Curso De Modelagem -mauricio Sgarbi

MODELAGEM DE ESTRUTURAS DE EDIFÍCIOS ENGENHEIRO MAURICIO SGARBI REALIZAÇÃO:

ABECE - Curso de Modelagem de Edifícios- Engº Mauricio Sgarbi

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Índice

1

Modelo Estrutural: Conceitos e Aspectos Gerais ................................................................... 4 1.1

1.1.1

Introdução: Fases de um Projeto ........................................................................... 5

1.1.2

Modelo Estrutural: Definições ............................................................................... 6

1.1.3

Modelos Numéricos e seus diversos graus de complexidade ................................ 7

1.2

2

O que é Modelo Estrutural? .......................................................................................... 5

Qual o melhor Modelo? .............................................................................................. 11

1.2.1

Modelos Refinados .............................................................................................. 11

1.2.2

Modelos Simplificados ......................................................................................... 12

1.2.3

Modelos Simplificados x Modelos Refinados ...................................................... 13

1.3

Devemos sempre confiar no modelo? ........................................................................ 14

1.4

Diferenças.................................................................................................................... 19

1.5

Uma boa solução: Modelos Simples + Complexo ....................................................... 20

Modelagem de Pavimentos em Concreto Armado ............................................................. 22 2.1

Evolução dos Modelos: Viga Contínua ao Método dos Elementos Finitos ................. 23

2.1.1

Viga Contínua ...................................................................................................... 23

2.1.2

Pórtico Plano ....................................................................................................... 23

2.1.3

Grelha de Vigas ................................................................................................... 24

2.1.4

Grelha de Vigas e Lajes / MEF ............................................................................. 25

2.1.5

PÓRTICO ESPACIAL DE TODA ESTRUTURA .......................................................... 26

2.1.6

EXEMPLO DE APLICAÇÃO .................................................................................... 26

2.2

Análise Linear x Análise Não-linear ............................................................................. 42

2.2.1 2.3

3

EXEMPLOS DE APLICAÇÃO................................................................................... 44

Consideração da Rigidez à Torção ............................................................................... 58

2.3.1

Torção de Equilíbrio e Compatibilidade............................................................... 58

2.3.2

Consideração da Torção em Lajes Maciças ......................................................... 60

2.3.3

Consideração da Torção em Lajes Nervuradas ................................................... 64

Modelagem de Edifícios com Múltiplos Pavimentos ........................................................... 65 3.1

Cargas Verticais: Modelos para a obtenção de esforços ............................................ 66

3.1.1

Pavimento Isolado ............................................................................................... 66

3.1.2

Grelha/Elementos Finitos (Vigas e Lajes)+ Pórtico Espacial (Pilares e Vigas) ..... 67

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3.1.3 3.2

Pórtico Espacial(Pilares+Vigas+Lajes) ................................................................. 68

Limitações dos Modelos e intervenções para Compatibilidade................................ 69

3.2.1

Ligações entre vigas e pilares .............................................................................. 69

3.2.2

Consideração do Processo Construtivo: Rigidez Axial dos Pilares ....................... 75

3.2.3

Consideração do Processo Construtivo: Viga de Transição ................................. 81

3.2.4

Consideração do Processo Construtivo: Assimetria ............................................ 89

3.3 Estrutura de Contraventamento: do núcleo rígido ao Pórtico ao Pórtico Espacial Integrado ................................................................................................................................. 93

4

3.3.1

Elementos de Contraventamento e Contraventados .......................................... 94

3.3.2

Estrutura de Nós Fixos x Nós móveis ................................................................... 94

3.3.3

Evolução dos modelos para a Estrutura de Contraventamento.......................... 95

Análise de Pavimentos Protendidos .................................................................................. 118 4.1

Introdução ................................................................................................................. 119

4.2

Protensão: Conjunto de Cargas Equivalentes ........................................................... 120

4.2.1

Cargas Equivalentes .......................................................................................... 121

4.2.2

Elementos Unifilares, Unidirecionais e Bidirecionais......................................... 123

4.3

5

Métodos de análise: Pórticos Equivalentes e Elementos finitos .............................. 124

4.3.1

Pórtico Equivalente............................................................................................ 124

4.3.2

Método dos Elementos Finitos .......................................................................... 127

4.3.3

Exemplos ........................................................................................................... 127

TÓPICOS ESPECIAIS ............................................................................................................ 165 5.1

Plastificação: Visão Geral e Abordagem nos softwares ............................................ 166

5.1.1

Plastificação: Conceituação............................................................................... 166

5.1.2

Plastificação: Limites ........................................................................................ 166

5.1.3

Plastificação: Abordagem nos Softwares ......................................................... 167

5.2 Consideração não-linearidade física e geométrica em pórticos espaciais: simplificada X Refinada ............................................................................................................................. 174 5.2.1

Não linearidade física ........................................................................................ 174

5.2.2

Não linearidade geométrica .............................................................................. 181

5.3

Efeitos locais de 2ª ordem em pilares: Novas Possibilidades ................................... 184

5.4

Blocos de Fundação: Modelos de Análise ................................................................. 188

5.4.1

Bielas e Tirantes ................................................................................................ 188

5.4.2

Análise Elástica- Método dos Elementos Finitos ............................................... 189

5.4.3

Estudos de Casos ............................................................................................... 189

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1 Modelo Estrutural: Conceitos e Aspectos Gerais

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1.1 O que é Modelo Estrutural? 1.1.1 Introdução: Fases de um Projeto Um projeto Estrutural de um edifício é composto de etapas, sendo todas elas essenciais para um bom resultado final: a) CONCEPÇÃO Essa fase é fundamental para a obtenção de uma estrutura funcional, segura e econômica. Efetua-se a compatibilização com o projeto de arquitetura e estudo de diferentes sistemas estruturais visando à otimização da estrutura com o máximo aproveitamento dos materiais. O feeling estrutural e conhecimento pleno das ferramentas são fatores importantes para a concepção da estrutura ideal. É importante a constante interação com os clientes e fornecedores, para informações sobre os insumos e processos. b) ANÁLISE Definida a estrutura, é fundamental que os esforços obtidos apresentem-se confiáveis para o posterior dimensionamento. Para isso, é necessário possuir pleno conhecimento das ferramentas de análise e seus respectivos modelos estruturais. É possível proporcionar uma estrutura mais econômica utilizando-se um modelo estrutural mais refinado. É fundamental o conhecimento dos modelos mais simplificados, seja para utilizá-los ou para validar resultados provenientes do modelo mais refinado. c) DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO Definem-se as seções de aço e concreto dos elementos estruturais. O detalhamento consiste em definir com exatidão as características dos elementos utilizados, especificamente o aço: comprimentos/geometria, bitolas, quantidade e etc. Ressalta-se que a geometria dos elementos já fora definida na etapa de concepção e, em geral, não pode mais ser alterada. Assim, pode-se afirmar que já foi feito parte do dimensionamento, no que se refere à definição das seções de concreto e possibilidade de alojamento da armadura que será calculada (definição da seção). d) DESENHOS E PLANTAS Esta etapa essencialmente traduz todas as etapas anteriores em elementos que possibilitem a materialização na obra e adequado funcionamento para os mecanismos previstos. Em geral são os desenhos ou plantas, podendo ser incluídos aqui também os ABECE - Curso de Modelagem de Edifícios- Engº Mauricio Sgarbi

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desenhos de forma. Esta etapa merece um grande investimento, devido à racionalização dos processos e exequibilidade na obra associados a esta etapa.

1.1.2 Modelo Estrutural: Definições Uma estrutura de concreto armado ou protendido apresenta um mecanismo de enorme complexidade, com condições de contorno de difícil representação:  Geometria tridimensional e contínua, sendo quase nula a hipótese de resolução pelas equações da teoria da elasticidade;  Composição heterogênea (Concreto e aço);  Fissuração do concreto;  Etapas executivas com distintas configurações e carregamentos;  Restrições de difícil simulação na interação solo-Estrutura; Assim, qualquer proposta para simulação da estrutura é aproximada. Apenas a própria estrutura é uma representação exata dela mesma! A engenharia estrutural se propõe a simular a estrutura e suas condições de contorno através de protótipos. Estes elementos são chamados de modelos. Os modelos são elaborados visando idealizar a estrutura, adotando-se simplificações que permitam que o mecanismo real possa ser assumido como sendo aquele determinado pelo modelo. Através da identificação do mecanismo real procura-se uma aproximação satisfatória para que, sob a ótica da engenharia, as respostas provenientes do modelo possam ser utilizadas para a estrutura. Modelos podem ser numéricas/matemáticas.

protótipos

reais/experimentais

ou

representações

No caso do modelo experimental, procura-se simular a estrutura em uma escala geralmente menor do que a real (modelo reduzido). Com os resultados medidos, estes são relacionados com a estrutura real. Existem diversas teorias associadas à este tema. Como exemplos de modelos experimentais mais utilizados podem citar os ensaios em túnel de vento para edifícios com condições de contorno especiais.

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Protótipos de edifícios para ensaio em túnel de vento

Porém, fica clara a impossibilidade de elaboração de protótipos para todas as estruturas. Assim, assim adota-se o Modelo Matemático ou Numérico.  Definição do tipo de modelo adotado, com uma caracterização “macro” para o mesmo.  Escolha dos elementos que representarão a estrutura, definindo-se suas características geométricas, mecânicas e conecções.  Análise dos carregamentos, adotando-se uma hipótese para representação compatível com o modelo assumido.  Definição da estrutura para equilíbrio como corpo rígido. Assim, o problema numérico fica definido e as respostas são obtidas através de métodos variáveis, que dependerão do grau de complexidade e porte do modelo.

1.1.3 Modelos Numéricos e seus diversos graus de complexidade

Os possíveis modelos numéricos para análise estrutural são muitos. Ao longo do curso serão discutidos os diversos modelos para várias situações de análise. Preliminarmente, é possível abordar que os graus de complexidade e refinamento são proporcionais ao grau de representatividade da estrutura. Conforme já comentado, a modelagem numérica “exata” da estrutura se faria de forma analítica, equacionando-a ABECE - Curso de Modelagem de Edifícios- Engº Mauricio Sgarbi

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através de suas condições de contorno, obtendo-se as respostas mediante a resolução das equações diferenciais correspondentes. Porém, as estruturas apresentam geometria complexas e irregulares, tornando esta tarefa praticamente inviável.

Momentos em um elemento de placa e equações que governam o problema

Desta forma, seria intuitivo que um modelo que representasse uma analogia ao tratamento analítico da estrutura contínua seria o mais adequado para a análise da estrutura. Assim, se dividirmos a estrutura contínua em elementos discretos conectados teríamos um bom modelo. Quando a número de elementos tendesse ao infinito, estaríamos exatamente com a estrutura contínua. Ou seja, quanto maior for o número de elementos, melhor será o modelo. Definem-se os carregamentos, restrições, características dos elementos da estrutura e temos um modelo matemático. Existem diversos métodos para a obtenção das respostas deste modelo. Um dos métodos utiliza a compatibilização dos deslocamentos nas extremidades dos elementos conectados. Este método é chamado de Método dos Elementos Finitos (MEF).

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Estrutura discretizada por elementos finitos

Porém, esta compatibilidade de deslocamentos ainda apresenta uma grande complexidade, principalmente para estruturas com muitos elementos. Trata-se de um procedimento numérico e haveria necessidade de algoritmos e processadores para resolver o problema. Com os computadores de elevada capacidade que temos disponíveis atualmente, é possível resolver a grande maioria das estruturas. Lembrando que este método trata um modelo que seria o mais próximo da estrutura contínua. Porém, sabe-se que no passado os recursos disponíveis eram extremamente limitados. Desta forma, eram adotados modelos como menor grau de refinamento, para que fosse possível a obtenção das respostas para analisar e dimensionar as estruturas. Dependendo do grau de simplificação, a correta representatividade dos modelos depende de algumas hipóteses adotadas para a estrutura. No decorrer do curso, todos os possíveis modelos para estruturas de edifícios serão abordados. Por hora, como uma introdução, temos a seguir uma ilustração com um modelo mais complexo e um mais simples.

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1.2 Qual o melhor Modelo? Com a grande variedade de modelos, imediatamente surgem os questionamentos;    

Qual modelo representa melhor a estrutura? Qual modelo é mais confiável? Que modelo deve ser adotado? Qual é o melhor modelo disponível?

Essas questões são de difícil resposta! Teoricamente, o melhor modelo é aquele cuja formulação melhor caracteriza o funcionamento da estrutura analisada.

1.2.1 Modelos Refinados Nos modelos mais refinados temos um grau de complexidade maior inerente. Sendo assim, quanto mais representativo é o modelo os seguintes fatores devem ser observados:  Elementos que compõe o modelo com maior grau de sofisticação, apresentando uma formulação mais complexa;  Carregamentos devem ser inseridos de maneira compatível com os elementos, criando mais um fator de complexidade;  As restrições e conecções entre os elementos podem apresentar condições especiais que fogem daquelas triviais e de fácil visualização;  Os modelos são gerados automaticamente pelos softwares. Assim, condições de contorno particulares podem não estar corretamente equacionadas;

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 A obtenção das respostas para estrutura envolvem metodologias complexas. Em geral não é viável um cálculo manual, sendo necessário o auxílio de computadores.  A apresentação dos resultados requer um conhecimento sólido do modelo e da formulação dos elementos. Estes fatores envolvem aspectos teóricos nem sempre amigáveis, que necessitam de uma análise cuidadosa.

1.2.2

Modelos Simplificados

Nos modelos mais simplificados o funcionamento da estrutura é mais intuitivo. Através de hipóteses assumidas, são propostos mecanismos que são mais facilmente identificados. Os mecanismos e as condições de contorno dos elementos assumem simplificações que denotam um funcionamento conhecido. Para exemplificar, citamos o exemplo mais clássico, que já foi ilustrado anteriormente:

Para a obtenção de esforços nas lajes considera-se que as vigas representam restrições ou liberações perfeitas nos bordos. O carregamento nas vigas resulta dessa mesma consideração. Os esforços nas vigas também são obtidos considerando para os pilares restrições e liberações também perfeitas. As reações nestes apoios representam as cargas nos pilares.

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1.2.3 Modelos Simplificados x Modelos Refinados Após a caracterização geral, é possível uma comparação conceitual entre os modelos. Será que conseguiremos, agora, responder ao questionamento do item 1.2? Destacamos a pergunta reescrita de outra forma:

Qual o Modelo ideal?

Todos os modelos possuem vantagens e desvantagens. Durante o curso, serão apresentadas análises de diversos modelos com diversas situações de projeto. Preliminarmente já possível apresentar algumas considerações. Com os modelos simplificados, o engenheiro possui um controle muito maior dos resultados e existe a possibilidade de obtenção das respostas com poucos recursos. Porém, como as hipóteses consideradas em geral não são cumpridas pelas estruturas, é fundamental que o engenheiro tenha conhecimento suficiente para saber os limites para o não atendimento às estas hipóteses. A análise estrutura pode apresentar-se inadequada, comprometendo todo o projeto. Nos modelos refinados, as desvantagens estão associadas à complexidade de todo o processo, desde a modelagem até a análise dos resultados. A análise de todas as etapas deve ser cuidadosa e detalhada, com identificação de todas as possíveis inconsistências e realização dos ajustes e adequações que porventura sejam necessários. Neste caso é possível afirmar que os modelos refinados são mais indicados. Porém, nem sempre a tarefa supracitada é simples! O mais importante é observar que na utilização de qualquer modelo, o conhecimento do engenheiro é fundamental. É ele que, obrigatoriamente, avalia e valida a entrada de dados, o modelo e os resultados. São requisitos fundamentais para o engenheiro durante a análise estrutural:     

Experiência; Feeling Estrutural; Conhecimentos de Mecânica das Estruturas; Busca da Identificação do mecanismo Estrutural; Bom Senso;

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 Visão da compatibilidade da análise com o posterior detalhamento correspondente;  Visão da compatibilidade da análise com os processos executivos;

1.3 Devemos sempre confiar no modelo? Sendo o modelo adotado o mais complexo e refinado possível será que podemos confiar cegamente nos seus resultados? Conforme já comentado anteriormente, a análise cuidadosa de todas etapas é fundamental. Neste item abordaremos apenas conceitualmente resultados de modelos refinados, pois durante na comparação entre modelo o foco maior será dado em limitações dos modelos mais aproximados. Exemplo 1.3.1 Seja um pavimento conforme mostra a forma em anexo:

Os diagramas obtidos, principalmente de esforços cortante, apresentam uma configuração que não era a esperada.

