Apostila Laje Nervurada-ufmg

CONCRETO ARMADO II - CAPÍTULO 10 Departamento de Engenharia de Estruturas – EE-UFMG Julho 2015 LAJES NERVURADAS __________________________________________________________________________ 10.1 – Lajes especiais

No capítulo 3 foram estudadas as lajes maciças retangulares apoiadas continuamente em vigas no contorno. Essas lajes, que são as mais comuns, são consideradas armadas em uma ou duas direções, dependendo da relação entre os seus lados. As armadas em uma direção são calculadas como vigas de largura unitária e as outras como placas, usando a teoria da elasticidade (regime elástico) ou a teoria das linhas de ruptura ou das charneiras plásticas (regime rígido-plástico). Para as armadas em duas direções, o cálculo de flechas e esforços é feito com o auxílio das tabelas 3.8 a 3.11.

Nesse capítulo serão avaliadas lajes especiais, como as formadas por nervuras e mesa, não mais maciças, apoiadas em vigas no contorno e denominadas lajes nervuradas. Quando as lajes apoiam diretamente sobre os pilares, dispensando-se as vigas, são denominadas lajes lisas. Nessas lajes sem vigas, devido às reações concentradas nas pequenas áreas dos pilares, pode ocorrer um tipo de ruína, a punção, que causa a perfuração das mesmas. A punção em boa parte dessas lajes pode ser o esforço determinante da espessura. Nesses casos, para segurança contra esse tipo de ruína, pode-se engrossar a laje em uma região próxima aos pilares, chamada capitel, e essas lajes passam a se chamar lajes cogumelo. As lajes lisas e as lajescogumelo podem ser maciças ou nervuradas.

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes nervuradas ___________________________________________________________________________ 10.2 – Lajes nervuradas

Alguns fatores tornaram as lajes maciças desfavoráveis economicamente. Dentre eles destacam-se o alto custo das formas de madeira e o aumento dos vãos, proporcionado pela crescente melhoria do desempenho do material concreto e pela evolução dos projetos arquitetônicos. Como uma alternativa mais econômica, prática e rápida surgem as lajes nervuradas pré-moldadas (figura 10.1) ou moldadas no local (figura 10.2).

Uma laje nervurada é constituída por um conjunto de vigas (nervuras) que se cruzam (bidirecional) ou não (unidirecional) e são solidarizadas entre si pela mesa (laje normalmente sobreposta à estrutura de grelha, formada pelas vigas). Esse novo elemento estrutural tem, portanto, comportamento estrutural intermediário entre o de uma laje maciça e o de uma grelha. Normalmente a rigidez à torção das nervuras é desprezada, devido à queda acentuada dessa rigidez após a fissuração do concreto, ficando a compatibilização apenas restrita aos deslocamentos verticais no cruzamento das nervuras. Salienta-se que a mesa será sempre considerada solidária às nervuras.

Uma das principais características das lajes nervuradas é a redução do consumo do concreto na região tracionada, podendo ser usado para substituí-lo, material inerte como enchimento. Esse material deve ser o mais leve possível e ter resistência necessária que garanta com segurança as atividades da fase de construção, embora essa resistência seja desprezada no projeto. Como consequência haverá uma redução do peso próprio da laje.

Entre os materiais de enchimento mais utilizados destacam-se:  Bloco cerâmico mais leve e barato que o de concreto, porém mais quebradiço.  Bloco de concreto mais pesado e caro que o cerâmico, porém menos quebradiço. 10.2

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes nervuradas ___________________________________________________________________________  Bloco de concreto celular autoclavado bastante leve, fácil manuseio, liberdade de dimensões, mais caro que os dois primeiros.  Bloco de EPS (poliestireno expandido, mais conhecido como isopor) levíssimo, fácil manuseio, liberdade de dimensões.  Vazio caixotes modulados reaproveitáveis de polipropileno (ATEX, FORMPLAST) ou de metal. 10.3 - Prescrições regulamentares

10.3.1 - Definição

Segundo a NBR 6118:2014, item 14.7.7: “Lajes nervuradas são as lajes moldadas no local ou com nervuras prémoldadas, cuja zona de tração para momentos positivos esteja localizada nas nervuras entre as quais pode ser colocado material inerte.”

Nas lajes nervuradas moldadas no local todas as etapas de execução são realizadas "in loco". Portanto, é necessário além do uso de fôrmas e de escoramentos, o material de enchimento. O material inerte de enchimento pode ser substituído por fôrmas perdidas (caixotes perdidos de madeira em lajes com mesa dupla, laje superior e inferior) ou removíveis (moldes tronco-piramidal em polipropileno ou em metal), com dimensões moduladas, sendo necessário utilizar desmoldantes iguais aos empregados nas lajes maciças.

Nas lajes nervuradas pré-moldadas as nervuras são compostas de vigotas pré-moldadas, que dispensam o uso do tabuleiro da fôrma tradicional. Como essas vigotas são capazes de suportar seu peso próprio e as ações provenientes de sua montagem, necessitam apenas de cimbramentos (apoios) intermediários. Além das vigotas, essas lajes são constituídas de elementos de enchimento, que são coloca10.3

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes nervuradas ___________________________________________________________________________ dos sobre os elementos pré-moldados, e também de concreto moldado no local para preenchimento das laterais das vigotas e também do capeamento (mesa). As vigotas podem ser de três tipos: concreto armado (VC), concreto protendido (VP) e treliçada (VT).

As lajes com nervuras pré-moldadas devem atender adicionalmente às prescrições da NBR 14859-1, “Laje pré-fabricada - Requisitos, Parte 1: Lajes unidirecionais” e da NBR 14859-2 “Laje pré-fabricada - Requisitos, Parte 2: Lajes bidirecionais”.

a) Laje pré-fabricada com vigotas de concreto armado (Fonte: www.classiwebgratis.com.br)

b) Laje treliçada unidirecional

c) Laje treliçada bidirecional

(lajota cerâmica)

(lajota bidirecional de EPS)

(Fonte: www.lajesfortaleza.com.br)

(Fonte: www.tijololaje.com.br)

Figura 10.1 - Tipos de lajes pré-fabricadas

10.4

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes nervuradas ___________________________________________________________________________ 10.3.2 - Dimensões limites

Todas as prescrições já vistas anteriormente relativas às lajes podem ser consideradas válidas, desde que sejam obedecidas as condições do item 13.2.4.2 da NBR 6118:2014, que fixam as dimensões limites e as condições para o projeto de lajes nervuradas, transcritas abaixo: “A espessura da mesa, quando não existirem tubulações horizontais embutidas, deve ser maior ou igual a 1/15 da distância entre as faces das nervuras (0) e não menor que 4 cm.” “O valor mínimo absoluto da espessura da mesa deve ser 5 cm, quando existirem tubulações embutidas de diâmetro menor ou igual a 10 mm. Para tubulações com diâmetro  maior que 10 mm, a mesa deve ter a espessura mínima de (4 cm + ), ou (4 cm + 2) no caso de haver cruzamento destas tubulações.” “A espessura das nervuras não pode ser inferior a 5 cm.” “Nervuras com espessura menor que 8 cm não podem conter armadura de compressão.”

A figura 10.2 a seguir mostra a seção transversal de uma laje nervurada onde são identificados os seus elementos (nervura, mesa ou capeamento, material inerte de enchimento), com as respectivas dimensões limites definidas nas prescrições supracitadas.

