Elementi Di Metodi Matematici

Matteo Villani

Elementi di

Metodi Matematici della Fisica Integrale di Lebesgue Distribuzioni e Trasformata di Fourier

Università di Bari Corso di Laurea in Fisica A.A. 2003 - 2004

INDICE L'integrale di Lebesgue 1. Introduzione 2. lo spazio C 0 ( R )

pag. 01 pag. 03

3. L'integrale di Lebesgue in R 4. Operazioni di limite nell'integrazione di Lebesgue 5. Misura di sottoinsiemi di R 6. Integrali su un sottoinsieme di R 7. Funzioni a valori complessi 8. L'integrale di Lebesgue in R d ( d = 2,3...)

pag. 07 pag. 11 pag. 14 pag. 14 pag. 15 pag. 16

9. Gli spazi L1 R d e L 2 R d

pag. 18

( ) ( ) 10. Lo spazio L ( R ) d

1,loc

pag. 25

Distribuzioni

1. Nozioni basilari 2. Esempi di distribuzioni 3. Differenziazione delle distribuzioni

pag. 27 pag. 29 pag. 34

La trasformata di Fourier

1. Introduzione 2. Trasformata di Fourier 3. Lo spazio S ( R )

pag. 43 pag. 44 pag. 49

4. Distribuzioni temperate e trasformata di Fourier 5. Trasformata di Fourier in diverse variabili 6. Convoluzione 7. Convergenza distribuzionale

pag. 53 pag. 62 pag. 64 pag. 72

L'INTEGRALE DI LEBESGUE 1. Introduzione Def. Si dice che una famiglia {A α }αεΣ di insiemi ricopre un dato insieme A, oppure che è un ricoprimento di A, quando A ⊆ ∪ αεΣ A α . Teorema di Heine-Borel (compattezza degli intervalli limitati e chiusi): Sia [ a, b ] un intervallo limitato e chiuso di R e {A α } una famiglia di insiemi aperti di R che ricopra [ a, b ] ; esiste una sottofamiglia finita di {A α } che è ancora un ricoprimento di [ a, b ]

(b > a) . Dim. Supponiamo che nessuna sottofamiglia finita di

{A α }

ricopra

[a, b] .

Introducendo

a+b , si può affermare allora che almeno uno degli intervalli [ a, c ] , [ c, b ] non è ricoperto da 2 alcuna sottofamiglia finita di {A α } . Sia I1 uno di questi due intervalli, per esempio I1 = [ c, b ] . c=

c+b ; almeno uno degli intervalli ⎡⎣ c, c1 ⎤⎦ , ⎡⎣ c1 , b ⎤⎦ non è ricoperto da alcuna 2 sottofamiglia finita di {A α } . Sia I 2 uno di questi due intervalli. Procedendo in questo modo, Introduciamo c1 =

costruiamo una successione di intervalli I1 , I 2 ,...I n ,... con I n +1 ⊂ I n ⊂ [ a, b ] . In questa

costruzione si è sfruttata la limitatezza di [ a, b ] , con l'introduzione dei punti c, c1 ... Sia x 0 il

punto dato da x 0 = I1 ∩ I 2 ∩ ... ∩ I n ∩ ... Poiché [ a, b ] è chiuso, abbiamo x 0 ∈ [ a, b ] . Il punto x 0

{ } un tale aperto e r > 0

deve appartenere ad almeno uno degli aperti di {A α } . Sia A α0

tale che

{ } (per definizione di aperto). Abbiamo allora che per n

Br = {x : x − x 0 < r} sia incluso in A α0

sufficientemente grande I n è incluso in Br e A α0 è una sottofamiglia finita di {A α } (costituita da un unico elemento) che ricopre I n . Ma ciò è assurdo, se si tiene presente il procedimento di costruzione di I n .■ Def. Si dice che un sottoinsieme A ⊂ R è di misura nulla (secondo Lebesgue), quando, per ogni ε > 0 , esiste una famiglia numerabile di intervalli aperti {I k }( k = 1, 2,...) che ricopra A e sia tale che ∞

∑I k =1

k

<ε

( I k : lunghezza dell'intervallo I k )

Elementi di metodi matematici della fisica

Segue immediatamente dalla definizione che ogni sottoinsieme di un insieme di misura nulla, è di misura nulla. Inoltre l'unione di un numero finito o di una famiglia {A k } numerabile di ∞

insiemi di misura nulla, è di misura nulla. Infatti sia ε > 0 e A = ∪ A k . Per ogni k, esiste una famiglia numerabile {I kj} ( j = 1, 2,...) di intervalli aperti tale che

k =1

1 ε j=1 j=1 2k Considerata allora la famiglia di tutti gli intervalli I kj , ottenuta al variare di entrambi gli indici, ∞

A k ⊆ ∪ I kj

∞

Σ I kj <

∞ ∞ ⎛ ⎞ che è numerabile, A è incluso nell'unione di questa famiglia ⎜ A ⊆ ∪ ∪ I kj ⎟ e risulta k =1 j=1 ⎝ ⎠

1 =ε 2k Se A è costituito da un singolo punto di R, allora evidentemente A è di misura nulla. Ne segue che ogni insieme finito o numerabile di punti di R è di misura nulla. In particolare l'insieme di numeri razionali è di misura nulla. Esistono tuttavia insiemi non numerabili che hanno misura nulla (insiemi di Cantor). ∞

∞ ∞

∞

k, j=1

k =1 j=1

k =1

Σ I kj = Σ Σ I kj < ε Σ

Def. Si dice che una certa proprietà vale quasi ovunque (q.o.) in R, oppure che vale per quasi ogni x ∈ R , se l'insieme degli x in cui la proprietà non è verificata è di misura nulla.

Per esempio, si dice che una successione di funzioni {fn ( x )} , definita in R, converge q.o. a una funzione f ( x ) , e si scrive lim fn ( x ) = f ( x ) n →∞

(q.o.)

se l'insieme degli x per i quali non è vero che lim fn ( x ) = f ( x ) , è di misura nulla. Tale insieme è n →∞

composto da tre sottoinsiemi, eventualmente vuoti: quello degli x per i quali il limite esiste, è finito, ma è diverso da f ( x ) ; quello degli x tali che il limite è infinito; quello degli x per i quali il limite non esiste. Si dice che due funzioni f ( x ) e g ( x ) , definite in R, sono uguali quasi ovunque in R, e si scrive f ( x ) = g ( x ) (q.o.), se l'insieme degli x tali che f ( x ) ≠ g ( x ) è di misura nulla.

