Concreto Protendido

Dimensionamento da armadura longitudinal em seções de peças protendidas



Dr. Roberto Chust Carvalho1

Cálculo Da Armadura longitudinal 

 



Diferentemente do concreto armado, o dimensionamento da armadura longitudinal em concreto protendido requer verificações intrínsecas ao processo

Verificação em vazio (Protensão e peso próprio) Verificações em serviço (mais rigorosas que as de concreto armado)



Estado de Descompressão ROBERTO CHUST CARVALHO IE

A quantidade de armadura longitudinal muda bastante com as condições estabelecidas nas verificações em serviço (CAA).  É preciso entender que os valores limites destas situações (principalmente as de fissuração) que foram alterados na edição da atual NBR61118:2007 podem ser novamente alterados em um futuro próximo, na medida que estudos sobre a durabilidade forem se desenvolvendo.  A geometria da seção transversal é determinante no valor encontrada para a armadura longitudinal.  Este é muitas vezes o caso da pré-moldagem e principalmente no caso das seções compostas.  Neste tipo de peça a verificação de tensões acaba sendo fundamental no detalhamento. Dependendo do tipo de protensão (limitada ou completa) devem ser usados cabos em regiões que tracionadas no tempo inicial são posteriormente sujeitas à compressão.  Muitas possibilidades de detalhamento como o uso simultâneo de armadura ativa e passiva mudando o que se chama de “grau de protensão”.  Porem as verificações de fissuração previstas na norma Brasileira muitas vezesROBERTO inviabilizam esta possibilidade. CHUST CARVALHO IE 

 



Caso singular: o da laje alveolar. Não possui armadura transversal e, portanto além das condições expostas no quadro 1 deve-se somar a elas as condições de tensões de cisalhamento (que podem ser impedidas com mais armadura longitudinal ou protensão) Elliott (2002),

Figura 1: Situações críticas variando conforme carga aplicada e vão

(fonte: Elliott, 2002).

ROBERTO CHUST CARVALHO IE

Conceitos Gerais e Efeitos da Protensão Protensão Uma classificação que pode ser adotada é quanto a sua aderência, entre a armadura e o concreto. Determinando três tipos distintos:

Aderência Inicial (pré-tração) Aderência Posterior (pós-tração) Sem aderência (pós-tração)

ROBERTO CHUST CARVALHO IE

Quadro 1 Verificações para a determinação da quantidade da armadura longitudinal TEMPO TEMPO ZEROTEMPOZEROZEROverificação em verificação verificaçãoem em vazio vazio vazio ELU ELU ELU TEMPO TEMPO TEMPO INFINITO INFINITO INFINITO verificações verificações nas quais verificaçõesnas nasquais quaisaaa quantidade de armadura quantidade quantidadede dearmadura armadura longitudinal afeta diretamente longitudinal longitudinalafeta afetadiretamente diretamente

FISSURAÇÃO FISSURAÇÃO FISSURAÇÃO ELS ELS ELS DEFORMAÇÃO DEFORMAÇÃO DEFORMAÇÃO ROBERTO CHUST CARVALHO IE EXCESSIVA EXCESSIVA EXCESSIVA

Cálculo da armadura longitudinal Concreto Protendido Concreto Armado

Cálculo no ELU (colapso)

Cálculo no ELU (colapso)

Verificação no ELS (fissura)

Verificação no ELS (fissura)

Verificação em Vazio (t=0)

ROBERTO CHUST CARVALHO IE

Cálculo da armadura longitudinal Concreto Armado

Concreto Protendido

Cálculo no ELU (colapso)

Cálculo no ELU (colapso)

Verificação no ELU (fissura)

Verificação no ELS (fissura)

O que é determinante o ELU ou ELS?

Verificação em Vazio (t=0)

Qual é o melhor ? PETRUCELLI (2009) no seu trabalho–laje alveolarusou

a

primeira

maneira

(iniciou

pelo

ELU)

Concreto Protendido Cálculo no ELS (fissura)

enquanto INFORSATO (2009) –vigas pré compostas - iniciou seu dimensionamento usando o ELS. Coincidentemente, ou não, as condições escolhidas foram

respectivamente

cálculo de ambos.

as

determinantes

Verificação no ELU (colapso) Verificação em Vazio (t=0)

no

ROBERTO CHUST CARVALHO IE

3. Roteiros para determinação de armadura longitudinal em peças com pós-tração e pré-tração. CARVALHO (2010) e são apenas indicativos, pois como todo projetista de protendido sabe para uma mesma peça há, em geral, possíveis

ROBERTO CHUST CARVALHO IE

diversas soluções

3.1 Roteiro para determinação de armadura longitudinal em peças com pós-tração todos os cabos podem ser representados por um único fictício obtido através da união do centro de gravidade de todos os demais. A este cabo dá-se o nome de cabo representante. Memorial para a determinação do número de cabos 1)

Esquema estrutural;

2)

Sistema e unidades de protensão; informações gerais;

3)

Cálculo das perdas imediatas do cabo representante;

4)

Cálculo das perdas ao longo do tempo do cabo representante;

5)

Cálculo do número de cabos necessários levando em conta o estado limite último;

6)

Detalhamento dos cabos na seção transversal;

7)

Verificação dos estados de fissuração;

8)

Traçado dos cabos e

9)

Cálculo e verificações considerando todos os cabos definidos

ROBERTO CHUST CARVALHO IE

3.2 Roteiro para determinação de armadura longitudinal em peças com pré-tração Um roteiro simplificado para a determinação da armadura longitudinal do meio do vão de uma pré-fabricada pode ser colocado como: 1) Cálculo da armadura Ap (ativa) no ELU no tempo “infinito” (ou seja, considerando decorridas todas as perdas de protensão). 2) Verificação do ELU no tempo “zero” (em vazio) com o valor de Ap só com as perdas imediatas.

Não havendo tração pode-se ir para o item 5; 3)Verificação da ruptura (em vazio). Caso as duas condições de tração e de compressão estejam atendidas ir para o item 7, caso haja compressão excessiva mudar a seção; Havendo tração há várias possibilidades descritas; 4.1) Diminuir a armadura de protensão e calcular uma armadura complementar de tração passiva As (armadura ativa fica com ). Ainda assim haverá duas situações a escolher sem tração – descompressão- e outra com tração (neste caso sendo necessária a colocação de A’s); 4.2) Colocação de cabos na fibra oposta a protensão que combate a flexão .Considera-se que na fibra oposta a colocação da armadura principal de protensão. Se não for considerada a

descompressão pode ser necessário o uso de armadura passiva de controle; 5) Cálculo das perdas; 6) Verificação de fissuração; 7) Detalhamento na seção transversal e

ROBERTO CHUST CARVALHO IE

8) Verificação de retirada de aderência dos cabos ao longo da viga.

Cálculo e Verificação do ELU na Flexão Verificação no tempo zero Particularidade dos elementos protendidos NBR6118:2007 item 17.2.4.3.2 

Verificação no Estádio I: concreto não fissurado e comportamento elástico dos materiais.

0,70 f ckj

c

t

1,2 f ctm t



0

p

1,1 Pós-tração

p

1,0 Pré-tração

utilização de armadura ativa ou passiva não necessita de armadura

Para o caso de armadura de tração esta deve ser calculada no Estádio II t

150MPa para fios ou barras lisas

t

250MPa

ROBERTO CHUST CARVALHO IE

para barras nervuradas

Verificação em Vazio SEÇÃO NO ESTADO VAZIO E NA COMBINAÇÃO RARA SEÇÃO ESTADO EMEM VAZIO E NA COMBINAÇÃO RARA Evitar um excesso deNOprotensão.

SEÇÃO NO ESTADO EM VAZIO E NA COMBINAÇÃO RARA

TENSÃO TENSÃO TENSÃO TENSÃO TENSÃO TENSÃO Evitar tração em região que posteriormente deverá trabalhar comprimida APÓS AÇÃO p+g APÓS AÇÃO APÓS AÇÃO p+gp+g 1 1 1

SEÇÃO TRANSV. SEÇÃO TRANSV. SEÇÃO TRANSV.

APÓS AÇÃO +g +q APÓS AÇÃO +g APÓS AÇÃO p+gp+g +gp+g +q +q 1 12 12 2

s s s 1

Ap Ap Ap

s s

Tração fibra superior

Mp+g Mp+g Mp+g 1

Mp+g Mp+g Mp+g +g +q +g +g +q +q 1 1 12 2 2

1

Ap Ap Ap

Ap Ap Ap

d d d

Compressão fibra inferior

d' d' d' b b b

i i i SEÇÃO NO ESTADO EM VAZIO E NA COMBINAÇÃO RARA Tação Compressão Tação Compressão Tação Compressão TENSÃO TENSÃO TENSÃO APÓS APÓSAÇÃO AÇÃOp+g p+g+g +g +q +q2 2 1 1p+g APÓS AÇÃO 1

11

SEÇÃO TRANSV.

Tação Tação Tação TENSÃO APÓS AÇÃO p+g +g1+q 2

ss

s

Ap

s

Compressão fibra superior M

Mp+g MM p+g p+g +g +g+q +q2 2 1 11 Ap

i i i

p+g1+g +q 2

AA pp

Ap

d

Tração fibra inferior d' bi i

Compressão Compressão

i ii

ROBERTO CHUST CARVALHO IE

Tação Tação Compressão Compressão Tação Compressão

i Tação

Verificação em Vazio

SEÇÃO NO ESTADO EM VAZIO NA COMBINAÇÃO RARA SEÇÃO ESTADO EM VAZIO EENA COMBINAÇÃO RARA SEÇÃO NONO ESTADO EM VAZIO E NA COMBINAÇÃO RARA

Evitar um excesso de protensão. TENSÃO TENSÃO TENSÃO

TENSÃO TENSÃO TENSÃO

Evitar tração em regiãoAPÓS que posteriormente deveráAPÓS trabalhar comprimida APÓS AÇÃO p+g APÓS AÇÃO p+g +g+q +q APÓS AÇÃO p+g AÇÃO p+g APÓS AÇÃO p+g AÇÃO p+g +g+g +q 1 11

SEÇÃO TRANSV. SEÇÃO TRANSV. SEÇÃO TRANSV.

1 1 12 2 2

s ss

s ss

MM Mp+g p+g1 p+g

MM Mp+g p+g +g +q p+g +g+g 1+q+q 2

1 1

1 1

ApAA pp

2 2

ApAA pp

ApAA pp

d dd

d' d'd' b bb

i ii

i ii Tação Tação Tação

Tação Compressão Tação Compressão Tação Compressão

Éxistem dias possibilidades no caso da tensão atatuante Descompressão
Não é peciso usar armadura

É preciso armadura para Formação de fissuras
Desta forma calculado Ap é preciso verificar se é necessário usar as’ou Ap

Cálculo e Verificação do ELU na Flexão no tempo infinito Hipótese para Cálculo 

As seções transversais se mantêm planas após a deformação;



Concreto e armaduras (ativa ou passiva) apresentam os mesmos valores de deformação;



Total aderência entre concreto e armaduras;



Para armaduras não aderentes (cordoalhas engraxadas); p

p

70

70

f ck 100 f ck 300

vão/altura ≤ 35 e fck ≤ 420 MPa p

vão/altura > 35 e fck ≤ 210 MPa p ROBERTO CHUST CARVALHO IE

Capítulo 4 – Cálculo e Verificação do ELU na Flexão Hipótese para Cálculo 



As tensões de tração do concreto, normais a seção transversal podem ser desprezadas;

Tensões no concreto segue o diagrama parábola-retangulo;

c c

ou

fcd fcd y=0,8x

z

Ap

c c

Rc

x h d

fcd

Md

Rp

b seção transversal

s tensão no concreto deformações diagrama IE específicasROBERTO CHUST CARVALHO parábola-retângulo

tensão no concreto diagrama simplificado retangular

Hipótese para Cálculo

Tensões na armadura passiva

Tensões na armadura ativa

Tabela adaptada de Vasconcelos

ROBERTO CHUST CARVALHO IE

Capítulo 4 – Cálculo e Verificação do ELU na Flexão Hipótese para Cálculo O estado limite último fica caracterizada por ( c) e ( s), que com o casos possíveis de distribuição das deformações do concreto e do aço na seção transversal definem os domínios de deformação,

ROBERTO CHUST CARVALHO IE

Tensão na Armadura Ativa

   

Deformação Deformação Deformação Deformação

devido a protensão devido ao peso próprio de descompressão no ELU até o equilíbrio

ROBERTO CHUST CARVALHO IE

Dimensionamento no tempo infinito

Seção Retangular c

c

Fc

y=0,8x

x 2

h d

Ap

fcd

Ap

3 4

z

Md

Fp

bw vista lateral

Equilíbrio das forças: Equilíbrio dos momentos:

seção transversal

yd s domínios

tensão no concreto diagrama simplificado retangular

F = 0  Fp – Fc = 0  Fp = Fc

M = Md  Md = Fc x z e Md = Fp x z ROBERTO CHUST CARVALHO IE

Dimensionamento no tempo infinito

Equacionamento:

Fc

0,85 f cd

z

d 0,4 x

Md

bw

0,8 x

Fp

Fc z

Fp pd

Md

0,85 f cd bw 0,8 x

Md

bw f cd 0,68 x d 0,4 x

Md

Md z

d

0,4 x

0,68 x d 0,272 x 2 b w f cd ROBERTO CHUST CARVALHO IE

Fp

Ap

Ap

pd

Md z

pd

Ap

– Cálculo e Verificação do ELU na Flexão Dimensionamento no tempo infinito

Relação entre deformações:

x c

d c

s

x d

c c

s

Equação desprezando a descompressão

CARVALHO e FIGUEIREDO (2007) Md

Fc z

0,85 f cd b w 0,8 x

0,68 x d 0,272 x 2 b w f cd

Md bw d

2

d 0,4 x

f cd

bw d

2

f cd

ROBERTO CHUST CARVALHO IE

b w f cd 0,68 x d 0,4 x x 0,68 d

KMD 0,68 (KX) 0,272 (KX) 2

0,272

x2 d2

– Cálculo e Verificação do ELU na Flexão Dimensionamento no tempo infinito

Com a expressão adimensional podemos determinar Ap z

d 0,4 x

z d

d 0,4 x d

1 0,4

x d

Definindo:

z d

c

KZ

y=0,8x

x

Temos:

KZ 1 0,4 KX Ap

z

2

h d

Ap

Ap

3 4

Md z

c

Fc

z

Md

Fp

bw

pd

vista lateral

KZ d Ap

yd s domínios

seção transversal

Md KX ROBERTO CHUST CARVALHO IE (KZ) d σ pd

c c

s

tensão diagram retangu

KMD 0,68 (KX) 0,272 (KX)

2

As

Md (KZ) d f s

a equação anterior contém apenas termos adimensionais, e KX só pode variar de 0 a 1 (x = 0 e x = d): TABELA 6.2.

