Ef Pourtique
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Cours de Enseignement Année Enseignant Application n° Sujet(s)
: : : : : :
Résistance des Matériaux 4 CCV 107 2007- 2008 Michel CAZENAVE 2 – Problème 2 Méthode des déplacements
Soit la structure suivante formée de 3 éléments poutres (élancées) et 4 nœuds. Le chargement consiste en une charge répartie verticale q appliquée aux éléments 1 et 2. Sachant que les appuis aux nœuds 1, 3 et 4 sont tous encastrés, on cherche à déterminer les déplacements et efforts dans cette structure.
L
L
y
y q
x
1
x
2
Y
X
3
E, S, I
E, S, I
E, S, I
L
x y
4
Elément
Nœud i
Nœud j
1 (poutre)
1
2
2 (poutre)
2
3
3 (poutre)
4
2
Longueur (m)
L(10m ) L(10m ) L(10m )
Section (m2) S
Inertie (m4)
S
I
S
I
I
Application numérique : L = 10 m q = 100 kN/m E = 2.1 1011 N/m2 S = 0.00459 m2 I = 0.0000579 m4
Résistance des Matériaux 4
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1
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Questions : 1. Etablir la matrice de rigidité en repère local des éléments 1, 2 et 3
([k1 ], [k 2 ], [k 3 ]) ,
[ ][ ][ ]
2. Etablir les matrices de passage R1 , R2 , R3 des éléments 1, 2 et 3 permettant de passer du repère global au repère local, 3. Etablir la matrice de rigidité en repère global des éléments 1, 2 et 3
([K1 ], [K 2 ], [K 3 ]) ,
({ f1 }, { f 2 }) en repère local des éléments 1 et 2. En déduire les ({F1 }, {F2 }) en repère global puis le vecteur {F } résultant de l’assemblage
4. Etablir les vecteurs charges vecteurs charges de ces 2 vecteurs,
5. En considérant uniquement les charges et les rigidités des degrés de liberté libres, déterminer les déplacements en résolvant le système K {q} = {F },
[ ]
6. Tracer les diagrammes de l’effort normal, de l’effort tranchant et du moment fléchissant.
Résistance des Matériaux 4
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2
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CORRECTION L
L
y
y q
x
1
x
2
Y
X
3
E, S, I
E, S, I
E, S, I
L
x 4
y
1. Matrices de rigidité en repère local A partir de la matrice de rigidité d’un élément poutre plane, on obtient pour les éléments 1, 2 et 3 :
⎡ ES ⎢ L ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 [k 1 ] = [k 2 ] = [k 3 ] = ⎢ ES ⎢− ⎢ L ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣
0
0
12 EI L3 6 EI L2
6 EI L2 4 EI L
0
0
−
12 EI L3 6 EI L2
6 EI L2 2 EI L
−
-
ES L 0 0
ES L 0 0
0 12 EI L3 6 EI − 2z L −
0 12 EI L3 6 EI − 2 L
⎤ ⎥ 6 EI ⎥ ⎥ L2 ⎥ 2 EI ⎥ L ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 6 EI ⎥ − 2 L ⎥ 4 EI ⎥ ⎥ L ⎦ 0
