Con 1

Electromagnetismo

Tema 1: Electrostática

Conferencia 1: Ley de Coulomb Sumario: §1. Introducción. §2. Carga eléctrica. Propiedades. §3. Fuerza eléctrica. Ley de Coulomb. §4. Campo eléctrico. Distribuciones de carga. §5. Conclusiones.

Objetivos: –

Introducir los conceptos de carga eléctrica, interacción electrostática y campo eléctrico.

–

Presentar diferentes distribuciones de carga y el campo asociado a ellas.

Bibliografía: –

Electricity and Magnetism. Edward M. Purcell. McGraw-Hill

–

Lectures on Physics. Richard P. Feynman. Addison-Wesley

–

Electricidad y magnetismo. A. N. Matveev. Mir

–

Física. Robert Resnick and David Halliday. Edición Revolucionaria

–

Electromagnetismo. Andrés Martell y Luis Fuentes.

–

Foundations of Electromagnetic Theory. John R. Reitz and Frederick J. Milford. Addison-Wesley

–

Classical Electrodynamics. J. D. Jackson. Edición Revolucionaria

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Germán A. Rojas-Lorenzo

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Tema 1: Electrostática

§1. Introducción. Las observaciones más antiguas registradas por el hombre, sobre los fenómenos eléctricos y magnéticos fueron realizadas por los antiguos griegos. Estos fenómenos no han dejado de asombrar a los hombres y mujeres a lo largo de la historia de la humanidad. Para citar solo algunos ejemplos podemos mencionar el relámpago y el trueno, la orientación con la brújula, la levitación magnética y las ondas electromagnéticas, entre otros. Ligados a ellos aparecen registrados muchos nombres de científicos curiosos, obstinados y persistentes, amantes de los misterios de la naturaleza, que han dado lo mejor de sus vidas para estudiarlos y explicarlos. Entre estos figuran hombres de renombre como Benjamin Franklin, Henry Cavendish, Charles Augustin Coulomb, Pierre-Simon Laplace, André-Marie Amperè, Hans Christian Oersted, Georg Ohm, Michael Faraday, Joseph Henry, Hermann von Helmholtz y James Clerk Maxwell entre muchos otros. A lo largo de este curso estudiaremos las principales leyes que describen los fenómenos eléctricos y magnéticos. Las mismas fueron formuladas a partir de la observación, registro y caracterización de dichos fenómenos. Para ello la asignatura está estructurada en 8 temas que se presentarán en 19 conferencias. Los contenidos se ejercitarán en 20 clases prácticas. Para desarrollar habilidades en la búsqueda de información y en el estudio en idioma inglés se realizarán 7 actividades de seminario donde los estudiantes expondrán los aspectos fundamentales de diferentes temas de interés como son: el funcionamiento del electrocardiograma, el fenómeno del rayo eléctrico, el campo magnético de la tierra, la superconductividad y otros. Durante el curso se realizarán dos actividades evaluativas en forma de pruebas parciales y al finalizar el curso se realizará un examen escrito y oral, como ya es costumbre desde hace más de 20 años. En total el estudiante recibirá 96 horas directas de docencia de esta asignatura. Las habilidades y conocimientos adquiridos en la misma se complementan con los que recibirá el estudiante en este mismo semestre en la asignatura de Laboratorio de Electromagnetismo. Hoy comenzamos el primer tema del curso: Electrostática. La electrostática comprende el conjunto de fenómenos que tienen lugar en sistemas compuestos por cargas eléctricas en reposo. Las mismas pueden estar formando arreglos discretos, continuos o en una combinación de ambos. En esta conferencia presentaremos el concepto de carga eléctrica, sus propiedades y una descripción de las interacciones que tienen lugar entre ellas. En la misma definiremos fuerza eléctrica y campo eléctrico, realizaremos una comparación cuantitativa con la fuerza de atracción gravitacional y mostraremos algunas aplicaciones tecnológicas.

§2. Carga eléctrica. Propiedades. La carga eléctrica es una propiedad de determinadas partículas elementales en virtud de la cual se establecen las interacciones eléctricas. Esta propiedad no se “observa” y las partículas elementales que la poseen tienen masa distinta de cero. Sabemos que existe por medio de las fuerzas de interacción que experimentan los cuerpos y partículas que la poseen. La magnitud que cuantifica esta propiedad es la carga eléctrica C y la unidad de la misma en el sistema MKS es el Coulomb y se denota con la letra “c”. Una definición rigurosa del Coulomb, en el sistema MKS involucra otro fenómeno que estudiaremos más adelante y es el de la corriente eléctrica. Haga una discusión de la definición y la unidad de la carga eléctrica para otros sistemas de unidades.

