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FEM

Man muss gelehrt sein, um Einfaches kompliziert sagen zu können; und weise, um Kompliziertes einfach sagen zu können. Charles Tschopp

Aus dem Programm Maschinenelemente und Konstruktion Pro/ENGINEER Wildfire 4.0 für Einsteiger – kurz und bündig von S. Clement und K. Kittel/ herausgegeben von S. Vajna Pro/ENGINEER Wildfire 5.0 für Fortgeschrittene - kurz und bündig von S. Clement und K. Kittel/ herausgegeben von S. Vajna Solid Works von U. Emmerich CATIA V5 - kurz und bündig von S. Hartmann/herausgegeben von S. Vajna NX7.5 – kurz und bündig von G. Klette und M. Nulsch/herausgegeben von S. Vajna Pro/ENGINEER-Praktikum herausgegeben von P. Köhler CATIA V5-Grundkurs für Maschinenbauer von R. List Solid Edge – kurz und bündig von M. Schabacker/herausgegeben von S. Vajna Lehrwerk Roloff/Matek Maschinenelemente H. Wittel, D. Muhs, D. Jannasch und J. Voßiek Entwickeln, Konstruieren, Berechnen von B. Fleischer und H. Theumert Konstruieren, Gestalten, Entwerfen von U. Kurz, H. Hintzen und H. Laufenberg Technisches Zeichnen von S. Labisch und C. Weber Leichtbau-Konstruktion von B. Klein

Bernd Klein

FEM Grundlagen und Anwendungen der FiniteElement-Methode im Maschinen- und Fahrzeugbau 9., verbesserte und erweiterte Auflage Mit 231 Abbildungen, 12 Fallstudien und 20 Übungsaufgaben STUDIUM

Prof. Dr.-Ing. Bernd Klein Univ. Kassel Kassel Deutschland

ISBN 978-3-8348-1603-0 DOI 10.1007/978-3-8348-2134-8

ISBN 978-3-8348-2134-8 (eBook)

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Vieweg © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 1990, 1997, 1999, 2000, 2003, 2005, 2007, 2010, 2012 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Lektorat: Thomas Zipsner | Imke Zander Einbandentwurf: KünkelLopka GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Vieweg ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media www.springer-vieweg.de

V

Vorwort zur 1. Auflage Das Buch gibt den Umfang meiner Vorlesung über die Finite-Elemente-Methode wieder, die ich seit 1987 an der Universität Kassel für Studenten des Maschinenbaus halte. Mein Anliegen ist es hierbei, nicht nur Theorie zu vermitteln, sondern auch die Handhabung der Methode im Ablauf und die Anwendung an einigen typischen Problemstellungen in der Elastostatik, Elastodynamik und Wärmeleitung zu zeigen. Das realisierte Konzept dürfte damit auch für viele Praktiker (Berechnungsingenieure, CAE-Konstrukteure und CAD-Systembeauftragte) in der Industrie von Interesse sein, da sowohl ein Gesamtüberblick gegeben wird als auch die für das Verständnis benötigten mathematisch-physikalischen Zusammenhänge dargestellt werden. Um damit auch direkt umsetzbare Erfahrungen vermitteln zu können, stützt sich der Anwendungsteil auf das verbreitete kommerzielle Programmsystem ASKA, das mir seit 1987 zur Verfügung steht. Bei der Lösung der mit ASKA bearbeiteten Beispiele haben mich die Mitarbeiter des Bereiches CAE der Firma IKOSS, Stuttgart, stets gut beraten. Die Erstellung des Manuskriptes hat Frau. M. Winter übernommen, der an dieser Stelle ebenfalls herzlich gedankt sei. Kassel, im September 1990

B. Klein

Vorwort zur 9. Auflage Fachbücher haben die Eigenschaft, eigentlich nie fertig zu werden. So fallen mir auch beim Arbeiten mit meinem Buch immer wieder Darstellungen und Ableitungen auf, die man besser machen kann. Die Neuauflage enthält wieder eine Vielzahl von Verbesserungen im Text und in den Übungen, die zum noch besseren Verständnis der Finite-Element-Methode beitragen sollen. Auch soll dem Lernenden eine geglättete Theorie helfen, die doch sehr mathematisch fundierten Zusammenhänge besser zu verstehen. Gemäß dem alten Motto des Buches „Anschaulichkeit vor Wissenschaftlichkeit“ hoffe ich auch weiterhin auf einen interessierten Leserkreis an Fachhochschulen, Universitäten und in der Praxis. Die eingearbeiteten Verbesserungen beruhen überwiegend auf Anregungen von Studierenden und Mitarbeitern, welche auch weiterhin sehr dankbar aufgenommen werden. Mit der textlichen Umsetzung waren Herr Dipl.-Ing. M. Oxe, Herr Dipl.-Ing. M. Hochgräf, Herr cand. Ing. M. Schelhas und Frau M. Winter betraut, denen an dieser Stelle herzlich gedankt seien. Calden bei Kassel, im September 2011

B. Klein

VI

Inhaltsverzeichnis 1

Einführung ............................................................................................................ 1.1 Historischer Überblick .................................................................................. 1.2 Generelle Vorgehensweise ............................................................................ 1.3 Aussagesicherheit einer FE-Analyse ............................................................. 1.4 Qualitätsstandards .........................................................................................

1 1 4 8 10

2

Anwendungsfelder und Software ........................................................................ 2.1 Problemklassen .............................................................................................. 2.2 Kommerzielle Software .................................................................................

11 11 12

3

Grundgleichungen der linearen Finite-Element-Methode ................................ 3.1 Matrizenrechnung .......................................................................................... 3.2 Gleichungen der Elastostatik ......................................................................... 3.3 Grundgleichungen der Elastodynamik .......................................................... 3.4 Finites Grundgleichungssystem .................................................................... 3.4.1 Variationsprinzip ................................................................................ 3.4.2 Methode von Galerkin .......................................................................

16 16 19 26 27 27 31

4

Die Matrix-Steifigkeitsmethode ...........................................................................

34

5

Das Konzept der Finite-Element-Methode ......................................................... 5.1 Allgemeine Vorgehensweise ......................................................................... 5.2 FE-Programmsystem ..................................................................................... 5.3 Mathematische Formulierung ........................................................................ 5.3.1 Ebenes Stab-Element ......................................................................... 5.3.2 Ebenes Drehstab-Element .................................................................. 5.3.3 Ebenes Balken-Element ..................................................................... 5.4 Prinzipieller Verfahrensablauf ...................................................................... 5.4.1 Steifigkeitstransformation .................................................................. 5.4.2 Äquivalente Knotenkräfte .................................................................. 5.4.3 Zusammenbau und Randbedingungen ............................................... 5.4.4 Sonderrandbedingungen ..................................................................... 5.4.5 Lösung des Gleichungssystems ......................................................... 5.4.6 Berechnung der Spannungen ............................................................. 5.4.7 Systematische Problembehandlung ....................................................

41 41 44 45 45 50 53 62 62 65 68 72 74 81 83

6

Wahl der Ansatzfunktionen .................................................................................

89

7

Elementkatalog für elastostatische Probleme .................................................... 93 7.1 3-D-Balken-Element ..................................................................................... 93 7.2 Scheiben-Elemente ........................................................................................ 97 7.2.1 Belastungs- und Beanspruchungszustand .......................................... 97 7.2.2 Dreieck-Element ................................................................................ 98 7.2.3 Flächenkoordinaten ............................................................................ 105 7.2.4 Erweiterungen des Dreieck-Elements ................................................ 110 7.2.5 Rechteck-Element .............................................................................. 111

Inhaltsverzeichnis

VII

7.2.6 Konvergenz Balken-Scheiben-Elemente ........................................... 7.2.7 Timoshenko-Theorie .......................................................................... 7.2.8 Viereck-Element ................................................................................ 7.2.9 Isoparametrische Elemente ................................................................ 7.2.10 Numerische Integration ...................................................................... Platten-Elemente ........................................................................................... 7.3.1 Belastungs- und Beanspruchungszustand .......................................... 7.3.2 Problematik der Platten-Elemente ..................................................... 7.3.3 Rechteck-Platten-Element .................................................................. 7.3.4 Dreieck-Platten-Element .................................................................... 7.3.5 Konvergenz ........................................................................................ 7.3.6 Schubverformung am Plattenstreifen ................................................. 7.3.7 Beulproblematik ................................................................................. Schalen-Elemente .......................................................................................... Volumen-Elemente ........................................................................................ Kreisring-Element .........................................................................................

119 120 125 129 134 139 139 143 146 152 153 155 156 165 170 175

8

Kontaktprobleme .................................................................................................. 8.1 Problembeschreibung .................................................................................... 8.2 Einfache Lösungsmethode für Kontaktprobleme .......................................... 8.3 Lösung zweidimensionaler Kontaktprobleme ............................................... 8.3.1 Iterative Lösung nichtlinearer Probleme ohne Kontakt ..................... 8.3.2 Iterative Lösung mit Kontakt .............................................................

182 182 184 188 188 189

9

FEM-Ansatz für dynamische Probleme ............................................................. 9.1 Virtuelle Arbeit in der Dynamik ................................................................... 9.2 Elementmassenmatrizen ................................................................................ 9.2.1 3-D-Balken-Element .......................................................................... 9.2.2 Endmassenwirkung ............................................................................ 9.2.3 Dreieck-Scheiben-Element ................................................................ 9.3 Dämpfungsmatrizen ...................................................................................... 9.4 Eigenschwingungen ungedämpfter System ................................................... 9.4.1 Gleichungssystem .............................................................................. 9.4.2 Numerische Ermittlung der Eigenwerte ............................................. 9.4.3 Statische Reduktion nach Guyan ....................................................... 9.5 Freie Schwingungen ...................................................................................... 9.6 Erzwungene Schwingungen .......................................................................... 9.7 Beliebige Anregungsfunktion ........................................................................ 9.8 Lösung der Bewegungsgleichung .................................................................

202 202 204 205 208 209 212 213 213 221 222 226 228 237 238

10

Grundgleichungen der nichtlinearen Finite-Element-Methode ....................... 10.1 Lösungsprinzipien für nichtlineare Aufgaben ............................................... 10.2 Nichtlineares Elastizitätsverhalten ................................................................ 10.3 Plastizität ....................................................................................................... 10.4 Geometrische Nichtlinearität ......................................................................... 10.5 Instabilitätsprobleme .....................................................................................

247 247 250 253 257 259

7.3

7.4 7.5 7.6

VIII

Inhaltsverzeichnis

11

Wärmeübertragungsprobleme ............................................................................ 11.1 Physikalische Grundlagen ............................................................................. 11.2 Diskretisierte Wärmeleitungsgleichung ........................................................ 11.3 Lösungsverfahren .......................................................................................... 11.4 Thermisch-stationäre strukturmechanische Berechnung ............................... 11.5 Thermisch-transiente strukturmechanische Berechnung ...............................

266 266 271 273 275 276

12

Mehrkörpersysteme .............................................................................................. 12.1 Merkmale eines MKS .................................................................................... 12.2 Kinematik von MKS ...................................................................................... 12.2.1 Drehmatrix ......................................................................................... 12.2.2 Ebene Bewegung ................................................................................ 12.3 Kinetik von MKS .......................................................................................... 12.3.1 Grundbeziehungen für den starren Körper ......................................... 12.3.2 Newton-Euler-Methode ..................................................................... 12.4 Lagrange’sche Methode ................................................................................ 12.5 Mechanismenstrukturen ................................................................................

279 279 281 283 285 287 289 291 293 295

13

Bauteiloptimierung ............................................................................................... 13.1 Formulierung einer Optimierungsaufgabe .................................................... 13.2 Parameteroptimierung ................................................................................... 13.3 Bionische Strategie ........................................................................................ 13.4 Selektive Kräftepfadoptimierung ..................................................................

297 297 298 300 303

14

Grundregeln der FEM-Anwendung .................................................................... 14.1 Fehlerquellen ................................................................................................. 14.2 Elementierung und Vernetzung ..................................................................... 14.3 Netzaufbau ..................................................................................................... 14.4 Bandbreiten-Optimierung .............................................................................. 14.5 Genauigkeit der Ergebnisse ........................................................................... 14.6 Qualitätssicherung ......................................................................................... 14.7 Modelladäquatheit .........................................................................................

306 306 307 311 314 318 320 322

Fallstudie 1: zu Kapitel 4 Matrix-Steifigkeitsmethode ..................................................... Fallstudie 2: zu Kapitel 5 Konzept der FEM / Allgemeine Vorgehensweise .................... Fallstudie 3: zu Kapitel 5 Konzept der FEM / Schiefe Randbedingungen ....................... Fallstudie 4: zu Kapitel 5 Konzept der FEM / Durchdringung ........................................ Fallstudie 5: zu Kapitel 7 Anwendung von Schalen-Elementen ....................................... Fallstudie 6: zu Kapitel 7.5 Anwendung von Volumen-Elementen / Mapped meshing .... Fallstudie 7: zu Kapitel 7.5 Anwendung der Volumen-Elemente / Free meshing ............ Fallstudie 8: zu Kapitel 9 Dynamische Probleme ............................................................ Fallstudie 9: zu Kapitel 9.6 Erzwungene Schwingungen ................................................. Fallstudie 10: zu Kapitel 10 Materialnichtlinearität ....................................................... Fallstudie 11: zu Kapitel 10.4 Geometrische Nichtlinearität ........................................... Fallstudie 12: zu Kapitel 11 Wärmeleitungsprobleme .....................................................

325 327 331 332 334 337 339 342 345 349 352 355

Übungsaufgabe 4.1 ......................................................................................................... 359 Übungsaufgabe 5.1 ......................................................................................................... 360 Übungsaufgabe 5.2 ......................................................................................................... 361

Inhaltsverzeichnis Übungsaufgabe 5.3 Übungsaufgabe 5.4 Übungsaufgabe 5.5 Übungsaufgabe 5.6 Übungsaufgabe 5.7 Übungsaufgabe 5.8 Übungsaufgabe 5.9 Übungsaufgabe 6.1 Übungsaufgabe 7.1 Übungsaufgabe 7.2 Übungsaufgabe 9.1 Übungsaufgabe 9.2 Übungsaufgabe 9.3 Übungsaufgabe 9.4 Übungsaufgabe 10.1 Übungsaufgabe 11.1 Übungsaufgabe 11.2

IX ......................................................................................................... ......................................................................................................... ......................................................................................................... ......................................................................................................... ......................................................................................................... ......................................................................................................... ......................................................................................................... ......................................................................................................... ......................................................................................................... ......................................................................................................... ......................................................................................................... ......................................................................................................... ......................................................................................................... ......................................................................................................... ......................................................................................................... ......................................................................................................... .........................................................................................................

363 365 367 370 371 372 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385

Mathematischer Anhang .................................................................................................. QM-Checkliste einer FE-Berechnung .............................................................................. Literaturverzeichnis .......................................................................................................... Sachwortverzeichnis .........................................................................................................

386 402 404 409

X

Formelzeichensammlung -Aai A A

(mm2) (mm)

A Ai -BB B

ci , Ci ci

c ij

(N/mm)

d dP dS

D(u)

Federkonstante Elementdämpfungsmatrix Integrationskonstante

(mm; grd) Koeffizient

(N/mm; grd)

C

-Dd  d

Querschnittsfläche Koordinatenmatrix; Koeffizientenmatrix; Iterationsmatrix Boole‘sche Matrix Koeffizient

Lösungsbereich differenzierte Ansatzfunktionsmatrix; Koeffizientenmatrix nichtlinearer Anteil der Matrix B

BN

-Cc c

Differenzialoperatorenmatrix

D Multiplikatoren

Drehsteifigkeitskoeffizient Systemdämpfungsmatrix; Wärmekapazitätsmatrix

(mm) (mm/s2)

Knotenverschiebungen Knotenbeschleunigung

(mm/s)

Knotengeschwindigkeit Plattenanteil der Knotenverschiebung Scheibenanteil der Knotenverschiebung Differenzialoperator

-EE E ET

(N/mm2) (N/mm2)

Elastizitätsmodul Elastizitätsmatrix Tangenten-Elastizitätsmatrix

-Ff

(N)

F(x) F

(N)

Fa

bezogene (verteilte) Kraft Funktion allgemein Vektor der äußeren Einzelkräfte äußere Kräfte

Fb

Reaktionskräfte

Fc

Resultierende der Schwingungs-DGL Einzelkraft

Fi

äquivalente Einzelkräfte unbekannte Reaktionskräfte

Fia Fs

-Gg gi , g j

G G

Zeilenvektoren Formfunktionen (N/mm2)

Gi

GK

G kub G lin

(N)

Gleitmodul Formfunktionsmatrix; Matrix der Knotenansatzfunktionen Formfunktionsmatrix Gravitationskraft kubischer Anteil der Formfunktionsmatrix linearer Anteil der Formfunktionsmatrix

Formelzeichensammlung rotatorischer Anteil der Formfunktionsmatrix translatorischer Anteil der Formfunktionsmatrix

Gr

Gt

-Hh hi

(mm)

Hermite’sche Ansatzfunktionsmatrix

H

-II I

Integral, allgemein Gebietsintervall; Einheitsmatrix

-JJ Jp

(mm4)

Jy,Jz

(mm4)

J 2′ -Kk k

Stützstelle Amplitudenhöhe

Jacobi-Matrix polares Flächenträgheitsmoment Flächenträgheitsmoment 2. Invariante des Spannungstensors

kB

Federkonstante Elementsteifigkeitsmatrix; (W/mm·K) Elementwärmeleitungsmatrix (N/mm) transformierte Elementsteifigkeitsmatrix (N/mm) Biegesteifigkeitsmatrix

kG

(N/mm)

k

kS

(N/mm)

K, M

(N/mm) (N/mm)

geometrische Steifigkeitsmatrix Verschiebungseinflusszahlen; Steifigkeitskoeffizienten Plattenanteil der Steifigkeitsmatrix

Scheibenanteil der Steifigkeitsmatrix Diagonalhypermatrix

Systemsteifigkeitsmatrix; (W/mm·K) Systemwärmeleitungsmatrix partitionierte SystemKaa Kab steifigkeitsmatrix Kba Kbb

K

(N/mm)

KB

K cc KN

(N/mm)

KT

(N/mm)

Kσ

(N/mm)

-LA ij

L L L

(mm) (N/mm)

(N/mm) (N/mm)

k ij

kP

XI

-Mm m ij

(kg) (kg)

mK

m0

mt m x, y

(N·mm/ mm)

Systembiegesteifigkeitsmatrix reduzierte Steifigkeitsmatrix geometrische Systemsteifigkeitsmatrix Tangentensteifigkeitsmatrix Initialspannungsmatrix

Koeffizienten; Matrixelement Länge Differentialoperator Dreiecksmatrix; Lastoperator

Elementmassenmatrix Massenkoeffizient Knotenlastvektor von eingeleiteten Momenten Oberflächenlastvektor bei verteilten Momenten verteiltes Torsionsmoment seitenbezogene Biegemomente

Formelzeichensammlung

XII

M Mb

Systemmassenmatrix Biegemoment

-Qq

M cc

reduzierte Massenmatrix Moment

q

Mi

(N·mm)

(N/mm)

seitenbezogene Querkraft Wärmestromdichte

q

(N/mm2)

q xz, yz

(N/mm)

qz

(N/mm)

Vektor der verteilten äußeren Oberflächenkräfte seitenbezogene Querkräfte verteilte Streckenlast

partitionierte Systemmassenmatrix

Muu Mus Msu Mss -Nn

Q

n x, y

Stützstellen; Zähler seitenbezogene Kräfte

Nj

Schnittgrößen

Qi

(N)

Querkraft

n N

Festwertvektor Ansatzmatrix; Nebenbedingungsmatrix

Q xz

(N)

Querkraft

(mm)

Radius Rand Vektor der Kontaktknotenkräfte Fließgrenze

-O0 -Ppi

(mm2)

Oberfläche

(N)

Kraftkomponente

pk

Knotenlastvektor

px

(N/mm)

pz

2

(N/mm )

P

P ˆ P p

(N) (N)

ä

verteilte äußere Querkraft Knotenverschiebungsvektor der ungebundenen Struktur Systemlastvektor Vektor der Elementknotenkräfte äquivalente Kräfte Oberflächenkräfte

PS

Kraftvektor des Scheibenanteils Kraftvektor des Plattenanteils

(N)

 Q

-Rr R R

(N) 2

Re

(N/mm )

Rm

(N/mm )

2

Bruchgrenze Vektor der Elementknotenkräfte der ungebundenen Struktur

R

verteilte Längskraft

p0

PP

Knotenpunktwärmeflüsse Wärmestrom

-SS S ij

(N/mm2) (N)

Spannungsmatrix Schnittkräfte in Stäben

S y ,z

( mm 3 )

statische Momente

(mm) (s) (K) (N·mm)

Elementdicke Zeit Temperatur Torsionsmoment Transformationsmatrix Eliminationsmatrix

-Tt t T T Tc

Formelzeichensammlung

-Uu, v, w

(mm)

u

(mm)

u

(mm/s)

 u

(mm/s2)

(mm)

U

(mm)

Ua

(mm)

Uc

Verschiebungskomponenten Elementverschiebungsvektor Geschwindigkeitsvektor der Elementverschiebungen Beschleunigungsvektor der Elementverschiebungen Verschiebung Systemverschiebungsvektor unbekannte Verschiebungen primäre Freiheitsgrade Beschleunigungen der primären Freiheitsgrade sekundäre Freiheitsgrade bekannte Verschiebungen unbekannte Verschiebungen Beschleunigungen der unbekannten Verschiebungen

Üc Ue Us Uu Üu

-Ww(x, t) wb

Formänderungsenergie; Restwert

WR

G ui

-Vv V Vi

XIII

(mm3)

Vektor Volumen Vergrößerungsfunktion

-Xx x X -Yy α

α α

αi

(mm)

Arbeit äußere Arbeit

Wi

(N·mm)

innere Arbeit

(1/K)

Längenausdehnungskoeffizient Konstantenvektor Wärmeübergangskoeffizient Richtungswinkel

φ( x )

beliebiger Drehwinkel

φ ji Φi

Koeffizienten der Elementträgheitsmatrix Verdrehung am Knoten

γ ηi

Winkel Auslenkung

η, ξ

normierte Koordinate

ț κ

Schubverformung (N·mm) (N·mm)

Hilfsvektor

φ

Verschiebefunktion Biegeverformung

W Wa

Weg Eigenvektor Eigenvektormatrix

Winkel; Parameter Differenz Verzerrungsvektor Anfangsverzerrungsvektor Ergiebigkeit

β Δ ε İo

λ

ws

(mm)

μ ȁ Θ

Koeffizientenmatrix Krümmung; spez. Wärme (1/s) Längsfrequenz (W/mm·K) Wärmeleitfähigkeit; Eigenwerte; Lagrange’scher Multiplikator Reibkoeffizient Eigenwertmatrix Massenträgheit

Formelzeichensammlung

XIV

ρ

(kg/dm3)

ρ Ω σ τ

(N/mm2) (N/mm2)

τη(t) ν (1/s)

ξ

Dichte Vektor der Elementknotenverschiebungen äußere Anregung Normalspannung Schubspannung Erregungsfunktion Querkontraktion; Frequenz Dämpfungsmaß

ψ Re d

Kenngröße für den Schubwiderstand; Eigenkreisfrequenz Winkel

ζi

Flächenkoordinate

ω (1/s)

ψ Re d

(1/s)

Eigenkreisfrequenz Winkel

ζi

Flächenkoordinate

1

1 Einführung Die Finite-Element-Methode hat sich seit vielen Jahren im Ingenieurwesen bewährt und wird mittlerweile schon routinemäßig für Berechnungsaufgaben im Maschinen-, Apparateund Fahrzeugbau eingesetzt. Sie ermöglicht weitestgehend realitätsnahe Aussagen in den Stadien Konzeptfindung und Entwicklung von Bauteilen und Strukturen durch Rechnersimulation der physikalischen Eigenschaften und trägt damit wesentlich zur Verkürzung der gesamten Produktentwicklungszeit bei. Im Zusammenwirken mit CAD zählt heute die FEM als das leistungsfähigste Verfahren, die Ingenieurarbeit zu rationalisieren und qualitativ zu optimieren. Das Vertrauen in FEM-Rechnungen darf aber nicht nachlässig machen, so haftet der Berechnungsingenieur bei einer falschen Auslegung nach dem BGB, ProdSG und dem ProdHfG. Insofern sollten die Grundzüge der FE-Methode allen Ingenieuren bekannt sein, um die problemgerechte Einsetzbarkeit und die erzielten Ergebnisse in der Praxis beurteilen zu können. Intention des Buches ist daher der Brückenschlag zwischen Theorie und Praxis sowie einen Überblick zu Anwendungen in der Statik, Dynamik, Mehrkörpersimulation (MKS) und Wärmeübertragung geben zu wollen.

1.1 Historischer Überblick Mit der klassischen technischen Mechanik ist es bis heute nicht möglich, komplexe elastomechanische Zusammenhänge in realen Systemen ganzheitlich zu erfassen. Üblicherweise geht man dann so vor, dass ein stark vereinfachtes Modell des Problems geschaffen wird, welches gewöhnlich leichter zu lösen ist. Hierbei ist natürlich die Übertragbarkeit der Ergebnisse stets kritisch abzuklären, da die Abweichungen meist groß sind. Allgemeines Bestreben ist es daher, Systeme so realitätsnah wie nötig für eine Betrachtung aufzubereiten.

F(t)

m1

Diskretes Modell Kontinuierliches Modell

c1

d1

c2

d2

m2

F(t) (bzw. F) Aluminium Temperatur T1 Gummi

Verformung Δu Reibung

Stahl Kontaktzone Stahl

Einschlüsse Kerbwirkung Lagerung Temperatur T2

Von der Vorgehensweise her kann in eine diskrete und eine kontinuierliche Modellbildung unterschieden werden. Als Beispiel (s. Bild 1.1) denke man an eine schwingfähige Struktur, die diskret als FederMasse-Schwinger und kontinuierlich als Kontinuumsschwinger idealisiert werden kann. Bei diskreten Systemen folgt die Systemantwort stets aus einer geringen Anzahl von Zustandsgrößen, die meist in Form von gekoppelten linearen Gleichungen auftreten

Bild 1.1: Ideales Modell versus reales Modell

B. Klein, FEM, DOI 10.1007/978-3-8348-2134-8_1, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012

1 Einführung

2

Demgegenüber muss die Antwort eines kontinuierlichen Systems aus der Lösung einer Differenzialgleichung ermittelt werden, wobei eine Vielzahl von Zustandsgrößen interessieren. In der Praxis stehen aber, wie bei der vorstehenden Modellierung angedeutet, Aufgaben an, die durch eine komplizierte Geometrie, überlagerte Lastfälle, unübersichtliche Randbedingungen und verschiedenartige Werkstoffgesetze gekennzeichnet sind. Hierbei geht es regelmäßig um gut gesicherte Ergebnisse, da hierhinter letztlich ein Einsatzfall steht, der eine Absicherung erforderlich macht. Vor diesem Hintergrund sind somit Lösungsverfahren gefordert, die universell und genau sind, ingenieurmäßigen Charakter haben, auf kontinuierliche Systeme anwendbar sind und lokale Aussagen ermöglichen. Diese Forderungen werden, wie wir später noch sehen werden, in idealer Weise von der FEM /ARG 64/ erfüllt. Verfolgt man einführend kurz die Entwicklungsgeschichte der FEM, so ist festzustellen, dass man es hier mit einer relativ jungen Methode zu tun hat, die im Wesentlichen in den letzten 60 Jahren entwickelt worden ist. Erfolgreiche Anwendungen haben dann sehr schnell zu einer sprunghaften Verbreitung geführt. Wie der Zeittabelle von Bild 1.2 zu entnehmen ist, wurde das Grundgerüst etwa gleichwertig von Mathematikern und Ingenieuren geschaffen /MEI 89/.

elast. Stabmodelle von Hrennikoff, 1941

bereichsweise Ansätze zur Lösung von DGLs Courant, 1943 Prager/Synge, 1947

50er-Jahre ComputerEntwicklung

Kraft- und Verschiebungsgrößenverfahren für Stabtragwerke, Matrizenformulierung von Argyris, 1954

erste ingenieurmäßige Herleitung der Flächenelemente Turner/Clough/ Martin/Topp, 1953-1956 Name "FEM" durch Clough, 1960

- Umwandlung der DGL durch Variationsmethode oder Ritz-Galerkin-Ansatz Besseling/Melosh/de Veubeke, ca. 1962 - erste Konferenz über Computermechanik, 1963 - erstes FEM-Lehrbuch von Zienkiewicz/Cheung, 1967

stürmische Weiterentwicklung der Methode von 1965 bis heute: - Verallgemeinerung u. Vereinfachung der Methode - neue Anwendungsgebiete (Strömung, Wärmeleitung, Magnetismus, Multiphysik) - Prozesse (Umformung, Schweißen, Spritzgießen etc.)

gegenwärtig: virtuelle Produktentwicklung / CAD + MKS + FEM = CAE

Bild 1.2: Zeittafel der FE-Methode-Entwicklung nach CAD-FEM/Grafing

1.1 Historischer Überblick

3

Herausgehoben werden sollen hier nur einige markante Entwicklungsschritte: •

Im Jahre 1941 hat Hrennikoff ein Stabmodell (Gitterrostverfahren) geschaffen, mit dem 2-D-Stabwerk- und Scheibenprobleme einfacher lösbar waren. Er benutzte dabei einen Matrizenformalismus, der der heutigen FE-Methode ähnlich ist.

•

Etwa 1943 haben Courant und später Prager/Synge bereichsweise Ansätze zur Lösung von Differenzialgleichungen herangezogen und damit das Prinzip der Unterteilung von Lösungsgebieten benutzt, welches dem Grundgedanken der FEM entspricht.

•

Aufbauend auf den Arbeiten von Ostenfeld (Tragwerkberechnung mit Verschiebungen als Unbekannte) haben Argyris und Kelsey (1954) im Wesentlichen das Matrizenformat für die Berechnung von stabartigen Tragwerken mit dem Kraft- und Verschiebungsgrößenverfahren aufbereitet. Etwa parallel erfolgte durch Turner, Clough, Martin und Topp die Übertragung auf die Festkörpermechanik. Begünstigt wurden diese Arbeiten durch das Aufkommen der ersten leistungsfähigen Computer.

•

Die Prägung des Begriffs „FEM“ wird im Allgemeinen Clough (1960) zugeschrieben, der hiermit die Modellvorstellung eines Kontinuums als eine Zusammensetzung von Teilbereichen (finiten Elementen) verband. In jedem Teilbereich wird das Elementverhalten durch einen Satz von Ansatzfunktionen beschrieben, die die Verschiebungen, Dehnungen und Spannungen in diesem Teilbereich wiedergeben.

•

Ein Ziel der FEM besteht darin, die problembeschreibende DGL in ein lineares Gleichungssystem umzuwandeln. Dieser Schritt gelingt einmal dadurch, indem über das Variationsprinzip eine Ersatzgleichgewichtsbedingung formuliert wird oder durch das Verfahren des gewichteten Restes (Ritz-Galerkin) die Abweichungen, eines die DGL erfüllenden Lösungsansatzes, minimiert werden. Diese Erkenntnisse sind etwa 1962 von Besseling, Melosh und de Veubeke gewonnen worden.

•

In der Folge hat die FEM im Ingenieurwesen große Aufmerksamkeit gefunden, was durch eine eigene Konferenz und die Abfassung erster Lehrbücher dokumentiert ist.

•

Mit der Etablierung der Methode setzte eine stürmische Weiterentwicklung ein, und es wurden über die lineare Elastik ergänzende Formulierungen für nichtlineares Materialverhalten, nichtlineares geometrisches Verhalten, Instabilität und Dynamik gefunden. Durch den ausgewiesenen Anwendungserfolg bestand weiteres Interesse, auch andere Phänomene wie Wärmeleitung, Strömung, elektromagnetische Felder und Multiphysik (gekoppelte Effekte) für die FE-Methode zu erschließen.

•

In dem heute angestrebten integrativen, rechnerunterstützten Konstruktionsprozess stellt FEM in Verbindung mit CAD ein wichtiges Basisverfahren dar, welches im Zuge der virtuellen Produkt- und Prozessentwicklung immer stärker angewandt wird.

Gemäß dem derzeitigen Stand der Technik werden von verschiedenen Softwarehäusern kommerzielle Universalprogramme (z. B. NASTRAN, ANSYS, MARC, I-DEAS, ABAQUS usw.) angeboten, die sich nur in Nuancen unterscheiden. Meist sind diese Programmsysteme für die lineare Elastomechanik entwickelt und später um Module zur nichtlinearen Festigkeitsberechnung, Dynamik oder Wärmeleitung erweitert worden. Daneben existieren auch

1 Einführung

4

eigenständige Programmsysteme für Strömungsprobleme (CFD = Computational Fluid Dynamics gewöhnlich mit ALE-Ansatz*)), multiphysikalische Simulationen (COMSOL) oder Mehrkörperdynamik (MKS).

1.2 Generelle Vorgehensweise Wie spätere Ausführungen zeigen werden, benötigt der Anwender der Finite-Element-Methode gesichertes Grundwissen über die theoretischen Zusammenhänge, da die hauptsächliche ingenieurmäßige Aufgabenstellung in der Überführung des realen Bauteils in ein finites Analogon besteht. Der weitere Ablauf, d. h. die eigentliche Berechnung, erfolgt hingegen durch den Rechner automatisch. Der Anwender ist erst wieder gefragt, wenn es um die Plausibilitätsprüfung des Ergebnisses und dessen Rückumsetzung zur Bauteiloptimierung geht.

(real)

(idealisiert) Stab-Elemente Fx y x

M bz

M bz Symmetriehälfte

Scheiben-Elemente Fx

Bild 1.3: Schritte vom realen Bauteil zum FE-Modell Da der Umfang dieses kompakten Lehrbuchs in der Hauptsache auf die Behandlung von Festigkeitsproblemen ausgerichtet ist, sollen an einem kleinen einführenden Beispiel die wesentlichen Arbeitsschritte der Finite-Element-Methode diskutiert werden. Im vorstehenden Bild 1.3 ist dazu ein einfacher Doppel-T-Träger (IPB) mit einem Mitteldurchbruch unter einer statischen Momentenbelastung (Mbz) dargestellt. Von praktischem Interesse sei dabei die Ermittlung des Verformungszustandes, der Kräfte bzw. der Dehnungen und der Spannungen bevorzugt in den hoch beanspruchten Flanschen. Bei der notwendigen problemgerechten Aufbereitung für eine FEA gilt es, hierzu folgende Schritte zu durchlaufen: *)

Anmerkung: ALE = Arbitrary Lagrangian Eulerian-Methode zur Analyse freier Oberflächen, Mehrphasenströmungen und Fluid-Struktur-Effekten

1.2 Generelle Vorgehensweise

5

1. Gemäß des mechanischen Verhaltens des Bauteils muss ein finites Modell gebildet werden. Im vorliegenden Fall wird der Träger in den Flanschen Zug-Druck und im Steg hauptsächlich Schub abtragen. Entsprechend diesen Belastungen können die Flansche durch Stab- und der Steg durch Scheiben-Elemente idealisiert werden. Möglich wäre auch eine einheitliche Idealisierung durch Schalen-Elemente oder gar Volumen-Elemente. Bei der Elementierung muss stets die Verschiebungskompatibilität an den Knoten der zusammengebundenen Elemente gegeben sein. Zur Elementierung sei noch bemerkt: Wenn für die Flansche Stab-Elemente gewählt werden, kann man nur Normalkräfte bzw. abschnittsweise Zug/Druck-Spannungen bestimmen. Würde man stattdessen ganzheitlich Schalen-Elemente wählen, so beziehen sich die ermittelten Spannungen auf die Mittelebene (bzw. auf ausgewählte Integrationspunkte über der Dicke) der Elemente. Erst mit der Wahl von Volumen-Elementen kann man eine weitgehend reale Spannungsverteilung auch in den Ecken ermitteln. 2. Bei einer Modellbildung ist immer zu prüfen, ob Symmetrien ausgenutzt werden können, da hierdurch die Bearbeitungszeit gravierend verkürzt werden kann. Das Beispiel zeigt in Geometrie und Belastung eine Halbsymmetrie, insofern braucht nur eine Hälfte des Trägers als Modell aufbereitet werden. An den Schnittkanten müssen dann aber besondere Randbedingungen angegeben werden. 3. Für die Netzbildung ist es wichtig, dass das Netz dort verdichtet wird, wo man exaktere Informationen erzielen will und dort grob ist, wo die Ergebnisse nicht so sehr von Interesse sind. Die Netze werden heute ausschließlich mit Prä-Prozessoren weitgehend automatisch erzeugt. Hierzu ist eine Aufteilung des zu vernetzenden Gebietes in Makros vorzubereiten. Ein Makro wird gewöhnlich durch drei oder vier Seiten gebildet, bei größerer Seitenzahl ist durch Linienzusammenfassung ein regelmäßiges berandetes Gebiet zu erzeugen. Durch die Wahl der Elementgeometrie und eines Seitenteilers muss dann eine sinnvolle Vernetzung möglich sein. 4. Grundsätzlich können elastomechanische Vorgänge nur ausgelöst werden, wenn Festhaltungen vorliegen, d. h. ein Bauteil mindestens statisch bestimmt gelagert ist und mindestens eine Kraft wirkt. Dies gilt auch für unser Beispiel, das jetzt mit zutreffenden Randbedingungen zu versehen ist. Alle Knotenpunkte auf den Schnittkanten müssen sich dabei in y-Richtung frei bewegen können, in x-Richtung aber in ihrer Beweglichkeit gesperrt werden. Weiter muss an mindestens einem Punkt die Beweglichkeit in y-Richtung gesperrt werden, damit das Bauteil keine Starrkörperbewegungen vollführt. 5. Da die Elemente über die Knotenpunkte verbunden werden, sollten die äußeren Kräfte wenn möglich in die Knoten eingeleitet werden. Nachdem diese ingenieurmäßigen Vorarbeiten durchgeführt worden sind, kann man sich eines FEM-Programmsystems bedienen, in das nun das Modell einzugeben ist. Wenn das Modell formal richtig ist, lässt sich der Gleichungslöser anstarten, der nach den Verformungen auflöst und in einer Rückrechnung die Spannungen, Dehnungen sowie Reaktionskräfte ausweist. Die Aufbereitung der dabei anfallenden Daten erfolgt üblicherweise gra-

1 Einführung

6

fisch. Im Bild 1.4 ist der formale Ablauf dargestellt, wie er heute in der FEM-Praxis angewandt wird.

CAD-System Schnittstelle Prä-Prozessor (Vorlauf) FEM-Universalprogramm (Solver) Post-Prozessor (Nachlauf)

Bild 1.4: Konventionelle CAE-Prozesskette Im Regelfall ist das Bauteil in CAD erstellt worden und muss noch entsprechend aufbereitet werden. Hierbei kann es sein, dass die Hersteller zwischen dem CAD- und dem FEMSystem eine Direktkopplung realisiert haben. In diesem Fall kann ein Bauteil als Flächenoder Volumenmodell sofort übernommen werden, wobei Assoziativität bestehen bleibt. Liegen hingegen zwei völlig autonome Systeme vor, so muss die Bauteilgeometrie über eine Standardschnittstelle wie IGES (Initial Graphics Exchange Specification), STEP*) (Standard for the Exchange of Product Model Data) oder VDAFS transportiert werden. Es ist in diesem Zusammenhang meist notwendig, dass in beiden Fällen die Geometrie bereinigt und nachbearbeitet werden muss bis zur nackten FEM-Geometrie. Der damit verbundene Aufwand lässt sich durch Nutzung der Parasolid- oder ACIS-Schnittstelle minimieren. Die Aufgabenstellung des Prä-Prozessors ist die Generierung eines berechenbaren FE-Modells, d. h. die Erzeugung eines sinnvollen Netzes, Zuweisung der Elementdaten (A, J, t) und der Materialwerte (E, ν) sowie Einbringung der Kräfte und Randbedingungen. Ein damit bestimmtes System kann nun mittels eines numerischen Gleichungslösers behandelt werden, und zwar wird ein Gleichungssystem des Typs Steifigkeit x Verschiebungen = Kräfte nach den Verschiebungen aufgelöst. Über das Werkstoffgesetz besteht weiterhin ein Zusammenhang zu den Spannungen, die somit ebenfalls berechnet werden können. Für die Ausgabe wird ein Post-Prozessor eingesetzt. Dieser stellt die verformte Struktur sowie die Dehnungen und Spannungen in einer Struktur dar. Hierzu werden Farbfüllbilder benutzt, die sofort einen Überblick über die herrschenden Verhältnisse geben. *)

Anmerkung: STEP ist in der ISO 10303 genormt und fähig, alle produktbeschreibenden Daten von CAD nach CAD oder CAD nach FEM zu übertragen. VDAFS ist die Schnittstelle der Automobilindustrie für Flächen und Volumina, hat eine sehr gute Übertragungstreue (VDA-Datei ≈ 5 ⋅ STEP-Datei).

1.2 Generelle Vorgehensweise

7

Wie diese Darlegungen erkennen lassen, ist dies eine qualifizierte Ingenieurarbeit, die normalerweise eines Spezialisten bedarf. Dies zeigt sich auch in großen Konstruktionsbüros, die zwischen CAD-Konstrukteuren und FEM-Analytikern unterscheiden. Keineswegs ist es aber so, dass FEM-Probleme vollautomatisch durch Rechner gelöst werden können. Wie die Tätigkeitsanalyse von Bild 1.5 ausweist, ist der Rechner hier nur das zentrale Hilfsmittel, ohne dessen Leistungsfähigkeit die Methode generell nicht wirtschaftlich nutzbar wäre.

anfallende Bearbeitungsschritte

geschätzter Mannzeitaufwand

geschätzte Rechenzeit

•

methodengerechte Aufbereitung des Problems

10 %

-

•

Prä-Prozessing

50 %

20 %

•

Rechenlauf

-

70 %

•

Post-Prozessing

30 %

10 %

•

Plausibilitätsprüfung

10 %

-

Bild 1.5: Tätigkeitsanalyse zur Bearbeitung von FE-Problemen Bis vor wenigen Jahren war der manuelle Aufwand bei der Bearbeitung von FE-Problemen noch sehr groß und somit die Durchführung von FE-Rechnungen sehr teuer. Dies hat sich mit der schnellen Weiterentwicklung der Computertechnik aber grundlegend geändert. Die Möglichkeiten zum interaktiven Arbeiten wurden durch eine neue Bildschirmtechnologie verbessert, was wiederum die Voraussetzungen für leistungsfähigere Prozessoren war. Zudem konnte die Rechengeschwindigkeit von Workstations etwa verhundertfacht und die Speicherkapazität verzehnfacht werden. Ein neuer Trend weist zu PC-Lösungen in einer Windows/NT-Arbeitsumgebung, die mittlerweile Workstation in den Leistungsparametern*) überholt haben. Durch diese günstigeren Rahmenbedingungen ergibt sich zunehmend die Chance, auch größere Berechnungsumfänge in vertretbarer Zeit und zu geringeren Kosten zu bearbeiten. Eine weitere Perspektive, vor allem in den USA, geben so genannte MCAE-Systeme (Mechanical Computer Aided Engineering) wie beispielsweise I-DEAS/NX (oder in Ansätzen CATIA V5/SIMULIA, ANSYS Workbench), in denen CAD, FEM, Optimierung und Lebensdauer als Verfahrensstrang zusammengeführt worden sind. Um insbesondere die Möglichkeiten zum Leichtbau (niedriges Eigengewicht, hohe Steifigkeit, beste Materialausnutzung) zielgerichteter genutzt werden können, bedarf es ebenfalls einer besseren Anpassung der Strategie. Realisiert wird dies heute über Kontur- oder Topologieoptimierungsalgorithmen, die die Oberflächenkontur oder die Materialverteilung dem Belastungsverlauf an*)

Anmerkung: Im Jahre 1985 lag die Leistungsfähigkeit eines Micro-VAX-II-Rechnersystems für ca. 1.000 Elemente (≈ 5.000 FHGs) bei 60 Min. CPU; im Jahre 1999 schaffte der Parallelrechner Silicon Origin ca. 280.000 Elemente (≈ 1,2 Mio. FHGs) bei 20 Min. CPU; heute schaffen PCs mit (4 GB-RAM) etwa 500.000 Elemente (≈ 2,0 Mio. FHGs) bei 60 Min. CPU-Zeit.

8

1 Einführung

gleichen. Die FE-Methode entwickelt sich somit immer mehr zu einem Werkzeug der Prävention, in dem Bauteile durch Simulation praxistauglich gemacht werden. Dies erspart Prototypen und aufwändige Nachbesserungen im späteren Nutzungsumfeld.

1.3 Aussagesicherheit einer FE-Analyse Eine Frage, die Anwender immer wieder bewegt, ist die nach der Richtigkeit der Ergebnisse. Überspitzt kann man dazu feststellen: Ein FE-Programm rechnet alles, was formal richtig erscheint. Ob das, was gerechnet wird, jedoch dem tatsächlichen Verhalten gerecht wird, muss letztlich durch ingenieurmäßigen Sachverstand überprüft werden. Bei der Anwendung gibt es nämlich einige Fehlerquellen, die letztlich die Qualität des Ergebnisses negativ beeinflussen: − Ein häufiger Fehler besteht in der physikalisch unkorrekten Annahme der Randbedingungen, welches dann zu einer falschen Spannungsverteilung und falschen Auflagerreaktionen führt. − Ein weiterer Fehler ist, dass die ausgewählten Elemente die Reaktionen des Bauteils nur unzureichend wiedergeben, wodurch die tatsächliche Spannungsverteilung nicht erfasst wird. − Des Weiteren kann es sein, dass zu stark vereinfachte Körpergeometrieverläufe zu nicht vorhandenen Spannungsspitzen führen, oder − das Netz einfach zu grob gewählt wurde, um verlässliche Aussagen machen zu können. Die Anwendung der FEM bedarf somit einiger Erfahrung, da der implizit im Ergebnis mitgeführte Fehler maßgeblich durch die Sorgfalt des Berechnungsingenieurs bestimmt wird. Über die Größe des Fehlers kann regelmäßig nichts ausgesagt werden, da zu komplizierten Bauteilen meist keine exakte physikalische Lösung bekannt ist. Unterstellt man, dass alle Annahmen zutreffend gewählt wurden, so ist für die Genauigkeit des Ergebnisses die Anzahl der Elemente verantwortlich, die zur Bauteilbeschreibung herangezogen wurden. Je feiner also ein Netz gewählt wurde, umso genauer kann ein Bauteil beschrieben werden und umso genauer werden auch die Ergebnisse sein. Aus diesem Grunde bezeichnet man Programme mit dieser Abhängigkeit als h-Versionen, weil eben die Ergebnisgüte eine Funktion von h - dem relativen Elementdurchmesser - ist. Diese Zusammenhänge stellen für die Praxis oft ein Hindernis dar, da man ja eigentlich ein sehr gutes Ergebnis erzielen möchte, für das man aber eine große Elementanzahl benötigt, was wiederum gleichbedeutend ist mit einer sehr langen Rechenzeit. Prinzipiell existiert für dieses Problem aber ein einfacher Lösungsansatz, denn die Funktion Genauigkeit über Elementanzahl oder Freiheitsgrade konvergiert immer monoton gegen das exakte Ergebnis eines FE-Modells. Demnach bräuchte man nur das vorhandene FE-Netz mit einem größeren Teiler zu verfeinern, jeweils das berechnete Ergebnis auftragen und sich die konvergierende Funktion ermitteln. Der Haken bei dieser Vorgehensweise ist der hohe Aufwand an Arbeitsund Rechenzeit, weshalb diese Möglichkeit praktisch nicht genutzt wird. Sieht das Ergebnis (farbige Darstellung mit einem Post-Prozessor) einigermaßen vernünftig aus, so wird in der Regel aus Zeit- und Kostengründen auf eine Netzverfeinerung und Konvergenzuntersuchung verzichtet.

1.3 Aussagesicherheit einer FE-Analyse

9

Diese an sich unbefriedigende Situation ist man in den letzten Jahren mit so genannten pVersionen angegangen. Während in herkömmlichen FE-Programmen das Elementverhalten mit Polynomen erster, zweiter und in Ausnahmefällen dritter Ordnung approximiert wird, wendet man sich heute immer mehr Polynomen höheren Grades (bis 10) zu. Der Vorteil liegt darin, dass mit höherem Polynomgrad die Genauigkeit eines Elementes zunimmt, ohne das Netz verdichten zu müssen. Die Genauigkeitssteigerung erfolgt durch automatisches Hochsetzen des Polynomgrades bei unveränderter Netzgeometrie. Wenn die Ergebnisgüte akzeptabel ist, wird der Rechenlauf abgebrochen.

σV [N/mm2]

Ein Anwendungsbeispiel zur Überprüfung der vorstehenden Aussagen zeigt Bild 1.6. Es handelt sich hierbei um die Viertelsymmetrie einer Nietbrücke aus einem hochfesten Stahl, so wie sie im Flugzeugbau zur Überbrückung von Rissen in der tragenden Struktur eingesetzt wird.

h-Version

783

9

754

8 p-Version

725

5

6

7

4 3

696 h-Version 667

100

p=2

400

1.000

4.000

10.000

13.000 FHGs

Bild 1.6: Spannungsauswertung in der Nietbrücke mit einer h- und p-Version (nach /NN 90/) Für die erste Modellierung mit einer h-Version wurden 2.250 Volumen-Elemente (entspricht 4.000 FHGs) aufgewandt. Die größte Spannungsspitze liegt dann bei 667 N/mm 2 . Wird die Elementanzahl auf 4.500 verdoppelt (entspricht 13.000 FHGs), so steigt die Spannungsspitze

auf 783 N/mm 2 , was einer relativen Spannungszunahme von 15 % entspricht.

10

1 Einführung

Analysiert man das Problem mit einer p-Version, so reichen zur Modellierung 18 VolumenElemente aus. Aus der Auftragung ist mit zunehmendem Polynomgrad die Konvergenz deutlich sichtbar. Erfahrungsgemäß erreicht man mit dem Polynomgrad 6 (entspricht 3.100 FHGs) meist recht gute Ergebnisse, was durch dieses Beispiel ebenfalls belegt werden konnte. Theoretisch kann bis zu einem Polynomgrad 9 ausgewertet werden. Mit der Erhöhung des Polynomgrades nimmt die Rechenzeit jedoch so stark zu, dass p-basierte Lösungen letztlich unwirtschaftlich gegen h-basierte Lösungen sind. Ein weiterer Nachteil ist, dass die p-Methode bevorzugt auf lineare Probleme anwendbar ist und oft bei nichtlinearen Fragestellungen oder in der Dynamik versagt.

1.4 Qualitätsstandards Innerhalb einer Produktentwicklung konnte sich die FEA als ein wichtiger Bestandteil etablieren. Als Dienstleistung kann sie „intern“ im Unternehmen oder „extern“ von einem Ingenieurbüro erbracht werden. Da mit der DIN EN ISO 9001 Vorgaben für die Planung und Durchführung von Produktentwicklungsprozessen gemacht werden, bedeutet dies natürlich auch, dass an die Ausführungsqualität von FE-Berechnungen Vorgaben bestehen, die umzusetzen und einzuhalten sind. Die Norm fordert beispielsweise − ein „Management der Ressourcen“, um die Kundenanforderungen zu befriedigen. Dies umfasst die Fähigkeiten des Personals und eine Infrastruktur an Soft- und Hardware, die sicherstellt, dass Aufgabenstellungen gemäß den Vorgaben erfüllt werden können. − Weiterhin muss eine „Planung und Produktrealisierung“ vorgenommen werden, dies verlangt Aufzeichnungen zum FE-Einsatz und den erzielten Ergebnissen. und − Eine weitere wichtige Forderung ist die „Bewertung, Verifizierung und Validierung“ von FE-Ergebnissen, womit oft verbunden ist, dass letztlich eine verantwortliche Führungskraft durch eine Unterschrift für die Richtigkeit der Ergebnisse einsteht.

Der letzte Punkt wird in der Norm mehrfach herausgestellt und führt letztlich zu der Forderung: − Dienstleistungen müssen validiert werden, wenn die Ergebnisse nicht durch Messung verifiziert werden können.

Im Sinne der Norm bedeutet Validieren, dass Berechnungsergebnisse als gültig erklärt werden müssen und Verifizieren verlangt eine Überprüfung auf Richtigkeit. Interpretiert man dies, so wird also verlangt, dass mittels analytischer Handrechnung Vergleichsergebnisse herangezogen werden. Weisen diese die gleiche Größenordnung auf, so ist zu vermuten, dass das FE-Ergebnis „richtig“ ist. Dies schließt formal auch die richtige Handhabung ein, womit wesentliche Pflichten aus dem Produkthaftpflichtgesetz (ProHfG) und dem BGB abgedeckt sind.

2.2 Kommerzielle Software

11

2 Anwendungsfelder und Software 2.1 Problemklassen Die Methode der finiten Elemente ist für eine große Klasse von technisch-physikalischen Aufgaben interessant, weil sehr tief greifende Analysen möglich werden. Bild 2.1 zeigt eine Zusammenstellung von bisher bekannten Anwendungen. Der Schwerpunkt liegt dabei eindeutig bei Festigkeits-, Potenzial- und Multiphysikproblemen.

•

lineare Elastostatik:

•

nichtlineare Elastostatik: − nichtlineares Materialverhalten (Plastizität) − geometrisch nichtlineare Probleme (Instabilitätsprobleme, große Verschiebungen bei kleinen Dehnungen) − impulsartige große Verformungen (Crash, implizit) − Umformprozesse (ALE-Methode)

•

lineare Elastodynamik:

•

nichtlineare Elastodynamik:

− Hooke‘sches Materialverhalten ( σ = E ⋅ ε )

− Eigenschwingungen − freie und erzwungene Schwingungen − zufallserregte Schwingungen − zeit- und verschiebungsabhängige Kräfte − Stabilität, Kreiselbewegung

•

Starrkörperdynamik:

− MKS bzw. EMKS

•

Elastohydrodynamik:

− Schmierfilm

•

Ermüdungsfestigkeit:

− Schädigung, Lebensdauer, Rissbruch

•

Aeroelastizität:

− elast. Strukturverhalten unter Anströmung

•

Wärmeübertragung:

− stationäre und instationäre Wärmeleitung

•

Thermoelastizität:

− mechanische Beanspruchung unter hohen Temperaturen

•

Flüssigkeitsströmungen: − Sickerströmung, Geschwindigkeits-, Druck- und Temperaturfelder

•

Elektrotechnik:

− elektrisches Strömungsfeld, Magnet- und Wellenfelder

•

Akustik:

− Schalldruckverteilung, Druckstöße

•

Gießtechnologie:

− Spritz- und Druckgießen, Schwerkraftgießen

•

Multiphysik:

− gekoppelte Strömung, Temperatur mit Elastik

Bild 2.1: Methodenstammbaum der FEM (nach /KLE 80/)

B. Klein, FEM, DOI 10.1007/978-3-8348-2134-8_2, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012

12

2 Anwendungsfelder und Software

Ein Kriterium für die Anwendung der Methode ist, dass das physikalische Problem entweder durch eine Differenzialgleichung oder ein äquivalentes Variationsprinzip darstellbar ist. (Dies ist für viele Probleme gegeben, jedoch nicht für alle.) Wir werden später herausarbeiten, dass dies bei den Problemklassen der Elastostatik und Elastodynamik entweder die Differenzialgleichung des Gleichgewichts oder ersatzweise die Gleichheit der inneren und äußeren virtuellen Arbeit ist. Die Befriedigung dieser Gleichungen versucht man mit geeigneten Ansätzen näherungsweise zu erfüllen, wodurch sich der Näherungscharakter der Methode /MAY 93/ ergibt. Bei der Behandlung elastostatischer und elastodynamischer Probleme wendet man heute die so genannte Verschiebungsgrößen-Methode (unbekannt sind die Verschiebungen in einer Struktur) an, in dem man Ansatzfunktionen für das Verschiebungsverhalten der Elemente vorgibt und hiermit ein Gleichungssystem bildet. Früher wurde auch die so genannte Kraftgrößen-Methode (unbekannt sind die Kräfte in einer Struktur) verwandt. Da in der Praxis aber viel häufiger die Kräfte als die Verschiebungen bekannt sind, hat sich in der Theorie und Programmerstellung die Verschiebungsgrößen-Methode durchgesetzt, weshalb diese im Folgenden auch Formulierungsbasis sein soll. Im Zuge der Weiterentwicklung der FE-Methode ist abzusehen, dass über die Stufen Feldprobleme, Multiphysik zukünftig komplexe Systemmodellierungen ein breites Anwendungsfeld darstellen werden. Dynamische bzw. elastodynamische Systeme werden immer tiefer durch die MKS oder EMKS (elastische Mehrkörpersysteme) erschlossen. Zu den wichtigsten Feldproblemen zählen: Wärmeleitung, Potenzialströmung und Magnetismus. Diese Probleme lassen sich auf einen identischen DGL-Typ zurückführen. Je nach Spezifikation der Konstanten kann dann die Fourier’sche Wärmeleitungsgleichung, die Poisson’sche Gleichung für Potenzialströmungen oder die Maxwell’sche Gleichung für die magnetische Kraftwirkung entwickelt werden. Ein entsprechendes FE-Modell ist dadurch gekennzeichnet, dass an den Knoten nur eine skalare Unbekannte (Temperatur, Druck, Magnetfeld etc.) vorkommt und daher ein modifiziertes Programm mit einer anderen Speichertechnik benötigt wird. Weiter sind in den letzten Jahren CFD-Programme*) (Computational Fluid Dynamics) entwickelt worden. Diese stellen eine Realisierung für Strömungsprobleme mit dem Medium Luft oder Wasser dar. Darüber hinaus können auch zähe Strömungen (Kunststoffschmelzen) mit dem Modul MOLDFLOW erfasst werden.

2.2 Kommerzielle Software Der Softwaremarkt hat sich in den letzten Jahren sehr konsolidiert. Während vor 10 Jahren noch etliche hundert große und kleine FE-Programme am Markt waren, hat sich dies auf wenige Systeme konzentriert. Diese werden mit großer Programmierkapazität überwiegend in den USA entwickelt und weltweit vermarktet. Man schätzt den FE-Markt auf ein Volumen von 3-4 Mrd. Dollar/Jahr.

*)

Anmerkung: z. B. kommerzielle Softwareprodukte FLOW-3-D, CFX, StarCD, Fluent

2.2 Kommerzielle Software

13

Im Bild 2.2 ist eine Kurzübersicht über die in Deutschland verbreitetsten Programme wiedergegeben. Die Unterschiede sind im Prinzip gering. Dies schließt nicht aus, dass man in einem speziellen Anwendungsfall gerade die „letzten 5 %“ benötigt.

ADINA

ANSYS

MSC NASTRAN

ABAQUS

I-DEAS/ NX

Festigkeitsanalyse statisch

•

•

•

•

•

Explizite Dynamik

•

•

•

•

-

Stabilitätsanalyse

•

•

•

•

•

Frequenzanalyse

•

•

•

•

•

Lebensdaueranalyse

•

•

•

•

•

Magnetfelder

-

•

-

•

-

Temperatureinflüsse

•

•

•

•

•

Strömung

•

•

•

•

•

Akustik

•

•

•

•

•

k. A.

•

•

•

•

•

•

•

•

•

Plastizität

•

•

•

•

•

Kriechverhalten

•

•

k. A.

•

•

Viscoelastizität/-plastizität

•

•

•

•

-

Verbundwerkstoffe

•

•

k. A.

•

•

CATIA

•

•

•

•

•

Pro/Engineer

•

•

•

k. A.

•

I-DEAS

•

k. A.

•

k. A.

•

SolidWorks

•

•

k. A.

k. A.

•

universell

universell

universell

System Berechnungsoptionen

Optimierung Kontakteinfluss Materialeigenschaften

Schnittstellen zu anderen CAE-Programmen (Auswahl)

Einsatzgebiete

Bild 2.2: Universelle FEM-Programme • verfügbar (gegebenenfalls Erweiterung) - nicht verfügbar k. A. keine Angabe durch den Hersteller

nichtlin. universell Probleme

2 Anwendungsfelder und Software

14

System

LS-DYNA COSMOSM

MSC ADAMS

Pro/Mechanica

PAMCRASH

Berechnungsoptionen Festigkeitsanalyse statisch

•

•

•

•

•

Explizite Dynamik

•

-

•

-

•

Stabilitätsanalyse

•

•

•

•

•

Frequenzanalyse

•

•

•

•

-

Lebensdaueranalyse

•

•

•

•

-

Magnetfelder

-

•

-

-

-

k. A.

•

k. A.

•

-

•

-

k. A.

k. A.

-

Akustik

k. A.

-

k. A.

k. A.

-

Optimierung

k.A.

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

k. A.

k. A.

•

Kriechverhalten

k. A.

•

k. A.

k. A.

-

Viscoelastizität/plastizität

•/-

•/-

k. A.

k. A.

-

•

•

k. A.

k. A.

•

Temperatureinflüsse Strömung

Kontakteinfluss Materialeigenschaften Plastizität

Verbundwerkstoffe Schnittstellen zu anderen CAEProgrammen (Auswahl)

via ANSYS

CATIA

-

k. A.

•

•

k. A.

Pro/Engineer

-

k. A.

-

•

k. A.

I-DEAS

-

•

-

-

•

SolidWorks

-

k. A.

-

-

k. A.

Bewegungssimulation

Elastik, Dynamik, Lebensdauer

Crash

Einsatzgebiete

Crash, Umformung

einfache Strukturanalysen

Bild 2.3: FEM-Programme für spezielle Anwendungen

2.2 Kommerzielle Software

15

Neben den aufgeführten schon sehr leistungsfähigen Universalprogrammen (ADINA, ANSYS, NASTRAN und I-DEAS/NX) existiert beispielsweise mit ABAQUS eine von der Theorie her sehr komplette Implementierung, die auch schwierigste Fälle zu lösen gestattet. Meist liegen diese Fälle schon im Forschungsbereich, sodass ein normaler Anwender dieses Mehr fast nie nutzen wird. Darüber hinaus existieren weitere Spezialprogramme, die ihre Stärken in der Crash-Analyse, Umformsimulation, MKS (ADAMS, visualNASTRAN) oder Lebensdauer (FEMFAT, Pro/MECHANICA) haben. Einige Programme hierzu weist Bild 2.3 aus. Die zukünftige Entwicklungsrichtung der FE-Programme wird mehr in der System- und Prozessschiene liegen, in dem Abläufe oder Ereignisse simuliert werden. In diese Richtung entwickeln sich die MKS-Programmsysteme (Kinematik/Kinetik) und die Prozesssimulation (Umformen, Gießen, Härten, Lackieren etc.), um zunächst „virtuelle Prototypen“ zu qualifizieren. Eine heute schon in der Automobilentwicklung zur Anwendung kommende Methodenkette zeigt Bild 2.4.

3-D-CAD-Bauteilmodell (virtueller Prototyp)

MKS

TOP-OPT/ FORM-OPT

FEM

LDB

Im Vordergrund stehen hierbei die Entwicklungszeiten*) zu reduzieren, in dem virtuelle CAD-Prototypen so lange qualifiziert werden, bis alle vorgegebenen Anforderungen mit erfüllt werden. Danach beginnt erst das Entwicklungsstadium mit „materiellen Prototypen“.

Bauteil-/Systemanalyse

Prozesssimulation

Bild 2.4: Simulation in der Bauteilentwicklung

Ein zielgerichteter FEM-Einsatz erfordert auch ein entsprechendes Rechnerequipment. Heute sind PC-Lösungen unter 32- oder 64-bit-Windows geläufig. Für die 32-bit-Variante ist meist ein DualCore-Prozessor mit 4 GB RAM ausreichend, für anspruchsvollere Anwendungen (größer 500.000 Knoten) sollten schon Rechner mit einem 64-bit-Windows und zwei Prozessoren und 16 bis 32 GB RAM vorgesehen werden.

*)

Anmerkung: In der Automobilindustrie sind die Entwicklungszeiten in den letzten 10 Jahren von 60 Monaten auf 30 Monate bzw. im Maschinenbau von 30 Monaten auf 12 Monate verkürzt worden.

16

3 Grundgleichungen der linearen Finite-ElementMethode Wie zuvor schon angesprochen, ist die FE-Methode eine computerorientierte Berechnungsmethode, da deren Ablauf gut programmierbar ist. Dies setzt voraus, dass alle wesentlichen Gleichungen in eine bestimmte Form gebracht werden müssen. Als besonders zweckmäßig hat sich hierbei die Matrizenformulierung erwiesen, weshalb wir die bekannten Gleichungen der Elastizitätstheorie neu formulieren müssen. Das Ziel besteht in der Aufstellung der finiten Grundgleichungen und der Ermittlung von Zusammenhängen zwischen den Steifigkeiten, Massen, Kräften und Verschiebungen.

3.1 Matrizenrechnung Zum weiteren Verständnis der Methode sind einige Grundkenntnisse in der Matrizenalgebra erforderlich, die darum vorweg noch einmal zusammengestellt werden sollen. Die später noch aufzustellende finite Grundgleichung ist eine Gleichung der Form /ZUR 54/

k ⋅u = p.

(3.1)

Sie gibt einen Zusammenhang an zwischen einer vorhandenen linearen Steifigkeit (k), auftretenden unbekannten Verschiebungen (u) und bekannten Kräften (p). Wir wollen dies nun so verallgemeinern, dass eine Gleichung von der Form /ZUR 54/

A⋅x = y

(3.2)

vorliegen mag. Hierin bezeichnet jetzt A eine rechteckige Anordnung (m x n, d. h. m Zeilen und n Spalten) von Größen, die Matrix genannt werden soll. Mit x soll weiter der Vektor der unbekannten Größen und mit y der Vektor der bekannten rechten Seite bezeichnet werden. Das somit gegebene lineare Gleichungssystem kann auch wie folgt ausgeschrieben werden: ª a 11 «a « 21 « # « ¬ a m1

a 12 a 22

a 13 a 23

a m2

a m3

" "

a 1n º ª x 1 º ª y1 º a 2n » « x 2 » « y 2 » »⋅« » = « » . » « # » « # » » « » « » " a mn ¼ ¬ x n ¼ ¬ y n ¼

(3.3)

Man erkennt somit die Analogie zwischen der Gl. (3.1) und (3.2). Die Elemente a ij in der Matrix A sollen des Weiteren noch Koeffizienten genannt werden. Ohne, dass jetzt schon auf Lösungsverfahren für Gl. (3.2) eingegangen werden soll, ist es natürlich klar, dass die Unbekannten in x zu ermitteln sind. Dies führt zur Operation der Inversion der Koeffizientenmatrix, was symbolisch dargestellt werden kann als

x = A −1 ⋅ y =

adj A ⋅y. det A

B. Klein, FEM, DOI 10.1007/978-3-8348-2134-8_3, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012

(3.4)

3.1 Matrizenrechnung

17

Die Inversion als solches ist im Anhang beispielhaft erläutert. Zur Koeffizientenmatrix sollen aber noch einige Anmerkungen gemacht werden. Dies sei zunächst die Transponierung (Superskript „t“) oder Spiegelung an der so genannten Hauptdiagonalen. Das Transponieren läuft dabei so ab, dass die Elemente a ij der Matrix A durch die Elemente a ji ersetzt werden, d. h., es findet ein Vertauschen der Zeilen und Spalten statt, z. B. ª a11 a12 A = « a 21 a 22 « «¬ a 31 a 32

a13 º a 23 » , » a 33 »¼

ª a11 A = « a12 « «¬ a13 t

a 21 a 22 a 23

a 31 º a 32 » . » a 33 »¼

(3.5)

Hieraus erkennt man weiter, das für symmetrische Matrizen At = A

(3.6)

sein muss. Wir werden nachfolgend wiederholt Vektoren bzw. Spaltenmatrizen transponieren, d. h., aus einer Spaltenmatrix wird eine Zeilenmatrix gebildet: ª y1 º «y » y = « 2» , « # » « » ¬ yn ¼

y t = [ y1 y 2 ... y n ] .

(3.7)

Als besonders wichtig soll hier das Transponieren eines Matrizenproduktes hervorgehoben werden, weil eine Vertauschungsregel wirksam wird. Es gilt:

(A ⋅ B )t = B t ⋅ A t .

(3.8)

Von den Rechenarten mit Matrizen soll hier nur die Multiplikation näher erläutert werden, unter anderem, weil sie vorstehend schon benutzt worden ist. Zunächst ist zu bemerken, dass das Produkt zweier Matrizen nicht vertauschbar ist, d. h. ganz allgemein gilt:

A⋅B ≠ B⋅A .

(3.9)

Bei der Produktbildung muss somit die Multiplikation „von links“ von der „nach rechts“ unterschieden werden. Damit überhaupt zwei Matrizen miteinander multipliziert werden können, muss die Spaltenzahl der ersten Matrix gleich der Zeilenzahl der zweiten Matrix sein:

A ⋅

B

(m x n ) (n x r )

=

C

(m x r)

.

(3.10)

Ist diese Verkettbarkeitsregel nicht erfüllt, so ist das Matrizenprodukt nicht definiert. Mit den Elementen der vorhergehenden Matrizen lautet dann das Produkt:

3 Grundgleichungen der linearen Finite-Element-Methode

18 n

c ij = ¦ a ik ⋅ b kj .

(3.11)

k =1

Diese Regel ist so anzuwenden, dass man das Element c ij der Produktmatrix erhält, wenn man jedes Element der i-ten Zeile der ersten Matrix mit jedem Element der j-ten Spalten der zweiten Matrix multipliziert und die einzelnen Produkte addiert, z. B. ª a 11 a 12 º ª b11 « »⋅« «¬ a 21 a 22 »¼ «¬ b 21

b12 º ª a 11 ⋅ b11 + a 12 ⋅ b 21 a11 ⋅ b12 + a12 ⋅ b 22 º »=« » . b 22 »¼ «¬ a 21 ⋅ b11 + a 22 ⋅ b 21 a 21 ⋅ b12 + a 22 ⋅ b 22 »¼

Im Zusammenhang mit der Multiplikation tritt öfters der Fall auf, dass mit einem konstanten Faktor multipliziert werden muss, diesbezüglich gilt: ª Ȝ ⋅ a11 Ȝ ⋅ a12 " Ȝ ⋅ a1n º » . λ⋅A = « # « » «¬ Ȝ ⋅ a m1 Ȝ ⋅ a m 2 " Ȝ ⋅ a mn »¼

(3.12)

Auch tritt der Fall auf, dass quadratische Matrizen mit der Einheitsmatrix ª1 0 0 º «0 1 0 » » I=«0 0 1 « % » « » 1¼ ¬

multipliziert werden müssen. Ein Nachvollzug beweist, dass

A⋅I = I⋅A = A

(3.13)

ist, d. h., die Reihenfolge spielt in diesem Fall keine Rolle. Als Letztes soll noch kurz auf die Differenziation und die Integration eingegangen werden, was aber als elementar anzusehen ist. Die Differenziation einer Matrix wird elementweise durchgeführt, z. B. ª da11 dA « dx =« dx « da 21 «¬ dx

da12 º dx » » . da 22 » dx »¼

(3.14)

Gleiches gilt für die Integration, die ebenfalls elementweise durchgeführt wird, z. B. ª ³ a11 ⋅ dx

³ a12 ⋅ dx º

«¬ ³ a 21 ⋅ dx

³ a 22 ⋅ dx »¼

³ A ⋅ dx = «

».

(3.15)

3.2 Gleichungen der Elastostatik

19

Auf die ansonsten noch benötigten Besonderheiten der Matrizenrechnung wird im jeweiligen Text und im Anhang näher eingegangen.

3.2 Gleichungen der Elastostatik Im Folgenden sollen linear-elastische Körper unter der Einwirkung von Kräften betrachtet werden. Die demzufolge eintretenden Verformungen sollen als klein, stetig und reversibel angenommen werden. Zur Beschreibung des elastomechanischen Verhaltens eines Körpers sind hierbei 15 Gleichungen erforderlich, und zwar

− 6 Verschiebungs-Verzerrungsgleichungen, − 6 Verzerrungs-Spannungsgleichungen und − 3 Gleichgewichtsgleichungen. In diesen Gleichungen treten insgesamt 15 Unbekannte auf. Dies sind:

− 3 Verschiebungen u t = [u v w ] , − 6 Verzerrungen

İ t = ª İ xx İ yy İ zz Ȗ xy Ȗ yz Ȗ zx º «¬ »¼

und

− 6 Spannungen

ı t = ª ı xx ı yy ı zz IJ xy IJ yz IJ zx º . «¬ »¼

Hierin bezeichnet u(x), v(y) und w(z) richtungsabhängige Verschiebungen in einem kartesischen Koordinatensystem, die wiederum Verzerrungen İ (Dehnungen und Gleitungen) hervorrufen und über das Hooke‘sche Gesetz verknüpft Spannungen ı bewirken. Der Zusammenhang zwischen den Verschiebungen und den Verzerrungen*) ist bekanntlich über Ableitungen gegeben durch ∂u , ∂x ∂v ∂u + , γ xy = ∂x ∂y

ε xx =

∂v , ∂y ∂w ∂v + , γ yz = ∂y ∂z ε yy =

∂w , ∂z ∂u ∂w + . γ zx = ∂z ∂x ε zz =

(3.16)

Hier werden partielle Ableitungen benutzt, weil ein räumliches Verhalten beschrieben werden soll. An dem ebenen Scheiben-Element in Bild 3.1 sind diese Zusammenhänge leicht zu erkennen, welches in der nachfolgenden Ableitung exemplarisch gezeigt wird: *)

Anmerkung: Die Gleitungen ergeben sich durch systematisches Vertauschen im Zähler, beispielsweise γ xy =

∂v ∂u . + ∂x ∂y

3 Grundgleichungen der linearen Finite-Element-Methode

20 y

∂u dy ∂y C'

D'

∂v dy ∂y

π- γ 2 xy D

C

u A' v

dy A

dx

B'

∂v dx ∂x

∂u dx ∂x B

x

Bild 3.1: Verzerrungen am ebenen Scheiben-Element

ε xx =

A ′B′ − AB AB

§ dx + ∂u dx − dx · ¨ ¸ ∂ ¹ = u, ∂x =© dx ∂x

∂u · § ∂v dy ¸ ¨ dx π π ¨ π dx ∂y ¸ ∂v ∂u γ xy = − <) (D′A ′B′) ≈ − . = + − − 2 2 ¨2 dx dy ¸ ∂x ∂y ¸ ¨ ¹ ©

Unser Ziel ist es aber zu Matrizengleichungen zu kommen. Aus diesem Grund schreiben wir nun Gl. (3.16) symbolisch auf als ª ∂ « ª İ xx º « ∂x « » « 0 «İ » « yy « » « «İ » « 0 zz » « = İ=« «Ȗ » « ∂ xy » « ∂y « « » « Ȗ « yz » « 0 « » « Ȗ ¬« zx ¼» « ∂ « «¬ ∂z

0 ∂ ∂y 0 ∂ ∂x ∂ ∂z 0

º 0 » » 0 » » ∂ » ªuº » « » ∂z » ⋅ « v » = D ⋅ u . » 0 » «« »» w » ¬ ¼ ∂ » ∂y » ∂ » » ∂x »¼

(3.17)

Wir wollen diese Schreibweise jetzt folgendermaßen interpretieren: Wendet man auf die Verschiebungen u die Differenzialoperatorenmatrix D an, so erhält man die Verzerrungen İ .

3.2 Gleichungen der Elastostatik

21

Für lineares isotropes Werkstoffverhalten besteht des Weiteren noch eine eindeutige Beziehung zwischen den Verzerrungen und den Spannungen. Dieses Werkstoffgesetz lautet für elastische 3-D-Körper: σ xx = σ yy = σ zz =

E

[(1 − ν ) ε xx + ν(ε yy + ε zz )],

E

[(1 − ν )ε yy + ν( ε xx + ε zz ) ],

E

[(1 − ν ) ε zz + ν(ε xx + ε yy )],

(1 + ν )(1 − 2ν ) (1 + ν )(1 − 2ν ) (1 + ν )(1 − 2ν )

(3.18)

E τ xy = ⋅ γ xy , 2(1 + ν ) τ yz =

E ⋅ γ yz , 2(1 + ν )

τ zx =

E ⋅ γ zx . 2(1 + ν )

Die hierin eingehenden Werkstoffkonstanten E als Elastizitätsmodul und ν als Querkontraktion sollen zunächst als Einpunktwerte (nicht richtungsabhängig) betrachtet werden. Somit lässt sich auch die vorstehende Gl. (3.18) in symbolischer Matrizenschreibweise darstellen als

ª σ xx «σ « yy « σ zz « « τ xy « τ yz « ¬ τ zx

0 ν ν ª (1 − ν) « 1 0 − ν ν ( ) º « » « (1 − ν) 0 » « (1 − 2 ν) » E « »= « 2 » (1 + ν)(1 − 2 ν) « » « sym. » « ¼ « «¬

0 0 0 0

(1 − 2 ν) 2

º » » ª ε xx » « ε yy » « » « ε zz 0 »⋅« γ » « xy 0 » « γ yz » « (1 − 2 ν) » ¬ γ zx »¼ 2 0 0 0

º » » » » » » » ¼

bzw. verkürzt als Matrixgleichung ı = E⋅İ.

(3.19)

Besonderes Augenmerk wollen wir weiterhin noch auf die Elastizitäts- bzw. Materialeigenschaftsmatrix E richten, die sich also aus dem E-Modul und der Querkontraktion ν zusammensetzen.

Anmerkung: Zuvor ist G =

E 2(1 + ν )

gesetzt worden.

3 Grundgleichungen der linearen Finite-Element-Methode

22

Die bis jetzt für einen dreidimensionalen Körper entwickelten Gleichungen bedürfen in der Anwendung aber noch zwei Spezialisierungen. Dies betrifft insbesondere den Fall des „ebenen Spannungszustandes (ESZ)“ und den Fall des „ebenen Verzerrungszustandes (EVZ)“, die beide bei Bauteilmodellierungen vorkommen können. Der ESZ tritt in dünnen Scheiben auf, z. B. dünnwandigen Leichtbaukonstruktionen. Die Dickenausdehnung kann hierbei vernachlässigt werden, weshalb folgende Annahmen für die Spannungen und Verzerrungen gemacht werden können: ı zz = 0, IJ zx = 0, IJ zy = 0,

aber ε zz ≠ 0 (wegen der Querkontraktion). Somit besteht der folgende Zusammenhang zwischen den Verzerrungen und den Spannungen:

ª ı xx « « ı yy « ¬« IJ xy

º » E »= 2 » 1− Ȟ ¼»

(

)

ª1 Ȟ « «Ȟ 1 « «0 0 ¬

º ªİ » « xx 0 » ⋅ « İ yy (1 − Ȟ ) » « » « Ȗ xy 2 ¼ ¬ 0

º » ». » ¼»

(3.20)

Die Dehnung in Dickenrichtung bestimmt sich weiter zu ε zz =

−ν

(1 − ν )

( ε xx + ε yy ) .

Der EVZ tritt hiergegen in sehr langen zylindrischen Körpern mit konstantem Querschnitt auf, dessen Enden festgehalten werden und die Belastung als Linienlast längs der Mantelfläche erfolgt. Die Annahmen hierfür sind: w = konst. bzw. ε zz = 0 sowie γ yz = 0 und γ zx = 0 aber σ zz ≠ 0 . Der Zusammenhang zwischen den Verzerrungen und den Spannungen ist somit gegeben durch ª (1 − Ȟ ) ª ı xx º « » « E « « ı yy » = Ȟ » (1 + Ȟ )(1 − 2Ȟ ) « « « «IJ » «¬ 0 ¬ xy ¼

Ȟ

(1 − Ȟ ) 0

º ªİ º » « xx » » 0 » ⋅ « İ yy » . (1 − 2Ȟ ) » «« Ȗ »» xy ¼ 2 »¼ ¬ 0

(3.21)

Für die Spannung über die Dicke ergibt sich dann wieder σ zz = ν(σ xx + σ yy ) .

Bis hierhin ist aber noch keine Verbindung zu den äußeren Kräften hergestellt worden. Diese folgt aus der Forderung des Gleichgewichts zwischen den inneren Spannungen und der

3.2 Gleichungen der Elastostatik

23

äußeren Belastung, welche sowohl im Inneren wie auch auf der Oberfläche eines Körpers erfüllt sein muss. Wir wollen dies exemplarisch an dem Quader-Element in Bild 3.2 für die x-Richtung zeigen: ∂τ yx · § ∂σ xx · dx ¸dy ⋅ dz − τ yx ⋅ dx ⋅ dz + ¨¨ τ yx + dy ¸¸ ∂y ∂x ¹ © ¹ ∂τ dx ⋅ dz − τ zx ⋅ dx ⋅ dy + §¨ τ zx + zx dz ·¸dx ⋅ dy − p x ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz = 0 ∂z © ¹

§ ¦ K x = 0: − σ xx ⋅ dy ⋅ dz + ¨ σ xx + ©

oder ∂σ xx ∂τ yx ∂τ zx + + − px = 0 . ∂x ∂y ∂z

(3.22a)

Trägt man an dem Quader auch noch die Kräfte in die anderen Achsenrichtungen ein und bildet wie gezeigt auch hier das Gleichgewicht, so entwickeln sich daraus die anderen Gleichgewichtsbedingungen zu ∂τ xy ∂x

+

∂σ yy ∂y ∂τ yz

+

∂τ zy ∂z

− p y = 0,

(3.22b)

∂τ xz ∂σ + + zz − p z = 0. ∂x ∂y ∂z

y τyx + dx

∂τyx ∂y

dy

τzx σxx

σxx +

px dy τyx

dz

∂σxx dx ∂x

∂τzx τzx + dz ∂z

x

z

Bild 3.2: Kräftegleichgewicht am Quader-Element aus dem Körperinneren Berücksichtigt man ferner noch das Momentengleichgewicht um die Schwerachsen, so führt dies zum Satz von der Gleichheit der zugeordneten Schubspannungen:

3 Grundgleichungen der linearen Finite-Element-Methode

24

τ xy = τ yx , τ yz = τ zy und τ zx = τ xz .

Damit kann die Gleichgewichtsgleichung auch geschrieben werden als

ª ∂ « « ∂x « 0 « « « 0 «¬

0

0

∂ ∂y

0

0

∂ ∂z

∂ ∂y ∂ ∂x 0

0 ∂ ∂z ∂ ∂y

ª ı xx º « » ∂ º « ı yy » » » ª p x º ª0º ∂z » « « ı zz » « » « » » − « p » = « 0 ». 0 »⋅« » «IJ » « y » « » xy » « p » «0» ∂ » « » « » ¬ z¼ ¬ ¼ IJ ∂x »¼ « yz » «IJ » ¬ zx ¼

(3.23)

Vergleicht man hierin die auftretende Differenzialoperatorenmatrix mit Gl. (3.17), so lässt sich die Gleichgewichtsgleichung auch verkürzt angeben als

Dt ⋅ı − p = 0 .

(3.24)

Da mit den hergeleiteten Gleichungen die gesamte Elastostatik beschrieben ist, wollen wir noch einmal mit Blick auf das konstitutive Gleichungssystem zusammenfassen: − Mit u t = [u v w ]

ist ein räumlicher Verschiebungsvektor definiert worden. − Durch die Gleichung İ = D⋅u,

(3.25)

vielfach auch kinematische Verträglichkeit genannt, werden die auftretenden Verschiebungen mit den Verzerrungen verknüpft. Als Randbedingungen kann hier vorkommen, dass die Verschiebungen u = u auf der Verschiebungsoberfläche vorgeschriebene Werte annehmen. − Durch die Gleichung ı = E⋅İ

(3.26)

ist das Hooke’sche Stoffgesetz formuliert, welches die Verzerrungen mit den Spannungen linear verknüpft. Hierbei ist E = f (E, ν ) die Materialeigenschaftsmatrix, welche durch den Elastizitätsmodul E und die Querkontraktion ν gegeben ist. Die Gleichungen gelten für isotrope homogene Körper. Hierzu zählen eigentlich alle Metalle.

3.2 Gleichungen der Elastostatik

25

− Als Letztes gilt es, über die Gleichgewichtsgleichung

Dt ⋅ı − p = 0

(3.27)

den Kräftezustand zu berücksichtigen. Der Vollständigkeit halber sollen jetzt noch einige Sonderfälle betrachtet werden, wo das Stoffgesetz /LOR 95/ differenzierter anzusetzen ist: − Es liegen vor der mechanischen Belastung bereits schon so genannte Anfangsspannungen ı o *) (z. B. Eigenspannung aus Vorverformungen oder Schweißen) vor. Für diesen Fall ist

ı = ı el + ı o = E ⋅ İ + ı o anzusetzen, welche eine Addition der mechanischen Zusatzspannungen erfordert. − Es liegen vor der mechanischen Belastung bereits so genannte Anfangsdehnungen İ o **), z. B. Wärmedehnungen, vor. Für diesen Fall gilt mit den Anfangsdehnungen in den drei Raumrichtungen İ o t = α L ⋅ T [1 1 1 0 0 0 ]

somit für das Stoffgesetz ı el = E(İ − İ o ) .

(5.28)

Wie gemeinhin bekannt ist, ergibt sich die richtungsabhängige Anfangsdehnung aus dem Produkt Längenausdehnungskoeffizient ( α L . T) mal Elastizitätsmodul E. Die elastische Spannung folgt aber aus der Differenz der Dehnungen, wobei eine statisch bestimmte Lagerung vorausgesetzt sei. Bei der Modellierung von Wärmedehnung können unterschiedliche Verhaltensweisen vorliegen. Liegt eine unbehinderte Wärmedehnung vor, so dehnt sich der Körper aus, ohne Zwangsdehnungen bzw. Zwangsspannungen hervorzurufen. Bei Rücknahme der Temperatur nimmt der Körper wieder seine Ursprungsgeometrie ein. Völlig anders verhält sich dagegen ein körper, bei dem die Wärmeausdehnung behindert ist. Ein Beispiel dafür mag der gezeigte dünnwandige Behälter im umseitigen Bild 3.3 geben, der von Raumtemperatur nun hoch gefahren werden soll auf einen Temperaturzustand von T = 200 °C. Infolge der Einspannbedingungen (Anschraubung an einer Bodenplatte) ergeben sich jetzt mechanische Zwangsspannungen, die zu einer Werkstoffbeanspruchung führen. *)

**)

Anmerkung:

Anfangsspannungen ı o sind Spannungen, mit denen keine Dehnungen verbunden sind, d. h. Spannungen, die im undeformierten Zustand eines Elementes vorhanden sind. Anmerkung: Anfangsdehnungen İ o sind Dehnungen, die in Elementen eingeprägt sind, ohne dass Spannungen erzeugt werden.

3 Grundgleichungen der linearen Finite-Element-Methode

26

a)

b)

Bild 3.3: Behälter unter Temperaturbeanspruchung a) ohne Ausdehnungsbehinderung durch Randbedingungen b) mit Ausdehnungsbehinderung durch Randbedingungen

3.3 Grundgleichungen der Elastodynamik Bei allen Problemstellungen, wo die einwirkenden Kräfte zeitabhängig sind, werden auch die Verschiebungen u(x, y, z; t), Verzerrungen İ (x, y, z; t) und damit Spannungen ı (x, y, z; t) sowohl weg- wie zeitabhängig sein. Im zu erstellenden Zusammenhang führt dies zu einer erweiterten Formulierung der Gleichgewichtsgleichung, und zwar in dem gemäß des d'Alembert‘schen Prinzips so genannte beschleunigungsproportionale Trägheits-

3.4 Finites Grundgleichungssystem

27

kräfte (-ρ . ü) berücksichtigt werden müssen. Die erweiterte Gleichgewichtsgleichung bzw. der Impulssatz (3.27) lautet somit: D t ⋅ ı − p = −ρ ⋅ ü .

(3.29)

Vielfach treten in Systemen noch zusätzliche dissipative Kräfte auf, die Schwingungsauslenkungen dämpfen. Diese Kräfte wirken ebenfalls der Bewegung entgegen und können gewöhnlich geschwindigkeitsproportional (-c . u ) angesetzt werden. In späteren Betrachtungen werden wir noch einmal auf die Besonderheiten der Elastodynamik eingehen.

3.4 Finites Grundgleichungssystem Für die Problemklassen Elastik und Dynamik sind also mit Gl. (3.27) und (3.29) jeweils die Gleichgewichtsgleichungen definiert worden. Beide Gleichungen stellen Differenzialgleichungen dar. Auf Grund der Ausführungen in Kapitel 2 ist uns bisher bekannt, dass wir zur näherungsweisen Verarbeitung einer Differenzialgleichung zwei Möglichkeiten haben, und zwar einmal durch Heranziehen des Variationsprinzips eine Ersatzgleichgewichtsgleichung zu formulieren oder mit dem Ansatz von Galerkin die Differenzialgleichung in ein Funktional zu verwandeln. Der grundsätzliche Vorteil ist darin zu sehen, dass unabhängig von der Ordnung der DGL diese jeweils linearisiert wird. Da diese Vorgehensweisen fast gleichwertig sind, sollen hier beide Lösungswege zur Gewinnung der finiten Systemgleichung kurz demonstriert werden. 3.4.1 Variationsprinzip

Das Variationsprinzip nutzt das Prinzip der virtuellen Arbeit (PVA), die für einen elastischen Körper eine Ersatzgleichgewichtsbedingung darstellt. Bevor wir die virtuellen Arbeiten an einem Körper einführen, bedarf es noch einiger Klärungen bezüglich des Begriffs Variation. Als äußere virtuelle Arbeit bezeichnet man die Arbeit der äußeren Kräfte mit ihren virtuellen Verschiebungen. Mit virtuellen Verschiebungen δu meint man dabei kleine gedachte Verschiebungen, die kinematisch möglich sind und die Randbedingungen nicht verletzen. Voraussetzung ist somit, dass der Verzerrungszustand beschränkt (Stetigkeit der Verschiebungen) ist, der Stoffzusammenhalt (keine Klaffungen oder Überlappungen) gewahrt bleibt und die Randbedingungen nicht verletzt werden. In analoger Weise kann die innere virtuelle Arbeit eingeführt werden. Sie ist die Arbeit der inneren Spannungen, die mit den virtuellen Verzerrungen geleistet wird. Die virtuellen Verzerrungen δ İ leiten sich durch Differenziation von den virtuellen Verschiebungen ab. Über das Prinzip der virtuellen Arbeit kann nun verallgemeinert die Ersatzgleichgewichtsgleichung /BUC 73/ formuliert werden: Ein elastischer Körper ist unter gegebenen äußeren Kräften im Gleichgewicht, wenn die äußere virtuelle Arbeit gleich der inneren virtuellen Arbeit ist,

3 Grundgleichungen der linearen Finite-Element-Methode

28 d. h.

δWa = δWi

(3.30)

wird.

Um dieses Prinzip nun anwenden zu können, müssen wir die beschriebenen Arbeiten definieren. Dazu denken wir uns im Bild 3.4 einen beliebigen elastischen Körper. Die Oberfläche dieses Körpers soll nun so aufgeteilt werden, dass mit O u ein Verschiebungsrand für vorgeschriebene Verschiebungen u und mit O σ ein Spannungsrand für gegebene Kräfte q (verteilte Oberflächenlasten) und F (konzentrierte Einzellasten) vorliegen. Im Inneren sollen noch Volumenkräfte p (Eigengewicht, Fliehkräfte o. Ä.) auftreten. y F

q

Oσ x

Ou p

3

z

Ou , Oσ ∈ D

u = u auf O u

Bild 3.4: Zugelassene äußere Lasten an einem 3-D-Körper (Hilbert-Raum) Die virtuelle Endarbeit der äußeren Lasten kann dann folgendermaßen angesetzt werden: įWa = įu t ⋅ F + ³ įu t ⋅ p dV + ³ įu t ⋅ q d 0 . V

(3.31)

0

Hierzu korrespondiert die innere virtuelle Endarbeit δWi = ³ įİ t ⋅ ı dV . V

Gemäß Gl. (3.30) sollen die Arbeiten gleichgesetzt werden, was zu der Identität

(3.32)

3.4 Finites Grundgleichungssystem

29

t t t t ³ δ İ ⋅ ı dV = δ u ⋅ F + ³ įu ⋅ p dV + ³ į u ⋅ q d 0

V

V

(3.33)

0

führt. Die uns bekannten Beziehungen für die Verzerrungen İ = D⋅u

bzw. für die Transponierung der Verzerrungen į İ t = įu t ⋅ D t und für die Spannungen ı = E⋅İ = E⋅D⋅u

sollen nun mit dem Ziel eingeführt werden, die Spannungen zu eliminieren. Aus Gl. (3.31) folgt somit die Variationsgleichung t t t t t ³ įu ⋅ D ⋅ E ⋅ D dV ⋅ u = įu ⋅ F + ³ įu ⋅ p dV+ ³ įu ⋅ q d0 .

V

V

(3.34)

0

Da bisher noch keine Näherung benutzt worden ist, gilt die vorstehende Beziehung exakt, wenn mit u die tatsächlichen Verschiebungen benutzt werden. An dieser Stelle setzt aber jetzt die Näherung der Finite-Element-Methode ein, in dem für die Verschiebungen eines Elements ein Ansatz gemacht werden soll. Um diesen Schritt verständlich zu machen, soll in einem kleinen Exkurs das Biegeproblem in Bild 3.5 betrachtet werden. Für den eingespannten Balken wollen wir hier per Approximation mit verschiedenen Funktionen versuchen, die Biegelinie zu ermitteln. Man erkennt hierbei Folgendes: ˆ 1 ) verstößt gegen die Zwänge der Randbedingung − Der Ansatz mit Kreisbogenform ( w und wird die Durchbiegung nur ungenau wiedergeben. ˆ 2 ) kann zwar die Form der Biege− Durch die Wahl eines trigonometrischen Ansatzes ( w linie abgeschätzt werden, jedoch ist auch hier die Durchbiegung noch sehr ungenau. ˆ 3 ) kann sowohl die Form als auch der Betrag der Durch− Mit einer Parabel 4. Grades ( w biegung recht gut abgeschätzt werden. Der Ansatz liegt auch sehr nahe an der „Kettenlinie“. − Die Kettenlinie selbst ist eine Potenzfunktion 3. Grades, insofern bietet es sich an, einen ˆ 4 ) zu wählen. Approximationsansatz 3. Ordnung ( w − Im Allgemeinen ist es so, dass mit einer Vergrößerung der Elementanzahl, d. h. Verfeineˆ sich immer mehr der exakten Lösung w rung der Struktur, das Näherungsergebnis w nähert. Das gewählte Balkenbeispiel ist dafür kein schöner Beweis, da man in Folge des ˆ 4 ) bereits eine sehr gute Lösung „richtigen“ Ansatzes schon mit zwei Elementen (und w erhält, die sich kaum noch verbessern lässt.

3 Grundgleichungen der linearen Finite-Element-Methode

30 ξ = x/L

q

ˆ w

ˆ1 = w

q ⋅ L4 2 16 ξ4 − 24 ξ + 5 384 E ⋅ J

q ⋅ L4 3 2 ξ4− 2ξ + ξ 24 E ⋅ J 4 q ⋅ L4 ⋅ cos π ⋅ ξ wˆ 2 = α 0 ⋅ cos π ⋅ ξ ≡ π5 ⋅ E ⋅ J ˆ3 = w

x

ˆ 4 = α 3 ⋅ x 3 + α 2 ⋅ x 2 + α1 ⋅ x + α0 w w w exakt =

100 % ˆx% w

2

4

6

8

q⋅L 384 E ⋅ J

10 n (=Anzahl Elemente)

Bild 3.5: Konvergenzverlauf einer Approximationsfunktion für Balkenbiegung Auf dieser Erkenntnis aufbauend, wollen wir uns wieder Gl. (3.34) zuwenden, in dem wir jetzt einen Verschiebungsansatz von der Form u = G ⋅d

(3.35)

einführen wollen. Mit diesem Ansatz wird also eine Verbindung zwischen beliebigen Verschiebungen u in einem Körper über bestimmte „Stützstellen“ d (Knotenverschiebungen) hergestellt. Diese Verbindung wird über die Zeilenmatrix G gebildet, die insofern also Ansatzfunktionen enthalten muss. Stellt man zu Gl. (3.35) noch die Variation

įu t = įd t ⋅ G t , auf, so kann nun Gl. (3.34) ausformuliert werden zu

3.4 Finites Grundgleichungssystem

31

t t t t t t t t t ³ įd ⋅ G ⋅ D ⋅ E ⋅ D ⋅ G dV ⋅ d = įd ⋅ G ⋅ F + ³ įd ⋅ G ⋅ p dV+ ³ įd ⋅ G ⋅ q d0 ,

V

V

0

da dies für alle Variationen gelten muss, kann auch t t t t ³ (D ⋅ G ) ⋅ E ⋅ (D ⋅ G ) dV ⋅ d = G ⋅ F + ³ G ⋅ p dV + ³ G ⋅ q d0

V

V

(3.36)

0

geschrieben werden. Analysiert man diese Gleichung, so stellt man fest, dass auf der linken Seite das Produkt einer Steifigkeit mit einem Weg steht, welches auf der rechten Seite gleich den äußeren Kräften ist. Je nach gewähltem Ansatz kann diese Gleichung nicht exakt erfüllt werden. Für Gl. (3.36) wollen wir verkürzt k ⋅ d = pˆ .

(3.37)

schreiben. Dies ist die gesuchte finite Grundgleichung, in der die Knotenverschiebungen d über die Elementsteifigkeit k mit den gesamten äußeren Kräften pˆ in Relation stehen. Als Vorschrift zur Berechnung der Steifigkeitsmatrix haben wir t

t

k = ³ (D ⋅ G ) ⋅ E ⋅ (D ⋅ G ) dV ≡ ³ B ⋅ E ⋅ B dV V

(3.38)

V

erhalten. Die auf der rechten Seite von Gl. (3.36) stehenden Ausdrücke stellen insbesondere Beziehungen dar, wie Kräfte auf die Knoten eines vernetzten Gebietes zu verteilen sind. Zur Matrix der Ansatzfunktion G t = [g1, g 2, !] soll noch bemerkt werden, dass die hierfür zu wählenden Glieder bevorzugt als Polynome zu wählen sind, wie beispielsweise g 1 = 1, g 2 = x , g 3 = y , g 4 = x 2 , g 5 = x ⋅ y , g 6 = y 2 usw .

Es ist leicht nachvollziehbar, dass diese Ausdrücke einfach zu integrieren und zu differenzieren sind. 3.4.2 Methode von Galerkin Ein andere Möglichkeit, die finite Grundgleichung zu finden, besteht in der Methode von Bubnov/Galerkin*) oder allgemein in der Methode des gewichteten Restes. Von der Idee her wird eine Differenzialgleichung genommen, in der für die Unbekannte ein Ansatz gemacht wird und man für das Integral des Restes verlangt, dass es möglichst klein wird /BAT 86/.

*)

Anmerkung: Boris G. Galerkin, russischer Mathematiker (1871-1945), arbeitete auf dem Gebiet der näherungsweisen Integration von DGLs. Galerkin nutzte die so genannte schwache Formulierung zur Lösung einer DGL im integralen Sinne.

3 Grundgleichungen der linearen Finite-Element-Methode

32

Da wir es hier mit einem Grundprinzip zu tun haben, soll der mathematische Hintergrund nur kurz betrachtet werden. Nehmen wir an

L[u ] = r

(3.39)

sei die differenzielle Formulierung eines physikalischen Problems. Hierin bezeichnet L[u] eine abgeleitete Zustandsgröße und r eine bekannte rechte Seite. Des Weiteren soll noch mit R B ( u ) = R ( u ) − R grenz = 0

(3.40)

eine Randbedingung vorgegeben sein. Die „gewichtete Restmethode“ geht nun davon aus, dass sich die Lösung für Gl. (3.39) darstellen lässt als n

u = ¦ g i ⋅ a i −1 = a 0 + a1 ⋅ x + a 2 ⋅ x 2 + ! + a n ⋅ x n ,

(3.41)

i =1

wobei a i −1 Multiplikatoren und g i linear unabhängige Funktionen sind. Der Ansatz sollte hierbei mindestens die Randbedingung erfüllen. Setzt man jetzt diesen Näherungsansatz in die DGL ein, so wird wahrscheinlich eine absolute Identität der linken und rechten Seite nicht zu erfüllen sein, sondern es wird mit WR ein Restwert WR = L[u ] − r ≠ 0

(3.42)

übrig bleiben, den es in idealer Weise zu minimieren gilt. Nach der Methode von Galerkin ist

³ g i ⋅ WR B = Lösungs − bereich

⋅ dB +

³ gi ⋅ R B R = Rand

⋅ dR = 0

(3.43)

zu fordern. Wir wollen dies nunmehr übertragen auf die DGL des Gleichgewichts (3.24), die vereinbarungsgemäß eine Matrizengleichung darstellt. Entsprechend des beschriebenen Formalismus multiplizieren wir diese DGL mit einer Ansatzfunktionsmatrix G t und integrieren über das Volumen eines Körpers. Man erhält t t ³ G (D ⋅ E ⋅ D ⋅ u − p ) dV = 0 .

(3.44)

V

Randbedingungen sind im vorliegenden Fall nicht zu berücksichtigen, weshalb das Problem vollständig beschrieben ist. Später werden wir im Kapitel 11.2 bei der Behandlung von Wärmeleitungsproblemen erkennen, dass für eine Lösung verschiedene Randbedingungen maßgebend sein können. Als Nächstes führt man in Gl. (3.44) den bekannten Ansatz u = G ⋅d

3.4 Finites Grundgleichungssystem

33

ein. Die Knotenverschiebungen sind somit nichts anderes, als die noch zu bestimmenden Multiplikatoren und daher für uns die eigentliche Lösung des diskretisierten Problems. Setzen wir jetzt den Ansatz in dieser Form ein, so folgt t t t ³ G (D ⋅ E ⋅ D ⋅ G ) dV ⋅ d − ³ G ⋅ p dV = 0

V

V

oder besser zusammengefasst

³ (D ⋅ G )

(

t

)

t

⋅ E ⋅ D ⋅ G dV ⋅ d − ³ G ⋅ p dV = 0 .