2. Matrices de passage ¾
Pour les éléments 1 et 2 (θ= 0°) :
[R1 ] = [R2 ] = [I ]
Résistance des Matériaux 4
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3
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¾
Pour l’élément 3 (θ = 90°):
⎡ cosθ ⎢− sin θ ⎢ ⎢ 0 [R3 ] = ⎢ ⎢ 0 ⎢ 0 ⎢ ⎣⎢ 0
sin θ cosθ 0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 cosθ
0⎤ ⎡ 0 0⎥⎥ ⎢⎢− 1 0⎥ ⎢ 0 ⎥=⎢ 0⎥ ⎢ 0 0⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 1⎦⎥ ⎣⎢ 0
0 0 0 sin θ
0 − sin θ 0 0
cosθ 0
1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0
0⎤ 0⎥⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ 0 0⎥ ⎥ 0 1⎦⎥
0 0 0 1
3. Matrices de rigidité en repère global ¾
Pour les éléments 1 et 2 :
ES ⎡ ES 0 0 0 ⎢ L L ⎢ 12 EI 6 EI 12 EI ⎢ 0 − 3 0 3 2 L L L ⎢ 6 EI z 6 EI 4 EI ⎢ − 2 0 2 ⎢ 0 L L [K 1 ] = [k 1 ] = ⎢ ES L ES ⎢− 0 0 0 L ⎢ L 12 EI 6 EI 12 EI ⎢ 0 − 3 − 2 0 ⎢ L L L3 ⎢ 6 EI 2 EI 6 EI − 2 0 ⎢ 0 2 L L L ⎣ ES ⎡ ES 0 0 0 ⎢ L L ⎢ 12 EI 6 EI 12 EI ⎢ 0 − 3 0 3 2 L L L ⎢ 6 EI z 6 EI 4 EI ⎢ − 2 0 0 2 L L [K 2 ] = [k 2 ] = ⎢⎢ ES L ES ⎢− 0 0 0 L ⎢ L 12 EI 6 EI 12 EI ⎢ 0 − 3 − 2 0 ⎢ L L L3 ⎢ 6 EI 2 EI 6 EI − 2 0 ⎢ 0 2 L L L ⎣ ¾
⎤ ⎥ 6 EI ⎥ ⎥ L2 ⎥ 2 EI ⎥ L ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 6 EI ⎥ − 2 L ⎥ 4 EI ⎥ ⎥ L ⎦ ⎤ 0 ⎥ 6 EI ⎥ ⎥ L2 ⎥ 2 EI ⎥ L ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 6 EI ⎥ − 2 L ⎥ 4 EI ⎥ ⎥ L ⎦ 0
Pour l’élément 3 :
⎡ 12 EI ⎢ L3 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ − 6 EI 2 T [K 3 ] = [R3 ] [k 3 ][R3 ] = ⎢⎢ 12LEI ⎢− 3 ⎢ L ⎢ 0 ⎢ ⎢ 6 EI ⎢− 2 ⎣ L
0 ES L 0 0 −
ES L 0
−
6 EI L2
−
12 EI L3
0 −
ES L
0
0
4 EI L 6 EI L2
6 EI L2 12 EI L3
0
0
ES L
2 EI L
6 EI L2
0
0 0
Résistance des Matériaux 4
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6 EI ⎤ L2 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 2 EI ⎥ L ⎥ 6 EI ⎥ ⎥ L2 ⎥ 0 ⎥ ⎥ 4 EI ⎥ ⎥ L ⎦
−
4
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4. Vecteurs charges en repère local La charge répartie q appliquée à chacun des 2 éléments est équivalente aux charges nodales suivantes :
⎧ 0 ⎫ ⎪ qL ⎪ ⎪− 2 ⎪ ⎪ qL2 ⎪ ⎪− ⎪ { f1 } = { f 2 } = ⎪⎨ 012 ⎪⎬ ⎪ qL ⎪ ⎪− ⎪ ⎪ 22 ⎪ ⎪ qL ⎪ ⎪⎩ 12 ⎪⎭ 5. Vecteurs charges en repère local Les repères locaux des éléments 1 et 2 étant confondus avec le repère global, on a bien sur :
⎧ 0 ⎫ ⎪ qL ⎪ ⎪− 2 ⎪ ⎪ qL2 ⎪ ⎪− ⎪ ⎪ 12 ⎪ {F1 } = ⎨ 0 ⎬ ⎪ qL ⎪ ⎪− ⎪ ⎪ 22 ⎪ ⎪ qL ⎪ ⎪⎩ 12 ⎪⎭
⎧ 0 ⎫ ⎪ qL ⎪ ⎪− 2 ⎪ ⎪ qL2 ⎪ ⎪− ⎪ ⎪ 12 ⎪ {F2 } = ⎨ 0 ⎬ ⎪ qL ⎪ ⎪− ⎪ ⎪ 22 ⎪ ⎪ qL ⎪ ⎪⎩ 12 ⎪⎭
[ ]
6. Résolution du système K {q} = {F } De part les conditions d’appui, seul le nœud 2 est libre. Il suffit donc d’additionner les parties de rigidité et de vecteurs charges encadrés ci-dessus :