Per esempio la funzione di Dirichlet χ ( x ) , definita da se x è razionale ⎧1 χ (x) = ⎨ se x è irrazionale ⎩0 è una funzione quasi ovunque nulla.

2

L'integrale di Lebesgue

2. Lo spazio C 0 ( R )

Sia C 0 ( R ) l'insieme delle funzioni continue definite in R, a valori reali, con supporto compatto. Ciò significa che ϕ ∈ C 0 ( R ) se e soltanto se ϕ : R → R è continua ed esiste un intervallo limitato [ a, b ] (chiuso), che in generale dipende da ϕ , tale che ϕ ( x ) = 0 per x ∉ [ a, b ] . C 0 ( R ) è

uno spazio vettoriale reale: se ϕ e ψ sono due funzioni in C 0 ( R ) e α e β sono due numeri reali, la funzione αϕ ( x ) + βψ ( x ) appartiene a C 0 ( R ) . Ad ogni elemento di C 0 ( R ) possiamo associare un numero reale, dato dal suo integrale (di Riemann) su R: ϕ→

1)

+∞

b

−∞

a

∫ ϕ ( x )dx = ∫ ϕ ( x )dx

Questa corrispondenza definisce un funzionale lineare su C 0 ( R ) : αϕ + βψ →

2) (con

ψ (x) = 0

+∞

b

d

−∞

a

c

∫ ( αϕ ( x ) + βψ ( x ) )dx = α ∫ ϕ ( x ) dx + β∫ ψ ( x ) dx x ∉ [ c, d ] ).

per

Lo spazio C 0 ( R ) ed il funzionale che abbiamo definito, posseggono due proprietà importanti che costituiranno il punto di partenza per la costruzione dell'integrale di Lebesgue. Teorema I Sia {ϕn ( x )} una successione decrescente di funzioni non negative in C 0 ( R )

( 0 ≤ ϕn +1 ≤ ϕn ) ,

tale che lim ϕn ( x ) = 0 (q.o.). n →∞

Abbiamo allora: +∞

3)

lim

n →∞

∫ ϕ ( x ) dx = 0 n

−∞

Dim. Sia A 0 l'insieme dei punti in cui {ϕn ( x )} non converge a zero ed ε > 0 (fissato, ma

{ }

arbitrario). A 0 può essere ricoperto da una famiglia numerabile di intervalli aperti Σ 0 = I (k ) , 0

∞

∞

tale che Σ I (k ) < ε . Per x ∉ ∪ I (0) k , ϕ n ( x ) → 0 . A ciascuno di questi punti, diciamo x 0 , 0

k =1

n →∞

k =1

possiamo assegnare un n tale che ϕn ( x 0 ) < ε ed un intervallo aperto contenente x 0 in cui risulti

ancora ϕn ( x 0 ) < ε ( in virtù della continuità di ϕn ( x ) ). Variando x 0 , l'insieme di questi

{ }

intervalli formano una famiglia Σ1 = I (x0) di intervalli aperti, a ciascuno dei quali è attaccato un 1

indice n. Notiamo che A 0 ⊂ [ a1 , b1 ]

( ϕ1 ( x ) = 0 per x ∉ [ a1 , b1 ] ) e che Σ 0 ∪ Σ1 ricopre evidentemente

questo intervallo. Applicando il teorema di Heine-Borel all'intervallo [ a1 , b1 ] , abbiamo che esiste

una sottofamiglia finita di

Σ 0 ∪ Σ1 che è ancora un ricoprimento di

[a1 , b1 ] .

Questa

3

Elementi di metodi matematici della fisica

sottofamiglia finita sarà formata da un insieme I (k1 ) , I (k 2) ..., I (k l ) di intervalli aperti appartenenti a 0

0

0

Σ 0 e da un insieme I1( ) , I (2 ) ..., I (m) di intervalli aperti appartenenti a Σ1 . A ciascuno degli intervalli 1

1

1

I (j ) ( j = 1,..., m ) è associato un intero n. Sia N il più grande di questi interi. Abbiamo allora che 1

ϕN ( x ) risulta < ε in ciascuno degli intervalli I (j ) ; ciò è vero anche per ϕn ( x ) , per ogni n > N. 1

Per ogni n ≥ N , abbiamo allora +∞

b1

−∞

a1

l

∫ ϕn ( x ) dx = ∫ ϕn ( x ) dx ≤ Σ

i =1

∫ ϕ ( x ) dx + n

(0) Ik i

ϕn ( x ) dx ≤ max ϕ1 ( x ) Σ I (ki ) + ε ( b1 − a1 ) ≤ ε ( max ϕ1 ( x ) + b1 − a1 ) l

∫

∪ I(1) j ∩[ a1 ,b1 ]

0

i =1

+∞

Data l'arbitrarietà di ε , abbiamo che lim

n →∞

∫ ϕ ( x ) = 0 .■ n

−∞

Teorema II Sia {ϕn ( x )} una successione crescente di funzioni non negative in C 0 ( R ) ( 0 ≤ ϕn ≤ ϕn +1 ≤ ...) , tale che +∞

∫ ϕ ( x ) dx < K

4)

n

∀n

(K > 0)

−∞

Si ha allora che ϕn ( x ) , per n → ∞ , tende quasi ovunque a un limite finito. Dim. Sia A 0 l'insieme dei punti in cui {ϕn ( x )} non converge ad un limite finito. Supporremo

che A 0 non sia vuoto. Per convenzione l'insieme vuoto è di misura nulla. Se x ∈ A 0 , ϕn ( x ) → + ∞ . n →∞

Fissato ε > 0 , consideriamo gli insiemi K⎫ ⎧ Σ ε,n = ⎨x : ϕn ( x ) > ⎬ ε⎭ ⎩ Poiché ϕn +1 ( x ) ≥ ϕn ( x ) , abbiamo

