eñÍoenÍ; inversión sea mayor que TREM¡:--
V
•
Solamente se puede comparar una alternativa de mayor inversión con una de ----
menoriñVefsión, si ésta ya ha sido justificada.
El criterio usual de selección al utilizar este método, es escoger el proyecto de ma
yor inversión para el cual todos los incrementos de inversión fueron justificados. Debe ser
notado que cuando el método de la TIR es utilizado, seleccionar el proyecto de mayor TIR podría conducir a decisiones subóptimas.
-
Con el criterio de decisión anterior, se está tratando de máx1mizar la cantidad de
dinero en términos absolutos, en lugar de maximizar la eficiencia en la utilización del dine ro. Lo anterior significa que si una determinada empresa ha establecido una TREMA
20%, dicha empresa preferirá ganar $250 alhacer una inver� $1-�000en� � lOalhaceruna inversión de$15. de
--
-
--
-
-
-
-
La aplicación del �riteri; de selección que se recomienda utilizar con el método de
la TlR, implica determinar la tasa interna de rendimiento del incremento de inversión. Esta tasa de rendimiento puede ser encontrada por cualquiera de las siguientes alternativas: •
•
•
Encontrar la tasa de. interés para la cual los valores anuales equivalentes de las dos alternativas son iguales.
Encontrar la tasa de interés para la cual los valores presentes de las dos alterna" tivas son iguales.
Encontrar la tasa de interés para la cual el valor presente del flujo de efectivo neto de la diferencia entre las dos alternativas es igual a cero.
Para comprender mejor el criterio de decisión utilizado en el método de la TIR
cuando varios proyectos mutuamente exclusivos son comparados, a continuación una serie de ejemplos son presentados.
Y-r!ell"Y�S6'
Evaluación de proyectos mutuamente exclusivos 19
Ejemplu5.3
51
rn<::>.'/'0
y
J U r1J'jvr- '"-r>�no(
Q n
Se desea seleccionar de entre los siguientes proyectos de inversión, el más adecuado. Suponga una TREMA de 15%. Propuesta
$10,000 S años 3,344
Inversión Vida Ingresos netos/año
Propuesta B
A
$1S,OOO S años 4,500
De acuerdo al procedimiento descrito anteriormente, es necesario primero justificar el proyecto de menor inversión. En este caso, la TIR del proyecto A es la tasa de interés que satisface la siguiente ecu� ión:
+
-10,000
3,344{P/A. i*A, 5)
"
lj '"""
=
O
)"-
"' �...,t �-..,
v
la cual resulta ser de 20%. Como laTIR del proyecto A es mayor queTREMA, entonces, el proyecto de menor inversión ha sido justificado .. Cabe señalar que en el caso de que se tengan muchos proyectos, el procedimiento anterior es repetido hasta que el primer pro yecto se justifi ue. Si ningún proyecto es JUStlÍicado, entonces la mejor deci§.ió.n_g:ría "no
-J)
O
acer nada'.
Una vez gue el proyecto A ha sido justificado. el siguiente paso es justificar el incre mento en la inversión que requiere el proyec o
;
orma siguiente:
4
,500/año
1'
15,000
5
¡
_
�
-
añ
3,344/ o
1
10,000
B.
.p fr::' � '/ 7 ¡vfT
ro ecto B. Para tal propósito, vamos a e<>pr!!sa..I.Ji.L
�
\,
1,156/año
••
1
5
5
+
5,000
A
1
\ ..,
(B-A)
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•
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(')'C':I
Del diagrama anterior, se puede observar que el proyecto B puede ser interpretado como la suma del proyecto A (el cual ya ha sido justificado), más una inversión de $5,000, la cual genera $1,156 cada año durante 5 años. Lo anterior significa, que el proyecto B debe ser aceptado en lugar del A, si laTIR del incremento en la inversión que requiere, es mayor que 1REMA. Esto es obvio, puesto que sería ilógico iñCrerñeñtar Ta inversión si esta no produce al menos un rendimiento igual a TREMA. Por consiguiente, la TIR del increm;;ñ� �n la inversión que requiere el proyecto B, ()S la tasa de interés i* - que sa BA tisface la ecuación: 2
-5,000
+
1,156(P/A,i* B -A'5)
=
O
L!
_ti-
la cual resulta ser de 5%. Puesto que este rendimiento es menor queTREMA, entonces el incremento en 1'!, inversión no se justifica y el mejor proyecto es el A. '
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80 Método de la tasa interna de rendimiento
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Con el propósito de ilustrar y aclarar la aplicación de esta metodología al caso en el cual solamente los costos son conocido� enseguida se comparan los siguientes proyectos. Para este análisis se considera una TREMA de 15%. Propuesta A
Inversión Vida
Propuesta B
$10,000
$15,000
5 años
5 años
Costos netos/año
4,000
2,600
los cuales Como se explicará más adelante, existen flujos de efectivo para - no existe - .......__,_--
tasa interna de rendimiento. Las propuestas A y B pertenecen a esta categoría, ya que sus flu}oscieéTectivo están formad Cuando
se
�ros egresos. �- Iffi)yectos donde solamente los gastos son conocidos,
c
implícitamente suponiendo cualquiera de las siguientes situaciones: neran los mismos ingresos, ó
2)
1)
se
está
Los proyectos ge
con todos los proyectos se ahorra la misma cantidad de
dinero. Para comparar proyectos en las circunstancias descritas anteriormente, además de las suposiciones previas, es necesario estimar que el proxecto de menor inversión está._@s- / tificado de antemano, es decir, cuando solamente los gastos de los proyectos son cono-
---
cidos,
1� !!ªda" no puede ser considerada. Por consiguiente, el�r
paso en la comparación de proyectos mutuamente exclusivos, sería justificar el incre'ffien!o en la inversión de segyndo proyecto de mayor inversión con respe�or
i�.Qn.
i este incremento no se justifica, entonces se tratará de JUStificar el incremento
en la inversión del tercer proyecto con respecto al primero, y así sucesivamente. de que ningún incremento de inversión se justifique, el____2!:__0ye_cto-sel�eeieA-a-d.o-menor mversión.
�aso
s�e
--
Para el caso particular que se está analizando, el proyecto B requiere de una inver-
sión adicional de
$5,000, a cambio de la cual producirá un ahorro en los costos de $1 ,400
por año. Para esta información, la tasa de rendimiento del incremento en la inversión se obtiene al resolver la siguiente ecuación:
-5,000
+
I,400(P/A,
i*B-A'
5)
=
O
y puesto que la tasa de interés (i*B- ) que satisface la ecuación anterior es 12.37%, en A tonces el incremento en la inversión no se justifica, y el mejor proyecto es el A.
PROYECTOS CON MULTIPLES TASAS INTERNAS DE RENDIMIENTO La mayoría de las propuestas de inversión que son analizadas en una empresa, con sisten de un desembolso inicial, o una serie de desembolsos iniciales, seguidos por una serie de ingresos positivos. Para estas situaciones, como más adelante se verá, la existencia de una sola tasa interna de rendimiento facilita grandemente el proceso de toma de deci-
Proyectos con múltiples tasas internas de rendimiento 81
siones. Sin embargo, no todas las propuestas de inversión generan flujos de efectivo de este tipo. Para algunas propuestas, los desembolsos requeridos no están restringidos a los primeros períodos de vida de la inversión. Por consiguiente, es posible que en los flujos de efectivo netos existan varios cambios de signo. Para estos casos, es posible que la propuesta presente el fenómeno de tasas múltiples de rendimiento. Es indudable que la discusión de proyectos con tasas múltiples de rendimiento, aumentará el entendimiento que se tiene del método de laTIR. Por consiguiente, en esta sección del capítulo se describe y explica un método que se recomienda usar cuando la propuesta posee múltiples tasas de rendimiento.
5.5 PROYECTOS SIN TASAS DE RENDIMIENTO
Se debe de reconocer que existen algunos proyectos para los cuales no existe tasa interna de rendimiento. El ejemplo común de esta situación se presenta en los casos en que el flujo de efectivo está formado en su totalidad, ya sea por ingresos o egresos. Generalmente, los casos más comunes de este tipo son los proyectos para los cuales se conocen solamente los egresos. Para este caso, no es posible determinar la tasa interna de rendimiento de cada proyecto en forma individual. Sin embargo, como ya se explicó anteriormente, sí es posible aplicar el método de laTIR en una forma in_cremental a lisis y evaluación de proyectos mutuamente exclusivos donde SQ.l(!mente los gastos son conocidos.
5.6 PROYECTOS CON UNA SOLA TASA INTERNA DE RENDIMIENTO
Porque es deseable y fácil de analizar las propuestas con una sola tasa interna de rendimiento, es necesario conocer las condiciones que se tienen que cumplir para que se garantice la existencia de una sola tasa de rendimiento. Se puede decir por norma general, que toda propuesta de inversión cuyos desembolsos ocurranen los primeros períodos de
su vida, y los l.ñgresos en los períodos posterillres:-y -;;:d��á�Cüñipla que lasillna-al;>so
lutaaelos 1ngreso·s es mayor que la suma absoluta de iosegresos, teñdrá umif·urrción de
valor presentesimilar a la presentada en la figura 5.2, es decir, la propuesta tendría una -sola tasa interna derendi�i;nto. - La tabla 5� muestra los flujos de efectivos de dos propuestas (A y B) que sí cumplen con las condiciones anteriores y dos propuestas (C y D) que no las cumplen. Para la pro
puesta A la suma de los ingresos ($15 ,000) es mayor que la suma de los egresos ($5 ,000) y para la propuesta B también los ingresos ($6,000) exceden a los egresos ($3,500). Para estas propuestas sí se garantiza la existencia de una sola tasa interna de rendimiento. Sin
embargo, para las propuestas C y D es posible que sus funciones de valor presente sean di ferentes a la mostrada en la figura 5 .2.
5.7 PROYECTOS CON MULJIPLES TASAS INTERNAS DE RENDIMIENTO
Para la toma de decisiones, los proyectos con una sola tasa interna de rendimiento son mucho más fáciles de manejar que los proyectos con tasas múltiples de rendimiento. Cl]ando se tienen varias tasas de rendimiento surgen preguntas tales como: ¿Cuál tasa de
-.....
82 Método de la tasa interna de rendimiento
TABLA S-3. Proyectos con diferentes comportamientos de flujos de efectivo. Año o
1 2 3 4 5
Propuesta A
Propuesta B
Propuesta C
Propuesta D
-$5,000 1,000 2,000 3,000 4,000 5,000
-$2,000 1,000 500 1,500 2,000 2,500
-$10,000 5,000 6,000 - 15,000 8,000 10,000
-$3,000 o
4,000 o
- 5,000 8,000
rendimiento es la correcta? O ¿son aplicables las reglas de decisión para la selección de pro yectos cuando se presentan tasas múltiples de rendimiento? La respuesta a estas preguntas se comprenderá mejor cuando se analice el método de James C. T. Mao. Para identificar la posibilidad de tasas múltiples de rendimiento, a continuación se
·
muestra la expresión para evaluar el valor presente de la propuesta e mostrada en la tabla 5-3.
VPN
=-
10.000 + __2,QQQ__ + (1 + i)
6,000 (1 + i)
15.000 2
(l + i)3
+
8,000 4 (1 + i)
+
10,000 s (1 + i)
=
o
y sustituyendo X= 1/(1 + i) en la ecuación anterior, se obtiene: -1 O ,000 + 5 ,OOOX + 6,000X2
- 15 ,OOOX3 + 8 ,OOOX4 + 1O ,OOOX5
=
O
Para este polinomio es posible que existan 5 raíces que satisfagan la ecuación. El número de raíces reales positivas (X) es igual al número de tasas múltiples de rendimiento que tiene la propuesta de inversión. Sin embargo, la pregunta que surge en este momento es: ¿Cuál es el efecto del comportamiento del flujo de efectivo de la propuesta en el número de tasas int ernas de rendimiento?
Una regla útil para identificar la posibilidad de tasas
múltiples de rendimiento, es la regla de los signos de Descartes para un polinomio de grado n,
n.
Esta regla dice que el número de raíces reales positivas de un polinomio de grado
con coeficientes reales, no es nunca mayor que el número de cambios de signo en la
sucesión de sus coeficientes, en caso de que el_ número de tales raíces sea menor, la dife rencia será un número par. Por ejemplo, para las propuestas A y B de la tabla 5-3, la regla de los signos indica que no existe más de una tasa de rendimiento. En el caso de las propuestas e y D la regla de Descartes nos indica que el número máximo de raíces reales positivas, es tres.
LGORITMO DE JAMES C. T. MAO La aplicación del algoritmo de James C. T. Mao, requiere que los proyectos sean cla sificados en ciertas categorías. Esta clasificación permite visualizar más rápidamente a aquellos proyectos que presentan el fenómeno de tasas múltiples de rendimiento. 5.8.1
Clasificación de los proyectos Las inversiones en general -pueden ser clasificadas de acuerdo al diagrama mostrado
en la figura 5.3. En este diagrama se puede observar que las inversiones pueden ser de dos
Algoritmo de James C. T. Mao 83 tipos: simples y no-simples. En los flujos de efectivo de las inversiones simples, solamente puede haber un cambio de signo. Con esto se garantiza la existencia de una sola tasa interna de rendimiento. Por el contrario, en los flujos de efectivo de las inversiones no-simples, ·pueden existir_varios cambios de signo. Las inversiones no-simples a su vez se subdividen en do-;tipos: inversioneS'puras e inversiones mixtas. De estos dos tipos de inversiones, las
que presentan el problema de tasas múltiples de rendimiento son las inversiones mixtas. Debe ser notado que aunque las inversiones puras tienen varios cambios de signo en sus flujos de efectivo, éstas solamente tienen una sola tasa interna de rendimiento.
Simples (una sola TIR)
(
Inversiones
Puras (una sola TIR) No-simples Mixtas (varias TIR's) FIGURA 5.3. Clasificación de las inversiones.
La distinción entre inversiones simples y no-simples es muy sencilla, basta con de terminar el número de cambios de signo en el flujo de efectivo de la inversión. Sin em bargo, la clasificación de las inversiones no-simples en puras y mixtas es más difícil de visualizar. No obstante esta dificu1tad se han desarrollado dos criterios que resuelven este problema.
Con el primer criterio, una inversión pura está definida como una inversión en la
que los saldos no recuperados (ver ecuaciones rendimiento de la inversión
(i*)
,
5.4
y
.
5.5) evaluados con la tasa
Por consiguiente, una iffi'ers�ón es pura si, y sólo sí
Ft (i� < O para t =O. 1, 2 . . ,.!!_ -l. Po_r r�(i*) �O pa_@ �lgu_nos valo
el contrario, una inversió�. mixt� es un proyecto para el cual res de t y
Fr(i*) .,;; O
interna de
son negativos o ceros a través de la vida de la propuesta.
para el resto. Para inversiones puras sí podemos hablar de su tasa
interna de rendimiento, mientras que para las mixtas el rendimiento obtenido tiende a variar con la TREMA de la empresa. Otra forma de clasificar los proyectos es explicada a continuación. Debe ser notado que debido a que la inversión inicial es un desembolso, se puede lograr que cualquier in
versión satisfaga la condición
i
r�(i) < O para t =O,
1 ,2, ... , n-1, al incrementar el valor de
a alg� valor _crítico que llamaremos 'mín. Con este valor de
i, 1-�1 (r111 bz)
puede ser
Puesto que
r* > ;·nzín,
positivo, cero, o negativo. Si
entonces existe alguna tasa de interés
(rendimiento sobre el capital
que hará r� (r*)
entonces
F11(r111zí1) > O, invertido) > 'm in
r�(r*) < O para t =O, 1, 2,... , n-1 y por r� (rm ín) < O, existe alguna r* < rm in que
embargo, si
=O.
r*
lo tanto la inversión es pura. Sin
hará
¡.� (r*) =O.
Puesto que rm in es
84 Método de la tasa interna de rendimiento la mínima tasa de interés para la que los saldos del proyecto para t = O, 1 , 2, ... , n-l son ceros o negativos, el proyecto no será una inversión pura, ya que los saldos no recupera dos del proyecto utilizando
r*
pueden ser positivos o negativos. Por consiguiente, se
puede concluir que una inversión es pura si Fnfrm in) >O, y la inversión será mixta si Fn(rm¡,)
TABLA 5-4. Criterios utilizados en la clasificación de las inversiones no-simples en puras y mixtas.
Criterio l. Sea Si Si
i* un valor tal que VPN(i*) Fr (i*) � O para t =O, l, 2, ... , Ft(i*) � O para algunos valores =
O. n-l entonces la inversión es pura. de t y
F1(i*);;;. O
para el resto, entonces la in
versión es mixta. Criterio 2. Sea Si Si
rmín un valor tal que F1(rmín) �O para t =O, F�(rm ín) >O, entonces la inversión es pura Fn(rm in)< O, entonces la inversión es mixta
.
1, 2,.. , n-1
( 5.8.2 Descripción de algoritmo !;1 algoritmo de James C.
T.
Mao es un procedimiento que se recomienda utilizaLill.lft
evaluación de inversiones no-simples. La descripción de este algoritmo se muestra en la fi gura 5.4. En esta figura, se puede observar que el primer paso en la aJili.cación de e�te algo ritmo es encontrar por tanteos r m
ín�elv.al.or de rm ín se evalúaFn('in ín2_Y se determina
si la invw;ió.ILe_s_pura o mixta. Si la inversión es gura, el problema de tasa� múltiples de rendimiento no existe y la evaluación sería similar a la de las inversiones sir!!ples. Por el contrario, si la inversió�mixta es necesario calcular invertido) de modo que Fn fr * , TREMA)
=
r*
(rendimiento sobre el capital
O. Si el-¡endimiento sobre el capital invertido
es mayor que TREMA, el proyecto debe ser aceptado. La diferencia fundamental entre inversiones puras y mixtas estriba en los saldos del proyecto. En las inversiones puras, el saldQ_no__recuperado deJa inversión siemp�ega tivo, es decir_, eL proyecto de i�versión siempre nos deb� y esta deuda se reduce a_c_e_tO-al fmal de su vjda. En las inversiones mixtas, el saldo no recuperado de la inversiól]_g.ueae-ser ¡>Ositivo o negativo. Si el saldo es negativo, entonces después de transcurrir un período el proyecto nos deberá una cantidad que depende de r*. Por otra parte, si el saldo es positivo, entonces sigrufica que se dispone de cierta cantídaa de dinero que puede .ser invertida a una tasa de interés igual a TREMA. Para comprender mejor la lógica de este algoritmo, a continuación una serie de ejem plos son presentados.
Algoritmo de James C. T. Mao 85 Paso l. Paso2. Paso J.
Encontrar por intento y error
)
Fn(rm ín)F11(rmín) >O?
valuar
¿Es
rm
·
{n.
Si la respuesta es afirmativa, entonces el proyecto es una
inversión pura y por consiguiente existe una sola tasa interna de rendimiento, la cual deberá ser comparada con TREMA. Si la TIR >TREMA la inver sión debe ser aceptada. Por el contrario, si la respuesta es negativacontinúe _
con el paso Paso4:
4.
Calcular los saldos no recuperados del proyecto en la forma siguiente: F,(r*, TREMA) Ft(r*, TREMA)
Paso5.
Fr.1 (1 +r*) +Sr
==
si Fr_1
Ft-1 (I +TREMA) + Sr
==
sif't-J >O
Determine el valor der* de modo que: f�(r*, TREMA)
=
O
sir*> TREMA, entonces el proyecto debe ser aceptado. FIGURA 5.4. Descripción inversiones no-simples.
del
algoritmo
de James C.T. Mao en la evaluación de
6]emplo5.5
- r ,
:::;1' -:t
Suponga que cierta compañía que usa una TREMA de 25%, se encuentra analizando la deseabilidad económica de una inversión que promete geñerar la siguiente serie de flu jos de efectivo: Año
2
3
4
200
-400
1,000
o
-200
Flujo de efectivo
100
Puesto que la inversión es no-simple, el primer paso del análisis es determinar si el proyecto es una _i!!yersión pura o una mixta. Para este proyecto, se van a utilizar los cri terios que aparecen en la tabla de interés que iguala
-200
a-
lOO
+
5-4.
De acuerdo_'!} criterio_l_, se requiere encontrar la tasa
cero el valor presente del proyecto:
(1
+ i*)
+
200 (1 + i*)2
(1 + i*)3
y la tasa de interés i* que satisface la ecuación anterior es rendimiento los saldos no recuperados del proyecto son: Fo (58.7%) F2 (58.7%) F4 (58.7%)
==
=
=
-200
F1
-145
F3
O
o
400
+
l ,000
(1
58.7%. '
(58.7%) (58.7%)
o
+ i*)4
,¡pt. J
(-::- s:s.+
Con esta tasa interna de
-217
4
-630.2
-0.
(V'
86· Método de la tasa interna de rendimiento
y puesto que pura.
Ft
(58.7%)
Por otra parte, de acuerdo al segundo criterio,
larmín de este proyecto sería la tasa
de interés que hace igual a cero el saldo del proyecto al tmal del año 2. Lo anterior es obvio, puesto 'que si el saldo en el año 2 es cero, esto significa que el saldo del proyecto al fmal del año 1 es negativo y con esto se cumpliría que F/!m in)
Por consiguiente, r m in es la tasa de interés que satisface la siguiente ecuación: -200(1 +rm ,
m )2
y el valor de
rm ín
+ 100(1 +rm ,n ) + 200
z
=
O
que resulta de resolver esta ecuación es 28.1%. Con este valor de rm
el saldo del proyecto al finalizar el año 4 sería:
F4(28.1%)=-400 (l + .281) +
l,OQO
=
ín,
487.6
y puesto que este valor es positivo, el proyecto es una inversión pura.
\
Puesto que la inversióTJ es pura, existe una sola tasa interna de rendimiento que es 58.7%. Como laTIR es mayor queTREMA, el proyecto debe ser aceptado.
Finalmente, es importante señalar que de los criterios presentados para distinguir cuando una inversión es pura o mixta, el segundo es más fácil y rápido de aplicar. Por consiguiente, en los ejemplos subsiguientes se utilizará únicamente este segundo criterio.
·1
11 ,,,
,,,
Ejemplo5.6 Suponga que cierta empresa que usa unaTREMA de 25%, desea evaluar un proyecto de inversión que promete generar los siguientes flujos de efectivo: 1
Añ-
e>
Flujo de efectivo
-600
2 800
-600
3
4
700
100
Para distinguir si este proyecto es una inversión ;mra o una mixta, es necesario pri mero determinar
existe una r m ín al final del año
l
rmfn
y enseguida evaluar F4
(rmfn)·
Del flujo de efectivo, es obvio que
para el año O y l. Estarmín 1 de 33.33% l:ace que el saldo del proyecto sea cero. También, del mismo flujo de efectivo se desprende que para el
año 2 y 3 existe otra rmí n
de 16.67% que hace que el saldo del proyecto al final del año
3 sea cero (considerando el año 2 y 3 únicamente). De estas dos tasas de interés, la que
satisface que Ft ( rmín)
para t = O, 1, 2, 3, . . . , n-l.
F/rm ín)
Con el va 1or derm in = 33.33%, el saldo del proyecto al final del año 4 sería: F4(33.33%) =
-600(1+ .333)2 + 700(1 + .333) + 100
=
y puesto que este valor es negativo, el proyecto es una inversión mixta.
-33.33
·
Problemas 87
Como el proyecto es una inversión mixta, el siguiente paso de acuerdo a la figura 5.4, es encontrar el rendimiento sobre el capital invertido r*. El valor de r* se obtiene al resolver la siguiente ecuación: F4(r*,TREMA)
=
O
Normalmente el procedimiento para encóntrar el valor de r* requiere de una serie de tanteos. Sin embargo, se recomienda que el primer tanteo para r* sea un valor igual a
TREMA.
De esta manera, si F4(r*,TREMA)> O, entonces significa que r* >TREMA y
el proyecto debe ser aceptado. Por el contrario, si F4(r*,TREMA)< O, entonces signi fica que r*
=
25%,
el saldo del proyecto al fmal del año cuatro sería: 4 3 F4(25%) = -600(1.25) + 800(1.25) -600(1. 25)2 + 700(1.25) + 100
=
135
puesto que este valor es positivo, r* > 25% y el_proyecto debe ser aceptado. hra deter minar el valor exacto de r*, es necesario hacer una serie de tanteos hasta que su valor exacto es determinado. Por ejemplo, el siguiente tanteo para r* será de 31%. Con este valor de r*,los saldos del proyecto para cada uno de sus años serían: F0
- -600
F1
=
F2
F3 F4
= = =
-600 (1 + .31) + 800 14 (1 + .25) -600
=
=-
-582.5(1 + .31) + 700
14
582.5 =
-63.08
-63.08(1 + .31) + 100 = 17.32
y como el saldo del proyecto al fmal del año 4 es positivo,es necesario aumentar el valor de r* para satisfacer que F4(r*,TREMA)= O. Por consiguiente,etsiguiente tanteo para r* será de 32%. Con este nuevo valor de r *,los saldos del proyecto serían: F0 F1
=
=
-600 -600 (1 + .32) + 800
F2
=
8(1 + .25) -600
F3
=
-590(1 + .32) + 700
F4
=
-78.8(1 + .32) + 100
=
8
=
-590 =
=
-78.80 -4.01
y puesto que el saldo del proyecto al fmal del año 4 es negativo, el valor exacto de r* está entre 31% y 32%. Interpolando entre estos valores se encuentra que r*
=
31.8%.
PROBLEMAS 5 .1
/
Un cierto componente que es utilizado en la producción de un producto fabricado por la compañía X, tiene actualmente un costo de $1 00/.unidad. La
compañía X
con el propósito de ahorrarse la gran cantidad de dinero que anualmente· se gasta en la compra de este componente, está analizando la posibilidad de comprar el equipo necesario para su producción. Investigaciones preliminares del equipo re-
88 Método de la tasa interna de rendimiento
querido indican que su costo inicial es de $100,000 y su valor de rescate después de 5 años de uso es de $20,000. Además, si el equipo es adquirido, los costos fijos anuales serían de $5,000 y los gastos variables serían de $25/unidad. Si la demanda anual para este componente es de 500 unidades, ¿cuál es la tasa interna de rendi miento que resulta de adquirir el equipo necesario para su producción? Un estudiante que actualmente ha terminado su carrera de Ingeniero Mecánico
5.2
Administrador en el ITESM, estima que los costos incurridos durante su carrera equivalen al momento de su graduación a $250,000. Si en virtud de esta prepara ción adicional, dicho I ngeniero espera ganar el primer año de trabajo $30,000 más que lo que ganaría una persona sin preparación profesional, ¿cuál es la tasa interna de rendimiento que obtiene este Ingeniero si los aumentos adicionales en sueldo se estima que crecerán a una razón de 15% anual? (Considere un horizonte de 5.3
/
planeación infinito.) Un torno puede ser adquirido a un valor de $1 ,000,000. Se estima que este torno va a producir ahorros en los costos de producción de $150,000 anuales. Si la vida de este aparato es de lO años al final de los cuales su valor de rescate se considera despreciable, ¿cuál sería la tasa interna de rendimiento que resulta de la adquisi ción de esí:e equipo?
5.4
Dos tipos de compresores están siendo evaluados por la compañía X. El com presor A cuesta $100,000 y sus costos de operación y mantenimiento se estiman
\
en $30,000 anuales. Por otra parte, el compresor B cuesta $80,000 y sus costos de operación y mantenimiento se estiman en $35,000 anuales. Si se utiliza un hori
n� de 25%, y los valores de rescate de
zonte de planeación de 8 años, u
j
5.5
\
estos compresores se estiman en 15% de su valor original; ¿qué alternativa selec'7 1 rz. cionaría? '/ Considere las siguientes alternativas de inversión:
A
B
Ingresos anuales
-$300,000 200,000 120,000
-$400,000 250,000
Valor de rescate Vida
60,000 5 años
50,000
Inversión inicial Gastos anuales
150,000 5 años
Si la TREMA es de 25%, ¿cuál es la TIR del incremento en la inversión que de 5.6
manda la alternativa B?
Usando una TREMA de 20%, determine laTIR del incremento en la inversión re querido por la alternativa B:
A
B
.
---
Inversión i;licial
$500,000
Gastos anuales del año K
50,000(l.l)K-l 60,000
Vida
10 años
Valor de rescate
$750,000 20,000(1.1 )K.¡ 100,000 lO años
Problemas 89
/ Una compañía está considerando la posibilidad de arrendar o comprar una copia
5 _7
dora. Si la copiadora es arrendada se pagaría al principio de cada año una cantidad de $100,000_ Si se compra la copiadora su costo inicial sería de S400,000 y su valor de rescate después de 5 años de uso sería de SSO,OOO_ Si la TREMA es de 20%, ¿debería la compa11ía comprar o arrendar la copiadora? Una destilería está considerando la posibilidad de construir una planta para pro
5 _8
ducir botellas_ La destilería anualmente requiere 500,000 botellas. La inversión inicial requerida por la planta se estima en $1 ,000,000, su valor de rescate después de 1O años de operación se estima en $150,000 y sus gastos anuales de 6percrtión \ y mantenimiento se estiman en $50,000_ Si la TREMA es de 25%, ¿para qué pre cio de la botella debería la destilería construir la planta? Un bono con valor nominal de $100,000 que paga intereses semestrales del l2%
5_9 ""*
del valor nominal, y cuya vida es de 10 años, va a ser vendido después de recibir los intereses correspondientes al sexto semestre en S 120,000 ¿Cuál es la TI R que _
se obtendría en esta transacción? 5.1O
Una cierta compaüía está analizando cinco alternativas con las cuales se puede realizar un cierto trabajo. El valor de rescate de cada alternativa se estima después de 5 afíos de vida en 100% de su inversión originaL Si la TREMA de esta compafíía es de 25%, ¿qué alternativa debe ser seleccionada?
Inversión inicial Ingresos netos/año
A
B
e
D
E
$10,000
$12,000
$15,000
$20,000
$30,000
2,000
3,000
3,500
5,500
7,500
lj
5.11
Determinar si el siguiente proyecto de inversión es una inversión pura o una mixta.
11
,,
También determine si con una TREMA de 20% el proyecto debe ser aceptado_
Año Flujo de efectivo
5.12
o
1
2
3
4
-2,000
o
10,000
o
o
5 -10,000
La compai'íía X se encuentra analizando el siguiente proyecto de inversión:
Año Flujo de efectivo
o -1,000
1 4,700
2
3
-7,200
3,600
Si !á TREMA es de 30% ¿debería el proyecto ser aceptado? ¿Cambiaría su decisión si la TREMA es de 60% '? 5.13
Para el siguiente proyecto de inversión, determine si con una TREMA de 30% el proyecto se justifica.
� /"''
90 Método de la tasa interna de rendimiento
5.14
3
Año
o
1
2
Flujo de efe.ctivo
-200
100
300
'---200
4 500
La compañía Y que utiliza una TREMA de 30% para evaluar sus proyectos de in-· versión, desea saber si el proyecto que se muestra a continuación es rentable.
Año
Flujo de efectivo
5.15
o
1
-200
1,000
2 -200
3
4
800
500
Una cierta compañía desea saber si vale la pena emprender el proyecto de inver sión que se muestra a continuación, si se usa una TREMA de 30%.
Año
Flujo de efectivo
'•
o -200
1
2
3
4
600
-200
800
500
6 Consideración de impuestos en estudios económicos
En capítulos anteriores
se
ha explicado la forma de determinar el rendimiento de un
proyecto. Sin embargo, los procedimientos presentados para este propósito no reflejan el impacto que en el rendimiento de un proyecto tienen los impuestos. La consideración de impuestos en estudios económicos es un factor muy decisivo en la selección de proyectos de invérsión, pues evita la aceptación de proyectos cuyos rendi mientos después de impuestos son mediocres. Por otra parte, el considerar el efecto de los impuestos en estudios económicos, im plica determ.ip.ar la forma en que los activos bajo consideración van a ser depreciados. Aunque la depreciación no es un gasto desembolsable para la empresa, su magnitud y el t!.!mpo de ocurrencia influyen considerablemente en la cantidad de impuestos a pagar. Est� capítulo presenta las diferentes formas de depreciar los activos más frecuente mente utilizados por una empresa, así como la metodología general que se debe seguir en la evaluación de un proyecto cuando los impuestos son considerados.
6.1 DEPRECIACION -QUE SIGNIFICA Cun excepción de los terrenos, la mayoría de los r.:.tivos fijos tienen una vida limita da, es decir, ellos serán de utilidad para la empresa por un número limitado de períodos contables futuros. Lo anterior significa que el costo de
un
activo deberá ser distribuido
adecuadamente en los períodos contables en los que el activo será utilizado por la empre sa. El proceso contable para esta conversión gradual de activo fijo en gasto es llamado depreciación. Es importante enfatizar que la depreciación no es un gasto real sino virtual y es con siderada como gasto solamente para propósitos de determinar los impuestos a pagar. Cuando las deducciones por depreciación son significativas, el ingreso gravable disminuye. Si el in greso gravable disminuye, entonces, también se disminuyen los impuestos a pagar y por consiguiente la empresa tendrá disponibles mayores fondos para reinversión. El concepto de depreciación es muy importante, puesto que depreciar activos en pe ríodos cortos, tiene el efecto de diferir el pago de los impuestos. Además, puesto que el
91
¿
92 Considerac ión de i mpuestos en estudios económicos
dinero tiene un valor a través del tiempo, es generalmente más deseable depreciar mayores cantidades en los primeros años de vida del activo, ya que es obvio que una empresa pre fiere pagar un peso de impuestos dentro de un año, a pagarlo ahora.
6.2 METODOS DE DEPRECIACION Existe gran cantidad de literatura que trata sobre métodos de depreciación. Normal mente en esta literatura se explica el método de la línea recta, el método de suma de años dígitos y el método de saldos decrecientes; los cuales para su aplicación requieren del co nocimiento del costo inicial del activo (el monto original de la inversión comprende ade más del precio del bien, los impuestos efectivamente pagados con motivo de la adquisición o importación del mismo a excepción del impuesto al valor agregado, así como las eroga ciones por concepto de derechos, fletes, transportes, acarreas, seguros contra riesgos en la transportación, manejo, comisiones sobre compras y honorarios a agentes aduanales), su vida útil, y una estimación del valor de rescate al momento de su venta.Sin embargo, el método de suma de años dígitos y el método de saldos decrecientes sólo se permiten .Por el contrario, en México sólo es válido depreciar los activos en línea usar en U.S.A. recta. Tal depreciación se determina en función del tipo de activo y de la actividad in dustrial en la que son utilizados. Para dar una idea de cómo la depreciación debe ser evaluada, la tabla 6.1 muestra cómo se deprecian los diferentes activos fijos tangibles y los intangibles utilizados por una empresa. TABLA 6.1.
�ctivos fijos tangibles y amortización de los intangibles.
a)
Activos intangibles:
/
1 Cargos diferidos .. ..... . ... . . . . . .... .... . .......... . 5% 2 Patentes de invención, marcas, diseños comerciales o industriales, nombres comerciales, asistencia técnica o transferencia de tecnología y otros gastos diferidos, así como las erogaciones realizadas en perío-
dos preoperativos ..
.
.
. .. . . . .. ... . . . .... .... . .. .l O% .
.
.
.
.
_
b) Bienes de activo fijo emp leados normalmente por los diversos tipos de em· presas en el curso de sus actividades: Edificios y construcciones, salvo las viviendas que a continuación se citan ... . . ... . .... . ..... .. . . .. . . ....... .... ...... 5o/o 2 Ferrocarriles, carros de ferrocarril, locomotoras y embarcaciones (ex cepto los comprendidos en el inciso e) No.8). ..... ..... . ..... 6% . ... .. . . .. . ... . fO% �-s::::Mobiliario y equipo de oficina ..... .. 4 .Automoviles, camiones de carga, tractocamiones, remolques y maquinaria y equipo para la industria de la construcción ... .. ... .. ...20% 11% . . . . .. . 5 Autobuses . .. ... ..... .. . . .... . .... 6 Equipo periférico del contenido en el subinciso 9); perforadoras de .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
tarjetas, verif icadoras, tabuladoras, intercaladoras y demás que no queden comprendidas en dicho inciso .. ........... .... .. . .. 12% 7 Aviones (excepto los comprendidos en el inciso e) No.9) ......... 17% 8 Equipo de cómputo electrónico consistente en una máquina o grupo .
.
.
Métodos de depreciación 93 TABLA 6.1 Continuación. de máquinas, interconectadas conteniendo unidades de entrada, alma cenamiento, computación, control y unidades de salida, usando circuitos electrónicos en los elementos principales para ejecutar operaciones aritméticas o lógicas en forma automática por medio de instrucciones programadas, almacenadas internamente o controladas externamente
9 Dados, troqueles, moldes, matrices y herramental
.
25%
. .... . . ... .. 35% .
10 Equipo destinado a prevenir y controlar la contaminación ambiental en cumplimiento de las disposiciones legales respectivas .
. ....... 35%
.
11 Equipo destinado directamente a la investigación de nuevos productos o desarrollo de tecnología en el país ...... . ... .
. .. .... . . .. 35%
.
12 Equipo destinado para la conversión a consumo de combustóleo y gas natural en las industrias ... . .. . ...... . ...
e)
.
. . . . ... .... . 35% .
Maquinaria y equipo distintos de los mencionados en el inciso anterior, utilizados por empresas dedicadas a:
Producción de energía eléctrica o su distribución; transportes eléctricos ...... .. . . ... . ... . .... ..... ... . .. ... ... . 3% 2 Molienda de granos; producción de azúcar y derivados; de aceites co mestibles; transportación marítima, fluvial y lacustre . .. ......... S% 3 Producción de metal (obtenido en primer proceso); productos de tabaco y derivados del carbón natural .. . . . . .. . . . . . . . ... . . . . . . . 6% .
.
.
.
.
-
4
Fabricación de vehículos de motor y sus partes; construcción de ferro carriles y navíos; fabricación de productos de metal, de maquinaria y de instrumentos profesionales y científicos; producción de alimentos y bebidas (excepto granos, azúcar, aceites comestibles y derivados). ... 8%
5
Fabricación de pulpa, papel y productos similares, petróleo y gas natural. .. . . .. .. . .... . . . .... .... . . ..... ...... ... . . .
7%
6 Curtido de piel y fabricación de artículos de piel; de productos químicos, petroquímicos y farmacobiólogos; de productos de caucho y de produétos plásticos; impresión y publicación ... .... . . .. . . .. . 9% 7 Fabricación de ropa; fabricación de productos textiles, acabado, teñido y·eStampado. . ........ ... ... ... . ... .... . . ..... 11% 8 Construcción de aeronaves; compañías de transporte terrestre, de carga y de pasajeros ... .. . ...... ... . ... ... .... . .. . .... 12% 9 Compañías de transporte aéreo; transmisión de radio y televisión . .. 16% .
.
.
.
.
..
.
d) Actividades agrop ecuarias:
Agricultura (incluyendo maquinaria y equipo)
2 Cría de ganado mayor .. . 3 Cría de ganado menor ........ . . .
e)
·
.
.
.
.
.
.
...... 20% ...... 11% .. ............. 25o/o
Otras actiJ•idades nu especificadas en la enumeraciún anterior
.
.
.
..... 10%
Nota: La información con tenida en esta tabla fue obtenida dt• la Ley dd InÍpuo:stn sobrt' la Renta.
94 Consideración de impuestos en estu dios económicos
Como se puede observar en la tabla 6.1, la depreciación a la que está sujeto un acti vo depende principalmente de su vida esperada, es decir, entre mayor sea la vida esperada de un activo, menor será la depreciación anual permitida. En la tabla 6.1 se muestra el porcentaje anual del valor inicial del activo que se per mite depreciar. Sin embargo, existen casos especiales en que los activos pueden ser depre ciados en períodos relativamente cortos. Estos casos de depreciación acelerada de los equipos, son mecanismos que el gobierno ha puesto en marcha para fomentar el desarrollo industrial de zonas rurales. Además, estos casos se aplicarían más frecuentemente en evaluaciones económicas de nuevas plantas que se vayan a instalar en zonas no-industriali zadas. Por otra parte, las reformas fiscales de 1979 a la ley del impuesto sobre la renta, permiten una deducción adicional por depreciación, es decir, además de la depreciación que se obtiene utilizando la información de la tabla 6.1, es posible deducir una cantidad adicional. Esta cantidad adicional se obtiene como un porcentaje de la diferencia entre activos financieros (cuentas por cobrar, inversiones líquidas, etc.) y pasivos. Sin embargo, esta deducción adicional no será considerada en los ejemplos presentados en este capítulo, por desconocer la estructura financiera de la empresa que adquiere el activo. Además, la simplificación anterior se puede justificar por el hecho de que la mayoría de las empresas tiene una estructura financiera tal, que su pasivo rebasa generalmente a los activos fman cieros.
¡Í
ll
6.3 GANANCIAS Y PERDIDAS EXTRAORDINARIAS DE CAPITAL
'
Cuando un adivo que no forma parte de los productos que distribuye una empresa, •' ,,
es vendido, una ganancia o pérdida extraordinaria de capital puede resultar si el valor de
•'
venta del activo es diferente de su valor en libros. Estas ganancias o pérdidas que resultan de la venta de un activo, obviamente afectan los impuestos por pagar. El efecto en los im puestos por pagar va a depender de la magnitud d� la ganancia o pérdida extraordinaria, así como de la tasa de impuestos que grava las utilidades d� la empresa. Anteriormente, las ganancias n pérdidas de capital se obtenían como la diferencia en tre el valor de rescate de�om.ento de la yenta y su valor enñoros. Sin embargo, a partir de las reformas fiscales de 1979, las ganancias o pérdidas de capital se deben obtener como la diferencia entre el valor de rescate del activo al momento de la venta y un costo ajustado. Este costo ajustado depende de la edad del activo y se obtiene al multi plicar su valor en libros por en factor de ajuste. La tabla 6.2 muestra los diferentes facto res de ajuste para diferentes edades del activo. Como se puede apreciar en esta tabla, entre mayor sea la edad del activo mayor será su factor de ajuste, es decir, si dos activos del mis mo tipo son comprados en dos fechas distintas, el activo comprado más recientemente tendrá un factor de ajuste menor. Es obvio que esta nueva reforma fiscal beneficia no sólo a las empresas, sino también a las personas físicas, ya que con esta reforma las ganancias que resultan de la venta de acciones, terrenos y construcciones serán menores. También, es conveniente enfatizar que los beneficios fiscales que resultan cuando el activo es vendido por una cantidad menor que su valor en libros, serán mayores, puesto que la pérdida a deducir en el estado de re sultados de l:t empresa será mayor.
Ganancias y pérdidas extraordinarias de capital 95 TABLA 6.2. Factores de ajuste / Edad
�./
Factor
Hasta un año
Edad
Factor
1.00
Más de 25 años hasta 26 años
56.90
Más de
1 año
hasta
2 años
1.55
Más de 26 años hasta 27 años
59.85
Más de
2 años hasta
3 años
2.�
63.42
Más de
3 años ha�ta__A años
( �.57
Más de 27 años hasta 28 años Más de 28 años hasta 29 años
68.35
7.17
Más de 29 años hasta 30 años
73.74
Más de 30 años hasta 31 años
82.38
Más de
4 anos hasta
5 años
Más de
5 años hasta
6 años
¡__.._
9.3 1....:.
Más de
6 años hasta
7 años
11.17
Más de 31 años hasta 32 años
91.74
Más de
7 años hasta
8 años
12.98
Más de 32 años hasta 33 años
91.41
Más de
8 años hasta
9 años
15.66
Más de 33 años hasta 34 años
100.16
Más de
9 años hasta 1 O años
Más de 34 años hasta 35 años
118.17
¡:§)¡';V
Más de 10 años hasta 11 años
22.17
Más de 35 años hasta 36 años
Más de 11 años hasta 12 años
26.74
Más de 36 años hasta 37 años
125.33
Más de 12 años hasta 13 años
32.45
Más de 37 años hasta 38 años
125.82 135.82
122.56
Más de 13 años hasta 14 años
34.26
Más de 38 años hasta 39 años
Más de 14 años hasta 15 años
35.96
Más de 39 años hasta 40 años
179.15
Más de 15 años hasta 16 años
37.61
Más de 40 años hasta 41 años
186.49
Más de 16 años hasta 17 años
39.95
Más de 41 eños hasta 42 años
256.5 9
Más de 17 años hasta 18 años
40.96
Más de 42 años hasta 43 años
299.14
Más de 18 años hasta 19 años
�
Más de 19 años hasta 20 años
Más de 43 años hasta 44 años
326.33
44.29
Más de 44 años hasta 45 años
328.5 8 345.44
Más de 20 años hasta 21 años
45.40
Más de 45 años hasta 46 años
Más de 21 años hasta 22 años
48.22
Más de 46 años hasta 47 años
353.35
Más de 22 años hasta 23 años
50.21
Más de 47 años hasta 48 años
370.98
Más de 23 años hasta 24 años
51.95
Más de 48 años hasta 49 años
463.39
Más de 24 años hasta 25 años
54.23
Más de 49 años en adelante
510.28
Nota: La información cor.tenida en esta tabl
Para ilustrar cómo las ganancias o pérdidas de capital son evaluadas a continuación una serie de ejemplos son presentados.
Ejemplo
6.1
Suponga que cierta empresa compró a principios de 1964 una propiedad a un costo de $1,300 de los cuales $390 correspondían al terreno y $910 a edificios. También supon
ga que esta empresa vende la propiedad a finales de 1982 por una cantidad de $20,000. Si la tasa de impuestos de esta empresa es del 50%, ¿cuáles serían los impuesios que se tienen
que pagar por la ganancia de capital que resulta de la venta de la propiedad? El impuesto por pagar sería ef SO% de la diferencia entre el valor de rescate y el cos to ajustado de la propiedad. Para determinar el costo ajustado es necesario determinar pri mero el valor en libros de la propiedad al momento de la vent�. Para tal propósito. de 6.1 , es sabido que los edificios se deprecian a una razón del 5% anual. En
acuerdo a la tabla
seguida, de acuerdo a la tabla 6.2 se obtiene el factor de ajuste que corresponde a una pro
piedad que se compró hace más de 18 años, el cual resulta ser de 42.16. Por consiguiente, el costo ajustado de esta propiedad sería:
Activo Terreno Edificio
Costo original
Depreciación acumulada
S 390 910
o $ 864.5
Valor en libros al momento de la venta $ 390.0 45.�
Factor de ajuste
Costo ajustado
$42.16 42.16
$ 16,442.40 1,918.28 $ 18,360.68
y los impuestos a pagar por la ganancia extraordinaria de capital serían de $81 9.66.
96 Consideración de impuestos en estudios económicos
6.4 TASA INTERNA DE RENDIMIENTO Y VALOR PRESENTE DESPUES DE IMPUESTOS En capítulos anteriores los impuestos no eran considerados, es decir, se considera ba que no eran aplicables en estudios económicos. Sin embargo, de hecho sí se conside raban en una fom1a implícita, puesto que los valores fijados para TREMA eran mayores. La determinación de la tasa interna de rendimiento después de impuestos, no puede determinarse de una fonna directa y simple. Algunos autores mencionan que existe una relación aproximada entre rendimiento después de impuestos y rendimiento antes de impuestos. Tal relación la expresan de la siguiente manera:
TlR después de imp.
=
TlR antes de imp. (1 -Tasa de impuestos)
Sin embargo, esta expresión sería válida en el caso de que la propiedad analizada sea no depreciable y totalmente fmanciada con capital contable. La realidad es que la mayoría de los activos fijos que posee una empresa son depreciables y un porcentaje de ellos ha sido financiado con pasivo. Por consiguiente, en la práctica es más recomendable hacer un análisis completo de los flujos de efectivo después de impuestos que genera el proyecto de inversión, en lugar de obtener la TIR después de impuestos utilizando la expresión anterior. Análisis después de impuestos son realizados exactamente en la misma forma que los análisis antes de impuestos son hechos. La única diferencia estriba en que unos flujos de efectivo son antes de impuestos y otros son después de impuestos. Sin embargo, para analizar flujos de efecti vo después de impuestos es necesario primero saber cómo se deter minan. Por consiguiente, a continuación se muestra el procedimiento tabular que se reco mienda seguir en la obtención de tales flujos:
/
/ Flujo de
Flujos de
efectivo
efectivo
antes de
AIIO
(l)
impuestos
Depreciación
(2)
(3)
(4)
Ingreso
Impuestos o
después de
gravable
ahor ros
impuestos
=
(2) + (3) (5)
=-
(4) t* (6)
=
(2) + (5)
La columna (2) contiene exactamente la misma información que se utilizaba en los análi sis antes de impuestos. La columna (3) muestra cómo el activo bajo consideración v a a ser depreciado en los diferentes años que abarca el horizonte de planeación del estudio por
*t= t�sa
de imput·,tos
_
Tasa interna de rendimiento 97
realizar. Debe ser notado que la depreciación se considera como un gasto para propósitos de impuestos. Sin embargo, es obvio que la depreciación no representa para la empresa un desembolso efectivo de dinero. La columna
(4) representa el ingreso neto (costo neto) al
cual se le aplica la tasa de impuestos para determinar los impuestos (ahorros). La columna
(S) muestra Jos impuestos por pagar o los ahorros obtenidos. Es obvio, que en esta colum na aparecerían impuestos si el ingreso gravable es positivo, y ahorros si el ingreso gravable es negativo. Finalmente, en la columna
(6)
se muestran los flujos de efectivo después de
impuestos, los cuales serían utilizados directamente en el análisis económico después de impuestos. Además, para facilidad de cómputo, cada columna de esta tabla muestra las operaciones aritméticas que son requeridas para su obtención. Es muy importante señalar que la columna
(6)
se obtiene sumando la columna
(2) y la (5)
y no la
(4) y la (5). Esta
aparente incongruencia se debe a que en estudios económicos Jo que interesa son flujos de efectivo y no las utilidade·s que mostraría un estado de resultados. Para ilustrar cómo los flujos de efectivo después de impuestos son obtenidos y Jos análisis económicos después de im puestos son realizados, a continuación una serie de ejemplos son presentados.
Ejemplo
6.2
Suponga que cierta empresa desea desarrollar
e
implantar un sistema de información
con el cual se manejarían los movimientos de personal. Para esto, el gerente de Recursos Humanos de dicha empresa, ha iniciado pláticas preliminares con el gerente del Centro Electrónico de Cálculo, el cual considera que dicho sistema de información demandaría equipo adicional por valor de
$500,000.
Además, se piensa que se requiere un año para
desarrollar e iniciar la operación de tal sistema. Se estima que los costos ine¡�rridos duran te el período de desanollo serían de
suponga que el nuevo sistema que
origina gastos incrementales de
$200,000. También $50,000, realizaría el
trabajo que actualmente vienen 1
haciendo
4 personas del departamento de Recursos Humanos, las cuales perciben ingresos anuales de $150,000 cada una. Por otra parte, dado el gran avance tecnológico de las com
putadoras y la disponibilidad constante de nuevos e quipos de hardware y software, el ge rente del C.E.C. considera que el nuevo sistema estaría obsoleto a finales del año 6. Además, esta persona considera que en ese tiempo no se tendrá ninguna recuperación monetaria por el equipo que demanda el nuevo sistema. Finalmente, considere que esta empresa pa ga impuestos a una tasa del
50%
y utiliza una TREMA de
20%
para evaluar sus nuevos
proyectos de inversión. Los flujos de efectivo después de impuestos para este ejemplo aparecen en la tabla
6-3. En esta tabla se puede apreciar que la inversión en equipo periférico se va a depreciar en un período de 8.33 años (12% anual) y los gastos preoperativos en un período de 10 años (10% anual). Es importante señalar que estos períodos de amortización se obtuvie ron de la información presentada en la tabla 6.1. Por otra parte, suponga que para decidir si se acepta o se rechaza el nuevo sistema de información, el método de la tasa interna de rendimiento será utilizado_ Por consi guiente, el siguiente paso a realizar es encontrar la tasa de interés que iguala a cero el valor presente de los flujos de efectivo después de impuestos que aparecen en la tabla tasa de interés resulta ser de
28.7%
nuevo sistema deberá ser desarrollado.
6.3. Tal
y puesto que es mayor que TREMA, entonces, el
/
'
98 Consideración de impuestos en estudios económicos
TABLA 6. 3. Flujos de efectivo después de impuestos para el nuevo sistema de infor
mación propuesto (miles de pesos).
'v Flujo de
Flujo de efectivo antes de Año
impuestos
o
-$ 500
1
-
efectivo
:J Depreciación
Ingreso
Impuestos
después de
gravable
o ahorros
impuestos
+
$- 500 - 170
330
30 -235 -165
- 20
- 20
10
10
-
- 20
- 20
10
10
9
-
- 20
- 20
10
10
10
-
- 20
- 20
10
10
- 20
- 20
10
10
200
- 60
- 60
2-5
550
- 80
470
6
550
-220*
7
-
8
11
(Ji
l2)
l3J
CtJ
{5J
315
385
(f.) (..z\1\_�
Ejemplo 6.3
Suponga que una institución bancaria desea instalar una red de teleproceso, con la cual se conectarían a la matriz todas las sucursales distribuidas en el país. Con esta nueva
�
red de teleproceso la alta direcci�n de esta institución piensa resolver los randes proble mas por los cuales actualmente atraviesa. Uno de los principales problemas� los que se en frenta la institución es la captación lenta y poco confiable de la información proveniente de las sucursales (la información se envía usando el servicio de valija). Obviamente con esta nueva red, se piensa que la información se podrá captar y transmitir más rápidamente de un lugar a otro. Además, con esta red se podrán generar los reportes financieros que tan frecuentemente demandan los a ltos directivos en una forma más pre-cisa, más confiable, más periódica y más oportuna. Por otra parte, considere que dada la alta importancia y la gran inversión que este proyecto representa, la alta dirección ha decidido encargar el estudio de este proyecto a un grupo de personas. Suponga que estas personas ya han iniciado las investigaciones per tinentes con diferentes proveedores de equipo, y han resumido la información recolectada en la forma como aparece en la tabla 6.4. También, suponga que la alta dirección ha mani festado en repetidas ocasiones que el horizonte de planeación en este tipo de proyectos
*220 60 (de preciación del equipo periférico) + 140 (pérdida en la venta del equipo periférico) + 20 (amortización de los gastos preoperativos). Además, se considera que la tasa de impuestos es la misma =
para utilidades (pérdidas) ordinarias y extraordi narias.
, Tasa interna de rendimiento 99
5
no debe ser ma•ror de
años, dado el gran avance tecnológico de las compu tadoras y la
disponibilidad constante de nuevos equipos de hardware y software. Además, considere que esta institución deprecia este tipo de equipo en 4 años, y amortiza los gastos preope
(arranque
rativos
y desarrollo) en
impuestos a una tasa del
50% y
10
años. Finalmente, asuma que esta institución paga
utiliza una tasa de interés de
25% para
evaluar los nuevos
proyectos de inversión.
TABLA 6.4. Costos de diferentes proveedores d.: equipo (miles de pesos).
Proveedor B
A
Inversión en equipo
$
$
2,000
---
e
$
3,000
2,500
Arranque y desarrollo
700
500
400
Operación y transmisión
800
600
500
Valor de rescate
400
500
600
Para esta información, la tabla
6.5
muestra los flujos de efectivo después de im
puestos de cada una de las alternativas consideradas. De acuerdo a estos flujos, el valor presente (J.Tiiles de pesos) de cada alternativa sería:
VPN A
=
-
VPNA
=
-
VPNB
=
VPN8
=-
VPN
e
VPNc
2,700 -
115 (1.25)4
71 (1.25)5
(_
+
____]]_ + __)]_ (1.25)2
(1.25)
+
__]]____ + ____]]___ (1.25:"
(1.25t
+
(!,
_1L (1.25)5
•
$2,899
- 3 400
+
'
=-
115 (1.25?
$2,995
- 3,000
=
115 _____1_!2 (1.25) - (1.25?
�
(1.25)
+
____l1L
(1.25)2
+
___l1i_ (1.25)3
+
___l1i_ (1.25t
+
____.!.1!_ (1.25)5
$3,017
lo cual significa que la alternativa B debe ser seleccionada, es decir, el equipo requerido por
1; nueva red de teleproceso deberá ser comprado al proveedor B.
100 Consideración de impuestos en estudios económicos TABLA 6.5. Flujos de efectivo después de impuestos para cada una de las tres al ternativas consideradas (miles de pesos).
Flujo de
Flujo de
efectivo
efectivo impuestos
después de
Ingreso
antes de Año
impuestos
Depreciación
gravable
-570
-1,370
685
570
-1,370
685
-
Ahorros
Proveedor A
1 -$ 2,700
o
800
- $ 2,700 115
2
-
800
3
-
800
-570
-1,370
685
-
115
4
--
800
-570
-1,370
685
-
1 15
5
-
800
- 70
-
435
�
870
-
400
5
115
365 294
2
'1 t../
Proveedor B
o
-$3,000
-$3,000
600
-675
- 1,275
637
37
2
-
600
-675
-1,275
637
37
3
-
600
-675
-1,275
637
37
4
-
600
-675
-1,275
637
37
5
-
600
-
-
650
325
275
50
500
5
317
e+
Proveedor C
o
-$3,400
1
-
500
-790
-1,290
645
+
145
2
-
500
-790
-1,290
645
+
145
-$ 3,400
3
-
500
-790
-1,290
645
+
145
4
-
500
-790
-1,290
645
+
145
5
-
500
- 40
-
540
270
5
600
230 354
(,1-}
Ejemplo 6.4 Suponga que ciert a c orporación desea incursionar en un nuevo negocio cuya inver swn inicial requerida es de $100,000,000 (70 millones de activo fijo y 30 millones de activo circulante). Asimismo, suponga que el activo fijo se va a depreciar en línea recta en un período de 5 años, y que el valor de rescate al final de los 5 años es un 20% del activo
1
Incluye
2
lncluyL·
te
dL·
los
invl·rsiún en L'(jUipo y los gastos prcopcrativos de arranque y desarrollo. l'l valor dL' rescate dnpués de impuestos (400- 0.5 (400)) y el v alor pn:sen hcncfieios fiscales de los gastos prcopcrativos amortizados en los últimos 5
la
años (6-LO).
V
e,
d)'
t
')""'
Certificados de promoción fiscal 101 fijo y un 100% del activo circulante. Si los flujos de efectivo que se esperan de este pro yecto antes de depreciación e impuestos son de 45 millones, la tasa de impuestos es de SO% y la TREMA utilizada es de 20%, ¿debería la corporación emprender este nuevo
proyecto de inversión? La diferencia de este ejemplo con los anteriores, estriba en el hecho de que en este
caso particular se está suponiendo que el nuevo proyecto de inversión requiere de una inversión adicional en activo circulante. Esta situación es más real puesto que todo proyecto de inversión trae consigo un aumento en las necesidades de activo circulante (caja, cartera, inventarios, etc.). También, en este ejemplo se supone que el activo circu lante puede ser recuperado en un 100% al término del horizonte de planeación considera do. Finalmente, conviene señalar que en el ejemplo se consideran inversiones en activo circulante y no en capital de trabajo. La razón de esto como más adelante se verá (capítu lo 12), es muy obvia, puesto que es necesario distinguir y hacer en forma separada las decisiones de inversión y las decisiones de financiamiento. Tomando en cuenta las consideraciones anteriores y la información presentada en el ejemplo, la tabla 6.6 muestra los flujos de efectivo después de impuestos que se esperan obtener con el nuevo proyecto. De acuerdo a estos flujos, el valor presente neto del pro yecto sería:
VPN
=-
100,000 + 29 ,500
(P/A,
20%,
5)
+ 37,000
(P/F,
20%, 5)
=
3,099
y puesto que este valor es positivo, el proyecto debe ser emprendido.
TABLA 6.6. Flujo de efectivo después de impuestos (miles de pesos).
Flujo de
Flujo de
efectivo
efee tivo
antes de
Año
;&
o 1 2 3 4 5 5
impuestos
- $ 100,000 45,000 45,000 45,000 45,000 45,000 44,000
-
Ingreso
ciación
gravable
14,000 14,000 14,000 14,000 14,000
-
r
L._
6.5
Depre-
31,000 31,000 31,000 31,000 31,000
ro
después de Impuestos
-
15,500 15,500 15,500 15,500 15,500 7,000*
-
impuestos
- $ 100.000 29,500 29,500 29,500 29,500 29,500 37,000
(
-"
CERTIFICADOS DE PROMOCION FISCAL (CEPROFI) En las últimas décadas, el país ha logrado un ritmo de crecimiento económico ade
cuado. Sin embargo, este crecimiento se ha concentrado sectorial y regionalmente en un
*Corresponden al impuesto que
se
paga por la ganancia extraordinaria del activo fij o ($14,000,000).
102 Consideración de impuestos en estudios económicos
número reducido de ciudades del territorio nacional. Además, se han generado graves desequilibrios reflejados en un desordenado crecimiento de los centros de población, en la inadecuada distribución de la población en el territorio nacional y en el incremento incon trolable del fenómeno de migración de la población hacia ciertas regiones del territorio nacional. Para eliminar o reducir en cierto grado lós problemas antes señalados, el gobierno a través de la Secretaría de Hacienda y Crédito Público, ha introducido una serie de reformas fiscales entre otras, los certificados de promoción fiscal (CEPROFI). Estos incentivos fiscales que fueron introducidos en 1979, tienen como objetivo: aumentar el empleo, promover la inversión, impulsar el desarrollo de la mediana y pequeña industria, fomentar la producción de bienes de capital, propiciar la mayor utilización de la capacidad instalada, promover un desarrollo regional equilibrado y la promoción de exportaciones. Un resumen de los nuevos estímulos fiscales, se muestra en la tabla 6.7. Como se puede observar en esta tabla, los estímulos fiscales dependen básicamente de dos cosas: Del tipo de industria en que se está o se desea invertir y del lugar donde se está o se pretende ubicar. Por otra parte, la magnitud de los beneficios fiscales, depende de: •
lnversion. La realización de inversiones de empresas industriales destinada a iniciar o ampliar una actividad prioritaria dará lugar al otorgamiento de un crédito contra impuestos federales, cuyo importe se determinará aplicando al monto de las inversiones beneficiadas, el porcentaje que corresponda de la aplicación de las bases que a continuación se señalan: Actividad
Ubicación
industrial
de las
de
prioritaria
inversiones
estz'mulos
A. En cualquier lugar del
Porcentaje
20% )
territorio nacional excepto Categorúz l.
en la Zona III. B. En la Zona III B, sólo
20%
ampliaciones. A. En la Zona l. B. En la Zonirr.
Categorz'a 2.
c:-Enel resto del país,
ft 10%
excepto en la Zona III A, sólo amplificaciones.
los estímulos fiscales que se muestran en la tabla anterior. se determinan toman do como base la inversión total en activo fijo. •
Empleo. Toda actividad industrial destinada a iniciar o ampliar una actividad prioritaria, que redunde en nuevos empleos generados o en el establecimiento de tumos adicionales de trabajo, dará lugar a un crédito contra impuestos federales, equivalente al 20% del salario mínimo anual de la zona económica correspon diente, multiplicado por el número de empleos generados directamente por la inversión. Este estímulo se otorgará durante dos años, y su monto se calculará sobre una base anual.
TABLA 6. 7. Plan de estímulos fiscales.
P LAN NACIONAL DE DESARRO L LO INDUSTRIAL
BENEF ICIO S FISCALES
�
ZO NA lA Desarrollo portuario jndustrial
S
1
20%
Zona lB Desarrollo urbano industrial
ZONAII
RESTO
ZONA III B
ZONA III A
Prioridades
DEL
Area de
Crecimiento
estatales
PAIS
consolidación
controlado
20%
20%
20%
20%
de la inversión
de la inversión
para ampliación
No hay estímulo
CATEGORIAl
20%
20%
20%
20%
20% No hay
�el empleo generado por la inversión
;::¡ ;::¡ �
estímulo
�
f-< Cll
< t: ;::¡ � o
15%
o
25 ;;¡
¡:>..
15%
JO%
No !¡.ay estímulo
para ampliación
CATEGORIA 11
20%
JO%
de la inversión
de la inversión
20%
10%
20%
20%
20%
� .... .:;; ¡::;·
No hay estímulo
del empleo generado por la inversión
t:::>
25%
25%
25%
de la inversión
de la inversión
20% TODA LA INDUSTR IA
20%
estímulo
para ampliación
20%
� �
20%
20%
o '"'
No hay
MANUFAC TURERA
estímulo
del empleo generado por turnos adicionales
5%
TODAS LAS ACTIVIDADES
-----------
"' �
No hay
PEQUEÑAINDUSTRIA
ECO NOM ICAS
g.
25%
25%
)'•
5%
5%
5%
5%
de la adquisición de bienes de capital nacionales y nuevos
--------
1
CJ
o:
;:s
� 2 -
o w
104 Consideración de impuestos en estudios económicos • Maquinaria.
La adquisición de maquinaria y equipos nuevos de producción
nacional que formen parte del activo fijo de las empresas, destinadas al des arrollo de cualquier actividad económica en el territorio nacional, dará origen a un crédito contra impuestos federales, equivalente al5%del valor de adquisición de dichos bienes.*
··
Finalmente, conviene señalar que el período que la Secretaría de Hacienda y Crédito Público otorga para la bonificación de los estímulos fiscales, tiene una duración máxima de 5 años. Sin embargo, el plazo para acreditar los estímulos fiscales, depende del tipo de inversión, de la actividad industrial y de la ubicación de la Planta. 1
Ejemplo 6.5 Un grupo industrial desea incursionar en el negocio de industrialización de frutas y legumbres. Para hacer uso de ciertas franquicias fiscales, el grupo piensa instalar la nueva planta en Linares, N .L., el cual está catalogado como Zona 11. La inverSión requerida por este nuevo negocio se estima en:
Activo fijo:
.(Edificio
$
13,200,000 16,500,000 ' 990,000 1,310,000
$
32,000,000 8,000,000
$
40,000,000
$
19,800,000 20,000,000 5,200,000 45,000,000
Maquinaria* � '-Mobiliario
,1
Te:rreno
1�1 1
Activo circulante: ••1
¡ll ,.,
Activo total
•"'
Los gastos esperados anuales se estiman en: Materia prima Sueldos y salarios** G .G . de fabricación
$
Si los ingresos anuales que generará este negocio son de 65 millones, la TREM¡'\ es· 20%, la tasa de impuestos es de 50%, el valor de rescate en el año 10 es un 10% de' ac tivo fijo más un 100% del activo circulante. ¿Debería este grupo emprender este proyecto
de
de inversión? Para esta información, los estímulos fiscales serían: *En Junio de 1981, se publicó en el diario oficial una modificación que permite un crédito contra impuestos federales del 15% del valor de adquisición de los bienes, si los fabricantes se encuentran inscritos en un programa de fomento otorgado por la secretaría de patrimonio y fomento industrial (SEPAFIN). *El
SO%
de la maquinaria es de importación y el resto es nacional, y además se asume que el fabrican·
te no está inscrito en el programa de fomento. **La nueva empresa se estima que generará 40 empleos de mano de obra directa e indirecta.
Depreciación acelerada 1 OS
Inversión.
. •
Puesto que la inversión en activo fijo es:
Activo fijo:
_1 $ 13,200,000 16,500,000 990,000 1,310,000
Edificio Maquinaria Mobiliario Terreno
Total
'--
El estímulo fiscal a que da origen e�ta inversión sería de •
Empleo.
$ 32,000,000
$6,400,000.
Sj,...se considera un .:;alarib mínimo anual en la zona de
tonces, el estímulo fiscal a que da origen la creación de
$2,880,000.
40
$360,000,
en
empleos sería de
Puesto que este estímulo se otorga durante dos años, se estima que
esta misma-cantidad se bonifica en el primer y segundo año de operación de la
empresa. •
Maquinaria.
Puesto que la inversión en maquinaria nacional es ,
d e $8,250,000,
entonces, el estímulo fiscal a que da origen esta inversión sería de $412,500 .. Además, esta cantidad se considera que se acredita en el p rimer año de op erac ión de l a empresa.
Tomando en cuenta las bonificaciones anteriores, la tabla 6.8 muestra los flujos de efectivo después de impuestos que origina esta inversión. Para estos flujos de efectivo, el valor presente resulta ser de
$19,402,350. Puesto que
el valor presente es positivo, enton
ces, se justifica emprenóer el nuevo proyecto de inversión.
TABLA 6.8. Flujo de efectivo de impuestos (Miles de Pesos). Flujo de
Flujo de
efectivo
efectivo Ingreso
antes de Año
impuestos
o 1
- $ 40,000 20,900
2
20,0 Q O
3-10
20,000
10
11,200
Depreciación l.
gravable
Impuestos
CEPROFIS
-2,409
17,591
-8,795.5
9,692.5
-2,409
�7,591
-8,795.5
2,880.0
-2;4 09
1'7,591
-8,795._5
después de impuestos
"'
- $ 40,000.00
+ 3,35_?.0
2
20,897.00 14,084.50 11,204.50 14,555.00
6.6 DEPRECIACION ACELERADA Una de las reformas fiscales más importantes que entraron en vigor en
1984
fue, sin
Jugar a dudas, el otorgamiento de la depreciación acelerada en las nuevas inversiones rea lizadas. Las inversiones que se realicen en
1984
tendrán derecho a una depreciación del
1I..a depreciación se asume en 10% de la maquinaria y mobiliario, y en 5% del edificio. 2Para esta situación no se toma en cuenta el costo ajustado porque en el ejemplo no se considera la in flación. La pérdida fiscal es de $3,200 - $9,910.00
/
=
-
$6,71 O.
____./
106 Consideración de impuestos en estudios económicos
75%;las que se hagan en 1985 tendrán derecho a un 50% y,por último,las que se realicen en 1986 gozarán de un 25%, o de un 50% si se realizan en Zonas de Máxima Prioridad Nacional. Sobre los tipos de inversiones que tienen derecho al estímulo,se incluyen todas las inversiones en activos fijos, con excepción de las inversiones en terrenos (que no se depre cian)y las referentes a mobiliario y equipo de oficina. En cuanto a los requisitos que hay que cumplir para tener derecho ál estímulo se pueden mencionar los siguientes: Que sean bienes nuevos o que no hayan sido utilizados y que además se adquie ran directamente del fabricante o de personas que realicen actividades comercia
•
•
les. Lo anterior significa que los bienes importados tienen derecho al estímulo aunque sean usados. Que las empresas no gocen de ningún estímulo o subsidio sobre sus bienes de activo fijo o por,la realización de sus actividades. Cabe señalar que la aplicación de este estímulo no se puede aplicar conjuntamente con los CEPROFIS, es de. cir, la empresa deberá seleccionar de acuerdo con un análisis económico,cuál de los dos estímulos fi�cales (depreciación acelerada y CEPROFIS) representa m.a yores ventajas económicas en las nuevas inversiones que realice.
•
¡l�
Ir
1
Que los bienes que vayan a gozar de estímulo,permanezcan en el activo fijo du rante los cinco ejercicios siguientes a aquel en que se adquirieron,¡;on excepción de aquellos bienes en que la ley establece un factor de depreciación superior al 15%. En estos casos la permanencia exigida se reduce a tres años.
También es necesario señalar que si la aplicación de este estímulo fiscal origina que la empresa incurra en pérdida fiscal, ésta podrá amortizarse en los cinco ejercicios poste riores. Finalmente, conviene describir el procedimiento para depreciar el saldo remanente, que queda después de haber aplicado el estímulo, el cual se obtiene de acuerdo con la si guiente expresión: H d'
(1 -Da) =
' n
donde:
n
100
' =
d
-
1
y d ' n
Da d'
=
=
=
=
%de depreciación anual del bien. Número de ejercicios donde se deprecia el saldo remanente de la inversión. %de depreciación acelerada autorizada. %de depreciación anual corregida.
Problemas 107
Ejemplo 6.6 Considere que la inversión requerida por el proyecto presentado en el ejemplo fue realizada a principios de
1984.
6.5,
Si toda la demás información es similar, ¿qué estímulo
fiscal seleccionaría? Para esta información. primeramente
es
qecesario determinar la depreciación anual
que resulta en condiciones normales y la depreciación anual acelerada:
Año
Depreciación
Depreciación
normal (miles)
acelerada (miles)
$ 2,409.
$23,017.50
2-10
2,409.
659.51
11-20
660.
173.68
1
De acuerdo con la tabla anterior, el beneficio fiscal de la depreciación acelerada sería: Beneficio fiscal=
0.5 { [23,017.5 (P/F, 20%, 1) + 659.51 (P/A,.20%, 9)(P/F, 20%, 1) + 173.68 (P/A, 20%, lO)(P/F, 20%, 10] - [2,409 (P/A, 20%, 10) + 660 (P/A, 20%, 10) (P/F, 20%, 10)]}
Beneficio fiscal
0.5 [21 ,513 - 10,546 ]
=
=
5,483,500
Puesto que el beneficio fiscal de los CEPROFIS es mayor, entonces no se j ustifica utj}izar depreciación acelerada, y por consiguiente_,..la solución -de este-problema es-l-a presentada en' el ejemplo
6.5.·
Finalmente, es� necesario señalar que,no todas las inversio� que emprende una em
presa pertenecén a un nuevo proyecto de inversión. Lo anterior significa que, en estos ca sos específicos (automóviles por ejemplo), la empresa optará por depreciar estos activos de acuerdo con las tasas de depreciación acelerada que prevalezcan en el momento de ad quirirlos.
PROBLEMAS
6.1.
Equipos_ utilizados en una determinada operación son evaluados periódicamente. El método de análisis compara el valor actual del_activo con el V!!_lor presel).te de
�-
los flujos de efectivo que el equipo generará en el- f�!.l!IOJ En base a este análisis,
se puede continuar con el equipo/ venderlo o reemplazarlo por una unidad más
eficiente,
Si se utiliza una TREMA de
25%
y una tasa de impuestos de
50%,
¿con cuál de
los siguientes equipos se recomienda seguir operando? (S uponga que los equipos se compraron hace tres años y que de acuerdo a la ley del impuesto sobre la renta se deben depreciar en un período de
10
años).
;/
108 Consideración de impuestos en estudios económicos Equipo 1
Costo original ¡l
.
Depr. acumulada
�1
....•-", ,...
Valor en libros (actual) Valor realizable (actual) Vida remanente · Valor de rescate Ingresos netos del año K
-":> ,.,
Equipo JI --
$ 200,000
$ 500,000
60,000
150,000
140,000
190,000 7 años '\., 20,000 l 30,000 (1.08 -
l
350,000 250,000 7 años 60,000
60,000 ( 1.1 )K-l
..;
(Asuma K= O para el a ño_3)
6.2.
Considere que cierta compañía compró hace 5 años una propiedad a un costo de $5,000,000 de los cuales $1,000,000 correspondían al terreno y $4,000,000 a edifi cios y construcciones. Asimismo suponga que esta colnpañía vende la propiedad ahora en una cantidad de $30,000,000. Si la tasa de impuestos de esta compañía es el 50% ¿cuáles serían los impuestos que se tienen que pagar por la ganancia de capital que resulta de la venta de la propiedad? (Estime que los edificios y las cons
�
trucciones se deprecian en un período de 20 años.) 6.3.
Resolver el problema 3.3 suponiendo que el período de depreciación de las má quinas es de 10 años y la tasa de impuestos es de 50%. (Utilice el método del valor anual.)
6.4.
Resolver el problema 3.5 suponiendo una tasa de impuestos de 40%, y un período de qepreciación de las máquinas de 5 años. (Utilice el método ·de1 valor presente.)
,6.5.
Resolver el problema 3.6 suporuendo que:
'1)
La cuota diaria es de $2,000, 2) La
razón de ocupación diaria es de 90%, 3) La tasa de impuestos es de 50%, 4) Los edificios del hotel se deprecian en un período de 20 años y 5). Los muebles y equi po de oficina se deprecian en un período de 10 años. (Utilice el método de la TI R.) 6.6.
Resolver el problema 3.7 suponiendo una tasa de impuestos de 40%, y un período de depreciación para las bombas de 5 año.s. (Utilice el método de la TIR.)
6.7.
Resolver el problema 3.10 suponiendo que: 1) El equipo act6al se deprecia en un período de 10 años, 2) El equipo actual se compró hace 2 años a un costo de $ 300,000, 3) La renta en caso de que el equipo sea arrendado es totalmente dedu cible, 4) El equipo nuevo se deprecia en un período de 10 años y 5) La tasa de impuestos es de 50%. (Utilice el método del valor presente con un enfoque incremental.)
6.8.