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Esta magnitud posee tres propiedades importantes: –

Conservación de la carga. En un sistema físico cerrado, independientemente de los procesos que tengan lugar en él, la carga del sistema permanece constante en el tiempo. La carga no se crea ni se destruye. Ejemplo 1: La energía mec2 asociada a la masa en reposo de un electrón, así como la de su antipartícula el positrón, es de 511 KeV. Cuando un rayo  tiene una energía ħ superior a 2 mec2, bajo la acción de un campo externo (el campo eléctrico de un átomo), se manifiesta el fenómeno de formación de pares, dando lugar a la creación de un electrón y un positrón. El positrón tiene la misma masa que el electrón y tiene la misma carga, pero con signo contrario. La masa de la radiación electromagnética, así como su carga son nulas. Después de la formación de pares la carga continúa siendo nula, pero la masa es 2 me. La carga se conserva en este ejemplo, pero la masa no. Ejemplo 2: Cuando un electrón y su antipartícula, el positrón, interactúan se manifiesta el fenómeno de aniquilación electrón-positrón dando lugar a la creación de dos rayos de energía 511 KeV cada uno, que se propagan en la misma dirección pero con sentidos opuestos para conservar el momento lineal. Una vez más la carga se conserva en este ejemplo, pero la masa no. Ejemplo 3: Bajo determinadas condiciones, al incidir un neutrón lento sobre un núcleo pesado ocurre el fenómeno de la fisión nuclear. En este proceso el núcleo pesado se desintegra dando lugar a la formación de núcleos más ligeros con la liberación de radiación ,  y  y la emisión de neutrones rápidos. La carga inicial del núcleo pesado antes de la fisión es igual a la suma de las cargas de los núcleos ligeros que se forman después de la fisión nuclear, más la carga correspondiente a las radiaciones emitidas. Antes y después de la fisión nuclear se conserva la carga del sistema.

–

Cuantificación de la carga: La carga eléctrica de un sistema está compuesta por un número entero de veces la carga elemental. El valor de la carga elemental es la de la carga del electrón con signo positivo y en el sistema MKS toma el valor de e = 1,60 x 10-19 c. El carácter discreto de la carga eléctrica fue enunciado de forma explícita por Benjamin Franklin en el año 1752, pero sin fundamento experimental. Los primeros resultados experimentales que validan este hecho los realizó Michael Faraday en el año 1834 y se sustentaron en sus estudios sobre la electrólisis y las leyes formuladas por él al respecto. Sin embargo, la medición directa del carácter discreto de la carga fue realizado por R. A. Millikan en sus experimentos en el año 1909. Es común asignarle a la carga eléctrica valores continuos, cuestión que se justifica por el pequeño valor del cuanto de carga e.

Estudie los experimentos de Robert Andrew Millikan y describa los principales resultados obtenidos. –

Invarianza relativista. El valor de la carga de un sistema físico no depende del sistema de referencia desde el cual se mida. La carga es invariante relativista. Hasta donde se conoce, por el autor, no hay evidencia experimental que contradiga esta propiedad. Ejemplo 1: En el fenómeno de formación de pares tenemos una onda electromagnética ( rayo ) que se propaga a la velocidad de la luz en los medios y que tiene una carga nula. Una vez que se crean el

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electrón y el positrón las velocidades de los constituyentes del sistema son mucho menores que la velocidad de la luz y la carga del sistema sigue siendo nula. La masa no es invariante relativista. Ejemplo 2: En el fenómeno de aniquilación electrón-positrón también se manifiesta la invarianza relativista de la carga. La carga eléctrica tiene otras propiedades como el signo y el tipo de interacción (atractiva o repulsiva) que se establece entre partículas y/o cuerpos cargados. Resumen: Unidad de la carga eléctrica en el sistema MKS: Coulomb Propiedades de la carga eléctrica: Conservación, cuantificación e invarianza relativista

§3. Fuerza eléctrica. Ley de Coulomb. La interacción entre dos cuerpos cargados no cumple con la ley de gravitación universal. Este tipo de interacción es varios órdenes de magnitud superior a la interacción gravitatoria. Han sido determinados dos signos para la carga, positivo y negativo. Las interacciones entre partículas con cargas de un mismo signo son repulsivas y cuando los signos son diferentes son atractivas.

El físico, matemático e ingeniero militar francés Charles Augustin Coulomb en el año 1785 dedujo la ley que describe las interacciones que se establecen entre dos cuerpos cargados. Para ello se apoyó en una balanza de torsión con sus características bien conocidas, y con un cuerpo cargado en uno de sus extremos. Acercando otro cuerpo cargado fue capaz de deducir la ley que describe las interacciones eléctricas midiendo la desviación que experimentaba la balanza. De sus observaciones se confirma que los cuerpos cargados con igual signo de la carga experimentan una repulsión, mientras que las fuerzas eléctricas atractivas solo tienen lugar cuando los cuerpos que interactúan tiene cargas de diferentes signos. En otro orden dedujo que la intensidad de la fuerza es proporcional a valor de las cargas de los cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.