V

(3.45)

V

Man erkennt hierin die Analogie zu Gl. (3.36) und hat wieder die finite Grundgleichung k ⋅ d = pˆ

gefunden. Sollen zu den angesetzten Volumenkräften auch noch andere Kräftegruppen berücksichtigt werden, so ist die rechte Seite der Gl. (3.45) um diese Kräfte geeignet zu vervollständigen. Zur Abrundung elasto-mechanischer Probleme soll die Galerkin’sche Methode auch noch auf die dynamische Gleichgewichtsgleichung (3.27)*) angewandt werden. Aus  + D t ⋅ E ⋅ D ⋅ u − p = 0 ȡ⋅u

folgt dann wieder t§ t · ³ G ¨© ρ ⋅ u + D ⋅ E ⋅ D ⋅ u − p ¸¹ dV = 0

V

bzw. nach Einsetzen des Ansatzes t  + ³ (D ⋅ G ) t ⋅ E ⋅ (D ⋅ G ) dV ⋅ d − ³ G t ⋅ p dV = 0 . ρ ³ G ⋅ G dV ⋅ d V

V

(3.46)

V

Dies ist gleichzusetzen mit der bekannten Schwingungsdifferenzialgleichung  + k ⋅ d − p ˆ = 0. m⋅d

(3.47)

Für die neu auftretende Massenmatrix ist somit auch die Bildungsvorschrift bekannt: t

m = ȡ ³ G ⋅ G dV .

(3.48)

V

*)

Anmerkung: Herleitung der dynamischen DGL

³ ρ dV ⋅ ü + ³ D

t

⋅ E ⋅ D dV ⋅ u − ³ p dV = 0

34

4 Die Matrix-Steifigkeitsmethode Ein vom Verständnis der Vorgehensweise guter Einstieg in die Finite-Element-Methode stellt die von der Tragwerksberechnung her bekannte Matrix-Steifigkeitsmethode /HAH 75/ dar. Wie man später erkennen wird, ist der ablaufende Formalismus dem der FE-Methode völlig identisch. Zur Begründung der Theorie ist im Bild 4.1 ein beliebiges elastisches Tragwerk dargestellt. Die einwirkenden äußeren Kräfte werden dieses Tragwerk verformen, sodass eine Durchsenkung festzustellen sein wird.

F1 y

y, v

F2 v1

u1

F3

v2

v u3 3

x, u

x

unverformter Körper verformter Körper

Bild 4.1: Verformungszustand einer elastischen Tragkonstruktion Bei unterstellten kleinen Verformungen und vorausgesetzter Linearität kann zwischen den Kräften und den Verschiebungen folgender Zusammenhang angegeben werden: − Die Verschiebung u i t = [u i v i ] von Körperpunkten hängt eindeutig von der Wirkung aller Kräfte Fi ab: u i = u i (Fi ),

i = 1, ..., n.

− Im Fall der Linearität muss auch die Umkehrung gelten, und zwar gehört zu einem Verformungszustand ein eindeutiger Kräftezustand: Fi = Fi (u i )

i = 1, ..., n.

Hieraus ist zu folgern, dass die Kräfte über eine Steifigkeit mit den Verschiebungen linear verknüpft sind, d. h. eine Beziehung Fi =

n

¦ k ij ⋅ u i ,

i = 1, ..., n

j=1

besteht. Entwickelt man weiter Gl. (4.1) als Matrizengleichungen, so gilt auch

B. Klein, FEM, DOI 10.1007/978-3-8348-2134-8_4, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012

(4.1)

4 Die Matrix-Steifigkeitsmethode ª F1 º ª k11 «F » «k « 2 » = « 21 « # » « # « » « ¬ Fn ¼ ¬ k n1

35

" k1n º ª u1 º k 22 " k 2 n » « u 2 » »⋅« » . # # » « # » » « » k n 2 " k nn ¼ ¬ u n ¼ k12

(4.2)

Die hierin auftretenden Koeffizienten k ij heißen Verschiebungseinflusszahlen und sind nach Maxwell symmetrisch, d. h. es gilt k ij = k ji . Damit ist auch die Koeffizientenmatrix symmetrisch über die Hauptdiagonale. Besonders vorteilhaft lässt sich die Matrix-Steifigkeitsmethode bei stabartigen Tragwerken anwenden. Die prinzipielle Vorgehensweise soll hier aber für ein Federelement (Stabanalogie) dargestellt werden, so wie es im Bild 4.2 eingeführt ist.

a)

1 F1

u1

b)

2 u2

c1

1 F1

1

u1 1

1

2

c1

u2

1

2 2

c) F1

u1

Knotenzähler Elementzähler

F2

F2

2

3 u3

c2

2

1

F2

2

c1

u2

c2

F3

3

FR = F3 u3 = 0

Bild 4.2: Vorgehensweise der Matrix-Steifigkeitsmethode (nach /HAH 75/) am Federmodell a) Ansatz für das lineare Federelement b) Systemansatz für zwei Federelemente c) gebundenes System (ci = Federkonstante; ci = (G · di4 ) / (8 · Di3 · w))

4 Die Matrix-Steifigkeitsmethode

36

Das Federelement repräsentiert dabei ein eindimensionales finites Element. Alle Informationen des Elements werden über die Knoten gegeben, die zufolge der Kräfte dann Verschiebungen ausführen. Auf Elementebene lässt sich somit die Steifigkeitsbeziehung formulieren: F1 = c ⋅ Δu12 = c ⋅ u1 − c ⋅ u 2 ,

(4.3)

F2 = c ⋅ Δu 21 = c ⋅ u 2 − c ⋅ u1 .

Matriziell kann dies geschrieben werden als ª F º ª c − c º ª u1 º p = « 1» = « ⋅ = k ⋅u. c »¼ «¬ u 2 »¼ ¬ F2 ¼ ¬ − c

(4.4)

Die abgespaltene 2-x-2-Matrix k stellt hierbei die Elementsteifigkeitsmatrix einer Feder dar. Will man hingegen die Beziehung für ein System entwickeln, so müssen so viele Gleichungen aufgestellt werden, wie Unbekannte vorhanden sind und die Randbedingungen berücksichtigt werden. Im zu Grunde liegenden Beispiel soll ein System aus zwei Federn betrachtet werden, bei denen in zwei Knoten Kräfte eingeleitet werden und der dritte Knoten festgehalten ist. Die Systembeziehungen für die Kräfte lassen sich durch wechselseitiges Festhalten der Knoten und die dann wirksame Federgleichung folgendermaßen entwickeln: u1 = u 2 = 0: u1 = u 3 = 0: u 2 = u 3 = 0:

F3 = c 2 ⋅ u 3, F2 = (c1 + c 2 ) u 2 , F1 = c1 ⋅ u1,

F2 = −F3, F1 = 0; F1 = −c1 ⋅ u 2 , F3 = −c 2 ⋅ u 2; F2 = −F1, F3 = 0.

werden diese Gleichungen dem Kraft-Verschiebungszusammenhang zugeordnet, so kann 0 º ª u1 º − c1 ª F1 º ª c1 «F » = «− c c + c » « » 2 − c2 » ⋅ « u 2 » « 2» « 1 1 c 2 »¼ ¬« u 3 ¼» − c2 ¬« F3 ¼» «¬ 0 bzw. P = K⋅U

(4.5)

angegeben werden. Die Gl. (4.5) drückt hierin den System- bzw. Strukturzusammenhalt aus, während Gl. (4.4) als Elementgleichung aufgestellt worden ist. An der Systemsteifigkeitsmatrix K ist zu erkennen, dass diese ebenso symmetrisch ist wie die beiden zusammengefassten Elementmatrizen. Weiterhin ist an der Matrix zu erkennen, dass diese auch sofort durch Blockaddition (direkte Steifigkeitsmethode = Überlagerung am gemeinsamen Knoten) darstellbar wäre. Dies ist eine besondere Eigenart von Systemen, die aus eindimensionalen Elementen (Stäbe, Balken) aufgebaut sind.

4 Die Matrix-Steifigkeitsmethode

37

Das vorstehende Gleichungssystem ist aber so nicht auflösbar, da die Randbedingungen bisher unberücksichtigt geblieben sind, d. h., das System kann insgesamt noch eine Starrkörperbewegung ausführen, was sich in der Singularität der Gesamtsteifigkeitsmatrix ausdrückt. Ein Kennzeichen eines singulären Systems ist, dass die Determinante der Gesamtsteifigkeitsmatrix det (K ) = c1 (c1 + c 2 )c 2 − c1 ⋅ c 2 2 − c12 ⋅ c 2 = 0

verschwindet. Erst für ein statisch bestimmtes System wird die Gleichung auflösbar, welches durch eine positiv definite Gesamtsteifigkeitsmatrix möglich ist. Wird nun in die vorstehende Gl. (4.5) die Randbedingung u 3 = 0 eingearbeitet, so können die Verschiebungen und die unbekannte Reaktionskraft F3 bestimmt werden: − c1 0 º ª u1 º ª F1 º ª c1 « F » = « − c c +c − c2 » ⋅ «u 2 » . « 2» « 1 1 2 » « » − c2 c 2 »¼ ¬« 0 ¼» ¬« F3 ¼» «¬ 0

(4.6)

Dazu muss das Gleichungssystem wie folgt aufgespalten werden: − c1 º ª u1 º ª F1 º ª c1 «F » = «− c c + c » ⋅ «u » ¬ 2¼ ¬ 1 1 2¼ ¬ 2¼ F3 =

[0 − c 2 ]

(4.7)

ªu º ⋅« 1». ¬u2 ¼

(4.8)

Zufolge der beiden vorgegebenen Kräfte F1 , F2 sollen jedoch zuerst die Verschiebungen bestimmt werden, und zwar aus der folgenden Rechnung: 1 ª1 ª u1 º «c + c 1 2 U = « » = K −1 ⋅ P = « « » « 1 «¬ u 2 »¼ « ¬ c2

1 º ªF º c2 » « 1 » »⋅ . 1 » « » « » F » c2 ¼ ¬ 2 ¼

(4.9)

Für die Inversion K −1 ist hierbei die Gleichung im Anhang benutzt worden. Aus der Ausmultiplikation der vorstehenden Gleichung ergeben sich so für die Knotenverschiebungen §1 1 · 1 ¸ F1 + u1 = ¨¨ + ⋅ F2 , ¸ c c c 2¹ 2 © 1 1 1 u2 = ⋅F + ⋅F . c2 1 c2 2

Damit kann weiter die Reaktionskraft bestimmt werden zu

(4.10)

4 Die Matrix-Steifigkeitsmethode

38

º ª§ 1 1 · 1 ¸¸ F1 + ⋅ F2 » « ¨¨ + c c c 2¹ 2 » = −(F + F ) . F3 = [0 − c 2 ] ⋅ « © 1 1 2 » « 1 1 ⋅ F1 + ⋅ F2 » « c2 c2 ¼» ¬«

(4.11)

Manchmal sind auch die Schnittkräfte Sij im Element von Interesse. Für deren Bestimmung gilt, dass diese stets auf Elementebene zu ermitteln sind, und zwar − im Element 1 für den Knoten c und d: 1 · 1 ª§ 1 º ⋅ F2 » − c1 º « ¨ + ¸ F1 + c c c © ¹ 2 2 »⋅« 1 » » « » 1 1 ⋅ F1 + ⋅ F2 c1 »¼ « » c c ¬ ¼ 2 2 §1 c1 c1 c1 1 · ¸¸ F1 + S11 = c1 ¨¨ + ⋅ F2 − ⋅ F1 − ⋅ F2 = F1 c2 c2 c2 © c1 c 2 ¹ S12 = −S11 ª S11 º ª c1 « »=« « » « «¬ S12 »¼ «¬ − c1

− c1 º ª u1 º ª c1 »⋅« » = « » « » « c1 »¼ «¬ u 2 »¼ «¬ − c1

(4.12)

bzw. − im Element 2 für den Knoten d und e: ª S 22 º ª c 2 « »=« « » « «¬ S 23 »¼ «¬ − c 2

− c2 º ªu 2 º ª c2 »⋅« » = « » « » « c 2 »¼ «¬ 0 »¼ «¬ − c 2

§ 1 · 1 ⋅ F1 + ⋅ F2 ¸¸ = F1 + F2 S 22 = c 2 ¨¨ c2 © c2 ¹

− c2 º ª 1 ⋅ F + 1 ⋅ F º 1 2» » ⋅ « c2 c2 » » « » c 2 »¼ «¬ 0 ¼

(4.13)

S 23 = −S 22 . Die Erkenntnis aus diesem Beispiel soll im Weiteren sein, dass man durch die Anwendung eines bestimmten Formalismus zu der Lösung einer bestimmten Klasse von Aufgaben kommt. Verallgemeinert man diese Vorgehensweise, so lassen sich somit hinreichend komplexe Tragwerke behandeln. Ziel muss es also sein, diesen methodischen Ansatz variabel zu entwickeln. Die algorithmische Verallgemeinerung soll jetzt an dem kleinen Tragwerk von Bild 4.3 wie folgt vorgenommen werden: − Mit Fa t = [0 F3x − F3y F4 x 0] sollen die bekannten äußeren Kräfte bezeichnet werden.

− Entsprechend sollen mit Fb t = [F1x F1y F2 x ] die Reaktionskräfte bezeichnet werden.

4 Die Matrix-Steifigkeitsmethode

39

− Sinngemäß bezeichnet Ua t = [v 2 u 3 v3 u 4 v 4 ] die unbekannten Verschiebungen und − U b t = [ u1 v1 u 2 ] die bekannten Randbedingungen (vorgeschriebene Auflagerverschiebungen oder Unbeweglichkeiten). Gemäß diesen Vereinbarungen kann die vorherige Gl. (4.5) bzw. die neu zu erstellende Systemgleichung folgendermaßen partitioniert werden:

ª Fa º ª K aa «F » = «K ¬ b ¼ ¬ ba

K ab º ª U a º . ⋅ K bb »¼ «¬ U b »¼

(4.14)

a) u2 = 0

v2

b)

F3y 2

v3

3

u3

F2x

F3x

y

v4

u1 = 0 F1x 1

v1 = 0

x

4

u4 F4x

ª F2 y = 0 º ª « » « « F3x » « » « « « − F3 y » « K aa » « « « F4 x » « »=« « « F4 y = 0 » « » « « » « « F 1x » « « » «K « F « 1y » « ba » « « F ¬ 2x ¼ ¬

º ª v2 º » » « » « u3 » » » « K ab » « v 3 » » » « » « u4 » » »⋅« » « v4 » » » « » «u = 0» 1 » » « K bb » « v1 = 0 » » » « » «u = 0» ¼ ¬ 2 ¼

F1y

Bild 4.3: Fachwerk aus Stab-Elementen (alle Knoten 2 FHGs) a) Modell mit Kräften und Lager b) beschreibendes Gleichungssystem Wir haben es hier also mit einer Hypergleichung zu tun, in der mit Fa, b , U a, b Vektoren und mit K aa , K ab , K bb Untermatrizen vorkommen. Löst man zum Zwecke der Komponentenbestimmung diese Gleichung auf, so folgt daraus Fa = K aa ⋅ U a + K ab ⋅ U b ,

(4.15)

Fb = K ba ⋅ U a + K bb ⋅ U b.

(4.16)

Da die Verschiebungen interessieren, muss Gl. (4.15) aufgelöst werden nach

U a = K aa −1 ⋅ ( Fa − K ab ⋅ U b

)

(4.17)

4 Die Matrix-Steifigkeitsmethode

40

und diese Gleichung zur Bestimmung der Reaktionskräfte in Gl. (4.16) eingesetzt werden, man erhält so

F b = K ba ⋅ K aa −1 ⋅ ( F a − K ab ⋅ U b ) + K bb ⋅ U b .

(4.18)

Bei den meisten technischen Systemen werden unbewegliche Auflager U b = 0 vorliegen; für einen derartigen Fall vereinfachen sich die beiden vorstehenden Gleichungen zu

U a = K aa −1 ⋅ Fa

(4.19)

Fb = K ba ⋅ K aa −1 ⋅ Fa .

(4.20)

und

Der gezeigte Lösungsweg lässt sich nun formal folgendermaßen beschreiben:

− Definition eines mechanischen Beschreibungselements (Stab oder Balken); − matrizielle Formulierung des Zusammenhangs zwischen Knotenkräften und Knotenverschiebungen; Erstellung einer Elementsteifigkeitsmatrix k; − Zusammenbau der Gleichungen zu einem Gesamtkraftvektor P, einem Gesamtverschiebungsvektor U und einer Gesamtsteifigkeitsmatrix K; − Unterdrückung der Starrkörperverschiebungen eines Systems durch die Einführung von Randbedingungen und Partitionierung des Gleichungssystems in unbekannte Verschiebungen U a und unbekannte Reaktionskräfte Fb ; − Lösung der entstandenen Teilgleichungssysteme und Ausweis der Verschiebungen U a und der Reaktionskräfte Fb sowie − gegebenenfalls Rückrechnung zu den Schnittgrößen Sij bzw. Spannungen ı in den Elementen. Von der Methodik des Vorgehens werden wir diese Schritte bei der im Weiteren zu beschreibenden originären FE-Methode alle wieder finden.

41

5 Das Konzept der Finite-Element-Methode In den nachfolgenden Unterkapiteln soll das Konzept der FEM puzzleartig zusammengesetzt werden, weshalb das Kapitel 5 grundlegend für das methodische Verständnis ist. Neben der Darlegung des praktischen Vorgehens liegt der Fokus auf alternative mathematische Formulierungen und letztendlich der Überführung in einen stringenten Gesamtablauf. Um die Theorie möglichst transparent zu halten, werden nur Stab- und Balken-Elemente benutzt. Dies vereinfacht zwar die Darstellung, beschränkt aber nicht die Allgemeingültigkeit der Vorgehensweise. Insofern ist eine Übertragung auf andere Elementtypen oder andere Fragestellungen leicht möglich.

5.1 Allgemeine Vorgehensweise Wie einleitend schon herausgestellt, muss man heute die FEM-Anwendung als integralen Bestandteil einer CAE-Konzeption bzw. konstruktionsbegleitenden Berechnung begreifen. Tatsächlich liegt ein Stück Wirtschaftlichkeit von CAD und FEM darin, wenn CAD-Modelle von Prä-Prozessoren übernommen, mithilfe eines FE-Rechenlaufs verifiziert und die Ergebnisse von Post-Prozessoren schnell ausgewertet und dargestellt werden können sowie die geänderte Geometrie wieder nach CAD zurückgeführt werden kann. Ideale Verhältnisse liegen vor, wenn das komplette CAD-Bauteil in verschiedene Layer aufgebaut worden ist. Für die FE-Berechnung benötigt man nämlich nur die reine Geometrie, sodass die Layer, die Vermaßung oder Text enthalten, ausgeblendet werden können. Des Weiteren kann es sein, dass Bauteile gewisse konstruktive Gegebenheiten enthalten, die für das Festigkeitsverhalten von geringer Bedeutung sind, aber die Netzgenerierung erschweren würde. Demgemäß ist zu prüfen, ob geometrische Details vernachlässigt werden können, ob sich vielleicht Einbau- oder Anbauteile ausklammern lassen oder inwiefern tatsächlich Kontakt /STE 92/ zu berücksichtigen ist. Je nach Bauteilgeometrie und Belastung kann auch ein rekonstruiertes Flächen- oder Volumenmodell ausreichend sein. Ist ein komplexes räumliches Objekt zu analysieren, ist in der Regel ein 3-D-Volumenmodell erforderlich. Im Bild 5.1 ist der prinzipielle Ablauf einer integrativen CAE-Kette dargestellt. •

Aufgabe von CAD-Systemen ist es, vollständige Fertigungs- und Montageunterlagen zu erzeugen. In der Praxis werden dazu Einzelteil-, Gruppen- und Zusammenbau-Zeichnungen angefertigt. Aus der Zusammenbau-Zeichnung sind in der Regel die Funktion und die Belastung zu erkennen.

•

Für die Bewährung einer Struktur kann es dabei wichtig sein, einen Gesamtverbund oder die gefährdeten Einzelteile sicher auszulegen. Im vorliegenden Fall sei unterstellt, dass die Festigkeit des Hebels für einen Mechanismus entscheidend ist und dieser daher mittels FEM analysiert werden soll. Einige FE-Systeme erlauben auch die Berechnung von Baugruppen (z. B. CATIA-V5/GAS), welches natürlich die Realität besser abzubilden hilft.

B. Klein, FEM, DOI 10.1007/978-3-8348-2134-8_5, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012

42

5 Das Konzept der Finite-Element-Methode

•

Aus der Konstruktionsgeometrie ist daher die Berechnungsgeometrie herauszulösen, die Randbedingungen festzulegen und die Einleitung der Kräfte zu bestimmen.

•

Die Berechnungsgeometrie muss dann an das FE-System übergeben werden. Im Regelfall wird es dabei so sein, dass ein Schnittstellenprotokoll als IGES-, VDA-FS-, JT- oder STEP-File erzeugt werden muss. Dieses Protokoll kann weitestgehend (zu 95 %) verlustfrei übertragen werden. Neuerdings wird zwischen einigen CAD- und FEM-Systemen auch eine Direktkopplung (z. B. zwischen CATIA und I-DEAS bzw. ANSYS) realisiert. Die Vollständigkeit der Übertragung wird hierbei garantiert und die Wirtschaftlichkeit nimmt zu, weil eben zeitintensive Wandlungsschritte entfallen und eine Rückkopplung zum CAD-Modell besteht.

•

Mithilfe eines Pre-Prozessors gilt es weiter, die Geometrie zu einem FE-Modell aufzubereiten. Der erste Schritt dazu ist die Bildung von Makros (diese werden gewöhnlich durch drei oder vier Seiten begrenzt), aus denen über die Angabe von abgestimmten Seitenteilern ein Elementnetz generiert werden kann. Hiermit hängt die Typdefinition der Elemente und deren Spezifizierung unmittelbar zusammen, da hierauf begründet das Eingabeprotokoll erstellt wird. Dieses Protokoll muss des Weiteren noch um die Werkstoffkennwerte, die Randbedingungen und die Kräfte vervollständigt werden.

•

Mit dem Eingangsprotokoll liegen alle Informationen für den FE-Löser vor. Dieser baut sich entsprechend der Netztopologie und der Elementkennzeichnung die Steifigkeit der Struktur auf, arbeitet die Randbedingungen und die Kräfte ein und löst das damit entstehende Gleichungssystem nach den Verschiebungen auf: (Steifigkeit) x (Verschiebungen) = (äußere Kräfte).

•

Aus den Verschiebungen können dann in einer Rückrechnung die auftretenden Dehnungen, Spannungen und die Reaktionskräfte ermittelt werden.

•

Für eine rationelle Auswertung nutzt man heute leistungsfähige Post-Prozessoren, die die angefallenen Daten qualitativ und quantitativ auswerten. Derartige Prozessoren können meist die verformte mit der unverformten Struktur zu einem Verformungsbild überlagern, die Dehnungen oder Spannungen als Isolinienplot oder Farbfüllbilder gemäß einer Werteskala auswerten sowie die Größe und Richtung der Reaktionskräfte darstellen.

Wie ersichtlich, hat dieser Ablauf zwar einige schematische Anteile, hieraus ist aber nicht zu schließen, dass eine Problembearbeitung mit FEM einem festen Automatismus gehorcht. So verschiedenartig wie Problemstellungen sein werden, werden auch Lösungsansätze zu entwickeln sein. Das Treffen der Realität hat dabei viel mit der Beherrschung der theoretischen Möglichkeiten und der Ausschöpfung der Fähigkeiten der Programme zu tun. In der Praxis ist zunehmend ein Zusammenwachsen von CAD und FEM (z. B. CATIA-V5 mit dem ELFINI-Modul) zu beobachten. Dies bedingt eines CAE-Spezialisten, der von seinem Ausbildungshintergrund rechnerunterstützte Methoden sicher beherrscht.

5.1 Allgemeine Vorgehensweise

CADBauteil

43

vereinfachtes Analysemodell

CAD-System 3-D-Volumenmodell einer Baugruppe

Problemaufbereitung Herauslösung der Hauptgeometrie ˆ Modellübergabe

IGES-/ VDA-FS-/ JT-/ STEP-File

Direktkopplung

Schnittstelle

FEM-System ˆ Modellübernahme

Pre-Prozessing Konstruktion der Makros Auswahl des Elementtyps Festlegung der Elementteiler Eingabe der Elementdaten Zuweisung der Werkstoffkennwerte Einführung der Randbedingungen Einleitung der Kräfte

Lösung des Gleichungssystems Berechnung der Verschiebungen Berechnung der Spannungen Rückrechnung zu den Reaktionskräften

Post-Prozessing Darstellung der verformten Struktur Darstellung der Spannungsverteilung (Isolinien, Farbfüllbilder)

Bild 5.1: Rechnerunterstützte Bauteilanalyse im interaktiven Dialog

5 Das Konzept der Finite-Element-Methode

44

5.2 FE-Programmsystem Die FE-Programme, die sich heute am Markt durchgesetzt haben, sind weitgehend vollständige und durchgängige Systeme. Mit vollständig soll dabei umschrieben werden, dass man es mit Komplettsystemen zu tun hat, die unter einer abgestimmten Oberfläche einen Prä- und Post-Prozessor, den Gleichungslöser sowie verschiedene Ergänzungsmodule verfügbar haben. Durchgängig kann zudem auch sehr weit reichend sein. Es umfasst die Abbildung von Geometrie- und Materiallinearität oder -nichtlinearität, Kontakt, Elastodynamik, Thermoelastizität sowie sehr schnelle Umformprozesse.

interaktiver Pre-Prozessor

FEM-Universalprogramm

interaktiver Post-Prozessor

linearer Programmteil

nichtlinearer Programmteil

Spezialanwendungen

Elastostatik Elastodynamik, implizite

Materialnichtlinearität (Plastizität, Kriechen)

Temperaturfeldanalyse (stationär, instationär)

große Verformungen, Instabilität (Knicken, Kippen, Beulen)

Fluidströmungen (kompressibel, inkompressibel)

Kontakt

Akustik

Elastodynamik, explizite (Crash)

Spritzgießsimulation

Bild 5.2: Programmstruktur eines kommerziellen FE-Programmsystems Ein typischer Methodenbaum eines FE-Programms ist im Bild 5.2 gezeigt. Der Grundumfang besteht gewöhnlich aus einem linearen Programmteil zur Lösung von elastostatischen und elastodynamischen Problemen. Hieran können verschiedene Spezialanwendungen angekoppelt werden, die eigene Routinen darstellen. Insgesamt besteht bei allen Softwarehäusern

5.3 Mathematische Formulierung

45

das Bestreben, das FEM-Einsatzfeld zu erweitern. Eine sehr wesentliche Erweiterung stellt die Nichtlinearität dar, und zwar in den Ausprägungen Materialnichtlinearität, geometrische Nichtlinearität und nichtlineare Strukturdynamik. Hierbei geht es um die realistische Erfassung des Werkstoffverhaltens (Fließen), großer Verformungen (Instabilität) und die Integration im Zeitbereich (Crash). Darüber hinaus eignen sich noch die Potenzialprobleme (Wärmeleitung, Magnetfelder, elektrische Felder) sehr gut für die numerische Bearbeitung. Somit kann mittlerweile eine große Klasse von Aufgaben der Technik bzw. der technischen Physik mit der FEM abgedeckt werden.

5.3 Mathematische Formulierung Die exemplarische Anwendung der im Kapitel 3.4 dargelegten Beziehungen zur Definition des Steifigkeits-Verschiebungs-Kraft-Zusammenhanges soll im Weiteren jeweils an einem eindimensionalen Stab- und Balken-Element mit ihren unterschiedlichen Knotenfreiheitsgraden gezeigt werden. Dies ist insofern sinnvoll, da mit diesen Einzelfreiheitsgraden später verschiedene Elementtypen aufgebaut werden können. Die Einsatzfelder für Stab-Elemente sind Fachwerke und für Balken-Elemente Rahmentragwerke. Im Maschinen- und Fahrzeugbau sind hiermit vielfältige Anwendungen (Berechnung von Maschinengestellen, SpaceFrame, Wellensysteme etc.) verbunden.

5.3.1 Ebenes Stab-Element Das finite, längssteife Stab-Element ist zuvor schon im Kapitel 4 als diskretes Federelement eingeführt worden. Innerhalb der FEM wird es jedoch als Kontinuumselement*) mit den beschreibenden Eigenschaften Geometrie (A, L) und Werkstoff ( ρ , E) benutzt. Um den Zusammenhang zwischen den Verformungen, der Geometrie und dem Werkstoff herstellen zu können, muss die entsprechende Differenzialgleichung aufgestellt werden. Als verallgemeinerter Fall ist demgemäß von einem bewegten Element (Statik wäre ein Sonderfall) auszugehen. Im nachfolgenden Bild 5.3 ist dies beispielhaft charakterisiert. Merkmal ist hierbei, dass alle Kraftgrößen (Knotenkräfte und verteilte Kräfte) nur in Längsrichtung auftreten und hierzu auch Knotenreaktionen u i (i = 1, 2) korrespondieren. Je Knoten tritt also ein axialer Freiheitsgrad auf. Anzumerken ist, dass stets die Kräfte und Verschiebungen in Richtung der lokalen Koordinaten angetragen werden (und nicht wie in der Mechanik mit Plus und Minus). Die Eigenschaften des Elements werden ebenfalls in dem lokalen Koordinatensystem beschrieben. Später ist das Element in einer Struktur in beliebiger Lage zu einem globalen Koordinatensystem eingebaut. Gemäß der Lage und der Belastung der Struktur ändert sich dann insbesondere die Steifigkeit des Elements, wodurch ein anderer Beanspruchungszustand

*)

Anmerkung: Das reine Stab-Element findet Anwendung in Fachwerken und wird immer gelenkig angeschlossen. Es kann also keine Querkräfte und Biegemomente übertragen wie Balken-Elemente.

5 Das Konzept der Finite-Element-Methode

46

induziert wird. Dementsprechend ist eine transformierte Steifigkeitsmatrix zu erstellen, so wie dies später im Kapitel 5.4.1 gezeigt wird.

p x ( x; t )

u1, u1

N1

1

y, Fy

ρ, E ⋅ A = konst., L

u(x, t)

(lokales KS) σx ⋅ A

x, Fx (globales KS)

2

p x ⋅ dx

ρ ⋅ A ⋅ dx ⋅ ü

z, Fz

u 2 , u 2 N2

dx

∂σ § · ¨ σ x + x dx ¸A ∂x © ¹

Bild 5.3: Impulsbetrachtung am linearen Stab-Element Stellt man nun an einem infinitesimalen Stab-Elementchen mit der Länge dx das Gleichgewicht (= Impulssatz) her, so folgt daraus die Euler’sche DGL:

ȡ⋅A

∂ 2u ∂ t2

−E⋅A

∂ 2u ∂x 2

− px = 0 .

(5.1)

Durch Heranziehung des Galerkin‘schen Formalismus (s. Gl. (3.41)) gilt es weiter, die finite Gleichung zu erstellen. Dazu multiplizieren wir die DGL mit einer noch unbekannten Formfunktion g j ( x ) und integrieren über den Lösungsbereich L§

2 2 · ¨ ρ ⋅ A ⋅ g ∂ u − E ⋅ A ⋅ g ∂ u − g ⋅ p ¸ dx = 0 , ³¨ j x¸ j j 2 2 ∂t ∂x o© ¹

j = 1, 2.

(5.2)

Als Endergebnis soll die einfache Schwingungsdifferenzialgleichung vorliegen, weshalb wir den mittleren Term mit der Produktregel der Differenziation um eine Ordnung erniedrigen müssen, hiernach gilt: ∂g j ∂ u ∂ 2u ∂ § ∂u · ⋅ . ¨ E ⋅ A ⋅ g j (x ) ⋅ ¸ = E⋅A⋅gj 2 + E⋅A ∂x © ∂x ¹ ∂x ∂x ∂x

Wird dies berücksichtigt, so kann die vorstehende Gleichung auch geschrieben werden als L§

∂ 2u

o©

2

³ ¨¨ ρ ⋅ A ⋅ g j

∂t

+ E⋅A

∂g j ∂ u · § ∂u · L ¸ =0 ⋅ − g j ⋅ p x ¸¸ dx − ¨¨ E ⋅ A ⋅ g j ∂x ∂x ∂ x ¸¹ o © ¹

und mit ausintegrierten Randtermen bzw. an den Integrationsgrenzen

(5.3)

5.3 Mathematische Formulierung L§

³ ¨¨ρ ⋅ A ⋅ g j

o©

47

∂ 2u

∂ g j ∂u · § ∂u ∂u · + E⋅ A ⋅ − g j ⋅ px ¸ dx − ¨¨ E ⋅ A ⋅ g j (L) L − E ⋅ A ⋅ g j (0) 0 ¸ = 0. ¸ 2 ∂x ∂x ∂x ∂x ¸¹ ∂t © ¹

An dieser Stelle wollen wir nun mit 2

u ( x; t ) = ¦ g i ( x ) ⋅ u i (t ) ≡ g1 ( x ) ⋅ u1 (t ) + g 2 ( x ) ⋅ u 2 (t )

(5.4)

i =1

einen Ansatz*) für die unbekannten Verschiebungen einführen, und zwar so, dass von den Knotengrößen u i ausgehend in das Innere des Elements u(x; t) hineinapproximiert werden kann. Die dazu erforderlichen Formfunktionen g i , g j wählen wir linear unabhängig, und zwar so, dass alle Randbedingungen erfüllt werden. Wegen der durchgeführten Orts- und Zeitseparierung können sodann die erforderlichen Ableitungen 2 ∂ 2u i , = ¦ gi ∂ t 2 i =1 ∂ t 2

∂ 2u

∂u ∂x

2 ∂g i

= ¦

i =1 ∂ x

ui

gebildet und in die Gl. (5.3) eingesetzt werden: 2 L§

¦ ³ ¨¨ ȡ ⋅ A ⋅ g j ⋅ g i

i =1 o ©

∂ 2ui ∂t 2

+E⋅A

∂g j ∂gi · §L · ⋅ u i ¸dx − ¨¨ ³ g j ⋅ p x ⋅ dx ¸¸ ¸ ∂x ∂x ¹ ©o ¹

§ § 2 ∂ g (x ) · § 2 ∂ g (x ) · · − ¨¨ E ⋅ A ⋅ g j (L )¨¨ ¦ i u i ¸¸ L − E ⋅ A ⋅ g j (0)¨¨ ¦ i u i ¸¸ 0 ¸¸ = 0, j = 1, 2 . © © i =1 ∂ x ¹ © i =1 ∂ x ¹ ¹ (5.5) Löst man diese Gleichung auf, so ergibt sich 2 §L

¦ ¨¨ ³ ȡ ⋅ A ⋅ g j ⋅ g i ⋅ dx

i =1© o

∂2ui ∂t

(

2

)

+ N 2 ⋅ g j (L ) + N1 ⋅ g j (0)

L

+ ³E⋅A o

∂g j ∂g · ⋅ i dx ⋅ u i ¸ ¸ ∂x ∂x ¹

§L · =¨¨ ³ g j ⋅ p x ⋅ dx ¸¸ ©o ¹ j = 1, 2,

(5.6) wobei jetzt Massen, Steifigkeiten, Knotenverschiebungen und Knotenkräfte abgespalten sind. Somit ist die gesuchte Schwingungsdifferenzialgleichung  + k ⋅ u = p O + p K m⋅u

(5.7)

in diskretisierter Form zu erkennen. Ausgeschrieben lautet diese Matrizengleichung auch *)

Anmerkung: Separationsansatz nach Rayleigh-Ritz = Linearkombination von orts- und zeitabhängigen Form- bzw. Ansatzfunktionen

5 Das Konzept der Finite-Element-Methode

48

ª m11 m12 º ª u1 º ª k11 k12 º ª u1 º ª F1 º ªN º ⋅« »+« ⋅ « » = « » + « 1» . «m » » ¬ 21 m 22 ¼ ¬ u 2 ¼ ¬ k 21 k 22 ¼ ¬ u 2 ¼ ¬ F2 ¼ O ¬ N 2 ¼ K

(5.8)

Aus Gl. (5.6) sind insbesondere die Vorschriften zu entnehmen, wie die entsprechenden Matrizen oder Vektoren zu bilden sind, und zwar − die Koeffizienten der Elementmassenmatrix m als L

m ji = ³ ρ ⋅ A ⋅ g j ⋅ g i dx ,

j, i = 1, 2

(5.9)

o

− die Koeffizienten der Elementsteifigkeitsmatrix k als L

k ji = ³ E ⋅ A ⋅ g j′ ⋅ g i′ dx ,

j, i = 1, 2

(5.10)

o

− die Knotenkomponenten des Oberflächenlastvektors p 0 L

j = 1, 2*)

p j = ³ g j ⋅ p x ⋅ dx ,

(5.11)

o

− der Knotenlastvektor ªN º pK = « 1 » ¬ N2 ¼K

(5.12)

mit den Randbedingungen § 2 ∂ g (x ) · F1K ≡ − N1 = − E ⋅ A ⋅ 1 ¨¨ ¦ i u i ¸¸ 0 , © i =1 ∂ x ¹ § 2 ∂ g (x ) · F2K ≡ N 2 = E ⋅ A ⋅ 1 ¨¨ ¦ i u i ¸¸ L . © i =1 ∂ x ¹

(5.13)

Wählt man für das Stab-Element jetzt lineare Formfunktionen (shape functions) der Art g1 = 1 −

x L

und g 2 =

x L

,

so gilt für den Verschiebungsansatz (s. Gl. (5.4)) *) Anmerkung: Zur Gl. (5.11) ist anzumerken, dass der Ausdruck eine Vorschrift enthält, wie verteilte Lasten – die zwischen Knoten eingeleitet werden – bezüglich der Formfunktionen konsistent auf die Knoten zu verschmieren sind. Die Gl. (5.13) wird vielfach nicht berücksichtigt.

5.3 Mathematische Formulierung

49

§ x· x u (x; t ) = ¨¨1 − ¸¸ ⋅ u1 (t ) + ⋅ u 2 (t ) , L © L¹

(5.14)

womit die Verschiebungs- und Kraftrandbedingungen erfüllt werden. Der Verlauf dieser Ansatzfunktionen über die normierte Stablänge zeigt Bild 5.4 zu einem beliebigen Zeitpunkt bzw. in den Knoten. g g1 = 1 − ξ

1

0

g2 = ξ

x L u (L; t) = u 2 (t )

1

2

u (0; t) = u1( t )

ξ=

Bild 5.4: Formfunktionen für das Stab-Element mit normierter Länge Somit ist es jetzt möglich, die Koeffizienten der interessierenden Matrizen L L§ x x 2 ·¸ ρ⋅A m11 = ρ ⋅ A ³ g1 ⋅ g1 dx = ρ ⋅ A ³ ¨1 − 2 + dx = L, ¨ 2¸ L 3 L ¹ o o© L L§ x x 2 ·¸ ρ⋅A m 21 = ρ ⋅ A ³ g1 ⋅ g 2 dx = ρ ⋅ A ³ ¨ − dx = L, ¨ L L2 ¸ 6 ¹ o o© L

L x2

m 22 = ρ ⋅ A ³ g 2 ⋅ g 2 dx = ρ ⋅ A ³ o

2

oL

dx =

ρ⋅A L, 3

L L 1 E⋅A , k11 = E ⋅ A ³ g1′ ⋅ g1′ dx = E ⋅ A ³ dx = 2 L o oL L L 1 E⋅A , k 21 = E ⋅ A ³ g1′ ⋅ g 2′ dx = E ⋅ A ³ − dx = − 2 L o o L L

L 1 E⋅A dx = 2 L oL

k 22 = E ⋅ A ³ g 2′ ⋅ g 2′ dx = E ⋅ A ³ o

zu berechnen. Werden diese nun eingesetzt, so können die Matrizen ausformuliert werden zu

5 Das Konzept der Finite-Element-Methode

50 ª1 «3 m = ȡ ⋅ A ⋅ L« «1 «¬ 6

1º 6» » 1» 3 »¼

(5.15)

und

k=

E ⋅ A ª 1 − 1º . 1»¼ L «¬ − 1

(5.16)

Des Weiteren findet man für die Kraftvektoren ª px ⋅ L º ª F1 º « » p0 = « » ≡ « 2 » p ⋅ L «¬ F2 »¼ O « x » ¬ 2 ¼

(5.17)

und die ª F1 º pK = « » ≡ E ⋅ A « » ¬« F2 ¼» K

ª ∂ g1 « − dx 0 « « ∂ g1 ¬« dx L

−

∂g 2 º 0 » ª u1 º dx » ⋅ « », ∂g 2 » « » L » ¬« u 2 ¼» ¼ dx

(5.18)

womit wieder das Gleichgewicht zu den Schnittgrößen N j in den Knoten deutlich wird.

5.3.2 Ebenes Drehstab-Element Eine schöne Anwendung in der Physik bzw. Schwingungstechnik findet das (modifizierte) Stab-Element, um Drehschwingungen analysieren zu können. Typische Fragestellungen ergeben sich bei verzweigten Wellensystemen im Getriebebau oder bei Verarbeitungsmaschinen. Um die zugehörigen Beziehungen für rotatorische Schwingungen aufstellen zu können, ist im Bild 5.5 ein spezielles Drehstab-Element eingeführt worden. Hier ist weiter angenommen, dass über die Länge des Elementes ein verteiltes Drehmoment m t eingeleitet wird. Dies entspricht in etwa der Krafteinleitung über eine Nabe oder einen Flansch etc. An den Knoten soll das Element äußere Einzelmomente Ti aufnehmen können, bzw. es werden diskrete Verdrehungen ĭ i hervorgerufen. Für alle Zusammenhänge sei linear elastisches Verhalten angenommen. Angemerkt sei noch, dass die Massenträgheit um die x-Achse zu bestimmen ist (d. h. nicht wie bei allgemeiner Kinematik als Massentensor).

5.3 Mathematische Formulierung

51 2 m t ( x; t ) G ⋅ Jp, L

1

m t ⋅ dx

x, φ

 ĭ1, ĭ 1

T1

T  2 ĭ2 , ĭ 2

T+

∂T ⋅ dx ∂x

dx

T dĬ ⋅ φ

Bild 5.5: Impulsbetrachtung am linearen Drehstab-Element

*)

Bildet man jetzt unter den gezeigten Verhältnissen an einem infinitesimalen Elementchen das Gleichgewicht, so folgt hieraus ∂T dx − m t ⋅ dx = 0. dΘ ⋅ φ − ∂x

(5.19)

Durch Einsetzen von dΘ = ³ r 2 ⋅ dm = ρ ³ r 2 ⋅ dA ⋅ dx = ρ ⋅ J p ⋅ dx dV

dA

für das Massenträgheitsmoment**) und den bekannten Beziehungen T = G ⋅ Jp ⋅

∂φ ∂x

bzw.

∂ 2φ ∂T = G ⋅ Jp ⋅ ∂x ∂x 2

für das Drehmoment kann die vorstehende Gl. (5.19) umgeformt werden zu ρ ⋅ Jp

*)

Anmerkung:

**)

∂ 2φ ∂t

2

− G ⋅ Jp

∂ 2φ ∂x 2

− mt = 0 .

(5.20)

Vorstehend bezeichnet φ( x) einen beliebigen Drehwinkel an der Stelle x, aber Φ1 , Φ 2

bezeichnen jeweils Verdrehungen an den Knoten. Anmerkung 1: Das Trägheitsmoment J p (für polar) kann so nur für einen Kreisquerschnitt gebildet werden; verallgemeinert müsste J t benutzt werden. 4

Anmerkung 2: Bei Wellenelementen ist J p = (π ⋅ d )/32.

5 Das Konzept der Finite-Element-Methode

52

Wird hierauf wieder der Galerkin‘sche Formalismus angewandt, so erhält man die Gleichung L§

³ ¨¨ ρ ⋅ J p ⋅ g j

o©

· ∂ 2φ − G ⋅ Jp ⋅ g j − g j ⋅ m t ¸ dx = 0 ¸ ∂t 2 ∂x 2 ¹

∂ 2φ

j = 1, 2.

(5.21)

Da auch für das vorliegende Problem der Gleichungstyp (5.2) maßgebend ist, muss der mittlere Term in bekannter Weise umgeformt werden zu ∂g j ∂φ ∂φ · ∂ § ∂ 2φ ¨¨ G ⋅ J p ⋅ g j ¸¸ = G ⋅ J p ⋅ g j ⋅ + G ⋅ Jp , 2 ∂x ¹ ∂x © ∂x ∂x ∂x wird dies berücksichtigt, so erhält man die zu Gl. (5.21) äquivalente Gleichung L§

∂ 2φ

o©

2

³ ¨¨ ρ ⋅ J p ⋅ g j

∂t

+ G ⋅ Jp

∂g j ∂φ · § ∂φ · L ¸ = 0. ⋅ − g j ⋅ m t ¸¸ dx − ¨¨ G ⋅ J p ⋅ g j ∂x ∂x ∂ x ¸¹ o © ¹

(5.22)

Mittels des zuvor schon in Gl. (5.14) benutzten Rayleigh-Ritz-Ansatzes 2

φ(x; t ) = ¦ g i (x ) ⋅ Φ i (t )

(5.23)

i =1

bzw. mit den entsprechenden Zeit- und Ortsableitungen 2 ∂ 2Φi , = ¦ gi ⋅ ∂t 2 ∂t 2 i =1

∂ 2φ

2

∂φ

= ¦

∂x

∂g i

i =1 dx

⋅ Φi

folgt auch für Gl. (5.22) 2 L§

¦ ³ ¨¨ ρ ⋅ J p ⋅ g j ⋅ g i

i =1 o ©

∂ 2Φ i ∂t

2

+ G ⋅ Jp

∂g j ∂g i · §L · ⋅ Φ i ¸dx − ¨¨ ³ g j ⋅ m t ⋅ dx ¸¸ ¸ ∂x ∂x ©o ¹ ¹

2

∂g L − ¦ §¨ G ⋅ J p ⋅ g j i ·¸ ⋅ Φ i = 0, ∂x ¹ o © i =1

(5.24)

j = 1, 2.

Damit liegt wieder die diskretisierte DGL  + c ⋅ Φ = m + m Θ⋅Φ O K

(5.25)

vor, die entwickelt lautet: ª Θ11 « ¬ Θ 21

 º ª c11 Θ12 º ª Φ 1 ⋅ « »  » + « Θ 22 ¼ «¬ Φ 2 »¼ ¬ c 21

c12 º ª Φ1 º ª Tx 1 »=« »⋅« c 22 ¼ ¬ Φ 2 ¼ «¬ Tx 2

º ª T1 º » +« » »¼ O ¬ T2 ¼ K .

(5.26)

5.3 Mathematische Formulierung

53

Alle Berechnungsvorschriften für die benötigten Ausdrücke findet man wieder in Gl. (5.24), und zwar − für die Koeffizienten der Elementträgheitsmatrix L

Ĭ ji = ³ ρ ⋅ J p ⋅ g j ⋅ g i ⋅ dx ,

j, i = 1, 2,

(5.27)

o

− für die Koeffizienten der Elementdrehsteifigkeitsmatrix L

c ji = ³ G ⋅ J p ⋅ g j′ ⋅ g i′ ⋅ dx ,

j, i = 1, 2,

(5.28)

o

− für den Oberflächenlastvektor eines verteilten Momentes

ªL º ª mt ⋅ L º « ³ g1 ⋅ m t dx » ª Tx 1 º « » «o » =« 2 » mO = « » = «L » ⋅ m L «¬ Tx 2 »¼ O « « t » g 2 ⋅ m t dx » ¬ 2 ¼ «¬ o³ »¼ O

(5.29)

und für den Knotenlastvektor von eingeleiteten Momenten ª T1 º mK = « » ¬ T2 ¼ K

(5.30)

mit den Randbedingungen T1 = −G ⋅ J p ⋅ T2 = G ⋅ J p ⋅

§ 2 ∂g i (x ) · ∂φ Φ i ¸¸ 0 , 0 = −G ⋅ J p ⋅ ¨¨ ¦ ∂x © i =1 ∂x ¹

§ 2 ∂g i (x ) · ∂φ Φ i ¸¸ L . L = G ⋅ J p ⋅ ¨¨ ¦ ∂x © i =1 ∂x ¹

Da das Dreh-Stab-Element auch wieder linear mit den gleichen Ansatzfunktionen wie in Gl. (5.14) angesetzt werden kann, ergeben sich zu Gl. (5.15) und (5.16) ähnliche Matrizen. 5.3.3 Ebenes Balken-Element In Analogie zu den stabartigen Elementen soll nun das Balken-Element beschrieben werden. Wir wollen hierbei die Bernoulli-Hypothese zu Grunde legen, die unter reiner Biegung von Schubverzerrungsfreiheit und gerade bleibenden Querschnitten ausgeht. Die im allgemeinen Fall auftretenden Verhältnisse bei biegesteifen Elementen zeigt Bild 5.6. Biegesteife Ele-

5 Das Konzept der Finite-Element-Methode

54

mente werden in Rahmenstrukturen eingesetzt, d. h., sie werden nicht gelenkig angebunden und übertragen daher Querkräfte und Biegemomente. Ȍ

x

qz (x; t)

w'

 Ȍ2, Ȍ 2 2

1  Ȍ1, Ȍ 1

z,w

ρ , E . Jy , L

 1 w1, w

M1

 2 w2, w

qz . dx

Q1 My

Qz

P

Qz +

M2

Q2 My +

dM y dx

dx

dQ z dx dx

 ⋅ dx ρ⋅ A ⋅ w

Bild 5.6: Impulsbetrachtung am Biege-Balken-Element (Bernoulli-Element) Zur Ermittlung der beschreibenden Differenzialgleichung soll wieder von der Gleichgewichtsgleichung an einem Balken-Elementchen ausgegangen werden:

 ⋅ dx + Q z + ¦ K z = 0: − Q z − ρ ⋅ A ⋅ w

dQ z dx + q z ⋅ dx = 0 , dx

(5.31)

dies führt zu der DGL  − ρ⋅A⋅w

dQ z − qz = 0 . dx

(5.32)

Hierin gilt es aber noch, die Ableitung der Querkraft durch die Verschiebung zu ersetzen. Dazu kann noch die Momentenbedingung

¦ M p = 0: − M y − Q z ⋅ dx + q z ⋅ dx ⋅

dM y dx dx  ⋅ dx ⋅ −ρ⋅A⋅w + My + dx = 0 2 2 dx (5.33)

ausgenutzt werden. Vernachlässigt man dabei alle kleinen Größen zweiter Ordnung, so führt dies auf die Beziehung Q z = M y′ oder Q z ′ = M y ″ .

5.3 Mathematische Formulierung

55

Unter weiterer Berücksichtigung der Biegelinienbeziehung M y = −E ⋅ J y ⋅ w ′′ folgt aus Gl. (5.33) also Q z ′ = −E ⋅ J y ⋅ w IV .

(5.34)

Wird diese Gleichung nun vorstehend eingeführt, so erhält man als DGL der Biegeschwingung  + E ⋅ J y ⋅ w IV − q z = 0 . ρ⋅A⋅w

(5.35)

Auf diese DGL wird jetzt wieder das Galerkin-Verfahren angewandt, wodurch folgendes Funktional entsteht: L

(

)

 + E ⋅ J y ⋅ g j ⋅ w IV − g j ⋅ q z dx = 0 , ³ ρ⋅A⋅gj ⋅w

o

j = 1, ..., 4.

(5.36)

Zur Erniedrigung der Ordnung des mittleren Terms gilt es wie zuvor schon, die Produktregel anzuwenden, und zwar zunächst folgendermaßen: ∂

(E ⋅ J y ⋅ g j ⋅ w ′′′) = E ⋅ J y ⋅ g j ⋅ w IV + E ⋅ J y ⋅ g j′ ⋅ w ′′′ ,

∂x E ⋅ J y ⋅ g j ⋅ w IV = (E ⋅ J y ⋅ g j ⋅ w ′′′)′ − E ⋅ J y ⋅ g j′ ⋅ w ′′′ .

(5.37)

Diese Ordnungserniedrigung ist so lange durchzuführen, bis die Durchbiegung w in der zweiten Ordnung vorliegt, also ist die Produktregel noch einmal anzuwenden auf

(

)

′ E ⋅ J y ⋅ g j′ ⋅ w ′′′ = E ⋅ J y ⋅ g j′ ⋅ w ′′ − E ⋅ J y ⋅ g j″ ⋅ w ′′ . Damit kann jetzt folgende Ersetzung des Terms vorgenommen werden:

(

) (

)

′ E ⋅ J y ⋅ g j ⋅ w IV = (E ⋅ J y ⋅ g j ⋅ w ′′′)′ − E ⋅ J y ⋅ g j′ ⋅ w ′′ + E ⋅ J y ⋅ g j″ ⋅ w ′′ .

(5.38)

Wird dies in Gl. (5.36) berücksichtigt, so liegt das Funktional in der Form L

(

)

 + E ⋅ J y ⋅ g j″ ⋅ w ′′ − g j ⋅ q z dx + [(E ⋅ J y ⋅ g j ⋅ w ′′′) ³ ρ⋅A ⋅gj ⋅ w

o

(

− E ⋅ J y ⋅ g j′ ⋅ w ′′

)] o = 0 L

vor. Es ist im Weiteren jedoch zweckmäßig, von folgender Gleichung auszugehen:

(5.39)

5 Das Konzept der Finite-Element-Methode

56 L

(

)

L

[

)] L

(

 + E ⋅ J y ⋅ g j″ ⋅ w′′ dx = ³ g j ⋅ q z dx + E ⋅ J y g j′ ⋅ w′′ − g j ⋅ w′′′ . (5.40) ³ ρ⋅ A ⋅ gj ⋅ w o o o

Für die Verschiebung soll jetzt wieder der zuvor schon benutzte Separationsansatz gemacht werden, und zwar 4

w (x; t ) = ¦ g i (x ) ⋅ d i (t ),

(5.41)

i =1

worin der Knotenverschiebungsvektor sich aus den folgenden Komponenten zusammensetzt: ª w1 º ª d º « ψ » *) d = « 1» = « 1 » . ¬d 2 ¼ « w 2 » «¬ ψ »¼ 2

(5.42)

Führt man diesen Ansatz mit seinen Ableitungen 4

 = ¦ g i ⋅ d i , w i =1 4

w ′′ = ¦ g i ″ ⋅ d i , i =1 4

w ′′′ = ¦ g i' ' ' ⋅ d i i =1

ein, so ergibt sich für Gl. (5.40) 4 §L

·

4 §L

·

i =1© o

¹

i =1© o

¹

″ ″ ¦ ¨¨ ³ ρ ⋅ A ⋅ g j ⋅ g i dx ¸¸ ⋅ di + ¦ ¨¨ ³ E ⋅ J y ⋅ g j ⋅ g i dx ¸¸ ⋅ d i

[

L

4

o

i =1

(

′ = ³ g j ⋅ q z dx + ¦ E ⋅ J y g j′ ⋅ g i ″ −g j ⋅ g i ″

)] 0 ⋅ d , L

i

(5.43) j = 1, " , 4.

Diese Gleichung stellt somit wieder die Schwingungs-DGL eines Balken-Elements dar:  + k ⋅ d = p + p . m⋅d O K

(5.44)

Umseitig ist diese Gleichung als matrizielle Elementbeziehung ausgeschrieben worden:

*)

[]

Anmerkung: ψ ° = arctan( ψ ) mit ψ = − w ′

5.3 Mathematische Formulierung

ª m11 «m « 21 « m31 « ¬m41

1 º ª k11 m12 m13 m14 º ª w » «  » « k m22 m23 m24 Ψ » ⋅ « 1 » + « 21  2 » « k31 m32 m33 m34 » «w » «  » « m42 m43 m44 ¼ ¬ Ψ2 ¼ ¬ k41

57 k12 k13 k14 º ª w1 º ª Qz1 º ª Q1 º « » » « «M » » M k22 k23 k 24 Ψ » ⋅ « 1 » = « y1 » + « 1 » k32 k33 k34 » «w2 » « Qz2 » « Q2 » » » « » « « » k42 k43 k 44 ¼ ¬ Ψ2 ¼ ¬«My2 ¼» M O ¬ 2 ¼K .

(5.45) Die Vorschriften, wie die Matrizen und Vektoren zu bilden sind, sind ebenfalls wieder aus Gl. (5.43) zu entnehmen. Von der Dimension (z. B. bei 3-D) her ist jede Matrize an die Anzahl der Unbekannten anzupassen. Damit kann ausformuliert werden, und zwar − für die Koeffizienten der Elementmassenmatrix findet man somit L

m ji = ³ ρ ⋅ A ⋅ g j ⋅ g i dx ,

j, i = 1, ..., 4,

(5.46)

o

− für die Koeffizienten der Elementsteifigkeitsmatrix findet sich entsprechend L

k ji = ³ E ⋅ J y ⋅ g j″ ⋅ g i ″ dx ,

j, i = 1, ..., 4,

(5.47)

o

− die Vektorkomponenten der Streckenlast bzw. Oberflächenlast als Knotengrößen ergeben sich zu

ªL º « ³ g1 ⋅ q z dx » ª Q z1 º ª Fz1 º «o » « » « » «L » « » « » « ³ g 2 ⋅ q z dx » « M y1 » « M y1 » «o » « » « » pO = « » »≡« » = «L « g ⋅ q dx » « Q z 2 » « Fz 2 » «³ 3 z » « » « » «o » « » « » «L » « M y2 » « M y2 » ¬ ¼ ¬ ¼ O « ³ g 4 ⋅ q z dx » ¬« o ¼»

(5.48)

und − die Vektorkomponenten des Gleichgewichts an den Knoten zufolge angreifender Einzellasten und Momente

5 Das Konzept der Finite-Element-Methode

58

( ( ( (

) Lo ⋅ d i º» » L ) o ⋅ d i »» ». L ) o ⋅ d i »» » L ) o ⋅ d i »»»

ª 4 ′ ″ « ¦ g1 ⋅ g i − g1 ⋅ g i' ' ' « i =1 ª F1 º « 4 ′ ″ » « « ¦ g 2 ⋅ g i − g 2 ⋅ g i' ' ' « M1 » « i =1 pK = « » = E ⋅ Jy ⋅ « 4 F ′ ″ « 2» « ¦ g3 ⋅ g i − g3 ⋅ g i' ' ' «M » « 1 i = ¬ 2 ¼K « 4 « ¦ g 4′ ⋅ g i″ − g 4 ⋅ g i' ' ' ¬« i =1

(5.49)

¼

Offen ist aber jetzt noch, wie die Formfunktionen g i zu wählen sind. Im vorliegenden Fall wollen wir diese so bestimmen, dass die Biegelinie mit ihren Randbedingungen erfüllt wird. Demzufolge gehen wir von der speziellen DGL aus: w IV (x ) = 0 .*)

(5.50)

Die Durchbiegung w erhält man nun durch viermalige Integration über die Stufen w ′′′ = β3 , w ′′ = β 2 + β3 ⋅ x , w ′ = β1 + β 2 ⋅ x + β 3 ⋅

x2 2 ,

w = β o + β1 ⋅ x + β 2 ⋅

x2 x3 + β3 ⋅ 2 6 .

(5.51)

Werden hierin die Randbedingungen des Elements, d. h. an den Stellen x, L, die Knotenfreiheitsgrade eingesetzt, so kommt man zu den Integrationskonstanten w (x = 0) = βo ≡ w1 ,

(5.52)

w ′(x = 0 ) = β1 ≡ −ψ1 ,

(5.53)

w (x = L ) = w1 − ψ1 ⋅ L + β 2 ⋅

L2 L3 + β3 ⋅ ≡ w2 , 2 6

w ′(x = L ) = −ψ1 + β 2 ⋅ L + β3 ⋅

*)

L2 ≡ −ψ 2 . 2

(5.54)

(5.55)

Anmerkung: Normalerweise ist w IV = −q z ( x ) ; nachfolgend soll aber ein finites Element für die Knotenlasteinleitung hergeleitet werden.

5.3 Mathematische Formulierung

59

Die beiden unbekannten Konstanten β2 , β3 gewinnt man aus den beiden letzten Gleichungen durch elementare Umformung ((5.54) + (5.55) . (-L/2) → β3 ,β3 in (5.54) → β 2 )) zu 12 § ψ ⋅L ψ ⋅L· ¨ w − w 2 − 1 − 2 ¸¸ 3¨ 1 2 2 ¹ L ©

β3 =

(5.56)

und β2 =

2 L2

(−3w1 + 3w 2 + 2ψ1 ⋅ L + ψ 2 ⋅ L).

(5.57)

Durch Einsetzen in Gl. (5.51) und Sortieren folgt letztendlich

§ x 2x 2 x 3 · § 3x 2 2x 3 ·¸ ¸ ⋅ L ⋅ ψ1 ¨− + w ( x ) = ¨1 − w ⋅ + − + 1 ¨ L ¨ L2 L3 ¸¹ L2 L3 ¸¹ © © § 3x 2 2x 3 · ¸ ⋅ w2 + ¨¨ − 2 L3 ¸¹ © L

§ x2 x3 · ¸ ⋅ L ⋅ ψ2, + ¨¨ − 2 L3 ¸¹ ©L

(5.58)

d. h. eine Beziehung, wie die Durchbiegung an einer beliebigen Stelle x mit den festen Knotengrößen w1 , ψ1 , w 2 , ψ 2 verknüpft ist. Nimmt man weiter Bezug zu Gl. (5.41), so wird offensichtlich, dass die Formfunktionen vorstehend bestimmt sind als § 3x 2 2x 3 ·¸ , g1 = ¨¨1 − + L2 L3 ¸¹ © § x 2x 2 x 3 · ¸ ⋅ L, g 2 = ¨¨ − + − L2 L3 ¸¹ © L § 3x 2 2 x 3 · ¸, g 3 = ¨¨ − 2 L3 ¸¹ © L § x 2 x3 · ¸ ⋅ L. g4 = ¨ ¨ L2 − L3 ¸ ¹ ©

(5.59)

Da von der exakten DGL ausgegangen wurde, beschreiben auch die Formfunktionen die Biegelinie exakt. Bezogen auf die normierte Koordinate ξ=

x L

zeigt umseitig das Bild 5.7 den Verlauf dieser Formfunktionen (Hermite Polynome), die sowohl die Knotenverschiebungen als auch die Neigungen der Biegelinie wiedergeben können.

5 Das Konzept der Finite-Element-Methode

60

1,0

0,8

g3

g1

0,6

0,4

0,2

g2

ξ

0 0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

g4

1 ξ=

2

x L

Bild 5.7: Ansatzfunktionen für das Balken-Element Für die Bestimmung der hier interessierenden Massen- und Steifigkeitsmatrizen müssen jetzt noch die zu Gl. (5.40) zugehörigen Ableitungen gebildet werden, und zwar 6x 6x 2 g1′ = − , + L2 L3 § 1 4 x 3x 2 · ¸ ⋅ L, g 2′ = ¨¨ − + − 2 L3 ¸¹ © L L

6 12 x g1″ = − , + L2 L3 (5.60)

6x · § 4 g 2″ = ¨ − ¸ ⋅ L, © L2 L3 ¹

6x 6x 2 g 3′ = , − L2 L3

g 3″ =

§ 2x 3x 2 · ¸ ⋅ L, g 4′ = ¨¨ − 2 L3 ¸¹ ©L

6x · § 2 g 4″ = ¨ − ¸ ⋅ L, © L2 L3 ¹

6 2

L

−

12x 3

L

,

g1''' = (5.61)

12 L3

g 2 ''' = − g 3''' = − g 4 ''' = −

, 6

L2 12 L3 6 L2

,

(5.62)

, .

Mit den somit vollständig vorhandenen Formfunktionen sollen jetzt gemäß Gl. (5.46) und (5.47) exemplarisch einige Matrizenkoeffizienten berechnet werden:

5.3 Mathematische Formulierung

61 2

2 3 4 5 6· L§ L§ 3x 2 2x 3 ·¸ ¨1 − 6x + 4x + 9x − 12x + 4x ¸ dx + = ρ ⋅ m11 = ρ ⋅ A ³ ¨¨1 − dx A ³ ¸ ¨ ¸ L2 L3 ¹ L2 L3 L4 L5 L6 ¹ o© o©

ª 2x 3 x 4 9x 5 2x 6 4x 7 º L 156 = ρ ⋅ A«x − + + − + ρ ⋅ A ⋅ L, » = «¬ L2 L3 5L4 L5 7L6 »¼ o 420 L§ 3x 2 2x 3 ·¸ §¨ x 2x 2 x 3 ·¸ 22 + ⋅ − + − m12 = ρ ⋅ A ³ ¨¨1 − L ⋅ dx = − ρ ⋅ A ⋅ L2 , 2 3 ¸ ¨ L 2 3¸ 420 L L L L ¹ © ¹ o© # L§ x2

2

x 3 ·¸ 4 m 44 = ρ ⋅ A ³ ¨¨ ⋅ L2 ⋅ dx = ρ ⋅ A ⋅ L3 ; − 2 3¸ 420 L ¹ o© L 2 L L § 36 144 x 144 x 2 § 6 12 x · k 11 = E ⋅ J y ³ ¨ − dx = E ⋅ J y ³ ¨¨ + − + ¸ 2 4 L3 ¹ L5 L6 o© L o© L

§ 36 x 72 x 2 48 x 3 = E ⋅ J y ¨¨ − + L5 L6 © L4

· ¸ dx ¸ ¹

E⋅Jy ·L ¸ = 12 , ¸o L3 ¹

L § 24 L§ 6 12 x · § 4 6x · 84 x 72 x 2 ·¸ ¸ dx = E ⋅ J y ⋅ L ³ ¨ − ¸ ⋅ ¨¨ + − − + k12 = E ⋅ J y ⋅ L ³ ¨¨ − dx ¸ ¸ 4 2 ¨ L3 ¹ © L2 L3 ¹ L5 L6 ¸¹ o© L o© L L ª 24 x 42 x 2 24 x 3 º E ⋅ Jy = E ⋅ J y ⋅ L «− + − » = −6 2 , 4 5 6 L L L ¼» ¬« L o

# 2

L§ x2 E ⋅ Jy x 3 ·¸ . = k 44 = E ⋅ J y ⋅ L2 ³ ¨¨ dx 4 − 2 L L3 ¸¹ o© L

Würde man nun alle Kombinationen von Indizes bilden, so erhielte man jeweils vollständig − die Massenmatrix 54 13L º ª 156 -22L 2 « 4L -13L -3L2 » ȡ⋅A⋅L « » m= 156 22L » 420 « « » 4L2 ¼ ¬ sym. und

(5.63)

5 Das Konzept der Finite-Element-Methode

62 − die Steifigkeitsmatrix ª 12 -6L -12 -6L º E ⋅ Jy « 4L2 6L 2L2 » « » k= 12 6L » L3 « « » 4L2 ¼ ¬ sym.

(5.64)

des ebenen Balken-Elements im x-, z-System.

5.4 Prinzipieller Verfahrensablauf Nachdem jetzt beispielhaft die Massen- und Steifigkeitsmatrizen sowie die Lastvektoren für drei Elementtypen bekannt sind, wollen wir uns der Ablauffolge von den Einzelelementen zum Gesamtmodell zuwenden. Wir beschränken uns hierbei auf die linear elastische Statik, wohl wissend, dass der Algorithmus für den dynamischen Fall nur entsprechend erweitert werden braucht. 5.4.1 Steifigkeitstransformation Die zuvor hergeleiteten Steifigkeitsmatrizen gelten ausschließlich für das festgelegte lokale (elementeigene) Koordinatensystem des betrachteten Stab- und Balken-Elements. In Strukturen eingebaut werden aber diese Elemente beliebige Lagen einnehmen, weshalb für eine Gesamtaussage dann nur transformierte Steifigkeiten maßgebend sind. Diesen Zusammenhang kann man sich sehr anschaulich an dem einfachen Stab-Element klarmachen, für das die lokale Kraft-Steifigkeits-Verschiebungs-Beziehung ª Fx1 º E ⋅ A ª 1 − 1º ª u1 º ⋅ «F » = L «− 1 1»¼ «¬ u 2 »¼ ¬ ¬ x2 ¼ lautete. Die Elementsteifigkeit verknüpft dabei die Knotenkräfte mit den Knotenverschiebungen in Wirkrichtung. Kommt ein Element anders zu der Wirkrichtung „zu liegen“, so wird auch die Steifigkeit anders sein. Um diesen Sachverhalt wieder allgemein gültig beschreiben zu können, betrachten wir das Transformationsproblem eines Vektors. Der Vektor steht stellvertretend für eine Kraft oder eine Verschiebung. Die durchzuführende Vektortransformation ist exemplarisch im Bild 5.8 dargestellt. Der hierin abgebildete ebene Vektor v soll nun global-lokal rücktransformiert werden, d. h. vom globalen x -, y -Koordinatensystem in das lokale x-, y-Koordinatensystem, welches die übliche Richtung bei FE-Rechnungen darstellt.

Die entsprechenden Vektorkomponenten sind demgemäß

5.4 Prinzipieller Verfahrensablauf

63

v x = v x ⋅ cos Į + v y ⋅ sin Į, v y = − v x ⋅ sin Į + v y ⋅ cosĮ, zweckmäßiger ist es aber, diese Gleichung matriziell anzugeben als ª v x º ª cosĮ sin α º ª v x º « v » = « − sin α cosα » ⋅ « v » . ¼ ¬ y¼ ¬ y¼ ¬

y

(5.65)

y i = Elementknoten j

vy vy

α

v

α

vx

α i

j

vx

x x

Bild 5.8: Global-lokale Transformation eines beliebigen Knotenvektors Wir wollen diese Transformationsbeziehung nun übertragen auf die hier interessierenden Knotengrößen Kraft und Verschiebung, die sich somit ergeben zu ª Fxi º ª cosĮ sinĮ º ª Fxi º « F » = « − sinĮ cosĮ » ⋅ « F » ¼ ¬ yi ¼ ¬ yi ¼ ¬

(5.66)

ª u i º ª cosα sinα º ª u i º « v » = « − sinα cosα » ⋅ « v » . ¼ ¬ i¼ ¬ i¼ ¬

(5.67)

und

Diese beiden Matrizengleichungen können auch symbolisch geschrieben werden als p = Ti ⋅ p

(5.68)

d = Ti ⋅ d .

(5.69)

und

5 Das Konzept der Finite-Element-Methode

64

Weil hierin aber nur ein Knoten zusammengefasst ist, muss die Transformationsmatrix für ein Element erweitert werden zu

j

i

ª cosĮ sin Į « − sin Į cosĮ T=« 0 « 0 « 0 ¬ 0

0 0 º 0 0 » » . cosĮ sin Į » » − sin Į cosĮ ¼

(5.70)

Eine wichtige Eigenschaft dieser Transformationsmatrix ist die Identität der inversen Transformierten zur transponierten Transformierten: T −1 = T t .

(5.71)

Diese Aussage kann bestätigt werden aus der Invarianz der äußeren Arbeit, die als skalare Größe in allen Koordinatensystemen gleich sein muss. Daher kann angesetzt werden: Wa = p t ⋅ d = p t ⋅ d .

(5.72)

Berücksichtigt man hierin die Transformationsbeziehung, so darf auch p t ⋅ d = ( T ⋅ p ) t ⋅ (T ⋅ d ) ≡ p t ⋅ T t ⋅ T ⋅ d .

(5.73)

geschrieben werden. Wegen der uneingeschränkten Gültigkeit der Arbeitsaussage muss somit Tt ⋅ T = I

(5.74)

also gleich der Einheitsmatrix sein, was Aussage der Gl. (5.71) war. Unter Nutzung der bisherigen Beziehungen wollen wir jetzt die Transformation der Elementsteifigkeitsmatrix vornehmen. Dazu gehen wird von der finiten Gleichung

p = k ⋅d

(5.75)

aus und führen darin Gl. (5.68) und (5.69) als Transformationen ein, es folgt hieraus

T⋅p = k ⋅T⋅d

(5.76)

und nach zusätzlicher Linksmultiplikation mit der transponierten Transformierten t T ⋅ p = Tt ⋅k ⋅ T ⋅ d T  ⋅

 

I

⋅ Tt

k

kann Gl. (5.75) neu formuliert werden als

(5.77)

5.4 Prinzipieller Verfahrensablauf

65

p = k ⋅d.

Man erhält damit die transformierte Einzelsteifigkeitsmatrix k = Tt ⋅ k ⋅ T .

(5.78)

Dies soll nunmehr beispielhaft an einem Stab-Element gezeigt werden, welches dazu um fiktive Knotenfreiheitsgrade v i in y-Richtung erweitert wird: ª Fx1 º ª 1 «F » E ⋅ A «« 0 y1 » p=« = « Fx 2 » L «− 1 « » « F ¬ 0 ¬ y2 ¼

0 − 1 0 º ª u1 º 0 0 0 » « v1 » » ⋅ « » = k ⋅d. 0 1 0» «u 2 » » « » 0 0 0¼ ¬ v2 ¼

(5.79)

Für die durchzuführende Transformation kürzen wir die Koeffizienten der Matrix*) mit c = cos α und s = sin α ab, somit ist folgende Rechnung erforderlich:

ª c − s 0 0º ª 1 « s c 0 0» « 0 « »⋅« «0 0 c − s » «− 1 « » « ¬0 0 s c ¼ ¬ 0

0 − 1 0º ª c 0 0 0» «− s »⋅« 0 1 0» « 0 » « 0 0 0¼ ¬ 0

s c

0 0º 0 0» » = Tt ⋅ k′ ⋅ T . 0 c s» » 0 − s c¼

Dies führt zu der lageabhängigen Elementsteifigkeitsmatrix ª c2 s ⋅ c − c2 − s ⋅ c º « » E⋅A « s⋅c s2 − s ⋅ c − s2 » . k= L « − c2 − s ⋅ c c2 s ⋅ c» « » 2 s⋅c s 2 »¼ ¬« − s ⋅ c − s

(5.80)

Würde man ein Stab-Element jetzt um α = 90° drehen, so wäre das Ergebnis von Gl. (5.80), dass die Elementsteifigkeit dann in y-Richtung umorientiert wäre. 5.4.2 Äquivalente Knotenkräfte

Bei den vorherigen Betrachtungen ist schon deutlich geworden, dass die an einem finiten Modell angreifenden Kräfte über die Knoten eingeleitet werden sollten. Diesbezüglich ist anzustreben, dass die Knoten immer so platziert werden, dass sie unterhalb der Kraftangriffspunkte zu liegen kommen. Falls dies nicht möglich ist, müssen gemäß Gl. (5.11) und Gl. (5.48) die angreifenden Kräfte auf alle Knotenfreiheitsgrade verschmiert werden. Dafür gilt es, das folgende Prinzip zu wahren:

*)

Anmerkung: k = c ⋅ k

′

5 Das Konzept der Finite-Element-Methode

66

Alle nicht an einem Knoten eines finiten Elementes angreifenden Kräfte müssen so auf die Freiheitsgrade verteilt werden, dass die angreifenden Kräfte mit ihren Verschiebungen dieselbe virtuelle Arbeit leisten, wie die konzentrierten Knotenkräfte mit ihren örtlichen Verschiebungen. Heutige FE-Programme führen diese „Verschmierung“ automatisch durch. Bezeichnen wir nun die verschmierten Kräfte als äquivalente Kräfte p ä , so muss die virtuelle Arbeit folgendermaßen angesetzt werden: įWa = įd t ⋅ p ä = ³ įu t ⋅ p dV + ³ įu t ⋅ q dO + įu t ⋅ F . V

(5.81)

O

Wird hierin wieder der Verschiebungsansatz mit

δu t = įd t ⋅ G t eingeführt, so gilt für die äquivalenten Knotenkräfte eines Elements t

t

p ä = ³ G ⋅ p dV + ³ G ⋅ q dO + G t ⋅ F V

(5.82)

O

oder als Erkenntnis, dass das Verschmieren jeweils durch Multiplikation mit dem Ansatz durchgeführt wird, damit alle Freiheitsgrade angesprochen werden. Diese Vorgehensweise wollen wir kurz am Stab- und Balken-Element demonstrieren. − 1-D-Stab-Element unter einer verteilten Längskraft (z. B. Eigengewicht) gemäß Bild 5.9. Die äquivalenten Knotenlasten sind in Richtung der Freiheitsgrade anzutragen. 1

1 F1ä x = ?

qx

2

x

F2ä x = ?

Bild 5.9: Äquivalente Knotenkräfte am Stab-Element Aus dem übertragenen Ansatz von Gl. (5.82) folgt: ª F1ä x « pä = « «¬ F2 ä x

ª x x2 º L ª1 − º x − « « L» 2L » « » = ³ « x » ⋅ q x dx = q x « x 2 » »¼ 0 « « «¬ L »¼ ¬ 2L

º »L » = q ⋅L x » » 0 ¼

ª1º «2» « » . «1» «¬ 2 »¼

(5.83)

5.4 Prinzipieller Verfahrensablauf

67

Das formale Vorgehen führt hier auf eine Lösung, die natürlich auf der Hand lag. Aus einfacher Überlegung findet man sicherlich auch, dass die Streckenlast hälftig aufzuteilen ist. Im nachfolgenden Fall ist dies jedoch nicht sofort ersichtlich. − 2-D-Balken-Element unter einer verteilten konstanten Oberflächenkraft (z. B. Eigengewicht oder Linienlast) gemäß Bild 5.10 qz M1ä

M2ä

y

x

1 F1ä

z

y

2 F2ä

z

z

Bild 5.10: Äquivalente Knotenkräfte am ebenen Balken-Element Als Ansatz*) hierfür gilt ª F1ä z « « « M 1ä y « pä = « « F2 ä z « « «M ¬ 2ä y

ª 3x 2 2 x 3 º « 1− 2 + 3 » L L « » 2 « 2 x x3 » x − + − « » L« L L2 »= ³« 2 3 » 0 « 3x − 2 x » « L2 L3 » « x2 x3 » « − ¼ L L2 ¬«

ª x3 x4 º x− + « » L2 2L3 « » « x 2 2x 3 x4 » «− + − » 3L 4L 2 » ⋅ q dx = q « 2 « z z 3 4 » x x « » − « 2 » L 2L3 « » x3 x4 « » − « 3L 4L2 ¼» ¬

º » » » »L » » »0 » » » » ¼

oder ª 1º « 2» » « « L» «− » 12 » pä = qz ⋅ L « , « 1» » « « 2» « L» » « ¬ 12 ¼ *)

(5.84)

Anmerkung: Es müssen zu den Knotenfreiheitsgraden alle entsprechenden Knotenkräfte in positiver Richtung angetragen werden.

5 Das Konzept der Finite-Element-Methode

68

d. h., die Streckenlast muss auf alle Knoten-FHGs (Durchbiegung und Neigung) verschmiert werden. Weiter seien im Bild 5.11 noch einige andere häufig vorkommende Streckenlastprofile angegeben, die ebenfalls leicht herzuleiten sind.

qz

F1ä z =

3 qz ⋅ L , 20

M1ä y =

L

q z ⋅ L2 , 30

qz F1ä z = F2 ä z =

M1ä y = −

7 qz ⋅ L 20 q ⋅ L2 M 2ä = + z y 20

F2 ä z =

qz ⋅ L 4

5 5 q z ⋅ L2 , M 2 ä = + q z ⋅ L2 y 96 96

L

Bild 5.11: Erfassung äquivalenter Knotenkräfte am ebenen Balken-Element 5.4.3 Zusammenbau und Randbedingungen

Es gibt verschiedene Möglichkeiten des Zusammenbaus von Einzelelementen zur Gesamtstruktur. Wir wollen hier aber eine formale Methode unter Zuhilfenahme der so genannten Boole‘schen Zuordnungsmatrix wählen, die programmtechnisch leicht zu verwalten ist und immer zum Ziel führt. Der Ablauf gestaltet sich hierbei folgendermaßen: Alle transformierten Steifigkeiten und Massen der vorkommenden n Einzelelemente werden im ersten Schritt in Diagonalhypermatrizen*) auf der Hauptdiagonalen zusammengefasst: ªk 1 « K =« « « 0 ¬

k2

0 º » » ≡ k k "k 1 2 n % » k n »¼

(5.85)

und M = m1 m 2 " m n .

(5.86)

Genauso verfahre man mit den Knotenverschiebungen und Knotenkräften, die demzufolge zu Spaltenhypervektoren zusammenzufassen sind: ȡ t = d1t

*)

d2t " dn t

,

(5.87)

Anmerkung: Die links- und rechtsseitig offenen Klammern sollen die diagonale Anordnung symbolisieren.

5.4 Prinzipieller Verfahrensablauf

69

R t = p1t p 2 t " p n t .

(5.88)

Damit ist die Bauweise des Modells erfasst. Insofern können auch Gleichungssysteme erstellt werden. Das statische Gleichungssystem der ungebundenen Struktur lautet dann

K⋅ ȡ = R

(5.89)

und das entsprechende ungebundene, dynamische Gleichungssystem

M ⋅ ȡ + K ⋅ ȡ = R .

(5.90)

Das Merkmal ist bisher, dass es noch keine strukturelle Verknüpfung der Elemente untereinander gibt. Aufgabenstellung ist aber, die Abhängigkeit zwischen der ungebundenen und gebundenen Struktur (entsprechend der Nummerierung der Knoten) herzustellen. Man spricht demnach vom Zusammenbinden der Elemente. Bei der hier darzustellenden Technik gehen wir von der Existenz einer Beziehung

ȡ = A⋅U

(5.91)

aus. Dabei ist ȡ der so genannte Knotenverschiebungsvektor der ungebundenen Elementauflistung, U der globale Knotenverschiebungsvektor der gebundenen Elementstruktur und A die Boole‘sche Matrix*) oder so genannte Inzidenzmatrix. Die Koeffizienten der Boole‘schen Matrix sind entweder 0 oder 1, wobei die Eins die Gleichheit der Verschiebungskomponenten zwischen ungebundener und gebundener Struktur ausdrückt. Null weist insofern aus, dass keine Identität besteht. Im umseitigen Bild 5.12 ist der Aufbau einer Boole‘schen Matrix am Beispiel eines beliebigen ebenen, finiten Gebietes dargestellt. Das dargestellte Gebiet sei ein Ausschnitt aus einem großen Netz, bei dem beispielsweise ein Rechteck-Element an ein Dreieck-Element anstößt. Aufgabe ist es hier, den lokal-globalen Zusammenhang zwischen den Knoten herzustellen, der einmal durch die globale Nummerierung am Bauteil und einmal durch die lokale Nummerierung an dem betreffenden finiten Element besteht. Gelöst wird dies durch systematischen, knotenweisen Vergleich und dessen Protokollierung in der Zuordnungsmatrix.

*)

Anmerkung: Der Zusammenhang über die Boole’sche Matrix A wird in großen Strukturen auch wieder genutzt, um einzelnen Elementen bzw. deren Knoten Verschiebungen zuzuweisen. Aus den Verschiebungen werden dann Elementdehnungen und Elementspannungen bestimmt.

5 Das Konzept der Finite-Element-Methode

70

i lokale Nummer i globale Nummer

v2 2 u2

4 v1

3

1

1

1

v4

u1

4 u4

3

v5

v3 2 3

2

1

u3

u5

5

v 3 v 21 v12

u 21 3 u12

1

1 1 1

2

u11 v11

2

1

u12

5

6

3

1

0

v12

4

0

1

u13

5

v13

6

u14 v14

=

7 8

3

4

7

8

u3

9 10

1 1 1

. 1

1 u1 2 v1

1

3 u2 4 v2

2

5 u3 6 v3

3

u 21

9

1

0

7 u4

v 21

10

0

1

u 22

11

8 v4 9 u5

v 22

12

u 23

13

v 23

14

1 1

10 v5

4 5

1 1

Bild 5.12: Lokal-globale Knotenfreiheitsgradzuweisung über Boole‘sche Matrix Der Vektor ȡ ist in diesem Fall die Auflistung aller FHGs der Elemente und U die Auflistung aller zu den 5 Knoten gehörenden FHGs. Durch den Vergleich am Knoten kann dann über A der Zusammenhang hergestellt werden, beispielsweise am Knoten e: − Die FHGs u 12 , v 12 des Rechteck-Elements fallen mit den Struktur-FHGs u 3 , v 3 zusammen, welche in den Spalten 5, 6 von A markiert sind. − Gleichzeitig fallen mit den FHGs u 3 , v 3 auch die FHGs u 21 , v 21 des Dreieck-Elements zusammen, welche ebenfalls in den Spalten 5, 6 von A festgehalten sind.

5.4 Prinzipieller Verfahrensablauf

71

Einen entsprechenden Zusammenhang gilt es auch für die Kräfte herzustellen. Die Forderung muss hierbei sein, dass die auf eine gebundene oder ungebundene Struktur einwirkende virtuelle Arbeit als skalare Größe gleich groß sein muss, somit kann angesetzt werden: δU t ⋅ P = į ȡ t ⋅ R = δU t ⋅ A t ⋅ R .

(5.92)

Hieraus lässt sich die zu Gl. (5.91) duale Beziehung P = At ⋅ R

(5.93)

für die Einbindung der Kräfte gewinnen. Setzt man jetzt hierin der Reihe nach Gl. (5.89) und Gl. (5.91) ein, so folgt daraus die finite Gesamtgleichung P = At ⋅ R = At ⋅ K ⋅ ȡ = At ⋅ K ⋅ A ⋅ U = K ⋅ U .

(5.94)

Die Gesamtsteifigkeitsmatrix ist somit aus der Operation K = At ⋅ K ⋅ A

(5.95)

zu bilden. Entsprechendes gilt für die Gesamtmassenmatrix M = At ⋅ M ⋅ A .

(5.96)

Ein Kennzeichen beider Matrizen ist ihre Symmetrie und ihre ausgeprägte Bandstruktur (außerhalb der Hauptdiagonalen schwach besetzt). Da aber noch keine Randbedingungen berücksichtigt wurden, sind beide Matrizen singulär, d. h., physikalisch sind noch Starrkörperbewegungen möglich. In einem weiteren Schritt muss es nun darum gehen, die vorgegebenen Randbedingungen einzuarbeiten. Um dies algorithmisch durchführen zu können, erinnern wir uns an dieser Stelle an die in Kapitel 4 entwickelte Prozedur. Wir hatten dort ein Problem aufgespalten in unbekannte und bekannte Größen. Im Rahmen der FEM ist jetzt aber folgende Nomenklatur zweckmäßig: − U u als unbekannte Verschiebungen, − U s als bekannte Verschiebungen, − Fu als bekannte äußere Kräfte und − Fs als unbekannte Reaktionskräfte.

Das Gleichungssystem (5.94) muss demnach aufgespalten werden in ªF º ªK P = « u » = « uu ¬ Fs ¼ ¬ K su

K us º ª U u º ⋅ , K ss »¼ «¬ U s »¼

(5.97)

5 Das Konzept der Finite-Element-Methode

72 was wieder zu den beiden Gleichungen Fu = K uu ⋅ U u + K us ⋅ U s , Fs = K su ⋅ U u + K ss ⋅ U s

(5.98)

führt. Da vielfach an den Auflagern vorgeschriebene Verschiebungen U s = 0 existieren, vereinfachen sich die Beziehungen zu K uu ⋅ U u = Fu

(5.99)

und Fs = K su ⋅ U u = K su ⋅ K uu −1 ⋅ Fu .

(5.100)

Will man diesen Formalismus nun programmtechnisch realisieren, so sind im Wesentlichen die folgenden Schritte durchzuführen: − Durchnummerierung aller Knoten der Struktur und Festlegung der Randbedingungen (d. h. Knoten-Nr. und Richtung). − Entsprechend der auftretenden Freiheitsgradanzahl kann der Speicherplatz für die Gesamtsteifigkeitsmatrix K reserviert werden. − Über die Anzahl der Randbedingungen ist weiter bekannt, welche Speicherplätze die Untermatrizen K uu und K su einnehmen werden. − Die Matrix K wird aufgefüllt, in dem die randbedingungsbehafteten Freiheitsgrade an das Ende der Matrix umgespeichert werden. Damit liegen alle Untermatrizen (K uu , K us , K su , K ss ) vor. − Danach können die Gleichungssysteme (5.97) und (5.98) ausgewertet werden.

Die erforderlichen Auffüll- und Umspeicheroperationen sind mit den geläufigen Programmiersprachen FORTRAN und C relativ einfach durchführbar. 5.4.4 Sonderrandbedingungen

Neben den zuvor eingeführten einfachen Festlagerrandbedingungen wird man in der Praxis auch auf andere Randbedingungen stoßen. Im Wesentlichen werden dies die im nachfolgenden Bild 5.13 gezeigten Sonderrandbedingungen sein. Um diese erfassen zu können, ist teilweise sogar ein iteratives Vorgehen erforderlich, wie beispielsweise bei (Feder-)Kontakt. Die Kontaktproblematik wird später im Kapitel 8.2 ausführlich dargestellt. Daher soll hier nur kurz auf die Transformation von Freiheitsgraden an „schiefen Auflagern“ eingegangen werden. Derartige Fälle treten gewöhnlich bei Stahlbaustrukturen oder heute vermehrt bei Space-Frame-Strukturen von Verkehrsfahrzeugen auf.

5.4 Prinzipieller Verfahrensablauf a)

73 b)

F

F

F y1 x1

y2

x2

Bild 5.13: Sonderrandbedingungen a) schiefe Auflager im neuen Koordinatensystem b) Kontakt durch Anschlag Würde man eines der im Bild 5.13 dargestellten Systeme global beschreiben, so gilt hierfür natürlich die bekannte finite Systemgleichung K ⋅ U = P.

Die Verschiebungen U lägen also in Richtung der gewählten globalen Koordinaten ( x1 , y1 ) vor. Von Interesse ist aber die gedrehte Richtung ( x 2 , y 2 ) . Am schiefen Auflager ist deshalb eine Transformation der Knotenfreiheitsgrade erforderlich, und zwar hier angegeben für zwei Freiheitsgrade: ª u º ª cosĮ − sinĮ º ª u 2 º −1 t u=« 2»=« » ⋅ «w » = T ⋅ u ≡ T ⋅ u . w sinĮ cosĮ ¼ ¬ 2¼ ¬ 2¼ ¬

(5.101)

Die dazu benötigte Transformationsmatrix haben wir vorher als Gl. (5.67) schon hergeleitet. Insofern kann durch einfaches Einsetzen die neue Beziehung mit einer angepassten knotenweisen Transformation angegeben werden, und zwar K ⋅ Tt ⋅ U = Tt ⋅ P .

(5.102)

Praktisch wird diese Multiplikation in Einzelgleichungen aufgelöst und die Multiplikation nur für die Gleichungen des Knotens Nr. 5 durchgeführt. An einem kleinen Beispiel soll dies im nachfolgenden Bild 5.14 vom Prinzip her dargestellt werden. Der Balken mag so gelagert sein, dass links ein Festlager und rechts ein Loslager vorliegt. Infolge der äußeren Kraftwirkung entsteht eine Durchbiegung mit relativen Lagerverschiebungen. Das Loslager ist in der Struktur um den Winkel α geneigt. Bei der Geometriebeschreibung wird man dann die Bedingung w 2 = 0 im gedrehten Koordinatensystem sperren. Von Interesse sind aber die im globalen Koordinatensystem wirksamen Verformungen, die dann mit der ausformulierten Gleichung bestimmt werden können.

5 Das Konzept der Finite-Element-Methode

74 pz (x )

u2

2

1

u2 u1 = 0

w1 = 0 , w1′

x

w 2 , w 2′

z 0 k14 0 0 1 k11 0 2 0 k22 k23 0 k25 k26 3 0 k32 k33 0 k35 k36 . 0 0 k44 0 4 k41 0 5 6

α

w2 = 0

1

u1 1

0

k52 k53 0 k55 k56 0 k62 k63 0 k65 k66 u1 w1 w1′ u 2 w 2 w 2′

w1 1

. w1′ u2

cos α -sin α sin α cos α 1

=

Tt ⋅ P

w2 w ′ 2

Bild 5.14: Einbau schiefer Randbedingungen in ein Gleichungssystem 5.4.5 Lösung des Gleichungssystems

Zur Lösung der finiten Gleichung werden wegen der Größe des Gleichungssystems nur numerische Verfahren eingesetzt. Hierbei unterscheidet man direkte und indirekte Verfahren (und in der Dynamik noch Reduktionsverfahren). Zu den leistungsfähigsten direkten Verfahren zählen das Gauß’sche und das Cholesky-Eliminationsverfahren, welche aber nur für kleinere Strukturen geeignet sind, weil viel Speicherplatz erforderlich ist. Für größere Strukturen eignet sich hingegen das Frontlösungsverfahren (Wavefront), welches weniger Massenspeicher und weniger Hauptspeicher benötigt. Für große Strukturen (größer 50.000 Unbekannte) haben sich Iterationsverfahren (GaußSeidel, konjugierte Gradienten/CG- bzw. PCG-Verfahren) durchgesetzt, die oft viel schneller rechnen als die direkten Verfahren und weniger Speicherplatz benötigen. Da hier nur das Problemverständnis geweckt werden soll, wird mit dem Cholesky-Verfahren eine mehr mathematische Lösungsstrategie und mit dem Frontlösungsverfahren (FLV) ein typischer Computeralgorithmus gezeigt.

•

Cholesky-Verfahren Für die Anwendung sei vorausgesetzt, dass die Koeffizientenmatrix K symmetrisch und positiv definit sei. Demnach muss erfüllt sein: − k ij = k ji (Symmetrie) für i, j = 1, ..., n

5.4 Prinzipieller Verfahrensablauf

75

und − k ii > 0

(positive Hauptdiagonale)

sowie alle det K ij > 0 (alle Unterdeterminanten positiv). Falls dies vorliegt, kann die Koeffizientenmatrix in die zwei Dreiecksmatrizen

K = L ⋅ Lt

(5.103)

zerlegt werden. Die Auflösung der Gleichung L ⋅ Lt ⋅ U = P erfolgt dann zweistufig unter Ausnutzung des Hilfsvektors y:

L⋅y = P → y,

(5.104)

Lt ⋅ U = y → U .

(5.105)

Wie dies prinzipiell abläuft, ist im Schema von Bild 5.15 dargestellt. Hierzu muss aber noch angegeben werden, wie die Koeffizienten der Dreiecksmatrix L bestimmt werden. Für eine symmetrische Matrix sind zu bilden 1

i −1 § ·2 a) auf der Hauptdiagonalen: A ii = ¨ k ii − ¦ A ji 2 ¸ ¨ ¸ j =1 © ¹

i = 1, ..., n

(5.106)

und 1

k −1 ·2 1 §¨ k ki − ¦ A jk ⋅ A ji ¸ k = 1, ..., i - 1. b) auf der Nebendiagonalen: A ki = ¨ ¸ A kk © j=1 ¹

y1

A 11 .

L

L

t

A nn

F1

y

=

P

U

=

y

un

yn

(5.107)

y1

un

Bild 5.15: Ablauf des Cholesky-Verfahrens bei Zerlegung in zwei Dreiecksmatrizen

5 Das Konzept der Finite-Element-Methode

76

So wie vorstehend angedeutet, wird nun zuerst der Hilfsvektor ausgerechnet, und zwar y1 =

F1 , A 11

yj =

1 A jj

(5.108)

j−1 · § ¨ Fj − ¦ A ji ⋅ y i ¸ . ¸ ¨ i =1 ¹ ©

(5.109)

Hieran schließt sich die Bestimmung der tatsächlichen Unbekannten an zu un =

yn , A nn

un− j =

(5.110)

1 (y n − j − A n − j, n − j+1 ⋅ u n − j+1 −" A n − j, n ⋅ u n ) j = 0,1 ..., n - 1. (5.111) A n − j, n − j

Dass dieses Verfahren leicht praktizierbar ist, möge das folgende kurze Beispiel zeigen, bei dem der Lösungsvektor U gesucht ist: ª 4 1 º ª u1 º ª 6 º « 1 3»⋅« u » = «7 » . ¬ ¼ ¬ 2 ¼ ¬ ¼

Der Test zeigt sofort, dass die Koeffizientenmatrix symmetrisch und positiv definit ist. Somit kann das Cholesky-Verfahren schrittweise ablaufen: − Bestimmung der Dreiecksmatrix Lt

1. Hauptdiagonale i = 1:

1

0 § ·2 A 11 = ¨ k11 − ¦ A j12 ¸ = k11 = 2 ¨ ¸ j =1 © ¹ 1

0 ·2 k12 1 1 §¨ 2. Nebendiagonale k = 1, i = 2: A 12 = = k12 − ¦ A j1 ⋅A j2 ¸ = ¨ ¸ A 11 © A 2 11 j =1 ¹ 1

3. Hauptdiagonale i = 2: woraus folgt ⎡ ⎢2 Lt =⎢⎢ ⎢0 ⎣

1 ⎤ ⎥ 2 ⎥ , 11 ⎥⎥ 2 ⎦

1 § ·2 1 2 11 A 22 = ¨ k 22 − ¦ A j2 2 ¸ = 3 − §¨ ·¸ = , ¨ ¸ 2 2 ¹ © j =1 © ¹

5.4 Prinzipieller Verfahrensablauf

77

− Gegenprüfung gemäß Gl. (5.103)

ª2 « t L⋅L = « 1 « ¬2

0 º ª2 » « ⋅« 11 » « » 0 2 ¼ «¬

1 º ª 4 1º 2 » « » , »= » 11 » « « 1 3 ¼» ¬ » 2 ¼

− Bestimmung des Hilfsvektors y y1 =

F1 6 = = 3, A 11 2

y2 =

1 2 § 1 · 2 11 (F2 − A 21 ⋅ y1 ) = ⋅ = 11, ¨ 7 − ⋅ 3¸ = A 22 2 ¹ 11 2 11 ©

− Bestimmung der Unbekannten im Vektor U y2 2 = 11 ⋅ = 2, A 22 11 1 1 1 u1 = ( y1 − A 12 ⋅ u 2 ) = §¨ 3 − ⋅ 2 ·¸ = 1 A 11 2© 2 ¹ u2 =

für den Lösungsvektor erhält man so

U t = [1 2] . Der Vorteil des Cholesky-Verfahrens ist, dass es im Allgemeinen schnell rechnet; von Nachteil ist, dass viel Speicherplatz erforderlich ist, weil die beiden Dreieckmatrizen im Hauptspeicher präsent sein müssen.

•

Frontlösungsverfahren Beim Frontlösungsverfahren /GRO 01/ werden die Elementsteifigkeitsmatrizen aller Elemente im Massenspeicher aufgebaut und nach der Reihenfolge der Knotennummerierung sukzessive im Hauptspeicher als Einzelgleichungen abgearbeitet. Deshalb ist das Verfahren für große Strukturen geeignet, da nie die Gesamtsteifigkeitsmatrix aufgebaut werden muss, insgesamt wird somit nur wenig Speicherplatz in Anspruch genommen. An einem kleinen Stabwerkbeispiel wollen wir im umseitigen Bild 5.16 die Technik kurz kennen lernen. Vorgegeben seien dabei die Konstanten E ⋅ A3 E ⋅ A1 E ⋅ A2 E ⋅ A4 = 1.000 , = 750 , = 500 und = 250 , L1 L2 L3 L4

wobei A 1 = A 2 = A 3 = A 4 = A sein soll.

5 Das Konzept der Finite-Element-Methode

78 x 2

1 F rea k

1 2 u1 = 0 u 2

Fx = 300 N

4

3 4 u4

3 u3

1.000

-1.000

-1.000

1.000 +750

-750

-750

+750 +500

-500

-500

+500 +250 -250

5 u5 u1 = 0

F re ak

u2

0

u3

0

-250

u4

0

+250

u5

F5x

Bild 5.16: Stabwerk mit zugehöriger Steifigkeitsmatrix Die Elementmatrizen werden nun nacheinander abgearbeitet. 1. Schleife: Einlesen der Steifigkeitsmatrix von Element 1

ª 1.000 − 1.000º ª u1 º ªFreak º ⋅ = , «− 1.000 1.000»¼ «¬u 2 »¼ «¬ 0 »¼ ¬ Abspalten der ersten Gleichung F + 1.000 ⋅ u 2 F u1 = reak = reak + u 2 , 1.000 1.000

(5.112)

da am Lager u1 = 0 ist, folgt daraus F 0 = reak + u 2 1.000 bzw. F u 2 = − reak . 1.000

(5.113)

Diese Gleichung wird zur Berechnung der Reaktionskraft abgespeichert und zum Schluss durch eine Rückrechnung gelöst.

5.4 Prinzipieller Verfahrensablauf

79

2. Schleife: Einlesen der Steifigkeitsmatrix von Element 2 ª − 1.000 ⋅ 0 « + 1.000 « + 750 « « « = 1.750 − 750 ¬«

º » » ªu º ª0º − 750 » ⋅ « 2 » = « » » ¬ u3 ¼ ¬0¼ » 750 ¼»

Elimination*) von u 2 aus 1.750 ⋅ u 2 − 750 ⋅ u 3 = 0 u2 =

750 ⋅ u 3 = 0,429 ⋅ u 3 1.750

(5.114)

3. Schleife: Einlesen der Steifigkeitsmatrix von Element 3 ª− 750 ⋅ 0,429 º « » + 750 « » ª u º ª0 º + 500 − 500» ⋅ « 3 » = « » « « » ¬ u 4 ¼ ¬0 ¼ = 928,25 « » «¬ 500»¼ − 500 Elimination von u 3 aus 928, 25 ⋅ u 3 − 500 ⋅ u 4 = 0 u3 =

500 ⋅ u 4 = 0,539 ⋅ u 4 928, 25

(5.115)

4. Schleife: Einlesen der Steifigkeitsmatrix von Element 4

ª − 500 ⋅ 0 , 539 º « » + 500 « » ªu 4 º ª 0 º + 250 − 250 » ⋅ « » = « F » « ¬u 5 ¼ ¬ 5x ¼ = 480 , 50 « » «¬ − 250 250 »¼ Elimination von u 4 aus 480,50 ⋅ u 4 − 250 ⋅ u 5 = 0 u4 =

*)

250 ⋅ u 5 = 0,52 ⋅ u 5 480,50

(5.116)

Anmerkung: Die Eliminierung von Unbekannten ist erforderlich, weil immer nur zwei Gleichungen in den Hauptspeicher sollen.

