Ejercicios Esfuerzos - Resistencia De Materiales

ESTADO UNIAXIAL DE ESFUERZO Y DEFORMACION INTEGRANTES: •

CARUAJULCA CHAVEZ, NEISSER

•

CHUQUIMANGO CHAVEZ , KELLY

•

COTRINA YOPLA, RONNY

•

DE LA CRUZ ATALAYA, VERANISSE

•

FLORES QUISPE, CRISTIAN

•

GUEVARA SEGURA RICHARD

•

MENDOZA COTRINA, YEISER

•

ORDOÑES BRINGAS ALEJANDRA

•

MARIN VIGO, SHEYLA

•

PEREZ ESPEJO,REYNALDO

•

POZADA CHOMBA,VALERIA

•

TANCAYLLO SAUCEDO, ANGUE

1. La lámpara con un peso de 50 lb esta soportada por tres barras de acero conectadas por en A. determinar el ángulo de orientación 𝜃 de AC, tal que el esfuerzo normal producido en la barra AC sea el doble del esfuerzo normal en la barra AD. Cuál es la magnitud del esfuerzo en cada barra? El diámetro de cada barra se da en a figura.

Diagrama de cuerpo libre 𝑦

Por la tercera ley de Newton

𝑇𝐴𝐶 𝑇𝐴𝐷

45°

𝜃

𝑥

𝐹Ν

𝑇𝐴Β

𝐹Ν = 𝑇𝐴𝐷

𝑇𝐴𝐷

SOLUCIÓN 

Haciendo uso de la definición de esfuerzo, determinar la fuerza axial en los cables AC y AD.

𝝈𝑨𝑪 = 𝟐𝝈𝑨𝑫

𝜎𝐴𝐷 = 𝜋

𝑇𝐴𝐷

2 ∗(0.3) 4

𝜎𝐴𝐶 = 𝜋

𝑇𝐴𝐶

∗(0.25)2 4

𝑇𝐴𝐷 = (0.070686) 𝜎𝐴𝐷

𝑇𝐴𝐶 = (0.049087) 𝜎𝐴𝐶 𝑇𝐴𝐶 = (0.098175) 𝜎𝐴𝐷

𝑦 

𝑇𝐴𝐶

Aplicando las ecuaciones de equilibrio 𝑇𝐴𝐷

σ 𝐹𝑋 = 0

𝑇𝐴𝐶 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑇𝐴𝐷 ∗ 𝑐𝑜𝑠45° = 0 𝑇𝐴𝐷 ∗ 𝑐𝑜𝑠45° 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑇𝐴𝐶

𝑐𝑜𝑠𝜃 =

45°

𝜃

0.070686 𝜎𝐴𝐷 ∗𝑐𝑜𝑠45° (0.098175)𝜎𝐴𝐷

∴ 𝜃 = 59.395° 𝑇𝐴Β

𝑥

σ 𝐹𝑌 = 0

𝑇𝐴𝐶 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑇𝐴𝐷 ∗ 𝑠𝑒𝑛45° − 50 = 0 0.098175 𝜎𝐴𝐷 ∗ 𝑠𝑒𝑛 59.395° + 0.070686 𝜎𝐴𝐷 𝑠𝑒𝑛45° = 50

𝜎𝐴𝐷 =



50 0.098175 ∗ 𝑠𝑒𝑛59.395° + 0.070686 ∗ 𝑠𝑒𝑛45°

Esfuerzos en cada barra

𝜎𝐴𝐷 = 371.798 𝑃𝑠𝑖 𝜎𝐴𝐶 = 743.596 𝑃𝑠𝑖

𝜎𝐴Β =

𝑇𝐴Β 𝜋 ∗(0.35)2 4

=

50 𝜋 ∗(0.35)2 4

𝜎𝐴Β = 520 𝑃𝑠𝑖

2. Un tubo de acero se encuentra rígidamente sujeto por un perno de aluminio y por otro de bronce, tal como se muestra en la figura. Las cargas axiales se aplican en los puntos indicados. Calcule el máximo valor de P que no exceda un esfuerzo de 80MPa en el aluminio, de 150MPa en el acero o de 100MPa en el bronce. (Marco Llanos R. 2010)

SOLUCIÓN 

Realizando los cortes respectivos en cada material, se tiene que: Al

Ac

Br

Al

Ac

Br



Corte en el Aluminio: (Compresión).