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Esforços cortantes (tf) nas vigas Este modelo foi gerado automaticamente. Casos similares a estes ocorrem em todos os softwares que geram automaticamente os modelos.

Seria coerente dimensionar a viga V2 com os esforços obtidos?

Neste caso é possível uma intervenção no próprio modelo para obtenção da resposta consistente. Quando não for o caso, o engenheiro deve fazer uma analogia com um modelo simplificado para o correto dimensionamento da estrutura. Exemplo 1.3.2 Um edifício real apresenta uma transição conforme se segue:

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Tem-se o diagrama de momentos fletores de uma viga do último teto do edifício.

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Intuitivamente, ao observamos o diagrama, não identificamos uma compatibilidade com os valores esperados. Observa-se que os pilares nascem em uma viga de transição. Desta forma, o cálculo através do modelo mais sofisticado disponível, de pórtico espacial completo, não foi coerente com o mecanismo da estrutura, uma vez que o edifício não é executado e carregado simultaneamente, condição erradamente assumida pelo software. Veremos com mais detalhes esta inconsistência, mas também é possível que o engenheiro intervenha para obtenção de resultados mais satisfatórios, conforme segue abaixo:

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Exemplo 1.3.3 A seguir uma planta com distribuição dos cabos em uma laje plana protendida.

Tem-se os diagramas de esforços normais gerados automaticamente pelo software:

Tração!

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Observamos tensões de tração em regiões para as quais, a princípio, não são identificadas condições de contorno compatíveis. Neste caso, as barras rígidas necessárias para a consideração dos trechos rígidos dos pilares para carga vertical geram distorções na análise da estrutura para esforços no plano do pavimento. Ou seja, concluímos que mesmo os modelos mais refinados e sofisticados apresentam resultados inadequados. Assim, reforçamos a necessidade dos requisitos já supracitados para o engenheiro projetista.

1.4 Diferenças entre Modelos e a segurança Uma questão que pode inicialmente tirar o sono de um Engenheiro Estrutural referese às diferenças muito significativas entre dois modelos.

Grandes diferenças nos resultados de dois modelos para a mesma estrutura: “Minha estrutura está em risco de colapso total ou parcial?” Sabe-se que toda estrutura têm seus elementos dimensionados com coeficientes de segurança, ponderando ações (majoração) e resistências (minoração). No caso do Concreto Armado e Protendido dimensionamos a estrutura no Estado limite último, cuja probabilidade de ocorrência é mínima. Mesmo sem comentários adicionais, pode-se a afirmar que, mesmo sem a eminência do colapso, a estrutura pode estar com um nível inadequado de segurança. Além da questão dos coeficientes de segurança, temos os seguintes aspectos:  As estruturas apresentam reservas de segurança proporcionais ao seu grau de hiperestacidade;  O concreto é material Elasto-Plástico, ou seja apresentam uma capacidade elevada de redistribuição de esforços; Observar que essas duas características são associadas, pois a maior segurança na estrutura hiperestática está associada à capacidade de adaptação plástica da estrutura. Quando considera-se a plastificação, é importante que ocorra redistribuição e não desconsideração de esforços.

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Colocados estes aspectos, a nova questão que surge apresenta uma outra conotação:

“Posso então ficar tranquilo utilizando qualquer modelo, desde que use-o corretamente?” Agora vem outro aspecto. A redistribuição de esforços e adaptação da estrutura para o modelo previsto tem limites! A natureza impõe uma tendência de comportamento a estrutura. Contrariá-la sem qualquer limite pode originar uma estrutura com um nível de segurança perigoso e principalmente provocar patologia ou desempenho inadequado em serviço.

1.5 Uma boa solução: Modelos Simples + Complexo A análise é uma etapa de extrema importância em um projeto. Os resultados devem apresentar-se consistentes para garantia da segurança e bom desempenho das estruturas. Observando a diferença de complexidade e em alguns casos nos resultados das análises. Fica realmente a dúvida sobre qual modelo utilizar, conforme já mencionado. Para a validação dos resultados, uma boa solução seria analisar a estrutura através de modelos mais complexo e também com os mais simples. No caso do modelo mais aproximado, é sempre importante verificar em que nível as condições de contorno da estrutura são compatíveis com as hipóteses assumidas. Temos, assim, uma boa forma de balizar a análise. Juntamente com a utilização e conhecimento dos modelos simplificados, é fundamental que nunca se peca a sensibilidade:

O Engenheiro deve sempre buscar uma analogia de mecanismo estrutural com estruturas clássicas da estática para averiguar a ordem de grandeza dos resultados.

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Ninguém garantidamente nunca cometerá erros. O que não pode acontecer é não identificá-los quando isto é possível com uma simples análise.

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2 Modelagem de Pavimentos em Concreto Armado

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2.1 Evolução dos Modelos: Viga Contínua ao Método dos Elementos Finitos 2.1.1 Viga Contínua As estruturas tradicionalmente eram tratadas de forma análoga ao sistema de caminho das águas que chegam num telhado, que se caracteriza por uma sequência muito bem definida. Assim, as cargas atuantes nas lajes (telhados) são recebidas pelas vigas(calhas), que por sua vez se apoiam em pilares(tubos de queda). Desta forma, é necessário quantificar os esforços nas lajes para seu adequado dimensionamento. Para tal, consideram-se hipóteses simplificadoras para a consideração das suas condições de contorno. Para as vigas, obtêm-se o carregamento proveniente das lajes assumindo-se as mesmas hipóteses citadas anteriormente, acrescentam-se outros carregamentos como o seu peso próprio e outras cargas diretamente aplicadas. Para a consideração dos apoios nos pilares, as translações e rotações são consideradas totalmente restringidas ou liberadas. Temos definida uma viga contínua, com geometria, vínculos e carregamentos, cuja resolução é possível através de diversos métodos clássicos da estática. Assim, após efetuada a análise, obtêm-se deslocamentos, esforços e reações de apoio. Estas últimas correspondem às cargas nos pilares.

2.1.2 Pórtico Plano O modelo de pórtico plano representa a primeira evolução do modelo de viga contínua, apresentando um tratamento mais refinado para a equalização das ligações entre vigas e pilares, sendo consideradas as rigidezes dos elementos que concorrem ABECE - Curso de Modelagem de Edifícios- Engº Mauricio Sgarbi

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nos nós, resultando em uma distribuição de esforços mais representativa entre os elementos. Um artifício análogo ao modelo de pórtico plano consiste na utilização de apoios com ligações semi-rígidas (substituindo os apoio clássicos da viga contínua), atribuindo coeficientes de rigidez representando os pilares.

 Distribuição simplificadas de cargas das lajes nas vigas.

 Análise dos esforços nas vigas e pilares através do modelo de pórtico plano.

2.1.3 Grelha de Vigas Neste modelo a distribuição de cargas das lajes nas vigas ainda é simplificada. Para o caso de vigas apoiando sempre diretamente nos pilares, o sistema estrutural recai no modelo de pórtico plano, mais especificamente na viga contínua com apoios ABECE - Curso de Modelagem de Edifícios- Engº Mauricio Sgarbi

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elásticos(análogo). Porém, este modelo possibilita um tratamento mais refinado em cruzamentos de vigas, com os esforços definidos de forma mais adequada, através da compatibilização dos deslocamentos utilizando um método para a análise estrutural (em geral o método dos deslocamentos com tratamento matricial). Vale ressaltar que um modelo análogo ao grelha de vigas seria o pórtico espacial formado pelas vigas do pavimento e os pilares, com seus lances superior e inferior (similar ao pórtico plano). Neste caso o carregamento das vigas proveniente das lajes é simplificado. 2.1.4 Grelha de Vigas e Lajes / MEF Todos os elementos estruturais do pavimento (vigas e lajes) são discretizados. A análise estrutural resulta da compatibilidade de deslocamentos entre os elementos obtidos desta discretização. A utilização deste modelo não depende das hipóteses simplificadoras necessárias para aplicações de outros modelos. Este fato resulta em uma grande vantagem, pois é possível a análise de estruturas com características diversas, especialmente aquelas mais irregulares com relação às condições de contorno (forma, carregamento e conecções). No modelo de grelha, lajes e vigas são discretizados utilizando-se o elemento de barra. No caso do MEF (método dos elementos finitos), para as lajes utilizam-se elementos de placa / casca e para as vigas, em geral, elementos de barra. Para este modelo, assim como na grelha de vigas, é possível representar os pilares dos lances inferior e superior com elementos de barra verticais, formando-se um modelo de pórtico espacial para o pavimento.

Grelha

MEF ABECE - Curso de Modelagem de Edifícios- Engº Mauricio Sgarbi

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2.1.5

PÓRTICO ESPACIAL DE TODA ESTRUTURA

Neste caso o pórtico é formado por todos os pavimentos. Este pórtico por ser formado somente por vigas e pilares, sendo o carregamento das lajes simplificado ou obtido calibrando-se vigas e pilares com as reações nestes elementos no modelo de grelha de cada pavimentos. Também temos o pórtico completo, formado por vigas, pilares e lajes, sendo que este último pode ser discretizado com elemento barra ou placa/casca. Neste modelo, com a análise efetua considerando toda a estrutura, é possível contemplar uma determinada situação em que os esforços e deslocamentos são influenciados pelo comportamento global (caso de assimetria de carga e forma). As condições de contorno com relação à rigidez das ligações do pavimento com os pilares também apresentam-se mais precisas, sendo relevantes principalmente em análises de ações indiretas( variação de temperatura, retração e protensão). Mais detalhes e exemplos no capítulo 3. 2.1.6

EXEMPLO DE APLICAÇÃO

Temos a seguir um exemplo simples, com o objetivo de mostrar as aplicações dos modelos para a análise de pavimentos.Temos duas estruturas análogas. A diferença entre elas está na altura da seção da viga V4, sendo de 60cm na “Exemplo 2.1” e 20cm no “Exemplo 2.2”, conforme mostrado nas formas abaixo. 

Estrutura 2.1

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

Estrutura 2.2

Dados:    

Fck=30MPa Sobrecarga Permanente: 100kg/m² Sobrecarga Acidental: 300kg/m² Pé-direito estrutural; 3,00m

Neste caso não faremos a análise com viga contínua, com vínculos totalmente restringidos ou liberados. Será feita a comparação entre modelos que são caracterizados a seguir. 

Pórtico do Pavimento com lajes por processo simplificado  Vínculos das vigas com os pilares considerando os respectivos lances superior e inferior.  Distribuição simplificada das cargas das lajes para as vigas, através das áreas definidas pelas linhas de ruptura (ver figura abaixo).

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Distribuição simplificada de cargas das lajes nas vigas



Pórtico do pavimento com elementos discretizados  Vinculações entre vigas e pilares considerando a rigidez correta de todos os elementos que compõe a ligação (apoios elásticos representando os pilares superior e inferior).  Discretização de todo o pavimento (vigas e lajes) com elementos de barras conectados entre si (três graus de liberdade por nó), com distribuição de esforços obtida efetuando-se a compatibilidade de deslocamentos (método dos deslocamentos ou da rigidez).

a) Análise da Estrutura 2.1 

Pórtico do Pavimento com lajes por processo simplificado

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Carregamentos nas vigas para carga vertical total (Tf/m)

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Momentos fletores (Tf.m)

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

Pórtico do pavimento com elementos discretizados

Foram feitos modelos discretizando as lajes com elementos e barra e de placa.

Discretização do pavimento no modelo-Laje como Barra

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Momentos fletores (Tf.m)- Laje como barra

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Discretização do pavimento no modelo-Laje como Placa

Momentos fletores (Tf.m)- Laje como placa

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b) Análise da Estrutura 2.2 

Pórtico do Pavimento com lajes por processo simplificado

Carregamentos nas vigas para carga vertical total (Tf/m)

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Momentos fletores (Tf.m)- Processo Simplificado- Estrutura 2.2

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

Pórtico do pavimento com elementos discretizados

Momentos fletores (Tf.m)- Lajes como barras- Estrutura 2.2

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Momentos fletores (Tf.m)- Laje como placa

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c) ANÁLISE DOS RESULTADOS Para a estrutura 2.1, não observamos diferenças significativas entre os esforços nas vigas. Focando a análise na viga V4, podemos observar os todos os modelos apresentam resultados convergentes. A análise da estrutura 2.2 , mostrou diferenças significativas entre os esforços nos elementos quando utilizamos o modelo simplificado, observando-se esforços nas vigas muito superiores aos modelos de grelha e elementos finitos. 

O método simplificado de distribuição de cargas das lajes para as vigas assume a hipótese de condições de contorno ideias nos bordos das lajes, com deslocamento totalmente liberados ou restritos. Analisando especificamente as restrições para deslocamentos verticais, fica evidente que a estrutura 2.2 apresenta-se completamente desprovida destas condições. Tem-se diferenças enormes entre as rigidezes ao deslocamento vertical dos apoios das lajes, com a viga V4 apresentando uma rigidez muito inferior às demais vigas formam o contorno da laje enquanto a estrutura. Já a estrutura 1 apresenta a rigidez dos apoios bastante equivalentes, aproximando-se das hipóteses do método simplificado.



Nos métodos simplificados o carregamento nas vigas independe da rigidez relativa entre elas. Assim, observamos que a viga V4 na estrutura 2.2 apresenta carregamento é semelhante ao da estrutura 2.1, mesmo com a diminuição da altura da V4 para 20cm, com uma redução na rigidez a flexão da viga em 9

.

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





vezes. A única alteração foi na carga da própria V4, pois seu peso próprio é menor devido à redução de altura da seção. Alguns engenheiros defendem a aplicação do método simplificado em qualquer situação, alegando que ao dimensionar a estrutura a mecanismo assumido por esse método, o equilíbrio fica garantido. De fato, com a capacidade de adaptação plástica do concreto, é pouco provável uma ocorrência de esgotamento da capacidade resistente de uma dada seção. Porém, cabe aqui ressaltar que as estruturas encontram-se em geral com esforços em serviço. Dependendo da plastificação necessária para que seja alcançado o funcionamento previsto o desempenho da estrutura pode ser ruim. Podem surgir fissuras nas regiões de tração com armadura insuficientes, potencializando a ação de agentes agressivos. O fato de definirmos que um dado elemento é uma viga não significa que podemos utilizar um método que utilize esse conceito. Devemos sempre observar a rigidez do elemento, relativa aos demais elementos de contorno e em relação à laje. Em uma situação hipotética, nos exemplos mostrados, suponha-se que adotaremos uma viga com a espessura da laje (h=12cm) e adotemos o método simplificado! É uma enorme inconsistência, inclusive porque a inclusão de armadura por maior que seja a taxa, tem contribuição muito baixa para a rigidez para assumirmos um elemento rígido. Observar que as diferenças entre os métodos aproximados e o método dos elementos finitos / grelha na estrutura 2.2 se caracterizam por distribuições de esforços diferentes. Ou seja, com a diminuição dos esforços nas vigas ao utilizar o método numérico, as faixas de laje adjacentes passam a ter esforços de flexão. Estas regiões têm esforços praticamente nulos na estrutura 2.1, devido à rigidez muito superior da viga V4 em relação à laje. A distribuição de esforços apresenta-se significativa dependendo da rigidez relativa entre os elementos de contorno da laje. Na figura a seguir mostramos a distribuição de momentos fletores nas lajes nas estruturas 2.1 e 2.2 nas duas direções

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a)

b) ABECE - Curso de Modelagem de Edifícios- Engº Mauricio Sgarbi

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Momentos fletores na direção vertical(Tf.m/m)- a) Estrutura 2.1 (V4-h=60cm) ; b) Estrutura 2.2 (V4-h=20cm)

a)

b)

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Momentos fletores na direção horizontal(Tf.m/m)- a) Estrutura 2.1 (V4-h=60cm) ; b) Estrutura 2.2 (V4-h=20cm)

2.2 Análise Linear x Análise Não-linear Quando um material apresenta proporcionalidade entre tensões e deformações, podese afirmar que este material segue a lei de hooke, apresentando um comportamento linear. Porém, quando a partir de um determinado nível de solicitações um material passa à não apresentar mais essa proporcionalidade, estamos tratando de um comportamento não linear.