⎡ ES ES 12 EI ⎢ L + L + L3 ⎢ ⎢ 0 ⎢ 6 EI ⎢ ⎢⎣ L2 ⎡ 2 ES 12 EI ⎢ L + L3 ⎢ ⎢ 0 ⎢ 6 EI ⎢ ⎢⎣ L2
0 12 EI 12 EI ES + 3 + L L3 L 6 EI 6 EI − 2 L2 L 0
24 EI ES + L L3 0
6 EI ⎤ ⎧ ⎫ 2 ⎥ ⎪ ⎪ 0 L ⎧U 2 ⎫ ⎪ ⎥ 6 EI 6 EI ⎪ ⎪ ⎪ qL qL ⎪⎪ ⎥ − − ⎬ d’où ⎨ V2 ⎬ = ⎨− 2⎪ L2 L2 ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ 22 4 EI 4 EI 4 EI ⎥ ⎩Β 2 ⎭ ⎪ qL qL2 ⎪ + + ⎪⎩ 12 − 12 ⎪⎭ L L L ⎥⎦
6 EI ⎤ L2 ⎥ ⎧U 2 ⎫ ⎧ 0 ⎫ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎥ ⎨V2 ⎬ = ⎨− qL ⎬ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 12 EI ⎥ ⎩Β 2 ⎭ ⎩ 0 ⎭ L ⎥⎦
De part la symétrie, on pouvait déduire directement U 2 = Β 2 = 0
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5
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d’où : V 2=
− qL = −1.034mm . 24 EI ES + L L3
Effel2004 - Structure - 13.1
Ech=1/77
DEFORMEE D:\GRAITEC\PROJECTS\CNAM\Exam2006_Session2_Theorie 09/03/06 à 16 h 20 - Date 18/11/01 - Fichier Exam2006_Session2_Theorie -
0.00
-1.03 1.03 21.93
0.00 21.93
Y Z
X
0.00
Noeud
Cas
1 2 3 4 Maxi. Mini.
1 1 1 1
DX (mm) 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
Déplacements des noeuds DY RZ (mm) (Rad) 0.000 0.00000000 -1.034 0.00000000 0.000 0.00000000 0.000 0.00000000 0.000 0.00000000 -1.034 0.00000000
D (mm) 0.00 1.03 0.00 0.00 1.03 0.00
7. Efforts et diagrammes Efforts dans l’élément 1 :
[k 1 ]{q1 } = { f1 } + { f i1 } ⇒ ⎡ ES ⎢ L ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ES ⎢− ⎢ L ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣
0
0
12 EI L3 6 EI L2
6 EI L2 4 EI L
0
0
−
12 EI L3 6 EI L2
-
ES L 0 0
ES L
6 EI L2 2 EI L
−
0 0
0 12 EI L3 6 EI − 2 L
−
0 12 EI L3 6 EI − 2 L
⎤ ⎥ ⎧ 0 ⎫ 6 EI ⎥ ⎧ u ⎫ ⎧ N ⎫ ⎪ qL ⎪ ⎧ u ⎫ ⎧U 1 ⎫ − ⎥ 1 1 1 ⎪V ⎪ L2 ⎥ ⎪ v ⎪ ⎪ T ⎪ ⎪⎪ 2 2 ⎪⎪ ⎪ v ⎪ 2 EI ⎥ ⎪ 1 ⎪ ⎪ 1 ⎪ qL ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ 1⎪ ⎪ − L ⎥ ⎪⎪ β 1 ⎪⎪ = ⎪⎪ M 1 ⎪⎪ + ⎪ 12 ⎪car ⎪⎪ β 1 ⎪⎪ = [I ]⎪⎪ Β1 ⎪⎪ ⎨ ⎬ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ 0 ⎬ ⎨ ⎬ ⎪U 2 ⎪ 0 ⎥ ⎪ u 2 ⎪ ⎪ N 2 ⎪ ⎪ qL ⎪ ⎪ u 2 ⎪ ⎪V 2 ⎪ ⎪ ⎪v ⎪ ⎥⎪ v ⎪ ⎪ T ⎪ ⎪ − 6 EI ⎥ ⎪ 2 ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ − 2 ⎪⎩ β 2 ⎪⎭ ⎪⎩M 2 ⎪⎭ ⎪ qL2 ⎪ ⎪⎩ β 2 ⎪⎭ ⎪⎩Β 2 ⎪⎭ ⎥ L ⎪ ⎪ 4 EI ⎥ ⎩ 12 ⎭ ⎥ L ⎦ 0
Résistance des Matériaux 4
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6
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⎧ N1 ⎫ ⎧ 0 ⎫ ⎪ T ⎪ ⎪ 50150 ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ M 1 ⎪⎪ ⎪⎪ 84087 ⎪⎪ on obtient : ⎨ ⎬=⎨ ⎬ ⎪ N2 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ T2 ⎪ ⎪ 49849 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩M 2 ⎪⎭ ⎪⎩− 82578⎪⎭ Efforts dans l’élément 3 :
