Como Superar Las Matematicas De Cou Y Selectividad

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March 2021
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-

Q

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(I + X - = A) '16

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UI n 00 + Ip 8 ip £ H-W-V oo+ (£ + X = A) i 91 t 0O+ 00+ 4 o t P 4 Z‘£ 4 0

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X

¡‘¡‘¡‘¡î X - = X) 00 4*

A

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16

oo + VAW L Ü il I

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P

4

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00 + A 68

o iH V N O ia m o s

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422

P. TANIGUCHI

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SOLUCiONARIO

423

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424

P. TANIGUCHI

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SOLUCIONARIO

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P. TANIGUCHI

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SOLUCIONARJO

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428

P. TANIGUCHI

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SOLUCIONAR!»

7.

429

IN T E G R A C IÓ N 1,

a r c t g ( x / 2 ) + c.

2.

\/¡F /2 ln

X - \/~5

+ c

+ \f5

3.

~y arctg (2 x ) + c

4.

\ / ó / 4 in

-\[ T ñ Hr c x +

S.

x/3 7 2

6 a r c s e n ( x /3 ) H-c

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>. TANIGUCHI

430

6.

i / V X a rc s e n (\/Ô 3 x ) + c

7.

1 /14 ln |7 x 2 - l| + c

8.

2 /5 ln(5e* + 3) + c

9.

4 / 3 V 3 sen x + 5 + c

10.

ln |tg x + l| + c

11.

- 1 / 3 c o s (3 x ) + c

12.

1 /5 se n (5 x + 1) + c

13.

— ~ - e 2' + c

14.

1 /(3 In 5 ) 5 3* + c

15.

2 /2 1 (7x - 3)3' 2 + c

16.

3 /2 (2x + 9 )2'3 + c

17.

3 /5 tg (5 x + 1) + c

18.

4 /7 In |7x - 1 I + c

19.

1 /c o s x + c

20.

(y = cos x)

+ c

(y = 2 sen x + 1)

21.

1 / 3 s e n 3x - l / 5 s e n 5x + c

22.

1 > — tg x + c

23.

2 /3 V x 3 + 1 + c (y = x 3

(c o s3x —co s x c o s2x = cos x ( l - sen x ) ; y - s e n x)

■> (tg x (1 + tg x ); y = tg x)

+ 1)

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SO LU CIONA RIO

431

I

,

, (y = x )

24.

— a re sen (x ) + c

25.

l / 3 ( l n x )3 + c

26.

2 \ f x ln x + 4 /3 ■ x 3/2 + c

27.

x a r c tg x -

28.

1

29.

(y = l n x ) (p a rte s tip o Io: u = ln x)

, l n( x + l ) + c

(p a rte s tip o 1°: u = a re tg x)

(p a rte s tip o 2o: u = x 2)

( a r e s e n x + x \ / l - x 2) + c

( p a r te s tip o 3o: v e r el p r o b le m a re su e lto

n° 22).

30.

(x 2a r c tg x - x + a r c tg x) + c

l n | c o s (2x)l + c

(p a rte s tip o I o: u = a re tg x)

31.

—

(in m e d ia ta )

32.

~y [x \ / x 2 + 1 + ln (x + \ / x 2 + 1)] + c

33.

3 V (ln 3)4 [(ln 3)3 x 3 - 3 (ln 3)2x 2 + 6 (ln 3) x - 6] + c

34.

lO V ln 10 + c

(p a rte s tip o 2o: u = x3)

(in m e d ia ta : 2*5* = 10x)

3 5 . V 2 / 6 • a r c t g (xi/ \ / 2 ) + c 36. " 1 / t g x

(p a rte s tip o 3o)

(y = x 3)

(in m e d ia ta : se n x = c o s ( r r /2 - x), tg (n -/2 - x) = 1 /tg x)

37.

~ x /tg x + ln |s e n x¡ + c

38.

tg x - 1 /tg x + c

(p a rte s tip o I 4; u = x; v er ejercicio n° 36)

(in m e d ia ta : I - se n 2x + c o s2x; v er ejercicio n° 36)

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432

39.

R TANIGUCHI

a r c s e n ( x / \ / 2 " ) - ln (x + \¡2 + x 2) + c

(in m e d ia ta : 4 - x4 = ( 2 - x2)(2 + x2))

40. a r c s e n [ (2 x - ! ) / \ f 5 ] + c j l + x - x2 = 5 /4 - |x — y j J

41.

- 1 / 4 • ln |x - !| + 1 /5 • l n |x ~ 2| + (x - l)(x - 2)(x + 3))

1 /2 0 • l n |x + 3| + c

42.

y - * x2 + 5x - 7 In jx - 2¡ + 26 Injx - 3| + c

43.

~ [ n |x - Ij - In jx + 1| ~ 3 /( x + 1) + c

44.

y ~ • l n |x 2 + x + - y j + 2 a r c tg ( 2 x + 1) + c

45.

Inj x - 2| + l / ( x + 1) + c

46.

2 In jx - 3| + - y - ln ( x 2 + 1) - 2 a r c tg x + c

47.

- y - ( x - l)"2 - (x - l)" 1 + 2 in |x - 1| + c

48.

3 /2 • ln ( x 2 + 2x + 10) + 4 /3 a r c tg [ ( x + l ) / 3 ] + c

49.

tn |x - 1¡ + 3 a r c tg x + c

50.

1 /3 * a r c tg x - 1 /6 • a r c t g ( x / 2 ) + c

51.

2 /( x - 1) - 4 ln |x ~ l| + 5 Injx - 2| + c

52.

1 /3 • Injx + 1| - 1/6 * l n ( x 2 - x + 1) + l / \ f T * a r c tg [ ( 2 x n o m in a d o r: (x + l) ( x 2 - X + 1))

53.

- 3 / 2 5 • (x - 3 ) '1 - 16 /1 2 5 * ln |x - 3| + 3 7 /2 5 • (x + 2)’ 1 + 1 4 1 /2 5 * ln |x + 2j + c

54.