O concreto armado é material essencialmente não-linear, devido às seguintes características:  

Composição heterogênea (concreto e aço). Fissuração.

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Esse tipo de não-linearidade trata é chamada de Não-linearidade Física(NLF), pois sua ocorrência se deve às características físicas do material concreto armado. No caso especifico de um pavimento submetido essencialmente a flexão, o tratamento da não-linearidade se faz com as relações constitutivas entre momentos e curvaturas, com formulações de Branson ou Newmark. Busca-se estimar a rigidez equivalente da seção EIeq, considerando que as seções da peça, nas quais as tensões de tração solicitante superam a tensão resistente do concreto na flexão, apresentam uma configuração com regiões fissuradas (Estádio II) e não-fissuradas (Estádio I). Além desta consideração da fissuração, é importante considerar a presença da armadura, que proporciona um aumento de rigidez da seção comparado com a seção apenas de concreto (rigidez com inércia bruta- Ic). A inércia equivalente com a consideração da seção de aço é definida como Inércia Homogeneizada. A consideração NLF de um pavimento em concreto armado busca efetuar uma análise mais precisa do desempenho em serviço da estrutura, através do tratamento mais refinado e realista do material. A principal verificação realizada consiste no atendimento ao ELS-DE (Deformação Excessiva). Para este estado limite, entre outras, temos duas verificações principais: 

Verificação das flechas sob as alvenarias após a sua construção

Limita-se as flechas ocorridas após a construção das alvenarias com o objetivo de não introduzir nestes elementos solicitações que afetem a sua integridade, com o aparecimento de trincas ou fissuras. O valor estabelecido pela NBR6118:2007 é de L/500 ou 10mm, sendo L a extensão da alvenaria. 

Verificação da flecha final total

Refere-se às flechas imediatas acrescidas das flechas diferidas, decorrentes da fluência. Seus limites estão associados às aspectos de aceitabilidade visual e manutenção do funcionamento satisfatório ao qual a estrutura se destina. O valor estabelecido pela NBR6118:2007 é de L/250, sendo L o menor vão.

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2.2.1 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO Serão analisadas duas estruturas com dimensões em planta idênticas. Porém, a verificação referente ao ELS-DE será distinto. Para uma delas, a verificação será de flecha sob alvenaria e para a outra a flecha final total. As dimensões dos elementos foram adotadas considerando o atendimento ao respectivo ELS através da análise linear, com valores calculados próximos aos limites máximos. Os critérios relativos à análise NFL são idênticos, com os principais pontos destacados a seguir:

 Carga total dividida em 12 incrementos.  Não foram incluídas as parcelas imediatas da carga permanente restante (revestimentos) para o cálculo da flecha sob alvenaria.  Cálculo da rigidez equivalente em cada nível de carregamento obtida através da formulação de Newmark.  Consideração NLF da torção de forma simplificada, conforme proposto por CHUST(1994)

a) VERIFICAÇÃO DA FLECHA SOB ALVENARIA

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Dados:    

SOBRECARGA PERMANENTE: 100kg/m² SOBRECARGA ACIDENTAL: 150kg/m² PESO DA ALVENARIA (/m² de parede): 180kg/m² ALTURA DA PAREDE: 2,76m



Combinação para a flecha diferida após a construção das alvenarias Combinação quase-permanente

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Ação

Poderador ELS (flecha imediata)

Peso Próprio Sobrecarga Permanente Sobrecarga acidental Alvenaria

0,00 0,00 0,30 1,00

Coeficiente de Fluência(αf) 1,30 1,15 1,00 1,15

FINAL 1,30 1,15 0,60 1,15

 ANÁLISE LINEAR Deslocamentos(cm)

O deslocamento limite admitido de 1cm (10mm) é definido como o relativo entre os máximos e mínimos ao longo da alvenaria. Assim, observando a disposição das alvenarias no pavimento e as flechas, poderíamos afirmar que o ELS referente à essa verificação estaria atendido.

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 ANÁLISE NÃO-LINEAR Para a consideração das armações das lajes, utiliza-se aquelas obtidas em um préprocessamento linear. Temos ainda duas possibilidades com relação à consideração da NLF para a obtenção de flechas; 



Para obtenção da flecha em cada etapa / incremento, considera-se todo o carregamento dos incrementos anteriores e do incremento atual. Este carregamento calibra um modelo que apresenta elementos com as rigidezes referentes ao incremento atual, também obtida com o carregamento total. Definiremos aqui este modelo como MODELO 1. Para cada incremento calcula-se uma flecha considerando apenas o carregamento referente àquele incremento e as rigidezes são obtidas considerando o carregamento total. As flechas são obtidas somando-se as flechas obtidas em todos os incrementos anteriores com o atual. Observar que, para o incremento atual, é como se a carga dos incrementos anteriores saíssem da estrutura e “deixassem” suas respectivas flechas. Tal fato não ocorre na realidade. Definiremos este modelo como MODELO 2.

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MODELO 1

DETALHE A

MODELO 2

DETALHE A

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Observar que as diferenças são pouco significativas entre as análises linear e não-linear feita com os dois modelos. b) VERIFICAÇÃO DA FLECHA FINAL TOTAL

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Dados:  

SOBRECARGA PERMANENTE: 100kg/m² SOBRECARGA ACIDENTAL: 300kg/m²



Combinação para a flecha final total Combinação quase-permanente Ação

Poderador ELS (flecha imediata)

Peso Próprio Sobrecarga Permanente Sobrecarga acidental

1,0 1,0 0,30

Coeficiente de Fluência(αf) 1,30 1,15 1,00

FINAL 2,30 2,15 0,60

 ANÁLISE LINEAR Deslocamentos(cm)

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Sendo o vão entre pilares de 9,00 metros, o limite para a flecha final é de 900/250=3,60cm. Assim, a verificação de ELS referente à flecha final total está atendida para a análise linear. Como a fluência fora tratada de forma simplificada, é importante a ressalva que ainda teríamos uma pequena folga para flechas maiores. Mesmo que o valor obtido ainda passe ligeiramente do limite, o artifício da contraflecha pode ser utilizado. Observar que as dimensões da laje e capitel propiciam uma estrutura sensivelmente mais esbelta.

 ANÁLISE NÃO-LINEAR Para este exemplo temos as mesmas considerações referentes às diferenças de considerações que resultam nos modelos MODELO1 E MODELO2, já definidos no exemplo anterior.

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MODELO 1

MODELO 2

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c) ANÁLISE DOS RESULTADOS Comparando as estruturas analisadas nos itens a e b, notamos primeiramente diferenças significativas entre a rigidez à flexão de cada uma, para carregamentos que apresentam pequenas diferenças. Tal fato se deve à diferença entre as verificações de ELS. A estrutura para a qual se faz a verificação da flecha sob alvenaria requer maior rigidez. Conforme já comentado, mesmo com a estrutura com uma esbeltez significativa para a verificação da flecha final total, ainda seria possível uma esbeltez ainda maior adotando-se contra-flecha na análise linear. Considerando não-linearidade, observa-se que a verificação da flecha sob alvenaria não apresentou diferenças significativas na análise, inclusive entre as variações da análise não-linear (MODELOS 1 e 2). Na análise da flecha final total, é possível observar diferenças consideráveis entre as análises linear e não-linear. O modelo 1 apresenta valores de flecha sensivelmente superiores ao modelo 1 e à analise linear. Os valores inclusive ultrapassam limite máximo (4,08 > 3,60). Ainda assim, a adoção de contra-flecha dotaria a estrutura de condições suficientes para atendimento ao ELS. Mostraremos a seguir a evolução da rigidez de uma determinada seção para os dois ELS, representada pela barra mais solicitada dos vãos da estrutura.

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Evolução da inércia da barra 4468- Flecha sob alvenaria

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Evolução da inércia da barra 4468- Flecha final Total

Observamos que para a flecha sob alvenaria, a barra mais solicitada entre os vãos, permaneceu no Estádio I (não fissurado) até o carregamento total. Ou seja, a inércia apresenta-se inclusive aumentada em função da presença da armadura. Apenas as barras junto ao capitel trabalham no estádio II nos incrementos finais, em fincão da concentração de tensões/esforços nesta região. Na flecha final total, a partir do incremento 10 a barra tem a inércia reduzida em função da fissuração. A estrutura referente a flecha sob alvenaria não possui uma configuração com fissuração bem inferior á estrutura referente à flecha final total. Desta forma, as diferenças observadas são perfeitamente justificadas, pois quanto maior o nível de fissuração da estrutura, maior a diferença entre as flechas entre as análises linear e não-linear e entre os dois modelos da análise não-linear. No modelo 1 utiliza-se a carga total para a rigidez do incremento, enquanto no modelo 2 grande parcela do carregamento teve sua respectiva flecha calculada com rigidez bem superiores. Portanto, fica evidente que quanto maior o nível de fissuração (estádio II), maior será a diferença entre os modelos, sendo as flechas do modelo1 superiores ao modelo2. A pergunta que fica é: Qual dos dois modelos utilizar? Para estruturas usuais, não observa-se diferenças significativas entre os modelos, pois a configuração fissurada encontra-se pouco expressiva. Por isso temos modelos analíticos e experimentais para os dois modelos que comprovam a boa representatividade de ambos. Porém, o modelo que representa de fato o mecanismo da estrutura é o modelo 1. Ainda assim é evidente a enorme complexidade que envolve a modelagem de uma ABECE - Curso de Modelagem de Edifícios- Engº Mauricio Sgarbi

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estrutura de concreto armado para simular o seu desempenho com relação à deformações, especialmente quando considera-se o seu comportamento não-linear. Assim, a adoção do modelo 1 em detrimento ao modelo 2pode não representar maior coerência com os valores da prática. Entre os fatores que denotam a complexidade citada e dificultam a representatividade do modelo e dos mecanismos podemos citar:  

 

Fase escorada com mecanismos não representados. Em estruturas mais complexas, o comportamento de placa contínua simulada com elementos discretos pode não ter a representatividade ideal, especialmente nas continuidades, com plastificações de difícil identificação e simulação. Funcionamento bidirecional e hiperestático, com situações de interação entre as duas direções de difícil equalização. Complexidade da NLF no contexto dos fatores citados acima. As formulações, embora teoricamente aplicáveis aos elementos discretos que compõe a laje, são em geral feitas para elementos linear com condições de contorno mais simples.

2.3 Consideração da Rigidez à Torção 2.3.1 Torção de Equilíbrio e Compatibilidade Os pavimentos de concreto armado de edifícios são discretizados em elementos que apresentam deslocamentos que estão associados ao esforço momento torçor. Assim, temos para o pavimento mecanismo de flexão e torção em conjunto. A distribuição de esforços entre os elementos é obtida fazendo-se a compatibilização de todos os deslocamentos associados, considerando as rigidezes à flexão e torção. Os esforços de torção obtidos na análise têm relação direta com as rigidezes consideradas para os elementos. Tal qual na flexão, quando reduzimos as rigidezes à torção temos uma redistribuição de esforços. Porém, na torção tem-se a possibilidade de um nível bem mais elevado de plastificação comparando-se com a flexão. Porém, temos situações em que a consideração da torção é fundamental para o equilíbrio da estrutura. Nestes casos, teríamos o chamamos de torção de equilíbrio. ABECE - Curso de Modelagem de Edifícios- Engº Mauricio Sgarbi

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Quando desprezamos ou reduzimos a rigidez à torção e a estrutura é capaz apresentar uma redistribuição de esforços, dizemos que essa é uma torção de compatibilidade. Apresentamos a seguir dois exemplos que ilustram as diferenças entre os dois casos:

Exemplo 2.3.1 a TORÇÃO DE COMPATIBILIDADE

TORÇÃO DE COMPATIBILIDADE

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2.3.2 Consideração da Torção em Lajes Maciças As lajes maciças são elementos que caracterizam propriamente uma placa. Desta forma, na modelagem através de elementos discretos de placa ou barra, a espessura do elemento já define as rigidezes à flexão e à torção. Os Momentos Torçores nas lajes também são denominados Momentos Volventes. Esses esforços ocorrem com maior intensidade nos cantos descontínuos das lajes, proporcionalmente aos vãos. Quando definidos considerando-se a inércia bruta dos elementos os referidos momentos podem ser significativos. Para a consideração destes efeitos para o dimensionamento, geralmente transformase os momentos torçores em fletores equivalentes (WoodArmer). A NBR 61118/2007 permite uma plastificação da rigidez à torção dos elementos na análise para 15% da rigidez para inércia bruta. Para casos conforme mencionado anteriormente, podemos obter diferenças significativas de esforços e deslocamentos. Tomares o exemplo “2.3.2.a” para melhor entendimento. Exemplo 2.3.2

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Flechas(cm)- Lajes com Torção

Momentos volventes(tf.m)- Lajes com Torção

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Momentos fletores (tf.m)- Lajes com Torção

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Flechas(cm)- Lajes sem Torção

Momentos Fletores(tf.m)- Lajes sem Torção

Observar que temos uma diferença muito significativas para todas as grandezas . Reforçamos, assim, a dependência me relação á rigidez à torção considerada, principalmente para estruturas com tipologia similar a este exemplo.

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2.3.3 Consideração da Torção em Lajes Nervuradas As lajes nervuradas possuem uma forma de grelha de vigas “T”. Portanto, na sua modelagem através de uma placa discretizada, não é possível estabelecer uma única espessura que represente as rigidezes à flexão e torção com a espessura/altura fornecida. Para a modelagem como grelha, deve-se fornecer as rigidez à flexão e torção calculadas. Para a modelagem com placa, define-se a espessura correspondente à rigidez à flexão e aplica-se uma coeficiente de correção para a definição da rigidez à torção. Como a espessura das nervuras e principalmente da capa, pode se supor que a rigidez à torção apresenta valores relativamente mais baixos comparados à rigidez à flexão. Associado à este fato, tem-se a dificuldade inerente à geometria da laje de dispor armaduras de combate à torção no conjunto capa-nervura. Assim, é comum que se despreze a rigidez à torção nas lajes Nervuradas.

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3 Modelagem

de

Edifícios

com

Múltiplos Pavimentos

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3.1 Cargas Verticais: Modelos para a obtenção de esforços

3.1.1 Pavimento Isolado Em um edifício alto que possui múltiplos pavimentos, é possível obter os esforços e deslocamentos para o pavimento de forma independente do restante da estrutura. Assim, todos os métodos tratados no capítulo 2 (Modelagem de Pavimentos em Concreto Armado) seriam aplicáveis, juntamente com as análises já realizadas. De forma o modelo mais representativo neste contexto seria a grelha de lajes e vigas ou pórtico espacial do pavimento:

Pórtico Espacial-Pavimento Isolado

Grelha de Vigas e Lajes ABECE - Curso de Modelagem de Edifícios- Engº Mauricio Sgarbi

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Lembrando como as solicitações nos elementos estruturais são obtidas: 

Vigas e lajes: Esforços e deslocamentos provenientes da análise da grelha / pórtico.



Pilares: Momentos fletores provenientes da análise de grelha / pórtico. Esforços Normais obtidos acumulando-se os esforços normais de todos os pavimentos acima do lance de pilar considerado.