[k 3 ]{q3 } = { f 3 } + { f i 3 } ⇒ ⎡ ES ⎢ L ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ES ⎢− ⎢ L ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣ et
0
0
12 EI L3 6 EI L2
6 EI L2 4 EI L
0
0
−
12 EI L3 6 EI L2
-
0
0 12 EI L3 6 EI − 2 L
−
0 ES L
6 EI L2 2 EI L
−
⎧u4 ⎫ ⎧U 4 ⎫ ⎡ 0 ⎪v ⎪ ⎪V ⎪ ⎢− 1 ⎪ 4⎪ ⎪ 4⎪ ⎢ ⎪⎪ β 4 ⎪⎪ ⎪⎪Β 4 ⎪⎪ ⎢ 0 ⎨ ⎬ = [R3 ]⎨ ⎬ = ⎢ ⎪u2 ⎪ ⎪U 2 ⎪ ⎢ 0 ⎪ v2 ⎪ ⎪V 2 ⎪ ⎢ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪⎩ β 2 ⎪⎭ ⎪⎩Β 2 ⎪⎭ ⎢⎣ 0
ES L
0 12 EI L3 6 EI − 2 L
0 0
⎤ ⎥ 6 EI ⎥ ⎧ u ⎫ ⎧ N ⎫ ⎥ 4 4 L2 ⎥ ⎪ v ⎪ ⎪ T ⎪ 2 EI ⎥ ⎪ 4 ⎪ ⎪ 4 ⎪ L ⎥ ⎪⎪ β 4 ⎪⎪ = ⎪⎪M 4 ⎪⎪ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬ 0 ⎥⎪u 2 ⎪ ⎪ N 2 ⎪ ⎥⎪ v ⎪ ⎪ T ⎪ 6 EI ⎥ ⎪ 2 ⎪ ⎪ 2 ⎪ − 2 ⎪⎩ β 2 ⎪⎭ ⎪⎩M 2 ⎪⎭ L ⎥ 4 EI ⎥ ⎥ L ⎦ 0
0 0⎤ ⎧U 4 ⎫ 0 0⎥⎥ ⎪⎪V4 ⎪⎪ ⎧u 2 = V2 0 0⎥ ⎪⎪ β 4 ⎪⎪ ⎪ ⎥ ⎨ ⎬ ⇒ ⎨v 2 = −U 2 0 0 0 1 0⎥ ⎪U 2 ⎪ ⎪ β 2 = Β2 0 0 − 1 0 0⎥ ⎪ V 2 ⎪ ⎩ ⎥⎪ ⎪ 0 0 0 0 1⎥⎦ ⎪⎩ β 2 ⎪⎭
1 0 0 0 0 1
0 0 0
⎧ N 4 ⎫ ⎧ 99698 ⎫ ⎪T ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪M 4 ⎪⎪ ⎪⎪ 0 ⎪⎪ on obtient : ⎨ ⎬ ⎬=⎨ ⎪ N 2 ⎪ ⎪− 99698⎪ ⎪ T2 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩M 2 ⎪⎭ ⎪⎩ 0 ⎪⎭
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Effel2004 - Structure - 13.1
Ech=1/77
EFFORT NORMAL D:\GRAITEC\PROJECTS\CNAM\Exam2006_Session2_Theorie 09/03/06 à 16 h 21 - Date 18/11/01 - Fichier Exam2006_Session2_Theorie -
-99698.17
Y Z
-99698.17
X
Effel2004 - Structure - 13.1
Ech=1/77
EFFORT TRANCHANT D:\GRAITEC\PROJECTS\CNAM\Exam2006_Session2_Theorie 09/03/06 à 16 h 22 - Date 18/11/01 - Fichier Exam2006_Session2_Theorie -
49849.08
50150.92
-49849.08
-50150.92
Y Z
X
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Effel2004 - Structure - 13.1
Ech=1/77
MOMENT FLECHISSANT D:\GRAITEC\PROJECTS\CNAM\Exam2006_Session2_Theorie 09/03/06 à 16 h 23 - Date 18/11/01 - Fichier Exam2006_Session2_Theorie -
84087.91
84087.91
82578.7682578.76
-41666.67
-41666.67
Y Z
X
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Cours de Enseignement Année Enseignant Application n° Sujet(s)
: : : : : :
Résistance des Matériaux 4 CCV 107 2007- 2008 Michel CAZENAVE 2 – Problème 2 Méthode des déplacements
Soit la structure suivante formée de 3 éléments poutres (élancées) et 4 nœuds. Le chargement consiste en une charge répartie verticale q appliquée aux éléments 1 et 2. Sachant que les appuis aux nœuds 1, 3 et 4 sont tous encastrés, on cherche à déterminer les déplacements et efforts dans cette structure.