5 Das Konzept der Finite-Element-Methode

80 5. Schleife: Bilden der Schlussgleichung − 250 ⋅ u 4 + 250 ⋅ u 5 = F5x = 300

(− 250 ⋅ 0,52) u 5 + 250 ⋅ u 5 = 300 u5 =

300 = 2,5 120

(5.117)

6. Rückrechnung (Back Substitution) u 5 = 2,5 u 4 = 0,52 ⋅ u 5 = 1,3 mm u 3 = 0,539 ⋅ u 4 = 0,7 mm u 2 = 0,429 ⋅ u 3 = 0,3 mm u1 = 0 Reaktionskraft: Freak = −1.000 ⋅ u 2 = −300 N Beobachtet man, welche Plätze von der Gesamtsteifigkeitsmatrix benötigt wurden, so entsprach dies genau der maximalen Wavefront, hier 2. In der Regel ist dieser Wert bei der Auflösung der Gleichungen veränderlich. Die mittlere Größe ist jedoch ein Maß für die benötigte Rechenzeit, diese lässt sich folgendermaßen abschätzen: RZ ≈ (Anzahl der Unbekannten N) + (RMS-Wavefront) 2 [msec.] .

(5.118)

Hierin ist RMS-Wavefront =

(22 + 22 + 22 + 22 )/ 4 = 2.

Einige Programmsysteme (z. B. ANSYS) arbeiten mit dem Frontlösungsverfahren. Die geläufigen FE-Gleichungslöser sind vorher schon erwähnt worden. Es wurde auch dargelegt, dass die Rechenzeit zur Lösung eines Problems von der Anzahl der Unbekannten abhängt. Für die Zunahme der Unbekannten in h-basierten Systemen gilt die empirische Beziehung c ∼ h −d , mit h ( ≡ Durchmesser eines einbeschriebenen Elementkreises). Mit c wird hierbei der Vervielfachungsfaktor für die unbekannten N bei einer Netzverfeinerung ( N nachher ≈ c ⋅ N vorher ) bezeichnet. Der Diskretisierungsparameter h (s. auch Bild 1.5) impliziert dann mit der Dimensionalität d die Erhöhung der Unbekannten, d. h., eine Halbierung der Elementgröße bedeutet bei 2-D-Strukturen die Vervierfachung und bei 3-DStrukturen die Verachtfachung der Unbekannten. Wie die Gleichungslöser dieses Problems bewältigen, zeigt die folgende Auswertung (u. a. nach /JUN 01/).

5.4 Prinzipieller Verfahrensablauf

81

unbekannte kleine kleinere mittelgroße größere große N Strukturen Strukturen Strukturen Strukturen Strukturen Verfahren (N = 1.000) (N = 3.600) (N = 14.000) (N = 56.000) (N = 220.000) Cholesky

RZ SPB

0,001 s 185 kB

0,11 s 1,31 MB

1,70 s 10 MB

22 s 79 MB

-

GaußSeidel

RZ SPB

170 s 49 kB

3.000 s 193 kB

-

-

-

CG

RZ SPB

0,36 s 67 kB

4,5 s 250 kB

92 s 985 kB

950 s 3,8 MB

8.000 s 15 MB

PCG

RZ SPB

0,05 s 70 kB

0,1 s 250 kB

1,95 s 1,2 MB

3,5 s 4,6 MB

17,5 s 20 MB

FLV

RZ SPB

1.000 s 50 kB

3.600 s 200 kB

-

-

-

Bild 5.17: Tendenzielle Effizienz und Wirtschaftlichkeit von numerischen Gleichungslösern (RZ = Rechenzeit, SPB = Speicherbedarf) 5.4.6 Berechnung der Spannungen

Im Nachgang zur Auflösung des Gleichungssystems können jetzt mit den berechneten Verschiebungen auf Elementebene die Spannungen bestimmt werden. Wir wollen im Folgenden voraussetzen, dass über Gl. (5.90) wieder eine lokale Zuordnung erfolgen kann. Für unsere beiden Demonstrationselemente Stab und Balken gestaltet sich dann die Rechnung folgendermaßen:

− Stab-Element Definition und Auswertung der Dehnung: εx =

∂u ∂G ∂ = ⋅d = ∂x ∂x ∂x

1 = ª« − ¬ L

ª§ 1 − x · ¸ «¬¨© L¹

x º ª u1 º ⋅ L »¼ «¬ u 2 »¼

1 º ª u 1 º u 2 − u1 = ⋅ , L »¼ «¬ u 2 »¼ L

Anwendung des Werkstoffgesetzes: u − u1 σx = E ⋅ εx = E ⋅ 2 . L − Balken-Element Verzerrungsansatz für den Bernoulli-Balken (s. auch Bild 5.18):

u( x ) = − z ⋅ w ′ ( x )

(5.119)

(5.120)

5 Das Konzept der Finite-Element-Methode

82

1

2

x, u

w1 ψ1

dx

w(x)

z

z, w

w2 ψ2

w'(x) u(x)

Bild 5.18: Definition der Verformung am Balken-Element

Definition der Dehnung: İx =

∂u = −z ⋅ w ′′(x ) = − z ⋅ G ″ ⋅ d ∂x

(5.121)

oder mit Gl. (5.62) folgt ª w1 º « » ª§ 6 12 x · § 4 6 x · § 6 12 x · § 2 6 x · º « ψ1 » ε x = − z «¨ − + − ⋅L ¨ − − ⋅ L» ⋅ . ¸ ¨ ¸ ¸ ¨ ¸ ¬© L2 © L2 L3 ¹ © L2 L3 ¹ ¼ « w 2 » L3 ¹ © L2 L3 ¹ « » ¬ ψ2 ¼ Wegen der Koordinatenabhängigkeit muss diese Gleichung knotenweise ausgewertet werden, und zwar zu ­ 6 ½ 2 ε x ( 0) = z ® ( w 1 − w 2 ) − ( 2 ⋅ ψ 1 + ψ 2 ) ¾ 2 L ¯L ¿ bzw. ­ 6 ½ 2 ε x ( L) = z ® ( − w 1 + w 2 ) + ( ψ 1 + 2 ⋅ ψ 2 ) ¾ . 2 L ¯L ¿ Über die Koordinate z können beliebige Dehnungen über den Querschnitt bestimmt werden. Entsprechendes gilt für das Werkstoffgesetz: σ x (0 ) = E ⋅ ε x ( 0 ) ,

σ x (L ) = E ⋅ ε x (L ) .

(5.122)

Unter symmetrischen Bedingungen muss dies zu gleichen Spannungen führen. Vorstellung war hier zu zeigen, dass die Spannungen immer elementweise, und zwar mit dem jeweiligen Verschiebungsansatz auszuwerten sind.

5.4 Prinzipieller Verfahrensablauf

83

5.4.7 Systematische Problembehandlung

Aufbauend auf den vorausgegangenen Kapiteln wollen wir nunmehr an einem einfachen Strukturbeispiel die Vorgehensweise der FEM trainieren. Dieses Strukturbeispiel sei dem Stahlbau entlehnt und in seiner Funktion im Bild 5.19 gezeigt.

Normalerweise ist die Modellierung so durchzuführen, dass alle interessierenden Problempunkte geklärt werden können. Im vorliegenden Fall soll das Augenmerk ausschließlich auf die Durchbiegung der Struktur gerichtet sein. Nur deshalb ist die im Beispiel herangezogene Modellierung überhaupt möglich. Die Randbedingungen, die hier aus einer komplizierten Anschraubung und einer Gabelkopfstützung bestehen, sind durch die Auflager sehr stark idealisiert worden. F qz

50

Länge L 2 2

90

1 Schraube

3 Länge L 3

Schraube

Wand

Daten:

Flachmaterial

leichter I-Träger Länge L1

q z = 3 N/mm

Wand

F = 1.000 N L1 = 500 mm

E ⋅ J y1 = 6,3 ⋅ 1010 Nmm 2

L 2 = 500 mm

E ⋅ J y 2 = 10,5 ⋅ 109 Nmm 2

L 3 = 400 mm

E ⋅ A 3 = 2,1 ⋅ 10 7 N

Bild 5.19: Einfache Tragkonstruktion Als materielles Gebilde muss diese Konstruktion im Weiteren FEM-gerecht aufbereitet werden. Am einfachsten bieten sich hierzu Balken- und Stab-Elemente an, so wie dies im Bild 5.20 dargestellt ist. Bei einer derartigen Idealisierung können aber nur globale Aussagen über die Elemente gemacht werden. Wollte man beispielsweise Näheres über die Schweißnaht in der

5 Das Konzept der Finite-Element-Methode

84

Konstruktion wissen, so müsste flächig in Schalen-Elemente oder besser noch volumetrisch modelliert werden. Auch sollen keine Aussagen zu den Schraubanschlüssen gemacht werden, weshalb einfache Auflager ausreichend sind. Der Ablauf bis zum Ergebnis der Durchbiegungs- und Spannungsermittlung im Träger kann dann in die folgenden 10 Schritte unterteilt werden: 1. Schritt: Idealisierung F3

qz 1

x

E . Jy1 , L1

w1 = 0

2

1 2

3

E. J

y2 , L2

3 E . A3 , L3

z w4 = 0

4

Bild 5.20: Finites Modell der Tragkonstruktion Innerhalb der Idealisierung*) werden zunächst die Elemente geometrisch (x i , z i /A i , J i ) und physikalisch (E, ...) definiert. Die geometrische Definition erfolgt hierbei in dem globalen x − , z -Koordinatensystem. Vom mechanischen Verhalten her erkennt man eine Balkenstruktur, welche von einer Pendelstütze abgestützt wird. 2. Schritt: Randbedingungen

Gemäß den Stützungen der Struktur müssen jetzt die Randbedingungen eingeführt werden. Im vorliegenden Fall sei die Tragkonstruktion an zwei Punkten mit dem Mauerwerk starr verschraubt. Aus diesem Grunde sei hier angesetzt: am Knoten 1 w1 = 0

am Knoten 4 . w4 = 0

3. Schritt: Krafteinleitung

Die verteilte Streckenlast q z muss weiter auf die Knoten c, d des Balken-Elements 1 verschmiert werden. Im Kap. 5.4.2 haben wir das Prinzip der äquivalenten Kräfte kennen gelernt. Für das Balken-Element ergibt sich demgemäß *)

Anmerkung: Im Beispiel seien vereinfacht nur reine 2-D-Stab- und Balken-Elemente zugelassen.

5.4 Prinzipieller Verfahrensablauf

85

ª 1 º 750 N ª Q1ä º º « 2 » ª » « » « L » « » « « 1 « − » − 62.500 Nmm » « M1ä » » « 12 » = « » = q z ⋅ L1 « « » « » 1 « Q 2ä » » 750 N » « « » « » « 2 » « » « » L1 » « « « 62.500 Nmm »¼ . «¬ M 2ä »¼ «¬ 12 »¼ ¬ 4. Schritt: Bilden der Elementsteifigkeitsmatrizen

Die untransformierten Matrizen lauten:

ª12 − 6L − 12 − 6Lº E ⋅ Jy « 4L2 6L 2L2 » », « kB = 12 6L » L3 « » « 4L2 ¼ ¬

kS =

E ⋅ A ª 1 − 1º . L «¬− 1 1»¼

Der Transformationswinkel für die Balken-Elemente ist α = 0 , deshalb können die Matrizen so übernommen werden:

ª12 − 3000 − 12 − 3000 º « 10 ⋅ 10 6 3000 5 ⋅ 105 » » , k 2 = 84 k 1 = 504 « 12 3000 » « » « 10 ⋅ 10 6 ¼ ¬

ª12 − 3000 − 12 − 3000 º « 10 ⋅ 10 6 3000 5 ⋅ 105 » ». « 12 3000 » « » « 10 ⋅ 10 6 ¼ ¬

Das Stab-Element muss hingegen mit α = 90° transformiert werden: u1

w1 2

u2

w2 2

ª c s ⋅ c − c − s ⋅ cº « » E⋅A « s⋅c s2 − s ⋅ c − s2 » = 5,25 ⋅ 10 4 k3 = L « − c2 − s ⋅ c c2 s ⋅ c» « » 2 s⋅c s 2 »¼ ¬«− s ⋅ c − s

u1 w 1 u 2 w 2 ª0 «0 « «0 « ¬0

0

0

1 0 −1

0 0 0

0º − 1» . » 0» » 1¼

5. Schritt: Lokal-globale Beziehung der FHGs Entsprechend der gewählten Knotennummerierung ist im Bild 5.21 die Zuordnung der Einzelelemente zum System gezeigt.

5 Das Konzept der Finite-Element-Methode

86 1

1

2

2

3

x, u

w1 = 0

w3, ψ3

w2, ψ2

ψ1

3 4

1

2

1

w4 = 0 2

1

2

w1, ψ1

w2, ψ2

1

w1, ψ1

w2, ψ2

3

u1

2 u2

Bild 5.21: Aufgeschnittenes finites Modell Diese Zuordnung muss auch durch die Boole‘sche Matrix wiedergegeben werden. 1

2

3

4

5

0

0

0

0

w1

1

0

ψ1

2

1

w2

3

ψ2

4

w1

5

ψ1

=

7

ψ2

8

u1

9

u2

10 =

1 1 1

6

w2

ȡ

w1 = 0

.

1 1 1

1

ψ1

2

w2

3

ψ2

4

w3

5

ψ3 w4 = 0

1 0

0

0

0

A

0 .

U

6. Schritt: Zusammenbau der Systemsteifigkeitsmatrix Der Zusammenbau soll formal über die Boole‘sche Matrix vorgenommen werden. Hierzu ist die folgende Rechenoperation durchzuführen:

5.4 Prinzipieller Verfahrensablauf

87

1 1

10

1

1

1 1

.

1 1

5

1

5

1

1

1 1

10 0

1

a ij

1 .

1

1

2

1

b ij

0

=K

1 1 1 1

3 c ij

10

1 10

Das Ergebnis ist die Gesamtsteifigkeitsmatrix a 22

K=

a 23

a 24

0

0

a 32

a 33 + b11 a 34 + b12

b13

b14

a 42

a 43 + b 21 a 44 + b 22

b 23

b 24

0

b 31

b 32

b 33 + c11

b 34

0

b 41

b 42

b 43

b 44

Anhand einzelner Plätze in der Matrix kann diese Matrizenmultiplikation leicht kontrolliert werden. Führt man jetzt die Belegung wie zuvor gezeigt durch, so folgt für die Matrix ª 5,04 ⋅ 108 1,51 ⋅ 106 2,52 ⋅ 108 « 7.056 1,26 ⋅ 106 « K=« 5,88 ⋅ 108 « « « ¬

º » − 1.008 − 252.000 » 252.000 500.000 » . » 53.508 252.000 » 8,4 ⋅ 107 »¼ 0

0

7. Schritt: Aufbau des globalen Lastvektors Korrespondierend zur Krafteinleitung an den Knoten lautet der Lastvektor:

5 Das Konzept der Finite-Element-Methode

88 1 ª − 62.500 Nmm º » 2« 750 N « » P = 3 « 62.500 Nmm » . « » 4 « 1.000 N » »¼ 5 «¬ 0 8. Schritt: Lösung des Gleichungssystems

Durch Inversion der Steifigkeitsmatrix können über die Multiplikation U = K −1 ⋅ P die unbekannten Knotenverschiebungen zu

ª ψ1 º ª − 0,0024 º ª − 0,14° º « w » « 0,943 mm » « 0,943 mm » « 2» « » « » U = « ψ 2 » = « 0,0011 » = « + 0,06° » « » « » « » « w 3 » « 0,0262 mm » « 0,0262 mm » «¬ ψ3 »¼ «¬ 0,0033 »¼ «¬ + 0,19° »¼ bestimmt werden. Es ist zu beachten, dass ψ [°] = arctan [ ψ ] gilt! 9. Schritt: Berechnung der Spannungen Für Element 1: 2 ª 6 º σ x (0) = z ⋅ E ⋅ « (w 1 − w 2 ) − (2 ⋅ ψ1 + ψ 2 )» 2 L ¬L ¼

σ x (0) = −485,767 N / mm 2 2 ª 6 º σ x (L1 ) = z ⋅ E ⋅ « (− w 1 + w 2 ) − (ψ1 + 2 ⋅ ψ 2 )» 2 L ¬L ¼

σ x (L1 ) = 433,683 N / mm 2

Für Element 2 ist analog vorzugehen. 10. Schritt: Rückrechnung zu den Reaktionskräften (hier nicht durchgeführt)

89

6 Wahl der Ansatzfunktionen Auf die Bedeutung der Verschiebungsansätze wurde in den vorausgegangenen Betrachtungen zur Methode schon hingewiesen. Vor diesem Hintergrund stellt sich einem Anwender somit die Frage, nach welchen Regeln erfüllende Ansätze zu bilden sind. Im Wesentlichen müssen Verschiebungsansätze die folgenden drei Bedingungen /GAL 76/ erfüllen: 1. Die Ansatzfunktion darf keine Verzerrungen oder Spannungen hervorrufen, wenn ein Element nur Starrkörperbewegungen vollführt. 2. Die Ansatzfunktion muss stetig sein. Stetigkeit ist im Inneren und auf dem Rand zu verlangen, falls das Element mit einem Element desselben Typs oder mit Elementen desselben Ansatztyps in Berührung kommt. und 3. Die Ansatzfunktion soll zumindest Konstantglieder enthalten, damit auch ein konstanter Verzerrungs- und Spannungszustand dargestellt werden kann. Die sich hinter diesen Forderungen verbergenden Verhaltensweisen sollen nun kurz erläutert werden. Für die erste Regel wollen wir dazu Bild 6.1 heranziehen. Zunächst sind dort die Verschiebungsmodi Translation und Drehung dargestellt, die ein verstarrtes Element ausführen können muss, ohne dass in ihm Verzerrungen und Spannungen hervorgerufen werden.

a)

ψ

v u F

b) spannungsfreie Elemente

mögliche Starrkörpertranslation und -drehung am Element

Bild 6.1: Idealisierung eines Kragbalkens a) Starrkörpermodi, b) möglicher Verformungszustand B. Klein, FEM, DOI 10.1007/978-3-8348-2134-8_6, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012

6 Wahl der Ansatzfunktionen

90

Der Grund, weshalb ein Element in der Lage sein muss, diese Starrkörperbewegungen zu ermöglichen, erkennt man an dem Verformungsbild des Kragbalkenbeispiels, bei dem die rechts vom Kraftangriff liegenden Elemente unbeansprucht sind und trotzdem der Form der Biegelinie folgen müssen. Bei den beiden bisher verwandten Ansatzfunktionen war dies gewährleistet, wie folgende Abschätzung zeigt: − Stab-Element Dehnung:

u u εx = − 1 + 2 , L L

Starrkörperbewegung:

u1 = u 2 = u ,

(6.1)

woraus ε x = 0 und somit σ x = 0 folgt. − Balken-Element

2 ½ ­6 ε x (0) = z ® (w1 − w 2 ) + (2 ψ1 − ψ 2 )¾ , L ¿ ¯ L2

Dehnung:

(6.2)

Starrkörperbewegungen: w1 = w 2 = w , ψ1 = ψ 2 = 0 , woraus ebenfalls ε x = 0 und σ x = 0 folgt. Die Wirkung der zweiten Regel über die Stetigkeit erkennt man deutlich im Bild 6.2. y, v 3' 3 3

4

1

v13 = v 23 u13 = u23 kein Klaffen der Ränder

2 2' 1'

1

Bild 6.2: Kompatibilität zwischen Elementen für den ebenen Spannungszustand (nach /BAT 86a/)

v12 = u 21 2 1 u 12 = u 21

2 x, u

6 Wahl der Ansatzfunktionen

91

Kompatibilität zwischen den Elementen bedeutet in diesem Fall, dass die Verschiebungen im Inneren und auf den Rändern der Elemente stetig sein müssen. Hierdurch wird sichergestellt, dass bei einer verzerrten Elementgruppierung kein Klaffen der Elementränder auftritt. Diese Forderung ist bei den Elementen leicht zu gewährleisten, bei denen nur translatorische Freiheitsgrade (Stab-, Balken-Element, Viereck-Scheiben-Element) auftreten, die physikalisch eindeutig deutbar sind. Schwieriger ist hingegen die Kompatibilität bei den Elementen (Platten-, Schalen-Elemente) sicherzustellen, bei denen Freiheitsgrade aus höheren Ableitungen von Verschiebungsgliedern folgen. Wie wir später noch erkennen werden, unterscheidet man demgemäß kompatible und nichtkompatible Elemente. Aus dieser Bedingung kann abgeleitet werden, dass die Ansatzfunktion so viele Glieder haben muss, wie Freiheitsgrade in einem Element vorkommen, und dass die Ansatzfunktion so oft differenzierbar sein muss, wie die höchste Ableitung des Variationsfunktionals es erfordert. Die dritte Regel bezüglich der Konstantglieder kann physikalisch leicht begründet werden. Stellt man sich vor, dass in einem berandeten Gebiet die Elemente immer mehr verkleinert werden, so müssen letztlich im Grenzfall eines sehr kleinen Elements die Verzerrungen und damit Spannungen im Element konstante Werte annehmen. Hierdurch wird wiederum die Voraussetzung geschaffen, dass mit sehr kleinen Elementen jeder beliebig komplexe Verzerrungszustand in einem Gebiet darstellbar wird. Die hier aufgeführten Forderungen lassen sich gut mit Polynomen des Typs αi ⋅ x j ⋅ y k ,

für i, j, k = 1, 2, ..., n FHG

(6.3)

befriedigen. Der Grad des Polynoms ist j + k, bis zudem bei kompatiblen Elementen das Polynom vollständig sein muss. Diese einfachen Ansatzbauformen kommen insgesamt der mathematischen Beschreibung der FE-Methode sehr entgegen, da wiederholt differenziert und integriert werden muss. Eine einfache Entwicklungsmöglichkeit für die Aufstellung derartiger Polynome bietet das im Bild 6.3 dargestellte so genannte Pascal‘sche Dreieck, welches zwei- und dreidimensional aufgebaut werden kann. Polynomgrad

1 x x2

y y2

xy xy2

x3 x4

1

x3y

x2y2

2 y3

xy3

3 y4

4

Bild 6.3: Terme für ein- und zweidimensionale Ansatzfunktionen

6 Wahl der Ansatzfunktionen

92

Aus dem Pascal‘schen Dreieck lassen sich recht schnell die benötigten Ansätze für eine bestimmte Elementverhaltensweise ableiten. Jeder Ansatz muss hierbei so viele Konstanten haben, wie das Element Freiheitsgrade aufweist, z. B. − eindimensionales Stab-Element u ( x ) = α1 + α 2 ⋅ x ,

(6.4)

− eindimensionales Balken-Element

w (x ) = α1 + α 2 ⋅ x + α 3 ⋅ x 2 + α 4 ⋅ x 3 ,

(6.5)

− zweidimensionales Dreieck-Scheiben-Element u ( x , y) = α1 + α 2 ⋅ x + α 3 ⋅ y, v( x , y) = α 4 + α 5 ⋅ x + α 6 ⋅ y,

(6.6)

− zweidimensionales Rechteck-/Viereck-Element u ( x, y) = α1 + α 2 ⋅ x + α 3 ⋅ y + α 4 ⋅ xy #

usw. Hierin sind die Konstanten αi noch unbekannt und müssen aus der Geometrie des Elements und den Knotenbedingungen bestimmt werden, welches beispielhaft für den Stab-Ansatz gezeigt werden soll: u (x = 0 ) ≡ u1 = α1 ,

(6.7)

u ( x = L ) ≡ u 2 = u1 + α 2 ⋅ L , α2 =

u 2 − u1 . L

(6.8)

Werden nun diese Konstanten in Gl. (6.4) eingesetzt, so folgt daraus u − u1 x x u ( x ) = u1 + 2 ⋅ x = §¨1 − ·¸ u1 + u 2 . L L L © ¹

(6.9)

Diesen auf die Knotenverschiebungen bezogenen Ansatz haben wir zuvor schon in Kapitel 5.3 bei der Herleitung des Stab-Elements benutzt.

93

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme Die kommerziell verfügbaren FEM-Programmsysteme bieten eine Vielzahl von Elementen an, die in Stab-, Balken-, Scheiben-, Platten-, Schalen-, Volumen- und Kreisring-Elemente charakterisiert werden können. Diese Elemente werden überwiegend dreidimensional beschrieben und durch Sperren einzelner Freiheitsgrade dann ein- oder zweidimensionalen Problemen angepasst. Im Folgenden wollen wir uns exemplarisch mit einigen Elementen auseinandersetzen, um grundsätzliche Prinzipien zu erkennen. Aus diesem Grund sind hier unterschiedliche Beschreibungsmöglichkeiten gewählt worden.

7.1 3-D-Balken-Element Im Bild 7.1 ist ein so genanntes 3-D-Balken-Element mit 6 Freiheitsgraden pro Knoten dargestellt, bei dem die Stab- und Balkeneigenschaften physikalisch entkoppelt sind. Demgemäß kann ein derartiges Element Axialkräfte ( N i ) , Drehmomente (Ti ) sowie in zwei Ebenen Querkräfte (Q yi , Q zi ) und Biegemomente (M yi , M zi ) übertragen und ist somit fallweise zur Analyse von Stab- und Rahmenstrukturen verwendbar. T2

x y

2

z

Q y2 Q z2 1

Φ1

N2

u1

x v1

w1

ψy1

E . A, L G ⋅ J t , E ⋅ J y , E ⋅ Jz

M y2

M z2

y

ψz1

z

Po (x, z) Hilfspunkt zur Orientierung des lokalen KS

Bild 7.1: Lineares 3-D-Balken-Element (nach /PRZ 86/) mit entkoppelten Knotenfreiheitsgraden Bei der Aufstellung der zugehörigen Elementsteifigkeitsmatrix wollen wir hier von der Blockaddition Gebrauch machen, da im Kapitel 5.3 schon alle benötigten Teilergebnisse hergeleitet worden sind, d. h., im vorliegenden Fall kann man so tun, als wenn das 3-D-Balken-Element selbst die Systemmatrix des Stab-, Dreh-Stab- und Balken-Elements wäre, womit die Steifigkeitsanteile der entsprechenden Freiheitsgrade nur richtig platziert werden brauchen. Wie die Platzierung im Einzelnen durchzuführen ist, erkennt man im Schema. B. Klein, FEM, DOI 10.1007/978-3-8348-2134-8_7, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012

94

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme c 1 1

2

3

d 4

5

6

a

2

7

8

9

10

11

12

-a b

-b

3

12c 6cL

-12c 6cL

4

2

2

6cL 4cL

-6cL 2cL

5

12d -6dL

-12d -6dL

6

-6dL 4dL2

6dL 2dL2

7 8 9 10 11 12

-a

0

-b

a

G ⋅ Jt E⋅A ,b= L L E ⋅ Jy E ⋅ Jz c= ,d= L3 L3 a=

·

u1

N1

Φ1

T1

v1

Q y1

Ψz1

M z1

w1

Q z1

Ψy1 u2

=

M y1 N2

Φ2

T2

12c -6cL

v2

Q y2

-6cL 4cL2

Ψz2

M z2

12d 6dL

w2

Q z2

2

Ψy 2

M y2

b

6dL 4dL

(7.1) Für die Sortierung der Matrixgleichung ist gemäß der mechanischen Wirkung eine bestimmte Logik benutzt worden, die jedoch für ein allgemein gültiges Programmsystem zu individuell ist. In kommerziellen FE-Programmen versucht man, eine strenge Systematik bei der Belegung der Speicherplätze einzuhalten, weshalb man immer blockweise die Verschiebungen und Drehungen abspeichert. Die knotenweise Belegung beim Balken-Element ist demgemäß

ª u º « v » » « «w » Ui = « » . «Φ x » «ψy » » « ¬ ψ z ¼i Zu der Gl. (7.1) ist noch zu bemerken, dass über A, J y , z und J t die Querschnittsgeometrie

des Elements eingeht und diese Werte orientiert werden müssen. In komfortablen Programmen sind die üblichen Standardgeometrien (Winkel-, U-, T-, Hut-, Rechteck-, Sechskant-, Kreis- und Rohrprofil) fest abgespeichert, sodass über die beschreibenden Parameter die benötigten Eingabewerte sofort zur Verfügung gestellt werden können. Des Weiteren bieten einige Programme als Zusatzleistung noch an, dass man die Standardprofile miteinander verschmelzen oder freie Geometrien im Zeichenmodus erstellen kann, was manchmal eine erhebliche Arbeitserleichterung darstellt.

95

7.1 3-D-Balken-Element a) 1

2

x z

b)

x R

1

2

z

c)

x

2

1

3 z

Aus dem Balken kann auch eine Elementfamilie begründet werden, wie im Bild 7.2 hervorgehoben ist. Das gekrümmte Balken-Element kann überall dort eingesetzt werden, wo die Mittellinie mit einem definierten Radius R ausgebogen ist. Viel variabler kann dagegen das parabolische Element genutzt werden, da der Mittenknoten beliebig gesetzt werden kann. Bild 7.2: Balken-Elementfamilie a) gerader Balken b) gekrümmter Balken c) parabolischer Balken

Klar ist in diesem Umfeld, dass das lineare Element stets eine gerade Mittellinie haben muss. In diesem Zusammenhang ist auch noch einmal auf die Krafteinleitung einzugehen. Im Bild 7.3 sind einige Möglichkeiten gezeigt, die ebenfalls von Programmen geboten werden. Diese bestehen darin, Kräfte sowohl im globalen als auch im lokalen Koordinatensystem einleiten zu können. Falls eine Kraft im globalen System eingegeben wird, erfolgt mittels der im Kapitel 5.4.1 hergeleiteten Transformationsmatrix eine Umorientierung in das lokale System.

z q(x)

a)

2 z2

q(x)

c)

2

x2 z1

x

1 z x1

z

Fz 2

b)

Fx 2

2

1

2

Fz1 x

z

Fz 2

d)

F z1 F x1

x

1

Fx1

Bild 7.3: Krafteinleitung in ein Balken-Element a), b) Einleitung bezogen auf das globale KS c), d) Einleitung bezogen auf das lokale KS

x 1 z

96

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme

Für die Anwendung ist als Letztes noch die Konvergenz des Balken-Elements von Interesse. An dem einfachen Beispiel der Tragkonstruktion soll im Bild 7.4 eine Konvergenzuntersuchung durchgeführt werden. Die Tragkonstruktion sei mit einer Streckenlast beaufschlagt und der Querschnitt sei ein Doppel-T. Für die Feststellung der Konvergenz wird die Länge der Tragkonstruktion in eine unterschiedliche Anzahl von finiten Balken-Elementen eingeteilt und die Annäherung an die exakten Lösungswerte für die Durchbiegung, das Moment und die Querkraft festgestellt. qz

a) x

w max

z, w

y z, w

b) Konvergenztabelle Anzahl Elemente 2 EL 4 EL 8 EL

w theor. =

5 q z ⋅ L4 = 3,8024 384 E ⋅ J 3,9772 3,9772 3,9772

q ⋅ L2 M theor. = z = 2.250.000 8 2.250.000,3 2.250.000,3 2.250.000,3

q ⋅L Qtheor. = z = 15.000 2 15.000 15.000 15.000

c)

Bild 7.4: Konvergenzbetrachtung mit einem Balken-Element a) Lastfall, b) Konvergenzanalyse, c) Spannungsauswertung im Querschnitt

97

7.2 Scheiben-Elemente

Aus der Tabelle erkennt man, dass bereits mit zwei Elementen die exakte Durchbiegung (Fehler 4,6 %) und die exakten Schnittgrößen bestimmt werden können. Eine Erhöhung der Elementzahl bedeutet im Weiteren keine Genauigkeitserhöhung, damit gilt für ein BalkenElement augenscheinlich nicht die Regel, dass durch eine Erhöhung der Elementanzahl eine bessere Konvergenz erreicht werden kann. Diesbezüglich ist zu hinterfragen, warum dies so ist: Die Verhaltensweise eines Elements ist bekanntlich durch den Ansatz gegeben. Beim Balken-Element haben wir für den Ansatz die exakte Lösung der DGL ermitteln können, insofern ist ein exaktes Element geschaffen worden, dessen Genauigkeit nicht mehr gesteigert werden kann. Bei der weiter noch angegebenen Spannungsverteilung ist mit Gl. (5.115) linear über den Querschnitt extrapoliert worden.

7.2 Scheiben-Elemente 7.2.1 Belastungs- und Beanspruchungszustand

Dünnwandige, ebene Bleche, die in ihrer Mittelebene belastet werden, bezeichnet man als Scheiben*). Das Merkmal Dünnwandigkeit ist dabei gegeben, wenn die Dickenabmessung viel kleiner ist als die beiden anderen Längenausdehnungen. In Scheiben tritt dann der schon in Kapitel 3 charakterisierte ebene Spannungszustand (ESZ) ein, der hier noch einmal im Bild 7.5 dargestellt ist. x F

y

q y σyy σxx

p t

E, ν B

x τ xy L

Bild 7.5: Scheibenartiges Bauteil mit typischen Belastungen Durch die Vernachlässigung der z -Koordinate erhält man somit ein ebenes Problem, wenn die Eigenschaften auf die Mittelebene überführt werden. Um eine geeignete finite Elementbeschreibung herleiten zu können, gilt es, vorab die wesentlichen Beziehungen zu definieren, und zwar

*)

Anmerkung: Werden die Lasten so groß, dass die Mittelebene ausbeult, geht die Scheibe in eine Platte über.

98

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme

− der Verzerrungsvektor als

İ t = [ ε xx ε yy γ xy

],

(7.2)

− der Spannungsvektor als ı t = [ σ xx σ yy τ xy

]

(7.3)

und

− die Elastizitätsmatrix (s. Gl. (3.20)) als ª1 Ȟ 0 º » « E « » E= Ȟ 1 0 » . 2 « 1− Ȟ « 1− Ȟ» «¬ 0 0 2 »¼

(7.4)

Als äußere Belastungen sind Einzelkräfte Fi , verteilte Oberflächen- (q ix , y ) sowie Massenkräfte (p ix , y ) zugelassen. Zur Idealisierung scheibenförmiger Beanspruchungszustände werden gewöhnlich Dreieck- und Viereck-Elemente herangezogen. Mit Dreieck-Elementen können im Allgemeinen Randkonturen besser erfasst werden, während Viereck-Elemente viel besser konvergieren.

7.2.2 Dreieck-Element Das ebene Dreieck-Element kann als finites Ur-Element bezeichnet werden, da hiermit erstmals Flugzeugrümpfe /NN 97/ berechnet wurden. In der Ursprungsversion wurde ein Konstantelement (CST = constant strain triangle) definiert, das im Inneren konstante Verzerrungen und somit auch konstante Spannungen aufweist. Dies ist eine Folge des einfachen linearen Verschiebungsansatzes u ( x , y ) = α1 + α 2 ⋅ x + α 3 ⋅ y, v ( x , y ) = α 4 + α 5 ⋅ x + α 6 ⋅ y,

(7.5)

der mit den Knotenfreiheitsgraden korrespondiert. Für die Verzerrungen erhält man dann

∂u = α2 , ∂x ∂v ε yy = = α6 ∂y

ε xx =

und

(7.6)

∂u ∂v γ xy = + = α3 + α5, ∂y ∂x

99

7.2 Scheiben-Elemente

also konstante Größen. Um die mechanischen Eigenschaften beschreiben zu können, müssen im Weiteren die unbekannten Koeffizienten αi bestimmt werden. Hierzu schreiben wir für ein Dreieck-Element folgendes Gleichungssystem auf: ª α1 º «α » « 2» ª u º ª1 x y 0 0 0 º « α3 » « v » = «0 0 0 1 x y » ⋅ «α » . ¬ ¼ ¬ ¼ « 4» « α5 » « » ¬ α6 ¼

(7.7)

Dieses Gleichungssystem muss an jedem Knoten des im Bild 7.6 gezeigten Elementes erfüllt werden. Für drei Knoten erhält man so die sechs Gleichungen ª u1 º ª 1 x 1 « u » «1 x 2 « 2» « « u 3 » «1 x 3 « »=« « v1 » « « v2 » « 0 « » « v ¬ 3¼ ¬

y1 y2 y3

º ª Į1 º » «Į » » « 2» » « Į3 » » ⋅ « » = Ne ⋅ α . y1 » « Į 4 » y 2 » « Į5 » » « » y3 ¼ ¬ Į 6 ¼

0 1 x1 1 x2 1 x3

y, v

(7.8)

v2 2

y2

u2

Ansatz: 1

A

v1 y1

u1

1

x2

3 x3

y

Bild 7.6: Lineares Dreieck-Element in allgemeiner Lage mit Knotenkoordinaten und Ansatz

v3

y3 x1

x

u3 x, u

Aus Gl. (7.8) gilt es nun, durch Einsetzen der Knotenkoordinaten xi , yi die Koeffizienten αi zu bestimmen. Wenn diese bekannt sind, kann ein Zusammenhang zwischen dem Verschiebungsfeld im Inneren und den drei Knotenverschiebungen hergestellt werden. Im Weiteren ist es ausreichend, nur das reduzierte Gleichungssystem ª u1 º ª 1 x1 « u » = «1 x 2 « 2» « ¬« u 3 ¼» «¬ 1 x 3

y1 º ª Į1 º y2 » ⋅ «Į2 » = Nu ⋅ α » « » y3 ¼» ¬« Į 3 ¼»

(7.9)

100

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme

zu betrachten, da die Koeffizienten α4 − 6 genauso ermittelt werden können. Für die Gleichungslösung wollen wir hier die so genannte Cramer‘sche Regel benutzen, die eine sofortige Auflösung gestattet zu

u1 u2

x1 x2

u Į1 = 3

x3

y1 y2

u1 u2

x1 x2

y3 u 3 det N u

x3

= 1 [ ( x 2 y 3 − x 3 y 2 ) u 1 + ( x 3 y 1 − x 1 y 3 ) u 2 + ( x 1 y 2 − x 2 y 1 ) u 3 ] , *) 2A

1 u1

(7.10)

y1

1 u 2 y2 1 u 3 y3 1 [( y 2 − y3 ) u1 + ( y3 − y1 ) u 2 + ( y1 − y 2 ) u 3 ] , α2 = = det N u 2A 1 x1 u1 1 x2 u2 1 x3 u3 1 [( x 3 − x 2 ) u1 + ( x1 − x 3 ) u 2 + ( x 2 − x1 ) u 3 ] . α3 = = det N u 2A

(7.11)

(7.12)

Da die Koeffizienten wegen ihrer Länge zu unhandlich sind, wollen wir diese durch die folgende Vereinbarung abkürzen, und zwar bedeutet jetzt a i = x j ⋅ yk − x k ⋅ y j, bi = y j − y k ,

i, j, k = (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2 )

(7.13)

c i = x k − x j. Damit können die Koeffizienten viel kürzer ausgedrückt werden: 1 (a1 ⋅ u1 + a 2 ⋅ u 2 + a 3 ⋅ u 3 ), α 4 = 1 (a1 ⋅ v1 + a 2 ⋅ v 2 + a 3 ⋅ v 3 ), 2A 2A 1 α2 = (b1 ⋅ u1 + b 2 ⋅ u 2 + b3 ⋅ u 3 ), α5 = 1 (b1 ⋅ v1 + b 2 ⋅ v 2 + b3 ⋅ v 3 ), 2A 2A 1 (c1 ⋅ u1 + c 2 ⋅ u 2 + c3 ⋅ u 3 ), α 6 = 1 (c1 ⋅ v1 + c 2 ⋅ v 2 + c3 ⋅ v 3 ). α3 = 2A 2A α1 =

*)

Anmerkung.: Für die Nummerierung der Knoten entgegen dem Uhrzeigersinn lässt sich der Flächeninhalt eines Dreiecks mit 2A = det N u angeben.

101

7.2 Scheiben-Elemente

Durch Einsetzen in den Ansatz von Gl. (7.5) erhält man den gewünschten Zusammenhang 1 [(a1 ⋅ u1 + a 2 ⋅ u 2 + a 3 ⋅ u 3 ) + (b1 ⋅ u1 + b 2 ⋅ u 2 + b 3 ⋅ u 3 ) x 2A + (c1 ⋅ u1 + c 2 ⋅ u 2 + c 3 ⋅ u 3 ) y]

u (x , y ) =

oder zweckmäßiger sortiert

u (x , y ) =

1 [(a1 + b1 ⋅ x + c1 ⋅ y )u1 + (a 2 + b2 ⋅ x + c2 ⋅ y )u 2 + (a 3 + b3 ⋅ x + c3 ⋅ y )u3 ] 2A

v(x, y) =

1 [(a1 + b1 ⋅ x + c1 ⋅ y)v1 + (a 2 + b 2 ⋅ x + c 2 ⋅ y)v 2 + (a 3 + b3 ⋅ x + c3 ⋅ y)v3 ]. 2A (7.14)

bzw.

Die in diesem Verschiebungsansatz auftretenden Funktionen gi =

1 (a i + b i ⋅ x + c i ⋅ y ), 2A

i =1, 2, 3

(7.15)

sind die vorher schon erwähnten Formfunktionen, die man nun, wie im Bild 7.7 gezeigt, deuten kann. Man erkennt, dass in der gewählten Formulierung, die Verschiebungen längs einer Seite nur von den Knotengrößen abhängen.

1,0 0,8

g3 = 1 3

0,6

g 0,4 0,2 1

2

Bild 7.7: Lineares Verhalten eines Dreieck-Scheiben-Elements infolge einer Einheitsverschiebung Unter Benutzung dieses Ansatzes wollen wir weiter die in Gl. (7.6) angegebenen Verzerrungen ermitteln.

102

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme

Hierzu sind nachfolgende Ableitungen durchzuführen: ε xx =

∂u b1 ⋅ u1 + b 2 ⋅ u 2 + b3 ⋅ u 3 = = konst., ∂x 2A

İ yy =

∂v c1 ⋅ v1 + c 2 ⋅ v 2 + c3 ⋅ v3 = = konst., ∂y 2A

Ȗ xy =

∂u ∂v c1 ⋅ u1 + c 2 ⋅ u 2 + c3 ⋅ u 3 + b1 ⋅ v1 + b 2 ⋅ v 2 + b3 ⋅ v3 + = = konst., ∂y ∂x 2A

(7.16)

die hieraus resultierende Aussage konnte zuvor schon bewiesen werden. Sortiert man hierin die auftretenden Ausdrücke für die bekannte matrizielle Gleichung İ = D⋅G ⋅d = B⋅d,

so folgt

ªε º ªb « xx » 1 « 1 0 « ε yy » = « « γ » 2A « c ¬ 1 ¬ xy ¼

2

1 0 c1 b1

b2 0 c2

3 0 c2 b2

b3 0 c3

ª u1 º «v » 0 º « 1» «u » c3 » ⋅ « 2 » » v2 b 3 »¼ « » «u3 » «¬ v »¼ 3 .

(7.17)

Damit können dann auch die Spannungen*) angesetzt werden zu ı = E⋅İ = E⋅B ⋅d = S ⋅d.

Führt man die entsprechenden Matrizenoperationen durch, so erhält man die knotenindizierte Spannungsmatrix 1 ª b 1 « « E S= « νb1 2 2A 1 − Ȟ « «1− ν c ¬ 2 1

(

)

2

3

νc1

b2

νc 2

b3

c1

νb 2

c2

νb 3

1− ν b 2 2

1− ν c 2 3

1− ν 1− ν c b1 2 2 2

º » » c3 » » 1− ν » b3 ¼ .(7.18) 2 νc 3

Wegen der vorausgesetzten konstanten Verzerrung müssen sich natürlich auch die Spannungen σ xx , σ yy , τ xy als konstant ergeben. Nachdem nun die Grundbeziehungen transparent sind, wollen wir uns der Berechnung der Steifigkeitsmatrix zuwenden. Ganz allgemein gehen wir dabei von der folgenden Gleichung aus: *)

Anmerkung: In der Literatur wird mit S = E ⋅ B die Spannungsmatrix bezeichnet.

103

7.2 Scheiben-Elemente t

k = ³ (D ⋅ G )t ⋅ E⋅ (D ⋅ G ) dV= ³ B ⋅ E ⋅ B dV . V

V

Da die hierin eingehende B-Matrix selbst nur konstante Koeffizienten beinhaltet, kann diese auch vorgezogen werden, man findet so

(

)

k = B t ⋅ E ⋅ B ³ ³ t ⋅ dA = A ⋅ t B t ⋅ E ⋅ B . xy

(7.19)

Angenommen wurde, dass das Element gerade Seiten und konstante Dicke hat. Um diese Gleichung einfach auswerten zu können, haben wir schon die B-Matrix knotenweise partitioniert, dies ermöglicht uns durch 1 *t E 1 E⋅ t ⋅ B j* = k ij = A ⋅ t §¨ Bi t ⋅ E ⋅ B j ·¸ ≡ A ⋅ t ⋅ Bi ⋅ E* ⋅ Bi*t ⋅ E* ⋅ B j* 2 © ¹ 2 2A 2 A § · 1− Ȟ 4A¨1 − Ȟ ¸ © ¹ (7.20) alle Untermatrizen der Elementsteifigkeitsmatrix berechnen zu können: ª k 11 k 12 « k = « k 21 k 22 «¬ k 31 k 32

k 13 º » k 23 » . k 33 »¼

(7.21)

Durch schrittweise Ausmultiplikationen ergeben sich die Untermatrizen zu

ªb i « « «¬ 0

ª ªb j 0 º 0 º» «1 ν « » «ν 1 0 » « 0 cj» « 1− ν» «c j b j » «0 0 » ¬ ¼ 2 ¼ ¬ 1− ν 1− ν 1− ν º ª c i º ª b i νb i b jc i º» c i c j νb i c j + ci » « bi b j + « 2 2 2 »⋅« »= »⋅« » « 1− ν 1− ν 1− ν » « » b i »¼ «νc i c i bi b j » bi c j ci c j + b i » « νb j c i + ¬ ¼ ¼ ¬ 2 2 2

0 ci

≡ B i * t ⋅ E* ⋅ B j

1− ν ª b ⋅ b + 1− ν c ⋅c νb i ⋅ c j + b j ⋅ ci º» i j « i j 2 2 k ij = « ». 1− ν 1− ν 4A 1 − ν 2 « » «¬νb j ⋅ ci + 2 ci ⋅ b j ci ⋅ b j + 2 bi ⋅ b j »¼ E⋅t

(

)

mit i, j = 1, 2, 3

(7.22)

Über alle Kombinationen i, j führt dies zur Elementsteifigkeitsmatrix des Dreieck-ScheibenElements (s. auch /HAH 75/), welche umseitig aufgestellt worden ist.

k=

E⋅t 4A¨§1 − Ȟ 2 ·¸ © ¹

1− ν 1− ν 2 b1c1 c12 + b1 2 2

1− ν b1c1 2

v1

νb1c1 +

i = 1, j = 1

1− ν 2 c1 2

νb1c1 +

b12 +

u1

1− ν

b1c 3 c1c 3 +

2

b1b 3

1− ν b 3c 3 2 1− ν 1− ν 2 b 3c 3 c 3 2 + b3 2 2

νb3c3 +

i = 3, j = 3

1− ν 2 c3 2 νb3c3 +

b32 +

1− ν

2

b 3c1

1− ν c 2 c 3 νb 2 c 3 + b 3c 2 2 2 1− ν 1− ν νb 3c 2 + b 2 c3 c 2c3 + b 2 b3 2 2

b22 +

b 2 b3 +

νb 3c1 +

1− ν 2 1− ν

νb1c 3 +

1− ν b2c2 νb 2c 2 + c22 2 2 1− ν 1− ν 2 b 2c 2 c 2 2 + b2 νb 2c 2 + 2 2

1− ν b1b 2 2

c1c 3

2 1− ν

1− ν

i=1,j=3

v3

i = 2, j = 3

c1c 2 +

b1b 3 +

u3

i = 2, j = 2

1− ν b1c 2 2

1− ν b 2 c1 2

v2

νb1c 2 +

i = 1, j = 2 1− ν c1c 2 2

νb 2 c1 +

b1b 2 +

u2

104 7 Elementkatalog für elastostatische Probleme

(7.23)

105

7.2 Scheiben-Elemente

Auch beim Dreieck-Element wollen wir wieder kurz auf die Konvergenz eingehen. Als Testproblem sei dazu eine Scheibe mit Mittenloch unter einer gleichmäßigen Zugspannung gewählt, so wie sie im Bild 7.8 dargestellt ist. y

3

σ xx σ0

2 1

σ0

σ0

x 2r t = konst. α Kz ≈ 2 + e

a

−

r 0, 3⋅a

σ yy σ0

a

Bild 7.8: Spannungsauswertung in einer gelochten Quadratscheibe (nach /ARG 86/) Zur Analyse des Problems reicht es aus, eine Viertelscheibe zu betrachten. In diesem Viertel werden mit zwei 60°-Spiralen 137-CST-Elemente generiert. Als theoretische Lösung ist bekannt, dass um das Loch herum eine Formzahl α K max = σ xx max /ı 0 = 3,0 wirksam ist. Auch hier ergibt sich mit einer ausgewerteten Formzahl von α K ≈ 3,08 eine verblüffend gute Annäherung. In dem Beispiel können die verwandten Dreieck-Elemente aber nur deshalb eine recht gut Lösung ermitteln, weil die Elemente in dem bekannten Spannungskonzentrationsgebiet relativ klein sind. 7.2.3 Flächenkoordinaten

Eine bei der Herleitung von finiten Elementen vielfach benutzte Darstellung verwendet elementeigene Flächenkoordinaten, um die Formulierung unabhängig von der Gestalt und Orientierung zu machen. Diese Möglichkeit soll der Vollständigkeit halber kurz gezeigt werden.

106

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme

Wie man insbesondere beim Dreieck-Element Flächenkoordinaten festlegt, zeigt Bild 7.9.

3

A1

A2 ζ2

ζ1

P ζ3

A3

1

2

xp

Bild 7.9: Flächenkoordinaten des Dreieck-Elements Die Lage eines beliebigen Punktes P im Inneren des Dreiecks kann somit durch die Größe der drei Teilflächen Ai bzw. deren Verhältnis zur Gesamtdreieckfläche A ausgedrückt werden. Für die demnach dimensionslosen Flächenkoordinaten kann also angegeben werden: ζ1 =

A A1 A , ζ 2 = 2 , ζ3 = 3 . A A A

(7.24)

Wegen A1 + A 2 + A 3 = A ist weiter zu erkennen, dass die drei definierten Flächenkoordinaten ζ1 + ζ 2 + ζ 3 = 1

(7.25)

nicht unabhängig voneinander sind. Um die Lage eines Punktes im Dreieckinneren eindeutig festzulegen, genügen nämlich nur zwei Koordinaten. Die hier eingehenden Teilflächen kann man über die folgenden Determinanten bestimmen:

A1 =

1 xP 1 1 x2 2 1 x3

yP 1 x1 1 y2 , A2 = 1 x P 2 y3 1 x3

y1 1 x1 1 yP , A3 = 1 x 2 2 y3 1 xP

y1 y2 . yP

(7.26)

107

7.2 Scheiben-Elemente Für die Gesamtfläche folgt entsprechend

A=

1 x1 1 1 x2 2 1 x3

y1 y2 , y3

(7.27)

sodass wieder Gl. (7.25) erfüllt wird. Dies sei für ζ1 hier beispielhaft angedeutet:

ζ1 =

1 xp 1 1 x2 2A 1 x3

yp y2 y3

=

1 xP 1 1 x2 2A 1 x3

yP 1 x P y2 1 x 2 = y3 1 x 3

1 (x 2 y3 + x P y 2 + y P x 3 − x 2 y P − x 3 y 2 − x P y3 ) = 2A 1 [(x 2 y3 − x 3 y 2 ) + (y 2 − y3 )x P + (x 3 − x 2 )y P ] . 2A

Verallgemeinert man jetzt diese Beziehung und benutzt wieder die Abkürzungen ai = x j ⋅ yk − x k ⋅ y j,

bi = y j − y k ,

ci = x k − x j

mit i, j, k = 1, 2, 3;

2, 3, 1;

3, 1, 2,

so kann für die Flächenkoordinate auch angegeben werden: ζ1 =

1 (a1 + b1 ⋅ x + c1 ⋅ y ) . 2A

Führt man diese Operation für die drei bezogenen Koordinaten durch, so besteht folgende Zuordnung: ª ζ1 «ζ « 2 «¬ ζ 3

º »= 1 » 2A »¼

ª a 1 b1 c1 «a b c 2 2 « 2 «¬ a 3 b 3 c 3

º ª1º »⋅«x» , » « » »¼ «¬ y »¼

(7.28)

bzw. es gilt auch die folgende Umkehrbeziehung: ª1º ª 1 «x» = «x « » « 1 ¬« y ¼» ¬« y1

1 x2 y2

1 º ª ζ1 º x3 » ⋅ «ζ2 » . » « » y 3 ¼» ¬« ζ 3 ¼»

(7.29)

An diesen Beziehungen ist zu erkennen, dass die Zusammenhänge zwischen den Flächenund kartesischen Koordinaten linear sind, d. h., eine Ansatzfunktion als x-, y-Polynom wird

108

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme

ein ζ-Polynom desselben Grades. Die im Weiteren zur Darstellung der Elementeigenschaften erforderlichen Differenziationen und Integrationen lassen sich mit Flächenkoordinaten ebenfalls recht einfach darstellen. Wählen wir ζ 1 , ζ 2 als unabhängige Koordinaten, so erfolgt die Differenziation nach der Produktregel zu

∂ ∂ ∂x ∂ ∂y = ⋅ + ⋅ . ∂ζ i ∂x ∂ζ i ∂y ∂ζ i Der Übergang zwischen den beiden Koordinatensystemen ist dann folgendermaßen gegeben: ª ∂ « ∂ȗ « 1 « ∂ « ¬ ∂ȗ 2

º ª ∂x » « ∂ȗ »=« 1 » « ∂x » « ¼ ¬ ∂ȗ 2

∂y º ª ∂ º ª ∂ º » « » « ∂x » ∂ȗ1 ∂x » ⋅ « » = J ⋅« » . « ∂ » ∂y » « ∂ » » « » « » ∂ȗ 2 ¼ ¬ ∂y ¼ ¬ ∂y ¼

(7.30)

Mit J ist hierin die so genannte Jacobi-Matrix oder Funktionsmatrix eingeführt worden, die auch als

ª ∂ (x,y ) º J=« » ¬ ∂ (ȗ1,ȗ 2 ) ¼

(7.31)

verkürzt geschrieben werden kann. Im vorliegenden Fall lässt sich zeigen, dass die JacobiDeterminante gleich ist der doppelten Dreieckfläche § ∂x ∂y ∂x ∂y ·¸ det J = ¨¨ ⋅ − ⋅ ¸ = 2A , © ∂ζ1 ∂ζ 2 ∂ζ 2 ∂ζ1 ¹

(7.32)

worin die Dreieckfläche nach Gl. (7.27) anzusetzen ist als 1 x1 2A = 1 x 2 1 x3

y1 y 2 = x 2 ⋅y 3 + x1⋅ y 2 + x 3 ⋅y1 − x 2 ⋅y1 − x 3 ⋅ y 2 − x1⋅ y 3 y3

oder unter Benutzung der vorherigen Koeffizienten

2 A = c 2 ⋅ b1 − c1 ⋅ b 2 = c 3 ⋅ b 2 − c 2 ⋅ b 3 = c1 ⋅ b 3 − c 3 ⋅ b 1 .

(7.33)

Damit ist dann auch die Jacobi-Matrix gegeben zu ª c − b 2 º ª c 3 − b 3 º ª c1 − b1 º = = J=« 2 . b 3 »¼ b1 »¼ «¬ − c 2 b 2 »¼ «¬ − c 3 ¬ − c1

(7.34)

Somit kann auch der zur Gl. (7.30) erforderliche umgekehrte Zusammenhang aufgestellt werden:

109

7.2 Scheiben-Elemente ª ∂ º ª ∂ º « ∂ζ » « ∂x » 1 « » = J −1 « 1 » = « ∂ » det « ∂ » « ∂ζ » « ∂y » ¬ ¼ ¬ 2¼

ª « « J« «− ¬

∂y ∂y º ª ∂ º ª ∂ º − ª b1 b 2 º « » » » « ∂ȗ 2 ∂ȗ1 ∂ζ 1 « » ⋅ « ∂ζ1 » . (7.35) »⋅« 1 » ≡ » « ∂ » ∂x ∂x » « ∂ » 2A « «¬ c1 c 2 ¼» « » » » « ∂ȗ 2 ∂ȗ1 ¼ ¬ ∂ζ 2 ¼ ¬ ∂ζ 2 ¼

Die Integrationen bezüglich x und y müssen dann ebenfalls mit ζ1 und ζ2 transformiert werden. Für ein Flächenteilchen ergibt sich so dA = dx ⋅ dy= det J ⋅ d ȗ1 ⋅ d ȗ 2 ≡ 2A ⋅ d ȗ1 ⋅ d ȗ 2 .

(7.36)

Hierin treten typische Integrale von der Form /HAH 75/

³ ζ1

R

⋅ ζ 2 S ⋅ ζ 3 T dA = 2 A

R ! ⋅ S! ⋅ T ! ( 2 + R + S + T) !

(7.37)

auf, worin R, S, T positive ganze Zahlen darstellen. Für eine Koordinate erhielte man so beispielsweise 1!

³ ζ1 dA = 2 A 3! =

A . 3

Der Verschiebungsansatz für ein in Flächenkoordinaten zu beschreibendes Dreieck-Element kann somit aufgestellt werden zu u ( x , y ) = ζ1 ⋅ u 1 + ζ 2 ⋅ u 2 + ζ 3 ⋅ u 3 , v ( x , y ) = ζ1 ⋅ v1 + ζ 2 ⋅ v 2 + ζ 3 ⋅ v 3 oder lautet in Matrixform u = G ⋅d

bzw. 0 ζ2 ªu º ªζ u=« »=« 1 ¬ v ¼ ¬ 0 ζ1 0

0 ζ2

ζ3 0

ª d1 º 0 º « » ⋅ d2 . ζ 3 »¼ « » ¬« d 3 ¼»

(7.38)

Die Formfunktionen sind dabei g1 = ζ 1 , g 2 = ζ 2 , g 3 = ζ 3 . In der Übertragung auf andere Geometrien erweist sich die Flächenkoordinaten-Darstellung meist auch als sehr vorteilhaft.

110

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme

7.2.4 Erweiterungen des Dreieck-Elements

Für manche Probleme ist das lineare Dreieck-Element entweder zu ungenau oder unzweckmäßig, und zwar dann, wenn es sich einer gekrümmten Kontur anpassen muss, oder wenn die Genauigkeit in einem Gebiet erhöht werden muss. Die immer feinere Unterteilung eines Gebiets in finite Elemente stößt auch heute noch an Grenzen. Diese Grenzen sind durch die Number-Crunching-Leistung (Rechengeschwindigkeit) und das Speichervermögen (Hauptspeicher) des verfügbaren Computers gegeben. So zeigt sich, dass die Rechenzeit etwa exponentiell mit der Elementezahl ansteigt und bei sehr feinen Netzen oft unakzeptable Laufzeiten anfallen. Insofern bleibt nur die Alternative, die Knotenzahl der Elemente (d. h. den Ansatz) zu erhöhen, um genauere Ergebnisse zu erhalten. Beim Dreieck-Element ist diesbezüglich die im Bild 7.10 gezeigte Elementfamilie entwickelt worden. a)

b) 3

y

5

6

v1 1

2

u1 4 3 7

8 9 v1 1

6 10 u1 4 5

2 x

Bild 7.10: Dreieck-Elemente höherer Ordnung (nach /HAH 75/) a) parabolisches Element mit 6 Knoten bzw. kubisches Element mit 10 Knoten b) typischer Anwendungsfall Wie man erkennt, ist hier sowohl die Möglichkeit vorhanden, quadratische und kubische Elemente zu beschreiben. Ohne auf die Herleitung dieser Elemente näher einzugehen, sollen ein paar allgemeine Eigenschaften andiskutiert werden: − Das 6-knotige Element mit Mittenknoten auf den Seitenmitten hat insgesamt 12 Freiheitsgrade. Demnach ist als Verschiebungsansatz ein vollständiges Polynom zweiten Grades zu wählen, und zwar u ( x , y ) = α1 + α 2 ⋅ x + α 3 ⋅ y + α 4 ⋅ x 2 + α 5 ⋅ x ⋅ y + α 6 ⋅ y 2 , v(x , y ) = α 7 + α 8 ⋅ x + α 9 ⋅ y + α10 ⋅ x 2 + α11 ⋅ x ⋅ y + α12 ⋅ y 2 .

7.2 Scheiben-Elemente

111

Somit ergibt sich längs der Elementseiten eine parabolische Verschiebungsverteilung, die durch die drei Knotenpunkte je Seite eindeutig bestimmt ist. Der Rand kann demzufolge gebogen werden, wodurch die Kontur stückchenweise einer Kurve folgen kann. − Das 10-knotige Element mit zwei Zwischenknoten auf jeder Dreieckseite und einem Mittenknoten weist insgesamt 20 Freiheitsgrade auf. Insofern ist hierfür der folgende vollständige Ansatz maßgebend: u (x , y ) = α1 + α 2 ⋅ x + α 3 ⋅ y + α 4 ⋅ x 2 + α 5 ⋅ x ⋅ y + α 6 ⋅ y 2 + α 7 ⋅ x 3 + α 8 ⋅ x 2 ⋅ y + α 9 ⋅ x ⋅ y 2 + α10 ⋅ y 3 , v(x , y ) = α11 + α12 ⋅ x + α13 ⋅ y + α14 ⋅ x 2 + α15 ⋅ x ⋅ y + α16 ⋅ y 2 + α17 ⋅ x 3 + α18 ⋅ x 2 ⋅ y + α19 ⋅ x ⋅ y 2 + α 20 ⋅ y 3 . (7.39) Die Verschiebungen einer Dreieckseite gehorchen damit einer kubischen Parabel, die eindeutig durch die vier Stützstellen festgelegt sind. Durch die Anzahl der Stützstellen wird der Geometriefehler bei der Anpassung an einen beliebigen Rand relativ gering gehalten. Ein weiterer Vorteil ist, dass das Gebiet nur relativ grob vernetzt werden braucht. − Eine gänzlich andere Möglichkeit, das Elementverhalten festzulegen, besteht darin, am Knoten außer den Verschiebungen auch die Ableitungen der Verschiebungen als Unbekannte einzuführen. Dem liegt somit eine komplizierte Ansatzfunktion zu Grunde, die wiederum auch zu einer aufwändigen Elementbeschreibung führt. Im Element ergibt sich dadurch eine quadratische Verzerrungs- und Spannungsverteilung, weshalb bei der Idealisierung mit großen Elementen gearbeitet werden kann. Ein weiterer Vorteil ist, dass bei einem derart formulierten Element außer Einzelkräfte auch Momente in die Knoten eingeleitet werden können. Dreieck-Elemente mit Seitenmittenknoten können stets nur mit Scheiben-Elementen des gleichen Verhaltens kombiniert werden, da Kompatibilität an den Rändern bestehen muss. Meist führen die Theoriehandbücher zu einer FE-Software die zu berücksichtigenden Einschränkungen für eine Elementklasse auf.

7.2.5 Rechteck-Element Ein anderes einfaches Element zur Behandlung von Scheibenproblemen ist das RechteckElement /HAH 75/, welches wegen seiner regelmäßigen Geometrie zwar nur eine beschränkte praktische Anwendung hat, hier aber exemplarisch betrachtet werden soll, um eine andere Art von Herleitung zeigen zu können. Die Darstellung des Elements zeigt Bild 7.11, wobei aus Vereinfachungsgründen die Abmessungen mit 2a und 2b gewählt wurden.

112

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme

N 32

4

Ansatz:

3

1

N 31

b

y

x b

x2

v1 1

u1

a

xy

y2

2

a

Bild 7.11: Lineares Rechteck-Scheiben-Element mit Ansatz Gemäß den vorausgegangenen Ausführungen kann der Verschiebungszustand je Koordinatenrichtung durch den folgenden Ansatz beschrieben werden: u ( x , y ) = α1 + α 2 ⋅ x + α 3 ⋅ y + α 4 ⋅ x ⋅ y , v(x , y ) = α 5 + α 6 ⋅ x + α 7 ⋅ y + α 8 ⋅ x ⋅ y.

(7.40)

Die Ansatzkoeffizienten αi bestimmen wir wieder aus der Platzierung des Elements in seinem elementeigenen Koordinatensystem. Dieses legen wir hier genau mittig, sodass sich einige Vereinfachungen ergeben. Mit den entsprechenden Knotenkoordinaten ( x i = ±a , y i = ± b ) führt dies zu den folgenden Gleichungen: − am Knoten f ist x 4 = -a, y 4 = b und so u 4 = α1 − α 2 ⋅ a + α 3 ⋅ b − α 4 ⋅ a ⋅ b v 4 = α5 − α 6 ⋅ a + α 7 ⋅ b − α8 ⋅ a ⋅ b − am Knoten c ist x1 = -a, y1 = -b und so u1 = α1 − α 2 ⋅ a − α 3 ⋅ b + α 4 ⋅ a ⋅ b v1 = α 5 − α 6 ⋅ a − α 7 ⋅ b + α 8 ⋅ a ⋅ b

− am Knoten e ist x 3 = a, y 3 = b und so u 3 = α1 + α 2 ⋅ a + α 3 ⋅ b + α 4 ⋅ a ⋅ b v3 = α 5 + α 6 ⋅ a + α 7 ⋅ b + α8 ⋅ a ⋅ b − am Knoten d ist x 2 = a, y 2 = -b und so u 2 = α1 + α 2 ⋅ a − α 3 ⋅ b − α 4 ⋅ a ⋅ b v 2 = α5 + α 6 ⋅ a − α 7 ⋅ b − α8 ⋅ a ⋅ b

Wird diese Gleichung systematisch sortiert, so erkennt man über das matrizielle Schema den Zusammenhang etwas besser:

113

7.2 Scheiben-Elemente a⋅b ª u1 º ª 1 − a − b «u » «1 a − b − a ⋅ b « 2» « b a⋅b « u3 » « 1 a « » « b −a⋅b «u4 » = «1 − a « v1 » « « » « « v2 » « « v3 » « 0 « » « v ¬ 4¼ ¬

0 1 −a −b 1 a −b 1 a 1 −a

b b

º ª α1 º » «α » » « 2» » « α3 » » «α » » ⋅ « 4 ». a ⋅ b » « α5 » » « » − a ⋅ b » «α6 » a ⋅ b » «α7 » » « » − a ⋅ b ¼ ¬ α8 ¼

(7.41)

Zur Bestimmung der Koeffizienten ist es hierbei ausreichend, nur eine Teilmatrix zu invertieren. Wir wollen dies beispielhaft mit dem Gauß‘schen Algorithmus tun. Zielsetzung ist es, dabei zu einer Dreiecksmatrix zu kommen, die von unten her auflösbar ist. Das Schema ist α1 α 2

α3

−a a a −a −a 2a 2a 0 −a 2a 0 0

−b −b b b −b 0 2b 2b −b 0 2b 0

1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0

α4

Subtraktionen

a ⋅b u1 −a ⋅b u2 a ⋅b u3 −a ⋅b u4 a ⋅b u1 − 2a ⋅ b u 2 − u1 0 u 3 − u1 − 2a ⋅ b u 4 − u1 a ⋅b u1 − 2a ⋅ b u 2 − u1 2a ⋅ b (u 3 − u1 ) − (u 2 − u1 ) − 4a ⋅ b (u 4 − u1 ) − ((u 3 − u1 ) − (u 2 − u1 )) u1 − u 2 + u 3 − u 4 , 4 a⋅b 2 b ⋅ α3 + 2 a ⋅ b ⋅ α4 = u3 − u2 − u1 − u 2 + u 3 + u 4 α3 = , 4b 2 a ⋅ α 2 − 2 a ⋅ b ⋅ α 4 = u 2 − u1 − u1 + u 2 + u 3 − u 4 α2 = , 4a α 1 − a ⋅ α 2 − b ⋅ α 3 + a ⋅ b ⋅ α 4 = u1 u + u2 + u3 + u4 α1 = 1 . 4 α4 =

Wie sich die Gleichungen ergeben, sieht man an den Umformungen der rechten Seite des Gauß‘schen Schemas. Die entsprechenden Beziehungen für α 5 bis α 8 folgen aus einfachem Austauschen der u- gegen die v-Verschiebungen.

114

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme

Führt man jetzt die Koeffizienten in den Verschiebungsansatz (7.39) ein, so kann z. B. die folgende Zuordnung erstellt werden: u + u 2 + u 3 + u 4 u1 − u 2 − u 3 + u 4 u + u 2 − u3 − u4 u (x , y ) = 1 − ⋅x− 1 ⋅y 4 4a 4b u − u2 + u3 − u4 + 1 x ⋅ y. 4a ⋅ b

(7.42)

Wird diese Gleichung wieder sortiert, so wird sofort der Zusammenhang mit den Knotengrößen sichtbar:

u (x , y ) = bzw.

[

1 (a − x )(b − y ) u1 + (a + x )(b − y ) u 2 + (a + x )(b + y ) u 3 4a ⋅ b + (a − x )(b + y ) u 4

[

]

(7.43)

1 (a − x )(b − y ) v1 + (a + x )(b − y ) v 2 + (a + x )(b + y ) v 3 v(x , y ) = 4a ⋅ b + (a − x )(b + y ) v 4 .

]

Um die weiteren Herleitungen noch allgemein gültiger ausführen zu können, wollen wir ab jetzt mit den beiden dimensionslosen Koordinaten ξ = x/a und η = y/b arbeiten. Der vorstehende Ansatz lautet dann:

] ]

1 [(1 − ξ )(1 − η) u1 + (1 + ξ )(1 − η) u 2 + (1 + ξ )(1 + η) u 3 + (1 − ξ )(1 + η) u 4 , 4 1 v (ξ, η) = [(1 − ξ )(1 − η ) v1 + (1 + ξ )(1 − η) v 2 + (1 + ξ )(1 + η) v 3 + (1 − ξ )(1 + η ) v 4 . 4 (7.44)

u (ξ, η ) =

Hierin werden die folgenden Formfunktionen sofort sichtbar: g1 =

1 (1 − ξ )(1 − η), 4

1 g 3 = (1 + ξ )(1 + η), 4

g2 =

1 (1 + ξ )(1 − η), 4

1 g 4 = (1 − ξ )(1 + η), 4

(7.45)

welche einen regelmäßigen Aufbau zeigen. Die Eigenschaften dieser Formfunktion entnehme man dem umseitigen Bild 7.12, welches beispielsweise die Verhaltensweise am Knoten 3 wiedergibt. Man erkennt, dass der Ansatz von Gl. (7.44) ein lineares Elementverhalten wiedergibt.

115

7.2 Scheiben-Elemente g3 = 1 4

3 ξ = η=1

g

ξ

1

Bild 7.12: Darstellung der Formfunktion g 3 (ξ, η) am Rechteck-Element, linearer Verlauf der Randverschiebungen

2

Nachdem nun die Verschiebungen definiert sind, können als Nächstes die Verzerrungen ermittelt werden. Dazu greifen wir auf den dimensionslosen Verschiebungsansatz zurück und formulieren ε xx =

∂u ∂u ∂ξ 1 ∂u = ⋅ , = ⋅ ∂x ∂ξ ∂x a ∂ξ

ε yy =

∂v ∂v ∂η 1 ∂v = ⋅ = ⋅ ∂y ∂η ∂y b ∂η

γ xy =

∂u ∂v 1 ∂u 1 ∂v + = ⋅ + ⋅ . ∂y ∂x b ∂η a ∂ξ

und

Diese Gleichung überführen wir wieder in eine matrizielle Form und setzen den Ansatz gemäß Gl. (7.44) ein. Die Aufspaltung liefert dann

ª ε xx « « ε yy « «γ ¬ xy

oder

ª1 ∂ ⋅ º « a ∂ξ « » »=« 0 » « » «1 ∂ ¼ « ⋅ ¬ b ∂η

º » » 1 ∂ » ª g1 ⋅« ⋅ b ∂η » ¬« 0 1 ∂ » » ⋅ a ∂ξ ¼ 0

0

g2

0

g3

0

g4

g1

0

g2

0

g3

0

ª u1 º « » « v1 » « » «u 2 » « » 0 º «v2 » »⋅« » g 4 ¼» « u 3 » « » «v » « 3» «u » « 4» «v » ¬ 4¼

116

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme İ = B⋅d.

(7.46)

Multipliziert man insbesondere die Gl. (7.46) knotenweise aus, so liegt der folgende Verschiebungs-Verzerrungs-Zustand am Knoten i vor:

ª 1 ∂g i « a ⋅ ∂ȟ « « Bi = « 0 « « 1 ∂g « ⋅ i ¬ b ∂Ș

0 1 ∂g i ⋅ b ∂Ș 1 ∂g i ⋅ a ∂ȟ

º » » » ». » » » ¼

(7.47)

Führt man dies für alle vier Knoten aus, so liegen unter Berücksichtigung der Bauformen der g i (s. Gl. (7.45)) die nachfolgenden Teilmatrizen vor:

ª− 1 − Ș 0 º» « a » « 1 « 1− ȟ » , B1 = « 0 − 4 b » « » « 1− ȟ 1− Ș» − » «− b a ¼ ¬

ª 1− Ș 0 º» « a » « 1 « 1+ ȟ » , B2 = « 0 − 4 b » « » « 1+ ȟ 1− Ș » » «− b a ¼ ¬

ª1 + Ș 0 º» « a » « 1 « 1+ ȟ » , B3 = « 0 4 b » » « «1 + ȟ 1 + Ș » » « a ¼ ¬ b

ª− 1 + Ș 0 º» « a » « 1 « 1− ȟ » B4 = « 0 . 4 b » » « « 1− ȟ 1+ Ș» − » « a ¼ ¬ b

(7.48)

Hiermit können sofort die Elementverzerrungen angegeben werden mit 1

2

3

4

ªd1 º 1− Ș 1− Ș 1+ Ș 1+ Ș º ª ªİxx º «− 0 0 0 − 0 » « » « » a a a « » « a » «d2 » « » 1« 1−ȟ 1+ ȟ 1+ ȟ 1−ȟ » « » . − ε = «İyy» = « 0 ⋅ 0 − 0 0 b b b b » « » « » 4« » «d3 » « » « «Ȗ » «− 1−ȟ − 1− Ș − 1+ ȟ 1− Ș 1+ ȟ 1+ Ș 1−ȟ − 1+ Ș»» « » ¬ xy¼ ¬ b a b a b a b a ¼ « » «¬d »¼ 4

(7.49)

Die Diskussion von Gl. (7.49) zeigt, dass für die Koordinatenrichtung x mit η = konst. und für die Koordinatenrichtung y mit ξ = konst. jeweils auch konstante Verzerrungen vorliegen.

117

7.2 Scheiben-Elemente Für die Elementsteifigkeitsmatrix*) kann so formuliert werden: 1 1

t

4

4

k = ³ B ⋅ E ⋅ B dV = a ⋅ b ⋅ t ³ ³ ¦ ¦ B i t ⋅ E ⋅ B j dȟ⋅ dȘ .

(7.50)

−1 −1 i =1 j =1

V

Zweckmäßiger ist hier aber eine knotenweise Auswertung von Untermatrizen k ij und die spätere Zusammenfassung zur Elementsteifigkeit. Für einen Knoten ergibt sich dann die folgende Untermatrix:

ª 1 + Ș ⋅ Și ȟ a⋅b⋅t E 1 1« i a ⋅ k ij = ³ ³« 2 16 1 − Ȟ −1−1« 0 «¬ ª 1 + Ș ⋅ Și «ȟ j a « « ⋅« 0 « « 1+ ȟ ⋅ ȟi «Șj b ¬

0 Și

1+ ȟ ⋅ ȟi b

ª1 Ȟ 0 º » 1+ ȟ ⋅ ȟi º « « » Și » b « »⋅ Ȟ 1 0 » » 1 + Ș ⋅ Și » « « » ȟi » ¼ « 1− Ȟ » a «¬ 0 0 2 ¼»

º » » 1+ ȟ ⋅ȟ j » Șj » dξ ⋅ dη , b » 1+ Ș⋅ Șj » ȟj » a ¼ 0

( 7 .51)

darin sind mit ξi , j und ηi , j die jeweiligen dimensionslosen Knotenkoordinaten einzusetzen. Die bei der Integration auftretenden Integrale sind dabei recht einfach auszuwerten, und zwar zu ξ i2 ηi2

1 1

2 ³ ³ (1 + η ⋅ η i )

dξ ⋅ dη =

16 2 ξi , 3

2

dξ ⋅ dη =

16 2 ηi 3

−1 −1 1 1

³ ³ (1 + ξ ⋅ ξ i )

−1 −1

und 1 1

ξ i ⋅ ηi

³ ³ (1 + ξ ⋅ ξ i ) ⋅ (1 + η ⋅ η i ) dξ ⋅ dη = 4 ξ i ⋅ η i ,

−1 −1

womit dann letztlich die umseitige Steifigkeitsmatrix erstellt werden kann.

*)

Anmerkung: In Gl. (7.50) ist dV = dx ⋅ dy ⋅ t = (a ⋅ dξ) ⋅ (b ⋅ dη) ⋅ t

k = C⋅

mit C =

v1

(

12 1 − ν 2

E⋅t

)

3 (1 + ν ) 2 a b 4 + 2(1 − ν ) b a

i=1,j=1

b a + 2(1 − ν ) a b

3 (1 + ν ) 2

4

u1

3 (1 + ν ) 2 a b 4 + 2(1 − ν ) b a −

i=2,j=2 b a + 2(1 − ν ) a b 3 − (1 + ν ) 2

4

v2 3 (1 − 3ν ) 2 a b 2 − 2(1 − ν ) b a −

i = 1, j = 2 b a + (1 − ν ) a b

3 (1 − 3ν ) 2

−4

u2

b a + 2(1 − ν ) a b

3 (1 + ν ) 2

4

3 (1 + ν ) 2 a b 4 + 2(1 − ν ) b a

i = 3, j = 3

3 (1 − 3ν ) 2 a b − 4 + (1 − ν ) b a

−

i = 2, j = 3 b a − 2(1 − ν ) a b

3 (1 + ν ) 2

v3 3 (1 + ν ) 2 a b − 2 − (1 − ν ) b a −

i = 1, j = 3 b a − (1 − ν ) a b

3 (1 − 3ν ) 2

2

−

−2

u3

b a + 2(1 − ν ) a b 3 − (1 + ν ) 2 4

3 (1 − 3ν) 2 a b 2 − 2(1 − ν) b a −

3 (1 + ν ) 2 a b 4 + 2(1 − ν ) b a −

i = 4, j = 4

b a + (1 − ν) a b 3 (1 − 3ν) 2

−4

i = 3, j = 4

3 (1 + ν ) 2 a b − 2 − (1 − ν ) b a

i = 2, j = 4 b a − (1 − ν ) a b 3 (1 + ν ) 2

−2

v4 3 (1 − 3ν ) 2 a b − 4 + (1 − ν ) b a

i = 1, j = 4 b a − 2(1 − ν ) a b 3 − (1 − 3ν ) 2

2

u4

118 7 Elementkatalog für elastostatische Probleme

(7.52)

119

7.2 Scheiben-Elemente 7.2.6 Konvergenz Balken-Scheiben-Elemente

Bei einigen praktischen Anwendungsfällen besteht oft alternativ die Möglichkeit, mit Balken- oder Scheiben-Elementen zu rechnen. Dies ist meist dann gegeben, wenn es sich um dünne, schlanke Tragstrukturen handelt. Im folgenden Beispiel sei ein derartiger Fall konstruiert. Vorgegeben sei ein dünner, hoch stehender Blechstreifen, der in der Art eines Kragbalkens belastet sei. Von Interesse soll hierbei die Durchbiegung am Ende sein. Zur Lösung des Problems sollen einmal Balken-Elemente und einmal Dreieck- bzw. Viereck-ScheibenElemente eingesetzt werden. Die Auswertung dieser Aufgabenstellung zeigt Bild 7.13.

w [mm]

8 7,5

7,36 7,143

7 6

F = 1000 N

5

3 w theor. = F ⋅ L = 7 ,143 mm 3E ⋅ J

4 3

E = 70000 N / mm 2 L = 100 mm A = 20 ⋅ 1 = 20 mm 2

2 1

2

8 x 16

4 4

nach Bernoulli-Theorie

16 x 32 Elementnetz

8

ElementTyp Netz 2x4 4x8 8 x 16 16 x 32

lineares Rechteck-El. CST-El. w = 7,12 w = 7,26 w = 7,31 w = 7,324

2,26 4,61 6,37 7,06

Timoshenko Bernoulli quadr. quadr. Balken-El. Balken-El. Rechteck-El. Dreieck-El. (4) (8) (16) (32)

7,36 7,36 7,36 7,36

7,143 7,143 7,143 7,143

7,29 7,32 7,33 7,332

7,24 7,31 7,32 7,33

Bild 7.13: Konvergenzverhalten zwischen Balken-Elementen und Dreieck- bzw. RechteckScheiben-Elementen Idealisiert man die Aufgabe als Balkenproblem und zieht für die Lösung die Euler-BernoulliTheorie (Ebenbleiben der Querschnitte) heran, so ergibt sich nach der bekannten Formel für die Durchbiegung w = 7,143 mm, welches aber nicht die exakte Lösung sein wird, da bei der Absenkung des Blechstreifens auch Schubverformungen eine Rolle spielen werden.

120

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme

Der Vorteil der BALKEN-Idealisierung ist, dass durch den berücksichtigten Freiheitsgrad w ′ die Biegelinie kontinuierlich erfasst werden kann. Will man hingegen den Effekt der Schubdurchsenkung auch erfassen, so muss das Timoshenko-Balken-Element herangezogen werden, welches dominante Querkraftbiegung berücksichtigt und mit w = 7,36 mm einen um 3,5 % größeren Wert errechnet. Die Schubverformung kann bei Scheiben-Elementen durch die Gleitungen γ xy miterfasst werden, sodass die Scheibenlösung ebenfalls genau sein müsste. Als problematisch erweist sich jedoch die Wahl des Elements, wie die Konvergenzanalyse belegt: Das lineare Rechteck-Scheiben-Element konvergiert recht schnell zu einem Wert w = 7,324 mm, während sich das lineare Dreieck-Scheiben-Element als recht ungenau erweist, weil es zu steif ist. Durch die Wahl von quadratischen Rechteck-Elementen lässt sich das Ergebnis nur unwesentlich verbessern, während das quadratische Dreieck-Element ebenfalls recht gut konvergiert. 7.2.7 Timoshenko-Theorie In vielen Anwendungsfällen (kurzer Balken, dicke Platte, Sandwichelement) mit Querkrafteinfluss wird Schubverformung auftreten, die dann für eine weitestgehend exakte Verformungsanalyse berücksichtigt werden muss. In Ergänzung des 2-D-Balken-Elements soll im Folgenden ein schubweiches, ebenes Balken-Element diskutiert werden. Der Verformungsansatz eines derartigen Elements ist im Bild 7.14 dargestellt. Schubstarr (Bernoulli); γ = 0

Schubweich (Timoshenko); γ ≠ 0

w′

dx

i

j

β

M yi Q zi

My j Qz j

L w(x)

w′ w′

Bild 7.14: Verformung eines schubweichen Balken-Elements

β

121

7.2 Scheiben-Elemente

Bei Schubverformung muss die Bernoulli-Bedingung aufgegeben werden. In Bild 7.14 ist die tatsächliche Querschnittsverwerfung unter Biegung und Schub durch β( x ) = γ ( x ) − w ′( x ) .

(7.53)

wiedergegeben. Der Verdrehwinkel β (positiv vereinbart) folgt aus der bekannten Beziehung (s. auch Seite 52)

M b y = E ⋅ J y ⋅ β′ . Die Schubverformung γ ist das Resultat der nun zu berücksichtigenden Querschnittsverwölbung durch die Querkraft Q(x) = G ⋅ A ⋅ γ ( x ) .

P

i

Mby x

x z

M yi

x Q zi

Qx

Bild 7.15: Schnittgrößen am Knoten i eines ebenen Balken-Element Für die Schnittgrößen folgt aus dem Gleichgewicht am Knoten Q( x ) = Q z i

(7.54)

und um den Drehpunkt P

M b y + M yi + Q zi ⋅ x = 0 .

(7.55)

Wird jetzt die Querkraft in die Gl. (7.54) eingesetzt, so führt dies auf den Schubwinkel γ Qzi = G ⋅ A ⋅ γ ,

γ=

Qzi G⋅A

,

(7.56)

und das Einsetzen der Biegemomentbeziehung in Gl. (7.55) ergibt eine Beziehung für den Verdrehwinkel β E ⋅ J y ⋅ β′ + M y i + Q z i ⋅ x = 0 ,

122

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme

β′ = −

Qzi

⋅x−

E ⋅ Jy

M yi E ⋅ Jy

.

(7.57)

Einmalige Integration von Gl. (7.57) liefert β=−

M yi 1 Qzi ⋅ ⋅ x2 − ⋅ x + C1 . 2 E ⋅ Jy E ⋅ Jy

(7.58)

Mit Gl. (7.56), Gl. (7.58) und der Gl. (7.53) lässt sich jetzt die Biegelinie w(x) mit Schubabsenkung berechnen. Aus Gl. (7.53) folgt: w′ = γ − β , w′ =

w =

Qzi G⋅A Qzi G⋅A

+

M yi 1 Qzi ⋅ ⋅ x2 + ⋅ x + C1 , 2 E ⋅ Jy E ⋅ Jy

⋅x+

1 Qzi 1 M yi ⋅ ⋅ x3 + ⋅ ⋅ x 2 + C1 ⋅ x + C 2 . 6 E ⋅ Jy 2 E ⋅ Jy

(7.59)

Die Integrationskonstanten C1 und C 2 ergeben sich aus den Randbedingungen in Bild 7.16. i

j

Myj

x M yi Q zi w i , βi

z x=0

Qz j x=L

w j, β j

Bild 7.16: Randbedingungen an den Knoten eines Balken-Elements Unter Belastung verschiebt sich der Knoten i( j) um den Weg w i (w j ) in z-Richtung und die Querschnittsfläche neigt sich dort um den Winkel βi (β j ) : w ( x = 0) = w i , w ( x = L) = w j ,

β( x = 0) = β i , β( x = L) = β j .

Mit diesen Randbedingungen ermitteln sich die Konstanten in Gl. (7.58) und (7.59) zu C1 = β i

und

C2 = w i .

(7.60)

Damit folgt für die Funktion des Verdrehwinkels β( x) und die Verschiebungsfunktion w ( x)

123

7.2 Scheiben-Elemente M yi 1 Qzi ⋅ ⋅ x2 − ⋅ x + βi , 2 E ⋅ Jy E ⋅ Jy

β( x ) = −

w (x) =

Qzi G⋅A

⋅x+

(7.61)

1 Qzi 1 M yi ⋅ ⋅ x3 + ⋅ ⋅ x 2 + βi ⋅ x + w i . 6 E ⋅ Jy 2 E ⋅ Jy

(7.62)

Es sind von den beiden Gleichungen (7.61) und (7.62) natürlich auch die Knotenbedingungen (i, j) zu erfüllen: βj = −

wj =

M yi 1 Qzi ⋅ ⋅ L2 − ⋅ L + βi , 2 E ⋅ Jy E ⋅ Jy Qzi

G⋅A

(7.63)

1 Qzi 1 M yi ⋅ ⋅ L3 + ⋅ ⋅ L2 + βi ⋅ L + w i . 6 E ⋅ Jy 2 E ⋅ Jy

⋅L+

(7.64)

Das Umformen von Gl. (7.63) nach dem Ausdruck (M y i ⋅ L ) / (E ⋅ J y ) und Einsetzen in die Gl. (7.64) führt auf eine Beziehung zwischen der Kraft Q zi und den Randwerten w i , w j , β i und β j : 12 ⋅ Qz i =

1+

.

E ⋅ Jy

L3 ⋅ wi − 12 ⋅ E ⋅ J y L2 ⋅ G ⋅ A

12 ⋅ 1+

E ⋅ Jy

L3 ⋅ wj − 12 ⋅ E ⋅ J y L2 ⋅ G ⋅ A

6⋅ 1+

E ⋅ Jy

L2 ⋅β − 12 ⋅ E ⋅ J y i L2 ⋅ G ⋅ A

6⋅ 1+

E ⋅ Jy

L2 ⋅ βj 12 ⋅ E ⋅ J y L2 ⋅ G ⋅ A (7.65)

Mit dem Schubparameter ψ = 1+

Q z i = 12 ⋅

E ⋅ Jy 3

L

1 lautet Gl. (7.65) somit auch 12 ⋅ E ⋅ J y L2 ⋅ G ⋅ A

⋅ ψ ⋅ w i − 12 ⋅

E ⋅ Jy 3

L

⋅ ψ ⋅ wj − 6 ⋅

E ⋅ Jy 2

L

⋅ ψ ⋅ βi − 6 ⋅

E ⋅ Jy L2

⋅ ψ ⋅ βj. (7.66)

Bildet man weiter am Balken-Element nach Bild 7.16 das Kräfte- und Momentengleichgewicht, so erhält man die beiden Beziehungen Q z j = −Q z i und M y j = −M y i − Q z i ⋅ L .

(7.67)

124

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme

Folglich gilt für die Knotenkraft Q z j mit der berücksichtigten Vorzeichenänderung:

Qz j = −12 ⋅

E ⋅ Jy L3

⋅ ψ ⋅ w i + 12 ⋅

E ⋅ Jy L3

⋅ ψ ⋅ wj + 6⋅

E ⋅ Jy L2

⋅ ψ ⋅ βi + 6 ⋅

E ⋅ Jy L2

⋅ ψ ⋅ βj . (7.68)

Mit Gl. (7.63) und Gl. (7.66) bestimmt man das Biegemoment M y i :

Myi = −6 ⋅

E ⋅ Jy 2

L

⋅ ψ ⋅ wi + 6 ⋅

E ⋅ Jy 2

L

⋅ ψ ⋅ wj +

E ⋅ Jy L

⋅ (1 + 3 ⋅ ψ) ⋅ βi +

E ⋅ Jy L

⋅ (− 1 + 3 ⋅ ψ) ⋅ β j , (7.69)

und mit Gl. (7.68) erhält man schließlich auch das Biegemoment M y j :

My j = −6 ⋅

E ⋅ Jy 2

L

⋅ ψ ⋅ wi + 6 ⋅

E ⋅ Jy 2

L

⋅ ψ ⋅ wj +

E ⋅ Jy L

⋅ (− 1 + 3 ⋅ ψ) ⋅ βi +

E ⋅ Jy L

⋅ (1 + 3 ⋅ ψ) ⋅ β j . (7.70)

Die Gleichungen (7.66), (7.68), (7.69) und (7.70) können dann zu der Matrizengleichung ª Qzi º «Q » « z j » = E ⋅ Jy «M yi » L3 « » M ¬« y j ¼»

ª 12 ⋅ ψ « − 12 ⋅ ψ ⋅« «− 6 ⋅ L ⋅ ψ « ¬− 6 ⋅ L ⋅ ψ

− 12 ⋅ ψ 12 ⋅ ψ 6⋅L⋅ψ 6⋅L⋅ψ

−6⋅L⋅ψ 6⋅L⋅ψ 2 L ⋅ (1 + 3 ⋅ ψ )

L2 ⋅ (−1 + 3 ⋅ ψ )

− 6 ⋅ L ⋅ ψ º ªw i º » «w » 6⋅L⋅ψ » ⋅ « j» 2 L ⋅ (−1 + 3 ⋅ ψ )» « βi » » « » L2 ⋅ (1 + 3 ⋅ ψ ) ¼ ¬ β j ¼

bzw. zur sortierten Elementsteifigkeit des Timoshenko-Balkens*) wi ª12 ⋅ ψ E ⋅ Jy « ⋅« k TB = « L3 « ¬ sym.

βi

wj

βj

− 6L ⋅ ψ (1 + 3 ⋅ ψ )L2

− 12 ⋅ ψ 6L ⋅ ψ 12 ⋅ ψ

− 6L ⋅ ψ º (− 1 + 3 ⋅ ψ )L2 » » 6L ⋅ ψ » (1 + 3 ⋅ ψ )L2 »¼

(7.71)

zusammengefasst werden. Die Matrix stellt hierin die gesuchte Elementsteifigkeitsmatrix des schubweichen, ebenen Balken-Elements dar. Für ψ = 1, d. h. größere Bauteil- bzw. Elementlängen, geht Gl. (7.71) in Gl. (5.64) über. Übertragen auf Platten und Schalen ist die Herleitung ähnlich zu der so genannten Reissner-Mindlin-Theorie.

*)

Anmerkung: Das hergeleitete Element ist ein so genanntes „locking freies“ Element, d. h., es versteift nicht durch einen zu hohen Schubwiderstand. Dies resultiert daraus, dass der Verschiebungsansatz der exakten Lösung der Biege-DGL entspricht. Das Element würde hingegen „blockieren“ bei einem linearen Ansatz.

125

7.2 Scheiben-Elemente 7.2.8 Viereck-Element

Ein allgemeines Viereck-Element ist in der Anwendung dann zweckmäßig, wenn ein unregelmäßiges Gebiet vernetzt werden muss und eine gute Anpassung an ein reales Gebiet erfolgen muss. Im Bild 7.17 ist ein derartiges Viereck-Element in seinem natürlichen Koordinatensystem gezeigt. y, v

η

3

η=1

ξ=1

4 ξ = −1

ξ

v1

2

1

u1

η = −1 2

2 x, u

Bild 7.17: Allgemeines Viereck-Element (nach /HAH 75/) Zwischen den dimensionslosen ξ-, η-Flächenkoordinaten und den kartesischen x-, y-Koordinaten besteht die folgende lineare Transformationsbeziehung: x (ξ, η) = α1 + ξ ⋅ α 2 + η ⋅ α 3 + ξ ⋅ η ⋅α 4 , y(ξ, η) = α 5 + ξ ⋅ α 6 + η ⋅ α 7 + ξ ⋅ η ⋅α 8 .

(7.72)

Wendet man hierauf wieder den zuvor beschriebenen Gauß‘schen Lösungsalgorithmus an, so erhält man zu Gl. (7.42) äquivalente Beziehungen, und zwar x + x 2 + x 3 + x 4 x1 − x 2 − x 3 + x 4 x + x 2 − x3 − x4 x= 1 − ⋅ξ− 1 ⋅η 4 4 4 x − x2 + x3 − x 4 + 1 ⋅ ξ ⋅ η, 4 y + y 2 + y 3 + y 4 y1 − y 2 − y 3 + y 4 y + y2 − x3 − y4 y= 1 − ⋅ξ− 1 ⋅η 4 4 4 y − y 2 + y3 − y 4 + 1 ⋅ ξ ⋅ η, 4

die man weiter sortieren kann zu

126

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme 1 x = [(1 − ξ )(1 − η)x1 + (1 + ξ )(1 − η)x 2 + (1 + ξ )(1 + η)x 3 + (1 − ξ )(1 + η)x 4 ] , (7.73a) 4

entsprechend ergibt sich auch 1 y = [(1 − ξ )(1 − η)y1 + (1 + ξ )(1 − η)y 2 + (1 + ξ )(1 + η)y 3 + (1 − ξ )(1 + η)y 4 ] . (7.73b) 4

Für die Verschiebungen machen wir jetzt wieder einen linearen Ansatz. Dabei zeigt sich eine Übereinstimmung zur Koordinatenbeziehung. Wegen der Identität der beiden Bauformen spricht man hier auch von einem isoparametrischen Ansatz. Dabei sind die Knotenpunktverschiebungen auf das lokale Koordinatensystem ausgerichtet. Der Ansatz lautet somit: u (ξ, η) = α1 + α 2 ⋅ ξ + α 3 ⋅ η + α 4 ⋅ ξ ⋅ η, v ( ξ, η ) = α 5 + α 6 ⋅ ξ + α 7 ⋅ η + α 8 ⋅ ξ ⋅ η

(7.74a)

bzw. in Matrixform ª α1 º « » ª u º ª 1 ξ η ξη 0 0 0 0 º « α 2 » ⋅ = . » « » « ¬ v ¼ ¬ 0 0 0 0 1 ξ η ξη ¼ «« # »» «¬ α 8 »¼

(7.74b)

Dies ist der gleiche Ansatztyp wie beim Rechteck-Element, sodass Gl. (7.44) als Verschiebungsansatz übernommen werden kann mit u=

1 [(1 − ξ )(1 − η) u1 + (1 + ξ )(1 − η) u 2 + (1 + ξ )(1 + η) u 3 + (1 − ξ )(1 + η) u 4 ], 4

v=

1 [(1 − ξ )(1 − η) v1 + (1 + ξ )(1 − η) v 2 + (1 + ξ )(1 + η) v 3 + (1 − ξ )(1 + η) v 4 ]. 4 (7.75)

Hierin erkennt man die verallgemeinerten Formfunktionen zu gi =

1 (1 + ξi ⋅ ξ ) ⋅ (1 + ηi ⋅ η) . 4

Weiter können wieder die Verzerrungen angegeben werden zu İ = D⋅G ⋅d = B⋅d

bzw. kann knotenweise die Bi -Matrix bestimmt werden zu

127

7.2 Scheiben-Elemente ª ∂g i « ∂x « « Bi = « 0 « « ∂g i « ¬ ∂y

º 0 » » ∂g i » » ∂y » ∂g i » » ∂x ¼

i = 1, ..., 4.

(7.76)

Da es ausgesprochen aufwändig ist, die Formfunktionen im x-, y-Koordinatensystem darzustellen, gehen wir jetzt auch bei den Ableitungen über in das ξ-, η-Koordinatensystem. Für die Umrechnung gilt wieder

ª ∂ º ª ∂x « ∂ȟ » « ∂ȟ « »=« « ∂ » « ∂x « ∂Ș » « ∂Ș ¬ ¼ ¬

∂y º ª ∂ º ª ∂ º » « » « ∂x » ∂ȟ ∂x »⋅« » = J⋅« » ∂y » « ∂ » « ∂ » « ∂y » ∂Ș »¼ «¬ ∂y »¼ ¬ ¼

(7.77)

bzw. unter Berücksichtigung der Jacobi-Matrix*)

ª ∂ º ª∂ º ª ∂y − ∂y º ª ∂ º « ∂x » « ∂ȟ » « ∂Ș ∂ȟ » « ∂ȟ » 1 « » = J −1 ⋅ « » = »⋅« » . ⋅« ∂x » « ∂ » « ∂ » « ∂ » det J « ∂x − « ∂y » « ∂Ș » « ∂Ș ∂ȟ »¼ «¬ ∂Ș »¼ ¬ ¼ ¬ ¼ ¬

(7.78)

Zur Bestimmung der Inversen muss die Jacobi-Determinante ausgerechnet werden: det J =

∂x ∂y ∂x ∂y − ⋅ ⋅ . ∂ȟ ∂Ș ∂Ș ∂ȟ

(7.79)

Damit können nun die in der Untermatrix Gl. (7.76) erforderlichen Operationen ausgeführt werden. Diese ergeben sich zu

*)

ª ∂g i « ∂ȟ ∂g i = [1 0 ] ⋅ J −1 ⋅ « ∂x « ∂g i « ∂Ș ¬

º ∂g i ∂y ∂g i ∂y ⋅ − ⋅ » » = ∂ȟ ∂Ș ∂Ș ∂ȟ , ∂x ∂y ∂x ∂y » ⋅ − ⋅ » ∂ȟ ∂Ș ∂Ș ∂ȟ ¼

ª ∂g i « ∂ȟ ∂g i = [ 0 1] ⋅ J −1 ⋅ « ∂y « ∂g i « ∂Ș ¬

º ∂g i ∂x ∂g i ∂x ⋅ − ⋅ » » = ∂Ș ∂ȟ ∂ȟ ∂Ș . ∂x ∂y ∂x ∂y » ⋅ − ⋅ » ∂ȟ ∂Ș ∂Ș ∂ȟ ¼

(7.80)

Anmerkung: Jacobi-Matrix oder Funktionalmatrix (nach C. G. J. Jacobi, * 1804, <1851) ist die Darstellung sämtlicher erster partieller Ableitungen einer Funktion.

128

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme

Unter Berücksichtigung von Gl. (7.73) folgt sodann für die Jacobi-Matrix

ª x1 « 1 Ș 1 Ș 1 Ș 1 Ș − − − + − + ( ) ( ) 1 ª º «x2 J= « ⋅ 1 − ȟ »¼ « x 3 4 ¬ − (1 − ȟ ) − (1 + ȟ ) 1 + ȟ « ¬x4

y1 º y2 » » y3 » » y3 ¼

(7.81)

und für die entsprechende Determinante det J =

1 [x13 ⋅ y 24 − x 24 ⋅y13 +( x 21 ⋅ y 34 − x 34 ⋅ y12 ) ȟ + ( x 41 ⋅ y 23 − x 23 ⋅ y 41 ) Ș] . 8 (7.82)

Hierbei wurden folgende Abkürzungen benutzt: x ij = x i − x j ,

y ij = y i − y j .

Somit können nach längerer Rechnung die Ableitungen der Formfunktionen gebildet werden. Für g1 ergibt sich dann beispielsweise ∂g1 y 24 + y 43 ⋅ ȟ + y 32 ⋅ Ș = ∂x 8 det J

bzw.

