Cap5 Torsion

MEC 2240 Diseño Mecánico

CAP. 5 DISEÑO DE MIEMBROS EN TORSIÓN OBJETIVOS: -

Demostrar la ecuación de la tensión de torsión, su aplicación y diseño de miembros sometidos a tensiones de torsión

TEMAS: 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7. 5.8. 5.9. 5.1.

Teoría de torsión simple Deformación angular Tensión de torsión Módulo de rigidez Tensión de torsión admisible Módulo de sección polar Deformación angular admisible Potencia transmitida por los ejes Diseño de miembros en torsión

Teoría de torsión simple Un par de torsión es un momento que tiende a hacer girar a un miembro con respecto a su eje longitudinal. Hibbeler

Los esfuerzos de torsión se los encuentra sobre todo en elementos giratorios como los ejes de las maquinarias. Cuando se somete a una pieza a un momento torsor, en la misma se crea un ángulo de torsión que varía proporcionalmente a la longitud del eje, por lo que el tamaño de la pieza es fundamental para obtener una relación de la deformación de la misma, así por ejemplo en la figura de lado, se ve un eje antes de ser sometido a un momentos torsor. En la figura de abajo se tiene la misma pieza sometida a un torsor que la deforma haciendo rotar su estructura formando el ángulo de rotación.

Docente: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana

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5.2

Deformación angular

Observando las figuras anteriores se puede concluir lo siguiente:

Los puntos n-n’ dan la relación:

n−n

γ⋅x

ρ ⋅θ

Donde: γ = deformación por cortante φ = Angulo de Torsión ρ = Radio o distancia hasta el punto de análisis. X = Distancia o longitud del elemento La ecuación anterior nos presenta una relación entre la longitud del elemento y su deformación angular debido a un momento torsor. Normalmente cuando se calcula en eje a torsión se verifica que este resista un torsor determinado y que no exceda una deformación pedida.

5.3

Tensión de torsión

Si un miembro de sección circular está sujeto a cargas de torsión, se producen fuerzas cortantes; el producto de estas fuerzas cortantes por sus respectivas distancias al eje de la flecha producen los momentos cuya suma es el torsor resistente al torsor impuesto externamente. Algunos enunciados que se pueden formular para obtener las relaciones de las tensiones de torsión pueden ser: 1. La sección de flecha es plana antes de la torsión y continua plana después de la torsión (este hecho solo se da en secciones circulares) 2. El diámetro de la flecha no varía durante la carga. 3. Los esfuerzos están dentro el rango elástico.

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4. Las deformaciones por cortante varían linealmente desde cero en el centro del eje hasta un máximo en el extremo radial del mismo. Por cuanto si suponemos que la tensión en el borde del eje es τmax y las tensiones en cualquier punto del eje son τ, se puede exponer la siguiente relación: τmax

τ

c

ρ

De ahí se puede colegir que la fuerza en un punto determinado será: F

τ⋅ dA

τmax⋅

ρ

⋅ dA

c

Multiplicándolo por el radio dará:

dT

F⋅ ρ

τmax⋅

ρ

2

c

⋅ dA

Integrando: ⌠ ⎮ ⌡

c

⌠ τ ⎮ max 2 ⋅ ρ dA ⎮ c ⌡

T

1 dT

0

0

c

τmax ⌠ 2 ⋅ ⎮ ρ dA c ⌡

T

0

La integral por definición es el momento polar de inercia, por tanto:

T

τmax ⋅ Ip c

Escrito de otra manera: τmax

Donde:

T⋅ c Ip

T= Momento torsor c=Distancia al punto mas alejado Ip= Momento polar de Inercia

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Ejercicio 5.1 Determinar el par interno de las secciones indicadas:

Ejercicio 5.2 5.2.1

Determinar el esfuerzo cortante máximo en un eje de 2 pulg. de diámetro; el par aplicado es de 800 lb-pies.

Deje := 2in Tor := 800lbf ⋅ ft

Calculando el momento de inercia: 4

Ip :=

π⋅ Deje 32

4

Ip = 65.381cm

el esfuerzo cortante máximo es: τmax

5.2.2

Tor⋅ c Ip

Tor⋅ τmax :=

Deje 2

τmax = 429.684

Ip

kgf 2

cm

Un eje macizo de latón de 90 mm de diámetro tiene un esfuerzo cortante admisible de 8000 lb/pulg2. determinar el par máximo que puede resistir el eje.

