Cursos De Reforzamiento Uni

Cursos de Reforzamiento UNI 2009-1

Cursos de Reforzam iento UNI N.° 2 - 2009-1 Autor

: Instituto de Ciencias y Humanidades

Editor

: Asociación Fondo de Investigadores y Editores

Diseño gráfico : Área de cómputo y publicaciones de la Asociación Fondo de Investigadores y Editores © A s o c ia c ió n Fondo de In v e s tig a d o re s y E d ito re s Jr. República de Portugal N.° 187 - Breña. Lima-Perú Para su sello editorial Lumbreras Editores Primera edición: mayo de 2009 Tiraje: 1050 ejemplares ISBN: 978-612-4036-33-0 Registro del proyecto editorial N.° 31501130900003 “Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú”

N.° 2009-05583 Prohibida su reproducción total o parcial derechos reservados D. LEG. N.° 822 Esta obra se terminó de imprimir en los talleres gráficos de la Asociación Fondo de Investigadores y Editores en el mes de mayo de 2009 - Calle de las Herramientas N.° 1873 - Lima-Perú Telefax: 332-3786

ÍJ \e ó e n la c ie n El Instituto de Ciencias y Humanidades, institución con más de cuatro décadas de experiencia en la labor educativa y cultural, saluda a los estudiantes que se incorporan a los Cursos de Reforzamiento UNI y a los padres de familia. El presente material didáctico está dirigido principalm ente a los estudiantes que aspiran a una vacante en la Universidad Nacional de Ingeniería (UNI) y otras afines. En cada uno de los cursos se abordan los temas más im portantes y recurrentes de la Universidad Nacional de Ingeniería, por lo cual el estudiante tiene la oportunidad de consolidar y profundizar sus conocim ientos para afrontar adecuadam ente un examen de admisión. La profundidad con la que serán desarrollados los cursos en cada una de las clases garantiza u n aprendizaje adecuado de los distintos temas, tanto en estudiantes que tienen experiencia y buen desarrollo académico como en aquellos que desean com plem entar sus conocim ientos y alcanzar solidez académica. Los objetivos propuestos en estos cursos son los siguientes: •

Superar las limitaciones académicas de cursos cuyo dom inio es im portante para el ingreso a la Universidad.

•

Desarrollar un conjunto de temas de acuerdo al prospecto de la UNI.

•

Desarrollar la capacidad de análisis, interpretación y solución de preguntas tipo examen de admisión.

•

Valorar el conocim iento científico.

Este texto com plementa las clases teórico-prácticas desarrolladas con criterio pedagógico a lo largo de doce semanas; asimismo, contiene preguntas dirigidas y domiciliarias que apuntan al logro de los objetivos específicos de los estudiantes. Con el presente trabajo reafirmamos nuestro compromiso de servicio a la sociedad en general, m ediante una educación integral que aborde los conocim ientos científicos de m anera didáctica y perm ita el desarrollo de la capacidad de análisis y crítica de la realidad, así como el planteam iento de alternativas de solución. I n s t it u t o

de

C ie n c ias

y

H u m a n id a d e s

Jndice

M a tem

á t ic a

A ritm é tica Álgebra Geometría Trigonom etría

C ie n c ia s N a t u r a l e s

Física Química

11 24 39 55

MCD - MCM

5.

Se sa b e q u e la su m a del MCD y el MCM d e 2 n ú m ero s e s 703. Halle la su m a d e

I

¿( 'i lál es la cantidad d e divisores com unes de los núm eros 1 760 913 y 83 853? A) 20 D) 27

B) 23

esto s núm eros, si se sa b e q u e el MCD es el m ayor posible y los n úm eros no son divisibles e n tre sí.

C) 24 E) 18

A) 327

I

Al calcular el MCD d e los n ú m e ro s

(2u)'Kht) y(IMf)(2a_2)

B) 407

D) 410 G.

m ed ian te el algoritm o d e Euclides, se obtuvo por c o cie n tes sucesivos 2; 3; 4; y 3. D eterm ine a 2+ b2 si la tercera di­ visión se hizo p o r exceso.

C) 409 E) 408

Si MCM^ Q L q MCD(P; Q) y MCM(Q; P)+M CD (P; Q )= b halle MCM(P, Q). A) o x í)

B )—

O —

b+1 A) 99 D) 88 I

B) 77

C) 70 E) 90

I .ii u na e m p re sa d e transp o rtes, d e la i uta L im a-C allao, salen 31 u n id ad es en dos horas, p e ro d e la ru ta L im a-S an Juan salen 37 u n id a d e s e n tres horas. SI el lunes a las 8:00 a .m . coincid en en salir las dos rutas, ¿cu án tas v eces m ás coincidirán e n salir h asta las 4:00 p.m.?

D

7.

4

B) 24

A) 200 I» 260

B) 210

C) 240 E) 180

SiM C M C 4;B )=abx(M C D C 4;B )]2 halle el MCM04; B). A) 3020

B) 3200

C) 3024 E) 3240

D) 3131 Si MCD(104; 15B)=625 MCMC14A; 21B )= 31 500

C) 25 E) 27

Koxana quiere em p aq u e tar en cajas cú­ bicas idénticas 12 000 barras d e jabón, cuyas dim ensiones so n 20 cm , 15 cm y 12 cm , de m odo qu e to das e sté n co m ­ p letam ente llenas. ¿C uántas cajas cúbi­ cas, com o m áxim o, se po d rán utilizar?

E) b

a d em á s, A x B = 18 144

8. A) 23 D) 26

) ^ £2+ I

6 -1

halle A xB. A) 93 750

B) 4360

D) 9600

9.

C) 3200 E) 8720

Si A !+B 2=3185, a d e m á s MCDG4; B )+ A = 2 \, halleA + B . A) 18

C) 27

D) 14

E) 35 11

/-*

10.

Academia César Vallejo ^

_ M aterial Didáctico N.° 5 i-^

Dos n ú m ero s al m ultiplicarse p o r u n tercero se o b tien e q u e su MCD es Ai, y cu a n d o se divide p o r d ich o te rc e r n ú ­ m ero el MCD es M2. Halle el MCD de dichos núm eros. A) M\M¿

B) M2/M t

5.

A) 19 D) 16

C) M ]+M.¿ ÍK V J -rr

D

Se cu m p le q u e = = 0,dcb-, (c > d ) cd ab C alcule a + b + c + d . C onsidere q u e = cd e s irreductible. B) 18

C) 15 E) 17

1be

'— be -— = £>,c02; = = 0,jf...y cb

Se cum ple que

be

C alcule x+ y. A) 9 D) 6

Números avales 1.

¿En qu é cifra decim al term in a E al ex­ presarlo en el siste m a decim al?

B) 4

C) 5 E) 8

La fracción irreductible ab g e n e ra al d ecim al 0,b 074.

215 x 7 x 1326 E=5 24 x ! 4 x 4 8

A) 6 D) 9

B) 4

ca

C alcule a + b + c . A) 21 D) 18

C )8 E) 2

B) 15

C) 20

E) 16

Se cu m p le q u e 0, m n s = 0,( 2m ) n 7. 2.

C alcule la can tid ad d e cifras p erió d icas m q u e g e n e ra f =

Si ^ — a = 0 ,x ( x + \)(x + 2 );(.m < x ) mn calcule a + m + n + x . A) 20 D) 16

3.

B) 15

C )1 7 E) 18

A) 28 D) 15 9.

A) 5 D) 6

C) 26 E) 18 10.

4.

Se sa b e q u e 0, a b b n- 0, (n + 6 )6 n 2 C alcule x + y

A) 12 D) 10 12

. ab s i ^ = 0,...xy. bn B) 11

6(£> + c)b

cOOO Calcule a x b x c si la fracción es irre­ ductible.

calcule N + a + b + c+ d . B) 40

C) 60 E) 45

Se cu m p le q u e 0, o b c(o + b + c) =

Si a = = 6 - a ,d b c be

A) 32 D) 52

B) 30

C )9 E) 13

B) 14

C) 30 E) 15

Se cu m p le q u e abe, 328=425, x y z m n 6 a d e m á s, 0 ,a b ^ x 0 ,x y 6= 0 ,p q r^ 2y C alcule p + q + r. A) 16 D) 18

B) 15

C) 12 E) 20

i Hoforzamiento UNI

_ A ritm é tica

Magnitudes proporcionales

5.

Tres ru ed as en g ran an . La p rim era y la seg unda tien en dien tes e n la relación d e 7 a 9; la seg u n d a y la tercera tienen d ien tes e n la relación d e 5 a 4. Si en total han d ado 1188 vueltas en u n a hora, ¿cuántas vueltas d a la m ás p e q u e ñ a en 45 minutos? A) 324 I)) 200 1

12 h 14 h II h 14 h 13 h

A) 30 D) 32 6.

y 35 m in y 35 m in y 12 m in y 25 m in y 25 m in

B) 12

B) 31

C) 37 E) 35

Se em p le a ro n m o b rero s p ara e jec u tar u n a o b ra y al c a b o d e a días hicieron Mn d e aquella. ¿C uántos o b rero s h u b o q u e a u m e n ta r e n e se m o m en to p ara term in ar lo q u e faltaba e n b días? A) — ( a n - a - b ) b B) —(a m - a - b ) a

Veinte obreros p u e d e n h a c e r u n a obra e n 50 días. Si luego d e 30 días d e inicia­ da se informa q ue la obra d eb e a u m e n ­ tar en su quinta parte, ¿cuántos o breros adicionales se d e b e n contratar p a ra ter­ m inar la obra e n el plazo fijado? A) II D) 10

1

C )3 1 0 E) 308

Una b o m b a d e m o ra 10 h 25 m in p ara llenar un reservorio. C uando el ta n q u e e stá lleno h asta 1/5 se m alo g ra y su ren d im iento dism inuye e n 1/3. ¿C uánto tiem po tard ará la b o m b a p a ra llenar el reservorio? A) H) (') I)) K)

1

B) 320

U na carre tera iba a se r co n stru id a por 20 o b rero s en 30 días. Luego de av an ­ zad a la d é c im a p arte, se d isp o n e in­ c re m e n ta r la longitud en la m itad d e lo q u e faltaba, p a ra lo cual se co n trata diez o b rero s m ás. D oce días m ás tarde la m itad d e los q u e e sta b a n se en fer­ m a n p ero siguen trab ajan d o con los dos tercios d e la eficiencia norm al. Si trabajan así du ran te 17 días y qued an , fi­ n alm en te, 5 o b rero s d e eficiencia nor­ m al h asta term inar, ¿en cu án to s días se term in ará la obra?

C) 14 E) 9

C) —( a n - a - b ) o D) —(a n - a - b ) b E) — ( a n - a - b ) a

7.

lln regim iento d e 200 soldad o s tenía víveres p ara 45 días. Al c a b o d e 15 días llegan 40 soldados de refuerzo y 5 días d e sp u é s m u eren 90 so ld ad o s en c ó m ­ bale. ¿Para cu án to s días m ás alca n za ­ ron los víveres?

Un grupo d e o b rero s d e b e h a c e r u n a o b ra en 15 días trab ajan d o 7 h/d. Al c a b o d e 7 días, 12 o b rero s se retiran y luego d e 4 días m á s se exige q u e la o b ra s e a e n tre g a d a e n el plazo fijado. Si p o r ello se c o n tratan N o b rero s ad icio ­ n ales q u e van a trab ajar 1 h o ra p or día, halle N.

A) 5 l» 8

A) 20 D) 23

B) 6

C) 7 E) 9

B) 21

C) 22 E) 24 13

Academia César Vallejo

8.

_ M aterial Didáctico N.° 2

Se rep arten u n a gratificación e n tre tres trab ajad o res d e a c u e rd o a la inform a­ ción del siguiente cu ad ro .

N.° de años de servicio

N.°de tardanzas

16

24

60

12

30

50

20

18

10

Regla de interés 1.

N.° de horas

A) S/.37 B) S/.24 C) S/.28 D) S/.32 E) S/.27

Si sab e q u e u n o d e ellos recibió S/.108 m ás q u e los otros d o s juntos, halle el im porte d e la gratificación. A) S/.840 D) S/.912

9.

B) S/.864

C) S/.888 E) S/.816

B) 120,20

500 500 000 500 500

Enrique divide su fortuna e n tres pa¡ tes p ara depositarlas en u n b an co d e 1( siguiente m a n e ra: los 3/5 al 5% trimei tral, los 2/7 d el re sto al 10% cuatrim ei tral y el resto al 8% bim estral. C a lc u ll el m o n to total q u e o b ten d ría luego d 1 año, si el interés o b ten id o e n es tiem p o e s d e S/.2448. A) S/. 12 840 B) S/.9840 C )S /. 11 348 D) S/. 10 848 E) S/.14 820

C) 110,30 E) 90,50

10. Ju a n inicia un n eg o cio c o n S/.400 y lu e­

14

2.

Dos agricultores A y B tienen, re s p e c ­ tivam ente, 9 y 5 h e c tá re a s d e te rren o q u e d e se a n sem brar. C uan d o ya h a ­ bían se m b ra d o 2/7 d e c a d a p ro p ied ad , contratan a un p eó n y, a partir de enton­ ces, los agricultores y el p e ó n trab ajan en partes iguales. ¿C uántos soles d e b e aportar c a d a agricultor p ara pagar al p eón, si e n total d e b e n p ag arle S/.140? A) 130,10 D) 135,5

Una p e rso n a v e n d e su c a sa ganandf S/.13 000 y el d in ero o b ten id o lo d epo sita e n u n b a n c o al 5% trim estral. Si a cab o d e u n a ñ o retira la c u e n ta y gasti el 20%, luego p o n e el resto en u n banc< al 2% m ensual, el cual luego d e 2 año g e n e ra S/. 17 280 d e interés, calcul» c u á n to le co stó la casa.

3.

go d e 3 m e s e s in c re m e n ta su capital e n su cu arta p arte. Un m e s d e sp u é s de esto, ingresa N atalia co n S/.600, q uien in crem en ta su capital e n su q uinta p a r­ te cu a n d o faltaban 4 m e se s p ara el fin del negocio. Si al ca b o d e 15 m e s e s de iniciado se liquida el n eg o cio co n u n beneficio total d e S/.10 710, ¿cuál e s la diferencia d e las ganancias?

O rnar va al b a n co y pide u n préstam i e n d ólares, p or cierta can tid ad al 8( anual, y 4 m e s e s m á s tard e p id e otn i p réstam o , p or otra can tid ad , p ero í 5% anual. D esp u és d e 5 m e se s, Orna en tre g a al b an c o , p o r los capitales los intereses producidos, la cantidad d $1800. Si los in te re se s p ro d u cid o s po c a d a p ré stam o so n iguales, d eterm in el valor del p rim er p réstam o .

A) S/.90 D) S/.85

A) $450 D) $640

B) S/.92

C) S/.93 E) S/.88

B) $480

C) $520 E) $720

Mnlorzamiento UNI

_ A ritm é tica

I I p ap á d e Jo su é q u iere co m p rar un n n d ador para trasladarlo, p ero le falta Ionio co m o lo q u e tiene p ara com prarli >. h ir ello decidió co m prarlo den tro d e

A) S/.4250 D) S/.6800 7.

10 m eses y d epositó lo q u e tenía en un I M i l i c o al 15% sem estral y d e sp u é s d e 4 m e se s depositó S/. 115 m ás. Si cu a n d o H'llra su dinero p a ra co m p rar el artícu­ lo el precio de este había in c re m e n ta ­ do en 20% su valor, halle el precio final del artículo. A IS/. 200 11) S/.240

B) S/. 180

B) S/.8500

i-.

C) S/.7800 E) S/.4200

S andra d e p o sita la q uinta p arte d e su din ero e n u n b an c o q u e p a g a u n a tasa d e interés del 20% an u al capitalizable se m e stralm e n te , y se o b serv a q u e el in terés o b ten id o e n el tercer perio do e x ce d e al in terés q u e e se o b tien e en el p rim er perio d o d e capitalización e n S/.126. Calcule la su m a d e cifras del capital q u e disp o n ía S andra al inicio.

C) S/.360 A) 8 D )3

E) S/.276

B) 12

C )2 4 E) 6

11!•.('• im pone el din ero q u e tiene en u n I i. iiic o , por 1 añ o y 8 m eses, al 12%. Si

8.

el m onto qu e se o b tien e al final lo reI'•ule 1)1’ a las e d a d e s d e sus tres hijos que son 18; 24; y 30 años, luego estos lo

«>silan en ban co s diferentes q u e le oliet en una tasa del 10%, 20% y 30%, o".|lectivam ente, g an an d o e n u n añ o mi loi.il (le S/.2080, ¿cuánto tenía inii lilim ente José?

A) 30 D) 10

A) S/.6000 II) 5/.8000 (')S /. 10 000 l» S /. 1200 I ) S/. 12 000 1 -ii los d ep o sita u n capital e n u n a enllil.nl financiera al 5% trim estral con ■fipltíilización anual; luego d e tres ...... observa q ue el in terés q u e se genei.i en el prim er perio d o es ex ced id o i-ii S/.374 por el interés q u e se g e n era en el tercer periodo. C alcule el m o n to que se g en era al d ep o sitar el capital a l.i m ism a lasa d u ran te 3 a ñ o s a interés «Imple.

Se d e p o sita S/.240 000 d u ra n te un añ o e n u n b an c o A q u e p a g a u n in terés del 10%, capitalizable se m e stra lm e n te, y el interés o b tenido se dep o sita e n u n b an ­ co B q u e p ag a un in terés del r% anual, cap italizab le se m e stra lm e n te . Si en 1 a ñ o y m ed io e n el b a n co B se o b tien e u n m o n to d e S/.32 742,6, calcu le r.

9.

B) 15

C) 20 E) 24

A C arm en se le p re se n ta n 2 o p cio n es p a ra d ep o sitar su dinero; la p rim era p ag a el 20% sem estral, capitalizable trim estralm en te, y la se g u n d a p ag a el 38% a interés sim ple, y se d a c u e n ta de q u e en 6 m e s e s u n a produciría S/.60 m á s q u e la otra. ¿Cuál e s el m o n to q u e p ro d u c e su din ero si lo d ep o sita ra a la m ejo r o p ció n d u ra n te 1 año? A) B) C) D) E)

S/,4392,3 S/.2442.3 S/,6369,5 S/,2368,2 S/,4872,3 15

f-\

Academia César Vallejo

__M aterial Didáctico N.° 2

10. M aricela d ep o sita e n u n a financiera u n capital C] a u n a tasa del 10% p o r 4 añ o s y otro C2 a u n a tasa del 1,25% trim estral al m ism o tiem po del p rim ero , e n a m b o s caso s con capitalización contin u a. Si la su m a d e los cap itales e s S/.18 760 y los in terese s o b ten id o s e stá n e n la razón d e 34 a 15, calcu le el m ayor capital. C onsidere A/e=l ,2. A) B) C) D) E)

4.

Dos v aro n es y tres ch icas van al cin y e n c u e n tra n 5 asien to s juntos e n un m ism a fila. ¿De c u á n ta s m a n e ra s dife re n tes se p u e d e n u b icar si las chica no q u iere n e sta r u n a al lad o d e la otra A) 10 D) 15

B) 16

C) 18 E) 12

Si hay 7 alu m n o s q u e d e se a n ir a 1q servicios higiénicos p a ra lavarse la m an o s p e ro se c u e n ta c o n solo 3 c< ños, ¿de c u á n ta s m a n e ra s p u e d e si c e d e r ello? C onsidere q u e los alum no e n tra n o rd e n a d a m e n te d e 3 e n 3 y el g en el ca ñ o q u e quieran.

S/.9520 S/.8540 S/.9670 S/.9240 S/.9800

Análisis combinatorio 1.

Se tiene e n u na caja lapiceros d e 4 colo­ res distintos: 6 azules, 4 rojos, 5 neg ro s y 3 verdes. ¿De cu án ta s form as se p u e d e to m ar 3 lapiceros d e colores diferentes, si siem pre se elige el d e color azul? A) 200 D) 257

B) 282

C) 232 E) 277

Karín tiene 10 am ig as y d e s e a h a c e r un a reunión. ¿De cu án tas m an eras p u e ­ d e invitar a 7 d e ellas, si d o s am ig as en particular no p u e d e n asistir juntas? A) 177 D) 66

B) 64

C) 178 E) 67

Para elegir un p resid en te , u n teso rero y u n vocal se tien e 10 particip an tes, d e los cu ales 6 so n varones. Si tiene q u e h a b e r solo u n a m u je r e n la com isión, ¿de cu án ta s m a n e ra s se p o d rá elegir a los rep resen tan tes? A) 180 D) 360 16

B) 240

C) 720 E) 60

A) 7640 D) 12 420

B) 16 480

C) 15 120 E) 1260 lii

En u n país, las p laca s d e u n au to tiene 2 letras y 3 dígitos, c o m e n z a n d o pe letras; a d e m á s, se utilizan solo dígitc im p ares p a ra la últim a cifra d e la num< ración y c u a n d o e m p ie c e co n la letr “A” la p rim era cifra del n ú m ero e s p¿ o cero, e n los d e m á s caso s la prim er cifra será im par. ¿C uántas p laca s dif< ren tes se p u e d e n fabricar? C o nsidere 25 letras in cluyendo la “A”. A) B) C) D) E)

150 294 300 156 306

250 000 000 250 250

Seis am igos van d e cam p a m en to y ¡ ubican alrededor d e una fogata. ¿D cuántas m an eras se p u e d en distribuir Ana y José n u n ca se sientan juntos? A) 120 D) 20

B) 72

C) 36 E) 48

l M ui zumiento UNI

_ A ritm é tica

I ti un m ercado, d o n d e trabajan 12 Hu.irdianes, se d e b e n p rogram ar ron•1.1•• diarias de 3 perso n as. Si d icho HHipo no d e b e repetirse, calcule d e • ii,mías form as p u e d e realizarse dicha lnnH iam ación e n u n a sem an a. A)

2201

213!

B)

90! 83!

r¡Hi

C)

23! 214!

E)

97! 90!

i ii .m íos n u m erales existen d e 6 cifras ....... I sistem a quinario d e m o d o q u e el IHinliK lo d e sus cifras s e a 12?

A) 7/39

B) 10/13

D) 11/39

i

C )4/13 E) 22/39

Al lanzar un d a d o d o n d e la probabili­ d a d d e o b te n e r un p u n taje e s IP a la c an tid ad d e divisores q u e este tiene. ¿Cuál será la p robabilidad d e o b te n e r u n puntaje m ayor d e 4? A) 15/37

B) 19/27

D) 9/37

C) 19/37 E) 13/37

Si se elige al azar un n u m eral d e 3 cifras del sistem a o ctanario, ¿cuál e s la p robabilidad d e q u e resu lte capicúa?

A) (10 10 72

B) 30

C) 90 E) 24

A) 0,25

B) 0,125

D) 0,15 i n.i persona quiere co m p rar 10 pantaliiiirs v « lienta con tres m arcas A, ñ , y C ............ipciones en u n a tienda e n la q u e i' nipio com pra. ¿De cuántas m an eras p uede icalizar la com pra?

C) 0,20

E) 0,375

En u n a línea d e p ro d u cció n hay dos p ro c e so s A y B, e n el p ro c e so A hay un 2% d e d e fectu o so s y e n B hay 21%. En u n a m u estra d e 300 p ro d u cto s hay 200

A) 120 id 240

B) 132

C) 66

del p ro ceso A y 100 d e B. Si se extrae

E) 140

u n artículo al azar y resu lta defectuoso, ¿cuál es la probabilidad d e q u e se a del

Probabilidades • ii ex am en tiene 10 p reguntas y un 'him no tiene q u e c o n testar 6 de ellas. | iilcule la probabilidad d e q u e siem p re m".p onda las dos prim eras.

p ro c eso A? A) 0,16

B) 0,25

D) 0,20

C) 0,04 E) 0,15

Se tiene d o s u rn as q u e co n tie n en fi­ A) 1/2 I» l/<¡

B) 1/4

C) 1/3 E) 1/5

c h as rojas y azules, e n la p rim era hay 5 rojas y 7 azules, e n la seg u n d a 9 ro­ jas y 3 azules. Si se ex trae al azar u n a

I n una i .ija se tienen 8 tizas blancas y 4 ii i|.i -, se extrae u n a tiza y se reem p la za Iii ii del otro color, luego se extrae otra II i II,ille la probabilidad d e q u e e n la p ilm era y seg u n d a extracción las tizas .ean de colores diferentes.

ficha d e c a d a urna, ¿cuál es la pro b ab i­ lidad d e q u e se a n del m ism o color? A) 11/24 D) 29/73

B) 7/12

C) 13/24 E) 5/24

f-\

M aterial Didáctico N.° 2 h

Academia César Vallejo

De un grupo d e p e rso n a s se o b serv a q u e d e los varo n es 40 son p e ru a n o s y 60 extranjeros. De las m u je re s se o b ­ serv a q u e 50 so n p e ru a n a s y 20 ex tran ­ jeras. C alcule la p robabilidad d e q u e al elegir u n a p e rso n a e sta s e a d e n a c io ­ nalidad p eru an a . A) 3/17 D) 9/17

B) 11/19

C) 7/17 E) 17/19

Un c a zad o r h a c e e n p ro m ed io 4 blan eos co n 5 disparos. ¿Cuál e s la probabi lidad d e q u e h a g a e x a c ta m e n te 9 blan' e o s co n 10 disparos?

A)2(lí D)(lí 10.

