Ejercicio-3.docx

EJERCICIO 3.1 APLICACIONES A LA GEOMETRÍA 1. Hallar una curva que pase por el punto (0, −3), de manera que la pendiente de la tangente en cualquiera de sus puntos sea el doble de la ordenada en el mismo punto. Respuestas y= -3e 2x 2. Encontrar la ecuación de una curva que pasa por el punto (0, 2) y en cada punto (x, y) tiene pendiente –xy 2

Respuesta y= 2 e−x / 2 3. Encontrar la ecuación de la curva que pasa por el punto (1, e) y en cada punto (x, y) la pendiente de su normal es x2/y Respuesta y= e 1/x 4. Encontrar la ecuación de una familia de curvas tal que todas sus tangentes pasen por el origen Respuesta y= kx 5. Demostrar que la curva que posee la propiedad de que todas sus normales pasan por un punto fijo es una circunferencia. 6. Hallar la curva que tiene la propiedad de que el segmento de cada tangente a la curva, comprendido entre los ejes de coordenadas, se divide por la mitad en el punto de tangencia. 7. Encontrar la familia de curvas con la propiedad de que en cualquier punto, la recta tangente es perpendicular a la que une el punto con el origen de coordenadas. Respuesta x2+y2=c,c>0 8. En cierto punto de una curva, la pendiente es igual al recíproco de la abscisa. Hallar la familia de curvas que tienen esta propiedad. Respuesta y=ln x+c 9. Hallar las curvas para las cuales cada normal en un punto dado y su intersección con el eje x tienen la misma longitud. Respuesta x2+y2+2cx=k 10. Hallar la familia de curvas con la propiedad de que en cualquier punto la pendiente de la normal se obtiene del recíproco de la abscisa restándole la unidad. Respuestas y=x + ln (x-1)+c 11. Encontrar la curva que pasa por el punto (0, 3) y tal que la proyección de su tangente en dicho punto sobre el eje x siempre tenga una longitud igual a 2. Respuesta y2 = 9ex 12. La proyección de la recta normal desde un punto P de la curva sobre el eje x tiene una longitud igual a la abscisa en P. Encontrar la ecuación de dicha curva que pasa por el punto (2, 3).

Respuesta y2 + x2 =13 13. La pendiente de una curva, en cualquier punto (x, y) es 2x - y . Determinarla ecuación de dicha curva, sabiendo que pasa por el punto (0, D) Respuesta y = 2x – 2 + 3e –x 14. La pendiente de una curva en cualquier punto es 3 x 2 . Determinar la ecuación de dicha curva, sabiendo que pasa por el punto (1, 1). Respuesta y= x3 15. Hallar una curva que pase por el punto (0, −1), de modo que la pendiente de la tangente en cualquiera de sus puntos sea igual a la abscisa del punto, aumentada en 5 unidades. Respuestas y =

x2 + 5 x−1 2

16. Demostrar que la curva cuya pendiente de la tangente en cualquier punto (x, y) es proporcional a la abscisa del punto (x0, y0), en una parábola Respuesta 17. Hallar la curva para la que se cumple que la pendiente de la tangente en cualquier punto es k veces mayor que la pendiente de la recta que une este punto con el origen de coordenadas. Respuesta y = cxk 18. Hallar la familia de curvas que tiene la propiedad de que la pendiente de la recta tangente en cualquier punto es la suma del doble de la ordenada y la mitad de la abscisa del punto. Respuestas y =

−1 1 x− +ce 2 x 4 8

19. Hallar la ecuación de la familia de curvas con la propiedad de que la distancia del origen a la recta tangente en un punto P de una curva es igual a la abscisa en P. Respuesta x2 + y2 =cx 20. Encontrar la familia de curvas con la propiedad de que la recta normal en cualquiera de sus puntos P coincida con la recta que une al punto P con el origen. Respuesta x2 + y2 = c 21. Encontrar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas:

r=c (senθ−cosθ ) r=c (cosθ+ senθ)

Respuesta

22. Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas: 2

r=c cos θ

Respuesta

2

r =csenθ

23. Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas:

r=

c 1−cosθ

c 1+cosθ

r=

Respuesta

24. Sea la familia de rectas y = c, x; encontrar la familia de trayectorias isogonales que forman con dichas rectas un ángulo de

π 3

radianes.

