Electrotechnique - Livre Complet 1-17

Chapitre 1

Chapitre 1

NOTIONS FONDAMENTALES

Sommaire • • • • •

L'électricité Les formes d'énergies Les unités et grandeurs SI Les préfixes SI Entraînement

Introduction Le système international, conçu de façon rigoureusement scientifique a pour but que chaque grandeur physique ne peut se définir que d’une seule manière à l’aide des unités de base. Dans ce chapitre, nous présentons d’une part le système international d’unités, d’autre part la production et le transport de l’énergie électrique.

1.1 L'électricité L'électricité est une forme d'énergie. Le tableau de la page suivante nous donne un aperçu des différentes formes d'énergies et des multiples possibilités de transformer une énergie quelconque en une énergie électrique. En Europe, les énergies hydraulique, nucléaire et chimique sont utilisées au niveau industriel. Les autres énergies sont soit:

expérimentales impropres aux situations géographiques impropres aux politiques énergétiques

Ces énergies sont parfois appelées RENOUVELABLES. L'énergie électrostatique nous mènera, au début, à la découverte de l'électricité et nous permettra de refaire le chemin des différents usages de l'électricité au cours des siècles.

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1

Chapitre 1 1.HYDRAULIQUE

Energie stockable

2. NUCLEAIRE

Barrage

Uranium

3. CHIMIQUE

4. MARITIME

Pétrole

Marée

Charbon

motrice

5. SOLAIRE

6. EOLIENNE

7. CINETIQUE

3'. CHIMIQUE

8. LUMINEUSE

9. ELECTROSTATIQUE

Plomb-zinc Cd-nickel etc.

Energie

Rotation

Cellule

d'un volant

photovoltaïque

Au fil de

non stockable

Soleil

l'eau

Vent

d'inertie

Foudre

Energie calorifique

Energie mécanique

Réacteur

Chaudière

Chaudière

Turbine

Turbine

PELTON FRANCIS

Turbine à vapeur

Turbine à vapeur

Turbine

KAPLAN

Turbine à vapeur

Alternateur

Alternateur

Alternateur

Alternateur

Alternateur

Mot. Alter na teur

p o m p e

Alternateur

Alternateur

Energie électrique alternative

pompage Convertisseur Redresseur

Convertisseur Onduleur

Perturbations

Energie électrique continue

Tableau des énergies

1.2 Transport Les réseaux électriques sont utilisés pour transporter l'énergie électrique de la centrale jusqu'à l'utilisateur. Ils sont composés de lignes, de postes de transformateurs et de postes de couplages. Vous êtes tous connectés à un réseau électrique appartenant soit à EDF pour la France, ou à un fournisseur d'énergie (CVE, SEL, SICEL, SEIC, SIN, EEF) pour la Suisse. Il est bien entendu que tous ces réseaux sont reliés entre eux et portent alors le nom de réseaux interconnectés. Cette interconnexion touche toute l'Europe.

1.3 Existence de l’électricité L'énergie électrique, appelée communément électricité, n'est en définitive qu'une énergie secondaire. Seuls ses effets sont connus. Ils sont de forme: 1. calorifique 2. lumineuse 3. magnétique 4. chimique

(radiateur, chauffe-eau, four ménager, etc.) (tube fluorescent, télévision, foudre, etc.) (moteur, téléphone, instrument de mesure, etc.) (pile, accumulateur, etc.)

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Chapitre 1

1.4 Unités et grandeurs SI Lors de la résolution d'un problème en électrotechnique, nous devons suivre une méthode de travail rigoureuse pour nous garantir un résultat correct. Pour cela il nous faut utiliser les formules correctes, les unités correspondantes ainsi que les bonnes valeurs. Une formule peut être simple ou compliquée, sa compréhension en sera facilitée par une bonne connaissance des symboles utilisés. Il existe deux types de symboles : symbole de l'unité : Il représente l'unité utilisée dans le calcul. Il est écrit soit en majuscules, soit en minuscules, suivant son origine. Il se différencie du symbole de la grandeur car il est toujours entouré de crochets symbole de la grandeur : Il représente la grandeur utilisée. Comme le symbole de l'unité, il est écrit soit en majuscules, soit en minuscules. Il n’est jamais entre crochets

Prenons comme exemple la formule de la vitesse constante

v=

s t v :

Elle n'est formée que de symboles de grandeur. Si nous décomposons cette formule nous pouvons dire pour chaque composant :

v est le symbole de grandeur de la vitesse. Son unité est le mètre par seconde et le symbole de celle-ci est [m ⋅ s-1] s est le symbole de grandeur du déplacement Son unité est le mètre et le symbole de celle-ci est [m] t est le symbole de grandeur du temps Son unité est la seconde et le symbole de celle-ci est [s]

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Chapitre 1 Les unités que nous utiliserons sont normalisées et portent le nom de UNITES SI, ce qui signifie Système International. Table de quelques symboles et unités SI GRANDEURS

Symboles

Symboles

longueur masse surface

l m A

[m] [kg]

force de pesanteur poids

G

[N]

accélération vitesse hauteur temps fréquence pression énergie, travail puissance rendement température température absolue quantité de chaleur chaleur massique intensité du courant résistance électrique conductance impédance tension électrique quantité d'électricité conductivité résistivité capacité inductance flux magnétique induction magnétique intensité lumineuse éclairement flux lumineux

g v h t f p W P η ( êta ) θ ( thêta ) T Q c I R G Z U Q γ ( gamma ) ρ ( rhô ) C L Φ ( phi ) B I E Φ ( phi )

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UNITES mètre kilogramme

2

[m ]

[m/s2] [m⋅s-1] [m] [s] [Hz] [Pa] [J] [W] [°C] [K] [J] [J⋅kg-1⋅K-1] [A] [Ω] [S] [Ω] [V] [C] [Ω ⋅ m]-1 [Ω ⋅ m] [F] [H] [Wb] [T] [cd] [lx] [lm]

newton mètre par seconde carrée mètre par seconde mètre seconde hertz pascal joule watt grandeur sans unité degrés Celsius kelvin joule joule par kilogramme et par kelvin ampère ohm siemens ohm volt coulomb ohm par mètre ohm mètre farad henry weber tesla candela lux lumen

4

Chapitre 1

1.5 Préfixes SI En technique, nous devons exprimer des mesures avec des unités physiques mal appropriées à notre domaine, mais normalisées par le système international d'unité SI. Par exemple, la tension U du réseau électrique peut être composée de plusieurs valeurs, 380000 [V], 125000 [V], ou 20000 [V] et la vitesse d'une moto est donnée en [km ⋅ m-1] , et non pas en [m ⋅ s-1]. Ces nombres sont très longs et ne sont pas représentatifs. Pour des commodités d'emplois, des préfixes se placent devant l'unité, sans intervalle. 380000 [V] = 380 ⋅ 1000 [V]. Le préfixe qui correspond à 1000 est kilo. Nous pouvons donc écrire 380⋅ kilo [V]. Dans la règle, kilo est symbolisé par la lettre minuscule k. 380000 [V] = 380 [kV] Afin de pouvoir bien différencier symbole de la grandeur et symbole de l'unité, dans le livre, tous les symboles des unités sont entre des crochets,. Tableau des préfixes Préfixes Symboles yotta Y zetta Z exa E peta P tera T giga G mega M kilo

Facteur multiplicateur de l’unité 1 000 000 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 1 000 000 000 1 000 000 1 000

k unité

000 000 000 000 000 000 000

Notion scientifique 1024 1021 1018 1015 1012 109 10

1 000

10

1

10

6 3 0

-3

milli

m

0,001

10

micro

µ

0,000 001

10

nano

n

0,000 000 001

10

pico

p

0,000 000 000 001

10

femto

f

0,000 000 000 000 001

10-15

atto

a

0,000 000 000 000 000 001

10-18

zepto yocto

z y

0,000 000 000 000 000 000 001 0,000 000 000 000 000 000 000 001

10-21 10-24

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-6 -9

-12

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Chapitre 1

1.6 Entraînement 1.

Donner la définition de l'électricité.

2.

Citer les différentes formes d'énergies.

3.

Citer les énergies primaires.

4.

Comment peut-on constater la présence d'électricité ?

5.

Donner le nom de récepteur produisant un effet calorifique.

6.

Donner le nom de récepteur produisant un effet chimique.

7.

Donner le nom de récepteur produisant un effet lumineux.

8.

Donner le nom de récepteur produisant un effet magnétique.

9.

Comment distingue-t-on une unité d'une grandeur ?

10.

Quelle est la progression utilisée dans la notation scientifique ?

11.

Ecrire les valeurs suivantes en puissance de dix et en notation scientifique.

12.

13.

- Un courant de 0.0000593 [A]

- Une tension de 15000 [V]

- Une résistance de 27000 [Ω]

- Une puissance de 2650000 [W]

- Une fréquence de 32768 [Hz]

- Un condensateur de 0.000000015 [F]

Ecrire les valeurs suivantes en remplaçant le préfixe par la puissance de dix. - Une résistance de 3.3 [MΩ]

- Une fréquence de 566 [THz]

- Une inductance de 2.8 [µH]

- Une quantité d'électricité de 0.16 [aC]

- Un flux magnétique de 53 [mWb]

- Une puissance électrique de 40 [GW]

Simplifier les valeurs suivantes en utilisant les préfixes. - Un courant de 320000 [nA]

- Une tension de 12.5 ⋅ 105 [mV]

- Une fréquence de 0.000471 [THz]

- Une puissance de 48 ⋅ 10-6 [MW]

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Chapitre 2

Chapitre 2

PHYSIQUE ELECTRIQUE

Sommaire • • • • •

L'atome Les particules élémentaires La conductibilité La résistivité Entraînement

Introduction La physique décrit les phénomènes naturels observables dans tous les milieux, que ce soit mécanique, nucléaire, thermique, cosmique, électriques, ou autre. Des relations mathématiques permettent de quantifier les phénomènes électriques. Il est important de ne pas perdre de vue que ces relations mathématiques ne sont que des « outils » qui découlent du comportement de la matière, donc de l’atome. L’objectif de ce chapitre est de proposer une approche pragmatique de la physique atomique.

2.1

Les atomes

Les physiciens du début du siècle ont montré que la matière est formée de petites entités appelées atomes. autour du noyau, le NUAGE ELECTRONIQUE

au centre,

LE NOYAU

Fig. 2.1 L'atome.

Un atome est un ensemble de minuscules grains de matière , appelés particules élémentaires ou particules fondamentales. Il y a : les protons les neutrons

Ce sont les constituants du noyau d'où leur nom de nucléons.

les électrons

Ils tournent autour du noyau et forment le nuage électronique.

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Chapitre 2

2.2

Particules élémentaires

Les particules se différencient les unes des autres par : leur masse et leurs charges électriques Dans le cas de l'électricité, seule leur charge électrique nous intéresse. Particule

symbole

proton neutron électron

2.3

charge électrique

+

p n e-

+1 0 -1

Le noyau de l'atome

Le noyau de l'atome est formé de : •

protons charges électriques positives neutrons sans charges électriques (neutre)

•

Le noyau de l'atome est toujours positif

2.3.1

Nombre atomique

Z

Définition : On appelle nombre atomique ou numéro atomique Z, le nombre de protons du noyau. Les propriétés chimiques, physique et électrique d'un atome sont liées au nombre de protons du noyau, qui détermine le nombre d'électrons du nuage électronique.

2.3.2

Masse atomique

Exemples : Hydrogène Hélium Carbone

1 proton 2 protons 6 protons

A

Définition : On appelle masse atomique ou nombre de masse atomique A le nombre de protons et de neutrons du noyau. Remarque : le nombre de neutrons correspond à : A - Z Exemples : Eléments chimiques Hydrogène Hélium Carbone Cuivre Aluminium Argent

Numéro atomique Z

Masse atomique A

Nombre de protons

Nombre de neutrons

Nombre d'électron s

1 2 6 29 13 47

1 4 12 64 27 108

1 2 6 29 13 47

0 2 6 35 14 61

1 2 6 29 13 47

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Chapitre 2

2.4

Nuage électronique

Le nuage électronique est formé d'électrons tournant à grande vitesse autour du noyau selon des trajectoires très complexes. Nous devons la représentation ci-dessous au physicien danois Niels BOHR ( 1885 - 1962 ).

K L M

N O P

Q

Les électrons sont répartis sur les couches selon les quantités suivantes : K L M

2 8 18

N O P Q

32 50 72 98

Fig. 2.2 Le nuage électronique.

Remarque : On ne connaît actuellement aucun atome assez gros pour que les couches O , P , Q soient remplies au maximum.

Le nuage électronique est composé d'électrons donc sa charge électrique est toujours négative.

2.4.1

Couches périphériques

Définition : C'est la couche la plus extrême d'un atome. Ses électrons sont appelés ELECTRONS PERIPHERIQUES ou ELECTRONS DE VALENCE. La couche périphérique d'un atome ne peut pas posséder plus de huit électrons. Les propriétés électriques dépendent des électrons de la couche périphérique.

conducteurs

Conducteurs : Semi-conducteurs : Isolants :

semi-conducteurs

1 à 3 électrons de valence 4 électrons de valence 5 à 8 électrons de valence

isolants

Fig. 2.3 Représentation des couches périphériques. Les bons conducteurs ont leur dernière couche incomplète. Ils céderont facilement leurs électrons. Les isolants ont leur dernière couche saturée ou presque saturée. Ils accepteront peu d'électrons. Certains matériaux ont autant d'électrons à prendre qu'à donner pour avoir leurs couches saturées. Ces matériaux portent le nom de semi-conducteurs. Ces matériaux sont des éléments dont la dernière couche est formée de 4 électrons. Ils sont dits tétravalents. Le silicium et le germanium sont les semi-conducteurs les plus utilisés.

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Chapitre 2

2.4.2

Electrons libres

L'atome possède, dans son état normal, autant de protons que d'électrons. Il est électriquement neutre. Les électrons, quelle que soit l'orbite sur laquelle ils se situent, sont attirés par les protons du noyau. En effet, les électrons, de charge négative, sont attirés par les protons de charge positive. La force d'attraction est fonction du nombre de protons ainsi que de la distance qui les sépare du noyau. a)

Plus le diamètre de l'orbite ( K , L , M , N , etc. ) sur laquelle circulent les électrons est grand, plus les forces centripètes et d'attractions sont faibles.

b)

Si le nombre d'électrons de valence est petit ( plus petit ou égal à 3), la force d'attraction exercée par les protons sera relativement faible. Ces phénomènes expliquent qu'un électron de la couche périphérique puisse être attiré par d'autres atomes. On pourra parler d'électron libre.

Définition : On appelle un électron libre, un électron qui n'est plus lié à un atome. Il y a donc une circulation d'électrons ( circuit ou pas ) ou de charges négatives.

Remarque : A chaque couche électronique correspond un niveau d'énergie bien déterminé appelé bande d'énergie. La bande de conduction, dans laquelle se trouvent les électrons libres est située au-delà de la bande de valence. Niveaux énergétiques

Orbites atomiques 3ème orbite 2ème orbite 1ère orbite

Bandes d'énergies

3ème niveau

Bande de conduction

2ème niveau

Bande de valence

1er niveau

2ème bande

bord du noyau

1ère bande

noyau

Fig. 2.4 Les bandes d'énergie.

2.5

Conductibilité

Définition : Propriété qu'ont les corps ou les milieux de transmettre plus ou moins facilement, d'un point à un autre de leur masse, la chaleur ou l'électricité. Les électrons libres, situés dans la bande de conduction, sont dits électrons de conduction.

Exemple :

Le cuivre est un des meilleurs conducteurs de l'électricité et il est aussi le plus utilisé. Il contient environ 86⋅1018 électrons libres par [mm3]. Le nickel et le tungstène contiennent environ 100 fois moins d'électrons libres par [mm3].

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Chapitre 2 Dans la pratique, chaque matière va pouvoir être classée en fonction de sa facilité à donner des électrons libres. Cette propriété est nommée conductibilité électrique. Lorsqu'on la quantifie, on la nomme conductivité. Pour symboliser cette grandeur, le système international SI a donné la lettre grecque γ (gamma). Symbole de la grandeur : γ

Pour abréger l'unité, le système SI a admis les symboles suivants :

[ Ω ⋅ m] −1

Symbole de l'unité :

Par opposition, nous pouvons quantifier la matière selon sa retenue au passage des électrons libres. Cette propriété porte le nom de résistivité.

gamma

Symbole de la grandeur : Symbole de l'unité :

[ Ω ⋅ m]

Le tableau suivant indique le nombre d'électrons libres pour différentes matières. Voir également un tableau périodique. Matières et symboles chimiques

Nombre d'électrons sur la couche périphérique

Conductivité

[ Ω ⋅ m]

Résistivité

[ Ω ⋅ m]

−1

Cuivre

Cu

1

5.71⋅107

1.75⋅10-8

Aluminium

Al

3

3.60⋅107

2.78⋅10-8

Argent

Ag

1

6.06⋅107

1.65⋅10-8

Les relations mathématiques entre la conductivité et la résistivité sont les suivantes :

conductivité =

2.5.1

1 résistivité

γ=

1 ρ

ρ=

1 γ

Usage pratique de la conductivité et de la résistivité

Dans la pratique, les unités de la conductivité γ et de la résistivité ρ sont mal appropriées. En effet, la dimension des fils de cuivre utilisés sont d'un ordre de grandeur de quelques [mm2]. Cela implique que certains formulaires techniques donnent les valeurs de la conductivité et de la résistivité avec d'autres unités. Les symboles de grandeurs γ et ρ ne changeant pas.

Matières et symboles chimiques

Conductivité

gamma

Symboles de grandeurs :

γ

Symboles d'unités :

m ê Ω ⋅ mm2 ú

m Conductivité ê 2ú ê Ω ⋅ mm ú

Résistivité ê ê

ρ

rhô

é Ω ⋅ mm2 ù ê ú êë m ú

Ω ⋅ mm2 ú m ú

Cuivre

Cu

5.71⋅101

1.75⋅10-2

Aluminium

Al

3.60⋅101

2.78⋅10-2

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Résistivité

5

Chapitre 2

2.6

Ion

Définition : On appelle ion, un atome ou un groupe d'atomes ayant perdu ou gagné un ou plusieurs électrons. L'équilibre des charges n'est donc plus respecté et l'atome n'est plus neutre. ION POSITIF ou CATION

ION NEGATIF ou ANION

atome de Sodium Na

atome de Chlore Cl

Z = 11 A = 23

Z = 17 A = 35

Na

+ Na a perdu un électron

Cl a gagné un électron

Cl

Fig. 2.5 Cation et anion. Le passage d'un atome à l'état de ion se nomme ionisation.

2.7

Déplacement des électrons

Un atome chargé négativement (ion négatif) a un excès d'électrons. Un atome chargé positivement (ion positif) a un manque d'électrons. Lorsque deux atomes, de charges opposées sont à une certaine distance l'un de l'autre, il y a un phénomène d'attraction et un courant électrique circule. Le courant électronique (sens de passage des électrons) va de l'atome négatif vers l'atome positif. Au début de l'étude des phénomènes électriques, il fut convenu que le courant électrique circulait du + vers le - . Malgré la découverte de la nature de l'électricité et du sens réel des électrons, le sens conventionnel du courant fut conservé. Il faut donc bien prêter attention aux indications qui suivent.

+

+

-

-

-

-

+

+

+

+

-

+

+

-

+

+

-

-

+ +

-

-

+

+ +

-

-

-

-

-

-

+ +

-

-

-

-

-

-

circulation des électrons Fig. 2.6 Le courant électrique.

2.8

Sens de déplacement des électrons ou sens électronique :

- vers le +

Sens conventionnel du courant

+ vers le -

Electronvolt

L'unité d'énergie couramment utilisée en physique des particules n'est pas le joule mais l'électronvolt eV.

Définition : Un électron, charge d'électricité négative e=1.6⋅10-19 [C], possède une énergie cinétique Wc de 1 eV quand, en supposant au préalable l'électron immobile dans un champ électrique, il a parcouru, sous l'influence du champ, l'intervalle séparant 2 points dont la différence de potentiel est de 1 volt.

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Chapitre 2 Dans la pratique, on peut dire que 1 eV correspond à l'énergie acquise par un électron accéléré par une différence de potentiel électrique de 1 [V].

2.9

Energie cinétique

Wc =

1 ⋅ m ⋅ v2 2

1 électronvolt = 1.6 ⋅10-19 joule

Vitesse de propagation

La vitesse de la lumière c , dans le vide, est la référence de comparaison des phénomènes physiques. c = 2.997925 ⋅ 108 [m ⋅ s-1]

Nous admettrons après développement que :

c = 300'000 [km ⋅ s-1]

3 ⋅ 108 [m ⋅ s-1]

ou

La vitesse de la lumière est admise identique dans le vide et dans l'air.

2.10

Vitesse de l'électron

La vitesse de l'électron est plus faible que celle de la lumière. Elle est de quelques [mm⋅s-1] ou de quelques milliers de [km⋅s-1] ceci en fonction du milieu dans lequel l'électron circule. conducteur

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

déplacement de l'électron

vitesse de propagation dès qu'un électron entre dans le conducteur, il en chasse un autre qui en sort. Fig. 2.7 Déplacement et vitesse de l'électron.

2.11

Formes de dégagement d’énergie

Selon la représentation de Bohr, lorsqu'un électron quitte son orbite pour en rejoindre une autre, ou qu'il y a un mouvement entre orbites, il y a un dégagement d'énergie. Cette énergie se présente sous plusieurs formes : 1.

Agitation des molécules provoquant un échauffement de la matière appelé énergie calorifique.

2.

Un photon, particule se déplaçant à la vitesse de la lumière c (voir théorie d'Einstein), peut céder de l'énergie à un électron. Si l'énergie acquise par l'électron et la direction dans laquelle il se déplace lui permettent de changer d'orbite, cette orbite est instable et le retour de l'électron à sa couche initiale donne un rayon lumineux.

3.

Les électrons sont également animés d'une rotation sur eux-mêmes et sur leur orbite. Ce phénomène s'appelle le spin de l'électron et il est responsable du magnétisme. Dans la plupart des cas, les électrons sont groupés par paire. L'un tournant dans le sens trigonométrique (inverse des aiguilles d'une montre) et l'autre tournant dans le sens horaire. La résultante de ces rotations est nulle.

4.

L'effet chimique est une transformation de l'atome. Nous l'étudierons plus tard par ses applications pratiques.

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Chapitre 2

2.12

Documentaire Niels BOHR Physicien danois Copenhague, 1885 - Copenhague, 1962 Prix Nobel de physique en 1922

A élaboré une théorie de la structure de l'atome intégrant le modèle planétaire de lord Ernest Rutherford (1871-1937) et le quantum d'action de Max Planck (1858-1947). A établi le "principe de complémentarité" où un objet quantique peut être décrit, selon les conditions expérimentales, soit en termes d'ondes, soit en termes de particules. (Sources : Université Laval, Québec, Canada)

Albert EINSTEIN Physicien allemand, naturalisé suisse puis américain. Ulm, 1879 - Pronceton 1955 Prix Nobel de physique en 1921

Créateur de la théorie de la relativité. Il y développe l'idée de l'équivalence entre la masse et l'énergie, d'où la relation : E = m ⋅ c2 .

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8

Chapitre 2

2.13

Entraînement

Quelques questions pour résumer la situation : 1.

Qu'est-ce qu'un atome ?

2.

De quoi se compose un atome ?

3.

Qu'est-ce qu'une orbite ?

4.

Quel est le nombre de protons d'un atome de zinc ?

5.

Enoncer la relation entre la masse atomique et le numéro atomique.

6.

Citer le nom des bandes d'énergies.

7.

Citer une application de l'argon

8.

Pourquoi les électrons périphériques sont-ils les seuls à pouvoir quitter leur orbite ?

9.

Comment s'appelle le savant qui a élaboré la théorie de la relativité ?

10.

Qu'est-ce que la conductibilité ?

11.

Donner le symbole de la grandeur et le symbole de l'unité de la conductivité

12.

Qu'est-ce que la résistivité ?

13.

Donner le symbole de la grandeur et le symbole de l'unité de la résistivité.

14.

Quelle est la relation mathématique entre la conductivité et la résistivité ?

15.

Quelle est la touche de votre machine à calculer qui vous permet d'effectuer la conversion entre γ et ρ ?

16.

Donner le nom et la particularité de deux matériaux semi-conducteurs

17.

Pourquoi les électrons qui se trouvent sur l'orbite la plus éloignée du noyau s'appellent électrons libres ?

18.

Donner la charge électrique de tous les composants d'un atome.

19.

Qu'est-ce qu'un ion ?

20.

Le plomb a une résistivité de 22⋅10-8 [Ω⋅m] . Calculer sa conductivité.

21.

Rechercher la valeur de la résistivité du platine et l'exprimer sous toutes ses formes.

22.

Quel est le meilleur conducteur de l'électricité, et pourquoi ?

23.

Quelle sera la conséquence du remplacement d'un conducteur de cuivre par un conducteur d'aluminium ?

24.

Citer le nom de quatre isolants utilisés couramment en électricité.

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Chapitre 3

Chapitre 3

ELECTRICITE STATIQUE

Sommaire • • • • •

Loi des charges Charge électrostatique Le champ électrique Potentiel et différence de potentiel Déplacement de charges

Introduction Dès l'Antiquité, les hommes ont constaté des phénomènes d'électricité statique. Certains corps ont la propriété de s'électriser par frottement. Ce phénomène est lié à un transfert d'électrons par décharge (arc). Dans ce chapitre, nous allons présenter de manière démonstrative les grandeurs essentielles de l’électrostatique. Pour ceux qui désirent de plus amples informations, il existe une abondante littérature.

3.1

Loi des charges

L'existence de 2 types de charges différentes constitue une différence de niveau d'énergie. Ces charges peuvent être qualifiées de positives ou négatives.

Nous constatons que:

+ charge +

Les corps porteurs de Les corps porteurs de charges de même nom se charges de noms repoussent opposés s'attirent

+ charge -

Une expérience de laboratoire peut démontrer les effets que nous venons de décrire. La petite boule suspendue sera soit repoussée par une pièce chargée positivement, ou attirée par une autre pièce chargée négativement.

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1

Chapitre 3

3.2

Charge électrostatique Q

La charge électrostatique est une quantité d'électricité statique. Symbole de la grandeur : (à disposition) La notion de charge étant liée à celle de l'électron, nous pouvons quantifier cette charge électrostatique Q.

Symbole de l'unité :

Q

[C] coulomb

Q = n ⋅ en représente le nombre d'électrons dans une charge e- représente la charge électrique élémentaire

e- = 1.602 ⋅ 10-19 [C]

Le résultat de ces charges électrostatiques a pour effet de Symbole de la grandeur : F démontrer la présence de forces électrostatiques F . Symbole de l'unité : [N] newton Comment se représenter la force électrostatique

F ?

peigne peigne

Lorsque vous vous peignez, vos cheveux se font attirer par le peigne et se dressent. Il y donc bien des forces qui soulèvent vos cheveux. Nous constatons aussi que nous n'attirons pas de la même manière les cheveux du sommet de la tête, que ceux proches des oreilles, d'où une notion de distance.

Vous avez aussi constaté que tous les cheveux ne subissent pas les mêmes forces électrostatiques. Plus vous vous trouvez éloigné du peigne, plus les forces sont faibles. Non seulement la distance est importante, mais également l'angle d'inclinaison du peigne.

Pour mieux comprendre les phénomènes électriques, nous les étudierons comme s'il n'y existait qu'une force

F représentative de toutes les forces électrostatiques.

Cette unique force

F est notée au moyen d'une flèche sur son symbole de grandeur.

Cette remarque restera valable pour les autres phénomènes étudiés plus en avant dans le cours.

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Chapitre 3

3.3

Champ électrique E

Le champ électrique E caractérise l'influence de la charge électrostatique Q sur un plan soumis à une force électrostatique

+

+

-

-

F.

Le champ électrique est défini par la relation suivante : Symbole de la grandeur :

F E= Q

E [V⋅m-1]

Symbole de l'unité :

L'exemple précédent montre qu'il existe une influence électrique entre le peigne et les cheveux. C'est la preuve qu'il règne un certain champ électrique

3.4

E.

Potentiel V Dans le vide ou dans l'air, le champ électrique E créé par une charge Q présente un potentiel électrique V Le potentiel V exprime la quantité de charges Q à disposition par rapport à une référence. Symbole de la grandeur : Référence

Symbole de l'unité :

V [V] volt

Pour illustrer cette notion de potentiel, comparons-la à une différence d'altitude des nuages. Cette différence est exprimée par rapport à une référence qui est le niveau de la mer à 0 [m].

3.5

Différence de potentiel

La différence de potentiel est définie comme la présence d'un champ électrique E entre 2 points A et B. Les charges électrostatiques peuvent se déplacer de façon aléatoire en fonction du type de diélectrique (isolant).

A

+ + + +

-

B

-

Plus la quantité de charges sera importante, plus la différence de potentiel électrique sera grande. Rappel :

Une charge positive est représentée par des atomes en manque d'électrons. Une charge négative est représentée par des atomes avec un excès d'électrons.

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3

Chapitre 3

3.6

Déplacement des charges

Le déplacement des charges Q peut se faire sur une trajectoire AB de manière constante dans le temps et ne passant pas sous la référence.

A

+ +

-

+

-

+

B

charges Référence

Ce déplacement de charges Q est engendré par un potentiel électrique V appelé : POTENTIEL CONTINU Potentiel continu positif (au dessus de la référence)

Dans la pratique, on le repère par le symbole suivant : Potentiel continu négatif (au dessous de la référence)

CC (Courant Continu en français) ou DC (pour Direct Current en anglais)

Le déplacement des charges peut se faire de manière différente. Elle peut prendre une forme SINUSOIDALE, TRIANGULAIRE, ou quelconque. Cette trajectoire est une fois au dessus de la référence et ensuite en dessous de la référence.

Ce déplacement de charges Q est engendré par un potentiel électrique V se variant par rapport à la référence et appelé : POTENTIEL SINUSOIDAL ALTERNATIF Potentiel alternatif. Alternativement sur et sous la référence.

Dans la pratique, on le repère par le symbole suivant : CA (Courant Alternatif en français) AC (pour Alternative Current en anglais)

Electrotechnique /  Editions de la Dunanche / septembre 2000 4

Chapitre 3

3.7

Documentaire Charles de Coulomb (1736-1806), physicien français. En 1777 il publie un livre intitulé " La meilleure manière de fabriquer des aiguilles aimantées ". Il établit les lois expérimentales et théoriques du magnétisme vers 1779, et de l'électrostatique (1785). Il a notamment introduit les notions de moment magnétique et de polarisation.

Sir Isaac Newton (1642 - 1727) physicien, mathématicien et astronome anglais. On lui doit entre autre : la décomposition de la lumière blanche à l'aide d'un prisme (1666); la construction du premier télescope (1671); la théorie de l'attraction universelle (1687); le calcul intégral (1687) en même temps que Leibniz. Il déclara à la fin de sa vie : " Je me suis comporté comme un enfant jouant sur le bord de la mer et qui s'est amusé à chercher de temps en temps un caillou plus poli et un coquillage plus joli qu'à l'ordinaire, tandis que le grand océan de la vérité s'exposait à moi entièrement inconnu. "

3.8

Entraînement

1.

Calculer le nombre d'électrons constituant une charge électrostatique de 100 [C]

2.

Citer trois exemples d'électricité statique que l'on rencontre dans la vie courante.

3.

Expliquer de façon simple le phénomène de la foudre.

4.

Calculer le champ électrique E d'une force F de 10 [N] influencée par une charge électrostatique de 500 [C] perpendiculaire. (Réponse : 20⋅10-3 [V/m])

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5

Lois électriques

Chapitre 4

LOIS ELECTRIQUES

Sommaire • • • • • • • • •

La tension électrique Le courant électrique Mesures du courant et de la tension Relation entre la tension U et le courant I La loi d'Ohm Propriété de la résistance électrique L'influence de la température sur la résistance Le fonctionnement de l'ohmmètre La densité de courant

Introduction Dès l'Antiquité, les hommes ont constaté des phénomènes d'électricité statique. Certains corps ont la propriété de s'électriser par frottement. Ce phénomène est lié à un transfert d'électrons par décharge (arc). Dans ce chapitre, nous allons présenter de manière démonstrative les grandeurs essentielles de l’électrostatique. Pour ceux qui désirent de plus amples informations, il existe une abondante littérature.

4.1

Tension électrique U La tension électrique U représente la différence de potentiel entre le point A et le point B

La relation mathématique est la suivante :

UAB = VA - VB

Symbole de la grandeur : Symbole de l'unité :

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U

[V] volt

1

Lois électriques Reprenons l'exemple des nuages pour nous représenter les tensions U . Données :

nuage A a un potentiel de 1000 [V] nuage B a un potentiel de 500 [V] nuage C a un potentiel de -700 [V]

1000 [V]

500 [V]

- 700 [V]

Référence

Les nuages A et B présentent un potentiel positif par rapport à la référence, alors que le nuage C présente un potentiel négatif. Il s'agit ici d'un cas pratique lors de la foudre. Nous allons calculer les tensions électriques (différences de potentiels) présentes entre les nuages. Les valeurs de la donnée ne nous indiquent que des potentiels par rapport à une référence. Il est aussi utile de pouvoir calculer les potentiels entre-eux, c'est-à-dire la tension électrique présente entre les nuages.

B 1000 [V]

500 [V]

A C

- 700 [V]

niveau de référence Résolution mathématique : UBA = VB - VA = 500 - 1000 = - 500 [V]

polarité négative

UBC = VB - VC = 500 - ( - 700 ) = 1200 [V]

polarité positive

UCB = VC - VB = - 700 - 500 = - 1200 [V]

polarité négative

Afin de faciliter la compréhension des calculs ci-dessus, nous allons procéder par analogie avec des situations de la vie courante, où une différence de xxx ( altitude, température, etc. ) est mise en jeu.

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2

Lois électriques Dans la suite, nous allons prendre l'altitude comme objet d'étude. Soit par exemple les lieux géographiques suivants, ainsi que leur altitude : A : la ville de Lausanne ( bord du lac )

375 [m]

B : le sommet du Mont Everest

:

8848 [m]

C : le niveau de la Mer Morte

:

- 390 [m]

De manière intuitive nous pouvons dire que la différence d'altitude entre : Mont Everest et Lausanne est de

8473 [m]

Mont Everest et la Mer Morte est de

9328 [m]

Lausanne et la Mer Morte est de

765 [m]

Les résultats ci-dessus impliquent que nous sachions au départ que le Mont Everest est à une altitude supérieure de celle de Lausanne, qui est elle-même à une altitude supérieure à celle de la Mer Morte. Nous savons aussi que l'altitude de référence 0 [m] est le niveau des océans. Par contre, si nous désirons une formulation mathématique de cet exercice, il sera nécessaire de nous doter d'une méthode de travail. Méthodologie : Méthode

Dans l'exemple

a)

fixer le sens et la direction de la grandeur considérée

l'altitude.

b)

poser la référence

le niveau des océans

c)

poser les valeurs connues

les trois altitudes

8848 [m]

Everest

A

375 [m]

Lausanne

B

0 [m]

référence

-390 [m]

d)

Mer Morte

flécher la différence de xxx recherchée 8848 [m] 375 [m]

C

la différence d'altitude entre l'Everest et Lausanne

Everest

A

Lausanne

B

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3

Lois électriques Méthode

Dans l'exemple

e)

∆h ( Everest - Lausanne ) = poser l'équation de la différence de ........

hEverest - hLausanne ∆hAB = hB - hA

une différence est symbolisée par la lettre grecque ∆ ( delta )

∆hAB = 8848 - 375 = 8473 [m]

Remarque : Le nombre est positif, ce qui signifie que l'altitude de l'Everest est plus élevée de 8473 [m], par rapport à l'altitude de Lausanne.

Exemple 1 Calculer la différence d'altitude entre la Mer Morte et Lausanne ∆hCA . ∆h Mer Morte - Lausanne , flécher dans le sens Mer Morte - Lausanne.

375 [m]

Lausanne

A

0 [m] -390 [m]

Mer Morte

C

∆h

Mer Morte - Lausanne

∆h(Mer Morte - Lausanne) = hMer Morte - hLausanne ∆hCA ∆hCA

=

hC

-

hA

altitude de

altitude considérée

= - 390 - 375 = - 765 [m]

= ...........

par rapport à

Remarque : Le nombre est négatif, ce qui signifie que l'altitude de la Mer Morte est moins élevée de 765 [m] par rapport à l'altitude de Lausanne.

Exemple 2 :

Calculer la différence d'altitude entre le sommet de l'Everest et la Mer Morte.

∆h(Everest - Mer Morte) = hEverest - hMer Morte ∆Hbc =

hB

-

hC

∆hBC = 8848 - ( - 390 ) = 9238 [m]

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4

Lois électriques Exemple 3 : Calculer l'altitude du sommet de l'Aconcagua si celui-ci se trouve 1889 [m] plus bas que le sommet de l'Everest. Remarque : Les mots plus bas signifient qu'il faut munir la différence d'altitude d'un signe négatif ∆h = - 1889 [m]. ∆h(Aconcagua - Everest) = hAconcague - hEverest ∆hEB = hE = ∆hEB + hB

4.2

=

hE

-

hB

- 1889 + 8848 = 6959 [m]

Mesure de la tension U

Dans les applications électriques, nous cherchons à quantifier cette tension UAB en la mesurant. Cette mesure est effectuée avec un instrument qui porte le nom de VOLTMETRE. Dans les schémas, le voltmètre se symbolise comme ceci :

V

Application pratique du voltmètre : Au moyen d'un voltmètre, il est possible de mesurer la tension électrique présente entre le conducteur polaire et le neutre des prises électriques. En Europe, cette tension vaut 230 [V].

Attention ! :

V

lorsque vous utilisez un voltmètre, vous devez toujours vous poser les questions suivantes :

1.

Réfléchir aux gestes que vous allez entreprendre.

2.

Quel est le genre de tension U que je mesure ?

3.

Choisir la valeur la plus grande de l'échelle du voltmètre.

4.

Interpréter la mesure IL Y A DANGER DE MORT SI VOUS NE PRENEZ PAS DE PRECAUTIONS

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5

Lois électriques

4.3

Courant électrique I

Le courant électrique I est le débit de charges électriques Q s'écoulant dans un conducteur.

Symbole de la grandeur : Symbole de l'unité :

La relation mathématique est la suivante :

I=

L'analyse dimensionnelle de la relation est la suivante : Q=I⋅t

[C] = [A] ⋅ [s]

I

[A] ampère

Q t

[C] = [As]

Pour qu'un courant électrique I circule dans un conducteur, il doit obligatoirement exister une différence de potentiel V entre les extrémités du conducteur. Il faut également que le circuit soit fermé par une charge. Cette charge peur prendre plusieurs formes, lampes, corps de chauffe, moteurs, etc.

4.4

Mesure du courant I

Dans les applications électriques, nous cherchons à quantifier ce courant I. Cette mesure est effectuée avec un instrument qui porte le nom d'AMPEREMETRE Dans les schémas, l'ampèremètre se symbolise comme ceci :

A

Application pratique de l'ampèremètre : L

A lampe

Dans ce circuit, l'ampèremètre mesure le courant électrique qui circule dans la lampe.

N

Attention ! : lorsque vous utilisez un ampèremètre, vous devez toujours vous poser les questions suivantes : 1.

Réfléchir aux gestes que vous allez entreprendre.

2.

Quel est le genre de courant I que je mesure ?

3.

Choisir la valeur la plus grande de l'échelle de l'ampèremètre.

4.

Interpréter la mesure IL Y A DANGER DE MORT SI VOUS NE PRENEZ PAS DE PRECAUTIONS

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6

Lois électriques

4.5

Relation entre la tension U et le courant I

Nous remarquons que pour obtenir un courant I, 2 conditions sont nécessaires : 1.

Avoir une tension U provenant d'une source quelconque.

2.

Avoir un circuit électrique fermé, soit constitué d'un fil conducteur et d'un récepteur. fil conducteur

Schéma correspondant aux deux conditions :

prise électrique tension U

récepteur électrique

fil conducteur

l'ampèremètre, placé en série A

Pour mesurer la tension U, nous placerons un voltmètre en PARALLELE par rapport à la source et au récepteur, pour déterminer la différence de potentiels qui existe entre les deux conducteurs.

V

le voltmètre, placé en parallèle

Pour mesurer le courant I, nous placerons un ampèremètre en SERIE dans le circuit pour mesurer le passage des charges électriques dans le fil conducteur. Pour que notre mesure puisse être réalisée, nous devrons interrompre le fil conducteur pour y placer l'ampèremètre.

4.6

Relation mathématique entre la tension U et le courant I

A partir des valeurs mesurées, nous pouvons établir un rapport entre le voltmètre et l'ampèremètre. Ce rapport est obtenu de la manière suivante :

opposition faite au passage du courant R =

tension U courant I

Exemple de mesure de courant et de tension. :

A A

Au laboratoire, nous réalisons un montage composé d'une source de tension (le réseau 230 [V]) de deux résistances de charge (1[kΩ] et 10 [kΩ]), et de trois instruments de mesure.

V

R1

R2

Tableau de mesure : résistance 1 résistance 2 résistance 1 résistance 2 constatations :

U [V]

I [A]

rapport

0 0 230 230

0 0 0.23 0.023

∞ ∞ 1000 10000

le courant n'est pas identique dans les deux mesures. La tension reste fixe et ne varie pas.

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7

Lois électriques

4.7

Représentation graphique

En plus du tableau de mesure, nous pouvons également établir une représentation graphique de nos résultats. Un graphique est constitué d'un axe horizontal possédant une origine et une graduation (axe X), et d'un axe vertical à la même origine mais décalé de 90° (axe Y). L'axe vertical représente le courant I et l'axe horizontal la tension U. Ce tracé porte le nom de I = f(U). I [mA]

résistance 1 résistance 2

Dans ce tracé, nous avons relié l'origine aux mesures que nous avons effectuées. Tous les points de cette droite représentent toutes les possibilités de fonctionnement du circuit.

20

10

50

4.8

100

150

RESISTANCE

200

U [V]

250

R

La résistance électrique R est l'opposition faite au passage du courant électrique I dans un circuit électrique fermé et soumis à une tension électrique continue U. Symbole de la grandeur :

La relation mathématique est la suivante :

Symbole de l'unité :

R

[Ω]

U R= I Le symbole graphique de la résistance est: Exemple :

Une lampe est alimentée par une tension de 48 [V]. Dessinez le schéma de ce circuit avec les appareils de mesures. Calculez la résistance électrique R de la lampe. I A

U

Application numérique :

données :

U = 48 [V] I = 24 [mA]

inconnue :

R=?

R

V

R=

U I

=

48 24 ⋅ 10 −3

= 2000 [ Ω ]

2 [ kΩ ]

La résistance a une valeur de 2000 [Ω]. Il est plus aisé d'écrire sa valeur en utilisant la notation scientifique : 2 [kΩ].

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8

Lois électriques

4.9

Loi d'ohm La relation vue précédemment s'appelle la loi d'Ohm .

Dans ce cas, elle nous permet de calculer les tensions U à appliquer au montage, en connaissant la résistance R et le courant I. Exemple:

Un radiateur électrique purement résistif possède une résistance de 23 [Ω]. Le fusible protégeant les conducteurs est calibré à 10 [A].

Calculez la tension U du montage, et dessinez le schéma du circuit avec les appareils de mesures. F

I A

données :

R = 23 [Ω] I = 10 [A]

inconnue :

U=?

10 [A] U

Application numérique :

4.10

R

V

23 [Ω=]

U = R ⋅ I = 23 ⋅ 10 = 230 [V]

CONDUCTANCE G

La conductance G est la facilité qu'a un circuit électrique de laisser passer le courant I lorsqu'une tension continue U est appliquée. Symbole de la grandeur : La relation mathématique est la suivante :

Symbole de l'unité :

G=

4.11

G

[S]

1 R

MESURE DE LA RESISTANCE R

Dans la pratique, il existe un appareil de mesure appelé ohmmètre . Cet appareil possède une pile (source de tension U continue) et un ampèremètre, dont l'échelle est graduée en ohm. Sa manipulation demande une attention particulière. Le symbole graphique de l'ohmmètre est le suivant:

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Ω

9

Lois électriques

4.12

PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT DE L'OHMMETRE

L'ohmmètre est un appareil de mesure, constitué d'un générateur de tension électrique U (pile), indépendant du réseau électrique. C'est pour cette raison qu'il est nécessaire d'interrompre aux moyens des fusibles ou des disjoncteurs, la tension électrique U du réseau. Comme la tension électrique U d'une pile est de nature continue, il y a un conflit avec la tension électrique U du réseau de nature alternative sinusoïdale. Les symboles graphiques des générateurs de tension U sont :

+ générateur de tension

-

pile électrique

L'ohmmètre est équipé d'un micro-ampèremètre. Schéma équivalent d'un ohmmètre: µA U

Rx

Le principe de mesure n'est rien d'autre que l'application de la loi d'Ohm.

Lorsque le circuit est ouvert, la tension électrique U de la pile est présente. Mais le circuit électrique est ouvert. Donc aucun courant électrique I circule dans le montage.

L'aiguille du micro-ampèremètre est sur le 0 [A].

max

0

micro-ampèremètre

Appliquons la loi d'Ohm:

R =

U I

=>

si le courant électrique I est proche de 0 [A], cela signifie que la résistance R est grande.

0

Sur le cadran du micro-ampèremètre, nous placerons une graduation avec l'indication infini grand ∞ [Ω].

ohmmètre

Lorsque le circuit est fermé, la tension électrique U de la pile est toujours présente. Un courant électrique I circule dans le montage.

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10

Lois électriques

max.

0

L'aiguille du micro-ampèremètre est à fond d'échelle Imax [A].

micro-ampèremètre

Appliquons la loi d'Ohm:

R =

U I

=>

si le courant électrique I est grand Imax [A], cela signifie que la résistance R est petite. (nulle)

0 ohmmètre

Sur le cadran du micro-ampèremètre, nous placerons une graduation avec l'indication 0 [Ω].

Lors d'un changement d'échelle sur l'ohmmètre, il est nécessaire de calibrer à nouveau le 0 de l'appareil. Exemple : Un ohmmètre fourni une tension de 1.5 [V] sur ses bornes. Lorsque l'on effectue une mesure de résistance, il circule un courant de 3.8 [mA]. Quelle est la valeur de la résistance mesurée ? ( réponse : R = 394.7 [Ω] ) Données :

U = 1.5 [V]

application numérique :

4.13

I = 3.8 [mA]

R=

inconnue :

R=?

15 . U = = 394.73 [ Ω ] I 38 . ⋅ 10 − 3

PROPRIETE DE LA RESISTANCE R

La résistance électrique R, définie précédemment, est dépendante de 3 paramètres.

•

Le premier paramètre est la nature du matériau, c'est-à-dire sa résistivité (rhô) [Ωm].

Exemple pratique: Un fil de cuivre (conducteur) a une résistivité plus faible qu'un fil de verre qui est un isolant. MATIERE

RESISTIVITE [Ω⋅m]

RESISTIVITE [Ω⋅mm2⋅m-1]

cuivre aluminium verre

1.75 ⋅ 10-8 2.9 ⋅ 10-8

0.0175 0.029

∞

∞

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11

Lois électriques

•

Le deuxième paramètre est la longueur l du matériau.

Exemple pratique: Si nous démontrons expérimentalement, qu'un fil de cuivre de longueur l en [m] (mètre), possède une résistance électrique R. Si nous doublons la longueur l, la résistance électrique R du fil doublera aussi.

•

Le troisième paramètre est la section A du matériau.

Exemple pratique: Un réservoir d'eau doit être vidé, au moyen d'un tuyau d'arrosage a un certain diamètre d, donc une certaine section A exprimée en [m2]. Ce réservoir va mettre un temps t1 pour se vider. Si nous remplaçons le tuyau d'arrosage par un autre d'un diamètre d plus grand, le réservoir se videra dans un temps t2 plus petit que t1. Nous en déduisons que la résistance au passage de l'eau est plus petite avec le tuyau à grand diamètre. Electriquement, nous assistons au même phénomène, plus le diamètre d est grand, donc plus la section A est grande et plus la résistance électrique R est petite. Plus notre conducteur va laisser passer les électrons de conduction.

On peut considérer que le tube de faible diamètre oppose une grande résistance au passage des électrons. On peut considérer que le tube de grand diamètre oppose une faible résistance au passage des électrons. La relation mathématique est la suivante :

ρ ⋅l R = A

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Symbole de la grandeur : Symbole de l'unité :

R

[Ω]

12

Lois électriques Analyse dimensionnelle.

R=

ρ⋅l A

Ω ⋅ mm 2 ⋅ m m [Ω ] = mm 2

[Ω] =

Þ

ê ê

Ω ⋅ mm 2 ú ⋅ [ m] m ú

[Ω ] =

[mm ] 2

Ω ⋅ mm 2 mm 2

Þ

[Ω ] = [Ω ]

Exemple de calcul : Une bobine de fil de cuivre mesure 100 [m]. Sachant que le diamètre d du fil mesure 1.38 [mm], calculer la résistance de cette bobine au point de vue électrique. Données :

l = 100 [m]

d = 1.38 [mm] => 1.38 ⋅ 10-3 [m]

ρCu = 1.75 ⋅ 10-6 [Ωm] Inconnue :

R=?

Relations :

R =

Application numérique :

A=

π ⋅ ( 1,38 ⋅ 10 −3 ) 2 π ⋅d2 = = 150 . ⋅ 10 − 6 [ m 2 ] 4 4

R=

1,75 ⋅ 10 −8 ⋅ 100 ρ Cu ⋅ l = = 117 . [Ω ] A 150 , ⋅ 10 − 6

Résistance électrique :

4.14

ρCu ⋅ l A

A =

π ⋅d2 4

R = 1.17 [Ω]

Influence de la température sur les résistances

Une résistance R, parcourue par un courant I pendant un certain temps t, dissipe une énergie calorifique (Wjoule) Cette énergie calorifique Wjoule va modifier la valeur de la résistance R.

Pour mieux comprendre ce phénomène, nous allons prendre une mesure de la valeur de la résistance R de la lampe à température ambiante θ 20 [°C] . (ohmmètre)

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Ω

lampe à incandescence

13

Lois électriques I A

Ensuite, nous allons alimenter une lampe d'une puissance de 15 [W], sous différentes tensions U et mesurer le courant I.

V

U

I A

Cette mesure effectuée, nous ferons varier la tension U aux bornes de la lampe en y mesurant le courant I. V

U

Tableau de mesure Mesure au temps t [s] 0 10 20 30 40 50 60

4.15

I [mA] 0 470 649 813 918 1057 1174

UAB [V] 0 2 4 6 8 10 12

Résistance à 20 [°C] [Ω] 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3

Graphique

A partir de ces mesures, nous allons établir un graphique avec le courant I en fonction de la tension U. Ce graphique est une représentation de l'opposition faite au passage du courant I, donc la résistance R. I [ mA ] 1250

1000

750

500

250

0

U 2

4

6

8

10

12

[V]

Nous constatons que ce n'est pas une droite.

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14

Lois électriques Appliquons la loi d'Ohm, à chaque point mesuré : U = R⋅I

R=

U I

Complétons notre tableau: Mesure au temps t [s] 0 10 20 30 40 50 60

UAB [V] 0 2 4 6 8 10 12

I [mA]

R à 20 °C [Ω]

R calculée [Ω]

0 470 649 813 918 1057 1174

1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3

4.25 6.16 7.38 8.71 9.46 10.22

Nous pouvons dire que la résistance R n'est pas constante. Que s'est il passé ? Notre mesure a duré une minute, nous avons appliqué une tension U et un courant I. C'est donc une énergie W ou écart d'énergie ∆W pendant un écart de temps ∆t.

W = U⋅I⋅∆t Cette énergie W a été transformée en énergie lumineuse Wlum, mais aussi en énergie calorifique Qlum. Cette énergie calorifique Q a eu comme effet d'augmenter la température θ aux environs de la résistance R de la lampe. Cette résistance R est composée d'une matière à haut point de fusion, cette matière possédant certaines caractéristiques au point de vue thermique.

4.17

Coefficient de température α

Le coefficient de température α (alpha) est obtenu expérimentalement. Il est l'expression mathématique se rapprochant le plus de la constatation pratique lors d'un échauffement de la matière. Il peut être positif ou négatif et non linéaire.

Symbole de la grandeur : Symbole de l'unité :

α

[K-1] ou [°C-1]

La valeur α donnée dans les tables est valable pour une température de 20 [°C] . exemples :

αCu = 4 ⋅ 10-3 [K-1]

αAl = 4 ⋅ 10-3 [K-1]

αAg = 4 ⋅ 10-3 [K-1]

αAu = 4 ⋅ 10-3 [K-1]

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15

Lois électriques Nous pouvons donc établir une relation de la résistance R, exprimée en fonction de :

• l'augmentation de température θ • le coefficient de température α • la valeur initiale de la résistance R Relation :

R fin = R ini + ∆R mais cette différence de résistance ∆R est due à la différence de température et aux propriétés d'échange thermique α de la résistance Rini

R fin = R ini + ( ∆θ ⋅ α ⋅ R ini ) nous pouvons mettre en évidence le terme Rini

{

}

R fin = R ini ⋅ 1 + ( ∆θ ⋅ α ) Exemple de notation:

Pour différencier les résistances R, nous noterons la température θ en indice.

{ (

R 100 = R 20 ⋅ 1 + α ⋅ ( θ 100 − θ 20 )

)}

R100 signifie résistance finale à 100 [°C] R20 signifie résistance initiale à 20 [°C] Si nous cherchons une des résistances, nous utiliserons Rx qui signifie résistance soit finale soit initiale à x [°C] Prenons un exemple: Une résistance de 42 [Ω] à 20 [°C] est placée dans une chaufferie où il règne une température de 74 [°C] en permanence. En mesurant cette résistance à l'intérieur de la chaufferie, nous trouvons une valeur de 41.32 [Ω]. Donner le nom de la matière constituant cette résistance. Données :

R20 = 42 [Ω]

Inconnue :

nom de la matière de la résistance ?

Relation :

R fin = R ini ⋅ 1 + ( ∆θ ⋅ α )

{

θini = 20 [°C]

R74 = 41.32 [Ω] θfin = 74 [°C]

}

Nous devons chercher le nom de la matière. Cela implique qu'il nous faut trouver son coefficient de température α. R fin −1 R α = ini ∆θ Remplaçons les indices par notre convention, ainsi que ∆θ :

R 74 −1 R 20 α= (θ 74 - θ 20 )

=

41,32 -1 42 = (74 - 20)

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[

− 3.00 ⋅ 10 − 4 ° C −1

] 16

Lois électriques Nous remarquons que notre coefficient de température α est négatif. Ce qui signifie que, contrairement à la résistance R de la lampe vue précédemment, la résistance à chaud est plus petite qu'à température ambiante. Cherchons dans une tabelle et d'après la valeur du coefficient de température α, le nom de la matière de la résistance. Nous trouvons le CARBONE.

4.18

DENSITE DE COURANT J

La densité de courant J est, par définition, le courant électrique I par unité de section A du conducteur. Symbole de la grandeur :

é Aù ê 2ú ëm

Symbole de l'unité : La relation mathématique est la suivante :

J

J =

ê

A mm 2

ú

I A

Dans les métiers de l'électricité, des prescriptions réglementent la manière de réaliser des installations électriques. Dans ces prescriptions il est spécifié que les circuits électriques doivent être protégés par un coupesurintensité. Ces coupe-surintensité peuvent être des fusibles. Le fusible fonctionne selon l'effet thermique du courant électrique I. Cet effet thermique repose sur la densité de courant J. Dans les cours d'installations vous trouverez le principe du fusible. Point de consigne du fusible protégeant les conducteurs. [A]

Section minimum des conducteurs [mm2]

densité de courant. A ê mm2 ú

1.5 2.5 4.0 6.0

6.67 6.00 5.00 4.16

10 15 20 25 Exemple: Données :

I = 10 [A]

Relation:

J =

A = 1.5 [mm2]

I 10 = = 6,67 A 1,5

Inconnue :

J=?

[ ] A mm 2

Remarque: Il est possible de définir la densité de courant J avec des unités non normalisées ( [cm2 ou [mm2] ), comme nous venons de le faire ici.

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17

Lois électriques

4.19

Documentaire Alessandro Volta physicien italien (1745-1827), professeur à l'université de Pavie. Inventeur de la pile électrique en 1800.

André Marie Ampère (1775 - 1836), physicien et mathématicien français. Auteur de travaux en mathématique et en chimie. Inventeur du galvanomètre, du télégraphe électrique, de l'électroaimant. Il est à la base du langage moderne sur l'électricité. Théorie de l'électrodynamique en 1827.

Georg Simon Ohm, physicien allemand (1789 - 1854). Il a découvert en 1827 les lois fondamentales des courants électriques et introduit les notions de quantité d'électricité et de tension induite.

Werner von Siemens (Allemand 1816-1892 ) a effectué de nombreux travaux pratiques sur l'utilisation de l'électricité. Il a fondé avec Johann Georg Halske (1814-1890) la firme Siemens et Halske dont les activités permirent le développement de la technique des hautes tensions. Wilhelm, frère de Werner (1823-1883), naturalisé Anglais mit au point le four Martin Siemens pour la fabrication de l'acier.

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18

Lois électriques

4.20

Entraînement

1.

Donner la définition d'une tension électrique.

2.

Donner la différence entre une tension et un potentiel.

3.

Comment peut-on mesurer une tension électrique ?

4.

Donner la relation qui définit le rapport entre U et I

5.

Comment s'appelle et comment se place l'instrument qui sert à mesurer le courant ?

6.

Quelle est la relation mathématique entre la conductance et la résistance ?

7.

De quelle nationalité est le physicien qui a déterminé les lois sur la résistivité ?

8.

Comment s'appelle l'instrument qui permet de mesurer la résistance ?

9.

Donner la valeur de la tension d'une batterie de voiture.

10.

Dans le circuit de mesure de la résistance, quelle sera l'indication des deux instruments si on débranche la résistance ?

11.

Quel est l'avantage de tracer une courbe avec les résultats d'une mesure ?

12.

De quoi est composé l'instrument de mesure des résistances ?

13.

Que se passe-t-il si la pile de l'ohmmètre est déchargée ?

14.

Quelle est l'indication de l'aiguille de l'ohmmètre lorsqu'il mesure un circuit ouvert ?

15.

Un ohmmètre mesure un circuit. Sa mesure indique une très faible résistance. Quel est le courant dans circuit ? (nul, très faible, grand, très grand)

16.

Une barre de cuivre possède les dimensions suivantes 100 ⋅ 50 [mm]. Sachant que la barre de cuivre est longue de 3 [dm], calculer sa résistance électrique.

17.

La résistance d'une torche de fil de cuivre est de 3.12 [Ω]. A l'aide d'un pied à coulisse, nous mesurons le diamètre du fil. Le résultat de notre mesure est 4.15 [mm]. Calculer la longueur de cette torche.

18.

Avec un ohmmètre, nous mesurons une bobine de fil d'aluminium. La résistance est de 1450 [mΩ]. La longueur de cette bobine est de 35000 [cm]. Calculer le diamètre du fil d'aluminium.

19.

Calculez le courant I d'un circuit alimenté sous une tension U de 0,23 [kV] et dont la résistance R est 2,23 [Ω].

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19

Lois électriques

20.

Une résistance électrique R est parcourue par un courant de 560 [mA]. Cette résistance est alimentée par une tension de 230 [V]. Sachant que la résistance électrique R est un fil constitué de graphite, calculer la longueur du fil, si son diamètre est de 0.15 [cm].

21.

Calculer la perte de tension U aux bornes d'un conducteur en cuivre d'un rayon r de 1 [mm], parcouru par un courant I = 10000 [mA] et reliant une maison à un cabanon de jardin distant de 15000 [cm].

22.

Un câble de cuivre, d'une longueur de 1.6 [km], est composé de 2 fils d'un diamètre de 10 [mm]. Ce câble est posé en Sibérie, où il règne une température de -18 [°C]. Calculer la résistance mesurée à l'ohmmètre.

23.

Un câble de cuivre, d'une longueur de 1.6 [km], est composé de 2 fils d'un diamètre de 10 [mm]. Ce câble est posé au Sahara, où il règne une température de 38 [°C]. Calculer la résistance mesurée à l'ohmmètre.

24.

Une résistance de nickel nécessite 2 [A] sous 230[V], après avoir fonctionné pendant une longue durée. Si l'élévation de température est de 75 [°C] au dessus de la température ambiante de 20 [°C], calculer la valeur de la résistance qu'il faut insérer en série dès l'origine pour limiter le courant à 2 [A]. (voir tabelle)

25.

Une lampe de 100 [W] fonctionne sous 230 [V]. Elle comporte un filament en alliage dont le coefficient de température vaut α = 0.0055 [°C-1] à 0 [°C]. La température normale de fonctionnement est de 2000 [°C]. Quel sera le courant qui traversera cette lampe au moment de son allumage dans une pièce où la température ambiante est de 20 [°C] ?

Réponses :

16. R = 1.05 [µΩ] 19. I = 103.14 [A] 22. R = 0.6 [Ω] 25. I = 5.16 [A]

17. l = 2.4 [km] 18. d = 3 [mm] 20. l = 90.7 [m] 21. U = 3.34 [V] 23. R = 0.768 [Ω] 24. R = 1.7 [Ω]

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20

Circuits électriques simples

Chapitre 5

CIRCUITS ELECTRIQUES SIMPLES

Sommaire Circuits électriques Lois des nœuds et des mailles Kirchhoff Couplages parallèles, séries Couplages mixtes Code des couleurs des résistances Entraînement

Introduction Les lois de Kirchhoff sont des outils simples et efficaces pour la résolution des circuits électriques simples et complexes. Dans ce chapitre, nous allons présenter les circuits électriques parallèles, séries et mixtes, comme modèle d'application des lois des mailles et des nœuds. Nous aborderons ces types de montages au moyen d'exemples simples et de résolutions détaillées.

5.1

Circuits électriques

Dans les installations électriques, les circuits électriques sont constitués de divers éléments. Le nœud n est le point de convergence de 3 conducteurs ou plus. La branche b regroupe les éléments situés entre 2 nœuds n et traversés par un même courant I. La maille m est formée d'un ensemble de branches parcourues en partant d'un nœud n pour y revenir, sans passer 2 fois par la même branche.

noeud n maille m

maille m

noeud n

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1

Circuits électriques simples

5.2

Loi de Kirchhoff pour les nœuds

Cette loi exprime la conservation des courants au niveau d'un nœud n. I2

I 1

Cette loi s'exprime comme suit: I3

I5

noeud

La somme des courants au niveau du nœud est égale à zéro.

I4

Σ In = 0

Traduite mathématiquement par:

Σ (sigma) signifie ou exprime la notion de somme algébrique, compte tenu du sens des courants I. Le sens convergent (direction extérieur -> nœud) est défini ou décrété comme positif. I4

I 1

n

I2

I3

Ce schéma nous donne l'équation suivante :

I1

+

I2

+

(-I3 )

+

(-I4 )

=

0

Pour effectuer l'addition des courants, il faut être particulièrement attentif au sens des flèches. Flèche qui rentre :

5.3

signe positif

Flèche qui sort :

signe négatif

Loi de Kirchhoff pour les mailles

Cette loi exprime la conservation du potentiel électrique (défini à l'aide de 2 points de tension électrique U) au niveau de la maille. (en l'absence de phénomène induit, comparé à des parasites) Cette loi s'exprime comme suit:

U1

U5

+

U4

U2

U3

La somme algébrique des différences de potentiel est égale à ZERO, au niveau de la maille.