C alcule la probabilidad d e o b te n e r n ú ­ m ero s consecutivos e n el lan zam ien to d e tres dados. A) 1/6 D) 1/3

B) 1/9

49

B ) 5H>

c, 5(j)

E>(iJ

Se tienen figuras e n u m e ra d a s d e 1 a 2C y se e x traen al a za r d o s d e ellas. ¿Cuá e s la p robabilidad d e q u e al m ultiplica o

los re su ltad o s se o b te n g a u n 20?

C) 2/9 E) 1/4

A) 7/38 D) 19/210

B) 1/5

C) 27/190 E) 18/95

PRACTICA DOMICILIARIA MCM - MCM

III

S ean los n ú m e ro s A y B d o n d e MCM04; B ) =2A

Si MCM[a(¿>+2); o(£>-2)]=728, calcule a+ b.

MCD04; f í) = — C alcule la su m a d e dich o s n ú m ero s

A) 10 D) 12 2.

B) 9

C) 8 E) 7

A) 4 D) 24

Si MCM(a£>; b a )= 403, halle a + b . A) 7 D) 8

B)

C) 9 E) 4

Si el MCMC4; B; C )= l 182, ad e m á s MCD (B; C)=591 y MCD (-4; C )=394 halle C - A - B . A) 190 D) 394

B) 195

C) 197 E) 591

El MCD de -4 y B es 36 y el MCM d e A y B es 4320. Si A = 11+ 2, calc u le el residuo d e dividir B en tre 11. A) 3 D) 8 18

su diferencia e s 6.

B) 5

C) 6 E) 1

6.

B) 6

C) 30 E) 18

El MCM d e 4 n ú m e ro s co n secu tiv o s e 5460. Halle la su m a d e cifras del mayo d e ellos si el m e n o r n ú m e ro es divisibli p o r 3. A) 5 D) 9

B) 3

C )6 E) 12

El MCD d e 2 n ú m e ro s A y B e s 248 y í m e n o r d e ellos e s 2976. Si el MCM est c o m p re n d id o e n tre 59 520 y 89 50( ¿cu án tas so lu cio n es hay p a ra el mayo d e d ich o s n úm eros? A) 5 D) 2

B) 8

C )3 E) 7

I Iwtuí’/omiento UNI *■ __________ /" SI A y B son n ú m ero s q u e ad m iten los m ism os divisores prim os, A tiene 35 divisores y B tiene 39 divisores, ¿cu án ­ tos divisores, c o m o m áxim o, te n d rá el M< 'I) de /45 y B5?

A) 575 D) 385 13.

Si

225

B) 178

C) 190 E) 320

= 1,/nn p qr\ MCD (2225; A0=1

calcu le m +n + p+ q+ r. A) i>) :m i

B) 310

C) 231 E) 319

Si MCI) (/V; 22050)=225 y la can tid ad ilc divisores d e N es 15, e n to n c e s, ¿cuál r» la su m a de cifras del m e n o r valor d«* /V? A) 13 II) i)

B) 12

A) 13 D) 16

14.

C) 15 E) 17

Calcule la sum a d e las tres últimas cifras periódicas q u e g en era la fracción

C) 11 E) 15

N úm ero s av a le s

B) 14

A) 4

B) 6

D) 7

15.

C) 5 E) 9

Calcule la su m a d e cifras de la parte no p erió d ica del decim al 0 ,x y za b c d e f

i .ilculo ol valor d e E.

cuya fracción generatriz tien e c o m o ra­ ..

0,32 + 0,43 + 0,54

zón aritm ética d e sus térm in o s 10878.

1,1+ 2,2+ 3,3

A) 13 A) 0,185

B) 0,185

II) 0,195

C) 0,195

B) 12

D) 11

C )9 E) 18

E) 0,201

16. D eterm ine la c an tid ad d e cifras n o p e ­ SI A - 7 f 0,278+ 0,000278+ 0,0000278+... II I i(),34+0,214+0,1234+,0,1 1014+ . i rtln ilr A+B. A)

I')

71 (i (13 I7(i 63

B)

761 63

C)

riódicas q u e g e n e ra la fracción 25 600 f =641-32! A) 29

617 63 671 63

■i ni» e s la su m a d e los térm in o s d e una fracción equivalente a 76/133, tal qiM* el MCM de sus térm inos se a 980, d eterm in e la su m a d e to d as las b ase s di los sistem as d e n u m eració n e n el «uní iihc genera un aval periódico mixto.

B) 22

D) 21

17.

C) 20 E) 31

Se cu m p le q u e 1 0, a b c d 66 = — + = d mm a d e m á s, = = 0tn p m cd C alcule a + b + c + d + n + p + m . A) 22 D) 20

B) 26

C) 24 E) 18 19

f-\

M aterial Didáctico N.° 2 v-

Academia César Vallejo

Magnitudes proporcionales 18.

Una guarnición d e 400 so ld ad o s situ a­ d o s e n u n fuerte tien en víveres p ara 180 días y co n su m en 900 g p or h o m b re y p o r día. Si recib e n u n refuerzo d e 100 so ld ad o s p ero no recibirán víveres a n ­ tes de 240 días, ¿cuál d e b e rá se r la ra ­ ción de un h o m b re p o r día p ara q u e los víveres p u e d a n alcanzarles? A) 540 g D) 675 g

19.

B) 520 g

O 720 g E) 480 g

U na ru ed a A de 80 dien tes e n g ran a con otra ru e d a B d e 50 dien tes; a d e m á s, fija al eje B hay otra ru e d a C d e 15 d ien tes q u e en g ran a co n u n a ru e d a D d e 40 dientes. Si A d a 120 vu eltas p o r m inuto, ¿cuántas vueltas d a rá la ru e d a D p or m inuto? A) 62 D) 86

B) 70

C) 72 E) 80

22 . Se e stá co n stru y en d o u n p u e n te q u e se d e b e term in ar d en tro d e 18 días, p ara lo cual se e m p le a n 24 o b rero s q u e tie­ n e n u n a jo rn a d a d e 8 h. Si al c a b o d e 9 días se en ferm a n 3 o b rero s y faltan al trabajo p or 3 días, ¿cuántas h oras m ás p o r día d e b e n trab ajar e sto s 3 o breros d u ran te los días resta n te s p a ra culm i n a r el p u e n te e n el plazo fijado? A) 6 D )4

B) 2

23. Veinte o b rero s co n u n a eficiencia d e 3 p u e d e n h a c e r u n a o b ra e n 30 días. Si luego d e 5 días se retiran 5 o b rero s y los re stan te s a u m e n ta n su eficiencia e n su te rc e ra parte, luego d e 5 días se retiran 5 o b rero s m á s y los re sta n te s a u m e n ta n su eficiencia, ¿cuánto d e b e se r la eficiencia d e e sto s últim as p a ra term i n a r la o b ra c o n 5 días d e anticipo? A) 7

B) 8

D) 10

20 .

Un reservorio d e form a cilindrica d e 6 m de radio y 6 m d e p rofundidad a b a ste c e a 36 p e rso n a s p a ra 45 días. Si se q u iere constru ir otro reservorio sim ilar p a ra a b a ste c e r 50 p erso n a s p o r 15 días, p ero cuya pro fu n d id ad s e a 4 m, ¿cuál d e b e se r el d iám etro del nuevo reservorio? A) 10 m D) 15 m

B) 8 m

C) 5 m E) 16 m

C )3 E) 5

Q 9 E) 11

24. Tres albañiles y c u atro a y u d an te s p u e d e n h a c e r u n a o b ra en 50 días. ¿Er cu án to s días h a rán la m ism a ob ra ay u d an te s y 2 albañiles, si el trabajo q u e h a c e u n a y u d an te e n 5 h o ras lo h a ce el albañil e n 3 horas? A) 36 D) 56

B) 72

O 48 E) 54

25. Dos socios reu n iero n u n capital de 21. Seis o b rero s se c o m p ro m e te n a h a c e r u n a o b ra e n 6 días y d e sp u é s d e 2 días d e trabajo se retiran 2 obreros. ¿En q u é tanto por ciento d e b e a u m e n ta r la efi­ cien c ia de los o b rero s re sta n te s p ara en treg ar la o b ra e n el plazo fijado? A) 25% D) 100% 20

B) 50%

C) 75% E) 175%

S/. 10 000 p a ra h a c e r u n negocio, El p rim ero d e jó su capital durant* 3 m e s e s y el otro d u ra n te 2 m e se s. En cu en tre la su m a d e las cifras d e la dife­ ren cia d e los cap itales ap o rtad o s, si 1a: gan an cias fueron iguales. A) 3 D) 5

B) 2

Q 4 E) 6

_Aritm ética »-v

i Mníor/fimionto UNI

Regla de interés ,'li

Ne presta S/.4200 a! 30% anual d u ran te ’>m eses. ¿Qué capital g e n era el m ism o Interés, si se p resta al 21% d u ra n te 15 m anes?

A) S/.3500

B) S/.2500

D) S/.2000 II

C) S/.3000 E) S/.4000

30. Dos capitales e stán e n la relación d e 3 a 5 d ep o sita d o s a tasa s d e 15% trim es­ tral y 8% cuatrim estral, resp e c tiv am e n ­ te; al c ab o d e cierto tiem p o los m o n to s p ro d u cid o s esta rá n en la relación d e 2 a 3, resp ectiv am en te. ¿D urante cu án to tiem p o m ás el in terés p ro d u cid o p or el p rim er capital se rá el triple del seg u n d o capital? A) B) C) D) E)

.A (|ué tasa m en su al d e b o im p o n er mi dinero si tengo S/.1200 y d en tro d e H m eses d eb o co m p rar u n artefacto (|iie actu a lm en te c u e sta S/. 1400, y q u e

56 30 40 25 96

m e ses m e se s m e se s m e ses m e se s

iil cab o de d icho tiem p o su p recio a u m en tará en un 20%? A) :')%

B) 17,5%

I)) 15% H

31. C )8% E) 12%

Un negociante c o m p ra co n los 3/5 de mi

capital un terren o a $800 la hectá-

ie.i I ,o q ue q u e d a le p ro d u ce u n a ren ta de $4400 al año, por estar co lo c a d a la

Un capital se divide e n dos p artes co lo cán d o las al 30% y 40% d u ran te 5 y 3 añ o s, re sp ectiv am en te, los m o n to s q u e p ro d u c e n al c a b o d e este tiem po y e n e se o rd e n e stá n e n la relació n d e 5 a 2. C alcule la diferencia d e d ich as p artes si to d o el capital p ro d u c e un in terés an u al d e S/.400, y m ás c u a n d o se co lo ca al 25% e n lugar d e 20%.

mil.id al 5% an u al y la o tra p arte al 1% bim estral. Calcule la extensió n del te ­ rreno. A) 80 h a

B) 160 h a

I)) 75 h a >*'l

C) 140 h a E) 150 h a

I In capital es d ep o sitad o e n u n a e n tid ad H ilandera a interés sim ple d u ra n te 4 m eses. Si la diferencia de los in terese s g en erad a por d icho capital a las tasas del 5% sem estral y 5% m en su al es de S/.276,5, calcule la su m a d e cifras de dicho capital. A ) 18

D)21

B) 12

C) 14 E) 22

A) S/. 1800 D) S/.3000

B) S/.3200

C) S/.2800 E) S/.3460

32. H ace 4 años, M ónica le p restó a R ober­ to cierta can tidad d e d in ero al 25% d e in terés co m p u e sto capitalizable an u al­ m e n te . Para o b te n e r u n a ganancia, el m ism o día q u e recibió el din ero R ober­ to lo d ep o sitó e n u n a e n tid ad financie­ ra q u e le p ag a el 32,5% sem estral. Si hoy al devolver el d in ero R oberto ha o b ten id o u n a g an an cia d e g an an cia de S/.4449, d e te rm in e la c an tid ad d e d in e ­ ro prestad o . A) S/.3640 D) S/.3840

B) S/.2056

C) S/.2560 E) S/.2800 21

f-\

Academia César Vallejo ^

_ M aterial Didáctico N.° 2 h

33. Se co n sid era u n valor a p ro x im ad o d e e p ara el cálcu lo d e in terés continuo d e S/.5200 a! 4% cu atrim estral p o r 5 a ñ o s y d e S/.2800 al 15% sem estral p o r 3 años, y se obtuvo m o n to s q u e e stán e n la razón de 10 a 7. Si co n la m ism a aproxim ación se calcu la el in terés c o n ­ tinuo q u e g e n e ra S/.3000 al 3% d u ran te 4 añ o s, ¿cuánto se obtiene? A) S/,426,3 B) S/.352.8 D) S/,382,52

C )S/.331,95 E) S/,632,42

A) 48 D) 120

B) 240

C) 76 E) 360

37. Se quiere form ar com isiones integrada p or u n varón y u n a mujer, p ara ello haj 5 varones y 8 m ujeres. Si cierto varói se reh ú sa a trabajar co n dos m ujeres ¿cuántas com isiones se p u e d e n form aí A) 32 D) 44

B) 38

C) 40 E) 36

38. ¿C uántos n u m e ra le s d e 4 cifras dife

Análisis combinatorio 34. ¿De c u án ta s m a n e ra s se p u e d e ir d e A h acia C siem pre p a sa n d o p o rB y sin re ­ troceder?

ren tes ex isten e n b a se 7 q u e te n g a n a m e n o s u n ce ro e n su escritura? A) 720 D) 480

B) 360

C) 240 E) 700

A ____________________ 39. De la p alab ra eu calip to se e sc o g en ! c o n so n a n te s y 3 v o cales diferentes ¿C uántas p a lab ras d e 5 letras p u ed en form arse sin q u e las p alab ras tengan n e c e sa ria m e n te significados?

B

C A) 56 D) 40

B) 72

C) 60 E) 78

35. Un estu d ian te d e b e co n te sta r 5 p re­ guntas d e u n e x a m e n q u e co n sta d e 8 preguntas. ¿De cu án ta s m a n e ra s dife­ re n tes p u e d e c o n te sta r las 5 p reguntas, si obligatoriam en te d e b e c o n te sta r 2 de las tres prim eras? A) 20 D) 36

B) 30

C) 25 E) 28

36. D eterm ine d e cu á n ta s form as se p u e ­ d e n a c o m o d a r y viajar 5 p erso n a s d e un grupo de 6, e n u n au to d e 6 asientos, si solo 3 sa b e n m anejar. 22

A) B) C) D)

5! 10x6! 6! 10x5! E) 60x6!

40. De u n grupo d e 20 p e rso n a s q u e e s tu d ian solo dos id io m as c a d a uno, se sa b e q u e 6 d e ellos e stu d ian inglés y francés, 5 fran cés y q u e c h u a , y los otro; q u e c h u a e inglés. Si se q u ieren escoge 2 p e rso n a s q u e h ag a n juntas la traduc ción d e u n a lectu ra a c u alq u iera d e los tres idiom as m en cio n ad o s, ¿de cuántas form as se p u e d e h a c e r la elección? 1 A) 120 D) 60

B) 15

C) 150 E) 129

, I lufi i' /n m ie n to U N I ^

_ A ritm é tica

I n i i i i . i reunión hay 12 varo n es y 8 m u|e ies si se form an grupos d e 6 p erso n as d onde a lo m ás 2 d e b e n se r m u jeres, . i ...... grupos se p u e d e n formar? A) 8910 I» 16 170

4/

B) 6336

46. Seis p erso n as van al cine y e n cu en tran 6 asientos libres. Si e n tre las p erso n as se en c u e n tra n los e sp o so s Jo sé y Ma­ ría, ¿cuál es la probabilidad d e q u e se sien ten juntos?

C) 21 120 E) 15246

llene un papel publicitario e n form a ■li pentágono regular e n cuyos vértices '■ llene tres focos (rojo, azul y verd e) y ili i se en cie n d e uno. ¿C uántas se ñ ales i Hiélenles se p u e d e n observan si se eni leude al m en o s 2 vértices?

A) 3/5 D) 2/3

h

A ) 100» h i 1324

B) 3421

A) 1/27

B) 5/9

I») 2/!)

A) 16/17 D) 19/20

A) 0,40 11)0,50 41

B) 0,30

B) 21/24

C) 17/18 E) 29/30

48. Al lanzar tres d a d o s sim u ltán eam en te, ¿cuál será la p robabilidad d e o b ten e r u n a su m a m ayor d e 15? A) 141/08 D) 1/54

C) 14/27 E) 4/9

l i probabilidad d e q u e Ju a n a p re n d á ■I i í i i so d e Física es 0,80 y q u e ap ru ei " lisie a y Q uím ica es 0,60. ¿Cuál e s la I>i ■il labilidad de q u e a p ru e b e solo u n o di estos cursos, si la probabilidad d e 'iiii1 no ap ru e b e ninguno es la m ism a ■le que a p ru e b e solo Q uím ica?

C) 1/4 E) 1/3

las probabilidades d e ac e rta r el blanco son 7/9 y 3/4, respectivam ente. Calcule la probabilidad d e q u e al h ac er u n dis­ paro, c a d a uno, al m en o s u n o acierte.

C ) 1228 E) 5040

i i i.iin i autos van a ser distribuidos en tres Iil>i\ •is de estacionam iento que están \ .!• i. is ¿Cuál es la probabilidad d e que >>li i una de las playas se q u ed e vacía?

B) 1/2

47. Ju an y Mario realizan disparos al blanco;

Probabilidad O

k

49.

B) 2/27

C) 1/24 E) 5/108

En u n a u rn a se tiene bo las en u m e rad a s d el 1 al 10. Si ex traem o s al azar d o s d e ellas, ¿cuál es la probabilidad d e q u e la su m a d e la n u m e rac ió n d e las bolillas o bten id as s e a im p ar m ayor d e 9? A) 0,33 D) 0,60

B) 0,475

C) 0,75 E) 0,425

C) 0,20

E) 0,25

50. Dos jug ad o res tien en la m ism a h a ­

'>ii|>onga q ue e n u n a rifa co n siste de '(KM) boletos, e n los cuales hay u n I>■etnio de S/.1000, dos de S/.500, cinco ile S/.200 y cien d e S/.10. Calcule la proI mi illldad d e g anar a lo m ás S/.200 e n la em npra de u na rifa.

bilidad. Si ju eg an u n a se c u e n c ia d e partidos, h a sta q u e u n o d e ellos gane 2 partidos seguidos, d e term in e la pro­ babilidad q u e tiene un jugador d e te r­ m in ar el juego e n u n n ú m e ro p a r d e partidas.

A) 0,0005 D) 0,250

A) 1/3 D) 3/5

15) 0,125

C) 0,0025 E) 0,0525

B) 4/5

C) 2/3 E) 5/6 23

K i

¡ám -,;A

Algebra í i

Gráfica de relaciones 1.

D)

/

.

W m M

Y

E)

r

E sboce la gráfica d e la relación R = {(x; y ) g R x R W - y x + ^ O } A)

Kf

B)

vy

C)

Y

%

u

3.

R epresen te gráficam en te la relación R R = { (x ,y ) e R 2/ y - x > 1 a |x | + |y | < 1} A)

Y

C)

Y

D)

Y

B)

Y

K*

./I

2.

x

E)

R epresente gráficam ente los com plejos z de m o d o q u e Im (z2) > 0 A)

B)

4.

S ean los conjuntos

4 = j(x; y ) e R 2y / l ^ > l j X B = {(x\ y) e R2/x 2+y2 < 1} Halle el á re a g e n e ra d a p or A n B. C) A) 71u2

°)T U 24

B) 2n u

n ..2 C) — u

E )y

u2

, i li'lnivum iento UNI

*t

Álgebra i-^

lml¡(|Lie la gráfica d e la relación

A)

B)

C)

Y

D)

, Y

K*

4

,

E)

?

i-

X

C)

Programación lineal

X

Indique la región q u e d e te rm in a las in ecu a c io n e s siguientes. E)

ID

Y

x + 2y < 10 -2 x + y < 4 3 x + 5y > 3 y>0

#

i nim io el valor del á re a d e la región

A)

B)

Y S

tin ic ra d a por la relación

l

Y

\

-((>; y) e I R x R / y > |jc+l|+|jnr—1| a |y | <4}

V B) 3 u 2

A) (l ii2

C )-u 2 C)

ID ■' u 2

/

E) 4 u 2

Indique la gráfica d e la relación T. I A)

((*; y)

g

R2/ ( x 2+ y 2- l ) ( y - x 2) > 0} B)

D)

X 25

ci

M aterial Didáctico N.° 2

Academia César Vallejo

2.

C alcule la can tid a d n e c e sa ria m e n te de c a d a m a rc a p ara q u e to m e el m ayo n ú m e ro posible d e u n id a d e s d e proteí ñas.

D ada la función /'(x ;y )= 3 x + 4 y , b ajo las cond icio n es x + y >10 3x+y<15

A) 2 d e B) 1 d e C) 4 d e D) 3 d e E) 2 d e

x >0 y>0 calcule su m ínim o valor.

B) 40

*T

C) 50

D) 60 3.

R especto al p ro b lem a d e optim ización lineal: M áx /(x;y)= x + l,5 y , sujeto a x + y < 80 x + 2y <120 2x + y > 1 0 0 x> Ü A y>0 indique la verd a d (V) o falsedad (F) d e las siguientes proposiciones.

A) 2 y 3 D) 1,5 y 3,5

I. El p u n to óptim o e s (40; 40) II. Una solución admisible es

G.

III. La región adm isib le n o es aco tad a. B) W F

C) VFF E) FFF

D) FVF

Un anim al d e b e to m ar d iariam en te 9 u n id a d e s d e hid rato s d e carb o n o m á s 8 d e grasas, c o m o m áxim o. En el m e rc a d o hay dos m a rc as d e alim entos co n la siguiente com posición. Hidr. G rasas Proteínas carb o n o

26

M arca 1

1

2

3

M arca 2

3

1

4

1 y 3 de 1 y 4 de 1 y 3 de 1 y 2 de 1 y 2 de

m a rc a m a rc a m a rc a m a rc a m a rc a

2 2 2 2 2

En u n a granja d e pollos se aplicará uní d ieta p a ra e n g o rd ar co n u n a compc sición m ín im a d e 15 kilos d e u n a sui tan c ia A y otras 15 d e u n a su sta n c ia B En el m e rc a d o sólo se e n c u e n tra n d o cla se s d e co m p u esto s: el tipo I co n un co m p o sició n d e u n kilo d e A y ciño d e B, y el tipo II c o n u n a co m p o sició d e cin co kilos d e A y u n a d e B. El preci del tipo 1 es d e 10 soles y el del tipo l l e s d e 30 soles. ¿Qué c a n tid a d e s se h a d e c o m p rar d e c a d a tipo p a ra cubrir la n e c e sid a d e s co n u n co sto m ínim o?

E) 75

A) V W

m a rc a m a rc a m a rc a m a rc a m a rc a

B) 1 y 4

C) 3 y 2 E) 2,5 y 2,5

S e a a el n ú m e ro d e d e c e n a s d e silla y b el n ú m e ro d e d e c e n a s d e m esai q u e fa b ric a u n a e m p r e s a e n u n día Si la u tilid ad d ia ria e s tá d a d a pa f(a;&)= 2 0 0 a + 300¿> y se tie n e n las s¡ g u ie n te s re s tric c io n e s : a + b< 4 2o + 36 < 10 4 0a+206<120 calcule el núm ero d e decenas de mesí y sillas, resp ectiv am en te, q u e se deb fabricar diariam ente para que la utilida sea máxima. A) 3 y 1 D) 2 y 2

B) 2 y 3

C) 1 y 3 E) 3 y 2

Hnfuí zumiento UNI

_______ /■

_ Á lgebraih^

Sucesiones

5.

Dada

la

sucesión

10'u+n+ l ,

D eterm ine el n -ésim o térm ino d e la «ucesión

{a,,}

tal

que

halle el p u n to d e co n ­

10'

vergencia. 1 J L L . JJL . r 16’ 6 4 ’ 256’

A)

I»

2 " +1

B)

'

1 ]

2" -1 4"

2n-\

A) 1

C)

2n + l

D) 10

E) 2

d efine la su ce sió n S n+l=f(_Sn), d o n d e 5 ]= 2 . D eterm ine el valor d e lí m 5„.

Vn > 1

l.illc el valor d e o„ A> 3

7.

1+ a,

- ;a , = l

E) 0

Considere la sucesión {a n} d e m odo que o ,= 2; a 2 = - \ o-,= l 1 2 4 3

H f,p o eto a la su cesió n {a„} tal que

2

«I

B) 3

■»!

B) 6

A) 4

1 10

1, D ada la función /ju > - g ( 2 * + 3), se

•'•,i {«(|} u na su cesió n tal qu e «/„ 4; 0 | = 6 y a n+i =

C)

4"

2" E) j4-n

4"

B) 0

a

a n = -------- ;V n > 4 " 2n + 1

¿Q ué e le m en to s d e la su cesió n satis­ facen la in ecu a ció n \an - 2\ <

Indique lo correcto.

A) B) C) D) E)

A) es oscilante II) es creciente « ) «*s divergente I») converge a 2 I ) es co n stan te

todos los e le m e n to s de la sucesión so lam e n te o , y o 2 todos los elem entos, excepto o3 y o 4 to d o s los e le m e n to s a partir d e a 4 to d o s los e le m e n to s a partir d e a 5

D ada la su cesió n D eterm ine el valor d e co n v ergen cia d e ln siguiente sucesión. 7 . 4. 29 46

indique lo correcto.

