Electrostatica

Electrostática La palabra electricidad se deriva de

ηλϵκτρoν , vocablo

griego que significa “ámbar”. Como lo dice esta etimología, los griegos ya conocían los efectos de la electricidad estática, manifiestos cuando se frotaba un trozo de ámbar con piel o con un trozo de tela de lana. Con el paso de los siglos se fue descubriendo que otros materiales también producían electricidades cuando se frotaba con sustancias adecuadas, pero las investigaciones sistemáticas y cuidadosas sobre los efectos de la electricidad comenzaron hacia el final del siglo XVII. Charles François de Cisternay du Fay efectuó un descubrimiento crucial en 1734, describiendo aquel fenómeno como “electricidad estática”. Origen de las cargas eléctricas Cada átomo está formado por un núcleo muy pequeño y masivo, cargado positivamente, y de uno o varios electrones mucho más ligeros y cargados negativamente. Se pueden visualizar los electrones como ocupando una región aproximadamente esférica alrededor del núcleo, y a veces se los ilustra como circundando el núcleo. La carga positiva del núcleo atrae a los electrones cargados negativamente, manteniéndolos en órbitas estables. Aquellos electrones más cercanos al núcleo se ligan fuertemente; los que ocupan las órbitas que están más alejadas se pueden separar más fácilmente. Gran cantidad de experimentos han confirmado ciertos atributos fundamentales de la carga; la carga está cuantizada, la carga se conserva, y la carga es invariante, Cuando se dice que la carga está cuantizada significa que puede aparecer solamente como múltiplos enteros de la unidad fundamental indivisible. Esta unidad es la carga electrónica del electrón. Por conservación de carga se entiende que la carga total de un sistema aislado se mantiene constante. Esto no pone restricción al número de electrones o de cargas positivas que pueden estar presentes, se pueden producir partículas mediante el empleo de suficiente energía, y también es posible el proceso inverso, de aniquilar partículas cargados mediante

el desprendimiento adecuado de energía., Sin embargo en cada uno de estos procesos se producen o destruyen cantidades iguales de cargas positivas o negativas, y la carga total permanece constante. El concepto de invariancia se aplica a objetos bajo condiciones relativistas, esto es, a velocidades que se aproximan a la velocidad de la luz

c=3 ×10 8 m/ s . La masa, la longitud y el tiempo no son invariantes

relativistas. Por ejemplo, la masa inercial del objeto depende de su velocidad en su marco de referencia en el que se mide la masa. Sin embargo la carga es invariante; la carga de un electrón o de un protón o de un protón o de cualquier otra partícula permanece igual, sin importar la velocidad del movimiento. Ley de Coulomb La ley de Coulomb básicamente enuncia: “La magnitud de cada una de las fuerzas eléctricas con que interactúan dos cargas puntuales en reposo es directamente proporcional al producto de la magnitud de ambas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa y tiene la dirección de la línea que las une. La fuerza es de repulsión si las cargas son de igual signo, y de atracción si son de signo contrario”

F=k

Q1 Q2 d

2

r⃗ o F=

1 Q1 Q 2 r⃗ 4 π ϵ 0 d2

−12

donde ϵ 0 se conoce como permitividad del vacío ϵ 0=8.8541878176× 10

F /m=

1 4 πk

9

2

donde k se conoce como constante de Coulomb k =9 ×10 N m /C

2

La relación mencionada anteriormente es solo válida si la interacción eléctrica ocurre en el vacío o en el aire, donde el dieléctrico es igual o muy aproximado a 1.

Ejemplos 1. Hallar la distancia entre dos cargas de con una fuerza de

F=k

√ √

6N

15 μC

y

25 μC

que se repelen

en el vacío.