Valores para cálculo de armadura longitudinal de seções retangulares

KMD 0,0100 0,0200 0,0300 0,0400 0,0500 0,0550 0,0600 0,0650 0,0700 0,0750 0,0800 0,0850 0,0900 0,0950 0,1000 0,1050 0,1100 0,1150 0,1200 0,1250 0,1300 0,1350 0,1400 0,1450 0,1500 0,1550 0,1600 0,1650 0,1700 0,1750

KX 0,0148 0,0298 0,0449 0,0603 0,0758 0,0836 0,0916 0,0995 0,1076 0,1156 0,1238 0,1320 0,1403 0,1485 0,1569 0,1654 0,1739 0,1824 0,1911 0,1998 0,2086 0,2175 0,2264 0,2354 0,2445 0,2536 0,2630 0,2723 0,2818 0,2913

KZ 0,9941 0,9881 0,9820 0,9759 0,9697 0,9665 0,9634 0,9602 0,9570 0,9537 0,9505 0,9472 0,9439 0,9406 0,9372 0,9339 0,9305 0,9270 0,9236 0,9201 0,9166 0,9130 0,9094 0,9058 0,9022 0,8985 0,8948 0,8911 0,8873 0,8835

EC 0,1502 0,3068 0,4704 0,6414 0,8205 0,9133 1,0083 1,1056 1,2054 1,3077 1,4126 1,5203 1,6308 1,7444 1,8611 1,9810 2,1044 2,2314 2,3621 2,4967 2,6355 2,7786 2,9263 3,0787 3,2363 3,3391 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000

ES 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 9,8104 9,3531 8,9222 8,5154

KMD 0,2050 0,2100 0,2150 0,2200 0,2250 0,2300 0,2350 0,2400 0,2450 0,2500 0,2550 0,2600 0,2650 0,2700 0,2750 0,2800 0,2850 0,2900 0,2950 0,3000 0,3050 0,3100 0,3150 0,3200 0,3300 0,3400 0,3500 0,3600 0,3700 0,3800

KX 0,3506 0,3609 0,3714 0,3819 0,3925 0,4033 0,4143 0,4253 0,4365 0,4479 0,4594 0,4711 0,4830 0,4951 0,5074 0,5199 0,5326 0,5455 0,5586 0,5721 0,5858 0,5998 0,6141 0,6287 0,6590 0,6910 0,7249 0,7612 0,8003 0,8433

KZ 0,8597 0,8556 0,8515 0,8473 0,8430 0,8387 0,8343 0,8299 0,8254 0,8208 0,8162 0,8115 0,8068 0,8020 0,7970 0,7921 0,7870 0,7818 0,7765 0,7712 0,7657 0,7601 0,7544 0,7485 0,7364 0,7236 0,7100 0,6955 0,6799 0,6627

EC 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000

0,1800 0,1850 0,1900 0,1950 0,2000

0,3009 0,3106 0,3205 0,3305 0,3405

0,8796 0,8757 0,8718 0,8678 0,8638

3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000

8,3106 7,7662 ROBERTO CHUST CARVALHO IE 7,4204 7,0919 6,7793

ES 6,4814 6,1971 5,9255 5,6658 5,4170 5,1785 4,9496 4,7297 4,5181 4,3144 4,1181 3,9287 3,7459 3,5691 3,3981 3,2324 3,0719 2,9162 2,7649 2,6179 2,4748 2,3355 2,1997 2,0672 1,8100 1,5652 1,3283 1,0983 0,8732 0,6506

TABELA 6.2.

Valores para cálculo de armadura longitudinal de seções retangulares

KMD 0,0100 0,0200 0,0300 0,0400 0,0500 0,0550 0,0600 0,0650 0,0700 0,0750 0,0800 0,0850 0,0900 0,0950 0,1000 0,1050 0,1100 0,1150 0,1200 0,1250 0,1300 0,1350 0,1400 0,1450 0,1500 0,1550 0,1600 0,1650 0,1700 0,1750

KX 0,0148 0,0298 0,0449 0,0603 0,0758 0,0836 0,0916 0,0995 0,1076 0,1156 0,1238 0,1320 0,1403 0,1485 0,1569 0,1654 0,1739 0,1824 0,1911 0,1998 0,2086 0,2175 0,2264 0,2354 0,2445 0,2536 0,2630 0,2723 0,2818 0,2913

KZ 0,9941 0,9881 0,9820 0,9759 0,9697 0,9665 0,9634 0,9602 0,9570 0,9537 0,9505 0,9472 0,9439 0,9406 0,9372 0,9339 0,9305 0,9270 0,9236 0,9201 0,9166 0,9130 0,9094 0,9058 0,9022 0,8985 0,8948 0,8911 0,8873 0,8835

EC 0,1502 0,3068 0,4704 0,6414 0,8205 0,9133 1,0083 1,1056 1,2054 1,3077 1,4126 1,5203 1,6308 1,7444 1,8611 1,9810 2,1044 2,2314 2,3621 2,4967 2,6355 2,7786 2,9263 3,0787 3,2363 3,3391 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000

ES 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 9,8104 9,3531 8,9222 8,5154

0,1800 0,1850 0,1900

0,3009 0,3106 0,3205

0,8796 0,8757 0,8718

3,5000 3,5000 3,5000

ROBERTO CHUST CARVALHO IE

8,3106 7,7662 7,4204

KMD 0,2050 0,2100 0,2150 0,2200 0,2250 0,2300 0,2350 0,2400 0,2450 0,2500 0,2550 0,2600 0,2650 0,2700 0,2750 0,2800 0,2850 0,2900 0,2950 0,3000 0,3050 0,3100 0,3150 0,3200 0,3300 0,3400 0,3500 0,3600 0,3700 0,3800

KX 0,3506 0,3609 0,3714 0,3819 0,3925 0,4033 0,4143 0,4253 0,4365 0,4479 0,4594 0,4711 0,4830 0,4951 0,5074 0,5199 0,5326 0,5455 0,5586 0,5721 0,5858 0,5998 0,6141 0,6287 0,6590 0,6910 0,7249 0,7612 0,8003 0,8433

KZ 0,8597 0,8556 0,8515 0,8473 0,8430 0,8387 0,8343 0,8299 0,8254 0,8208 0,8162 0,8115 0,8068 0,8020 0,7970 0,7921 0,7870 0,7818 0,7765 0,7712 0,7657 0,7601 0,7544 0,7485 0,7364 0,7236 0,7100 0,6955 0,6799 0,6627

EC 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000 3,5000

ES 6,4814 6,1971 5,9255 5,6658 5,4170 5,1785 4,9496 4,7297 4,5181 4,3144 4,1181 3,9287 3,7459 3,5691 3,3981 3,2324 3,0719 2,9162 2,7649 2,6179 2,4748 2,3355 2,1997 2,0672 1,8100 1,5652 1,3283 1,0983 0,8732 0,6506

Determinação da altura útil arbitrada fase de concepção e pré-dimensionamento da seção. d arb

h 20

dimensionamento e armadura longitudinal; posicionamento dos cabos e determinação do ycg dr

h

ycg

Comparar dr com darb dr

d arb

Aceitação do dimensionamento

dr

d arb

refazer cálculo adequando ao novo valor de altura útil ROBERTO CHUST CARVALHO IE

Tipos de protensão quanto aos estados de fissuração

Cada tipo de protensão requer um tipo de verificação de tensões normais, nas seções transversais, para uma certa combinação de esforços solicitantes Na prática o tipo de protensão exigido, conduz a uma armadura de protensão maior ou menor a ser empregada

Define-se cobrimento Definido a CAA Destinação edificação

Resistência do concreto Valor A/C ROBERTO CHUST CARVALHO IE Tipo de protensão

Classe de Classe de do Agressividade Agressividade Ambiente do Ambiente (CAA) (CAA) I III II III III

Agressividade Agressividade

fraca fraca média média forte forte

Classificação Geral do Classificação Geral do tipo de ambiente para tipo de projeto ambiente para projeto Rural e Submersa 1) Rural e Submersa 1) 2) 2) Urbana 1) 2) 1),2) Urbana 1),2) Marinha 1),2)e Industrial Marinha 1), e Industrial 1), 2) 2)

Risco de Risco de da deterioração deterioração estrutura da estrutura insignificante insignificante pequeno pequeno grande grande

1), 2)

1), 3) 3) Industrial 1), elevado 1), 3) Industrialde Maré elevado Respingos Respingos debranda Maré(um 1) mais 1) Pode-se Pode-se admitir admitir um um microclima microclima com com uma uma classe classe de de agressividade agressividade mais branda (um nível nível acima) acima) para para ambientes ambientes

IV IV

Muito forte Muito forte

internos secos (salas, banheiros, cozinhas e apartamentos conjuntos 1) Pode-se admitir um dormitórios, microclima com uma classe de agressividade mais de branda (um nívelresidenciais acima) parae internos secos (salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas áreas de de serviço serviço de apartamentos residenciais eambientes conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura). internos secos (salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço de apartamentos residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura). 2) Pode-se uma agressividade (um acima) comerciais ou ambientes com de concreto revestidomais combranda argamassa e pintura). 2) Pode-se admitir admitir uma classe classe de agressividade mais branda (um nível nível acima) em: em: obras obras em em regi regi ões ões de de clima clima seco, seco, com umidade relativa do ar menor ou igual a 65%, partes da estrutura protegidas de chuva em ambientes 2) Pode-se admitir uma classe agressividade branda (um da nívelestrutura acima) em: obras emde regi ões de clima seco, com umidade relativa do ar de menor ou igual mais a 65%, partes protegidas chuva em ambientes predominantemente secos, ou regiões onde chove raramente. com umidade relativa do ou ar regiões menor ou igual a 65%, partes da estrutura protegidas de chuva em ambientes predominantemente secos, onde chove raramente. 3) Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, predominantemente secos, ou agressivos, regiões ondetanques chove raramente. 3) Ambientes quimicamente industriais, galvanoplastia, galvanoplastia, branqueamento branqueamento em em indústrias indústrias de de celulose e papel, armazéns de fertilizantes, indústrias químicas. 3) Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, branqueamento em indústrias de celulose e papel, armazéns de fertilizantes, indústrias químicas. celulose e papel, armazéns de fertilizantes, indústrias químicas.

ROBERTO CHUST CARVALHO IE

ROBERTO CHUST CARVALHO IE

a) para elementos em meio não agressivo, os valores da Tabela 9.2;

TABELA 9.2 – Cobrimentos para peças pré-fabricadas Localização Tipos de Elementos Pré-fabricados No interior do Ao ar livre edifício Lajes, mesas das vias T, placas de vedação 1,0 1,5 não estruturais e elementos construtivos sujeitos a cargas até 3 kN/m² ROBERTO CHUST CARVALHO IE T e Vigas, pilares, arcos, nervuras das vigas 1,5 2,0 placas de vedação estruturais

TABELA 7.3Níveis de protensão segundo a NB6118:2003 TABELA 7.3Níveis de protensão segundo a NB6118:2003 TABELA 7.3Níveis de protensão segundo a NB6118:2003 TABELA 7.3Níveis de protensão segundo a NB6118:2003 TIPOS DE AGRESSIVIDADE EXIGÊNCIA COMBINAÇÃO TABELA 7.3Níveis de protensão segundo a NB6118:2003 TIPOS DE AGRESSIVIDADE EXIGÊNCIA COMBINAÇÃO TIPOS DE AGRESSIVIDADE EXIGÊNCIA COMBINAÇÃO TIPOS DE AGRESSIVIDADE EXIGÊNCIA COMBINAÇÃO CONCRETO AMBIENTE DE AÇÕES A TIPOS DE AGRESSIVIDADE EXIGÊNCIA COMBINAÇÃO CONCRETO AMBIENTE DE AÇÕES A CONCRETO AMBIENTE DE AÇÕES A CONCRETO AMBIENTE DE AÇÕES A ESTRUTURAL CONSIDERAR CONCRETO AMBIENTE DE AÇÕES A ESTRUTURAL CONSIDERAR ESTRUTURAL CONSIDERAR ESTRUTURAL CONSIDERAR Concreto simples CAA II aa CAA IV Não há -ESTRUTURAL CONSIDERAR Concreto simples CAA CAA IV Não há Concreto simples CAA II aa CAA IV Não há -Concreto simples CAA CAA IV Não há Concreto Armado CAA I Freqüente ELS-W 0,4 Concreto simples CAA I a CAA IV Não há Concreto Armado CAA I Freqüente ELS-W 0,4 Concreto Armado CAA II Freqüente ELS-W 0,4 Concreto Armado CAA Freqüente ELS-W 0,4 (sem protensão) mm Concreto Armado CAA I Freqüente ELS-W 0,4 (sem protensão) mm (sem protensão) mm (sem protensão) mm Concreto Armado CAA II a III Freqüente (sem protensão) ELS-W mm 0,3 Concreto Armado CAA II a III Freqüente ELS-W 0,3 Concreto Armado CAA II aa III Freqüente ELS-W 0,3 Concreto Armado CAA II III Freqüente ELS-W 0,3 (sem protensão) mm Concreto Armado CAA II a III Freqüente ELS-W 0,3 (sem protensão) mm (sem protensão) mm (sem protensão) mm Concreto Armado CAA IV Freqüente (sem protensão) ELS-W mm 0,2 Concreto Armado CAA IV Freqüente ELS-W 0,2 Concreto Armado CAA IV Freqüente ELS-W 0,2 Concreto Armado CAA IV Freqüente ELS-W 0,2 (sem protensão) mm Concreto Armado CAA IV Freqüente ELS-W 0,2 (sem protensão) mm (sem protensão) mm (sem mm Protensão parcial Pré-tração CAA II Freqüente (sem protensão) protensão) ELS-W mm 0,2 Protensão parcial Pré-tração CAA Freqüente ELS-W 0,2 Protensão parcial Pré-tração CAA I Freqüente ELS-W 0,2 Protensão parcial Pré-tração CAA I Freqüente ELS-W 0,2 Nível 1 Pós tração –CAA I e II mm Protensão parcial Pré-tração CAA I Freqüente ELS-W 0,2 Nível 1 Pós tração –CAA I e II mm Nível 1 Pós tração –CAA I e II mm Nível 1 Pós tração –CAA II IIee II mm Protensão limitada Pré-tração CAA (*) E.L.S-F. Freqüente Nível 1 Pós tração –CAA II mm Fiss. Protensão limitada Pré-tração CAA II (*) E.L.S-F. Fiss. Freqüente Protensão limitada Pré-tração CAA II (*) E.L.S-F. Fiss. Freqüente Protensão limitada Pré-tração CAA II (*) E.L.S-F. Fiss. Freqüente Nível 2 Pós-tração CAA III e IV E.L.S-D. Quase Protensão limitada Pré-tração CAA II (*) E.L.S-F. Fiss. Freqüente Nível 2 Pós-tração CAA III e IV (*) E.L.S-D. Fiss. Quase Nível 2 Pós-tração CAA III ee IV (*) E.L.S-D. Fiss. Quase Nível 2 Pós-tração CAA III IV (*) E.L.S-D. Fiss. Quase permanente Nível 2 Pós-tração CAA III e IV (*) E.L.S-D. Fiss. Quase permanente permanente permanente Protensão completa Pré-tração -1 (*) E.L.F. Fiss. Rara permanente Protensão completa Pré-tração -1 (*) E.L.F. Fiss. Rara Protensão completa Pré-tração -1 (*) E.L.F. Fiss. Rara Protensão completa Pré-tração -1 (*) E.L.F. Fiss. Rara Nível 3 (*) E.L.S-D. Fiss. Freqüente Protensão completa Pré-tração -1 (*) E.L.F. Fiss. Rara Nível 3 (*) E.L.S-D. Fiss. Freqüente Nível 3 (*) E.L.S-D. Fiss. Freqüente Nível (*) Freqüente Nível 3 3 (*) E.L.S-D. E.L.S-D. Fiss. Fiss. Freqüente Como ficam as cordoalhas engraxadas ?

