Edicion Para El Docente M10

Matemáticas 10

AUTORA

Anneris del Rocío Joya Vega

Edición para el docente PORTADILLA MAT10-7 (ED).indd 1

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para educación media, es una obra colectiva concebida, diseñada y creada por el Departamento Editorial de Santillana S. A., bajo la dirección de Fabiola Nancy Ramírez Sarmiento.

Matemáticas Lenguaje 9 10 Edición para el docente

EQUIPO EDITORIAL Diana Constanza Salgado Ramírez. Editora ejecutiva Carlos David Sánchez. Editor júnior Edgar Alexander Olarte Chaparro. Editor júnior Daniel Rojas Ruiz. Editor de contenidos digitales Juan Gabriel Aldana Álvarez. Asistente editorial Óscar Fernando Cruz Castañeda. Revisor de contenidos Isabel Hernández Ayala. Revisora de contenidos

AUTORA EDICIÓN DOCENTE Anneris del Rocío Joya Vega Especialista en matemáticas Aplicada. Universidad Sergio Arboleda. Magíster en Docencia de la Matemática. Universidad Pedagógica Nacional.

AUTORES LIBRO DEL ESTUDIANTE Lida Buitrago García Licenciada en Matemáticas. Universidad Pedagógica Nacional. Ingeniera Eléctrica, Universidad Nacional de Colombia. Juan de Jesús Romero Roa Licenciado en Matemáticas. Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Especialista en Estadística. Universidad Nacional de Colombia. Magíster en Economía. Universidad Nacional de Colombia. Ludwig Gustavo Ortiz Wilches Licenciado en Matemáticas. Universidad Pedagógica Nacional. Especialista en docencia e investigación. Universidad Sergio Arboleda. Jeinsson Giovanni Gamboa Sulvara Licenciado en Física. Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Andrea Perdomo Pedraza Magíster en edición. Universidad de Salamanca. Licenciada en Matemáticas. Universidad Distrital Francisco José de Caldas.

José Omar Castaño León Licenciado en Física. Universidad Pedagógica Nacional. Dorys Jeannette Morales Jaime Doctora en Ingeniería Informática. Universidad Pontificia de Salamanca. Magíster en Tecnologías de la Información Aplicada a la Educación. Universidad Pedagógica Nacional. Especialista en Pedagogía y Docencia Universitaria. Universidad La Gran Colombia. Especialista en Enseñanza de la Matemática. Universidad de Cundinamarca. Licenciada en Ciencias de la Educación Matemáticas y Física. Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia. Juan Carlos Jiménez Ruiz Licenciado en Matemáticas. Universidad Pedagógica Nacional. El especialista encargado de avalar este texto desde el punto de vista de la disciplina específica y desde su pedagogía fue José Edilberto Robles Castro. Magíster en Ciencias Matemáticas. Universidad Nacional de Colombia. La especialista encargada de avalar este texto desde la equidad de género y de su adecuación a la diversidad cultural fue María Ivonne Wilches Mahecha. Psicóloga. Universidad Nacional de Colombia. Magíster en estudios de género. Universidad Nacional de Colombia.

Se han hecho todos los esfuerzos para ubicar a los propietarios de los derechos de autor. Sin embargo, si es necesario hacer alguna rectificación, la Editorial está dispuesta a hacer los arreglos necesarios.

EQUIPO GRÁFICO Y TÉCNICO Iván Merchán Rodríguez. Coordinador de arte creativo y diseñador del modelo gráfico Pep Carrió. Creador gráfico de las carátulas Mauricio García Duque. Coordinador de contenidos digitales Martha Jeanet Pulido Delgado, Orlando Bermúdez. Correctores de estilo Alveiro Javier Bueno Aguirre. Analista de soporte técnico Luis Nelson Colmenares Barragán. Documentalista y operador de escáner Lady Midlennis Sánchez Yopazá, Omar Julián Zárate Mesa. Asistentes de documentación Sandra Patricia Acosta Tovar, Juan Carlos López Gómez, Fredy Alexander Castañeda Duitama. Diseñadores Sandra Ballén Ramos, Teresa Alcira Vanegas Chaves. Digitadoras Diomedes Guilombo Ramírez, Edwin Hernando Cruz Delgado, Danilo Ramírez Parra, Juan Wiesner. Ilustradores Red Global de Mujeres Constructoras de la Paz, Caracol Televisión, Repositorio Santillana, Archivo Santillana, Getty images, Corel professional Photos, Images provided by Photodisc, Inc., Corbis Images, Archivo Santillana. Fotografía Francisco Rey González. Jefe de producción Debido a la naturaleza dinámica de la Internet, las direcciones y los contenidos de los sitios web, a los que se hace referencia en este libro, pueden sufrir modificaciones o desaparecer. El uso de Internet debe ser supervisado por los padres de familia, tutores y docentes.

© 2013 EDITORIAL SANTILLANA S. A. Carrera 11A No. 98-50 Bogotá, Colombia ISBN 978-958-24-2267-7 Obra completa ISBN 978-958-24-2286-8 Edición para el alumno ISBN 978-958-24-2287-5 Edición para el docente

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Este libro está elaborado de acuerdo con las normas ICONTEC NTC-4724 y NTC-4725 para textos escolares. Depósito legal en trámite. Impreso en Colombia por Prohibida la reproducción total o parcial, el registro o la transmisión por cualquier medio de recuperación de información, sin permiso previo por escrito de la Editorial.

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Competencias generales para el grado décimo Interpretativa 1. Identificar las funciones y sus características en diferentes contextos. 2. Interpretar el comportamiento de una función dada en cada una de las diferentes representaciones. 3. Construir triángulos rectángulos para modelar algunas situaciones problema. 4. Reconocer las secciones cónicas en forma gráfica y algebraica. Argumentativa 5. Justificar el planteamiento y solución de situaciones que involucran funciones trigonométricas. 6. Explicar situaciones concretas usando representaciones tabulares, gráficas y algebraicas. 7. Justificar el uso de una u otra estrategia en la solución de un problema ubicado en el contexto de las funciones. Propositiva 8. Plantear y resolver problemas que involucren funciones trigonométricas. 9. Proponer situaciones modelo para el planteamiento y solución de un problema en cualquier tipo de pensamiento matemático.

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Estándares básicos de competencias en Matemáticas Décimo a undécimo Al terminar undécimo grado… Pensamiento numérico y sistemas numéricos • Analizo representaciones decimales de los números reales para diferenciar entre racionales e irracionales. • Reconozco la densidad e incompletitud de los números racionales a través de métodos numéricos, geométricos y algebraicos. • Comparo y contrasto las propiedades de los números (naturales, enteros, racionales y reales) y las de sus relaciones y operaciones para construir, manejar y utilizar apropiadamente los distintos sistemas numéricos. • Utilizo argumentos de la teoría de números para justificar relaciones que involucran números naturales. • Establezco relaciones y diferencias entre diferentes notaciones de números reales para decidir sobre su uso en una situación dada.

Pensamiento espacial y sistemas geométricos • Identifico en forma visual, gráfica y algebraica algunas propiedades de las curvas que se observan en los bordes obtenidos por cortes longitudinales, diagonales y transversales en un cilindro y en un cono. • Identifico características de localización de objetos geométricos en sistemas de representación cartesiana y otros (polares, cilíndricos y esféricos), y en particular de las curvas y figuras cónicas. • Resuelvo problemas en los que se usen las propiedades geométricas de figuras cónicas por medio de transformaciones de las representaciones algebraicas de esas figuras. • Uso argumentos geométricos para resolver y formular problemas en contextos matemáticos y en otras ciencias. • Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones trigonométricas. • Reconozco y describo curvas y o lugares geométricos.

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Pensamiento métrico y sistemas de medidas • Diseño estrategias para abordar situaciones de medición que requieran grados de precisión específicos. • Resuelvo y formulo problemas que involucren magnitudes cuyos valores medios se suelen definir indirectamente como razones entre valores de otras magnitudes, como la velocidad media, la aceleración media y la densidad media. • Justifico resultados obtenidos mediante procesos de aproximación sucesiva, rangos de variación y límites en situaciones de medición.

Pensamiento aleatorio y sistemas de datos • Interpreto y comparo resultados de estudios con información estadística provenientes de medios de comunicación. • Justifico o refuto inferencias basadas en razonamientos estadísticos a partir de resultados de estudios publicados en los medios o diseñados en el ámbito escolar. • Diseño experimentos aleatorios (de las ciencias físicas, naturales o sociales) para estudiar un problema o pregunta. • Describo tendencias que se observan en conjuntos de variables relacionadas. • Interpreto nociones básicas relacionadas con el manejo de información como población, muestra, variable aleatoria, distribución de frecuencias, parámetros y estadígrafos. • Uso comprensivamente algunas medidas de centralización, localización, dispersión y correlación (percentiles, cuartiles, centralidad, distancia, rango, varianza, covarianza y normalidad). • Interpreto conceptos de probabilidad condicional e independencia de eventos. • Resuelvo y planteo problemas usando conceptos básicos de conteo y probabilidad (combinaciones, permutaciones, espacio muestral, muestreo aleatorio, muestreo con remplazo). • Propongo inferencias a partir del estudio de muestras probabilísticas.

Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos • Utilizo las técnicas de aproximación en procesos infinitos numéricos. • Interpreto la noción de derivada como razón de cambio y como valor de la pendiente de la tangente a una curva y desarrollo métodos para hallar las derivadas de algunas funciones básicas en contextos matemáticos y no matemáticos. • Analizo las relaciones y propiedades entre las expresiones algebraicas y las gráficas de funciones polinómicas y racionales, y de sus derivadas. • Modelo situaciones de variación periódica con funciones trigonométricas e interpreto y utilizo sus derivadas.

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Escala de valoración Desempeño superior

Pensamiento espacial

Pensamiento numérico

Estándar

Desempeño alto

• Resuelve y formula problemas usando propiedades y relacio- • Resuelve problemas usando propiedades y relaciones de las funciones. nes de las funciones. • Justifica la elección de las estrategias para la solución de pro- • Justifica la elección de algunas estrategias para la solución de blemas, usando lenguaje matemático y las lleva a cabo en problemas, usando lenguaje matemático y las lleva a cabo en forma ordenada. forma ordenada.

• Identifica características de localización de objetos geométri- • Identifica algunas características de localización de objetos cos en sistemas de representación cartesiana de las curvas y geométricos en sistemas de representación cartesiana de las curvas y figuras cónicas. figuras cónicas. • Resuelve y formula problemas en los que se usan las propie- • Resuelve problemas en los que se usan las propiedades geométricas de figuras cónicas. dades geométricas de figuras cónicas. • Propone argumentos geométricos para resolver y formular • Propone argumentos geométricos para resolver problemas en contextos matemáticos y en otras ciencias. problemas en contextos matemáticos y en otras ciencias. • Describe y modela fenómenos periódicos del mundo real • Describe algunos fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones trigonométricas. usando relaciones y funciones trigonométricas.

• Propone estrategias para abordar situaciones de medición • Propone algunas estrategias para abordar situaciones de medición que requieran grados de precisión específicos. que requieran grados de precisión específicos.

• Modela situaciones de variación con diferentes clases de fun- • Modela algunas situaciones de variación con diferentes clases de funciones. ciones.

Pensamiento aleatorio

Pensamiento métrico

• Reconoce y describe algunas curvas y o lugares geométricos.

Pensamiento variacional

• Reconoce y describe curvas y o lugares geométricos.

• Resuelve y formula problemas que involucran magnitudes • Resuelve problemas que involucran magnitudes cuyos vacuyos valores medios se suelen definir indirectamente como lores medios se suelen definir indirectamente como razones razones entre valores de otras magnitudes, como la velocidad entre valores de otras magnitudes, como la velocidad media. media.

• Modela situaciones de variación periódica con funciones tri- • Modela algunas situaciones de variación periódica con funciones trigonométricas. gonométricas.

• Determina y analiza los valores atípicos de una distribución • Determina los valores atípicos de una distribución de frecuencias. de frecuencias. • Calcula y aplica adecuadamente medidas de centralización, • Calcula las medidas de centralización, localización, dispersión y correlación. localización, dispersión y correlación. • Interpreta y aplica los conceptos de probabilidad condicional • Interpreta los conceptos de probabilidad condicional e independencia de eventos. e independencia de eventos. • Resuelve y plantea problemas usando conceptos básicos de • Resuelve problemas usando conceptos básicos de conteo y probabilidad. conteo y probabilidad.

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Desempeño básico

Desempeño bajo

• Resuelve algunos problemas usando propiedades y relaciones • Se le dificulta resolver problemas usando propiedades y relaciones de las funciones. de las funciones. • Elige algunas estrategias para la solución de problemas, usando • Se le dificulta reconocer las estrategias para la solución de problemas, usando lenguaje matemático. lenguaje matemático.

• Conoce las características de localización de objetos geomé- • Se le dificulta reconocer las características de localización de tricos en sistemas de representación cartesiana de las curvas y objetos geométricos en sistemas de representación cartesiana de las curvas y figuras cónicas pero no las identifica. figuras cónicas, pero no las identifica. • Resuelve algunos problemas en los que se usan las propiedades • Se le dificulta resolver problemas en los que se usan las propiedades geométricas de figuras cónicas. geométricas de figuras cónicas. • Conoce algunos argumentos geométricos para resolver proble- • No reconoce argumentos geométricos para resolver problemas en contextos matemáticos y en otras ciencias. mas en contextos matemáticos y en otras ciencias. • Conoce algunos fenómenos periódicos del mundo real usando • Se le dificulta reconocer fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones trigonométricas. relaciones y funciones trigonométricas. • Identifica algunas curvas y o lugares geométricos.

• Se le dificulta identificar curvas o lugares geométricos.