5)

6)

Σ ε,n ⊂ Σ ε,n +1

K ⎛ ⎞ ∀m ≥ n ⎟ . Se x è un fissato punto di A 0 , allora in corrispondenza di ⎜ ∀x ∈ Σ ε,n , ϕm ( x ) > ε ⎝ ⎠ K K deve esistere un intero n ( x; ε ) tale che ∀m ≥ n ( x; ε ) ϕm ( x ) > . ε ε Ciò implica che x deve appartenere a Σ ε,n ( x;ε ) . Possiamo allora affermare che 7)

4

∞

A 0 ⊂ ∪ Σ ε,n n =1

L'integrale di Lebesgue

Per la continuità di ϕn ( x ) , abbiamo che Σ ε,n è un insieme aperto di R. Ora ogni insieme aperto di R è l'unione di una famiglia numerabile di intervalli aperti disgiunti. Abbiamo allora ∞

Σ ε,n = ∪ I (k )

8)

n

k =1

(n)

dove I k

sono intervalli aperti disgiunti. La 7) costituisce quindi un ricoprimento di A 0

mediante una famiglia numerabile di intervalli aperti. Notiamo che Σ ε,n ⊂ ( a n , b n ) , dove [ a n , b n ]

è l'intervallo chiuso e limitato associato a ϕn ( x ) ( ϕn ( x ) = 0

per

x ∉ [ a n , b n ]) . Utilizzando

ora la 4), abbiamo b

n N K N (n) Σ I k ≤ Σ ∫ ϕn ( x ) dx ≤ ∫ ϕn ( x ) dx < K k =1 ε k =1 (n) an I

9)

( ∀N )

k

Quindi ∞

Σ ε,n = Σ I (k ) < ε

10)

n

∀n

k =1

In virtù della 6) possiamo scrivere ∞

∞

n =1

n =1

N

∪ Σ ε,n = ∪ ( Σ ε,n − Σ ε,n −1 ) = lim ∪ ( Σ ε,n − Σ ε,n −1 ) = lim Σ ε ,N

11)

N →∞ n =1

N →∞

( con

Σ ε,0 = ∅ ) .

Ora (a meno di un insieme numerabile di punti e quindi di un insieme di misura nulla) ∞

Σ ε,n − Σ ε,n −1 = ∪ J (k )

12)

n

k =1

con J (k ) intervalli aperti disgiunti tra di loro e disgiunti dagli intervalli I (k

n −1)

n

( n −1)

Jk

, e quindi dagli

. Ne segue che ∞

N

Σ I (k

13)

N)

∞

= Σ ε,N = Σ Σ J (k ) < ε

k =1

n =1 k =1

n

∀N

Pertanto ∞

∞

A 0 ⊂ ∪ ∪ J (k )

14)

n

n =1 k =1

con ∞

∞

Σ Σ J (k ) ≤ ε n

n =1 k =1

Data l'arbitrarietà di ε , concludiamo che A 0 è di misura nulla.■ Siano

{ϕ ( x )} e {ψ ( x )} due successioni crescenti di funzioni non negative in C ( R ) , tali che n

n

0

5

Elementi di metodi matematici della fisica

+∞

15)

∫ ϕ ( x ) dx < K n

1

−∞ +∞

∫ ψ ( x ) dx < K n

( K1 , K 2 < +∞, n = 1, 2,...)

2

−∞

Poiché +∞

+∞

+∞

∫ ϕ ( x ) dx ≤ ∫ ϕ ( x ) dx

∫ ψ ( x ) dx ≤ ∫ ψ ( x ) dx

e

n +1

n

−∞

+∞

n +1

n

−∞

−∞

−∞

esistono e sono finiti, in virtù della 15), i limiti +∞

∫ ϕ ( x ) dx = J

lim

n →∞

n

+∞

lim

1

n →∞

−∞

∫ ψ ( x ) dx = J n

2

−∞

In base al teorema II esistono due funzioni f ( x ) e g ( x ) definite in R, tali che 16)

f ( x ) = lim ϕn ( x )

(q.o.)

g ( x ) = lim ψ n ( x )

(q.o.)

n →∞

n →∞

Se A 0 è l'insieme dei punti in cui non converge {ϕn ( x )} , e B0 è l'insieme dei punti in cui non converge {ψ n ( x )} , f ( x ) e g ( x ) sono definite univocamente soltanto per x ∉ A 0 e x ∉ B0

rispettivamente. Supponiamo che 17)

g (x) ≥ f (x)

x ∉ A 0 ∪ B0

per

(sicché g ( x ) ≥ f ( x ) (q.o.)) e consideriamo la successione n=1, 2,.... Sia

{( ϕ

m

( x ) − ψn ( x ))

+

}

( n = 1, 2,...)

{ϕ ( x ) − ψ ( x )} m

n

la successione delle parti positive delle funzioni

ϕm ( x ) − ψ n ( x ) (Se F ( x ) è definita in R, la sua parte positiva è F + ( x ) =

sua parte negativa è data da F − ( x ) =

1 F ( x ) − F ( x ) ; abbiamo 2

(

F ( x ) = F + ( x ) − F − ( x ) ). Dalla 17) segue allora che

{( ϕ

)

m

( x ) − ψn ( x ))

+∞

D'altra parte

6

lim

n →∞

∫ ( ϕ ( x ) − ψ ( x )) m

−∞

n

+

dx = 0

1 F ( x ) + F ( x ) e la 2

(

)

F+ ( x ) ≥ 0 , F− ( x ) ≥ 0 e +

zero in modo monotono quasi ovunque. In virtù del teorema I, abbiamo 18)

con m fissato e

} , a fissato m, decresce a

L'integrale di Lebesgue

∫ ϕ ( x ) dx − ∫ ψ ( x ) dx = ∫ ( ϕ ( x ) − ψ ( x ) )dx ≤ ∫ ( ϕ ( x ) − ψ ( x )

+∞

+∞

m

+∞

n

−∞

+∞

m

−∞

Passando al limite per n → ∞ , otteniamo

n

m

−∞

n

−∞

+

)dx

+∞

19)

∫ ϕ ( x ) dx ≤ J m

∀m

2

−∞

Segue infine per m → ∞ 20) J 2 ≥ J1 Da questo risultato deduciamo immediatamente il seguente Corollario

Se f ( x ) = g ( x ) (q.o.) , allora J1 = J 2 .