(7.83) ∂g1 x 42 + x 34 ⋅ ȟ + x 23 ⋅ Ș = , ∂y 8 det J

wodurch letztlich die B-Matrix gegeben ist. Dies ermöglicht es nun, auch die Steifigkeitsmatrix t

k = t ³ ³ B ⋅ E ⋅ B dx dy xy

aufzustellen, worin noch die Integration in dx dy ersetzt werden muss durch dx ⋅ dy = det J ⋅ dȟ ⋅ dȘ .

(7.84)

Nach dem Ersetzen erhält man die Steifigkeit im Referenzgebiet 1 1

k = t ³ ³ B t ⋅ E ⋅ B det J dȟ ⋅ dη . −1−1

Aus der Ausmultiplikation ergeben sich recht komplizierte Integrale der Form 1 1 (a

³ ³

−1−1

1

+ b1 ⋅ ξ + c1 ⋅ η) ⋅ (a 2 + b 2 ⋅ ξ + c 2 ⋅ η) dξ dη , (a 3 + b 3 ⋅ ξ + c 3 ⋅ η )

(7.85)

129

7.2 Scheiben-Elemente

die effektiv nur noch numerisch gelöst werden können. Auf die numerische Integration finiter Gebiete soll aber zu einem späteren Zeitpunkt eingegangen werden.

7.2.9 Isoparametrische Elemente Wie zuvor schon erwähnt, muss es das Ziel jeglicher Modellierung sein, die äußere Geometrie eines Bauteils so exakt wie möglich zu erfassen. In der Praxis wird dies mit ausschließlich gerade berandeten Elemente nicht möglich sein, da technische Konturen in der Regel nicht immer gerade, sondern viel öfter gekrümmt sind. Um hier bessere Möglichkeiten der Abbildung zu haben, müssen Elemente mit flexibel anpassbaren Rändern, so genannte isoparametrische Elemente, definiert werden. Diese Aufgabenstellung ist nicht trivial, da bei der Elementbeschreibung über das umschließende Gebiet integriert werden muss. Man kann sich das Problem aber erleichtern, in dem man zur Randbeschreibung die gleiche Funktion nimmt, mit der der Ansatz des Elements gebildet wird. Dies ist somit das entscheidende Merkmal der isoparametrischen Elemente. Seitens der Nomenklatur gibt es jetzt folgende Zuordnung:

Elementtyp

Zahl der Zwischenknoten

Polynomgrad der Seitengeometrie

0 1 2 3 4 # n

lineare Funktion quadratische Parabel kubische Parabel Parabel 4. Ordnung Parabel 5. Ordnung # Parabel n + 1 Ordnung

linear quadratisch kubisch parabolisch parabolisch

Bild 7.18: Typisierung der isoparametrischen Elemente Die Funktionsweise des isoparametrischen Konzeptes wollen wir jetzt an einfach nachvollziehbaren Elementen studieren. Im Kapitel 7.2.3 haben wir zuvor schon die Darstellung des Dreieck-Scheiben-Elements in Flächenkoordinaten (siehe insbesondere Gl. (7.29)) diskutiert. Bei der Koordinatentransformation haben wir dabei von der Beziehung x = x 1 ⋅ ζ1 + x 2 ⋅ ζ 2 + x 3 ⋅ ζ 3 , y = y1 ⋅ ζ1 + y 2 ⋅ ζ 2 + y 3 ⋅ ζ 3 Gebrauch gemacht. Diese Beziehung ist von der Bauform völlig identisch zum Verschiebungsansatz (siehe Gl. (7.38))

130

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme u ( ζ ) = ζ1 ⋅ u 1 + ζ 2 ⋅ u 2 + ζ 3 ⋅ u 3 , v(ζ ) = ζ1 ⋅ v1 + ζ 2 ⋅ v 2 + ζ 3 ⋅ v 3 ,

sodass wir es zuvor schon mit einem linearen, isoparametrischen Element zu tun hatten. Gleiches gilt für das Viereck-Scheiben-Element. Wir hatten hier für die Koordinatentransformation x=

1 [(1 − ξ )(1 − η ) x1 + (1 + ξ )(1 − η ) x 2 + (1 + ξ )(1 + η ) x 3 + (1 − ξ )(1 + η) x 4 ], 4

y=

1 [(1 − ξ )(1 − η ) y1 + (1 + ξ )(1 − η ) y 2 + (1 + ξ )(1 + η ) y 3 + (1 − ξ )(1 + η ) y 4 ] 4

gefunden. Nach Umformung erhielten wir für den Verschiebungsansatz u (ξ, η) =

1 [(1 − ξ )(1 − η) u1 + (1 + ξ )(1 − η) u 2 + (1 + ξ )(1 + η) u 3 + (1 − ξ )(1 + η) u 4 ], 4

v(ξ, η) =

1 [(1 − ξ )(1 − η) v1 + (1 + ξ )(1 − η) v 2 + (1 + ξ )(1 + η) v 3 + (1 − ξ )(1 + η) v 4 ]. 4

Verallgemeinert man die vorstehende Erkenntnis, so kann definiert werden: Isoparametrische Elemente nutzen eine spezielle Transformation mit gleichartigen Funktionen, um ein krummlinig berandetes Gebiete in gerade berandete „Einheitsgebiete“ zu überführen. Durch weiteren Vergleich, z. B. zwischen dem Rechteck-Element in Kapitel 7.2.5 und dem Viereck-Element in Kapitel 7.2.8, ist als weiterer Vorteil festzustellen, dass bei Benutzung von natürlichen Koordinaten immer sofort der Zusammenhang zwischen den Knotenverschiebungen und dem Verschiebungsfeld im Elementinneren gegeben ist. Auch führen die Formulierungen stets noch auf analytisch auswertbare Integrale. Insofern ist es nahe liegend, diese Vorgehensweise auf alle krummlinig berandeten Elemente auszuweiten, da dies bei der Netzbildung sehr vorteilhaft anwendbar sind. Wir wollen nun dieses Konzept an den beiden im umseitigen Bild 7.19 gezeigten quadratischen Scheiben-Elementen kurz darlegen. Der hier eingeführte Seitenmittenknoten ist deshalb notwendig, um mit einer quadratischen Funktion gekrümmte Ränder näherungsweise nachbilden zu können. Entsprechend ist das Knotenbild zu erweitern, wenn noch höhergradige Polynome verwendet werden sollen. Dies kann erforderlich sein, wenn auf einem Elementrand auch Krümmungswechsel erforderlich sind. Dies darf aber nicht zu dem Missverständnis führen, dass jetzt beliebige Konturen der exakten Körpergeometrie nachgebildet werden können. Soll beispielsweise ein Bohrungsrand modelliert werden, so wird mit isoparametrischen Elementen der Rand stückchenweise durch ein Polynom erfasst; der Geometriefehler ist zwar klein, aber dennoch vorhanden. Mit höhergradigem Polynom reduziert sich dieser Fehler jedoch immer mehr, sodass er praktisch für die Steifigkeit und die Spannungsverteilung in einem Körper keine Rolle spielt. Diese

131

7.2 Scheiben-Elemente

Geometrieabweichung wird aber allgemein zu den Fehlerquellen der FEM gezählt, welches den Näherungscharakter der Methode ausmacht. y y3

3

3 ζ1 = 0

ζ1 = 0,5 y6

ζ3 = 0,5

6 ζ2 = 0

y1

4

1

ζ2 = 0,5

x1

ζ3 = 0

x4 η

4

1

2

ζ3 = 0

4

x2

7

3 (x, y)

ξ

8

1

5

6

2

6

y1

ζ1 = 0

ζ2 = 0

5

2

5 x1

x2

x (-1, 1) 4

η

(1, 1) 3

7

6

8

ξ

1 (-1, -1)

5

x1

x5

2 (1, -1) x2

x

Bild 7.19: Abbildung krummliniger isoparametrischer Elemente auf ein „Einheitselement“ Der maßgebende quadratische Ansatz für das Dreieck-Element mit sechs Knoten lautet für eine Richtung in Flächenkoordinaten:

[

]

u (ζ ) = g t ⋅ d = ζ1 (2ζ1 − 1) ζ 2 (2ζ 2 − 1) ζ 3 (2ζ 3 − 1) 4ζ1ζ 2 4ζ 2 ζ 3 4ζ1 ζ 3 ⋅ d . (7.86) Beim Viereck-Element ist es hingegen günstiger, im normierten Schwerpunkt-Koordinatensystem zu arbeiten. Die verallgemeinerte Ansatzfunktion für die acht Knoten lautet: u( ξ , η) = g 1 ⋅ u1 + g 2 ⋅ u 2 + g 3 ⋅ u 3 + g 4 ⋅ u 4 + g 5 ⋅ u 5 + g 6 ⋅ u 6 + g 7 ⋅ u 7 + g 8 ⋅ u 8 mit den speziellen Formfunktionen

(7.87)

132

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme 1 (1 + ξ i ⋅ ξ )(1 + ηi ⋅ η)( ξ i ⋅ ξ + ηi ⋅ η − 1) für i = 1, 2, 3, 4 4 1 g i = (1 + η i ⋅ η) 1 − ξ 2 für i = 5, 7 2 1 g i = (1 + ξ i ⋅ ξ ) 1 − η 2 für i = 6, 8. 2 gi =

( (

) )

(7.88)

Sowohl der Ansatz von Gl. (7.86) sowie der mit Gl. (7.87) zu bildende Ansatz erfüllt die im Kapitel 6 formulierten Steifigkeits-, Starrkörperverschiebungs- und Konstantdehnungsbedingungen, insofern können auch die isoparametrischen Elemente verträglich formuliert werden. Da die Vorgehensweise beim Viereck-Element für eine ganze Elementklasse repräsentativ ist, sollen die weiteren Ausführungen nun auf das Viereck-Element angepasst werden. Gemäß den vorausgegangenen Darlegungen ist es zweckmäßig, den Verschiebungsansatz folgendermaßen zu spezialisieren: ª g t (ȟ, Ș ) ªu º 0 º u (ξ , η ) = « » = G (ξ , η ) ⋅ d = « » ⋅d. t v ¬ ¼ g (ȟ, Ș ) ¼ ¬ 0

(7.89)

Hierbei ist der Knotenverschiebungsvektor eingeführt als

d t = [u1 u 2

u3 u 4

u5

u6

u7

u8

v1 v 2

v3

v4

v5

v6

v7

v8 ] .

Demgemäß ist die Formfunktionsmatrix zu partitionieren in die Zeilenvektoren g t . Für die Geometrie des isoparametrischen Elements wird der gleiche Ansatz gemacht, und zwar ª x º ª g t (ȟ, Ș ) 0 º ªxº t » ⋅ « » mit beispielsweise x = [x1 x 2 x 3 ] . «y» = « t y ¬ ¼ ¬ 0 g (ȟ, Ș ) ¼ ¬ ¼

(7.90)

Damit kann jetzt die Elementsteifigkeitsmatrix berechnet werden aus t

1 1

k = ³ B ⋅ E ⋅ B ⋅ t dA = ³ ³ B t ⋅ E ⋅ B ⋅ t det J dȟ dȘ . A

(7.91)

−1−1

Zur Auflösung dieser Gleichung muss aber noch die B-Matrix bestimmt werden. Diese ergibt zunächst formal zu

ª ∂ « « ∂x B = D⋅G = « 0 « « ∂ « ¬ ∂y

º 0 » » ∂ » ªg t ⋅« ∂y » ¬ 0 ∂ » » ∂x ¼

0º » . gt ¼

133

7.2 Scheiben-Elemente

Da aber die Differenziationen nach ξ und η auszuführen sind, müssen gemäß des vorstehenden Zusammenhangs die Differenzialoperatoren ersetzt bzw. zuvor geschickt mit einer Zuweisungsmatrix zerlegt werden. Dies erfolgt mit der Operation ª ∂ « ∂x ª1 0 0 0º « « » « ∂ « » « ∂y B = «0 0 0 1» ⋅ « « » « 0 « » « «¬ 0 1 1 0 »¼ « « « 0 ¬

0 º» » » 0 » ªgt »⋅« ∂ » « » «0 ∂x » ¬ ∂ » » ∂y ¼

0º » » . t» g ¼

(7.92)

Wird dies nun berücksichtigt, so folgt weiter

ª1 0 0 0 º « » ª −1 « » «J B = «0 0 0 1» ⋅ « « » « « » ¬ 0 «¬ 0 1 1 0 »¼

ª1 0 0 0º « » ª −1 « » «J = «0 0 0 1» ⋅ « « » « « » ¬ 0 «¬ 0 1 1 0 »¼

ª∂ « ∂ȟ « «∂ 0 º « » « ∂Ș »⋅« −1 » J ¼ « 0 « « « 0 ¬ ª ∂ gt « ∂ȟ « «∂ t 0 º « g » « ∂Ș »⋅« −1 » J ¼ « 0 « « « 0 ¬

0 º» » » 0 » ªg t »⋅« ∂ » « » «0 ∂ȟ » ¬ ∂ » » ∂Ș ¼ º » » » 0 » » ∂ t» g » ∂ȟ » ∂ t» g » ∂Ș ¼

0º » » g t »¼

0

.

(7.93)

Hierin muss noch die Jacobi-Matrix bzw. die invertierte Matrix eingesetzt werden zu ª ∂ º « ∂ξ » J = « » ⋅ [x « ∂ » « ∂η » ¬ ¼

ª ∂x « ∂ξ y] ≡ « « ∂x « ∂η ¬

∂y º ∂ξ » », ∂y » ∂η »¼

(7.94)

134

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme ª 1 « −1 « J = det J « «− ¬ det J =

∂y ∂y − º» ∂η ∂ξ » mit ∂x ∂x » ∂η ∂ξ »¼

(7.95)

∂x ∂y ∂x ∂y ⋅ − ⋅ . ∂ξ ∂η ∂η ∂ξ

Der Algorithmus ist bis jetzt so allgemein gültig, dass mit g Formfunktionen für eine ganze Elementklasse (1. oder 2. oder 3. Ordnung etc.) eingesetzt werden können. Insofern ist es angebracht, die Gl. (7.91) numerisch auszuwerten. Im Vorgriff auf das nachfolgende Kapitel gilt es also, mit einer Quadraturformel den folgenden Ausdruck auszuwerten: 1 1

n

n

−1−1

i =1

i =1

t ³ ³ F (ȟ, Ș ) dȟ dȘ ≈ ¦ w i ⋅ F (ȟ i , Și ) ≡ ¦ w i ⋅ B ⋅ E ⋅ B ⋅ t det J .

(7.96)

Mit ξ i , ηi sind hier die Stützstellen und mit wi die Wichtungsfaktoren der Quadraturformel eingeführt worden. 7.2.10 Numerische Integration Als eine wesentliche Schwierigkeit bei den vorhergehend eingeführten verallgemeinerten Elementen ist die Integration der Steifigkeitsmatrix zu sehen, die wegen der teils komplizierten Koeffizienten und des unregelmäßig berandeten Gebiets nur numerisch durchgeführt werden kann. Wir wollen jetzt diese Problematik beispielhaft aufgreifen und für den ein- und zweidimensionalen Fall kurz diskutieren. Der eindimensionale Fall dient hier mehr der Anschauung. Unterstellen wir, es sei der im umseitigen Bild 7.20 skizzierte Funktionsverlauf gegeben, und es sei die Fläche unter dieser Funktion zu bestimmen. Der einfachste Weg besteht dann darin, das Integrationsintervall in n äquidistante Abschnitte xi = a +

b−a ⋅i n

(i = 0, 1, ..., n)

zu unterteilen und durch die n + 1 Stützstellen F( x i ) ein Interpolationspolynom n-ten Grades zu legen und darunter zu integrieren. Für die Ordnung n = 1 führt dies zur Trapezregel und für die Ordnung n = 2 zur Simpson‘schen Regel. Die sich somit für unterschiedliche Ordnungen (n = 1 bis n = 4) ergebenden Formeln werden als Newton-CotesQuadraturen bezeichnet. In FEM-Programmen werden aber bevorzugt die Gauß‘schen Quadraturformeln verwendet, die einfacher sind und in der Regel ein genaueres Ergebnis liefern.

7.2 Scheiben-Elemente

135

F1

F0

Bild 7.20: Integration einer Funktion mit verschiedenen Interpolationspolynomen Der grundsätzliche Unterschied zu den einfachen Integrationsformeln besteht darin, dass bei den Gauß‘schen Quadraturformeln ein gewichteter Ansatz gemacht wird und die Stützstellen optimiert sind. Allgemein lautet der Ansatz: b

I = ³ F( x ) ⋅ dx ≈ a

b−a n ¦ w i ⋅F( x i ) . 2 i =1

(7.97)

Es liegen somit 2 (n + 1) Freiwerte, nämlich n + 1 Stützstellen und n + 1 Gewichtskoeffizienten wi , vor. Demnach kann ein Polynom 2(n + 1)-ten Grades exakt integriert werden.

136

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme

Eine Hauptanwendung der numerischen Integration ist die Bestimmung der eingeschlossenen Fläche bei isoparametrischen Elementen. Deshalb empfiehlt es sich, von einem normierten Intervall (-1 ≤ ξ ≤ 1) auszugehen und das Gauß-Legendre-Integral I=

1

n

−1

i =1

³ F(ξ) ⋅ dξ ≈ ¦ w i ⋅F(ξi )

(7.98)

zu Grunde zu legen. Dies ist auch insofern vorteilhaft, da für das normierte Intervall bereits die günstigsten Stützstellen und die Wichtungsfaktoren tabelliert vorliegen. Einen kleinen Ausschnitt aus einer derartigen Tabelle zeigt Bild 7.21.

n

ξi

wi

1. -1

1

0,0000 0000 0000

2,0000 0000 0000

2. -1

1

± 0,5773 5026 9190

+1,0000 0000 0000

3. -1

1

0,0000 0000 0000 ± 0,7745 9666 9241

+0,8888 8888 8889 +0,5555 5555 5556

Bild 7.21: Stützstellen und Wichtungskoeffizienten der eindimensionalen Gauß-LegendreIntegration /DAN 77/ bis n = 3, im Intervall ξ [-1, +1] Die Festlegung auf ein Einheitsintervall stellt aber keine Beschränkung der Allgemeingültigkeit dar, da mittels der Transformation xi =

b−a b+a ξi + 2 2

auf jedes andere Intervall umgerechnet werden kann. Von weit größerer Wichtigkeit ist hier aber die Behandlung von Doppelintegralen für die Integration von Dreieck- und Viereckbereichen. Diese Integrale liegen in der Form I=

d

³

b

³ F ( x, y ) dx dy

(7.99)

y=c x =a

vor. Man erkennt, dass die Näherung durch zweimalige Anwendung der Quadraturregel entsteht und deshalb auch auf Flächen ausgedehnt werden kann. Die Anzahl der Integrationspunkte kann dabei ohne Weiteres in beiden Richtungen unterschiedlich sein.

137

7.2 Scheiben-Elemente

Bei der praktischen Anwendung der numerischen Integration auf Rechteckbereiche empfiehlt es sich, analog zum Einheitsintervall von einem Einheitsquadrat (s. Bild 7.22) auszugehen. y (-1, 1)

(1, 1)

d ξ

c (-1, -1) a

(1, -1) x

b

Bild 7.22: Transformation eines Rechteckbereichs auf ein Einheitsquadrat Durch die Transformation ξi =

2 (b + a ) ⋅ xi − , (b − a ) (b − a )

(7.100)

2 ( d + c) ηi = ⋅ yi − ( d − c) (d − c)

kann nunmehr das Integral Gl. (7.99) für ein beliebiges Gebietsintervall angenähert werden durch db

I = ³ ³ F ( x , y ) dx dy ≈ ca

(b − a )(d − c ) m n ¦ ¦ w j ⋅ w i ⋅F (ξ i , ηi ) 4

(7.101)

j =1i =1

oder für gleiche Stützstellen (m = n) im Einheitsquadrat*) angenähert werden durch

I≈

(b − a )(d − c ) n , m ¦ Wi ⋅ F (ξ i , ηi ) . 4

(7.102)

i =1

Für den häufig benutzten Fall mit zwei richtungsabhängigen Stützstellen n = m = 3 weist Bild 7.23 die so genannte Neun-Punkte-Formel aus, die Polynome bis zur 5. Ordnung exakt integrieren kann. *)

Anmerkung: Bei finiten Flächenelementen werden an den Gauß-Punkten in der Regel auch die Elementspannungen angegeben.

138

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme

9

2

6

5

1

3

8

4

7

ξ

i

ξi

ηi

Wi

1

0

0

64/81 = 0,7901 2345 6790 1235

2 3 4 5

0 h 0 -h

h 0 -h 0

40/81 = 0,4938 2716 4938 2716

6

h

h

7

h

-h

8

-h

-h

9

-h

h

25/81 = 0,3086 4197 5308 6420

mit h = 0,7745 9666 9241 4834

Bild 7.23: Gauß-Punkte im Einheitsquadrat bzw. verzerrten Element /DAN 77/ Bei der Integration über Dreieckbereiche kann wieder sehr vorteilhaft von der Flächenkoordinatendarstellung Gebrauch gemacht werden. Wie hiermit sehr einfach die Integration von Polynomausdrücken erfolgen kann, weist beispielsweise Gl. (7.37) aus. Für kompliziertere Integrationen ist es jedoch auch hier zwingend numerisch auszuwerten, um überhaupt die vielfältige Elementtopologie erfassen zu können. Wie gezeigt, sind die Integrale für Dreieckbereiche von der Form n, m

I = ³ F ( x , y ) dA ≈ 2A ¦ Wi ⋅ F ( x i , y i )

(7.103)

i =1

A

bzw. n

I ≈ 2 A ¦ w i ⋅ F (ζ1 , ζ 2 , ζ 3 ) . i =1

Die Fläche ist dabei wieder gegeben zu

(7.104)

139

7.3 Platten-Elemente 1 x1 2A = det 1 x 2 1 x3

y1 y2 y3

bzw. 2A = (y 2 − y 3 ) ⋅ (x1 − x 3 ) − (y1 − y 3 ) ⋅ (x 2 − x 3 ) ,

worin die Koordinatenpaare ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ) und ( x 3 , y 3 ) die Eckpunkte eines Dreiecks im lokalen kartesischen Koordinatensystem sind. Zwei Möglichkeiten der Integration unter Benutzung von Gauß-Punkten sind im nachfolgenden Bild 7.24 dargestellt. Das erläuterte Konzept ist auch geeignet, beliebig krummlinig umrandete Gebiete zu erfassen. Hierzu müssen allerdings die benutzten Transformationsbeziehungen erweitert werden.

2. Ordnung

ζ3 2 ζ 2

3 ζ1

1

5. Ordnung

4 6

7 2

1 5

3

i

ζ1

ζ2

ζ3

2 wi

1 2 3

0,5 0 0,5

0,5 0,5 0

0 0,5 0,5

0,3333 3333

1 2 3 4 5 6 7

1/3 a b b c d c

1/3 b a b c c d

1/3 b b a b c c

a = 0,7974 2699, c = 0,4701 4206,

0,2250 0000 0,1259 3918

0,1323 9415

b = 0,1012 8651 d = 0,0596 1587

Bild 7.24: Gauß-Punkte in zwei Dreieckbereichen /DAN 77/ Da die Elementintegration viel Rechenzeit benötigt, operiert man heute bei modernen FEProgrammen mit einer „reduzierten Integration“, d. h., es werden weniger Integrationspunkte verwandt, als eigentlich notwendig wären. Meist wird dadurch die Struktur zu weich (Hourglass-Effekt), so dass wieder eine künstliche Versteifungsenergie aufgebaut werden muss.

7.3 Platten-Elemente 7.3.1 Belastungs- und Beanspruchungszustand

Eine Platte ist in Wirklichkeit ein dreidimensionaler Körper mit entsprechender räumlicher Ausdehnung. Um diesen einfach betrachten zu können, wird er mittels einiger Vereinfachungen in ein zweidimensionales Problem überführt. Im weitesten Sinne kann eine Platte auch als ein zweidimensionaler Balken aufgefasst werden, was beispielsweise für einen Streifen ab einem Seitenverhältnis b/a kleiner von 0,3 ohne Weiteres zulässig wäre.

140

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme

Das wesentliche Merkmal der Platte ist, dass die äußeren Kräfte (Fz, p z ) senkrecht zur Mittelebene eingeleitet werden und demzufolge eine Absenkung (w) wie auch Neigung (φ x , φ y ) der Mittelebene auftritt. Dies ist im folgenden Bild 7.25 prinziphaft dargestellt.

φx

t pz My

.

.

w

Mxy Qx

w' = φy

φy

Bild 7.25: Verformungsannahmen an einer Platte An den Rändern treten mit der Querkraft Q x , dem Biegemoment M y und dem Torsions-

moment M xy zu den Verschiebungen äquivalente Schnittgrößen auf. Wie beim Balken kann auch der Verformungszustand der Platte allein aus der Durchbiegung der Mittelebene bestimmt werden. Mit dem hierfür gültigen Verzerrungszustand von Gl. (5.113) und den Annahmen der Kirchhoff‘schen Theorie dünner Platten*) /HAH 75/ können dann folgende Verschiebungsgrößen definiert werden:

und

w = w( x, y) , ∂w u = −z ⋅ ∂x

(7.105)

∂w v = −z ⋅ . ∂y

Damit lässt sich der gesamte Verformungszustand alleine mit der Durchbiegung w beschreiben. Die hierin noch vorkommenden Ableitungen sind die Querschnittsverdrehungen (φ x , φ y ) um die x- bzw. y-Achse φx = *)

∂w , ∂y

φy = −

∂w . ∂x

Anmerkung: Bei dicken Platten oder Sandwichplatten muss der Schubeinfluss berücksichtigt werden. Hierfür ist der „Reissner-Mindlin-Ansatz“ am besten geeignet. In vielen FE-Programmen ist dies für Platten die Voreinstellung.

141

7.3 Platten-Elemente Für die Verzerrungen erhält man somit ª ∂u º ª ε xx º « » « » « ∂x » « » « » « » « ∂v » ε = « yy » « ∂y » = z « » « » « » « » u v ∂ ∂ «γ » « + » ¬ xy ¼ ¬ ∂y ∂x ¼

ª ∂2w º « − 2 » « ∂x » « » ∂2w » ⋅« − « ∂y 2 » . « » « ∂ 2w » «− 2 » ∂x∂y »¼ «¬

(7.106)

Wie sich leicht überprüfen lässt, folgt weiter γ yz = 0 und γ xz = 0 . Die zweiten Ableitungen werden gewöhnlich als Krümmungen*)

κx = − κy = −

∂2w ∂x 2

,

∂2w ∂y 2

(7.107a) (7.107b)

und die gemischte Ableitung als Verwindung κ xy = −

∂2 w ∂x ∂y

(7.107c)

bezeichnet. Mit dem Hooke‘schen Gesetz für den ESZ (σ zz = 0, τ xz = τ yz = 0 ) folgen dann für die Spannungen ª º ª σ xx º 1 ν 0 » ª κx º « » E ⋅ z «« « » 0 » ⋅ « κy » . « σ yy » = 1 − ν 2 « ν 1 1− ν » « « τ xy » «0 0 » 2κ xy »¼ ¬ ¼ 2 ¼ ¬ ¬

(7.108)

bzw. für eine Einzelgleichung σ xx =

E⋅z (κ x + ν ⋅ κ y ) . 1− ν2

Durch die Abhängigkeit von der z-Koordinate werden über die Dicke lineare Spannungsverläufe ausgewiesen. Auf den beiden Deckflächen sind diese Spannungen maximal.

*)

Anmerkung: Für das Vorzeichen ist eingeplant: positive Durchbiegung nach unten und positives Moment erzeugt negative Krümmung.

142

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme

Diese Spannungen müssen weiter als Resultierende aufgefasst werden, aus denen man durch Integration über der Plattendicke so die Schnittgrößen Biege- und Torsionsmomente pro Längeneinheit erhält: t/ 2

t/ 2

− t/ 2 t/ 2

− t/ 2 t/ 2

m y = ³ ı xx ⋅ z ⋅dz, m x = ³ q x = ³ IJ xz ⋅ dz,

qy = ³

− t/ 2

− t/ 2

t/ 2

ı yy ⋅ z⋅ dz, m xy = m yx = ³

− t/ 2

IJ xy ⋅ z ⋅ dz, (7.109)

IJ yz ⋅ dz.

Wie sich diese Schnittgrößen ergeben, zeigt Bild 7.26 für einen normierten Einheitsschnitt (x = konst.).

dz

1 y z

σ xx ⋅ dA = σ xx ⋅ 1 ⋅ dz x

Bild 7.26: Zur Bestimmung der Schnittgrößen (nach /SZI 82/) Das Gleichgewicht (Σ aller Kräfte und Σ aller Momente gleich null /KLE 11a/) liefert ∂q x ∂q y + + p z ( x, y) = 0, ∂x ∂y ∂m y

+

∂y

∂m xy ∂x

− q y = 0,

(7.110)

∂m x ∂m yx + − q x = 0. ∂x ∂y Aus den Gleichgewichtsbedingungen Gl. (7.110) folgt durch rekursives Einsetzen für die Querkräfte die Drei-Momentengleichung ∂ § ∂m x ∂m yx · ∂ § ∂m y ∂m xy · ¨ ¸+ ¨ ¸ + p z ( x , y) = 0 + + ∂x ¨© ∂x ∂y ¸¹ ∂y ¨© ∂y ∂x ¸¹

bzw.

(7.111) ∂m x ∂x

2

2

+ 2⋅

∂m xy

2

∂x∂y

+

∂m y

2

∂y 2

+ p z ( x , y) = 0 .

143

7.3 Platten-Elemente Unter Verwendung der Beziehungen Gl. (7.107) bis (7.109) erhält man weiter mx =

t/2 § ∂w 2 E ⋅ t3 ∂w 2 ·¸ , ⋅ (κ x + ν ⋅ κ y ) ⋅ ³ z 2 dz = − ⋅ ¨¨ +ν⋅ 1 − ν2 12 ⋅ 1 − ν 2 © ∂x 2 ∂y 2 ¸¹ −t / 2

my =

t/2 § ∂w 2 ∂w 2 · E ⋅ t3 ¸, ⋅ (ν ⋅ κ x + κ y ) ⋅ ³ z 2 dz = − ⋅ ¨¨ ν ⋅ + 1 − ν2 12 ⋅ 1 − ν 2 © ∂x 2 ∂y 2 ¸¹ −t / 2

E

(

E

(

m xy = m yx =

)

)

(7.112)

t/2 E E ⋅ t3 ∂w 2 ⋅ κ xy ⋅ ³ z 2 dz = − ⋅ . 1+ ν 12 ⋅ (1 + ν ) ∂x∂y −t / 2

Das Einsetzen von Gl. (7.112) in Gl. (7.111) führt auf die partielle Differenzialgleichung der Plattenbiegung ∂w 4 ∂x

4

+ 2⋅

∂w 4 2

∂x ∂y

2

+

∂w 4 ∂y

4

=

(

12 ⋅ 1 − ν 2 E⋅t

3

) ⋅ p z (x, y) ,

(7.113)

welche die Durchbiegung mit der Last und die Steifigkeit verknüpft. 7.3.2 Problematik der Platten-Elemente

Mittels des FE-Ansatzes soll die vorstehende DGL linearisiert und als Gleichungssystem in w (= Durchbiegung) formuliert werden. Als Knotenpunktparameter sind diesbezüglich die Durchbiegung w i und die entsprechenden Ableitungen φ xi , φ yi anzusehen. Die im Kapitel 6 für zulässige Ansätze formulierten Bedingungen müssen jedoch bei der Platte eine Erweiterung erfahren, und zwar ist jetzt zu fordern, dass die Durchbiegung w ( x , y ) sowie auch ihre Normalenableitung ∂w/∂n an den Elementrändern stetig auf die Nachbarelemente /GAL 76/ übergehen. Dies ist dann gegeben, wenn sowohl die Durchbiegung als auch die Normalenableitung an jedem Elementrand eindeutig durch die Knotenpunktparameter bestimmt sind. Mittels dieser Forderung ist gleichzeitig gewährleistet, dass der Materialzusammenhalt zwischen den Elementen bestehen bleibt und kein Knick beim Übergang von einem Element in das benachbarte auftritt. Die für die Platten-Elemente aufzustellenden Ansätze sollten diesbezüglich erfüllen /HAH 75/: − Vollständigkeit des Verschiebungsansatzes zur Gewährleistung einer guten Konvergenz und − Einschluss der Glieder 1, x, y, x2 , xy, y2 , um Zustände veränderlicher Verzerrungen, Krümmungen sowie auch Starrkörperverschiebungen erfassen zu können. Mit dem Pascal'schen Dreieck wurden einführend schon Polynome zusammengestellt, die die vorstehenden Bedingungen erfüllen. Im Fall der Platten-Elemente stoßen wir hier aber auf eine neue Schwierigkeit. Beim Balken-Element ist herausgestellt worden, dass die Bie-

144

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme

gung mit einem vollständigen Polynom 3. Ordnung beschrieben werden kann. Wie wir aus dem Bild 7.27 aber entnehmen können, hat ein Polynom 3. Ordnung jedoch zehn Glieder. Unter der Voraussetzung, dass ein Platten-Element pro Knoten drei Freiheitsgrade hat, wäre also beim Rechteck-Element ein zwölfgliedriger Ansatz und beim Dreieck-Element ein neungliedriger Ansatz erforderlich. In der üblichen Bauform wäre dieser aber nur unvollständig oder überzählig aufzustellen.

n

1

z

x

2 b)

a) y

3 φx3

4 φ y3

2

3 φx3

1 φ y3

w3

w3

Polynomglieder

c) 1 x x2

1 y

3 y2

xy xy2

x3 x4

n

x3y

x2y2

6 y3

xy3

10 y4

15

Bild 7.27: Freiheitsgrade an Platten-Elementen a) rechteckiges Element mit 12 FHGs, b) dreieckiges Element mit 9 FHGs c) Pascal‘sches Dreieck mit Ansatzfunktionen Entsprechend des Aufbaus des Ansatzes können nunmehr zwei Gattungen von Platten-Elementen /HAH 75/ formuliert werden, und zwar − verträgliche (so genannte konforme) Elemente, bei denen die Verschiebung und die Verdrehung stetig zu den Nachbarelementen übergeht, und − nichtverträgliche (so genannte nichtkonforme) Elemente, die nur die Stetigkeit der Verschiebungen verlangt, während die Verdrehung die Stetigkeitsforderung verletzen darf. Die dadurch bei der Elementformulierung entstehenden Probleme wollen wir nachfolgend nur kurz ansprechen. Vor der eigentlichen Elementbeschreibung soll aber noch einmal zusammenfassend der auf Platten-Elemente angepasste FE-Formalismus dargelegt werden. Wie schon ausgeführt wird dabei für die Durchbiegung mit

145

7.3 Platten-Elemente w ( x, y ) = G ( x , y ) ⋅ d

(7.114)

in bekannter Weise ein Ansatz gemacht. Die Verschiebungsgrößen an den Knoten wählen wir zu d i t = [w i

ij yi ]

ij xi

(7.115)

und die zugehörigen Knotenkräfte zu

[

p 0i t = Q zi

M xi

]

M yi .

(7.116)

Die Definition dieser Größen zeigt noch einmal Bild 7.28.

x

w ∂w = −φ y ∂x z

y ∂w = φx ∂y

Myi

i

Mxi

Qzi

Bild 7.28: Verschiebungs- und Kraftgrößen am Knoten eines Platten-Elements Für die Verzerrungen (s. auch Gl. (7.106)) kann so wieder der Zusammenhang İ = z⋅D⋅w

hergestellt werden. Wird darin der vorstehende Ansatz eingeführt, so wird daraus İ = z⋅D⋅G ⋅d = z⋅B⋅d.

(7.117)

Hierin lautet die B-Matrix für einen Knoten: ª ∂2 º « − 2 » ∂x « » « ∂2 » Bi = « − » ⋅G. ∂y 2 » « « 2 » «− 2 ∂ » ∂x∂y ¼» ¬«

(7.118)

146

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme

Damit sind wir jetzt gemäß Gl. (7.109) in der Lage, als weitere Beziehung die für die Mittelebenenverformung maßgeblichen Schnittmomente (pro Seitenlänge) anzugeben, und zwar zu t/ 2

m = ³ ı ⋅ z dz .

(7.119)

-t/ 2

Wird hierin die Spannung durch ı = E ESZ ⋅ İ = z ⋅ E ESZ ⋅ B ⋅ d

ersetzt und dies in Gl. (7.119) berücksichtigt, so folgt t/ 2

m = ³ E ESZ ⋅ z 2 ⋅ dz ⋅ B ⋅ d = − t/ 2

t3 E ESZ ⋅ B ⋅ d = E P ⋅ B ⋅ d . 12

(7.120)

Die Elementsteifigkeitsmatrix kann so wieder unter Heranziehung des Energieprinzips gewonnen werden, und zwar gilt für die innere Formänderungsarbeit der dünnen Platte 1 t ³ İ ⋅ E P ⋅ İ dV 2V

Wi =

(7.121)

bzw. für eine virtuelle Verzerrung įWi = ³ į İ t ⋅ E p ⋅ İ dV = ³

t/ 2

t 2 t ³ δ İ ⋅ E ESZ ⋅ z dz ⋅ İ dA = ³ δ İ ⋅ m dA .

A − t/ 2

V

(7.122)

A

Gleichgewicht liegt vor, wenn die äußere Arbeit der Knotenkräfte gleich der inneren Arbeit ist: įd t ⋅ p = įd t ³ B t ⋅ E P ⋅ B dV ⋅ d .

(7.123)

V

Damit liegt die Beziehung zur Bildung der Elementsteifigkeitsmatrix mit t

k = ³ B ⋅ E P ⋅ B dV

(7.124)

V

fest. 7.3.3 Rechteck-Platten-Element

Auf das einfache 4-knotige Rechteck-Platten-Element gehen die ersten Bemühungen zurück, Plattenprobleme mit der FEM zu berechnen. Ein derartiges Element zeigt das Bild 7.29.

147

7.3 Platten-Elemente s

a

1

x 2

b

t

ξ

3

4 φy3

y

φx3

w3

Bild 7.29: Rechteck-Platten-Element (nach /HAH 75/) Mit den eingeführten Knotenparametern (s. Gl. (7.115)) liegen somit 12 Freiheitsgrade vor, für die es ein Ansatz zu machen gilt. Unter Berücksichtigung der zuvor formulierten Ansatzbedingungen bietet es sich zunächst an, ein unvollständiges Polynom 4. Grades mit 12 Koeffizienten zu wählen. Im Pascal‘schen Dreieck sind dies die folgenden Glieder: 1 x x2

y

xy2

x3 x4

y2

xy

x3y

x2y2

y3 xy3

y4

womit der Ansatz w( x, y) = α 1 + α 2 ⋅ x + α 3 ⋅ y + α 4 ⋅ x 2 + α 5 ⋅ x ⋅ y + α 6 ⋅ y 2 + α 7 ⋅ x 3 + α 8 ⋅ x 2 ⋅ y + α 9 ⋅ x ⋅ y 2 + α 10 ⋅ y 3

(7.125a)

+ α 11 ⋅ x 3 ⋅ y + α 12 ⋅ x ⋅ y 3

erstellt werden kann. Dieser kann symbolisch auch als w ( x, y ) = N t ⋅ Į

(7.125b)

mit

[

Nt = 1 x

y x2

xy y 2

x3

x 2 y xy 2

y3

x 3 y xy 3

]

(7.126)

148

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme

geschrieben werden. Im Weiteren wollen wir kurz untersuchen, ob dieser Ansatz stetig und somit zu anderen Elementen kompatibel ist. Aus Gl. (7.126) folgt, dass sich an einem Elementrand y = 0 die Durchbiegung als kubisches Polynom w ( x , 0 ) Rand = β1 + β 2 ⋅ s + β 3 ⋅ s 2 + β 4 ⋅ s 3

(7.127)

ergibt. Die hierin auftretenden vier Koeffizienten β i können dabei eindeutig aus den vier Knotenbedingungen w1 (o, o ), w1 ' (o, o ), w 2 ( a , o ) und w 2 ' ( a , o ) bestimmt werden. Für die Normalenableitung § ∂w ( x , o ) · = γ1 + γ 2 ⋅ s + γ 3 ⋅ s 2 + γ 4 ⋅ s 3 ¸ ¨ © ∂n ¹ Rand

(7.128)

ergibt sich ebenfalls ein kubisches Polynom, welches durch die zwei verfügbaren Knotengrößenableitungen jedoch nicht eindeutig bestimmt ist. Insofern liegt also eine Unstetigkeit der Randneigungen beim Übergang zu den Nachbarelementen vor. Deshalb spricht man hier von einem so genannten nichtverträglichen Element, obwohl man bei seiner Anwendung ausreichend gute Genauigkeiten erzielt hat. Die dargelegte Schwierigkeit lässt sich umgehen, wenn man die Knotenfreiheitsgrade des Platten-Elements erhöht. Als Möglichkeit besteht dazu noch, die gemischten zweiten Ableitungen zu berücksichtigen. Der Knotenverschiebungsvektor lautet somit: d i t = [w i

ij xi

ij yi

ț xyi ] .

(7.129)

Das Element weist demzufolge 16 Freiheitsgrade auf und erfordert einen 16-gliedrigen Ansatz. In der Literatur schlägt man hierfür ein unvollständiges Polynom 6. Grades folgender Bauform vor: 1 x x2

y xy2

x3 x5 x6

x3y2

x4y x5y

y3 xy3

x2y2

x3y

x4

y2

xy

x4y2

x3y2 x3y3

x2y4

y4 y5

xy4 xy5

y6

(7.130)

Die Ansatzfunktion lautet somit:

[

]

Nt = 1 x y x 2 xy y2 x3 x 2 y xy2 y3 x3y x 2 y2 xy3 x3y2 x 2 y3 x3y3 . (7.131)

7.3 Platten-Elemente

149

Prüft man auch hierfür die Stetigkeit, so stellt man wieder fest, dass für die Randdurchbiegung ein kubisches Polynom und für die Normalenableitung am Rand ein quadratisches Polynom maßgebend ist. Im Gegensatz zu vorher stehen jetzt aber ausreichend viele Knotengrößen zur Verfügung, sodass alle Koeffizienten βi , γ i eindeutig bestimmt werden können. Da nun die Durchbiegung und die Randableitungen stetig auf die Nachbarelemente übergehen, spricht man hier von einem vollverträglichen Element. Die zu dem Freiheitsgrad κ xyi korrespondierende Kraftgröße hat hingegen keine direkte physikalische Bedeutung, da sie weder Kraft- noch Momentencharakter aufweisen. Auf die weiteren Schritte bis zur Herleitung der Elementsteifigkeit soll hier nicht eingegangen werden, weil diese sich in dem bekannten Schema vollzieht. Der Vollständigkeit halber sei jedoch umseitig die Biegesteifigkeitsmatrix des PlattenElements mit 12 FHGs angegeben.

kP =

10 b 2 + 2(1 − ν ) a 2

0

[5γ 2 − (1 − ν )]6a

20 b 2 − 8(1 − ν ) a 2

0

[− 5γ 2 + (1 + 4ν ) ] 6a

40 b 2 + 8(1 − ν ) a 2

φ y1

20a 2 − 8(1 − ν ) b 2

0

[5β 2 − (1 + 4ν )]6 b

− [10 γ 2 + (1 − ν ) ] 6a

11

12

20 b 2 − 2(1 − ν )a 2

0

[− 5β 2 + (1 + 4ν )] 6b [10 γ 2 + (1 − ν )] 6a

0

[− 5γ 2 + (1 − ν )] 6a

9

10 − 60(2 γ 2 − β 2 ) + 24ν − 84

10a 2 + 2(1 − ν ) b 2

[5β 2 − (1 − ν )] 6b

8

− 60 (γ 2 + β 2 ) − 24ν + 84 − [5β 2 + (1 − ν ) ]6 b

0

[− 5γ 2 + (1 + 4ν )] 6a

6

360(1 − ν 2 )a ⋅ b 7

E ⋅ t3

60 (γ 2 − 2β 2 ) + 24ν − 84 − [10β 2 + (1 − ν ) ] 6 b

4

20a 2 − 2(1 − ν ) b 2

− [10 γ 2 + (1 + 4ν ) ] 6a

3

[10β 2 + (1 − ν ) ] 6b

− 30νa ⋅ b

[10β 2 + (1 + 4ν ) ] 6b

2

5

− 40a 2 + 8 (1 − ν ) b 2

120(β 2 + γ 2 ) − 24ν + 84

φ x1

1

w1

40 b 2 +8 ( 1−ν ) a 2

φy2

10a 2 + 2(1 − ν ) b 2

0

[− 5γ 2 + (1 − ν) ] 6a

[5β 2 − (1 − ν )] 6b

0

20a 2 − 8(1 − ν ) b 2

10 b 2 + 2(1 − ν ) a 2

0

[5γ 2 − (1 − ν )] 6a

20b 2 − 2(1 − ν)a 2

0

[− 5β 2 + (1 + 4ν ) ] 6b [10γ 2 + (1 − ν)] 6a

30νa ⋅ b

40a 2 + 8(1 − ν ) b 2

φx2

[− 5β 2 + (1 − ν )] 6 b

− 60(β 2 + γ 2 ) − 24ν + 84

− [10 γ 2 + (1 − ν ) ] 6a

ª− 5β 2 + (1 + 4ν)º 6b «¬ »¼

− 60(2γ 2 − β 2 ) + 24ν − 84

− [10 γ 2 + (1 + 4ν ) ] 6a

− [10β 2 + (1 + 4ν ) ] 6 b

120 (β 2 + γ 2 ) − 24ν + 84

w2

150 7 Elementkatalog für elastostatische Probleme

[10 γ 2 + ( 1+ 4 ν ) ] 6 a

9

0

[ 5 γ 2 − ( 1+ 4 ν ) ] 6 a

12

a b ,γ= b a

20 a 2 − 2 ( 1− ν ) b 2

− [10 β 2 + ( 1− ν ) ] 6 b

11

mit β =

40 b 2 + 8 ( 1− ν ) a 2

φ y3

20 b 2 −8 ( 1− ν ) a 2

0

[10 β 2 + ( 1− ν ) ] 6 b [ 5 γ 2 − ( 1+ 4 ν ) ] 6 a

− 30 νa ⋅ b

− [10 β 2 + ( 1+ 4 ν ) ] 6 b

8

10 60 ( γ 2 − 2 β 2 )+ 24 ν −84

40 a 2 + 8 ( 1− ν ) b 2

120 ( β 2 + γ 2 )− 24 ν +84

φ x3

7

6

5

4

3

2

1

w3

[10 γ 2 + ( 1+ 4 ν ) ] 6 a

[10 β 2 + ( 1+ 4 ν ) ] 6 b

120( β 2 + γ 2 )− 24 ν +84

w4

30 νa ⋅ b

40 a 2 +8 (1−ν ) b 2

φx4

40 b 2 + 8 ( 1− ν ) a 2

φ y4

7.3 Platten-Elemente 151

(7.132)

152

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme

7.3.4 Dreieck-Platten-Element

Wie bei Scheibenproblemen gilt auch für die Plattenproblematik, dass rechteckige Elemente nur sehr begrenzt einsetzbar sind. Eine größere Variabilität in der Modellierung bieten naturgemäß Dreieck-Elemente. In Analogie zum vorausgegangenen Kapitel wollen wir hier zunächst ein Dreieck-Element (s. auch Bild 7.27) mit drei Knoten, also 9 Freiheitsgrade, betrachten. Als Knotenverschiebungsvektor ist dann wieder Gl. (7.115) maßgebend. Seitens der Ansatzfunktionsbildung zeichnet sich dabei nur die Möglichkeit ab, einen kubischen Durchbiegungsansatz mit w ( x , y ) = α1 + α 2 ⋅ x + α 3 ⋅ y + α 4 ⋅ x 2 + α 5 ⋅ x ⋅ y + α 6 ⋅ y 2 + α 7 ⋅ x 3 + α 8 ⋅ x 2 ⋅ y + α 9 ⋅ x ⋅ y 2 + α10 ⋅ y 3

(7.133)

und 10 Koeffizienten zu wählen. Ein Koeffizient ist hierbei überzählig und muss geschickt eliminiert werden. Elementformulierungen, bei denen ein Koeffizient weggelassen wurde, haben sich bei Testrechnungen als unbrauchbar erwiesen. Strategien, bei denen bestimmte Koeffizienten zusammengefasst wurden, zeigten hingegen gute Ergebnisse. Bewährt hat sich in diesem Sinne der Ansatz w ( x , y ) = α1 + α 2 ⋅ x + α 3 ⋅ y + α 4 ⋅ x 2 + α 5 ⋅ x ⋅ y + α 6 ⋅ y 2

(

)

+ α 7 ⋅ x 3 + α8 x 2 ⋅ y + x ⋅ y 2 + α9 ⋅ y3 ,

(7.134)

der für jeden Freiheitsgrad einen Koeffizienten aufweist und insofern vollständig ist. Führen wir mit diesem Ansatz nun auch wieder die Stetigkeitsprüfung durch, so liegt für die Randdurchbiegung ein kubisches und für die Randableitung ein quadratisches Polynom vor. Mit den angesetzten Knotenfreiheitsgraden kann also auch hier die Randübergangsbedingung nicht stetig gehalten werden. Das 3-knotige Dreieck-Platten-Element mit einem Ansatzpolynom 3. Grades ist somit als nichtverträglich einzustufen. Wie bis jetzt erkannt wurde, ist die Normalenableitung ∂w/∂n maßgebend für die Nichtkonformität der Elemente. Es hat in der Forschung insofern nicht an Bemühungen gefehlt, konforme Dreieck-Platten-Elemente zu entwickeln. Auf diese Möglichkeiten soll an dieser Stelle jedoch nicht tiefer eingegangen werden. Ein bekannter Weg, verträgliche Elemente zu gewinnen, besteht im Allgemeinen darin, die Knotenfreiwerte zu erhöhen. Wählen wir wie im Bild 7.30 dargestellt ein 6-knotiges Element und führen hierfür folgende Freiheitsgrade d i t = [w i

ij xi

ij yi

ț xi

ț yi

ț xyi ] für Knoten i = 1, 2, 3

(7.135a)

für Knoten j = 4, 5, 6

(7.135b)

und ª ∂w j º d jt = « » ¬ ∂n ¼

153

7.3 Platten-Elemente ein, so liegt ein Element mit insgesamt 21 Freiheitsgraden vor. x n

t

2

4 5 y

1

6

3

Bild 7.30: Dreieck-Platten-Element mit 6 Knoten Den höheren Knotenableitungen können aber wieder keine physikalisch deutbaren Kraftoder Momentengrößen zugeordnet werden. Mit den 21 Freiheitsgraden besteht jetzt aber die Möglichkeit, ein vollständiges Polynom 5. Grades (s. Gl. (7.130)) mit genau 21 Koeffizienten anzusetzen. Auf einem Rand verändert sich somit die Durchbiegung wRand ebenfalls nach dem Polynom 5. Grades, dessen sechs Koeffizienten aber mit den hier verfügbaren sechs Knotengrößen (w ( x , o ) i, j, w ' ( x , o ) i, j und κ xy, i, j ) bestimmt werden können. Die Normalenableitung (∂w/∂n )Rand verläuft hin-

gegen nach einem Polynom 4. Grades, dessen fünf Koeffizienten durch die Ableitungen

(

(∂w/∂n )i, j , ∂ 2 w/∂n ⋅ ∂t

)i, j am Eckknoten und durch (∂w/∂n )k am Zwischenknoten gege-

ben sind. Die Normalenableitungen am Knoten bildet man nach der impliziten Differenziation ∂w ∂w ∂x ∂w ∂y = ⋅ + ⋅ . ∂n ∂x ∂n ∂y ∂n

(7.136)

Diese Formulierungsfeinheiten berühren aber in der Regel den Anwender nicht, da sie programmspezifisch gelöst werden. Daher wollen wir die Problematik der Elementformulierungen nicht weiter vertiefen, um uns praktischeren Fragestellungen zuwenden zu können. 7.3.5 Konvergenz

Von allgemeinem Interesse ist es bei der Lösung von Plattenproblemen abzuwägen, ob man besser Dreieck- oder Rechteck-Elemente für eine Idealisierung verwendet und wie gut diese Elemente letztlich sind. Im Bild 7.31 ist eine derartige Konvergenzbetrachtung an einer fest eingespannten quadratischen Platte unter gleichmäßiger Flächenlast bezüglich der Durchbiegung in der Mitte durchgeführt worden.

154

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme pz = 0,1 N/mm2 x z wmax

a

y

t=2 E = 210000 N/mm2

a = 300

w [mm]

wtheor. = 6,73 mm 6,5 p ⋅a4 w theor . = 0 , 014 z E⋅t3

6 5

2x2

8x8

4x4

16 x 16 Elementnetzteiler

ElementTyp Netz

2x2 4x4 8x8 16 x 16

w = 6,37 w = 6,57 w = 6,64 w = 6,66

6,04 6,51 6,63 6,65

6,72 6,67 6,67 6,67

5,77 6,37 6,61 6,66

Bild 7.31: Konvergenzrechnung mit Platten-Elementen nach Kirchhoff-Theorie Am Ergebnis der Auswertungen erkennt man bei einer Idealisierung der Viertelsymmetrie der Platte mit verschiedenen Verfeinerungsgraden, dass hier die Rechteck-Platten-Elemente sehr schnell und gut konvergieren. Demgegenüber zeigen die Dreieck-Platten-Elemente ein deutlich schlechteres Verhalten. Ein Phänomen ist, dass die quadratischen Elemente etwas schlechter konvergieren als die linearen, man nennt diesen Effekt „Locking“. Ursache dafür ist, dass der Ansatz die Schubverzerrung überbewertet und somit die Durchbiegung blockiert. Man kann dem gegensteuern durch eine reduzierte Integration, hierbei wird ein bilineares Vierknotenelement nicht über vier Gaußpunkte, sondern über einen zentralen Gaußpunkt integriert. Neben dem positiven Einfluss beim Locking führt eine reduzierte Integration auch zur Verringerung des Rechenbedarfs. Diese Methode hat allerdings auch einen Nachteil, es können sich unter Umständen Zero-Energy-Modes bilden. Dies sind verzerrungsfreie Zustände, bei denen die Verzerrungsenergie zwar null ist, gleichzeitig aber keine Starrkörperverschiebungen entstehen. Diese energiefreie Verformung wird auf Grund seiner Form als „hour-glass-mods“ bezeichnet. Das Hourglass-Phänomen lässt sich aller-

155

7.3 Platten-Elemente

dings mittels der Hourglass-stiffness unterdrücken. Hierbei handelt es sich um eine problemabhängige Steifigkeitserhöhung, welche jedoch das Ergebnis beeinflussen kann. 7.3.6 Schubverformung am Plattenstreifen

Wie beim Balken-Elemente (s. Kapitel 7.2.7) sollte auch bei dicken, kurzen Platten-Elementen die Schubverformung nicht vernachlässigt werden, d. h., anstatt des KirchhoffModells ist der Reissner-Mindlin-Ansatz zu verwenden. Um das Problem für die Darstellung zu vereinfachen, wählen wir wie im Bild 7.32 gezeigt einen Plattenstreifen. 2

3

4

Qz

x w2

wb =

Qz3

w3

w ′s ≡ γ xz 3 M y3

L

w s3

My

wb =

Q ⋅ L2 Q z ⋅ L3 , , w ′b = z 2E ⋅ J y 3E ⋅ J y M y ⋅ L2 2E ⋅ J y

, w ′b =

My ⋅ L E ⋅ Jy

,

Bild 7.32: Schubverformung am Plattenstreifen (nach /GAL 76/) Als Modell für ein Plattensteifen-Element wird gewöhnlich ein Kragarm (z. B. zwischen den Knoten d und e) genommen, da jeweils nur die relativen Verschiebungen interessieren. Für die Schubabsenkung am Knoten e zufolge Querkraftbiegung kann somit angegeben werden: τ 2 (1 + Ȟ ) Q z3 w s 3 ≡ Ȗ xz ⋅ L = xz ⋅ L = ⋅ ⋅L. G E A

(7.137)

Damit kann die folgende Flexibilitätsgleichung für das Element unter Berücksichtigung der Superponierbarkeit von Biege- und Schubnachgiebigkeit aufgestellt werden: ª L3 2(1 + Ȟ ) ⋅ L + ª w3 º « ⋅ 3 E J E⋅A y « » = « « 2 « » L ij ¬« y3 ¼» « « 2E ⋅ J y ¬

L2 º » ªQ º 2E ⋅ J y » « z 3 » . »⋅ L » «M » ¬« y3 ¼» E ⋅ Jy » ¼

(7.138)

Invertiert man diese Beziehung, so erhält man beispielsweise für den ersten Koeffizienten der Steifigkeitsmatrix k11 =

12 E ⋅ J y 3

L

⋅

1 , Jy º ª «1 + 24 (1 + Ȟ ) » A ⋅ L2 ¼ ¬

(7.139)

156

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme

womit jetzt Biegung und Schub in der Elementsteifigkeit berücksichtigt sind. Schubverformung spielt insbesondere bei schubweichen Konstruktionen wie Sandwichplatten eine große Rolle. Um dies auszutesten, wählen wir als Beispiel einen Sandwich-Plattenstreifen, den wir mit geeigneten Sandwich-Elementen erfassen wollen. Wichtig ist hierbei, dass Schichten unterschiedlicher Steifigkeit beschrieben werden können, welches in den meisten Programmsystemen ohne Weiteres möglich ist. pz L = 300 d = 20 30 Daten:

4,8

3,0

EH = 70.000 N/mm2 νH = 0,33 GK = 450 N/mm2

t

EH, νH

w FEM = 4,8mm

νK = 0,36 pz = 0,5 N/mm2

p ⋅ L4 § 5 · w theor. = z ¨ + ψ ¸ = 4,9mm 16 ⋅ B © 24 ¹ 2 ⋅ B mit ψ = G K ⋅ d ⋅ L2

GK, νK i

j

Bild 7.33: Konvergenzrechnung mit so genannten Sandwichplatten-Elementen am Plattenstreifen (Index: H = Haut, K = Kern) Der im Bild 7.33 gezeigte Balken soll eine Sandwichtragkonstruktion darstellen, um einen einfachen Vergleich zwischen der theoretischen und der FEM-Lösung herstellen zu können. Die Rechnung zeigt, dass bereits mit wenigen Elementen eine recht gute Konvergenz zur theoretischen Lösung hergestellt werden kann. Der Fehler liegt etwa bei 2,1 %.

7.3.7 Beulproblematik Als ein grundlegendes Problem im Blechleichtbau und daher der Plattentheorie gilt die Erfassung der Beulung, und zwar in ebenen Tafel- oder in Profilblechen. Würde man hier streng physikalisch klassifizieren, so tritt Beulen eigentlich bei druckbelasteten dünnen Scheiben auf, bei denen die Mittelfläche unter der Einwirkung von Randkräften ausbiegt. Die elastischen Verhältnisse können dabei allerdings nur erfasst werden, wenn wir von einem Plattenverformungszustand ausgehen. Der Unterschied in der Betrachtungsweise zwischen Plattenbiegung und Beulen sei im Bild 7.34 hervorgehoben.

157

7.3 Platten-Elemente a)

a myx my

qy

qx

b

x

mx

y

z, w

pz

mxy

mxy mx my

qx

qy myx

ny

b) z, w

qxy

nx pz

qyx

x qyx

nx

qyx

y

ny

Bild 7.34: Unterschiede in den Kraftwirkungen bei Biegung und Beulung (nach /KOL 58/) dünnwandiger Platten a) Kraftrichtungen bei Biegung mit äußerer Last p z b) Kraftrichtungen bei Beulen mit rückdrückender Last − p z Bei der Plattenbiegung wirkt mit p z ( x , y ) eine positive äußere Flächenlast, die mit den entsprechenden Schnittkräften im Gleichgewicht steht. Bei der Plattenbeulung wird hingegen von einer ausgelenkten Mittelebene ausgegangen und die Kraftgröße − p z ( x , y ) bestimmt, die die Beulung zurückformt. Die dabei wirkenden Druck-Schnittkräfte können hier als äußere Lasten angesetzt werden, die die Vorverformung bewirkt haben. Diese werden gewöhnlich linienhaft bzw. pro Seitenlänge definiert zu

Anmerkung: mx; my

bezeichnen Biegemomente je Seitenlänge

mxy; myx

bezeichnen Drillmomente je Seitenlänge

nx; ny

bezeichnen Normalkräfte je Seitenlänge

qx; qxy; qy; qyx

bezeichnen Querkräfte je Seitenlänge

158

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme

σ xx = σ yy = τ xy =

Nx n = x b⋅t t Ny a⋅t Q xy b⋅t

→ n x = σ xx ⋅ t ,

ny

=

→ n y = σ yy ⋅ t ,

t

=

Q yx a⋅t

=

q xy t

(7.140)

→ q xy = τ xy ⋅ t.

Unter der weiteren Annahme, dass wir es mit linear elastischem Verhalten der Platte zu tun haben, kann für die Durchbiegung die St. Venant‘sche DGL (nach /SZI 82/ auch Beulgleichung) § ∂2w ∂2w ∂ 2 w ·¸ B ⋅ ΔΔ w = p z ( x , y) =ˆ ¨ n x ⋅ + 2 q xy ⋅ + ny ⋅ ¨ ∂x ∂y ∂x 2 ∂y 2 ¸¹ ©

(7.141)

mit der Plattenbiegesteifigkeit B=

E ⋅ t3

(

12 ⋅ 1 − ν 2

(7.142)

)

zu Grunde gelegt werden. Hierbei werden jetzt die äußeren Druckkräfte positiv gezählt. Trotz angenommener sehr kleiner Randverschiebungen u der Platte ergeben sich große Verschiebungen w der Mittelebene in der Beul-Vorzugsrichtung. Die auftretenden Ver*) zerrungen betragen dann 1 ∂w · 2 ε xx = §¨ ¸ , 2 © ∂x ¹

1 § ∂w · ε yy = ¨ ¸ 2 © ∂y ¹

2

und γ xy =

∂w ∂w . ⋅ ∂x ∂y

(7.143)

Der damit verbundene Verformungszustand muss von einer definierten Formänderungsenergie /SZI 82/ aufrechterhalten werden. Die erforderliche Größe kann angegeben werden zu *)

Anmerkung: Green-Lagrange’sche-Verzerrungen bei großen Geometrieänderungen setzen sich aus einem kleineren linearen Anteil und einem größeren geometrisch nichtlinearen Anteil wie folgt zusammen: 2

ε xx =

2

∂ u 1 §¨ ∂ w ·¸ ∂v 1 §¨ ∂ w ·¸ , ε yy = , + + ∂ x 2 ¨© ∂ x ¸¹ ∂ y 2 ¨© ∂ y ¸¹

§ ∂u ∂v · § ∂w ∂w · ¸+¨ ¸ ⋅ + γ xy = ¨¨ ¸ ¨ ¸ © ∂ y ∂ x ¹ © ∂ x ∂y ¹

159

7.3 Platten-Elemente

WR =

2 1 ­° § ∂w · 2 § ∂w · ⋅ § ∂w · + n § ∂w · ½°dA .*) ¸ ¸ ¾ ®n x ¨ ¸ + 2 q xy ⋅ ¨ ¸ ¨ ³ y¨ 2 A °¯ © ∂x ¹ © ∂x ¹ © ∂y ¹ © ∂y ¹ °¿

(7.144)

Diese Gleichung kann auch matriziell geschrieben werden als

WR =

1 ª ∂w ³ 2 A «¬ ∂x

ª nx ∂w º « ⋅ ∂y »¼ « ¬« q xy

∂w º q xy º ª « ∂x » »⋅« » » « ∂w » dA . n y ¼» « » ¬ ∂y ¼

(7.145)

Machen wir jetzt wieder mit w ( x, y ) = G ( x, y ) ⋅ d

unseren bekannten Ansatz, so können die vorstehend benötigten Ableitungen ersetzt werden durch ª ∂w º ª ∂ º « ∂x » « ∂x » ~ « » = « » ⋅ G ⋅ d = G' G . ⋅ d = G ⋅ d . « ∂w » « ∂ » « ∂y » « ∂y » ¬ ¼ ¬ ¼

[

]

(7.146)

Damit kann für die Arbeit (Kraft x Weg) auch angegeben werden: WR =

1 t ~ ª nx d ⋅ Gt « ³ 2A ¬ q xy

q xy º ~ 1 1 G ⋅ d dA ≡ p t ⋅ d = d t ⋅ k G ⋅ d . » ny ¼ 2 2

(7.147)

Mit ~ t ª nx kG = ³ G « ¬ q xy A

q xy º ~ G dA ≡ k Gx + k Gy + k Gxy n y »¼

(7.148)

wurde hierbei eine Matrix abgespalten, die geometrische Steifigkeitsmatrix heißt. Vielfach wird in der Literatur auch die Bezeichnung Anfangsspannungsmatrix benutzt, um auszudrücken, dass diese Matrix nicht nur von der „Augenblicksgeometrie“, sondern auch von dem Anfangsverschiebungszustand abhängig ist. Die geometrische Steifigkeit macht sich besonders im richtungsabhängigen Widerstand gegen Beulen bemerkbar. Demzufolge lassen sich in Richtung der Seitenlängen die Steifigkeiten k Gx , k Gy und die Diagonalsteifigkeit k Gxy definieren. Ohne nähere Ausrechnung sind diese drei Matrizen für konstant dicke

Platten umseitig aufgeführt worden.

*)

Anmerkung: Arbeit ≡ W =

1 2

1

³ σ ⋅ ε ⋅ dV = 2 ³

V

A

n x § ∂w · 2 ⋅¨ ¸ t ⋅ dA + ! t © ∂x ¹

σ ⋅t⋅b k Gx = xx 1.260 ⋅ a

552

132⋅b

-84⋅a

204

-78⋅b

-42⋅b

-204

78⋅b

-42⋅a

-552

-132⋅b

-84⋅a

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

w1

0

-48⋅b

-132⋅b -78⋅b -42⋅a

0 -64⋅a2

-204

-28⋅a2 84⋅a

-84⋅a

0

36⋅b2 0

132⋅b

42⋅a

-78⋅b

-552

-84⋅a

112⋅a2

0

-66⋅b

0

-36⋅b2

552

w2

-42⋅a

224⋅a2

φ y1

78⋅b

0

48⋅b2

φ x1

0

36⋅b

78⋅b

0

-48⋅b2

132⋅b

0

48⋅b2

φx 2

-28⋅a2

0

42⋅a

-56⋅a2

0

84⋅a

224⋅a2

φy2

42⋅a

78⋅b

204

84⋅a

-132⋅b

552

w3

112⋅a2

0

-36⋅b2 0

42⋅a

224⋅a2

φ y3

-78⋅b

0

48⋅b2

φx3

84⋅a

132⋅b

552

w4

0

48⋅b2

φx 4

224⋅a2

φ y4

160 7 Elementkatalog für elastostatische Probleme

(7.149)

k Gy =

1.260 ⋅ a

σ yy ⋅ t ⋅ b

42⋅b

-78⋅a

204

42⋅b

78⋅a

8

9

10

11

12

84⋅b

5

-204

-552

4

7

-132⋅a

3

132⋅a

84⋅b

2

6

552

1

w1

36⋅a2

-78⋅a

0 -36⋅a2

112⋅b2 0

-42⋅b

-78⋅a

42⋅b

-204

78⋅a

0

-28⋅b2 0

-42⋅b

78⋅a

204

-132⋅a

-84⋅b

552

w2

-42⋅b

-48⋅a2

0

-56⋅b2 0

132⋅a

48⋅a2

φ y1

-84⋅b

0

224⋅b2

φ x1

0

-28⋅b2

42⋅b

0

112⋅b2

-42⋅b

0

224⋅b2

φx2

36⋅a2

0

78⋅a

-36⋅a2

0

-78⋅a

48⋅a2

φ y2

-132⋅a

-84⋅b

-552

132⋅a

-84⋅b

552

w3

0

-56⋅b2

84⋅b

0

224⋅b2

φx3

-48⋅a2

0

-132⋅a

48⋅a2

φ y3

132⋅a2

84⋅b

552

w4

0

224⋅b2

φx 4

48⋅a2

φ y4

7.3 Platten-Elemente 161

(7.150)

k Gxy =

1.260 ⋅ a

τ xy ⋅ t ⋅ b

-72⋅a 0

-72⋅b 0

10

11

12

72⋅a

6

9

0

5

72⋅b

0

4

8

0

3

-180

0

2

7

180

1

w1

20⋅ab

0

72⋅b

0

20⋅ab

0

72⋅a

72⋅b

180

0

24⋅a2

-20⋅ab

-72⋅b

-20⋅ab

24⋅b2

0

0

0

-180

w2

72⋅a

0

20⋅ab

-72⋅a

0

φ y1

-72⋅b

20⋅ab

0

0

-20⋅ab

0

φ x1

-72⋅a

-24⋅a2

-20⋅ab

0 -20⋅ab

-24⋅b2

0

0

0

180

w3

-72⋅a

0

20⋅ab

0

0

φ y2

-72⋅b

20⋅ab

0

72⋅b

-20⋅ab

0

φx2

20⋅ab

0

0

-20⋅ab

0

φx3

0

20⋅ab

72⋅a

0

φ y3

0

0

-180

w4

-20⋅ab

0

φx 4

0

φ y4

162 7 Elementkatalog für elastostatische Probleme

(7.151)

163

7.3 Platten-Elemente Setzt man jetzt weiter für das Beulproblem das Prinzip der virtuellen Arbeit an, so gilt δW = δWB − δWR

*)

(7.152)

oder für ein Element die Steifigkeitsbeziehung (Beulen minus Anfangsgeometrie)

p = (k B − k G ) ⋅ d .

(7.153)

Hierin wird mit k B gemäß Gl. (7.132) die bekannte Biegesteifigkeitsmatrix bezeichnet. Mit diesem Elementzusammenhang kann dann auch in bekannter Weise der Systemzusammenhang

(K B − K G ) ⋅ U = P

(7.154)

hergestellt werden. Wie das allseits bekannte Knicken stellt auch Beulen ein Instabilitätsproblem dar. Eigenart jedes Instabilitätsproblems ist, dass nach dem ersten Eigenwert einer Beuform (erster möglicher Verformungszustand) gefragt wird, wobei die Größe der äußeren Kraft keine Rolle spielt. Im vorliegenden Fall sind mit nx , ny und q dennoch äußere Lasten vorhanden. Mit proportionalem Anwachsen dieser Lasten um λ ⋅ nx , λ ⋅ ny , λ ⋅ q wird jedoch die Ausbiegung größer werden, weil sich die geometrische Steifigkeit ändert. In diesem Fall ist also das folgende spezielle Eigenwertproblem

(K B − λ ⋅ K G ) ⋅ U = 0

(7.155)

zu lösen. Ein Ausbeulen der Platte tritt somit ein, wenn für ein bestimmtes λ eine nichttriviale Lösung von Gl. (7.155) existiert. Der niedrigste Load-Faktor λ ergibt dann die kleinste Beullast. Für die Lösung von Eigenwertproblemen der vorstehenden Art gibt es numerische Standardlöser, die nach Umformung der vorliegenden Gleichung rezeptmäßig anwendbar sind. Um diese Grundform zu erreichen, machen wir zuerst wieder von der Dreieckzerlegung (s. auch Gl. (5.104)) bei der Matrix KG = Lt ⋅ L

(7.156)

Gebrauch. Als Nächstes multiplizieren wir die Gl. (7.155) von links mit der inversen trans−1 ponierten Dreieckmatrix L t und Klammern L noch geeignet aus, sodass folgende Gleichung § Lt −1 ⋅ K ⋅ L−1 − Ȝ ⋅ I · L ⋅ U = 0 ¸ ¨ B ¹ ©

bzw. die Universalform *)

Anmerkung: Beulen tritt nur aus einem Anfangsbiegezustand heraus auf, daher gilt: Beulzustand minus Anfangsdurchbiegung = (instat.) Verformungsarbeit

(7.157)

164

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme

(A* − λ ⋅ I ) X* = 0

(7.158)

vorliegt. Die Lösung erfolgt sodann für den Eigenvektor X* , der mittels der Rücktransformation /STO 73/

U = L−1 ⋅ X*

(7.159)

wieder dem Problem angepasst wird. Über den Verschiebungsvektor U, der hier noch auf Eins normiert wird, können so alle Beulgrundformen ermittelt werden. Ein typisches Anwendungsproblem hierzu zeigt Bild 7.35. Aufgabenstellung ist es dabei, die verschiedenen Beulformen eines eingespannten Profilstabes unter einseitigem Druck zu bestimmen. a)

b)

c)

d)

Bild 7.35: Beulinstabilitätsformen eines druckbeanspruchten Profilstabes Für die Lösung eines derartigen Problems kann ein Platten- oder ein Schalen-Element herangezogen werden. Die Software muss dann über einen Instabilitätsmodul verfügen, der die auftretenden Verformungszustände sichtbar machen kann. Die Abbildung zeigt in den Fenstern a, b, c exemplarisch die Eigenformen eines Z- und Doppel-T-Profils. Ergänzend ist

165

7.4 Schalen-Elemente

jeweils der Effekt für einen gebördelten Flansch im Fenster d dargestellt. Man erkennt, dass schon eine kurze Bördelung geeignet ist, einen Flansch wesentlich zu stabilisieren, wodurch auch die Tragfähigkeit unter Druck angehoben wird. Ein weiteres Experiment zur Instabilität ist im Bild 7.36 an einigen dünnwandigen Rohren (z.B. Crash-Boxen) vorgenommen worden. a)

b)

c)

d)

Bild 7.36: Beulinstabilitätsformen eines druckbeanspruchten Rohrs Man erkennt sehr schön die verschiedenen Bauformen und bei etwa gleichen geometrischen Verhältnissen über den bezogenen Lastvektor auch den Widerstand gegen Beulen.

7.4

Schalen-Elemente

Die Bedeutung von Schalen-Elementen hat mit dem fortschreitenden Leichtbau enorm zugenommen. Überall dort, wo dünnwandige Bauteile (z. B. Fahrzeugkarosserie, Behälter, Gehäuse etc.) mit teils mehrachsiger Belastung nachgebildet werden müssen, ist das Anwendungsfeld von Schalen. Insofern sollen auch Schalen-Elemente kurz dargestellt werden. Auf die sehr komplizierte elastomechanische Theorie der Schalen wollen wir im Weiteren nicht eingehen, da nachfolgend nur dünne, ebene Schalen-Elemente /KLE 94a/ betrachtet werden sollen. Diese unterliegen einem Membran- und Biegespannungszustand, der sich vereinfacht durch Überlagerung der Scheiben- und Platteneigenschaft darstellen lässt. Mit

166

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme

diesen ebenen Elementen können zwar Kreis- und Kuppelgeometrien nur fassettiert idealisiert werden, was aber bei hinreichender Netzfeinheit meist eine gute Näherung ergibt. Für größere Genauigkeit bieten viele FE-Programme noch Elemente mit Seiten- und Flächenmittenknoten an, die beliebige Bauteilgeometrien erfassen können. a)

z

b)

z

x

x y

y

c)

Bild 7.37: Approximation von Schalenkonturen durch ebene finite Schalen-Elemente a) Modellierung einer Zylinderschale b) Modellierung einer Kuppelschale c) Dach einer PKW-Struktur In den Darstellungen von Bild 7.37 sind typische Anwendungen von Dreieck- und RechteckSchalen-Elementen mit linearem und quadratischem Ansatz dargestellt. Darüber hinaus existieren noch Ring-Schalen-Elemente für durchgehende Rotationsgeometrien. Am Beispiel des Dreieck-Schalen-Elements sollen nachfolgend die wesentlichen Überlegungen angestellt werden. Zunächst konstruieren wir uns das Dreieck-Schalen-Element aus der Überlagerung des Dreieck-Scheiben- mit dem Dreieck-Platten-Element. Durch diese Vorgehensweise gibt es keine direkte Kraftkopplung zwischen dem Membran- und Biegeanteil /KOL 85/. Eine Kopplung entsteht jedoch in dem Moment, wenn äußere Kräfte und Momente in den Knoten eingeleitet werden. Das Prinzip der Überlagerung zeigt Bild 7.38,

167

7.4 Schalen-Elemente

d. h., die Freiheitsgrade von Scheibe und Platte werden an einem Schalen-Knoten zusammengeführt.

1

2

u, x

My2

1

x

2

Nx2 Ny2

Mx2

Qz2 z, w

3 y, v

3

u3 y, v

v3

φy3

1

w3

2

3 v3 φy3

φx3

u3

φx3

w3 φz3

Bild 7.38: Überlagerung eines Scheiben- und Platten-Elements zu einem Schalen-Element Durch die erfolgte Elementverknüpfung entstehen pro Knoten fünf natürliche Freiheitsgrade. Um das Elementverhalten nachbilden zu können, müssen nun für die sich ergebenden Steifigkeitsanteile bestimmte Ansätze gemacht werden. Hierbei ist es zulässig, für den Scheibenanteil wieder lineare Verschiebungen und für den Plattenanteil kubische Durchbiegungen anzusetzen. Im Prinzip können somit die bekannten Einzelsteifigkeiten benutzt werden und brauchen hier nur richtig platziert zu werden. Aus Verständnisgründen wollen diesen einfacheren Herleitungsweg einschlagen, um die Darstellung des Schalen-Elements etwas abzukürzen. Für den Membran- oder Scheibenanteil kann demnach der folgende Verschiebungsansatz ªu º u = « » = G lin ⋅ d S ¬v¼

(7.160)

168

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme

mit

d Si t = [ u i v i

]

(7.161)

gemacht werden, der letztlich zu der Elementteil-Steifigkeitsbeziehung

pS = k S ⋅ dS

(7.162)

führt. Für den Plattenanteil kann hingegen der Verschiebungsansatz w = G kub ⋅ d P

(7.163)

mit

d Pi t = [w i

ij xi

ij yi ]

(7.164)

angesetzt werden. Dieser Ansatz führt letztlich zu der anderen Elementteil-Steifigkeitsbeziehung pP = k P ⋅ dP .

(7.165)

Fasst man jetzt diese Teilsteifigkeiten zur Schalensteifigkeitsbeziehung zusammen, so erhält man ª p º ªk p = « S» = « S ¬pP ¼ ¬ 0

0 º ª dS º ⋅ = k ⋅d. k P »¼ «¬ d P »¼

(7.166)

Für die anschließend noch durchzuführende Transformation der Steifigkeitsmatrix auf das globale Koordinatensystem hat es sich als zweckmäßig erwiesen, den Verschiebungsvektor um eine formale Drehung φzi zu erweitern. Hierzu muss dann auch im Kraftvektor ein Drehmoment Tzi zugeführt werden. Eine Knotensteifigkeitsbeziehung lautet dann ª N xi «N « yi « Q zi « « M xi « M yi « ¬ Tzi

ª º « » « k Sij » « » « »=« » « 0 » « » « ¼ « ¬ 0

0

k Pij 0 0

0

0º ªu 0» « i » vi 0» « » « wi 0» ⋅ « ij xi 0» « « » ij yi 0» « ¬ φ zi 0 c »¼

º » » » » , » » » ¼

(7.167)

bzw. für das Element ergibt sich eine 18-x-18-Steifigkeitsmatrix. Wie vorstehend schon zu erkennen ist, müssen hier alle eingeführten Dummyfreiheitsgrade mit Null-Steifigkeiten aufgeführt werden. Bevor aber diese Elementsteifigkeit zu einem Gesamtsystem zusammenge-

169

7.4 Schalen-Elemente

baut werden kann, muss noch eine Transformation in das globale Koordinatensystem (s. auch Kapitel 5.3.1) erfolgen. Die diesbezüglich vorliegenden Verhältnisse zeigt Bild 7.39.

x

k

z

y

x

x

j

i

y

z

Bild 7.39: Lokal-globale Transformation eines Schalen-Elements (nach /FRA 74/) Für die drei Richtungen ergibt sich so mit den Richtungskosinussen der Achsenwinkel folgende symbolische Transformationsmatrix: ª cos( x,x ) cos( x,y ) cos( x,z ) º Txyz = « cos( y,x ) cos( y,y ) cos( y,z ) » . « » ¬« cos(z,x ) cos( z,y ) cos( z,z ) ¼»

(7.168)

Wird diese auf einen Knotenverschiebungs- oder Knotenkraftvektor angewandt, führt dies zu den Transformationen

d i = Ti ⋅ di ,

(7.169)

p i = Ti ⋅ pi ,

(7.170)

worin jetzt die Knotentransformationsmatrix eine 6-x-6-Diagonalmatrix mit dem Bauprinzip ª Txyz Ti = « ¬ 0

0 º Txyz »¼

(7.171)

ist. Da bei dem Dreieck-Schalen-Element aber insgesamt 18 Knotengrößen zu transformieren sind, muss auch die Transformationsmatrix erweitert werden auf

170

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme ª T1 0 T = « 0 T2 « «¬ 0 0

0º 0» , » T3 »¼

(7.172)

womit dann die lokal-globale Transformation entsprechend p = k ⋅d Tt ⋅ p ≡ p = Tt ⋅ k ⋅ T ⋅ d

zu der transformierten Elementsteifigkeit

k = Tt ⋅ k ⋅ T

(7.173)

erfolgen kann. Der weitere Ablauf vollzieht sich dann nach dem bekannten Schema in Kapitel 5.4.3.

7.5 Volumen-Elemente Nachdem vorstehend die ebenen Elemente recht ausführlich behandelt worden sind, sollen die finiten Volumen-Elemente nur überblickartig gestreift werden, da sie am einfachsten zu entwickeln sind. Die Anwendung von Volumen-Elementen erfolgt bei allen dickwandigen oder massiven Bauteilen. Meist wachsen bei einer dreidimensionalen Bauteilanalyse die Anzahl der Elemente und die Knotenpunkte gegenüber einer ebenen Betrachtungsweise stark an. Hierdurch entstehen große Gesamtmatrizen mit größeren Bandbreiten, wodurch wiederum mehr Rechenleistung und erhöhter Speicherplatzbedarf erforderlich wird. An praktischen Aufgaben hat sich gezeigt, dass ein Volumenmodell etwa die 8fache Rechenzeit zu einem äquivalenten Schalenmodell benötigt. Gegenüber Schalen-Elementen wird man bei der Wahl von Volumina auch etwas unflexibler, wenn es um Wanddickenvariationen geht. Während bei der Schale direkt die Dicke modifiziert werden kann, müssen bei Volumina stets alle Knoten koordinatenweise verschoben werden, was eine neue Vernetzung erforderlich macht. Innerhalb der FEM-Theorie bieten sich für die Analyse von dreidimensionalen Elastizitätsproblemen nur einige wenige Grundgeometrien an. Im Bild 7.40 sind diese so genannten einfachen Elemente zusammengestellt. Eine generelle Zielsetzung bei der Anwendung von Volumen-Elementen muss es daher sein, möglichst wenige dafür aber höhergradige Elemente zu verwenden. An jedem Knoten werden dabei drei Verschiebungskomponenten, und zwar ui , vi und wi in Koordinatenrichtung zugelassen. Hierzu korrespondieren mit N xi , N yi und N zi auch drei Kraftkomponenten. Demzufolge müssen auch die Ansätze entwickelt werden. Beispielsweise lautet der einfachste und mögliche lineare Verschiebungsansatz für das TetraederElement

171

7.5 Volumen-Elemente u ( x , y, z ) = α1 + α 2 ⋅ x + α 3 ⋅ y + α 4 ⋅ z, v( x , y, z ) = α 5 + α 6 ⋅ x + α 7 ⋅ y + α 8 ⋅ z,

(7.174)

w ( x , y, z ) = α 9 + α10 ⋅ x + α11 ⋅ y + α12 ⋅ z. Wie man hieran erkennt, ist darin keine Richtung bevorzugt, wodurch sich unter anderem die Anforderungen an die Ansätze ergeben. Demzufolge müssen sich auch im Pascal’schen Dreieck alle Richtungskopplungen ergeben. Quader-Element

Tetraeder-Element 4 8

7

5 w1

u1

w1

3

1

1

v1

6 v1

3

4 u1

2

2

Prisma-Element

6

4 5

w1

3 u1

1

Bild 7.40: Einfache lineare Volumen-Elemente

v1

2

Nachfolgend ist das angepasste dreidimensionale Pascal’sche Dreieck dargestellt.

x3 x2 xy2

x

xy y

y2 y3

zx2 zx

1 z2

yz y2z

Bild 7.41: Dreidimensionales Pascal’sches Dreieck

z yz2

z3

172

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme

Hieraus können alle linearen und quadratischen Ansätze (s. Bild 7.42) für die relevanten Volumengeometrien entwickelt werden. 4 10

8

Tetraeder-Element

9 7

3

1

6

5 2 15

8

7

16 Quader-Element

14

20

5

13 17 12

4

3

18

1

10 2

9

6

12 4 Prisma-Element

11

10

13

15

5 9

3

14

1 7

19

6

11

8 2

Bild 7.42: Höhere finite Volumen-Elemente Wie vorstehend schon erwähnt haben 3-D-Volumina immer den Nachteil, dass bei Bauteilmodifikationen jeweils das ganze Netz angepasst werden muss. Insofern muss zu Anfang abgewogen werden, ob ein Schalenmodell oder ein Volumenmodell zweckmäßiger ist. Falls ein Volumina gewählt wird, muss weiter entschieden werden, ob mit linearen Element fein oder mit höherwertigen Elementen gröber idealisiert werden soll. Diese Maßnahmen sollen wieder umseitig an einer Konvergenzbetrachtung diskutiert werden, womit das unterschiedliche Elementverhalten sichtbar gemacht werden kann.

173

7.5 Volumen-Elemente

0,51

wtheor. = 0,5143 mm

w [mm]

0,5 0,49 0,48 0,47 0,46

F = 3000 N

0,45

0,4 w

0,3

F ⋅ L3 α ⋅ F ⋅ L3 + = 0,5143 mm 3E ⋅ J y G ⋅ A S A = 50 · 10 = 500 mm2 E = 70000 N/mm2 L = 150 mm α ≈ 1,2

w theor. =

0,2 0,1

4 x 12 1

2 3

Netz 1x3 2x6 4 x 12 8 x 24

l w = 0,118 w = 0,277 w = 0,416 w = 0,471

Elementnetz

6

ElementTyp Tetraeder

8 x 24

Prisma p 0,464 0,485 0,492 0,495

l 0,120 0,251 0,391 0,463

Quader p 0,463 0,487 0,493 0,495

l 0,465 0,474 0,487 0,493

p 0,462 0,486 0,493 0,495

Legende: l = linear, p = parabolisch

Bild 7.43: Konvergenzuntersuchungen mit Volumen-Elementen am Balkenbiegeproblem Am Beispiel des volumetrischen Balkens ist im Bild 7.43 die Konvergenzuntersuchung mit Tedraeder-, Prisma- und Quader-Elementen durchgeführt worden. Für die Netzgeometrie wurden die Elementteiler variabel gewählt. Vorgegebene theoretische Lösung ist die Durchsenkung eines Balkens mit Schubverformung. Man erkennt an der Auswertung ein recht unterschiedliches Konvergenzverhalten, welches aber im Trend der vorausgegangenen Untersuchungen liegt. So zeigt sich, dass beim linearen Ansatz das Quader-Element deutlich besser als das Tetraeder- und Prisma-Element konvergiert. Bei den höherwertigen Ansätzen, wie beispielsweise schon bei einem parabolischen, ist nur noch eine geringfügige Konvergenzdivergenz feststellbar. Keines der herangezogenen Volumen-Elemente kommt aber in die Nähe der Balkenlösung, d. h., es bleibt ein Modellfehler von 4 %. Dies ist eine Folge dessen, dass Volumen-Elemente nicht die Neigung (erste Ableitung) der Biegelinie erfassen können, d. h., die Elemente sind zu steif (shear locking) und blockieren die Verformungen.

174

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme

Ein reales Anwendungsbeispiel für Volumen-Elemente zeigte die folgende Gusskonstruktion. Es handelt sich hierbei um ein Anbindungsteil eines Drehgelenks für einen Gelenkautobus. Die Kräfte werden über einen zentralen Auflagerpunkt in einen Innenkranz eingeleitet, der sich an der so genannten Vorderwagenanbindung abstützt. Die Vorderwagenanbindung selbst ist am Busrahmen an mehreren Stellen angeschraubt, welches hier die Randbedingungen darstellen. Der äußere Zahnkranz hat zusätzlich die Funktion eines Anschlages bei Kurvenfahrten für das schwenkende Hinterteil. Unter der Strategie des Rapid-Product-Development (virtual Prototyping) war es Aufgabe, alle Fahrzustände an einem nicht-physikalischen Bauteil rechnerunterstützt zu simulieren. Wie im Bild 7.44 gezeigt, wurde dazu das mit großem Modellaufwand zu fertigende Bauteil weitestgehend exakt modelliert.

Bild 7.44: Finite-Element-Modell eines großen Gussteils, modelliert mit quadratischen Quader-Elementen Zu allen Fahrzuständen wurden aus Mehrkörperanalysen mit der MKS-Software ADAMS die wirkenden Kräfte bestimmt und dazu die Spannungsverteilungen (z. B. Bild 7.45 für Vertikalnicken) errechnet. Durch diese Vorgehensweise konnte erreicht werden, dass bereits das erste Gelenk den Betriebsbeanspruchungen gewachsen war und eine Iteration trial and error vermieden werden konnte, welche in der Praxis viel teurer als eine gute FEM-Analyse ist. Im vorliegenden Fall entsprach die Kostenrelation Rechnung zu Prototyp einem Verhältnis von 1 : 7, wobei noch gar nicht die weiter ersparten Versuchsmuster und die Zeitraffung bewertet wurden.

175

7.6 Kreisring-Elemente 02

02 02 01 01 01 01 01 01 01 00 00 00 00

Bild 7.45: Vergleichsspannungsverteilung im Gussteil Ein weiterer Vorteil der FE-Analyse bestand darin, dass gegenüber dem ersten konstruktiven Entwurf eine Gewichtsersparnis von fast 20 % eingetreten ist. Dies ist im Wesentlichen auf die Verrippungsstruktur zurückzuführen. Die Wirkung von Rippen kann aus Erfahrung nur schlecht quantifiziert werden. Hier hilft natürlich eine FE-Analyse, um gezielter in eine Struktur eingreifen zu können. Konstruktionen werden somit besser ausgelastet, mit der Folge einer höheren Steifigkeit bei geringerem Eigengewicht.

7.6 Kreisring-Element Als ein häufig vorkommender Sonderfall der räumlichen Elastizität gilt der rotationssymmetrische Spannungszustand, so wie er vielfach in dickwandigen Rotationskörpern (Ringe, Naben, Rohre) unter rotationssymmetrischer Belastung vorkommt. Dieser Spannungszustand wird zerstört, wenn am Umfang kleine Diskontinuitäten (Verdickungen, Löcher etc.) auftreten, in diesem Fall muss dann wieder abschnittsweise volumetrisch, z. B. mittels QuaderElemente etc., idealisiert werden. Zur Darstellung der Verschiebungen, Verzerrungen und Spannungen ist somit ein Zylinderkoordinatensystem (r , φ, z ) zweckmäßig (s. auch /WIL 65/), welches beispielhaft im Bild 7.46 an einem dünnwandigen Rohr*) dargestellt ist.

*)

Anmerkung: Falls hier die Spannungsverteilung über die Dicke interessieren sollte, müssen 2-3 Elementreihen gewählt werden.

176

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme

pr σz +

σr

z, w

τrz σφ

φ, v =0

∂σz dz ∂z

σφ +

∂σφ dφ ∂φ

σr +

τzr

∂σr dr ∂r

σz r, u

Bild 7.46: Rotationssymmetrisches Spannungsproblem (nach /WIL 65/) Mit Verweis auf die entsprechende Mechanikliteratur /GÖL 91/ treten dann folgende Verzerrungen auf: εr =

∂u , ∂r

γ rφ =

1 ∂u ∂v v ⋅ + − = 0, r ∂φ ∂r r

εφ =

u 1 ∂v + ⋅ , r r ∂φ

γ rz =

∂u ∂ w + , ∂z ∂r

εz =

∂w , ∂z

γ φz =

∂v 1 ∂w + ⋅ =0. ∂ z 2 ∂φ

Bei rotationssymmetrischer Belastung besteht im Weiteren keine Winkelabhängigkeit über den Umfang, weshalb γ rφ und γ φz zu null werden. Des Weiteren verlangt die Symmetriebedingung v = konst. Mithin kann die folgende Verzerrungsbedingung ª∂ 0º ª εr º « » « » « ∂r » « » «1 » ε 0 » ªuº « φ» « r »⋅« » İ = «« »» = « » « » « ∂ « εz » « 0 » ¬« w ¼» ∂z » « » « « » « » «¬ γ rz »¼ « ∂ ∂ » ¬ ∂z ∂r ¼

erstellt werden. Dies führt weiter zu der Spannungsbeziehung

(7.175)

177

7.6 Kreisring-Elemente 0 0 º ªε º ª1 − ν ν ª σr º r « » « » « » « ν 1− ν ν «σ » 0 » «ε » « » « φ» « φ» E « »⋅« » . ı=« »= ν 1− ν 0 » «ε » « σ z » (1 + ν )(1 − 2ν ) « ν « » « z» « » « 1 − 2ν » « » « » 0 0 γ «¬ 0 ¬ τ rz ¼ 2 »¼ ¬ rz ¼

(7.176)

Wie im vorstehenden Bild weiter angedeutet ist, wird im Rahmen einer FE-Analyse der vorliegende Körper in einzelne Kreisring-Elemente zerlegt. Die Querschnitte werden dabei gewöhnlich dreieck- oder viereckförmig gewählt und die Knotenpunkte zu Knotenkreisen ausgeweitet. Da wir hier nur Prinzipielles darlegen wollen, beschränken wir uns auf die Erläuterung des einfachen Kreisring-Elements nach Bild 7.47. z, w 3

1

w2

SP

u2

z

2

r, u

r

Bild 7.47: Kreisring-Dreieck-Element für einen rotationssymmetrischen Spannungszustand Für dieses Element kann der folgende lineare Verschiebungsansatz u (r , z ) = α1 + α 2 ⋅ r + α 3 ⋅ z, w (r, z ) = α 4 + α 5 ⋅ r + α 6 ⋅ z

(7.177)

gemacht werden. Wird dieser in bekannter Weise aufgelöst, so erhält man ªuº u = « » = [G 1 G 2 ¬w ¼

G3 ] ⋅ d

mit dem Knotenkreisverschiebungsvektor

(7.178a)

178

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme

d t = [ u1

w1

u2

w2

u3

w3 ]

(7.178b)

für die drei Umfangskreise des Dreieck-Elementes bzw. für einen Knotenkreis

d i t = [u i w i ] . Die Formfunktionsmatrizen fallen dabei je Knotenkreis an und sind von der Bauform ªg Gi = « i ¬0

0º , g i »¼

i = 1, 2, 3

(7.178c)

mit den zu Gl. (7.15) im Kapitel 7.2.2 (Dreieck-Scheiben-Element) ähnlichen Formfunktionen gi =

1 (a i + b i ⋅ r + c i ⋅ z ) . 2A

i = 1, 2, 3 .

(7.179)

Die hier eingehenden Koeffizienten (s. auch Gl. (7.13)) müssen ebenfalls an das neue Koordinatensystem angepasst werden, sie lauten jetzt a i = r j ⋅ z k − rk ⋅ z j , bi = z j − z k ,

(7.180)

c i = rk − r j. , wobei die Indizes zyklisch laufen: i, j, k = (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2). Auch der in Gl. (7.179) eingehende Flächeninhalt des Dreiecks kann wieder über die Koordinatendeterminante 1 r1 2A = det 1 r2 1 r3

z1 z 2 = r1 ( z 2 − z 3 ) + r2 ( z 3 − z1 ) + r3 ( z1 − z 2 ) z3

(7.181)

bestimmt werden, womit dann der Ansatz vollständig beschrieben ist. Für die Verzerrungen gilt auch hier wieder der Zusammenhang İ = D⋅u = D⋅G ⋅d = B⋅d .

(7.182)

Damit kann unter Heranziehung der schon in Gl. (7.175) aufgestellten Differenzialoperatorenmatrix mit Durchführung der Differenziationen auch die B-Matrix erstellt werden, und zwar hier zweckmäßig je Knotenkreis zu

179

7.6 Kreisring-Elemente ª ∂g i « ∂r « « gi « r Bi = « « « 0 « « ∂g i « ¬ ∂z

º bi 0 » ª « » «a c ⋅z » « i + bi + i 0 » r r »= 1 « « 2 A » ∂g i « 0 » ∂z » « « ∂g i » «¬ ci » ∂r ¼

0º » » 0» » », i = 1,2,3 . ci » » » b i »¼

(7.183)

Für die Spannungen ergibt sich so ebenfalls wieder ı = E ⋅İ = E ⋅ B ⋅d.

(7.184)

Da, wie aus Gl. (7.183) ersichtlich wird, die B-Matrix jetzt nicht mehr wie beim DreieckScheiben-Element konstant, sondern von den Koordinaten r und z abhängig ist, sind natürlich auch die Verzerrungen und Spannungen im Element veränderlich. Wie jetzt aus den Gleichungen (7.175) und (7.183) ersichtlich wird, liegt auch beim Kreisring-Dreieck-Element in ebenen Schnitten ein konstanter Dehnungs- und Spannungszustand vor. Für die Angabe dieser Werte wählen deshalb die Softwarepakete meist den Flächenschwerpunkt oder die Knotenkreise aus. Die Elementsteifigkeit des Kreisring-Dreieck-Elementes kann weiter in bekannter Weise angesetzt werden zu t

k = ³ B ⋅ E ⋅ B dV , V

woraus mit dV = 2 π . r dA = 2 π . r . dr . dz folgt k = 2 ʌ ³ ³ B( r, z ) t ⋅ E ⋅ B (r, z ) ⋅ r ⋅ dr ⋅ dz .

(7.185)

rz

Um sich die erforderliche Integration zu erleichtern, nutzt man auch hier vielfach die Näherung, indem man sich auf den Schwerpunkt bezieht und die Koordinaten folgendermaßen mittelt: r=

1 3 ¦ ri , 3 i =1

z=

1 3 ¦ zi . 3 i =1

(7.186)

Hiermit folgt dann für die Elementsteifigkeitsmatrix

k ≈ 2 ʌ ⋅ A ⋅ Bt ⋅ E ⋅ B ⋅ r .

(7.187)

180

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme

Als ein weiteres Problem muss noch kurz die Krafteinleitung bezüglich Massenkräfte und Oberflächenkräfte diskutiert werden. Eine verteilte Massenkraft

p t = [ p r ( r,z ) p z ( r,z ) ]

(7.188)

ist dann folgendermaßen als konzentrierte Kraft Fp = −2 ʌ ³ p ³ G t ⋅ p ⋅ r dr dz

(7.189)

r z

oder je Knotenkreis mit Fpi = −2 ʌ ³ ³ G i t ⋅ p ⋅ r dr dz

(7.190)

rz

einzuleiten. Näherungsweise kann eine konstante Massenkraft auch gleichmäßig auf die Knotenkreise zu Fp1 = Fp 2 = Fp3 ≈ −2π ⋅ p ⋅

A⋅r 3

(7.191)

aufgeteilt werden. Ähnlich ist zu verfahren, wenn Oberflächenkräfte an einem Rand wie im Bild 7.48 wirken. z

3

qr

1

2 R

r

Bild 7.48: Einleitung von radialen oder axialen Oberflächenkräften an einem Ring-Element Mit den Oberflächenkräften

q t = [ q r (r, z ) q z (r, z )] folgt

(7.192)

181

7.6 Kreisring-Elemente Fq1 = 0 ,

(7.193)

z − z2 Fq 2 = Fq 3 = 2 π ⋅ q ⋅ R ⋅ 3 . 2

(7.194)

Ein typisches Beispiel für die Anwendung von Kreisring-Elementen sind dickwandige Rohrleitungen. Im Bild 7.49 ist die Situation in einer Druckwasserleitung eines Kraftwerkes dargestellt. Druckbeaufschlagte Rohre können im Allgemeinen recht gut analytisch behandelt werden, weswegen das Beispiel nur der Konvergenzüberprüfung von linearen und quadratischen Kreisring-Dreieck-Elementen dient.

σ t =ˆ σφ 313

exakt = 308 N / mm2

307,6 pi

exakt = 100 N / mm 2 ri

87,1 99,6

ra

Gleichungen: ª «1 − §¨ ra §¨ r 2 − r 2 ·¸ « ¨© r i © a ¹¬ ª p i ⋅ ri 2 « § ra 1+ ¨ σt = §¨ r 2 − r 2 ·¸ « ¨© r i © a ¹¬

σr =

p i ⋅ ri 2

2º · » ¸¸ ¹ » ¼ 2º · » ¸¸ ¹ » ¼

Bild 7.49: Analyse einer Druckwasserleitung

r = ri pi = 100 N / mm 2 ri = 25 mm ra = 35 mm

σr

182

8 Kontaktprobleme Die bisherigen FE-Formulierungen bezogen sich nur auf das mechanische Verhalten einzelner unabhängiger Körper. Hat man es mit mehr als einem Körper (zusammengebaute Struktur) zu tun, so besteht die Möglichkeit des Körperkontaktes infolge Verformung. Die dabei auftretenden mechanischen Effekte wie Stoßeffekte, Grenzflächendeformationen, Haftung, Reibung oder wieder Trennung der Körper infolge eines Körperkontakts können mit der bisher behandelten Theorie nicht beschrieben werden. Die Körper würden ohne Widerstand ineinander eindringen. Da dem in der Realität nicht so ist, ist es erforderlich, für die Finite Elemente Methode ein Verfahren zur Verfügung zu haben, welches im Kontaktfall zwischen Körpern die mechanischen Gegebenheiten realitätsnah abbildet. Diesem Zweck dienen so genannte finite Kontaktelemente. Mithilfe der Kontaktelemente modelliert man die Grenzflächen der Körper in den Bereichen, wo man Kontakt vermutet. Solange kein Kontakt auftritt, läuft die Berechnung in der bekannten Weise ab. Sollten aber Kontaktflächen aufeinander treffen, so setzt ein iterativer Gleichgewichtsalgorithmus ein.