L
L
y
y q
x
1
x
2
Y
X
3
E, S, I
E, S, I
E, S, I
L
x y
4
Elément
Nœud i
Nœud j
1 (poutre)
1
2
2 (poutre)
2
3
3 (poutre)
4
2
Longueur (m)
L(10m ) L(10m ) L(10m )
Section (m2) S
Inertie (m4)
S
I
S
I
I
Application numérique : L = 10 m q = 100 kN/m E = 2.1 1011 N/m2 S = 0.00459 m2 I = 0.0000579 m4
Résistance des Matériaux 4
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Questions : 1. Etablir la matrice de rigidité en repère local des éléments 1, 2 et 3
([k1 ], [k 2 ], [k 3 ]) ,
[ ][ ][ ]
2. Etablir les matrices de passage R1 , R2 , R3 des éléments 1, 2 et 3 permettant de passer du repère global au repère local, 3. Etablir la matrice de rigidité en repère global des éléments 1, 2 et 3
([K1 ], [K 2 ], [K 3 ]) ,
({ f1 }, { f 2 }) en repère local des éléments 1 et 2. En déduire les ({F1 }, {F2 }) en repère global puis le vecteur {F } résultant de l’assemblage
4. Etablir les vecteurs charges vecteurs charges de ces 2 vecteurs,
5. En considérant uniquement les charges et les rigidités des degrés de liberté libres, déterminer les déplacements en résolvant le système K {q} = {F },
[ ]
6. Tracer les diagrammes de l’effort normal, de l’effort tranchant et du moment fléchissant.
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CORRECTION L
L
y
y q
x
1
x
2
Y
X
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E, S, I
E, S, I
E, S, I
L
x 4
y
1. Matrices de rigidité en repère local A partir de la matrice de rigidité d’un élément poutre plane, on obtient pour les éléments 1, 2 et 3 :
⎡ ES ⎢ L ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 [k 1 ] = [k 2 ] = [k 3 ] = ⎢ ES ⎢− ⎢ L ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣
0
0
12 EI L3 6 EI L2
6 EI L2 4 EI L
0
0
−
12 EI L3 6 EI L2
6 EI L2 2 EI L
−
-
ES L 0 0
ES L 0 0
0 12 EI L3 6 EI − 2z L −
0 12 EI L3 6 EI − 2 L
⎤ ⎥ 6 EI ⎥ ⎥ L2 ⎥ 2 EI ⎥ L ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 6 EI ⎥ − 2 L ⎥ 4 EI ⎥ ⎥ L ⎦ 0
2. Matrices de passage ¾
Pour les éléments 1 et 2 (θ= 0°) :
[R1 ] = [R2 ] = [I ]
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¾
Pour l’élément 3 (θ = 90°):
⎡ cosθ ⎢− sin θ ⎢ ⎢ 0 [R3 ] = ⎢ ⎢ 0 ⎢ 0 ⎢ ⎣⎢ 0
sin θ cosθ 0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 cosθ
0⎤ ⎡ 0 0⎥⎥ ⎢⎢− 1 0⎥ ⎢ 0 ⎥=⎢ 0⎥ ⎢ 0 0⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 1⎦⎥ ⎣⎢ 0