Resolver el problema 3.11 suponiendo que: 1) Las computa<;loras se deprecian en un período de 4 años y 2) La tasa de ímpuestos es de 40%. (Utilice el método del valor anual equivalente.)
6.9. '
hÓ ,o6o
Cierta compañía se encuentra analizando un nuevo proyecto de inversión. Dic
proyecto de inversión requiere de una inversión inicial en activo fijo de $5,000 y de una inversión inicial en activo circulante de $2,500,000. El horizonte de pla neación que utiliza esta compañía para evaluar sus proyectos de inversión es de 10 años. Al término de este tiempo la compañía estima que va a recuperar un 12% de la inversión inicial en activo fijo y un 100% de la inversión inicial en activo circulante. Por otra parte, la compañía estima que la capacidad inicial instalada seríá utiliza da en su totalidad durante el año 5. Por consiguiente, la compañía piensa que para satisfacer la demanda creciente de los últimos 5 años, es necesario hacer al tina! del año 5 una inversión adicional en activo fijo de $2,000,000, y una de $1,000,000
Problemas 109
.e n activo circulante. Además, la compañía estima que los ingresos y costos en los pri . meros 5 años serían de $4,000,000 y $2;000,000 respectivamente ;y de $6,000,000
y $3,000,000 en los últimos 5 años. Si la TREMA de esta compañía es de 25%, su
tasa de .iffipuestos de 40% , y las inversiones en activo fijo se deprecian en un pe ríodo de 1 O años, ¿debería esta compañía emprender este nuevo proyecto de inver: sión? (considere que los valores de rescate en el año 1 O, de las inversiones·hechas en el año 5. son 20% del activo fijo y 100% del activo circulante.)
6.10.
La alta administración de una compañía ha decidido introducir al mercado unJ nuevo producto a un precio de $200 por unidad. De acuerdo a investigaciones pre liminares del mercado, la compañía estima que la demanda anual para este nuevo producto sería de 50,000 unidades. Por otra parte, la compañía se encuentra ana_lizando dos tipos de equipo que podrían ser utilizados en la producción de este nuevo producto. Con el primer tipo, solamente se pueden producir 10,000 unidades
al año. Por consiguiente, si este tipo de equipo es adquirido, sería necesario com prar cinco equipos idénticos para poder garantizar sa ti�facer la demanda antjc ipada.. El costo de cada uno de estos equipos es de $2,000,000, su vida útil se estima en 5
años, su valor de rescate al término de 5 años es despreciable y su períodd de de preciación es de 5 años. Los costos de operación de cada uno de estos equipos es como sigue:
Capac�dad de producción/año
1 O ,000 unidades
5 unidades
Razón d,e producción/hora Costos por unidad de producto: Materiales directos Accesorios
$40
10 "
Costos por hC?ra de operación: Mano de obra,
20
Ma ntenimiento
10 10
Energíá ·Costos fijos por año
50,000
Con el segundo tipo de equipo es posible producir 50,000 unidades de producto al
� o. El costo de este equipo es de $12,000,000, su vida Ü til se estima en 5 años, su
valor de rescate al término de estos cinco años es de $1,500,000, y su período de
depreciación es de 5 años. Los costos de operación para este equipo son como sigue:
Capacidad de producción/año
50,000 unidades 25 unidades
Razón de producción/hora Costos por unidad de producto: Materiales directos Accesorios
$40
10
Costos por hora. de operació_!l Mano de obra Mantenimiento Energía Costos fijos por ¡illo
20 .515 20,000
J
""'
110
Consideración de impuestos en estudios económicos Además, la alta administración estima que si el nuevo producto se lanza al merca
$3,000,000 es requer;da, la cual 5. Si la TREMA de esta compañía es
do, una inversión adicional en activo circulante de
sería totalmente recuperada al final del año de
30%,
su tasa de impuestos de 50%, ¿debería h compañía producir este nuevo
producto?
6.11.
La corporación X desea inveytir en un nuevo negocio cuya inversión inicial reque
rida es de
$200
millones
(150
millones de activo fijo y
50
millones de activo cir
culante). Esta corporación estima que los flujos de efectivo que se esperan de esl6 proyecto antes de depreciación e impuestos son de $ 100 millones para el primt
año y se espera que estos flujos crezcan en lo sucesivo a una razón del 20% anual. f
Puesto que los ingresos crecen a una razón anual del
20%, la corporación ha esti
mado que sus necesidades adicionales de activo circulante también crecerán en lo _,
sucesivo a una razón del
20%
período se estima en un
10%
anual. Además se sabe que el período de deprecia
ción de los activos fijos es de
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1O
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del activó fijo y un
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50%
100% del activo circulant� 'acu
y la TREMA 9.u� utiliza para eva
¿debería la .corporación X aceptar este nuevo
unidades/año de un cierto producto. El·costo de
producción de estas unidades se desglosa como sigue:
1
Materiales directos
$ 40
Mano de obra directa
7
'-
G .G. de fabricación var.
Costo unitario variable
3 50
Actualmente esta compañía tiene la posibilidad de comprar este producto a un
precio unitario de $55. Si la compañía decide comprar a un proveedor este pro ducto, el equipo actual que se utiliza para producirlo puede ser vendido en $350,000 (considere que este valor coincide con el valor en libros) Además, la compañía es
tima que la vida remanente para el activo es de 5 años, su valor de rescate al térmi
no de este tiempo es despreciable, y su depreciación anual es de de impuestos es de
50%
y la TREMA es de
30%,
nuar produciendo dicho producto?
6.13..
$70,000. Si la tasa
¿debería la compañía L cont'
El grupo industrial "B" desea emprender un nuevo negocio relacionado con la·
fabricación de harina de soya y trigo (categoría
I).
Para hacer uso de ciertas fran
quicias fiscales, el grupo piensa instalar la nueva planta en Piedras Negras, Coahuila,
el cual está catalogado como zona l. La inversión requerida por este nuevo negocio
se estima en:
/
Problemas 111
Activo fijo: $ 8,800,000 11,000,000 1,100,000 1,000,000
Edificio Maquinaria* Mobiliario Terreno
Activo circulante' A el ivo
•
total:
21,900,000 6,000,000 27,900,000
Y los gastos anual e� en:
Materia prima Sueldos y salarios G .G. de fabricación
13,200,000 9,900,000 3,900,000 27,000,000
$45 millones, la TREMA 2S%, la tasa de impuestos es el SO%, el valor de rescate en'el año 10 es un 1 O% del activo fijo más un 1 ÓO% del activo circulante, ¿debería este gruP.o empren
Si los ingresos anuales que generará este negocio son de es de
der el nuevo proyecto de inversión;'(Considere que la nueva empresa va a generar
100 empleos y que el salario mínimo de la zona es de $360,000 anuales. Además, 10% anual y el edificio un S% anual). suponga que la maquinaria y el mobjliario se deprecian un
·,
es de ;mportación, y el fabricante de equipo nacional está inscrito en el programa de fomento de SEPAFIN.
-,. *E.I 20% de la maquinaria
7 Técnicas de análisis en estudios de reemplazo
La formulación de un plan de reemplazamiento juega un papel muy importante en .la determinación de la tecnología básica y el progreso económico de una empresa. Un reemplazamiento apresurado o indebido origina en la empresa una disminución en su capi tal y por lo tanto una disminución en la disponibilidad de dinero para emprender proyectos de inversión más rentables. Por otra parte, un reemplazamiento retardado origina excesivos costos de operación y rnantenirniepto para la empresa. Es por estas razones que toda em presa debe de establecer una política eficiente de reemplazo para cada uno de los activos que utiliza. No hacerlo, significa estar en desventaja con respecto a las empresas competi doras que sí han establecido políticas efectivas y económicas de reemplazo.
7.1 CONSIDERACIONES DE UN ESTUDIO DE REEMPLAZO 7 .1.1 Causas que originan la necesidad de
un
estudio de reemplazo
Las causas principales que llevan al reemplazo de un activo se pueden clasificar corno: insuficiencia e ineptitud, mantenimiento excesivo, eficiencia decreciente y antigüedad. Cualquiera de las causas anteriores puede indicar la necesidad de un estudio de reemplazo, sin embargo, por lo general son dos o más causas las que indican la urgencia de tal estudio.
A. Reemplazo por insuficiencia
Un activo físico cuya capacidad sea inadecuada para prestar los servicios que se es peran de él, es un candidato lógico para la substitución. Por ejemplo, suponga que una empresa compró hace dos años una mini-computadora con la cual se pretendía resolver principalmente el problema de la nómina. También suponga que actualmente esta empresa ha crecido considerablemente, por lo cual nuevos sistemas de información tales como: distribución del producto, inventarios, altas y bajas de personal, etc., requieren ser mane jados por medio de una computadora. En este caso, el factor a tomar en cuenta al estudiar 113
114 Técnicas de análisis en estudios de reemplazo
el reemplazo de la computadora, es la insuficiencia. Aunque la computadora que la em . presa tiene en este momento es moderna, eficiente y se encuentra en magníficas condicio nes, es imperativo estudiar su reemplazo por la necesidad de mayor capacidad.
B.
Reemplazo por mantenimiento excesivo En muy pocas ocasiones se dañan al mismo tiempo todas las partes de una máquina.
La experiencia ha demostrado que es económico reparar muchos tipos de activos para mantener y extender su utilidad. Sin embargo, puede llegar un momento en que los de sembolsos por las reparaciones de la máquina se hacen tan excesivos, que vale la pena hacer un análisis cuidadoso para determinar si el servicio requerido podría ser suministrado más económicamente con otras alternativas.
l¡ i
C.
Reemplazo por eficiencia decreciente
Generalmente, un equipo trabaja con máximo rendimiento en los primeros años de _ su vida, y este rendimiento va disminuyendo con el uso y edad. Por ejemplo, un motor de gasolina alcanza generalmente su rendimiento máximo después de un cierto período de ajuste, con posterioridad al cual su rendimiento disminuye a medida que se deterioran los cilindros, pistones, anillos, carburador y el sistema de encendido. Cuando los costos que origina la ineficiencia de operación de una máquina son ex cesivos, conviene investigar si existen otras máquinas en el mercado con las cuales se pueda obtener el mismo servicio a un costo menor.
O.
Reemplazo por antigüedad (obsolescencia) La obsolescencia surge como el resultado del mejoramiento continuo de los activos,
es decir, en el mercado siempre existirán activos con características tecnológicas más ven tajosas que las de los activos actualmente utilizados. Con frecuencia el mejoramiento tec nológico es tan rápido que resulta �conómico reemplazar un activo en buenas condiciones de operación. Por consiguiente, la obsolescencia se caracteriza por cambios externos al activo, y es utilizado como una razón para justificar el reemplazo cuando éste se considere necesario y conveniente. E.
Reemplazo por una combinación de factores En la mayoría de los casos es una combinación de factores, más que una sola causa,
lo que conduce al reemplazo. A medida que aumenta la edad del equipo, es de esperar que disminuya su eficiencia y rendimiento mientras aumenta el mantenimiento requerido. Además, entre más antiguo sea un equipo, más modernos y ventajosos serán los equipos disponibles en el mercado. Independientemente de la causa o combinación de causas que llevan a un estudio de reemplazo, el análisis y la decisión deben de estar basadas en estimativos de lo que ocurrir� en el futuro. El pasado no debe tener importancia en este análisis, es decir, el pasado es irrelevante.
Consideraciones de un estudio de reemplazo 115
7. 1..2 Factores a considerar en un estudio de reemplazo En un análisis de reemplazo es necesario considerar una serie de factores sin los cua les la decisión a la que se llega con tal estudio, no produce los resultados deseados. A con tinuación se explican brevemente algunos de estos factores.
A. Horizonte de planeación El horizonte de planeación en un estudio de reemplazo, es el lapso de tiempo futuro que se considera en el análisis. A menudo, un horizonte de planeación infinito es usado cuando es difícil o imposible predecir cuándo la actividad bajo consideración será termi nada. Sin embargo, es importante señalar que tal suposición no es muy adecuada, puesto que es muy difícil predecir las ventajas tecnológicas que tendrán los equipos en un futuro distante con respecto a los equipos actualmente utilizados. Además, los flujos de efectivo en un futuro muy distante es muy probable que se comporten de manera muy diferente a .os actuales. Por otra parte, sobre todo cuando la duración del proyecto es predecible, es más realista y se recomienda basar el estudio en un horizonte de planeación finito.
B. La tecnología Es muy importante en un análisis de reemplazo, sobre todo para ciertos tipos de equipos, considerar las características tecnológicas de los equipos que son candidatos a reemplazar a aquellos bajo análisis. No hacerlo, supone que los equipos futuros serán igua les a los actualmente utilizados, y esto implica que no hay progreso tecnológico para ese tipo de equipo. Sin embargo, es más realista esperar alguna obsolescencia del equipo viejo con respecto a los nuevos equipos disponibles. El ejemplo prototipo para esta situación son las computadoras, las cuales continuamente se están mejorando a un ritmo bastante acelerado, es decir, nuevas computadoras con mayor capacidad de Hardware y Software originan que las computadoras que se usan actualmente estén en amplia desventaja. En tales situaciones, vale la pena analizar si la reducción en tiempo y el aumento de eficien cia de la nueva computadora justifican reemplazar a la actual.
C. Comportamiento de los ingresos y los gastos Es práctica común asumir que el comportamiento de los ingresos y los gastos a lo largo del horizonte de planeación es constante, o bien, en algunas ocasiones se estima que tienen un comportamiento lineal ascendente o descendente. Sin embargo, es muy impor tante señalar que cuando se ha detectado un cierto patrón de comportamiento en los gastos o se vislumbra cómo la inflación va afectar a los ingresos y los gastos, tales consi deraciones deben ser incluidas en el estudio de reemplazo. D. Disponibilidad de capital Es necesario dentro de un análisis de reemplazo considerar la disponibilidad de ca pital de la compañía, puesto que es obvio que las fuentes de financiamiento que la empresa utiliza para emprender sus proyectos de inversión (utilidad que genera, capital social y apacidad de endeudamiento) no son ilimitadas. No tomar en cuenta estas consideraciones
116 Técnicas de análisis en estudios de reemplazo
puede originar que un reemplazo que ya ha sido justificado no se pueda emprender por falta de fondos. E.
Inflación Otro factor muy importante que se debe de considerar en un estudio de reemplazo
es la inflación. En épocas inflacionarias el acceso a pasivos de largo plazo es muy limitado, puesto que la inflación al ser mayor que el rendimiento que ofrecen las instituciones ban carias en los diferentes tipos de inversión (cuenta de ahorros, certificados, bonos fmancieros, etc.), disminuye la captación por parte de éstas. Al disminuir la oferta de préstamos hipo tecarios de largo plazo, las empresas tienen que crecer al ritmo de crecimiento de sus uti lidades generadas. Esto significa que en situaciones inflacionarias las decisiones de inversión, en este caso reemplazo de equipo, deben ser realizadas cuidadosamente, ya que una mala decisión puede significar una reducción en la disponibilidad de capital de períodos futuros.
l
\1 t:
1
., .,
7 .1.3 Tipos de reemplazo Los estudios de reemplazo son de dos Tipos Generales. El primer tipo busca deter minar por adelantado el servicio de vida económica (período durante el cual se optimiza el valor anual equivalente) de un activo. Para este problema como luego se verá, se han desarrollado una serie de modelos matemáticos con diferentes suposiciones, todas ellas tendientes a determinar por adelantado el período óptimo de reemplazo del activo. El segundo tipo analiza si conviene mantener el activo viejo (algunas veces llamado
',1
11:
ii,¡,
defensor) o reemplazarlo por uno nuevo (algunas veces llamado retador). Este problema como más adelante se verá, puede ser resuelto con diferentes enfoques. El primero de ellos establece como horizonte de planeación la vida económica del activo nuevo. En el se gundo enfoque se selecciona un horizonte de planeación mayor que la vida remanente del activo viejo y se obtiene mediante programación dinámica la serie de activos que se uti lizarán durante tal período.
7.2 DETERMINACION DE LA VIDA ECONOMICA DE UN ACTNO Para determinar la vida económica de un nuevo activo se deben de considerar los siguientes costos:
a)
inversión inicial,
b) costos
inherentes del activo (operación y mante
nimiento) y e) costos relativos a modelos mejorados. Los costos más difíciles de evaluar de los tres anteriormente mencionados son sin duda los costos. relativos a modelos mejorados, puesto que es muy difícil predecir con exactitud sobre todo para tiempos futuros muy distantes, el grado de mejoramiento tecnológico que sufrirá un activo. Sin embargo, este costo es muy importante considerarlo en estudios de reemplazo de activos sujetos a obso lescencias muy aceleradas. Por otra parte, hay que tener presente que los costos anteriores son costos de oportunidad (lo que se deja de ahorrar [ganar]por no tener el mejor activo disponible en el mercado) y por lo tanto no constituyen un desembolso real para la com pañía. En la figura 7.1 se muestra en forma gráfica el comportamiento teórico de los costos inherentes y de los relativos de un activo. Como se puede apreciar en dicha figura, los costos inherentes del activo siguen una tendencia ascendente, lo cual se debe principal-
La vida económica de un activo 117
mente al mantenimiento excesivo y a la eficiencia decreciente que la edad de un activo origina. Por otra parte, en dicha figura también se muestran los costos, que se tendrían en cada uno de los años si se dispusiera del mejor activo que en ese momento existe en el mercado. Como puede observarse, estos costos disminuyen con el tiempo, dependiendo del grado de obsolescencia del activo en cuestión. Finalmente, en esta misma figura se puede apreciar que los costos relativos (costos de oportunidad) crecen con la edad del activo, es decir, entre más viejo sea un activo mayor será la cantidad que se deja de ahorrar (ganar) por no disponer del mejor activo que actualmente exista en el mercado.
�ostos inherentes del activo
Costos relativos
�Costos del activo mejorado tiempo FIGURA 7.1. Comportamiento de los costos inherentes y relativos del activo bajo
análisis.
Por otra parte, en la figura 7 .2, se muestra el comportamiento del costo anual equi valente de los costos inherentes y relativos del activo. También, en dicha figura se muestra
la curva del costo total a partir de la cual se obtiene el período óptimo de reemplazo (N*).
Finalmente, a continuación se presenta un modelo matemático que determina la vida económica del activo. Cabe hacer la aclaración de que hay una variedad infinita de modelos matemáticos para analizar situaciones de reemplazo. Los resultados obtenidos on estos modelos dependen del tipo de suposiciones y del grado de complejidad de los mismos. El modelo matemático que s¡_: propone es el siguiente:
Mín
(
-P +
... +
N �
D-t-C RJ--C¡¡(l-t) J
j==1
.
(1 + ¡)i
FN- (FN- EN) (1 + 1.)N
te)
ande: P
D. J
==
inversión inicial en el activo. depreciación del activo en el año j.
+ ...
(Ajp, i %, N)
(7.1)
118 Técnicas de análisis en estudios de reemplazo t
C¡¡
CRi
FN
EN
N te
= tasa de impuestos. =
costos inherentes del activo en el año j.
= costos relativos del activo en el año j. =
valor realizable del activo al final del año N
-
valor en libros del activo al final del año N.
-
período óptimo de tiempo a permanecer con el activo.
=
tasa de impuestos que grava pérdidas o ganancias extraordinarias de capital.
en el cual se probarán diferentes valores de N hasta encontrar aquel que minimiza el costo total anual equivalente.
Costo total
anual equivalente
Costo anual equivalente los costos inherentes
relativos del activo
+------
Costo anual ---.:_ la in versión
:
y
de
equivalentt: dt:
N*
tiempo
,
FIGURA 7 .2. Costo total equivalente del activo para diferentes tiempos de
permanencia.
Con el propósito de ilustrar una aplicación de este modelo matemático, suponga que una empresa desea adquirir cierto equipo para reemplazar el actualmente utilizado.
El costo del equipo se estima en $50,000 y los valores de rescate, valores en libros, costos
inherentes y costos relativos, para los diferentes años de vida del activo se muestran en la
tabla 7-1. También, considere que la tasa de impuestos es de 50% y que esta misma tasa , se aplica para gravar ganancias o pérdidas extraordinarias de capital. Por último, supon
ga que la empresa utiliza una TREMA de 20% para evaluar sus proyectos de inversión.
TABLA 7-1 Final del año
2 3 4 5
Valor en
Valor
Costos
Costos
libros
realizable
inherentes
relativos
$40,000 30,000 20,000 10,000
$36,000 28,000 24,000 16,000 2,000
$ 5,000 6,CiOO 7,000 9,000 11,000
$
o
o
2,000 2,500 4,000 6,000
"
La vida económica de un activo 119
TABLA 7-2. Flujos de efectivo para diferentes períodos de permanenci� en el
(í)
ac �ivo .
�
4-
l't\�..
C\-o5. re\o..i"�
Flujo de efectivo antes de
impuestos
Año
3 ®
50 or:P
o= �-... 5
Depreciación
T)fj!'t"�(f..� -t-@).. 6) f � tlf() 2. t 3
'�
t"'"
.
([}
2.-rS
Flujo de efectivo
Cantidad
Ahorro en
después de
gravable
impuestos
impuestos
�m
anecer un año con el activo
o
-50,000
1
- 5,000
-50,000 -10,000
36,000
�
-15,000
- c¡,ne,_,C..
7,5Q O
z.,ooe-
2,500 38,000
anecer dos años con el activo
o
-50,000
1
- 5,000
-10,000
-15,000
7,500
2
- 8,000
-10,000
-16,000
8,000
2
28,000
- z.'()(:;(:;
1¡(:/::JO
-50,000
�
2,500
o 29,000
manecer tres años con el activo
o
-50,000
1
- 5,000
-10,000
-15,000
7,500
2
- 8,000
-10,000
-16,000
8,000
o
3
- 9,500
-10,000
-17,000
8,500
-1,000
3
24,000
-50,000
t.f1éX1:.':>
-2,�
2,500
22,000
,./
ermanecer cuatro años con el activo
o
-50,000
1
- 5,000
-10,000
-15,000
7,500
2
- 8,000
-10,000
-16,000
8,000
o
3
- 9,500
-10,000
-17,000
8,500
- 1,000
4
-13,000
-10,000
-19,000
9,500
- 3,500
4
16,000
-50,000
�,ooa
-3,000
2,500
13,000
Permanecer cinco años con el activo
o
-50,000
-50,000 - 5,000
-10,000
-15,000
7,500
2
- 8,000
-10,000
-16,000
8,000
o
3
- 9,500
-10,000
-17,000
8,500
- 1,000
4
-13,000
-10,000
-19,000
9,500
- 3,500
5
-17,000
-10,000
-21,000
10,500
- 6,500
5
2,000
Z,oOt.:>
-1�0
2,500
1,000
120 Técnicas de análisis en estudios de reemplazo A partir de esta información, primeramente se muestran en la tabla 7-2 los flujos de
efectivo después de impuestos para los diferentes períodos de permanencia con el activo. Debe ser notado en esta tabla que en la cantidad gravable sólo se incluyen los costos in· herentes y la depreciación. Los costos de oportunidad por ser no-desembolsables no se pueden considerar como deducibles. A partir de la tabla 7-2 se obtiene la tabla 7-3 en la cual se trata de mostrar principalmente el costo anual equivalente que se tendría si se per
1, 2, 3, 4 ó 5 años. En esta tabla se puede apreciar que el costo anual 4 años. Esto significa que el período óptimo de reemplazo del activo es de 4 años. manece con el activo
equivalente es mínimo para un período de
En este ejemplo y en el próximo se supuso que los costos relativos son conocidos. Sin embargo, los costos relativos por ser costos de oportunidad son muy difíciles de eva luar en la práctica. Por consiguiente, si en un problema específico no es posible determinar los costos relativos, con considerar los costos inherentes es suficiente.
r
�
�l.
TABLA 7-3. Costo anual equivalente para diferentes períodos de permanencia con el activo.
:� r.
'�
Valor presente
Costos
.. ·;
Valores realizables
totales Año
después de
después de
impuestos
impuestos
Factor de
si se permanece
N años con el activo
anualidad
Costo anual
equivalente
equivalente
1.2000 0.6546 0.4747 0.3863 0.3344
-19,500 -18,184 -16,977 1-16,963 1 -17,520
�
o
'� �• j,.
1 2 3 4 5
-$50,000 2,500 o
- 1,000 - 3,500 - 6,500
38,000 29,000 22,000 13,000 1,000
-16,250 -27,779 -35,764 -43,913 -52,393
�
7.3 ANALISIS DE REEMPLAZO DEL ACTIVO ACTUAL
En el inciso anterior se analizó el problema de determinar por adelantado la vida económica de un activo. Este tipo de problema surge cada vez que se desea adquirir un nuevo activo por primera vez. Sin embargo, existen ocasiones en las cuales se tiene actual mente un activo en uso, y lo que se desea es determinar el tiempo adicional que se debe permanecer con dicho activo, es decir, se trata de determinar su fecha de reemplazo. Puesto que en este tipo de situaciones el principal problema es fijar el horizonte de planeación, a continuación se describen algunas reglas que pueden ser utilizadas en la fijación de éste. A. Horizonte de planeación igual a la vida económica del retador.
Para el caso en que la vida remanente del defensor sea mayor- o igual a la vida eco nómica del retador, se recomienda fijar ésta como el horizonte de planeación. Esta idea es bastante lógica, puesto que el tiempo a permanecer con el activo nuevo es precisamen te su vida económica.
Análisis de reemplazo del activo actual 121 B. Horizonte de planeación igual a la vida remanente del defensor
Cuando la vida remanente del defensor es menor a la vida económica del retador, se pueden hacer dos cosas: fijar el horizonte de planeación igual a la vida remanente del de fensor, lo cual no es muy aconsejable, o bien fijar un horizonte mayor o igual a la vida económica del retador y determinar la serie de activos que se deben de tener durante este período de tiempo de tal modo que se optimice algún criterio económico (aplicación de .
programación dinámica).
Estas reglas deben de tomarse muy en cuenta puesto que no fijar horizontes de planeación en estudios de reemplazo puede llevarnos a realizar análisis incorrectos. Por ejemplo, si en un estudio de reemplazo de un defensor con vida remanente de dos años y un retador con una vida económica de 1 O años, se utiliza el método del valor anual para decidir si se hace ahora o dentro de dos años el reemplazo, entonces se está implicando al utilizar este método, que en el período de 1 O años se pueden utilizar: un solo activo nuevo o cinco activos exactamente iguales al defensor. Sin embargo, es obvio que esta suposición es incorrecta, puesto que no es posible comprar dentro de dos, cuatro, seis y ocho años, un activo con características similares al que actualmente se está utilizando . Lo correcto sería, o fijar el horizonte de planeación en 2 años lo cual no es muy aconsejable, o bien si el horizonte de planeación se fija en diez años, comparar la alternativa de permanecer diez años con el activo nuevo con la alternativa de permanecer los próximos dos años con el defensor y luego ocho años con el retador. 7.3.1 Vida del defensor mayor o igual a la vida económica del retador
Para ilustrar el caso que se presenta cuando la vida remanente del defensor es mayor o igual a la vida económica del retador, suponga que una empresa actualmente está utili zando un activo que compró hace dos años. Se estima que el valor .fealizable y el valor en libros de este activo en este momento es de $30,000 y $25,000 respectivamente. Los va lores en libros, valores realizables, costos inherentes y relativos para los próximos 5 años de vida remanente del activo se muestran en la tabla 7-4. Por otra parte, esta compañía iene la alternativa de reemplazar este activo por uno con características idénticas al pre entado en la sección anterior, el cual tiene una vida económica de 4 años. Por último, onsidere que la tasa de impuestos que grava utilidades o pérdidas ordinarias y extraordinarias es de 50% y la TREMA
=
20%.
Puesto que la vida económica del retador es de 4 años, este período de tiempo se onsiderará como el horizonte de planeación en el análisis de reemplazo de estos activos.
TABLA 7-4. Flujos de efectivo del defensor. Valor
Valor
Costos
Costos
inherentes
relativos
24,000 18,000
$ 4,000
$2,000
7,000
3,000
15,000 8,000 4,000
11,500
3,500
13,500 18,000
4,500 6,000
Año
en libros
realizable
o
$25,000
$30,000
1 2
20,000
3 4
1_0,000
5
o
15�000 5,000
--
'
�
122 Técnicas de análisis en estudios de reemplazo
Por consiguiente, el primer paso en la comparación de estas dos alternativas es evaluar sus flujos de efectivo después de impuestos. Tal información aparece en la tabla 7-5. Ahora, para determinar cuál de las dos alternativas es la mejor, se obtiene el flujo de efectivo di ferencial entre estas dos alternativas, el cual aparece en la tabla 7-6. En seguida, para de terminar si el incremento en la inversión del nuevo activo se justifica, se obtiene el valor presente del flujo de efectivo diferencial:
VPN=_:__22.500 +
'
4,000 + 4,000 + 5,750 +
(1.2)
(1.2)2
(1.2)3
11,750
(1.2)4
el cual después de algunas simplificaciones resulta ser de - 7,395. Por consiguiente, la de
cisión es permanecer tres años más con el activo viejo.
TABLA 7-5. Flujos de efectivo después de impuestos del retador y del defensor.
Flujo de
Flujo de
efectivo
efectivo
antes de Año
impuestos
Cantidad
Ahorro en
después de
Depreciación
gravable
impuestos
impuestos
- 5,000
- 9,000
4,500
- 1,500
Defensor
'�
o
-30,000
1
- 6,000
2
-10,000
- 5,000
-12,000
6,000
- 4,000
3
-15,000
- 5,000
-16,500
8,250
- 6,750
4
-18,000
- 5,000
-1 8,500
9,250
- 8,750
4
8,000
-27,500'
6,500
Retador -50,000
o
-50,000
1
- 5,000
-10,000
-15,000
7,500
2
- 8,000
-10,000
-16,000
8,000
o
3
- 9,500
-10,000
-17,000
8,500
4
-13,000
-10,000
-19,000
9,500
- 1,000 - 3,500
4
16,000
2,500
13,000
7 .3.2 Horizonte de planeación conocido
Cuando la vida remanente del defensor es menor a la vida económica del retador, o bien cuando se conoce con exactitud el período de tiempo durante el cual se va a requerir el servicio que proporciona el activo (horizonte de planeación conocido), es conveniente aplicar una metodología completamente diferente a la anteriormente explicada. Tal téc nica, es el algoritmo de programación dinámica, el cual permite eliminar la suposición de que el servicio proporcionado por el activo será requerido indefmidamente.
Análisis de reemplazo del activo actual 123 TABLA 7-6. Flujo de efectivo diferencial entre el defensor y el retador.
Flujo de efectivo después de impuestos (retador)
Flujo de efectivo después de impuestos (defensor) Año
Diferencia
(retador-defensor)
o
-27,500
-50,000
-22,500
1
- 1,500
2,500
4,000
2
- 4,000
o
4,000
3
- 6,750
- 1,000
5,750
4
-8,750
- 3,500
5,250
4
6,500
13,000
6,500
Puesto que el algoritmo de programación dinámica que se recomienda aplicar en estudios de reemplazo, es hacia adelante, el primer paso para la aplicación de este algo ritmo es obtener tanto para el defensor como para el retador, el valor futuro de los flujos de efectivo respectivos para cada uno de los próximos años. En seguida, después de fijar el horizonte de planeación que se utilizará en el estudio de reemplazo, se empieza a ana lizar para el primer año, si vale la pena continuar un año más con el defensor o se adquie re el nuevo activo. Para el segundo año las alternativas serían: hacer el último reemplazo en el año cero, lo cual significa que se vende inmediatamente el defensor, o bien hacer el último reemplazo en el año
1, y
fmalmente otra alternativa a analizar sería la permanencia
de los dos años adicionales con el activo viejo. Para los siguientes años, la lógica de la ge neración de alternativas es idéntica. Una vez analizadas todas las alternativas de cada uno de los años que comprende el horizonte de planeación, el problema se reduce a determinar la solución óptima, es decir, a determinar la serie de activos que maximizan el valor futuro al fmal del horizonte de pla neación utilizado. La determinación de esta serie de activos se obtiene a partir de la si guiente fórmula de recurrencia:
Máx
{FSA(Tur) (1
+
¡/ ua
+
FNA(Tua)}
para Tua =0, 1, 2,
.
.
.
t
donde:
Tur Tua FNACtua)
=
=
=
tiempo en el cual se hizo el último reemplazo. tiempo de permanencia con el último activo de la serie. valor futuro del nuevo activo si se permanece con él un tiempo igual a
FSACtur)
=
tua·
valor futuro en el tiempo
lur
de uno o una secuencia de activos, los
cuales pueden ser: el defensor, el retador, el defensor y una serie de retadores, o bien esta secuencia puede estar formada por puros reta dores. Una explicación gráfica de esta fórmula se muestra en la figura 7-3. En esta figura, es un período de tiempo menor o igual al horizonte de planeación seleccionado, tiempo en el cual se va a introducir el último activo de la serie y va a permanecer con este activo.
tua
t tur es el
es el tiempo que se
124 Técnicas de análisis en estudios de reemplazo
Para ilustrar la aplicación de este algoritmo, suponga que actualmente se tiene ope rando un activo el cual se compró hace dos años. Cuando este activo se adquirió, el valor FNA(t ua)
FSA(tur)
1
Serie de activos
¡· l--
tua
tur
FIGURA 7.3 Serie de activos a utilizar durante un tiempo t.
de rescate y la utilidad neta como una función del tiempo, �e representaba por las siguien
, �
tes expresiones:
¡�
·r
100(.75)t 50(.85)t-l
VR(t) UN(t)
para
t
para t
O, 1, 2, 3,
1, 2, 3, 4,
... o
o
o
ahora, después de dos años se cree que estas funciones siguen siendo válidas para el caso de comprar nuevamente el activo (retador). Para esta información, suponiendo que no hay mejoramiento teconológico, inflación e impuestos y considerando un horizonte de planeación de seis años, el primer paso en la aplicación de este algoritmo, sería obtener el valor futuro para diferentes períodos de tiempo, tanto del defensor como del retador.
�
Esta información aparece en la tabla futuro al fmal del período aparecen en la tabla
7-S.
t
7-7.
A partir de esta tabla se puede obtener el valor
de cada una de las combinaciones posibles. Estos cálculos
Como se puede apreciar en esta tabla, en el último año (período
seis) el análisis indica hacer el último reemplazo en el año dos y en el año dos el análisis in dica hacer el último reemplazo en el año cero. Lo anterior significa que la solución a este problema es permanecer dos años adicionales con el activo actual y entonces comprar
un
nuevo con el cual se permanecerá los cuatro años restantes. TABLA 7-7. Valores futuros para diferentes tiempos de permanencia con el defen sor y con el retador.
..
A ño
Defensor
Retador
1
16.4375
2
34.0219
32.7500
3
52.4501
52.4625
15.0000
4
73.6494
5
96.0404
6
119.5241
En el ejemplo anterior se supuso que no existe mejoramiento tecnológico para ese tipo de activo, también se supuso que no había impuestos y a la inflación no se tomó en cuenta. Sin embargo, si estas consideraciones son introducidas al modelo, la lógica del al goritmo seguiría siendo la misma.
Conclusiones 125 TABLA 7-8. Combinación óptima de activos para cada período de tiempo analizado.
2 3
t ua
tu
1
1
6
33.0813
o
1
32.7500
2
52.4241
1
3
o
1 2 3
-
=
FSA(tur)" (1.1) tu a
+
16.4375(1.1)*
+
15.0000
34.0219(1.1)
+
15.0000
o
=
52.6394
16.4375(1.1)2
o
52.4625
=
3
72.9033
=
2
73.9165
1
-
o
74.3408 73.9464
-
1
4
96.7749
-
2
3
96.4437
-
3
2
97.7456
-
4·
1
97.7155
34.0219(1.1)3
=
16.4375(1.1)4
4 5
FSA(t)
2 2
4
r
5
o
1
5
96.0404
122.5202
2
4
122.7024
3
3
4
2
122.5255
5
1
o
6
123.4609
-
-
=
= -
=
122.5132 119.5241
52.6394(1.1) 34.0219(1.1)2 16.4375(1.1)3
o
74.3408(1.1) 52.6394(1.1?
o
+
+ +
+ + +
+
+
+
+
+
97.7456(1.1)
+
52.6394(1.1)3
+
74.3408(1.1)2
34.0219(1.1)4
16.4375(1.1)5 -
+
o
+
FNA(tua)
32.7500
32.7500 52.4625
15.0000 32.7500 52.4625 73.9464 15.0000 32.7500 52.4625 73.6494
96.0404
15.0000 32.7500
52.4625
+
73.6494
+
119.5241
+
96.0404
*La TREMA que se utilizó en este ejemplo es de 10%. Nota: Para t
=
l y 2 la mejor alternativa es continuar con el activo viejo.
7.4 CONCLUSIONES
A lo largo de este capítulo se han presentado una serie de consideraciones y de mo
delos matemáticos que se recomienda utilizar en estudios de reemplazo. Sin embargo, el punto más importante de este capítulo es comprender la necesidad de establecer dentro de una compañía,. políticas óptimas de reemplazo para cada uno de los activos utilizados. Otra cuestión muy importante a enfatizar en estudios de reemplazo es la dificultad de predecir con exactitud los valores realizables del activo a través de su vida útil, así como también los mejoramientos tecnológicos a que estaría sujeto dicho activo. Estas dificultades generalmente obligan al analista a hacer suposiciones muy simples sobre estos factores. Sin embargo, conviene hacer un esfuerzo por predecir el futuro lo más correctamente posible, ya que de esta forma los resultados que se obtengan con tales estudios de reem plazo, irán más de acuerdo a las metas y objetivos fijados por la organización.
.
1
126 Técnicas de análisis en estudios de reemplazo
PROBLEMAS 7.1
El costo inicial requerido por un cierto equipo es de $i00,000. Sus gastos de ope ración y mantenimiento son de $ 30,000 para el primer año y se espera que estos gastos se incrementen en lo sucesivo a·una razón de $10,000/año. El valor reali zable de este activo en los próximos años se espera que se comporte de la siguiente manera: VR k
=
100,000- 15,000(k) para k
=
1, 2, ... 5
Si el período de depreciación del activo es de 5 años, la tasa de impuestos que grava utilidad(pérdidas) ordinarias y extraordinarias es de 50%, y laTREMA que se utiliza es de 20% , determine el período óptimo de reemplazo de este activo. 7.2
La inversión inicial requerida por una nueva máquina es de $500,000. Sus gastos de operación y mantenimiento son de $150,000 para el primer año y se espera que
1
estos gastos se incrementen en lo sucesivo a una razón de 10% anual.El valor rea lizable de este activo en los próximos años se espera que se comporte de la siguiente manera:
,
VR k
i1
'
11 ji 11
=
500,000
(.90)k
para k
=
1, 2, ... 10
Si el período de depreciación del activo es de 1 O años, la tasa de impuestos que grava utilidades (pérdidas) ordinarias y extraordinarias es de 40%, y la TREMA que se utiliza es de 30%, determine el período óptimo de reemplazo del activo. 7.3
Un cierto tipo de máquina fue instalada hace 5 años a un costo de $840,000. Ac tualmente esta máquina tiene un valor realizable de $740,000. Si se continúa operando con esta máquina se estima que su vida remanente sea de 1 O años, sus
, , 1
gastos de operación y mantenimiento se estiman en $200,000, y su valor de res
•'
cate en los próximos años se espera que se comporte de acuerdo a la siguiente expresión: VR
k
=
740,000 - 20,000 (k) para k
=
1, 2, .. .10
Además, esta máquina está siendo depreciada en línea recta usando una vida de 12 años. La máquina vieja puede ser reemplazada por una versión mejorada que cuesta $1,200,000, tiene gastos de operación y mantenimiento de $100,000 y un valor de rescate de $150,000 al término de su vida económica de 8 años. Si el reemplazo se realiza, la máquina nueva será depreciada de acuerdo a la ley en un período de 1O años. Si la tasa de impuestos que grava utilidades(pérdidas) ordinarias y extra ordinarias es de 50%, y laTREMA utilizada es de 25%, determine usando el método del valor anual equivalente la mejor alternativa. ¿Cuál sería laTIR del incremento en la inversión que demanda la máquina nueva? 7.4
Una compañía utiliza en su proceso productivo una mezcladora automática que compró hace 5 años. La mezcladora originalmente costó $800,000. Actualmente la mezcladora puede ser vendida en $500,000. Además, con esta mezcladora se pue de seguir operando por 1O años adicionales al fmal de los cuales el valor de rescate
Problemas 127 se estima en $100,000. También, se estima que los costos anuales de operación y
manteninúento en los próximos
1 O años
serían del orden de
$250,000. Finalmente, 10 años.
considere que el período de depreciación de esta máquina es de
Puesto que la demanda que enfrenta esta compañía ha sufrido un· incremento significativo, una nueva mezcladora es requerida. Si se continúa operando con la mezcladora actual, solamente sería requerido adquirir una mezcladora cuyo costo inicial es de
$750,000, sus
gastos de operación y manteninúento son de
$200,000/ $100,000. Además, de acuerdo a la ley es de 1O años.
año y su valor de rescate después de 10 años de uso se estima en el período de depreciación de esta máquina
Por otra parte si la mezcladora actual es vendida, una mezcladora de mucha ma yor capacidad sería adquirida. El costo inicial de ésta se estima en $2,000,000, su valor de rescate al final de su vida fiscal de
$200,000, y sus $250,000. Si la tasa ordinarias y extraordinarias es de 50%, 1O
años se estima en
gastos anuales de operación y mantenimiento se estiman en de impuestos que grava utilidades (pérdidas) y la TREMA utilizada es de
30%, determine usando el método de la TIR la mejor
alternativa.
7.5
La compañía X actualmente utiliza una máquina que tiene un valor de mercado de
$500,000
(considere que este valor realizable es igual al valor en libros del activo l
Los costos anuales de operación y mantenimiento y el valor de rescate de la má quina para los próximos
8
años pueden ser expresados respectivamente en la forma·
siguiente:
COMk
=
80,000
+
20,000(k-1)
para
k
1' 2, ... 8
y
VRk
=
500,000 - 50,000k
para
k
1, 2, ... 8
==
Además, se sabe que la depreciación anual de esta máquina en los próximos será de
5 años
$80,000.
La máquina actual puede ser reemplazada por una versión mejorada cuyo costo inicial es de
$800,000, sus gastos anuales de operación y mantenimiento y el valor 8 años pueden ser expresados respectivamente para las
de rescate en los próximos siguientes funciones:
50,000(1.1)k-l
COMk
para
k
1, 2, ... 8
=
y
VR k
=
800,000(0.8l
Si la vida fiscal de la nueva máquina es de
para
8
k
=
1, 2, ...8
años, la tasa de impuestos que grava
utilidades (pérdidas) ordinarias y extraordinarias es de es de
7.6
25%,
50%, y
la TREMA utilizada
¿qué alternativa de acción recomendaría?
Un conjunto de cintas magnéticas que se utilizan en la operación del sistema compu tacional de la compañía X, tuvieron un costo inicial hace dos años de
$500,000.
Sin embargo, debido al gran avance tecnológico que existe,en esta área, actualmen te existen en el mercado cintas magnéticas que pueden incrementar significativa-
128 Técnicas ae análisis en estudios de reemplazo
mente la velocidad de procesamiento del sistema computacional. La reducción en el tiempo de procesamiento de la información se estima que sea del orden de 20%. Si las cintas actuales son vendidas su valor realizable se estima en $300,000.Además, se sabe que el costo inicial del nuevo conjunto de cintas magnéticas es de $1 ,000,000. Por otra parte, se anticipa que la actual computadora será reemplazada dentro de 4 años cuando entren al mercado las computadoras de la siguiente generación. Los valores de rescate de las cintas magnéticas actuales y del nuevo conjunto al tér mino de 4 años se estiman en $100,000 y $500,000 respectivamente. También, se sabe que la computadora trabaja 8 horas diarias durante 20 días al mes. Si el costo de operación de la computadora es de 500/hora, la vida fiscal de las cintas magné ticas es de 8 años, la tasa de interés que grava utilidades (pérdidas) ordinarias y ex traordinarias es de 50% y la TREMA utilizada es de 20%, ¿debería reemplazarse el conjunto actual de cintas magnéticas? 7.7
Un hospital está considerando la posibilidad de reemplazar una de sus máquinas artificiales para el riñón.La máquina que actualmente se utiliza, costó hace cuatro años $800,000. Si se continúa con esta máquina sus costos anuales de operación y mantenimiento y los valores de rescate en los próximos años serían: COM
k
==
k l 400,000(1.15) -
para k
==
·
1, 2, ...5
y
VR
k
==
400,000 - 60,000 k
para k
==
1, 2, . .5 .
La máquina nueva que se está considerando para reemplazar a la actual tiene un costo inicial de $1 ,400,000, gastos anuales de operación y mantenimientp de $350,000, una vida económica de 5 años, y un valor de rescate al término de este período de $300,000.Si el valor de mercado de la máquina actual es de $400,000, la vida fiscal de las máquinas es de 8 años para la vieja y 5 años para la nueva, la tasa de impuestos que grava utilidades (pérdidas) ordinarias y extraordinarias es de 50% y la TREMA que se utiliza es de 25%, ¿debería reemplazarse la máquina actual? 7.8
Para tin valor de TREMA de 10%, encuentre la vida económica del siguiente activo cuyos ingresos netos anuales y valores de rescate en los próximos años se com
portan de acuerdo a las siguientes funciones: !N k
==
k l 50(.85) -
para k
1' 2, ...
y
VR k 7.9
==
100(.75)
k
para k
==
O, 1, . ..
Para el activo presentado en el problema 7-8, determine aplicando programación dinámica, la política óptima de reemplazo si se considera un horizonte de planea ción de 6 años.
7 JO
Suponga que actualmente se tiene operando un activo idéntico al del problema 7-8, el cual se compró hace 3 años. Para este tipo de activo, determine por medio de
programación dinámica, la política óptima de reemplazo si se usa un horizonte de planeación de 8 años.
8 Selección de proyectos en condiciones limitadas de presupuesto
La optimización del uso de los recursos dentro de una corporación es un problema de bastante alcance. Para resolverlo se requiere determinar los flujos de efectivo que cada división genera, sus capacidades de endeudamiento, las fuentes de financiamiento a las cuales se tiene acceso y los flujos de efectivo que son transferidos de una división a otra. Una vez conocida esta información se pueden desarrollar modelos aproximados y exactos, los cuales tendrán como objetivo maximizar el valor presente de la corporación. En el presente capítulo se habla primero del proceso de generación de alternativas mutuamente exclusivas, haciendo énfasis en los diferentes tipos de interrelaciones que pueden existir entre todas las propuestas que se generan dentro de una corporación. En seguida se explica cómo debe hacerse el proceso de selección entre muchos proyectos cuando existen limitaciones económicas. Es importante señalar que en esta sección se explica solamente el procedimiento manual. La tercera sección muestra cómo el problema de restricciones en el presupuesto puede ser resuelto a través de modelos m atemáticos de programación entera. En esta sec ción, primero se analiza un modelo que no permite endeudamiento en ninguna de las divi siones que forman la corporación. En seguida, se presenta un modelo más generalizado, el cual permite endeudamiento por parte de las divisiones y además asume que el exceso de ·
efectivo que se pueda presentar en una división puede ser destinado a inversiones líquidas de corto plazo. Como el uso y aplicación de modelos matemáticos requiere del dominio y entendi miento de éstos, así como de un sistema de información eficiente, en la cuarta sección se muestran los diferentes métodos aproximados que una corporación puede utilizar en el proceso de selección y asignación de recursos. Estos métodos aproximados tienen algunas deficiencias teóricas, pero la compensan con su sencillez, su facilidad de cómputo y su f ácil entendimiento. Finalmente, en la quinta sección se analiza el grado de efectividad que se logra cuan do las decisiones se hacen en forma secuencial y cuando se hacen en forma periódica.
129
130 Selección de proyectos en condiciones limitadas de p resupuesto
8.1 GENERACION DE ALTERNATNAS MUTUAMENTE EXCLUSN AS Las interdependencias que pueden existir en un conjunto de propuestas de inver sión, pueden ser de los siguientes tipos:
•
Mutuamente exclusivas
•
Independientes
•
Contingentes
Conociendo el tipo de interdependencias que pueden existir entre las propuestas de inversión, es posible desarrollar una metodología que facilite la formación o agrupación de propuestas en alternativas mutuamente exclusivas. Todo lo que ésto requiere es la enu meración de todas las combinaciones factibles de las propuestas bajo consideración. Cada combinación de propuestas representa una alternativa mutuamente exclusiva puesto que cada combinación es única y el aceptar una combinación de propuestas elimina la acepta ción de cualquier otra combinación. Los flujos de efectivo de cada alternativa son obteni dos, período por período, al sumar los flujos de efectivo de cada propuesta contenida en dicha alternativa. Para ilustrar el proceso de generación de alternativas mutuamente exclusivas, consi dere una corporación formada por 3 divisiones (ver figura 8.1). Ahora, para propósitos de ilustración, suponga que en un período de tiempo determinado se genera una propuesta de inversión en cada división. Para este caso particular, el número de alternativas mutua mente exclusivas que se pueden formar son mostradas en la tabla 8 .1. En dicha tabla se puede observar que cada renglón representa una alternativa mutuamente exclusiva. Ade más, en esta tabla se utilizan números binarios: el cero que significa rechazo de la pro puesta, y el uno que significa aceptación.
Corporación
División 2
FIGURA 8.1. Corporación formada por tres divisiones.
Ahora suponga que existen dos alternativas de llevar a cabo la propuesta generada en la división 1 y la generada en la división 2. Además, suponga que en esta ocasión, la división 3 no genera ninguna propuesta de inversión. Para esta nueva situación, la tabla 8.2 muestra el conjunto de alternativas mutuamente exclusivas que se pueden formar. Con viene señalar que tanto las propuestasA 1 y A2 como B 1 y B2 son mutuamente exclusivas. Sin embargo, la selección de cualquier propuesta del conjunto de propuestas A 1 y A2 es independiente de la selección de cualquier propuesta del conjunto de propuestas B1 y B2•
Generación de ulternativas mutuamente exclusivas 131
TABLA 8.1. Alternativas mu tuam ente exclusivas para tres propuestas independientes. Propuestas División 1
Alternativas
División 2
División 3
mutuamente exclusivas
1
o
o
o
2
1
o
o
3
o
1
o
4
o
o
1
5
1
1
o
6
1
o
1
7 8
o
1
1
1
1
1
-�
TABLA 8.2. Alternativas mutuamente exclusivas para dos conjuntos independientes de propuestas mutuamente exclusivas.
División 2
Alternativas
División 1
mutuamente exclusivas
A¡
A2
B¡
B2
1
o
o
o
o
2
1
o
o
o
3
o
1
o
o
4
o
o
1
o
5
o
o
o
1
6
1
o
1
o
7.
1
o
o
1
8
o
1
1
o
9
o
1
o
1
l
----
Si las propuestas son contingentes, también es posible agruparlas en un conjunto de alterna tivas mutuamente exclusivas. Suponga que en una determinada división se generan tres propuestas: A, B y e, donde la propuesta e es contingente a la aceptación de la pro puesta A y B, y la propuesta B es contingente a la aceptación de la propuesta A. La tabla 8.3 muestra las alternativas mutuamente exclusivas que pueden formarse para el grupo de propuestas con las relaciones de contingencia descritas. TABLA 8.3. Alternativas mutuamente exclusivas para propuestas contingentes
Alt ernativas
Propues tas
mutuamente exclusivas
A
B
e
1
o
o
o
2
1
o
o
3
1
1
o
4
1
1
1
132 Selección de proyectos en condiciones limit adas de presupuesto
Hasta ahora, los ejemplos que se han explicado son demasiado sencillos. Sin embar go, es obvio que en una división existen muchas áreas de inversión (producción, distribu ción, mercadotecnia, etc.), y dentro de cada área de inversión pueden existir varias propues tas mutuamente exclusivas. Esta nueva situación implica que la enumeración exhaustiva de alternativas mutuamente exclusivas podría ser impráctica y tediosa. Sin embargo, como más adelante se verá, la programación lineal o entera alivian esta gran dificultad. La figura 8.2 muestra en forma de diagrama la situación más general que se podría presentar en una corporación formada por 2 divisiones. Para este caso, es obvio que el número total de alternativas mutuamente exclusivas que se forman, puede ser obtenido con la siguiente expresión.
( � \P1,j
)(
'
N= ¡= 1
donde:
P 1 ,¡ P2 j
1 n2
n
=
-
=
+ 1)
_�2 (P2j + 1)
¡=1
)
(8.1)
cantidad de propuestas mutuamente exclusivas del áreaj dentro de la divi sión l. cantidad de propuestas mutuamente exclusivas del áreaj dentro de la divi sión 2. cantidad de áreas de inversión dentro de la división l. cantidad de áreas de inversión dentro de la división 2.
Para ilustrar la aplicación de la fórmula anterior, suponga que en la división 1 hay 5 áreas de inversión, cada una con 2, 3, 4, 2 y 2 propuestas mutuamente exclusivas respecti vamente, y en la división 2 hay 4 áreas cada una con 2, 3, 3 y 2 propuestas mutuamente exclusivas respectivamente, entonces, de acuerdo a la fórmula 8.1 el número total de al ternativas mutuamente exclusivas sería: N=
.
( (2 + 1 ) (3 + 1) (4 + 1) (2
+
1) (2 + 1) )
( (2 + 1) (3 + 1) (3 + 1) (2
+
1) )
N= 77,760
Por consiguiente, es claro que un análisis manual de esta cantidad de alternativas sería prácticamente imposible. Además, conviene señalar que el ejemplo ilustrado no es repre sentativo de lo que ocurre en una corporación, esto es, generalmente en una corporación existen más divisiones, y dentro de cada división pueden existir una gran cantidad de áreas de inversión. Finalmente, se muestra la fórmula que se utiliza para determinar el número total de alternativas mutuamente exclusivas que se pueden formar en una corporación que tiene muchas divisiones: N
/ =lrr
n
i= 1
nJ (P1-,] + 1) ·
j= 1
)
(8.2)
donde:
Pi,j
=
cantidad de propuestas mutuamente exclusivas del área j dentro de la divi sión i.
...... . -
División 1
-----5] �
........ ----@
e;") � ::S �
¡:¡
..... (3:
Corporación
::S
�
División 2 ·
-
·
·
·
·
·
·
______J-;,:-¡ �
� !:.. � � 1:¡
�..,
::¡
S::
E' 1:¡
·
·
·
·
·
·
·
·
-@
::¡
� � � .....
¡: ..,
�FIGURA 8.2. Generación de alternativas en una corporación.
.... (j.l (j.l
134 Selección de proyectos en condicion es limitadas de presupuesto
n¡ n
=
=
cantidad de áreas de inversión dentro de la división i. cantidad de divisiones.
La generación de alternativas mutuamente exclusivas en condiciones limitadas de presupuesto difiere un poco del procedimiento explicádo anteriormente. Al igual que an tes, todas las posibles combinaciones de propuestas son listadas y los flujos de efectivo de estas alternativas mutuamente exclusivas son determinados. El único procedimiento adi cional requerido es la eliminación de todas las alternativas mutuamente exclusivas que requieran más dinero del que se dispone.
8.2 SELECCION ENTRE MUCHOS PROYECTOS CON RESTRICCIONES Cuando estamos frente a un grupo de muchas áreas de inversión con interrelaciones técnicas dentro de ellas y además limitaciones económicas, se presentan problemas com 1� '
plicados computacionalmente. Para ilustrar la aplicación de la técnica que considera limitaciones económicas, es necesario formar todas las combinaciones posibles de propuestas tomando en cuenta rela ciones técnicas, eliminando aquellas a las cuales los recursos las hagan no factibles, y esco
1¡,
�
giendo aquellas para las que se obtenga mayor valor presente. Ahora por simplicidad, suponga que en una división determinada de la corporación se tienen únicamente dos áreas de inversión, separadas y bien definidas (ver tabla disponen de
8.4). Además, suponga de que se
$400,000 para inversiones.
Es claramente visible que en el pnmer grupo de proyectos (área 1 ), la propuesta
P1 ,4 puede ser descartada, puesto que cuesta
$200,000 y rinde $7 6,000, cuando existe, (180,000) y rinde más ($80,000). Las
en la misma área, un equipo que cuesta menos
otras propuestas rinden mayor valor presente neto, a mayor costo, lo cual hace posible incluirlas en la formulación. Además, existe la opción "hacer nada" o sea, no tomar nin guna propuesta de ese grupo. En la tabla
8.5
se enumeran todas las alternativas mutuamente exclusivas que se
pueden generar (todas las alternativas incluyen una propuesta del área obligada) con su costo total y se marcan con un
*
las alternativas cuyo costo excede el presupuesto total.
La mejor alternativa consiste en aceptar la propuesta P1 ,1 del área 1 y las propues tasPz,3 yP2 ,3 del área
2.
Usualmente el valor presente de la inversión total es el criterio más eficiente y el que más se utiliza para resolver el problema de selección de pr_oyectos en condiciones limitadas de presupuesto. Es importante señalar que sería igualmente válido y correcto utilizar alguna otra base de comparación como: anualidad equivalente, valor futuro o tasa interna de rendimiento.
8.3 FORMULACION CON PROGRAMACION ENTERA Muchas corporaciones evalúan la deseabilidad económica de sus propuestas usando métodos tradicionales de presupuestos de capital como el período de recuperación y la tasa interna de rendimiento. Estos métodos tradicionales pueden ser satisfactorios cuando se está analizando un solo proyecto en un punto particular en el tiempo. Sin embargo, estos métodos no son adecuados cuando en la corporación se generan muchas propuestas
Formulación con programación entera 135 TABLA 8.4. Inversión inicial y valor prese.nte neto de cada propuesta.
Area
Propuestas mutuamente
Inversión
presente
exclusivas
inicial
neto
pl,l
$
Valor
P1,2
1
(obligada)
2 2 y P 2 3 son '
'
68,000 80,000 137,000
pl.4
200,000
76,000
60,000
- 30,000
p2 2 * 1• P2,2
100,000
20,000
20,000
15,000
p2 3 * P 3
208,000
100,000
32,000
28,000
$
t
P
$
P1,3
P2,1
2
150,000 180,000 300,000
contingentes a P2 2 y P2 3 respectivamente. '
,
de inversión. Las limitaciones en dinero, las interrelaciones técnicas entre las propuestas y las tendencüis de crecimiento de cada una de las divisiones que integran la corporación, requiere de la formulación y el desarrollo de un modelo de programación entera. Por con siguiente, el objetivo de esta sección es desarrollar un modelo de programación entera que resuelva el problema de selección de propuestas en condiciones económicas limitadas.
8.3.1. Construcción del modelo sin considerar pasivo Un modelo matemático de programación entera tiene
1)
3
componentes principales:
la -función objetivo, la cual puede ser maximizada o minimizada;
2)
restricciones y
3)
condición de no-negatividad de las variables de decisión. En nuestro modelo la condición
de no-negatividad se restringe a que las variables de decisión sólo pueden tomar el valor de
cero (cuando la propuesta es rechazada) y el valor de l(cuando la propuesta es aceptada). La función objetivo puede ser matemáticamente expresada como sigue:
MAX
VPN
S·kt n T J X jk � L: � j=l k=lt=O (1 +zi m
donde: VPN
Sjkt X jk
=
valor presente neto.
flujo de efectivo neto del proyecto j en la división k durante el período t.
variable de decisión la cual puede tomar un valor de cero cuando el proyec to
j de la división
aceptado.
k es rechazado o un valor de uno cuandG el proyecto es '
tasa de recuperación mínima atractiva
(TREMA).
Por otra parte, las restricciones más comunes que se presentan en este tipo de mode los mat�máticos son las siguientes:
---..
... �Jo) Cl'l
f€l ;-
TABLA 8.5. Combinaciones factibles.
.... ....
<S� mutuamente exclusivas
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
-
Inversión
Propuestas
Alternativas
P1,1
P1,2
o
o
o
o
o
o
P2,1
P2,2
1 p 2,2
P2,a
1 p 2,3
1
o
o
o
o
1
o
o
o
1
o
o
o
1 1
·O
o
o
o
o
1
o
1
o
o
o
o
o
o
o
o 1
o
o
1
o
o
1
o o
o
1
o
1
o o
o
1
1
o
o
o
o o
Alternativa Óptima.
Pl,3
o
1
o o
o
1
1 1 1
o
o
1
o o
o o
o o
1
o
o
o
o 1
o
o
1
o
o
o
o
1 1 1 1 1 1
o
o
o
o o
o
o o
o
o o
o o o o
o
1 o
o
o
o
o
o
o o 1
1
1
o
o
o
o o
o
o
o
1
o o o
o
o
o
o
o o o
1 1 1 1 1 1
o o o o
o o o
1
1 1
inicial
$
Valor
presente neto
60,000 $100,000 120,000 208,000 240,000 210,000 240,000 360,000 250,000 280,000 400,000 270,000. 300,000 420,000* 358,000 388,000 508,000* 390,000 420,000* 540,000* .
30,000 20,000 35,000 100,000 128,000 38,000 50,000 107,000 88,000 100,000 157,000 103.000 115,000 172,000 . 168,000 180,ÓOO 237,000 196,0001 208,000 265,000
1 1
::S
�
�
�
'<:: 111 ....
o ...
111 ::S .... C) ::S �
;::;· ¡s· ::S
�
i �: �
...
�
�
�
� 1::
� o
Formulación con programación entera 137
A. Restricción financiera
m
T
n
n
T
� � � A¡kt X¡k < � � bkt k=1t=O i=l k=l t=O donde:
A¡kt
=
necesidades de efectivo (nuevas inversiones) del proyecto j en la división k
bkt
=
disponibilidad de capital en la división
durante el período t
k durante el período t. Conviene
señalar que estas disponibilidades de dinero tendrán que ser pronosticadas.
B. Propuestas mutuamente exclusivas
Pueden existir propuestas que se consideren mutuamente exclusivas, esto es, la aceptac.ión de una de ellas implica el rechazo del resto. Por ejemplo, suponga que los pro yectos· 1, 2 y
3 de la división 1 son mutuamente exclusivos, entonces, matemáticamente
esta relación puede ser expresada como sigue:
X1,1 + X2,1 + X3,1 � 1 En esta restricción, sólo una de las variables puede tomar el valor de 1 y el resto estarán forzadas a tomar el valor de cero. Además, en esta restricción no se descarta la posibilidad de rechazar todas las propuestas.
C Relaciones de contingencia Existen situaciones en las cuales la aceptación de un proyecto depende de la acepta ción previa de otro proyecto al cual se está relacionado. Por ejemplo, no se puede justifi car la compra de equipo periférico mientras no se haya comprado una computadora. Para ilustrar la expresión matemática que representa a este tipo de restricción, suponga que el proyecto 1 de la división 1 es contingente al proyecto 2 de la división 1 (el proyecto 1 só lo se puede aceptar si el proyecto 2 ha sido aceptado), entonces: -X1,1 +x2.J
:>o
En esta restricción, no se permite que X 1 ,1 valga 1 a menos que X 2 ,1 valga l. Pero X2,1
puede ser uno con X1 1 igual a cero. También queda abierta la posibilidad de que tanto xl,l comox2,1 sean cero. D. Area obligada
Es posible que en algunas ocasiones, existan dentro de alguna división "áreas obliga das", esto es, áreas en las cuales es forzoso escoger U:na propuesta de entre las varias que pertenecen a dicha área. Por ejemplo, suponga que en el área de almacén·de producto ter-
138
Selección de proyectos en condiciones limitadas de presupuesto
núnado se requiera urgentemente comprar un montacargas, el cual agilizaría grandemente ·el traslado del produCto terminado del departamento de inspección y empaque al almacén. Ahora, suponga que en el mercado sólo existen tres tipos de montacargas: el A, el By el
e, entonces, la expresión matemática que representa a este tipo de restricción sería: x1,1
donde:
+
x2,1
+ X3,1
=
1
comprar el montacargas tipo A para la división 1
x1,i X2,1 X3,1
comprar el montacargas tipo B para la división
1 comprar el montacargas tipo e para la división 1
E. Restricción de no-negatividad La condición de no-negatividad restringe los valores de las variables de decisión a: cero cuando el proyecto se rechaza o
1 cuando el proyecto se acepta. Lo anterior significa
que cada variable de decisión puede tomar sólo dos valores. Sin embargo, si la condición de no-negatividad se expresa en la forma siguiente: O
<Xjk < 1
implica la posibilidad de aceptar sólo una parte del proyecto y rechazar el resto. Este tipo de formulación (programación lineal) es factible de utilizar sólo en los casos en los cuales los tipos de proyectos son bonos, acciones, etc. Sin embargo, si el proyecto que se está analizando es la adquisición de un torno, entonces, el uso de programación lineal sería inadecuado.
Construcción del modelo considerando incrementos en el pasivo e inversiones líquidas
8.3.2
En el modelo anterior no se considera la posibilidad de aumentar el pasivo de cada una de las divisiones. Sin embargo, cuando esta situación es factible es obvio que proyec tos que antes eran rechazados por falta de recursos, ahora podrán ser aceptados. También, es necesario señalar que a pesar de que la mejor forma de financiarse generalmente es a través de pasivos, éstos no deben de aumentarse en forma desmedida debido a los peligros que implica una palanca fmancieTa excesiva. Además de la posibilidad de aumentar el pasivo, en este nuevo modelo se considera factible invertir toda la disponibilidad de dinero ocioso en inversiones líquidas de corto plazo. Bajo estos nuevos supuestos, el modelo de programación entera queda como se mues
tra en la figura 8.3. Las variables diferentes que aparecen en este nuevo modelo son:
Pk' t Aek,t
=
cantidad de dinero obtenido a través de pasivo por la división período
=
plazo durante el período
=
k durante el
1 período).
cantidad de dinero que la división k destina a inversiones líquidas de corto ríodo).
llk,t
t (Los plazos de estos pasivos se asumen de
t (la vida de estas inversiones se asumen de 1 pe
nivel máximo de pasivo que la división k puede tener durante el período
t.
Métodos de selección aproximados 139 ib iL
-
-
costo de las fuentes de fmanciamiento (pasivo). rendimiento obtenido en las inversiones líquidas de corto plazo.
Por otra parte, es necesario señalar que en este nuevo modelo se pueden tener el mismo tipo de restricciones que se explicaron en el modelo anterior, tales como: propues tas mutuamente exclusivas, relaciones de contingencia y áreas obligadas. 8.3.3 Utilidad y aplicabilidad Para situaciones en que haya muchas áreas de inversión con muchas alternativas, ca da una de poco monto, el uso de programación entera resulta inútil pues la obtención de "la mejor solución" puede no justificar los gastos de tiempo de computadora (los algorit mos de programación entera que existen actualmente son un tanto ineficientes computa cionalmente). En tal caso, será mejor usar algún método de selección aproximado. En casos en que haya números medianos de áreas de inversión con algunos proyec tos requiriendo inversiones fuertes de dinero o recursos, el uso de estas formulaciones per mite explorar ordenadamente todas las combinaciones posibles de propuestas y obtener la mejor combinación.
8.4 METODOS DE SELECCION APROXIMADOS A pesar de los grandes y recientes avances que han ocurrido en el campo de la inves tigación de operaciones, la alta administración ha mostrado poco o ningún interés en el uso de programación lineal o programación entera para resolver el problema de selección de proyectos en condiciones limitadas de presupuesto. Esto no significa que no se tenga conciencia de los beneficios potenciales de estas herramientas, sino que es posible utilizar otros métodos de selección aproximados tales como: ordenado por tasa interna de rendi miento, ordenado por valor presente por peso invertido, etc., los cuales tienen alguna des ventaja teórica pero la compensan con su facilidad de cómputo. Al igual que con otras nuevas técnicas, un tiempo de aprendizaje insuficiente puede ser la causa del desuso de la programación matemática en los problemas en los cuales exis ten limitaciones económicas. Cualquiera que sea la causa, su difusión como herramienta útil en el proceso de toma de decisiones sería un proceso lento, puesto que su .implemen tación a nivel staff requiere no solamente entendimiento, sino además un sistema de infor mación capaz de proporcionar la información veraz, oportuna y actualizada que el modelo matematico requiere. Por las razones mencionadas anteriormente, existen pocos motivos para pensar que los métodos de selección aproximados, van a ser reemplazados en lo sucesivo por métodos más exactos tales como: programación lineal o programación entera. Además, en una empresa real es imposible medir el efecto de tomar decisione-s por uno u otro método, pues esto tendría que basarse en puras conjeturas de "lo que hubiese pasado si hubiésemos tomado la otra decisión". Sin embargo, se han realizado algunos estudios en situaciones simuladas*, en los cuales se ha comprobado que no existe mucha diferencia en la efectivi dad entre los métodos aproximados y los métodos exactos.
*
A.S. Parra Vázquez y R.V. Oakford, "simulations as a technique for comparing decision procedures",
the Engineering Economist, volumen 21, número 4, pp. 221-236.
.... .¡:. Q
�
�
�
MAX VPN
Sujeto a:
m
=
n
T
� � 1: J=l K=l t=O
m
�
S· � Xk
(1 +
A¡k1 i =l k=l m
�
n
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T
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i=l k=l t=2 n
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-T
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k=1 t=2
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•
n
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ib)
�
+
k =1
ACk 1 •
T
n
�
�
�
Pk,t-1
k=1 t=2
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n
__!s!_ + i L (1 + ii
k=l t=O
- � pk 1
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p
T �
n
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-
�
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AC
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k=1 t=2
ACk,t-1
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�
§= Pk t •
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n
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T
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T
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k=1 t=2 Pk,t
�
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1:). "' 'l:;;
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LPk,t
.§
X¡k puede ser cero o uno Pk, tYACk,t;;;.
s· g. ..,
Opara k=1,2,... nyT=l,2... T
FIGURA 8.3. Modelo matemático de programación entera que considera incrementos en el pasivo e inversiones líquidas.
1::
"'
..,
e
Métodos de selección aproximados 141 8.4.1 Ordenado por tasa interna de rendimiento
Bajo esta idea, se procede a escoger dentro de cada área de inversión, la mejor alter nativa. En seguida se ordenan las mejores alternativas en orden descendente de acuerdo a su tasa interna de rendimiento y se aceptan propuestas hasta que se agoten las propuestas o se agota el dinero dedicado a inversión. Este método simplificado es muy conocido, y ha recibido muchas simpatías por su sencillez, y también porque casi siempre da unas selecciones bastante buenas si se le com bina con un poco de criterio del analista. En pruebas simuladas opera obteniendo selec · ciones con valores presentes cercanos a los de la selección óptima. Para ilustrar el proceso de selección utilizando este método aproximado, considere que en una determinada división dentro de la corporación se generaron las propuestas mostra das en la tabla 8.6. También, suponga que la cantidad de dinero disponible para invertir es de $1000. Bajo estos supuestos en la figura 8.4 se muestra en forma gráfica el ordena miento de las propuestas de acuerdo a su tasa interna de rendimiento. Como puede apre ciarse en dicha figura, las propuestas que deben ser seleccionadas son de la A a la E. Es obvio que esta selección no es la óptima ya que es preferible ganar un rendimiento del
26% sobre una inversión de $350 (propuesta F) a ganar un rendimiento de 37% sobre una inv�rsión de $100 (propuesta B). Esta es precisamente una de las desventajas teóricas del método de ordenado por tasa interna de rendimiento. En el ejemplo anterior se supuso que el dinero disponible para nuevas inversiones provenía netamente de las utilidades generadas por la división. Sin embargo, es práctica común que todo negocio utilice pasivo para financiar parte de las nuevas inversiones (la mejor forma de fmanciarse es con pasivo, siempre y cuando el rendimiento obtenido en
TABLA 8.6. Generación de propuestas independientes.
Propuesta Inversión inicial TIR (%)
A
B
D
E
150
100
300
250
200
350
175
40
37
35
30
28
26
25
e
F
G
las nuevas inversiones sea mayor que el costo del pasivo). Con estas nuevas suposiciones, el proceso de selección sería como se muestra en la figura 8.5. En esta figura se puede ob servar que todos los proyectos antes del punto pasivo permitido es mayor que
(X- ilUR).
X
serían aceptados si el incremento en
Por el contrario, si el incremento en pasivo
permisible es muy raquítico, entonces, ciertos proyectos tendrán que ser rechazados a pesar de tener un rendimiento aceptable. Lo anterior es consecuencia del hecho de no poder aumentar el pasivo en forma irracional y desmedida, sino de acuerdo a una cierta estructura financiera previamente establecida. Finalmente conviene señalar que el 1 en el eje de las abscisas puede estar a la izquierda o a la derecha del punto
X, dependiendo del
incremento en. pasivo permitido.
A. Asignación de recursos en una corporación formada por dos divisiones El pmceso de selección y de asignación de recursos que hasta ahora se ha discutido, corresponden al caso de tener solamente una división. Sin embargo, es conveniente expli car cómo se haría el proceso de selección y de asignación de recursos en una corporación
142 Selección de proyectos en condiciones limitadas de presupuesto
TIR+
JIk =Inversión inicial requerida por la propuesta k.
PD =Presupuesto disponible.
30
25
1
A•B 1
e
D
E
F
1
G,
t
¡
(:
l
I!k PD
FIGURA 8.4. Ordenado por tasa interna de rendimiento.
J¡
""
�
TIR
t
,
.
t::.UR. =Incremento en utilidades retenidas. M. =Incremento en pasivo.
L inversión inicial t::.UR.
X
t::.UR. +M.
FIGURA 8.5. Proceso de selección considerando apalancamiento financiero.
Métodos de selección aproximados 143
formada por dos divisiones. La figura 8.6 ilustra tal procedimiento. En esta figura se ob serva que del presupuesto disponible, la proporción OX se deberá asignar a la división l. También, es posible considerar en este caso incrementar el pasivo para financiar parte de las nuevas inve.rsiones.
TIR
TIR
División 2------.. .,
L; k
L; Ilk k
o
X
Ilk PD
o
PD
FIGURA 8.6. Asignación de recursos en una corporación formada por 2 divisiones.
B. Asignación de recursos en una corporación fonnada por muchas divisiones
Para el caso de tener una corporación formada por muchas divisiones, el proceso de selección y de asignación de recursos puede realizarse al recopilar las propuestas indepen dientes de cada una de las divisiones y ordenarlas en orden descendente de acuerdo a su tasa iilterna de rendimiento tal como lo muestra la figura 8.7. Para poder hacer la selec ción, es necesario determinar el monto real de las utilidades generadas por cada una de las divisiones, así como sus incrementos en pasivos permisibles. Con esta información, el pro ceso de selección es similar al descrito en el inciso 8.4.1 para el caso de una división. Una vez realizado el proceso de selección, se determina cuántas y cuáles propuestas se acepta ron de cada división, para fmalmente determinar la cantidad de recursos que se asignarán a cada división.
8.4.2 Ordenado del valor presente por peso invertido La mecánica de este método es similar al anterior, con la diferencia de que se obtie e
la relación de valor presente a inversión requerida para las mejores alternativas dentro
:e cada área de inversión, y esa relación se usa para ordenar las propuestas, poniendo pri-
144 Selección de proyectos en condiciones limitadas de presupuesto
!:.UR¡
=
Incremento en las utilidades retenidas de la división j.
M¡ /Ik
=
=
Incremento en el pasivo de la división j. Inversión inicial requerida por la propuesta k.
� /I k k
f
!:.UR¡
---j
X
� j
!:.UR· + � 1 j
f:.l'. 1
FIGURA 8.7. Asignación de recursos en una corporación formada por muchas divisiones.
mero a las de mayor índice. Lo anterior significa que tendrán mayor prioridad aquellos proyectos que ofrezcan mayor "ganancia por peso invertido", y el cómputo es muy simple, más aún que en el ordenado por tasa interna de rendimiento. Este índice no tiene un atractivo intuitivo tan grande como la tasa interna de rendi miento, pero en pruebas simuladas opera al menos tan bien como el anterior, y con menos cálculos. En la tabla 8.7 se muestra un ejemplo en el cual se utiliza este método aproximado. Paia la solución de este problema se supuso que el dinero disponible para nuevas inversio nes es de $400 y que la división cuenta con dos áreas de inversión. Finalmente, es impor tante señalar que la solución obtenida con este método es la misma que se hubiera obtenido
al utilizar programación entera, es decir, la solución que se obtuvo es la óptima.