10.5

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Figura 10.2 - Seção transversal de uma laje nervurada

10.3.3 - Condições para o projeto

As condições para o projeto de lajes nervuradas são também estabelecidas no item 13.2.4.2 da NBR 6118: “Para o projeto das lajes nervuradas, devem ser obedecidas as seguintes condições:

a) para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras menor ou igual a 65 cm, pode ser dispensada a verificação da flexão da mesa, e para a verificação do cisalhamento da região das nervuras, permite-se a consideração dos critérios de laje;

b) para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras entre 65 cm e 110 cm, exige-se a verificação da flexão da mesa, e as nervuras devem ser verificadas ao cisalhamento como vigas; permite-se essa verificação

10.6

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes nervuradas ___________________________________________________________________________ como lajes se o espaçamento entre eixos de nervuras for até 90 cm e a largura média das nervuras for maior que 12 cm; c) para lajes nervuradas com espaçamento entre eixos maior que 110 cm, a mesa deve ser projetada como laje maciça, apoiada na grelha de vigas, respeitando-se os seus limites mínimos de espessura.”

Continuando as prescrições do item 14.7.7 da NBR 6118: “Quando essas hipóteses não forem verificadas, deve-se analisar a laje nervurada considerando a capa ou mesa como laje maciça apoiada em uma grelha formada pelas vigas.” “As lajes nervuradas unidirecionais devem ser calculadas segundo a direção das nervuras, desprezadas a rigidez transversal e a rigidez à torção.” “As lajes nervuradas bidirecionais (conforme ABNT NBR 14859-2) podem ser calculadas, para efeito de esforços solicitantes, como lajes maciças.”

Segundo o item 4.2.1 da NBR 14859-2 as lajes bidirecionais, construídas com vigotas treliçadas, podem ser calculadas como lajes armadas em cruz (duas direções), desde que a distância entre eixos (intereixo) das nervuras, tanto longitudinais quanto transversais, não superar 105 cm. Quando apenas o intereixo das nervuras transversais superar 105 cm, a laje deve ser calculada como unidirecional, apoiada portanto, em dois lados. Caso os dois intereixos, longitudinal e transversal, superarem 105 cm a laje deve ser calculada como grelha ou como um conjunto de vigotas isoladas. Esse item, que vale para lajes pré-moldadas (treliçadas) bidirecionais, por mais forte razão valerá para lajes nervuradas moldadas in loco.

A norma NBR 14859-2 (lajes bidirecionais) no seu item 4, dos requisitos gerais, preconiza que em lajes pré-fabricadas executadas com vigotas de concreto armado (VC) ou de concreto protendido (VP) não se admite a execução de nervuras

10.7

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes nervuradas ___________________________________________________________________________ transversais. As nervuras transversais às vigotas somente podem ser executadas quando se empregam vigotas treliçadas (VT).

O dimensionamento e a verificação das lajes nervuradas bidirecionais devem atender às prescrições da NBR 6118, considerando-se naturalmente a redução do braço de alavanca, relativa à armadura complementar (quando necessária), tanto no sentido longitudinal quanto no transversal. Isso se justifica porque as armaduras complementares são colocadas acima da base de concreto das vigotas prémoldadas treliçadas. Ainda segundo esse item 4.2.1 da NBR 14859-2, “para a obtenção dos esforços e dimensionamento das lajes bidirecionais, maciças ou nervuradas, aplicam-se todas as prescrições da NBR 6118 relativas às lajes maciças ou nervuradas excetuando-se a correspondente ao cobrimento da armadura, que deve obedecer ao prescrito na NBR 9062” (Projeto e execução de estruturas de concreto pré-moldado).

As vinculações das lajes nervuradas são as mesmas das lajes maciças lembrando-se que nessas primeiras o engaste ou o balanço produzirá tensões de compressão na face inferior das nervuras, região com área de concreto reduzida. Quando o valor do momento negativo superar a resistência à compressão das nervuras pode-se usar uma mesa inferior, situação conhecida como laje dupla, ou executar um trecho de laje maciça na região dos apoios.

10.4 - Análise estrutural

10.4.1 - Cálculo das reações e momentos fletores

Conforme as prescrições da NBR 6118 as lajes nervuradas unidirecionais devem ser calculadas como vigas de um vão, considerado no sentido das nervuras. Dependendo das condições de contorno essas vigas podem ser biapoiadas, apoiada-engastada ou biengastadas. Já as lajes nervuradas bidirecionais podem ser cal10.8

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes nervuradas ___________________________________________________________________________ culadas, para efeito de esforços solicitantes, como lajes maciças. Portanto, para o cálculo de reações e momentos nessas últimas podem ser usadas as tabelas 3.8 e 3.11 respectivamente, ou quaisquer outras que usam a teoria da elasticidade no cálculo dos momentos. As tabelas que usam a teoria das linhas de ruptura (regime rígido-plástico), no cálculo dos momentos, não devem ser usadas nesse caso.

As lajes nervuradas bidirecionais com inércias iguais (espessura e espaçamento das nervuras iguais) nas duas direções serão calculadas com o auxílio das tabelas 3.8 (reações de apoio) e 3.11 (momentos fletores, regime elástico). As com inércias diferentes (espessura e/ou espaçamento das nervuras diferentes), embora possam ser calculadas com as mesmas tabelas, serão aqui calculadas, usando-se a teoria das grelhas (ver capítulo 3 - Lajes). Essa teoria tem como princípio básico, a compatibilização das flechas das nervuras nas duas direções. Dessa forma são determinados os “quinhões de carga” (pa, pb), considerando-se faixas unitárias nas direções a e b, da laje analisada.

pa = Ka p

pb = Kb p,

com

p = pa + pb

(10.1)

Onde Ka e Kb são coeficientes que dependem da vinculação da laje nas direções a e b. Para sua determinação basta igualar as flechas nas duas direções, fa = fb, conforme equação (3.17):

pαα 4 f α  Cα , 384EI α

com C =

(EI)

 = a ou b

5

(para a direção da laje apoiada-apoiada)

2,...

(para a direção da laje apoiada-engastada)

1

(para a direção da laje engastada-engastada)

(10.2)

rigidez à flexão da laje na direção 

A partir das equações (10.1) e (10.2) e fazendo-se Ea = Eb determinam-se os quinhões de carga pa, pb: 10.9

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes nervuradas ___________________________________________________________________________

pa 

p C 1   a  Cb

 I b   I a

 a     b 

4

 Ka p ,

pb = Kb p



com

Ka 

1 C 1   a  Cb

 I b   I a

Kb = 1 - Ka

 a  4    b 

(10.3)

(10.4)

Em (10.3) I é o momento de inércia de uma faixa unitária da laje nervurada, na direção .

10.4.2 - Flecha em lajes nervuradas

Para a determinação das flechas deve ser usada a equação (3.20) ou (10.5) abaixo, para lajes nervuradas bidirecionais com inércias iguais e a equação (3.17) ou (10.2), para as unidirecionais e as bidirecionais com inércias diferentes, em cada direção isolada a ou b. Dessa forma para as primeiras:

f i  f serv  f1

p i

 p serv  a 4 E cs h 3

(10.5)

Sendo pi = pserv a “carga imediata” ou de serviço, dada na equação (10.6) abaixo, e os valores de f1 dados na tabela 3.9. A flecha é calculada com o carregamento correspondente à combinação quase permanente de serviço, equação (10.6) abaixo, levando-se em conta modelos que consideram a rigidez efetiva das seções dos elementos estruturais. A rigidez efetiva é obtida considerando-se a presença das armaduras, a existência das fissuras no concreto tracionado e as deformações diferidas no tempo. pi = pserv = g +  2 q

(10.6)

Conforme a tabela 1.7, para cargas acidentais de edifícios: 10.10

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes nervuradas ___________________________________________________________________________  2 = 0,3

para edifícios residenciais;

 2 = 0,4

para edifícios comerciais, de escritório, estações e edifícios públicos;

 2 = 0,6

para bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens.

Segundo o item 19.3.1 da NBR 6118, para o estado-limite de deformação em lajes devem ser usados os mesmos critérios estabelecidos para as vigas dados em 17.3.2, considerando a possibilidade de fissuração (Estádio II). Ainda segundo o item 17.3.2 da NBR 6118, “A deformação real da estrutura depende também do processo construtivo, assim como das propriedades dos materiais (principalmente do módulo de elasticidade e da resistência à tração) no momento de sua efetiva solicitação. Em face da grande variabilidade dos parâmetros citados, existe uma grande variabilidade das deformações reais. Não se pode esperar, portanto, grande precisão nas previsões de deslocamentos dadas pelos processos analíticos prescritos”.