3.1.2 Grelha/Elementos Finitos (Vigas e Lajes)+ Pórtico Espacial (Pilares e Vigas) O pavimento é analisado isoladamente, obtendo-se os esforços nos elementos (vigas e lajes). A partir da geometria da estrutura, forma-se um modelo de Pórtico Espacial constituído de vigas e Pilares. Para calibragem do carregamento deste modelo, as reações das lajes nas vigas e pilares no cálculo do pavimento isolado são aplicadas como cargas nestes elementos no pórtico. Desta forma, constituímos um modelo numérico tridimensional de Pórtico Espacial, com uma estrutura reticulada de barras, que representam as vigas e os pilares. Os deslocamentos e esforços são obtidos, em geral, através da compatibilidade de deslocamentos entre os elementos (método dos deslocamentos ou método da rigidez), considerando toda a estrutura completa.

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Este modelo apresenta-se mais representativo para a estrutura e o seus mecanismos em comparação com os modelos de pavimento isolado. Destacamos os seguintes aspectos:  

Tratamento mais adequado para as ligações entre vigas e pilares, considerando para a equalização dos esforços condições de contornos mais reais. Fazendo-se a compatibilidade de deslocamentos da estrutura como um todo, é possível equacionar situações inviáveis quando tratamos o pavimento isolado. Situações como assimetria de carga e forma são devidamente consideradas com obtenção de esforços e deslocamentos adicionais àqueles obtidos com o pavimento isolado.

3.1.3 Pórtico Espacial(Pilares+Vigas+Lajes) Neste modelo toda a estrutura de concreto é discretizada: Pilares, vigas e lajes. Assim, temos um modelo análogo ao anteriormente apresentado. A diferença é que a estrutura apresenta sua análise feita em um único modelo completo, já que a laje agora também constitui o pórtico espacial, juntamente com as vigas e pilares.

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Em uma estrutura convencional, a consideração da laje no pórtico não apresenta diferenças significativas na análise. Porém, a compatibilidade entre os elementos apresenta um equacionamento mais adequado utilizando-se o modelo completo. Portanto, as vantagens são semelhantes àquelas mencionadas no pórtico de vigas e pilares. Para determinadas situações cuja presença da laje seja um aspecto relevante, o pórtico completo apresenta características mais consistentes para uma análise mais coerente.

3.2 Limitações dos Modelos e intervenções para Compatibilidade 3.2.1 Ligações entre vigas e pilares A estrutura real, contínua e espacial, representada por uma estrutura reticulada de barras (unidimensional) apresenta algumas incompatibilidades, que devem ser consideradas na modelagem para melhor representatividade da estrutura. A representação de elementos verticais com características de elementos de superfície através de elementos de barra pode representar uma incompatibilidade de grande notoriedade na modelagem de uma estrutura de edifício. No caso de pilares que recebem vigas apoiando na direção de menor rigidez da sua seção/abas. Na modelagem de pórtico Espacial, em uma análise elástica-linear, esta ligação apresenta uma rigidez que considera toda a inércia da seção do pilar (represetação unifilar). Porém, é fácil deduzir que a rotação do pilar não é uniforme ao longo de toda a sua dimensão. Desta forma, apenas uma parcela da seção do pilar apresenta compatibilidade de deslocamentos (rotação) com viga.

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A modelagem ideal para estes casos é representar o pilar com elementos de casca. Porém, mesmo com o modelo de pórtico espacial de vigas e pilares modelados como barra, é possível um tratamento mais realista para a ligação. É feita uma estimativa da largura do pilar que efetivamente apresenta compatibilidade de rotação com a viga. Impõe-se no nó da ligação uma rigidez equivalente à um pilar com a largura definida. Desta forma, a compatibilidade de deslocamentos é feita considerando essa rigidez, que substitui a rigidez do pilar real para este efeito.

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EXEMPLO 3.1.3.1

Ligações Elásticas ABECE - Curso de Modelagem de Edifícios- Engº Mauricio Sgarbi

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Ligações Flexibilizadas

Análise por Elementos Finitos Nesta análise os pilares são discretizados como elementos de casca, ou seja um elemento finito completo contemplando deslocamento segundo os 6 graus de liberdade.

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Diagrama de Momentos Fletores nas Vigas (tf.m)

Momentos nos Pilares Parede(P2 e P4)- Efeitos Localizados (tf.m/m)

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Comentários dos resultados Observamos que ocorre uma distribuição diferente de cargas nas laje em função dos modelos para o pilar e interação entre as vigas de periferia e as cascas e barras adjacente. O que temos que ressaltar é a proporcionalidade razoável entre os momentos fletores positivo e negativa nas vigas V1 e V2. Ou seja, a mesmo com uma porção reduzida do pilar contribuindo para a ligação, observamos um engastamento considerável. Porém, os momentos fletores concentrados junto ao apoio da viga são muito elevados, havendo a necessidade de plastificá-lo. Desta forma, reduzindo os momentos negativos, teriam uma situação mais próxima à flexibilização.

3.2.2 Consideração do Processo Construtivo: Rigidez Axial dos Pilares Sabe-se que um edifício de concreto armado é construído em etapas. Em um edifício de múltiplos pavimentos, podemos, em geral, afirmar que cada etapa representa um nível estrutural. Ao ser executado, um nível estrutural vai sendo liberado para as condições de contorno de projeto gradativamente à medida que atinja níveis de resistência suficientes para os carregamentos aos quais este é submetido. Através de sistemas de escoaramentos e reescoramentos, os pavimentos com concretagem mais recentes são suportados por pavimentos com resistências compatíveis com tais carregamentos. O sistema de escoramento evolui juntamente com o avanço dos níveis estruturais, sendo que todos os pavimentos são completamente liberados, seguindo a sequência executivos e os requisitos já comentados. Os mecanismos estruturais dos pavimentos durante o processo executivo é de grande complexidade, envolvendo resistências intermediárias àquelas estabelecidas em projeto. As condições de contorno também apresentam-se complexas, com vãos intermediários entre escoras em aço e pilares de concreto e carregamentos devido aos pavimentos recém-concretados. Portanto, fica evidente a incompatibilidade existente entre a análise através do pórtico elástico, simulando uma estrutura totalmente construída e simultaneamente carregada e o processo incremental construtivo.

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Para ilustrar a questão, apresentamos um exemplo simples, de um pórtico plano. Temos três pilares sendo que a distribuição de cargas apresenta desproporcionalidade em relação às seções. Assim, o pilar central possui uma carga maior quando analisamos a sua região de influência e uma seção com menor área. Este exemplo, embora simples, pode representar perfeitamente o comportamento de um edifício.

Apresentamos os diagramas de momentos fletores nas vigas esforço normal nos pilares.

(a)

(b) Diagramas de Momentos fletores (a) e Esforço Normal (b)-Modelo elástico

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Observa-se que o diagrama de momento fletor apresenta uma configuração muito atípica, com momentos praticamente nulos no apoio central. A princípio, esperavamse valores de momentos fletores maiores, com diagrama característico de uma viga contínua. Tal fato ocorre devido à desproporcionalidade entre as áreas das seções dos pilares e suas respectivas áreas de influência de carga. O pilar P2 apresenta uma área de carga superior aos pilares de extremidade P1 e P3 e uma área da seção transversal menor. Em uma análise por pórtico elástico, esta diferença de tensões se reflete em deslocamentos axiais diferenciais entre os pilares, gerando uma redistribuição de cargas em relação à consideração de apoios fixos. O pilar central (P2), que apresenta um deslocamento axial maior, representando um apoio mais elástico. Assim, há uma migração da sua carga para os pilares extremos. Porém, sabe-se o pórtico elástico simula a estrutura totalmente construída e simultaneamente carregada. Conforme já descrito, com o processo construtivo incremental apresenta outro mecanismo, uma vez que os pavimentos são executados e carregados sequencialmente. O diagrama de momentos fletores do último pavimento possui a configuração mostrada devido a consideração da deformação axial do pilar devido à todos os pisos inferiores simultâneo ao seu carregamento. Porém, sabe-se que essas deformações ocorreram quando as cargas referentes à cada pavimento atuaram. Assim, para o último pavimento, o efeito obtido no pórtico espacial não é representativo. Para a correção desta incompatibilidade, é possível uma análise refinada, considerando a estrutura nos seus respectivos estágios de execução e carregamento, obtendo-se as solicitações através da superposição de efeitos. Porém, também temos uma possibilidade mais simplificada, que consiste em uma amplificação artificial da rigidez axial dos pilares, diminuindo as deformações dos pilares e consequentemente limitando a redistribuição de esforços. Esta é uma forma simplificada de considerar o processo incremental construtivo para a análise de Pórtico. Este valor utilizado para o incremento de rigidez axial dos pilares deve ser calibrado. É importante levar em conta que para uma parte dos carregamentos o modelo de pórtico elástico é representativo (carga acidentais e parte das cargas permanentes). Isso ilustra que a adoção do pavimento isolado, com hipótese de apoios indeslocáveis, também pode não ser representativa. Temos abaixo a mesma estrutura anteriormente analisada, introduzindo-se o multiplicador da rigidez axial para os pilares. Adotou-se um valor de 3.

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Diagramas de Momentos fletores (a) e Esforço Normal (b) –Modelo com incremento da rigidez dos pilares

Observa-se que um comportamento mais compatível com o resultado esperado. Uma observação importante tange o pilar central, que neste caso apresenta solicitações incompatíveis com a sua seção. Este exemplo é hipotético, e tem apenas o objetivo de ilustrar a questão. A seguir temos um exemplo análogo, mas com pilares apresentando solicitações compatíveis com as seções, possibilitando o seu dimensionamento.

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Carregamento Distribuído na Viga: 5,5tf/m

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(a)

(b) Esforços Normais(tf)- Elástico(a) ; Pilares enrigecidos (b)

Observa-se que as diferenças não são tão significativas como no exemplo hipotético. Porém, o aumento do esforço normal quando consideramos o processo incremental construtivo é suficiente para que o pilar não seja dimensionável.

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(a)

(b) Dimensionamento dos Pilares- Elástico(a) ; Pilares enrigecidos (b)

3.2.3 Consideração do Processo Construtivo: Viga de Transição Quando há pilares nascendo em vigas de transição e pilares que nascem na fundação, a análise através do pórtico elástico trata essas condições de contorno. Existe uma grande diferença de deformações axiais entre os pilares. Mesmo com a consideração de apoios elásticos para as fundações, as vigas de transição, em geral, apresentam uma flexibilidade maior do que o solo. A seguir temos um exemplo de um pórtico plano com dois pilares que seguem e um pilar que nasce na viga de transição.

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Diagramas de momento fletor- Pavimentos superiores(tf.m)

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Diagramas de momento fletor- Viga de Transição (tf.m)

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Observamos que o comportamento clássico de viga contínua não ocorre. O diagrama apresenta uma configuração que resulta das deformações axiais maiores no pilar central. Novamente, é possível uma análise refinada considerando cada etapa de execução com seus respectivos carregamentos. As solicitações finais resultam da superposição de todas as etapas. Anteriormente ao advento do modelo de Pórtico para análise, os esforços normais nos pilares eram obtidos simplesmente somando-se as reações de apoio de cada um deles no cálculo do pavimento isolado. Essa metodologia era aplicada tanto para pilares que nasciam em fundação quanto em vigas de transição. Neste último caso, simplesmente calculava-se a viga de transição aplicando-se a carga do pilar que nasce. Para o pilar que nasce na viga de transição este tratamento apresenta-se mais conservador. Porém, para carregamento que atuam já com a estrutura executada, o pórtico elástico é o modelo mais adequado. Assim, no cálculo do pavimento isolado, os pilares que nascem na fundação podem apresentar solicitações que estariam contra a segurança. Na impossibilidade da análise refinada considerando o processo construtivo, a recomendação é para fazer uma envoltória entre os modelos de pórtico e pavimento isolado. Para compatibilizar a análise de pórtico com o processo construtivo, uma alternativa possível é de aplicar um aumento de rigidez artificial na viga de transição. Desta forma, o deslocamento do pilar que nasce neste elemento diminui, reduzindo a redistribuição de esforços do pórtico elástico. A seguir temos o exemplo anterior analisado multiplicando-se a rigidez a flexão da viga por 8.

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Diagramas de Momentos fletores (tf.m) - Modelo com transição enrigecida

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Diagramas de Momentos fletores (tf.m) - Viga de transição com viga enrigecida

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Diagramas de Esforço Normal (tf) - Modelo com transição enrigecida

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Fazendo-se a análise calculando os pavimentos isolados e aplicando-se a carga na viga de transição temos os seguintes resultados:

Diagramas de Momentos fletores (tf.m) - Grelha do pavimento

Ocorreram diferenças de esforços nas vigas entre o pórtico modificado e calibragem através das cargas do pavimento isolado. Esse resultado ocorreu devido à rigidez amplificada da viga no pórtico alterado. Na realidade o incremento da rigidez tem o objetivo apenas de simular o processo construtivo impedindo a migração da carga do pilar de transição. Porém, é inevitável a alteração das condições de contorno na ligação da viga de transição com os pilares de apoio. Neste caso, o correto é considerar a rigidez elástica da viga. Assim, podemos afirmar que a análise através do pavimento isolado apresenta mais consistência.

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3.2.4

Consideração do Processo Construtivo: Assimetria

Para estruturas que apresentam assimetria de carregamento e/ou forma, a análise por Pórtico espacial, através da compatibilização de deslocamentos da estrutura completa, possibilita a obtenção de esforços e deslocamentos considerando estes efeitos. O cálculo através considerando os pavimentos isolados, conforme já comentado, não equaciona este aspecto.

Assim, a dúvida que surge é se, considerando o processo construtivo, qual é a magnitude dos esforços que ocorrem devido à assimetria. ABECE - Curso de Modelagem de Edifícios- Engº Mauricio Sgarbi

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A seguir temos um exemplo que mostra uma estrutura real que apresenta essa assimetria de forma. O núcleo rígido encontra-se distante do núcleo central da estrutura em planta. Exemplo 3.2.4

Corte Esquemático

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Forma do teto Tipo

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Modelo em Elementos Finitos

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MOMENTOS FLETORES (kN.m) PILAR P1 P2 P3 P4 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12

MODELO SEQUENCIAL

MODELO NÃO SEQUENCIAL

S/NS

Δ%

Mx

My

Mx

My

Mx

My

Mx

My

28,24 484,38 -7,67 288,61 4740,48 -226,83 -12,63 7,79 0,35 16,25 37,30

17,46 -30,12 -44,94 -153,20 -3594,33 -118,67 -1859,42 -3,29 -7,70 -16,68 -78,30

25,60 482,83 -21,80 294,65 4036,32 -221,07 -13,72 8,14 0,49 14,81 36,41

18,31 -26,81 -42,71 -133,72 -3011,48 -112,73 -1758,67 -1,92 -6,51 -15,56 -74,50

1,10 1,00 0,35 0,98 1,17 1,03 0,92 0,96 0,71 1,10 1,02

0,95 1,12 1,05 1,15 1,19 1,05 1,06 1,71 1,18 1,07 1,05

10,0 0,0 65,0 2,0 19,0 3,0 8,0 4,0 29,0 10,0 2,0

5,0 12,0 5,0 15,0 19,0 5,0 6,0 71,0 19,0 7,0 5,0

Observando os resultados, concluímos que os esforços devido à assimetria ocorrem mesmo considerando a estrutura sendo executada em etapas. Ou seja, diferentemente da consideração da rigidez axial dos pilares e das vigas de transição, neste caso o pórtico espacial elástico mostra-se representativo. Assim, se faz importante a utilização deste modelo para melhor simulação do mecanismo estrutural para assimetria.

3.3 Estrutura de Contraventamento: do núcleo rígido ao Pórtico ao Pórtico Espacial Integrado Frente ações laterais, os edifícios devem apresentar uma estrutura capaz de garantir a estabilidade e capacidade resistente. A estabilidade está associada ao equilíbrio da estrutura como um todo frente à possibilidade de deslocamentos que apresentariam uma sucessão cuja divergência caracterizaria uma instabilidade. Temos métodos e parâmetros para mensurar e avaliar o grau de estabilidade da estrutura. Veremos com mais detalhes posteriormente.

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A capacidade resistente refere-se aos esforços oriundos das ações laterais. Assim, a estrutura deve ser dimensionada para combinações que envolvam estas solicitações.

