Bat Dang Thuc

BẤT ĐẲNG THỨC TUYỂN CHỌN QUA CÁC KÌ THI 1.(ĐHBK 1980) Chứng minh rằng với 0 < x <

π 2 3 thì 3x − x < 2 sin2x

2.(ĐHBK 1988) Chứng minh rằng: 2 ( x + y) − xy + 1≥ ( x + y) 3 ∀x, y 3.(ĐHBK 1990) Cho a, b, c > 0.Hãy chứng minh:

1 1 1 a + b+ c + 2 + 2 ≤ a + bc b + ca c + ab 2abc 2

4.(ĐHBK 1995) Cho a, b, c∈ [ 0;1] . Chứng minh rằng: a b c + + + ( 1− a) ( 1− b) ( 1− c) ≤ 1 b+ c + 1 c + a + 1 a + b+ 1 5.(ĐH Ngoại Thương 1995) 1. Cho các số x, y thoả mãn điều kiện: x ≥ 0, y ≥ 0 vµ x3 + y3 = 2. Chứng minh rằng: x2 + y2 ≤ 2 2.Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + A B C a). cos A cos B cosC sin sin sin 2 2 2 A B C b). tan A + tan B + tanC ≥ cot + cot + cot 2 2 2 6.(ĐHGTVT 1996) 2 3

2 3

2 3

A B C    1−  tan 2  +  tan 2  +  tan 2  ≥ 3       7. (ĐH Ngoại Thương 1996)

2

Giả sử x, y, z là những số dương thay đổi thoả mãn điều kiện: x + y + z ≤ nhỏ nhất của biểu thức: P = x + y + z +

3 . Tìm giá trị 2

1 1 1 + + x y z

8.(HVQHQT-1997) Cho x, y, z > 0 . Chứng minh rằng: x2 + xy + y2 + y2 + yz + z2 + z2 + zx + x2 ≥ 3( x + y + z) 9. (ĐH Huế 1997) 1. Chứng minh rằng:

a2 + a + 1 + a2 − a + 1 ≥ 2 ∀a∈ ¡ 2.Cho x, y, z > 0 vµ xyz = 1, n∈ ¢ + . Chứng minh rằng: n

n

n

 1+ x   1+ y   1+ z   2  + 2  + 2  ≥ 3       1 NGUYỄN THỊ THOẢ - GV thpt ĐẶNG THÚC HỨA - THANH CHƯƠNG -

NGHỆ AN

BẤT ĐẲNG THỨC TUYỂN CHỌN QUA CÁC KÌ THI y z 1 1 3).Gọi m là số nhỏ nhất trong 6 số x, , , , , t . Hãy tìm giá trị lớn nhất của m khi x, z t y x y, z, t thay đổi trên tập số thực dương. 10.(ĐH Thuỷ Lợi 1997) Cho 4 số dương a, b, c, d . Chứng minh rằng: a2 b2 c2 d2 1 1 1 1 + + + ≥ + + + b5 c5 d5 a5 a3 b3 c3 d3 11.(ĐH Vinh 1997) Chứng minh rằng với a, b, c, d, e là các số thực thuộc khoảng (0; 1) thì ( 1− a) ( 1− b) ( 1− c) ( 1− d) ( 1− e) > 1− a − b − c − d − e. 12.(HV Quân Sự- 1997) Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c và la, lb, lc là độ dài các đường phân giác trong 1 1 1 của tam giác ABC. Chứng minh rằng: ( la + lb ) + ( lc + la ) + ( la + lb ) ≤ 3 3 c b c Hãy nêu và chứng minh một kết quả tổng quát hơn kết quả bài toán trên. 13. (ĐH Kĩ thuật Công nghệ-1997) Chứng minh rằng nếu ABC không phải là tam giác tù thì 1+ sin2 A 1+ sin2 B 1+ sin2 C > 4

(

)(

)(

)

14. (ĐHAN Khối A-1998) Hãy tìm giá trị lớn nhất của y = sin x cos x + cos x sin x . 15. (ĐHAN Khối D-G-1998) a). Cho x, y, z là 3 số thay đổi nhận giá trị thuộc đoạn [0; 2]. Chứng minh rằng: 2( x + y + z) − ( xy + yz + zx) ≤ 4 b).Chứng minh rằng với mọi số u, v thoả mãn điều kiện u ≤ v ta có: u3 − 3u ≤ v3 − 3v+ 4 16.(ĐH Dược HN-1998) π 3x Với 0 < x < . Chứng minh rằng: 2sinx + 2tanx > 2 2 +1 2 17.( ĐH Đà Nẵng -1998) 2 2 3 3 6 6 Chứng minh rằng nếu a + b ≥ 0 thì ( a + b) a + b a + b ≤ 4 a + b

(

)(

)

(

)