A norma NBR 6118 considera a possibilidade de avaliação aproximada da flecha, usando um modelo de comportamento da estrutura que admita o concreto e o aço como materiais de comportamento elástico e linear, de modo que as seções ao longo do elemento estrutural possam ter as deformações específicas determinadas no Estádio I, desde que os esforços não superem aqueles que dão início à fissuração, e no Estádio II, em caso contrário. Deve ser utilizado no cálculo o valor do módulo de elasticidade secante Ecs definido na equação (1.6), sendo obrigatória a consideração do efeito da fluência.

Para avaliação aproximada da flecha imediata em vigas e lajes, conforme já visto no capítulo 3, deve-se usar a rigidez equivalente dada na equação (3.18):

EI eq

 M   E cs  r M   a

3  M   I c  1   r   Ma  

10.11

  

  I II    E cs I c    

3

(3.18)*

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes nervuradas ___________________________________________________________________________ A rigidez equivalente leva em conta, de forma ponderada, trechos da laje que estão no Estádio I (inércia da seção bruta de concreto - Ic) e trechos no Estádio II (inércia da seção fissurada de concreto - III). Como nas lajes nervuradas o dimensionamento é feito considerando-se viga de seção T, para o cálculo da profundidade da linha neutra no Estádio II (xII) e III devem ser usadas as equações (9.18) a (9.23).

x II  A  A 2  B

(9.18)*

Onde

A

1 n A s  b f  b w  h f  bw

(10.7)

B

2   bf  b w  2   hf  d n A s   bw  2   

(10.8)

I II 





1 3 bf xII  bf  b w xII  hf 3  n As d  xII 2 3

(10.9)

As equações (10.7), (10.8) e (10.9) foram adaptadas das equações (9.19), (9.20) e (9.23) para A’s = 0 e N = 0. Segundo o item 17.3.2.1.2 da NBR-6118, a flecha adicional diferida, decorrente das cargas de longa duração em função da fluência do concreto, pode ser calculada de maneira aproximada pelo produto da flecha imediata fi pelo fator f (definido nas equação (3.22) e (3.28)). Assim a flecha final, no tempo infinito, é dada por:

f = fi + f fi = (1 + f)fi

(10.10)

Conforme visto na capítulo 3, para situações normais em que se deseja a flecha no tempo infinito, para cargas aplicadas a partir dos 14 dias após a concreta10.12

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes nervuradas ___________________________________________________________________________ gem, aproximadamente t0 = 0,5 mês, com ’ = 0 (não admitindo armadura dupla em lajes), obtém-se para f o seguinte valor: f = () - (0,5) = 2 – 0,54 = 1,46

(3.28)*

Portanto, a flecha total no tempo infinito será dada por: f = (1 + f) fi = 2,46 fi

(10.11)

Assim reescrevendo a equação (10.5) para o tempo infinito e conforme (10.11) e (10.6) obtém-se:

f   f1

p   a 4

(10.12)

E cs h 3

Onde: p = 2,46 g + 2,46  2 q

(10.13)

Em (10.12) carga p é apenas um artifício matemático.

10.4.3 - Dimensionamento das lajes nervuradas  Momento fletor positivo

Para esses momentos, que comprimem a mesa (parte superior) e tracionam as nervuras (parte inferior), o dimensionamento deve ser feito como viga de seção T (ver capítulo 2 - Flexão). Dessa forma serão observadas as prescrições da NBR 6118 relativas a esse tipo de seção. A determinação da largura efetiva da mesa bf = bw + b1 + b3, ver figura 2.14 e equações (2.48), no caso das lajes nervuradas resulta, conforme figura 10.2:

bf = bw + 0 = 



10.13









(10.7)

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes nervuradas ___________________________________________________________________________ Em que bw é a largura da nervura, 0 é a distância livre entre nervuras e  é a distância entre eixos das nervuras. Os valores de b1 e b3 na equação (2.48) devem ser menores que (0,10 a), onde a é a distância entre pontos de momentos nulos, no vão analisado, da viga T (nervura) em questão, e também menores que a metade da distância livre entre as faces das nervuras (0,50 0). Normalmente nas lajes nervuradas b1 = b3 = (0,50 0). Caso contrário, a largura efetiva bf da mesa deve ser calculada conforme as equações (2.48).  Momento fletor negativo

Nesse caso o dimensionamento deve ser feito como viga de seção retangular de largura bw. Conforme já mencionado, pode ser que o momento negativo supere a capacidade resistente à compressão das nervuras, nesse caso, o dimensionamento com armadura dupla só será possível se a largura da nervura for maior ou igual a 8 cm. Essa armadura dupla pode ser evitada engrossando-se as nervuras somente próximo aos apoios, ou usando-se mesa dupla, ou finalmente executando-se um trecho de laje maciça, com comprimento a ser definido, nessa mesma região dos apoios. 10.5 – Exemplos numéricos

10.5.1 - Exemplo 1 10.5.1.1 - Laje nervurada com h = 25 cm, malha (50x50) cm2 Calcular os esforços, a flecha e detalhar a laje nervurada abaixo. Trata-se de um edifício residencial com os seguintes dados: fck = 20 MPa

Aço CA 50 / 60

Revestimento

1 kN/m2

Sobrecarga

2 kN/m2

Enchimento

5 kN/m3 (blocos de concreto celular 40x40x20) 10.14

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes nervuradas ___________________________________________________________________________

Figura 10.3 - Laje nervurada do exemplo 1

A espessura da laje foi inicialmente obtida a partir de uma avaliação prática que define a altura total de uma laje qualquer em função do seu menor vão, . 

lajes maciças em concreto armado

(/40) ≤ h ≤ (/36)



lajes nervuradas em concreto armado

h ≥ (/30)



lajes de piso em concreto protendido

h ≥ (/42)



lajes de forro em concreto protendido

h ≥ (/48)

Para a laje nervurada desse exemplo a altura h ≥ (/30) = (740/30) ≈ 25 cm.

 Cálculo das cargas o Peso próprio

Volume da unidade

0,50x0,50x0,25 = 0,0625 m3

Volume do bloco

0,40x0,40x0,20 = 0,0320 m3 10.15

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes nervuradas ___________________________________________________________________________ Volume de concreto

0,0625-0,0320 = 0,0305 m3

Peso da unidade

0,0305x25 (concreto) + 0,0320x5 (bloco) = 0,9225 kN/unid.

Peso da laje por m2

0,9225 / (0,50x0,50) = 3,69 kN / m2 ≈ 3,70 kN/m2

Carga permanente

g = pp + rev = 3,70 + 1,00 = 4,70 kN/m2 q = 2,00 kN/m2

Carga acidental

p = g + q = 4,70 + 2,00 = 6,70 kN/m2

Carga total

Obs.: Pelo volume de concreto por unidade (0,0305 m3) obtém-se o volume de concreto por m2 de laje dado por [0,0305 / (0,50x0,50)] = 0,122 m3/m2. Isso é equivalente ao consumo de concreto de uma laje maciça de 12,2 cm de altura.  Cálculo dos esforços

Por se tratar de uma laje nervurada com relação de lados menor que dois e com inércias iguais nas duas direções, o cálculo das reações e momentos será feito com o auxílio das tabelas 3.8 e 3.11, respectivamente. Trata-se de uma laje simplesmente apoiada nos quatro lados (laje tipo A) com os vãos de 9,60 m na direção horizontal e 7,40 m na direção vertical. Para a obtenção dos coeficientes nas tabelas definem-se os vãos a = 7,40 m e b = 9,60 m, cuja relação (b/a) ≈ 1,30 < 2. Os valores dos coeficientes tabelados são:

Tabela 3.8

ra = 0,250

rb = 0,308

Ra = 0,250x(pa) = 0,250x(6,7x7,4) = 12,40 kN / m (em 7,40 m) Rb = 0,308x(pa) = 0,308x(6,7x7,4) = 15,27 kN / m (em 9,60 m) Ra/nerv = 12,40x0,50 = 6,20 kN Rb/nerv = 15,27x0,50 = 7,64 kN Tabela 3.11

ma = 15,5

mb = 24,2 10.16

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes nervuradas ___________________________________________________________________________ Ma = (pa2) / ma = (6,7x7,402) / 15,5 = 23,67 kNm (armadura distribuída na direção vertical para 1 m de largura de laje) Mb = (pa2) / mb = (6,7x7,402) / 24,2 = 15,16 kNm (armadura distribuída na direção horizontal para 1 m de largura de laje)

Ma/nerv = 23,67x0,50 = 11,84 kNm Mb/nerv = 15,16x0,50 = 7,58 kNm  Dimensionamento à flexão o determinação de bf 0,1x740 = 74 cm (vão a) 0,10 a= 0,1x960 = 96cm (vão b) bf = bw + b1 + b3,

bw = 10,

b1 = b3 ≤ b2/2 = 0/2 = 40/2 = 20 cm (*)

bf = 10 + 20* + 20* = 50 cm = bw + 0 (valor normal em lajes nervuradas)

o dimensionamento para Ma/nerv = 11,84 kNm Momento de referência

Md,Ref=fc(bf x hf)(d - hf/2)=1,214x50x5(22-5/2) = 5918 kNcm fc = 0,85x2/1,4 = 1,214 kN/cm2 hf = 5 cm

d = 25 - 3 = 22 cm

Como Md,Ref = 59,18 kNm > Md,(a/nerv) = 11,84x1,4 = 16,58 kNm, o dimensionamento deve ser feito como uma seção retangular de dimensões (b f x h) = (50 x 25) cm2.

K 50x25 

Md fcbf d

2



1184x1,4 1,214x50x2 2 2

 0,0564  K L  0,295  K'  K  0,0564

10.17

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes nervuradas ___________________________________________________________________________

A s  A s1 









fc bd 1,214x50x2 2 1  1  2K'  1  1  2x0,0564  1,78 cm2 fy d 43,48

A’s = As2 = 0 Para As = 1,78 cm2 será adotado por nervura (2Φ8 mm+1Φ10 mm) = Ase = 1,79 cm2 A armadura As tem que ser maior ou igual à armadura mínima As,min. Como os valores das tabelas 2.6 e 2.7 só valem para seções retangulares, o valor mínimo da armação em viga de seção T deve ser calculado como aquela necessária para combater o momento mínimo dado na equação (2.49). O valor de fctk,sup é dado na equação (2.50). Md,min = 0,8 W 0 fctk,sup,

W 0 = (Ix,cg / ymax,trac),

fctk,sup = 0,39 (fck)2/3 (fck < 50 MPa)

O centro geométrico para a seção T de concreto em relação ao eixo que passa no limite inferior da nervura vale:

ycg = (50x5x22,5 + 10x20x10) / (50x5 + 10x20) = 16,94 cm

Icg = [(50x53)/12+50x5x(22,5-16,94)2]+[(10x203)/12+10x20x(16,94-10)2]= 24549 cm4 fctk,sup = 0,39 x 202/3 = 2,87 MPa ≈ 0,29 kN/cm2 Md,min = 0,8 x [(24549) / 16,94] x 0,29 = 336 kNcm < Md,Ref

Mmin = 240 kNcm

Kmin,50x25 = 0,0114 < KL = 0,295, As,min = 0,35 cm2 < As,cal = 1,78 cm2

OK!

o dimensionamento para Mb/nerv = 7,58 kNm Md,Ref = 59,18 kNm > Md,(b/nerv) = 7,58x1,4 = 10,61 kNm (Seção retang. = 50x25 cm2)

10.18

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes nervuradas ___________________________________________________________________________

K 50x25 

758x1,4 1,214x50x2 2 2

As  As1 

 0,0361  K L  0,295  K'  K  0,0361





1,214x50x2 2 1  1  2x0,0361  1,13 cm 2 43,48



As,min  0,35cm 2

A’s = As2 = 0 Para As=1,13 cm2 será adotado por nervura (2Φ6,3 mm+1Φ10 mm)= Ase = 1,13 cm2  Verificação da flecha

Para o cálculo da flecha será usada a tabela 3.10, laje tipo A, com relação (b/a)=1,30, cujo valor tabelado f1 = 0,073. Para o cálculo da flecha deve-se comparar o momento de serviço, Ma,serv (o maior), com o momento de fissuração, Mr. Isso é necessário para definir se a laje estará no Estádio I ou II.

Carga de serviço pi = pserv = g + 2q = 4,70 + 0,3x2,00 = 5,30 kN/m2 Com

2 = 0,3 (edifício residencial)

Momento de serviço Ma,serv = (pia2)/ma=(5,3x7,402)/15,5 =23,67x(5,3/6,7) = 18,72 kNm Ma,serv/nerv = 1872x0,50 = 936 kNcm Momento de fissuração

Mr /nerv  αfct Com

Ic 24549  1,2x0,22x  383 kNcm yt 16,94

 = 1,2 (seção T) fct = fctm = 0,3 (fck)2/3 = 0,3x(20)2/3 = 2,21 MPa = 0,22 kN/cm2

Ic/nerv = 24549 cm4

Ic/m = 24549x2 = 49098 cm4

yt = ycg = 16,94 cm

Como Ma,serv/nerv = 936 kNcm > Mr/nerv = 383 kNcm 10.19



Estádio II

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes nervuradas ___________________________________________________________________________ “Módulo de elasticidade” secante

Ecs  αiEci  0,85x2504  2129 kN/cm2 Com

Eci  αE 5600 fck  1,0x5600 20  25044 MPa  2504 kN/cm2 e = 1,0

(adotou-se concreto com brita de gnaisse)

αi  0,8  0,2

f ck 20  0,8  0,2  0,85  1,0 80 80

Profundidade da LN no Estádio II x II  A  A 2  B  21,76  21,76 2  177,66  3,76cm

Com

A

1 n A s  b f  b w  h f   1 9,86x1,79  50  10 5  21,76 bw 10

n = (Es/Ecs) = (21000/2129) = 9,86 As = Ase = 1,79 cm2, bf = 50 cm, bw = 10 cm, hf = 5 cm

B

2 bw

  bf  bw  2  2   50  10  2  22x9,86x1,79    hf   5  d n A s    2  2      10  

B  177,66

Momento de inércia da seção fissurada III





III/nerv 

1 b f xII3  b f  b w xII  h f 3  n A s d  xII 2 3

III/nerv 

1 50x3,76 3  50  103,76  53  9,86x1,79(22 - 3,76)2 3





III/nerv  6783 cm 4

III,m  6783x2  13566 cm4

Rigidez equivalente

EIeq/nerv

 M  3   M 3    r   I c  1   r   I II   E csI c  E cs  M   Ma         a 

EI eq/nerv

3     383  3   383    2129  24549  1     6783 936      936    

10.20

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes nervuradas ___________________________________________________________________________

EI eq/nerv  2129x8000  1,703x107 kNcm2 EI eq/m  2x1,703x10 7  3,406x10 7 kNcm 2 Flecha imediata - Rigidez da seção bruta, para h = 25 cm (laje maciça)

fi  f1

pia 4 E cs.h 3

 0,073

(5,3x10 4 )(7404 ) 2129x253

 0,35 cm

O valor acima foi obtido considerando-se laje maciça com altura h = 25 cm, e a carga de serviço pi = 5,3 kN/m2 = 5,3x10-4 kN/cm2. Para a laje nervurada em questão, com inércia bruta por metro igual a Ic/m = 49098 cm4, a flecha imediata será obtida com uma altura correspondente [b(h corr)3/12] = Ic/m. Portanto, hcorr será dado por:

hcorr  3

12 I c/m 3 12x49048   18,06 cm b 100

fi = 0,35x(25 / 18,06)3 = 0,35x(130208 / 49098) = 0,93 cm Flecha imediata - Rigidez da seção fissurada (rigidez equivalente de Branson)