3.3.1 Elementos de Contraventamento e Contraventados Nas estruturas de edifícios com ações laterais importantes, o engenheiro projeta a estrutura de contraventamento definido quais elementos constituem de fato esta estrutura, resistindo às ações laterais. Estes elementos são chamados de elementos de contraventamento. Os demais elementos, no modelo adotado, não apresentam esforços para ações laterais e estão apenas são dimensionados para resistir às ações verticais. São denominados elementos contraventados. Desta forma, a definição da estrutura de contraventamento depende fundamentalmente da escolha destes elementos. O engenheiro deve avaliar as condições de contorno para esta definição. Ou seja, analisar a rigidez dos elementos e das ligações, monolitísmo, entre outros. Assim como em diversas outras situações de projeto, é função do engenheiro definir a estrutura de contraventamento. 3.3.2 Estrutura de Nós Fixos x Nós móveis Quando submetida às ações laterais e verticais, a estrutura deve ser analisada e dimensionada na sua configuração deformada. As ações verticais geram esforços adicionais devidos aos deslocamentos horizontais. Estes esforços são denominados esforços de 2ª ordem. Dependendo da composição do carregamento e da rigidez global da estrutura, estes esforços podem ou não serem significativos. Considera-se que estes esforços adicionais devem ser considerados quando os esforços finais (1ª ordem +2ª ordem) ultrapassam em mais de 10% os esforços para a estrutura analisada na sua configuração indeformada (1ª ordem). Caso contrário, permite-se desprezar os efeitos de 2ª ordem e efetuar a análise da estrutura na sua configuração indeformada.

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3.3.3 Evolução dos modelos para a Estrutura de Contraventamento Conforme já comentando existem variações para a estrutura de contraventamento que dependem do engenheiro estrutural que a concebe, através da definição dos elementos que compõe este sistema. Porém, sem os recursos disponíveis atualmente, a escolha do sistema de contraventamento se limitava á poucas opções. Assim, só era possível definir e dimensionar sistemas com grandes simplificações. Como o concreto armado é material elasto-plástico, esses mecanismos simplificados eram adotados assumido-se uma redistribuição de esforços, de forma que houvesse compatibilidade entre o funcionamento estrutural real e o modelo adotado. Tem-se a seguir as principais variações possíveis para as estruturas de contraventamento.

Núcleo Rígido Trata-se do modelo mais simples adotado para a estrutura de contraventamento. Adota-se um único elemento vertical somente engastado nas fundações. Geralmente estes núcleos possuem elevada rigidez, composto por uma associação de lâminas verticais, sendo caixas de escadas e/ou elevadores. Todos os demais elementos são contraventados, não apresentando, no modelo, esforços oriundos de cargas verticais.

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Fica evidente a simplicidade uma análise desta estrutura. Trata-se de uma haste cujas únicas restrições são definidas pelo engaste na base(estrutura isostática).

Associação de Pórticos Planos Neste modelo os pórticos planos formados por vigas e pilares são definidos separadamente. Para possibilitar dimensionamento e avaliação adequada da rigidez, é necessário considerar o funcionamento conjunto entre pórticos. Para transformar este problema tridimensional em bidimensional associam-se os pórticos planos introduzindo-se um elemento de ligação. Este elemento deve possuir uma elevada rigidez axial e uma baixa rigidez à flexão. Desta forma, compatibilizam-se os deslocamentos em cada nível estrutural, possibilitando uma distribuição de esforços e obtenção de deslocamentos compatíveis com a estrutura espacial. Com essa metodologia também é possível associar os núcleos rígidos com os pórticos planos.

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Pórtico Espacial de Vigas e Pilares O pórtico espacial é uma evolução do pórtico plano. O modelo numérico representa a estrutura em 3 dimensões, considerando 6 graus de liberdade por nós. Sendo assim, é possível considerar em um único modelo todas as cargas verticais e horizontais, obtendo-se os esforços através da compatibilidade de deslocamentos de toda estrutura reticulada (vigas e pilares).

Pórtico Espacial de vigas e pilares

A ligação entre vigas e pilares também merece um tratamento especial para as cargas horizontais. Assim como para as cargas verticais, a consideração da ligação elástica pode levar a avaliações de rigidez equivocas. Desta forma, as intervenções para melhor representatividade das ligações é essencial. Outro aspecto relevante para a utilização deste modelo refere-se à consideração do diafragma rígido do pavimento. Os pilares e/ou pórtico são ligados entre si através das lajes, que compatibilizam os deslocamentos horizontais em cada pavimento.

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No modelo de Pórtico espacial de vigas e pilares, a laje não está representada. Para simular o efeito do diafragma rígido proporcionado pelas lajes, utilizamos alguns artifícios, introduzindo elementos e alterando determinadas características de outros. Como exemplos, podemos citar o aumento artificial da rigidez à flexão lateral das vigas e a introdução de elementos ligando os pilares (isolados), similares àqueles mencionados na associação de pórticos planos. Porém, estas intervenções apresentam limitações. Para pavimentos com grandes aberturas, rebaixos ou relações elevadas entre as dimensões planta, não é possível compatibilizar as condições de contorno reais adequadamente.

Pórtico Espacial de Pilares, Vigas e Lajes Este modelo é o mais sofisticado para avaliação da estrutura frente às ações laterais. Com a inclusão da laje no modelo, a análise estrutural é realizada efetuando-se a compatibilização de deslocamentos entre todos os elementos estruturais. O pórtico espacial completo tem modelagem similar ao pórtico de vigas e pilares. A laje pode ser representada por elementos de superfície (casca ou placa) e barra. O ideal é que sejam utilizados elementos com os 6 graus de liberdade do pórtico espacial. Neste caso, utilizam-se elementos de barra de pórtico ou casca. Porém, com a laje discretizada o número de elementos e nós do modelo aumenta substancialmente, aumentando proporcionalmente o tempo de processamento do modelo numérico. É possível considerar os elementos do pavimento com três graus de liberdade (barra ou placa). Desta forma, adota-se a hipótese de diafragma rígido, com ABECE - Curso de Modelagem de Edifícios- Engº Mauricio Sgarbi

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a compatibilização de deslocamentos horizontais no plano do pavimento. É importante ressaltar que este modelo apresenta as limitações. Os elementos apresentam os graus de liberdade de translação vertical e duas rotações. Ou seja, os elementos apresentam apenas esforços cortante e momentos fletores e torçores. Portanto, para adotar este modelo de análise é importante que a estrutura apresente essencialmente estes esforços. Estruturas com pavimentos de grandes aberturas, rebaixos ou relações elevadas entre as dimensões planta podem não apresentar resultados satisfatórios.

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EXEMPLO 3.1.3.1 Este exemplo tem como objetivo avaliar uma estrutura submetida à ações laterais com características que tornam essencial a adoção do modelo de pórtico completo. Ou seja, a consideração da laje não deve se limitar à simulação do diafragma rígido. Sua rigidez à flexão é fundamental para um modelo representativo para estrutura.

Dados principais:

Esquema Vertical

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Forma Fck=40MPa Cargas Verticais: -Sobrecarga Permanente: 250kg/m² -Sobrecarga Acidental: 150kg/m²

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Vento: -Velocidade básica: Vo=35m/s Como a estrutura será analisada no ELU devemos considerar a não-linearidade física, com a consideração da rigidez dos elementos reduzida. Simplificadamente, adotaremos um único coeficiente para cada tipo de elemento, conforme permite a NBR 6118/2007. Os modelos que serão comparados encontram-se definidos abaixo:

Para a consideração dos efeitos de 2ª ordem e avaliação da estabilidade da estrutura utilizaremos o método ϒz como referência.

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Parâmetros e Deslocamentos

Análise dos Resultados: ABECE - Curso de Modelagem de Edifícios- Engº Mauricio Sgarbi

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







Na análise na direção Y, onde o parâmetro de estabilidade global ϒz ultrapassou muito os limites de aplicação do método Gama z. A diferença de rigidez da estrutura no estado limite último pode ser constatada observando a diferença entre os deslocamentos no ELU. No modelo “Sem Lajes” o deslocamento foi aproximadamente o dobro do obtido no modelo “Com Lajes”. É importante destacar que com a consideração das lajes permite-se a utilização do método Gama z. Ainda na direção Y, observa-se uma diferença muito significativa para o deslocamento no topo no ELS, muito maior do que a diferença no deslocamento no ELU. Tal fato ocorre devido à consideração da inércia bruta das lajes no ELS e de apenas 30% da inércia bruta no ELU. A importância da consideração da rigidez à flexão das lajes na análise é notória. O projeto desta estrutura apenas é possível com o modelo de pórtico completo. Sem a consideração da laje, não seria possível validar a estabilidade global da estrutura e os resultados da análise seriam equivocados. Observar que a direção X não apresentou diferenças muito significativas como na direção Y. Isso ocorre devido a pouca rigidez das ligações da laje com os pilares internos nesta direção, principalmente quando consideramos a elevada rigidez dos pórticos de vigas e pilares formados no núcleo central da estrutura nesta direção.

Distribuição de esforços nos elementos

Além dos parâmetros globais obtidos e deslocamentos, a consideração da laje em uma estrutura com a tipologia do exemplo tende a apresentar uma distribuição de esforços diferente de quando não incluímos a laje no modelo. Analisaremos um pilar, uma viga e um maciço de laje para averiguar ás diferenças. 

PILAR

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

VIGA

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MODELO SEM LAJES

MODELO COM LAJES

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MODELO SEM LAJES

MODELO COM LAJES

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

LAJE

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3.4 Análise Dinâmica: Diferença entre Modelos e suas implicações Um dos aspectos mais marcantes em relação ao modelo estrutural considerando as lajes discretizadas no pórtico é a análise dinâmica. Para representação da massa e rigidez correta dos elementos fica claro a melhor representatividade do modelo completo. Tomamos como referência o modelo do exemplo do item 3.3 .

Frequência Natural e Configuração do 1º modo de vibração- SEM LAJES

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Frequência Natural e Configuração do 1º modo de vibração- COM LAJES

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Podemos observar que os modos são completamente diferentes. Com a consideração das lajes, o modo mostra-se compatível com uma excitação torcional, enquanto sem as lajes o modo tem configuração de flexão lateral.

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4 Análise de Pavimentos Protendidos

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4.1 Introdução A protensão constitui um artifício de grande aplicação nas estruturas de concreto. A aplicação da protensão introduz tensões de compressão no plano do pavimento através das ancoragens e forças verticais devidas aos desvios dos cabos, preferencialmente com sentidos opostos aos carregamentos gravitacionais. Apresentamos a seguir alguns dos principais benefícios relativos à aplicação da protensão: a) Eliminação ou limitação da fissuração no concreto: O concreto possui baixa resistência à tensões de tração, sendo próxima a 10% da sua resistência a compressão. Desta forma, sendo este limite de resistência a tração ultrapassado, a peça fissura. Com a protensão, temos a introdução de solicitações axiais de compressão e cargas verticais opostas às ações gravitacionais que eliminam ou limitam as tensões de tração no concreto, sendo esse efeito análogo com relação à fissuração. Desta forma a peça apresenta maior rigidez e menos suscetível às ações de agentes agressivos. b) Aplicação de contra-flecha: Com a introdução de um carregamento oposto às ações gravitacionais, temos como resultado a introdução de uma deformada na estrutura oposta àquela causada pelo carregamento à ser combatido. c) Prova de carga na estrutura: Com aplicação da protensão o aço e o concreto são submetidos à tensões em geral superiores àquelas que a estrutura será submetida durante a sua vida útil. d) Aplicação de aços com elevadas resistências: Como o aço é pré-tensionado antes de reagir na estrutura de concreto, é possível aplicar uma deformação compatível com uma elevada resistência, inviável se este mesmo aço fosse passivo, devido às elevadas deformações que iriam ocorrer na estrutura para tal.

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No caso de estruturas de edifícios moldadas in loco, o tipo de protensão adota é de pós-tração. As armaduras são posicionadas na forma, formando geralmente traçado parabólico. Após o concreto atingir determinado nível de resistência, as cordoalhas são puxadas. Ao serem liberadas, transferem ao concreto as forças de protensão através das ancoragens. Na pós-tração podemos ter a protensão com aderência posterior ou sem aderência. Na protensão com aderência posterior, as bainhas que acompanham o traçado dos cabos são injetadas com nata de cimento, que garante a aderência com o concreto. Na protensão sem aderência, mesmo após a protensão, a bainha permanece sem aderência com o concreto. A ligação entre a armadura e o concreto se faz unicamente através das ancoragens.

4.2

Protensão: Conjunto de Cargas Equivalentes

A estrutura de concreto de um edifício apresenta elementos ligados monoliticamente que formam uma estrutura tridimensional-contínua. É totalmente inviável idealizar um modelo matemático para tal com as estruturas da prática. Desta forma, procuramos representar a estrutura com elementos discretos que possuam características com maior compatibilidade possível com suas condições de contorno e características geométricas. Desta forma, temos uma representatividade suficiente para fins de engenharia. De forma análoga, os carregamentos são sempre grandezas contínuas. Temos aqueles representativos da própria estrutura, distribuídos continuamente no domínio do volume dos elementos. E temos aqueles que provem da interação de outros elementos com a estrutura, que produzem carregamento contínuo de superfície. Porém, para compatibilizar com as características do modelo numérico da estrutura, esses carregamentos podem ser discretizados e simplificados para carregamentos linearmente distribuídos e carregamentos concentrados (cargas pontuais), aplicados em elementos lineares e em nós, respectivamente.

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Dentro do contexto apresentado, procuraremos enquadrar a protensão, descrevendo as características reais das ações introduzidas na estrutura e os níveis de simplificações possíveis para a formulação do modelo matemático para a estrutura.

4.2.1 Cargas Equivalentes



Ações Axiais de compressão

Quando os cabos tensionados são liberados as ancoragens, em geral localizadas nas extremidades dos elementos exercem no concreto forças axiais. Tais forças axiais são exercidas pelos elementos de ancoragem e são distribuídas na sua área de contato com o concreto. Desta forma, o maciço de concreto contínuo fica submetido à tensões de compressão que apresentam-se distribuídas na projeção da ancoragem imediatamente na superfície de contato. A medida que nos afastamos das ancoragens as tensões se espraiam e são distribuídas em áreas maiores do maciço. Esse espraiamento ocorre espacialmente de forma simétrica em relação à área da ancoragem, com mecanismo análogo à um bloco parcialmente carregado. Em geral, mas principalmente nas lajes protendidas com monocordoalhas, as dimensões das ancoragens são muito reduzidas em relação às dimensões da laje, sendo perfeitamente aplicável a representação das forças axiais através de uma carga concentrada por cordoalha, ou até por cabo (conjunto de cordoalhas).

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Tensões provenientes da introdução e espraiamento das tensões. Tratando-se de um elemento essencialmente bidimensional, como uma laje, cuja espessura é muito inferior às outras duas dimensões, podemos tratar o espraiamento somente em duas direções. Observar na figura abaixo as solicitações normais no plano da laje com a introdução das ações axiais das ancoragens. 

Cargas verticais de desvios dos cabos

Os cabos são posicionados na estrutura formando configurações geométricas curvas. No momento da protensão, como o concreto já apresentam uma resistência significativa, ocorre a tendência de retificação dos cabos que é impedida pelo maciço de concreto. Desta forma, temos uma ação vertical ao longo dos cabos na estrutura de concreto, que é proporcional à curvatura destes. Análogo ao que ocorre nas ancoragens, a ação dos cabos no maciço de concreto caracteriza-se por uma carga vertical de superfície, que é introduzida na laje exatamente na projeção dos cabos, espraiando-se a partir do cabo até a superfície oposta da placa.