12' 7 ’ 5 0 '7 8

A)

B) 2

C)f «i

A) c re c e ilim itad am en te B) con v erg e a \Í5 C) no e s c re c ie n te estricto D) converge a 2,71828... E) cre c e , luego d e c re c e 27

f \

_ M aterial Didáctico N.° 2

Academiü C ésar Vallejo

Series 1.

B )n

A) 1

O —T

D ada la su cesió n {3; 7; 13; 21; 3 1 ; o „ ; ...}

D)

30

calcu le la su m a d e

E)

71 —3

71 —3

a n. n =1

6. A) 3850

B) 4720

C) 8240

D ) 9950 2.

3 n (3 n -¡)~

calcu le ^ a K e n c a so d e se r conve k =o gente.

E) 12 180

D eterm ine el valor d e S. 2009

2009

5 = £ ( 2 n 2- 6 n + 3 ) - 2 - X ( n 2 - 3 n + l) n=1

A) 2

C> - 3

n=1

A) 2 017 036 B) 4016

C) 2009

D) 1004

E) 0

C alcule el valor d e co n v erg en cia d e la serie ^ 2 3 -K

K=2

D ada la serie

y——— , indique pa K = 0 ^ + 1' ! q u é valores d e x la serie es c o n v e J gen te.

B) 16

A) 8

E) 1

D)-

7. 3.

D ada la su c e sió n a, n

C )4

A ) x e (- 1 ;1 )

E) 12

D) 2

B) x e R + C) x e R~

4.

S ea r u n n ú m ero real tal q u e

D )x e R

si -1 < r < 1, en to n c e s

E) n u n c a converge

1l + r + r 2 + r 3J +... = ----l l- r

8.

Con e sta inform ación resu elv a la e c u a ­

D eterm in e el valor d e v erd ad d e siguientes propo sicio n es.

ción X

«. / , \K

n

l |

~

I. ^

, \K-l

vi ( 1

1 ——- e s divergente K +1

II. A) 1

B) -1

D) {1}

5.

28

C) {1; -1 } E) {-1}

^ es co n v erg en te

K=\ K III. ¿

Sea ¿ ( 3 r c 2)* u n a serie. Indique su K=1

A) V W

valor d e convergencia.

D) F W

-7 = es divergente

B) FFF

C) W F E) FFV

i M»«lui7Mtniento UNI

. _ Álgebra ^

Matrices I

D ada la m atriz

V

V .i A - (o,y)3x4 u n a m atriz definida por

2 1

M =

2

;

x -2

-

I ij si / > y

'

U

\i + j si / < y

C) 72 E) 124

A) 16 D) 2

( «tic ule- el valor d e a i 2a 33a 41. A ) IK

B) 60

II) 108 I imliis las m atrices

3

,

'4 y B= 3

2

-1

,0

5

-2 ,

2' 4 1,

O

I

1 2

T

1 A-

6.

liiillr l.i matriz (2A -3B ) e indique su traza. B) 2

A ) (l D) 4

•

N-•>

j l si i < j

D eterm ine la traza d e la m atriz / l 10. A) 0 D) 3

3 O'i -1 2

G

C )-4 E) -1 6

B) 8

S ea /l = (o ,y )3)<3 u n a m atriz d e m o d o que 0 si / > j a¡i

C) 4 E) - 2

liic l.is las m atrices M

,

calcu le el m ayor valor d e xy si se sa b e q u e la traza d e la m atriz e s 1 y el p ro ­ d u cto d e los e le m e n to s d e su diagonal se c u n d a ria e s -1 6 .

7.

I 5 'i -I 0

C) 2

B) 1

E) 10

Si la m atriz A -

es involutiva,

calcu le u n valor d e abx.

3 2, A) 1 D) 2/

• iilnilc la su m a d e los e lem en to s d e la •iliima colum na d e la m atriz (AflV-P). B) - 4

A) 4

C )-6 E) 0

I» 12

8.

B) 0

O i E) - 2

D ada la m atriz A

donde x

- c ;) e y so n diferen tes y n o nulas, si A es

11 illr el e lem en to o 22 de la m atriz A.

id em p o ten te, calcu le el valor d e x+ y.

Y 2 Y) A) 0 D) 3

3 1 ((3

4

5)(2

3

1))

10

( 3

9.

B) 1

o -l E) 2

D ada la función AM = x 2- 2x+ 3 y la

10

vv3, A )(68) ID (23)

B) (64)

C) (39) E) (35)

m atriz A = f 1 0 A) 1 D )-

1 halle traz(/^)). \j B) - 2

0 4 E) 0 29

f-\

Academia César Vallejo ^

_ M aterial Didáctico N.° 2

Determinantes

5.

a +c a +b b +c

a

b

b

c

c

1

a

1

a

b

a3

b3

1

1

a

A) a + b + c B) a2+ b2+ c2 C) a b + b c+ a c D) abe E) a 3+ b3+c3 2.

C alcule el valor d e 1

Si a + b + c = 0, calc u le el d e te rm in a n te d e la m atriz M.

b

e c3 1 e

K) a + b - c D) a - b - c 6.

B) a + b + c

-G ;) * -(i s) si P es u n a m atriz d e m o d o q u e

7.

C )a -b + c E) a+ b+ 2i

C alcule el d e te rm in a n te d e la m atrizj A )-1 6 B) -1 2 C) - 4 D) 0 E) - 2 4

D adas las m atrices

i

(\

0 0

1 2

5

1 1

3

2 3

1

0

0 0

4

S ea A u n a m atriz d e m o d o q u e

MPN5=(M N)2, calcule el valor d e |P |, [\A\ U l, A )9

B )8l

D) 9 3.

C )1

C alcule la traza d e la m atriz A~

E) 2

A) 6 D) 2

C )-2 E) 1

D adas las m atrices a

b

c'

A= d

e

f

,8

h

ij

-b

-c '

B = 3d

3e

3f

-8

-h

-i,

'- a A

S eaA u n a m atriz n o n u la d e m o d o qm |

—■(i!)

calcule el valor d e |det(,4)-B | si |/41 =2.

calc u le la su m a d e los e le m e n to s de m atriz A '1.

A) 12 D) 54

A) -1 D) 2

B) 48

C) 36 E) - 4 8

E ncuentre los valores d e a d e m o d o q u e la m atriz A

a e R

s e a invertible p a ra to d o x e R. A) | a ) < 2 D) | a | > 2 30

B) 0

B) |o | < 2

C) | a | > 2 E) | a | = 2

B) 0

C) 1 E) 3

C alcule la traza d e la inversa d e la ma triz A. '1

2

A= 2

5

2

,0

2

3y

A) 25 D) - 1 4

0'

B) - 3

C )-1 5 E) 3 /T 1

Álgebra h

, Hnliiiymiiianto UNI

PRACTICA DOMICILIARIA (¡ráfica de relaciones

A) Y

B) Y

Iindos los conjuntos A

j( x ;y ) e R 2/ ^ < x < 2 y }

/( ( (x; y) e R2/ y + l < x 2} im l|(|ue el conjunto q u e re p re se n ta la

C) Y

M'Hlún som breada.

E)

A ) A -B

B) B - A

C) A n B

E) (A n B )c

11) A u B

4.

S ea el conjunto

fí= { (x ;y )e R2/x 2+y2< 9 I

I >H gráfico m o strad o »l /,( |- x + a y g M =x2+ a x+ m , calcule el Vnlor d e m .

A)

B) 8

11)24

a

R ep resén telo gráficam ente.

C) 16 E) 25

lindos los conjuntos A ((x;y) e R2/ x > y 2} II {(x; y) e R2/x < y +2} d i'li'rm in e g ráficam ente A n ü .

y > x 2}

f \

__ Material Didáctico N.° 2

Academia Césa r Vallejo^

5.

D eterm ine la región q u e re p re se n ta la siguiente relación. A = { (x ;y ) e R x R /|x | + |y | > 5

a

xy>0}

E)

C)

Programación lineal MX

El siste m a d e in ecu a c io n e s x -3 y < 6 2x + y > 4 x +y< 6

D)

x >0 y>0 d eterm in a e n el plano cartesiano un región R. Indique la alternativa correcta 6.

Halle el á re a d e la región fo rm ad a p o r el conjunto A. A={(x;y)G R2/ l < ( k | - 3 ) 2+ ( |y |- 3 ) 2<4} A) 3rc i r B) 671 u 2 C) 9ji u

A) R e s u n a región triangular. B) R e s u n a región cuyo b o rd e es u i| c u ad rad o . C) R e s u n a región cuyo b o rd e e s ui cuadrilátero. D) No existe la región R. E) R e s u n c u a d ra n te .

2

D ada la región co n v ex a definida p o r sistem a d e in e cu a c io n e s

D) 12jiu 2 E ) I 671 u 2

x +y <7 7.

Indique la gráfica d e la relació n A. A = { (x ;y )eR 2/ |x 2- y | < 1}

2x + y <10 x >0

y>0 B)

A)

müm

32

m axim ice e n d ic h a región la funcid U:y)=30x+20y. fu A) 130 D) 160

B) 140

C) 150 E) 170

Ilnlurzamiento UNI

__Á lgebra i-.

A) S/. 30 000 B) S/. 34 000 C )S /. 15 000 D) S/. 24 000 E) S/. 27 000

Resuelva el p ro b lem a de program ació n lineal M áx/(x; yj= 5 x + 2 y su jeto a x + 3y < 240 7x + y < 2 8 0 3 r + y > 60

13.

x> 0 y >0

A) 340 l>) 180

B) 280

C) 290 E) 270

( 'on resp ecto al siguiente p ro b lem a d e program ación lineal M áx/(v;y)=40x+ 20y sujeto a v iy<8 2* + y < 10 x >0 y >0 indique el valor d e v erdad d e las siKiiientes proposiciones. /> l.a solución ó p tim a es única, i/ I lay m ás d e u n a solución óptim a, i : (4; 3) es u n a solución adm isible. A) VFV It) VFF C) F W

Una fábrica p ro d u c e d o s artículos, A y B, p ara lo q u e req u iere la utilización de dos se c cio n e s d e p roducción: secció n d e m o n taje y secció n d e pintura. El a r­ tículo A req u iere u n a h o ra d e trabajo e n la secció n d e m o n taje y dos e n la d e pintura; y el artículo B, tres horas en la secc ió n d e m o n taje y u n a hora e n la d e pintura. La sec c ió n d e m o n ta­ je solo p u e d e esta r e n funcio n am iento nu ev e h o ras diarias, m ien tras q u e la d e pin tu ra solo o c h o ho ras c a d a día. El b e ­ neficio q u e se obtiene p roduciendo el artículo B es d e 40 so les y el d e A e s de 20 soles. C alcule el m áx im o b eneficio q u e se p u e d e o b te n e r e n u n día d e p ro ­ d ucción. A) S/.120 B) S/.140 C) S/.160 D) S/.100 E) S/.130

14. S ea ffá un polinom io lineal d e coefi­

D) FFV

cien tes reales tal q u e verifica lo si­ guiente

II) FVF

f(0 e [1; 2] y /(2) e (2; 3]

Un orfebre fabrica do s tipos d e joyas. I a-, del tipo A p recisan 1 g d e oro y 1,5 g 11’ plata, las cu ales v e n d e a 40 soles • Hla uno. Para la fabricación d e las ■le Upo B em p le a 1,5 g d e oro y 1 g de piala, y las ven d e a 50 soles. Si el orfeIHe llene sólo e n el taller 750 g d e c a d a illio de los m etales, calcule el beneficio m asinio c|ue el orfebre p u e d e obtener.

¿En q u é intervalo se e n c u e n tra V A) [-3 ; 2] B) [2; 3] C) [-1 ; 2] D )Í2; -

L

2

E) [3; 4] 33

M aterial Didáctico N.° 2 i

/H Academia César Vallejo

Sucesiones 15.

A) 3/4

B) 1/4 Halle el valor d e co n v erg en cia d e la su cesió n (a n) si su térm in o e n é sim o es l3 n l a" ~

4n- \

D) 3/2 E) 11/4

'

A) |

C) 11/2

B) 1

20. Dada la sucesión {xn} tal que

C) 0

*1

d>7

= 1 y x n+i = \ + ^ - ,

V/?>1

calcule su valor de convergencia.

E)f

16. S ean x u n n ú m e ro real y {a„} u n a s u c e ­ sión definida p o r an =s[n3 +n2x - n .

A )l + V5

Calcule lím a n.

D)V5

n—>+°°

A) 5

B )-

Qx

D )l

17.

2

C )S

+3

2

E) diverge

21. La su m a d e los n + 1 prim eros térmi:

E )I

D ada la solución {an} definida p or o,= 2

d e u n a p ro gresión g eo m é trica e stá da< p o rS n=5(2n + ,- l ) ; e n to n ce s, indique térm in o de lugar 6 d e la progresión. A) 160

a „ 4 ( 2 a „ - , + l)

B)

: V n>2

B) 320

D) 200

C) 80 E) 120

calcule lím an. n—

A)!

22. D ada la su cesió n {an} co n

b)í

E) no existe

D)I 18.

c)!

‘- I K I d e term in e su valor d e convergencia.]

D ada la su cesió n (on) d e m o d o q u e a " ~ 5 + 3 -1 0 n calcule lím a n.

D)-

n—*°°

*>!

C )1

D )2

E) 3

34

E)

e- 1

e -1 e 100 -1

Km í - 4

; neN

n->+~Vf7 A) 0

V3

calcule el valor d e (jCe-xA

C)

e-1

23. Halle el valor d el siguiente límite.

19. Dada la sucesión (x„) de término general x„ =

B) e

A) 1

1+2 -10"

D ,f

B) 1

C )e

r

huliir/am iento UNI

Álgebra Hv

Series B) 4 M Se sabe q u e F(r) = —=----- . D eterm ine el x ¿+x

D)¿

v.ilor de la sum atoria n=1

29. C alcule el valor d e la serie Y 3* + 5*

A) - j-

B) —

10

10

D) 1

C) —

11

¿ 1 (15)*

E) —

«!

10

>11 Se cum ple q ue

D)

^ ( ( ) K 2 + aK ) = n ( n + \)(b n + 5) 30.

( alcule el p ro d u cto ab. A) 16

B) 12

D )8 /II

C) 10

10

20

36

24

96

320

1

E)

Halle el co n ju n to d e valores reales d e x d e m o d o q u e la serie (X2- 1 ) + (x2- 1 ) 2+ (x2- 1 ) 3+.. .

E) 6

se a convergente.

I )i ‘term ine el valor d e converg en cia d e la serie ,

c,i

«i

A) (-V 2; V2)

I f ---- 1------1------- h ...

A);

B) 1

2’ 2

7¡

C) 3

D )(-V 2 ; V 2 )-{ 0 } E) 2 E ) ( - V 2 ; V 2 / - (0Í

II

Indique el valor d e co n v ergen cia d e S. 8

34

152

15

225

3375

31.

,S ~------1---------- i------------ h ...

Indique el valor d e v erd ad d e las si­ g u ien tes p roposiciones. „2

«I ">3

B>!

C)-

«i

■'11 I leterm in e el valor de converg en cia d e l,i serie

fe )

p : La serie £

q : La serie

\ n\

es convergente.

z(!S)

r : La serie ^

A )V W D) FFV

2"

s¡2n + \

B) F W

e s divergente.

es divengente.

C) FFF E) VFV 35

_ M aterial Didáctico N.°

/H Academia César Vallejo

Matrices

2

36. D adas las m atrices

32. D adas las m atrices ^ = (a,y)2x3 Y ® = 0 ,jf)2x3 d e m o d o q u e a¡¡=i+j

(\

2

n

A= 4

0

5

3

y B = diag f i ; i ; 12 5

1 -2

f t , y = ( - l ) i +j

a

halle la m atriz x

halle A+B.

si se

sa b e

qu<

(A B )T+ x= 2 (B T+A). ,(3 4 5)

3 2 5 A)

2 5 4

B) (4 5 4

J

Dé com o respuesta el producto de lo

[2 4 3

elem entos de la diagonal principal d e x.

j

3 2 5

3 1 4

D)

(3 2 4^

E)

2 4 3

2 5 3

33. S ean A y B dos m atrices d e m o d o q u e (3

4^

, + 2S = (6 ,)

.

(1

A - 2B ^

0

1

B) 0

A)

C) 3

0 ,1

37. O b ten g a el m áx im o valor q u e p u ed te n e r la traza d e la m a triz ^ 2.

C alcule la traza d e la m atriz AB. A) 5 D) 8

C) 7 E) 9

B) 6

1 senO 'j ^

1 1 cosO J

A) 2

B) 1

34. Se tien en las m atrices -1 3 > ( 2 3 4 \ a

J

A

B = 4

2

,1

- l

l-l 2 -lj

«1 E)

D) 3

38. C alcule la traza d e la m atriz An si sa b e q u e

C alcule la traza d e la m atriz AB. A) 10

B) 22

C) 14

i ’ :)

E) 12

D) 16

A) 2

A = IO,y]2 x 3 i f l = lbijUx3 Y C =[C ,j]4x2

Indique el valor d e v erd ad d e las si­ guientes proposiciones.

C) n E) 0

39. Determ ine el equivalente de la expresic i ( / + A)

I. 3 M ) tal q u e M , =AB'

-U -A ) l_2

II. 3 M2 tal q u e M2=B'+AC

si se sa b e q u e A e s u n a m atriz involu

III. 3 M3 tal q u e M3= kB+ CA, t e R

v a y 0 la m atriz nula.

A )V W D) F W 36

B)

D) Í7 + 1

35. S ean las m atrices

B) VFV

C) FVF E) VFF

A) 0 D) A

B) /

C ) 21

E) A + l

r Algebra A) x + y + z

40. Con resp ecto a la m atriz

A=

B) 0

1

1 3

5

2

6

-2

-1

-3

C) x y z D) x y + y z + z x E) (x + y )(y + z )(z + jf)

indique el valor d e v erdad d e las siguientes p roposiciones.

44. R esuelva la siguiente ecu ació n .

p : La m atriz es involutiva. q : La m atriz es id em p o ten te.

x -3

0

0

r : La m atriz e s nilpotente d e grado 2.

2

x-2

0

s : La m atriz es nilpotente de grado 3.

1

0

1

A) V W F

B) W FV

OVFFV

D ) FFFV

E) FFFF

A) {2}

B) {2; 3}

D) {0} 41

Si la m atriz A = \ ^ *

^

l 2

+ M e s sin-

3

45. D ada la m atriz

y

E)1

D) 2

' i M(a-,b-c)~ a 2

C )-4

B) 1

E) {1}

J

guiar, en to n ce s, ¿cuál es el valor d e x ? A) 4

C) {5}

i

r

b2

c2

b 3 c\

halle u n factor prim o d e \M\

Determinantes

A) a b + b c+ a c B) a + b + c

4/

D eterm ine el valor d e

x +a

1

x + 2a

2

si se

sab e qu e

C) abe D) a 2+ b2+c2 E) (a+£>)(£>+c)(a+c)

I

1

1


l+o = 2

b

2+ b

x+ b

46. C alcule el d e term in a n te d e la siguiente matriz.

B) 0

A) 1

C) 2 E) 4

D) 3

411 ( alcule el d e te rm in a n te d e la m atriz T.

/'

2x

x +y

x +z'

x +y

2y

y +z

vx + z

y +z

2z J

1 2 3 13

9^1

4 7

14

5 5

15

5 7

A) 1 D) 12

B) 2

C )0 E) 36 37

Material Didáctico N.° 5

/-t Academia César Vallejo

A) M~

47. Si A e R 2*2 es tal q u e A

B) M n o tien e inversa.

calcule la traza d e la m atriz A C) 7

B) 8

A) 9

E) 10

D) 6

C) det(A f)=l D) traz(iW) = 1 E) M--

calcu le el

D ada la m atriz A

(-2

3

-1 2

■ c ;) valor d e x + y si se sa b e q u e A =A.

50. C alcule la su m a d e los e le m e n to s d e la | m atriz x si se sa b e q u e

A) -1

B) - 2

D )0

C) - 3 E) 4

10^ 0

2

x =

(2

1 0

1 -1 5

49. D ada la m atriz involutiva A) 11 « . ( ;

- 3)

;

B)

11

C )5

* ,v

E) - 6 indique lo correcto .

38

Geometría del espacio I I

4.

I )c las siguientes proposicio n es, d e te r­ m ine la relación correcta. I Si un plano co n tien e dos rectas se ­ cantes, paralelas a un seg u n d o p la­ no, en to n ce s, a m b o s planos so n p a ­ ralelos en tre sí. II Por un punto exterior a u n a re c ta se p u e d e trazar u n p lan o p e rp e n d icu ­ lar a esta y solo uno. III S ean dos rectas S ¡ y está co n ten id a e n el plano P, en to n ces, si 2?2 es p e rp en d icu lar a e s ta m ­ bién p erp en d icu lar al plano.

En el gráfico m ostrado, AF e s p erp en d i­ cu lar al p lan o Q, y e stá co n ten id a en d ich o plano. Si A B = 9 y F £=41, calcule MN. C onsidere q u e FM=ME y AN=NB.

D) 23 A) W F

B) V W

D) FFF }

E) F W

l'(J a los rayos OA y O B , re sp ecti­ vam ente. Calcule MQ si se sa b e q u e 111
I

5.

S r tiene el ángulo AOB u b icad o en un plano; ex terio rm en te a d icho pla­ no se ub ica el p u n to P, d e s d e el cual trazan las p erp en d icu lare s PM y

A) 2 l»<)

B) 6

E) 24

C) VFV

C) 8 E) 12

l’or el ex trem o B del diám etro AB d e m ía circunferencia se traza BE p erp en illciilar al p lano q u e la contien e. En la circunferencia se u b ica el p u n to N d e m odo que AE=29 y A N =20, Calcule el .iira de la región triangular ANE.

Por el vértice A d e u n triángulo equilátero ABC d e lado 6, se traza AH p er­ p en d icu lar al p lano q u e co n tien e a d¡ch o triángulo. Si la m e d id a del diedro H-BC-A es 60°, calcule la d istancia del pu n to A h acia el p lano q u e co n tien e al triángulo HBC. A) 1 D) 4

6.

B) 3

C) 3,5 E) 4,5

U na h o ja rectan g u lar ABCD se d obla p o r AC d e m o d o q u e la n ueva posición d e B es B 'y B'D=(CD) ( S ) . Calcule la m e d id a del died ro B'-AC-D si se sa b e q u e BC=2(AB). A) 60° B) 30° C) a rcco s ( - |

U J

D) arcco s \ — | A) 105 I)) 20 0

B) 160

C) 190 E) 210

E) 53°

UJ 39

¡-i

Academia César Vallejo ^ -----------------------------------

7.

En el gráfico m o strad o , la c ircu n feren ­ cia y el triángulo rectán g u lo se e n c u e n ­ tran u b icad o s en plan o s p e rp e n d ic u la ­

__M aterial Didáctico N.° 2

res. C alcule BO.

B) 7

A) 5 D) 6

A) 3^2

B) 4V2

C) 8 E) 9

En el gráfico m o strad o , BP y DL sor

C) 5V2

p erp en d ic u la re s al p lan o q u e contiene E) 8V2

D) 6sÍ2

al

c u a d ra d o

ABCD.

Si

PQ=BQ-

DL = n/5 y CD = VlO, calcu le la distancii e n tre A Q yP L .

Geometría del espacio II y '£ 1

Según el gráfico m o strad o ,

so n rectas alab e ad a s. Si AF e s la dis­ tan cia en tre a m b a s rectas, A F= 20; BE = x/449; BC= 2(AB) y £ D = 2(£'/•'), Cal­ cule CD.

A) 1 D) V3 4. A) 22 D) 29

B) 24

C) 26 E) 31

En el gráfico, se m u e stra n las rectas a la b e a d a s CD y A B , a d e m á s, M y N son puntos m edios d e AC y BD. Si C D - 10, AB=16 y la m e d id a del ángulo q u e form an CD y AB e s 60°, calcule MN. 40

B) 2

C) J 2 E) 1,5

En u n ángulo tried ro O-ABC, las ruedid a s d e las c a ra s AOC, AOB y BOC sol 45°, 45° y 60°, re sp ectiv am en te. Calcu le la m e d id a del d ied ro OA. A) 45° B) 30° C) 60° D) 90° E) 120°

Hnforzamiento UNI _____________________ ________

I

____ Geometría

Prisma

So tiene un ángulo triedro trirrectángulo O-ABC, tal q u e AB = J 34; AC = J 5T y liC = 5. C alcule la m e d id a del died ro que form a la región triangular ABC co n la cara BOC.

En

un

p rism a

p en tag o n a l

las distan cias d e D y A' a BE'.

B) 2

A) 1

U) 45°

D) ^

I O a rc ta n g ) ( 25 D) arctanl —

I

I n un

regular

ABCDE-A'B'C'D'E', calcu le la razón d e

A) 37°

I ) arctan

h.

+1

C) 75 - 1 E) V5

En el p rism a recto d e b a se rectang ular ABCD-EFGH, m <EM B=90°\ HM=A cm y CAÍ=9 cm . Si la distan cia d e A a EB es 5 cm , calcu le el v o lu m en del prism a.

(I)

triedro

O-ABC, los

d iedros

()C y OB son com plem entario s. Desde A se traza las p erp en d icu lares AM, AN, y AP a las rectas O C, OB y al plano BOC (resp ectiv am en te). Además, O M =m; O N=n. ( alcule la m ed id a del ángulo q u e form a <>A con el plano BOC, si m 2+ n 2= 3m n y m
A) 390 cm 3 D) 180 c m 3

I ii un triedro O-ABC, la m e d id a d e la ..... i AOB e s 45° y las m ed id a s d e los iingulos diedro A-OB-C y A-OC-B son ■ I" y 76°, respectivam ente, i alcule la distancia d e O al pie d e la p n p e n d ic u la r trazada d e sd e A h asta n rsi

o,4 = 5V2.