De forma análoga a altura heq/m é dada por

h eq/m  3

12 I eq/m b

3

12x(2x8000)  12,43 cm 100

fi = 0,35x(25 / 12,43)3 = 0,35x(130208 / 16000) = 2,85 cm Flecha total (imediata + diferida), no tempo infinito f = (1 + f) fi = 2,46 fi = 2,46x2,85 = 7,01 cm fadmissível =  / 250 = 740 / 250 = 2,96 cm

10.21

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes nervuradas ___________________________________________________________________________ Como a flecha total supera a flecha admissível, a laje não atende ao estado limite de deformação excessiva ELS-DEF, mesmo aplicando-se uma contra-flecha máxima cfmax = ( / 350) = (740 / 350) = 2,11 cm. A flecha final resultante vale:

ffinal = f - cfmax = 7,01 - 2,11 = 4,90 cm > f adm = 2,96 cm

Como o ELS-DEF não foi atendido, faz-se necessário alterar a geometria da laje para que a flecha não supere o valor admissível. Dentre as alternativas possíveis, como aumentar a resistência do concreto ou aumentar a inércia no menor vão (diminuindo, por exemplo, o espaçamento das nervuras), a mais efetiva é aumentar a altura da laje. Isso pode ser feito mantendo-se o capeamento inalterado e aumentando-se a altura dos blocos do enchimento, ou ao contrário, aumentando-se a espessura do capeamento mantendo-se as mesmas dimensões dos blocos.

Será tentado uma nova altura da laje igual a 30 cm, mesa com 5 cm e os blocos de 40x40x25 cm3, por ser a opção que leva à menor economia no consumo de concreto, aliado ao menor peso da laje. 10.5.1.2 - Laje nervurada com altura total h = 30 cm (malha 50x50) cm2 Volume da unidade

0,50x0,50x0,30 = 0,075 m3

Volume do bloco

0,40x0,40x0,25 = 0,040 m3

Volume de concreto

0,075 - 0,040 = 0,035 m3

Peso da unidade

0,035x25 (concreto) + 0,040x5 (bloco) = 1,075 kN

Peso da laje por m2

1,075 / (0,50x0,50) = 4,3 kN / m2

Carga permanente

g = pp + rev = 4,3 + 1,0 = 5,3 kN / m2 q = 2,0 kN / m2

Carga acidental Carga total

p = g + q = 5,3 + 2,0

10.22

= 7,3 kN / m2

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes nervuradas ___________________________________________________________________________ Tabela 3.8

ra = 0,250

rb = 0,308

Ra = 0,250x(pa) = 0,250x(7,3x7,4) = 13,51 kN / m (em 7,40 m) Rb = 0,308x(pa) = 0,308x(7,3x7,4) = 16,64 kN / m (em 9,60 m) Ra/nerv = 13,51x0,50 = 6,76 kN Rb/nerv = 16,64x0,50 = 8,32 kN Tabela 3.11

ma = 15,5

mb = 24,2

Ma = (pa2) / ma = (7,3x7,402) / 15,5 = 25,79 kNm (armadura na direção vertical para 1 m de largura de laje) Mb = (pa2) / mb = (7,3x7,402) / 24,2 = 16,52 kNm (armadura na direção horizontal para 1 m de largura de laje)

Ma/nerv = 25,79x0,50 = 12,90 kNm Mb/nerv = 16,52x0,50 = 8,26 kNm

bf = 10 + 20 + 20 = 50 cm = b w + 0 (valor normal em lajes nervuradas) Md,Re f = fc(bf x hf)(d - hf/2) = 1,214x50x5(27-5/2) = 7438 kNcm Md,(a/nerv) = 1290x1,4 = 1806 kNcm < Md,Ref = 7438 kNcm

K 50x30 

1806 1,214x50x2 7 2

A s  A s1 

 0,0408  K L  0,295  K'  K  0,0408





1,214x50x2 7 1  1  2x0,0408  1,57 cm2 43,48

A’s = As2 = 0 Para As = 1,57 cm2 será adotado por nervura (2Φ10 mm) = Ase = 1,57 cm2 ycg = (50x5x27,5 + 10x25x12,5) / (50x5 + 10x25) = 20 cm

Icg = [(50x53)/12+50x5x(27,5-20)2]+[(10x253)/12+10x25x(20-12,5)2] = 41667 cm4 10.23

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes nervuradas ___________________________________________________________________________ Md,min = 0,8 x [(41667) / 20] x 0,29 = 483 kNcm

Mmin = 345 kNcm

K50/25 = 0,0109 < KL = 0,295, As,min = 0,41 cm2 < As,cal = 1,77 cm2

OK!

Md,(b/nerv) = 826x1,4 = 1156 kNcm

K 50x30 

1156 1,214x50x27 2

A s  A s1 

 0,0261 K L  0,295  K'  K  0,0261





1,214x50x2 7 1  1  2x0,0261  1,00 cm2 43,48



A

s,min

 0,41cm2

A’s = As2 = 0 Para As=1,00 cm2 será adotado por nervura (2Φ8 mm) = Ase = 1,01 cm2 Verificação da flecha pi = pserv = g + 2q = 5,3 + 0,3x2,0 = 5,9 kN/m2 Ma,serv = (5,9x7,402) / 15,5 = 20,84 kNm Ma,serv/nerv = 2084x0,50 = 1042 kNcm

Mr ,nerv  αfct

Ic 41667  1,2x0,22x  550 kNcm yt 20

Ic/nerv = 41667 cm4

Ic/m = 41667x2 = 83333 cm4

yt = 20 cm Como Ma,serv/nerv = 1042 kNcm > Mr,nerv = 550 kNcm 

Estádio II

xII  21,55  21,552  183,59  3,91cm

As = Ase = 1,57 cm2, bf = 50 cm, bw = 10 cm, hf = 5 cm

A

1 9,86x1,57  50  10 5  21,55 10

B

2   50  10  2  27x9,86x1, 57    5   183,59  10   2   10.24

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes nervuradas ___________________________________________________________________________

III/nerv 





1 50x3,91 3  50  103,91 5 3  9,86x1,57 (27 - 3,91)2 3

III/m  9267x2  18534 cm4

III/nerv  9267 cm4

EI eq/nerv

3     550  3   550    2129  41667  1    9267 1042      1042    

EI eq/nerv  2129x14032  2,987x107 kNcm2

EI eq/m  2x2,987x10 7  5,975x107 kNcm2 Flecha imediata - Rigidez da seção bruta

fi  0,073

(5,9x10 4 )(7404 ) 2129x303

 0,22 cm (laje maciça h  30cm)

Para a laje nervurada com Ic/m = 83333 cm4, a flecha imediata será obtida com uma altura correspondente [b(hcorr)3/12] = Ic/m. Portanto, hcorr será dado por:

hcorr  3

12x83333  21,54 cm 100

fi = 0,22x(30 / 21,54)3 = 0,22x(225000 / 83333) = 0,59 cm

Flecha imediata - Rigidez da seção fissurada (rigidez equivalente de Branson)

h eq/m  3

12x(2x14032)  14,99 cm 100

fi = 0,22x(30 / 14,99)3 = 0,22x(225000 / 28064) = 1,76 cm

10.25

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes nervuradas ___________________________________________________________________________ Flecha total (imediata + diferida), no tempo infinito f = (1 + f) fi = 2,46 fi = 2,46x1,76 = 4,33 cm

fadmissível =  / 250 = 740 / 250 = 2,96 cm

A flecha total supera a flecha admissível, mas aplicando-se uma contra-flecha de:

cf = (f - fadm) = (4,33 - 2,96) = 1,37 cm < cfmax = (740 / 350) = 2,11 cm

a flecha final atende ao estado limite de deformação excessiva ELS-DEF. Para uma contra-flecha de 2 cm, por exemplo, a flecha final resultante vale:

ffinal = f - cfmax = 4,33 - 2,00 = 2,33 cm < fadm = 2,96 cm

 OK!