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Cargas equivalentes dos cabos protendidos

Essa ação é análoga às cargas das alvenarias que se apoiam em laje, destacando-se que, neste caso, as cargas possuem natureza gravitacional. 4.2.2 Elementos Unifilares, Unidirecionais e Bidirecionais 

Elementos unifilares: A geometria e as condições de contorno destes elementos caracterizam um elemento linear. No caso de elementos fletidos, podemos citar as vigas. O tratamento da protensão nestes elementos, para efeito de obtenção das cargas equivalentes, é tem equacionamento simples, devido a simplicidade das condições de contorno. A análise de tensões, obtenção dos esforços hiperestáticos para dimensionamento no ELU e análise de deformações são equacionados de forma direta. Essa simplicidade ocorre devido à configuração linear da carga vertical equivalente da protensão, para qual é possível estabelecer uma relação direta com o carregamento externo, que também é linear, coerente com a geometra da peça.



Elementos unidirecionais: Os elementos unifilares se enquadram neste tipo. Porém, além destes, podemos ter uma laje essencialmente unidirecional, quando a razão entre a maior e a menor dimensão da laje é elevada. Neste caso, quando a protensão é distribuída uniformemente, na menor na direção da menor dimensão da laje, são válidas as mesmas considerações feitas para elementos unifilares.



Elementos bidirecionais: Se enquadram neste grupo lajes que apresentam geometria e condições de contorno tais que a placa apresenta curvaturas nas infinitas direções contidas no plano médio da placa. Duas direções são tomadas como referência para análise e dimensionamento, nas quais, em geral, são distribuídos os cabos de protensão. Os cabos são normalmente distribuídos em uma direção e concentrados na outra. Essa premissa tem como propósito aliar os aspectos executivos, evitando interferências, e um melhor aproveitamento das excentricidades dos cabos. Independente da disposição dos cabos, o equacionamento do mecanismo das lajes bidirecionais não é trivial como nos elementos anteriormente descritos. Para a escolha do modelo de cálculo, a identificação das ações impostas pelo conjunto cabos-ancoragens é essencial, de forma que as hipóteses assumidas

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apresentem a melhor compatibilidade possível com mecanismo tridimensional complexo da estrutura. Conforme já descrito em 4.2.1, a protensão atua na estrutura com as cargas axiais nas ancoragens e cargas verticais ao longo dos cabos relacionadas com os desvios e impedimento de retificação dos mesmos. Como as forças verticais aplicadas pela protensão ocorrem na projeção dos cabos, no caso das lajes usuais em que temos cabos distribuídos em uma direção e concentrados na outra, as forças verticais dos cabos concentrados não atuam na mesma projeção das cargas que devem ser equilibradas, que estão distribuídas pelo pavimento. Assim, não temos uma relação direta entre as cargas atuantes (distribuídas) e as cargas equivalentes da protensão(concentradas), como temos nos elementos unidirecionais. Porém, como veremos adiante, para determinadas estruturas é possível fazer uma analogia desta interação complexa com modelos planos unifilares.

4.3 Métodos de análise: Pórticos Equivalentes e Elementos finitos

4.3.1 Pórtico Equivalente

Resumidamente, o método dos pórticos equivalentes consiste em:

 Dividir a estrutura em vários pórticos equivalentes, seguindo as linhas que unem os pilares (suport lines), na direção longitudinal e transversal. Cada pórtico se ABECE - Curso de Modelagem de Edifícios- Engº Mauricio Sgarbi

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compõe de uma linha de pilares ou apoio s e uma faixa de laje (tributaries), limitada lateralmente pelas linhas que unem os pontos médios dos painéis de lajes adjacentes à linha de apoio ou por uma face externa de laje;  Para cálculo dos esforços devidos às cargas verticais, os pórticos podem ser considerados isoladamente para cada piso, com os pilares superiores e inferiores engastados nas extremidades. Na modelagem do pórtico equivalente, as rigidezes dos pilares são modificadas para levar em consideração o funcionamento em duas direções;  A protensão é considerada como um carregamento externo equivalente, levando em conta o princípio da carga balanceada;



Permite-se aumentar a rigidez na região dos pilares em função da existência de capitéis, engrossamento de laje e até mesmo pela própria existência do pilar. O ACI 318 leva em consideração o fato de existir uma grande diferença de largura entre a “laje-viga” e o pilar no cálculo do pórtico equivalente. Essa consideração é feita atribuindo uma rigidez à torção no encontro do pilar com a “laje-viga”. A partir da rigidez do elemento de torção e da rigidez do pilar calcula-se uma rigidez equivalente.

Linhas de apoio das faixas

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Definição das faixas de laje do pórtico equivalente

Divisão das faixas dos pórticos equivalentes

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4.3.2 Método dos Elementos Finitos

Utilizam-se elementos finitos de casca ou barra para as lajes e barras para vigas. Definem-se traçados de cabos para diferentes faixas e o carregamento externo. Assim, um software com uma rotina apropriada define as combinações de cálculo e efetua a análise matricial da estrutura, obtendo esforços e deslocamentos, considerando as ações da protensão (cargas equivalentes) e o carregamento externo. Para cada faixa definida, obtemos os esforços totais em diferentes seções integrando os esforços obtidos ao longo da largura da seção. O método dos finitos considera a estrutura funcionando em conjunto e considera a influência dos cabos na análise estrutural, cuja presença com características distintas nas diferentes faixas, tais como quantidade, espaçamento e traçado, altera os esforços na estrutura. No método dos elementos finitos temos uma razoável variabilidade de aplicações. Resumidamente, temos dois tipos de abordagens: a) MEF-1: Aplicação através da analogia com o mecanismo caracterizado anteriormente, com uma representatividade mais efetiva do funcionamento real. Assim, os esforços normais são introduzidos pelas ancoragens e se espraiam até uma uniformização das tensões. As forças verticais equivalentes dos cabos ocorrem nas suas respectivas projeções. Assim, efetua-se uma análise matricial da estrutura discretizada, considerando as condições de contorno relativas à protensão conforme descrito e aplicando os carregamentos externos. b) MEF-2: Semelhante ao item anterior , efetua-se a análise matricial da estrutura. Porém, a análise se baseia em esforços provenientes de uma faixa, tal qual no MPE, porém sua limitação é obtida pelas linhas de cortantes nulos na outra direção e não mais pelos pontos médios entre as linhas de apoio. Os esforços para cada verificação são obtidos através da integração dos esforços obtidos ao longo de cada seção das faixas.

4.3.3 Exemplos

Apresentamos a seguir exemplos de pavimentos protendidos, com estruturas de tipologias distintas, analisadas por diferentes modelos. São apresentados os resultados e comentários.

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4.3.3.1) Estrutura 1 Conforme forma mostrada a seguir, a estrutura 1 possui sistema estrutural em laje lisa apoiada diretamente nos pilares, cuja disposição apresenta-se regular e simétrica.

a) MPE

b) MEF-1

c) MEF-2

4.3.1.1)

- Sobrecarga Acidental = 300 kg/m²;

- Sobrecarga Acidental = 300 kg/m²; - Sobrecarga Permanente = 200 kg/m²; - Pé-direito Estrutural = 3,00m;

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Distribuição dos cabos 

Análise pelo MPE

Distribuição dos cabos idealizada para análise pelo MPE

Conforme já mencionado, para a formação do pórtico equivalente, assume-se a distribuição uniforme para os cabos, inclusive para as faixas concentradas. Ou seja,

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temos pórticos independentes cujo elemento no plano do pavimento é representado por vigas da largura da faixa e altura da laje:

Faixa analisada

Para considerar o funcionamento bidirecional, assume-se uma altura maior para os pilares, obtida simulando rigidezes de membros de torção ortogonais às faixas analisadas. Não entraremos em detalhes para cálculo deste comprimento. O valor obtido foi de Leq=5,50m. Focaremos na analise na direção vertical para a faixa central.

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Momentos Fletores CTNM- Estrutura 1- MPE

Tensões Combinação Frequente- Estrutura 1- MPE

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Momentos Hiperestáticos (tf.m)



Análise pelo MEF 1

Faixa para uniformização de esforços

Distribuição dos cabos

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Momentos Fletores CTNM- Estrutura 1- MEF 1.

Momentos Hiperestáticos - Estrutura 1- MEF 1. Momentos mínimos Momentos máximos Momentos Médios

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Momentos Hiperestásticos na faixa central

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Tensões-Combinação Frequente- Estrutura 1- MEF 1. 

Análise pelo MEF 2

Conforme já descrito na definição do método e no texto teórico anterior, esse método apresenta a simulação mais precisa para o mecanismo de uma laje protendida. Considera-se a ação dos cabos na laje apenas na projeção dos cabos, com um pequeno acréscimo e o esforço normal é obtido em cada seção, conforme seu espraiamento a partir da sua introdução nas extremidades. Assim, neste método teremos três regiões da laje distintas com relação aos efeitos da protensão:  Regiões submetidas diretamente às cargas equivalentes verticais e aos esforços de compressão (REGIÃO A);  Regiões submetidas diretamente somente aos esforços normais (REGIÃO B);  Regiões sem efeito direto da protensão na direção analisada (REGIÃO C);

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Desta forma, pode-se constatar que a diferença fundamental para o MEF 1 seria o tratamento da protensão. Assim como a carga equivalente, a parcela isostática do momento de protensão se aplica à uma área diferente. Faremos as comparações após o exemplo.

Distribuição de Esforços normais no pavimento

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Momentos Fletores-CTNM- Estrutura 1- MEF 2

Momentos Hiperestáticos- Estrutura 1- MEF 2 Momentos mínimos Momentos máximos

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Momentos Médios

Tensões-Combinação Frequente- Estrutura 1- MEF 2

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Barra X

Região A Região B

Esforços e Armaduras por barra de grelha ABECE - Curso de Modelagem de Edifícios- Engº Mauricio Sgarbi

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Escolhemos uma barra “x” conforme figura para mostrar o significado de cada termo:

Esforços e Armaduras- Homogeneizado

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No caso das seções da região A, os momentos fletores mostrados são correspondentes ao dimensionamento considerando a protensão. Para a região B, o momento obtido representa o momento de dimensionamento (Md) dividido por ϒf =1,4, inclusive incluindo os esforços hiperestáticos de protensão. Pode-se afirmar que a região B apresenta-se submetida á uma flexo-compressão. Os esforços normais são obtidos da distribuição dos normais de protensão no pavimento, enquanto os momentos fletores resultam da combinações dos esforços de carga vertical e hiperestáticos, com a devida consideração quando são favoráveis e desfavoráveis. O que pretende-se mostrar é que fica difícil uma comparação entre os parâmetros dos métodos MEF 1 e MEF 2, pois este último apresenta uma idealização do mecanismo estrutural muito mais representativo. Fundamentalmente, podemos dizer que no MEF1 ocorre uma homogeneização de seções muito maior do que o método MEF 2. Supõe-se toda a seção da faixa definida submetida às ações da protensão de forma homogênea. 

Comparação MPE x MEF 1

Esta comparação é coerente. Escolhemos determinadas grandezas mais características para a comparação conforme tabela abaixo. Tabela comparativa- Estrutura 1

MPE MEF

Mk apoio (tf.m) -70,2 -81

Mk vão (tf.m) 57,6 60,3

Mhip- Apoio (tf.m) 11,1 10,1

Tensão-Fibra InferiorVão(kg/cm²) 18 25

Tensão-Fibra SuperiorApoio(kg/cm²) 23 51

Ressalta-se que os momentos fletores mostrados nas figuras( exceto Mhip do MPE), são mostrados em tf.m/m, assim, para a obtenção dos momentos totais multiplicamse os valores obtidos pela largura da faixa (9,00m). Observa-se uma diferença significativa para as tensões de tração na fibra superior. Esta ocorrência provavelmente se deu em função da análise elástica efetuada, e as concentrações de tensões para as barras centrais tiveram uma contribuição significativa. É possível concluir que temos uma coerência razoável entre os dois métodos para esta estrutura. ABECE - Curso de Modelagem de Edifícios- Engº Mauricio Sgarbi

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4.3.3.2)

Estrutura 2

Para a estrutura 2 temos a seguinte forma:

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

Método MPE

Momentos Hiperestáticos- Estrutura 1- MEF 2

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Momentos Hiperestáticos

Tensões-Combinação Frequente- Estrutura 2- MPE

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

Método MEF 1

Momentos Fletores - CTNM- Estrutura 2- MEF 1

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Momentos Hiperestáticos - Estrutura 2- MEF1

Tensões-Combinação Frequente- Estrutura 2- MEF 1

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

Método MEF 2

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Momentos Fletores - CTNM- Estrutura 2- MEF 2

Momentos Hiperestáticos - Estrutura 2- MEF 2

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Tensões-Combinação Frequente- Estrutura 2- MEF 2

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Resultados do MEF 2 –Estrutura 2 Tabela comparativa- Estrutura 2

Observamos neste caso grande discrepâncias significativas em praticamente todas as grandezas. Essa diferença decorre da diferença do engastamento na extremidade da faixa. Apenas uma parcela da laje junto ao pilar extremo apresenta rotação com compatível com o pilar. Desta forma, quando utilizamos o MEF, apenas as barras de laje próximas ao pilar ficam “engastadas”. Maioria das barras tem rotação liberada. A figura abaixo mostra a deformada das barras da faixa central em vista lateral:

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Vista lateral deformada das barras da faixa lateral

O MPE sintetiza toda a largura da faixa em um único elemento unifilar. Ou seja, considera que existe compatibilidade de rotação ao longo de toda a largura da faixa com o pilar, fato que não ocorre. Observar que, com o engastamento excessivo do MPE foi possível obter um traçado de cabos que não atendeu ao MEF, apresentando tensões e armaduras excessivas. Seria necessário reavaliar o dimensionamento.

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4.3.3.3)

Estrutura 3

Para a estrutura 3 mostraremos apenas uma comparação de forma conceitual. Segue a forma abaixo:

Forma da Estrutura 3

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Distribuição de cabos e faixas na Vertical da Estrutura 3

Focaremos a análise no ponto A. Observamos que este ponto encontra-se entre duas faixas. Sabe-se que em uma estrutura contínua e monolítica todos os pontos devem atender à compatibilidade de tensões, que devem estar representadas por um campo contínuo.

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

Método do Pórtico Equivalente (MPE)

Ponto A

Ponto A

Tensões Faixa Central

Tensões Faixa Lateral

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Observar que as tensões, que deveria ser compatíveis, apresentam diferenças significativas, principalmente na fibra superior. Mostramos os dois pórticos lado a lado com os diagramas de momento fletor, cujo valor também deveria ser compatível no ponto A:

a)

b)

Diagramas de Momento: Hiperestático (a) e Carga vertical (b)

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

Método dos Elementos Finitos (MEF 2)

Diagrama de Momentos- CTNM

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Diagrama de Momentos Hiperestáticos

Diagrama de Esforços Normais ABECE - Curso de Modelagem de Edifícios- Engº Mauricio Sgarbi

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O ponto A analisado encontra-se na região B já definida anteriormente. Desta forma, encontra-se submetida à uma flexo-compressão, definida pelos esforços mostrados acima. Como todos os esforços apresentam compatibilidade, podemos afirmar que as tensões são contínuas, dentro do contexto de uma estrutura discretizada . 4.3.3.4)

Estrutura 4

Seja a estrutura 4 inicialmente em concreto armado.

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No contexto da análise e dimensionamento das vigas, fica evidente que os esforços são idênticos para todas elas:

Momentos Fletores (tf.m)

Observou-se que as lajes apresentam deformações excessivas e que seria necessário utilizar protensão. Porém, como a estrutura tinha vizinhos nas fachadas laterais, foi decidido pelo projetista que a protensão seria aplicada somente na direção vertical. A grande dúvida no projeto era as seguintes:  

Como passam a ficar os esforços na laje? Como avaliar as tensões e esforços para dimensionamento? Os esforços nas vigas continuam iguais? Em caso negativo, como estimar esses valores?