A) (i D) v/34

B) 7 3 3

3.

B) 330 c m 3

C) 360 c m 3 E) 240 c m 3

En u n h ex a e d ro regular ABCD-EFCH, O y O, son cen tro s d e ABCD y EFGH, resp ectiv am en te, a d e m á s, M, N, P y Q son pun to s m ed io s d e CD, BC, EH y EF, resp ectiv am en te. C alcule el á re a d e la superficie total del p rism a MONCPEQO\ si la arista del h e x a e d ro es 2 m .

C )7

A) 2 + V2

E) 3Vf¡

D) 3 + 2V5

B) 2 + 275

O 2 + 3V5 E) 2 + 4>/5 41

Material Didáctico N.° 2

¿-i Academia César Vallejo .-----------------------------——

4.

En el gráfico, calcu le el valor d e 0 si al desarro llar la superficie lateral del prism a cu ad ran g u la r reg u lar resulta u n a región c u a d ra d a y la línea ABCDE es diagonal del desarrollo.

En u n prism a hexagonal regula ABCDEF-A'B'C 'DE 'F \ la d istan cia entro B ' /•" y FC' e s 2 u. Si el lad o d e la basa tien e longitud a y la altu ra del prism a 1 1 H-----9 e s h, calcule — + h B) 0,25

A) 0,5 D) 0,1

C) 1 E) 0,016

En u n p rism a cu ad ran g u lar regul^ ABCD-EFGH, si M , N y Q so n p u n to s me dios d e EH , G C y A B , respectivam ente^ a d e m á s, el p lan o d e te rm in a d o p or es tos p u n to s form a u n ángulo d e 76° cori las b a se s del prism a, calcu le el á re a da la se c c ió n q u e d e te rm in a e ste plan al in te rse c a r al prism a. C onsidere qud AD = 2\Í2 cm . A) 60° D ) 105°

E) 120° A) 3V Í7cm 2

5.

En un prism a triangular regular ABCA 'B 'C ',M y N son p u n to s m ed io s d e A B y /ÍC. Si la m ed id a del ángulo q u e determ i­ nan NB' y MC' e s 0, calcule el volum en del prism a. C onsidere q u e M C'=NB'=d.

B) 4%/Í7cm2 C) 6 V l7 cm 2 D) 8\/T7cm 2 E) 12V Í7cm 2

4Asen 20 —

A)

Cilindro En el gráfico, si d = 4 y 0=53°, calcu le ^ v o lu m en del cilindro circular recto.

B) i d 3 e o s2 ^ 3 - 4 e o s 2 |

4 eo s2-

C) - d 3s e n 2 9

D) - d 3e o s2 9

-J

3 - 4 s e n 2-

A) 64n D) 128ti 42

B) 96 ti

C) 104ti E) 192ti

r~

i IMorzamiento UNI

.Geometría

Los centros d e las b ases de un cilindro de revolución son vértices d e un tetrae­ dro regular, y los otros dos vértices se e n ­ cuentran sobre la superficie lateral del
En el cilindro d e revolución, calcule el á re a d e su superficie lateral si AH=rn; H P=n.

A) n(2 + S )

B) f ( 2 + V3)

D

C) | ( 2 + V3)

A) n (m + n )\l m 2 + m n

ü ) 2jt(l + V3)

B) n (m + n )\¡n 2 + m n C) n (2 m + n ')\lm 2 +rnn i

I I cilindro circular recto e stá inscrito en el prism a ABCD-EFGH. Si AB+GH=4r, calcule la razón en tre las á re a s d e las Miperficies totales d e dicho s sólidos.

D) 7t(2m + n ) \ lm 2 + n 2 E) 2 n (m + n )y lm 2 + n 2

La región so m b re a d a se enrolla h a ­ c ien d o coincidir AB y DC, fo rm án d o se u n a superficie lateral h u e c a d e u n ci­ lindro circular. C alcule el á re a d e la p ro ­ yecció n ortogonal d e la región MNPQ so b re la secció n axial p aralela al p lano MNP si B C = 4N P -4n y CD=2(AÍ/V)=4V2.

AJÍ

B) 2 n

C) 2 + rc 2tc

E) 2-v/n 71+ 1

A ) V2 D) 8

B) 2V2

C )4 E) 8V2 43

-

M aterial Didáctico N.° 2

/H Academia César Vallejo ^-------------------------------—

6.

En el gráfico se m u e stra n d o s cilindros d e revolución. Si se v ierten e n am b o s y al m ism o tiem p o la m ism a c an tid ad de un líquido, in d iq u e cuál es la grá­ fica d e función c o rre c ta d e v o lum en

.vfi

T 71

A) 871

B) 9n C) V5 + S\Í2

(V) y altura (/?) d e los cilindros.

D) 5n + S\Í2

fC

E) 8 n/2 + tiU /5 + 2 > /2 )

Di

....... \ j

Pirámide y cono

c2

En el gráfico se m u e stra u n cilindro d el revolución, d o n d e BD e s u n a generatriz Si m A D = m B C = 120° y el v o lu m en d o | la p irám id e A-BCD e s ~J3, calcu le el ve lu m e n del cilindro. .X

f-QH— 3 a — I

h

\—o —\—2 a —\

h

A) 371 B) 4n C) 5n D) 671 E) 8tc

D En el gráfico se m u e s tra u n a pirám ida regular. Si m < /lV F = 30o; AB = 2y¡2-\Í3 y DM=ME, calcu le la longitud del m eno reco rrido p a ra ir d e A h a c ia M a través d la superficie lateral.

\ —Q—\—2a—1 h

E)

D) Cl

/

r2

hQ-l— 3 a — 1 h

v c,

h

En el gráfico se m u e stra u n cilindro circular, cuyo radio d e la b a se es 8 . Si MN=&\Í2, calcu le la longitud del m e n o r recorrid o p o r la superficie d el cilindro d e AM +MN+NB. 44

A) 5^2 - J 3 D)

2V2 + V I

B) \l3 + \Í3

C) ^ 4 + V3 E) 3 ^ 4 -V 3

, fUilorzamiento UNI ............................................. .. .............. .................................. ..................... _ Geometría

En el gráfico se m u e stra u n tro n co d e prism a. Si los v o lú m en es d e las p irám i­ des F-ABC y B-DEF son V , y V 2, c a lc u le el v o lu m e n d e la p irá m id e A-FDB.

t-.

A) - V 7 B) - V

4. D) | v E) 18 En el gráfico se m u estran u n cilindro recto y un cono d e revolución. S iA 6= V5 y/?=2, calcule el volum en del cono. A) V | ^

B ) V ,+ V 2

D)

C ) V ,- V 2

A) 5it

E)

B) 16n 3

v ,+ w 2

Según el gráfico, el se cto r circular y la región triangular so n el desarrollo d e la superficie lateral y la secc ió n axial d e dos conos. Calcule la razón d e su s vo­ lúm enes.

C )17rt 3 D) 6it E) 19tc 3 Se tiene un tro n co d e c o n o d e revolu­ ción, d o n d e la razó n d e á re a s d e las b a ­ se s e s d e 1 a 4. C alcule la razón d e vo­ lú m e n e s del tro n co d e c o n o y u n c o n o cuyo vértice es el cen tro d e la b a se m a ­ yor y cuya b a se e s la b a se m e n o r del tro n co d e cono. A) 1/6 D) 2/5

A) >/30 32 D) 3 n/1~5 32

B) V30 40

C) t i ü 25 E) V30 25

l 'n el gráfico se m u e stra u n cilindro de revolución d e volum en V . C alcule el volum en del cono.

B) 1/7

C) 1/8 E) 2/9

Esfera y teorema de Pappus Se tiene u n a zona esférica d e u n a b a se e n u n a superficie esférica d e radio R. Si la su m a d e á re a s d e la zona esférica y su b a se e s 7/16 d e la superficie esférica, calcule la altura d e la zona esférica. A) R/S D) R/2

B) R/4

C) R/3 E) R!6 45

¡~\

M aterial Didáctico N.° 2

Academia César Vallejo ^---------------------------------

2.

Se tiene una esfera donde su volumen es num éricam ente igual a la superficie esférica. Si el área de un huso esférico es la sexta parte del área de la superfi­ cie esférica, calcule el volum en de la cuña esférica correspondiente a dicho uso esférico. B) 6ji

A) 4 ji D) 12n

C) 9 ti E) 8n

k (k

'¿ - 4 N 2)

D)

E)

16 /V2 (K 2 +4/V2) 32

En el gráfico, A E - 5 y B D = 4. Sil AM=3(MD)=3(MC'), calcu le el volu-, m e n del sólido g e n e ra d o p o r la regiónj so m b re a d a al girar 360° a lre d e d o r da AD-

En el gráfico, si m AM = 37° y AB=10, calcule la diferen cia d e v o lú m e n es d e los sólidos g en era d o s p o r las regiones som breadas al girar 360° alrededor de AB.

A)

152ti

B)

155 ti

3 D)

158ti

C) 157ti 3 E)

160 ti

C alcule el á re a d e la superficie d c f sólido q u e resu lta al girar la re g ió * so m b re a d a 360° re sp e c to del eje (£ ^ A 0 = 0 0 \= 0 \B = R . A) 27i/? B) 3tiR 2 C) 2 j2 n R 2

4.

Se tiene un tronco d e p irám id e circu n s­ crito a u n a esfera, cuyas b a se s son re ­ giones cu ad rad as. Si los p erím etro s d e las b a se s su m an K y el p ro d u c to d e las longitudes de dos aristas b ásicas dife­ re n te s es N 2, calcu le el v o lu m en del tronco d e la pirám ide. n

A)

( n 2 + k 2) 48

n

B)

C)

( k 2 + \ g n 2) 48

K 2(K 2 - 4 N 2) 16

46

D) 4tiR 2 E) 4 tin/2R 2 En el gráfico, ABCD y EFCH so n cu.i d rados. Si CA=&(AE) = 2 y (GE)= 8\/2l calc u le la d istan cia del cen tro id e d e l^| región so m b re a d a a CD. A) B) C) D) E)

11/2 11/3 5/2 7/2 7/3

^ i Roforzamiento UNI

............................................. ............. ................. ........................... ............. _ Geometría

h\

PRÁCTICA DOMICILIARIA Geometría del espacio I I,

A) \¡7

ces B y C se trazan las p erp en d icu lares

D ado el ángulo d ied ro P-AB-Q, se ubi­ c a el p u n to E en tre las c aras P y Q, q u e

BE y CF al plano q u e co n tien e al re c tá n ­ gulo. Si AF=42; ED= 40 y el seg m en to

distan d e d ich as c a ras 675 y 12, re s­ p ectiv am en te. Si la distan cia del p u n to E h acia AB e s 15, halle la m e d id a del ángulo died ro P-AB-Q.

q ue un e los pun to s m ed io s d e AE y FD m ide 29, calcule la m e d id a del ángulo que forman las rectas alabeadas AF y ED. B) 60°

J,

C) 75°

A) 97°30' D) 22°

E) 120°

L)) 90°

Sean las rectas ortogonales y jí?2, en c/ ' x se u b ican los pun to s A y C; en J

6.

se ubican los p untos B y D. Si AB

es la distancia en tre SBX y donde AB=4 y D C - -JT2 , calcule la d istancia entre los p untos m ed io s de BC y AD. a)

V7 D) VÍ4

B) 2

C) 6 n/7 E) 3

D) 3 ^6

Dado el rectángulo ABCD, p o r los vérti­

A) 30°

B) 3%/7

B ) 128°

C) 116°30' E) 129°30'

Por el in cen tro / d e u n triángulo re c tá n ­ gulo ABC (recto e n B ) se traza IM, p e r­ p en d icu lar al p lan o q u e la co n tien e, tal q u e el á re a d e la región triangular MBC e s 30 y d ich a región form a co n el p lano q u e co n tien e al triángulo ABC u n diedro cuya m e d id a e s 53°. Si la m < fiC 4 = 3 7 °, calcule AM.

C) 4 E) 3^2

A) 31

B) 41

D) V6Í 1

I n un triángulo eq u ilátero ABC, p or el vértice C se traza Uña p erp e n d ic u la r al triángulo h asta un p u n to D. Calcule el perím etro d e la región triangular ABC, ile ¡n centro/, a d e m á s, (BD)2-Q D )2 A) 2 l>)8

i

B) 4

27

C) 6 E) 9

I I radio de la circu n feren cia circuns( rita a un triángulo equilátero ABC es 2v/3, y p o r B se traza la p e rp en d icu lar III. al plano q u e co n tien e al triángulo. Si H E - 1, calcule el á re a d e la región li ¡angular/4£C.

7.

Dé el valor d e v erd ad d e las siguientes p roposiciones. I. Las in te rse c c io n e s d e dos planos p aralelo s co n u n te rc e ro so n rectas paralelas. II. Si u n a re c ta es se c a n te y no p e rp e n ­ dicular a u n plano, e n to n ce s, existe m á s d e u n p lan o p erp en d icu lar al an terio r q u e co n tie n e a d ic h a recta. III. Si dos rectas so n a lab e a d a s, e n to n ­ ces, solo se p u e d e trazar u n a recta p e rp e n d ic u la r a am b as. A) VFF D) W F

B) VFV

C) F W E) V W 47

/-i

M aterial Didáctico N.° 2

Academia César Vallejo

S ean u n cu a d ra d o ABCD y u n trián­ gulo equilátero AEB q u e p e rte n e c e n a plan o s p erp en d icu lares. C alcule la distan cia en tre AB y EC si se s a b e q u e

A) 60°

13.

B) 4

C) 5 E) 7

Si los planos q u e co n tie n e a los c u a d ra ­ d o s ABCD y AQPB so n p erp en d icu lares, calcule el á re a d e la región triangular OMN. C onsid e re q u e M y N so n p u ntos m ed io s d e BC y CD, re sp e c tiv am en ­ te, O es cen tro del c u a d ra d o AQPB y A B - 2V2. A) n/2 D )V5

B) V3

C ) 120° E) 74°

D) 106°

BC = s¡21A) 3 D) 6

B) 90°

Se u b ic a un pu n to P e n el interior d e unj á n gulo triedro trirrectángulo O-ABC. SI las d istan cias d e P a OA, O S, OC so n a j b y c, calcu le OP.

A) \la 2 + b 2 +c

B)

C)

C) 2 E) V6

\Ja2 + b 2 + c 2

a 2 + b 2 + c2

D) ^ 2 ( a 2 +¿>2 + c 2)

Geometría del espacio II E)

a 2 + b 2 + c2

10. Un cu a d ra n te AOB y u n a sem icircu n fe­ ren cia d e d iám etro AO e stá n e n planos p erp en d icu lares. Si e n la sem icircunfe r e n d a se ub ica el p u n to C; AB - 2 \/7o y m O C = 120°, calcule la d istan cia entre AByCO. A) 0,8 D) 1,5

11 .

B) 1

B) 1,5

C) y[2 E) 2

12 . Se tiene un ángulo triedro O-ABC, d o n d e b = c = 45. Si 0 4 form a co n la cara BOC un ángulo cuya tan g en te es ^ 2 48

d o n d e las m e d id a s d e las c a ra s AOC BOC y AOB son 60°, 60° y 90°. Calcule 1J m e d id a del ángulo q u e form a OC con la c a ra AOB.

C) 1,2 E) 2

Si los c u a d rad o s ABCD y ABEF se u b i­ c a n en planos p erp en d icu lares, cuyos c en tro s so n los p u n to s P y Q, resp ecti­ v am en te, calcu le la d istan cia e n tre PQ y CF. C onsidere q u e A B= 4. A) 1 D) V3

14. Se tien e u n ángulo triedro O-ABC

i calcule la m e d id a d e la c a ra BOC.

A) 30° D) 37°

15.

B) 45°

C) 60° E) 53°

Las c aras d e u n ángulo triedro m ideni| 45°, 45° y 60°; a d e m á s, se traza u n pial n o se c a n te y p e rp en d ic u la r a la aristal c o m ú n a las c a ra s d e igual m ed id a. SI | la d istan cia d el vértice del triedro alj| p lan o sec a n te e s 4, calcu le el á re a do la secc ió n d e te rm in a d a e n el p lan o se c a n te p o r el triedro. A) 6 D) 12

B) 8

C) 10 E) 16

^ Reforzamiento UNI ^

_ Geometría

Prisma D) En el prism a p entágonal regular , , cosG calcule cosd A) -1 B) 1

E)

E) nRs¡2 n R 3J 2 8

75-1

2 75+1

A) B)

A) 48 u2 D) 60 u2

B) 52 u 2

C) 56 u 2 E) 64 u 2

El desarrollo d e la superficie lateral d e un prism a cu ad ran g u lar regular e s un c u ad rad o inscrito e n u n a circu n feren ­ cia de radio R. C alcule el v olum en del sólido. R 3J 2

B)

2

/?3V 2

R 3J 2 16

C)

R 3\¡2

V4(ab)3 6 (a b )3 ~~~2

C)

D)

8

u n a región paralelo g rám ica d e lados a y b (a * b ) y ángulo d e 60°. Calcule el v o lu m en del p aralelep íp ed o si la lon­ gitud d e su m e n o r diagonal e s igual a la longitud d e la diagonal m ay o r d e la b ase.

Si la diagonal del desarrollo d e la super­ ficie lateral d e un prism a cuadrangular regular es 10 u, calcule la superficie total del prism a. C onsidere q u e su altura es el triple de la longitud del lado d e la base.

A)

n R 3j 2 4

2 0 . La b a se d e un p aralelep íp ed o recto es

C) \Í2

D)

nRy¡2 4

t-^

M a b )3

D) s J 'X a b f

£) V8(ab)3 3

21. En el prism a oblicuo q u e se m u estra, si la distan cia e n tre las rectas a la b e a d as AB y MG es d, a d e m á s, (MH){AB)=K, calcu le el v olum en d e d ich o prism a.

E) _

8

IJn prism a recto tiene p o r b a se s c u a ­ drados inscritos e n circunferen cias de r.idio R. Si el á re a de la superficie late­ ral es n R 2 calcule la altura del prism a y el volum en. h) riR\] 2 n R 3J 2 4 ’ 8

B nR\Í2 n R 3j 2 8

’

4

C) nR\J2 n R 3sl2

D)

Kd

49

_ M aterial didáctico N.° 2

Academia César Vallejo x -

22. Se tiene un prism a regular hexagonal ABCDEF-A'B’C'D'EF', ad em ás, P es punto m edio de B'E' y se to m a un punto Q en

A) 18n/39

B) 54VÍ3

E) 18VÍ3

D) 36VÍ3

£F . Si A4'=8 m
C) 6V39

Cilindro 26. C alcule la razón d e v o lú m e n e s del

A) 216V3

B) 342>/3

D) 432V3

C) 2 3 4 ^ E) 423 v/3

cilindro d e revolución y el o c ta e d r regular inscrito e n él (v éase el gráfico)

23. En un prism a triangular o blicuo ABCDEF, d e b a se regular, las aristas laterales form an ángulos d e 60° co n el p lan o d e las b a ses. Si la pro y ecció n ortogonal d e A sobre la b a se o p u e sta e s el b aricen tro d e d ic h a b a se , calcu le el volum en del prism a. C o n sid ere q u e AB = 2sÍ3u. A) 9 u 3 D) 15 u3

B )8 u 3

C )1 2 E) 18 u 3

A) 2 ^ 71 D )I

E)

371

2

24. En el prism a recto d e b a se rectangular 4Q ta n p = — , si N C = 3 cm ; AB= EM , a d e ­ m ás, EN = ~J\ 70, calcule el volum en del prisma.

27. ¿En q u é relación d e b e e sta r el largo y el a n c h o d e u n a región rectan g u lar par"1 q u e al enrollarla fo rm an d o cilindro u n o re sp e c to al a n c h o y el otro resp e to al largo, su s v o lú m e n e s e sté n e n la relación d e 1 a 2?

A)Í D)

B)í

C )I E)

V2

1 2 n /2

28. Un h ex a ed ro regular ABCD-EFGH, de

A) 200 cm 3 D) 240 c m 3

B) 204 c m 3 C) 300 c m 3 E) 280 c m 3

25. Todas las caras d e u n p aralelep íp ed o so n rom bos cuyas d iag o n ales m id en 6 y 8. Calcule el v o lum en d el p aralele­ pípedo. 50

arista o, e stá inscrito e n u n cilindro cir cu lar recto, tal q u e A y G so n cen tr d e las b ase s del cilindro m ien tra s qu B, C, D, E, F y H p e rte n e c e n a la su p e ficie cilindrica. C alcule el á re a d e la su perficie lateral del cilindro. A) n a 2y¡2 D) 3 jiq 2n/2

B ) 2tk72

C ) 2 n j2 a 2

E) 2 to 2V3

r

Reforzamiento UNI

Geometría

i-y

En el gráfico, P y Q so n pun to s d e ta n ­ gencia entre los plan o s y la superficie lateral del cilindro equilátero. Si la m e ­ d id a del ángulo diedro e n tre dich o s planos es 60°, P Q = 4 y el ángulo entre PQ y el p lan o IH m id e 30°, calc u le el v olum en del cilindro.

A) 36 ti2 D) 72ti2

B) 54 tc2

C) 64 tt2 E) 81ti2

33. El cilindro d e altura h e stá inscrito en A) IOti

B) 12ti

D) 16 ti

C) 14ti E) 18ti

■III IJn cilindro d e revolución e stá inscri­ to en u na pirám ide triangular regular D-ABC si G es b aricen tro d e la c a ra ABD y el punto m ed io d e DG es p u nto de co n tac to del cilindro q u e d e sc a n sa un el plano ABC, co n el plano ABD, cal­ cule el á re a d e la superficie lateral del cilindro. C onsidere q u e el pro d u cto de la distancia del pie d e la altura trazad a de D h acia u n a arista lateral c o n la lon­ gitud d e d ich a arista e s 18. A) n

B) 2ti

D) 671

C) 4 ti E) 9 ti

l.as caras PAB y QCD de u n o c tae d ro regular P-ABCD-Q e stá n inscritas e n las liases d e u n cilindro circular oblicuo, respectivam ente. C alcule la razón de v olúm enes d e a m b o s sólidos. A)

D)

V3 2yf2

B)

2V3

C) ^ 2 K E)

Ve K

Calcule el á re a d e la superficie lateral de un cilindro circular oblicuo, si el ra­ dio d e su b a se es 5 y la generatriz tiene longitud 9tc.

el cilindro d e altura H. Calcule la razón en tre los v o lú m en es del cilindro cir­ cun scrito y el cilindro inscrito. h.H A)

(H + h )2 h.H II

S) h2+H2 ^ h H C ) 7 T 77

V

^ 2/?W D)T-----h +H 5 e)

h H 7 7 + 7T

34. En u n h ex a e d ro regular ABCD-EFGH, d e arista 2(V5 + V2), M y N so n pun to s m e d io s d e AE y GC. C alcule el v o lum en del cilindro circular oblicuo cuyas b a ­ ses e stá n inscritas e n MBD y NFH, re s­ p ectiv am en te. A) tc>/6(V5 + V2) B) 2 tcV 6 ( ^ + V2) C) 2 ttV 6 (n /5 -> /2 ) D) 4 ti(> /5 -V 2 ) E) 47tV6 (V5 + V2 )

M aterial Didáctico N.° 2

¡-i Academia C ésar Vallejo

Pirámide

y

cono

S e tie n e u n a p ir á m id e V-ABC, d o n d e

35.

la s r e g io n e s ABC y V B C s o n re g u la re s. Si A V = 4 y B C = 6, c a lc u le e l v o lu m e n d e la p irá m id e V-ABC.

A)

2V23

B)

3V23

D) 726 36.

C)

4V23

E)

5V26 A) 4 D) 12

En e l g rá fic o s e m u e s tr a u n c ilin d ro d e re v o lu c ió n , d o n d e AB y CD s o n g e n e r a ­

39.

trices. Si el trián gu lo AED e s e q u ilá te ro ,

C) 8 E)

10 la 36ti. SI

En u n a p irá m id e P-ABCD, e l á r e a d e su p e rfic ie

c a lc u le e l v o lu m e n d e la p irá m id e .

B) 6

e sfé ric a inscrita e s

la c a ra APB e s regular, ABCD e s u n rec tán gulo, la m e d id a d e l d ie d r o AB e s 90

A)

B)

373/?3

y las c ara s ABP y D PC fo rm a n u n diedn

2

de

3R 3

53°, calcule

A ) 216

el v o lu m e n d e la pirám ide

B) 216>/3

C)

108>/3

E)

216V5

4

D) 108

3V 2 R 3 C) 40.

En e l g rá fic o s e m u e s t r a u n c o n o do re v o lu c ió n . Si A B = 8, c a lc u le

D) -y ¡3 R 3 3

el á re a j

d e la su p e rfic ie lateral d e l c o n o .

E )f* J

37.

S e tie n e u n tro n c o d e p irá m id e d o n d e las á r e a s d e las b a s e s s o n

3

y

12,

ade­

m á s , s e c o n stru y e u n p r is m a e q u iv a ­ len te q u e tien e la m is m a a ltu ra y c u y a b a s e e s u n a re g ió n c u a d r a d a . C a lc u le la lo n gitu d d e la arista b á s ic a d e l p rism a.

A ) \¡5 -

B) v/6

D) 2->/2

C ) V7 E)

3 7971

38.