F~

Charles Augustin Coulomb (1736-1806)

q ⋅q 1 ; F ~ q1⋅q 2 ⇒ F ~ 1 2 2 , 2 r r

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F=k

q1⋅q 2 r2

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,

(2)

donde k es una constante de proporcionalidad cuyo valor es aproximadamente 9,0 x 109 N m2/c2. Esta constante se puede expresar en función de otras constantes como: k=

1 ; ε 0 = 8,854 x 10−12 m2 / N m2 , 4 π ε0

(3)

donde ε0 es la permitividad eléctrica del vacío. La permitividad eléctrica será objeto de análisis en posteriores conferencias del curso y por ahora es suficiente destacar que es una magnitud que caracteriza al “medio” desde el punto de vista de su respuesta ante la la interacción con distribuciones de cargas o la acción de ondas electromagnéticas. Volviendo a los objetivos de la conferencia, la magnitud de interés es la carga. Si a un cuerpo cargado le despreciamos sus dimensiones y estructura, y solo nos interesamos en su carga neta, resultado de la suma de las cargas de todas las partículas positivas y negativas que lo integran, construimos un modelo sencillo para estudiar las interacciones eléctricas. Este modelo se conoce como el de la carga puntual. Un modelo similar fue presentado en el curso de mecánica para el punto material, donde la magnitud de interés es la masa. La fuerza eléctrica es una magnitud vectorial por lo que la ecuación (2) la expresamos como: ⃗ F 12 = k

q 1⋅q 2 r

3 21

⃗r 21 = k

q 1⋅q 2 r

2 21

r̂ 21 ; ̂r 21 =

⃗r 21 ; ⃗r 21 = r⃗1 − r⃗2 , r 21

(4)

para representar la fuerza que la carga puntual 2 ejerce sobre la carga puntual 1. Si queremos representar la fuerza que la carga puntual 1 ejerce sobre la carga puntual 2, obtenemos: ⃗ F 21 = k

q 1⋅q 2 r

3 12

⃗r 12 = k

q 1⋅q 2 r

2 12

r̂ 12 ; ̂r 12 =

⃗r 12 ; ⃗r 12 = r⃗2 − r⃗1 . r 12

(5)

Las ecuaciones (4 y 5) describen el contenido de la Ley de Coulomb. Veamos a continuación si la fuerza eléctrica descrita por esta ley cumple con la tercera ley de Newton. Con la ayuda de la figura 1, donde representamos los elementos que aparecen en las ecuaciones 4 y 5, y con las igualdades: r 12 = r 21 ; ⃗r 12 = −⃗r 21 ,

(6)

podemos notar que las fuerzas son iguales en magnitud, están en la misma dirección, tienen sentidos opuestos, actúan sobre cuerpos diferentes y están orientadas sobre la misma linea.

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Figura 1: Representación de la fuerza que ejerce a) la carga puntual 1 sobre la carga puntual 2, b) la carga puntual 2 sobre la carga puntual 1. En c) se muestran ambas fuerzas. En conclusión, cumplen con la tercera Ley de Newton o Ley de la acción y la reacción. Es decir, ⃗ 21 , F12 = F 21 ; ⃗ F 12 = − F

(7)

La fuerza eléctrica que se establece entre dos cargas puntuales, en presencia de otras cargas puntuales, también cumple con la ley de independencia de la fuerza. Experimentalmente se ha demostrado que la presencia de una tercera carga puntual no modifica la fuerza de interacción que se establece entre dos cargas puntuales. Esta característica nos permite aplicar el principio de superposición para determinar la fuerza resultante que una distribución de cargas ejerce sobre una carga puntual. Esta fuerza resultante se calcula como la suma de las fuerzas que cada carga puntual ejerce sobre la carga de interés. Es importante señalar que la suma es vectorial y se expresa según la relación: ⃗ Fi =

∑ F⃗ ij j

⃗ ij = k ; F

qi⋅q j r 3ji

⃗r

ji

; ⃗r

ji

=⃗ r i − r⃗j ,

(8)

Los diferentes elementos que participan en la ecuación (8) pueden ser vistos en la figura 2.

Figura 2: Representación de la fuerza que ejerce la carga puntual qj sobre la carga puntual qi en una distribución discreta de cargas puntuales.

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Resaltemos la última idea expuesta. Para una distribución discreta de cargas la fuerza resultante, que todas las cargas ejercen sobre una de ellas, se calcula a través del aporte individual de cada interacción en una superposición. A su vez, la superposición se calcula a partir de una suma vectorial de todos los aportes. Veamos ahora algunos aspectos relacionados con la fuerza eléctrica. Este tipo de fuerza es más fuerte que las fuerzas gravitacionales, pero menos fuerte que las fuerzas nucleares. Richard Feynman en sus cursos de Física discute el caso hipotético de que a dos personas, separadas la distancia correspondiente a cada uno de ellos con sus brazos extendidos, se les remueve el 1 % de los electrones de su cuerpo. En estas condiciones la fuerza de interacción que se establece es capaz de levantar el planeta Tierra, si esto fuese posible. Otros autores discuten la fortaleza de las fuerzas eléctricas al compararlas con las fuerzas gravitacionales presentes entre dos protones separados 1,0 m. Calcule la fuerza de interacción eléctrica que se establece entre dos protones separados a la distancia de 1,0 m y compárela con la fuerza de interacción gravitacional entre ellos. El análisis de la expresión (4) nos permite ver la semejanza de la ley que describe las fuerzas de interacción eléctrica con la ley que describe las fuerzas de interacción gravitacionales, ⃗ F 12 = G

m1⋅m2 r 321

⃗r 21 = G

m 1⋅m 2 r 221

r̂ 21 ; r̂ 21 =

⃗r 21 ; ⃗r 21 = r⃗1 − r⃗2 , r 21

(9)

siendo G una constante universal de valor 6,67 x 10-11 N m2/Kg2 en el sistema MKS. Las principales diferencias están en la fortaleza (constantes de proporcionalidad con 20 órdenes de magnitud de diferencia) y en el hecho de que las fuerzas gravitacionales son siempre atractivas. Resumen: La fuerza de interacción entre dos cargas puntuales es proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional a la distancia que las separa al cuadrado. La fuerza eléctrica es una magnitud vectorial y cumple con la ley de independencia de las fuerzas. La fuerza eléctrica es más fuerte que las fuerzas gravitacionales y menos fuerte que las nucleares.