8.4.3 Ordenados combinados Ofrecen la ventaja de permitir tres o cuatro ordenamientos y selecciones lo que nos dará, en general, mejores soluciones que en los casos en que se usa un solo índice. Específicamente, se defmen varios índices, por ejemplo tasa interna de rendimiento, valor presente por peso invertido o relación beneficio costo (para casos en que haya pro yectos con desembolsos netos en más de un período). En seguida, se generan todas las alternativas mutuamente excluyentes dentro de ca da área de inversión para todas las divisiones que integran la corporación. Luego, se ordenan todas las alternativas generadas con respecto a uno de los índices, intercalándolas a medida que sea necesario. Se empiezan a seleccionar alternativas en su orden de aparición respecto al índice en tumo. Al aceptar una alternativa dentro de una área de inversión, sé eliminan todas las
otras alternativas dentro de esa área que aparezcan posteriormente. En caso de que algunas alternativas no se puedan aceptar por falta de fondos, se brinca a la siguiente que sí se pueda aceptar. El proceso continúa hasta que se acaben las alternativas o se acabe el dine ro. Se anota cuál fue la selección y cuál es la suma de los valores presentes de los proyec tos seleccionados.
Decisiones secuenciales �.r. decisiones en grupo 14S
TABLA 8. 7. Ordenado por relación de valor presente a inversión requerida.
Costo Area
2 2 1 1 1 2 2 2
Propuesta
VPN
128 100 137 68 80 35 20 - 30
Bs B4 A3 A¡ A2 B3 B2 B¡
Costo
240 208 300 150 180 120 100 60
VPN/Costo
0.533 0.481 0.457 0.453 0.444 0.242 0.200 - 0.500
Decisión
acumulado
A R A R$
240 240 240 390 390 390 390 390
A
R A R A RA R A
donde: A = Aceptar R$ = Rechazar por falta de dinero R A =Rechazar porque otro proyecto de la misma
área de inversión ha sido aceptado Decisión recomendada: Aceptar la propuesta B 5 y la A 1 con las cuales se obtiene un valor presente de $196.
El proceso se hace para todos los índices que parezca oportuno y se selecciona aquella alternativa con la cual se maximiza el valor presente. Esta ligera complicación (fácil de hacer manualmente en casi todos los casos) rinde muy buenas selecciones, que en muchos casos coinciden con las obtenidas por medio de la programación entera. Finalmente, es importante señalar los problemas que se pueden presentar cuando una área de inversión es obligada. Para este caso se puede hacer lo siguiente: •
Si las áreas obligatorias tienen alternativas únicas, adoptarlas de antemano (son decisiones ya hechas).
•
Si las áreas obligatorias tienen varias alternativas, establecer límites al dinero que se pueda gastar antes de seleccionar alguna alternativa del área obligada, de tal modo que el proyecto más pequeño del área se pueda tomar.
8.5 DECISIONES SECUENCIALES
vs.
DECISIONES EN GRUPO
Tanto los modelos de programación entera como los métodos aproximados que fue ron presentados en las secciones anteriores, suponen que al tomador de decisiones se le presenta un grupo de proyectos, los cuales están actualmente disponibles o lo estarán en un tiempo específico del futuro. Sin embargo, es obvio que los proyectos aparecen gene ralmente en forma secuencia}. Ante esta .discrepancia en el proceso real de generación de
146 Selección de proyectos en condiciones limitadas de presupuesto
propuestas, es conveniente analizar qué procedimiento de decisión
P.�
más efectivo: deci-
siones secuenciales o decisiones en grupo.
. Tomar decisiones en forma secuencial a medida que las propuestas de inversión van
surgiendo, tiene la ventaja aparente de que no habrá ningúnretraso en la aceptación e im plantación de propuestas a ltamente productivas. Por otra parte, tomar decisiones en forma periódica sobre un grupo de propuestas, tiene la ventaja de que el tomador de deci ·siones rechazará aquellas propuestas que no presenten ningún atractivo, sobre todo en el caso de tener fondos limitados para inversión. Una comparación entre estos dos procedimientos de decisión sería un tanto difícil de realizar, ya que esto implicaría pronosticar los resultados que se hubieran logrado con cada uno de ellos. Sfu embargo, aparentemente tomar decisiones en forma periódica es más efectivo que hacerlo en forma secuencial. Esta conclusión se deriva del hecho de que al tomar decisiones en forma secuencial, se pueden aceptar propuestas que a pesar de te ner un rendimiento superior al míitimo requerido, son peores que otras propuestas que se van a presentar posteriormente. Lo anterior significa, que una propuesta atractiva se acep taría independientemente del procedimiento de decisión utilizado, sin embargo, una pro puesta no muy atractiva (con rendimiento superior al mínimo requerido) puede ser aceptada si las decisiones son hechas en forma secuencial, pero probablemente sería rechazada si la decisión estuviera basada en un grupo de propuestas. Hasta la fecha se han realizado varios estudios, entre otros, la disertación doctoral de A. Sabino Parra Vázquez en la cual se trata de determinar mediante simulación, cuál de los siguientes procedimientos de decisión es el más efectivo:
•
Las decisiones son hechas anualmente sobre un grupo de propuestas.
•
Similar al anterior excepto que las decisiones son repetidas ocho veces por año.
•
Las decisiones son hechas en forma secuencial a medida que las propuestas se van generando. Bajo este procedimiento de decisión, alternativas económicamente aceptables que no pueden ser aceptadas por insuficiencia de fondos, no son con sideradas posteriormente.
•
Las decisiones son hechas en forma secuencial como en el punto anterior, excep to que las alternativas económicamente atractivas que fueron rechazadas por fal ta de fondos, podrán competir con las propuestas que se generen durante el próximo año.
Los resultados de tal estudio revelaron que de los procedimientos de decisión anali zados el más efectivo es el primero, esto es, cuando las decisiones son hechas anualmente sobre un grupo de propuestas se logran mayores rendimientos. Sin embargo, es convenien te señalar que las diferencias en los rendimientos que se obtuvieron con cada uno de estos procedimientos de decisión son insignificantes.
PROBLEMAS 8.1.
Suponga que la corporación "B" está formada por tres divisiones. Si en la división 1 ha� 3 áreas de inversión cada una con 3, 2 y 1 propuestas mutuamente exclusi
vas respectivamente, en la división 2 hay 2 áreas de inversión cada una con 3 y 4 propuestas mutuamente exclusivas respectivamente, y en la división 3 hay una
Problemas 147
área de inversión con una sola propuesta, determine el número total de alternati vas mutuamente exclusivas que se pueden formar.
8.2.
La compañía X actualmente está analizando 4 propuestas de inversión. La pro puesta A es contingente a la aceptación de la propuesta e o la propuesta D. La propuesta e es contingente a la aceptación de la propuesta D, mientras que la pro puesta D es contingente a la aceptación de la propuesta A o la propuesta B. Si el presupuesto disponible de esta compañía es de $2,000,000, y la TREMA es de
10%, ¿qué alternativa debe ser seleccionada? Año o
8.3.
A
B
e
D
-$ 400,000 -$ 500,000-$ 100,000 30,000 75,000 100,000
-$ 60,000 10,000
2
100,000
85,000
30,000
15,000
3
100,000
95,000
30,000
20,000
4
100,000
105,000
30,000
25,000
5
200,000
300,000
30,000
30,000
Cuatro propuestas de inversión están siendo consideradas por la compañía Y. Las propuestas B y D son mutuamente exclusivas. La propuesta e es contingente a la aceptación de la propuesta B o la propuesta D. Las propuestas A y e son mutua mente exclusivas. Además, la propuesta Bo la D debe ser incluida en la alternativa seleccionada (propuesta obligatoria). Si el presupuesto disponible de esta campa nía es de $2,000,000, y la TREMA es de 20%, determine mediante el método de laTIR la mejor alternativa. Año o
1-8 8
8.4.
A
B
e
-$1,000,000 -$1,250,000 -$ 300,000 500,000 400,000
100,000
D
900,000 -$1,000,000 250,000
200,000
1,200,000
1,000,000
La compañía W actualmente se encuentra analizando tres propuestas de inversión. Las propuestas B y e son mutuamente exclusivas, y la propuesta e es contingente a la aceptación de la propuesta A. Si la cantidad de dinero que dispone esta com pañía es de $1,250,000 y la TREMA es de 10%, determine mediante el método del valor presente la mejor alternativa. Año o
1 2 3 4 5 8.5.
A
B
-$1,000,000 -$500,000 200,000 200,000 300,000 200,000 400,000 200,000 500,000 200,000 600,000 200,000
e
-$200,000 50,000 50,000 50,000 50,000 150,000
La compañía Z se encuentra actualmente analizando cuatro propuestas de inver sión. Las propuestas A y B son mutuamente exclusivas, así como A y D. La pro-
148 Selección de proyectos en condiciones limitadas de presupuesto puesta C es contingente a la aceptación d_e la propuesta D. Si el presupuesto disponible que tiene esta compañía para nuevas inversiones es de TREMA es de
25%,
¿qué propuestas debería la compañía seleccionar? B
A
D
e
Inversión inicial
$4,500,000
$6,000,000
$3,500,000
$3,000,000
Ingresos anuales
3,000,000
4,500,000
2,000,000
3,500,000
Gastos anuales
1,000,000
2,000,000
500,000
2,000,000
500,000
1,000,000
500,000
500,000
10 años
10 años
10 años
10 añm
Valor de rescate Vida
8.6.
$7,500,000, y la
La compañía "B" se encuentra actualmente analizando cuatro propuestas de in versión. Las propuestas A y e son mutuamente exclusivas, y la propuesta D es contingente a la aceptación de la propuesta B. Si la compañía dispone de un fondo
$4,000,000 para emprender nuevos proyectos 20%, ¿qué propuestas deben ser seleccionadas?
de
B
A
D
e
Inversión inicial
$2,000,000
$2,000,000
$3,000,000
$1,500,000
Ingresos anuales
1,400,000
1,600,000
2,000,000
2,000,000
Gastos anuales
1,100,000
1,250,000
1,200,000
1,500,000
500,000
500,000
1,000,000
500,000
10 años
10 años
10 años
10 años
Valor de rescate Vida
8.7.
de inversión, y la TREMA es de
El director de producción de la compañía X ha recibido un conjunto de propues tas que provienen de tres actividades independientes de producción. Las propuestas que pertenecen a una misma área de producción se identifican con la misma letra y son mutuamente exclusivas. Si las vidas de las propuestas son de
10
años, los
valores de rescate al término de este tiempo son despreciables y la TREMA es. de
25%,
¿qué propuestas deben seleccionarse si la cantidad de dinero disponible para
nuevas inversiones es:
Propuesta
a) ilimitada, b) $500,000
Inversión inicial
y
e) $200,000?
Ingreso neto anual
Actividad A A¡
$ 100,000
$ 30,000
A2
200,000
65,000
A3
300,000
85,000
Actividad B B¡
50,000
10,000
B2
100,000
50,000
B3
150,000
60,000
B4
200,000
70,000
el
150,000
45,000
e2
300,000
80,000
Actividad e
Problemas 149
8.8.
Una corporación ha recibido propuestas de inversión de sus cuatro divisiones. Las propuestas de cada división se consideran mutuamente exclusivas y sus vidas espe radas son de 10 años. Las propuestas de una división son independientes de las propuestas de otras divisiones. Si los valores de rescate de las propuestas son des preciables, y la TREMA es de 15%; ¿qué propuestas deben seleccionarse si la can tidad de dinero disponible para nuevas inversiones es a ) ilimitada, b) $7,000,000,
e)
$4,500,000 y
d)
$3,500,000? (Utilice el método aproximado de ordenado por
tasa interna de rendimiento.) Propuesta
D�visión
Inversión inicial
Ingreso neto anual
1
D1,1
$ 1,000,000
$ 200,000
D1,2
1,200,000
240,000
Du
1,300,000
220,000
Dr,4
1,400,000
300,000
D2,1
1,500,000
350,000
D2,2
1,800,000
400,000
D3,1
2,000,000
320,000
D3,2
2,400,000
500,000
División 2
División 3
División 4
8.9.
D4,l
4,000,000
900,000
D4,2
5,000,000
1,200,000
Resolver el problema 8.7 utilizando el método aproximado de ordenado del valor presente por peso invertido.
8.10.
La compañía X está evaluando un grupo de propuestas de investigación relaciona
das con 3 de sus productos. Ya se ha decidido que una propuesta del conjunto de
Propuesta
Inversión inicial
Costo neto anual
Producto A A¡
$ 400,000
A2
600,000
$
50,000 20,000
Producto B B¡
200,000
60,000
B2
250,000
50,000
B3
300,000
40,000
C¡
150,000
100,000
c2
200,000
90,000
c3
400,000
50,000
c4
500,000
35,000
Producto C
. 150 Selección de proyutos en condiciones limitadas de presupuesto
propuestas relacionadas a un producto debe ser seleccionada. Las propuestas para un mismo producto son mutuamente exclusivas, e independientes de las propues-· tas de otros productos. Además, la vida esperada de estas propuestas de investiga ción es de 5 años, al término de los cuales los valores de rescate de las propuestas son nulos: .Si la TREMA es de 25%, y todas estas propuestas producen a_�_�mpa-_ ñía los mismos beneficios ($300,000/año), ¿qué propuestas deben ser seleccio nadas si la cantidad de dinero disponible para nuevas inversiones es
b)
$1,150,000,
e)
a)
ilimitada,
$950,000? (Utilice el método aproximado de ordenado del va
lor presente por peso invertido.) 8.11.
Formular el modelo de programación entera para los problemas 8.7, 8.8 y 8.10.
8.12.
La compañía W se encuentra actualmente analizando las propuestas de inversión de cuatro de sus áreas más importantes. Las propuestas de inversión del área A son mutuamente exclusivas. El área B es obligada, es decir, es obligatorio seleccionar una propuesta de inversión de esta área. En el área C la propuesta C 2 es contingen te a C1 y la C3 es contingente a C1 o C2. En el área D la propuesta D2 es contin gente a D1 o D3• Si el dinero disponible de esta compañía para nuevas inversiones es de $1,000,000, y la TREMA es de 30%, ¿cuál sería el modelo de programación entera que maximiza el valor presente de estas propuestas? (Considere que la vida de las propuestas es de 5 años).
Propuesta
Inversión inicial
Ingreso neto anual
Valor de rescate
AreaA A¡
$ 300,000
$ 120,000
A2 A3
400,000
140,000
80,000
500,000
200,000
100,000
B¡
700,000
300,000
200,000
B2
800,000
340,000
250,000
C¡
350,000
140,000
80,000
c2 c3
100,000
40,000
30,000
80,000
35,000
20,000
D¡
380,000
160,000
80,000
D2 D3
150,000
60,000
40,000
250,000
90,000
60,000
$
50,000
AreaB
Area e
AreaD
9 Evaluación de proyectos de inversión en situaciones inflacionarias
Incrementos significativ..os e�l-nivel geneFal-de-preeios -tant�e-los.artíGule-s--eemo de los servicios, han originado la necesidad de modificar IQ� IJro�e-ªiroientos tr.adicio_nale.s. de evaluación de propuestas de inversión, con el objeto de lograr una m�Qr asignación-del
capital. ....:..---
Un �biente crónico inflacionario disminuye notablemente el poder de compra -
e la unidad monetaria, causando grandes divergencias entre flujos de efectivo futuros
reales �y nominales. De esta forma, puesto que estamos interesados en determinar rendi mientos reales, debemos incluir explícitamente el impacto de la inflación al hacer un aná lisis económico. El propósito de este capítulo es presentar una estructura, que explícitamente incor pore una cierta inflación, anticipada en los flujos de efectivo�onsiderar eLefecto d.e
la inflación� tiende a producir decisiones cuyos resultados no van de a<;;u�rdo a las metas ó · s �
�� i
{ Yüi)jeÍi�os f�ados por una·organizaciáa....Además, es un hecho que la inflación �
ñltícativame!tl.-e_los -ahorros�en...irnpu.estos atr_ibuible�la dep_riciación, puesto que
procedimientos tradiéionales basan los cálculos de depreciación en los costos 1:ústóricos de los activos. Decisiones subóptimas también pueden resultar al no considerar la disminución en el rendimiento real debido a impuestos e inflación. Sin inflación, una tasa de impuestos del 50% y una tasa interna de rendimiento antes de impuestos de 4% , se obtiene un ren dimiento real después de impuestos de aproximadamente 2%
.
Sin embargo, si una tasa de
inflación del 4% es considerada, el rendimiento antes de impuestos debe ser incrementado a 12% para poder compensar los efectos combinados de impuestos e inflación. Incremen tar en 4% el rendimiento antes de impuestos para contrarrestar el 4% de inflación es insufi ciente y causaría una reducción del 2% en el rendimiento real, ya que los impuestos son pagados sobre ingresos nominales y no sobre ingresos re�es.
9.1 INFLACION-QUE SIGNIFICA
Aunque la palabra inflación es utilizada todos los días, mucha gente encuentra difícil defmirla. La mayoría d!Llas--personas-están.ce-ncientes-
"'
1-.
152
Proyectos de inversión en situaciones inflacionarias
� diner_o ..CQJTipLa .cada v.s:.z..�menos canjidad de artículos y sPn!icioS-a-med-ida...q.u.esl tidad d -t
�urre.
Sin embargo, muy probablemente esta gente nt- está capacitada
p ara
expresar este conocimiento cuantitativamente. Antes de discutir el impacto de la inflación en la tasa interna de rendimiento, es conveniente decir algunas ideas sobre cómo medir la inflación. En términos simples, los resultados de las actividades de un negocio son expresados en pesos. Sin embargo, los pe. sos. son una unidad imperfecta de medida, puesto que su valor cambia a través del tiempo. La inflación es el término que se usa para expresar esa disminución en valor. Por ejemplo, si se depositan $1,000 en una cuenta de ahorro que paga el 10% anual, y el dinero es reti rado después de un año, se puede decir que la tasa interna de rendimiento es 10%. Lo an terior es cierto siempre y cuando el poder adquisitivo del dinero retirado sea el mismo del año anterior, o expresado en otras palabras, el rendimiento es 10% si con el dinero obtenido puedo comprar un 10% más de bienes y servicios. Sin embargo, si la inflación ha reducido el valor del dinero en un 20%, entonces, el rendimiento real resulta en una pérdida econó mica en el poder de compra de un 10%. Por consiguiente, se puede decir que la inflación 1 '- �/
es la medida de la disminución en el poder de compra del peso.
_ t: Existen dos cl�es de inflación que pu.tde-n�nside�;adas;_gen.ecal_o inflación,.ab.ie
rifl'rida Q..Ílfl la. ción d.i.fuwlcia.J .
,�
�1 primer:__ca.s.o,_Lo-<;lQ�jos preciQ.§_,y�e...i.n:..
c�ementan_en la misma ¡:noporciQ,n:.. �e_Lsegunclo caso, la tasa de inflación d·epelTile-rá del sector económicojnvoluynido. Por ejemplo, los costos de mano de obra y materia pri ma dentro de una empresa, pueden incrementarse a distintas tasas de inflación. Finalmente, es necesario mencio�ar que el efecto de la inflación en el valor real de los flujos de efectivo futuros de un proyecto no debe ser confundido con los cambios de valor que el dinero tiene a través del tiempo. Las dos situaciones anteriores producen el mismo efecto; un peso el próximo año tiene un valor menor que un peso ahora. Sin embargo, el cambio del valor del dinero a través del tiempo surge debido a que un peso ahora puede ser invertido a la tasa de interés prevaleciente en el mercado y recuperar ese peso y los intereses el próximo año. Por el contrario, el efecto de la inflación surge simple mente porque con un peso se compra más ahora que en el próximo año, debido a la alza general de los precios. Esta distinción se comprenderá mejor en las siguientes secciones.
9.2 EFECTO DE LA INFLACION SOBRE EL VALOR PRESENTE El valor presente de los flujos de efectivo generados por un proyecto (ver figura 9 .l) pueden ser calculados utilizando la siguiente fórmula:
VPN
=
-
S0
+
n
L t=l
�
--
---
(9 .1)
(1 + i) 1
donde S1 es el flujo de efectivo neto del período t y S0 es la inversión inicial. Sin embargo, la expresión anterior sólo es válida cuando no existe inflación. Para el caso de que exista
una tasa de inflación generaf i. (ver figura 9 .2), los flujos de efectivo futuros no tendrán el '-.J.-
mismo poder adquisitivo del año cero. Por consiguiente, antes de determinar el valor presente, los flujos deberán s�r deflactad_os. Una vez hecho lo anterior, la ecuación de valor
presente puede ser escrita en la forma siguiente:
Efecto de la inflación sobre la tasa interna de rendimiento 153 n
VPN ==-S0
+
L t==l
S'r
f(l�i_J_!__
(9.2)
(1 + i) t
Esta última ecuación corrige el poder adquisitivo de los flujos de efectivo futuros. Si la tasa de inflación es cero, entonces, la última ecuación se transforma idéntica a la primera. Finalmente, es conveniente señalar que los flujos de efectivo que aparecen en las figuras
9.1
y
9.2
n o son iguales. Lo anterior es obvio, puesto que en épocas inflacionarias
los flujos de efectivo se están incrementando de acuerdo a las tasas de inflación prevale-
·
cientes.
St
s2
1
2
sn
_j n
so FIGURA 9.1. Flujos de efectivo sin considerar inflación.
S' t /(1 + i¡)
S'2/(l +
S'11/ (1 + i¡)
i/
11
r----'---L _j 2
.
.
.
.
"C\Y
t so
FIGURA 9.2. Flujos de efectivo considerando inflación.
f.�
9.3 EFECTO DE LA INFLACION SOBRE LA TASA INTERNA DE RENDIMIENTO
Un flujo de efectivo X tendría un valor de X(l
+
i) al final del próximo año si es
invertido a una tasa de interés i. Si la tasa de interés es tal que el valor presente es cero, entonces, a dicha tasa de interés se le conoce como la tasa interna de rendinüento. Si hay una tasa de inflación anual i¡, entonces, una tasa interna de rendimiento efec tiva, ie, puede ser obtenida por la siguiente ecuación:
154
Proyectos de inversión en situaciones inflacionarias
X(l +ie)
X(l+i) =
(1 + i¡)
y simplificando: ¡ e ie
i e i¡
(9.3)
(i- i¡) / (1 + i¡)
(9.4)
i[
=
En esta ecuación, i puede ser vista como la tas·a interna de rendimiento nominal (sin considerar inflación) y ie se puede considerar como la verdadera o real tasa interna de ren dimiento. Es práctica común en vez de usar la ecuación 9.3, tratar de obtener el valor real de la tasa interna de rendimiento de la forma siguiente: ¡
e
i¡
(9.5)
La ecuación (9 .3) muestra que la ecuación (9 .5) es sólo una aproximación, que de bería usarse sólo en el caso de que tanto las tasas de interés y de inflación sean bajas. Las fórmulas presentadas anteriormente es obvio que solamente son válidas para inversiones de un período, es decir, si se hace por ejemplo una inversión a un año en la cual el rendimiento esperado es 20%y la tasa de inflación anual es 20%, entonces, el ren dimiento real o efectivo es cero. Por el contrario, las fórmulas anteriores no son válidas para inversiones cuyas vidas sean mayores a un período (mes, trimestre, año, etc.). Para estos casos, es necesario primero deflactar los flujos de efectivo después de impuestos y luego encontrar la tasa de interés efectiva que íguala a cero su valor presente.
9.4 EFECTO DE LA INFLACION EN INVERSIONES DE ACTNO FIJO
·
. Básicamente el efecto nocivo de la inflación en inversiones de activo fijo, se debe principalmente al hecho de que la depreciación se obtiene en función del costo histórico del activo. El efecto de determinar la depreciación en esta forma, es incrementar los im puestos a pagar en términos reales y disminuir por ende los flujos de efectivo reales des pués de impuestos. Para ilustrar y aclarar el impacto de la inflación en una inversión de activo fijo, ana licemos el siguiente ejemplo; suponga que una empresa está considerando la posibilidad de reemplazar una máquina vieja por una nueva. Su TREMA es de 10%. El precio actual de la nueva máquina instalada es de $3,000. Esta máquina se piensa que ahorrará en los próximos cinco años una cantidad anual de $1,000. Al término de la vida económica esta máquina tendrá cero valor de rescate . Además, la tasa de impuestos es de 50%y la empre sa va a depreciar al activo en línea recta . Finalmente, es asumido que las p'ersonas involu cradas en esta evaluación, podrán proyectar en una forma aproximada la tasa de inflación de los próximos cinco años.
Efecto de la inflación en inversiones de activo fijo 155 Primeramente, la decisión de reemplazar el activo debe ser analizada bajo la influen cia de diferentes niveles de inflación. La tabla 9-1 muestra los resultados del análisis sin que la inflación sea considerada. En este caso el valor presente de los flujos de efectivo es de $32. Por consiguiente, el rendimiento sobre la inversión es mayor que 10% y la máqui na vieja debe ser reemplazada.
TABLA 9.l. Opción de compra sin considerar inflación
Año
Flujo de efectivo antes de impuestos
o
-$ 3,000
Depreciación
Ingreso gravable
Impuestos
Rlujo de efectivo después de impuestos
Valor presente (10%)
-$ 3,080
-$ 3,000
1,000
600
400
200
800
727
2
1,000
600
400
200
800
661
3
1,000
600
400
200
800
601
4
1,000
.600
400
200
800
546
5
1,000
600
400
200
800
497 32
Ahora, si se modifica este ejemplo y se supone que hay una tasa general de inflación del 5% y 10% por año, y se aplica erróneamente la ecuación 9.1 (ver tablas 9-3 y 9.5), los resultados que se obtienen son demasiado engañosos puesto que el rendimiento que se ob tiene en dicha inversión parece ser mayor de lo que realmente es. Sin embargo, si la infla ción es correctamente considerada (ver tablas 9-2 y 9-4) los resultados son estrictamente diferentes. La figura 9.3 muestra los resultados obtenidos cuando la inflación es o no co rrectamente considerada. Es evidente de los ejemplos analizados que el valor presente obtenido utilizando la
l
ecuación (9.2) es menor al obtenido u llizando la ecuación (9.1). Más aún, entre mayor sea la tasa de inflación, mayor será la diferencia· en los resultados obtenidos con ambos métodos. La razón de esta diferencia puede ser explicada al examinar la forma en que la depreciación es calculada y los impuestos son pagados. Las deducciones por depreciación son calculadas tomando como base los valores históricos de los activos, no sus valores de mercado, y por otra parte los impuestos son función directa de los ingresos, no del poder adquisitivo de ellos. Por consiguiente, a medida que los ingresos se incrementan como un resultado de la inflación y las deducciones por concepto de depreciación son mantenidas constantes, el ingreso gravable crece desmesuradamente. Esto origina que una empresa no pueda recuperar a través de la depreciación, el costo de reemplazo de un activo en tiempos de altas tasas inflacionarias. La disminución en el valor presente considerando correctamente la inflación (ver tablas 9-2 y 9-4), se debe exclusivamente a los impuestos pagados. La depreciación es un gasto deducible el cual reduce los impuestos a pagar y por consiguiente aumenta el flujo de efectivo en esa cantidad ahorrada. Sin embargo, el gasto por depreciación de acuerdo a la Ley del Impuesto sobre la Renta, debe ser calculada de acuerdo a los costos históricos-de.. los activos. Lo anterior significa que a medida que el tiempo transcurre, la depreciación
156 1
Proyectos de inversión en situaciones inflacionarias .
que se está deduciendo está expresada en pesos con menor poder de compra; y como resul
tado, el costo "real" de los activos no está totalmente reflejado en los gastos por depr�cia
ción. Los gastos por depreciación por consiguiente están subestimados y el ingreso gravable está sobreestimado. Para ilustrar el efecto de la inflación en los impuestos pagados, la tabla 9-6 muestra cómo los impuestos en términos reales se están incrementando en proporción directa a la
·
tasa de inflación y a la vida del activo. Desde luego, a medida que la tasa efectiva o real de impuestos se incremente, la tasa interna de rendimiento disminuye. Finalmente, en la tabla 9-7 se muestra cómo los ahorros que origina la depreciación,. en términos reales, disminuyen en proporción directa a la tasa de inflación y a la vida d el , activo. ·
TABLA 9.2. Opción de compra con 5% de inflación y deflactando los flujos de efectivo
después de impuestos,
o
.
1,¡1 1
"
Flujos de efectivo antes de
��'1:.
Año impuestos 1
1¡
o
1¡ '
.
-$ 3 ,000
1 ,OSO
1¡
Flujos de Flujos de efectivo efectivo después de después de
o
2
1,102
Depreciación , ,v
gravab!e
/ 450
o-"600
-('
*,.��� '7 Ingre�<' �
503
600
../
Impuestos
�
�
Valor.
'tf
(1 0%)
impuestos
(pesos co
(pesos con.Y:l.. presente
rrientes)
tan tes)
-$ 3,000
-$ 3,000 1 "-$ 3,000
251
) ,
851
.
879
3
1,158
600
558
4
1,216
. 600
616
- 279 \ 308 �
908
5
1,276
600
676
- 338
938
'
·
impuestos
(825
-�
�
_g
,
" 1 86)1¡
'
715
7721
638 .
759
570
747 735
,
51.0 456 -111
TABLA 9.3. Opción de compra con 5% de inflación y sin deflactar
después de impuestos.
los flujos de efectivo
Flujos de efectiva Flujos de
Año o
1
efectivo antes de impuestos
-$ 3,000
Ingreso Depreciación
gravable
Impuestos
después de impuestos (pesos co-
Valar presente
rrientes)
(JO%)
-$ 3,000
-$ 3,000
1,050
600
450
225
2
1,103
600
503
251
851
703
3
1,158
600
558
279
879
660
4
1,216
600
616
308
908
620
S
1,276
600
676
338
938
582
....
825
750
315
Efecto de la inflación en inversiones de activo fijo 157 TABLA 9 4 .
Opción de compra con 10% de inflación y deflactando los flujos de efectivo
.
después de impuestos.
Flujos de efectivo efectivo después de después de
Flujos de Flujos de
(pesos ca-
Valor impuestos (pesos cons- presente
rrientes)
tantes)
impuestos
efectivo Ingreso
antes de
Depreciación gravable
Año impuestos
Impuestos
( 10%)
-$ 3,000
-$ 3,000
-$ 3,000
1,100
600
500
250
850
773
703
2
1,21o
600
610
305
905
748
618
3
1,331
600
731
366
965
725
545
4
1,464
600
864
432
1,032
705
482
5
1,610
600
1,010
505
1,105
686
426
-$ 3,000
o
-226
; TABLA 9 5 .
.
Opción de compra con 10% de inflación y sin deflaétar los flujos de efectivo
despu� s de impuestos.
Flujos de efectivo Flujos de
efectivo Aiio
antes de impuestos
Ingreso Depreciación gravable
Impuestos
después de impuestos (pesos carrientes)
Valor presente
-$ 3,000
-$ 3,000
(JO%)
.o
-$ 3,000
·1
1,100
600
500
150
850
773
2
1,21 o
600
610
305
905
748 725
3
1,331
600
731
366
965
4
1,464
600
864
432
1,032
705
5
1,61 o
600
1,010
505
1,105
686 639
TABLA 9-6. Efecto de la inflación en los impuestos pagados.
Impuesto con 5% de inflación Im puesto s sin considerar inflación
A iio
Pesos
Pesos
::orrientes
constantes
Impuesto con 1 O% de inflación
Pesos corrientes
Pesos constantes
$200
$225
$214
$250
2
$ 227
200
251
228
305
3
252
200
279
241
366
275
4
200
308
253
432
295
200
338
264
505
314
S
,
158
Proyectos de inversión en situaciones inflacionarias
TABLA 9-7. Efecto de la inflación en los ahorros atribuibles a la depreciación.
Año
Ahorro por depreciación
Ahorro por depreciación en términos reales
sin considerar inflación
Con 5%de inflación
$
$
300
Con 10%de inflación. $
286
273
2
300
272
248
3
300
259
225
4
300
247
205
5
300
235
186 1
. VPN "'
637
INFLACION ERRONEAMENTE CONSIDERADA
315
..._______________ _
VPN =O
:
-111
-226
T
--- -------------.--------------
INFLACION CORRECTAMENTE CONSIDERADA
1 1 1
5
Figura 9.3.
10
INFLACION
(% )
Valor presente como una función de tasa de inflación.
Efecto de la inflación en inversiones de activo circulante 159 9.5 -EFECTO DE LA INFLACION EN INVERSIONES DE ACTIVO CIRCULANfE .�
-�
Se ha visto cómo la inflación afecta o incide significativamente en el rendimiento de una inversión de activo fijo. Sin embargo, las inversiones en activo circulante también son tremendamente afectadas por la inflación. pr�ect�s que requier�n mayores niveles de a_c tivo circulante son afectados por la inflación porque dinero adicional debe ser invértido . para mantener los artículos a los nuevos niveles de precios. Por ejemplo, si el inventario es igual a
3
meses de ventas y si el costo de los inventarios se incrementa, se requiere de
una inversión adicional que mantenga este nivel de inventarios. Un fenómeno similar ocu rre con los fondos invertidos en cuentas por cobrar. Estas inversiones adicionales de activo circulante, pueden reducir seriamente la tasa interna de rendimiento del proyecto de in versión. Para ilustrar el efecto de la inflación en el rendimiento de una inversión en activo circulante: suponga que Cierta empresa piensa que incrementar su inversión de activo cir·
culante (caja, inventarios, cuentas por cobrar, etc.) en
$100,000 originará �n aumento en $40,000 anuales, durante 5 años, al final de los cuales la inversión inicial sería en un 100% . Finalmente, suponga que la tasa de impuestos es de 50% y la tasa
utilidades de recuperada
de inflación puede ser pronosticada. Primeramente, como se muestra en la tabla de rendimiento de inflación de
10%
20%
3.3:3%
.
tiene una tasa interna
anual es introducida, el rendimiento de la inversión baja a
tabla 9-9) y si la tasa de inflación es de baja a
9 .8, esta inversión
cuando la inflación no es considerada. Sin embargo, si una tasa de
10.9% (ver 20% anual, entonces, el rendimiento de la inversión
Esto significa que la tasa interna de rendimiento de una inversión en activo
circulante disminuye en proporción directa a la tasa de inflación, es decir, si la tasa de in flación es de
5%, entonces, el rendimiento disminuye 5% y así sucesivamente.
Lo anterior
es más exacto entre más pequeña sea la tasa de inflación. Finalinente, conviene señalar que a medida que la tasa de inflación se incrementa, el rendimiento de una inversión en activo circulante es mayormente afectado que el ren dimiento de una inversión en activo fijo. Lo anterior es obvio puesto que las inversiones adicionales de activo circulante castigan más el rendimiento del proyecto que la disminu ción en los ahorros atribuibles a la depreciación y el aumento en los impuestos reales paga'dos que origina una inversión en activo fijo. TABLA 9-8. Flujos de efectivo después de impuestos sin considerar inflación.
Flujos de
Flujos de
efectivo
efectivo
antes de
Incremento
Incremento
después
Año
impuestos
en utilidades
en impuestos
impuestos
o
1
-$ 100,000 40,000
2
de
-$ 100,000 20,000
20,000
40,000
40,000 40,000
20,000
20,000
3
40,000
40,000
20,000
20,000
4
40,000
40,000
20,000
20,000
5
40,000
40,000
20,000
5*
-
100,ÓOO TASA INTERNA DE RENDIMIENTO= 20%
*Valor de rescate.
20,000 100,000
160
Proyectos de inversión en situaciones inflacionarias
TABLA 9.9.
Flujos de efectivo después de impuestos considerando una inflación del 10%
anual.
A1'io
Flujos de
Flujos de
efectivo
efectivo
Inversión
Flujos de
después de
después
adicional
efectivo
impuestos
impuestos
en activo circu !ante
antes de impuestos
(pesos corrientes/
(pesos constantes)
•
Incremento
Incremento
en utilidades
en impuestos
-$ 100,000
-$ 100,000
o 1
-10,000
2
-11,080
3
-12,100
4
�13,31 o
5
-14,641
1
-$ 100,000
44,000
44,000
-22,000
12,000
10,909
48.400
48,400
"'24,200
13,200
10,909
53,240
53,240
""26,620
14,520
10,909
58,564
58,564
-29,282
15,972
10,909
64,420
64,420
.-32,210
161,051
5
de
\
17,569
10,909
161 ,OSI
100,000
TASA INH:RNA DL RENDIMIENTO= 10.9%
TABLA
9.10.
Flujos de efectivo después de impuestos considerando una inflación del
20% anual.
Inversión adicional en activo Aí'io circulante
Flujos de efectivo antes de
Incremento
Incremento
impuestos
en utilidades
en impuestos
Flujos de efectivo
después de
después de impuestos (pesos cons-
impuestos (pesos corrientes) -$ 100,000
-$ 100,000
o
Flujos de efectivo
tantes) -$ 100,000
20,000
48,000
48,000
24,000
4,000·
3,333
2
24,000
57,600
57,600
28,800
4,800
3,333
3
28,800
69,120
69,120
34,560
5,760
3,333
4
34,560
82,944
82,944
41,472
6,912
3,333
5
41,472
99,533
99,533
49,767
8,294
3,333
248,832
100,000.
5
248,832
TASA INTFRNA DI·: RLNDIMIFNTO = 3.33%
9.6 EFECTO DE LA INFLACION EN NUEVAS INVERSIONES CON DIFERENTES PROPORCIONES DE ACTNO CIRCULANTE En párrafos anteriores se ha enfatizado que las inversiones en activo circulante son mayormente afectadas por l<1 in n <J c iú n que las inversiones en activo fij o. Esto signific<J que dos empresas con el mismo nivel de inversión total (activo fijo+ activo circulante), el mis-
mo nivel de ingresos y gastos.·pero diferente propor ción de activo circulante, verán afec tados sus rcnd im ientos en difcrentes proporciones; teniendo la inflación un mayor impacto en el rendimiento de la empresa con mayor nivel de activo circulante. Lo anterior es obvio,
1
¡Efecto de la inflación en nuevas inversiones 161. puesto que empresas con altos niveles de activos circulantes requieren de inversiones adi cionales futuras, capaces de mantener los inventarios de seguridad requeridos y el adecuado nivel de cuentas por cobrar, mientras que las empresas intensivas en activo fijo, no requie ren de inversiones adicionales sino hasta el momento de reemplazar a los activos. Además, es perfectamente claro que es menos rentable hacer inversiones cada año a hacer inversio nes cada cinco o diez años. Por otra parte, ya se ha explicado que daña menos el rendi miento de un proyecto, el pagar más impuestos en términos reales, que las inversiones. adicionales periódicas requeridas por una inversión en activo circulante. Para ilustrar el efecto de la inflación en empresas con la misma inversión total, el rr:ismo nivel de ingresos y gastos y diferentes proporciones de activo circulante; suponga que cierto grupo industrial desea incursionar en un nuevo negocio, el cual requiere de 100 millones de inversión inicial (50 millones de activo circulante y 50 millones de activo fijo). Los flujos antes de depreciación e impuestos que se anticipan para los próximo9 cinco años son del orden de 40 millones por año. Por otra parte, asuma que el valor de rescate se estima en 20% del activo fijo y 100% del activo circulante, la depreciación del activo fijo es en línea recta y la tasa de impuestos es de 50%. Finalmente, suponga que la inflación promedio anual de los próximos 5 años es de 10%. Con la i nformación anterior, primeramente se muestan en la tabla 9.11 los flujos de ·efectivo después de impuestos y la tasa interna de rendimiento que se obtienen si la infla ción no es considerada. En seguida, la tabla 9.12 muestra el nuevo rendimiento obtenido si una inflación del l 0".-b
anual es introdt.:�ida. Como se puede apreciar en dichas tablas,
-una inflación del lO% anual redujo el rendimiento del proyecto de 18.8% a 12.3%. Veamos ahora qué le pasa al rendimiento del proyecto, si de los 100 millones: 75
corresponden a activo fijo y 25 a activo circula b te. Para esta nueva situación, la tabla 9.13
muestra el rendimiento que se obtiene si una tasa de inflación de 10% anual es considera da. Como se puede observar en las tablas 9-12 y 9-13 dos proyectos de inversión con la
,
misma inversión total, el mismo nivel de ingresos y gastos, pero diferentes prup-cnciones de activo circulante; presentan diferentes rendimientos, correspondiendo el menor al pro yecto con mayor nivel de activo circulante.
TABLA 9.11. Flujos de efectivo después de impuestos sin considerar inflación (mi
les de pesos). Flujos
Flujos de
de
eji!ctil'o
efectwo antes de
dcspuó
Ingreso Impuestos
d('
impuestos
Año
impuestos
o
-$ 100,000
1
40,000
10,000
30,000
15,000
2
40.000
10,000
30,000
15,000
25,000
3
40,000
10,000
30,000
15,000
25,000
4
40,000
10,000
30,000
15,000
25,000
5
40,000
10,000
30,000
15,000
5*
60,000
Depreciación
graJ,able
-$ 100,000
5,000 TASi\ INTFRNi\ DI·: RENDIMIENTO
*Se pagaron 5
=
18.8%
millones por concepto de ganancias extraordinarias de capital.
25,000
25,000 55,000*
162 Proyectos de inversión en situaciones inflacionarias
Tabla 9-12. Flujos de· efectivo después de impuestos considerando una tasa de inflación
anual de 10% (miles de pesos).
Inversión adicional en activo Año circulante
Flujos de efectivo antes de impuestos
o
-$ 100,000 44,000 48,400 53,240 58,564 64,420 96,636
5,000 5,500 6,050 6,655 7,321
1 2 3 4 5 5
Flujos de efectivo después de impuestos Ingreso (pesos co· Depreciación gravable Impuestos rrientes)
10,000 10,000 10,000 10,000 10,000
34,000 38,400 43,240 48,564 54,420
-$ 100,000 -$100,000 20,000 22,000 19,587 23,700 19,211 25,570 18,870 27,627 18,559 29,889 55,000 88,581
17,000 19,200 21,620 24,282 27,210 8,055
TASA INTERNA DE RENDIMIENTO
=
Flujos de efectivo después de impuestos (pesos cons· tantes)
12.3%
TABLA 9.13. Flujos de efectivo después de impuestos considerando una tasa de inflación·
de 1 O%
(miles de pesos).
Inversión Flujos de efectivo adicional antes de en activo Año circulante impuestos o
1 2 3 4 5 5
2,500 2,750 3,025 3,327 3,660
-$ 100,000 44,000 48,400 53,240 58,564 64,420 64,421
Flujos de efectivo después de impuestos Ingreso (pesos coDepreciación gravable Impuestos rrientes)
15,000 15,000 15,000 15,000 15,000
29,000 33,400 38,240 43,564 49,420
14,500 16,700 19,120 21,782 24,710 12,079
TASA INTERNA DE RENDIMIENTO
=
-$ 100,000 27,000 28,950 31,095 33,455 36,050 52,342
Flujos de efectivo después de impuestos (pesos cons· tantes) -$ 100,000 24,545 23,926 23,362 22,850 22,384 32,500
13.2%
Finalmente, en la figura 9.4 se muestra una serie de curvas que muestran el compor tamiento de la tasa interna de rendimiento, para diferentes tasas de inflación y diferentes proporciones de activo circulante en la inversión total.
9.7 EFECTO DE LA INFLACION EN ACTNOS NO DEPRECIARLES
Muchas inversiones de capital pueden consistir parcialmente de terrenos que aumen tan de precio de acuerdo al ritmo de la inflación. Aparentemente estas inversiones no sufren
'.-•_:.·
Efecto de la inflación en activos no depreciables 163 .l
jnR
..
e%)
,
1 1 1
Inversión total= constante ingresos= constante gastos= constante
25% de A.C. SO% de A.C.
75% de A.C.
----�-__ ---� __. INFLACION ( % )
FIGURA 9.4. Variación de la TIR para diferentes tasas de inflación y para diferentes
proporciones de activo circulant� en la inversion total. el efecto de la inflación y se les considera como inversiones atractivas en épocas inflaciona rias. Sin embargo, ni estas inversiones son inmunes al efecto nocivo de la inflación, puesto que si el valor del activo se incrementa con el nivel general de precios, esto ocasionará una ganancia extraordinaria de capital al momento de venderlo. Como las ganancias extraordina rias son gravables, entonces, el rendimiento que se obtiene en la adquisición de un terreno, disminuye signifi::ativamente debido a los impuestos que se pagan sobre dichas ganancias. Para apreciar el efecto de la inflación en inversiones de activos no depreciables; su ponga que se ha adquirido un terreno a un precio de $100, el cual se piensa vender dentro de 5 años a un precio estimado de $161. También, asuma que la tasa de impuestos que grava las ganancias extraordinarias de capital es de 50%. Para esta información, la figura 9.5 muestra el flujo de efectivo antes y después de impuestos sin considerar inflación. Si consideramos el flujo de efectivo después de impuestos y se obtiene la tasa de interés que iguala a cero el valor presente de dicho flujo, entonces, lo que se obtiene es la tasa interna de rendimiento de la inversión en el terreno. Dicha tasa de interés resulta ser en este caso de 5.46%. Por otra parte, veamos qué le pasa al rendimiento de 5.46%, si una inflación anual de 50% es introducida (ver figura 9 .6). Con este nivel de inflación el valor de rescate del terreno en el año 5 es de $1 ,223 (161(1.5)5 ). Esto significa que los impuestos por concep to de ganancias extraordinarias de capital serian de $561.50 en lugar de $30.5. Por con siguiente, el flujo de efectivo después de impuestos a pesos corrientes sería de $662 y a pesos constantes de $87. Tomando en cuenta este último flujo, el rendimiento que se obtiene es de- 2.7%. Como se puede apreciar, la inflación redujo el rendimiento del pro-
164
Proyectos de inversión en situaciones inflacionarias •
161
130.S
1 S
�
-�S
y
100
100 l'luju
F lujo de cfcctivo de· impuestos
de cfcctivo
dt· spu és
an\L'S de impuestos
FIGURA 9.5. Flujos de efectivo antes y después de impuestos para la compra de un te rreno sin considerar infl ación .
l
1,223
' 87
662
S
5
5 '
'
100
lOO
Flujo de ckctivn
lOO
de efectivo despu¿s de impuestos
despu és de impuestos
(pesos corrit•ntcs)
(pesos constantes)
flujo de cfL,ctivo
!'lujo
antc·s de impuesto'
FIGURA 9.6. Flujos de efectivo antes rreno considerando una inflación del
y
después de impuestos para la compra de un te
SO% anual.
l
11,223
_,
1r---
128
970
5
5
' lOO
'
lOO
lOO
5
Flujo dl' o:fect ivo
Flujo
anll's de impuestos
dc·spués de impuo:stos
dcspués
(po:sos cnrri<·ntcs)
(pcso\ constantes)
de o:kct ivo
Flujo
dc efe el ivo
de impucstos
FIGURA 9.7. Flujos de efectivo antes y después de impuestos para la compra d e un te rreno ·considerando una inflación del
yecto de
5.46%
a
-
2.7%.
La
SO% anual y ajustando el costo futuro del terreno.
explicación
a este h echo, son los impuestos que se pagan
por las ganancias de capital, los cuales son mayores en términos reales
(561 equivalen a
74 que es mayor que 30.5). En
párrafos anteriores se mostró cómo la inflación castiga las inversiones en activos
no depreciables. Sin embargo ,
en
las reformas fi sc al e s a la ley del impuesto sobre la renta
de 1979, las gananc ias extraordinarias de c a pit al se calculan de una manera diferente. An teriormente, las ganancias o pérdidas de capital se obtenían como la d ife re nci a entre el valor de rescate del activo al momento de la venta y su valflr en l ibros. Sin embargo , a par-
Inflación diferencial 165 tir de las reformas fiscales de 1979, las ganancias o pérdidas extraordinarias de capital se deben obtener como la diferencia entre el valor de rescate del activo al momento de la venta y un costo ajustado. Este costo ajustado depende de la edad del activo y se obtiene _ al multiplicar el valor en libros al momento de la venta por un factor de ajuste*. Para el caso particular que se está analizando, el factor de ajuste es de 7.17. Para este factor de ajuste, la ganancia extraordinaria de capital es de $S06 y los impuestos correspondien tes de $2S3. Por consiguiente, el flujo de efectivo después de impuestos a pesos corrientes es de $970 y a pesos constantes de $128 (ver figura 9.7). Tomando en cuenta este último flujo, el rendimiento que se obtiene es de S .1%. En resumen, se puede decir que la reforma fiscal de 1979 beneficia considerablemen te las inversiones en activos no depreciables, puesto que los rendimientos obtenidos en épocas inflacionarias, son similares a los que se obtienen cuando no existe inflación. 9.8 INFLACION DIFERENCIAL
En los ejemplos presentados anteriormente se utiliza inflación gene ral es decir, se ,
supone que todos los elementos que intervienen en un mismo proyecto de inversión, se in crementan en la misma proporción. Sin embargo, es obvio que la mano de obra directa e indirecta, la materia prima, los gastos generales de fabricación, etc., se pueden incrementar a diferentes tasas de inflación. Para ilustrar el caso que se presenta cuando inflación diferencial es introducida; su ponga que la corporación í3 se encuentra analizando la posibilidad de entrar en el negocio de fabricación de plataformas marinas, las cuales se utilizan en la exploración y ex plota<.:ión del petróleo en la región del Golfo de México. Investigaciones preliminares indican que la inversión requerida para este tipo de negocio será de
200 millones ( 100 millones de activo
circulante y 100 millones de activo fijo). Por otra parte, considere que la producción anual esperada en los próximos 5 años será del orden de 5,000 toneladas anuales, las cuales serán vendidas a un precio de $40,000/tonelada. También, se sabe que cada tonelada de produc to terminado requiere de $2,SOO de mano de obra (directa e indirecta). $7,SOO de material, $11 ,000 de maquila y $1 ,000 de fletes. Además, suponga que la inversión en activo fijo se deprecia en 5 años en línea recta, la tasa de impuestos es de SO% y e l valor de rescate se supone en 20% del activo fijo y 100% del activo circulante. Por último, suponga que se ha pronosticado g �e el precio de venta se va a incrementar en 10%, la mano de obra en
10%, el material en 15%, h.1
m a4 uila
en 12% y los fletes en S%. y ade m á s la tasa de infla ,
ción promedio anual de los pr óximos 5 años será de 1 'i%.
Para la información anterior, primeramente se muestra en la tabla 9.14 el rendimien to que se <�btiene si la inflación no es considerada, el cual resulta ser de 21 .b% . Por ei contrario, si las tasas de inflación de los diferentes suministros son introducidas, es ob vio que el rendimiento del proyecto se verá afectado. Para determinar d rendi m i e nto que se obtiene cuand o inflación diferencial es tomada eri cu ent a primeramente en la tabla ,
9.15 se muestran los márgenes de contribución por tonelada antes de dep reciación e im puestos para los próximos 5 años. En seguida, en la tahJ¡¡ 9.1 6 se mues! ra una ponderación de los porcentajes de inflación de los diferentes suministros utilizados. Esta ponderación es la que
se
utili1.a para determinar las inversiones adicionales de activo circulante de los
próximos cinco años. Finalmente, en la tabla 9.17 se muestra el rendimiento obtenid o
cuando in nación diferencial es introducida, el cual resulta ser de 7.9% *Para los l"actort>s
<.k ajust<:
ver <:1 artículo
70
dt· la Ley d<.!llmpucsto sobre la Renta o la tabla
6.2.
166 Proyectos de inversiófl en situaciones inflacionarias
TABLA 9-14. Flujos de efectivo después de impuestos sin considerar inflación (mi les de pesos).
Flujos de
Flujos de
efectivo
efectivo Año
impuestos
después
Ingreso
antes de
gravable
Depreciación
Impuestos
de
impuestos -$ 200,000
o
-$ 200,000
1
90,000
20,000
70,000
35,000
55,000
2
90,000
20,000
70,000
35,000
55,000
3
90,000
20,000
70,000
35,000
55,000
4
90,000
20,000
70,000
35,000
55,000
5
90,000
20,000
70,000
35,000
55,000
5
120,000
10,000
110,000
TASA INTERNA DE RENDIMIENTO
TABLA 9-15.
=
21.6%
Márgenes de contrib ución por tonelada antes de depreci ación e im-
puestos para los próximos 5 años.
1 Precio
$44,000
2
3
$48,400
4
$53,240
$58,564
5 $64,420
Costo: Mano de obra
2,750
3,025
3,327
3,660
4,026
Material
8,625
9,919
11,407
13,11�
15,085
Maquila
12,320
13,798
15,454
17;308
19,386
1,050
1,103
1,158
1,216
1,276
$19,255
·$20,555
$21,894
$23,261
$24,647
Fletes M. C./Ton.
TABLA 9.16. Ponderación de los porcentajes de inflación de los diferentes s uminis tros considerados.
Mano de obra
Costo por
%del
%de
tonelada
total
inflación
Ponderación
$ 2,500
. 11.36
10
Material
7,500
34.09
15
5.1135
Maquila
11,000
50.00
12
6.0000
1,000
4.55
5
0.2275
Fletes Total
$22,000
100.00
1.1360
12.4770
(%)
Conclusiones 167
TABLA 9.17. Flujos de efectivo después de impuestos cons iderando inflación diferencial
(miles de pesos).
Inversión adicional de activo Año circulante
Flujos de efectivo antes de impuestos
o
-$ 200,000
Flujos de efectivo después de impuestos Ingreso (pesos coDepreciación gravable Impuestos rrientes)
Flujos de efectivo después de impuestos (pesos constantes)
-$ 200,000 -$ 200,000 39,702
1
12,480
96,275
20,000
76,275
38,138
45,657
2
14,038
102,775
20,000
82,775
41,388
47,349
35,803
3
15,789
109,470
20,000
89,470
44,735
48,946
32,183
4
17,760
116,305
20,000
96,305
48,153
50,392
28,812
5
19,976
123,235
20,000
103,235
51,618
51,641
25,675
20,114
200,156
99,513
5
220,270
TASA INTERNA DE RENDIMIENTO
=
7.9%
9.9 CONCLUSIONES
Aunque es difícil evaluar propuestas de inversión en tiempos de altas tasas infla cionarias, es importante predecirlas y considerarlas en los estudios económicos. Hasta hace relativamente poco tiempo, los negocios han tendido a ignorar el efecto inflacionario en la evaluación de sus nuevos proyectos de inversión, por considerarla de poco impacto en los rendimientos reales obtenidos. Muchos otros ejecutivos creen que ig norar la inflación es adoptar una postura conservadora. Sin embargo, se ha demostrado que la realidad es muy diferente, puesto que la mayoría de las inversiones son castigadas duramente por la inflación y se puede decir que casi no existen inversiones de capital in munes al efecto nocivo de la inflación. Aunque es muy recomendable considerar el impacto de la inflación en los estudios económicos, esta alternativa presenta la dificultad de predecir los niveles generales de precios que van a prevalecer en el futuro. Sin embargo, si no se tiene la certeza del nivel de in flación de los próximos años, se puede utilizar la técnica de simulación o un enfoque pro babilístico que determine la distribución de probabilidad de la tasa interna de rendimiento, para las diferentes tasas de inflación consideradas, es decir, se pueden hacer estimaciones optimistas, pesimistas y más probables para las tasas de inflación, y en base a ello, deter minar y definir la distribución de probabilidad de la tasa interna de rendimiento de acuerdo a cualquiera de la técnicas antes mencionadas. Finalmente, cabe mencionar que en tiempos de altas tasas inflacionarias, los diferen tes cursos de acción que se pueden tomar son: 1) incrementar los precios a una tasa mayor que la inflacionaria; 2) incrementar la tasa de recuperación mínima atractiva; 3) de ser posible arrendar el equipo en lugar de comprarlo; 4) incrementar las inversiones en acti vos no depreci
168
Proyectos de inversión en situaciones inflacionarias PROBLEMAS
/9.1
Suponga que cierta empresa está considerando la posibilidad d � -eemplazar una má quina vieja por una nueva. El precio actual de la nueva máquina instalada es de $100,000. Los beneficios antes de depreciación e impuestos (suponiendo que no hay inflación) se estiman en $40,000 para los próximos cinco años. Al término de este tiempo el valor de rescate será de $30,000. Si la inflación promedio anual de los próximos años es de 15%, la vida fiscal del activo es de 5 años, y la tasa de impues tos es de 50%, ¿cuál es laTIR que esta empresa obtiene en la adquisición de este activo sin considerar y tomando en cuenta la inflación?
9.2
Para el problema anterior determine una gráfica que relacione laTIR con inflacio nes de 5%, 10%, 15% y 20%anual .
./
9.3
¿Cuál es laTIR que se obtiene -en el problema 9-1 si la inflación en los próximos 5 años es de 10%, 12%, 14%, 16%y 18%respectivamente?
9.4
La compañía W desea seleccionar la mejor de las máquinas que se muestran a con
tinuación. Si la tasa de inflación de los próximos 5 años es de 20%anual, laTREMA es de 20%y la tasa de impuestos es 50%, ¿cuál máquina representaría la mejor alternativa para la compañía W?
Máq. 1
Inversión inicial Costos en el año K Valor de rescate Vida fiscal
9.5
$100,000 40,000(1.10)k-1 30,000 5 años
Máq.
2
$150,000 30,000(1.08)k-1 40,000 5 años
•
1
$250,000 15,000(1.05)k-1 60,000 5 años
Resuelva el problema anterior suponiendo que la inflación en los próximq_s 5 a�os es de 14%, 16% , 18%, 20% y 22%respectivamente.
9.6
Máq. 3
\
La compañía Z desea incrementar su inversión en activo circulante (caja, inventarios;/
cuentas por cobrar, etc.), en un millón de pesos. Con esta inversión la compañía piensa que sus utilidades
se
van a incrementar en $450,000 anuales, durante 5 años,
al final de los cuales la inversión inicial será recuperada en un 100% . Si la tasa de im puestos es de 50% , y la inflación promedio anual de los próximos 5 años es de 18%, ¿cuál es laTIR que la compañía obtiene en esta inversión? 9. 7
/ 9.8
Resolver el problema 6-9 suponiendo que la inflación en los próximos 10 años es de 20% anual. Resolver el problema 6-11 suponiendo que la inflación en los próximos 10 años es de
9.9
15% anual
La compañía
X acaba de comprar un terreno a un precio de $5,000,000, el cual
piensa vender dentro de 5 años en $10,000,000. �i la tasa de impuestos es de 50%, y la tasa de inflación promedio anual es de
a)
no
se
considera inflación,
activo al momento de
40%, ¿cua1 es laTIR que se obtiene si b) se considera inflación pero no se ajusta el valor del
la venta, y e)- se considera inflación y se ajusta el valor del ac-
tivo al momento de la venta?
Problemas ·169 .
'/ 9.10
El grupo industrial "B" desea incursionar en el negocio de jarabe
75
o
BX (producto
substituto del azúcar). La producción anual esperada de producto terminado para el primer año de operaciones es de cantidad en un
10% anual (se
27,941
toneladas y se espera incrementar esta
asume que todo lo que se produce se vende). La capa
cidad inicial instalada de la nueva planta será de
45,000 toneladas. Puesto que la 6, el grupo industrial aumentará la capacidad de producción a 75,000 toneladas a partir del año 7. ión inici�n este tipo de negocio se estima en $70 millones Por otra parte, la in � (50 millones de activo fijó y 20 millones de activo circulante). Además, al final del año seis el grupo it)dustrial estima que el aumento en capacidad de 30,000 toneladas costará $20 millones(También, puesto que las ventas están creciendo a una razón del 10% anual, capacidad inicial instalada se agota al fmal del año
·
el grupo ha determinado que las inversiones adicionales en activo circulante crecerán a una razón de
. 0..)
$800 por tonelada adicional vendida.
Con respecto a los gastos administrativos y de operación, el grupo industrial ha. de
terminado lo siguiente: Costos fijos por año: Administrativos Generales de fabricación
$ 2,000,000 1,750,000
(primeros ci. nco años) Generales de fabricación
3,000,000
(últimos cinco años) Costos var. por ton.: Materia prima Distribución Energía Mano de obra directa Ventas
$ 3,000 300 180 60. 50 1
50%, y la vida fiscal de las inversiones en activo fijo es de 10 años, al término de los cuales �alor de rescate e'S de $10.......----- millones para la primera iriversión (}_n activo fijo y de $5 millones para la inversión a realiZar al.fmal del añó 6. También, estime-Elue la inversión inicial en activo circulante y las inversiones adicionales posteriores, son recuperables al fmal del año 1 O en un 100%. Si la inflación promedio anual de los próximos 1 O años es de 20%, ¿cuál és la TIR que el grupo industrial Finalmente, suponga que la tasa de impuestos es de
�
obtendría· al em}2re!_lder este proyecto de inversión?
Si suponemos una tasa de inflación promedio anual de
__
20%
de operación érecen de acuerdo a las siguientes tasas de inflación: Precio Gastos administrativos Gastos generales de fabricación Materia prima Distribución Energía
15% 10% 10% 15% 12% 20%
,
y el precio y los costos
·,
170
Proyectos de inversión en situaciones inflacionarias Mano de obra directa
14% 12%
Ventas
\?l
¿cuál es la TIR que se obtendría en este proyecto d� inversión? {Considere que las inver siones adicionales en activo circulante dependen únicamente de los costos variables y que el precio de venta por tonelada es de $5,000).
¡,¡;1,¡¡
�¡!
·
¡u. lij,
�.
��
..
''"
\
10 Costo de capital
El conocimiento que del costo de.capital debe tener una empresa es muy importante, puesto que en toda evaluación económica y fmanciera se requiere tener una idea aproxi mada de los costos de las diferentes fuentes de fmanciamiento que la empresa utiliza para emprender sus proyectos de inversión. Además, el conocimiento del costo de capital y cómo es éste influenciado por el apalancamiento fmanciero, permiten tomar mejores de cisiones en cuanto a la estructura fmanciera de la empresa. Finalmente, existe otro gran número de decisiones tales como: estrategias de crecimiento, arrendamientos y políticas de capital de trabajo, las cuales requieren del conocimiento del costo de capital de la em presa, para que los resultados obtenidos con tales decisiones sean acordes a las metas y ob jetivos que la organización ha establecido. Actualmente existen un gran número de defmiciones de este concepto entre las cuales podemos mencionar las siguientes:
•
La tasa de interés que los inversionistas tanto acreedores como propietarios, de sean le sea pagada para conservar e incrementar sus inversiones en la empresa.·
• •
Ponderado de las diferentes fuei\_tes de fmanciamiento. La tasa de interés que iguala el valor presente de los flujos netos recibidos por la empresa, con el valor presente de los desembolsos esperados (interés, pago del principal, dividendos, etc.).
•
El límite inferior de la tasa interna de rendimiento que un proyecto debe rendir
\
para que se justifique el empleo del capital para adoptarlo. Obviamente, todas estas defmiciones son equivalentes. Lo importante es desarrollar una metodología específica que determine el costo de cada una de las fuentes de fman ciamiento (externas e internas) que la empresa utiliza para fmanciar sus proyectos de inversión. Por consiguiente, el objetivo de este capítulo es presentar en forma clara y con cisa cómo el costo de capital de cada fuente de financiamiento es evaluado. 171
172 Costo de capital. 10.1 COSTO DE CAPITAL -COMO SE CALCULA
Antes de proceder al cálculo del costo de capital de cada fuente de financiamiento, es conveniente describir e!l forma genérica el procedimiento a seguir en la evaluación del costo de capital de cualquier fuente. Toda fuente de financiamiento implica un desembolso inicial para el inversionista (bancos, accionistas, obligacionistas, etc.) y una captación para la empresa. También, dicha fuente de fmanciamiento implica recepciones periódicas para el inversionista y de sembolsos de la misma magnitud para la empresa. Esta explicación se puede comprender mejor al examinar la figura
10.1. En esta figura se puede
apreciar que la cantidad aportada
por el inversionista no necesariamente es igual a la cantidad captada por la empresa. Esta diferencia se puede deber al hecho de que en algunos tipos de fmanciamiento, la empresa incurre en ciertos gastos (emisión, comisiones, etc.), lo cual origina que la captación por parte de la empresa sea menor a la cantidad aportada por el inversionista (P'
p
'
1
S¡
3
2
Sz
. . .
.
.
n-1 '
n
1
S3
r
8n-l
sn
s3
8n-1
sn
1
n
'
Empresa
S¡
Sz
�
1
2
3
.
.
. . . .
n-1
1
p
Inversionista FIGURA 10.1. Flujo de efectivo �ue origina una fuente de financiamiento desde
el punto de vista empresa y desde ef punto de vista inversionista.
Por cp nsiguiente, de la figura
10.1, �
es obvio que el costo de cualquier fuente de
fmanciami�to, se obtiene al encontrar la tasa de interés que satisface la siguiente ecuación: n
p' t
=
s
t
1 (1
+
i)t
=o
Proveedores 173
COSTO DE CAPITAL DE FUENTES EXTERNAS 10.2 PROVEEDORES
Una de las fuentes de fmanciarrúento más utilizadas por una empresa son los pro veedores, los cuales se pueden clasificar en dos tipos: aquellos que conceden descuentos por pronto pago y aquellos que no lo conceden. Si además estos últimos no cobran in tereses, entonces, su costo de fmanciarrúento es cero. Como el costo de los proveedores que no conceden descuentos por pronto pago y además no cobran intereses, no necesita ser evaluado, entonces, en el presente inciso se enfatiza la forma como debe ser calculado el costo de los proveedores que sí lo otorgan.
Para este último caso se va a analizar el costo en que una empresa incurre al no aprovechar
los descuentos, puesto que es muy importante señalar que cuando una empresa los apro vecha, querrá decir que la empresa no quiso utilizar el plazo de crédito ofrecido o sea la forma de fmanciarniento propuesto y por lo tanto no existirá un costo explícito por este concepto. Para evaluar lo que a una empresa le cuesta no aprovechar un descuento, suponga mos que una empresa ha recibido mercancía, la cual, si es pagada al final del período de descuento cuesta Tal situación
se
P
y si se paga al fmal del período de fmanciarrúento cuesta
F (P < F).
muestra en forma gráfica en la figura 10.2.
'P
Período de fmanciarniento (x días)
Período de descuento
F FIGURA 10.2. Flujo de efectivo que resulta de no aprovechar un descuento por pronto pago.
/
Como no se aprovecha el descuento, la figura 10.2 se puede interpretar como que la empresa recibe al fmal de período de descuento, mercancía por valor de P pesos, a cambio de pagar al fmal del período de fmanciarrúento, una cantidad de
F pesos. Por
consiguiente, el costo
antes de impuestos de no aprovechar el descuento sería:
Kpr
F-P p
F =
p
Sin embargo, el interés anterior es por un período de
- 1
x
(10.1)
días, lo cual significa que si qui
siéramos evaluar el costo anual efectivo de no aprovechar el descuento, éste vendría dado por la siguiente expresión:
174 Costo de capital
JEA
=
(F/P) 36sjx
(10.2).
1
_
Para aclarar la evaluación del costo de no aprovechar un descuento, supongamos que los términos de un proveedor en una compra de si la factura es liquidada dentro de los lo pagamos a treinta días
$100
sean:
3% de descuento por pronto
10 días.siguientes
pago
a la fecha de compra o el neto si
(3/10, n/30).
Para esta situación, la aplicación de la ecuación Sin embargo, este costo es para un período de
(10.1)
arroja un valor de
3.093%.
días (período de financiamiento). El . costo anual efectivo vendría dado por la ecuación que sigue:
J EA
=
(1.031)
20
365/20 - 1
=
74.35%
Como puede apreciarse, no aprovechar el descuento representa un costo anual efectivo de
74.35%.
Esto significa, que cuando los descuentos por pronto pago no se aprovechán,
el crédito de proveedores es una de las fuentes de financiamiento más caras que podemos encontrar. Ante esta situación vale la pena preguntarnos cuánto costaría un préstamo que cubriese nuestro pasivo promedio con proveedores. Obviamente el costo sería menor. Sin embargo, en términos generales conviene financiarse con proveedores siempre y cuando su costo no sea mayor al costo de un préstamo, es decir, cuando se detecta un costo de proveedores excesivamente alto, conviene solicitar un préstamo por la cantidad que nues tra capacidad de crédito y liquidez lo permita. Finalmente, como la subcuenta de "descuentos por pronto pago no utilizados" es deducible, el costo anual efectivo después de impuestos de no aprovechar un descuento, se obtiene con la expresión:
(
F- (F-P)t p
)365/x
_
1
(10 , .3)
10.3 PRESTAMOS BANCARIOS DE CORTO PLAZO En cuanto a los créditos bancarios a corto plazo, la mayoría de las veces éstos se otorgan en forma directa, esto es, sin ninguna garantía real y después de que la institución
tf ha considerado que la empresa es sujeta de crédito.
de crédi
El costo principal de este recurso es el interés que la empresa habrá de pagar a la ins titución de crédito por utilizar sus fondos. Normalmente, estos intereses son cobrados por anticipado por el otorgante del crédito. Además de este costo, es frecuente que las insti tuciones bancarias soliciten a sus clientes que mantengan un nivel promedio en cuentas de cheques como "reciprocidad" o "compensación". Este factor que para la empresa signi fica inmovilización de recursos, también se deberá tomar en cuenta al evaluar el costo de este recurso. Finalmente, es posible que al solicitar un préstamo se incurra en gastos, los cuales normalmente son por cuenta del cliente, tales como comisiones de apertura de cré dito y otro tipo de cargos que pudieran ser de importancia. Tomando en cuenta los factores antes mencionados, el flujo de efectivo para la em presa que origina un préstamo bancario de corto plazo, es como sigue:
Préstamos bancarios de corto plazo 115
P-1-GB-RE
1---
x meses
1 ' P-RE
donde: P
=
Cantidad solicitada.
1
=
Intereses que genera la cantidad solicitada.
GB RE
=
=
Gastos bancarios de apertura de crédito. Nivel promedio en cuentas de cheques como reciprocidad o compensación.
Por consiguiente, el costo antes de impuestos que esta fuente de fmanciamiento repre senta para la empresa, se obtiene al encontrar la tasa de interés ecuación:
P-1-GB-RE
Como la tasa de interés
(Kpcp)
(Kp p) c
que satisface la
P-RE
( 1 0. 4)
(1 +K cp)X p
que satisface la ecuación anterior es el interés real mensual
del préstamo, entonces, si se quiere determinar el interés efectivo anual que el préstamo significa, se utilizaría la ecuación siguiente: 1 EA
=
(1 +K p)12 - 1 pc
(10.5)
Para ilustrar la aplicación de las fórmulas previamente desarrolladas, supongamos que una empresa solicita un préstamo bancario directo a seis meses por la cantidad de La institución bancaria exige: una reciprocidad de
al
1%
10%
mensual simple pagados anticipadamente y gastos bancarios por
información,
l
la aplicación de la ecuación (1 0.4) produce lo siguiente:
500,000-30,000-50,000-50,000
(1 +Kp p) 6 c
=
y simplificando la ecuación anterior se obtiene
senta un interés efectivo anual de
47.92%.
$500,000.
del valor del préstamo, intereses
$50,000. Para
esta
.....:...
450,000
(1 +Kpcp) 6
450,000 . 370,000
Kp cp
=
3.32% mensual, el cual repre
Antes de concluir este inciso, es conveniente señalar que la ecuación
(10.4)
es el
caso general, es decir, esta ecuación considera que todo préstamo bancario origina gastos
176 Costo de capital
y reciprocidad, sin embargo, si un préstamo no los origina GB y RE serían eliminados de
dicha ecuación.
Finalmente, como algunos de los gastos que se incurren en un préstamo bancario son deducibles, el costo después de impuestos de un préstamo de corto plazo se puede ' obtener al encontrar la tasa de interés K c que satisface la siguiente ecuación: p p
p-
donde
t
1(1- t)-
GB (1-
t)- RE
=
(1
P-RE ' )x +K pc p
(10.6)
es la tasa de impuestos.
10.4 PASNO A LARGO PLAZO Obligaciones Las obligaciones son alternativas de fmanciamiento a largo plazo
(5
o más años) por
medio de las cuales se captan fondos del público inversionista al cual se le garantiza a cam bio, un rendimiento determinado. Estas obligaciones representan para la empresa emis_ora una deuda a largo plazo, la cual se pagaría en varias amortizaciones periódicas. El costo principal de esta alternativa de financiamiento son los intereses que pagarán las obligaciones a sus tenedores. Sin embargo, toda emisión de obligación lleva implícitos una serie de gastos entre los cuales podemos resaltar los siguientes:
•
Honórarios de un profesionista independiente por la elaboración del estudio técnico económico-fmanciero que por ley requiere la Comisión Nacional de Valores.
•
Impresión del prospecto de la emisión.
•
Honorarios al notario por la protocolización del acta de la emisión.
•
Registro del acta en el registro público.
•
Comisión del colocador primario.
•
Inscripción en bolsa de valores y registro de valores.
•
Impresión de certificados provisionales en papel seguridad.
•
Impresión de los títulos defmitivos y sus cupones.
Tomando en cuenta los costos antes mencionados, el flujo de efectivo neto que para
�
la empresa signific una emisión de obligaciones, es como sigue:
P'
=
P- GT
I
2
3
n-1
' I
I
I
n
p +I
Pasivo a largo plazo 177
donde: ' p = Es la cantidad neta obtenida de la emisión. 1 = Intereses percibidos por el inversionista.
P = Valor nominal de la emisión.
GT
=
Gastos totales que origina la emisión.
Es. obvio que este diagrama de flujo de efectivo no es el único que puede resultar de una emisión de obligaciones, puesto que es posible pagar el valor de la emisión en varias amortizaciones periódicas. Sin embargo, el pagar la emisión en amortizaciones periódicas de igual magnitud, originaría un flujo de efectivo idéntico al que origina un crédito hipo. tecario industrial. Por consiguiente, en esta sección solamente se analiza el caso de amor tizar el valor nominal de las obligaciones en un solo pago. Considerando el diagrama de flujo de efectivo mostrado, es obvio que: el costo antes de impuestos de una emisión de obligaciones, es la tasa de interés ecuación: ' p _
c ·n
�
=1
.
1
(l+KoY
_
+
P
) =
(K0)
que satisface la
(10.7)
o
y puesto que los intereses y los gastos originados por la emisión son deducibles, el costo
después de impuestos de esta fuente de fmanciamiento, sería la tasa de interés satisface la ecuación:
{P- GT (1
- -e§
1 (1
t) )
l
-
t)
(I +K'oY
+
:
(!+ '.)"
)
=
o
(K'0) que
(10.8)
con el propósito de ilustrar la evaluación numérica del costo de esta alternativa de finan ciamiento, suponga que una empresa emite $1,000,000 en obligaciones al12% anual con vencimiento a 10 años. También, considere que los gastos que esta emisión origina son de
$100,000, y la tasa de impuestos es de 50%. Para esta información, la tabla 10-1 muestra
los flujos de efectivo después de impuestos que origina la emisión. Para estos flujos, la aplicación de la ecuación (10.8) arroja un valor de 6.7%. Finalmente, dada nuestra situación económica actual ( ambiente crónico inflacio nario), conviene señalar cómo
la inflación afecta el costo de esta alternativa de fmancia
miento. Para este propósito el diagrama de flujo de efectivo previamente presentado se transforma a: �
P'
=
P- G1
1
2
1
1
(1 + i¡ )
(1 + Í¡)2
\
n
n-1
'
1
(1 + i¡)
n-1
P +/ (1 + Í
¡)
n
178 Costo de capital TABLA 10-1. Flujos de efectivo después de impuestos para una emisión de obliga
ciones sin considerar inflación (miles de pesos). Flujo de
Flujo de
efectivo
efectivo
antes de impuestos
Año
Deducciones
900 - 120
-100 -120
3
- 120 - 120
-120 -120
4
- 120
5
6
- 120 - 120
-120 -120 -120
7
- 120
8
- 120 - 120 - 120 -1000
-120
o
$
1 2
9 10 10
Ahorro en
·después de
impuestos
impuestos
50
$
60 60
--
60
-
60
950 60 60 60 60
60
-
60
-
60 60
-120
60
-120 -120
60
-
60 60
-
60
60 60
-
60
-1000 COSTO REAL
=
6.7%
donde:
i.
=
l
tasa de inflación promedio por período.
y el costo de la emisión después de impuestos se obtendría al encontrar la tasa de interés
(K0¡)
que satisface la ecuación:
{P
-GT (1 -
t)}
_
(� j=l
� i¡)Í
+iY) + + Ko¡)n (I+K0¡)'
I(I
- t)/(1
P/(1
(1
l
O. (10.9)
,.
Para ilustrar la obtención del costo después de impuestos de una emisión de obliga ciones en épocas inflacionarias, suponga que la emisión descrita previamente, se hizo en un ambiente inflacionario del 10% promedio anual. Para esta información, la tabla
10-2'
muestra los flujos de efectivo después de impuestos (a pesos constantes) que resultan de la emisión. Para estos flujos, la aplicación de la ecuación
�a un valor de -3%.