• Propone algunas estrategias para abordar situaciones de medi- • Se le dificulta platear estrategias para abordar situaciones de medición que requieran grados de precisión específicos. ción que requieran grados de precisión específicos. • Resuelve algunos problemas que involucran magnitudes cuyos • Presenta dificultades para resolver problemas que involucran valores medios se suelen definir indirectamente como razones magnitudes cuyos valores medios se suelen definir indirectamente como razones entre valores de otras magnitudes, entre valores de otras magnitudes, como la velocidad media. como la velocidad media.

• Identifica algunas situaciones de variación con diferentes clases • Se le dificulta identificar situaciones de variación con diferentes clases de funciones. de funciones. • Identifica algunas situaciones de variación periódica con fun- • Presenta dificultades para reconocer situaciones de variación periódica con funciones trigonométricas. ciones trigonométricas.

• Identifica los valores atípicos de una distribución de frecuencias. • Se le dificulta identificar los valores atípicos de una distribución de frecuencias. • Conoce las medidas de centralización, localización, dispersión y • Se le dificulta reconocer las medidas de centralización, localicorrelación. zación, dispersión y correlación. • Comprende los conceptos de probabilidad condicional e inde• Tiene dificultades para comprender los conceptos de probapendencia de eventos. bilidad condicional e independencia de eventos. • Resuelve algunos problemas usando conceptos básicos de • Presenta dificultades para resolver problemas usando concepconteo y probabilidad. tos básicos de conteo y probabilidad.

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Plan de trabajo por bimestres Bimestre

Primero

Segundo

Pensamientos variacional, espacial y métrico Unidad 2. Funciones trigonométricas 1. Ángulos 2. Triángulos 3. Funciones trigonométricas Unidad 3. Gráficas de las funciones trigonométricas 1. Líneas trigonométricas 2. Gráficas de las funciones trigonométricas 3. Análisis de gráficas 4. Funciones trigonométricas inversas Unidad 4. Aplicaciones de las funciones trigonométricas 1. Solución de triángulos rectángulos 2. Solución de triángulos oblicuángulos 3. Vectores

Tercero

Cuarto

Unidad 6. Geometría analítica 1. La línea recta 2. Cónicas 3. La circunferencia

Unidad 6. Geometría analítica 4. La parábola 5. La elipse 6. La hipérbola 7. Ecuación general de segundo grado

Tiempo estimado en semanas 1

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Pensamientos numérico y variacional Unidad 1. Funciones 1. Funciones 2. Funciones de variable real

Tiempo estimado en semanas

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Pensamiento aleatorio Unidad 7. Estadística y probabilidad 1. Medidas de localización relativa Unidad 7. Estadística y probabilidad 2. Resumen de los cinco datos 3. Medidas de asociación entre variables

Unidad 5. Trigonometría analítica 1. Identidades trigonométricas 2. Ecuaciones trigonométricas

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Unidad 7. Estadística y probabilidad 4. Caracterización de datos y probabilidad

Unidad 7. Estadística y probabilidad 5. Conteo, conjuntos y probabilidad 6. Probabilidad condicional

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Matriz de desempeño Funciones Plan de trabajo • Funciones • Funciones de variable real

ESTáNDARES: Pensamientos numérico y variacional

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Saber ser

Saber y saber hacer

Logros

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Indicadores de desempeño

• Determina con precisión si una relación es una función.

• • • •

Identifica las características de una función. Reconoce una función representada en forma sagital. Reconoce cuándo una gráfica representa una función. Identifica la función que relaciona un conjunto de salida con un conjunto de llegada.

• Identifica claramente los elementos de una función.

• • • •

Determina el dominio de una función y lo expresa correctamente. Identifica el rango de una función. Determina el recorrido de una función. Simboliza correctamente los elementos de una función.

• Comprende las características y las propiedades de las funciones de variable real.

• Determina gráficamente si una función es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. • Determina analíticamente si una función es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. • Restringe el dominio de una función para que sea inyectiva.

• Representa adecuadamente funciones en forma tabular, gráfica y algebraica.

• Establece relación entre las diferentes representaciones de una función. • Determina gráficamente los intervalos en los cuales la función es creciente, decreciente y constante. • Grafica funciones pares, impares y periódicas. • Determina la inversa de una función en forma analítica y en forma gráfica.

• Identifica gráfica y analíticamente diferentes clases de funciones (lineales, cuadráticas, cúbicas, exponenciales y logarítmicas).

• Identifica las características generales de las diferentes clases de funciones y completa sus tablas de valores. • Diferencia las expresiones algebraicas y las gráficas de las funciones lineales, cuadráticas, cúbicas, exponenciales y logarítmicas. • Resuelve situaciones que presentan información que se comporta como una función.

• Manifiesta rigurosidad en el uso del lenguaje matemático.

• Comprende claramente las expresiones matemáticas y las traduce al lenguaje común. • Respeta las interpretaciones de las expresiones matemáticas que hacen sus compañeros.

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Matriz de desempeño Funciones trigonométricas Plan de trabajo • Ángulos • Triángulos • Funciones trigonométricas

Saber ser

Saber y saber hacer

Estándares: Pensamientos variacional, espacial y métrico Logros

Indicadores de desempeño

• Identifica y construye ángulos correctamente teniendo en cuenta su clasificación.

• Mide ángulos en el sistema sexagesimal. • Mide ángulos en el sistema cíclico. • Establece equivalencias entre los dos sistemas de medición de ángulos. • Emplea los conceptos de grado y radián para realizar conversiones de medidas de ángulos.

• Relaciona y aplica de manera adecuada, el concepto de ángulo a situaciones reales.

• Comprende los conceptos de longitud de arco, velocidad angular y velocidad lineal. • Calcula la longitud de arco. • Calcula la velocidad angular. • Calcula la velocidad lineal.

• Determina con precisión el valor de las funciones trigonométricas de un ángulo dado en posición normal.

• Halla el valor de todas las funciones trigonométricas de un ángulo, a partir del valor de una de ellas. • Determina el cuadrante en el cual se halla un ángulo, de acuerdo con las condiciones dadas. • Identifica el valor de las funciones trigonométricas para los ángulos notables. • Halla el valor de las funciones trigonométricas de un ángulo a partir de su equivalente en el primer cuadrante.

• Halla correctamente el valor de las funciones trigonométricas para un ángulo dado en un triángulo rectángulo.

• Construye el triángulo rectángulo que satisface una condición dada. • Resuelve problemas que requieren el uso de funciones trigonométricas para su solución. • Usa adecuadamente la calculadora para resolver problemas.

• Es perseverante en la búsqueda de soluciones.

• Trabaja constantemente en la solución de situaciones. • Busca nuevas soluciones y formas de realizar sus ejercicios. • Revisa si las soluciones de las situaciones planteadas son las correctas, en caso contrario, busca sus errores y los corrige.

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Matriz de desempeño Gráficas de las funciones trigonométricas Plan de trabajo • Líneas trigonométricas • Gráfica de las funciones trigonométricas • Análisis de gráficas • Funciones trigonométricas inversas

ESTáNDARES: Pensamientos variacional Y ESPACIAL

Saber ser

Saber y saber hacer

Logros

Indicadores de desempeño

• Define correctamente las funciones trigonométricas en la circunferencia unitaria.

• Encuentra el valor de una función circular para un número real. • Interpreta geométricamente las funciones circulares. • Traza las líneas trigonométricas de un ángulo dado.

• Explica las características y las propiedades básicas de las funciones trigonométricas a partir de su representación.

• Construye la tabla de valores de cada función trigonométrica. • Comprende las características de las gráficas de las funciones trigonométricas. • Grafica las funciones trigonométricas. • Identifica el dominio y el rango de cada una de las funciones trigonométricas. • Identifica el período de una función trigonométrica.

• Elabora adecuadamente la gráfica de cualquier función que incluya funciones trigonométricas.

• Determina la amplitud, el período y el desplazamiento de fase de funciones sinusoidales en un intervalo dado. • Representa gráficamente las funciones trigonométricas en un intervalo determinado, aplicando la variación del período, la amplitud y el desplazamiento de fase, sin recurrir a la tabla de valores. • Halla la amplitud, el período y el desplazamiento de fase de una función dada. • Analiza el comportamiento de una función trigonométrica a partir de su gráfica. • Establece relaciones entre las gráficas de las funciones trigonométricas.

• Reconoce claramente las funciones trigonométricas inversas.

• Restringe el dominio de las funciones trigonométricas para definir las funciones trigonométricas inversas. • Conoce la gráfica de las funciones arcoseno, arcocoseno, arcotangente, arcocotangente, arcosecante y arcocosecante. • Realiza la gráfica de las funciones trigonométricas inversas.

• Cumple adecuadamente las reglas establecidas para el trabajo en clase.

• Respeta el uso de la palabra durante las actividades. • Realiza las actividades propuestas de manera ordenada y con calidad.

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Matriz de desempeño Aplicaciones de las funciones trigonométricas Plan de trabajo • Solución de triángulos rectángulos • Solución de triángulos oblicuángulos • Vectores

Saber ser

Saber y saber hacer

Estándares: Pensamientos variacional, espacial y métrico Logros

Indicadores de desempeño

• Define correctamente las condiciones para resolver un triángulo cualquiera.

• Identifica las clases de triángulos y sus elementos. • Selecciona cuáles triángulos pueden ser resueltos según los datos presentados.

• Determina completamente los elementos de un triángulo rectángulo empleando las funciones trigonométricas.

• Construye el triángulo rectángulo que modela una situación dada. • Identifica los ángulos de elevación y de inclinación en una situación dada. • Plantea y resuelve problemas que involucran triángulos rectángulos.

• Utiliza y aplica las funciones trigonométricas para resolver triángulos oblicuángulos de manera adecuada.

• Reconoce si en la solución de un triángulo es posible usar el teorema del seno. • Reconoce si en la solución de un triángulo es posible usar el teorema del coseno. • Soluciona triángulos oblicuángulos. • Examina si la solución de un triángulo resulta ser ambigua y determina la respuesta correcta según el contexto dado. • Resuelve situaciones problemáticas que al ser representadas generan un triángulo oblicuángulo. • Construye el triángulo oblicuángulo que modela una situación dada.

• Usa correctamente los criterios aprendidos en la solución de problemas relacionados con física.

• Identifica magnitudes que pueden ser representadas mediante vectores. • Traza las componentes rectangulares de un vector. • Determina la magnitud y la dirección de un vector. • Establece relaciones entre elementos de un vector y las funciones trigonométricas para resolver problemas de aplicación.

• Trabaja de manera organizada y sistemática.

• Presenta sus ejercicios y problemas con letra clara. • Muestra en sus trabajos, los procedimientos correspondientes a la solución de problemas. • Realiza las operaciones de manera organizada.

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Matriz de desempeño Trigonometría analítica Plan de trabajo • Identidades trigonométricas • Ecuaciones trigonométricas

Saber ser

Saber y saber hacer

ESTÁNDARES: Pensamientos numérico y variacional Logros

Indicadores de desempeño

• Resuelve operaciones y factoriza correctamente expresiones con funciones trigonométricas.

• Suma, resta, multiplica y divide polinomios en los cuales los términos contienen funciones trigonométricas. • Identifica y aplica el factor común en un polinomio con funciones trigonométricas. • Identifica cómo se factoriza una diferencia de cuadrados perfectos en un polinomio con funciones trigonométricas. • Identifica cómo se factoriza una suma o una diferencia de cubos perfectos con funciones trigonométricas. • Factoriza un trinomio cuadrado perfecto con funciones trigonométricas. • Factoriza expresiones para simplificar fracciones con funciones trigonométricas.

• Demuestra identidades trigonométricas.

• Identifica las identidades trigonométricas fundamentales. • Expresa una función trigonométrica en términos de las otras funciones trigonométricas. • Escribe expresiones trigonométricas en función de senos y cosenos. • Verifica si una igualdad trigonométrica es una identidad. • Determina expresiones para la suma y diferencia de ángulos. • Identifica las fórmulas para ángulos dobles y ángulos medios. • Demuestra una identidad trigonométrica.

• Resuelve ecuaciones trigonométricas.

• Reconoce la diferencia entre una identidad trigonométrica y una ecuación trigonométrica. • Soluciona ecuaciones trigonométricas. • Determina el intervalo en el cual la solución de una ecuación trigonométrica es adecuada.

• Realiza activamente trabajos en grupo como medio de crecimiento personal.

• Propone estrategias para hacer más eficaz y eficiente el trabajo en grupo. • Promueve la colaboración entre sus compañeros.

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Matriz de desempeño Geometría analítica Plan de trabajo • La línea recta • Cónicas • La circunferencia • La parábola • La elipse • La hipérbola

Estándares: Pensamientos variacional, espacial y MÉtrico

Saber y saber hacer

Logros

Indicadores de desempeño

• Identifica correctamente la representación analítica de una línea recta.

• • • • •

Grafica rectas a partir de la pendiente y el intercepto. Analiza gráficamente el significado de la pendiente. Halla la pendiente de una función lineal. Halla la pendiente de una función afín. Plantea la ecuación de una recta si conoce la pendiente y el intercepto. • Reconoce la ecuación canónica y la ecuación general de una recta.

• Identifica con precisión la representación analítica de una circunferencia.

• Grafica una circunferencia dados el centro y el radio. • Halla la ecuación canónica de una circunferencia a partir de una gráfica. • Halla la ecuación general de una circunferencia. • Determina el centro y el radio de una circunferencia a partir de su ecuación general. • Halla la ecuación de una circunferencia dadas tres condiciones. • Usa los criterios aprendidos en la solución de problemas relacionados con la circunferencia.

• Identifica correctamente la representación analítica de una parábola.

• Dibuja una parábola a partir de las condiciones dadas. • Determina el foco, el eje de simetría, el lado recto y la directriz de una parábola. • Reconoce, a partir de la ecuación, la forma en la cual abre una parábola. • Determina la ecuación canónica de la parábola. • Determina la ecuación general de la parábola. • Grafica una parábola a partir de su ecuación general. • Halla la ecuación de una parábola dadas tres condiciones.