ROBERTO CHUST CARVALHO IE

Com aderencia posterior

0

1

2

Cargas acidentais de edifícios TABELA 7.5Valores dos coeficientes f2 segundo a NB6118:2003 7.5dos segundo a NB6118:2003 TABELA 7.5Valores dos coeficientes coeficientes segundo a NB6118:2003 LocaisTABELA em que não há Valores predominância de pesos def2 equipamentos f2 TABELA 7.5Valores dos coeficientes segundo a ??ff22 f2 TABELA 7.5Valores dos coeficientes a NB6118:2003 NB6118:2003 f2 segundo que permanecem fixos por longos períodos de tempo, nem de 0,5 0,4 ?f2 0,3 ??ff221 2 2) 0 TABELA 7.5- Valores dos coeficientes 0 1 2 elevadas concentrações de pessoas f2 segundo a NB6118:2003 0 1 2 Cargas acidentais de edifícios 0 1 Cargas acidentais edifícios 0 Locais em que há predominância dede pesos de equipamentos que ?f21 22 Cargas acidentais de edifícios Cargas acidentais de edifícios Locais em quefixos não há predominância de equipamentos Locais em há de pesos de Cargas acidentais dede edifícios permanecem por longos períodos depesos tempo, ou de elevada Locais em que que não não há predominância predominância de pesos de equipamentos equipamentos 0 1 2 3) Locais em que não há predominância de pesos de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo, nem de 0,5 0,4 0,3 Locais em que não há predominância pesos equipamentos que fixos por longos períodos de tempo, nem 0,5 concentração de pessoas 0,7 0,6 0,4 Cargas acidentais dede edifícios que permanecem permanecem fixos por longos períodos dede tempo, nem de de 0,5 0,4 0,4 0,3 0,3 2) 2) que permanecem fixos por longos períodos de tempo, nem de 0,5 0,4 elevadas concentrações de pessoas 2) que permanecem por longos períodos dede tempo, nem de 0,5 0,3 elevadas concentrações de Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,4 0,7 0,3 0,6 Locais em que nãofixos há predominância de pessoas pesos equipamentos elevadas concentrações de pessoas 2) 2) concentrações de Locais em queelevadas há predominância de pesos de equipamentos que de pessoas pessoas Locais em há de pesos de equipamentos Vento que permanecem fixosconcentrações por longos tempo, nem que de 0,5 0,4 0,3 Locais em que queelevadas há predominância predominância deperíodos pesos dede equipamentos que Locais em que há predominância de pesos de equipamentos que permanecem por longos períodos de tempo, de elevada 2)ou Locais em quefixos há predominância de de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo, ou de elevada Pressão dinâmica do vento naspesos estruturas em geral 0,6 0,3 0 elevadas de pessoas permanecem fixos por concentrações longos períodos de tempo, ou de elevada 3) 3) permanecem fixos por longos períodos de tempo, ou de elevada concentração de pessoas 0,7 0,6 0,4 3) permanecem por longos períodos de tempo, ou de elevada concentração de 0,7 0,6 0,4 Temperatura Locais em quefixos há predominância pesos de equipamentos que concentração dedepessoas pessoas 0,7 0,6 0,4 3) 3) concentração de pessoas 0,7 0,6 0,4 Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,7 0,6 de pessoas 0,7 0,6 0,4 Biblioteca, arquivos, oficinas eetempo, garagens 0,8 0,7 0,6 Variações uniformes temperatura emderelação àou média anual 0,6 0,5 permanecem fixos concentração porde longos períodos de elevada Biblioteca, arquivos, oficinas garagens 0,8 0,70,3 0,6 Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,7 3) Vento arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,6 Vento 1)Para os valoresBiblioteca, de ψ1 relativos às pontes e principalmente aos problemas de fadiga, ver 0,7 seção0,6 23 concentração de pessoas 0,7 0,6 0,4 Vento Vento Pressão dinâmica do vento nas estruturas em geral 0,6 0,3 da NBR6118:2003. Vento Pressão dinâmica do nas em 0,6 0 Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,7 0 Pressão dinâmica do vento vento nas estruturas estruturas em geral geral 0,6 0,3 0,3 00,6 2)EdifíciosPressão residenciais. dinâmica do nas 0,6 Pressão dinâmica Temperatura do vento vento nas estruturas estruturas em em geral geral 0,6 0,3 0,3 0 0 Temperatura Vento Temperatura 3)Edifícios comerciais, de escritórios, estações e edifícios públicos. Temperatura Variações uniformes de temperatura em relação àà média anual 0,6 0,5 0,3 Temperatura Variações uniformes de temperatura em relação média anual 0,6 0,5 0,3 Pressão dinâmica do vento nas estruturas em geral 0,3 0 Variações uniformes de temperatura em relação à média anual 0,6 0,5 0,3 * Os valores de são usados nos estados limites últimos 1)Para os valores de ψ relativos às pontes e principalmente aos problemas de fadiga, ver seção 23 4 Variações uniformes de temperatura em relação àà média anual 0,6 0,5 0,3 1 relativos 1)Para os valores de ψ às pontes ee principalmente aos problemas de fadiga, ver seção 23 Variações uniformes de temperatura em relação média anual 0,6 0,5 0,3 1 relativos 1)Para os valores de ψ às pontes principalmente aos problemas de fadiga, ver seção 23 Temperatura 1 da NBR6118:2003. 1)Para os valores de ψ relativos às pontes e principalmente aos problemas de fadiga, ver seção 23 da NBR6118:2003. 1 1)Para os valores de ψ1 relativos às pontes e principalmente aos problemas de fadiga, ver0,5 seção 23 da NBR6118:2003. Variações uniformes de temperatura em relação à média anual 0,6 0,3 2)Edifícios residenciais. da NBR6118:2003. 2)Edifícios residenciais. da NBR6118:2003. 2)Edifícios residenciais. 1)Para os valores de ψ1 de relativos às pontes e principalmente aos problemas de fadiga, ver seção 23 3)Edifícios comerciais, escritórios, estações ee edifícios públicos. 2)Edifícios residenciais. 3)Edifícios comerciais, de escritórios, estações edifícios públicos. 2)Edifícios residenciais. 3)Edifícios comerciais, de escritórios, estações e edifícios públicos. da NBR6118:2003. 3)Edifícios comerciais, de escritórios, estações ee edifícios públicos. * Os valores de são usados nos estados limites últimos 4 3)Edifícios comerciais, de escritórios, estações edifícios públicos. * Os valores de são usados nos estados limites últimos 4 * Os valores de 4 são usados nos estados limites últimos 2)Edifícios residenciais. * Os valores de são usados nos estados limites últimos ROBERTO CHUST CARVALHO IE 4 * Os valores de 4 de sãoescritórios, usados nos estados limites últimos 3)Edifícios comerciais, estações e edifícios públicos.

* Os valores de

são usados nos estados limites últimos

Cálculo e Verificação do ELS na Flexão Controle da fissuração através da limitação da abertura estimada das fissuras

O cálculo da abertura de fissuras determinado para cada região de envolvimento é o menor dentre as expressões.

wk

wk

i

si

12,5

i

i

E si si

3 si f ct, m

4

ROBERTO CHUST CARVALHO IE

12,5

i

E si

ri

+ 45

DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA LONGITUDINAL

15

40

15

40

15

25

15

Exemplo 3 (Retirado de CARVALHO (2010)) Calcular a armadura da seção S5 (meio do vão) de uma ponte rodoviária em concreto protendido, com seção celular de modo a vencer um vão livre de 34 m com de SEÇÃO DO MEIO DO VÃO 6,8 m. Obra rodoviária de classe I (veículo tipo de 450 kN). B Características geométricas em S5 ycg,s =0,72 m;35A=4,58 m2; I=2,574 m4; W i =2,015 m3; Ws=3,565m3 (centro de gravidade a L/17 borda superior, área,100 inércia e módulos 35 resistentes inferior e superior respectivamente). (B-550)/2 550 Esforços solicitantes nas diversas seções: (B-550)/2 SEÇÃO DO APOIO B

100 35

(B-550)/2

15

L/17

(B-550)/2

35

100

30 cm

L/17

40

70

15

15

35

25

25

B

15 cm

SEÇÃO DO MEIO DO VÃO

550

(B-550)/2

(B-550)/2

550

SEÇÃO DO APOIO

L/17

40

15

70 Figura 7 Seções100transversais da ponte cuja seção do meio do vão terá 35 armadura calculada. (B-550)/2

30 cm

25

15 cm

B

550

(B-550)/2

ROBERTO CHUST CARVALHO IE

CAPÍTULO 8- PRÉ-DIMENSIONAMENTO E DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA LONGITUDINAL

PLANTA 1/2 CORTE

1/2 VISTA

70

B

12,5

25

35

50

25

Sext. baL

S0 L/5

200

S1

S2

S3

S4

S5

S6

S7

S8

S8

S10

Sext. baL

L/10

ELEVAÇÃO 1/2 CORTE

250 S1

S0

50

S2

1/2 VISTA S3

S4

S5

S6

S7

S8

50

37

15 cm

30 cm

ROBERTO CHUST CARVALHO IE

S9

S10

Sex

Cabo representante 340

340

340

340

340

S0

Sext

S1

S3

S4

15

S2

S5

18

6

AV

200

representante 15

18

cabo

680

1700

Dados adicionais:

Dados do cabo 12 1/2” Área = 12,02 cm2 bainha interna = 7 cm

atrito do cabo-bainha =0,20 desvio angular =0,01 rd/m Perda durante a cravação – 6 mm

Aço CP190RB; Ep=1,95x105MPa pi= 1400 MPa.

TABELA 8 Tensão ao longo do cabo representante após as perdas iniciais e ao longo do tempo Seção Sext S0 S1 S2 S3 S4 S5 1202 1250 1288 1169 1161 1153 s (MPa) t=to ROBERTO1277 CHUST CARVALHO IE 1024 1072 1110 1099 991 983 975 s (MPa) t=

TABELA 6 Momentos fletores (kN.m)

Seção

Mg1

Mg2

Mqmáx

Mqmin

Mqmáx

Mqmin

S0

-4228

-306

0

-3198

0

-4157

S2

7688

915

6491

-2818

7530

-3663

S5

13631

1608

10127

-2135

11747

-2776

Md,S5, máx = 1,3 (Mg1 + Mg2) + 1,5 Mqmáx = =1,3(13631+1608)+1,5(11747)= 37.341 kNm ROBERTO CHUST CARVALHO IE