Σ Um = 0

Traduite

mathématiquement par : Le sens horaire est défini comme positif. Exemple d'équation de la maille 1 du circuit : U1 + U2 + U3 + (-U4) + (-U5) = 0 Electrotechnique /  Editions de la Dunanche / septembre 2000

2

Circuits électriques simples

5.4

Application des lois de Kirchhoff

Dans les installations électriques, il est important de maîtriser les lois de Kirchhoff, dans le but de dimensionner les fusibles ou disjoncteurs protégeant les récepteurs électriques. L

F1 fusible

Récepteurs

N sectionneur de neutre

Dans la pratique, il existe 3 types de couplages de récepteurs. Nous appelons un récepteur, un appareil électrique transformant l'énergie électrique W en une autre énergie W de type calorifique, magnétique, lumineuse et chimique. Les couplages portent le nom de :

5.5

→ parallèle → série → mixte

Couplage parallèle

Le couplage parallèle est une association de récepteurs soumis à la même tension électrique U. En pratique, toutes les prises électriques domestiques possèdent une tension électrique U de 230 [V]. A

Le schéma électrique d'une installation électrique comprenant, par exemple, une lampe de chevet, un spot lumineux bleu, se dessine ainsi.

+ Récepteurs -

Les 2 bornes supérieures sont reliées entre elles (nœud A) et les 2 bornes inférieures sont reliées entre elles (nœud B).

B

Les tensions électriques U à leurs bornes sont égales puisqu'elles sont prises entre les mêmes points (nœud A et nœud B)

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3

Circuits électriques simples

5.6

Application de la loi de Kirchhoff des mailles Σ Utotales = Σ Upartielles

tension électrique Utotale de la prise = 230 [V] tension électrique Upartielle appliquée aux récepteurs = 230[V] Utotale = UCD = 230 [V] Upartielle = UAB = 230 [V]

Application numérique :

ceci implique d'après Kirchhoff : UCD = UAB

5.7

230 [V] = 230 [V]

cqfd

Application de la loi de Kirchhoff des nœuds Σ Itotales = Σ Ipartielles

Le schéma possède 2 nœuds appelés A et B. Au nœud A, le courant électrique I se partage dans les conducteurs électriques formant les branches. Au nœud B, les courants de branches I1 et I2 se regroupent. I total

I1

I2

+ Récepteurs

U

L'application de la loi de Kirchhoff des nœuds se traduit par: Itotal = I1 + I2

I total

Le courant électrique total Itotal représente la somme algébrique des courants partiels au nœud A. Exemple d'application numérique: Une lampe possède une résistance R de 800 [Ω]. La tension électrique U doit être de 230 [V] (tension nominale). Un spot lumineux bleu possède une résistance R de 32 [Ω]. La tension électrique U est de 230 [V]. Calculer le courant électrique I circulant dans les conducteurs reliant la prise électrique (source de tension U) aux récepteurs.

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4

Circuits électriques simples Données:

R1 = 800 [Ω] U = 230 [V]

A

C

R2 = 32 [Ω]

I total

I2

I1

+

Inconnue:

I=?

R1

U

R2

-

Relations:

Σ Utotales = Σ Upartielles Σ Itotales = Σ Ipartielles

I total

R=

D

U I

B

En premier, il faut placer des points de repères pour faciliter la résolution du problème.(nœuds, courant électrique I, tension électrique U) Nous devons rechercher d'abord les courants I1 et I2

Σ Itotales = Σ Ipartielles

tension électrique Utotale de la prise = 230 [V] tension électrique Upartielle appliquée aux récepteurs = 230[V] = UCD = 230 [V]

Utotale

UCD = UAB

Upartielle = UAB = 230 [V] 230 [V] = 230 [V]

I1 =

U AB 230 = = 0,2875 [A] R1 800

I2 =

U AB 230 = = 7,1875 [A] R2 32

Somme des courants au nœud A Itotal = I1 + I2 =0,2875 + 7,1875 = 7,475 [A] Cette méthode de calcul permet de dimensionner les fusibles ou disjoncteurs protégeant les récepteurs électriques, ainsi que la dimension des conducteurs. Symbole des fusibles dans les schémas électriques: Symbole des disjoncteurs dans les schémas électriques:

Dans notre cas, le courant électrique I sera de 10 [A] et les conducteurs de cuivre de 1.5 [mm²].

L

F1

F2 disjoncteur thermique

Récepteurs

N sectionneur de neutre

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5

Circuits électriques simples

5.8

Résistance équivalente Réq d'un montage en parallèle

Dans la pratique, lorsque nous possédons plusieurs récepteurs en parallèle, nous pouvons utiliser l'ohmmètre pour connaître la résistance équivalente Réq de plusieurs récepteurs. L'ohmmètre va travailler selon le principe des lois de Kirchhoff, nous allons développer une méthode de calcul permettant d'obtenir cette résistance équivalente Réq. A

A

+

Ω

U -

B

B

Schéma électrique mesuré à l'ohmmètre.

Schéma électrique équivalent obtenu par lecture du cadran de l'ohmmètre.

Exemple d'application numérique: La résistance électrique d'un récepteur possède une valeur de 800 [Ω]. La tension électrique U doit être de 230 [V] (tension nominale). Un spot lumineux bleu à chaud possède une résistance R de 32 [Ω]. La tension électrique U est de 230 [V]. Le courant électrique I circulant dans les conducteurs reliant la prise électrique (source de tension U) aux récepteurs est de 7.15 [A]. Calculer la résistance équivalente Réq de ce montage. Données :

R11 = 800 [Ω] R12 = 32 [Ω]

U = 230 [V]

Inconnue :

Réq = ?

Relations:

Σ Utotales = Σ Upartielles Σ Itotales = Σ Ipartielles Req =

U I total

=

Itotal = 7.47 [A]

R=

U I

U AB 230 = = 30 .77[ Ω] I total 7.47

Si dans l'énoncé du problème, nous ne possédons pas le courant électrique Itotal , nous allons procéder de la façon suivante: Plus la résistance R est grande et plus le courant électrique I passant à travers est petit. Nous avons étudié la conductance G et nous allons appliquer cette grandeur en disant: Plus la résistance R est grande, donc plus est petite la conductance G et plus le courant électrique I passant à travers est petit. Nous constatons que la conductance G est proportionnelle au courant électrique I Nous appliquons la loi de Kirchhoff pour les nœuds, mais en l'explicitant à l'aide des conductances G

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6

Circuits électriques simples

Itotal

C

A

Gtotal = G1 + G2

I2

I1 +

G2

G1

Gtotal

U

Sachant que la conductance G est l'inverse de la résistance R, nous allons transformer cette relation:

-

B

D

1 1 1 = + R1 Req R2

Req =

1 1 1 + R1 R2

Application numérique de l'exemple précédent :

1

Req =

5.9

Req =

1 1 + R1 R2

1 = 30 .77 [ Ω ] 1 1 + 800 32

Résistance équivalente Réq d'un montage en parallèle de plusieurs résistances

Dans la pratique, lorsque nous possédons plusieurs récepteurs en parallèle, nous devons calculer la résistance équivalente Réq de plusieurs récepteurs, afin de savoir si le disjoncteur placé en amont des résistances va laisser passer le courant Itotal sans interrompre le circuit. C

Itotal

A

E I2

I1

I3

+ G1

Gtotal

U

G2

G3

-

B

D

Gtotal = G1 +G2 +G3

F

Exemple : Calculer la résistance équivalente Réq de ce montage. Données :

R1 = 800 [Ω]

Inconnues :

Réq = ?

R2 = 32 [Ω]

R3 = 15 [Ω]

U = 230 [V]

Itotal = ?

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7

Circuits électriques simples Sachant que la conductance G est l'inverse de la résistance R, nous allons transformer cette relation:

1 1 1 1 + + = R3 R1 Req R2

Application numérique :

Req =

Req =

1 1 1 1 + + R1 R2 R3

1 = 10 .08[ Ω] 1 1 1 + + 800 32 15

Nous constatons que cette méthode de résolution est applicable dans tous les cas de montage en parallèle quel que soit le nombre de résistances Rn . La relation générale est :

Gtotal = G1 + G2 + G3 +....+ G3

ou selon la notation mathématique :

Gtotal =

n

Gi i=1

Exemple : Calculons le courant Itotal du montage soumis à une tension U de 230 [V]. Loi d'Ohm :

R =

U I

I =

I total =

5.10

U R U AB Req

=

230 = 22.83[ A] 10,08

Couplage série

Le couplage série est une association de récepteurs soumis à la même intensité de courant I. En pratique, les couplages série sont utilisés dans les installations de cuisinières électriques ou autres appareils calorifiques tels que radiateurs, chauffe-eau, chaudières. L'avantage de ce couplage série réside par le fait qu'il est possible de modifier la grandeur du courant électrique I en fonction des différentes positions des interrupteurs. Schéma électrique : R1

R2

R3

Le courant électrique I n'a qu'un seul chemin à travers le circuit électrique.

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8

Circuits électriques simples

5.11

Application de la loi de Kirchhoff des nœuds ΣIentrant = ΣIsortant

Le courant électrique I est constant dans un circuit série. La valeur du courant électrique I dépend des valeurs de résistances R composant le circuit. I entrant au point A = I sortant au point B

5.12

Application de la loi de Kirchhoff des mailles ΣUtotale = ΣUpartielle

Le schéma possède 2 résistances R parcourues par un courant électrique I. Sachant qu'une résistance R parcourue par un courant électrique I est l'application de la loi d'Ohm, nous pouvons en déduire que chaque résistance R possédera une tension électrique U en rapport aux grandeurs électriques R et I.

Itotal

A

R1

+

C

U

Loi d'Ohm:

U=R⋅I

I1

-

R2 I2 B

L'application de la loi de Kirchhoff des mailles se traduit par : A

Itotal

R1

+

UAB= UAC + UCB

C

U -

Exemple d'application numérique :

I1

R2 I2 B

Une plaque de cuisinière possède 3 bornes, notées A, C, B En utilisant un voltmètre, nous mesurons la tension électrique entre les bornes A et C, puis entre C et B. U [V] Un tableau de mesures peut être établi:

mesure 1 mesure 2

150 80

Calculer la tension électrique U nominale de cette plaque de cuisinière. Données :

UAC = 150 [V] UCB = 80 [V]

Inconnue :

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Unominale = ?

9

Circuits électriques simples Relation :

ΣUtotale = ΣUpartielle A R1 C

U

R2 B

Schéma électrique Après avoir placé les repères, nous allons pouvoir résoudre notre problème. Unominal implique cuisinière.

tension électrique totale nécessaire au bon fonctionnement de la plaque de

Utotale = UAB d'après le schéma UAB = UAC + UCB => UAB = 150 + 80 = 230 [V]

5.13

Résistance équivalente Réq d'un montage en série

Dans la pratique, lorsque nous possédons plusieurs récepteurs en série, nous pouvons utiliser l'ohmmètre pour connaître la résistance équivalente Réq de plusieurs récepteurs. L'ohmmètre va travailler selon le principe des lois de Kirchhoff, nous allons développer une méthode de calcul permettant d'obtenir cette résistance équivalente Réq. A

A R1 C

U

Ω

R éq

R2 B

B

Schéma électrique mesuré à l'ohmmètre : Exemple d'application numérique: Une plaque de cuisinière possède 3 bornes, notées A, C, B. En utilisant un voltmètre, nous mesurons la tension électrique entre les bornes A et C, puis entre C et B. En plaçant un ampèremètre, nous mesurons chaque fois un courant de 5.4 [A]. En utilisant un ohmmètre, les mesures donnent 15 [Ω] et 28 [Ω]. Mais nous ne connaissons pas l'ordre dans lequel ces mesures ont été effectuées.

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10

Circuits électriques simples Un tableau de mesures peut être établi: U [V] mesure 1 mesure 2

I [A]

150 80

R [ Ω]

5,4 5,4

15 ou 28 15 ou 28

• Calculer la tension électrique U nominale de cette plaque de cuisinière. • Calculer la résistance équivalente Réq de ce montage. • Compléter le tableau de mesures en corrigeant les valeurs mesurées à l'ohmmètre par rapport à l'ordre des mesures. Données:

UAC = 150 [V] I1 = 5.4 [A] R1 = 15 ou 28 [Ω]

UCB = 80 [V] I2 = 5.4 [A] R2 = 15 ou 28 [Ω]

Inconnue:

Unominale = ?

Relations:

Σ Utotales = Σ Upartielles Σ Itotales = Σ Ipartielles

R=

U I

A R1

Schéma électrique

C

U

R2 B

Après avoir placé les repères, notre problème.

nous

allons

pouvoir

résoudre

Unominale implique tension électrique totale nécessaire au bon fonctionnement de la plaque de cuisinière. I1 = I2 implique que nous sommes en présence d'un montage SERIE Utotale = UAB

d'après le schéma

UAB = UAC + UCB

Connaissant la tension totale U et le courant I, nous appliquons la loi d'Ohm afin d'obtenir la résistance équivalente Réq du montage (comme avec un ohmmètre connecté entre A et B du montage).

Req =

U totale I totale

Application numérique: UAB = 150 + 80 = 230 [V]

Req =

U totale 230 = = 42.59[ Ω] I totale 5.4

Nous savons que la loi d'Ohm exprime la relation entre les grandeurs R, I et U.

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11

Circuits électriques simples En imbriquant les relations les unes dans les autres, nous pouvons donc substituer les grandeurs U par le produit R ⋅ I UAB = UAC + UCB UAB = (R1 ⋅ I) + (R2 ⋅ I) Comme le courant électrique I est constant, nous allons exprimer cette relation en mettant le terme I en évidence. UAB = (R1 + R2) ⋅ I Nous cherchons à isoler le terme (R1 + R2), il faut donc diviser par I de chaque côté du signe =.

(R1 + R2 ) ⋅ I U AB = I I Le terme

U AB I

U AB I

=

( R1 + R2 )

est égal à la résistance équivalente du montage car I est le courant électrique Itotal.

Nous pouvons donc écrire que, dans un montage série:

Réq = R1 + R2

Preuve: résistance équivalente Réq mesurée à l'aide de l'ohmmètre résistance équivalente Réq calculée par loi d'Ohm

42,59 [Ω]

Réq = R1 + R2 = 15 + 28 = 43 [Ω]

Nos 2 méthodes aboutissent à peu près aux même résultats. Nous cherchons à présent la valeur de la résistance R1 et R2 en fonction des valeurs à disposition. Appliquons à nouveau la loi d'Ohm : UAB = UAC + UCB

UAB = ( R1 ⋅ I ) + ( R2 ⋅ I )

UAC = R1 ⋅ I

R1 =

U AC 150 = = 27 .78[ Ω] I 5,4

UCB = R2 ⋅ I

R2 =

80 U CB = = 14.81[ Ω] I 5,4

Tableau de mesures récapitulatif

mesure 1 mesure 2 Total

U [V]

I [A]

150 80 230

5,4 5,4 5,4

R mesurée [Ω] R calculée [Ω]

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28 15 43

27,78 14,81 42,59

12

Circuits électriques simples

5.14

Résistance équivalente Réq d'un montage en série de plusieurs résistances. A R1

Dans la pratique, lorsque nous possédons plusieurs récepteurs en série, nous devons calculer la résistance équivalente Réq de plusieurs récepteurs, afin de savoir si la tension placée en amont des résistances est assez grande pour faire fonctionner le circuit dans des conditions normales.

R2 C R3 U2

Loi d'Ohm: Le terme

U AE I

B

U1

D R4

E

est égal à la résistance équivalente du montage car I est le courant électrique Itotal

Nous pouvons donc écrire que, dans un montage série: Réq = R1 + R2 + R3 + R4 +....+ Rn ou selon la notation mathématique :

n

Req =

Ri i=1

Exemple :

calculer la résistance équivalente Réq du montage ci-dessus.

Données :

R1 = 800 [Ω] R2 = 32 [Ω] R3 = 10 [Ω] R4 = 65 [Ω] UAE = 9 [V]

Inconnues :

Réq = ?

relations :

Réq = R1 + R2 + R3 + R4

Itotal = ?

Req =

U total I total

Application numérique: Réq = R1 + R2 + R3 + R4 = 800 + 32 + 10 + 65 = 907 [Ω]

I total =

U total 9 = = 0 .01[ A] Req 907

Mais cette réponse ne nous satisfait guère. Si nous désirons exécuter le montage et en faire la preuve par la pratique, l'ampèremètre devra être choisi en fonction du courant I à fond d'échelle. Il faudra prendre une échelle notée en [mA] car en [A], l'aiguille n'aura que peu de déviation. Dans la pratique, l'appareil de mesure est construit avec une tolérance, c'est-à-dire une marge d'erreur.

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13

Circuits électriques simples

5.15

Couplage mixte

Le couplage mixte est une association de récepteurs soumis pour une partie au même courant I et pour une autre à la même tension U. Dans la pratique, le couplage mixte est le plus fréquent dans les installations électriques. Pour alimenter une maison, une ligne électrique, de résistance R ou de conductance G, est nécessaire. A son extrémité, des récepteurs sont connectés en parallèle.(cuisinières, radiateurs, lampes, etc.) I total

A

C G ligne aller

I2

I1

G2

G1

U G ligne retour

B

D

Le courant électrique I possède un seul passage de C à A. Mais de A à B il possède 2 possibilités.

5.16

Application de la loi de Kirchhoff des nœuds ΣItotal = ΣIpartiel

Le courant électrique Itotal est constant dans un circuit série. Le courant électrique Itotal se partage au nœud A entre les chemins formant les branches A - G1 - B (I1) ou A - G2 - B (I2) La valeur du courant électrique Itotal dépend des valeurs de résistances R ou de conductances G composant le circuit. Itotal au point A = Ipartiel au point B L'application de la loi de Kirchhoff des nœuds se traduit par Itotal en A = I1 + I2 C'est la preuve que notre couplage est parallèle.

I total

A

C G ligne aller

Une résistance équivalente RAB peut être calculée.

Gtotal

U G ligne retour

Gtotal= G1 + G2 D

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I total

B

14

Circuits électriques simples

5.17

Application de la loi de Kirchhoff des mailles ΣUtotale = ΣUpartielle

Le schéma possède 3 résistances R, dont l'une est une résistance équivalente, parcourues par un courant électrique I. (voir conductance G, inverse de la résistance R) Sachant qu'une résistance R parcourue par un courant électrique I est l'application de la loi d'Ohm, nous pouvons en déduire que chaque résistance R possédera une tension électrique U en rapport aux grandeurs électriques R et I. Loi d'Ohm:

U = R⋅I

U=

U CA

1 ⋅I G

I total

A

C G ligne aller

Schéma électrique:

I total U AB

Gtotal

U

UCD = UCA + UAB + UBD

G ligne retour U BD

D

B

Exemple d'application numérique: Un cabanon de jardin est alimenté par un câble électrique de 3x1.5 [mm²]. Nous y branchons 2 radiateurs en parallèle. A l'aide d'un voltmètre, nous mesurons la tension U au départ du câble et à l'arrivée du câble. Un ampèremètre est placé sur le circuit et nous indique Itotal Nous décidons de mesurer le courant I du radiateur 1, ainsi que la tension U à ses bornes. 2 tableaux de mesures peuvent être établis: Tableau 1 départ

U

arrivée

[V] 230

I

220

[A] 25

Tableau 2 radiateur 1

U

[V] 220

I

[A] 10

25

Nous allons calculer la tension U aux bornes du radiateur 2 ainsi que le courant I à travers le radiateur 2. Schéma du montage : C

A A G ligne aller

U

V

V départ

Radiateur 1

arrivée

Radiateur 2

G ligne retour D

D

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B

15

Circuits électriques simples Inconnues :

UR2 = ?

Relations :

ΣItotal = ΣIpartiel

IR2 = ?

Uligne = ?

ΣUtotale = ΣUpartielle I total

A

C G ligne aller

Après avoir placé les repères, nous allons pouvoir résoudre notre problème.

IR1

U

IR2

Radiateur 1

Radiateur 2

G ligne retour B

D

Nous pouvons simplifier notre schéma électrique, en considérant la résistance totale du câble Rtotale ligne = Rligne aller + Rligne retour car ces 2 résistances sont parcourues par le même courant. Elles sont en SERIE. UCD = UCA + UAB + UBD La tension UBD est égale à zéro. La résistance RBD est égale à 0 [Ω]. Selon la loi d'Ohm :

UBD = RBD ⋅ Itotal

Itotal peut être très grand, mais 0 fois Itotal donne 0. UBD = 0 [V] UCD = UCA + UAB + UBD Application numérique:

cqfd

UCA = UCD - UAB

UCA = 230 - 220 = 10 [V]

Calculons le courant IR2 à travers le radiateur 2 D'après la relation des nœuds de Kirchhoff en A: Cherchons IR2 en isolant ce terme:

Itotal = IR1 + IR"

Itotal - IR1 = IR2 - IR1 + IR2

Itotal - IR1 = IR2

Application numérique: IR2 = 25 - 10 = 15 [A] Cherchons la tension aux bornes du radiateur 2. Nous allons placer 2 repères (points E et F) sur le radiateur 2 soit sur la résistance R2 I total

A

C G ligne aller

U

IR1

Radiateur 1

IR2

Radiateur 2

G ligne retour D

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B

16

Circuits électriques simples En appliquant la loi de Kirchhoff des mailles, nous constatons que la résistance R2 est en parallèle par rapport à R1. I total

A

C

UAB = UEF

G ligne aller

U

UEF = UAB = 220 [V]

E

IR2

IR1

Radiateur 1

Radiateur 2

G ligne retour B

D

5.18

F

Résistance équivalente Réq d'un montage mixte

Dans la pratique, lorsque nous possédons plusieurs récepteurs, nous pouvons utiliser l'ohmmètre pour connaître la résistance équivalente Réq de plusieurs récepteurs. L'ohmmètre va travailler selon le principe des lois de Kirchhoff, nous allons développer une méthode de calcul permettant d'obtenir cette résistance équivalente Réq A

C

C

G ligne aller

Ω

Radiateur 1

Ω

Radiateur 2

R éq

G ligne retour B

D

Schéma électrique mesuré à l'ohmmètre

D

Schéma électrique équivalent obtenu par lecture du cadran de l'ohmmètre :

Exemple d'application numérique: Un cabanon de jardin est alimenté par un câble électrique de 3x1.5 [mm²] en Cu. Nous y branchons 2 radiateurs en parallèle. A l'aide d'un ohmmètre, nous mesurons la résistance totale du circuit entre les points C et D. Nous décidons de mesurer la résistance du radiateur 1 à chaud, ainsi que la résistance du radiateur 2 à chaud. Nous savons que la tension U, au début du circuit, sera de 230 [V]. Un tableau de mesures peut être établi : R [Ω] Résistance totale radiateur 1 radiateur 2

9,2 14,7 22

Calculer la longueur du câble installé. Calculer la tension U aux bornes du radiateur 2, ainsi que le courant I à travers le radiateur 1.

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17

Circuits électriques simples I total

A

C R ligne aller

E I2

I1

R2

R1

U R ligne retour

B

D

Données :

UCD = 230 [V]

RCD = 9.2 [Ω]

R1 = 14.7 [Ω]

Inconnues :

UEF = ?

I1 = ? lcâble = ?

Relations :

U =R ⋅I

ΣItotal = ΣIpartiel

F

R2 = 22 [Ω]

ΣUtotale = ΣUpartielle

Imaginons que nous sommes le courant électrique Itotal et nous suivons son parcours : Le courant Itotal passe au point C, puis traverse la résistance de ligne aller RCA pour rejoindre le nœud A. Ce courant total Itotal traversera d'autres éléments du circuit. C'est donc un couplage de type SERIE. Au nœud A, le courant I possède 2 chemins, à travers les résistances RAB et REF pour aboutir au nœud B. C'est donc un couplage de type PARALLELE. Au nœud B, les courants partiels I1 et I2 se rejoignent. Le courant total Itotal traverse alors la résistance de ligne retour RBD pour aboutir au point D. Nous constatons que nous sommes en présence d'un couplage SERIE. Cette suite de couplage implique que nous sommes en présence d'un COUPLAGE MIXTE. Nous allons simplifier notre schéma en remplaçant les 2 résistances en parallèle par une seule résistance équivalente RAB . I total

A

C G ligne aller

Calculons RAB selon la méthode de couplage parallèle.

I total Gtotal

U

Gtotal = G1 + G2 + G3 + ... + Gn

G ligne retour D

B

Sachant que la conductance G est l'inverse de la résistance R, nous allons transformer cette relation dans notre cas en: 1 1 1 = + R AB R1 R2 Application numérique :

R AB =

1 1 = = 8 .81[ Ω] 1 1 1 1 + + R1 R2 14 ,7 22

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18

Circuits électriques simples Calculons la résistance du câble d'après les relations connues : Rtotale = R1 + R2 + R3 + ... + Rn

RCD = RCA + RAB + RBD

Nous connaissons les valeurs de RCD et RAB Nous savons aussi que, de par la construction des circuits électriques et en particulier des câbles, dans la plupart des cas en basse tension (domaine d'application de votre pratique), la résistance du fil aller RCA est égale à la résistance du fil retour RBD Hypothèses :

RBD = RCA

RCD = RCA + RCA + RAB

RCD = (2 ⋅ RCA) + RAB I total

La résistance du câble est donc égale à 2⋅RCA .

A

C RCA

RBD = R CA

I total

RCD = ( 2 ⋅ RCA ) + RAB

RAB

U

RCD = Rcâble + RAB B

D

I total

cherchons la résistance du câble :

A

C RCâble = 2

RCD - RAB = Rcâble + RAB - RAB

I total

RCA

RAB

U

ce qui nous donne D

RCD - RAB = Rcâble Application numérique :

B

Rcâble = 9.2 - 8.81 = 0.39 [Ω]

Calculons maintenant la longueur du câble.

R=

ρ⋅l A

Dans notre cas, le câble est en cuivre, symbole chimique Cu. Un formulaire technique nous donnera la valeur de la résistivité (rhô).

Rcâble =

Application numérique :

l=

ρcu ⋅ l A

l=

Rcâble ⋅ A ρcu

0 ,39 ⋅ 1,5 ⋅ 10 −6 = 33.26 [ m] 175 , ⋅ 10 − 8

Mais attention, la longueur l est l'image du fil aller et du fil retour. Rcâble = RCA + RBC = 2 ⋅ RCA

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19

Circuits électriques simples

I total

A

C

Construction de la ligne alimentant les récepteurs:

R CA

I total

longueur fil aller constituant RCA

R AB

U

longueur fil retour constituant RBD

R BD

le tout est entouré de thermoplastique constituant un CABLE électrique.

longueur du câble =

B

D

longueur fil aller + longueur fil retour 2

Dans notre problème, il nous faudra diviser la longueur totale du fil par 2, pour obtenir la longueur du câble. 33.3 Application numérique : l= = 16 .63 [ m] 2 ATTENTION DANGER ! Dans les problèmes où il s'agit de calculer la longueur d'une ligne ou d'un câble, LISEZ ATTENTIVEMENT votre énoncé... Cherchons la tension U aux bornes du radiateur 2.

C

L'ohmmètre nous a donné une résistance équivalente Réq de 9.2 [Ω].

Ω

R éq = R CD

Nous pouvons calculer le courant total Itot du circuit. Appliquons la loi d'Ohm :

D

U = R ⋅ I

U CD = RCD ⋅ I tot

Schéma électrique équivalent obtenu à l'aide de l'ohmmètre

I tot =

U CD 230 = = 25 [ A] RCD 9 .2

Connaissant la résistance du câble Rcâble , nous décomposons notre circuit de la façon suivante: La résistance Rcâble a été calculée précédemment.

Rcâble = 0.39 [Ω]

Les résistances Rcâble et RAB sont couplées en série.

I total

A

C RCâble = 2

Le courant total Itot est CONSTANT mais provoque une chute de tension aux bornes de la résistance du câble Rcâble

Appliquons la loi d'Ohm aux bornes du câble: U = R⋅I

I total

RCA

RAB

U

D

B

UCA = Rcâble ⋅ Itot = 0.39 ⋅ 25 = 9.75 [V]

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20

Circuits électriques simples Appliquons la loi des mailles au circuit:

I total

A

C

ΣUtotale = ΣUpartielle

RCâble = 2

La tension UBD est égale à 0, car la résistance RBD est 0.

I total

RCA

RAB

U

Mathématiquement, 0 fois une valeur quelconque, égale 0. D

UCD = UCA + UAB

B

UAB = UCD - UCA = 230 - 9.75 = 221.5 [V]

L'écart entre les 2 méthodes donne 1.25 [V]. Nous obtenons cet écart de la façon suivante:

∆ = valeurméthode 2 - valeurméthode 1

∆ = 221.25 − 220 = 1.25 [V ] erreur =

erreur =

( valeur 1 − valeur 2 ) valeur 1

( 221,5 − 220 ) = 0 .0056 221,25

soit une erreur relative de la mesure de 0.56 % (0.0056 ⋅ 100) Nous constatons que l'erreur est infiniment petite et que cette erreur peut avoir comme origine l'imprécision de notre ohmmètre ou l'imprécision de l'arrondi dans nos calculs.

5.19

Code des couleurs des résistances

Dans la pratique, les résistances sont repérées au moyen d'anneaux de couleurs placés autour du composant. Exemple de valeur d'une résistance repérée par les couleurs : argent - rouge - noir - bleu - orange

Méthode: Il faut placer la tolérance en dernier (sens écriture) orange - bleu - noir - rouge - argent

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21

Circuits électriques simples Décomposition de la valeur: orange - bleu - noir - rouge - argent chiffre chiffre chiffre

multiplicateur

+ -

tolérance

+ -

tolérance

+ -

10 %

Ce qui nous donne le résultat suivant : orange - bleu - noir - rouge - argent

chiffre chiffre chiffre

3

6

multiplicateur

0

1

10 2

de la valeur nominale soit: 360 ⋅ 102 ± 10% de la valeur nominale 36 [kΩ] valeur nominale ± 10%

Rmin = 36 ⋅ 10 3 −

36 ⋅ 10 3 ⋅ 10 = 32.4[ kΩ] 100

Rmax = 36 ⋅ 10 3 +

36 ⋅ 10 3 ⋅ 10 = 39 .6[ kΩ] 100

Remarque: Il sera nécessaire de consulter un cours d'électronique pour séries E6, E12, E24, etc.

expliquer l'utilité des

Code des couleurs : couleurs

5.20

tolérances

noir 0

brun 1

rouge 2

orange 3

jaune 4

brune 1%

rouge 2%

vert 5

bleu 6

violet 7

gris 8

blanc 9

or 5%

argent 10 %

Documentaire

Gustav Kirchhoff, physicien allemand (1824-1877). Il a formulé les lois qui portent son nom et qui sont capitales en électricité. Avec Bunsen ils créent l'analyse spectrale (1859) et découvrent le césium et le nimbium en 1861.

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22

Circuits électriques simples

5.21

Entraînement

1.

Citer les différents couplages possibles :

2.

Quelle est la différence entre un nœud et une maille ?

3.

Donner la relation mathématique de la densité de courant par rapport au courant électrique.

4.

Quelle est l'unité normalement utilisée pour la densité de courant ?

5.

Compléter les phrases suivantes :

6.

Le nœud est le point convergeant de ........ conducteurs ou plus.

7.

La branche regroupe les éléments situés entre ..............................................

8.

La maille est formée d'un ensemble de ...............................

9.

Quelle est la valeur commune dans un montage parallèle ?

10.

Dans un montage parallèle composé de deux résistances de même valeur, un courant de 1.5 [A] circule dans la première résistance. Quel est le courant dans la seconde résistance ?

11.

Citer deux applications courantes des montages parallèles.

12.

Dans un montage série composé de 5 résistances, R4 grille à la suite d'une surchauffe. Quelle est la tension aux bornes de R2 ?

13.

Dans un montage parallèle composé de 5 résistances, R4 grille à la suite d'une surchauffe. Quelle est la tension aux bornes de R2 ?

14.

Donnez le nom des différents tronçons du circuit ci-contre. tronçon AB :

A

tronçon ABCA : tronçon BC : y

tronçon ACBA : y

C

B

Combien y a-t-il de nœuds dans ce schéma ?

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23

Circuits électriques simples Exercices :

1.

Dans le circuit ci-dessous : Nommer toutes les mailles, les branches et les nœuds. Flécher tous les courants et toutes les tensions. Enoncer toutes les équations de Kirchhoff R1

R3

R2

R5

R4

R8

2.

I3 = +30 [A]

I4 = +15 [A]

I2 = -25 [µA]

I4 = +30 [µA]

I5 = -10 [µA]

Calculer la valeur de la tension U , ci-dessous U1 = +10 [nV]

5.

I2 = -25 [A]

Calculer la valeur du courant I3 , ci-dessous, et déterminer son sens. I1 = -10 [µA]

4.

R7

Calculer la valeur du courant I5 , ci-dessous. I1 = +10 [A]

3.

R6

U2 = +25 [nV] U3 = +30 [pV] U4 = +10 ⋅ 102 [pV]

Calculer la valeur de la tension U3 , ci-dessous, et déterminer son sens. U1 = 10 [nV]

U2 = -0.25 [µV] U4 = +30 [nV]

U5 = -10 ⋅ 102 [nV]

6.

Une résistance de 2 [Ω] est montée en parallèle avec une résistance de 4 [Ω]. La tension aux bornes de cette combinaison est de 12 [V]. Calculer les courants dans les différentes dérivations du montage.

7.

2 résistances sont couplées en parallèle. La mesure effectuée, à l'aide de l'ohmmètre, donne 400 [mΩ]. Sachant qu'une résistance est notée 0.6 [Ω], calculer la valeur ohmique de l'autre résistance.

Réponses : 2. I5 = -30 [A] 3. I3 = +15 [µA] 6. I1 = 6 [A] I2 = 3 [A]

4. U = 30.03 [nV] 7. R = 1.2 [Ω]

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5. U3 = 1.21 [µV]

24

Circuits électriques simples

8.

Calculer la résistance équivalente du montage ci-dessous si: A

R1 = 10 [Ω] R3 = 0.2 R1

R3 R2 D

U

Calculer la tension UAB du montage, si UAD = 125 [V]

R4

R1

R2 = 4 R1 R4 = 0.75 R1

Calculer le courant I dans la résistance R4

B

9. R5 A

B R1

Calculer la résistance équivalente du montage.

R2

R1 = 10 [ Ω ]

R3

Calculer la tension UAH du montage.

R2 = 20 [ Ω ] G

R3 = 25 [ Ω ]

D

Calculer la tension UGA du montage, si elle est le quart de la tension totale.

R4 = 5 [ Ω ] R4

R5 = 50 [ Ω ] I = - 3.5 [A]

E H

10. Calculer les courants I1 et I2 du montage suivant lorsque :

A R3 R1

R1 = 100 [Ω] R2 = 200 [Ω] R3 = 10 [Ω] R4 = 200 [Ω]

I2 D

U S1

S2 R2

I1

R4

UAB = 230 [V].

B

a) b) c) d)

l'interrupteur l'interrupteur l'interrupteur l'interrupteur

S1 est OUVERT et S2 est OUVERT S1 est FERME (R = 0 [Ω]) et S2 est OUVERT S1 est FERME et S2 est FERME (R = 0 [Ω]) S1 est OUVERT et S2 est FERME (R = 0 [Ω])

Réponses : 8. UAB = 147.32 [V] IR4 = 2.97 [A] 9. Réq = 48.75 [Ω] UAH = 170.625 [V] UGA = 42.6 [V] 10. a ) I1 = 1.1 [A] I2 = 547.6 [mA] b) et c)Lorsque S1 fermé, il y a un court-circuit. I est limité par la caractéristique du générateur. d) I1 = 2.09 [A] I2 = 0 [A] car elles sont court-circuitées par S2

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25

Sources électriques

Accumulateurs

Chapitre 7a

SOURCES ELECTRIQUES

Sommaire • • • •

Les sources continues et alternatives Caractéristiques des générateurs Les accumulateurs Entraînement

Introduction 7.1

Les Sources

Dans la pratique, nous avons remarqué que l'énergie électrique est une transformation, non sans pertes, d'énergie mécanique magnétique, chimique ou lumineuse. Elle est obtenue à partir de sources d'électricité appelées alternateur ou générateur. Ces sources peuvent engendrer une tension continue :

Pile chimique Leclanché Ces piles sont utilisées pour les appareils transportables, radios, baladeurs, etc. Elles ne sont pas rechargeables.

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1

Sources électriques

Accumulateurs

Panneaux solaires.

Dans cet exemple, les panneaux solaires fournissent l'énergie nécessaire au fonctionnement du satellite. Sur terre, il existe également des centrales équipées de panneaux solaires pour fournir de l'énergie électrique.

Accumulateurs. Le principal avantage des accumulateurs est d'offrir la possibilité d'être rechargé. Les accumulateurs se trouvent sous différentes formes. Pour les voitures, comme cette figure, ou du même format que les piles pour les appareils transportables.

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2

Sources électriques

Accumulateurs

D'autres sources peuvent engendrer une tension alternative : Dans la majorité des cas, la production et la distribution de l'énergie électrique est faite en tension alternative. Elle est plus facile à produire et transformer.

Dessin tiré du livre " On a volé l'électricité " de d'Electricité Romande, Lausanne.  OFEL Lausanne.

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3

Sources électriques

Accumulateurs

Dans une centrale nucléaire, l'énergie du réacteur est transformée en énergie électrique par un alternateur. La vapeur produite par l'échauffement du réacteur entraîne une turbine à vapeur qui est reliée mécaniquement à l'alternateur.

Dessin tiré du livre " On a volé l'électricité " de d'Electricité Romande, Lausanne. Toutes les illustrations couleurs  OFEL Lausanne.

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4

Sources électriques

7.2

Accumulateurs

L'alternateur

Un alternateur est une source d'énergie électrique qui varie dans le temps de façon sinusoïdale. La turbine entraîne l'alternateur et engendre une différence de potentiel ou tension UAB aux bornes de son circuit.

U AB

temps

De par sa construction, l'alternateur peut être représenté par une source de tension symbolisée et par une résistance interne Ri

~ Générateur de tension alternative

Résistance interne

Le schéma équivalent total est : A

C Ri U

L1 Bornes L2 L3

~ B

Borne N

Nous étudierons plus en détail les alternateurs au chapitre machines à régime sinusoïdal.

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5

Sources électriques

7.3

Accumulateurs

Générateur

Un générateur est une source d'énergie électrique qui est constante dans le temps. Le générateur engendre une différence de potentiel V ou tension UAB aux bornes de son circuit. U

AB

temps

Les générateurs sont obtenus à l'aide de l'effet chimique, soit par une pile ou par un accumulateur. Des panneaux photovoltaïques génèrent une tension U et un courant I par effet photovoltaïque. (lumière sur plaquette de silicium)

7.4

Pile potentiel V D

Une pile est un générateur d'électricité constitué de 2 matières différentes (exemple charbon - zinc) présentant un excès d'électrons et un manque d'électrons.

manque d' électrons électriquement

cathode anode

borne positive

excès d' électrons électriquement

borne négative

potentiel V C

Certaines tables de chimie donnent les valeurs d'électropositivité et d'électronégativité des matières.

-

+

-

+

Cette source de tension est symbolisée : Générateur idéal de tension continue

Générateur de tension continue

Un électrolyte favorise le passage des électrons entre les 2 matières et provoque ainsi une réaction chimique. La pile possède une résistance interne Ri à cause de l'électrolyte. Le schéma équivalent total est : B

borne du circuit notée +

Ri UDC

+

D R

U Récepteur

C

borne du circuit notée -

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6

Sources électriques

Accumulateurs

Exemple: Une pile alimente une lampe. La tension U à la lampe est de 1.5 [V]. Le courant I est de 300 [mA]. Sachant que la résistance interne de la pile est de 1.2 [Ω], calculer la différence de potentiel engendrée par l'anode et la cathode de la pile. Dessinons le schéma de cette installation : I lampe

B

Ri UDC

+

D

U lampe

R lampe

-

C

Données :

UBC = 1.5 [V]

Inconnue :

UDC = ?

IL = 300 [mA]

0.3 [A] Ri = 1.2 [Ω]

Analyse du circuit : nous constatons que nous sommes dans un circuit de couplage SERIE, car le courant IL possède un seul parcours possible. Relations :

ΣUtotale = ΣUpartielle

U=R⋅I

D'après notre schéma, nous pouvons appliquer la loi de Kirchoff. UDC = UDB + UBC Nous constatons que la tension UDB représente la chute de tension aux bornes de la résistance interne de la pile Ri . En SERIE, le courant I est constant dans tout le circuit. Remplaçons la tension UDB par la loi d'Ohm.

U DC = ( R i ⋅ I ) + U BC

=

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. ⋅ 0.3) + 15 . = 186 . [ V] (12

7

Sources électriques

7.5

Accumulateurs

Tension à vide

Une pile ou un générateur possède une tension à vide U0 Cette tension pourrait être mesurée lorsque le circuit est ouvert et qu'aucun courant I ne circule dans le circuit. I lampe

B

Ri UDC

+

D

U lampe

R lampe

-

C

Appliquons les relations connues: Relations :

ΣUtotale = ΣUpartielle

U=R⋅I

Si IL = 0 [A], la tension aux bornes de la résistance interne Ri est égale à 0 [V].

U DC = ( R i ⋅ I ) + U BC

=

. ⋅ 0) + U BC (12

Nous constatons que la tension UDC représente la tension à vide U0

7.6

Générateur de tension idéal

Nous sommes à circuit ouvert en présence d'un générateur de tension idéal symbolisé de la façon suivante:

-

+

Générateur idéal de tension continue

Dans la pratique, ce cas n'est pas possible, car la présence de la résistance interne Ri modifie la tension disponible aux bornes du circuit.

7.7

Générateur de courant

Nous pouvons symboliser un générateur de courant de la façon suivante:

-

+

Générateur idéal de courant continu

Dans la pratique, ce cas n'est pas possible, car la présence de la résistance interne Ri modifie le courant disponible dans le circuit.

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8

Sources électriques

7.8

Accumulateurs

Accumulateur

Un accumulateur est un générateur d'électricité constitué de 2 matières différentes (exemple cadmium - nickel) présentant un excès d'électrons et un manque d'électrons. Un électrolyte favorise le passage des électrons entre les 2 matières et provoque ainsi une réaction chimique. Son symbole est le même que la pile. Les traitillés signifient qu'il peut y avoir plusieurs éléments montés en série.

-

B

Le schéma équivalent total est identique à celui que nous venons d'étudier.

-

+

borne du circuit notée +

Ri +

UDC

D R

U Récepteur

C

7.8

+

borne du circuit notée -

Couplage des accumulateurs

Les accumulateurs peuvent être couplés idéalement en parallèle et en série Ce sont les lois de Kirchhoff qui s'appliquent.

7.9

Couplage parallèle D A

+

U

AB

D2

1

-

UDC

+ U

DC

-

B C1

C

2

Pour réaliser ce couplage, il faut que les tensions UCD soient les mêmes.

ΣUtotale = ΣUpartielle UBA = UCD

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9

Sources électriques

Accumulateurs

Exemple: Quelle est la tension totale de 2 accumulateurs de 4 [V] montés en parallèle ? Données :

UD1C1 = 4 [V]

UD2C2 = 4 [V]

D

Inconnue :

UAB = ?

Relations :

ΣUtotale = ΣUpartielle

D2

1

A

+

U

AB

UAB = UCD

+

UDC

-

U

DC

-

B C

C1

2

UAB = 4 [V]

Application numérique :

Le couplage parallèle modifie par contre le courant I total, car la loi des nœuds s'applique aussi.

ΣItotal = ΣIpartiel Itotal = IC1D1 + IC2D2 Exemple : Quel est le courant total de 2 accumulateurs, montés en parallèle et débitant 1.5 [A] et 4 [A] ? D

Données :

I1 = 1.5 [A]

Inconnue :

Itotal = ?

I2 = 4 [A]

A

D2

1

+

U

AB

UDC

-

Relation :

ΣItotal = ΣIpartiel

+ U

DC

-

B C1

C

2

Itotal = I1 + I2 Application numérique :

7.10

Itotal = 1.5 + 4 = 5.5 [A]

Couplage série D

1

A + -

UDC1

+ -

UDC2

C1

U

AB

B

D2

C2

Ce sont les lois de Kirchhoff qui s'appliquent. Loi des mailles :

ΣUtotale = ΣUpartielle

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UBA = UCD1 + UCD2

10

Sources électriques

Accumulateurs

Exemple : Quelle est la tension totale de 2 accumulateurs de 4 [V] montés en série ? D

UCD2 = 4 [V]

Données :

UCD1 = 4 [V]

Inconnue :

UAB = ?

Relation :

ΣUtotale = ΣUpartielle

+ -

UDC1

+ -

UDC2

C1

U

AB

D2

B

C2

UBA = UCD1 + UCD2 Application numérique :

1

A

UAB = 4 + 4 = 8 [V]

Dans un couplage série, le courant I total est constant mais limité par la charge du circuit. (loi des nœuds)

ΣItotal = ΣIpartiel

Itotal = IC1D2

Sachant que le courant I est dépendant du temps t et de la quantité de charges électriques Q, nous pouvons résoudre nos différents exercices. Exemple: Quel sera le courant total débité par 2 accumulateurs, montés en série, dont les quantités de charges électriques Q sont de 500 [C] et de 500 [C], à travers une résistance R de 500 [Ω] pendant 5 [s]. Nous admettrons qu'ils sont pleins à l'instant t0 et vides à l'instant t1 . Données :

Q2 = 500 [C]

1

A

R = 500 [Ω]

U

B

Itotal = ?

Relation :

ΣItotal = ΣIpartiel

UQ1

+ -

UQ2

D2

t1 = 5 [s]

Inconnue :

+ C1

AB

t0 = 0 [s]

D

Itotal

Q1 = 500 [C]

C2

Qtotale = Q1 = Q2

I total =

Q totale t

t représente la différence de temps entre l'état plein et l'état vide. C'est un écart (delta) de temps donc une durée.

∆t = t 2 − t 1 Application numérique :

∆ = 5- 0 = 5[ s]

Qtotale = 500

I total =

500 = 100[ A ] (5 − 0)

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11

Sources électriques

7.11

Accumulateurs

Charge d'un accumulateur

Contrairement à une pile, un accumulateur peut être rechargé. Nous avons la possibilité, une fois l'accumulateur déchargé, de le recharger par un moyen auxiliaire appelé chargeur. C'est-à-dire, que nous avons chargé une certaine quantité de charges électrostatiques Q. Q=n⋅e

[C] ou [As]

C'est pour cette raison que, dans la pratique, l'accumulateur possède la caractéristique de quantité de charge électrostatique à disposition, appelée communément quantité d'électricité Q. Exemple : Un accumulateur est noté 42 [Ah] et 1.2 [V].Calculer le nombre d'électrons accumulés dans ce générateur.

Données :

Q = 42 [Ah]

borne +

Ri

evoir tabelle e- => 1.623 ⋅ 10-19 [C]

+

Ide charge + UBC

D

U

DC borne -

Chargeur

Accumulateur

Inconnue :

n=?

Relation :

Q=n⋅e

[C] ou [As]

La première démarche consiste à transformer les [Ah] en [As]. Nous savons que nous trouvons 60 fois 1 seconde dans 1 minute, mais il faut 60 minutes pour obtenir 1 heure. ( 1 seconde ⋅ 60 ) = 60 [s]

1 minute ( 1 seconde ⋅ 60 ) ⋅ 60

( 1 seconde ⋅ 3600 )

1 heure

1 heure

Calculons maintenant la quantité de charges électrostatiques en [As]: [Ah] = [As] ⋅ 3600 ce qui implique:

[Ah] = [As] 3600

Nous devons ensuite calculer n (nombre d'électrons) Application numérique :

n=

42 ⋅ 3600 1,623 ⋅ 10 −19

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Q=n⋅e

=>

n=

Q e

= 9.32 ⋅ 10 23 électrons

12

Sources électriques

7.19

Accumulateurs

Documentaire C'est en 1882 que Thomas Edison (1847 - 1931) mis en service la première centrale électrique industrielle à New York. Entraînée par des turbines à vapeur, chaque génératrice peut alimenter 1000 lampes à incandescence. 1884, mise au point du transformateur des Français Lucien Gaulard et JD Gibbs, pour la transmission efficace de l'électricité. La même année, mise en service de la première centrale près de Nîmes en France.

Michael Faraday (1791 - 1867), chimiste et physicien anglais. Lors de son apprentissage de relieur, il profite de lire de nombreux ouvrages de chimie et d'électricité. Ensuite, après avoir été assistant, il devient professeur de chimie en 1833. Après ses études sur l'électromagnétisme (1821), il se consacre à l'électrostatique (1843), et les protection électromagnétiques (cage de Faraday).

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13

Les condensateurs

Chapitre 7b

LES CONDENSATEURS

Sommaire • • • •

Les condensateurs Charge et décharge des condensateurs Constante de temps Entraînement

Introduction

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1

Les condensateurs

7.12

CONDENSATEUR ELECTROLYTIQUE

Définition : un condensateur est un composant constitué par 2 conducteurs parallèles, appelés armatures séparés sur toute l'étendue de leur surface par un milieu isolant de faible épaisseur , exprimé par sa rigidité diélectrique εr (epsilon) ou permittivité relative. Principe : S

A la fermeture de S, la tension aux bornes du générateur UAB se transmet aux deux armatures. Pour obtenir le déséquilibre électronique sur les armatures, des charges doivent se déplacer, un courant I circule pendant la charge du condensateur.

+

+

C

Le diélectrique n'ayant, par définition, pas d'électrons libres, ceux qui composent le courant I sont soustraits à l'une des armatures du condensateur et viennent s'accumuler sur l'autre. L'une des armatures devient positive et l'autre négative. La différence de potentiel (ddp) engendrée entre les armatures provoque un champ électrique E dans le diélectrique. En fonction du temps, une grande quantité de charges va circuler d'une armature à l'autre et diminuer en fonction de la charge accumulée. Il est nécessaire de quantifier cette charge accumulée. courant électrique I = nombre d'électron par secondes, en ampère [A] charge électrique Q = nombre d'électrons, en coulomb [C] Relation entre charge et courant nombre d'électron par secondes ⋅ seconde = nombre d'électrons I ⋅ t = Q [A] ⋅ [s] = [C]

Pour un condensateur, le pouvoir d'emmagasiner des charges s'appelle la capacité.

Symbole de la grandeur :

C

Symbole de l'unité :

[F] farad

Il est symbolisé de la façon suivante :

+

+

Nous pouvons mesurer que la tension U, entre les armatures, est proportionnelle à la charge accumulée. Relation entre la capacité C, la charge Q et la tension U : C ⋅ U = Q [F] ⋅ [V] = [C] et également

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[A ⋅ s] [ F]

= [ V]

2

Les condensateurs Exemple : La tension U, aux bornes d'un condensateur, s'élève à 230 [V]. La charge accumulée est de 2.4 ⋅ 10-3 [C]. Calculer la capacité C du condensateur. Q = 2.4 ⋅ 10-3 [C]

Données : Relation :

U = 230 [V]

Q = C⋅U

Application numérique :

C=

Q U

=

C=

Inconnue : C = ?

Q U

2.4 ⋅ 10 −3 10.43 ⋅ 10 -6 230

10.43 [ µF]

Nous pouvons aussi donner l'expression de la capacité (d'accumulation) C du condensateur en fonction des dimensions du condensateur.

• A

aire d'une armature en regard de l'autre [m²]

• d

épaisseur du diélectrique [m]

• ε0

permittivité du vide, admis de l'air exprimant avec quelle opposition les électrons

• εr

permittivité relative de la matière du diélectrique, exprimant combien de fois

passent d'une armature à l'autre dans l'air ou le vide [F ⋅ m-1]

mieux que l'air, le diélectrique s'oppose au passage des électrons.

La relation qui définit la capacité est la C = ε 0 ⋅ ε r ⋅ La capacité du condensateur :

A d

C en [F] farad

valeur de la permittivité du vide :

ε0 = 8,854 ⋅ 10-12 [F ⋅ m-1]

valeur de la permittivité relative :

(selon tabelle) sans unité :

air, vide = 1

papier = 2.3

suivante :

gutta-percha = 4

isolation plastique câble électrique haute tension (XKT) = 4.2 Exemple : Un condensateur plan possède les dimensions suivantes : armatures 5 [cm] de long et 6 [cm] de large, épaisseur du diélectrique 1000 [µm]. Calculer la capacité C si on admet un diélectrique constitué par de l'air. Calculer la capacité C si on admet un diélectrique constitué par du papier. Données :

armatures 5 x 6 [cm]

diélectriques :

air

Relations :

A = longueur ⋅ largeur

εr = 1

épaisseur d = 1000 [µm]

papier

C = ε0 ⋅εr ⋅

1 [mm]

εr = 2.6 A d

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3

Les condensateurs Application numérique :

[ ]

A = longueur ⋅ largeur = 5 ⋅ 10 −2 ⋅ 6 ⋅ 10 −2 = 3 ⋅ 10 −3 m 2

Résultats :

3 ⋅ 10 − 3

C = ε0 ⋅ εr ⋅

A d

=

8.854 ⋅ 10 −12 ⋅ 1 ⋅

C = ε0 ⋅ εr ⋅

A d

=

8.854 ⋅ 10 −12 ⋅ 2.3 ⋅

1 ⋅ 10 − 3

= 26.56 ⋅ 10 −12 [ F]

3 ⋅ 10 − 3 1 ⋅ 10 − 3

= 61.11 ⋅ 10 −12 [ F]

capacité avec de l'air comme diélectrique capacité avec un diélectrique en papier

7.13

26.56 [ pF]

61.11 [ pF]

26.56 [pF] 61.11 [pF]

Couplages des condensateurs

Dans la pratique, il est possible de coupler des condensateurs en parallèle ou en série.

+

Couplage parallèle

+

+ C2

C1

Le couplage parallèle de condensateurs a comme influence de changer la capacité équivalente Céq vue par le générateur. Cette capacité équivalente Céq est constituée d'un condensateur possédant de nouvelles dimensions.

+

+

+ C éq

Comme nous connaissons la relation :

C = ε0 ⋅ εr ⋅

A en [ F] d

Nous constatons que si l'aire des armatures A augmente, la capacité C va augmenter aussi, les autres paramètres ne se modifiant pas. Exemple: Un condensateur plan possède des armatures de 5 [cm] de long et 6 [cm] de large l'épaisseur du diélectrique est de 1 [mm]. Nous lui en plaçons un autre, de mêmes dimensions, en parallèle. Calculer la capacité C équivalente, si l'on admet un diélectrique constitué par du gutta-percha. Données :

armatures 5 x 6 [cm]

diélectrique :

gutta-percha

Relations :

A = longueur ⋅ largeur

épaisseur d = 1 [mm]

εr = 4 C = ε0 ⋅εr ⋅

A d

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4

Les condensateurs Application numérique :

[ ]

A = longueur ⋅ largeur = 5 ⋅ 10 −2 ⋅ 6 ⋅ 10 −2 = 3 ⋅ 10 −3 m 2

C = ε0 ⋅ εr ⋅

A d

=

8.854 ⋅ 10 −12 ⋅ 4 ⋅

3 ⋅ 10 −3 1 ⋅ 10 − 3

= 106.25 ⋅ 10 −12 [ F]

106.25 [ pF]

Sachant que les deux condensateurs sont en parallèle et qu'ils ont les mêmes dimensions, nous pouvons doubler la surface

C = ε0 ⋅ εr ⋅ Résultats :

A d

=

8.854 ⋅ 10 −12 ⋅ 4 ⋅

6 ⋅ 10 −3 1 ⋅ 10 − 3

= 212.48 ⋅ 10 −12 [ F]

212.50 [ pF]

capacité totale des deux condensateurs en parallèle = 212.50 [pF]

Nous pouvons donc déduire que la capacité équivalente Céq d'un montage de condensateurs, en parallèle, est égale à la somme des capacités des condensateurs. Céq = C1 + C2 +...+ Cn

ou en notation algébrique :

n

C eq =

Ci i =1

Couplage série

+

Le couplage série de condensateurs a comme influence de changer la capacité équivalente Céq vue par le générateur.

C1

+

+ C2

Cette capacité équivalente Céq est constituée d'un condensateur possédant de nouvelles dimensions.

+

+ C éq

Comme nous connaissons la relation :

C = ε0 ⋅ εr ⋅

A en [ F] d

Nous constatons que si la distance d entre les armatures augmente, la capacité C va diminuer, les autres paramètres ne se modifiant pas. Exemple : Un condensateur plan possède des armatures de 5 [cm] de long et 6 [cm] de large, l'épaisseur du diélectrique est de 2 [mm] Nous lui en plaçons un autre, de mêmes dimensions, en série. Calculer la capacité C équivalente, si l'on admet un diélectrique constitué par du gutta-percha.

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5

Les condensateurs Données :

armatures 5 x 6 [cm]

diélectrique :

gutta-percha

Relations :

épaisseur d = 2 [mm]

εr = 4

A = longueur ⋅ largeur

C = ε0 ⋅εr ⋅

A d

Application numérique :

[ ]

A = longueur ⋅ largeur = 5 ⋅ 10 −2 ⋅ 6 ⋅ 10 −2 = 3 ⋅ 10 −3 m 2

C = ε0 ⋅ εr ⋅

A d

=

8.854 ⋅ 10 −12 ⋅ 4 ⋅

3 ⋅ 10 − 3 2 ⋅ 10 − 3

= 53.12 ⋅ 10 −12 [ F]

53.12 [ pF]

Sachant que les deux condensateurs sont en série et qu'ils ont les mêmes dimensions, nous devons multiplier la distance par deux.

C éq = ε 0 ⋅ ε r ⋅ Résultat :

A d

=

8.854 ⋅ 10 −12 ⋅ 4 ⋅

3 ⋅ 10 −3 4 ⋅ 10 − 3

= 26.56 −12 [ F]

26.56 [ pF]

capacité totale des deux condensateurs en = 26.56 [pF]

Nous pouvons donc déduire que la capacité équivalente Céq d'un montage de condensateurs, en série, est plus petite que la plus petite capacité des condensateurs. A l'aide des lois de Kirchhoff, nous pouvons démontrer cette diminution de capacité. Relations :

ΣUtotale = ΣUpartielle C ⋅ U = Q

Loi de Kirchhoff :

en [C] coulomb

UCD = UDE + UEC

Loi de Kirchhoff remplacée par la relation : mais nous pouvons aussi dire: U DE =

Q DE C DE

et U EC =

Q=U⋅C

U DC =

Q DC Ceq

Q EC C EC

Remplaçons maintenant la relation : UDC = UDE + UEC par la relation obtenue à l'aide des charges électriques Q:

Q DC Q DE Q EC = + C eq C DE C EC Ecrivons autrement cette relation en mettant en évidence les capacités C:

Q DC 1 1 = Q DE ⋅ + Q EC ⋅ C éq C DE C EC

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D + C DE +

E + C EC

C

6

Les condensateurs Nous admettrons, dans notre démonstration, que les capacités C sont les mêmes:

Q DC 1 = ( Q DE + Q EC ) ⋅ ç ⋅ 2÷ C eq C DE Mais QDE + QEC peuvent être remplacés par QDC (loi de Kirchhoff)

Q DC 1 = ( Q DC ) ⋅ ç ⋅ 2÷ C eq C DE Simplifions cette relation par QDC de chaque côté du signe = :

æ 1 ö Q DC = ( Q DC ) ⋅ ç ⋅ 2÷ C eq è C DE

Þ

æ 1 ö 1 =ç ⋅ 2÷ C éq è C DE

Comme nous avons admis que CDE = CEC , réécrivons notre relation:

1 1 1 = + C éq C DE C EC Nous pouvons en tirer une relation générale, pour des couplages série à plusieurs éléments:

C éq =

ou selon la notation algébrique : C éq =

1 n i =1

7.14

1 1 1 1 + +...+ C1 C 2 Cn

1 Ci

Constante de temps τ (tau)

Dans un circuit série RC en série, sous une tension constante, nous remarquons au moyen d'un oscilloscope (écran télévision permettant de visualiser une tension électrique U) que le condensateur C se charge de façon non linéaire.

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7

Les condensateurs Il est assez facile de comparer le condensateur C à un "réservoir d'eau". Au début de la charge, la tension aux bornes du condensateur est faible. C'est comme un bassin d'accumulation d'une centrale hydroélectrique. La quantité d'eau à turbiner est faible. Au temps t0 correspondant au début de la charge 0%. Le condensateur d'est pas chargé, il n'a accumulé aucune charge électrique. +

Les charges électrostatiques ou électrons vont se répartir entre les 2 armatures. Le courant électrique I est limité par la résistance R en série dans le circuit, comme nous le voyons dans la figure du haut de la page. Pour le bassin d'accumulation, l'eau va s'engouffrer facilement à l'intérieur et elle n'est limitée que par la dimension des conduites qui l'amènent au bassin. Le temps t1 correspond à une charge partielle 63% par rapport au temps t0 où le condensateur n'était pas chargé. +

Le temps t2 correspond à une charge partielle 87%, toujours par rapport au temps t0. +

Nous considérerons dans la technique, qu'il faut 5 fois la constante de temps τ pour pouvoir considérer le condensateur C comme chargé à 100 %. Analogie au temps t5 correspondant à une charge partielle 99.9% : +

Cette analogie s'arrête là, car dans la pratique, le condensateur C ne se charge pas de façon linéaire, mais de façon exponentielle. (voir courbe obtenue à l'aide de l'oscilloscope)

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8

Les condensateurs

7.15

Courbe de charge d'un condensateur

Nous avons placer un appareil de mesure (oscilloscope) aux bornes de la résistance R pour mesurer la tension UR

Nous pouvons en déduire par la loi d'ohm que cette courbe représente la courbe du courant I dans le circuit. Relation:

U=R⋅I

nous cherchons le courant I en divisant de chaque côté du signe = par R

I charge =

UR R

Cette dernière relation nous permet de calculer le courant de charge dans le condensateur, puisque les deux éléments sont montés en série, le courant dans la résistance est identique au courant dans le condensateur. L'oscilloscope peut également nous montrer la forme du courant de charge.

La première trace (A) de l'oscilloscope montre la forme du courant dans le circuit et la seconde trace (B) indique la tension aux bornes du condensateur. Nous remarquons que les tangentes à l'origine des tensions et des courants coupent les asymptotes au temps correspondant au produit de la résistance R en ohm et de la capacité C en farad.

τ=R⋅C [s] = [Ω] ⋅ [F]

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τ en secondes

9

Les condensateurs Exemple : Déterminer la constante de temps d'un circuit série dont la résistance R vaut 22 [MΩ] et la capacité C 47 [pF]. Données :

R = 22 [MΩ] C = 47 [pF]

Relations :

τ=R⋅C

Application numérique :

τ = R⋅C Þ

7.16

τ = 22 ⋅ 10 6 ⋅ 47 ⋅ 10 −12 = 1034 . ⋅ 10 −3 [ s] Þ 1034 . [ ms]

Décharge d'un condensateur.

Les mêmes développements peuvent être appliqués pour la décharge d'un condensateur C comme pour sa charge. Au début de la décharge, la tension aux bornes du condensateur est grande. C'est comme un bassin d'accumulation d'une centrale hydroélectrique. La quantité d'eau à turbiner est grande. Analogie au temps t0 correspondant au début de la décharge 100% Condensateur

Bassin d'accumulation

+

Analogie au temps t1 correspondant à une charge partielle 37%. +

Analogie au temps t2 correspondant à une charge partielle 13%. +

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10

Les condensateurs Nous considérerons dans la technique qu'il faut 5 fois la constante de temps τ. pour pouvoir considérer le condensateur C comme déchargé à 100 %. Analogie au temps t correspondant à une charge partielle 0.2% +

Cette analogie s'arrête là, car dans la pratique, le condensateur C ne se décharge pas de façon linéaire, mais de façon exponentielle. (voir la courbe obtenue à l'aide de l'oscilloscope)

7.17

Courbe de décharge d'un condensateur

Nous avons placé un appareil de mesure (oscilloscope) aux bornes du condensateur pour mesurer la tension UC

Nous pouvons également tracer la courbe de décharge UC = f(t) U [V] 100

90

décharge d'un condensateur dans une résistance 80

70

60

50

40

30

20

10 t [s] 0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

Nous remarquons que les tangentes à l'origine des tensions et des courants coupent les asymptotes au temps correspondant au produit de la résistance R en ohm et de la capacité C en farad. C'est comme pour la charge du condensateur.