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Saber ser

Saber y saber hacer

Estándares: Pensamientos variacional, espacial y MÉtrico Logros

Indicadores de desempeño

• Identifica con claridad la representación analítica de una elipse.

• Dibuja una elipse a partir de las condiciones dadas. • Determina los elementos de una elipse. • Reconoce, a partir de la ecuación, la forma en la cual está ubicada una elipse en el plano. • Determina la ecuación canónica de la elipse. • Determina la ecuación general de la elipse. • Grafica una elipse a partir de su ecuación general. • Halla la ecuación de una elipse dadas tres condiciones.

• Identifica correctamente la representación analítica de una hipérbola.

• Dibuja una hipérbola a partir de las condiciones dadas. • Determina los elementos de una hipérbola. • Reconoce, a partir de la ecuación, la forma en la cual está ubicada una hipérbola en el plano. • Determina la ecuación canónica de la hipérbola. • Determina la ecuación general de la hipérbola. • Grafica una hipérbola a partir de su ecuación general. • Halla la ecuación de una hipérbola dadas tres condiciones.

• Presenta todas sus actividades de manera ordenada.

• Utiliza la regla para sus dibujos. • Desarrolla los procedimientos de los ejercicios de manera ordenada, mostrando paso a paso su solución.

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Matriz de desempeño Estadística y probabilidad Plan de trabajo • Medidas de localización relativa • Resumen de los cinco datos • Medidas de asociación entre dos variables • Caracterización de datos y probabilidad • Conteo, conjuntos y probabilidad • Probabilidad condicional

ESTÁNDAR: Pensamiento Aleatorio Logros

Indicadores de desempeño

Saber y saber hacer

• Conoce y aplica correctamente las medi- • Conoce el uso del valor estandarizado, calcula este valor y lo analiza das de localización relativa. en bases dadas de datos. • Utiliza el teorema de Chebyshev para conocer los límites de un intervalo en el cual se deben ubicar los datos de una distribución para analizar su dispersión. • Conoce la regla empírica y la aplica para saber los porcentajes de datos que deben estar dentro de determinadas desviaciones estándar en un conjunto de datos. • Calcula los valores extremos o atípicos en una distribución. Conoce las causas por las cuales se pueden hallar este tipo de datos. • Realiza el resumen de los cinco datos de • Calcula el valor mínimo de un conjunto de datos. manera precisa. • Calcula el primer y el tercer cuartil de un conjunto de datos. • Calcula la mediana de un conjunto de datos. • Halla el valor máximo en un conjunto de datos. • Analiza el comportamiento de un conjunto de datos mediante el resumen de los cinco datos. • Construye el diagrama de cajas y bigotes para hacer más claro el resumen de los cinco datos. • Caracteriza correctamente dos variables.

• Utiliza las medidas adecuadas para analizar una variable cualitativa y una cuantitativa. • Realiza el análisis de dos variables cuantitativas. • Elabora diagramas de dispersión. • Halla la covarianza de un grupo de datos. • Establece análisis a partir del coeficiente de correlación.

• Usa tablas y diagramas para calcular la • Emplea las tablas de frecuencia para calcular la probabilidad de ocuprobabilidad de un evento. rrencia de un evento. • Utiliza los datos presentados en la tabla de contingencia para calcular la probabilidad de ocurrencia de un evento.

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ESTÁNDAR: PENSAMIENTO ALEATORIO

Saber ser

Saber y saber hacer

Logros

Indicadores de desempeño

• Halla la probabilidad de eventos mediante el uso de las técnicas de conteo y la teoría de conjuntos.

• • • •

• Aplica la probabilidad condicional a la solución de situaciones que tiene eventos que dependen de la ocurrencia de uno inicial.

• Calcula la probabilidad de un evento, dado que ya ocurrió otro. • Analiza la información de tablas o diagramas para extraer datos y hallar la probabilidad condicional de un evento. • Conoce y aplica la fórmula de probabilidad condicional.

• Realiza activamente trabajos en grupo como medio de crecimiento personal.

• Propone estrategias para hacer más eficaz y eficiente el trabajo en grupo. • Promueve la colaboración entre sus compañeros.

Conoce el principio de multiplicación y lo aplica. Halla combinaciones y las aplica. Halla permutaciones y las aplica. Reconoce cuando un conjunto de datos tiene repetición, cuando tiene orden o cuando tiene los dos. • Utiliza los diagramas de Venn para observar gráficamente el número de datos de un conjunto. • Resuelve situaciones en los que se utilizan el conteo y la teoría de conjuntos para calcular la probabilidad.

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Organizador conceptual UNIDAD

1 Función

Regla o correspondencia que asigna a cada elemento de un conjunto A, uno y solo un elemento de un conjunto B. Se simboliza

Elementos

Propiedades

Con letras minúsculas f, g, h, el símbolo f(x) se lee “f de x”.

Grafo: conjunto de parejas ordenadas. Dominio: conjunto de elementos para los cuales la función está definida. Rango: conjunto formado por todas las imágenes de los elementos del dominio.

Inyectiva: si ningún elemento del conjunto de llegada es imagen de dos elementos diferentes del dominio. Sobreyectiva: si todos los elementos del conjunto de llegada son imagen de por lo menos un elemento del dominio. Biyectiva: si todos y cada uno de los elementos del conjunto de llegada es imagen, a lo sumo, de un elemento del conjunto de partida.

Funciones de variable real Son aquellas en las que su conjunto de partida y su conjunto de llegada son subconjuntos de R. Propiedades

Clasificación

Creciente: si al aumentar los valores de x, aumentan los valores de f(x).

Lineal: es de la forma y 5 mx 1 b donde m y b son constantes que pertenecen a los números reales. m ? 0

Decreciente: si al aumentar los valores de x, disminuyen los valores de f(x). Constante: cuando al aumentar los valores de x, los valores de f(x) no aumentan ni disminuyen. Par: una función f es par si f(2x) 5 f(x) para todo x en el dominio de f. Impar: una función f es impar si f(2x) 5 2f(x) para todo x en el dominio de f. Periódica: una función f es periódica si existe un número positivo p tal que f(x 1 p) 5 f(x), para todos los valores de x en el dominio de f. A p se le denomina el período de f.

Cuadrática: es de la forma y 5 ax2 1 bx 1 c, con a, b, c números reales y a  0. Cúbica: es de la forma y 5 ax3 1 bx2 1 cx 1 d, con a, b, c y d números reales y a 0. Exponencial: es de la forma y 5 ax, donde a es un número real positivo diferente de 1. Logarítmica: es de la forma y 5 loga x, donde a es un número real positivo diferente de 1.

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Organizador conceptual UNIDAD

2 Ángulo Rotación de una semirrecta sobre su eje.

Posición normal

Positivo

Negativo

Medida

Un ángulo está en posición normal cuando su vértice está sobre el origen y su lado inicial coincide con el semieje positivo de las x.

Se genera por la rotación en sentido contrario al de las manecillas del reloj.

Se genera por la rotación en el mismo sentido al de las manecillas del reloj.

Grados: cada una de las 360 partes de la rotación total. Radianes: unidades del sistema cíclico. Un radián es la media de un ángulo central cuyo arco mide un radio.

Funciones trigonométricas

Ángulos agudos de un triángulo rectángulo cateto adyacente cateto opuesto cot � � cateto opuesto hipotenusa cateto adyacente hipotenusa cos � � sec � � hipotenusa cateto adyacente cateto opuesto hipotenusa tan � � csc � � cateto opuesto cateto adyacente sen � �

Valores para los ángulos notables 30°, 45° y 60°.

Ángulos en posición normal y sen � � r cos � � xr y tan � � x si x  0

cot � � xy si y  0 sec � � xr si x  0 csc � � yr si y  0

Valores para los ángulos cuadrantales: 0°, 90°, 180°, 270°, 360° y sus múltiplos.

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Organizador conceptual UNIDAD

3

Las gráficas de las funciones trigonométricas

Las líneas trigonométricas Son segmentos cuya longitud coincide con el valor absoluto de las seis funciones trigonométricas de un ángulo dado.

Gráfica de la función seno

Gráfica de la función coseno

y

y

Gráfica y 5 A sen Bx 1 D

Amplitud

• Si 0 , A , 1 se comprime. • Si A . 1 se alarga verticalmente. • Si D . 0 se traslada D unidades hacia arriba. • Si D , 0 se traslada D unidades hacia abajo.

Período Desplazamiento

Las funciones trigonométricas inversas f21(f(x)) 5 x • • • • • •

y � sen x

0

�

2� x

1

y � cos x

0

�

2� x

�1

�1

Variaciones Ecuación

1

Gráfica de la función tangente y � tan x

y

Gráfica de la función cotangente y

y � cot x

5

0

� 2

� 3� 2� x 2

�

2� x

�5

Gráfica de la función secante

Gráfica de la función cosecante

y

y

y � sec x

y � csc x

5

2 1 0 �1 �2

�

2� x

�

2� x

�5

Arcoseno: arcsen o sen21 Arcocoseno: arccos o cos21 Arcotangente: arctan o tan21 Arcocotangente: arccot o cot21 Arcosecante: arcsec o sec21 Arcocosecante: arccsc o csc21

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Organizador conceptual UNIDAD

4

Resolución de triángulos Consiste en hallar la medida de los tres lados y de los tres ángulos interiores de un triángulo.

Triángulos rectángulos

Se conocen un lado y un ángulo. Se conocen dos lados.

Triángulos oblicuángulos

El ángulo de elevación o el ángulo de depresión.

Caso 1. LAA: lado-ángulo-ángulo Caso 2. LLA: lado-lado-ángulo Caso 3. LAL: lado-ángulo-lado Caso 4. LLL: lado-lado-lado

Ley de los senos

Ley de cosenos

Si en nABC, a, b y c son las medidas de los lados y A, B y C son los ángulos que se oponen respectivamente a dichos lados, se cumple que: a b c sen A 5 sen B 5 sen C

Si en nABC, a, b y c son las medidas de los lados y A, B y C son los ángulos que se oponen respectivamente a dichos lados, se cumple que: a2 5 b2 1 c2 2 2bc cos A b2 5 a2 1 c2 2 2ac cos B c2 5 a2 1 b2 2 2ab cos C

El área de un triángulo El área de un triángulo ABC que tiene medida de dos lados y un ángulo entre ellos es A A 5 bc sen 2

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Identidades para la diferencia de ángulos sen ( 2 ) 5 sen  cos  2 cos  sen  cos ( 2 ) 5 cos  cos  1 sen  sen  tan � � tan � tan (� � �) � 1 � tan � tan �

Relaciones recíprocas cot � � tan1 � csc � � sen1 � sec � � cos1 � Identidades para la suma de ángulos sen 2 5 2sen  cos  cos 2 5 cos2  2 sen2  tan 2� � 2 tan �2 1 � tan �

Identidades para la suma de ángulos sen ( 1 ) 5 sen  cos  1 cos  sen  cos ( 1 ) 5 cos  cos  2 sen  sen  tan � � tan � tan (� � �) � 1 � tan � tan �

Relaciones pitagóricas sen2  1 cos2  5 1 sec2  5 tan2  1 1 csc2  5 cot2  1 1

Relaciones por cociente � tan � � sen cos � cos � cot � � sen �

Identidades de suma y diferencia

Identidades básicas

Son igualdades en las que se establecen relaciones entre funciones trigonométricas que se validan para cualquier ángulo.

Identidades trigonométricas

sen � cos � � 12 6sen (� � � ) � sen (� � � )@ cos � sen � � 12 6sen (� � � ) � sen (� � � )@ cos � cos � � 12 6cos (� � � ) � cos (� � � )@ sen � sen � � 1 6cos (� � �) � cos (� � �)@ 2

Identidades de productos

Organizador conceptual UNIDAD

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23

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(x 2 � x 1 ) 2 � (y 2 � y 1 ) 2

Sea  el ángulo que forman l1 y l2. l1: y 5 m1x 1 b; l2: y 5 m2x 1 b m �m tan � � 1 �2 m : m1 ; m1 ? m2 ? 21 2 1

Ecuaciones de la recta

y

l1

�

l2

x

• Ecuación principal: y 5 mx 1 b • Ecuación punto-pendiente: y 2 y1 5 m(x 2 x1) y • Ecuación simétrica: x � � 1 a b • Ecuación cartesiana: y �y y � y 1 � x 2 � x 1 : (x � x 1) 2 1 • Ecuación general: Ax 1 By 1 C 5 0 Pendiente m � � A B Ordenada en el origen b � � C B

Ángulo entre dos rectas

• De un punto P(x1, y1) a una recta t de ecuación Ax 1 By 1 C 5 0 Ax 1 � By 1 � C d (P, t) � A2 � B2 • Entre dos rectas paralelas l1: Ax 1 By 1 C 5 0 l2: Ax 1 By 1 C 5 0 | Cl � C | d ( l 1, l 2 ) � A2 � B2

d (A, B) �

• Entre dos puntos A(x1, y1) y B(x2, y2)

Distancias en el plano

La línea recta Superficie cónica de revolución

Una hipérbola, cuando el plano corta las dos ramas de la superficie cónica.

Una elipse, cuando el plano corta transversalmente a la superficie cónica.

Una parábola, cuando el plano es paralelo al eje de la superficie cónica.

Una circunferencia, cuando el plano es perpendicular al eje de la superficie cónica.

Curvas obtenidas por la intersección de un plano con una superficie cónica de revolución.

Secciones cónicas

Aquella que se obtiene por la rotación de una recta llamada generatriz alrededor de una recta fija llamada eje.

Conjunto de puntos del plano que tienen una característica geométrica común.