2 y tan −1 =ln (x 2+ y2 ) x √3

Respuesta

25. Demostrar que la recta normal corta al eje x en x 1 + yy´ 1 =+ ′ 26. Demostrar que la longitud de la normal desde un punto P hasta el eje y es:

|

x √ 1+ y ´2 y´

|

27. Demostrar que la longitud de la subtangente es

| yy´ |

28. Hallar la longitud de la recta tangente a una curva desde el punto (1, 1) al eje x, sabiendo que su pendiente es 2x. Respuesta

√ 5 =1.118 2

29. La intersección con el eje y de la normal a una curva en cualquier punto es y/2 . Si la curva pasa por el punto (1, 1), encontrar su ecuación. Respuesta

2

x

y + 2 x =3

30. La tangente a una familia de curvas en el punto P corta a los ejes coordenado formando con ellos un triángulo; ya que las coordenadas del punto P forman con los ejes un rectángulo, hallar la familia de curvas con la propiedad de que el área del triángulo es siempre el doble que la del rectángulo. Respuesta xy = c 31. Encontrar la curva que cumple la condición de que el área acotada por dicha curva desde (0, 1) a (x, y), el eje x y la ordenada, es igual a la ordenada. Respuesta y = ex 32. Hallar la curva en el plano xy, con la propiedad de que el área acotada por esta curva, el eje x y la ordenada, es igual a la longitud de la curva desde el punto (0, 1) al punto (x, y). Respuesta y = cosh x

33. Hallar las coordenadas del punto o puntos de la curva y = 2x 2 que están más próximos al punto (9, 0). Respuesta (1,2) 34. Hallar las coordenadas del punto o de los puntos de la curva x 2 - y2 = 9 que están más cercanos al punto (0, 7). Respuesta

(−4 √7 ) ,(4 √ 7)

En los siguientes ejercicios, elegir la opción que contiene la solución correcta. 35. La derivada dx / dt es proporcional a x. Sea x(0 ) = 10 y x( 5 ) = 15 . Hallar El valor de x cuando t=20 a) 4.05 b) 50.6 c) 0.81 d) 16.21 36. Dada la ecuación y´ 2 = 36 xy , elegir la opción que contiene dos soluciones que pasan por el punto (4,1). 3

−2 x 2 −17 ¿ 2 a)

3

2 x 2 −17 ¿ 2 , y=¿ y=¿

b) No tiene solución porque no es lineal 3

−2 x 2 +17 ¿2 c)

3 2

2 x −15 ¿ 2 , y=¿ y=¿

d) No se puede tener dos soluciones porque contradice el teorema de existencia y unicidad 37. Seleccionar la opción que contiene las trayectorias ortogonales de la familia de circunferencias cuyos centros están en el eje x y pasan por el origen. 2 2 a) x + y =kx b) c)

y 2−x 2 y´= 2 xy 2 xy y´= 2 2 x −y 2 2 x + y =cy

d) 38. Elegir la opción que contiene la ecuación de la curva C que se muestra en la fi gura, sabiendo que el área del triángulo APB es constante. a) y 2=6 kx + c b) A=K c) d)

AB y 2 y dy=2 kdx

tanθ=

39. Hallar la curva que pasa por el punto (1, 1), cuya normal en cualquier punto (excepto en x = 0) queda dividida en dos partes iguales por el eje y. a) y 2+ 2 x 2=3 yy ´ =−2 x b) c) d)

y2 =−x 2+ c 2 3 c= 2

40. ¿Qué opción contiene la familia de trayectorias ortogonales de la función cos y =ae -x? x a) cos y=a e x b) sec y=a e x c) seny =c e d) seny=c e−x Respuestas: 35. b. Los demás valores son resultados intermedios. 36. c. Es no lineal y admite dos soluciones por ser cuadrática, como puede verificarse. 37. d. La opción a contiene precisamente la familia de circunferencias cuyos centros están en el eje x y pasan por el origen (que es dato del ejercicio). La opción b representa la ecuación diferencial de la familia de la opción a. La opción c es la ecuación que da la solución correcta en la opción d. 38. a. Las demás opciones representan los pasos intermedios en la solución del problema. 39. a. Las demás opciones son pasos intermedios.