τ=R⋅C

[s] = [Ω] ⋅ [F]

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11

Les condensateurs

7.18

Tension de claquage

Lorsque la tension U entre les armatures augmente, le champ électrique E dans l'isolant augmente ainsi que la force F à laquelle sont soumis les électrons. Lorsque cette force F est supérieure, elle provoque la ionisation de certains atomes. Les électrons libérés, soumis au champ électrique E , sont accélérés et peuvent, en percutant d'autres atomes, provoquer leur ionisation et ainsi de suite. Ce phénomène d'avalanche est appelé: courant I de claquage du condensateur. L'isolant devient conducteur et le condensateur se décharge. Il y a désamorçage lorsque la tension descend au-dessous d'un certain seuil. Principales caractéristiques : Capacité nominale:

• valeur de la capacité en farad [F] pour laquelle le condensateur a été conçu. Tolérance:

• écart admissible sur la valeur nominale, elle n'a pas d'unité mais s'exprime en %. Tension nominale:

• valeur de la tension continue qui peut en courant continu être appliquée au condensateur en régime permanent.

7.19

Documentaire C'est en 1882 que Thomas Edison (1847 - 1931) mis en service la première centrale électrique industrielle à New York. Entraînée par des turbines à vapeur, chaque génératrice peut alimenter 1000 lampes à incandescence. 1884, mise au point du transformateur des Français Lucien Gaulard et JD Gibbs, pour la transmission efficace de l'électricité. La même année, mise en service de la première centrale près de Nîmes en France.

Michael Faraday (1791 - 1867), chimiste et son apprentissage de relieur, il profite de lire de chimie et d'électricité. Ensuite, après avoir été professeur de chimie en 1833.

physicien anglais. Lors de nombreux ouvrages de assistant, il devient

Après ses études sur l'électromagnétisme (1821), il l'électrostatique (1843), et les protection de Faraday).

se consacre à électromagnétiques (cage

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12

Chapitre 8

Chapitre 8

PUISSANCE , ENERGIE EFFET CALORIFIQUE , RENDEMENT

Sommaire

• • • • • •

8.1

La puissance et l'énergie électrique Effet Joule Les pertes par transformation d'énergie Rendement des installations électriques Effets calorifiques Exercices

La puissance

Définition : la puissance P est le produit de la tension U et du courant I, à chaque instant. P= U⋅I Symbole de la grandeur : Symbole de l'unité :

P [W] watt

Elle exprime la quantité de courant I transformé en chaleur ou en une autre énergie, dans les éléments d'un montage alimenté en régime continu.

Remarque : Cette puissance P peut être mesurée avec un voltmètre et un ampèremètre en courant continu. Elle peut être aussi mesurée à l'aide d'un wattmètre. Schémas: A +

+ V

Récepteur

-

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Récepteur -

1

Chapitre 8 Exemple 1 : Une lampe est connectée à un réseau de tension U continue. Les indications des différents appareils de mesures donnent: I = 500 [mA] U = 10 [V] Calculer la puissance P de la lampe. Données :

I = 500 [mA]

Relation :

P=U⋅I

Résolution :

P = U⋅I

U = 10 [V]

P = 10 ⋅ 0.5 = 5 [ W] P U I

P

Représenter graphiquement la puissance P à l'aide de U et I en fonction du temps: P f(t) et U f(t)

U

I f(t)

I

temps

Exemple 2 : Une résistance R dissipe une puissance de 1.2 [kW]. Sachant que cette résistance R est parcourue par un courant I de 3.54 [A], calculer la résistance. Données :

P = 1.2 [kW]

I = 3.54 [A]

Inconnue : R = ?

Schéma : A + Récepteur -

Relation :

P=U⋅I

(1)

U=R⋅I

(2)

Analyse : Nous connaissons le courant I et la puissance P. Nous devons chercher la résistance R. Remplaçons la grandeur I inconnue de la relation (1) par la relation (2): Nous obtenons la relation suivante:

Application numérique:

R=

R=

P I2

=

P I2

1200 2 . ) ( 354

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= 96.76 [ Ω]

2

Chapitre 8

8.2

ENERGIE ELECTRIQUE

Un conducteur parcouru par un courant I s'échauffe

I A

Pour que ce conducteur s'échauffe, une source de tension U doit fournir de l'énergie électrique W, qui se transforme en énergie calorifique.

+ U Récepteur

Symbole de la grandeur : Symbole de l'unité :

W [J] joule

ENERGIE ELECTRIQUE ---------> ENERGIE CALORIFIQUE Wélectrique => Wcalorifique Relation ou loi de Joule :

W = R ⋅ I2 ⋅ t

Le produit de ( R ⋅ I2 ) peut être remplacé par la puissance P.(voir la loi d'ohm et la relation de la puissance 4.20) W = P⋅t Analyse dimensionnelle:

1 [J] = 1 [W] ⋅ 1 [s]

L'énergie électrique s'exprime également en watt seconde [Ws]. 1 [J] = 1 [Ws]

Dans les milieux électriques, on parle en unité courante de kilowattheure.

Comment arrive-t-on à cette unité ? En une minute, il y a 60 secondes

60 ⋅ 1 [J] = 1 [W] ⋅ 1 minute

En une heure, il y a 60 minutes 60 ⋅ 60 ⋅ 1 [J] = 1 [W] ⋅ 1 heure Le préfixe "kilo" signifie 1000 1000 ⋅ 3600 ⋅ 1 [J] = 1 [kWh]

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3

Chapitre 8

8.3

Pertes par effet Joule PJ

Ces pertes représentent l'expression de l'énergie calorifique dissipée par le conducteur soumis au passage du courant I, pendant un temps t.

PJ =

[ Ws] = W [ ] [ s]

W R ⋅ I2 = t t

Nous constatons que les pertes par effet Joule sont proportionnelles au carré du courant I. Exemple : Une résistance R dissipe une puissance de 1.2 [kW]. Sachant que cette résistance R est parcourue par un courant I de 3.54 [A], calculer l'énergie électrique consommée pendant 1 heure 12 minutes 27 secondes. Données :

P = 1.2 [kW]

Inconnue :

W=?

I = 3.54 [A]

Schéma: I A + U Récepteur

Relation :

W = P⋅t

Analyse : Il nous faut transformer les heures, minutes, secondes en une unité qui peut être soit des heures, soit des secondes. Choisissons de tout ramener en secondes : 1 heure = 60 ⋅ 60 ⋅ 1 [s]= 3600 [s] + 12 minutes = 12 ⋅ 60 ⋅ 1 [s]= 720 [s] + 27 secondes = 27 ⋅ 1 [s] = 27 [s] 4347 [s] W = 1200 ⋅ 4347 = 5.22 ⋅ 106 [Ws]

Application numérique :

Cette réponse n'est pas dans une unité appropriée à l'électricité. Il nous faut donner l'énergie en [kWh]. Comme c'est le cas pour la facture d'énergie électrique envoyée par le distributeur. Nous savons que :

3600000 [J] = 3.6 ⋅ 106 [Ws] = 1 [kWh]

Il nous faut donc diviser l'énergie W par 3.6 ⋅ 106 pour pouvoir l'exprimer en [kWh].

1 [ kWh] Résultat :

W=

3,6 ⋅ 10 6 [ Ws] 3,6 ⋅ 10 6

5,22 ⋅ 10 6 3,6 ⋅ 10 6

. [ kWh] = 145

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4

Chapitre 8

8.4

PERTES PAR TRANSFORMATION D'ENERGIE

Dans les exemples précédents, nous avons admis que toute l'énergie électrique Wél était transformée en énergie calorifique Wcal . Représentons-nous cette transformation d'énergie :

Wélectrique

Wcalorifique

Dans la pratique, aucun système de transformation d'énergie ne s'effectue sans pertes.

Une lampe électrique transforme un courant et une tension, pendant un certain temps, en une source d'énergie lumineuse. La lampe éclaire mais vous chauffe les mains aussi. Cet échauffement est une énergie hors du spectre lumineux, appelée INFRAROUGE. Elle représente dans notre cas l'énergie perdue.

Wélectrique

Wlumineuse

Wperdue

L'énergie W perdue est obtenue selon une relation proche des lois de Kirchhoff:

Wtotale

Wutilisée

Wperdue

Wtotale = Wpartielle utilisée + Wpartielle perdue D'un terme plus général:

ΣWabsorbée = ΣWutile + ΣWperdue Ces mots peuvent être modifiés à votre guise.

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5

Chapitre 8 Exemple : Une lampe absorbe un courant de 10 [A] et une tension de 48 [V] pendant 2 heures. Sachant que la température du local est montée de 2 [°C], ce qui est l'équivalent d'un radiateur d'une puissance de 200 [W] connecté. Calculer l'énergie électrique transformée en effet lumineux. Données :

U = 48 [V]

I = 10 [A]

t = 2 [h]

Wélectrique

P = 200 [W]

Wlumineuse

Wcalorifique

Inconnue :

Wlumineuse = ?

relations :

ΣWabsorbée = ΣWutile + ΣWperdue W = P⋅t

P = U⋅I

Energie électrique à disposition du réseau électrique : Wabsorbée = P ⋅ t

remplaçons P par U et I

Wabsorbée = U ⋅ I ⋅ t

Wabsorbée = Wutile + Wperdue Wperdue représente l'énergie calorifique non transformée en lumière. Wperdue = P ⋅ t

remplaçons P par U et I

isolons Wutiles en soustrayant Wperdue de chaque côté du signe = Wabsorbée - Wperdue = Wutile A l'aide des relations , nous obtenons: (U ⋅ I ⋅ t) - (Pradiateur ⋅ t) = Wutile mettons en évidence t pour avoir moins de touches de calculatrice à actionner, donc moins de risques d'erreur: {(U ⋅ I) - Pradiateur } ⋅ I = Wutile

Wutiles = Wlumineuse

Application numérique: Wlumineuse = {(48 ⋅ 10) - 200} ⋅ 2 = 560 [Wh] = 0.56 [kWh]

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6

Chapitre 8

8.5

Rendement

Il existe aussi la possibilité de mentionner le rapport entre l'énergie Wabsorbée et l'énergie Wutile Symbole de la grandeur : η Symbole de l'unité :

aucun

Ce rapport est appelé le rendement η (êta). Sa valeur ne peut pas être plus grande que 1 car il y a toujours des pertes. Wà disposition

rendement

Wà disposition

Wdisponible

Wpertes

η=

Wutile Wabsorbée

Exemple : Un radiateur consomme une énergie électrique W de 2 [kWh]. Le rendement de ce radiateur est de 0.9. Calculer l'énergie dissipée dans le local. Données :

Wabsorbée = 2 [kWh]

Inconnue :

Wutile = ?

Relation :

η=

η = 0.9

Wutile Wabsorbée

Cherchons à isoler Wutile en multipliant de chaque côté du signe égal par Wabsorbée

η ⋅ Wabsorbée = Wutile Application numérique : Wutile = 0.9 ⋅ 2 = 1.8 [kWh]

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7

Chapitre 8

8.6

Applications du rendement

La notion de rendement peut être appliquée aux autres grandeurs que l'énergie W. Nous pouvons l'utiliser avec des puissances par exemple.

Wutile Putile t η= = Wabsorbée Pabsorbée t Une lampe consomme une énergie de 0.96 [kWh] en 2 heures. Sachant que la température θ du local est montée de 2 [°C], c'est comme si un radiateur d'une puissance de 200 [W] avait fonctionné. Calculer le rendement de cette lampe. Données :

Wabsorbée = 0.96 [kWh]

Inconnue :

η=?

Wà disposition

Wà disposition

t = 2 [h]

P = 200 [W]

rendement

Wlumineuse disponible

Wcalorifique

Relations :

ΣWabsorbée = ΣWutile + ΣWperdue W = P⋅t

η=

Putile Pabsorbée

Cherchons la puissance P absorbée par la lampe : W = P⋅t

P = P=

W t

Cherchons la puissance utile de la lampe :

Pdisponible =

Wabsorbée − Ppertes t

Cherchons le rendement :

Wabsorbée 0.96 − Ppertes − 0.2 t η= = 2 = 0.58 0.96 Wabsorbée 2 t

58 %

Il faut bien prendre garde à utiliser des unités UNIFORMES. Electrotechnique /  Editions de la Dunanche / septembre 2000

8

Chapitre 8 Nous pouvons aussi trouver la notion de rendement dans d'autres domaines que l'électricité, par exemple en mécanique. Mais nous pouvons aussi trouver des combinaisons de conversion d'énergie mécanique Wméc en énergie électrique Wél Prenons l'exemple d'une centrale hydroélectrique. La centrale de Verbois (près de Genève) possède une turbine KAPLAN et un alternateur, dont les rendements sont les suivants:

ηturbine = 0.92

ηalternateur = 0.95

Calculons le rendement global de cette centrale: Données :

ηturbine = 0.92

ηalternateur = 0.95

Inconnue :

ηglobal = ?

Analyse : Ene rgie mé c a nique ou prima ire

PERTES

P ERTES

Turbine

Alte rna te ur

Ene rgie é le c trique ou s e conda ire

La partie 1 représente la totalité d'énergie primaire (hydraulique) de la rivière, soit l'entier de la rivière 1. Cette valeur de 1 n'est pas très représentative, lorsque l'on parle, nous aimons exprimer cette valeur en pour-cent, soit:

totalité = 1 =

1 100 = soit 100 % 1 100

La partie 2 représente les pertes dues à l'opération de turbinage. Dans notre cas, le rendement de la turbine ηturbine est de 0.92 ce qui implique : Wutile turbine

=

Wabsorbée avant turbinage

Nous avons aussi vu que η =

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-

Wutile après turbinage

Wutile Wabsorbée

9

Chapitre 8 donc, en remplaçant par cette relation, nous obtenons:

Wperdue turbine = 1 - (1 ⋅ 0.92) ou Wperdue turbine = 1 - 0.92 Wperdue turbine = 8%

Wperdue turbine = 100% - 92%

Wperdue turbine = 0.08

Ene rgie mé ca nique ou prima ire 1 ou 100 %

0.92 ou 92 %

PERTES

P ERTES

Turbine 0.08 ou 8 %

Alte rna te ur

Ene rgie é le ctrique ou s econda ire

La partie 3 représente l'énergie Wturbinée à disposition pour entraîner l'alternateur. Soit le 92% ou 0.92 de l'énergie primaire de la rivière. La partie 4 représente les pertes dues aux composants électriques de l'alternateur, aux vibrations mécaniques et autres. Dans notre cas, le rendement de l'alternateur ηalternateur est de 0.95 ce qui implique: Wperdue alternateur

=

Wabsorbée avant l'alternateur

-

Wdisponible après l'alternateur

Nous avons aussi vu que η =

Wutile Wabsorbée

donc en remplaçant par cette relation, nous obtenons: Wperdue alternateur = (0.92 de 1) - (0.95 de 0.92)

(92% de 100%) - (95% de 92%)

Wperdue alternateur = (0.92 ⋅ 1) - (0.95 ⋅ 0.92) Wperdue alternateur = 0.92 - ( 0.874 )

0.92 - (0.95 ⋅ 0.92) 0.05

Wperdue alternateur = 4.6% Electrotechnique /  Editions de la Dunanche / septembre 2000

10

Chapitre 8 Ene rgie méc a nique ou prima ire 1 ou 100 %

0.92 ou 92 %

Turbine 0.08 ou 8 %

PERTES

0 .9 2 ou 92 %

P ERTES

Alte rna te ur 0.05 ou 4.6 %

Ene rgie é le ctrique ou s econda ire 0.87 ou 87.4 %

La partie 5 représente l'énergie secondaire W disponible. Dans notre cas, il s'agit de l'énergie électrique Wél Nous pouvons exprimer cette énergie secondaire Wél directement par rapport à l'énergie primaire Wméc Wprimaire

⋅ ηturbine

= Wutile

Ene rgie mé c a nique ou prima ire 1 ou 100 %

0.92 ou 92 %

Turbine 0.08 ou 8 %

PERTES

P ERTES

Alte rna te ur

Ene rgie é le c trique ou s econda ire 0.87 ou 87.4 %

Nous sommes au point 3 de notre représentation. Mais cette énergie Wutile est en fait l'énergie sortie de la turbine

Wabsorbée entrée alternateur Wutile = Wabsorbée

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11

Chapitre 8 En appliquant une nouvelle fois la relation du rendement, nous obtenons pour l'énergie secondaire Wél : Wabsorbée

⋅ ηalternateur = Wsecondaire

Remplaçons l'énergie Wabsorbée : (Wprimaire

⋅ ηturbine) ⋅ ηalternateur = Wsecondaire

Nous sommes au point 5 de notre représentation. Comme nous cherchons le rendement global, il nous faut chercher à isoler les rendements en divisant de chaque côté du signe = par Wprimaire

η turbine ⋅ ηalternateur =

Mais le terme

Wsec ondaire mécanique Wprimaire mécanique

Wsec ondaire mécanique Wprimaire mécanique

= ηglobal

Ene rgie mé c a nique ou primaire 1 ou 100 %

0.92 ou 92 %

P ERTES

P ERTES

Turbine 0.08 ou 8 %

Alte rna te ur 0.05 ou 4.6 %

Ene rgie é le ctrique ou se condaire 0.87 ou 87.4 %

Nous pouvons donc écrire :

ηturbine ⋅ ηalternateur = ηglobal Application numérique :

ηglobal = 0.92 ⋅ 0.95 => 0.87

ou exprimé en pour-cent :

ηglobal = 0.87 ⋅ 100 => 87.4%

Selon notre développement, nous pouvons donner une loi générale lorsqu'il y a association de rendements:

ηtotal = η1 ⋅ η2 ⋅ .... ⋅ ηn Electrotechnique /  Editions de la Dunanche / septembre 2000

12

Chapitre 8

8.7

EFFETS CALORIFIQUES

La transformation d'énergie électrique Wél en une énergie calorifique Wcal est couramment utilisée. Dans les installations électriques, nous trouvons une quantité impressionnante d'appareils domestiques réalisant cette transformation. Par exemples :









cuisinières fours radiateurs pour le chauffage des locaux chaudière pour le chauffage d'un liquide chauffe-eau pour l'eau sanitaire lampe à incandescence

Tous ces exemples sont des applications contrôlables par l'homme. Ils sont, de ce fait, utiles. Nous pouvons dire ceci par opposition à l'effet Joule qui, lui, n'est pas contrôlé par l'homme mais par des lois spécifiques aux matières utilisées. (chapitre 4.21) Pour pouvoir équiper vos maisons de ces appareils, il a bien fallu les dimensionner. Comme nous sommes dans un domaine d'application des lois électriques, nous allons différencier l'énergie calorifique Wcal par un autre symbole de grandeur.

8.8

Energie calorifique

L'énergie transformée en énergie calorifique est symbolisée de la façon suivante:

Symbole de la grandeur :

Q

Symbole de l'unité : [J] joule

Wélectrique

Q

Wperdue

Dans un transfert d'énergie, il y a toujours des pertes.

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13

Chapitre 8 Cas s e role d' e a u

A R B

Une cuisinière électrique doit chauffer de l'eau dans une casserole. Le but est de pouvoir calculer l'énergie nécessaire pour faire bouillir cette eau. Phase 1 La tension électrique U appliquée aux bornes de la résistance R provoque le passage d'un courant électrique I. U=R⋅I Phase 2 Ce circuit provoque une puissance électrique P, P=U⋅I Phase 3 qui, appliquée pendant un certain temps, engendre une énergie électrique Wél . Wél = P ⋅ t Phase 4 Mais ce transfert d'énergie se réalise avec un certain rendement η dû aux pertes par effet Joule (conducteurs). Wél - Wjoules = Q Phase 5 Cette énergie calorifique Q doit être transmise à l'élément à chauffer qui peut être soit un liquide, soit un solide. Ce transfert se fait avec un certain rendement η. Qabsorbée ⋅ η = Qutile Phase 6 L'élément à chauffer va aussi avoir certaines réactions. Ces réactions seront dépendantes de:


la masse m de l'élément (solide, liquide, composition)




sa facilité de stocker l'échauffement appelé chaleur massique c




sa température θ finale désirée




sa température θ initiale

La relation qui lie les différents éléments que nous venons de citer est la suivante : Q = m ⋅ c ⋅ ∆θ

∆θ = θ initiale − θ finale

( ∆ delta

écart )

Il est nécessaire de disposer d'une tabelle pour connaître les différentes chaleurs massiques c des matières utilisées.

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14

Chapitre 8

8.9

Masse

Nous rappelons que la masse d'un corps est donnée par rapport à un étalon de platine iridié pratiquement cylindrique égal à 1 [dm3 ] d'eau à une température de 4 [°C] Symbole de la grandeur :

m

Symbole de l'unité : [kg] kilogramme

8.10

Chaleur massique

La chaleur massique c exprime la facilité qu'a un corps de stocker de la chaleur. Cette chaleur massique c n'est constante que dans des gammes de températures bien définies (voir tabelle) Symbole de la grandeur :

c

Symbole de l'unité : [J⋅kg-1⋅°C-1]

8.11

Température

La température exprime l'écart d'échauffement d'un corps par rapport à un point fixe de référence où il n'y a plus d'agitation des atomes (ou molécules). Ce point fixe est la température absolue, soit le "zéro absolu" Symbole de la grandeur :

T

Symbole de l'unité : [K] kelvin

Le "zéro absolu" se situe à -273.16 [°C] ou 0 [K]. C'est l'unité légale de la norme SI (Système International d'unités). Dans nos applications pratiques, nous travaillerons avec une température θ, exprimée en degrés centigrades ou celsius. Cette unité ayant été obtenue en divisant en 100 parties égales un thermomètre mesurant de la glace fondante (admis 0°C) et de l'eau bouillante (admis 100°C) sous une pression p constante de 760 [mm] Hg (Hg est le symbole chimique du mercure) Symbole de la grandeur :

θ thêta

Symbole de l'unité : [°C] degré Celsius

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15

Chapitre 8

8.12

Exemple pratique :

Nous désirons chauffer 4 [l] d'eau, prise au réseau d'eau à 14[°C], pour l'amener à ébullition (100 [°C]). Nous disposons d'un corps de chauffe électrique de 400 [W]. Son rendement est de 97%. Calculer le temps nécessaire pour faire bouillir ce liquide. Données :

P = 400 [W]

quantité d'eau = 4 [l]

θinitiale = 14 [°C] Inconnue : Relations : Analyse :

θfinale = 100 [°C]

η = 97% ou 0.97

t=? Q = m ⋅ c ⋅ ( θ finale − θ initiale )

W = P⋅t

Q utile = Q absorbée ⋅ η

Nous devons chercher la masse d'eau à chauffer.

[ ]

1[ l] = 1 dm3

1[ kg]

meau = 4[ kg]

Calculons l'énergie calorifique Qeau nécessaire pour chauffer l'eau: Q eau = m ⋅ c ⋅ ∆θ Wélectrique = Q corps de

Cherchons l'énergie calorifique Qcorps de chauffe : Qcorps de chauffe

chauffe

⋅ η = Qeau

Qcorps de chauffe =

Q eau

Qeau η pertes

Cherchons l'énergie électrique Wél appliquée au corps de chauffe: Wél = Qcorps de chauffe Cherchons le temps t de chauffe: Wél = P ⋅ t

t=

Wél P

Remplaçons Wél par le développement effectué:

Q eau η t = P

m eau * c *(θ finale − θ initiale ) η = P

Application numérique :

4 ⋅ 4183 ⋅ (100 − 14) 0,97 t= 400

= 3708.64 [ s]

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1.03 [ h]

16

Chapitre 8

8.13

Documentaire James Watt ingénieur mécanicien écossais (1736-1819). Après avoir étudié la fabrication des instruments de mesures chez un opticien, il s'établit à son compte en 1757. Ensuite, il est nommé fabricant d'instrument pour l'université de Glasgow, où il est amené à réparer la machine à vapeur de Newcomen que personne ne savait faire fonctionner correctement. En la réparant, il en étudie le fonctionnement et s'aperçoit qu'il y a une grande perte de vapeur donc d'énergie. Cela l'amène à en améliorer le fonctionnement.

Tous ces perfectionnements lui permettent d'obtenir un brevet de fabrication en 1769. Il fonde l'entreprise Boulton et Watt et commercialise ses machines à vapeur dès 1780.

James Prescott Joule, physicien anglais (1818-1889). Il est d'abord directeur d'une fabrique de bière, avant de se consacrer à la science. En 1841, il formule les lois qui portent son nom et démontrent que l'énergie électrique transformée en énergie calorifique dans un conducteur, est proportionnelle à sa résistance R, au temps t et au carré du courant I.

Léopold Nobili, physicien italien (1787 - 1835). Inventeur du galvanomètre astatique, formé de deux aiguilles aimantées de pôles opposés, permettant de mettre au point les premiers galvanomètres, instruments de mesure du courant électrique.

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17

Chapitre 8

8.14

Exercices

1.

Quels sont les instruments nécessaires pour mesurer la puissance électrique ?

2.

Donner toutes les relations qui définissent la puissance P

3.

Comment peut-on déceler la puissance dissipée dans une résistance ?

4.

Donner la puissance d'un grille-pain, d'un téléviseur, d'une voiture de sport

5.

Où trouve-t-on l'indication de la puissance d'un moteur électrique ?

6.

Citer deux exemples de pertes par effet Joule :

7.

A part la chaleur, citer les autres effets de l'électricité :

8.

Un ordinateur a-t-il des pertes par effet Joule ? Si oui, où se produisent-elles ?

9.

Sur les aliments que nous achetons, certaines valeurs sont indiquées en joules. Est-ce normal et pourquoi ?

10.

Où se trouvent les pertes lorsque l'on chauffe de l'eau dans une casserole ?

11.

Pourquoi utilise-t-on de l'huile plutôt que de l'eau dans les radiateurs à accumulation ?

12.

De l'eau est chauffée de 20 [°C] à 80 [°C]. Que vaut la différence de température en Kelvin ?

13.

En quels matériaux sont construits les corps de chauffe ?

14.

Calculer la dépense d'énergie électrique d'un radiateur parcouru par un courant de 6.5 [A], soumis à une tension de 230 [V], de 22 heures à 6 heures et de 16 heures à 17 heures 45.

15.

Une lampe consomme une énergie de 7.6 [MJ]. Sachant que la tension de service est de 48 [V] et que sa résistance à chaud est de 0.87 [kΩ], calculer le temps de fonctionnement de cette lampe en heures, minutes et secondes.

16.

Pour chauffer un local, un radiateur de 4 [kW] est installé. Sachant qu'il faut 3,5 minutes pour augmenter la température du local de 1 [K], calculer la puissance d'un radiateur additionnel pour diminuer ce temps de chauffe de 100 [s].

17.

Le rendement global de la Grande-Dixence est de 0.83. Calculer le rendement de l'alternateur si le rendement de la turbine est de 88%.

18.

Nous posons, sur une plaque de cuisinière électrique, une casserole en aluminium de 200 [g] contenant 2 [l] d'eau à 15 [°C]. Nous désirons porter cette eau à 80 [°C] en 3.2 minutes. Nous admettons que 20% de l'énergie est dissipée en pure perte. Calculer la puissance électrique nécessaire pour chauffer cette eau.

19.

Nous portons, de 12 [°C] à 98 [°C], 1 [l] d'eau. Quelle est l'énergie mécanique si le rendement du groupe turbine-alternateur est de 83%, le rendement du réseau électrique de 89% et le rendement de la bouilloire de 0.67 ?

Réponses :

12. 13 14. 15. 17. 19.

Une différence de 1 [K] 1 [°C], donc ∆T = 60 [K] Chrome-nickel, manganine, constantan W = 14.576 [kWh] ou 52.47 [MJ] t = 33 jours 5 h 9 ' 51 '' 16. P2 = 8.4 [kW] η = 94.32 % 18. P = 2891.4 [W] W = 641.87 [J

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18

Chapitre 8

20.

Un corps de chauffe met 45 minutes 12 [s] pour chauffer une plaque de fonte de 340 [°C]. Cette plaque a une dimension de 20 ⋅ 10 ⋅ 40 [cm]. Pour alimenter ce corps de chauffe de 860 [mΩ], un courant de 75 [A] est nécessaire. Calculer le rendement de cette installation de chauffage.

21.

Calculer la puissance dissipée par les résistances R1 , R2 , R3, sachant que la tension du montage UAB est de 230 [V].

A R2

Tableau des résistances :

R1

R1 = R2 = 330 [Ω]

C

R3 = R4 = 470 [Ω] R5 = 860 [Ω]

R3

R5

R4

B

22.

La centrale de Mauvoisin fournit au réseau une énergie de 3.6 [TWh] par jour. La quantité d'énergie primaire se monte à 4.2 ⋅ 106 [MWh]. Calculer le rendement de la centrale.

23.

Un alternateur de 0.4 [kW] (tension alternative) alimente un moteur possédant un rendement de 0.74. Ce moteur entraîne mécaniquement un générateur pour obtenir une tension continue de 60 [V]. Sur le générateur, une plaquette signalétique (carte d'identité de l'appareil) indique I max = 4.1 [A]. Calculer le rendement du générateur. (à I maximum) Calculer le rendement global. (moteur et alternateur)

24.

Une locomotive électrique nécessite une puissance de 3000 [kW]. Le courant arrive par la caténaire (résistance 3 [Ω]) et repart par les rails (résistance 200000 [µΩ]). La tension aux bornes de la locomotive doit être de 12 [kV]. Calculer le rendement de cette installation. De quelle nature sont les pertes ?

Réponses :

20.

W = 10.56 [MJ] , P = 3.895 [kW] . Pél = 4.838 [kW] ,

21.

PR1 = 30.3 [W] , PR2 = 5.15 [W] , PR3 = 7.34 [W] η = 85.7 %

22. 23. 24.

η = 80.5 %

ηgénérateur = 83.1 % , ηglobal = 61.5 % η = 93.75 % , pertes par effet Joule.

Electrotechnique /  Editions de la Dunanche / septembre 2000

19

Chapitre 8b

Chapitre 8b

EFFET CALORIFIQUE ENERGIE CALORIFIQUE

Sommaire

• • •

8.7

Effets calorifiques Energie calorifique Exercices

EFFETS CALORIFIQUES

La transformation d'énergie électrique Wél en une énergie calorifique Wcal est couramment utilisée. Dans les installations électriques, nous trouvons une quantité impressionnante d'appareils domestiques réalisant cette transformation. Par exemples :







cuisinières fours radiateurs pour le chauffage des locaux chaudière pour le chauffage d'un liquide chauffe-eau pour l'eau sanitaire lampe à incandescence

Tous ces exemples sont des applications contrôlables par l'homme. Ils sont, de ce fait, utiles.

Nous pouvons dire ceci par opposition à l'effet Joule qui, lui, n'est pas contrôlé par l'homme mais par des lois spécifiques aux matières utilisées. (chapitre 4.21) Pour pouvoir équiper vos maisons de ces appareils, il a bien fallu les dimensionner. Comme nous sommes dans un domaine d'application des lois électriques, nous allons différencier l'énergie calorifique Wcal par un autre symbole de grandeur.

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1

Chapitre 8b

8.8

Energie calorifique

L'énergie transformée en énergie calorifique est symbolisée de la façon suivante:

Symbole de la grandeur :

Q

Symbole de l'unité : [J] joule

Wélectrique

Q

Wperdue

Dans un transfert d'énergie, il y a toujours des pertes. Cas s e role d' e a u

A R B

Une cuisinière électrique doit chauffer de l'eau dans une casserole. Le but est de pouvoir calculer l'énergie nécessaire pour faire bouillir cette eau. Phase 1 La tension électrique U appliquée aux bornes de la résistance R provoque le passage d'un courant électrique I. U=R⋅I Phase 2 Ce circuit provoque une puissance électrique P, P=U⋅I Phase 3 qui, appliquée pendant un certain temps, engendre une énergie électrique Wél . Wél = P ⋅ t Phase 4 Mais ce transfert d'énergie se réalise avec un certain rendement η dû aux pertes par effet Joule (conducteurs). Wél - Wjoules = Q

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Chapitre 8b Phase 5 Cette énergie calorifique Q doit être transmise à l'élément à chauffer qui peut être soit un liquide, soit un solide. Ce transfert se fait avec un certain rendement η. Qabsorbée ⋅ η = Qutile Phase 6 L'élément à chauffer va aussi avoir certaines réactions. Ces réactions seront dépendantes de:


la masse m de l'élément (solide, liquide, composition)




sa facilité de stocker l'échauffement appelé chaleur massique c




sa température θ finale désirée




sa température θ initiale

La relation qui lie les différents éléments que nous venons de citer est la suivante : Q = m ⋅ c ⋅ ∆θ

∆θ = θ initiale − θ finale

( ∆ delta

écart )

Il est nécessaire de disposer d'une tabelle pour connaître les différentes chaleurs massiques c des matières utilisées.

8.9

Masse

Nous rappelons que la masse d'un corps est donnée par rapport à un étalon de platine iridié pratiquement cylindrique égal à 1 [dm3 ] d'eau à une température de 4 [°C] Symbole de la grandeur :

m

Symbole de l'unité : [kg] kilogramme

8.10

Chaleur massique

La chaleur massique c exprime la facilité qu'a un corps de stocker de la chaleur. Cette chaleur massique c n'est constante que dans des gammes de températures bien définies (voir tabelle) Symbole de la grandeur :

c

Symbole de l'unité : [J⋅kg-1⋅°C-1]

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Chapitre 8b

8.11

Température

La température exprime l'écart d'échauffement d'un corps par rapport à un point fixe de référence où il n'y a plus d'agitation des atomes (ou molécules). Ce point fixe est la température absolue, soit le "zéro absolu" Symbole de la grandeur :

T

Symbole de l'unité : [K] kelvin

Le "zéro absolu" se situe à -273.16 [°C] ou 0 [K]. C'est l'unité légale de la norme SI (Système International d'unités). Dans nos applications pratiques, nous travaillerons avec une température θ, exprimée en degrés centigrades ou celsius. Cette unité ayant été obtenue en divisant en 100 parties égales un thermomètre mesurant de la glace fondante (admis 0°C) et de l'eau bouillante (admis 100°C) sous une pression p constante de 760 [mm] Hg (Hg est le symbole chimique du mercure) Symbole de la grandeur :

θ thêta

Symbole de l'unité : [°C] degré Celsius

8.12

Exemple pratique :

Nous désirons chauffer 4 [l] d'eau, prise au réseau d'eau à 14[°C], pour l'amener à ébullition (100 [°C]). Nous disposons d'un corps de chauffe électrique de 400 [W]. Son rendement est de 97%. Calculer le temps nécessaire pour faire bouillir ce liquide. Données :

P = 400 [W]

quantité d'eau = 4 [l]

θinitiale = 14 [°C] Inconnue : Relations :

Analyse :

θfinale = 100 [°C]

η = 97% ou 0.97

t=?

Q = m ⋅ c ⋅ ( θ finale − θ initiale )

W = P⋅t

Q utile = Q absorbée ⋅ η

Nous devons chercher la masse d'eau à chauffer.

[ ]

1[ l] = 1 dm3

1[ kg]

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meau = 4[ kg]

4

Chapitre 8b Calculons l'énergie calorifique Qeau nécessaire pour chauffer l'eau:

Q eau = m ⋅ c ⋅ ∆θ Wélectrique = Q corps de

Cherchons l'énergie calorifique Qcorps de chauffe : Qcorps de chauffe

⋅ η = Qeau

Qcorps de chauffe =

Q eau

chauffe

Qeau η pertes

Cherchons l'énergie électrique Wél appliquée au corps de chauffe:

Wél = Qcorps de chauffe Cherchons le temps t de chauffe:

Wél = P ⋅ t

t=

Wél P

Remplaçons Wél par le développement effectué:

Q eau η t = P

m eau * c *(θ finale − θ initiale ) η = P

Application numérique :

4 ⋅ 4183 ⋅ (100 − 14) 0,97 t= 400

= 3708.64 [ s]

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1.03 [ h]

5

Chapitre 8b

8.13

Documentaire James Watt ingénieur mécanicien écossais (1736-1819). Après avoir étudié la fabrication des instruments de mesures chez un opticien, il s'établit à son compte en 1757. Ensuite, il est nommé fabricant d'instrument pour l'université de Glasgow, où il est amené à réparer la machine à vapeur de Newcomen que personne ne savait faire fonctionner correctement. En la réparant, il en étudie le fonctionnement et s'aperçoit qu'il y a une grande perte de vapeur donc d'énergie. Cela l'amène à en améliorer le fonctionnement.

Tous ces perfectionnements lui permettent d'obtenir un brevet de fabrication en 1769. Il fonde l'entreprise Boulton et Watt et commercialise ses machines à vapeur dès 1780.

James Prescott Joule, physicien anglais (1818-1889). Il est d'abord directeur d'une fabrique de bière, avant de se consacrer à la science. En 1841, il formule les lois qui portent son nom et démontrent que l'énergie électrique transformée en énergie calorifique dans un conducteur, est proportionnelle à sa résistance R, au temps t et au carré du courant I.

Léopold Nobili, physicien italien (1787 - 1835). Inventeur du galvanomètre astatique, formé de deux aiguilles aimantées de pôles opposés, permettant de mettre au point les premiers galvanomètres, instruments de mesure du courant électrique.

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Chapitre 8b

8.14

Exercices

1.

De l'eau est chauffée de 20 [°C] à 80 [°C]. Que vaut la différence de température en Kelvin ?

2.

En quels matériaux sont construits les corps de chauffe ?

3.

Pour chauffer un local, un radiateur de 4 [kW] est installé. Sachant qu'il faut 3,5 minutes pour augmenter la température du local de 1 [K], calculer la puissance d'un radiateur additionnel pour diminuer ce temps de chauffe de 100 [s].

4.

Nous posons, sur une plaque de cuisinière électrique, une casserole en aluminium de 200 [g] contenant 2 [l] d'eau à 15 [°C]. Nous désirons porter cette eau à 80 [°C] en 3.2 minutes. Nous admettons que 20% de l'énergie est dissipée en pure perte. Calculer la puissance électrique nécessaire pour chauffer cette eau.

5.

Nous portons, de 12 [°C] à 98 [°C], 1 [l] d'eau. Quelle est l'énergie mécanique si le rendement du groupe turbine-alternateur est de 83%, le rendement du réseau électrique de 89% et le rendement de la bouilloire de 0.67 ?

Réponses :

1. 2 3. 4. 5.

Une différence de 1 [K] 1 [°C], donc ∆T = 60 [K] Chrome-nickel, manganine, constantan P2 = 8.4 [kW] P = 2891.4 [W] W = 641.87 [J]

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Magnétisme

Chapitre 9

Sommaire • • • •

Les effets magnétiques et leurs utilisations Coordonnées rectangulaires et polaires Rappels trigonométriques Entraînement

Introduction L'homme, depuis ses débuts sur terre, a cherché à se diriger. Le repérage d'une direction peut se faire à l'aide des astres, en repérant par exemple l'étoile polaire qui nous indique le Nord, mais ce système ne fonctionne que la nuit. Si il fait jour, il est possible de s'orienter à l'aide du soleil et en connaissant l'heure de la journée. Ainsi, la direction du Sud peut être obtenue. Malheureusement, si le ciel est couvert de nuages, ni le soleil ni l'étoile polaire ne seront visible, ce qui rendra toute orientation impossible. D'autre part, ces deux solutions ne sont valables qu'en plein air, il est impossible de les utiliser dans des locaux fermés.

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Magnétisme

La seule possibilité fiable d'orientation est LA BOUSSOLE. Elle vous permet de trouver la direction du Nord en tout temps et en tout lieux, mis à part lorsque l'on se trouve au dessus des pôles magnétiques terrestres.

Cet instrument simple utilise les phénomènes magnétiques. Une des pointes de son aiguille nous indique le direction du Nord. Comme pour le courant électrique, il a été décidé par convention que la pointe de l'aiguille indiquerait le Nord, alors que cela ne correspond pas à la réalité, comme le sens conventionnel du courant électrique qui lui ne correspond pas au sens de déplacement des électrons. Dans ce chapitre, nous allons montrer l'importance de ces phénomènes que nous utilisons tous les jours, sans même nous en rendre compte. Un peu d'histoire : C'est 600 ans av. J.C. que l'on signale pour la première fois les propriétés d'un pierre trouvée en Magnésie et appelée magnétite. On constatait qu'elle attirait les pierres de même espèce ainsi que le fer. C'est Platon qui a démontré que cette propriété se transmettait au fer. L'application des aiguilles aimantées pour la navigation est attribuée aux arabes au 11ème siècle. La première définition des pôles et des lois sur l'attraction et la répulsion sont dues à un scientifique du 13ème siècle, mais c'est Coulomb qui à réellement commencé l'étude de la quantification du magnétisme. Ensuite, un grand nombre de scientifiques, Gauss, Ampère, Faraday, Curie, et d'autres encore se sont attachés à l'étude des effets magnétiques et à leur relation avec l'électricité. Ces études continuent encore maintenant, et nous ne sommes certainement pas au bout des découvertes.

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Magnétisme

9.1 Les effets magnétiques et leurs utilisations : En électrotechnique, les applications des effets magnétiques sont parmi les plus vitales pour l'industrie. Les alternateurs, les moteurs, les protections contre les perturbations extérieures (cage de Faraday). Nous portons tous sur nous des accessoires utilisant les effets magnétiques. Malheureusement, si nous voulons étudier de façon complète les effets magnétiques, il nous faut abandonner les représentation sur un seul plan. Pour une étude correcte, il nous faudra utiliser des représentations vectorielles. Pour introduire plus facilement ces nouvelles notions, nous utiliserons un carte de géographie.

9.2

Utilisation des coordonnées et positionnement par rapport à une carte de géographie : La carte ci-dessous est à l'échelle 50 millième. Les quadrillages nous donnent les 4 points cardinaux. En haut le Nord, en bas le Sud, à gauche l'Ouest et à droite l'Est. Chaque quadrillage est repéré par des coordonnées par rapport à une référence. Nous pouvons situer un lieu sur la carte au moyen de ses coordonnées horizontale x et verticale y . Rechercher sur cette carte la position du village de Bassins (place du village). Marquer la position au moyen d'un crayon de couleur et relever ses coordonnées x et y.

Coordonnées du village de Bassins :

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[ 507.5 ; 146.5 ]

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Magnétisme

L'utilisation de la carte et de la boussole nous permet également de donner la direction d'un lieu A par rapport à un lieu B. Nous utiliserons la direction du pôle Nord comme référence pour cet exemple. A 4.1 [km] à vol d'oiseau du village de Bassins, se trouve un chalet d'alpage. Quel est le nom de ce chalet ? Méthode de recherche :

Prendre un compas et tracer un cercle de rayon égal à la distance, c'est-à-dire 4.1 [km] .Attention, sur une carte au 50 millième, un centimètre vaut 500 [m] . Le rayon de notre cercle devra donc être le suivant :

1 cm 500 m

2 cm 1000 m

4 cm 2000 m

6 cm 3000 m

8 cm 4000 m

carte réalité

Une fois le cercle tracé, il ne nous reste plus qu'à parcourir sa circonférence pour trouver l'endroit où se trouve ce chalet. Cette façon de faire est fastidieuse et imprécise. Il nous manque encore quelque chose pour parfaire notre technique. Il nous faut absolument fixer une position de référence et déterminer l'endroit recherché au moyen d'un angle par rapport à cette position de référence. Par exemple l'étoile Polaire ou la position du soleil peuvent être utilisés comme référence. Dans notre cas, il sera plus simple de prendre le Nord comme axe de référence. Nous déterminerons ensuite la position du chalet que nous recherchons au moyen d'un angle par rapport au Nord. L'angle sera appelé ARGUMENT et indiqué par la lettre grecque alpha α . La longueur du rayon de notre cercle sera appelée rayon vecteur et nous pourrons la tracer entre le point de départ (place du village de Bassins) et le chalet que nous recherchons. Indication suivante, le chalet se trouve à 60 ° par rapport au Nord que nous utilisons comme référence. Mais cela ne nous suffit pas, nous avons en effet deux possibilités : Prendre l'angle de 60 ° vers la gauche de la carte, ou le prendre vers la droite. Encore une fois, notre méthode n'est pas complète. Nous devons encore donner une direction à notre angle. Une convention définit la direction à prendre. Il s'agit du sens inverse de rotation des aiguilles d'une montre. Pour nous faciliter le travail, nous utiliserons toujours ce sens de rotation. Une fois tous ces points mis au clair, nous pouvons enfin récapituler et rechercher notre chalet : Elle doit se trouver à 60 ° vers la gauche par rapport à l'axe Nord. Au moyen d'un rapporteur, nous allons tracer une axe (rayon vecteur) à 60 °, et notre chalet devra se trouver à l'intersection du rayon vecteur et du cercle que nous avons déjà tracé.

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Magnétisme

Notre chalet est localisé, il s'agit de :

La Dunanche

Sa position par rapport au village de Bassins est : [ 504.5 ; 148 ] Pour déterminer sa position, nous avons utilisé le Nord comme référence, nous appellerons donc ceci des coordonnées polaires Les coordonnées polaires sont notées de la façon suivante : Module et argument

soit

8.2 [km] , 60 °

9.3 Retour à l'exemple de la carte de géographie : Plaçons sur la carte un arc de cercle (r = 8.2 [cm])., passant par le chalet de la Dunanche, et dont l'origine est le village de Bassins La référence est donnée par rapport à l'axe des x et non par rapport au pôle Nord comme nous l'avions fait précédemment.

Nous constatons que l'angle α entre notre axe x et la Dunanche a augmenté de 90 °. Sa valeur est maintenant de 150 °. Nous nous trouvons dans le second quadrant. l'angle α vaut : angle Dunanche par rapport au Nord + 90 ° ⇒ 60 ° + 90 ° = 150 °

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Magnétisme

9.4 Coordonnées rectangulaires : Nous remarquons qu'il est aussi possible d'indiquer la Dunanche par rapport à un déplacement sur l'axe des x, ceci, par rapport à notre référence du village de Bassins, soit 7.2 [cm] . Mais attention, le point de référence qui est le village de Bassins constitue notre point zéro. Si nous nous déplaçons vers la droite, nous allons dans une direction positive, si par contre nous nous dirigeons vers la gauche, nous allons dans une direction négative. Nous faisons de la même manière que lorsque nous indiquons l'heure, une minute avant huit heure il est huit heure moins une, et une minute après huit heure, il est huit heure plus une minute. Nous allons donc indiquer la position de la Dunanche de la façon suivante x = - 7.2 [cm] et y = + 4.1 [cm] Il s'agit de coordonnées rectangulaires que nous noterons comme ceci : { - 7.2 [cm] ; 4.1 [cm] }

9.5 Cercle trigonométrique, ou cercle orienté : II

I α 0

III

0

IV

L'opération de tracer un cercle de rayon 1 autour d'un point de référence et à un axe de référence nous amène au cercle trigonométrique.

Le module peut faire une révolution de 360 °, mais il peut aussi faire plusieurs tours.

Le cercle trigonométrique peut être séparé en plusieurs quadrants notés en chiffre romains de I à IV. Nous utiliserons toujours notre convention pour le sens de rotation, soit le sens inverse des aiguilles d'une montre (sens trigonométrique). Pour séparer ces quadrants, nous allons tracer deux axes, un axe horizontal (x) et un axe vertical (y).

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Magnétisme

Exemple : Dans ce cercle, nous avons tracé deux modules. Le premier avec un argument de 45 ° et le second avec un angle de -45 ° .

45° 0 -45°

Constatations : •

Nous constatons que leur module, ou intensité du vecteur sont les mêmes.

•

Par contre leurs sens sont les mêmes par rapport à la référence.

•

Mais leurs directions sont différentes.

•

Il est très important de se rappeler de ces termes : intensité, sens et direction

•

Ce sont eux qui définissent les vecteurs.

9.6 Cercle trigonométrique : Dans la pratique, le fait d'avoir projeté le module avec son argument, par rapport à un axe vertical ou horizontal, peut se faire à l'aide des fonctions trigonométriques appelées

sinus et cosinus Le module représente l'amplitude du rayon vecteur du cercle et l'argument la phase ou l'angle qui le sépare de l'axe des x.

9.7 Fonction sinus : La fonction sinus symbolisée par sin est la projection sur l'axe y du cercle trigonométrique du module et de son argument.

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y

sin α α x

7

Magnétisme y

9.8 Fonction cosinus : La fonction cosinus, symbolisée par cos, est la projection sur l'axe x du cercle trigonométrique du module et de son argument.

α x cos α

9.9 Relations :

y

opp. ⇒ côté opposé à l'angle α adj. ⇒ côté adjacent à l'angle α formant un angle droit avec le côté opposé

hyp.

opp.

α

x

adj

hyp. ⇒ module α ⇒ angle ou argument sinα =

opp hyp

cos α =

adj hyp

tgα =

opp adj

9.10 Rappel de quelques définitions trigonométriques Les représentations vectorielles que nous venons de faire sur le carte comportent toutes un angle droit (90 °) entre l'axe des x et l'axe des y. Nous pouvons donc l'assimiler à un triangle rectangle dont l'hypoténuse serait représentée par le module. Pythagore ( philosophe et mathématicien grec 500 av. J.-C. ) a démontré que l'hypoténuse d'un triangle rectangle, élevée au carré, est égale à la somme des côtés élevés au carré. Cette démonstration se mathématiquement par :

traduit

hyp.

opp. α adj.

2

2

hypothénuse = côté opposé + côté adjacent Si nous appliquons ce théorème au cercle trigonométrique dont le module m vaut 1, nous arrivons à la relation suivante :

2

module sinus

α cosinus

hypothénuse2 = côté opposé2 + côté adjacent2 module2 = (module ⋅ sin α)2 + (module ⋅ cos α)2

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Magnétisme

Nous pouvons simplifier cette formule en divisant chaque côté de l'égalité par la valeur " module2 " mod ule2

= mod ule2

(mod ule ⋅ sin α)2 + (mod ule ⋅ cos α)2 mod ule2

ce qui implique : 1 = sin2 α + cos2 α Dimensions d'un triangle rectangle : a ⇒ côté opposé à l'angle α

β

c

b ⇒ côté adjacent à l'angle α

h

a

α

c ⇒ hypoténuse

b

h ⇒ hauteur la somme des angle est toujours égale à 180 ° Aire du triangle rectangle : A =

a⋅b 2

hauteur =

A⋅2 c

Pour d'autres compléments, il sera nécessaire de consulter un formulaire technique.

9.11 Entraînement 1.

Comment s'appelle le rayon du cercle dans une représentation vectorielle ?

2.

En combien de quadrants est décomposé le cercle trigonométrique ?

3.

Quelle est la différence entre une valeur lue sur l'axe des x dans le premier quadrant et une valeur lue sur l'axe des x du troisième quadrant ?

4.

Quel est le sens de rotation du module ?

5.

Donner quelques exemples d'accessoires quotidiens utilisant les effets magnétiques :

6.

Qu'est-ce qu'une coordonnée polaire ?

7.

Qu'est-ce qu'une coordonnée rectangulaire ?

8.

Qu'obtient-on en divisant le cosinus d'un angle par le sinus du même angle ? Effectuer un développement littéral et sans utiliser la calculatrice.

9.

Qu'obtient-on en divisant le sinus d'un angle par le cosinus du même angle ? Effectuer un développement littéral et sans utiliser la calculatrice.

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Magnétisme

10.

Calculer la valeur ou les valeurs manquante(s) dans les énoncés suivants sans utiliser le théorème de Pythagore α = 56°

module = 17.5 [cm] adj. = ?

adj. = - 66 [cm]

opp. = - 58 [cm]

α=?

hyp. = ?

α = 135°

opp. = 22 [cm]

adj. = ?

hyp. = ?

adj. = - 35 [cm]

module = 47 [cm]

α=?

opp. = ?

opp. = ?

11.

Un observateur couché sur le sol voit la Tour Eiffel sous un angle de 16.66 °. A quelle distance se trouve-t-il de la Tour, sachant qu'elle mesure 300 [m] de hauteur ?

12.

Une route rectiligne longue de 2.5 [km] s'élève d'un angle de 22°14'. Quelle est la distance parcourue à vol d'oiseau et quelle est la différence d’altitude effectuée ?

13.

Calculer la distance entre Lausanne et la centrale nucléaire de Mühleberg, si notre référence (Lausanne-Ouchy) est située à [538 ; 151]. La situation de la centrale nucléaire est donnée par le couple [587 ; 201] La carte que nous utilisons est à l'échelle 1 : 100'000.

Compléter le tableau suivant : (longueurs en [cm)

1

α

cosα

β

sinβ

a

b

c

A

h

24°40'

0.908

65.33

0.908

5

10.9

12

27.25

4.54

2

0.876

3

12°30'

4

15 18

0.136

5

25

58

16

6

0.27

7

27°44’

8

13.5

9

25 10 30

53.16

20

Réponses : 10.

adj. = 7.78 [cm] opp. = 14.51 [cm] adj. = -22 [cm] hyp. = -31.1 [cm]

11.

distance = 1002.5 [m]

13

distance = 140 [km]

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α = 41.3 [°] hyp. = -87.8 [cm] α = 138.1 [°] opp. = 31.3 [cm]

12. distance = 2.31 [km] altitude = 945.81 [m]

10

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Instruments de mesure

Chapitre 9a

LES DIFFERENTS TYPES D'INSTRUMENTS DE MESURE Sommaire

• • • • • • •

Le multimètre L'oscilloscope Le fréquencemètre le wattmètre Le cosphimètre Le générateur de fonctions Le traceur de Bodes

Les instruments de mesure : Dans ce cours, nous ferons souvent appel à des mesures effectuées au laboratoire. Pour bien comprendre ces mesures et en interpréter les résultats, il est impératif de bien connaître les instruments utilisés. Dans les pages qui suivent, nous allons en décrire le fonctionnement et l'utilisation des instruments de laboratoire le plus souvent utilisés en électrotechnique.

Le multimètre : Le multimètre est le plus connu et le plus utilisé des instruments de mesure. Il permet de mesurer des tensions et des courants en continu et en alternatif. La position ohmmètre permet de mesurer des résistances ainsi que la résistance ohmique des circuits ou des autres éléments. Les multimètres récents affichent les résultats des mesures avec des nombres (digits) qui apparaissent sur un écran (display).

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Instruments de mesure

Les anciens modèles de multimètres sont équipés d'une aiguille mobile. Ce sont des instruments à cadre mobile. L'aiguille se déplace sur une échelle graduée et sa position nous indique la valeur mesurée. Certains multimètres possèdent également une position qui permet de mesurer des affaiblissements ou de gains. Il s'agit de rapports de niveaux de tension exprimés en décibels dB.

Symboles de schéma :

V

voltmètre

A

ampèremètre

Ω

ohmmètre

L'oscilloscope : Comme les téléviseurs, l'oscilloscope est équipé d'un écran sur lequel il affiche la forme de la tension présente sur son entrée. La plupart des oscilloscopes sont équipés de deux entrées et ils permettent de visualiser deux tensions simultanément.

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Instruments de mesure

Remarque :

L'oscilloscope ne peut mesurer que des tensions. Sa résistance interne est très grande (> 1 [MΩ] ) et il n'est pas possible de mesurer un courant sans réaliser un montage spécial. Lors de l'utilisation d'un oscilloscope à deux entrées, il faut être très attentif au raccordement. En effet, les communs des deux entrées sont reliés ensemble et cela pourrait provoquer un court-circuit.

L'oscilloscope est un instrument de mesure très pratique et capable de mesurer toutes les formes de tensions.

oscilloscope

Il est composé des éléments de commande suivants :

la vitesse de balayage du spot sur l'écran correspond au temps par division

forme de la tension sur une entrée

écran

divisions verticales pour la tension

masse pour la mesure commune aux deux entrées

le déclencheur permet de stabiliser la trace sur l'écran

la sensibilité de l'entrée correspond à la tension par division sur l'écran

divisions horizontales pour le temps entrée A

entrée B

sélection de l'entrée en alternatif CA ou en continu CC

Avec un peu de pratique, l'oscilloscope devient très rapidement un instrument pratique pour effectuer toutes les mesures de tensions.

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Instruments de mesure

Les oscilloscopes se présentent de différentes façons. Suivant leur utilisation, ils sont équipés d'une ou de deux traces.

Ci-dessus, un modèle d'oscilloscope double traces. Il permet de mesurer des fréquences jusqu'à 60 [MHz] et ses commandes sont électroniques.

Il existe maintenant des analyseurs de spectre portable qui ressemblent à un multimètre.

Leur affichage permet d'indiquer la valeur de la tension ou du courant mesuré, et il visualise également la forme du signal.

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Instruments de mesure

Le fréquencemètre : Il existe plusieurs modèles différents de fréquencemètres, suivant la mesure désirée.

f fréquencemètre

•

Electronique :

La fréquence est affichée sur un écran, comme pour le multimètre numérique. Certains multimètres possèdent une position de mesure de la fréquence.

•

Mécanique :

Des lamelles de tailles différentes sont mises en vibration. Les lamelles vont se mettre en vibration en fonction de leur longueur et la fréquence mesurée. Ces instruments sont utilisés dans les tableaux électriques pour mesurer la fréquence du réseau.

Fréquencemètre numérique. Son affichage permet une lecture aisée de la valeur de la fréquence. Ces instruments sont également appelés compteur car ils permettent de mesurer des durées d'impulsions

Fréquencemètre mécanique à lamelles.

La lecture de la fréquence s'effectue de la manière suivante. Les lamelles sont montées sur un électroaimant et sont soumises au champ magnétique alternatif. Elles se mettent en vibration et oscillent plus ou moins fortement en fonction de leur longueur.

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Instruments de mesure

Le wattmètre : La mesure de la puissance peut être effectuée par un instrument simple. Il affiche le résultat du produit de la tension par le courant en tenant compte du déphasage entre les deux valeurs. Ces instruments sont utilisés pour les tableaux électriques ou pour certaines mesures spéciales.

wattmètre

Le cosphimètre : Instrument complémentaire au voltmètre et à l'ampèremètre pour les mesures en alternatif. Le cosphimètre est utilisé pour contrôler le facteur de puissance d'une installation ou d'un récepteur. Suivant la position de l'aiguille, il est possible de déterminer si le récepteur ou l'installation a un comportement inductif ou capacitif.

Remarque :

ϕ cosphimétre

le wattmètre et le cosphimètre existent également en version numérique. Leur lecture en est facilitée et plus directe.

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Instruments de mesure

Le générateur de fonctions : Le générateur de fonctions est particulièrement utilisé au laboratoire. Il permet de générer des signaux de formes différentes, sinusoïdale, triangulaire et carrée.

~ générateur sinusoïdal

générateur triangulaire

générateur carré

Il permet de simuler et d'effectuer des mesures sur des circuits électriques ou électroniques avec des tensions faibles.

Le traceur de Bode : Le traceur de Bode est un instrument peu courant. Il est utilisé pour visualiser des courbes de tensions ou de phases. Il se raccorde à l'entrée et à la sortie du circuit à mesurer et trace la courbe de la modification de la tension ou de la phase entre l'entrée et la sortie. Le traceur de Bode est très utile pour déterminer les caractéristiques d'un amplificateur, d'un filtre ou d'une ligne de transmission.

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7

¨

Instruments de mesure

Questionnaire 1.

Quelle précaution faut-il prendre avant de faire une mesure avec un ohmmètre ?

2.

Que peut-on mesurer avec un multimètre sur la position dB ?

3.

Citer deux avantages d'un multimètre numérique par rapport à un instrument à aiguille ?

4.

Quel est l'avantage de l'oscilloscope par rapport au multimètre ?

5.

Pourquoi n'est-il pas possible de mesurer un courant avec un oscilloscope ?

6.

Combien de fils faut-il raccorder pour faire une mesure avec un wattmètre et pourquoi ?

7.

Dessiner ci-dessous un schéma électrique comportant un moteur branché sur le réseau. Raccorder les instruments pour mesurer la tension, le courant, la puissance, la fréquence, le déphasage et la forme de la tension sur le moteur.

Exercices 1.

La base de temps (ou vitesse de balayage) est réglée sur 250 [µs ⋅ cm-1]. Une tension alternative sinusoïdale est visualisée avec une échelle de 20 [V ⋅ cm-1]. Le cycle complet s'étend sur 4 [cm]. Calculer :

la fréquence de cette tension. la tension de crête du signal dont l'amplitude est de 5.6 divisions. la tension efficace du signal.

3.

Une tension U sinusoïdale alternative de 230 [V] 50 [Hz] est mesurée à l'aide d'un oscilloscope. Quelle devra être la vitesse de balayage pour obtenir deux cycles complets sur l'écran possédant 10 divisions ? Quelle sera l'échelle de l'amplitude, si celle-ci mesure 6.4 divisions ?

4.

Une tension U carrée alternative de 230 [V] 50 [Hz] est mesurée à l'aide d'un oscilloscope. Quelle devra être la vitesse de balayage pour obtenir deux cycles complets sur l'écran possédant 10 divisions ? Quelle sera l'échelle de l'amplitude, si celle-ci mesure 6.4 divisions ?

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8

¨

5.

Instruments de mesure

Une tension U triangulaire alternative de 230 [V] 50 [Hz] est mesurée à l'aide d'un oscilloscope. Quelle devra être la vitesse de balayage pour obtenir deux cycles complets sur l'écran possédant 10 divisions ? Quelle sera l'échelle de l'amplitude, si celle-ci mesure 6.4 divisions ?

6.

Une tension U sinusoïdale alternative de 230 [V] 50 [Hz] est mesurée à l'aide d'un oscilloscope. Quelle devra être la vitesse de balayage pour obtenir trois cycles complets sur l'écran possédant 10 divisions ? Quelle sera l'échelle de l'amplitude, si celle-ci mesure 3.2 divisions ? Calculer la valeur de la tension U après : 1 4 6.8 7.5

division divisions divisions divisions

Solutions :

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Matériaux et propriétés magnétiques

Chapitre 10a Matériaux et propriétés magnétiques Sommaire • • • • • • • •

Les matériaux magnétiques Champ magnétique et lignes de force Champ d’induction et flux Bobine avec et sans noyau magnétique Effet Hall Forces électromagnétiques Cycle d’Hystérésis Exercices

Introduction Tout comme le courant électrique, nous ne pouvons que constater les effets du magnétisme. Nous ne pouvons pas voir les lignes de force qui existent autour d'un aimant. Les propriétés magnétiques de certains matériaux sont dues à la rotation des électrons sur eux-mêmes dans l'atome.

Ce phénomène est appelé SPIN. Les matériaux magnétiques sont classés en trois catégories. 1.

Matériaux ferromagnétiques :

Ils peuvent être fortement magnétisés. Leur aimantation persiste plus ou moins lorsque le champ magnétisant est supprimé. Exemples : Fer , Nickel , Acier , Cobalt

2.

Matériaux paramagnétiques :

Ils s'aimantent faiblement dans le sens du champ magnétisant. Leur aimantation cesse dès que le champ magnétisant est supprimé. Exemples : Aluminium , Platine , Manganèse

3.

Matériaux diamagnétiques :

Ils s'aimantent faiblement dans le sens opposé au champ magnétisant. Leur aimantation cesse dès que le champ magnétisant est supprimé. Exemples : Cuivre , Zinc , Or , Argent

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Matériaux et propriétés magnétiques

Pour expliquer ces différents types d'aimantation, il faut considérer le moment magnétique de chaque atome et celui d'une parcelle de corps comprenant un grand nombre d'atomes.

Le moment magnétique atomique résulte des mouvements des électrons qui gravitent autour du noyau et qui en même temps tournent sur euxmêmes. La rotation de l'électron sur lui-même, ! provoque un moment magnétique M s .

Mo

ω

Spin, eMs

La rotation de l'électron e- , charge électrique négative, autour du noyau provoque un moment magnétique

! Mo .

Dans un atome, ces différents moments magnétiques se composent pour donner le

Moment magnétique atomique Pour les matériaux diamagnétiques, ce moment

! ! ! Ma = Σ Mo + Ms

! M a est nul. Pour les matériaux

paramagnétiques, il n'est pas nul, mais les moments de l'ensemble des atomes est nul. Pour les matériaux ferromagnétiques, des parcelles de matières appelées domaines de ! Weiss, ont un moment magnétique M a non-nul. Mais, en l'absence de champ magnétique extérieur, l'ensemble des moments de ces parcelles s'annulent les uns les autres. en présence d'un champ magnétisant extérieur, le corps s'aimante et toutes les parcelles de ce corps présentent un moment magnétique. L'aimantation ainsi obtenue dépend de la nature du corps.