Lugar geométrico

Organizador conceptual UNIDAD

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25

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Una circunferencia Si A 5 C

Ecuación general de segundo grado

Ecuación general x2 1 y2 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0 con D2 1 E2 2 4F  0, Ek centro, a2 D 2 2 2 y radio r.

Una parábola Si A 5 0, C  0 y D  0 Si A  0, C 5 0 y E  0

representa

La elipse



Una elipse Si AC . 0

Una hipérbola Si AC , 0

(y � k ) 2 (x � h) 2 � � 1, 2 a b2 con eje focal paralelo al eje y.

• Si el centro es (h, k) ( y � k) 2 (x � h) 2 � � 1, a2 b2 con eje focal paralelo al eje x.



2 y2 � x 2 � 1, con eje focal a2 b igual al eje y.

Ecuación canónica • Si el centro es (0, 0) 2 y2 x 2 � 2 � 1 con eje focal a b igual al eje x.

Conjunto de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

Ax2 1 Bxy 1 Cy2 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0 con B 5 0

Ecuación general • y2 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0 con eje focal paralelo al eje x. • x2 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0 con eje focal paralelo al eje y.

Ecuación canónica • Si el vértice es (0, 0) y2 5 4px, eje focal igual al eje x. x2 5 4py, eje focal igual al eje y. • Si el vértice es (h, k). (y 2 k)2 5 4p(x 2 h), con eje focal paralelo al eje x. (x 2 h)2 5 4p(y 2 k), con eje focal pararlelo al eje y.

Conjunto de puntos del plano que equidistan de una recta fija llamada directriz y de un punto fijo llamado foco.

Conjunto de puntos del plano que están a una distancia constante r, de un punto fijo llamado centro. r es el radio de la circunferencia.

Ecuación canónica • x2 1 y2 5 r2, con centro en (0, 0) y radio r • (x 2 h)2 1 (y 2 k)2 5 r2, con centro en (h, k) y radio r.

La parábola

La circunferencia

son

Secciones cónicas



(y � k ) 2 (x � h) 2 � � 1, 2 a b2 con eje focal paralelo al eje y.

• Si el centro es (h, k) ( y � k) 2 (x � h) 2 � � 1, a2 b2 con eje focal paralelo al eje x.

2 y2 2 � x 2 � 1, con eje focal a b igual al eje y.

Ecuación canónica • Si el centro es (0, 0) 2 y2 x 2 � 2 � 1, con eje focal a b igual al eje x.

Conjunto de puntos del plano tales que la diferencia de las distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante positiva.

La hipérbola

Organizador conceptual UNIDAD

7

Medidas de localización relativa Valor z o valor estandarizado

Teorema de Chebyshev

Regla empírica

El valor z se calcula con x �x zi � i s donde zi es el valor z del dato xi de la distribución, x es la media y s es la desviación estándar.

Como mínimo a1 2 12 k de z los datos debe estar a menos de z desviaciones estándar de distancia con respecto a la media, siendo z cualquier valor mayor que 1.

Aproximadamente el 68% de los datos están a menos de una desviación estándar de la media. Aproximadamente el 95% de los datos están a menos de dos desviaciones estándar de la media. Casi todos los datos de la muestra están a tres desviaciones de la media.

Caracterización de dos variables cualitativas

Tabla de contingencia o tabla cruzada

Diagramas de barras

Tabla marginal

Moda

Caracterización de dos variables cuantitativas

Diagrama de dispersión

Covarianza

Coeficiente de correlación lineal

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Sugerencias metodológicas UNIDAD

1

Funciones

• Proponga la siguiente lectura a sus estudiantes:

• Proponga a los estudiantes que resuelvan la actividad Lo que sabes…, al inicio de la unidad en la página 8. Observe cuáles son las dudas cuando resuelven las diferentes actividades que se proponen. Luego, permítales que formulen otras actividades similares. Pida que resuelvan esas actividades en forma individual. • Revise, junto con sus estudiantes, la cronología de las funciones en la página 9. Luego, pídales que consulten la biografía de algunos de los matemáticos que aparecen allí. • Plantee actividades en las que los estudiantes representen y reconozcan puntos en los cuatro cuadrantes. Por ejemplo, muéstreles un plano cartesiano como el siguiente: H

G

y 9 8 7 6

I

5 4

L J

2

1

2

M

�3 �4 �5 �6

P

�7 �8

En el siglo XIX, Peter Dirichlet definió el uso más generalizado de la notación funcional que se refiere al concepto moderno de función.

F

3

Q

�2

N

Con respecto al término función, para referirse a una variación, fue utilizado por primera vez, por los matemáticos René Descartes, en 1637, y Leibniz, en 1694. Sin embargo, no fueron ellos quienes asignaron a las funciones la notación de la forma f(x). Esta notación fue utilizada por primera vez por Clariaut y luego, por Leonard Euler.

C

E

1

�9 �8 �7 �6 �5 �4 �3 �2 �1 �1

Desde hace varios siglos, el conocimiento de las leyes que rigen la aparición y desarrollo de algún fenómeno se asocia al establecimiento de las relaciones funcionales entre variables que intervienen en su descripción. Es así como históricamente se puede observar un desarrollo en el concepto de función y en los símbolos que se usan para representar funciones.

D

3

K

O

A

B

La función de las funciones

4

5

6

7

8

9 x

R

S T

U

�9

Luego, dígales que determinen las coordenadas de todos los puntos marcados en el plano. • Comente a los estudiantes que las funciones entre conjuntos de números, y particularmente las funciones de R en R o funciones de variable real, son especialmente relevantes por la diversidad de aplicaciones prácticas y por sus propiedades matemáticas particulares. Coménteles que en esta unidad se trabajarán las propiedades de las funciones, y se hará un breve recuento acerca de la función lineal, la función cuadrática, la función cúbica, la función logarítmica y la función exponencial, se explicará cómo hallar la función inversa.

René Descartes y Leonard Euler fueron los primeros que trabajaron la función como variación.

Con respecto al concepto de función, desde el siglo XVII surgió la necesidad de expresar las leyes naturales utilizando relaciones matemáticas entre cantidades variables. Esta necesidad se hizo evidente con Galileo a partir del descubrimiento de la ley de la caída de los cuerpos pesados. Años después, fue Isaac Newton quien promovió la necesidad de utilizar funciones, especialmente, en el campo de la física. A partir de los fenómenos físicos, se han desarrollado funciones particulares. La mayoría de estas funciones no surgieron en matemáticas, sino en la propia física.

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Inicialmente los físicos utilizaban las funciones confiando más en la intuición que en la definición rigurosa de las mismas. Más adelante, a finales del siglo XIX, estas funciones fueron encontrando su fundamentación y representación. • Para contextualizar el tema de funciones resulta útil plantearles que analicen el significado de la expresión estar en función de y pedir que escriban situaciones conocidas en las que esta expresión sea utilizada.

Funciones de variable real • Plantee situaciones que traten situaciones reales como la siguiente: Cinco personas residentes en Medellín han realizado llamadas telefónicas a diferentes ciudades del país. El precio y la duración de la llamada realizada aparecen representados en la gráfica de puntos que se muestra a continuación: Costo de la llamada Mariana

Pablo

Juliana Felipe

Andrés duración de la llamada

Luego, pida a los estudiantes que respondan las siguientes preguntas: — ¿Cómo se aplica la expresión “estar en función de” en esta situación? — ¿El costo de la llamada de Mariana fue mayor que el costo de la llamada de Pablo? — ¿Qué personas hablaron mucho tiempo? — ¿Qué personas hablaron poco tiempo y pagaron mucho por la llamada? — ¿Qué personas pudieron haber realizado una llamada local?

• Solicite a los estudiantes que den ejemplos propios de la presencia de funciones en gran número de ámbitos cotidianos tales como: la economía, la medicina, la física, la química y la administración, entre otros. • Organice a los estudiantes por parejas. Luego, propóngales otra situación como la siguiente: El gráfico presenta la posición respecto al tiempo de un cuerpo durante 12 segundos. El movimiento se realiza en tres intervalos de 4 segundos cada uno. d(m)

8

4

8

12

t(s)

�6

1. Respecto al movimiento realizado en el intervalo de 4 a 8 segundos, se puede afirmar que el cuerpo: a. Parte de la posición 4 y recorre 8 metros con velocidad constante. b. Permanece en reposo, ya que mantiene la misma posición, mientras transcurren los 4 segundos. c. Recorre 4 metros con velocidad constante en 8 segundos. 2. Según la gráfica se puede inferir que la velocidad del cuerpo en el transcurso de 8 a 12 segundos fue negativa, lo cual indica que: a. Disminuyó la velocidad que venía manteniendo en el intervalo 4 a 8 segundos. b. Redujo el espacio recorrido durante los 4 segundos respecto a los intervalos anteriores. c. Recorrió la misma distancia, pero empleó más tiempo que en los intervalos anteriores. Deje claro a los estudiantes las características de la función de primer grado y el concepto de pendiente. Practique con ellos la representación gráfica con diferentes ejemplos y señale cuándo es mayor o cuándo es menor la inclinación de la recta según el valor de la pendiente.

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• Comente a los estudiantes que en la resolución de problemas mediante el análisis gráfico conviene señalar que el vértice de una parábola es un extremo relativo. Es el máximo si el valor de a es negativo y es mínimo si el valor de a es positivo. Comente algunas aplicaciones de la parábola como las trayectorias de los proyectiles, algunos arcos y las antenas de disco que reciben señales de televisión por satélite. • Se recomienda abordar el tema de las funciones exponenciales analizando modelos que implican las leyes de crecimiento y decrecimiento. También se puede trabajar este tema como una aplicación a la matemática financiera que se da cuando se trabaja el interés compuesto. Señale algunas similitudes y diferencias de la función logarítmica con la función exponencial y cómo son las diferentes gráficas cuando a es mayor o menor que la unidad. Dibuje algunas gráficas y pida a los estudiantes que indiquen cuáles corresponden a funciones exponenciales y cuáles a funciones logarítmicas. Pídales que justifiquen la selección realizada. • Proponga la siguiente actividad, para que sus estudiantes la realicen por parejas. 1. Indica cuáles de las siguientes gráficas representan funciones.

6

3

4

1

2

�5 �3 �1 1 3

�5 �3 �1 1 �2

x x

x 5

3

5

�3 �5 5 y

d.

3

3

1 3

�5 �3 �1 1

x 5

1 �5 �3 �1 1

�3

�3

�5

�5

x

3. Escribe la tabla de valores y la ecuación de cada función exponencial. y y a. b. 9 9

7

7

5

5

3

3

1

1

�3 �1 1

3

5x

�5 �3 �1

1

3x

1100 700 300 6.00

y

x

3

4. El consumo de agua en un instituto tecnológico está representado por la siguiente gráfica.

y

y

5x

5 y

b.

Consumo (L)

y

2. Clasifica las siguientes funciones en pares o impares. y y a. c. 5

x

12.00

18.00

24.00 Horas

a. Indica el dominio y el rango. b. ¿En qué horas se alcanza el consumo máximo de agua? c. ¿Cuál crees que es el horario de trabajo del instituto? ¿En qué momentos hay descanso? d. Elabora un informe en el cual se haga una interpretación de toda la gráfica en intervalos de tiempo.

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Sugerencias metodológicas UNIDAD

2

Ángulos • Proponga a los estudiantes que resuelvan las actividades de la sección Lo que sabes…, al inicio de la unidad en la página 42. Luego, presente las soluciones de los ejercicios y verifique las dudas y los preconceptos de los estudiantes para dar inicio a la unidad. • Motive a sus estudiantes contándoles las aplicaciones de las funciones trigonométricas, para ello lea la sección Y esto que voy a aprender, ¿para qué me sirve?, que se presenta en la página 43. Esta información es un abrebocas para que los estudiantes aprendan más acerca de las funciones trigonométricas. • Realice la siguiente lectura junto con sus estudiantes: De la mano con la astronomía Históricamente, los inicios de la trigonometría se encuentran en África: los antiguos egipcios y babilonios fueron los primeros en plantear estudios rudimentarios en esta área. Un estudio más elaborado de la trigonometría se promovió en Grecia, en donde se establecía una estrecha relación entre trigonometría y astronomía. El griego Hiparco de Nicea, conocido como el padre de la trigonometría, planteó una tabla trigonométrica, pero fue Ptolomeo, cuatro siglos más tarde, quien incorporó en su libro El Almagesto una tabla primitiva de senos basada en cuerdas. La tabla propuesta por Ptolomeo fue usada en la descripción de las posiciones de las estrellas. Los indios y árabes utilizaron sus descubrimientos trigonométricos para aplicarlos a la astronomía. En la India, se desarrolló un sistema trigonométrico basado en la función seno. Por su parte, los árabes debieron escoger entre el sistema de cuerdas griego y el sistema basado en la función seno plantado por los indios y adoptaron, finalmente, este último. La trigonometría árabe se desarrolló de una forma más sistemática. Este desarrollo se observa en la obra del astrónomo árabe Nasir Eddin, en la cual se propone el primer estudio de la trigonometría como ciencia independiente de la astronomía.

La trigonometría llegó a Europa gracias a los árabes, a partir del siglo XII. El matemático y astrónomo alemán Johann Müller llamado Regiomanto escribió el libro De Triangulis Omnimodois en 1464. En este libro sistematizó todos los conocimientos de trigonometría que se conocían hasta la época. Un siglo después, el también alemán Georges Joachin, conocido como Rético, introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como proporciones. • Con respecto a los sistemas de medida de ángulos: sexagesimal (S), centesimal (C) y radial (R), pida que busquen otras equivalencias, por ejemplo: R S � Cg � 90° 0, 5 � rad 100 R S � Cg � 45° 0, 25 � rad 50 Esto, con la finalidad de que tengan en cuenta que cualquiera de ellas es válida al momento de plantear sus problemas. • Recomiende a sus estudiantes que mantengan siempre las unidades para identificar en qué sistema está determinado número y en qué sistema queda el resultado. Si lo considera conveniente, puede designar a un grupo de estudiantes para que diseñen un círculo con las equivalencias entre los sistemas de medidas y los coloquen en algún lugar visible en el aula. • Como actividad previa al trabajo de la longitud de arco, es conveniente que trabaje arcos de circunferencia con un ángulo central determinado. Primero, dicte medidas de ángulos en el sistema sexagesimal para que los tracen utilizando transportador (45°, 36°, 60°…), luego, si lo considera conveniente, dicte medidas de ángulos en el sistema centesimal para que practiquen conversiones. Finalmente, hágalo en p p el sistema radial a p 4 rad, 5 rad, 6 rad, …k .