§4. Campo eléctrico. Distribuciones de cargas. Hasta ahora sabemos que las cargas son las responsables de que se establezcan las interacciones eléctricas, conocemos la ley que describe a dichas interacciones y las propiedades de las fuerzas eléctricas, pero desconocemos aún cómo se transmiten dichas interacciones. Existen dos grandes concepciones respecto a esta interrogante. Una de las suposiciones es que las interacciones son instantáneas y la misma se conoce como Teoría de acción a distancia. La otra teoría es la del campo Conferencia 1: Ley de Coulomb

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eléctrico, ente material que existe independientemente de la conciencia del hombre, el cual se comporta como mensajero de la interacción. Para ilustrar mejor estas dos concepciones analicemos el siguiente experimento. Tenemos una carga q1 separada 1,0 Km de otra carga puntual q2, y conocemos (medimos) la fuerza que q1 ejerce sobre q2. Movemos q1 un infinitesimal de longitud en la dirección que contiene a ambas cargas y medimos el tiempo que demora q2 en responder a este cambio. Según la Teoría de acción a distancia ese tiempo es nulo. La carga q2 se movería instantáneamente en respuesta a la variación de la longitud que la separa de q1. Por otra parte, según la Teoría del campo, ese intervalo de tiempo es diferente de cero, pues la interacción se propaga por el campo a una velocidad dada. Las mediciones experimentales de esta sencilla situación física permite determinar que es distinto de cero el intervalo de tiempo que transcurre entre que movemos la carga puntual q1 y que la carga puntual q2 responde a esta variación. También se puede determinar de este experimento que la velocidad de propagación de las interacciones eléctricas es igual a la velocidad de la luz. Otra suposición coloca al campo eléctrico dentro de un marco meramente matemático. En este caso el campo eléctrico es un artilugio matemático que nos permite resolver los problemas eléctricos. En nuestro curso, y sobre la base de la evidencia empírica, adoptamos una posición materialista en la cual el campo eléctrico es un ente material que existe independientemente de la conciencia del hombre. Las propiedades del campo eléctrico se cuantifican a través de la magnitud vectorial ⃗ E , intensidad del campo eléctrico. Para conocer el campo eléctrico de una distribución de cargas en un punto del espacio se aplican los conocimientos que tenemos sobre la fuerza eléctrica a través de la definición: ⃗ F (⃗r ) ⃗ E (⃗r ) = lim , q0 q →0

(10)

0

donde  F es la fuerza que una distribución de cargas ejerce sobre la carga de prueba q 0 colocada en la posición que determina el vector ⃗r . La carga de prueba es una carga puntual de signo positivo y con un valor modular muy pequeño, para que su acción sobre la distribución de cargas, a la cuál le queremos determinar el campo eléctrico, sea despreciable y no modifique las posiciones de la cargas puntuales que la componen. La definición que recoge la ecuación (10) es contradictoria con la propiedad de cuantificación de la carga eléctrica, pues el menor valor que puede tener una partícula cargada es el del cuanto de carga e. Sin embargo, matemáticamente la ecuación (10) nos ilustra bien la necesidad de que la carga de prueba sea suficientemente pequeña. A partir de la ecuación (10), para conocer el campo eléctrico de una distribución de cargas en un punto del espacio, solo es necesario colocar en dicho punto una carga de prueba y determinar la fuerza resultante que la distribución de cargas ejerce sobre q 0 . La dirección y sentido del campo son la dirección y sentido de la fuerza. Este campo mantiene las propiedades estudiadas para la fuerza eléctrica y cumple con el principio de superposición. Sus unidades son las de fuerza sobre carga N/c. Conferencia 1: Ley de Coulomb

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Calculemos ahora el campo eléctrico para una carga puntual. Comencemos por la fuerza que la carga puntual q ejerce sobre la carga de prueba en el punto donde queremos determinar el campo. Para entender las magnitudes que aparecen en estas relaciones nos podemos auxiliar de la figura 3 a). ⃗ F (⃗r ) = k

q0⋅q ∣⃗r −r⃗q∣ 3

(⃗r −r⃗q ) .

(11)

Al aplicar la relación (10) obtenemos, ⃗ E (⃗r ) = k

q ∣⃗r −⃗ r q∣ 3

(⃗r −⃗ rq ) .

(12)

Si colocamos el origen de coordenadas en la carga q, figura 3 b), entonces r⃗q es nulo y las ecuaciones (11) y (12 ) se pueden escribir como, ⃗ F (⃗r ) = k

q0⋅q r

3

r y ⃗

⃗ E (⃗r ) = k

q r

3

⃗r = k

q r2

̂r .