En e l g rá fic o recto, d o n d e

se

m u estra un

ct+0=18O°.

p ris m a

80n

82ji C)

—

Si O M = O N y

e l v o lu m e n d e l p r is m a e s 24, c a lc u le el v o lu m e n d e la p ir á m id e C-OAD.

52

A)

B)

D) — 3

E)

85ti ~3~

, Hcforzamiento UNI ______________ ^

Se tiene un cono de revolución con vér­ tice en el centro de la base de una pi­ rámide cuadrangular regular y su base está inscrita en una cara lateral de la pirámide. Si la razón de áreas de la su­ perficie lateral y la base del cono es de 5 a 3, además, la menor distancia de la cúspide de la pirámide a un punto de la base del cono es 7, calcule el volu­ men de la pirámide.

44.

Desde un punto P exterior a una esfe­ ra se trazan tangentes en A, B, y C, de modo que P-ABC es un tetraedro regu­ lar. Calcule la razón de volúmenes de la esfera y el tetraedro. A ) 3n B) 471 C) 5rc D )6 ti

A) 6000 B ) 6500 C) 7200 I)) 7400 E) 7600

4?

E) 2/371

45.

Se tiene un cono de revolución donde las longitudes del radio de la base y la altura son 4 y 3, respectivamente; ade­ más, se traza un plano paralelo a la base tal que el área del círculo determinado sea igual al área de la superficie lateral del tronco de cono determinado. Cal­ cule la distancia del vértice al plano.

A) -J2

B) V3

C) V5

Se tiene una esfera inscrita en un cono equilátero, además, se traza un plano tangente a la esfera y paralelo a la base del cono determinando otro cono par­ cial. Calcule la razón de volúmenes en­ tre el cono parcial y la esfera.

A) D) — 13 46.

B)

C ) l2

«i

En el gráfico, si (A ff)2+ ( H B ) 2= K 2, cal­ cule el volumen del sólido generado

D) 2

E) 3

por la región sombreada al girar 360° alrededor de

Esfera y teorem a de Pappus 43

El área de un casquete esférico es la quinta parte del área de la superficie esférica correspondiente. Si la longitud de la altura del casquete esférico es 2, calcule el volumen del segmento esfé­ rico correspondiente a! casquete.

M aterial Didáctico N.° 2

/H Academia César Vallejo

47.

En el gráfico, ABCD es un cuadrado, además, P, Q y T son puntos de tangen­ cia. Si A B = 6, calcule el área de la su­

A)

7 if l2 ( 3 - V 5 )

\

B) nR2(s Í 2 -\ )

perficie generada por C M al girar 360° alrededor de OO'. Considere que AP=PO.

C) 7t/?2(2 - V 2 ) D)

tc/?2( 2

- n/3)

E) nR2(4-n/2) 50.

I

S e tien e u n a re g ió n trian gu la r d o n d e si tra za la b a s e m e d i a d e t e r m in a n d o

dosj

re g io n e s . C a lc u le la ra z ó n d e v o lú m e n e s d e los s ó lid o s g e n e r a d o s p o r r e g io n e s al g ira r

360°

a lr e d e d o r d e

b a s e m e d ia .

las la la

A) 1 A)

B) 1/2 C) 1/3

D)

48.

127n

E)

18

537t

E) 1/5

Se tiene un cuadrado ABCD, dé centro O, en AB se ubica el punto P tal que B P = 3 (A P )= 3 y f É .

Calcule el volumen del sólido generado pero la región cuadrada ABCD al girar 360° alrededor de una recta que es paralela a O P y contiene al vértice D. A ) 800n D) 9607t 49.

D) 1/4

B) 480rc

En el gráfico, B es punto de tangenci;

:

Si O A = 5 y m AM =37°, calcule el volu men del sólido generado por la región m sombreada al girar 360° alrededor de OB.

C) 7207: E) 640ti

Del gráfico, calcule el área de la super­ ficie generada por AB al girar 360° alre­ dedor de X .

11671 A)

D) 54

3 1407t

B) 40ti

C)

1367c

3

E) 5071

Circunferencia trigonom étrica I

Si

Del gráfico mostrado, calcule tana en términos de 9 si M es punto m edio de

2

< 0 < — , calcule el intervalo de 2

variación de j 2co s (| e !-^

EB.

A) (0; l )

B) <0; 2]

D) (0; 1] 4.

C) <1; 2] E) <1; 2>

Si 0 e IIC, además, -7 3 < tan 0 < - 1 , calcule la variación de sen9.

A)

72

2

; i

B) [1; 2] C)

A)

B)

C)

D)

2 sen 0 +l

D)

l+ 2 cos9 2 s e n 6 -l

E)

l+ 2 cos9 5.

2sen 0 +l 1- 2 eos 9

3. 4 .5’ 5 72. 73 2 ’

2

sen9 + l 1-COS0 l- c o s 0 l+ sen 9 B)

2

2’ 2 J

En la circunferencia trigonométrica mostrada, calcule el área de la región sombreada en términos de 9.

A) E)

i-

Si la extensión de la expresión 2cosx + l

C)

cosx + 2 es de la forma [a; £>], calcule a2+ b 2. A) 1 D) 4

B) 3

C) 2 E) 9

D)

E)

1+ tan 0

2 1+ tan 9 4 1-tan9

2 2 + tan 9

2 2 -ta n 9

55

_ M aterial Didáctico N.° 2 i-^j

1 Academia C ésar VaNejo

6.

En la circunferencia trigonométrica mostrada, calcule la abscisa del punto P en términos de 0.

2.

Calcule el dominio de la función A definida por f,x) = '/sen nx - eos Ttx

B) 4 ;

A )

'

1. 5 .4 ’ 4

D)

3.

1 1- tan 0

B)

1 1+ tan 0

-

0;

E)

i- 1 4’ 4

1-lsenxl -+ 1

■

C) 1+tan0 B )

D) l-tan 0

C)

Calcule el rango de la función f, defini­ da por f (x)

A)

; x e (0; 1)

E)

1

1- tan 0 D)

12

;2

Funciones trigonom étricas Calcule el valor de m si T] y T.¿ son los

directas I 1.

periodos mínimos de las funciones

Sea la función f cuya regla de corres­

trigonométricas f y g, respectivamente,

pondencia es

definidas por/M =cos(m x) y g w =sen2x, además, se cumple que Tt + T 2=3n.

f fx)

_ \lsen x -1

V cosx+1

A) 1 D) 1/2

Calcule el dominio de f, k e Z. 5. A)

2fcji; 2/f7i + |

B) -1

C )+ l E) -1/2

Del gráfico mostrado, calcule el área de la región sombreada.

B) ^(46-1)-^; 2A:tij

C) |^m;(4fc + l ) | ]

D) ( 2kn\ (4£ + l ) -

E)

2kn

D ) 71

E) 2ti

Reforzamiento UNI

T rigonom etría ^

A ) 2ti+3 D) 4rc+3

Grafique la función f, cuya regla de correspondencia es f(x) = 3sen| 2x-

3.

A)

B)

ti+3

C) 2ti+1 E) 4ti+2

Calcule el área de la región som­ breada.

A ) 271

B) sÍ2n

D) 8tin/2 4.

E) 4tiV2

Grafique la función f , definida por 3 sen x + e o s * tan* '(*) ‘

Funciones trigonom étricas directas II

A)

tan a: B)

Indique en cuántos puntos se interse­ can las gráficas de las funciones f y g, definidas por

= cos&r y g w =sen2x

en el intervalo de (0; n). A) 3 D) 6

B) 4

C) 2n-j2

C) 5 E) 7

Calcule la suma de las coordenadas del punto P, si el área de la región sombreada es máxima.

E)

_ M aterial Didáctico N.° 2

/H Academia César Vallejo x

5.

C a lc u le e l r a n g o d e la fu n c ió n f, d e fin id a

2.

y ran go

C a lc u le el d o m in io

d e la fu n c ió n !

f, d e fin id a p o r

por cot x

1

2

sen2x

n ’

\ 4’ 4

/ '<*> =

A ) < -l; 1)

f +3arcsen( y - 1

A ) [-3; 3];

B) (-1 ; l ) - { 0 } B) [-2; 2] 1

C)

3 tc 3ti

T’T 3n

2n

~2

C) l - 1; 11 [— 7t; 2 j i ] D) |-4; 4J |-7t; 2n¡

D) E) [-1 ; 1] [-Jt; 7i] E) ( 4 = ^ ) - { 0 }

3.

Calcule cos^3arcsen

Respecto a la función f, definida por / n n

\¡3 T

l2n

3

la n x;x e\ ' r

A)

3n

3 ’ 2 D)

f< x ) ~

2cosx

y

in d iq u e v e r d a d e r o I.

El m á x im o

(V )

es

c re c ie n t e

en

el

A)

D)

C) FVF E) VFV 5.

Funciones trigonom étricas inversas

A)

D)

.4 ’ 2.

B) í 1 ; il A .

C)

E) i ;1

C)

E)

27

Vñ

B)

33 4vn

1

17V2 27 l(h/2 27

1

1

.3 ’ 2_

c)

5V22 33 7vn 33

D e te rm in e el d o m in io d e la fu n c ió n /,

A ) 11; + 00)

B) [2; +~>

1

.4 ’ 3.

Vñ

E)

33

C ) [1; 2] 1

27

17*72

d e fin id a p o r

Calcule el dominio de la función f, cuya reela de correspondencia es Í3 x + H f(x) = -J4x -1 + 2arc seni V 2 1

5sÍ2

in te rvalo

\2'~3

B) F W

B)

f 1 t V2 sen arccos— arctan— l 3 3

!n2n\

A) FFF D) W F

27

Calcule el valor de

o fa ls o (F ).

v a lo r d e / e s 1.

II. f in te rs e c a al e je x e n tres p u n tos. III. A

10n/2

ÍK

D)

-; 2 2

E)

+ 00

2’

r Reforzamiento UNI

6.

T rigonom etría

De la gráfica mostrada, calcule

2.

Calcule el rango de la función f, cuya regla de correspondencia es

A + 2ñ + 27t

fM =

C+D

A)

B)

C)

371

7t

Y ’

2

.2

; 0

-K

2J

371

D)

’T

71

’ 2

E) [—7t; 7t] D )2

3.

E)

sen a rc s e n - + —arcsen

Funciones trigonom étricas inversas (propiedades) I

V

Grafique la función trigonométrica f, cuya regla de correspondencia es r ti)

A)

A)

arcsen(-Ar) 7t-arccosjr larctanxl — — -j-——— — — —"4“ arcsen* arccosl-*) arctanjc

r

B)

Y

Calcule

17 12

4 )

k

B) — 12

(senf ) C)

12

D ) T2

4. sen (3 arctan x - are cot x ) sen [3arc cot x - arctan x ]

X

X

A ) -2 D) 2

í C)

B) -1

C) 1 E) 3

Y

5.

Calcule el rango de la función f, definida por

X f(x)i = | ( .arctan x + ^ |arc cot x

■ f>

D)

E)

Y

X

Y

A)

0;

D)

»4

X

B) <0; T J

C) (0; I

E) 59

_ Materia! Didáctico N.° 2

r\ Academia C ésar Vallejo

6.

¿En qué intervalo la función f , definida por /■(j-j-arctanx-arccosx, es no negativa?

A)

D)

V 5 -1 . árceos J — - — ; 1

V 5 -1

; 1

. i ti

-1; árceos

E)

r-

«f fl B>{# 7?f) « {f f t} « fe f}

v5 -l arccos,|— :— ; + °°

B)

C)

Resuelva la ecuación trigonométrica 4(sen4x + c o s V )- 3 = sen2x ; x e (0; 7t)

5ti

3tt

m

Resuelva la ecuación trigonométrica x

Ecuaciones trigonom étricas

x X

1+sen— eos — 2 — = 2 ; VkeZ x x sen—+ eos—

2

1.

Resuelva la ecuación co s 5jt- co s 3at+ se n4x=0 e indique la suma de soluciones pertenecientes al intervalo (0; ri). A , f D)

2.

B) 2n

C)

{(2*+1,fl

37C

2

C) {(4 * + 3 ) tc}

E) 3n

V2 (sen x + eos x ) = \Í3sen2x + eos 2x e indique las dos menores soluciones positivas.

»í?i) «iflM l!} «fe 1} « te i 3. - Resuelva la ecuación trigonométrica 2tanx=l+3cobr ; x e (0 ;2 7 i) e indique el número de soluciones.

60

A)

B) {(26 + 1)71}

Resuelva la ecuación trigonométrica

D) 5

2

e indique un conjunto solución

D) {*7t}

7n

A) 2

5ti1

1T2’ T J ’ T ’ T I

B) 3

C) 4 E) 6

E) {(46 + 1)71} Resuelva la ecuación trigonométrica

f]

tan *

2\/3

1+ tan x

\kn (-1)* A j \— + ------ are sen

12

2

(I)

B) j/¡7t + (-l)*a rc s e n | jj j j

C) | íp + (_D *| |

D) |267t + (-l) aresen

E) {*7:+ ( - ! ) * ! }

Reforzamiento UNI

Trigonom etría

PRACTICA D O M IC ILIA R IA Circunferencia trigonom étrica I

B )sen acosa

Calcule la variación de n si se cumple que cosx + - =

2

2

D) C ) [4; 9| E) |5; 7]

Si 0 e (0; 7t), indique los valores que debe tomar 0 de tal manera que se cumpla que 4 cos20=l+cos2a

A)

6 ’ 4_

C) senu+cosa

n- 5

B) 15; 8J

A) [4; 7] D) [7; 9] ?

A ) 3senacosa

3n

57t

T ’

~6_

l3n

E)

4.

3 sen a co sa

(sen a + eos a)

En la circunferencia

trigonométrica

mostrada, calcule — 1+ r

en términos

de 0, si P y T son puntos de tangencia.

57tN

\~2’ T

C)

71_ 5ti _3 ’ T

“>(!=f E)

3

ti

7c\

/3n

5it

L6’ 4/U \ T ’ T

En la circunferencia trigonométrica mosIrada, calcule el área de la región som­ breada en términos de a.

A)

D)

5.

COS0 l+ sen 0

BJ

COS0 l + sen0

1- eos 0

C)

E)

l+ s e n 0

COS0 l- s e n 0 1+ eos 0 l + sen0

Si a s 1IC, calcule la variación de t a n ^ a + 12 1 ^ j

A ) (-3 ; 0> D) (-3 ; - 2 )

B) (- 3 ; 1)

C )(-3 ;- l> E) (-3 ; 3> 61

f-\ Academia C ésar Vallejo

G.

Material Didáctico N.° 2

En la circunferencia trigonométrica mos­ trada, calcule el área de la región mos­ trada en términos de 0.

8.

¿Para qué valores de a se verifica siguiente igualdad? 7t

tanp =-

; P'

A ) [0; 4]

n

4’ 4

B) [-2; 2]

D) [-1 ; 1]

C) [0; 2] E) [-3; 3]

Funciones trigonom étricas directas I 9.

Calcule el dominio de la función defin: da por F(x) = .Jsen2* - s e n 4x - i

A)

B)

C)

D) E)

2

.. f rt

5ti

7tc1

A> h ; T ; T ; TI

1- tan 0

2 B. { f i

1+ tan 0 4

í l . 3514 ’ 4 ’

l-ta n 0 4

4 J

®{* t!

2tan0 + l

.

7.

3jt

Calcule el perímetro de la región som­ breada en términos de a si se sabe que T es punto de tangencia.

Í37t

14 ’ 10.

5rt

4 ’

7 7tl

4J

Calcule el dominio de la función definí da por r (x ) ■

ls e n x -2 | -3

A ) R - { (26 + 1)71} B) R - { k n } C) R - j(4 6 + l)-|J

D) R - j ( 4 * + 3 )| j A )-2 7 ttan a B)-7itanoc D) ti tana G2

; x e(0; 2n

C) 2n tana E) - 4 n tana

E) R -{(2 fc + l ) | j

s e n x - l’

Hrforzamiento UNI

II

Trigonom etría i-.

Calcule el rango de la función definida por _ sen2x + lsenxl '(*) ■ sen x - \ A) (—00; 0)

B) (0; +°°)

D)<-1;0J I?

C) |0; +°°> E)

Calcule el rango de la función definida por F,j.)=sen2x(sen6x+sen2x); x e

A) [-1; 1]

B) 10; 1]

C)

D) |0; 2] i:i

0]

71 77t

d)

8 ’ 24

E)

Y\

^

2’ 2

S e a fM = e 'serurL Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda a las siguientes proposiciones. I.

2ti X

es función par. A ) ^ n/271

A) FFF D) VFV M

B) W F

C )V W E) VFF

Calcule la suma de periodos de las siguientes funciones.

B)

7t

C) ^71

E) - V 2 ti

D) — jt

Funciones trigo n o m é tric a s d irectas II

/.■(x)= 2 |,amt|+ 2 |coU|

Calcule el dominio de la función defini­ da por

Gw =cos(senx)

F{X) = VcosW-senW +tan4x ; x e(-7c; 7t)

4x 3x + sen « (* ) = sen — 2

A)

D) l!>

V2

Calcule el área de la región sombreada

2. r

E)

16.

r

0;

Ve

3ti

B) 7ti

Y 15ti

2

a

B) ( - 71;

E) 13"

o*I

Del gráfico, calcule el valor de

l

, l- f;

C) 13ti

2

\Í2

17.

D)

E)

/ *

- f K

71

4’ 4

71

\ 4 ’ 4/ 71 71

_~4:

4.

- i -■ -1 1 8 ’ 8Í 63

M aterial Didáctico N.° 2

f-\ Academia César Vallejo

18.

C a lc u le e l r a n g o d e la fu n c ió n d e fin id a

21.

Si V k e 2, calcule los puntos de discon»í tinuidad d e la función definida por

por -.2

F

(1 - s e n x + c o s x )

{x)

1 -s en x

A ) [0; 2 1—{1 }

A)

B ) 10; 1]

1

Ita n xl-lcotxl

H

b)

(* ;

C ) <0; 2] D) { Kn}

D) |0; 4] —{ 2 } E) <1; 2] 22. 19.

Calcule el rango d e la función definida por

Calcule el rango d e la función definida por = eos2* + s e c 2x - 4 ( s e o r + c o s x )+ 6

A )(0 ;+ ~ >

B )[l;+ ~ )

E) [4; + °°)

+ c o t22x + tan2 x

A ) [V 2 ; + °°)

Grafique la función definida por

B ) [2; +~>

se n 6 x rU) ■

= YI........ c o t2x - 2

C ) [0; 1)

D) [0; + ° ° ) 20.

r (x)

C ) [V 2 ; 2]

sen 2x

D) <1; +<*>) A)

B)

Y\

Y E) (0; +°°>

23. -7 1

-71

4

8

C)

n_ n_ X 8 4

~K ~K 4 8

JL JL X 8 4

Calcule el rango d e la función defin ida] por FM = ta n x (s e c x + ta n x ) +1

Y

-7 1

—71

n

n

4

8

8

4

D)

w

4

E)

8

7i

n

8

4

—; + ° ° ) .2 /

B)

o' —

x

Y

—7t - 7 t

A)

x

Y

W

-7 1

4

1

’ 2

D ) < - o o ; 1]

- n

71

71

8

8

4

X E) <0; 1)

. i Rcforzamiento UNI / ______________ /

74

Trigonom etría »-»

Calcule la sum a de las abscisas de los

A) 3

puntos de intersección d e las funciones

D )4

B) 2

C) 6 E) 1

!'\x) y g m = 2. 28.

Dadas las siguientes funciones:

II. C (x) = aresen

calcule Rari(F) n R an(C ).

A)

B) E) n

D )f

t )

Funciones trigonométricas inversas ?!)

Calcule

el

dom inio

de

la

función D)

definida por F(x) = are sen \l3x- \ + arccos ^ 2* ^j

E) A)

H] i '2

D)

¡lli

C)

i !.

31

el

37n

n

J 8 0 ’ 2. 37k

53n

Tio’

m .

53tc

tc

T ÍO ’ 2 71

K

6’ 3

1

3 ’ 2.

29.

Calcule el rango de la función definida por

E) [0; 1]

. 3 ’ 2J

Calcule

i-

0; — 2

dom in io

de

la

función

Fu) = arccos {

2x

)

2

definida por F(X) = ^/(arccos x ) 2 - 5 arccos x + 4 A ) [c o s í; 1]

B) [-1 ; 0]

D) [-1 ; - c o s í ]

C ) [0; 1]

A ) [-1 ; I ]

B)

0;

E) [-1 ; 1] C ) {0; n}

II

Si el dom inio d e la función

F''(r i =

¡x —4 i-----arctan, /--------- 1- arelan s l x - 3 U + l

es [n; + °°), calcule

n+ 4

D)[0;f ] E>{f;f } 65

M aterial Didáctico N.° 2

f-\ Academia Cés a r Vallejo

30.

Funciones trigonom étricas inversas

Calcule el rango de la función definida

(Propiedades)

por Fix) = 3arctan

A)

D)

31.

H] (* t ]

fe )

B)

0;

53ti 120

33.

C) (0;

Calcule el valor de la expresión cot ^aresen i j + tan ^arccos

ti ]

E) <0; 2tc>

A)

Del gráfico, calcule el área de la región sombreada.

D)

Vl5

2

B) | V Í5

n/Í5

C) V¡5

E) 2VÍ5

arctan 34.

j

(I).

Si tan0 = arctan |—

ta n a = | , Calcule el valor del ángulo agudo 0.

A)

D>!

E)

371

Del gráfico, calcule el valor de

2

B)

37°

o ? E)

D) 45° 35.

32.

153°

127°

Calcule el valor de la siguiente expr sión.

B+C+D

( 2 c o s l2 ° - l- c o s 2 4 ° 'i arctan V------------^ -------- ) sen 24°

A ) tc/30 D) 2ti/15

36.

B)

Si 0 = arcsen

calcule — + 20.

ti/IO

■(fl

C)rc/60 E) tc/15

; x e [2; 3],

i Reforzamiento UNI

37.

.. ............ ........................................ ... Trigonom etría k

Ecuaciones trigonom étricas

Calcule el valor de la expresión jt + arcsen

H)

41.

Calcule la diferencia de la menor solu­ ción positiva y la mayor solución nega­

— arctan(%/3-2)

tiva de la ecuación. 4

A) 0

C) 2

B) 1

E) -2

D) -1

*'

4

6

6

27

sen x + eos x + sen x + eos x - — 16 A)

38. Reduzca la siguiente expresión.

271

B) 0 E)

D ,f

arcsen (-sen 3 ) + 37t-7 42.

arccos(cos4)

«i

»!

«H

Calcule la suma de soluciones de la ecuación sen x + \/3cosx 1 , . _ , — = - ; x s(-4ti; 2ti) 4 2

É í| + 1

D) 1

A) 39. De la siguiente igualdad

D)

. .2 „ cos(3arcsenx) (arcsenx) -2arccosx = ---- ----- ------ sen(3arccosx) 43.

calcule (are sen x + 1) 2.

13it

2

B)

15ti

llTt

C)

1771 O

2

- f

37t Si {jc,; x 2} e ^7t; — J son soluciones de la ecuación

B)f

A)

sen x + eos x + V2 eos 3x = 0

C) 2n

calcule 16x]+8x2. E) Jt

D) 3

A ) 32ti

40. Simplifique la siguiente expresión.

— arccoss

2

A) it-20 D) 20-7t

(

2tan0 ^

.

-----------5— ; 0 e Vi + tan g J

B) 2tt- 20

fn

n

1.8

4.

—; —

C) 20 e)

f-e

B) 31ti

44.

C) 30j: E) 28tt

D) 29ti

Calcule el número de soluciones de la ecuación 2 2 l-cos2 x , r. , sen x+sec x = —--------+ l ; x e 0;57t cosx A) 4 D) 3

B) 6

C) 5 E) 7

67

— M aterial Didáctico N.° 2 i-y

r > Academia Césa r Vallejo ^

45. Si VfceZ, al resolver la ecuación

D) {(4 * + l)| j, k e Z

2sen 2xcosx=sen4x-sen2x indique un conjunto solución.

E) {2 * k ± J } , íte Z

¥) (I)

A ) 2/m+arccos

B) hn + are tan

47.

¿Para qué valor de x se verifica la si­ guiente igualdad?

2 sen‘

•(¥1

= l+2cos‘

C) 2 k n + ^

A)l

B) 4

D) 2 /?7t í árceos| * 4 ^ )

«i E) k n + ( - \ ) K aresen^^p j 48. 46.

En el siguiente sistema de ecuaciones

Calcule los valores x c y que verifican siguiente igualdad. arccosx=7icscy; k e Z

s e n (x + y )

V5+1

s e n (x - y )

V5-1 A ) * = (4fc+l)|; y = - l

tan x+tan y=l+V 5 calcule la solución general de y.

B) x = -l; y = ( A k - \ ) ~

A ) {fc n - | }, k e Z

C) x = l; y = (46+1)—

B)

kel

C) {(2/¡ + l M , k e Z

68

D) x = - \ \ y = (4 fc+l)|

E) x = l; y = —

la

'

MOL

lili

Físico L u .\

H. m

MAGNETISMO Y ELECTROMAGNETISMO

El fenómeno de atracción entre los cuerpos se conoce desde hace miles de años, cuando en la ciudad de Magnesia se encontraron pequeñas piedras de mineral de hierro con esa propiedad. Desde entonces, el ser humano ha aprovechado los efectos del m agnetismo (por ejemplo, para la creación de la brújula hace 2000 .iños en China) y ha determ inado los elementos que intervienen en el proceso. De este modo, actualm ente se sabe la influencia que ejercen las cargas eléctricas en m ovim iento, la existencia del campo magnético de la Tierra y la relación que se establece entre los imanes y las corrientes eléctricas (denominada electrom agnetism o).