Cuando llegue a esta etapa, destaque que en la fórmula que permite calcular la longitud de un arco de circunferencia, el valor numérico correspondiente al ángulo será el expresado en radianes.

30

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• Con la finalidad de que experimenten la necesidad de conocer los conceptos de longitud de arco y área del sector circular, organice grupos de trabajo y pídales que elaboren los desarrollos de un cono y de un tronco de cono. Luego, pídales que los recorten y los armen. Quizá muchos de los desarrollos no permitan visualizar estos cuerpos geométricos: entonces deberán aplicar dichos conocimientos.

r

r

• Para explicar el concepto de velocidad angular y radián puede comentar a sus estudiantes lo siguiente: Cuando algo gira, lo hace alrededor de un punto. Un carrusel puede servir de ejemplo. Si nos ubicamos en el centro y observamos un caballito que se encuentra a una distancia R, veremos que describe una circunferencia con ese radio. Hagamos girar el carrusel de manera que el caballo recorra linealmente una distancia igual a la que lo separa del centro. Visto desde el centro, una línea trazada desde él hasta el objeto, describe un ángulo llamado radián.

R

R

R

ángulo de un radián

Pero este ángulo o la distancia R que debe moverse el caballito se puede hacer muy despacio o muy rápido. Cuando ese tiempo es de un segundo, se dice que tiene una velocidad angular de un radián/segundo. La velocidad angular es el ángulo (medido en radianes) que describe o recorre el caballito en un segundo. Se representa con la letra  y gráficamente se denota con un vector perpendicular al plano de giro.

• Como actividad extra, pida que recorten círculos de diferentes diámetros (5 cm, 10 cm, 12 cm) y que diseñen los correspondientes conos de 10 cm de altura.

Triángulos • Proponga la siguiente actividad a los estudiantes. Seleccionar dos opciones correctas: 1. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 33 cm. a. Si el otro cateto mide 56 cm, entonces, la hipotenusa mide 65 cm. b. Si la hipotenusa mide 65 cm, entonces, el otro cateto mide 56 cm. c. El otro cateto no debe ser menor que 33 cm. d. 33, 56 y 65 es una terna pitagórica. 2. En el triángulo rectángulo.

16u

x

30u

a. x 5 34 u b. x 5 34 u2 c. x 5 34 u d. 302 1 162 5 x2 3. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 24 cm. a. Si la hipotenusa mide 74 cm, el otro cateto mide 70 cm. b. Si el otro cateto mide 23 cm, la hipotenusa mide 78 cm. c. El otro cateto es mayor por tener mayor ángulo. d. 70, 24 y 74 forman una terna pitagórica. 4. El perímetro de un triángulo rectángulo es 300 m y la tangente de uno de los ángulos agudos es 2,4. La longitud del cateto menor es: a. 120 m b. 64 m c. 36 m d. 50 m

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Funciones trigonométricas • Haga énfasis en el hecho de que las funciones trigonométricas para un ángulo en posición normal, se definen en términos de las coordenadas de cualquier punto sobre el lado final del ángulo y la distancia de ese punto sobre el origen. Es importante que los estudiantes comprendan por qué las correspondencias de la forma  → sen  y  → cos  son funciones. • Proponga a sus estudiantes la siguiente tarea: A partir de las definiciones de las funciones trigonométricas, demostrar las siguientes relaciones recíprocas: sec � � cos1 � cot � � tan1 � tan � � cot1 � csc � � sen1 � sen � � csc1 � cos � � sec1 � • Solicite a los estudiantes que a partir del análisis de la definición de las funciones trigonométricas para un ángulo en posición normal, determinen la información necesaria para completar la siguiente tabla: Función trigonométrica Cuadrante sen  cos  tan  cot  sec  csc  I

1

1

1

1

1

1

II III

• Realice un repaso de la semejanza de triángulos y señale la utilidad de los criterios para comprobar la semejanza de dos triángulos dados. Luego, pida a los estudiantes que dibujen triángulos semejantes como el de la siguiente figura, para demostrar que, respecto a un mismo ángulo agudo, la razón entre un cateto y la hipotenusa o la razón entre los dos catetos es siempre un valor constante. C E G I K � A

J

H

F

D

B

• Destaque que los valores de seno y coseno son menores o iguales que 1, ya que la medida de la hipotenusa siempre es mayor que la medida de cada cateto, mientras que la tangente, al ser el cociente de las medidas de los catetos, puede tomar cualquier valor. Plantee un análisis similar para determinar los valores entre los cuales se encuentran las demás funciones trigonométricas. • Proponga la siguiente actividad como tarea. Si se sabe que sen2 a 5 (sen a)2, verificar que en cada triángulo de la figura se cumple la expresión: sen2 a 1cos2 a 5 1.

IV Luego, plantee ejercicios que permitan detectar posibles errores. Por ejemplo, escribir los símbolos  o  entre cada par de expresiones según convenga. a. sen 2p

�

17 cm

12 cm

�

5 cm

15 cm

0

b. tan 135° c. sen 114p

0 0

20 cm

d. cos 450° 0 e. cos p 0 4 f. csc(2120°)

2x �

x �

30 cm

0

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Sugerencias metodológicas UNIDAD

3

• Realice junto con sus estudiantes, las actividades de la sección Lo que sabes… de la página 88. Pídales que expliquen los pasos en la solución de cada ejercicio. • Motive a los estudiantes con la introducción de la unidad leyendo la sección Y esto que vas a aprender, ¿para qué te sirve? de la página 89. • Pida a los estudiantes que observen y lean los diferentes acontecimientos acerca de las gráficas de las funciones trigonométricas, pídales que complementen la línea de tiempo con otros hechos matemáticos y dígales que investiguen los hechos históricos que estaban aconteciendo en el lugar del suceso matemático. • Lea el siguiente texto a sus estudiantes: Los fenómenos ondulatorios Los fenómenos ondulatorios, como las vibraciones de la cuerda de una guitarra, el sonido que percibimos o las olas que se observan en el mar son, en realidad, el resultado de una suma o una superposición de muchas ondas simples de la forma de las funciones seno o coseno. El primero en observar este fenómeno fue el matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier quien expuso estas ideas en su teoría analítica del calor, en 1822. De acuerdo con el análisis de Fourier, cualquier fenómeno ondulatorio puede ser descompuesto en una infinidad de ondas simples. En nuestro entorno existe una variedad de fenómenos periódicos; por esta razón, el análisis de Fourier ha sido de utilidad en la teoría de las comunicaciones eléctricas, en la óptica y en las vibraciones de estructuras en ingeniería. En la actualidad, el manejo de ondas proporciona métodos eficaces y efectivos en diferentes campos de la tecnología. Por ejemplo, en sismología, el estudio de las ondas sísmicas y en medicina el estudio del ultrasonido. El ultrasonido se utiliza como método de diagnóstico o como tratamiento. El método de diagnóstico emplea ondas a partir de la tecnología de pulso y eco; y el método de tratamiento se ejecuta a partir de ondas ultrasónicas de gran intensidad que destruyen tejidos indeseables en el organismo.

Después de realizar la lectura, pida a alguno de los estudiantes que cuente a la clase lo que más le interesó de la lectura. Comente a los estudiantes el hecho de que algunas funciones trigonométricas son utilizadas para modelar el comportamiento de situaciones tales como el ascenso y el descenso de la marea, el movimiento de un resorte cuando se comprime y luego se suelta, la producción de un alternador generador de corriente, la variación de las ventas de un artículo en determinado tiempo, entre otras.

Líneas trigonométricas • Proponga a sus estudiantes que verifiquen que la longitud de las líneas trigonométricas de un ángulo dado, coincide con el valor absoluto de las funciones trigonométricas de ese ángulo. Para ello pida a los estudiantes que tracen las líneas trigonométricas de un ángulo específico (por ejemplo 300°) y las midan con una regla con la mayor precisión posible. Luego, estas longitudes deben ser comparadas con los valores de las funciones trigonométricas en la calculadora. • Analice con los estudiantes la variación de la longitud de las líneas trigonométricas de algunos ángulos notables. Por ejemplo, trazar las líneas trigonométricas de los ángulos dados en la siguiente figura. y

5� 6

2� 3� 3 4

� 2

� 3 � 4

� 6

x

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Luego, solicite a los estudiantes que escriban conclusiones acerca de la gráfica, como las siguientes: — Cuando  crece de 0 a p 2 , entonces, sen  crece de 0 a 1. — Cuando  crece de p 2 a p, entonces, sen  decrece de 1 a 0.

Gráfica de las funciones trigonométricas • Solicite a los estudiantes con anterioridad a la clase correspondiente a este tema, que dispongan de los siguientes materiales: papel milimetrado, transportador, compás, escuadra. Con la finalidad de que los estudiantes participen en la construcción de la gráfica del seno se proponen dos actividades: Primera actividad: durante la clase, explique detalladamente cómo se construye la gráfica de la función y 5 sen x, trasladando las medidas de las líneas trigonométricas al plano cartesiano para ángulos ubicados en el primer cuadrante y en el segundo cuadrante. y � 2

y 5� � 12 3

� 4

� 6

� 12

� 12

� 6

� 4

� 5� 3 12

� 2

x

Luego, indique con claridad la forma en la que los estudiantes deben elaborar, en el papel milimetrado, la gráfica de esta función para valores de x entre 0 y 2p. Formule las preguntas que permitan a los estudiantes elaborar conjeturas sobre el comportamiento de la función y 5 sen x, para valores de x mayores de 2p y para valores menores que 0. Segunda actividad: muestre a los estudiantes una tabla para que ellos la completen usando la calculadora y haga que dibujen un plano cartesiano en su cuaderno, para que ubiquen los puntos y esbocen la gráfica. Sugiera que trabajen en radianes.

x

f(x) 5 sen x

0,1p

sen 0,1p 5 0,31

0,2p

sen 0,2p 5 0,59

0,3p

sen 0,3p 5 0,81

0,4p

sen 0,4p 5 0,95

0,5p

sen 0,5p 5 1

Organice grupos de trabajo para que algunos representen gráficamente la función g(x) 5 2 sen x, otros la función f(x) 5 3 sen x, otros j(x) 5 4 sen x y también m(x) 5 22sen x. Luego, pídales que comparen y destaquen las semejanzas y diferencias. Pida que analicen el dominio y el rango de las funciones graficadas en cada caso. • Con la metodología de la primera actividad para graficar la función seno, dé las orientaciones necesarias para que los estudiantes construyan la gráfica de la función y 5 cos x, tomando valores de x entre 0 y 2p. Luego, proponga un análisis similar al realizado en la función seno. Es importante que destaque las similitudes y diferencias entre las gráficas de las funciones seno y coseno. Como tarea se sugiere que escojan una escala apropiada para construir, en papel milimetrado, la gráfica de y 5 cos x para los valores de x entre 22p y 2p. Luego, contestar las siguientes preguntas: — ¿Para qué ángulos cos x es igual a cero? — ¿Para qué ángulos cos x es igual a 1? — ¿Existe un valor de x para el cual la función cos x no está definida? Explicar la respuesta. — ¿Entre qué valores oscilan las imágenes de la función cos x? — ¿La función cos x es par o impar? — ¿La función cos x es periódica? ¿Por qué? — Entre 0 y 2p, ¿en qué intervalos la función es creciente? — ¿En qué intervalos es decreciente?

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• Guíe a los estudiantes en la construcción de la gráfica de la función y 5 tan x. Para esto solicite que trasladen al plano cartesiano la medida de la tangente en cada ángulo presentado en la circunferencia unitaria. Comente las características de la gráfica y destaque las diferencias que tiene la función y 5 tan x, con respecto a y 5 sen x y y 5 cos x. • Muestre una tabla como la siguiente con la primera columna resuelta y haga que los estudiantes la completen. sen

cos tan cot sec csc

Representación (x, sen x) Dominio

R

Rango

[21, 1]

Período

2p

Signo

1

Crecimiento o decrecimiento

Análisis de las funciones trigonométricas • Mencione que las gráficas de las funciones trigonométricas sufren modificaciones, cuando su fórmula o su variable independiente, son multiplicadas o sumadas con constantes. Para ampliar la explicación, dibuje en el tablero ejemplos como el siguiente: y y�2 sen x

2 1

��

�� 2

�1

� 2

�

3� 2� 2 y�sen x

x

�2

Pida a los estudiantes que elaboren la tabla de valores de pares de funciones dadas, para x entre 0 y 2p. Luego, dígales que sobre el mismo plano, elaboren las dos gráficas.