Deje := 90mm 4

Ip :=

π⋅ Deje 32

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τadm := 8000

lbf 2

in 4

Ip = 644.12cm

4

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τadm

Tor

c

⋅ Ip

Tor :=

τadm Deje

⋅ Ip

Tor = 7895.26N⋅ m

2

5.3.1

Tensión de torsión en ejes huecos

Revisando la ecuación de la tensión, se puede encontrar que el esfuerzo es susceptible a las variaciones del momento polar de inercia; mas cuando trabajamos con ejes huecos el momento de inercia sufre pequeñas variaciones respecto de un eje macizo, y por el contrario, el peso del elemento disminuye considerablemente, por cuanto se puede aprovechar esta propiedad para obtener elementos mas livianos con buenas propiedades de resistencia. Ejercicio 5.3.1 Comparar la resistencia de una flecha de acero de 4 in de diámetro con otra flecha hueca de 4 in de diámetro exterior y 2 in de diámetro interior; el esfuerzo cortante admisible es 10000lbf/in2. Comparar los pesos de los ejes si estos tiene 1 pie de longitud. Solución para eje Macizo De := 4in

Ip :=

τadm := 10000

π⋅ De

Tor :=

4

lbf ρ acero := 7.45

2

in

kgf 3

dm

4

Ip = 1046.1cm

32 τadm De

Tor = 14198.09N⋅ m

⋅ Ip

2

π⋅ De

wmacizo :=

2

⋅ 1ft⋅ ρ acero

4

wmacizo = 18.41kgf

Solución para eje hueco De := 4in

Di := 2in

π⋅ ⎛ De − Di ⎝

4⎞

4

Ip :=

⎠

32

Torhueco :=

τadm De

⋅ Ip

4

Ip = 980.72cm

Torhueco = 13310.71N⋅ m

2

π 2 2 whueco := ⋅ ⎛ De − Di ⎞ ⋅ 1⋅ ft⋅ ρ acero ⎠ 4 ⎝ Docente: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana

whueco = 13.81kgf

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En Torsor resistente Torhueco Tor

⋅ 100 = 93.75

en peso whueco wmacizo

⋅ 100 = 75

5.4 Módulo de rigidez Cuando se aplica un momento torsor sobre un eje, esta produce una tensión de corte además de un ángulo de deformación. Esta relación es directamente proporcional pues tal como en esfuerzos de tracción sigue la ley de Hook. La relación de proporcionalidad se la denomina como modulo de rigidez o Módulo de elasticidad a cortante. τ

5.5

G⋅ γ

Angulo de Torsión

Al igualar las dos definiciones de esfuerzo cortante en torsión se puede obtener la ecuación del ángulo de torsión, en la que relaciona el momento torsor, con la longitud del eje y las propiedades del material, constituyéndose una ecuación base para el diseño de flechas. τ γ

G⋅ γ R⋅ θ L

Tor ⋅ R

G⋅ R⋅ θ

Ip

L

θ

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Tor ⋅ L Ip ⋅ G

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Ejercicio 5.5.1 El eje BC es hueco y sus diámetros interior y exterior miden 90 mm y 120 mm repsectivamente. Los ejes AB y CD son sólidos y su diámetro es "d". Para la carga mostrada halle: Los esfuerzos cortantes máximo y mínimo en el eje BC. el diámetro "d" en los ejes AB y CD si el cortante admisible es 65 MPa. Primero se debe encontrar mediante las ecuaciones de la estática los momentos que están afectando al eje: Primer tramo

Σ x=0

TAB := 6kN⋅ m

6kN⋅ m − TAB 0

Segundo Tramo 6kN⋅ m + 14kN⋅ m − TBC 0 el momento de inercia para el eje hueco es:

π 4 4 Iph := ⋅ ⎛ r2 − r1 ⎞ ⎠ 2 ⎝

TBC:= 20kN⋅ m r1 := 45mm

r2 := 60mm

4

Iph = 1391.63cm

El esfuerzo cortante máximo se encuentra en el punto exterior, por lo tanto:

τmax:=

TBC⋅ r2

τmax= 86.23MPa

Iph

El esfuerzo cortante mínimo se encuentra en el punto interior de eje:

τmin:=

TBC⋅ r1

τmin = 64.67MPa

Iph

En los ejes AB y CD, el torque solicitante es de 6 kN, entonces: Tor⋅ τadm

d 2 τadm := 65MPa

Ip

Given

τadm

dab TAB⋅ 2 4

π⋅ dab 32

( )

Find dab = 77.76mm

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5.6

TORSIÓN DE ELEMENTOS NO CIRCULARES

El comportamiento a torsión de elementos de secciones no circulares varia de los de secciones circulares, y es que existe una deformación no uniforme de la sección no circular cuando a esta se la exige con un momento torsor; sin embargo para fines prácticos de cálculo se emplean fórmulas semejantes a las empleadas para tensiones de corte a torsión de secciones circulares pero empleando valores de ajuste de una sección dada ha una circular, así: Para la formula de esfuerzo cortante por torsión:

τmax

Tor ⋅ c Ip

τmax

Tor Q

Donde Q, depende de la forma de la sección. Para el ángulo de torsión se puede emplear la siguiente relación: θ

Tor ⋅ L G⋅ Ip

θ

Tor ⋅ L G⋅ K

“K” también está en función de la sección. Ambos valores se puede obtener de la tabla siguiente:

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Ejercicio 5.6 Un eje de 2” de diámetro que soporta a una rueda tiene un extremo fresado en forma de cuadrado para permitir el uso de una manivela. El cuadrado mide 1.75” por lado. Calcule la tensión máxima por esfuerzo de corte en la parte cuadrada si se aplica un torque de 15000lbf*in. Además calcular el ángulo de torsión si la longitud de la parte cuadrada es de 8”. Se considera G=11.5*106 psi.

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