18. (ĐH GTVT 1998) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2x 4x y = sin + cos +1 2 1+ x 1+ x2 19.(ĐH Huế Khối A-B-V chuyên ban 1998) Chứng minh rằng:

4

( a + 1) ( b + 4) ( c − 2) ( d − 3)

a + b+ c + d 20.(ĐH Huế Khối D-RT CPB 1998)

≤

1 với mọi a ≥ −1, b ≥ −4, c ≥ 2, d > 3 . 4

2 NGUYỄN THỊ THOẢ - GV thpt ĐẶNG THÚC HỨA - THANH CHƯƠNG -

NGHỆ AN

BẤT ĐẲNG THỨC TUYỂN CHỌN QUA CÁC KÌ THI Cho x, y, z là các số dương. Chứng minh rằng: 3x + 2y + 4z ≥ xy + 3 yz + 5 zx 21.(ĐH Huế Khối D-RT Chuyên ban 1998) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + 1+ 2x + 2

a2

( x + 1)

2

trên miền xác định của nó, với a là tham số thực khác 0. 22.(ĐH Kiến trúc Hà Nội 1998) 1).Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

2cos2 x + cos x + 1 cos x + 1

2). Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi x > 0 x2 ex > 1+ x + 2 23. (ĐH Luật HN 1998)  π Chứng minh rằng ∀x∈  0;  đều có  2 1 1 cos x + sin x + tan x + cot x + + >6 sin x cos x 24.(ĐH Ngoại Thương-Cơ sở I- 1998) Cho bốn số x, y, z, t thay đổi thoả mãn hệ điều kiện:  x + y + z+ t = 0  2 2 2 2 x + y + z + t = 1 Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = xy + yz + zt + tx . 25.(ĐH Ngoại Thương-Cơ sở II- 1998)  x2 + xy + y2 = 3 Cho các số x, y, z thoả mãn:  2 . Chứng minh rằng: xy + yz + zx ≤ 8 2  y + yz + z = 16 26.(ĐHQGHN Khối A-1998) Giả sử phương trình x3 − x2 + ax + b = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt, chứng minh rằng: a2 + 3b > 0 . 27.(ĐHQGHN Khối D-1998) Chứng minh rằng với mọi x, y dương ta có: 1 1 x2 + y2 + + ≥ 2 x + y x y 28.(ĐHQGTP Hồ Chí Minh-1998) Cho ba số a, b, c bất kỳ , chứng minh các bất đẳng thức: 1). a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca 2 3). ( ab + bc + ca) ≥ 3abc( a + b + c)

(

)

29.(ĐHSPHN 2-1998) Cho tam giác ABC bất kỳ với 3 góc ở đỉnh là A, B, C đều nhọn. Chứng minh rằng: 3 NGUYỄN THỊ THOẢ - GV thpt ĐẶNG THÚC HỨA - THANH CHƯƠNG -

NGHỆ AN

BẤT ĐẲNG THỨC TUYỂN CHỌN QUA CÁC KÌ THI 2 1 ( sin A + sin B + sinC ) + ( tan A + tan B + tanC ) > π 3 3 30.(ĐH SPVinh-1998) 2 2 2 Trong các số thực x, y,z thoả mãn hệ thức ( x − 1) + ( y − 2) + ( z − 1) = 1. Hãy tìm x, y, z sao cho biểu thức x + 2y + 3z − 8 đạt giá trị lớn nhất. Xác định giá trị lớn nhất đó. 31.(ĐH Thuỷ Lợi 1998) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: sin2 A + sin2 B + sin2 C M= cos2 A + cos2 B + cos2 C 32.(ĐH YDược TP Hồ Chí Minh-1998 )  a+ b log2 a + log2 b ≤ 2 log2    2  2). Biết rằng a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh rằng: p < p − a + p − b + p − c < 3p 1).Cho a ≥ 1, b ≥ 1. Chứng minh

(

)

2

3). Chứng minh rằng với 0 ≤ k ≤ n ta có: C2nn+ k .C2nn−k ≤ C2nn . 33.(ĐH YKhoa 1998) Cho a, b, c∈ ¡ + . Chứng minh bất đẳng thức

1 3 3 3 a + b + c ≥ abc 3

(

)

34.(HVCNBCVT-1998) Cho a, b, c là ba số thực bất kỳ thoả mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng: a4 + b4 + c4 ≥ a3 + b3 + c3 35.(HVQHQT-1998) Các số x. y, z thay đổi nhưng luôn thoả mãn điều kiện: x2 + y2 + z2 = 1. Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + y + z + xy + yz + zx 36.(PVBCTT-Ban KHXH-1998) 1). Cho a ≥ 1, b ≥ 1.Chứng minh rằng: a b − 1 + b a − 1 ≤ ab 2). Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta luôn có: 3 cos2 A + cos2 B + cos2 C ≥ 4 37.(HVNH-1998) 1 1 π + ví i 0 < x < Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin x cos x 2 38. (ĐHHHải-1999)  π Chứng minh rằng: cosα + α sinα > 1 ví i α ∈  0;   2 39.(ĐHQG HN-1999) 4 NGUYỄN THỊ THOẢ - GV thpt ĐẶNG THÚC HỨA - THANH CHƯƠNG -