átomo

O

s

&

© ®> Cj D m aterial no magnético

imán

Campo m agnético

Los átomos constituyen pequeños imanes que orientan de form a desordenada (m aterial no magnético) o en el m ismo sentido (im án).

se

La e l e c t r i c i d a d y el m a g n e t i s m o

Si se pasa corriente eléctrica por un hilo de alam bré, se genera un campo magnético alrededor con lineas de fuerza similares a un imán. Si se desplaza un imán dentro de un conductor eléctrico, o se induce una r.orriente, que tam bién se produce entre un imán de herradura.

corriente de inducción

generador de corriente eléctrica

Transformador

Una bobina prim aria produce un campo magnético que es captado por una secundaria a partir de un núcleo de hierro (capaz de conducir las líneas de fuerza mag­ néticas). El transform ador se emplea para elevar o reducir las tensiones eléctricas. Electroimán

Si se enrolla un hilo conductor alrededor de una barra de hierro curvada y se hace circular una corriente eléctrica, se obtiene un imán m uy potente que puede atraer grandes canti­ dades de m aterial magnético.

71

/-i Academia C ésar Vallejo

A) B) C) D) E)

H id r o s tá tic a El gráfico muestra un tanque com pre­ sor de gas. Si el gas ejerce a la válvula V una presión de 2 atm, determine el

1,4 kg 2,5 kg 3,5 kg 3,8 kg 4,1 kg

radio R. (g = 10 m/s2). recipiente

4.

A ) 0,12 m

B) 0,20 m

D) 0,30 m

C) 0,24 m

En el sistema que se muestra, la fuer­ za F mantiene en equilibrio la prensa hidráulica. Calcule en cuánto debe au­ mentar F para que el ém bolo de área 5^2 pueda soportar un bloque de 100 kg, (iA,2= 4 A ,,g = 10m/s2)

E) 0,37 m

El gráfico muestra la diferencia de nivel de las ramas del manómetro de mercu­ rio a nivel del mar. Si la presión del gas es 900 mmHg, determine h (en cm).

r h

A ) 50 N D) 150 N

B) 100 N

C) 125 N E) 175 N

.i . Si la placa rectangular homogénea se encuentra en equilibrio, com o se mues­ tra, determine su densidad. A) 6 D) 14,6

B) 10,5

C) 13,5 E) 16

Un pistón tiene la forma de un disco circular y presenta un orificio en el cen­ tro. En el orificio se encuentra ajustado un tubo delgado de radio r y masa des­ preciable. El pistón encaja exactamente dentro del recipiente, por ello puede moverse sin rozamiento. El pistón se encuentra inicialmente en la base del cilindro y después de depositar agua esta sube en el tubo delgado una altura Aj=5 cm, com o se muestra. ¿Cuál es la masa del pistón? (/?= 15r= 15 cm ) 72

A) B) C) D) E)

445,6 kg/m3 500 kg/m3 546,7 kg/m3 596,8 kg/m3 600 kg/m3

i Reforzsmiento UNI ^

_ Física k

Un cubo de piedra de 40 cm de arista es transportado por una balsa de 2 m de lar­ go y 1 m de ancho. Si se cambia la posi­ ción del bloque y se sumerge, ¿en cuánto cambió el nivel de flotación de la balsa?

Fenómenos térmicos En un recipiente de capacidad calorí­ fica igual a 300 cal/°C hay 100 cm 3 de agua a 0 °C. Si se introducen unas pe­ pitas de oro de 4 g, cada una a 230 °C, ¿cuántas pepitas, com o máximo, se debe introducir para que la tempe­ ratura de equilibrio sea de 30 °C? (C c(Au) = 0,03 cal/g°C; desprecie las pér­

A) 2 cm D) 3,2 cm

B) 4 cm

C) 6 cm E) 10 cm

didas de energía al exterior). A ) 400

/

Se muestra un sistema formado por una varilla de longitud L, de masa des­ preciable, y una esfera de masa m co­ locada en su extremo. Si la esfera es soltada, determine la máxima rapidez que adquiere. (Considere pesfera < pH 0 y g=10 m/s2)

B) 500 C) 600 D) 80Q E) 1000 Considere el sistema diseñado por Joule. Cada una de las dos masas es de 150 kg y el tanque aislado está lleno con 200 kg

H20

de agua. ¿Cuál es el incremento en la temperatura del agua, después de que las masas descienden 3 m cada una?

H>L

(1 J=0,24 cal) ;L —

.

es.

A,

B) 2s l Í ^ + ] l Pe

C)

2 g L \ -& - + \

[Ph2o Ph2o

A) l,08x 10~2 °C

+2

B) l,07x 10~2 °C C) l,09x 10"2 °C

E) 2gL

-+

( P h2o

1

D) 1,06x 10~2oC E) 1,05x 10~2oC 73

f-\ Academia César Vallejo

_ Materia! Didáctico N.° 2

Un bloque de cobre

Un bloque inicialmente a 20 °C absorb

(Ce(cu)=0,05 cal/g °C) de 800 g es sol­ tado desde 20 m y experimenta una fuerza de resistencia de parte del aire de módulo constante es igual a 5 N. Si cuando el bloque está por impactar su temperatura se incrementó en 0,1 °C, ¿qué porcentaje de la energía que se disipa debido a la resistencia del aire absorbe el bloque? (1 J=0,24 cal)

Q calorías, llegando a su temperatura

A ) 15% D) 22,4%

A ) 760 °C D) 860 °C

B) 16,6%

de fusión (sin fundirse). Si al bloqu de 20 °C se le parte por la mitad y .i una de las partes se le suministra Q calorías, entonces llega a fundirse el 80% de dicha parte, ¿qué temperatura de fusión tiene el bloque? (^Ftbloque) —800 Cal/g, ^e(bloque) = 0,8 Cal/g °C )

C) 12,8% E) 8,6%

C) 820 °C E) 940 °C

Term odinám ica

Un estudiante desea beber agua a tem­ peratura baja, pero él tiene 1 L de agua hirviendo en un recipiente de capacidad calorífica despreciable, y luego decide agregarle cubos de hielo (a-2 0 °C) de 50 g cada uno. Determine la cantidad de cubos necesarios para que el estu­ diante tome agua a 10 °C?

En el cilindro se tiene 5 litros de un ga al cual se le entrega 1200 J de calor Si el pistón liso se desliza lentament hasta que el gas duplica su volumen entonces, determine la variación en la energía interna del gas. (P alm= 105Pa).

A ) 12 cubos B) 14 cubos C) 16 cubos D) 18 cubos E) 20 cubos La gráfica muestra la cantidad de calor absorbido por una determinada canti­ dad de agua y su cambio de temperatu­ ra. Si al agua se le entrega calor a razón constante de 250 cal/s, determine el tiempo que tardó el proceso de vapo­ rización del agua. (Dé la respuesta en minutos).

B) 800 °C

/o,'; ¡V- l atmósfera f*
B) -800 J

C) +600 J E) +700 J

El ciclo mostrado corresponde a un gas ideal. Determine la cantidad d trabajo realizado por el gas ideal en 3 ciclos termodinámicos. En a —> b la temperatura, en kelvin, se triplica. P(105 Pa)

1 A ) 24,16 D ) 22,6

74

B) 18,0

C ) 19,6 E) 12,4

A ) 600 J D ) 900J

B) 700 J

3 H lO ^ m 3) C ) 800 J E) 2400 J

Reforzamiento UNI

Física

La gráfica V-T nos muestra com o varía el volumen con la temperatura para un gas ideal. Si de B hacia C la energía in­ terna varía en 100 J, además, el calor disipado de A hacia B es 400 J, deter­ mine el trabajo realizado por el gas de

A) T0 + ^ l 0 nR

A hacia B.

B) 2T0 + ^ X l 0 2nR

e)

6. A) -300 J

B) -100 J

D) -250 J

C) +200 J E) +300 J

Un cilindro rígido hermético cerrado contiene un gas ideal y una hélice uni­

r 0- ^ i 0 3nR

Una máquina térmica de Carnot recibe 1200 kJ/min de calor desde un foco térmico que está a 727 °C y rechaza a un sumidero térmico que está a 127 °C. Determine la potencia neta que entrega la máquina y su eficiencia.

da a un eje fijo en su interior. Al siste­ A ) 10 kW; 62%

ma se le entrega 10 kj de energía en forma de calor y un motor de 500 W

B) 24 kW; 75%

(cuya eficiencia es 50%) mueve la héli­

C) 10 kW; 50%

ce durante 10 s. ¿Cuál es la variación de

D) 12 kW; 60%

la energía interna del gas? (Desprecie

E) 6 kW; 80%

todo tipo de pérdidas)

Electrodinám ica A) 19,5 kJ D) 12,5 kj

B) 10,5 kJ

C)21,5kJ E) 8,5 kj

En un tubo liso aislado térmicamente y de gran longitud se encuentran dos émbolos con masa m , entre los cuales

1.

Se tiene un conductor de cobre de sec­ ción transversal igual a 1 cm2 por el cual circula una corriente de 13,6 A. Si en el cobre existen 8,5-1028 electrones por metro cúbico, determine la rapidez de arrastre de los electrones libres.

hay n moles de gas monoatómico a la temperatura T. ¿Hasta qué temperatura máxima se calentará el gas? Considere que los émbolos no conducen calor. Desprecie la masa del gas en compara­ ción con la masa de los émbolos.

A) 3xl0~5 m/s B) 4 xl0 "5 m/s C) 10~5 m/s D )8 x l0 5 m/s E) 3 x l0 8 m/s 75

__ M aterial Didáctico N.° 2

/H Academia César Vallejo^,_____________________

2.

Una resistencia eléctrica conectada a una batería de 9 V conduce una corrien­ te de 100 mA, cuando se encuentra a temperatura ambiente (20 °C); pero si se calienta hasta 40 °C, la corriente dis­

A) B) C) D) E)

*

0,1 V 0,2 V 0,9 V 0,5 V 1V

minuye en 10%. Calcule el coeficiente térmico de la resistividad. A ) 4,5x 10~3 °C~' B) 5,6 x 10~3 oC C) 6,7x 10~3 oC-

La corriente que pasa a través de una

D) 7,8 x 10” °C E) 8,9 x 10~3 °C

po según la ley / = - Vf (A ) , donde I

resistencia R = 100 £2 varía con el tic m l so

2

expresa en segundos. ¿Durante cuántos La densidad de corriente en un alam­ bre de cobre es J = 5 x l0 6 A/m2. ¿Qué

segundos se encontró operando, si disi­ pó 1,8 kJ de energía en forma de calor?

diferencia de potencial existe en una longitud de 2 km de dicho alambre?

A ) 12 s

(pCu= l,7 2 x lO -8n -m )

D) 7,2 s

A ) 224 V

C) 86 V

B) 172 V

D) 258 V

B) 41 s

C) 63 s E) 8,6 s

Electromagnetismo

E) 320 V Tres espiras circunferenciales de igual

4.

En el circuito mostrado, calcule R si el

radio R, por las que circula la misma

amperímetro ideai registra 6 A.

intensidad de corriente /, en los senti­ dos indicados, son colocadas com o so

3Q

muestra en el gráfico. Determine la in­ ducción magnética total en el origen da coordenadas. ( Considere V

R

A) 3,5 a

B) 3,1 Q

D) 2,6 Q

C) 2,8 n E) 2,2 f í

En el circuito están conectados dos galvanómetros y dos voltímetros igua­ les. Si las lecturas de los galvanómetros son G,: 100 uA y G2: 99 jiA y la del voltí­ metro es V t: 10 V, determine la lectura del voltímetro V2.

A) B) C) D) E)

<x(l; — 1; 1) o t(l; 1; — 1) o t(-1; -1 ; i ) ot(—1; 1;- I ) oc( 1; —1; —1)

2R

’

__ Física k

línforzamiento UNI

Una partícula electrizada con +2 C y de 8x10-3 kg ingresa en un campo mag­ nético uniforme, formando 53° con la dirección de la inducción magnética (3 ) y con una rapidez de 5 m/s. Deter­ mine la longitud del paso de su trayec­ toria. (B = 2 7 ix l0 -2 T) A) 0,6 m

B) 1 m

D) 1,4 m

C) 1,2 m

A ) La corriente inducida es continua.

E) 1,6 m

B) La corriente inducida cambia de sentido e n í= 2 s.

El marco conductor cuadrado que se

C) En t = 2, la corriente inducida es nula.

muestra tiene de lado a y masa m; este

D) La corriente inducida disminuye en­

puede rotar libremente alrededor del

tre [0; 2] s y luego aumenta.

eje YY. Determine / para que dicho

E) Hay dos alternativas correctas.

marco se mantenga en reposo. En el gráfico se muestra una barra m e­ tálica de 50 cm que se desplaza con rapidez constante de 2 m/s sobre dos rieles de resistencia eléctrica despre­ ciables. Cuando la barra recorre 20 cm, ¿cuánta energía disipa la resistencia /?= 10 £2? (B = 1 T). A ) 0,1 J B) 0,01 J A)

mg tan a

2

aB

C) 1 J D) 10 J E) 100J

B)

C)

D)

@ B = c te .

J

— —

2mg tan a Ba mg sena

Física m oderna (O EM y efecto fotoeléctrico)

2aB

2mg sen a aB mg seca aB

La intensidad de campo eléctrico corres­ pondiente a una OEM está definida por E =3- 106sen27i(3 ■108/—y) k

donde y está en metros y t en segundos. Determine el módulo de la inducción

4

El flujo magnético a través de una es­

magnética máxima.

fera conductora varía con el tiempo de acuerdo a la gráfica adjunta. Indique la

a ) i o - 2t

alternativa correcta.

D) 10 T

b ) io -

't

C) 10~3T E) 102T

77

_ M .. 1 . 1 1 .i r .1.1 „ r,.

f-\ Academia César Vallejo

2.

Una OEM monocromática linealmente

D) £ = 6 • 10~2sen(37i d 0^8 f -

polarizada viaja en la dirección ( - ] ) en un m edio cuyo Er= 3,6 y

ii p i.

-y/40) (_ * ) v/m

10, de

B = 2 d 0 10sen(37id0~8í -

tal manera que la amplitud del campo

-y/40) ( - ] ) T

eléctrico es 30 m V/m i k ) . Determine

E) £ = 6 - 10“2sen2n(í-y/20) { - k ) V/m 1

la ecuación que define la inducción

B = 4 d 0“ssen2ji(í-y/20) (/) T

magnética. (/oem=25 MHz) 4.

En el efecto fotoeléctrico, para el sodio í (<))Na=2,2 eV) se tiene un potencial do j

A ) B = 0,6sen2jr^5i0~6f + ^ y j(+ 7 ')T

frenado de 5 V. ¿Qué longitud de onda I B) S=6-10“ 12sen27i(25-10-6 -y / 2 )(/) T

tiene la radiación que se usa?

C )B = 610_losen(50El06-y / 3 )(-/ )T A ) 1,72- 10~7m D) B = 610""sen27t(25 106f+ y / 2 )(-/ )T

B) 3,44 10-7 m C) 0,86 10 '7m

E) S=0,610-12sen2jt(25106/-y/2)(-/)T

D) l,27d0^8m E) 2,7d0“7m

3.

Una OEM se propaga en el vacío en la dirección (+¡); oscilando su campo

5.

Para extraer electrones de una lámina! de plata, se le ilumina con una radiación'

eléctrico en la dirección (+ z ). Si la am­

cuya longitud de onda es 2536 d 0 “'° ni,

plitud del campo eléctrico es de 60 m

procedente de un arco de mercurio. SI

V/m y su longitud de onda es de 20 m,

el voltaje de frenado es 1,10 V determi­

determine las ecuaciones que definen

ne la función trabajo para la plata.

a £ y B. A ) 1,96 eV

B) 2,98 eV

D) 4,01 eV

C) 3,80 eV fl E) 4,21 eV I

A ) £'=6-10 '2sen27i(l ,5 •1tít-x/20)k (V/m)

5=2- 10“ 10sen27i(l,5- 107í-x/20) (-/ ) T

6.

La cantidad de trabajo necesario para remover un electrón de la superficie da

B) £=6 ■10~2sen27t(2,5 ■10~6 1+ +x /2 0 )j (V/m)

fi=2- 10_9sen27t(2,5- 10_6í+x/20)(-¿) T

una placa de potasio es de 2 eV. Si la luz de longitud de onda de 5 x 10~7 111 incide sobre la superficie de potasio, determine la energía cinética máxima!

C) £ = 6- 10~2sen2n(l,5-10-8 Í+ +y/20) (-/) V/m -

B = 2- 10"l0sen27t(l,5-10'8 1+

+y/20) ( - ] ) T

78

de los fotoelectrones que emergen. (A?=6,63 x 10“ 34J-s) A ) 0,36 eV D) 0,52 eV

B ) 0,42 e V

C ) 0,48 eV I E) 0,64 eV I

¡ , Reforzamiento UNI ^

_

Física

PRACTICA D O M IC ILIA R IA Hidrostática I

que los émbolos se mantengan al mis­ mo nivel. Considere que la barra es de masa despreciable.

Dentro del recipiente se tiene un gas, cuya presión en la tapa inferior es 200 Pa. Determine la fuerza que el gas le ejerce a la tapa superior { R = 2 m).

( A 2= 3 0 0 A ,;g = 1 0 m / s2)

+ (2)

(D

mm A) 1678 N D) 3470 N

B) 2145 N

C) 2512N E) 3851 N A ) 12,5 N D) 2500 N

Determine la presión total en el fondo del recipiente mostrado si los líquidos están en reposo. (Pace¡te = 0 >8 g / c m 3)

4.

7 1

200 cm cr agua

B) 125 N

C) 250 N E) 25 N

N En la figura 1, el resorte de K = 1000 — m sostiene el agua a través de un ém bo­ lo de área ¡h2, en equilibrio. Determine la deformación adicional del resorte cuando en la parte superior se aplica una fuerza F=200 N (figura 2). Consi­ dere que el ém bolo se desplaza lenta­

80 cm

A) B) C) D) E)

''-aceite

mente ( A 2=2ZAj).

109,6 kPa 109,8 kPa 110,2 kPa 112 kPa 112,6 kPa

El sistema mostrado se mantiene en equilibrio com o se muestra. Si en el émbolo (2) se coloca un auto de 750 kg, determine el módulo de la fuerza verti­ cal que se debe aplicar en P de manera

fig. i

A ) 0,1 m D) 0,4 m

fig. 2

B) 0,2 m

C) 0,3 m E) 0,5 m 79

__ M aterial Didáctico N.° 2

/-\ Academia C ésar Vallejo^

Una delgada tapa cierra la parte infe­ rior de un tubo de 10 cm 2 de sección transversal interna, el cual se encuen­ tra sumergido en agua com o muestra el gráfico. ¿Qué fuerza F es necesario aplicar a la tapa, para mantener al sistema en equilibrio, tal com o se muestra? (g = 10m/s2; pH2o=1000 kg/m3)

A)

10M 9P h2o

D)

B)

M

C)

10M

10M '9pH20

P h 2o

E)

3Ph2o

1

10M P h 2o

Se muestra una esfera maciza y otra hueca (cascarón), ambas del mismo material (plom o) y radio R. Si perma­ necen en reposo, señale verdadero (V) o falso (F) según corresponda.

7

T

//=100 cm

h = 50 cm tapa_¿

A) 1 N D) 20 N

a

B) 5 N

_________ i

C) ION E) 50 N I. El empuje del agua en ambos casos es diferente. II. La presión hidrostática en P y Q es la misma. III. Si cortamos las cuerdas, solo la esfe­ ra hueca podría quedarse en reposo.

En el agua, un cubo hom ogéneo se mantiene en reposo. Si la cara inferior del cubo soporta una fuerza por par­ te del agua de 120 kN, determine la medida de la longitud de la arista del cubo. (g=10 m/s2)

A) V W D) VFF

B) F W

C) FVF E) FFF

Fenómenos térm icos 9. A ) 0,6 m D) 1,4 m

B) 0,8 m

0 ,0 5 6 ^ ]

C) 2 m E) 1,6 m

Un pingüino de masa M se encuentra parado sobre un bloque de hielo flo­ tante de tal manera que sus patas es­ tán apenas al nivel del agua. ¿Cuál es el volumen de hielo que permite esto? Considere que la densidad del hielo es la décima parte que la densidad del agua (p „2o)-

Se tiene 100 g de plata

g°cj

a 20 °C logramos incrementar su ener­ gía interna (í/) suministrándole simul­ táneamente 144 calorías y 100 J me­ diante medios mecánicos. Determine la temperatura final de la plata. (1 J=0,24 cal) A ) 10 °C D) 40 °C

B) 20 °C

C ) 30 °C E) 50 °C

Física

10.

En un calorímetro, cuyo equivalente

13.

Un cilindro de capacidad calorífica

en agua es de 52 g, se tiene 300 g de

20 cal/°C contiene 106 g de agua a 50 °C.

agua a la temperatura de 28 °C. Si se

¿Qué masa de hielo a -30 °C se debe

introduce una barra de aluminio

agregar al sistema, para que el 60% de

, =0,22—

su masa se derrita?

)

g°cj A ) 420 g

de 160 g a 50 °C, ¿cuál es la temperatura de equilibrio térmico? A ) 20 °C

B) 30 °C

D) 50 °C

C) 40 °C

B) 350 g

D) 180g 14.

C) 290 g E) 100g

En un recipiente de capacidad calorí­ fica igual a 20 cal/°C se tiene M, gra­

E) 60 °C

mos de agua a 40 °C. Si al recipiente se agregan M 2 gramos de vapor de agua a

Un calorímetro de equivalente en agua

100 °C, determine M 2. Considere que la

igual a 45 g contiene 60 g de agua a

composición final de la mezcla es de

30 °C. Si se introduce un cuerpo de 250 g

20 g de vapor y 120 g de agua líquida.

a 75 °C, la temperatura final de equi­

(Desprecie el calor perdido al medio

librio es de 40 °C. Determine el calor es­

ambiente).

pecífico del cuerpo. (Desprecie las pérdi­ das de energía al medio ambiente).

A ) 34 g

B) 106g

D) 60 g

E) 100 g

A ) 0,09 — g °C 15.

C ) 46,5 g

En un recipiente de capacidad calorí­

B) 0,12 — g °C

fica despreciable, hay 100 g de hielo a

cal

-10 °C. Si introducimos 25 g de vapor

g °C

de agua a 100 °C, ¿cuál es la tempera­

C) 0,16

tura de equilibrio térmico? D) 0,18 — g°C A ) 50 °C E) 0,10 — g°C

B) 100 °C

D) 60 °C

Una bala de

cal C „= 0 ,0 5 -^ -- impacta g ° c

contra una madera con una rapidez de 100 m/s, incrustándose en esta. Si

16.

C) 80 °C E) 30 °C

Un recipiente de capacidad calorífica de 20 cal/°C contiene 1000 g de hielo a -40 °C, al recipiente se hace ingresar 500 g de agua a 0 °C, 20 g de vapor de

el 70% de la energía cinética inicial es

agua a 100 °C y una esfera metálica

absorbida por el medio, determine en

de 1 kg a 250 °C cuyo calor específico

cuánto cambia la temperatura de la

es 0,2 cal/g °C. ¿Cuánto hielo queda en

bala.

el equilibrio térmico ?

A ) 6,2 °C D) 7,6 °C

B) 6,8 °C

C ) 7,2 °C

A ) 360 g

E) 8,1 °C

D ) 525 g

B) 425 g

C ) 475 g E) 625 g

81

— M aterial Didáctico N.° 2 Hv

f-\ Academia C ésar Vallejo ^

A) 20 J

Termodinám ica 17.

Paraungasideal,ind¡queverdadero (V ) o falso (F) según corresponda. I. En un proceso isotérmico, la energía interna del gas no varía. II. En un proceso isócoro, al aumentar la temperatura de gas necesaria­ mente aumenta la presión. III Durante la expansión en un proceso adiabático, la temperatura disminuye. IV. En un proceso isobárico de expansión donde el gas absorbe calor, la tempe­ ratura necesariamente aumenta. A) VW F D) W W

18.

B) W F F

20. La gráfica corresponde al ciclo termodinámico realizado por un gas. Si en £>->c y e —>a la energía interna varí.i en 100 J y 50 J, respectivamente, en tonces, determine la cantidad de calor disipado durante el ciclo termodiníi mico.

C) VFVF E) FW F

A ) 200 J xtope f

;r..

21.

E) 350 J

Cierto gas ideal realiza los proceso» representados en la gráfica T vs. V que se muestra. Señale en qué proceso el

tooe

B) 20 cm

C) 300 J

vacío

gas

v _____________

A) 10 cm D) 40 cm

B) 150 J

D) 250 J

----

/'V, „ r

C) 30 cm E) 50 cm

gas entrega calor.

El proceso termodinámico que se mues­ tra es desarrollado por un gas ideal. Se sabe que en el proceso mencionado, la energía interna varía en 30 J. Determine la cantidad de calor disipado por el gas.

B ) 2 —>3 C) 3 —> 1 D ) 1 —> 2 y 2 —> 3 E) 3 —> 1 y 2 —> 3 82

C) 40 J E) 60 J

Luego de retirar los topes, el ém bolo de masa despreciable comprime com o máximo x al resorte. Si la energía inter­ na del gas ideal en el proceso varía en 50 J, determine x. Considere que ini­ cialmente el resorte está sin deformar­ se. (K =2500 N/m).