R = -P



Corte en el Acero: R = -P+3P = 2P (Tracción).

Al

Ac

R

R

Al

𝜎𝐴𝑙 = 80 ∗ 106

𝑃𝐴𝑙 = 16𝑘𝑁.

𝑁 𝑃𝐴𝑙 = 𝑚2 200 ∗ 10−6 𝑚2

Ac

𝜎𝐴𝑐 = 150 ∗ 106

𝑃𝐴𝑐 = 30𝑘𝑁.

𝑁 2𝑃𝐴𝑐 = 𝑚2 400 ∗ 10−6 𝑚2



Corte en el Bronce: (Tracción).

R = -P + 3P + 2P = 4P Br

𝜎𝐵𝑟 = 100 ∗ 106

𝑃𝐴𝑙 = 12.5𝑘𝑁.

𝑁 4𝑃𝐵𝑟 = 𝑚2 500 ∗ 10−6 𝑚2

Luego de los 3 valores obtenidos, escogemos el menor: 𝑃 = 12.5𝑘𝑁.

R

Br



EJERCICIO N° 3

P-4. Se está diseñando una repisa para contener embalajes que tienen una masa total de 1840 kg. Dos varillas de soporte como las mostradas en la figura sujetan la repisa. Cada varilla tiene un diámetro de 12.0 mm. Suponga que el centro de gravedad de los embalajes está en la mitad de la repisa. Calcule el esfuerzo en la parte media de las varillas

DCL

CARGA EN EL ESTANTE: W = mg = 1 840 kg * 9.81 m/s2 = 18 050 N W/2 = 9 025 N en cada lado ΣMA = 0 = (9 025 N) (600 mm) - CY (1200 mm) CY = 4 512 N 𝐶𝑦 4 512 𝐶= = = 9 024 𝑁 sin 30° sin 30° 𝑃 𝐶 9 024 𝜎= = = = 79.8 𝑀𝑝𝑎 𝐴 𝐴 𝜋(12𝑚𝑚)2 /4

5. Las barras de la armadura tienen cada una un área de 1.25 pulg2. Determine el esfuerzo normal promedio en cada barra debido a la carga P= 8 Klb. Indique si el esfuerzo es de tensión 0 de compresión.

SOLUCIÓN Para la solución de este problema debemos hallar , el valor de la fuerza axial en cada barra. La figura muestra el diagrama de cuerpo libre de las fuerzas que actúan en el punto A. Teniendo como dato P= 8 Klb., aplicamos las ecuaciones de equilibrio: +↑ σ FY = 0

3

; FAB − 8 = 0 5 FAB = 13.33 Klb

+→ σ FX = 0

4

; −FAE + (13.33) = 0 5

FAE = 10.67Klb

La figura muestra el diagrama de cuerpo libre de las fuerzas que actúan en el punto E ECUACIONES DE EQUILIBRIO +↑ σ FY = 0 ; FEB − 8(0.75) = 0

FEB = 6Klb +→ σ FX = 0 ; −FED + 10.67 = 0 FED = 10.67Klb

La figura muestra el diagrama de cuerpo libre de las fuerzas que actúan en el punto B . ECUACIONES DE EQUILIBRIO

+↑ σ FY = 0 ;

3 5

3 5

FBD − 6 − 13.33( ) = 0

FBD = 23.33Klb +→ σ FX = 0 ; FBC − 23.33

4 5

4 5

− 13.33( ) = 0

FBC = 29.33Klb

Por lo tanto, el esfuerzo normal promedio en cada barra es:

FAB 133.33 • 𝜎AB = F = 1.25 = 10.7Klb/𝑝𝑢𝑙𝑔2 (TENSIÓN) AB FAE 10.67 • 𝜎AE = F = 1.25 = 8.53Klb/𝑝𝑢𝑙𝑔2 (𝐶𝑂𝑀𝑃𝑅𝐸𝑆𝐼Ó𝑁) AE F

• 𝜎ED = FED = ED

F

10.67 1.25

= 8.53Klb/𝑝𝑢𝑙𝑔2 (𝐶𝑂𝑀𝑃𝑅𝐸𝑆𝐼Ó𝑁)

• 𝜎EB = FEB = 1.25 = 4.80Klb/𝑝𝑢𝑙𝑔2 (TENSIÓN) EB

F

• 𝜎BC = FBC = BC

F

• 𝜎BD = FBD = BD

6

29.33 1.25

23.33 1.25

= 23.5Klb/𝑝𝑢𝑙𝑔2 (𝑇𝐸𝑁𝑆𝐼Ó𝑁)

= 18.7Klb/𝑝𝑢𝑙𝑔2 (𝐶𝑂𝑀𝑃𝑅𝐸𝑆𝐼Ó𝑁)

6.Una viga está cargada y apoyada según se indica en la figura. Determinar los esfuerzos en las secciones con posiciones x=1, x=2, x=3 y x=4. Tomar el origen de x el extremo de A. Realizar el diagrama de los esfuerzos.

SOLUCIÓN Las cargas distribuidas serán representadas por 𝑅1 , 𝑅2 , 𝑅3 y se encuentran a distancias 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 repectivamente, del apoyo A.  El trapecio se puede descomponer en un triángulo y un rectángulo. 

1 2

𝑅1 = ∗ 6 ∗ 3 = 9𝑘𝑁 1 2

𝑅2 = ∗ 3 ∗ 3 = 4.5𝑘𝑁

𝑅3 = 3 ∗ 3 = 9𝑘𝑁 

2 3

𝑥1 = ( ) ∗ 3 = 2𝑚 1 3

𝑥2 = 3 + ( ) ∗ 3 = 4𝑚

𝑥3 = 3

1 +( )∗ 2

3 = 4.5𝑚

La viga está sometida a un sistema coplanario de fuerzas paralelas al eje y; por lo tanto, 𝐻𝐴 = 0. De las dos ecuaciones de equilibrio restantes se pueden despejar 𝑉𝐴 y 𝑉𝐵 .



Determinación de 𝑉𝐵 :

෍ 𝑀𝐴 = 0 → 𝑉𝐵 ∗ 6 − (9 ∗ 2) − 4.5 ∗ 4 − (9 ∗ 4.5) = 0 𝑽𝑩 = +𝟏𝟐. 𝟕𝟓𝐤𝐍 

𝐯

𝑽𝑩 = 𝟏𝟐. 𝟕𝟓𝒌𝑵 ↑

Determinación de 𝑉𝐴 :

෍ 𝐹𝑦 = 0 → 𝑉𝐴 − 9 − 4.5 − 9 + 12.75 = 0 𝑽𝑨 = +𝟗. 𝟕𝟓𝐤𝐍

Antes de plantear los esfuerzos es conveniente obtener el valor de la carga triangular (0<x3) y trapezoidal (3<x<6).