(1 0.9) ar
Como puede advertirse, en ambientes crónicos inflacionariOS, los financiamientos a largo plazo son muy atractivos, sobre todo cuando las emisiones son a tasas fijas. La ex plicación lógica de esta aseveración, se basa en el hecho de que los pagos futuros que ori gina el fmanciamiento se har{an con pesos superdevaluados.
Pasivo a largo plazo 179 TABLA 10-2. Flujos de efectivo después de impuestos para una emisión de obliga ciones, considerando una inflación del 10% anual (miles de pesos).
Año
Flujo de efectivo antes de' impuestos
Deducciones
Ahorro en impuestos
Flujo de efectivo después de impuestos (pesos corrientes)
Flujo de efectivo después de impuestos pesos constantes)
900
-lOO
50
$ 950
$ 950.00
1
- 120
-120
60
- 60
- 54.54
2
- 120
-120
60
- 60
- 49.58
3
- 120
-120
60
- 60
- 45.08
4
120
-120
60
- 60
- 40.98
5
- 120
-120
60
- 60
- 37.25
6
120
-120
60
- 60
- 33.86
7
120
-120
60
- 6G
- 30.78
8
120
-120
60
- 60
- 27.99 - 25.44
o
$
9
120
-120
60
- 60
10
- 120
-120
60
- 60
10
-1000
23.13 -385.54
COSTO REAL
=
-3%
Crédito hipotecario industrial Los créditos hipotecarios son créditos que las instituciones bancarias otorgan a un plazo mayor de un año (3 a 1 O) y en los cuales los activos de la empresa son utilizados para garantizar la devolución del préstamo. En la evaluación de esta alternativa de financiamiento se van a considerar diferentes situaciones tales como: tasas flotantes, ambientes inflacionarios y cambios de paridad; las cuales afectan significativamente el costo de este pasivo. Además, en el apéndice, al final de este capítulo, se analiza esta alternativa de financ iamiento bajo un esquema de pasos crecientes. Crédito hipotecario normal En este inciso se evalúa el costo de un crédito hipotecario sin considerar las situa ciones antes mencionadas. En tales circunstancias, el flujo de efectivo para la empresa que origina un crédito hipotecario es como sigue: 'p- GT.
2
j
T
P/n+ Pi(!·- (j -1)/n) P/n+ Pi
P/n+ Pi(l-1/n)
n
\
P/n+ Pi(l/n)
180 Costo de capital
donde:
P
=
Magnitud del préstamo solicitado.
GT
=
Gastos totales que origina el préstamo.
n
=
Plazo concedido para pagar el préstamo.
i
=
Tasa nominal de interés sobre saldos insolutos.
y puesto que los gastos e intereses que origina el préstamo son deducibles, el costo des pués de impuestos de esta alternativa de financiamiento, sería la tasa de interés satisface la ecuación:
. {P-GT l-t }) (
(� j
=
P(i)(l-(j- l)/ri)(I� t)+Pfn (1 + Kh)' 1
\ }
(K h) que.
O
=
(10.10)
Para ejemplificar la utilización de esta fórmula, suponga que una empresa ha obte nido un préstamo de $1,000,000 a 1 O años de una institución bancaria que le cobraría el 20% sobre saldos insolutos. También, considere que la obtención de tal préstamo le oca sionó a la empresa gastos del orden de $100,000. Finalmente, considere que la tasa de impuestos es de 50%. Para esta información, la tabla 10.3 muestra los flujos de efectivo después de impuestos que origina la captación de este pasivo. Para los flujos mostrados en dicha tabla, la aplicación de la ecuación (10.10) produce un resultado de 11.4%. TABLA 10-3. Flujos de efectivo después de impuestos de un crédito hipotecario
normal sin considerar inflación (miles de pesos). Flujo de efectivo antes de impuestos
Año
CAP. o
1
$
Deducciones
INT.
900 -100
Ahorro en impuestos
Flujo de efectivo después de impuestos
-200
-100
50
-200
100
-200
$
950
2
-100
-180
-180
90
-190
3
-100
-160
-160
80
-1-80-
4
-100
-140
-140
70
-170
5
-100
-120
-120
60
-160
6
-100
-100
-100
50
-150
7
-100
- 80
- 80
40
-140
8.
-100
- 60
- 60
30
-130
9
-100
40
- 40
20
-120
10
-100
- 20
- 20
10
-110
COSTO REAL
=
11.4%
Crédito hipatecario con inflación Si el crédito hipotecario se obtiene en épocas inflacionarias, es obvio que el costo de esta fuente de fmanciarniento disminuye considerablemente. Además, cuando una in-
\
Pasivo a largo plazo 181
flación
(i¡) es introducida,
el diagrama de flujo de efectivo previo se transforma en:
P- GT
2
j
n
T····¡
-
;
P/n + P (l/n)
P /n + Pi(l-(j-1)/n) (l+i.)j
P/n + Pi(l-1/n)
1
(1 + i¡)2
P/n +Pi (1 + i¡)
(1 + i¡) n
y el costo después de impuesto de esta fuente de financiamiento, sería la tasa de interés
(Kh¡) que satisface la ecuación:
{P
-
GT(l
� t)}
-( �
j= 1
{P(i) (1
-
(j- l)/n) (1 � t) + P/n} /(1 + i¡ (1
+ Khi)'
�
)
= 0
(10.11)
.
Para ilustrar la aplicación de esta ecuación, la tabla 10.4 muestra los flujos de efec. _.....-'
tivo después de impuestos que se obtendrían si en el ejemplo previo se considera una in-
10%. Como se puede apreciar en dicha tabla, la aplicación de (10.11) arroja un resultado de 1.2%. En resumen, se puede decir que los re sultados mostrados en las tablas 1 O.3 y 1 O .4 indican que el costo real de un crédito hipo flación·promedio anual de
la ecuación
tecario en épocas inflacionarias, se reduce en una cantidad apr.oximadamente igual a la tasa de infláción promedio anual.
Crédito hipotecario con tasas flotantes e inflación Si el costo o interés del crédito hipotecario pactado en el contrato, es a base de ta sas variables con ajustes periódicos dependiendo del entorno económico en el cual se de senvuelve la empresa, entonces, el diagrama de flujo de efectivo para esta situación sería:
182
Costo
de
<¡apital
{ P- GT f 2
n
j
TI
P/n+ Pin(lfn)
P/n + Pi¡(l-(j-1)/n)
'
-
j
P/n+ Pi2Cl·l/n) P/n +Pi1
2 7T
j =t
(l+i¡ ) l
(1 j =t 7T
.
(1 +z ..)
n
7T
j =t
+i-·)
(1 +n IJ
IJ
IJ
donde: i;
-
Tasa de interés que se cobra en el período j.
i¡ ¡
=
Tasa de inflación promedio del período j.
y el costo después de impuestos de esta alternativa de fmanciamiento, sería la tasa de in terés
(Khfi)
que satisface la ecuación:
{P-GT(l-t)}-
c�l
{PCi)O - (j-1)/n)(1 (1
-
t)
+Khfi)i
+P/n} /
t (1 +i¡¡) )
=O
{1 0.12)
Para ilustrar un ejemplo de este tipo, suponga que cierta empresa ha solicitado un préstamo de $1 ,000,000 a una institución bancaria del país a un plazo de 1O años. Tam bién, suponga que la inflación en los próximos 2 años sería de 10%, en los próximos 4 años de 15% y en los 4 restantes de 20%. Por otra parte, considere que la institución ban caria pensando en las tasas de inflación que van a prevalecer en el futuro, ha pronosticado que las tasas de interés que se van a cobrar en los próximos 2 años serán de 20%, 25% en los próximos 4 años y 30% en los 4 restantes. Finalmente, considere que la captación de este pasivo le originó a la empresa gastos del orden de $50,000 y que la tasa de impuestos de esta empresa es de 50%. Para esta situación, la tabla 10.5 muestra los flujos de efectivo después de impuestos (a pesos constantes) que se originan. Para estos flujos, la aplicación de la ecuación {10.12) produce un resultado de -0.8%. Es muy importante señalar que la evaluación del costo de un crédito hipotecario conSiderando tasas flotantes e inflación, es una mera aproximación, puesto que se están usando estimaciones de las tasas de interés que se pagarán en el futuro y de las tasas de inflación que existirán en lo sucesivo. Por. consiguiente, para los ejemplos presentados anteriormente y los que se presentarán más adelante, vale la pena mencionar que cuando existe incertidumbre con respecto al valor que una variable (inflación, tasas de interés, tipo de cambio, etc.), tomará en el futuro, el uso de simulación es recomendable. Con el uso de simulación es posible obtener la distribución de probabilidad del costo real de las fuentes de financiamiento más utilizadas por una empresa.
Pasivo a largo plazo 183
TABLA 10-4. Flujo de efectivo después de impuesto de un crédito hipotecario suponiendo una inflación de 1O% anual (miles de pesos).
Año
Flujo de efectivo antes de impuestos CAP.
o
1 2 3 4 S 6 7 8 9 10
$ 900 -lOO -lOO -lOO -lOO -lOO -lOO -lOO -lOO -lOO -100
Deducciones
Ahorro en impuestos
Flujo de efectivo después de impuestos (pesos corrientes)
Flujo de efectivo después de impuestos (pesos· constantes)
$ 9SO -200 -190
$
INT.
-200 -180 -160 -140 -120 -100 - 80 - 60 - 40 20
-lOO -200 -180 -160 -140 -120 -lOO 80 - 60 40 20 COSTO REAL
so 100 90 80 70
60 so 40 30 20 10 =
-180 -170 -160 -150 -140 -130 -120 -110
9SO -182 -1S7 -13S -116 99 - 8S - 72 - 61 SI 42
1.2%
TABLA 10-5. Flujos de efectivo después de impuestos considerando tasas flotantes e inflación (miles de pesos). •
Año
Flujo de efectivo antes de impuestos CAP.
o 1
$ 9SO -100
2 3 4 S 6 7 8 9 10
-lOO
-100 :...}00 -lOO -100 -100 -lOO -100 -100
Deducciones
Ahorro en impuestos
Flujo de efectivo después de impuestos (pesos corrientes)
Flujo de efectivo después de impuestos (pesos constantes)
$ 97S -200
$ 97S -182
-190 -200 -187 -17S -162 -160 -14S -130 -11S
-IS7 -144 -117 - 9S - 77 - 63 - 48 - 36 - 26
IN T.
2S 100 90 100 88 7S 63 60 4S 30 lS
- so
-200 -180 -200 -175 -lSO -12S -120 - 90 - 60 - 30
-200 -180 -200 -17S 1SO -12S -120 - 90 -
60 - 30 COSTO REAL
=
-0.8%
184 Costo de capital
Crédito hipotecario con cambios de paridad e inflación En ambientes crónicos inflacionarios, la devaluación es un hecho natural y necesa rio. Es por esta razón que conviene analizar como cambios en la paridad de un financia miento en moneda extranjera, afectan el costo de esta alternativa de financiamiento. Para este propósito, suponga que TC¡ sea el tipo de cambio en el período j y P la magnitud del préstamo en moneda extranjera. Bajo este supuesto, el diagrama de flujo de efectivo que resulta sería:
P(TC0) -GT
1
T '
1
' P(TCn)(1/n)i +P(TCn)/n n 1T (1 +¡1] ..)
P(TC¡)(I-U-1)/n)i+P(TC )fn ¡ P(TC2)(1-1/n)i +P(TC2)/7 2 P(TC )i+P(TC )/n 1T (1 +iIJ..) 1 1
¡
j 1T
j
=
j =¡
(1 + Í¡.) 1 1
j =¡
(1 +i¡ )
1
y como los cambios de paridad originan pérdidas considerables para la empresa, las cuales son deducibles (en el período en que se incurren), el costo después de impuestos cuando hay cambios én la paridad, se obtendría al encontrar la tasa de interés la ecuación:
{P(!l'C0)-GT(l-t)}-
(:
(Khp¡) que satisface
.
{P(TC¡)(l-(j-1)/n)(l-t)i+P(TC¡-(TC¡-TC0)t)/n} / i (1 +i¡¡) :,_ ; 1 � . i=1 (1 +K,1p¡)1
)
=0(10.13)
Para ilustrar el caso de cambios en la paridad: considere que cierta empresa ha soli citado un préstamo a una institución bancaria de los Estados Unidos. La magnitud del préstamo es de un millón de dólares, el plazo para pagarlo es es de
10% anual
1 O años, y la tasa de interés
sobre saldos. También, considere que la obtención de este préstamo ori
ginó gastos del orden de un millón de pesos y la tasa de impuestos es de suponga que la paridad y la inflación en los primeros mente, y de
$30 y 15% en los 5
años restantes.
Para la información anterior, la tabla
5
años es de
50%. Finalmente, $23 y 10% respectiva
10-6 muestra los flujos de efectivo después de
impuestos (a pesos constantes) que origina la captación de este pasivo en moneda extran jera. Para tales flujos, la tasa de interés que satisface la ecuación (10.13) es de Finalmente, es importante señalar que la ecuación
(10.13)
-3.8%.
es aplicable a cualquier
fmanciarniento en moneda extranjera (dólares, yens, francos suizos, libras, etc.). También, vale la pena volver a señalar que si existe incertidumbre con ·respecto a las tasas de infla ción y tipos de cambio que va a prevalecer en el futuro, se establezcan las distribuciones
Pasivo a largo plazo 185
de probabilidad de estas variables y en función de ello, determinar mediante simulación la distribución de probabilidad del costo real de este tipo de fmanciamiento.
TABLA 10�. Flujos de efectivo después de impuestos para un préstamo en moneda extranjera ' .con cambios en la paridad (miles de pesos).
Año
Flujo de efectivo antes de impuestos CAP.
Deducciones IN T.
INT.
F1ujo de efectivo deSPués de. impuestos (pesos constantes)
PERD. -1,000
o
$ 22,000
- 2,300
--,2,300
-2,300
2
- 2,300
-2,070
-2,070
-
3
- 2,300
�1,840
-1,840
-
4
- 2,300
-1,610
-1,610
5
- 2,300
-1,380
-1,380
1
Aho"o en impuestos
F1ujo de efectivo después de impuestos (pesos corrientes)
500
$ 22,500
$ 22,500
1,035
- 3,335
- 2,756 - 2,419
1,150
-
- 3,450
- 3,136
920
- 3,220
805
- 3,105
- 2,121
690
- 2,990
- 1,857
6
- 3,000
-1,500
-1,500
-
700
1,100
- 3,400
- 1,834
7
- 3,000
-1,200
-1,200
-
700
950
- 3,250
- 1,526
8
- 3,000
-
900
-
900
-
700
800
- 3,100
- 1,266
9
- 3,000
-
600
-
600
-
700
650
- 2,950
- 1,047
10
- 3,000
-
300
-
300
-
700
500
- 2,800
-
COSTO REAL
=
864
-3.8%
Oédito hipotecario con deslizamiento e inflación
En el inciso anterior � analizó el caso de devaluación repentina. Sin embargo, sería interesante estudiar la mecánica a seguir cuando la devaluación de nuestra moneda es a través de un deslizamiento diario d. Para este caso particular, el diagrama de flujo efectivo de la sección anterior y la ecuación (10.13) siguen siendo válidas, con la salvedad de que
TC¡ estaría expresada de la siguiente manera: TC¡ TC0 =
+ j (365 d) . .
Para ilustrar el caso de devaluación a través de deslizamiento, asuma que cierta em presa ha solicitado un préstamo a una institución bancaria de Estados Unidos. La mag nitud del préstamo es de un millón de dólares, el plazo para pagarlo es de 1O años, y la tasa de inte'rés es de 10% anual sobre saldos. También considere que la obtención de este préstamo originó gastos del orden de un millón de pesos y que la tasa de impuestos es de 50%. Finalmente asuma que la paridad en este momento es de $23, el deslizamiento
diario será de $.02 centavos y la inflación en los próximos 1O años será de 1O% anual. Para la información anterior, la tabla 10.6.1 muestra los flujos de efectivo después de impuestos (a pesos constantes) que origina la captación de este pasivo en moneda ex tranjera. Para tales flujos, la tasa de interés que satisface la ecuación (1 0.13) es de 9.1%.
186 Costo de capital TABLA 10.6.1. Flujos de efectivo después de impuestos para un préstamo en moneda extranjera con deslizamiento diario (miles de pesos)
Flujo de efectivo antes de impuestos
Año Paridad
CAP.
ji
Deducciones
INT.
INT.
PERD.
o
$23.0
$22,000
1
30.3
-3,030
-3,030
-3,030
-
2
37.6
-3,760
-3,384
3
44.9
-4,490
-3,592
4
52.2
-5,220
-3,675
5
59.5
-5,950
-3,570
$ 22,500
$-1,000
$ 500
$22,500
730
1,880
-4,180
-3,384 '
-1,460
2,422
-4,722
-3,902
-3,592
-2,190
2,891
-5,191
-3,900
-3,675
-2,920
3,298
-5,597
-3,822
-3,570
-3,650
3,610
-5,910
-3,670
�
-3,800
6
66.8
-6,680
--3,340
-3,340
-4,380
3,860
-6,160
-3,477
7
74.1
-7,410
-2,964
-2,964
-5,110
4,037
-6,337
-3,252
8
81.4
-8,140
-2,442
-2,442
-5,840
4,141
-6,441
-3,005
9
88.7
-8,870
-1,774
-1,774
-6,570
4,172
-6,472
-2,745
10
96.0
-9,600
-
-7,300
4,130
' -6,430
-2,479
-
960
,¡
960
COSTO REAL= 9.1%
11: ;11 ,.
Flujo de Flujo de efectivo efectivo después de después de ·impuestos impuestos (pesos Aho"o en (pesos impuestos corrientes) constantes)
Crédito hipotecario con tasas flotantes, inflación y cambios de paridad Para fmalizar la sección de créditos hipotecarios, a continuación se muestra el dia
,¡
1" ''·
grama de flujo de efectivo que resulta: cuando el financiamiento es en moneda extranjera, las tasas de interés son flotantes y los pagos se hacen en un ambiente económico inflacio nario:
P(TC0)-GT
1
T
..
"
P(TCn)(l/n)in + P(TCn)/n
P(TC¡)Cl-(j -1)/n)i¡ +P(TC¡)fn '
P(TC2)(1 -1/n)i2 +P(TC2)/n t
P (TC1)i1 +P(TC1)/n
�
¡= 1
(1 +i-·) 11
j 1r (1 +H ¡= 1 11
n 1r (1 + it¡}
j=l
\ \
(1 +i. )
11
y el costo después de impuestos de este tipo de fmanciarniento (captado en las condiciones
antes mencionadas) sería hi tasa de interés (K
hfip
) que satisface la ecuación:
Pasivo a largo plazo 187
.
{P(TC0) -GT(l-t)}
-(
j rr Cl +H P {P(T9(1-(j-1)/n)(1-t)ij+ (TC¡-(TC¡-TC ) t)/n}lj=1 0
n �
(1
i=l
+
. 11)
.
. =O
Khfp¡'/
(10.14)
Para aclarar la evaluación del costo de un crédito hipotecario en el caso general, es decir, suponiendo tasas flotantes, inflación y cambios en la paridad; suponga que una em
presa ha solicitado un préstamo a una institución bancaria �e los Estados Unidos por la
cantidad de i!n millón de dólares, el cual va a originar gastos del orden de un millón de pesos. Suponga además que la paridad pronosticada para los próximos
pesos por dólar en los primeros
5
años y
$30
pesos por dólar en los
5
10
años es de
$23
restantes. Asimismo,
considere que la tasa de interés que se cobrará en los próximos
3 años es de 20% y 30% 50% y la in 5 años y 15% en los últimos.
en los años restantes. Finalmente, considere que la tasa de impuestos es de flación en los próximos
10
años será de
Para esta informació9, la tabla
10% en los primeros 10.7 muestra los flujos
de efectivo después de im puestos (a pesos constantes) que se obtienen en este pasivo captado en moneda extran
jera, con cambios de paridad, tasas flotantes e inflación. La aplicación de la ecuación
(10.14) a estos flujos arroja un valor de 1.9%.
un
TABLA 10-7. Flujos de efectivo después de impuestos para préstamo en moneda extranjera con cambios de paridad, tasas flotantes e inflación (miles de pesos). ·
Flujo de efectivo antes de impuestos
Año
IN T.
CAP. o
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
$ 22,000 ·
-
-
2,300 2,300 2,300 2,300 2,300 3,000 3,000 3,000 3,000 3,000
-4,600 -4,140 -3,680 -3,220 -2,760 -4,500 -3,600 -2,700 -1,800 - 900
•
Deducciones INT.
Ahorro en impuestos
Flujo de efectivo después de impuestos (pesos corrientes)
Flujo de efectivo después de impuestos (pesos constantes)
PERD.
-4,600 -4,140 -3,680 ..:.3,220 -2,760 -4,500 -3,600 -2,700 -1,800 - 900
-1,000
500 2,300 2,070 1,840 1,610 1,380 2,600 2,150 1,700 1,250 800
--
-
700 700 700 700 700
COSTO REAL
=
$ 22,500
-
4,600 4,370 4,140 3,910 3,680 4,900 4,450 4,000 �,550 3,100
$ 22,500
-
-
4,282 3,612 3,110 2,671 2,285 2,646 2,089 1,633 1,260 957
1.9%
Arrendamiento financiero Otra forma que la empresa utiliza para fmanciarse a largo plazo, es lo que se conoce
como arrendamiento fmanciaro. Mediante esta forma de fmanciamiento, la empresa ad-
;
188 Costo de capital
quiere los servicios de un activo a cambio de una renta, la cual es pagada al arrendado� durante un período previamente establecido en el contrato. ;:\.1 término de éste, la empresa tiene la opción de: 1) Prorrogar el contrato por un plazo cierto, con pagos inferiores a los del contrato inicial,
3)
2)
Adquirir el equipo por una cantidad inferior al valor del mercado,
Enajenar el equipo a un tercero y
4) Alguna otra opción, con autorización de la Secre
taría de Hacienda y Crédito Público. Por consiguiente, el flujo de efectivo que para la· empresa resulta de arrendar un activo, es como sigue: p
��
1
2
3
n-1
R
R
R
R
n
R + VR
donde:
J
11: :1�
r
.
.�
P = Costo inicial del activo.
R*
VR
=
Renta anual.
=
Valor de rescate del activo al final del período
n.
Esta cantidad es percibida
por el arrendador puesto que es el dueño del activo. n
=
Plazo del contrato en años .
y el costo antes de impuestos de esta alternativa de fmanciamiento es la tasa de interés
(Ka 1) que satisface , la ecuación: P-
(�
R
(1 +Ka /
+
VR
(1 +Kaf)
n
)
=
O
(10.15)
Por otra parte, si se quisiera evaluar el costo después de impuestos de esta fuente, el flujo de efectivo que resulta para la empresa es como sigue: p 2
R + Dt
R + Dt
3
n-1
R + Dt
R + Dt
n
R + Dt + VR.
*Las rentas pactadas en los contratos de arrendamiento generalmente son mensuales. Sin embargo,
para propósitos de ilustrar la evaluación d.el costo de esta fuente, se supone anual.
Pasivo a largo plazo 189
Como se puede observar en este diagrama, a diferencia del anterior, el arrendador recibe además de la renta
(R),
el beneficio fiscal de la depreciación (Dt) puesto que es el dueño
del activo. A pesar que el ahorro en impuestos atribuible a la depreciación.(Dt) no es un gasto desembolsable sino un costo de oportunidad para el arrendatario, es necesario tomarlo en cuenta en la evaluación del costo real de esta fuente de financiamiento. Lo anterior significa que el arrendatario, además de la renta
(R)
que paga al arrendador, le propor
ciona a éste un beneficio indirecto equivalente a Dt. Además del diagrama de flujo anterior, la evaluación del costo después de impuestos de un arrendamiento fmanciero, implica conocer la forma en que la renta deberá ser amortizada. Para este propósito, el artículo
21
de la ley del impuesto sobre la renta espe
cifica que del total de pagos convenido en el término forzoso inicial del contrato, el
70%
se considerará como costo de adquisición de los bienes, por lo que la cantidad que resulte de aplicar dicho porcentaje sería amortizada en el mismo período que dicha ley permite depreciar al activo. El
30%
restante, se amortizará en anualidades iguales durante el plazo
inicial del contrato. Por otra parte, si el plazo del contrato es menor al período de depre ciación del activo, y si el arrendatario ejerciera la compra, o bien se prorrogará el contrato por un plazo cierto, el monto total de las mismas se considera complemento del costo del bien y se depreciará en el tiempo que falte para que el bien se termine de depreciar con forme a las tasas que indica la ley. Finalmente, si el plazo del contrato es igual al período de depreciación del activo, y el arrendatario ejerce la opción de compra, el monto total es completamente deducible en el período fiscal en que se originó la compra. Tomando en cuenta lo expresado en párrafos anteriores, el costo después de im
(
)
puestos cuando el plazo del contrato es igual al período de depreciación del activo, vendría dado por la siguiente expresión:
{P+ACO -t)}-
donde:
AC t D
=
=
=
.
n
Dt +
R(I
¡; j= 1 (1 +Ka
- t)
.
l
+
VR(l- t) (1 +Ka¡)n
=
O
(10.16)
Gastos de apertura de crédito. Tasa de impuestos. Depreciación anual de! activo.
(10.16); considere que se desea arrendar $1,000,000 y el cual de acuerdo al artículo 21 de la Ley del Impuesto sobre la Renta se debe depreciar en un período de 5 años. También suponga que el plazo del contrato es de 5 años y la renta anual de $400,000. Si en el contrato se estipula comprar el activo al término de éste a un costo de $70,000, los gastos de apertura de crédito son de $10,000 y la tasa de impuestos es de 50%, ¿cuál es el Para ilustrar una aplicación de la ecuación
un activo que tiene un precio de mercado de
costo de arrendar el activo? Para esta información, la tabla
10.8
muestra los flujos de efectivo después de im
puestos que se obtienen en el arrendamiento. Para tales flujos, la aplicación de la ecua ción
(10.16) resulta en un valor de 15.7%. Por otra parte, el costo después de impuestos de un arrendamiento fmanciero cuando
una tasa de inflación
(i¡)
es introducida, y el plazo del contrato es igual al período de de
preciación del activo, vendría dado por la siguiente expresión:
190 Costo de capital
{P+AC(l -t)}-
(; = j
{Dt+R(l-t
�
)} (l+i.)i
-f
VR(l - t)/(1 + i.)n ,n
(1 +Kaf 1
(1 +Ka )1
f
1
)=
o (1 0.17)
Por ejemplo, si en el caso presentado en la tabla 10-8 una tasa de inflación de 10% anual . es considerada, la aplicación de la ecuación (10.17) produce un resultado de 5.2% (ver ·
tabla 10.9).
TABLA 10.8. Flujos de efectivo después de impuestos sin considerar inflación ·
(miles de pesos).
Flujo de efectivo antes de impuestos
Año
o
$ 1,01o 400 400 400 - 400 470
2 3 4' 5
-
Beneficio de la depreciación (arrendador)
Deducible
-lOO
- 10 -400
-100 -100 -100 -100
··-
5 200 200 200 200 235
IÍ ·�')
-400 -400 -470
COSTO REAL
=
Ahorro en impuestos
Flujo de efectivo después de impuestos
$ 1,005 - 300 300 - 300 - 300 - 335
�
15.7%
TABLA 10.9. Flujos de efectivo después de impuestos considerando una inflación
del 10% anual (miles de pesos).
Año
o 1 2 3 4 S
Flujo de efectivo antes de impuestos
-
$ 1,010 400 - 400 - 400 400 470
Beneficio de la depreciación (arrendador)
-100 -100 -100 -100 -100
Deducible
- 1Ó -400 -400 -400 -400 -470 COSTO REAL
Ahorro en impuestos
=
5 200 200 200 200 235
Flujo de Flujo de efectivo efectivo después de después de impuestos impuestos (pesos (pesos corrientes) constantes)
$
---
1,005 300 300 300 300 335
--
$ 1,005 273 248 - 225 - 205 208
5.2%
En el ejemplo anterior, se determina el costo de arrendamiento cuando el plazo del contrato es igual al período de depreciación del activo. Sin embargo, sería interesante ana lizar el caso de un arrendamiento cuando el plazo del contrato es menor a la vida fiscal del
activo. Para este caso, puesto que al concluir el contrato, no existe ningún desembolso del
Pasivo a largo pklz o 191
arrendatario, ni beneficio fiscal de la depreciación por parte del arrendador, y puesto que parte de la renta y el desembolso que hace el arrendatario si ejerce la opción de compra, se amortizan en el tiempo que falta para que el bien se termine de depreciar conforme a las tasas que indica la ley, entonces, el flujo de efectivo después de impuestos en Jos úl timos períodos será positivo. Lo anterior significa que el flujo de efectivo después de impuestos que resulta en este tipo de arrendamiento, es no-simple, y por consiguiente existe el fenómeno de "múltiples costos de arrendamiento". Para resolver este proble ma, es necesario aplicar el algoritmo de 1 ames C. T. Mao presentado en el capítulo 5. Sin embargo, para aplicar este algoritmo al caso de arrendamiento con múltiples costos, es necesario hacer las siguientes modificaciones:
- 1 el flujo
•
Multiplicar por
•
Calcular los saldos no recuperados en la forma siguiente:
•
de efectivo después de impuestos.
Fr(Kaf' TREMA)=Ft_1 (1 +Ka¡) +St
si Ft_1
F t(Kaf• TREMA)=Ft_1 (1 +TREMA) +St
si Ft_1 >O
Determinar el valor de Kaf que satisface:
Fn(Kaf• TREMA)= O
Si Ka¡ < TREMA, entonces, el arrendamiento es atractivo, puesto que su costo es menor que la .tasa de recuperación mínima atractiva que ofrece el proyecto que va a ser fi nanciado a través de esta fuente. Para ilustrar un ejemplo de este tipo: suponga que se desea arrendar un activo que _tiene un precio de mercado de $1,500,000 y cuya tasa de depreciación anual es de 20%. También, suponga que el plazo del contrato es de 3 años, durante los cuales el arrendatario pagará una renta anual de $800,000. Si en el contrato se establece adquirir el activo al final de su duración a un costo de $500,000, Jos gastos de apertura de crédito son de $15,000, la tasa de impuestos es de 50% y la TREMA es de 30%, ¿cuál es el costo de arrendar el activo? Para esta información y aplicando el método de Mao con las modificaciones señala das anteriormente, se obtiene un valor para el costo del arrenda miento de 1 7.7 5% (ver tabla 10-10). Puesto que el costo del arrendamiento es menor que TREMA, entonces, conviene aceptar esta fuente de fmanciarniento. Por otra parte, si en este mismo problema una tasa de inflación de 10% anual es introducida, la aplicación del algoritmo de Mao arro ja un valor de 8.1% (ver tabla 10-11), y puesto que este costo disminuye, entonces, esta fuente de fmanc:;iamiento se hace más atractiva.
192 Costo de capital
TABLA 10-10. Flujos de efectivo después de impuestos sin considerar inflación(mi
les de pesos).
Año
Flujo de efectivo antes de impuestos
Benefic io de la depr. (arrendador)
Deducible 70%
30%
Compra
Flujo de efectivo Ahorro en despuésde impuestos impuestos '- 7.5
$1,507.5
o
$1 ,515
1
-800
-150
-336
- 240
288.0
-662.0
2
- 800
- 150
- 336
- 240
288.0
- 662.0
3
-1,300
- 150
-336
-240
288.0
-1,1 62.0
4
- 336
- 250
293.0
293:0
5
- 336
- 250
293.0
293.0
COSTO REAL= 17.75% TABLA10-11. Flujos de efectivo después de impuestos considerando inflación
(miles de pesos).
Año o
Flujo de Beneficio efectivo de la depr. antes de impuestos (arrendador)
De d u c ible 30% Compra
70%
$1,515
Ahorro en impuestos
Flujo de efectivo después de impuestos (pesos comentes)
FLujo de efectivo después de impuestos (pesos c onstantes) $1,507.5
·
-7.5
$1,507.5
1
- 800
-150
- 336-240
288.0
-662.0
-601.8
2
- 800
- 150
288.0
- 662.0
- 547.1
3
- 1,300
-150
-336-240 - 336 -240
- 873.0
288.0
-1,162.0
4
- 336
-250
293.0
293.0
200.1
5
- 336
- 250
293.0
293.0
181.9
COSTO REAL= 8.1%
COSTO DE CAPITAL DE FUENTES INTERNAS
10.5 ACCIONES PREFERENTES Se conoce como acciones preferentes aquellas que representan una parte del capital social de una compañía pero que, a diferencia de las acciones comunes, tiene su rendi miento o dividendo garantizado y a cambio de este privilegio tienen limitaciones en la participación de la administración de la empresa. La garantía del rendimiento o dividendo a este tipo de acción, permanece aun cuando en algún ejercicio la empresa no haya tenido utilidades, ya que en cuanto ésta vuelva a generarlas se aplicarán preferentemente al pago de los dividendos de las acciones preferentes. Esta forma de fmanciamiento es utilizada en los casos en que no se desee o no se puedan aumentar los p asivos de la empresa (capacidad de crédito limitada) y los actuales accionistas no quieran perder o compartir su control sobre la misma. Como hemos mencionado, estas acciones tienen un dividendo garantizado y fijo por lo cual el flujo de efectivo que se origina en la empresa después de una emisión de acciones de este tipo, es como sigue:
Accionespreferentes 193
4
P =lB
-
GT
D
2
3
D
D
donde:
P = = GT = D = lB
Cantidad neta recibida. Ingresos brutos recibidos de la emisión. Gastos de colocación, emisión, descuentos, etc. Dividendo percibido por el poseedor de la acción.
Por consiguiente, el costo de esta alternativa de financiamiento es la tasa de interés que satisface la ecuación:
(Kap )
00
p
D
¿;
j j= 1 (1 +Kap )
(10.20)
o
= D/P. y resolviendo la ecuación anterior encontramos que K ap Es muy importante señalar que en la ecuación (10.20) se está considerando que siempre se reparten los dividendos. Sin embargo, si en un período no se reparten dividen dos y éstos
se
acumulan para futuros ejercicios, entonces, el costo de esta fuente dismi
nuye y su valor se obtendría de acuerdo a la siguiente expresión:
00
P -
D
¿;
j=1 donde
Dj
j (1 +Kap /
es el dividendo que se reparte en el período
(10.21)
o
j el
cual puede ser cero o un múl
tiplo de D. También, como los dividendos tanto de las acciones preferentes como de las comu nes no son deducibles, pero sí lo son los gastos que origina la emisión, entonces, el costo después de impuestos de esta fuente se obtiene con la expresión:
00
lB - GT(l- t)
¿;
j=1
D ' (1 +K ap )j
y resolviendo la ecuación anterior encontramos que:
K'ap
=
D¡'(IB- GT(1- t))
o
(10.22)
194 Costo de capital
Finalmente, vale la pena mencionar cómo la emisión de acciones preferentes en ambientes económicos inflacionarios, afecta considerablemente el co�to de las mismas. Para tal propósito, considere que
i¡
·
es la tasa promedio de inflación por período. Por
consiguiente, el costo después de impuestos de esta alternativa de fmanciamiento sería la tasa de interés
K�P que satisface la ecuación: lB- GT (1
_
t)
D/(1 + i¡)i
00
�
_
.
J
=
(10.23)
o
i 1 (1 +K'ap )
y resolviendo la ecuación anterior encontramos que:
K'ap
D /(1 +i¡)
i¡
(IB- GT(l- t))
(1 + i.) l
Para ilustrar cómo el costo después de impuestos de esta alternativa de financiamiento es evaluado en épocas inflacionarias, suponga que una empresa emitió acciones preferentes por valor de
$1,000,000 y los
gastos de emisión incurridos fueron de
también que: el dividendo anual garantizado es un
15% del
$100,000. Considere
valor nominal de la acción y
que el dividendo siempre será repartido, es decir, considere que la empresa va a generar siempre utilidades. Por otra parte, la empresa considera que la inflación promedio anual en los próximos años es del orden del puestos a una tasa del
10%.
Por último suponga que la empresa paga im
50%. (10.23) arroja un valor de:
Para la información anterior, la aplicación de la ecuación
K'ap
150,000/(1.1) 950,0 0 0
_.1 1.1
,-2� :b."':l,Ji) 10.6. ACCIONES COMUNES
60 000
=
5.26%
d ,.. \
::::-
\· 3 � f:,f:, s,.w ó
L q qt<'<. <'t 'i$'
•
q
El capital común está formado por las aportaciones de capital y/o de especie de los accionistas. Estas aportaciones por parte de los accionistas son ·generalmente motivadas por cualquiera de las siguientes·razones:
•
Percepción de dividendos.
•
Especulación, es decir, las acciones son compradas con la intención de venderlas
•
Obtención de fuente de trabajo, esto es, con la adquisición de acciones comunes
posteriormente y obtener una fuerte utilidad en la venta. se puede aspirar a un puesto (consejero, asesor, etc.) con el cual se obtendría un' sobre-sueldo y parte de los gastos personales del accionista serían absorbidos por el negocio. También, los accionistas esperan en estas inversiones, además de un rendimiento libre de riesgo, una prima por el riesgo del negocio. Es precisamente esta incertidumbre con respecto al futuro del negocio lo que dificulta el cómputo del costo del capital común,
A�úones comunes 195
el cual algunos autores lo han definido como "El rendimiento requerido por los accionistas comunes", o bien como "El rendimiento mínimo que la compañía debe garantizar a fm de que el valor de mercado de las acciones permanezca inalterable. Como se puede advertir, el costo de las acciones comunes es uno de los más difíciles de evaluar. Tal dificultad se debe precisamente al hecho de no poder pronosticar con exactitud los dividendos que en el futuro la empresa pagaría a sus accionistas. No obstante estas dificultades, se han desarrollado algunos métodos para evaluar el costo de esta alter nativa de fmanciámiento. Entre estos métodos podemos mencionar aquél que considera que los dividendos futuros son conocidos y crecen a una razón constante "g". Con esta
suposición, el flujo de efectivo para la empresa que resulta de una emisión de acciones
comunes, és como sigue:
P =lB
-
GT
.!!>
1
2
3
j
D D(l
+
g)
D(l
+
2 g)
D(l
+
g)i-1
donde
D = g =
Dividendo neto del primer período. Razón de crecimiento del dividendo por período.
y el costo antes . de impuestos de esta fuente, es la tasa de interés
ecuación: 00
p
-
¿
j= 1
D(l (1
i· l
+g)
i a e)
+K
(Kac )
que satisface la
(10.24)
o
y resolviendo la ecuación anterior encontramos que:
Ka e
Q p
+
g
Por otra parte, como los gastos totales que origina la emisión son deducibles, el costo después de impuestos de esta fuente, es la tasa de interés .
ecuación:
•
(K'ac )
que satisface la
196 Costo de capital
D(l +g)i-1
00
lB-
GT(1- t)
�
-
j
=
1
(1 +K'
ae
(10.25)
o
)i
y resolviendo la ecuación anterior encontrarnos que:.
K'
a
c
D/(lB-
=
GT(1- t))
+
g
Finalmente, como esta fuente de fmanciarniento es de largo plazo, el costo después de impuestos considerando una tasa de inflación promedio por período de dría al resolver la ecuación: 00
lB-
GT(1- t)
D(I
�
+ g)i-1 /(1 +
¡_)i
(1 + K'a e )i
j=1
o
i¡,
se· obten
(10.26)
y la tasa de interés que satisface la ecuación anterior es:
g
D/(1 + i¡)
K'
ae
(lB-
+
GT(1- t) )
-
i¡
(1 + i.) l
Para aclarar la aplicación de esta última ecuación, suponga que una empresa ha emitido acciones comunes por valor de de
$50,000.
$1,000,000.
Tal emisión originó gastos totales del orden
$200,000 en dividendos, los cua 5%. Además, la empresa ha pronosticado que la años será de 15% anual. Por último, la tasa de im
La empresa espera repartir en el primer año
les se espera que crezcan a una razón del inflación promedio en los próximos puestos de esta empresa es de
SO%.
Para la información anterior, la aplicación de la ecuación ParaK'
ae
(10.28)
arroja un valor
de:
K'
200,000/(1.15)
ae
(975,000)
+
(.05- .15)
9.14%
(1.15)
Por último, antes de terminar el inciso conviene mencionar que, además del método ex plicado, se han desarrollado otros métodos para medir el costo del capital común tales como: Simulación del rendimiento obtenido por el accionista y razón de utilidad a capital contable. Sin embargo, estos métodos al igual que el anteriormente explicado, implican pronosticar una serie de eventos futuros (precios por acción, utilidades, etc.) cuyo grado de seguridad es muy relativo.
10.7 UTILIDADES RETENIDAS
Las utilidades retenidas son recursos generados internamente por la empresa. Este hecho ha originado que muchas empresas consideren su costo erróneamente como cero.
.
Costo ponderado del capital 197
Sin embargo
al evaluar el costo de estos recursos debemos considerar los posibles usos
que éstos pueden tener como son: ser reinvertidos en la empresa, o ser repartidos a los ac cionistas. Para el primer caso, se espera que el rendimiento obtenido sea e! mismo que el del capital común, ya que para el accionista representan una inversión similar. Para el segundo caso, el costo de las utilidades retenidas puede ser considerado como un costo de oportunidad el cual está representado por el rendimiento que podría lograr el accionista al haber invertido el dividendo no recibido en otra alternativa de inver-· sión. Si este fuere el caso, el costo de las utilidades retenidas se podría encontrar con la expresión: K
R(l-t) (1-c)
ur
(10.27)
donde:
R t
=
e
=
=
Rendimiento bruto obtenido. Tasa marginal de impuestos del accionista. Comisiones (expresadas en porcentaje).
La idea anterior se basa en el supuesto de que si la compañía no puede generar oportuni dades de inversión atractivas para sus accionistas, éstos podrían encontrar otros proyectos para invertir con el mismo grado de riesgo y con un rendimiento mayor. Por las dificultades obvias que esta segunda alternativa de cálculo implica, la prác tica común es considerar el costo de las utilidades retenidas, igual al del capital común.
10.8 COSTO PONDERADO DEL CAPITAL
Una vez que hemos determinado el costo individual de cada una de las diferentes fuentes de financiamiento (externas e internas) que forman el capital de la empresa, po demos proceder a calcular el costo ponderado del capital. Ese cálculo se puede hacer sobre bases históricas, sin embargo, el pasivo y el capital contable actual de la empresa ya se encuentran invertidos, por lo cual evaluar su costo sería irrelevante. Lo que vale la pena es determinar el costo ponderado de las diferentes fuentes que se van a captar en el fu turo y compararlo con el rendimiento esperado de los proyectos de inversión que se tienen en cartera. Si dichos proyectos de inversión generan un rendimiento mayor al costo pro medio ponderado del capital, el precio de mercado de la acción aumentará. ·Conociendo las fuentes de fmanciarniento que se van a captar, sus costos después de impuestos y el porcentaje que cada una representa del total obtenido, entonces, el costo ponderado de capital vendría dado por la expresión: n K
K¡X¡
:¿ i=
1
donde: K K¡
= Costo promedio ponderado del capital. = Costo después de impuestos de la fuente i.
(10.28)
198 Costo de capital X¡
=
n
=
Porcentaje que la fuente i representa del totai de fondos próximos a recabarse. Número de alternativas de financiamiento próximas a obtenerse.
Para finalizar este capítulo se explica cómo el costo ponderado del capital es evaluado. Pa ra esto, suponga que una empresa piensa obtener fondos a través de un préstamo banca rio, una emisión de obligaciones y otra de acciones comunes. Además, para que la empresa
1: 1 se ha pensado en solicitar un préstamo bancario. $25,000, emitir obligaciones por $25,000 y finalmente emitir acciones comunes por valor de $50,000. El costo después de impuestos de estas fuentes de financiamiento son de: 10%, 11% y 15% respectivamente. Para la información anterior, la aplicación de la ecuación (10.28) produce un valor para el costo p_onderado del capital de 12.75% (ver tabla 10.12). Lo anterior significa que mantenga una estructura financiera por
todos los proyectos que se van a emprender utilizando parte del capital obtenido a través de estas fuentes, d�berán tener un rendimiento mayor al costo ponderado de las mismás.
TABLA 10-12. Costo ponderado del capital
Cantidad
Proporción
Costo
obtenida
con respecto
después de
Costo
al total
impuestos
ponderado
por fuente
Préstamo bancario
25%
.10
2.50
Obligaciones
25,000
25
.11
2.75
Acciones comunes
50.000
50
.15
7.50
$ 25,000
$100,000
12.75%
10.9 CONCLUSIONES A lo.largo de este capítulo se ha explicado la forma de evaluar el costo de las dife rentes fuentes de financiamiento (externas e internas) que la empresa utiliza para financiar sus proyectos de inversión. Sin embargo, el punto más importante de este capítulo es com prender que un proyecto de inversión debe ser aceptado si su tasa interna de rendimiento supera el costo ponderado del capital utilizado para emprenderlo. Otra cuestión muy importante a enfatizar, es el hecho de que el conocimiento del costo de las diferentes al ternativas de fmanciamiento a las cuales una empresa tiene acceso, permite tomar mejores decisiones en cuanto a estructuras financieras, puesto que es obvio que el problema de seleccionar la fuente de fmanciamiento más adecuada debe ser resuelto independiente mente de la utilización que se les den a los fondos obtenidos. Comprender con exactitud el costo que cada fuente de fmanciamiento implica, per mite también en algunas ocasiones substituir una fuente por otra, por ejemplo, si nos percatamos que el costo de no aprovechar un descuento es demasiado alto, entonces, vale la pena preguntarnos cuál sería el costo de un préstamo que cubriese el saldo promedio que normalmente se tienen con los proveedores. Si el costo del préstamo es menor, sigru fica que en lo sucesivo se deberían pedir préstamos y aprovechar siempre los descuentos por pronto pago.
Problemas 199
·También, de este capítulo se puede concluir que la mejor forma de fmanciarse siem pre será con pasivo, puesto que los intereses son deducibles. Además, si los pasivos se captan a tasas fijas y en ambientes inflacionarios, entonces el costo de esta fuente se reduce considerablemente. Por otra parte, es bien sabido que los dividendos no son deducibles, además, generalmente éstos crecen de acuerdo a las tasas de inflación prevalecientes. Lo an\erior origina que el costo de las fuentes internas de la empresa sea generalmente supe rior al costo de las fuentes externas. Sin embargo, a pesar de saber que el pasivo es más barato que el capital contable, una empresa no puede aumentar en forma desmedida su nivel de pasivo, ya que éste debe ser regulado de acuerdo a su liquidez y capacidad de endeudamiento. Finalmente, es importante resaltar el hecho de que si bien la inflación castiga enor memente "los méritos económicos y fmancieros de un proyecto de inversión, también disminuye considerablemente el costo real de las fuentes de fmanciamiento de largo plazo, es decir, si un proyecto es fmanciado con un crédito hipotecario en una época en la cual la tasa de inflación promedio anual es mayor que el costo anual fijo pactado para este préstamo, entonces, el costo real de esta alternativa de fmanciamiento es negativa. Bajo este supuesto el proyecto deberá ser aceptado si su tasa interna de rendimiento es positiva.
PROBLEMAS 10.1.
Los términos de venta de un proveedor para un producto con valor de $1,000 son: 1) 2% de descuento por pronto pago si la factura es liquidada dentro de los 1 O días siguientes a la fecha de compra, ó 2) el neto si se paga a treinta días. ¿Cuál es el interés efectivo anual de no aprovechar el descuento?
10.2.
Una persona ha solicitado un préstamo bancario directo a seis meses por la can tidad de $100,000. La institución bancaria exige un interés de 1% mensual simple pagado anticipadamente, y los gastos bancarios incurridos en la captación de este préstamo son de $10,000. ¿Cuál es el interés efectivo anual que pagaría esta per sona si acepta el préstamo?
10.3.
Una empresa ha solicitado un préstamo bancario directo a seis meses por la canti dad de un inillón de pesos. La institución bancaria exige: una reciprocidad del 10%, intereses al 1.5% mensual simple pagados anticipadamente y gastos bancarios por $50,000. ¿Cuál-es el interés efectivo anual que pagaría esta empresa si acepta el préstamo?
10.4.
La compañía W ha emitido $20,000,000 en obligaciones al 22% anual con venci miento a cinco años. Los gastos de emisión se estiman en $1,000,000. Si la tasa de impuestos es de 50%, y la inflación en los próximos años es 20%, ¿cuál es el costo de esta fuente de fmanciarniento sin considerar y tomando en cuenta la inflación?
10.5.
La compañía X ha obtenido un préstamo de $50 millones a 5 años de una institu ción bancaria del país, la cual le cobrará el 20% sobre saldos insolutos. También, considere que la obtención de tal préstamo le ocasionó a la empresa gastos del or den de $2,000,000. Si la tasa de impuestos es de 50%, y la inflación promedio anual en los próximos años es de 18%, ¿cuál es el costo de este pasivo a largo plazo sin considerar y tomando en cuenta la inflación?
1 O .6.
Una empresa ha solicitado un préstamo de $40 millones a una institución bancaria del país a un plazo de 10 años. Además, la gerencia de planeación estratégica de esta empresa estima que la inflación en los próximos 3 años será de 15%, en los
200 Costo de capital ·
3 años subsigUientes será .de 18%, y en los últimos 4 años se estima que será de . 22%. Por otra parte, la gerencia de planeacion considera que la institución ban caria pensando en las
.____
s de inflación que van a prevalecer en el futuro, cobrará
..... ---
intereses de 20% en los tres primeros años, de 25% en los siguientes 3 años y -
-
8%
en los últimos cuatro años� Sí ra captación de este pasivo le originó a la empresa gastos del orden de $1,500,000, y la tasa de impuestos es de 50%, ¿cuál sería el. costo real de esta fuente de fmanciamiento? 10.7.
Una empresa ha solicitado un préstamo a una institución bancaria de los Estados Unidos. La magnitud del préstamo es de $5 millones de dólares, el plazo para pa garlo es 10 años, y la tasa de interés es de 12% sobre sal�os. Además, esta empresa estima que la paridad en el año t puede ser obtenida de acuerdo a la siguiente ex presión:.
t
(1 +INM.) J
1T p t
=
p o
J
=
1
y P0
t
=
23 pesos
(1 +INUSA¡ )
1T
j
=
1
donde: INM¡ INUSA¡
=
tasa de inflación en México para el año j.
=
tasa de inflación en Estados Unidos para el año j.
Si las tasas de inflación en México y Estados Unidos para los próximos 1O años son:
Año México U.S.A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
18
20
22
25
28
30
35
40
50
8
10
12
f4
16
18
20
22
24
25
Los gastos que origina la obtención del préstamo son de dos millones de pesos y la tasa de impuestos es de 50% , ¿cuál es el costo real de este pasivo de largo plazo en moneda extranjera?
(
u\ 10.8.
esolver el problema anterior suponiendo que las tasas de interés que cobra la stitución bancaria en los próximos 1o años son:
Año Tasa de interés
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
-----
Problemas 201
10.9.
La compañía X desea establecer un contrato de arrendamiento de un activo que
tiene un precio de mercado de $500,000 y una vida fiscal de 5 años. El plazo del co!ltrato es de 5 años y la renta anual es de $220,000. Además, en el contrato se estipula que la compañía X comprará el activo al fmal del año 5 a un precio de $30,000. Si los gastos de apertura de crédito son de $5,000, la tasa de impuestos es de 50%' y la inflación promedio anual de los próximos años es de 15%' ¿cuál es el costo de este arrendamiento sin considerar y tomando en cuenta la inflación? 10.10. La compañía Z desea establecer un contrato de arrendamiento de un activo que tiene un precio de mercado de $3,000,000 y una vida fiscal de 5 años. El plazo del contrato es de 3 años y la renta anual es de $1,400,000. Además, en el contrato se establece que la compañía Z a¡lquirirá el activo al término del plazo del con trató a un precio de $100,000. Si los gastos de apertura de crédito son de $30,000, la tasa de impuestos es de 50%, y la inflación promedio anual en los próximos años es de 20%, ¿cuál es el costo de este arrendamiento sin considerar y tomando en cuenta la inflación. (Asuma una TREMA del 25%) 10.11. Cierta empresa ha emitido acciones preferentes por valor de $15,000,000 y los gastos de emisión incurridos fueron de $750,000. Si el dividendo es un 20% del valor nominal de la acción (considere que siempre se reparte), la tasa de iinpuestos es de 50%, y la inflación promedio anual de los próximos años es de 15%, ¿cuál es el costo ql,le esta emisión representa para la empresa? 10.12. Cierta empresa ha emitido acciones comunes por valor de $10,000,000. Tal emi sión originó gastos totales del orden de $600,000. Esta empresa espera repartir en el primer año $1,800,000 en dividendos, los cuales se espera que crezcan a una ra
/8-oTo) Si la tasa de impuestos es de 50%, y la inflación promedio anual xJna{años es de { �o , ¿cuál es el costo que para la empresa representa esta emisión de acciones coW s?
zón anual d de los pró
10.13. La compañía "B" con el propósito de fmanciar la gran cantidad de propuestas de inversión que actualmente se están analizando, ha decidido incrementar el pasivo y el capital contable en una proporción de 1: l . Para este propósito la compañía "B" ha solicitado un préstamo por $5,000,000, ha emitido obligaciones por valor
de $5,000,000 y fmalmente ha emitido acciones comunes por valor de $10,000,000. Si los costos después de impuestos de estas fuentes de financiamiento son de 12%, 14% y. 20% respectivamente, ¿cuál es el rendimiento mínimo que los proyectos que se están analizando deben rendir p�ra que se justifique el empleo del capital para adoptarlos?
1;_ X. VrY\ d\ ·
,
Apéndice "A" al capítulo 10
Amortización creciente, un nuevo método de amortización
Análisis comparativo de los métodos de amortización 205 A.lO.l INTRODUCCION
En
la actualidad, la gran mayoría de las organizadones públicas y privadas atravie
san por graves problemas de liquidez. Este problema se debe principalmente a la crisis
económica que vive el país y que ha traído consigo una baja significativa en la demanda
agregada. Si a lo anterior se añade que esta crisis sorprendió a la mayoría de las organiza
ciones con altos endeudamientos en moneda nacional y extranjera, entonces se compre'n de por qué ahora las empresas enfrentan problemas fmancieros tan serios.
Conscientes de la problemática anterior, el Gobierno Federal a través del Banco de
México, ha instrumentado una serie de procedimientos tendientes a aliviar el problema
de liquidez de las empresas. El primer sistema que se creó fue FICORCA (Fideicomiso de
. cobertura de riesgos cambiarios), y ahora la mayoría de los créditos que otorga FONEI, pueden ser amortizados en forma creciente, al igual que fueron estructurados los créditos
en moneda extranjera mediante dicho fideicomiso. La clave de esto's nuevos sistemas de amortización creciente que otorga FONEI, está en adecuar de mejor manera las eroga
•
ciones del deudor a su capacidad de pago, evitando con ello que dichas erogaciones se re
carguen, en términos reales, en la primera etapa de vida del crédito, lo cual normalmente ocurre con los procedimientos tradicionales de amortización.
El presente apéndice, por consiguiente, tiene como objetivo principal hacer un aná
lisis comparativo de los procedimientos tradicionales de amortización, con el nuevo mé
todo de amortización creciente.
A.l0.2 ANALISIS COMPARATIVO DE LOS METODOS TRADICIONALES DE AMORTIZACION En el presente inciso se analizan en forma comparativa los métodos de amortización
que actualmente se usan con más frecuencia. En este punto en particular se hará énfasis en los flujos de efectivós que resultan con cada uno de los métodos, así como en el com
portamiento que se tendrá en Jos saldos del crédito al utilizar diferentes formas de amor
tización.
Para propósitos del análisis comparativo, se considera que se ha obtenido un cré
dito de $1 ,000 a una tasa del 60% anual y a un plazo de ocho años; y para entender la
derivación matemática del flujo de efectivo que resulta en cada tipo de amortización, a continuación se explica el significado de cada una de las variahles que serán utilizadas:
P Ax
= =
n
=
i
=
Sx Ix A.l0.2.1
= =
Valor del crédito. Valor de la amortización anual del año x.
Plazo del crédito.
\
Tasa de interés anual.
Saldo del crédito al fmal del añG x.
Incremento del saldo del crédito en el año x.
Flujo de
efectivo cuando la amortización es constante
Si el crédito que se menciona en el párrafo anterior se amortiza en cantidades igua
les cada año, el valor de la amortización vendría dado por la siguiente fórmula:
Ax
=
P
(
i
(1
+
i)n
(l+i)-1 n
¡
Para
x =
1 , 2, ..
.
. .n
'
206
Apéndice A al capítulo
1O
Por consiguiente, el saldo del crédito al final del año
x sería como se muestra a C<'ln
tinuación (ver tabla A.lO.l):
¡
ifSx �P (! +
¡
i (1 + i)n (1 + i)n -1
i (1 + i)n+l (1 + i)n -1
i)n +2 i (1 + i) n -1
(!+ •)"+(x-•l (1 + i)n -1
i(I
+
l
Es evidente que este saldo al final del año n, debe ser cero. Lo anterior se demuestra 1, al fmal de este apéndice.
en el apéndice
Si aplicamos las fórmulas presentadas en la tabla A.lO.l al ejemplo antes mencio
r:
_9-
nado se obtienen los resulta os que aparecen en la tabla A.l0.2.
' ¡
1 t
r
TABLA A.10.2. Flujo de efectivo cuando la amortización es constante.
1
Saldo del crédito al Saldo del
Saldo del
crédito al
¡
1
ll
...
crédito al
Amortización
principio
intereses
final
al final
deducir la
Año
del año
devengados
del año
del año
amortización
1 2 3 4 5 6
$l,QOO.OO 985.70 962.82 926.21 867.64 773.92 623.97 384·.05
$600.00 591.42 577.69 555.73 520.58 464.35 374.38 230.43
$1,600.00 1,577.12 1,540.51 1,481.94 1,388.22 1,238.27 998.35 614.30
7
8
'
final del año
'
después de
$614.30 614.30 614.30 614.30 614.30 614.30 614.30 . 614.30
$985.70 962.82 926.21 867.64 773.92 623.97 384.05 o
Flujo de efectivo cuando el capital se amortiza en partes iguales y los intereses son sobre saldos insolutos
A.l0.2.2
y los intere x se calcularía con la si
Si en el crédito en mención, se amortiza su capital en partes iguales, ses son sobre saldos insolutos, �ntonces la amortización del año guiente fórmula:
Ax��+P{!-
Así, el .saldo del crédito
(x ;;- 1 )
�
al final del año x sería como se muestra a continuación (ver
tabla A.l0.3): X
sx =Po- n)
TABLA A.10.3.
Flujo de efectivo cuando el capital se .amortiza en partes iguales y los intereses son sobre saldos insolutos .
Año
Saldo del crédito al principio del año
1
p
Intereses #vengados
Saldo del crédito al final del año
•
p (1
P¡
---
.
+
Amortización al final del año
!.+pi
i)
n
Saldo del crédito al final del año después de deducir la amortización
p
:t..
1
:::r 1:1.
;;e:·
(1- -) n
C'\ <;:)
1 P(l-·-)
2
n
.
P(l-l)i
P(l - l)( l
n
n
+
1 . p - + P( l - -) z n n
i)
.g �::t.
p (1- -) 2
n
� �
. . X .
p(1 - (x -J2) •
.
n
p (1
_
(x n
1)
) i
p(1 - (x - 1) ) (1 n
+
i)
!_ + p (1 n
_
(x - 1 ) )i n
P(l- -) n X
.
�-
. .
n
S'
..
�
p(1 - (n -1)) n
-1) P(l-.Q!_ )i n
- -- -
.
Q
p (1 - (n - 1) ) (1 .
----- --- -
. n
-- -�
+
i)
----L-
!_ + P (1 n
_
(n - 1) )i n
P(l--)=0 n n
a , �
�
<;:)
a
�· Q; :::1 N e ....,¡
,.
208 Apéndice A al capítulo 1 O
Si se aplican las fórmulas presentadas en la tabla A.10.3 a los datos presentados en el ejemplo anterior, se obtienen los resultados que aparecen en la tabla A.l0.4. TABLA A.10.4. Flujo de efectivo cuando el capital se amortiza en partes iguales y los in tereses son sobre saldos insolutos. Saldo del crédito al final de(año
Saldo del
Saldo del
crédito al
crédito al
Amortización
después de
principio
Intereses
final
al final
deducir la
del año
devengados
del año
del año
amo rtización
1 2 3
$1,000.00 875.00 750.00
$600.00 525.00 450.00
$1,600.00 1,400.00 1,200.00
575.00
625.00
4
625.00
375.00
1,000.00
500.00
500.00
Año.
$725.00 650.00·
$875.00 750.00
S
500.00 375.00
300.00 225.00
800.00 600.00
425.00 350.00
375.00
6 7
250.00
150.00
400.00
275.00
125.00
8
125.00
75.00
200.00
200.00
o
250.00
Flujo de efectivo cuando la amortización es en forma creciente, pero con valor presente constante
A.l0.2.3
Las formas de amortización que se presentan en los dos párrafos anteriores, _son las tradicionalmente utilizadas. Sin embargo, recientemente a raíz del FICORCA surgió una nueva forma de amortización, cuya característica principal es que el valor presente de to das las amortizaciones que se harán para saldar el crédito, es constante. Si el crédito del ejemplo que se ha venido utilizando se amortiza de acuerdo con este nuevo procedimiento, entonces la amortización del año x vendría dada por la siguien te fórmula:
Ax
=
*
(1 + i)x
Y el valor presente de la amortización A
VP
==
x
vendría dado por:
� (1 + i)x /(1 + i)x * =
Lo anterior significa que el valor presente de cualquier amortización que se haga en el futuro seráP/n.
· Para este nuevo sistema de amortización, el saldo del crédito al fmal del año x sería
como se muestra a continuaciÓn (ver tabla A.10.5):
Sx
=P(I
+ i)x (1-
�)
TABLA A.lO.S.
Alfo
Flujo de efectivo cuando la amortización es en forma creciente pero con valor presente constante
Saldo del crédito al principio del alfo
Intereses devengados
Saldo del crédito al final del alfo
Amortización al final del año
Saldo del crédito al final del año después de deducir la amortización
p
P¡
p (1+i)
!. n (1+i)
P(1+i)(1- ..!_) n
) P(1+i)2(1-..!. n
!.(J=i) 2 n
P(1+i)2 (1-l) n
�
2
X
n
) P(l+i)(l-1. n
P(1+i)X-l (1-�) n P(1 +i)n-J
n (1- ( -12) n
p(1+i)(1 -
i l.) n
::S Q,
-
¡¡;· t;· ("¡ e 3 �
�
::t. -.: e
P(1+rY-1 (1-�) i n
p (1+i)x (1 -
(x;;1))
!.,(1 +i )x n
) P(1+i)x (1-.?:. n
PÚ+i)n-l (1- ..0...=..!l) i n
) P(1+i)n (1-� n
!. (1 +i)n n
P(1 +i)n (1- !J.)= O n
�
S' ... 3 �-
�
§.. � Q
3 e
..
)
R· �
5� ::S
� Q -.e
1
u
21 O Apéndice A al capítulo 1 O Y puesto que la cantidad amortizada en las etapas iniciales del crédito es inferior a los intereses devengados, el saldo del crédito en estas primeras etapas aumentaría. En particular, el aumento del saldo del crédito en los primeros años y la reducción de dicho saldo en los últimos, se obtendría con la_ siguiente fórmula:
J
x
=
P
(i + i)x-'
i
i
-
� (1
+
xi)
.. ,
]
Si se áplican las fórmulas presentadas en la tabla A .1 O .5, a los datos del ejemplo ci tado, se obtienen los resultados que se muestran en la tabla A.l0.6. TABLA A.10.6. Flujo de efectivo cuando la amortización es en forma creciente pero con
valor presente constante. Saldo del
crédito al
Año
Saldo del crédito al principio del año
1
$1,000.00
2 3 4
1,400.00 1,920.00 2,560.00 3,276.80 3,932.16 4,194.30 3,355.44
S
6 7 8
final del año después de deducir la
Saldo del Intereses devengados $
600.00
crédito al final del año
840.00
$1,600.00 2,240.00
1,152.00 1,536.00 1,966.08 2,359.29 2,516.58 2,013.26
3,072.00 4,096.00 5,242.88 6,291.45 6,710.88 5,368.71)
Amortización al final del año $
amortización
200.00
$1,400.00
320.00 512.00 819.20 1,310.72 2,097.15 3,355.44 5,368.70
1,920.00 2,560.00 3,276.80 3,932.16
�
4,194.30 3,335.00 o
A.l0.2.4
Comparación de los flujos de efectivo que resultan con cada forma de amortización Los tres métodos de amortización son presentados en forma gráfica en las figuras
A.IO.l y A.lO.i. Por ejemplo, en la figura A.lO.l se muestra la amortización anual que resulta en cada método de amortización y la figura A.10.2 muestra el saldo del crédito al final del año. En estas gráficas se puede observar cómo el nuevo método de amortiza ción creciente tiene un comportamiento totalmente distinto al de los métodos tradicio nalmente usados. Este nuevo comportamiento representa para el nuevo método en cues tión una serie de ventajas y desvent�jas: Ventajas: Entre las ventajas que ofrece el método de amortización creciente, se pue den mencionar las siguientes:
1) Libera una gran cantidad de flujo de efectivo en los
primeros años de vida del crédito, lo cual garantiza la buena marcha del negocio en sus inicios,
2) Se mejoran los índices fmancieros de liquidez, puesto que el exceden
te de efectivo que resulta de los intereses no liquidados normalmente aumenta los niveles de activo circulante de la empresa (los intereses no liquidados se convierten en pasivos de largo plazo). y
3)
Puesto que las amortizaciones son pequeñas en los
primeros añ�, el índice de cobertura se mejora significativamente.
Amortización Amortización creciente
5,000
- -- - -
Amortización constante
-- -- -
Amortización constante de capital e interés sobre saldos
4,000
�
:::!
2.: o::· o::·
3,000
!") Q
� a
�-
2,000
�
Q ..
;:¡
(11,
o
� ..
1,000
�
1::1 ------
;:¡ -
Q ...
--
Año 2
3
4
5
6
FIGURA A.lO.l. Amortización anual de lo\ tres métodos de amortización.
7
8
il· �
s� :::!
N .... ....
¡...) ,_. ¡...)
Saldo del crédito
;¡,.
�-
4,000
::S
S.
(')' �
;¡,. Q (')
.§
ª'
3,000
CS'
..... e
Amortización creciente 2,000
1,000
------
-
A m ortización constante
----
-- -----�·
-------
........ -- ....... .....
--
- .......
.....
--
.....
-------
Año 2
4
5
6
FIGURA A.10.2. Saldo del crédito para los tres métodos de amortización.
7
8
Costo después de impuestos'
213
Desventajas: Las ventajas anteriores pueden ser contrarrestadas o eliminadas si los excedentes del flujo de efectivo que se originan en las etapas iniciales del erédito, no son manejados en forma efectiva y rentable. Las desventajas que pueden surgir
�1 final de la vida del crédito son
las siguientes: 1) El pasivo y los gastos finan-
cieros crecerán en forma excesiva, lo cual puede originar problemas de liquidez, y
2) La utilidad puede ser negativa.
A.10.3 COSTO DESPUES DE IMPUESTOS QUE SE OBTIENE CON LOS DIFERENTES METODOS DE AMORTIZACION
En las secciones anteriores se hizo un análisis comparativo de los métodos tradicio nales de amortización con el nuevo método de amortización creciente. En este análisis se enfatizaron las ventajas que el método de amortización creciente tiene sobre los de más. Sin embargo, existe otro factor que es necesario considerar en la comparación
�
.de
es� s tip s de amortización. Este f ct r es el costo despué s de im e resulta al � � � � _ utiliZar diferentes formas de amortiZación. Este factor obviamente resulta mas relevante
y más objetivo al comparar y seleccionar la forma de amortizar un nuevo crédito. Por con
siguiente, en esta sección se determinará, para cada tipo de amortización, el costo después de impuestos del ejemplo planteado al principio de este apéndice.
A.l0.3.1 Costo después
de i mpuestos cuando la amortización es
constante
Para determinar el costo después de impuestos cuando la amortización es constan te, es necesario hacer referencia a la tabla
A.l0.2, donde se puede observar que la amor
tización anual durante 8 años para saldar un crédito de $1,000.00 será de $614.30. La diferencia entre esta cantidad y los intereses devengados que se muestran en la columna dos de la tabla A.l0.2 es precisamente el abono a capital. Consecuentemente, con la amor tización del principal y los intereses devengados se podrá determinar el costo después de impuestos. Esta información aparece en la tabla
A.l0.7. Como se puede apreciar en esta
tabla, el costo después de impuestos que resulta con este tipo de amortización es de 30%. Este costo, es la tasa de interés que reduce a cero el valor presente de la última columna de la tabla A.10.7.
A.l0.3.2 Costo después de impuestos cuando�� capital se amortiza en partes iguales y los intereses son sobre saldos insolutos
Para este caso en particular, el capital se amortiza en parte iguales, es decir, en $125.00 anuales y los intereses, por consiguiente, son sobre saldos insolutos. Los flujos de efectivo para calcular el costo después de impuestos, se muestran en la tabla A.l0.8. En esta tabla se puede apreciar que la tasa de interés que reduce a cero el valor presente
de la última columna es de 30%. Consecuentemente, al igual que en el caso anterior el costo después de impuestos resulta el mismo, como era de esperarse.
'
'
214
Apéndice A al capítulo 1 O
TABLA A.10.7. Costo después de impuestos del crédito, si la amortización es constante. Flujo de efectivo antes
Flujo de
de impuestos Año
Capital
Cantidad
Aho"o en
efectivo después
Intereses
deducible
impuestos
de impuestos
-314.30
o
1,000.00
1
-14.30
-600.00
-600.00
300.00
2
-22.90
-591.42
-591.42
295.71
-318.59
3
-36.60
-577.69
-577.69
288.84
-325.46
4
-58.60
-555.73
-555.73
277.86
-336.44
5
-93.70
-520.58
-520.58
260.29
-354.01
6
- 149.90
-464.35
-464.35
232.17
-382.13
7
-
-374.38
-374.38
187.19
-427.11
-230.43
-230.43
115.21
-499.09
8
23 9..92
- 38J.87
1,000.00
""'
COSTO REAL
•
,
�·
..
=
30%
s�
A.l0.3.3 Costo después de impue fonna creciente pero con valor presente constante
n es en
Cuando la amortización es en forma creciente pero con valor presente constante, el flujo de efectivo que resulta al saldar el crédito en cuestión, se muestra en la tabla A.l0.6. ·En esta tabla se puede observar que en el primer año, por ejemplo, la amortización de $200.00 es menor a los intereses generados de $600.00, y en consecuencia, el pasivo aumen-
tará en $400.00. Sin embargo, se podrán deducir en el primer año de vida del crédito los
1� -
intereses por valor de $600.00. Toda esta información aparece en la tabla A.l0.9. Para el aijo 2 (ver tabla A.l0.6) la amortización es de $320.00 y los intereses devengados son de
$840.00, por lo que el pasivo aumenta $520.00 y la cantidad a deducir será $840.00 (ver
tabla A.10.9).
"
TABLA A.10.8. Costo después de impuestos del crédito, si el capital se amortiza en partes
iguales y los intereses son sobre saldos insolutos. Flujo de
Flujo de
efectivo antes Cantidad
Aho"o en
efectivo después
Intereses
deducible
impuestos
de impuestos
de impuestos Año
Capital
o
1,000.00
1
-125.00
-600.00
-600.00
300.00
-425.00 -387.50
1,000.00
2
-125.00
-525.00
-525.00
262.50
3
-125.00
-450.00
-450.00
225.00
-350.00
4
-125.00
-375.00
-375.00
187.50
-312.50
5
-125.00
-300.00
-300.00
150.00
-275.00
6
-125.00
-225.00
-225.00
112.50
-237.50
7
-125.00
-150.00
-150.00
75.00
8
-200.00
-125.00
-
-
37.50
-162.50
75.00
75.00
COSTO REAL
=
30%
Costo después de impuestos 215 Con base en lo anterior, se puede observar en la tabla A.10.9 que en los primeros 6 años de vida del crédito, el pasivo aumenta hasta un valor de $4,194.3 (ver tabla A.10.6),
cantidad que es amortizada en los años 7 y 8. Por otra parte, la cantidad que aparece co mo deducible en la tabla A.l0.9, es la columna 2 de la tabla A.l0.6. Finalmente, la tasa de interés que reduce a cero el vaior presente de la última columna es 11.9%. Como se p\lede observar, el costo después de impuestos que resulta con esta forma de amortiza ción, es mucho menor al obtenido en los dos casos anteriores. La explicación de esta diferencia en los costos, se basa en que en la última forma de amortización se deducen
la totalidad de los intereses devengados, aunque no sean desembolsados.
A.l0.4 COSTO DESPUES DE IMPUESTOS QUE SE OBTIENE EN LOS DIFERENTES METODOS DE AMORTIZACION, AL
/ �
CONSIDERAR LA INFLACION.
En las tablas A.10.10, A.lO.ll y A.1 0. 12 se muestra el costo después de impuestos que se obtiene con los diferentes métodos de amortización, al considerar una inflación anual de 60%. El costo real que resulta en los dos casos de amortizacion tradicional es de - 18.75%, y en cambio, con amortización creciente, el costo real que resulta es de
- 30.03%.
Se observa que la ventaja obtenida en costo con el método de amortización·
creciente se mantiene, así se considere o no la inflación. Más específicamente, )a ventaja sin considerar inflación es de 18.1%, y considerándola es de 11.28%.
TABLA A.I0.9. Costo después de impuestos del crédito, si las amortizaciones son crecien
tes c on valor pre8ente constante.
Año o
1 2 3
4
5 6 7
8
Flujo de efectivo antes de impuestos Intereses* Capital 1,000.00 400.00
520.00
640.00 716.80 655.36 262.14 -838.86 - 3,35 5.44
-200.00 -320.00
-512.00 -819.20 -1,310.72 -2,097.15 -2,516.58
-2,013.26
Cantidad deducible
Aho"o en impuestos
-600.00
300.00
-1,536.00
768.00
-840.00 -1,152.00
420.00 576.00
-1,966.08 -2,359.29
1,179.65
-2,013.26
1,006.63
-2,516.58
COSTO REAL
=
983.04
1,258.29
Flujo de efectivo después de impuestos 1,000.00
500.00
620.00 704.00
665.60 327.68
- 655.36
-2,097.15
- 4,362.07
11.9%
*Puesto que en los primeros seis años de vida del crédito la amortización es menor que los intereses devengados, entonces, en esta columna aparecerá precisamente dicha amortización. En los años 7 y 8 la amortización ya es mayor que los intereses devengados, y por consiguiente, en esta columna aparecen dichos intereses.
·
216
Apéndice A al capítulo
JO
TABLA A.lO.lO. Costo después de impuestos del crédito, si la amortización es const�nte y se considera una inflación anual de 60%.
Año
Flujo de efectivo antes de impuestos Intereses Capital
·
Cantidad deducible
Ahorro en impuestos
Flujo de Flujo de efectivo . efectivo después de después de· ·impuestos impuestos (pesos (pesos comentes) constantes) $1,000.00
$1,000.00
o
1,000.00
1
- 14.30
-600.00
-600.00
300.00
-314.30
-196.44
2
- 22.90
-591.42
-591.42
295.71
-318.59
-124.45
3
- 36.90
-517.69
-577.69
288.84
-325.46
4
- 58.60
-555.73
-555.73
277.86
-336.44
5
- 93.70
-520.58
-520.58
260.29
-354.01
- 33.76
6
-149.90
-464.35
-464.35
232.17
-382.13
- 22.78
7
-239.92
-374.38
-374.38
187.19
-427.11
8
-383.87
�230.43
-230.43
115.28
. �- �.09
- 1�:46
- 51.34
-
15.91
�
=
COSTO REAL=
-
18.75%
TABLA A.lO.ll. Costo después de impuestos del crédito, si el capital se amortiza en
p ar
tes iguales y los intereses son sobre saldos insolutos y además se considera una inflación anual de 60%.