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Matériaux et propriétés magnétiques

Bd Les matériaux diamagnétiques s'aimantent proportionnellement au champ dans lequel ils sont placés, mais en sens inverse.

[T] [A/m]

H

Le rapport entre la valeur de l'aimantation du corps et celle du champ qui le produit est faible

Bp Les matériaux paramagnétiques présentent une aimantation proportionnelle au champ dans lequel ils sont placés, et de même sens.

[T]

Le rapport entre la valeur de l'aimantation du corps et celle du champ qui le produit est faible

H [A/m]

Bf Les matériaux ferromagnétiques sont capables de s'aimanter de manière beaucoup plus forte.

[B]

Leur aimantation est de même sens que le champ inducteur, mais elle n'est pas proportionnelle. Elle croît avec le champ inducteur et tend vers une limite.

H [A/m]

Les matériaux que nous allons étudier font partie de la dernière catégorie. Ce sont eux qui sont utilisés pour toutes les applications magnétiques en électrotechnique.

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Matériaux et propriétés magnétiques

10.1 Les aimants permanents Les aimants permanents ont d'abord été élaborés à partir d'acier ou de chrome-cobalt. Vers 1935, on a commencé à étudier des alliages de fer-aluminium, nickel, cobalt et cuivre. Ces alliages fondus ou frittés sont connus sous le nom de ticonal ou alnico. En 1951, on a utilisé les ferrites de baryum et de strontium. Actuellement les alliages ticonal et ferrites sont employés couramment et sont les deux types de matériaux à aimants permanents les plus utilisés. Avec les matériaux modernes, la désaimantation due au vieillissement ou à l'action d'un champ magnétique (pas trop intense), peut être considérée comme négligeable. Cette propriété permet d'ailleurs de réaliser des aimants présentant des pôles de nom contraires très proche les uns des autres. Ces différentes propriétés ont permis d'abandonner les forme classiques d'aimants permanents en fer à cheval ou en long barreau. Il est maintenant possible de réaliser des aimants de formes diverses et très pratiques. Dans les appareils de mesures électriques (galvanomètres, ampèremètres et voltmètres), ils ont permis notamment une grande amélioration de la sensibilité et de la fiabilité. Dans certains moteurs et certains générateurs (alternateurs de voitures, dynamos, magnétos), ils sont employés à la place d'électroaimants. On les emploie aussi en électronique pour les haut-parleurs et les microphones.

Barreau non aimanté

Barreau aimanté

plaque supérieure pièce polaire aimant permanent en Ferroxdure plaque inférieure

Pierre de Magnésie

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Aimant permanent pour haut-parleur

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Matériaux et propriétés magnétiques

10.2 Champs magnétiques Dans la région autour d'un aimant permanent, il existe un champ magnétique que l'on peut représenter au moyen de lignes de force magnétique semblables aux lignes de force électrique. Contrairement aux lignes de force électrique, les lignes de force magnétique ne partent d'aucun point et n'arrivent à aucun point; elles se présentent plutôt sous forme de boucles.

N

S

a

b Les lignes de force vont du pôle nord au pôle sud, à l'extérieur du barreau aimanté, et du pôle sud au pôle Nord à l'intérieur. Elles sont également espacées et symétriquement distribuées autour du barreau. Les lignes de force occupent la plus petite aire possible et leur longueur interpolaire est minimale. La force du champ magnétique d'une région quelconque dépend directement du nombre de ligne de force par aire unitaire. Dans la figure ci-dessus, l'intensité du champ est deux fois plus grande au point a par rapport au point b, alors que les deux aires sont identiques.

10.3 Intensité du champ magnétique : L'intensité du champ magnétique électrique

! E.

" H présente les mêmes caractéristiques que le champ

! E , nous constatons que lors ! de leur déplacement les charges électrostatiques Q ! provoquent une force électromagnétique F capable d'attirer Par analogie au champ électrique

Q

Q

les aiguilles d'une boussole. Symbole de la grandeur : Symbole de l'unité :

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H [ A ⋅ m-1 ] ou

 A  m  5

Matériaux et propriétés magnétiques

10.4 Potentiel magnétique Θ : Dans le vide ou dans l'air, l'intensité du champ magnétique peut être définie par la notion de potentiel magnétique.

" H est une source de courant et

Symbole de la grandeur : Symbole de l'unité :

Θ [A]

Pour imaginer cette notion de potentiel, comparons-la au débit des voitures sur une autoroute à trois pistes. Chaque piste est un tube de circulation routière possédant sur une longueur bien définie un nombre de voitures différent à cause des différentes vitesses. Nous pouvons donc la comparer à un certain potentiel de passage de voitures.

Départ

Arrivée

Début du comptage

Fin du comptage

Piste rapide Piste normale Piste lente

distance parcourue

10.4 Différence de potentiel magnétique : La différence de potentiel magnétique est définie comme la présence d'une intensité de champ magnétique certaine facilité.

Relation :

" H entre les points A et B. Les charges se déplaçant dans l'air avec une

HAB =

ΘA − ΘB d

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ΘA

ΘB

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Matériaux et propriétés magnétiques

10.4 Lignes de force ou lignes d'induction : Les lignes d'induction ou lignes de force représentent les vecteurs du champ d'induction influençant l'espace.

! B

10.5 Spectre magnétique : Le spectre magnétique représente L'ENSEMBLE des lignes de force.

N

N

S

S

Ces lignes de force sont issues d'un pôle admis par convention pôle Nord, perpendiculairement à l'aire A, passant dans un milieu pouvant être l'espace ou autre, pour se refermer à un autre pôle admis par convention Sud. Chaque ligne de force se referme obligatoirement. Comme pour le courant électrique I, elle circule en circuit fermé. Ce qui implique une ligne de force circulant du pôle Sud au pôle Nord à l'intérieur de l'élément constituant le générateur de champ d'induction B. Ce générateur peut être un aimant permanent, un électroaimant ou un courant passant dans un conducteur.

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Matériaux et propriétés magnétiques

10.6 Exemples de spectres magnétiques

Nord

Sud

Champ magnétique d'un aimant permanent

s

N

Champ magnétique terrestre

En minuscule : Pôles magnétiques de la Terre. La boussole s'oriente vers ces pôles. Nous constatons également que les pôles magnétiques sont inversés par rapport aux pôles géographiques. En Majuscule :

S

n

Pôles géographiques de la Terre. Ils correspondent à l'axe de rotation terrestre et sont décalés d'environ 15 ° par rapport aux pôles magnétiques.

10.7 Comportement des lignes de forces :

verre

N

N

S

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S

Lorsqu'un objet nonmagnétique est placé dans les lignes de force magnétique, il n'y a aucune modification. Les lignes traversent l'objet sans changer de trajectoires.

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Matériaux et propriétés magnétiques

fer doux N

S

N

N

S

S

Si l'objet placé dans les lignes de force a des propriétés magnétiques, les lignes de force seront déviées. Un pôle Nord et un pôle sud vont apparaître sur les côtés de l'objet. fer doux

Cette particularité est utilisée pour protéger certains appareils sensibles au champ magnétique.

radio

Dans notre exemple, le récepteur radio se trouve protégé des perturbations magnétiques extérieures par un blindage en fer doux.

10.8 Perméabilité du vide µ0

( mu zéro ):

Les matériaux magnétiques laissent passer les lignes de force avec une certaine facilité. Ils sont caractérisés par une perméabilité relative. La perméabilité relative est symbolisée par la lettre grecque µ (mu). Elle représente la facilité avec laquelle les lignes de force magnétiques peuvent s'établir dans le matériau. Pour l'air, elle a été définie expérimentalement, et représente une référence.

Symbole de la grandeur : Symbole de l'unité :

µ0

 Wb   A ⋅ m 

ou [ V ⋅ s ⋅ A-1 ⋅ m-1 ]

Tous les matériaux ont une perméabilité. Même s'il ne s'agit pas de matériaux magnétiques, comme le vide par exemple. L'air se comporte de façon identique au vide. Sa perméabilité est symbolisée par µ0 et elle est donnée par la relation suivante :

µ 0 = 4 ⋅ π ⋅ 10 −7

[ V ⋅ s ⋅ A −1 ⋅ m −1 ]

. ⋅ 10−6 µ 0 = 125

[ V ⋅ s ⋅ A −1 ⋅ m −1 ]

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Matériaux et propriétés magnétiques

10.9 Perméabilité relative µr La perméabilité relative est la valeur dont il faut tenir compte lorsque nous introduisons un noyau dans une bobine. Pour les matériaux non-magnétique elle a été admise comme 1, puisque ces matériaux ne facilitent pas le passage des lignes de force. Par contre, il n'est pas possible de faire pareil avec les matériaux magnétiques. Ils ont tous un comportement différent en fonction de leur composition. C'est pourquoi leur perméabilité à été appelée perméabilité relative. Elle est symbolisée par µr .Elle qualifie la facilité avec laquelle les charges magnétiques peuvent se déplacer dans le matériau. La valeur de µr varie fortement d'un matériau à un autre. Le tableau ci-dessous donne quelques valeurs indicatives. Pour certains matériaux, la valeur de µr est comprise entre un minimum et un maximum. Nous verrons plus tard que la perméabilité relative dépend de la valeur de l'induction

! B .

Symbole de la grandeur :

µr

Il n'y a pas d'unité

10.10 Tableau de la perméabilité des principaux matériaux magnétiques Matériau

Composition

Perméabilité relative µr

Utilisation

Fer Armco

Fer pur

10'000

relais, électroaimant

Acier Hypersyl

Si à 3 %

40'000 à 50'000

inductances transformateurs

Mumétal Permalloy C

Ni à 80 %

70'000 à 130'000

Acier au cobalt Permendur V

Co à 35 - 50 %

3'500

Relation entre l'intensité du champ magnétique perméabilité relative µr .

blindages magnétiques relais rapides tôles pour petites machines tournantes

! H , la perméabilité de l'air µ0 et la

Les charges Q se déplaçant dans un tube magnétique avec une certaine vitesse provoquent une force électromagnétique

! F.

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Matériaux et propriétés magnétiques Cette force est liée à la matière du tube magnétique et à l'intensité du champ magnétique

! H.

F = µ 0 ⋅ µr ⋅ H Q⋅v Le quotient

! F est appelé champ d'induction magnétique B Q⋅v

Nous obtenons donc la relation suivante, en admettant la perpendicularité entre les vecteurs :

B = µ0 ⋅ µ r ⋅ H

10.11 Champ d'induction magnétique B : Au voisinage des aimants permanents et des conducteurs de courant électrique, c'est-àdire à proximité des charges électriques en mouvement, l'espace se trouve modifié par un champ d'induction magnétique. Symbole de la grandeur : Symbole de l'unité :

B [T]

tesla

Une induction de 1 tesla correspond à un flux magnétique de 1 weber pour une surface de 1 [m2] Une fois de plus, l'induction ne peut être mise en évidence que par ses effets. Valeurs moyennes du champ d'induction magnétique B Terre

0.3 [µT]

électroaimant

Soleil

5 [mT]

aimant supraconducteur

0.1 à >1 [T]

à

> 10 [T]

B

Pour décrire les propriétés de l'espace, il faut donner un caractère

vectoriel

à

la

grandeur

! B.

La force ! électromagnétique F , exercée sur les charges électriques,

peut être caractérisée par un vecteur représentant un ensemble forces électromagnétiques élémentaires.

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B

I

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Matériaux et propriétés magnétiques Une bobine de grande longueur et comportant un grand nombre de spires circulaires jointives est appelée un solénoïde. Lorsqu'un courant électrique traverse cette bobine, une induction B est produite. Le champ magnétique à l'intérieur du solénoïde est presque uniforme, ce qui représente un avantage.

10.12 Propriétés du champ d'induction B : Dès qu'un courant traverse un conducteur, des lignes de force magnétiques s'établissent autour de lui. On peut définir la DIRECTION des lignes d'induction comme circulaire par rapport au conducteur parcouru par le courant I. Le SENS des lignes de forces est défini par plusieurs règles. Celle de la main droite, du tire-bouchon, ou celle de la vis. Dans les dessins, nous trouverons toujours le courant dans les conducteurs représenté de la même manière. Elle se rapporte à la règle de la vis. Lorsque le courant pénètre dans le conducteur, on voit la tête de la vis, nous dessinerons donc une croix. Lorsque le courant sort du conducteur, nous verrons la pointe de la vis et nous dessinerons un point.

Le point indique que le courant sort du conducteur. La flèche donne le sens des lignes de force

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La croix indique que le courant entre dans le conducteur. La flèche donne le sens des lignes de force

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Matériaux et propriétés magnétiques Dans le cas de la règle de la main droite, le pouce indique le sens du courant et les doigts le sens des lignes de force.

Règle du tire-bouchon

Règles de la main droite

Règle de la vis.

10.13 Champ d'induction d'une bobine dans l'air (sans noyau) :

Soit une bobine parcourue par un courant électrique. Des lignes de force magnétique vont être crées par le passage du courant et une induction B va apparaître. L'induction B sera égale à :

B = µ0 ⋅ H

en tesla [T]

Dans notre cas, le champ H représente les ampères-tours par mètre de la bobine. N ⇒ nombre de spire de la bobine (sans unité) I ⇒ intensité du courant dans la bobine l ⇒ longueur de la bobine Remarque :

[A]

H=

N ⋅I l

A   m 

[m]

Ce calcul n'est valable que pour une bobine longue avec une seule couche de spires.

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Matériaux et propriétés magnétiques

10.14 Champ d'induction d'une bobine avec noyau Comme nous l'avons vu au chapitre des propriétés magnétiques, les matériaux magnétiques concentrent les lignes de force. Si nous reprenons la bobine précédente et que nous plaçons un noyau, l'induction augmentera. La perméabilité relative µr du noyau va définir l'augmentation de l'induction.

B = µ0 ⋅ µr ⋅ H

L'induction B sera égale à :

en tesla [T]

Comme pour la bobine sans noyau, le champ H représente les ampères-tours par mètre de la bobine.

Remarque :

L'augmentation du courant I va provoquer une augmentation de l'induction B, mais jusqu'à une valeur limite. Cette valeur est déterminée par les caractéristiques du noyau et provient de sa saturation.

10.15 Flux magnétique Φ :

(phi)

Le flux magnétique Φ quantifie le nombre de lignes de force d'un champ d'induction B, traversant l'aire A d'une matière. Symbole de la grandeur : Symbole de l'unité :

Φ [Wb]

weber

Le flux d'induction magnétique Φ représente le produit de l'induction magnétique B pour une aire A bien délimitée. Cette aire peut être oblique ou, dans notre cas, perpendiculaire au champ d'induction B. Relation : B ⇒ induction magnétique [T]

Φ = B ⋅ A ⋅ cos α

[Wb]

A ⇒ aire de l'aimant [m2] α ⇒ angle d'inclinaison [°]

Par analogie avec la population humaine, nous pouvons dire que : •

la densité de population en nombre de personne par [km2] peut être comparée au champ d'induction magnétique B.

•

La population, quant à elle, peut être comparée au flux d'induction magnétique Φ

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Matériaux et propriétés magnétiques

10.16 Comparaison entre l'induction B et le flux magnétique Φ : Le flux magnétique Φ quantifie le nombre de lignes de force d'un champ d'induction B pour une surface donnée.

Cet aimant mesure 3 [cm] de côté, ce qui représente une surface totale de 9 [cm2] Dans chaque compartiment de 1 [cm] de côté se trouvent 9 lignes de force magnétique de 1 [µWb] chacune.

Comme nous l'avons vu, l'induction magnétique B est donnée pour une surface de 1 [m2]. donc si nous désirons connaître l'induction pour un compartiment, il faut procéder au calcul suivant : Le flux Φ pour un compartiment correspond au nombre de lignes de force présentent soit : 9 [µWb] Induction B pour un compartiment ⇒

B=

Φ 9 ⋅ 10 −6 = = 90 ⋅ 10−3 [T] ⇒ 90 [mT] −4 A 1⋅ 10

Exemple : Le flux magnétique engendré par une bobine dans l'air est de 1.5 [µWb] . Cette bobine dont le diamètre vaut 8 [mm], est composée de 350 spires réparties en une seule couche sur une longueur utile de 8 [cm] 1.

Calculer le courant la traversant.

2.

Calculer la valeur du courant si l'on introduit un noyau magnétique dont la perméabilité vaut 4700.

Données : Φ = 1.5 [µWb]

N = 350 spires

µr = 1

 Wb  µ0 = 1.25 ⋅ 10-6   A ⋅ m 

Inconnue :

d = 8 ⋅ 10-3 [m2]

l = 8 ⋅ 10-2 [m]

I=?

Relations :

Φ = B ⋅ A ⋅ cos α

B = µ0 ⋅ µr ⋅ H

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H=

N⋅I l

B = µ0 ⋅ µr ⋅

N ⋅I l

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Matériaux et propriétés magnétiques Pour notre calcul, nous admettrons la perpendicularité, il n'est donc pas nécessaire de tenir compte de l'angle α . Nous recherchons I, et nous pouvons remplacer dans la première formule B par sa valeur

Φ = µ0 ⋅ µr ⋅

N ⋅I ⋅A l

Ensuite, il faut transformer la formule pour isoler le courant I :

I=

Φ⋅l µ0 ⋅ µr ⋅ N ⋅ A

(

)2

Application numérique :

π ⋅ 8 ⋅ 10 -3 π ⋅d2 A= = 4 4 I =

Φ⋅l µ0 ⋅ µr ⋅ N ⋅ A

=

= 50.26 ⋅ 10 -6 [m2 ]

1.5 ⋅ 10 -6 ⋅ 8 ⋅ 10−2 125 . ⋅ 10− 6 ⋅ 1 ⋅ 350 ⋅ 50.26 ⋅ 10− 6

= 5.46 [A]

Calcul du courant avec un noyau :

Φ⋅l I = µ0 ⋅ µr ⋅ N ⋅ A

10.17 Perméance

Λ

=

1.5 ⋅ 10 -6 ⋅ 8 ⋅ 10−2 125 . ⋅ 10− 6 ⋅ 4700 ⋅ 350 ⋅ 50.26 ⋅ 10− 6

= 1.16 [mA]

: (lambda)

La perméance Λ exprime avec quelle facilité les charges peuvent passer à travers la matière, en fonction du flux magnétique Φ par rapport à la différence de potentiel magnétique θ. Relation :

Symbole de la grandeur : Symbole de l'unité :

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Λ=

Φ θA − θB Λ

lambda

[ H ] henry

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Matériaux et propriétés magnétiques

10.18 Réluctance ℜ : La réluctance ℜ exprime l'opposition faite au passage des charges électriques dans un circuit magnétique constitué par la matière. Nous parlons parfois de résistance magnétique. Elle est l'inverse de la perméance. (Voir analogie avec la conductance G).

Relation :

ℜ=

1 Λ

Symbole de la grandeur : Symbole de l'unité :

ℜ [H-1]

10.19 Limite du flux magnétique Φ: Le flux d'induction Φ a certaines limites physiques. La matière ne peut pas indéfiniment laisser passer facilement les charges Q. C'est, par analogie, comme une autoroute. Elle peut avoir des limites physiques propres à ses dimensions. S'il y a plus de voiture que possible, nous disons que l'autoroute est SATUREE. En magnétisme, le phénomène de saturation existe aussi. Les limites de la saturation sont données par les caractéristiques du circuit magnétique.

10.22 Effet Hall : En 1879, E. H. Hall a observé qu’une faible tension était engendrée à travers un conducteur parcouru par un courant et placé dans un champ magnétique externe. Cette tension était très faible avec des conducteurs classiques et cet effet fut peu utilisé. Avec le développement des semi-conducteurs, des valeurs plus élevées de tensions de Hall peuvent être engendrées. Comme matériau semi-conducteur, il est souvent fait usage de l’arséniure d’indium (In As). Un élément de In As, placé dans un champ magnétique, peut engendrer une tension Hall de 60 [mV] lorsque l’induction vaut 1 [T] et qu’il est parcouru par un courant de 100 [mA] . Le flux appliqué doit être perpendiculaire à la direction du courant. Lorsque le courant circule dans le sens longitudinal du conducteur, la tension engendrée est développée au travers de la largeur.

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Matériaux et propriétés magnétiques La valeur de la tension Hall UH est directement proportionnelle à la valeur de la densité de l’induction magnétique B. Cela signifie qu’il est possible de mesurer la valeur de l’induction B par l’intermédiaire de la tension Hall UH .

Principe :

eo

n

Un conducteur contenant n charges ! libres e- est traversé par un courant I .

v

Supposons que tous les électrons se ! déplacent avec une vitesse v uniforme. Le nombre n de charges électriques epassant durant le temps t à travers l'aire A vaut :

I

Q = neAv t Mais un delta Q sur un delta I est un courant électrique I.

N Plongeons ce conducteur dans un champ d'induction magnétique ! B.

! Les électrons circulant à la vitesse v dans le conducteur sont ! déviés par la force électromagnétique F .

S

UH B

v A1

e o F

+ A2

Les différentes lois du magnétisme font apparaître une dissymétrie dans la répartition des charges entre les faces A1 et A 2.

I

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Matériaux et propriétés magnétiques Cette dissymétrie provoque une différence de potentiel, appelée tension de Hall UH ! ! proportionnelle au champ d'induction B et au courant I , dans le conducteur. La tension de Hall UH est donc une combinaison de lois d'électrostatique et de magnétisme

! ! F = q⋅E ! ! ! F = q⋅v x B

En les combinant, nous obtenons :

UH =

I ⋅ B ⋅ sin α n⋅ d ⋅ q

Cette tension de Hall est exprimée en volt [V].

Exemple d'utilisation :

Ce circuit représente l'asservissement du moteur de cabestan d'un magnétoscope. Pour assurer une bonne qualité d'image, la position du moteur doit être connue en permanence. Pour effectuer ce contrôle, des petits capteurs à effet Hall (H1 - H2 - H3) sont placés sous le rotor du moteur. En fonction de la rotation du moteur, ils sont soumis à des champs magnétiques variables. Des tensions Hall sont ainsi produites et transmises au circuit de contrôle de la position (Position Signal Process). Ce dernier fournira les informations nécessaires au circuit de commande du moteur (motor drive) pour ajuster sa position.

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Matériaux et propriétés magnétiques

10.23 Attraction et répulsion des aimants : Lorsque nous mettons en présence deux champs magnétiques, il se produit des forces, comme nous allons l'étudier dans un prochain chapitre. Ces forces apparaissent aussi entre des aimants, suivant le sens de leurs pôles. Nous constatons soit une attraction soit une répulsion entre les aimants, comme le montrent les exemples ci-dessous.

N

S

N

S

Les lignes de force sont dans le même sens. Les pôles des aimants sont opposés. Il se produit une attraction entre les deux aimants.

S

N

N

S

Les lignes de force sont dans un sens opposé. Les pôles des aimants sont dans le même sens. Il se produit une répulsion entre les deux aimants.

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Matériaux et propriétés magnétiques

10.24 Force électromagnétique F : Les champs magnétiques sont produits par des aimants permanents et des charges en déplacement. Ces champs, à leur tour, exercent des forces sur d'autres aimants permanents et sur des charges en mouvement. La force magnétique sur une charge Q se déplaçant à une vitesse

! magnétique B est :

! v dans un champ

! ! ! F = Qv × B

loi de Coulomb appliquée par analogie au magnétisme.

[N]

Cette loi deviendra la loi de Laplace. Q charge électrique en [As] v vitesse de déplacement en [m ⋅ s-1] nous savons que Q = I ⋅ t

et que

déplacement l = temps t

v=

!  l ! F = (I ⋅ t) ⋅  × B  t

nous pouvons donc écrire

par simplification, nous pouvons obtenir la loi suivante :

! ! ! ∆F = I ∆ l × B

produit vectoriel ! Unités utilisées :

force F newton [N]

B induction tesla [T]

courant I ampère [A]

longueur l mètre [m]

Démonstration : Lorsque nous faisons circuler un courant électrique dans deux conducteurs parallèles, des lignes de force s'établissent autour des conducteurs. Nous avons vu qu'il est possible de définir les sens des ces lignes de forces au moyen de règles simples (par exemple celle de la main droite).

I

I Dans cet exemple, la force obtenue par les deux conducteurs déplace l'aiguille de la boussole placée entre eux. Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /septembre 2000

21

Matériaux et propriétés magnétiques

10.25 Influence du courant dans les conducteurs : Il est bien entendu que la relation est donnée par rapport à une référence que nous admettrons 0. Mais nous devons savoir qu'il existe un champ d'induction magnétique partout dans l'espace. Nous mesurerons toujours un écart de force électromagnétique longueur l

! ! ! F = Il × B

Nous retrouvons la relation : Dans notre cas, le vecteur

! B

! F pour un certain écart de

produit vectoriel

!

! ! B et le vecteur courant I constitue un plan :

F B

lI

! F représente l'ensemble de toutes les ! ! forces que subit la longueur l perpendiculaire au champ d'induction B .

Nous constatons que la force électromagnétique

Pour matérialiser cette relation, nous plaçons 2 conducteurs rectilignes en parallèle, distants de quelques centimètres.

I

Pour bien comprendre les différentes étapes de l'expérience, nous faisons circuler le courant dans le conducteur de droite. Nous remarquons que d'après la règle du tirebouchon, il règne un champ d'induction magnétique

! B autour du conducteur. Comme défini par le ! spectre magnétique, le vecteur B nous donne le nom

des pôles.

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Matériaux et propriétés magnétiques

I

I

La deuxième phase consiste à faire circuler un courant I dans le second conducteur. La longueur l du conducteur de droite et

!

l'induction B du conducteur de gauche forment un plan vertical. Dans le même temps, le courant I circulant à l'intérieur du conducteur de droite fait régner un champ d'induction

!

magnétique B sur le conducteur gauche, selon la règle du tire-bouchon.

Constatations : Les deux conducteurs font régner un champ d'induction magnétique

! B égal et opposé.

Les deux conducteurs peuvent être assimilés à 2 aimants dont les pôles sont contraires. Les deux conducteurs se rapprochent l'un de l'autre.

Nous pouvons déduire de cette expérience la conclusion suivante :

Les pôles de nom opposé s'attirent Les pôles de même nom se repoussent

attraction

répulsion

Il en va de même pour les conducteurs entre eux, et pour les aimants permanents. Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /septembre 2000

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Matériaux et propriétés magnétiques

10.26 Règle des trois doigts de la main droite : Cette règle est utilisée pour déterminer le sens de la force sur un conducteur parcouru par un courant électrique et placé dans un champ d'induction magnétique.

L'index indique le sens du courant I (Index ⇒ Intensité) Le majeur indique le sens de l'induction B (Majeur ⇒ Magnétisme) Le majeur et l'index forment un plan dont l'angle est naturellement de 90 °. Le pouce indique le sens de la force électromagnétique F (Pouce ⇒ pousser). Le pouce est naturellement à 90 ° par rapport au plan formé par I et B.

10.27 Règle de la main gauche : Il en existe également une pour la main gauche ! Elle nous donne les mêmes indications que la loi de la main droite.

L'extrémité des doigts représente la sens du courant I. La paume de la main est tournée de telle façon que les lignes d'induction y pénètrent, ou que le pôle Nord soit situé en face.

Le pouce indique la direction de la force électromagnétique F

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Matériaux et propriétés magnétiques

10.28 Schéma des lignes d'induction : Le dessin ci-dessous indique le sens des lignes de force de l'aimant, ainsi que le sens de déplacement du conducteur, sachant que la courant y pénètre.

10.29 Votre règle personnelle : Nous rencontrons parfois des règles qui sont appelées différemment ( règle de l'auto-stop, par exemple ). C'est en général une règle dérivée des trois précédentes. Elles peuvent être pour l'élève une méthode intuitive correspondant mieux à sa façon de résonner. Ces règles nous permettent de représenter le phénomène électromagnétique. Il faut maintenant le quantifier. Nous pouvons dire que la force électromagnétique valeurs :

! F est proportionnelle à ces différentes

• à la longueur utile l du conducteur • à l'induction

! B moyenne perpendiculaire au conducteur

• au courant I circulant dans le conducteur Pour modifier le produit vectoriel en produit scalaire, il suffit de prendre en considération la perpendicularité existant entre le plan formé de l'induction

! B et de la longueur l.

Cette perpendicularité (90 °) se traduit par la valeur du sinus de l'angle Θ.

! ! ! F = B × Il

produit vectoriel

Dans ce cas particulier, nous admettons la perpendicularité (90 °) entre les grandeurs, ce qui nous donne :

F = B ⋅ I ⋅ l ⋅ sin Θ

mais nous savons que le sin de 90 ° vaut 1

Nous pourrons donc admettre la relation suivante :

F = B⋅ I ⋅l

exprimée en newton [N]

Il est bien clair que l'angle Θ ne vaut pas toujours 90 °. Il faut donc toujours y prêter attention ! Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /septembre 2000

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Matériaux et propriétés magnétiques

10.30 Exercices Qu'appelle-t-on lignes de force ? Comment peut-on définir le sens des lignes de force magnétique ? Qu'est-ce que le spectre magnétique ? Qu'est-ce que le Spin de l'électron ? Donner deux noms de matériaux pour chaque classe de matériaux magnétique. Peut-on comparer le potentiel magnétique au potentiel électrique ? Compléter les figures ci-dessous en dessinant les lignes de force magnétique : Ecrire la relation qui définit le flux magnétique Φ Quelle est la différence entre l'induction B et le flux Φ ? Qu'exprime-t-on au moyen de la perméance ? A quoi peut-on comparer la perméance ? Quel est l'avantage de placer un noyau magnétique au centre d'une bobine ? Effectuer le développer littéral qui permet de justifier votre réponse. Quelle est la valeur de la perméabilité du vide (ou de l'air) ? Dans la règle de la main droite, quelle est la signification des doigts ? Que désigne le mot SPIN ? Que se passe-t-il si le courant augmente dans une bobine dont le noyau est à saturation ? Qu'est-ce que l'induction rémanente ? Comment s'appelle le champ qu'il faut opposer pour annuler l'induction rémanente ? Pourquoi le cycle d'hystérésis n'est-il pas identique pour tous les matériaux ? Quel est l'effet du noyau dans une bobine ? Dessiner le cycle d'hystérésis pour une tôle de transformateur : Dessiner le cycle d'hystérésis d'un aimant permanent : Justifiez vos réponses pour les deux courbes précédentes.

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Matériaux et propriétés magnétiques 1.

Un courant de 3 [A] traverse une bobine de 500 spires. Combien de spires devrait avoir une bobine pour obtenir le même champ d'induction si le courant passe à 900 [mA] ?

2.

Une bobine sans noyau présente une induction de 1.5 [T]. elle est composée de 1000 spires et parcourue par un courant de 2 [A]. a) Quel sera le nombre de spires si nous utilisons un noyau de perméabilité µr = 200 ? b) Quel sera le courant dans la bobine si nous conservons le même nombre de spires mais que nous utilisons un noyau de µr = 300 ?

3.

Avec un fil de cuivre d'une longueur de 150 [m] et d'un diamètre de 500 [µm] , nous réalisons une bobine sans noyau de 200 spires jointives. Elle est raccordée sur une tension continue de 1.5 [V]. ! Calculer l'induction B et la longueur de cette bobine.

4.

Nous considérons un anneau de rayon intérieur de 3 [cm] et un rayon extérieur de 4 [cm]. Nous trouvons dans cet anneau, un entrefer d'une longueur de 1 [mm]. Cet anneau est placé dans l'air (voir tabelle). Calculer le champ d'induction dans l'entrefer si : Afer = 6 [cm2]

Aair = 8 [cm2] (à cause de la dispersion)

µr = 1000

N = 100

I = 1 [A]

Calculer la valeur du courant si l'on voulait obtenir le même champ d'induction dans un entrefer 10 fois plus grand. Attention aux unités de longueur et d'aire ! 5.

Un fluxmètre, placé avec un angle d'inclinaison de 42° par rapport à un aimant permanent en TICONAL, indique une valeur de [100 µWb] dans un milieu qui est de l'air. L'aimant a les dimensions suivantes : N

S

longueur L = 10 [cm] largeur l = 1 [cm] hauteur h = 5 [mm]

Calculer le champ d'induction magnétique B de l'aimant. 6.

On réalise une bobine à spires jointives à une seule couche sur un support non magnétique d'un diamètre de 5 [cm]. Le fil a une longueur de 160 [m] et une section de 1 [mm2] .Elle est raccordée sur une source de tension de 6 [V]. Calculer l'intensité du champ magnétique de cette bobine.

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Matériaux et propriétés magnétiques 7. Tracer sur une feuille quadrillée la courbe d'aimantation du matériau dont les caractéristiques sont les suivantes : H B

39 90

117 254

195 400

312 540

585 690

780 730

975 750

[A/m] [mT]

8.

Calculer la perméabilité relative du matériau pour plusieurs points de la courbe et établir une constatation.

9.

Calculer la force à laquelle est soumis un conducteur parcouru par un courant de 20 [A] lorsqu'il est placé dans l'entrefer d'un électroaimant où règne une induction de 1.5[T]. Le côté de l'électroaimant est de 14 [cm], et on admet la perpendicularité des lignes de force.

10.

Calculer la longueur l des conducteurs de la planchette de démonstration des forces électromagnétiques, sachant qu'un dynamomètre (appareil de mesure des forces) indique 10 [N]. Un ampèremètre mesure un courant de 80 [A] et un fluxmètre nous donne 10 [µWb]. Le diamètre de l'aire est de 4 [mm]. Cette expérience est réalisée dans un milieu qui est l'air, avec des grandeurs perpendiculaires les unes aux autres. F

11.

Compléter le dessin en indiquant soit : la direction du déplacement du conducteur, le sens du courant qui le parcoure, ou le pôle de l'aimant

A)

B)

S

N

C)

N

S

D)

S

N F

12.

Tracer l'allure d'un matériau donnant les valeurs suivantes lors d'un essai en laboratoire : H B

39 0.09

117 0.254

195 0.40

312 0.54

585 0.69

780 0.73

975 0.75

[A/m] [T]

Calculer la perméabilité relative de ce matériau. 13.

On désire obtenir une induction de 1.5 [T] dans un tore magnétique fermé en fer, dont le diamètre moyen est de 30 [cm]. Quel doit-être le nombre de spires si le courant est de 6 [A] et la perméabilité relative de 1040 ?

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Matériaux et propriétés magnétiques 14.

Pour avoir une induction de 1.2 [T] dans une bobine à noyau magnétique en fer doux, il faut un champ de 550 [A⋅m-1]. Il faut 11400 [A⋅m-1] pour obtenir la même induction dans une bobine avec un noyau en fonte. Calculer la perméabilité relative des deux matériaux.

15.

Une bobine de 1 [m] de longueur comporte 2500 spires et elle est parcourue par un courant de 4 [A] . Calculer l'intensité du champ et l'induction magnétique à l'intérieur de la bobine.

16.

Nous reprenons la même bobine pour essayer différents matériaux magnétiques. Que va devenir l'induction si nous utilisons des noyaux de perméabilité suivante ? a) 150

b) 20000

c) bois

d) cuivre

Réponses : 1. N = 1667 spires 2. N = 5 spires

I = 6.67 [mA]

3. long. = 23.87 [cm]

B = 280.5 [µT]

4. B = 569 [µT] I = 10 [A] 5. B = 2.69 [T] 8. 1899 [A/m] 9. 4.2 [N] 10. l = 15.7 [cm] 11. A) Nord - Sud B) il monte C) il descend D) le courant sort du conducteur 13. N = 180 spires 15. Fer µr = 1736 fonte µr = 84 15. H = 10'000 [A/m] B = 12.56 [mT] 16. a) B = 1.875 [T] b) B = 250 [T] c) et d) matériaux non magnétiques µr = 1

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Cycle d'hystérésis

Chapitre 10b Cycle d'hystérésis

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1

Cycle d'hystérésis

10.30 Introduction : Pour exprimer la saturation du noyau magnétique, nous allons procéder à une expérience. Augmenter l'intensité de champ magnétique H et calculer l'induction B d'une bobine avec noyau. Récapitulation des relations importantes Formules

Unités

B = µ 0 ⋅ µr ⋅ H

[T] =

Φ = B ⋅ A ⋅ cos α

Noms

 V ⋅ s  A   m ⋅ A  ⋅  m 

 V ⋅ s =    m2 

[Wb] = [T] ⋅ [ m2 ]

F = B⋅ I ⋅l

[ N] = [T] ⋅ [A ] ⋅ [ m]

Champ d'induction magnétique

Flux magnétique

Force électromagnétique

Cette expérience est réalisée au moyen d'une bobine , ou inductance L , raccordée sur une source de tension de polarité variable. Schéma électrique :

+

+

A

bobine L

-

La bobine est constituée de 150 spires de fil de cuivre, bobinées autour d'un noyau magnétique d'une longueur l de 15 [cm] et sa résistance ohmique vaut 25 [Ω] . Le noyau a été choisi dans la catégorie des matériaux magnétique (voir introduction de ce chapitre). Cette bobine est raccordée sur deux sources de tension continue et le potentiomètre nous permet de varier la tension aux bornes de la bobine entre + 100 [V] et - 100[V]. Pour bien comprendre le déroulement de l'expérience, nous l'avons décomposée en 5 phases successives. A chaque phase, nous étudierons l'évolution de l'induction magnétique ainsi que le comportement du noyau de notre bobine. Pour chaque phase, un tableau de mesure nous permettra de tracer la courbe d'aimantation.

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Cycle d'hystérésis

10.31 Phase 1 : En faisant varier la tension U de 0 à 100 [V] ,le courant va augmenter ainsi que le champ d'induction magnétique B.

Au départ, nous pouvons nous représenter cet état comme une multitude de petits aimants ayant pris une orientation quelconque et dont l'augmentation d'un champ magnétique extérieur va faire varier la position. Tableau de mesure : U [V]

R [Ω]

0 20 40 60 80 100

25 25 25 25 25 25

I [A] 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4

N

l [m]

150 150 150 150 150 150

H [A/m]

0.15 0.15 0.15 0.15 0.15 0.15

0 800 1600 2400 3200 4000

µ0

µr

B [T]

1.25⋅10-6 1.25⋅10-6 1.25⋅10-6 1.25⋅10-6 1.25⋅10-6 1.25⋅10-6

200 200 180 145 112 90

0 0.2 0.36 0.435 0.448 0.45

Nous parlerons de SATURATION, au moment où l'augmentation de l'intensité de champ magnétique H ne modifie plus le champ d'induction magnétique B. L'orientation de ces petits aimants ne se fait pas de façon linéaire, mais de façon exponentielle, comme pour la charge du condensateur. Nous pouvons tracer un diagramme du champ d'induction magnétique B en fonction de l'intensité du champ magnétique B = f (H). B [mT] 500

400

300

200

100

H [A/m] 1000

2000

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3000

4000

3

Cycle d'hystérésis

10.31 Phase 2 : En faisant varier la tension U de 100 [V] à 0 [V] , nous constatons que le champ d'induction magnétique B décroît, mais lorsque le courant est à 0, le noyau conserve un certain champ d'induction magnétique B. Nous pouvons nous représenter cet état comme une multitude de petits aimants conservant tous la même orientation et dont la diminution d'un champ magnétique extérieur ne modifie plus les positions. Remarque :

Pour cette phase ainsi que les suivantes, il n'est plus possible d'utiliser les valeurs issues de calculs. Les résultats ne sont plus identiques en raison de l'induction rémanente et des caractéristiques du noyau. Les valeurs d'induction doivent être mesurées et mises en évidence au moyen d'un instrument de mesure tel qu'un teslamètre.

Tableau de mesure : U [V]

H [A/m]

B [mT]

4000 3200 2400 1600 800 0

450 450 450 440 380 250

100 80 60 40 20 0

Nous parlerons de rémanence au moment où la diminution de l'intensité du champ magnétique H ne modifie plus le champ d'induction magnétique B. L'orientation de ces petits aimants ne se fait pas de façon linéaire, mais de façon exponentielle, comme pour la décharge du condensateur. Nous pouvons tracer un diagramme du champ d'induction magnétique B en fonction du champ magnétique B = f (H) B [mT] 500

400

300

200

100

H [A/m] 1000

2000

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3000

4000 4

Cycle d'hystérésis Le point constitué du champ d'induction magnétique B et de l'axe des y, représentant l'induction rémanente Br , pour une intensité du champ magnétique H à la valeur 0. Symbole de la grandeur : Symbole de l'unité :

Br [T] tesla

Comme son nom l'indique, il s'agit de l'induction qui subsiste dans le noyau, due à l'orientation des particules magnétiques.

Application pratique : Du tournevis aimanté à tous les supports magnétiques d'information comme les cassettes vidéo ou les disquettes d'ordinateur. Ce champ d'induction magnétique rémanente peut être modifié par la température (point de Curie) . En effet, la température modifie la disposition des petits aimants constituant les matériaux magnétiques. Cette application est utilisée pour les mini-disques audio et les supports magnéto-optiques. Elle n'est pas applicable aux tournevis ou aux cassettes vidéo pour les démagnétiser ! ! ! La méthode la plus simple pour désaimanter votre tournevis sera de le soumettre à un champ magnétique de polarité variable et dont l'intensité diminue lentement.

Exemple : Cette façon de faire est utilisée pour démagnétiser les tubes image des téléviseurs couleur. En effet, le balayage de l'écran par le faisceau d'électrons est commandé par un champ magnétique. Si ce champ vient à être perturbé par l'aimantation rémanente d'une pièce métallique, l'image va perdre de sa qualité les couleurs seront faussées.

C'est pour cela qu'avant la mise en service d'un téléviseur couleur, il faut toujours le démagnétiser. Cette opération est effectuée au moyen d'une bobine que l'on éloigne régulièrement de l'écran. L'effet du champ magnétique décroissant va démagnétiser le tube image.

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Cycle d'hystérésis

10.32 Phase 3 : En faisant varier la tension U de 0 [V] à - 100 [V] , nous constatons que le champ d'induction magnétique B passe à la valeur zéro. Cette valeur est obtenue au moment où les petits aimants se trouvent soumis à une certaine intensité de champ magnétique H provoquant une orientation quelconque des éléments.

Tableau de mesure : U [V]

H [A/m]

B [mT]

0 -20 -25

0 -800 -1000

250 100 0.00

Nous pouvons tracer le diagramme du champ d'induction magnétique B en fonction de l'intensité du champ magnétique B = f (H).

[mT]

B 500 400 300 200 100

H [A/m] -4000

-3000

-2000

-1000

1000

2000

3000

4000

Nous parlons de CHAMP COERCITIF Hc au moment où le champ d'induction magnétique B est nul.

Symbole de la grandeur : Symbole de l'unité :

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Hc A   m 

6

Cycle d'hystérésis Nous avons supprimé le champ d'induction magnétique B . En continuant de varier la tension de la valeur du champ coercitif Hc à - 100 [V] , nous constatons que le champ d'induction magnétique B ne varie plus à partir d'une certaine valeur. Nous pouvons représenter cet état comme une multitude de petits aimants ayant pris tous la même orientation et dont l'augmentation d'un champ magnétique extérieur ne modifie plus les positions. Tableau de mesure : U [V]

H [A/m]

B [mT]

-25 -40 -60 -80 -100

-1000 -1600 -2400 -3200 -4000

0.00 -150 -325 -425 -450

Nous pouvons tracer le diagramme du champ d'induction magnétique B en fonction de l'intensité du champ magnétique B = f (H).

B [mT] 500 400 300 200 100

H 4000

3000

2000

1000

1000

2000

3000

4000

[A/m]

100 200 300 400 500 Nous parlerons de SATURATION, au moment où l'augmentation de l'intensité du champ magnétique H ne modifie plus le champ d'induction magnétique B. Nous sommes dans la situation inverse à celle de la première phase de notre expérience.

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Cycle d'hystérésis

10.33 Phase 4 : En faisant varier la tension U de -100 à 0[V] , nous constatons que le champ d'induction magnétique B décroît. Mais lorsque le courant est à zéro le noyau conserve un certain champ d'induction magnétique B . Nous pouvons nous représenter cet état comme une multitude de petits aimants conservant tous la même orientation et dont la diminution d'un champ magnétique extérieur ne modifie plus les positions. Tableau de mesure : U [V]

H [A/m]

B [mT]

-100 -80 -60 -40 -20 0

-4000 -3200 -2400 -1600 -800 0

-450 -450 -450 -440 -380 -250

Nous parlerons de REMANENCE au moment où la diminution de l'intensité du champ magnétique H ne modifie plus le champ d'induction magnétique B. Nous sommes dans la situation inverse que lors de la phase 2 de notre expérience. Nous pouvons tracer le diagramme du champ d'induction magnétique B en fonction de l'intensité du champ magnétique B = f (H).

[mT]

B

500 400 300 200 100

H 4000

3000

2000

1000

1000

2000

3000

4000

[A/m]

100 200 300 400 500

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Cycle d'hystérésis

10.34 Phase 5 : En faisant varier la tension U de 0 à 100 [V] , nous constatons que le champ d'induction magnétique B passe par la valeur zéro. Cette valeur est obtenue au moment où les petits aimants se trouvent soumis à une certaine intensité de champ magnétique H provoquant une orientation quelconque des éléments. Tableau de mesure : U [V]

H [A/m]

B [mT]

0 20 40 60 80 100

0 800 1600 2400 3200 4000

-250 -100 150 325 425 450

Nous parlerons de CHAMP COERCITIF au moment où le champ d'induction magnétique B est nul. Nous sommes dans la situation inverse que lors de la phase 3 de notre expérience. Nous pouvons tracer le diagramme du champ d'induction magnétique B en fonction de l'intensité du champ magnétique B = f (H).

[mT]

B

500 400 300 200 100

H 4000

3000

2000

1000

1000

2000

3000

4000

[A/m]

100 200 300 400 500

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Cycle d'hystérésis

10.35 Récapitulation : Dans la dernière phase, nous avons supprimé le champ d'induction magnétique B. En continuant à élever la tension U jusqu'à 100 [V], nous constatons que le champ d'induction magnétique B ne varie plus à partir d'une certaine valeur. La dernière courbe que nous venons de tracer représente le cycle d'hystérésis complet du noyau de notre bobine. Le cycle d'hystérésis est toujours symétrique, l'orientation des particules magnétiques élémentaire étant identique dans les deux sens. Chaque matière possède une propre caractéristiques et définit son application.

courbe

d'Hystérésis,

qui

détermine

ses

10.36 Energie W d'hystérésis : L'orientation des petits aimants, changeant lors de chaque phase du cycle d'hystérésis conduit à un échauffement de la matière. Cet échauffement va provoquer une perte d'énergie W qui sera, suivant les applications, très gênante.

Exemples de courbes d'Hystérésis :

Hc ⇒ 1 division ⇒ 10 [A/m]

Hc ⇒ 1 division ⇒ 1 [A/m]

Matière peu sensible aux perturbations externes.

Matière sensible aux perturbations externes.

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Cycle d'hystérésis

10.37 Entraînement 1. Tracer sur une feuille quadrillée la courbe d'aimantation du matériau dont les caractéristiques sont les suivantes : H B

39 90

117 254

195 400

312 540

585 690

780 730

975 750

[A/m] [mT]

2.

Calculer la perméabilité relative du matériau pour plusieurs points de la courbe et établir une constatation.

3.

Calculer la force à laquelle est soumis un conducteur parcouru par un courant de 20 [A] lorsqu'il est placé dans l'entrefer d'un électroaimant où règne une induction de 1.5[T]. Le côté de l'électroaimant est de 14 [cm], et on admet la perpendicularité des lignes de force.

4.

Calculer la longueur l des conducteurs de la planchette de démonstration des forces électromagnétiques, sachant qu'un dynamomètre (appareil de mesure des forces) indique 10 [N]. Un ampèremètre mesure un courant de 80 [A] et un fluxmètre nous donne 10 [µWb]. Le diamètre de l'aire est de 4 [mm]. Cette expérience est réalisée dans un milieu qui est l'air, avec des grandeurs perpendiculaires les unes aux autres. F

5.

Compléter le dessin en indiquant soit : la direction du déplacement du conducteur, le sens du courant qui le parcoure, ou le pôle de l'aimant

A)

B)

S

N

C)

N

S

D)

S

N F

6.

Tracer l'allure d'un matériau donnant les valeurs suivantes lors d'un essai en laboratoire : H B

39 0.09

117 0.254

195 0.40

312 0.54

585 0.69

780 0.73

975 0.75

[A/m] [T]

Calculer la perméabilité relative de ce matériau. 7.

On désire obtenir une induction de 1.5 [T] dans un tore magnétique fermé en fer, dont le diamètre moyen est de 30 [cm]. Quel doit-être le nombre de spires si le courant est de 6 [A] et la perméabilité relative de 1040 ?

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11

Cycle d'hystérésis 8.

Tracer le cycle d'hystérésis d'un matériau donnant les valeurs suivantes lors d'un essai en laboratoire : H B

39 0.09

117 0.254

195 0.40

312 0.54

585 0.69

H B

975 0.75

780 0.74

585 0.70

312 0.68

195 0.64

H B

-39 0.40

-117 0.254

-195 -0.40

-312 -0.60

-585 -0.69

780 0.73

975 0.75

[A/m] [T]

117 0.60

39 0.55

[A/m] [T]

-780 -0.73

-975 -0.75

[A/m] [T]

Vous savez que le cycle d'Hystérésis est symétrique. Donner le champ d'induction rémanent. Donner l'intensité du champ magnétique coercitif. 9.

Pour avoir une induction de 1.2 [T] dans une bobine à noyau magnétique en fer doux, il faut un champ de 550 [A⋅m-1]. Il faut 11400 [A⋅m-1] pour obtenir la même induction dans une bobine avec un noyau en fonte. Calculer la perméabilité relative des deux matériaux.

10.

Une bobine de 1 [m] de longueur comporte 2500 spires et elle est parcourue par un courant de 4 [A] . Calculer l'intensité du champ et l'induction magnétique à l'intérieur de la bobine.

11.

Nous reprenons la même bobine pour essayer différents matériaux magnétiques. Que va devenir l'induction si nous utilisons des noyaux de perméabilité suivante ? a) 150

b) 20000

c) bois

d) cuivre

Réponses : 2. 1899 [A/m] 3. 4.2 [N] 4. l = 15.7 [cm] 5. A) Nord - Sud B) il monte C) il descend D) le courant sort du conducteur 7. N = 180 spires 9. Fer µr = 1736 fonte µr = 84 10. H = 10'000 [A/m] B = 12.56 [mT] 11. a) B = 1.875 [T] b) B = 250 [T] c) et d) matériaux non magnétiques µr = 1

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12

Inductance

Chapitre 11 Sommaire • • • • • •

Tension induite Inductance L Self induction Les courants de Foucault Réduction des courants Foucault Entraînement

Introduction 11.

Magnétisme : L'homme, depuis ses débuts sur terre, a cherché à se diriger. Le repérage d'une direction peut se faire à l'aide des astres, en repérant par exemple l'étoile polaire qui nous indique le Nord, mais ce système ne fonctionne que la nuit. S'il fait jour, il est possible de

11.1 Tension induite Ui : Les découvertes de Faraday énoncent le principe suivant :

N

Le déplacement d'un conducteur dans un champ d'induction B fait apparaître une tension induite Ui aux bornes de ce conducteur.

I S

µA

déplacement

Le micro-ampèremètre est branché aux bornes des deux tiges conductrices. Lorsque nous déplaçons le conducteur dans un champ magnétique uniforme, le micro-ampèremètre dévie. Le courant induit a un sens tel qu'il tend à s'opposer à la cause qui lui a donné naissance.

Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /octobre 2000

1

Inductance

Pour déterminer le sens du courant dans le conducteur, nous utilisons la main gauche. Gauche - Générateur Le pouce correspond au déplacement v L'index correspond au sens du courant I Le majeur correspond à l'induction B Le micro-ampèremètre est branché aux bornes des deux tiges conductrices. Lorsque nous déplaçons le conducteur dans un champ magnétique uniforme, l'aiguille du microampèremètre dévie. Si nous admettons un déplacement de la barre selon l'axe des x positif ( v ) , la barre est le siège d'une tension induite Ui opposée. La force F s'oppose au mouvement précédemment.

v . Le sens de la force F s'obtient avec les règles vues

F

v

I

B

La relation nous permettant d'obtenir la valeur de la tension induite Ui est la suivante :

Ui = −

∆Φ ∆t

En pratique, cette variation de flux d'induction ∆Φ (delta phi) est obtenue par un déplacement

l relatif d'un élément rectiligne du circuit par rapport au champ magnétique

B inducteur. Cette tension induite Ui est donnée par la relation vectorielle suivante :

Ui = − B × lv

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2

Inductance Les grandeurs B , l I et v sont souvent perpendiculaires entre elles, ce qui donne un sin θ = 1. D'où le produit scalaire admis :

Ui = B ⋅ l ⋅ v Cette disposition implique la présence de la plus grande tension induite Ui. Comme pour la tension électrique U , la tension induite Ui est exprimée en volt [V]. Si pour une raison ou pour une autre, B , l ou v ne sont pas perpendiculaires entre elles, nous multiplierons par le sinus des angles appropriés.

Exemple :

N

S

V

déplacement

Un aimant permanent replié, en TICONAL, possède une induction de 0.4 [T]. Nous déplaçons un conducteur long de 20 [cm] dans l'espace formé par l'aimant. Cet espace mesure 50 [cm] , et le déplacement est effectué de façon rectiligne durant 20 [s] . Calculer la tension induite Ui Les grandeurs sont considérées perpendiculaires. Données : Relation :

l = 20 [ cm ]

laimant = 50 [cm] t = 20 [s]

B = 20 [T]

Ui = − B × lv

Puisque nous avons admis la perpendicularité, nous pouvons utiliser la relation suivante :

Ui = − B ⋅ l ⋅ v Le signe - devant le symbole de l'induction B ne nous est pas utile ici. Elle nous indique le sens de la tension Ui , mais nous ne voulons ici que la quantifier. C'est ce que nous appelons parfois la valeur absolue d'un nombre. Nous ne tenons pas compte de son signe, nous notons alors :

Ui = − B ⋅ l ⋅ v

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Ui

3

Inductance Application numérique :

v=

Calcul de la vitesse v :

Ui = − B ⋅ l ⋅ v

d t

=

m 0.5 = 25 ⋅ 10 -3 ê ú s 20

= 20 ⋅ 0.2 ⋅ 25 ⋅ 10−3 = - 100 [mV]

Valeur absolue : Ui = 100 [mV]

11.2 Inductance L : Dans le circuit que nous venons de calculer, nous possédons une tension induite Ui . Cela signifie que nous avons un circuit électriquement fermé. Schéma :

V

L

Le conducteur est une source de tension induite Ui que l'on mesure aux bornes du voltmètre de grande résistance.

Il s'agit d'une application de la loi d'Ohm ! Nous pouvons admettre que la tension induite Ui est égale au produit du courant induit Ii circulant pendant un certain temps t , et de l'inductance L. (caractéristique du montage à laisser passer les lignes de force). Cette grandeur porte le nom de perméance Λ pour le circuit magnétique. Mais nous sommes dans un circuit mélangeant le magnétisme et l'électricité. Nous lui donnerons donc le nom d'inductance. Symbole de la grandeur : Symbole de l'unité :

L [ H ] henry

En utilisant cette nouvelle notion, nous pouvons écrire la relation suivante :

Ui = −L⋅ tension induite Ui [V] courant

I

[A]

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I t inductance temps

L

[H] t

[s] 4

Inductance Dans les schémas électriques, nous symboliserons l'inductance pure L des façons suivantes :

bobine L avec noyau

Remarque :

inductance pure L avec noyau

inductance pure L sans noyau

le trait au-dessus de la bobine représente le noyau.

11.3 Self-induction : C'est le physicien russe Heinrich Lenz (1804-1865) qui fit la découverte du sens des courants induits appelée loi de Lenz. Loi selon de Lenz s'énonce comme suit : Le courant induit a un sens tel que ses effets s'opposent à la cause qui lui a donné naissance. Plus simplement, le courant induit tend à s'opposer au flux inducteur. Nous constatons, par expérience, qu'une bobine parcourue par un courant électrique I provoque un flux magnétique Φ . C'est la bobine elle-même qui génère une tension induite Ui pendant le temps t ou un courant I la traverse. Selon l'application de la relation que nous venons d'étudier plus haut :

Ui = −L⋅

I t

en volt [V]

Pour effectuer notre expérience et nos mesures, nous réalisons le montage suivant :

trace A

2000 [Ω] 100 [mH]

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s o n d e

trace B

5

Inductance La bobine possède certaines caractéristiques magnétiques dont nous mesurons les conséquences électriques. Pour notre mesure nous utilisons une bobine qui a une inductance L de 100 [mH] . Cette bobine est utilisée, en électrotechnique, pour obtenir des flux magnétiques Φ importants qu'il ne nous est pas possible d'obtenir à l'aide d'aimants permanents. Au moyen de l'oscilloscope (voir la description des instruments de laboratoire, au début de ce cours), nous mesurerons la présence d'une tension induite Ui aux bornes de la bobine. Cette tension induite sera présente lorsqu'un courant I la traversera. Nous allons procéder pas à pas à l'interprétation de l'expérience.

11.4 Phase 1 : Lors de la mise en circulation des électrons, il y a dans le circuit une variation de courant I qui dure un certain temps t. Avec l’oscilloscope il n’est possible de mesurer un courant. Pour obtenir sa forme, nous mesurons la tension aux bornes de la résistance de 2 [kΩ]. Le courant est proportionnel à la tension aux bornes de la résistance et par simple application de la loi d’Ohm, il est facile de le calculer. Pour cela, il faut connaître la valeur de la résistance ce qui est le cas dans notre mesure. Courbe du courant :

Courbe de la tension induite :

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6

Inductance Cette courbe nous montre la forme de la tension aux bornes de la bobine. Les pointes représentent la tension induite par la bobine. Ce phénomène s’appelle la self induction. Nous constatons que la tension induite Ui aux bornes est opposée au passage du courant I . Le courant I augmente de 0 à la valeur maximum. La tension induite Ui va de 0 à moins la valeur maximum. Le signe négatif est bien la signification et la preuve de la loi de Lenz.

11.5 Phase 2 : Notre bobine est toujours parcourue par un courant I constant. La variation de courant I est donc nulle.

Aucune tension induite Ui n'est mesurée par l'oscilloscope, et il nous montre l'image suivante : Si la variation du courant I est nulle, la tension induite Ui est également nulle, car :

U i = −100 ⋅ 10 − 3 ⋅

0 t

0 [V]

11.6 Phase 3 : Après un certain temps de fonctionnement, nous interrompons le courant I dans la bobine. Cela a comme influence de faire varier le courant pendant un certain temps. Le courant I passe de la valeur maximum à la valeur 0. Courbe du courant :

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7

Inductance Courbe de la tension induite :

11.7 Interprétation de la mesure : Nous constatons que la tension induite Ui aux bornes de la bobine est opposée à celle de la source de tension. Le courant I diminue de la valeur maximum à 0. La tension induite Ui va de 0 à une valeur maximum. Le signe négatif est bien la signification de la loi de Lenz. De cette expérience, nous pouvons énoncer la règle de la self-induction qui, de façon générale, est la suivante : La self-induction apparaît dans un circuit composé d'inductances, et parcouru par un courant I variable et tend à s'opposer à ces variations La présence d'un noyau et la forme de la bobine influencent le phénomène de self-induction. L'étude complète des différentes bobines sort du cadre de ce cours. Pour de plus amples informations, il sera nécessaire de consulter un cours de physique. Nous constatons, comme pour le condensateur, que la bobine possède aussi une constante de temps τ (tau). Cette constante de temps τ est donnée par le rapport de

τ=

L R

La résistance R est donnée par les caractéristiques du circuit. Rappel :

R=

ρ ⋅l A

Résultats de la mesure de notre montage sur un temps plus long La courbe A représente le courant dans le montage. La courbe B représente la tension induit Ui aux bornes de la bobine.

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8

Inductance

11.8 Les courants de Foucault

Expérience du pendule de Foucault (doc. dictionnaire encyclopédique Larousse 1986) Lorsque des pièces métalliques conductrices sont plongées dans des champs magnétiques variables, ou lorsqu'elles sont elles-mêmes en mouvement dans un champ fixe, cela a pour effet d'induire dans ces pièces des courants parasites appelés : Courants de Foucault Ils ont des effets gênants comme celui d'échauffer les conducteurs par effet Joule.

11.9 Expérience, pour démontrer la présence des courants de Foucault. Un pendule oscille autour d'un axe horizontal, le disque de cuivre passe dans l'entrefer de l'électroaimant. Il s'agit d'un aimant constitué d'une bobine parcourue par un courant I . En traversant l'entrefer, ce disque coupe donc les lignes d'un champ magnétique de direction horizontale. En l'absence de champ d'induction magnétique B, le pendule oscille librement, sans amortissement notable, car seul le frottement de l'air le freine légèrement. S

Lorsque nous fermons l'interrupteur S, le disque est très rapidement freiné. Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /octobre 2000

+

-

9

Inductance LORSQUE LE DISQUE METALLIQUE COUPE LES LIGNES DE FORCE MAGNETIQUE H, DES COURANTS PRENNENT NAISSANCE DANS LA MASSE CONDUCTRICE. ON LES APPELLE COURANTS DE FOUCAULT. En effet, le mouvement du disque à la vitesse v dans l'entrefer provoque l'apparition d'une tension induite Ui .

 Ui  = B ⋅ l ⋅ v Cette tension induite Ui prend naissance dans un conducteur et entraîne la circulation de courants électriques qui peuvent être très intenses. selon la loi de Lenz. Les interactions mécaniques qui découlent de la circulation des courants, s'opposent au mouvement qui leur donne naissance. Il y a freinage. Il y a également échauffement par effet Joule.

Dans la même expérience, nous remplaçons le disque plein par un disque dans lequel nous avons pratiqué des entailles. Nous constatons que lors de la fermeture du commutateur S, le freinage du pendule est beaucoup moins efficace car les courants de Foucault sont, eux, moins intenses.

S +

-

Remarques : Les trajets suivis par les courants de Foucault dans la matière métallique sont indéterminés. Dans certains cas, nous employons des tôles pour allonger le circuit, afin d'augmenter la résistance électrique R et ainsi diminuer le courant I. Les courants de Foucault peuvent être utiles pour réaliser des ralentisseurs pour les poids lourds, ou dans les compteurs d'énergie.

11.10

Réduction des courants de Foucault :

Les courants de Foucault peuvent être nuisibles, provocant des échauffements des tôles des machines électriques, comme nous le verrons dans le chapitre sur les machines à courant alternatif sinusoïdal et les transformateurs.

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10

Inductance Nous remédions à ces effets en construisant des noyaux au moyen d'empilement de tôles minces séparées par un vernis isolant. tôle

rivets de fixation

Ces tôles sont rivetées ensemble, et sont isolées électriquement entre-elles. Les courants induits sont ainsi de plus faible intensité.

B

B

tôles fines isolées

tôle massive

Exemple de courants de Foucault dans le noyau d'un transformateur

courants de Foucault flux des courants de Foucault flux produit par le courant dans la bobine inductrice

Pour limiter les courants de Foucault et les pertes par effet Joule qui en découlent, les noyaux des transformateurs sont constitués de tôles isolées entre-elles, comme le montre l'exemple ci-dessous :

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11

Inductance

11.8 Documentaire Nikola Tesla (1856-1943). Ingénieur électricien et inventeur yougoslave. Après ses études d'ingénieur à Budapest, il s'installe à New York en 1887 pour fonder une entreprise de construction d'alternateur. On lui doit la réalisation du premier moteur asynchrone et l'invention des courants polyphasés, et du montage en étoile. En 1889 il étudia les circuits à hautes fréquences et imagina le coulage de deux circuits par induction mutuelle. Ces études menèrent à la mise au point des premiers générateurs industriels d'ondes hertziennes.