𝐯

𝑽𝑨 = 𝟗. 𝟕𝟓𝒌𝑵 ↑



Carga triangular:



𝑦 6 6 = → 𝑦= 𝑥 𝑥 3 3 Carga del triángulo: (x*y)/2 = (x*2x)/2 = x² Carga trapezoidal: 𝑦 3−𝑥

=

3 3

→

→

𝒚 = 𝟐𝒙

𝒚=𝟑−𝒙

Para el triángulo más pequeño (altura): 6-(3+y) = 6-(3+3-x) = x Carga total= carga del cuadrilátero + carga del triángulo 𝐐=𝑥∗ 3+ 3−𝑥

+

𝑥∗𝑥 2

= 𝒙 ∗ 𝟔 − 𝒙 + 𝒙𝟐 /𝟐

Calculamos los esfuerzos PARA 0 ≤ x ≤3 • N=0 • σ 𝐹𝑦 = 0 → 𝑉 − 𝑥 2 + 9.75 = 0 𝑽 = 𝒙𝟐 − 𝟗. 𝟕𝟓 •

• Para x=1

• Para x=2

• Para x=3

1

σ 𝑀 = 0 → 𝑀 + 𝑥 2 ∗ ∗ 𝑥 − 9.75 ∗ 𝑥 = 0 3 𝟏 𝑴 = 𝟗. 𝟕𝟓𝒙 − 𝒙𝟑 𝟑

𝑉 = 12 − 9.75 = −𝟖. 𝟕𝟓𝒌𝑵 1 𝑀 = 9.75 1 − 1 3 = 𝟗. 𝟒𝟐𝒌𝑵. 𝒎 3 𝑉 = 22 − 9.75 = −𝟓. 𝟕𝟓𝒌𝑵 1 𝑀 = 9.75 2 − 2 3 = 𝟏𝟔. 𝟖𝟑𝒌𝑵. 𝒎 3 𝑉 = 32 − 9.75 = −𝟎. 𝟕𝟓𝒌𝑵 1 𝑀 = 9.75 3 − 3 3 = 𝟐𝟎. 𝟐𝟓𝒌𝑵. 𝒎 3

PARA 3 ≤ x ≤6 

N=0



σ 𝐹𝑦 = 0

→

𝑉 − 𝑄 − 9 + VA = 0

→

𝑉 − 𝑥 ∗ (6 − 𝑥) +

𝑥2 2

− 9 + 9.75 = 0

𝒙𝟐 𝑽 = 𝟔𝒙 − − 𝟎. 𝟕𝟓 𝟐 

𝑥

𝑥2

2𝑥

σ 𝑀 = 0 → 𝑀 + 𝑥 6 − 𝑥 ∗ + ( ∗ ) + 9 𝑥 + 1 − 9.75(𝑥 + 3) = 0 2 2 3 3 3 𝑥 𝑥 𝑀 + 3𝑥 2 − + + 9𝑥 + 9 − 9.75𝑥 − 29.25 = 0 2 3 𝑥3 2 𝑀 + 3𝑥 − − 0.75𝑥 − 20.25 = 0 6 𝒙𝟑 𝟐 𝑴 = −𝟑𝒙 + + 𝟎. 𝟕𝟓𝒙 + 𝟐𝟎. 𝟐𝟓 𝟔

• Para x=4, desde el punto A (tomamos x=1, debido al corte realizado anteiormente)

1 2 𝑉=6 1 − − 0.75 = 𝟒. 𝟕𝟓𝐤𝐍 2 1 3 2 𝑀 = −3 1 + + 0.75 1 + 20.25 = 𝟏𝟖. 𝟏𝟕𝒌𝑵. 𝒎 6

DIAGRAMA • Fuerzas cortantes:

7) Una columna cuadrada de concreto armado de 30cm de lado y 3m de altura, está reforzada con 4 varillas de acero de ¾” de diámetro y sometida a la acción de una carga axial de compresión de 50T. Considerar 𝐸𝑐 = 15000 𝑓𝑐′ , siendo

𝑓𝑐′ = 210𝑘𝑔/𝑐𝑚2 y 𝐸𝑐 = 2,1. 106 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 . Determinar los esfuerzos normales en el concreto y en el acero, así como el acortamiento que se produce en la columna. 