Inj x - lj - Injx + l| + a r c tg x + c

55.

- x + 2 lnle* - l| + c

(d e n o m in a d o r: (x - 2)(x + l ) 2)

(d e n o m in a d o r: (x - 3)(x2 + 1))

(y = x - 1)

(d e n o m in a d o r: (x - l) ( x 2 + 1)) (d e n o m in a d o r: (x2 + l) ( x 2 + 4)) (d e n o m in a d o r: (x - 2)(x ~ l ) 2)

l) / \/T ] + c

(d e

(d e n o m in a d o r (x - l)(x + l) ( x 2 + 1))

(y = ex)

56. - x / 2 + 1 /3 * lnje* - 1| + 1 /6 • ln|e* + 2| + c 57.

( d e n o m in a d o r :

1 /ln 4 • ( a r c tg ( 4 ’<) +• 5 /2 • ln (1 6 x + 1)] + c

(y = e*) (y = 4*)

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SOLUCION ARIO

433

(c o sJ x = (1 - se n 2 x )e o s x; y = sen x)

58.

ln |s e n x| - ln ( s e n 2x + sen x + 1) + c

59.

ln | 1 + sen x| - In jc o s x| + c (m u ltip lic a r n u m e ra d o r y d e n o m in a d o r p o r eo s x; eo s x2 = 1 - s e n 2 x; y = sen x)

60.

ln x [ ln ( ln x) - 1] + c

61.

x 2/2

(y = In x y p a rte s)

* a r e s e n x - - y - a r e s e n x + x /2 ■ \J l - x 2 + c

(p a rte s : u — a r e s e n x y

v er ejercicio n° 29) 62.

x /2 • (c o s (ln x) + sen(Ln x )] + c

(p a rte s tip o 3o)

63.

x - 9 /2 •

64.

(x + 1) a re tg ( \ / x ^ ) ~ \/x ~ + c

65.

- t / x * a r e s e n x + l n (1 - \J l ~x 2) —ln |x | + c

66.

ln (x 2 - s f l x + 1 ) + ( 2 + s f l ) / 4 • a r c t g ( V 2 x - 1) + s f í / % ln (x 2 + V T x + 1) - { 3 \ f 2 + 2 ) /4 ■a r c t g íx /T x + 1) + c (x4 + 1 = (x 2)2 + 2x2 + 1 - 2x2 = (x 2 + 1) - ( \ / T x ) 2 = (x2 + y j l x + l) ( x 2 - \f~2x + 1))

67.

17 /3

68.

2 ln 2 - 3 / 4 = 0,6363

69.

29

70.

0

+ 2 7 \ f x - 81 ln | \ f x + 3 | + c

(y = \ f x )

(p a rte s e y = \ f x ) (p a r te s :u = a r c s e n x e y - 1 / x )

71.

-1 /3

72.

7t4/ 4 + 2 ir = 30,6355

73.

1

74.

1 /1 2 ( s u s tit u ir |x - 2| p o r k ( x - 2 ) , k = 1 si x < 2 , k = 1 si x > 2, y d e s c o m p o n e r la in te g ra l en su m a d e d o s)

75. 76.

(c o s(2 x ) = 2 c o s2x - 1 ; y = eos x) (in m e d ia ta - p arte s)

(d e sc o m p o n e r en s u m a d e d o s in te g rale s)

8 3 /6 a = b = 3 /2 ; 7 9 /1 2

77.

1 /2

78.

1

79.

12

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434

p . TANIGUCHI

80.

75

81.

t t / 2 - 1 /3 - 1,2375

82.

83.

1 4 /3 + eos 4 - eo s i - 3,473

84.

1 2 n / T - 6 ln ( 2 + \ T $ ) -

85.

3

86.

4 /3

87.

4 /1 5

88.

1 /30

89.

9

90.

e - 2 = 0,7183

91.

1 /2

92.

1 /6

93.

1 /3

94.

8 1 /4

95.

5 /2

96.

7rr2

97.

a r c s e r » ( 2 / s / J ) - a r c s e n ( l/v /T ) + 2 ln 2 - 2,0298

98.

A , = 2 J o \Í2x< hi

12,8829

0,2817

|a =

|a =

J

( - x 3 - 8 )d x + J (x 3 + 8 )d x )

( x 2 ~ x 2/ 4 ) d x + j^ (x - x V 4 )d x j

f2

fs/*

+J2

v 8 ~ x2 dx = 2rr + 4 / 3 - 7,6165

A2 = 7 r ( s / ¥ ) 2 - A, = 6ir - 4 / 3 — 17,5162 99.

a)

32 rr/5 — 20,1062;

100.

2 tt/ 3 - 2,0944

101.

a)

2;

b)

b)

?rV2 = 4,9348;

2 7 r r/2 = 42,4115 (v e r el ejercicio n° 16)

c)

2 ^=

19,7392

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435

SO LU CIONA RIO

102. a )

4 tt/ 3

- 4,1888; b)

7 3 ti-= 21,7656

103.

4 irr2/ 3

104.

Vx = 8 ?r/3 - 8,3776; Vy = I6 tt/ 3 = 16,7552

- 3 y - 1 lo g e n e ra d o p o r la p a r á b o la e s tá in c lu id o en lo g e n e ra d o p o r la cúb ic a ; e n tre - 1 y 0 su c ed e a la inv ersa)

106.

a)

107.