 Dimensionamento ao cisalhamento (h = 30 cm)

Como essa laje nervurada tem o espaçamento entre os eixos das nervuras igual a 50 cm, menor que 65 cm, para a verificação do cisalhamento da região das nervuras, permite-se considerar os critérios de laje. Conforme capítulo 5, item 5.3, dispensa-se armadura transversal para resistir às forças de tração oriundas da força cortante em lajes maciças ou nervuradas, quando a força cortante de cálculo a uma distância d da face do apoio, obedecer à expressão: VSd ≤ VRd1 Com VSd = (Rb)x1,4 = 16,64x1,4 = 23,30 kN/m

(valor no apoio)

VRd1 = [Rd k (1,2 + 40 ρ1)] bw d = [wd1] bw d Rd = 0,25fctd=0,25(fctk,inf/γc)=0,0375(fck)2/3=0,28 MPa=0,03 kN/cm2 (As1/nerv = 1,57 cm2 As1/m = 2x1,57 = 3,14 cm2 armadura de tração seção 100/30) ρ1 = As1 / (bw d) = (3,14) / (100x27) = 0,0012 < 0,02 10.26

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes nervuradas ___________________________________________________________________________ k = (1,6 – d) = (1,6 - 0,27) = 1,33 > 1 VRd1 = [0,03x1,33 (1,2 + 40x0,0012)] 20x27 = 26,28 kN bw = 2x10 = 20 cm Como (VSd = 23,30 kN) < (VRd1 = 26,28 kN) dispensa-se armadura transversal para resistir ao cisalhamento nessa laje nervurada. Deve-se também verificar na direção b.  Detalhamento

Apresenta-se na figura 10.4 as armações na direção a (2 10 mm) por nervura e na direção b (2 8 mm) por nervura.

Figura 10.4 - Laje do exemplo 1 - Armação 10.5.1.3 - Laje nervurada com altura total h = 25 cm, malha (50x30) cm2  Inércias diferentes, tratada como laje maciça

Laje com as mesmas dimensões do exemplo anterior, mantendo-se a altura inicial de 25 cm e alterando o espaçamento entre os eixos das nervuras, na direção do vão a, para 30 cm. Essa laje está representada na figura 10.5. 10.27

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes nervuradas ___________________________________________________________________________

Figura 10.5 - Laje do exemplo 1, com inércias diferentes nas duas direções Volume da unidade

0,30x0,50x0,25 = 0,0375 m3

Volume do bloco

0,20x0,40x0,20 = 0,0160 m3

Volume de concreto

0,0375-0,0160 = 0,0215 m3

Peso da unidade

0,0215x25 (concreto) + 0,0160x5 (bloco) = 0,618 kN

Peso da laje por m2

0,618 / (0,30x0,50) = 4,12 kN / m2

Carga permanente

g = pp + rev = 4,12+ 1,0 = 5,12 kN / m2 q = 2,00 kN / m2

Carga acidental Carga total

p = g + q = 5,12 + 2,0 = 7,12 kN / m2

Embora a laje tenha inércias diferentes nas duas direções, conforme item 14.7.7 da NBR 6118 pode ser calculada, como laje maciça armada em duas direções, uma vez que a relação de lados é menor que 2. Dessa forma:

10.28

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes nervuradas ___________________________________________________________________________ Tabela 3.8

ra = 0,250

rb = 0,308

Ra = 0,250x(pa) = 0,250x(7,12x7,4) = 13,17 kN / m (em 7,40 m) Rb = 0,308x(pa) = 0,308x(7,12x7,4) = 16,23 kN / m (em 9,60 m) Ra/nerv = 13,17x0,30 = 3,95 kN Rb/nerv = 16,23x0,50 = 8,12 kN Tabela 3.11

ma = 15,5

mb = 24,2

Ma = (pa2) / ma = (7,12x7,402) / 15,5 = 25,15 kNm (armadura na direção vertical para 1 m de largura de laje) Mb = (pa2) / mb = (7,12x7,402) / 24,2 = 16,11 kNm (armadura na direção horizontal para 1 m de largura de laje)

Ma/nerv = 25,15x0,30 = 7,55 kNm Mb/nerv = 16,11x0,50 = 8,06 kNm

bf,a = 10 + 10 + 10 = 30 cm = b w + 0 (valor normal em lajes nervuradas) Md,Ref,a = 1,214x30x5(22-5/2) = 2551 kNcm > 755x1,4 = 1057 kNm (seção ret. 30x25)

bf,b = 10 + 20 + 20 = 50 cm = bw + 0 (valor normal em lajes nervuradas) Md,Ref,b = 1,214x50x5(22-5/2) = 5918 kNcm > 806x1,4 = 1128 kNm (seção ret. 50x25) Ma/nerv = 7,55 kNm

K a,30x25 

1057

 0,0600  K L  0,295  K'  K  0,0600

1,214x30x2 2 2

A s  A s1 





1,214x30x2 2 1  1  2x0,0600  1,14 cm2 43,48

A’s = As2 = 0 Para As=1,14 cm2 será adotado por nervura (2Φ 8 mm+1 6,3 mm) = Ase = 1,32 cm2

10.29

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes nervuradas ___________________________________________________________________________ ya,cg = (30x5x22,5 + 10x20x10) / (30x5 + 10x20) = 15,36 cm

Ia,cg = [(30x53)/12+30x5x(22,5-15,36)2]+[(10x203)/12+10x20x(15,36-10)2] = 20372 cm4 Md,min,a = 0,8 x [(20372) / 15,36] x 0,29 = 308 kNcm

Mmin,a = 220 kNcm

Kmin,30x25 = 0,0109 < KL = 0,295, As,min = 0,41 cm2 < As,cal = 1,14 cm2

OK!

Mb/nerv = 8,06 kNm

K b,50x30 

1128 1,214x50x2 2 2

A s  A s1 

 0,0384  K L  0,295  K'  K  0,0384





1,214x50x2 2 1  1  2x0,0384  1,20 cm2 43,48

A’s = As2 = 0 Para As=1,20 cm2 será adotado por nervura (2Φ 8 mm+1 6,3 mm) = Ase = 1,32 cm2

yb,cg = 16,94 cm valores calculados anteriormente

Ib,cg = 24549 cm4 Md,min,b = 0,8 x [(24549) / 16,94] x 0,29 = 336 kNcm

Mmin,b = 240 kNcm

Kmin,50x25 = 0,0114 < KL = 0,295, As,min = 0,35 cm2 < As,cal = 1,20 cm2 Verificação da flecha pi = pserv = g + 2q = 5,12 + 0,3x2,0 = 5,72 kN/m2 Ma,serv = (5,72x7,402) / 15,5 = 20,21 kNm Ma,serv/nerv = 2021x0,30 = 606 kNcm

10.30

OK!