(13)

Los términos que aparecen en las ecuaciones (11)-(13) pueden identificarse en la figura 3.

Figura 3: Representación del campo eléctrico para una carga puntual. En el lado izquierdo se muestra esta situación con el origen del sistema de coordenadas colocado fuera de la carga puntual q. A través de una traslación, el origen del sistema de coordenadas, se coloca en la posición de la carga puntual q. Esta situación es presentada a la derecha y en la misma rq es nulo. Si extendemos este resultado a una distribución discreta de cargas puntuales (ver figura 4) obtenemos: ⃗ F (⃗r ) =

∑k j

q 0⋅q j ∣⃗r − r⃗j ∣

(⃗r − r⃗j ) = q 0 ∑ k 3 j

qj ∣⃗r − r⃗j ∣ 3

(⃗r − r⃗j ) ,

(14)

y

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⃗ E (⃗r ) =

∑k j

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qj ∣⃗r − r⃗j ∣

3

(⃗r − r⃗j ) =

∑ E⃗ j ( ⃗r ) j

; E⃗ j (⃗r ) = k

qj ∣⃗r − r⃗j ∣ 3

(⃗r − r⃗j ) .

(15)

⃗ (⃗r ) es a través de las Una forma geométrica de representar al vector intensidad del campo eléctrico E denominadas las líneas de fuerzas. La densidad de líneas de fuerza es proporcional a la intensidad del campo. A ⃗ E (⃗r ) sí, estas líneas son más densas donde el campo ⃗ E (⃗r ) sea más intenso. Otra característica es que el vector intensidad del campo eléctrico es tangente en cada punto de la línea de fuerza y tiene el mismo sentido que la línea.

Figura 4: Representación del aporte de la carga puntual qj al campo eléctrico en el punto de observación ⃗r . Para la carga puntual, en función de la representación de las líneas de fuerza, el vector intensidad del campo eléctrico establece un patrón como los que se observan en la figura 5 para a) una carga puntual positiva y b) una carga puntual negativa.

Figura 5: Patrón de líneas de fuerza para a) una carga puntual positiva, b) una carga puntual negativa y c) pequeñas hebras de hilo suspendidas en aceite en presencia de un pequeño conductor cargado en el centro.

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Cuando nuestro sistema está compuesto por dos cargas puntuales idénticas, pero de signos diferentes, separadas una distancia l estamos en presencia del modelo dipolo eléctrico. Este modelo es muy útil para describir sistemas físicos reales como la molécula de agua. En la figura 6 se pueden apreciar las líneas de fuerza del campo eléctrico asociado al dipolo.

Figura 6: Patrón de líneas de fuerza de a) un dipolo eléctrico y b) pequeñas hebras de hilo suspendidas en aceite que se alinean en presencia de un dipolo eléctrico. Retomemos la tarea de determinar el vector intensidad del campo eléctrico en un punto del espacio para una distribución dada de cargas puntuales. Sin embargo, veamos como se realiza esta operación cuando la distribución es continua. Cuando la carga está distribuida de manera continua a lo largo de un objeto con simetría axial podemos aplicar la relación que describe a la distribución lineal de carga, λ ( ⃗r ' ) =

dq , dl

(16)

donde dq representa el infinitesimal de carga contenido en el elemento físico de longitud dl en la posición que define el vector r⃗ ' . Si la carga está distribuida uniformemente a lo largo de la longitud, entonces la densidad lineal de carga es una constante independiente de la posición r⃗ ' en que se determine. λ ( ⃗r ') = λ =

dq . dl

(17)

La alusión a elemento físico de longitud hace una distinción respecto al elemento matemático de longitud. El primero se trabaja de la misma forma en que se trabaja matemáticamente con los infinitesimales, pero físicamente se distingue porque la carga dq contenida en él es representativa de la carga neta de la distribución cuando la densidad es uniforme. Si tenemos una distribución continua de cargas con carga neta positiva, el elemento físico de longitud debe tener una carga neta positiva. Para distribuciones donde las densidades de carga no sean homogéneas el elemento físico de longitud confina un infinitesimal de carga que debe ser representativo de la carga en la porción en la que se define dicho dl.

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Otras distribuciones de cargas continuas son la superficial y la volumétrica: σ (⃗r ') =

dq , ds

(18)

ρ (⃗r ') =

dq , dv

(19)

donde ds y dv representan los elementos físicos de superficie y de volumen que contienen al infinitesimal de carga dq respectivamente. Si la carga está distribuida uniformemente las densidades de carga son constantes independientes de, ⃗r ' tal como explicamos anteriormente para las distribuciones lineales. Determinemos ahora el vector intensidad del campo eléctrico para las distribuciones continuas en un punto del espacio determinado por el vector de posición ⃗r . Para ello avancemos a partir del conocimiento que tenemos del campo eléctrico de una carga puntual, ecuación 12, y analicemos cómo debe ser el aporte al campo de un elemento de carga dq. Este aporte debe ser muy pequeño por lo que lo trataremos matemáticamente como un infinitesimal de campo, ⃗ (⃗r ) = k dE

dq ∣⃗r −⃗r '∣ 3

(⃗r −⃗r ') ,

(20)

donde el vector ⃗r ' indica la posición del elemento de carga respecto al origen de coordenadas, vea la figura 7. El vector intensidad del campo eléctrico lo obtenemos integrando los aportes de todos los elementos de carga contenidos en la distribución.