James Clerk Maxwell (1831-1879). Physicien écossais. Professeur au King's College de Londres jusqu'en 1865. Il démontre en 1860 qu'à une même température, l'énergie cinétique moyenne des molécules ne dépend pas de leur nature. C'est dans le cadre de cette théorie qu'il introduit le fameux "démon de Maxwell". Disciple de Faraday, il crée en 1862 le concept de "déplacement" et de "courant de déplacement apparaissant dans les diélectriques soumis à un champ électrique. Après de longues années d'élaboration, il donne les équations générales du champ électromagnétique.

Joseph Henry (1797-1878). Ingénieur et professeur d'université américain. Il améliora les électroaimants, en enroulant une deuxième couche de spires sur la première. Il développa en 1831 une première forme de télégraphe avec une ligne de 1 kilomètre et demi. Ses travaux sur l'induction électromagnétique furent menés parallèlement à ceux de Faraday. Il est surtout connu pour sa découverte en 1832 de l'auto induction et de l'extracourant.

Wilhelm Eduard Weber. Physicien allemand (1804-1891). Il étudie d'abord les phénomènes d'acoustique, la polarisation des ondes sonores et la compensation de température des tuyaux d'orgues. Avec Gauss, il réalise en 1833, d'après les indications d'Ampère, un télégraphe électrique. En 1846, il donne la loi fondamentale concernant les forces exercées par les particules électrisées en mouvement.

Heinrich Friedrich Lenz (1804-1865). Physicien russe. Il fut recteur de l'Académie de SaintPétersbourg. Il est connu pour sa découverte de la loi donnant le sens des courants induits, la Loi de Lenz. Il observa en 1835 l'accroissement de la résistance électrique des métaux avec la température et étudia l'effet Peltier. Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /octobre 2000

12

Inductance Léon Foucault, physicien français (1819-1868), est le type même du scientifique autodidacte. Il commença des études de médecine avant de se diriger vers la physique. Durant quelques temps, il rédige un feuilleton scientifique dans un journal. Ses premières études se penchent sur la détermination de la vitesse de la lumière dans différents milieux tels que l'air ou le vide. C'est vers 1850 qu'il donne l'explication de la théorie d'Arago sur le magnétisme de rotation. Ce qui le conduira à définir les courants induits dans les masses métalliques. Ces courants sont appelés Courants de Foucault. En 1851, il met en évidence la rotation de la terre au moyen d'un pendule. Il s'agit d'une expérience passionnante que l'on peut voir depuis peu à Neuchâtel. Ses études sur le pendule l'amènent au développement du gyroscope et à la réalisation de divers types de télescopes.

11.9 Entraînement 1.

Qu'appelle-t-on tension induite ?

2.

Quelles sont les conditions pour obtenir une tension induite ?

3.

Qui a démontré le phénomène de tension induite ?

4.

Que se passe-t-il si les lignes de force de l'aimant ne sont plus perpendiculaires au conducteur ?

5.

Définir en quelques mots la loi de Lenz

6.

Dessiner les symboles d'une bobine pure et d'une bobine comportant une certaine résistance.

7.

Quelle précaution faut-il prendre pour protéger un circuit comportant une bobine et éliminer la surtension crée par la self-induction ?

8.

Comment se produisent les pertes par courants de Foucault?

9.

Les courants de Foucault se produisent-ils dans une pièce en aluminium, et pourquoi ?

10.

Les courants de Foucault se produisent-ils dans une pièce en PVC ? (justifiez votre réponses).

11.

Peut-on mesurer un courant de Foucault à l'aide d'un ampèremètre ? (justifiez votre réponses).

12.

Pourquoi a-t-on moins de courants de Foucault dans un noyau de tôles feuilletées ?

13.

Citer quelques exemples d'utilisation des courants de Foucault :

14.

Quelles sont les conséquences des pertes par effet Joule ?

15.

Donner quelques exemples où il est important de limiter les pertes par effet Joule. (Pas forcément des exemples en magnétisme)

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13

Inductance

1.

Une bobine possède au total 90 [m] de conducteur soumis à l'induction. Ces conducteurs se déplacent à la vitesse de 0.8 [m⋅s-1] dans un champ magnétique de 0.2 [T]. Calculer la tension induite aux bornes de la bobine.

2.

Dans un champ magnétique de 1.2 [T], 125 conducteurs de 20 [cm] sont réunis en série. Leur déplacement s'effectue à la vitesse de 7.5 [m⋅s-1]. Quelle est la tension induite ?

3.

L'induit d'une génératrice engendre une tension de 44 [V]. Les conducteurs ont une longueur de 11.4 [m] dont seulement le 85 % sont soumis au champ magnétique dans lequel ils se déplacent à la vitesse de 21.6 [km⋅h-1]. Déterminer l'induction magnétique.

4.

Le rotor inducteur d'un alternateur engendre 1.15 [T] et tourne à la vitesse de 46.8 [km⋅h-1]. La bobine statorique est composée d'une certaine longueur de fil conducteur dont seulement le 80 % sont induits. La tension induite aux bornes de la bobine est de 2511.6 [V] Quelle est la longueur totale du fil de la bobine statorique ?

5.

Un bobine de 5 [mH] et de résistance R supposée nulle est parcourue par un courant de 0.5 [A]. Sachant que le courant s'annule en 10 [ms], calculer la valeur de la tension induite obtenue aux bornes de la bobine. Que se passe-t-il si le courant s'annule brusquement et non pas progressivement ?

Réponses :

1. Ui = -14.4 [V] 2. Ui = -225 [V] 3. B = 756.8 [T] l = 210 [m] 5. Ui = -250 [mV] si le courant s'annule brusquement, Ui va augmenter

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14

Techniques de mesures

Chapitre 12

Sommaire • • • • • • • • • • • • •

Force, moment et couple Instruments à cadre mobile Extension des gammes de mesures Etude du schéma d’un multimètre analogique Instruments électrodynamiques Instruments ferromagnétiques Instruments électrostatiques et à induction Mesure en pont de Wheatstone Instruments de mesure numériques Etude du schéma d’un multimètre numérique Erreur de mesure relative et absolue Symboles des instruments de mesure Entraînement

Introduction Les relations étudiées dans le chapitre traitant du magnétisme nous permettent d'étudier le principe de fonctionnement des appareils de mesure. Dans une première partie, nous traiterons des appareils dits analogiques, et ensuite nous aborderons les instruments numériques. 0

100

Les appareils analogiques sont équipés d'une aiguille qui indique sur une échelle graduée la valeur de la grandeur mesurée. L'étude débutera par les notions de moment et de couple. Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /octobre 2000

1

Techniques de mesures

12.1 Moment Le moment

M

est, par définition, le produit vectoriel d'une force

par exemple) appliquée au bout d'un vecteur

M=Fxr

α

r

F

(électromagnétique

depuis un point d'application A.

Produit vectoriel ! ( M = F cross r )

F

r A

Symbole de la grandeur :

M

Symbole de l'unité :

[Nm]

Nous pouvons exprimer ce produit vectoriel dans un cas particulier comme :

point d'application

M = F ⋅ r ⋅ cos α

Nous admettrons que le produit de (r ⋅ cosα) représente le bras de levier de la force Ce bras de levier est perpendiculaire à la force

F.

F.

12.2 Couple : Définition :

Deux forces, qui ont une même grandeur mais des directions opposées et dont les lignes d'action sont différentes, constituent un couple.

Dans le cas de l'instrument à cadre mobile, le fil de torsion ou les ressorts spiraux créent un moment de réaction proportionnel à l'angle de torsion α, ceci afin de revenir à zéro à la fin de la mesure, et d'éviter que l'aiguille parte systématiquement en butée (couple antagoniste). Les forces produites par la bobine mobile et le ressort de rappel constituent un couple. Les couples n'exercent aucune force résultante sur l'aiguille. Par contre, ils exercent un moment résultant non nul. La valeur du moment résultant est indépendante du choix du point à partir duquel il est mesuré. Les moments de forces permettent de déterminer la condition d'équilibre de rotation de l'aiguille. Remarque importante : Avant de procéder à une mesure, il est important de contrôler la position de l'aiguille à zéro. Si ce n'est pas le cas, il faut ajuster la position au moyen du réglage repéré par ce symbole.

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2

Techniques de mesures Dans la pratique, pour éviter que le champ d'induction B puisse être perpendiculaire au cadre mobile, les noyaux et l'aimant sont construits avec une forme particulière.

Par cette forme, les lignes de force sont concentrées sur le cadre mobile diminuant la dispersion du flux Φ.

12.3 Instrument à cadre mobile : Les instruments de mesure à courant continu sont généralement pourvus d'un équipement à cadre mobile.

Ce cadre mobile utilise la force électromagnétique F que subit une bobine ou un conducteur parcouru par un courant

I

et placé dans un champ d'induction

B.

Symbole général des instruments à cadre mobile : C'est la relation de Laplace qui est utilisée :

F = B × Il

Produit vectoriel !

(prononcer

B cross Il

Vue d'ensemble d'un appareil à cadre mobile :

1)

Aimant permanent générateur d'un champ d'induction

2)

Noyau en fer doux pour guider les lignes de force de l'aimant permanent

3)

Noyau en fer doux pour guider les lignes de force de la bobine siège du courant

4)

Bobine complète à cadre mobile dans laquelle circule le courant I mesuré

5)

Cadre en aluminium, support de la bobine

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B

I

mesuré

3

Techniques de mesures

12.4 Principe de fonctionnement : Le courant à mesurer passe par les enroulements d'une bobine ou cadre mobile suspendu entre les pôles d'un aimant.

Fil assurant l'amenée du courant I et la suspension du cadre, ainsi que le moment mécanique de torsion dans les appareils simples.

F b I L

F c

Pôle Nord

I

B

S

Fc

Dans les appareils un peu plus performants, ce sont des ressorts en spirales qui assurent le moment de rappel.

Pôle Su d

N

F

Nous voyons que sur les côtés du cadre, parallèles aux lignes de forces du champ d'induction

H B , les forces électromagnétiques F

se compensent.

Par contre, sur les faces du cadre, perpendiculaire au champ d'induction électromagnétiques

F

H B,

les forces

constituent un couple de forces.

Vue de dessus :

B

b

I

Fc Pôle Nord

Pôle Su d

Fc I

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4

Techniques de mesures

12.5 Utilisation de l'instrument à cadre mobile : Cet instrument ne peut s'utiliser qu'en courant continu ou stable, car le sens des lignes de force de l'aimant ne doit pas changer en fonction du courant mesuré. Lors de la mesure, il faut être attentif à la polarité, car si le courant I engendre une force

H

électromagnétique F inverse du champ d'induction B , l'aiguille va taper la butée, se déformer et ne plus indiquer précisément les mesures futures. Le symbole pour indiquer le genre de courant à mesuré est : Avec ce principe, nous ne pouvons mesurer que des courants électriques I . Pour la mesure de tension U , on mesure le courant qui traverse l'appareil à cadre mobile raccordé en parallèle. La lecture de la valeur de ce courant est faite sur une échelle graduée en tension. Pour que cette mesure soit correcte et ne modifie pas les caractéristiques du circuit, la résistance interne de l'instrument doit être très grande. Ce principe de mesure est identique pour tous les appareils de mesure analogique, à l'exception de l'instrument électrostatique. Etude : Un appareil de mesure parcouru par un courant I de 1 [A] provoque un moment M maximum. Ce moment M est obtenu par le bras de levier r que constitue le cadre mobile et par une force électromagnétique F . Cette force électromagnétique F est proportionnelle au courant I , à la longueur l, et au champ d'induction B . Soit les relations suivantes :

F = B × Il

M = F ×r

Comme nous admettons la perpendicularité entre B et l , nous pouvons écrire le produit scalaire :

M = r ⋅ B⋅ I ⋅l Remarque :

Ceci nous amène trop loin dans l'étude des circuits magnétiques et nous nous contenterons du principe. Par contre, électriquement, il est nécessaire d'étudier le circuit de l'appareil de mesure.

Schéma de l'appareil de mesure dans le circuit électrique : Ri

cadre mobile

récepteur

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5

Techniques de mesures Exemple : Un appareil à cadre mobile présente une résistance de 100 [Ω]. Nous désirons mesurer un courant de 1 [A]. L'aiguille se trouve à fond d'échelle lorsqu'un courant de 10 [mA] circule dans l'appareil. Nous savons que l'appareil de mesure supporte un courant maximum Imax de 10 [mA]. Le courant maximum Imes mesuré sera de 1 [A]. Ceci implique que nous devons réaliser un passage de courant I ailleurs que dans l'organe de mesure. Nous exécuterons un pont mis en parallèle sur les bornes de l'instrument.

1 [A]

Ri

10 [mA]

10 [mA] cadre mobile 990 [mA]

990 [mA] R shunt 1 [A]

1 [A] récepteur

Le point de passage du courant s'appelle un SHUNT.

12.6 Dimensionnement du Shunt : Appliquons les lois de Kirchhoff et d'Ohm :

U = R⋅I

ΣI totaux = ΣI partiels

I total = Iinstrument + I shunt

Comme nous sommes en parallèle, la tension Uinstrument est égale à la tension Ushunt .

U instrument = U shunt Remplaçons par la loi d'Ohm :

Rinstrument ⋅ I instrument = R shunt ⋅ I shunt Cherchons les inconnues que sont Ishunt et Rshunt

Rinstrument ⋅ Iinstrument = Rshunt ⋅ ( I total − Iinstrument ) Application numérique :

Rshunt = Remarque :

100 ⋅ 10 ⋅ 10−3

(1 − 10 ⋅ 10−3)

R ⋅I Rshunt = instrument instrument I total − Iinstrument

= 1.01 [ Ω]

Si nous désirons obtenir une autre valeur à fond d'échelle, nous remplacerons ce shunt par un shunt d'une autre valeur.

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Techniques de mesures Exemple pratique : Nous disposons d'un organe de mesure à cadre mobile dont les caractéristiques sont les suivantes : Courant maximum : 4.7 [mA]

Tension aux bornes : 700 [mV]

Cet instrument doit être utilisé pour la mesure de courants de différentes intensités. Pour cela il faut prévoir 3 extensions de mesure pour les valeurs suivantes : I1 = 50 [mA]

I2 = 660 [mA]

I3 = 1250 [mA]

Dessiner le schéma électrique de l'instrument complet, équipé de tous les éléments nécessaires pour effectuer les mesures désirées. Calculer les valeurs des résistances shunt.

Relation :

R ⋅I Rshunt = instrument instrument I total − Iinstrument

Schéma électrique de l'instrument :

Ri

4.7 [mA]

4.7 [mA] cadre mobile 50 [mA]

45.3 [mA] R shunt 1 655.3 [mA] R shunt 2 1245.3 [mA]

660 [mA]

1250 [mA]

R shunt 3

récepteur

Le courant maximum admissible dans le cadre mobile est de 4.7 [mA]. Il faut donc dévier le courant supérieur à cette valeur. Cette déviation est effectuée au moyen de la résistance shunt placée en parallèle aux bornes du cadre mobile. Pour simplifier les calculs, nous utilisons 3 résistances shunt, une pour chaque gamme de mesure, bien que ce ne soit pas toujours le cas dans la pratique. Les valeurs inscrites sur les interrupteurs indiquent les gammes de mesure et non les courants les traversant. Avant de commencer le calcul des résistances shunt, nous devons déterminer la valeur de la résistance interne du cadre mobile.

Rinst =

U instrument 700 ⋅ 10−3 = = 148.94 [ Ω ] Iinstrument 4.7 ⋅ 10− 3

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7

Techniques de mesures Calcul des résistances shunt :

R ⋅I 148.94 ⋅ 4.7 ⋅ 10−3 = 15.45 [ Ω ] Rshunt1 = instrument instrument = I total − Iinstrument 50 ⋅ 10− 3 − 4.7 ⋅ 10− 3 R ⋅I 148.94 ⋅ 4.7 ⋅ 10−3 = 1.07 [ Ω ] Rshunt 2 = instrument instrument = I total − Iinstrument 660 ⋅ 10− 3 − 4.7 ⋅ 10− 3 Rinstrument ⋅ Iinstrument 148.94 ⋅ 4.7 ⋅ 10−3 = = 562 [mΩ ] Rshunt 3 = I total − Iinstrument 1250 ⋅ 10− 3 − 4.7 ⋅ 10− 3

12.7 Utilisation de l'instrument à cadre mobile en voltmètre : Dans la pratique, nous désirons également mesurer des tensions U à l'aide d'un cadre mobile.

R aditionnelle

Ri

cadre mobile URa

Uinstrument

-

+

Utotal

Dans ce cas, la résistance est placée en série et elle se nomme Radditionnelle Nous savons que l'appareil de mesure supporte, de par sa construction, un courant I de 10 [mA] et que sa résistance interne Ri est de 100 [Ω] . La tension U maximum que nous désirons mesurer est de 300 [V]. Ceci implique que nous devons réaliser un réducteur de tension U en plaçant une résistance additionnelle en série.

12.8 Dimensionnement de la résistance additionnelle Appliquons les lois de Kirchhoff et d'Ohm :

ΣU totale = ΣU partielles

U = R⋅I

U instrument = Rinstrument ⋅ Iinstrument U total = U instrument + U Radditionnelle

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Techniques de mesures Comme nous sommes en série, le courant Iinstrument est égal au courant IRadditionnelle . Nous abrégeons de la manière suivante : Iinstr

= I Radd

Remplaçons par la loi d'Ohm et cherchons l'inconnue qu'est Radd

U totale = ( Rinstr ⋅ Iinstr ) + ( Radd ⋅ Iinstr ) Application numérique :

Radd = Remarque :

(

300 − 100 ⋅ 10 ⋅ 10−3 10 ⋅ 10− 3

Radd =

)

U totale − ( Rinstr ⋅ Iinstr ) Iinstr

= 29.9 [ kΩ]

Si nous désirons obtenir une autre valeur à fond d'échelle, nous remplacerons cette résistance additionnelle par une résistance d'une autre valeur.

12.9 Schéma d'un multimètre : Le multimètre est un ampèremètre que l'on peut également utiliser comme voltmètre. Le choix de la mesure s'effectue au moyen d'un commutateur qui raccorde soit une résistance shunt pour une mesure de courant, soit une résistance additionnelle pour une mesure de tension.

A gauche du schéma se trouvent les deux bornes de connexion de l'instrument. La borne COM (commun) est directement reliée au cadre mobile. L'autre borne A V Ω est reliée au commutateur de fonction. En bas à droite un commutateur à trois positions détermine le genre de tension/courant mesuré, soit AC ou DC. La position de droite place l'instrument en position de mesure ohmique. Pour cet instrument, le cadre mobile a une déviation complète avec un courant de 36 [µA]. En haut du schéma se trouve le commutateur qui va définir la gamme de mesure ainsi que le genre de mesure effectuée. Contacts 1 à 7 mesures de courants

Contacts 8 à 11 : mesures ohmiques

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Contacts 12 à 18 : mesures de tensions 9

Techniques de mesures

12.10

Résistance interne des instruments de mesure

Nous avons démontré, au moyen de nos exemples, que : un ampèremètre doit posséder une petite résistance interne un voltmètre doit posséder une grande résistance interne Remarque :

12.11

Les résistances additionnelles ou shunt ont une certaine tolérance. Plus la tolérance est petite et moins l'erreur de mesure sera grande. Le circuit magnétique influence aussi cette qualité de la mesure.

Instrument de mesure électrodynamique :

Dans l'instrument de mesure à cadre mobile, nous avons étudié que le champ d'induction était dû à la présence d'un aimant permanent.

B

Comme nous l'avons vu en magnétisme, il est possible de remplacer l'aimant permanent par une bobine traversée par un courant. Cet instrument devient alors un appareil de mesure électrodynamique. La technologie de cet appareil en fait un instrument moins sensible et plus robuste que l'appareil à cadre mobile. Vue d'ensemble : Symbole de l'instrument :

1)

bobine de champ d'induction B

2)

noyau en fer doux pour guider les lignes de force de la bobine

3)

bobine complète à cadre mobile dans laquelle circule le courant I mesuré

4)

amortisseur supplémentaire travaillant comme le fil de torsion

Principe de fonctionnement : Le courant à mesurer passe par les enroulements d'une bobine (3) ou cadre mobile suspendu entre les pôles d'un noyau supportant la bobine (2) générant le champ d'induction

H B.

La suite du fonctionnement est la même que pour l'instrument à cadre mobile. Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /octobre 2000

10

Techniques de mesures

12.12

Utilisation de l'instrument de mesure électrodynamique

Cet instrument de mesure permet de mesurer des courants continus ou des courants

H

alternatifs. Le champ d'induction B de la bobine est parcouru par un courant I dépendant du courant I mesuré. Ce qui n'était pas le cas de l'aimant permanent. Le symbole est, pour indiquer le genre de courant mesuré :

12.13

Wattmètre électrodynamique :

Nous avons étudié l'instrument de mesure électrodynamique capable de mesurer une tension U ou un courant I. Dans la pratique, il est nécessaire de mesurer la puissance P. La puissance P est le produit de la tension u et du courant i à chaque instant . Son symbole est : Vue d'ensemble :

4

1)

bobine de champ d'induction B dépendant du courant I mesuré

2)

noyau en fer doux pour guider les lignes de force de la bobine courant (pas dessiné)

3)

bobine complète à cadre mobile dans laquelle circule le courant I dépendant de la tension U mesurée, engendrant un champ d'induction B

4)

amortisseur supplémentaire comme le fil de torsion

'

f1 f f

1

'

3 f1

B

i i

12.14

travaillant

Principe de fonctionnement :

Le courant à mesurer passe par les enroulements de la bobine fixe provoquant un champ d'induction

H B , repéré BI , impliquant une force électromagnétique FI .

Le courant I circule dans la bobine mobile, est l'image de la tension U mesurée. Ce courant

H

I engendre un champ d'induction B dépendant de la tension U et repéré par BU. Une force électromagnétique FU se manifeste. Ces 2 forces électromagnétiques provoquent un moment de déplacer l'aiguille de l'instrument de mesure. Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /octobre 2000

M.

Ce qui a comme conséquence

11

Techniques de mesures

12.15

Utilisation du wattmètre électrodynamique :

Cet instrument est surtout utilisé comme wattmètre. Une bobine est utilisée pour la mesure du courant et l'autre pour la mesure de la tension. La déviation de l'aiguille dépend non seulement du flux magnétique des deux bobines mais également du déphasage entre U et I. Nous mesurons donc : Remarque :

12.16

P = U ⋅ I ⋅ cosϕ

La notion de puissance active P est abordée dans le chapitre traitant des puissances en régime alternatif sinusoïdal.

Schémas d'utilisation du wattmètre électrodynamique:

Comme nous venons de le voir, ce type d'appareil est généralement utilisé comme wattmètre, mais il est également possible de l'utiliser comme varmètre (indication de la puissance réactive). Pour cela, il suffit de créer un déphasage de 90 [°] de la bobine de tension. Le déphasage est créé soit par une inductance, soit une capacité. Les schémas ci-dessous montrent les différents montages possibles. wattmètre Mesure de la puissance active

~

Z

La bobine mobile est utilisée pour la tension et la bobine de champ comme bobine de courant.

L varmètre Mesure de la puissance réactive

~

R

Z

Une inductance L est montée en série avec la bobine de la tension. Cette inductance provoque déphasage de 90 [°]

un

ampèremètre Mesure du courant

~ Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /octobre 2000

Z

Les deux bobines sont montées en série. Elles sont parcourues par le même courant.

12

Techniques de mesures

voltmètre Mesure de la tension

~

12.17

Les deux bobines sont montées en série, mais le courant de la charge ne les traverse pas.

Z

Instrument de mesure ferromagnétique ou à fer doux :

Dans l'instrument de mesure électrodynamique, nous avons vu que le champ d'induction

H B

était dû à la présence d'une bobine, siège du champ d'induction était obtenu par l'intermédiaire d'une bobine sur un cadre mobile.

H B.

Le moment

M

Comme nous avons vu en magnétisme, il est possible de remplacer cette bobine de cadre mobile par un noyau de fer doux. Le fer doux possédant une certaine perméabilité relative µr Cet instrument devient alors un appareil de mesure ferromagnétique. Son symbole est : Vue d'ensemble : 1)

raccordement de la bobine de champ d'induction B

2)

bobine de champ d'induction B

3)

noyau en fer doux influencé par les lignes de force de la bobine

4)

amortisseur supplémentaire travaillant comme le fil de torsion (tube fermé)

5)

ailette de l'amortisseur

Principe de fonctionnement : Le courant à mesurer passe par les enroulements d'une bobine générant le champ d'induction

H B.

Les lignes de force vont passer dans l'air. Elles provoquent une aimantation à l 'intérieur de cette bobine. Les matériaux ferromagnétiques ont la propriété de rassembler et de canaliser les lignes de force qui entrent ou sortent perpendiculairement au matériau. Nous pouvons dire que le flux magnétique Φ est constant à travers toutes les aires d'un même tube de champ. Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /octobre 2000

13

Techniques de mesures

H

Calculons le champ d'induction B dans la bobine. Quand les N spires, entourant le milieu où se trouve le noyau en fer doux, sont parcourues par un courant électrique I, nous pouvons dire que le noyau ferromagnétique canalise les lignes de force. Dans l'air, nous pouvons dire que :

Bair = µ0 ⋅ Hair Dans le fer, nous pouvons dire que :

B fer = µ0 ⋅ µr ⋅ H fer D'après la conservation du flux magnétique Φ :

Φ = Bair ⋅ Aair = B fer ⋅ A fer Nous pouvons démontrer, comme Ampère l'avait fait, que l'intensité du champ magnétique H est dépendante du courant électrique I générateur du champ d'induction longueur l soumise aux lignes de force du champ d'induction

I

12.18

1

1

air

fer

1

H B.

H B

et de la

N nombre de spires air

Loi d'Ampère :

Nous pouvons énoncer la loi d'Ampère de la façon suivante :

N ⋅ I = Hair ⋅ I air + H fer ⋅ I fer Si nous admettons la perpendicularité, nous obtenons la relation suivante, à l'aide des autres relations : Nous savons que

remplaçons H par

B = µ0 ⋅ µr ⋅ H que nous transformons H =

B µ0 ⋅ µr

B µ0 ⋅ µr

N ⋅I =

B fer Bair ⋅ I air + ⋅I µ0 ⋅ µr µ0 ⋅ µr fer

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14

Techniques de mesures Nous savons que

B=

remplaçons B par

Φ A

Φ A

N ⋅I =

Φ Φ ⋅ I air + ⋅I µ0 ⋅ µr ⋅ Aair µ0 ⋅ µr ⋅ A fer fer

Comme le flux magnétique Φ est constant, nous allons effectuer une mise en évidence par Φ :

I fer I air ÷ ⋅Φ N ⋅ I = çç + µ0 ⋅ µr ⋅ Aair µ0 ⋅ µr ⋅ A fer ÷ Le terme

I fer I air ç ÷ + ç µ ⋅µ ⋅ A ÷ µ ⋅ µ ⋅ A air fer 0 r 0 r

exprime l'opposition faite au passage des

lignes de force. Ce terme peut être remplacé par la réluctance magnétique ℜ.

N⋅I = ℜ⋅Φ

Loi : Son symbole de grandeur est : Son symbole d'unité est : Remarque :

NI [A]

Cette grandeur est parfois appelée la SOLENATION ou excitation , dont le symbole de grandeur est symbolisé par la lettre grecque téta : θ

Cette expression évoque des relations rencontrées pour un circuit électrique :

U = R ⋅ I dans le cas ou R = R1 + R2 + .....+ Rn et surtout, avec la relation de la résistance, en fonction de la résistivité, de la longueur, et de l'aire du fil

R=

ρ⋅l A

Dans notre cas et en magnétisme, la réluctance nous est donnée

ℜ = çç

I fer I air ÷ + µ0 ⋅ µr ⋅ Aair µ0 ⋅ µr ⋅ A fer ÷

Nous constatons que nous pouvons adopter les mêmes démarches théoriques entre le magnétisme et l'électrotechnique, avec une fois une source de tension et l'autre fois une source de courant. La suite du fonctionnement est la même que pour l'instrument à cadre mobile ou pour l'instrument électrodynamique. Au passage du courant de mesure I, la bobine magnétise le noyau en fer doux et l'attire, provoquant ainsi un moment

M

sur l'aiguille.

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15

Techniques de mesures

12.19

Utilisation de l'instrument de mesure ferromagnétique

L'instrument de mesure ferromagnétique permet de mesurer des courants continus ou des courants variant dans le temps. Le champ d'induction B de la bobine est parcouru par un courant I dépendant du courant I mesuré. Ce qui n'était pas le cas de l'aimant permanent. Cet instrument de mesure est plus robuste que celui à cadre mobile (pas de fils d'alimentation de l'organe mobile).

12.20

Instrument électrostatique :

Son principe est celui du condensateur à plaque, une des plaques étant mobile. En appliquant une tension sur les deux plaques, on les charges différemment. Un champ électrostatique est ainsi créé entre les plaques, de sorte qu'une force d'attraction s'établit entre elles. Cette force dépend de la tension mesurée. Le sens de la déviation de l'aiguille est toujours le même. Il est possible de mesurer des tensions jusqu'à 500 [kV], pour des fréquences maximums de 100 [Hz] . Symbole :

12.21

Instrument à lame vibrante :

Ce type d'appareil est utilisé comme fréquencemètre. Il est constitué de lames d'acier dont la fréquence de résonance est différente pour chacune d'elles. Soumises à un champ magnétique variable, la lame qui entrera en résonance se mettra à vibrer. L'affichage est une fenêtre graduée au travers de laquelle on peut voir quelle est la lame, ou quelles sont les lames, qui vibrent. Symbole :

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16

Techniques de mesures

12.22

Instrument de mesure à induction :

Il existe des wattmètres à induction, mais ce type d'appareil est plus connu sous le nom de compteur d'énergie. Il utilise le principe du moteur asynchrone à rotor à cage. Il est constitué de deux bobines (une première pour le courant et une seconde pour la tension), d'un disque en aluminium et d'un intégrateur mécanique (engrenage à vis qui entraîne l'affichage). Les bobines A et B induisent des courants de Foucault dans le disque C. Ces derniers induisent à leur tour un flux magnétique induit. Il s'ensuit la création d'une force sur le conducteur (partie du disque parcourue par les courants de Foucault) et d'un couple sur le disque, qui entre en rotation. Le couple de freinage est en rapport avec la vitesse de rotation du disque. Il est donné par un aimant permanent D engendrant le même type de réaction que décrit ci-dessus.

Symbole :

Les compteurs d'énergie ont tous une constante c [kWh-1] qui indique le nombre de tours que doit faire le disque pour une consommation d'énergie électrique de 1 [kWh]. On peut calculer la puissance d'un récepteur en calculant le temps t [s] que met le disque pour faire un certain nombre de tours a . Exemple : Un compteur a une constante c qui vaut 75 [kWh-1] et l'appareil qui est raccordé à ses bornes fait tourner le disque de 3 tours en une minute. Quelle est la puissance du récepteur ?

a ⋅ 3600 3 ⋅ 3600 P= = = 2.4 [kW] c⋅t 75 ⋅ 60

[ kW ] =

a 3 = = 2.4 [kW] c ⋅ t 75 ⋅ 0.01667

[ kW ] =

P=

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[−] ⋅ [s] 1 ê kWh ú ⋅ [ s ]

[−] 1 ê kWh ú ⋅ [ h ] 17

Techniques de mesures

12.23

Mesure au moyen d'un instrument à cadres croisés :

Dans la pratique, nous utilisons des appareils à cadres croisés pour des ohmmètres, pour l'indication de la position de vannes ou des mesures de températures. Cet instrument est un appareil de mesure de type électrodynamique. Il est muni d'un équipement à cadre mobile constitué de 2 bobines en croix liées à l'organe mobile. L'échelle est graduée en fonction de la nature de la mesure, soit par exemple en [Ω] ou OUVERT / FERME ou [°C] Symbole : Vue d'ensemble : 1. bobine complète à cadre mobile dans laquelle circule le courant I mesuré du circuit de la thermistance

1 °C +

-

2

R Sonde de température

2. Bobine complète à cadre mobile dans laquelle circule le courant I mesuré du circuit de la résistance de réglage

Principe de fonctionnement : Le courant à mesurer passe par les enroulements d'une bobine ou cadre mobile suspendu H entre les pôles d'un noyau supportant la bobine générant le champ d'induction B de la thermistance. Si ce courant est nul, la bobine de réglage va influencer le cadre mobile. L'aiguille va se trouver dans une certaine position. Cette position est donnée par le réglage du couple M engendré par le courant circulant dans la résistance .

Lorsque le courant I1 circulant dans la thermistance est égal au courant de réglage I2 , le couple M résultant des deux courants s'annule.

Si le courant circulant I1 dans la thermistance est plus grand que le courant de réglage I2 , le couple M résultant fera dévier l'aiguille dans une certaine position.

I1

I2

°C

I2 °C

I1

Cet instrument est appelé parfois : appareil de mesure de quotients

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18

Techniques de mesures Le terme quotient signifie réellement que, quelle que soit la grandeur mesurée (température, position, résistance, etc.), nous mesurons toujours un courant I par rapport à une tension U dans un circuit. Ce courant provoque un champ d'induction B . Nous comparons un deuxième champ d'induction à ce premier champ d'induction B. Ce champ d'induction B est provoqué par un courant I par rapport à une tension U.

12.24

Mesure d'autres grandeurs non électriques :

Toutes les grandeurs non électriques, tels l'humidité, la pression, le débit de liquide, les niveaux de remplissage ou la surveillance de phénomènes de combustion (analyse de gaz), les phénomènes électrochimiques, les rayonnements radioactifs, etc., requièrent des sondes adéquates appelées aussi capteurs. Le marché propose des capteurs pouvant mesurer les grandeurs selon le principe du montage en pont, mais aussi par l'intermédiaire d'amplificateurs de mesure. Principe : Une résistance variable de type PTC est alimentée par un courant de référence I0 . Ce courant I0 engendre une tension de référence sur un amplificateur de mesure. Si la résistance varie, la tension varie aussi aux bornes de l'amplificateur de mesure selon la loi d'Ohm.

U = RPTC ⋅ I 0 Les variations sont tellement petites qu'il est nécessaire d'agrandir cette variation, d'où le nom d'amplificateur.

+ 24 [V]

Une tension d'alimentation est nécessaire pour alimenter le pont de mesure.

-

Capteur thermométrique de type PTC

+

PTC PT100

U,I,R

I entre 0 et 20 [mA]

Les signaux traités peuvent alors être utilisés à des fins de commande, de réglage ou de surveillance.

+

Signal de sortie vers le régulateu ou l'organe de commande

-

( traitement des signaux )

- 24 [V]

ATTENTION DANGER !!! Dans la pratique, faites bien attention à ne pas appliquer une tension d'alimentation trop grande aux bornes des capteurs. Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /octobre 2000

19

Techniques de mesures

12.25

Mesure en pont de Wheatstone:

Dans la pratique, nous utilisons le pont de Wheatstone pour effectuer des mesures de températures aux moyens de résistances à coefficient de température α positif ou négatif, abrégée PTC ou NTC (en anglais Positive Température Coefficient ou Negative Temperature Coefficient). Ces résistances sont parfois appelées thermistances et sont symbolisées de la façon suivante en norme CEI :

NTC

Matière des thermistances : Les thermistances sont construites à base de matières semi-conductrices. La caractéristique des semi-conducteurs est de posséder 4 électrons périphériques. Voir le chapitre de physique électrique dans le volume 1 du cours d'électrotechnique. Rappel :

Un bon conducteur possède peu d'électrons périphériques. Un semi-conducteur en possède 4. Un isolant à sa couche périphérique saturée.

conducteurs

12.26

semi-conducteurs

isolants

Pont de Wheatstone:

Nous allons, par un pont de résistances connues et inconnues, ainsi qu'avec un instrument à cadre mobile très sensible, chercher la valeur de la résistance R variant avec la température θ. Schéma électrique : B

A

R3

R1

C

D

R2

R NTC

Nous retombons dans les différentes lois électriques étudiées précédemment. (Loi d'Ohm et lois de Kirchhoff). Les tensions sont proportionnelles aux résistances, le montage en pont est équilibré lorsque la différence de tension UCD est nulle.

F E

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20

Techniques de mesures Exemple : Données : R1 = 60 [Ω]

R2 = 40 [Ω]

R3 = 105 [Ω]

RNTC 25 = 70 [Ω]

UAF = 12 [V]

Inconnue : UCD = ? Relations :

U = R⋅I

ΣI total = ΣI partiels

ΣU total = ΣU partielles

Nous sommes dans un couplage mixte.

U AB = R AB ⋅ I tot = 0 ⋅ I tot = 0 [ V ] = U EF ce qui implique que :

U AF = U AB + U BC + U CF + U EF = 0 + U BC + U CF + 0 = U BF mais aussi, puisque nous sommes en parallèle :

U AF = U AB + U BD + U DF + U EF = 0 + U BD + U DF + 0 = U BF Calculons la tension UBC Nous allons faire une proportion. En effet, nous avons un couplage série, ce qui implique que le courant IBC est constant. La tension UBC est proportionnelle aux résistances de la branche BE. Le courant IBF dépend de la résistance équivalente RRF.

RBC = R1 + R2 Appliquons la loi d'Ohm :

U BC = I BC ⋅ RBC

que nous pouvons écrire :

U BC = I BF ⋅ RRC

mais IBE s'obtient par :

U BC =

U BE ⋅R RBE BC

ou:

R U BC = U BE ⋅ BC RBE

Cette relation est parfois donnée sous le nom de diviseur de tension. Mais ce n'est pas une nouveauté, c'est la loi d'Ohm et les lois de R Kirchhoff. U CE = U BE ⋅ CE RBE Par cette méthode, nous pouvons obtenir la tension UCE Nous pouvons, toujours par cette méthode, donner les autres tensions de notre pont de Wheatstone (puisque nous avons un couplage parallèle et ensuite série). et pour la résistance de la thermistance

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R U BD = U BE ⋅ BD RBE R U DE = U BE ⋅ NTC 25 RBE

21

Techniques de mesures Comme nous devons chercher la tension UCD, appliquons Kirchhoff et comparons les potentiels en C et D par rapport à une référence qui est notre point B.

U CD = VC − VD

Application numérique :

R 60 U BC = U BE ⋅ BC = 12 ⋅ = 7.2 [V] ( 60 + 40 ) RBE U CE = U BE ⋅

RCE 40 = 12 ⋅ = 4.8 [V] ( 60 + 40 ) RBE

U BD = U BE ⋅

RBD 105 = 12 ⋅ = 7.2 [V] (105 +70 ) RBE

RNTC25 ° 70 = 12 ⋅ = 4.8 [V] ( 105 +70 ) RBE

U DE = U BE ⋅

U CD = VC − VD = 7.2 − 7.2 = 0 [V] Remarque :

Il n'y a pas de différence de potentiel électrique entre les points C et D par rapport au point B. Si nous avions pris comme référence le point E, nous obtiendrons le même résultat.

U CD = VC − VD = 4.8 − 4.8 = 0 [V] Comme nous avons utilisé une thermistance, nous allons étudier le cas du pont de Wheatstone lorsque la température θ diminue, ce qui a comme conséquence d'augmenter la valeur de la thermistance selon la loi :

(

R−10° = R25° ⋅ 1 + α (θ−10° − θ25° )

)

Sachant que le coefficient de température α de cette thermistance est de -0.020408 [°C1], calculons notre tension U . CD Calculons la valeur de thermistance selon les données précédentes.

R−10° = 70 ⋅ (1 + −0.02408( − 10 − 25) ) = 120.00 [ Ω ] Passons directement à l'application numérique de notre pont de Wheatstone avec la nouvelle valeur de thermistance :

U BC = U BE ⋅

60 RBC = 7.2 [V ] = 12 ⋅ ( 60 + 40 ) RBE

40 R = 4.8 [V ] U CE = U BE ⋅ CE = 12 ⋅ ( 60 + 40 ) RBE Ces valeurs ne se trouvent pas modifiées par la thermistance, et constituent une référence.

U BD = U BE ⋅ U DE = U BE ⋅

105 RBD = 5.6 [V ] = 12 ⋅ ( 105 + 120 ) RBE

120 R NTC25 ° = 6.4 [V ] = 12 ⋅ ( 105 + 120 ) RBE

U CD = U BC − U BD = 7.2 − 5.6 = 1.6 [V] Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /octobre 2000

22

Techniques de mesures Remarque :

il y a une différence de potentiel électrique entre les points C et D par rapport au point B. Ce qui implique que notre instrument de mesure va, selon les lois du magnétisme vues auparavant, indiquer cette tension U par une déviation de l'aiguille.

Un courant I de mesure va circuler du point C à D. B

A

R3

R1

7.2 [V]

Imes

C

D

R2

5.6 [V]

R NTC

F E

Si nous avions pris comme référence le point E, nous obtiendrions le résultat suivant :

U CD = VC − VD = 4.8 − 6.4 =

- 1.6 [V]

B

A

R3

R1 Imes 4.8 [V]

C

D

R2

6.4 [V]

R NTC

F E

12.27

Interprétation des résultats :

•

Premièrement, il ne faut pas oublier que l'instrument de mesure possède une résistance interne Rint.

•

Ceci a comme effet de modifier le genre du couplage. Il n'est plus parallèle et série, mais un peu plus compliqué.

•

Une méthode de calcul différente doit être adoptée et s'appelle transformation d'un couplage de résistances en forme de triangle pour être ramenée à une représentation irréelle en forme d'étoile.

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23

Techniques de mesures Triangle : A

B

A

R1

R3

R2 '

R NTC '

R3

R1 R int C

D

R2

R NTC

R int '

F E F

Triangle

Etoile (purement imaginaire) :

Rint ' =

RNTC' =

RNTC ⋅ R2 Rint + R2 + RNTC Rint ⋅ RNTC Rin t + R2 + RNTC

Cette résolution mathématique sort du cadre de notre cours. La relation est la suivante, mais nous ne la développerons pas.

R2' =

Rint ⋅ R2 Rint + R2 + RNTC

Nous nous contenterons d'admettre que le point de Wheatstone a une différence de potentiel aux bornes de l'instrument de mesure, dont seule la valeur absolue nous importe. Dans le cas de la mesure de la thermistance, cette tension UCD est une représentation de la température θ. Aux points C et D, nous pouvons placer sur l'instrument de mesure une échelle graduée en [°C] ou encore placer un amplificateur de mesure donnant l'ordre de commander la mise en fonction d'un radiateur électrique. C•

•D

Dans la pratique, la mesure de la température ne se fait pas à côté du pont de mesure. Il faut donc compenser l'influence des variations de la température ambiante et surtout il faut tenir compte de la résistance des fils qui relient la sonde au système de mesure. Nous utilisons des montages particuliers et des résistances d'équilibrage spéciales.

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24

Techniques de mesures Sonde en raccordement à 3 fils (sonde = thermistance) 1 Bornes appareils (n° correspondant à VS 1000) Sonde

Pont de mesure avec système de mesure (VS 1000 et appareil)

3 Fils vers la sonde 4 I constant env. 1/mA

Schéma équivalent : Cu = résistance des fils de connexion

4 Cu 1

Cu

Cu 3

Nous constatons que la longueur du fil est prise en considération. N'oublions pas la relation : ρCu ⋅ l

R=

12.28

A

Autre application du pont de Wheatstone:

Le montage en pont est utilisé pour la mesure de précision des résistances. Nous avons vu qu'il y a une condition particulière d'équilibre. Cette condition est donnée par une tension nulle entre C et D. C'est un peu comme les plateaux d'une balance. Le pont de mesure est équipé de 2 résistances connues R1 et R3 et d'une résistance réglable R2 plus l'instrument de mesure.

B

R3

R1 + C

D

R2

R inconnue

E

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25

Techniques de mesures Cette condition d'équilibre est obtenue lorsque le courant Imes est de 0. Appliquons les lois de Kirchhoff :

ΣI total = ΣI partiels

I mes = ( I R1 − I R 2 ) + ( I R 3 − I Rinconnue ) = 0 [A] Ceci implique que R1 ⋅ I R1 = R3 ⋅ I R 3

R2 ⋅ I R1 = Rinconnue ⋅ I R 3

et

en divisant membre à membre, nous obtenons

R3 R1 = Rinc R2 d'où :

R3 ⋅ R2 R1

Rinc =

Dans la pratique, certains ponts sont construits au moyen de résistances linéaires remplaçant R1 et R2. B

R3

( R 1) + D ( R 2)

R inconnue

E

Comme la résistance R est fonction de :

ρCu ⋅ l

R=

A

Lorsque nous avons une tension nulle UCD, nous pouvons dire que, par la construction de la résistance linéaire, l'aire A et la résistivité ρ sont constantes :

Rinc =

Rinc =

⋅ R ) ( R1 ) ( 2 R3

R3 ρ ⋅ l ⋅ Cu 2 ρCu ⋅ l1 A A

ce qui implique :

Rinc = Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /octobre 2000

R3 ⋅ l l1 2 26

Techniques de mesures

12.29

Instruments de mesure numériques:

Les instruments de mesures numériques sont constitués d'éléments électroniques et les valeurs mesurées sont affichées au moyen de chiffres. Le principal avantage des instruments de mesure numériques est d'éliminer les erreurs de lecture dues à l'imprécision de la lecture.

analogique

0

numérique

100

avec une aiguille

12.30

avec un affichage (display)

Définition du terme numérique :

Nous donnons le nom de NUMERIQUE, à un appareil, pouvant représenter par un NOMBRE la grandeur mesurée. Attention !

Il ne faut pas confondre ! 4 est un chiffre, mais 1456 est un nombre composé de 4 chiffres. Le chiffre est au nombre ce que la lettre est au mot !

12.31

Définition du terme digital:

Le terme de DIGITAL vient d'un anglicisme ayant comme synonyme BINAIRE (2 états). Il est donc erroné de parler d'appareil de mesures à affichage digital. Dans la pratique, les catalogues d'appareils de mesures entretiennent cette erreur en parlant d'affichage à 4.5 digits, à 4 digits, ou 3.5 digits.

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27

Techniques de mesures Exemples :

a

Le digit est défini comme une composition de 7 segments notés par les lettres a à g et pouvant donner l'illusion de voir un chiffre.

f

b g

e

Remarque :

Le terme digit est également utilisé pour définir un mot de 4 bits servant à commander ce type d'affichage.

c

d

a

Le demi-digit est défini comme une composition de 2 segments notés b et c pouvant donner l'illusion de voir un 1 ou rien.

f

b g

e

c

d

12.32

Symboles et indications spéciales des instruments numériques :

Les principaux symboles des instruments numériques sont identiques à ceux des instruments analogiques. Ils possèdent généralement une sélection automatique de la gamme de mesure, avec parfois la possibilité de passer en manuel pour des mesures particulières. Contrairement aux instruments analogiques, la classe de précision ainsi que les symboles ne figurent pas sur l'instrument. Le triangle avec le point d'exclamation indique que les caractéristiques se trouvent dans la documentation jointe avec l'instrument. Exemples de caractéristiques :

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28

Techniques de mesures

Caractéristiques d'un instrument de mesure numérique:

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29

Techniques de mesures

12.33

Schéma d'un instrument de mesure numérique :

Description du fonctionnement : Cet instrument est composé de 3 affichages (display) commandés par un circuit intégré (IC2) et par 5 transistors T1 à T5. Le premier circuit intégré IC1 effectue la conversion de la valeur analogique mesurée en une valeur numérique destinée à être affichée. L'IC1 reçoit la valeur analogique (tension) sur ses bornes 10 et 11. La méthode utilisée pour mesurer cette valeur est celle de la comparaison. Le circuit intégré fournit une valeur de référence (connue de lui) et il la compare avec la tension présente sur son entrée (inconnue). Si cette comparaison ne montre pas une égalité, le circuit intégré augmente sa valeur de référence et il effectue une nouvelle comparaison. Il va procéder comme cela jusqu'à ce que les deux valeurs comparées soient égales. Cette méthode permet au circuit intégré de déterminer avec précision la valeur de la tension présente sur ses bornes d'entrées. Une fois cette valeur définie, IC1 donne une valeur numérique au résultat de sa comparaison. Cette valeur numérique est présente sous la forme d'un mot de 4 bits sur les bornes 2, 1, 15, et 16. IC2 reçoit cette numérique et il la décode pour commander les affichages 7 segments. Nous constatons que les 3 affichages sont montés en parallèle. Cela devrait poser un problème, car tous les segments de même noms devraient s'allumer simultanément. Ce n'est pas le cas car nous avons à faire à un mode d'affichage multiplexé. IC1, qui fournit les valeurs numériques de la tension mesurée, commande également le display sur lequel cette valeur doit être affichée. Cette commande est réalisée au moyen des bornes 4, 3 et 5. Les transistors T1, T2 et T3 commandent l'alimentation des affichages. Lorsque IC1 donne une valeur qui doit être affichée par le premier display, il va commander son alimentation par l'intermédiaire de sa borne 4 et du transistor T1. Avec ce type d'affichage multiplexé, les displays s'allument l'un après l'autre. Il n'y a jamais deux affichages allumés simultanément. La vitesse d'allumage est assez rapide pour que notre œil ne puisse pas percevoir cet effet (voir la définition de la persistance rétinienne dans le chapitre courant alternatif sinusoïdal). L'affichage multiplexé permet également d'économiser de l'énergie puisqu'il n'y a qu'un seul affichage allumé. Cette caractéristique est importante pour les instruments portables qui fonctionnent sur piles. Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /octobre 2000

30

Techniques de mesures

12.34

Symboles des instruments de mesures : Instrument pour courant continu Instrument pour courant alternatif Instrument pour courant continu et alternatif Instrument pour courant triphasé équipé d'un dispositif de Instrument pour courant triphasé équipé de deux dispositifs de Instrument pour courant triphasé équipé de trois dispositifs de Position d'emploi verticale Position d'emploi horizontale position d'emploi oblique, avec donnée de l'angle d'inclinaison Tension d'essai sans valeur 500 [V]

Dispositif de mesure à bobine à cadre tournant avec aimant Dispositif de mesure à bobine à cadre tournant avec redresseur Dispositif de mesure à bobine à cadre tournant avec Dispositif de mesure à quotients à bobine à cadre Dispositif de mesure à aimant rotatif Dispositif de mesure électromagnétique, Dispositif de mesure électrodynamique Dispositif de mesure électrodynamique Dispositif de mesure de quotients Dispositif de mesure de quotients électrodynamique

Dispositif de mise à zéro de l'aiguille

Dispositif de mesure à induction

Classe de précision

Dispositif de mesure bimétal

Dispositif de mesure à vibration

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Dispositif de mesure électrostatique 31

Techniques de mesures

12.35

Erreur absolue des instruments de mesures :

Les appareils de mesure analogique possèdent tous une CLASSE DE PRECISION. Cette indication se trouve, en général, sur l'appareil ou dans le catalogue, sous la forme suivante: 0.1 ou 0.2 ou 1 ou 2 ou 2.5 ou s'il n'y a pas d'indication cela implique 5. Cette indication doit être interprétée de la façon suivante: + ou - 2.5 pour cent, de la valeur à fond d'échelle Soit mathématiquement: valeur absolue = valeur fond d'échelle ± tolérance Exemple: A fond d'échelle, nous pouvons mesurer une valeur de 100 [mA]. Valeur maximum indiquée par l'appareil de mesure: valeur max absolue = valeur fond d'échelle + tolérance

valeur max absolue = 100 + (0.025 ⋅ 100) = 102.5 [mA] Ceci correspond donc au courant I réel pouvant circuler dans le montage lorsque l'ampèremètre indique 100 [mA]. Valeur minimum indiquée par l'appareil de mesure: valeur min absolue = valeur fond d'échelle - tolérance

valeur min absolue = 100 - (0.025 ⋅ 100) = 97.5 [ mA] Ceci correspond donc au courant I réel pouvant circuler dans le montage lorsque l'ampèremètre indique 100 [mA].

12.36

Erreur relative d'un instrument de mesure:

L'erreur absolue, de 2.5 [mA] dans notre cas, modifie la valeur lue au moyen de l'appareil. Si nous mesurons une grandeur à mi-cadran, l'écart entre la valeur lue et la valeur pouvant circuler dans le circuit modifie la précision de la mesure. mesure réelle = valeur lue ± erreur absolue Exemple: valeur lue = 10 [mA] (à mi-cadran) erreur absolue = 2.5 % de 100 [mA] Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /octobre 2000

32

Techniques de mesures Relation: mesure réelle = valeur lue ± erreur absolue erreur absolue = valeur fond d'échelle ⋅ tolérance Application numérique:

erreur absolue = 100 ⋅ 0.025 = 2.5 [ mA] mesure max. réelle = 10 + 2.5 = 12.5 [ mA] mesure min. réelle = 10 - 2.5 = 7.5 [ mA]

Calcul d'erreur :

erreur =

( valeur 1 - valeur 2) valeur 1

10 -7.5 = 0.25 10

soit une erreur relative de la mesure de 25 %

(0.25 ⋅ 100%).

Nous constatons donc, qu'avec notre appareil de mesure, nous avons intérêt à modifier l'échelle afin que l'aiguille s'approche du fond d'échelle sans la dépasser pour ne pas forcer sur la butée. Echelle choisie : 10 [mA] Lorsque l'aiguille est à fond d'échelle, l'erreur relative de la mesure se rapprochera de la valeur de l'erreur absolue. C'est donc dans cette zone que l'erreur sera la plus petite. Ce qui implique une erreur de la valeur absolue de l'appareil soit dans notre cas 2.5%. Lors de mesures avec un instrument à affichage à aiguille, Il faut également prendre garde à l'erreur de parallaxe, voir page suivante.

12.37

Erreur de parallaxe :

La parallaxe est une source d'erreur et de manque de précision de la lecture faite par l'utilisateur de l'appareil de mesure. Selon votre position par rapport à l'appareil, vous interprétez différemment la mesure.

Pour éviter cette erreur, les appareils de mesure à aiguille sont munis d'un miroir. Pour obtenir une bonne lecture, votre œil doit voir l'aiguille et son reflet dans un même alignement par rapport à l'échelle.

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miroir

33

Techniques de mesures

12.38

Classe de précision des instruments numériques :

La résistance interne des instruments de mesure numériques est beaucoup plus grande que celle des appareils analogiques, et elle est fixe, quelle que soit la gamme de mesure sélectionnée. L'erreur induite lors des mesures ne sera importante que pour les circuits à très grande impédance. L'erreur de mesure des instruments numériques est de deux types. 1.

Erreur dépendante de l'électronique de l'instrument

2.

Erreur dépendante du analogique/numérique.

nombre

de

mesures

effectuées

pour

la

conversion

L'erreur est généralement donnée en % de la lecture ± une constante exprimée en unités ou en digits. Certains fabricants donnent l'erreur en % de l'échelle ± la constante. Cette façon de faire cache généralement la mauvaise qualité de l'appareil. L'erreur constante (que nous donnerons en "digits") indique de combien le chiffre binaire de poids le plus faible peu être faux. Le chiffre de poids le plus faible représente la résolution de l'appareil. Exemple :

12.39

pour une échelle de 100 [mV] et 2000 points de mesure, la résolution sera de 0.1 [mV] .

Exemples de calculs d'erreurs des instruments numériques

1.Nous mesurons une tension de 50 [mV] sur l'échelle 100 [mV]. L'instrument effectue 2000 points de mesure. Caractéristiques :

0.1 % de la lecture et ± 0.5 digits.

Erreur de lecture :

50 ⋅ 10−3 ⋅ 01 . = 50 ⋅ 10− 6 [V] 100

100 ⋅ 10−3 Erreur de constante : = 50 ⋅ 10− 6 [V] 2000

1 digit = 0.1 [mV]

50 [ µV] 50 [ µV]

0.5 digits.

0.5 digits.

Dans notre cas, la précision est de ± 0.5 digits, soit au total 1 digit, ce qui donne une erreur de 100 [µV] . Erreur totale = somme des erreurs :

50 ⋅ 10−6 + 50 ⋅ 10−6 = 100 ⋅ 10−6

100 [ µV]

Cette erreur de 100 [µV] correspond à 1 digit.

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34

Techniques de mesures 2.Nous mesurons une tension de 50 [mV] sur l'échelle 150 [mV]. L'instrument effectue 2000 points de mesure. Caractéristiques :

0.2 % de la lecture et ± 0.1 % de l'étendue de mesure.

Erreur de lecture :

50 ⋅ 10−3 ⋅ 0.2 = 100 ⋅ 10− 6 [V] 100

Erreur de constante :

01 . ⋅ 200 = 200 ⋅ 10− 6 [V] 100

100 [ µV] 200 [ µV]

Erreur totale = somme des erreurs

100 ⋅ 10−6 + 200 ⋅ 10−6 = 300 ⋅ 10−6 [V]

300 [ µV]

Cette erreur de 300 [µV] correspond à 3 digits.

3.Nous mesurons une tension de 50 [mV] sur l'échelle 200 [mV]. L'instrument effectue 2000 points de mesure. Caractéristiques :

0.1 % et ± 1 digit.

Erreur de lecture :

01 . ⋅ 200 = 200 ⋅ 10− 6 [V] 100

200 [ µV]

200 ⋅ 10−3 Erreur de constante : = 100 ⋅ 10− 6 [V] 2000

100 [ µV]

Cette erreur de 100 [µV] correspond à un digit. Dans notre cas, la précision est de ± 3 digits, soit au total 3 digits, ce qui donne une erreur de constante de 300 [µV] . Erreur totale = somme des erreurs :

200 ⋅ 10−6 + 100 ⋅ 10−6 = 300 ⋅ 10−6

300 [ µV]

Cette erreur de 300 [µV] correspond à 3 digits.

12.40

Dispositifs d'essais des instruments de mesure

En principe tous les appareils de mesure ont été testés. Il est très important de respecter les directives de service de l'instrument avant toute utilisation. Chaque appareil possède une indication de tension d'essai. Cette tension est notée au moyen d'une étoile à 5 branches avec l'indication de la tension U en [kV].

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35

Techniques de mesures Exemple : Un multimètre porte l'indication suivante : Que signifie ceci ? Cela signifie que l'appareil a été testé avec une tension de 1 [kV] entre ses bornes, sans que l'appareil n'explose ou ne se casse mécaniquement. Remarques :

Cela ne signifie pas que votre appareil pourra mesurer la valeur de la tension d'essai.

L'étoile, sans indication à l'intérieur, signifie que la tension d'essai est de 500 [V]. Certains appareils possèdent aussi un triangle avec un point d'exclamation. Cette indication peut signifier que cet appareil nécessite des précautions particulières ou une utilisation particulière (choix des bornes ou tension et courant maximum). Cette indication peut aussi signifier que l'appareil de mesure possède à l'intérieur des composants électriques ne supportant pas des charges électrostatiques. Ces charges peuvent être présentes lors d'un démontage de l'appareil de mesure (voir appareil de mesure numérique).

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36

Techniques de mesures

12.41 1.

Entraînement Nous disposons d'un cadre mobile aux caractéristiques suivantes : Ri = 22 [Ω]

Ui = 87 [mV]

Nous désirons l'utiliser pour mesurer des courants de 100 [mA] 500 [mA] et 2 [A] Dessiner le schéma électrique de l'instrument. Calculer les valeurs des Rshunt à intégrer dans l'instrument. 2.

Nous disposons d'un instrument à cadre mobile aux caractéristiques identiques que celui de l'exemple précédent. Dessiner le schéma électrique pour réaliser un instrument capable de mesurer les tensions suivantes : 150 [V]

250 [V]

300 [V]

500 [V]

1000 [V]

Calculer les valeurs des Radditionnelle à intégrer dans l'instrument. 3.

Un cadre mobile a les caractéristiques suivantes : Ri = 36 [Ω] Ii = 1.86 [mA] Nous désirons l'utiliser pour mesurer des tensions de 100 [mV] 500 [mV] et 2 [V] Calculer les valeurs des résistances additionnelles.

4.

Nous disposons de deux instruments identiques qui permettent de mesurer un courant maximum de 10 [A] et une tension maximum de 100 [V]. Nous désirons les utiliser pour mesurer un courant de 28 [A] et une tension de 230 [V] Proposer une solution pour chaque instrument. Dessiner les deux schémas électriques. Calculer les valeurs des éléments à ajouter.

6.

Calculer la valeur de la résistance inconnue, sachant que, pour obtenir la valeur nulle sur le pont de Wheatstone suivant : La tension U est de 12 [V], les résistances sont les suivantes : R1 = 12 [Ω]R2 = 1.2 [Ω]

R1

R2

+ -

R3 = 4 [Ω]

7.

Rinconnue

R3

Un instrument de mesure de classe 2.5 possède une échelle graduée de 0 à 5. Calculer l'erreur absolue lorsque le commutateur est sur la position 250 [V] AC .

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37

Techniques de mesures 8.

Quatre mesures sont faites au moyen de 2 appareils à affichage numérique. Un appareil possède 3.5 digits et l'autre 4.5 digits. Indiquer quelles sont les valeurs affichées selon l'exemple de la première mesure.

a)

Première mesure effectuée : 104.96 [V]

1

0

5

.

0

1

3.5 digits

4

.

9

6

4.5 digit

b)

seconde mesure U = 768.43 [V]

c)

troisième mesure U = 1104.93 [V]

d)

quatrième mesure U = 1.1247 [V]

9.

0

Un instrument de mesure de classe 2.5 possède une échelle graduée de 0 à 5. Calculer l'erreur absolue lorsque le commutateur est sur la position 250 [V] AC .

Réponses : 1 . Résistances shunt pour chaque plage de mesure. Iinst = 3.95 [mA] Rshunt 100 = 905.82 [mΩ] Rshunt500 = 175.38 [mΩ]

Rshunt2 = 43.58 [mΩ]

2. Résistances additionnelles en série. Ra150 = 14.9 [kΩ] Ra250 = 10 [kΩ] Ra300 = 5 [kΩ] Ra500 = 20 [kΩ] Ra1000 = 50 [kΩ] 3. Résistances additionnelles en série. Ra100 = 17.76 [Ω] 4. Rinst = 10 [Ω]

Rshunt = 5.55 [Ω]

6. Rinconnue = 46.8 [Ω]

7.

Ra500 = 215.05 [Ω]

Ra2 = 806.45 [Ω]

Radd = 13 [Ω] Erreur absolue = ± 6.25 [V]

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38

Régime alternatif sinusoïdal

Chapitre 13 Régime alternatif sinusoïdal Sommaire • • • • •

Définitions des valeurs de courants alternatifs Production d’une tension alternative Valeurs de crête, moyenne et efficace Représentations temporelles et vectorielles des signaux alternatifs Addition de signaux en phase et déphasés

Introduction

13. Généralités et définitions : Tout courant ou tension peut se représenter dans des systèmes d'axes i = f (t) pour les courants et u =f (t) pour les tensions, dans lesquelles i et u représentent une valeur instantanée (valeur à un instant donné).

U,I [V] [A]

U I

t [ms]

i = f (t) ou u = f (t) sont des représentations temporelles, puisque, dans le premier cas, il s'agit de représenter le courant i en fonction du temps t, et dans le second la tension u en fonction du temps t. De façon plus générale, représenter une grandeur en fonction du temps. Il existe plusieurs types de courants ou de tensions pour lesquels nous pouvons tracer ces représentations : Remarque :

L'utilisation d'une minuscule pour i ou pour u indique qu'il s'agit d'une valeur instantanée, c'est à dire, la valeur du courant ou de la tension à un instant donné. La courbe résultante représente l’ensemble des valeurs instantanées.