Infatti, in questo caso, abbiamo simultaneamente f ( x ) ≤ g ( x ) (q.o.) e f ( x ) ≥ g ( x ) (q.o.).

3. L'integrale di Lebesgue in R

Una funzione f ( x ) , definita in R, a valori reali e non negativa q.o. 21)

f (x) ≥ 0

(q.o.)

è detta integrabile secondo Lebesgue in R, se esiste una successione crescente {ϕn ( x )} (n=1, 2,...) di funzioni non negative appartenenti a C0 ( R ) , tale che a)

lim ϕn ( x ) = f ( x ) n →∞

(q.o.)

22) +∞

b)

∫ ϕ ( x )dx < K n

∀n

−∞

Se f ( x ) ≥ 0 (q.o.) è integrabile secondo Lebesgue, il limite lim

n →∞

esiste, è detto integrale di Lebesgue di f ( x ) : 23)

+∞

+∞

−∞

−∞

+∞

∫ ϕ ( x ) dx , n

che senz'altro

−∞

ϕn ( x )dx ( L ) ∫ f ( x )dx = lim n →∞ ∫

Dal corollario già visto, segue che, se {ψ n ( x )} è un'altra successione crescente di funzioni non negative in C 0 ( R ) , tale che a')

lim ψ n ( x ) = f ( x ) n →∞

(q.o.)

7

Elementi di metodi matematici della fisica

+∞

∫ ψ ( x )dx < Λ

b')

∀n

n

−∞

(l'insieme in cui {ψ n } non converge può essere in generale diverso dall'insieme in cui {ϕn } non converge), allora +∞

+∞

+∞

−∞

−∞

−∞

ϕn ( x )dx = lim ∫ ψ n ( x )dx ( L ) ∫ f ( x )dx = lim n →∞ ∫ n →∞

24)

La definizione precedente è motivata essenzialmente dai Teoremi I, II che abbiamo dimostrato. Più in generale consideriamo una funzione f ( x ) a valori reali definita in R. Come abbiamo visto possiamo scrivere f (x) = f + (x) − f − (x)

25)

1 1 f (x) + f (x) e f − (x) = f (x) − f (x) f + ( x ) ≥ 0, f − ( x ) ≥ 0 . 2 2 La funzione f ( x ) è detta integrabile secondo Lebesgue in R, se le funzioni f + ( x ) e f − ( x ) sono con f + ( x ) =

(

)

(

) (

)

integrabili secondo Lebesgue in R. L'integrale di Lebesgue di f ( x ) è definito da +∞

+∞

+∞

−∞

−∞

−∞

( L ) ∫ f ( x )dx = ( L ) ∫ f + ( x )dx − ( L ) ∫ f − ( x )dx

26)

L'insieme delle funzioni a valori reali, integrabili secondo Lebesgue verrà indicato con L1 ( R ) . Alcune proprietà dell'integrale di Lebesgue: +∞

a) se f ( x ) ∈ L1 ( R ) e f ( x ) ≥ 0 (q.o.), allora ( L ) ∫ f ( x )dx ≥ 0 −∞

b) se α e β sono due numeri reali e f ( x ) , g ( x ) ∈ L1 ( R ) , allora αf ( x ) + βg ( x ) ∈ L1 ( R ) . Inoltre +∞

+∞

+∞

−∞

−∞

−∞

( L ) ∫ ( αf ( x ) + βg ( x ) )dx = α ( L ) ∫ f ( x )dx + β ( L ) ∫ g ( x )dx c) se f ( x ) , g ( x ) ∈ L1 ( R ) e f ( x ) ≤ g ( x ) (q.o.), allora +∞

+∞

−∞

−∞

( L ) ∫ f ( x )dx ≤ ( L ) ∫ g ( x )dx ( la (c) è una conseguenza immediata della (a)) d) se f ( x ) ∈ L1 ( R ) , anche f ( x ) ∈ L1 ( R ) . Infatti se f ( x ) ∈ L1 ( R ) , allora f + ( x ) , f − ( x ) ∈ L1 ( R ) . La d) segue dalla b) osservando che f ( x ) = f + ( x ) + f − ( x ) . La d) è una proprietà caratteristica dell'integrale di Lebesgue

8

L'integrale di Lebesgue

(e) se f ( x ) ∈ L1 ( R ) , allora +∞

+∞

( L ) ∫ f ( x )dx ≤ ( L ) ∫ f ( x ) dx −∞

−∞

+

Infatti, poiché f + f = 2f ≥ 0 e f − f = 2f − ≥ 0 , dalla a) e b) deduciamo che +∞

( L ) ∫ f ( x ) dx −∞

+∞

+∞

−∞

−∞

risulta ≥ sia di ( L ) ∫ f ( x )dx che di − ( L ) ∫ f ( x )dx

f) se f ( x ) ∈ L1 ( R ) e f ( x ) ≥ 0 (q.o.), allora f ( x ) = 0 (q.o.) se e soltanto se +∞

( L ) ∫ f ( x )dx = 0 . −∞

Dim f) Se f ( x ) = 0 (q.o.), allora f ( x ) è il limite quasi ovunque della successione crescente

{ϕ ( x )} ( ϕ ( x ) ≥ ϕ ( x ) ≥ 0 ) n

n +1

n

di elementi di C 0 ( R ) , dati da ϕn ( x ) = 0 (n=1,2,...) ∀x ∈ R . In

base alla nostra definizione f ( x ) è integrabile secondo Lebesgue e

+∞

( L ) ∫ f ( x )dx = 0 . −∞

+∞

Viceversa, supponiamo che f ( x ) ∈ L1 ( R ) , f ( x ) ≥ 0 (q.o.) e ( L ) ∫ f ( x )dx = 0 . Esiste allora una −∞

successione crescente {ϕn ( x )} di elementi di C 0 ( R ) , tale che lim ϕn ( x ) = f ( x ) (q.o.) con n →∞