8.1 Problembeschreibung Im Gegensatz zu der bisher dargestellten Theorie beschränkt sich die Formulierung der Kontaktelemente nicht nur auf eine rein mathematisch-mechanische Formulierung, sondern sie beinhaltet zusätzlich einen Rechenalgorithmus, der zwischen modellierten Kontaktflächen einen Kontakt erkennen muss. Auch wenn die einfachsten konstitutiven Beziehungen, wie zum Beispiel das Coulomb’sche Reibungsgesetz, verwendet werden, ist die computergemäße Beschreibung des hochgradig nichtlinearen Kontaktproblems schwierig. Die Schwierigkeit der Formulierung und Modellierung des Kontaktproblems liegt beispielsweise in dem Unvermögen, die sich ergebenden Kontaktflächen genau vorherzusagen. Die Randbedingungen sind der Analyse auch a priori nicht bekannt, sie hängen nämlich von den Lösungsvariablen selbst ab. Folglich ist ein inkrementelles Lösungsverfahren erforderlich. Die hier dargestellte Theorie zur Behandlung von Kontaktproblemen erlaubt die Behandlung von zweidimensionalen ebenen Kontaktproblemen unter quasistatischen Bedingungen, d. h., bei aneinander abgleitenden Kontaktflächen bewegen sich die Körper so langsam, dass dynamische Effekte wie Trägheitseffekte und Dämpfungseffekte in den relativ zueinander bewegten Kontaktflächen vernachlässigbar sind. Das umseitige Bild 8.1 zeigt schematisch das hier betrachtete ebene Kontaktproblem in Form zweier beliebiger Körper, die sich unter Belastung berühren. Die Festlegung als Kontakt- und Zielkörper ist im Prinzip willkürlich, hängt aber davon ab, ob ein symmetrischer oder asymmetrischer Kontakt vorliegt. • •

Beim symmetrischen Kontakt kann jeder Körper zum Ziel- oder Kontaktkörper erklärt werden. Beim asymmetrischen Kontakt ist es zweckmäßig, bestimmte Regeln einzuhalten: − Wenn der Kontaktbereich auf einer Oberfläche eben/konkav ist und auf der anderen Oberfläche scharfkantig/konvex ist, sollte die ebene/konkave Oberfläche die Zielfläche sein.

B. Klein, FEM, DOI 10.1007/978-3-8348-2134-8_8, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012

8.1 Problembeschreibung

183

− Sind beide Kontaktbereiche konvex (keine scharfen Kanten), sollte die Zieloberfläche die ebenere der beiden sein. − Ist ein Kontaktbereich scharfkantig und der andere nicht, sollte die scharfkantige Oberfläche die Kontaktfläche sein. − Wenn beide Kontaktbereiche scharfkantig oder wellig (alternierend konkav/konvex) sind, ist die Zuordnung beliebig. Die Festlegung als Kontaktkörper und Zielkörper hat den Hintergrund, dass vom Programmalgorithmus nur überprüft wird, ob die Knoten des Kontaktkörpers in den Zielkörper eindringen. Der umgekehrte Fall wird gewöhnlich nicht überprüft. Folglich können die Knoten des Zielkörpers in den Kontaktkörper eindringen, ohne dass Reaktionen hervorgerufen werden. Die Fläche des Zielkörpers ist außerdem die Fläche, auf welche die freigeschnittenen Kontaktkräfte des Kontaktkörpers einwirken. a)

Randbedingung

von außen aufgebrachte Belastungen

Kontaktkörper (contactor)

Zielkörper (target)

aktuelle Kontaktzonen

b)

modellierte Kontaktelemente

Kontaktkräfte

Kontaktkörper

Zielkörper

Kontaktzone

Bild 8.1: Zwei in Kontakt befindliche asymmetrische Körper a) Bedingungen beim Kontakt b) freigeschnittene Körper im Kontaktbereich

184

8 Kontaktprobleme

Für eine allgemeine Verwendbarkeit der finiten Kontaktelemente muss das finite Kontaktmodell einigen Forderungen genügen. Kontakt zwischen elastischen Körperpaarungen oder starr-elastischen Körperpaarungen muss genauso möglich sein, wie der wiederholte Kontakt oder die wiederholte Trennung der Körper. Die Formulierung des Kontaktmodells muss große relative Bewegungen zwischen den Körpern erlauben. Die Lösungsmethode für Kontaktprobleme muss in allgemeine nichtlineare Lösungsmethoden einzubinden sein. Haftoder Gleitbedingungen sollten einem realistischen physikalischen Modell entstammen und partielles Haften und Gleiten sollte möglich sein. Ein realistisches Reibgesetz ist das Coulomb‘sche Reibgesetz. Es kennt die zwei Reibungskoeffizienten μ s und μ d (μ s ≥ μ d ) ; μ s ist der statische Haftreibungskoeffizient und μ d ist der dynamische Gleitreibungskoeffizient. Für eine partielle Kontaktfläche sei FN der Betrag des senkrecht auf die Teilfläche wirkenden resultierenden Kraftvektors und FR der Betrag des tangential auf die Teilfläche wirkenden resultierenden Kraftvektors.

Ist FR ≤ ȝ s ⋅ FN , so gibt es keine Relativbewegung zwischen den Teilflächen. Die Teilflächen haften aneinander. Überschreitet die tangentiale Kraftkomponente FR die maximale Haftkraft μ s ⋅ FN , so gleiten die Flächen aneinander ab. Während der Gleitreibung ist die tangentiale Reibwiderstandskraft FR gleich μ d ⋅ FN . Die Relativbewegung (Gleiten) dauert solange an, wie die tangentiale Reibwiderstandskraft FR gleich der dynamischen Gleitreibung μ d ⋅ FN ist. Sinkt die bestimmte tangentiale Reibwiderstandskraft unter die dynamische Gleitreibung μ d ⋅ FN , so hört die Relativbewegung auf, bis zu dem Zeitpunkt, wo die tangentiale Reibwiderstandskraft FR die statische Haftgrenze μ s ⋅ FN wieder überschreitet. Das obige Reibgesetz muss über jedes einzelne Kontaktflächensegment befriedigt werden, sodass auch partielles Haften und Gleiten betrachtet werden können. Es sei noch angemerkt, dass im nachfolgenden beschriebenen Kontaktmodell elastische Effekte in der Kontaktfläche vernachlässigt werden und somit starr-plastisches Kontaktverhalten angenommen wird. Zwar wird für die Kontaktelemente selber starr-plastisches Verhalten angenommen, die zweidimensionale FE-Diskretisierung um die Kontaktregion herum kann aber auch elastisches Materialverhalten erfassen.

8.2 Einfache Lösungsmethode für Kontaktprobleme Aus Bild 8.1 b) geht hervor, dass die Kontaktbedingungen an den Kontaktflächen für einen einzelnen Körper Verschiebungs- und Kräfterandbedingungen sind. Mathematisch gesehen handelt es sich um Nebenbedingungen. Eine mathematische Möglichkeit zur Einarbeitung von Nebenbedingungen bietet die Methode der Lagrange-Multiplikatoren. Mittels der Lagrange-Multiplikatoren lassen sich Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen lösen. Zur Formulierung der Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen benötigt man deshalb eine zu minimierende oder maximierende Funktion und die Nebenbedingungen. Bei elastomechanischen Problemen gilt beispielsweise das Prinzip vom Minimum der totalen potenziellen Energie W. Für diskrete statisch lineare Systeme ist somit zu fordern:

8.2 Einfache Lösungsmethode für Kontaktprobleme

ǻW =

1 ⋅ U t ⋅ K (U ) ⋅ U − U t ⋅ P 2

185

→ MINIMUM!

(8.1)

Nun sei das System durch die diskreten Nebenbedingungen mit den Festwerten n N⋅U −n = 0

eingeschränkt. Dann wird bei der Multiplikatorenmethode das folgende erweiterte Funktional angesetzt: W* =

1 t ⋅ U ⋅ K ⋅ U − U t ⋅ P + Ȝ t ⋅ (N ⋅ U − n ) . 2

(8.2)

Die Stationaritätsbedingung δW * = 0 führt unter Verwendung der Beziehung Ȝ t ⋅ N ⋅ δU = δU t ⋅ N t ⋅ Ȝ auf δW* = δU t ⋅ K ⋅ U − δU t ⋅ P + Ȝ t ⋅ δ( N ⋅ U − n ) + ⋅ δ Ȝ t ⋅ ( N ⋅ U − n ) = δU t ⋅ K ⋅ U − δU t ⋅ P + Ȝ t ⋅ N ⋅ δU + ⋅ δ Ȝ t ⋅ ( N ⋅ U − n ) t

(

t

)

(8.3)

t

= δU ⋅ K ⋅ U − P + N ⋅ Ȝ + δ Ȝ ⋅ ( N ⋅ U − n ) = 0 .  

  

=0

=0

Da δU t und δ Ȝ t willkürlich sind, erhält man das Gleichungssystem ªK « ¬« N

Nt º ªU º ªP º »⋅« » = « ». 0 ¼» ¬ Ȝ ¼ ¬ n ¼

(8.4)

Bei Kontaktproblemen erweist sich der Lagrange-Multiplikator Ȝ als Vektor der KontaktKnotenpunktkräfte, wie folgendes Beispiel verdeutlichen soll.

1

L, E ⋅ J

F2

x

2 M2

z,w

F3

3 k 4

e w3

w2 Δw23

Bild 8.2: Kragbalken mit federndem Anschlag bei komprimierter Feder (e = w max =ˆ freier Weg, w 3 = Federweg)

8 Kontaktprobleme

186 Δw 23 = e + w 3 − w 2 Es sei: Kontaktbedingung: Δw 23 = 0 Δw 23 = e + w 3 − w 2 = 0 Ablösebedingung: Δw 23 > 0 Δw 23 = e + w 3 − w 2 > 0

Ist w 2 < e , so besteht kein Kontakt zwischen Knoten 2 und der Kontaktfläche 3. Es gilt für das Gesamtsystem die Beziehung ª 12E ⋅ J ª F2 º « 3 » « L « » « 6E ⋅ J « «M2 » = « » « L2 « » « « «¬ F3 »¼ « 0 ¬

6E ⋅ J 2

L 4E ⋅ J L 0

0 º» ª w 2 º » » « » » « 0 » ⋅ « ȥ2 » . » » « » » « k » «¬ w 3 »¼ ¼

(8.5)

Gilt hingegen unter Belastung w 2 = e + w 3 (bzw. F2 = F3 ), so besteht Kontakt zwischen dem Kontaktknoten 2 und der Kontaktfläche 3. Dann gilt mit der Nebenbedingung ªw2 º

w2 - w3 = e →

[1 0 − 1] ⋅ «« ȥ 2 »» = e

→

N⋅U = n

(8.6)

¬« w 3 ¼»

das erweiterte Gleichungssystem ª F2 º ª 12E ⋅ J « » « L3 « » « « M 2 » « 6E ⋅ J « » = « L2 « » « « F3 » « 0 « » « « » « «¬ e »¼ « ¬« 1

6E ⋅ J 2

L 4E ⋅ J L 0 0

1 º» ª w 2 º « » » « » » 0 0 » « ȥ2 » « ». »⋅« » » k − 1» « w 3 » « » » « » » « »¼ Ȝ − 1 0 ¼» ¬ 0

(8.7)

Die dritte Gleichung im vorstehenden Gleichungssystem (s. auch Gl. 8.4) lautet:

F3 = k ⋅ w 3 − λ → λ = k ⋅ w 3 − F3 . Das Auflösen des Gleichungssystems liefert z. B. für w 3 und λ 3M 2 3E ⋅ J ⋅ e − 2L L3 , 3E ⋅ J +k L3

F2 −

F2 + F3 − w3 =

λ=

F · 3M 2 3E ⋅ J § − ¨e + 3 ¸ 3 © 2L k ¹ L . 3E ⋅ J +1 k ⋅ L3

8.2 Einfache Lösungsmethode für Kontaktprobleme

187

Hier zeigt sich, dass es sich bei λ um eine Kraftgröße handeln muss. Während F3 eine Kraft ist, die direkt am Knoten 3 angreift, kann es sich bei λ nur um die Kraft handeln, welche durch den Kontakt auf die Kontaktfläche 3 übertragen wird. F3 und λ bewirken zusammen die Verschiebung w 3 an der Feder k. Der Lagrange-Multiplikator Ȝ stellt damit die Kontaktkraft dar, die von einer Kontaktfläche zur anderen übertragen wird. Das vorstehende Beispiel diente nur der prinzipiellen Darlegung des Kontaktproblems. In der Praxis sind die Probleme aber recht vielfältig und natürlich nicht so einfach. Ein typisches Maschinenbauproblem mit Kontakt stellt die Übertragung eines Drehmoments mittels einer Passfederverbindung dar. Die Verhältnisse sind im Bild 8.3 dargestellt.

Bild 8.3: Kontaktproblem an einer Passfederverbindung Beobachtet man die Kraftübertragung, so ist Folgendes festzustellen: Zu Anfang liegt Spiel vor, d. h., die Passfeder macht eine Starrkörperbewegung bis sie anliegt. Erst wenn Kontakt hergestellt ist, erfolgt die Kraftübertragung. Wie später gezeigt werden wird, kann das Problem nur iterativ gelöst werden. Weil hierzu programmtechnische Routine erforderlich ist, sollte eine begleitende Ergebnisabschätzung über die Hertz’schen Pressungsgleichungen vorgenommen werden.

8 Kontaktprobleme

188

8.3 Lösung zweidimensionaler Kontaktprobleme 8.3.1 Iterative Lösung nichtlinearer Probleme ohne Kontakt

Die allgemeine Lösung des Kontaktproblems ist nur iterativ möglich. Im nichtlinearen statischen Fall ohne Kontakt gilt für den beliebigen Zeitpunkt t die Gleichgewichtsgleichung t

P − t F (U ) = 0 .

(8.8)

Hierin ist − t P der Vektor der äußeren Knotenpunktkräfte, − t F der zu den inneren Elementspannungen äquivalente Knotenpunktkraftvektor, − t U der Vektor der Knotenpunktverschiebungen. Angenommen sei jetzt, dass die Lösung t U bereits bekannt ist und die Lösung t + Δ t U zum Zeitpunkt t + Δ t gesucht sei. Der Vektor der äußeren Knotenpunktlasten t + Δ t P sei ebenfalls bekannt. Die Gl. (8.8) ist zudem für alle Zeitpunkte t + Δ t gültig: t +Δ t

P − t + Δ t F (U ) = 0 .

(8.9)

Mit der Definition t+Δ t

Φ (U ) : = t + Δ t P − t + Δ t F (U )

(8.10)

kann die Beziehung (8.9) auch verkürzt als t +Δ t

ĭ( U ) = 0

(8.11)

angegeben werden. Die exakte Lösung t + Δ t U erfüllt die Gl. (8.11) exakt. Eine i-te Näherungslösung t + Δ t U (i ) kann die Gleichung jedoch nur näherungsweise befriedigen. Nun sei unterstellt, dass eine weitere Näherungslösung t + Δ t U (i −1) ebenfalls bekannt sei. Dann liefert eine Linearisierung um den Arbeitspunkt mittels der Taylor-Reihenentwicklung die Näherungsgleichung t +Δ t

∂ĭ ĭ(U )(i) ≈ t + Δt ĭ(U )(i −1) + ∂U

t +Δt

U (i −1)

(

)

⋅ t + Δ t U(i) − t + Δ t U(i −1) .

(8.12)

Für die partielle Ableitung in Gl. (8.12) erhält man aus Gl. (8.10) ∂ĭ ∂F =− = −K T (U ) . ∂U ∂U

(8.13)

8.3 Lösung zweidimensionaler Kontaktprobleme

189

Die partielle Ableitung des Vektors der elastischen Rückstellkräfte F (der äquivalent zu den inneren Elementspannungen ist) nach dem Verschiebungsvektor ergibt die so genannte Tangentensteifigkeitsmatrix K T . Das Einsetzen von Gl. (8.10) und Gl. (8.13) in Gl. (8.12) liefert dann t+Δ t

(

)

P − t + Δ t F (U )(i −1) − t + Δ t K T ( U )(i −1) ⋅ t + Δ t U (i ) − t + Δ t U (i −1) ≈ 0 .

(8.14)

Wird Gl. (8.14) identisch null gesetzt, so erhält man für den gesuchten Verschiebungsvektor eine verbesserte Näherungslösung t + Δ t U (i ) : t+Δ t

(

)

U (i) = t + Δ t U (i −1) + t + Δ t K T −1 ( U )(i −1) ⋅ t + Δ t P − t + Δ t F ( U ) (i −1) .

(8.15)

Mit der Abkürzung ΔU (i ) : = t + Δ t U (i ) − t + Δ t U (i −1) kann man schließlich die allgemeine Iterationsvorschrift nach Newton-Raphson*) aufstellen: t+Δ t

P − t + Δ t F ( U )(i −1) − t + Δ t K T ( U )(i −1) ⋅ ΔU (i) = 0

bzw. t + Δt

P−

t +Δ t

F( U )(i −1) = t + Δ t K T ( U )(i −1) ⋅ ΔU (i ) = ΔR (i −1) .

(8.16)

Die Iteration ist dann so lange durchzuführen, bis die Verschiebungsinkremente ΔU (i ) oder

der „Out-of-balance“-Lastvektor ΔR (i−1) hinreichend klein sind. Da vom berechneten Zeitpunkt t ausgegangen wird und der Zeitpunkt t + Δ t berechnet werden soll, können wegen der anzunehmenden Stetigkeit der Lösungsfunktion über die Zeit als Startwerte die Ergebnisse des Zeitpunkts t verwendet werden: t+Δ t

U (0 ) = t U ,

t +Δ t

F

(0 )

= tF .

(8.17)

8.3.2 Iterative Lösung mit Kontakt Jetzt sei davon ausgegangen, dass zum Zeitpunkt t + Δ t Kontakt auftritt. Dann erhält man ganz analog zu Gl. (8.2) das allgemeine nichtlineare Gleichungssystem des Kontaktproblems t+Δ t

P − t + Δ t F(U ) − t + Δ t N t ⋅ t + Δ t Ȝ = 0

(8.18)

mit den Nebenbedingungen t+Δ t

N ⋅ t +Δ t Ȝ = t +Δ t ǻ .

(8.19)

− t + Δ t N ergibt sich als Matrix aus den noch herzuleitenden geometrischen Kontaktbedingungen. *)

Anmerkung: Lösungsverfahren für nichtlineare Gleichungssysteme mit guter Konvergenz

8 Kontaktprobleme

190

− t + Δ t Ȝ ist der Vektor der Kontakt-Knotenpunktkräfte des Kontaktkörpers. und − t + Δ t ǻ ist der Vektor der Materialüberlappungen, die es zu beseitigen gilt. Das Gleichungssystem aus den Gl. (8.18) und (8.19) ist nur iterativ lösbar. Analog zu Gl. (8.10) definiert man t+Δ t

ĭ(U, Ȝ ) : = t + Δ t P − t + Δ t F(U ) − t + Δ t N t ⋅ t + Δ t Ȝ = 0 .

(8.20)

Hier sei bemerkt, dass neben den unbekannten Verschiebungen t + Δ t U auch die unbekannten Kontakt-Knotenpunktkräfte t + Δ t Ȝ des Kontaktkörpers auftreten. Deshalb ist hier eine Linearisierung sowohl über die unbekannten Verschiebungen als auch über die unbekannten Kontakt-Knotenpunktkräfte durchzuführen: t+Δ t

(

∂ĭ ⋅ t + Δ t U − t + Δ t U (i −1) ĭ (U , Ȝ ) = t + Δ t ĭ (U , λ )(i −1) + ∂U t + Δ t U (i −1)

(

)

∂ĭ ⋅ t + Δ t Ȝ − t + Δ t Ȝ (i −1) ≈ 0. + ∂ Ȝ t + Δ t Ȝ (i −1)

) (8.21)

Mit den partiellen Ableitungen ∂ĭ = −K T (U ) , ∂U ∂ĭ = −N t ∂Ȝ

(8.22)

und den Abkürzungen ǻU (i ) : = t + ǻ t U (i ) − t + ǻ t U (i −1), ǻ Ȝ (i ) : = t + ǻ t Ȝ (i ) − t + ǻ t Ȝ (i −1)

(8.23)

folgt aus Gl. (8.21) schließlich das Gleichungssystem zur Bestimmung der unbekannten Verschiebungen und Kontakt-Knotenpunktkräfte: t +Δ t

ĭ(U, Ȝ)(i) =

t +Δ t

P − t + Δ t F(U)(i −1) − t + Δ t Nt,(i-1) ⋅t + Δ t Ȝ (i −1) −t + Δ t KT (U)(i −1) ⋅ ΔU(i) −t + Δ t Nt,(i-1) ⋅ Δ Ȝ (i) = 0

t +Δ t

P− t + Δ t F(U)(i −1) − t + Δ t N t,(i-1) ⋅t + Δ t Ȝ (i −1) = t + Δ t K T (U)(i −1) ⋅ ΔU (i ) + t + Δ t N t,(i-1) ⋅ Δ Ȝ (i )

(8.24)

8.3 Lösung zweidimensionaler Kontaktprobleme

191

Mit der Abkürzung t + Δ t R c (i −1) = − t + Δ t N t,(i-1) ⋅ t + Δ t Ȝ (i −1) und der Gl. (8.19) lautet das bestimmende Gleichungssystem für Kontaktprobleme /BAT 85; BAT 87; BAT 86b/: N t,(i −1) º ª ΔU(i ) º ª t + Δ t P − t + Δ t F(U)(i −1) + t + Δ t Rc(i −1) º » » ⋅ « (i ) » = « t + Δ t (i −1) 0 ǻ ¼ ¬Δ Ȝ ¼ ¬ ¼

ª t + Δ t K T (U)(i −1) « t + Δ t (i −1) N ¬

t +Δ t

t +Δ t

(i −1)

ªK T ( U ) N t º » « 0¼ ¬ N

ªΔU º ⋅« » ¬Δ Ȝ ¼

(i )

=

t +Δ t

ª P − F (U ) + R c º » « ǻ ¼ ¬

(i −1)

.

(8.25)

Der Vektor t + Δ t R c (i −1) enthält alle Kontakt-Knotenpunktkräfte sowohl des Kontaktkörpers als auch des Zielkörpers der aktuellen Kontaktzone. Als Konvergenzbedingung für Gl. (8.25) gelten mit i → ∞ die beiden Forderungen t+Δ t

ǻ (i −1) → 0

(8.26)

und aus Gl. (8.18)

ΔR(i−1) : = t +Δt F(U)(i−1) − t +Δt P → t +Δt Rc(i−1) =

t +Δt

für alle im Kontakt befindlichen Rc,k(i−1) Knoten k

0,

für alle restlichen Knoten

(8.27) d. h., es wird solange iteriert, bis die Materialüberlappung t + Δ t ǻ (i −1) beseitigt ist und der

Out-of-balance-Vektor ΔR (i−1) für alle nicht in Kontakt stehenden Knoten verschwindet. Dann enthält der Out-of-balance-Vektor für die im Kontakt befindlichen Knoten die Kontakt-Knotenpunktkräfte.

Unbekannt ist noch die Matrix der Kontaktbedingungen t + Δ t N (i−1) , die es aus geometrischen Betrachtungen heraus zu bestimmen gilt. Bild 8.4 zeigt eine aus finiten Scheiben-Elementen und Kontaktelementen modellierte zweidimensionale Kontaktregion.

Kontaktkörper k-1

k j

J

K j+1 Zielkörper

k+1

Bild 8.4: Finite Element-Diskretisierung in Kontaktregion

8 Kontaktprobleme

192

Zur Bestimmung der Kontaktbedingungen genügt die Betrachtung eines Knotens k aus dem Kontaktkörper und eines Segments J aus dem Zielkörper. Die Matrix t + Δ t N (i − 1 ) wird aus den Kontaktbedingungen aller lokalen Kontaktelemente zusammengesetzt. Auf diese Weise ist es möglich, für die einzelnen Kontaktelemente unterschiedliche Kontaktbedingungen zu berücksichtigen. Während sich z. B. ein Kontaktelement im Haftzustand befindet, kann das benachbarte Element sich im Gleitzustand befinden oder nicht in Kontakt sein. Es ist beim Zusammenbau von t + Δ t N (i − 1 ) für jedes Kontaktelement einzeln zu entscheiden, welche der drei Kontaktbedingungen (Haften, Gleiten oder kein Kontakt) für ein Kontaktelement zu verwenden ist. 1. Fall: Kein Kontakt beim Iterationsschritt i Das ist der einfachste Fall. Er tritt auf, wenn bei der Iteration i - 1 der Kontaktknoten k sich im Zustand „Kein Kontakt“ befindet. Es wird dann zur Iteration i für das lokale Kontaktelement die Beziehung t+Δ t

N J (i −1) = 0

(8.28)

in die Matrix t + Δ t N (i − 1 ) eingebaut. Besteht zwischen zwei Körpern kein Kontakt, so gilt auch für die globale Matrix t + Δ t N (i − 1 ) = 0. 2. Fall: Haften beim Iterationsschritt i Haften zur Iteration i wird angenommen, wenn entweder der Kontaktknoten k bei der Iteration i - 2 nicht in Kontakt ist und bei der Iteration i - 1 in den Zielkörper eindringt, oder wenn die tangentiale Reibkraft bei der Iteration i - 1 die Haftgrenze nicht überschreitet und der Kontaktknoten k sich beim Iterationsschritt i - 1 im Zustand „Haften“ befindet. Im ersten Fall ist die Kontakt-Knotenpunktkraft t + Δ t Ȝ k (i ) zu Beginn null und wird während der Iteration i erzeugt. Haften wird demnach grundsätzlich zuerst angenommen, wenn ein Kontaktelement vom kontaktfreien Zustand in den Kontaktzustand übergeht.

Bild 8.5 a) zeigt den Ausgangszustand i - 1 vor dem durchzuführenden Iterationsschritt i. Der Knoten k aus dem Kontaktkörper dringt in den Zielkörper ein und verursacht am nahe

liegenden Segment J die Überlappung t + Δ t ǻ k (i −1) . Dieser Zustand muss vom Computeralgorithmus erkannt werden, sodass dann für den Iterationsschritt i die bestimmenden Gleichungen des Kontaktproblems aufgestellt und gelöst werden können. Die Hauptforderung zur Bestimmung der Kontaktbedingungen lautet: Alle Überlappungen entlang der aktuellen Kontaktoberfläche müssen nach der Iteration i verschwinden!

Bild 8.5 b) zeigt den Verschiebungszustand nach der Iteration i. Das Segment J hat sich ge-

nauso verschoben wie der Kontaktknoten k. Die Überlappung t + Δ t ǻ k (i −1) wird zurückgeschoben.

8.3 Lösung zweidimensionaler Kontaktprobleme a)

193

b)

β J (i −1) ⋅ d J (i −1)

j+1

c

j

c

t + ǻtǻk (i−1)

d j (i −1)

xc(i−1) x j(i −1)

k

xk (i−1) x j+1(i −1)

Δu j(i) j

ǻk (i −1) ⊥ d j(i−1)

βJ (i) Δ u k k

(i)

⋅ dJ

j+1 (i)

y

y t + ǻt

Δu j+1 (i)

(i) ǻ k (i −1) Δ u c

t + ǻt

x

x

Bild 8.5: Iterative Kontaktbedingung a) Haftbedingungen vor Iteration i b) Haftbedingungen nach Iteration i Die vorausgesetzte Starrheit der finiten Kontaktelemente führt auf die Beziehung d J (i ) = d J (i −1) = d J .

(8.29)

In Bild 8.5 b) ist der Zusammenhang Δu c (i ) = Δu k (i ) + t + Δ t ǻ k (i −1)

(8.30)

ersichtlich. Hierin ist β J ( i ) ein dimensionsloser Parameter zur Lokalisierung der Kontakt-

stelle c am Segment J. Die Festlegung von β J ( i ) für das Segment J beim Iterationsschritt i hängt davon ab, ob von Haften oder Gleiten auszugehen ist. Beim Haften gilt: β J ( i ) = β J ( i −1) ,

(8.31)

d. h., der Kontaktpunkt k behält seine relative Position c im Segment J bei. β J ( i−1) folgt aus geometrischer Betrachtung zu β J (i −1) =

x c (i −1) − x j+1(i −1) dJ

mit d J = x j(i −1) − x j+1(i −1) .

(8.32)

8 Kontaktprobleme

194

Wegen Gl. (8.29) besteht auch ein linearer Zusammenhang zwischen Δu j(i ) , Δu j+1(i ) und Δu c (i ) , und zwar

(

)

Δu c (i ) = 1 − β J (i −1) ⋅ Δu j(i ) + β J (i −1) ⋅ Δu j+1(i ) .

(8.33)

Eliminierung von Δu c (1) in Gl. (8.33) mittels Gl. (8.30) ergibt

(

)

Δu k (i ) + t + Δ t ǻ k (i −1) = 1 − β J (i −1) ⋅ Δu j(i ) + β J (i −1) ⋅ Δu j+1(i ) t+Δ t

t +ǻ t

(

)

ǻ k (i −1) = −Δu k (i ) + 1 − ȕ J (i −1) ⋅ Δu j(i ) + β J (i −1) ⋅ Δu j+1(i )

[

ǻ k (i −1) = − I

ª Δu k (i ) º » « 1 − ȕ J (i −1) ⋅ I β J (i −1) ⋅ I ⋅ « Δu j(i ) » , » « « Δu (i ) » ¬ j +1 ¼

(

]

)

(8.34)

worin I die Einheitsmatrix im zweidimensionalen Raum ist. Im Haftfall lautet die gesuchte Matrix der Kontaktbedingungen t + Δ t N J (i −1) am betrachteten Kontaktelement demnach: t+Δ t

[

N J (i −1) = − I

(1 − ß J (i−1) ) ⋅ I

Mit der Kontaktkraft t+Δ t

ª t + Δ t λ x,k (i −1) º » Ȝ k (i −1) = « « t + Δ!t λ (i −1) » y,k ¬ ¼

am Kontaktknoten k findet man für t+Δ t

R c,k (i −1) = − t + Δ t N J t,(i −1) ⋅ t + Δ t Ȝ k (i −1)

bzw. im globalen x-, y-System

]

ß J (i −1) ⋅ I .

(8.35)

8.3 Lösung zweidimensionaler Kontaktprobleme

195

t+Δ t ª º λ x , k (i −1) « » « » ( i −1) t+Δ t λ y, k « » « » ª t + Δ t Ȝ k (i −1) º » «− 1 − β (i −1) ⋅ t + Δ t λ (i −1) » « J x,k « » « t + Δ t (i −1) » ( i −1) t+Δ t =« R c,k Ȝj ». »=« » «− 1 − β J (i −1) ⋅ t + Δ t λ y, k (i −1) » « « » « t + Δ t Ȝ j +1(i −1) » « ¼» « (i −1) ⋅ t + Δ t λ (i −1) » ¬ x, k « − βJ » « » « − β (i −1) ⋅ t + Δ t λ (i −1) » J y, k ¬ ¼

( (

) )

(8.36)

Hierin sind t + Δ t Ȝ j(i −1) und t + Δ t Ȝ j +1(i −1) die Kontakt-Knotenpunktkräfte am Zielsegment J. Es zeigt sich in Gl. (8.36), dass die Kontakt-Knotenpunktkraft t + Δ t Ȝ k (i −1) linear auf die Zielknoten t + Δ t Ȝ (i −1) und t + Δ t Ȝ (i −1) verteilt ist, d. h., t + Δ t Ȝ (i −1) , t + Δ t Ȝ (i −1) und j +1

j

t+Δ t

j +1

j

Ȝ k (i −1) stehen im statischen Gleichgewicht. Bild 8.6 verdeutlicht diese Gegebenheit. β j(i −1) ⋅ d j(i −1) t + ǻt

Ȝk

(i −1)

1 − ȕ J (i−1) ⋅ d j(i−1)

t + ǻt

t +ǻt

Ȝ j+1(i −1)

Ȝ j(i −1)

Bild 8.6: Statisches Gleichgewicht der Kontakt-Knotenpunktkräfte 3. Fall: Gleiten beim Iterationsschritt i Überschreitet während der Iteration i - 1 die tangentiale Reibkraft die Haftgrenze, so ist der Kontaktknoten k im Zustand „Gleiten“ und es wird auch zur Iteration i „Gleiten“ angenommen. Beim Gleiten bewegt sich der Kontaktpunkt c entlang des Segments J (s. Bild 8.7). Der

Parameter β J ändert sich während der Iteration i um Δ ȕ J (i ) zu β J ( i ) = β J ( i −1) + Δβ J ( i ) .

(8.37)

8 Kontaktprobleme

196

t +ǻt ( i −1) ǻk

es er

Δ u c (i ) c*

j

k

Δ u j (i )

Δu j+1( i ) j+1 β j( i ) ⋅ d j( i )

c

Δu k ( i )

y x

Bild 8.7: Gleitbedingungen vor und nach Iteration i Der Kontaktpunkt k behält nicht die relative Position bei c* bei, sondern gleitet entsprechend

dem Parameter Δ ȕ j(i ) zum Punkt c. Die Gl. (8.30) ist deshalb nur für die Komponenten in Richtung der Segmentflächennormalen e s zu erfüllen. Das Skalarprodukt der Vektoren aus Gl. (8.30) mit dem Einheitsvektor e s führt auf die Komponentengleichung in Richtung von e s zu

(

)

e s t ⋅ ǻu c (i ) = e s t ⋅ ǻu k (i ) + t + ǻ t ǻ k (i −1) .

(8.38)

Weiterhin gilt

(

)

Δu c (i ) = 1 − ß J (i ) ⋅ Δu j(i ) + ß J (i ) ⋅ Δu j+1(i ) .

(8.39)

Die Länge der Gleitstrecke ist a priori nicht bekannt und folglich auch nicht der Parameter

Δβ J ( i ) . Mit der Annahme, dass Δβ J (i ) näherungsweise klein ist, ist auch hier Gl. (8.31) verwendbar. Einsetzen von Gl. (8.31) und (8.39) in Gl. (8.38) liefert

[(

]

)

e s t ⋅ t + Δ t ǻ k (i −1) = e s t ⋅ 1 − ȕ J (i −1) ⋅ Δu j(i ) + ȕ J (i −1) ⋅ Δu j+1(i ) − Δu k (i ) .

Mit t + Δt

ǻ k (i −1) = e s t ⋅ t + Δ t ǻ k (i −1) = e sx ⋅ t + Δ t Δ kx (i −1) + e sy ⋅ t + Δ t Δ ky (i −1)

folgt

t+Δ t

[

ǻ k (i −1) = − e s t

(1 − ȕ J (i −1) ) ⋅ es t

ª Δu k (i ) º » « ȕ J (i −1) ⋅ e s t ⋅ « Δu j(i ) » . » « « Δu (i ) » ¬ j +1 ¼

]

(8.40)

8.3 Lösung zweidimensionaler Kontaktprobleme

197

Die gesuchte Matrix der Kontaktbedingungen t + Δ t N J (i −1) lautet also im Gleitfall: t+Δ t

[

N J (i −1) = − e s t

(1 − β J (i −1) ) ⋅ es t

]

β J (i −1) ⋅ e s t .

(8.41)

Die Änderung der Kontaktkraft Δ Ȝ k (i ) ist im Gleitfall nur bezüglich der Komponente in Normalenrichtung e s möglich. Der tangentiale Anteil der Kontaktkraft ist wegen der Gleitbedingung FR = ȝ d ⋅ FN an die Komponente in Normalenrichtung gekoppelt. Die Kontaktkraftänderung Δ Ȝ (i ) reduziert k

sich auf die Beziehung Δλ k (i ) = Δ Ȝ k (i ) ⋅ e s .

(8.42)

Im Gegensatz zum Haftfall (Gl. (8.34)), wo pro Kontaktknoten k jeweils zwei zusätzliche Gleichungen hinzuzufügen sind, wird im Gleitfall (Gl. (8.40)) nur eine Gleichung pro Kontaktknoten hinzugefügt. Damit sind die drei möglichen Fälle zur Bestimmung der Matrix der Nebenbedingungen erläutert. Der Zustand des Kontaktknotens k nach der Iteration i - 1 entscheidet, welcher der

drei obigen Fälle zur Iteration i der Matrix t + Δ t N (i −1) einzubauen ist. Es ist bisher allerdings offen, auf welche Weise der Zustand des Kontaktknotens zu bestimmen ist. Zur Festlegung des Zustandes eines Kontaktknotens dienen die Zustände der an den Knoten angrenzenden Segmente. Im Bild 8.8 sind die verschiedenen Möglichkeiten aufgeführt.

Zustände der an k angrenzenden Segmente ein angrenzendes Segment anderes angrenzendes Segment

Zustand von Knoten k

Haften

Haften Gleiten kein Kontakt

Haften

Gleiten

Gleiten kein Kontakt

Gleiten

kein Kontakt

kein Kontakt

kein Kontakt

Bild 8.8: Zustand eines Kontaktknotens Der Zustand eines Kontaktsegments bestimmt sich mittels des Coulomb‘schen Reibungsgesetzes aus den auf das Segment normal und tangential auf die Segmentfläche einwirkenden

Kräfte FN ( i −1) und FR ( i −1) infolge des Kontakts. Die auf die Kontaktsegmente einwirken-

8 Kontaktprobleme

198

den Segmentkräfte FN (i −1) und FR (i −1) resultieren aus den Kontakt-Knotenpunktkräften t + Δ t (i −1) Ȝ (Bild 8.9). Es gilt somit, eine Beziehung zwischen diesen herzustellen. k+1

k-1 K-1

K

k t + ǻt

Bild 8.9: Kontakt-Knotenpunktkraft am Kontaktknoten k

Ȝ k (i −1)

In erster Näherung geht man von einer linearen Verteilung der Segmentkräfte aus. Bild 8.10 zeigt die Verteilung der Segmentkräfte am einzelnen Segment K. k+1

s r k f R, k (i −1)

K

f R,k+1(i−1)

FR, K(i −1)

k+1

s r

f R, K (r)

f N, k +1(i −1)

k f N, K (r )(i −1)

f N, k (i −1)

(i −1)

K

FN, K (i −1)

Bild 8.10: Segment-Kontaktpressungen und resultierende Segmentkräfte am Kontaktsegment K Die Segmentkräfte FN , K (i −1) und FR , K (i −1) sind die Resultierenden der linear verteilten Segment-Kontaktpressungen (Kraft pro Fläche). Damit gilt im lokalen r-, s-Koordinatensystem

(

)

(

)

FN, K (i −1) =

h ⋅ d K (i −1) ⋅ f N, k (i −1) + f N , k +1(i −1) 2

FR , K (i −1) =

h ⋅ d K (i −1) ⋅ f R , k (i −1) + f R , k +1(i −1) , 2

und (8.43)

worin h die Dicke des ebenen Kontaktelements bezeichnet. Im Sinne der Finite Element Methode sind die beiden äußeren Segment-Kontaktpressungen

f N, K ( r ) (i −1) und f R , K ( r ) (i −1) konsistent mit der Verschiebungsinterpolationsfunktion auf

die Elementknoten k und k + 1 zu verteilen. Die sich daraus ergebenden konsistenten

8.3 Lösung zweidimensionaler Kontaktprobleme

199

Knotenpunktkräfte zweier benachbarter Segmente K - 1 und K bilden die Kontakt-Knotenpunktkraft t + Δ t Ȝ (i−1) am Knoten k. Den 2-knotigen finiten Kontaktelementen liegt eine lineare Interpolationsfunktion zu Grunde. Entsprechend Gl. (3.36) gilt für die konsistenten Knotenpunktkräfte R (i −1) am Kontaktsegment K im lokalen r-, s-System K

R K (i −1) = h ⋅

d K (i −1)

³ G (r )

t , (i −1)

0

⋅ f K ( r )(i −1) dr

(8.44)

mit

ª R N, k º « » « R N , k +1 » » R K (i −1) = « « R R,k » « » «¬ R R , k +1 »¼

(i −1)

ª f N, K (r ) º » f K ( r )(i −1) = « « » «¬ f R , K ( r ) »¼

ª1 − r « dK « r « « d t , (i −1) , G (r ) =« K « 0 « « « 0 ¬

(i −1)

º » » 0 » » r » 1− » dK » r » d K »¼

0

(i −1)

r · r ª§ º « ¨ 1 − d ¸ ⋅ f N , k + d ⋅ f N , k +1 » © K¹ K » =« «§ » r · r ⋅ f R , k +1 » ¸ ⋅ f R,k + « ¨1 − dK ¹ dK ¬© ¼

,

(i −1)

.

Mit Gl. (8.44) und etwas Aufwand berechnet man die konsistenten Knotenpunktkräfte am Segment K zu ª f N, k « 3 « « f N, k « 6 R K (i −1) = h ⋅ d K ⋅ « « f R,k « « 3 « f R,k « ¬ 6

f N , k +1 º (i −1) 6 » » f N , k +1 » + » 3 » . f R , k +1 » + » 6 » f R , k +1 » » + 3 ¼ +

(8.45)

Die Kontakt-Knotenpunktkraft t + Δ t Ȝ k (i −1) am Knoten k erhält man durch Überlagerung der konsistenten Knotenpunktkräfte der Segmente K - 1 und K. Dazu werden zuerst die konsistenten Knotenpunktkräfte vom lokalen r-, s-System ins globale x-, y-System transformiert:

8 Kontaktprobleme

200

ª R x , k −1 º » « » « « R x, k » » « R K −1(i −1) = « » « R y, k −1 » » « » « « R y, k » ¼ ¬

(i −1)

ª f x , k −1 « 3 « « f x , k −1 « 6 = h ⋅ d K −1 ⋅ « « f y, k −1 « « 3 « f y, k −1 « ¬ 6

(i −1) ª R x, k º » « » « « R x , k +1 » » « = h ⋅ dK R K (i −1) = « » « R y, k » » « » « « R y , k +1 » ¼ ¬

ª f x, k « 3 « « f x, k « 6 ⋅« « f y, k « « 3 « f y, k « ¬ 6

f x , k º (i −1) 6 »» f x, k » + » 3 » , f y, k » + » 6 » f y, k » » + 3 ¼ +

f x , k +1 º (i −1) 6 »» f x , k +1 » + » 3 » f y , k +1 » + » 6 » f y , k +1 » » + 3 ¼ +

und anschließend für den Knoten k überlagert:

t +Δ!t t +Δt

ǻk(i−1) =

(i −1) ª dK−1 º » « (i−1) R (i −1) (i−1) 6 ªfx,k−1 fx,k fx,k+1º ª x,K−1 + Rx,Kº ªλx º «d + d » − K 1 K» » » « » . ⋅« = h⋅ « =« » » « «R «λ » 3 » « R f f f + ¬ y,k−1 y,k y,k+1¼ ¬ y,K−1 y,K¼k ¬ y ¼k « dK » » « 6 ¼ ¬ (8.46)

Die Gl. (8.43) bis (8.46) sind die gesuchten Beziehungen zwischen den Kontakt-Knotenpunktkräften t + Δ!t Ȝ (i−1) und den Segmentkräften am Kontaktkörper F (i −1) und F (i −1) . N

Der Kontakt-Knotenpunkt-Kraftvektor

t + Δ t (i −1)

Ȝ

R

ist nach der Iteration i - 1 bekannt. Dann

ist man mithilfe der Gl. (8.43) und (8.46) in der Lage, die Segmentkräfte FN ( i−1) und

FR ( i−1) zu berechnen. Das Coulomb‘sche Reibgesetz schließlich ermöglicht eine Aussage über den Zustand des Segments: 1. Ist FN , K (i −1) < 0 , so wirken auf das Kontaktsegment K keine Segmentkräfte. Das Segment K hat nach der Iteration i - 1 den Zustand kein Kontakt. Da aber der Vektor t+Δ t R (i −1) noch die Werte der Iteration i - 1 enthält, sind diese für die Iteration i auf c, k

8.3 Lösung zweidimensionaler Kontaktprobleme

201

den neuen Stand zu bringen. Die Kontaktpressungen f N , K (r )(i −1) und f R , K ( r )(i −1) der kontaktlosen Segmente werden auf null gesetzt, d. h. f N , K ( r )(i −1) = 0;

f R , K ( r )(i −1) = 0 .

(8.47)

Entsprechend sind dann über die Gl. (8.43) und (8.46) die Kontakt-Knotenpunktkräfte t+Δ t R (i −1) in Gl. (8.25) anzupassen. c, k

2. Ist FR , K (i −1) ≤ μ s ⋅ FN , K (i −1) , so ist die tangentiale Segmentkraft kleiner als die Haftgrenze. Das Kontaktsegment K befindet sich nach der Iteration i - 1 im Zustand Haften. 3. Ist FR , K (i −1) > μ s ⋅ FN , K (i −1) , so überschreitet die tangentiale Segmentkraft die Haftgrenze. Das Kontaktsegment K bekommt nach der Iteration i - 1 den Zustand Gleiten zugewiesen. Auch in diesem Fall sind die Kontakt-Knotenpunktkräfte t + Δ t R (i −1) für c, k

die Iteration i anzupassen. Beim Gleiten wird die Beziehung FR , K (i −1) = μ s ⋅ FN , K (i −1)

(8.48)

erfüllt, die Reibkraft hängt also direkt von der Normalkraft ab. Während für die Normal(r )(i −1) weiterhin die lineare Verteilung nach Bild 8.10 (rechts) gilt, wird pressung f N, K

für die Reibpressungsverteilung f R , K ( r )(i −1) eine konstante Verteilung angenommen, welche die Gl. (8.48) erfüllt. Sie wird erfüllt, wenn gilt f R , K (i −1) = μ d ⋅

f N, k (i −1) + f N, k +1(i −1) = const. 2

(8.49)

Hiermit sind dann über die Gl. (8.43) bis (8.46) die Kontakt-Knotenpunktkräfte t+Δ t R (i −1) anzupassen. c, k

Mit der Kenntnis der Zustände der Kontaktsegmente können nach Bild 8.8 die Zustände der Knoten am Kontaktkörper ermittelt werden. Die Zustände der Kontaktknoten nach der Iteration i - 1 bestimmen schließlich darüber, welche Matrizen t + Δ t N (i −1) für die Iteration i in j

das Hauptgleichungssystem (8.25) einzubauen sind. Damit ist die Lösungsmethode zur Behandlung von quasistatischen Kontaktproblemen vom Grundsatz her erläutert. Die Lösungsalgorithmen in den geläufigen kommerziellen Programmsystemen bauen in etwa auf der hier dargelegten Theorie - mit einigen Modifikationen - auf.

202

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme Zuvor wurde die Anwendung der Finite-Element-Methode in der Elastostatik begründet. Viel mehr Probleme des Maschinen- und Fahrzeugbaus sind aber dynamischer Natur, d. h. zeitabhängigen Belastungen F(t), p(t) und/oder q(t) unterworfen. Demzufolge sind auch die auftretenden Verschiebungen u(x, y, z; t), v(x, y, z; t), w(x, y, z; t) nicht nur Funktionen des Ortes, sondern auch der Zeit. Zwangsläufig gilt dies dann auch für die Verzerrungen İ (x, y, z; t) und die Spannungen ı (x, y, z; t). Unter Berücksichtigung dieser Zeitverläufe wollen wir nachfolgend einige einfache Grundprobleme der Dynamik und deren Bearbeitung mit der Finite-Element-Methode (s. auch /PRZ 68/) aufgreifen.

9.1 Virtuelle Arbeit in der Dynamik In Bild 9.1 sei ein beliebiger elastischer Körper unter verschiedenen periodischen Kräften dargestellt. Durch diese Art der Krafteinwirkung wird der Körper in einen Schwingungszustand versetzt, welcher durch einen permanenten Austausch von Arbeit gekennzeichnet ist.

ªu (t ) º d k (t ) = « k » ¬ v k (t ) ¼

F (x, y; t )

q (x, y ; t )

py y, v

p (x, y; t )

. γ .u

ρ. ü

.. ρ.v

px

. γ .v

t = t 0 + Δt x, u

Bild 9.1: Elastischer Körper unter dynamischer Lasteinwirkung zu einem Zeitpunkt t Zuvor ist schon festgestellt worden, dass ein Körper dann im statischen Gleichgewicht ist, wenn die innere virtuelle Arbeit δWi = ³ į İ t ⋅ ı dV

(9.1)

V

und die äußere virtuelle Arbeit t

δWa = įu t ⋅ F + ³ įu ⋅ p dV + ³ įu t ⋅ q d 0 V

0

B. Klein, FEM, DOI 10.1007/978-3-8348-2134-8_9, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012

(9.2)

203

9.1 Virtuelle Arbeit in der Dynamik

gleich groß sind. Um dieses Gleichgewicht auch in der Dynamik herzustellen, muss jetzt gemäß des d'Alembert‘schen Prinzips die äußere virtuelle Arbeit noch um die Trägheits- und Dämpfungskräfte erweitert werden. Somit gilt folgende Bilanz: t

δWi = įWa − ³ ȡ ⋅ įu ⋅ ü dV − ³ Ȗ ⋅ įu t ⋅ u dV . V

(9.3)

V

Die eigentlich für kontinuierliche Verhältnisse gültige Gl. (9.3) muss nun wieder in ein diskretes Gleichungssystem überführt werden. Hierzu führen wir in bekannter Weise einen Verschiebungsansatz, und zwar jetzt in der folgenden Form ein: u( x , y, z; t ) = G ( x , y, z ) ⋅ d(t ) .

(9.4)

Wie man hieran erkennt, definieren wir die Formfunktionen ortsabhängig und die Knotenpunktverschiebungen zeitabhängig. Um diesen Ansatz einsetzen zu können, müssen noch folgende Beziehungen gebildet werden: − die Variation der Verschiebungen als δu = G ⋅ δd ,

− die Variation der Verzerrungen zu į İ t = įu t ⋅ D t = įd t (D ⋅ G ) t und − die Spannungen zu ı = E⋅İ = E⋅D⋅G ⋅d.

Führt man nun diese Beziehung in Gl. (9.3)*) ein, so folgt

δd t ³ ( D ⋅ G ) t ⋅ E ⋅ ( D ⋅ G ) dV ⋅ d = įd t ⋅ G t ⋅ F + įd t ³ G t ⋅ p dV + įd t ³ G t ⋅ q d0 V

V

0

 − įd t Ȗ G t ⋅ G dV ⋅ d . − įd ³ ȡ ⋅ G ⋅ G dV ⋅ d ³ t

t

V

(9.5)

V

Schaut man sich diese Gleichung näher an, so kann man hierin die SchwingungsdifferenzialGleichung  + c ⋅ d + k ⋅ d = pˆ m⋅d

(9.6)

erkennen. Dabei sind die folgenden Zuweisungen vorgenommen worden:

*)

Anmerkung: δWi =

³ δε

V

t

⋅ σ dV = δd t ³ (D ⋅ G ) t ⋅ E ⋅(D ⋅ G )dV ⋅ d V

204

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme

− als Elementmassenmatrix t

m = ³ ρ G ⋅ G dV ,

(9.7)

V

− als Elementdämpfungsmatrix t

c = ³ Ȗ G ⋅ G dV ,

(9.8)

V

− als Elementsteifigkeitsmatrix (s. auch Gl. (3.36)) t

k = ³ ( D ⋅ G ) ⋅ E ⋅ ( D ⋅ G ) dV

(9.9)

V

und − als resultierender Knotenkraftvektor t t pˆ = G t ⋅ F + ³ G ⋅ p dV + ³ G ⋅ q d0 . V

(9.10)

0

Ohne weiter auf den Zusammenbau dieser Elementgrößen (identisch zu Kapitel 5.3.3) zu dem Gesamtsystem  +K⋅U = P M⋅Ü +C⋅U

(9.11)

eingehen zu wollen, wenden wir uns im Weiteren der Erstellung der Massenmatrix, Dämpfungsmatrix*) und der Lösung der Gl. (9.11) zu.

9.2 Elementmassenmatrizen Im folgenden Kapitel wollen wir zunächst einige ausgesuchte Elementmassenmatrizen aufstellen, um den Zusammenhang zu Kapitel 7 herstellen zu können. Diese Massenmatrizen heißen konsistent, weil die kontinuierlich über das Element verteilte Masse gemäß den statischen Ansatzfunktionen auf alle Knotenfreiheitsgrade verteilt wird. Im Gegensatz hierzu führen konzentrierte Punktmassen zu diagonalen Massenmatrizen /ARG 88/. Die Diskretisierung und Diagonalisierung der Gl. (9.11) werden wir im späteren Kapitel 9.4 noch als ein wichtiges Lösungsprinzip der Schwingungslehre kennen lernen, da damit große Gleichungssysteme gelöst werden können.

*)

Anmerkung: Bei der Formulierung der Elementdämpfungsmatrix ist bisher vorausgesetzt, dass die Dämpfung kontinuierlich über alle Elemente verteilt ist.

205

9.2 Elementmassenmatrizen 9.2.1 3-D-Balken-Element

Im Kapitel 5.3 wurden mit Gl. (5.15), (5.27) und Gl. (5.63) bereits die Massenträgheiten für die verschiedenen Elementfreiheitsgrade des Balken-Elements (s. auch Bild 9.2) hergeleitet.

2

x y

z

T(t) Qy(t)

i

My(t)

Qz(t)

1

Mz(t)

E, A, Jt, L

.. u1

.. Φ1

N(t)

.. v1

.. w1

.. ψy1

.. ψz1

Bild 9.2: Dynamische Freiheitsgrade am Balken-Element Wie bei der Steifigkeitsmatrix gewinnen wir auch die konsistente Elementmassenmatrix durch einfache Freiheitsgrad-Überlagerung. Man entnehme dies der folgenden Aufstellung /LIN 89/ sowie S. 50 und S. 61.  ü1 Φ 1 1 a 2 c

3 4 m=

v1

 z1 ψ

 1 w

  y1 ü 2 Φ ψ 2

156e -22eL -22eL 4 eL

2

11 12

 y 2 ψ

13eL

ü1  Φ 1 v1

-13eL -3 eL2

 z1 ψ

54e

2

156e -22eL

10

 2 w

d

5

9

 z 2 ψ

b

6 7 b 8

v 2

54e

13eL 2

-22eL 4 eL

-13eL -3 eL

ü2  Φ

a d

c

ρ ⋅ Jt ⋅ L ρ⋅A⋅L ρ⋅A⋅L , b= ,c = a= 3 3 6 d=

ρ ⋅ Jt ⋅ L ρ⋅A⋅L , e= 6 420

 1 w  y1 ψ

2

156e

22eL

22eL

4 eL2

v 2  z 2 ψ 156e

22eL

 2 w

22eL

4 eL2

 y 2 ψ

(9.12)

206

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme

Für diese Matrix treffen wieder die charakteristischen Merkmale wie die der Symmetrie, der Bandstruktur und der dünnen Besetzung zu. Vernachlässigt wurde bisher die Drehträgheit, die aber durch Elementrotation, beispielsweise bei sehr hochkantigen oder schubweichen Querschnitten, einen Einfluss auf die Schwingung hat. Dieser Effekt ist prinziphaft im Bild 9.3 dargestellt. In der Regel wirkt sich dies zusätzlich auf die Längsverschiebung aus.

pz(t) ⋅ dx u(x, t) z w(x, t)

μ ⋅ ü dx

Bild 9.3: Effekt der Drehträgheit von Massekörper auf die Längsund Biegeamplitude

.. μ ⋅ ψ dx .. μ ⋅ w dx

Um nun diesen Trägheitseffekt berücksichtigen zu können, gilt es, den Ansatz für die Längsverschiebung gemäß „Bernoulli“ (s. S. 82 und 140) wie folgt zu erweitern: u( x , t ) = u t − z ⋅ w ′ ,

(9.13)

d. h., die Längsverschiebung muss zusammengesetzt werden aus der axialen bzw. translatorischen Verschiebung und der Querschnittsneigung über der Balkenmittelachse. Demzufolge ist der Verschiebungszustand eines Balken-Elementes anzusetzen als

[

ªuº w = « » = G ⋅ d mit d t = u1 w1 w1′ ¬w ¼

u2

w2

w 2′

]

(9.14)

mit den entsprechenden Ansatzfunktionen (s. S. 59 und S. 60)

§¨- z ⋅ w ′ ·¸ 1 ¹ © ª§ x · «¨1 - ¸ «¨© L¸¹ G=« « « 0 «¬

0 § 3x2 2x3 · ¨1 − ¸ + ¨ L2 L3 ¸ © ¹

§¨− z ⋅ w ′ ·¸ 2 ¹ ©

§ 1 4x 3x2 · § 2x 3x2 · º ¸L x ¸ L» z¨ − + 0 z ¨− + ¨ L L2 L3 ¸ ¨ L2 L3 ¸ » L © ¹ © ¹ ». § x 2x2 x3 · § 3x2 2x3 · § x2 x3 · ¨− + ¸ ¨ − ¸ L »» − ¸L 0 ¨ − ¨ L L2 L3 ¸ ¨ L2 L3 ¸ ¨ L2 L3 ¸ »¼ © ¹ © ¹ © ¹ §¨ψ ≡ w ′ ·¸ §¨ψ ≡ w ′ ·¸ 1 2 ¹ ¹ © 2 © 1 (9.15)

Zweckmäßig ist es jetzt, sich die Ansatzfunktionsmatrix G aus translatorischen (G t ) und rotatorischen ( z ⋅ G r ) Anteilen zusammengesetzt zu denken.

207

9.2 Elementmassenmatrizen Damit ergibt sich die Massenmatrix zu m = ρ ³ ³ (G t + z ⋅ G r ) t ⋅ (G t + z ⋅ G r ) dA dx , AL

welche ausformuliert werden kann zu ª

º » m = ρ ³ « G t t ⋅ G t ⋅ A + G t t ⋅ G r + G r t ⋅ G t ³ zdA + G r t ⋅ G r ³ z 2 dA »dx . » o« A   A

« » ¬ ¼ =0 L«

(

)

(9.16)

Hierin bezeichnen bekanntlich S y = ³ zdA = 0 A

das Schweremoment oder das so genannte statische Moment, welches um die Schwerachse gleich null ist

und

J y = ³ z 2 dA

das Flächenträgheitsmoment.

A

Nach Durchführung der Matrizenmultiplikationen und der Integration führt dies auf 0 0 70 0 0 º ª 140 « 156 − 22L 0 54 13L » « » 2 4L 0 − 13L − 3L2 » ρ ⋅ A ⋅ L« m= « » 140 0 0 » 420 « « 156 22L » « » 4L2 ¼ ¬ sym. 0 0 ª 0 « 36 3L « J 4 L2 « § · ρ⋅A⋅L y ¨¨ ¸¸« + 30 © A ⋅ L2 ¹« « « ¬ sym.

0 0 0 º 0 − 36 3L » » 0 3L − L2 » » 0 0 0 » 36 − 3L » » 4L2 ¼

abgebildet: u

w

abgebildet: w w′

(9.17)

Bei diesem Ansatz ist die Drehträgheit ausschließlich den Biegefreiheitsgraden zugeschlagen worden. Vielfach wird der Drehträgheitsanteil einfach vernachlässigt.

208

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme

9.2.2 Endmassenwirkung In schwingfähigen Strukturen, und zwar bevorzugt Wellensysteme, müssen oft auf elastischen Gliedern diskrete Einzelmassen wie Zahnräder, Kupplungen oder Schwungräder aufgebracht werden. Diese konzentrierten Einzelmassen verändern im Wesentlichen die schwingende Masse und haben keinen oder nur einen sehr geringen Einfluss auf die Steifigkeit /KLE 77/. Ein typisches Beispiel für eine derartige Situation zeigt Bild 9.4, welche eine abstrahierte Ritzelwelle idealisieren soll.

.. Θ ⋅ ψ2 1

x

z, w(t)

2

.. M ⋅ w2

Bild 9.4: Wirkung einer konzentrierten Einzelmasse an einem Balken-Element Die Massenmatrix der Einzelmasse M*) kann als Diagonalmatrix ~ = ªM 0 º m « 0 Θ» ¬ ¼

(9.18)

aufgefasst werden, welche so die translatorische und rotatorische Wirkung wiedergibt. Im vorstehenden Fall ist diese Matrix dann mit der Massenmatrix des Balken-Elements am Knoten 2 zu überlagern, woraus folgt: 54 13 ª 156 μ ⋅ L − 22 μ ⋅ L2 μ⋅L μ ⋅ L2 º» « 420 420 420 420 « » 4 13 3 « 3 2 3 » μ⋅L − μ⋅L − μ⋅L » « 420 420 420 » mit μ = ρ ⋅ A . ˆ =« m « 156 22 2 » μ⋅L + M μ⋅L » « 420 420 « » « » 4 3 μ⋅L + Θ » sym. « ¬ ¼ 420

(9.19)

Falls der Balken selbst noch schubweich ist, ist die Matrix noch um die entsprechenden Terme der vorstehenden Beziehung zu ergänzen. *)

Anmerkung: Massenträgheit einer Scheibe um die Längsachse Θx =

m ⋅ R2 2

209

9.2 Elementmassenmatrizen 9.2.3 Dreieck-Scheiben-Element

Auch zur Herleitung der Elementmassenmatrix des Dreieck-Scheiben-Elements kann auf bereits im Kapitel 7.2.2 dargestellte Zusammenhänge zurückgegriffen werden. Wir hatten dort in Gl. (7.14) den Verschiebungsansatz hergeleitet zu 1 ª y 32 (x − x 2 ) u (x , y ) = « 2A «¬ − x 32 (y − y 2 )

ª u1 º + y 21 (x − x1 )º « » » ⋅ «u 2 » . − x 21 (y − y1 )»¼ « » «¬ u 3 »¼

− y 31 (x − x 3 ) + x 31 (y − y 3 )

(9.20)

Es wurde weiter auch schon dargelegt, dass das Dreieck-Element unter Verwendung von Flächenkoordinaten einfacher zu behandeln ist. Für das im Bild 9.5 gezeigte Element kann folgende Beziehung zwischen den kartesischen Koordinaten und den Flächenkoordinaten hergestellt werden: x = x1 + ζ1( x 31 − ζ 2 ⋅ x 32 )

(9.21)

y = y1 + ζ1( y 31 − ζ 2 ⋅ y 32 ) a) y

2 ü2

ü1 1

3

b)

x

2 ζ2 = 1 ζ1 ζ2 3

1 ζ1 = 1

Bild 9.5: Dreieck-Scheiben-Element a) dynamische Knotengrößen b) Flächenkoordinaten

ü3

ζ1 = 0

210

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme

Wird nun in der vorstehenden Gl. (9.20) die Variablen x und y durch eben diese Beziehungen ersetzt, so wird ersichtlich, dass neue Ansatzfunktionen G t = [(1 − ȗ1 ) ȗ1 ⋅ ȗ 2 ȗ1(1 − ȗ 2 )]

(9.22)

auftreten. Führt man ferner noch die in Gl. (7.36) über die Jacobi-Matrix hergestellte Transformation ein, so lautet die an das Dreieck-Element angepasste Berechnungsvorschrift Gl. (9.7) jetzt 11

m = ρ ⋅ t ³ ³ G t ⋅ G det J dζ1 dζ 2 .

(9.23)

00

Die Determinante der Jacobi-Matrix ist dabei gegeben als det J ( x , y) =

∂x ∂y ∂x ∂y ⋅ − ⋅ ∂ζ1 ∂ζ 2 ∂ζ 2 ∂ζ1

= −( x 31 − ζ 2 ⋅ x 32 ) y 32 ⋅ ζ1 + x 32 ( y 31 − ζ 2 ⋅ y 32 ) ζ1

(9.24)

= 2 A ⋅ ζ1 .

Berücksichtigt man dies in Gl. (9.23) und führt die Integration durch, so erhält man getrennt für die x- und y-Richtung als Elementmassenmatrix ª2 «1 « ρ ⋅ A ⋅ t «1 m= « 12 « « « ¬

1 1 2 1 1 2 0

º » ( x − Richtung ) » » . » 2 1 1» 1 2 1» ( y − Richtung ) » 1 1 2¼ 0

(9.25)

Da bei der Programmierung der Elementsteifigkeitsmatrix meist aber eine andere Freiheitsgradzuordnung gewählt wird, ist es erforderlich, die vorstehende Matrix noch umzusortieren. Dies führt dann zu der Matrix ª2 «0 « ρ ⋅ A ⋅ t «1 m= « 12 «0 «1 « ¬0

0 2 0 1 0 1

1 0 2 0 1 0

0 1 0 2 0 1

1 0 1 0 2 0

0º ü1 1 » v1 » 0» ü 2 . » 1 » v 2 0» ü 3 » 2¼ v 3

(9.26)

In Ergänzung zu den vorstehenden Massenmatrizen seien im Bild 9.6 noch einige Elementmassenmatrizen für eine Schwingungsrichtung angegeben.

211

9.2 Elementmassenmatrizen Element

Massenmatrix

Rechteck-Scheiben-Element ü1 ü 2 ü 3 ü 4 ª 4 2 1 2º ȡ ⋅ A ⋅ t «« 2 4 2 1 »» m= 36 «1 2 4 2» « » ¬ 2 1 2 4¼

Quader-Volumen-Element

ü1 ü 2 ü 3 ü 4 ü 5 ü 6 ü 7 ü 8 ª8 «4 « «2 « ȡ ⋅ V «4 m= 216 « 4 « «2 «1 « ¬2

4 8 4 2 2 4 2 1

2 4 8 4 1 2 4 2

4 2 4 8 2 1 2 4

4 2 1 2 8 4 2 4

2 4 2 1 4 8 4 2

1 2 4 2 2 4 8 4

2º 1» » 2» » 4» 4» » 2» 4» » 8¼

Tetraeder-Volumen-Element

ü1 ü 2 ü 3 ü 4 ª2 1 1 1º ȡ ⋅ V ««1 2 1 1 »» m= 20 «1 1 2 1 » « » ¬1 1 1 2 ¼

Bild 9.6: Katalog einiger Elementmassenmatrizen für lineares Elementverhalten (nur xRichtung)

212

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme

9.3 Dämpfungsmatrizen Die vorstehende Gl. (9.11) wurde unter der Voraussetzung aufgestellt, dass Dämpfung in einer Struktur vorhanden ist und dass die Dämpfungsmatrix wie eine Massen- oder Steifigkeitsmatrix zu bestimmen ist. Auf die dabei auftretenden Probleme wollen wir in diesem Kapitel kurz eingehen. Zunächst gilt es zu klassifizieren, welche Dämpfungskräfte überhaupt auftreten. Hierzu kann die folgende Einteilung gefunden werden mit − Struktur- oder Hysteresekräfte, die aus der inneren Materialreibung resultieren, − Coulomb‘sche Reibung an den Kontaktstellen (z. B. Schrauben) und − viskose Dämpfung in gegebenenfalls angebrachte Tilger. Prinzipiell sind diese drei Mechanismen im Bild 9.7 an einer Struktur angedeutet. Scheiben-Elemente Kontakt-Elemente

Fi(t)

Substruktur Hauptstruktur Struktur- oder Hysteresedämpfung

. γ . wk

wj(t)

viskose Dämpfung

Bild 9.7: Schwingfähige Struktur mit Dämpfungselementen Meist treten in größeren Strukturen alle drei Mechanismen zugleich auf. Im Sinne einer möglichst einfachen Behandlung der Dämpfung und einer guten Lösbarkeit der DGL beschränkt man sich aber überwiegend nur auf die Berücksichtigung der viskosen Dämpfung. Gegebenenfalls wird diese so angepasst, dass die viskose Dämpfung den gleichen Energieverzehr bewirkt, wie der eigentliche Dämpfungsmechanismus. Soll nun in einer Berechnung die Dämpfung berücksichtigt werden, so hat man den Fall zu unterscheiden, dass jedes Element einer quasi verteilten Dämpfung unterliegt oder eine konzentrierte Dämpfung an einem Knoten wirksam wird. Für den ersten Fall haben wir mit Gl. (9.8) bereits eine Vorschrift gefunden, wie man die Elementdämpfungsmatrix aufzubauen hat. Wenden wir hierauf den Zusammenbaualgorithmus an, so ergibt sich mit

C = A t ⋅ C⋅ A

(9.27)

9.4 Eigenschwingungen ungedämpfter Systeme

213

 noch eine zusätzliche Dämpdie Strukturdämpfungsmatrix. Wirkt hingegen mit − γ ⋅ w k fungskraft, so ist dieser Dämpfungsanteil in die Diagonale der Matrix C auf den Platz (kk) zu addieren.

Wie wir somit erkennen, ist der Aufbau der Dämpfungsmatrix im Prinzip ein leichtes Unterfangen. Der große Nachteil ist dabei, dass die Strukturdämpfungsmatrix C unsymmetrisch werden kann und insofern keinen direkten Bezug mehr zur M- oder K-Matrix aufweist. Dies ist insofern problematisch, da die so genannte Diagonalisierung von Gl. (9.11), welches einer Entkopplung der Schwingungen gleichkommt, ein wichtiges Lösungsprinzip für die dynamische Strukturanalyse darstellt. Man hat deshalb Abhilfe ersonnen, zu der beispielsweise die Annahme einer strukturproportionalen Dämpfung gehört. Vereinfacht setzt man hier die Dämpfungsmatrix als linear abhängig von der Massen- und Steifigkeitsmatrix in der Form /ARG 88/

C = α⋅K +β⋅M

(9.28)

an. Der Vorteil dieser Vorgehensweise ist darin zu sehen, dass mit der Diagonalisierung von K oder M, wie später gezeigt werden wird, auch die „modale C-Matrix“ diagonalisiert wird. Für die Parameter α und β sind entweder Erfahrungswerte einzusetzen oder geeignete Variationen zu machen. In der Literatur werden für diese Parameter Größenordnungen von 2-5 % für Strukturdämpfung*), bis 8 % für Reibungsdämpfung von verschraubten Metallstrukturen und bis 20 % für aktive Dämpfungselemente angegeben.

9.4 Eigenschwingungen ungedämpfter Systeme 9.4.1 Gleichungssystem Im Weiteren wollen wir uns mit der Bestimmung der Eigenfrequenzen und Eigenvektoren (Modalanalyse) von ungedämpften Schwingungssystemen auseinandersetzen. Diese Aufgabe ist insofern grundlegend, da bei den so genannten modalen Verfahren zur Ermittlung der dynamischen Antwort erzwungener Schwingungen die Eigenvektoren eine grundlegende Rolle spielen. Später geben uns auch die Eigenfrequenzen eine wichtige Information über das Systemverhalten unter Anregung. Die Bewegungsgleichung einer freien ungedämpften Schwingung lautet somit:

M ⋅Ü + K ⋅U = 0.

(9.29)

Dies ist vom Typ her eine homogene lineare DGL mit konstanten Koeffizienten, für die gewöhnlich der Lösungsansatz

U = X ⋅ e p ⋅t ≡ X ⋅ exp(p ⋅ t ) **)

(9.30)

*) Anmerkung: Formel von Lehr für gedämpfte Eigenfrequenz ω D = 1 − ξ 2 ⋅ ω (ξ = 0,02-0,08 bei Metallen), d. h. ω D ≈ 0 , 99 ⋅ ω .

 = p ⋅ X ⋅ e p ⋅ t = p ⋅ U, Ü = p 2 ⋅ X ⋅ e p ⋅ t = p 2 ⋅ U **) Anmerkung zur Differenziation von Gl. (9.30): U

214

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme

herangezogen wird. Setzt man diesen in Gl. (9.29) ein, so wird die vorstehende DGL in das algebraische Gleichungssystem

[p 2 ⋅ M + K ] X = 0

(9.31)

überführt. Bei der Diskussion dieser Gleichung ist die triviale Lösung X = 0 (Ruhezustand) nicht weiter von Interesse. Nichttriviale Lösungen erhält man somit nur für die verschwindende Koeffizientendeterminante det p 2 ⋅ M + K = 0 .

(9.32)

Die Entwicklung dieser Determinante als p 2 ⋅ m11 + k11 det

p 2 ⋅ m12 + k12

p 2 ⋅ m13 + k13

p 2 ⋅ m 22 + k 22

p 2 ⋅ m 23 + k 23 " = 0

"

p 2 ⋅ m 33 + k 33 "

führt auf ein Polynom n-ten Grades in p2

( )

( )

n n −1 b n ⋅ p 2 + b n −1 ⋅ p 2 + " + bo = 0 ,

(9.33)

welches als charakteristische Gleichung bezeichnet wird. Diese Gleichung hat n von null verschiedene Lösungen in p2 . Aus jeder Lösung kann noch die Wurzel ± p2 gezogen werden, sodass letztlich 2 n-Lösungen in p vorliegen. Um den Aufbau der charakteristischen Gleichung etwas besser verstehen zu können, wollen wir diese einmal für nur ein schwingendes finites Element aufstellen. Ausgangsbeziehung ist hier die Determinante det

p 2 ⋅ m11 + k11

p 2 ⋅ m12 + k12

p 2 ⋅ m 21 + k 21

p 2 ⋅ m 22 + k 22

= 0.

(9.34)

Entwickelt man diese aus

(p 2 ⋅ m11 + k11 )⋅ (p 2 ⋅ m 22 + k 22 ) − (p 2 ⋅ m 21 + k 21 )⋅ (p 2 ⋅ m12 + k12 ) = 0 und sortiert die Terme, so führt dies zu

(m11 ⋅ m 22 − m 21 ⋅ m12 ) ⋅ (p 2 ) + (m11 ⋅ k 22 + m 22 ⋅ k11 − m 21 ⋅ k12 − m12 ⋅ k 21 )p 2 + + (k11 ⋅ k 22 − k 21 ⋅ k12 ) = 0. 2

215

9.4 Eigenschwingungen ungedämpfter Systeme

Überträgt man nun diese Aussage auf einen Kontinuumsschwinger mit beliebig vielen Freiheitsgraden, so ist mit Rückblick auf Gl. (9.32) folgender Zusammenhang

b n = det M , b o = det K zu erkennen. Um weitere Erkenntnisse über den Charakter der Lösung p 2 zu gewinnen, wollen wir die konventionelle Bearbeitung eines 2-Massen-Schwingers (s. Bild 9.8) hier einmal einschieben. Für diesen gelten die folgenden Beziehungen:

ª0 0 0 º M = m «0 1 0 » , « » ¬«0 0 1¼»

c

u=0 1

ª 1 − 1 0º K = c «− 1 2 − 1» « » 1¼» ¬« 0 − 1

U t = [u1

m

u1

ª p2 ⋅ m +2 « « c « −1 «¬

c 2

m

u2]

º x 0 » ª 1º ª º « »=« » ⋅ » p2 ⋅ m » « » « » + 1» ¬« x 2 ¼» ¬«0¼» ¼ c −1

u2

Bild 9.8: Diskreter 2-Masse-Schwinger (Lösungsweg s. S. 392) Gemäß der Problemformulierung kann dann die charakteristische Gleichung 2

§ p2 ⋅ m · ¸ +3 ¨ ¨ c ¸ ¹ ©

§ p2 ⋅ m · ¸ +1 = 0 ¨ ¨ c ¸ ¹ ©

(9.35)

erstellt werden. Die beiden Lösungen dieser quadratischen Gleichung in p 2 sind § p2 ⋅ m · 1 ¨ ¸ ¨ c ¸ = − 2 3 − 5 = −0,38, © ¹I

(

)

(9.36)

§ p2 ⋅ m · 1 ¨ ¸ ¨ c ¸ = − 2 3 + 5 = −2,62, © ¹ II

(

)

woraus vier Lösungen folgen, und zwar pI + = 0 , 62 i

c , m

pI − = −0, 62 i

c , m

(9.37)

216

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme c , m

pII + = 1, 62 i

pII − = −1, 62 i

c . m

(9.38)

Die p 2 -Lösungen von Gl. (9.36) gilt es, jetzt in die Determinante Gl. (9.32) einzusetzen und auf x1 = 1 zu normieren. Man erhält so für die erste Lösung ª1 5 « + 2 «2 « −1 «¬

º » ª x 1 = 1º ª 0 º »⋅« »=« » . 1 5 » ¬« x 2 ¼» «¬ 0 ¼» − + 2 2 »¼ −1

(9.39)

Aus der 2. Zeile erhält man dann

(

)

− 2 ⋅1 + − 1 + 5 x2 = 0

oder

x1 = 1,

x2 =

(

1 1+ 5 2

)

und als Eigenvektor

(

)

1 x I t = ª«1 1 + 5 º» . ¬ 2 ¼

(9.40)

Setzt man weiter die zweite Lösung ein und entwickelt die Gleichung, so erhält man x1 = 1, x 2 =

(

1 1− 5 2

)

bzw. für den zweiten Eigenvektor

(

)

1 1 − 5 º» . x II t = ª«1 ¬ 2 ¼

(9.41)

Die Kernaussage, die wir hieraus gewinnen, ist: Die Lösungen in p 2 der charakteristischen Gleichung sind stets negativ reell, hingegen sind die Lösungen pi paarweise rein imaginär. Für die Eigenvektoren x I,II gilt, dass sie immer reell sind /ARG 88/. Um diese Aussage für beliebige Schwinger zu belegen, wollen wir für einen Eigenvektor den komplexen Aufbau xi = ai + i bi

und für den anderen den konjugiert komplexen Aufbau

(9.42)

217

9.4 Eigenschwingungen ungedämpfter Systeme

xˆ i t = a i t − i b i t

(9.43)

annehmen. Damit kann Gl. (9.31) geschrieben werden als p i 2 ⋅ xˆ i t ⋅ M ⋅ x i + xˆ i t ⋅ K ⋅ x i = 0 .

(9.44)

Formuliert man diese Gleichung aus, so führt dies zu ª º p i 2 « a i t ⋅ M ⋅ a i + b i t ⋅ M ⋅ b i + i §¨ b i t ⋅ M ⋅ a i − a i t ⋅ M ⋅ b i ·¸ » © ¹¼ ¬

(9.45)

ª º + « a i t ⋅ K ⋅ a i + b i t ⋅ K ⋅ b i + i §¨ b i t ⋅ K ⋅ a i − a i t ⋅ K ⋅ b i ·¸ » = 0. © ¹¼ ¬

Da in den hier betrachteten Fällen die Massen-(M)- und Steifigkeitsmatrix (K) immer symmetrisch und positiv definit sein soll, verschwinden in der vorstehenden Gl. (9.45) die Imaginärteile, sodass nur die reellen Anteile übrig bleiben. Die Lösung /OLS 72/ von p i 2 ≡ i 2 ⋅ ωi 2 = −§¨ xˆ i t ⋅ K ⋅ x i ·¸ ⋅ §¨ xˆ i t ⋅ M ⋅ x i ·¸ © ¹ © ¹

−1

(Rayleigh-Quotient)

(9.46)

ist damit negativ reell bzw. die Lösungen p i+ = i ⋅ Ȧ i , p i − = −i ⋅ Ȧ i *)

sind rein imaginär. Somit können die Eigenkreisfrequenzen (unabhängige „Modes“) formal bestimmt werden zu ωi 2 = §¨ xˆ i t ⋅ K ⋅ x i ·¸ ⋅ §¨ xˆ i t ⋅ M ⋅ x i ·¸ © ¹ © ¹

−1

> 0.

(9.47)

Die Frequenzen, also die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde, erhält man dann zu Ȟi =

Ȧi . 2ʌ

(9.48)

Des Weiteren wollen wir die wichtige Eigenschaft der Eigenvektoren diskutieren, dass sie konsistente Massenmatrizen und Steifigkeitsmatrizen simultan diagonalisieren. Um dies zu belegen, fassen wir alle möglichen Eigenvektoren in die Matrizengleichung

M ⋅ [ x1 x 2 " x n ] = K ⋅ [ x1 x 2 " x n ] ⋅

*)

2

3

1

1

ω12

ω2

4

2

1

"

(9.49)

ωn 2

2

2

Anmerkung: Hinweis: imaginäre Einheit i, Regeln: i = -1, i = -i, i = +1, daher p = - ω

218

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme

zusammen. Dabei soll noch folgende Abkürzung eingeführt werden, und zwar eine zusammengefasste Eigenvektormatrix X = [x1 x 2 " x n ]

(9.50)

und eine Eigenwertmatrix (inverse Kreisfrequenz-Quadrate)

ȁ = λ1 λ 2 " λ n =

1 ω1

1 2

ω2

2

"

1 ωn 2

.

(9.51)

Somit kann Gl. (9.49) auch geschrieben werden als

M⋅X = K ⋅X⋅ȁ.

(9.52)

Erweitert man die vorstehende Gleichung noch durch eine Vormultiplikation mit X t zu

Xt ⋅ M ⋅ X = Xt ⋅ K ⋅ X ⋅ ȁ ,

(9.53)

so wird M und K diagonalisiert. Anhand des zuvor schon benutzten Beispiels wollen wir dies jetzt kurz beweisen. Für die Eigenvektorenmatrix (nicht normierte Modalmatrix) kann dann 1 ª X = «1 « 1+ 5 ¬2

(

1

)

º » *) 1 1− 5 » ¼ 2

(

(9.54)

)

angesetzt werden. Obwohl in unserem Beispiel schon von einer diagonalen Massenmatrix ausgegangen worden ist, wollen wir dennoch die gewonnene Aussage belegen. Es gilt ª1 « « « «¬1

1 1 º (1 + 5 )º» ª m 0 º ª 1 ª (5 + 5 ) 2 » m« « » « ⋅ »⋅ » = 2« » «1 1 1 » « ( ) ( ) + − 1 5 1 5 » « «¬ 0 » « 0 m (1 − 5 )»¼ ¬ ¼ ¬2 ¼ 2 2

ª1 « « « «¬1

1 1 º (1 + 5 )º» ª 2c − c º ª 1 ª (5 − 5 ) 2 » c« « » « ⋅ »⋅ » = 2« » «1 1 1 » « «¬ 0 ( 1 − 5 )» «¬ -c c »¼ «¬ 2 (1 + 5 ) 2 (1 − 5 )»¼ ¼ 2

º » » (5 − 5 )»¼ 0

und

*)

º » . » (5 + 5 )»¼ 0

Anmerkung: Für eine Normierung der Modalmatrix existieren zwei Möglichkeiten: Xt ⋅ M ⋅ X = I → Folge: X t ⋅ K ⋅ X = Λ −1 , a) Massenorthonormierung t b) Steifigkeitsorthonormierung X ⋅ K ⋅ X = I → Folge: X t ⋅ M ⋅ X = Λ .

219

9.4 Eigenschwingungen ungedämpfter Systeme Damit können äußerst bequem die Kreisfrequenz-Quadrate aus

ȁ −1 = ω12

[

][

ω2 2 " ωn 2 = X t ⋅ K ⋅ X ⋅ X t ⋅ M ⋅ X

]−1

(9.55)

bestimmt werden. Für das kleine Beispiel lauten sie: ȁ −1 = ω12

ω2 2 =

c 5− 5 m 5+ 5

5+ 5 5− 5

=

(

c 3− 5 2m

) (3 + 5 )

.

(9.56)

In der Mathematik wird die vorstehend bearbeitete Aufgabe als Lösung des allgemeinen Eigenwertproblems bezeichnet, weil es hier um die Ermittlung der Matrix X der Eigenwertvektoren x i und um die Diagonalisierung der beiden Matrizen M und K geht.

x

1 L 2

m 2

L 2

m 2

ü1=0

ρ, E A, L

2

2

u(t)

1

3

ü2

ü1=0

Bild 9.9: Stabmodelle zur Bestimmung der Eigenkreisfrequenzen

ü2

ü3

In der Dynamik stellt eine diskrete Idealisierung nur eine grobe Näherung dar, wie das Beispiel in Bild 9.9 weiter belegen soll. Wertet man nämlich Gl. (9.56) für den idealisierten Zwei-Massen-Schwinger nach Bild 9.8 aus, so folgt für die Eigenkreisfrequenzen ω12 = ω2 2 =

(

)

2E ⋅ A 2 ⋅ ⋅ 3− 5 , L 2ρ ⋅ A ⋅ L 2E ρ ⋅ L2

(

)

⋅ 3+ 5 ,

ω1 = 1, 236

ω2 = 3, 236

E ρ ⋅ L2 E ρ ⋅ L2

,

.

Diese Näherungslösungen sind noch relativ weit entfernt von der exakten Lösung der Longitudinalschwingung eines homogenen Stabs mit

ωexakt = 1,5708

E ρ ⋅ L2

.

Der Fehler beträgt etwa 27 %. Wird das Beispiel hingegen als finites Modell mit einem einzigen Element gelöst, so führt dies auf

220

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme

det ω2 ⋅ M - K = 0, ρ⋅A⋅L E⋅A − = 0, 3 L 3E ω2 = ρ ⋅ L2 ω2 ⋅

oder ω = 1,73205

E ρ ⋅ L2

,

d. h., diese Eigenkreisfrequenz liegt nur noch um 10,3 % zu hoch. Verfeinern wir das Modell auf zwei Elemente, so führt dies zu ω1 = 1,6114

E 2

ρ⋅L

, ω 2 = 5,6293

E ρ ⋅ L2

.

Wie in der Statik gilt auch für die Dynamik, dass sich mit zunehmender Elementfeinheit das Ergebnis verbessert. Bild 9.10 gibt diese Tendenz für die Eigenkreisfrequenzen wieder.

Anzahl der Elemente n

1

1

1.103

2

1.026

1.195

3

1.012

1.103

1.200

4

1.006

1.058

1.154

1.191

5

1.004

1.037

1.103

1.181

1.282

6

1.003

1.026

1.072

1.137

1.195

1.273

7

1.002

1.019

1.053

1.103

1.161

1.200

1.266

8

1.002

1.015

1.041

1.079

1.128

1.177

1.201

1.259

9

1.001

1.012

1.032

1.063

1.103

1.148

1.188

1.200

1.254

10

1.001

1.009

1.026

1.051

1.084

1.123

1.163

1.195

1.198

ωi / ω exakt -Verhältnis

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1.250

Bild 9.10: Bezogene Fehlerrate bei der Bestimmung der Eigenkreisfrequenzen der Longitudinalschwingung eines eingespannten Stabes

9.4 Eigenschwingungen ungedämpfter Systeme

221

9.4.2 Numerische Ermittlung der Eigenwerte Zur Lösung des zuvor beschriebenen allgemeinen Eigenwertproblems mit symmetrischen und positiv definiten Matrizen bieten sowohl die Mathematik wie auch die FEM-Universalprogramme verschiedene Lösungsverfahren an. Ohne auf die mathematischen Hintergründe dieser Verfahren vertieft einzugehen, kann festgestellt werden, dass diese Anwendung von verschiedenen Gegebenheiten abhängig ist: •

Zunächst ist herauszustellen, dass in der Praxis meist nur eine beschränkte Anzahl der meist niedrigsten Eigenkreisfrequenzen mit den dazugehörigen Eigenvektoren von Interesse sind, oder diese Werte in einem bestimmten Intervall gesucht werden. Zufolge der Diskretisierung sind die niedrigen Eigenwerte relativ genau bzw. die höheren nur mit einem größeren Fehler bestimmbar.

Im Besonderen ist maßgebend: •

Es liegt eine Problemstruktur vor, bei der die Matrizen M und K voll besetzt sind. Dies tritt dann ein, wenn eine Kondensation zur Eliminierung von Freiheitsgraden vorgenommen wurde. In diesem Fall eignen sich als Lösungsverfahren das Jacobi- und Householder-Verfahren sowie die Modifikation von Householder-Givens zur Erzeugung tridiagonaler Matrizen.

•

Es liegt der Normalfall vor, dass M und K nur schwach besetzt sind und eine Hüll- oder Bandstruktur vorherrscht. Diesbezüglich erweist sich die Vektoriteration oder Bisektionsmethode als am zweckmäßigsten.

•

Eine besondere Klasse von iterativen Lösungsverfahren (z. B. Koordinatenüberrelaxation) nutzt die schwache Besetzung der Matrizen aus oder operiert nur mit den von null verschiedenen Koeffizienten. Bei diesem Verfahren ist zwar der Speicherbedarf am geringsten, aber der Rechenaufwand relativ hoch.

•

Des Weiteren kann der allgemeine Fall vorkommen, dass Eigenwerte eines Systems bestimmt werden müssen, welches selbst noch Starrkörperbewegungen (z. B. Flugzeug, Satellit etc.) vollführt. Die Matrix K (z. B. Lanczos-Verfahren) ist dann singulär. Derartige Probleme werden numerisch durch eine Spektralverschiebung gelöst, in dem die Matrix mit Faktoren multipliziert werden, die letztlich zu denselben Eigenwerten führen. Dieses Verfahren kann auch auf statisch bestimmte Strukturen angewandt werden.

Bei einigen Programmsystemen kann der Anwender direkten Einfluss auf das zu wählende Verfahren nehmen und somit den Speicherbedarf und die Rechenzeit optimieren. Falls dies nicht möglich ist, wählen die Programme bevorzugt die Vektoriteration, oder wenn es insgesamt wirtschaftlicher (kleiner 1.000 FHGs) ist, das Householder-Verfahren. Im folgenden Beispiel ist exemplarisch eine Stahlbaubrücke hinsichtlich der Eigenkreisfrequenzen und Eigenschwingungsformen untersucht worden. Die Struktur hat insgesamt 8 ⋅ 2 = 16 Freiheitsgrade, von denen vier FHGs gebunden sind. Frei sind somit 6 ⋅ 2 = 12 Freiheitsgrade. Für eine Struktur können so viele Eigenkreisfrequenzen berechnet werden, wie Freiheitsgrade vorliegen, also hier 12 Eigenfrequenzen. Praxisrelevant sind meist die ersten Eigenfrequenzen, weshalb in der Rechnung auch nur vier Werte berechnet wurden.

222

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme

Anhand der Eigenschwingungsformen ist weiter feststellbar, wann die Biege- und Längsschwingung angeregt werden.

ω1 = 45,3251 Hz

1

2

4

6

3

5

7

ω2 = 93,49 Hz

8

ω3 = 117,947 Hz

ω4 = 161,331 Hz

Bild 9.11: Eigenschwingungen einer Stahlbaubrücke An den Schwingungsformen erkennt man, dass zunächst die Biegeeigenfrequenz angeregt wird, bevor als 2. und 3. Eigenfrequenz die Longitudinalschwingungen ansprechen. Dieses ist oft zu beobachten, woraus geschlossen werden kann, dass Systeme in der Regel steifer gegenüber den Längsschwingungen sind. Des Weiteren sollen an diesem Beispiel überprüft werden, ob sich größere numerische Unterschiede bei der Eigenfrequenzberechnung ergeben, wenn unterschiedliche Lösungsverfahren gemäß der vorstehenden Auflistung gewählt werden. Bei der vorliegenden Anzahl von Freiheitsgraden (also kleiner Umfang) machen sich Unterschiede erst in der zweiten Kommastelle bemerkbar, sodass man in etwa prognostizieren kann, dass bei kleiner 1.000 FHGs das Lösungsverhalten keine maßgebliche Rolle spielt. 9.4.3 Statische Reduktion nach Guyan In der Regel liegen einem Netzaufbau elasto-statische Vorgaben zu Grunde, weshalb oft sehr fein idealisiert wird. Es ist in der Regel aber nicht notwendig, mit diesen in die Hunderte oder Tausende gehenden Freiheitsgraden auch eine Eigenwertanalyse gemäß den vorausgegangenen Lösungskonzepten vornehmen zu wollen. Gefragt ist daher eine Technik, die mit möglichst wenigen Freiheitsgraden zu einer guten Aussage kommt. Für diese Problemstellung hat sich in der Praxis die so genannte Reduktion nach Guyan bewährt, die mit wenigen Freiheitsgraden meist den unteren Frequenzbereich gut absichert. Um dieses Verfahren darstellen zu können, wählen wir das einfache Beispiel eines Balkenschwingers nach Bild 9.12.

223

9.4 Eigenschwingungen ungedämpfter Systeme ψy2

a)

w2

w3

u2

x z 1

ψy3

2

ψy4

w4

u3

w5

u4 4

3

ψy5

u5 5

u3c

b) 1

2

u5c 4

3

5

w3c

c) 1

2

3

w5c 4

5

Bild 9.12: Statische Reduktion am Balkenschwinger /ARG 88/ a) Gesamtsystem mit 4 x 3 = 12 FHGs b) auf 2 FHGs reduziertes System zur Annäherung der Längsschwingungen c) auf 2 FHGs reduziertes System zur Annäherung der Biegeschwingungen Im Beispiel sei angenommen, dass mit 2-D-Balken-Elementen, die je Knoten 3 FHGs aufweisen, idealisiert wurde. Das System kann somit Längs- und Biegeschwingungen durchführen, die auch getrennt auswertbar sind. Stellt man sich beispielsweise die Aufgabe, die Eigenfrequenzen des Balkenschwingers zu ermitteln, so können mit den vier x-Freiheitsgraden (u 2 , " , u 5 ) genau vier LongitudialEigenfrequenzen und mit den vier z-Freiheitsgraden (w 2 , " , w 5 ) weitere vier TransversalEigenfrequenzen bestimmt werden. Interessieren hingegen nur jeweils die ersten beiden Eigenfrequenzen, so kann das System kondensiert werden auf zwei entkoppelte x- und zFreiheitsgrade. Im umseitigen Bild 9.13 ist eine derartige Analyse an dem Balkenschwinger durchgeführt und ausgewertet worden. Werden alle 12 FHGs im Modell zugelassen, so ergibt sich bei der Biegeschwingung nur ein relativ geringer Fehler von Fmax = 1,45 % zu der Kontinuumslösung. Bei der Längsschwingung ist dieser Fehler mit Fmax = 19,14 % deutlich größer. Im unteren Frequenzbereich sind die Lösungen allerdings dicht beisammen. Aus dieser Vorbetrachtung kann geschlossen werden, dass für das gezeigte Beispiel eine Analyse mit jeweils zwei FHGs hinreichend genau sein müsste, wie die Auswertung auch bestätigt. Sind Strukturen hingegen größer, so sollten für eine gute Näherung etwa 1/4 bis 1/3 der Knoten freigegeben werden. Erfahrungsgemäß bewegt sich dann der maximale Fehler für w1 kleiner 7 %, was an einem Satellitengehäuse nachgewiesen werden konnte.

224

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme

L =1m 1

2

3

ρ, E , A , J

4

E = 7 ⋅ 1010 N/m 2

5

ȡ = 2,7 ⋅ 10 Ns 2 /m 4 L

i=

J = 10 − 2 m A

a) Kontinuum Biegeschwingung

Längsschwingung

ω1 = 179 Hz ω2 = 1.121 Hz ω3 = 3.141 Hz

ω1 = 7.998 Hz ω2 = 23.994 Hz ω3 = 39.991 Hz

ω4 = 6.156 Hz

ω4 = 55.987 Hz

b) kondensiertes FE-Modell Biegeschwingung (w) 12 FHGs

2 FHGs

Längsschwingung (u)

ω1 = 179 Hz ω2 = 1.123 Hz (F = 0,12 %) ω3 = 3.165 Hz (F = 0,77 %)

ω1 = 8.049 Hz (F = 0,64 %) ω2 = 25.393 Hz (F = 5,83 %) ω3 = 46.128 Hz (F = 15,35 %)

ω4 = 6.245 Hz (F = 1,45 %)

ω4 = 66.705 Hz (F = 19,14 %)

ω1 = 179 Hz (F = 0,17 %) ω2 = 1.134 Hz (F = 1 %) ω1 = 8.204 Hz (F = 2,59 %) ω2 = 28.663 Hz (F = 19,46 %)

Bild 9.13: Eigenfrequenzbestimmung am eingespannten Balken (nach /ARG 88/) a) exakte Kontinuumslösung b) Lösung des kondensierten Systems Für die bisher nur verbal beschriebene Vorgehensweise wollen wir nun einen einfachen Algorithmus entwickeln. Dieser geht davon aus, dass in einer Struktur zwei Gruppen von Freiheitsgraden vereinbart werden können, und zwar

225

9.4 Eigenschwingungen ungedämpfter Systeme - zu eliminierende (sekundäre) Freiheitsgrade, hier bezeichnet als U e , und - beizubehaltende (primäre) Freiheitsgrade, hier bezeichnet als U c .

Um eine Beziehung zwischen diesen beiden Freiheitsgraden herstellen zu können, muss sichergestellt werden, dass an den zu eliminierenden Freiheitsgraden U e keine äußeren Kräfte angreifen, welches durch die Knotenauswahl aber gesteuert werden kann. Insofern kann man die Guyan-Reduktion auch als statische Interpolation der Schwingung interpretieren. Für die finite Systemgleichung kann somit angesetzt werden: ªK cc «K ¬ ec

K ce º ª U c º ªPc º ⋅ = . K ee »¼ «¬ U e »¼ «¬ 0 »¼

(9.57)

Löst man die beiden Gleichungen auf, so führt dies bekanntlich zu K cc ⋅ U c + K ce ⋅ U e = Pc , K ec ⋅ U c + K ee ⋅ U e = 0 .

(9.58)

Aus der letzten Gleichung können dann mit U e = −K ee −1 ⋅ K ec ⋅ U c

(9.59)

die zu eliminierenden Freiheitsgrade bestimmt werden. Der Verschiebungsvektor ist demnach auch als Reduzierungsansatz Uc I ªU c º ª º ª º U=« »≡« = » « » ⋅ U c = Tc ⋅ U c −1 −1 «¬U e »¼ «¬− K ee ⋅ K ec ⋅ U c »¼ «¬− K ee ⋅ K ec »¼

(9.60)

darstellbar. Berücksichtigt man dies in Gl. (9.29), so liegt mit M ⋅ Tc ⋅ Ü c + K ⋅ Tc ⋅ U c = 0

(9.61)

jetzt eine auf die primären Freiheitsgrade reduzierte Matrizen-DGL für das Eigenschwingungsproblem vor. Macht man jetzt weiter mit Gl. (9.30) einen Lösungsansatz für U c , so führt dies wieder zu der Gleichung

[ω2 M ⋅ Tc − K ⋅ Tc ] Xc = 0 .

(9.62)

Diese Gleichung wollen wir nun zusätzlich mit Tc t vormultiplizieren, womit man dann

[ω2 Tc t ⋅ M ⋅ Tc − Tc t ⋅ K ⋅ Tc ] Xc = 0 reduzierte, symmetrische Matrizen und somit das Standardeigenfrequenzproblem

226

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme

[ω2 M cc* − K cc* ] Xc = 0

(9.63)

erhält. Dieses Gleichungssystem lässt sich in bestimmter Weise wieder auflösen, welches vorher schon gezeigt wurde. Um die Nutzanwendung der Kondensation noch einmal real demonstrieren zu können, wählen wir die zuvor schon analysierte Stahlbaubrücke. Bei dem verwendeten Guyan-Prozessor lassen sich Knoten oder Knotengruppen direkt ansprechen und auf diese Knoten Richtungsvektoren aufsetzen. Insofern gelingt es also, große Systeme deutlich zu verkleinern, ohne eine maßgebliche Ergebnisverschlechterung hinnehmen zu müssen. Im Bild 9.14 ist bewiesen, dass trotz der Kondensation der überwiegenden Anzahl der Knoten (d. h. frei sind nur noch die Knoten f und g) dennoch die Schwingungsgrundformen gut mit den Eigenschwingungen im Bild 9.11 übereinstimmen, wenn die physikalisch zulässigen Schwingungsrichtungen miteinander gekoppelt werden.

ω1 = 47,24919 Hz

1

2

4

6

3

5

7

ω3 = 150,85258 Hz

ω2 = 108,1544 Hz

8

ω4 = 277,4808 Hz

Bild 9.14: Kondensierte Lösung für die Stahlbaubrücke Bei den ersten beiden Eigenfrequenzen treten hingegen Abweichungen in der Größenordnung von 4,2 % bzw. 15,7 % auf, die sich weiter reduzieren lassen, wenn zusätzliche Freiheitsgrade freigegeben werden.

9.5 Freie Schwingungen Als Ergänzung zu dem vorausgegangenen Eigenschwingungsproblem wollen wir nun weiter der Frage nachgehen, wie bei der freien Schwingung spezielle Anfangsbedingungen (Verschiebungen, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen zu einem Startzeitpunkt) zu behandeln

227

9.5 Freie Schwingungen

sind. Hierbei besteht weiter die Einschränkung, dass keine Anregungen durch äußere Kräfte vorliegen. Zu diesem Zweck gehen wir wieder von folgender Schwingungsdifferenzial-Gleichung aus: ªM uu «M ¬ su

M us º ª Ü u º ªK uu + ⋅ M ss »¼ «¬Ü s = 0»¼ «¬ K su

K us º ª U u º ª 0 º . = ⋅ K ss »¼ «¬U s = 0»¼ «¬Fs »¼

(9.64)

Dieses Gleichungssystem reduzieren wir jetzt auf die unbekannten Verschiebungen zu M uu ⋅ Ü u + K uu ⋅ U u = 0 und zu den Auflagerkräften Fs = M su ⋅ Ü u + K su ⋅ U u .

(9.65)

Wurde dabei von der Reduktion nach Guyan Gebrauch gemacht, so muss man stattdessen von Gleichung M cc ⋅ Ü c + K cc ⋅ U c = 0

(9.66)

ausgehen. Des Weiteren nehmen wir an dieser Stelle an, dass für die zu betrachtende Struktur schon eine Eigenwertberechnung durchgeführt wurde und alle Eigenvektoren bekannt sind. Als besonders zweckmäßig hat es sich hierbei erwiesen, das allgemeine Schwingungsproblem in diesen Eigenvektoren zu entwickeln. Wir machen dazu folgende Variablensubstitution: U u (t ) = x1 ⋅ η1(t ) + x 2 ⋅ η2 (t ) + " + x n x ⋅ ηn x (t ) = X ⋅ η(t ) .