La comparación, tanto de tablas como de gráficas permite determinar la variación que sufre una de ellas con respecto a la otra. • Comente la definición de amplitud y solicite a los estudiantes que la utilicen para argumentar por qué las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante no tienen amplitud. • Concluya que la amplitud de las gráficas y 5 sen x y y 5 cos x, se ve modificada cuando su fórmula es multiplicada por un factor A y analice con los estudiantes los casos para A  0 y A  0. • Proponga a los estudiantes la siguiente actividad: Construir las gráficas de las funciones y 5 sen 3x y y 5 sen 1 x sobre un mismo plano. Luego, pídales 3 que comparen las dos tablas de valores y las gráficas. Dígales que contesten las siguientes preguntas: — ¿Cuál es la amplitud de cada una de las gráficas obtenidas? — ¿Cuál es el período de cada función? — ¿Existe alguna relación entre las expresiones 3x, x y 1 x y los períodos de las funciones? Explicar la 3 respuesta. — ¿Cuál sería el período de la función y 5 sen 6x? • Proponga a los estudiantes que comparen las gráfik cas de las funciones y 5 4 sen x y y � 4 sen ax � � 2 . Luego, pídales que describan la relación entre las dos gráficas. Después de que se haya formalizado la definición de desfase o desplazamiento de fase, aclare que esta se aplica a todas las funciones trigonométricas. • Sugiera que una forma de trazar la gráfica de cualquier curva sinusoidal de la forma y 5 A sen BX, sin elaborar la tabla de valores consiste en partir del origen sobre el semieje positivo de las x y marcar una distancia igual al período de una función. Los dos extremos y el punto medio de este intervalo son puntos que pertenecen a la curva. • La gráfica toma su valor máximo para un valor de x equidistante de los dos últimos puntos. Teniendo como modelo la gráfica de y 5 sen x, se puede trazar la gráfica de y 5 A sen Bx, con precisión.

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Sugerencias metodológicas UNIDAD

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• Proponga a los estudiantes que resuelvan las actividades de la sección Lo que sabes… de la página 122. Luego, presente las soluciones de los ejercicios y verifique las dudas y los preconceptos de los estudiantes para dar inicio a la unidad. • Motive a sus estudiantes contándoles las aplicaciones de las funciones trigonométricas en general. También puede utilizar la sección Y esto que voy a aprender, ¿para qué me sirve?, que se presenta en la página 123. Esta información es un abrebocas para que los estudiantes aprendan más acerca de las aplicaciones de las funciones trigonométricas. • Forme grupos de dos estudiantes y pídales que revisen la cronología de las aplicaciones de las funciones trigonométricas. Luego, pídales que realicen una exposición que se relacione con toda la historia de las funciones trigonométricas y de cómo se han ido aplicando a lo largo del tiempo. • Lea el siguiente texto a sus estudiantes: El perímetro de la Tierra Las aplicaciones en la trigonometría se dan casi desde el mismo inicio de su nacimiento y a partir de su relación con la astronomía. Desde los inicios de la astronomía como ciencia, los astrónomos buscaban gran exactitud que les permitiera predecir eclipses, conocer los movimientos de los astros, hacer los calendarios más exactos y proporcionar mayor seguridad en la navegación. La trigonometría también se aplicó en otros campos como la navegación o la geodesia, en los que el principal problema era determinar una distancia que no podía ser medida de forma directa. Por ejemplo, la distancia entre la Tierra y la Luna o el perímetro de la Tierra. Precisamente, la geodesia es la ciencia que se encarga de medir la forma y las dimensiones de la Tierra. Eratóstenes de Cirene, hacia el siglo III antes de nuestra era, fue uno de los primeros en determinar el perímetro de la Tierra. Él observó, en la ciudad de Siena, que al mediodía del solsticio de verano el Sol alumbraba perpendicularmente sobre la Tierra, es decir, no proyectaba ninguna sombra.

También se percató de que en Alejandría en la misma fecha y hora, las sombras tenían un ángulo de aproximadamente 7° con respecto a la vertical. Conociendo la distancia entre Siena y Alejandría, por medio de cálculos trigonométricos, pudo hallar la distancia al Sol y la circunferencia de la Tierra, esta última con precisión extraordinaria. También se encuentran notables aplicaciones de la trigonometría en la física y en casi todas las ramas de ingeniería, en donde es una herramienta muy valiosa y de gran utilidad.

Solución de triángulos rectángulos • Enumere las herramientas con las cuales se cuenta para la resolución de triángulos rectángulos: — Teorema de Pitágoras: en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos. — La suma de las medidas de los ángulos interiores de todo triángulo es igual a 180°. — Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios. — Definición de las funciones trigonométricas para un ángulo agudo, en el triángulo rectángulo. • Proporcione algunas pautas para la solución de problemas que involucran la resolución de triángulos rectángulos como la que se sugieren a continuación. — Enumerar los datos conocidos y asignar incógnitas a los datos que no se conocen. — Dibujar una figura que se ajuste a la situación y refleje los datos proporcionados en el problema. — Utilizar una fórmula en la que figure solamente un dato desconocido y resolverla de una manera clara y sistemática. — Verificar que la respuesta obtenida para una incógnita determinada, satisface una fórmula que no haya sido utilizada dentro del mismo proceso de solución. — Escribir las respuestas en los términos en que fueron propuestas las preguntas.

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• Proponga a los estudiantes que se organicen en grupos para resolver los siguientes problemas. Cada grupo debe escribir un párrafo en donde explique al resto de la clase la estrategia que utilizó para resolver los problemas. — En un triángulo rectángulo las medidas de los catetos son 8 cm y 10 cm. ¿Cuáles son las medidas de los demás elementos del triángulo? — En un triángulo rectángulo uno de los catetos mide 9 cm y el ángulo adyacente a este cateto mide 32°. ¿Cuáles son las medidas de los demás elementos del triángulo? — Encontrar la altura a la que se encuentra el avión de la figura.

Amplíe las aplicaciones de las funciones trigonométricas en la navegación proponiendo a los estudiantes la siguiente actividad. La trigonometría en la navegación y en la topografía. Tanto en la navegación como en la topografía, es común utilizar los términos de rumbo o dirección para la ubicación de puntos específicos, utilizando la brújula. En la navegación marítima, se emplea la línea nortesur, representada mediante una recta vertical que se corta en el punto O, con la recta horizontal que corresponde a la línea este-oeste. El rumbo de un punto P está dado por el ángulo agudo que se forma entre la semirrecta OP y la recta norte-sur: N p 38º O

h 36º

E

0

36º 400 m

S

— Desde un acantilado, situado a 32 metros sobre el nivel del mar, se divisan dos embarcaciones. Halla la distancia entre estas, si los ángulos de depresión respectivos son de 36°16’ y 25°20’. — Una nave espacial se va alejando, cada vez más, de la Tierra. En cada momento, los astronautas que tripulan la nave observan la Tierra con un ángulo diferente, formado por las visuales tangentes a la esfera terrestre.

La notación que se utiliza con mayor frecuencia, consiste en escribir las letras N o S, luego, el ángulo y, finalmente, las letras E u O. Así, el rumbo del punto P, en la figura anterior se escribe N38°E, lo cual significa que el punto P, tiene como rumbo “treinta y ocho grados al este del norte”. — Escribir el rumbo de cada punto de la siguiente figura. N B

� 2

60º 50º

O

0

A E

C 28º

� R

Si se sabe que el radio de la Tierra mide 6.370 km, ¿cuál es la distancia d de la nave a la Tierra en los siguientes casos? Cuando el ángulo a mide 28°. Cuando el ángulo a mide 24°. Cuando el ángulo a mide 18°.

D 15º S

— Resolver el siguiente problema. Desde un punto de observación A, un guardabosques ve un incendio en dirección S35°50’O. Desde otro punto B, a 15 millas hacia el oeste, otro guardabosques ve el mismo incendio en dirección S54°10’E. Calcular la distancia que hay desde el punto A, hasta el punto donde se produce el incendio.

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— En la navegación aérea la dirección se determina midiendo el ángulo de 0° a 360°, que se forma desde la recta norte-sur, en el sentido de las manecillas del reloj. Este ángulo se denomina acimut. Así la dirección del punto O en la figura es 240° (150° 1 90°). N

O

150° 0

E

P

S

Escribir la dirección de otro punto en la figura. — Resolver el siguiente problema. Un avión vuela a una velocidad de 360 mi/h desde un punto A en dirección 137° durante 30 minutos. Después vira y viaja en dirección 227° durante 45 minutos. ¿Cuál es la distancia que separa al avión del punto A, en ese momento?

Solución de triángulos oblicuángulos • Haga énfasis en el hecho de que la aplicación de la definición de las funciones trigonométricas se restringe a la resolución de triángulos rectángulos; pero que hay un gran número de problemas que dan origen a triángulos no necesariamente rectángulos, en los cuales es necesario aplicar teoremas tales como la ley de los senos y la ley de los cosenos. • Analice con los estudiantes para qué medidas de ángulos tienen sentido expresiones tales como a mayor longitud del lado, mayor valor de seno o a menor longitud del lado, menor valor de seno. • Indique los casos en que resulta útil la ley de los senos para resolver triángulos oblicuángulos y pida a los estudiantes que argumenten por qué esta ley no puede ser utilizada en los casos LLL o ALA. • Proponga que dibujen cinco triángulos oblicuángulos y utilicen la regla y el transportador para determinar la medida de tres de sus elementos, con la mayor precisión posible. Luego, indique que cada triángulo debe ser resuelto aplicando la ley de los senos.

Finalmente, pida que comparen los resultados y escriban una conclusión al respecto de los dos procedimientos. • Haga notar que cuando se proporciona la medida de tres de los elementos de un triángulo oblicuángulo, resulta más conveniente resolverlo y después dibujarlo, dado que un esquema inicial, en muchos casos, no es una buena representación de los datos. • Lea a los estudiantes qué es un clinómetro. Un clinómetro mide ángulos para determinar las alturas de los objetos sin medirlos directamente. Esta es una versión simplificada del cuadrante, el instrumento de medida medieval y del sextante, el instrumento utilizado para ubicar las posiciones de los barcos. Al igual que estos instrumentos, el clinómetro cuenta con un arco de graduación que tiene marcación de grados desde 0° hasta 90°. Cuando se observa un objeto a través del visor del clinómetro, se registra el número de grados del ángulo BVW al notar el punto en que la cuerda toca el arco. El ángulo BVW es igual al ángulo BAC, que constituye el ángulo de elevación del clinómetro. Si se conoce tanto el ángulo de elevación a como la distancia d a la que se encuentra el objeto, se puede calcular la altura de dicho objeto empleando para ello una simple ecuación: d ? tan a 5 h. Hay que tener en cuenta que a esa altura h habrá que agregarle la altura h’ que es la altura del suelo a los ojos del observador que midió el ángulo. V

80 70

60

50

40 30 20 10

B

�W

C

A d

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Sugerencias metodológicas UNIDAD

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• Pida a los estudiantes que resuelvan las actividades de la sección Lo que sabes…, al inicio de la unidad en la página 270, para comprobar que manejan los preconceptos para el desarrollo de esta unidad. • Proponga a los estudiantes que lean la cronología que se presenta en la página 271. Luego, pídales que le expliquen qué es lo que más les llamó la atención de la cronología.

Identidades trigonométricas • Establezca claramente la diferencia entre ecuación e identidad, dado que en la demostración de una identidad debe verificarse que las expresiones relacionadas mediante la igualdad son equivalentes. Haga énfasis en que para demostrar identidades, no se realizan operaciones simultáneas a cado lado de la igualdad. Es decir, una identidad no se desarrolla como si fuera una ecuación. • Haga un repaso de las igualdades que se dan entre cofunciones y retómelas como identidades para ángulos complementarios. Por ejemplo: cos (90° 2 a) 5 sen a cot (90° 2 a) 5 tan a De la misma forma, resulta útil hacer una lista de las funciones trigonométricas, estableciendo si se trata de funciones pares o impares, así: Función

Función par o impar

sen (2a) 5 2sen a

impar

cos (2a) 5 cos a

par

tan (2a) 5 2tan a

impar

cot (2a) 5 2cot a

impar

sec (2a) 5 sec a

par

csc (2a) 5 2csc a

impar

• Solicite a los estudiantes que tracen las líneas trigonométricas para un ángulo a en posición normal y utilicen el teorema de Pitágoras para realizar la demostración de: — Las relaciones pitagóricas. — Las relacioes recíprocas o inversas.

— Deducir las identidades pitagóricas dividiendo la identidad sen2 a 1 cos2 a 5 1 entre sen2 a y cos2 a. • Pida a los estudiantes que describan un proceso general que pueda ser aplicado en la demostración de otras identidades. Las propuestas serán discutidas en una puesta en común. • Solicite a los estudiantes que copien la siguiente demostración y, luego, justifiquen cada paso de la misma. 1 1 2 1 � sen � � 1 � sen � � 2 sec � (1 � sen � ) � (1 � sen � ) 1 1 1 � sen � � 1 � sen � � 1 � sen 2 � 1 2 2 � � �2� � 2 sec 2 � 1 � sen 2 � cos 2 � cos 2 � • Mencione que la verificación de identidades tiene aplicaciones en la simplificación de expresiones en física, y presente el siguiente ejemplo: En la óptica, la cantidad de luz que proyecta una fuente sobre una superficie es denominada iluminación. Si una superficie se encuentra a una distancia d medida en metros de una fuente de luz cuya intensidad es I, la iluminación E que proyecta la fuente sobre la superficie se calcula mediante la fórmula: E � I cos2 � d Donde u es la medida del ángulo entre la dirección de la luz y la recta perpendicular a la superficie iluminada.