NGHỆ AN

BẤT ĐẲNG THỨC TUYỂN CHỌN QUA CÁC KÌ THI 1). Khối B. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y = 4 sin x − cos x 2). Khối D. Chứng minh rằng với mọi a, b, c dương bất kỳ ta có: ab bc ca a + b+ c + + ≤ a + b b+ c c + a 2 40. (ĐHY Hà nôi-1999) Cho a∈ ¡ . Chứng minh bất đẳng thức: a6 − a3 + a2 − a + 1 > 0 41. (ĐH Thuỷ Lợi 1999) Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta luôn có bất đẳng thức 1 1 1 1 + 3 3 + 3 3 ≤ 3 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc 42. (ĐHNgoại Thương- 1999) Cho x, y, z > 0 và x + y + z =1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x y z P= + + x + 1 y + 1 z+ 1 43. (ĐH Luật Hà nội-1999) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = sin20 x + cos20 x 44.(ĐH Ngoại Ngữ-1999)  π Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = x + cos2 x trên đoạn  0;   4 45.(ĐHQGTP HCM-1999) 2 Cho f ( x) = cos2 2x + 2( sin x + cos x) − 2sin2x + m

2 Tính theo m giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của f ( x) . Từ đó tìm m sao cho: f ( x) ≤ 3, ∀x 46.(ĐH Y Dược 1999) Cho a, b, c là ba số khác 0. Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a b c + + ≥ + + b2 c2 a2 b c a 47.(ĐHNông Nghiệp-1999) Chứng minh rằng với mọi a, b ta có: a+ b a+ b ≤ . Dấu “=” xảy ra khi nào?. 1+ a + b 1+ a + b 48.(ĐH An Ninh 1999) Cho x, y, z∈ [ 0;1] . Chứng minh rằng:

(

) (

)

2 x3 + y3 + z3 − x2 y + y2 z + z2 x ≤ 3 49.(ĐH Hàng Hải-1999) Cho x, y, z ≥ 0 vµ x, y, z ≤ 3 . Chứng minh rằng: x y z 3 1 1 1 + + ≤ ≤ + + 2 2 2 1+ x 1+ y 1+ z 2 1+ x 1+ y 1+ z 5 NGUYỄN THỊ THOẢ - GV thpt ĐẶNG THÚC HỨA - THANH CHƯƠNG -

NGHỆ AN

BẤT ĐẲNG THỨC TUYỂN CHỌN QUA CÁC KÌ THI 50.(ĐHQG HN-1999) 1. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 + 2 + 2 ≥ + + 2 sin A sin B sin C cos2 A cos2 B cos2 C 2 2 2 2.Chứng minh rằng nếu các góc A, B, C của tam giác ABC thoả mãn điều kiện cos2A + cos2B + cos2C ≥ −1 thì sinA + sin B + sinC ≤ 1+ 2 51.(ĐHSP Vinh-1999) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC nhọn thì: tan8 A + tan8 B + tan8 C ≥ 9tan2 A tan2 B tan2 C 52.(ĐH KTQD-1999) 2 A 2 B 2 C = 9 thì tam giác ABC Cho tam giác ABC, chứng minh rằng nếu cot + cot + cot 2 2 2 đều. 53.(ĐH SP Hà Nội 2-1999) Cho tam giác ABC nhọn a). Chứng minh rằng: 2sin B 2sinC 2sin A ( sin A) + ( sin B) + ( sinC ) > 2 b). Bất đẳng thức trên còn đúng không nếu tam giác ABC vuông ? Vì sao? 54.(HV Quan hệ Quốc Tế-1999) Cho x ≥ 0, y ≥ 0 vµ x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x y P= + y+ 1 x + 1 55.(ĐHQGHN-2000) 1).Khối A. +).Với a, b, c là ba số thực bất kỳ thoả mãn điều kiện a + b+ c = 0. Chứng minh rằng: 8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c k k+1 1000 1001 +). Chứng minh rằng: C2001 + C2001 ≤ C2001 + C2001 , 0 ≤ k ≤ 2000 k

k nguyên, trong đó Cn là số tổ hợp chập k của n phần tử. 2). Khối D Với a, b, c là ba số thực dương thoả mãn điều kiện ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng: b2 + 2a2 c2 + 2b2 a2 + 2c2 + + ≥ 3 ab bc ca 56. (ĐHBK HN-2000) a3 + b3  a + b  ≥  2  2  2).Trong mọi tam giác ABC những tam giác nào làm cho biểu thức:

3

1). Cho hai số a, b thoả mãn điều kiện a + b ≥ 0 . Chứng tỏ rằng:

6 NGUYỄN THỊ THOẢ - GV thpt ĐẶNG THÚC HỨA - THANH CHƯƠNG -

NGHỆ AN

BẤT ĐẲNG THỨC TUYỂN CHỌN QUA CÁC KÌ THI 3

sin A + 3 sin B + 3 sinC

A 3 B C đạt giá trị lớn nhất. + cos + 3 cos 2 2 2 57.(ĐH Huế -2000) a b + ≥ a+ b Chứng minh rằng: nếu a > 0, b > 0 thì b a 58. (ĐH KTQD-2000) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số x  π π f ( x) = + sin2 x trên đoạn  − ;  2  2 2 59. (ĐHNNHNI-2000) Cho ba số dương a, b, c thoả mãn điều kiện abc = 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức bc ca ab P= 2 + 2 + 2 2 2 a b + a c b a + b c c a + c2 b 60.(ĐH Thuỷ Lợi Cơ sở II-2000) Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta đều có có bất đẳng thức: 3

cos

( a + 1) ( b+ 1) ( c + 1) ≥ ( 1+ 3 abc )

3

61. (ĐHY Hà Nội 2000) Giả sử x, y là hai số dương thoả mãn điều kiện

2 3 + = 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng x x y

+ y. 62. (ĐH An Giang 2000) Cho các số a, b, c ≥ 0 . Hãy chứng minh bất đẳng thức: ac+1 + bc+1 ≥ ab ac−1 + bc−1

(

)

63.(ĐH Thương Mại 2000) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin6 x + cos6 x + asin x cos x 64.(Đ Tây Nguyên 2000) Chứng minh rằng với mọi x, y, z dương thoả mãn điều kiện x + y + z = 1 thì 18xyz xy + yz + zx > 2 + xyz 65.(ĐH AN Khối A-2000) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n≥ 3 ta đều có: n nn+1 > ( n + 1) 66. (ĐH Mỏ Địa Chất 2000) 7 NGUYỄN THỊ THOẢ - GV thpt ĐẶNG THÚC HỨA - THANH CHƯƠNG -

NGHỆ AN

BẤT ĐẲNG THỨC TUYỂN CHỌN QUA CÁC KÌ THI Cho tam giác ABC có: 0 < A ≤ B ≤ C < 90o . Chứng minh:

2cos3C − 4cos2C + 1 ≥2 cosC

67.(ĐH Hàng Hải -2000) 2 Cho f ( x) = ax + bx + c thoả mãn f ( x) ≤ 1 với mọi x∈ [ 0;1] . Chứng minh rằng: f '( 0) ≤ 8 68.(ĐH SP Vinh 2000) Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: A− B B− C C− A cos cos cos 2 + 2 + 2 ≥6 C A B sin sin sin 2 2 2 69.(ĐH GTVT 2000) Tuỳ theo giá trị của m, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 A = ( x + 2y + 1) + ( 2x + my + 5) 70. (ĐHKT HN-2000) Chứng minh các bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi x∈ [ 0;1] a). 1− x ≤ e− x ≤ 1− x +

x2 2

2

e− x x4 ≤ 1− x + b). − x ≤ 1+ x 2( 1+ x) 71. (ĐH Đà Lạt-2000) Cho a, b là hai số dương và n là số nguyên dương. Xác định hạng tử có giá trị lớn nhất n trong khai triển Niutơn ( a + b) 72.(ĐH Thái Nguyên-2000) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y =

cos x + 2sin x + 3 2cos x − sin x + 4

73. (ĐH Dân lập Phương Đông-2000) Chứng minh rằng với số thực a dương bất kỳ ta luôn có: 74. (ĐH Dân lập Hải Phòng-2000) Với a, b, c dương bất kỳ. Chứng minh rằng: 1+ a3 1+ b3 1+ c3 ≥ 1+ ab2 1+ bc2 1+ ca2

(

)(

)(

) (

)(

)(

3

a + 3 a2 ≤ 1+ a

)

75.(ĐH SP Thành phố Hồ Chí Minh-2000) 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 2. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có:

3x2 + 10x + 20 x2 + 2x + 3

8 NGUYỄN THỊ THOẢ - GV thpt ĐẶNG THÚC HỨA - THANH CHƯƠNG -

NGHỆ AN

BẤT ĐẲNG THỨC TUYỂN CHỌN QUA CÁC KÌ THI      1  1  1   1+  1+  1+  ≥ 27. Khi nào xảy ra đẳng thức?.  sin A  sin B  sin C   2  2  2 76.(ĐH CSND-2000) Chứng minh rằng mọi tam giác ABC nhọn, ta luôn có: tan A + tan B + tanC ≥ cot