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes nervuradas ___________________________________________________________________________

Mr ,nerv  1,2x0,22x

20372  350 kNcm 15,36

Ic/nerv = 20372 cm4

Ic/m = 20372x3,33 = 67907 cm4

yt = 15,36 cm

Como Ma,serv/nerv = 606 kNcm > Mr,nerv = 350 kNcm



Estádio II

xII  11,3  11,302  107,27  4,03 cm

As = Ase = 1,32 cm2, bf = 30 cm, bw = 10 cm, hf = 5 cm

A

1 9,86x1,32  30  10 5  11,30 10

B

2   30  10  2  22x9,86x1, 32    5   107,27  10   2  

III/nerv 





1 30x4,03 3  30  104,03 - 5 3  9,86x1,32 (22 - 4,03)2 3

III/nerv  4863 cm 4

EI eq/nerv

I II/m  4863x2  9726 cm 4

3     350  3   350    2129  20372  1     4863 606    606      

EI eq/nerv  2129x7851 1,671x107 kNcm2 EI eq/m  3,33x1,671x10 7  5,570x107 kNcm2 Flecha imediata - Rigidez da seção bruta (maciça com h=25 cm)

fi  0,073

(5,72x10 4 )(7404 ) 2129x253

 0,38 cm (laje maciça h  25cm)

Para a laje nervurada com Ic/m = 67907 cm4, a flecha imediata será obtida com uma altura correspondente [b(hcorr)3/12] = Ic/m. Portanto, hcorr será dado por:

10.31

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes nervuradas ___________________________________________________________________________

hcorr  3

12x67907  20,12 cm 100

fi = 0,38x(25 / 20,12)3 = 0,38x(130208/67907) = 0,73 cm Flecha imediata - Rigidez da seção fissurada (rigidez equivalente de Branson)

h eq/m  3

12x(3,33x7 851)  14,64 cm 100

fi = 0,38x(25 / 14,64)3 = 0,38x(130208/26170) = 1,89 cm Flecha total (imediata + diferida), no tempo infinito f = (1 + f) fi = 2,46 fi = 2,46x1,89 = 4,65 cm

fadmissível =  / 250 = 740 / 250 = 2,96 cm

A flecha total supera a flecha admissível, mas aplicando-se uma contra-flecha de:

cf = (f - fadm) = (4,65 - 2,96) = 1,69 cm < cfmax = (740 / 350) = 2,11 cm a flecha final atende ao estado limite de deformação excessiva ELS-DEF.

Isso significa que ao manter a altura em 25 cm e aumentar a rigidez na direção do menor vão (a), a flecha final atende ao ELS-DEF, desde que se aplique, por exemplo, uma contra-flecha de 2 cm.

10.32

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes nervuradas ___________________________________________________________________________  Inércias diferentes, tratada como teoria das grelhas

Mesmo exemplo anterior calculando esforços pela teoria das grelhas, conforme recomendado no item 10.2.2. Nesse caso devem ser calculados os quinhões de carga, pa e pb, carregamentos que atuam isoladamente em faixas unitárias nas direções do vão a e b, respectivamente.

Ka 

1 C 1   a  Cb

 Ib   Ia

 a     b 

4



1  5  2x24549  7,40  1       5  3,33x20372  9,60 

4

 0,797  0,8

Kb = 1 - Ka = 1 - 0,8 = 0,2 pa = 0,8x7,12 = 5,70 kN/m2

pb = 7,12 - 5,70 = 1,42 kN/m2

Ma/m = 5,70x7,42 / 8 = 39,02 kNm

Ma/nerv = 3902x0,3 = 1171 kNcm

Mb/m = 1,42x9,62 / 8 = 16,36 kNm

Mb/nerv = 1636x0,5 = 818 kNcm

Ka,30x25 = 0,093 < KL = 0,295

As,a/nerv = 1,80 cm2 (112,5+110 = 2,01 cm2)

Kb,50x25 = 0,039 < KL = 0,295

As,b/nerv = 1,22 cm2 (210 = 1,57 cm2)

pa,serv/m = 0,8xpserv = 0,8x5,72 = 4,58 kN/m2 pa,serv/nerv = 0,3x4,58 = 1,37 kN/m

(carga por metro de viga, na direção a,

correspondente a largura de 30 cm da nervura) Ma,serv/nerv = 1,37x7,42 / 8 = 9,38 kNm > Mr,nerv = 350 kNcm

Estádio II

A flecha imediata para uma viga bi-apoiada de vão 7,40 m, com carga de serviço pserv = 1,37 kN/m, para a seção fissurada é dada por: Para As = Ase = 2,01 cm2, bf = 30 cm, b w = 10 cm, hf = 5 cm 10.33

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes nervuradas ___________________________________________________________________________ A = 11,98

B = 137,20

III = 6969 cm4

EI eq/nerv

XII = 4,77 cm

Ic = 20372 cm4

3     350  3   350    2129  20372  1     6369 938    938      

EI eq/nerv  2129x7665  1,632x107 kNcm2

fi 

5 p serv a 4 5 1,37x10 2 x740 4   3,28 cm 384 EIeq 384 1,632x10 7

f = 2,46x3,28 = 8,07 cm > fadm + cfMax = 2,96 + 2,11 ≈ 5,07 cm

Portanto, a mesma laje com malha de 50x30 não atende ao ELS-W, quando se considera a teoria das grelhas. Comparando-se os valores da flecha máxima nos dois casos, nota-se que para a teoria das grelhas, f,grelha = 8,07 cm, é quase duas vezes maior que a correspondente ao cálculo elástico (como laje maciça), f,maciça = 4,65 cm (a teoria de grelha não considera a rigidez à torção).

Essa discrepância incentiva a verificação da flecha por um método mais refinado, baseado na teoria da elasticidade, usando a técnica numérica do Método dos Elementos Finitos (MEF), associando elementos de placa (capeamento) com elementos de barras (nervuras). 10.5.1.4 - Laje do exemplo 1 analisada pelo programa PLENOR (malha 50x50)

Essa mesma laje foi analisada pelo programa PLENOR, desenvolvido no Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) da Escola de Engenharia da UFMG, usando o MEF (método dos elementos finitos). Em função da dupla simetria desse exemplo, discretizou-se apenas um quarto da laje, considerando rotação nula em X nos nós 89 a 99 (de um em um) e rotação nula em Y nos nós 12 a 99 (de onze em onze), conforme mostrado na figura 10.6.

10.34

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes nervuradas ___________________________________________________________________________ A laje da figura 10.6 foi discretizada com elementos retangulares de placa com dimensões 50x50 cm2 (distância entre eixos das nervuras) e elementos menores no contorno, para atender ao tamanho total da laje (960x740 cm2). A espessura da mesa é de 5 cm, da nervura é de 10 cm. A quarta parte discretizada da laje tem 99 nós, 80 elementos de placa e 160 elementos de barra. As propriedades mecânicas do concreto são: Ecs = 2129 kN/cm2 (módulo de “elasticidade”) e ν = 0,2 (coeficiente de Poisson).

Figura 10.6 - Laje do exemplo 1 discretizada em elementos finitos (50x50)  Altura total de 25 cm

Essa laje com altura total de 25 cm resulta em uma distância de 12,5 cm, entre o plano médio da placa e o eixo das nervuras, ou seja o “offset”, mostrado a direita da figura 10.6. A laje foi analisada com uma carga total p = 6,7 kN/m2, com as seguintes propriedades geométricas dos elementos de barra (“offset” = 12,5 cm): 10.35

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes nervuradas ___________________________________________________________________________ Ax = 10x20 = 200 cm2

Ix = 0, Ix=30%(0,229x103x20) = 1374 cm4, Ix=(0,229x103x20) = 4580 cm4 Iy = 10x203 / 12 = 6667 cm4 Iz = 20x103 / 12 = 1667 cm4 OBS.: Com relação à rigidez a torção G Ix, foram analisadas três situações distintas de lajes, a primeira desprezando-se essa rigidez à torção, e as outras duas considerando-se 30% e 100% dessa rigidez. Normalmente nos cálculos essa rigidez é desprezada ou parcialmente considerada com percentuais que variam de 10% a 30%.

Os resultados para essa laje são mostrados a seguir:

ymax,0% = 2,080 cm, ymax,30% = 2,040 cm, ymax,100% = 1,954 cm (variação quase linear) Os valores das flechas acima consideram a carga nominal aplicada p = 6,7 kN/m2. Para a carga de serviço pi = 5,3 kN/m2 os valores acima deverão ser afetados pela relação (5,3 / 6,7) = 0,79 resultando as seguintes flechas máximas em serviço: ymax,0% = 1,645 cm, ymax,30% = 1,613 cm, ymax,100% = 1,546 cm  ymax,manual = 0,93 cm

O valor dessa flecha em serviço, já calculada manualmente, para a rigidez bruta, considerando a seção transversal da laje nervurada, em vez da seção maciça, está mostrado acima. Esses resultados mostram uma discrepância grande entre os valores calculados manualmente e os obtidos pelo PLENOR.