Q1 Q2

d= k

d2 Q1 Q2 F

d= ( 9 ×109 N m2 /C 2)

(15 μC )(25 μC ) (6 N )

d=750 m

2. Dos cargas, una cuatro veces mayor que la otra, separadas vacío se repelen con una fuerza de

Q1=4 Q2

8 cm

en el

0.225 N . Hallar el valor de las cargas.

F=k

Q1 Q 2 d2

Q 1=2 d

√

F k

Q1=2(0.08 m)

√

0.025 N (9 ×10 9 N m 2 /C2 )

−9

Q1=800 ×10 C Q2=200 ×10−9 C Q1=800 nC

Q2=200 nC

20 μC ,−10 μC y 30 μC

3. Tres cargas de

están situadas en el vacío y alineadas

de modo que la distancia entre dos consecutivas es de

10 cm . Hallar la

fuerza resultante que cada dos de ellas ejercen sobre la tercera. a)

F=F1−F 2

F=k

Q1 Q3 D

2

F=k Q 3 (

−k

Q1 D 9

2

−

Q 2 Q3 d2 Q2 d2 2

)

2

F=(9× 10 N m / C )(30 μC )(

F=−135 N

20 μC 10 μC − ) 2 2 (0.2 m) (0.1 m)

b)

F=F1−F 2

F=k

F=

F=

Q1 Q2 d

k Q3 d

2

2

−k

Q2 Q3 d

2

(Q 1−Q 3 )

( 9× 109 N m2 /C 2) ( 10 μC ) ( 0.1 m )2

(20 μC−30 μC )

F=−90 N

c)

F=F1−F 2

F=k

Q1 Q2 d

2

F=k Q 1 (

−k

Q2 d

2

−

Q1 Q3 D2

Q3 D2

9

2

)

2

F=( 9 ×10 N m /C ) (20 μC)(

10 μC 30 μC − ) 2 2 (0.1 m) (0.2 m)

F=45 N

4. Un cuerpo con carga de aceleración de

5 m/s 2

1C y masa igual a

1 kg

experimenta una

por el solo efecto de otra carga de

distancia se encuentra esta segunda carga.

0.5 C . A que

F=k

Q1 Q2

ma= k

√

d= k

d2

F=ma

Q1 Q2 d2 Q1 Q2 ma

√

d= ( 9 × 109 N m2 /C2 )

(1 C)(0.5 C) (1 kg ) (5 m/s 2)

d=30000 m

5. ¿Que fuerza se ejerce sobre un cuerpo cargado con

⃗ F1=k

Q1 Q 3 d2

μ ⃗r

( 1 μC ) ( 4 μC ) −√2 ⃗ √ 2 ⃗ ⃗ F1= ( 9 ×109 N m2 /C 2 ) ( i+ j) 2 2 2 (√ 2 m) ⃗ F1= (−9000 √2 ⃗i + 9000 √2 ⃗j ) N

q=1 μC situado en A?

⃗ F2 =k

Q1 Q 2 d2

μ ⃗r

(2 μC)(1 μC ) ⃗ ⃗ F2 =−( 9× 109 N m2 /C 2) i (1 m)2 ⃗ F2 =(−18000 i⃗ ) N

⃗ F3 =k

Q1 Q 4 d2

μ r⃗

(1 μC)(2 μC) ⃗ ⃗ F3 =( 9 ×109 N m2 /C 2 ) j (1 m)2 ⃗ F3 =( 18000 ⃗j ) N

⃗ F =⃗ F1 + ⃗ F 2+ ⃗ F3 ⃗ F =(−9000 √ 2 i⃗ + 9000 √2 ⃗j ) N + (−18000 i⃗ ) N + ( 18000 ⃗j ) N

⃗ F =(−( 18000+9000 √ 2 ) i⃗ + ( 18000+9000 √ 2 ) ⃗j ) N ≈ (−30727.92 ⃗i +30727.92 ⃗j ) N

|⃗ F|=43455.84 N

Campo Eléctrico El campo eléctrico es uno de los campos físicos fundamentales que es representado mediante un modelo que describe la interacción entre sistemas de naturaleza eléctrica descrita por un campo vectorial en el

cual una carga eléctrica puntual de valor F

fuerza eléctrica

Q

sufre los efectos de una

dada por la siguiente ecuación:

⃗ F =Q ⃗ E

Por tanto el campo eléctrico es un vector que también apunta radialmente alejándose del lugar de la carga Q y tiene una magnitud determinada por: E=

F Q =k 2 Q r

Si la carga

Q

es negativa, nuevamente el campo eléctrico se

determina por la ecuación anterior pero la dirección de inversa: esto es,

E

E

es ahora la

radialmente señala hacia la carga negativa porque

esa es la dirección de la fuerza que actuaría sobre una carga positiva de prueba Ejemplos 1. Calcular la carga de un cuerpo que experimenta una fuerza de un lugar donde la intensidad de campo eléctrico es

4 N /C .

2.8 N

en

F 2.8 N F=QE= = E 4 N /C Q=0.7 C

2. Cual es el campo eléctrico creado por una carga de

8 ×10−6 C

en un punto

situado a 5 cm de la misma?. ¿Qué fuerza se ejercerá sobre una carga de

2× 10−4 C

situada en ese punto?

a)

E=k

Q r2

9 2 2 E=( 9 ×10 N m / C )

( 8 μC ) 2 (0.05 m)

E=28.8× 106 N /C b)

F=QE F=(2 ×10−4 C )(28.8× 106 N /C) F=5760 N

3. Dos cargas eléctricas positivas de encuentran separadas

0.02C

y

0.03 C , respectivamente, se

10 cm . ¿Cuál es el campo eléctrico resultante: a) En el

punto medio de la recta que las une; b) En un punto a 4 cm de la primera y entre ellas; c) En un punto a 4 cm de la primera, sobre la recta que las une pero entre ellas? d) ¿En qué punto nulo el campo eléctrico?

a)

E=E 1−E2

E=k

E=

E=

Q1 r

2

−k

Q2 r

2

k (Q1−Q 2 ) r2

( 9 × 109 N m2 /C2 ) ( 0.05 m )2

(0.02 C−0.03 C)

E=−3.6 ×10 10 N /C

b)

E=E 1−E2

E=k

Q1 r

E=k (

2

−k

Q1 r

2

−

9

Q2 R

2

Q2 R2

)

2

2

E=( 9 ×10 N m / C ) (

E=3.75 × 1010 N /C c)

0.02 C 0.03 C − ) 2 2 (0.04 m) (0.06 m)

E=E 1+ E2

E=k

Q1 r

E=k (

2

+k

Q2 R2

Q1 Q2 + ) r 2 R2

E=( 9 ×109 N m2 /C 2 ) (

0.02 C 0.03 C + ) 2 ( 0.04 m ) (0.14 m)2

11

E=1.26 × 10 N /C d)

E1=E 2

k

Q1 x

2

=k

Q2 (0.1−x)2

0.02C 0.03C = 2 2 x (0.1−x )

x 2+ 0.4 x−0.02=0 x 1=0.044 m x 2=−0.44 m

4. En los seis vértices de un hexágono regular de 10 cm de lado se colocan cargas positivas iguales de el centro del hexágono.

Q ⃗ E1=k 2 μ r⃗ R

0.03 C . Calcular el campo eléctrico producido en

9 2 2 0.03 C √301 i⃗ + 10 √903 ⃗j ) ⃗ E1=( 9× 10 N m /C ) ( 2 301 ( 0.1 m ) 301

301 ⃗ 10 √ 903 ⃗ ⃗ E1=(2.7 ×1010 N /C)( √ i+ j) 301 301

(

)

2.7 √ 301 ⃗ 27 √ 903 ⃗ 10 ⃗ E1= i+ j ×10 N /C 301 301

Q ⃗ E2=k 2 μ r⃗ R 9 2 2 0.03 C ⃗ E2=( 9× 10 N m /C ) i⃗ ( 0.1 m )2

⃗ E2=( 2.7 i⃗ ) ×1010 N /C Q Q ⃗ E3=k 2 μ r⃗ ⃗ E5=k 2 μ r⃗ R R

(

)

2.7 √ 301 ⃗ 27 √ 903 ⃗ ⃗ E3= i− j ×10 10 N /C ⃗ E5 =(−2.7 i⃗ ) ×1010 N /C 301 301