3 2 5 /2 7

109.

o

3 2 rr/3 — 33,5103;

b)

199 rr/3 - 208,3923

- y - (e* + e x) dx = e /2 - l/( 2 e ) -

1,1752

110. (é>2 + 7 ) /8 - 1,7986 111. 6 (se c a lc u la la lo n g itu d d el p rim e r c u a d ra n te : I x ' l / , d x = 1,5, d o n d e 2 /3 x"1' 3 + 2 /3 y - 1/3 • y ' = 0 112.

y ' = - x " ,/3 y ‘/3 = -x ~ ,/3 > /í - x 2' 3)

47rr2

113. 87t + 32 7 7 7t2/ 9 = 85,9137 114. [ 2 7 2 " + ln (3 + 2 7 2 ) ] 7 r = 14,4236 115. 4 0 7r 2 ~ 394,7842

(y = eo s x)

(y = 5 + \ / 4 - x2 p a r a

la

s u p e rf ic ie e x te r io r e y =

5 T T 3 x 2 p a ra la in te rio r)

116. F (x ) = 1 /4 • s e n (2 x ) - x / 2 • c o s (2 x ) + 1 - t t / 4 117. y = 1 - ln |c o s x| 118.

( f'(x ) = tg x, f(0 )

= 1)

H a y q u e o b s e rv a r q u e f es d e riv a b le en 0 p o r e s ta r d e fin id a f '( 0 ) = 0 , d e lo c u a l se d e d u c e q u e f es c o n tin u a en 0. I n te g r a n d o te n e m o s f(x ) = x2/ 2 + c.

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436

P. TANIGUCHI

si x < 0, f(x ) = ln ( x + I) - ex + c2 si x > 0, D e f ( 1) ~ 0 se d e d u c e q u e c 2 = e - In 2 y de la c o n tin u id a d d e f en 0 re su lta Cj = - 1 + c 2. L u eg o , . . . _ ( x V 2 -t- e —In 2 ~ 1 W “ { ln(*+ l ) - ^ + (?-ln2

119.

six<0 six>0

a ) a = 2, b = 2 In 2; b ) f n o es d e riv a b le e n 3 /2 n i en 2; c ) (5 In 2 - 3) - 2 /? r • In 2 + 4 ( 1 /ln 2 - 1 ) « 1,7952; d ) (4 In 2 - 2) + (1 - In 2) + 2 / n ■ In 2 + 4 ( l / t n 2 - 1) — 3,2915; e) i r [ ( 1 2 - 3 1 n 2) + (In 2)* + (16 - 8 /ln 2)] “ 65,5205; f) 27r[(41n 2 - 5 /2 ) + (1 3 /8 - 7 /4 • In 2) + 3 , 5 /tt + ( 1 2 /In 2 4 /( ln 2)2)] <= 67,7675 y

X

120.

a)

D o m f = ]0, +*>[, f'( x ) = aj l n x |, es d e c ir,

f '( x ) =

-alnx a In x

si0 < x < l si x > 1

d o n d e a es la c o n s ta n te de p ro p o rc io n a lid a d . In te g r a n d o , se o b tie n e : f(x ) =

“a ( x l n x - x ) + e 1 a ( x l n x - x) + c 2

si0 < x < l si x > 1

P o r se r f d e riv a b le e n to d o s los p u n to s d e s u d o m in io , e n p a r tic u la r es c o n tin u a en I . I g u a la n d o los lím ite s la te r a le s en 1 se o b tie n e a + Cj = - a + c 2, es d e c ir, c2 ~ Cj = 2a. A p lic a n d o el h e c h o d e q u e la c u rv a p a s a p o r ( 1 /2 , 1) y (2, ln 8), te n e m o s f ( l / 2 ) = a ( l / 2 ln 2 + 1 /2 ) + c, = 1 y f(2 ) = a ( 2 l ln 2 - 2) + e2 = ln 8 (re c u é rd e se q u e l n ( l / 2 ) = - l n 2). R e s ta n d o m ie m b ro a m ie m b ro

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SOLUCIONARIO

437

y te n ie n d o en c u e n ta q u e ln 8 = 3 ln 2 y c 2 - c, = 2 a, re su lta a = 2, d e d o n d e Cj = - ln 2 y c 2 = 4 - ln 2. L uego: f(x ) =

- 2 ( x l n x - x) - ln 2 2 ( x ln x - x) + 4 - ln 2

si 0 < x < 1 si x > I

b ) ( 5 + 181n 2 ) /8 — 2,1846; c ) ( - 7 + 18 ln 2 ) /8 = 0,6846 ( b a s ta r e s ta r 1,5); d ) ir [ 5 /6 • (ln 2 f ~ 9 7 /3 6 • ln 2 + 4 6 /2 7 ) + (1 1 /3 ■ (ln 2? + 4 1 /9 • ln 2 9 1 /2 7 ) ] =* 5,6090; e) 2 r r[ (2 9 /7 2 - 1 1 /2 4 • ln 2) + (2 3 /3 • ln 2 - 3 1 /1 8 )] = 23,1032.

8.

C Á L C U L O N U M É R IC O

1.

f(x ) = - 2 x 2 + 5x + 2

2.

y = - 5 / 2 x 2 + 2 7 / 2 x - 12, f (4) = 2

4. l,2 3 4 x 4 - 23,456x3 + 34,567x2 - 45,678 + 56,789 5.

L os v a lo re s d e e* en los p u n to s c ita d o s so n , re sp e c tiv a m e n te , 0,3678795, 0,4723666, 0,6065307 y 0,7788008. E l p o lin o m io de in te rp o la c ió n es: P (x ) = 0,022536x4 + 0,15375 lx 3 + 0,495573x2 + 0,999479x + 1

6. f(x ) - (5 - 3 \ 1 " ) / 1 2 x 3 + ( v i * 7 /4 ) x 2 + (22 - 9 ^ J ) / 2 • x, f ( l,2 ) = 0,5878; c o ta : 0,00108 7.

a ) x4 - x 3 - 4 x 2 + 4x; b ) x 4 - 5 x 3 + 7 x 2 - 5x + 6; c) + 7x4 + 4 0x3 + 8x2 + 44x + 20

8.

]-l,0 [,]8 , 1[,]1,2[

9.

H a y só lo u n a ra íz rea l y se e n c u e n tra en ]3, 4 [.

x* - 2x7 - 12x‘ - 16x5

10.

H a y d o s raíc es reales, u n a en ]0, 2[ y la o tr a en ]3, 4 [.