Para os momentos os valores obtidos no programa PLENOR são os seguintes:

Ma/nerv,0% = 1986 kNcm,

Ma/nerv,30% = 1947 kNcm,

Ma/nerv,100% = 1863 kNcm

Mb/nerv,0% = 1299 kNcm,

Mb/nerv,30% = 1273 kNcm,

Mb/nerv,100% = 1218 kNcm

10.36

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes nervuradas ___________________________________________________________________________ Os valores desses momentos calculados anteriormente, com o uso das tabelas para lajes maciças, são dados por:

Ma/nerv = 1184 kNcm

Ma/nerv = 1986 kNcm, xII = 5,17 cm,

Mb/nerv = 758 kNcm

As = 3,06 cm2 (216),

III = 13530 cm4,

Ase = 4,02 cm2

Ic = 24549 cm4,

Mr = 383 kNcm < Mserv = (5,3 / 6,7)x1986 = 1571 kNcm

Ieq = 13690 cm4 Estádio II

A flecha no tempo infinito, levando-se em conta a fluência do concreto e a seção fissurada resulta:

f = 2,46x(Ic / Ieq)xfi = 2,46x(24549 / 13690)xfi =

7,25 cm

(Ix = 0)

7,12 cm

(Ix = 1374 cm4 - 30%)

6,82 cm

(Ix = 4580 cm4 - 100%)

 Altura total de 30 cm p = 7,3 kN/m2

(“offset” = 15 cm):

Ax = 10x25 = 250 cm2

Ix = 0, Ix=30%(0,246x103x25) = 1845 cm4, Ix=(0,229x103x20) = 6150 cm4 Iy = 10x253 / 12 = 13021 cm4 Iz = 25x103 / 12 = 2083 cm4 Flechas para carga nominal p = 7,3 kN/m2

ymax,0% = 1,218 cm, ymax,30% = 1,199 cm, ymax,100% = 1,159 cm (variação quase linear) Flechas para carga de serviço pi = 5,9 kN/m2 ymax,0% = 0,984 cm, ymax,30% = 0,969 cm, ymax,100% = 0,936 cm  ymax,manual = 0,59 cm 10.37

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes nervuradas ___________________________________________________________________________ Momentos fletores

Ma/nerv,0% = 2011 kNcm,

Ma/nerv,30% = 1980 kNcm,

Ma/nerv,100% = 1912 kNcm

Mb/nerv,0% = 1335 kNcm,

Mb/nerv,30% = 1314 kNcm,

Mb/nerv,100% = 1267 kNcm

Os valores desses momentos calculados anteriormente, com o uso das tabelas para lajes maciças, são dados por:

Ma/nerv = 1290 kNcm

Ma/nerv = 2011 kNcm, xII = 4,66 cm,

Mb/nerv = 826 kNcm

As = 2,02 cm2 (212,5),

III = 13743 cm4,

Ic = 41667 cm4,

Mr = 550 kNcm < Mserv = (5,9 / 7,3)x2011 = 1625 kNcm

Ase = 2,45 cm2

Ieq = 14826 cm4 Estádio II

A flecha no tempo infinito, levando-se em conta a fluência do concreto e a seção fissurada resulta:

f = 2,46x(Ic / Ieq)xfi = 2,46x(41667 / 14826)xfi =

5,58 cm

(Ix = 0)

5,50 cm

(Ix = 1374 cm4)

5,31 cm

(Ix = 4580 cm4)

10.5.1.5 - Laje do exemplo 1 analisada pelo programa PLENOR (malha 50 x30) Na figura 10.7 apresenta-se a laje discretizada com malha 50x30 (quarta parte), com 153 nós, 128 elementos retangulares de placa e 256 elementos de barra. A carga total p = 7,12 kN/m2 e a de serviço pi = 5,72 kN/m2. A altura total é de 25 cm.

10.38

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes nervuradas ___________________________________________________________________________

Figura 10.7 - Laje do exemplo 1 discretizada em elementos finitos (50 x30)

Os resultados para essa laje são mostrados a seguir: Flechas para carga nominal p = 7,12 kN/m2

ymax,0% = 1,612 cm, ymax,30% = 1,588 cm, ymax,100% = 1,538 cm Flechas para carga de serviço pi = 5,72 kN/m2 ymax,0% = 1,295 cm, ymax,30% = 1,276 cm, ymax,100% = 1,236 cm  ymax,manual = 0,47 cm

Momentos fletores

Ma/nerv,0% = 1042 kNcm,

Ma/nerv,30% = 1027 kNcm, 10.39

Ma/nerv,100% = 994 kNcm

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes nervuradas ___________________________________________________________________________ Mb/nerv,0% = 766 kNcm,

Mb/nerv,30% = 754 kNcm,

Mb/nerv,100% = 726 kNcm

Os valores desses momentos calculados anteriormente, com o uso das tabelas para lajes maciças, são dados por:

Ma/nerv = 755 kNcm

Ma/nerv = 1042 kNcm, xII = 4,21 cm,

Mb/nerv = 806 kNcm

As = 2,40 cm2 (212,5),

III = 8393 cm4,

Ic = 20372 cm4,

Mr = 350 kNcm < Mserv = (5,72 / 7,12)x1042 = 1262 kNcm

Ase = 2,45 cm2

Ieq = 8645 cm4 Estádio II

A flecha no tempo infinito, levando-se em conta a fluência do concreto e a seção fissurada resulta:

f = 2,46x(Ic / Ieq)xfi = 2,46x(20372 / 8645)xfi =

7,51 cm

(Ix = 0)

7,40cm

(Ix = 1374 cm4 - 30%)

7,17 cm

(Ix = 4580 cm4 - 100%)

10.5.1.6 - Resultados para o exemplo 1

Os resultados para as sete lajes analisadas no exemplo 1, estão listados na tabela 10.1.

10.40

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes nervuradas ___________________________________________________________________________ Tabela 10.1 - Resultados do exemplo 1 (LM) - laje maciça, (TG) - teoria das grelhas, (PL) - programa PLENOR Laje Dados

p kN/m2 pi kN/m2 Ma/nerv kNcm Mb/nerv kNcm Ase,a

(50x50)

(50x50)

(50x30)

(50x30)

(50x50)

(50x50)

(50x30)

h=25(LM)

h=30(LM)

h=25(LM)

h=25(TG)

h=25(PL)

h=30(PL)

h=25(PL)

6,70

7,30

7,12

7,12

6,70

7,30

7,12

5,30

5,90

5,72

5,72

5,30

5,90

5,72

1184

1290

755

1171

(1258*)

(1952*)

1986

2011

758

826

806

818

1299

1335

766

2 8 +

1 12,5

1 6,3

+ 1 10

2 16

2 12,5

2 12,5

2 10

-

-

-

2 8 + 1 10

Ase,b

26,3 + 110

Mr,a/nerv

2 10

2 8

2 8 + 1 6,3

1042 (1737*)

383

550

350

350

383

550

350

24549

41667

20372

20372

24549

61667

20372

6783

9267

4863

6969

13530

13743

8393

8000

14032

7851

7665

13690

14826

8645

fi,c (cm)

0,93

0,59

0,47

1,23

1,645

0,984

1,295

fi,II (cm)

2.85

1,76

1,89

3,28

-

-

-

f (cm)

7,01

4,33

4,65

8,07

7,25

6,80

7,51

kNcm Ic,a/nerv cm4 III,a/nerv cm4 Ieq,a/nerv cm4

(*) - Os valores com (*) representam o momento por nervura, malha 50x30, transformado para a situação da malha de 50x50. Ma(50x50)= Ma(50x30) x (50 / 30)

10.41