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1

Régime alternatif sinusoïdal

13.1 Formes de courants : Courants continus DC

Courants alternatifs AC

[A] i

[A] i

i2

i1 t1

i3 t3

t2

i4 t4

i1

[s]

t

i2

t1

La valeur et le sens du courant instantané ne changent pas. i1 = i2 = i3 = i4

t3 t4

t2

i3 i4

[s]

t

La valeur et le sens du courant instantané changent i1 ≠ i2 ≠ i3 ≠ i4

courant pulsé :

courant alternatif triangulaire:

[A] i

[A] i

i1

i3

i2 t2

t1

t3

i1

i4 t4

[s]

t

t1

Seule la valeur du courant instantané change. Son sens est toujours le même. i1 ≠ i2 ≠ i3 ≠ i4

i2

t3 t4

t2

i3

i4

[s]

t

La valeur et le sens du courant instantané changent. i1 ≠ i2 ≠ i3 ≠ i4

courant pulsé :

courant alternatif carré :

i

[A] i

[A]

i1 t1 i1

t2 i2

t3 i3

t4 i4

t [s]

Seule la valeur instantanée du courant change. Son sens est toujours le même. i1 ≠ i2 ≠ i3 ≠ i4

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i2 t3

t1

t4

t2

[s] i3

t

i4

Seul le sens du courant instantané change mais pas sa valeur. mais i2 ≠ i4 i1 = i2 et i3 = i4

2

Régime alternatif sinusoïdal

courant ondulé :

courant alternatif sinusoïdal : i

[A] i

[A]

I DC i1 t1

i2

i3

t2

t3

i4 t4

[s]

t

t

0

La valeur instantanée du courant change, mais n'atteint plus la valeur 0. IDC en traitillé correspond à la valeur moyenne des i

[s]

La valeur instantanée du courant change périodiquement de sens et de valeur

13.2 Définitions : Forme d'onde : Représentation graphique d'une grandeur, telle que i ou u, en fonction d'une certaine variable comme le temps.

Exemples de formes d’ondes :

ondulée , carrée , sinusoïdale , rectangulaire

Valeur instantanée : Valeur d'une forme d'onde à un instant donné. Elle se note par une lettre minuscule.

Exemples de notation :

i,u,s

Amplitude de crête : Valeur maximum positive ou négative que prend une forme d'onde. Elle se note avec un circonflexe sur le symbole de grandeur.

Exemples de notation :

Î.Û

Amplitude peak to peak , crête à creux : Valeur maximum d'une forme d'onde mesurée de sa valeur maximum positive à sa valeur maximum négative. Elle peut se noter de plusieurs manières.

Exemples de notation ::

Upp , Ipp , Ucc , Icc , U , I

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3

Régime alternatif sinusoïdal

Forme d'onde périodique : Forme d'onde qui se reproduit à intervalles réguliers dans le temps.

Période : Intervalle de temps pendant lequel une forme d'onde périodique se reproduit. La période se mesure entre deux points identiques de la forme d'onde, soit sur le flanc montant, soit sur le flanc descendant. Son symbole de grandeur est T et son unité s’exprime en [s].

Alternance : Durée d'une demi-période. L'alternance est soit positive, soit négative.

Fréquence : Nombre de périodes par seconde. Elle se note f et s'exprime en hertz [Hz].

f=

1 T

Exemples : i [A]

max.

max.

I

I

i

t -I

i

max.

T

[s]

max.

période ou cycle

T période ou cycle

alternance alternance positive négative

13.3 Radian : Définition :

Un radian équivaut à l'angle qui, ayant son sommet au centre d'un cercle, intercepte sur la circonférence de ce cercle un arc d'une longueur égale à celle du rayon du cercle. Le cercle trigonométrique est sans unité et son rayon vaut 1. r

r

ϕ

L'angle dessiné représente 1 radian. Circonférence c = 2 ⋅ π ⋅ r

r

c=π⋅d Dans le cercle trigonométrique le rayon vaut 1 : r =1 donc c = 2⋅π donc :

360

° = 2⋅π [rad]

π [rad] = 180

Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /octobre 2000

°

4

Régime alternatif sinusoïdal Pour déterminer la correspondance d'un radian en degrés, il faut effectuer le développement suivant :

360 = 2π

1 radian =

360 2π

=

180 π

1 [rad] = 57.2 [° ]

Pour les conversions, nous utiliserons :

conversion de degrés en radians

x [rad] =

conversion de radians en degrés

x

[ °]

=

π ⋅ n [ °] 180

x représente la valeur recherchée

180 ⋅ n [ rad] π

n représente le nombre connu

13.4 Représentation temporelle de la rotation du rayon vecteur: 90° π 2

ω

3

4

2

5 1 180° 6 π

0 360° 12 2π

t [s]

7 11 8 9

10

270° 3π 2

Remarque :

90° π 2

180° 270° 360° 3π 2π π 2

90° π 2

180° 270° 360° 3π 2π π 2

l'axe horizontal représente l'angle du vecteur tournant, à un moment donné, défini soit en degré, soit en radian.

13.5 Vitesse angulaire ou pulsation

ω

(oméga)

La vitesse angulaire, appelée également pulsation, définit le nombre de radians effectués par seconde par le rayon vecteur tournant à l'intérieur du cercle. formule générale de la vitesse :

v=

s t

v

vitesse

s

distance

t

temps

Dans l'application au cercle trigonométrique : la distance s est remplacée par la circonférence du cercle 2πr et comme le rayon vaut 1, c = 2π le temps t est remplacé par la période T la vitesse v est remplacée par la vitesse angulaire ω Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /octobre 2000

5

Régime alternatif sinusoïdal

Nous arrivons au développement suivant : ω=

2π T

et comme T =

1 nous obtenons f

ω=

2π 1 f

ce qui donne : ω = 2 ⋅ π ⋅ f ω

rad é 1ù ê s ú ou ê s ú ë é rad ù vitesse angulaire ω ê ú ë s

é 1ù pulsation ω ê ú ës

13.6 Valeur instantanée : ω

I

[A]

i α

t [s]

t1

∆t

T

i = sin de l'angle

en appliquant les relations de trigonométrie nous pouvons dire : sin α =

i I

i = I ⋅ sin α

formule 1

Le vecteur tourne à la vitesse constante ω . Le temps nécessaire pour parcourir 2 π [rad] est une période T. Il est donc possible de poser un rapport permettant de calculer l'angle parcouru durant une différence de temps ∆t séparant l'origine 0 du temps t1 .

2⋅π α = T t Nous savons que donc :

α=

2⋅π⋅t T

[rad] = ê

rad ⋅ s s ú

2⋅π =ω T α=ω⋅t

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formule 2

6

Régime alternatif sinusoïdal Plaçons la formule 2 dans la formule 1 :

i = I ⋅ sin(ω ⋅ t + k ⋅ 2π )

valable pour les composantes courants

[A]

 ⋅ sin(ω ⋅ t + k ⋅ 2π ) u=U

valable pour les composantes tensions

[V]

Remarques :Le rayon vecteur peut tourner plusieurs fois autour de son axe avec le facteur 2kπ . Nous savons que 2π = 360 que 2kπ = k ⋅ 360

° , ce qui implique

°

Le facteur k représente le nombre (entier) de tours effectué par le rayon vecteur dans le cercle. Exemple :

α = π + 2kπ α = π + 2kπ

180° + (1 ⋅ 360) = 540° 180° + (2 ⋅ 360) = 900°

avec k = 1 avec k = 2

13.7 Production d’une tension alternative sinusoïdale Il existe plusieurs manières de produire des signaux de forme sinusoïdale, suivant l’application à laquelle ils sont destinés. Dans les appareils électroniques, les signaux sinusoïdaux sont produits par des circuits oscillants électroniques, ou par des générateurs de fonctions. Les circuits oscillants feront l’objet d’une étude ultérieure. La puissance fournie par ce genre de générateur est très faible et ne convient pas pour alimenter une installation. Si nous désirons utiliser l'énergie fournie pour allumer une lampe ou faire tourner un moteur, il faut utiliser un autre genre de générateur. Pour cela, il est fait appel aux lois du magnétisme. En effet, lorsqu'une inductance est soumise à un champ magnétique extérieur variable, elle produit une tension induite Ui à ses bornes. La valeur de cette tension Ui dépend des caractéristiques de l'inductance (nombre de spires, perméabilité du noyau) et de celles du champ magnétique.

Rappel :

Ui = − Ui [V]

∆Φ ∆t

Φ [Wb]

U i = −B ⋅ l ⋅ v

Φ [V ⋅ s]

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t [s]

B [T]

l [m]

m v ê ú s

7

Régime alternatif sinusoïdal

13.8 Démonstration du fonctionnement : Deux bobines sont branchées en série et raccordées à un voltmètre. Lorsque l'aimant placé au centre des bobines se met à tourner, une tension induite Ui apparaît aux bornes des bobines. Sud

Cette tension est alternative car les deux bobines sont alternativement soumises au champ magnétique du pôle Nord et du pôle sud de l'aimant. Les variations des lignes de forces de sens opposés produisent des tensions induites de sens opposés.

Nord

0

-

+

Avec ce genre de montage, nous produisons une tension alternative sinusoïdale. Les centrales de production d’énergie électrique sont équipées de génératrices qui fonctionnent selon le même principe, mais les générateurs sont de taille plus importante et ils sont appelés ALTERNATEURS.

Ces sont les alternateurs qui produisent la tension présente aux prises électriques.

Dans les centrales électriques, les alternateurs sont reliés mécaniquement à des turbines. Dans le cas de centrales hydrauliques, les turbines sont entraînées par l'eau accumulée par des barrages dans des lacs artificiels, ou par l'eau des rivières. Dans les centrales thermiques, les turbines sont entraînées par la vapeur.

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8

Régime alternatif sinusoïdal

13.9 Principe de fonctionnement d'un alternateur : Un aimant permanent appelé ROTOR tourne au centre d’une carcasse. Dans cette carcasse est logée une bobine appelée STATOR Par le passage de l’aimant près de la bobine, une tension de forme sinusoïdale est produite. Dans les centrales, l’aimant est remplacé par un électroaimant pour obtenir une puissance supérieure.

Fonctionnement électrique :

Cette représentation montre la forme de tension présente aux bornes de la bobine en fonction de la position du rotor.

13.10

Valeur efficace :

Cette valeur de courant ou de tension est définie par comparaison avec le courant ou la tension continue. Définition :

La valeur efficace caractérise un courant non continu qui produit le même travail qu'un courant continu, dans la même charge et durant le même intervalle de temps. La valeur efficace de ce courant sera alors la même que celle du courant continu.

La valeur efficace de la tension correspond à la même définition. Exemple :

Un récipient contient 5 litres d'eau. Nous désirons en augmenter la température de 20 [°C] au moyen d'une résistance Lorsqu'elle est parcourue par un courant électrique, la résistance chauffe et transmet son énergie au liquide. Pour notre exemple nous allons faire deux fois l'expérience.

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9

Régime alternatif sinusoïdal 1.

La résistance alimentée par une tension continue DC

2.

La résistance alimentée par une tension alternative AC

Pour tirer une conclusion et étudier le résultat, nous mesurons le courant dans la résistance, pour les deux cas.

Expérience :

S1

~

DC

AC

A °C

résistance

Relations : Pour faire les calculs, nous utiliserons la formule générale de la puissance.

P = U⋅I Dans notre montage, nous connaissons I et R. Le développement de la formule de la puissance donne la relation suivante :

P = U⋅I

U = R⋅I

[W] = [V] ⋅ [A]

[V] = [Ω] ⋅ [A]

P = R⋅I⋅I

P = R ⋅ I2

[W] = [Ω] ⋅ [A] ⋅ [A]

Pour calculer l'énergie W, il faut tenir compte de la puissance dissipée en fonction du temps t .

W = P ⋅ t [J] [J] = [W] ⋅ [s]

et

P = R ⋅ I2 [W] [W] = [Ω] ⋅[A]2

W = R ⋅ I2 ⋅ t

[J]

[J] = [Ω] ⋅ [A]2 ⋅ [s]

Dans nos deux expériences, nous mesurons la puissance instantanée dissipée dans la résistance.

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10

Régime alternatif sinusoïdal Tableaux de mesure :

Circuit en courant continu temps résistance i instantané [ms] [Ω] [A] 0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00 16.00 18.00 20.00

10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00

5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 0.00

i2 [A]

puissance [W]

25.00 25.00 25.00 25.00 25.00 25.00 25.00 25.00 25.00 25.00 0.00

250.00 250.00 250.00 250.00 250.00 250.00 250.00 250.00 250.00 250.00 0.00

Circuit en courant alternatif temps [ms] 0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00 16.00 18.00 20.00

résistance I crête i instantané i2 puissance 2 [Ω] [A] [A] [A] [W] 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00

7.07 7.07 7.07 7.07 7.07 7.07 7.07 7.07 7.07 7.07 7.07

7.07 5.72 2.19 -2.19 -5.72 -7.07 -5.72 -2.19 2.19 5.72 7.07

50.00 32.73 4.77 4.77 32.73 50.00 32.73 4.77 4.77 32.73 50.00

500.00 327.25 47.75 47.75 327.25 500.00 327.25 47.75 47.75 327.25 500.00

Constatations : Dans le montage en DC, la puissance dissipée est la même à chaque instant, le courant instantané ne change pas. Dans le montage en AC, la puissance dissipée n'est pas constante et sa valeur maximum vaut le double que pour le montage en DC. Le courant instantané varie.

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11

Régime alternatif sinusoïdal Traçons les courbes de nos deux mesures : p,i [W] [A] 250 10 200

8

150

6

100

4

50

2

p

i

t [s] p,i [W] [A] 500 10 400

8

300

6

200

4

100

2

p

t [ms]

0

i

La puissance instantanée p est le produit de R ⋅ i2 . Remarque :

Puisque le courant est élevé au carré, la puissance est toujours positive, même lorsque le courant instantané est négatif.

Dans le circuit continu, la puissance est constante, alors que pour le circuit alternatif, la puissance varie, elle n'est pas constante. Leurs valeurs ne sont par identiques. p

p [W]

[W]

500

500

400

400

p

300

300 p

200

200

100

100

t

t

0

[s]

[s]

L'aire représente le produit de la puissance P par le temps t ce qui correspond au travail W. Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /octobre 2000

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Régime alternatif sinusoïdal Pour comparer le travail en continu au travail en alternatif, nous allons découper l'aire du travail alternatif de la manière suivante : p

p [W]

[W]

500

500

a1

b

400

400

a1

a2

a2 b

p

300

300 p 200

200

100

100

t

a1

b

a2

t

0 [s]

[s]

Constatation importante :

L'aire résultante est la même en AC et en DC.

La surface b est deux fois plus grande que la surface a. La surface plus foncée représente le travail. Nous constatons que les parties de puissances instantanées qui dépassent du rectangle plus foncé sont égales à l'addition des trois surfaces (a1 + b + a2). Si nous ne tenons compte que des surfaces de nos diagrammes, la surface totale manquante correspond à (a1 + b + a2) , elle est comblée par les deux surfaces (b) . Nous pouvons en déduire :

P = R ⋅ I eff

I 2 P= R⋅ 2

2

Simplifions notre égalité en éliminant la valeur de R puisqu'elle est commune :

R ⋅ I eff 2

I eff 2 =

= R⋅

I 2 2

I 2 2

I eff 2 =

I eff 2 =

I 2

I 2 2

I eff =

I 2

Après notre transformation, nous obtenons les relations suivantes :

I eff =

I 2

et

I = I eff ⋅ 2

Les relations pour la tension sont identiques à celles du courant :

U eff =

U 2

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et

U = U eff ⋅ 2

13

Régime alternatif sinusoïdal Exemple : A quel angle en degrés correspond le rapport entre la valeur de crête et la valeur efficace d'un courant ? Relations :

I eff =

I

I = I eff ⋅ 2

2

i = Iˆ ⋅ sin(ωt )

Nous cherchons à déterminer quel est l'angle α à l'instant t où le courant instantané i a la même valeur que le courant efficace I . Nous pouvons dire qu'à cet instant ,

i=I

I

I eff =

I = I ⋅ sin( ωt )

et

2 =

2

I I eff

remplaçons Ieff par

I 2=  I ⋅ sin( ωt)

I eff = I ⋅ sin( ωt) I

est éliminé par simplification : 2=

1 sin( ωt )

L'angle α que nous recherchons est donné par le sin(ωt)

sin( ωt ) = Remarques :

1

1

α = sin −1 ç

2

2

÷ = 45 [ ° ]

Pour connaître l'angle, il faut appliquer une des fonctions suivantes :

arcsin

,

invsin

,

sin-1

Le nom de la fonction dépend du modèle de machine à calculer. Si la machine est en degrés, l'angle affiché sera en degrés, si la machine est en radians, l'angle affiché sera en radians. L'angle α correspondant à la valeur efficace d'une tension ou d'un courant

π [rad] 4

45 [ ° ] ou 2 kπ +

π [rad] 4

est de :

2 k 180 + 45 [ ° ]

L’indice eff n’est pas utile, en effet, lorsque nous rencontrons une valeur alternative marquée U ou I , sans autres précisions, il s’agira toujours d'une valeur efficace. Remarque :

Dans les documents techniques, nous trouvons souvent l'indication RMS mentionnée à côté de certaines valeurs. Cette abréviation se rapporte à la valeur efficace de la tension, du courant ou de la puissance.

RMS signifie

Root (racine)

Mean (moyenne)

Square (carrée)

Il est fait référence à la valeur efficace, déterminée par la racine carrée de la moyenne des valeurs instantanées (moyenne géométrique).

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Régime alternatif sinusoïdal Exemple : Si nous reprenons la représentation avec le cercle trigonométrique, nous constatons que la tension efficace correspond à la valeur instantanée de la tension à un angle de 45 °.

sin α =

opp hyp

u sinα =  = U ω

1 2 0.707 = = 0.707 1 1

α = 45o

u [V]

u α

t [s]

13.11

Expérience sur la valeur efficace et la fréquence :

Une expérience simple à réaliser nous permet de visualiser la différence entre les valeurs de crête et efficace d'un courant alternatif. Schéma :

Deux lampes de caractéristiques identiques sont raccordées sur deux alimentations. Le générateur de gauche fournit une tension alternative sinusoïdale AC de 10 [V] et d'une fréquence de 50 [Hz] . Le générateur de droite fournit une tension continue DC d'une valeur de 10 [V] . Les deux générateurs fournissent des tensions de même valeur, comme nous l'indiquent les deux voltmètres. Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /octobre 2000

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Régime alternatif sinusoïdal Première expérience :

Valeur de crête d'une tension alternative AC.

Si nous observons les deux lampes, nous ne constatons aucune différences de luminosité. Il s'agit d'une confirmation de la théorie étudiée précédemment. Un oscilloscope est également branché sur les deux lampes. Il nous montre la forme des deux tensions. Nous constatons clairement que la valeur de la tension alternative AC est périodiquement plus élevée que la valeur de la tension continue DC. La trace B (tension DC) coupe la trace A (tension AC) à la valeur efficace de la tension alternative. La valeur maximum située au-dessus de la trace B représente la valeur de crête de la tension alternative. Nous constatons ici que pour obtenir une luminosité identique sur les deux lampes, la valeur de crête de la tension AC doit être supérieure à la valeur DC. Pour mieux observer le passage par la valeur de crête, il suffit de diminuer la fréquence du générateur AC. Par exemple. Pour une fréquence de 1 [Hz] il est possible d'observer la lampe s'allumer et s'éteindre. Lorsque la tension atteint sa valeur de crête, la lampe AC émet plus de lumière que la lampe DC.

Seconde expérience :

Papillotement d'une lampe alimentée en AC

Pour voir les objets, nous utilisons naturellement nos yeux. Nous possédons deux yeux. Ils nous permettent de distinguer le relief et de reconstituer une image en trois dimensions. Par analogie, nos oreilles nous permettent de distinguer la provenance des sons. Pour la vue comme pour l'ouïe, notre cerveau reçoit deux signaux différents provenant de l'œil gauche et de l'œil droit, soit de l'oreille gauche et l'oreille droite. Ces informations différentes permettent à notre cerveau de reconstituer le relief d'un objet pour la vue, ou la provenance d'un son pour l’ouïe. Notre œil est très complexe. Pour simplifier notre explication nous ne parlerons que de trois parties importantes : L'iris

Elle joue le rôle de l'obturateur de l'appareil de photo. Elle se ferme si la lumière est violente, ou elle s'ouvre si la lumière est faible.

Le cristallin Il joue le rôle de la lentille de focalisation. Il règle la netteté de l'image sur la rétine. Par effet optique, il inverse l'image dirigée sur la rétine. La rétine

IRIS

CRISTALLIN

RETINE NERF OPTIQUE

Elle reçoit l'image et la convertit en signaux électriques qui seront dirigés par le nerf optique vers les centres de la vue, à l'arrière du cerveau. La rétine est composée de deux éléments différents, sensibles soit à la luminosité de l'objet, soit à la couleur de l'objet. Œil humain est 120 fois moins sensible aux couleurs qu'à la luminosité des objets.

Lorsque nous observons un objet, son image reste "fixée" un instant sur la rétine. Si l'objet est trop lumineux, l'image persiste plusieurs secondes. Il s'agit de la persistance rétinienne. Cette dernière permet de lier les images entre elles; elle est à la base des normes de télévision et de cinéma. Lorsque nous regardons un film au cinéma ou à la télévision, nous ne percevons pas le passage d'une image à l'autre. L'image reste "fixée" un instant sur la rétine. Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /octobre 2000

16

Régime alternatif sinusoïdal Retour à notre expérience : Pour constater l'effet de la persistance rétinienne, nous allons faire varier la fréquence du générateur alternatif. Lorsque la fréquence est très basse (quelques Hertz) nous voyons très facilement la lampe s'allumer et s'éteindre. En augmentant la fréquence, la lampe se met à clignoter puis à papilloter. A partir d'une certaine fréquence, nous ne pouvons plus voir la lampe s'allumer et s'éteindre. En effet, notre rétine "lie" les allumages successifs de la lampe. A partir d'une certaine fréquence, ce n'est plus la rétine que fait effet de lien, mais le filament de la lampe. Il n'a tout simplement plus le temps de refroidir, et donc de s'éteindre ! Le réseau électrique fournit une fréquence de 50 [Hz]. Avec cette fréquence, nous ne percevons pas le papillotement.

13.12

Valeur moyenne :

Il s'agit de la moyenne arithmétique des tensions ou des courants instantanés pris sur une seule alternance. U

u + u2 + u3 + u4 + u5 U moy = 1 n

[V]

Par développement, nous arrivons à la relation suivante : t

U moy =

[s] t1 t2 t3 t4 t5

2  ⋅U π

=

0.636 ⋅ U

Pour expliquer la notion de tension moyenne Um, prenons le signal suivant : u

u [V] 10 8 6 4 2

t

t

1

t

t

2

Reprenons la formule énoncée plus haut : Valeurs mesurées :

1

t

t 2

u + u2 + .....+ un U moy = 1 n

u1 = 2.2 [V] u2 = 2.8 [V] u3 = 3.2 [V] u4 = 5.5 [V] u5 = 8.2 [V] u6 = 9.8 [V] u7 = 9.7 [V] u8 = 8.2 [V]

u9 = 4.7 [V] u10 = 3.9 [V]

Application numérique :

U moy =

2.2 + 2.8 + 3.2 + 55 . + 8.2 + 9.8 + 9.7 + 8.2 + 4.7 + 3.9 = 5.82 [V] 10

Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /octobre 2000

17

Régime alternatif sinusoïdal

13.13

Tension moyenne d'une période:

En appliquant les principes étudiés précédemment, il est possible de calculer la tension moyenne d'une période T d'un signal sinusoïdal.

u [V] 2

1

0

a [°]

-1

-2 90

180

270

360

450

540

630

720

Nous ne ferons pas le développement complet, mais comme la valeur moyenne de l'alternance positive est égale à la valeur moyenne absolue de l'alternance négative, nous en déduirons que la tension moyenne d'une période d'un signal alternatif sinusoïdal est nulle.

Tableau récapitulatif :

signal

u

U

m

U eff

symétrique

0

U max

carré

U max

U max

2

2

[V]

t [s] [V]

carré

u

t [s]

positif

u [V] alternatif t [s]

[V]

0

pulsé

U max

U max

p

2

2 ×U max

U max

2

u

t [s] [V]

U max

sinusoïdal

redressement simple alternance

u

pulsé t [s]

Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /octobre 2000

redressement double alternance

p

2

18

Régime alternatif sinusoïdal

13.15

Facteur de forme :

Dans certains types d'appareils de mesure, il est nécessaire de connaître le rapport entre la tension efficace U et la tension moyenne Um Certains multimètres avec les symboles AC / DC mesurent un signal alternatif en le redressant au moyen de diodes montées en pont de Greatz. Ces instruments universels mesurent la valeur moyenne du signal redressé et ils indiquent 1.111 fois cette valeur. Cette valeur de 1.111 se nomme facteur de forme et peut être calculée de la manière suivante :

U Um

facteur de forme =

Pour déterminer la valeur du facteur de forme, nous utilisons les relations suivantes :

Um =

2U ) π

U = U ⋅ 2

En remplaçant Û par sa valeur, nous obtenons :

Um =

U ⋅ 2 ⋅2 π

Nous cherchons à isoler la valeur du facteur de forme soit :

Pour isoler le facteur de forme, il faut :

Um =

U ⋅ 2 ⋅2 π

U Um

•

diviser de chaque côté de l'égalité par Um

• •

diviser de chaque côté par 2 ⋅ 2 multiplier de chaque côté par π

Um ⋅ π U ⋅ 2 ⋅2⋅π = Um ⋅ 2 ⋅ 2 Um ⋅ π ⋅ 2 ⋅ 2

π U = 2 ⋅ 2 Um

Nous obtenons ainsi la relation suivante :

facteur de forme =

U = Um

π = 1.111 2 ⋅2

Ce facteur n'est applicable qu'en présence d'un signal sinusoïdal parfait et symétrique. Dans la vie pratique, il est très souvent fait appel à des convertisseurs de fréquences pour commander des appareils. Ces convertisseurs ont pour effet de créer une nouvelle forme du signal alternatif. Les signaux présents à la sortie de ces convertisseurs ne sont plus des sinusoïdes parfaites et le facteur de forme tel que nous venons de l'étudier n'est plus valable.

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19

Régime alternatif sinusoïdal Lors de la mesure sur des appareils commandés par des convertisseurs, Il faut être attentif car la valeur affichée par l'instrument de mesure ne sera pas forcément correcte. En télévision, la tension de commande du transformateur de très haute tension, présente sur le collecteur du transistor de commande, ne peut pas être mesurée avec un voltmètre, car la présence d'impulsions non sinusoïdales de fortes amplitudes fausse le fonctionnement de l'instrument de mesure.

De même que pour les appareils commandés par des convertisseurs de fréquence, l'oscilloscope est le seul instrument capable d'effectuer une mesure correcte. L'oscilloscope nous montre la forme réelle du signal. Dans cet exemple, nous constatons que la tension indiquée par le voltmètre n'est pas identique à celle de l'oscilloscope.

13.16

Relation de phase entre signaux de même fréquence :

Dans un circuit alimenté en courant alternatif, il est possible que le courant et la tension ne soient pas en phase. On peut également trouver des circuits dans lesquels convergent plusieurs courants ou plusieurs tensions différentes et déphasées.

Dans ces cas, on parle de tensions ou de courants déphasés. Le courant entrant Ie est égal au courant sortant Is .

Ientrant I2

I1

Récepteur 1

Récepteur 2

I e = I1 + I 2 Suivant les caractéristiques des deux récepteurs, les courants I1 et I2 peuvent ne pas être en phase.

Isortant

I e = I1 + I 2 somme vectorielle I e ≠ I1 + I 2 somme mathématique Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /octobre 2000

20

Régime alternatif sinusoïdal 1.

avance de phase ω

i = I ⋅ sin( ω ⋅ t + ϕ )

I [A]

Dans ce cas, le courant I1 (trait gras) est en avance de phase par rapport au courant I2 (trait fin). ϕ détermine L’angle l’avance de phase et il est positif.

ϕ [s] t ϕ

[°] ϕ

l'angle ϕ correspond au déphasage entre les deux courbes

2.

I1

I2

retard de phase ω

I

i = I ⋅ sin( ω ⋅ t + ( −ϕ ))

[A]

[s] ϕ

[°]

I2

ϕ

Dans ce cas, le courant I1 (trait gras) est en retard de phase par rapport au courant I2 (trait fin). L’angle ϕ détermine le retard de phase et il est négatif

t ϕ

I1

l'angle ϕ correspond au déphasage entre les deux courbes

13.17. Représentations vectorielles de signaux déphasés, de même fréquence Les exemples que nous venons de voir utilisent des représentations temporelles pour mettre en évidence les déphasages. Il est également possible d’utiliser un diagramme vectoriel pour ces représentations. Le diagramme vectoriel est plus simple à établir que la représentation temporelle, c’est pourquoi il est généralement utilisé. ω

I [A]

ϕ [s] [°]

ϕ

I2

t α

I1

Pour tracer notre représentation vectorielle, nous devons choisir un instant donné. Dans notre premier exemple, le diagramme vectoriel est tracé à l'instant t0 , soit au début de la représentation temporelle ci-dessus. L'instant pour lequel est tracé un diagramme vectoriel n'est pas important car le déphasage est constant dans le temps. Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /octobre 2000

21

Régime alternatif sinusoïdal Pour différencier la valeur vectorielle, elle est notée surmontée par une flèche, c'est à dire

I 1 . Par simplification, le premier vecteur I 1 est tracé à l'horizontale. Ensuite, nous dessinons le courant I 2 en fonction de son angle de déphasage.

I2

Le courant I2 est en avance sur I1

ω

L’angle ϕ détermine le déphasage.

ϕ I1

I1

= courant dans le récepteur 1

I2

= courant dans le récepteur 2

ω I1

ϕ

Le courant I2 est en retard sur I1 L’angle ϕ détermine le déphasage.

I1

= courant dans le récepteur 1

I2

= courant dans le récepteur 2

I2

13.18

Calcul du déphasage :

Dans la plupart des cas, le déphasage est exprimé en degrés. Il existe plusieurs méthodes pour le calculer. méthode directe

u [V]

ϕ=

t [s]

0

ϕ=

t

360 ⋅ t T

2π ⋅ t T

ϕ [° ]

ϕ [rad]

T

Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /octobre 2000

22

Régime alternatif sinusoïdal

méthode par Lissajous

méthode du sinus

méthode du sinus

a

méthode de la tangente

b b a b

sin α =

a b

a

sin α =

a b

α a tanç ÷ = b 2

Pour ces deux mesures, il est nécessaire d'utiliser l'oscilloscope avec une déviation XY pour obtenir la figure de Lissajous. Cette notion est abordée lors de l'étude de l'oscilloscope. Pour connaître l'angle, il faut appliquer une des fonctions suivantes : arcsin

,

invsin

,

sin-1

Le nom de la fonction dépend du modèle de machine à calculer. Si la machine est en degrés, l'angle affiché sera en degrés, si la machine est en radians, l'angle affiché sera en radians.

Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /octobre 2000

23

Régime alternatif sinusoïdal

13.19

Addition de tensions ou de courants déphasés de même fréquence:

Reprenons le schéma précédent. Dans ce circuit, les courants I1 et I2 ne sont pas en phase. Si nous désirons déterminer la valeur du courant total, il est nécessaire de procéder à l’addition des deux courants. Pour procéder à cette addition, nous pouvons utiliser une représentation soit temporelle, soit vectorielle. Ientrant I2

I1

Récepteur 1

Récepteur 2

Isortant

13.20

Représentation temporelle : i I1

[A] i1 i2 i3

I2 i4

Irésultant i1 i2 i3 i4

t t1 t2 t3 t4

[s]

Il faut mesurer plusieurs valeurs instantanées des courants i1 et i2 et de les additionner. En reliant les points, nous obtenons une courbe représentant le courant résultant dans le circuit. Cette méthode a pour principal avantage de nous montrer la forme du courant résultant obtenu, ainsi que toutes les valeurs du courant instantané. Dans la majorité des exercices, cette représentation n’est pas utile, car seules les valeurs efficaces et le déphasage nous intéressent. Nous utilisons alors une représentation vectorielle, plus simple et plus rapide.

Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /octobre 2000

24

Régime alternatif sinusoïdal

13.21

Représentation vectorielle :

Reprenons le circuit composé de deux récepteurs dans lesquels circulent des courants déphasés I 1 et

I2 . I2

ω I1 = courant dans le récepteur 1 I2 = courant dans le récepteur 2

ϕ I1

Le courant I 2 est en avance sur I 1 . L’angle ϕ détermine le déphasage. L’addition vectorielle nous donne le résultat suivant :

ω

I2

I1+ I2 Ir

ϕ

α I1

ϕ

déphasage entre I 1 et I 2 . α

I1

= courant dans le récepteur 1

I2

= courant dans le récepteur 2

Ir

= courant résultant dans le circuit

Ir

= I entrant = I sortant

déphasage entre I r et l’axe d’origine.

Exemple pour un courant I 2 en retard par rapport au courant I 1 :

I1

ω

α

ϕ

I1 = courant dans le récepteur 1 Ir I2 ϕ

déphasage entre I 1 et I 2 . α

Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /octobre 2000

I2 = courant dans le récepteur 2 Ir = courant résultant dans le circuit déphasage entre I r et l’axe d’origine.

25

Régime alternatif sinusoïdal

13.22

Exercices

1.

Quel est le genre de courant ou de tension affiché par les multimètres universels ?

2.

Quels sont les symboles d'unités et de grandeurs utilisés pour définir la période et la fréquence ?

3.

Une mesure en tension à l'intérieur d'un appareil nous donne une valeur de 46.8 [V]. Quelles sont les valeurs, moyenne, de crête et efficace de cette tension ?

4.

Quelles sont les valeurs, efficace, de crête et moyenne de la tension aux bornes d'une batterie de voiture ?

5.

Un fer à souder de 60 [W] est raccordé soit sur une tension continue soit sur une tension alternative de même valeur efficace. Dans quel cas le courant sera-t-il le plus important ?

6.

Une mesure effectuée à l'oscilloscope donne une déviation verticale de la trace de 5 [cm]. Réglages de l'oscilloscope : X : 1 [cm] 0.2 [ms] Y : 1 [cm] 500 [mV] Donner toutes les valeurs calculables avec ces indications

7.

Définir la pulsation.

8.

Calculer la période pour les fréquences suivantes :

9.

A combien de radians un angle de 135

10.

Quelle est la fréquence de papillotement d'une lampe à incandescence branchée sur le réseau alternatif aux USA ?

11.

Une tension alternative sinusoïdale de 3 [V] engendre un déplacement de 32 [mm] sur la trace d'un oscilloscope. Quel déplacement provoquera une tension de 11 [V] ?

12.

Une tension alternative sinusoïdale a une valeur de 60 [V] 75 de la période. Calculer la valeur efficace de cette tension.

13.

Calculer la vitesse angulaire d'un courant alternatif sinusoïdal d'une fréquence de 36 [kHz]

14.

Une tension alternative est mesurée à l'aide d'un oscilloscope. Sur l'écran, sa période mesure 45 [mm] avec un balayage réglé sur 2 [ms] par [cm]. Calculer la fréquence de ce signal.

16 2/3 [Hz] ; 50 [Hz] ; 100.1 [MHz]

° correspond-il ?

° après le début

Réponses :

1. valeur efficace 2. période T en secondes [s] , fréquence f en Hertz [Hz] 3. Û = 66.18 [V] , U = 46.8 [V] Um = 42.1 [V] 4. Une batterie de voiture fourni une tension continue 5. Le courant sera identique dans les deux cas, car IDC = Ieff 6.U = 1.59 [V] , Um = 1.43 [V] 7. Vitesse angulaire ω , elle définit la vitesse de rotation du rayon vecteur. 8. 16 2/3 [Hz] 60 [ms] , 50 [Hz] 20 [ms] , 100.1 [MHz] 9.99 [ns] 9. 2.356 [rad] 10 f = 60 [Hz] papillotement 120 fois par secondes 11. 117.33 [mm] 12. U = 43.92 [V] 13. ω = 2.26 [rad ⋅ s-1] 14. T = 9 [ms] f = 111.11 [Hz] Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /octobre 2000

26

Régime alternatif sinusoïdal Exercices : 1.

Pour tous les axes, indiquer le symbole de la grandeur et le symbole de l'unité.

100

50

0

-50

-100 90

180

270

360

a) Dessiner sur le même graphique une courbe sinusoïdale sans déphasage, de même fréquence avec U = 30 [V] . b) Marquer avec un point bleu le maximum positif des deux courbes. c) Quelle est la différence de tension entre le maximum positif des deux courbes ? d) Quelle est la différence angulaire (axe des X) entre la courbe A et la courbe B ? e) Dessiner le diagramme vectoriel représentant la valeur efficace des deux courbes. 2.

Compléter s’il y a lieu les axes (symboles d’unité et de grandeur) Repérer la période, l’alternance positive et l’alternance négative.

1

0

Quelle est la valeur de la tension pour : 90

° et 210 °

-1

Quels sont les angles pour une tension de : 0.5 [V] et - 0.7 [V]

3.

-2 90

180

270

360

Convertir les angles suivants soit en radians, soit en degrés :. 135

4.

2

°

1.45 [rad]

360

°

7.66 [rad]

425

°

6.28 [rad]

Calculer les valeurs de courants et de tensions instantanées avec les données suivantes : Î = 1.8 [A] f = 1 [kHz]

t = 600 [µs]

i=?

 = 60 [V] f = 100 [Hz] U

t = 5 [ms]

u=?

 = 52 [V] U

u = 45 [V]

Î = 2.5 [A]i = 680 [mA]

t = 20 [ms]

t = 1400 [µs]

Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /octobre 2000

f=? f=

27

Régime alternatif sinusoïdal 5.

Une installation d'éclairage composée de 7 lampes montées en parallèle et d'une puissance de 25 [W] chacune. En cas de panne une alimentation de secours est mise en fonction pour éviter une coupure dans l'éclairage. L'alimentation de secours fonctionne avec des 4 batteries 12 [V] montées en série. Calculer les courants efficaces et de crête dans les deux cas.

6.

Compléter le tableau suivant : Fréquence

Pulsation

Période

Durée de l’alternance

f

préfixes

puissances

2 [µs]

2 ⋅ 10-6 [s]

0.04 [s]

4 ⋅ 10-2 [s]

[s] 50 0.5 10 417 125 2 [ns] 1000

7.

Un circuit est composé de deux récepteurs branchés en série. Les valeurs mesurées sont les suivantes : U1 = 50 [V]

U2 = 30 [V]

ϕ = 70

°

Tracer le diagramme vectoriel et déterminer Ucircuit ainsi que l’angle de déphasage par rapport à U1. 8.

Un circuit est composé de trois récepteurs branchés en série. Les valeurs mesurées sont les suivantes : U1 = 50 [V] U2 = 100 [V] U3 = 75 [V] angle U1

U2 = 90

°

angle U1

U3 = - 45

°

Tracer le diagramme vectoriel et déterminer Ualim ainsi que l’angle de déphasage par rapport à U1 . 9.

Un circuit est composé de trois récepteurs branchés parallèle. Les valeurs mesurées sont les suivantes : I1 = 2.5 [A] I2 = 1500 [mA] I3 = 750 [mA] angle I1

I2 = - 90

°

angle I2

I3 = 135

°

Tracer le diagramme vectoriel et déterminer Ialimentation ainsi que l’angle de déphasage avec I3.

Réponses :

3. 135[°] 2.35[rad] 1.45 [rad] 83.08 [°] 360 [°] 6.28 [rad] 7.66 [rad] 438.89 [°] 425 [°[ 7.41 [rad] 6.28 [rad] 360 [°] 4. i = 118 [mA] u = 3.3 [V] f = 476.9 [Hz] f = 1794.3 [Hz] 5. Icrête = 5.16 [A] Iefficace = 3.65 [A] IDC = 3.65 [A]

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28

Circuits résistifs et réactifs

Chapitre 14 Circuits résistifs et réactifs Sommaire • • • • •

Eléments résistifs et réactifs Comportement d’une résistance en régime alternatif sinusoïdal Comportement d’un condensateur en régime alternatif sinusoïdal Comportement d’une inductance en régime alternatif sinusoïdal Entraînement

Introduction U,I [V] [A]

I

U I

U

U R1

~

t

R1

[ms]

U,I [V] [A]

I

I

U

Uc

~

t

0

[ms] U

U,I [V] [A]

I

U

~

UL

t

0 U

[ms]

I

Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /octobre 2000

1

Circuits résistifs et réactifs

14

Définition des éléments résistifs et réactifs : Différents éléments composent les circuits électriques, en régime continu comme en régime alternatif. Nous trouvons principalement des résistances, des capacités (condensateurs) et des inductances (bobines). Ces trois genres d’éléments ne se comportent pas de la même façon en régime continu ou en régime alternatif. Dans ce chapitre, nous allons étudier les différentes possibilités de couplage de ces éléments ainsi que leurs différents comportements.

14.1 Résistance : Une résistance peut être fabriquée selon plusieurs méthodes. Dans les circuits électroniques de petite puissance, elle est de petite taille et généralement à film métallique ou à couche de carbone. En électricité basse tension (< 1000 [V] ) et dans les circuits de puissance, elle est réalisée au moyen d'un fil conducteur qui est souvent enroulé sur un support (résistance bobinée). La longueur ainsi que les caractéristiques du fil utilisé détermineront la valeur et la puissance de la résistance. Rappel :

R=

ρ⋅ l [Ω] A

Nous avons étudié trois possibilités de raccordement de résistances : en série

-

en parallèle

-

mixte

Ces notions ont déjà été étudiées et il n’est pas utile de les aborder à nouveau. Nous nous contenterons de récapituler les notions de base ainsi que les formules importantes pour ces montages : R1

I

Montage série UR1 + UR2 + UR3 - U = 0 V

UR1

U R2

U

R2

I = IR1 = IR2 = IR3 UR3

Réqu = R1 + R2 + R3

R3

Montage parallèle

I

U = UR1 = UR2 = UR3 U

IR2

IR1

R2

I

I = IR1 + IR2 + IR3

R3

R2

R1

Réqu =

I R3

R4

IR2

IR4 UR2 U UR1

R1

IR1

UR4 UR3

R3

UR5

IR3

Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /octobre 2000

R5

IR5

1 1 1 1 + + R1 R2 R3

Montage mixte. Le calcul d’un tel circuit dépend de sa complexité. Il est nécessaire d’utiliser les formules des montages série et parallèle.

2

Circuits résistifs et réactifs

14.2 Comportement d’une résistance : Une des principales caractéristiques des résistances est de se comporter de la même manière quel que soit le genre de tension qui lui est appliquée.

I

I

+ U

U R1

U

R1

U R1

~

R1

-

Représentations temporelles : U,I

U,I [V] [A]

[V] [A]

U

U

I I

t

t

[ms]

[ms]

Représentations vectorielles :

ω

I

U

I

U

Constatations : •

Il n’y a pas de différence de comportement entre le circuit alimenté par la source continue et celui alimenté par la source alternative.

•

Une résistance idéale ne provoque aucun déphasage entre le courant et la tension.

•

La valeur de la résistance idéale ne dépend pas de la valeur de la fréquence.

•

Suivant sa technologie de construction, la résistance peut se comporter différemment par rapport au cas idéal que nous venons d'étudier.

Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /octobre 2000

3

Circuits résistifs et réactifs

14.3 Capacité : Un condensateur peut être fabriqué selon plusieurs méthodes, ce qui définira sa forme et sa valeur. Dans les circuits électroniques, sa taille doit être la plus petite possible. La taille du condensateur est fortement dépendante de sa valeur (sa capacité). Il est composé de deux armatures ou deux surfaces conductrices placées l’une en face de l’autre et séparées par un isolant. La qualité de l’isolant, la distance entre les armatures et la surface des armatures vont déterminer la capacité du condensateur. Rappel : C = ε0 ⋅ εr ⋅

A d

[F]

C = capacité en farad [F]

ε0 = permittivité du vide ou de l’air [F ⋅ m-1] εr = permittivité de l’isolant [-] A = surface des armatures [m2]

d = distance entre les armatures [m]

Comme pour les résistances, il y a trois raccordements possibles : en série

-

en parallèle

-

mixte

Montage série C1 C2

Céq =

C3

1 1 1 1 + + C1 C2 C3

Montage parallèle

C1

C2

C3

Céq = C1 + C2 + C3

Montage mixte. C2

C1

C4

C3

C5 C6

Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /octobre 2000

Le calcul d’un tel circuit dépend de sa complexité. Il est nécessaire d’utiliser les formules des montages série et parallèle.

4

Circuits résistifs et réactifs

14.4 Comportement du condensateur : La caractéristique du condensateur est d’avoir un comportement différent en régime continu et en régime alternatif.

I

I

+ U

U

Uc

~

Uc

-

Représentations temporelles : U,I

U,I [V] [A]

[V] [A]

U

I

t [ms]

t

0

[ms] U

Représentations vectorielles :

ω

I

U

U

Constatations : •

Il y a une importante différence de comportement entre le circuit alimenté par une source continue et celui alimenté par une source alternative.

•

Avec la source continue, il n’y a pas de courant. Le condensateur étant composé d’armatures séparées par un isolant, les électrons ne peuvent pas circuler.

•

Avec la source alternative il y a un courant qui représente un échange de charges entre les armatures.

•

Le courant est en avance de 90 ° par rapport à la tension.

•

La valeur du courant dépend de la capacité du condensateur, ainsi que de la fréquence et de la tension du générateur.

Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /octobre 2000

5

Circuits résistifs et réactifs

14.5 Fonctionnement d’un condensateur en courant continu : A l’enclenchement, le condensateur est déchargé et il se comporte comme un réservoir vide. Dans ce cas, il faut d’abord faire circuler un courant avant qu’une tension n'apparaisse aux bornes des armatures. La charge du condensateur n’est pas linéaire, mais exponentielle. Au fur et à mesure de la charge du condensateur, le courant de charge diminue. A la fin de la charge, il n’y aura plus de courant, mais une tension maximum sur les armatures du condensateur. Ce phénomène explique la raison pour laquelle le condensateur ne conduit pas lorsqu’il est raccordé sur une source de tension continue. I + U

UR Uc

-

Il est simple de constater que lorsque le condensateur sera complètement chargé, il n'y aura plus de chute de tension aux bornes de la résistance. Cela signifie que la valeur du courant sera tombée à zéro.

I=

U R U − UC = R R

Pour que le cycle de charge se reproduise, il faut que le condensateur se décharge. C’est ce qui se passe lorsque le condensateur est raccordé à une source de tension alternative. Dans ce cas, le condensateur répétera les cycles de charges / décharges et un courant s’installera en permanence dans le circuit, mais aucun courant ne traverse le condensateur puisque ses armatures sont séparées par un isolant (diélectrique). Il est clair que le courant dans le condensateur va dépendre de la capacité du condensateur et de la fréquence du générateur (rapidité du cycle de charge/décharge) et de la tension du générateur.

trace A courant

trace B tension

L’oscilloscope cicontre nous montre la forme du courant et de la tension sur un condensateur lors de charges et décharges successives en tension continue.

Nous constatons que le courant atteint rapidement une valeur maximum, alors que la tension arrive en retard par rapport au courant.

14.6 Inductance : Une inductance est généralement composée de fil enroulé autour d’un noyau. Le fil n’est pas forcément magnétique et les bobines sont souvent réalisées avec du fil de cuivre. Les caractéristiques du noyau dépendent de l’utilisation de la bobine. Le matériau utilisé doit être magnétique et il sera choisi par rapport à son cycle d’hystérésis. Les bobines de faible inductance peuvent être fabriquées sans noyau. En raison des différentes caractéristiques des noyaux, la taille de la bobine n'est pas forcément en rapport avec sa valeur. Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /octobre 2000

6

Circuits résistifs et réactifs

Rappel : L =

N2 ⋅ µr ⋅ A l

[H]

L = inductance [H] N = nombre de spires [-]

µr = perméabilité du noyau [-] A = section du noyau [m2] l = longueur du noyau [m]

Comme pour les condensateurs, il existe trois possibilités de raccordement : en série

-

en parallèle

-

mixte

Dans les exemples ci-dessous, il n’y a pas d’influence magnétique entre les bobines, sinon il faut tenir compte du facteur de couplage.

L1

Montage série L2

Léq = L1 + L2 + L3

L3

Montage parallèle

L1

L2

L1

Léq =

L3

L2

L4

Montage mixte.

L5

L3

1 1 1 1 + + L1 L2 L3

L6

Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /octobre 2000

Le calcul d’un tel circuit dépend de sa complexité. Il est nécessaire d’utiliser les formules des montages séries et parallèles.

7

Circuits résistifs et réactifs

14.7 Comportement d’une inductance : La caractéristique de la bobine est d’avoir un comportement différent en régime continu ou en régime alternatif. I

I

+ U

U

UL

~

UL

-

Représentations temporelles : U,I

U,I [V] [A]

[V] [A]

I U

t

t

0

[ms]

[ms]

U I

Représentations vectorielles :

U

I

U

ω

I

Constatations :

•

Il y a une importante différence de comportement entre le circuit alimenté par une source continue et celui alimenté par une source alternative.

•

Avec la source continue, le courant est limité par la résistance du fil qui compose la bobine. Le courant est généralement très grand car la résistance du fil est petite.

•

La loi de Lenz définit que la variation de la tension induite est toujours opposée à la variation de la tension qui l'a crée. Ce qui explique que le courant est en retard de 90 ° par rapport à la tension.

•

La valeur du courant dépend de l’inductance de la bobine, de la résistance de son fil, de la fréquence et de la tension du générateur.

Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /octobre 2000

8

Circuits résistifs et réactifs Lors du raccordement d'une inductance dans un circuit alternatif, le courant est en retard de 90 ° par rapport à la tension. A chaque changement de polarité aux bornes de la bobine, le même phénomène de self induction se reproduit et le courant est constamment en retard par rapport à la tension. L’oscilloscope ci-dessous nous montre la forme du courant et de la tension sur une inductance.

trace B tension

trace A courant

Nous constatons que la représentation du courant et de la tension ont un sens opposé. Il s’agit de l’effet de self induction.

14.8 Exercices 1.

Plusieurs condensateurs sont raccordés en série. Ils ont les valeurs suivantes : C1 = 10 [nF]

C2 = 22 [nF]

C3 = 47 [nF]

C4 = 5600 [pF] C5 = 0.010 [µF]

Donner l’ordre de grandeur de la capacité équivalente et effectuer ensuite le calcul 2.

Les mêmes condensateurs sont raccordés en parallèle. Calculer la capacité équivalente.

3.

Calculer la valeur équivalente des montages ci-contre.

L2

:

82 pF

150 mH

55 mH

L1

C2 68 pF

47 pF

100 mH

L3 C1

4.

C3

Plusieurs bobines sont raccordées en série. Elles ont les valeurs suivantes : C1 = 10 [mH]

C2 = 220 [mH] C3 = 50 [mH]

C4 = 5600 [µH] C5 = 0.010 [H]

Donner l’ordre de grandeur de l’inductance équivalente et effectuer ensuite le calcul 5.

Les mêmes bobines sont raccordées en parallèle. Calculer l’inductance équivalente.

Réponses :

1. 3. 5.

C = 2.24 [nF] C = 84 [nF] 2.48 [mH]

L = 45.08 [mH]

Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /octobre 2000

2. 4.

94.6 [nF] 295.6 [mH]

9

Circuits RLC séries

Chapitre 15a Circuits RLC séries

Sommaire • • • • • • • • • • •

Montage série en courant alternatif Circuit électrique Impédance Z Mesure d’un circuit RLC série en régime alternatif sinusoïdal Calcul des réactances et de l’impédance Tracé temporel du comportement des éléments du circuit Tensions aux bornes des éléments du circuit Représentations temporelles et vectorielles Formules de calcul Résonance série Exercices

Introduction

15

Montage série en courant alternatif : Dans la pratique, les circuits sont généralement composés des éléments que nous venons d'étudier, montés soit en série, soit en parallèle. Pour étudier le comportement des éléments et celui du montage complet, nous allons réaliser une mesure. Les résultats de cette mesure nous permettrons d'effectuer des constatations sur le comportement du circuit et des éléments qui le composent. Avant cela, il est nécessaire de définir les termes utilisés.

Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /novembre 2000

1

Circuits RLC séries

15.1 Circuit électrique Lorsqu'un circuit électrique est alimenté par un régime alternatif sinusoïdal, les récepteurs peuvent être de n'importe quel type. Tous les récepteurs peuvent représenter un couplage mixte, composé de résistances R et/ou de condensateurs C et/ou d'inductances L.

∼ La source d'alimentation ne voit en définitive qu'un seul récepteur appelé : impédance dont la particularité est de tenir compte du déphasage entre la tension u et le courant i.

∼

15.2.Impédance L'impédance Z est le quotient de la tension U et du courant I, dans un montage alimenté en régime sinusoïdal alternatif, en tenant compte de l'angle de déphasage entre les grandeurs U et I.

Z=

U Ι

avec φ = α - β

Elle exprime l'opposition faite au passage du courant I à travers les éléments composant le circuit, ainsi que le déphasage appelé φ (phi) provoqué par ces éléments entre la tension U et le courant I. Son symbole de grandeur : Z Son symbole d'unité : [Ω] ohm

Cette impédance Z est une valeur imaginaire. Il n'existe pas IMPEDANCEMETRE capable de mesurer n'importe quelle impédance.

d'appareil

appelé

Seuls un voltmètre, un ampèremètre, un cos φ-mètre et la relation mathématique permettent de la calculer.

Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /novembre 2000

2

Circuits RLC séries Schéma :

Z

A V Exemple : Un moteur électrique est connecté au réseau 230 [V] alternatif 50 [Hz]. Les indications des différents appareils de mesures donnent : I = 4.5 [A]

cos = 0.8 inductif

Calculer l'impédance Z du moteur. Données : I = 4.5 [A]

U = 230 [V]

Inconnue :

Z=?

Relation :

Z=

cos = 0.8 inductif

f = 50 [Hz]

U Ι

Application numérique :

Z =

230 ⇒ 51.11 [Ω] 4.5

36.87 °

15.3 Représentation symbolique de l'impédance Z L'impédance Z est une association de résistance R et d'inductance L. Soit les deux types de consommateurs d'énergie électrique (voir tableau récapitulatif page ).

R

L

~

De cette représentation, nous pouvons mesurer la résistance R du moteur., à l'aide d'un ohmmètre et en déconnectant le moteur du réseau. Un ohmmètre alimente avec une tension continue le moteur. Le phénomène de self ou d'induction ne se manifeste pas en régime constant.

Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /novembre 2000

3

Circuits RLC séries

15.4 Mesure d’un circuit RLC série raccordé à une source alternative But de la mesure : Mesurer les valeurs des tensions sur les éléments, le courant dans le circuit. Calculer la valeur de la résistance, des réactances et de l’impédance. Les instruments raccordés dans notre circuit ne permettent que la mesure des tensions et du courant. Pour obtenir les valeurs de la résistance, des réactances et de l’impédance, il faut effectuer des calculs.

15.5 Schéma électrique :

mA R

L

~

V C CH 1

R = 560 [Ω]

CH 2

L = 150 [mH]

C = 3.3 [µF]

15.6 Schéma de la mesure :

Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /novembre 2000

4

Circuits RLC séries

15.7 Calcul des réactances et de l’impédance : Nos éléments sont montés en série, le courant est identique dans tout le circuit. Nous pouvons utiliser la loi d’Ohm pour déterminer les valeurs qui ne peuvent être mesurées par les instruments. Relations :

Z=

U I

R=

UR I

XC =

UC I

XL =

UL I

Z

[Ω]

défini l’impédance totale du circuit et représente sa valeur ohmique.

XC

[Ω]

défini la réactance capacitive et représente la valeur ohmique qu’oppose le condensateur au passage du courant.

XL

[Ω]

défini la réactance inductive et représente la valeur ohmique qu’oppose la bobine au passage du courant.

R

[Ω]

représente la valeur ohmique qu’oppose la résistance au passage du courant.

15.8 Tableau des valeurs mesurées et calculées : f [Hz] i [mA] 50 100 200 226 300 400 500 600 700 800 900 1000 2000 3000 4000 5000

Z [Ω]

9.3 14.68 17.78 17.86 17.45 16.24 14.84 13.50 12.28 11.22 10.29 9.48 5.15 3.49 2.63 2.11

Remarque :

1074.86 681.30 562.47 560.00 573.13 615.91 673.84 740.89 814.06 891.52 972.14 1055.12 1943.28 2866.59 3799.35 4735.97

UR [V]

R [Ω]

5.21 8.22 9.96 9.99 9.77 9.09 8.31 7.56 6.88 6.28 5.76 5.31 2.88 1.95 1.47 1.18

560 560 560 560 560 560 560 560 560 560 560 560 560 560 560 560

UL [V] 0.44 1.38 3.35 3.80 4.93 6.12 9.99 7.63 8.10 8.46 8.73 8.93 9.70 9.86 9.92 9.95

XL [ Ω ] 47.12 94.25 188.50 213.40 282.74 376.99 471.24 565.49 659.73 753.98 848.23 942.48 1884.96 2827.43 3769.91 4712.39

UC [V]

XC [ Ω ]

8.97 7.08 4.29 3.81 2.81 1.96 1.43 1.09 0.85 0.68 0.55 0.46 0.12 0.06 0.03 0.02

964.58 482.29 241.14 213.40 160.76 120.57 96.46 80.38 68.90 60.29 53.59 48.23 24.11 16.08 12.06 9.65

La mesure a été effectuée avec une tension constante de 10 [V] au générateur.

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5

Circuits RLC séries Constatations : •

La valeur de la résistance ne varie pas en fonction de la fréquence

•

La valeur du courant est maximale à la fréquence de 226 [Hz]

•

L’addition arithmétique ou algébrique des tensions sur les trois éléments ne correspond pas à la tension aux bornes du circuit.

•

L’impédance est inversement proportionnelle au courant et sa valeur est minimale à la fréquence de 226 [Hz].

•

La réactance d’induction XL augmente en fonction de la fréquence

•

La réactance capacitive XC diminue en fonction de la fréquence

•

A la fréquence de 226 [Hz] les deux réactances ont une valeur identique

•

A la fréquence de 226 [Hz] l’impédance à la même valeur que la résistance.

•

Lorsque XC = XL le circuit est dit en "résonance" et l'impédance Z vaut R. La fréquence à laquelle ces conditions sont remplies s'appelle fréquence de résonance fo Pour notre circuit fo = 226 [Hz]

15.9 Courbes : Courbes du courant, de l’impédance et de la résistance. I [mA] 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

f [kHz]

Z [Ω] 2500

2000

1500

1000

500

0 0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /novembre 2000

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

f [kHz]

6

Circuits RLC séries R [Ω] 2500

2000

1500

1000

500

0 0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

f [kHz]

Remarques : •

La pointe de courant est effectivement présente lorsque l’impédance est minimum.

•

L’impédance est grande pour les fréquences basses, ensuite elle diminue pour atteindre la valeur de R et après, elle augmente.

•

L’impédance est égale à R pour une fréquence de 226 [Hz].

•

La valeur de la résistance ne varie pas.

15.10 [Ω]

Comportement des éléments réactifs : XL

2500

2000

1500

1000

500

0 0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

f [kHz]

Courbe de la réactance inductive en fonction de la fréquence Xc [Ω] 2500

2000

1500

1000

500

0 0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

f [kHz]

Courbe de la réactance capacitive en fonction de la fréquence Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /novembre 2000

7

Circuits RLC séries

Z [Ω] 2500

2000

1500

1000

500

0 0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

f [kHz]

1.9

Courbe de l'impédance en fonction de la fréquence

Remarques : •

La réactance inductive augmente linéairement en fonction de la fréquence.

•

La réactance capacitive diminue rapidement en fonction de la fréquence .

•

L’impédance est grande pour les fréquences basses et pour les fréquences élevées.

•

Pour ce montage, l'impédance est minimum à la fréquence de 226 [Hz] .

•

L’impédance tend vers la courbe de XC jusqu’à 226 [Hz], ensuite tend vers la courbe de XL .

Pour confirmer nos constatations, nous pouvons placer les 4 courbes sur le même diagramme.

Z

X L Xc [Ω]

R

2500

2000 Z

XL

1500

1000 R 500 Xc 0 0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /novembre 2000

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

f [kHz]

8

Circuits RLC séries

15.11

Formules de calcul :

Réactance inductive XL Nous avons constaté que la réactance inductive est proportionnelle à la fréquence. Nous pouvons déjà écrire :

X L = ...... ⋅ L

Il nous manque la valeur comportant la fréquence. Cette valeur est représentée par la pulsation ω. Notre formule sera la suivante :

XL = ω ⋅ L

[Ω]

La pulsation est égale à :

ω = 2 ⋅π ⋅ f

 rad   s   

Remplaçons ω par sa valeur :

XL = 2 ⋅π ⋅ f ⋅ L

[Ω]

Réactance capacitive XC La réactance capacitive est inversement proportionnelle à la fréquence. Nous pouvons déjà écrire :

XC =

1 ...... ⋅ C

Il nous manque la valeur comportant la fréquence. Cette valeur est représentée par la pulsation ω.

Notre formule sera la suivante :

XC =

1 ω ⋅ C

Remplaçons ω par sa valeur :

XC =

1 2 ⋅π ⋅ f ⋅C

Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /novembre 2000

[Ω]

[Ω]

9

Circuits RLC séries

15.12

Tensions sur les éléments du circuit :

Reprenons le tableau des valeurs de notre circuit.

f [Hz] 50 100 200 226 300 400 500 600 700 800 900 1000 2000 3000 4000 5000

i [mA] 9.30 14.68 17.78 17.86 17.45 16.24 14.84 13.50 12.28 11.22 10.29 9.48 5.15 3.49 2.63 2.11

UR [V] 5.21 8.22 9.96 9.99 9.77 9.09 8.31 7.56 6.88 6.28 5.76 5.31 2.88 1.95 1.47 1.18

UL [V] 0.44 1.38 3.35 3.80 4.93 6.12 9.99 7.63 8.10 8.46 8.73 8.93 9.70 9.86 9.92 9.95

UC [V] 8.97 7.08 4.29 3.81 2.81 1.96 1.43 1.09 0.85 0.68 0.55 0.46 0.12 0.06 0.03 0.02

Constatations : •

La tension aux bornes de la résistance augmente jusqu’à la fréquence de 226 [Hz] et ensuite elle diminue.

•

La tension aux bornes de la bobine augmente avec la fréquence.

•

La tension aux bornes du condensateur diminue avec la fréquence.

•

A la fréquence de 226 [Hz] la tension aux bornes de la bobine et égale à celle aux bornes du condensateur.

•

A la fréquence ce 226 [Hz] la tension aux bornes de la résistance est égale à la tension aux bornes du circuit.

•

Si nous additionnons arithmétiquement les tensions aux bornes des trois éléments, ceci pour n’importe quelle fréquence, nous obtenons toujours une valeur supérieure à la tension totale présente aux bornes du circuit.

La dernière constatation est très importante. Elle est la conséquence des déphasages entre les tensions présentes aux bornes des éléments. Pour représenter ces tensions et ces déphasages, il est nécessaire de tracer soit une représentation temporelle, soit un diagramme vectoriel. Nous appliquerons les principes étudiés lors de l’analyse du comportement des éléments en circuit alternatif sinusoïdal.

Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /novembre 2000

10

Circuits RLC séries

15.13

Représentations temporelles et vectorielles :

Notre circuit est composé de trois éléments montés en série. Chaque élément est parcouru par un courant identique et il provoque une chute de tension à ses bornes. Cette tension est proportionnelle à la réactance ou à la résistance des éléments. Nous pouvons représenter 5 valeurs : I

15.14

Utot (UZ)

UR

UC

UL

Représentations temporelles : UL UC UR UZ

[V]

I

[mA]

10

UC

8

I

UL 6

UR

UZ

4

2

t

0

[ms] -2

-4

-6

-8

Le courant est représenté à titre indicatif -10

Sur ce tracé nous trouvons représentés toutes les tensions ainsi que le courant, mais il n’est pas aisé d’interpréter ce genre de représentation. Nous pouvons toutefois faire quelques constatations : •

Cette représentation est réalisée pour une fréquence de 500 [Hz]. Elle n’est valable que pour cette fréquence.

•

Dans le circuit série, le courant est utilisé comme référence car il est commun à tous les éléments.

•

La tension UR aux bornes de la résistance est en phase avec le courant.

•

La tension UC aux bornes du condensateur est en retard de 90° par rapport au courant.

•

La tension UL aux bornes de la bobine est en avance de 90° par rapport au courant.

•

Les tensions UC et UL sont déphasées de 180 °.

•

La tension UZ aux bornes du circuit est en avance par rapport au courant.