11.

H a y d o s raíc es rea les y se e n c u e n tra n en ]0, 1[ y ]5, 6 [.

12.

Se e n c u e n tra n d o s raíc es en los in te rv a lo s ]0, 1[ y ]1, 2 [, resp e ctiv am e n te.

13.

Se e n c u e n tra n d o s raíc es en lo s in te rv a lo s ]0, 1[ y ]1 ,4 [, resp e ctiv am e n te.

14.

S ó lo h a y u n a raíz en ]0 ,7 r[.

15.

L as raíc es se e n c u e n tra n en ] - 5 , - 4 [ y ]1 , 2[.

16.

S ó lo h a y u n a ra íz en ] 1, 2 [ .

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438

P. TANIGUCHI

17.

S ó lo h ay u n a ra íz en ]0, 1(.

18.

S ó lo tie n e u n a ra íz p u e s en c a so c o n tra rio e x istiría u n a so lu c ió n re a l d e 3x2 2x + 5 = 0.

19.

1,695621

20.

1,244873

21.

1,13

22.

- 0 ,3 6 6 0 ,0 ,5 ,1 ,3 6 6 0

23.

3,8064

24.

0 ,0 6 2 5 ,3 ,1 5 3 7

25.

0 ,0 1 0 7 ,5 ,9 9 9 5

26.

0,7993, 1,3445

27.

0 ,1 5 8 6 ,3 ,1 4 6 2

28.

1,93446

29.

-4 ,9 9 3 2 , 1,9368

30.

1,7632

31.

0,5671

32.

± 2 ,6 4 6 y ± 1,4142 (n ó te se q u e la e c u a c ió n es b ic u a d ra d a ).

33.

± 0 ,6 3 0 1 , ± 1 ,3 3 8 4

34.

6,7879

35.

0 ,7 384

36.

2,4156

37.

± 1 ,9 9 7

38.

-0 ,2271

39.

1,0497

40.

0,6639

41 .

-1 ,4 9 1 6

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SODUCIONARIO

439

42.

- 1 ,3 7 7 1 ,0 ,6 6 0 0

43.

P o r B o lz a n o se ve q u e la so lu c ió n se e n c u e n tra en el in te rv a lo ]2, 2,5[ y a p li c a n d o N e w to n se o b tie n e x = 2,0889.

44.

D e a c u e r d o c o n la re p re s e n ta c ió n g rá fic a d e y = tg x e y = x, se o b se rv a q u e la m ín im a r a íz p o sitiv a se e n c u e n tra e n tre tt y 3 ir/2 1 . L a so lu c ió n es 4,493.

4 5.

P o r S im p so n sale h — 2 /3 y se o b tie n e I = 114.1728395. U n a c o ta del e r r o r es 1 /2 , es d e c ir, 0,5; lu e g o n o te n e m o s n in g u n a c ifra d ec im a l ex a cta. El v a lo r real es 114.666666...

46.

R e sp u e s ta e x a c ta ;

47.

R e sp u e s ta e x a c ta : 2 * ln 2 - 1 = 0,386241

48.

R e sp u e s ta e x a c ta : 2 /3 •2,63/2 — 2,794916

49.

R e sp u e s ta ex acta: r r /4 - 1 /2 — 0,28539817

50.

0 ,836

51.

0 ,0 86

52.

0,747x

53.

2,435

54.

1,204

55.

0 ,717

56.

0 ,6 1 2

57.

2,2738

58.

1,9101

59.

2 6,727

60.

0,536875 (S im p so n )

61.

9,916667 (S im p so n )

9.

C O M B IN A T O R IA Y P R O B A B IL ID A D E S

1.

V93 = 504

2.

71 = 5040

1

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440

P. TANIGUCHI

3.

= 20

4.

VR¿ = 216

5.

PR

6.

CR< = 20

12

7 . PR*,2,1 = 60

8. 9.

40

= 3838380

ORS = 330

10. 20 ■VR34 = 1620 11. P R ’.3.2 = 1260

12.

( 3 ) = 20

13 . 9 ■VRÍo = 90000 14.

20 • P R £ j = 2402400

15.

C R '1 = 78

16.

a)

12 ■9 = 108; b )

17.

a)

VRj = 729;

18.

a)

1 \

19.

C R f = 28

( \

= 36; b )

m

20. a )

b)

210;

108 | ” j = 5778

I = 84

b)

= 371

j 2 j - n = (n4 - 3 n )/2 ; b )

H e p tá g o n o (n = 7);

n o (n = 5).

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c)

N o;

d)

P e n tá g o -

SOLUCIONARÍO

21 . (

441

1 0 0 /(1 0 0 - 23) - 3900

22 . 2 3.

E n to ta l h a y 4! = 24 n ú m e ro s; c a d a c ifra a p a re c e 2 4 /4 = 6 veces en ca d a p o sic ió n . L u e g o , la su m a es: ( l + 3 + 5 + 7) ■6 ■ 1111 — 106656.

24.

a ) P R 3,z,2 = 210. H a y 210 ■ 3 = 630 u n o s q u e o c u p a n 6 3 0 /7 = 90 veces c a d a u n a d e las p o sic io n e s. C o n re sp e c to a los doses (y trese s) h ay 420 q u e o c u p a n 60 veces c a d a u n a d e las p o sic io n e s. L u e g o la su m a es: 90 - 1111111 + 60 * (2 + 3 ) - 1111111 = 390 - 1111111 = 4 3 3 3 3 3 2 9 0 . b ) L o s p a re s s o n tos q u e a c a b a n en 2. S o n P R * , 2 = 60 y s u m a n 60 * 3 /6 * 1111110 + 60 ■ 1 /6 • 2222220 + 60 • 2 /6 ■ 3333330 + 6 0 - 2 = 1 1 0 - 1111110 + 120 = 122222220. P o r ta n to h a y 210 - 60 = 150 im p a re s q u e s u m a n 433333290 - 122222220 = 311111070.

25.