Ejercicio 3.2 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de Bernoulli. 1.

1 2 y ´ + y = x4 y4 x 3

Respuesta: 2.

1 2 + x =c 3 x y 3

−2

y ´ + xy=x y

Respuesta:

2

y 3=1+c e−3 x / 2

3.

1 3 −1 y ´ + y =4 x y x

Respuesta: 4.

4 y 2= x 4 +c x−2 3 1

y ´ −xy=2 x y 2 2

Respuesta: 5.

{

}

x =lnp−sen−1 p−2 c y= p2− p 2

{

c cosp − 2 −senp p2 p 2c cosp y= − −senp p p x=

Respuesta:

{

−2 e p 4 e p 4 e p c + 2 − 3 + 3 p p p p p p 6e 6 e 3c y= − 2 + 2 −2 e p p p 2p

y=xy ´−

Respuesta: 11.

}

3 y= xy ´ +e y ´ 2 x=

10.

}

y=2 xy ´ +seny ´

Respuesta:

9.

{

x =cp−lnp−2 c y= p2− p 2

y= y ´ + √ 1− y ´ 2

Respuestas: 8.

y 3−x 3=c x 2

2 y=xy ´ + y ´ lny ´

Respuesta: 7.

y=c e +2

3 xy ´ −2 y=x 3 y −2

Respuesta: 6.

x 4

{

}

1 y´

1 y=cx− solución general . c 2 y =−4 x , solución singular

y=xy ´ + y ´

Respuesta: { y=cx+ c , solución general }

}

12.

y=xy ´ +3 y ´

Respuesta:

13.

y´ 2

{ {

1 y ´2

y=cx + y =3

y=xy ´ +

Respuesta:

}

{ y=cx + c2 solución general }

x=xy ´ +

Respuesta:

15.

y=cx +3 c 2 , solución general −x 2 y= solución general 12

y=xy ´ +

Respuesta: 14.

{

2

√ 3

1 solución singular c2 x2 solución general 4

}

5 y´

5 y=cx + , solución general c 2 y =20 x , solución singular

}

Ejercicios 3.3 1. El uranio se descompone a una velocidad proporcional a la cantidad presente. Si inicialmente hay 10 g y después de 2 horas se ve que ha perdido el 5% de su masa original, hallar: a) La ecuación que representa la cantidad restante en cualquier tiempo t. b) La cantidad de uranio después de 5 horas Respuesta: a. y= e-0.026t b. y= 8.781g 2. En una reacción química, la sustancia M se transforma en otra sustancia a una velocidad proporcional a la cantidad de M no transformada todavía. Si al inicio de la reacción había 200 g de M y una hora más tarde 75 g, calcular el porcentaje de M transformada después de 2 horas. Respuesta: 85.93 por ciento 3. Sabemos que un material radiactivo se desintegra proporcionalmente a la cantidad existente en cada momento. En una prueba realizada con 60 mg de este material, se observó que después de 3 horas, solamente el 80% de la masa permanecía en ese momento. Hallar: a) La ecuación que exprese la cantidad restante de masa en un tiempo t. b) ¿Qué cantidad permanece cuando t = 5 h?