Figura 7: Aporte al vector intensidad del campo eléctrico que realiza el elemento de carga contenido en el elemento físico de a) longitud, b) superficie y c) volumen. A partir de la relaciones 17,18 y 19, según sea el caso, podemos escribir la ecuación 20 como, ⃗ (⃗r ) = k λ(⃗r ') dl (⃗r −⃗r ') , dE ∣⃗r −⃗r '∣ 3 Conferencia 1: Ley de Coulomb

(21)

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⃗ (⃗r ) = k σ (⃗r ')ds (⃗r −⃗r ') , dE ∣⃗r −⃗r '∣ 3

(22)

⃗ (⃗r ) = k ρ(⃗r ')dv (⃗r −⃗r ') , dE ∣⃗r −⃗r '∣ 3

(23)

y pasamos a obtener el campo integrando por todos los elementos físicos de longitud, superficie y volumen que contienen carga, respectivamente. De forma general tenemos: ⃗ (⃗r ) = ∫ k λ (⃗r ') dl ' (⃗r −⃗r ') , ⃗ E (⃗r )=∫ dE ∣⃗r −⃗r '∣ 3 L'

(24)

⃗ (⃗r ) = ∬ k σ (⃗r ' )ds ' (⃗r −⃗r ' ) , ⃗ E (⃗r )=∫ dE ∣⃗r −⃗r '∣ 3 S'

(25)

⃗ (⃗r ) = ∭ k ρ(⃗r ' )dv ' (⃗r −⃗r ') , ⃗ E (⃗r )=∫ dE ∣⃗r −⃗r '∣ 3 V'

(26)

donde L', S' y V' representan toda la longitud, superficie y volumen que contiene a la carga respectivamente, como se muestra en la figura 7. Ejemplos: 1.- Línea de carga: Este modelo está compuesto por un arreglo infinito de cargas dispuestas a lo largo de una línea. En el ejemplo consideraremos que la carga está distribuida uniformemente. El problema consiste en determinar el vector intensidad del campo eléctrico a una distancia h de la línea, si la misma tiene una densidad lineal de carga  Sin desatender el rigor matemático implícito comenzaremos la resolución de los problemas, relacionados con la determinación del campo eléctrico, estudiando la simetría del sistema. Para este tipo de análisis nos apoyaremos en los elementos intuitivos que dominamos al identificar sistemas simétricos. El primer paso en nuestro estudio se dirige a identificar el tipo de simetría que tiene la distribución de cargas. A partir de este elemento intentamos, en una segunda etapa, identificar la simetría que debe tener el campo eléctrico de dicha distribución. En el ejemplo que nos ocupa imaginemos que estamos en el vacío, con una escafandra y un tanque de oxígeno por supuesto, en una situación en la que no tenemos ningún elemento exterior que nos sirva de referencia para orientarnos. En estas condiciones carece de sentido hablar de arriba, abajo, derecha, izquierda, etc. pues lo que apreciamos, cualquiera que sea la dirección que seleccionemos, es siempre lo mismo, oscuridad. Insertemos en nuestro sistema una línea de carga, cuyo punto más cercano a nosotros dista una distancia h. La tarea que tenemos que resolver es la de determinar el campo eléctrico en la posición que ocupamos. Si miramos Conferencia 1: Ley de Coulomb

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detenidamente la línea de carga podemos decir que estamos exactamente colocados en frente de su punto medio, pues a la izquierda de ese punto la línea es infinita y a la derecha de ese punto también lo es. Si nos desplazáramos en uno de los dos sentidos de la línea, manteniéndonos siempre a una distancia h de la misma, cuando nos detengamos estaremos nuevamente frente al punto medio de la distribución puesto que a la izquierda de ese punto la línea es infinita y a la derecha del mismo también. Sin embargo, si podemos apreciar si nos acercamos o nos alejamos de la línea de carga. Este análisis nos indica que el vector intensidad del campo eléctrico, en el supuesto caso de que sea diferente del vector nulo, solo dependerá de la distancia a la línea de carga y por lo tanto su valor modular en todos los punto de la superficie lateral de un cilindro concéntrico con la línea de carga será el mismo. Hasta ahora tenemos información sobre el módulo del vector intensidad del campo eléctrico, pero aun no sabemos nada acerca de su orientación. Veamos ahora la figura 8. En ella seleccionamos un elemento de carga dq a la izquierda del punto medio de la línea a una distancia arbitraria x. A la derecha del punto medio, y a la misma distancia x, podemos encontrar siempre un elemento de carga similar dq. El punto de observación, el punto medio de la línea y las posiciones de los elementos de carga seleccionados conforman dos triángulos congruentes (iguales) de acuerdo al criterio l.a.l. Por este motivo ambos elementos de cargas se encuentran a la misma distancia del punto de observación (nosotros). Como el módulo del vector intensidad del campo eléctrico depende del inverso de la distancia al cuadrado, y estas distancias son iguales, las contribuciones de ambos elementos de carga son las mismas. Sin embargo, debemos considerar las direcciones en que se aplican estos aportes. En la figura 8 se puede apreciar como la suma de los dos aportes no tiene componente paralela a la dirección de la línea de carga y solo tiene componente perpendicular a la misma. No importa que elemento de carga seleccionemos para realizar nuestro estudio, siempre en el lado contrario, respecto al punto medio, encontraremos a la misma distancia otro elemento de carga tal que sus componentes paralelas a la línea se anulan y solo se refuerzan sus componentes perpendiculares a la misma. Esta conclusión es muy importante pues nos indica que el vector intensidad del campo eléctrico solo tiene componente perpendicular a la línea. Esto nos dice que el campo es radial.