A B C + cot + cot 2 2 2

77.(ĐH Ngoại Thương-2000) Cho x, y > 0 thoả mãn điều kiện x2 + y3 ≥ x3 + y4 . Chứng minh rằng: x3 + y3 ≤ x2 + y2 ≤ x + y ≤ 2 78.(ĐH Y Dược TPHCM-2000) Cho k, l, m là độ dài các đường trung tuyến, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng: k + l + m≤

9R 2

79.(HV Quân Y-2000) 1).Tam giác ABC vuông góc tại A có BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh: b2n + c2n ≤ a2n ∀n∈ ¥ 2). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y = sin4 x + cos4 x + sin x cos x + 1 80.(ĐH Dược Hà Nội -2000) Cho ABC là tam giác bất kì, chứng minh: ( 1− cos A) ( 1− cosB) ( 1− cosC ) ≥ cosA cosB cosC 81.(ĐH Y Hải Phòng-2000) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh cuả một tam giác. Chứng minh rằng: a b c + + ≥3 b+ c − a c + a − b a + b− c 82.(ĐH Thuỷ Lợi Cơ sở II-2000) Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta đều có bất đẳng thức:

( 1+ a) ( 1+ b) ( 1+ c) ≥ ( 1+ 3 abc )

3

83.(ĐH SPHN2-2000) Khối A. Cho tam giác ABC có các góc A,B, C thoả mãn hệ thức: 9 NGUYỄN THỊ THOẢ - GV thpt ĐẶNG THÚC HỨA - THANH CHƯƠNG -

NGHỆ AN

BẤT ĐẲNG THỨC TUYỂN CHỌN QUA CÁC KÌ THI   A B C  1 1 1  cot cot cot −  + +  = cot A + cot B + cot C 2 2 2  cos A cos B cos C   2 2 2 Khối B. Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thoả mãn hệ thức: sin2 B + sin2 C = 2sin2 A . Chứng minh rằng: A ≤ 60o 84.(ĐHTCKT 2000) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2sin8 x + cos4 2x 85. (ĐH QGHN Khối D-2001) 1). Chứng minh rằng với mọi x ≥ 0, với mọi α > 1 ta luôn có: xα + α − 1≥ αx a3 b3 c3 a b c + + ≥ + + b3 c3 a3 b c a 86.(ĐHQGHN Khối B- 2001) Tìm tất cả các giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất: P = x( 1− x) ( 3− x) ( 4 − x) 87.(ĐHSP Hà Nội 2001) 3cos4 x + 4sin2 x Khối A. 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3sin4 x + 2cos2 x 2.Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn hệ thức 1 1 1 1 + 2 + 2 = 2 sin 2A sin 2B sin 2C 2cos A cosB cosC Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều. Khối B. Tính các góc của tam giác ABC nếu các góc A, B, C của tam giác đó thoả mãn hệ thức: 5 cos2A + 3( cos2B + cos2C ) + = 0 2 88.(ĐHSPHN 2-2001) Cho biểu thức P = cosA + cosB + cosC , trong đó A, B, C là các góc của tam giác bất kì. Chứng minh P đạt giá trị lớn nhất nhưng không đạt giá trị nhỏ nhất. 89. (ĐH SP Vinh 2001) 1. Khối A Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh cảu một tam giác có chu vi bằng 3 thì 3 a2 + b2 + c2 + 4abc ≥ 13 2).Chứng minh rằng:

(

)

k 2. Khối D. Cho n là số nguyên dương cố định. Chứng minh rằng Cn lớn nhất nếu k là n+ 1 số tự nhiên lớn nhất không vượt quá . 2 90.(ĐH Y Dược TPHCM-2001)

1. Cho k và n là các số nguyên thoả mãn 9 ≤ k ≤ n . Chứng minh rằng: C2nn+ k .C2nn− k ≤ ( C2nn )

2

10 NGUYỄN THỊ THOẢ - GV thpt ĐẶNG THÚC HỨA - THANH CHƯƠNG -

NGHỆ AN

BẤT ĐẲNG THỨC TUYỂN CHỌN QUA CÁC KÌ THI acos A + bcosB + c cosC 2p = asin B + bsinC + csin A 9R a = BC, b = AC, c = AB, p là nửa chu vi; R là bán kinh đường tròn ngoại tiếp tam giác. Chứng tỏ tam giác ABC là tam giác đều. 91.(Đề tham khảo-Khối A-2002) 1.Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong của tam giác ABC có 3 góc 2.Cho tam giác ABC thoả mãn

a2 + b2 + c2 ; a, b, c là 2R cạnh tam giác, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Dấu “=” xảy ra khi nào? nhọn đến các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: x + y + z ≤