Q Q ⃗ E4 =k 2 μ ⃗r ⃗ E 6=k 2 μ ⃗r R R

(

)

(

)

−2.7 √ 301 ⃗ 27 √903 ⃗ −2.7 √ 301 ⃗ 27 √ 903 ⃗ 10 10 ⃗ E4 = i− j × 10 N / C ⃗ E 6= i+ j ×10 N /C 301 301 301 301

6

⃗ E= ∑ ⃗ En n=1

⃗ E=0 N /C

Potencial electrostático El potencial eléctrico en un punto es el trabajo que debe realizar un campo electrostático para mover una carga Q desde el punto de referencia dividido por unidad de carga de prueba. Su importancia radica en que al igual que en un campo gravitacional, es útil definir el concepto de energía potencial para describir el comportamiento dinámico de objetos masivos en un campo gravitacional. La existencia de una energía potencial única (en relación con un cero arbitrario) es consecuencia de que el hecho de que la fuerza gravitacional es conservativa. Esta es una característica de todas las llamadas fuerzas centrales, esto es, fuerzas que actúan radialmente hacia o alejándose de la fuente del campo de fuerza. Evidentemente, la fuerza electrostática satisface este criterio, de la que se puede definir otra clase de energía potencial:

“La diferencia de potencial electrostático

V AB

entre los puntos A y B es

la diferencia de energía potencial electrostática Q

dividida entre esa carga”. Esto es:

V AB=

Δ EP AB =V B −V A Q

Δ EP AB

de una carga

Δ EP AB

Como

se refiere a un trabajo llevado a cabo por un campo

eléctrico en llevar a una carga de un punto A hacia otro punto B, entonces: V=

W Q

Ejemplos 1. Dos cargas positivas de

2 μC

y

−3 μC

están separadas 10 cm en el

vacío. Calcular el potencial: a) En el punto medio de la recta que las une; b) En un punto a 2 cm de la primera y entre ellas. c) ¿En que punto es nulo el potencial? a)

V 1=k

Q1 d

V 1=( 9 × 109 N m2 /C2 )

2 μC 0.05 m

V 1=360 ×103 V

V 2=k

Q2 d

V 2=( 9× 109 N m2 /C2 )

−3 μC 0.05 m

V 2=−540 ×103 V

V =V 1 +V 2 V =360 ×10 3 V −540× 103 V

3

V =−180 ×10 V

b)

V 1=k

Q1 d

V 1=( 9 × 109 N m2 /C2 )

2 μC 0.02m

3

V 1=900 ×10 V

V 2=k

Q2 d

V 2=( 9× 109 N m2 /C2 )

−3 μC 0.08 m

3

V 2=−337.5× 10 V

V =V 1 +V 2 3

3

V =900× 10 V −337.5× 10 V V =562.5 ×103 V

c)

V 1=k

Q1 d

9

2

2

V 1=( 9 × 10 N m /C )

2 μC 0.02m

3

V 1=900 ×10 V

V 2=k

Q2 d 9

2

2

V 2=( 9× 10 N m /C )

−3 μC 0.12 m

3

V 2=−225 ×10 V

V =V 1 +V 2 3

3

V =900× 10 V −225 ×10 V V =675 ×10 3 V

d)

V 1=V 2

k

Q1 Q2 =k x 0.1−x

2 μC −3 μC = x 0.1− x 0.2−2 x=−3 x

x=−0.2

2. En los vértices de un cuadrado de 10 cm de lado se sitúan cargas de

100 μC ,

−150 μC ,

−250 μC

realizar para mover una carga de

y

300 μC . ¿Qué trabajo es necesario

2× 10−6 μC

desde el centro del cuadrado

hasta el punto medio del lado ocupado por las dos primeras cargas? A

V 1=k

Q1 d

V 1=( 9 × 109 N m2 /C2 )

100 μC √2 m 20

V 1=12.72 ×106 V

V 2=k

Q2 d 9

2

2

V 2=( 9× 10 N m / C )