Figura 8: Aporte al vector intensidad del campo eléctrico, a la distancia h de la línea de carga, que realizan los elementos de carga a ambos lados y a la misma distancia del punto medio de la distribución.

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Todo el análisis realizado, sin la necesidad de hacer un solo cálculo matemático, nos indica que cuando la carga está dispuesta homogéneamente a lo largo de un eje, el vector intensidad del campo eléctrico asociado a la misma es radial, con sus líneas de fuerza perpendiculares a dicho eje. Para determinar los aportes que realizan los elementos de carga al campo utilizaremos la expresión (21) colocando el origen de coordenadas en el punto de observación. λ dl λ dl (−⃗r ') =− k r̂ ' . 3 ∣−⃗r '∣ ∣⃗r '∣ 2

⃗ =k dE

(27)

Note en la ecuación (27) que los vectores ⃗ E y ⃗r ' están en la misma dirección, pero tienen sentidos contrarios. El módulo del aporte al campo quedaría como, dE = k

λ dl , r' 2

(28)

donde 2

2

r' = x + h

2

.

(29)

Nuestro interés está en la componente de los aportes al campo eléctrico que es perpendicular a la línea de carga. Para ello proyectamos dichos aportes sobre la dirección perpendicular a la línea y obtenemos, dE ⊥ = dE⋅sin α ; sin α =

h h = r ' ( x ² + h ²)1/2 .

(30)

Realizando las sustituciones correspondientes obtenemos: dE ⊥ = k λ h

dl . ( x ² + h ²)3/ 2

(31)

Solo nos falta integrar por toda la longitud que contiene a la carga. Es fácil notar que los elementos dl se pueden expresar como dx. Así el campo total en el punto de observación será, ∞

ET = ∫ k λ h −∞

∞ ∞ dx dx dx = k λ h = 2 k λ h ∫ ∫ 3/ 2 3/ 2 3/2 . (x ² + h ²) −∞ (x ² + h ²) 0 ( x ² + h ²)

(32)

La integral (32) puede resolverse introduciendo el cambio de variables x = h tan . π/2

ET = 2 k λ h ∫ 0

dβ h 2k λ = 2 1/ 2 h cos β h³ (1 + tan² β)

π/ 2

∫ 0

π/ 2

cos3 β 2k λ dβ = ∫ cos βd β . 2 h 0 cos β

(33)

La solución a la integral (33) es conocida y el campo total de la línea de carga en el punto de observación queda como, ET =

2k λ 2k λ (sin β) | π0 /2 = . h h

Conferencia 1: Ley de Coulomb

(34)

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Electromagnetismo

Tema 1: Electrostática

El valor modular del campo solo depende de la distancia a la línea de carga, tal como habíamos discutido anteriormente. Si además del valor modular que nos brinda la ecuación (34) asociamos la información que ya poseemos sobre la dirección y sentido del campo, entonces el vector intensidad del campo eléctrico se puede expresar, en función de la distancia r de la línea de carga al punto de observación como, 2k λ λ ⃗ ET = r̂ = ̂r . r 2 πε 0 r

(35)

En la ecuación (35) el versor r va de la línea de carga al punto de observación. Es necesario realizar la siguiente aclaración importante, la solución (35) la hemos escrito colocando el origen de coordenadas en la línea de carga. Este resultado es interesante porque hemos obtenido una expresión para el campo eléctrico, partiendo del campo de la carga puntual, que depende del inverso de la distancia y no del inverso de la distancia al cuadrado, tal como describe la ley de Coulomb. Recuerde que para obtener el campo eléctrico de la carga puntual utilizamos la Ley de Coulomb. 2.- Disco cargado: Este sistema está compuesto por un disco de radio R que tiene distribuida en toda su superficie una carga Q. En el ejemplo consideraremos que la carga está distribuida uniformemente. El problema consiste en determinar el vector intensidad del campo eléctrico a una distancia x del centro del disco en la dirección perpendicular al plano que lo contiene En este ejemplo la situación que el observador puede apreciar en un punto de la línea que pasa por el centro del disco y perpendicular a este es muy diferente a lo que aprecia desde cualquier otro punto que no esté contenido en dicha línea. El análisis de la simetría de la carga lo utilizaremos solamente para obtener información del campo en el punto declarado en el enunciado del problema.