c) ¿Para qué valor de t, la cantidad de material es ¼ de la cantidad inicial? Respuesta a. y=60e(dm0.8)/3 b. y=41.365 mg c.t=18.6h 4. Cierto material radiactivo se desintegra a una tasa proporcional a la cantidad presente. Si actualmente se cuenta con 300 g del material y después de dos años se observa que el 14% de la masa original se ha desintegrado, hallar: a. Una expresión para la cantidad de material en un tiempo t. b. El tiempo necesario para que se haya desintegrado un 30 por ciento. Respuesta a. y=300 e t (0.5ln (43/50)) b. t=4.73 años 5. Se sabe que cierto material se desintegra a una razón proporcional a la cantidad presente. Si después de una hora se observa que el 20% se ha desintegrado, hallar la vida media del material. Respuesta: 3.11 horas 6. Los experimentos demuestran que la rapidez de conversión del azúcar de caña en solución diluida es proporcional a la concentración de azúcar aún no diluida. Supongamos que en t = 0 la concentración de azúcar es 1/150 y en t = 5 h es 1/200. Hallar la ecuación que da la concentración de azúcar sin diluir en función del tiempo. Respuesta: y=1/150 e-0.058t 7. Se ha observado en el laboratorio que el radio se desintegra a una rapidez proporcional a la cantidad de radio presente. Su vida media es de 1 600 años ¿Qué porcentaje desaparecerá en un año? Respuesta: 0.043 por ciento 8. En un cultivo de levadura la rapidez de cambio es proporcional a la cantidad existente. Si la cantidad de cultivo se duplica en 4 horas ¿qué cantidad puede esperarse al cabo de 12 horas, con la misma rapidez de crecimiento? Respuesta ocho veces mas 9. La conversión de una sustancia A sigue la ley del “proceso de primer orden”. Si al cabo de 20 segundos apenas una cuarta parte de la sustancia se transformó, hallar cuándo se transformarán nueve décimas partes de esa sustancia. Respuesta: t=160 segundos 10. Una sustancia radiactiva tiene un periodo de semidesintegración de 40 horas. Hallar cuánto tiempo tardará en desaparecer el 90% de su radiactividad. Respuesta: 132.8 horas

Ejercicios 3.4 1. Gracias a ciertos estudios realizados se sabe que la mosca del Mediterráneo crece en proporción al número presente en cada momento. Después de 2 horas de observación se forman 800 familias de la mosca y después de5 horas se forman 2 000 familias.

Encontrar: a. La ecuación que representa el número de familias en función del tiempo, y b. el número de familia que había al inicio. Respuestas: a. y= 434e0.305t b. y=434 2. La población de cierta ciudad aumenta proporcionalmente al número de habitantes que hay en un momento dado en ella. Si después de 5 años, la población se ha triplicado y después de 8 años es de 45 000 habitantes, hallar el número de ciudadanos que había inicialmente. Respuesta: 7760 habitantes 3. Una industria le ha encargado a una de sus empacadoras procesar pescado para producir un concentrado rico en proteínas para mejorar la alimentación de los consumidores. Se sabe que 6 kg de pescado son los que se necesitan para producir un kilogramo de este producto. Para esto hay que secar el pescado en cuartos especiales, en los cuales se hace pasar una corriente de aire seco sobre ellos para quitarles la humedad. Por otra parte, los investigadores han demostrado que la velocidad de secado es proporcional a la humedad que contenga el pescado y además que a los 25 minutos del proceso se ha perdido la mitad de la humedad inicial. Para producir este concentrado se requiere que el pescado contenga solamente 10% de su humedad inicial. ¿Cuánto tiempo tiene que permanecer el pescado en el cuarto para perder el 90% de su humedad? Respuesta 1hora 23 minutos, aproximadamente. 4. En el proceso de respiración absorbemos aire que contiene principalmente nitrógeno y oxígeno, y al exhalar despedimos bióxido de carbono. Se quiere purifi car el ambiente de un salón donde se encuentran bailando un gran número de personas; para ello, se hace pasar una corriente aire puro de 3 500 m 3 /h de aire al que llamaremos Q a1, y se hace salir 3 000 m3/h de aire contaminado (Qa2), con bióxido de carbono. A la concentración de bióxido de carbono por C CO2 f. Se sabe que el volumen del salón es de 10 000 m3 y que la concentración inicial de bióxido de carbón en el cuarto es de 0.1% del volumen de éste. Suponiendo que densidad permanece constante, ¿cuál es la concentración de bióxido de carbono, C CO2f, al cabo de 4 horas de haberse iniciado el baile? La concentración se expresa en g/m3. Respuesta: C CO2 f = 0.030119 g/m3 5. La tasa de crecimiento de una población es proporcional al número de sus habitantes. Si después de 18 años la población se ha duplicado y después de 25 años la población es de 200 000 habitantes, hallar: a. el número inicial de habitantes y b. cuántos habitantes tendrá al cabo de 100 años. Respuesta: a- 76372 habitantes, b. 3588954 habitantes. 6. En cierto zoológico se ha observado que la cantidad de animales aumenta proporcionalmente al número actual de dichos animales. Si después de 5 años su número se ha duplicado y después de 7 años el número de animales es 576, hallar el número de animales con que se contaba el día de la inauguración del zoológico. Respuesta: 218 animales