(9.67)

Ist die Anzahl n x der Eigenvektoren gleich der Anzahl der gesamten Eigenvektoren, dann ist die vorstehende Substitution exakt. Werden weniger Eigenvektoren benutzt (dynamische Reduktion), stellt die vorstehende Entwicklung dennoch eine brauchbare Näherung dar. Setzt man nun Gl. (9.67) in Gl. (9.65) oder (9.66) ein und multipliziert noch mit X t vor, so erhält man

[X t ⋅ M uu ⋅ X]⋅ Ș + [X t ⋅ K uu ⋅ X]⋅ Ș = 0 .

(9.68)

Im Kapitel 9.4.1 wurde des Weiteren schon festgestellt, dass die Eigenvektoren die Massenund Steifigkeitsmatrix diagonalisieren, womit sich so für Gl. (9.68) ergibt Ș + ȁ −1 ⋅ Ș = 0 .

(9.69)

Entwickelt man nun diese Gleichung nach den Freiheitsgraden, so ergeben sich Einzelgleichungen von der Form

228

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme  + ω 2 ⋅ η = 0 , η i i i

(9.70)

für die die allgemeine Lösung mit

ηi (t ) = A i ⋅ sin ωi ⋅ t + Bi ⋅ cos ωi ⋅ t

(9.71)

bekannt ist. Für die Anfangsbedingungen (t = t 0 = 0)

ηi (0 ) = η0i ≡ Bi

(9.72)

η i (0 ) = η 0i ≡ A i ⋅ ωi

(9.73)

und

lautete dann die spezielle Lösung:

ηi ( t ) =

η 0i ⋅ sin ωi ⋅ t + η0i ⋅ cos ωi ⋅ t .*) ωi

Dieser einfache Lösungsweg war nur durch die zuvor gewählte Substitution möglich. Somit  nach bleiben noch als Teilproblem die tatsächlichen Anfangsbedingungen in U u bzw. U u Ș bzw. Ș zu transformieren. Dies ist generell durch die bekannten Zusammenhänge

Ș (0) = X −1 ⋅ U u (0) = X t ⋅ K uu ⋅ U u (0) ,

(9.74)

 (0) = X t ⋅ K ⋅ U  (0) = ȁ −1⋅ X t ⋅ M ⋅ U  (0) , Ș (0) = X −1⋅ U u uu u uu u

(9.75)

bzw. auch

U u ( 0) = X ⋅ η(0)

(9.76)

möglich. Diese Umformung gilt für einen vollen Satz von Eigenvektoren ( nx = ¦ i ≡ n bzw. n x n), welches durch die Beziehungen von Seite 218 gegeben ist. Wird hingegen die dynamische Reduktion genutzt, so ergibt sich für X eine Rechteckmatrix (n x n x ); die Beziehungen können dann nur mit einem Energieprinzip gelöst werden. Über die Gl. (9.67) kann letztlich auch die Problemlösung für freie Schwingungen ermittelt werden.

9.6 Erzwungene Schwingungen Bei den zuvor diskutierten freien Schwingungen bestand die Voraussetzung eines kräftefreien Systems. Wir wollen diese Betrachtung nun um zeitbestimmte Kräfte oder auch zeit*)

Anmerkung: η i (t ) = ωi ⋅ A i ⋅ cos ωi ⋅ t − ωi ⋅ Bi ⋅ sin ωi ⋅ t (für jeden FHG „i“)

229

9.6 Erzwungene Schwingungen

bestimmte Wege erweitern. Diese Größen können entweder periodisch oder nichtperiodisch sein oder gar in einer allgemeinen Funktion vorkommen. In Analogie zu Gl. (9.64) und Gl. (9.65) ist dann dafür folgende Gleichung maßgebend: ªM « uu « M pu « «¬ M su

M up M pp M sp

M us º ª Ü u º ª K uu » « » « M ps » ⋅ « Ü p » + « K pu » « » « M ss » « Ü s = 0 » « K su ¼ ¬ ¼ ¬

K up K pp K sp

K us º ª U u º ª Pu ( t ) º » « » « » K ps » ⋅ « U p » = « P p (t) » . (9.77) » « » « » K ss » « U s = 0 » « Ps ( t ) » ¼ ¬ ¼ ¼ ¬

Hierin bezeichnet wieder - U u (t ) die unbekannten Verschiebungen zu bekannten äußeren Kräften Pu (t ) , - U p ( t ) vorgeschriebene (geführte) Freiheitsgrade, wozu unbekannte Kräfte P p ( t ) kor-

respondieren, und - U s (t ) an Auflagern unterdrückte Verschiebungen, zu denen die Auflagerkräfte Ps (t ) zugehörig sind. Durch statische Reduktion (s. Kapitel 9.4.3) ist daraus die Schwingungs-DGL

(

M cc ⋅ Ü c + K cc ⋅ U c = Pc (t ) ≡ Tc t ⋅ Pu (t )

)

(9.78)

zu gewinnen. Nutzt man weiter die Substitution von Gl. (9.67) und multipliziert noch mit

X t vor, so folgt daraus  + X t ⋅ K cc ⋅ X ⋅ Ș = X t ⋅ Pc (t ) X t ⋅ M cc ⋅ X ⋅ η

(9.79)

 + Λ −1 ⋅ η = M dia −1 ⋅ X t ⋅ Pc (t ) . η

(9.80)

bzw.

Um die Umformung dieser Gleichung*) transparent zu machen, soll hier kurz dargelegt werden, wie die DGL eines Einmassenschwingers behandelt wird. Wir gehen dazu von der Gleichung m i ⋅ ü i + c i ⋅ u i = Fi (t )

(9.81)

zu einem Zeitpunkt t aus. Nach der Division durch die Masse erhält man

c 1 üi + i ui = Fi (t ) . mi mi

*)

t

Anmerkung: M dia = X ⋅ M ⋅ X bzw. Λ

(9.82)

−1

= K dia ⋅ M dia

−1

230

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme

Bekanntlich bezeichnet der erste Quotient die quadrierte Eigenkreisfrequenz ci = ωi 2 , mi über die die reziproke Masse in Verbindung mit der Federkonstanten (= Steifigkeit) steht: ω2 1 = i . mi ci

Die vorstehende Gleichung*) kann somit auch dargestellt werden als ü i + Ȧi 2 ⋅ u i =

Ȧi 2 Fi (t ) . ci

(9.83)

Auf der rechten Seite steht dann eine steifigkeitsbezogene Kraft. Damit wird eine für Gl. (9.77) zutreffende Parallele deutlich, und zwar lässt sich jetzt diese Gleichung darstellen als

(

 + Λ −1 ⋅ η = Λ −1 ⋅ X t ⋅ K ⋅ X η

)−1 ⋅ X t ⋅ Pc (t ) .

(9.84)

Weil diese Gleichung mittels der Eigenvektoren diagonalisiert ist, kann im Weiteren eine typische Einzelgleichung betrachtet werden, die von der Form  i + ωi 2 ⋅ ηi = ωi 2 ⋅ rη (t ) η i

(9.85)

ist. Auf der rechten Seite taucht jetzt aber keine Kraft mehr auf, sondern mit rηi (t ) eine bezogene Erregungsfunktion, die es entsprechend den Vorgaben anzusetzen gilt. Diese Gleichung kann durch direkte Integration (s. S. 240 ff.) gelöst werden.

*)

Anmerkung: DGLs vom Typ (9.82), (9.83) bzw. (9.85) können prinzipiell mit dem Verfahren der „zentralen Differenzen“ gelöst werden. Unter der Voraussetzung von Linearität in allen Zeitintervallen gilt jeweils für einen FHG „i“, und zwar für die Geschwindigkeit in der Intervallmitte (s. Bild 9.20), u t − Δt / 2 ≈

u t − u t − Δt u − ut bzw. auch u t + Δt / 2 ≈ t + Δt Δt Δt

und für die Beschleunigung u t ≈

u t + Δt / 2 − u t − Δt / 2 1 = (u t + Δt − 2 u t + u t − Δt ) . Δt Δt 2

Eingesetzt in Gl. (9.82) erhält man für die Wegänderung des FHGs „i“ zum Zeitpunkt t + Δt c 1 § · u t + Δt ≈ ¨ 2 − i ⋅ Δt 2 ¸ ⋅ u t − u t − Δt + ⋅ Fi ⋅ Δt 2 . mi mi © ¹

231

9.6 Erzwungene Schwingungen

Im einfachsten Fall treten in der Technik harmonische Anregungsfunktionen auf, so wie exemplarisch im Bild 9.15 angedeutet ist. Fui(t) Us = 0

i

x Uu(t = 0) = 0

z, w

Ωi

absolut starr

Bild 9.15: Anregung mit harmonischer Amplitude

Wir wollen nun die Lösung von Gl. (9.85) unter der Vorgabe einer sinusförmigen Einheitserregung rηi (t ) = "1" ⋅ sin Ω i ⋅ t

(9.86)

mit der Anregung Ω i diskutieren. Zunächst ist festzustellen, dass mit Gl. (9.85) vom Typ her eine inhomogene DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten vorliegt, die bekanntlich eine homogene (Lösung der Eigenschwingung) und eine partikuläre (Lösung der erzwungenen Schwingung) Lösung aufweist. Die homogene Lösung ist dabei Și homogen = Ai ⋅ sin Ȧi ⋅ t + Bi ⋅ cos Ȧi ⋅ t .

(9.87)

Für die partikuläre Lösung ist ebenfalls ein sinusförmiger Ansatz ηi partikulär = C i ⋅ sin Ω i ⋅ t

(9.88)

zu machen, da erfahrungsgemäß ein sinusförmig angeregtes System auch sinusförmig schwingt. Setzen wir jetzt die partikuläre Lösung mit ihren Ableitungen in Gl. (9.85) ein, so erhalten wir sofort für den Koeffizienten Ci =

ω i2

(9.89)

(ω i 2− Ω i 2 )

und somit Și partikulär =

Ȧ i2

(Ȧ i 2− ȍ i 2 )

sin ȍi ⋅ t .

Die allgemeine Lösung lautet sodann:

(9.90)

232

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme

Și = A i ⋅ sin Ȧi ⋅ t + Bi ⋅ cos Ȧi ⋅ t +

Ȧi 2 §¨ Ȧ 2 − ȍ 2 ·¸ i © i ¹

⋅ sin ȍ i ⋅ t .

(9.91)

Legen wir nun auch für einen Anwendungsfall spezielle Anfangsbedingungen, z. B. ηi (0 ) = 0 und η i (0 ) = 0

(9.92)

fest, so lautet für die angepassten Koeffizienten Ai = −

ωi ⋅ Ω i §¨ ω 2 − Ω 2 ·¸ i © i ¹

, Bi = 0 ,

(9.93)

die Lösung für eine periodische Anregung Și = −

=

Ȧi ⋅ ȍ i §¨ Ȧ 2 − ȍ 2 ·¸ i © i ¹ 1

⋅ sin Ȧ i ⋅ t +

⋅ sin ȍ i ⋅ t −

1 − (ȍ i /Ȧ i )   

2

(Anteil Erregung )

Ȧi 2 §¨ Ȧ 2 − ȍ 2 ·¸ i © i ¹

⋅ sin ȍ i ⋅ t

ȍ i /Ȧ i

⋅ sin Ȧ i ⋅ t 1 − (ȍ i /Ȧ i )2   

(Anteil Eigenschwingung )

oder etwas übersichtlicher sortiert Și =

ȍ § · ¨ sin ȍ i ⋅ t − i sin Ȧi ⋅ t ¸ *) . Ȧ ¹ 1 − (ȍ i /Ȧ) © i 1

2

(9.94)

Den betrachteten elementaren Fall wollen wir noch einmal kurz von der Wirkung her analysieren. Dazu diskutieren wir die so genannte Vergrößerungsfunktion Vi (ȍ i ) =

1

1 − (ȍ i /Ȧi )2

,

(9.95)

die vom Prinzip her eine statische Auslenkung von der Größe „1“ ins Verhältnis zu einer anregenden dynamischen Amplitude setzt. Die sich ergebende Abhängigkeit zeigt Bild 9.16. Als Aussage gewinnt man daraus: - Für Verhältnisse ȍ i /Ȧi = 1 strebt die Schwingungsamplitude gegen Unendlich (Resonanzstelle) und würde bei nicht vorhandener Dämpfung in diesem Betriebszustand zu einer Zerstörung des Systems führen. *)

Anmerkung: Tritt hingegen in Gl. (9.86) eine Amplitude der Größe A auf, so tritt auch im Vorfaktor von Gl. (9.94) an Stelle von „1“ die Größe A auf.

233

9.6 Erzwungene Schwingungen

- Für so genannte unterkritische Erregung mit ȍ i /Ȧ i < 1 nimmt die Schwingungsamplitude laufend zu, während überkritische Erregungen Ω i / ω i = 2 zunächst zu einer Abnahme der Schwingungsamplitude führt, die später wieder ansteigt.

(

3

)

C=0

Vi 2

C = 0,5 1

0

1

2

2

Ωi ωi

Bild 9.16: Verlauf der Vergrößerungsfunktion für eine periodische Erregung bei zwei verschiedenen Dämpfungskonstanten C In der Realität wird man diese Verhaltensweise natürlich so nicht antreffen, da immer etwas Strukturdämpfung vorhanden sein wird und somit die Frequenz nur durchfahren wird. Als eine weitere wichtige Erregungsfunktion dieser Gruppe wollen wir noch den Rechteckimpuls behandeln, da er im Weiteren die Grundlage für die allgemeinen Erregungsfunktionen abgibt. Die Anregungsfunktion und die Systemantwort sind hierzu im Bild 9.17 skizziert. Mit Bezug zu Gl. (9.85) lautet dann hier die Bewegungsdifferenzial-Gleichung: Ș + Ȧ 2 ⋅ Ș = Ȧ 2 ⋅ h . i i i i i

(9.96)

Diese DGL hat nun ohne näheren Beweis die Gesamtlösung*) h Și = (A i + Bi ) ⋅ sin Ȧ i ⋅ t + i [cos Ȧ i ⋅ t − cos Ȧ i (t − t1 )] . 2

*)

(9.97)

Anmerkung: Es lässt sich beweisen, dass die homogene Antwort für gedämpfte Schwingungen maßgebend ist, während die partikuläre Antwort für eine schnelle, harte Auslenkung dominant ist. Beim Impuls braucht daher nur die partikuläre Lösung berücksichtigt zu werden.

234

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme a)

hi rηi

0 ≤ t ≤ t1

rηi = 0

−∞ ≤ t <0 t1 < t ≤ +∞

t1

0

b)

rηi = h i

maximale Auslenkung

ηi hi t

t1

³ Și ⋅ dt

0

partikulärer Lösungsbereich

homogener Lösungsbereich

Bild 9.17: Antwort einer Struktur auf einen Rechteckimpuls a) Impulsfunktion, b) Systemantwort Für die dem Impuls zugehörigen Anfangsbedingungen (Ruhezustand) ηi (t = 0 ) = 0 und Ș i (t = 0 ) = 0

können somit drei interessierende Bereiche abgegrenzt und hierfür die partikulären Lösungen wie folgt angegeben werden: - im Bereich 0 < t < t1 Ș i (t ) = h i (1 − cos Ȧ i ⋅ t ) ,

(9.98)

- an der Stelle t = t1 Și (t1 ) = h i (1 − cos ωi ⋅ t1 ) ,

(9.99)

Ș i (t1 ) = Ȧi ⋅ h i ⋅ sin ωi ⋅ t1 ,

(9.100)

- im Bereich t ≥ t1 Ș i (t ) = h i [cos Ȧ i ⋅ (t − t1 ) − cos Ȧ i ⋅ t ] .

(9.101)

9.6 Erzwungene Schwingungen

235

Wertet man nun die Auslenkung in den Bereichen aus, so zeigt sich, dass das System außerhalb der Impulsdauer der größten Amplitude unterworfen ist. Mit vorhandener Strukturdämpfung würde diese Schwingung dann aber auch ausklingen. Eine schöne Anwendung für einen Impuls stellt ein Rammvorgang als Hammerschlag dar. Umseitig ist im Bild 9.18 ein Stahlpfahlrohr (∅ 1,6 m, 35 m lang, 40 mm Wandstärke) gezeigt, mit dem Windenergieplattformen in der Nordsee verankert werden. Das Pfahlrohr wird mittels einer hydraulischen Hubramme (maximale Energie: 820 kJ, Hammermasse: 45,4 t) mit 6 m/s etwa 16 m tief in den Meeresboden getrieben. Die Ramme schlägt allerdings nicht direkt auf das Rohr, sondern auf einen puffernden Amboss (Masse: 15 t), der im Wesentlichen Pendelschlageffekte ausschaltet. In der zusammengefassten Auswertungsdarstellung sind auch Details der Modellierung erkennbar: Das Rohr ist aus linearen Rechteck-Schalen-Elementen aufgebaut mit einem linear elastischen Werkstoffgesetz. Am linken Ende ist der frei aufliegende Amboss erkennbar, der ebenfalls durch Schalen-Elemente idealisiert worden ist und im Kontakt zum Rohr steht. Das Eindringen in den Meeresboden wurde am rechten Ende über eine breite Elementreihe mit einem auf den Meeresboden kalibrierten plastischen Werkstoffgesetz abgestimmt. Dieses spezielle Verhalten ist durch Eindringmessungen bei der Pfahlgründung der FINO-Plattform vor der Nordseeinsel Borkum in einen Sandboden gewonnen worden. Insofern sind die Annahmen sehr real. In der Auswertung am Bildschirm kann man erkennen: •

Durch den Rammschlag bildet sich unter dem Amboss eine Druckwelle aus mit v = 6 m/s. In Zeitinkrementen erkennt man im Impulseinleitungsbereich ein Stauchen und Entspannen des Rohrmundstückes.

•

Die durchlaufende Welle fächert sich in dem konischen Rohrbereich auf und verlangsamt sich im zylindrischen Bereich auf v = 5,5-4,0 m/s.

•

•

Die durch die Welle induzierte Beanspruchung mit σ v = 250 N/mm 2 bleibt noch unterhalb der Streckgrenze des Materials, sodass das Rohr die Intensität des Rammschlages aushalten kann. Die Wellenbeschleunigung ist beim Rammschlag mit a = 10,63 m/s 2 sehr dicht an der Erdbeschleunigung und verlangsamt sich auf a = 2,74 m/s 2 am Rohrende.

•

Würden bei Hammerschlägen die Impulse zeitlich sehr schnell aufgebracht, so würde eine Überlagerung von Wellen stattfinden und das Rohr letztlich versagen.

Die FE-Ergebnisse bezüglich der Spannung, Geschwindigkeit und Beschleunigung stimmen bis auf 10,4 % mit Laborversuchen überein, die ein Messinstitut unter idealen Bedingungen mit dünnwandigen Rohren in Belastungsversuchen ermittelt hat. Für den vorliegenden Anwendungsfall, wo es ausschließlich um die Festigkeit und Stabilität der Pfahlrohre ging, ist dies ausreichend genau.

Reflexionsbeschleunigung: a = 2,74 m/s 2

Beschleunigung einer Welle: a = 10,63 m/s 2

Bild 9.18: Beanspruchung eines Rohres durch Wellenausbreitung aus einem Impuls

Reflexionsgeschwindigkeit: v = 3,2 m/s

σ v = 143 N/mm 2

max. von Mises-Spannung am Rohrende:

kurz bevor die Welle den Meeresboden erreicht

Geschwindigkeit unter dem Amboss: v = 6 m/s Geschwindigkeit einer Welle: v = 5,52 m/s

Welle: σ v = 250 N/mm

2

max. von Mises-Spannung einer

kurz nach dem Rammschlag

236 9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme

237

9.7 Beliebige Anregungsfunktion

9.7 Beliebige Anregungsfunktion Abschließend wollen wir zum Themenkreis Anregungen noch kurz einen Blick auf die Behandlung beliebiger Anregungsfunktionen werfen. Eine Grundlage hierzu stellt der Rechteckimpuls dar, den wir nachfolgend dazu benutzen wollen, eine beliebige Funktion summativ zu erfassen. Hierzu definieren wir zunächst die Impulsstärke t1

J i = ³ r Ș ⋅ d t = h i ⋅ t1 , i

(9.102)

o

wobei h i wieder die Amplitude im Bereich t = 0 bis t = t1 bezeichnet. Des Weiteren beziehen wir uns noch einmal auf Gl. (9.96) Ș = Ȧ 2 ⋅ h − Ȧ 2 ⋅ Ș i i i i i

und integrieren diese Gleichung zu · § ¸ ¨ t1 Ș i = Ȧ i 2 ¨¨ h i ⋅ t 1 − ³ Ș i ⋅ d t ¸¸ ≈ Ȧ i 2 ⋅ J i . o  ¨¨ 

¸¸ ¹ © =0

(9.103)

Das hierin auftretende Integral erfasst die Systemträgheit der Antwortfunktion und kann nach Bild 9.17 näherungsweise gleich null gesetzt werden. Weiter hatten wir zuvor schon gesehen, dass die maximale Auslenkung des Systems dem Impuls träge nachfolgt. Unter Berücksichtigung von Gl. (9.103) erhalten wir somit auch eine gute Lösung für den Bewegungsablauf, wenn wir von den folgenden verschobenen Anfangsbedingungen ηi (t1 = 0 ) ≈ 0 und η i (t1 = 0 ) ≈ Ȧ i 2 ⋅ J i

(9.104)

ausgehen und hierfür die spezielle Lösung aus Gl. (9.97) entwickeln. Man erhält nämlich so für die Konstanten A i + Bi = Ȧ i ⋅ J i ,

(9.105)

sodass sich für die eingeschwungene Auslenkung ηi (t ) = ωi ⋅ J i ⋅ sin Ȧi ⋅ t ,

t ≥ t1

(9.106)

ergibt, welches, wie zu erwarten war, der homogenen Lösung entspricht. Nach diesen Vorbetrachtungen wollen wir nun unsere Erkenntnisse auf die beliebige Anregungsfunktion von Bild 9.19 übertragen.

238

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme dts rηi dJi

rηi (ts )

tr

ts t i

t

Bild 9.19: Zerlegung einer Anregungsfunktion in eine Anzahl von Teilimpulsen (nach /ARG 88/) Wie in der Abbildung angedeutet ist, kann man den funktionellen Verlauf als eine Folge von Einzelimpulsen der Stärke dJ i = rȘi (ts ) ⋅ dts

(9.107)

auffassen, welches die Antwort (s. Gl. (9.106)) dȘi = Ȧi ⋅ rηi ⋅ dts ⋅ sin Ȧi ⋅ (t − ts ) = Ȧi ⋅ rȘi (ts ) ⋅ sin Ȧi ⋅ (t − ts ) dts

(9.108)

hervorruft. Die Systemantwort auf die Gesamterregung findet sich somit durch die Integration zu Și = Ȧ i

ts = t r

³

ts = 0

rȘi (ts ) ⋅ sin Ȧi ⋅ (ti − ts ) dts Ÿ

¦ Ȧi ⋅ h i ⋅ Δts i .

(9.109)

i =1

Das gefundene Integral heißt allgemein Duhamel-Integral und kann vernünftig nur numerisch ausgewertet werden. Da wir es hier aber mit kleinen Rechteckimpulsen zu tun haben, können dafür einfache Lösungsverfahren wie die Trapezregel, Gauß oder Simpson herangezogen werden.

9.8 Lösung der Bewegungsgleichung Bei der Auflösung der Bewegungs-DGL (9.11) geht man in FE-Programmen vielfach nicht von den zuvor breit herausgestellten Eigenformen aus, sondern nutzt die so genannte Integration im Zeitbereich nach Lagrange, welche stets numerisch durchgeführt wird. Man  , Ü ) zu einem Zeitpunkt t bekannt sind; genimmt dabei an, dass alle Systemgrößen (U, U sucht sind dann diese Größen zu dem späteren Zeitpunkt t + ǻ t . Die dazu angewandten Verfahren lassen sich demgemäß so klassifizieren, wie der Übergang von t nach t + ǻ t ermittelt wird:

239

9.8 Lösung der Bewegungsgleichung •

Bei expliziten Verfahren wird der Zustand zum Zeitpunkt t + ǻ t alleine auf Basis des dynamischen Gleichgewichts zum Zeitpunkt t (Euler’sche Betrachtungsweise) dargestellt.

•

Bei impliziten Verfahren wird der Zustand auf Basis des dynamischen Gleichgewichts zum Zeitpunkt t + ǻ t unter Nutzung von Iterationen über alle Zeitschritte dargestellt.

Beide Verfahren haben Vor- und Nachteile, weshalb hier der Einsatzfall maßgebend ist. Bei den gewöhnlichen strukturdynamischen Untersuchungen ist man am dynamischen Gesamtverhalten interessiert. Dies unterscheidet sich von so genannten Wellenausbreitungsproblemen, wo lokale Phänomene untersucht werden sollen. Anders ausgedrückt spielen hier die Zeitdauern eine große Rolle, die einmal im Sekundenbereich und einmal im Millisekundenbereich liegen. Entsprechend kommen dann die Vorteile der Verfahren zur Geltung: •

Explizite Verfahren erfordern nur eine geringe Rechenzeit, haben jedoch eine Stabilitätsgrenze. Diese Stabilitätsgrenze ist gleich die Zeitdauer, die eine elastische Spannungswelle benötigt, um durch das kleinste finite Element im Netz zu laufen.

•

Implizite Verfahren benötigen eine derartige Stabilitätsgrenze nicht, da die Zeitschritte um mehrere Größenordnungen größer sind. Dies hat aber den Nachteil, dass die FE-DGL in jedem Zeitschritt ti zu lösen ist.

Die Anwendung expliziter Verfahren ist daher bevorzugt in der nichtlinearen FE-Dynamik (schnelle Umformung, Fahrzeugcrash etc.) zu sehen, wofür auch spezielle Programmsysteme (z. B. ABAQUS-explizit, PAM-CRASH, LS-DYNA, RADIOSS CRASH) existieren. Wegen der zunehmenden Bedeutung dieser Problemstellungen soll abschließend zur Dynamik noch einmal auf die verschiedenen computerorientierten Verfahren zur Lösung der Bewegungsgleichung eingegangen werden. Ausgangspunkt ist wieder die allgemeine Bewegungsgleichung  + K ⋅ U = P. M⋅Ü +C⋅U

(9.110)

Mathematisch ist dies eine gewöhnliche lineare DGL zweiter Ordnung. Da bei der FEMethode das dazugehörige Gleichungssystem sehr groß werden kann, sind für die Lösung nur ganz wenige Verfahren wirtschaftlich. Als besonders geeignet haben sich die direkte Integration und die Modenüberlagerung /SON 99/ erwiesen. Direkte Integration Als direkte Integration wird die Lösung von DGLs mit einem numerischen Schritt-fürSchritt-Verfahren bezeichnet. Grundannahme sei hierbei, ein Gleichungssystem nicht zu jedem Zeitpunkt t erfüllen zu wollen, sondern nur zu diskreten Zeitpunkten nach einem kleinen Zeitintervall Δ t . Dazwischen wird von linearer Interpolierbarkeit ausgegangen. Das Newmark-Verfahren realisiert diesen Ablauf. Voraussetzung für das Newmark-Verfahren ist, dass die Verschiebungs-, Geschwindigkeits , Ü ) zum Anfangszeitpunkt 0 bekannt sind und die Löund Beschleunigungsvektoren (U, U

240

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme

sung von 0 bis t E gesucht wird. Im Lösungsverfahren wird die zu betrachtende Zeitspanne t E in n gleiche Intervalle Δ t = t E /n unterteilt und Näherungslösungen zu den Zeiten 0, Δ t , 2 Δ t , ..., t E bestimmt. Da ein Algorithmus die Lösung zur nächsten geforderten Zeit nur aus der vorausgegangenen Zeit berechnen kann, geht man stets von der Annahme aus, dass die vorausgegangene Lösung zu allen Zeitpunkten t bekannt ist. Insofern wird die Lösung immer zu t + ǻ t berechnet. An einer Einzelgleichung für einen Freiheitsgrad soll die Vorgehensweise kurz dargestellt werden. Zu lösen sei die Bewegungsgleichung m i ⋅ u i, t + Δ t + c i ⋅ u i, t + Δ t + k i ⋅ u i, t + Δ t = Fi, t .

(9.111)

Bei stetigen Bewegungen kann für die Beschleunigung der Mittelwert 1 (ut + Δ t + ut ) 2

u = u (t + Δt ) / 2 =

(9.112)

angesetzt werden (aus Vereinfachungsgründen sei jetzt der FHG „i“ unterdrückt). Hiermit ergibt sich für die Geschwindigkeit*) u t + Δ t = u t + (u t + Δ t + u t )

Δt 2

(9.113)

und für den Weg u t + Δ t = u t + u t ⋅ Δ t + (u t + Δ t + u t )

Δ t2 . 4

(9.114)

Wird nun die vorgehende Beziehung nach u t + Δ t aufgelöst, so folgt daraus u = t +Δ t

4

Δ t2

(u t + Δ t − u t ) − Δ4t u t − ut .

(9.115)

Ebenso muss die Geschwindigkeit reduziert werden, und zwar mittels

(

)

(

)

2 4 4 − u t = u t + Δ t + u t =ˆ u u t +Δ t − ut − u t , 2 Δ t t +Δ t Δ t Δt u t + Δ t = − u t +

(

)

2 u − ut . Δ t t +Δ t

Wenn jetzt Gl. (9.115) und Gl. (9.117) in Gl. (9.111) eingesetzt, so folgt daraus *)

Anmerkung: Kinetik gleichförmig beschleunigter Bewegungen 1 s ( t1 ) = s o + v o ⋅ t1 + a o ⋅ t1 2 , 2

v ( t1 ) = v o + a o ⋅ t1

(9.116)

(9.117)

241

9.8 Lösung der Bewegungsgleichung

(

)

(

)

ª 4 º 4 2 ª º mi « u t +Δ t − ut − u t − u t » + c i «− u t + u t +Δ t − ut » 2 Δt Δt ¬ ¼ ¬« Δ t ¼»

(9.118)

+ k i ⋅ u t + Δ t = Ft + Δ t bzw. aus der Zusammenfassung findet sich die einsichtigere Gleichung · § 4 · § 4 2 4 ¨ ¸ ¨   ¸ ¨ Δ t 2 m i + Δ t c i + k i ¸ ⋅ u t + Δ t = Ft + Δ t + m i ¨ Δ t 2 u t + Δ t u t + u t ¸ ¹ © ¹ ©

(9.119)

§ 2 · + ci ¨ u t + u t ¸. Δ t © ¹ Bei gegebenen Anfangsbedingungen zum Zeitpunkt t ( u t , u t , u t

) kann somit u t + Δ t

iterativ zum Folgezeitpunkt bestimmt werden. Mittlerweile gibt es zum Ur-Newmark-Verfahren einige Varianten. Das Ziel besteht darin, die Konvergenz durch die Einführung zusätzlicher Wichtungsfaktoren (α und β ) zu beschleunigen. Der modifizierte Ansatz nutzt hierbei

( )

u = ª 1 − β ⋅ u t + β ⋅ u t + Δ t º , «¬ »¼

( )

ª u t + Δ t = u t + « 1 − β ⋅ u t + β ⋅ u t + Δ t ¬ ª§ · 1 u t + Δ t = u t + u t ⋅ Δ t + «¨ − α ¸ ⋅ u t ¸ «¨© 2 ¹ ¬

º »¼ ⋅ Δ t , º + α ⋅ u t + Δ t » ⋅ Δ t 2 . » ¼

Es lässt sich zeigen, dass mit α ≥ 1/4 und β ≥ 1/2 eine sehr gute Konvergenz bei numerischer Stabilität gewährleistet ist. Zentrale Differenzenmethode Die Central Difference Methode (realisiert in vielen nichtlinearen FE-Programmen, u. a. LSDYNA 3-D) ist eine einfache Realisierung der zuvor besprochenen Vorgehensweise. Diese approximiert über finite Differenzen (s. umseitiges Bild 9.20). Hiernach kann die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t abgeschätzt werden zu u t ≈

1 (u t + Δt − u t − Δt ) 2 Δt

und die Beschleunigung zu

(9.120)

242

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme 1 1 § u t + Δt − u t u t − u t − Δt · (u t + Δt/2 − u t − Δt/2 ) = − ¨ ¸= Δt Δt © Δt Δt ¹ 1 ≈ (u t + Δt − 2 u t + u t − Δt ). Δ t2

üt ≈

u

u t + Δt/2

u t − Δt/2

u t + Δt

(9.121)

ut

2Δu

u t − Δt

t − Δt t − Δt/2

t + Δt/2 t + Δt

t

t

2Δt Δt

Bild 9.20: Diskretisierung eines stetigen Verschiebungsverlaufs Diese Ansätze werden nunmehr in das dynamische Gleichungssystem  +K⋅U = P M ⋅ Üt + C ⋅ U t t t

(9.122)

einsetzt; hieraus folgt

(

)

1 § M + 1 Δ t ⋅ C· ⋅ U § · 2 2 ¨ ¸ t + Δt = Δ t ⋅ Pt − Δ t ⋅ K − 2 M ⋅ U t − ¨ M − Δ t ⋅ C ¸ ⋅ U t − Δt . 2 2 © ¹ © ¹ (9.123) Mit der diagonalisierten Massenmatrix und der zwangsdiagonalisierten Dämpfungsmatrix ist dann die Auflösung nach U n +1 möglich. Bei nichtlinearen Problemen (K(U)) wird bevorzugt mit einer folgendermaßen modifizierten Gleichung gerechnet:  + P int = P ext , M ⋅ Üt + C ⋅ U t t t welche dann die diskret approximierte Lösung hat:

(9.124)

243

9.8 Lösung der Bewegungsgleichung

(

)

1 § M + 1 Δ t ⋅ C· ⋅ U ext int 2 + 2 M ⋅ U t − §¨ M + Δ t ⋅ C ·¸ ⋅ U t − Δt . ¨ ¸ t + Δt = Δ t ⋅ Pt − Pt 2 2 © ¹ © ¹ (9.125) Bei vernachlässigter Dämpfung vereinfacht sich diese weiter zu

(

)

U t + Δt = Δ t 2 ⋅ M −1 Pt ext − Pt int + 2 U t − U t − Δt .

(9.126)

Die zuvor erläuterten Ansätze entwickeln somit die Lösung zum Zeitpunkt t + Δ t aus der Lösung zum Zeitpunkt t, weshalb man hier von explizierter Integration spricht. Dem stehen Verfahren gegenüber, die Gleichungen sofort zu einem Zeitpunkt t iterativ lösen, die dementsprechend implizite Integrationsverfahren (z. B. nach Houbolt, Wilson, Newmark) benannt werden. Stabilität des zentralen Differenzenverfahrens Das Integrationsverfahren nach der zentralen Differenzenmethode ist nur bedingt stabil, d. h., der Zeitschritt Δ t darf einen bestimmten kritischen Wert Δ t krit nicht überschreiten. Um dies zu erläutern, wird vereinfacht ein 1-FHG-System angesetzt. Die Bewegungsgleichung lautet für diesen Fall: m ⋅ ü t + c ⋅ u t + k ⋅u t = Ft .

(9.127)

Mit Einführung des Lehr‘schen Dämpfungsmaßes ξ und der Eigenkreisfrequenz ω folgt weiter ü t + 2 ξ ω ⋅ u t + ω2 ⋅ u t = pt .

(9.128)

Werden die Geschwindigkeit und die Beschleunigung wieder als zentrale Differenzen eingeführt u t =

üt =

1 (u t + Δt − u t − Δt ) , 2 Δt 1 2 Δ t2

(u t + Δt − 2 u t + u t − Δt )

(9.129)

(9.130)

und in die Bewegungs-DGL eingesetzt, so erhält man u t + Δt =

2 − ω2 ⋅ Δ t 2 1− 2 ξ ω⋅ Δt Δ t2 ut − u t − Δt + ⋅ pt . 1 + 2 ξ ω ⋅ Δt 1+ 2 ξ ω⋅ Δt 1+ 2 ξ ω⋅ Δt

Diese Gleichung muss nun in die Matrixform

(9.131)

244

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme 2 2 º ª 1− 2 ξ ω⋅ Δtº ª u º ª Δ t2 ªu t + Δt º « 2 − ω ⋅ Δ t t − » « » + ⋅ = 1 + 2 ξ ω ⋅ Δ t » «u » «1 + 2 ξ ω ⋅ Δ t » ⋅ pt (9.132) « u » «1 + 2 ξ ω ⋅ Δ t ¬ ¼ ¬ t ¼ « t t − Δ »¼ «¬ »¼ 1 0 0 ¬

u t + Δt =

⋅

A

ut

+

L ⋅ pt

(9.133)

überführt werden. Die eingeführten Ausdrücke bezeichnen hierbei A Zeitintegrationsoperator L Lastoperator.

Für den t m -ten Zeitpunkt unter der beliebigen Anfangsbedingung u o und ohne einwirkender äußeren Belastung (L ⋅ p t = 0) folgt dann utm = Atm ⋅ uo .

(9.134)

Die Stabilität einer Lösung verlangt, dass der größte Eigenwert der Matrix kleiner oder gleich eins ( λ ≤ 1) ist. Wenn das betrachtete Minimalsystem noch dämpfungsfrei ist, können die Eigenwerte*) bestimmt werden aus ª2 − ω2 ⋅ Δ t 2 det « 1 ¬

− 1º ª1 »−λ« 0¼ ¬0

0º = 0, 1 »¼

(9.135a)

dies führt zu

(

)

− 2 − ω2 ⋅ Δ t 2 − λ λ + 1 = 0 .

(9.136)

Aus der quadratischen Gleichung

(

)

λ2 + ω 2 ⋅ Δt 2 − 2 λ + 1 = 0 finden sich die beiden Eigenwerte zu

λ1, 2 =

2 − ω2 ⋅ Δ t 2 ± 2

(2 − ω2 ⋅ Δ t 2 )2 − 1 . 4

(9.137)

Für den Grenzfall λ ≤ 1 ergibt sich als kritischer Zeitschritt Δt ≤ *)

2 = Δ t krit . ω

(9.138)

Anmerkung: Zur Lösung von Gl. (9.135a)

(2 − ω 2 ⋅ Δ t 2 ) − λ 1

−1 =0 0−λ

(9.135b)

245

9.8 Lösung der Bewegungsgleichung Bei einem gedämpften System erhielte man stattdessen Δt ≤

2§ 2 ¨ ξ + 1 − ξ ·¸ = Δ t krit . ¹ ω©

(9.139)

Um die eingehende Eigenfrequenz einmal beispielhaft abzuschätzen, sei hier ein einfaches Stab-Modell gewählt. x

u1

ρ, A, E

2

1

u2

L

m1 =

1 ⋅ (ρ ⋅ A ⋅ L ) 2

m2 =

1 ⋅ (ρ ⋅ A ⋅ L ) 2

Bild 9.21: Längsschwinger mit einem FHG pro Knoten bzw. diskretes Modell Hierfür lautet die Massen- und Steifigkeitsmatrix: ª1 ρ A ⋅ L «2 M=« « 0 «¬

º » », 1 » ρ A ⋅ L» ¼ 2 0

ª 1 − 1º E⋅A « ». K= » L « «¬ − 1 1 »¼

Die Eigenfrequenz wird ermittelt aus − 1º »−λ 1 »¼

1 E⋅A ª « det L « ¬−1

ª1 «2ρ A⋅L « « 0 ¬

º » » =0 1 ρ A ⋅ L» ¼ 2

0

(9.140)

bzw.

det

E⋅A 1 − λρ ⋅ A ⋅ L L 2 −

E⋅A L

−

E⋅A L

E⋅A 1 − λρ ⋅ A ⋅ L L 2

2 E⋅A 1 E ⋅ A ·2 = §¨ − λρ ⋅ A ⋅ L ·¸ − §¨ ¸ =0 2 © L ¹ © L ¹

zu λ = ω2 =

4 L2

⋅

E 2 bzw. ω = ρ L

E . ρ

(9.141)

Der Wurzelausdruck bezeichnet die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit c in einem homogenen Werkstoff. Somit kann der kritische Zeitschritt auch angegeben werden zu

246

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme

c=

E , ρ

(9.142)

ω=2

c L

(9.143)

Δt ≤

L . c

(9.144)

oder

Diese Ungleichung wird allgemein als CFL-Bedingung nach Courant, Friedrichs und Lewy bezeichnet. Physikalisch beschreibt Δ t die Zeit, die eine Welle im betrachteten Material braucht, um von einem Knoten eines Elementes zum anderen zu gelangen. Die vorstehende Abschätzung gilt für Stab- und Balkenstrukturen. Bei ebenen Strukturen, z. B. in Schalen, bestimmt sich die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit zu c=

(

E

ρ 1− ν 2

)

.

(9.145)

Die charakteristische Länge L ist dann aus der Schalenfläche A S und der größten Elementkantenlänge L max zu bilden: L=

AS . L max

(9.146)

Damit wird als Problem sichtbar, dass das kleinste Element die Rechenzeit dominiert. Um dies zu verhindern, sollte bei dynamischen Berechnungen mit möglichst großen Elementen bzw. gleich großen Elementen gerechnet werden. Sind aus irgendwelchen Gründen jedoch kleine Elemente erforderlich, greift man in der Praxis zu einer Massenskalierung. Hiermit ist die fiktive Erhöhung der Dichte gemeint, und zwar ρn =

(Δt Ziel )2 ⋅ E

(

L min i 1 − ν 2

)

(n = ab i-ter Zeitschritt).

Dies hat auf die elastodynamischen Effekte keinerlei Auswirkungen.

(9.147)

247

10 Grundgleichungen der nichtlinearen Finite-Element-Methode Bei der vorausgegangenen Formulierung der FE-Methode wurde angenommen, dass die Verschiebungen einer Struktur klein sind und sich der Werkstoff linear elastisch (Hooke’sches Gesetz) verhält. In der finiten Gleichung K⋅U = P

macht sich diese Linearität so bemerkbar, dass bei einer Laststeigerung auf α ⋅ P auch die Verschiebungen um α ⋅ U zunehmen. Hiervon abweichend treten in der Praxis häufig aber auch nichtlineare Materialprobleme (Plastizität, Kriechen) und geometrisch nichtlineare Probleme (Instabilität) auf. Im Sinne einer Vervollständigung der Theorie soll nachfolgend die NL-FEM /CHE 88/ kurz gestreift werden.

10.1 Lösungsprinzipien für nichtlineare Aufgaben Bei den hier zu behandelnden Aufgaben kann ein nichtlineares Gleichungssystem in der folgenden Form ĭ( U ) = R ( U ) − P ≡ K ( U ) ⋅ U − P = 0

(10.1)

dargestellt werden. Hierin bezeichnet R ( U ) die den Elementspannungen in einem bestimmten Zustand entsprechenden inneren Knotenkräfte und P wieder die äußeren Kräfte. Man sieht, dass die inneren Knotenkräfte einer zustandsabhängigen Steifigkeitsbeziehung äquivalent sind. Insofern ist die vorstehende Gleichung nicht direkt lösbar, sondern kann nur iterativ gelöst werden. Gemäß der Zielsetzung, nur einen kurzen Überblick über nichtlineare Probleme geben zu wollen, beschränken wir uns im Folgenden auf zwei Lösungsprinzipien (s. hierzu auch /ZIE 75/): − Die direkte Iteration, bei der von folgender Gleichung ausgegangen wird: K (U ) ⋅ U = P .

(10.2)

Nimmt man hier mit U = o U einen sinnvollen Ausgangszustand (z. B. aus einer linearen Rechnung) an, so ergibt sich mit 1

( )

−1 U = K oU ⋅P

(10.3)

ein erster Näherungswert, der durch sukzessives Einsetzen in n

(

)

−1 U = K n −1 U ⋅ P

B. Klein, FEM, DOI 10.1007/978-3-8348-2134-8_10, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012

(10.4)

10 Grundgleichungen der nichtlinearen Finite-Element-Methode

248

weiter verbessert werden kann. Die Iteration wird gewöhnlich abgebrochen, wenn die Zustandsänderungen nach dem n-ten Schritt gemäß n

U − n −1 U ≤ ȕ ⋅ ΔU

(wobei β << 1)

(10.5)

klein sind. Demzufolge wird n U als Lösung des Gleichungssystems angesehen. − Das verbreitete Iterationsverfahren nach Newton-Raphson geht davon aus, dass mit

( )

U = n U eine stetige Näherungslösung für ĭ n U vorliegt und mit einer nach dem ersten Glied abgebrochenen Taylor‘schen Reihenentwicklung

(

)

( )

∂ĭ· n ĭ n +1 U ≡ ĭ n U + n §¨ ¸ ⋅ ΔU = 0 © ∂U ¹

(10.6)

eine bessere Lösung gefunden werden kann. Hierin bezeichnet

∂ ĭ ∂R (U ) ≡ = K T (U ) ∂U ∂U

(10.7)

die so genannte Tangentensteifigkeitsmatrix. Diese kann weiter auch benutzt werden, die Schrittweite (folgt aus Gl. (10.6)) des Lösungsverfahrens n

∂ ĭ · -1 n n -1 n ΔU = − n §¨ ¸ ⋅ ĭ U ≡ −K T U ⋅ ĭ U U ∂ ¹ ©

( )

( )

( )

(10.8)

zu steuern. Als Nachteil beider Lösungsverfahren gilt, dass in jedem Iterationsschritt die Steifigkeitsmatrix neu bestimmt und ein lineares Gleichungssystem gelöst werden muss. Um diesen Aufwand zu reduzieren, wird meist programmtechnisch ein modifiziertes NewtonRaphson-Verfahren realisiert, bei dem mit einer konstanten Steigung approximiert wird. Diesbezüglich wird die Tangentensteifigkeitsmatrix auf den Ausgangszustand

( )

( )

KT n U = KT o U

(10.9)

fest bezogen. Für die Schrittweitensteuerung ergibt sich somit n

( )

( )

−1 ΔU = −K T o U ⋅ ĭ n U .

(10.10)

Es kann jedoch zweckmäßig sein, im Laufe der Iteration die Schrittweite zu ändern,

( )

demnach muss eine neue Tangentensteifigkeitsmatrix K T n U normiert und in Gl. (10.10) angesetzt werden.

10.1 Lösungsprinzipien für nichtlineare Aufgaben

249

c)

a)

K (U) ⋅ U = P

Gleichgewicht

R(U) P

K T ( o U)

K T ( n U)

0

U

1

U

2

U nU

0

U nU

U

b) P

0

U

1

U

2

U

U

Bild 10.1: Iterative Lösungsverfahren mit konvergierendem Verhalten nach /ARG 87/ a) direkte Iteration b) Newton-Raphson-Verfahren c) modifiziertes Newton-Raphson-Verfahren Am Konvergenzverhalten wird in etwa deutlich, dass das Newton-Raphson-Verfahren besser und schneller konvergiert als das direkte Iterationsverfahren. Dem Vorteil des modifizierten Netwon-Raphson-Verfahrens mit einer konstanten Tangentensteifigkeitsmatrix arbeiten zu können, steht allerdings oft eine langsame Konvergenz entgegen. Durch die Einführung eines zusätzlichen Überrelaxationsfaktors α ≥ 2 , mit dem der Korrekturwert n ΔU multipliziert wird, kann das Konvergieren beschleunigt werden.

Obwohl für die beiden genannten Verfahren konvergentes Verhalten nachgewiesen werden kann, zeigt die Praxis, dass dennoch Fälle auftreten, wo keine Lösung ermittelt werden kann. In derartigen Fällen führen dann inkrementelle Verfahren (Euler, Runge-Kutta 2. Ordnung) sicherer zum Ziel.

10 Grundgleichungen der nichtlinearen Finite-Element-Methode

250

10.2 Nichtlineares Elastizitätsverhalten

σ bzw. σing

Bei einigen Materialien, wie NE-Metalle und hochfesten Stählen, ist das Materialverhalten mehr oder weniger nichtlinear, weshalb das Hooke‘sche Gesetz entweder nur bedingt gültig ist oder überhaupt nicht zutrifft. Einige derart typische Verläufe zeigt das Bild 10.2. Angenommen sei dabei, dass Bauteile aus diesen Materialien bis zum Bruch belastet werden können, ohne dass großflächiges Fließen mit einem unbestimmten Spannungs-DehnungsZusammenhang vorkommt. Bei der gezeigten Darstellung ist vereinbart, dass die wirkende Kraft auf den Ausgangsquerschnitt bezogen ist, weshalb an den Achsen so genannte Ingenieurgrößen angetragen sind.

Rm

1

1

Rm

2

2

Piola-Kirchhoff-Gleichungen: σ wahr = σing ⋅ (1 + εing ), ε wahr = A n ⋅ (1 + ε ing )

Rm

3

3

Rp

1 = hochfester Stahl (E 360, S 460 NL) 2 = verfestigender Stahl (S 355 JO) 3 = Mg, Al ε bzw. εing

Bild 10.2: Nichtlineare Spannungs-Dehnungsgesetze Um die auftretende Nichtlinearität erfassen zu können, müssen wir die maßgebende Gleichgewichtsbedingung zustandsabhängig formulieren und deren Erfüllung verlangen. Zu diesem Zweck gehen wir noch einmal zurück zu Kapitel 3.4 und übernehmen von dort die aus dem Prinzip der virtuellen Arbeit hergeleitete Gleichgewichtsbeziehung t t ³ δ İ ⋅ ı dV = δ U ⋅ P ,

V t

δ U ³ B t ⋅ ı dV = δ t U ⋅ P , V

woraus t ³ B ⋅ ı dV - P = 0

(10.11)

V

folgt. Da Gl. (10.11) für jedes Materialverhalten streng gültig ist, nehmen wir hierin die Spannungen nunmehr dehnungsabhängig an zu

10.2 Nichtlineares Elastizitätsverhalten ı = ı(İ ) ,

251 (10.12)

womit wieder der Bogen zur Ausgangsgleichung (10.1) geschlagen ist und so auch die dort diskutierten Lösungsverfahren - mit Ausnahme der direkten Iteration - angewandt werden können. Zu diesem Zweck formulieren wir noch einmal die Tangentensteifigkeitsmatrix für diesen Fall zu KT =

∂R (U ) ∂ ı(İ ) ∂ İ = ³ Bt ⋅ ⋅ dV = ³ B t ⋅ E T ⋅ B dV , ∂U ∂ İ ∂ u V V

(10.13)

worin jetzt mit E T = ∂ ı(İ )/∂ İ der Tangenten-E-Modul eingeführt ist, den man materialabhängig aus dem Spannungs-Dehnungsverlauf am R p -Punkt bestimmen kann. Zu dem gezeigten Ansatz werden in der Literatur noch zwei spezielle Modifikationen angeführt, und zwar das Verfahren der so genannten Anfangsspannungen und das Verfahren der Anfangsdehnungen. Das Anfangsspannungsverfahren geht davon aus, dass das Materialgesetz von Gl. (10.12) auch in der additiven Form ı(İ ) = E ⋅ İ + ı N (İ )

(10.14)

darzustellen ist und alle Materialnichtlinearitäten durch einen separierten Spannungszustand ı N (İ ) erfasst werden können. Diesbezüglich hat man es mit einer teillinearen Lösung, mit einer konstanten Elastizitätsmatrix E und einem noch auszubalancierenden Kraftterm t

R N = ³ B ⋅ ı N (İ ) dV

(10.15)

V

zu tun, der gemäß der Gleichgewichtsbedingung zu bestimmen ist. Das weiter noch angeführte Anfangsdehnungsverfahren wird dann benutzt, wenn für ein Material nur der implizierte Zusammenhang İ = İ(ı ) zwischen den Verzerrungen und den Spannungen formulierbar ist und insbesondere Dehnungsgrenzen das Versagen eines Bauteils (Rissbildung) kennzeichnen. Die prinzipielle Berücksichtigung einer Materialnichtlinearität soll das im Folgenden dargestellte kleine Beispiel einer Kragscheibe (s. Bild 10.4) zeigen, dem einmal ein lineares und ein anderes Mal ein nichtlineares Modell zu Grunde liegt. Als Material sei S 355 JO (ehem. St 52-3 U) angenommen, von dem im Bild 10.3 das wahre σ-ε-Diagramm aus einer Messung an Normproben gezeigt sei. Bis zur Fließgrenze R e ≈ 400 N/mm 2 liegt rein linear elastisches Verhalten vor. Danach wird deutlich verfestigendes Verhalten sichtbar. Dieses wird erfasst, in dem die notwendige Kraft auf den tatsächlichen Querschnitt (veränderlich durch Querkontraktion) bezogen wird.

10 Grundgleichungen der nichtlinearen Finite-Element-Methode

252

Programmtechnisch wird dieser Verlauf durch Angabe von Zahlenpaaren σ i , ε i berücksichtigt, zwischen denen dann interpoliert werden kann. STRESS STRAIN DATA

1076.25

*STRESS*

800.00

400.00

0.00

10 %

0

20 % *STRAIN*

30 %

35 %

Bild 10.3: Plot der gespeicherten wahren Spannungs-Dehnungskurve von S 355 JO (Spannungen sind auf eingeschnürtem Querschnitt bezogen) Die Auswertung zweier Rechenläufe zur Kragscheibe zeigt das weitere umseitige Bild 10.4 durch Angabe der charakterisierenden Isolinien, um insbesondere die plastischen Bereiche eingrenzen zu können. Bei der Annahme linear elastischen Verhaltens rechnet das Programm nur entlang der Hooke‘schen Geraden (Ingenieurspannungen) und weist die folgenden Ergebnisse auf: σ el = 929 N/mm 2 , ε el = 0,0399 = 3,99 %, w max el = 0,6 mm (Durchbiegung an der Krafteinleitungsstelle). Dass dies nicht real sein kann, vermittelt uns unser ingenieurwissenschaftlicher Verstand, da

(

)

die Normwerte R eH = 355 N/mm 2 , R m = 490 − 630 N/mm 2 viel tiefer liegen.

10.3 Plastizität

253

a)

b)

c)

d)

F = 30.000 N, E = 210.000 N/mm 2, L = 100 mm, B = 50 mm, T = 10 mm

Bild 10.4: FE-Analyse einer Kragscheibe a) linear elastische Spannungsverteilung (Hooke’sche Spannungen) b) zugehörige Dehnungsverteilung (Hooke’sche Dehnungen) c) nichtlinear elastische Spannungsverteilung (Cauchy-Spannungen) d) entsprechende Dehnungsverteilung (Hencky-Dehnungen) Berücksichtigt man stattdessen das reale Spannungs-Dehnungsverhalten, so führt dies zu den folgenden Ergebnissen: σ nl = 557 N/mm 2 , ε nl = 0 ,103 ≡ 10 , 3 %, w max = 2 , 43 mm . nl Die Verhältnisse sind somit nicht nur quantitativ, sondern auch qualitativ ganz anders zu bewerten, weshalb in vielen Fällen das tatsächliche Materialverhalten entscheidend für eine Schädigungsbeurteilung ist.

10.3 Plastizität Im Gegensatz zum nichtlinearen Elastizitätsverhalten ist plastisches Verhalten durch einen nicht eindeutigen Spannungs-Dehnungs-Zusammenhang gekennzeichnet. Insofern ist Plastizität durch das Auftreten von großen Verzerrungen charakterisiert, die die nach einer Bauteilentlastung eingeprägten Verzerrungen konservieren. Betrachtet man beispielsweise ein Bauteil unter einachsiger Belastung, so gibt ein nichtlineares Materialgesetz noch keine eindeutigen Hinweise auf nichtlinear elastisches oder plastisches Materialverhalten bei der Belastung. Der Unterschied wird erst bei einer Entlastung sichtbar: Bei nichtlinear elastischem Verhalten fallen Be- und Entlastungskurve dicht zusammen, während bei plastischem Verhalten eine von der Belastungsgeschichte

10 Grundgleichungen der nichtlinearen Finite-Element-Methode

254

abhängige Entlastungskurve auftritt. Im folgenden Bild 10.5 sind einige typische Charakteristiken dieses Verhaltens dargestellt. b)

a) σ

σ

nichtlinear elastisch

Belastung

Entlastung plastisch

Entlastung

ε

ε

c) σ εpl

σ = σ(εpl)

ε

Bild 10.5: Einachsiges Spannungs-Dehnungsverhalten (nach /ODE 72/) a) nichtlineares elastisch-plastisches Verhalten b) linear elastisch-ideal-plastisches Verhalten c) linear elastisches Verhalten mit Verfestigung im plastischen Bereich Einige wenige Materialien verhalten sich ideal-plastisch, d. h., bei einer bestimmten Fließspannung R e werden die Dehnungen unbegrenzt und unbestimmt anwachsen. Unterhalb der Fließgrenze können entweder linear oder nichtlinear elastische Verhältnisse vorkommen. Diese Modellvorstellung ist zwar einfach, jedoch von der Realität weit entfernt, da die klassischen Konstruktionswerkstoffe (St, Al, Mg, Ti) sich verfestigend verhalten, weshalb auch nur dieser Fall (im Bild c) hier betrachtet werden soll.

Vor Darlegung des plastischen Rechenalgorithmus sollen zunächst die Vorstellungen des Fließens weiter konkretisiert werden: •

Wenn ein einachsiger Spannungszustand (z. B. Zugstab) vorliegt, so ist Fließen einfach abzuschätzen, wie σ 1 < R e , dann elastische Verhältnisse σ 1 = R e , dann Fließen.

10.3 Plastizität

255

Bei auftretenden mehrachsigen Spannungszuständen sind die Verhältnisse nicht mehr so übersichtlich, da die Zonen des Fließbeginns nicht sofort eingrenzbar sind. Folgerichtig muss die vorstehende Relation verallgemeinert werden, wozu eine beanspruchungsabhängige Größe F als Funktion des Spannungszustandes und des Verfestigungsexponenten κ herangezogen wird. Weiterhin ist eine Konstante k erforderlich, welche die Widerstandsfähigkeit (in Abhängigkeit von der Fließgrenze) des Werkstoffs beschreibt. Die vorstehende Relation ist demgemäß anzusetzen als F(ı, ț ) < k , dann elastische Verhältnisse, F(ı, ț ) = k , dann plastische Verhältnisse. •

(10.16)

Ohne Führung eines Beweises kann über die Zerlegung der Verzerrungen in elastische und plastische Anteile

d İ = d İ el + d İ pl = E −1 ⋅ d ı + λ

∂F ∂ı

(10.17)

und einiger Annahmen (isotroper Werkstoff und Volumenkonstanz) letztlich eine elastoplastische Elastizitätsmatrix t

§ ∂ 2F · ¸ ⋅E E* el, pl = E − E ⋅ ¨ ¨ ∂ ı2 ¸ © ¹

ª § ∂F · t «− ¨ ¸ ¬« © ∂ ț ¹

t ∂F · § ∂F · ⋅ E ⋅ § ∂F · º ⋅ §¨ ¸⋅ı + ¨ ¸ ¨ ¸» ©∂ı¹ © ∂ ı ¹ ¼» ©∂ı¹

−1

(10.18)

bestimmt werden, mit der wieder ein Spannungs-Verzerrungszusammenhang gegeben ist. •

Für das Einsetzen von Fließen existieren mehrere physikalische Interpretationen, wie beispielsweise die Bedingung nach v. Mises: F(ı ) = −J 2′ = k ,

(10.19)

wobei J 2′ die zweite Invariante des Spannungstensors darstellt. Beim Auftreten eines ebenen Spannungszustandes lautet die Fließbedingung σ xx 2 −σ xx ⋅ σ yy + σ yy 2 + 3τ xy 2 = R e 2

(10.20)

oder σ1 2 −σ1 ⋅ σ 2 + σ 2 2 = R e 2 ,

(10.21)

entsprechend ergibt sich die Bedingung für den dreiachsigen Spannungszustand

[

(

)]

1 (σ xx − σ yy )2 + (σ yy − σ zz )2 + (σ zz − σ xx )2 + 6 τ xy 2 + τ yz 2 + τ zx 2 = R e 2 2 (10.22)

10 Grundgleichungen der nichtlinearen Finite-Element-Methode

256 oder

[

]

1 (σ1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1 )2 = R e 2 . 2

(10.23)

Die Deutung dieser Bedingungen zeigt Bild 10.6. Im ebenen Fall handelt es sich dabei um eine Ellipse und im räumlichen Fall um einen Zylinder. Ein Spannungszustand ist dann folgendermaßen zu charakterisieren: Innerhalb des Zylinders liegt elastisches Verhalten vor, auf dem Zylinder plastisches und außerhalb des Zylinders liegende Zustände sind nicht möglich. Fließgrenzlinie, plastischer Bereich

σ2

elastischer Bereich

a)

Re

einachsiger Druck σ1 σ1 F F

τF =

Re 3

− Re

R − τF = − e 3

Re − Re

b)

einachsiger Zug σ1 σ1 F F σ1 reiner Schub σ1 σ2

σ3 hydrostatische Achse R σ2 Fließzylinder

0

Fließgrenzfläche Oktaederebene

σ1

Bild 10.6: Darstellung der v. Mises‘schen Fließbedingung (nach /CHE 89/) a) Grenzlinie für einen ebenen Spannungszustand b) Fließgrenzfläche für einen räumlichen Spannungszustand

Mt

10.4 Geometrische Nichtlinearität

257

Eine weitere Fließbedingung geht auf Tresca zurück und ist wie folgt definiert:

(

)

Τ ı1, ı 2, ı 3 ≡ τ max = k = τ krit ,

(10.24)

d. h., Fließen tritt bei einem kritischen Schubspannungswert ein. Sowohl v. Mises wie auch Tresca werden bevorzugt für die Metallplastifizierung zu Grunde gelegt. Die Tresca-Bedingung wird jedoch überwiegend in der Umformsimulation herangezogen. Der Rechenalgorithmus beruht, wie zuvor beschrieben, darauf, das Gleichgewicht zwischen äußeren und inneren Kräften herzustellen. Dies muss in einem iterativen Prozess erfolgen, und zwar wie folgt:

Pnm +1 = ³ B t ⋅ ı nm +1 dV

(10.25)

+1 m ım = ım n n −1 + Δ ı n −1 .

(10.26)

V

mit

Der Index m zählt hierbei die Iterationen und der Index n den Zustand. Der Zustand entsteht dadurch, dass am einfachsten das Werkstoffgesetz diskret über Paare (σ i , ε i ) beschrieben wird. In diesem Fall kann zwischen zwei Zuständen (σ i , ε i ; σ j , ε j ) eine Tangenten-Elastizitätsmatrix E T n −1 = E el, pl (σ n , ε n ; σ n −1 , ε n −1 )

(10.27)

bestimmt werden, die wiederum die Berechnung eines zweckmäßigen Spannungszuwachses m Δ ım n −1 = E T n −1 ⋅ Δ İ n −1

(10.28)

ermöglicht. In der Praxis sind derartige iterative Rechnungen immer sehr aufwändig, da das Gleichungssystem für jeden Iterationsschritt und Zustand neu gelöst werden muss.

10.4 Geometrische Nichtlinearität In den vorausgegangenen Kapiteln haben wir bei allen Problemen stillschweigend unterstellt, dass in den betrachteten Körpern sowohl die Verschiebungen als auch die Verzerrungen relativ klein sind. Für ein finites Element bedeutet dies, dass man während des gesamten Belastungsvorganges eine sich nicht wesentlich verändernde Geometrie annehmen kann, für die ein linearer Verschiebungsansatz ausreichend ist. Bei vielen Praxisproblemen treffen diese Voraussetzungen aber so nicht zu, sondern es treten oft große Verschiebungen mit kleinen Verzerrungen auf. Typisch hierfür sind große Formänderungen.

10 Grundgleichungen der nichtlinearen Finite-Element-Methode

258

Völlig unabhängig von diesem Verhalten muss aber natürlich wieder die Gleichgewichtsgleichung (10.11) in jedem betrachteten Zustand gelten. In Ergänzung zu den bereits diskutierten Gleichungen gilt es jetzt aber, einen erweiterten Zusammenhang zwischen den Verschiebungen und Verzerrungen zu berücksichtigen. Wir wollen diesen hier in der Form t

ˆ ⋅ ıˆ dV − P = 0 ĭ( U ) = ³ B

(10.29)

V

einführen. Mit dem Dach über der Bˆ -Matrix und über dem Spannungsvektor ıˆ sei wieder die funktional nichtlineare Abhängigkeit dieser Größen hervorgehoben. Insbesondere ergibt sich jetzt die Abhängigkeit bei der Verschiebungs-Verzerrungsmatrix als

ˆ (u ) ⋅ ∂d . ∂ ݈ = B

(10.30)

Für das nachfolgende Lösungsverfahren erweist es sich als problemgerechter, die Bˆ -Matrix in zwei Anteile aufzuspalten, und zwar wie folgt: Bˆ (u ) = B − B N (u ) .

(10.31)

Hierbei soll B das phasenweise lineare Verhalten und B N (u ) das nichtlineare Verhalten*) erfassen. Die Subtraktion ist die physikalische Analogie zum auftretenden Steifigkeitsverlust im nichtlinearen Bereich. Die Lösung von Gl. (10.29) kann wieder nur iterativ erfolgen. Wir wählen hierzu zweckmäßigerweise das Newton-Raphson-Verfahren. Zur Aufbereitung des Verfahrens bilden wir zunächst die nach Gl. (10.7) erforderliche Ableitung ª ˆt ˆ t ⋅ ∂ ıˆ dV º»∂U ≡ K ⋅ ∂ U . ∂ ĭ = « ³ ∂B ⋅ ıˆ dV + ³ B T ¬V ¼ V

(10.32)

Weiter ist dazu noch die Spannungsableitung als ˆ ⋅ ∂d ∂ ıˆ = E ⋅ B

(10.33)

und die abgeleitete Verschiebungs-Verzerrungsmatrix ∂Bˆ = −∂B N

(10.34)

nötig. Setzen wir dies vorstehend ein, so folgt

*)

Anmerkung: Metallische Werkstoffe erfahren bereits im elastischen Bereich lokale plastische Verformungen und weisen umgekehrt im plastischen Bereich noch elastische Anteile auf. Bei Entlastung führen die elastischen Anteile im plastischen Bereich zu Eigenspannungen im Werkstoff.

10.5 10.4Instabilitätsprobleme Geometrische Nichtlinearität º ª » « ∂ĭ « ˆ t ⋅E⋅B ˆ dV ∂d » . = ³ ∂B N t ⋅ ıˆ dV + ³ B » ∂U « V V   » « ˆ ¼ ¬ K

259

(10.35)

Im zweiten Term dieser Gleichung erkennen wir die typische Bauform einer Steifigkeit. Werten wir diesen Term nun unter Berücksichtigung von Gl. (10.31) aus, so führt dies zu ª º ˆ = ³ B t ⋅ E ⋅ B dV − « ³ B t ⋅ E ⋅ B dV + ³ B t ⋅ E ⋅ B dV − ³ B t ⋅ E ⋅ B dV » K N N N N «¬V »¼ V V V = K − K N. (10.36)

Mit K finden wir die uns schon bekannte lineare Steifigkeitsmatrix wieder, und mit K N kann eine neue Matrix (Initialverschiebungsmatrix) abgespalten werden, die die großen Verschiebungen erfasst. Des Weiteren soll aber auch noch der erste Term von Gl. (10.35) betrachtet werden, der die Form einer Kraft aufweist. Diesen wollen wir folgendermaßen umformen: t ³ ∂B N ⋅ ıˆ dV = K σ ⋅ ∂d .

(10.37)

V

Die hierin zusätzlich zu definierende Matrix K σ (Initialspannungsmatrix) ist somit spannungs- und damit zustandsabhängig. Nach dieser Zwischenbetrachtung können wir die Gl. (10.32) zweckmäßiger schreiben als ∂ ĭ = (K − K σ − K N ) ⋅ ∂U ≡ K T ⋅ ∂U

(10.38)

und alle Steifigkeitsanteile zur Tangentialsteifigkeitsmatrix zusammenfassen, somit sind wieder die Voraussetzungen für eine iterative Lösung gegeben.

10.5 Instabilitätsprobleme Als eine bekannte Anwendung der geometrisch nichtlinearen Theorie gelten speziell die Instabilitätseffekte, so wie sie bei schlanken Stäben oder dünnen Blechen (s. hierzu auch Kapitel 7.3.6) unter Drucklasten auftreten. Da wir hier nur einen Überblick über finite Formulierungsmöglichkeiten geben wollen, beschränken wir uns in der theoretischen Darlegung auf die bekannten Euler‘schen Knickfälle von stabartigen Konstruktionen. Um dabei die Analogie zur elementaren Mechanik zeigen zu können, gehen wir von dem im Bild 10.7 gezeigten schlanken Druckstab bzw. Balken aus.

10 Grundgleichungen der nichtlinearen Finite-Element-Methode

260 F

M N

E·J, A, L

dx N + dN M + dM x, u

z, w

Bild 10.7: Druckstab zum Eulerfall I

Unter der Wirkung der äußeren Kraft F und ab einer bestimmten Lasthöhe biegt bekanntlich der Stab zu einer anderen Gleichgewichtslage aus. Da das Erreichen von Gleichgewichtslagen über das Prinzip der virtuellen Arbeit bestimmbar ist, können wir auch hier von dieser Ersatzgleichgewichtsbedingung ausgehen. Für den zuvor gezeigten Biegefall bestimmen wir zunächst mit

σ xx = −

F Mb F ( − E ⋅ J ⋅ w ′′) ⋅z + ⋅z = − + A J A J

(10.39)

die auftretende Normalspannung und mit δε xx = − z ⋅ δw ′′

(10.40)

die Faserdehnung. Damit lässt sich die innere virtuelle Formänderungsarbeit wie folgt ansetzen: L

L

F δWi = ³ σ xx ⋅ δε xx dV = ³ ³ §¨ + E ⋅ z ⋅ w ′′ ·¸z ⋅ δw ′′ ⋅ dA ⋅ dx ≈ ³ E ⋅ J y ⋅ w ′′ ⋅ δw ′′ ⋅ dx . A ¹ © V oA o (10.41)

Hierin ist mit 2 ³ z dA = J y

A

das Flächenträgheitsmoment abgespalten worden. In der konventionellen Theorie der Knickung wird gewöhnlich die Arbeit der wirkenden Druckkräfte vernachlässigt, weshalb Gl. (10.41) auch für eine gute Abschätzung ausschließlich auf Biegung reduziert werden kann. Weiterhin setzen wir mit

10.5 Instabilitätsprobleme

261

δWa = ³ F ⋅ δu

(10.42)

u

die virtuelle Arbeit der äußeren Einzelkraft an. Hierin geht mit δu die geometrische Verkürzung (s. Bild 10.8) eines Balkeninkrements durch die Biegeauslenkung ein. Diese bestimmt sich aus einem Streckenvergleich zu u = dL − dx = dx 2 + ( w ′ )2 ⋅ dx 2 − dx = dx 1 + ( w ′)2 − dx = 1 = ª 1 + ( w ′)2 − 1ºdx ≈ ( w ′ )2 ⋅ dx «¬ »¼ 2

(10.43)

bzw. als differenzieller Zuwachs 1 1 δu = ª« ( w ′ + δw ′ )2 − ( w ′ )2 º»dx ≈ w ′ ⋅ δw ′ ⋅ dx . 2 ¬2 ¼

(10.44)

F

dL

w ′dx

z, w

w′ x, u

dx dL

u

Bild 10.8: Bestimmung der geometrischen Verkürzung eines Balken-Elementchens Substituieren wir nun diese Größe in Gl. (10.42), so findet man für die äußere virtuelle Arbeit L

δWa = ³ F ⋅ w ′ ⋅ δw ′ ⋅ dx .

(10.45)

o

Für den Fall des Gleichgewichts ist somit zu fordern: L

L

o

o

E ⋅ J y ³ w ′′ ⋅ δw ′′ ⋅ dx = F ³ w ′ ⋅ δw ′ ⋅ dx .

(10.46)

Wir übertragen jetzt den vorstehend entwickelten Lösungsweg auf ein geeignetes FE-Modell und führen in Gl. (10.46) wieder den für eine Idealisierung mit Balken-Elementen relevanten Verschiebungsansatz bzw. die entsprechenden Ableitungen als

10 Grundgleichungen der nichtlinearen Finite-Element-Methode

262 δw ′ = G ′ ⋅ δd, δw ′′ = G ″ ⋅ δd

(10.47)

ein. Somit liegt folgende Gleichung vor: L L t ª ″t ″ ′ ′ º « E ⋅ J y ³ G ⋅ G dx − F ³ G ⋅ G dx » d = 0 , ¬ ¼ o o

(10.48)

die wir nun interpretieren können zu

(K − K N ) ⋅ U = 0 .

(10.49)

Hierin bezeichnet K die uns schon bekannte linear elastische Steifigkeitsmatrix, und K N bezeichnet die so genannte geometrische Steifigkeitsmatrix (Steifigkeitsverlust infolge Auslenkung) auf Gesamtstrukturebene. Die Summe aus beiden Matrizen können wir wieder zur Tangentensteifigkeitsmatrix KT = K − K N

(10.50)

zusammenfassen. Für ein Balken-Element haben wir schon im Kapitel 5.33 die Biegesteifigkeitsmatrix zu ª12 − 6L − 12 − 6L º E ⋅ Jy « 4L2 6L 2L2 » « » k= 12 6L » L3 « « » 4L2 ¼ ¬ erstellt. Unter Benutzung der Balkenansatzfunktionen erhält man entsprechend die geometrische Biegesteifigkeitsmatrix aus Gl. (10.48) zu ª36 « F « kN = 30L « « «¬

− 3L 2

4L

− 36 3L 36

− 3Lº » − L2 » . 3L» » 4L2 »¼

(10.51)

Die äußere Last F ist hier als Betrag der Druckkraft einzusetzen. Nach geeignetem Zusammenbau ist die vorstehende Gl. (10.49) zu lösen. Eine nichttriviale Lösung erhält man aber nur für U ≠ 0 aus der Gleichung det (K − K N ) = 0 .

(10.52)

10.5 Instabilitätsprobleme

263

Wird diese Gleichung fallspezifisch (d. h. unter Berücksichtigung der Randbedingungen) aufgelöst, so kann zunächst die kritische Knicklast Fkrit und danach die Knickform zufolge o

U durch Einsetzen der Kraft in Gl. (10.49) bestimmt werden.

Die Bestätigung dieses Lösungsverfahrens wollen wir am Euler-Fall II des knickbelasteten Stabes von Bild 10.9 zeigen. Nach Euler kann das Biegeknickproblem durch die DGL w ′′ + μ 2 ⋅ w = 0

(10.53)

F E⋅J

(10.54)

mit μ2 =

beschrieben werden. Der bekannte Lösungsansatz hierfür ist w ( x ) = C1 ⋅ cosμ ⋅ x + C 2 ⋅ sinμ ⋅ x .

a)

Fkrit = ?

(10.55)

b)

b = 25 h = 10

x, u

L = LK = 500

E = 70.000 N/mm2

z, w

F 2

1

w2 = 0

w1 = 0

Bild 10.9: Knickstab zum Euler-Fall II und minimales FE-Modell Über die Randbedingungen (beispielsweise w(o) = 0, w(L) = 0) führt dies zu dem Eigenwertproblem sin (μ ⋅ L K ) = 0 ,

(10.56)

welches nur durch die ganzzahlige Lösung μ ⋅ LK = n ⋅ π ,

n = 1, 2, 3, 4, ...

(10.57)

befriedigt werden kann. Setzt man in diese Gleichung wieder den Faktor μ ein, so folgt daraus für die kritischen Knicklasten

10 Grundgleichungen der nichtlinearen Finite-Element-Methode

264

Fkrit

n

=

n 2 ⋅ π2 LK 2

E⋅J.

(10.58)

Im Bild 10.10 sind für das vorstehende Beispiel verschiedene FE-Modelle und deren kritische Lasten als Ergebnis des Eigenwertproblems nach Gl. (10.52) im Vergleich zur analytischen Lösung nach Gl. (10.58) gezeigt. Man kann dabei unterstellen, dass die analytische Lösung die realen Verhältnisse weitestgehend gut trifft. Die einfachste FE-Lösung beruht hierbei unter Nutzung der Symmetrie auf einem Halbmodell und führt mit Gl. (10.52) zur charakteristischen Gleichung

det K − K N

ª F⋅L «8λ ⋅ L − 15 = « « F « 24λ − 10 ¬

F º 10 »» E⋅J = 0 mit λ = 96λ 12 F » L2 − » L 5L¼ 24λ −

(10.59)

bzw. Fkrit

1,3

=

208 ± 31.744 ⋅λ 3

oder

Fkrit = 5.800,6 N Fkrit

1

3

= 75.088,4 N

Fkrit [N] analytische Lösung n. Gl.(10.58)

1 Element + Symmetrie1 Element ausnutzung 2 Elemente 4 Elemente 8 Elemente

Modell w' = 0 Eigenwert n 1

5757,3

7000

5800,6

5800,6

5755

5752

2

23029,1

35000

-

28000

23117

22950

3

51815,4

-

75088,4

75088,4

53125

51500

Bild 10.10: Vergleich einer analytischen Lösung mit FE-Lösungen eines Stabilitätsproblems

10.5 Instabilitätsprobleme

265

Insofern sind folgende Schlüsse aus der Tabelle zu ziehen: • • •

Durch nur ein finites Element können die kritischen Laststufen der Knickkraft auch nicht annähernd richtig wiedergegeben werden. Selbst bei der Wahl von zwei finiten Elementen kann nur die erste kritische Last hinreichend genau bestimmt werden, die höheren kritischen Lasten bleiben ungenau. Erst durch die Wahl von n > 4 finiten Elementen kommen die kritischen Lasten in eine Größenordnung, die als exakt bezeichnet werden kann.

Die Knicklastinstabilität am schlanksten Stab ist somit als typisches Eigenwertproblem anders einzustufen als die reine Biegeproblematik.

266

11 Wärmeübertragungsprobleme Schon in der einleitenden Wertung der FE-Methode wurde herausgestellt, dass die Methode nicht nur in der Elastizitätstheorie, sondern auch bei Feldproblemen wie Wärmeleitung, Potenzialströmung elektrischer Felder und Magnetismus anwendbar ist. Da insbesondere die Wärmeübertragung im Maschinen- und Fahrzeugbau eine wichtige Rolle spielt, wollen wir in der nachfolgenden Darstellung auch noch kurz auf die methodische Aufbereitung dieses Problemkreises /SVO 75/ eingehen.

11.1 Physikalische Grundlagen Die weiteren Ausführungen sollen auf homogene, metallische Materialien eingeschränkt bleiben. Demzufolge wollen wir unter Wärmeübertragung die Ausbreitung von Wärme in Körpern charakterisieren und als einen Austausch von wärmeren mit kälteren Zonen verstehen. Würde bei einem derartigen Austausch nicht laufend neue Wärme zugeführt, so würde ein Ausgleichsvorgang einsetzen, an dessen Ende der gesamte Körper eine einheitliche Temperatur hätte. Während dieses Ausgleichsvorganges ändert sich die Temperatur an jedem Ort des Körpers mit der Zeit. Alle Ausgleichs-, Aufheiz- und Abkühlvorgänge sind demnach instationäre Wärmeübertragungsvorgänge (T(x, y, z; t)). Ändert sich dagegen das Temperaturfeld zeitlich nicht, so hat man es mit einem stationären Wärmeübertragungsvorgang (T(x, y, z)) zu tun. Ein derartiger Vorgang bedarf somit einer dauernden Wärmezufuhr, wobei der Körper als Energieleiter fungiert. Das Vordringen eines Wärmestroms (= Wärmemenge/Zeit) in einem Körper ist aber nur möglich, wenn ein Temperaturgefälle vorhanden ist. Der Wärmestrom sucht sich deshalb seinen Weg dort, wo das Temperaturgefälle am steilsten ist. Der Wärmestrom muss darum eine Proportionalität zum Temperaturgradienten*), zur Größe der Berührungsfläche und zur Wärmeleitfähigkeit λ des Materials aufweisen. Diese Überlegung führt letztlich zur so genannten Fourier‘schen Wärmeleitungsgleichung  = −λ ⋅ A ⋅ ∂ T , Q ∂n

(11.1)

die man auch pro Fläche beziehen und als Wärmestromdichte  ∂T Q q = = −λ ⋅ A ∂n

(11.2)

angeben kann. Der ablaufende Vorgang der Wärmeübertragung kann mit der Strömung von Wasser durch Kies verglichen werden. Demnach entspricht die stationäre Wärmeübertragung einer Strö*)

Anmerkung: Ein Gradient ist negativ, wenn er vom höheren zum niedrigeren Potenzial führt. Der Wärmestrom breitet sich infolgedessen in Richtung des negativen Temperaturgradienten aus.

B. Klein, FEM, DOI 10.1007/978-3-8348-2134-8_11, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012

11.1 Physikalische Grundlagen

267

mung durch eine gesättigte Kiesschicht und die instationäre Wärmeübertragung einer Strömung durch eine trockene Kiesschicht (s. Bild 11.1).

Bild 11.1: Wärmeleitungsanalogon an einem mit Kies gefüllten Behälter (nach /STE 71/) a) stationärer Strömung b) instationärer Strömung Die dann bei einer stationären Strömung durch den Kies in einer Zeiteinheit durchdrungene  “ ist bei dem gezeigten Strömungsprofil proportional zum Gefälle Wassermenge „ dQ

(∂T / ∂x) , zum Querschnitt ( dy ⋅ dz) und zur Durchlässigkeit (λ):  = −λ ⋅ dy ⋅ dz ⋅ dQ

∂T . ∂x

(11.3)

Hingegen wird bei einer instationären Strömung, im Sinne einer Sättigung des trockenen Kieses, in jedem Volumen-Element dem durchströmenden Wasser ein Teil entzogen. Über auf der tragen auf die instationäre Wärmeübertragung wird also dem Wärmestrom dQ

 )/∂ x ] dx entzogen. Strecke dx dem Volumen-Element dV = dx ⋅ dy ⋅ dz der Anteil [∂(dQ Dies ist gleich der Temperaturänderung ∂T/∂ t je Zeiteinheit eines Massenelements dm = ρ ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz mit der spezifischen Wärmekapazität c, also

( )

 ∂ dQ ∂T ∂T dx = dm ⋅ c ⋅ . = ρ ⋅ c ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz ⋅ ∂x ∂t ∂t

(11.4)

Bei Anwendungsproblemen interessiert in der Regel die zeitliche Temperaturänderung ∂T/∂ t an einer bestimmten Stelle im Körper. Diese ergibt sich aus der Kontinuitätsbedingung (quasi Gleichgewichtsgleichung), wonach die vom Volumen-Element dV aufgenommene Wärmeleistung gleich dem entzogenen Wärmestrom sein muss. Dieser ergibt sich durch Ableitung von Gl. (11.3) zu ) ∂T · ∂ (dQ ∂ § ∂ 2T dx = ¨ − λ ⋅ dy ⋅ dz ⋅ ¸dx = −λ ⋅ 2 ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz , ∂x ∂x © ∂x ¹ ∂x

(11.5)

11 FEM-Ansatz für Wärmeübertragungsprobleme

268

woraus sich weiter durch Gleichsetzen mit Gl. (11.4) findet: ρ ⋅ c ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz ⋅

∂T ∂ 2T = λ⋅ ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz ∂t ∂x 2

∂T ∂ 2T ρ⋅c⋅ . = λ⋅ ∂t ∂x 2

(11.6)

Angemerkt sei noch einmal, dass bisher nur die x-Richtung berücksichtigt ist. Der nun eintretende Vorzeichenwechsel tritt auf, weil eine im Volumen verbleibende Wärmeleistung einen Gewinn (+), aber für den Wärmeleistungsstrom einen Verlust (-) darstellt. Da neben einer Erwärmung durch Wärmeübertragung mitunter auch noch eine durch innere Wärmequellen erfolgen kann, wollen wir der Vollständigkeit halber jetzt auch eine Wärmequelle einbauen, deren innere Wärmeleistung anzusetzen ist mit  dQ Vi = φ ⋅ ρ ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz .

(11.7)

Darin bezeichnet φ die Ergiebigkeit (spezifische Wärmeleistung) einer Wärmequelle. Ergänzen wir damit die vorstehende DGL (11.6), so führt dies zu ρ⋅c⋅

∂T ∂ 2T =λ⋅ + q Vi . ∂t ∂x 2

(11.8)

Wir verallgemeinern jetzt diese DGL, indem wir berücksichtigen, dass sich der Wärmeleitungsstrom nicht nur in x-Richtung, sondern in allen drei Raumrichtungen ausbreiten kann. Die Bilanzgleichung lautet für diesen Fall: ȡ⋅c⋅

(

)

∂T *) = ∇ t ⋅ Ȝ ⋅ ∇ ⋅ T + q Vi ∂t

(11.9)

mit der Wärmeleitfähigkeitsmatrix ªȜ x Ȝ=« 0 « ¬« 0

0 Ȝy 0

0º 0 ». » Ȝ z ¼»

(11.10)

Zur Lösung dieser Differenzialgleichung bedarf es im Weiteren Randbedingungen für den Körper und gegebenenfalls Anfangsbedingungen für die Temperatur. Im Bild 11.2 ist zunächst ein Körper gezeigt, für den die wesentlichen Wärmeübertragungsrandbedingungen angedeutet worden sind. Hierzu zählen: *)

Anmerkung: Nabla-Operator:

∇

t

ª ∂ = « ¬ ∂x

∂ ∂y

∂ º » ∂z ¼

11.1 Physikalische Grundlagen •

269

die Temperaturbedingung, d. h., die Temperatur auf der Oberfläche muss in einem Bereich gleich der Umgebungstemperatur sein, T0 = T∞

(11.11)

und •

die Wärmestrombedingung, d. h., ein Wärmestrom auf der Oberfläche pflanzt sich auf der Normalen zur Oberfläche in den Körper hinein fort, λ

∂T = q V . ∂n

(11.12)

Bild 11.2: Wärmeübertragung an einem Körper (nach /BAT 86a/) Sollen hingegen noch andere Wärmeübertragungseffekte (Konduktion = Wärmeleitung, Konvektion = Wärmeübergang, Wärmestrahlung) betrachtet werden, so sind die vorstehenden Randbedingungen aufgabenspezifisch zu erweitern, um − Temperaturbedingungen und Wärmestrombedingungen in bestimmten Punkten oder auf bestimmten Flächen, − Konvektionsbedingungen, − Strahlungsbedingungen, − Wärmekontaktbedingungen und − Isolierungsbedingungen. Eine entsprechende Übersicht hierzu gibt Bild 11.3.

11 FEM-Ansatz für Wärmeübertragungsprobleme

270

1. Temperatur-Randbedingung

2. Wärmefluss-Randbedingung

. qV (x, y, z; t)

n TV = Ti0(x, y, z; t)

Vi

q q n = q V T, unbekannt

Oq 3. Wärmeübertragungs-Randbed. TV, unbekannt

4. Wärmestrahlungs-Randbed. TV, unbekannt

T∞ q V = α(T∞ − TV )

q V = c R (TS 4 − TV 4 ) TS, bekannt

5. Wärmekontakt

6. Isolierung

n TV2, bekannt

. qV = 0

TV1, unbekannt

Bild 11.3: Randbedingungen zur Lösung von Temperaturfeldproblemen Einzelne Randbedingungen können dabei an Körpern alleine oder in Kombination vorkommen, wodurch eine konventionelle mathematische Lösung äußerst schwierig bis unmöglich wird.

11.2 Diskretisierte Wärmeleitungsgleichung

271

11.2 Diskretisierte Wärmeleitungsgleichung Der physikalische Effekt der Wärmeleitung findet nur in festen Körpern, und zwar im Inneren oder an der Oberfläche sich berührender Körper statt. Um hier den Temperaturverlauf bestimmen zu können, ist es zweckmäßig, den Körper in eine Anzahl von finiten Elementen zu unterteilen und das Problem bereichsweise zu lösen. Aus diesem Grunde wandeln wir die DGL (11.9) in die finite Grundgleichung für das Wärmeleitungsproblem um. Hierzu machen wir, wie in Kapitel 3 dargestellt, vom Galerkin‘schen Prinzip Gebrauch und stellen für ein Element das folgende Funktional

(

)

º tª t t ³ G « ȡ ⋅ c ⋅ ∂t − ∇ ⋅ Ȝ ⋅ ∇ T » dV − ³ G ⋅ q V dV = 0 ¬ ¼ V V ∂T

(11.13)

auf. Nun machen wir noch in bekannter Weise einen Approximationsansatz für die Temperatur über diskrete Knotentemperaturen, und zwar mit T( x , y, z; t ) = G ( x , y, z ) ⋅ Te (t ) .

(11.14)

Hierin bezeichnet wieder G den Ansatzfunktionsvektor und Te den Knotentemperaturvektor für ein Element. Setzt man jetzt den Ansatz in Gl. (11.13) ein, so erhält man

[

]

 − ³ (∇ ⋅ G ) t ⋅ Ȝ ⋅ (∇ ⋅ G ) dV ⋅ T − ³ G t ⋅ q dV = 0 ρ ⋅ c ³ G t ⋅ G dV ⋅ T e e V V

V

(11.15)

V

und hieraus die finite Wärmeleitungsgleichung  − k ⋅ T − q = 0. c⋅T e e e

(11.16)

Mit Gl. (11.15) konnten also alle Vorschriften zur Erstellung einer diskreten Wärmeleitungsgleichung hergeleitet werden. Wir wollen das Problem jetzt erneut erweitern, indem wir den resultierenden Wärmeflussvektor am Knoten verallgemeinern in  qe = Q i t

(diskreter Wärmefluss am Knoten)

+ ³ G ⋅ q V dV

(verteilter Wärmefluss im Volumen)

+ ³ G t ⋅ q 0 d 0

(verteilter Wärmefluss auf der Oberfläche)

+ ³ G t ⋅ α ⋅ T∞ d 0

(Konvektionseffekte)

(11.17)

V

0

0

Unter der Annahme, dass homogene isotrope Körper vorliegen, kann Gleiches κ = konst. (spezif. Wärme/Volumen) und λ = konst. für alle Richtungen angesetzt werden. Hiermit kann nunmehr definiert (s. auch /STE 92/) werden:

11 FEM-Ansatz für Wärmeübertragungsprobleme

272 − die Wärmekapazitätsmatrix t

c = κ ³ G ⋅ G dV mit κ = ρ ⋅ c

(11.18)

V

und − die Wärmeleitungsmatrix t

t

k = λ ³ (∇ ⋅ G ) ⋅ (∇ ⋅ G ) dV + α ³ G ⋅ G d0 . V

(11.19)

0

Den weiteren Anteil in der Wärmeleitungsmatrix erhält man dabei durch Einarbeitung des Wärmeübergangs, der weiterhin zwischen einem Gas oder Flüssigkeit und einem Körper bestehen kann. Der Wärmestrom hat dabei an der Grenzfläche einen Übergangswiderstand (α = Wärmeübergangszahl) zu überwinden. Nachdem alle Beziehungen auf Elementebene gegeben sind, muss man sich wieder dem Zusammenbau zu einem Körpermodell zuwenden. Es sei im Weiteren angenommen, dass die verwendeten Elementgeometrien (Knotenanordnungen) die gleiche Form haben, wie die in der Elastostatik oder Elastodynamik verwendeten Elemente, sodass auch der ZusammenbauAlgorithmus den schon in Kapitel 3 aufgestellten Regeln gehorcht. Die Besonderheit dabei ist nur, dass jetzt pro Knoten mit der Temperatur nur eine Unbekannte*) vorliegt. Führt man den Zusammenbau damit entsprechend durch, so führt dies zu  − K ⋅T = Q, C⋅T

(11.20)

welches also die Systemgleichung des instationären Wärmeleitungsproblems darstellt. Verschwindet hierin der transiente Anteil, so reduziert sich Gl. (11.20) auf das stationäre Wärmeleitungsproblem K ⋅T = Q.

(11.21)

Wie in der nachfolgenden Tafel des Bildes 11.4 deutlich wird, gibt es dabei von der Problemformulierung eindeutige Analogien zur mechanischen Bauteilanalyse, welches sowohl für die Matrizen als auch die physikalischen Konstanten gilt. Der Grad der DGLs ist hingegen niedriger.

*)

Anmerkung: Die Temperatur ist eine skalare Größe, die von einem Knoten aus in alle Richtungen mit gleicher Intensität wirkt. Bei elastomechanischen Problemen können hingegen alle Größen in den drei Raumrichtungen unterschiedlich sein. FE-Programme für die Elastik müssen deshalb eine andere Speichertechnik benutzen.

11.3 Lösungsverfahren

273

Temperaturanalyse

Verschiebungsanalyse

DGL-System:

DGL-System:

 −K ⋅T = Q C⋅T

M⋅Ü+K⋅U = P

mit

mit

T Q K C λ κ α

Knotenpunkt-Temperatur Knotenpunkt-Wärmeflüsse Wärmeleitungsmatrix Wärmekapazitätsmatrix Wärmeleitfähigkeit spez. Wärme je Volumen Wärmeübergangskoeffizient

U P K M E ρ ν

Knotenpunkt-Verschiebungen Knotenpunkt-Kräfte Steifigkeitsmatrix Massenmatrix Elastizitätsmatrix Dichte Querkontraktion

Bild 11.4: Zusammenhänge zwischen dem Temperaturfeldproblem und der elastomechanischen Analyse Neben den schon angedeuteten Formulierungsmöglichkeiten bei Wärmeübertragungsproblemen können in der Praxis auch noch stationäre nichtlineare Probleme mit einer temperaturabhängigen Wärmeleitungsmatrix K(T) und einem temperaturabhängigen Wärmefluss Q(T) vorkommen. Dieser Aufgabentyp sei aber hier ausgeklammert.

11.3 Lösungsverfahren Die Lösungsprinzipien für die zuvor diskutierten Problemkreise weichen nur in einigen Punkten von den zuvor in der Elastostatik diskutierten Strategie ab, sodass wir uns hier mit ein paar prinzipiellen Hinweisen kurzhalten können. Zunächst sei unterstellt, dass ein im Gleichungssystem und in den Randbedingungen stationäres Problem nach Gl. (11.21) vorliegt. Dies kann formal nach den unbekannten Knotenparametern T durch Inversion aufgelöst werden: T = K −1 ⋅ Q .

(11.22)

An der Bauform der Gleichung ist sofort zu erkennen, dass ein numerisch völlig identisches Problem zu dem elastostatischen Gleichungssystem vorliegt, welches in Kapitel 5.4.5 behandelt wurde. Wir erinnern uns, dass dieses Gleichungssystem nur dann lösbar ist, wenn eine positiv definite Gesamtsteifigkeitsmatrix K über entsprechende Randbedingungen erstellt werden konnte. Im Fall der stationären Wärmeleitung weist die Matrizengleichung einen Rangunterschied von eins auf, was für die Invertierung mindestens eine vorgeschriebene Temperatur,

11 FEM-Ansatz für Wärmeübertragungsprobleme

274

z. B. T0 = T∞ (Umgebungstemperatur), erforderlich macht. Diese Bezugsetzung ist auch insofern sinnvoll, da sich ein Temperaturzustand immer auf eine Referenztemperatur bezieht. Liegt die zusätzliche Schwierigkeit einer nichtlinearen Wärmeleitungsmatrix K(T) vor, so kann die vorstehende Gleichung nur iterativ, beispielsweise mit dem schon im Kapitel 10.1 beschriebenen Newton-Raphson-Verfahren, gelöst werden. Etwas anders erweist sich die Lösungsproblematik bei der instationären Gleichung (11.20). In den meisten kommerziell angebotenen FEM-Wärmeleitungsprogrammen wird als Lösungsverfahren die direkte Integration nach der Zeit /ALT 82/ verwandt, welche ein Temperaturfeld zu unterschiedlichen Zuständen zu bestimmen gestattet. Dazu zerlegt man den Betrachtungszeitraum in eine Anzahl von Zeitinkrementen Δ t = t i +1 − t i mit t = 0, t1 " , t i , " und bildet damit in der Gleichung die Ableitung zu i T

=

1 i

Δt

( i +1 T − i T )

(11.23)

und setzt diese in die Gleichung  −K⋅T = Q C⋅T

ein. Man erhält so 1

i

1 C ⋅ i +1T − C ⋅ iT − K ⋅ iT = Q i Δt Δt 1

i

Δt

C⋅

§ 1 · T=Q+¨ C+ K ¸ i T ¨ iΔt ¸ © ¹

(11.24)

i +1

bzw. die identische Gleichung i

K * ⋅ i T = i Q* ,

(11.25)

die ausgehend von einem Anfangszustand i T = o T = ¦ T ∞ möglicherweise mit einer ersten linearen Näherung von einem Punkt ausgehend aufgerollt werden kann und iterativ mit verschiedenen mathematischen Verfahren (z. B. Gauß-Seidel, Jakobi, Konjugate Gradient, Überrelaxation etc.) zu lösen ist. Da hier deutlich weniger Unbekannte ermittelt werden müssen, erweisen sich alle Verfahren vergleichsweise als sehr schnell.

11.5 Thermisch-transiente strukturmechanische Berechnung

275

11.4 Thermisch-stationäre strukturmechanische Berechnung Ein in der Praxis häufiges Problem ist, dass Temperaturen in Festkörpern mit mechanischen Beanspruchungen verbunden sind. Derartige Multiphysikaufgaben*) können entweder zweistufig oder als gekoppeltes Problem (z. B. in ANSYS, FEMLAB, COMSOL) behandelt werden: •

Zweischritt-Lösung K ther ⋅ T = Tvor → İ = Į⋅ T,

ı = E⋅İ

mit konventionellem FE-Programm und zusätzlichem Wärmeleitungsmodul. •

Einschritt-Lösung (Multiphysikansatz)

K ther

0

0

K mech

⋅

T U

=

Tvor U vor

→ T, U , ı

mit speziellen Multiphysik- bzw. Multifeld-Elementen. Im Folgenden soll die Zweischritt-Lösung auf das Problem der stationären Temperatur- und Spannungsverteilung in einem Rohr dargestellt werden. Derartige Fragestellungen sind im Maschinen- und Kraftwerksbau geläufig. Insofern zeigt das umseitige Bild 11.5 die Situation eines Rohres in einem Heißdampf-Kühlkreislauf. Für die Auslegung sind der Temperaturdurchgang durch die Wandung und die thermisch-mechanische Beanspruchung von Interesse. Bei der Simulation ist besonders zu berücksichtigen, dass der Elastizitätsmodul und der Längenausdehnungskoeffizient temperaturabhängig sind, z. B. für Cr-Ni-Stahl E15 °C ≈ 2,15 ⋅ 105 N/mm 2 ,

α L 15 ° C ≈ 13, 9 ⋅ 10 −6 K −1 ,

E 300 °C ≈ 1,90 ⋅ 105 N/mm 2 ,

α L 300 ° C ≈ 17 ⋅ 10 −6 K −1 .

Die Auswertung in den umseitigen Abbildungen ist auf die Temperatur und die Spannung in der Rohrwandung bezogen, die hier als dünnwandig ( R a /R i ≤ 1,2 ) angesetzt wurde. Für die Modellierung wurden rechteckige Kreisring-Elemente verwendet, weswegen bei diesem „einfachen“ Problem nur Abweichungen von ca. 1-2 % gegenüber der analytischen Lösung auftreten. Mit den angegebenen Formeln /TIM 51/ lässt sich die FE-Rechnung überschlägig gut kontrollieren.

*)

Anmerkung: Allgemeine Multiphysikaufgaben bestehen in thermisch-mechanische, magneto-mechanische, thermisch-magnetische oder elektromagnetisch-thermisch-mechanische Kopplungen.

11 FEM-Ansatz für Wärmeübertragungsprobleme

276

r

z

°C 0 0 pf 3 m = T i ißda He

σ axial

y

Analytische Lösung: σ axial ≈ − α L ⋅ E ⋅ ΔT ⋅ (1 − ν )

σ tangential

σ tangential ≈

α L ⋅ E ⋅ ΔT 2 (1 − ν )

T − Ti ª r º ln T(r ) = Ti + a ªR º «R » ln « a » ¬ i ¼ ¬ Ri ¼

Kühlwasser Ta = 15°C

180 200 Tangen tia

lspannu n

Axialsp annung

g

-4.91E+057.49E+05

Temp e

ratur

1.99E+05 -6.43E+05

2

Tangentialspannung (mN/mm ) -6.43E+05 2 Axialspannung (mN/mm ) -1.04E+06 Temperatur (Celsius)

1.50E+01

-3.95E+05

-1.47E+05

1.01E+05

3.49E+05

5.97E+05

-7.93E+05

-5.45E+05 -4.91E+05

-2.97E+05

-1.99E+05

7.20E+01

1.29E+02

2.43E+02

3.00E+02

1.86E+02

Bild 11.5: Ermittlung der stationären thermo- und elastomechanischen Beanspruchung über die Wanddicke eines dampfdurchströmten Rohrs

11.5 Thermisch-transiente strukturmechanische Berechnung Im Kapitel 11.6 ist die instationäre Wärmeleitungsgleichung hergeleitet worden, mit der sich Aufheizvorgänge analysieren lassen. Bei Aufheizvorgängen interessieren gewöhnlich der Zeitverlauf des Aufheizens und die hierdurch hervorgerufene Temperaturverteilung. In vielen Fällen, wenn komplizierte Bauteile in Vorrichtungen geschweißt werden, ist damit auch die Initiierung von Eigenspannungen verbunden, da sich diese später den mechanischen Spannungen überlagern. Eigenspannungen werden durch die zeitliche Differenz zwischen Aufheiz- und Abkühlvorgängen eingeprägt und lassen sich mit FEM leider nur sehr unsicher bestimmen. Als Beispiel für ein transientes strukturmechanisches Problem soll im Bild 11.6 das Laserschweißen /GRO 01/ von dünnen Stahlblechen betrachtet werden. Der fokussierte Laserstrahl mit einem definierten Leistungseintrag (Q = 150 W/mm 2 ) und einer vorgegebenen

11.5 Thermisch-transiente strukturmechanische Berechnung

277

Vorschubgeschwindigkeit (v = 2 mm/s) wird über die Blechkanten geführt und mit Zusatzdraht verschweißt. Spannpratze

Schweißrichtung

s

rechte Blechhälfte Schweißpunkt

Modell Leistung Q

40

linke Blechhälfte

40

Bild 11.6: Situation beim Laserschweißen Im obigen FE-Modell ist die Symmetrie ausgenutzt und ein ebenes vierknotiges SchalenElement zu Grunde gelegt worden. Der Schweißprozess wird durch punktuelle bzw. kantenbezogene Randbedingungen simuliert. Der Leistungseintrag des Lasers erfolgt am linken Blechrand und wird mit Vorschubgeschwindigkeit gesteuert.