0 0 0 sin θ
0 − sin θ 0 0
cosθ 0
1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0
0⎤ 0⎥⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ 0 0⎥ ⎥ 0 1⎦⎥
0 0 0 1
3. Matrices de rigidité en repère global ¾
Pour les éléments 1 et 2 :
ES ⎡ ES 0 0 0 ⎢ L L ⎢ 12 EI 6 EI 12 EI ⎢ 0 − 3 0 3 2 L L L ⎢ 6 EI z 6 EI 4 EI ⎢ − 2 0 2 ⎢ 0 L L [K 1 ] = [k 1 ] = ⎢ ES L ES ⎢− 0 0 0 L ⎢ L 12 EI 6 EI 12 EI ⎢ 0 − 3 − 2 0 ⎢ L L L3 ⎢ 6 EI 2 EI 6 EI − 2 0 ⎢ 0 2 L L L ⎣ ES ⎡ ES 0 0 0 ⎢ L L ⎢ 12 EI 6 EI 12 EI ⎢ 0 − 3 0 3 2 L L L ⎢ 6 EI z 6 EI 4 EI ⎢ − 2 0 0 2 L L [K 2 ] = [k 2 ] = ⎢⎢ ES L ES ⎢− 0 0 0 L ⎢ L 12 EI 6 EI 12 EI ⎢ 0 − 3 − 2 0 ⎢ L L L3 ⎢ 6 EI 2 EI 6 EI − 2 0 ⎢ 0 2 L L L ⎣ ¾
⎤ ⎥ 6 EI ⎥ ⎥ L2 ⎥ 2 EI ⎥ L ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 6 EI ⎥ − 2 L ⎥ 4 EI ⎥ ⎥ L ⎦ ⎤ 0 ⎥ 6 EI ⎥ ⎥ L2 ⎥ 2 EI ⎥ L ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 6 EI ⎥ − 2 L ⎥ 4 EI ⎥ ⎥ L ⎦ 0
Pour l’élément 3 :
⎡ 12 EI ⎢ L3 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ − 6 EI 2 T [K 3 ] = [R3 ] [k 3 ][R3 ] = ⎢⎢ 12LEI ⎢− 3 ⎢ L ⎢ 0 ⎢ ⎢ 6 EI ⎢− 2 ⎣ L
0 ES L 0 0 −
ES L 0
−
6 EI L2
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12 EI L3
0 −
ES L
0
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4 EI L 6 EI L2
6 EI L2 12 EI L3
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2 EI L
6 EI L2
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6 EI ⎤ L2 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 2 EI ⎥ L ⎥ 6 EI ⎥ ⎥ L2 ⎥ 0 ⎥ ⎥ 4 EI ⎥ ⎥ L ⎦
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4. Vecteurs charges en repère local La charge répartie q appliquée à chacun des 2 éléments est équivalente aux charges nodales suivantes :
⎧ 0 ⎫ ⎪ qL ⎪ ⎪− 2 ⎪ ⎪ qL2 ⎪ ⎪− ⎪ { f1 } = { f 2 } = ⎪⎨ 012 ⎪⎬ ⎪ qL ⎪ ⎪− ⎪ ⎪ 22 ⎪ ⎪ qL ⎪ ⎪⎩ 12 ⎪⎭ 5. Vecteurs charges en repère local Les repères locaux des éléments 1 et 2 étant confondus avec le repère global, on a bien sur :
⎧ 0 ⎫ ⎪ qL ⎪ ⎪− 2 ⎪ ⎪ qL2 ⎪ ⎪− ⎪ ⎪ 12 ⎪ {F1 } = ⎨ 0 ⎬ ⎪ qL ⎪ ⎪− ⎪ ⎪ 22 ⎪ ⎪ qL ⎪ ⎪⎩ 12 ⎪⎭
⎧ 0 ⎫ ⎪ qL ⎪ ⎪− 2 ⎪ ⎪ qL2 ⎪ ⎪− ⎪ ⎪ 12 ⎪ {F2 } = ⎨ 0 ⎬ ⎪ qL ⎪ ⎪− ⎪ ⎪ 22 ⎪ ⎪ qL ⎪ ⎪⎩ 12 ⎪⎭
[ ]
6. Résolution du système K {q} = {F } De part les conditions d’appui, seul le nœud 2 est libre. Il suffit donc d’additionner les parties de rigidité et de vecteurs charges encadrés ci-dessus :