CAPÍTULO 8- PRÉ-DIMENSIONAMENTO E DIMENSIONAMENTO DA 8.3.11- Cálculo do número de Cabos no ELU . ARMADURA O cálculoLONGITUDINAL da armadura longitudinal é feito no tempo infinito usando para tanto a p , S 5 ,t tensão =975 MPa que 8.3.11- Cálculo do número de Cabos no ELU . da armadura na seção mais solicitada Sr que é (tabela 8.7) permite calcular o infinito pré-alongamento p que caso é dado pela lei de Hoohe O cálculo da armadura longitudinal é feito no tempo usando para tantoneste ano ELU Cálculo do número de Cabos . 8.3.11Cálculo do de no .. 8.3.11Cálculo do número de Cabos no ELU .8.3.11-8.3.11Cálculo do número de Cabos no ELU . 8.3.11Cálculo do número número de Cabos Cabos no ELU ELU O cálculo da O cálculo da armadura longitudinal é feito no tempo infinito usando para p , S 5armadura ,t tanto a longitudinal é feito no tempo infinito usando para tanto a tensão da nalongitudinal seção mais ésolicitada Srno que é cálculo (tabela 8.7) =975 O cálculo da armadura longitudinal tempo infinito usando para tanto Oinfinito da armadura longitudinal é feito no tempo infinito usando para tanto a O cálculo daarmadura armadura feitoé feito no tempo usando para tanto a MPaa que p , S 5,t p= /Ep = 975/195.000=0,5% p , S 5 ,t p , S 5 , t permite calcular o pré-alongamento p queé neste caso é dado pelaS 5lei de Hoohe tensão da na mais solicitada Sr (tabela 8.7) MPa que tensão dap , Sarmadura na seção mais que é (tabela 8.7) =975 que MPa que ,t p , S 5 ,t 5 ,t p ,=975 da armadura na seção solicitada é (tabela 8.7) =975 MPa quesolicitada tensão da armadura mais solicitada queSr é (tabela 8.7) no MPa tensãotensão da armadura armadura na seção seção mais mais solicitada Sr que queSréque (tabela 8.7) =975 MPa que O valor de sna é seção função da condição deSrequilíbrio da seção ELU.=975 Como a seção calcular pré-alongamento p que caso nesteécaso é dadoleipela lei de Hoohe permite calcular oo pré-alongamento pp que caso éécaso dado pela lei de Hoohe permite calcular o pré-alongamento que neste épermite dado pela deoHoohe calcular pré-alongamento p que dado de Hoohe permite calcular pré-alongamento quepneste neste caso permite dado pela lei deolei Hoohe trabalha como um todo e assim o valor deneste b a considerar napela expressão é de 10,50m e o p= p , S 5,t /Ep = 975/195.000=0,5% valor de d será igual a altura h menos o valor arbitrado de 15 cm portanto d=2-0,15=1,85 p ,da S 5 ,t seção no ELU. Como a seção p , S 5,t O valor de s é função da condição de m equilíbrio p= /Ep = 975/195.000=0,5% S 5 ,t = 975/195.000=0,5% p , p= S 5,t , S 5 ,t p ,/Ep /Ep = 975/195.000=0,5% p= /Ep = 975/195.000=0,5% p= pp= /Ep = 975/195.000=0,5% trabalha como um todo e assim o valor de b a considerar na expressão de 10,50m e o de equilíbrio da seção no ELU. Como a seção O de ss de éé função da condição de da no ELU. Como seção O de valor s Como éaaéfunção da condição O valor sigual é função da condição devalor equilíbrio seção no a seção Odavalor s ELU. éde função da condição de equilíbrio da seção no ELU. Como a seção O valor valor de função da condição de equilíbrio equilíbrio da seção seção no ELU. Como seção valor de d será a altura h menos o arbitrado de 15 cm portanto d=2-0,15=1,85 37e.431 trabalha como um todo eetodo assim oo valor de bb aadeconsiderar na expressão éé de ee oovalor trabalha como ume10,50m todo assim oode valor b a considerar na expressão é de 10,50m p , S 5 , t trabalha como um e assim o valor b a considerar na expressão é de 10,50m e trabalha como um todo assim o b ade considerar na expressão é de 10,50m eo eo trabalha como um todo assim valor de considerar na expressão de 10,50m /Ep = 975/195.000=0,5% p= de dm M valor será igual a altura h menos o valor arbitrado de 15 cm portanto d=2-0,15=1,85 valor de d será igual a altura h menos o valor arbitrado de 15 cm portanto d=2-0,15=1,85 d igual 2 35.000 valor dede d 15 será ad=2-0,15=1,85 altura menos o valor arbitrado de 15 cm portanto d=2-0,15=1,85 de d igual será igual a altura h menos o valor arbitrado cm portanto valor valor de d será a altura h menos o valor arbitrado de 15 cm portanto KMD 10 ,50d=2-0,15=1,85 1h,85 2 m m b d f cd 1,4 m m m 0,04 37.431 M d 37.431 35.000 .431 KMD 37.43137 37 37.10 431 ,50.431 1,85 2 Da tabela 6.2 obtém-se kx =0,0603 e portanto x=0,0603x1,85=0,11m < hf linha neutra na 2 M M f cd d 2 35.000 2 35.000 M dd Mbd d10,50 0,04 KMDM d 35.0001,4 mesa KMD 11,,85 10,50 135 ,85.000 2 35.2000 2 2 10,50 1,85 2 KMDKMD KMD 10 , 50 85 10 50 1 , 85 bb dd 2 b ffdcd 2 f d questão f cd obtém-se1,kz=0,9759 11,,44 1,40,04 Ainda dabtabela s=1%. d 2 bfem 4 1,40,04 e 0,04 cd cd cd 0,04 0,04 Da tabela 6.2 obtém-se kx =0,0603 e portanto x=0,0603x1,85=0,11m < hf linha neutra na Assim, t = p + s =0,5+1=1,5% usando a tabela 6.1 fpd=150,7 kN/cm2 mesa Da tabela 6.2 obtém-se kx =0,0603 e portanto x=0,0603x1,85=0,11m < linha neutra na Da tabela 6.2 kxneutra =0,0603 x=0,0603x1,85=0,11m < hf neutra linha neutra na Da tabela 6.2 obtém-se kxem =0,0603 e portanto x=0,0603x1,85=0,11m < hf hfobtém-se linha neutra nae portanto Da tabela 6.2 obtém-se =0,0603 x=0,0603x1,85=0,11m < hf linha na Da tabela 6.2 obtém-se kx =0,0603 e portanto x=0,0603x1,85=0,11m < kx hf linha na e portanto Ainda da tabela questão obtém-se kz=0,9759 e s=1%. mesa Finalmente mesa mesa mesa mesa Assim,emtquestão = p + sobtém-se =0,5+1=1,5% usandoe a s=1%. tabela 6.1 fpd=150,7 kN/cm2 Ainda da tabela kz=0,9759 Ainda em37 questão kz=0,9759 e s=1%. .obtém-se 431 obtém-se d da tabela Ainda da M tabela em questão kz=0,9759 e s=1%. AindaAinda da tabela em questão obtém-se kz=0,9759 e s=1%. da tabela em questão obtém-se kz=0,9759 Aep s=1%. 137,5 Assim, tt = usando aa tabela 6.1 fpd=150,7 kN/cm2 =s =0,5+1=1,5% + s =0,5+1=1,5% a tabela 6.1 fpd=150,7 kN/cm22 kAssim, 0p,9759 1,85 150 ,7 usando pf pd+t kN/cm2 usando a tabela Assim, = pp t+ += ssp=0,5+1=1,5% =0,5+1=1,5% tabela 6.1 Assim, fpd=150,7 kN/cm2 Assim, + ts =0,5+1=1,5% a tabela 6.1 fpd=150,7 z td= cm26.1 fpd=150,7 kN/cm2 Finalmente p usando s usando Número de cabos n=Ap/12,02= 137,5/12,02=11,44 adotado 12 cabos, ou seja, 6 cabos Md 37.431 Finalmente Finalmente Finalmente Finalmente Ap 137Finalmente ,5 viga. por M Md 0,37 9759 ,7 37.431 M d Mk z d f pd37 M d verificar 37..431 431 37.431 .4311,85 150 cm2APara A 137,5os sete cabos na seção S5 usando as a altura arbitrada 137 detalha-se p A pp Ak p d d f d 0,9759 1,85 150,7 137 137,,55137,5 A p kfz d 0f12 0,19759 1,85 150 ,7 ,5 pd de cabos n=Ap/12,02= 137,5/12,02=11,44 adotado cabos, ou seja, 6 cabos k zz dNúmero 0 , 9759 1 , 85 150 , 7 k d , 9759 , 85 150 , 7 k zf pd d f 0 , 9759 1 , 85 150 , 7 cm2 distancias de 1,5 b e 2: b entre o centro do cm2 cabo ecm2 a aresta de concreto e entre cabos pd z pd pd cm2 cm2 por viga. Número de cabos n=Ap/12,02= 137,5/12,02=11,44 adotado 12 cabos, ou seja, 6 cabos Número de cabos n=Ap/12,02= 137,5/12,02=11,44 adotado 12 as cabos, ou6seja, 6 cabos respectivamente. Onde b é o diâmetro externo da bainha e portanto em Número de cabos n=Ap/12,02= 137,5/12,02=11,44 adotado cabos, ouna seja, 6seja, cabos Número de12 cabos n=Ap/12,02= 137,5/12,02=11,44 adotado 12 cabos, oudistâncias seja, cabos Número de cabos n=Ap/12,02= 137,5/12,02=11,44 adotado 12 cabos, ou 6 cabos Para verificar a altura arbitrada detalha-se os sete cabos seção S5 usando as por porsão viga. questão 10,5 e 14 cm. O arranjo dos cabos é mostrado na figura 8.30. Nota-se que por viga. viga. porcabo viga. por viga. distancias dea 1,5 b earbitrada 2: b entre o centroosdo e a na de S5 concreto e as entre cabos Para verificar altura detalha-se sete cabos usando Para verificar amínimo altura arbitrada sete cabos na seção S5 usando as pelo detalhe 1aresta o seção cobrimento 4,5 cm detalha-se está os atendido. Para Para verificar a altura arbitrada detalha-se os sete na seção usando as de Paracabos verificar aS5altura arbitrada detalha-se seteoscabos na seção S5 usando as verificar a altura arbitrada detalha-se os cabos sete na seção S5 usando as respectivamente. Onde b é o diâmetro externo da bainha e portanto as distâncias em distancias de ee 2: entre oo centro do eedistancias aa aresta de ee2:entre cabos bbeeentre 2:entre b oentre o centro do ecabo e a aresta de concreto entre cabos distancias de 1,5 1,5debbsão 2:b bbe e2: entre centro do cabo cabo aresta dedeconcreto concreto entre cabos 1,5 b 1,5 efigura centro do cabo a aresta de concreto e entree cabos distancias 1,5 b cm. entre centro do cabo e édistancias a mostrado aresta dedena concreto cabos questão 10,5 14 Ooarranjo dos cabos 8.30. Nota-se que respectivamente. Onde b é o diâmetro externo da bainha e portanto as distâncias em respectivamente. Onde b é o diâmetro externo da bainha e portanto as distâncias em ROBERTO IE externo da bainha e portanto as distâncias em respectivamente. Onde1Onde bcobrimento é obdiâmetro externo da cm bainha eatendido. portanto asCHUST distâncias em em respectivamente. Onde éCARVALHO o diâmetro respectivamente. é o diâmetro externo daestá bainha e portanto asb distâncias pelo detalhe o mínimo de 4,5 questão são 14 arranjo dos éé mostrado na Nota-se que questão 10,5 e 14ONota-se cm. O arranjo dos cabos é mostrado na figura 8.30. Nota-se questão são 10,5 10,5 14 cm. cm. Ocm. arranjo dos cabos cabos mostrado na figura 8.30. Nota-se que questão sãofigura 10,5 e8.30. 14 cm. arranjo dos cabos é mostrado na figura 8.30. Nota-se que que questão são ee10,5 e 14O O arranjo dos cabos é mostrado nasão figura 8.30. que pelo detalhe 1 o cobrimento mínimo de 4,5 cm está atendido. pelo detalhe 1 o cobrimento mínimo de 4,5 cm está atendido. pelo detalhe 1 o cobrimento mínimo de 4,5decm peloatendido. detalhe 1 o cobrimento mínimo de 4,5 cm está atendido. pelo detalhe 1 o cobrimento mínimo 4,5está cmatendido. está

Ainda da tabela em questão obtém-se kz=0,9759 e s=1%. Assim, = + =0,5+1=1,5% usando a tabela 6.1 fpd=150,7 kN/cm

Detalhe 1

10,5

14

Seção S5 Borda inferior

Detalhe 1

5,8

10,5 14 14

5,8

A partir da disposição da armadura pode-se calcular agora o cg (ycg) dos cabos na S5 e portanto a altura útil real dr = h -ycg yi 3 0,105 3 0,245 y cg 0,175 n 6 Assim o valor da altura real resulta em dr = h -ycg=2-0,175=1,825 ROBERTO CHUST CARVALHO IE

Como o dr=1,825
8.3.12-- Verificação do ELS de fissuração. 8.3.12-- Verificação de fissuração. Em virtudedo daELS condição ambiental de agressividade do entorno onde se executará EmVerificação virtude da do condição de agressividade do entorno executará de 8.3.12-ELS fissuração. a ponte era do nível III adeambiental protensão deve ser a limitada. Assim,onde a se verificação Verificação ELS de a 8.3.12-ponte era do níveldado III a protensão deve ser a limitada. verificação de a Em virtude condição ambiental de agressividade doAssim, entorno onde se executará fissuração é feita através dofissuração. controle das tensões normais no aconcreto. Como 8.3.12-Verificação ELS deprotensão fissuração. dadocondição ambiental deno agressividade entorno seComo executará fissuração é virtude feita através controle das tensões normais no concreto. ade averificação ponteEm era do ruptura nível III avazio, deve ser a limitada. Assim, aonde verificação de emdo ou seja, tempo zero do também pode ser feita desta virtude da condição ambiental de agressividade do entorno se executará afissuração ponteEm era nível III ado protensão deve ser a zero limitada. Assim, aonde verificação verificação de ruptura em vazio, ou na seja, no tempo também ser feita destadea é do feita através controle das tensões normais nopode concreto. Como forma faz-se ambas as verificações seção S5 nas demais seções é feita a determinação 8.3.12-Verificação do ELS de fissuração. 8.3.12-Verificação ELS fissuração. afissuração era do nível III ade deve ser a limitada. aonde verificação dea éambas feita doprotensão controle das tensões normais concreto. Como forma faz-se asdo verificações na seção S5 nas demais seções énofeita a determinação verificação de ruptura em vazio, oucapítulo seja, no tempo zero também pode sersefeita desta doponte feixe limite que éatravés comentada no posterior. Em virtude da condição ambiental de agressividade doAssim, entorno executará Em virtude ambiental de agressividade do entorno onde se feita executará édeambas feita através controle das tensões normais noé pode concreto. Como a verificação ruptura em vazio, ou no zero também desta dofissuração feixe limite que éda comentada capítulo posterior. forma faz-se ascondição verificações na seja, seção S5tempo nas ademais seções feita determinação de protensão em um cabo (tabela 8.7) aForça ponte era do nível III adono protensão deve ser limitada. Assim, a aser verificação de averificação ponte era do nível III avazio, protensão deveno ser a demais limitada. Assim, a verificação de de ruptura em ou seja, tempo zero também feita desta forma verificações na8.7) seção S5 nas seções é pode feita aser determinação Força defaz-se protensão em um cabo (tabela do feixe limite que éas comentada nocontrole capítulo posterior. fissuração éambas feita através do das normais no concreto. Como a tempo zero Np,t=0 = 115,3x12,02 =1386 kN,tensões fissuração é feita através do controle das tensões normais no concreto. Como a forma faz-se ambas as verificações na seção S5 tempo nas demais é feita determinação do feixe limite que comentada no capítulo posterior. tempo zero N = 115,3x12,02 =1386 kN, Força de protensão (tabela 8.7) p,t=0 verificação de ruptura emcabo ou seja, no zero seções também podea ser feita desta tempo infinito Néem =vazio, 97,x12,02 =1172 kN, p,t= um verificação de ruptura em vazio, ou seja, no tempo zero também pode ser feita desta do feixe limite que é comentada no capítulo posterior. Força de protensão em um cabo (tabela 8.7) tempo infinito = 97,x12,02 =1172 kN, forma faz-se ambas as=verificações na seção S5 nas demais seções é feita a determinação tempo zero NN 115,3x12,02 =1386 p,t=cabos p,t=0 excentricidade dos e = y y =1,278-0,175=1,103 m i na cg forma faz-se ambas as verificações seção nas demais seções é feita a determinação Força de protensão em um cabo (tabela 8.7) S5 tempo zero N = 115,3x12,02 =1386 kN, p,t=0 do feixe limite que é comentada no capítulo posterior. excentricidade dos cabos e = y y =1,278-0,175=1,103 tempo infinito N = 97,x12,02 =1172 kN, i cg geometria da p,t= seção S5 (tabela 8.3) A=4,5875 m2,mWi=2,015 m3, Ws=3,565 m3, do feixe limite que é comentada no capítulo posterior. tempo zero N =um 115,3x12,02 =1386 kN, p,t=0 tempo infinito N = 97,x12,02 =1172 kN, m2, Wi=2,015 Força de protensão em cabo (tabela 8.7) geometria da seção S5 (tabela 8.3) A=4,5875 m3, Ws=3,565 m3, p,t= excentricidade dos cabos e = y y =1,278-0,175=1,103 m yi=1,278m i cg Força de protensão em um cabo (tabela 8.7) tempo infinito N = 97,x12,02 =1172 kN, p,t= excentricidade dos cabos e =Mg1=13631 yi - ycg=1386 =1,278-0,175=1,103 m yi=1,278m tempo geometria zero Np,t=0 = 115,3x12,02 kN, Mg2=1608, da seção S5 (tabela 8.3) A=4,5875 m2, Wi=2,015 m3, Ws=3,565 m3,e Esforços na seção kN.m, Mq,máx=11747 kN.m tempo zero N = 115,3x12,02 =1386 kN, p,t=0 excentricidade cabos e97,x12,02 =(tabela yi - ycg8.3) =1,278-0,175=1,103 m Mq,máx=11747 geometria da seção =S5 A=4,5875 m2, Wi=2,015 m3, Ws=3,565 Esforços na seção Mg1=13631 kN.m, kN.mm3, e yi=1,278m tempo infinito dos N =1172 kN,Mg2=1608, p,t= Mq,min=-2776 kN.m tempo infinito N = 97,x12,02 =1172 kN, geometria p,t= seção S5 (tabela 8.3) A=4,5875 m2, Wi=2,015 m3, Ws=3,565 m3, yi=1,278m Mq,min=-2776 EsforçoskN.m nada seção eMg1=13631 kN.m, Mg2=1608, excentricidade dos cabos = yi - ycg =1,278-0,175=1,103 m Mq,máx=11747 kN.m e excentricidade dos cabos e = y y =1,278-0,175=1,103 m yi=1,278m i cg Esforços Mg2=1608, Mq,máx=11747 kN.mm3, e geometriana daseção seção S5Mg1=13631 (tabela 8.3)kN.m, A=4,5875 m2, Wi=2,015 m3, Ws=3,565 Mq,min=-2776 kN.m geometria da seção seção S5 Mg1=13631 (tabela 8.3) A=4,5875 m2, Wi=2,015 m3, Ws=3,565 m3,e Esforços na kN.m, Mg2=1608, Mq,máx=11747 kN.m Mq,min=-2776 kN.m yi=1,278m yi=1,278m Mq,min=-2776 Esforços kN.m na seção Mg1=13631 kN.m, Mg2=1608, Mq,máx=11747 kN.m e Esforços na seção Mg1=13631 kN.m, Mg2=1608, Mq,máx=11747 kN.m e Mq,min=-2776 kN.m Mq,min=-2776 kN.m ROBERTO CHUST CARVALHO IE