Temperatur in °C

Im Bild 11.7 ist exemplarisch der zeitliche Verlauf ausgewählter Knotenpunkttemperaturen in der Schweißnaht dargestellt. Die angegebenen Linien „s“ geben den Temperaturverlauf an bestimmten Stellen wieder bzw. zeigen die Ausstrahlung der Temperatureinwirkung in das Material. Die augenblickliche Position findet sich aus dem linearen Zusammenhang s = v ⋅ t , d. h. zu 5 sec. korrespondiert die Stellung 10 mm vom Ursprung. 800 720 640 560 480 400 320 240 160 80 0

s=8

s=4 s=0

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 Zeit in s 0

1

2

3

4

5 6 7 Weg in mm

8

9 10

Bild 11.7: Knotenpunkt-Temperaturverlauf in der Schweißnaht über dem Weg

11 FEM-Ansatz für Wärmeübertragungsprobleme

278

Weiter gibt Bild 11.8 Informationen über den Temperaturverlauf in der Schweißnaht und die augenblicklich initiierte Elementspannung. a)

b)

σ = 165 N / mm 2

T = 20 °C

T = 463 °C T = 537 °C T = 685 °C

σ = 249 N / mm 2

aufgeschmolzenes Metall

Bild 11.8: Ausgewerteter Temperatur- und Spannungsverlauf im Blech (analysiert mit ANSYS) bei s = 10 mm Im Zentrum der externen Wärmequelle ist die FE-Berechnung allerdings sehr unsicher, da hier kein Festkörper-Werkstoffgesetz vorliegt.

279

12 Mehrkörpersysteme In den letzten Jahren hat mit der Entwicklung mechatronischer Systeme der MKS-Ansatz größere Bedeutung erlangt, da er Kinematik, Kinetik und Elastik (EMKS)*) miteinander verknüpfen kann. Mittlerweile können umfangreiche MKS-Analysen mit komfortablen Programmen (z. B. MEDYNA, ADAMS-ANYS) bearbeitet werden, wobei die Programme laufend verbessert werden. Erst die MKS-Theorie hat Gesamtsystemsimulationen (Fahrzeuge, Roboter etc.) im Rechner ermöglicht und die Probleme somit einer Optimierung /KNO 96/ erschlossen. Weil die Anwendungsbreite zunehmen wird, soll abschließend noch die Lücke zwischen MKS und FEM geschlossen werden.

12.1 Merkmale eines MKS In der Technik kommen überwiegend geregelte Mehrkörpersysteme /LAG 94/ mit definierten An- und Abtrieben vor. Diese Systeme bezeichnet man als kinematisch linear, wenn die Geometrie- bzw. Lageänderungen zwischen den Einzelkörpern klein bleiben. Nichtlineare Geometrien kommen in der Praxis recht selten vor. Ein Mehrkörpersystem stellt immer ein mechanisches Ersatzsystem (Modell) einer technischen Realisierung dar. Hieraus folgt, dass Annahmen zu treffen sind, die die „realen Verhältnisse“ bestmöglich annähern. „Bestmöglich“ bedeutet im Ingenieurwesen: so real wie möglich, einschätzbare Vernachlässigungen und angemessener Aufwand. Im umseitigen Bild 12.1 ist ein mögliches Mehrkörpersystem angedeutet worden. Diesem lassen sich die folgenden Eigenschaften zuordnen: − Es besteht aus einer endlichen Anzahl N von Körpern (starr oder elastisch). − Die Körper sind durch passive, mechanische oder elektromechanische sowie durch aktive Elemente (Antriebe) untereinander verbunden. Zugleich treten kinematische Bedingungen durch Führungen, Lager und Gelenke auf. − Die kinematischen Bindungen erzeugen Zwänge, die die Bewegungsmöglichkeiten des MKS einschränken. und − Auf die Körper können äußere Kräfte Fi und Momente M i (i = 1, ..., n) einwirken. Wird mit r die Anzahl der gegebenen Zwangsbedingungen bezeichnet, dann hat das MKS den Freiheitsgrad bzw.

f = 6 ⋅ N − r (bei räumlichen Bewegungen) f = 3 ⋅ N − r (bei ebenen Bewegungen).

*)

Anmerkung: Bei MKS existiert auch eine Theorie der „flexiblen MKS“, abgekürzt EMKS.

B. Klein, FEM, DOI 10.1007/978-3-8348-2134-8_12, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012

12 Mehrkörpersysteme

280 Kupplung Körper

Körper

Dämpfer

Feder

Spiel

Umgebung Gelenk x y ( KS) 0 z Inertialsystem

Fi

zi xi

φ zi

φ xi (KS)i

φ yi y i Körper i

Mi

Bild 12.1: Verallgemeinertes Mehrkörpersystem Definitionsgemäß heißt ein Freiheitsgrad aktiv, wenn er zu einem unabhängigen Antrieb gehört. Bei einem aktiven Mechanismus (z. B. Roboter) sind im Allgemeinen alle Freiheitsgrade aktiv. Die Freiheitsgrade (FHG) werden dabei von der Ausführung der Gelenke beeinflusst. Gelenke können gewisse Freiheitsgrade sperren und darüber die Beweglichkeit einschränken. Ein wichtiges Lösungsmerkmal für MKS ist der Strukturaufbau (Topologie, s. /WAL 89/): − Systeme mit Baumstruktur: Solche Systeme zerfallen in getrennte Teilsysteme mit Zwanglauf, wenn alle Gelenke zwischen einem beliebigen Knotenpaar entfernt werden. Für derartige Systeme sind die Bewegungsgleichungen leicht zu ermitteln. − Systeme mit kinematisch geschlossenen Schleifen: Dies sind Systeme, bei denen die zuvor aufgestellte Bedingung nicht erfüllt ist. Das im Bild 12.1 modellierte System hat keine Baumstruktur: Auf dem Weg von der Umgebung über die drei Körper zurück zum Ausgangspunkt gibt es zwischen allen Körpern ein Gelenk. Man kann das System nicht in zwei Teilsysteme zerlegen, wenn man nur ein Gelenk entfernt. Das Aufstellen der Bewegungsgleichungen für kinematisch geschlossene Schleifen ist extrem aufwändig, da neben den Bindungsgleichungen auch noch Verträglichkeitsbedingungen zu berücksichtigen sind.

12.2 Kinematik von MKS

281

Ziel muss es stets sein, die Kinematik eines MKS durch elementare Gleichungen der Mechanik /SCH 99/ zu beschreiben.

12.2 Kinematik von MKS Die Aufgabenstellung der Kinematik ist die Ermittlung der Lage, Geschwindigkeit und Beschleunigung von bewegten Einzelkörpern. Hierbei wird die Lage eines Körpers durch seine Position und seine Orientierung erfasst. Zur Erfassung der räumlichen Bewegung eines Körpers wird ein Referenzkoordinatensystem (KS) R benötigt. Weiterhin ist ein mit dem Körper (z. B. i-ter Körper) fest verbundenes Koordinatensystem ( hier ( KS)i ) erforderlich. Das allgemeine Kinematikproblem kann insofern auf die Dynamik der Koordinatensysteme zurückgeführt werden. Zu beachten ist dabei aber noch, dass es für die Wahl des Referenzsystems zwei grundsätzlich unterschiedliche Möglichkeiten gibt: a) Das Referenzsystem ist ein Inertialsystem (KS) o , d. h., das Koordinatensystem ist beschleunigungsfrei. In der Anwendung wird das (KS) o in der Regel auf eine nicht bewegliche Basis gesetzt; die Bewegung eines Körpers wird dann bezüglich dieser Basis in Inertialkoordinaten beschrieben. b) Das Referenzsystem ist ein Relativsystem, d. h. ein mit einem anderen beweglichen Körper j des MKS verbundenes Koordinatensystem. Die Bewegung eines Körpers wird relativ zu einem Referenzkörper beschrieben. Im Bild 12.2 sind die Verhältnisse zwischen den Inertial- und Körperkoordinaten dargestellt, und zwar für den Punkt P, der sich relativ bewegen soll. Hierin bezeichnen (s. auch /HEI 98/): − (KS) o das Inertialsystem*) und (KS) i das Körpersystem; − O i ein körperfester Bezugspunkt und P ein variabler Körperpunkt; − e xo , e yo , e zo die Einheitsvektoren des (KS) o ; − (o) e xi , (o) e yi , (o) e zi die Einheitsvektoren des körperfesten (KS) i , dargestellt im (KS) o ; − der Ortsvektor im Inertialsystem (KS) o (o ) rp = x ⋅ e xo + y ⋅ e yo + z ⋅ e zo ;

*)

Anmerkung: Inertialsystem = beschleunigungsfreies Koordinatensystem

(12.1)

12 Mehrkörpersysteme

282 − der Ortsvektor im Körpersystem (KS) i (i ) rp = u ⋅ e xi + v ⋅ e yi + z ⋅ e zi .

(12.2)

Die Koordinaten der Einheitsvektoren sind durch die Richtungskosinusse gegeben. Fasst man diese Koordinaten zu einer Matrix zusammen, so erhält man die Transformationsmatrix (siehe T in Kapitel 5.4.1), die innerhalb der MKS auch mit Rotations- oder Drehmatrix (R) benannt wird: (OK) R

≡ R = ª (o) e xi , (o) e yi , (o) e zi º , «¬ »¼

(12.3)

sie beschreibt die Orientierung des (KS) i bezüglich des (KS) o . Wie früher schon bewiesen, ist die Transformationsmatrix orthogonal, d. h., es gilt R ⋅ Rt = I ,

(12.4)

hieraus folgt auch für die inverse Rotationsmatrix R -1 = R t = R .

(12.5)

Die Bedeutung dieser Beziehung ist vor allem darin zu sehen, dass die Inversion einfach auf die Transposition zurückzuführen ist.

zR , w yR , w P ( o ) e zi

Körper i

Oi

(KS)i

Bahnkurve von P (o) e yi

r (o ) p

(o ) rop bzw. (i) rp (o)exi xR , u

x φx e xo

(o)ro

(KS)0 e zo

e yo

φz z

Bild 12.2: Inertial- und Körperkoordinaten bzw. -systeme als Rechtssysteme

φy

y

12.2 Kinematik von MKS

283

Weiterhin lässt sich in der Kinematik eine allgemeine Bewegung des Punktes P als die Überlagerung einer Translation und einer Rotation ausführen. In dem vorstehenden Bild ergibt sich für (o ) rop = (o ) ro + R i ⋅ (i ) rp .

(12.6)

Die Gleichung stellt also eine Koordinatentransformation ((KS) i → (KS) o ) dar. 12.2.1

Drehmatrix

In den vorstehenden Skizzen sind schon rechtsdrehende Körper-Koordinatensysteme (KS) K eingeführt worden. Als Zusammenhang (s. Bild 12.3) kann zwischen den Koordinaten des Punktes P im Inertialsystem und im gedrehten Koordinatensystem bei einer Drehung um die x-Achse angegeben werden: ªx º ª1 0 « » « « y » = «0 cos ij x «z» «0 sin ij x (o ) ¬ ¼ (K) ¬

º ªuº » « » − sin ij x » ⋅ « v » «w » cos ij x » ¼ (K) ¬ ¼ 0

(12.7)

bzw. ( K ) R x (φ x ) ⋅ ( R ) rP ,

( o ) rP =

zK

mit ( K ) R x = R (φ x ) .

P

z ( o ) rP

w z

Bild 12.3: Elementardrehung um die x-Achse mit dem Körperpunkt P um den Winkel φ x

u yK φx

x =ˆ x K

y

In analoger Weise findet sich die Drehmatrix für die Elementardrehungen um die y- und zAchse:

ª cos φ y « R y (φ y ) = « 0 «¬− sin φ y ªcos φ z R z (φ z ) = « sin φ z « ¬« 0

0 sin φ y º » 1 0 », 0 cos φ y »¼ − sin φ z cos φ z 0

0º 0» . » 1¼»

(12.8)

(12.9)

12 Mehrkörpersysteme

284

Zusammengesetzte Dehnungen können jetzt in einfacher Weise aus drei nacheinander ausgeführten Elementardrehungen gebildet werden. Von den vielen Möglichkeiten, diese auszuführen, haben praktisch nur die Kardan- und die Euler-Winkel größere Bedeutung erlangt: •

Drehung um die Kardan-Winkel 1. Rotation um die x-Achse 2. Rotation um die neue y-Achse

R x (φ x ) , R y (φ y ) ,

3. Rotation um die neue z-Achse

R z (φz ) ,

daraus folgt: ( o ) rP

= R x (φ x ) ⋅ R y (φ y ) ⋅ R z (φz ) ⋅ ( K ) rP ≡ R KARD (φ x , φ y , φz ) ⋅ ( K ) rP .

(12.10)

Führt man die Matrizenmultiplikation durch, so folgt für die Kardan’sche Drehmatrix ª c y ⋅ cz « R KARD = «c x ⋅ s z + s x ⋅ s y ⋅ c z «¬s x ⋅ s z − c x ⋅ s y ⋅ c z

− cy ⋅ sz cx ⋅ cz − s x ⋅ s y ⋅ sz sx ⋅ cy + cx ⋅ s y ⋅ sz

º » − sx ⋅ cy » . c x ⋅ c y »¼ sy

(12.11)

Als Abkürzungen wurden benutzt: s x = sin φ x , c z = cos φ z usw.

•

Drehung um die Euler-Winkel Gemäß Vereinbarung müssen hier die Elementardrehungen nacheinander um die z-, xund wieder z-Achse ausgeführt werden. Die Drehmatrix für Euler-Winkel lautet so: R EUL (φ x , φ y , φ z ) = R z (φ x ) ⋅ R x (φ y ) ⋅ R z (φz )

(12.12)

bzw.

ª− s x ⋅ c y ⋅ s z + c x ⋅ c z « R EUL = « c x ⋅ c y ⋅ s z + s x ⋅ c z «¬ s y ⋅ sz

− s x ⋅ c y ⋅ cz − cx ⋅ sz cx ⋅ c y ⋅ cz − s x ⋅ sz s y ⋅ cz

sx ⋅ sy º » − cx ⋅ sy » . c y »¼

(12.13)

Besonders anzumerken ist, dass die Matrizenprodukte in Gl. (12.10) und Gl. (12.13) nicht kommutativ sind. Eine andere Reihenfolge der Multiplikation führt zu einem anderen Ergebnis, d. h., die Orientierung des Körpers ist anders.

12.2 Kinematik von MKS 12.2.2

285

Ebene Bewegung

Um die Problematik mit einfacher Darstellung weitertreiben zu können, wollen wir uns auf einen ebenen Fall beschränken. Im Bild 12.4 ist die ebene Bewegung charakterisiert, ohne Einschränkung der Allgemeinheit gilt hier z = 0. y P(x, y) yK v ( K ) rP

xK u

yo

φz

z

(KS) K (o) rP (o) ro

0 (KS)o

xo

x

Bild 12.4: Verhältnisse bei der ebenen Bewegung Die Bewegung lässt sich jetzt in der x-, y-Ebene eindeutig beschreiben, und zwar durch ªx o º ªu º ªxº (o ) rP = « » , (o) ro = « » und ( K ) rP = « » . ¬ y¼ ¬ v¼ ¬ yo ¼ Eine Drehung kann somit nur noch um die z-Achse erfolgen und ist eindeutig durch die Drehmatrix ªcos φ z R z (φ z ) = « ¬ sin φ z

− sin φ z º cos φ z »¼

gegeben. Eine allgemeine Lage lässt sich nunmehr angeben durch

(12.14)

12 Mehrkörpersysteme

286 (o) rP = (o) ro + R z ⋅ ( K ) rP ,

(12.15)

welches in Koordinaten ª x º ª x o º ªcos φ z « y » = « y » + « sin φ ¬ ¼ ¬ o¼ ¬ z

− sin φ z º ªu º ⋅ cos φ z »¼ «¬ v »¼

(12.16)

entspricht. Die Geschwindigkeit erhält man bekanntlich durch Differenziation nach der Zeit. Es ergibt sich  (o ) rP = (o ) ro + R z ⋅ ( K ) rP + R z ⋅ ( K ) rP .

(12.17)

Um die Matrizenkooperationen ausführen zu können, wollen wir in einer Zwischenbetrachtung die Drehmatrix kurz ableiten:  (φ ) = ∂R z (φ z ) ⋅ φ ≡ ª− sin φ z R z z z « cos φ ∂φ z ¬ z

− cos φ z º  ⋅ φz . − sin φ z »¼

(12.18)

Auch die Entwicklung von Gl. (12.17) ist etwas mühsam, weshalb die Ausrechnung hier verkürzt werden soll. Zunächst kann geschrieben werden: ª x º ª x o º ª− sin φ z « y » = « y » + « cos φ ¬ ¼ ¬ o¼ ¬ z

− cos φ z º ªu ⋅ φ z º ªcos φ z ⋅ + − sin φ z »¼ «¬ v ⋅ φ z »¼ «¬ sin φ z

− sin φ z º ªu º ⋅ . cos φ z »¼ «¬ v »¼

(12.19)

Führt man die Matrizenoperationen aus und fasst geeignet zusammen, so findet sich − sin φ z º ªu − v ⋅ φ z º ⋅ . cos φ z »¼ «¬ v + u ⋅ φ z »¼

ª x º ª x o º ªcos φ z « y » = « y » + « sin φ ¬ ¼ ¬ o¼ ¬ z

(12.20)

Für einen starren Körper ist insbesondere u = v = 0 , weshalb sich die Gleichung entsprechend vereinfacht. Eine weitere Vereinfachung ergibt sich, wenn die Ausgangsgleichung modifiziert wird. Aus Gl. (12.15) folgt auch t (K) rP = R z ⋅ ( (o) rP - (o) ro ) .

(12.21)

Berücksichtigt man dies in Gl. (12.17) und setzt rP = 0 , so findet sich   (o) rP = (o) ro + R z ⋅ R z

Das Matrizenprodukt ergibt

t

( (o) rP - (o) ro ) .

(12.22)

12.3 Kinetik von MKS

287

 ⋅R  t = φ ª− sin φ z R z z z« ¬ cos φ z

− cos φ z º ª cos φ z ⋅ − sin φ z »¼ «¬− sin φ z

sin φ z º ª 0 = cos φ z »¼ «¬φ z

− φ z º ». 0 ¼

(12.23)

Hierin ist φ z = ω z , also die Winkelgeschwindigkeit. Endgültig erhält man so ª x º ª x o º ª 0 « y » = « y » + «ω ¬ ¼ ¬ o¼ ¬ z

− ωz º ªx − x o º ⋅ . 0 »¼ «¬ y − y o »¼

(12.24)

Ohne weitere Herleitungen ergibt sich für die Beschleunigung ªx º ªx o º ª 0 «y » = «y » + «φ ¬ ¼ ¬ o¼ ¬ z

− φ z º ª x − x o º ª 0 +« »⋅ 0 ¼ «¬ y − y o »¼ ¬φ z

− φ z º ª x − x o º . »⋅ 0 ¼ «¬ y − y o »¼

(12.25)

Wird weiterhin noch Gl. (12.24) zur Elimination von ( x − x o ) und ( y − y o ) herangezogen, so kann letztlich die Endgleichung

ªxº ªx o º ª− ωz 2 «y» = «y » + « ¬ ¼ ¬ o ¼ ¬ αz

− α z º ªx − x o º »⋅« » − ωz 2 ¼ ¬ y − y o ¼

(12.26)

angegeben werden. Mit α z = φ z ist dabei die Winkelbeschleunigung eingearbeitet worden.

12.3 Kinetik von MKS Zum Aufgabenkreis der Kinetik gehört die Bewegung von massebehafteten Körpern unter der Einwirkung von Kräften und Momenten. Die Kinetik verfolgt somit die Verknüpfung von kinematischen Größen mit Kraftgrößen. Die Beschreibung des Bewegungsverhaltens eines Starrkörpersystems mit n Freiheitsgraden führt zu einem Satz von n gewöhnlichen DGLs 2. Ordnung, die bekanntlich gut lösbar sind. Wir stoßen heute auf viele Fragestellungen, wo die Kinetik eine große Rolle spielt, wie beispielsweise: − Simulation des Bewegungsverhaltens von Mechanismen unter der Einwirkung von Kräften; − Analyse von mechatronischen Strukturen bzw. Prototypen, um für bestimmte Bewegungsabläufe die Antriebe zu dimensionieren, sowie − Unterstützung beim Entwurf von Steuerungs- und Regelalgorithmen, um die erforderlichen Stellgrößen für vorgegebene Bahnkurven festzulegen. Zur Lösung kinetischer Probleme können zwei grundverschiedene Vorgehensweisen herangezogen werden:

12 Mehrkörpersysteme

288 •

Bei der Newton-Euler-Methode werden die N-Einzelkörper des Mehrkörpersystems frei geschnitten und die Wirkung benachbarter Körper durch Schnittkräfte- und Schnittmomente berücksichtigt. Die Impuls- und Drallsätze für die Einzelkörper liefen 6 ⋅ N Gleichungen. Mit den aus den Bindungen resultierenden Zwangsbedingungen werden dann die Schnittreaktionen eliminiert.

•

Die Lagrange'sche Methode basiert auf dem d'Alembert'schen Prinzip und lässt schon zu Anfang nur solche Verschiebungen zu, die mit den Zwangsbedingungen vereinbar sind. Bei den so genannten Lagrange'schen Gleichungen 2. Art erhält man unmittelbar f Bewegungsgleichungen, wodurch die Elimination der Schnittgrößenreaktionen entfällt.

In der folgenden Übersicht des Bildes 12.5 sind die beiden Lösungsmethoden von ihrem Ablauf gegenübergestellt.

Newton-Euler-Methode

Lagrange-Gleichungen 2. Art Koordinatensystem Freiheitsgrade

Bindungen, Zwangsbedingungen

verallgemeinerte Koordination

Freischneiden

kinetische Energie

äußere Kräfte und Momente

verallgemeinerte Kräfte

Impuls- und Drallsatz

Lagrange-Formalismus

Elimination der Schnittreaktionen Bewegungsgleichungen

Bild 12.5: Aufstellung der Bewegungsgleichungen mit der Newton-Euler-Methode und den Lagrange-Gleichungen 2. Art

12.3 Kinetik von MKS 12.3.1

289

Grundbeziehungen für den starren Körper

Um sich im Weiteren mit Starrkörperkinetik beschäftigen zu können, müssen zunächst ein paar Beziehungen für einen einzelnen starren Körper zusammengestellt werden. Dazu ist im Bild 12.6 ein beliebiger Körper gezeigt, der sich um (KS) o bewegt. Körper K mit der Masse m

vS

(KS)K = S (o)rSP ≡ (K)rP

( o) r s

dF P

0

(KS)0

(o )

ω

(o)r P

dm

vP

Bild 12.6: Beschreibungsgrößen am starren Körper (Idealfall: (KS) K liegt im Körperschwerpunkt S)

Am Körper wirken die resultierenden äußeren Kräfte F = ³ dF

(12.27)

K

und das resultierende äußere Moment (o) M =

~ ³ (o) rP x dF ≡ ³ (o) r ⋅ dF .

K

(12.28)

K

Mit diesen Kraftgrößen können jetzt für die Starrkörperbewegung das Bewegungsgesetz sowie der Impuls- und der Dreh- bzw. Drallsatz (im Inertialsystem) aufgestellt werden: − Bewegungsgesetz (Transformation der im Schwerpunkt vereinigten ganzen Masse)

m ⋅ (o) rS = ³ (o) rP ⋅ dm = F ,

(12.29)

K

− Impulssatz (Schwerpunktsatz) dp d d = (m ⋅ rS ) ≡ (m ⋅ vS ) = F , dt dt dt

(12.30)

12 Mehrkörpersysteme

290

− Drehimpuls oder Drallsatz*) in der 1. Formulierung (direkt über (KS) o ) 

(o) L = (o) M

(12.31)

mit (o) L =

³ ( (o) r P x

)

(o) v P ⋅ dm =

K

³ (o) ~rP ⋅(o) v P dm .

(12.32)

K

− Drallsatz in der 2. Formulierung (über den Schwerpunkt) (o ) L = (o) rS x (o) v S ⋅ m + (s ) L rel, S ,

(12.33)

der Relativdrall des Schwerpunktes um ein beliebiges (KS) K ist gegeben durch (S) L rel, S =

³ (o) rSP x ( (o) Ȧ x (o) rSP )⋅ dm = − ³ (o) ~rSP

K

t

⋅(o) ~rSP dm ⋅(o) Ȧ .

(12.34)

K

Aus dem hergeleiteten Relativdrall**) kann weiter die Matrix des Massenträgheitsmomentes um (KS) o abgeleitet werden: (o) Ĭ S

= − ³ (o) ~ rSP t ⋅ (o) ~ rSP dm .

(12.35)

K

Die Massenmatrix ist in Gl. (12.35) in Basiskoordinaten (auf das Inertialsystem bezogen) ausgedrückt und damit von der Orientierung des Körpers abhängig. Dies ist generell unzweckmäßig, weil die Massenträgheitsmomente für viele Körpergeometrien schon bestimmt worden sind. Das Massenträgheitsmoment in körpereigenen Koordinaten ergibt sich damit zu ~ t ~ (K) Ĭ S = − (K) rP ⋅ (K) rP dm . K

³

*)

(12.36)

Anmerkung: In Gl. (12.30) ist der Tildeoperator eingeführt worden, dieser ersetzt das Kreuzprodukt zweier Vektoren durch ein Matrizenprodukt. Allgemein gilt für das Kreuzprodukt a x b die äquivalente Darstellung ~ a ⋅ b , wenn ª a « ~ a = « az «¬− a y

**)

− az 0 ax

ay º ªb x º » − a x » und b = «b y » ist. « » 0 »¼ ¬« b z ¼»

Anmerkung: a x b = -b x a, d. h., beim Vertauschen der Vektoren ändert das Vektorprodukt sein Vorzeichen. Entwicklungssatz für Mehrfachprodukte: (a x b ) x c = ( a ⋅ c ) ⋅ b − ( b ⋅ c ) ⋅ a

12.3 Kinetik von MKS

291

Die vorstehenden Beziehungen gelten allgemein. Wenn jedoch der Koordinatenursprung von (KS) K und der Schwerpunkt zusammenfallen, vereinfacht sich das Problem: − Drallsatz d d LS = ( (o) ĬS ⋅ (o) Ȧ ) = M S dt dt

(12.37)

MS ³ (o) ~rSP d F ,

(12.38)

mit

K

− kinetische Energie*) E kin =

t 1 (o) v P ⋅ (o) v P dm ³ 2 K

· § ¸ ¨ ¸. ¨ 1¨ t t t = ¨ (o) vS ⋅ (o) vS m + (o) Ȧ ⋅ (OK) R⋅ (K) ĬS ⋅ (OK) R ⋅ (o) Ȧ ¸¸   

2  

¸ ¨ Anteil der Translation (o) Ĭ S             ¸ ¨ Anteil der Rotation ¹ ©

(12.39)

Damit sind die wesentlichen Grundbeziehungen für starre Körper hergeleitet worden. 12.3.2

Newton-Euler-Methode

Bei der Newton-Euler-Methode geht man von den Freikörperbildern jedes einzelnen Körpers eine MKS aus. Im umseitigen Bild 12.7 ist ein derartiges Freikörperbild für einen Hebel aus einem Gelenkmechanismus gezeigt. Die Wechselwirkung mit dem Nachbarkörper wird durch die Schnittgrößen Fi −1, i , M i −1, i bzw. Fi, i +1 , M i, i +1 (Index bedeutet: vom Körper i – 1 auf den Körper i bzw. entsprechend) angegeben.

*)

Anmerkung: Die Formulierung von Gl. (12.39) bedarf einiger Zwischenschritte, die der Vollständigkeit halber hier angegeben seien: 1.

(o) rP

=

2.

(o) r P

= (o) r S + (o) r SP ist auch (o) v P = (o) v S + (o) r SP x (o) Ȧ

bzw.

(o) r S + (o) r SP

= (o) v S + (o) ~rSP t ⋅ (o) Ȧ ≡ (o) v S + ( (OK) R⋅ (K) ~rP )t ⋅ (o) Ȧ

(o) v P

oder (o) v P

t

⋅ v P = (o) v S t ⋅ (o) v S + (o) Ȧ t ⋅ (o) ~rSP t ⋅ (o) ~rSP ⋅ (o) Ȧ

12 Mehrkörpersysteme

292

Mi−1,i

Fi −1,i

Oi −1

( o ) Ȧi

(o) v Si

(o)r i−, Si

− Fi , i +1

− Mi+1,i

Si mi g

Oi

Bild 12.7: Nomenklatur am Freikörperbild des Körpers i Aus dem Gleichgewicht am Körper gilt demzufolge an den Schnittufern: − Fi −1, i ist die Kraftwirkung des Körpers i – 1 auf den Körper i. Analoges gilt für M i −1, i . − − Fi, i +1 ist insofern die Reaktionskraft des Körpers i auf den Körper i + 1. Analoges gilt für − M i, i +1 . Die Bewegungsgleichungen können jetzt schrittweise durch die Anwendung des Impuls- und Drallsatzes sowie der inversen Dynamik aufgestellt werden. Verallgemeinert ergibt sich beispielsweise für den dargestellten Körper i: − Impulssatz m i ⋅ (o) v Si = Fi , mit Fi = Fi −1, i − Fi, i +1 + m i ⋅ g ,

(12.40)

− Drallsatz ~ ⋅ Ĭ ⋅ Ȧ =M  i + (o) Ȧ (o) Ĭ Si ⋅ (o) Ȧ (o) Si (o) i Si

(12.41)

mit M Si = M i −1, i − M i, i +1 + (o) ~ri, Si ⋅ Fi , i +1 − (o) ~ri −1, Si ⋅ Fi −1, i .

(12.42)

Bei der Erstellung der Gleichungen ist es zweckmäßig, die kinematischen Größen auf die körperfesten Koordinatensysteme zu beziehen, welche man am günstigsten in die Gelenkachsen legt. Für die Kinetik ist es hingegen zweckmäßiger, den Massenschwerpunkt zu benutzen. Damit ist eine weitere Transformation verbunden, die vorstehend in die Ortsvektoren ~ ~ (o) ri −1, Si und (o) ri , Si mit eingeschlossen ist. Wenn man aus den vorstehenden Beziehungen des Kapitels 12.2 die Geschwindigkeiten (o) v Si und die Winkelgeschwindigkeiten (o) Ȧ i als bekannt angenommen werden, können

12.4 Lagrange’sche Methode

293

aus einem rekursiven Algorithmus alle Kräfte und Momente bestimmt werden, wenn die Antriebsgrößen bekannt sind. Es gilt dann Fi −1, i = Fi, i +1 − m i ⋅ g + m i ⋅ (o) v Si ,

(12.43)

ri −1, Si ⋅ Fi −1, i M i −1, i = M i , i +1 − (o) ~ ri, Si ⋅ Fi, i +1 − (o) ~ ~ ⋅ Ĭ ⋅ Ȧ . + (o) ĬSi ⋅ (o) Ȧ  i + (o) Ȧ i (o) Si (o) i

(12.44)

Dieses Iterationsverfahren lässt sich sehr gut als Rechneralgorithmus aufbauen.

12.4 Lagrange’sche Methode Die wohl verbreitetste Methode, die Bewegungsgleichungen eines MKS aufzustellen, besteht in der Anwendung der Lagrange’schen Gleichung 2. Art: d § ∂E · ∂E = Q. ¨ ¸− dt © ∂q ¹ ∂q

(12.45)

In dieser Gleichung bezeichnet E ≡ E kin die kinetische Energie des Systems, q generalisierte Koordinaten und

Q = [Q1 Q 2 " Q k

" Q n −1 Q n ]t

(12.46)

der Vektor der verallgemeinerten Kräfte. Eine andere Darstellung von Gl. (12.45) ergibt sich, wenn konservative Kräfte Q k (eingeprägte Kräfte*) aus einem konstanten Potenzial, z. B. E pot ) auftreten. Die verallgemeinerte Kraft ist dann aufzuspalten (konservative + nicht konservative Kräfte) in Q = Qk + Qn .

(12.47)

Wenn dies berücksichtigt wird, kann die Lagrange’sche Gleichung auch folgendermaßen angegeben werden: d § ∂E kin · ∂E kin ∂E pot + = Qn . ¨ ¸− ∂q ∂q dt © ∂q ¹

(12.48)

Für ein MK-System, welches aus mehreren Körpern besteht, müssen die Energieausdrücke über eine Summation bestimmt werden. Die kinetische Energie eines Körpers ist in Gl. (12.39) schon definiert worden; über alle Körper finden wir somit *)

Anmerkung: Die Arbeit oder Energie ist immer dann einfach zu formulieren, wenn konservative Kräfte vorliegen. Eine Kraft bezeichnet man als konservativ, wenn sie aus einem Potenzial herrührt und selbst nicht wegabhängig ist.

12 Mehrkörpersysteme

294 N

[

E kin = ¦ E kin i = (o) vSi t ⋅ (o) vSi ⋅ mi + (o) Ȧ n t ⋅ (OK)R i ⋅ (K) ĬSi ⋅ (OK) R i t ⋅(o) Ȧi i =1

]

(12.49)

Um zu einer allgemein gültigen Bewegungsgleichung zu kommen, müssen wir die vorstehende Gleichung weiter spezifizieren. Dies ist durch die Verknüpfung der realen Systemgrößen mit den verallgemeinerten Größen über die Jacobi-Matrix (s. hierzu auch Kapitel 7.2.3) möglich. Es soll daher gelten: (o ) v Si

= J Ti ⋅ q i , (o) Ȧi = J Ri ⋅ q i .

(12.50)

Damit lässt sich die Energie eines Einzelkörpers angeben zu E kin i =

1 t q i ⋅ m i ⋅ q i , 2

(12.51)

worin jetzt die Elementmassenmatrix die folgende Form annimmt:

m i (q) = m i ⋅ J Ti t ⋅ J Ti + J Ri t ⋅ (OK) R i (q) ⋅ (K) ĬSi ⋅ (OK) R i (q) t ⋅ J Ri .

(12.52)

Für ein Gesamtsystem ist eine geeignete Überlagerung vorzunehmen, sodass formal für die zusammengefasste kinetische Energie angegeben werden soll:

E kin =

1 t q ⋅ M ⋅ q . 2

(12.53)

Für die Kräfte im System besteht noch nach Gl. (12.47) der Zusammenhang N N N§ ∂E pot · N ¸ + ¦ J i ⋅ Fn . Q = ¦ J i ⋅ Fk i + ¦ J i ⋅ Fn i ≡ ¦ ¨¨ − J i i ∂q i ¸¹ i =1 i =1 i =1 i =1©

(12.54)

Damit lässt sich unter Anwendung der Lagrange’schen Gl. (12.48) die folgende Bewegungsgleichung aufstellen: M (q ) ⋅ q  + q t ⋅ M (q)′ ⋅ q + Q k = Q n .

(12.55)

Die Massenmatrix m i ist hierbei für ein Einzelglied eines Mechanismus und M als Gesamtmassenmatrix (Überlagerung aller Einzelmasse) auf ein globales Mechanismenkoordinatensystem zu verstehen. Entsprechend sind in q alle Freiheitsgrade und weiter im Lastvektor Q n alle am Mechanismus „angreifenden Kräfte“ zusammengefasst worden. Sinnvoll lässt sich die vorstehende Gleichung (12.54) nur numerisch lösen. Als Weiterentwicklung der vorstehenden Theorie gilt heute die EMKS, wobei jetzt alle Glieder als elastisch angenommen werden und somit der direkte Übergang zur FEM geschaffen wurde.

12.5 Mechanismenstrukturen

295

12.5 Mechanismenstrukturen Die meisten Mechanismen in der Praxis gehen auf Gelenkgetriebe zurück. Das Merkmal dieser Getriebe ist die Periodizität, d. h., alle Kräfte, Wege, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen ändern sich periodisch. Bei aktiven Mechanismen werden vorgeschriebene Bewegungen verlangt. Dies setzt „Zwanglauf“ voraus. Dieser ist gegeben, wenn die „Grübler’sche Zwanglaufbedingung“ erfüllt ist: F = 3 ( N − 1) − 2G ,

N = Anzahl der Körper bzw. Getriebeglieder (einschließlich Gestell) G = Anzahl der Gelenke

Der Wert F gibt somit die Anzahl der erforderlichen Antriebe an.

Bild 12.8: Schmiedemanipulator als Doppelschwinge mit ausgebildeter Koppelstange als Streckarm Im Bild 12.8 ist ein Schmiedemanipulator wiedergegeben. Er erfüllt die Aufgabe, Bauteile beim Warmschmieden zu händeln. Getriebetechnisch liegt eine Doppelschwinge mit Koppelstange und unabhängigen Antrieben sowie Baumstruktur vor.

12 Mehrkörpersysteme

296

Die Bewegungsmöglichkeiten bestehen im rotatorischen Schwenken und verschiedenen Greifbewegungen, wofür lineare Antriebe (Hydraulikzylinder) und Drehantriebe benötigt werden. Für die MKS-Analyse wurde eine geeignete Software eingesetzt, die ein transparentes Bild von der Starrkörperbewegung und der elastomechanischen Beanspruchung vermittelt. Da ein großer Informationsanfall über alle Bewegungssequenzen, Gelenke und Glieder vorliegt, zeigt Bild 12.9 nur einen kleinen Ergebnisauszug in einer komprimierten Darstellung.

Antriebs- und Gelenkkräfte Geschwindigkeiten Beschleunigungen

Weg des Greifarms Weg des Koppelpunktes

Weg des Antriebzylinders

Bild 12.9: Kinematische Analyse des Manipulators (nur ausgezeichnete Gelenke ausgewertet) Zum Leistungsumfang des Programms gehören die Ermittlung aller Wege, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen und Kräfte an den Gelenken. Je Bewegungssequenz kann weitere eine elastomechanische Analyse durchgeführt werden.

297

13 Bauteiloptimierung Die Industrie verfolgt heute intensiv die Realisierung durchgängiger CAE-Ketten und ist immer mehr daran interessiert, auch Optimierungsmodule (opti SLANG, TOSCA, CAOSS etc.) in FE-Programmen verfügbar zu haben. Viele Bemühungen in dieser Richtung sind in der Vergangenheit daran gescheitert, dass die mit einer Optimierung von FE-Modellen verbundene große Rechen- und Speicherkapazität nicht kostengünstig verfügbar war. Dies hat sich in den letzten Jahren dramatisch geändert, denn moderne Workstations und PCs überschreiten mittlerweile das Leistungsniveau älterer Großrechner. Eine zielgerichtete Bauteiloptimierung ist damit praktizierbar geworden.

13.1 Formulierung einer Optimierungsaufgabe Die Gewichts- und Spannungsminimierung an Bauteilen kann als ein Grundproblem der Mechanik begriffen werden, weshalb es in der Vergangenheit schon eine Vielzahl von Arbeiten gegeben hat, die sich problemkonform mit der Optimierung von FEM-Modellen auseinandergesetzt haben. Der Schwerpunkt dieser Arbeiten lag in der Übertragung von mathematischen Parameteroptimierungsmethoden, so genannten Gradienten- oder Suchverfahren, auf diesen Problemkreis. Zu diesem Zweck muss eine Problemstellung als Zielfunktion mit Nebenbedingungen formuliert werden. Stellt man sich beispielsweise die Aufgabe, ein Bauteil minimalen Eigengewichts zu finden, so muss die Gewichtsfunktion des Bauteils in Abhängigkeit von den entsprechenden Maßparametern aufgestellt werden. Allgemein ist also ein Problem /FOX 70/ G (x1 , " , x n ) x = x opt → MINIMUM!

(13.1)

mathematisch zu lösen. In der Technik wird es aber so sein, dass die Parameter x i nicht beliebig gegen null streben können, sondern das durch Nebenbedingungen bestimmte Parametergrenzen gegeben sein werden. Als Grenzbedingungen wird man demnach finden: − geometrische Nebenbedingungen wie

x i grenz − x i > <0,

(13.2)

− Spannungsnebenbedingungen wie σ i (x ) − σ max < 0 ,

(13.3)

und − Verformungsbedingungen wie u i (x ) − u max < 0 .

B. Klein, FEM, DOI 10.1007/978-3-8348-2134-8_13, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012

(13.4)

13 Bauteiloptimierung

298

Im einfachsten Fall (Lagrange-Verfahren) können Zielfunktionen und Nebenbedingungen zu der resultierenden Optimierungsfunktion /WEC 89/ m −1

n −1

o

i =1

i=m

i=n

Z = G( x ) + ¦ λ i (x igrenz − x i ) + ¦ λ i (σi ( x ) − σ max ) + ¦ λ i ( u i ( x ) − u max ) → MIN! (13.5)

zusammengefasst werden. Als Extremwert ist sodann zu erfüllen: erst abnehmend, dann steigend 1. Z(x) erst negativ, dann positiv 2. Z´(x) und 3. Z′′ (x) > 0 also positiv Je nach angesetzter Optimierungsstrategie findet sich dann das Minimum durch wiederholtes Ableiten der Zielfunktion und Voranschreiten in der Gradientenrichtung (z. B. HookeJeeves-Verfahren) oder durch Aufspannen eines unregelmäßigen Simplex im Suchraum und Bewertung der Eckpunkte (z. B. Box-Verfahren). Dies sind alles sehr rechnerintensive Vorgänge, da bei jedem Optimierungsschritt die Geometrie verschoben und somit wieder die gesamte finite Systemgleichung gelöst werden muss. Es zeigt sich somit in der Praxis, dass eine Parameteroptimierung nur bei wenigen Parametern ( x i : 5 ≤ i < 8) sinnvoll und wirtschaftlich vertretbar ist. Ein weiterer Nachteil besteht oft noch darin, dass im Regelfall der Optimierungsprozess eine Netzanpassung erforderlich machen wird, welches wieder adaptive Algorithmen für die Netzentzerrung bedarf. Im Zusammenhang mit CACE erlebt derzeit die Parameteroptimierung eine zweite Blütezeit.

13.2 Parameteroptimierung Einige FE-Systeme bieten neuerdings integrierte Optimierer an, denen meist jedoch nur einfache Variationsstrategien zu Grunde liegen. Nachteilig ist, dass selbst bei nur wenigen Parametern viel Rechenzeit benötigt wird und man bei den ausgewiesenen Verbesserungen nicht sicher ist, ob das tatsächliche Minimum erreicht worden ist. Der Ansatzpunkt der Optimierungsstrategie ist dabei das parametrisierte Datenmodell des Pre-Prozessors /BAI 78/, welches die Bauteilgenerierung mit assoziativer Geometrieverknüpfung ermöglicht. Die Vorgehensweise ist in etwa die, dass an dem 3-D-Geometriemodell des Bauteils Parameter interaktiv als variabel oder unabhängig deklariert werden können. Über ein Tableau lassen sich dann weiter zwei Optimierungsziele vorgeben, und zwar − Minimierung der größten Spannungsdifferenz oder − Minimierung der Masse.

13.2 Parameteroptimierung

299

Manchmal ist es auch möglich, diese beiden Ziele multikriteriell zu verknüpfen, d. h., es soll eine ausgewogene Problemlösung erzeugt werden. Die von den Programmsystemen genutzte Strategie ist meist die so genannte eindimensionale Suche, d. h., eine Zielfunktion wird zunächst mit einem Startvektor x o belegt und dafür die zu optimierenden Verhältnisse berechnet. Danach wird ein Parameter der Zielfunktion Z(x1 , " , x j , " , x n ) → MINIMUM!

(13.6)

variiert, und zwar wechselseitig nach oben bzw. unten mit der Schrittweite p zu x j = x jo ± p ⋅ x jo

(13.7)

und festgestellt, wie sich die Zielfunktion ändert. Bei Erfolg wird weiter in die als richtig erkannte Richtung getastet. Ist nach einigen Schritten keine Verbesserung mehr möglich, wird der nächste Parameter variiert, bis eine Abbruchschranke für die absolute Änderung der Zielfunktion unterschritten wird. Durch diese Technik kann also nur in einem begrenzten Gebiet ein lokales Minimum gefunden werden, welches für praktische Vorgaben jedoch meist ausreichend ist. a)

b)

Bild 13.1: Ausgangsverhältnisse bei der Winkelstütze a) Grundentwurf b) Spannungsverteilung Als Beispiel für eine einfache Spannungsoptimierung sei die im Bild 13.1 gezeigte Winkelstütze gewählt, die in Hochregallagern zur Abstützung von Fachböden dient. Verlangt ist dabei in der am höchsten beanspruchten Region die Unterschreitung eines Spannungsreferenzwertes. Variabel soll bei diesem Bauteil die innere Form sein, die so anzupassen ist, bis die Fließgrenze von AlMg1 mit R p 0, 2 = 95 N/mm 2 unterschritten ist.

13 Bauteiloptimierung

300 Der Startvektor für die Ausgangskontur wurde mit x o t = [65°, 10, 90°]

gewählt. Hierdurch wird in der Kehle die zulässige Spannung weit überschritten, bzw. die Verformungen sind auch zu hoch. Nach zwölf Variationen weist das Programm den im Bild 13.2 dargestellten Konturverlauf mit dem Lösungsvektor x opt t = [52°, 32, 101°] aus. Der Spannungsabbau auf σ max = 90,7 N/mm 2 ist durch Materialauftrag eingetreten, weshalb die Stütze um 20 % schwerer wird. a)

b)

Bild 13.2: Optimierte Winkelstütze

13.3 Bionische Strategie Komplexere mathematische Optimierungsverfahren haben sich bisher in der Praxis nur schwer durchsetzen können, da der Anwender zu viel Hintergrundwissen haben muss, um die Verfahren stabil anwenden zu können. Eine gute Chance akzeptiert zu werden zeichnet sich hingegen bei dem CAO-Verfahren (Computer Aided Optimization /MAT 89/) ab, das die Strategie des biologischen Wachstums verwendet. Dies geht zurück auf die Erkenntnis, dass die Natur bei der Auslegung von Bäumen, Knochen, Skeletten und Ähnliches ein ganz bestimmtes Designziel verfolgt, welches als Axiom der konstanten Oberflächenspannung charakterisiert werden kann. Umgesetzt heißt dies, dass auf technische Bauteile dieses biologische Formgebungsprinzip /SAU 91/ übertragen werden muss und dafür eine Strategie erforderlich ist. In einer Vielzahl von praktischen Anwendungsfällen hat sich die Simulation des Baumwachstums als sehr erfolgreich erwiesen. Aus der Schnittflächenanalyse von Stämmen hat

13.3 Bionische Strategie

301

man herausgefunden, dass ein Stamm aus einem unveränderlichen Kern und einer sich anpassenden Randzone (Kambium) besteht. Über die Randzone wird das Wachstum adaptiv gesteuert, und zwar in dem an überlasteten Bereichen ein Materialauftrag und an unterbelasteten Bereichen ein Materialabtrag vorgenommen wird. Dieses Wachstumsprinzip muss jetzt durch einen rechnerunterstützten Algorithmus nachgebildet werden, der die Konturanpassung initiiert. Bei der Programmrealisierung KONTOPT*) wird das Baumwachstum durch eine analoge Temperaturdehnungsstrategie nachgebildet. Normalerweise ist dafür keine explizit formulierte Zielfunktion nötig, weil sich Wachstum gezielt durch Wärmedehnung nachbilden lässt. Diese einfache Aussage bedarf aber dennoch eines komplizierten Ablaufs, der jedoch leicht zu durchschauen ist. Die wesentlichen Schritte des CAO-Prinzips können wie folgt zusammengefasst werden: − Ausgangssituation ist stets ein mehr oder weniger günstiger Grundentwurf eines Bauteils, der gewöhnlich aus Erfahrung entsteht. Das Netz sollte dabei so gelegt werden, dass etwa zwei bis drei dünne Elementreihen äquidistant zur äußeren Bauteilberandung verlaufen. Diese Elemente repräsentieren im Weiteren das Kambium. − Mit dem so aufbereiteten Modell wird dann eine erste FE-Analyse durchgeführt und die Vergleichsspannungen nach v. Mises berechnet. Damit sind alle Zonen hoher und niedriger Beanspruchung bekannt. − Nunmehr wird bezüglich einer als zulässig angesehenen Referenzspannung eine Spannungsdifferenz über das Bauteil gebildet und diese proportional einem Temperaturfeld gesetzt. Unabhängig davon, dass dies gegen physikalische Regeln verstößt, ist dies ein pragmatischer Ansatz. − Dieses Temperaturfeld wird dann durch Multiplikation mit dem Wärmeausdehnungskoeffizienten in eine Vergleichsdehnung umgewandelt, und zwar so, dass sich nur die Randschicht ausdehnt. Dies bedingt, dass der Wärmeausdehnungskoeffizient des Kerns zu null und der E-Modul des Randes E Rand ≈ E Kern / 400 N/mm 2 herabgesetzt wird. Durch die somit gummiweiche Oberflächenschicht kann sich die Kontur anpassen, ohne dass Zwangsspannungen im Kern hervorgerufen werden. − Damit im Weiteren eine verträgliche Netzänderung eintritt, muss der Dehnungszustand skaliert werden, womit ein gleichmäßiges Wachstum hervorgerufen werden kann. − Dieser Vorgang wird durch eine erste Iteration ausgelöst, in dem der bestimmte Dehnungszustand als vorgeschriebene Dehnungen des Problems behandelt wird und hiermit eine neue FE-Analyse erfolgt. Konsequenz ist, dass das Netz zufolge hoher Dehnungen auswächst und zufolge niedriger Dehnungen wegschrumpft. − Im Allgemeinen bedarf eine Konturanpassung mehreren Iterationen, um alle Spannungsspitzen abzubauen. *)

Anmerkung: KONTOPT (Kontur-Optimierung) ist eine Eigenentwicklung des Fachgebietes Leichtbau-Konstruktion an der Universität Kassel.

13 Bauteiloptimierung

302

− Von Vorteil ist dabei, dass Sperrzonen (Fenster über Knotenpunkte) für Konturänderungen eingekreist werden können. Dies verhindert beispielsweise, dass sich Anschraubflächen verwerfen oder Achsabstände ändern. Die Umsetzung dieser Schritte in einen Algorithmus zeigt das folgende Flussdiagramm von Bild 13.3.

Ausgangsgeometrie

FE-Modell der Ausgangsstruktur

FE-Analyse/lin.-elast. Statik - Verschiebungen - Spannungen

Optimale Lösung erreicht?

konturoptimiertes konturoptimiertes Bauteil Bauteil ja

σvi ≈≈ σref ref nein Optimierungsstrategie

- Temperaturdehnungsanalogie ΔTi ≡ σvi −− σ σref ref - FE-Analyse Temperaturausdehnung − U TU=T K = K1−⋅1F ⋅ FTT

variierte Bauteilkontur - Aufskalierung der Temperaturdehnungen - Netzentzerrung

Bild 13.3: Flussdiagramm der Temperaturdehnungsstrategie (nach /FRE 95/)

13.4 Selektive Kräftepfadoptimierung

303

Ein recht breites Anwendungsfeld findet die biotechnische Optimierung mittlerweile in der Glättung von Kerbspannungen bei 2-D- und 3-D-Bauteilgeometrien. Dies belegt im Weiteren auch das folgende Beispiel, bei dem es um die Lebensdauererhöhung eines wechselbeanspruchten Bauteils ging. Die Ausgangssituation erwies sich wegen der hohen Kerbspannung in einem Übergangsbereich und der dadurch abgeminderten Lebensdauer als insgesamt sehr unbefriedigend. Aufgabe war es deshalb, durch nur kleine Änderungen die Oberflächenspannung abzusenken und somit auch die Lebensdauer zu erhöhen. Durch Anwendung der Temperaturdehnungsstrategie (und zwar nach 30 Iterationen) war es tatsächlich möglich, mittels Konturanpassung das Spannungsniveau um 31 % abzusenken, welches auch aus Bild 13.4 abgeleitet werden kann. a)

b)

c)

ursprüngliche Kerbkontur optimierte Kerbkontur

Bild 13.4: Optimierung eines Kerbbereichs (nach /FRE 95/) a) Konturvergleich b) Spannungshöhe in der Ausgangskontur c) Spannungshöhe in der optimierten Kontur Diese Absenkung der Spannung geht dabei einher mit einer Verlängerung der Lebensdauer des Bauteils, die sich im vorliegenden Fall mit 40 % einstellte.

13.4 Selektive Kräftepfadoptimierung Ein Sonderproblem des Leichtbaus besteht weiter darin, dass vielfach nicht einfach Konturen verschoben werden können, da dies meist mit einer Gewichtszunahme verbunden ist, wie die vorausgegangene Winkelstütze belegt. Viel wirksamer lassen sich oft Spannungen und Ver-

13 Bauteiloptimierung

304

formungen durch gezielte Einbringung von Sicken oder Rippen beeinflussen, wodurch das Gewicht nicht unbedingt zunehmen muss. Die Problematik besteht somit darin, die Zonen für wirksame Versteifungen zu lokalisieren und dann deren Form im genau notwendigen Umfang auszubilden. Diese praktisch interessierende Fragestellung kann mittels des Prinzips der selektiven Pfadoptimierung gelöst werden, welches eine Spezialisierung des Temperaturdehnungsprinzips darstellt. Für die Pfadoptimierung besteht die Voraussetzung, dass zu einem Belastungsfall die Hauptspannungen σ1 , σ 2 , σ 3 bekannt sind bzw. mittels einer FE-Analyse ermittelt werden können. Gewöhnlich lassen die FE-Post-Prozessoren eine Darstellung der Hauptspannungstrajektorien zu, welche eine Richtungsinformation über die größte Beanspruchung geben.

Bei vielen Bauteilen wird dieses Beanspruchungsmaximum auf der Oberfläche liegen, sodass damit auch die Ausprägungsrichtung für die Versteifungselemente bekannt ist. Der Optimierungsalgorithmus funktioniert nun im Wesentlichen so, dass in einer ausgewählten Beanspruchungssektion ein oder mehrere Knoten in der Nähe der σ1 -Trajektorie ausgewählt werden können und dort lokales Wachstum initiiert werden kann. Nach einer entsprechenden Anzahl von Iterationen bildet sich dann in Abhängigkeit von der Bauteildimension entweder eine Rippe oder eine Sicke aus. Der Unterschied zwischen diesen Versteifungselementen besteht im Wesentlichen darin, dass Rippen auf massive Bauteile aufgesetzt und Sicken in dünnen Blechen eingeprägt werden. Die Erzeugung von Sicken ist daher mit der lokalen Symmetrie verbunden. Als Optimierungskriterium ist demzufolge wieder das Minimierungskriterium für die Spannungsdifferenz no

Z = ¦ (σ Vi − σ ref )2 → MINIMUM!

(13.8)

i =1

heranzuziehen, und zwar in dem eingeschränkten Variationsgebiet der Knoten Pi (i = 1, " , n o ) , die im Wesentlichen die Hauptspannungstrajektorien bilden. Ein anschauliches Beispiel für diese Vorgehensweise soll ein Scharnier an einer Fahrwerksklappe eines Verkehrsflugzeuges sein. Dieses Scharnier ist hoch belastet, d. h., es muss große Kräfte übertragen können und darf andererseits aber nicht zu schwer sein. Als konstruktive Alternative bietet sich demzufolge eine verrippte oder versickte Lösung an. Im Bild 13.5 ist zunächst ein Scharnierteil gezeigt, in dem die Spannungsspitze durch das Aufsetzen von Rippen entschärft worden ist. Der Algorithmus bietet hierbei die Möglichkeit, eine oder mehrere Spannungspfade zu identifizieren und diese zu Rippen auswachsen zu lassen, und zwar so lange, bis in dem Variationsgebiet die auftretende Spannung unterhalb der Referenzspannung liegt. Letztlich werden verrippte Bauteile immer nur in einer Urformtechnologie herstellbar sein.

13.4 Selektive Kräftepfadoptimierung a)

305

b)

c)

Bild 13.5: Massives Scharnierteil mit initiiertem Rippenwachstum (nach /FRE 95/) a) Grundentwurf b) Spannungsverteilung im Grundentwurf c) lokal optimiertes Teil Methodisch aufwändiger ist hingegen das Einbringen von Sicken, da hiermit die Einhaltung der Volumenkonstanz des Bauteils verbunden ist. Materialauftrag auf der Oberfläche bedingt gleichsam einen Materialabtrag auf der Unterseite bei Einhaltung der Äquidistanz der Flächen. Dass auch dies algorithmisch zu beherrschen ist, zeigt das Blechteil im Bild 13.6, in dem jetzt zwei Sicken eingeprägt worden sind, welches ebenfalls zu einer Spannungsabsenkung führt. a)

b)

Bild 13.6: Leichtes Scharnierteil mit initiiertem Sickenwachstum (nach /FRE 95/) a) Ansicht von oben b) Ansicht von unten Probleme mit der Vorgabe Volumen- oder Materialkonstanz werden heute mit dem Fachtermini Topologieoptimierung bezeichnet. Das Merkmal hierbei ist, eine konstante Materialmenge so umzuschichten, dass alle Restriktionen eingehalten werden.

306

14 Grundregeln der FEM-Anwendung Im Nachgang zu den bisherigen theoretischen Darlegungen zur FE-Methode sollen abschließend einige Grundprinzipien der Anwendung diskutiert werden, deren Nichtbeachtung entweder zu Fehlern oder unnötigem Nachbesserungsaufwand führt. Da in der Praxis die Anwendungsgesichtspunkte und damit Probleme naturgemäß sehr vielschichtig sind, können die folgenden Ausführungen nur als Erfahrungsquerschnitt /KLE 94b/ verstanden werden.

14.1 Fehlerquellen Die FE-Methode ist als ingenieurmäßiges Werkzeug natürlich auch fehlerbehaftet, oder überall dort, wo Menschen einen Ablauf steuern, können sich Fehler einstellen. Mit dem Bewusstwerden dieser Unwägbarkeit muss auch die Sensibilität gegenüber möglichen Fehlerquellen wachsen. Im Bild 14.1 ist eine Übersicht (s. auch /DEG 02/) gegeben, die die Hauptursachen zusammenfasst. In der Verantwortung des Berechnungsingenieurs fällt somit, die erforderlichen Schritte mit der angemessenen Sorgfalt durchzuführen.

Anwender falsche Idealisierung schlechte Elemente verletzte Kompatibilität ungenaue Materialdaten

•

•

•

falsche Randbedingungen schlechtes Lösungsverfahren zu grobes Konvergenzkriterium

•

falsche Selektion

•

•

PreProcessing

• • • •

Lösungsverfahren PostProcessing

Programm-Handhabung

•

• •

• •

•

schlechte Vernetzung schlechte Elementformulierung kein Elementcheck zu ungenauer Gleichungslöser ungenaue Rückrechnung Warnungen ignorieren falsche Mittelung falsche Darstellung

Bild 14.1: Fehlerquellen bei FE-Analyse (siehe auch Checkliste auf S. 375) Trotz der Kumulierung von Fehlern /HAR 85/ ist die FEM mit ca. 7-10 % Abweichung vom realen Verhalten (wenn die exakte Lösung bekannt ist) eines der genausten Berechnungsverfahren. Ihre Stärke liegt in der flexiblen Anpassbarkeit an reale Gegebenheiten und der Variabilität bezüglich Änderungen. Wird FEM gezielt in Produktentwicklungsprozesse eingesetzt, so fordern die üblichen Qualitätsstandards (ISO 9001, QS-9000, VDA 6.1, bzw. ISO/TS 16949) eine Validierung (gültig erklären) und Verifizierung (prüfen auf Richtigkeit) dieser Dienstleistung. Dies setzt voraus, dass mit analytischen Abschätzungen die Richtigkeit einer FEM nachgewiesen werden kann.

B. Klein, FEM, DOI 10.1007/978-3-8348-2134-8_14, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012

14.2 Elementierung und Vernetzung

307

14.2 Elementierung und Vernetzung Zum Problemkreis der Elementierung soll hier die problemspezifische Auswahl der Elementtypen aus einer Programmbibliothek, die Vernetzungsregeln und die Gruppenbildungstechnik gezählt werden, die nachfolgend kurz diskutiert werden sollen. Auf die erste Hürde bei der Aufbereitung eines FEM-Modells stößt man bei der Wahl der Elementtypen, mit denen eine Struktur oder ein Bauteil nachzubilden ist. Innerhalb der Theorie unterscheidet man sieben Grundelemente, die in der Regel auch in FE-Programmen verfügbar sind. Aufgabe des Anwenders ist es dann, hieraus auszuwählen und gegebenenfalls verschiedene Elemente zu kombinieren. Damit sind im Wesentlichen zwei Fehlerquellen verbunden: − Durch die Elementierung wird der tatsächlich vorliegende Verformungs- und Spannungszustand nicht richtig wiedergegeben. oder − Bei einer von der Bauteilgeometrie bzw. dem Tragverhalten erzwungenen Kombination von Elementen wird gegen den Grundsatz der Verträglichkeit bei den mechanischen Knotenfreiheitsgraden verstoßen. Diese Bedingungen sollen nun einmal exemplarisch diskutiert werden. Für die praktische Anwendung gibt es im Prinzip eine einfache Regel, die folgendermaßen zu handhaben ist: Stahlbaustrukturen oder Wellensysteme sollten mit stabartigen Elementen (Stab, Balken), dünnwandige Bauteile sollten durch ebene Elemente (Scheibe, Platte, Schale) und • dickwandige Bauteile durch volumetrische Elemente (Volumina, Kreisring-Elemente) • •

nachgebildet werden. Die marktverbreiteten kommerziellen FEM-Systeme bieten alle eine relativ große Auswahl an Elementen unterschiedlichster Knotenanzahl und Geometrie an, sodass die Realität fast immer recht gut abgebildet werden kann. Im Bild 14.2 ist noch einmal eine überblickartige Zusammenstellung über die wichtigsten Grundelemente gegeben. Angetragen sind jeweils die Knotenverschiebungen und die zugehörigen Knotenkräfte infolge der äußeren Belastung. Am STAB- und SCHALEN-Element sind jeweils durch Strichierung noch die beiden fiktiven Freiheitsgrade markiert. Besonders zu beachten ist, ob bei Elementen „Schubweichheit“ eine Rolle spielt. Bei kurzen Balken müssen dann Timoshenko-Elemente und bei dicken Schalen Reissner-MindlinElemente herangezogen werden.

14 Grundregeln der FEM-Anwendung

308 Stab

Qy2

Balken N2

v1

x

u1

2

w1 φx

1

Scheibe

u1 z w1

v1

N31

py

2

ψ y1

Platte x

px

y

x u1

z

pz

φx φy

Schale

Mxz Myz

w1

Qz

pz py

px

Volumina

N43 N41

N42 v2 φy

u2 w2

φx

2

φz

pz

2

py

2

Kreisring

px v3

z

pr

2 M y2

ψ z1

N32

v1

Mz

x y

y

Qy

Qz

Qz2

px

T2

N2

qz

w3 u3 r

Bild 14.2: Katalog der Grundelemente

w3 u3

14.2 Elementierung und Vernetzung

309

Im Prinzip sind zwischen allen Elementen Verknüpfungen über die Freiheitsgrade herstellbar. Die natürlichen Kombinationen sind jedoch − Stab- mit Balken-Element, − Stab- mit Scheiben-Element, − Balken- mit Platten-Element, − Balken - mit Schalen-Element und − Stab- oder Balken- mit Volumen-Element.

F Balken

Gelenk K

singulär

F

Im Bild 14.3 sind verschiedene Möglichkeiten einer elastischen oder starren Kopplung angedeutet. Der erste Fall führt die Anbindung zu dem Problem, dass ein Gelenk ausgebildet wird. Infolgedessen würde die Gesamtsteifigkeitsmatrix singulär. Dieses Problem kann mit den anderen Anbindungstechniken umgangen werden.

F

Bild 14.3: Knotenkopplung zwischen SCHEIBE und BALKEN mittels Constraint-Prinzip

Balken

Balken

Alle anderen Sonderverknüpfungen können unter Zuhilfenahme eines starren Kopplungselements (Constraint-Element) erzwungen werden. In den meisten FE-Programmen ist dieses Kopplungselement als versteiftes Balken-Element mit sechs translatorischen Freiheitsgraden abgebildet. Diesbezüglich überträgt das verstarrte Element nur Starrkörperbewegungen von einem Knoten zu einem anderen.

Bei jedem Kopplungselement können die Anzahl und die Art der weiterzuleitenden Freiheitsgrade individuell gesteuert werden. Ein typischer Anwendungsfall für eine derartige Problematik ist im folgenden Bild 14.4 aufgegriffen worden. Hierbei geht es darum, die Spannungskonzentration im Einspannbereich eines Blechs näher zu betrachten. Von der Elementierung her hat man dabei mehrere Möglichkeiten:

310

14 Grundregeln der FEM-Anwendung

1. Man bildet das Blech durchgehend mit Schalen-Elementen nach, womit man aber nur die Möglichkeit hat, die Spannungen in der Mittelebene bzw. linear hochgerechnet entweder auf der Ober- oder Unterseite zu betrachten. 2. Man bildet das Blech durchgehend zweischichtig mit Volumen-Elementen nach. Von Vorteil ist hierbei, dass jetzt die Spannungen an allen Stellen (auch über die Dicke) vorliegen; nachteilig ist jedoch die höhere Anzahl von Knotenfreiheitsgraden und die eingeschränkte Möglichkeit zu variieren. 3. Die wirtschaftlichste Alternative ist im vorliegenden Fall jedoch, ein kombiniertes Schalen-Volumen-Modell aufzubauen, so wie im vorliegenden Beispiel dargestellt. Damit liegt ein Kompromiss zwischen Wirtschaftlichkeit, Genauigkeit und Variabilität des Modells vor.

Bild 14.4: Eingespannte Blattfeder als Kombinationsmodell aus Schalen- und VolumenElementen unter Benutzung von Kopplungselementen Wie bei der Blattfeder gezeigt, werden in dem Beispiel die Knoten der Schalen-Elemente mit den Knoten der Volumen-Elemente verbunden, welches eigentlich eine unnatürliche Verknüpfung darstellt, da drei Drehfreiheitsgrade überzählig sind. Der Übergang zwischen den Elementen wird je Knotenreihe über drei Constraint-Elemente hergestellt, die nur die translatorischen Freiheitsgrade weitergeben, wodurch die Drehfreiheitsgrade herausfallen. Vergleichsrechnungen zu reinen Schalen- und Volumen-Modellen zeigen in den Spannungsund Verschiebungswerten sehr geringe Unterschiede im Promillebereich, sodass die gewählte Möglichkeit ein praktikabler Weg ist, auf den man bei praktischen Fällen kaum verzichten kann.

14.3 Netzaufbau

311

14.3 Netzaufbau Eng verbunden mit der Elementierung ist der Problemkreis des Netzaufbaus, dem wir uns jetzt auch zuwenden wollen. Diesbezüglich sollen hier angesprochen werden: − die Element-Teilungsregel, − die Partnerregel der Knotenpunkte, − Erfahrungsergebnisse über das Konvergenzverhalten der Elemente, − mögliche Fehlerquellen bei allzu starker Entartung von der Elementgrundgeometrie und − die Ausnutzung der Symmetrie. Jeder der aufgeführten Punkte hat erheblichen Einfluss auf das Ergebnis /N.N. 94/. Eine globale Regel für die Elementteilung ist, dass an vermuteten Spannungskonzentrationsstellen das Netz engmaschig sein sollte, während es an Stellen gleichmäßiger Spannungskonzentration ruhig grob sein darf. Diese Regel kann jedoch durch die Wahl von quadratischen oder kubischen Elementen entschärft werden, die ebenfalls den Effekt einer Genauigkeitserhöhung in einem Gebiet haben. Gedanklich kann man die Analogie herstellen, dass zusätzliche Seitenmittenknoten bei beispielsweise einem Viereck-Element näherungsweise wie eine Viertelung des Gebietes wirken oder bei einem Dreieck-Element einer Drittelung entsprechen. Typische Anwendungen für notwendige Netzverdichtungen stellen in der Praxis Kerbprobleme mit den zu erwartenden Spannungskonzentrationen dar. Der im umseitigen Bild 14.5 gezeigte einfache Kerbstab kann zu diesem Problemkreis als repräsentativer Fall angesehen werden. Das Beispiel ist zudem symmetrisch, weshalb hier nur eine Viertelscheibe betrachtet werden braucht. Vom Netzaufbau her ist es hierbei zweckmäßig, zwei Makros (mesh areas) zu bilden und diese mit abgestimmten Teilern zu vernetzen. Problemkonform wäre in diesem Fall eine von der Kerbe ausgehende logarithmische Elementgrößenteilung, die ein Makro abgestuft von dicht bis grob vernetzt. Um Unterschiede transparent werden zu lassen, wurde das Netz einmal mit einem free meshAlgorithmus durch lineare Dreieck-Elemente und das andere Mal mit einem mapped meshAlgorithmus durch lineare Viereck-Elemente gebildet. Die Dreieck-Elemente wurden dabei teilweise so verzerrt, dass eine Netzkorrektur vorgenommen werden musste. Das manuell gesteuerte Netz mit Viereck-Elementen zeigte bereits von Anfang an eine brauchbare Topologie. Mit den gebildeten Netzen wurde auch eine FE-Berechnung durchgeführt. Die Auswertung und Darstellung der Knotenspannungen zeigen ein deutlich besseres Genauigkeitsverhalten des Viereck-Elements gegenüber dem Dreieck-Element. Damit ist die Erkenntnis aus Kapitel 7.2.6 erneut bestätigt worden. Für praktische Anwendungsfälle mit hohen Genauigkeitsforderungen sollte man daher zumindest quadratische Dreieck-Elemente wählen, während man mit linearen Viereck-Elementen in der Regel gut leben kann. Zu der Vernetzung sei noch die Anmerkung gemacht, dass die meisten Pre-Prozessoren über automatische Vernetzungsgeneratoren mit free-mesh-Algorithmen verfügen. Bei 2-D-Gebie-

14 Grundregeln der FEM-Anwendung

312

ten funktioniert ein derartiger Algorithmus nur mit ebenen Dreieck-Elementen und bei 3-D-Gebieten entsprechend nur mit volumetrischen Tetraeder-Elementen. Meist kann die relative Dimensionalität im Verhältnis zur Größe des Bauteils eingestellt werden, wodurch sich in etwa die Qualität des Ergebnisses steuern lässt. Für bestimmte Anwendungsfälle kann es sein, dass ein derartiges Netz ausreichend oder wie bei Gussteilen nur als free net möglich ist. Eine sinnvolle Anwendung ist vor allem dann gegeben, wenn zu Anfang keine Einschätzung über Spannungskonzentrationen vorliegt, sodass ein zunächst freies Netz hier hilfreich ist, sich an ein gesteuertes hochwertiges Netz heranzutasten.

a)

b)

c)

d)

Bild 14.5: Zuglasche mit Bohrung a) vernetzt mit Dreieck-Scheiben-Elementen, b) zugehörige Spannungsverteilung, c) vernetzt mit Viereck-Scheiben-Elementen, d) zugehörige Spannungsverteilung Ein relativ triviales Vernetzungsprinzip besteht in der Partnerregel für die Knotenpunkte. Diese Regel impliziert die Aussage, dass stets jeder Knoten eines Elements einen Knotenpartner im anschließenden Element finden muss. Ein Netzaufbau, bei dem also Seitenmittenknoten eines Elements nur auf die andere Seite eines anderen Elements stoßen, führt somit

14.3 Netzaufbau

313

zwangsläufig zum ungewollten Klaffen der Struktur. Im Bild 14.6 ist ein hierzu konstruiertes Beispiel dargestellt.

falsch

korrekt

Bild 14.6: Zusammenbau gleichwertiger Elemente nach der Partnerregel für die Knotenpunkte Die gewählten linearen Reckteck-Scheiben-Elemente können nicht mit quadratischen Dreieck-Scheiben-Elementen gekoppelt werden, weil sich die Seiten geometrisch anders und auch die Elemente numerisch anders verhalten. Es ist insofern einsichtig, dass in einem Netz nur Elemente gleichen (Ansatz)-Typs verwandt werden können. Die zuvor bei der Vernetzung aufgetretene Problematik des erforderlichen Netztrimmens tritt in der Anwendungspraxis immer wieder auf. Viele Generatoren bieten daher eine Routine „model checking“ an, wobei geprüft wird, ob − Knoten doppelt nummeriert sind, − Elemente ausgelassen sind oder − Elemente entartet sind. Am schwierigsten sind hierbei die Elementverzerrungen*) zu beheben, weil damit oft größere Netzkorrekturen verbunden sind, die manuell beseitigt werden müssen. Im umseitigen Bild 14.7 sind einige häufig vorkommende Anomalien zusammengestellt, die gewöhnlich zu Berechnungsfehlern oder zumindest zu nicht akzeptierbaren Ergebnisabweichungen führen. Dies sind im Wesentlichen: − sehr starke Elementverzerrungen, was durch große Unterschiede in den Diagonalen abgeprüft werden kann; − große Unterschiede in den Seitenlängen von Elementen, welches über die Knotenkoordinaten geprüft werden kann; − sehr spitze Winkel in Elementen oder − das Überschreiten von Grenzwinkeln in der Krümmung von Elementen. *)

Anmerkung: Einige Programme verfügen bereits über adaptive Netzoptimierer, die entweder automatisch verdichten oder entzerren können. Dieses Problem ist dominant bei großen Dehnungen (z. B. Umformsimulation).

14 Grundregeln der FEM-Anwendung

314

Es ist dann Aufgabe des Anwenders, diese latenten Fehlerquellen zu erkennen und durch geschickte Eingriffe in die Netztopologie zu beseitigen, wenn es nicht sowieso vom Generator durch Selbstprüfung bemängelt wird.

Element-Check

Bemerkung

1. Verzerrungsprüfung

Diagonalverhältnis: dmin

d

dmax

2. Seitenverhältnisprüfung smax

Seitenverhältnis:

smin

3. Spitzwinkligkeitsprüfung

≈ 0,4 bis 1,0

smin ≈ 0,5 bis 1,0 smax Winkelrestriktion: αmin ~ > 10°

αmin 4. Überkrümmungsprüfung

Winkelrestriktion:

n α ≤ αgrenz ≈ 45° αgrenz

Bild 14.7: Typische Elementanomalien

14.4 Bandbreiten-Optimierung Bei der vorausgegangenen Diskussion der Lösungsverfahren für die finiten Gleichungen ist schon die Bedeutung der Besetzung der Systemmatrizen K und M deutlich geworden, da hierdurch der Speicherbedarf und der Rechenaufwand bestimmt werden. Insofern ist es

14.4 Bandbreiten-Optimierung

315

wichtig, für ein Netz eine optimale Nummerierung zu finden, weil hierdurch die so genannte Bandbreite minimiert wird. Zielsetzung ist es somit, Matrizen möglichst ohne Nullelemente abzuspeichern, wodurch auch große Matrizen in den Hauptspeicher geladen werden können. Ansonsten müssten die Systemmatrizen immer wieder in den Hintergrundspeicher ausgelagert werden, wodurch unnötig lange Bearbeitungszeiten /KANN 77/ entstünden.

m

k =2

Bandbreiten-Optimierungsalgorithmen gehören mittlerweile zum normalen Leistungsumfang jeden FE-Programms. Da die Algorithmen größtenteils heuristischen Ursprungs sind, werden oft mehrere Algorithmen angeboten, die in der Regel jedoch unterschiedlich erfolgreich sind.

K=

3

2

1

0

0

2

4

3

0

0

1

3

5

1

2

0

0

1

2

0

0

0

2

0

6

Bevor die Algorithmen kurz diskutiert werden sollen, gilt es, zunächst die Bandbreite und das Speicherverfahren darzulegen. Als Beispiel mag dazu die im Bild 14.8 konstruierte Steifigkeitsmatrix mit typischer Bandstruktur dienen. Bild 14.8: Steifigkeitsmatrix mit der Bandbreite 2 mK + 1 = 5

Ganz allgemein hat eine Matrix Bandstruktur, wenn alle ihre Elemente jenseits von zwei symmetrischen, durch die Bandbreite festgelegte Konturen verschwinden. Wenn K symmetrisch ist, kann dieses Verhalten auch durch k ij = 0, für j > i + m K

beschrieben werden. Die Bandbreite ist dann 2 m K + 1 und 2 m K die Zahl der besetzten Nebendiagonalen in K.

Für die Abspeicherung der Originalmatrix benutzt man in der Regel ein eindimensionales Feld A = k ij ,

in das nur die oberste Hälfte von K präsentgehalten wird. Die Nullelemente außerhalb der Kontur sind dabei entfernt worden. Das Speicherschema hierzu zeigt das Bild 14.9. Bezeichnet man jetzt mit m i die Zeilennummer des ersten nicht verschwindenden Elements in der Spalte i, so beschreibt die Variable m i , i = 1, n die Kontur der Matrix, entsprechend weist die Variable (i − m i ) die Spaltenhöhe aus. Außer dem Feld A wird noch der Vektor AMAX (I) gespeichert, der insbesondere noch einmal die Diagonalelemente von K bereithält. Damit ist eine direkte Zuordnung von Speicherplatz zu Originalmatrix gegeben.

14 Grundregeln der FEM-Anwendung

316 Kontur

mk=3

a) k11

k12

0

k14

0

0

0

0

k22

k23

0

0

0

0

0

k33

k34

0

k36

0

0

k44

k45

k46

0

0

k55

k56

0

k58

k66

k67

0

k77

k78

K= symmetrisch

m6 = 3

k88 b)

A(1) = k11, A(2) = k22, A(3) = k12,

A(21) speichert k58

A(4) = k33, A(5) = k23, A(6) = k44, A(7) = k34, A(8) = 0, .... etc. Diagonale c)

A=

A(9) A(1) A(3) A(2) A(5) A(8) A(15) A(4) A(7) A(6) A(11) A(14) ; A MAX = A(21) A(10) A(13) A(12) A(17) A(20) A(16) A(19) A(18)

1 2 4 6 10 12 16 18

Bild 14.9: Speicherschema für die EDV-gerechte Matrizenverarbeitung a) typische Steifigkeitsmatrix b) Umsortierung in ein eindimensionales Feld c) Zuordnung zwischen Speicherfeld und Ursprungsmatrix Um die Bandbreite einer Matrix klein zu halten, müssen alle Koeffizienten die ungleich null sind zur Hauptdiagonalen hingeschoben und alle Nullelemente von der Hauptdiagonalen weggeschoben werden. Diesen Effekt erreicht man durch eine entsprechende Knotenpunktnummerierung. Man kann dazu sicherlich auch manuelle Strategien nutzen, hierbei gilt die oberste Regel, dass der Nummernsprung in einem Element möglichst klein sein soll. Unter Berücksichtigung dieser Regel soll sich die Nummerierung von Gebieten immer in die Richtung erstrecken, wo die geringere Anzahl von Elementen gebildet wird. Wie auch das folgende Bild 14.10 zeigt, ist diese Vorgehensweise schlichtweg am effektivsten, da sich dadurch die geringste Bandbreite einstellt.

14.4 Bandbreiten-Optimierung 13

1

37

58 33

48

38

26

30

42

20 64

41

39

51

17

4

40

76

66 43

8 67

25 75

14 65

63

6 73

24 68

9 50

70 31

15 34

29 32

16 61

79

78

52 74

12 77

3 71

23 60

44

11 69

49

45 72

19 53

57

21

5

22 62

47

27

28 56

10 46

59

54

18

z

7 35

36

55

y

317

2

x

Modellgebiet: - 4 x 5 Schalenelemente, - 79 Knoten

Maximale Bandbreite

Mittlere Kontur

Ausgangszustand Sloan Gibbs-King Gibbs-Poole-Stockmeyer

74 29 26 27

35 10 11 12

2794 858 884 998

Sortierung nach aufsteigendem y

17

12

996

20

14

1146

y x

4 3 2 1

Profile

8 7 6 5

Sortierung nach aufsteigendem x 5 6 7 8

y

1 2 3 4 x

Bild 14.10: Testbeispiel für Bandbreiten- und Profilnummerierung Ein derartiges Vorgehen ist unter dem rechnerunterstützten Gesichtspunkt natürlich nicht wirtschaftlich, weshalb einige automatische Algorithmen /SCH 80/ entwickelt worden sind, wie beispielsweise die von Rosen, Cuthill-McKee, Sloan, Gibbs-King, Gibbs-Poole-Stockmeyer usw. Diese Algorithmen arbeiten alle nach mehr oder weniger intuitiven Prinzipien und liefern daher nicht mit Sicherheit die optimale Nummerierung mit der minimal möglichen Bandbreite der zugehörigen Matrizen.

318

14 Grundregeln der FEM-Anwendung

Der Grundalgorithmus einer einfachen Koeffizientenvertauschung, welches äquivalent einer Knotennummerierung ist, geht auf Rosen zurück. Obwohl das Verfahren einsichtig und einfach ist, bereitet es Probleme bei sehr großen Matrizen und bei einer ungünstigen Ausgangsnummerierung. Hiergegen benutzt der Cuthill-McKee-Algorithmus einen vier- oder fünfseitigen Graphen, der über das zu nummerierende Gebiet aufgespannt wird und vertauscht darin die Knotennummern solange, bis innerhalb eines Graphen die Differenz der Knotennummern minimal ist. Bei dieser Abstimmung werden auch die angrenzenden Graphen mit berücksichtigt. Die ansonsten noch angegebenen Verfahren stellen im Kern nur Abwandlungen des CMK-Algorithmus dar und sollen daher ohne nähere Erläuterung angegeben werden. Um nun die Wirksamkeit einer Bandbreitenreduzierung ausweisen zu können, ist im vorstehenden Bild ein Gebiet mit einer bewusst ungünstigen Nummerierung erzeugt worden. Man erkennt an der Auswertung, dass alle Verfahren die Bandbreite der Steifigkeitsmatrix deutlich reduzieren. Im Grunde genommen ist jedoch die Bandbreite nicht das alleinige Kriterium für einen geringen Speicherbedarf und geringe Rechenzeit, sondern hierbei ist auch das numerische Rechenverfahren für die Gleichungslösung mitentscheidend. Wird insbesondere das Gleichungslösungsverfahren von Cholesky benutzt, so ist das Profil der Steifigkeitsmatrix gleich wichtig. Mit Profil wird dabei die effektiv benötigte Anzahl von Koeffizienten bezeichnet, die für die Gleichungslösung unbedingt erforderlich sind. Bandbreite und Profil hängen natürlich unmittelbar zusammen, sodass durch eine Umnummerierung beides beeinflusst wird.

14.5 Genauigkeit der Ergebnisse Zum Einstieg in das Manuskript wurde ausgeführt, dass die Methode der finiten Elemente heute als das leistungsfähigste numerische Verfahren des Ingenieurwesens gilt. In der Tat ist es auch so, dass bei richtiger Modellbildung und abgestimmten Eingangsdaten eine sehr gute Übereinstimmung der theoretischen Ergebnisse mit überprüfenden Experimenten erzielt werden konnte. So war es beispielsweise am Fachgebiet für Leichtbau-Konstruktion an der Universität Kassel möglich, statisch belastete Strukturen mit etwa 7 % Abweichung zu DMS-Messungen hinsichtlich der Spannungsverteilung zu analysieren oder ein Eigenfrequenzspektrum bis auf 5 % Abweichung zu entsprechenden Resonanzprüfungen zu ermitteln. Dies bedarf natürlich einer sorgfältigen Arbeitsweise und einer dezidierten Abstimmung bezüglich − der Feinheit des Netzes, − der gewählten Elementtypen, − des Werkstoffverhaltens und der Werkstoffdaten, − der numerischen Genauigkeit der Rechnung und eben − der Modelladäquatheit. Auf die ersten beiden Aspekte ist zuvor schon eingegangen worden, sodass wir diese Aussage nur noch durch eine Bemerkung bezüglich der Netzfeinheit ergänzen wollen. Hierzu beziehen wir uns auf die Konvergenzbetrachtungen der vorstehenden Kapitel, aus denen unter anderem die Erkenntnisse abzuleiten sind, dass man bei Zugrundelegung eines bestimmten Netzes nie den Abstand zum exakten Ergebnis weiß. Einige Programmsysteme

14.5 Genauigkeit der Ergebnisse

319

bieten daher die Möglichkeit, quasi auf Knopfdruck ein Netz doppelt so fein zu machen. Stellt man dann bei einer erneuten Rechnung fest, dass es nur noch geringere Änderungen zur vorausgegangenen Rechnung gibt, so kann man das erste Ergebnis quasi als ausreichende Näherung ansehen. Dass ein derartiges Vorgehen praktizierbar ist, belegt unter anderem die Tatsache, dass sich die Rechenleistung der Supermikro-Rechner in den letzten 3 Jahren mehr als verzehnfacht hat. Einen weiteren Ansatzpunkt für ein gutes Ergebnis ergibt sich auch in der programmtechnischen Möglichkeit, ein Gleichungssystem doppelt genau zu lösen. Die Programmsysteme, die diese Verhaltensweise zeigen, bezeichnet man als so genannte hVersionen, womit zum Ausdruck gebracht wird, dass die Ergebnisgüte eine Funktion des relevanten Elementdurchmessers h ist. Gänzlich anderes Verhalten zeigen hingegen Programme der so genannten p-Versionen (z. B. PROBE /N.N. 94/), die den Polynomgrad p der Ansatzfunktion als variabel ansetzen. Bei einer gleich feinen Elementteilung können also mit einer p-Version mehr Freiheitsgrade in einem Gebiet untergebracht werden und somit ein aussagefähigeres Ergebnis erzielt werden. Zum Konvergenzverhalten sei noch angemerkt, dass unter Benutzung beschränkter verträglicher Verschiebungszustände die gefundene Lösung für eine Struktur eine wertvolle Grenzeigenschaft besitzt, die in der Überschätzung der Formänderungsenergie besteht: − Für eine gegebene Belastung wird deshalb die berechnete Formänderungsenergie kleiner oder höchstens gleich sein der Formänderungsenergie in der realen Struktur. Dies lässt sich damit erklären, dass die reale Struktur keine Beschränkung hinsichtlich der möglichen Verschiebungen kennt. Die mit der Verschiebungsmethode gefundene Lösung muss somit immer eine untere Schranke für die Verschiebungen darstellen. − Bei vorgeschriebenen Verschiebungen wird die berechnete Formänderungsenergie dagegen eine obere Schranke darstellen, sodass dann die Kräfte immer zu groß bestimmt werden. Diese unter anderen von Rayleigh für linear elastische Strukturen formulierte Aussage gilt im Wesentlichen auch für nichtlineares Materialverhalten und Temperaturbelastung. Neben den methodischen und numerischen Verbesserungsmöglichkeiten spielen auch noch die Werkstoffdaten eine nicht zu unterschätzende Rolle, da hiermit die Steifigkeit eines Bauteils bestimmt wird. So haben wir vorstehend erkannt, dass bei linear elastischen Rechnungen die Querkontraktionszahl ν und der Elastizitätsmodul E bzw. bei nichtlinearen Rechnungen zusätzlich noch die Fließgrenze R e und bei dynamischen Rechnungen ergänzend noch die Dichte ρ mit zu den Eingangsgrößen gehören. Bei Verwendung von Standardwerten für diese Größen muss man sich natürlich auch über die statistischen Größen und die damit erzielten Rechnerergebnisse im Klaren sein, die dann nur für eine Werkstoffgruppe gelten. Strebt man hingegen eine Aussage an, die letztlich auch mit einem Experiment in Einklang steht, so ist es notwendig, abgesicherte Materialdaten zu verwenden. Dies soll unter anderem auch das Bild 14.11 verdeutlichen, das beispielsweise Materialkenngrößen verschiedener

14 Grundregeln der FEM-Anwendung

320

Stähle*) aufführt, die im Labor des Fachgebiets Leichtbau-Konstruktion an der Universität Kassel gemessen wurden.

ν Werkstoffe

R eH bzw. R p 0, 2

Rm

E

[N/mm 2 ]

[N/mm ]

[N/mm2 ]

2

C 22

0,277

328 (min. 240)

499 (min. 430)

205.600 (210.000)

C 45

0,28

496 (min. 340)

708 (min. 620)

197.300 (210.000)

QStE 500

0,315

625 (min. 500)

777 (min. 550-700)

196.300 (210.000)

Bild 14.11: Materialkennwerte einiger Stähle (Vergütungs- und Feinkornstahl) im Vergleich Es fällt hierbei auf, dass die Abweichungen von den bekannten Standardwerten für Stahl

(Ȟ = 0,3; E = 2,1 ⋅ 105 N/mm 2 ) teils doch erheblich sind. Damit wird offensichtlich, dass

die Materialdaten eine nicht zu vernachlässigende Fehlergröße darstellen. Eine Berechnung mit Standardwerten wird daher mehr oder weniger große Abweichungen zum Experiment aufweisen. Resümierend lässt sich feststellen, dass FEM-Ergebnisabweichungen auf systematische Fehler (numerische Fehler, Approximationsfehler) und stochastische Abweichungen (Abmessungsschwankungen, streuende Materialdaten) zurückzuführen sind.

14.6 Qualitätssicherung Mit der Etablierung der FEM als Standardwerkzeug der Produktentwicklung unterliegt auch eine interne oder externe Dienstleistung zunehmend den Maßstäben von Qualitätssicherungsmodellen. Bestreben ist es, die Ausführungsqualität von Berechnungen zu erhöhen, in dem diese nachvollziehbar (validierbar) und überprüfbar (verifizierbar) gemacht sowie persönliche Verantwortlichkeiten geschaffen werden. In der Industrie wurden dazu die im Bild 14.12 herausgestellten Darlegungsmodelle festgeschrieben. Diese Beschreiben nicht nur Abläufe, sondern stellen auch Anforderungen an das (Fach-)Personal, die Art der Problemanalyse, die Geeignetheit von Software und die Ergebnisrückführung. Die Erfüllung der Forderungen eines QM-Systems stellt im Schadensfall einen wesentlichen Entlastungsbeweis da, um die Organisationshaftung zu begrenzen. Unberührt hiervon besteht aber ein Risiko für den Berechnungsingenieur, der als Fachmann nicht nur das notwendige wissen, sondern auch seine Sorgfalt nachweisen muss. *)

Anmerkung: Qualitäten nach DIN EN 10 083-1 und DIN EN 10 113

14.6 Qualitätssicherung

321

Qualitätsmodelle

DIN EN ISO 9001:2008

NAFEMS QSS

Qualitätsmanagementsystem für Produkte Dienstleistungen Prozesse

SAFESA strukturierte Vorgehensweise für FEA

Bild 14.12: Industrielle Qualitätssicherungsmodelle nach ISO und NAFEMS Am verbreitetsten ist die DIN EN ISO 9001:2008, welche ein QM-Prozessmodell für entwickelnde und produzierende Unternehmen sowie Dienstleister darlegt. Dies ist ein Organisationsrahmen, der auf die fehlerfreie Erbringung aller Arbeitsschritte ausgerichtet ist. Durch eine Zertifizierung müssen die Unternehmen nachweisen, dass sie dieses Qualitätsmodell (Prozessorganisation, QM-Handbuch) aufrechterhalten und tatsächlich leben. Parallel dazu wurde mit NAFEMS QSS (Quality System Supplement to ISO 9001) ein Standard mit alleiniger Ausrichtung auf FEM-Dienstleistungen geschaffen. Die Erweiterung umfasst insbesondere Forderungen an die Personalqualifikation, Software und die Risikokategorie des Produktes. Hiernach muss ein FEM-Berechner über ausreichende Berufserfahrungen verfügen, Produktverständnis und Fachkenntnisse in der FE-Methode sowie der Numerik der Algorithmen aufweisen. Weiterhin muss ein Berechnungsprojekt strukturiert geplant werden und über die Stufen Modellierung, Berechnung und Ergebnisinterpretation nachvollziehbar sein. Der ergänzende SAFESA-Standard gipfelt in der Forderung: Keine Freigabe von FE-Ergebnissen ohne Prüfung.“ und „100-%-Prüfung bei sicherheitsrelevanten Bauteilen. Bei „nicht sicherheitsrelevanten Bauteilen“ ist zumindest „die Richtigkeit eines Ergebnisses stichprobenhaft“ abzusichern. Damit sind die künstlerischen Freiheiten von FEBerechnern zurückgeschnitten und die Projektverantwortung in den Mittelpunkt gerückt worden. Eine noch andere Dimension gibt in diesem Zusammenhang das Produkthaftungsgesetz (ProdHaftG) vor, welches den rechtlichen Rahmen für den Berechnungsingenieur schafft. Falls das Versagen eines Bauteils nachweislich auf mangelnde Sorgfalt bei der Berechnung zurückzuführen ist, greift letztlich das gesamte Strafregister vom BGB bis zum StGB.

14 Grundregeln der FEM-Anwendung

322

14.7 Modelladäquatheit An vielen Stellen im Manuskript wurde auf eine geeignete Elementierung und eine entsprechende Netzfeinheit eingegangen. Im Kapitel 9 wurde des Weiteren dargestellt, dass eine dynamische Berechnung mit einem viel gröberen FE-Netz als bei einer statischen Rechnung erfolgen kann. Dies führt zu der Fragestellung der Modelladäquatheit, welches die Ausführungsqualität eines FE-Modells umfasst. Elastostatik

Lebensdauer

K ⋅ U = P, σ = E ⋅ ε

N = f (σ)

Sensitivität

Dynamik ω=

K M

extra fein sehr fein fein grob

Beispiel: Masse +10 % und Steifigkeit +20 %: ω = +4,4 %

ω= U=

U = −16,7 % σ = −16,7 %

1,2 ⋅ k = 1,044 ⋅ k 1,1 ⋅ m m P = 0,833 ⋅ P 1,2 ⋅ K K

σ = E ⋅ε = E ⋅

0,833 ⋅ Δl = 0,833 ⋅ E ⋅ ε l0

§ σ N1,2K = ¨¨ 1 © σ1,2K

N = +149 %

Ÿ ω ↑ 4,4 % Ÿ U ↓ 16,7 % Ÿ σ ↓ 16,7 %

k

5 · 1 ⋅ σ1 · ¸¸ ⋅ N1 = §¨ ¸ ⋅ N1 = 2,49 ⋅ N1 Ÿ N1,2 K ↑ 149 % © 0,833 ⋅ σ1 ¹ ¹

Bild 14.13: Einfluss des Modells auf FE-Ergebnisse Im Bild 14.13 ist angedeutet worden, dass spezielle Problemanalysen ein entsprechend angepasstes Modell erfordern. Dynamische Probleme reagieren bekanntlich sehr träge auf Element- und Netzvariationen, bzw. hier ist meist ein grobes Netz ausreichend. An den gewählten Zahlen wird sichtbar, dass große Parameteränderungen nur einen geringen Einfluss auf die Eigenkreisfrequenz

14.7 Modelladäquatheit

323

haben. Will man die Eigenfrequenz verändern, so ist dies nur durch größere Eingriffe in die Struktur möglich. Elasto-statische Probleme benötigen meist ein feines Netz und die ermittelten Verformungen und Spannungen reagieren proportional auf Steifigkeitsänderungen. Demgegenüber verlangen Lebensdaueranalysen ein sehr feines Netz. Auf Spannungsänderungen reagiert die Lebensdauer überproportional und weist damit den größten Erfolg aus.

324

Fallstudien*)

*)

Anmerkung: Die nachfolgenden Fallstudien wurden überwiegend mit dem CAD-Programm CATIA und dem FE-Programm I-DEAS der Firma EDS bzw. einige ergänzende Rechnungen mit dem System ABAQUS von HKS bearbeitet.

B. Klein, FEM, DOI 10.1007/978-3-8348-2134-8, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012

325

Fallstudie 1: zu Kapitel 4 Matrix-Steifigkeitsmethode In der Literaturstelle von Hahn /HAH 75/ ist dargestellt, dass mit einfachen Stab-Elementen sehr schön statisch bestimmte und statisch überbestimmte Fachwerkstrukturen behandelt werden können. Um dies exemplarisch zu untermauern, soll hier die Lösung des so genannten Navier‘schen Problems übernommen werden. Dieses Problem besteht in der Berechnung der freien Knotenverschiebungen des vielfach statisch überbestimmten elastischen Fachwerks von Bild 1.1 unter gegebenen äußeren Kräften. Mit der Lösung haben sich im 17. Jahrhundert viele Mathematiker beschäftigt und sehr komplizierte Lösungswege entwickelt. y F 8y 8

F 8x

L7

L1

H u1 = 0 v1 = 0

L2

u7 = 0 v7 = 0

α2

α1

x 1

H 3

2

H 3 H

3

H 3

4

5

6

7

Bild 1.1: Mehrfach statisch überbestimmte Fachwerkstruktur Alle Stäbe sollen dabei gleichen Querschnitt (A = konst.) haben und aus gleichem Werkstoff (E = konst.) bestehen. Wir wählen die Idealisierung so, dass jeder Stab ein finites Element mit zwei Knoten und jeweils 2 Freiheitsgraden ( u i , v i ) sein soll. Bei acht Knoten erhalten wir so eine 16-x-16-Gesamtsteifigkeitsmatrix.

Da jeder Knoten c bis i unverrückbar gelagert ist, braucht letztlich aber nur eine 2-x-2Matrix [(16 x 16 ) − (14 x 14 )] invertiert werden, welches im Grunde ein leichtes Unterfangen darstellt, wie die folgende Lösung zeigt.

Fallstudie 1: zu Kapitel 4 Matrix-Steifigkeitsmethode

326 a) Systemgleichung 1

2

3

16

F1x

1

0

F1y

2

0

F2x

3

0

F2y

4

0 .

=

F8x

15

F8y

16

k15 15 k15 16 k16 15 k16 16

u8 v8

(1)

b) Kondensierte Lösungsgleichung 1 F8 x 1 k1515 = F8 y 2 k1615

2 k1516 u ⋅ 8 k1616 v8

(2)

mit cos 2 α i E⋅A 7 = ¦ cos 2 α i ⋅ sinα i , L H i i =1 i =1 7

k1515 = E ⋅ A ¦

7

cosα i ⋅ sin α i E⋅A 7 = ¦ cosα i ⋅ sin 2 α i , L H i i =1 i =1

k1516 ≡ k1615 = E ⋅ A ¦

sin 2 α i E⋅A 7 = ¦ sin 3 α i . H i =1 i =1 L i 7

k1616 = E ⋅ A ¦

(3)

(4)

(5)

Für die vorgegebenen Kräfte F8 x , F8 y erhalten wir die unbekannten Knotenverschiebungen durch Inversion der abgespaltenen Steifigkeitsmatrix zu k1616 u8 1 = v8 (k1515 ⋅ k1616 − k1615 ⋅ k1516 ) − k1616

− k1516 F8 x ⋅ , k1515 F8 y

womit dann auch die Verschiebung des Knotenpunktes j bestimmt ist.

(6)

327

Fallstudie 2: zu Kapitel 5 Konzept der FEM / Allgemeine Vorgehensweise Die Hilfsmittel im Ingenieurwesen entwickeln sich unaufhaltsam zu Computermethoden. Zukünftige Produktentwickler müssen Fertigkeiten und Kenntnisse in der virtuellen Produktentwicklung aufweisen. Virtuelle Produktentwicklung besteht heute schon, wie im Bild 2.1 dargestellt, aus einer leistungsfähigen Methodenkette.

CAE – Computer Aided Engineering K

P CAD

MKS

FEM

OPT

STL

Bild 2.1: Einsatz rechnerunterstützter Methoden (CAE) vom Konzept zum Produkt In dieser Fallstudie soll allerdings nur der Weg vom CAD-Modell zum FE-Modell bzw. zur FE-Berechnung skizziert werden. Das hierfür benutzte Beispiel sei die Druckplatte eines einfachen Papierlochers. Die erste Stufe vom CAD-Exportfile bis zum FE-Importfile zeigt Bild 2.2. In diesem Fall ist der ganze Locher mit dem CAD-System CATIA V5 konstruiert worden. Als gefährdetes Bauteil wird vom Konstrukteur die Handdruckplatte angesehen, die im Weiteren mit einer FE-Rechnung analysiert werden soll. Produktentwicklung 1. Das Produkt „Locher“ ist mit CATIA V5 als Volumenmodell entwickelt worden. CATIA V5 ist ein CAD-System der neuen Generation, welches neben der Zeichnungserstellung und Bauteilparametrisierung noch über Optionen verfügt, Produktwissen zu verwalten und bestimmte Anwendungsprozesse (Blechumformung, NC-Bearbeitung, Verkabelung, Toleranzen, einfache lineare FE-Analysen etc.) zu simulieren. 2. Aus dem CAD-Modell kann natürlich ein Bauteil oder auch eine Baugruppe für eine Weiterbearbeitung exportiert werden. Da die Weiterbearbeitung mit einem FEM-System erfolgen soll, muss ein geeigneter Datentransfer vorgenommen werden. Hierzu stehen softwaretechnisch die IGES-, JT- und STEP-Schnittelle*) zur Verfügung, die Grafik und Technologie austauschen können. 3. In dem FE-Programm bzw. Pre-Prozessor kommt als Importfile ein Volumenmodell an, welches in unterschiedlicher Weise vernetzt werden kann. Im umseitigen Bild sind die einzelnen Schritte gemacht worden.