C a d a c a m in o c o n s ta d e 8 se g m e n to s h o riz o n ta le s (H ) y 8 v e rticales (V ) y p u e d e c o d ific a rse m e d ia n te u n a se c u e n c ia d e o c h o le tra s H y 8 le tra s V. L u e g o , el n ú m e ro d e c a m in o s es P R ^ = 12870. O tra fo rm a d e ra z o n a r el p ro b le m a c o n siste en eleg ir d e los 16 s e g m e n to s q u e h ay q u e re c o rre r, c u á le s s e rá n , p o r ejem -

26.

El q u e só lo p u e d e r e m a r a b a b o r p u e d e o c u p a r su p u e sto de 4 m a n e ra s y los q u e só lo p u e d e n h a c e rlo a e s trib o r, d e = 12 m a n e ra s . L o s 5 re sta n te s p u e d e n o c u p a r lo s 5 p u e s to s s o b ra n te s d e 5! = 120 m a n e ra s. C o m o se tr a t a de p o sib ilid a d e s q u e se p re s e n ta n s im u ltá n e a m e n te en u n a m ism a c o n fig u ra c ió n , los re su lta d o s p arc iale s se m u ltip lic an : 4 ■ 12 * 120 = 5760.

28.

81/8 = 7! = 5040 (el h e c h o d e q u e la m e sa se a r e d o n d a h a c e q u e c a d a c o n fi g u ra c ió n se re p ita 8 veces, re sp e c to del ca so en q u e la m e sa fu era re c ta n g u la r y co n los p u e s to s n u m e ra d o s).

29.

a)

30.

a ) V R 4 ■VR^ = 784 (e x tre m o s X c e n tra le s); o b ien 1 /4 • 1 /7 = 1/28.

P 6 = 6! = 720;

b)

2 /3 0 = 0,0667 b)

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4 • 7 /7 8 4 = 1 /28 = 0,0357,

P. TAN1GUCHI

442

í 1 V 9 1 • í 10 \ u . í 2 V 8 \ . / 10 \ ... ..... l i H 5 J ~ l g l = 0 >6 ; *>) I 2 jl 4 l ~ [ 6 j = “ °>3333,

11 31.

* a)

32.

1 /5 ■ 1 /4 • 1 /3 - 1 / 2 * 1 = 1 /1 2 0 = 0,0083, o b ie n , 1/5! = 1 /1 2 0 .

33.

1 /8 • 3 /7 ■ 1 /6 - 1 /5 — 0,0018.

34.

a)

a m

( J ) = 1 /7 = 0,1429;

i

b)

(43 + 33) / 7 3 = 9 1 /3 4 3 =*

0,2653.

35.

a)

( ^ ) -

( 2° ) = 0,0667;

b)

( \ ) 4- ( ^ ) = 0 ,4667; c )

1 - 0,4667 =

0,5333.

36.

40 1-I ^ : T ™ 1 - 0 ,9 3 8 9 . 3 f '\ 3

37.

21 * | f j - H P R * 3 — 0,1071.

38.

a)

39.

p (M U C ) = p (M ) + p (C ) - p (M O C ) = 0,1 + 0,25 - 0,15 = 0 ,20

4 0.

p(A U B ) = 0,8 y p(A H B ) = 0,5

41.

p (A ' O B ') = 1 - p(A U B ) = 1 - (0 ,6 + 0,45 - 0,20) = 0,15

4 2.

0,65

4 3.

a)

0,4;

4 4.

a)

l - p ( 4 c r u c e s ) = 1 - 1 / 1 6 = 1 5 /1 6 = 0 ,9 3 7 5 ; b )

45.

1 - ( 1 /2 ) 5 = 0,9688; los d o s su c eso s co in cid e n .

46.

1 - (5/6)".

47.

a)

PR1 i2 - H V R |= 1 0/32 = 0,3125;

|

1

b)

b)

0,5 - 0,4 + 0,1 = 0,2; c)

| = 21;

b)

1 0/(32 - 6) = 0 ,3846

0 ,4 -0 ,1 = 0 , 3

1 - 1/21 = 2 0 /2 1 = 0,9524

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( * \+ 1 6 = 3 /8 = 0,375.

SOLUCIONARIO

443

4 8.

a) V R j° = 1024; b ) P R ^ - r V R f = 6 3 /2 5 6 « 0,2 4 6 1 ; c) 1 - ( 1 + 1 0 )/1 0 2 4 = 1 013/1024 « 0,9893.

49.

a ) 1 0 /2 4 • 1 4/23 + 1 4 /2 4 • 1 3/23 = 7 /1 2 = 0,5833; b) 3 5 /1 4 4 « 0 ,2 4 3 1 .

50.

S e a n A = “ llu e v e ” y B = “ h a c e v ie n to ” : a ) p(A Pi B ) = p(A ) + p (B ) p(A U B) - 0,5 + (1 - 0 ,6 2 5 ) - 0,75 = 0,125; b ) p (A ' H E ' ) - ! - p(A U B) = 0,25; c) p (A ' U B*) = 1 - p(A n B ) = 0,875; d ) p(A H B 0 = p(A - B) = p (A ) - p(A H B ) - 0,375.

5 1.

S e a n A = “ m u je r ” y B - " tie n e c a b e llo r u b io ” . E n to n c e s, p (A ) = 0,6, p (B ) 0 ,3 y p(A n B ) = 0,1. a ) p (A U B ) = p{A) + p (B ) - p(A O B ) = 0,8; b) p(A n B ) = p(A ) - p(A O B) = 0,5; c) p ( B n A ' ) = 0,2; d) p (B /A ) = p ( B D A ) / p ( A ) « 0 ,1 6 6 7 ; e) p ( A / B ) « 0 ,3 3 3 3 ; f ) p ( B '/A ') = p ( B ' H A ')/p { A 0 ~ [1 ” p (B U A )] -i- [1 - p (A )] = 0,5.

52.