19.

B) 30 J

D) 50 J

Reforzamiento UNI

Física hi

El gas encerrado en el cilindro adiabáti­ co se expande lentamente variando su volumen en 100 litros, esto ocurre du­ rante un ciclo termodinámico que rea­ liza una máquina térmica la cual está cediendo energía, tal com o muestra el sistema. Si la máquina térmica, de eficiencia 30% absorbe en cada ciclo 50 kJ, determine la variación en la ener­ gía interna del gas, en un ciclo.

B) V W

A ) VFV D) FFF

Electrodinámica 25. Determine el valor de la resistencia eléctrica de un alambre de longitud L y masa M. El alambre tiene una resistivi­ dad eléctrica p y densidad D. A) D)

pJ

L DM

B)

p DL2

p DM

B)- 5 kJ

C) +5 kJ E) -35 kJ

Una máquina térmica, funciona según el ciclo de Carnot, y presenta una efi­ ciencia de 0,4. Si la mínima tempera­ tura es 300 K, determine la mayor tem­ peratura (en °C). A) 127 D) 315

B) 212

C) 227 E) 367

La gráfica muestra el ciclo de Carnot donde el foco caliente está a 207 °C y el frío está a - 153°C. Señale verdadero (V) o falso (F) según corresponda. (Q: cantidad de calor)

^ e n tre g a d o

^ Q d isip a d o

Qdabc = 4Qc(J

III. La eficiencia es 0,75.

M

C) E) —

MD

atmósfera

A) +15 kJ D) -15 kJ

C) FVF E) FFV

26. Un alambre de cobre (pCu= l,7 xl0 “8£2-m) y otro de hierro (pFe=10“7£ ím ), de la misma longitud, se someten a la misma diferencia de potencial. Si la intensidad de corriente que pasa por ellos es la misma, determine la relación entre los radios de su sección transversal. A ) 1,2 D) 4,2 27.

B) 2,4

C) 3,6 E) 5,1

La temperatura de una resistencia varía con el tiempo según la gráfica mostrada. Si luego de 40 s de funcionamiento la resistencia ha incrementado su valor en 20%, determine su coeficiente térmico de resistividad.

A ) 10“ ioC B) 2-10“ °C“ C ) 3 1 0 “ °C“ D) 4 - 10~ °C‘ E) 5-10“ °C' 83

_ M aterial Didáctico N.° 2

r-\ Academia C ésar Vallejo

28.

Se muestra parte de un circuito com ­ plejo, en el cual el voltímetro y el am­ perímetro tienen resistencias internas de 9 kíí, y 15 m il respectivamente. Si el voltímetro y el amperímetro indican 117 V y 0,13 A, ¿cuál es el valor de R1

31.

¿Qué potencia consume el resistor de 2 Q entre c y d i

A ) 10W

a

B) 20 W C) 30 W

A) B) C) D) E)

0,5 kfí 1 kQ 1,5 n 2 kíi 2,5 k£2

E) 50 W

32.

29.

En el circuito que se muestra, determi­ ne la lectura del voltímetro ideal.

B) 80 V

Un horno eléctrico de 1800 W funciona en forma continua durante dos horas. ¿Cuánto es la energía que consume en kilowatt-hora? B) 3

A ) 2,4 D) 4,2 33.

A ) 60 V D) 160 V

16 V

D) 40 W 8 v

Una plancha eléctrica industrial tiene la especificación: 1210 W - 220 V ¿Qué potencia eléctrica consume esta plan­ cha cuando el voltaje disminuye hasta 200 V? A ) 400 W D) 1000W

C) 110 V E) 200 V

C) 3,6 E) 5,4

B) 600 W

C) 800 W E) 1100W

Ele.ctromagnetismo 30.

En el circuito que se muestra, el am pe­ rímetro ideal indica 2 A. Determine la diferencia de potencial entre a y b.

34.

Se muestran dos cables rectilíneos de gran longitud, cuyas intensidades de co­ rriente son 1], I2. Determine el módulo de la inducción magnética en el punto P. (7 ,= 3 A y /2= 4 A ) ,-P

30 cm /

16 V

/ ,(x Á 53-

A) 3V D ) 10 V 84

B) 6 V

C) 9 V E) 12 V

A ) 12 nT D )6 V 5 n T

50 cm

B ) 6 V Í3 n T

-® / 2

C ) 2y¡2 |iT E) 12VT3 |iT

Física i-»

^forzam ien to UNI

Se consideran dos conductores de gran longitud, tal com o muestra el gráfico adjunto. Si por ellos se hace circular una corriente eléctrica de intensidad /, determine el módulo de la inducción magnética en O.

37.

Una partícula de masa m = 6 0 x l0 _15kg y carga t? = 2 x l0 '6 C ingresa a una re­ gión donde existe un campo magnéti­ co, tal com o se indica. Si la rapidez de la partícula es 3x 105 m/s, halle su coor­ denada X en el instante en que sale del campo magnético. (Desprecie efectos gravitatorios).

A ) 10 cm D) M

E) 0

B) 5 cm

2nR

C) 5^2 cm Una barra de madera de 9 gramos tiene incrustado un clavo de 1 gramo y está electrizado con q = - \ mC. Si es soltada sobre un plano inclinado liso, determine su rapidez en el instan­ te que abandona el plano inclinado. (B=10 T; g=10 m/s2)

D) 5\Í3 cm E) 10%/3 cm 38.

La barra conductora se mantiene en reposo com o se muestra, y a través de la barra de 1 kg fluye corriente eléctrica de 3 A. Determine a qué distancia de P se ubica su centro de gravedad. (g=10 m/s2) X

X

X

X

X

X

8

rI—

—

X —^-*-x p p— - ^ r v

¡ X 1 1 1--------

X

’

X J l \ X

A ) 1 m/s D) 8 m/s

B) 3 m/s

C ) 6 m/s

A ) 25 cm

E) 9 m/s

D ) 30 cm

X

x¡

X

®

B=

1m

—

B) 50 cm

\

C ) 75 cm E) 40 cm

85

¡~\ Academia César V a lle jo ,

39.

_ M aterial Didáctico N.° 2 k .

En el gráfico se muestra un cam p o m agn ético h o m o gén eo . Si la espira ingresa al cam p o en el instante í 0= 0 y sale en í, = í, ¿cuál es la gráfica que m ejor representa la variación del flujo m a gn é tic o ( í|>) a través d e la espira, en función del tiem po? A ) 0,2 A x

x

x

( x) B

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

B) 0,4 A

C ) 0,6 A

D) 0,8 A 41.

E) 1 A

La barra conductora y lisa se m ueve con rapidez constante en un plano h o­ rizontal. Si el am perím etro no registra corriente eléctrica, determ ine la fe m (t ) d e la fuente mostrada.

AH

riel conductor

B)4>

ñ=l T ©

— X

X

5m/sX

X

iion

—

C)4>

A) 1V

B) 2 V

D) 4 V

X

— --X

X

X

40 cm X

x

X

ll-

C) 3 V E) 5 V

OEM y Física m o d e rn a

D)4>

42.

E)

En cierto instante y en cierto lugar del espacio, una OEM tiene su intensidad d e cam p o eléctrico y su inducción m agnética dada por

t,

t

£ = £ 0( - / + y ) - y B = B0{ - l - j + k )T m ¿Cuál d e los siguientes vectores es

40.

Si el m ódulo d e la inducción m agnéti­ ca d ecrece a razón d e 0,02 T/s, ¿cuál es

paralelo a la ve locid ad d e propagación de la OEM en dich o instante?

la intensidad d e corriente en la espira?

86

Considere que su resistencia eléctrica

A) - i+ j

es d e 4tix10“3Q.

D ) U j + 2k

B) —(/ + j )

C) - i+ k E) i - k

Ffeica k

Reforzamiento UNI

C.------------------------/

43 .

Se sabe qu e el vector Poyting está

46.

Un haz ultravioleta (A.=3500 Á ) incide

d efinido por S = |i¿'Í£ x b ); entonces,

sobre una placa de potasio. Si la energía

¿cuál es la fórm ula dim ensional de

m áxim a de los fotoelectrones em itidos

i4=7?S~'?

es 1,6 eV, determ ine la función trabajo

(7? : resistencia eléctrica)

para el potasio. (/?=6,63x 10-34 J.s)

A ) L 2Q - '

A ) 1,72 eV

B) L M 2Q

B) 1,86 eV

D) 2,02 eV

C ) 1,95 eV E) 2,22 eV

C ) ¿ 2 Q“ 2T 2 D) L~2M 2Q

47.

E) L M 2Q - 2 T

44 .

Si la función trabajo d e un metal es 1,8 eV, ¿cuál es el potencial d e frenado cuando la luz tenga una longitud de onda

La intensidad del cam po eléctrico de

d e 400 nm e incida en dicho metal?

una OEM plana está dada por

£' = 15xl0”3sen jcí-^-+— l í — \-j)

U00 15Jim J

A ) 1,6 V

B) 1,7 V

D) 1,8 V

C ) 1,3 V E) 1,9 V

donde: t en nanosegundos y x en m e ­ tros.

48.

D eterm ine la ecu ación d e la inducción

El umbral d e longitud d e onda para el w o lfram io es de 2100 A . ¿Qué longitud

m agnética.

d e onda d e b e usarse para expulsar los electrones con una energía cinética

A ) B = 0,lsen27tí-^—+ — ] n T Í ; 1100 15)

m áxim a igual a la mitad de su función trabajo?

B)5=sen(4+á)nTU)

A ) 1200 A C ) S = 0 ,ls e n n ( T¿

+i)n T ¿

D) B = sen27tí-^—+ — 1 n T Í-fc) ; U 0 0 30

J

B) 1300 A

D) 1500 A

49.

C ) 1400 A E) 1600 A

Sobre el cátodo (d e sodio) de un tubo de rayos catódicos se hace incidir una ra­

E) B = 0 ,2 s e n 7 i| ^ + - ^ :jn T (fc )

diación d e longitud de onda A.=2500 A. D eterm ine la energía cinética m áxim a

45.

Una OEM se propaga en un m ed io d ie ­ léctrico (e r=2,28). Si la fuente qu e la

d e los electrones desprendidos y el vol­ taje d e frenado. (i|>Na=2 , 3 eV ).

em ite es d e 4 ,5 x 1 0 " Hz, ¿cuántas lon­ gitudes d e onda (ap roxim ad am en te)

A ) 2,46 eV; 343,3 V B) 2,67 eV; 2,67 V

p od em o s contar en 22 m?

C ) 2,24 eV; 334,3 V A ) 105 D )1 0 4

B) 5 x 105

OSxlO4

D) 22,6 eV; 356,2 V

E) 5 x 106

E) 21,2 eV; 326,2 V

87

Química _______

Estequiometría 1.

4.

Con relación a la ley de la conservación de la materia, indique la verdad (V ) o falsedad (F) de las siguientes proposi­ ciones.

Fe(s)+HCl(ac) ->

I. La masa inicial de los reactantes es igual a la masa final de los productos.

A ) 83,8 B) 84,6 C)91,2

moles de los productos. III. El número total de átomos de los

D) 93,3 E) 85,6

reactantes es igual al número total de átomos de los productos.

2.

B) VFV

C) VFF E) FVF

5.

PA(um a): Ca=40; C=12; 0=16

PA (urna): 0 = 1 6 ; H=1

3.

Si°2(s} + C(s) - »

SiC(s) + CO(g)

¿Cuántos gramos se obtendrán de car­ borundum y del reactivo en exceso que no reacciona al final del proceso? PA (urna): C=12; Si=28; 0 =1 6 A ) 4 y 3,3 D) 2 y 2,7 88

B) 3 y 1,1

A ) 89,6 L B) 44,8 L Q 22,4 L

C) H2; 11 g E) H2; 8 g

El carborundum (SiC) se fabrica calen­ tando 3 g de dióxido de silicio (Si02) y 4,5 g de carbono (C ) a altas temperatu­ ras según la reacción

C )0,5y2,2 E) 2 y 3,3

Ca0(s) + C 0 2(g)

calcule el volumen de C 02 en condicio­ nes normales que se obtiene por la des­ composición 0,5 kg de CaC03 al 80% de pureza.

¿Cuál y qué cantidad de los componen­ tes está en exceso?

B) 0 2; 8 g

Según la siguiente reacción CaC03(s)

En un recipiente cerrado se combinan 24 g de hidrógeno gaseoso con 16 g de oxígeno gaseoso para formar agua.

A ) 0 2; 4 g D) H2; 22 g

H2(g)+FeCl3(ac)

PA (urna): Fe=56; Cl=35,5; H = 1

II. El número total de moles de los reactantes es igual al número total de

A )V W D) F W

Una muestra de 600 g de acero produce 30 g de hidrógeno gaseoso al reaccio­ nar con un exceso de ácido clorhídrico. Determine el porcentaje de pureza del acero si la reacción que ocurre es

D) 11,2 L E) 5,6 L 6.

Se tiene una mezcla de gases formada por CH4y C2H4. Al combustionar 40 L de dicha mezcla se utilizan 90 L de oxíge­ no. Determine el volumen de C 02 pro­ ducido si todo el proceso se da a pre­ sión y temperatura constante. A) B) C) D) E)

15 L 20 L 25 L 50 L 80 L

UNI __Reforzamiento ___________ ^

_

El C8H40 3 se produce por la oxidación

4.

controlada del naftaleno de acuerdo a la siguiente reacción C]0H8+O2 —^ C8H40 3 + C 0 2+ H 20

70%, determine la cantidad de C8H40 3 que se produce por la oxidación de 50 kg de naftaleno. PA(um a): C = 12; 0=16; H=1 A ) 20 kg

B) 30,6 kg

D) 50,5 kg

C) 40,5 kg

Calcule los mililitros de hidróxido de so­ dio (NaOH) 6 M y 2 M , respectivamente, que deben mezclarse para obtener 0,5 L de una solución de NaOH 3 M. A) B) C) D) E)

Si la reacción tiene una eficiencia del

5.

E) 60,5 kg

Química i-^

25 y 475 75 y 425 100 y 400 125 y 375 230 y 270

Calcule la molaridad de una solución acuosa de Ca(OH)2 si se sabe que 50 mL reaccionan completamente con 12,5 mL de una solución acuosa de

Soluciones

H2S04 0,5 M.

Calcule los gramos de NaOH y los mili­ A) 0,95 D) 0,250

litros de agua que se requieren, respec­ tivamente, para preparar 240 g de una solución de NaOH al 25% en peso. PA(um a): N a= 2 3 ;0 = 1 6

6.

A ) 50 y 150 B) 75 y 125 C) 60 y 180

—> CaS04+ H 20

PA (urna): Ca=40; 0=16; S=32

E) 90 y 150

A ) 25 mL B) 300 mL D) 61,25 mL

Calcule la molaridad de una solución acuosa de etanol formada por 225 g de agua y 5 g de etanol (C2H5OH). Datos: PA (urna): C = 12; 0=16; H = 1

B) 0,32

D) 0,08

7.

C) 500 mL E) 80,75 mL

Se hace reaccionar 100 mL de H2S04 3,6 N con 150 mL de Ca(OH)2 2 N según H2S04(ac)+Ca(0 H)2(ac) —> CaS04(s) + H20(,)

D etanol = °>78 g/m L

A ) 0,47

C) 0,50 E) 0,125

Calcule el volumen de una solución de H2S04, al 35% en peso con densidad igual a 1,25 g/mL, que se necesita para neutralizar 125 g de CaO. H2S04+ C a 0

D) 115 y 135

B) 0,752

C)0,16 E) 0,04

Se desea preparar 0,5 L de una solución

Indique verdadero (V ) o falso (F) según corresponda. I. En la reacción se forma 20,4 g de pre­ cipitado.

6,8 M de HC1 a partir de otra solución

II. El reactivo limitante es el Ca(OH)2.

de HC1 8 M. ¿Qué volumen de agua en

III. Queda un exceso de 2,94 g de H2S04.

litros se debe utilizar?

PA (urna); Ca=40; S=32; 0 =1 6

A ) 0,025 D ) 0,095

B) 0,050

C ) 0,075

A) FW

E) 0,115

D) W F

B) VFF

C ) VFV E) V W

89

Academia César Vallejo

_ M aterial Didáctico N.° S

Equilibrio quím ico

A ) 0,35 M B) 0,69 M

Sobre el equilibrio químico, indique las

C) 0,83 M

proposiciones correctas.

D) 2,80 M

I. Las reacciones directa e inversa ocu­

E) 4,40 M

rren a igual velocidad. II. A nivel macroscópico y submicros-

Para el siguiente sistema a

25

°C

cópico es estático y dinámico, res­ N 20 4(g)

pectivamente. III. En los equilibrios homogéneos sola­ mente participan sustancias gaseosas.

^

2 N 0 2(g); K p= 0 ,1 1 3

calcule la presión inicial, en atm, del N20 4 si en el equilibrio se encuen­ tra que la presión parcial del N 0 2 es

A) I y III

0,52

atm.

B) I y II C) II y III

A) 0,95

D) solo I

B) 1,20

C) 0,11

D) 2,65

E) 0,42

E) solo II En un recipiente de 2 L se coloca una Con respecto a la constante de equili­ brio, indique verdadero (V ) o falso (F) según corresponda las siguientes pro­ posiciones. I. Solamente tiene significado en los sistemas gaseosos. II. El cambio de temperatura no afecta

mezcla de volúmenes iguales de N 0 2 y 0 2 a 27 °C y 1 atm. La mezcla se calien­ ta a 327 °C produciéndose la siguiente reacción 2NO.2 (8 )

2NO(g)+ °2 (g)

Si en el equilibrio se encuentran 0,003 mol de NO, ¿cuál será la presión total,

su valor. III. Su expresión matemática no es afec­

en atm, de la mezcla?

tada por las sustancias sólidas. B) 2

A) I

C) 4

D) 5

A ) FFF

E) 9

B) FFV C) F W

De acuerdo a las siguientes reacciones

D) FVF

en equilibrio:

E) V W

'•

S (s) + ° 2 (g )

^

s 0 2(g>; K \

2S03(g); K.

II. 2S(s)+ 3 0 2(g) Calcule la concentración de C 0 2 en el

III. 2S02(g)+ 0 2(g)

equilibrio que se obtiene al hacer reac­

indique la alternativa que tiene la ex­

2S03(g)j K3

cionar 28 g de CO con 18 g de H20 en

presión correcta de K3.

un recipiente de 1 L a 130 °C según la k

reacción CO(g)+ H 20(v)

C 02(g)+H 2(g);K c-5 ,l

PA (uma): C=12; 0 = 1 6 90

2

C)

A) ^

2 D) K ^ K 2

E)

2AT,

K2

Reforzamiento UNI ______ ______ /■

_

Química

A ) II y III

Para el siguiente equilibrio

B) I, II y III 2 S 0 2(g) + 0 2(g)

2 S 0 3(g)

C) I y II

calcule Kc considere que la composi­

D) solo 1

ción molar en la mezcla es S03=70%;

E) solo II

S02=20%; 0 2= 10% y la presión total es 3.

20 atm a 27 °C.

Si se electroliza el nitrato crómico acuoso según el siguiente gráfico.

A ) 320,5 eí f —

B) 60,8 C) 250,7

4

B

D) 75,5 E) 150,7 C r ( N 0 3) 3

Electrólisis y

Indique verdadero (V ) o falso (F) según corresponda a las siguientes proposi­

Determine la verdad (V ) o falsedad (F)

ciones.

según corresponda.

I. En una celda electrolítica, la canti­

I. En el ánodo ocurre la formación del

dad de electrones consumidos en el

oxígeno gaseoso.

cátodo es diferente a la cantidad de

II. En el cátodo se deposita cromo.

electrones liberados en el ánodo.

III. Los electrodos A y B son el cátodo y

II. Al cambiar la concentración del elec­

el ánodo, repectivamente.

trolito pueden variar también los productos de la electrólisis.

A) F W

III. En la electrólisis se da un proceso re-

B) W F

dox no espontáneo. A ) FFF

B) FVF

D) VFF

C) FVF D) VFV

C) F W

E) V W

E) V W

El yoduro de potasio (KI) es una sal que se funde a 723 °C. Si a estas condicio­

4.

¿Cuántos gramos de agua se descom ­ ponen electrolíticamente mediante la

nes se somete a un proceso de electró­

aplicación de 241 250 coulombs, según

lisis, indique lo correcto.

el proceso siguiente?

I. En el ánodo se liberan moléculas

2H2O(0

2H2(g)+ 0 2(g)

del halógeno. II. En el cátodo se deposita el elemento

PA (urna): 0=16; H = 1

metálico. III. El potasio (K ) se reduce ganando un electrón.

A ) 22,5 D) 5,6

B) 11,2

C )2 ,8 E) 45

91

f-\ Academia C ésar Vallejo ^

5.

_ M aterial Didáctico N.° 2

H idrocarburos

¿Cuántos gramos de plata se depositan durante la electrólisis de una solución acuosa de AgNOj con una corriente de

1.

Respecto a los hidrocarburos, indique

0,25 ampere, durante 24 horas?

verdadero (V ) o falso (F) según corres­

PA (Ag) = 108 urna

ponda. I. Solo se usan com o combustible. II. Son compuestos binarios formados

A) 48,4

por carbono e hidrógeno.

B ) 12,1

III. Se obtienen del petróleo y gas natu­

C) 24,2

ral principalmente.

D) 72,3 A) W F

E) 8,0

B) VFF

C) FFF

D) FFV 6.

La electrólisis de un cloruro metáli­

2.

co fundido produjo 2,6 g del metal y

E) F W

¿Cuántos carbonos primarios, secunda­ rios, terciarios y cuaternarios, respectiva

0,820 L de Cl2 a 27 °C y 1 atm. ¿Cuál

mente, hay en la siguiente estructura?

será el metal? PA (urna): Li=7; Na=23; K=39; Mg=24;

CH3

Ca=40

ch - ch3ch3 c h 3- c h 2- c

A) Na

B) Mg

D) Li

-

ch3

c h 2- c h - c h - c h - c h :)

CH3—CH—CHj CHj—C -C H 3

C) Ca

ch3

E) K A ) 11 2 4 y 2

7.

Por una celda electrolítica que contiene

B) 11 2 5 y 2

oro trivalente, circula cierta cantidad

C) 10 3 4 y 3

de corriente eléctrica, la que deposita

D) 10 2 5 y 2 E) 11; 2; 5 y 3

1,32 g de oro. En otra celda conecta­ da en serie con la primera se deposita 2,16 g de cierto metal monovalente.

3.

¿Cuál es la nomenclatura del siguiente compuesto?

Calcule la masa molar del metal m ono­ valente. PA (Au) = 197 urna

CH3

c h 2—c h 3

CH2—C - C H 2-C H —CH2—CH2-C H 3 c h 3- c h 2 c h 3—c h —c h 3

A) 53,7 B) 107,5 C) 163,6 D) 216,3 E) 324,7 92

A ) 5-Isopropil-3,3-dietiloctano B) 4 - Isopropil - 6,6 - dietiloctano C) 3,3 - Dietil - 5 - isopropiloctano D) 2 - Metil - 3 - propil - 5,5 - dietilheptano E) 3,3 - Dietil - 5 - propil - 6 - metilheptano

Reforzamiento UNI

_ Química

_________________y

C) 7- Cloro - 3 - isopropil - 2,2,6,6 - tetrame-

Dadas las siguientes sustancias

tiloctino

•I. 2,2-Dimetilbutano

D) 7-Cloro-3-isopropil-2,2,6,6-tctra-

II. 2-Metilpentano

metiloct-4-ino

III. 2,3-Dimetilpentano

E) 7- Cloro - 3 - terbutil - 2,6,6 - trimetiloct -

Indique cuáles forman isómeros de ca­

4 -¡no

dena y tienen la fórmula C6H14? A) solo I

B) solo II

C) solo III

D) I y II

7.

Indique el nombre IUPAC del siguiente compuesto.

E) II y III

CH2-C H 3 ¿Cuál es el nombre según IUPAC del si­

CH3- C = CH—C H -C = C -C U 3

guiente compuesto orgánico? c 2h 5

C2H5

ch3

A ) 2 - Etil - 4 - metil - 2 - hepten - 5 - ino

c h i, - c , - c h - c, h - c h i, I = c h - c, - c h ¿ ch3

ch- ch3

B) 4-Etil-6-m etiloct-5-en-2-ino

c 2h 5

C) 5 - Etil - 3 - metiloct - 3 - en - 5 - ino

ch3

D) 2,4-Dietilhept-2-en-5-ino E) 2,4-Dietilhept-6-en-2-ino A) 4-Isopropil -4,7- dietil -2,6-dimetilocteno

Funciones oxigenadas

B) 4,7 - Dietil - 4- isopropil - 2,6 -dimetiloct2-eno C) 4- Etil - 4 - isopropil - 2,6,7 - trimetilnon -

1.

¿Cuál es el nombre IUPAC del siguiente alcohol?

2-eno D) 4 - Etil -4 - isopropil -2,6,7-trimetilnoneno

CH3CH2C(CH3)0HCHC1CCH

E) 2 - Metil - 4,7 - dietil - 4 - isopropil -2octeno

A ) 3-Hidroxi-3-metil-4-cloro-5- hexino B) 3-Cloro-4-hidroxi-4-metilhexino

Indique el nombre IUPAC del siguiente

C )4-M etil-3 - cloro - 5 - hexinol

hidrocarburo.