Somente é possível responder à essas perguntas efetuando a análise da lajes através do método dos elementos Finitos. Ou seja, introduzem-se os cabos distribuídos na laje com suas respectivas cargas equivalentes verticais. O seguinte traçado de cabos foi adotado para satisfazer a flecha final total(L/250=4cm):

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Distribuição dos Cabos As deformações finais da estrutura incluindo fluência e a protensão são apresentadas abaixo;

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A alteração na distribuição de esforços nas vigas e na laje é definida pelos hiperestáticos de protensão. São esforços adicionais que surgem em estruturas hiperestáticas provenientes das restrições ao livre deslocamento dos elementos. Neste caso, intuitivamente fica sugestivo que a laje passará apresentar curvaturas maiores na direção vertical, aumentando os esforços nas lajes nesta direção e das vigas que as apoiam(V1 e V2). Consequentemente, a outra direção apresenta uma diminuição dos esforços nas lajes e também nas vigas V3 e V4.

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Momentos nas barras de laje nas duas direções-Combinação das ações gravitacionais com os hiperestáticos

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Momentos nas vigas-Combinação das ações gravitacionais com os hiperestáticos Ou seja, confirmamos a previsão com relação às alterações no funcionamento da estrutura, inclusive com a obtenção dos esforços. A pergunta que fica é a seguinte:

Seria possível a análise adequada desta estrutura através de um processo aproximado?

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5 TÓPICOS ESPECIAIS

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5.1 Plastificação: Visão Geral e Abordagem nos softwares 5.1.1 Plastificação: Conceituação Uma estrutura hiperestática representada por um modelo matemático apresenta sua análise definida pela compatibilidade de deslocamentos. Assim temos esforços e deslocamentos que irão depender, dentre outros, das rigidezes dos elementos. Adotam-se valores para o módulo de elasticidade do material e inércia da seção definida. Essa análise é chamada de Análise Elástica. Porém, o concreto é material com características fundamentalmente elasto-plásticas. A estrutura apresenta uma grande capacidade e potencial para redistribuição de esforços. Essa redistribuição pode ser potencializada pelos fenômenos relacionados ao funcionamento da estrutura. É o caso da fissuração junto aos apoios, que reduz a rigidez nestas regiões. Neste caso, o engenheiro pode até dimensionar a estrutura pela análise elástica. Porém, os esforços no funcionamento real não ocorrem proporcionalmente às armaduras detalhadas. Como estas são dimensionadas no ELU, é possível fazer desta forma sem nenhum prejuízo para a estrutura. Porém, o engenheiro pode dimensionar a viga considerando uma redistribuição de esforços conforme mencionado, com redução dos momentos negativos e aumento dos momentos positivos. Neste caso particular, a tendência da fissuração direciona essa redistribuição. Entretanto, temos outros fatores que direcionam para esse procedimento de projeto:   

Tendência de não-conformidade da armadura negativa com o projeto no caso de lajes (armadura “descendo”); Amenizar as interferências com armaduras de outros elementos. Trata-se de uma região que normalmente apresenta grande concentração de armaduras; Dimensionamento em geral mais econômico;

5.1.2 Plastificação: Limites Embora uma estrutura de concreto apresente uma boa capacidade de redistribuição de esforços, esta deve ser feita de forma criteriosa. É necessário estabelecer limites

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para as palstificações. Estes limites estão associados à capacidade de adaptação plástica na estrutura. No caso específico de elementos fletidos, devemos verificar a capacidade de rotação plástica da seção. Esta capacidade está associada à ductilidade da seção medida no ELU. Quanto maior ductilidade na ruptura, maior a capacidade redistribuição de esforços. Ou seja, quanto menor o valor de (x/d) maior é a redistribuição aplicável. É muito comum identificar em projetos, inclusive de escritórios renomados, valores de plastificação muito superiores aos limites preconizados e as estruturas tem desempenho satisfatório comprovado. Deve ser enfatizado que a capacidade de rotação plástica é feita na ruptura. Como a configuração de esforços e resistências em serviço apresenta-se substancialmente mais favorável, é possível que a estrutura permaneça integra. Porém, é comum identificar patologias decorrentes de plastificações exageradas.

5.1.3 Plastificação: Abordagem nos Softwares Em uma estrutura analisada por um modelo simples e com baixo grau de hiperestaticidade, a plastificação pode ser realizada de forma direta. Por exemplo, podemos simplesmente reduzir o momento elástico calculado na proporção desejada e obtendo novos esforços e deslocamentos para a estrutura. ABECE - Curso de Modelagem de Edifícios- Engº Mauricio Sgarbi

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Em um sistema computacional, cujo a análise em geral é realizada através do Método da rigidez, temos duas alterantivas: a) Alterar a rigidez referente ao grau de liberdade que se deseja plastificar em no encontro de dois elementos. b) Inserir elementos de conecção nas seções que sofrerão plastificação. O caso “a)” é geralmente aplicável às ligações entre vigas e pilares. O caso “b)” é muito utilizado para plastificação de lajes, contínuas apoiadas em vigas ou diretamente em pilares.

Em ambos os casos não é possível considerar uma relação direta para a obtenção de um nível de plastificação definido. A seguir temos um exemplo com aplicação da alteração da rigidez dos elementos no nó de ligação:

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Exemplo 5.1.3

Dimensões: Viga: 25cm x40cm Pilar: 20cm x 20cm Vão entre pilares : 600cm Pé-direito Estrutural: 300cm

Diagrama de Momentos Fletores: Análise Elástica

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Diagrama de Momentos Fletores: Análise Plástica- 100% de plastificação

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Diagrama de Momentos Fletores: Análise Plástica- Plastificação Parcial

Observamos que o valor de rigidez a flexão assumido para as vigas proporciona um dado o nível de plastificação. Buscando uma plastificação de 25%, encontramos a seguinte configuração para o diagrama de momentos fletores:

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Diagrama de Momentos Fletores: Análise Plástica- Plastificação de 25%

Observando o diagrama, de fato confirmamos o nível de plastificação desejado, pois 9,73~0,75 x 13,7. A viga contínua análoga á essa estrutura é mostrada a seguir:

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5.2 Consideração não-linearidade física e geométrica em pórticos espaciais: simplificada X Refinada 5.2.1 Não linearidade física Já foi abordado no curso o comportamento não linear do concreto armado. Uma particularidade complexa e polêmica associada a este assunto é a consideração da NLF nas análises de pórtico espacial para ELU. Temos duas vertentes associadas à verificação no ELU: a) Consideração da rigidez dos elementos para a definição da rigidez às ações laterais; b) Distribuição de esforços para dimensionamento; A consideração da NLF pode ser feita basicamente de duas formas: 5.2.1.1) Não linearidade física Aproximada Atribuem-se valores verificados em estudos para a média das rigidezes para cada tipo de elemento, quando submetidos às combinações que envolvem ações gravitacionais e laterais. A NBR 6118/2007 prescreve valores aproximados.:

Quando a estrutura de contraventamento é composta apenas por vigas e pilares, permite-se a utilização dos seguintes valores:

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Ou seja, no caso do modelo de pórtico formado somente por vigas e pilares, temos duas opções para a consideração das rigidezes. A opção deve ser feita pelo engenheiro e decisão deve ser baseada na observação das ligações e rigidezes de vigas e pilares, associando-se qual configuração de rigidezes fica mais compatível. 5.2.1.2) Não linearidade física Refinada Sabe-se que a rigidez à flexão de um dado elemento é associada à tangente do gráfico Momento x Curvatura. Quando a relação entre os Momentos e a Curvatura é linear, podemos associar uma única rigidez associada:

Porém, como para o concreto armado esta relação não é linear devemos construir os gráficos Momentos x Curvaturas para cada seção, considerando as armaduras, fissuração no concreto e esforço normal. Através das relações constitutivas dos materiais, varia-se os níveis de deformação utilizando as deformadas de ruptura. Fixase o esforço normal (Nd) e obtêm-se os momentos (Md) para cada deformada para a seção atender às equações de equilíbrio. Sendo assim, não adotam-se os valores aproximados para as rigidezes, mas sim valores obtidos desta forma, com tratamento refinado. Destacamos que para este tratamento da NLF, é necessário a consideração das armaduras, cuja variação tem influência direta nos resultados.

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5.2.1.3) Variação da rigidez e distribuição de esforços Conforme é comentado anteriormente, a consideração da rigidez dos elementos pode refletir em uma distribuição de esforço que pode apresentar diferenças significativas. Desta forma, a questão que surge é:

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Qual modelo adotar para o dimensionamento do meu Pórtico Espacial? Primeiramente é importante ressaltar o a complexidade de um mecanismo estrutural de um edifício no ELU. Intuitivamente, poderíamos afirmar que a consideração da NLF de forma refinada representa o modelo mais representativo. Porém, devemos buscar soluções com os modelos aproximados. A princípio temos dois caminhos: a) Consideram-se as rigidezes com inércia bruta para a obtenção de esforços e levamos ao ELU através dos coeficientes de majoração nas combinações. Com a ponderação das resistências dos materiais, dimensionamos os elementos; b) Atribuem-se aos elementos as rigidezes aproximadas preconizadas; Porém, é possível observar diferenças razoáveis na análise estrutural para cada uma destas considerações. A rigidez relativa entre pilar e viga apresenta grande variação entre as considerações. Exemplo 5.2.1.3

Carregamento na viga: 5tf/m Escolhemos simples para comparar a distribuição de esforços considerando as duas possibilidades para a rigidez aproximada e com a consideração da NLF de forma refinada.

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Diagramas de Momentos- 0,8EI(pilares) e 04EI (Vigas)

Diagramas de Momentos- 0,7EI(pilares e Vigas) ABECE - Curso de Modelagem de Edifícios- Engº Mauricio Sgarbi

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Observamos diferenças entre os diagramas. Lembrando que o cálculo com o coeficiente comum aos elementos (0,7EI) apresenta esforços idênticos ao cálculo como inércia bruta. É importante ressaltar que ocorre apenas uma redistribuição de esforços de um modelo para o outro. A compatibilidade de esforços com o carregamento total é perfeita para ambas as situações. 5.2.1.4) Não linearidade física: Refinada x Aproximada

Esta questão está relacionada à alguns fatores. 



Seguindo os padrões, a análise mais refinada tende á ser um modelo mais representativo para a estrutura. Porém, sua análise apresenta-se extremamente mais peculiar e complexa, repercutindo em todos os processos de projeto. O tempo de processamento para consideração da NLF é consideravelmente maior, mesmo que já seja viável atualmente.

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



Os resultados mostram que a rigidez dos elementos varia dentro de um intervalo que não reflete em diferenças significativas na distribuição de esforços em relação ao modelo simplificado. Hoje temos em praticamente todos os sistemas computacionais a consideração do pórtico completo-integrado, com a consideração da laje. Este modelo matemático possui uma quantidade de nós e elementos que cresce assustadoramente quando comparado com o pórtico de vigas e pilares. Sendo assim, hoje ainda não viável considerar o pórtico completo com a nãolinearidade física refinada. Neste caso, é muito provável que a utilização do pórtico completo com NLF aproximada seja um modelo muito mais consistente do que o pórtico de vigas e pilares com NLF refinada.

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5.2.2 Não linearidade geométrica A não linearidade geométrica também pode ser tratada de forma refinada e aproximada. Neste caso por razões didáticas, iniciaremos pela NLG refinada. 5.2.2.1) Não linearidade geométrica Refinada Neste caso consideram-se os sucessivos deslocamentos da estrutura causados pelos efeitos de 2ª ordem até a situação de equilíbrio da estrutura. O principal método utilizado é denominado P- delta. A seguir temos ilustrações que ilustra os procedimentos adotados pelos métodos.

Interações

Cargas Verticais(Pi) e Horizontais fictícias(Hi) ABECE - Curso de Modelagem de Edifícios- Engº Mauricio Sgarbi

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Para cada interação calculam-se os deslocamentos . Estabelece-se uma tolerância entre deslocamentos de interações sucessivas para determinação da configuração final da estrutura. Caso os deslocamentos são sejam convergentes, a estrutura analisada é isntável. 5.2.2.1) Não linearidade geométrica Aproximada Entre os métodos aproximados destaca-se o método ϒz . Sua formulação é elaborada considerando que os momentos as razões entre as diferenças de momentos (ΔM) em cada interação é constante. Desta forma o momento final pode ser escrito em função de uma progressão geométrica infinita de razão r<1 (convergente):

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Propositalmente colocamos M1 em evidência, pois este pode ser obtido em uma análise linear:

Ou seja, conforme antecipado, tem-se uma soma de uma P.G de razão r que relaciona o momento final com o momento de 1ª ordem. Utilizando-se a fórmula da soma da P.G com r<1 obtemos:

Assim designamos ϒz o fator de proporcionalidade entre M e M1 obtido:

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Este método apresenta características que contribuíram para consagrá-lo como o principal método de análise dos efeitos de 2ª ordem globais e estabilidade global:  Indica se a estrutura apresenta nós fixos ou móveis;  Quantifica os esforços de 2ª ordem, obtendo os esforços finais;  Sua aplicação necessita apenas uma análise de 1ª ordem (equilíbrio na situação deformada); Além da aproximação adotada, temos outra diferença em relação ao método P-delta. Os esforços na análise estrutural obtidos no método P-Delta já representam os esforços finais. No método ϒz os esforços da análise estrutural devem ser multiplicados por este coeficiente para obtenção dos esforços que incluem os esforços de 2ª ordem. Devido às aproximações do método, são estabelecidos limite para a aplicação. O valor máximo para o qual o método é aplicável é ϒz<1,30. Observamos em centenas de edifícios na prática uma convergência extremamente satisfatória na obtenção dos esforços finais, confirmando a eficiência e confiabilidade do método ϒz.

5.3 Efeitos locais de 2ª ordem em pilares: Novas Possibilidades Para a obtenção dos efeitos de 2ª ordem em pilares, normalmente tomamos as condições de contorno de restrição considerando as rotações perfeitamente liberadas ou restritas. Porém, sabe-se que no mecanismo de ELU da estrutura estas condições não são representam a realidade. As restrições à rotação nas extremidades dos pilares são compatíveis com a rigidez dos elementos que concorrem no nó. Assim, os efeitos de 2ª ordem e comprovação da estabilidade dos pilares dependem substancialmente destas condições.

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(Efeitos locais)

Para análise dos efeitos de 2ª ordem em pilares, o Método Geral é o único que possibilita a consideração das condições de contorno conforme descrito. E neste método a NLF e NLG são tratados de forma refinada. Sendo assim, como os lances de pilares serão analisados dentro do contexto global, toda a estrutura deve ser tratada da mesma forma. Ou seja, é necessário o utilizar o pórtico NLF e NLG (Pórtico NLFG). Sabe-se que na prática a utilização do pórtico NLFG não é usual. Porém, essa ferramenta possui larga aplicação para análise de diversos casos particulares. Por exemplo, analisar um pilar engastado na base e livre no topo. Por mais que seja possível fazer utilizar uma correção de esbeltez e utilizar o modelo clássico biarticulado, a análise através do Pórtico NLFG possibilita equalizar essas condições de contorno com muito mais precisão.

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Seja um pilar que apresenta condições de contorno particulares. Neste caso, tem-se um pilar engastado na base e articulado no topo. Para aplicação do método Geral, as restrições indicam pilares bi-articulados . Para a consideração desta situação, o pórtico NLFG representa uma excelente alternativa. No caso mostrado a seguir, apenas ilustrado, o pilar não passa quando verificado como bi-articulado, mesmo corrigindo o comprimento de flambagem para compatibilizar com o pilar rotulado e engastado (0,7Le)

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BI-ARTICULADO COM L corrigido

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5.4 Blocos de Fundação: Modelos de Análise Trataremos aqui dos modelos para análise e dimensionamento de blocos de fundação. Serão analisados apenas blocos rígidos, cuja geometria é definida na NBR 6118. 5.4.1

Bielas e Tirantes

Os modelos de bielas e tirantes são representações discretas dos campos de tensão nos elementos estruturais de concreto armado. O modelo idealizado consiste em se admitir no interior do bloco uma treliça espacial composta por barras comprimidas e tracionadas ligadas por nós. 

As barras comprimidas, denominadas bielas, são idealizações dos campos de tensão de compressão no concreto.



As barras tracionadas, denominadas tirantes, são idealizações dos campos de tensão de tração que podem ser absorvidos por uma ou várias camadas de armadura.