−150 μC √2 m 20

6

V 2=−19.09× 10 V

V 3=k

Q3 d

V 3=( 9× 109 N m2 /C2 )

−250 μC √2 m 20

6

V 3=−31.81× 10 V

V 4 =k

Q4 d 9

2

2

V 4 =( 9 ×10 N m /C )

300 μC √2 m 20

V 2=38.18 ×106 V

4

V A =∑ V n=V 1 +V 2 +V 3 +V 4 n=1

V A =0 V

B

V 1=k

Q1 d 9

2

2

2

2

V 1=( 9 × 10 N m /C )

100 μC 0.05 m

V 1=18 ×106 V

V 2=k

Q2 d 9

V 2=( 9× 10 N m /C )

−150 μC 0.05 m

6

V 2=−27 ×10 V

V 3=k

Q3 d 9

2

2

V 3=( 9× 10 N m / C )

−250 μC √5 m 20

V 3=−20.12× 106 V

V 4 =k

Q4 d

V 4 =( 9 ×10 9 N m2 /C 2 )

300 μC √5 m 20

V 2=24.14 × 106 V

4

V B =∑ V n=V 1 +V 2 +V 3 +V 4 n=1

V B =−4.9751× 106 V

V AB=

W Q

W =Q(V B −V A )

6

−6

W =(2 ×10 μC)(−4.9751 ×10 V −0 V ) −6

W =−9.9502 ×10 J

3. En la figura los puntos A y B distan 2 m y 1 m, respectivamente, de la carga positiva

−6

Q=1 ×10 C . ¿ Cuál es la diferencia de potencial entre A y B? Una

carga de

2 μC

se mueve desde B hasta A siguiendo la trayectoria indicada.

¿Qué trabajo realiza el campo eléctrico? ¿Qué trabajo realiza al desplazarse desde A hasta B? ¿Y si se desplaza desde b hasta A y regresa a B?

V A =k

Q d

V 2=( 9× 109 N m2 /C2 )

1 μC 2m

V 2=4500V

V B =k

Q d 9

2

2

V 2=( 9× 10 N m /C )

1 μC 1m

V 2=900 V

W BA=Q(V A −V B) W BA=(2 μC)( 4500 V −9000 V ) −3

W BA=−9 ×10 J

W AB=Q (V B −V A ) W AB=(2 μC )(9000 V −4500V ) W AB=9× 10−3 J

4. El potencial eléctrico a cierta distancia de una carga es eléctrico es

600 V

y el campo

200 N /C . ¿Cuál es la distancia a la carga? ¿Cuál es la magnitud

de esta?

V =k

Q E d2 Q= d k

V =k

E d2 kd

V =E d d=

V 600 V = E 200 N /C

d=3 m →Q=200 nC

5. Calcular la energía potencial de la carga eléctricas

de

la

figura,

y

la

energía

Q3 , en el sistema de cargas

potencial

total

Q1=1.5 mC , Q2=0.5 mC , Q3=0.2 mC ; AC =1 m y BC =0.5 m . V =V 1 +V 2

del

sistema,

si

V =k

Q1 Q +k 1 d1 d2

V =k (

Q 1 Q1 + ) d1 d2

V =( 9× 109 N m2 / C 2) (

1.5 mC 0.5 mC + ) 1m 0.5 m

V =22.5 ×10 6 V 1 1 6 U= QV = ( 0.2 mC ) (22.5 ×10 V ) 2 2 U=2250 J

Ecuaciones de Maxwell Existe un conjunto de cuatro ecuaciones que describen matemáticamente el comportamiento de los fenómenos eléctricos, magnéticos y por lo tanto electromagnéticos. La gran contribución de James Clerk Maxwell fue reunir en estas ecuaciones largos años de resultados experimentales, debidos a Charles Coulomb, Karl Friedrich Gauss, Adrien Marie Ampere, Michael Faraday y otros, introduciendo los conceptos de campo y corriente de desplazamiento, y unificando los campos eléctricos y magnéticos en un solo concepto: el campo electromagnético.