7. El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden:

dx =x ( a+ by ) dy dy = y (c + gx) dt Fue diseñado por el matemático Volterra (1860-1940), para describir el comportamiento de dos especies que compiten para sobrevivir en el mismo hábitat. Resolver esta ecuación, usando la regla de la cadena:

dy dy dt = . dx dx dx

Respuesta: yaeby = kxcegx 8. Ciertas enfermedades se propagan mediante picaduras de insectos (la malaria), o por transmisiones (la tifoidea). Supongamos que x representa la cantidad de transmisores en una cierta población, y y es la cantidad de sanos, en el instante t. Si los transmisores se eliminan de la población con rapidez β, de manera que se cumple:

dx =−βx dt Y si la enfermedad se propaga con una rapidez proporcional al producto xy, tendremos:

dy =−∝ xy dt

a) Para x(0) = X0, hallar x en cualquier instante t b) Para y(0) = Y0 hallar y en cualquier instante t (usar el resultado anterior) c) Cuando t → ∞ ,¿ cuál es el valor limite de y y que significa ? Respuestas: a.

−β t

x=x 0 e

b. y= y 0 e a x

0

(e

−βt

−1 )/ β

c . y= y 0 e−a x / β 0

9. Un cuarto tiene 60 m3 de aire, originalmente libres de monóxido de carbono. Se prende un cigarrillo y el humo, con un contenido del 4.5% de monóxido de carbono, se introduce con una rapidez de 0.002 m 3 /min y se deja salir la mezcla con la misma rapidez. a. Encontrar una expresión para la concentración de monóxido de carbono en el cuarto en cualquier instante. b. La concentración de monóxido de carbono a bajos niveles, por ejemplo: 0.00012 puede ser perjudicial para los seres humanos. Encontrar el tiempo en el cual se alcanza esta concentración. Respuestas:

(

a . C=

)(

−t

)

9 1−e 30000 b . t=4 horas 200

10. En una estación de metro subterráneo de 7 500 m 3 se ha comprobado que hay una concentración de 0.2% de CO 2. Para renovar a atmósfera, unos ventiladores introducen aire del exterior (el cual tiene una concentración CO 2 de 0.06%) a una velocidad de 7 000 m3 /min. Hallar el porcentaje de CO2 después de 15 minutos. Respuesta: 0.06 por ciento