Figura 9: Aporte al vector intensidad del campo eléctrico, a la distancia x del disco cargado, que realizan los elementos de carga a ambos lados, a la misma distancia del punto medio de la distribución y a 180o uno del otro respecto al centro del disco. Conferencia 1: Ley de Coulomb

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Electromagnetismo

Tema 1: Electrostática

Por la simetría de la distribución de cargas, el sistema de coordenadas cilíndricas nos ofrece una mayor simplicidad en el trabajo con las magnitudes involucradas y en la interpretación de los resultados. Observe en la figura 9 como siempre que se seleccione un elemento de carga, a una distancia  del centro del disco, se va a encontrar otro elemento de carga a la misma distancia del centro y formando 180 o. El aporte al campo de estos dos elementos de carga solo tendrá componente en la dirección del eje de revolución del disco. Las otras componentes se cancelan en la suma vectorial. Para determinar los aportes que realizan los elementos de carga al campo utilizaremos la expresión (22) colocando el origen de coordenadas en el punto de observación. ⃗ = k σ ds (−⃗r ') =− k σ ds r̂ ' . dE ∣−⃗r '∣ 3 ∣⃗r '∣ 2

(36)

Note en la ecuación (36) como nuevamente los vectores ⃗ E y ⃗r ' están en la misma dirección, pero tienen sentidos contrarios. El módulo del aporte al campo quedaría como, dE = k

σ ds , r' 2

(37)

donde r'2 = x 2+ ρ2 .

(38)

Nuestro interés está en la componente de los aportes al campo eléctrico que es perpendicular a la línea de carga. Para ello proyectamos dichos aportes sobre la dirección perpendicular a la línea y obtenemos, dE ⊥ = dE⋅sin α ; sin α =

x x = r ' ( x ² + ρ ²)1/ 2 .

(39)

Realizando las sustituciones correspondientes obtenemos: dE ⊥ = k σ x

ds 3 /2 . ( x ² + ρ ²)

(40)

Solo nos falta integrar por toda la superficie que contiene a la carga. En esta ocasión, los elementos ds se expresan en coordenadas cilíndricas como ds = ρ d ρ d φ ,

(41)

siendo  el ángulo polar. Así el campo total en el punto de observación será, R 2π

ET = ∫ ∫ k σ x 0

0

R

R

ρ dρ d φ ρdρ dρ 2 = 2π k σ x = π k σ x ∫ (x ² + ρ ²)3/ 2 ∫ ( x ² + ρ 2 )3 /2 , 3 /2 (x ² + ρ ²) 0 0

Conferencia 1: Ley de Coulomb

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(42)

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Electromagnetismo

Tema 1: Electrostática

donde solo hay dependencia de la coordenada cilíndrica . La integración por la variable  da como resultado 2. La integral (42) se puede transformar en una integral conocida, R

ET = π k σ x ∫ 0

R

dρ 2 d (x 2 + ρ 2) = π k σ x ∫ ( x ² + ρ 2 )3/ 2 , (x ² + ρ 2)3 / 2 0

(43)

donde la solución a la integral (43), y por lo tanto el campo total del disco cargado en el punto de observación queda como, ET = −

[

]

[

2πk σ x 1 1 x | R = 2πk σ x − 2 = 2πk σ 1 − 2 2 2 1/ 2 0 2 1/ 2 x (x + R ) (x + ρ ) (x + R 2)1 /2

]

.

(44)

Ahora vinculemos el valor modular que nos brinda la ecuación (44) con la información que tenemos sobre la dirección y sentido del campo. Esto nos permite presentar el vector intensidad del campo eléctrico, en función de la distancia x, del centro del disco cargado al punto de observación como,

[

⃗ ET = 2πk σ 1 −

]

x x̂ , ( x + R 2 )1/ 2 2

(45)

siendo r un versor que está en la dirección del eje que pasa por el centro del disco, perpendicular a este, y que apunta hacia fuera del disco si la carga es positiva y hacia el disco si la carga es negativa.

Realice un análisis de las unidades de las expresiones (35) y (45). ¿Los resultados están en correspondencia con las unidades del vector intensidad del campo eléctrico de la carga puntual?

A partir de la solución obtenida en el ejemplo del disco cargado determine las expresiones que describen el campo eléctrico de este sistema cuando x es mucho menor que R (el punto de observación está muy próximo al disco) y cuando x es mucho mayor que R (el punto de observación está a grandes distancias de la distribución).

Resuelva la integral (43) para el caso en que R es infinito. ¿Esperaba este resultado? ¿Por qué?

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Electromagnetismo

Tema 1: Electrostática

§5. Conclusiones. En la conferencia hemos estudiado el concepto de carga eléctrica, las unidades de esta magnitud y sus principales propiedades. Entre ellas, la capacidad de establecer una interacción fuerte con otra carga. Fue presentada la ley de Coulomb para describir las interacciones que se establecen entre las cargas. Se discutieron las características de esta ley y las propiedades de la fuerza eléctrica que ella describe. Al contestar la pregunta de cómo se establece la interacción entre las cargas, discutimos las teorías presentes al respecto haciendo especial hincapié en la Teoría del campo eléctrico. Se discutieron las principales características del campo eléctrico y se presentaron sus particularidades para diferentes distribuciones discretas y continuas de carga. En la próxima conferencia estudiaremos la Ley de Gauss. Veremos como es posible obtener información de la carga eléctrica conociendo el campo que ella origina (problema inverso de la electrostática).

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