Año
Flujo de efectivo antes (le impuestos Capital Intereses
Cantidad deducible
Ahorro en impuestos
Flujo de Flujo de efectivo ·efectivo después de después de impuestos impuestos (fJeSOS (pesos corrientes) constantes)
o
$1,000.00
$1,000.00
$1,000.00
1
-125.00
-600.00
-600.00
300.00
-425.00
-265.63
2
-125.00
-525.00
-525.00
262.50
-387.50
- 151.37
3
-125.00
-450.00
-450.00
225.00
-350.00
-
4
-125.00
-375.00
-375.00
187.50
-312.50
- 47.68
5
-17.".00
-300.00
-300.00
150.00
-275.00
- 26.23
6
-125.00
-225.00
-225.00
112.50
-237.50
- 14.16
7
-125".00
-150.00
-150.00
75.00
-200.00
-
7.45
8"
-125.00
-
-
37.50
-162.50
-
3.78
75.00
75.00
COSTO REAL=- 18.75%
85.45
<;onclusiones
217
TABLA A.l0.12. Costo después de impuestos del crédito, si las amortizaciones son cre cientes pero con valor presente constante, y además se considera una inflación anual de 60%.
Flujo de efectivo antes. de impuestos Intereses Capital
.Año
Cantidad deducible
Aho"o en impuestos
Flujo de efectivo después de impuestos (pesos corrientes)
Flujo de efectivo después de impuestos (pesos constantes)
$ 1,000.00
$ 1,000.00
o
$ 1,000.00
1
400.00
-
200.00 -
600.00
300.00
500.00
312.50
'2
520.00
-
320.00 -
840.00
420.00
620.00
242.19
3
640.00
- ·512.00 -1,152.00
576.00
704.00
171.88
4
716.80
-
819.20 -1,536.00
768.00
665.60
101.56
5
655.36
-1,310.72 -1,966.08
983.04
6 7
262.14
-2,097.15 -2,359.29
1,179.65
838.86
-2,516.58 -2,516.58
1,258.29
-2,097.15
-
78.12
-3,355.44
- 2,013.26 -2,013.26
1,006.63
-4,362.07
-
101.56
-
8
COSTO REAL
A.l 0.5
=-
327.68 -
655.36
31.25 -
39.06
30.03%
CONCLUSIONES
Del análisis presentado en las secciones anteriores, se puede concluir que el nuevo sistema de amortización creciente que se utiliza en FICORCA y que en lo sucesivo se uti lizará
�n
la mayoría de los créditos otorgados por FONEI, es muy atractivo y viene a lle
nar un hueco que se requería satisfacer para sacar adelante a las empresas existentes, y asegurar la buena marcha de muchos de los negocios que se emprendan en lo sucesivo. En resumen, se puede decir que el nuevo método de amortización creciente pre senta las siguientes ventajas: 1) Libera flujo de efectivo en las -primeras etapas de la vida del crédito, 2) Se mejoran los índices fmancieros de liquidez y de cobertura de deuda y 3) La principal, el costo después de impuestos que se obtiene, es mucho menor al obte nido con los métodos tradicionales de amortización. Además de las ventajas anteriores del nuevo método de amortización, conviene mencionar las condiciones principales en las que FONEI otorga sus créditos, y que son: 1) Los intereses se cobran vencidos y no en forma anticipada como se realiza tradicional mente en la banca comercial, 2) No se cobra comisión por apertura de crédito, 3) No se exige reciprocidad, 4) La diferencia que se cobra arriba de cpp es fija, y no revisable co
mo normalmente se acostumbra en la banca comercial y 5) Las garantías físicas que se exigen por el crédito son menores a las que la banca exige para otorgar el crédito. En consecuencia, esta situación reduce aún más la tasa efectiva que resulta al utilizar un cré dito de FONEI.
Finalmente, es conveniente mencionar que este nuevo sistema de amortización aún no se utiliza en forma generalizada. El principal obstáculo a vencer es la propia banca. Los argumentos que se exponen son los siguientes: 1) Inmovilizaría una gran cantidad de re cursos si una gran parte de los créditos se otorgan con el nuevo esquema, 2) Puesto que
218
Apéndice A ol capítulo
JO
ef capital de la deud� no se revalúa. se tendría una pérdida al momento de recuperarlo. Obviamente, estos dos obstáculos pueden ser vencidos si se considera, para el primer caso, que no todos los créditos se cambiarían simultáneamente a amortización creciente. Esto significa que si los créditos con el nuevo esquema se otorgan en forma paulatina, con el paso del tiempo las amortizaciones de los créditos más antiguos podrán apoyar las peque ñas amortizaciones de los créditos más recientes, y con ello se eliminaría el problema de liquidez de la banca. Con respecto
al segundo punto, si bien es cierto que el negocio para
la banca no resulta tan atractivo con el nuevo esquema de pagos crecientes, también es cierto que a través de estos nuevos esquemas, la banca podrá contnbuir en mayor medida al desarrollo económico de las empresas y de nuestro país.
SALDO DEL CREDITO CUANDO LA AMORTIZACION DE CAPITAL E INTERES ES CONSTANTE
�
El objetivo de este apéndice es demostrar que:
lo:
�
P
{
(1
+
i)n
_
i (1 + i)n+ (n _1) (1
·
i(1 + i)n (1 + i)n 1 -
+
}
i)n _1
1
i(l+i)n+2
i(1 +i)n+
(1 + i)n -1
(1 + i)n -1 (1)
�o
Por consiguiente, lo anterior se reduce a demostrar que:
� 1� ...
(1
+
i)n -1
{
(1 +i)n+ (n-') + + (1 + i)"
}
�
·
·
(1
·
+
·
(1 + i)"+'
+ (1
+ i)"., + (2)
i)"
Si se observa el lado izquierdo de la ecuación anterior, podemos detectar una progresión geométrica de razón (1 + i). Consecuentemente, la suma de esta parte de la ecuación la podemos obtener de acuerdo con el siguiente procedimiento:
S
=
(1 + i)n + (1
+
i)n + 1 + ( i + i)n +2 + .... (1 + i)n+ (n -1)
Si se multiplican ambos lados de esta ecuación por
S(1 +i) (1 + i)n+ 1 + (1 + i)n+ 2 =
Si se resta la ecuación
+
(1 + i) se obtiene:
(1 + i)n+ 3 +
(3) de la (4) se obtiene:
(3)
·
·
·
·
(1 + i)2n
(4)
Saldo del crédito 219
Si= (1 (1
S=
+
+
i)2n -(1
¡
i)n
i)n = (1
+
(1
+
i)n
+
{ (1
i)n
-1
+
i)n -1
}
(5)
¡
(6)
Si se sustituye la ecuación (6) en (2) se obtiene:
(1
+
i)n-
1
¡
(1
+
i)n
¡
(1
+
i)" - 1
11
Lo cual es exactamente lo que se quería demostrar.
�
(1
+
i)"
11 Efecto de· inflación en el rendimiento de un proyecto y el costo de la fuente utilizada para financiarlo
,
Recientemente se ha publicado gran cantidad de literatura acerca del impacto de la inflación en el rendimiento de un proyecto de inversión. Sin embargo, en esta literatura solamente se menciona la gran disminución que en el rendimiento de un proyecto origina la inflación y no se enfatiza el hecho de que la inflación al mismo tiempo que dismin]Jye el rendimiento del proyecto, disminuye considerablemente el costo real de las diferentes fuentes de financiamiento utilizadas por la empresa, llegando este costo a ser negativo en situaciones en las que la inflación es excesivamente alta. Es por estas razones que el objetivo
del presente capítulo es mostrar un panorama completo de las dos caras de la moneda, es decir, a través de una serie de ejemplos se va a señalar y enfatizar el impacto de �a inflación en el rendimiento de un proyecto y en el costo de la fuente utilizada para fmanciarlo. La idea principal que se pretende mostrar en este capítulo es la consistencia con la
que los proyectos de inversión deben ser evaluados. Por ejemplo, si una empresa no consi
dera la inflación en la evaluación de sus nuevos proyectos de inversión, entonces, los ren dimientos probables de estos proyectos deben ser comparados con el valor nominal
de su costo marginal de capital, o bien lo cual es más recomendable, con un valor de TREMA que sea mayor q�e este costo de capital. Por el contrario, si en una empresa la inflación es considerada en la evaluación de nuevos proyectos de inversión, entonces, los
rendimientos esperados de estos proyectos deben ser comparados con el valor real de su
costo marginal de capital, o bien deberán compararse con un valor de TREMA en el cual se
considere el efecto positivo que la inflación tiene en el costo marginal del capital (so bre todo, en los pasivos captados a largo plazo y a tasa fija).
También, es conveniente señalar que en la mayoría de las situaciones prácticas, las empresas consideran la inflación en la evaluación de sus nuevos proyectos de inversión. Sin
embargo, estas mismas empresas normalmente comparan los rendimientos así obtenidos, ' con el valor nominal de su costo marginal de capital. Obviamente, éon esta práctica se tendería a rechazar una gran cantidad de proyectos que lejos de perjudicar, beneficirían la situación fmanciera de la empresa.
·
Finalmente, conviene señalar que en los ejemplos que se presentarán posteriormente en este capítulo, se supone que los proyectos de inversión van a ser fmanciados con un cré dito hipotecario de largo plazo y a tasa fija. 221
�
222 Efecto de la inflación en el rendimiento de un proyecto
11.1 EFECTO DE LA INFLACION SOBRE EL RENDIMIENTO DE UN PROYECTO La tasa interna de rendimiento (ver capítulo
�
t
...
5)
como se le llama frecuentemente,
está defmida como la tasa de interés que reduce a cero el valor presente de una serie de ·
·
ingresos y egresos, es decir, la tasa interna de rendimiento de una propuesta de inversión es aquella tasa de interés ( i*) que satisface la ecuación.
n �
st
=O
t = o (1+i*)t
St
donde
--
(11.1)
es el flujo de efectivo neto después de impuestos en el período t. Sin embargo,
la expresión anterior s6lo es válida cuando no existe inflación. En el caso de que exista una tasa de inflación promedio anual de
( i 1),
la ecuación anterior debe ser escrita en la
forma siguiente.
s't /(1
n
�
,.
�-
_
t=o
(1
+ i¡)t
+ i*)t
=O
(11.2)
Esta última ecuación corrige el poder adquisitivo de los flujos de efectivo futuros. Si la ta sa de inflación es cero, entonces la ecuación
(11.2)
se transforma idéntica a la
(11.1).
11.2 EFECTO DE LA INFLACION SOBRE EL COSTO DE UN CREDITO HIPOTECARIO
El flujo de efectivo para la empresa que origina 10), es como sigue:
un crédito hipotecario (ver capítulo
""
p
2
1
P/n+Pi
donde:
P n
i NOTA:
. ...
P/n+Pi(l-1/n)
j
T···4
P/n+Pi(l-(j-l)/n)
=
magnitud del préstamo solicitado.
=
plazo concedido para pagar el préstamo (años).
=
tasa nominal de interés sobre saldos.
St =F S� puesto que en S� nomía nacional
se
P/n+Pi(l/n)
están considerando las tasas de inflación prevalecientes en la eco
Efecto de la inflación 223 y el costo antes de impue.stos de esta alternativa de fmanciamiento, sería la tasa de interés ·
(Kh) que satisface la ecuación:
n
P- L j=t
Pi(l- (j -1)/n) + Pfn (1 +Kh)i
=O
(11.3)
y puesto que los intereses que origina el préstamo son deducibles, el costo después de im puestos de un crédito hipotecario, sería la tasa de interés (K' h) que satisface la ecuación:
P-
Pi(1-(j-1)/n'j(1-t) + Pfn
11
L j=t
(1 + KÍz) ¡
=O
(11.4)
Sin embargo, la expresión anterior es válida para situaciones en las cuales no exista infla ción. Para casos en los cuales existe una tasa de inflación promedio anual de (i¡) la expresión anterior se transforma en:
P-
n
L
¡= 1
P i(1-(j-1)/nX1- t) + P/n (1 +
Kh y (1 +i¡)j
(11.5)
=O
y al igual que para el rendimiento de un proyecto, cuando la tasa de inflación es cero, esta ecuación se transforma idéntica a la
(11.4).
11.3 EFECTO DE LA INFLACION EN LA ACEPTACION DE UN PROYECTO DE INVERSION En capítulos anteriores se explicó cómo la inflación afecta el rendimiento de un pro yecto (capítulo
9)
y el costo real de un crédito hipotecario (capítulo
10). Sin embargo, el
rendimiento de un proyecto es menos afectado por la inflación que el costo de un crédito hipotecario. Tal aseveración es válida puesto que en el proyecto de inversión, los flujos de efectivo que el proyecto genera, están creciendo de acuerdo a las tasas de inflación pre valecientes en nuestra economía, y en cambio en el crédito hipotecario, los desembolsos para la empresa ya están fijos (suponiendo que el préStamo se haya obtenido en moneda nacional y a una tasa fija) desde el momento de pactar el préstamo. Con el propósito de aclarar estas ideas, a continuación se resuelve un ejemplo numé rico: considere que una empresa planea emprender un proyecto de inversión, el cual requiere
$100,000 y promete generar flujos de efectivo antes de deprecia $40,000 anuales. La vida útil de esta nueva inversión se estima en 5
de una inversión inicial de ción e impuestos de
años, al final de los cuales no habrá ninguna recuperación económica. También, considere
que la empresa utiliza depreciación en línea recta y paga impuestos a una tasa del SO%. Por
224 Efecto de la inflación en el rendimiento de un proyecto
otra parte, suponga que la empresa para lmancíar este proyecto de inversión, ha obtenido . de una institución bancaria del país, un préstamo de $100,000 a 5 años y a una tasa del 20%anual sobre saldos. Con esta información se determinan primero, los flujos de efectivo después de im puesto que genera el proyecto (ver tabla 11-1). Para estos flujos de efectivo, la tasa interna de rendimiento que se obtiene al aplicar la ecuación (11.1) es de 15. 3% . En seguida, se determina con la ayuda de la ecuación (1 1.4), el costo después de impuestos del crédi
to hipotecario con el cual se va a fmanciar el proyecto, el cual aparece en la tabla 11-2. Como se puede observar en esta tabla, el costo después de impuestos de dicho préstamo es del 10%. Puesto que el rendimiento esperado del proyecto es mayor que el costo de la fuen
te con la cual se va a fmanciar, entonces, vale la pena emprender este proyecto de inversión .. Después de este breve análisis, vean10s qué le pasa al rendimiento del proyecto y al costo del crédito hipotecario, si en las evaluaciones respectivas, se considera por ejemplo un20% de inflación promedio anual. Primeramente en la tabla 11-3, se muestran los flujos de efectivo después de impuestos a pesos constantes que genera el proyecto. También en esta tabla se muestra que aplicando la ecuación
p 1.2 ), la tasa interna de rendimiente que
se obtiene con este proyecto al considerar una tasa de inflación anual del20%es de 9.7% . Por otra parte, en la tabla 11-4 se muestran los flujos de efectivo después de impuestos del crédito hipotecario para el caso de considerar inflación. En esta tabla se puede observar que aplicando la ecuación (11.5) el costo real que se obtiene para esta fuente de financia miento es de -8.3% . Los resultados anteriores confirman lo que se decía al principio de esta sección, es decir, la inflación castiga más a la fuente de fmaniiamiento que al proyecto de inversión. . % a 9.7%y el Por ejemplo, para ei caso anterior, el rendimiento del proyecto b!J.ja de 152 costo del crédito baja de 10% a -8.3% si la inflación es considerada. El ejemplo anterior muestra un caso en el cual el proyecto de inversión es aceptado sin o considerando la inflación. Sin embargo, uno de los objetivos de este capítulo es mos trar cómo un proyecto que es rechazado en condiciones normales (sin inflación), sería aceptado considerando la inflación. Para tal propósito, suponga que en el mismo proyecto presentado anteriormente, los flujos de efectivo antes de depreciación e impuestos en lugar de ser de $40,000 son de $30,000 anuales. Para esta modificación, la tabla 11.5 muestra el rendimiento que se obtiene en este proyecto de inversión (7.9% ) si la inflación no es considerada. Puesto que el costo del crédito después de impuestos sin considerar inflación es de 10% , entonces, este proyecto debe de ser rechazado. De acuerdo al análisis anterior, el nuevo proyecto de inversión debe ser rechazado porque su rendimiento es menor al costo de la fuente utilizada para fmanciarlo. Sin embar go, veamos qué pasa si en la evaluación de este nuevo proyecto, se considera una tasa de inflación del 20% anual. Para esta suposición, la tabla 11.6 muestra el nuevo rendimiento obtenido, el cual resulta ser de 1.7%
·.
Lo anterior significa que considerando una tasa de
inflación del20% , el nuevo proyecto debe ser aceptado puesto que su rendimiento (1.7% ) es mayor que el costo del crédito utilizado para emprenderlo (-83%).
Los resultados anteriores no son nada sorprendentes, puesto que la inflación al be neficiar más al costo de la fuente utilizada (crédito hipotecario), era de esperarse que un proyecto que era malo en sí, resultara bueno al tomar en cuenta la inflación. Finalmente, también de estos resultados se puede concluir que a medida que aumen ta la tasa de inflación anual, es más probable que un proyecto malo se transforme en atractivo.
Efecto de la inflación 225
TABLA 11-l. Flujos de efectivo después de impuestos sin considerar la inflación.
Año
Flujo de afectivo antes de impuestos
o
-$100,000 40,000
1-5
Depreciación
Ingreso gravable
Impuestos
-20,000
20,000
10,000
Flujos de efectivo después de impuestos -$
100,000 30,000
TASA INTERNA DE RENDIMIENTO= 15.2%
TABLA 11-2 ·
•.
Flujos de efectivo después de impuestos del crédito hipo tecario sin
considerar inflación.
Flujo de efectivo antes de impuestos
Año
Flujo de efectivo después de impuestos
Ingreso gravable
Ahorro en impuestos
$
100,000
10,000
-
30,000
8,000
-
28,000
INT.
CAP. o
$ 100,000
i
-
20,000
-20,000
-20,000
2
-
20,000
-16,000
-16,000
3
-
20,000
-12,000
-12,000
6,000
-
26,000
4
-
20,000
- 8,000
- 8,000
4,000
-
24,000
5
-
20,000
- 4,000
- 4,000
2,000
-
22,000
•
COSTO DEL CREDITO = 1 0%
TABLA 11-3. Flujos de efectivo después de impuestos considerando una tasa de
inflación del 20% anual.
Flujo de efeetiPo antes de Año impuestos
Depreciación
Ingreso gravable
Impuestos
Flujo de efectivo después de impuestos (pesos corrientes)
Flujo de efectivo después de i mpuestos (pesos constantes)
o
-$100,000
1
48,000
-20,000
28,000
-14,000
34,000
28,333
2
57,600
-20,000
37,600
-18,800
38,800
26,944
3
69,120
-20,000
49,120
-24,560
44,560
25,787
4
82,944
-20,000
62,944
-31,472
51,472
24,822
5
99,533
-20,000
79,533
-39,766
59,767
24,019
-$100,000 -$100,000
TASA INTERNA DE RENDIMIENTO= 9.7%
226 Efecto de la inflación en el rendimiento de un proyecto
TABLA 11-4. Flujos de efectivo después de impuestos del crédito hipotecario con-
siderando una inflación del 20% anual.
Flujo de efectivo antes de impuestos
Año
Ahorro en impuestos
Ingreso gravable
Flujo de efectivo despuC:.< de impuestos (pesos comentes)
Flujo de efectivo después de impuestos (pesos constantes)
$ 100,000
$ 100,000 - 25,000
INT.
CAP.
o
$ 100,000
1
-
20,000
2
-
3
-
4 5
-20,000
10,000
-
30,000
20,000
-20,000 -16,000
-16,000
8,000
-
28,000
20,000
-12,000
-12,000
6,000
-
2.6,000
-
20,000
- 8,000
- 8,000
4,000
-
24,000
-
11,576
-
20,000
- 4,000
- 4,000
2,000
-
22,000
-
8,841
COSTO DEL CREDITO
-
-
19,444 15,046
8.3%
=-
TABLA 11-S. Flujos de efectivo d espués de impuestos sin considerar inflación.
Año
Flujo de efectivo antes de impuestos
Depreciacilm
Ingreso gravable
Impuestos
Flujo de efectivo desiJués de impuestos
..
o
1-5
-$100,000
-$100,000
30,000
10,000
-20,000
25,000 -
5,000
TASA INTERNA DE RENDIMIENTO
=
7.9%
TABLA 11-6. Flujos de efectivo después de impuestos considerando una tasa de
inflación del 20% anual.
Flujo de efectivo antes de Año impuestos
Depreciación
Ingreso gravable
Impuestos
8,000 .
Flujo de efectivo después de impuestos (pesos co"ientes)
Flujo de efectivo después de impuestos (pesos constantes)
-$100,000 -$100,000
o
-$100,000
1
36,000
-20,000
16,000
2
43,200
23,200
28,000
23,333
31,600
21,944
3
51,840
- 20,000 - 20,000
31,840
15,920
35,920
20,787
4
62,208
-20,000
42�208
21,104
41,104
19,823
5
74,650
- 20,000
54,650
27,325
47,325
19,019
11,600
TASA INTERNA DE RENDIMIENTO
=
1.7%
'
Problemas 227
11.4 CONCLUSIONES La conclusión más importante de este capítulo es comprender que la inflación no sóle castiga los méritos económicos y fmancieros de un proyecto de inversión, sino que también y en mayór grado, los costos de las diferentes fuentes de financiamiento son re ducidos. Lo anterior significa que bajo ciertas condiciones, proyectos que deben ser recha zados, son aceptados si en las evaluaciones económicas se toma en cuenta la intlación. También, vale la pena señalar que ciertas fuentes de fmanciamiento son más afecta das por la inflación. Por ejemplo, es obvio que un préstamo de largo
plazo, con t�sa fija y
en moneda nacional; captado en ambientes crónicos inflacionarios, cuesta mucho menos que un préstamo captado en las mismas circunstancias, pero con tasas flotantes y en mo neda extranjera. Lo anterior es obvio, puesto que un fmanciamiento en moneda extranje ra presenta el peligro de cambios de paridad.
PROBLEMAS 11.1.
La corporación
x
desea incursionar en un nuevo negocio cuya inversión inicial re
querida es de $100 millones ($70 millones de activo fijo y $30 millones de activo circulante). El activo fijo se va a depreciar en línea recta en un período de 5 años y el valor de rescate al término de este tiempo es un 20%del activo fijo y un 100% del activo circulante. Si los flujos que
se
esperan de este proyecto antes de depre
ciación e impuestos son de $40 millones anuales, la tasa de impuestos es de 50%, y la tasa de inflación promedio anual en los próximos años es de 15%, ¿cuál es la tasa interna de rendimiento que promete rendir este proyecto? Por otra parte, la corporación
x
para fmanciar este proyecto de inversión, va a emi-
·
tir $30 millones en obligaciones a una tasa del22% con vehcimiento a 5 años (los gastos de esta emisión se asumen en $600,000). También, la corporación x ha con seguido un préstamo hipotecario de $20 millones a cinco años, a una tasa de interés de 20% sobre saldos y los gastos que originó la captación de este préstamo fueron del orden de $500,000. Finalmente, la corporación x va a emitir acciones comunes por valor de $50 millones, las cuales originarán gastos adicionales de $1 millón. La corporación
x
piensa repartir $10 millones en dividendos el primer año, los cuales
se espera que crezéan a una razón del 8% anuaL Bajo esta situación, ¿debería la corporación
x
emprender el nuevo proyecto de inversión? Cambiaría su decisión
esta corporación si los flujos de efectivo antes de depreciación e impuestos en lugar 11.2.
de ser de $40 millones son de $30 millones? La compañía z desea emprender un proyecto de inversión cuya inversión inicial requerida es de $40 millones ($30 millones de activo fijo y $1O millones de activo circulante). El activo fijo se va a depreciar en línea recta en un período de 1 O años y el valor de rescate al término de este tiempo es un lO%del activo fijo y un 100% del activo circulante. Si los flujos de efectivo que se esperan de este proyecto antes de depreciación e impuestos son de $10 millones anuales, la � de impuestos es de 50%, y el proyecto va a ser fmanciado con el crédito descrito en el problema 10-6, ¿debería la compañía z seguir adelante con el nuevo proyecto de inversión? (Asu· ma la misma tasa de inflación del problema 10-6.)
11.3.
La compañía w está interesada en entrar en un negocio cuya inversión inicial re querida es de $115 millones ($80 millones de activo fijo y $35 millones de activo
228 Efecto de la inflación en el rendimiento de un proyecto
•
circulante). El activo fijo se va a depreciar en línea recta en un período de 1O años
y el valor de rescate al término de este tiempo es uh 15% del activo fijo y un 100% del activo circulante. Si los flujos de efectivo que se esperan de este proyecto antes
de depreciación e impuestos son de $35 millones anuales, la tasa de impuestos es de
50% , y el proyecto va a ser fmanciado con el pasivo descrito en el problema 10�7, ¿debería la compañía w aceptar este proyecto de inversión? (Asuma. la misma tasa
11.4.
de inflación del problema 10-7 .)
La compañía y por su rápido crecimiento requiere de la adquisición de una com putadora. Ya se han iniciado las investigaciones respectivas y se ha decidido comprar
una hp-3000 cuyo costo inicial es de $3,000,000. Esta compañía estima que los � _.
beneficios (ahorro en personal, mejor control de las operaciones de la empresa, información más confiable, periódica y oportuna, etc.) potenciales de esta compu
tadora serán de $1,000,000 anuales. Además, este activo va a ser depreciado en
línea recta en un período de 5 años, y el valor de rescate al término de este tiempo
se estima en $500,000. Si la tasa de impuestos es de 50%, y la computadora va a ser arrendada en los términos descritos en el problema 10-10, ¿debería la compa ñía arrendar la computadora? (Asuma las mismas tasas de inflación del problema 10-10.)
'-
12 Distinción entre decisiones de inversión y decisiones de financiamiento
Los beneficios que en el largo plazo una empresa puede lograr, de¡ienden en gran parte de la forma en que los siguientes problemas son resueltos: 1) Selección de fltentes de !manciamiento adecuadas, y
2)
Racionamiento del capital obtenido entre las diferen
tes propuestas de· inversión disponibles. Las dos decisiones anteriorés deben manejarse en forma separada. La selección de propuestas de inversión debe basarse en los méritos finan cieros de cada propuesta, independientemente de la fuente o costo de la fuente con que se financía cada propuesta. Los fondos para inversión que una empresa posee deben ser con siderados como
una
caja fuerte en la cual no se pueden separar en compartimientos, el
capital obtenido de cada
una
de las diferentes fuentes de fmanciamiento. Además, el pro
blema de seleccionar la fuente de fmanciarniento más adecuada debe ser resuelto indepen dientemente de la utilización que
se
le den a los fondos obtenidos, y se debe basar en
los méritos de cada fuente, esto es, la fuente seleccionada debe ser aquella de menor costo y al mismo tiempo aquella que represente el menor riesgo para la empresa.
12.1 DECISION DE INVERSION Y DECISION DE FINANCIAMIENTO El procedimiento lógico de selección de propuestas de iilversión, debe ser basado en la medición de los méritos financieros de cada propuesta de acuerdo a alguna base de comparación, tales como: Tasa interna de rendimiento, valor presente, período de recupe ración, retorno sobre la inversión, etc. En seguida, después de haber justificado la pro puesta, esto es, después de comprobar que dicha propuesta tiene una TIR mayor que TREMA o un valor presente mayor nue cero y además un período de recuperación acep table, se debe seleccionar la fuente de fmanciamiento más adecuada (menor costo y menor riesgo). Lo anterior significa que en algunas ocasiones es posible identificar las posibles fuentes de !manciamiento 51ue se pueden utilizar en una determinada propuesta. Sin em bargo, si no es posible hacer tal identificación, la propuesta debe ser aceptada, puesto que su rendimiento esperado es mayor que el costo ponderado de las diferentes fuentes de fi nanciamiento que la empresa utiliza. Con el propósito de aclarar estas ideas, a continuación se resuelve un ejemplo numé rico: Suponga que una empresa planea adquirir un nuevo activo el cual cuesta $25,000, y 229
230
Distinción entre decisiones de inversión y de financiamiento
promete generar flujos de efectivo antes de depreciación e impuestos de $1 S ,000 anuales...
La vida útil de este activo se estima en S años, al final de los cuales no habrá ninguna recu peración monetaria. Además asuma que la empresa utiliza depreciación en línea recta, paga impuestos a una tasa del SO% y ha fijado su TREMA en 25%.
·
Con esta información se determinan primeramente los flujos de efectivo después de impuestos, los cuales se muestran en la tabla 12-1. Para estos flujos de efectivo la tasa in-
terna de rendimiento que se obtiene es de 28.6%. Como la TIR > TREMA se justifica
·
·
aceptar la propuesta de inversión. Es muy importante sefialar que la justificación de la deseabilidad económica de la propuesta supone implícitamente financiarla con fondos que . provienen en su totalidad del capital contable.
TABLA
12-1. Flujo de efectivo después de impuestos suponiendo que la inversión
total fue obtenida de los dueños de la empresa.
Año
Flujo de afectivo antes de impuestos
o
-25,000
..
=
!Ci
'111
Depreciación
Ingreso gravable
Impuestos
Flujo de efectivo después de impuestos
4
�·¡ ,
1-5
-25,000 10,000
-5,000
15,000
-5,000
10,000
TASA INTERNA DE RENDIMIENTO= 28 . 6 %.
•
('
�
5-
t
"" " ..
Después de haber justificado la propuesta, el siguiente paso sería identificar las posi bles formas de fmanciarla. Posteriormente se harút un análisis de las mismas, con el propó
sito de seleccionar la más adecuada. Cabe hacer la aclaración, que en la mayoría de los casos no e-s posible identificar las fuentes de fmanciamiento que se van a utilizar en una
determinada propuesta. En tales casos, la propuesta de inversión deberá ser emprendida ya que sus méritos económicos y fmancieros la hacen atractiva, independientemente de la forma como esta propuesta pueda ser financiada.
Para propósitos de aclarar la metodología que se debe seguir en la selección de la
fuente de financiamiento más adecuada, se va a suponer que la propuesta de inversión puede ser fmanci�da de dos maneras: 1) Pedir prestado los $25,000 a una tasa de interés del 20%. Los intereses serían pagados al fmal de cada afio y el principal al fmal del quinto año. 2) Arrendar el activo pagando una renta anual de $8,500.
Para estas dos posibles formas de fmanciamiento, se muestran primero, en la tabla
12.2, los flujos de efectivo después de impuestos, suponiendo que el activo es fmanciado con pasivo y en la tabla 123 se muestran dichos flujos para el caso de arrendar el activo. Con estos flujos y los presentados obtiene el costo de
en
la tabla 12.1 se obtienen los flujos con los cuales se
cada fuente de financiamiento, es decir, el costo del pasivo por ejem
plo, es aquella tasa de interés para la cual el valor presente de los flujos presentados en la
tabla 12.1 es igual al valor presente de los flujos presentados en la tabla 12 .2*. Lo anterior es equivalente a determinar la tasa de interés para la cual el valor presente de la diferencia entre los flujos mencionados es igual a cero. Los flujos de efectivo diferenciales de la al ternativa pedir prestado, son mostrados en la tabla 12.4, y en la tabla 12.5 aparecen los
*
Los costos de estas fuentes de f'manciamiento también se pueden obtener utilizando las ecuaciones
desarrolladas en el capítulo 10.
#
Decisión de inversión y de firtanciamiento 231 flujos diferenciales de la alternativa arrendar el equipo. De los flujos diferenciales mostra dos en las tablas 12.4 y 12.5 se obtienen los costos de financiamiento de cada alternativa,
los cuales e.n este caso resultan ser de: 10% para la alternativa pedir prestado y 10.9% para la alternativa arrendar el equipo.
TABLA -12-2. Flujos de efectivo después de impuestos suponiendo que el activo es finan
ciado en -�u totalidad con pasivo.
Flujos de efectivo antes de Año impuest-osDepreciación Intereses
Flujos de efectivo Ingreso después gravable Impuestos Principal de impuestos o
o
o
5,000
-2,500
7,500
-5,000
s,ooo
-2,500
7,500
-5,000
5,000
-2,SOO
7,500
..:5,000
-S,OOO
5,000
-2,500
7,500
-5,000
-5,000
5,000
-2,SOO
-2S,000-17,500
1
15,000
-5,000
-S,OOO
2
15,000
-5,000
3
15,000
-5,000
4
lS,OOO
S
lS,OOO
TABLA 12.3 Flujos de ef�?ctivo después de impuestos suponiendo que el activo es arrendado.
Flujos de efectivo antes de impuestos
Año
Renta*
Ingreso gravable
Impuestos
Flujos de efectivo después de impuestos
-3,250
o
15,000
-8,500 -8,500
6,500
1
6,500
-3,250
3,250
2
15,000
-8,500
6,500
-3,250
3,250
3
15,000
-8,SOO
6,500
-3,250
3,250
4
15,000-
-8,500
6,500
-3,250
3,250
S
15,000
-8,500
6,500
-3,250
3,250
o
o
TABLA 12.4 Flujos de efectivo diferenciales para la alternativa "pedir prestado".
Flujos de efectivo despues de impuestos Año
Tabla 12.1
Flujo de efectivo después de impuestos Tabla 12.2
Diferencia (Tabla 12.1-Tabla 12.2)
o
-25,000
1
10,000
7,500
2,500
2
10,000
7,500
2,500
3
10,000
7,500
2,500
4
10,000
7,500
2,500
5
10,000
-17,500
27,500
-25,000
COSTO DEL PRESTAMO
=
10%
*Se asume que el plazo del contrato es igual a la vida itscal del activo, y por consiguiente, la renta es deducible en un 100%en el período en que se incurre (ver ecuación 10.16).
232 Distinción entre decisiones de inversión y de financiamiento TABLA 12.5 Flujos de efectivo diferenciales para la alternativa "arrendar el activo".
Año o
1 2 • 3 4 5
Flujos de efectivo después de impuestos Tabla 12.1
Flujos de efectivo después de impuestos Tabla 12.3
-25,000 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000
3,250 3,250 3,250 3,250 3,250
o
Diferencia (Tabla 12.1- Tabla 12.3) -25,000 6;750 6,750 6,750 q,750 6,750
COSTO DE ARRENDAMIENTO= 10,9%
..
i
:l
Del análisis anterior, es obvio que la mejor forma de fmanciar el activo es a través i
r
f
de un préstamo.
12.2 COMBINACION DE LA DECISION DE INVERSION Y LA DECISION DE FINANCIAMIENTO En el inciso anterior se explicó que el procedimiento normal de selección de pro puestas consiste de:
� � •
Justificación de la propuesta.
•
Cuando sea posible, seleccionar la fuente de fmanciarniento más adecuada.
Sin embargo, sería interesante analizar los resultados y las conclusiones que se ob tienen cuando en la evaluación de una propuesta mala (TIR
una
tasa de interés del 20% sobre saldos.
Bajo esta nueva situación, se va a suponer primero que el 20% del valor total del activo va a ser fmanciado a través de pasivo. La tabla 12.7 muestra los flujos de efectivo después de impuestos y laTIR que se obtiene para tal suposición. Como puede apreciar se, el simple hecho de suponer que parte de la inversión será fmanciada con pasivo, aumenta la tasa interna de rendimiento de la propuesta.
Co mbinación áe decisiones 233
En las tablas-12.8, 12.9 y 12.10, se muestra el mismo tipo de análisis para el caso de financiar el 40%, 60% y 80% del valor total del activo, _respectivamente. Como puede ob
servarse, a medida que aumenta la proporción de pasivo en la inversión total, la TIR aumenta más que proporcionalmente, llegando en el caso teórico a ser 00 cuando toda la
inversión es fmanciada con pasivo. En la figura 12.1, se muestra el comportamiento de la TIR para diferentes proporciones de pasivo en la inversión total. En esta figura, se pue
de observar que la propuesta tiende a ser cada vez mejor (en forma exponencial) a medida que se utiliza más pasivo para !manciarla. Tal resultado no es sorprendente, ya que los in tereses, al ser deduetbles, convierten a la propuesta en más deseable a medida que la pro
porción de pasivo aumenta. Sin embargo, es conveniente volver a puntualizar que una
propuesta debe ser aceptada de acuerdo a sus méritos económicos y fmancieros, itidepen dientemente de la forma como se fmancie.
Finalmente, en la misma!tgura 12.1 se puede apreciar que si las decisiones de inversión
y de fmanciamiento son combinadas, la propuesta se aceptaría para niveles de pasivo arri
ba del35% del valor total del activo.
Por otra parte, conviene resaltar el hecho de que las malas decisiones que resultan
de usar el método de la TIR, son exactamente las mismas que resultarían de usar el méto do del valor presente, es decir, si la decisión de inversión y la decisión de fmanciamiento son combinadas y el método del valor presente es utilizado, el proyecto se recharazaría para
niveles de pasivo cercanos a cero (valor presente negativo) y el proyecto resultaría atracti vo para niveles de pasivo arriba del35% del valor total del activo (ver figura 12.2). TABLA 12.6. F1ujos de efectivo después de impuestos suponiendo que el activo es
financiado con capital contable.
Flujos de
Flujos de
efectivo
efectivo Ingreso
antes de Año
impuestos
después de
Depreciación
griiVable
-5,000
7,000
Impuestos
impuestos
-
o
1-5
-25,000 12,000
-25,000
-3,500
8,500
TASA INTERNA DE RENDIMIENTO= 20.8%.
TABLA 12 7. Flujos de efectivo después de impuestos, suponiendo que el20% del
valor total del activo es financiado con pasivo.
Flujos de efec-
Flujos de Pagos
tivo des-
Ingreso
al prin-
pués de
Depreciaciónintereses
griiVable Impuestos
cipal
impues-.
12,000 12,000
-5,000
6,000
12,000
-5,000
efectivo antes de Año o
1
2 3 4· S
impuestos
-20,000
12,000
12,000
-5,000
-5,000
-5,000
-1,000
- 800
6,200
-3,000 -3,100
- 400 - 200
6,600
-3,300
- 600
6,400 6,800
-3,200 -3,400
TASA INTERNA DE RENDIMIENTO= 23.2%
-20,000
-1,000 -1,000
7,100
-1,000
7,300
-1,000
-1,000
7,000
7,200
7,400
234 Distinción entre decisiones de inversión y de financiamiento TABLA 128. Flujos de efectivo después de impuestos, suponiendo que e1 40% del valor to tal del activo es financiado con pasivo. Flujos de Flujo de
Pagos
. efectivo
al prin-
Ingreso
antes de Año impuestos Depreciaciónintereses
gravable
Impuestos
cipal-
efectivo despues de impuestos -15,000
o
-15,000
1
12,000
-5,000
-2,000
5,000
-2,500
-2,000
5,500
2
12,000
-5,000
-1,600
5,400
-2,700
-2,000
5,700
3
12,000
-5,000
-1,200
5,800
-2,900
-2,000
5,900
-3,100
-2,000
6,100
-3,300
-2,000
6,300
4
12,000
-5,000
-
800
6,200
5
12,000
-5,000
-
400
6,600
TASA INTERNA DE RENDIMIENTO= 27%
...
TABLA 12.9. Flujos de efectivo después de impuestos, suponiendo que e1 6� % del
�
valor to tal del activo es financiado con pasivo.
'·
Flujos
.
j
r
de efec.Flujos de
tivo des-
efectivo
tl
'r �-
Ingreso
antes de
Año impuestos Depreciaciónintereses gravable
"'
•• 1
Impuestos
Pagos
pués de
al prin-
impues-.
cipal
tos -10,000
o
-10,000
1
12,000
-5,00(}
-3,000
4,000
-2,000
-3,000
4,000
2
12,000
-5,000
-2,400
4,600
-2,300
-3,000
4,300
3
12,000
-5,000
-1,800
5,200
-2,600
. -3,000
4,600
4
12,000
-5, 000
-1,200
5,800
-2,900
-3,000
4,900
5
12,000
-5, 000
-
6,400
-3,200
-3,000
5,200
...
600
TASA INTERNA DE RENDIMIENTO= 34.1%
TABLA 12.10. Flujos de efectivo después deimpuestos,suponiendoque el 80% del valor to tal del activo es fin a nciado con pasivo . Flujos de efec-
Flujos de
vo des-
efectivo antes de
Ingreso
Año impuestos Depreciaciónintereses
gravable
Impuestos
pués de Pagos al impuesprincipal tos -5,000
o
-5,000
1
12,000
-5,000
-4,000
3,000
-1,500
-4,000
2,500
2
12,000
-5,000
-3,200
3,800
-1,900
-4,000
2,900
3
12,000
-5,000
-2,400
4,600
-2,300
-4,000
3,300
4
12,000
-5,000
-1,600
5,400
-2,700
-4,000
3,700
5
12,000
-5,000
-
6,200
-3,100
-4,000
4,100
800
TASA INTERNA DE RENDIMIENTO= 52.5%
\
Combinación de decisiones 235
TIR
80
70
60
5
40
30
20
10
20%
40%
60%
so%
100%
PASIVO INV. TOTAL
FIGURA 12.1. Comportamiento de laTIR para diferentes proporciones de p asivo en la inversión total.
/
236
.
.
.
Distinción entre decisiones de inversión y de financiamiento
.
-·
VPN
4000
�
V
3000
'
k¿ ·(� �-
�-
2000
� .¡
1
(..-
1000
..
so%
-1000
1
lOO%
PASIVO INV. TOTAL
./
-2000
FIGURA 12.2. Comportamiento del VPN para diferentes proporciones del pasivo en la inversión total.
'\
Problemas 237 12.3 CONCLUSION La conclusión más importante de este capítulo es que las decisiones de inversión y de fmanciamiento, se deben hacer en forma separada. Combinar estas dos decisiones nos pue den llevar a aceptar propuestas malas, sobre todo cuando disminuye la aportación de los accionistas con respecto a la inversión total. Las ideas presentadas en este capítulo también se pUeden hacer extensivas a la adquisición o fusión de empresas ya existentes, o al establecimiento de nuevas empresas. En tales circunstancias, considerar como inversión inicial la aportación de los accionistas al capital contable de la empresa adquirida, o de la nueva empresa establecida, tiende a producir el efecto ilusorio de un alto rendimiento. Sin embargo, un análisis económico co rrecto debe considerar como inversión inicial: 1) Para el caso de adquirir una empresa en operación; el valor de mercado de su capital contable, más el pasivo que actualmente tiene la empresa, y 2) Para el caso de establecer o iniciar una nueva empresa; los activos totales requeridos (activo circulante, más activo fijo).
PROBLEMAS
12.1.
La compañía X desea incursionar en el negocio de fraccionar terrenos. Específica mente, a esta compañía se le ha ofrecido un terreno de 1O hectáreas de área vendi ble, a un precio de $20,000,000. La compañía estima que la venta y urbanización de los lotes tardará 2 años. En el primer año la compañía estima que gastará $1O millones en gastos de urbanización y $3 millones por gastos de venta (comisiones), y en el segundo año los gastos serán de $8 millones y $3 millones respectivamente. Por otra parte, los ingresos estimados en los próximos 7 años son de $8, $10, $12, $14, $15, $15 y $15 millones respectivamente. Si la tasa de i mpuestos es de 50%, y la compañía tiene que pagar por el terreno $10 milloites ahora y el resto a un plazo de 5 años y a una taSa de interés de 20% sobre saldos. ¿Debería la compafíía adquirir el terreno y fraccionarlo? ¿Cuál es laTIR de este proyecto si la decisión de inversión y de fmanciarniento son combinadas?
12.2.
Cie� empresa planea adquirir un nuevo activo cuyo costo inicial es de $750,000. Los flujos de efectivo antes de depreciación e impuestos que promete generar este activo son de $300,000 anuales. La vida fJScal de este activo es de 5 años al fmal de los cuales no existirá ninguna recuperación mon,etaria. Además; esta empresa paga impuestos a una tasa del 50%, y ha fijado su TREMA en 25%. Por otra parte, la empresa considera que este activo puede ser fmanciado de dos maneras: 1) Pedir· prestados los $750,000 a una tasa del 20% sobre saldos y 2) Arrendar el activo. El plazo del contrato_sería de 5 años y la renta anual de $250,000. Si el activo es arrendado, la empresa comprará el activo al fmal del año 5 a un pre cio de $40,000.
Para la información anterior, ¿cuál fuente de fmanciamiento debe la empresa se leccionar? Si la decisión de inversión y de fmanciarniento son combinadas, deter mine una gráfica que relacione TIR con la proporción de pasivo en la inversión total. (Considere proporciones de 20%, 40%,60%,80% y 90%.)
123.
A la corporación ..B, se le ha ofrecido en 'venta la compañía X. La estructura fi nanciera actual y las utilidades proyectadas para los próximos 10 años de esta compañía son como sigue:
238
Distinción entre decisiones de inversión y de financiamie�to Estado de situación financiera
Activo circulante Activo fijo
$50,000,000
Pasivo total
$30,000,000
50,0.0,0,000
Capital contable
70,000,000
Proyección de utilidades (millones de pesos) Año
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
30
30
30
30
30
�o
30
30
30
30
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
Utilidades netas después de impuestos Deprecj.ación
t
:·: 1\
¿
�
1 �
�· ... ...
Si la TREMA de la corporación "B" es de
25%, ¿cuál es la cantidad máxima que
esta corporación estaría dispuesta a pagar por la compañía X? (no tome en cuenta la forma en que la corporación se va a fmanciar, o el pasivo actual que puede se guir utilizando dicha corporación). ¿Cuál sería el rendimiento sobre el capital con
table si la corporación compra
$36 millones del capital contable de la compañía X?
13 Análisis de sensibilidad
Generalmente hay un elemento de incertidumbre asociado a las alternativas estudia das. No sólo son problemáticos los estimativos de las condiciones económicas futuras, si no que además los efectos económicos futuros de la mayoría de los proyectos solamente son conocidos con un grado de seguridad relativo. Es precisamente esta falta de certeza sobre el futuro lo que hace á la toma de decisiones económicas una de las tareas más difí ciles que deben realizar los individuos, las industrias y el gobierno. Además, es un hecho que los tomadores de decisiones rara vez se conforman con los resultados simples de un análisis. Generalmente lo que a estas personas les interesa es un rango completo de los posibles resultados que pueden ocurrir como una consecuencia de variaciones en las estimaciones iniciales de los parámetros del proyecto. Por consiguiente, un estudio económico completo debe de incluir la sensibilidad de los criterios económicos a cambios en las estimaciones usadas.
13.1 SENSffiiLIDAD DE UNA PROPUESTA INDIVIDUAL La sensibilidad de tina propuesta individual debe hacerse con respecto al paráme tro más incierto. Por ejemplo, es posible que en la evaluación de una propuesta se tenga mucha incertidumbre con respecto al precio unitario de venta de los productos o servicios que se pretenden comercializar. En estos casos, es muy conveniente determinar qué tan sensible es la TIR o el VPN a cambios en las estimaciones del precio unitario de venta, es decir, para este tipo de situaciones es muy recomendable determinar el precio unitario de venta a partir del cual la propuesta sería económicamente atractiva. También, es posible que en la evaluación de una propuesta se tenga incertidumbre con respecto a los costos que se van a incurrir, o con respecto a la vida de la propuesta. En estos casos, también es posible determinar una curva que muestre la sensibilidad de la TIRo el VPN a cambios en los costos incurridos, o a cambios en la vida de la propuesta. El análisis de sensibilidad también puede ser utilizado para determinar la vulnerabili dad de un proyecto a cambios en el nivel de demanda. Por ejemplo, en la evaluación de la construcción de un hotel es posible obtener los diferentes rendimientos que se lograrían con distintos grados o porcentajes de ocupación del hotel. 239
240
Análisis de sensibilidad Es importante señalar que la sensibilidad de un proyecto debe hacerse con res
pecto al parámetro más incierto, es decir, o se determina la sensibilidad de la
TIRo
e1
VPN del proyecto a cambios en el precio urütario de venta, o a cambios en los costos, o a cambios en la vida, o a cambios en el nivel de demanda. Cambios simultáneos en varios de los parámetros no es posible realizar por la dificultad de visualizar gráficamente-los resul tados obtenidos (una variación simultánea de dos parámetros implica analiz'
Para comprender mejor la metodología que se debe utilizar cuando se estudia el gra do de sensibilidad de los criterios económicos
{TIR, VPN,
etc.,) a cambios en las estima-·
ciones de los parámetros utilizados, a continuación una serie de ejemplos son presentados.
t
Ejemplo 13.1
.,
1
La corporación "B" se encuentra analizando la posibilidad de entrar en el negocio
1 l
de fabricación de plataformas marinas, las cuales se utilizan en la exploración y explota
�
ción del petróleo en la región del Golfo de México. Investigaciones preliminares realizadas
...
por la dirección de nuevos proyectos de esta corporación indican que la inversión reque rida para este tipo de negocio será de $185,000,000, la cual se compone de los siguientes ·elementos:
1
Activo circulante
$ 70,000,000
Activo fijo:
•· 11 .......
Terreno
10,000,000
Edificios
10,000,000
Maquinaria y equipo
90,000,000
Preoperación y organización
5,000,000 $185,000,000
Los costos variables de operación, el nivel anual de ventas, y la eficiencia de operación de los próximos 10 años {horizonte de planeación que utiliza la corporación) se muestran en la tabla 13.1. Además, se estima que los gastos por concepto de mano de obra indirecta serán del orden de $4,830,000/año, y los gastos indirectos de fabricación de $7,517,000/año. Con respecto a la depreciación, los edificios se van a depreciar en 20 años y la maquinaria y. el equipo y los gastos preoperarivos y de organización en un período de 10 años. Tam bién, se sabe que la tasa de impuestos para esta corporación es de 50%, la TREMA es de 25%, y el va1or de rescate se estima en 10% del activo fijo y 100% del activo circulante. Finalmente, la dirección de nuevos proyectos estima que el precio de venta para este pro ducto es de $40,000/ton.
\
Sensibilidad de una propuesta individual 241 Para la información anterior, la tabla 13.2 muestra los flujos de efectivo después de impuestos que promete generar esta propuesta de inversión. Para estos flujos, la tasa inter na de rendimiento es de 3 1%. Puesto que la TIR >T REMA vale la pena emprender este
nuevo proyecto de inversión. Sin embargo, laTIR de este proyecto sería de 31% si todas las estimaciones que se hicieron con respecto a los parámetros del proyecto fueran co rrectas. Si el precio de venta por tonelada es menor de $40,000, entonces, laTIR defpro yecto disminuye. LaTIR del proyecto también disminuye si los costos variables directos por tonelada se incrementan. Por consiguiente, es recomendable analizar la sensibilidad de 1�TIR de este proyecto a cambios en el precio unitario de venta y a cambios en los cos tos variables directos.
TABLA 13.1. Costos de operación, ventas anuales y eficiencia de operación.
Año
Eficiencia
Ventas
MOD/ton*
Matlfton*
Maqfton*
(Tons/año)
Flete /ton
1
70%
5,917
$4,235
$7,814
2
80%
6,763
3,705
7,814
$ 11,440 11,440
3
90%
7,608
3,294
7,814
11,440
783
4
100%
8,454
2,964
7,814
11,440
783
5-10
100%
8,454
2,964
7,814
11,440
783
$783 783
La sensibilidad de la TIR a cambios en el precio unitario de venta se muestra en la figura 13.1. En esta figura se puede apreciar que el proyecto es atractivo o aceptable si el precio de venta por tonelada es mayor que $36,800. Por consiguiente, si se considera muy probable que el precio de venta por tonelada sea mayor que este valor, entonces se reco mienda seguir adelante con este proyecto. La recomendación anterior es válida si las esti maciones de los demás parámetros son correctas. Como los costos directos representan arriba del 90% de los costos totales, cualquier variación en ellos repercutirá grandemente en laTIR del proyecto. La figura 13.2 muestra la sensibilidad de la TIR a cambios en los costos directos. En esta figura se puede apreciar que si todas las demás estimaciones (precio de venta, gastos indirectos, etc.) son correctas, el proyecto de inversión puede soportar hasta un 15% de aumento en los costos variables directos.También, en la misma IJgUra se puede observar que si los costos variables directos disminuyen un 15%, laTIR obtenida sería de aproximadamente 37.5%. Finalmente, la IJgUTa 13.3 muestra la sensibilidad de laTIR a cambios en el precio unitario de venta y a cambios en los costos variables directos. En esta figura se puede apreciar que la TIR es más sensible a cambios en los costos.También, en esta figura se puede observar que si el precio de venta real es menor que el estimado en una cantidad mayor que 8%, entonces el proyecto de inversión deja de ser atractivo o aceptable.
*"MOD/ton =Mano de obra directa por tonelada Matl/ton Maq/ton
.. Material directo por tonelada = Maquila por tonelada (las láminas de acero son dobladas antes de llegar a la planta).
242 Análisis de sensibl1idad
. .
TIR
40
1
·¡
1
5 3
l
Q
��
1 • .. ,.,
30
25�------�------/------------------------------TREMA
...
20
34
3'6
38
40
42
44
46
FIGURA 13.1. Sensibilidad de laTIR a cambios en el precio de venta.
Precio de venta(ron. (miles de pesos)
Sensibilidad de una propuesta individual 243
TlR
4l}
35
3{)·
25+
�---
--- - - - - - ------------------
-----------
-......
-
--
TREMA
20
-15
·
FIGURA 13. 2. directos.
� s.6
-10
-5
o .
5
10
15
%de des viación del esperado
Sensibilidad de la TIR a variaciones en las estimaciones de los costos
244
Análisis de sensibüidad
.. TIR
Sensibilidad de laTIR a cambios en el precio de
40
venta
35
TIR
30
,r 20 t
--
-
=31%
!!'!l}IA
1 ___ --
--------
L
-----------
Sensibilidad de laTIR a cambios en los costos
1 l. 1 1 1 1 1
!1
-15
-- +--10
1
-5
•p .. o
%
de desvia
ción del es perado
5
10
15
1 FIGURA 13.3. Sensibilidad de laTIR a cambios en el precio de venta y a cambios en los costos variables directos
Isocuanta de una propuesta individual
245
TABLA 13.2 Flujos de efectivo después de impuestos suponiendo un precio de
venta de $ 40,000/Tons. (Miles de pesos)
.
Flujo de
FlujQ de
efectivo
efectivo
antes de Año:
después de
impuestos
Depreciación
Gravable
Impuestos
impuestos
-$ 185,000
o
-$185,000
1
80,716
$10,000
2
97,606
10,000
$
70,716
$ 35,358
45,358
87,606
43,803
53,803 62,236
3
-114,471
10,000
104,471
52,235
4
131,362
10,000
121,362
60,681
70,681
5
131,362
10,000
121,362
60,681
70,681
6
131,362
10,000
121,362
60,681
70,681
1
131,362
10,000
121,362
60,681
70,681
8
131,362
10,000
121,362
60,681
70,681
9
131,362
10,000
121,362
60,681
70,681
10
131,362
10,000
121,362
60,681
70,681
3,250
78,250
81,500
10 .
TASA INTERNA DE RENDIMIENTO= 31%
13.2 ISOCUANTA DE UNA PROPUESTA INDIVIDUAL Otra herranúenta muy útil en análisis de sensibilidad son las isocuantas o líneas de indiferencia. Todos los puntos que pertenecen a estas curvas son equivalentes. Por consi guiente, mediante estas curvas es posible obtener regiones o áreas en las que no se reco mienda invertir, y regiones o áreas en las que el proyecto debe ser emprendido. Para com prender mejor la aplicación de esta técnica, a continuación se presenta un ejemplo.
Ejemplo 13.2 La compañía W está considerando la posibilidad de entrar en el negocio de renta de
Bulldozers. Ya se han iniciado los estudios de mercado correspondientes y aunque.éstos estarán terminados dentro de un mes, se estima que cuando menos se puede rentar el bulldozer por dos horas diarias. En caso de buena demanda se rentaría 8 horas diarias. El valor de rescate de un bulldozer se estima después de 5 años de uso (vida fiscal), en el
50% de su valor original, aunque ya se encuentre totalmente depreciado. Los costos de opera<::ión estimados son:
Costos fijos por año: Mano de obra defoperador Prestaciones Costos variables: Combustibles y materiales Reparación y mantenimiento
$40,000 10,000
$10/hr 30/hr
246 Análisis de sensibilidad
Además, se sabe que en este tipo de negocio se tiene fijada una tarifa de
$400/hora
y sólo se permite trabajar de lunes a viernes. Finalmente, el director de esta compañía que
.
paga impuestos del SO% , ha manifestado en repetidas ocasiones que negocio que no da el 25% después de impuestos no es negocio. Para la información anterior, es posible determinar una isocuanta o línea de indife rencia que permita determinar la cantidad máxima a invertir en el bulldoiet, en función
·
de la cantidad de horas que se va rentar por día. Obviamente, a mayor cantidad de horas rentadas por día, mayor será la cantidad que la compañía W está dispuesta a invertir en el ·
bulldozer.
Para determinar la isocuanta o línea de indiferencia de la inversión contra las horas rentadas por días, suponga que X representa la cantidad de horas rentadas por día. Por . consiguiente, los ingresos y los costos anuales serían:
•
Ingresos anuales
�
días
�
s m
( )(s )(s ) ( X
•
d1a
sem
2
ano
$400/hr
\ J
=
$104,000X
Costos anuales Mano de obra del operador Prestaciones Combustible Rep. y mant.
X(5)(52) (10) = X(5)(52) (30)
$ 40,000 10,000 2,600X 7,800X 50,000 +10,400X
Con estos ingresos y costos anuales, es posible determinar los flujos de efectivo des pués de impuestos. Tales flujos se muestran en la tabla
13.3. A partir de estos flujos se
puede determinar la isocuanta o línea de indiferencia, al igualar
a
cero su valor presente.
Por consiguiente, la ecuación de la isocuanta sería:
- P+(46,800X- 25,000 +0.1 P) (P/A, 25%, 5) +0.25 P(PjF, 25%, 5) =.0
y simplificando se obtiene:
P= 193,885X -103,571 la cual puede ser graficada (ver figura 13 .4) y de esta forma visualizar las áreas en las que es conveniente invertir en dicho proyecto. Por ejemplo, si las horas que se espera rentar el bulldozer por día son
4, entonces la compañía W está dispuesta a hacer una inversión máxi $671,969 en el bulldozer. Si el precio del bulldozer es menor que esta cantidad, la TIR sería mayor que 25%. Para un precio mayor el rendimiento obtenido sería menor ma de
que TREMA.
Isotuanta de una propuesta individual 247
P (Inversión inicial) 1,400,000
1,200,000
No conviene invertir
-� O'
1,000,000
,§'
w
-� ?§' .,"' •t::-
800,000
v
600,000
400,000
Conviene invertir 200,000
•
1 1 1 1
:x (hrs. rentadas por día) 2
FIGURA 12.4
rentadas por día.
4
6
8
Isocuanta de la inversión en el bulldozer en función de las horas
� t
�· .¡
248 Análisis de sensibilidad
TABLA 13.3. Flujo de efectivo después de impuestos que genera el bulldozer. Flujo de
Flujo de
efectivo
efectivo
antes de Año impuestos
Ingreso Depreciación
impuestos -P
-P
o
93,600X 1-5
93,600X
0.20P
-46,800X
-50,000
-50,000
5
·
46,800X
25,000
- 0.20P 0.50P
-25,000
O.lOP
O.lOP
- 0.25P
0.25P
13.3 SENSIBILIDAD DE VARIAS PROPUESTAS Para ilustrar cómo se aplica la técnica de análisis de sensibilidad a varias propuestas, a- continuación se analiza la variación de la anualidad equivalente de dos alternativas de inversión a cambios en la. vida esperada del servicio que van a proporcionar. Para este prc;> pósito, suponga que la compañía X que usa una TREMA de 25%, desea seleccionar la mejor de las siguientes dos alternativas:
f-
fl
después de Impuestos
gra��able
A Inversión inicial
.
$10,000
Ingresos netos/año del añon
10,000
B
$30,000 -
(n
-
1) 1000
13,000
Puesto que el tiempo durante el cual se va a requerir el servicio que pueden propor cionar las alternativas
A
o B, es incierto, es necesario detenninar para cada alternativa su
anualidad equivalente en función de la vida esperada del servicio que van a proporcionar. Tales anualidades serían: •
AA As
=
-
= -
10,000 (A/P, 25o/o.
n) +
10,000- 1,000 (Afg, 25%, n)
30,000 (A/P, 25%, n) + 13,000
y sus valores para distintos valores den se muestran en la tal:íla 13.4. En la figura 13.5
aparecen en forma gráfica estos resultados. En esta figura se puede apreciar que las alter nativas
A
y B requieren que el servicio que van a proporcionar sea demandado al menos
1.3 y 3.8 años respectivamente, si se quiere asegurar una utilidad. También, en esta figura se pueden observar los rangos de la vida del servicio para los cuales una alternativa domina
a la otra. Estos rangos serían: Alternativa preferida
A B
Vida del servicio O,.;;n..;;9.6 9.6,.;;n
Es decir, si la vida del servicio que van a proporcionar estas alternativas es probable que sea menor que 9.6 años, entonces la mejor alternativa sería la
A. Sin embargo, si la mejor
Sensibüidad de varias '[Jropuestas 249
..
Anualidad equivalente
.,..-
5,000 4,000
'
Alternativa B
/
1
3,000
1
.
Alternativa A
.1
2,000
1
1,000
1 2
-1,000
+1
-2,000
!1
-3,000
.
ti
'1
4
6
8
10
12
14
16
18
20
vid¡¡ (n)
1
1 1
FIGURA 13.5. Sensibilidad de la anualidad equivalente a cambios en la vida del
servicio.
-, 250 Análisis de sensibilidad
estimación es mayor que 9.6 años, la mejor alternativa sería la B. Por c�nsiguiente, el im pacto de la subestimación o sobreestimación de la vida esperada del servicio se hace evidente. Este tipo de información es de gran ayuda para la persona encargada de tomar decisiones, ya que entiende �ejor los efectos de_ estimaciones de resultados futuros. TABLA 13.4. Sensibilidad de la anualidad equivalente a cambios en la
viqa del ser
vicio.
1
f[
-$24,500 7,884 2n 2,836 3,988 4,597 4,948 5,284
-$2,500 2,612 4,541 4,744 4,609 4,402 4,202 3,891
2 4 6 8 10 12 16
'
AB
AA
n
13.4 CONCLUSIONES
"'
1�
(J"
...
�
t..
Análisis de sensibilidad es una técnica ampliamente utilizada en la práctica. Sin em bargo, conviene señalar que además de esta técnica existen muchas otras como árboles de decisión, análisis de riesgo y simÚlación, las cuales pueden ser utilizadas para evaluar la incertidumbre de una propuesta de inversión. De hecho, cuando en un proyecto de in versión todos sus parámetros son inciertos (probabilísticos), la técnica de análisis de sen sibilidad no se recomienda utilizar, y entonces es necesario seleccionar la más adecuada de las técnicas mencionadas. Las principales ventajas de utilizar la técnica de análisis de sensibilidad son:
1)
su
fácil e�tendimiento (no se requiere tener conocimientos sobre teoría de probabilidad), y
2)
su facilidad de aplicación. Sus principales desventajas son:
parámetro a la vez, y
2)
1) Analiza variaciones de un
No proporciona la distribución de probabilidad de la TIR o el
VPN para variaciones en las estimaciones de los parámetros del proyecto.
·
PROBLEMAS
13.1.
La compañía W desea introducir al mercado un nuevo producto. La inversión en equipo requerida para la producción de este nuevo producto se estinia en $800,000. La vida fiscal de este activo es de 5 años y su valor de rescate al término de este
tiempo es de
$200,000.
Además, la compañía W estima que el precio unitario de
venta y el costo unitario de producción serían de la tasa de impuestos es de
50%,
$100 y $60 respectivamente. Si 8,000 unida
y la demanda anual esperada es de
des, ¿cual es la TIR esperada para la producción de este nuevo producto? Haga una gráfica que muestre la sensibilidad de la TIR a cambios porcentuales en el pre cio unitario y en el costo unitario.
13.2.
La compañía Z desea entrar en el negocio de renta de grúas. Estos attivos la com
pañía los deprecia en 5 años en línea recta. El valor de rescate de una grúa .des.-
Problemas 251
pués de 5 años de uso se estima en el 40% de su valor original. Los costos de operación estimados para este tipo de negocio son: Costos fijos por año: Operador
$ 80,000
Administrador del negocio
100,000
Costos variables por hora: $ 15/hr.
Combustible
45/hr.
Reparación y mantenimiento "
Si la tarifa en este tipo de negocio es de $500/hora, la tasa de impuestos es de 50%, y-la TREMA es de· 25% , determine la línea de indiferencia de la inversión en función de las horas rentadas por día. 13.3.
La compañía X desea entrar en el negocio de renta de automóviles, los cuales la compañía los deprecia en línea recta en un' período de cinco años, al final de los cuales el valor de rescate se estima en un 60% del valor original. Los costos estima· dos para este tipo de negocio son: Costos fijos por año: $50,000
Operador Administrador del negocio
70,000
Costo variable por kilómetro: $0.70
Combustible Reparación y mantenimiento
1.30
Si la tarifa en este tipo de negocio es de $3/km, la tasa de impuestos es de 50%, y la TREMA es de 30% , determine la línea de indiferencia de la inversión en fun ción de los kilómetros rentados por año. 13.4.
La compañía Y desea seleccionar una de las tres alternativas mutuamel).te exclusi
vas que se muestran a continuación. Sin embargo, esta compañía tiene incertidum bre con respecto al valor de TREMA que debe de utilizar en sus evaluaciones. Por consiguiente, esta compañía desea graficar el valor anual equivalente de cada una de las alternativas en función de TREMA, para de esta forma tomar la mejor deci sión. Determine los rangos de TREMA para los cuales una alternativa domina a las demás. A
Año
B
e
o
$
-$10,000
-$15,000
1
-12,000
- 9,000
- 9,000
2
- 12,000
- 9,000
- 8,000
3
- 12,000
- 9,000
- 7,000
4
-12,000
- 9,000
- 6,000
S
-12,000
- 9,000
- 5,000
o
"'
. .
14 Arboles de decisión
.
.
Las decisiones de inversión son probablemente las decisiones más difíciles y las más importantes que enfrenta la alta a dministración de una organización, por varias razones. Primero, estas decisiones generalmente demandan grandes cantidades de dinero. S egundo, los efectos de una decisión de inversión no son inmediatos. A diferencia de una mal deci sión con respecto a una política de inventarios, los efectos negativos de una mala decisión en proyectos de inversión, repercuten tremendamente en la posición fmanciera de la em presa y en las metas a largo plazo fijadas por la organización. Las inversiones son la implan tación de una estrategia. A través de las nuevas inversiones la alta administración controla
la dirección que debe seguir la organización. Finalmente, y quizás la más importante, las decisiones de inversión son caracterizadas por un grado alto de incertidumbre. Las deci� siones generalmente se basan en predicciones acerca de lo que ocurrirá en el futuro. Por todas estas razones, las decisiones de inversión absorben una gran cantidad del tiempo y la atención de la alta administración. Las decisiones de inversión, a diferencia de las áreas administrativas, son las que quizás han recibido más beneficio del desarrollo de nuevos métodos analíticos dé decisión. En el pasado se han desarrollado una gran cantidad de métodos sencillos y sofisticados para analizar decisiones .de inversión. Ejemplos de estos métodos son los que ya se han
explicado en capítulos anteriores. Sin embargo, uno de los problemas más importantes en decisiones de inversión es el manejo de laincertidumbre,la cual generalmente existe en toda decisión de inversión. Existen varias formas de manejar la incertidumbre. Una es a través de ..árboles de decisión". Las otras como sim�ción, y análisis de riesgo son presentadas en los capítulos sub siguientes.
14.1
ARBOLES DE DECISION
El enfoque de árboles de decisión, una técnica muy similar a programación dinámi ca, es un método conveniente para representar y analizar una serie de inversiones hechas a través del tiempo. La técnica de árboles de decisión consiste básicamente de los siguientes pasos: 253
f
254 Arboles de decisión l. Construir el árbol de decisión. Para la construcción del árbol es necesario consi-.
derar las diferentes alternativas o cursos de acción y los posibles eventos asociados a cada curso de acción. En la construcción de este árbol un O significa un punto
de decisión, es decir, en este punto un curso de acción (el·más adecuado) debe ser seleccionado. Un O representa los posibles eventos asociados a un curso de
acción. Por ejemplo, si actualmente se analiza la posibilidad de prÓducir un nuecursos de acción serían:
��
Noh•=n""
Decisión
�
Co struir una planta pequeña
Construir una planta grande
t.E(
Sin embargo, a cada curso de acción se le puede asociar una serie de eventos. Por
�
to puede ser baja', media o alta. Lo anterior se representa en árboles de decisión
r.
·
VO producto el CUal requiere de la construcciÓn de una nueva planta, los posibles .
ejemplo, es obvio que si se construye la planta pequeña, la demanda del produc de la forma siguiente:
1 Construir una planta pequeña
..
2. Determinar los flujos de efectivo de cada una de las ramas del árbol. 3. Evaluar las probabilidades de cada una de las ramas del árbol obtenido en el paso anterior.
4. Determinar el valor presente de cada una de las ramas del árbol.
5. Resolver el árbol de decisión con el propósito de ver cuál alternativa debe ser se
leccionada. La técnica de solución es muy simple y muy similar a programación
dinámica para atrás (algunos autores de libros en inglés le llaman a esta técnica
"rollback procedure", o "rolling backward").Con esta técnica se comienza en los
extremos de las ramas del árbol de decisión y se marcha hacia atrás hasta alcanzar
el nodo iniéial de decisión. A través de este recorrido, se deben de utilizar las si guientes reglas:
a) b)
Si el nodo es un nodo de posibilidad O, se obtiene el valor esperado de los
eventos asociados a ese nodo.
Si el nodo es un nodo de decisión O, entonces se selecciona la alternativa· que maximiza o minimiza los resultados que están a la derecha de ese nodo.
Arboles de decisión
255
Para ilustrar la aplicación de esta técnica, suponga que cierta empresa piensa intro ducii al mercado, un nuevo producto. Puesto que este producto es completamente diferente a los productos que actualmente se �abrican en la empresa, se requiere construir una nue va planta para la producción del nuevo producto. Los posibles cursos de acción iniciales para la empresa son: construir una planta grande, o construir una planta pequeña. Para es ta última alternativa es posible ampliar la planta si la demanda en los primeros años es ¡i{ta. Específicamente, el costo de la planta grande se estima en $5 millones, y en $3 millones el de la planta chica. Además, esta empresa considera que el horizonte de 10 años que usualmente utiliza en la evaluación de nuevos proyectos de inversión, puede ser dividido en dos períodos. El primero de 3 años que b�sicamente sirve para analizar el comportamiento que la demanda sigue durante este tiempo, y el segundo para tomar la decisión de ampliación en caso de que se haya construido la planta pequeña y la demanda en el primer período haya sido al ta. Por consiguiente, si se construye la planta grande y la demanda es alta en el primer período, entonces los ingresos netos anuales se estiman en $2 millones. Si la demanda es alta en los primeros 3 años, y alta en los 7 restantes, entonces los ingresos netos anuales del segundo periodo se estiman en $2.2 millones. Si la demanda es alta en el primer perío do y en ·el segundo es baja, entonces los ingresos netos anuales del segundo período se estiman en $L5 millones. Si la demanda es baja en el primer período, entonces la demanda también será baja en el segundo período y los ingresos netos anuales durante los 10 años se estiman en $1 millón. Por otra parte, si se construye la planta pequeña, y la demanda es alta en los primeros 3 años, entonces los ingresos netos anuales se estiman en $0.8 millones. Si la demanda es baja en los 3 primeros años, entonces la demanda también será baja en los 7 años restantes, y los ingresos netos anuales durante los 10 años se estiman en $0.4 millones. Si la deman da es alta en el primer período, se puede, o no, ampliar la planta a un costo de $4 millones. Si se amplía la planta y la demanda es alta, entonces los ingresos netos anuales del segundo período se estiman en $2.5 millones. Si se amplía la planta y la demanda es baja, entonces los ingresos netos anuales del segundo período se estiman en $1.5 millones. Si no se amplía la planta, y la demanda es alta, entonces los ingresos netos anuales del segundo período se estiman en $1 millón. Si no se amplía la planta, y la demanda es baja, entonces los in gresos netos anuales del segundo período se estiman en $0.7 millones. Finalmente, considere que la TREMA es de 20%, y que el departamento de Merca dotecnia de esta empresa estima que las probabilidades de que la demanda sea alta o baja en los próximos 10 años son como sigue:
A B
: Primer , :- penodo
:
-.--1
Segundo 1 � penodo 1
=
=
Demanda alta Demanda baja
256
Arboles de decisión Para la información anterior y aplicando la metodología explicada previamente, el.
primer paso sería la construcción del árbol d� decisión, el cual se muestra en la figura
14.1.
En este árbol primero se representa con un O la alternativa de construir una planta pequeña o cpnstruir una planta grande. En seguida se representan los diferentes eventos asociados a estos cursos de acción y los cursos de acción que la empresa puede seguir después de •
años de operación de la planta pequeña.
3
•
Una vez construido el árbol, el siguiente paso es poner los flujos de efectivo en cada: una de las ramas del árbol. Tal información aparece en la figura
14.2.
A 1 1 .
A = demanda alta
B
B = demanda baja PG =planta grande
'
9 �L------------------PP =planta pequeña E = expander
r
·
NE=no expander
A
PG
1
f, k
�;
�-
PP
r
/
1
:
D
1
; ...,._ ""'
Primer período
(3 años)
�;
B
�--------------------------------------�·
;
Segundo período
__. 1
(7 años)
----�
FIGURA 14.1. Arbol de decisión.
Con los flujos de efectivo, es poSible determinar el valor presente de cada rama. Tal información, así como las probabilidades de cada rama aparecen en la figura
14�3.
La solución de este 'árbol de decisión puede ser obtenida si se aplican las reglas des
critas en el paso
5 del procedimiento
propuesto. De acuerdo a este procedimiento, se eva
lúa primero el valor esperado en los nodos Nodo Nodo Nodo
4, 6 y 7. Tales valores
son:
4: 3.8{2/3)+2.34{1/3) = 3.31 6: 159{2/3}050(1/3) = 0 .89 7: 0.77(2/3)+0.15{1/3) = 056
Por consiguiente, en el nodo 5 la mejor decisión es ampliar la planta. En seguida, se evalúan los valores esperados en los nodos Nodo Nodo
2.y 1, los cuales resultan ser de:
2: 3.31(2/3)-0.81 {1/3) 3: 0.89(2/3)-1.32 (1/3)
= =
194 0 .15
Arboles de decisión 257 A (2.2)
·
B (1.5) B (1) A (2.5)
PG (-5)
B (1.5) A (1)
B (0.7)
PP (-3)
B (0.4)
FIGURA 14.2. Inversiones e ingresos para cada una de las ramas del árbol de decisión.
A(2/3) B (1/3) B (1)
B (1/3)
A (2/3) B (1/3)
FIGURA
14.3.
2.34 -{).81
A (2/3)
B (1)
3.80
1.59
-{).SO 0.77 0.15
-1.32
Valor presente para cada una de las ramas del árbol de decisión.
Consecuentemente, la mejor decisión en el nodo 1 es construir la planta grande (ver figU ra
14.4).
Con esta decisión el valor presente esperado sería de $1.94 millones, lo cual ga
rantiza un rendimiento mayor que TREMA.
A partir de este ejemplo, se puede observar que el enfoque de árboles de decisión
puede presentar la desventaja de un gran número de cálculos, puesto que las ramas del
258 Arboles de decisión
árbol se incrementan muy rápidamente a medida que el número de nodos de decisión y nodos de posibilidad se incrementa. La única forma de hacer este enfoque práctico, es limitar a un número muy pequeño la Cl}Iltidad· de ramas que emanan de un nodo de posi bilidad. Estp significa que la distribución de probabilidad en el )lodo de posibilidad repre senta a una variable aleatoria que sólo puede tomar una cantidad muy pequeña de valores diferentes.
•
§
A
•
A
3.80
B
2.34
B
-0.81
PG
.