⎡ ES ES 12 EI ⎢ L + L + L3 ⎢ ⎢ 0 ⎢ 6 EI ⎢ ⎢⎣ L2 ⎡ 2 ES 12 EI ⎢ L + L3 ⎢ ⎢ 0 ⎢ 6 EI ⎢ ⎢⎣ L2
0 12 EI 12 EI ES + 3 + L L3 L 6 EI 6 EI − 2 L2 L 0
24 EI ES + L L3 0
6 EI ⎤ ⎧ ⎫ 2 ⎥ ⎪ ⎪ 0 L ⎧U 2 ⎫ ⎪ ⎥ 6 EI 6 EI ⎪ ⎪ ⎪ qL qL ⎪⎪ ⎥ − − ⎬ d’où ⎨ V2 ⎬ = ⎨− 2⎪ L2 L2 ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ 22 4 EI 4 EI 4 EI ⎥ ⎩Β 2 ⎭ ⎪ qL qL2 ⎪ + + ⎪⎩ 12 − 12 ⎪⎭ L L L ⎥⎦
6 EI ⎤ L2 ⎥ ⎧U 2 ⎫ ⎧ 0 ⎫ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎥ ⎨V2 ⎬ = ⎨− qL ⎬ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 12 EI ⎥ ⎩Β 2 ⎭ ⎩ 0 ⎭ L ⎥⎦
De part la symétrie, on pouvait déduire directement U 2 = Β 2 = 0
Résistance des Matériaux 4
Source: www.almohandiss.com
5
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d’où : V 2=
− qL = −1.034mm . 24 EI ES + L L3
Effel2004 - Structure - 13.1
Ech=1/77
DEFORMEE D:\GRAITEC\PROJECTS\CNAM\Exam2006_Session2_Theorie 09/03/06 à 16 h 20 - Date 18/11/01 - Fichier Exam2006_Session2_Theorie -
0.00
-1.03 1.03 21.93
0.00 21.93
Y Z
X
0.00
Noeud
Cas
1 2 3 4 Maxi. Mini.
1 1 1 1
DX (mm) 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
Déplacements des noeuds DY RZ (mm) (Rad) 0.000 0.00000000 -1.034 0.00000000 0.000 0.00000000 0.000 0.00000000 0.000 0.00000000 -1.034 0.00000000
D (mm) 0.00 1.03 0.00 0.00 1.03 0.00
7. Efforts et diagrammes Efforts dans l’élément 1 :
[k 1 ]{q1 } = { f1 } + { f i1 } ⇒ ⎡ ES ⎢ L ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ES ⎢− ⎢ L ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣
0
0
12 EI L3 6 EI L2
6 EI L2 4 EI L
0
0
−
12 EI L3 6 EI L2
-
ES L 0 0
ES L
6 EI L2 2 EI L
−
0 0
0 12 EI L3 6 EI − 2 L
−
0 12 EI L3 6 EI − 2 L
⎤ ⎥ ⎧ 0 ⎫ 6 EI ⎥ ⎧ u ⎫ ⎧ N ⎫ ⎪ qL ⎪ ⎧ u ⎫ ⎧U 1 ⎫ − ⎥ 1 1 1 ⎪V ⎪ L2 ⎥ ⎪ v ⎪ ⎪ T ⎪ ⎪⎪ 2 2 ⎪⎪ ⎪ v ⎪ 2 EI ⎥ ⎪ 1 ⎪ ⎪ 1 ⎪ qL ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ 1⎪ ⎪ − L ⎥ ⎪⎪ β 1 ⎪⎪ = ⎪⎪ M 1 ⎪⎪ + ⎪ 12 ⎪car ⎪⎪ β 1 ⎪⎪ = [I ]⎪⎪ Β1 ⎪⎪ ⎨ ⎬ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ 0 ⎬ ⎨ ⎬ ⎪U 2 ⎪ 0 ⎥ ⎪ u 2 ⎪ ⎪ N 2 ⎪ ⎪ qL ⎪ ⎪ u 2 ⎪ ⎪V 2 ⎪ ⎪ ⎪v ⎪ ⎥⎪ v ⎪ ⎪ T ⎪ ⎪ − 6 EI ⎥ ⎪ 2 ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ − 2 ⎪⎩ β 2 ⎪⎭ ⎪⎩M 2 ⎪⎭ ⎪ qL2 ⎪ ⎪⎩ β 2 ⎪⎭ ⎪⎩Β 2 ⎪⎭ ⎥ L ⎪ ⎪ 4 EI ⎥ ⎩ 12 ⎭ ⎥ L ⎦ 0
Résistance des Matériaux 4