ϕn ( x ) ≥ 0 . Abbiamo allora +∞

0≤

+∞

∫ ϕ ( x ) dx ≤ ( L ) ∫ f ( x )dx = 0 n

−∞

∀n ,

−∞

cioè ogni ϕn ( x ) è identicamente nulla in R. Ne segue che f ( x ) = 0 (q.o.).■ La proprietà precedente implica la seguente: se f ( x ) , g ( x ) ∈ L1 ( R ) , allora f ( x ) = g ( x ) (q.o.)

se e soltanto se +∞

( L ) ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = 0 −∞

Naturalmente se f ( x ) = g ( x ) (q.o.), con f ( x ) , g ( x ) ∈ L1 ( R ) , risulta +∞

+∞

−∞

−∞

( L ) ∫ f ( x )dx = ( L ) ∫ g ( x )dx

9

Elementi di metodi matematici della fisica

Esempio I.

Se ϕ ( x ) ≥ 0 appartiene a C 0 ( R ) , allora ϕ ( x ) ∈ L1 ( R ) e

27)

( L ) ∫ ϕ ( x )dx = ∫ ϕ ( x )dx

+∞

+∞

−∞

−∞

(Basta prendere la successione ϕ1 ( x ) = ϕ2 ( x ) = ... = ϕn ( x ) = ... = ϕ ( x ) ). Esempio II.

Se ϕ ( x ) appartiene a C 0 ( R ) , allora ϕ ( x ) ∈ L1 ( R ) e vale la 27) ( ϕ+ ( x ) e ϕ− ( x )

sono funzioni non negative appartenenti a C 0 ( R ) e ϕ ( x ) = ϕ+ ( x ) − ϕ− ( x ) ,....) Esempio III. Sia f ( x ) una funzione a supporto compatto ( f ( x ) = 0 per x ∉ [ a, b ] ), non negativa, limitata e continua a tratti in (a,b) (vedi figura).

Come è noto f ( x ) è integrabile secondo Riemann. In questo caso +∞

b

−∞

a

∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx

E' facile vedere che f ( x ) appartiene anche a L1 ( R ) . Infatti, siano a n = a + α

1 1 , c1n = c − γ1 , n n

1 1 , bn = b − β ( n = 1, 2,..., α, γ1 , γ 2 , β > 0 e tali che a + α < c − γ1 , c + γ 2 < b − β ) e n n ϕn ( x ) le funzioni di C 0 ( R ) definite da

c2 n = c + γ 2

ϕn ( x ) = f ( x )

per

x ∈ [ a n , c1n ] ∪ [ c 2 n , b n ]

=0 per x ≥ b, x ≤ a, x = c = funzioni lineari in x per x ∈ [ a, a n ] ,

[c1n , c ] , [c, c2n ] , [ b n , b]

10

(vedi figura precedente)

L'integrale di Lebesgue

Abbiamo allora ϕn +1 ( x ) ≥ ϕn ( x ) ≥ 0

lim ϕn ( x ) = f ( x )

e

n →∞

(q.o.).

Inoltre +∞

b

−∞

a

∫ ϕn ( x )dx < K = ∫ f ( x )dx

( n = 1, 2,...)

Si conclude allora che f ( x ) ∈ L1 ( R ) e +∞

( L ) ∫ f ( x )dx = lim

28)

−∞

n →∞

+∞

+∞

−∞

−∞

∫ ϕn ( x )dx =

∫ f ( x )dx

Questo risultato è ancora valido se f ( x ) assume valori negativi: f + ( x ) e f − ( x ) sono funzioni non negative, limitate e continue a tratti in (a, b). Più in generale se f ( x ) è a supporto compatto ( f ( x ) = 0 per x ∉ [ a, b ]) , limitata e continua

quasi ovunque in (a, b), allora f ( x ) è integrabile secondo Riemann. Si dimostra che f ( x ) appartiene anche a L1 ( R ) e che i due integrali, di Lebesgue e di Riemann, coincidono. Esempio IV.

χ (x)

Si consideri la funzione di Dirichlet

x razionale ⎧1 χ (x) = ⎨ x irrazionale ⎩0 non è integrabile secondo Riemann. χ ( x ) è invece integrabile secondo Lebesgue:

χ ( x ) = 0 (q.o.), sicché +∞

( L ) ∫ χ ( x )dx = 0 −∞

Nel seguito ometteremo la lettera L che precede gli integrali di Lebesgue. Ogni integrale sarà inteso nel senso di Lebesgue. 4. Operazioni di limite nell'integrazione di Lebesgue Partendo dalla classe C 0 ( R ) si è esteso, mediante un certo procedimento, la nozione di integrale

ad una classe più ampia L1 ( R ) . Si potrebbe tentare di estendere ulteriormente la nozione di integrale ad una classe ancora più ampia, che includa L1 ( R ) , applicando lo stesso procedimento. Si può dimostrare che ciò non è possibile. Abbiamo il seguente:

11

Elementi di metodi matematici della fisica

Teorema (di Beppo Levi o della convergenza monotona) Sia {fn ( x )} una successione crescente ( fn +1 ( x ) ≥ fn ( x ) ) di funzioni non negative, appartenenti a L1 ( R ) , tali che +∞

29)

∫ f ( x )dx < K

( ∀n )

n

−∞

La successione converge allora quasi ovunque a una funzione f ( x ) ∈ L1 ( R ) e +∞

30)

+∞

∫ f ( x )dx = lim ∫ f ( x )dx n →∞

−∞

n

−∞

Questo teorema stabilisce da un lato la validità del passaggio al limite sotto il segno di integrale (nelle condizioni stabilite dal teorema), dall'altro una proprietà di "chiusura " dell'insieme L1 ( R ) rispetto a processi di limite che coinvolgono successioni monotone. Dal teorema di Beppo Levi si può dedurre un'altro risultato che riguarda successioni non monotone di funzioni appartenenti a L1 ( R ) Teorema(lemma di Fatou) Sia {fn ( x )} una successione di funzioni non negative , appartenenti a L1 ( R ) , convergente quasi ovunque a una funzione f ( x ) e tale che +∞

∫ f ( x )dx ≤ K n

( n = 1, 2,...)