Verificação de ruptura e no tempo “zero” Verificação de ruptura e no tempo “zero” limites para as tensões (supondo fcj=20 MPa): limites para de as tensões fcj=20 MPa): Verificação ruptura (supondo e no tempo “zero” Compressãode 0,7xfcj =0,7x20.000=14.000 Verificação ruptura e no tempo “zero” kN/m2 Compressão 0,7xfcj =0,7x20.000=14.000 kN/m2 limites para de as tensões (supondo fcj=20 MPa): 2 / 3 fcj=20 Verificação ruptura e no tempo “zero” limites para as tensões (supondo MPa): Tração 1,2xf0,7xfcj 0,6 20 2 / 3 =2,652 MPa =2652 kN/m2 ctm = 1,2=0,7x20.000=14.000 Compressão kN/m2 Tração 1,2xf = 1 , 2 0 , 6 20 =2,652 MPa =2652 kN/m2 ctm limites para as tensões (supondo fcj=20 MPa): Compressão 0,7xfcj =0,7x20.000=14.000 kN/m2 2/3 Borda inferior: Tração 1,2xf = 1 , 2 0 , 6 20 =2652 kN/m2 ctm 2 / 3 =2,652 MPa Borda inferior: Compressão 0,7xfcj =0,7x20.000=14.000 kN/m2 TraçãoN p1,2xf = 1 , 2 0 , 6 20 =2,652 MPa =2652 kN/m2 ctm M p M g1 12 1386 12 1386 1 , 103 13631 2 / 3 Borda inferior: N M M 12 1386 12 1386 1 , 103 13631 p p g 1 Tração 1,2xf = 1 , 2 0 , 6 20 =2,652 MPa =2652 kN/m2 ctm i Borda inferior: Ap M Wip M Wgi 1 12 4,5875 2,0151,103 13631 2,015 i 1386 12 1386 Ap M Wip 2 M Wgi 1 12 4,5875 2 , 015 2,015 BordaN inferior: N 1386 12 1386 1,103 13631 2 i = 5965 kN/m2<14000 kN/m2 Wip <14000 Wgi 1 12 4,5875 2,0151,103 13631 2,015 i = 5965 NAp kN/m M M kN/m 1386 12 1386 A W W 4 , 5875 2 , 015 2,015 a condição de icompressão está atendida i 2 2 i a condição de atendida = 5965 kN/m kN/m 2<14000 2 Asuperior Wicompressão Wi 4está ,5875 2,015 2,015 Borda = 5965 kN/m <14000 kN/m superior aBorda condição de compressão está atendida 2 2 = 5965 <14000 kN/m a condição de está atendida N p kN/m M compressão M 12 1386 12 1386 1,103 13631 p g1 Borda superior N M M 1386 12 1386 1,103 13631 p p g 1 aBorda condição de compressão12 está atendida s superior Ap M Wsp M Wgs 1 12 4,5875 3,5651,103 13631 3,565 s 1386 12 1386 Asuperior W W 4 , 5875 3 , 565 3,565 BordaN N M M sp 12 1386 1 , 103 13631 p gs 1 2 12 1386 s =2303>-2652 Wsp kN/m Wgs 1 2 12 4,5875 3,5651,103 13631 3,565 s =2303>-2652 NAp M M kN/m 1386 12 1386 A Ws Ws 2 4,5875 3,565 3,565 s =2303>-2652 kN/m A W Ws 2está4,5875 3,565é preciso3,565 =2303>-2652 kN/m a condição des tração atendida e não usar a condição de tração 2está atendida e não é preciso usar =2303>-2652 kN/m fissuração na borda superior. borda superior. afissuração condiçãonade tração está atendida e não é preciso usar a condição de tração está atendida e não é preciso usar fissuração borda superior. a condiçãona tração está atendida e não é preciso usar fissuração nade borda superior. ROBERTO CHUST CARVALHO IE fissuração na borda superior.

3625 3625 3625 3625 3625

9104 9104 9104 9104 9104

6764 6764 6764 6764 6764

5965 5965 5965 5965 5965

3625 5145 3823 2303 3625 5145 3823 2303 3625 5145 3823 2303 3625 5145 3823 2303 3625 5145 3823 2303 armadura para controlar a armadura para controlar a armadura para controlar a armadura para controlar a armadura para controlar a

Protenão Protenão Limitada Limitada Verificação Verificação de de Fissuração Fissuração no tempo infinito no tempo infinito ee considerando considerando o o estado estado de de descompressão descompressão ee o o deformação deformação de de fissuras fissuras para a combinação quase permanente e freqüente respectivamente. Os coeficientes para a combinação quase permanente e freqüente respectivamente. Os coeficientes 11 ee considerar segundo a norma NBR8681:2003 são iguais a 0,3 e 0,5 respectivamente 2 a 2 a considerar segundo a norma NBR8681:2003 são iguais a 0,3 e 0,5 respectivamente .. Estado Estado limite limite de de descompressão descompressão (E.L.S-D). (E.L.S-D). Combinação Combinação de de ações ações Quase Quase Permanente Permanente Os limites neste caso são Os limites neste caso são Tração = Tração =0 0 Compressão Compressão estado estado limite limite de de compressão compressão excessiva excessiva (ELS-CE) (ELS-CE) 0,7 0,7 ffck ck 0 24500 0 24500 BORDA BORDA INFERIOR INFERIOR Situação Situação momento momento máximo máximo N M M M 2 M q , máx N pp M pp M gg11 M gg 22 2 M q , máx i i A W W W A Wi Wi Wi i

i i

i

i

Situação Situação momento momento mínimo mínimo N M M M 2 M q , min N pp M pp M gg11 M gg 22 2 M q , min A W W W A Wi Wi Wi i

i

i

BORDA BORDA SUPERIOR SUPERIOR Situação Situação momento momento máximo máximo N M M M 2 M q , máx N pp M pp M gg11 M gg 22 2 M q , máx s s A W W A W Wss Wii Wss Situação Situação momento momento mínimo mínimo ROBERTO CHUST CARVALHO IE N M M 2 M N p M p M g1 M M g2 M q ,min x s s

p

A A

p

W Ws

g1

W Wi

g2

2

q , min x

W Ws

Estado limite de formação de fissuras (E.L.S-F). Combinação de ações Freqüente Os limites neste são de fissuras (E.L.S-F). Combinação de ações Freqüente Estado limite de caso formação Os limites neste f c ,tm caso 0,3 são f ck2 / 3 Tração 2/3 f c ,tm estado 0,3 f cklimite Tração Compressão de compressão excessiva (ELS-CE) 0,7 fck Compressão

estado limite de compressão excessiva (ELS-CE)

kN 3850 2 kN 3850 m 2 m

kN 24500 2 kN 24500 m 2 m

BORDA INFERIOR Situação momento máximo BORDA INFERIOR NSituação M p momento M g1 Mmáximo p g2 1 M q , máx i NAp M M q ,máx 1 W Wip M g1Wi M g 2 i i ASituação Wi momento Wi mínimo Wi Situação momento mínimo N p M p M g1 M g 2 1 M q , min i NAp M M q ,min 1 W W p M g 1W M g 2 i

i

i

i

A Wi Wi BORDA SUPERIOR Situação momento máximo BORDA SUPERIOR NSituação M p momento M g1 Mmáximo p g2 1 s NAp M 1 W p M g 1W M g 2 s

s

s

i

A Wmomento Wmínimo Situação s i N p Mmomento M g1 mínimo M g2 Situação p NAp M W p M g1W M g 2 s

i

1 1

Wi

M q ,máx M q ,máx W s

Ws CHUST CARVALHO IE MROBERTO q , min x M W q ,min x s

0,7 fck

BORDA INFERIOR BORDA INFERIOR BORDA INFERIOR Situação momento máximo BORDA INFERIOR Situação momento máximo Situação momento máximoM q ,máx N pSituação M p momento M M gmáximo g1 NNp MMp MMg1 MM2g 2 2 2 MM q , máx i Npp W M p p M gW 2 M q ,qmáx , máx 1g 1 M g 2g 2 2W A i i i i AA WW WW WW i i i i i Wi1i,103 13631 Wi i 1608 0,3 11747 i 12A1172Wi 12 1172 12 1172 12 1172 1,1103 13631 1608 ,3,311747 i 12 1172 12 1172 , 103 13631 1608 0 11747 12 1172 12 2 1172 1,103 13631 1608 00 ,23,015 11747 4 , 5875 , 015 2 , 015 i i 4 , 5875 2 , 015 2 , 015 2 , 015 i ,5875 ,015 ,015 ,015 44 ,5875 22 ,015 ,kN/m2 015 22 ,015 3066 7698 7562 1748 145222 i 3066 7698 7562 1748 1452 kN/m2 i 3066 7698 7562 1748 1452 1452kN/m2 kN/m2 i i 3066 7698 7562 1748

i

i i

i

i i i

i i

Situação momento mínimo Situação Situaçãomomento momentomínimo mínimo Situação momento mínimo N p M p M g1 M g 2 M q ,min NNp MMp MMg1 MMg 2 2 2 MM q , min Npp W M p p M gW 2 M q ,qmin , min 1g1 M g 2g 2 2W A i i i i AA WW W W i i i WW WW i 12A1172Wi 12 1172 13631 0,3 2776 i 1i,103 i i 1608 12 1172 12 1172 1 , 103 13631 1608 0,3,32776 12 1172 12 1172 1 , 103 13631 1608 2776 12 1172 12 2 1172 1,103 13631 1608 020 ,3,015 2776 4 , 5875 , 015 2 , 015 i 44 ,5875 2 , 015 2 , 015 2 , 015 ,5875 ,015 2 ,015 ,015 4,5875 22 ,015 ,015 22 ,015 3066 7698 7562 413 3615 2kN/m2 3066 7698 7562 413 3615 kN/m2 3066 7698 7698 7562 7562 413 413 3615 3615kN/m2 kN/m2 i 3066

BORDA SUPERIOR BORDA SUPERIOR BORDA SUPERIOR Situação momento máximo BORDA SUPERIOR Situação momento máximo Situação momento máximo N pSituação M p momento M M máximo g1 g2 2 M q , máx N M M M p p g 1 g2 2 M s N M M M Mqq ,,qmáx N p p WM p p M gW 2M , máx 1g1 M g 2g 2 2W máx A s s i s AA WWs WW WWs s s i Wi1i,103 13631 Ws s 1608 0,3 11747 s 12A1172Ws 12 1172 12 1172 12 1172 1 , 103 13631 1608 ,3,311747 s 12 1172 12 121172 1172 ,103 13631 13631 1608 0 11747 12 1172 1,1103 1608 00 ,33,565 11747 4 , 5875 3 , 565 3 , 565 s 44 ,5875 3 , 565 3 , 565 3 , 565 s s ,5875 ,565 ,565 ,565 4,5875 3,3565 ,3565 3,3565 3066 4351 4274 988 3977 3 kN/m2 s 3066 4351 4274 988 3977 kN/m2 s 3066 4351 4351 4274 4274 988 3977 3977kN/m2 kN/m2 3066 988 momento mínimo s sSituação Situação momento mínimo Situação momento mínimo N M pmomento M g1 M Situação mínimo g2 2 M q , min x NpNp MM MMg1 MM p g2 2 M x s Mqq ,,qmin N p p WM p p M gW , min 1g 1 M g 2g 2 22 min xx A WM s s i s s AA WWs WW WWs s i Wi1i,103 13631 Ws s 1608 0,3 2776 s 12A1172Ws 12 1172 12 1172 12 1172 1,1103 13631 1608 ,3,32776 s 12 1172 12 1172 , 103 13631 1608 0 2776 1172 12 1172 030 ,3,565 2776 412 ,5875 3,565 1,103 13631 3,5651608 s s 4 , 5875 3 , 565 3 , 565 3 , 565 s ,5875 ,565 ,565 ,565 44 ,5875 3,3565 ,3565 3,3565 3066 4351 4274 233 2752 3kN/m2 s 3066 4351 4274 233 2752 kN/m2 s 3066 4351 4274 233 2752 kN/m2 s s 3066 4351 4274 233 2752 kN/m2

ROBERTO CHUST CARVALHO IE A maior tensão (situação 3) atende a condição limite 3977<24500 kN/m2 AAmaior tensão (situação 3) atende a condição limite 3977<24500 kN/m2 maiortensão tensão(situação (situação1) 3)atende atendea acondição condiçãolimite limite3977<24500 3977<24500 kN/m2 AAmenor 1452>0 kN/m2 tensão (situação 3) kN/m2 AAmaior menor tensão (situação 1) atende a condição limite 1452>0 kN/m2 menortensão tensão(situação (situação1)1)atende atendea acondição condiçãolimite limite1452>0 1452>0kN/m2 kN/m2 A menor