11
e
0
A
1.59
B
-0.50
A
0.77
pp B
@
B
B
0.15
-1.32
FIGURA 14.4. Solución del árbol de decisión
Por otra pátt e, las respuestas obtenidas a través de un análisis de árboles de decisión son a menudo inadecuadas. La respuesta simple obtenida, el valor presente por ejemplo, representa el valor esperado de todos los posibles valores que el valor presente puede tomar. Más generalmente, el enfoque de árboles de decisión no proporciona todos .los posibles resultados a los que puede dar origen una decisión de inversión. Tampoco proporciona las probabilidades asociadas a estos resultados. En el ejemplo presentado, el enfoque de árboles de decisión indica que construir la planta grande sería la estrategia óptima, puesto que implantando esta decisión se ma
$1.94 (VPN óptimo) representa simplemente la media de 3 posibles resultados-del valor presente: $3.8 millones con una probabilidad de 4/9,$234 millones con una probabilidad . 2/9, y -$0.81 millones con una probabilidad -de 1/3. Lo anterior significa que la decisión de construir la planta grande produce un valor esperado del valor presente de $194 millones con una desviación estándar de $2.02 millones. ximiza el valor esperado del' valor presente neto. Sin embargo, el valor presente de millones
Aunque la decisión de construir la planta grande produce el mayor valor presente esperado, también produce la mayor desviación estándar. Por consiguiente, seleccionar la alternativamente que maximiza el valor esperado del valor presente no es un criterio de deci sión universalmente válido, es decir, no todas las personas tienen el mismo comportamiento
Problemas 259
hacia el riesgo. Algunas personas prefieren sacrificar posibles utilidades a cambio de reducir el riesgo del proyecto.
. A pesar de todas estas desventajas, el enfoque de árboles de decisión es una herra
mienta analítica muy utilizada, pues permite planear y controlar mejor a las nuevas inver siones. Por esta razón, el enfoque de árboles de decisión ha sido, es, y será una herramiypta muy importante en el análisis y evaluación de nuevas inversiones.
14.2 CONCLUSIONES
El uso del concepto de árboles de decisión como una base para analizar y evaluar inversiones, hacen más explícito e intuitivo el proceso de toma de decisiones. A través de esta técnica se puede tener una mejor idea del panorama completo del proyecto de inver sión, es decir, se captan mejor los diferentes cursos de acción y sus posibles eventos asocia dos, así como la magnitud de las inversiones que cada curso de acción origina. Por otra parte, conviene señalar que las principales desventajas de este enfoque pue den ser elinúnadas si se utiliza el enfoque de árboles de decisión estocásticos. Con este últi mo enfoque, cada nodo de posibilidad es representado por una distribución de probabilidad continua, y las cantidades o factores como las inversiones, también son representadas por
distribuciones de probabilidad continuas. Con las distribuciones de probabilidad definidas para todas las variables aleatorias que intervienen en el árbol y utilizando la técnica de si mulación (ver capítulo
16), es posible determinar la distribución de prob"abilidad del valor
presente neto para cada uno de los cursos de acción considerados. Con estas distribucio nes de probabilidad y la actitud del tomador de decisiones hacia el riesgo, se tomaría una
decisión que superaría a la que se tomaría si sólo se utilizara el enfoque de árboles de decisión. PROBLEMAS 14.1.
La corporación X desea introducir al mercado un nuevo producto. Para ésto, la corporación actualmente analiza dos posibles cursos de acción: construir una plan ta pequeña o construir una planta grande. El costo de la planta grande se estima en $ 5 millones y en $2 millones el de la planta pequeña. Si se construye la planta grande y la demanda en los próximos 5 años es alta, media o baja, entonces los- in gresos netos anuales se estiman en $1.8' millones, $15 millones y $1.2 millones respectivamente. Si se construye la planta chica y la demanda en los próximos 5 años es alta, media o baja, entonces los ingresos netos anuales se estiman en millones,
$0.7
$0.8 $0.6 millones respectivamente. Si la TREMA para esta ¿qu§ curso de acción debería ser tomado? ¿Cuál alternati
millones y
corporación es del15%,
va es más riesgosa? Las probabilidades de demanda alta, media y baja son respec-·
tivamente: 2/5, 2/5 y 1/5. 14.2.
Una compañía de alimentos actualmente analiza la capacidad de almacenamiento del almacén de productos terminados. Puesto que la demanda está creciendo, esta compañía siente que una buena estrategia sería ampliar la capacidad del almacén actual o construir uno nuevo. Si un nuevo almacén es construído, su costo inicial se estima en $ 1O millones. Si el almacén se amplía, la inversión inicial requerida se estima en
$4
millones. Si la decisión de ampliar se pospone, la compañía puede
esperar2 años y entonces decidir si el almacén se amplía o se deja como está.
·
260 Arboles de decisión
La demanda de los productos vendidos por esta compafiía puede ser alta
primeros dos años y alta en los tres restantes
los cinco años
(B1
(B1 A2) y
puede ser baja durante
B2). Dependiendo de estos niveles de demanda, los ingresos
netos anuales (millones de pesos) _de los próximos cinco años para cada uno de •
los cursos de acción que se pueden seguir en este momen�o serían:
·
Demanda
Construir un almacén nuevo Ampliar el almacén actual
111 •
A1A2
A1B2
B1A2
B1B2
$ 4.0
$3.8
$ 3.6
$ 3.0
2.0
1.6
1.2
LO
Si la decisión de ampliar el almacén actual se pospone para dentro de
1
inve.rsión requerida por esta ampliación se estima en
. '·
'1
(A1 A2}_
para los cincos años que se utilizan como horizonte de planeación, puede ser alta en los primeros dos afios y baja en los'tres restantes (A1 B2), puede ser baja en los·
$6
:
va, se supone que si la demanda es alta (baja) en los primeros
f:
anuales (millones de pesos) para los próximos tres años serían:
K:
ingresos netos anuales serían de
$1
millón
($0.6
2
años, la
mp.Iones. Para esta alternati
2 años, entonces los
millones). Los ingresos netos_ Demanda
l
A2
Bz
$3.5 0.8
$ 2.8
Ampliar el almacén No ampliar el almacén
Si la TREMA es de
•.
20%, y la distribución
próximos cinco años es como sigue:
0.6
de probabilidad de la demanda para los
Demanda
Probabilidad
A1A2
A1B2
B¡A2
BtB2
0.30
0.20
0.20
0.30
¿Qué curso de acción debería seguir esta compañía?
143.
La compañía Z ha estado experimentando una reducción en la demanda de su pro
$1 ,000. El costo varia $600. El nivel de ventas
ducto principal, el cual tiene un precio unitario de venta de ble unitario de producción para este producto es de esperado en los próximos cinco afios se estima en
10,000
unidades anuales.
Con el propósito de mejorar e incrementar la demanda de este producto, la alta administración de esta compañía desea implantar la mejor de las siguientes dos
estrategias:
1)
Disminuir el precio unitario de venta de
$1,000
a
$950,
y
2) Man-
Problemas 261
tener el mismo precio, pero incrementar los gastos de publicidad en $800,000 al año. Para los primeros dos años, las probabilidades de éxito y fracaso de cada estrategia, así como el incremento en las unidades anuales vendidas se muestran a continuación: Incremento en unidades. Estrategia
Probabilid[ld
Bajar 'precio
anuales vendidas
1 ( éxito)
4,000 unidades
Sostener precio y
0.8 (éxito)
3,000 unidades
Aumentar publicidad
0.2 (fracaso)
1 ,5 00 unidades
Durante los dos primeros años, es posible que el competidor reaccione sobre todo si la estrategia implantada ha sido exitosa. Por consiguiente, a continuación se muestran las probabilidades de que el competidor reaccione, dependiendo si hubo éxito o fracaso en los dos primeros años en la compañía Z. También, a continua ción se muestran los incrementos en las unidades anuales vendidas con respecto al nivel de ventas de los dos primeros años, para cada posibilidad de reacción y no-reac ción del competidor. Si la TREMA de esta compañía es de 25%. ¿Cuál estrategia debería la compañía Z seleccionar? ¿Qué estrategia es más riesgosa?
Incremento en las unzdades Reacción del Est rategia
Bajar precio
Sostener precio y aumentar publicidad
Probabilidad
competidor
vendidas
con respecto al año 2
0.7
reac ciona
1,000
0.3
no reacciona
2,000
0.6 (éxito)*
reacciona
1,500
0.4 (éxito)
no reacciona
3,000
0.2 (fracaso)
reacciona
500
0.8 (fracaso)
no reacciona
800
* 0.6 (éxito) significa que la probabilidad de que el competidor reactione dado que hubo éxito en los dos primeros años es de 0.6.
�
15 Análisis de riesgo
Dos problemas fundamentales están presentes en toda propuesta de inversión. El primero se refiere a la conversión de los flujos de efectivo futuros de acuerdo a cualquiera de los criterios económicos más ampliamente utilizados (valor presente, tasa interna de rendimiento, etc.) y el segundo al entendimiento y evaluación de la incertidumbre. El se gundo problema es a menudo de mayor importancia pero desafortunadamente ha recibido menos atención que el primero, por consiguiente, cuando una propuesta de inversión es analizada, se recomienda, incluir en el análisis alguna variable o medida que considere el riesgo inherente de la propuesta evaluada. Lo anterior es muy aconsejable, puesto que una inversión razonablemente segura con un rendimiento determinado, puede ser preferida a una inversión más riesgosa con un rendimiento esperado mayor. La consideración del riesgo en la evaluación de una propuesta de inversión, se puede defmir como el proceso de desarrollar la distribución de probabilidad de alguno de los criterios económicos o medidas de méritos ya conocidos. Generalmente, las distribuciones de probabilidad que más comúnmente se obtienen en una evaluación, corresponden al valor presente, valor anual y tasa interna de rendimiento. Sin embargo, para determinar
las distribuciones de probabilidad de estas bases de comparación, se requiere conocer las
distribuciones de probabilidad de los elementos inciertos del proyecto como lo son: la
vida, los flujos de efectivo, las tasas de interés, los cambios en la paridad, las tasas de in flación, etc. Los flujos de efectivo que ocurren en un período determinado son a menudo una función de un gran número de variables, entre las cuales se pueden mencionar las siguien
tes: precios de venta, tamaño del mercado, p<;>rción del mercado, razón de crecimiento del mercado, inversión requerida, tasas de inflación, tasa de impuestos, gastos de operación, gastos fijos y valores de rescate de los activos. Además,<es posible que los valores de estas variables sean independientes o estén correlacionados. Consecuentemente, el desarrollo añalítico de la distribución de probabilidad del criterio económico utilizado, generalmente no es fácil de lograrse en muchas situaciones del mundo real. Para estas situaciones, el enfoque de simulación es recomendado. Recientemente, el análisis de riesgo ha ganado una gran aceptación en muchas in dustrias, las cuales lo consideran en �a evaluación de nuevas propuestas de inversión y en la planeación estratégica de corto, mediano Y. largo plazo. , 263
�
264 Atuilisis de riesgo
15.1 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD MAS UTILIZADAS EN ANALISIS DE RIESGO El análisis de riesgo o probabilístico fue desarrollado para tomar en cuenta la incer tidumbre que generalmente se tiene con respecto a las variables que determinan los flujos de efectivo neto de un proyecto de inversión. Esta incertidumbre normalmefl'te es expre sada por medio de distribuciones de probabilidad. Las distribuciones de probabilidad de las variables aleatorias generalmente se desa rrollan en base a probabilidades subjetivas. Típicamente, entre más alejado del presente esté un evento, más incertidumbre habrá con ·respecto al resultado del evento. Por con siguiente, si la variancia es una medida de la incertidumbre, es lógico esperar que las va riancias de las distribuciones de probabilidad crezcan con el tiempo. Entre las distribuciones de probabilidad teóricas más comúnmente utilizadas en análisis de riesgo se pueden mencionar: la distribución nonru¡l y las distribuciones trian gulares. Un resumen escueto de cada distribución es presentado a continuación.
·
15.1.1 Distribución normal La distribución normal es, en muchos aspectos, la piedra angular de la teoría esta dística. Una variable aleatoria X se dice que tiene una distribución normal con parámetros
(-<11<-)
(15.1) e ilustrada 15.1. La distribución normal es tan utilizada, que una notación simplificada X'VN(p., al) es comúnmente usada para indicar que una variable aleatoria X es distribuida normalmente con parámetros 11 y a2 2 y a >O si tiene la función densidad dada en la ecuación
en la figura
•
1
f(x) f(x)
=
e
_!_(x-pi CJ 2
(15.1)
--<x<-
a.¡2if
J.1
FIGURA 15.1. Densidad de probabilidad normal
X
Distribuciones de probabilidad 265
Algunas propiedades de la distribución normal son:
a) f(x)>O b)
Lím
para todax
f(x)
=
O,
y
x�e) f
Lím x-+
{(x +
p.) }
La propiedad
a)
=
--
f(x)
=
O
f f--{x- p.)}
es requerida por todás las densidades 'de probabilidad y la propiedad
e) indica que la densidad es simétrica sobre
p..
Por otra parte, la media y la variancia de la distribución normal son:
/
1
�(X)
X
f
a$
-,
e
--
2 --
(X -1')2 o
dx = Jl
(15.2)'
y
co
VAR(X)
=
f
( x-
1 a..,fiir
iJY
!._ (X - 1' )2 e
2
o
dx
=
a
2
(15.3)
Puesto que la distribución normal solamente se puede integrar por métodos numé ricos, es conveniente hacer
un
cambio de variable que facilite los cálculos de probabilidad.
Dicho cambio de variable es:
Z Esta transformación
=
(X- p.)/a
hace que la evaluación de probabilidades sea independiente de p. y de
a. Con esta transformación, la distribución normal original se convierte en:
l{)(Z)
=
1 e -zl/2. ..¡¡;r
(15.4)
'--
la cual tiene una media de O y una variancia c.Je 1, esto es, Z 'VN(0,1), y esta variable se dice que sigue una distribución normal estándar. La ventaja de esta distribución es que ha sido tabulada y sus resultados se encuentran disponibles en cualquier libro de estadís tica.
15.1.2 Distribución triangular La distribución triangular al igual que la distribución
{3
son ampliamente utilizadas
al introducir riesgo en proyectos de inversión y caminos críticos
(PERT).
Ambas distri-
266 Análisis de riesgo
buciones se basan en una estimación pesimista, una más probable, y una optimista. Sin embargo, la distribución triangular (ver ecuación
15.5
y ftgura
15.2)
por su sencillez es
más fácilmente comprendida por el analista· y por las personas encargadas de interpretar los resultados del estudio.
2
(X: -.a),
(e -a)(b-a)
f(x)
a �x�b·
(15.5)
¡
=
para
2
(c-a)(c-b)
(x-e), parab�x�c
f(x)
••
'
'i ��
�J
t�
i
l .b
a
e
X
FIGURA 15.2. Densidad de probabilidad triangular.
Puesto que la distribución triangular se va a utilizar ampliamente en los ejemplos ·
que se presentarán en las secciones subsiguientes, a continuación se muestra el procedi" miento utilizado para evaluar su media y su variancia:.
E(X)
b
=
f a
2x(x-a) dx (e-a)(b-_a)
e
J
+
b
1
-2x(x- e )dx
(e -a)(c-b)
=
-
3
(a+b+e)
(15.6)
y
VAR(X)
=
/ a
�8
2x2(x-a)dx (e- a)(b-a) { a2
+
b2
+
e
J
b
+ c2 -ab -
- 2x2 (x - e)dx (e-a):(c-b)
ac -be}
- {i
(a+ b+ e)p
(15.7)
Distribución de probabilidad 267
Es obvio que cuando la distribución triangular es simétrica, es decir, b las fórmulas (15.6) y (15.7) se transforman en: a+c
E (X) =
2
=
(a + e)/2
(15.8)
=b
y
VAR (X)
-1
=
24
(e- a) 2
(15.9)
15.2 TEO�EMA DEL LIMITE CENTRAL
Si una variable aleatoria Ypuede ser representada como la suma de n variables alea torias independientes que satisfacen ciertas condiciones, entonces para una n suficiente mente grande, Y sigue aproximadamente una distribución normal. Lo anterior expresado en forma de teorema sería: Si X0, X¡, ... , Xn es una secuencia den variables aleatorias 2 independientes conE(Xj ) JJ.j y VAR(Xj) a (ambas fmitas)y Y= C0X0 + C1X1 + . .. �Xn, entonces bajo ciertas condiciones generales: =
=
n y z
-
!:
j=O
fJJJ.j (15.10)
=
n
!:
j=O
2
2
S oj
tiene una distribuciónN(O, 1) a medida que n se aproxima a infmit?. La demostración de este teorema, así como la discusión rigurosa de las suposiciones que soportan este teorema, están más allá del alcance de esta presentación. Lo importante es el hecho de que Y sigue aproximadamente una distribución normal, independientemente del tipo de distribuciones que tengan cada una de las X/s. Puesto que el teorema establece que Y está normalmente distribuida cuando n se aproxima a infmito, la pregunta que surge en la práctica sería: "¿Qué tan grande debe ser n de modo que la distribución obtenida para Ysea bastante parecida a la distribución nor mal?" La respuesta a esta pregunta no es tan sencilla puesto que la respuesta dependerá de las características de las ·distribuciones de las X¡'s así como del significado de "resultados razonables". Desde un punto de vista práctico, se puede decir que el valor den depende ' del tipo de distribución de las X¡ s. Por ejemplo. si las X¡'s siguen distribuciones simétricas el valor de n debe ser mayor o igual a 4. Por el contrario, si las X/s siguen distribuciones uniformes, el valor de n debe ser mayor o igual a 12. Finalmente, se recomienda que n ;;;. 100 si las distribuciones de las X/s son irregulares. _
15.3 DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DEL VALOR PRESENTE NETO
El valor presente neto de una propuesta de inversión, sin considerar inflación, se calcula de acuerdo a la siguiente expresión:
268
Análisis de riesgo
donde
li 'i
'
!'
x.
(15.11)
--
�
j=O (1
+t)i
ahora es una variable aleatoria que representa el flujo de efectivo neto del pe
X¡
ríodo j y cuya media y variancía son
Jl¡ y aj
respectivamente.
•
•
.
La expresión (15.11) también puede ser expresada como:
VPN =
-Xo +
1 (1 + i)
X¡ +
l (1 + i)2
.. .
x2 +
(1 + i)
n Xn (15.12)
pero si. 1
a-.
. .
n
VPN
c.
=
1
entonces la ecuación
t
-1
Si
j = O (15.13)
Si
(1 + i)i
j = 1,2,
.
.
.
-n
(15.12) se transforma en:
�
VPN =
¡1
C0X0 + C1X1 + .. CnXn =
De acuerdo a las ecuaciones
.
n
�
j=O
(15.14)
C¡X¡
(15.12) y (15.14) es obvio que el valor presente neto en lugar
de ser una constante, es una variable aleatoria. Por consiguiente, para propósitos de eva luar un proyecto, el procedimiento
usual sería determinar la media y la variancia del valor
presente. Puesto que el valor esperado de una suma de variables aleatorias es dado por la suma de valores esperados de cada variable, entonces, el valor esperado del valor presente· vendría dado por:
E (VPN)
n =
�
j=O
C¡ E(X¡)
n =
�
j=O
(15.15)
C¡ll¡ .
.
A la expresión anterior generalmente se le considera como el valor presente neto. Sin embargo, es necesario aclarar que aun cuando el valor esperado del valor presente neto sea positivo, existe cierta probabp.idad de que el valor presente sea negativo. Por consi guiente, es posible que ciertos proyectos sean rechazados aúnque el valor esperado de sus valores presentes sean positivos. Por otra parte, es conveniente mencionar que general mente al comparar alternativas mutuamente exclusivas, se t!ende a seleccionar aquellas alternativas para la cual el valor esperado del valor presente es máximo. Sin embargo, este criterio de decisión no es válido universalmente, es decir, no todos los tomadores de deci siones tienen el mismo comportamiento hacia el riesgo. Algunas personas prefieren sacri ficar utilidades a cambio de reducir el riesgo del proyecto. Para determinar la variancía del valor presente, es necesario considerar primero que X0, X1,
•
•
•
,
Xn
son variables aleatorias independientes. Por consiguiente, bajo este su-
Distribución de probabilidad 269 puesto y de acuerdo al teorema del límite central, el VPN está normalmente distribuido, donde la media_ está dada por la ecuación
VAR (VPN)
(15.15) y la variancia por: n
=
-
L
]=
(15.16)
e? a?
o
1
1
Antes de ilustrar el uso de esta información, se consider_a el caso de que las variables aleatorias
X¡
no sean independientes (los flujos de efectivo de un período a otro están
(15.16) se transforma en:
correlacionados). Para esta nueva situación, la ecuación n
VAR (VPN)
¿
j=O
e? a?+ 2 J
J
n-1 ¿
j=O
n L. C¡Ck Cov(X1, Xk) k j+ 1 =
(15.17) y el valor esperado del valor presente sigue siendo dado por la ecuación
(15.15). Desafor
tunadamente, esta nueva situación no es muy utilizada en la práctica. Las razones son dos:
1) La
falta de información histórica de las variables aleatorias (flujos de efectivo) dificulta
significativamente el cálculo de los coeficientes de correlación
ción de la matriz de covariancias; y
2) No se puede determinar
(p)
y por ende la evalua
con precisión la distribución
de probabilidad del valor presente, por lo que evaluaciones de probabilidades en forma exacta no pue.;ien ser hechas. Para estos casos, la única alternativa de evaluar un proyecto o comparar varios, es usar la desigualdad de Tchebycheff. Finalmente, puesto que las fórmulas
(15.15)
y
(15.16)
fueron obtenidas sin tomar
en cuenta la inflación, conviene señalar que si una tasa de inflación i¡ es introducida, las ecuaciones
(15 .15)
y
(15.16)
siguen siendo válidas, sólo que el factor
-1
C¡*
=
�
1 (l ¡Ji (1 +
Si
+í,)'
Si
j ¡
=
=
C¡
vendría dado por:
O 1, l, .. . , n
(15.18)
Para comprender y asimilar la teoría hasta ahora presentada, una serie de ejemplos
son resueltos.
Ejemplo 15.1 Suponga que cierta empresa desea analizar un proyecto de inversión que promete
generar los flujos de efectivo probabilísticos mostrados en la tabla
15-1. También, consi
dere que los flujos de efectivo de un período a otro son independientes. Finalmente,
considere que esta empresa utiliza una TREMA de 20% para evaluar sus proyectos de in
versión_
*Para el cálculo de este factor, se considera que x1 es el flujo de efectivo después de impuestos a pesos
corrientes.
270
Análisis de riesgo
TABLA 15-L Flujos de efectivos triangulares_ Estimación
Estimación
más probable
- optimista
Estimación Año
pesimista
_
o
-140
-100
-80
l
30
40
60
2
35
40
45
3
30
40
50
4
25
5
20
35
45
40
Para la información mostrada en la tabla
60
15-1, primeramente se obtienen la
media y
la variancia de los flujos de efectivo de cada período. Para este propósito, se utilizan las ecuaciones (15.6) y (15.7) presentadas anteriormente. En seguida, aplicando la ecuación ..
'
r�i
�¡ 1(' �
/
(15.15)
y
(15.16)
se obtiene el valor esperado y la variancia del valor presente. Los resul
tados de estos cálculos aparecen en la tabla
(15-2).
TABLA 1 5-2. Valor esperado y variai_lcia del valor presente. ·Año
C¡
11¡
E(VPN)
e?
a.z
1
VAR(VPN)
1
o
-1.00
107
-107
1.00
156
1
0.83
43
36
0.69
39
4
2
0.69
40
27
0.48
3
0.57
40
23
0.33
17
4
0.48
35
17
0.23
17
5
0.40
40
16
0.16
67
156
27
2 5 4 .
12
....
10
204
15-2, el valor esperado del valor presente es 12 204. Para analizar la aceptación o rechazo de este proyecto, suponga qué
Como se puede observar en la tabla y su variancia es
la empresa ha manifestado en repetidas ocasiones que un proyecto es acep�do solamente . si la probabilidad de que el valor presente sea mayor que cero, es de al menos 90%.
Para determinar si el proyecto satisface el criterio de decisión establecido por la em presa, a continuación se evalúa la probabilidad de que el valor presente sea mayor que cero (ver figura
15.3): P
{VPN> otf
=
=
{
P z
>
0-12 14.28
}
P {z>-0.84f 0.79954
y puesto que esta probabilidad es menor que
90%, el
proyecto deberá ser recha�ado.
Distribución de probabilidad 271
o
12
-0.84
o
FIGURA 15. 3. Distribución nonnal y normal estándar del valor presente neto.
Ejemplo 15.2 Suponga que cierto grupo industrial desea incursionar en el negocio de pailería. Investigaciones preliminares del mercado indican que existe una gran demanda para estos productos. Además, estos estudios previos revelaron que existen cinco lugares estratégicos en la república a los cuales se enviaría la producción. Puesto que la demanda es muy gran de en los sitios considerados como clientes potenciales, suponga también que la planta que se quiere construir .tendrá una capacidad de producción mucho menor a la demanda de estos clientes. También, suponga que la nueva planta enviará toda su producción a un solo sitio, y además, cualquier sitio tiene la misma probabilidad de ser elegido para sur tirle su demanda. Como no todos los sitios están alejados la misma distancia del lugar propuesto para la ubicación de la planta, los flujos de efectivo resultantes serían diferentes dependiendo del lugar al cual se envíe la producción; siendo mayores entre más cercano se encuentre el cliente (los fletes representan un costo muy importante en la evaluación del proyecto) . Por otra parte, considere también que los flujos de efectivo después de im
puestos a pesos corrientes de los próximos cinco años están uniformemente distribuidos entre los siguientes valores:
30, 40, 50, 60 y 70. Finalmente, considere que la inversión 90, la TREMA que utiliza la empresa es de 20%, y la
requerida en la nueva planta es de
tasa de inflación promedio anual de los próximos cinco años se espera que sea del orden de 1 O%. Si la empresa acepta proyectos para los cuales P { VPN �
O}
�
90%,
¿de bería
este proyecto ser aceptado? De acuerdo a la información presentada, primeramente se calcula a continuacíón
la media y la variancia de los flujos de efectivo de cada período:
P¡.
=
i (30+
40+50+60+70)
=
50 paraj
=
1, 2, ...
S
y
·
oj
=
-}- { .(30-50Y! +(40-50)2 +(50-50? +(60-50)2 +(70-50)2 } paraj
En seguida, aplicando las ecuaciones
(15.15)
y
(15.16)
=
1, 2,
. ..
=
200
5
se obtiene el valor esperado y la
variancia del valor presente. Los resultados obtenidos se muestran en la tabla
15-3.
272
Análisis de riesgo TABLA 15-3. Valor esperado y variancia del valor presente para la planta de pai-
lería.
Año
ll¡
1
C*
o
-1.00
2
0.57
1 3
4
-90
90
0.57
50
22
50
13
50
0.43
28
50 50
0.25
a.2 o
o
200
114
0.19
200
38
0.06
200
12
0.33
16
VAR(VPN)
1
1.00
38
0.76
0.33
5
"
C¡2
E(VPN)
200
0.11
66
200
22
27
252
Por consiguiente, la probabilidad de que el valor presente sea mayor que cero, sería:
P
VPN
{ >O }
=
P P
o
Z
{ > {z>
}
-27 15.87
- 1.70
}
0.95543 y puesto que esta probabilidad es mayor que
90%, se recomienda que el proyecto sea em
. prendido.
15.4 DJSTRIBUCION DE PROBABILIDAD DEL VALOR ANUAL EQUIVALENTE El valor anual equivalente de un proyecto de inversión, se calcula de acuerdo a· la siguiente expresión:
A =
l
X¡
n
�
j==O
{1 + i)j
1 ¡·
i{l + i)n (1 + i)n -1
l�-
VPN
l
i�1 +i)n (1 +z)n -1
t �
{15 .19) donde x1 sigue representando al flujo de efectivo del periodo j, el cual es una variable alea toria con media ·
Jl¡ y variancia
af.
Sin embargo, la ecuación {15.19) también puede ser
expresada en la forma siguiente:
A
*C¡
se
=
-KXo +
K --
{1 + i)
X1 +
obtiene aplicando la ecuación (15.18).
K {1 + i)2
X2
+
.
. .
K (1 + i)n
X
n
(15.20)
Distribución de probabilidad 273
donde:
i(l +i)n (1 +i)n -1
K y si
0 se defme como: Si
-K c. 1
entonces la ecuación
j = O
(15.21)
=
Si
K/(1 + i)i
j
=
1, 2,
. . . ,n
(15.20) se transforma en: n
A =
� j=O
(15.22)
e¡ xi
Es obvio, que la anualidad equivalente al igual que el valor presente neto está normalmente distribuida si:
1)
n se aproxima a infmito; y
2) los flujos de efectivo de un período a otro
son independientes entre sí. Además, el valor esperado y a la variancia de
vendrían dados por:
la anualidad
n
E(A)
=
� j=O
C¡ Jl¡
(15.23)
y n
VAR (A) =
� j=O
(15.24)
e? a? 1
1
Finalmente, si una tasa de inflación i¡ es introducida, las ecuaciones (15.23) (15.24) no se alterarían, sólo que el factor 0 vendría dado por la siguiente expresión:
-K C¡
K/(1
+
i)Í (l + i¡)i
Si
j =O
Si
j
=
y
(15.25)
1, 2,
.
.
.n
lS.S DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE LA TASA INTERNA DE RENDIMIENTO El procedimiento propuesto por Hillier1 para encontrar la distribución1de probabi�
lidad de la tasa interna de rendimiento
(TIR) es relativamente directo.
Consiste en encon-
1 Hillier, Frederick 'The derivation on probabilistic information for the evaluation of risky investment". Management Science, Vol. IX, No. 4 (abril, 1963) pp. 443-457.
274 Análisis de riesgo
trar la distribución de probabilidad del valor presente neto (VPN) para varios valores de i y entonces encontrar a partir de estas distribuciones, la distribución acumulada de la TIR: ·
Lo anterior expresado en forma de ecuación s�ría: Prob
La ecuación
(15.26)
{ TIR < i0 f
=
P.
J VPN
< O 1 i
=
io
l
(15.26)
es bastante obvia ya que la TIR sería menor que i0 si el valor pre-·
sente utilizado i0 es negativo. Por consiguiente, para obtener la distribución acumulada de laTIR, lo que se requiere es aplicar la ecuación
(15 .26) tantas veces como se desee.
Una vez obtenida la distribución acumulada de la TIR, esta puede ser utilizada de acuerdo a algún criterio de decisión, en la evaluación de una propuesta de inversión. Por.
(15.26) es válida solamente si la relación 15.4. Por el contrario, la ecuación (15.26) es como aparece en las figuras 15.5, 15.6 y
otra parte, debe ser señalado que la ecuación entre
VPN
e "i" es como aparece en la figura
no es válida si la relación entre
VPN
e "i"
15.7 .
..
VPN
VPN Préstamo
�
?
1 ' 1
FIGURA 15.4
VPN
1
FIGURA 15.5
No existe
VPN
solución
1
Tasas múltiples de rendimiento
i FIGURA 15.6
FIGURA 15.7
Finalmente, antes de discutir la aplicación de la teoría presentada, es conveniente señalar que la distribución de la TIR no es normal aunque el
VPN lo sea. Se aclara esta 2 situación, ya que en el artículo publicado por Hillier se asevera lo contrario.
Ejemplo 15.3 Para los datos presentados en el ejemplo
15.2 encuentre
la distribución acumulada
de laTIR. 2 La demostración de que la distribución de laTIR no es normal se puede realizar mediante simulación.
Conclusiones 275
Como se mencionó anteriormente, para obtener la distribución acumulada de la TIR se requiere conocer la distribución de probabilidad del valor presente para varios va-
lores de "i". Por consiguiente, el primer paso sería obtener la media y la variancia del valor presente para algunos valores de "i". En este caso· particular se seleccionaron valores de 30%, 40% y 50%. Los resultados obtenidos se muestran en la tabla 15-4. Con esta información y aplicando la ecuación
(15.26)
se obtiene la distribución acumulada de la
TIR. Dicha distribución se muestra en la tabla 15.5.
TABLA 15-4. Media y variancia del valor presente neto para distintas tasas de interés. Tasa de interés(%)
20
Año
c. l
Jlj
E(VPN)
c.2 1
VAR(VPN)
a.2 1
o
-1.00
90
-90
1.00
o
o
1
0.76
50
38
0.57
200
114
2
0.57
50
28
0.33
200
66
3
0.43
50
22
0.19
200
38
4
0.33
50
16
0.11
200
22
5
0.25
50
13
0.06
200
12 252
27 30
o
-1.00
90
-90
1.00
o
o
1
0.70
50
35
0.49
200
98
2
0.49
50
24
0.24
200
48
3
0.34
50
17
0.12
200
24
4
0.24
50
12
0.06
200
12
5
0.17
50
9
0.03
200
7 40
o
-1.00
90
-90
1.00
o
o
1
0.65
50
32
0.42
200
84
2
0.42
50
21
0.18
200
36
3
0.27
50
14
0.07
200
14
4
0.18
50
9
0.03
200
6
5
0.16
50
8
0.01
200
2 142
6 50
6 188
o
-1.00
90
-90
1.00
o
o
1
0.61
50
30
0.37
200
74
2
0.37"
50
19
0.13
200
26
3
0.22
50
11
0.05
200
10
4
0.13
50
6
0.02
200
4
5
0.08
50
. 4
0.01
200
2
-20
116
15.6 CONCLUSIONES Diferentes enfoques descriptivos fueron presentados en este capítulo para considerar en forma objetiva la incertidumbre inherente que todo proyecto de inversión implica.
276 Análisis de riesgo
En particular, se discutió la distribución de probabilidad de los tres criterios econónúcos más ampliamente utilizados que son: valor presente neto, valor anual equivalente y tasa:· interna de rendinúento. Sin embargo, es conv!=lniente señalar que la presentación de estos temas fue un tanto simplificada, por c�msiderar que ciertas situacion.es del mundo real son
bastantes difíciles de modelar analíticamente. No obstante la gran dificultad de modelar analíticamente estas situaciones, existen otras técnicas como simulación, l�t.oual se consi- . dera muy apropiada y muy simple de aplicar en estos casos. Finalmente, es necesario enfatizar que el enfoque probabilístico es r�comendable que se use cuando: 1) Las técnicas tradicionales no establecen claramente la deseabilidad econónúca del proyecto, o no establecen claramen�e cuál de los proyectos analizados es el mejor; y 2) La magnitud de la inversión inicial es significativa.
TABLA 15-5. Distribución acumulada de laTIR.
...
Valor presente neto
Distribución
Tasa de inteies (%)
acumulada media
D. estándar
variancia
P{ VPN
de laTIR
r§
20
27
252
15.87
0.04457
F
30
7
188
13.71
0.30503
0.30503
40
-6
142
11.91
0.69146
0.69146
50
-20
116
10.77
0.96784
0.96784
:S
1
0.04457
PROBLEMAS \. 1
15.1.
La compañía X desea entrar en un nuevo negocio, el cual demanda una inversión inicial de $100,000 y promete generar $30,000 anuales. Sin embargo, la vida de este nuevo negocio es incierta. Cuál es la probabilidad de que el negocio sea acep table si la TREMA es de 15%, y la distribución de probabilidad de la vida del pro yecto es la siguiente: Año Probabilidad
15.2.
1
2
3
4
5
OJO
0.15
0.20
0.25
0.15
7
6 0.10
0.05
Para el problema anterior, cuál es la probabilidad de que el negocio sea aceptable si la TREMA sigue la siguiente distribución de probabilidad: TREMA Probabilidad
15.3.
0.10
0.15
0.20
0.20
0.60
0.20
Para el problema 15.1, cuál es la probabilidad de que el negocio sea aceptable si los ingresos netos anuales siguen la siguiente distribución de probabilidad:
-
Ingresos netos Pro habilidad
15.4.
20,000 0.2
Problemas 277
30,000
40,000
0.50
0.30
La compañía Y desea entrar en un nuevo negocio que promete generar los flujos de efectivo probabilísticos que se muestran a continuación. Si los flujos de efec tivo de un período a otro son independientes, y laTREMA es de 15%, ¿cuál es la probabilidad de que el valor presente sea mayor que cero? Si un proyecto es acep tado cuando Prob. { VPN > O}> 0.95, ¿qué decisión tomaría la compañía Y?
Año
Estimacióñ pesimista
Estimación más probable
Estimación optimista
-$300 80 75 80 90 100
-$250 100 100 120 120 130
-$200 120 125 140 150 150
o
1 2 3 4 5
15.5.
Para el problema anterior, determine la distribución acumulada aproximada de laTIR. 15 .6. La corporación Z desea incursionar en un nuevo negocio cuya inversión inicial requerida sigue una distribución normal con media de -$1,200,000, y desviación estándar de $100,000. Si los flujos de efectivo de un período a otro son indepen dientes y normalmente distribuidos con media de $30,000 y desviación estándar de $2,000, la TREMA es de 25%, y la política de la alta administración de esta compañía es aceptar proyectos con Prob. {VPN > O} � 0.95, ¿debería este proyecto ser aceptado? 15.7. Para el problema anterior, determine la distribución acumulada aproximada de laTIR. 15.8. Dos alternativas de inversión están siendo consideradas por la compañía w: Las distribuciones de probabilidad de las dos alternativas se muestran a continuación: A
Inversión inicial Ingresos anuales Valor de rescate Vida
15.9
N(/1 i O; a = 1) N(/1 = 4; a = 0.5) N(/1 = 2; a = 0.3) 5 años =
B N(/1 15; a = 2) N(/1 = 10; a = 1.2) N(/1 = 3; a = 1) 5 años =
Si laTREMA es de 25%, ¿cuál es la probabilidad de que la alternativa A sea mejor que laB? Si en el problema anterior, laTREMA sigue la siguiente distribución de probabilidad:
278 Análisis de riesgo
TREMA
·
Probabilidad
15
20
25
30
0.15
0.25
0.40
0.20
¿Cuál es la probabilidad de que la alternativaA sea mejor que la B?
• •
15.10. Dos alternativas de inversión están siendo evaluadas. Sus distribuciones de proba
bilidad se muestran a continuación: Año
f.lA
a
A
f.lB
a B
o
-$200,000
$20,000
-$300,000
1
80,000
8,000
120,000
12,000
2
100,000
10,000
120,000
12,000
$30,000
3
120,000
12,000
120,000
12,000
4
140,000
14,000
120,000
12,000
5
160,000
16,000
120,000
12,000
Si la TREMA es de 30%, ¿cuál es la probabilidad de que la altern�tivaA sea mejor que B? (Utilice la distribución del valor anual equivalente.)
16 Simulación
La tarea más importante de un ejecutivo es hacer e implantar decisiones. Muchas decisiones, triviales e importantes, deberán ser hechas día con día para encaminar o dirigir la organización hacia el logro de sus metas. Algunas de estas decisiones requerirán perso nal altamente capacitado y grandes inversiones en dinero. Tales decisiones podrían ser: desarrollar
un
nuevo producto, introducirse en una nueva área geográfica, comprar una
compañía, adquirir nuevo equipo, etc. Este tipo de decisiones normalmente requiere un análisis más detallado, y el buen desarrollo de la compañía requiere que muchas de estas decisiones sean hechas correctamente.
16.1 IDEAS BASICAS EN ANALISIS DE RIESGO A la par con el gran desarrollo tecnológico de las computadoras, muchos investiga
dores han desarrollado y perfeccionado un gran número de técnicas útiles para tratar el riesgo y la incertidumbre. Estas técnicas van de las más simples a las altamente sofisticadas. Frederick Hillier profesor de la Universidad de Stanford desarrolló un método de eva-lua ción, el cual es altamente matemático y probabilístico*. A pesar de su fundamento teóri co, el modelo de Hillier y enfoques similares no han recibido una amplia aceptación por parte de ejecutivos y administradores. Las razones son que el problema debe ser especial mente formulado para que se ajuste al modelo, y un alto entendimiento de la teoría de probabilidad es requerido. A diferencia de los métodos probabilísticos, los cuales tienden a ser difíciles de en
tender, la simulación puede ser fácilmente entendida después de un pequeño esfuerzo. Sin embargo, su realización �equiere de una computadora digital. Desde sus inicios durante la Segunda Guerra Mundial, la simulación ha sido una técnica muy valiosa para analizar pro blemas que involucran incertidumbre y relaciones complejas entre sus variables.
*Hillier, Frederick, ''The Derivation of Probabilistic lnformation for the Evaluation of Risky Invest· ments". Management Science, Vol IX, No. 4 (abrill963) pp. 443-457.
279
280 Simulación
Muchas compañías han reconocido la necesidad de incluir el factor riesgo en los estudios económicos, y han destinado recursos al desarrollo de programas donde la técni ca de simulación sea aplicada al análisis de sus ·problemas. Sin embargo, a pesar de la rela tiva facilidad de comprender esta técnica, se ha encontrado que· muchos ejecutivos y administradores se muestran escépticos en los grandes beneficios que se pueden obtener al utilizarla en la toma de decisiones. Hay dos razones aparentes que expll�an esta situa ción. En primer lugar la simulación adolece en menor proporción de la misma desventaja de los modelos probabilísticos, en el sentido de que los ejecutivos no comprenden com pletamente los aspectos técnicos de la simulación. El otro problema es la inversión reque rida en equipo y personal especializado, el cual es requerido al aplicar esta técnica.
16.2 LOGICA DE LA SIMULACION Es obvio que muchos problemas de decisión tienen en común una gran cantidad de elementos. Por ejemplo, inherente a todo problema de decisión son los diferentes cursos ..
de acción de entre los cuales se deberá seleccionar el más adecuado. Estos cursos de acción pueden ser comparados de acuerdo a algún criterio económico. Criterios de este tipo po drían ser: retorno sobre la inversión, tiempo requerido para recuperar la inversión, valor
� ) r
presente, tasa interna de rendimiento, etc. Otro elemento común en la toma de decisiones
1
dos que se obtendrán en el futuro es común a muchas decisiones, y es a menudo posible
es el capital disponible. Además, existen factores de depreciación e impuestos, los cuales son expresados en términos contables estándares. También la incertidumbre en los resulta expresar esta incertidumbre en forma de distribuciones de probabilidad. La gran similitud en los diferentes elementos que intervienen en el proceso de toma de decisiones, facilita el desarrollo de una metodología general de simulación, la cual en este caso sería aplicada al análisis y evaluación de proyectos de inversión (ver figura 16.1).
l.
(
Un par de ejemplos son presentados para aclarar la aplicación de esta técnica.
Ejemplo 16.1 Suponga que una compañía petrolera está considerando construir una nueva esta ción de gasolina. Una investigación preliminar del mercado indica que la mayor incerti dumbre es con respecto al volumen de ventas y al margen de contribución por litro de gasolina vendido. La compañía tradicionalmente ha requerido que sus inversiones ganen al menos una TREMA después de impuestos de 10% sobre la vida esperada del proyecto. Sin embargo, de acuerdo a la fllosofía de incertidumbre representada a través de distribuciones de pro babilidad, la administración ha establecido que un proyecto de inversión será emprendido si Prob.
{I'IR >TREMA}� 0.90.
Después de alguna discusión con respecto a la incertidumbre de las variables que in tervienen en el proyecto, se supuso que el volumen de ventas está normalmente distribui do con media de 350,000 litros/año y desviación estándar de 35,000 litros. El margen de contribución se estima que está uniformemente distribuido entre $.07 y $.10 por litro. Utilidades adicionales de $35,000/año pueden ser obtenidas en la venta de llantas, acumuladores y accesorios. La inversión inicial será de $100,000 y además se tendrán gas tos de operación anuales de $40,000 durante la vida del proyecto la cual se considera de 1 o' años al final de los cuales eÍ valor de rescate es despreciable. Finalmente, una tasa de im puestos del 48% será utilizada.
Lógica de la simulación 281
Datos de entrada Tasa de impuestos, TREMA,
Generador de variables aleatorias
parámetros del proyecto y sus distribuciones de pro
I_A l 1 '1 .111.1
normal
babilidad, etc.
uniforme exponencial empúica
Depreciación Se calcula en función del tipo de activo y de la ac
1
.,¡
M ODELO DE INVERSION •
1�
tividad industrial en la que son utilizados.
Oiterios de evaluación Tasa interna de rendimiento Valor presente Valor anual equivalente Retorno sobre la inversión Período de recuperación
Distribución de probabilidad del criterio de evaluación seleccionado
Histograma Histograma acumulativo
� Luillll
Análisis estadístico
1---
Media Desviación estándar
��
Decisión
Rango
FIGURA 16.1
Diagrama de flujo general para simular un proyecto de inversión.
j
282 Simulación Con la información anterior es posible determinar la distribución de probabilidad de la TIR y en base a ello tomar una deci.sión. Los pasos necesarios para determinar esta dis tribución son: l . Simular el volumen de ventas en litros para los próximos
2.
10 años. 10 años.
Simular el margen de contribución por litro para los próximos
3. Determinar mediante la expresión siguiente, el flujo de efectivo neto después de impuestos para los próximos
St
=
10 años:
(VtMt + UA- G0)(1- T) + DT
para t=
1, 2, ... 10
donde:
Vt. Mt
=
=
Valor simulado de los litros vendidos en el año t.
Valor simulado del margen de contribución del año t
UA = Utilidad por concepto de llantas y accesorios.
G0 D T
= Gastos de operación. =
=
Depreciación anual.
Tasa de impuestos.
4. Calcular la tasa interna de rendimiento para estos valores simulados con la expre
sión siguiente:
_
100,000 +
w
t�1
st -o (1 +TIRf -
5. Repetir estos cuatro pasos tantas veces como se desee. Si se aplica este procedimiento, el resultado será el histograma que representa la dis tribución de probabilidad de laTIR (ver figura
16.2). A partir de este histograma se ob 16.3).En esta última figura se puede aproximadamente 0.30 de que el rendimiento des
tiene la distribución acumulada de laTIR (ver figura apreciar que hay una probabilidad de
pués de impuestos sea menor que 1 O%. Esto significa que la propuesta no satisface el criterio establecido por la administración, de tener al menos una probabilidad de un rendimiento después de
Íl!lpuestos
mayor que
10%. Sui embargo,
0.90
de lograr
debe ser ·señalado
que solamente 250 simulaciones de la TIR fueron realizadas, y que un número mayor de simulaciones podría cambiar ligeram.ente esta distribución.
Ejemplo 16.2 En el ejemplo anterior se supuso que el volumen de ventas estaba normalmente dis tribuido y que el margen de contribución seguía una distribución uniforme. Muy a menu do este tipo de suposiciones no es posible justificar; esto es, generalmente se desconocen las distribuciones de probabilidad que representan a cada una de las variables que intervie nen en el modelo. Esta dificultad puede ser vencida si suponemos que tanto la inversión
Lógica de la simulación 283
f(TIR)
.30
Media Desviación estándar
10.8 2.2
=
14.2
Rango
.17 .
16
.15 .14 .13 .12 .11 .10 .09 .08 .07 .06 .05 .04 .03 .02 .01 o
1
.
2
1 3
1
4
1 5
6
7
8
9
10
u
12
1 FIGURA 16.2 Histograma de la tasa interna de rendimiento.
13
1
14
TIR
\
284 Simulación
..
F(TIR)
l. O
0.9 ...
0.8 ..
� 0.7
1 0.6
u
0.5
(
0.4
0.3
0.2
0.1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
FIGURA 16.3 Distribución acumulada de laTIR.
11
12
13
14
TIR
Lógica
de
la simulación
285
como los flujos de efectivo que genera e] proyecto están representados por distribuciones triangulares.
. Para ilustrar una situación de este tipo, considere que la compañía Z desea analizar ]a
deseabilidad económica de un proyecto de inversión, el cual promete generar los flujos
16.4.
de efectivo triangulares que aparecen en la figura
Además, suponga que esta com
pañía requiere que sus inversiones ganen al menos una TREMA del lO%. Más específica� mente, la administración de esta compañía ha establecido que un proyecto de inversión será emprendido si Prob. {VPN >O }
:;;;;;. 0.90.
Con la información anterior es posible determinar la distribución de probabilidad del VPN y en base a ello tomar una decisión (debe ser notado que para este ejemplo no se está considerando el efecto de los impuestos). Los pasos necesarios para determinar esta distribución de probabilidad son: l. Determinar el valor presente máximo y mínimo que puede resultar de la simula
ción. Tales valores son:
VPNmáx
VPNmín
= -
= _
200 + 170 (1.1)
300
+
100
+
(1.1)
o
+
180 (1.1)1
+
____.2!!
210 (1.1)3
25 (1.1?
(1.1)2
1
=
=
261
-153
2
Tiempo Pesimista
3
Más probable Optimista
o
-300
-250
1
100
140
170
2
90
140
180
3
- 25
80
210
FIGURA 16.4 Estimación de flujos de efectivo.
-200
286 Simulación
2. Dividir este intervalo (-153, 261) en 20 sub intervalos iguales. 3. Simular el valor de los cuatro flujos de efectivo que cqmprende el proyecto. 4. Calcular el valor presente de los flujos de efectivo simulados en el paso anterior,
de acuerdo a la siguiente expresión:
VPN =
J.
t
s t
.
..
;-;0 (I.l)t
donde st es el flujo de efectivo simulado del período t. 5. Repetir los pasos anteriores tantas veces como se desee. Si se aplica este procedimiento, el resultado será el histograma tabulado que aparece en la figura 16.5. A partir de este histograma se obtiene la distribución acumulada del
VPN (ver figura 16.6). En esta última figura se puede apreciar que existe una probabilidad de 0.16 de que el VPN sea menor que cero. Esto significa que de acuerdo a los estándares establecidos por la administración, este proyecto será rechazado. Sin embargo, conviene señalar que en este ejemplo sólo se hicieron 250 simulaciones del VPN, por lo cual la deci sión que se está tomando no es muy confiable. Mayor número de simulaciones es requeri do para determinar con mayor exactitud la distribución de probabilidad del VPN.
Límite inferior
Límite superior
del intervalo
del intervalo
Fracción
Fracción acumulada
-
- 153.4936
- 132.7648
0.000
- 132.7648
- 112.0361
0.000
- 112.036 1 -
-
-
91.30729
0.000
91.30729
-
70.57551
0.004
70.57551
-
49.84974
0.008
49.84974 29.1289
-
-
29.1289
8.3921
8.3921
12.3365
12.3365
33.0653
33.0653
53.7941
53.7941
74.5229
74.5229
95.2516
95.2516
115.9805
115.9805
136.7092
13_6.7092
157.438 178.1668 198.8956
.157.438
178.1668 1 98.8956
219.6243
219.6243
240.3531
240.3531
261.0819
J.lVPN =41.8367
0.028
0.064 0.132 0.183
0.149 0.200 0.144 0.072 0.012 0.000 0.000 0.000
0.000 0.000
0.000
0.000 0.000 0.000 0.004 0.012
0..040 0.104 0.236
0.424
o.s.n: 0.772 0.916 0.988 1.000 1.000 1.000 1.000
1.000 1.000 1.000
aVPN=39.24071.
FIGURA 16.5 Frecuencia acumulada de la distribución del valor presente.
Lógica de la simulación
287
F (VPN)
LOO
0.90
0.1
.
�
- 100
-50
50
lOO
150
. VPN
o FIGURA 16.6 Gráfica acumulativa de la distribución de probabilidad del valor presente.
\.
288 Simulación
16.3 CONCLUSIONES La técnica de simulación es muy fácil de entender y de aplicar en situaciones de riesgo e incertidumbre. Mediante simulación, problemas que no pueden ser resueltos con las técnicas presentadas en el capítulo anterior, pueden ser fácilmente analizados. Por
ejemplo, suponga una situación en la que los flujos de un período a otro estért eórrelaciona dos, que los flujos de un período sean el resultado de una suma de variables aleatorias, y que además existe una tasa de inflación cuya distribución de probabilidad se conoce. Es obvio que en estos casos las técnicas presentadas en el capítulo 15 serían muy difíciles, o
posiblemente imposibles de aplicar. Sin embargo, por medio de la simulación es muy sen cillo establecer o desarrollar un modelo que incorpore toda la información probabilística de las diferentes variables aleatorias que intervienen en el proyecto de inversión.
PROBLEMAS
16.1
La compañía X desea entrar en un nuevo negocio cuya inversión inicial requerida
y los ingresos netos anuales después de impuestos están distribuidos como sigue: Inversión inicial
rv N (Jl =100,000; a=5,000)
Flujo neto del período t
rvN(J1= 30,000;a=3,000)
Si la TREMA es de 30%, y la administración ha establecido que un proyecto de inversión será emprendido si Prob.
{flR >TREMA} ;a. 0.90, ¿debería Ía compa
ñía X aceptar este nuevo proyecto de inversión?
16.2.
La compañía Y desea incursionar en un nuevo negocio cuya inversión inicial re querida está normalmente distribuida con media de $500,000 y desviación estándar de $20,000. Esta inversión inicial la compañía la deprecia en 5 años en línea recta y el valor de res<::ate al término de este tiempo se estima en $150,000. Los ingresos y los costos anuales que este proyecto genera están distribuidos como sigue: Ingresos
rv N (J1 =300,000; a= 30,000)
Costos
rv N (J1 =100,000; a=15,000)
Si la tasa de ÜJ:!.puestos es de 50%, la TREMA de 25%, y la alta administración es tablece que un proyecto .se acepta si Prob. {fiR >TREMA} ;a. 0.95, ¿debería la compañía Y emprender el nuevo proyecto de inversión?
16.3.
La compañía Z está interesada en analizar un negocio cuya inversión inic1al sigue una
distribución triangular:
Estimación pesimista
-130,000
Estimación más probable
-100,000
Hstimación optimista
-80,000
Esta inversión tiene una vida fiscal de 5 años, y un valor de rescate al término de este período distribuido triangularmente: Estimación pesimista
16,000
Estimación más probable
20,000
Estimación optimista
26,000
Problemas 289
Los ingresos netos de los próximos cinco años siguen una distribución uniforme:
1
Año Flujos Probabilidad
2
3
4
.
5
20,000
30,000
40,000
50,000
60,000
1/5
1/5
1/5
I/.5
1/5
.
.
Si la tasa de impuestos es de 50%, la TREMA de 30%, y la alta administración acepta un nuevo proyecto si Prob. {VPN >O}� 0.90, ¿debería la compañía Z emprender este nuevo proyecto de inversión?
16.4.
La corporación "B" que usa una TREMA de 15%, y acepta nuevos proyectos si Prob. {VPN >O} � 0.95, desea analizar si conviene llevar a cabo un proyecto de inversión que promete generar los siguientes flujos de efectivo triangulares:
Año
16.5.
Estimación pesimista
Estimación más probable
Estimación optimista
o
-$ 1,000,000
-$ 800,000
1
·200,000
250,000
270,000
2
200,000
250,000
270,000
3
180,000
200,000
210,000
4
180,000
200,000
210,000
5
150,000
180,000
200,000
-$ 700,000
La corporación X desea incursionar en un nuevo negocio cuya inversión inicial requerida y los flujos de efectivo antes de depreciación e impuestos de los próxi mos cinco años siguen las siguientes distribuciones triangulares:
Activo fijo inicial "Activo circulante inicial Flujo antes de impuestos
Estimación
Estimación más
Estimación
pesimista
probable
optimista
-$100,000
-$70,000
. -$60,000
- 40,000
-30,000
-25,000
30,000
40,000
45,000
Además; esta corporación estima que las tasas de inflación en los próximos cinco años siguen las siguientes distribuciones triangulares:
Tasa de inflación (%)
Año
Estimación pesimista
Estimación más probable
Estimación optimista
1
18
15
12
2
18
15
12
3
22
18
15
4
25
20
18
5
28
22
19
290 Simulación
Si la tasa de impuestos es de 50%, la TREMA de 25% y la alta administración ha establecido que los nuevos proyectos se acepten siProb. {I'IR > TREMÁ} � 0.95, ¿debería la corporación X aceptar este nuevo proyecto de inversión? (Considere que la vida fiscal del activo fijo es de 5 años, y que el valor de rescate es un 20% del valor simulado para el activo fijo, y un 100% del valor simulado para el activo circulante.)
'
•• t
,
.
Ol�l�S!P OlS�ndUIO� S�U�lUI
TABLAS DE FACTORES PARA INTERES COMPUESTO DISCRETO
(F/P.,i %,n)
=
(P/F,i %,n)
·
-
. (A/g,i %,n)
_
=
Q!/A,i % ,n)
1
(1-+0 )e
___:____:_ _
=
(A/F,i %,n)
d
(1 +i) n
=
(F/A,i %,n)
(A /P,i %,n)
(1 + i}n
i
(1 +i)n-1 (1 +i)n-1
=
i(l + i)n (1 +i)n-1
=
=
i(l +i)n
1 n T- (1 + i)n-1
( P/g,i %,j %,n) (P/g,i %,j %,n)
1-( 1 + j)n/(1 + i)n i-j
=
=
1
n +
j
sii=f=j
si i
,_.,
293
=
j
294 Apéndice A
. .
INTERES DISCRETO i N
F/P,i %,n
P/F,i %,n
=
1
%
F{A,i %,n A/F,i %,n
·
P/A,i %,n
A/P,i %,n
(
..... 1
1
1.0100
0.9901
0.9999
1.0001
0.9900
1.0101
2
1.0201
0.9803
2.0098
0.4976
1.9702
3 4
1.0303
0.9706
3.0297
0.3301
2.9406
0.5076 0.3401
1.0406
0.9610
4.0599
0.2463
3.9015.
5
1.0510 1.0615
0.9515
5.1003
0.1961
4.852 . 8...
0.9421
6.1512
0.1626
5.7948
0.1726
1.0721
0.9327
7.2125
0.1386
6.7273
0.1486
6 7
t.>
(.. .
r
'
J
0.2563 0.2061
8
1.0828
0.9235
8.2846
0.1207
7.6507
0.1307
9
1.0937
0.9144
9.3673
0.1068
8.5650
0.1168
10
1.1046
0.9053
10.4608
0.0956
9.4701
0.1056
11.5652
0.0865
10.3663
0.0965
12.6807
0.0789
11.2537
0.0889
13.8074
0.0724
12.1322
11
1.1157
0.8963
12
-1.1268
0.8875
13
1.1381
0.87-8'1
14
1.1495
0.8700
14.9453
0.0669
13.0021
0.0824 0.0769
15
1.1609
0.8614
16.0946
0.0621
16
1.1726
0.8528
17.2554
0.0580
13.8633 14.7161
0.0680
17
1,1843
0.8444
18.4278
0.0543
15.5604
18
1.1961
0.0643
0.8360
19.6119
0.0510
16.3963
19
1.2081
0.0610
0.8278
20.8078
0.0481
17.2239
0.0581
20
1.2202
0.8196
25
1.2824
0.779
-
_§.
30
1.3478
0.7420
35
1.4165
0.7059
40
1.4888
0.6717
45
1 .5647
0.6391
50
1.6445
55
1.7284
60 65
22.0158
0.0454
28.2390
0.0354
34:779'5
18.0434 1
22.0206-'"
0.0721
0.0554 0.0454
0.0288
25.8048
0.0388
0.0240
29.4053
0.0340
48.8786
0.0205
32.8312
0.0305.
56.4717
0.0177
36.0907
0.0277
0.6081
64.4524
0.0255
72.8398
0.0155 0.0137
39.1921
0.5786
42.1430
0.0237
1.8166
0.5505
81.6551
0.0122
44.9506
1.9092
0.0222
0.5238
90.9203
0.0110
47.6221
0.0210
41.6537
70
2.0066
0.4984
100.6578
0.0099
50.1639
75
0.0199
2.1089
0.4742
110.8918
0.0090
52.5823
0.0190
80
2.2165
0.4512
121.6480
0.0082
54.8834
0.0182
85
2.3295
0.4293
132.9528
0.0075
57.0729
• · O.OJ. 75
90
2.4483
0.4084
144.8341
0.0069
59.1560
95
2.5732
0.0169
0.3886
157.3213
0.0064
100
0.0164
0.3698
170.4457
0.0059
120
2.7045 3. 2999
61.1381 63.0240
.0.0159
0.3030
229.9861
0.0043
180
5.9944
69.6957
0.0143
0.1668
499.4370
0.0020
83.3177
0.0120
-
"¿.�
. !>)
o
'f...._
1 .
\
Interés compuesto discreto 295
\.,.
� INTERES DISCRETO i N
F/P,i %,n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1.0150 1.0302 1.0457 1.0614 1.0773 1.0934 1.1098 1.1265 1.1434
P/F, i'Ya,,
55
2.1051 2.2678
0.9852 0.9707 0.9563 0.9422 0.9283 0.9145 0.9010 0.8877 0.8746 0.8617 0.8489 0.8364 0.8240 0.8119 0.7999 0.7880 0.7764 0.7649 0.7536 0.7425 0.6892 0.6398 0.5939 0.5513 0.5117 0.4750 0.4410
60
2.4436
-{).4093
65 70 75
�6318 2.8352 3.0543 3.2903 3.5446 3.8185 4.1136 4.4315 5.9684 14.5809
0.3800
16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50
80 85 90 95 100 120 180
'
1.1605 1.1779 1.1956 1.2135 1.2317
� 1.2690 1.2880 1.3073 1.3269 1.3468 1.4509
1.5630 1.6838 1.8139 1.9541
0.3527 0.3274 0.3039 0.2821
F/A,i %,n
n
1.0000 2.0149
1
1.5%
A/F,i %,n
P/A,i %,n
1.0000 0.4963 0.3284 0.2445 0.1941 0.1605 0.1366 0.1186 0.1046 0.0934 0.0843 0.0767 0.0702 0.0647 0.0600 0.0558 0.0521 0.0488 0.0459 0.0433 0.0333 0.0266 0.0219
3.0450 4.0906 5.1519 6.2290 7.3224 8.4321 9.5585 10.7018 11.8622 13.0400 14.2356 15 89 6805 17. 19.1995 20.4873 21.7946 23.1213 30.0599 37.5346 45.5870 54.2615
-
0.01
0.2619 0.2431 0.2257
152.6876 169.6389 187.8997 207.5717 228.7640_
0.0065 0.0059 0.0053 0.0048 0.0044
0.1675 0.0686
331.2249 905.3928
0.0030 0.0011
1.0150 0.5113 0.3434 0.2595 0.2091 0.1755 0.1516 0.1336 0.1196
9.2215 10.0703 10.9066
0.1084 0.0993 0.0917 0.0852 0.0797 0.0750 0.0708 0.0671 0. 0638 0.0609 0.0583 0.0483
24.0142
0.0416
27.0738 29.9139 32.55()4 34.9976
O.Oii69 0.0334 0.0307 0.0286
37.2694
0.0268
�-3781
--
A/P,i %,n
0.9852 1.9558 2.9120 3.8541 4.7823 5.6967 6.5977 7.4853 8.3599
11.7307 12.5424 13.3422 14.1302 14.9065 15.6714 16.4250 17.1673 20.7181
0.0184 0.0157 0.0136 0.0118
63..6066 73.6736 84.5188 96.2017 108.7877 122.3463 136.9527
=
4i� 43.1527 44.8394
46.4052 47.8586 49.2078 50.4602 51.6227 55.4967 62.0945
0.0254
-'1r.o242 0.0232 0.0223 0.0215 0.0209 0.0203 0.0198 0.0194 0.0180 0.0161
,.
"
296 Apéndice A
. .
INTERES DISCRETO i
=
2%
N
F/P,i %,n
P/F,i %,n
FJA,i %,n
A/F,i %,n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1.0200 . 1.0404 1.0612 1.0824 1.1041 1.1262 1.1487 1.1717 1.1951 1.2190 1.2434 1.2682 1.2936 1.3195 1.3459 1.3728 1.4002
0.9804 0.9612 0.9423 0.9238 0.9057 0.8880 0.87 9-6 0,8535
1.0000 2.0199 3.0603 4.1214 5.2038 6.3078 7.4340 8.5826 9.7542 10.9492 12.1682 13.4115 14.6796 15.9731 17.2926 18.6384 20.0111 21.4112 22.8394 24.2.961 32.0286
1.0000 0.4951 0.3268 0.2426 0.1922 0.1585 0.1345 0.1165 0.1025 0.0913 0.0822 0.0746 0.0681 0.0626 0.0578 0.0537 0.0500 0.0467 0.0438 0.0412
40.5658
0.0247 0.02.00
22,� 958 24.9979-
0.0400
0.0166 0.0139 0.0118 0.0101 0.0088 0.0076 0.0067 0.0059 0.0052 0.0036 0.0040 0.0036 0.0032 0.0020' 0.0006
27.3547 29.4894 31.4228 33.1740 34.7601
0.0366 . 0.0339 0.0318
. 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95
lOO 120 180
1.4282 1.4568 1.4859 1.6406 1.8113 1.9998 2.2080 2.4378 2.6915 2.9716 3.2809 3.6223 3.9993 4.4156 4.8751 5.3825 5.9427 6.5612 7.2440 10.7641 35.3155
0.8368 0.8204 0.8043 0.7885 0.7730 0.7579 0.7430 0.7285 0.7142 0.7002 0.6864 0.6730 0.6095 0.5521 0.5000 0.4529 0.4102 0.3715 0.3365 0.3048 0.2761 0.2500 0.2265 0.2051 0.1858 0.1683 0.1524 0.1380 0.0929 0.0283
49.9915 60.3983 71.8881 84.5737 98. 5 797 114.0433 131.1163 149.9661 170.7779 193.7556 219.1246 247.1342 278.0586 312.2019 488.2039 1715.7737
0.0312
P/A,i %,n
A/P,i %,n
0.9804 1.9415 2.8838 3.8076 4.7133 5.6012 6.4718 7.3252 8.1619 8.9823 9.7865 10.5750
1.0200 0.51()1 0.3468 0.2626 0.2122 0.1785 0.1545 0.1365 0.1225 0.1113 0.1022 0.0946 0.0881 0.0826 0.0778 0.0737
11.3480 12.1058 12.8488 13.5772 14.2914 14.9915 15.6779 16.3509 19.5228
0.0700 0.0667 0.0638 0.0612 0.0512 0.0447
0.0301 0.0288 0.0276 0.0267 0.0259 0.0252
36.1967 37.4979 38.6764 39.7438 40.7106 41.5863 42.3794 43.0978 45.3549 48.5842
•
.
0.0246 0.0240 0.0236 0.0232 0.0220 0.0206
Interés compuesto discreto 297
INTERES DISCRETO i N
1
F/P,i %,n 1.0300
P/F,i %,n
FjA,i %,n
0.9709
1.0000
=
3%
A/F,i %,n
PJA,i %,n
A/P,i %,n
2
1.0609
1.0000
0.9426
0.9709
1.0927
2.0300
0.4926
1.0300
3
0.9151
1.9134
3.0908
4
1.1255
0.3235
0.5226
0.8885
2.8286
1.1593
0.2390
0.8626
4.1835 5.3090
0.3535
5
3.7179
0.1884
0.2690
6
1.1940
0.8375
3.5796
0.1546
0.2184
0.8131
5.4171
7.6622
0.1305
0.1846
8
1.2299 1.2668
6.4682
7
0.7894
6.2301
1.3048
8.8921
0.1125
0.1605
9
0.7664
1.3439
0.0984
0.1425
10
10.1588
7.0195 7.7859
0.7441
11
11.4635
1.3842
0.0872
0.7224
8.5300
12
1.4257
12.8074
0.0781
O.ll-72
0.7014
9.2524
14.1916
0.1081
0.0705
9.9538
0.1005
0.1284
13
1.4685
0.6810
14
1.5126
15.6173
0.0640
0.6611
10.6347
1.5579
0.0585
0.0940
15
17.0857
0.6419
1.6047
0.0538
0.0885
16
18.5983
11.2958
0.6232
11.9377
1.6528
0.0496
0.0838
17 18
20.1562
0.6050
12.5608
21.7608
0.0796
1.7024
0.0460
0.5874
13.1658·
19
1.7535
23.4136
0.0427
0.0780
0.5703
13.7532
1.8061
0.0398
0.0727
20
25.1159
0.5537
2.0937
0.0372
0.0698
25
26.8694
14.3235
0.4776
14.8772
30
2.4272
36.4578
0.0274
0.0672
0.4120
17.4128
2.8138
0.0210
0.0574
35
47.5734
0 .3554
3.2619
60.4593
0.0165
0.0510
40 45
0.3066
19.6001 21.4869-
75.3976
0.0133
23.1144
0.0433
0.0465
3.7815
0.2644
92.7152
0.2281
0.0108
24. 5184
55
4.3837 5.0819
112.7907
0.1968
0.0089
60
5.8913
136.0637
25.7294
0.1697
0.0073
6.8296
0.0061
0.0373
65
163.0435
26.7741
0.1464
7.9174
0.0051
0.0361
70
194.3204
27.6753
0.1263
28.4526
9.1783
0.1090
0.0043
0.0351
75
230.5786 272.6113
0.0037
0.0343
80
0.0940
85
10.6402 12.3348
29.1232 29.7016
321.3389
0.0031
0.0811
30.2005
90
377.8276
0. 0331
14.2994
0.0699
0.0026
30.6310
0.0326
95
16.5768
443.3127
0.0603
0.0023
31.0022
19.2170
0.0520
0.0019
0.0323
100
519.2275
31.3225
34.7075
0.0288
0.0016
0.0319
120
607.2332
0.0049
0.0009
0.0316
204.4722
1123;5820
31.5988
180
6782.4062
32.3729
0.0001
33.1703
0.0309 0.0301
50
0.0408 0.0389
0.0337
,-.
l
.�
298
Apéndice A
•
•
e
INTERES DISCRETO i = 4% N
F/P,i %,n
P/F,i %,n
F/A,i %,n 1.0000 2.0400 0.1216 4.2464
1.0000 0.4902 0. 3204
. A/F,i %,n
P/A,i %,n
A/P,i %,n
1 2 3
1.0400 1.0816 1.1249
0.9615 0.9246 0.8890
"'1
l 1699
08548
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 55 . 60 65 70 75 80 85 90 95 100 120
1.2167 1.2653 1.3159 1.3686 1.4233 1.4802 1.5394 1,fiJllo -1.6651 1.7317 1.8009 1.8730 1.9479 2.0258 2.1068 2.1911 2.6658 3.2433 3.9460 4.8009 5.8410 7.1065 8.6461 10.5192 12.7982 15.5710 18.9444 23.0487 28.0421 34.1174 41.5090 50.5018 110.6544
0.8219 0.7903 0.7599 0.7307 0.7026 0.6756 0.6496
5.4163 6.6329 7.8982 9.2141 10.5826 12.0059 13.4861
0.1846 0.1508 0.1266 0.1085 0.0945 0.0833 0.0742
� 5. 1 6.0020 6.7327 7.4352 8.1108 8.7604
1.0400 0.5302 0.3604 0.2755 0.2246 0.1908 0.1666 9.1485 0.1345 0.1233 0.1142
9.6246
J5021:)5
0.6006 0.5775 0.5553 0.5339 0.5134 0.4936 0.4746 0.4564 0.3751 0.3083 0.2534 0.2083 0.1712 0.1407 0.1157 0.0951 0.0781 0.0642 0.0528 0.0434 0.0357 0.0293 0.0241 0.0198 0.0090
16.6265 18.2916 20.0232 21.8241 23.6970 25.6449 27.6706 29.7774 41.6449 56.0835 73.6502 95.0226 121.0254 152.6617 191.1519 237.9810 294.9556 364.2737 448.6099 551.2163 676.0535 827.9360 1012.7239 1237.5461 2741.3604
110666
9 3850
o]066
o,�aúL _
0.0601 0.0547 0.0499 0.0458 0.0422 0.0390 0.0361 0.0336 0.0240 0.0178 0.0136 0.0105 0.0083 0.0066 0.0052 0.0042 0.0034 0.0027 0.0022 0.0018 0.0015 0.0012 0.0010 0.0008 0.0004
0.9 ' 61!) 1.8861 2.7751 3.6298
9.9855 10.5630 11.1183 11.6522 12.1655 12.6592 13.3338 13.5902 15.6219 17.2919 18.6645 19.7926 20.7199 21.4821 22.1085 22.6234 23.0466 23.3944 23.6803 23.9153 24.1085 24.2672 24.3977 24.5050 24.7741
'·
0.1001 0.0947 0.0899 0.0858 0.0822 0.0790 0.0761 0.0736 0.0640 0.0578 0.0530 0.0505 0.0483 0.0466 0.0452 0.0442 0.0434 0.0427 0.0422 0.0418 0.0415 0.0412 0.0410 . 0.0408 0.0404
•
Inte�és compuesto discreto 299
.. INTERES DISCRETO i N 1 ' 2 3 4 5 6 7 8 9 10' 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 ·100 120
F/P,i
P/F,i
%,n
1.0500 1.1025 1.1576 1.2155 1.2763
� 1.4071 1.4774 1.5513 1.6289 1.7103 1.7958 1.8356 1.9799 2.0789 2.1828 2.2920 2.4066 2.5269 2.6532 3.3863 4.3218 5.5158 7.0397 8.9846 11.4668 14.6348 18.6780 23.8383 30.4243 38.8297 49.5574 63.2489 80.7230 103.0248 131.4880 348.8696
%,n
F/A,i
'� -,__ �
-
0.9070 0.8638 0.8227 0.783_li 4T.'7t'62 0.7107 0.6768 -i 0.6446
�
0.5847 0.5568 0.5303 . 0.5051; 0.48-l:Ó '0.4581 0.4363 0.4155 0.3957 0.3769 0.2953 0.2314 0.1813 0.1421 0.1113 0.0872 0.0683 0.0535 0.0419 0.0329 0.0258 0.0202 0.0158 0.0124 0.0097 0.0076 0.0029
1
%,n
1.0000 2.0500 3.1524 4.3100 - 5.5255 6.8018 8.1418 9.5489 11.0263 12.5776 14.2064 15.9167 17.7125 19.5981 21.5779 23.6568 25.8396 28.1315 30.5380 33.0649 47.7254 66.4362 90.3164 120.7941 159.6920 209.3365 272.6960 353.5608 456.7666 588.4854 756. 5945 971.1487 1244.9785 1594.4607 2040.4956 2609.7f?07 6957.3906
=
A/F,i
5% %,n
1.0000 0.4878 0.3172 0.2320 0.1.810 0.1470 0.1228 0.1047 0.0907 0.0795 0.1)704 0.0628 0.0565 0.0510 0.0463 0.0423 0.0387 0.0355 0.0327 0.0302 0.0210 0.0151 0.0111 0.0083 0.0063 0.0048 0.0037 0.0028 0.0022 0.0017 0.0013 0.0010 0.0008 0.0006 0.0005 0.0004 0.0001
P/A,i
%,n
-0.9524 1.8594 �.7232
.,
,
5.7863 G.4_63J.7.1077
� 8.8631 9.3934 9.8985 10.3795 10.8376 11.2739
11.6894 12.0852 12.4621 14.0938 15.3723 16,3741 17.1590 17.7740 18.2558 18.6334 18.9292 19.1610 19.3426 19.4849 19.5964 19.6838 19.7522 19.8059 19.8479 19.9427
A/P,i.
%,n
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.. ...
)
11
)
•
!
1
300
Apéndi�e A
INTERES DISCRETO i
�
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)
1
N
F/P,i %,n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 55
1:08001.1664 1.2597 1.3605 1:4693 1.5869 1.7138 1.8509 1.9990 2.1689 2.3316 2.5182 2.7196 2.9372 3.1721 3.4269 3.7000 3.9960 4,3157 4,6609 6 8484 10.0626 14.7850 21.7240 31.9196 46.9002 68.9116
PJF,i %,n 0.9259 - 0.8573 0.7938 0.7350
-� 0.5835 0.5403 0.6003 0.4632 0.428"9
--� 0.3677 0.3405
-0� 0.2919 0.2703 0.2503 0.�317 0.2146
o.
o
0.0994 0.0676 0.0460 0.0313 0.0213 0.0145
C..· N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 55
F/P,i %,n , 1.1000 1.2100 1.3310 1.4641
� 1.9487 2.1436 �.35'19
ft,.P937
:2.8531 3.13843.4522 3.7975 4.1772 4.5949 5.0544 5.5598 6.1158 6.7274 10.8345 l't.4489 28.1015 45.2576 72.8876 117.3857 189.0499
A '
8%
FJA,i %,n
A/F,i %,n
PJA,i %,n
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INTERES DISCRETO i
1.1•
=
=
•
A/P,i %,n
12.2335 12.3186
{�
PJF,i %,n
FJA,i %,n
A/F,(%,n
P/A,i %,n
{"�o91--
1.0000 2.1000 3.3100 4.6410 6.1050. 7.7155 9.4871 11.4357 13.5796 15.9372 18.5309 21.3840 24.5223 27.9745 31.7719 35.9491 40.5440 45.5983 51.1581 57.2738 98 3447 164.4893 271.0154 442.5764 718.8760 1163.8567 1880.4990
1.0000 0.4762 0.3021 0.2155 0.1638 001296 0.1054 0.0874 0.0736 0.0627 0.0540 0.0468 0.0408 0.0357 0.0315 0.0278 0.0247 0.0219 0.0195 0.0175 0.01()� ·0.0061 0.0037 0.0023 0.0014 0.0009 0.0005
0.9091 1.7355 2.4888
0.8264 \ 0.7513 0.6830 0.§209 0.6645 0.5132 0.4665
Sit1
. 5 0.3186 0.2897 0.2633 0.2394 0.2176 0.1978 0.1799 0.1635 0.1486 0..0923 0.0573 0.0356 0.0221 0.0137 0.0085 0.0053
�
1.0800 0.5608 0.3880 0.3019 0.2505 0.2163 0.1921 0.1740 0.1601 0.1490 0.1401 0.1327 0.1265 0.1213 0. 1168 0.1130 0.1096 0.1067 0.1041 0.1019 0.0937 0.0888 0.0858 0.0839 0.0826 0.0817 0.0812
•
-«
�
5.3349.....