1. Ley de Gauss Karl Friedrich Gauss (1777-1855) fue notable aún entre ese pequeño y selecto grupo de los que gozan de genio matemático. Su talento excepcional se hizo notar cuando tenía tres años de edad, y antes de los veinte había hecho varias contribuciones originales importantes que lo llevaron a la altura intelectual de Arquímedes, Newton y Euler. Gauss enfocó sus esfuerzos a una considerable variedad de problemas, desde la teoría de los números, pasando por la geometría abstracta y la teoría

de la probabilidad hasta los cálculos astronómicos y el magnetismo terrestre. La ley de Gauss no solo simplifica la solución de muchos problemas electrostáticos, sino más importante aún, también es válida para las cargas en movimiento, mientras que la Ley de Coulomb se restringe solo al caso estático. La ley de Gauss explica la relación entre el flujo del campo eléctrico y una superficie cerrada. Se define como flujo eléctrico Φ a la cantidad de fluido eléctrico que atraviesa una superficie dada. Análogo al flujo de la mecánica de fluidos, este fluido eléctrico no transporta materia, pero ayuda a analizar la cantidad de campo ⃗ eléctrico E que pasa por una superficie. Matemáticamente se expresa como: ❑

Φ=∮ ⃗ E ∙ d ⃗S S

La ley dice que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga Q o la suma de las cargas que hay en el interior de la superficie y la permitividad eléctrica en el vacío ϵ0 , así: ❑

∮ ⃗E ∙ d ⃗S = Qϵ S

0

Es decir que la componente perpendicular del campo eléctrico sumada en cualquier superficie cerrada es igual a 4 πk veces la carga neta encerrada en su superficie. La forma diferencial de la Ley de Gauss es: ρ ⃗∇ ∙ ⃗ E= ϵ0

Donde es la densidad de carga en el vacío. Intuitivamente significa que el campo E diverge o sale desde una carga, lo que se representa gráficamente como vectores que salen de la fuente que las genera en todas direcciones. Por convención si el valor de la expresión es positivo entonces los vectores salen, si es negativo estos entran a la carga. Para casos generales se debe introducir una cantidad llamada densidad ⃗ de flujo eléctrico D y nuestra expresión obtiene la forma: ⃗∇ ∙ ⃗ D= ρ

2. Ley de Gauss para el campo magnético Experimentalmente se llegó al resultado de que los campos magnéticos, a diferencia de los eléctricos, no comienzan y terminan en cargas diferentes. Esta ley primordialmente indica que las líneas de los campos magnéticos deben ser cerradas. En otras palabras, se dice que sobre una superficie cerrada, sea cual sea ésta, no seremos capaces de encerrar una fuente o sumidero de campo, esto expresa la inexistencia del monopolo magnético. Matemáticamente esto se expresa así: ⃗∇∙ ⃗ B=0

Donde

⃗ B

es

la

densidad

de flujo

magnético,

también

llamada inducción magnética. Es claro que la divergencia sea cero porque no salen ni entran vectores de campo sino que este hace caminos cerrados. El campo no diverge, es decir la divergencia de B es nula. Su forma integral equivalente: ❑

∮ ⃗B ∙ d ⃗S =0 S

Como en la forma integral del campo eléctrico, esta ecuación sólo funciona si la integral está definida en una superficie cerrada.

3. Ley de Faraday-Lenz La ley de Faraday nos habla sobre la inducción electromagnética, la que origina una fuerza electromotriz en un campo magnético. Lo primero que se debe introducir es la fuerza electromotriz ϵ , si tenemos un campo magnético variable con el tiempo, una fuerza electromotriz es inducida en cualquier circuito eléctrico; y esta fuerza es igual a menos la derivada temporal del flujo magnético, así: ϵ=

−dϕ B dt

Como el campo magnético es dependiente de la posición tenemos que el flujo magnético es igual a: ❑

ϕ B =∫ ⃗ B ∙ d ⃗s S

Además, el que exista fuerza electromotriz indica que existe un campo eléctrico que se representa como: ❑