�

perpendicular a la superficie

d

E

Proponga a los estudiantes la demostración de que la expresión E � I cos2 � es idéntica a la expresión d � I cot E� 2 . d csc �

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• Aclare que a partir de las identidades para el seno, el coseno y la tangente, ya sea de la suma o de la diferencia de ángulos, se pueden demostrar las identidades correspondientes a la cotangente, la secante y la cosecante, utilizando las relaciones recíprocas de las funciones trigonométricas. Aclare que las siguientes igualdades son incorrectas y que las podrían verificar haciendo uso de su calculadora. sen ( 1 ) 5 sen  1 sen  sen ( 2 ) 5 sen  2 sen  cos ( 1 ) 5 cos  1 cos  cos ( 2 ) 5 cos  2 cos  tan ( 1 ) 5 tan  1 tan  tan ( 2 ) 5 tan  2 tan  Deje establecido que a partir de la suma de dos ángulos se puede determinar tangente, cotangente, secante y cosecante de la suma de dichos ángulos. • Organice a los estudiantes por grupos para que encuentren las expresiones algebraicas correspondientes a cada caso. Así: sen (� � � ) tan (� � � ) � cos (� � � ) cos (� � � ) 1 cot (� � � ) � � tan (� � � ) sen (� � � ) 1 sec (� � �) � cos (� � �) 1 csc (� � � ) � sen (� � � ) • Mencione que, aunque muchas identidades no son particularmente importantes, lo relevante es la destreza que se adquiere con su demostración, dadas sus aplicaciones tanto en la misma matemática, como en la ciencia y en la ingeniería. Por ejemplo, mostrar aplicaciones como las siguientes: — Muchos gatos mecánicos de tornillo, utilizados para levantar casas o maquinaria pesada, son diseñados de manera que el tornillo no gire cuando soporta la carga. Si F es la fuerza necesaria para mantener el equilibrio, cuando el gato tiene un ángulo de inclinación  en cada paso del tornillo y se aplica una carga W, dicha fuerza se representa mediante la ecuación: aF 5 Wr tan ( 2 a)

en donde a es una constante, r es el radio del tornillo y  es el ángulo de fricción.

Si u 5 45°, entonces, F se puede expresar como una función de , de la siguiente manera: aF 5 Wr (tan 45° 2 ). Wr tan � Por tanto, F � a a 11 � � tan � k • Proponga que se asignen valores específicos a x, con el fin de verificar si se cumplen o no las siguientes igualdades. sen 2x 5 2 sen x tan 2x 5 2 tan x • Sugiera a los estudiantes, que en la demostración de las identidades para ángulos dobles: sen (2a) 5 sen (a 1 a), cos (2a) 5 cos (a 1 a), tan (2a) 5 tan (a 1 a) Comente el proceso de deducción de cada fórmula y corrija con la clase la solución de los ejercicios propuestos. • Analice el siguiente ejemplo de aplicación. En física, a partir del análisis del movimiento de proyectiles se deduce que la altura máxima que alcanza un proyectil está dada por la expresión v 2 sen 2 � y máx � 0 g Donde v0 es la velocidad inicial con que el proyectil es lanzado,  es el ángulo que forma v0 con la horizontal y g es la aceleración de la gravedad. En el caso del alcance máximo, la fórmula deducida es: v 2 sen 2� x máx � 0 g ¿Cuál debe ser el ángulo de lanzamiento para que el alcance máximo sea igual a la altura máxima? Solución Al suponer que xmáx 5 ymáx se tiene que

v 20 sen 2 � v 20 sen 2� � g g de donde sen2  5 sen 2, por tanto: � sen2  5 2 sen  cos , esto es sen cos � � 2 . tan  5 2 así, tan21 2 5 u 5 63°26’6” De modo que el ángulo de lanzamiento del proyectil debe ser 63°26’6”. Los estudiantes deben responder las siguientes preguntas con base en el ejemplo anterior. — ¿Cuál debe ser el ángulo de lanzamiento para que el alcance máximo sea igual a la mitad de la altura máxima? ¿Y cuál para la cuarta parte de la altura máxima?

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— Lea y resuelva el siguiente problema en clase: Un número mach (M) se define como la razón entre la velocidad de un avión y la velocidad del sonido. Si M  1, se originan ondas sonoras en forma de cono en movimiento.

B

Así mismo, pida que representen gráficamente, en la circunferencia trigonométrica, estas y otras expresiones. Así para  1 360° k, con k 5 0, 1, 2 y 3 se tienen las siguientes gráficas:

�

suelo

Cuando el cono entra en contacto con la Tierra se produce un estampido sónico. Si x es el ángulo del vértice del cono y M es el número mach de cierta aeronave, con M  1, se cumple la fórmula 1 axk M 5 sen 2 Utilizar la fórmula anterior para determinar el número mach de un avión que genera un cono cuyo ángulo del vértice es x 5 30°. — Pida a los estudiantes que realicen la siguiente actividad. • Deducir las fórmulas para cot (a 1 b), sec (a 1 b) y csc (a 1 b) a partir de las relaciones recíprocas. La fórmula de Simpson permite determinar el seno o el coseno de un múltiplo de un ángulo dado, de la siguiente manera: sen (m 1 1)  5 2 sen m 2 sen (m 2 1) cos (m 1 1)  5 2 cos m 2 cos (m 2 1) • Calcular sen 3u y cos 4u.

Ecuaciones trigonométricas • Haga énfasis en que una ecuación trigonométrica es distinta de una identidad trigonométrica. Indique que una identidad trigonométrica se cumple para todas las medidas angulares que permitan calcular las funciones trigonométricas que la forman, mientras que una ecuación trigonométrica se cumple solo para algunas medidas angulares. Luego, comente los diferentes casos que se pueden presentar en la solución de este tipo de ecuaciones, señalando el método que se debe seguir en cada caso. Asegúrese de que los estudiantes interpretan correctamente las expresiones: Cada vuelta (ángulos coterminales)  1 360° k Cada media vuelta b 1 180° k b 1 2p rad k Cada vuelta (ángulos coterminales)

� � 360°

� � 720°

� � 1.080°

Comente que, como estrategia básica, primero se resuelve la ecuación trigonométrica para casos generales y luego, se hallan los valores que satisfacen la relación. Tenga en cuenta la representación gráfica de las razones trigonométricas ya que es de gran ayuda al momento de determinar los ángulos que satisfacen la ecuación trigonométrica. — Como los ángulos también se miden en radianes, aproveche las respuestas de los ejemplos o ejercicios para que las expresen en radianes. — Coménteles la importancia de comprobar los resultados, remplazando los valores en cada ecuación propuesta. — Puntualice a los estudiantes que es muy importante tener presente el dominio propuesto, y que cuando no se especifica el dominio, las soluciones se pueden expresar como ángulos que fluctúan entre 0° y 360°. • Proponga a los estudiantes que resuelvan una ecuación trigonométrica, estableciendo el dominio en el sistema sexagesimal y luego, en el sistema radial. Así darán la respuesta en ambos sistemas. — Representar gráficamente las soluciones. — Comprobar para algunos valores de sus conjuntos solución.

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Sugerencias metodológicas UNIDAD

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• Proponga a los estudiantes que revisen la cronología que se presenta en la página 209. • Pregunte a los estudiantes acerca de sus conocimientos de la línea recta, sus características generales y su fórmula para la modelación de situaciones. • A manera de motivación, lea el siguiente texto a sus estudiantes: El estudio detallado de las secciones cónicas se remonta a la edad de oro de la matemática griega en el siglo III antes de nuestra era, aunque estas figuras geométricas ya se conocían un siglo y medio antes. Apolonio de Perga, uno de los más importantes matemáticos de esta época, en su tratado Las Cónicas, compuesto por ocho libros, hizo un estudio de estas figuras. Esta obra fue una de las mejores en su género en la matemática antigua, junto con Los Elementos de Euclides. Apolonio introdujo por primera vez los nombres de elipse, hipérbola y parábola. Elipse significa deficiencia, hipérbola, avanzar más allá, y parábola, poner al lado o comparar. Apolonio empleó estas palabras en un contexto nuevo, y las utilizó como nombres para las secciones cónicas. Una de las bases de la geometría analítica en el plano son las cónicas y Apolonio es considerado como el precursor de esta rama de las matemáticas. Dieciocho siglos más tarde, René Descartes con su obra La geométrie y Pierre Fermat con su tratado titulado Ad locos planos et solidos isagoge, permitieron conocer la geometría analítica a sus contemporáneos y por esta razón se les atribuye a ellos su invención. Las cónicas describen trayectorias de una inmensa variedad de cuerpos que llenan el universo, desde los minúsculos electrones que giran en el átomo, hasta los enormes cúmulos de galaxias. Por ejemplo, una de las primeras leyes del movimiento planetario, enunciada por Kepler en 1609, destaca que los planetas describen elipses alrededor del Sol y no circunferencias como se había creído. Hoy los astrónomos confirman que el curso de los planetas, de los cometas y de las galaxias es elíptico o parabólico.

• Aclare la definición de lugar geométrico con ejemplos diferentes a la circunferencia. Por ejemplo: El lugar geométrico de los puntos para los cuales la razón entre la diferencia de las ordenadas y la diferencia de las abscisas es constante, corresponde a una recta. — El lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos de un segmento, corresponde a la mediatriz de dicho segmento. — El lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados de un ángulo, corresponde a la bisectriz de dicho ángulo. Mencione que la geometría analítica se ocupa de dos aspectos: encontrar la ecuación de un lugar geométrico a partir de la propiedad que cumplen todos sus puntos y representar un lugar geométrico partiendo de su ecuación.

La línea recta • Para dar inicio al tema Distancia entre dos puntos, recuerde a los estudiantes el teorema de Pitágoras. Proponga los siguientes triángulos y pida que calculen h (puede presentar otros triángulos a los estudiantes). a. b. 3u

h

4u

6u

5u

h

Emplear la fórmula de la distancia entre dos puntos para demostrar que las diagonales de un rectángulo son congruentes. • Proponga la siguiente actividad de aplicación: — Dibujar un triángulo isósceles en el plano cartesiano, con su base sobre el semieje positivo de las x, de manera que uno de sus vértices coincida con el origen. — Determinar las coordenadas de todos los vértices del triángulo y trazar las medianas correspondientes a los lados congruentes. — Utilizar la fórmula de las coordenadas del punto medio para demostrar que las medianas trazadas son congruentes.

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• Proponga la siguiente actividad a los estudiantes: El camino más corto En una ciudad muy bien proyectada, han sido trazadas como avenidas (A) las que van de Norte a Sur y como calles (C) las que van de Este a Oeste, enumeradas ambas tal como indica la figura, formando cuadrados congruentes. Si Javier toma un taxi en una esquina de la segunda calle y la sexta avenida e indica al chofer que se dirija a la intersección de la calle 10 y la avenida 12 por la vía más corta, ¿qué distancia (número de cuadras) recorre? ¿Será esa la distancia más corta? Explica. A6

A7

A8

A9

A10 A11

A12 C10 C9 C8 C7 C6 C5 C4



Finalmente, haga la siguiente pregunta, ¿cómo se originaron estas trayectorias? ¿Habrá alguna ecuación matemática que incluya cada punto que describen dichas trayectorias? • Comente a los estudiantes que las secciones cónicas se conocen con el nombre de curvas de segundo grado. Explíqueles que todas las cónicas tienen propiedades parecidas, lo que hace que su estudio tenga notables similitudes. No obstante, también hay grandes diferencias entre ellas. Así, por ejemplo, las elipses son curvas cerradas y acotadas; mientras que las parábolas no lo son; las elipses, a diferencia de las parábolas, tienen centro de simetría. • Construya conos de cartulina. Si lo desea puede conseguirlos en otro material. Realice cortes como se indica en cada figura. 1. Corte perpendicular al eje que pasa por el vértice del cono. 2. Un corte diagonal a la generatriz del cono (no paralelo). 3. Un corte diagonal y paralelo a la generatriz del cono. 4. Sobre dos conos unidos por sus vértices y opuestos realice un corte paralelo a las alturas de cada cono.

C3 C2

• Resuma los casos que se pueden presentar en cuanto al signo de la pendiente de diferentes rectas, teniendo en cuenta su ángulo de inclinación.

Las cónicas • Comente a los estudiantes que las cónicas son curvas escogidas por la naturaleza como trayectorias de la inmensa variedad de cuerpos que llenan el universo, desde los minúsculos electrones que giran en el átomo, hasta los enormes cúmulos de galaxias. — Presente un dibujo del sistema solar y pida a los estudiantes que describan la trayectoria de los planetas alrededor del Sol. Así mismo muestre láminas sobre algunos proyectiles que estén siendo lanzados y pregúnteles cuál es la trayectoria que describen.

La circunferencia • Repase la definición de circunferencia y pida que la reconozcan como un lugar geométrico. Solicíteles además, que propongan una estrategia para construir una circunferencia sin utilizar compás, monedas u otros objetos que tengan contorno circular. Destaque el hecho de que una circunferencia queda determinada por su centro y su radio.

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• Plantee suficientes ejercicios para determinar las coordenadas del centro y el radio de una circunferencia por simple inspección de la ecuación canónica y asegúrese de que los estudiantes identifican correctamente los signos de las coordenadas del centro. • Plantee y resuelva el siguiente problema: Un problema embrolloso Durante la visita a una fábrica de papel, Andrés se extravía y cuando menos lo piensa, ve que se le viene encima un inmenso rollo de papel. Rápidamente se va a un rincón, tal como lo muestra la figura. Al meterse bajo el dintel, ¿podrá evitar que el rollo lo lastime? (Distancia en metros) 0,8 m

Así mismo, haga que recuerden la resolución de un sistema de ecuaciones con tres incógnitas.

Geometría. Tangencias de circunferencia inscritas • Construcción de tres circunferencias inscritas en otra circunferencia de radio mayor, tangentes entre sí. Para realizar esta construcción se procede de la siguiente manera: Primero. Se dibuja la circunferencia de radio r y se divide en seis partes iguales. Para ello, se hacen marcos sobre la circunferencia, usando la medida del radio r, estas marcas corresponden a los puntos A, B, C, D, E, F. Segundo. Se trazan los tres diámetros AD, BE y CF . B A

C

F

D

1,1 m 2m

E

• Plantee la siguiente gráfica a partir del problema y luego, resuélvalo como se muestra a continuación.