2.Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y =

5 . 4

4 1 + x 4y 3.Giả sử a, b, c, d là bốn số nguyên thay đổi thoả mãn 1≤ a < b < c < d ≤ 50 . Chứng minh bất đẳng thức a c a c b2 + b + 50 và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = + + ≥ b d b d 50 3 4.Cho tam giác ABC có diện tích bằng . Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, 2 AB và ha, hb, hc tương ứng là độ dài đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C của tam giác. Chứng minh rằng:  1 1 1  1 1 1   a + b+ c h + h + h  ≥ 3   a b c  92. (ĐH Khối A 2003) Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z ≤ 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 x2 + 2 + y2 + 2 + z2 + 2 ≥ 82 x y z 93.(Đề tham khảo khối A-2003) 1).Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin5 x + 3cos x 2).Tính các góc của tam giác ABC biết rằng:  4p( p − a) ≤ bc   A B C 2 3− 3 sin sin sin =  2 2 2 8 a + b+ c Trong đó BC = a, CA = b, AB = c, p = 2 94.(ĐH Khối B-2003) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

S=

11 NGUYỄN THỊ THOẢ - GV thpt ĐẶNG THÚC HỨA - THANH CHƯƠNG -

NGHỆ AN

BẤT ĐẲNG THỨC TUYỂN CHỌN QUA CÁC KÌ THI Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + 4 − x2 95.(Đề tham khảo khối B-2003)

1).Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x6 + 4( 1− x2 ) trên đoạn [-1; 3

1]. 2). Chứng minh rằng: x2 e + cos x ≥ 2 + x − , ∀x∈ ¡ 2 96.(ĐH Khối D-2003) x

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

x+ 1 x2 + 1

trên đoạn [-1; 2].

97. (Đề tham khảo khối D-2003) Tính các góc A, B, C của tam giác ABC để biểu thức Q = sin2 A + sin2 B − sin2 C đạt giá trị nhỏ nhất. 98. (ĐH Khối A - 2004) Cho tam giác ABC không tù, thoả mãn điều kiện: cos2A + 2 2cosB + 2 2cosC = 3 . Tính ba góc của tam giác ABC. 99. (ĐH Khối B-2004) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 100.(ĐH Khối A- 2005) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn

ln2 x trên đoạn [1; e3 ]. x

1 1 1 + + = 4 . Chứng minh rằng: x y z

1 1 1 + + ≤1 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z 101.(ĐH Khối B- 2005) x

x

x

 12   15   20  Chứng minh rằng với mọi x∈ ¡ ta có:   +   +   ≥ 3x + 4x + 5x .Khi nào đẳng  5  4  3 thức xảy ra? 102.(ĐH Khối D- 2005) Cho các số x, y, z thoả mãn xyz =1. Chứng minh rằng: 1+ x3 + y3 1+ y3 + z3 1+ z3 + x3 + + ≥ 3 3 .Khi nào đẳng thức xảy ra? xy yz zx 103.(ĐH Khối A 2006) Cho hai số thực x, y khác 0 thay đổi thoả mãn điều kiện : ( x + y) xy = x2 + y2 - xy . 1

1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x3 + y3 . 104. (ĐH Khối D 2006) Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 12 NGUYỄN THỊ THOẢ - GV thpt ĐẶNG THÚC HỨA - THANH CHƯƠNG -

NGHỆ AN

BẤT ĐẲNG THỨC TUYỂN CHỌN QUA CÁC KÌ THI B=

2

2

( x- 1) + y2 + ( x +1) + y2 + y- 2 .

105.(HSG Tỉnh 2007-2008) Cho hai số thực x, y thoả mãn:

x ≥ 0   y ≥1 x + y = 3 

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: P = x3 + 2y2 + 3x2 + 4xy - 5x. 106. (ĐH Khối A 2007). Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện xyz =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x2 ( y + z) y2 ( z + x) z2 ( x + y) P= + + y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y 107.(ĐH Khối B-2007) Cho x, y, z là ba số dương thay đổi . æx

1ö

æy

1ö

æz

1ö

÷+ yç ÷ ÷+ zç ç + ÷ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = xççç + ÷ ç + ÷ ÷ ÷ è2 zx÷ ø ç è2 yz÷ ø ç è2 xy÷ ø 108.(ĐH Khối D-2007) Cho a ³ b> 0 . Chứng minh rằng: b a æa 1 ÷ ö æb 1 ÷ ö ç ç 2 + £ 2 + ÷ ç ÷ ç ç ç è ø è ø 2a ÷ 2b ÷ 109.(ĐH Khối B-2008) Cho hai số thực x, y thay đổi và thoả mãn hệ thức x2 + y2 = 1. 2(x 2 + 6xy) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1 + 2xy + 2y 2