A/P,i %,n 1.1000 0,5762 0.4021 0.3155 0.2638 0.22!!_� . 0.2054 0.1874 0.1736 0.1627 0.154,_0 .-&;1:'468 ()..1408 0.1357 0.1315 0.1278 0.1247 0.1219 0.1195 0.11'75 --� 0.1061 0.1037 0.1023 0.1014 0.1009 0.1005
�6.4950 6.1U3'17.1033 7.3687 7.6060 7.8237 8.0215 8.2014 8.3649 8.5135 9-.�770 9.4269 9.8442 9. 6442 9.8628 9.9148 9.9471
Interés compuesto discreto 301 INTERES DISCRETO i N 1 2
S 4 5 6 7 8
9
10
11
12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 55
F/P,i %,n
P/F,i %,n
1.7823 1.9738 2.2107 2.4760 2.7731 3.1058 3�4785 3.8960 4.3635 4.8871 5.4735 6.1304 6.8660 7.6899 8.6127 9.6462 16.9999 29.9595 52.7988 93.0494 163.9846 288.9961 509.3086
A/F,i %,n
' � 0.8929
1
0.:6355 0.5674 0.5066 0.4524 0.4039 0.3606
1.0000 2.1200
1 2 3 4
-0.2875 0.2567 0.2292 0.2046 0.1827 0.1631 0.1456 0. 1300 0.1161 '().1037 0.0588 0.0334 0.0189 0.0107 0.0061 0.0035 0.0020
5 ...,; 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
F/P,i %,n 1.1500 1.3225 1.5209 1.7490
2m14 2.3131
2.6600 3.0590 3.5179 4.0455'4.6524 5.3502 6.1527 7.0756 8.1370 9.3575 10.7611 12.3753 .. 14.2316 16.3663 � 32.9184 66.2104 30 35 133.1722 40 267.8560 538.7522 45 50 1083.6191
PJA,i %,n·
P/F,i %,n
F/A,i %,n
--- -
'0.8696 0.7561 0.6575 0.5718
-¡ 1
0.4.al�.
0.4323 0.3759 0.3269 0.2843 l'0.241 . .20.2149 0.1869 0.1625 0.1413 0.1229 . 0.1069 0.0929 0.0808 0.0703 0.0611 0.0304 .
}
-
0.1574 0.1232 0 .0991 0.0813 0.0677 •
O_,_Q5.7.0_
=
A/P,i %,n
A/F,i %,n
6..742ll
9_,1..1.8.3._
881.1482 1779.0398 3585.0151 7217.4609
1.1200 0.5917 . 0.4163 0.3292 0.2774 0.2432 0.2191 0.2013 0.1877 - 0.1770 0.1684 o.1o14 0.1557 0.1509 0.1468 0.1434 0.1405 0.1379 0.1358 0.1339 0.1275 0.1241 0.1223 0.1213 0.1207 0.1204 0.1202
15%
'1.0000 0.4651 0.2880 0.2003
8.7537 11.0667 13.7267 16.7857 20.3035 24.3490 29.0014 34.3515 40.5042 47.5798 55.7168 65.0743 75.8353 88.2106 102.4420 212.7891
3.6048 4.1114 4.5637 4.9676 5.3282 5.6502 5.9377 6.1944 6.4235 6.6282 6.8109 6.9740 7.1196 7.2497 7.3658 7.4694 7.8431 8.0552 8.1755 8.2438 8.2825" 8.3045 8.3170
0.0484 0.0414 0.0357 0.0309 0.0268 0.023:4 0.0205 0.0179. 0.0158 0.0139 0.0075 0.0041 0.002 . 3 0.0013 0.0007 0.0004 0.0002
1.0000 2.1500 3.4725 4.9933
�434.73580.0075 0.0037 0.0019 0.0009
0.8929 1.6900
-
�.49].&._ 4;'M93 0.2092 3.Ó373
6.3528 8.1152 10.0890 12.2996 14.7756 17.5486 -20.6544 24.1330 28.0289 32.3924 37.2794 42.7530 48.8833 55.7493 63.4391 72.0518 133.3324 241.3297 431.6570 767.0786 1358.2053 2399.9685 4235.9062
�
1.0000 0.4717-
INTERES DISCRETO i No
12%
'
1.1200 1.2544
1.4� 1..5735
FJA,i %,n
=
0.1142 0.0904 0.0729 0.0596 !Q,..Q!931' 0.0411 .().0345 0.0291 0.0247 0.0210 0.0179 0.0154 0.0132 0.0113 0.0098
00047 0.0023 0.0011 0.0006 0.0003 0.0001
P/A,i %,n 0.8696 1.6257 2.2832
,�? .
3.7845 4.1604 4.4873 4.7716 . 5.0188 5.2337 5.4206 5.5831 6.7245 5.8474 5.9542 6.0472 6.1280 6.1982 6.2593
� 6:0 6.6166 6.6418 6.6543 6.E!605
A/P,i %,n 1.1500 0.6151 0.4380 0.3503 0.2988
�
0.2404 0.2229 0.2096 .Q.1993 (Ú9ll 0.1845 0.1791 0.1747 0.1710 0.1679 0.1654 0.1632 0.1613 0.1598.
o,1M7
0.1523 0.1511 0.1506 0.1603 0.1501
/
302 Apéndice A
INTERES DISCRETO i N
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45
�
1
F/P,i %,n
1.1800 1.3924 1.6430 1.9388 2.2877 2.6995 3.1855 3.7588 4.4354 5.2338 6.1759 7.2375 8.5993 10.1471 11.9736 14.1288 16.6720 19.6729 23.2141 27.3926 62.6673 143.3670 327.9875 750.3530 1716.6187
P/F,i %,n
0.8475 0.7182 0.6086
� 7 0.3704
. 0.3139 0.2660 0.2255 0.1911 0.1619 0.1372 0.1163 0.0986 0.0835 0.0708 0.0600 . 0.0508 0.0431 0.0365 0.0160 0.0070 0.0030 0.0013 0.0006
FJA,i %,n
=
18%
A/F,i %,n
�/A,i %,n
1.0000 0.4587 0.2799 0.1917
0.8475 •
0.1398 0.1059 0.0824 0.0652 0.0524 0.0425 0.0348 0.0286 0.0237 0.0197 0.0164 0.0137 0.0115 0.0096 0.0081 0.0068 0.0029 0.0013 0.0006 0.0002 0.0001
�m+
1.0000 2.1800 3.5724 5.2154 7.1542 9.4419 12.1414 15.3269 19.0857 23.5lU1 28.7548 34.9307 42.2181 50.8174 60.9644 72.9380 87.0668 103.7386 123.4115 146.6254 342.5962 790.9277 1816.5979 4163.0703 9531.2148
A/P,i. %,n
1.1800 0.6387 0.4599 0.3717 0.3198� 0.2859
•
1.5656 2.1743 2.6901
3.8115 4.0776 4.3030 4.4941 4.6560 4.7932 4.9095 5.0081 5.0916 5.1624 5.2223 5.2'132 5.3162 5.3527 5.4669 5.5168
0.2624 0.2452 0.2324 0.2225 0.2148 0.2086 0.2037 0.1997 0.1964 0.1937 0.1915 0.1896 0.1881 0.1868 0.1829 0.1813 0.1806 o.i8o2 0.1801
5.5386 5.5482 5.5523
1
...
.
INTERES DISCRETO i N
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40
F/P,i %,n 1.1900 1.1461 1.8852 2.0053 2.3863 2.8398 3.3793 4.0214 4.7864 5.6947 6.7766 8.0842 9.5964 11.419'7 13.5894 16.1714 19.2439 22.9003 27.2513 32.4290 77.3869 184.6721 440.6912 1051.6423
=
19%
P/F,i %,n
F/A,i % ,n
A/F,i %,n
0.8403 0.7062 0.5934 0.4987
1.0000 2.1900 3.6061 5.2912 7.2966 9.6829 12.5226 15.9019 19.9233 24.7087 30.4033 37.1799 45.2441 54.8404 66.2800 79.8494 96.0207 115.2646 138.1647 165.4160 402.0364 966.6951 2314.1638 5529.6953
1.0000 0.4566 0.2773
�
o 0.2959 0.2487 0.2090 0.1756 0.1476 0.1240 0.1042 0.0876 0.0736 0.0618 0.0520 0.0437 0.0367 0.0308 0.0129 0.0054 0.0023 0.0010
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P/A,i %,n
A/P,i %,n
0.840S 1.5485 2.1399
-e, 3.7057 3,9544 4.1633 4.3389 4.4865 4.6105 4.7147 0.8023 4.8759 4.9377
4,9897 5.0333 5.0700 5.1009 5.1951 5.2347 5.2512 5.2582
1.1900 0.8466 . 0.4873 •
0.3790 0.3271 0.2933 0.2699 0.2529 0.2402 0.2305 0.2229 0.2169 0.2121 0.2082 0.2051 0.2025 0.2004 0.1987 0.1972 0.1960 0.1925 0.1910 0.1904 0.1902
Interés compuesto discreto 303
INTERES DISCRETO i F/P,i %,n
N 1 2 3 4 5
1.2000 1.4400 1.7280 2.0736 2.4883 2.9860 3.58il2 4.29985.1598
PJF,i %,n
F/A,i% ,n
0.8333 0.6944 0.5787 0.4823
1.0000 2.2000 3.6400 5.3680 7.4416 '9.9Z99 12.9158 16.4990 20.7988 25.9585 32l1502"" 39.5802 48.4963 59.1955 72.0345 87.4413 105.9296 128.1154 154.7384 186.8859 471.9749 1181.8630 2948.2849 7343.6992
¡------
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40
L
�-
0.2791 0.2326 O.l938 0.1615 . o 0.1346 .----&9.16.0 ----�2 0.0935 10.6993 0.0779 12.8391 0.0649 15.4069 0.0541 18.4883 22.1859 0.0451 0.0376 26.6231 0.0313 31.9477 0.0261 38.3372 0.0105 95.3950 237.3726 0.0042 0.0017 590.6570 0.0007 1469.7400
-
�
=
A/F,i %,n
F/P,i%,n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40
.•
1.2100 1.4641 1.7716 2.1436 2.5937 3.1384 3.7975 4.5949 5.5599 6.7274 8.1402 9.8496 11.9180 14.4208 17.4491 21.1134 25.5472 30.9121 37.4036 45.2583 117.3876 304.4714 789.7163 2048.3088
PJF,i%,n 0.8264 0.6830 0.5645 0.4665 0.3855 0.3186 0.2633 0.2176 0.1799
=��=0.1015 0.0839 0.0693 0.0573 0.0474 0.0391 0.0323 0.0267 0.0221 0.0085 0.0033 0.0013 0.0005
F/A,i% ,n 1.0000 2.2100 3.6741 5.4456 7.589.2 10.1829 13.3213 17.1187 21.7136 27.2735 34.0009 42.1410 51.9905 63.9084 78.3291 95.7781 116.6914 142.4384 173.3503 210.7536 554.2268 1445.1021 3755.7922 9749.0898
P/A�í %,n
1.0000· 0.8333 1.3·278 0.4545 0.2747 2.;1.065 0.1863 0•.134.4 0.1007 :" -a-.3255 0.0774 3.6046 0.0606 - 3.8372 0.0 �.0 o. 38&· ..4.lJt2l) . ) li. �11 4.32'Tr 4.4392 o 0253 0.0206 4.5327 0.0169 4.6106 0.0139 4.6755 0.0114 4.7296 0.0094 4.7746 0.0078 4.8122 0.0065 4.6435 0.0054 4.8696 0.0021 4.9476 0.0008 4.9789 0.0003 4.9915 0.0001 .4.9966 �
t�
� g
INTERES DISCRETO i N
20%
=
A/P;i. %,n 1.2QO,O. 0.6545 0.4747 0.3863
� iüro07
0.2774 0.2606 0.2481
�:)
�' 0.2206 0.2169 0.2139 0.2114 0.2094 0.2078 0.2065 0.2054 0.2021 0.2008 0.2003 0.2001
21%
A/F,i %,n 1.0000 0.4525 0.2722 0.1836 0.1318 0.0982 0.0751 0.0584 0.0461 0.0367 0.0294 0.0237 0.01.92 0.0156 0.0128 0.0104 . 0.0086 0.0070 0.0058 0.0047 0.0018 0.0007 0.0003 0.0001
P/A,i %,n 0.8264 1.5095 2.0739 2.5404 2.9260 3.2446 3.5079 3.7256 3.9054 o ,:1.789 ¡¡�¡ 4.2784 4.362.4 4.4317 4.4890 4.5364 4.5755 4.6079 4.8346
i
4.8567 4.7213 4.7463 3.7559 4.75.96
A{P,i %,n 1.2100 0.6625 0.4822. 0.3936 0.3418 0.3082 0.2851 0.2684 0.2561 0.2467 0.2394 0.2337 0.2292 0.2256 0.2228 0.2204 0.2186 0.2170 0.2158 0.2147 0.2118 0.2107 0.2103 0.2101
'-
304 Apéndice A
INTERES DISCRETO i F/P,i %,n
N
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35
1.2200 1.4884 1.8158 2.2153 702 3.2973 4.0227 4.9077 5.9874 7.3046 8.9116 10.8721 13.2640 16.1820 19.7420 24.0853 29.3840 35.8484 43.7351 53.3567 144.2071 389.7478 1053.3704
PJF,i %,n
F/A,i % ,n
=
A/F,i %,n
1 2 3 4
-!-7 8 9 10 11 12 13 14 15 .. 16 17 18• 18 20 25 30 35
F/P,i %,n· 1.2300 1.5129 1.8609 2.2889
.2_.!Jlli__
3.4628 4.2593 5.2389 6.4438 7.9259 9.7489 11.9911 14.7490 18.1413 22.3138 27.4459 33.7585 41.5229 51.0731 62.8199 176.8568 497.9041 1401.7485
!lJP,i %,n
P/A,i %,n
•
e •
0.3033 0.2486 0.2038 0.1670 0.1369 0.1122 0.0920 0.0754 0.0618 0.0507 0.0415 0.0340 0.0279 0.0229 0.0187 0.0069 0.0026 0.0009
0.0958 0.0728 0.0563 0.0441 0.0349 9.9278 · 0.0223 0.0179 0.0145 0.0117 0.0095 0.0078 0.0063 0.0051 0.0042
10.4422 i3.7395 17.7621 22.6698 28.6571 35.9617 44.8732 55.7453 69.0091 85.1911 104.9330 129.0182 158.4021 194.2503 237.9852 650.9414 1767.0356 4783.5000
0.0015 0.0006 0.0002
INTERES DISCRETO i N
22-%
P/F,i %,n 0�8130 0.6610 0.5374 0.4369 0.3552 . . 02888 0.2348 0.1909 0.1552 0.1262 0.1026 0.0834 0.0678 0.0551 0.0448 0.0364 0.0296 0.0241 0.0196 0.0159 0.0057 0.0020 0.0007
F/A,t·% ,n 1.0000 2.2300 3.7429 5.6037 7.8926 1 0.7079 14.1707 18.4299 23.6688 30.1126 38.0385 47.7873 59.7784 74.5273 92.6686 114;9823 142.4281 176.1865 217.7092 268.7820 764.5947 2160.4526 6090.2109
=
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•
23%
A{F,i %,n 1.0000 0.4484 0.2672 0.1785
lU26:Z 0.0934 0.0706 0.0543 0.0422 0.0332 0.0263 0.0209
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A/P,i %,n
P/A,i %,n 0.8130 1.4740 2.0114 2.4483 2.8035 3.0923 3.3270 3.5179 3.6731 3.7993 3.9018 3.9852
.
1.2300 0.6784 (>.4972 9.4085 0.3567 0.3234 0.3006 0.2843 0.2722 . 0.2632 0.2563
4.0530
0.2509 0.2467
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Interés compuesto discreto 305
INTERES DISCRETO i;, 24% F/P,i %,n
N
PJF,i %,n
F(A,i% ,n
A(F,i %,n
1
1.2400-
0.8065
1.0000
1.0000
2
1.5376
0.6504
2.2400
0.4464
3
0.5245
3.7776
4
1.9066 2.3642
0.4230
5
2.9316
0.3411
P(A,i �,_n
-
0.8065
A/P,i %,n 1.2400
1.4568
0.6864
0.2647
1.9813
0.5047
5.6842
0.1759
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0.4159
8.0484
0.1242
2.7454
0.3642
6
3.6352
0.2751
10.9800
0.0911
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7
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0.2218
14.6152
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0.3084
8
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0.1789
19.1228
0.0523
3 .2423
0.2993
9
6.931. 0
3.4212
0.1443
24.7123
0.0405
3.5665
0.2805
10
8.5944
0.1164
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0.0316
3.6819
10.6570
0.0938
40.2376
0.0249
3.7757
0.2716 0.2649
11 12
.
..
13.2147
0.0757
60.8946
0.0196
3.8514
0.2596
13
16.3862
0.0610
64.1093
0.0156
3.9124
0.2556
14
20.3189
0.0492
80.4955
0.0124
3.9816
0.2524
15
25.1954
0.0397
100.8143
0.0099
4.0013
0.2499
16
31.2423
0.0320
126.0097
0.0079
4.0333
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17
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0.0258
157.2520
0.0064
4.0691
0.2464
18
48.0381
0.0208
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0.0061
4.0799
0.2351
19
59.6673
0.0168
244.0303
0.0041
4.0967
0.2441
20
73.8634
0.0135
303.5974
0.0033
4.1103
0.2433
26
216.6393
0.0046
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0.0011
30
634.8098
0.0016
2640.8748
0.0004
4.1474 4.1601
0.2404
35
1861.0198
0.0005
7750.0820
0.0001
4.1644
0.2401
P/A,i %,n
AJP,i%,n
0.2411
ThnERESDISCRETOi=25% F/P,i- %,n
N
1
1.2500
2
1.5626
3
-1.9531,-
4
2.4414
�-
30618
P/F,i%,n
F/A,i% ,n·
-::_O.B�
0.6400 0.6120
o �
3..8147
7 S.
.9
0.0888
0.2097
15.0735
0.0663
3.1611
5.9605
-();()'�
3.3289
7.4506
0.1342
H:84ti 2 5JW23
0.3163
0.1678
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33.2529
0.0301.
2
J.'1
1
11.2588
4.7684
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10
A/F,i %,n
l. .
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42.56 61
859
0.0388 0.0235
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c!
2801,
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12
14.6519
0.0687
54.2077
0.0184
13
3.7251
18.1899
0.0550-
68.7595
0.0145
3.7801
14
22.7374
0.2645
0.0440
0.0115
15
3.8241
28.4217
0.2615
m-- .
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86.9495 109.6868
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3.8593
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0.2591
0.0281
138.1085
0.0072
3.8874
0.2572'
. 44.4089
0.0225
173.6366
0.0058
17
•
0.2684
3.9099
55.5111
0.0180
0.2558
218.0446
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19
69.3889
3.9279
0.0144
0.2546
273.5557
0.0037
20
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3.9424
0.2537
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18
.
25
Q.QUI:i
342944S
0.0.029-
264.6975
39539
0.0038
1054.7900.
0.0009
3.9849
30
807.7932
0.0012
3227.1729
0.0003
35
3.9950
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0.0004
5856.7539
0.0001
3.9984
0.2509
0.2503 0.2501
306 Apéndice A
�RESDISCRET0i=26% FJP,i %,n
N
P/F,i %,n
F/A,i %,n
A/F,i %,n
�
.t
A/P,i %,n
P/A,i %,n
1
1.2600
0.7937
1.0000
1.0000
0.7936
1.2600
2
1.5876
0.6299
2.2600
0.4425
1.4235
0.7025 0.5199
3
2.0004
0.4999
3.8478
0.2599
1.9234
4
2.5205
0.3968
5,8479
0.1710
2.3202
0.4310
5
3.1758
0.3149
8.3684
0.1195
2.6351
0.3795
6
4.0015
0.2499
11.5442
0.0866
2.8850
0.3466
7
5.0419
0.1983
15.5457
0.0643
3.0833
0.3243
8
6.3528
0.1574
20.5875
0.0486
0.3086
9 10
8.0045
0.1249
26.9402
0.0371
3.2407 · 3.3657
10.0856.
0.0992
34.9447
0.0286
3.4648
0.2886
12.7079
0.0787
45.0303
0.0222
3.5435
0.2822
12
16.0119
0.0625
57.7381
0.0173
3.6059
0.2773
13
20.1750
0.0496
73.7499
0.0136
3.6555
0.2736
14
25.4204
0.0393
93.9248
0.0106
3.6949
0.2706
15
32.0297
0.0312
119.3452
0.0084
3.7261
0.2684
16
40.3575
0.0248
151.3748
0.0066
3.7509
0.2666
17
50.8504
0.0197
191.7321
0.0052
3.7705
0.2652
18
64.0714
0.0156
242.5823
0.0041
3.7861
0.2641
19
80.7299
0.0124
306.6533
0.0033
3.7985
0.2633
20
101.7196
0.0098
387.3831
0.0026
3.8083
0.2626
25
323.0396
0.0031
1238.6135
0.0008
3.8342
0.2608
30
1025.9041
0.0010
3941.9387
0.0003
3.8424
0.2603
11
1
0.2971
INTERES DISCRETO i = 27% N
F/P,i %,n
PJF,i %,n
F/A,i %,n
A/F,i %,n
PJA,i %,n
1
1.2700
0.7874
1.0000
1.0000
0.7874
2
1.6129
0.6200
2.2700
0.4405
1.4074
3
2.0484
0.4882 0.3844
3.8829
0.2575
1.8956
5.9313
0.1686
2.2800
8.5327
0.1172
4
2.6014
5
3.3038
6
4.1959
� 0.2383
11.8365
0.0845
7
5.3287
i>.1877
16.0323
0.0624
8
6.7675
0.1478
21.3611
9
8.5947
0.1164
28.1285
10
10.9153 13.8624
0.0916
12 13 14
� o
A/P,i %,n 1.2700 .
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3.0087
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0.0468
3.1564
0.3168
0.0356
3.2728
0.3056
36.7232
0.0272
3.3644
0.2972
0.0721
47.6384
0.0210
3.4365
0.2910
17.6052
0.0568
61.5007
0.0163
3.4933
0.2863
22.3586
0.0447
79.1059
0.0126
3.5381
0.2826
28.3954
0.0352
101.4644
0.0099
3.5733
0.2799
15
36.0621
0.0277
0.0077
3.6010
0.2777
16
45.7989
0.0218
129:8597 165.9218
0.0060
17
58.1645
0.0172
211.7205
0.0047
3.6228 3.6400
0.2760 0.'2747
18
73.8689
0.0135
269.8848
0.0037
3.6536
0.2737
19
93.8134
0.0107
343.7534
0.0029
3.6642
0.2729
20
119.1430
0.0084
437.5667
0.0023
3.6726
0.2723
25
393.6277
0.0025
1454.1765
0.0007
3.6943
0.2707
30
1300.4766
0.0008
4812.8750
0.0002
3.7009
0.2702
11
Interés compuesto discreto 307
INTERES DISCRETO i
N
F/P,i %,n
P/F,i %,n
F/A,i %,n
=
28%
A/F,i %,n
1
1.2800
0.7813
1.0000
1.0000
2
1.6384
0.6104
2.2800
0.4386
3
2.0971
0.4768
3.9184
4
2.6844
0.3725
5
3.4360
0.2910
6.0155 8.6999
P/A,i %,n 0.7812
A/P,i %,n 1.2800
0.5916
0.7186
0.2552
18.684
0.5352
0.1662
•
0.4462
6
4.3980
0.2274
12.1359
0.0824
4
5.6295
0.1776
16.5339
0.0605
0.3624
7
2.9370
0.3405
8
7.2057
0.1388
22.1633
0.0451
3.0758
0.3251
9
9.2233
0.1084
29.3691
0.0340
3.1842
0.3140
10
11.8059
0.0847
36.5924
0.0259
3.2889
0.3059
0.1149
0.3949
11
15.1115
0.0682
50.3983
0.0198
3.3351
0.0682
12
19.3427
0.0517
65.5097
0.0153
3.3888
0.2953
13
24.7587 31.6911
0.0404
64.8524
0.0118
3.4272
0.2918
0.0316
109.6111
0.0091
3.4587
0.2891
0.0247
141.3022
0.0071
3.4834
0.2871
16
40.5646 51.9227
0.0193
181.8667
0.0055
3.5026
0.2855
17
66.4610
0.0150
233.7894
0.0043
3.5177
0.2843
18
85.0701
0.0118
300.2502
0.0033
3.5294
0.2833
19
108.8896 139.3787
0.0092
385.3201
0.0026
3.5386
0.2826
0.0072
494.2095
0.0020
3.5458
25
478.9006
0.0021
1706.7881
3.5640
30
1645.4878
0.0006
5873.1680
�
0.2820 0.2806
3.5693
0.2802
14 15
20
0.0002
INTERES DISCRETO i
N
F/P,í %,n
P/F,i %,n
F!A,i %,n
=
29%
A/F,i %,n
P!A,i %,n
1
1.2900
0.7752
1.0000
1.0000
2
1.6641
0.6009
2.2900
0.4367
0.7752 1.3761
3
0.4658
1.8420
4
2.1467 2.7692
5
3.5723
3.9541
0.2529
6.1008
0.1639
A/P,i
%,n
1.2900 0.7267 0.5429 0.4539
0.1127
4.6083
�
8.8700
6
0.2170
12.4423
0.0804
7
5.9447
0.1682
17.0506
0.0586
8
7.6686
0.1304
22.9952
0.0435
2.9986
0.3486 0.3335 0.3226
.
� o
2.8882
0.4027 0.3704
9
9.8925
0.1011
30.6_638
0.0326
3.0997
10
12.7613
0.0784
40.5564
0.0247
3.1781
0.3147
11
16.4621
0.0607
53.3177
0.0188
3.2388
0.3088
12
21.2361
0.0471
69.7798
0.0143
3.2859
13
27.3946
0.3043
0.0365
91.0159
0.0110
3.3224
14
0.3010
35.3391
0.0283
118.4105
0.0084
3.3507
0.2984
15
45.5874
0.0219
153.7496
0.0065
3.3726
16
58.8077
0.2905
0.0170
199.3369
0.0050
17
3.3696
0.2950
75.8619
0.0132
258.1445
0.0039
3.4028
18
0.2939
97.8619
0.0102
334.0063
0.0030
3.4130
19
0.2930
126.2418
0.0079
431.8682
0.0023
3.4210
20
162.8519
0.0061
558.1099
0.0018
3.4271
0.2923 0.2916
25
581.7561
0.0017
2002.6074
0.0005
3.4423
0.2905
30
2078.2080
0.0005
7162.7852
0.0001
3.4466
0.2901
308
Apéndice A
INTERES DISCRETO i N
F!P,i %,n
P/F,i %,n
F/A,i %,n
=
30%
A/F,i %,n
P/A,i %,n
•
X/P,i %,n
1
1.3000
0.7692'
1.0000
2
1.6900
1.0000
0.7692
0.5917-
2.3000
1.3000
0.4348
1.3609
0.7348
1.8161 2.1662
0.5506
3
2.1970
0.4552
3.9900
4
2.8561
0.2506
0.3501,
6.1870
129
0.1616
7
268
12.7560
6.2748
"'g.2§98 0.2072
8
8.1573
0.1226
9
23.8575
10.6044 13.7857
0.0943
32.0148
10
0.0725
11
42.6192
17.9214
0.0558
12 13
23.2979 30.2872
14
5
�
0.1594
9.0431 7.
0.4616
o�
� o
0.3784
0.0569
2.8021
0.0419
2.9247
0.3569 0.3419
0.0312
3.0190
0.3312
0.0235
3.0915
56.4048
0.3235
0.0177
0.0429
3.1473-
74.3262
0.3177
0.0135
0.0330
3.1903
97.6241
0.3135
39.3734
0.0102
0.0254
3.2233
0.3102
15
127.9112
51.1353
0.0078
0.0195
3.2487
0.3078
16
66.5408
0.0150
167.2844 218.4695
0.0060
3.2682
17
86.5030
0.0116
0.0046
3.2832
18
285.0100
0.3060 0.3046
.0.0089
0.0035
3.2948
371.5129
0.3035
19
112.4539 146.1899
0.0068
0.0027
3.3037
0.3027 .
20
190.0467
483.9663
0.0021
0.0053
3.3105
0.3021
25
630.1558
705.6274
0.0016
0.0014
3.3158
0.3016
30
2348.7583
2619.9360
0.0004
0.0004.
3.3286
8729.7852
0.3004
0.0001
3.3321
0.30.01
.r-
' \1-
INTERES DISCRETO i = 35% N
F/P,i %,n
P/F,i %,n
F/A,i %,n
A/F,i %,n
P/A,i %,n
A/P,i %,n
1
1.3500
0.7407
2
1.0000
1.8225
1.0000
0.5487
0.7407
2.3500
1.3500
3
2.4604
0.4255
0.4064
1.2894
4.1725
0.7755
4
3.3215
0.2397
0.3011
1.6959
5 6
4.4840
6.6329 0.5008
0.1508
1.9969
6.0534
0.2230 0.1652
0.1005
2.2200
� '·
0.5897 0:5007 0.4505
7 8
14.4384
8.1721
0.1224
0.0693 0.0488
0.0906
2.3852 2.5075
0.4193
11.0324
20.4918
9
28.6639
14.8937
2.8398
0."0671
2.5982
39.6962
0.3849
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2.6653
0.3988
10
20.1064.
0.0497
11
54.5898
27.1437
0.0183
2.7150
0.3752 0.3683
12
36.6440 .
0.0368
0.0134
0.0273
2. 7"519
0.3634
13
74.6963 101.8400
49.4693
0.0098
0.0202
2t. 7792
0.3598
14
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138.4839
0.0072
0.0150
2.7994
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15
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254.7365
16 17
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0.0039
2.!1255
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0.0061
0.0029
2.8337
221.8217
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0.3529
18
0.0045
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2.8397
19
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2.8443
20
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2.8476
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1152.1987
0.3512
25
0.0006
0.0009
5176.4375
2.8501
0.0002
0.3509
2.8556
9.3502
Interés compuesto discreto 309
INTERES DISCRETO i
N
F/P,i %,n
P/F,i %,n
F/A,i %,n
=
40%
A/F,i %,n
P/A,i %,n
AIP,i %,n
-
1 2
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
1.4000 1.9600
2.7440 3.8416 .á..31.8 2
7.5295 10.5413 14.7578 20.6609
28.9253 40.4964 56.6936 79.3709 111.1192 155.6669 217.7935 304.9106 426.8748 697.6245 836.6736
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�� . 59 0.1328 0.0949 0.0678 0.0484 0.0346 .0.0247
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1.0000 2.4000� 4.3600 7.1040
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2.4918 2.4941 2.4958 2.4970
1.4000 0.8167 0.6294
� ().4613 0.4419 0.4291 0.4203 0.4143 0.4101 0.4072 0.4061 0.4036 0.4026
0.4018
0.4013 0.4009 0.4007 0.4006
v-
--.
1<
GRADIENTE ARITMETICO CON INTERES DISCRETO (A/g, i%, n)
\ú
....
o
N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75
1.0
5.0
8.0
10.0
12.0
15.0
18.0
20.0
25.0
30.0
35.0
40.0
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6.8010 7.2754 7.748á 8.2192 8.6883 9.1560 11.4699 13.7424 15.9739 18.1646 20.3141 22.4233 24.4919 26.5202 28,5088
80
30.4574 32.3665 34.2365
85 90 95 100 120 180
36.0676 37.8599 39.6140 41.3303 47.8230 63.9595
1.9021 2.3575 2.8048 3.2441 3.6754 4.0987 4.5140 4.9215 5.32 Ü 5.7129 6.0969 6.4732 6.8419 7.2030 7.5565 7.9026 9.5234 10.9688 12.2495 13.3772 14.3642 15.2230 15.9662 16.6060 17.1539 17:6210
1 8 .0174
18.3525 18.6345 18.8711 19.0688 19.2336 19.6550 19.9724
6.7696 7.0369 8.2253 9.1897 9.9610 10.5699 11.0446 11.4107 11.6901 11.9015 12.0601 12.1783 12.2658 12.3301 12.3772 ' 12.4116
12.436 5 12.4545 12.4883 12.4998
1.8100 2.2235 2.6215 3.0044 3.3723 3.7254 4.0640 4.3883 4.6987 4.9954 5.2789 5.5493 5 .8070 6.0525 6.2860 6.5080 7.4579 8.1762 8.7086 0.0962 9.3740 9.5704 9.7075 9.8023 9.8672 9.9112 9.9410 0.9609 9.9742 9.9831 9.9889 9.9927 9.9987 9.9609
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8.3082
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8.3181
6.6646
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6.6656 6.6661 6.6664 6.6665 6.6666 6.6667 6.6667
4,.5916 4.7002 4.7978 5.1502 5.3448 5.4485 5.5022 5.5293 5.5428 5.5494 5.5526 5.5542 5.5549 5.5553 5.5554 5.5555 5.5555 5.5555 5.5555 5.5556 5.5556
1.6405 1.9788 2.2902. 2.5755 2.8364 3 ; o1 á 9
2.6048 2.7971
·'
3.2893 3.4841 3.6597 3.8175 3.9588 4.0851 4.1975 4.2975
2.9663 3.1145 3.2437 3.3559 3.4530 3.5366 3.6084 3.6698 3.7222
4.3861 4.4643 4.7352
3.7667 3.9052
4.8731 4.9406
3.9628 3.9858 3.9947 3.9980 3.9993 3.9997 3.9999
4.9723 4.9877 4.9945 4.9976 4.9989 4.9995 4.9998 4.9999 5.0000 5.0000 5.0000 5.0000 5.0000 5.0000 5.000()
4.0000 4.0000 4.0000 4.0000 •
4.0000 4.0000 4.0000 4.0000 4.0000 4.0000
1.7654 2.0063 2.2156 2.3963 2.5512 2.6833 2.7952 2.8895 2.9685 3.0344 3.0892 3.1345 3.1718 3.2025 3.2275 3.2979
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2.8571 2.8571
3.3333 3.3333 3.3333
2.8571 2.8571 2.8571
3.3333 3.3333
2.8571 2.8571
2�5000 2.5000 2.5000
2.8571. 2.8571 -;._ .2.8571 2.8571 2.8571 2.8571 2.8571
2.5000 2.5000 2.5000 2.5000 2.5000 2.5000 2.5000
3.3333 3.3333 3.3333 3.3333 3.3333 3.3333 3.3333
2.4999 2.5000 2".5000 2.5000 2.5000
� '1::1 (1), :S
� '11
�
GRADIENTE GEOMETRICO CON INTERES DISCRETO i = 10% (P/A,i %,j %,n) J
10
12
15
18
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0.9091 1.8595
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20
25
35
30
N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
13 14
16 16 17 18 19 20
25 30
35
40 45
50
10.0000 10.9091 11.8182 12.7273 13.6364 14.5455 15.4546 16.3636 17.2727 18.1818 22.7273 27.2727 31.8181 36.3636 40.9091 45.4546
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127.8305 164.6248
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31.7301 . 34.9469 38.3975 59.8009 90.2048 38.3690 194.7449 281.8950 406.8934
0.9091 1.9Q08 2.9827 4.16 3o 5.4605 6.8661 8.3874 10.0690 11.8825 13.8719 16.0420 18.4095 20.9922 23.8097 28.8833 30.2363 33.8941 37.8845 42.2377 46.9866 78.0474 128.0380
200.1859
314.7480 491.7537
785.2368
0.9091 1.9422
3.1161 4.4501 6.9660 7.6887 9.6463 11.8708
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80.5721
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'
155.5888 191.8590 236.3726
665.2544 1850.3633 5184.0469 14440.7500 40213.6094 ***** ****
� �
�
... <') o
� 1::
� S
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� ... Q
� .... ....
lt
---
v•
'\
tu N
:t..
'¡, ::S GRADIENTE GEOMETRICO CON INTERES DISCRETO i
=
� tl>
15% (P/A,i % ,j% ,n)
:t.. J
10
12
15
18
20
25
30
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0.8695 1.7618 2.6773 3.6167 4.8087 6.5697 6.5846 7.6259 8.6944 9.7908 10.9158 12.0701 13.2544 14.4699 14.7788 16.9966 18.3096 19.6666 21.0390 22.4574 30.1242 38.8445 48.7636 80.0448 72.8768 87.4721
0.8696 1.7769 2.7238 3.7117 4.7427 6.8185 6.9410 8.1124 9.3346 10.6101 11.9409 13.3297 14.7788
0.8696 1.8147 2.8421 3.9588 6.1727 6.4920 7.9261 9.4849 11.1793 13.0210 15.0228 17.1987 19.5638 22.1346 24.9290 27.9663 31.2677 34.8563 38.7568 42.9966
0.8696 1.8526 2.9638 4.2199 6.6399 7.245i 9.0597 11.1109 13.4298 16.0510 19.0142 22.3639 26.1505 20.4310
35
N 1 2 3 4
ó
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50
0.8696 1.7013 2.4969 3.2579 3.9858 4.6821 5.3481 5.9851 6.5945 . 1.1773 7.7348 8.2681 8.7782 9.2661 9.7328 10.1792 10.6062 11.0146 11.4053 11.7780 13.4173 14.7292 15.7796 16.6207 17.2941 17.8334
0.8696 1.7164 2.6412 3.3446 4.1268 4.8887 5.6308 6.3534 7.0573 7.7427 8.4103 9.0605 9.6937 10.3104 10.9110 11.4959 12.0656 12.6204 13.1607 13.6870 16.1193 18.2505 20.1178 21.7540 23.1876 24.4437
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•
0.8696 1.8.904 3.0887 4.4954 6.1468 8.0854 10.3611 13.0326 16.1687 19.8502 24.1720 29.2454 35.2011 42.1927 50.4001 60.0349 71.3454 84.6228 100.2094 118.5067 270.3408 608.8337 1363.4558 3045.7815 6796.2852 15157.5195
GRADIENTE GEOMETRICO CON INTERES DISCRETO i 10
12
16
18
1 2 3 4
0.8333 1.6972 2.2976 2.9393
0.8388 1.6111
�
3.6277 4.0671 4.6616 6.0147 5.4801 6.8110 6.1600 6.4800
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6.2299 7.6479 7.0380
6.7734 7.0422 7.2887 7.5147 7.7218
7.4021 7.7420 8.0692 8.3552 8.6318
7.9116 8.0866 8.2452 8.8642 9.2649 9.6242 9.6920
8.8896 9.1302 9.3548 10.2724 10.9223
9.8007 9.8710
11.9395 12.1030
N
6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 26 30 36 40 45 60
J
2.3370 8.0146 3.6466 4.2371 4.7880 6.3021 6.7820
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16.3660
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26.6302 28.4218
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20
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=
20% (P/A,i % ,n) 36
30
26
0.8333 1.7014 2.6056
� -
. 6.9324 7,7244 8.8795 10.0829 11.3363 12.6420
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26.2490 36.4949 48.0610 63.4725
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28.0106 32.3452 37;2218 43.7078 48.8797
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1
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366.6841 637.1463
S' �
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GRADIENTE GEOMETRICO CON INTERES DISCRETOi
=
ft-
25% (P/A,i % ,j% ,n)
111
�lo. J N 1 2 8 4 6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50
10
12
15
18
20
0.8000
0.8000 1.6168
0.8000
0.8000 1.6562
0.8000 1.5680
Ui040 2.1286 2.6687 8.1486 3.5706 3.9422 4.2691 4.6568 4.8100 5.0328 5.2289 5.4014 5.6532 5.6868 6.8044 5.9079 5.9989 6.0791 5.1496 6.3938 6.5226 6.5906 6.6265 6.6466 6.6656
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2.2681
2.8068
2.9411
8.0181 3.6926 3.3449
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7.5768 7.7706
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25
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2.4973
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6.3186
1
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7.3713 8.4662
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9.6048 10.7890
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17.4023
40.0000
122.1303
14.4000 15.2000
35
30
20.5161 22.1367 23.8221 33.3163 44.8672
. . ...
27.0000 29.9600 33.1568 26.6093 58.4843 . 90.6256 137.8517 207.2427 309.1992 469.0078
GRADIENTE GEOMETRICO CON INTERES DISCRETO i J
10
12
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15
=
30% (PjA,i % ,j% ,n)
18
20
25
80
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0.7692 1.5885 2.8077 3.0769 3.8462 4.6164
85
N 1 2 8 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 60
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4.9937
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4.9973 4.9988
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8.2267 8.2676
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34.6154
20.9684 22.5441 31.3798 42.0504 54.9372 70.5003 89.2956
38.4615
111.9944
14.6164 15.3846 19.2308 12.0769 26.9231 30.7692
1
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GRADIENTE GEOMETRICO CON INTERES DISCRETO i
=
�::S
35% (P/A,i % j % ,n)
ft
,
�
J
10
12
15
18
20
25
30
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0.7407 1.4640 2.1409 2.8024 3.4393 4.0627
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4.3511 4.5440 4.7125 4.8598 4.9886
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N
1 2
8 4 6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 4,0 45 50
3.4840 3.5796 3.6574 3.7209 3.7726 3.8147 3.8490 3.8770 3.8997 3.9183 3.9334 3.9761 3.9914 3.9969 3.9989 3.9996 3.9999
4.0839 4.1288 4.1662 4.1971 4.2228 4.2441 4.3071 4.3318 4.3415 4.3454 4.3489 4.3475.
4.7211 4.7624 4.7976 4.9092
6;1011 6.1995 5.2855 5.3607 5.4263 5.4838 5.6790 5.7786
4.9593 4.9617
5.8294
4.9918 4.9983 4.9984
5.8553 5.8886 6.8753
3.7436 4.0684 4.3671 4.6137 4.8418 5.0446 5.2248 5.3850 6.5274 5.6540 5.7666 6.8665 6.9555 6.0345 6.3159 6.4720 6.5586 6.6067 6.6334 6.6482
7.8546 8.5399 9.0063 9.3237 9.5397 9.6868 9.7868
35
0.7407 1.4816 2.2222 2.9630 3.7037 4.4444 ' 6.1862
4.6433 6.2121 6.7698 6.2872
6.9269 6.6667 7.4074 . 8.1482 8.8889 9.6296 10.3704
6.7951 7.2842 7.7651 8.2086 8.6454 9.0659
11.1111 11.8519
9.4709 9.8608 10.2364
12.5926 13.3333 14.0741 14.8148 18.5185 ·22.2222
10.5980 12.2148 13.5536 14.6622
25.9259
15.5801
29.6296
16.3401 16.9695
. -;_
33.3333 37.0370
�
--
OllU!lUO� OlS�ndruo� S�l�llll
TABLAS DE FACTORES PARA INTERES COMPUESTO CONTINUO
(F/P,r%
n ,
) = em
(P/F,r%
,n
) =e-m em-1 e7-1
(F /A,r%
,n
)=
(A/F,r%
,n
) = e7-1 em-1
(P/A,r%
,n
) = 1-e-m e7-1
(A/P,r %
,n
(A/g,r %
,n
)
=
e7-1 1-e-rn
.�l!./
1 er-1
n
__
ern-1
1 1-(1 + j)n fern ) (P/A,r % ,j %, n) = __!_ ( 1-(1 +¡)¡er e7
319
l
320
Apéndice B
•
.e
mTERESCONnNUOr=l% N
'
1 � : !.
' ' l •
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 46 60 65 60 65 70 75 80 85 90 95 100 120 180
F/P,r% ,n 1.0100 1.0202
1.0305 1.0408 1.0513 1.0618 10.725
1.0833 1.0942 1.1052 1.1163 1.1275 1.1388
1.1503 1.1618 1.1735 1.1853 1.1972 1.2092 1.2214 1.2840 1.3499 1.4191 1.4918 1.5683 1.6487 1.7333 1.8221
1.9155 2.0138 2.1170 2.2255 2.3396 2.4596 2.5857 2.7183 3.3201 6.0496
P/F,r%
,n
0.9901 0.9802
0.9704 0.9048
0.9512 0.9418 0.5324 0.9231 0.9139 0.9048
0.8958 0.8869 0.878i 0.8694 0.8607 0.8621 0.8437 0.8363 0.8270 0.8887
0.7788 0.7408' 0.7047 0.6703 0.6376 0.6066 0.5769 0.5488 oJ>220 0.4966 0.4724 0.4493 0.4274 0.4066 0.3867 0.3679
0.3� 0.1 53
F/A,r%
,n
1.0000 2.0102 3.0304 4.0608 5.1017 6.1630 7.2148 8.2874 9.3708 10.4650 11.5701 12.6865 13.8140 14.9528 16.1031 17.2660 18.4386 19.6239 20.8212 22.0305 28.2617 34.8124
41.6990 48.9386 56.5494 64.5505 72.9617 81.8043 91.1002 100.8727 111.1462 121.9465 133.3005 145.2367 157.7848 170.9763
230.8612 502.4609
A/F,r%
,n
1.0000 0.4975
0.3300 0.2463 0.1960
0.1625 0.1386 0.1207 0.1067 0.0956 0.0864 0.0788 0.0724 0.0669 0.0621 0.0579 0.0542
0.0510 0.0480 0.0454 0.0354 0.0287 0.0240 0.0204 0.0177 0.0165 0.0137 0.0122
0.0110 0.0099 0.0090 0.0082 0.0075 0.0069 0.0063 0.0058 0.0043 0.0020
P/A,r% ,n 0.9901 1.9704 2.9408
3.9016 6.8529 5.7947
5.7271 7.6503 8.5642 9.4891 10.3649 11.2519 12.1300 12.9994 13.8601 14.7123 15.5560
16.3913 17.2183 18.0371
22.0103 25.7897 29.3848 32.8045 36.0576 39.1619 42.0953 44.8952
47.5585 50.0919 52.6018 54.7941 56.9746 59.0488 61.0219 62.8987 69.5341 83.0563
Atp,r%
,n.
1.0100 0.5075 0.3400
0.2563 0.2061 0.1726 0.1487 0.1307 0.1168 0.1056 0.0965 0.0889 0.0824 0.0769 0.0721 0.0680 0.0643
0.0610 0.0581 0.0554 0.0454 0.0388 0.0340 0.0306 0.0277 0.0255 0.0238 0.0223
0.0210
0.0200 0.0190 0.0163 0.0176 0.0169 0.0164 0.0159 0.0144 0.0120
Interés compuesto. continuo 321
INTERES CONTINUO N
F/P,r%
,n
1.0151 1.0305 1.0460 1.0618 1.0779 1.0942 1.1107 1.1275 1.1445 1.1618
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1.1794 1.1972 1.2153 1.2337 1.2523 1.2712 1.2905 1.3100 1.3298 1.3499 1.4550
13 14 15
m-
17 18 19 20 25 30
1.5683 1.6905 1.8221 1.9640 2.1170 2.2819 2.4596 2.6512 2.8576 3.0802
35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90
3.3201 3.5787 3.8574 4.1579 4.4817 6.0496 14.8797
95 100 120 180
·¡· �
P/F,r%
,n
0.9851 0.9704 0.9560 0.9418 0.9277 0.9139 0.9003 0.8869 0.8737 0.8607 0.8479 0.8353 0.8228 0.8106
9..7�6§ 0.7866 0.7749 0.7634 0.7520 0.7408 0.6873 0.6376 0.5916 0.5488 0.5092 0.4724 0.4382 0.4066
0.3772 0.3499 0.3247 0.3012 0.2794 0.2592 0.2405 0.2231 0.1653 0.0672
F/A,r%
,n
1.0000 2.0151 3.0456 4.0916 5.1535 6.2314 7.3256 8.4363 9.5638 10.7083 11.8702 13.0496 14.2469
.�= 17.9482 19.2195
20.5099 21.8199 23.1497 30.1062 37.6045 45.6868 54.3986 63.7888 73.9104 84.8204 56.5800 109.2556 122.9183 137.6451 153.5190 170.6293 189.0721 208.9513 230.3787 334.1284 918.4031
r=
1.5%
A/F,r%
,n
P/A,r%
,n
1.0000 0.4962 0.3283 0.2444 0.1940 0.1605 0.1365 0.1185 0.1046 0.0934 0.0842 0.0766 0.0702 0.0647
0.9851 1.9556 2.9116 3.8534 4.7811 5.6951 6.5954 7.4823 8.3561 9.2168 10.0647 10.8999 11.7228 "12.5334
G.0599____
13.3319 14.1186
0.0520
14.5935 15.6569 15.4089 17.1497 20.8917 23.9777 27.0262 29.8546 32.4785 34.9128 37.1713 39.2665
0.0557
0.0488 0.0458 0.0432 0.0332 0.0266 0.0219 0.0184 0.0157 0.0135 0.0118 0.0104 0.0092 0.0081 0.0073 0.0065 0.0059 0.0053 0.0048 0.0043 0.0030 0.0011
41.2104 43.0138 40.0869 46.2391 47.6791 49.0151 50.2546 51.4045 55.2311 61.7218
A/P,r%
,n
1.0151 0.5114 0.3435 0.2595 0.2092 0.1756 0.1516 0.1336 0.1197 0.1085 0.0994 0.0917 0.0853
Q.07.9.l!
'o.o75o, ---¡)J)768 0.0671 0.0639 0.0609 0.0583 0.0483 0.0417 0.0370 0.0355 0.0308 0.0286 0.0269 0.0255 0.0243 0.0232 0.0224 0.0216 0.021(1 0.0204 0.0199 0.0195 0.0269 0.0162
322
Apéndice B
• •t
ThiTE�CONTINUOr=2% .
N
... ....
1 �
.
l. e ( (
'
'¡
r'
1 2 3 4 5 6 . 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 120 180
F/P,r%
,n
1.0202 1.0408 1.0618 1.0833 1.1052 1.1275 1.1503 1.1735 1.1972 1.2214 1.2461 1.2712 1.2969 1.3231 1.3499 1.3771 1.4049 1.4333 1.4823 1.4918 1.6487 1.8221 2.0138 2.2255. 2.4596 2.7183 3.0042 3.3201 3.6693 4.0552 4.4317 4.9530 5.4739 6.0496 6.6859 7.3890 11.0232 36.5982
P/F,r%
,n
0.9802 0.9608 0.9418 0.9231 0.9048 0.8869 0.8694 0.8521 0.8353 ·0.8187 0.8025 0.7866 0.7711 0.7558 0.7408 o. 7261 0.7118 0.6977 0.6839 0.6703 0.6065 0.5488 0.4966 0.4493 0.4066 0.3679 0.3329 0.3012 0.2725 0.2466 0.2231 0.2019 0.1827 0.1653 0.1496 0.1353 0.0907 0.0273
F/A,r% ,n 1.0000 2.0202 3.0609 4.1228 5.2061 6.3112 7.4387 8.5889 9.7624 10.9596 12.1810 13.4270 14.6983 15.9952 17.3183 18.6681 20.0452 21.4502 22.8834 24.3457 34.1122 40.6956 50.1818 60.6653 72.2516 85.0564 99.2078 114.8477 132.1323 151.2348 172.3463 195.6782 221.4641 249.9615 281.4563 316.2632 496.1553 1762.1411
A/F,r% ,n 1.0000 0.4950 0.3267 0.2426 0.1921 0.1584 0.1344 0.1164 0.1024 0.0912 0.0821 0.0745 0.0680 0.0625 0.0577 0.0536 0.0499 0.0466 0.0437 0.0411 0.0311 0.0246 0.0199 0.0165 0.0138 0.0118 0.0101 0.0087 0.0076 0.0066 0.0058 0.0051 0.0045 0.0040 0.0036 0.0032 0.0020 0.0006
A/P,r% ,n
P/A_,r% ,n 0.9802 1.9409 2.8827 3.8058 4.7106 5.5975 6.4669 7.3190 8.1542 8.9750 9.7755 10.5621 11.3331 12.0889 12.8297 13.5558 14.2676 14.9653 15.8491 16.3194 19.4770 22.3342 24.9194 27.2567 29.3753 31.2905 33.0234 34.5915 36.0103 37.2941 38.4557 39.5068 40.4578 41.3184 42.0970 42.6016 45.0102 48.1483
'
�
1.0202 0.5152 0.3469 0.2628 0.2123 0.1787 0.1546 0.1366 0.1226 0.1114 0.1023 0.0947 0.0882 0.0827 0.0779 0.0738 0.0701 0.0668 0.0639 0.0613 0.0513 0.0448 0.0401 0.0367 0.0340 0.0320 0.0303 0.0289 0.0278 0.0266 0.0260 0.0253 0.0247 0.0242 0.0238 0.0234 0.0222 0.0208
Interés compuesto continuo 323
' ,.
ThnERESCONTINUOr=3% N
F/P,r%
,n
PfF,r%
,n
F/A,r%
,n
A/F,r%
,n
P/A,r%
,n
A/P,r%
,n
1
1.0305
0.9704
1.0000
1.0000
0.9704
2
1.0618
0.9418
2.0304
0.4925
1.9122
0.5230
3
1.0942
0.9139
3.0923
0.3234
2.8261
0.3538 0.2693
1.0305
4
1.1275
0.8869
4.1864
0.2389
3.7130
5
1.1618
5.3139
0.1882
4.5737
0.2186
6
1.1972
0.8607 0.8353
6.4758
0.1544
5.4090
0.1849
7
1.2337
0.8106
7.6730
0.1303
0.2196
0.1608
8
1.2712
0.7866
8.9067
0.1123
7.0082
0.1427
9
1.3100
0.7634
10.1779
0.0983
7.7696
0.1287
10
1.3499
0.7408
11.4878
0.087()
8.5104
0.1175
11
1.3910
0.7189
12.8377
0.0779
9.2293
0.1084
12
1.4333
0.6977
14.2287
0.0703
9.9270
0.1007
13
1.4770
0.6771
15.6620
0.0638
10.6041
0.0943
14
1.5220
0.6570
17.1390
0.0583
11.2611
0.0888
15
1.5683
0.6376
18.6609
0.0536
11.8987
0.0840
16 17
1.6161
0.6188
20.2292
0.0494
12.5175
0.0799
1.6653
0.6005
13.1180
0.0762
1.7160
0.5827
21.8453 23.5106
0.0458
18
0.0425
13.7008
0.0730
19
1.7683
25.2266
20
26.9949
0.0396 0.0370
14.2663 14.6151
0.0701 0.0675
25
1.8221 2.1170
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'0.0355
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·•
324 Apéndice B
• J t•
INTERES CONTINUO r = 4% N
,,
,n
P/F,r%
,n
F{A,r%
,n
A{F,r%
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P/A,r%
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A{P,r%
,n
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·,
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Interés compuesto continuo 325
,.
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,n
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,n
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,n
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1n
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A/P,r%
,n
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326
Apéndice B INTERES CONTINUO r = 8%
N
• >
... ....
l. r
ü
F/P,r%
,n
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F/A,r%
A/F,r%
,n
,n
P/A,r%
A/P,r%
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,n
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1.0000
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i
Ll e ( e . .. ...
INTERES CONTINUO r = 10%
�� N
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''- ' "
FfP,r%
,n
P/F,r%
,n
F/A,r%
,n
A/F,r%
,n
P/A,r%
,n
A /P,r%
,n
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1.0000
1.0000
0.9048
1.1052
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. '
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0.1287
18
6.0496
0.1653
48.0135
0.0208
7.9366
0.126'0
19
6.6859
0.1496
54.0631
0.0185
8.0862
0.1237
20
7.3890
0.1353
60.7490
0.0165
8.2215
0.1216
25
12.1825
0.0821
106.3265
0.0094
8.7278
0.1146
30
20.0855
0.0498
181.4707
0.0055
9.0349
0.1107
35
33.1154
0.0302
305.3628
0.0033
9.2212
0.1084
40
54.5981
0.0183
509.6265
0.0020
9.3342
0.1071 0.1064
45
90.0170
0.0111
846.4004
0.0012
9.4027
50
148.4129
0.0067
1401.6465
0.0007
9.4442
0.1069
55
244.6912
0.0041
2317.0908
0.0004
9.4694
0.1056
J
Interés compuesto coñtÚzuo 327
INTERES CONTINUO N
F/P,r%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 55
1.1275 1.2712 1.4333 1.6161 1.8221 2.0544 2.3164 2.6117 2.9447 3.3201 3.7434 4.2207 4.7588 5.3655 6.0496 6.8210 7.6906 8.6711 9.7767 11.0232 20.0855 36.5981 66.6862 121.5101 221.4057 403.4277 735.0928
,n
P/F,r%
,n
0.8869 0.7866 0.6977 0.6188 0.5488 0.4868 0.4317 0.3829 0.3396 0.3012 0.2671 0.2369 0.2101 0.1864 0.1653 0.1466 0.1300 0.1153 0.1023 0.0907 . 0.0498 0.0273 0.0150 0.0082 0.0045 0.0025 0.0014
F/A,r%
A/F,r%
,n
1 2 3 4 5
--¡'f1
8 9 10 11 . 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50
F/P,r%
,n
1.1618 1.3499 1.5683 1.8221
2.U7.Q
'!!A696
.2.8576' 3.3201 3.8574 4.4817 5.2070 6.0496 7.0267 8.1662 9.4377 11.0232 12.8071 14.8797 17.2878 20.0855 42.5210 90.0170 190.5661 403.4285 854.0571 1808.0391
PJF,r%
,n
0.8607 0.7408 0.6376 0.5488 0.4724
--a:-4()'mr0.3499' 0.3012 0.2592 0.2231 0.1920 0.1653 0.1423 0.1225 0.1054 0.0907 0.0781 0.0672 0.0578 0.0498 0.0235 0.0111 0.0052 0.0025 0.0012 0.0006
F/4,r%
,n
1.0000 2.1618 3.5117 5.0800 fi 9..0219.orn 11.4787 14.3364 17.6565 21.5139 25.9957 31.2026 37.2523 44.2810 52.4472 61.9350 72.9581 85.7653 100.6450 117.9328 156.5659 550.0522 1171.3628 2486.6780 5271.1914 11166.0195
r =
12%
P/A,r%
,n
1.0000 0.4700_ 0.2942 0.2070 0.1551 0.1209 0.0969 0.0791 0.0656 0.0550 0.0465 0.0396 0.0339 0.0292 0.0252 0.0�19 0.0191 0.0166 0.0145 0.0127 0.0067 0.0036 0.0019 0.0011 0.0006 0.0003 0.0002
1.0000 2.1275 3.3988 4.8321 6.4482 8.2703 10.3247 12.6411 15.2528 18.1974 21.5175 25.2610 29.4816 34.2405 39.6060 45.6557 52.4767 60.1673 68.8384 78.6151 149.6940 279.2083 515.1990 945.2014 1728.7166 3156.3770 5757.7383
INTERES CONTINUO N
r =
A/P,r%
,n
0.8869 1.6735 2.3712 2.9900 3.5388 4.0256 4.4575 4.8402 5.1798 5.4810 5.7481 5.9850 6.1952 6.3815 6.5488 6.6934 6.8235 6.9388 7.0411 7.1318 7.4528 7.6290 7.7257 7.7788 7.8079 7.8239 7.8327
,n
1.1275 0.5975 0.42i 7 0.3344 0.2826 0.2484 0.2244 0.2066 0.1931 0.1824 0.1740 0.1671 0.1614 0.1567 0.1527 0.1994 0.1496 0.1441 0.1420 0.1402 0.1342 0.1311 0.1294 0.1286 0.1281 0.1278 9.1277
15%
A/F,r%
�
,n
1.0000 0.4626 0.2848 0.1968
-g,J,�l! 0.1109 0.0871 0.0698 0.0566 0.0465 0.0385 0.0320 0.0268 0.0226 0.0191 0.0161 0.0137 0.0117 0.0099
P/A,r%
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,n
1.1618 0.6244 0.4466 0.3587 º,3067 0.21'27 0.2490 0.2316 0.2185 0.2083 0.2003 0.1939· 0.1887 0.1844 0.1809 0.1760 0.1755 0.1735
�
� -á. 0.0039 0.0018 0.0009 0.0004 0.0002 0.0001
A/P,r%
,n
6.0339 6.1105 6.1468 6.1639 6.1719 6.1758
.
.
0.1657 0.1637 0.1627 0.162.2 0.1620 0.1619
328
Apéndice B INTERES CONTINUO r = 18%
N
.. "'
1
F/P,r%
,n
P/F,r%
,n
F/A,r%
,n
A/F,r%
,n
P/A,r%
A/P,r% ,n
,n
1
1.1972
0.8353
1.0000
1.0000
0.8353
1.1972
2
1.4333
0.6977_
2.1972
0.4551
1.5329
0.6523
3
1.7160
0.5827
3.6306
0.2754
2.1157· ,t
0.4727
4
2.0544
0.4868
5.3466
0.1870
2.6025
0.3843
5
2.4596
0.4066
7.4010
0.1351
3.0090
6
2.9447
0.3396
9.9606
0.1014
3.3486
0.3323 0.2936
7
3.5254
0.2837
12.8053
3.6323
0.2753
8
4.2207
0.2369
16.3307
0.0781 0.0612
3.8692
0.2585
9
5.0531
0.1979
20.5514
0.0487
0.2459
10
6.0496
0.1653
25.6045
Ó.0391
4.0671 4.2524
0.2363
11
7.2427
0.1381
21.6541
0.0316
4.3705
0.2288
12
8.6711
0.1153
38.8969
0.0257
4.4853
0.2229
13
10.3812
0.0963
47.5681
0.0210
4.5821
0.2182
14
12.4286
0.0805
57.9492
0.0173
4.6823
0.2145
15
14.8797
0.0672
70.3779
0.0142
4.7298
0.2114
16
17.8143
0.0561
85.2576
0.0117
4.7859
0.2089
17
21.3275
0.0469
103.0719 124.3995
0.0097 0.0080
2.2069
25.5337
0.0392
4.8328
18
4.8720
0.2053
19
30.5694
0.0327
149.9332
0.0567
4.9047
0.2039
20
36.5982
0.0273
180.5026
0.0055
4.9320
0.2028
25
90.0170
0.0111
451.3655
0.0022
5.0142
0.1994
30
221.4059 .
0.0045
1117.5806
0.0009
5.0477
0.1981
35
544.5706
0.0018
2756.2053
0.0004
5.0612
40
1339.4280
0.0007
6786.5742
0.0001
5.0668
0.1976 0.1974
45
3294.4600
0.0003
16699.6758
0.0001
5.0690
0.1973
. u
¡
�
(
o •·
;.
J �-
INTERES CONTINUO r = 19%
l
N
FfP,r%
,n
P/F,r%
,n
F/A,r%
,n
A/F,r%
,n
P/A,r%
A/P,r%
,n
1
1.2092
0.8270
1.0000
1.0000
2
1.4623
0.6839
2.2093
0.4526
0.8270 0.5108
3
1.7683
0.5655
3.6715
0.2724
2.0763
4
2.1383
0.4677
5.4398
0.1838
5
2.5857
0.3867
7.5781
0.1320
2.5140 2.9308
,n
1.2092 0.8819
.
0.4816 0.3931
6
3.1268
0.3198
10.1638
0.0984
3.2506
•0.3412 0.3070
7
3.7810
0.2645
13.2906
0.0752
3.5151
0.2845
8
4.5722
0.2187 .
17.0716
0.0586
3.7338
0.2678
9
5.5290
0.1809
21.6438
0.0462
3.9146
0.2555
10
6.6859
0.1496
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0.0368
0.2461
11
8.0849
0.1237
33.8587
0.0295
4.0642 4.1879
12
9.7767
0.1023
41.9436
0.0238
4.2902
0.2331
13
11.8224
0.0846
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0.0193
4.3748
0.2286
14
14.2963
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15
17.2878
0.0578
0.0128
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16
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0.0478
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0.0105
4.5504
17
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0.0086
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0.2179
18
0.0327
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0.0071
0.0271
171.8811
0.0058
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0.2163
19
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20
44.7012
0.0224
208.8471
0.0048
4.6721
0.2140
25
115.5842
0.0087
547.5957
0.0018
4.7376
0.2111
30
298.8674
0.0033
1423.5037
0.0007
4.7630
0.2100
35
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0.0013
3688.3430
0.0003
4.7728
0.2095
40
1998.1948
0.0005
9544.5586
0.0001
4.7766
0.2094
0.2388
0. 2198
0.2151
Interés compuesto continuo 329
INTERES CONTINUO r = 20%
N
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40
F/P,r%
,n
1.2214 1.4918 1.8221 2.2255 2.7183 3.3201 4.0552 4.9530 6.0496 7.3390 9.0250 11.0232 13.4637 16.4446 20.0855 24.5325 29.9641 36.5982 44.7012 54.6981 148.4130 403.4286 1096.6321 2980.9551
P/F,r%
,n
0.8187 0.6703 0.5488 0.4493
-----� 0.3012 0.2466 0.2019 0.1653 0.1353 0.1108 0.0907 0.0743 0.0608 0.0498 0.0408 0.0334 0.0273 0.0224 0.0183 0.0067 0.0025 0.0009 0.0003
F/A,r%
,n
1.0000 2.2214 3.7132 5.5353 7.7609 10.4791 13.7993 17.8544 22.8074 28.8571 36.2462 45.2711 56.2943 69.7580 86.2025 106.2882 130.8206 160.7846 197.3827 242.0837 665.8127 1817.6277 4948.5820 13459.4062
A/F,r%
,n
1.0000 0.4502 0.2693 0.1807 0.1289 0.0954 0.0725 0.0560 0.0438 0.0347 0.0276 0.0221 0.0178 0.0).43 0.0116 0.0094 0.0076 0.0062 0.0051 0.0041 0.0015 0.0006 0.0002 0.0001
P/A,r%
,n
0.8167 1.4890 2.0379 2.4872 2.8551
--a.1563 3.4029 3.6048 3.7701 3.9054 4.0162 4.1069 4.1812 4.2420 4.2918 4.3325 4.3669 4.3932 4.4156 4.4339 4.4862 4.5055 4.5125 4.5151
A/P,r%
,n
1.2214. 0.8716 0.4907 0.4021 0.3503 Ó.3188 0.2939 0.2774 0.2652 0.2561 0.2490 0.2435 0.2392 0.2357 0.2330 0.2308 0.2290 0.2276 0.2265 0.2255 0.2229 0.2220 0.2216 0.2216
INTERES CONTINUO r = 21% N. 1 2 3 4 .5 6 7 8 9 10 11· 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40
F/P,r%
,n
1.2337 1.5220 1.8776 2.3164 2.8576 3.5254 4.3492 5.3656 6.6194 8.1662 10.0744 12.4286 15.3329 18.9158 23.3361 28.7892 35.5166 43.8160 54.0548 66.6862 190.5661 544.5715 1556.1941 4447.0625
P/F,r%
,n
0.8106 0.6570 0.5326 0.4317 0.3499 0.2837 0.2299 0.1864 0.1511 0.1225 0.0993 0.0805 0.0652 0.0529 0.0429 0.0347 0.0282 0.0228 0.0185 0.0150 0.0052 0.0018 0.0006 0.0002
F/A,r%
,n
1.0000 2.2337 3.7556 5.6333 7.9496 16.8073 14.3327. 18.6819 24.0475 30.6669 38.8330 48.9075 61.3361 76.6689 95.5848 118.9209 147.7100 183.2266 227.0426 281.0974 811.2280 2326.1575 6655.2891 19026.41170
A/F,r%
,n
1.0000 0.4477 0.2663 0.1775 0.1258 0.0925 0.0698 0.0535 0.0416 0.0326 0.0258 0.0204 0.0163 0.0130 0.0105 0.0084 0.0068 0.0055 0.0044 0.0036 0.0012 0.0004 0.0002 0.0001
·P/A,r%
,n
0.8106 1.4676 2.0002 2.4319 2.7819 3.0855 3.2955 3.4818 3.6329 3.7554 3.8546 3.9351 4.0003 4.0532 4.0960 4.1307 4.1589 4.1817 4.2002 4.2152 4.2569 4.2715 4.2766 4.2784
A/P,r%
,n
1.2337 0.6814 0.4999 0.4112 0.3595 0.3262 0.3034 0.2872 0.2753 0.2663 0.2594 0.2541 0.2500 0.2367 0.2441 0.2421 0.2404 0.2391 0.2381 0.2372 0.2349 0.2541 0.2338 0.2337
•.
330
Apéndice B
�
""
1
INTERES CONTINUO r = 22% N
F/P,r%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35
1.2461 1.5527 1.9348 2.4109 3.0042 3.7434 4.6646 5.8124 7.2427 9.0250 11.2458 14.0132 17.4615 21.7584 27.1126 33.7844 42.0979 52.4573 65.3658 81.4508 244.6917 735.0940 2208.3455
,n
.P/F,r%
,n
0.8025 0.6440 0.5169 0.4148 0.3329 0.2671 0.2144 0.1720 0.1381 0.1108 0.0889 0.0714 0.0573 0.0460 0.0369 0.0296 0.0238 0.0191 0.0153 0.0123 0.0041 0.0014 0.0005
F/A,r%
A/F,r%
,n
-
1.0000 2.2461 3.7988 5.7336 8.1445 11.1486 14.8921 19.5566 25.3691 32.6118 41:6368 52.8827 66.8958 84.3574 106.1158 133.2285 167.0128 209.1108 261.5681 326.9336 990.3083 2983.1931 8970.1562
,n
1.0000 0.4452 0.2632 0.1744 0.1228 0.0897 0.0671 0.0511 0.0394 0.0307 0.0240 0.0189 0.0149 0.0119 0.0094 0.0075 0.0060 0.0048 0.0038 0.0031 0.0010 0.0003 0.0001
J!IA,r%
,n
0.8025 1.4466 1.9654 2.3782 2.7111 2.9782 3.1926 3.3646 3.5027 3.6135 3.7024 3.7738 3.8310 3.8770 3.9139 3.9435 3.9672 3.9883 4.0016 4.0139 4.0472 4.0582 4.0819
••
A/P,r%
,n
1.2461 0.6913 0.5093 0.4205 0.3689 0.3358 0.3132 0.2972 0.2855 0.2767 0.2701 0.2650 0.2610 0.2579 0.2555 0.2536 0.2521 0.2509 0.2499 0.2491 0.2471 0.2464 0.2462
-
J.
�: � '
¡-
·'
;: .l
..
�
INTERES CONTINUO N
F/P,r%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35
1.2586 1.5841 1.9937 2.5093 3.1582 3.9749 5.0028 6.2965 7.9248 9.9742 12.5335 15.7998 19.8857 25.0281 31.5004 39.6464 49.8989 62.8027 79.0435 99.4842 314.1899 992.2734 3133.7896
,n
P/F,r%
,n
0.7945 0.6313 0.5016 0.3985 0.3166 0.2516 0.1999 0.1588 0.1262 0.1003 0.0797 0.0633 0.0503 0.0400 0.0317 0.0252 0.0200 0.0159 0.0127 0.0101 0.0032 0.0010 0.0003
F/A,r%
,n
1.0000 2.2586 3.8427 5.8364 8.3457 11.5038 15.4788 20.4815 26.7781 34.7029 44.6770 57.2305 73.0303 92.9160 117.9440 149.4444 189.0907 238.9894 301.7922 380.8354 1211.0967 3833.2271 12114.4102
r =
23%
A/F,r%
,n
1.0000 0.4428 0.2602 0.1713 0.1198 0.0869 0.0646 0.0488 0.0373 0.0288 0.0224 0.0175 0.0137 0.0108 0.0085 0.0067 0.0053 0.0042 0.0033 0.0026 0.0008 0.0003 0.0001
P/A,r%
,n
0.7945 1.4258 1.9274. 2.3259 2.6425 2.6941 3.0940 3.2528 3.3790 3.4793 3.5589 3.6222 3.6725 3.7125 3.7442 3.7694 3.7895 3.8054 3.8181 3.8281 3.8547 3.8631 3.8657
A/P,r%
,n
1.2586 0.7014 0.5188 0.4299 0.3784 0.3455 0.3232 0.3074 0.2959 0.2874 0.2810 0.2761 0.2723 0.2694 0.2671 0.2653 0.2639 0.2628 0.2619 0.2612 0.2594 0.2589 0.2587
Interés compuesto continuo 331 INTERES CONTINUO r = 24% F/P;r%
N 1 2
/
,n
P/F,r%
,n
F/A,r%
,n
A/F,r%
,n
P/A,r%
,n
A/P,r%
,n
1.2712
0.7866
1.0000
1.0000
0.7866
1.2712
1.6161
0.6188
2.2713
0.4403
1.4054
0.7116
3
2.0544
0.4868
3.8873
0.2572 -
1.8922
0.528"5
4
2.6117
. 0.3829
5.9418
0.1683
2.2751
5
3.3201
0.3012
8.5534
0.1169
2.5763
0.4395 0.4882
6
4.2207
0.2369
11.8736
0.0842
2.8132
0.3555
7
5.3656
0.1864
16.0943
0.0621
2.9996
8
6.8210
0.1466
21.4598
3.1462
0.3334 . 0.3178.
3.2615
0.0354
9
8.6711
0.1153
28.2808
0.0466 0.3066
10
11.0232
0.0907
36.9519
0.0271
3.3522
0.2983
11
14.0132
0.0714
47.9751
0.0208
3.4236
0.2921
12
17.8143
0.0561
61.9883
0.0161
3.4797
0.2874
13
22.6464
0.0442
79: 8026
0.0125
3.6239
0.2838
14
28.7892
0.0347
102.4489
0.0098
3.5586
0.2810
15
36.5982
0.0273
131.2381
0.0076
3.5859
0.2789
16
46.5254
0.0215
167.8364
0.0060
3.6074
0.2772
17
59.1454
0.0169
214.3619
0.0047
3.6243
18
75.1885
0.0133
273.5071
0.0037
3.6376
0.2759 0.2749 0.2741
19
95.5833
0.0105
348.6958
0.0029
3.6481
20
121.5102
0.0082
444.2791
0.0023
3.6563
0.2735
25
403.4280
0.0025
1483.6118
0.0007
3.6775
0.2719
30 35
1339.4280
0.0007
4934.3164
0.0002
3.6839
0.2715
4447.0547
0.0002
16391.0547
0.0001
3.6858
0.2713
INTERES CONTINUO r = 25% N
F/P,r%
,n
P/F,r%
,n
F/A,r%
,n
A/F,r%
,n
P;i:r %
,
n
A/P,r%
,n
1 2
1.2840
0.7788
1.0000
1.0000
0.7788
1.2840
1.6487
0.6065
2.2840
0.4378
1.3853
0.5218
3
2.1170
0.4724
3.9327 .