O modelo pode ser adotado considerando-se o fluxo de tensões na estrutura, utilizando o processo do caminho das cargas. Essas tensões podem ser obtidas por meio de uma análise elástica linear, utilizando métodos numéricos como, por exemplo, o método dos elementos finitos. Tendo sido definido o modelo, as forças nas bielas e tirantes são calculadas automaticamente através do equilíbrio entre as forças internas e externas que estão sendo aplicadas na estrutura. Obtidos estes esforços torna-se possível o dimensionamento dos tirantes e a verificação das bielas e nós.

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Representação do modelo de bielas e tirantes 5.4.2 Análise Elástica- Método dos Elementos Finitos A idealização da treliça de Mürch para dimensionamento ao cisalhamento de vigas busca representar campos de tensão através de elementos discretos que formam a treliça. Não é diferente na formação dos mecanismos de bielas e tirantes. Os blocos de fundação são elementos de tensão contínuos em serviço. As bielas e tirantes buscam sintetizar essas tensões para formar o elemento de treliça, cujos resultados da análise serão utilizados no dimensionamento. O método dos elementos finitos possui aplicação em algumas situações:  Validar o modelo de biela-tirante para elementos clássicos;  Analisar as tensões de tração no bloco de uma estaca;  Analisar a distribuição de cargas nas estacas e esforços de forma mais consistente em blocos de grande complexidade, com excentricidades, distribuição irregular de estacas e pilares, rebaixos, consideração de molas;

5.4.3 Estudos de Casos 5.4.3.1) Bloco de duas estacas A análise através dos modelos de bielas e tirantes já é consagrada e a formulação para os esforços em elementos clássicos provêm de análise vetorial. Este exemplo apresenta um bloco de duas estacas, que se enquadra neste contexto. Ou seja, a ABECE - Curso de Modelagem de Edifícios- Engº Mauricio Sgarbi

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análise através do modelo em elementos finito apenas será realizada para a validação e verificação da compatibilidade entre os modelos.

Bloco sobre duas estacas – Nkpilar = 350 tf

Na seção S1 obteve-se o seguinte diagrama de tensões:

Deste diagrama obteve-se tensão máxima de tração igual a 300 tf/m² e altura de 0,75 m correspondente às tensões de tração. Para a seção S2 obteve-se o seguinte diagrama de tensões:

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Deste diagrama obteve-se tensão máxima de tração igual a 290 tf/m² e altura de 0,80 m correspondente às tensões de tração. Para a seção S3 obteve-se o seguinte diagrama de tensões:

Deste diagrama obteve-se tensão máxima de tração igual a 285 tf/m² e altura de 0,83 m correspondente às tensões de tração. Com esses dados é possível calcular as áreas correspondentes às cunhas de tração de cada uma das três seções analisadas, a seguir segue representação destas e o cálculo da armadura principal de tração.

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Desta forma: AS1 = (0,75 x 300) / 2 = 112,50 tf/m AS2 = (0,80 x 290) / 2 = 116,00 tf/m AS3 = (0,83 x 285) / 2 = 118,28 tf/m 1º Método: Utilizando apenas a cunha da seção central do bloco (S1) F = 112,50 x 0,80 = 90 tf Ast = (1,4 x 90) / (5 / 1,15) = 28,98 cm² 2º Método: Utilizando as três cunhas analisadas F = 2 x (0,1 x AS1 + 0,2 x AS2 + 0,1 x AS3) F = 2 x (0,1 x 112,5 + 0,2 x 116 + 0,1 x 118,28) = 92,56 tf Ast = (1,4 x 92,56) / (5 / 1,15) = 29,8 cm² 3º Método: Método das bielas e Tirantes 

Angulação da biela tg θ = 1,25 / (0,85 – 0,125) tg θ = 1,72 θ = 60° ≥ 45° (OK!)



Força de reação em uma estaca Rest = (P + G) / 2 Rest = (350 + 1,30 x 0,80 x 2,50 x 2,50) / 2 Rest = 178,25 tf



Resultante de tração

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T = [178,25 (1,70 / 2 – 0,50 / 4)] / 1,25 T = 103,4 tf 

Armadura principal de tração Ast = (1,4 x 103,4) / (5 / 1,15) = 33,3 cm2

4º Método: Método da flexão Os blocos rígidos não apresentam as hipóteses básicas necessárias para uma análise utilizando um modelo de elemento fletido, devido às deformações devido ao cortante significativas (hipótese de timoshenco). Porém, sabe-se que, em geral, o mesmo que o dimensionamento feito desta forma apresente diferenças significativas, a ordem de grandeza é a mesma, sendo válido, portanto, esta verificação.

Carga distribuída representa o peso próprio do bloco: G = 0,80 x 1,30 x 2,50 = 2,60 tf/m Para considerar toda a extensão do bloco e não só a largura entre estacas adotou-se: G = (2,60 x 2,50)/ 1,70 = 3,80 tf/m Deste modelo foi obtido o diagrama de momento fletor a seguir:

150,1 kN.m

Sendo assim a área principal de tração é calculada utilizando-se a tabela a seguir:

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Método da Flexão

Mk (tf.m)

150,1

Md (tf.m)

210,1

bw (cm)

80

fyd (tf/m²)

4,348

d (cm)

125

Kmd

0,094

fck (Mpa)

25

Md max

714,29

Aço (CA-50)

50

Kz

0,941

As(cm²)

41,08

No quadro a seguir encontra-se um resumo com todos os métodos utilizados: Ast (cm²) Elementos Finitos

Métodos

Uma cunha

Três cunhas

BielasTirantes

Flexão

29,0

30,0

33,3

41,1

5.4.3.2) Bloco de uma estaca Nos blocos de “n” estacas formam-se tirantes devido à inclinação das bielas comprimidas. Nos blocos de uma estaca, entretanto, os tirantes representativos do mecanismo somente seriam formados se as projeções da estaca e pilar fossem desalinhadas com tal magnitude que houvesse um desvio não equilibrado das bielas de compressão. Para um pilar com largura substancialmente maior do que o diâmetro da estaca haveria um tirante na face superior do bloco nesta direção. Caso a dimensão do pilar seja menor do que o diâmetro do bloco, o tirante se configuraria na face inferior do bloco. Para as situações mais usuais, nas quais temos diferenças pequenas entre as projeções do bloco e da estaca, a formação de tirantes devido aos desvios das bielas tem pouco efeito. Entretanto, o bloco de uma estaca apresenta mecanismo estrutural similar ao de um bloco parcialmente carregado. Ou seja, com a introdução do carregamento em uma massa de concreto através de uma área reduzida (pilar), a carga se espraia na ABECE - Curso de Modelagem de Edifícios- Engº Mauricio Sgarbi

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massa para depois se reduzir novamente à área da estaca. Esse espraiamento gera tensões de tração transversais a direção

Bloco sobre uma estaca – Npilar = 170 tf

A primeira seção analisada foi a seção central do bloco (S1), a seguir é demonstrado o diagrama de tensões nesta seção.

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Deste diagrama foi obtida a tensão de 142 tf/m² no ponto central da seção e a altura da região tracionada encontrada foi de 0.30 m. Para a seção intermediária obteve-se o diagrama de tensões a seguir:

Deste diagrama foi obtida a tensão de 147 tf/m² no ponto central da seção e a altura da região tracionada encontrada foi de 0.50 m.

Para a seção da face do bloco obteve-se o diagrama de tensões a seguir:

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Deste diagrama foi obtida a tensão de 131 tf/m² no ponto central da seção e a altura da região tracionada encontrada foi de 0.60 m. Com esses dados é possível calcular as áreas correspondentes às cunhas de tração de cada uma das três seções analisadas, a seguir segue representação destas e o cálculo da armadura principal de tração.

Desta forma: AS1 = 2 x [(142 x 0,15)/2] = 21,30 tf/m AS2 = 2 x [(147 x 0,25)/2] = 36,75 tf/m AS3 = 2 x [(131 x 0,30)/2] = 39,3 tf/m A força resultante das três cunhas é calculada considerando-se as larguras que correspondem a cada seção, de forma que a expressão é escrita a seguir: F = 2 x (0,1 x AS1 + 0,2 x AS2 + 0,1 x AS3) F = 2 x (0,1 x 21,3 + 0,2 x 36,75 + 0,1 x 39,3) F = 26,82 tf Ast = (1,4 x 26,82) / (5 / 1,15) = 8,64 cm2 Neste exemplo de bloco sobre uma estaca, foram feitas algumas simplificações, como considerar a introdução de carga concentrada em um ponto. Tal artifício não tem influência significativa no desenvolvimento do mecanismo que pretendemos demonstrar, ficando inclusive a favor da segurança com relação à intensidade das tensões de tração.

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

Força de fendilhamento dos blocos de ancoragem

Desta forma, como Fc0 = 170 tf: Rt1 = 0,30 x (1 – 0,50) x 170 = 25,5 tf Ast = (1,4 x 25,5) / (5 / 1,15) = 8,21 cm2

5.4.3.3) Bloco sobre 108 estacas Este modelo representa um caso real e é apresentado com o objetivo de analisar a distribuição de cargas nas estacas e obtenção de esforços em seções escolhidas. O bloco compreende quatro poços de elevador e seis pilares-parede, estes últimos ABECE - Curso de Modelagem de Edifícios- Engº Mauricio Sgarbi

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responsáveis por contraventar a estrutura absorvendo esforços horizontais de vento. As estacas são do tipo FRANKI com diâmetro D=60cm. A análise aqui efetua compreende apenas as cargas verticais.

Bloco sobre cento e oito estacas

Coeficiente de Mola Foi considerado um coeficiente de mola para representar as estacas. Neste caso específico, trata-se uma estaca curta (5metros), cuja ponta encontra-se assente em rocha. Sendo assim, tem-se apenas a parcela estrutural para a obtenção da mola . ABECE - Curso de Modelagem de Edifícios- Engº Mauricio Sgarbi

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Eci = 5600 x 201/2 Eci = 25.044 MPa Ecs = 0,85 x 25044 Ecs = 21.287 MPa = 2.128.700 tf/m2 Como o diâmetro da estaca é de sessenta centímetros, a área da estaca é: A = π x 0,32 = 0,283 m2 O coeficiente de mola é calculado pela fórmula a seguir:

K = EA/L Desta forma: K = (2128700 x 0,283) / 5 K = 120375, 15 tf/m

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Abaixo temos a tabela com a distribuição de cargas. “Qm” representa a carga média e “Qe “ a carga de cada estaca. Estaca

Carga (tf)

Qe/Qm

Estaca

Carga (tf)

Qe/Qm

Estaca

Carga (tf)

Qe/Qm

1

150

1,03

37

147

1,01

73

143

0,98

2

144

0,98

38

139

0,95

74

144

0,99

3

137

0,94

39

137

0,93

75

148

1,01

4

133

0,91

40

139

0,95

76

152

1,04

5

133

0,91

41

141

0,97

77

160

1,10

6

134

0,92

42

147

1,01

78

172

1,18

7

134

0,92

43

147

1,01

79

172

1,18

8

133

0,91

44

141

0,97

80

160

1,10

9

133

0,91

45

139

0,95

81

152

1,04

10

137

0,94

46

137

0,93

82

148

1,01

11

144

0,99

47

139

0,95

83

144

0,99

12

150

1,03

48

147

1,01

84

143

0,98

13

158

1,08

49

140

0,96

85

143

0,98

14

151

1,03

50

135

0,92

86

148

1,01

15

142

0,97

51

136

0,93

87

151

1,03

16

138

0,94

52

141

0,96

88

154

1,06

17

140

0,96

53

145

0,99

89

163

1,12

18

145

0,99

54

152

1,04

90

172

1,18

19

145

0,99

55

152

1,04

91

172

1,18

20

140

0,96

56

145

0,99

92

163

1,12

21

138

0,95

57

141

0,96

93

154

1,06

22

142

0,98

58

136

0,93

94

151

1,03

23

151

1,03

59

135

0,92

95

148

1,01

24

158

1,08

60

140

0,96

96

143

0,98

25

157

1,07

61

139

0,95

97

134

0,92

26

146

1,00

62

137

0,94

98

140

0,96

27

140

0,96

63

141

0,96

99

145

0,99

28

139

0,95

64

146

1,00

100

150

1,03

29

141

0,96

65

152

1,04

101

157

1,07

30

147

1,00

66

163

1,12

102

162

1,11

31

147

1,00

67

163

1,12

103

162

1,11

32

141

0,96

68

152

1,04

104

157

1,07

33

139

0,95

69

146

1,00

105

150

1,03

34

140

0,96

70

141

0,96

106

145

0,99

35

146

1,00

71

137

0,94

107

140

0,96

36

157

1,07

72

139

0,95

108

134

0,92

TOTAL

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15.773

Página 201

CARGA MÉDIA

Para a análise de esforços, escolhemos a seção de projeção inferior do pilar P20:

Corte AA em planta.

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146

Corte AA – Na integra e detalhado.

1º Método: Cunha de tração Pelo corte AA pode-se definir a cunha de tração máxima:

Desta forma: A = (1,20 x 412) / 2 = 247,20 tf/m Considerando uma variação linear das tensões de tração que vão desde o meio do vão até próximo ao fim dos poços dos elevadores centrais, podemos achar a força de tração resultante da seguinte maneira:

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F = (247,2 x 5,40) / 2 = 667,44 tf Ast = (1,4 x 667,44) / (5 / 1,15) = 215 cm²

2º Método: Método da flexão

M = [(163/2 + 172 + 172 + 163/2) x 0,76] + [(157/2 + 162 + 162 + 157/2) x (0,76 + 1,7)] M = (507 x 0,76) + (481 x 2,46) = 1568,58 tf.m

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Mk (tf.m)

1568,6

Md (tf.m)

2196,0

bw (cm)

540

fyd (tf/m²)

4,348

d (cm)

140

Kmd

0,083

fck (Mpa)

35

Md max

8467,20

aço (CA-??)

50

Kz

0,949

As(cm²)

380,35

Comentários sobre os resultados - Modelos de Blocos O funcionamento dos blocos rígidos, em serviço, se caracteriza por campos contínuos de tensões. Para a verificação na ruptura, tais tensões são sintetizadas, de forma que são formados modelos de estruturas reticulares, particularmente treliças. As seções idealizadas são verificadas introduzindo-se armadura nos tirantes e limitando as tensões de compressão nas bielas comprimidas. Para o bloco de uma estaca, foi feito um modelo tridimensional em elementos finitos, e através da integração das tensões de tração transversais, obtêm-se a área de aço necessária para equilibrar o sistema. Foi feita uma analogia com a teoria e formulação empregada na teoria de blocos parcialmente carregados, pois trata-se do mesmo mecanismo. A ordem de grandeza dos resultados foi similar. A diferença obtida se dá pela diferença entre as duas situações, pois no bloco de uma estaca a carga se espraia e retorna à uma área reduzida, enquanto na teoria do bloco parcialmente carregado as tensões ficam constantes na massa de concreto por uma longa extensão. ABECE - Curso de Modelagem de Edifícios- Engº Mauricio Sgarbi

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Para o bloco de duas estacas, observa-se uma convergência bastante satisfatória entre a integração de tensões de tração do modelo contínuo-linear e o método de bielas e tirantes. Ressalta-se que este funcionamento é relativamente trivial. Para o bloco de várias estacas, destacando a presença do poço de elevador, que torna o problema ainda mais complexo, foi mostrada apenas a distribuição de cargas. Observa-se que a hipótese de distribuição de cargas uniforme considerando o funcionamento de bloco rígido não se concretiza e a distribuição de cargas é irregular. Neste caso é difícil uma materialização de bielas e tirantes, sendo mais recomendável toda análise através do método dos elementos finitos. Para o dimensionamento, adota-se a integração das tensões. É salutar ressaltar que as estruturas de concreto armado apresentam uma elevada capacidade de adaptação plástica, de forma que os modelos adotados funcionam mesmo que não apresentam uma boa representatividade com o resultado elástico-linear, que em tese é o quem melhor simula o mecanismo estrutural real. Porém sempre devemos buscar alternativas com o objetivo de simular com maior precisão o funcionamento estrutural.

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