Tercero. Se unen los puntos D y F que cortan el diámetro BE en el punto $M. Luego, se halla N, que es el punto medio del arco CD . B

y

(0,8; 2)

C

A

2

N d

F

(a; 1,1) x

0 0,8 a

Solución: Hay que determinar la distancia d a la que quedará el rollo. Se toma como eje x el suelo y como eje y la pared. La ecuación de la circunferencia será: (x 2 a)2 1 (y 2 1,1) 5 1,12. Como la circunferencia pasa por un punto tope (0,8; 2), se verifica que: (0,8 2 a)2 1 (2 2 1,1)2 5 1,12 → 0,8 2 a 5 ±0,63 a 5 0,17 ~ a 5 1,43 La distancia d buscada es 1,43 2 1,1 5 0,33. Por tanto, Andrés no será lastimado. • Haga un breve repaso sobre el producto notable (a  b)2 5 a2  2ab 1 b2, para que al momento de determinar la ecuación general les facilite su desarrollo.

D

M E

Cuarto. Se unen los puntos M y N que cortan al diámetro AD en el punto C1, que es el centro de la primera circunferencia. Luego, se traza la circunferencia con centro en C1 y radio C1D. Quinto. Se unen los puntos B y D que cortan el diámetro FC en el punto $P. Luego, se halla Q, que es el punto medio del arco AB . B

B

Q

A

C

A

P

N

N F

C1

M E

D

C

F

C1

M

D

E

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Sexto. Se unen los puntos P y Q que cortan al diámetro BE en el punto C2. El punto C2 es el centro de la segunda circunferencia. Luego, con centro en C2 y radio C2B se traza la segunda circunferencia. B

Q A

C2

P

C N

F

C1

M

D

•

E

Séptimo. Se unen los puntos B y F que cortan el diámetro AD en el punto# S. Luego, se halla T que es el punto medio del arco FE . B

Q

C2 P

S

C N

C1

F

M T

D

E

Octavo. Se unen los puntos S y T que cortan el diámetro FC en el punto C3. El punto C3 es el centro de la tercera circunferencia. Luego, con centro en C3 y radio C3F se traza la tercera circunferencia. C2 P

S

C N

C3 M

F T

C1

D

V

Calabozo

A

L

B

Q

F Foco

E

• Construir tres circunferencias inscritas en la circunferencia que se determina mediante cada ecuación. a. x2 1 y2 5 25 b. x2 1 y2 1 8x 2 6y 2 75 5 0 c. x2 1 y2 2 2x 2 4y 2 139 5 0 d. 2x2 1 2y2 2 8y 2 330 5 0 Encontrar la ecuación de la circunferencia de radio 2, concéntrica con la circunferencia cuya ecuación es: x2 1 y2 1 4x 1 2y 1 3 5 0. Elaborar una estrategia para hallar la ecuación general de la circunferencia en la cual uno de sus diámetros tiene por extremos los puntos P(2, 1) y O(4, 3).

La parábola

10 m Terreno de juego

• Elabore una gráfica de la situación como la siguiente. P Límite de juego x � �5

A



Por ejemplo, la forma que tiene el reflector de una estufa eléctrica, el reflector de una linterna, los radares aéreos de tipo rotatorio, las antenas parabólicas, la red de alambres que forman la parte aérea de todo telescopio, entre otros. Pida a los estudiantes que consulten y presenten otros ejemplos. Proponga la siguiente situación a los estudiantes: Tú la llevas Alexander juega en el recreo con sus compañeros a Tú la llevas. Para ello, trazan una raya recta en el suelo, que separa el terreno de juego (a la derecha) del calabozo (a la izquierda), y señalan un punto llamado Foco en el terreno de juego a 10 m del calabozo. Uno de los jugadores (el que la lleva), tiene que lograr que todos los demás vayan al calabozo. Para ello, el que la lleva (L) tiene que tocar a su víctima (V) y después dirigirse al Foco y dar en él antes de que el otro llegue al calabozo a liberar a los que están en allí. Suponiendo que todos los jugadores corren a la misma velocidad, identifica las zonas en las que cabe esperar que: a) la víctima vaya al calabozo, b) el que la lleva siga llevándola y c) la víctima se libere.

y

A

y 2 � 20x F (5, 0)

0

x

• Comente a los estudiantes que en muchos contextos de la vida cotidiana se presentan formas parabólicas.

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• Resuelva la situación de la siguiente manera: Tomemos dos ejes: — El eje X, que pasa por F y es perpendicular al límite de juego; sea A el punto de intersección de X con el límite de juego. — El eje Y, que es perpendicular a X por el punto O, el cual es punto medio del segmento AF. La zona de empate entre el que la lleva y la víctima la forman los puntos P(x, y), que equidistan del punto F(5; 0) y de la recta x 5 25; la ecuación de este lugar será: 2 (x � 5) 2 � y 2 � x � 5 a ^x � 5h2 � y 2 k

•











5 (x 1 5)2 y2 5 20x Se trata de una parábola con foco F(5; 0) y cuya directriz es el límite de juego x 5 25. Esta curva separa las zonas en que gana y en que pierde el que la lleva, como se indica en el dibujo de la página 45. Para trazar una parábola determinando sus puntos se procede así: Primero. Se traza una recta horizontal que será la l directriz. Segundo. Se traza la recta perpendicular l a la directriz y sobre esta se marca el foco F. F Tercero. Se halla el punto medio entre el foco F y el V punto de intersección D D directriz de la directriz y la recta l. Este punto medio será el vértice V. Cuarto. Sobre la recta que l P 5 contiene a F y a V se marcan P4 después de F hacia el lado P3 contrario de donde esté V, P2 los puntos P1, P2, P3, P4, … P1 Quinto. Se trazan rectas F paralelas a la directriz que V pasen por F, V y los puntos D P1, P2, P3, P4, … Sexto. Haciendo centro en F se trazan circunferencias con radios DV, DF, DP1, DP2, DP3, DP4, … las intersecciones de las rectas paralelas y las circunferencias son los puntos de la parábola por tanto estos puntos se unen.

l

P5 P4 P3 P2 P1 F V D

a. Utilizar el procedimiento anterior para dibujar una parábola. b. Plantear la ecuación canónica de la parábola teniendo en cuenta que la directriz coincida con el eje x y el eje focal coincida con el eje y.

La elipse • Caracterice la elipse como un lugar geométrico y establezca que toda elipse queda determinada por la longitud de sus semiejes. Haga énfasis en el hecho de que la circunferencia es un caso particular de la elipse con los dos ejes de igual longitud. Explique que la excentricidad es un número que permite cuantificar la forma de las cónicas y hacer énfasis en que, en la elipse la excentricidad siempre es menor que 1. • Elabore con los estudiantes el cuadro que resume las características de las elipses con centro en (0, 0) y desarrolle suficientes ejemplos de aplicación. • Lea el siguiente texto a sus estudiantes: El arte romano apareció propiamente en los siglos II y I antes de Cristo, como consecuencia de las grandes transformaciones sociales y la crisis política de los últimos tiempos de la República. En esa etapa, Roma se convirtió en una gran urbe en la que se consolidó la cultura helenística que dio lugar al arte romano durante los tres primeros siglos de nuestra era. El arte romano se caracterizó por las grandes construcciones de carácter urbanístico y arquitectónico. Entre estas construcciones sobresalen los grandes proyectos de ingeniería como acueductos, puentes, teatros, anfiteatros, circos y arcos de triunfo. Todos los anfiteatros de Roma eran de forma elíptica. En su parte central estaba la zona de arena que también era en forma de elipse y, alrededor, se encontraban las graderías. Debajo de la zona de arena se encontraban habitaciones para los gladiadores y cuartos para las fieras.

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Un ejemplo de la arquitectura romana es el coliseo romano. La obra del coliseo romano fue emprendida por el emperador romano Vespasiano, quien además restauró las finanzas del Estado que habían sido agotadas anteriormente por Nerón.

El coliseo romano se inauguró en el año 80 después de Cristo, tenía capacidad para 87.000 espectadores. Este coliseo tiene más de 50 metros de alto y cubre un área elíptica de 188 metros de eje mayor y 156 metros de eje menor. Su zona de arena es elíptica, la medida de su eje mayor es 54,5 metros y el eje menor mide 41,15 metros. Su capacidad era de aproximadamante 15.000 espectadores. Luego, pida a los estudiantes que realicen lo que se indica: a. De acuerdo con la información anterior, responder: — ¿Qué área (en metros cuadrados) albergaba el coliseo romano? b. Averigua las dimensiones del anfiteatro de Mérida, ¿las elipses del anfiteatro de Mérida son semejantes? ¿Por qué? c. Plantear una ecuación, en forma general, que pueda describir la forma del coliseo, teniendo en cuenta al centro de la elipse del coliseo romano y suponiendo que en él se sobrepone un plano cartesiano cuyo eje mayor está sobre el eje x y el eje menor coincide en el eje y.

La hipérbola • Pida a los estudiantes que comparen las ecuaciones de la elipse y la hipérbola y señalen claramente las diferencias entre una y otra. Elabore un cuadro que resuma las características de las hipérbolas con centro en (0, 0). Luego, pida a los estudiantes que comparen las ecuaciones de la hipérbola y de la elipse con centro en (h, k).

• Comente a los estudiantes que el concepto y el cálculo de la excentricidad de la hipérbola es parecido al de la elipse. La diferencia radica en que la excentricidad de la hipérbola siempre es mayor que 1. Resalte que, cuanto más aproximada está la excentricidad de 1, más se acercan las ramas al eje de las abscisas. • Diga a los estudiantes que realicen la siguiente actividad. Trazado de una hipérbola por puntos Para construir una hipérbola de esta manera, se procede así: Primero. Se traza una línea horizontal y en ella se marca un punto O, que es el centro de la hipérbola. Segundo. Se marcan sobre la línea horizontal los puntos F1 y F2 que son los focos. F1 se ubica hacia el lado derecho de O, y F2 se ubica a la distancia OF1 hacia el lado izquierdo de O. Tercero. Se marcan los puntos A1 y A2 sobre la línea horizontal, a una distancia menor que OF1. A1 se ubica hacia el lado derecho de O y A2 se ubica a la distancia OA1, al lado izquierdo de O. Cuarto. Se considera un punto H situado en el eje focal, exterior al segmento F1F2. Quinto. Haciendo centro en F1 y luego en F2 se trazan dos arcos de radio A1H. Después con radio A2H y haciendo centro en F1 y después en F2 se trazan dos arcos que cortan a los primeros en H1, H2, H3 y H4. Los puntos H1, H2, H3 y H4 son puntos de la hipérbola. Tomando otro punto exterior al segmento F1F2, distinto de H, se obtienen otros cuatro puntos de la hipérbola. Este procedimiento se repite cuantas veces se quiera para obtener todos los puntos de la hipérbola que se desee. H1

H2

F2 H3

A2

0

A1

F1

H

H4

a. Construir una hipérbola siguiendo los pasos anteriores. b. Determinar la ecuación de la hipérbola que dibujó considerando el eje focal sobre x y el centro coincida con el origen del plano cartesiano.

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Sugerencias metodológicas UNIDAD

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• Realice un repaso de los temas vistos en años anteriores tales como los siguientes: Variables estadísticas Una variable estadística es cada una de las características observadas sobre los elementos de una población. Variable cualitativa. Es aquella cuyos valores se expresan mediante atributos o cualidades. Puede ser ordinal o nominal. Es ordinal cuando los datos guardan un orden lógico. Por ejemplo, orden de llegada: primer lugar, segundo lugar… Es nominal cuando los datos no guardan necesariamente un orden lógico. Por ejemplo, estado civil: soltero, casado.… Variable cuantitativa. Es aquella cuyos valores se expresan mediante números. Puede ser discreta o continua. Es discreta cuando los datos toman un número determinado de valores. Por ejemplo, número de hermanos: 0; 1; 2; … Es continua cuando los datos pueden tomar cualquier valor comprendido entre dos valores dados. Por ejemplo, estatura: 1,24; 1,28; 1,32… metros. Intervalos de clase Si la variable es continua, los datos se agrupan en intervalos o clases de la misma amplitud y como mínimo cuatro intervalos. Los intervalos de clase, a excepción del último que es cerrado, todos son semiabiertos de la forma [a, b). En estos intervalos, el valor a recibe el nombre de límite inferior (Li) y pertenece al intervalo; y el valor b recibe el nombre de límite superior (Ls) y no le pertenece (a excepción del último intervalo). La marca de clase (Xi) es el valor que representa los datos de cada intervalo y corresponde a la semisuma de sus dos límites. Así, dado el intervalo [a, b), la marca de clase X I � a � b . 2 Población: es el conjunto de todos los elementos que cumplen ciertas cualidades y entre los cuales se desea estudiar un determinado fenómeno (pueden ser

estudiantes de una institución educativa, número de tornillos producidos por una fábrica en un año, clientes de un supermercado, etc.). Llamamos población estadística o universo al conjunto de referencia sobre el cual van a recaer las observaciones para el estudio estadístico. Muestra: es el subconjunto de la población que es estudiada y a partir de la cual se sacan conclusiones sobre las características de la población. La muestra debe ser representativa, en el sentido de que las conclusiones obtenidas deben servir para el total de la población. Tabla de frecuencias con datos agrupados Para construir una tabla de frecuencias con datos agrupados en intervalos se debe considerar lo siguiente: La amplitud (c) El recorrido (R) de cada intervalo Es el campo de Es un número Resulta de divivariación de la entero que se dir el recorrido variable. Es la di- designa arbitra- (R) entre el núferencia entre el riamente. mero de intermayor y el mevalos (I). nor valor que c5 R I toma. La cantidad de intervalos (I)

A continuación se presenta una tabla de frecuencias con cuatro intervalos: Estatura (cm)

fr

%

[150 - 158)

9

22,5

[158 - 166)

19

47,5

[166 - 174)

7

17,5

[174 - 182]

5

12,5

Total

n 5 40

100%

Proponga a sus estudiantes que escriban los posibles datos que corresponden a esta tabla.

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