Estado limite de formação de fissuras (E.L.S-F). Combinação de ações Freqüente Os limites neste caso são Estado limite f c ,tmde formação 0,3 f ck2 / 3 de fissuras (E.L.S-F). Combinação de ações Freqüente Tração Os limites neste caso são 2 / 3 de de Compressão compressão excessiva (ELS-CE)de ações 0,7 fck Estado formação fissuras (E.L.S-F). Combinação Freqüente f c ,tmdeestado 0,3 f cklimite Tração limite Os limites neste caso são Compressão estado limite de compressão excessiva (ELS-CE) 0,7 fck 2/3 Substituindo f =35 chega-se a condição: ck f c ,tm 0,3 f ck Tração Compressão estado limite compressão excessiva (ELS-CE) Substituindo chega-se a condição: kN fck=35 kN de 3850 2 24500 2 m f =35 chega-se m a condição: Substituindo kN ck kN 3850 2 24500 2 m m kN kN 3850 2 24500 2 m m

ROBERTO CHUST CARVALHO IE

0,7 fck

BORDA INFERIOR BORDA INFERIOR BORDA INFERIOR BORDA INFERIOR Situação momento máximo BORDA INFERIOR Situação momento máximo momento máximo momento máximo Situação momento N pNSituação M M M M M M p p g1 g1 g 2 gmáximo 1 1M q , máx M M M , máx pp p g1 g 22 1 M qq, máx N M M M i M M M Mqq,,máx M pp p pp p gg11g1 gg22g 2 11 1 M ii A N qmáx , máx W W W W iWi i i A iWii W W ii i i i AA WW WW W WW ii i 1172 ii i 1608 i 1,103 13631 12 12 1172 1ii ,103 12 1172 1172 13631 1608 00,05,5,511747 11747 117212 12 1,103 13631 1608 11747 12 1172 12 1172 1,1 103 13631 1608 00,0 55,511747 i ii 12 1172 12 1172 , 103 13631 1608 11747 13631 1608 , 4,5875 2,015 2,22015 22,2,015 015 015 ,11747 015 4,5875 22,,015 ,,015 015 ii i 4,45875 2,2015 22,2 22,2 ,5875 ,015 ,015 ,015 ,015 015 ,015 015 7698 2914 76987562 7562 2914 287kN/m2 287kN/m2 3066 7698 7562 2914 287kN/m2 i i 3066 3066 7698 7562 2914 287kN/m2 3066 7698 7698 7562 7562 2914 2914 287kN/m2 287kN/m2 ii i 3066

i

i

i

momento mínimo Situação momento mínimo Situação momento mínimo Situação Situaçãomomento momentomínimo mínimo Situação momento mínimo M M M q,min M M M N pN p M M , min p pp M g1 gg11 M g 2gg22 1 11M q ,qmin N NNpp p M MMpp p M MMgg11g1 M MMgg22g 2 11 1 M MMqq,,min i qmin , min W W WW WW ii i A A WiWii iWii i ii A W W A W W W A W W W ii i ii i ii i 11721212 1172 11,,103 13631 1608 2776 12 1172 103 13631 136311608 1608 00,05,5,52776 2776 12 12 1172 1172 1,103 12 1172 12 1172 11,,1 103 13631 1608 00,0 55,52776 i 12 1172 12 1172 , 103 13631 1608 2776 12 1172 12 1172 103 13631 1608 , 2776 4,5875 22,,015 ,,015 ,015 015 015 ,015 ii i4,5875 2,015 2,222015 222,2015 44,4 5875 2 , 015 , 015 , 015 ,5875 ,015 2 ,015 ,015 ,5875 22 ,015 2kN/m2 ,kN/m2 015 22 ,015 3066 7698 7562 688 6890 76987562 7562 688 6890 6890kN/m2 i 3066 7698 688 3066 7698 7562 688 6890 kN/m2 ii i 3066 3066 7698 7698 7562 7562 688 688 6890 6890kN/m2 kN/m2

SUPERIOR BORDA SUPERIOR BORDA SUPERIOR BORDA SUPERIOR BORDA SUPERIOR BORDA SUPERIOR Situação momento máximo momento máximo Situação momento máximo Situação momento máximo Situação momento máximo Situação momento máximo N pp M pp M M M M Mqq,máx gg11 gg22 11 M , máx N M M M N M M M p p g 1 g 2 1 1MM qM , máx ss p g1 g2 q , máx M M M NANpp p M M M M 1 pp g1gW g 2g 2 1 1W q ,qmáx W s Wii Wss ,máx s s s s A A W Ws W W W W s i sW s i s WWs s 12 WW W i i1 s s 1608 12AA1172 12 1172 1172 1,,103 103 13631 13631 1608 00,5,5 11747 11747 12 1172 12 1172 1 , 103 13631 1608 00,05,,055,11747 12 1172 12 1172 1 , 103 13631 1608 11747 ss 12 1172 12 1172 1 , 103 13631 1608 5 11747 12 1172 12 1172 1 , 103 13631 1608 4 , 5875 3 , 565 3 , 565 3 , 565 3,565 3,565 3,11747 565 s s s s4,5875 3 , 565 3 , 565 3 , 565 44,4 5875 3 , 565 3 , 565 3 , 565 ,5875 ,565 ,kN/m2 565 ,565 ,5875 3,3565 3,3565 3,3565 3066 4351 1647 kN/m2 3066 4351 4274 4274 1647 4636 4636 ss 3066 4351 4274 1647 3066 4351 4274 1647 4636 kN/m2 4636 kN/m2 s s 3066 4351 4351 4274 4274 1647 4636 3066 1647 4636kN/m2 kN/m2 momento mínimo s s Situação Situação momento mínimo Situação momento mínimo Situação momento mínimo N M M M Situação Situação mínimo N Mmomento M gg11 mínimo M Mqq,min pp ppmomento gg22 11 M , minxx ss N pN p MM g1 MM g2 1MM q , min pM g 1 g 2 1 qM , min x x M M NANpp pM M M M M M 1 pp g1g g 2g 2 1 1W q ,qmin W W A Wss Wii Wss ,minx x s s s s A12A WsW WiW WW s i s AA1172 WW WW W sW s s 12 i i1 s s 1608 12 1172 12 1172 1172 1,,103 103 13631 13631 1608 00,5,5 2776 2776 1172 12 1172 1 , 103 13631 1608 0,05,0 55,5 2776 s 12 12 1172 12 1172 1 , 103 13631 1608 0 2776 s 12 1172 12 1172 1 , 103 13631 1608 2776 12 1172 12 1172 1 , 103 13631 1608 , 2776 44,,5875 33,,565 33,,565 33565 5875 565 565 ,565 s s s s 4 , 5875 3 , 565 3 , 565 3 , 565 4,3066 5875 ,565 3,565 3,3565 ,5875 ,565 ,565 ,565 44 ,5875 3,3565 565 ,3565 4351 389 s 3066 4351 34274 4274 389 2599 25993,3kN/m2 kN/m2 s 3066 4351 4274 389 2599 kN/m2 s 3066 4351 4274 389 kN/m2 3066 4351 4274 389 3066 4351 4274 3892599 2599 kN/m2 2599 kN/m2 s

s s

A A maior maior tensão tensão (situação (situação 7) 7) atende atende aa condição condiçãolimite limite 4636<28500 4636<28500kN/m2 kN/m2 A maior tensão (situação 7) atende a condição limite 4636<28500 kN/m2 A menor tensão (situação 5) atende a condição limite 287>-3850 kN/m2 A maior tensão (situação 7) 7) atende a condição limite 4636<28500 kN/m2 maior tensão (situação a acondição limite 4636<28500 kN/m2 maior tensão (situação 7)atende 4636<28500 kN/m2 AAmenor tensão (situação 5) atende condição limite 287>-3850 kN/m2 A menor tensão (situação 5) atende acondição condição limite 287>-3850 kN/m2 ROBERTO CHUST CARVALHO IE Desta forma as condições de fissuração estão atendidas A menor tensão (situação 5) atende a condição limite 287>-3850 kN/m2 A menor tensão (situação 5) atende a condição limite 287>-3850 kN/m2 A menor tensão (situação 5) atende a limite 287>-3850 kN/m2 Desta forma as condições de fissuração estão atendidas Desta forma as condições de fissuração estão atendidas Desta forma estão atendidas Desta forma ascondições condições defissuração fissuração estão atendidas Desta forma as as condições dede fissuração estão atendidas

4. Caso particular de falta de solução para a armadura longitudinal. A diferença entre as intensidades de protensão a ser usada em função da condição de agressividade ambiental pode fazer muita diferença no cálculo de armadura de peças pré-tracionadas e convêm no caso da protensão limitada e completada fazer inicialmente um teste para ver se a seção poderá apresentar solução. As condições de verificação do ELU no tempo zero e a da fissuração no tempo infinito (excetuando protensão parcial) podem conduzir a situação conflitante. Chamando n o número de cordoalhas ou elementos de protensão deve ser atendido, por exemplo, para uma seção, submetida a momentos positivos e Imaginando que não sejam usados cabos superiores tem-se:

ROBERTO CHUST CARVALHO IE

a) para o ptempo borda n N n zero N p ,t na M g1 superior condição de tração deve ser respeitada: ,t 0 0 e 1,2 f ct (1) n N p ,t 0 n N p ,t 0 e M g1 s A W W 1,2 f ct (1) s s s A W W s s Com Com s - tensão no concreto da borda superior (neste caso) node concreto n s - tensão - número cabos da borda superior (neste caso) nN - número de cabos p ,t 0 - Força de protensão para um cabo no tempo zero. - Força de protensão para um cabo no tempo zero. N e p,t 0 - excentricidade da força de protensão e excentricidade daconcreto força de protensão A - -área da seção de A s - área da seção de concreto W módulo de deformação da seção em relação a borda superior Wg1 módulo de seção durante em relação a borda superior s --Momento M dedeformação peso própriodaatuante a protensão Mg1 - Momento de peso próprio atuante durante a protensão

Da expressão1 pode ser obtida um número de cabos n

C1

Para a consideração de fissuração (protensão limitada) na combinação Quase tem-se para a situação de momento Permanente (geralmente a maismáximo desfavorável) usa-se o limite de tração para borda inferior =0 n N p ,t n N p ,t e M g1 g 2 M qmáx tem-se para a situação de momento2 máximo 0 (2) i A Wi Wi Wi podendo de n C2 n Ndecorrer n desta N p ,t expressão e M g1 g 22 o valor p ,t 2 M qmáx 0 (2) que C2 C1. Assim para que o problema tenha solução é preciso i A W W W i i i Com podendo decorrer desta expressão 2 o valor de n C2 i - tensão no concreto na borda inferior (neste caso) para que o problema tenha é preciso que C2 C1. Força de protensão parade um momento cabo nosolução tempo infinito. N p,t - Assim tem-se para a situação máximo Com tem-se para situaçãodade momento W - módulo deadeformação seção em relaçãomáximo a borda inferior i tensão no concreto na borda inferior (neste caso) atuantes i Mg1+g2 - Momento de peso próprio e sobrecarga permanente N p ,t de protensão n N pde e um Mcabo ,t para g1 g 2no tempo 2 Minfinito. qmáx -n Nqmáx M - Força Momento máximo ação acidental. p ,t

(2) n N p ,t n N p ,t e M g1 g 2 2 M qmáx 0 - módulo A de deformação Wi da seção Wi em relação Wia borda inferior 0 (2) A Wi próprio e sobrecarga Wi Wi Mg1+g2 - Momento de peso permanente atuantes podendo decorrer desta expressão 2 o valor de n C2 Mqmáx - Momento máximo de ação acidental. ROBERTO CHUST CARVALHO IE podendo decorrer desta expressãotenha 2 o valor de é npreciso C2 Assim para que o problema solução que C2 C1. Assim para que o problema tenha solução é preciso que C2 C1. Com i Wii

5)Estudo da solução em seção retangular com pré-tração sem cabos superiores. 5)Estudo da solução em seção retangular com pré-tração sem cabos superiores. 5)Estudo da solução em seção retangular com pré-tração sem cabos superiores. Exemplo 1. Calcular a armadura longitudinal para a seção retangular dada na figura 2 Exemplo 1. Calcular a armadura longitudinal para a seção retangular dada Exemplo 1. Calcular a armadura longitudinal para a seção retangular dada na na figura figura 2 2 considerando os seguintes dados contidos na tabela 3. Considerar que o momento M g1 considerando os seguintes dados contidos na tabela 3. Considerar que o momento M considerando os seguintes dados contidos na tabela 3. Considerar que o momento Mg1 g1 atua no instante da protensão. atua no instante da protensão. atua no instante da protensão.

145 145 145

150 150 150

Tabela 3– Valores a serem usados no exemplo 1 Tabela Tabela 3 3– – Valores Valores a a serem serem usados usados no no exemplo exemplo 1 1 AÇÕES CONCRETO AÇO DE PROTENSÂO PROTENSÃO AÇÕES CONCRETO AÇO DE PROTENSÂO PROTENSÃO AÇÕES CONCRETO AÇO DE PROTENSÂO PROTENSÃO M =714 kN.m f =40 MPa CP190RB Limitada g1 ck M =714 kN.m f =40 MPa CP190RB Limitada ck Mg1 =714 kN.m f =40 MPa CP190RB Limitada g1 ck M = 570 kN.m f =20 MPa (condição de 1200 MPa g2 cj M = 570 kN.m f =20 MPa (condição de p ,t 0 1200 MPa cj Mg2 = 570 kN.m f =20 MPa (condição de p , t 0 1200MPa g2 cj p , t 0 M =1200 kN.m agressividade g3 M =1200 kN.m agressividade 1000 MPa Mg3 agressividade p ,t g3=1200 kN.m 1000 MPa p , t M = de 0 a 4400 kN.m ambiental –CAA1000 MPa q p ,t M ambiental –CAAMqq= = de de 0 0a a 4400 4400 kN.m kN.m ambiental –CAAE =1,95 x105 MPa p mediana) E =1,95 x105 MPa p mediana) Ep =1,95 x105 MPa mediana)

A p A A pp

FIGURA 2- Esquema da seção transversal de elemento pré-fabricada para o cálculo FIGURA FIGURA 22- Esquema Esquema da da seção seção transversal transversal de de elemento elemento pré-fabricada pré-fabricada para para o o cálculo cálculo da armadura longitudinal. da da armadura armadura longitudinal. longitudinal. Para resolver o problema foram feitas as verificações no ELU em vazio e no tempo Para Para resolver resolver o o problema problema foram foram feitas feitas as as verificações verificações no no ELU ELU em em vazio vazio e e no no tempo tempo infinito e para o ELS analisada a borda superior para situação de descompressão infinito infinito e e para para o o ELS ELS analisada analisada a a borda borda superior superior para para situação situação de de descompressão descompressão considerando . A tabela 4 mostra os resultados encontrados para armadura ativa 0 , 3 considerando os resultados encontrados considerando 222 0 A tabela tabela 4 4 mostra mostra os CHUST resultados encontrados para para armadura armadura ativa ativa 0,,3 3 .. A ROBERTO CARVALHO IE com o momento de carga acidental variando (ELUestado limite último e ELS estado com com o o momento momento de de carga carga acidental acidental variando variando (ELU(ELU- estado estado limite limite último último e e ELS ELS estado estado limite de serviço no caso de fissuração) e na figura 3 as soluções encontradas.