*)

Anmerkung: IGES = Initial Graphics Exchange Spezification STEP = Standard for the Exchange of Product Model Data (ISO 10303) JT = Jupiter, neutrales 3-D-Datenformat

328

Fallstudie 2: zu Kapitel 5 Konzept der FEM / Allgemeine Vorgehensweise 3-D-CAD-Modell

Bauteil „Handdruckplatte“

IGES-File

Step-File

importiertes Volumen

zur Weiterbearbeitung im FEProgramm Bild 2.2: Vom CAD-Modell zum Volumenmodell im Pre-Prozessor

Fallstudie 2: zu Kapitel 5 Konzept der FEM / Allgemeine Vorgehensweise

329

Bauteilanalyse 4. Das Bauteilmodell liegt nun im Pre-Prozessor eines FE-Programms vor und muss für die Berechnung weiter aufbereitet werden. Ein wesentlicher Punkt ist hierbei die Auswahl des Berechnungsmodells. 5. Bei der zu berechnenden Handdruckplatte, die aus einem dünnen Stahlblech gefertigt wurde, bietet sich ein Schalenmodell geradezu an. Wenn also ein Schalenmodell berechnet werden soll, muss in dem vorliegenden Bauteil eine „Midsurface“ gebildet und diese mit der physikalischen Dicke des Teils belegt werden. Gewählt wurden lineare SchalenElemente, die im „free mesh“ vernetzt wurden. 6. In dem anderen Fall ist das importierte Volumenmodell mit parabolischen „TetraederElementen“ modelliert bzw. auch durch „free mesh“ vernetzt worden. Dem TetraederElement liegt ein quadratischer Ansatz zugrunde, der natürlich schneller genauere Ergebnisse ermitteln wird, wie der lineare Schalenansatz. Der Ablauf vom Bauteilmodell über die Stufen Vernetzung und physikalischer Datensatz (F, ν, E, ...) ist im umseitigen Bild 2.3 dargestellt. Die unterschiedliche Vorgehensweise hat natürlich auch Einfluss auf die erzielten Ergebnisse, welches die folgende Tabelle ausweist.

lin. Schalen-Modell

quadr. Volumen-Modell

Anzahl „Knoten“

3.504

18.298

Anzahl „Elemente“

3.349

8.837

max. Spannung

98 %

100 %

max. Durchbiegung

104 %

100 %

1 Sekunde

12 Sekunden

Rechenzeit

Das qualitativ höherwertige Volumenmodell mit fünfmal mehr Knoten als das Schalenmodell wird insgesamt näher an der exakten Lösung des Problems liegen. Den Nachteil erkennt man in der Rechenzeit, wenn man sich sehr große FE-Modelle vorstellt.

330

Fallstudie 2: zu Kapitel 5 Konzept der FEM / Allgemeine Vorgehensweise Volumenmodell mit kreierter „Midsurface“

Volumenmodell mit „Tetraeder-Elementen“

Schalenmodell mit „Viereck-Schalen-Elementen“

ausgewertete FE-Analyse „Spannungsverlauf“

Bild 2.3: Vom Bauteilmodell zur FE-Analyse

331

Fallstudie 3: zu Kapitel 5 Konzept der FEM / Schiefe Randbedingungen Im Kapitel 5 ist dargelegt worden, dass für die Lösbarkeit einer finiten Gleichung die Randbedingungen eine entscheidende Rolle spielen. Darüber hinaus ist bei Systemen mit beweglichen Auflagern vielfach von Interesse, wie groß die Verschiebungen am Auflager sind. Um die Randbedingungsproblematik noch einmal hervorzuheben, ist im Bild 3.1 eine einfache Fachwerkstruktur mit schiefer Stützung gezeigt.

2

9

4

10

6

Fy

8

11

12

Fx 1 y

1

9

8 x

5

3

6

5

7

~y

7 ~x

Bild 3.1: Beispiel mit schiefen Randbedingungen Diese Fachwerkstruktur muss für die Berechnung statisch bestimmt gelagert werden. Da die Auflager im Knoten i und k jedoch nicht in Richtung des globalen Koordinatensystems unterdrückt werden können, müssen für diese beiden Knoten ein eigenes Koordinatensystem eingeführt werden. Im Bild 3.2 ist das entsprechend verformte System dargestellt.

Bild 3.2: Verformtes Fachwerk mit Verschiebungsvektoren Die Verschiebungsvektoren an den schiefen Auflagern verlaufen jetzt in Richtung des gedrehten Koordinatensystems ( ~ x) .

332

Fallstudie 4: zu Kapitel 5 Konzept der FEM / Durchdringung Zu einer besonderen Art von Randbedingungen führt die Kontaktproblematik (siehe insbesondere Kapitel 8). Diese lässt einen Oberflächenkontakt, aber keine Durchdringung zu. Bild 4.1 zeigt einen Gummi-Faltenbalgen, wie er z. B. zum Schutz von Gelenkwellen zur Anwendung kommt. Auf Grund der Symmetrie wird das Bauteil aus Kreisring-Elementen modelliert und somit auf ein zweidimensionales Berechnungsmodell reduziert. Für die Vermeidung einer räumlichen Überschneidung der Elemente müssen auf der Oberfläche Kontaktzonen definiert und bei jedem Rechenschritt iterativ auf Kontakt geprüft werden.

Bild 4.1: Gummi-Faltenbalg Bei „normalen FE-Modellen“ wird die Durchdringung der Elemente im Normalfall nicht geprüft, da es sich bei dieser Kontrolle um einen sehr aufwändigen und rechenintensiven Prozess handelt, der die reine Rechenzeit verdoppelt bis verdreifacht. Die exemplarische Auswertung dieser Problemstellung ist im Bild 4.2 aufbereitet worden. Man erkennt zunächst am Deformationsverhalten, wie sich das obere Bauteil auf das untere Bauteil abstützt und welche Verformungen dabei entstehen. Des Weiteren zeigt der Spannungsplot, wie die eingeleitete Flächenlast durch die Körper auf die Auflage abgeleitet wird. Im unteren Teil des Bildes 4.2 ist dasselbe Modell ohne vorherige Definition von Kontaktbedingungen dargestellt, welches zu einem sinnlosen Ergebnis führt.

Fallstudie 4: zu Kapitel 5 Konzept der FEM / Durchdringung a)

333 9.57E+01

7.38E+01

5.27E+01

4.13E+01

3.17E+01

2.41E+01

1.74E+01

1.17E+01

5.95E+00

3.09E+00

2.25E-01

b)

1.01E+01

7.75E+00

5.53E+00

4.33E+00

3.32E+00

2.52E+00

1.81E+00

1.21E+00

6.05E-01

3.03E-01

8.07E-04

Bild 4.2: Kreisring-Elemente des Faltenbalgs a) mit Kontaktbedingungen, b) ohne Kontaktbedingungen

334

Fallstudie 5: zu Kapitel 7 Anwendung von Schalen-Elementen Wie schon an verschiedenen Stellen erwähnt, ist es sinnvoll und zweckmäßig, dünnwandige Bauteile mit finiten Schalen-Elementen zu modellieren. Ein schönes Beispiel für eine derartige Anwendung ist die im Bild 5.1 gezeigte Flanschverbindung für einen Druckkessel.

Netz 5

Netz 4 (Schrauben)

pi = 100 bar

Netz 2 (Deckel) Netz 1 (Rohrstutzen)

Netz 3 (Dichtung)

Bild 5.1: Beanspruchte Flanschverbindung Die Vorgeschichte dieses Problems war, dass der Flansch im Betrieb bei einem bestimmten Spitzenwert des Innendrucks leckte, welches Kunden regelmäßig reklamierten. Eine Möglichkeit, dies zu beheben, ist, die Flanschverbindung zu versteifen. Ohne Änderungen am Kessen kann Steifigkeit nur durch eine „Hinterfütterung“ der Deckelverschraubung erzeugt werden. Um diesen Effekt zu erzielen, wurde eine geteilte Hinterlegscheibe konstruiert, die eine ausreichende Versteifung bringen müsste. Um hier sicherzugehen, sollte dies mit einer FE-Simulation untermauert werden. Das nachfolgende Bild 5.2 zeigt das im Pre-Prozessor erstellte Modell, welches aus vier Einzelnetzen besteht. Da das Objekt völlig symmetrisch ist, reicht für die Analyse ein Viertelflansch aus. Rohrstutzen, Deckel und Hinterlegscheibe sind im free mesh mit linearen Schalen-Elementen abgebildet. Für die Dichtung wurde hingegen ein Volumenmodell*) aus linearen Quader-Elementen gewählt. Die Dichtung besteht aus einer Gummi-Metallstruktur, für die hier ebenfalls lineares Materialverhalten vorausgesetzt sei, da die Dichtung nur mit ca. 0,2-0,3 mm verpresst wird. Im ganzen Dichtbereich wird weiterhin „Kontakt“ angenommen. Für die Verschraubung werden elastische Balken-Elemente, die entsprechend vorgespannt werden können, gewählt.

Fallstudie 5: zu Kapitel 7 Anwendung von Schalen-Elementen

335

Hinterlegscheibe Dichtung

Rohrstutzen

Deckel

Bild 5.2: FE-Modell der Flanschverbindung Die Auswertung der FE-Analyse zeigt das weitere Bild 5.3 anhand von Spannungsauswertungen (Vergleichsspannung nach von Mises). Insgesamt sind die hier auftretenden Spannungen in einem zulässigen Bereich. Es treten leichte Spannungskonzentrationen um die Schraubenlöcher auf, die aber regelmäßig durch Setzen abgebaut werden.

8.91E+05 8.46E+05 8.02E+05 7.57E+05 7.13E+05 6.69E+05 6.24E+05 5.80E+05 5.35E+05 4.91E+05 4.46E+05 4.02E+05 3.57E+05 3.13E+05 2.68E+05 2.24E+05 1.79E+05 1.35E+05 9.04E+04 4.59E+04 1.47E+03

Bild 5.3: Spannungsanalyse am Flansch und an der Dichtung (Angabe in m N/mm 2 )

336

Fallstudie 5: zu Kapitel 7 Anwendung von Schalen-Elementen

An der Dichtung im Bild 5.4 sieht man einen leichten Einzugseffekt, der durch die simulierte Pressung um den Schraubenkopf entsteht. Die angegebenen Spannungen in der Dichtung sind resultierende Betragsspannungen aus Druck und auftretendem Schub.

5.00E+03 4.75E+03 4.50E+03 4.25E+03 4.00E+03 3.75E+03 3.50E+03 3.25E+03 3.00E+03 2.75E+03 2.50E+03 2.25E+03 2.00E+03 1.75E+03 1.50E+03 1.25E+03 1.00E+03 7.50E+02 5.00E+02 2.50E+02 0.00E+00

1.70E-01 1.62E-01 1.53E-01 1.45E-01 1.37E-01 1.29E-01 1.21E-01 1.13E-01 1.05E-01 9.71E-02 8.90E-02 8.10E-02 7.29E-02 6.49E-02 5.68E-02 4.88E-02 4.07E-02 3.27E-02 2.46E-02 1.66E-02 8.50E-03 4.51E-04

Bild 5.4: Resultierende Spannungen in der Dichtung (Angabe in mN/mm)

Weiter sind im Bild 5.5 noch die Deformationen in dem Flanschdeckel bestimmt worden. Diese erreichen eine Größe von 0,17 mm, während die Dichtung bis 0,2 mm abdichtet. Mit der durchgeführten FERechnung ist nun bewiesen, dass die Hinterlegscheibe eine ausreichende Steifigkeit bringt, um zusammen mit der Dichtung das Problem des Leckens auch beim Spitzendruck zu lösen. Bild 5.5: Verformungsbild des Flansches (Angabe in mm)

337

Fallstudie 6: zu Kapitel 7.5 Anwendung von Volumen-Elementen / Mapped meshing Bei materiellen Körpern spielen die Randbedingungen eine große Rolle. Einfache Auflager (Loslager, Festlager) wie in der Mechanik sind in der Praxis aber relativ selten. Es überwiegen dort Verschraubungen, Klemmungen oder gekoppelte Stützungen, die dann richtig in das Modell eingearbeitet werden müssen. Als ein allgemeiner Randbedingungsfall wird am Beispiel einer aus Volumen-Elementen modellierten Blattfeder der Fall vorgeschriebener Verschiebungen an bestimmten Knotenpunkten einer Struktur dargestellt. Die Theorie dazu ist schon sehr früh im Kapitel 5.3.3 hergeleitet worden. Hiernach kann gemäß den auftretenden Möglichkeiten − unbekannte Verschiebungen ( U unknown ), − bekannte Verschiebungen ( U sup pressed ) und − vorgeschriebene Verschiebungen ( U prescribed ) eine finite Systemgleichung wie folgt partitioniert werden:

ª K uu « « K su «¬ K pu

K us K ss K ps

K up º ª U u º ª Fu º » « » « » K sp » ⋅ « U s » = « Fs » . K pp »¼ «¬ U p »¼ «¬ Fp »¼

(1)

Dies führt zu den drei Einzelgleichungen

K uu ⋅ U u + K up ⋅ U p = Fu ≡ 0, K su ⋅ U u + K sp ⋅ U p = Fs ,

(2)

K pu ⋅ U u + K pp ⋅ U p = Fp ≡ 0. Hierin ist zu berücksichtigten, dass

− die bekannten Verschiebungen an den Auflagern U s ≡ 0 sind, − die Reaktionskräfte Fs an den Auflagern auftreten, − es jedoch keine vorgeschriebenen Kräfte gibt, d. h. Fp ≡ 0 ist. Damit können die unbekannten Verschiebungen bestimmt werden zu

U u = −K uu −1 ⋅ K up ⋅ U p .

(3)

338

Fallstudie 6: zu Kapitel 7.5 Anwendung von Volumen-Elementen / Mapped meshing

Diese unbekannten Verschiebungen werden in der hier betrachteten Problemstellung einer zwangsweise verformten Blattfeder aus Kunststoff angewendet, die in der im Bild 6.1 gezeigten Bauform in einem Messgerät eingebaut wird. Das freie Ende dieser Blattfeder macht dabei einen vorgeschriebenen Weg von ca. 15 mm und speichert potenzielle Energie. Das Federmaterial sei aus POM mit

− einem mittleren E-Modul von E m = 2.250 N/mm 2 , − einer Streckgrenze von R H = 70 N/mm 2 und − einer Querkontraktion von ν = 0,32. Die linear elastische FEM-Analyse zeigt, dass bei den vorgegebenen Verhältnissen die maximal in den Randzonen der Blattfeder auftretenden Zug- bzw. Druckspannungen 26,2 N/mm 2 betragen. Der Materialwert R eH für die Streckgrenze übersteigt diese Spannungen mit einem Sicherheitsfaktor von 2,7. Es ist daher auch bei wiederholter Betätigung nicht mit Relaxation des Materials zu rechnen. 2.62E+01

1.57E+01

1.31E+01

7.85E+00

2.62E+00

1.05E+00

-1.05E+00

-2.62E+00

-7.85E+00

-1.57E+01

-2.62E+01

Bild 6.1: Spannungen und Deformation in einer Kunststoff-Blattfeder

339

Fallstudie 7: zu Kapitel 7.5 Anwendung der Volumen-Elemente / Free meshing In dem gezeigten Bild 7.1 ist eine Tretkurbel eines Fahrradkettenantriebes dargestellt, die hinsichtlich des Spannungsverlaufs und der Verformungen analysiert werden soll. Es handelt sich hierbei um ein sehr kompaktes Aluminium-Schmiedeteil, welches einer Torsions- und Biegebeanspruchung unterliegt.

Bild 7.1: Fahrradtretkurbel Um die Geometrie der Freiformflächen möglichst exakt nachbilden zu können, wurden parabolische Tetraeder-Elemente mit Seitenmittenknoten ausgewählt.

Bild 7.2: FE-Netz der Tretkurbel

340

Fallstudie 7: zu Kapitel 7.5 Anwendung der Volumen-Elemente

Diese Elemente werden in modernen FE-Systemen bei automatischen Meshprozeduren, dem so genannten free meshing, üblicherweise verwendet. Für eine realistische Modellbildung der Krafteinleitung war es notwendig, ein Stück des Pedalbolzens zu berücksichtigen. Damit ein möglichst durchschnittliches Fahrerspektrum abgedeckt werden kann, wurde als maximale Fußkraft Fz = 1.000 N gewählt. Das erzeugte Drehmoment wird dann über einen Vierkant in das Kettenblatt eingeleitet. Da bei der Analyse nur die Augenblicksstellung der ungünstigsten Krafteinleitung betrachtet wird, kann für die Anbindung an das Vierkantprofil eine feste Einspannung mit u = 0, v = 0 und w = 0 angenommen werden. Unter diesen Vorgaben ist im Bild 7.3 zunächst die elastische Verformbarkeit der Kurbel ausgewertet worden. Es ist erkennbar, dass insbesondere im vorderen Bereich die Knoten translatorisch und rotatorisch ausgelenkt werden. Die Kurbel muss daher eine ausreichende Torsions- und Biegesteifigkeit aufweisen.

Bild 7.3: Deformation der Tretkurbel bei Belastung Im weiteren Interesse ist noch abzuklären, ob die Beanspruchung in der Kurbel zulässig ist. Bild 7.4 zeigt die entsprechende Spannungsauswertung über Isolinien.

Fallstudie 7: zu Kapitel 7.5 Anwendung der Volumen-Elemente

341

Wie zu erwarten war, nehmen die Spannungen zu bzw. verdichten sich an den Randbedingungsstellen. Ausgewertet wurden dabei die Vergleichsspannung

(

)

σ V = σ x 2 + σ y 2 + σ z 2 − σ x σ y + σ y σ z + σ x σ z + 3§¨ τ xy 2 + τ yz 2 + τ xz 2 ·¸ © ¹

(1)

nach von Mises.

1.98E+02 1.59E+02 1.29E+02 9.56E+01 6.99E+01 5.02E+01 3.05E+01 2.06E+01 1.27E+01 6.83E+00 9.17E-01

Bild 7.4: Spannungsverteilung in der Tretkurbel bei Belastung Die Spannungen sind aber nicht kritisch, da im Gesenk geschmiedete Al-Legierungen Streckgrenzenwerte von 200-420 N/mm 2 aufweisen.

342

Fallstudie 8: zu Kapitel 9 Dynamische Probleme Die nachfolgend im Bild 8.1 dargestellte Welle wird in einer Kartonagenmaschine zum Schneiden von Pappkartons eingesetzt. Um den Schneidevorgang sauber ausführen zu können, sollen die Eigenfrequenzen und Eigenformen dieser Welle berechnet werden. 40 m 3r 2 + t 2 12

Ø120

Ø80

Ø60

y

Ø100

θ=

V

Ø60

m

Ø600

x

E = 2,1 ⋅ 106 N/mm 2 ρ = 7,81 kg/dm 3 250

350

100 1300

200

400

Bild 8.1: Schneidwelle für Kartonagenmaschine Wie im Kapitel 9.4 dazu ausgeführt worden ist, gilt es in diesem Fall, das Eigenschwingungsproblem

M⋅Ü +K⋅U = 0

(1)

der Biegung zu lösen. Die Dämpfung ist hierbei vernachlässigt worden, da keine sinnvollen Werte ermittelbar sind. Für die Idealisierung wählen wir zweckmäßigerweise 2-D-Balken-Elemente. Des Weiteren bauen wir das Schneidenblatt mit seiner Masse und seinem Massenträgheitsmoment, so wie im Kapitel 9.2.2 gezeigt, an den entsprechenden Knoten der darunter liegenden Balken-Elemente ein. Das so aufbereitete System ist dann mit dem FEM-Paket I-DEAS mithilfe des Lanczos-Algorithmus dynamisch durchgerechnet worden. Bei diesem Berechnungsverfahren müssen, im Gegensatz zu weniger effektiven Lösungsverfahren, keine möglichen Vorzugsrichtungen vordefiniert werden. Das Programm untersucht das ganze FE-Modell selbstständig auf alle vorkommenden Eigenformen. Dadurch ist gewährleistet, dass keine Eigenfrequenzen bzw. deren zugehörige Eigenformen vom Bediener übersehen werden.

Fallstudie 8: zu Kapitel 9 Dynamische Probleme

343

Die Eigenfrequenzen konnten so gefunden werden zu: ω 1= 66,34 s −1

≅

n1 =

ω 2 = 250,95 s −1

≅

n 2 = 15057

1 / min

ω 3= 568,35 s −1

≅

n 3 = 34101

1 / min

ω 4 = 781,87 s −1

≅

n 4 = 46912,2 1 / min

ω 5 = 817,16 s −1

≅

n 5 = 49029,6 1 / min

3980,4 1 / min

Wir wissen, dass man ein Maschinenelement nie mit seinen Eigenfrequenzen anregen sollte, da es so zerstört würde. Um also die zulässigen Betriebsbereiche vor Augen zu haben, zeichnen wir uns das Frequenzband auf. Hierin ist sofort zu erkennen, welche Betriebszustände möglich sind, welche Eigenfrequenzen dazu durchfahren werden müssen und wie der Abstand zu den nächstliegenden Anregungen ist. Bei den meisten Anwendungen wird die hier betrachtete Welle auf Grund der Höhe der Frequenzen nur in der ersten Eigenfrequenz auf kritische Anregung untersucht werden müssen. ω (s -1) ω1

ω2

ω3

ω4 ω5

5.000 10.000 15.000 20.000 25.000 30.000 35.000 40.000 45.000 50.000

n1

n2

n3

n4 n5 n (min -1)

Bild 8.2: Frequenzband der Schneidwelle Die sich dabei einstellenden Eigenfrequenzen zeigt das nächste Bild 8.3. Das Messerblatt zum Kartonschneiden befindet sich dabei auf der Knotenposition Nr. 14. Aus den Eigenformen lässt sich dann mit Bezug auf die dazugehörenden Frequenzen eine Aussage über die Qualität der im Betrieb entstehenden Schneidkante machen.

344

Fallstudie 8: zu Kapitel 9 Dynamische Probleme

Mode Number 1: 66,34 Hz

Mode Number 2: 250,95 Hz

Mode Number 3: 568,35 Hz

Mode Number 4: 781,87 Hz

Mode Number 5: 817,16 Hz

Bild 8.3: Erste fünf Eigenschwingungsformen der Schneidwelle

345

Fallstudie 9: zu Kapitel 9.6 Erzwungene Schwingungen Im Folgenden soll eine aus Volumen-Elementen aufgebaute Stimmgabel als repräsentatives Beispiel für eine erzwungene Schwingung behandelt werden. Die Kraft soll durch einen kurzen Schlag auf einen Zinken als Impuls P = 100 N für die Dauer von 1 ms aufgebracht werden. Danach soll die Stimmgabel frei ausschwingen. Mittels einer dynamischen FEMAnalyse wollen wir im Weiteren die Eigenschwingungsformen und das Ausschwingverhalten der Stimmgabel ermitteln. Das Eigenverhalten des Modells erhält man aus der Lösung der homogenen DGL der freien Schwingungen

M⋅Ü+K⋅U = 0

(1)

bzw. dem zugehörigen Eigenwertproblem. Die Eigenformen werden mit einer Modalanalyse nach der Block-Lanczos-Methode ermittelt. Die Auswertung wird auf die ersten acht Eigenfrequenzen und Eigenschwingungen beschränkt. Diese sind im Bild 9.1 dargestellt. Die erste Eigenform (x-Richtung) hat eine Eigenfrequenz von 148,96 Hz. Die zweite Eigenform (152,19 Hz) ist orthogonal zur ersten gerichtet. Die dritte Eigenform wird durch Torsion der Zinken gegeneinander erzeugt. Sie tritt mit höherer Frequenz (296,36 Hz) auf. Die weiteren ermittelten Eigenformen basieren auf den ersten dreien, weisen aber höhere Ordnungen auf. In der nächsten Betrachtung bringen wir den Schlag am Ende eines Zinkens in x-Richtung auf und berechnen in Zeitschritten von 0,0001 Sekunden das Schwingungsbild. In der transienten Analyse wird die Folgende inhomogene DGL mit Kraftanregung gelöst:  + K ⋅ U = P(t ) . M ⋅Ü + C⋅U

(2)

Der Schlag ist quantifiziert durch P( t 0 = 0 ) = 0, P( t 0 ≤ t ≤ t1 = 1 ms ) = 100 N, P( t > t1 ) = 0.

Da Ausschwingen erfolgen soll, berücksichtigen wir noch zusätzlich mit

C = 0,0001 ⋅ K

(3)

0,01 % Strukturdämpfung. Am Bildschirm beobachten wir, dass vom Zeitpunkt t 0 ausgehend die Stimmgabel in x-Richtung mit der Amplitude u ausgelenkt wird und nach 0,1 s bereits eine deutliche Abnahme der Amplitude festzustellen ist. Hierbei wurde im Wesentlichen die erste Eigenfrequenz angeregt. Der Verlauf der Amplitude am Lastangriffspunkt ist im Bild 9.2 dargestellt.

Fallstudie 9: zu Kapitel 9.6 Erzwungene Schwingungen

346

y

n1 = 148,96 Hz

n 2 = 152,19 Hz

x

z

n 3 = 296,39 Hz

Bild 9.1a: Die ersten vier Eigenschwingungsformen der Stimmgabel

n 4 = 312,94 Hz

Fallstudie 9: zu Kapitel 9.6 Erzwungene Schwingungen

347

n 5 = 901,80 Hz

n 7 = 1183 Hz

n 6 = 930,54 Hz

n 8 = 1880 Hz

Bild 9.1b: Die fünfte bis achte Eigenschwingungsform der Stimmgabel

Fallstudie 9: zu Kapitel 9.6 Erzwungene Schwingungen

348

20 15 10

ux (mm)

5 0 -5

0

0,05

0,1

-10 -15 -20 -25 t (s)

Bild 9.2: Zeitverlauf der Amplitude in x-Richtung

0,15

0,2

349

Fallstudie 10: zu Kapitel 10 Materialnichtlinearität In den vorausgegangenen Beispielen sind alle Verformungen und Spannungsverläufe linear elastisch analysiert worden, d. h., es wurde als Berechnungsgrundlage eine lineare Verlängerung des elastischen Bereichs des Spannungs-Dehnungsdiagramms verwendet. Die Problemstellung wird nun dahingehend erweitert, dass ein Material gewählt werden soll, das einem realistischen, nichtlinearen Verlauf des Spannungs-Dehnungs-Diagramms gehorcht. Bei dem in diesem Beispiel betrachteten Bauteil handelt es sich um einen Handgriff für einen Fluggastsitz. Dieser Griff wird einseitig belastet und besteht aus einer MgAl-Gusslegierung und wird im Druckgussverfahren gefertigt. Das Material hat eine Fließgrenze bzw. 0,2-%-Dehngrenze von R p 0, 2 = 105 N/ mm 2 . Die Fließgrenze liegt also deutlich unterhalb der Zugfestigkeit von R m = 180 N/ mm 2 , sodass ausgeprägtes Fließen des Materials anzunehmen ist. Um Fließen aber programmtechnisch erfassen zu können, muss ein eindeutiger Zusammenhang gegeben sein zwischen den von den Spannungen hervorgerufenen Dehnungen. Zur Beschreibung dieses Zusammenhanges wählen wir das so genannte Ziegler-PragerGesetz. Die Strukturmechaniker Prager und Ziegler entwickelten in den 50er-Jahren Gesetzmäßigkeiten, mit denen der Vorgang der Verfestigung bei plastischen Umformvorgängen mathematisch beschrieben werden kann, siehe auch Bild 10.1. Mithilfe dieses Gesetzes wird aus der Fließgrenze, der Bruchfestigkeit und der maximalen Bruchdehnung von 5 % ein Materialverhalten, ähnlich dem im Bild 10.1 unter e gezeigten, generiert.

180 σ (N/mm2)

3 2 plastischer Bereich 105

1

Bild 10.1: Spannungs-Dehnungsgesetz: c ideal-plastisches Verhalten d Verhalten nach Prager e Verbesserung des Prager-Gesetzes nach Ziegler

elastischer Bereich

5,0

0,2 ε (%)

Fallstudie 10: zu Kapitel 10 Materialnichtlinearität

350 Die Gesamtdehnung ergibt sich so zu ε ges = ε el + ε pl

(1)

und die elastische Dehnung zu

ε el =

σF . E

(2)

1.77E+02

1.22E+02

1.59E+02

1.09E+02

1.42E+02

0.92E+02

1.20E+02

0.85E+02

1.06E+02

0.73E+02

0.88E+02

0.61E+02

0.71E+02

4.88E+03

0.53E+02

3.65E+03

3.54E+01

4.43E+03

1.78E+01

1.22E+03

3.35E-02

0.00E+00

300 50

F = 1200 N

240

31

Bild 10.2: Verformungs- und Spannungsdiagramm Handgriff a) linear elastische Berechnung b) materialnichtlineare Berechnung Im Bild 10.2 sind verschiedene Ergebnisse einer linear elastischen und der plastischen Berechnung dargestellt. Die Verformungen bei der plastischen Rechnung sind etwas größer als bei der linear elastischen Rechnung, da die innere Randzone in einem gewissen Bereich wegfließt. Im Weiteren ist die Spannungsauswertung gezeigt. Wie im Kapitel 10 dargelegt, wird die Spannungsverteilung iterativ ermittelt, indem Gleichgewicht zwischen den äußeren Kräften und der inneren Spannungsverteilung gefordert wird. Im ersten Iterationsschritt wird quasi eine linear elastische Rechnung bis zur Fließgrenze durchgeführt und in den weiteren Iterationsschritten mittels einer Überschreitungsrechnung auf der Ziegler-Prager-Kurve Gleichgewicht hergestellt.

Fallstudie 10: zu Kapitel 10 Materialnichtlinearität

351

Eine Gegenüberstellung der Höchstwerte der am Handgriff durchgeführten Rechnungen zeigt noch die folgende Tabelle des Bildes 10.3.

(

u max (mm )

σ max N/mm 2

linear elastische Analyse

0,74

177

plastische Analyse

2,37

122

FEM-Rechnung

)

Bild 10.3: Höchstwerte der Deformation und Spannungsverteilung Es ist zu erkennen, dass die Spannung bei zugelassenem Fließen niedriger ist als bei unterstelltem linearem Werkstoffgesetz. Dafür bilden sich aber größere Verformungen aus. Sicher kann aber die plastische Analyse als die realistischere Berechnungsmethode angesehen werden. Insbesondere wenn die angesetzten Belastungen Spannungen im Bauteil erzeugen, die höher als die Fließgrenze des Materials sind, muss für Berechnungen mit hohem Genauigkeitsgrad die Materialnichtlinearität Anwendung finden.

352

Fallstudie 11: zu Kapitel 10.4 Geometrische Nichtlinearität Zum Problemkreis Nichtlinearität ist ausgeführt worden, dass man prinzipiell eine Materialnichtlinearität (E(İ )) und eine geometrische Nichtlinearität (K(U)) zu unterscheiden hat. In Ergänzung zu dem vorstehenden Beispiel soll deshalb an einer Gummidichtung für den Eisenbahnbereich exemplarisch auf große Verformungen eingegangen werden.

Bild 11.1: Gummidichtung im Trägerprofil aus Aluminium

Die Abmessungen und die Einbausituation dieser Dichtung zeigt das vorstehende Bild 11.1. Wegen der Symmetrie ist es dabei ausreichend, nur eine Hälfte zu betrachten. Beim Einsatz z. B. als Abdichtung für eine Tür oder Fenster wird die Dichtung um einen definierten Weg zusammengedrückt. Die dabei entstehende Verformung des Bauteils ist zu groß für eine linear elastische Berechnung, da bei hohen Verformungsgraden nicht mehr von der Anfangsgeometrie ausgegangen werden kann, sondern die Verformungen müssen inkrementell aufgebracht werden. So kann in jeder „Teilrechnung“ auf ein aktuelles Netz Bezug genommen werden. Des Weiteren ist noch das Materialgesetz von Gummi zu berücksichtigen. Unter der Voraussetzung, dass Gummi homogen, isotrop und inkompressibel ist, kann hier das Materialgesetz von Mooney-Rivlin /FUN 89/ in der Formänderungsformulierung angesetzt werden: T = p + 2 c1 B − 2 c 2 B −1 (gültig bis 200 % Dehnung).

Danach ergibt sich der Spannungstensor nach CAUCHY T aus dem hydrostatischen Druckanteil p, dem linken CAUCHY-GREEN Tensor B und den beiden Materialkonstanten c1 und c 2 ,

Fallstudie 11: zu Kap. 10.4 Geometrische Nichtlinearität die

für

das

hier

durchgeführte

Berechnungsbeispiel

353 mit

c1 = 0,5 N/mm 2

und

2

c 2 = 0,3 N/mm angenommen worden sind. Das in der Berechnung zu Grunde liegende Modell ist in Bild 11.1 dargestellt. Die Feinheit der Iterationsschritte wird in modernen nichtlinearen Lösern automatisch an die aktuelle Geometrie angepasst. Dazu werden die Ergebnisse z. B. mit einer Energiebilanz auf Konvergenzverhalten untersucht. Bild 11.2a zeigt die Geometrie vor und nach der Berechnung. In Bild 11.2b sind die dabei auftretenden Spannungen dargestellt. a)

b)

Starrkörperweg

Tür

MISES

VALUE 4.70E-03 5.20E-02 9.93E-02 1.46E-01 1.93E-01 2.41E-01 2.88E-01 3.35E-01 3.83E-01 4.30E-01 4.77E-01 5.25E-01 5.72E-01 6.19E-01

Rahmen

Bild 11.2: Situation am Gummiprofil a) Verformung der Gummitürdichtung bei 10 mm Türweg b) Spannungsverteilung in der Türdichtung im deformierten Zustand

Fallstudie 11: zu Kap. 10.4 Geometrische Nichtlinearität

354

Da der Türdichtungsverband für Hochgeschwindigkeitszüge ein Sicherheitsteil darstellt, war es Auflage der abnehmenden Behörden, das Ergebnis zu verifizieren. Bei einfachen Bauteilen ist dies meist mit analytischen Rechenmodellen innerhalb gewisser Schranken möglich. Bei dem vorliegenden nichtlinearen Problem und dem Mooney-Rivlin-Gesetz ist dies nicht einfach möglich, weshalb der Weg über ein Experiment gegangen werden musste. Bild 11.3 zeigt die Auswertung in einer Gegenüberstellung. a)

[N] 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0

b)

0 1.0 [mm] [N]

2.0

3.0 4.0

5.0 6.0

7.0 8.0

200 180 160 140 1 120 1 2 100 2 80 1 60 2 40 20 1 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [mm]

Bild 11.3: Verifizierung und Validierung eines FE-Ergebnisses a) Versuchsdaten b) FE-Analyse zu zwei Shorehärten Man erkennt eine recht gute Übereinstimmung des FE-Ergebnisses.

9.0 10.0

355

Fallstudie 12: zu Kapitel 11 Wärmeleitungsprobleme Wie bei der einführenden Beschreibung der FE-Methode erwähnt worden ist, lässt sich diese auch auf viele verschiedene Feldprobleme wie z. B. die − Wärmeleitung, − Wärmeübertragung durch Konvektion und − Wärmestrahlung aus der Thermodynamik anwenden. Wir wollen nun zu dieser Problemgruppe als einfaches Beispiel eine Zustandsanalyse eines Kühlkörpers für einen Leistungstransistor im Überlastungsbetrieb betrachten. An den Außenwänden des Kühlkörpers findet dabei Konvektion mit der Wärmeübergangszahl α = 20 W/m 2 °C statt. Die Wärmeleitung im Körper beträgt λ = 0,45 W/mm °C. Der Wärmeübergang vom Kühlkörper in die Grundplatine ist zu null gesetzt worden.

Bild 12.1: Leistungstransistor am Kühlkörper

356

Fallstudie 12: zu Kapitel 11 Wärmeleitungsprobleme

Die Verlustleistung im Transistor wird im FE-Modell durch eine Wärmequelle mit konstant abgegebener Energiemenge an vier Oberflächenknoten des Kühlkörpers simuliert. Es ergibt sich mit diesen Randbedingungen ein wie im Bild 12.2 dargestellter stationärer Temperaturverlauf im Kühlkörper.

4.65E+02

4.62E+02

4.57E+02

4.52E+02

4.49E+02

4.46E+02

4.44E+02

4.42E+02

4.41E+02

4.39E+02

4.38E+02

Bild 12.2: Stationäre Temperaturverteilung im Kühlkörper Eine Temperatur von 465 °C ist sicher zu hoch für jeden Halbleiter. Sowohl für den Hersteller als auch für den Anwender ist es aber von großem Interesse abzuschätzen, wie lange in dem Transistor die in Wärme umgesetzte elektrische Verlustleistung erzeugt werden kann, bis die für das Halbleitermaterial höchstzulässige Temperatur von 200 °C überschritten und das elektronische Bauteil zerstört wird. Daher ist eine zeitabhängige Erwärmung, wie sie im Bild 12.3 dargestellt ist, zu bestimmen. Zu diesem Zweck ist eine Serie von FE-Rechnungen mit zeitinkrementeller Abstufung durchzuführen. Als berechneter Temperaturwert ist jeweils die Temperatur an den Knoten, an denen die Wärme in den Kühlkörper eingeleitet worden ist, als Referenzwert angenommen worden. Dabei wird jedoch der Rücken des Transistors betrachtet. Die eigentliche Temperatur im Inneren des Halbleiters ist jedoch in Wirklichkeit noch ein wenig höher als in Bild 12.3 dargestellt. Dieses gilt insbesondere bei stufenartig einsetzenden Überlasten, wie sie z. B. im Fall eines Kurzschlusses auftreten würden. Für derartige Fälle wäre es ratsam, den Transistor ebenfalls im FE-Modell mitzumodellieren.

T [°C]

Fallstudie 12: zu Kapitel 11 Wärmeleitungsprobleme

357

500 465 400 300 200 100 20 1 0,8

2

3

4

5

6

7 t [s]

Bild 12.3: Zeitabhängige Erwärmung des Transistors Es ergibt sich somit, dass der Halbleiter maximal 0,8 Sekunden mit der gewählten Überlast betrieben werden kann, bis seine maximale Betriebstemperatur überschritten und die Funktion gefährdet wird. Ein derartiges Erwärmungszeit-Diagramm muss jeweils bei einer anderen Verlustwärme neu erstellt werden.

358

Übungsaufgaben

B. Klein, FEM, DOI 10.1007/978-3-8348-2134-8, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012

359

Übungsaufgabe 4.1 Drei starre masselose Balken seien nur in der vertikalen Richtung verschieblich. Sie sind durch ein System von linear elastischen Federn gekoppelt. Für die angegebene Belastung F sind die Verschiebungen der Balken zu berechnen. E = 10.000 MPa

1 u1

c1

x, u

A = 25 mm 2 A = 250 mm F = 1.000 N

2

c2

u2

c3

3

c4 c5

mit:

u3

c1 = c 2 = c 3 = c 5 = c =

F

c4 = 2 c =

u4

4

E⋅A A

E⋅4⋅A 2A

Ergebnis Gleichungssystem:

1

2

3

4

0

2

c1 − c1

− c1 c1 + c 2 + c 3 + c 4

− c2 − c3

0 − c4

3 4

0 0

− c2 − c3 − c4

c2 + c3 + c5 − c5

− c5 c4 + c5

1

⋅

u1 u2 u3 u4

Verschiebungen:

u1 = 0,

u2 =

F = 1 mm, c

u3 =

9F 9 = mm, 8c 8

u4 =

11 F 11 = mm 8 c 8

=

F1 0 0 F

360

Übungsaufgabe 5.1 Ermitteln Sie für das dargestellte System aus zwei Stäben die Knotenverschiebungen und die Knotenkräfte! A2, E, A2

A1, E, A1

A1 = A 2 = A = 25 mm 2

F

E = 2,0 ⋅ 105 MPa A 1 = 500 mm

x, u

A 2 = 1.000 mm F = 5.000 N

Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie • • • •

die Gesamtsteifigkeitsbeziehung mit den eingearbeiteten Randbedingungen erstellen, das reduzierte System nach den unbekannten Verschiebungen auflösen, die Reaktionskräfte berechnen, die Schnittkräfte berechnen.

c1 =

1 1

E ⋅ A1 A1

c2 =

2

E ⋅ A2 A2

3

2

2

2 1

1

Element-Nr. 1, 2 lokale Knoten-Nr. globale Knoten-Nr.

F

Ergebnisse Gleichungssystem: 1

2

2

c1 − c1

− c1 c1 + c 2

3

0

− c2

1

3 F 01

u1 0 − c2 ⋅ u 2

= 0

u3

F

c2

Berechnung der Knotenverschiebungen:

u2 =

F = 0,5 mm , c1

§1 1 · ¸¸ ⋅ F = 1,5 mm u 3 = ¨¨ + © c1 c 2 ¹

Berechnung der Reaktions- und Schnittkräfte: F1 = − F,

S11 = − F ,

S12 = F ,

S21 = − F ,

S22 = F

361

Übungsaufgabe 5.2 Ermitteln Sie für das abgebildete System aus vier Stäben die Knotenverschiebungen und Kräfte im dargestellten Augenblickszustand!

A, E, A

E = 2 ⋅ 105 MPa

starr

A = 25 mm 2 A = 500 mm

F E, 2 A, 2 A

F = 5.000 N

A, E, A x, u Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie die Gesamtsteifigkeitsbeziehung über die Blockaddition erstellen, die Randbedingungen einarbeiten und die reduzierte Beziehung erstellen, • das reduzierte System nach den unbekannten Verschiebungen auflösen, • die Reaktionskräfte berechnen und • die Schnittkräfte berechnen. • •

1

1

2

1 F

3

2 1

2

4

3 1

2

2 Element-Nr. 1, 2 lokale Knoten-Nr. globale Knoten-Nr.

Ergebnisse Berechnung der Knotenverschiebungen:

u3 =

F = 0,16 mm c1 + c 2 + c 3

Übungsaufgabe 5.2

362 Berechnung der Reaktionskräfte: F1 = −

F 3

F2 = −

F 3

F4 = −

F 3

Berechnung der Schnittkräfte:

S11 = − S12 =

F 3

F 3

S21 = − S22 =

F 3

S31 =

F 3

S32 = −

F 3

F 3

363

Übungsaufgabe 5.3 Ermitteln Sie für das dargestellte zweidimensionale Stabsystem die Knotenverschiebungen und Kräfte unter Berücksichtigung der Symmetrie! E = 200.000 MPa A = 25 mm 2 A = 1.000 mm

y A, E, A

45° 45°

A, E, A

F = 5.000 N

x

c = c1 = c 2 =

E⋅A A

F Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie die Gesamtsteifigkeitsbeziehung mit den eingearbeiteten Randbedingungen erstellen, das reduzierte System nach den unbekannten Verschiebungen auflösen, • die Reaktionskräfte berechnen und • die Schnittkräfte berechnen. • •

2 2 1

α1 1 1 F 2

Übungsaufgabe 5.3

364 Ergebnisse Reaktionskräfte:

Fx1 =

F = 2.500 N 2

Fy1 = −

F = −2.500 N 2

Fx 2 = −

F = −2.500 N 2

Fy 2 =

F = 2.500 N 2

Schnittkräfte: S11x =

F = 2.500 N 2

S11y = −

F = −2.500 N 2

S12 x = −

F = −2.500 N 2

S12 y =

F = 2.500 N 2

365

Übungsaufgabe 5.4 Ermitteln Sie für das dargestellte System aus fünf Stäben die Knotenverschiebungen und Kräfte unter besonderer Berücksichtigung der Symmetrie!

F1

F2

1⋅ 2 2

1⋅ 2 2

F1 = 1

1⋅ 2 2

F2 = 2 E=1 A=2

1⋅ 2 2

1

y x

Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie die Elementsteifigkeitsmatrizen der Stäbe aufstellen, in die Gesamtsteifigkeitsbeziehung die Randbedingungen einarbeiten, • die reduzierte Steifigkeitsbeziehung nach den unbekannten Verschiebungen auflösen, • die Reaktionskräfte berechnen und • die Schnittkräfte berechnen. • •

1

1

4

α1 1 F1 2

3 2 2 1

3 1

α2 2

2

2

α3 F2 2

Übungsaufgabe 5.4

366 Ergebnisse Reaktionskräfte:

Fx1 = −

2 3

Fy1 =

2 3

Fx 4 = −

5 6

Fy 4 = −

5 6

Schnittkräfte: S11 x = −

2 3

S21x = −

S11y =

2 3

S21y = 0

S12 x =

2 3

S22 x =

S12 y = −

S31x =

5 6

S31y =

5 6

2 3

S32 x = −

5 6

S32 y = −

5 6

1 3

S22 y = 0

1 3

367

Übungsaufgabe 5.5 Ermitteln Sie für das dargestellte zweidimensionale Stabsystem aus fünf Stäben die Knotenverschiebungen und Kräfte.

Fy

Fy = 5.000 N E = 200.000 MPa

y

A = 25 mm 2

A

A = 1.707 mm

x

A

alle Stäbe E, A

A

Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie Nullstäbe identifizieren, eine reduzierte Konstruktion unter Ausnutzung der Symmetrie erstellen, • die Elementsteifigkeiten berechnen, • die Gesamtsteifigkeitsmatrix über die Blockaddition erstellen, • die Gesamtsteifigkeitsbeziehung mit den eingearbeiteten Randbedingungen erstellen, • das reduzierte System nach den unbekannten Verschiebungen auflösen, • die Reaktionskräfte berechnen und • die Schnittkräfte berechnen. • •

Fy 2 3 2

2

3

1

1

2 1 2

Übungsaufgabe 5.5

368 Ergebnisse Gleichungssystem: ª Fx1 º « » « » « Fy » « 1 » « » « Fx » « 2 » E⋅A «F » = ⋅ A⋅2 « y2 » « 2 » « » «F » « x3 » « » « Fy » − «¬ 2 »¼

ª 1 « 2 « « 1 « 2 « « « 0 « « « 0 « « 1 « − « 2 « « − 1 2 ¬«

1 2

0

1 2

0

0

0

0

0

−

1 2

0

−

1 2

0

Reaktionskräfte:

F1x = −

1 ⋅ − Fy = 1.036 N 2( 2 + 1)

F1y = −

1 ⋅ − Fy = 1.036 N 2( 2 + 1)

F2 x = 0 F2 y = −

(

2 ⋅ − Fy = 2.929 N 2 + 1)

Schnittkräfte: S 21x = 0

S21y = −c ⋅ v 3 = 2.929 N S 22 x = 0

S22 y = c ⋅ v 3 = −2.929 N

1 º ª u1 = 0 º 2 »» « » » 1 1 » « 0 − − » « v1 = 0 » 2 2 » « » » » « 0 0 0 » « u 2 = 0» » »⋅« » » « 1 0 − 1 » « v 2 = 0» » » « « » » 1 1 » «u 3 = 0» 0 » 2 2 » « » » « 1 1 » « » 1+ −1 ¬ v3 ¼ 2 2 ¼» 0

−

1 2

−

Übungsaufgabe 5.5

S31x = −c ⋅ S31y = −c ⋅ S32 x = c ⋅ S32 y = c ⋅

369 1

2 2

⋅ v 3 = 1.036 N

1 ⋅ v 3 = 1.036 N 2 2 1

2 2 1 2 2

⋅ v 3 = −1.036 N ⋅ v 3 = −1.036 N

370

Übungsaufgabe 5.6 In der Industrie werden Rührwerke zur Durchmischung zäher Flüssigkeiten eingesetzt. Antriebsseitig kann eine große starre Masse (Motor-Getriebe-Einheit) angesetzt werden und als Reaktion am Rührwerk ein Differenzmoment ΔT . Ermitteln Sie für das dargestellte abstrahierte statistische System aus zwei Drehstäben mit Einspannung und Torsionsmoment die Knotenverdrehungen!

G 1 , I t1 , A 1

G2 ,It 2 , A 2 T

x

c1 =

G1 ⋅ I t1 =c A1

c2 =

G2 ⋅ It2 =c A2

Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie • • •

das verwendete Element beschreiben, die Gesamtsteifigkeitsbeziehung mit den eingearbeiteten Randbedingungen erstellen, das reduzierte System nach den unbekannten Verdrehungen auflösen. 1

2 1

1

2

Ergebnisse

Größe der Knotenverdrehungen φ2 =

T 3 T , φ3 = ⋅ c 2 c

3 1

2

2

ΔT Element-Nr. 1, 2 lokale Knoten-Nr. Globale Knoten-Nr.

371

Übungsaufgabe 5.7 Ermitteln Sie für den dargestellten Balken die Reaktionskräfte und die Biegelinie!

E, I =

b ⋅ h3 12

M = 10 Nm

y

x z

A
= 1.000 mm

M = 10 Nm b = 2 mm h = 6 mm E = 200.000 N / mm 2 A = 1.000 mm

Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie die Gesamtsteifigkeitsbeziehung mit den eingearbeiteten Randbedingungen erstellen, das reduzierte System nach den unbekannten Verschiebungen auflösen und • die Reaktionskräfte berechnen. • •

M = 10 Nm 1

Ergebnisse

Reaktionskräfte: F1 = −15 N M1 = 5 Nm F2 = 15 N

1

2

372

Übungsaufgabe 5.8 Bestimmen Sie für den gezeigten Balken die Verschiebungen, die Reaktionskräfte und die Schnittkräfte. Unterteilen Sie den Balken dazu in eine unterschiedliche Zahl von Elementen!

q=1 ϕ

y

x E, I = 1

z

A
= 2

Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie unter Berücksichtigung der Symmetrie für eine Unterteilung in zwei und drei Elementen folgende Arbeitsschritte durchführen: • • • • • •

die Elementsteifigkeitsmatrix beschreiben, die Belastungen verschmieren, die Gesamtsteifigkeitsbeziehung mit den eingearbeiteten Randbedingungen erstellen, das reduzierte System nach den unbekannten Verschiebungen auflösen, die Schnittgrößen beschreiben, die Schnittgrößenverläufe darstellen.

1. Für zwei Elemente

1

2

1

1

3

2

2 1

2

2. Für drei Elemente

1 1

1

2 2 1

2

3 2 1

4

3

x

2 z

Übungsaufgabe 5.8 Ergebnisse − für die unbekannten Verschiebungen für zwei Elemente ª w 1 º ª 0,208 º «ϕ » « 0 » « 1» « » « w 2 » « 0,148 » u=« »=« » « ϕ 2 » « 0, 229 » « w3 » « 0 » « » « » ¬ ϕ3 ¼ ¬ 0,333 ¼ und für drei Elemente ª w 1 º ª 0,208 º «ϕ » « 0 » « 1» « » « w 2 » « 0,181 » « » « » ϕ 0,160 » u=« 2»=« , « w 3 » « 0,105 » « » « » « ϕ 3 » « 0,283 » «w4 » « 0 » « » « » ¬ ϕ 4 ¼ ¬ 0,333 ¼ − der Schnittgrößen für zwei Elemente ª Q1 º ª 0, 25 º ª 0,25 º ª 0 º » « « » « » « » » « « » « 1 » « » « M1 » « − 0,5208 » « − 48 » « − 0,5 » » « »=« « »−« » F1 =« »=« » « » « » « Q 2 » « − 0,25 » « 0,25 » « − 0,5 » » « « » « » « » « » « » « 1 » « » » « 0,375 » «¬ M 2 »¼ «¬ 0,395 »¼ « ¬ ¼ ¬ 48 ¼

ª 0,75 º ª 0,25 º ª 0,5 º « − 0,3958 3 » « − 0,0208 3 » « − 0,375 » »−« »=« » F 2 =« « − 0,75 » « 0,25 » « − 1 » « » « » « » ¬ 0,0208 3 ¼ ¬ 0,0208 3 ¼ ¬ 0 ¼

373

Übungsaufgabe 5.8

374 und für drei Elemente 0 ª − 0,1 6 º ª − 0,1 6 º ª º « » « » « − 0,49974» 0 , 509 0 , 00925 − − »−« »=« » F1 =« « − 0,1 6 » « 0,1 6 » « − 0,3 3 » « » « » « » ¬ 0, 45 ¼ ¬ 0,00925 ¼ ¬ 0,44474 ¼ ª 0,5 º ª 0,1 6 º ª 0,3 3 º « − 0,454» « − 0,00925» « − 0,44474» »=« » »−« F 2 =« « − 0,5 » « 0,1 6 » « − 0, 6 » » « » « » « ¬ 0,287 ¼ ¬ 0,00925 ¼ ¬ 0, 2774 ¼ ª 0,8 3 º ª 0,1 6 º ª − 0, 6 º « » « » « » − 0,287 » « − 0,00925» « − 0,2 7 » − = F 3 =« « − 0,8 3 » « 0,1 6 » « 1 » « » « » « » ¬0,00925¼ ¬ 0,00925 ¼ ¬ 0 ¼

375

Übungsaufgabe 5.9 Bestimmen Sie die Verschiebungen bzw. Verdrehungen des dargestellten Systems!

F=1 EI = 1 A1 = 1

ϕ x

EI = 1/2 A1 = 1

z

Gehen Sie bei der Lösung schrittweise vor, und zwar indem Sie die einzelnen Steifigkeitsmatrizen erstellen, die Gesamtsteifigkeitsmatrix aufstellen und • die Gleichung lösen. • •

1 1

Ergebnisse w2 =

1 9

ϕ 21 = − ϕ 22 =

1 6

1 6

2

1 2

2 1

3 2

376

Übungsaufgabe 6.1 Erläutern Sie für ein eindimensionales 2-Knoten-Element veränderlichen Querschnitt die Steifigkeitsmatrix: A(x) = A 0 ⋅ e -β ⋅ x mit β≥0 .

A0 x

L

Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie die einfachste geeignete Ansatzfunktion wählen, die Bedingungen angeben, die diese Ansatzfunktion erfüllen muss, • die Formfunktion des stabartigen Elements bestimmen und • mit der Formfunktion die Steifigkeitsmatrix berechnen. • •

Ergebnisse u ( x ) = α 0 + α1 ⋅ x

g1 ( x ) = 1 −

x L

g2 (x) =

(

)

x L

~ E ⋅ A 0 1 − e − ß ⋅ L ª 1 − 1º k= ⋅ ⋅« » ß ¬− 1 1 ¼ L2

377

Übungsaufgabe 7.1 Ermitteln Sie für die dargestellte Grundplatte eines Hydro-Prüfstandes die größte Durchsenkung! Der Rahmen sei als starr zu betrachten. x y

a

a = 2.000 mm t = 90 mm

a

z F

a

k

a

k

t

E = 2 ⋅ 105 MPa N k = 1.250 mm F = 50.000 N 1 ν= 3

k

Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie die Gleichung für die Gesamtdurchsenkung aufstellen, die Gleichung für die Durchsenkung der Feder aufstellen, • die Gleichung für die Durchsenkung der Platte (mit den in Kapitel 7 gegebenen Matrizen) aufstellen und • die beiden Gleichungen addieren. • •

Ergebnis

w max Kraftangriffspunkt =

F §¨ 1 80 a 2 ·¸ = 10,35 mm ⋅¨ + 4 © k 79 E ⋅ t 3 ¸¹

378

Übungsaufgabe 7.2 Ermitteln Sie für das dargestellte System die kleinste kritische Beullast p = p krit !

y

x z

a

a = 2.000 mm t = 10 mm

p a t

E = 2 ⋅ 105 MPa 1 ν= 3

Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie die Randbedingungen und Freiheitsgrade ermitteln, die benötigten linearen und nichtlinearen Teilmatrizen aufstellen, • die charakteristische Gleichung entwickeln und • die kritische Beullast berechnen. • •

Ergebnis

p krit min =

N 3 E ⋅ t3 ⋅ = 75 2 mm 2 a

379

Übungsaufgabe 9.1 In einer dynamisch belasteten Tragstruktur tritt der folgende Stab auf. Bestimmen Sie die Eigenfrequenz der Längsschwingung! L = 1.000 mm

ρ, E, A

E = 70.000 N/mm 2 kg ρ = 2 ,7 ≡ 2,7 ⋅ 10 9 Ns 2 /mm 4 3 dm

x L

Idealisieren Sie einmal in einem und einmal in zwei Elemente(n). 2

1

u2 L

1

2

3 u2

A

A L

Ergebnisse ω = 8.819 , 12 ω 1 = 8204

1 s

1 s

ω 2 = 28664

1 s

u3

380

Übungsaufgabe 9.2 Ermitteln Sie für die dargestellte Rakete die erste harmonische Längseigenfrequenz!

m, c

N m m = 12.500 kg c = 10 6

x, u

Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie für die Längseigenfrequenz die Massen- sowie die Steifigkeitsmatrix erstellen, die Determinanten bestimmen und • die Gleichung lösen. • •

Ergebnis

ω1 = 0 ω2 = 12

1 c = 30,98 s m

381

Übungsaufgabe 9.3 Ermitteln Sie bei dem skizzierten Torsionsschwinger die 1. Eigenfrequenz!

L

ρ, G

G = 85.000

D d M

ρ = 7.850

N

mm 2 kg

m3 d = 20 mm L = 100 mm D = 140 mm M = 10 kg

Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie die Bewegungsgleichung für die freie ungedämpfte Schwingung aufstellen, die Randbedingungen einarbeiten und • das Gleichungssystem lösen. • •

Ergebnis

ω=

3 ⋅ G ⋅ π ⋅ d4 1 32 = 7.321,05 3 π 4 s L ⋅ §¨ ρ ⋅ ⋅ d ⋅ L + M ⋅ D 2 ·¸ 8 © 32 ¹

382

Übungsaufgabe 9.4 Gegeben sei das dargestellte schwingfähige System. Berechnen Sie für dieses System die ersten Eigenfrequenzen!

L

L

L = 3.000 mm M = 100 kg kg ρ = 7.850 m3

M x, u

E = 2 ⋅ 105 MPa

z, w Querschnitt: t t H

H = 80 mm B = 40 mm t = 5 mm

B

Beachten Sie, dass sich hier die Symmetrie des Modells gut nutzen lässt.

Ergebnis ω1 = +

12 E ⋅ J z 3

L

⋅

1 1 = 20,03 s § 156 ρ ⋅ A ⋅ L + M · ¨ ¸ 420 2 © ¹

383

Übungsaufgabe 10.1 Der dargestellte Balken ist links fest eingespannt und rechts verschiebbar gelagert. Der Balken erfährt eine gleichmäßige Temperaturerhöhung ΔT. Berechnen Sie nach der FEMethode in erster Näherung die ersten beiden „kritischen Temperaturerhöhungen“ ΔTkrit, bei welcher der Balken mit seinen Eigenformen knickt!

E, A, J + ΔT x

2

1

E=1 J=1 L=1 α T = 10−2 A=1

z, w 2L

Beachten Sie, dass die erste Eigenform aus einem Stab-Modell und die zweite Eigenform aus einem Balken-Element bestimmt werden kann. Ergebnisse 1. Eigenform: F Fkrit = −α ⋅ E ⋅ ΔT , ΔTkrit = α⋅E⋅A A E ⋅ Jy 2. Eigenform: det (K + K N ) = det §¨ ¨ 3 © L

F ª 36 3L º · ª 12 6L º «6L 4L2 » − 30L «3L 4L2 » ¸¸ ¬ ¼ ¬ ¼¹

ª12 − 18 F 6 − 1 Fº « 15 10 » »=0 det « 1 2 » « «¬ 6 − 10 F 4 − 15 F»¼

48 −

24 24 12 2 12 1 2 F− F+ F − 36 + F − F =0 15 5 75 10 100

F2 −

104 F + 80 = 0 3

(

)

(

)

4 4 13 − 2 31 = 2, 49, Fkrit ,1 = 13 + 2 31 = 32,18 3 3 Fkrit ,1 Fkrit ,2 2,49 32,18 ΔTkrit ,1 = = = 249, ΔTkrit ,2 = = = 3.218 − 2 A α T E 10 A α T E 10 − 2 Fkrit ,1 =

384

Übungsaufgabe 11.1 Stellen Sie für das gezeigte Kabelstück ein finites „Einelement-Modell“ auf, welches den stationären Zusammenhang zwischen den Wärmeflüssen und der Temperatur wiedergibt! 1 Q

1

T1

dx x ,T

2 L

A

Q

2

T

2

Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie die eindimensionale Fourier’sche Wärmeleitungsgleichung aufstellen, den Zusammenhang zwischen der Wärmestromdichte und den Wärmeeinflüssen herstellen und • einen linearen Ansatz benutzen. • •

Ergebnis λ ⋅ A ª 1 − 1º ª T1 º ª Q1 º ⋅« »⋅« » = « » L ¬− 1 1 ¼ ¬T2 ¼ ¬Q 2 ¼

385

Übungsaufgabe 11.2 Ermitteln Sie für das aus Scheiben-Elementen bestehende FE-Modell die Temperaturen an den Knotenpunkten! 3 3

5

3

2

3

3 1 1 1

2 2

1

1

2

2 4

Gegeben:

ª 1 −1 0 º K W1 = K W2 = «« −1 2 −1»» «¬ 0 −1 1 »¼

ª 1 0 −1º K W3 = «« 0 1 −1»» «¬ −1 −1 2 »¼

Knotentemperaturen: T1 = 100°C T4 = 0°C T5 = 0°C Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie in Analogie zur Verschiebungsanalyse die Gesamtwärmeleitungsmatrix bestimmen, die Gesamtwärmeleistungsbeziehungen erstellen, • das reduzierte System nach den unbekannten Temperaturen auflösen und • die Temperaturen an den Knoten d und e berechnen. • •

Ergebnisse

T3 = 25 °C T2 = 37,5 °C

386

Mathematischer Anhang

B. Klein, FEM, DOI 10.1007/978-3-8348-2134-8, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012

Mathematischer Anhang

387

Zielsetzung des Anhanges soll es sein, die vorstehenden Darlegungen zur Mathematik und Mechanik, insbesondere für den im Selbststudium lernenden FEM-Interessenten, noch etwas vertiefter darzustellen bzw. über einige Lücken schnell hinwegzuhelfen. A) Vektoren und Matrizen Die Rechnung mit Vektoren und Matrizen hat in der ganzen MKS- und FEM-Theorie große Bedeutung, weshalb hier einige Grundbeziehungen wiederholt werden sollen. Zunächst existieren in der Vektorrechnung mehrere „Produkte“, die entsprechend richtig ausgerechnet werden müssen: Skalarprodukt zweier Vektoren a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos(a, b ) = a x ⋅ b x + a y ⋅ b y + a z ⋅ b z ,

(A1)

Vektorprodukt zweier Vektoren a x b = (a y ⋅ b z − a z ⋅ b y , a z ⋅ b x − a x ⋅ b z , a x ⋅ b y − a y ⋅ b x ) i j k i j = ax a y az ax a y , bx

by

bz

bx

(A2)

by

Spatprodukt (mehrfache Produkte)

ax (a x b ) ⋅ c = (a, b, c ) = b x

ay by

az bz

cx

cy

cz

(A3)

bzw. das dreifache Vektorprodukt

(a x b ) x c = (a ⋅ c ) ⋅ b − (b ⋅ c ) ⋅ a .

(A4)

Die Matrizenrechnung wurde etwa 1850 von dem englischen Mathematiker Sylvester entwickelt. Eine Matrix bezeichnet eine rechteckige Anordnung von Größen in m-Zeilen und nSpalten, z. B. ª a11 a12 «a a 22 A = « 21 « # « ¬ a m1 a m 2

" a1n º " a 2n » ». # » » a m3 " a mn ¼

a13 a 23

(A5)

Dieser Matrix A kann man direkt keinen Wert zuordnen, dagegen können die Elemente a ij Zahlen, Funktionen oder selbst wieder Matrizen sein.

388

Mathematischer Anhang

Von einer Quadratmatrix kann weiter eine Determinante bildet werden. Dies ist eine Rechenvorschrift, die auf einer Matrix anzuwenden ist, und zwar a11 a12 " a1n a 21 a 22 " a 2 n . det A = # # a n1 a n 2 " a nn

(A6)

Zum Beispiel lautet die Determinante einer 2-x-2-Matrix a11 a12 = a11 ⋅ a 22 − a 21 ⋅ a12 . a 21 a 22

(A7)

Verschwindet die Determinante einer Matrix (det A = 0), so bezeichnet man die Matrix als singulär. Die inverse Matrix A −1 einer nicht-singulären Quadratmatrix A ist definiert durch die Beziehung A −1 ⋅ A = A ⋅ A −1 = I .

(A8)

Mittels der Inversion lässt sich die in der gewöhnlichen Zahlenrechnung definierte Division in die Matrixalgebra übertragen. Zur Demonstration der Inversion soll das folgende lineare Gleichungssystem gegeben sein: a 11 ⋅ x1 + a 12 ⋅ x 2 + a 13 ⋅ x 3 +"+ a 1n ⋅ x n = y1 , a 21 ⋅ x1 + a 22 ⋅ x 2 + a 23 ⋅ x 3 +"+ a 2 n ⋅ x n = y 2 , #

(A9)

a n1 ⋅ x1 + a n 2 ⋅ x 2 + a n 3 ⋅ x 3 +"+ a nn ⋅ x n = y n , welches symbolisch in Matrixform geschrieben werden kann:

A⋅x = y.

(A10)

Hierbei sei angenommen, dass alle a ij bekannt sind und auch der Vektor y gegeben sei. Die

Auflösung nach dem unbekannten x erfolgt wieder aus einer linearen Gleichung heraus, und zwar aus x1 = a11 ⋅ y1 + a12 ⋅ y 2 + a13 ⋅ y 3 +"+ a1n ⋅ y n , x 2 = a 21 ⋅ y1 + a 22 ⋅ y 2 + a 23 ⋅ y 3 +"+ a 2n ⋅ y n , # x n = a n1 ⋅ y1 + a n 2 ⋅ y 2 + a n 3 ⋅ y 3 +"+ a nn ⋅ y n ,

(A11)

389

Mathematischer Anhang welches ebenfalls symbolisch geschrieben werden kann als x = A −1 ⋅ y .

(A12)

Um eine derartige Inversion überschaubar darstellen zu können, soll von folgendem Gleichungssystem ausgegangen werden: ª a11 a12 «a a 22 « 21 «¬ a 31 a 32

a13 º ª x1 º ª y1 º a 23 » ⋅ « x 2 » = « y 2 » . » « » « » a 33 »¼ «¬ x 3 »¼ «¬ y 3 »¼

(A13)

Für die Bestimmung der unbekannten x i wählen wir die so genannte Cramer‘sche Regel, die zunächst zu folgender Lösung führt: y1 y2 y x1 = 3 a 11 a 21 a 31

a 12 a 13 a11 y1 a 13 a 11 a 12 y1 a 22 a 23 a 21 y 2 a 23 a 21 a 22 y 2 a 32 a 33 a y 3 a 33 a a 32 y 3 , x 2 = 31 , x 3 = 31 . a 12 a 13 det A det A a 22 a 23 a 32 a 33

(A14)

Im Prinzip sind die auftretenden Determinanten mit der Sarrus’schen Regel (aber nur 3-x-3Matrix) bestimmbar. Hier soll aber kein Sonderfall, sondern die allgemeine Determinantenbestimmung nach dem Laughton-Prinzip*) dargestellt werden. Beliebige Determinanten können somit entweder nach der Spalte oder nach der Zeile /RIE 96/ entwickelt werden. Die Formeln dazu lauten: − j-te Spaltenentwicklung det A = (−1)1+ j ⋅ a1 j ⋅ det A1 j + (−1) 2 + j ⋅ a 2 j ⋅ det A 2 j + n

" + (−1) n + j ⋅ a nj ⋅ det A nj = ¦ (−1) i + j ⋅ a ij ⋅ det A ij , i =1

− i-te Zeilenentwicklung det A = (−1) i +1 ⋅ a i1 ⋅ det A i1 + (−1) i + 2 ⋅ a i 2 ⋅ det A i 2 + n

" + (−1) i + n ⋅ a in ⋅ det A in = ¦ (−1) i + j ⋅ a ij ⋅ det A ij . j =1

*)

Anmerkung: Charles Laughton (16. Jahrhundert), englischer Mathematiker, verallgemeinerte die Cramer’sche Regel und das Sarrus-Prinzip.

390

Mathematischer Anhang

Zur Entwicklung der Determinanten nach den Spalten wollen wir hilfsweise noch die Adjunten-Regel benutzen. Man erhält so + − + − + −, + − +

(A15)

die Zählerdeterminanten müssen entsprechend dem nachfolgenden Algorithmus entwickelt werden: y1 a12 a13 a 22 a 23 a12 a13 a12 a13 − y2 + y3 y 2 a 22 a 23 = + y1 a 32 a 33 a 32 a 33 a 22 a 23 y 3 a 32 a 33 a11 y1 a 21 y 2 a 31 y 3 a11 a12 a 21 a 22

a13 a 21 a 23 a11 a13 a11 a13 + y2 − y3 . a 23 = − y1 a 31 a 33 a 31 a 33 a 21 a 23 a 33

(A16)

y1 a 21 a 22 a11 a12 a11 a12 − y2 + y3 y 2 = + y1 a 31 a 32 a 31 a 32 a 21 a 22 a 31 a 32 y 3

Die invertierte Matrix kann so angegeben werden als

A −1 =

a + y 1 22 a 32

a 23 a 33

a − y 2 12 a 32

a 13 a 33

a + y 3 12 a 22

a 13 a 23

a 21 a 31

a 23 a 33

a + y 2 11 a 31

a 13 a 33

a − y 3 11 a 21

a 13 a 23

a + y 1 21 a 31

a 22 a 32

−y 2

a 11 a 31

a 12 a 32

a + y 3 11 a 21

1 − y1 det A

wobei y 1 ≡ a 11 y 2 ≡ a 21 a 12 y ≡ a 3 31 a 22 (A17)

mit

a11 a12 detA = a 21 a 22 a 31 a 32

a13 a11 a12 = a11 ⋅ a 22 ⋅ a 33 + a12 ⋅ a 23 ⋅ a 31 + a13 ⋅ a 21 ⋅ a 32 a 23 a 21 a 22 − a 31 ⋅ a 22 ⋅ a13 − a 32 ⋅ a 23 ⋅ a11 − a 33 ⋅ a 21 ⋅ a12 a 33 a 31 a 32 (A18)

In Kapitel 4 ist die Inversion einer 2-x-2-Matrix

a12 º ªa A = « 11 ¬a 21 a 22 »¼

(A19)

391

Mathematischer Anhang erforderlich. Wendet man hierauf das vorstehende Prinzip an, so führt dies zu A −1 =

− a 12 º . a11 »¼

1 ª a 22 a11 ⋅ a 22 − a 21 ⋅ a 12 «¬− a 21

(A20)

Für Handrechnungen ist das zuvor gezeigte Verfahren recht transparent; in EDV-Programmen wird hingegen meist die Gauß-Jordan-Elimination zur Inversion bevorzugt. B) Matrizen-Eigenwertproblem Die vorstehend dargestellten Instabilitätsprobleme (7.3.7/10.5) und die Bestimmung der Eigenfrequenzen schwingfähiger Systeme (9.4) führen auf die Lösung des Eigenwertproblems. Macht man zum Beispiel für die Schwingungs-DGL M ⋅ Ü + K ⋅ U = 0,

(B1)

den Ansatz

U = x ⋅ e iȦ ⋅ t

(B2)

mit dem Eigenvektor x und der Eigenfrequenz ω, so führt dies zu dem allgemeinen Matrizen-Eigenwertproblem

(− ω2 ⋅ M + K ) x = 0 .

(B3)

Da es in der Numerik jedoch Standardlöser für das so genannte spezielle Eigenwertproblem gibt, ist zunächst eine Umformung sinnvoll. Mit λ = ω2 kann Gl. (B3) geschrieben werden als

(− λM −1 ⋅ M + M −1 ⋅ K ) x = (− λI + A ) x = 0 .

(B4)

Im besonderen Fall liegen mit M und K noch positiv definite, symmetrische Matrizen vor. Für die Nutzung der Symmetrie ist dann zweckmäßiger, auf die Massenmatrix eine Dreieckszerlegung anzuwenden. Ausgangsgleichung hierfür ist

(− λLt ⋅ L + K ) = 0 . Multipliziert man diese Gleichung mit Lt

(B5) −1

vor und klammert L aus, so folgt

§ · t −1 ⋅ K ⋅ L−1 ¸ L ⋅ x = ( − λI + A *) x* = 0 . ¨ − λI + L © ¹

(B6)

Die Symmetrieeigenschaft kann so auf A * übertragen werden. Durch verschiedene numerische Verfahren (z. B. Jacobi-Iteration, Vektoriteration nach v. Mises) können im Weiteren

392

Mathematischer Anhang

die Eigenwerte λ i = ω i 2 und die Eigenvektoren x * bestimmt werden. Die richtigen Eigenvektoren folgen aus der Rücktransformation x = L−1 ⋅ x * .

(B7)

C) Variationsrechnung Bei der Herleitung der finiten Grundgleichung wurde in Kapitel 3.4.1 von dem Variationsprinzip Gebrauch gemacht und die Variation einer Funktion δy( x ) eingeführt. Diese ist definiert als δy = ~y ( x ) − y( x ) .

(C1)

Im Gegensatz hierzu ist das Differenzial einer Funktion definiert als dy = y( x + dx ) − y( x ) .

(C2)

Der wesentliche Unterschied ist dabei, dass bei einer Variation die Funktion und bei einer Differenziation das Argument veränderlich ist. Diese Darlegung kann auch aus dem Bild 1/C herausinterpretiert werden.

~ y

y yB

B

dy yA

dx

A

y(x)

xA

x

xB

x

Bild 1/C: Variation und Differenziation einer Funktion Die Differenziation dy bezeichnet hierin die tatsächliche Änderung von y bei einer Veränderung von x. Demgegenüber bezeichnet die Variation δy eine gedachte oder virtuelle Ände-

Mathematischer Anhang

393

rung der Funktion y(x) nach ~y ( x ) . Die Funktion ~y ( x ) soll dabei in der Nachbarschaft von y(x) liegen. Aufgabe der Variationsrechnung (begründet von Euler und Bernoulli) ist es, einen möglichen Abstand zu minimieren oder allgemein das Minimum eines Funktionals zu finden, d. h.

δy = 0 .

(C3)

Bei dem vorstehenden Problem (Abstandsminderung) kann für die Variation folgender Ansatz gemacht werden: δy = α ⋅ φ( x ) ,

(C4)

worin α ein Parameter und φ( x ) eine beliebige Funktion darstellen. An Randbedingungen ist zu berücksichtigen, dass an den Endpunkten die Kurven zusammenfallen bzw. dort die Variation δy x A /x B = 0

(C5)

verschwindet. Als Erkenntnis kann daraus gewonnen werden, dass − die Variation einer Funktion δy stets beliebig klein ist und − die Variation an vorgegebenen Stützstellen zu null werden kann, welches einem Zusammenfallen von ~y ( x A /x B ) und ~y ( x A /x B ) entspricht. In der Mechanik wird die Variation oft auf einen Verschiebungsverlauf angewandt, weshalb man hier dann auch von virtuellen Verschiebungen spricht. Weiterhin werden in den vorstehenden Kapiteln schon die beiden Regeln ∂ § ∂y · δ¨ ¸ = δy , © ∂x ¹ ∂x

(C6)

δ ³ y dx = ³ δy ⋅ dx

(C7)

benutzt, die jetzt mit dem Ansatz von Gl. (C4) beweisbar sind.

394

Mathematischer Anhang

D) Eigenvektoren und Eigenfrequenzen Systemmatrizen:

1

ª0 º « M=m 1 0», « » «¬ 0 1 »¼

c 2 m1 = m u1

ª 1 −1 º K = c « − 1 1 + 1 − 1» « » − 1 1 ¼» ¬«

c 3

U t = [u 1 u 2 ]

m2 = m u2

Bild 1/D: Zwei-Massen-Schwinger

[

]

1. Das Eigenwertproblem: p 2 ⋅ M + K ⋅ X = 0

(D1)

2. Die Lösungsbedingung:

[

]

det p 2 ⋅ M + K = 0

(D2)

bzw. in Determinantenschreibweise entwickelt

det

p 2 ⋅ m + 2c

−c

−c

p2 ⋅ m + c

p2 ⋅ m +2 c = det −1

−1 p2 ⋅ m +1 c

= 0.

Aufgelöst führt dies zur Gleichung*) · ·§ p 2 ⋅ m § p2 ⋅ m ¸ ¸¨ ¨ 2 + ¸¨ c + 1¸ − 1 = 0 ¨ c ¹ ¹© © *)

(D3)

Anmerkung: Excurs Lösung der quadratischen Gleichung

x 2 + p ⋅ x + q = 0, x 1 / 2 = −

p ± 2

p2 −q 4

395

Mathematischer Anhang 2

§ p2 ⋅ m · § p2 ⋅ m · ¨ ¨ ¸ ¸ ¨ c ¸ + 3¨ c ¸ + 1 = 0. © © ¹ ¹ Es ergeben sich zwei Lösungen in ( p ) 2 : § p2 ⋅m · 3 ¸ ¨ ¨ c ¸ =−2+ ¹I ©

9 4 3 − =− + 4 4 2

§ p2 ⋅m · 3 ¸ ¨ ¨ c ¸ =−2− ¹ II ©

9 4 1 − = − (3 + 5 ) = −2 , 62. 4 4 2

5 1 = − (3 − 5 ) = −0 , 38 4 2 (D4)

Diese Lösungen müssen in die Determinante eingesetzt werden, und zwar zunächst 1. Lösung p2 ⋅ m +2 c det −1

−1

= det

p2 ⋅ m +1 c

−

3 5 4 + + 2 2 2

−1 3 5 2 − + + 2 2 2

−1

.

(D5)

Notwendig ist jetzt eine Normierung auf x 1 = 1 (deshalb wird nur die 2. Gleichung entwickelt): ª1 5 «2 + 2 « « −1 ¬«

º » ª x 1 = 1º ª 0 º »⋅« »= 1 5 » ¬ x 2 ¼ «¬ 0 »¼ − + 2 2 ¼» −1

§ 1 5· ¸⋅x = 0 − 1 ⋅ x 1 + ¨¨ − + 2 ¸¹ 2 © 2

(D6)

⋅2

− 2 + (− 1 + 5 ) ⋅ x 2 = 0 x2 = x 1 = 1,

x2 =

2 (− 1 − 5 )

(− 1 +

5 )(− 1 − 5 )

=

2 (− 1 − 5 ) −4

1+ 5 2

Damit ergibt sich der 1. Eigenvektor:

ª 1 (1 + 5 )º» . X I t = «1 ¬ 2 ¼

(D7)

396

Mathematischer Anhang

Danach wird die 2. Lösung eingesetzt:

det

−

º » ». 1 5» − − 2 2 »¼

ª1 5 «2 − 2 = det « 3 5 2 « − − + «¬ − 1 2 2 2

3 5 4 − + 2 2 2

−1

−1

−1

(D8)

Es muss wieder eine Normierung auf x 1 = 1 erfolgen: § 1 5· ¸x 2 = 0 − 1 ⋅ x 1 + ¨¨ − − ¸ © 2 2 ¹

⋅2

− 2 + (− 1 − 5 )x 2 = 0 x2 =

2 (− 1 + 5 )

(− 1 − 5 )(− 1 +

5)

=

2 (− 1 + 5 ) 1 = (1 − 5 ). −4 2

Sie findet sich der 2. Eigenvektor: ª 1 X II t = «1 (1 − 5 )º» . ¬ 2 ¼

(D9)

Weitere Aufgliederung der Lösung der charakteristischen Gleichung: § p2 ⋅ m · ¨ ¸ ¨ c ¸ = −0 , 38 © ¹I

→ p2 = −

p1 / 2 =

§ p2 ⋅ m · ¨ ¸ ¨ c ¸ = −2 , 62 © ¹ II

→

0 , 38 ⋅ c m −

(D10)

0 , 38 ⋅ c m

i 2 = −1

( p1 / 2 ) I = ±0 , 62 ⋅ i

c m

( p 1 / 2 ) II = ±1, 62 ⋅ i

c . m

i=

−1

(D11)

Erkenntnis: Die Lösungen in p 2 sind stets negativ reell; die Lösungen in p sind imaginär. Wozu braucht man die Eigenvektoren? → Über die Eigenvektoren kann eine Matrizengleichung „diagonalisiert“ werden. Also

[p 2 ⋅ M + K ]⋅ X = 0 *)

[

]

⋅Xt

Anmerkung: p 2 ⋅ M + K ⋅ X = 0

*)

(D12)

⋅ X t , Ansatz in der Schwingungslehre, p 2 = − ω 2 identisch dem

[K − ω 2 ⋅ M ]⋅ X = 0 , Ansatz in der FEM-Theorie

397

Mathematischer Anhang p 2 ⋅ X t ⋅ M ⋅ X + X t ⋅ K ⋅ X = 0.

(D13)

Die vorstehenden Erkenntnisse sollen jetzt auf ein großes FE-Gleichungssystem angewandt werden! Folgende Schreibweise ist für das Eigenfrequenzproblem in der FEM gebräuchlich:

(K − Λ −1 ⋅ M )⋅ X = 0 Λ M ⋅X = Λ ⋅K ⋅X

=

(D14) 1

ω1

1 2

ω2

2

1

...

ωn 2

⋅Xt

t ⋅M ⋅X = Λ ⋅Xt ⋅K ⋅X X  

M diag . = Λ ⋅ K diag .

→ Gleichung ist jetzt zeilenweise auflösbar!

Beweis Eigenvektor für das vorstehende System mit 2 Freiheitsgraden: 1 1 ª º », X = «1 1 ( 1 − 5 )» « (1 + 5 ) ¬2 ¼ 2 angewandt auf M: ª «1 « «1 ¬

1 º 1 1 + 5 » ªm 0 º ª 2 ⋅« » ⋅ «1 » 1 1+ 5 1 − 5 » «¬ 0 m ¼» «¬ 2 ¼ 2

(

)

(

)

(

)

(

1 º m ª 5+ 5 »= « 1 1 − 5 » 2 «¬ 0 ¼ 2

(

)

)

º », 5 − 5 »¼ 0

(

)

angewandt auf K: ª «1 « «1 ¬

1 1 (1 + 5 )º» ª 2 c − c º ª 1 º c ª (5 − 5 ) 2 « » ⋅ ⋅ 1 1 » « » 1 (1 − 5 )»¼ = 2 ««¬ 0 « (1 + 5 ) ( 1 − 5 )» «¬ − c c »¼ ¬ 2 2 ¼ 2

º », (5 + 5 )»¼ 0

d. h., eine schon diagonale Matrix bleibt „diagonal“; eine nichtdiagonale Matrix wird „diagonal“!

398

Mathematischer Anhang

Bestimmung der Eigenfrequenzen: ȁ −1 = ω 2 1

(

c ª 5− 5 = « 2« 0 ¬

)

1 ª º 2 « 5+ 5 »⋅ « 5 + 5 »¼ m « 0 « ¬

(

0

(

)

ȁ −1 = c (5 − 5 ) ( 5 + 5 ) = c m (5 + 5 ) (5 − 5 )

ω1 2 =

c 3− 5 , 2m

(

(D15)

ω 2 2 = K diag . ⋅ M diag . − 1 *)

)

2m

ω2 2 =

º » » 1 » 5 − 5 »¼ 0

)

(

)

(3 − 5 ) (3 + 5 ) **)

c (3 + 5 ) 2m

Durchführung der Inversion laut Formel: 1 ª « (5 + 5 ) M diag . −1 = « « 0 « ¬

*)

º » ». 1 » (5 − 5 ) »¼ 0

(D16)

Anmerkung: Excurs zur Inversion ª m 11 M=« «¬ 0

0 º 1 » → M −1 = det M m 22 »¼

ª m 22 « «¬ 0

0 º » m 11 »¼

det M = m 11 ⋅ m 22

M −1

**)

ª m 22 «m ⋅m 22 = « 11 « 0 « ¬

0 m 11 m 11 ⋅ m 22

º ª 1 » «m » = « 11 » « » « 0 ¼ ¬

Anmerkung: Excurs zur Umformung

(5 − 5 )⋅ (5 − 5 ) = 25 − 2 ⋅ 5 ⋅ 5 + ( 5 )2 (5 + 5 )⋅ (5 − 5 ) 25 − ( 5 )

=

30 − 10 ⋅ 5 20

º 0 » » 1 » m 22 »¼

399

Mathematischer Anhang E) Schwingungs-DGL

FE-Lösungen werden verständlicher, wenn ein Bezug zur Schwingungslehre hergestellt wird. Einige Zusammenhänge sollen nachfolgend erläutert werden.

Bild 1/E: Diskretes 1-FHG-System u

E1) Freie ungedämpfte Schwingungen Freie Schwingungen treten auf, wenn die Erregerkraft in der zugehörigen Bewegungsgleichung verschwindet. Es liegt somit eine homogene DGL vor: m ⋅ u + c ⋅ u + k ⋅ u = 0.

(E1)

Ruhe ist für u = 0 (triviale Lösung) möglich. Interessant sind alleine nichttriviale Lösungen in Form von Schwingungen. Ungedämpfte Schwingungen setzen ein konservatives System voraus, bei dem der Energieerhaltungssatz gilt: m ⋅ u + k ⋅ u = 0.

(E2)

Diese Gleichung wird gewöhnlich in die Normalform überführt: u + ω 2 ⋅ u = 0.

(E3)

u ( t ) = A ⋅ sin ω ⋅ t + B ⋅ cos ω ⋅ t

(E4)

Mit

ist die Lösung bekannt. Aus den Zeitableitungen folgt: u ( t ) = ω ⋅ A ⋅ cos ω ⋅ t − ω ⋅ B ⋅ sin ω ⋅ t ≡ v ,

(E5)

u ( t ) = − ω 2 ⋅ A ⋅ cos ω ⋅ t − ω 2 ⋅ B ⋅ cos ω ⋅ t ≡ a .

(E6)

Werden die Lösungen eingesetzt, stellt man fest, dass die DGL identisch erfüllt ist. Die Integrationskonstanten A, B werden aus den beiden Anfangsbedingungen

400

Mathematischer Anhang u ( t ) = u 0 und u ( t = 0 ) = v 0

bestimmt. Einsetzen von u = u 0 für t = 0 führt zu B = u 0 und u = v 0 für t = 0 führt zu A = v 0 / ω . Damit ist die allgemeine Lösung als u(t) =

v0 sin ω ⋅ t + u 0 ⋅ cos ω ⋅ t . ω

(E7)

E2) Freie gedämpfte Schwingungen Für derartige nichtkonservative Systeme ist der Energieerhaltungssatz nicht mehr gültig. Die Schwingung wird unter geschwindigkeitsproportionalen Dämpfungskräften abnehmen:

m ⋅ u + c ⋅ u + k ⋅ u = 0 ,

k m k und 2 δ = m

mit ω 2 =

(E8)

folgt u + 2 δ ⋅ u + ω 2 ⋅ u = 0.

(E9)

Die Standardform erhält man jedoch erst nach Definition des Lehr’schen Dämpfungsmaßes ξ=

δ k = ω 2 c⋅m

(E10)

zu

u + 2 ξ ⋅ ω ⋅ u + ω 2 ⋅ u = 0.

(E11)

Eine Lösung dieser linearen, homogenen DGL 2. Ordnung ist u ( t ) = A ⋅ e λ⋅t .

(E12)

Aus Einsetzen in die DGL folgt λ2 ⋅ A ⋅ e λ ⋅ t + 2 ξ ⋅ ω ⋅ λ ⋅ A ⋅ e λ ⋅ t + ω 2 ⋅ A ⋅ e λ ⋅ t = 0. oder

(

)

A ⋅ e λ ⋅ t λ 2 + 2 ξ ⋅ ω ⋅ λ + ω 2 = 0.

Mathematischer Anhang

401

Da für nichttriviale Lösungen u ( t ) ≠ 0 ist die Größe A ⋅ e λ ⋅ t niemals null werden kann, erfüllt der Lösungsansatz die DGL nur, wenn λ eine Lösung der charakteristischen Gleichung λ 2 + 2 ξ ⋅ ω ⋅ λ + ω 2 = 0.

(E13)

ist. Die Gleichung hat bekanntlich die Lösung λ 1, 2 = − ξ ⋅ ω ± ω ξ 2 − 1 .

(E14)

Jede dieser Lösungen erfüllt die DGL, weshalb auch die Linearkombination u ( t ) = A ⋅ e λ1 ⋅t + B ⋅ e λ 2 ⋅t

(E15)

eine Lösung darstellt. Die Konstanten A, B lassen sich wieder mit Anfangsbedingungen bestimmen.

402

QM-Checkliste einer FE-Berechnung 1. Modellbildung/Idealisierung • Wahl des Berechnungsalgorithmus − Idealisierung • Modellreduktion − Betrachtung kritischer Beulteile − Topologie − Symmetrie • Materialeigenschaften

Ÿ linear, nichtlinear, Zeit- oder Temperaturabhängigkeit Ÿ elastisch-plastisch, ideal-plastisch Ÿ physikalisch und mechanisch richtig Ÿ Vernachlässigung von Verrippungen, Fasen etc. Ÿ Randbedingungen Ÿ isotrop oder orthotrop

2. Modellgenerierung/Diskretisierung • Vernetzung − Elementeigenschaften − Wahl des Elementtyps − Wahl der Elementgröße − Ansatzfunktionen − geometrische • Elementformulierung • Gittergenerierung • Randbedingungen − Lasteinleitung − Lagerung − Zwangsbedingungen

Ÿ elastisch, starr Ÿ geeignete Elemente, kompatible Verschiebungsansätze Ÿ ausreichende Netzfeinheit Ÿ Randkonturen Ÿ Netzverfeinerung bei Kerben, Rissen, Absätzen Ÿ vollständig, Schalendicke etc. Ÿ Übergänge vom groben zum feinen Netz, Elementformen Ÿ Lastgröße bei Symmetrie, Überlagerung, Flächenlasten etc. Ÿ keine Starrkörperbewegung, realitätsnah, Flächen-Linien Ÿ Couple DOF

3. Modellzusammenbau • Funktion • Kontakt

Ÿ Elementkopplungen Ÿ Definitionen korrekt, Reibung etc.

B. Klein, FEM, DOI 10.1007/978-3-8348-2134-8, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012

Checkliste einer FE-Berechnung

403

4. Berechnung • Fehlerausgabe • Programmfehler − Rundungsfehler − Inkompatibilität der Programmroutinen • Wahl der Iterationsschritte

Ÿ Überprüfung der Berechnungsfehler Ÿ in der Regel vernachlässigbar Ÿ Versionswechsel Ÿ Konvergenz

5. Beurteilung der Ergebnisse • Verifikation − visuelle Kontrolle − Stetigkeit der Spannungen − Überschlagsrechnung − exakte analytische Lösungen − experimentelle Ergebnisse • Plausibilität • Prüfen der Ergebnisgüte • linear/nichtlinear

Ÿ sind Verschiebungen oder Spannungen realistisch Ÿ bei Elementübergängen

Ÿ physikalisch korrekt, Bewegungen, Durchdringungen Ÿ Netzverfeinerung, Berechnung mit anderen FE-Programmen Ÿ Spannungen unterhalb der zulässigen Werte

404

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409

Sachwortverzeichnis A ABAQUS 3 Abbruchschranke 299 Anfangsbedingung 228 Anfangsdehnungsverfahren 251 Anfangsspannungen 25 Anfangsspannungsmatrix 159 Anfangsspannungsverfahren 251 Anregung 227 Anregungsfunktion 230, 237 Ansatz, isoparametrischer 126 Ansatzfunktion 31, 60, 89 ANSYS 3 Antwortfunktion 237 Arbeit, virtuelle 27, 202 Aussagesicherheit einer FE-Analyse 8 B Balken-Element 53, 95 Balken-Scheiben-Elemente 119 Balkensteifigkeitsmatrix, geometrische 262 Bandbreiten-Optimierung 314 Bauteilanalyse, rechnerunterstützte 43 Bauteiloptimierung 297 Bedingung nach v. Mises 255 Bernoulli-Balken 82 Bernoulli-Hypothese 53 Beulform 164 Beulung 156 Bewegungsdifferenzial-Gleichung 233 Biegelinienbeziehung 55 Bilanzgleichung 268 Bisektionsmethode 221 Blockaddition 36 B-Matrix 103, 132, 179 Boole‘sche Matrix 69, 70 Boole‘sche Zuordnungsmatrix 68 Box-Verfahren 298 C CAE-Konzeption 41 CAE-Prozesskette, konventionelle 6 CAO-Verfahren 300 CFL-Bedingung 246 Cholesky-Verfahren 75

Coulomb‘sches Reibgesetz 184 Cramer‘sche Regel 100 D d'Alembert‘sches Prinzip 26, 203 Dämpfung 213 Dämpfungsmatrix 212 DGL 46, 52, 55, 213, 225, 345 Diagonalhypermatrizen 68 Diagonalmatrix 208 Differenzenmethode, zentrale 241 Differenzenverfahren, zentrales 243 Differenzialoperatorenmatrix 20 DIN EN ISO 9000:2000 321 Drallsatz 290 Drehmatrix 283 Drehstab-Element, lineares 51 Drehträgheit 206 3-D-Balken-Element 93 Dreieck-Element 98 Dreieck-Platten-Element 152 Dreieck-Schalen-Element 166 Dreieck-Scheiben-Element 209 Duhamel-Integral 238 E Effizienz 81 Eigenform 164 Eigenfrequenz 213 Eigenkreisfrequenz 217 Eigenschwingungsform 344 Eigenschwingungsproblem 225, 342 Eigenspannung 25 Eigenvektor 164, 213, 227 Eigenvektorenmatrix 218 Eigenwertmatrix 218 Eigenwertproblem 163 Einheitserregung 231 Einheitsmatrix 18 Einheitsquadrat 137 Einzelsteifigkeitsmatrix, transformierte 65 Element, isoparametrisches 129 Element, kubisches 110 Element, vollverträgliches 149 Elementardrehung 283 Elementdämpfungsmatrix 212

B. Klein, FEM, DOI 10.1007/978-3-8348-2134-8, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012

410 Elementdrehsteifigkeitsmatrix 53 Elemente, kompatible 91 Elemente, verträgliche 144 Elementierung 307 Elementmassenmatrix 48, 57, 204 Elementsteifigkeitsmatrix 36, 48 Elementteilung 311 Elementträgheitsmatrix 53 Endmassenwirkung 208 Energie, kinetische 291 Ersatzgleichgewichtsgleichung 27 ESZ 141 Euler-Fall 263 F Fachwerkstruktur 325, 331 Federelement 35 Fehlerquelle 306 FE-Löser 42 Flächenkoordinaten 105, 106 Flächenträgheitsmoment 207 Flansch, gebördelter 165 Formfunktion 47, 49, 101 Fourier‘sche Wärmeleitungsgleichung 266 free meshing 311, 339 Freiheitsgrad 280 Freiheitsgrad, primärer 225 Freiheitsgrad, sekundärer 225 Frequenzband 343 Frontlösungsverfahren 74, 77, 78 Funktionsmatrix 108 G Galerkin 31 Gauß‘sche Quadraturformeln 134 Gauß-Punkt 138, 139 Gesamtkraftvektor 40 Gesamtmassenmatrix 71 Gesamtsteifigkeitsmatrix 40, 71, 87 Geschwindigkeit 281 Gleichungslöser 81 Grundgleichung, finite 16 Guyan-Reduktion 222 H Hermite Polynome 59 Hooke‘sches Gesetz 19 Hooke-Jeeves-Verfahren 298

Sachwortverzeichnis Hourglass 154 Householder-Givens-Modifikation 221 Householder-Verfahren 221 h-Version 8 Hypergleichung 39 I I-DEAS 3 IGES 6 Impuls 345 Impulssatz 289 Inertialsystem 281 Initialverschiebungsmatrix 259 Instabilitätsprobleme 259 Integration, direkte 239 Integration, numerische 134 Interpolationspolynom 134 Intervall, normiertes 136 Invarianz der äußeren Arbeit 64 Inversion der Koeffizientenmatrix 16 Inzidenzmatrix 69 Iteration, direkte 247 Iterationsverfahren 74 J Jacobi-Matrix 108, 127, 133, 210 JT 42, 43, 327 K Kinematik 281 Kinetik 279, 287 Kirchhoff‘schen Theorie dünner Platten 140 Knickfälle 259 Knotenkräfte 66 Knotenkräfte, äquivalente 65 Knotenkreisverschiebungsvektor 177 Knotenlastvektor 48, 53 Knotenvektor 63 Knotenverschiebungsvektor 56 Konstantelement (CST = constant strain triangle) 98 Kontaktfläche 184 Kontakt-Knotenpunktkräfte 195, 201, 199 Kontaktkörper 182 Kontaktproblem 187 Kontaktproblematik 330 Kontinuitätsbedingung 267 Kontur 315

Sachwortverzeichnis Konvergenz 119, 153, 173 Konvergenzbetrachtung 96 Koordinatenüberrelaxation 221 Körper, isotrope 271 Kräfte, dissipative 27 Kräftepfadoptimierung 303 Kraftgrößen-Methode 12 Kreisfrequenz 219 Kreisring-Dreieck-Element 177 Kreisring-Element 175 Kriechen 247 L Lage, allgemeine 285 Lagrange-Multiplikatoren 184 Lagrange'sche Methode 288 Lanczos-Verfahren 221 Locking 154 Lösung, homogene 231 Lösung, iterative 189 M mapped meshing 311, 337 MARC 3 Massenmatrix 61 Massenträgheitsmoment 51 Materialeigenschaftsmatrix 21 Materialgesetz von Gummi 350 Materialreibung 212 Matrix-Steifigkeitsmethode 34 MCAE-Systeme 7 Mechanismenstruktur 295 Mehrkörpersystem 279 Meshprozeduren 340 Mises, von 341 Mittenknoten 111 MKS 279, 281, 287, 291 Modalmatrix 218 Modenüberlagerung 239 Momentengleichgewicht 23 Mooney-Rivlin 352, 354 Multifeld-Element 275 Multiphysik 12 Multiphysikaufgabe 275 N NASTRAN 3 Navier‘sches Problem 325 Nebenbedingung 185, 297

411 Netwon-Euler-Methode 288 Netzaufbau 311 Netztopologie 314 Newton-Cotes-Quadratur 134 Newton-Euler-Methode 291 Newton-Raphson 189, 248 Nichtlinearität 250 Nichtlinearität, geometrische 257, 352 O Oberflächenlastvektor 48, 53 Optimierungsfunktion 298 Ortsvektor 281 Out-of-balance-Vektor 191 P Parameteroptimierung 298 Partnerregel 312 Pascal‘sches Dreieck 91, 143 Pascal‘sches Dreieck, dreidimensionales 171 Passfederverbindung 187 Pfadoptimierung, selektive 304 Plastizität 247, 253 Plattenbeulung 157 Platten-Element 139 Platten-Elemente, Problematik 143 Plattenstreifen 156 Polynome 91 Polynomgrad 9 positiv definit 74 Post-Prozessor 42 Pre-Prozessor 42 Prisma-Element 173 Produkthaftungsgesetz 321 Produktregel 55 p-Version 9 Q Quader-Element 173 Quadratscheibe, gelochte 105 Qualitätssicherung 320 Querkontraktion 21, 22 R Randbedingung 268, 331 Rapid-Product-Development 174 Rayleigh-Quotient 217 Reaktionskraft 37

412 Rechenzeit 80 Rechteck-Element 111 Rechteckimpuls 233 Rechteck-Platten-Element 146 Reduktion, statische 229 Referenzsystem 281 Reissner-Mindlin-Theorie 124, 155 Relativsystem 281 Restmethode, gewichtete 32 Restwert 32 Rotationsmatrix 282 S Sandwich-Elemente 155 Schalen-Element 165 Scheiben-Element 97 Schlag 345 Schubverformung 120, 121, 155 Schweißnaht 277 Schwingung, erzwungene 228 Schwingung, freie 226 Schwingungsdifferenzial 203 Schwingungsdifferenzialgleichung 33, 46, 47 shape function 48 shear locking 173 Simpson‘sche Regel 134 Sonderrandbedingungen 72 Spaltenhypervektoren 68 Spannungsauswertung 9 Spannungszustand, ebener (ESZ) 22, 97 St. Venant‘sche DGL 158 Stab-Element 45 Stab-Element, lineares 46 Standardschnittstelle 6 Starrkörperbewegung 37, 89, 289 Steifigkeitsmatrix 62 Steifigkeitsmatrix, geometrische 159 Steifigkeitstransformation 62 Stoffgesetz 24 Strategie, bionische 300 Struktur, ungebundene 69 Strukturdämpfung 235, 343 Stützstellen 30, 134 Symmetrie 5 Systemsteifigkeitsmatrix 36, 87 T Tangentensteifigkeitsmatrix 248

Sachwortverzeichnis Tätigkeitsanalyse 7 Taylor‘sche Reihenentwicklung 248 Temperaturdehnungsstrategie 301 Temperaturgradient 266 Temperaturverteilung 354 Tetraeder-Element 170 Timoshenko-Balken 120 Topologie 280 Tragwerk 38 Transformationsmatrix 64, 282 Transponierung 17 Tresca 257 U Überrelaxationsfaktor 249 V v. Mises‘sche Fließbedingung 256 Validierung 10 Variationsprinzip 27 Vektoriteration 221 Verfahren, explizite 239 Verfahren, implizite 239 Verformungszustand 34 Vergleichsspannung 341 Vergrößerungsfunktion 232 Verifizieren 10 Verkettbarkeitsregel 17 Verschiebungsansatz 30,66, 109 Verschiebungseinflusszahlen 35 Verschiebungsgrößen-Methode 12 Verträglichkeit, kinematische 24 Verzerrungszustand, ebener (EVZ) 22 Viereck-Element 125 Volumen-Element 170 Volumen-Elemente, lineare 171 Volumenkräfte 28 W Wärmedehnung 25 Wärmekapazitätsmatrix 272 Wärmeleistung, innere 268 Wärmeleitfähigkeitsmatrix 268 Wärmeleitung 355 Wärmeleitungsanalogon 267 Wärmeleitungsgleichung, diskretisierte 271 Wärmeleitungsgleichung, instationäre 276 Wärmeleitungsmatrix 272

Sachwortverzeichnis Wärmestromdichte 266 Wärmeübertragung, instationäre 267 Wärmeübertragung, stationäre 266 Werkstoffgesetz 82 Winkelbeschleunigung 287 Winkelgeschwindigkeit 287

413 Z Zero-Energy-Modes 154 Ziegler-Prager-Gesetz 349 Zielfunktion 297 Zielkörper 182 Zwangsspannungen 25