110.(ĐH Khối D-2008) Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. (x − y)(1 − xy) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (1 + x) 2 (1 + y)2 111.(CĐ Khối A, B, D 2008) Cho hai số thực x, y thay đổi và thoả mãn hệ thức x2 + y2 = 2. 3 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2 ( x + y ) − 3xy 112. Cho x > y > 0 là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 P = x+ xy( x − y) 113. Cho x là số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + x2 + 114. Cho x ≠ 0; y ≠ 0 là các số thực thay đổi. Tìm GTNN của biểu thức x4 y4 x2 y2 x y Q= 4 + 4 − 2 − 2 + + y x y x y x

1 x

13 NGUYỄN THỊ THOẢ - GV thpt ĐẶNG THÚC HỨA - THANH CHƯƠNG -

NGHỆ AN

BẤT ĐẲNG THỨC TUYỂN CHỌN QUA CÁC KÌ THI 115. Xác định các số thực a, b sao hàm số y = trị nhỏ nhất bằng -1.

ax + b có giá trị lớn nhất bằng 4 và giá x2 + 1

116. Cho tam giác ABC vuông tại A. Tìm giá trị nhỏ nhất của: S =

a4 + b4 + c4 abc( a + b + c)

117. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 3. Chứng minh rằng:

( a + b− c)

3

( c + a − b) +

3

( b + c − a) +

3

≥1 3c 3b 3a 118. Cho a, b, c là các số dương thoả mãn ab+ bc + ca = abc . Chứng minh rằng: a4 + b4 b4 + c4 c4 + a4 + + ³ 1 ab( a3 + b3) bc( b3 + c3) ca( c3 + a3) 119. . Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2a 2b 2c + + 2b+ 2c- a 2c + 2a- b 2a + 2b- c 120. Cho a, b, c là các số dương thoả mãn a+ b+ c = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=

P = a2 + ab+ b2 + b2 + bc + c2 + c2 + ca+ a2 121. Cho các số thực x, y, z thoả mãn : x + y + z =6. Chứng minh rằng: 8x + 8y + 8z ³ 4x+1 + 4y+1 + 4z+1 122. Xét các số thực dương thỏa mãn a + b +c =1. Tìm GTNN của biểu thức 1 1 1 1 P= 2 + + + a + b 2 + c 2 ab bc ca a 2b 3c + + =1 . 123.Giả sử a,b,c >0 thỏa mãn 1+ a 1+b 1+ c 1 2 3 Chứng minh rằng: ab c £ 6 5 124. Cho a,b,c là các số không âm thỏa a 2 + b 2 + c 2 = 1 . a b c 3 3 + + ≥ Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 b +c c +a a +b 125. Cho x, y, z > 0 và x+ y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a). Q = 1- x + 1- y + 1- z x y z + + b). M = x +1 y +1 z +1 14 NGUYỄN THỊ THOẢ - GV thpt ĐẶNG THÚC HỨA - THANH CHƯƠNG -

NGHỆ AN

BẤT ĐẲNG THỨC TUYỂN CHỌN QUA CÁC KÌ THI 4 xy 2

≤

1 8

3 126. Cho x,y >0 .Chứng minh rằng :  2 2 x + x + 4 y     127. Cho các số thực không âm x,y, z thoả mãn: x2 + y2 + z2 = 3.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 5 P = xy+ yz+ zx + x + y+ z 128. Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: a + b + c =3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a b c P= + + 2 2 1+ b c 1+ c a 1+ a2b 129. Cho các số thực x,y, z thoả mãn: x2 + y2 + z2 = 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2

2

2

T = x2 +( 1- yz) + y2 +( 1- zx) + z2 +( 1- xy) . 130. Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: x + y+ z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x3 y3 z3 P= 2 + 2 + 2 x + yz y + zx z + xy 132.Cho tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức æ æ öæ ö æ æ Aöæ 2 Bö 2 B÷ 2 C÷ 2 Cö 2 Aö ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ç ç 1+ tan2 ÷ 1 + tan 1 + tan 1 + tan 1 + tan 1 + tan ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ç ç ÷ç ÷ ç ÷è ÷ ç ç ç è è è øç è ø è 2ø 2ø 2÷ 2÷ 2ø 2ø P= + + C A B 1+ tan2 1+ tan2 1+ tan2 2 2 2 æ pù 2x 0; ú.Chứng minh rằng: cos x + £p 133. Cho x Î ç ç ç è 2ú sin x û 134. Cho x, y, z > 0 và x + y + z = xyz. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 + + £ . 2 2 2 2 1+ x 1+ y 1+ z 2

y  9   135. Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 thì (1 + x)  1 +   1 +  ≥ 256 (DBĐH 2005) x   y   136. Cho x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0 . Chứng minh 3 + 4 x + 3 + 4 y + 3 + 4 z ≥ 6 (DBĐH 2005) 137. Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn a + b + c = 3