−∞

Si ha allora che f ( x ) ∈ L1 ( R ) e +∞

∫ f ( x )dx ≤ K

−∞

Il lemma di Fatou stabilisce una condizione sufficiente di integrabilità (nel senso di Lebesgue) di una funzione f ( x ) . Uno dei risultati fondamentali della teoria dell'integrazione secondo Lebesgue è il seguente teorema, che riguarda successioni non monotone ed il passaggio al limite sotto il segno di integrale. Teorema (di Lebesgue o della convergenza dominata) Sia {fn ( x )} una successione di funzioni appartenenti a L1 ( R ) , convergente quasi ovunque a una funzione f ( x ) :

12

L'integrale di Lebesgue

f ( x ) = lim fn ( x )

(q.o.)

n →∞

Se esiste una funzione g ( x ) ≥ 0 , appartenente a L1 ( R ) , tale che

fn ( x ) ≤ g ( x )

∀n

allora anche f ( x ) ∈ L1 ( R ) , il limite lim

n →∞

+∞

∫ f ( x )dx = lim

n →∞

−∞

(q.o.) +∞

∫ f ( x )dx esiste ed è finito e n

−∞

+∞

∫ f ( x )dx n

−∞

Un utile corollario del teorema di Lebesgue, che afferma soltanto l'integrabilità della funzione limite e non dice niente sul passaggio al limite sotto il segno di integrale, è il seguente Corollario Se la successione {fn ( x )} , con fn ( x ) ∈ L1 ( R ) (n=1,2,....), converge quasi ovunque a una funzione f ( x ) tale che

f (x) ≤ g (x)

(q.o.)

dove g ( x ) ∈ L1 ( R ) , allora anche f ( x ) ∈ L1 ( R ) .

In relazione al corollario precedente, è utile introdurre la seguente nozione. Una funzione f ( x ) definita in R, è detta misurabile, se esiste una successione di funzioni

{ϕ ( x )} , appartenenti a C ( R ) , tale che n

0

f ( x ) = lim ϕn ( x ) n →∞

(q.o.)

Le funzioni appartenenti a L1 ( R ) sono quindi misurabili. Non tutte le funzioni misurabili sono però integrabili nel senso di Lebesgue: la funzione f ( x ) = c

(c ≠ 0) ,

è misurabile, ma non

appartiene a L1 ( R ) . Dalla proprietà d) (pag. 8) e dal corollario precedente discende immediatamente il seguente teorema: Teorema (misurabilità ed integrabilità) Se f ( x ) è una funzione misurabile in R, f ( x ) ∈ L1 ( R ) se e solo se esiste

una funzione

g ( x ) ≥ 0 ∈ L1 ( R ) , tale che

f (x) ≤ g (x)

(q.o.)

13

Elementi di metodi matematici della fisica

(Per le funzioni misurabili le due nozioni di integrabilità e assoluta integrabilità sono equivalenti) Si può quindi tener presente che se f ( x ) è misurabile, nulla all'esterno di un intervallo limitato (a,b), e all'interno di (a,b) gode della proprietà f ( x ) ≤ K (quasi ovunque in (a,b)), allora f ( x ) ∈ L1 ( R ) . Più in generale abbiamo la seguente proprietà: sia f ( x ) una funzione misurabile

in R e a e m due numeri reali maggiori di zero; indichiamo con fa,m la funzione che coincide con f ( x ) se x ≤ a e f ( x ) ≤ m e risulta nulla per gli x tali che x > a e f ( x ) > m . La funzione f ( x ) è sommabile se e soltanto se +∞

∫

fa,m ( x ) dx < K

( ∀a, m )

−∞

(per questo risultato si può utilizzare il lemma di Fatou). 5. Misura di sottoinsiemi di R

Se A ⊂ R è un sottoinsieme di R, possiamo considerare la sua funzione caratteristica χ A ( x ) , definita da x∈A ⎧1 χA ( x ) = ⎨ x∉A ⎩0 Se A è un intervallo (a,b), allora la sua lunghezza (o misura) è data dall'integrale della sua funzione caratteristica. In generale un insieme A di R è detto misurabile (secondo Lebesgue) se la sua funzione caratteristica è misurabile. Se χ A ( x ) risulta anche integrabile, il suo integrale (di 31)

Lebesgue) si chiama misura di A e si indica con mis A: +∞

32)

mis A=

∫ χ ( x )dx A

−∞

Se χ A ( x ) è misurabile, ma non integrabile, si dice che A ha misura di Lebesgue +∞ . Se A è un insieme di misura nulla (in base alla definizione che abbiamo dato), la sua funzione caratteristica χ A risulta nulla quasi ovunque . Abbiamo allora +∞

mis A=

∫ χ ( x )dx = 0 A

−∞

(una funzione quasi ovunque nulla, come abbiamo visto è integrabile (e quindi misurabile)). 6. Integrali su un sottoinsieme di R

Sia A un sottoinsieme di R e f ( x ) una funzione reale definita su A.

14

L'integrale di Lebesgue

Se la funzione f0 ( x ) , che coincide con f ( x ) per x ∈ A ed è nulla per x ∉ A , appartiene a L1 ( R ) , si dice allora che f ( x ) è integrabile (secondo Lebesgue) su A. L'integrale di f ( x ) su A,

in tal caso, è definito da +∞

33)

∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx 0

−∞

A

L'insieme delle funzioni integrabili su A è indicato con L1 ( A ) . In pratica, tenendo presente che f0 non è altro χ A ( x ) nel caso di una funzione f ( x ) = cos t = 1 su A, si considerano sottoinsiemi misurabili. La 32) si può allora scrivere nella forma 34)

mis A= ∫ dx A

b

Se A = ( a, b ) , l'integrale di f su ( a, b ) è indicato con ∫ f ( x ) dx . a

Se A è di misura nulla, allora per ogni funzione f definita su A abbiamo

∫ f ( x )dx = 0

A

7. Funzioni a valori complessi

Tutte le nozioni ed i risultati relativi al caso di funzioni a valori reali, si estendono immediatamente al caso di funzioni a valori complessi. Se f ( x ) = u ( x ) + iv ( x ) è definita in R, f ( x ) è detta integrabile (secondo Lebesgue) se parte reale u ( x ) e parte immaginaria v ( x ) sono

integrabili (secondo Lebesgue). In tal caso si pone 35)

+∞

+∞

+∞

−∞

−∞

−∞

∫ f ( x )dx = ∫ u ( x )dx + i ∫ v ( x )dx

f ( x ) è detta misurabile se u ( x ) e v ( x ) sono misurabili.