Ejercicios 3.5

1. Una sustancia se enfría desde 100° hasta 70° en 15 minutos estando al aire libre (temperatura del aire 20°), hallar la temperatura después de 30 minutos. Respuesta: T = 51° 2. Un cuerpo a una temperatura desconocida se coloca en una habitación en la cual hay una temperatura constante de 18°. Si después de 15 minutos la temperatura del cuerpo es de 8° y después de 25 minutos es de 12°, hallar la temperatura inicial del cuerpo. Respuesta: T = 3.5° 3. Se desea enfriar una sustancia, la cual se introduce en un refrigerador que está a una temperatura constante de 5°. Al cabo de 30 minutos, la sustancia está a 8° y después de 40 minutos está a 6°. Hallar la temperatura inicial de la sustancia. Respuesta T = 86° 4. Un cuerpo a una temperatura de 30° está inmerso en un baño cuya temperatura se mantiene en 50°. Después de una hora la temperatura del cuerpo es de 40°, hallar: a) La temperatura del cuerpo después de dos horas a partir de la inmersión. b) El tiempo que se necesita para que la temperatura del cuerpo sea de 48° Respuesta: a. T=45° b. t = 3h 19min 18seg 5. La temperatura del aire es de 40°. Si un objeto se enfría en el aire pasando de una temperatura de 120° a otra de 100° en 20 minutos, encontrar: a) La temperatura del cuerpo después de 50 minutos. b) El tiempo necesario para que la temperatura del objeto sea 70 grados Respuestas: a. T = 79° b. t = 68 minutos 6. Un cuerpo de masa m = 2 kg se lanza verticalmente en el aire con una velocidad inicial v0 = 3 m/seg. El cuerpo encuentra una resistencia al aire proporcional a su velocidad, hallar: a) La ecuación del movimiento. b) La velocidad en un tiempo t = 20seg c) El tiempo necesario para que el cuerpo llegue a su altura máxima altura. Respuestas: a. b. c.

dv k + v =−g dt m −2 g 2 g −10 k v= + 3+ e k k 2 3k t= ln ⁡( +1) k 2g

(

)

7. Un cuerpo de masa 14.7 kg se suelta con velocidad inicial de 0.5 m/seg y encuentra una fuerza debida a la resistencia del aire dada por 8 v 2, hallar la velocidad para el momento t = √ 2 segundos. Respuesta: v = 4.23 m/seg

8. Un cuerpo con una masa de 9.7 kg se suelta de una altura de 300 m sin velocidad inicial. El cuerpo encuentra una resistencia al aire proporcional a su velocidad. Si la velocidad límite debe ser de 95 m/seg, encontrar: a) La velocidad del cuerpo en un tiempo t. b) La posición del cuerpo en un tiempo t. c) El tiempo que necesita el cuerpo para alcanzar la velocidad de 50 m/seg Respuestas: −t 9.7

a.

v =95 ( 1−e )

b.

e 9.7 −1 x=95 t+ 921.5 ¿ t=7.24 seg

−t

c. 9. Se deja caer un objeto que pesa 98 kg desde una altura de 50 m con una velocidad inicial igual a cero. Suponiendo que la resistencia del aire es despreciable, hallar: a) La velocidad cuando t=0.25 min b) La posición del objeto cuando t= 3seg c) El tiempo invertido desde que se soltó el objeto hasta que tocó tierra. Respuesta a. V = 147 m/seg b. X = 44.1 m c. T= 3.19 seg 10. Un circuito RL tiene una fem de 9 voltios, una resistencia de 30 ohmios, una inductancia de 1 henrio y no tiene corriente inicial, hallar la corriente en el circuito para un tiempo t = 1/5 seg. Respuesta: I = 0.2992 amperios 11. Un circuito RL tiene una fem de 8 sen 2t voltios, una resistencia de 10 ohmios, una inductancia de 2 henrios y una corriente inicial de 5 amperios, hallar la corriente en el circuito cuando t = Respuesta: I = 0.2779

π seg 2

12. Un circuito RC tiene una fem de 300 cos 2t voltios, una resistencia de 200 ohmios y una capacitancia de 10-2 faradios. Inicialmente no hay carga en el condensador. Hallar la corriente en el circuito en t = 4 π seg. Respuesta: I = 0.2779 amperios 13. Hallar la corriente en un circuito RL que tiene un voltaje constante, R = 40 ohmios, y L = 8 henrios. Para t = 0, los valores de E e I son cero voltios y 10 amperios, respectivamente. Calcular el tiempo necesario para que I = 5 amperios. Respuesta: t = 0.14 segundos 14. Un circuito que consta de un condensador y una resistencia se conecta como en la fi gura:

Si lleva una carga q = 0.05 coulombios y el interruptor se cierra cuando t = 0, hallar la carga eléctrica después de 9 segundos si c = 3 × 10 −3 faradios y R = 103 ohmios. Respuesta: q = 0.0025 coulombios

15. Un objeto que tiene una masa de 4 kg está suspendido de un resorte de peso despreciable. Si el objeto se mueve con velocidad v0 = 3m/seg cuando el resorte está sin alargar, hallar la velocidad cuando se alargue 50 centímetros. Respuesta: v = (18.8 – k/16)1/2 m/seg 16. Un tanque contiene inicialmente 100 L de una solución salina que contiene 25 kg de sal. Se vierte agua dulce en el tanque a una velocidad de 4 kg/min, mientras que sale del tanque una solución bien mezclada a la misma velocidad. Hallar: a) La cantidad de sal en el tanque en cualquier momento t. b) El tiempo que se necesita para que haya cantidad de 10kg de sal c) Si t → ∞ , averiguar la cantidad de sal que queda en el tanque: Respuestas: a. b. c.

−t

Q=25 e 25 t=22. 9 min Q=0

17. Un depósito contiene inicialmente 200 L de una solución salina que contiene 40 kg de sal. En t = 0 se vierte agua en el depósito a una velocidad de 8 litros por minuto y sale

del depósito una solución bien mezclada a 6 litros por minuto. Hallar el tiempo necesario para que haya en el tanque una cantidad de sal de 10 kilogramos. Respuesta: t = 58.74 minutos} 18. Encontrar el tiempo que se necesita para vaciar un tanque cilíndrico que tiene un radio de 4 m y una altura de 5 m a través de un orificio redondo con 1/24 m de radio situado en el fondo del tanque. La velocidad de salida del líquido es aproximadamente v=0.6 √ 2 gh m/seg, donde h es la altura del líquido en el tanque y g la gravedad. Respuesta: t = 4h 18 minutos 19. Hallar el tiempo que tarda en vaciarse un tanque semiesférico de 2 m de diámetro lleno de agua, si ésta sale por un orificio de 0.1 m de radio que hay en el fondo del tanque, sabiendo que la velocidad de salida de agua por un orificio es la dada en el problema 18. Respuesta: t = 35.16 segundos

20. Para ir a su clase un joven recorre un camino en línea recta, de tal manera que su velocidad excede en 3 a su distancia respecto del punto de partida. Si v = 4 cuando t = 0, encontrar la ecuación del movimiento. Respuesta:

x=4 et −3

21. Un tanque cónico de 10 m de altura y 6 m de radio pierde agua por un orificio en su fondo. Si el área de la sección recta del orificio es ¼ m 2, encontrar:

a) La ecuación que representa la altura h del agua en un instante cualquiera b) El tiempo que tarde en vaciarse. Respuestas 5

a. b.

5

125 √ 2 g t 72 t=2 min 9 seg h 2 =10 2 −

22. Un trineo de 50 kg de peso se empuja en línea recta contra el viento con una fuerza de 10 kg. Si la fricción es despreciable, pero la resistencia del aire es, en magnitud, igual al doble de la velocidad del trineo, y si el trineo parte del reposo, encontrar la velocidad y la distancia recorrida al final de 2 segundos. Respuesta: 2.72 m/seg, x = 6.55m 23. Un tanque cilíndrico que tiene un volumen de 20 m cúbicos está lleno de aire atmosférico que se comprime de un modo adiabático, hasta que su volumen se hace igual a 15 m3. Calcular el trabajo invertido en la compresión. NOTA: El proceso adiabático se representa por la ecuación de Poisson:

V0 k ¿ v p =¿ p0 donde k es una cosntante para el gas dado .Tomar P0=1 atmósfera .

24. Un tubo de 10 cm de diámetro contiene vapor a 100 °C. Se encuentra aislado con una capa de 3 cm de espesor y conductividad térmica k = 175 × 10 −6 cal/cm grado seg. Si la superficie externa del aislante se mantiene a 45 °C, encontrar la pérdida de calor en un metro de longitud del tubo y la temperatura a la mitad del aislante.