Solución:

Como la columna es de concreto armado, se debe de cumplir la siguiente relación:

8. Dos sistemas idénticos de eslabón y cilindro hidráulico controlan la posición de las horquillas de un montacargas. La carga soportada para el sistema que se muestra en la figura es de 1 500 lb. Si se sabe que el grosor del elemento BD es in., determine a) el esfuerzo cortante promedio en el pasador de in. de diámetro en B, b) el esfuerzo de apoyo en B en el elemento BD.

SOLUCIÓN Σ𝑀𝑏 = 0 24𝑖𝑛 ∗ 𝐸 − 20𝑖𝑛 ∗ 1500𝑙𝑏 = 0 24𝑖𝑛 ∗ 𝐸 = 20𝑖𝑛 ∗ 1500𝑙𝑏 𝐸 = 1250 𝑙𝑏 Σ𝐹𝑥 = 0 𝐵𝑥 + 𝐸 = 0 𝐵𝑥 + 1250 𝑙𝑏 = 0 𝐵𝑥 = −1250 𝑙𝑏

Esto nos indica que la fuerza Bx esta actuando en sentido contrario

𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐵

Σ𝐹𝑦 = 0

(1250 𝑙𝑏)2 +(1500 𝑙𝑏)2

𝐵𝑦 − 1500𝑙𝑏 = 0

𝐵=

𝐵𝑦 = 1500 𝑙𝑏

𝐵 = 1952.5 𝑙𝑏

𝑃𝐴𝑅𝐴 𝐿𝐴 𝑃𝐴𝑅𝑇𝐸 𝐴 Esfuerzo cortante en el pasador

1952.5 𝑙𝑏 𝜏=𝜋 (0.5 𝑖𝑛)2 4

𝜏 = 9.944 ∗ 103 𝑙𝑏/𝑖𝑛2

𝑃𝐴𝑅𝐴 𝐿𝐴 𝑃𝐴𝑅𝑇𝐸 𝐵 Esfuerzo cortante en el pasador 𝜎=

1952.5 𝑙𝑏 0.5 𝑖𝑛 ∗ 0.625 𝑖𝑛

𝜎 = 6.248 ∗ 103 𝑙𝑏/𝑖𝑛2

𝜎 = 6.248 𝐾𝑠𝑖

𝜏 = 9.944𝑘𝑠𝑖

9. Si la junta de la madera que se muestra en la figura 1-23ª tiene 150 mm de ancho, determine el esfuerzo cortante promedio desarrollado a lo largo de los planos cortantes a-a y b-b. Para cada plano, represente el estado de esfuerzo sobre un elemento del material.

Solución Cargas internas. Utilizaremos el diagrama de cuerpo libre siguiente;

+

→ 𝛴𝐹𝑥 = 0

6𝑘𝑁 − 𝐹 − 𝐹 = 0

→

𝐹 = 3𝑘𝑁

Considerando en equilibrio los cortes en a-a y b-b +

→ 𝛴𝐹𝑥 = 0;

+

→ 𝛴𝐹𝑥 = 0;

𝑉𝑎 − 3𝑘𝑁 = 0

→

𝑉𝑎 = 3𝑘𝑁

3𝑘𝑁 − 𝑉𝑏 = 0

→

𝑉𝑏 = 3𝑘𝑁

Esfuerzo cortante promedio. 𝜏 𝜏𝑎 𝜏𝑏

𝑝𝑟𝑜𝑚

𝑝𝑟𝑜𝑚

𝑝𝑟𝑜𝑚

=

𝑉 𝐴

𝑉𝑎 3(10)3 𝑁 = = = 200 𝑘𝑃𝑎 𝐴𝑎 (0.1 𝑚)(0.15 𝑚)

𝑉𝑏 3(10)3 𝑁 = = = 160 𝑘𝑃𝑎 𝐴𝑏 (0.125 𝑚)(0.15 𝑚) Resp.

EJERCICIO 10