S e a n A = “ su s p e n d e r la físic a ” y B = “ su s p e n d e r las m a te m á tic a s ” . E n to n c e s, p (A ) = 0,25, p (B ) = 0,15 y p(A H B ) = 0,1. a ) p(A U B ) = 0,3; b ) p(A a B ) = p ( A U B ) - p ( A n B ) = 0 ,2 ;c) p ( A 'H B ') = 1 - p ( A U B ) = 0,7; d ) p (B n A ') = p (B ) - p(A D B ) = 0,5; e) p ( B /A ) = p (B O A )/p (A ) = 0 ,4 ; f ) p (A V B ') = p (A ' D B ') /p ( B 0 = 0 ,7 /0 ,8 5 = 0,8235; g) p ( A '/B ) = p (A ' O B ) /p ( B ) = 0 ,0 5 /0 ,1 5 « 0,3333.

53.

a ) p ( A ) = 1 2 0 /1 1 4 0 « 0 ,1 0 5 3 , p (B ) = 4 5 5 /1 1 4 0 = 0,3991, p ( C ) = 1 0 /1 1 4 0 = 0 ,0088; b ) 0 y 0,5921.

54.

S e a n Aj = “ a c ie rta p rim e ra v ez” , a n á lo g a m e n te p a r a A2 y A3. E n to n c e s p (A ,) = P (A 2) = p (A 3) = 0 , 9 y p ( A ; ) = p(A J) = p (A Í) = 0 , l . a ) p(A , Pl A2 f l A 3) = 0 ,9 = 0 ,7 2 9 ; b ) p(A{ U A J U A j) = 0 ,1 3 = 0,001 (“ f a lla r las 3 v ec es” n o es el c o n tra rio d e “ a c e r ta r las tres veces” ); c) 1 - 0 ,729 = 0,271 (el c o n tra rio de “ a c e r ta r las 3 veces” sí es “ fa lla r p o r lo m e n o s u n a v ez” ); d) p(A , O A2 Pi A j) = 0 ,9 • 0 ,9 • 0,1 = 0,081; e) 3 • 0,081 = 0,243 (n o es lo m is m o “ a c e rta r d o s veces y fa lla r u n a ” q u e “ a c e r ta r las d o s p rim e ra s veces y fa lla r la te rc e r a ” ; a d e m á s h a y o tro s ca so s: “ a c e r ta r la p rim e ra vez, fa lla r la se g u n d a y a c e r ta r la te rc e r a ” y “ f a lla r la p rim e ra vez y a c e r ta r las d o s ú ltim a s ” ; los tre s c a so s tie n e n la m ism a p r o b a b ilid a d y so n d o s a d o s d isju n to s; f ) p (“ a c e rta r d o s veces p o r lo m e n o s” ) = p ( “ a c e r ta r d o s veces y fa lla r u n a ” ) + p ( “ a c e rta r las 3 v ec es” ) = 0 ,243 + 0 ,729 = 0,972; g) 0,972 (“ a c e r ta r d o s veces p o r lo m e n o s ” = “ f a lla r a lo su m o u n a vez” ). (E s te p r o b le m a p u e d e reso lv erse c o n a y u d a de u n á rb o l.)

55.

1 - 0 ,8 3 = 0,488

56.

0 ,9 5 + 5 - 0 ,9 4 ♦ 0,1 « 0 ,9 1 8 5

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1 4 /2 4 • 1 0/24 =

P. TANIGUCHI

444

57.

a ) 1/81 — 0,0123; b ) 3 /8 1 = 0,0370; c) 1 6 / 8 1 = 0 , 1 9 7 5 ; 0,0494; e) 8 /8 1 = 0 ,0 9 8 8 ; f ) 2 4/81 = 0,2963

58.

4 /1 5 • 5 /1 8 + 6 /1 5 -7 /1 8 + 5 /1 5 * 6 /1 8 = 4 6 /1 3 5 = 0,3407

59.

4 /6 ■4 /8 + 2 / 6 - 3 / 8 = 1 1 /2 4 = 0,4583

60.

a)

(5 + 12)/(100 + 200) = 0,0567;

d)

4 /8 1 =

b) (0,05 ■ l/3 ) /0 ,0 5 6 7 = 0,294

61.

a ) ( 3 /8 ) 2 + ( 5 /8 ) 2 = 3 4 /6 4 = 0,5313; 0,4643

b)

3 /8 • 2 /7 + 5 /8 • 4 /7 = 1 3 /2 8 =

62.

a) = 15120; b) (VjV? + 3V ?V })/V | = 1 /6 = 0,1667 o 2 /9 • 1 /8 + 2 /9 • 1 /8 + 2 /9 • 1 /8 = 1 /6

63.

1 8 0 /3 6 0 ■1 3 5 /3 6 0 « 2 7 0 /3 6 0 + 1 8 0 /3 6 0 ■2 2 5 /3 6 0 • 9 0 /3 6 0 + 1 8 0 /3 6 0 • 1 3 5 /3 6 0 • 9 0 /3 6 0 = 1 7 /6 4 = 0,2656

64.

S ean A = “ se r a d m ir a d o r d e J .E . B u tra g u e ñ o ” , B = “ se r a d m ir a d o r d e S. B a lle s te ro s ” y C = “ se r a d m ir a d o r d e J . Ig lesias” ; p(A P lB ) = p (A ) - p (B ) = 1 /1 2 ( p o r se r su c eso s in d e p e n d ie n te s ), p(A Pi C ) = p (A ) • p (C ) = 1 /1 5 y p (B O C ) = p (B ) • p (C ) = 1 /2 0 . R e so lv ie n d o el sis te m a d e e c u a c io n e s, se o b tie n e p (A ) = 1 /3 = 0,3333, p (B ) = 1 /4 = 0,25 y p (C ) = 1 /5 = 0,2.

65.