ϵ=∮ ⃗ E ∙ d l⃗ ❑

Con lo que finalmente se obtiene la expresión de la ley de Faraday: ❑

❑

∮ ⃗E ∙ d l⃗ = −d ∫ ⃗B ∙ d ⃗S dt S ❑ Lo que indica que un campo magnético que depende del tiempo implica la existencia de un campo eléctrico, del que su circulación por un camino arbitrario cerrado es igual a menos la derivada temporal del flujo magnético en cualquier superficie limitada por el camino cerrado. El signo negativo explica que el sentido de la corriente inducida es tal que su flujo se opone a la causa que lo produce, compensando así la variación de flujo magnético (Ley de Lenz). La forma diferencial de esta ecuación es: −∂ ⃗ B ⃗∇ × ⃗ E= ∂t

⃗ Entonces si existe una variación de campo magnético B entonces ⃗ este provoca un campo eléctrico E . En presencia de cargas libres ⃗ como los electrones el campo E puede desplazar las cargas y producir

una corriente eléctrica. Esta ecuación relaciona los campos eléctrico y magnético, y tiene otras aplicaciones prácticas cómo los motores eléctricos y los generadores eléctricos y explica su funcionamiento. Más precisamente, demuestra que un voltaje puede ser generado variando el flujo magnético que atraviesa una superficie dada. Dadas las leyes de Gauss y Faraday, se entenderá mejor el campo electrostático. Un caso especial del campo eléctrico es el campo electrostático. Un campo electrostático no depende del tiempo, es decir es estacionario. Para este tipo de campos la Ley de Gauss todavía tiene validez debido a que esta no tiene ninguna consideración temporal, sin embargo, la Ley de Faraday debe ser modificada. Si el campo es estacionario, la parte derecha de la ecuación y no tiene sentido, por lo que se anula: ⃗∇ × ⃗ E=0 Esta ecuación define un campo electrostático. Además, por el cálculo diferencial, se sabe que un campo cuyo rotacional es cero puede ser descrito mediante el gradiente de una función escalar V , conocida como potencial eléctrico: ⃗ E=−∇⃗ V La importancia de radica en que debido a que el rotacional del campo eléctrico es cero, se puede aplicar el principio de superposición a este tipo de campos. Para varias cargas, se define el campo eléctrico como la suma vectorial de sus campos individuales: n

⃗ E= ∑ ⃗ Ei i=1

Entonces

n

n

i=0

i=0

⃗∇× ⃗ E= ⃗∇× ∑ ⃗ Ei=∑ ⃗∇× ⃗ E i=0

4. Ley de Ampere generalizada Ampère formuló una relación para un campo magnético inmóvil y una corriente eléctrica que no varía en el tiempo. La ley de Ampère nos ⃗ dice que la circulación en un campo magnético B a lo largo de una curva cerrada C es igual a la densidad de corriente

⃗J

sobre la

superficie encerrada en la curva C, matemáticamente así: ❑

❑

C

S

∮ ⃗B ∙ d ⃗l=μ0∫ ⃗J ∙ d ⃗S Donde

μ0

es

la permeabilidad

magnética en el vacío. Pero cuando esta relación se la considera con campos que sí varían a través del tiempo llega a cálculos erróneos, como el de violar la conservación de la carga. Maxwell corrigió esta ecuación para lograr adaptarla a campos no estacionarios y posteriormente pudo ser comprobada experimentalmente. Maxwell reformuló esta ley así: ❑

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∮ ⃗B ∙ d ⃗l=μ0∫ ⃗J ∙ d ⃗S + μ0 ϵ 0 dtd ∫ ⃗E ∙ d ⃗S C S S En el caso específico estacionario esta relación corresponde a la ley de Ampère, además confirma que un campo eléctrico que varía con el tiempo produce un campo magnético y además es consecuente con el principio de conservación de la carga. En forma diferencial, esta ecuación toma la forma: ∂⃗ E ⃗∇ × ⃗ B =μ0 ⃗J + μ0 ϵ 0 ∂t