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11

Circuits RLC séries Représentations temporelles pour différentes fréquences : UL UC UR U Z

[V]

I

[mA] UC

10

I

UL

8

UZ

UR

6 4 2 0

t [ms]

-2 -4 -6

La valeur du courant est représentée à titre indicative -8 -10

Mesures effectuées à une fréquence de 150 [Hz] . UC est plus grand que UL . UZ est en retard par rapport au courant. UL UC UR U Z I

[V]

[mA] UC

10

I

UL

8

UZ

UR

6 4 2 0

t [ms]

-2 -4 -6

La valeur du courant est représentée à titre indicative -8 -10

Mesures effectuées à la fréquence de résonance de 226 [Hz] . UC et UL ont la même valeur. UZ , UR et I sont en phase. UL UC UR U I Z

[V]

[mA]

10

UC

I

UL

8

UR

UZ

6 4 2 0

t [ms]

-2 -4 -6

La valeur du courant est représentée à titre indicative -8 -10

Mesures effectuées à une fréquence de 300 [Hz] . UC est plus petit que UL . UZ est en avance par rapport au courant.

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12

Circuits RLC séries Constatations : •

La tension UR est constamment en phase avec le courant, indépendamment de la fréquence.

•

Les tensions UC et UL varient d'amplitude en fonction de la fréquence, mais leurs déphasages restent constants par rapport à UR

•

La tension UZ est en retard par rapport au courant pour les fréquences basses, et en avance pour les fréquences hautes.

•

A la fréquence de 226 [Hz] , appelée fréquence de résonance, les tensions UR et UZ sont en phase avec le courant et elles ont la même valeur.

Les représentations temporelles sont peu pratiques à tracer et à utiliser pour les calculs. C’est pour cela que les représentations vectorielles sont plus généralement utilisées pour calculer et étudier les circuits en alternatif sinusoïdal.

15.15

Diagramme vectoriel :

Dans le circuit série, le courant est commun à tous les éléments. Il nous servira de référence pour le diagramme. Dans le circuit parallèle, c’est la tension qui est commune aux éléments et c’est elle qui sert de référence. Dans les deux cas, il s'agit d'un choix arbitraire. f = 500 [Hz] I = 14.84 [mA]

UZ = 10 [V]

UR = 8.31 [V]

UC = 1.43 [mV]

UL = 9.99 [mV]

ω UL

UC

UZ

ϕ UC

UR

I

Remarques : •

La position des vecteurs est déterminée par le déphasage entre les tensions.

•

La longueur des vecteurs correspond à la valeur des tensions présente sur les éléments.

•

Les déphasages entre les tensions apparaissent plus clairement sur le diagramme.

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13

Circuits RLC séries

Conclusions de la mesure : •

Dans un circuit RLC série raccordé sur une source de tension alternative sinusoïdale, le courant est commun à tous les éléments.

•

Les réactances capacitive et inductive varient en fonction de la fréquence.

•

Pour une certaine valeur de fréquence appelée fréquence de résonance, le courant est maximum. Sa valeur est limitée par les résistances du circuit.

•

L’addition arithmétique des tensions partielles donne une valeur plus grande que celle de la tension totale aux bornes du circuit.

•

Les tensions aux bornes du condensateur et de la bobine sont déphasées de 90 [°] par rapport à la référence.

•

La tension aux bornes de la résistance est en phase avec le courant.

•

Pour les fréquences en dessous de f0 , la tension d’entrée est en retard par rapport au courant. Dans ce cas le circuit a un comportement CAPACITIF.

•

Pour les fréquences en dessus de f0 , la tension d’entrée est en avance par rapport au courant. Dans ce cas le circuit a un comportement INDUCTIF.

•

La fréquence à laquelle UC et UL ont la même valeur s’appelle

FREQUENCE DE RESONANCE. f < f0

f = f0

f > f0

ω

ω

UL

ω UC

UL UL

UZ

UC

UR

UZ

I

ϕ

I

UR

UR

ϕ

I

UZ UC UC

UL UC

Fréquence basse U L < UC UZ en retard sur I Circuit CAPACITIF

Fréquence de résonance UL = UC UZ = UR déphasage nul Circuit RESISTIF

Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /novembre 2000

Fréquence haute U L > UC UZ en avance sur I Circuit INDUCTIF

14

Circuits RLC séries

15.16

Relations :

Le diagramme vectoriel nous permet de déterminer les relations utiles pour le calcul des circuits RLC série. UL

ω UC

UZ

ϕ UR

I

UC

Les tensions UC et UL sont opposées de 180°. Lorsque nous les additionnons, nous obtenons une tension résultante appelée tension de réactances UX .Cette tension est obtenue de la manière suivante :

! ! ! U X = U L − UC ! ! ! U X = U L − UC = 0 ! ! ! U X = UC − U L

lorsque le circuit est inductif à la fréquence de résonance le circuit est résistif lorsque le circuit est capacitif

! ! ! Lorsque l'on additionne géométriquement Ux , UR et UZ on obtient un triangle rectangle. Pour obtenir une de ces trois valeurs ou l’angle de déphasage, nous utilisons les relations de Pythagore et celles de la trigonométrie. Pythagore :

ω

ω

UZ

UX

Z

X

ϕ

ϕ UR

U Z = U R2 + U X 2

I

R

U Z = U R 2 + ( U L − U C )2

UR = UZ 2 − UX 2

I

U X = U Z 2 − U R2

Trigonométrie :

cos ϕ =

U  ϕ = cos−1 R   UZ 

UR UZ

Pythagore :

Z=

R2 + X 2

Z=

R 2 + ( X L − X C )2 X = XL − XC

ou

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R = Z2 − X 2

X =

Z 2 − R2

X = XC − X L 15

Circuits RLC séries

15.17

Développement chiffré :

Un circuit RLC série est composé des éléments suivants : R = 180 [Ω]

L = 15 [mH] C = 15 [nF]

Il est raccordé sur un générateur dont la fréquence est de 12 [kHz] et la tension de sortie de 20 [V]. Calculer toutes les tensions ainsi que l’angle de déphasage entre le courant et la tension. Calculs des réactances : XL = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L

XC =

2 ⋅ π ⋅ 12 ⋅ 10 3 ⋅ 15 ⋅ 10 −3 = 1131 [Ω]

=

1 2 ⋅π ⋅ f ⋅ C

1

=

2 ⋅ π ⋅ 12 ⋅ 103 ⋅ 15 ⋅ 10− 9

= 884.2 [ Ω ]

Calcul de l’impédance :

Z=

R2 + ( X L − X C )

2

1802 + (1131 − 884.2)2 = 305.44 [ Ω ]

=

Calcul du courant :

I=

U Z

20 = 65.47 [mA] 305.44

=

Calcul de l’angle de déphasage :

 R ϕ = cos−1   Z

 180  cos −1 . [° ]  = 5389  305.44 

=

Vérification du calcul :

U  ϕ = cos−1 R   UZ 

.   1178 cos −1  = 53.91 [ ° ]  20 

=

Calculs des tensions :

UR = R ⋅ I

=

180 ⋅ 65.47 ⋅ 10 -3 = 1178 . [V]

UC = XC ⋅ I

=

884.2 ⋅ 65.47 ⋅ 10 -3 = 57.9 [V]

UL = XL ⋅ I

=

1131 ⋅ 65.47 ⋅ 10 -3 = 74.05 [V]

Vérification des calculs :

U Z = U R 2 + (U L − U C )

2

=

1178 . 2 + (74.05 − 57.92)2 = 20 [V]

Ce calcul nous permet de contrôler l’exactitude des tensions sur les éléments. UZ doit correspondre à la tension fournie par le générateur soit 20 [V]. Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /novembre 2000

16

Circuits RLC séries

15.18

Résonance série :

! ! Pour une certaine valeur de fréquence à l'entrée du circuit, les tensions UC et UL ont la même ! ! valeur. Comme nous l'avons vu, UC et UL sont déphasées de 180 °, ce qui implique que lorsqu'elles sont égales, il y a un échange total d'énergie entre le condensateur et la bobine. Lorsque cette condition est remplie, cette fréquence est appelée :

fréquence de résonance fo . Selon la loi d’Ohm, la tension aux bornes du condensateur et de la bobine sont proportionnelles au courant et à la réactance de l’élément.

UC = X C ⋅ I

UL = XL ⋅ I

et

! ! Le courant étant commun pour les deux éléments, lorsque les deux tensions UC et UL sont identiques, les deux réactances ont également la même valeur. Nous pouvons en déduire qu’à la fréquence de résonance : UL = -UC

XL = -XC

⇒

remarques : le signe - indique le déphasage

Recherche de la fréquence de résonance fo : Pour obtenir la résonance dans un circuit RLC, il faut que XC = XL

XC = X L f o2 =

1 = 2 ⋅ π ⋅ fo ⋅ L 2 ⋅ π ⋅ fo ⋅ C

⇒

1 2 ⋅π ⋅ L ⋅2 ⋅π ⋅C

⇒

f o2 =

fo =

1 4 ⋅π ⋅ L ⋅ C 2

⇒

fo =

1 4 ⋅π ⋅ L ⋅ C 2

1 2 ⋅π ⋅ L ⋅ C

Cette formule s’appelle formule de Thomson et elle permet de définir la fréquence de résonance fo d’un circuit RLC. Exemple : Calculer la fréquence de résonance du montage du circuit de mesure ainsi que pour celui de l’exercice de la page précédente. L = 150 [mH]

fo = L = 15 [mH]

fo =

C = 3.3 [µF]

1 2 ⋅π ⋅ L ⋅ C C = 15 [nF]

1 2 ⋅π ⋅ L ⋅ C

fo = ?

=

1 2 ⋅ π ⋅ 150 ⋅ 10

-3

⋅ 3.3 ⋅ 10

−6

=

226.21 [Hz]

fo = ?

=

1 2 ⋅ π ⋅ 15 ⋅ 10 -3 ⋅ 15 ⋅ 10− 9

Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /novembre 2000

=

10.61 [kHz]

17

Circuits RLC séries

15.25 1.

Exercices Une inductance a une valeur de 0.8 [H] . Calculer sa réactance pour les réseaux suivants a)

CFF

b)

CVE

c)

USA

2.

Calculer le courant qui circule dans une inductance de 32 [mH] si elle est raccordée à un générateur de tension alternatif de 50 [V] / 400 [Hz] .

3.

Calculer la réactance inductive d'une bobine de 3.8 [H] lorsqu'elle fonctionne sur un réseau dont la fréquence est de 50 [Hz] .

4.

Une bobine a une réactance de 475 [Ω] et elle est raccordée à un générateur dont la fréquence est de 200 [Hz] . Calculer l'inductance de la bobine.

5.

Une bobine de 3.19 [H] est raccordée dans un circuit alternatif. En fonctionnement, sa réactance vaut 16 [kΩ]. Calculer la fréquence du circuit.

6.

Quelle est la capacité d'un condensateur si sa réactance vaut 42.5 [Ω] pour une fréquence de 2.5 [kHz] ?

7.

Un filtre possède un condensateur de 10 [nF]. Calculer sa réactance pour une fréquence de 208 [kHz].

8.

Quelle est la fréquence d'un circuit dans lequel est branché un condensateur de 4 [µF] dont la réactance vaut 796 [Ω] ?

9.

Un circuit est composé d'une bobine idéale de 4.75 [mH] . Il fonctionne à une fréquence de 175 [kHz] et avec une tension de 50 [V]. Calculer le courant dans le circuit.

10.

Un condensateur est raccordé en série dans une installation d'éclairage de secours de 75 [W] . Quel sera le courant dans le condensateur si les batteries fournissent une tension de 12 [V] ?

11.

Un condensateur est traversé par un courant de 78 [mA]. Calculer la valeur du condensateur si l'alimentation fourni une tension de 100 [V] / 50 [Hz] .

12.

Un condensateur est raccordé sur une source alternative de 50 [Hz]. Il est parcouru par un courant de 500 [mA] . Quel sera le courant si la fréquence de la source quadruple ?

Réponses :

1. 83.78 [Ω] - 251.33 [Ω] - 301.6 [Ω] 2. 621.7 [mA] 3. 1193.8 [Ω] 4. 378 [mH] 5. 798.27 [Hz] 6. 1.5 [µF] 7. 6.5 [Ω] 8. 50 [Hz] 9. 9.57 [mA] 10. 0 [mA] , pas de courant continu dans un condensateur. Les alimentations de secours fonctionnent avec des batteries DC 11. 2.48 [µF] 12. 4 fois plus grand

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18

Circuits RLC séries 13.

Un circuit bouchon est composé d’une bobine de 10 [mH] et d’un condensateur de 10.8 [µF]. Sa fréquence de résonance est de 485 [Hz]. Nous désirons utiliser ce filtre pour une fréquence de 317 [Hz] en modifiant soit le condensateur, soit l’inductance. Calculer la valeur des éléments dans les deux cas.

14.

Un circuit RLC série est composé d’une résistance de 15 [Ω] , d’une bobine de 260 [mH] et d’un condensateur de 2.5 [µF]. Il est raccordé sur une source alternative de 60 [V]. Calculer la fréquence de résonance du montage ainsi que le courant pour fo

15.

Un circuit RLC série est composé d’une résistance de 1500 [Ω] , d’une bobine de 150 [mH] et d’un condensateur. Sa fréquence de résonance vaut fo = 2.5 [kHz]. Il est raccordé sur une source alternative de 50 [V].Calculer la valeur du condensateur. Calculer toutes les tensions sur les éléments pour une fréquence de 4.5 [kHz].

16.

Un circuit est composé d'un condensateur de 4.7 [nF] et d'une résistance de 2.2 [kΩ]. Il est raccordé sur un générateur de fréquence réglé sur 15.4 [kHz] et dont la tension de sortie est fixe et vaut 5 [V]. Dessiner le schéma du circuit et flécher toutes les valeurs. Tracer le diagramme vectoriel Calculer : L'impédance du circuit Les tensions sur les deux éléments. Le courant total et l'angle de déphasage Calculer l'atténuation du circuit en dB pour la fréquence indiquée, si la sortie se trouve sur le condensateur.

17.

Un circuit RL série comporte une résistance de 10 [kΩ] et il fonctionne à une fréquence. Un courant de 405 [µA] et une tension de 1.96 [V] sont est mesurés sur la bobine pour un signal de 3.5 [MHz]. Calculer la valeur de la bobine ainsi que la valeur de la tension à l'entrée du circuit XL = 4.827 [kΩ] L = 220 [µH] Z = 11.1 [kΩ]

18.

Ue = 4.5 [V]

Un circuit RLC a les caractéristiques suivantes pour sa fréquence de résonance : L = 15 [mH] - C = 470 [nF] - UL = 10 [V] - Gu à fo = - 3 dB Dessiner le schéma du circuit et flécher toutes les valeurs. Tracer le diagramme vectoriel pour les fréquences de 1 [kHz] et de 3 [kHz]. Calculer ( pour les deux fréquences ) : Ue - UR - UL - UC - Z - I - fo

Réponses : 13. 25.21 [µF] - 23.34 [mH]

14. 197.4 [Hz] 4 [A]

15. C = 27 [nF] Z = 3.29 [kΩ] I = 15.2 [mA] UR = 22.79 [V] UC = 19.9 [V] UL = 64.46 [V] 16. Z = 3.11 [kΩ] I = 1.6 [mA] UR = 3.54 [V] UC = 3.54 [V] ϕ = -45 [°] Au = -3 dB 17. XL = 4.827 [kΩ] L = 220 [µH] Z = 11.1 [kΩ] Ue = 4.5 [V] 18. Pour f = 1 kHz : XL = 94.24 [Ω] XC = 338.6 [Ω] Z = 350.55 [Ω] I = 40.23 [mA] ϕ = -44.2 [°] Ue = 14.1 [V] UR = 10.11 [V] UC = 13.6 [V] UL = 3.79 [V] Pour f = 3 kHz : XL = 282.74 [Ω] XC = 112.87 [Ω] Z = 303.36 [Ω] I = 46.5 [mA] ϕ = 34.1[°] Ue = 14.1 [V] UR = 11.7 [V] UC = 5.25 [V] UL = 13.14 [V] Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /novembre 2000

19

Circuits RLC séries 19.

Un moteur est raccordé sur une génératrice 400 [V] 100 [Hz] . La mesure à l'ohmmètre indique une résistance de 36 [Ω] . Un courant de 4 [A] circule dans le moteur. Calculer la valeur de la bobine, toutes les tensions et l'angle de déphasage

20.

Une inductance de 800 [mH] est montée en série avec une résistance de 1.5 [kΩ] . Le montage est raccordé sur une source de tension de 150 [V] / 200 [Hz]. Calculer l’impédance, le courant, toutes les tensions et l'angle de déphasage Tracer le diagramme vectoriel sur une feuille séparée.

21.

Une lampe est montée en série avec un condensateur de 10 [µF] . On mesure une tension de 63.66 [V] aux bornes du condensateur lorsque le circuit est raccordé sur un réseau 50 [Hz]. Calculer l’impédance, la résistance de la lampe, le courant, la tension sur la lampe, et l'angle de déphasage. Tracer le diagramme vectoriel sur une feuille séparée.

22.

Une inductance du 100 [mH] , un condensateur de 700 [nF] et une résistance de 50 [Ω] sont montés en série. Ils sont raccordés sur une source de tension alternative de 60 [V] dont la fréquence vaut 500 [Hz]. Calculer l’impédance, le courant, toutes les tensions et l'angle de déphasage. Tracer le diagramme vectoriel sur une feuille séparée.

23.

Une résistance bobinée a une inductance de 450 [mH] . Un courant de 650 [mA] la traverse lorsqu’elle est raccordée sur une tension alternative de 230 [V] 50 [Hz]. Calculer la valeur de la résistance, l’impédance, les tensions et l'angle de déphasage Dessiner le schéma, flécher toutes les valeurs et tracer le diagramme vectoriel sur une feuille séparée.

24.

Lorsqu'une bobine est parcourue par un courant continu, nous mesurons 2.5 [A], alors que lorsqu'elle est raccordée sur une source alternative sinusoïdale d'une fréquence de 150 [Hz] le courant vaut 850 [mA] . Les deux tensions sont comparables et la valeur de crête de la tension alternative vaut 15 V. Calculer l’impédance, la résistance de l'inductance , la valeur de l'inductance, et l'angle de déphasage

25.

Un circuit RC série est utilisé comme filtre de tonalité dans un appareil audio. Il est composé d'une résistance de 330 [Ω] et d'un condensateur. La tension à l'entrée du filtre est de 1.5 [V] . La tension de sortie est prise sur le condensateur. Calculer la valeur du condensateur pour une atténuation de 35 % à 1 [kHz] , l’impédance , le courant, et l'angle de déphasage pour cette même fréquence.

Réponses : 19. UR =144 [V] UL = 373.18 [V] L = 148.5 [mH] cosϕ = 0.36 ϕ = 68.9 [°] 20.

Z = 1805.73 [Ω] , I = 83.07 [mA] , UR = 124.61 [V] , UL = 83.76 [V] , ϕ = 33.83 [°]

21. Z = 1150 [Ω] , RL = 1105 [Ω] , UR = 221.01 [V] , I=200 [mA] , ϕ = 16.07 [°] 22. Z = 149.2 [Ω] , I = 402.15 [mA] , UR = 20.11 [V] , UC = 182.87 [V] , UL = 126.34 [V] , ϕ = 70.42 [°] 23. Z = 353.85 [Ω] , UR = 210.85 [V] , UL = 91.9 [V] , ϕ = 23.55 [°] 24. Z = 12.47 [Ω] , RL = 4.24 [Ω] , L = 12.45 [mH] , ϕ = 70.12 [°] 25. Z = 434.24 [Ω] , I = 3.45 [mA] , UR = 1.14 [V] , UC = 975 [mV] ,C = 564 [nF] , ϕ = 40.54 [°]

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20

Circuits RL et RC séries

Chapitre 15b Circuits RL et RC séries

Sommaire • • •

Circuits RL et RC série Exemples de calculs pratiques Exercices

Introduction

15

Montage série en courant alternatif : Dans la pratique, les circuits sont généralement composés des éléments que nous venons d'étudier, montés soit en série, soit en parallèle. Pour étudier le comportement des éléments et celui du montage complet, nous allons réaliser une mesure. Les résultats de cette mesure nous permettrons d'effectuer des constatations sur le comportement du circuit et des éléments qui le composent. Avant cela, il est nécessaire de définir les termes utilisés.

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1

Circuits RL et RC séries

15.19

Circuit RL et RC série :

Dans la pratique, nous rencontrons souvent des circuits composés que d'un élément réactif et d'une résistance. Par exemple, les moteurs, composés d'enroulements réalisés avec du fil de cuivre, peuvent être représentés par une résistance montée en série avec une inductance. La résistance représente la valeur résistive du fil de cuivre, et l'inductance représente la bobine réalisée avec le fil de cuivre. D'autres exemples peuvent également être rencontrés : ballast pour tubes fluorescents, transformateurs, Les récepteurs capacitifs sont plus rares, mais ils peuvent également être rencontrés. En électronique, les circuits RC et RL série sont très couramment utilisés. Dans les amplificateurs, ils servent à filtrer certaines fréquences (égaliseur, contrôle de tonalité). Il en est de même en télévision et dans toutes les autres applications électroniques. Les filtres RC et RL sont utilisés dans les colonnes haut-parleurs pour aiguiller les fréquences sur les haut-parleurs. En effet, le HP de basses ne doit recevoir que les fréquences basses, le HP médium que les fréquences moyennes et le HP aiguës que les fréquences élevées. Les caractéristiques d'une colonne dépendent en grande partie de la qualité des filtres utilisés et les concepteurs comme M. Jean Maurer à Aubonne y consacrent beaucoup de temps et d'énergie. Pour ces circuits, les méthodes de calculs sont les mêmes que pour les circuits RLC. Nous allons les reprendre et les appliquer aux circuits RC et RL.

15.20

Circuit RL série : R

I

UR U

~

UL

L

Ce schéma symbolise un moteur. Comme nous l'avons vu plus haut, la résistance R représente le fil de cuivre et l'inductance L la bobine que constitue le fil. Dans les appareils électroniques, ce genre de montage est souvent rencontré. Il est utilisé pour filtrer certaines fréquences par exemple dans les colonnes sonores.

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2

Circuits RL et RC séries

15.21

Diagramme vectoriel d'un circuit RL série : ω UL

UZ

ϕ I

UR

Il s'agit d'un circuit série et nous avons utilisé le courant comme référence car il est commun ! aux deux éléments. Une résistance ne provoque pas de déphasage et sa tension UR est en ! phase avec le courant. Dans l'inductance, la tension UL est en avance de 90 ° par rapport au ! courant. La tension U aux bornes du circuit est la résultante de l'addition vectorielle des ! ! tensions UR et UL . Pour trouver cette résultante, nous pouvons également appliquer les relations de Pythagore.

U Z = U R 2 + U L2 La notion d'impédance est également utilisée avec ce circuit. Rappel :

XL = 2 ⋅π ⋅ f ⋅ L

Z=

R2 + X L2

L'angle de déphasage est déterminé de la manière suivante :

cos ϕ =

R UR = Z UZ

U   R ϕ = cos−1  = cos−1 R   Z  UZ 

⇒

Exemple : Un circuit série composé d'une résistance de 220 [Ω] et d'une inductance 150 [mH]. Il est raccordé sur une source de tension de 100 [V] dont la fréquence est de 160 [Hz]. Calculer l'impédance, toutes les tensions, le courant et l'angle de déphasage. Données :

R = 220 [Ω]

L = 150 [mH]. UZ = 100 [V]

Inconnues :

Z

UL

Relations :

U = U R2 + U L2

UR

I

f= 160 [Hz].

ϕ

XL = 2 ⋅π ⋅ f ⋅ L

Z=

R2 + X L2

U   R ϕ = cos−1  = cos−1 R   Z  UZ  Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /novembre 2000

3

Circuits RL et RC séries Résolution : Calcul de la réactance inductive :

X L = 2 ⋅ π ⋅ 160 ⋅ 150 ⋅ 10−3 = 150.8 [ Ω ]

X L = 2 ⋅π ⋅ f ⋅ L Calcul de l'impédance :

Z=

R2 + X L2

Z = 220 2 + 150.82 = 266.72 [ Ω ]

Calcul du courant :

I =

UZ Z

=

100 = 375 [mA] 266.72

Calcul des tensions :

U R = R ⋅ I = 220 ⋅ 375 ⋅ 10−3 = 82.48 [V] U L = X L ⋅ I = 150.8 ⋅ 375 ⋅ 10−3 = 56.54 [V] Contrôle du calcul des tensions :

U = U R2 + U L2

=

82.48 2 + 56.542 = 100 [V]

Calcul du déphasage :

 R  220  ϕ = cos−1  = cos−1  = 34.43 °  Z  266.72  U   84.48  cos −1 R  = cos-1   = 32.34 °  100   UZ 

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4

Circuits RL et RC séries

15.22

Circuit RC série : R

I

UR U

UC

~

C

Ce genre de circuit est plutôt rencontré dans les appareils électroniques pour filtrer certaines fréquences. En électricité, les condensateurs sont utilisés pour corriger les déphasages provoqués par les récepteurs inductifs (moteurs, ballast TL, etc.) . Suivant le montage, il est possible de trouver des condensateurs en série avec une résistance. Pour réaliser des adaptations en tension en introduisant un condensateur en série avec une charge résistive (réducteur de tension). Ce montage peut également être réalisé au moyen d’une bobine montée en série avec la charge résistive. Les circuits RC réducteurs de tension sont plus souvent utilisés car les condensateurs sont en général de plus petite taille et d'un coût plus bas.

15.23

Diagramme vectoriel d'un circuit RC série : UR

ω

I

ϕ UZ UC

Comme pour le montage RL série et nous avons utilisé le courant comme référence car il est ! commun aux deux éléments. Une résistance ne provoque pas de déphasage et sa tension UR est ! en phase avec le courant. Dans l'inductance, la tension UC est en retard de 90 ° par rapport au ! courant. La tension U aux bornes du circuit est la résultante de l'addition vectorielle des ! ! tensions UR et UC . Pour trouver cette résultante, nous pouvons également appliquer les relations de Pythagore.

U Z = U R2 + UC2 La notion d'impédance est également utilisée avec ce circuit.

XC =

Rappel :

1 2 ⋅π ⋅ f ⋅C

Z=

R2 + X C2

L'angle de déphasage est déterminé de la manière suivante :

cos ϕ =

R UR = Z UZ

⇒

Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /novembre 2000

U   R ϕ = cos−1  = cos−1 R   Z  UZ  5

Circuits RL et RC séries

15.24

Applications pratiques :

Tableau électrique : Un tableau électrique est équipé de lampes à incandescence 24 [V] / 5 [W] . A la suite d'une modification du tableau, une nouvelle tension d'alimentation de 48 [V] doit être utilisée pour les lampes. En raison de leur nombre, il n'est pas possible de changer les lampes. Pour diminuer la tension sur les lampes, nous désirons utiliser des condensateurs. Calculer la valeur du condensateur à monter en série avec les lampes.

Schéma : UC

~

U

tension d'alimentation = 24 [V]

Données :

Ualim2 = 48 [V]

Inconnue :

~

U

C

U lampe

tension d'alimentation = 48 [V]

f = 50 [Hz]

Ulampe = 24 [V]

Plampe = 5 [W]

C

P = U Z ⋅ I ⋅ cos ϕ

U Z = U R2 + U C2

Relations : Remarque :

Z=

UZ I

XC =

1 2 ⋅π ⋅ f ⋅C

La lampe représente un récepteur ohmique. Elle ne provoque pas de déphasage entre le courant et la tension. Nous pouvons l'assimiler à une résistance montée en série avec le condensateur.

Calcul du courant dans la lampe :

P = U Z ⋅ I ⋅ cos ϕ

⇒

I=

P 5 = 208.33 [mA] = U Z ⋅ cos⋅ ϕ 24 ⋅ 1

Calcul de la tension sur le condensateur :

U Z = U R2 + UC 2

⇒

U C = U 2 − U R 2 = 482 − 242 = 41.57 [V]

Calcul de la réactance capacitive :

XC =

UC 41.57 = I 208.33 ⋅ 10 -3

= 199.53 [ Ω ]

Calcul du condensateur :

XC = Remarque :

1 2 ⋅π ⋅ f ⋅ C

⇒ C=

1 1 = 15.95 [ µF] = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ X C 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 199.53

Il est possible d'obtenir le même résultat en remplaçant le condensateur par une inductance.

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Circuits RL et RC séries Sèche cheveux : Un sèche cheveux est raccordé sur le réseau 230 [V] 50 [Hz]. Le corps de chauffe a une puissance de 1 [kW], un courant de 350 [mA] circule dans le moteur et un condensateur est raccordé en parallèle sur l'ensemble pour corriger le déphasage provoqué par l'inductance du moteur. Le courant mesuré sur le condensateur vaut 300 [mA]. Les angles de déphasages sont les suivants : Calculer :

ϕC = 66 °

ϕL = 75 °

la valeur de la résistance du corps de chauffe, les valeurs de l'inductance et du condensateur,

Schéma :

I RL

Rc

R

~

U

L

C Ic

IL

IRchauffe

RC représente la résistance série du condensateur et RL la résistance série de l'inductance. Remarque :

Pour simplifier notre étude, nous considérons séparément les circuits séries.

Etude du circuit RC série : Données :

U = 230 [V]

Inconnues :

Z

Z=

Relations :

f = 50 [Hz] RC

IC = 300 [mA]

ϕC = 66 °

C

cos ϕ =

R2 + X C 2

R Z

Z=

U I

XC =

1 2 ⋅π ⋅ f ⋅C

Calcul de l'impédance :

Z RC =

U 230 = = 766.67[Ω] I 0.3

Calcul de la résistance :

cos ϕ =

RC Z RC

⇒

R C = Z RC ⋅ cosϕ = 766.67 ⋅ cos 66 = 311.83 [ Ω ]

Calcul de la réactance du condensateur :

Z RC = RC 2 + X C 2 ⇒ X C = Z C 2 − RC 2 = 766.66 2 − 31183 . 2 = 700.38 [ Ω ] Calcul de la valeur du condensateur :

XC =

1 2 ⋅π ⋅ f ⋅C

⇒ C=

1 1 = = 4.55 [ µF] 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ X C 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 700.38

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7

Circuits RL et RC séries Etude du circuit RL série : Données :

U = 230 [V]

Inconnues :

Relations :

f = 50 [Hz]

Z

Z=

RL

IL = 350 [mA]

ϕ = 75 °

L

R Z

cos ϕ =

R2 + X L2

Z=

U I

XL = 2 ⋅π ⋅ f ⋅ L

Calcul de l'impédance :

Z RL =

U I

=

230 = 657.14 [ Ω ] 0.35

Calcul de la résistance :

cos ϕ =

R

⇒

Z RL

R = Z RL ⋅ cosϕ = 657.14 ⋅ cos 75 = 170.01 [ Ω ]

Calcul de la réactance de l'inductance :

Z=

R2 + X L2 ⇒ X L =

Z 2 − R 2 = 657.142 − 170.012 = 634.75 [ Ω ]

Calcul de la valeur de l'inductance :

X L = 2⋅π ⋅ f ⋅ L ⇒ L=

XL 634.75 = = 2.02 [H] 2 ⋅ π ⋅ f 2 ⋅ π ⋅ 50

Calcul de la résistance du corps de chauffe : Données :

UR = 230 [V]

f = 50 [Hz]

P = 1 [kW]

Inconnues :

Rchauffe

Relations :

P P = R ⋅ I2 ⇒ R = 2 I

Calcul de la résistance :

P=

U2 R

⇒ R=

U2 P

=

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230 2 1000

= 52.9 [ Ω ]

8

Circuits RL et RC séries Exemple : Un circuit série composé d'une résistance de 120 [Ω] et d'un condensateur de 15 [µF] . Il est raccordé sur une source de tension de 100 [V] dont la fréquence est de 60 [Hz]. Calculer l'impédance, toutes les tensions, le courant et l'angle de déphasage. Données :

R = 120 [Ω]

C = 15 [µF]

U = 100 [V]

Inconnues :

Z

UC

ϕ

Relations :

U = U R2 + UC2

UR

I

XC =

f= 60 [Hz].

1 2 ⋅π ⋅ f ⋅C

Z=

R2 + X C2

U   R ϕ = cos−1  = cos−1 R   Z  UZ  Résolution : Calcul de la réactance capacitive :

XC =

1 2 ⋅π ⋅ f ⋅ C

XC =

1 2 ⋅ π ⋅ 60 ⋅ 15 ⋅ 10− 6

= 176.84 [ Ω ]

Calcul de l'impédance :

Z=

R2 + X C2

Z = 120 2 + 176.842 = 213.71 [ Ω ]

Calcul du courant :

I =

UZ Z

=

100 = 468 [mA] 213.71

Calcul du déphasage :

 R  120  ϕ = cos−1  = cos−1  = 55.84 °  Z  213.71 U  .   5616 ϕ = cos −1 R  = cos-1   = 55.84 °  100   UZ  Calcul des tensions :

U R = R ⋅ I = 120 ⋅ 468 ⋅ 10−3 = 5616 . [V ] U C = X C ⋅ I = 176.84 ⋅ 468 ⋅ 10−3 = 82.76 [V] Contrôle du calcul des tensions :

U = U R2 + U C2

=

56.16 2 + 82..762 = 100 [V]

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9

Circuits RL et RC séries

15.25 1.

Exercices Une inductance a une valeur de 0.8 [H] . Calculer sa réactance pour les réseaux suivants a)

CFF

b)

CVE

c)

USA

2.

Calculer le courant qui circule dans une inductance de 32 [mH] si elle est raccordée à un générateur de tension alternatif de 50 [V] / 400 [Hz] .

3.

Calculer la réactance inductive d'une bobine de 3.8 [H] lorsqu'elle fonctionne sur un réseau dont la fréquence est de 50 [Hz] .

4.

Une bobine a une réactance de 475 [Ω] et elle est raccordée à un générateur dont la fréquence est de 200 [Hz] . Calculer l'inductance de la bobine.

5.

Une bobine de 3.19 [H] est raccordée dans un circuit alternatif. En fonctionnement, sa réactance vaut 16 [kΩ]. Calculer la fréquence du circuit.

6.

Quelle est la capacité d'un condensateur si sa réactance vaut 42.5 [Ω] pour une fréquence de 2.5 [kHz] ?

7.

Un filtre possède un condensateur de 10 [nF]. Calculer sa réactance pour une fréquence de 208 [kHz].

8.

Quelle est la fréquence d'un circuit dans lequel est branché un condensateur de 4 [µF] dont la réactance vaut 796 [Ω] ?

9.

Un circuit est composé d'une bobine idéale de 4.75 [mH] . Il fonctionne à une fréquence de 175 [kHz] et avec une tension de 50 [V]. Calculer le courant dans le circuit.

10.

Un condensateur est raccordé en série dans une installation d'éclairage de secours de 75 [W] . Quel sera le courant dans le condensateur si les batteries fournissent une tension de 12 [V] ?

11.

Un condensateur est traversé par un courant de 78 [mA]. Calculer la valeur du condensateur si l'alimentation fourni une tension de 100 [V] / 50 [Hz] .

12.

Un condensateur est raccordé sur une source alternative de 50 [Hz]. Il est parcouru par un courant de 500 [mA] . Quel sera le courant si la fréquence de la source quadruple ?

Réponses :

1. 83.78 [Ω] - 251.33 [Ω] - 301.6 [Ω] 2. 621.7 [mA] 3. 1193.8 [Ω] 4. 378 [mH] 5. 798.27 [Hz] 6. 1.5 [µF] 7. 6.5 [Ω] 8. 50 [Hz] 9. 9.57 [mA] 10. 0 [mA] , pas de courant continu dans un condensateur. Les alimentations de secours fonctionnent avec des batteries DC 11. 2.48 [µF] 12. 4 fois plus grand

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10

Circuits RL et RC séries 13.

Un circuit bouchon est composé d’une bobine de 10 [mH] et d’un condensateur de 10.8 [µF]. Sa fréquence de résonance est de 485 [Hz]. Nous désirons utiliser ce filtre pour une fréquence de 317 [Hz] en modifiant soit le condensateur, soit l’inductance. Calculer la valeur des éléments dans les deux cas.

14.

Un circuit RLC série est composé d’une résistance de 15 [Ω] , d’une bobine de 260 [mH] et d’un condensateur de 2.5 [µF]. Il est raccordé sur une source alternative de 60 [V]. Calculer la fréquence de résonance du montage ainsi que le courant pour fo

15.

Un circuit RLC série est composé d’une résistance de 1500 [Ω] , d’une bobine de 150 [mH] et d’un condensateur. Sa fréquence de résonance vaut fo = 2.5 [kHz]. Il est raccordé sur une source alternative de 50 [V].Calculer la valeur du condensateur. Calculer toutes les tensions sur les éléments pour une fréquence de 4.5 [kHz].

16.

Un circuit est composé d'un condensateur de 4.7 [nF] et d'une résistance de 2.2 [kΩ]. Il est raccordé sur un générateur de fréquence réglé sur 15.4 [kHz] et dont la tension de sortie est fixe et vaut 5 [V]. Dessiner le schéma du circuit et flécher toutes les valeurs. Tracer le diagramme vectoriel Calculer : L'impédance du circuit Les tensions sur les deux éléments. Le courant total et l'angle de déphasage Calculer l'atténuation du circuit en dB pour la fréquence indiquée, si la sortie se trouve sur le condensateur.

17.

Un circuit RL série comporte une résistance de 10 [kΩ] et il fonctionne à une fréquence. Un courant de 405 [µA] et une tension de 1.96 [V] sont est mesurés sur la bobine pour un signal de 3.5 [MHz]. Calculer la valeur de la bobine ainsi que la valeur de la tension à l'entrée du circuit XL = 4.827 [kΩ] L = 220 [µH] Z = 11.1 [kΩ]

18.

Ue = 4.5 [V]

Un circuit RLC a les caractéristiques suivantes pour sa fréquence de résonance : L = 15 [mH] - C = 470 [nF] - UL = 10 [V] - Gu à fo = - 3 dB Dessiner le schéma du circuit et flécher toutes les valeurs. Tracer le diagramme vectoriel pour les fréquences de 1 [kHz] et de 3 [kHz]. Calculer ( pour les deux fréquences ) : Ue - UR - UL - UC - Z - I - fo

Réponses : 13. 25.21 [µF] - 23.34 [mH]

14. 197.4 [Hz] 4 [A]

15. C = 27 [nF] Z = 3.29 [kΩ] I = 15.2 [mA] UR = 22.79 [V] UC = 19.9 [V] UL = 64.46 [V] 16. Z = 3.11 [kΩ] I = 1.6 [mA] UR = 3.54 [V] UC = 3.54 [V] ϕ = -45 [°] Au = -3 dB 17. XL = 4.827 [kΩ] L = 220 [µH] Z = 11.1 [kΩ] Ue = 4.5 [V] 18. Pour f = 1 kHz : XL = 94.24 [Ω] XC = 338.6 [Ω] Z = 350.55 [Ω] I = 40.23 [mA] ϕ = -44.2 [°] Ue = 14.1 [V] UR = 10.11 [V] UC = 13.6 [V] UL = 3.79 [V] Pour f = 3 kHz : XL = 282.74 [Ω] XC = 112.87 [Ω] Z = 303.36 [Ω] I = 46.5 [mA] ϕ = 34.1[°] Ue = 14.1 [V] UR = 11.7 [V] UC = 5.25 [V] UL = 13.14 [V]

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11

Circuits RL et RC séries 19.

Un moteur est raccordé sur une génératrice 400 [V] 100 [Hz] . La mesure à l'ohmmètre indique une résistance de 36 [Ω] . Un courant de 4 [A] circule dans le moteur. Calculer la valeur de la bobine, toutes les tensions et l'angle de déphasage

20.

Une inductance de 800 [mH] est montée en série avec une résistance de 1.5 [kΩ] . Le montage est raccordé sur une source de tension de 150 [V] / 200 [Hz]. Calculer l’impédance, le courant, toutes les tensions et l'angle de déphasage Tracer le diagramme vectoriel sur une feuille séparée.

21.

Une lampe est montée en série avec un condensateur de 10 [µF] . On mesure une tension de 63.66 [V] aux bornes du condensateur lorsque le circuit est raccordé sur un réseau 50 [Hz]. Calculer l’impédance, la résistance de la lampe, le courant, la tension sur la lampe, et l'angle de déphasage. Tracer le diagramme vectoriel sur une feuille séparée.

22.

Une inductance du 100 [mH] , un condensateur de 700 [nF] et une résistance de 50 [Ω] sont montés en série. Ils sont raccordés sur une source de tension alternative de 60 [V] dont la fréquence vaut 500 [Hz]. Calculer l’impédance, le courant, toutes les tensions et l'angle de déphasage. Tracer le diagramme vectoriel sur une feuille séparée.

23.

Une résistance bobinée a une inductance de 450 [mH] . Un courant de 650 [mA] la traverse lorsqu’elle est raccordée sur une tension alternative de 230 [V] 50 [Hz]. Calculer la valeur de la résistance, l’impédance, les tensions et l'angle de déphasage Dessiner le schéma, flécher toutes les valeurs et tracer le diagramme vectoriel sur une feuille séparée.

24.

Lorsqu'une bobine est parcourue par un courant continu, nous mesurons 2.5 [A], alors que lorsqu'elle est raccordée sur une source alternative sinusoïdale d'une fréquence de 150 [Hz] le courant vaut 850 [mA] . Les deux tensions sont comparables et la valeur de crête de la tension alternative vaut 15 V. Calculer l’impédance, la résistance de l'inductance , la valeur de l'inductance, et l'angle de déphasage

25.

Un circuit RC série est utilisé comme filtre de tonalité dans un appareil audio. Il est composé d'une résistance de 330 [Ω] et d'un condensateur. La tension à l'entrée du filtre est de 1.5 [V] . La tension de sortie est prise sur le condensateur. Calculer la valeur du condensateur pour une atténuation de 35 % à 1 [kHz] , l’impédance , le courant, et l'angle de déphasage pour cette même fréquence.

Réponses : 19. UR =144 [V] UL = 373.18 [V] L = 148.5 [mH] cosϕ = 0.36 ϕ = 68.9 [°] 20.

Z = 1805.73 [Ω] , I = 83.07 [mA] , UR = 124.61 [V] , UL = 83.76 [V] , ϕ = 33.83 [°]

21. Z = 1150 [Ω] , RL = 1105 [Ω] , UR = 221.01 [V] , I=200 [mA] , ϕ = 16.07 [°] 22. Z = 149.2 [Ω] , I = 402.15 [mA] , UR = 20.11 [V] , UC = 182.87 [V] , UL = 126.34 [V] , ϕ = 70.42 [°] 23. Z = 353.85 [Ω] , UR = 210.85 [V] , UL = 91.9 [V] , ϕ = 23.55 [°] 24. Z = 12.47 [Ω] , RL = 4.24 [Ω] , L = 12.45 [mH] , ϕ = 70.12 [°] 25. Z = 434.24 [Ω] , I = 3.45 [mA] , UR = 1.14 [V] , UC = 975 [mV] ,C = 564 [nF] , ϕ = 40.54 [°]

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12

Régime impulsionnel

Chapitre 15 c Circuits RL et RC en régime impulsionnel Sommaire • • • • • • • • •

Circuits en régime impulsionnel Signal impulsionnel Mesure d'un circuit RC en régime impulsionnel Application pratique Etude du circuit RC en régime impulsionnel Analyse du circuit Mesure du temps de charge du condensateur Constante de temps du circuit RL Exercices

Introduction Circuits en régime impulsionnel : Dans l'étude que nous venons de faire sur les circuits RC et RL, la source de signal générait une forme alternative sinusoïdale. Dans certains cas, ce signal peut avoir une autre forme. En régime sinusoïdal alternatif, nous parlons de signal analogique, car la valeur de la tension ou du courant varie constamment et toutes ses valeurs successives sont différentes. En régime impulsionnel, le signal de la source n'a que deux états : pas de tension

0 [V]

tension présente

x [V]

Nous pouvons faire une analogie avec les signaux numériques dans lesquels il n'existe que deux états : état bas

0

état haut

1

Les ordinateurs fonctionnent selon ce principe. Soit l'information numérique est absente, soir elle est présente. Cette information porte de nom de "bit". Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /novembre 2000

1

Régime impulsionnel Le "bit" tout seul n'est utilisé que pour les cas simples où il peut permettre de commander l'enclenchement et le déclenchement d'un appareil ou de détecter la présence ou l'absence d'une tension. Pour pouvoir accomplir des tâches plus complexes, un ordinateur a besoin de travailler avec des informations plus importantes. C'est pourquoi des mots appelés "bytes" ou "octets" sont formés avec des groupes de 8 "bits". Avec les nouvelles technologies, des mots de 16, 32, ou 64 "bits" sont utilisés. Plus la longueur du mot est grande, plus la vitesse d’exécution sera rapide, l'ordinateur pourra effectuer des tâches plus complexes. L'étude des signaux numériques (digitaux) est très complexe et elle ne fait pas partie de notre sujet. Pour plus de détails, il est nécessaire de consulter la monstrueuse littérature disponible dans ce domaine.

Signal impulsionnel : Comme pour les signaux alternatifs sinusoïdaux, il est possible de déterminer la fréquence d'un signal impulsionnel. U

U

[V]

[V]

t

t

[s]

[s]

T

T

U

En régime impulsionnel dont la durée des cycles n'est pas identique, nous parlons de cycles asymétriques. La fréquence ne change pas, mais le temps durant lequel l'impulsion est présente n'est plus égal au temps

[V]

t

durant lequel elle est à

[s]

zéro.

T U [V]

Cette caractéristique s'appelle le rapport cyclique. Elle est utilisée dans les téléviseurs pour ajuster les réglages du son, lumière, etc. et également dans certains variateurs de lumière. En effet, dans ces cas particuliers, nous travaillons avec la tension moyenne du signal.

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t [s]

T

2

Régime impulsionnel Cette moyenne est obtenue en mesurant la valeur de la tension, le temps durant lequel elle est présente, et le temps durant lequel elle est absente. U

U

[V]

[V]

Um Um

t

t

[s]

[s]

T

T

Nous obtenons alors une tension continue variable dépendante du rapport cyclique qui permettra d'effectuer la commande de la fonction désirée.

Le circuit utilisé pour convertir ces impulsions à rapport cyclique variable en tension continue variable se nomme intégrateur. Il peut être composé soit d'une résistance et d'un condensateur, soit d'une bobine et d'une résistance. Il sera possible de définir la tension de sortie en calculant la valeur des éléments. Ce circuit exécute une opération mathématique appelée "intégration d'une fonction". La tension de sortie représente la somme des charges élémentaires emmagasinées dans le condensateur par unité de capacité, ce qui exprime l'intégrale de la tension aux bornes du condensateur.

Mesure d'un circuit RC en régime impulsionnel

Pour réaliser la mesure, nous disposons une résistance et un condensateur montés en filtre passe-bas. Le générateur fourni une tension continue carrée. L'oscilloscope permet de visualiser la forme de la tension à l'entrée et à la sortie du circuit. Un multimètre est placé à la sortie pour confirmer la valeur de la tension continue à la sortie du filtre.

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3

Régime impulsionnel Résultats de la mesure :

Le générateur fourni un signal carré avec un rapport cyclique de 50 %. Nous constatons qu'à la sortie du filtre, la tension est plane et correspond au 50 % de la tension du générateur. Si nous varions le rapport cyclique, sans modifier la tension du générateur, la tension continue aux bornes du condensateur varie. Plus le rapport cyclique est grand, plus la tension est grande et inversement.

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4

Régime impulsionnel

Application pratique :

Ce circuit intégré contrôle les fonctions de volume sonore, luminosité, contraste et saturation dans un téléviseur couleur. Il reçoit les informations numériques du processeur par le point 7. Après un traitement complexe, et une mise en mémoire, nous trouvons des générateurs de signaux à rapport cyclique variables. La conversion signal carré tension continue variable est effectuée dans le dernier bloc au moyen des condensateurs raccordés aux sorties à gauche de l'IC. Les valeurs de tensions sont indiquées. On distingue facilement le filtre RC au point 9, pour le contrôle du volume sonore.

Mesure du circuit RL en régime impulsionnel :

Nous obtenons les mêmes résultats avec un circuit RL. Cette fois, les positions de la bobine et de la résistance sont inversées. Ce croisement est dû au comportement inverse de la bobine et du condensateur, Les oscillogrammes sont identiques aux résultats obtenus avec le circuit RC Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /novembre 2000

5

Régime impulsionnel

Etude du circuit RC en régime impulsionnel : CH2

R

générateur

+ CH1

C

CH3

-

Le générateur fournit une tension carrée continue positive. Trois traces d'oscilloscope sont placées dans le circuit. •

CH1

tension du générateur

•

CH2

tension aux bornes de la résistance (proportionnelle au courant dans le circuit)

•

CH3

tension aux bornes du condensateur

Oscillogrammes

0DC 0DC

0DC

Constatations : •

la tension à l'entrée du circuit a une forme carré.

•

la tension aux bornes de la résistance est positive lors du flanc montant et négative lors du flanc descendant. Cette tension représente le courant dans le circuit.

•

la tension aux bornes du condensateur met un certain temps pour arriver au maximum.

•

la tension aux bornes du condensateur a une forme exponentielle.

•

lorsque le condensateur est complètement chargé, il n'y a plus de courant dans le circuit.

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6

Régime impulsionnel

Analyse du circuit : générateur

I

+

R

I

générateur

UR

UR

+ Uc

R

Uc

C

-

C

-

Le générateur fournit une tension et un courant de charge circule dans le circuit.

Le générateur ne fournit pas de tension, sa sortie est à 0 [V], et un courant de décharge circule dans le circuit.

C'est à cause de la charge et de la décharge que le courant s'inverse dans le circuit.

Courbe de charge du condensateur : Uc [V] 10

8

6

4

2

t [s]

On constate sur cette courbe que la tension UC met un certain temps pour arriver au maximum, sans pour autant y parvenir. Le temps de charge dépend du produit R ⋅ C. Ce temps est déterminé par la constante de temps τ exprimée en secondes.

τ = R⋅ C On peut démontrer cette formule par une analyse dimensionnelle :

R=

U [ V] [ V] [ V] ⋅ [s] = = = I [ A] [C] [C]

[s]

C=

Q [C] = U [ V]

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τ=

[ V] ⋅ [s] ⋅ [ C] = s [] [C] [V]

7

Régime impulsionnel

Mesure du temps de charge du condensateur : Uc [V]

Ic [A]

Uc

Ic

10

8

6

4

2

τ

τ

τ

τ

t

τ

[s]

A la charge, la constante de temps τ indique le temps qu'il faut au condensateur C pour se charger au 63 % de la tension de charge. Le courant de charge qui a diminué de 63 % après un

τ

.

τ

Durant le suivant, le condensateur se charge du 63 % de la valeur de tension restante, et ainsi de suite. Le tableau ci-dessous indique les différentes valeur de la tension et du courant de charge en fonction de la constante de temps

τ

[s]

UC

1/10 1/5 1/2 1 2 3 4 5 10

Remarque :

τ.

%

9.5 18 39.4 63.2 86.46 95 98.2 99.3 99.99

IC

% 90.5 82 60.6 36.8 13.54 5 1.8 0.7 0.01

Dans la pratique, nous admettons que le condensateur est complètement chargé après 5

τ.

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8

Régime impulsionnel

Constante de temps du circuit RL : générateur

I

L générateur

UL

+

I

UL

+ UR

L

R

UR

-

R

-

Le générateur fournit une tension et un courant circule dans le circuit. Par effet de self-induction, la bobine s'oppose au passage du courant.

Le générateur ne fournit pas de tension, sa sortie est à 0 [V], et la bobine restitue son énergie en inversant la polarité à ses bornes.

Par la loi de Lenz et l'opposition de la tension induite, le courant s'inverse dans le circuit.

Courbe de la tension sur la résistance : Uc [V] 10

8

6

4

2

t [s]

On constate sur cette courbe que la tension UR met un certain temps pour arriver au maximum, sans pour autant y parvenir. Ce temps dépend de la division de L par R. Ce temps est déterminé par la constante de temps τ exprimée en secondes.

τ=

L R

On peut démontrer cette formule par une analyse dimensionnelle :

R=

U [ V] = I [ A]

L=

Ui ⋅ ∆t [ V] ⋅ [s] = ∆I [ A]

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τ=

L = R

[ V] ⋅ [ s ] [ A] = [V ] ⋅ [ s] ⋅ [ A] = s [] [ A] [ V] [ V] [ A]

9

Régime impulsionnel

Comparaison des circuits RC et RL en régime impulsionnel : Circuit intégrateur : R

C

L

R

Circuit différenciateur : C

R

R

L

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10

Régime impulsionnel Exercice : Un circuit intégrateur est composé d'une résistance de 820 [Ω] et d'un condensateur. La charge complète du condensateur est atteinte après 90.2 [µs] Calculer la valeur du condensateur. Déterminer tau sur la courbe ci-dessous Tracer tous les tau. Dessiner les schémas des deux montages possibles: Calculer la valeur des éléments en utilisant une résistance de 470 [Ω] dans les deux circuits U

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

t [µ s]

Les mesures sur un circuit ont donné les résultats montrés ci-dessous. Calculer :

la valeur de l'élément manquant. R = 1 [kΩ]. la tension et la fréquence du générateur. le courant maximum dans le circuit.

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11

Régime impulsionnel Les mesures sur un circuit ont donné les résultats montrés ci-dessous. Calculer :

la valeur de l'élément manquant R = 6.8 [kΩ]. la tension et la fréquence du générateur. le courant maximum dans le circuit.

Un circuit intégrateur RC est composé d'une résistance de 2.2 [kΩ] et d'un condensateur de 56 [nF] . Il est raccordé sur un générateur qui fournit un signal carré de 15[V] d'amplitude. Dessiner le schéma du circuit. Tracer les courbes de charge du condensateur et de courant dans le circuit. Quel va être le comportement du circuit si la fréquence du générateur vaut 1 [kHz] ? Quelle est la fréquence maximum de fonctionnement du circuit ?

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12

Circuits RL et RC parallèles

Chapitre 16b Circuits RLC parallèles

Sommaire • • • • • •

Montage parallèle en courant alternatif Conductance, admittance et suceptance Impédance Z Circuit RL et RC parallèles Circuits bouchons Exercices

Introduction Circuits RC et RL parallèle A l'inverse des circuits série, les circuits parallèles présentent une grande impédance pour la fréquence de résonance. Lors de l'étude des circuits de résistances en parallèle, nous avons utilisé la conductance G pour déterminer la résistance équivalente du circuit. Cette méthode nous permet de simplifier les calculs et de mieux en comprendre le comportement.

Conductance, admittance et susceptance Contrairement aux circuits séries, dans les circuits parallèles, la tension est commune à tous les éléments et le courant est réparti dans les différentes branches du circuit. Pour déterminer la conductance totale d'un circuit parallèle, nous additionnons les conductances de chacune des branches. La résistance équivalente du circuit sera égale à l'inverse de la conductance totale. Cette méthode simplifie les calculs et nous pouvons l'appliquer aux circuits RC, RL et RLC parallèle.

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1

Circuits RL et RC parallèles

Nous parlons de : Conductance G : facilité qu'a une résistance (ou un ensemble de résistances) de laisser passer le courant lorsqu'une tension lui est appliquée.

G=

Susceptance B : facilité qu'a un élément réactif (ou un ensemble de réactances) à laisser passer le courant lorsqu'une tension alternative lui est appliquée.

1 R

[S]

BL =

1 XL

[S ]

BC =

1 XC

[S]

Admittance Y : facilité qu'a un circuit composé d'éléments résistifs et réactifs à laisser passer le courant lorsqu'une tension alternative lui est appliquée, en tenant compte du déphasage entre U et I.

Remarque :

Y=

1 Z

[S]

G, B et Y s'expriment en siemens [S]

Circuits RL parallèle Soit un circuit composé d'une résistance et d'une bobine:

I IR

IL U

~

UL

L

R

UR

Pour mieux comprendre le comportement de ce circuit, il est indispensable de tracer le diagramme vectoriel. Comme nous sommes en parallèle, la valeur commune à tous les éléments est la tension et nous l'utiliserons comme référence pour le diagramme (il s'agit d'un choix arbitraire) .

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2

Circuits RL et RC parallèles

ω IR

U

ϕ IZ IL

Constations : •

la résistance ne déphase pas le courant IR

•

la bobine provoque un retard de 90 [°] du courant IL par rapport à la tension.

•

le courant total Iz est en retard par rapport à la tension.

Par analogie nous pouvons tracer le diagramme suivant :

ω G

U

ϕ

Le courant étant inversement proportionnel à la résistance et à la réactance, nous devons utiliser la conductance G et la susceptance B. Le vecteur résultant du diagramme correspond à l'admittance Y du circuit.

Y BL Relations : ω IR

ω

U

G

U

ϕ

ϕ

Y

IZ

BL

IL

Par Pythagore :

Y = G 2 + BL 2

I z = I R2 + I L2 Nous savons que :

Iz =

Uz Z

IR =

UR R

IL =

UL ω⋅L

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Y=

1 Z

G=

1 R

BL =

1 ω⋅L

3

Circuits RL et RC parallèles Nous pouvons donc écrire :

U z2

U R2 U L2 = + Z2 R2 ω 2 ⋅ L2

1 Z

2

=

1 R

2

+

1

ω ⋅ L2 2

La tension est commune sur les éléments:

1

1 1 = + Z 2 R 2 ω 2 ⋅ L2

1

1 1 = + Z 2 R 2 ω 2 ⋅ L2

La formule finale de l'impédance est :

Z=

1

Z=

1

1 + R2 X L2

1 1

1 + R2 X L2

Calcul de l'angle de déphasage :

I cos ϕ = R Iz

cos ϕ =

1 cos ϕ = R 1 Z

ϕ = cos −1 ç

cos ϕ =

IR ÷ Iz

G Y

Z R

G ϕ = cos−1ç ÷ Y

Z ϕ = cos −1ç ÷ R

Exemple Un circuit est composé d'une résistance de 220 [Ω] et d'une bobine de 150[mH]. Il est raccordé sur une source de 100 [V] dont la fréquence est de 160 [Hz] Calculer l'impédance, tous les courants ainsi que l'angle de déphasage.

Données :

R = 220 [Ω]

Inconnues :

Z

I

L = 150 [mH]

IR

IL

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U = 100 [V]

f = 160 [Hz]

ϕ

4

Circuits RL et RC parallèles

G=

Relations :

1 R

BL =

IR =

UR R

1 ω⋅L

IL =

ϕ = cos −1ç

Y = G 2 + BL 2

UL ω⋅L

Z=

1 1

1 + R2 X L2

I z = I R2 + I L2 æ Zö ϕ = cos −1ç ÷ èR

IR ÷ I

Diagrammes vectoriels : ω IR

ω

U

G

U

ϕ

ϕ

Y

I =I z

B

IL

Calcul de la conductance et de la susceptance :

G=

1 1 = = 4.54 [mS] R 220

BL =

1 1 = = 6.63 [mS] ω ⋅ L 2 ⋅ π ⋅ 160 ⋅ 150 ⋅ 10− 3

Calcul de l'admittance :

Y = G 2 + BL 2 = ( 4.54 ⋅ 10− 3 )2 + ( 6.63 ⋅ 10− 3 )2 = 8.037 [mS] Calcul de l'impédance :

Z=

1 1 = = 124.43 [ Ω ] Y 8.037 ⋅ 10− 3

Vérification du résultat :

Z=

1 1 R2

+

1 X L2

=

1 1 2202

+

1

= 124.38 [ Ω ]

(2 ⋅ π ⋅ 160 ⋅ 150 ⋅ 10−3)2

Calcul du courant total :

IZ =

U 100 = = 803.67 [mA] Z 124.43

I Z = U ⋅ Y = 100 ⋅ 8.037 ⋅ 10−3 = 803.7 [mA]

Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /novembre 2000

5

Circuits RL et RC parallèles Calcul des courants IR et IL :

IR =

U R 100 = = 454.55 [mA] 220 R

IL =

100 UL = = 663.15 [mA] ω ⋅ L 2 ⋅ π ⋅ 160 ⋅ 150 ⋅ 10− 3

Vérification du calcul des courants :

I=

I R 2 + I L 2 = ( 454.55 ⋅ 10− 3 )2 + ( 66315 . ⋅ 10− 3 )2 = 803.97 [mA]

Calcul de l'angle de déphasage

ϕ = cos−1ç

æ 454.55 ⋅ 10− 3 ö IR ÷ ÷ = cos−1çç − 3 ÷ = 55.56 [ ° ] I è 803.67 ⋅ 10

Z æ 124.43ö ϕ = cos−1ç ÷ = cos−1ç ÷ = 55.56 [ ° ] è 220 R

Circuits RC parallèle : Soit un circuit composé d'une résistance et d'un condensateur :

I IR

IC U

UC

~

C

UR

R

Pour mieux comprendre le comportement de ce circuit, il est indispensable de tracer le diagramme vectoriel. Comme nous sommes en parallèle, la valeur commune à tous les éléments est la tension et nous l'utiliserons comme référence pour le diagramme (il s'agit d'un choix arbitraire) .

ω IC I

ϕ IR

Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /novembre 2000

U

6

Circuits RL et RC parallèles

Constations :

• la résistance ne déphase pas le courant IR • le condensateur provoque une avance de 90 [°] du courant IL par rapport à la tension. • le courant total Iz est en avance par rapport à la tension.

Par analogie nous pouvons tracer le diagramme suivant :

Le courant étant inversement proportionnel à la résistance et à la réactance, nous devons utiliser la conductance G et la susceptance B.

ω BC Y

ϕ

Le vecteur résultant du diagramme correspond à l'admittance Y du circuit.