S e a n 1 = “ h a b la r in g lés” y F = “ h a b la r fra n c é s” . E n to n c e s I U F tie n e 100 ele m e n to s , I 80 y F 40; lu e g o , I U F tie n e 80 + 40 - 100 = 20 e le m e n to s . P o r ta n to , h a y 80 - 20 = 60 q u e só lo h a b la n inglés (I H F ') y 40 - 20 = 20 q u e só lo h a b la n fra n cé s ( F U I*). L a p ro b a b ilid a d p e d id a es: (60

bien

■20) -r-

3 /9 • 2 /8 +

1^ j=

0,2424.

6 6.

1 - 2 ■ 8 ■|

6 7.

| * )■ 1 2 1 * j

68.

a)

1+ 2 • í ^

b)

2 • i j J/4 6 = 1 5/23 = 0,6522.

a)

2

69.

^

|

) = 7 / 9 = 0,7778.

52 ) = 0,0001108

^ | = 46 (d o s p a re ja s + 1 p a re ja + 0 p a re ja s),

• VR 53 VR | 0 = 2.000.000;

b)

2 • 106/2 5 6 = 0,0082;

(P R 3.3 VR 5 VR230) = 0 , 1 .

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c) 2 • 106 - r

SOLUCIONARIO

445

îHï

70.

1 -2

71.

a ) L o s c h ic o s se p u e d e n c o lo c a r en círc u lo de 4 1 /4 = 6 m a n e ra s y las ch icas p u e d e n o c u p a r los 4 p u e s to s de 4! = 24 m a n e ra s. L u eg o h a y 6 • 24 = 144 p o sib ilid a d e s. b) 2 /4 = 0,5.

72.

a)

73.

a)

1 - 5 2 /2 1 0 — 0,7524.

L os chicos y ch icas del círc u lo d e 6 se p u ed e n eleg ir de I i? r ( ^ I = 3136 . 3 / 1 3 m a n e ra s; los re s ta n te s f o rm a rá n el círc u lo d e 10. L a d istrib u c ió n en el círc u lo d e 6 se p u e d e re a liz a r d e 2! ■31 = 12 m a n e ra s y en el c írc u lo de 10 d e 4! • 5! = 2880 m a n e ra s . L u eg o , se p re s e n ta n 3136 ■ 12 • 2880 = 108.380.160 p o sib ilid a d es. b ) 3 /8 • 5 /8 + 5 /8 • 3 /8 = 1 5 /3 2 =* 0,46875. 14 • 6! -r 8! = 1 /4 = 0,2 5 ,

b)

2 • 6! -b 7! = 2 /7 = 0,2857.

74 . T ó rn e se D = B U C y a p liq ú e s e la p r o p ie d a d 3-6; b )

S e a n A = “ m ú ltip lo de 2 ” , B = “ m ú ltip lo de 3” y C = “ m ú ltip lo d e 5“ . E n to n c e s p (A ) = 1 /2 , p (B ) = 1 /3 , p (C ) = 1 /5 , p (A Pl B ) = 1 /6 , p (A H C ) = 1 /1 0 , p (B Pl C ) = 1 /1 5 y p(A H B Ó C ) = 1 /3 0 . L a p r o b a b ilid a d p e d id a es p(A U B U C ) q u e se c a lc u la a p lic a n d o la fó rm u la del a p a r ta d o a n te rio r: 2 2 /3 0 — 0,7333.

75.

E n r e a lid a d la p r e g u n ta d e b e ría ser: “ Se elige u n o d e los d o s a lu m n o s al a z a r y re su lta q u e a p r o b ó . ¿ C u á l es la p ro b a b ilid a d de q u e sea B las?” H á g a se u n á r b o l y a p liq ú e s e el te o re m a d e B ayes ( 1 /2 • 1 6 /2 0 ) -5- ( 1 / 2 • 1 6 /2 0 + 1 /2 • 6 /2 0 ) ~ 0,7273.

76 . a)

8 0 /1 5 6 ~ 0,5128, 2 0 /1 5 6 - 0,1282 y 5 6 /1 5 6 « 0,3590; b) (8 0 /1 5 6 ) -b (1 - 2 0 /1 5 6 ) ~ 0,5882, 0 y (5 6 /1 5 6 ) *b (1 3 6 /1 5 6 ) = 0,4118; c) 4 8 0 /1 7 1 6 = 0 ,2 7 9 7 , 6 0 /1 7 1 6 — 0,0350 y 1176 /1 7 1 6 a» 0,6853; ( 4 8 0 /1 7 1 6 ) -b (1 - 6 0 /1 7 1 6 ) = 0,2899, 0 y 1 - 0,2899 - 0,7101.

77 . S e a n A = “ el re s u lta d o es p o s itiv o ” y C = “ tie n e c á n c e r ” , p ( C /A ) = 0,95 ■0 ,0 1 /(0 ,9 5 • 0,01 + 0,05 • 0,99) - 0,1610.

78 . 2 /5 • 1 /4 • 5 /1 0 + 2 /5 * 3 /4 • 4 /1 0 + 3 /5 • 2 / 4 • 4 /1 0 + 3 /5 ■ 2 /4 + 3 /1 0 = 1 9 /5 0 = 0,38.

79 .

1 /3 ■ 1 /2 • 2 /3 + 1 /3 ■ 1 /2 • 2 /4 + 2 /3 = 3 1 /3 6 =* 0,8611.

81. , ^ V ° + f « A . f 3 1 1 3 3 81.

+ ( 10' 2i

,, . ,

m

299L

n

a) S ea n el n ú m e ro d e b o la s b la n c a s en la p rim e ra u rn a . E n to n c e s p ( “ salv a r s e ” ) = n /5 0 * 1 /2 + (50 - n ) /5 0 • 1 /2 = 0 ,5 ; b ) C o lo c ó u n a b o la b la n c a

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P. TAN1GUCHI

446

en u n a d e las u r n a s y la s 99 r e s ta n te s en la o tr a ; p ( “ s a lv a rs e ’*) = 1 ■ 1 /2 + 4 9 /9 9 • 1 /2 = 0,7475. 82.