Sostituendo i valori assoluti con i moduli, abbiamo le stesse proprietà già viste per funzioni a valori reali. Se f ( x ) è misurabile e f ( x ) è integrabile (secondo Lebesgue), allora f ( x ) è integrabile (secondo Lebesgue) e si ha

36)

+∞

+∞

−∞

−∞

∫ f ( x )dx ≤

∫ u ( x ) + iv ( x ) dx

15

Elementi di metodi matematici della fisica

8. L'integrale di Lebesgue in R d

( d = 2,3,...)

Sia R d lo spazio euclideo d-dimensionale, i cui punti, che indicheremo genericamente con x, sono costituiti dalle d-uple ordinate di numeri reali ( x1 , x 2 ,..., x d ) : x = ( x1 , x 2 ,..., x d )

37)

Se ( a1 , a 2 ,..., a d ) e ( b1 , b 2 ,..., b d ) sono tali che

( i = 1, 2,..., d )

a i < bi

possiamo considerare l'insieme dei punti di R d definito da x : a i < x i < bi

38)

(1, 2,..., d )

Questo insieme definisce un d-rettangolo o un rettangolo d-dimensionale aperto. Analogamente x : a i ≤ x i ≤ bi

39)

(1, 2,..., d )

definisce un d-rettangolo chiuso e limitato. d Se I ( ) è un d-rettangolo chiuso e limitato e {A a } è una famiglia di insiemi aperti di R d che ricopra I ( ) , resta valido il teorema di Heine-Borel. Se I ( ) è il d-rettangolo aperto: d

d

I ( ) = {x : a i < x i < b i

( i = 1, 2,..., d )}

d

per misura di I ( ) , che indicheremo con mis I ( ) , s'intende la grandezza d

40)

d

mis I ( ) = ( b1 − a1 )( b 2 − a 2 ) ... ( b d − a d ) d

(la stessa grandezza può essere associata a un d-rettangolo chiuso o semi chiuso). mis I ( ) è un'area per d = 2 , un volume per d = 3 ,... Un sottoinsieme A ⊂ R d è di misura nulla (secondo Lebesgue), quando per ogni ε > 0 , d

{ }

esiste una famiglia numerabile di d-rettangoli aperti I (k ) k=1,2,...) , tale che d

41)

∞

A ⊆ ∪ I (k ) k =1

d

e

∞

Σ mis I (k ) < ε d

k =1

d

Nel caso di R , oltre a insiemi numerabili di punti di R d , sono insiemi di misura nulla insiemi del tipo curve, superficie,...di dimensione d1 ≤ d − 1 , se sufficientemente regolari (se hanno, per esempio retta tangente, piano tangente,..., che varino con continuità). Come nel caso di R = R1 , si può parlare di una proprietà valida quasi ovunque in R d . E' utile precisare la nozione di supporto di una funzione f ( x ) = f ( x1 , x 2 ,..., x d ) definita in R d d = 1, 2,... : il supporto di f ( x ) , supp f, è la chiusura dell'insieme {x : f ( x ) ≠ 0} . Una funzione

a supporto compatto è una funzione il cui supporto è un sottoinsieme chiuso e limitato di R d . Se

16

L'integrale di Lebesgue

f ( x ) è a supporto compatto, esiste un d-rettangolo chiuso e limitato I (

d)

tale che f ( x ) = 0 per

x ∉ I( ) . Analogamente al caso unidimensionale, possiamo considerare lo spazio vettoriale C 0 R d , d

( )

costituito dalle funzioni continue definite in R d , a valori reali, aventi supporto compatto. Ad ogni funzione ϕ ( x ) ∈ C 0 R d possiamo associare il suo integrale di Riemann

( )

∫ ϕ ( x )dx =

42)

Rd

+∞

+∞

+∞

−∞

−∞

−∞

∫

∫ ... ∫ ϕ ( x1 , x 2 ,..., xd ) dx1 , dx2 ,..., dxd

( dx = dx1 , dx 2 ,..., dx d , x = ( x1 , x 2 ,..., x d ) ).

( )

Partendo dalle funzioni appartenenti a C 0 R d , tutto il procedimento seguito per le funzioni di una variabile reale può essere ripetuto, senza alcuna novità e si perviene allo spazio vettoriale reale L1 R d delle funzioni integrabili secondo Lebesgue su R d . Se f ( x ) ∈ L1 R d , l'integrale

( )

( )

di Lebesgue di f ( x ) sarà indicato con 43)

∫ f ( x ) dx

oppure

Rd

∫ f ( x , x ,..., x ) dx , dx ,..., dx 1

2

d

1

2

d

Rd

oppure con +∞

+∞

+∞

−∞

−∞

−∞

∫

∫ ... ∫ f ( x1 , x2 ,..., x d ) dx1 , dx 2 ,..., dx d

Le proprietà e i teoremi enunciati precedentemente nel caso di R = R1 conservano la loro validità. In modo analogo al caso unidimensionale si possono dare le nozioni di funzioni misurabili, sottoinsiemi misurabili di R d , integrali di Lebesgue su sottoinsiemi di R d . Per gli integrali di Lebesgue su R d ( d ≥ 2 ) , si pone il problema della loro riduzione a integrali su 1

R d , con d1 < d . Considerando per semplicità il caso di R 2 , possiamo enunciare il seguente teorema

Teorema (di Fubini) Sia f ( x, y ) una funzione appartenente a L1 R 2 . Si ha allora che la funzione y → f ( x, y ) per x

( )

fissato è integrabile rispetto a y, ad eccezione di alcuni valori particolari di x che formano un insieme di misura nulla in R. La quantità