U

G

Relations : ω ω IC

BC

Iz

Y

ϕ

ϕ U

IR

U

G

Par Pythagore

Y = G 2 + BC 2

I z = I R2 + IC2 Nous savons que :

Iz =

Uz Z

IR =

UR R

IC =

UC = UC ⋅ ω ⋅ C 1 ω ⋅C

Y=

1 Z

1

=

G=

1 R

BC =

+

1 1

=

1 = ω ⋅C 1 ω ⋅C

Nous pouvons donc écrire :

U z2

U R2 2 2 = 2 2 + UC ⋅ (ω ⋅ C ) Z R

Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /novembre 2000

Z

2

1 R

2

( ω ⋅ C )2

1 R

2

+ ( ω ⋅ C )2

7

Circuits RL et RC parallèles La tension est commune sur les éléments:

1

Z

2

=

1

R

2

1

+ ( ω ⋅ C )2

Z

=

2

1

R

2

+ ( ω ⋅ C )2

La formule finale de l'impédance est :

Z=

1 1 R

2

1

Z=

1

+ ( ω ⋅ C )2

R2

+ ( ω ⋅ C )2

Calcul de l'angle de déphasage :

I cos ϕ = R Iz

cos ϕ =

1 cos ϕ = R 1 Z

ϕ = cos−1ç

Z R

cos ϕ =

G ϕ = cos−1ç ÷ Y

IR ÷ Iz

G Y

Z ϕ = cos−1ç ÷ R

Exemple Un circuit est composé d'une résistance de 220 [Ω] et d'un condensateur de 6.8 [µF]. Il est raccordé sur une source de 100 [V] dont la fréquence est de 160 [Hz] Calculer l'impédance, tous les courants ainsi que l'angle de déphasage. Données :

R = 220 [Ω]

Inconnues :

Z

Relations :

G=

IR =

I

1 R

C = 10 [µF] IR

BC =

UR R

æI ö ϕ = cos−1ç R ÷ è Iz

IC

U = 100 [V]

ϕ

1 = ω ⋅C 1 ω ⋅C

IC =

f = 160 [Hz]

Y = G 2 + BC 2

UC = UC ⋅ ω ⋅ C 1 ω ⋅C

1

Z=

1 R

2

+ ( ω ⋅ C )2

I z = I R2 + IC2

æ Zö ϕ = cos−1ç ÷ èR

Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /novembre 2000

8

Circuits RL et RC parallèles Diagrammes vectoriels : ω ω IC

BC

I =I z

Y

ϕ

ϕ U

IR

G

U

Calcul de la conductance et de la susceptance :

G=

1 1 = = 4.54 [mS] R 220

BC = ω ⋅ C = 2 ⋅ π ⋅ 160 ⋅ 6.8 ⋅ 10−6 = 6.84 [mS]

Calcul de l'admittance :

Y = G 2 + BC 2 = ( 4.54 ⋅ 10− 3 )2 + ( 6.84 ⋅ 10− 3 )2 = 8.21 [mS] Calcul de l'impédance :

Z=

1 1 = = 121.81 [ Ω ] Y 8.21 ⋅ 10− 3

Vérification du résultat :

Z=

1 1

R2

1

=

+ω ⋅C 2

1

2

2202

+ ( 2 ⋅ π ⋅ 160 ) ⋅ ( 6.8 ⋅ 10 2

−6 2

= 121.81 [ Ω ]

)

Calcul du courant total :

IZ =

Uz 100 = = 820.96 [mA] 12181 . Z

I Z = U ⋅ Y = 100 ⋅ 8.21 ⋅ 10−3 = 821 [mA]

Calcul des courants IR et IL :

IR =

U 100 = = 454.55 [mA] R 220

I C = U ⋅ ω ⋅ C = 100 ⋅ 2 ⋅ ω ⋅ 160 ⋅ 6.8 ⋅ 10−6 = 683.61 [mA]

Vérification du calcul des courants :

I=

I R 2 + I L 2 = ( 454.55 ⋅ 10− 3 )2 + ( 663.61 ⋅ 10− 3 )2 = 820.93 [ mA]

Calcul de l'angle de déphasage

æ 454.55 ⋅ 10− 3 ö æI ö ÷ ϕ = cos−1ç R ÷ = cos−1çç − 3 ÷ = 56.38 [ ° ] è I è 820.96 ⋅ 10 . ö Z æ 12181 ϕ = cos−1ç ÷ = cos−1ç ÷ = 56.38 [ ° ] è 220 R Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /novembre 2000

9

Circuits RL et RC parallèles

Circuits bouchons Les circuits RLC parallèle, sont souvent appelés circuits bouchons, car ils présentent une grande impédance pour fo et ils "empêchent" les signaux à cette fréquence d'accéder à une partie de circuit. En électronique, les circuits bouchons sont utilisés pour "trier" différentes fréquences dans les chaînes audio (égaliser) ou dans les téléviseurs couleur (séparation des fréquences son, chrominance et luminance). En électricité, les circuits bouchons sont utilisés dans les télécommandes centralisées pour éviter une dispersion des fréquences pilotes sur le réseau.

Caractéristiques d'un circuit bouchon :

N [dB]

f Pour mieux comprendre le fonctionnement des circuits bouchons, il est pratique de réaliser une mesure au laboratoire. Le traceur de Bode nous permet de visualiser la tension de sortie du filtre bouchon en fonction de la fréquence du générateur. Nous constatons que pour une certaine fréquence, le circuit oppose une grande impédance, ce qui crée la forte atténuation au milieu de la courbe.

Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /novembre 2000

10

Circuits RL et RC parallèles

Etude du circuit bouchon RLC parallèle : ω IC

ω BC

IR

U

G

ϕ

ϕ

U

I =Iz

Y

IC

BC

IL

BL

Remarque :

Cette démonstration est réalisée avec un circuit à comportement inductif. Ce choix est arbitraire et la théorie qui est applicable à n'importe quel circuit RLC parallèle,

Par Pythagore

I z = I R 2 + ( I L − I C )2

Y = G 2 + ( BL − BC )2

Nous savons que :

U Z

I=

U R U IL = ω⋅L IR =

IC = U ⋅ ω ⋅ C

Y=

1 R 1 BL = ω⋅L

1 Z

G=

BC = ω ⋅ C

Nous pouvons donc écrire :

U2 ç = 2 +ç − U 2 ⋅ ( ω ⋅ C )2 ÷÷ 2 2 Z R (ω ⋅ L )

U R2

U R2

1

1 1 2÷ ç = + 2 2 2 − (ω ⋅ C ) Z R (ω ⋅ L )

La tension est commune sur les éléments:

1

1

Z

R

2 =

æ

ç 2 +

ö

1

2÷ 2 − (ω ⋅ C )

è (ω ⋅ L )

1

1

Z

R

2 =

æ

ç 2 +

ö

1

2÷ 2 − (ω ⋅ C )

è (ω ⋅ L )

La formule finale de l'impédance est :

1

Z= 1

1 2÷ ç + 2 2 − (ω ⋅ C ) R (ω ⋅ L )

Z=

1 æ ö 1 2÷ ç + − ⋅ C ( ω ) R 2 è ( ω ⋅ L )2 1

Calcul de l'angle de déphasage :

I cos ϕ = R Iz

ϕ = cos−1ç

IR ÷ Iz

Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /novembre 2000

cos ϕ =

G Y

G ϕ = cos−1ç ÷ Y

cos ϕ =

Z R

Z ϕ = cos−1ç ÷ R 11

Circuits RL et RC parallèles

Exemple Un circuit bouchon doit être intégré dans un appareil pour empêcher une fréquence de 38 [kHz] de perturber son fonctionnement. Pour réaliser ce filtre, une résistance de 56 [kΩ] , un condensateur de 4.7 [nF] et une bobine de 3 [mH] sont montés en parallèle. La tension présente à cet endroit est de 2.2 [V]. Calculer l'impédance du circuit bouchon, tous les courants ainsi que l'angle de déphasage pour la fréquence de 30 [kHz]. R = 56 [kΩ]

Données : Inconnues :

Z

L = 3 [mH]

I

IR

C = 4.7 [nF] IC

IL

UZ = 2.2 [V]

f = 38 [kHz]

ϕ

Relations :

I=

UZ Z Y=

1 Z

IR =

UR R

G=

1 R

IC = U C ⋅ ω ⋅ C BC = ω ⋅ C

1 1 R

2

+ç

1 ( ω ⋅ L )2

BL =

UL ω⋅L

1 ω⋅L

Y = G 2 + ( BL − BC )2

I z = I R 2 + ( I L − I C )2 Z=

IL =

ϕ = cos−1ç − ( ω ⋅ C )2 ÷

IR ÷ Iz

G ϕ = cos−1ç ÷ Y

Calcul de la conductance et des susceptances :

G=

1 1 = = 17.86 [ µS] R 56 ⋅ 103

BC = ω ⋅ C = 2 ⋅ π ⋅ 38 ⋅ 103 ⋅ 4.7 ⋅ 10−9 = 1.12 [mS] BL =

1 1 = = 1.39 [mS] ω ⋅ L 2 ⋅ π ⋅ 3 ⋅ 10− 3

Calcul de l'admittance :

Y = G 2 + ( BL − BC ) = ( 17.86 ⋅ 10− 6 )2 + ( 139 . ⋅ 10− 3 − 112 . ⋅ 10− 3 )2 = 270.6 [ µS] 2

Calcul de l'impédance :

Z=

1 1 = = 3.696 [kΩ ] Y 270.6 ⋅ 10− 6

Vérification du résultat : (pour simplifier le calcul, nous utilisons XC et XL

XC =

1 1 = = 892.86 [ Ω ] BC 112 . ⋅ 10− 3

1

Z= 1 R

2

+ç

1 1 ÷ − XC X L

2

XL =

1 1 = = 719.42 [ Ω ] BL 1.39 ⋅ 10− 3

1 1

=

= 3.965 [kΩ ]

2 1 ö2 æ 1 ö æ 1 − ÷ ç ÷ +ç è 892.86 719.42 è 56 ⋅ 103

Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /novembre 2000

12

Circuits RL et RC parallèles Calcul du courant total :

IZ =

Uz 2.2 = = 595.32 [ µA] Z 3965

I Z = U ⋅ Y = 2.2 ⋅ 270.6 ⋅ 10−6 = 595.32 [ µA]

Calcul des courants IR , IC et IL :

IR =

UR 2.2 = = 39.29 [ µA] R 56 ⋅ 10 ⋅ 3

IL =

I C = U C ⋅ ω ⋅ C = 2.2 ⋅ 2 ⋅ ω ⋅ 38 ⋅ 103 ⋅ 4.7 ⋅ 10−9 = 2.47 [mA]

2.2 UL = = 3.07 [mA] ω ⋅ L 2 ⋅ π ⋅ 38 ⋅ 103 ⋅ 3 ⋅ 10− 3

Vérification du calcul des courants :

Iz =

I R 2 + ( I C − I L ) = ( 39.29 ⋅ 10− 6 )2 + ( 2.47 ⋅ 10− 3 − 3.07 ⋅ 10− 3 )2 = 601.28 [ µA] 2

Calcul de l'angle de déphasage

−1 I R

ϕ = cos ç

Iz

æ −1ç 39.29 ⋅ 10

−6 ö

÷ ÷ = cos ç − 6 ÷ = 86.21 [ ° ] 595 32 10 . ⋅ è

Z æ 3965 ö ϕ = cos−1ç ÷ = cos−1ç ÷ = 85.94 [ ° ] è 56 ⋅ 103 R

Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /novembre 2000

13

Circuits RL et RC parallèles

Entraînement 1.

Qu'est-ce qu'un circuit bouchon ?

2.

Qu'est-ce que l'interconnexion et pourquoi est-elle réalisée ?

3.

De quoi se compose un circuit bouchon ?

4.

Que faut-il pour que nous obtenions la condition de résonance ?

5.

Quel est le genre de couplage d'un circuit bouchon ?

6.

Dessinez la courbe de l'impédance en fonction de la fréquence pour un circuit parallèle

7.

Quel est le genre de couplage d'un point d'injection ?

8.

Dessinez la courbe de l'impédance en fonction de la fréquence pour un circuit série.

1.

Un circuit est composé d'une résistance de 1.5 [kΩ] , d'un condensateur de 560 [nF] et d'une bobine de 1.25 [µH] montés en parallèle et raccordés sur un générateur dont la fréquence vaut 18 [kHz] .Calculer la conductance, les susceptances des trois éléments

2.

Une bobine et une résistance sont montées en parallèle sur un générateur 130 [V] 50 [Hz]. Pour les éléments, nous connaissons les valeurs suivantes : R = 15 [Ω] et XL = 10 [Ω] Tracer le diagramme vectoriel et calculer les valeurs de la bobine, de l'impédance, de la conductance, de la susceptance, ainsi que tous les courants et l'angle de déphasage.

3.

Un condensateur et une résistance sont montés en parallèle sur un générateur 130 [V] / 50 [Hz]. Pour les éléments, nous connaissons les valeurs suivantes : R = 15 [Ω] et XC = 22 [Ω] Tracer le diagramme vectoriel et calculer la valeur du condensateur, de l'impédance, de la conductance, de la susceptance, ainsi que tous les courants et l'angle de déphasage.

4.

Une source de tension de 60 [V] alimente un circuit parallèle constitué d'un condensateur de 2.5 [µF] et d'une bobine dont l'inductance et la résistance sont respectivement, 260 [mH] et 15 [Ω]. Calculer la fréquence de résonance du circuit.

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14

Circuits RL et RC parallèles

5.

Calculer pour quelle fréquence de résonance est dimensionné un récepteur de TC dont le montage du circuit RLC série est composé des éléments suivants :.

R = 4 [Ω]

L = 45 [mH]

C = 16 [µF].

Calculer la tension que devra supporter la capacité si le courant de télécommande est de 400 [mA].

6.

Un circuit bouchon d'un distributeur doit être installé provisoirement sur un autre réseau. Ses caractéristiques sont : XL = 20 [Ω] fo = 317 [Hz] Quelles solutions proposez-vous ?

7.

Montrer par le calcul et le diagramme vectoriel, si le circuit proposé est en résonance pour la fréquence donnée.

L = 150 [mH] L

Rb = 5 [Ω]

C

C = 6000 [pF]

R b

f = 50 [Hz]

8.

Calculer les courant circulant dans les différents composants du circuit de l'exercice 7, à 50 [Hz], à 1000 [Hz], à 0 [Hz] et à la fréquence de résonance fo , si le courant IC = 829.4 [µA] à 100 [Hz].

5.

Montrer par le calcul et le diagramme vectoriel, si le circuit proposé est en résonance pour la fréquence donnée.

Rb = 5 [Ω] Rb

Réponses :

L

1.

C

G = 666.67 [µS]

C = 6000 [pF]

f = 50 [Hz] L = 150 [mH]

BC = 63.34 [mS]

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BL = 7.08 [mS]

15

Circuits RLC parallèles et circuits bouchons

Chapitre 16c Circuits RLC parallèles Télécommande centralisée Application aux circuits bouchons

Sommaire • • • • •

Circuit RL et RC parallèles Circuits bouchons Télécommande centralisée Exemples de calculs pratiques Exercices

Introduction Circuits RC et RL parallèle A l'inverse des circuits série, les circuits parallèles présentent une grande impédance pour la fréquence de résonance. Lors de l'étude des circuits de résistances en parallèle, nous avons utilisé la conductance G pour déterminer la résistance équivalente du circuit. Cette méthode nous permet de simplifier les calculs et de mieux en comprendre le comportement.

Régulation de la production d'énergie électrique En Suisse, nous utilisons principalement deux sources de production d'énergie électrique : •

production par les centrales hydrauliques

•

production par les centrales nucléaires

La production d'énergie doit également être liée à la consommation, qui varie en fonction des heures de la journée ainsi que des saisons.

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1

Circuits RLC parallèles et circuits bouchons Des courbes sont établies par les producteurs d'énergie électrique pour leur permettre une planification. W [TWh] Hiver 87/88

Eté 1988

Hiver 88/89

Eté 1989

Hiver 89/90

6000 importations 5000 4000 3000

exportations

consommation suisse d'électricité

centrales hydrauliques

2000 1000

centrales nucléaires

Ce diagramme montre les différents types de production d'énergie électrique ainsi que les périodes d'importation et d'exportation. Nous constatons également la différence entre l'été et l'hiver. La production est moins importante lors des mois chauds, car la demande est moins forte.

Le réseau suisse de production d'énergie électrique est interconnecté avec l'étranger. Cela permet un approvisionnement plus fiable et une meilleure régulation de la production. En effet, lorsque la consommation interne est plus faible, nous exportons l'excédent vers l'étranger.

Télécommande centralisée TC Les distributeurs d'énergie électrique disposent dans leur réseau d'un système permettant de commander à distance et avec un minimum de frais d'installation les différents types de consommateurs d'énergie. Chaque distributeur établit un programme complet de télécommande, en fonction de sa courbe de charge. La courbe de charge correspond à la puissance raccordée aux différentes heures de la journée. Le but est d'obtenir une courbe de charge la plus plate possible pendant les 24 heures.

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2

Circuits RLC parallèles et circuits bouchons Exemple de courbe de charge

P Nous constatons sur cette courbe des pointes de consommation aux heures de repas, ainsi qu'une consommation plus faible durant la nuit.

[MW] 8000 7000 6000 5000 4000

Cette courbe va permettre de commander les récepteurs et de réguler la production d'énergie électrique.

3000 2000 1000 6

12

18

24

t heures

Ce dispositif porte le nom de TELECOMMANDE CENTRALISEE et elle a pour but, par exemple, de : •

commuter les compteurs d'énergie entre le tarif haut et le tarif bas.

•

bloquer les chauffages électriques dans les immeubles ou les villas.

•

bloquer les fours industriels.

•

bloquer les machines à laver le linge.

•

enclencher l'éclairage public.

•

d'autres fonctions sont également possibles.

Dans la pratique, nous donnons le nom de PILOTE aux fils dont la fonction est de commander. Le tableau ci-dessous représente les principales fonctions ainsi que leurs désignations abrégées. Fonctions

Désignations abrégées

Charges en heures creuses Chauffages à accumulation Chauffage direct Chauffage mixte Chauffe-eau Chauffe-eau court blocage Chauffe-eau long blocage Délestage Double tarif Double tarif boulanger Double tarif four professionnel

CHC CA CD CM CE CEC CEL DEL DT, DT1 , DT2 , DT3 , DT4 DTFB DTFP

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3

Circuits RLC parallèles et circuits bouchons

Fonctions

Désignations abrégées

Eclairage cage d'escalier Eclairage de monuments Eclairage public Eclairage public réduit Eclairage vitrine Effacement jour de pointe Enregistrement du maximum Force motrice Fours professionnels Lave linge Piscine Pompe d'arrosage Pompe à chaleur Remise à zéro de la télécommande Saune Sèche-linge Tarif saisonnier

EE EM EP EPR EV EJP MAX FM FP LL PISC PA PAC RAZ1 - RAZ2 SA SL TS

Pour le canton de Vaud, la Romande d'Energie a divisé son réseau de distribution en zones comme le montre cette carte. Une fréquence différente est utilisée pour chaque zone de distribution, même lorsque ce n'est pas la Romande d'Energie qui est responsable de la distribution.

Interconnexion Les réseaux de distribution d'énergie électrique sont interconnectés. Ils disposent tous de télécommande centralisée.

Les pays européens sont tous interconnectés et ils s'échangent régulièrement de l'énergie. Le réseau de la Romande d'Energie est également relié au réseau européen par l'intermédiaire d'EOS.

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4

Circuits RLC parallèles et circuits bouchons

interconnexion

SUISSE

FRANCE

ITALIE

AUTRICHE

ALLEMAGNE

EOS SEL

ENSA

EEF

SIG

492

492-1600

475

1050

[Hz]

CVE Zone I

Zone II

SEIC

SIN

FMA

SIY

317

485

1050

185

492

725

[Hz]

Vu la multitude de réseaux, il est nécessaire de BLOQUER les différentes fréquences, en amont, de leur point d'injection. Si cette précaution n'est pas prise, il peut se produire des démarrages intempestifs de télécommande à un moment et à un endroit non désiré (sorte de pollution des réseaux pouvant provoquer des dégâts).

Circuits bouchons Pour empêcher les fréquences télécommande de remonter dans l'interconnexion, on dispose un CIRCUIT BOUCHON au point de connexion. Ce circuit est constitué par : • un condensateur

C

• une inductance L qui sont montés en parallèle. Ces éléments sont dimensionnés pour supporter le courant nominal Inom et le courant de courtcircuit Icc du réseau. Schéma : ligne 18 [kV] circuit bouchon RLC parallèle

L C Rb

Point d'injection de la télécommande transformateur

~

ligne de distribution 400 [V] Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /décembre 2000

5

Circuits RLC parallèles et circuits bouchons L'inductance L et le condensateur C sont montés en parallèle. Ils sont soumis à la tension U avec une fréquence f. Selon leurs caractéristiques, ces éléments auront une certaine impédance totale Z à la fréquence du réseau 50 [Hz]. Cette impédance devra être faible pour ne pas limiter le courant vers le transformateur. Si la fréquence se modifie, l'impédance totale Z se trouvera elle aussi modifiée. La valeur des deux éléments sera choisie pour empêcher (faire bouchon) aux fréquences pilotes d'arriver sur la ligne 18 [kV].

Exemple chiffré : Calculons les différentes grandeurs électriques dépendant de ces fréquences. Données :

Rb = 1.1 [Ω]

L = 81.9 [mH]

C = 3.05 [µF]

f de 0 à 1500 [Hz] en prenant 317 [Hz]

Inconnues : XL = ?

XC = ? Ztot = ?

Relations :

XL = ω ⋅ L

impédance RL série

Z=

XC =

1 ω ⋅C

ω = 2 ⋅π ⋅ f

R2 + X L2

R2 + X C 2

impédance RC série

Z=

impédance parallèle

1 1 1 1 = + + ......+ Ztot Z1 Z2 Zn

Calculons l'impédance totale à 50 [Hz] :

1

Ztot =

1 Rb

2+

(2π ⋅ f ⋅ L)

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2

+ 2π ⋅ f ⋅ C

6

Circuits RLC parallèles et circuits bouchons

Application numérique : pour f = 50 [Hz]

1

Ztot =

1

(

11 . 2 + 2π ⋅50⋅819 . ⋅10− 3

)2

+ 2π ⋅50⋅ 3.05⋅10− 6

= 25.13 [ Ω ]

Calculons la réactance capacitive XC

XC =

1 2π ⋅50 ⋅ 3.05 ⋅ 10− 6

= 1043.64 [ Ω ]

Calculons la réactance inductive XL

X L = 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 819 . ⋅ 10−3 = 25.73 [ Ω ] Les calculs que nous venons de faire correspondent à la fréquence de 50 [Hz] du réseau. Lors de la transmission de fréquences pilotes, l'impédance du circuit ne sera plus la même. Pour simplifier l'interprétation des différentes valeurs, les résultats ont été rassemblés dans le tableau ci-dessous :

f [Hz]

Rb [Ω]

L [mH]

C [µF]

XL [Ω]

Xc [Ω]

Ztot [Ω]

0

1.1

81.9

3.05

0

grande

<1.1

50

1.1

81.9

3.05

25.73

1043.64

25.13

317

1.1

81.9

3.05

163.13

164.61

81.93

1000

1.1

81.9

3.05

514.59

52.18

47.38

1500

1.1

81.9

3.05

771.89

34.79

33.28

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7

Circuits RLC parallèles et circuits bouchons Nous allons reporter ces impédances sur un graphique en fonction de la fréquence. Z f (f) XL XC Z [W] 160

impé da nce Z

140

ré a cta n ce ca pa citive XC

ré a cta n ce indu ctive XL

120

XL

XC

100 80

Z

60 40 20 0

f 1

10

100

1000

1 0 '0 0 0

[Hz]

Attention ! échelle logarithmique

Nous constatons donc que, pour une certaine fréquence f, l'effet de la réactance capacitive XC et inductive XL sont égales en grandeur. Cet effet est appelé :

RESONANCE PARALLELE Ce phénomène a lieu moment lorsque les éléments sont soumis à la

FREQUENCE DE RESONANCE fo A ce moment-là, le petit courant de télécommande rencontre une impédance Z maximum dans chacune des branches du circuit bouchon. Il est donc BLOQUE et ne peut se répandre en amont du montage.

Exemple Un circuit bouchon pour une fréquence de f = 485 [Hz] est composé d'une inductance L de 10 [mH] et d'un condensateur C de 10.8 [µF]. Le distributeur désire utiliser ce circuit bouchon à la fréquence de 317 [Hz]. Que proposez-vous au distributeur ? Sachant que le circuit bouchon est constitué d'INDUCTANCE et de CONDENSATEUR, nous pouvons modifier ou l'un ou l'autre des composants.

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8

Circuits RLC parallèles et circuits bouchons

•

1.

Inductance L = 10 [mH]

Données :

L = 10 [mH]

Inconnue :

C=?

fo =

Relation :

le condensateur

change

fr = 317 [Hz]

1 2π L ⋅ C

isolons C, en élevant au carré de chaque côté du signe =, en multipliant par C et en divisant par fr de chaque côté du signe =.

C=

1

)2

( 2π ⋅ f o2 ⋅ L

Application numérique : C=

•

2.

1

( 2π ) 2 ⋅ 3172 ⋅10 ⋅ 10− 3

Condensateur C = 10.8 [µF]

Données :

C = 10.8 [µF]

Inconnue :

L=?

= 25.21 [ µF]

l'inductance change fr = 317 [Hz]

Relation :

fo =

1 f 2π L ⋅ C

Isolons L, en élevant au carré de chaque côté du signe =, en multipliant par L et en divisant par fr de chaque côté du signe =.

L=

1

)2

( 2π ⋅ f o2 ⋅ C

Application numérique :

L=

1

( 2π ⋅ 317 ⋅10.8 ⋅ 10− 6 )2

2

= 23.34 [mH]

REMARQUE : En pratique, nous ne modifions par l'INDUCTANCE L car il faut augmenter sa valeur. Ce qui implique que le fil de cuivre constituant la bobine va provoquer une augmentation de la puissance dissipée en chaleur en régime 50 [Hz]. Le condensateur offre lui la particularité d'avoir une puissance P nulle.

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9

Circuits RLC parallèles et circuits bouchons

Point d'injection Les distributeurs d'énergie possèdent, dans leurs postes de transformateurs, des générateurs de fréquences. Cela leur permet d'enclencher ou de déclencher les différents récepteurs.

ligne 18 [kV]

circuit série

Rb

Point d'injection de la télécommande L

transformateur

C

~

ligne de distribution 400 [V]

Comme nous venons de l'étudier, le couplage RLC parallèle, placé en amont du point d'injection doit empêcher les ordres de télécommande centralisée de remonter sur un autre réseau. Par contre, la fréquence de 50 [Hz] du réseau ne doit pas pouvoir arriver dans le générateur de fréquences. Seules les fréquences élevées doivent pouvoir passer du générateur vers la ligne de distribution. Pour réaliser ce montage nous utilisons également un condensateur et une bobine, mais cette fois ils sont montés en série. L'impédance d'un circuit série est grande à la fréquence de résonance. Si nous dimensionnons les éléments pour que fo soit 50 [Hz], nous allons réaliser un filtre qui "protégera" le générateur de fréquences.

Ces éléments sont dimensionnés pour supporter le courant nominal Inom et le courant de courtcircuit Icc du réseau.

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10

Circuits RLC parallèles et circuits bouchons

Théorie de la résonance du circuit série Une inductance L et un condensateur C sont montés en série. Ils sont soumis à la tension U avec une fréquence f. Selon leurs caractéristiques, ces éléments auront une certaine impédance totale Z à la fréquence du réseau 50 [Hz]. Si la fréquence se modifie, l'impédance totale Z se trouvera elle aussi modifiée. Calculons les différentes grandeurs électriques dépendantes de ces fréquences. Données : Rb = 1.1 [Ω]

L = 81.9 [mH]

C = 3.05 [µF]

f de 0 à 1500 [Hz] en prenant 317 [Hz] Inconnues : XL = ?

XC = ?

Ztot = ?

Relations :

XL = ω ⋅ L

XC =

impédance RL série

Z=

R2 + X L2

impédance RC série

Z=

R2 + X C 2

impédance série

Ztot = Z1 + Z2 + .... + Zn

impédance totale

Ztot =

1 ω ⋅C

Rb 2 + (2π ⋅ f ⋅ L) − 2

Remarque :

ω = 2 ⋅π ⋅ f

1 2π ⋅ f ⋅ C ω

XL

Il ne faut pas oublier que vectoriellement XL et XC sont opposés. Le diagramme vectoriel ci-contre n'est pas dessiné à la fréquence de résonance.

R

I

ϕ

Z

XL XC

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11

Circuits RLC parallèles et circuits bouchons Calculons l'impédance totale à 50 [Hz] Application numérique : pour f = 50 [Hz]

(

Ztot = 11 . 2 + 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 819 . ⋅ 10− 3

)2 − 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 13.05 ⋅ 10−6

= - 380.41 [Ω]

Le signe - indique que notre impédance totale Ztot est de nature capacitive. Calculons la réactance capacitive XC

XC =

1 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 3.05 ⋅ 10− 6

= 1043.64 [Ω]

Calculons la réactance inductive XL

X L = 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 819 . ⋅ 10−3 = 25.73 [Ω] Pour simplifier l'interprétation des résultats, nous allons établir un tableau identique au circuit bouchon parallèle, mais avec les valeurs de l'impédance série. f [Hz]

Rb [Ω]

0 50 317 1000 1500

L [mH]

1.1 1.1 1.1 1.1 1.1

C [µF]

81.9 81.9 81.9 81.9 81.9

3.05 3.05 3.05 3.05 3.05

XL [Ω]

Xc [Ω]

Ztot [Ω]

0 25.73 163.13 514.59 771.89

grande 1043.64 164.61 52.18 34.79

grande 380.41 1.48 462.41 737.10

Nous allons reporter ces impédances sur un graphique en fonction de la fréquence. Z f (f) Xc X L Z

[Ω]

1000

800

600

Z

400

XL 200

Xc f

0 50

150

250

350

450

550

650

750

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850

950

1050

1150

1250

1350

1450

1550

[Hz]

12

Circuits RLC parallèles et circuits bouchons Nous constatons donc que pour une certaine fréquence f, l'effet de la réactance capacitive XC et inductive XL sont égales en grandeur. Seule la résistance Rb , qui doit rester petite, limite le courant I. Cet effet est appelé :

RESONANCE SERIE Z0 = R Ce phénomène a lieu au moment où les éléments sont soumis à la :

FREQUENCE DE RESONANCE fr A ce moment-là, le petit courant de télécommande rencontre une impédance Z minimum. Il peut se répandre en aval du point d'injection.

Récapitulation Reprenons notre schéma, pour en étudier le fonctionnement en détail. Conditions posées :

•

Le courant de la ligne d'alimentation 18 [kV] à 50 [Hz] doit pouvoir circuler vers le transformateur.

•

La fréquence de 50 [Hz] du réseau ne doit pas perturber le générateur de fréquences pilotes.

•

Les fréquences pilotes doivent se diriger vers le transformateur de la ligne de distribution.

•

Les fréquences pilotes ne doivent pas se diriger vers la ligne 18 [kV] pour ne pas perturber les autres récepteurs raccordés.

Schéma complet : ligne 18 [kV] circuit parallèle L

C circuit série

R b

R b

Point d'injection de la télécommande L

transformateur

C

~

ligne de distribution 400 [V]

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13

Circuits RLC parallèles et circuits bouchons Etudions le comportement des deux circuits séparément : Rb

L

Rb C

Circuit parallèle

L

C

Circuit série Z

Z

[Ω]

[Ω]

f

f

[Hz] 50

317

1500

50

Le circuit série présente une faible impédance pour le 50 [Hz], mais il oppose une grande impédance aux fréquences pilotes. Circuit série : Dans un circuit RLC série raccordé sur une source de tension alternative, le courant est commun à tous les éléments. Les tensions partielles varient en fonction de la fréquence. Pour une certaine valeur de fréquence, le courant est maximum, avant et après cette fréquence il est plus faible. Si f ≠ f0 l'addition algébrique des tensions partielles donne une valeur plus grande que celle de la tension totale aux bornes du circuit. Les tensions aux bornes du condensateur et de la bobine sont déphasées de 180°. La tension aux bornes du condensateur diminue en fonction de la fréquence. La tension aux bornes de la bobine augmente en fonction de la fréquence. La tension aux bornes de la résistance est en phase avec le courant. La tension à l’entrée du circuit varie de phase par rapport au courant. Pour les fréquences plus petites que f0 , la tension totale est en retard par rapport à I. La fréquence pour laquelle UC = UL se nomme :

317

[Hz]

Le circuit parallèle présente une faible impédance aux fréquences pilotes, mais il oppose une grande impédance pour le 50 [Hz]. Circuit parallèle : Dans un circuit RLC parallèle raccordé sur une source de tension alternative, la tension est commune à tous les éléments. Les courants varient en fonction de la fréquence. Pour une certaine valeur de fréquence, le courant est minimum. Avant et après cette fréquence, il est plus grand. Si f ≠ f0 , l’addition algébrique des courants partiels donne une valeur plus grande que celle du courant total dans le circuit. Les courants dans le condensateur et dans la bobine sont déphasés de 180 °. Le courant dans le condensateur augmente en fonction de la fréquence. Le courant dans la bobine diminue en fonction de la fréquence. Le courant dans la résistance est en phase avec la tension. Le courant total varie de phase par rapport à la tension totale du circuit. Pour les fréquences plus petites que f0 le courant total est en retard par rapport à la tension totale. La fréquence pour laquelle IC = IL se nomme :

FREQUENCE DE RESONANCE Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /décembre 2000

14

Circuits RLC parallèles et circuits bouchons

Exercices 1.

Qu'est-ce qu'un circuit bouchon ?

2.

Qu'est-ce que l'interconnexion et pourquoi est-elle réalisée ?

3.

De quoi se compose un circuit bouchon ?

4.

Que faut-il pour que nous obtenions la condition de résonance ?

5.

Quel est le genre de couplage d'un circuit bouchon ?

6.

Dessinez la courbe de l'impédance en fonction de la fréquence pour un circuit parallèle

7.

Quel est le genre de couplage d'un point d'injection ?

8.

Dessinez la courbe de l'impédance en fonction de la fréquence pour un circuit série.

1.

Un circuit est composé d'une résistance de 1.5 [kΩ] , d'un condensateur de 560 [nF] et d'une bobine de 1.25 [µH] montés en parallèle et raccordés sur un générateur dont la fréquence vaut 18 [kHz] .Calculer la conductance, les susceptances des trois éléments

2.

Une bobine et une résistance sont montées en parallèle sur un générateur 130 [V] 50 [Hz]. Pour les éléments, nous connaissons les valeurs suivantes : R = 15 [Ω] et XL = 10 [Ω] Tracer le diagramme vectoriel et calculer les valeurs de la bobine, de l'impédance, de la conductance, de la susceptance, ainsi que tous les courants et l'angle de déphasage.

3.

Un condensateur et une résistance sont montés en parallèle sur un générateur 130 [V] / 50 [Hz]. Pour les éléments, nous connaissons les valeurs suivantes : R = 15 [Ω] et XC = 22 [Ω] Tracer le diagramme vectoriel et calculer la valeur du condensateur, de l'impédance, de la conductance, de la susceptance, ainsi que tous les courants et l'angle de déphasage.

4.

Une source de tension de 60 [V] alimente un circuit parallèle constitué d'un condensateur de 2.5 [µF] et d'une bobine dont l'inductance et la résistance sont respectivement, 260 [mH] et 15 [Ω]. Calculer la fréquence de résonance du circuit.

5.

Calculer pour quelle fréquence de résonance est dimensionné un récepteur de TC dont le montage du circuit RLC série est composé des éléments suivants :. R = 4 [Ω]

L = 45 [mH]

C = 16 [µF].

Calculer la tension que devra supporter la capacité si le courant de télécommande est de 400 [mA].

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15

Circuits RLC parallèles et circuits bouchons

6.

Un circuit bouchon d'un distributeur doit être installé provisoirement sur un autre réseau. Ses caractéristiques sont : XL = 20 [Ω] fo = 317 [Hz] Quelles solutions proposez-vous ?

7.

Montrer par le calcul et le diagramme vectoriel, si le circuit proposé est en résonance pour la fréquence donnée.

L = 150 [mH]

L C

Rb = 5 [Ω] C = 6000 [pF]

Rb

f = 50 [Hz]

8.

Calculer les courant circulant dans les différents composants du circuit de l'exercice 7, à 50 [Hz], à 1000 [Hz], à 0 [Hz] et à la fréquence de résonance fo , si le courant IC = 829.4 [µA] à 100 [Hz].

5.

Montrer par le calcul et le diagramme vectoriel, si le circuit proposé est en résonance pour la fréquence donnée.

Rb = 5 [Ω] C = 6000 [pF] Rb

Réponses :

1.

L

C

G = 666.67 [µS]

f = 50 [Hz] L = 150 [mH]

BC = 63.34 [mS]

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BL = 7.08 [mS]

16

Puissance dans les circuits alternatifs

Chapitre 17a Puissance dans les circuits alternatifs Sommaire • • • • • • • • •

Définition et calculs des puissances dans les circuits alternatifs Puissances dans les circuits résistifs et réactifs Facteur de puissance Puissance apparente S Puissance réactive Q Puissance active P Amélioration du facteur de puissance Etude de cas pratique d'amélioration du facteur de puissance Exercices

Introduction Puissance dans les circuits alternatifs : Les industriels, principaux consommateurs sur le réseau 50 [Hz], ont en majorité des récepteurs électromagnétiques (bobines, moteurs, tubes fluorescents). Ces récepteurs sont de types résisto-inductifs, ils induisent un déphasage entre le courant I et la tension U. Si nous voulons mesurer la puissance absorbée par les récepteurs, nous pouvons l'obtenir de 3 façons : 1.

avec un voltmètre et un ampèremètre et une relation mathématique

2.

avec un wattmètre

3.

avec le compteur d'énergie et une relation mathématique.

REMARQUE IMPORTANTE : Le compteur d'énergie, placé par le distributeur mesure l'énergie W en [kWh]. Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /décembre 2000

1

Puissance dans les circuits alternatifs Dans la pratique, les circuits raccordés sur des sources de tensions alternatives peuvent être de deux genres :

•

Circuits à comportement réactifs

•

Circuits dont l'effet réactif est très faible et négligeable, et que nous assimilons à des circuits à comportement purement résistif

Schéma de mesure :

kWh

~

ϕ

A V

Z

L'impédance Z représente la charge. Nous avons placé dans ce circuit tous les instruments nécessaires pour mesurer les trois puissances ainsi que l'énergie consommée par la charge. On appelle impédance Z une charge qui n'est pas ohmique.

Calcul des puissances en alternatif Lors de la démonstration de la puissance que nous venons de réaliser, le récepteur était composé d’une charge purement résistive (ohmique) . Donc la tension et le courant étaient en phase. Dans ce cas, le calcul de la puissance est aisé. La majorité des récepteurs ne sont pas purement résistifs mais ils ont un comportement soit inductif, soit capacitif. Cela implique un déphasage entre le courant et la tension. Pour ces cas, il est nécessaire de tenir compte du déphasage. Nous devons donc affiner notre méthode travail par rapport à celle que nous avons utilisé pour les récepteurs résistifs.

Il faut introduire le facteur de puissance qui est déterminé par l’angle de déphasage ϕ entre la tension et le courant, dans un circuit alternatif sinusoïdal.

Le facteur de puissance correspond à la fonction cosinus de l’angle ϕ , pour des signaux sinusoïdaux.

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2

Puissance dans les circuits alternatifs

Trois puissances sont déterminantes en alternatif.

Puissance apparente

Puissance active

Puissance réactive

S

[VA]

P

Q

Remarque :

volt ampère

[W]

watt

[var]

volt ampère réactif

S = U⋅I

Correspond au produit de la valeur efficace du courant et de la tension mesurée avec un voltmètre et un ampèremètre .

P = U ⋅ I ⋅ cosϕ

Correspond à une fourniture réelle d’énergie transmise au récepteur et convertible en chaleur ou en travail Elle est mesurée avec un wattmètre.

Q = U ⋅ I ⋅ sinϕ

Correspond à la puissance fictive qui caractérise l’échange d’énergie non utilisée pour fournir un travail.

La puissance active est celle qui est le plus généralement utilisée car elle correspond à la réalité du travail ou de la chaleur fournie par la charge en tenant compte du déphasage entre la tension et le courant.

Triangle des puissances : Puissance active

[W]

P

ϕ

Puissance apparente [VA]

Puissance réactive [var] S

Q

Circuits résistifs Ces circuits sont principalement composés de récepteurs purement résistifs tels que : radiateurs, cuisinières, fer à souder, lampes à incandescence, lignes électriques Dans ce genre de raccordement, les récepteurs ne provoquent pas de déphasage entre le courant et la tension.

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3

Puissance dans les circuits alternatifs Schéma :

I A

~

U

V

Récepteur résistif dégageant de la chaleur

Diagrammes : [V] , [A] , [W] U,I,P

P ω

t [s]

I

I

U

U

On constate que dans pour ce genre de récepteurs, il n’y a pas de déphasage entre le courant et la tension. La courbe de la puissance est toujours positive Remarques : On appelle puissance active une puissance convertie en chaleur ou en travail. Pour les récepteurs réactifs idéaux, cette puissance est nulle. Nous parlons alors de puissance apparente S. La puissance apparente S est fictive et elle correspond à l'échange d'énergie non transformée en travail ou en chaleur.

Circuits réactifs Ces circuits sont composés de charges capacitives ou inductives telles que :

inductances, condensateurs, moteurs, transformateurs, ballast pour tubes fluorescents

Dans les circuits réactifs, il y a un déphasage entre le courant l et la tension U . Il existe trois puissances différentes en alternatif, mais pour les démonstrations qui suivent, nous utiliserons la puissance apparente S qui représente le produit de U et I , elle s'exprime en [VA].

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4

Puissance dans les circuits alternatifs

Récepteurs inductifs idéaux (bobine pure) Schémas :

I A

U

V

~

inductance L

Diagrammes : [V] , [A] , [VA] U,I,S

ω

U

S ϕ

t [s]

I

I

ϕ

U

-90°

Dans le cas d’une inductance idéale, l’angle de déphasage vaut 90° On constate que pour ce genre de récepteur, le courant est en retard de 90 ° par rapport à la tension. La courbe de la puissance est alternativement positive et négative. La puissance moyenne est nulle. On appelle réactance inductive la valeur ohmique représentée par l’inductance

Récepteurs capacitifs idéaux (condensateur pur) Schémas :

I A Condensateur

~

V

U C

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5

Puissance dans les circuits alternatifs Diagrammes : [V] , [A] , [VA] U,I,S

S=P S

I

I

ω

t [s]

ϕ

U ϕ +90°

U

Dans le cas d’un condensateur idéal, l’angle de déphasage vaut 90° On constate que pour ce genre de récepteurs, le courant est en avance de 90 ° par rapport à la tension. La courbe de la puissance est alternativement positive et négative. La puissance moyenne est nulle. On appelle réactance capacitive la valeur ohmique représentée par le condensateur Récapitulation :

•

Une puissance active est dissipée dans un récepteur résistif.

•

Dans le cas de récepteur inductif ou capacitif pur, il n’y a pas de puissance moyenne dissipée.

•

Il s’agit de la conséquence du déphasage entre le courant et la tension.

•

La majorité des récepteurs n’étant pas idéaux, l’angle de déphasage ne vaudra pas 90° et une puissance active sera dissipée.

•

La puissance active est dissipée dans l’élément résistif du circuit.

Circuits inductifs et capacitifs non idéaux Dans l’étude des circuits précédents, nous avons considéré les charges inductives et capacitives comme idéales. Dans la pratique, ce n’est que rarement le cas. Tous les circuits comportent des pertes (calorifiques, etc.) que nous pouvons représenter par une résistance. Cette résistance peut être insérée selon les cas, soit en série, soit en parallèle dans le circuit.

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6

Puissance dans les circuits alternatifs

Remarque :

Les démonstrations qui suivent présentent l'évolution de la puissance en fonction de la variation de la valeur d’une résistance montée en série. Cette variation de résistance aura pour conséquence de faire varier le déphasage entre le courant et la tension (angle ϕ).

Rappel : [V] , [A] , [VA] U,I,S

[V] , [A] , [W] U,I,P

U

P

S I

t [s]

t circuit purement ohmique

[s]

I U

ϕ -90° circuit purement réactif (inductif)

Dans le premier cas une puissance active est dissipée dans le circuit alors que dans le second il n’y en a pas. La puissance positive correspond à la puissance négative, donc leur somme est nulle

Schéma :

I A R

~

V

U

inductance L

Dans un circuit tel que celui ci-dessus, la valeur de la résistance et celle de l'inductance peuvent être plus ou moins importantes. Si nous prenons l’exemple d’un moteur, la valeur de la résistance sera définie par les caractéristiques du fil qui compose les enroulements et l'inductance par la bobine que représente le fil. Comme nous l'avons vu plus haut, la valeur de la résistance ainsi que celle de l'inductance auront pour conséquence de faire varier l’angle de déphasage entre le courant et la tension, ce qui fera également varier la puissance absorbée par le moteur. Remarque :

Pour ces démonstrations, c'est la tension U qui a été choisie comme référence. Ce choix a été fait arbitrairement.

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7

Puissance dans les circuits alternatifs

[V] , [A] , [VA] U,I,S U

ϕ

S

ω I

t [s]

Déphasage de -90°. Puissance apparente nulle.

I U

[V] , [A] , [VA] U,I,S S

U ϕ

t [s]

ω I Déphasage de -75°.

I Puissance apparente non nulle.

U

[V] , [A] , [VA] U,I,S

U

ϕ S

I

I

t [s]

ω

Déphasage de -60° Puissance apparente non nulle.

U

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8

Puissance dans les circuits alternatifs

[V] , [A] , [VA] U,I,S

U

ϕ

S

I t [s]

ω

Déphasage de -45°.

I

Puissance apparente non nulle.

U

[V] , [A] , [VA] U,I,S

U

ϕ

S

I ω t [s]

I

Déphasage de -30°. Puissance apparente non nulle.

U

[V] , [A] , [VA] U,I,S

ϕ

U I

S

ω t I U

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[s]

Déphasage de -15°. Puissance apparente non nulle.

9

Puissance dans les circuits alternatifs

Facteur de puissance : Pour distribuer l'énergie, le distributeur utilise des câbles et des transformateurs. Le passage du courant provoque des pertes qui peuvent être :

OHMIQUES

donc en phase avec le courant consommé. Les câbles utilisés sont en cuivre, en aluminium ou en Aldrey (les lignes à haute tension)

INDUCTIVES

par exemple dans les moteurs, les tubes fluorescents TL, et toutes les applications industrielles. Cela implique que le distributeur va fournir plus d'énergie que celle comptabilisée. Cela implique d'une part de devoir surdimensionner les installations de distribution, et d'autre part de ne pas pouvoir en facturer la totalité.

CAPACITIVES

par exemple la construction des câbles et des lignes de transport forme des condensateurs. Ces pertes capacitives sont moins gênantes pour le distributeur, car elles vont améliorer et compenser le déphasage provoqué par les moteurs et les autres charges inductives. Mais malheureusement dans de faibles proportions.

Nous remarquons que le distributeur doit surdimensionner ses installations, en particulier ses transformateurs, en fonction de la puissance apparente S exprimée en [VA] , car c'est elle qui est la plus importante.

Pour un distributeur, il est donc important d'avoir une puissance apparente S aussi proche que possible de la puissance active P afin d'améliorer le rendement de son transport d'énergie.

En conclusions, le distributeur d'énergie a intérêt à ce que le consommateur conserve un angle de déphasage le plus proche de 0 [°].

Cela nous amène à définir le FACTEUR DE PUISSANCE. Le facteur de puissance, appelé cos ϕ (phi), est le quotient de la puissance active P par rapport à la puissance apparente S.

cos ϕ =

P S

sans unité

Les chapitres suivants vont définir les puissances en alternatif.

Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /décembre 2000

10

Puissance dans les circuits alternatifs

Puissance apparente

S

[VA]

La puissance apparente S représente l'amplitude des fluctuations de la puissance instantanée p par rapport à sa valeur moyenne. Elle correspond au produit des valeurs efficaces de la tension U et du courant I, mesuré à l'aide d'un voltmètre et d'un ampèremètre.

S=U⋅I

[VA]

volt-ampère

Ce produit est apparemment une puissance, mais il ne fournit pas de travail. C'est donc bien une puissance apparente. Remarque : Le distributeur d'énergie doit dimensionner :

• •

ses lignes ses transformateurs en fonction du courant I circulant dans les deux récepteurs et de la tension U aux bornes de ceux-ci.

Exemple : Un moteur électrique est connecté au réseau 230 [V] alternatif 50 [Hz]. Les indications des différents appareils de mesures donnent : I = 4.5 [A]

cosϕ = 0.8 ind

Calculer la puissance apparente S fournie au moteur. Données : U = 230 [V]

cos ϕ = 0.8 ind

Relation :

S=U⋅I

I = 4.5 [A]

f = 50 [Hz]

S=?

Application numérique : S = 230 ⋅ 4.5 = 1035 [VA]

Puissance réactive

Q

[var]

La puissance réactive Q est l'amplitude de la puissance instantanée. Elle dépend des valeurs efficaces de la tension U et du courant I en régime sinusoïdal, mesurées à l'aide d'un voltmètre et d'un ampèremètre, ainsi que de leur déphasage mesuré au moyen d'un cosphimètre. Q = U I sin ϕ

[var]

volt-ampère réactif

Ce produit est une puissance fictive, qui permet de caractériser l'échange d'énergie non utilisée en chaleur ou en travail par une charge réactive. Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /décembre 2000

11

Puissance dans les circuits alternatifs Remarque : Le distributeur d'énergie doit diminuer au maximum cette puissance réactive Q, afin de ne transporter que la puissance active utile au récepteur.

Exemple : Un moteur électrique est connecté au réseau 230 [V] alternatif 50 [Hz]. Les indications des différents appareils de mesures donnent : I = 4.5 A

cos ϕ = 0.8 ind

Calculer la puissance réactive Q fournie au moteur. Données : U = 230 [V]

cos ϕ = 0.8 ind

I = 4.5 [A]

Inconnue :

Q=?

Relation :

Q = U ⋅ I ⋅ sin ϕ

f = 50 [Hz]

Application numérique : angle ϕ

cos-1 0.8

36.87°

sin ϕ = 0.6

S = 230 ⋅ 4.5 ⋅ 0.6 = 621 [var]

Puissance active

P

[W]

La puissance active est maximale en cas de charge purement résistive. Elle est nulle dans le cas de récepteurs purement réactifs (inductance ou condensateur idéaux). La puissance active P est la valeur moyenne de la puissance instantanée p. Elle dépend de la valeur efficace des tensions U et des courants I en régime sinusoïdal ainsi que de l'angle de déphasage ϕ .

P = U I cos ϕ

[W]

watt

Remarques : La puissance active, mesurable par un wattmètre, correspond à une fourniture réelle d'énergie transmise au récepteur, convertible en travail ou en chaleur. Exemple : Un moteur électrique est connecté au réseau 230[V] alternatif 50 [Hz]. Les indications des différents appareils de mesures donnent : I = 6.3 [A]

cos ϕ = 0.83

Calculer la puissance active P absorbée par le moteur. Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /décembre 2000

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Puissance dans les circuits alternatifs Données : I = 6.3 [A]

cos ϕ = 0.83

Inconnue :

P=?

Relation :

P = U ⋅ I ⋅ cos ϕ

U = 230 [V]

Application numérique : P = 230 ⋅ 6.3 ⋅ 0.83 = 1202.67 [ W ]

Amélioration du facteur de puissance : Les distributeurs d'énergie exigent dans leurs prescriptions que le cos ϕ global d'une installation soit de 0.9 (EWZ 0.92, CVE 0.9, SI Lausanne 0.83). Quel est le but d'une telle directive ? Pouvoir économiser et rentabiliser une infrastructure existante, c'est-à-dire le réseau de distribution. Pour comprendre ce phénomène, prenons un exemple concret : Un client désire installer un moteur de pompe à chaleur d'une puissance de 5.9 [kW] dont le facteur de puissance cos ϕ vaut 0.56. Les autres consommateurs d'énergie de sa maison ont tous un facteur cos ϕ de 1. Sa pompe à chaleur fonctionne en moyenne, en hiver, 6 heures par jour à haut tarif. Connaissant les données du problème, nous allons nous mettre à la place du distributeur d'énergie et calculer les différentes grandeurs électriques nécessaires au fonctionnement du moteur. Sachant que le compteur d'énergie enregistre toujours le produit de la puissance active P et du temps t, le distributeur facturera l'énergie active consommée par le récepteur quel que soit le facteur de puissance. Données : cos ϕ = 0.56

U = 380 [V]

Inconnue :

P = 5.9 [kW]

t=6h

I=? A

normalisée en fonction du courant I

Relation :

P = U ⋅ I ⋅ cos ϕ

W=P⋅t

Méthode : cherchons à isoler I en divisant de chaque côté du signe = par U ⋅ cos ϕ I=

P U ⋅cos ϕ

Application numérique :

I=

5900 = 27.73 [A] 380 ⋅ 0.56

La dimension des lignes d'alimentation du distributeur est de 10 [mm2] pour du cuivre Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /décembre 2000

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Puissance dans les circuits alternatifs Calculons l'énergie W qui sera facturée au client : W = P ⋅ t = 5.9 ⋅ 6 = 35.4 [kWh] Coût : 18 [cts ⋅ kWh-1]

6.37 Frs

Cet argent est récupéré par le distributeur. Par contre, pour faire fonctionner ce moteur, il a fourni 27.73 [A] pendant 6 heures. A supposer que ce courant alimente un radiateur cos ϕ = 1, il peut facturer : Données : I = 27.73 [A]

18 [cts ⋅ kWh-1]

U = 380 [V]

cos ϕ = 1

t=6h

Inconnue : montant à facturer maximum Relation :

Prad = U ⋅ I ⋅ cos ϕ

W = P rad ⋅ t

Application numérique : Prad = 380 ⋅ 27.73 ⋅ 1 = 10537.4 [W] W = 10537.4 ⋅ 6 = 63224.4 [Wh] soit 63.22 [kWh] montant à facturer : coût = 63.22 ⋅ 0.18

11.38 Frs

Nous constatons donc qu'avec le courant mis à disposition, le distributeur peut mieux couvrir ses frais de production et d'infrastructure. différence = 11.38 - 6.37 = 5.01 Frs Amélioration à cos ϕ 0.9 : Afin de respecter les directives, l'installateur doit ramener le cos ϕ 0.56 du moteur au cos ϕ du distributeur 0.9 . La puissance active P du moteur est toujours la même 5,9 [kW]. Calculons le courant I absorbé au réseau. Données :

cos ϕ mot = 0.56

Inconnue :

U = 380 [V]

P = 5.9 [kW]

I=? A

Relation :

cos ϕ dis = 0.9

normalisée en fonction du courant I

P = U ⋅ I ⋅ cos ϕ

W=P⋅ t

Méthode : cherchons à isoler I en divisant de chaque côté du signe = par U ⋅ cos ϕ

I =

P U ⋅cos ϕ dis

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Puissance dans les circuits alternatifs Application numérique :

I =

5900 = 17.25 [A] 380 ⋅ 0.9

La dimension des lignes du distributeur est de 4 mm2 cuivre calculons l'énergie W qui sera facturée au client : W = P ⋅ t = 5.9 ⋅ 6 = 35.4 [kWh] Coût = 18 [cts ⋅ kWh-1]

6.37 Frs

Nous remarquons que les lignes de notre réseau peuvent être seulement de 4 [mm2] pour du cuivre. Le distributeur optimalise ainsi les coûts de construction de son réseau. De plus, les transformateurs et les centrales seront utilisées de façon plus rationnelle.

Tableau récapitulatif :

Moteur ligne transformateur

Avec cosϕ = 0.56

Avec cosϕ = 0.9

P = 5.9 [kW] I = 27.72 [A] 10 [mm2] S = 163.55 [kVA]

P = 5.9 [kW] I = 17.25 [A] 4 [mm2] S = 101.78 [kVA]

Comment améliorer le cos ϕ en pratique : Le condensateur est un composant permettant de déphaser de 90° en avance le courant I par rapport à la tension U. Dans la pratique, il peut s'installer de deux façons :

1.

COMPENSATION INDIVIDUELLE. directement sur le consommateur inductif.

2.

COMPENSATION GROUPEE. par une batterie de condensateurs à l'entrée de l'installation. La compensation groupée sera étudiée dans le chapitre traitant du triphasé.

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Puissance dans les circuits alternatifs

Compensation individuelle Nous branchons un condensateur de forte capacité en parallèle sur le récepteur inductif. Schéma : L1

Ialim

IM = IR + IL

IC condensateur M

moteur Récepteur inductif

N

Diagramme vectoriel :

ω

IC

IR

U

ϕ IC

IM = IR + IL

IL

Nous constatons que la présence du condensateur a pour effet de diminuer l'angle ϕ , donc de diminuer le facteur de puissance. La diminuons du déphasage entre courant I et tension U permet une utilisation plus rationnelle de l'énergie.

Exemple La puissance active P d'un moteur est de 1 [kW]. La puissance apparente S du même moteur s'élève à 2.2 [kVA]. On désire ramener le facteur de puissance à 1. Calculer la capacité nécessaire afin de ramener le facteur de puissance à 1 si le réseau est alimenté sous 230 [v] 50 [Hz]. Données :

Inconnue : Relations :

P = 1 [kW]

S = 2.2 [kVA] récepteur inductif

U = 230 [V]

f = 50 [Hz]

cos ϕ dis = 1

C=?

cos ϕ =

P S

S=U⋅I

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sin ϕ =

XL Z 16

Puissance dans les circuits alternatifs Méthode : Cherchons le facteur de puissance du moteur

cos ϕ =

P S

Application numérique :

cos ϕ =

1000 = 0.45 2200

angle ϕ

62.96 [°]

Diagramme vectoriel : P

ω

ϕ

Remarque : QL

Pour obtenir un cos de 1, il faut que le condensateur compense la totalité du vecteur vertical qui représente la puissance réactive QL ou par analogie la tension UL ou la réactance inductive XL.

S

Nous pouvons déduire que dans notre cas :

XC = XL

en valeur absolue ou en module

Cherchons Z afin de connaître XL puis XC

S=U⋅I

formule 1

U=Z⋅I

plaçons la formule 1 cette relation

S=

U2 Z

isolons Z en multipliant de chaque côté du signe " = " par Z et en divisant par S

U2 Z= S

formule 2

cherchons XL à l'aide du sin ϕ

XL = sin ϕ ⋅ Z

en remplaçant Z par la relation 2

U2 X L = sin ϕ ⋅ S Electrotechnique /  Editions de la Dunanche /décembre 2000

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Puissance dans les circuits alternatifs Mais comme la valeur absolue de réactance capacitive XC est la même que la réactance inductive XL, nous pouvons dire :

X C = sin ϕ ⋅

U2 S

formule 3

Cherchons C :

XC =

1 ω ⋅C

isolons C en multipliant par C et en divisant par XC de chaque côté du signe " = "

C=

1 ω ⋅ XC

remplaçons XC par la formule 3

C=

1⋅ S

ω ⋅ sin ϕ ⋅ U 2

Application numérique :

C=

2200 2π ⋅50 ⋅ 0.89 ⋅ 230

2

14874 . ⋅ 10− 4 [ F ]

148.74 ⋅ 10 -6 [ F ]

La capacité doit être de 148.62 [µF]. Représentations vectorielles de l'exercice : Montage du moteur seul :

ω L1

I alim

I M= IR M

+

IL

IR ϕ

moteur Récepteur inductif

N

U

IL IM = IR + IL

Montage du condensateur seul : L1

Ialim

ω

IC IC C

condensateur

ϕ U N

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Puissance dans les circuits alternatifs Montage du moteur avec le condensateur :

ω

IC L1

I

alim

IM = I R

IC

+

IL IR

C M condensateur

moteur Récepteur inductif

U

ϕ

IC

I M = IR

+ IL

N

IL

Diagrammes des puissances : ω ω

ω

QC

S

P

P P S Q

S

QC

L

Q moteur seul

condensateur seul

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L

moteur avec le condensateur

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Puissance dans les circuits alternatifs

Exercices 1.

Citer le nom des genres de récepteurs en courant alternatifs.

2.

Classer par catégories ( purement ohmique ou réactifs) les récepteurs ci-dessous : Radiateur électrique , Sèche cheveux , Tube TL , Perceuse , Game boy , Lecteur CD , Four micro-ondes , Lampe à incandescence , Téléviseur couleurs , Aspirateur , Rallonge électrique , Console Nintendo , Téléphone

3.

Un récepteur provoque un déphasage de + 90 [°] entre le courant et la tension. Quelle sera la valeur de la puissance apparente S ?

4.

Un récepteur provoque un déphasage de - 90 [°] entre le courant et la tension. Quelle sera la valeur de la puissance apparente S ?

5.

Comment s'appelle l'instrument qui permet de mesurer le déphasage entre le courant et la tension et quel est son symbole ?

Un électroaimant absorbe une puissance P de 1 [kW] . Il est alimenté par le réseau 230 [V] 50 [Hz] et le cosphimètre indique 0.82 inductif. Calculer la puissance apparente du montage.

1219.5 [VA]

Un moteur absorbe une puissance P de 2.2 [kW] . Il est alimenté par le réseau 230 [V] 50 [Hz] et le cosphimètre indique 0.87 inductif.

Calculer la puissance réactive du moteur.

1246.8 [var]

On mesure une puissance Q de 483 [var] sur un moteur. Il est alimenté par le réseau 230 [V] 50 [Hz] et le cosphimètre indique 0.8 inductif.

Calculer la puissance active du moteur.

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644 [W]

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Puissance dans les circuits alternatifs 1.

Une armature pour tube fluorescent contient un tube de 40 [W] et un dispositif d’allumage qui provoque 10 [W] de pertes. Les instruments de mesures nous indiquent les valeurs suivantes : U = 230 [V]

I = 430 [mA]

Calculer P , Q , S , pour le dispositif complet. 2.

Calculer la puissance réactive et le facteur de puissance d’un moteur dont la puissance apparente est de 16 [kVA] et la puissance active 13.2 [kW] .

3.

Les mesures faites sur la bobine d’un électroaimant donnent les valeurs suivantes U = 224 [V] I = 55 [mA] facteur de puissance = 0.12 Calculer toutes les puissances ainsi que l’angle de déphasage ϕ en [°] et en [rad]

4.

Une résistance de 50 [Ω] est couplée en série avec un condensateur de 20 [µF]. Le circuit est alimenté par une source 160 [V] 100 [Hz] débitant un courant de 1.7 [A]. Calculer toutes les puissances ainsi que l’angle de déphasage ϕ

Réponses :

5.

1. 98.9 [VA] 50 [W] 85.33 [var] 2. 9.04 [kvar] cos ϕ 0.825 3. 12.32 [VA] 1.48 [W] ϕ 83.1 [°] ϕ 1.45 [rad] 12.23 [var] 4. 144.5 [W] 272 [VA] 230.45 [var] ϕ 57.91 [°] ϕ 1.01 [rad]

Les mesures opérées sur le primaire d'un transformateur ont donné les résultats suivants 382 [V] 11 [A] 0.62 [kW] Calculer P , Q , S , pour le dispositif complet.

6.

Une lampe à vapeur de Sodium de 100 [W] est raccordée sur le réseau 230 [V] avec un courant de 2.2 [A] . Le transformateur à fuites magnétiques provoque une perte de 23 [W] . Calculer le facteur de puissance du dispositif complet.

7.

La plaquette signalétique d'un transformateur indique 2.2 [kVA] . Quelle est la puissance active délivrée si l'angle de déphasage vaut 0.892 [rad] ?

8.

Un courant de 620 [A] circule dans une bobine de self induction d'un tableau d'alimentation. On mesure une puissance apparente de 350 [VA]. Quelle est la tension à ses bornes ?

Réponses :

5. 4202 [VA] 620 [W] 4156 [var] 7.1381.6 [W]

6. cos ϕ 0.254

8. 564.5 [mV]

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Puissance dans les circuits alternatifs

1.

La puissance d'un moteur est de 1 [kW]. La puissance apparente du même moteur est de 2.2 [kVA]. Nous désirons ramener le facteur de puissance à une valeur de 0.65 capacitif. Calculer la capacité nécessaire pour obtenir cette valeur si le réseau est alimenté sous 230 [V] et 50 [Hz] .

2.

Calculer la valeur du condensateur pour obtenir un angle de déphasage de 12 [°] sur le réseau 230 [V] . L1 I1

5.2 [ A ] 83° ind

I2 M

moteur

230 [ V ] 50 [ Hz ] N

3.

A l'aide d'un oscilloscope, on mesure la tension sur une self de 55.13 [mH]. La valeur de l'échelle tension est de 50 [V ⋅ div-1]. Une sinusoïde prend de crête à crête 6.5 divisions. A l'aide d'un ohmmètre, on mesure cette self et on obtient 5.5 [Ω]. Quelle est l'échelle de la base de temps de l'oscilloscope, si le signal mesure 6.93 divisions ? Quel est le facteur de puissance de cette installation ? Quelle doit être la valeur du condensateur pour obtenir un angle de déphasage de 2 [°]

4.

Un atelier est alimenté sous 230 [V] 50 [Hz]. Il comprend associés en parallèle : 20 lampes de 100 [W] et un moteur de 5 [kW] avec un cos ϕ de 0.75 ind Calculer la puissance active, le courant et le facteur de puissance lorsque tous les récepteurs fonctionnent simultanément. Calculer le condensateur nécessaire pour obtenir un angle de déphasage de 0° lorsque tout est en service. Avec le condensateur de compensation, que se passe-t-il, si vous déclenchez les lampes ou le moteur ?

5.

Pour alimenter une lampe témoin 24 [V] 50 [mA], à partir du réseau 230 [V] 50 [Hz] (en pratique signalisation de tableau avec interrupteur EAO) , nous désirons réaliser un réducteur de tension avec : a) un résistance R

b) une self pure L

c) un condensateur C

Calculer les puissances P, S et Q désigner le réducteur le plus judicieux à réaliser ? (justification pratique) Tracer les diagrammes vectoriels des puissances pour les trois cas.

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