S ó lo si lle g an e n tre lo s 15 m in u to s q u e tr a n s c u r re n e n tre la lle g a d a d el a u t o b ú s q u e va al cine y la del q u e va al te a tr o , irá n al te a tr o , m ie n tra s q u e si lle g a n e n tre los 45 m in u to s q u e tr a n s c u r re n e n tre la lle g a d a d el a u to b ú s q u e va a l te a tr o y la del q u e va a l c in e , ir á n a l cine. L u e g o , la p ro b a b ilid a d d e q u e v a y a n al te a tr o es 1 5 /6 0 = 0,25 y la p r o b a b ilid a d d e q u e v a y a n a l cin e es 4 5 /6 0 = 0,75.

83.

a)

| ^ | *

+ | 2 j '

6 1 ” 1560. (E n el p rim e r c a so , eleg im o s al

q u e le v a n a to c a r 3 ju g u e te s y lu e g o re p a rtim o s los ju g u e te s ; c a d a re p a rtic ió n es u n a se c u e n c ia o rd e n a d a de los n o m b re s , c o n u n o re p e tid o 3 veces. E n el se g u n d o se elig en lo s d o s a lo s q u e les v a n a to c a r 2 ju g u e te s y lu e g o se r e p a r te n .) b ) L o s c a so s fa v o ra b le s s o n ésto s: (1) J u a n y P ep e re c ib e n 2 ju g u e te s y los d e m á s u n o : 4!; (2) J u a n y P ep e rec ib en u n ju g u e te y lo s d e m á s d o s: P R ^ ; (3 ) S ó lo u n o d e lo s d o s re c ib e d o s ju g u e te s : lo s d o s rec ib e 3 ju g u e te s

j ^j * j ^]• P R ^ ,; (4 ) U n o d e

j ^j • P R Í ^ i; (5 ) U n o d e lo s o tr o s re c ib e 3 ju g u e te s:

| ^ j p R l i - L a p ro b a b ilid a d p e d id a es: 1 1 0 /1 5 6 0 — 0,0705.

84.

P a r a f ija r id e a s , s u p o n g a m o s q u e el p r im e r o lle g a a la 5 e n p u n to . E n to n c e s, la p r o b a b il id a d d e q u e se e n c u e n tr e n es e l c o c ie n te d e l á r e a d e l c u a d r a d o s o m b r e a d o e n la f ig u r a d e la iz q u ie r d a d iv id id a p o r el á r e a d e l c u a d r a d o m a y o r (s u c e s o t o ta l) . S i el p r im e r o lle g a a la s 5 :3 0 , lo s s u c e s o s e s tá n r e p r e s e n ta d o s e n la f ig u r a c e n tr a l. L a f ig u r a d e la d e r e c h a c o r r e s p o n d e a 1 c a s o e n q u e lle g a a la s 5:55.

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SOLUCIONARIO

447

C o m o e l p r im e r o p u e d e lle g a r e n c u a lq u ie r in s ta n te ^ é n tr e la s 5 y la s 6 , el s u c e s o “ se e n c u e n t r a n ” lo r e p r e s e n ta la f ig u r a q u e s e o b tie n e al d e s liz a r el c u a d r a d o s o m b r e a d o p o r la d ia g o n a l, d e u n e x tre m o a o tr o :

L a p r o b a b i l i d a d p e d id a es el c o c ie n te d e l á r e a s o m b r e a d a p o r el á r e a t o ta l: (3 6 0 0 - 55 • 5 5 ) /3 6 0 0 = 0 ,1 5 9 7 . 85.

P o d e m o s c o n s id e r a r , s in p é r d id a d e la g e n e r a lid a d , q u e el s e g m e n to es [0 , 1]. S e a n x , y lo s p u n to s d e d iv is ió n , c o n x < y.

0 x y l (----------------- 1-------------------- ¡-------------------f

E n to n c e s, el su c eso to ta l viene re p re s e n ta d o p o r el triá n g u lo s o m b re a d o d e la fig u ra d e la iz q u ie rd a . E n to d o tr iá n g u lo , c a d a la d o d eb e se r m e n o r q u e la s u m a d e los o tr o s d o s , lo c u a l eq u iv a le a q u e sea m e n o r q u e el se m ip e rím e tro del triá n g u lo (se c o m p ru e b a fác ilm en te).

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P. TANIGUCHI

L u eg o , los tre s lacfos: x, y - x y 1 - y d e b e n se r m e n o re s q u e 0,5 (se m ¡p e rím e tro ) x < 0 ,5 y - x < 0,5

y < x + 0,5

1 - y < 0,5

y > 0,5

E l su c eso “ x, y - x y 1 - x f o rm a n tr iá n g u lo ” e s tá r e p re s e n ta d o p o r el tr iá n g u lo s o m b r e a d o de la fig u ra de la d e re c h a . L a p ro b a b ilid a d p e d id a se c a lc u la d i v id ie n d o el á re a del su c eso en c u e stió n e n tre la d el su c eso to ta l: 1 /4 — 0,25.

-S v

1340

7573W

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TABLA DE LIMITES

S U C E S I O N E S

lim (a,,)13"

a/b si b ^O 1 si b = 0

si a > 0 ’ si a 'tO

Km bn

lim (an + bn)

lim (an - bn)

lï’m fan ■bq)

a

b

a+b

a —b

a -b

a

+00

+00

—0 0

+°° si a > 0 * si a~ D si a < 0

0

a

-OQ,

~co

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si a > 0 si a —0 + <*> si a < 0

0

b

+00

-foo

-H» si b > 0 ? si b = 0 si b < 0

+°° si b .’> 0 ? si b = 0 si b < 0

4 -00

-K*>

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+o°

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+00

+00

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+01’ si a > 1 ? si a = 1 () si Ö<*a < ) 1 si a < ■"0 0 si a ” >l ’ si a = l ■f» Si 0 < a < l Tsi a < 0

+°° si b > 0 ’ si b = 0 0 si b < 0

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