0.2543
1.8577
0.5383
4
2.7183
0.36'VL
6.0498
0.1653
2.2256
0.4493 0.3911
5
4.4903
0.2865
8.7680
0.1141
2.5121
6
4.4817
0.2231
14.2584
0.0816
2.7352
7
5.7346
0.1738
16.7401
0.0597
2.9090
8
7.3891
0.1353
22.4947
0.0445
3.0443
0.3285
9
9.4877
0.1054
29.8837
0.0335
3.1497
0.3175
10
12.1825
0.0821
39.3715
0.0254
3.2318
0.3094
11
15.6426
0.0639
51.5540
0.0194
3.2957
0.3034
12
20.0855
0.0498
67.1966
0.0149
3.3455
0.2989
13
25.7903
0.0388
87.2822
0.0115
3.3843
0.2955
14
33.1154
0.0302
113.0725
0.0088
3.4145
0.2929
15
42.5211
0.0235
146.1880
0.0068
3.4380
0.2909
16 17
54.5981
0.0183
188.7091
0.0053
3.4563
0.2896
70.1054
0.0143
243.3073
0.0041
3.4706
0.2881
18
90.0171
0.0222
313.4126
0.0032
3.4817
0.2672
19
115.5843
0.0087
403.4299
0.0025
3.4904
0.2865
20
148.4132
0.0067
519.0142
0.0019
3.4971
0.2860
25
518.0129
0.0019
1820.3064
0.0005
3.5140
0.2846
30
1808.0425
0.0006
6362.2578
0.0002
3.5189
0.2842
35
6310.6875
0.0002
22215.2383
0.0000
3.5203
0.2841
0.3656
0.3438
•
332
Apéndice B
INTERES CONTINUO r = 26% F/P,r%
N
... ""
1 ., �
,n
P/F,r%
,n
F/A,r%
A/F,r%
,n
P/A,r%
,n
,n .,.,t
A/P,r%
,n
1
1.2969
1.0000
0.7711
1.2969
1.6820
0.7711 0.5945
1.0000
2
2.2969
0.4354
1.3656
0.7323
3
2.1815
0.4584
4.9790
0.2513
1.8240
0.5453
4
2.8292
0.3535
6.1604
0.1623
2.1774
0.4593
5
3.6693
0.2725
8".9896
0.1112
2.4500
0.4062
6
4.7588
0.2101
12.6589
0.0790
2.6601
0.3759
7
6.1719
0.1620
17.4177
0.0574
2.8221
0.3543
8
8.0045
0.1249
23.5896
0.0424
2.9471
0.3393
9
10.3812
0.0963
31.5940
0.0317
3.0434
0.3286
10
13.4637
0.0743
41.9753
0.0238
3.1177
0.3208
11
17.4615
0.0573
55.4390
0.0180
3.1749
0,3150
12
22.6464
0.0442
72.9005
0.0137
3.2191
0.3106
13
29.3707
0.0340
95.5468
0.0105
3.2531
0.3074
14
38.0918
0.0263
124.9176
0.0080
3.2794
0.3049
15
49.4024
0.0202
163.0094
0.0061
3.2996
0.3031
16
64.0715
0.0156
212.4118
0.0047
3.3152
0.3016
17
83.0962
0.0120
276.4829
0.0036
3.3273
0.3005
18
107.7700
0.0093
359.5791
0.0028
3.3365
0.2997
19
139.7702
0.0072
467.3491
3.3437
0.2991
20
181.2722
0.0055
607.1194
0.0021 0.0016
3.3492
0.2986
25
665.1411
0.0015
2236.6899
0.0004
3.3627
0.2974
30
2440.6001
0.0004
8216.0664
0.0001
3.3664
0.2971
� � u.
e e Ct e .::
.L �-
INTERES CONTINUO r = 27% \ •
¡1
N
F/P,r%
,n
P/F,r%
,n
F/A,r%
,n
A/F,r %
,n
P/A,r%
,n
A/P,r%
,n
1
1.3100
0.7634
1.0000
1.0000
0.7634
1.3100
2
0.5827
2.3100
0.4329
1.3461
0.7429
3
1.7160 .. 2.2479
0.4449
4.0260
0.2484
1.7910
0.5564
4
2.9447
0.3396
6.2739
0.1594
2.1306
0.4694 0.4184
5
3.8574
0.2592
9.2186
0.1085
2.3898-
6
5.0531
0.1979
1a.o16o
0.0765
2.5877
0.3864
7
6.6194
0.1511
18.1291
0.0552
2.7588
0.365-;
8
8.6711
0.1153
24.7485
0.0404
2.8541
0.3504
9
11.3589
0.0880
33.4196
0.0299
2.9422
0.3399
10
14.8797
0.0672
44.7785
0.0223
3.0094
0.3323
11
19.4919
0.0513
59.6582
0.0168
3.0607
0.3257
12
25.5337
0.0392
0.0126
13
33.4482
0.0299
79.1502 . 104.6838
0.0096
3.0998 3.1297
0.3226 0.3195
14
43.8160
0.0228
138.1322
0.0072
3.1525
0.3172
15
57.3974
0.0174
181.9482
0.0055
3.1700
0.3155
16
75.1886
0.0133
239.3457
0.0042
3.1833
0.3141
17
98.4944
0.0102
314.5342
0.0032
3.1934
0.3131
18
129.0242
0.0073
413.0288
0.0024
3.2012
0.3124
19
169.0170
0.0059
542.0527
0.0018
3.2071
0.3118
20
221.4063
0.0045
711.0701
0.0014
3.2116
0.3114
25
854.0579
0.0012
2752.1174
0.0004
3.2224
0.3103
30
3294.4663
0.0003
10625.3125
0.0001
3.2252
0.3101
Interés compuesto continuo 333
INTERES CONTINUO N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30
F/P,r%
,n
1.3231 1.7507 2.3164 3.0649 4.0552 5.3656 7.0993 9.3933 12.4286 16.4446 21.7584 28.7892 38.0918 50.4004 66.6862 88.2346 116.7458 154.4699 204.3836 270.4263 1096.6321 4447.0625
P/F,r%
,n
0.7558 0.5712 0.4317 0.3263 0.2466 0.1864 0.1409 0.1065 0.0805 0.0608 0.0460 0.0347 0.0263 0.0198 0.0150 0.0113 0.0086 0.0065 0.0049 0.003.7 0.0009 0.0002
F/A,r%
,n
1.0000 2.3231 4.0738 6.3902 9.4550 13.5102 18.8758 25.9751 35.3684 47.7970 64.2416 86.0001 114.7892 152.8811 203.2814 269.9678 358.2024 474.9482 629.4180 833.8022 3390.6887 13759.3750
r =
28%
A/F,r%
,n
_
P/A,r%
1.0000 0.4305 0.2455 0.1565 0.1058 0.0740 0.0530 0.0385 0.0283 0.0209 0.0156 0.0116 0.0087 0.0065 0.0049 .0037 0.0028 0.0021 0.0016 0.0012 0.0003 0.0001
,n
0.7558 1.3270 1.7587 2.0850 2.3316 2.5180" 2.6588 2.7655 2.8457 2.9065 2.9525 2.9872 3.0135 3.0333 3.0483 3.0597 3.0682 3.0747 3.0796 3.0833 3.0919 3.0940
A/P ,r 'Yq •,'l 1.3231 0.7536 0.5686 0.4798 0.4289 0.3971 0.3761 0.3616 0.3514 0.3441 0.3367 0.3348 0.33l8 0.3297 0.3280 0.3268 0.3259 0.3252 0.3247 0.3243 0.3234 0.3232
INTERES CONTINUO r = 29% N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30
F/P,r%
,n
1.3364 1.7860 2.3869 3.1899 4.2631 5.6973 7.6141 10.1757 14.5990 18.1741 24.2884 32.4597 43.3801 57.9743 77.4784 103.5443 138.3794 184.9341 247.1510 330.2993 1408.1035 6002.9062
P/F,r%
,n
F!A,r%
,n
A/F,r%
,n
0.7483 0.5599 0.4190
1.0000 2.3364 4.1225
1.0000 0.4280 0.2426
0.3135 0.2346 0.1755 0.1313 0.0983 0.0735 0.0550
6.5094 9.6993 13.9624 19.6597
0.1536 0.1031 0.0716
0.0412 0.0308 0.0231 0.0172 0.0129 0.0097 0.0072 0.0054 0.0040 0.0030 0.0007 0.0002
27.2738 37.4495 51.0485 69.2227 93.5110 125.9707 169.3507 227.3250 304.8032 408.3474 546.7268 731.6606 978.8115 4182.4805 17840.1055
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P!A,r%
. •
,n
0.7483 1.3082 1.7271 2.0408 2.2752 2.4507 2.5820 2.6803 2.7538 2.8089 2.8500 2.8808 2.9039 2.9211 2.9340 2.9437 2.9509 2.9563 2.9604 2.9634 2.9703 2.9719
A/P,r%
,n
1.5364 0.7644 0.5790 0.4901 0.4395 0.4080 0.3873 0.3731 0.3631 0.3560 0.3509 0.3471 0.3444 0.3423 0.3408 0.3397 0.3389 0.3363 0.3378 0.3374 0.3367 0.3365
•
.
334 Apéndice B
INTERES CONTINUO r N 1 2 3 4 5
s----
,
,,
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30
F/P,r%
,n
1.3499 1.8221 2.4596 3.3201 4.4817 6.0496 8.1662 11.0232 14.8797 20.0855 27.1126 36.5982 49.4024 66.6862 90.0170 121.5103 164.0217 221.4061 298.8669 403.4285 1808.0391 6103.0703
--
P/F,r%
F/A,r%
,n
,n
A/F,r%
1.0000 2.3499 4.1720 6.6316 9.9517 14.4334 20.4830 26.6492 39.6724 54,5521 74.6377 101.7504 138.3486 187.7510 254.4374 344.4546 465.9646 629.9868 851.3931 1150.2612 5165.0583 23158.1484
0.7408 0.5488 0.4066 0.3012 0.2231 0.1653 0.1225 0.0907 0.0672 0.0498 0.0369 0.0273 0.0202 0.0150 0.0111· 0.0082 0.0061 0.0045 0.0033 0.0025 0.0006 0.0001
=
30% ,n
1.0000 0.4256 0.2397 0.1508 0.1005 0.0693 -0.0488 0.0349 0.0252 0.0183 0.0134 0.0098 0.0072 0.0053 0.0039 0.0029 0.0021 0.0016 0.0012 0.0009 0.0002 0.0000
P/A,r%
,n
0.7408 1.2896 1.69&2, L 1.9974 2.2205 2.:tl®l 2.5083 2.5990 2.6662 2.7160 2.1529 �.7802 2.8004 2.8154 2.8285 2.8348 2.8409 2.8454 2.8487 2.8512 2.8567 2.8579
A/P,r%
,n
1.3499 0.7754 0.5896 0.5007 0.45030.4191 0.3987 0.3848 1.3751 0.3682 0.5633 0.3597. 0.3571 0.3552 0.3538 0.3528 0.3520 0.3514 0.3510 0.3507 0.3501 0.3499
�:
�t
...,
INTERES CONTINUO r N
F/P,r%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25
1.4191 2.0138 2.8576 4.0552 5.7546 8.1662 11.5883 16.4446 23.3361 33.1154 46.9930 66.6862 94.6323 134.2896 190.5661 270.4263 383.7529 544.5715 772.7832 1096.6321 6310.6836
,n
P!F,r%
F/A,r%
,n
0.7047 0.4966 0.3499 0.4198 0.1738 0.1225 0.0863 0.0608 0.0429 0.0302 0.0213 0.0150 0.0106 0.0074 0.0052 0.0037 0.0026 0.0018 0.0013 0.0009 0.0002
.
,n
1.0000 2.4191 4.4328 7.2905 11.3457 17.1003 25.2664 0.2463 53.2994 76.6354 109.7509 156.7439 223.4303 318.0623 452.3521 642.9187 913.3445 1297.0981 1841.6685 2614.4531 15056.4883
=
35%
A/F,r%
,n
1.0000 0.4134 0.2256 0.1372 0.0881 0.0585 0.0396 0.0271 0.0188 0.0130 0.0091 0.0064 0.0045 0.0031 0.0022 0.0016 0.0011 0.0008 0.0005 0.0004 0.0001
P/A,r%
,n
0.7047 1.2013 1.5512 1.7978 1.97lq 2.0940 2.1803 2.2411 2.2640 2.3142 2.3355 2.3505 2.3610 2.3665 2.3757 2.3774 2.3600 2.3819 2.3832 2.3841 2.3859
A/P,r%
,n
1.4191 0.8324 0.6447 0.5562 0.5072 0.4775 0.4586 0.4462 0.4578 0.4321 0.4262 0.4254 0.4235 0.4222 0.4213 0.4206 0.4202 0.4198 0.4196 0.4194 0.4191
Interés compuesto continuo 335
INTERES CONTINUO N 1
2
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
F/P,r%
,n
P/F,r%
,n
F/A,r%
,n
r =
40%
A/F,r%
,n
P/A,r%
,n
A/P,r%
,n
-
1.4918 2.2255 3.3201 4.9530 7.3890 11.0232 16.4446 25.5325 36.5982 54.5981 81.4508 121.5103 181.2720 270.4263 403.4285 601.8447 897.8467 1339.4292 1998.1948 2980.9551
0.6703 0.4493 0.3012 0.2019 0.1353 0.0907 0.0608 0.0408 0.0273 0.0183
ó.0123-
0.0082 0.0055 0.0037 0.0025 0.0017 0.0011 0.0007 0.0005 0.0003
1.0000 2.4918 4.7174 .8.0375 12.9905 20.3795 31.4027 47.8474 72.3798 108.9780 163.5761 245.0268 366.5369 547.8091 818.2349 1221.6633 1823.5073 2721.3518 4060.6825 6058.9727
1.0000 0.4013 0.2120 .Q.U!! 0.0770 0.0491 0.0318 0.0209 0.0138 0.0092 0.0061 0.0041 0.0027 0.0018 0.0012 0.0008 0.0005 0.0004 0.0002 0.0002
'
0.6703 .1196 .4208 �1i22l,. 1.7581 1.8488 1.9096 1.9504 1.9777 1.9960 2.0083 2.0185 2.0220 2.0257 2.0282 2.0299 2.0310 2.0317 2.0322 2.0326
�
1.4918 0.8931 0.7038 0.6162 0.5688 0.5409 0.5237 0.5127 0.5056 0.5010 0.4979 0.4959 0.4946 0.4937 0.4930 0.4926 0.4924 0.4922 0.4921 0.4920
GRADIENTE ARITMETICO CON INTERES CONTINUO r
1.0
5.0
8.0
10.0
12.0
15.0
18.0
w w C7\
(A{g,r% ,n)
20.0
.
25.0
30.0
35.0
40.0
:S � �·
N 1 2 3 4 5 6
7
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 (15 90 95 100 120 180
0.0000 0.5026 0.9971 1.4905 1.9841 2.4738 2.9630 3.4511 3.9369 4.4212 4.9032 5.3842 5.8634 6.3407 6.8166 7.2908 7.7634 8.2342 8.7036 9.1713 11.4839 13. 75'53 15.9855 16.1744 20.3224 22.4295 24.4960 26.5221 28.5080 30.4538 32.3601 34.2269 36.0547 37.8436 39.5941 41.3066 47.7827 63.8582
o.oooo
0.4874 0.9665 1.4374 1.9000 2.3542 2.8003 3.2381 3.6676 4.0891 4.5024 4.9076 5.3048 5.6940 6.0752 6.4486 6.8141 7.1719 7.5220 7.8645 9.4652 10.8875 12.1427 13.2433 14.2023 14.0328 15.7479 16.3603 16.3520 17.3244 17.6977 18.0114 18.2740 18.4930 18.6749 18.8257 19.2058 19.4818
0.0000 0.4800 0.9467 1.4002 1.8404 2.6452 2.6817 3.0829 3.4712 3.8470 4.2102 4.5611 4.8998 5.2265 5.5414 5.8448 6.1309 6.4178 6.6878 6.9472 8.0937 9.0136 9.7405 10.306,8 10.7425 11.0738 il.3230 11.5088 11.6461 11.7468 11.8203 11.8735 11.911'9 1:L.9394 11.9591 11.9731 11.9985 12.0065
o.oooo
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10
12
15
18
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35
30
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0.8607
0.8607
0.8607
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Ji.ll1l"C
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9
\
10 11 12
.
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•
•
.. . ..
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0.8187
0.8187
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0.8187
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=
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151l0
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7.1742 7.3973
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6.9309
2.5141
1.6901
16.6906
27.3973
18.2312
35.0480
21.5569
43.6372
23.6859
53.2600
22.6347
84.1058
27.4187
76.2594
19.6998 21.7862 24.0068 26.3703 28.8859 31.5634
1.7237 2.7239 3.8294 5.0513 6.4018 7.8946 9.5445 11.3681 13.3837 15.6115 18.0739 20.7956 23.8038 27.1287 30.8036 34.8656 39.3551 44.3173 49.8020
47.7677
87.2034
69.9012
148.8997 250.6722
100.1331 141.4268 197.8297 274.8701
418.5535 695.4863 1152.3074
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GRADIENTE GEOMETRICO CON INTERES CONTINUO
r =
� .,
25% (PjA,r% ,j% ,n)
b:l J
10
12
15
18
0.7788 1.4460 2.0175 2.6072 2.9267 3.2860
0.7788 1.4581 2.0507 2.6676 3.0183 3.4115 3.7546 4.0537 4.3147 4.5423 4.7409 4.9141
0.7788 1.4763 2.1010 2.6605 3.1616 3.6104 4.0124 4.3723
0.7788 1.4945 2.1522 2.7667 3.3121 3.8226 4.2917 4.7228
4.6948 4.9.835 5.2422 5.4738
5.1190 5.4831 5.8177
20
25
30
35
0.7788 1.5370 2.2750 2.9936 3.6930
0.7788 1.5673 2.3655 3.1738 3.9920 4.8205 6.6692 6.5084 7.3682 8.2385
0.7788 1.5976 2.4585 3.3636 4.3152 5.3157 6.3676 7.4736
N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 16 17 18 19 20 26 30 35 40 45 50
3.6939 3.8576 4.0835 4.2771 4.4429 4.5849 4.7066 4.8109 4.9002 4.9767 6.0422 5.0984 5.1465 5.1877 5.3204 5.3816 5.4098 5.4229 6.4289 5.4316
5.0651 5.1969 5.3118 6.4121 6.4996 5.6758 5.6423 5.7004 5.8965 5.9956 6.0456 6.0709 6.0836 6.0901
5.6812 6.8670 6.0334 6.1825 6.3160 6.4355 6.5426 6.6385 6.9871 7.1880 7.3038 7.3705
.
7.4090 7.4311
6.1251 6.4077 6.6674 6.9060 7.1263
. 0.7788 1.5066 2.1868 2.8225 3.4166 3.9719 4.4907 4.9757 5.4289 5.8524 5.2482 6.6182 6.9639 7.2870 7.5889 7.8711 8.1348 8.3813 8.6116 8.8269 9.7095
7.4082 6.0369 6.6822 6.3104 6.9220 7.5174 8.0970 8.6612 9.2105 9.7463 10.2658 10.7726
7.3269 7.5121 7.6823 7.8387 8.4500 8.8507
10.3387
11.2659 11.7462 12.2137 14.3720 16.2591
9.1134 9.2856 9.3983 9.4723
10.7872 11.1070 11.3350 11.4975
17.9091 19.3517 20.6131 21,.7160
8.6364 9.8690 11.1443 12.4957
9.1198 10.0121 10.9154
13.9165 15.4103 16.9809 18.6322
11.8300 12.7659 13.6934 14.6425
20.3633 22.1936 24.1127 26.1304 37.8847 52.9853
15.6034 16.5762 17.6613 22.6731 28.1108 33.8953 40.0486 46.5942 63.5573
.•
';..
72.3849 97.3073 129.3249 170.4577
GRADIENTE GEOMETRICO CON INTERES CONTINUO r = 30% (PjA, r % ,j% ,n) '
J
10
12
u;
18
20
0.7408 1.3884 1.9646 2.4494 2.8820 3.2602 3.5907 3.8797 4.1323 4.3632 '4.5462 4.7149 4.8625 4.9914 5.1041 5.2027 5.2888 5.3641 5.4299 6.4876 5.6832 4.7831 5.8341 5.8601 5.8734 5.8802
0.7408 1.8994 1.9849 2.5063 2.9680 3.3793 3.7450 4.0700 4.3590 4.6169 4.8443 5.0473 5.2278 5.3882 5.5308 5.6576 5.7704 5.8706 5.9596 6.0388 6.3209 6.4775 6.5644 6.6127 6.6395 6.6644
25
35
30
N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1� 20 25 30 35 40 45 50
0.7408 1.3445 1.8365 2.2373 2.5640 2.8302 3.0472 3.2240 3.�680 3.4854 3.6811 3.6591 3.7226 3.7743 3.8165 3.8509 3.8789 3.9018 3.9204 3.9355 3.9783 3.9936 3.9992 4.0011 4.0019 4.0021
0.7408 1.8556 1.8655 2.2886 2.6897 2.9811 3.1728 3.8733 3.1í397 3.6778 3.7923 3.8874 3.9662 4.0317 4.0860 4.1310 4.1684 4.1994 4.2261 4.2465 4.3096 4.3344 4.3442 4.3480 4.3495 4.3501
0.7408 1.8720 1.9096 2.3677 2.7580 . 3.090li 3.3737 3.6150 3.8206 3.9967 4.1450 4.2721 4.3804 4.4726 4.5512 4.6182 4.6753 4.7239 4.7653 4.8005 4.9124 4.9626 4.9852 4.9963 4.9998 5.0019
0.7408 1.4268 2.0621 2.6504 3.1951 3.6996 4.1667 4.5993 4.9999 5.3708 5.7143 6.0324 6.3270 6.5997 6.8523 7.0862 7.3028 7.5034 7.6891 7.8611 8.5481 9.0169 0.3344 9.5613 9.6990 9.7996
0.7408 1.4543 2.1414 2.8031 '3.4404 4.0541 4.6452 5.2144 5.7627 6.2906 6.7991 7.2888 7.7604 8.2146 8.6519 9.0732 9.4789 9.8696 10.2459 10.6082 12.2289 13.5716 14.6840 15.6066 16.3691 17.0016
.
. · ..
0.7408 1.4816 2.2225 2.9633 3.7041 4.4449 5.1857 5.9265 6.6674 7.4082 8.14!10 8.8898 9.6306 10.3716 11.1123 11.8531 12.5939 13.3347 14.0756 14.8164 13.5273 22.2381 25.9490 29.6599 33.3776 37.0953
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GRADIENTE GEOM�TRICO CON INTERES CONTINUO r = J
10
12
1:1:1
35% (P/A,r% ,j% ,n)
15
18
20
25
30
0.7047 1.2758 1.7386 2.1136 2.4175 2.6638 2.8634 3.0252 3.1563 3.2625 3.3486 3.4184 3.4749 3.5207 3.5578 3.5879 3.6123 3.6321 3.6481 3.6611 3.6971 3.7098 3.7142 3.7157 3.7162 3.7164
0.7047 1.2907 1.7779 2.1831 2.5200 2.8001 3.0331 3.2268 3.3879 3.5218 3.6332 3.7258 3.8028 3.8668 3.9201 3.9644 4.0012 4.0318 4.0573 4.0784 4.1414 4.1664 4.1763 4.1803 4.1819 4.1825
0.7047 1.3006 1.8045 2.2306 2.5910 2.8957 3.1533 3.3712 3.5555 3.7113 3.8431 3.9545 4.0487 4.1284 4.1957 4.2527 4.3009 4.3416 4.3761 4.4052 4.4958 4.5350 4.5519 4.5592 4.5624 4.5638
0.7047 1.3254 1.8722 2.3538 2.7781 3.1518 3.4810 3.7709 4.0264 3.2513 4.4495 4.6241 4.7779 4.9133 5.0326 5.1367 5.2503 5.3119 5.3837 5.4470 5.6667 5.7832 5.8450 4.8778 5.8952 5.9044
0.7047 1.3502 1.9416 2.4834 2.9797 3.4344 3.8509 4.2325 4.5821 4.9023 5.1956 5.4644 5.7106 5.9361 6.1427 6.3320 6.5054 6.6642 6.8098 6.9431 7.4595 7.7926 8.0079 8.1463 8.2358 8.2935
35
N 1 2 8 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 . 45 50
0.7047 1.2509 1.6744 2.0026 2.2570 2.4542 2.6071 2.7256 2.8174 2.8887 2.9438 2.9866 3.0198 3.0455 3.0654 3.0809 3.0928 3.1021 3.1093 3.1149 3.1287 3.1326 3.1337 3.1340 3.1341 3.1341
0.7047 1.2609 1.6998 2.0463 2.3197 2.5355 2.7059 2.8403 2.9464 3.0301 3.0962 3.1484 3.1895 3.2220 3.2477 3.2679 3.2839 3.2965 3.3065 3.3143 3.3347 3.3410 3.3429 3.3435 3.3436 3.3437
.
.. .
...
0.7047 1.3751 2.0128 2.6196 3.1968 3.7458 4.2682 4.7652 4.2379 5.6877 6.1155 6.5226 6.9098 7.2782 7.6286 7.9620 8.2792 8.5809 8.8680 9.1410 10.3195 11.2378 11.8533 12.5108 12.9453 13.2838
sopuoJ �p sofnld
,. .
•
TABLAS DE FACTORES PARA FLUJOS DE FONDOS
ern-l
(P/A, r%, n)
=
(AfP, r%, n)
=
(FfA, r%, n )
(A/F, r%, n)
rern
rn re ern-l
ern-l =
=
345
r
r_ ern-l
_
•
346 Apéndice C
"! .t
FLUJO DE FONDOS
.:A
l.
t:. ,.,
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)
...
r =
.
1%
N
P/A, r%, n
A/P, r%, n
F/A,r%, n
A/F,r%, n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 120 180
0.9950 1.9802 2.9555 3.9210 4.8771 5.8235 6.7606 7.6884 8.6069 9.5163 10.4166 11.3079 12.1905 13.0641 13.9292 14.7856 15.6335 16.4729 17.3041 18.1270 22.1199 25.9182 29.5312 32.9680 36.2372 39.3469 42.3050 45.1189 47.7954 50.3415 52.7633 55.0671 57.2585 59.3430 61.3259 63.2121 69.8806 83.4701
1.0050 0.5050 0.3384 0.2550 0.2050 0.1717 0.1479 0.1301 0.1162 0.1051 0.0960 0.0884 0.0820 0.0765 0.0718 0.0676 0.0640 0.0607 0.0578 0.0552 0.0452 0.0386 0.0339 0.0303 0.0276 0.0254 0.0236 0.0222 0.0209 0.0199 0.0190 0.0182 0.0175 0.0169 0.0163 0.0158 0.0143 0.0120
1.0050 2.0202 3.0455 4.0811 4.1271 6.1836 7.2508 8.3287 9.4174 10.5171 11.6278 12.7497 13.8828 15.0273 16.1834 17.3510 18.5305 19.7217 20.9249 22.1403 28.4025 34.9858 41.9067 49.1624 56.8312 64.8721 73.3253 82.2119 91.5541 101.3752 111.7000 122.5540 133.9647 145.9603 158.5709 171.8281 232.0114 504.9644
0.9950 0.4950 0.3284 0.2450 0.1950 0.1617 0.1379 0.1201 0.1062 0.0951 0.0860 0.0784 0.0720 0.0665 0.0618 0.0576 0.0540 0.0507 0.0478 0.0452 0.0352 0.0286 0.0239 0.0203 0.0176 0.0154 0.0136 0.0122 0.0109 0.0099 0.0090 0.0082 0.0075 0.0069 0.0063 0.0058 0.0043 0.0020
.
.
.
Flujos ile fondos 347
.
.
FLUJO DE FONDOS r = 1.5%
P/A,r% ,n
N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 55 se-65 70 75 80 85 90 95 100 120 180
-
0.9925 1.9703 2.9335 3.8823 4.8171 5.7379 6.6450 7.5386 8.4190 9.2861 10.1404 10.9820 11.8110 12.6277 13.4322 14.2248 15.0056 15.7747 16.5324 17.2788 20.8474 24.1581 27.5376 30.0792 32.7229 35.1756 37.4510 39.5690 41.5205 43.3375 45.0231 46.5870 48.0379 49.3840 50.6328 51.7913 55.6467 62.1863
A/P,r%,n 1.0075 0.5075 0.3409 0.2576 0.2076 0.1743 0.1505 0.1327 0.1188 0.1077 0.0986 0.0911 0.0847 0.0792 0.0744 0.0703 0.0666 0.0634 0.0605 0.0579 0.0480 0.0414 0 0367 0.0332 0.0306 0.0264 0.0267 0.0253 0.0241 0.0231 0.0222 0.0215 0.0208 0.0202 0.0198 0.0193 0.0180 0.0161
F/A,r%, n 1.0075 2.0303 3.0685 4.1224 5.1922 6.2783 7.3807 8.4998 9.6358 10.7889 U.9595 13.1478 14.3541 15.5785 16.8215 18.0833 19.3641 20.6643 21.9841 23.3239 30.3327 37.8875 46.0305 54.8079 64.2688 74.4666 85.4587 97.3068 110.0778 123.8433 138.8809 154.6742 171.9134 190.4949 210.5237 232.1124 336.6428 925.3145
A/F, r%,n 0.9925 0.4925 0.3259 0.2426 0.1926 0.1593 0.1355 0.1177 0.1038 0.0927 0.0836 0.0761 0.0697 0.0642 0.0594 0.0553 0.0516 0.0484 0.0455 0.0429 0.0330 0.0264 0.0217 0.0182 0.0156 0.0134 0.0117 0.0103 0.0091 0.0081 0.0072 0.0065 0.0058 0.0052 0.0048 0.0043 0.0030 0.0011
1
1
348 Apéndice C
'! .t
FLUJO DE FONDOS r =2% N
P/A, r%, n
A/P,r%, n
F/A,r%,n
A/F, r%, n
1 2
0.9901
1.0100
1.0101
0.9900
3
2.9118
4
3.8442
5
4.7581
1.9805
6
5.6540
7
6.5321
8
7.3928
9
8.2365
10
9.0635
11
9.8741
12
10.6686
13
11.4474
14
12.2108
15
12.9591
16
13.6925
17
14.4115
18
15.1162
19 20 25
15.8069 16.4840 19.6734
0.5101 0.3434 0.2601 0�2102 0.1769 0.1531 0.1353 0.1214 0.1103 0.1013 0.0937
0.0662 0.0633 0.0607 0.0508
22.5694
35 40
25.1707 27.5336
0.0397
45
29.6715
50
31.6060
0.0337
55
33.3664
60
34.9403 36.3734
70
37.6702
75
38.8435
80
39.9052
85
40.8668
90
41.7350
95
42.5216
100
43.2332
120
45.4641
180
48.6338
5.2586
0.0443 0.0363 0.0316 0.0300 0.0286 0.0275 0.0265 0.0257 0.0251 0.0245 0.0240 0.0235 0.0231 0.0220 0.0206
0.1902 0.1569
7.5137
0.1331
8.6755
0.1153
9.8608
0.1014
11.0702
0.0903
12.3038
0.0813
13.5624 16.1565
0.0694
0.2401
6.3748
0.0819 0.0730
0.3234
4.1644
14.8465
0.0772
0.4901
3.0918
0.0874
30
65
2.0405
0.0737 0.0674 0.0619
17.4929
0.0572
18.8564
0.0530
20.2474
0.0494
21.6665
0.0462
23.1142 24.5912
0.0433 0.0407 0.0308
32.4380 41.1059
0.0243
50.6876
0.0197
61.2771
0.0163
72.9802
0.0137
85.9141
0.0116
100.2082
0.0100
116.0058
0.0086
133.4647 152.7599 174.0842 197.6515 223.6973 252.4821 284.2944 319.4523 501.1684 1779.9109
0.0075 •
0.0065 0.0067 0.0051 0.0045 0.0040 0.0035 0.0031 0.0020 0.0006
Flujos lle fondos 349
FLUJO DE FONDOS r = 3% N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 120 180
P/A,r%, n 0.9852 1.9412 2.8690 3.7693 4.6431 5.4910 6.3139 7.1124 7.8873 8.6394 9.3692 10.0775 10.7648 11.4318 12.0791 12.7072 13.3168 13.9084 14.4825 15.0396 17.5878 19.7810 21.6687 23.2935 24.6920 25.8957 26.9317 27.8234 28.5909 29.2514 29.8200 30.3094 30.7306 31.0931 31.4052 31.6738 32.4225 33.1828
A/P, r%, n 1.0151 0.5152 0.3486 0.2653 0.2154 0.1821 0.1584 0.1406 0.1268 0.1157 0.1067 0.0992 0.0929 0.0875 0.0828 0.0787 0.0751 0.0719 0.0690 0.0665 0.0569 0.0506 0.0461 0.0429 0.0405 0.0386 0.0371 0.0359 0.0350 0.0342 0.0335 0.0330 0.0325 0.0322 0.0318 0.0316 0.0308 0.0301
F/A,r%,n 1.0152 2.0612 3.1391 4.2499 5.3945 6.5739 7.7893 9.0416 10.3321 11.6619 13.0323 14.4443 15.8994 17.3987 18.9437 20.5358 22.1764 23.8669 25.6089 27.4039 37.2333 48.6534 61.9216 77.3372 95.2475 116.0562 140.2326 168.3214 200.9562 238.8722 282.9249 334.1057 393.5696 462.6570 542.9255 636.1836 1186.6074 7346.8711
A/F.r%,n 0.9851 0.4852 0.3186 0.2353 0.1854 0.1521 0.1284 0.1106 0.0968 0.0857 0.0767 0.0692 0.0629 0.0575 0.0528 0.0487 0.0451 0.0419 0.0390 0.0365 0.0269 0.0206 0.0161 0.0129 0.0105 0.0086 0.0071 0.0059 0.0050 0.0042 0.0035 0.0030 0.0025 0.0022 0.0018 0.0016 0.0008 0.0001
350 Apéndice C
o '! .t
FLUJO DE FONDOS r = 4%
1
'
J ' ' e ,. :; >
N
P/A, r%, n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 120
0.9803 1.9221 2.8270 3.6964 4.5317 5.3344 6.1054 6.8463 7.6581 8.2420 8.8991 9.5304 10.1370 10.7198 11.2797 11.8177 12.3346 12.8312 13.3083 13.7668 15.8030 17.4701 18.8351 19.9526 20.8675 21.6166 22.2299 22.7320 23.1432 23.4797 23.7553 23.9809 24.1657 24.3169 24.4407 24.5421 24.7943
A/P,r%, n
F/A, r%, n
1.0201 0.5203 0.3537 0.2705 0.2207 0.1875 0.1638 0.1461 0.1323 0.1213 0.1124 0.1049 0.0986 0.0933 0.0887 0.0846 0.0811 0.0779 0.0751 0.0726 0.0633 0.0572 0.0531 0.0501 0.0479 0.0463 0.0450 0.0440 0.0432 0.0426 0.0421 0.0417 0.0414 0.0411 0.0409 0.0407 0.0403
1.0203 2.0822 3.1874 4.3378 5.5351 6.7612 8.0782 9.4282 10.8332 12.2956 13.8177 15.4019 17.0507 18.7608 20.5530 22.4120 24.3469 26.3608 28.4569 30.6385 42.9570 58.0029 76.3800 98.8257 126.2411 159.7262 200.6253 250.5793 311.5933 386.1160 477.1377 588.3132 724.1023 889.9553 1092.5288 1339.9524 3012.7583
A/F, r%, n
.
0.9801 0.4803 0.3137 0.2305 0.1807 0.1475 . 0.1238 0.1061 0.0923 0.0813 0.0724 0.0649 0.0586 0.0533 0.0487 0.0446 0.0411 0.0379 0.0351 0.0326 0.0233 0.0172 0.0131 0.0101 0.0079 0.0063 0.0050 0.0040 0.0032 0.0026 0.0021 0.0017 0.0014 0.0011 0.0009 0.0007 0.0003
Flujos de fondos
351
'
.
FLUJO DE FONDOS r = 5% N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 '15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 55 60. 65 70 75 80 85 90 95 100 120
P/A,r%,n 0.9754 1.9033 2.7858 3.6254 4.4240 5.1836 5.9062 6.5936 7.2474 7.8694 8.4610 9.0238 9.5591 10.0683 10.5527 11.0134
A/P, r%, n 1.0252 0.5254 0.3590 0.2758 0.2260 0.1929 0.1693 0.1517 0.1330 0.1271 0.1182 0.1108 0.1046 0.0993 0.0948 0.0908
11.4517 11.8686 12.2652 12.6424 14.2699 15.5374 16.5245 17.2933 17.8920 18.3583 18.7214 19.0043 19.2245
0.0873 0.0843 0.0815 0.0791 0.0701 0.0644 0.0605 0.0578 0.0559 0.0545
19.3961 19.5296 19.6337
0.0516 0.0512 0.0509 0.0507 0.0506 0.0504 0.0503 0.0501
19.7147 19.7778 19.8270 19.8652 19.9504
0.0534 0.0526 0.0520
F/A,r%,n 1.0254 2.1034 3.2367 4.4281 5.6805 6.9972 8.3813 9.8365 11.3662 12.9744 14.6651 16.4424 18.3108 20.2751 22.3400 24.5108 26.7929 29.1921 31.7142 34.3656 49.8068 69.6337 95.0919 127.7810 169.7545 830.6207 292.8523 381.7102 495.8062 642.3083 830.4207 1071.9619 1382.1069 1780.3408 2291.6633 2948.2605 8048.5664
A/F,r%,n 0.9752 0.4754 0.3090 0.2258 0.1760 0.1429 0.1193 0.1017 0.0880 0.0771 0.0682 0.0608 0.0546 0.0493 0.0448 0.0408 0.0373 0.0343 0.0315 0.0291 0.0201 0.0144 0.0105 0.0078 0.0059 0.0045 0.0034 0.0026 0,0020 0.0016 0.0012 0.0009 0.0007 0.0006 0.0004 0.0003 0.0001
•
352 Apéndice C
FLUJO DE FONDOS r = 8% N
�
,,
�
� 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 55
P/A,r%,n 0.9610 1.8482 2.6672 3.4231 4.1210 4.7652 5.3599 5.9088 6.4156 6.8834 7.3152 -7.7138 8.0818 8.4215 8.7351 9.0245 9.2917 9.5384 9.7661 9.9763 10.8083 11.3660 11.7399 11.9905 12.1585 12.2711 12.3465
�
1.0405 0.5411 0.3749 0.2921 0.2427 0.2099 0.1866 0.1692 0.1559 0.1453 0.1367 0.1296 0.1237 0.1187 0.1145 0.1108 0.1076 0.1048 0.1024 0.1002 0.0925 0.0880 0.0852 0.0834 0.0822 0.0815 0.0810
A/F,r%,n
F/A,r%,n 1.0411 2.1689 3.3906 4.7141 6.1478 7.7009 9.3834 11.2060 13.1804 15.3193 17.6362 20.1462 22.8652 25.8106 29.0014 32.4580 36.2024
.
.�
0.9605 0.4611 0.2949 0.2121 0.1627 0.1299 0.1066 0.0892 0.0759 0.0653 0.0567 0.0496 0.0437 0.0387 0.0345 0.0308
40.2587
0.02'16 0.0248
44.6528 49.4129 79.8631 125.2895 193.0580 294.1562 444.9771 669.9763 1005.6345
0.0224 0.0202 0.0125 0.0080 0.0052 0.0034 0.0022 0.0015 0.0010
FLUJO DE FONDOS r = 10%
e:
�
A/P,r%,n
N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 55
P/A,r%,n 0.9516 1.8127 2.5918 3.2968 3.9347 4.5119 5.0341 5.5067 5.9343 6.3212 6.6713 6.9881 7.2747 7.5340 7.7687 7.981'0 8.1732 8.3470 8.5043 8.6466 9.1792 9.5021 9.6980 9.8168 9.8889 9.9326 9.9591
A/P, r%, n 1.0508 0.5517 0.3858 0.3033 0.2541 0.2216 0.1986 0.1816 0.1685 0.1582 0.1499 0.1431 0.1375 0.1327 0.1287 0.1253 0.1224 0.1198 0.1176 0.1157 0.1089 0.1052 0.1031 0.1019 0.1011 0.1007 0.1004
F/A,r%, n 1.0517 2.2140 3.4966 4.9182 6.4872 8.2212 10.1375 12.2554 14.5960 17.1828 20.0416 23.2011 26.6929 30.5520 34.8168 39.5303 44.7394 50.4964 56.8589 63.8905 111.8249 190.8550 321.1536 535.9807 890.1699 1474.1292 2436.9131
A/F,r%,n 0.9508 0.4517 0.2858
.
0.2033 0.1541 0.1216 0.0986 0.0816 0.0685 0.0582 0.0499 0.0431 0.0375 0.0327 0.0287 0.0253 0.0224 0.0198 0.0176 0.0157 0.0089 0.0052 0.0031 0.0019 0.0011 0.0007 0.0004
Flujos de fondos 353
FLUJO DE FONDOS r = 12% P/A,r%, n
N
A/P,r%, n
F/A,r%, n
A/F,r%,n
1
0.9423
1.0612
1.0625
0.9412
2
1.7781
0.5624
2.2604
0.4424
3
2.5194
0.3969
3.61!1
0.2769
4
3.1766
0.3148
5.1339
0.1948
5
3.7599
0.2660
6.8510
0.1460
6
4.2771
0.2336
8.7869
0.1138
7
4.7357
0.2112
10.9697
0.0912
8
5.1420
0.1945
13.4308
0.0745
9
5.5034
0.1817
10
5.8234
0.1717
16.2056 19.3343
0.0617 0.0517
11
6.1072
0.1637
22.8618
0.0437
12
6.3589
0.1573
26.8391
0.0373
13
6.5822
0.1519
31.3235
0.0319
14
6.7802
0.1475
36.3796
0.0275
15
6.9558
0.1438
42.0803
0.0238
16
7.1116
0.1406
48.5079
0.0206
17
7.2498
0.1379
55.7550
0.0179
18
7.3723
0.1356
63.9261
0.0156
19
7.4810
0.1337
73.1389
0.0137
20
7.5774
0.1320
83.5264
7.9184
0.0120
25
0.1263
159.0459
0.0063
30
8.1056
0.1234
296.6511
0.0034 0.0018
35
8.2084
0.1218
547.3850
40
8.2648
0.1210
1004.2510
0.0010
45
8.2957
0.1205
1836.7148
0.0005
50
8.3127
0.1203
3353.5659
0.0003
55
8.3220
0.1202
6117.4414
0.0002
FLUJO DE FONDOS r = 15% N 1
P/A,r%,n
A/P,r%,n
F/A, r%,n
A/F,r%,n
0.9286
1.0769
1.0789
0.9269
2
1.7279
0.5787
2.3324
0.4287
3
2.4158
0.4139
3.7887
0.2639
4
3.0079
0.3325
5.4808
0.1825
5
3.6176
0.2843
7.4467
0.1343
6
3.9562
0.2528
9.7307
0.1028
7
4.3337
0.2307
12.3843
0.0807
8
4.6587
0.2147
16.4674
0.0647.
9
4.9384
0.2026
19.0495
0.0526
10
5.1791
0.1931
23.2112
0.0431
11
6.3863
0.1857
28.0465
0.0357
12
5.5647
0.1797
33.6643
0.0297
13
5.7182
0.1749
40.1912
0.0249
14
5.8503
0.1709
47.7744
0.0209
15
5.9640
0.1677
56.5849
0.0177
16
6.0619
0.1650
66.8212
0.0150
17
6.1461
0.1627
78.7140
0.0127
18
6.2186
0.1608
92.5314
0.0108
19
6.2810
0.1592
108.5851
0.0092
20
6.3348
0.1579
127.2367
0.0079
25
6.5099
0.1536
276.8069
0.0036
30
6.5926
0.1517
593.4470
0.0017
35
6.6317
0.1508
1263.7739
0.0008
40
6.6601
0.1504
2682.8567
0.0004
45
6.6589
0.1502
5687.0469
0.0002
50
6.6630
0.1501
12046.9256
0.0001
354
Apéndice C
FLUJO DE FONDOS r = 18% N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45
P/A,r%,n 0.9152 1.6796 2.3181 2.8514 3.2968 3.6689 3.9797 4.2393 4.4561 4.6372 4.7885 4.9149 5.0204 5.1086 5.1822 5.2437 5.2951 5.3380 5.3738 5.4038 5.4938 5.5305 5.5454 5.5514 5.5539
A/P, r%, n 1.0927 0.5954 0.4314 0.3507 0.3033 0.2726 0.2513 0.2359 0.2244 0.2156 0.2088 0.2035 0.1992 0.1957 0.1930 0.1907 0.1889 0.1873 0.1861 0.1851 0.1820 0.1808 0.1803 0.1801 0.1801
F/A.r%, n 1.0956 2.4074 3.9778 5.8580 6.1089 10.8038 14.0301 17.8927 22.5171 28.0536 34.6819 42.6174 52.1180 63.4921 77.1095 93.4126 112.9307 136.2983 164.2743 197.7677 494.5388 1224.4775 3019.8372 7435.7109 18297.0039
A/F, r%, n •
,l
0.9127 0.4154 0.2514 0.1707 0.1233 0.0926 0.0713 0.0559 0.0444 0.0356 0.0288 0.0235 0.0192 0.0157 0.0130 0.0107 0.0089 0.0073 0.0061 0.0051 0.0020 0.0008 0.0003 0.0001 0.0001
FLUJO DE FONDOSr= 19% N 1 2 3 4 5 6' 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40
P/A,r%,n 0.9107 1.6639 2.2367 2.8018 3.2277 3.5799 3.8712 4.1120 3.3112 4.4760 4.6122 4.7248 4.8180 4.8950 4.9587 5.011:4, 5.0550 5.0910 5.1208 5.1454 5.2176 5.2455 5.2563 5.2605
A/P,r%, n 1.0980 0.6010 0.4373 0.3569 0.3098 0.2793 0.2583 0.2432 0.2320 0.2234 0.2168 0.2116 0.2076 0.2043 0.2017 0.1995 0.1978 0.1964 0.1953 0.1943 0.1917 0.1906 0.1902 0.1901
F/A,r %, n 1.1013 2.4331 4.0435 5.9909 8.3458 11.1935 14.6371 18.8012 23.8366 29.9257 37.2890 46.1930 56.9602 69.9805 85.7251 104.7644 127.7876 155.6293 189.2949 230.0061 603.0745 1567.7231 4062.0208 10511.5508
A/F. r%, n
.
0.9080 0.4110 0.2473 0.1669 0.1198 0.0893 0.0683 0.0532 0.0420 0.0334 0.0268 0.0216 0.0176 0.0143 0.0117 0.0095 0.0078 0.0064 0.0053 0.0043 0.0017 0.0006 0.0002 0.0001
Flujos de fondos 355
FLUJO DE FONDOS r = 20% N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40
P/A, r%,n 0.9063 1.6484 2.2559 2.7534 3.1606 3.4940 3.7670 3.9905 4.1735 4.3233 4.4460 4.5464 4.6386 4.6960 4.7511 4.7962 4.8331 4.8634 4.8881 4.9084 4.9663 4.9376 4.9954 4.9983
A/P,r%,n 1.1033 0.6066 0.4433 0.3632 0.3164 0.2862 0.2655 0.2506 0.2396 0.2313 0.2249 0.2200 0.2160 0.2129 0.2105 0.2085 0.2069 0.2056 0.2046 0.2037 0.2014 0.2005 0.2002 0.2001
FLUJO DE FONDOS r
F/A,r%,n
A/F, r%,n
-
1.1070 2.4591 4.1106 6.1277 8.5914 11.6006 15.2760 19.7651 25.2482 31.9452 40.1251 50.1159 62.3186 77.2232 95.4276 117.6627 144.8205 177.9911 218.5056 267.9905 737.0649 2012.1423 5478.1602 14899.7734
=
0.9033 0.4066 0.2433 0.1632 0.1164 0.0862 0.0655 0.0506 0.0396 0.0313 0.0249 0.0200 0.0160 0.0129 0.0105 0.0085 0.0069 0.0056 0.0046 0.0037 0.0014 0.0005 0.0002 0.0001
21%
N
PiA,r% ,n
A/P,r% ,n
F/A,r% ,n
1 2 3 4 5 6 7 8· 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40
0.9020 1.6331 2.2258 2.7061 3.0955 3.4112 3.6670 3.8744 4.0425 4.1788 4.2892 4.3788 4.4513 4.5102 4.5578 4.5965 4.6278 4.6532 4.6738 4.6905 4.7369 4.7532 4.7588 4.7608
1.1087 0.6123 0.4493 0.3695 0.3230 0.2932 0.2727 0.2581 0.2474 0.2393 0.2331 0.2284 0.2247 0.2217 0.2194 0.2176 0.2161 0.2149 0.2140 0.2132 0.2111 0.2104 0.2101 0.2100
1.1128 2.4855 4�1791 6.2684 8.8459 12.0258 15.9487 20.7883 26.7589 34.1246 43.2115 54.4219 68.2518 85.3135 106.3622 132.3295 164.3646 203.8857 252.8420 312.7915 902.6956 2588.4360 7405.6836 21171.7266
A/F,r%,n 0.8987 0.4023 0.2393 0.1595 0.1130 0.0832 0.0627 0.0481 0.0374 0.0293 0.0231 0.0184 0.0147 0.0117 0.0094 0.0076 0.0061 0.0049 0.0040 0.0032 0.0011 0.0004 0.0001 0.0000
356
�péndice
e
FLUJO DE FONDOS N
P/A, r%, n
A/P, r%, n
r=
22%
F/A, r%, n
A/F, r%, n
1
0.8976
1.1140
1.1165
2
1.6180
0.6180
2.5123
0.3980
3
0.4553
4.2491
0.2353
4
2.1961 2.6601
0.3759
6.4132
5
3.0324
0.1659
0.3298
6
3.3312
9.1098
0.1098
0.3002
7
3.5710
12.4701
0.0802
0.2800
8
3.7634
16.6572
0.0600
0.2657
9
3.9179
21.8747
0.0457
0.2552
28.3761
0.0352
36.4773
0.0274
•
,.0.8940
10
4.041 8
0.2474
11
4.1413
0.2415
46.5720
12
0.0215
4.2211
0.2369
0.0169 .
13
4.2851
59.1509
0.2334
74.8250
14
4.3365
0.0134
0.2306
94.3563
0.0106 0.0084
15
4.3778
0.2284
16
118.6938
4.4109
0.2267
17
149.0201
4.4375
0.0067
0.2254
186.8089
0.0054 0.0043
18
4.4588
0.2243
19
4.4759
233.8967
0.2334
20
4.4896
292.5718
0.0034
0.2227
365.6853
0.0027 0.0009
26
4.5269
0.2209
30
1107.6895
4.6393
0.2203
35
4.5434
3336.7913
0.0003
0.2201
10033.3867
0.0001
FLUJO DE FONDOS N
P/A, r%, n
A/P, r%,n
r=
23%
F/A, r%, n
A/F, r%, n
1
0.8933
2
1.6031
1.1194 0.3434
3
2.1671
2.5395
0.4615
0.3938
4.3205
0.2315
6.5621
4
2.6161
5 6
0.3824
2.9711
0.3366
7
3.4788
8
0.2875.
3.6573
0.2734
3.2540
0.3073
9
3.7992
0.2632
10
3.9119
0.2556
11
4.0015
12
0.2499
4.0726
0.2455
1.1243
9.3834
0.8894
0.1624 •
0.1066
12.9343
0.0773
17.4035
0.0575
23..0284
0.0434
30.1079
0.0332
39.0181
0.0256
50.2326
0.0199
64.3471
0.0115
13
4.1292
14
0.24 �2
4.1741
82.1116
0.2396
0.0122
104.4700
0.0096
132.6102
0.0075
168.0277
0.0060
212.6039
0.0047
268.7075
0.0037
339.3198
0.0029
428.1919
0.0023
15
4.2098
16
0.2375
4.2382
17
4.2607
0.2360
18
4.2786
19
4.2928
20
4.3041
25
4.3340
30
0.2307
4.3434
1361.6956
0.2303
0.0007
35
4.3464
0.2301
4309.8828
0.0002
13620.8242
0.0001
0.2347 0.2337 0.2329 0.2323
Flujos de fondos 357
FLUJO DE FONDOS N
p¡A, r%,
n
A/P, r%,
n
r
=24%
F/A, r%,
n
A/F, r%,
n
1
0.8891
1.1248
1.1302
0.8848
2
1.5884
0.6296
2.5670
0.3896
3
2.1385
0.4676
4.3935
0.22'76
4
2.5713
0.3889
6.7154
0.1489
5
2.9117
0.6238
9.6671
0.1034
6
3.1795
0.3145
13.4196
0.0745
7
3.3901
0.2950
18.1898
0.0550
8
3.5558
0.2812
24.2540
0.0412
9
3.6861
0.2713
31.9630
0.0313
10
3.7887
0.2639
41.7632
0.0239
11
3.8693
0.2584
54.2216
0.0184
12
3.9328
0.2543
70.0594
0.0143
13
3.9827
0.2511
90.1932
0.0111
14
4.0219
0.2486
115.7882
0.0086
15
4.0528
0.2467
148.3258
0.0067
16
4.0771
0.2453
189.6893
0.0053
17
4.0962
0.2441
242.2726
0.0041
18
4.1113
0.2432
309.1189
0.0032
19
4.1231
0.2425
394.0972
0.0025
20
4.1324
0.2420
502.1257
0.0020
25
4.1563
0.2406 .
1676.7834
30
4.1636
0.2402
5576.7812
0.0006 0.0002
35
4.1657
0.2401
8525.2305
0.0001
FLUJO DE FONDOS r = 25% N
P/A, r%,
n
A/P, r%,
n
F/A, r%,
n
A/F, r%,
n
1
0.8848
1.1302
1.1361
0.8802
2
1.5739
0.6354
2.5949
0.3854
3
2.1105
0.4738
4.4680
0.2238
4
2.5285
0.3955
6.8731
0.1455
5
2.8540
0.3504
9.9614
0.1004
6
3.1075
0.3218
13.9268
0.0718
7
3.3049
0.3026
19.0184
0.0526
8
3.4587
0.2891
25.5562
0.0391'
9
3.5784
0.2795
33.9509
0.0295
10
3.6717
0.2724
44.7300
0.0224
11
3.7443
0.2671
58.5705
0.0171
12
3.8009
0.2631
76.3422
0.0131
13
3.8449
0.2601
99.1614
0.0101
14
3.8792
0.2578
128.4618
0.0078
15
3.9059
0.2560
166.0844
0.0060
16
3.9267
0.2547
214.3926
0.0047
17
3;9429
0.2536
276.4216
0.0036
18
3.9556
0.2528
356.0684
0.0028
19
3.9654
0.2522
458.3372
0.0022
20
3,9730
0.2517
589.6526
0.0017
25
3.9923
0.2505
2068.0518
0.0005
30
3.9978
0.2501
7228.1680
0.0001
35
3.9994
0.2600
25238.7500
0.0000
358
Apéndice C
FLUJO DE FONDOS r N 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
13
14 15
16
17 18 19
20 25 30
P/A,r%,n 0.8806 1.5595 2.0831 2.4867
2.7980 3.0379
3.2230 3.3657
3.4757
3.5605
3.6259 3.6763
3.7152
3.7452 3.7683
3.7861 3.7999
3.8105
3.8186
3.8249
3.8404 3.8446
A/P, r%, n 1.1356
1
2
3
4
5 6
7
8
9
10
11 12
13
14
15
16
17 18 19
20
25 30
P/A, r%, n 0.8754 1.5454
2.6232
0.4801
4.5441
0.4021
7.0354
0.3574
10.2665
0.3292
14.4570
0.3103
19.8918
0.2971
26.9403
0.2877
36.0816
109.1182
0.2654
186.1632
0.2641
242.5828
0.2632
315.7546
0.2624
410.6538
0.2619
533.7314
0.2614
693.3545
0.2604
2654.3889
0.2601
9333.0742
AIP,r%, n 1.1411
3.6870
3.6994
3.7026
F/A, r%, n
4.6219
0.3366
0.3180
90.8656
0.2783
120.1787 158.5779
208.8793
0.2736
274.7725 361.0901
0.2721
474.1633
0.2716
622.2852
0.2712
816.3196
0.2703
3169.4736
0.2701
12198.0234
•
0.0041 0.0032
0.0024
0.0019 d.0014
0.0004
0.0001
A/F, r%, n 0.8711 0.3771 0.2164
0.0352
68.4886
0.2763
0.0070
0.0054
28.4116
61.4064
0.2810
0.0092
0.1388 '0.0945 0.0666
38.3662
0.2895
0.0158
7.2025 10.5831 15.0114
20.8125
0.3052
0.2728
3.6818
0.0277
27%
2.6519
0.4088
3.6661
=
1.1480
0.6471
0.2748
3.6750
0.0371
142.6608
63.3135
0.2692
3.6392 3.6544
0.0503
0.2670
0.2846
3.6192
0.0692
0.0120
3.5137 3.5930
0.0974
83.2553
0.2961
3.5587
0.1421
0.2720
0.2758
3.3776
3.4548
0.3812 0.2201
0.0209
0.3645
3.2766
• • 0.8756
47.9374
2.7436
3.1442
A/F,r%, n
0.2809
0.4864
2.9707
1.1420
.
0.6412
2.0561
2.4459
26%
F/A, r%, n
FLUJO DE FONDOS r N
=
0.0480
0.0261
0.0195 0.0146
O.OllO 0.0083 0.0063
0.0048 0.0036
0.0028
0.0021 0.0016
0.0012 0.0003
0.0001
·
Flujos de fondos 359
FLUJO DE FONDOS r P/A, r%,
N
A/P, r%,
n
1
0.8722
2
1.1465
1.5314
0.6530
2.0296
0.4927
3 4
2.4061
6
7
8
•
0.3134
29.9762
3.3542
0.2581
11
12
3.4073
0.2935
3.4474
0.2901
13
3.4777
0.2875
3.5006
0.2857
14 15
16 17 18
3.5540
25
3.5682
30
1 2 3 4 5 6 7
8 9
10
11
12
13
14
16 16
17 18
19 20
25
30
PIA, r%, 0.8681 1.5176 2.0036 2.3673 2.6394 2.8430 2.9954 3.1094 3.1947
3.2585 3.3063
3.3420 3.3688 3.3888
3.4038
3.4150
3.4234 3.4296 3.4343
3.4378 3.4468
3.4477
1.1520 0.4991 0.4224 0.3789 0.3517 0.3338 0.3216
0.0032
413.3779
0.0024
548.1067
0.0018
962.2366
0.0014 0.0010 0.0003
726.3701
3912.9719
0.2801
0.6589
0.0057 0.0043
311.5522
0.2803
MP, ,..%,
0.0075
234.5938
0.2810
n
0.0101
176.4300
15878.7930
FLUJO DE FONDOS r N
0.0135
132.4708
0.2814
3.5706
0.0181
99.2471
0.2818
3.5582
0.0334
0.0245
55.1594
0.2824
3.5483
0.0459
74.1371
0.2832
3.5408
0.0916 0.0641
40.8164
0.2843
3.5310
0.1356
21.7833
0.3045
3.5179
19
20
7.3745
3.1912
10
0.2127
10.9114
3.0684 3.2841
0.3730
4.7013
15.5913
n
=
0.0001
29% F/A, r%,
n
� 2. 7105
4.7824 7.5515
11.2521
16.1977
22.8072 31.6402
A/F, r%,
n
0.8620
0.3689
0.2091 0.1324 0.0889
0.0617 0.0438 0.0316
0.3130
43.4450
0.0230
0.3025
80.3049
0.0125
146.1381
0.0068
0.3069 0.2992
0.2968
0.2951
0.2938 0.2928 0.2921 0.2916 0.2912
69.2211
108.4817
196.4630 263.7185 363.6008 473.7222 634.2554
848.7964
0.0169 0.0092
0.0051 0.0038
0.0028 0.0021 0.0016 0.0012
0.2909
1135.5149
0.0009
0.2900
20696.2305
0.0000
0.2902
•
4852.0781
n
0.8665
2.6810
0.3441 3.2659
9
A /F , r %,
n
1.1540
0.3716
2.9058
28%
F/A, r%,
n
0.4156
2.6907
5
=
0.0002
• .
360 Apéndice C
FLUJO DE FONDOS r p¡A, r%,
N
1 2
n
AJP, r%,
30%
=
F!A, r%,
n
n
A!F, r%,
n
0.8639
1.1575
1.1662
1.5040
0.6649
2.7404
.0.8575 0.3649
•
•
3
1.9781
0.5055
4.8653
0.2055
4
2.3294
0.4293
7.7337
0.1293
2.5896
0.3862
11.6056
0.0862
2.7823
0.3594
16.8321
7
2.9251
0.3419
23.8872
0.0419
8
3.0309
0.3299
33.4106
0.0299
9
3.1093
0.3216
46.2657
0.0216
1()
3.1674
0.3157
63.6184
0.0157
11
3.2104
0.3115
87.0421
0.0115
12
3.2423 3.2859
0.3084
118.6608
0.0084
13
0.3062
161.3413
0.0062
14
3.2833
0.3046
218.9542
0.0046
15
3.2963
0.3034
296.7234
0.0034
16
3.3059
0.3025
401.7009
0.0025
17
3.3130
0.3018
543.4055
0.0018
18
3.3183
0.3014
734.6870
0.0014
19
3.3222
0.3010
0.0010
3.3251
992.8899
20
0.3007
1341.4282
0.0007
25
3.3315
0.3002
6023.4609
0.0002
30
3.3329
0.3000
27006.9023
0.0000
5 6
FLUJO DE FONDOS r N
P/A, r%,
n
A/P, r%,
=
35%
F/A, r%,
n
0.0594
n
A/F, r%,
n
1
0.8437
1.1852
1.1973
0.8352
2
1.4383
0.6953
2.8964
0.3453
3
1.8573
0.5384
5.3076
0.1884
4
2.1526
0.4646
8.7291
0.1146
5
2.3606
0.4236
13.5846
0.0736
6
2.5073
0.3988
20.4747
7
2.6106
0.3831
30.25�
8 9
2.6834
0.3727
44.1275
0.0227
2.7547
0.3657
63.8173
0.0157
10
2.7709
0.3609
91.7583
0.0109
11
2.7963
0.3576
131.4087
0.0076 0.0053
0.0488 •
0.0331
12
2.8143
0.3553
187.6750
13
2.8270
0.3537
267.5210
0.0037
14
2.8359
0.3526
380.8274
0.0026
15
2.8421
0.3518
541.6174
0.0018
16 17
2.8466
0.3513
769.7893
0.0013
2.8497
0.3509
1093.5798
0.0009
18
2.8519
0.3506
1553.0615
0.0006
19
2.8534
0.3505
2205.0950
0.0005
20
2.8645
0.3503
3130.3777
25
2.8567
0.3501
16027.6680
0.0003 0.0001
•
Flujos de fondos 361 FLUJO DE FONDOS r N
PtA. r%,
n
A/P, r%,
n
=
40%
F/A, r%,
n
A/F, r%,
n
0.8133
1
0.8242
1.2133
1.2296
2
1.3767
0.7264
3.0639
0.3264
3
1.7470
0.5724
5.8003
0.1724
4
1.9953
0.5012
9.8826
0.1012
5
2.1617
0.4626
15.9726
0.0626
6
2.2732
0.4399
25.0579
0.0399
7
2.3480
0.4259
38.6116
0.0259
8
2.3981
0.4170
58.8313
0.0170
9
2.4317
0.4112
88.9955
0.0112
10
2.4542
0.4075
133.9953
0.0075
11
2.4693
0.4050
201.1271
0.0050
12
2.4794
0.4033
301.2756
0.0033
2.4862
0.4022
460.6799
0.0022
14
2.4908
0.4015
673.5657
0.0015
15
2.4938
0.4010
1006.0710
0.0010
16
2.4958
0.4007
1502.1118
0.0007
17
2.4972
0.4004
2242.1167
0.0004
18
2.4981
0.4003
3346.0730
0.0003
19
2.4987
0.4002
4992.9844
0.0002
20
2.4992
0.4001
7449.8867
0.0001
13
.
,...
1
: Soluciones a problemas 365 SOLUCIONES A PROBLEMAS DEL CAPITUW 2
_./l. t/ 2. ./3.
$
13,561.66
$
6,209.00
21.
$
2,320.00' _ 6,647.52
22.
$
17,095.38
23.
$
1,440.00
S años
24.
$
28,215.00
?8,932 .42,-otfi ¿:
25.
$
63,080.00
n
(1+;)
15%
-../4.,
....
Anualidad Mensualidad
s
S. 6. a) $ b) $
�
7
$ -
...-12.
= =
$71,995 5,715
26.
8,308.40
30,525.50 275,819.26
$
7,508.50
a) b) e) á)
27. a)
3
�
14.
•
•
�--
.·
.,.
�J.2S añ�
15. 16.
l.,364.Sl
$
$ -
2,186.95 4
17.
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1
+
¡2(1+l)'l-1
1
_
(1+iJ""
(1+i)x- 1 e-nr -1 + , (e'-1)(1 -e) e'-1 n
--
.
3,807.60
$
. ·'
n 1-e-nr b)- + r(e-r -1)· r
t
)6
r
(1+onx-1
28. a)
6,135.51'
:
(1+,� - 1
b)
18% 18.81% 19.56% 19.72% $
i- --¡r,1-
�
a) $ b) $
r/ 10.
� 11.
•
$
.
il"8. ¡}(9.
�-
1-e-nxr 29. a)-¿cr -1
-
18.32%
18.
27.8% _.--'
19.
3.285% mensual
enxr -1
b)
30. a)
··
e'" -1 1
(1+;:f-::1
b)
n ---
(1+ onx-1
n --exr -1 enxr-1 1
--
SOLUCIONES A PROBLEMAS DEL CAPITULO 3
l. 2.
Rentar automóviles
6.
so% 70% so% 90%
No comprar torno
3. a) Cortadora U.S.A. 2 b) 3,531.176 m /año
4. 5.
343,620 Máquina tipo 1
Razón de ocupación
7.
Motor X
8.
Máquina A
De cisión �No construir No construir No construir Sí construir
J
•
1 366
.JJ
,,tl
)
Apéndice D Arrendar
11.
Sistema actual con la pequeña computadora
Arrendar el equipo
12.
No hacer nada
9. 10.
SOLUCIONES A PROBLEMAS DEL CAPITULO 4 .
l.
8,655.60
2. 3.
83,
4. S.
1
1
t ••
6.
621,930
Rechazado
7.
298,099
�;2]1
8.
Alternativa A
9.
166,666,000
(
Comprar 2 compresores tipo 1
, 1O. Sí conviene reparar la máquina
Bomba nueva
SOLUCIONES A PROBLEMAS DEL CAPITULO S
l.
22.2%
1O.
2.
27%
11.
Alternativa D Inversión mixta
RC/=4S.13% 3.
8.14% 12.
4. Compresor B
(!}
RC/=60.33%
_D .3
S. TIRB-A - -3 5¡ 6.
TIRB-A =12.81%
7.
Arrendar la copiadora
8.
$0.651
9.
14.32%
13.
14. Inversión mixta RC/=393.34% 1S.
VPN = 1 VPN11 =
74 77
2.
$660,000
1\
3.
a) VAEuSA
4. S.
�
6.
VAEAL
�
96,416
i �.
/
=-427,60(}
E =-413,070 2
¡.
·�.,'/· • • X , Máquina l. , ' '
6,709,411.8 m
11R = .
'..,
Inversión p�
TIR =216.31%
I_:_ �AS DE
b)
Inversión pura
TIR =62.S9%
SOLUCIONES A PROB E
l.
Inversión mixta
./ 52.9% fJ
,·· 11R = 256.2.3% ,.
)
/.
CAPITULO 6
�
/:
Arrendar
\.:) 8.
uipo actual +pequeña computadora..
J
�• n� 'VPN,.-2 � VPN -� 10/ NINGUNA VIW21...:-· � 11.1/ VPN= 128,96�,500.� n�7 .../. 9
12.
1
_;��
•
VPN1 =- VPN 1 VPN2 =- VPN2 '
.
= -2,700,354 2,679,160
=-
)
Solucionestz problemas 367
SOLUCIONES A PROBLEMAS DEL CAPITULO 7 l.
2 años
7.
2.
10 años
8.
4 años
9.
3 años
3.
a) 8 años con activo.actual b) -1.91%
4.
TIR
=
11.25%: (Permanecer con la má
10.
•quina actual y comprar·
VPNmc
6.
VPNINC
=
-
año con activo actDal. se
per
3ro. En' el año 5 vender el activo y adquirir
132,35 8: (Continuar con
- 146,197:
un
2do. En el año lro. vender actiYo actual y manecerá 4 ai'ios.
uno nuevo.
máquina actual)
=
lo. Durar
(Continuar con máquina ac tual)
comprar un nuevo con el cual
.otra adicional ) S.
VPNINC = -497,600:
'
(Continuar con las cintas magné ticas actuales)
SOLUCIONES A PROBLEMAS..DELCAPITULO 8 8.
l.
960 alternativas
2.
Aceptar A, e y D. Rechazar B
3.
Aceptar B y rechazar A , e y D
4.
Aceptar A y C. Rechazar B
S.
Aceptar e y D. Rechazar A y B
. 6. 7.
Aceptar A1 Bz Y
Aceptar D¡4, D11• D32 Y D41
a) b) e)
Aceptar A2,B2 Y e,
a) b) e)
AceptarA,,B, ye,
Aceptar D4 1 Y D21 Aceptar D11 Y D14
d) Aceptar D11 � D14
9.
Aceptar C RechazarA, B y D
a) b) e)
a) b) e)
10.
e,
Aceptar Az, B2 Y e, Aceptar A1 y B 1
Aceptar Al• Bz Y e, Aceptar A1 Y B1
Aceptar A l• B1 ye, Aceptar A10 B1 ye1
SOLUCIONES A PROBLEMAS DEL CAPITULO 9 l.
7.
Sin inflación TIR = 18 .26% b) Con inflación TIR = 14.14%
a)
..
·5 % de inflación TIR = 16.6%
2.
Rechazar ei proyecto
8.
10%de inflación TIR = 15..,23%
VPN(25%) =75,161,000 Por lo· tanto: Aceptar el proyecto .
15%de inflación TJR = 14.14% 20%de inflación TIR = 13.17%
3. 4.
TJR =14.73% �
Seleccionar máquina 1
S.
Seleccionar máquina 1
6.
TIR =7.24%
9-.
p
10.
a) TIR = 8.4S% b) TIR =1.8% e ) TIR =18 .5% a) b)
Con 20%de infla ción Con inflación düerencial
. TIR =25.10% TIR =21.S4%
(
SOLUCIONES A PROBLEMAS DEL CAPITULO 10 l.
44.58%
2.
41.72%
../'"
368 Apéndice D Y. a) Sin inflación = 18.37% b) Con inflación= 2.94%
40.23%
3.
4. a) Sin inflación = 1 1.68% b) Con inflación= 6.94%
3.71% 10. a) Sin inflación = b) Con inflación= -12.15%
5. a) Sin inflación = 10.859% b) Con inflación= -6.02%
11.
4.79%
-8.36%
12.
7.25%
- 6.89%
13.
Cuando menos 16.5%
6.
- 4.21%
7. 8.
.
.�
SOLUCIONES A PROBLEMAS DEL CAPtTULO 11
l. a) Ingresos de 40 millones anuales TIR=10.i6% Costo de capital= 4.06% Por lo tanto sí se acepta
b) Ingresos de 30 millones anuales TJR=4.28% Costo de capital = 4.06%
TIR=4.81%
2.
Costo de capital= -4.214% Por lo tanto se acepta el proyecto
TIR=5.491ló
3.
Costo de capital= -8.34% l?or lo tanto se acepta el proyecto
Por lo tanto sí se acepta
SOLUCIONES A PROBLEMAS DEL CAPITULO 12
l.
TIR proyecto = 5.909% TIR combinado = 5.1459%
2. a) Pedir prestado b) Proporción pasivo 20% 40% 60% 80% 90%
3. a) La cantidad máxima a pagar son $219,840,000 b) El rendimiento sobre capital contable es 42.36%
TIR 16.47% 18.34% 21.88% 30.96% 45.04%
SOLUCIONES A PROBLEMAS DEL CAPITULO 13
l.
TIR esperada= 17.81%
2. P=231,125 X -363,692 Donde P=Inversión inicial X =Homs restadas/día
4.
Rango
(-oo, 17.4%) (17.4%,oo)
Mejor alternativa
e A
3. P=1.8022 X -216,273 Donde P =Inversión inicial X = Km rentados/año SOLUCIONES A PROBLEMAS DEL CAPITULO 14
l. a) Construir planta chica b) Existe más riesgo al construir la planta grande
2.
.......
Decisión: Permanecer igual durante 5 años más
3. a) Disminuir el precio de venta b) Existe más riesgo al mantener el precio y _.-aumentar Jos gastos de publicidad
Solucione� a problemas 369 SOLUCIONES A PROBLEMAS DEL CAPITULO IS
l.
0.3
6.
Rechazar.el proyecto P (VPN>O) =0.0001
2.
0.25
7.
Intereses
3.
0.31S
4. S.
Aceptar el proyecto Intereses
Dist. acumulada TIR
20%
0.0009
30%
0.2743
40%
0.9147
so%
0.9982S
,
20%
0.9981
30%
0.9999
40%
l.O
so%
1.0
8.
0.0000207
9.
0.00004063
10.
Dist. acumulada TIR
. .�
0.9678
""'
, .
.
..\
LIBROS DE TEXTO
THUESEN,Fabrycky ; Thuesen, Engineering Ecorwmy, 5a. ed. Prentice-HaD, 1971. ·'
WIUTE, Agee Case, Principies o[ Engineering Economic Analysis, 1a ed., Jonh Wiley & Sons, 1977. CANADA, John R., Intermediare Ecorwmic Analysis [or Management and Engineering, Prentice-Hall, 1971. RIGGS, James L.,Engineering Economics, McGraw-Hill, 1977. F ABRYCKY,Thuesen,Economic Decision Analysis, Prentice-Hall,1974.
BARISH, Kaplan, Economic Analysis [or Engineering and Managerial Decision Making, 2a. ed., McGraw-Hill, 1978. GRANT, Ireson,Principies of Engineering Economy, 6a. ed., Ronald, 1977. OAKFORD, Robert, Capital Budgeting, Ronald, 1970. TARQUIN, Blank,Ingeniería Económica, McGraw-Hill,1978. DE GARMO,Canada,/ngeniería Económica, CECSA,1978. - LOPEZ LEAUTAUD,Evaluaeión Económica, McGraw-Hill,1975. #
MAO JAMES C. T., Quantitative Analysis of Financial Decisions, Mac Millan Publishing Co., lnc., 1969.
VAN HORNE, James, Financia[ Management and Policy, Prentice-Hall, 1977. WESTON, Brigham,Managerial Finance. 5a. ed., HRW, 1975 BRIGHAM, Pappas,Managerial Ecorwmics, HRW,1972. MOORE,Jaedicke,Managerial Accounting, 3a. ed., South Western Publishing, Co., 1972. PHILLIPS, Ravindran, Solberg, Operation Research, John Wiley & Sons,1976. 1
••
HILLIER, Lieberman, Introductfon to Operatiorn Research, 2a ed., Holden-day, 1974. GORDON, Geoffrey,System Simulation, 2a ed., Prentice-Hall, 1978. HINES, Montgomery,Probability and Statistics, Ronald� 1972.
373
/
374 Apéndice E
ARTICULOS
A. S. Parra Vázquez y R.V. Oakford, Simulation as a Technique for Comparing Decision
Procedure, The Engineeri ng Economist, volumen 21-número 4 pp. 221-236. KEVIN J. Reardon, A Multi-stage Model for Capital BÜdgeting with Uncertain'Future ln
vestment Opportunities, Technical report No. 50, agosto 1974, Department of Ope rations Research, Stanford University.
·
FOGLER H. Russell, OVerkill in Capital Budgeting Technique, Financial Management, primavera 1972.
Investment and DisCOl;lnt Rates Under Capital Rationing a Programming Approach, The Economic Joumal,junio 1965.
FINDLAY Y WILLIAMS, Cápital Allocation and the Nature of Ownership Equities, Fi nancia! Management, Verano 1972. FOGLER H. RUSSELL, Ranking Techniques and Capital Budgeting, The Accounting Review, enero 1972. POWELL y VERGIN, A Heuristic Model for Planning Corporate Financing, Financia! Management, verano 1975. PARRA VAZQUEZ A.S., Simulation of Financia! Decisions OVer Time, Unpublished PH. D. Dissertation, Department of Industrial Engineering, Stanford University, febrero 1974. B. ALLEN, Evaluation Capital Expenditures Under lnjlation, A primer, Business Horizons, diciembre 1976, pp. 31-39. R. C. �ATER y R. L. BULLü_CK, lnflation and Replacement Decision, Engineering Eco nomist, volumen 21-número 4, pp. 249-257.
F.A. HOLLAND y F. A. W ATSON, Putting lnflation Into Profitability Studies, Chenú cal Engineering, febrero 14, 1977, pp. 87-91. COOLEY, Roenfeldt, Chew, Capital Budgeting Procedures Under lnjlatión, Financia! Ma-. nagement, invierno 1975, OO. 18-27.
·
·
- B. WAGLE, A Statistical Analysis of Risk in Capital Investment Proyects, Operational Re search Quarterly, volumen 18-número 1, pp.13-33. R ICHARD F. HESPO S y PAUL A. STRASSMAN, Stochastic Decision Tress for the Ana
lysis of Investment Decisions, Management Science, volumen 11-número 10, agosto 1965, OO. 244-259.
·
•
Referencias óibliofl'áficas 37 S JOHN F. MAGEE, How tOo use Decision Trees in Capital Investment, Harvard Business Review, septiembre
jtubre 1964,
pp. 79-96.
FREDERICK S. HlLLIER, The Derivation of Probabilistic Information for the Evalurttion of Risky Investments, Management Science, volumen 9-número 4, abril 1963, pp. 443-456.
-ooo-
t
....
'
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