3 . Chứng minh rằng: 4

a + 3b + 3 b + 3c + 3 c + 3a ≤ 3 (DBĐH 2005) 15

NGUYỄN THỊ THOẢ - GV thpt ĐẶNG THÚC HỨA - THANH CHƯƠNG -

NGHỆ AN

BẤT ĐẲNG THỨC TUYỂN CHỌN QUA CÁC KÌ THI 138. Cho x, y, z thỏa mãn 3− x + 3− y + 3− z = 1 . Chứng minh

9x 9y 9z 3x + 3 y + 3z (DBĐH 2006) + + ≥ 4 3x + 3 y + z 3 y + 3x + z 3z + 3x + y 11 7   + 4  1 + 2  ( x > 0) (DBĐH 2006) 139. Tìm GTNN của hàm số y = x + 2x  x  140. Cho x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện x + y ≥ 4 . Tìm GTNN của biểu thức 3x2 + 4 2 + y3 A= + (DBĐH 2006) 4x y2 1 1 1 + + = 3 . Chứng minh rằng: 141. Ba số dương a, b, c thỏa mãn a b c (1 + a )(1 + b)(1 + c) ≥ 8 (ĐH 2001) x y + 142. Giả sử x và y là hai số dương và x + y = 1 . Tìm GTNN của P = (ĐH 1− x 1− y 2001)

143..Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn xyz = 1 . Chứng minh rằng

x2 y2 z2 3 + + ≥ (DBĐH 2005) 1+ y 1+ z 1+ x 2

1 (DBĐH 2006) 4  1  1  1  145. Cho x, y, z > 0 và x+ y + z = 1. Chứng minh :  1 + 1 + 1 +  ≥ 64 . y  z   x 

144. Chứng minh rằng nếu 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 thì x y − y x ≤

1 1 1 + + = 2. 1+ x 1+ y 1+ z Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = xyz. 146.Cho 3 số thực x, y, z thỏa x ≥ 3; y ≥ 4 ; z ≥ 2 . Chứng minh 145. Cho x, y, z không âm và

xy z − 2 + yz x − 3 + zx y − 4 2 3 + 2 2 + 6 ≤ xyz 4 6 147.Cho f ( x) = ( x + 4 ) ( 5 − x ) với −4 ≤ x ≤ 5 . Xác định x sao cho f(x) đạt GTLN 148..Tìm GTNN của các hàm số sau:

3 với x > 0 x 1 b) f ( x) = x + với x > 1 x −1 149.Cho 0 ≤ x ≤ 4; 0 ≤ y ≤ 3 . Tìm GTLN của A = ( 3 − y ) ( 4 − x ) ( 2 y + 3 x ) a) f ( x) = x +

16 NGUYỄN THỊ THOẢ - GV thpt ĐẶNG THÚC HỨA - THANH CHƯƠNG -

NGHỆ AN

BẤT ĐẲNG THỨC TUYỂN CHỌN QUA CÁC KÌ THI 150.Chứng minh các bất đẳng thức sau với giả thiết a, b, c > 0 :

a 5 b5 c 5 a 5 b5 c 5 3 3 3 1. + + ≥ a + b + c 2. + + ≥ a 3 + b3 + c 3 2 2 2 bc ca ab b c a 5 5 5 3 3 3 a b c a b c a4 b4 c4 3. 4. + + ≥ + + + + ≥ a+b+c c a b3 c 3 a 3 b bc 2 ca 2 ab 2 a3 b3 c3 1 a3 b3 c3 1 2 2 2 + + ≥ (a + b + c ) 5. + + ≥ (a + b + c ) 6. (b + c) 2 (c + a )2 (a + b) 2 4 a + 2b b + 2c c + 2a 3 151.Cho x, y, z là các số dương. Chứng minh rằng x4 y4 z4 1 + + ≥ ( x3 + y 3 + z 3 ) y+z z+x x+ y 2 152.(ĐH Khối A 2009) Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn x( x + y + z) = 3yz , ta có:

( x + y)

3

3

+ ( x + z) + 3( x + y)( x + z)( y + z) £ 5( y + z)

3 3

153. (ĐH Khối B 2009) Cho các số thực x,y thay đổi thoả mãn ( x + y) + 4xy ³ 2 . 4 4 2 2 2 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3( x + y + x y ) - 2( x + y ) +1

154. (ĐH Khối D 2009) Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thoả mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = ( 4x3 + 3y)( 4y3 + 3x) + 25xy 155. (CĐ 2009) Cho a, b là hai số thực thoả mãn 0 < a < b < 1. Chứng minh rằng: a2 lnb- b2 lna > lna - lnb. 156. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn

1 1 2 + = . Chứng minh rằng: a c b

a+ b c+ b + ³ 4 2a- b 2c - b

17 NGUYỄN THỊ THOẢ - GV thpt ĐẶNG THÚC HỨA - THANH CHƯƠNG -

NGHỆ AN