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⎧ N1 ⎫ ⎧ 0 ⎫ ⎪ T ⎪ ⎪ 50150 ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ M 1 ⎪⎪ ⎪⎪ 84087 ⎪⎪ on obtient : ⎨ ⎬=⎨ ⎬ ⎪ N2 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ T2 ⎪ ⎪ 49849 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩M 2 ⎪⎭ ⎪⎩− 82578⎪⎭ Efforts dans l’élément 3 :
[k 3 ]{q3 } = { f 3 } + { f i 3 } ⇒ ⎡ ES ⎢ L ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ES ⎢− ⎢ L ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣ et
0
0
12 EI L3 6 EI L2
6 EI L2 4 EI L
0
0
−
12 EI L3 6 EI L2
-
0
0 12 EI L3 6 EI − 2 L
−
0 ES L
6 EI L2 2 EI L
−
⎧u4 ⎫ ⎧U 4 ⎫ ⎡ 0 ⎪v ⎪ ⎪V ⎪ ⎢− 1 ⎪ 4⎪ ⎪ 4⎪ ⎢ ⎪⎪ β 4 ⎪⎪ ⎪⎪Β 4 ⎪⎪ ⎢ 0 ⎨ ⎬ = [R3 ]⎨ ⎬ = ⎢ ⎪u2 ⎪ ⎪U 2 ⎪ ⎢ 0 ⎪ v2 ⎪ ⎪V 2 ⎪ ⎢ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪⎩ β 2 ⎪⎭ ⎪⎩Β 2 ⎪⎭ ⎢⎣ 0
ES L
0 12 EI L3 6 EI − 2 L
0 0
⎤ ⎥ 6 EI ⎥ ⎧ u ⎫ ⎧ N ⎫ ⎥ 4 4 L2 ⎥ ⎪ v ⎪ ⎪ T ⎪ 2 EI ⎥ ⎪ 4 ⎪ ⎪ 4 ⎪ L ⎥ ⎪⎪ β 4 ⎪⎪ = ⎪⎪M 4 ⎪⎪ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬ 0 ⎥⎪u 2 ⎪ ⎪ N 2 ⎪ ⎥⎪ v ⎪ ⎪ T ⎪ 6 EI ⎥ ⎪ 2 ⎪ ⎪ 2 ⎪ − 2 ⎪⎩ β 2 ⎪⎭ ⎪⎩M 2 ⎪⎭ L ⎥ 4 EI ⎥ ⎥ L ⎦ 0
0 0⎤ ⎧U 4 ⎫ 0 0⎥⎥ ⎪⎪V4 ⎪⎪ ⎧u 2 = V2 0 0⎥ ⎪⎪ β 4 ⎪⎪ ⎪ ⎥ ⎨ ⎬ ⇒ ⎨v 2 = −U 2 0 0 0 1 0⎥ ⎪U 2 ⎪ ⎪ β 2 = Β2 0 0 − 1 0 0⎥ ⎪ V 2 ⎪ ⎩ ⎥⎪ ⎪ 0 0 0 0 1⎥⎦ ⎪⎩ β 2 ⎪⎭
1 0 0 0 0 1
0 0 0
⎧ N 4 ⎫ ⎧ 99698 ⎫ ⎪T ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪M 4 ⎪⎪ ⎪⎪ 0 ⎪⎪ on obtient : ⎨ ⎬ ⎬=⎨ ⎪ N 2 ⎪ ⎪− 99698⎪ ⎪ T2 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩M 2 ⎪⎭ ⎪⎩ 0 ⎪⎭
Résistance des Matériaux 4
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Effel2004 - Structure - 13.1
Ech=1/77
EFFORT NORMAL D:\GRAITEC\PROJECTS\CNAM\Exam2006_Session2_Theorie 09/03/06 à 16 h 21 - Date 18/11/01 - Fichier Exam2006_Session2_Theorie -
-99698.17
Y Z
-99698.17
X
Effel2004 - Structure - 13.1
Ech=1/77
EFFORT TRANCHANT D:\GRAITEC\PROJECTS\CNAM\Exam2006_Session2_Theorie 09/03/06 à 16 h 22 - Date 18/11/01 - Fichier Exam2006_Session2_Theorie -
49849.08
50150.92
-49849.08
-50150.92
Y Z
X
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Effel2004 - Structure - 13.1
Ech=1/77
MOMENT FLECHISSANT D:\GRAITEC\PROJECTS\CNAM\Exam2006_Session2_Theorie 09/03/06 à 16 h 23 - Date 18/11/01 - Fichier Exam2006_Session2_Theorie -
84087.91
84087.91
82578.7682578.76
-41666.67
-41666.67
Y Z
X
Résistance des Matériaux 4
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