D) 4-Cloro-3-m etil-5-hexin-3-ol E) 3-M etil-4-cloro-5-hexin-3-ol

CH, CH, I 3 I 3 C H .- C H - C H - C s C - C -C H -C H , J

I

CH3- C - C H 3

l

l

CH3 C1

2.

Halle la atomicidad del compuesto 3 - Metil - 2 - propoxipentano

CH3 A ) 29 A) 2-Cloro-6-isopropiI-3,3,7,7-tetrametiloct-4-ino B) 2 - Cloro - 6 - terbutil - 3,3,7 - trimetil 4-octino

B) 30 C) 31 D) 28 E) 32 93

M aterial Didáctico N.° 2 ^

r\ Academia César Vallejo

3.

C)

¿Cuántos alcoholes y éteres, respecti­

2,2

- Dimetil - 4 - propil - 6 - octen -

3 -ona

vamente, puede tener la fórmula global D)

C4H10O?

2,2 - Dietil - 4 - isopropil- 6 - octen- 3 - ona

E) 4 - isopropil - 2,2 - Dimetil - 6 - octen A) 2 y 2

3 - ona

B) 2 y 3 C) 3 y 1

6.

Respecto a los ácidos carboxílicos, in­

D) 3 y 4

dique verdadero (V ) o falso (F) según

E) 4 y 3

corresponda I. Su grupo funcional es el carbonil»

4.

Indique el nombre correcto del siguien­

-COOH.

te compuesto químico ch3

II. Se obtienen de la oxidación de alco­ holes primarios.

o

III. La nomenclatura IUPAC del

CHj—(CH2) 2—CH—CH—C = C —C—H CH(CH3) 2

CH2—CH3 c h ,j

A ) 4-Isopropil-5-met¡l-2-octinal B) 5-Metil-4-secbutil-2-hexinal

-

I=ch-

,-

ch¿ 2- c o o h

c

c

CH3

ch3

C) 5-Metil-3-etil-4-octinal es Á cido-3- etil-3,5-dimetilhexanoico.

D) 4 - Isopropil -1 - octanal E) 4 - Isopropil - 5 - metil - 2 - octin -1 - al

A ) VFF 5.

B) FFV

D) FVF

Nom bre correctam ente el siguiente

C) F W E) FFF

compuesto. 7. CH:jO

puesto faltante en la siguiente reacción

CH3- C —C -C H —CH2—CH=CH—CH3 ch3

Indique el nombre IUPAC del com ­

CH3COOH+C8H17OH ^

c h - ch3 ch3

A ) metanoato de octilo B) metanoato de heptilo

A ) 2,2 - Metil - 4 - isopropil - 6 - octen3- ona B) 2 - Metil -4 - propil - 6 - opten - 3 - ona

94

C) acetato de heptilo D) acetato de octilo E) etanoato de nonilo

...........+ h 2o

_ Química

Reforzamiento UNI ^

PRACTICA D O M IC ILIA R IA 25% de impurezas, calcule la masa de Fe que se puede extraer.

Estequiom etría 1.

Fe20 3+C —> F e+ C 0 2 PA (urna): F=56 ; 0 =1 6

Calcule el porcentaje de impurezas con­ tenidas en 2,9 g de carburo de calcio (CaC2), que al reaccionar con agua en exceso se obtienen 850 mL de acetile­ no (C 2H2) en condiciones normales. CaC2(s) + H2 °((1)- » Ca( ° H^2(ac) + C2H2(9)

A ) 45 kg D) 100 kg 5.

PA (urna): Ca=40; C=12 A ) 13,7% D) 15,5%

B) 19,1%

C) 16,2% E) 17,2%

->

A ) 7% D) 5%

C 0 2(g)+ H 20 m

f 20% 0 2 % molar del aire i [ 80% N2

-»

N H 3(g)

Calcule el porcentaje, en volumen, de H2 en la mezcla final en la mismas con­ diciones.

A 2 5 °C y 1 atm se queman 200 L de gas metano (CH4). Calcule el volumen de aire consumido en las mismas condi­ ciones de presión y temperatura. C H 4(g)+ 0 2(g)

C )5 0 k g E) 105 kg

Se tratan 4 L de N2 y 14 L de H2 en las mismas condiciones de presión y tem­ peratura para formar NH3 según la si­ guiente reacción. N 2(g) + H 2(g)

2.

B) 115 kg

6.

B ) 10%

C ) 15% E) 20%

La producción industrial del metanol (CH3OH) se basa en el siguiente proce­ so químico

A) 3 m3 D) 2,5 m3 3.

B) 2 m3

C) 1000 L E) 2500 L

A ) 38,2% D) 46,8%

C 0 2(g)

Determine cuál es el reactivo limitante y el porcentaje de la sustancia en exce­ so, respectivamente, al final de la reac­ ción. A) CO y 15% B) COy 12% C ) 0 2yl0% D) CO y 33,3% E) 0 2y25% La hematita es el nombre del mineral de donde se extrae el óxido férrico (Fe20 3), el cual es empleado para extraer hie­ rro (Fe) por reducción. Si se tiene una muestra de hematita de 200 kg con

C H 3 ° H (g )

Si se hace reaccionar 672 L de CO en condiciones normales, se logra obte­ ner 436,8 g de CH3OH. Determine la eficiencia de la reacción.

Se hace reaccionar 56 g de monóxido de carbono (CO) con 76 g de oxígeno ( 0 2) según la siguiente reacción. C 0 (g) + ° 2 ( g )

4.

C 0 (g) + H 2(g)

7.

B) 30,7%

C) 43,2% E) 45,5%

Dos toneladas de carbonato de calcio (CaC03) se descomponen según la si­ guiente reacción. CaC03(s¡ —> C a0(s)+ C 0 2(g) Si el rendimiento de la reacción es de un 80%, ¿qué peso de CaO se puede obtener com o máximo? PA (urna): Ca=40; C=12; 0 = 1 6 A ) 810 kg D) 890 kg

B) 650 kg

C ) 780 kg E) 896 kg 95

_ M aterial Didáctico N.° 2 i

/-t Academia César Vallcjo

8.

Un mineral que contiene 32,8% de piri­

C) 0,72 M; 1,41 N

ta (FeS2) es reducido a trozos pequeños

D) 0,80 A/; 1,60 N

y quemado en presencia de aire para

E) 0,62 Ai; 1,24 Ai

formar hematita (Fe20 3). ¿Cuántas m o­ les de oxígeno gaseoso se requieren

12.

para tratar 5,97 kg de mineral de pirita?

¿Qué volumen de soda cáustica al 4% en peso y densidad 1,25 g/mL se diluyo para preparar 5 L de una solución de

F e S 2(s) + 0 2(g)

NaOH 1 Ai?

F e 2 ° 3 ( s ) + S 0 2(g)

PA (uma): Fe=56; S = 32 A) 44,87

B) 32,35

D) 42,11

A) 1 L C) 34,13 E) 43,12

B) 3 L

D) 5 L 13.

C) 4 L E) 6 L

Calcule el volumen de una solución do H2S04 4 M si cuando se mezcla con 5 1.

9.

Determine la masa de ácido nítrico

de otra solución 6 M del mismo soluto

(H N 0 3) que se podría obtener aprove­

se obtiene una solución de concentra­

chando el nitrógeno contenido en 15 g

ción 5 M.

de la sal nitrato de sodio (N a N 0 3), el cual posee 80% de pureza. ¿Cuál es la

A) 3 L

reacción química que corresponde al

D) 8 L

B) 5 L

C) 6 L E) 9 L

proceso? NaN03+H 2S04 ->

NaHS04+ H N 0 3

14.

Se adiciona 5 L de HC1 12 M a 6 L do HC1 6 M. ¿Cuántos litros de agua será necesario añadir a la mezcla para obtener,

PA (uma): Na=23; 0 = 1 6

finalmente, una solución de HC18 Ai? A) 5 g

B) 7,5 g

D) 8,32 g

C) 9 g A) 1 L

E) 8,89 g

B) 2 L

D) 4 L

C) 3 L E) 5 L

Soluciones 15. 10.

para preparar 5 L de una solución 0,1 Ai?

Determine la molaridad de la disolu­

PA (uma): Na=23; 0 =1 6

ción de H2S04.

A ) 10

B) 13

D) 22 11.

C)20

A ) 0,03

E) 28

D) 1,15

Calcule la molaridad y normalidad de una solución de K2S04 al 10% en peso, cuya densidad es 1,08 g/mL Masa molar (g/mol): K2S04= 174 A) 0,62 M; 0,86 N B) 0,31 M; 0,62 N

96

Para neutralizar 42 mL de H2S04 resulta necesario añadir 14 mL de NaOH 0,3 N.

¿Cuántos gramos de NaOH harán falta

16.

B) 0,05

C) 0,08 E) 1,23

Se encontró que 25 mL de una solución de ácido sulfúrico reacciona completa­ mente con 1,96 g de Na2C 0 3puro. ¿Cuál fue la normalidad de la solución? PA (uma): S=32; 0=16; Na=23; C = 12 A ) 0,14 D) 1,48

B) 1,25

C ) 1,74 E) 2,78

^

17.

_ Química K

Reforzamiento UNI ^

Calcule el valor de la constante de equi­

El vinagre está constituido por agua y ácido acético CH3COOH. Al neutralizar

librio para la reacción

completamente 5 mL de vinagre se

C (s) + C 0 2(g) ^

2 C 0 (g)

usan 30 mL de NaOH 0,1 M. Determine la molaridad del ácido acético en el

A ) 0,6

vinagre.

D) 0,7

A ) 0,30 M

B) 0,60 M

D) 0,90 M 18.

C) 0,70 M

21.

E) 1,20 M

B) 0,4

C) 0,9 E) 0,8

Se introduce en un reactor de 5 L de capacidad 4 moles de N20 4(g), el cual se consume en un 25% hasta alcanzar el equilibrio. Calcule Kc.

Un m étodo de obtención de alcohol N 20 4(g)

etílico CH3CH2OH es a partir de la fer­ mentación de glucosa C6H120 6, lo cual

A ) 0,053 D) 0,047

se realiza según la reacción C6H120 6 ->

^

N 2(g)+ 2 0 2(g)

B) 0,072

C) 0,035 E) 0,037

CH3CH20 H + C 0 2

¿Cuántos gramos de glucosa serán ne­

22.

cesarios para preparar 500 mL de una solución de alcohol etílico 1,2 molar?

En un recipiente de un litro a 150°C se encierran 1,36 moles de H2(g) y 0,78 moles de CO(g), estableciéndose el si­ guiente equilibrio.

A ) 54

B) 10

D) 108

C) 104

C O (g) + 2 H 2(g)

E) 110

Si la concentración del H2 es 0,12 M en dicho estado, determine el valor de K0.

*=%

C H 30 H (g)

Equilibrio quím ico 19.

A ) 0,031 D) 269,09

Respecto al equilibrio químico, indique verdadero (V ) o falso (F ) según corres­ 23.

ponda. I. Se da en reacciones químicas irre­

A ) 4,5 D) 6,3

cen constantes. 24.

D) FVF

C) W F E) FFV

2CO(g)

si la fracción molar del C 0 2 es 0,25 y la presión total es 2 atm.

III. Las propiedades físicas de sus com ­ ponentes en el equilibrio permane­

B) F W

B) 5,2

C) 4,8 E) 3,7

En un reactor de 20 litros se coloca 6 m o­ les de COCI2 y se calienta hasta 127 °C, desarrollándose el siguiente equilibrio. COCl2(g)+calor

20.

C) 325,58 E) 0,0037

Determine el valor de Kp para la si­ guiente reacción en equilibrio C(s)+C 02(g)

versibles. II. La constante de equilibrio depende de la presión y temperatura del sistema.

A) VFV

B) 58,92

C O ^ + C l^ j

A 700 °C se obtuvieron las constantes de

Si la presión total en el equilibrio es

equilibrio para las siguientes reacciones.

16,4 atm, calcule Kc.

c (s)+2H2°(s) ^

C 02(s)+ 2 H 2(g); /Cj = 1,25

H2(g)+ C 0 2(g)

H20 (g)+ C 0 (g); K2= 0,75

A ) 3/8 D) 8/3

B) 3/4

C ) 3/11 E) 2/5 97

/-» Academia Cés a r Vallejo^,__________________

25.

_______ ______________ M aterial Didáctico N ° 2 ^

A ) solo I D) I y III

S e a e l sig u ie n te s is te m a e n e q u ilib r io A B (s)

^

A (g) + B (g)

Si en un nuevo equilibrio la concentra­ ción de A se duplica, ocasionará que la concentración de B sea

28.

B) 1/8 de su valor original. C) 1/2 de su valor original. D) el doble de su valor original.

Con respecto a la electrólisis del agua acidulada, indique verdadero (V ) o fal­ so (F) según corresponda.

fúrico (H2S 0 4).

E) 1/3 de su valor original.

A) V W

B) FFF

D) V W

Según el gráfico corresponde para la si­ guiente reacción en equilibrio a 327 °C. 29.

2C0(S) + 0 2CS) ^

C) solo III E) II y III

I. En el cátodo se libera H2(g). II. En el ánodo se libera O2(g). III. En el cátodo se reduce el ácido sul­

A ) 1/4 de su valor original.

26.

B) solo II

C) VFV E) FFV

Indique la proposición incorrecta.

2C°2(g) A ) La electrólisis es un proceso no espon­ táneo que emplea corriente continua. B) La masa de las sustancias depositadas o liberadas en los electrodos es pro­ porcional a la intensidad de corriente. C) En la electrólisis de la salmuera se libera oxígeno en el ánodo. D) El cátodo se carga negativamente. E) El sentido de la corriente es de ánodo a cátodo.

Calcule la concentración del CO y 0 2 en el equilibrio, respectivamente.

30.

La solución de nitrato de plata (A gN 0 3) se electroliza haciendo pasar una co­ rriente de 4 ampere durante 96,5 minu­ tos. Calcule la masa depositada de plata

A ) 2 Ai y 3 A/ B) 4 Ai y 5 M C) 8 Ai y 5 A/

en el cátodo. PA (A g) = 108 urna

D) 8 A/ y 4 Ai E) 2 A iy 4 A Í

A ) 20,22 g D) 25,92 g

Electrólisis 27.

Respecto a los procesos electrolíticos, in­ dique las proposiciones verdaderas. I. La pérdida de electrones ocurre en el cátodo. II. Por lo general, los iones metálicos se reducen en el ánodo.

31.

B) 17,92 g

C) 13,51 g E) 12,13 g

La electrólisis del NiS04 disuelto en agua se lleva a cabo con una corriente de 2 A para producir 174 g de níquel só­ lido en el cátodo. Determine el tiempo, en horas, que requiere el proceso. PA (N i)=58 urna

III. Los electrones fluyen por el alambre

98

conductor externo solo si hay cam ­

A ) 70,32

bios químicos en los electrodos.

D) 37,48

B) 80,42

C ) 65,22 E) 21,22

^

Reforzamiento UNI

32.

_Química

H idrocarburos

En el proceso de plateado de una cu­ chara, con una corriente de 4,825 A durante media hora, se logró depositar 8,33 g de Ag. Si el electrolito utilizado es A gN 0 3 acuoso, ¿cuál fue la eficien­ cia del proceso? PA (Ag) = 108 urna A ) 92,3%

B) 69,9%

D) 85,7%

33.

C) 70,8% E) 86,8%

36. Respecto a las propiedades generales de los compuestos orgánicos, indique cuáles son verdaderas. !. En su estructura necesariamente deben contener a los elementos C, H, O y N. II. Sus cadenas carbonadas pueden ser saturadas o insaturadas. III. A 25 °C y 1 atm pueden ser sólidos, líquidos o gaseosos.

Al e le c tro liz a r u n a s o lu c ió n a c u o s a d e N aC l se h ac en p asar

A ) solo I D) II y III

18,066x1024 e le c ­

tro n e s a través d e la c e ld a . D e te rm in e e l v o lu m e n d e c lo ro g a s e o s o lib e r a d o

37.

e n c o n d ic io n e s n o rm a le s .

A ) 336 L

B) 320 L

D) 315 L

C )3 1 0 L

B) I y II

Indique el número de carbonos prima­ rios, secundarios, terciarios y cuaterna­ rios, respectivamente, en la siguiente estructura.

E) 341 L CH,

34.

C) solo II E) I, II y III

En la electrólisis del sulfato cúprico

CI13

CHj-C H —CH -C H 2—C—CH3

(CuS04) se produce 158,75 g de cobre

ch3

c 2h 5

sólido con una eficiencia del 80%. De­ termine la corriente que se emplea si A) B) C) D) E)

se sabe que el proceso tardó 96,5 se­ gundos. PA (C u )=63,5 urna A ) 5320 A

B) 6250 A

D) 7500 A

C) 5300 A

El Ni se deposita en el cátodo de una cuba electrolítica que contiene una so­ lución de NiS04y que está en serie con otra cuba en la cual se depositan 162 g de plata. Si en ambas celdas se utilizó una corriente de 3 A, ¿cuántos minutos duró el proceso? PA (urna): Ni=58; Ag=108 A ) 721,7 D ) 760,3

2; 1 1; 1 2; 1 1;2 2; 1

E) 6314 A 38.

35.

5; 2; 6; 3; 5; 3; 6; 2; 6; 2;

B) 810,2

Respecto a los hidrocarburos, indique verdadero (V) o falso (F) según corres­ ponda. I. Son compuestos orgánicos diató­ micos conformados por carbono e hidrógeno. II. Su fuente natural principal de obten­ ción es el petróleo. III. Según el tipo de enlace se clasifican en iónicos y covalentes.

C ) 530,2

A ) VFV

E) 804,2

D) FVF

B) F W

C) W V E) FFF 99

f-\ Academia César V a lle jo ^.

_ M aterial Didáctico N.° 2 i-y

39. Indique el nombre IUPAC del siguiente compuesto. CH(CH3) 2

43.

C2H5

ch3

CH3—CH—CH—C = C —CH,—CH—C=C11

CH3-C H -C H -C H 2-C H -C H -C H 3 cn 3

CH3

c h 2- c h ( c h 3) - c h 3

B) 3 - Isobutil - 5 - isopropil - 2,6 - dimetil heptano C) 3,5 - Diisopropil - 2,6 - dimetiloctano D) 5 - Isobutil - 3 - isopropil - 2,6 - dimetilheptano E) 3,5 - Diisopropil - 2,7 - dimetiloctano

44.

Determine la masa, en urna, de dos moléculas del compuesto 2,5-Dimeti3-etilheptano. A ) 156 D) 312

B) 168

ch3

A ) 3,7,8-Trimetil-I,5-decadiino B) 5 - Etil - 6 - metil - 2 - isopropil 2 - undecadiino C) 7- Etil - 2 - etinil -6 - metil - 4 - octino D) 3,4,8-Trimetil-5,9-decadiino E) 2 - Etil - 7- etinil-3-metil-4 - octino

A ) 4,6 - Diisopropil - 2,7 - dimetiloctano

40.

Nombre, según las reglas IUPAC, la si­ guiente estructura.

Respecto a la siguiente estructura, indi­ que las proposiciones incorrectas. CH3 CH2= C H -C H -C H 2-C H -C S C H CH,

C) 192 E) 296

I. Es un hidrocarburo acetilénico. 41.

¿Qué alcano lineal produce 11,2 L de C 0 2 en condiciones normales por la combustión de 0,1 moles de dicho hi­ drocarburo? PA (urna): C=12; H=1

II. Su fórmula global es C9H18. III. Según IUPAC su nombre es 3,5- dimetilhept -1 - en - 6 - ino. A ) solo I

A) B) C) D) E) 42.

propano n-butano n-pentano n-hexano etano

B) I y II C) solo II D) I y III E) I, II y III Funciones oxigenadas

Indique el nombre, según IUPAC, del siguiente compuesto. 45. c>

S

h. ch3

CH,-CH-CH-CH2-CH-CH,-CH=CH-CH.í I I . CH-CH., CHj I J J ch3 A) B) C) D)

7- Isopropil - 5,8 - trimetildec- 2 - eno 4 - Isopropil - 2,3,6 - trimetildec - 8 - eno 2,3 - Diisopropil - 5 - metilnon - 7 - eno 7,8 - Diisopropil - 5 - metil - non - 2 - eno

E) 7-Isopropil-5,8-dimetildeceno 100

Respecto a las funciones oxigenadas, indique verdadero (V ) o falso (F) según corresponda a las siguientes proposi­ ciones. I. Son compuestos covalentes binarios. II. Algunos están presentes en las frutas. III. Poseen el átomo de oxígeno en el grupo funcional. A ) FVF D) V W

B ) FFV

C) F W E) W F

^

_ Química

Reforzamiento UNI ^

A ) 6,7-Dimetil-5-nonano

4G. Indique el nombre oficial del siguiente alcohol.

B) 2-Etil-3-m etil-6-octen-4-ona C) 7-Etil-6-m etil-2-octen-5-ona

CH3 I 6 C H ,-C H -C H =C H I 1 I OH CH3

D) 7 - Etil - 6 - metil - 5 - octano E) 5,6-Dimetil-2-octen-4-ona 50. Indique el nombre correcto del siguien­ te compuesto.

A) 2,4-Dimetil-3-buten-1-ol B) 2-Metilpentenol C) 2 - Metil - 3 - penten -1 - ol

C1

D) 5 - Hidroxi - 2 - penteno

CH3

C H ,-C H -C H = C -C -O H

E) 1- Hidroxi - 2 - metilpenteno

J

II

O 47.

Indique el nombre 1UPAC del siguiente compuesto. C1

A) 4-Cloro-2-metilpropanoico B) 2-Cloro-4-metilpropenoico

OC3H7

C) Ácido 4 - cloro - 2 - metil - 2 - pentanoico D) Ácido 4-cloro-2-metil-2-pentenoico E) Ácido 4-cloro-2-metilpentenoico

c h 3- c h - c h - c h 2- c h - c h - c h 3

C H -C H 3

¡Q J

A ) 6- Cloro-6- etil - 3- metil - 4- propoxioctano B) 7- Cloro - 2,5 - dietii - 3 -propoxiheptano

51.

¿Cuál es el nombre IUPAC del siguiente compuesto orgánico?

C) 2,5 - Dietil - 6 - cloro - 2 - propoxiheptano D) 2- Cloro - 3,6- dietel -5 -propoxiheptano

C H ,-C H -C = C -C H -C H 2—COOH

E) 2-Cloro-3-etiI-6-metil-5-propoxioctano

OH

I

I

JL

CH3

^

48. Señale el nombre sistemático del si­ guiente compuesto. CH3

A ) Á cido5-ben cil-1-hidroxi-2-metilO

c h 3- c h - c h - c h - c h 2- c - h

^

CH3-C H -C H 3

3-heptinoico B) Ácido 3 - fenil - 7 - hidroxi - 6 - metil 4 -heptinoico C) Ácido 7- hidroxi - 6metil - 3 - fenilhepta-

A) B) C) D) E)

4-Isopropil-3-metil-2-fenilhexan-1-al 5 - Fenil - 4 - metil - 3 - isopropilpentanol 4- Metil - 3 - isopropil - 5 - fenil - hexanal 3-Isopropil-4-metiI-5-fenil-1- hexanal 5 - Fenil - 3 - isopropil - 4 - metilhexanal

49. Indique el nombre correcto del siguien­ te compuesto.

noico D) Ácido 3 - fenil - 7 - hidroxi - 6 - metil 4-heptenoico E) Ácido 3 - bencil - 7 - hidroxi - 6 - metil 4 - heptanoico 52. Determine la masa molar (g/mol) del propa-noato de bencilo. PA (uma): C = 12; H=1

CH3 O c h 3- c h - c h - c - c h 2= c h - c h 3 c h 2- c h 3

A ) 150 D ) 240

B) 164

C ) 180 E) 360 101

Claves

A r it m é t ic a

01 - B

0 6 -C

11 - A

16 - D

21 - B

2 6 -D

31 - D

36-E

41 - C

46 -E

02-E

07 - C

12 - C

17 - C

22-D

27-A

3 2-D

37-B

42-A

4 7 -C

03-C

08-D

13 - D

18 - A

23-B

28- E

33-C

38-B

43-C

48 -E

04-E

09-D

14- A

19-C

24-E

29 - D

34-E

39-B

44 - B

49 - A

05-C

10-C

15-A

20-A

25-B

30-E

35-B

40 -E

45-E

5 0-C

01 - A

06-D

11 - E

16 - A

21 - A

26-E

31 - B

36-B

41 - A

46-C

02-B

07-C

12 - E

17 - B

2 2 -D

27-C

32-A

37-D

4 2 -C

47-A

Á lgebra

03-A

08-C

13 - B

18 - A

23-A

28 - D

3 3 -C

38-A

43-B

4 8 -C

04-A

09 - E

14 - D

19 - A

2 4 -C

29-A

34-D

39- A

44-B

49-A

05-E

10-C

15 - A

20-C

25-A

30-D

35-B

40-D

45 - A

50-B

G e o m e t r ía

01 - D

07-B

13 - C

19 - B

25 - A

31 - A

36-A

42-C

48-D

02-D

08-A

14- B

20-B

26 - E

32-D

3 7 -C

43-A

49-C

03-A

09 - E

15 - B

21 - C

27-A

33-E

38-A

44-B

50-E

0 4-C

10 - E

16 - A

22-D

28-C

34 - E

39-B

45-C

51 - D

05-C

11 - C

17 - C

23-E

29-D

35-C

40-B

46-E

06-D

12 - A

18 - C

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