2 2(cm 2 2 Tabela 4 – Valores Valores de A para as diversas diversas verificações. p Tabela Tabela Tabela 44––Valores 4 Valores – de deAA de (cm (cm A (cm ) ) para para )) para as asdiversas diversas as verificações. verificações. verificações. pp p 2 2(cm 2 2 Analisando a figura 3 Mqq (kN.m) (kN.m) ELSt= t= AApp A AppELU ELUt= t= AApp A AppELU ELU t= 0 A p M Mqq(kN.m) (kN.m) M ELS ELSELS t= t= ELU ELU t= t= ELU ELU t= t= 0 0 t= A A 0 A (cm (cm (cm ) ) )) pp p 2 2 2 2(cm 2 (cm (cm (cm2acidental (cm )) 2)) (Mq) inferiores(cm (cm (cm )) kN2)) (ponto K2) a condição de ELS (fissuração) no para momentos de carga a 2200 0infinito é a determinante 26,20 16,92 26,10 00 0 26,20 26,20 26,20 16,92 16,92 16,92 26,10 26,10 26,10 tempo 500 27,78 20,5 26,10 500 500500 27,78 27,78 27,78 20,5 20,520,5 26,10 26,10 26,10 para valores superiores a este a condição determinante passa a ser24,23 a do ELU também no tempo infinito. 1000 29,36 26,10 1000 1000 1000 29,36 29,36 29,36 24,23 24,23 24,23 26,10 26,10 26,10 2000que a partir de um 32,52Mq quase zero a 31,95 31,95 26,10 Ocorre porem momento condição do ELU em vazio (requer Ap<26,1 cm2) 2000 2000 2000 32,52 32,52 32,52 31,95 31,95 26,10 26,10 26,10 3000 35,69 40,57 26,10 impede a solução como comentado no item anterior. 3000 3000 3000 35,69 35,69 35,69 40,57 40,57 40,57 26,10 26,10 26,10 4000 38,85 49,57 26,10 4000 4000 4000 38,85 38,85 49,57 49,57 49,57 26,10 O fato da curva do ELU infinito 38,85 estar acima da curva do ELU (ponto K1) em vazio não teria26,10 tanta26,10 importância, 4200 39,49 51,8 26,10 4200 4200 39,49 39,49 39,49 51,851,8 26,10 26,10 26,10o valor pois4200 em princípio pode-se alterar o grau da protensão, ou 51,8 seja, usar para a armadura de protensão 4400 40,12 53,08 26,10 4400 4400 4400 40,12 40,12 40,12 53,08 53,08 53,08 26,10 26,10 26,10 limite da situação em vazio e complementar o restante com armadura passiva (As).

Variação de Ap

Variação de Ap

Variação de Ap

60,00

60,00 50,00 60,00

40,00 30,00

40,00 50,00 30,00 40,00 Ap (cm 2)

Ap (cm 2)

Ap (cm 2)

50,00

20,00 30,00

20,00

10,00 20,00

10,00

0,00 10,00 0 0,00

ELS infinito infinito ELSELU infinito ELS infinito ELU vazio

0,00 0

0 1000

ELU infinito ELU infinito 1000

2000

vazio ELU vazioELU 3000 4000

Momento Mq (kN.m) 1000 2000 3000 2000 3000 4000

O 5000

40005000

5000

O O

K1

K2 K1 K1 K2K2

Momento Mq (kN.m) Momento M q (kN.m)

Figura 3 – Variação da armadura de ROBERTO protensão do exemplo 1 para atender o ELU em CHUST CARVALHO IE 3no – Variação da armadura de protensão exemplo 1 para atender ELU em tempo infinito e ELS (fissuração) nodo tempo infinito Mg1=714 kN.m. Figura Figura 3vazio, – Variação da armadura de protensão do exemplo 1 para atender ooELU em vazio, no tempo infinito e ELS (fissuração) no tempo infinito Mg1=714 kN.m.

Considerando agora que o valor de Mg1=2004 kN.m, Mg2= 204 kN.m e Mg3=200 kN.m obtem-se o conjunto de soluções dado na figura 4.

Até um momento Mq=2200 kN.m (ponto K2) a solução é dada pelo ELS (fissuração) no tempo infinito, de 2200 até cerca de 3000 kN.m (ponto K1) a condição determinante é do ELU (tempo infinito)

e para valores acima de 3000 kN.m para haver solução é preciso diminuir a armadura de protensão (usar 40 cm2) e complementar, para atender o ELU no tempo infinito, com armadura passiva.. Variação de Ap

60,00 50,00

Ap (cm2)

40,00 30,00 ELS infinito

20,00

ELU infinito ELU vazio

10,00 0,00 0

1000

2000

3000

4000

5000

Momento Mq (kN.m)

Figura 4– Variação da armadura de protensão do exemplo 1 para atender o ELU em ROBERTO CHUST CARVALHO IE vazio, no tempo infinito e ELS (fissuração) no tempo infinito, Mg1=2004 kN.m.

6)Estudo da solução em seção retangular com pré-tração com cabos superiores. Fazer o mesmo estudo feito no exemplo 1 considerando agora a presença de quatro cabos junto a borda superior (e´=-0,70 m) e os mesmos valores de perda. 2 22 22) para as diversas verificações. Tabela Valores de A (cm p Tabela Tabela Tabela Tabela 555 5 –5–– – Valores –Valores Valores Valores de de de de AA A A (cm (cm (cm (cm ) )para )para )para para as as as as diversas diversas diversas diversas verificações. verificações. verificações. verificações. p ppp 2 2 222) 2 22 22) 2 22 M (kN.m) ELS t= A (cm ELU t= A (cm ELU t= 0 A (cm q p p p MM M (kN.m) ELS ELS ELS ELS t=t= t= t= AApAA (cm (cm (cm ) )))ELU ELU ELU ELU t=t= t= t= AApAA (cm (cm (cm ) )))ELU ELU ELU ELU t=t= t= 0 t=00 A0ApAA (cm (cm (cm ) 2)2))) qM q(kN.m) q(kN.m) q(kN.m) ppp(cm ppp(cm ppp(cm 28,09 16,92 34,54 000 00 28,09 28,09 28,09 28,09 16,92 16,92 16,92 16,92 34,54 34,54 34,54 34,54 500 29,67 20,5 34,54 500 500 500 500 29,67 29,67 29,67 29,67 20,5 20,5 20,5 20,5 34,54 34,54 34,54 34,54 1000 31,25 24,23 34,54 1000 1000 1000 1000 31,25 31,25 31,25 31,25 24,23 24,23 24,23 24,23 34,54 34,54 34,54 34,54 2000 34,4 31,95 34,54 2000 2000 2000 2000 34,4 34,4 34,4 34,4 31,95 31,95 31,95 31,95 34,54 34,54 34,54 34,54 3000 37,58 40,57 34,54 3000 3000 3000 3000 37,58 37,58 37,58 37,58 40,57 40,57 40,57 40,57 34,54 34,54 34,54 34,54 4000 40,75 49,57 34,54 4000 4000 4000 4000 40,75 40,75 40,75 40,75 49,57 49,57 49,57 49,57 34,54 34,54 34,54 34,54 4200 41,38 51,8 34,54 4200 4200 4200 4200 41,38 41,38 41,38 41,38 51,8 51,8 51,8 51,8 34,54 34,54 34,54 34,54 4400 42,01 53,08 34,54 4400 4400 4400 4400 42,01 42,01 42,01 42,01 53,08 53,08 53,08 53,08 34,54 34,54 34,54 34,54

ROBERTO CHUST CARVALHO IE

Observando a figura 5, percebe-se que há apenas solução para momento acidental inferior a cerca de 2500 KN.m e a condição determinante passa a ser a de serviço

(fissuração – descompressão) no tempo infinito. Variação de Ap 60,00 50,00

Ap (cm 2)

40,00 ELs infinito

30,00

ELU infinito ELU vazio

20,00 10,00 0,00 0

1000

2000

3000

4000

5000

Momento Mq (kN.m)

Figura 5– Variação da armadura de protensão do exemplo 2 para atender o ELU em vazio, no tempo infinito e ELS (fissuração) no tempo infinito, Mg1=714 kN.m e qutro cabos superiores. ROBERTO CHUST CARVALHO IE

Exemplo 10

Calcular a viga VR01 para um prédio escolar considerando armadura passiva de CA-50; concreto pré-moldado, fckj = 25 MPa, fck = 40 MPa; concreto moldado no local (capa), fck = 30 MPa. Carregamentos: g1 – peso próprio 25 kN/m3; g2 – laje alveolar: 2,25 kN/m2 (h = 15 cm); g3 – capa: 25 kN/m3 (h = 5 cm); g4 – alvenaria: 18 kN/m3 (h = 2,20 m e largura de 15 cm); g5 – revestimento: 0,80 kN/m2; q – acidental: 3,00 kN/m2. Considerar a solução sem a continuidade da laje alveolar e da viga. Considerar quatro situações: a) Estrutura em concreto armado com CAA (classe de agressividade ambiental) II b) Estrutura em concreto protendido CAA I – sistema de pré-tração c) Estrutura em concreto protendido CAA II – sistema de pré-tração d) Estrutura em concreto protendido CAA III ou IV – sistema de pré-tração Para as situações em concreto protendido considerar a armadura ativa cordoalha composta de cordoalhas de Ф½” (Ap = 0,987 cm2) de CP 190RB e perdas totais de 22,98% para os cabos da borda inferior e 14,85% para os cabos da borda superior. Os valores das perdas de protensão são obtidos a partir dos cálculos realizados no trabalho de INFORSATO (2009). O item analisado para a apresentação é o c. ROBERTO CHUST CARVALHO IE

Figura 6: Planta do pavimento e elevação da viga VR01 (unidades em cm

ROBERTO CHUST CARVALHO IE

Figura 7: Seções transversais da viga VR01.

Capítulo 7 – Exemplo 10 Carregamentos: Descrição g1 – Peso próprio g2 – Laje Alveolar g3 – Capa g4 – Alvenaria g5 – Revestimento q – Acidental

Intensidade (kN/m) 6,75 16,20 9,00 5,94 5,76 21,60

Vão (m) 9,75 9,75 9,75 9,75 9,75 9,75

Momento máximo (kN.m) 80,21 192,50 106,95 70,58 68,45 256,67

Características Geométricas Seção Composta: Características Geométricas Seção Simples:

ROBERTO CHUST CARVALHO IE

Capítulo 7 – Exemplo 10 Concreto Protendido CAA II – sistema de pré-tração

Determinação de Ap no t = ∞ dteórico = 1,05 m (altura útil)

bteórico = 2,25 m (mesa colaborante)

Posição da LN KMD

Md b d 2 f cd

x d

KX

0,0204

3,19cm 5cm

LN na capa da laje

Tensões iniciais σ pi

0,77 f ptk

0,77 1900

1463 MPa

0,85 f pyk

0,85 1710

1453 MPa

Adotar menor valor

Tensão para t = ∞ pt

pi

(1 perda) 1119,10MPa Adotar 22,98%

Deformação total do aço t

p

s

1 0,5752 1,5752% Ap

Md KZ d

pd

ROBERTO6CHUST IE ,93cmCARVALHO ² pd

1510MPa

Interpolado de VASCONCELOS

7,07 cabos de 12,7 mm

Capítulo 7 – Exemplo 10 Concreto Protendido CAA II – sistema de pré-tração

Verificação no t = 0 (estado em vazio) Adota-se perdas iniciais de 5% pt 0

pi

1 perda

1453 (1 0,05) 1380,35MPa

Para 7 cabos de 12,7mm temos a força de protensão Np

ncabos Aseção

pt 0

7 0,98 138,035 946,92kN

Utilização de armadura passiva na borda superior,podendo adotar o limite máximo de tração permitido pela NBR6118:2007 1,2

f ctm

2740,20

Verificação das tensões:

0,70 f ckj

14700kN / m²

N Ac

N p ep

M g1

Ws

Ws

ROBERTO CHUST CARVALHO IE

Capítulo 7 – Exemplo 10 Concreto Protendido CAA II – sistema de pré-tração

Verificação no t = 0 (estado em vazio) Meio do Vão Borda Superior:

s

Borda Inferior:

i

3864,69kN / m²

2740,20kN / m²

10878,91kN / m² 14700kN / m²

não atende

atende

Próxima ao Apoio Comprimento de transferência: lbpt 1,56m Comprimento de ancoragem: lbpd

Borda Superior: Borda Inferior:

s

i

4780,50kN / m²

maior valor lbpt 1,56m

1,30m 2740,20kN / m²

11794,72kN / m² 14700kN / m²

não atende

atende

Com a utilização de 7 cabos a tensão na borda superior excedeu o limite de norma ROBERTO CHUST CARVALHO IE

Determinação do número de cabos para igualar a tensão de tração.

Capítulo 7 – Exemplo 10 Concreto Protendido CAA II – sistema de pré-tração

Verificação no t = 0 (estado em vazio) nº de cabos no comprimento de transferência s

Np

N p ep

Ac

Ws

616,40

M2 Ws

Np

N p 0,40

0,27

0,0405

ncabos 0,98 138,035

43,12 0,0405

2740,20

ncabos

4,55cabos

Np

616,40kN

nº de cabos no meio do vão s

N Ac

N p ep

M g1

Np

N p 0,40

Ws

Ws

0,27

0,0405

764,76

ncabos 0,98 138,035

80,21 0,0405

ncabos

2740,20

5,65cabos

ROBERTO CHUST CARVALHO IE

Np

764,76kN

Capítulo 7 – Exemplo 10 Concreto Protendido CAA II – sistema de pré-tração

Verificação no t = 0 (estado em vazio) Armadura Passiva Positiva: adotando mesmo centro de gravidade das armaduras Ap

pd

As

f yd

Md z

Ap

As

pd

f yk s

Md KZ d

As

Armadura Passiva Negativa: Tensões nas borda superior e inferior 2275,43kN / m²

s

i

s

x

6283,58kN / m² h

Semelhança de Triângulos s

x Ftração

A's

s

i

h

s

x s

h i

7,05cm ²

23,93cm i

81,68kN

Ftração 1,4 f yd

Foi realizada uma solução com tensão nula na face superior, determinando a utilização de 1 cabo de 12,7 mmCHUST e acréscimo ROBERTO CARVALHO IEde 20,67 cm² de armadura passiva.

4,57cm ²

Capítulo 7 – Exemplo 10 Concreto Protendido CAA II – sistema de pré-tração

Verificação no ELS Para esta tipologia são exigidas na verificação: Combinação Frequente – ELS-F 1 0,6 Combinação Quase Permanente – ELS-D

2

0,4

Combinação Frequente – ELS-F: 2

0,21 f ck 3

2456

0,70 f ckj

28000kN / m² Limites de tensões

Borda Inferior: i

N ptotal

N p ep

Ac

Wi

M g1 M g 2 M g 3 Wi

M g4 M g5

1

Mq

1

Mq

Wicomp

5738,02

2456kN / m² não atende

Borda Superior: s

N ptotal

N p ep

Ac

Ws

M g1 M g 2 M g 3 Ws

M g4 M g5 I scomp

ROBERTO CHUST CARVALHO IE

yk

7547,43 28000kN / m²

atende

Capítulo 7 – Exemplo 10 Concreto Protendido CAA II – sistema de pré-tração

Verificação no ELS Combinação Quase Permanente – ELS-D: 0

0,70

f ckj

0

28000kN / m² Limites de tensões

=0

Borda Inferior: i

N ptotal

N p ep

Ac

Wi

M g1 M g 2 M g 3

M g4 M g5

Wi

2

Wicomp

Mq

5070,47 0 não atende

Borda Superior: s

N ptotal

N p ep

Ac

Ws

M g1 M g 2 M g 3 Ws

M g4 M g5

2

Mq

I comp

yk

7274,49 28000kN / m²

atende

A verificação de fissuração não foi atendida na borda inferior da combinação quase permanente (pior caso), portanto determina-se um novo número de cabos. ROBERTO8 CHUST CARVALHO IE ncabos ,40cabos

Capítulo 7 – Exemplo 10 Concreto Protendido CAA II – sistema de pré-tração

Verificação no ELS estado em vazio = 5 cabos NÃO HÁ SOLUÇÃO estado de serviço= 8 cabos Colocação de armadura ativa na borda superior Adotada 2 cabos de 12,7 mm com perda de 14,85% Verificação na combinação Quase Permanente Borda Inferior: i

N `p

N `p e`p

N ptotal

N p ep

Ac

Wi

Ac

Wi

M g1 M g 2 M g 3 Wi

M g4 M g5 Wicomp

2

Mq

0

N p 1031,96kN

Número de cabos na borda inferior 1031,96

ncabos

ncabos

0,98 145,3 (1 0,2298)

9,41 10cabos

Faz-se necessário novamente a verificação no t = 0 (estado em vazio). s i

Como as tensões estão dentro do limite estabelecido 2740,20ROBERTO kN / m²CHUST CARVALHO IE pela NBR6118:2007 a peça está verificada quanto à 9210kN / m² 14700kN / m² abertura de fissuras.

191kN / m²

Capítulo 7 – Exemplo 10 Concreto Protendido CAA II – sistema de pré-tração

Detalhamento

Protensão

Armadura Passiva títulos das barras

Armadura Passiva posicionamento Estribos

N2

Borda Inferior

Det.1

50

Borda Superior

850

900

2 x N3

chumbador

300

2x CP190 RB Ø12,7 mm

250

N1

8 N1 Ø20,0 mm 4 N2 Ø6,3 mm 6 N3 Ø12,5 mm

10x CP190 RB Ø12,7 mm

ROBERTO CHUST CARVALHO IE

N4 Ø6,3mm com 230 cm

Seção Transversal

Capítulo 7 – Exemplo 10 Resultados Obtidos

As (cm2)

Ap (cm2)

A's (cm2)

A'p (cm2)

Condição determinant e

Caso

Situação

CAA

Protensã o

a

Concreto armado

II

--------

24,10

--

--

--

ELU

b

concreto protendid o

I

parcial

7,05

4,90

4,57

--

ELU e ELS

c

concreto protendid o

II

limitada

6,85

9,80

---

1,96

ELS

d

concreto protendid o

III e IV

completa

6,85

9,80

---

1,96

ELS

ROBERTO CHUST CARVALHO IE

7) Consideração da perda de protensão na determinação da área de armadura ativa. Resolvendo exemplo similar ao de FALEROS (2010), INFORSATO (2009) determinou a quantidade da necessária uma viga de seção composta como a apresentada 7) Consideração perda deem protensão na determinação da área de armadura ativa. 7) Consideração da perda de protensão na determinação da área de armadura ativa. anteriormente, mas calculando as perdas de protensão considerando as perdas Resolvendo exemplo similar ao de FALEROS (2010), INFORSATO (2009) 7) Consideração da perda de protensão na determinação da área de armadura ativa. Resolvendo exemplo similar ao de FALEROS (2010), INFORSATO (2009) 7) Consideração da perda de protensão na determinação da área de armadura ativa. 7) Consideração da perda que de protensão na determinação da área de armadura ativa.a determinou a quantidade necessária em uma viga de seção composta como Resolvendo exemplo similar ao de de FALEROS (2010), INFORSATO (2009) progressivas. Mostrou as perdas cabos superiores (usados no projeto) é diferente determinou a quantidade necessária em uma viga de seção composta como a Resolvendo exemplo similar ao de FALEROS (2010), INFORSATO (2009) Resolvendo exemplo necessária similar ao em de uma FALEROS (2010), INFORSATO (2009) apresentada anteriormente, mas calculando as perdas de protensão considerando as determinou a quantidade viga seção composta como a dos cabos principais inferiores e através de uma simulação dada na composta tabela 7 mostrou aas apresentada anteriormente, mas calculando as perdas de protensão considerando determinou a quantidade necessária em uma viga seção como a determinou aanteriormente, quantidade necessária em uma viga superiores de protensão seção(usados composta como as a perdas progressivas. Mostrou que calculando as perdas de no projeto) é apresentada mas as cabos perdas considerando perdas progressivas. Mostrou que as perdas de cabos superiores (usados no projeto) é apresentada mas calculando as perdas de protensão considerando daprincipais determinação das perdas. O exemplo foi considerando CAAtabela II eas apresentada anteriormente, mas calculando as perdas defeito protensão considerando as diferente dos anteriormente, cabos inferiores e através de uma simulação dada na 7 perdas importância progressivas. Mostrou que as perdas de cabos superiores (usados no projeto) é diferente dos cabos principais inferiores e através de uma simulação dada na tabela 7 perdas progressivas. Mostrou que as de cabos superiores (usados no perdas progressivas. Mostrou que asdeperdas perdas de cabos superiores (usados no projeto) é valores característicos iguais aos FALEROS JUNIOR. mostrou ados importância da determinação perdas. exemplo foi feito diferente cabos principais inferiores edas através de O uma simulação dadaconsiderando naprojeto) tabela é 7 mostrou a importância da determinação das perdas. O exemplo foi feito considerando diferente dos cabos principais inferiores e através de uma simulação dada na tabela diferente dos cabos principais inferiores através de O uma simulação dadaconsiderando na tabela 7 7 CAA II e avalores característicos iguais aosedas de FALEROS JUNIOR. mostrou importância da determinação perdas. exemplo foi feito CAA II e valores característicos iguais aos de FALEROS JUNIOR. mostrou a importância da das perdas. exemplo mostrou importância da determinação determinação perdas. O O JUNIOR. exemplo foi foi feito feito considerando considerando CAA II e avalores característicos iguais aosdas de FALEROS CAA II característicos iguais aos JUNIOR. CAA Tabela II e e valores valores característicos iguais aos de de FALEROS FALEROS JUNIOR. 7: Números de cabos necessários em função da estimativa da perda de Tabela 7: Números de cabos necessários em função da estimativa da perda de protensão.em função da estimativa da perda de Tabela 7: Números de cabos necessários protensão.em Tabela de cabos necessários função estimativa da de Tabela 7: 7: Números Números de cabos necessários emcabos função da da estimativa da perda perda protensão. Perda cabo Perda cabo Nº de Nº. de cabos estimados / nº.de de protensão. Perda cabo Perda cabo Nº de cabos Nº. de cabos estimados / nº. protensão. superior inferior necessários cabo estimados calculado / nº. de Perda cabo Perda cabo Nº de cabos Nº. de cabos superior inferior necessários cabo estimados calculado / nº. de Perda cabo Perda cabo Nº de cabos Nº. de cabos Estimativa 1 10% 15% superior inferior necessários cabo 0,70 calculado / nº. de Perda cabo Perda cabo Nº de7cabos Nº. de cabos estimados de Estimativa 1 10% 15% 7 0,70 superior inferior necessários cabo calculado superior inferior necessários cabo 1,20 calculado Estimativa 1 2 20% 30% 12 10% 15% 7 0,70 2 20% 30% 12 1,20 Estimativa 1 10% 15% 7 0,70 Estimativa 1 10% 15% 7 0,70 Situação Estimativade 2 20% 30% 12 1,20 15,45% 22,98% 10 1,00 Situação de Estimativa 2 20% 30% 12 1,20 Estimativa 2 20% 30% 12 1,20 cálculo de 15,45% 22,98% 10 1,00 Situação cálculo 15,45% 22,98% 10 1,00 Situação de Situação cálculo de 15,45% 22,98% 10 1,00 15,45% 22,98% 10 1,00 cálculo cálculo

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Considerações Finais  Não há uma definição prévia da situação predominante sem a realização dos cálculos;

 Situações que não há solução t=0

ncabos Se

t=∞

k

k

m

ncabos

m

não há solução

Seções com pequena relação entre momento total e do peso próprio;

 Utilização de armadura ativa na face superior é necessária quando a verificação determinante é no ELU no estado em vazio;

 O Uso de um grau qualquer

de protensão (armadura ativa e armadura passiva) acaba só sendo possivel na protensão parcial.

 O valor da perda de protensão influência no cálculo da armadura d protensão.

 Quando analisada no ELS a condição predominante foi a d ROBERTO CHUST CARVALHO IE

descompressão; (seria o caso de eliminar esta verificação ??)

Referências Bibliográficas

AGOSTINI, L. R. S. - Concreto Protendido - estudo das vigas isostáticas. São Paulo – SP: Editora Livraria Ciência e Tecnologia Editora Ltda. 1983. AMAZON J., Concreto Armado e Protendido, princípios e aplicação, Rio de Janeiro. Editora: Livros técnicos e científicos, editora S.A., 1976. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, NBR-6118: Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, 2007. 221p. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, NBR-7197: Projeto de estruturas em concreto protendido. Rio de Janeiro,1989. 71p. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR-9062: Projeto e execução de estruturas de concreto pré-moldado. Rio de Janeiro, 2004. 43p. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, NBR-14931: Execução de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, 2004. 53 p. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, NBR-12655: Concreto, preparo, controle e recebimento. Rio de Janeiro, 1996. 7 p. BUCHAIM, R., Concreto Protendido – Tração axial, flexão simples e força cortante. Londrina – PR. Editora: EDUEL, 2007. 226 p. CARVALHO, R. C; FILHO. J. R. F. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado. Segundo a NBR 6118:2003. 3.ed. São Carlos. EDUFSCAR, 2007. 367 p. CARVALHO, R. C., Notas de aula: Estruturas em concreto protendido: cálculo e detalhamento. São Carlos, 2008. ROBERTO CHUST CARVALHO IE

Referências Bibliográficas

CAUDURO, E. L., Protensão com cordoalhas engraxadas e plastificadas - Pós-tensão com sistema não aderente. 38o REIBRAC -1996 CHOLFE, L., BONILHA, L. A. S. - Concreto Protendido Teoria e Prática. São Paulo: Escola de Engenharia Mackenzie, sd 44 p. COLLINS, M. P., Prestressed Concrete Structures. Ontario – Canada. Editora: Response Publications, 1997. COLLINS, M. P., MITCHELL, D., Prestressed concrete basics. Ontario –Ottawa. 1ª edição. Editora: The Canadian Prestressed Concrete Institute. 1987. ELLIOTT, K.S., Precast Concrete Structures. Oxford. Editora: Butterworth Heinemann, 2002. FRANÇA, R. L. S., ISHITANI, H. e GRAZIANO, F., Concreto protendido – Conceitos Fundamentais. São Paulo: Escola Politécnica – USP. Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundações, 2004. Revisão 1 (preliminar). FUSCO, P.B. (1995). Técnica de armar as estruturas de concreto. 1° edição. São Paulo: Pini. HANAI, J. B., Fundamentos do Concreto Protendido. São Carlos: EESC: Departamento de Engenharia de Estruturas, 2005. 116 p. Apostila. INFORSATO, T. B., Considerações sobre o projeto, cálculo e detalhamento de vigas préfabricadas protendidas com aderência inicial em pavimentos de edificações. Dissertação– Universidade Federal de São Carlos. São Carlos. 2009. LEONHARDT, F., Construções de concreto – Concreto Protendido. Rio de Janeiro vol.5. Editora: Interciência Ltda. 1983. ROBERTO CHUST CARVALHO IE

Referências Bibliográficas

LEONHARDT, F., Prestressed concrete. Berlim 2nd. Editora: W. Ernst & Son, 1964. LIN, T. Y., BURNS, N. H., Desagn of prestressed concrete strutures, 3ª edição, Editora: John Wiley & Sons, Inc., 1981. MASON, J., Concreto armado e protendido. Rio de Janeiro. Editora: Livros técnicos e científicos editora S.A. 1976. MADARÁS E., Curso de Concreto Protendido. Santos. volume 1, Universidade Santa Cecília dos Bandeirantes – Departamento de Engenharia Civil. 1973. MELO, C.E.E., Manual Munte de Projetos Pré-fabricados de Concreto. São Paulo: ED. PINI, 2004. NAWY, E. G., Prestressed Concrete. New Jersey. 2ª edição, Editora: Prentice Hall. 1995. PETRUCELLI, N. S.,.Considerações sobre Projeto e Fabricação de Lajes Alveolares Protendidas. Dissertação, Universidade Federal de São Carlos. São Carlos, 2009. PFEIL, W., Concreto protendido. Rio de Janeiro. Editora: Livros técnicos e científicos editora S.A. 1980. ROCHA, A. M., Novo Curso Prático de Concreto Armado e Concreto Protendido. Rio de Janeiro. Volume V – Editora: Científica - 2a Edição. 1972. RUSCH, H. Hormigón armado y hormigón pretensado. Continental, Barcelona, 1975. SANTOS, L. M., Sub-rotinas básicas do dimensionamnetode concreto armado. São Paulo. Volume 1, Editora: Thot. 1994. VASCONCELOS, A. C. Manual prático para a correta utilização dos aços no concreto protendido em obediência as normas atualizadas. Belo Horizonte. Editora: Livros técnicos e científicos ROBERTO CHUST CARVALHO editoria S. A. Companhia Siderúrgica Belgo-Mineira. 1980.IE

Agradecimentos

Instituto de Engenharia Eng. Rafael Timerman

Eng. Msc. José Herbet Faleiros Jr. Eng. Msc. Thiago B. InForsato Eng. Msc. Natália Petrucelli Eng. Matheus L. G. Marquesi

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