I0 ( x ) =

+∞

∫ f ( x, y ) dy

−∞

è quindi una funzione di x definita quasi ovunque. Indicando con I ( x ) una qualsiasi funzione definita in R e che coincida con I 0 ( x ) nei punti in cui I 0 ( x ) è definita, si ha che I ( x ) ∈ L1 ( R ) e

17

Elementi di metodi matematici della fisica

+∞

+∞ +∞

−∞

−∞ −∞

∫ I ( x ) dx = ∫ ∫ f ( x, y ) dx dy

44)

Poiché un risultato analogo vale scombinando i ruoli di x e y, si ha quindi:

∫ f ( x, y ) dx dy =

45)

R2

+∞

+∞

+∞

−∞

−∞

−∞

∫ dx ∫ f ( x, y ) dy =

∫

+∞

dy ∫ f ( x, y ) dx −∞

( )

Il teorema di Fubini estende alle funzioni di L1 R 2 , una nota proprietà dell'integrale di

( )

Riemann per funzioni ϕ ( x, y ) ∈ C 0 R 2 . Per le funzioni misurabili si può invertire il teorema di Fubini: Teorema (di Tonelli) Sia f ( x, y ) definita in R 2 e misurabile. Se esiste almeno uno dei due integrali +∞

+∞

+∞

+∞

−∞

−∞

−∞

−∞

∫ dx ∫ f ( x, y ) dy

( ) e vale la 45).

allora f ( x, y ) ∈ L1 R

∫ dy ∫ dx f ( x, y )

2

I due teoremi precedenti si possono estendere in modo naturale al caso di R d , con d > 2 . Tutti i risultati e le nozioni precedenti per funzioni a valori reali definite in R d , si estendono immediatamente al caso di funzioni a valori complessi, in modo analogo al caso unidimensionale.

( )

( )

9. Gli spazi L1 R d e L 2 R d

Nel seguito considereremo in generale funzioni a valori complessi. Una funzione continua, a valori complessi e a supporto compatto, definita in R d , ha per parte reale e parte immaginaria funzioni continue, a supporto compatto e a valori reali. In questo caso il supporto della funzione coincide con il supporto del suo modulo. L'insieme di queste funzioni lo indicheremo ancora con C 0 R d , supposto che siano definite in R d . Analogamente indicheremo ancora con L1 R d

( )

( )

l'insieme delle funzioni a valori complessi, definiti in R d , aventi parte reale e parte immaginaria integrabili secondo Lebesgue. Gli elementi di L1 R d sono anche detti funzioni sommabili.

( )

( ) può essere anche definito come l'insieme delle funzioni, in generale a valori complessi, misurabili in R , tali che il loro modulo sia sommabile su R . Sia C ( R ) che L ( R ) sono L1 R

d

d

d

d

0

d

1

spazi vettoriali complessi. Def. Uno spazio vettoriale (lineare) complesso X è un insieme di elementi (detti anche vettori) in cui sono definite due operazioni (una operazione di somma che associa a due elementi u e v di X

18

L'integrale di Lebesgue

un elemento di X, indicato con u + v , ed una operazione di prodotto per un numero complesso, che associa ad un numero complesso α e ad un vettore u ∈ X , un elemento di X indicato con αu ) che soddisfino le seguenti proprietà ( u, v, w ∈ X , α, β ∈ C ) :

a) u + v = v + u b) u + ( v + w ) = ( u + v ) + w c) esiste un unico vettore, detto il vettore nullo e indicato con 0, tale che u+0 = u ∀u ∈ X d) ad ogni vettore u è associato un unico vettore indicato con -u tale che u + ( −u ) = 0 e) α(βu) = (αβ)u f) 1u = u g) α(u + v) = αu + β u h) (α + β)u = αu + β u Se f e g sono sommabili in R d , le due operazioni usuali

( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) ( αf )( x ) = αf ( x )

46)

forniscono ancora funzioni sommabili e soddisfano le proprietà a)..., h). Analoga proprietà vale per C 0 R d . Sia per L1 R d , che per C 0 R d , il vettore nullo è la funzione identicamente nulla

( )

( )

( )

in R d . Def. (spazi normati) Uno spazio normato X è uno spazio vettoriale in cui ad ogni elemento u ∈ X è associato un numero reale, indicato con u e detto norma di u, che abbia le seguenti proprietà: a) u ≥ 0

b) u = 0 se e soltanto se u coincide con il vettore nullo dello spazio: u = 0 c) αu = α u per ogni numero complesso α e ogni u ∈ X d) u + v ≤ u + v (diseguaglianza triangolare), per ogni coppia u, v di elementi di X. In uno spazio normato X si può introdurre la nozione di "distanza" u − v tra due elementi u e v di X. Utilizzando la "distanza" si può dare la nozione di convergenza. Si dice che la successione {u n } ( n = 1, 2,...) di elementi di X converge a u ∈ X , e si scrive lim u n = u , se n →∞

lim u − u n = 0 . n →∞

In relazione alle proprietà di convergenza di successioni di numeri reali o complessi, per i quali la norma è costituita dal loro modulo, è utile introdurre la nozione di una successione fondamentale o di Cauchy in uno spazio normato X. La successione {u n } di elementi X è detta

19

Elementi di metodi matematici della fisica

fondamentale se, per ogni ε > 0 , è possibile trovare un N tale che, per ogni m e n > N , risulti un − um < ε .

{u n }

Se

è una successione convergente, lim u n = u , n →∞

(u ∈ X) ,

allora la successione è

fondamentale. Infatti u n − u m = u n − u + u − u m ≤ u n − u + u − u m → 0 per n, m → ∞ . In uno spazio normato generico non è detto però che una successione fondamentale converga ad un elemento dello spazio. Uno spazio normato è detto completo se per ogni successione fondamentale formata da suoi elementi, esiste un elemento dello spazio a cui la successione converge. E' utile tener presente che, in virtù delle diseguaglianza triangolare, il limite di una successione convergente è unico. Uno spazio normato completo è detto uno spazio di Banach. Gli insiemi dei numeri reali e dei numeri complessi sono spazi normati completi. L'insieme di numeri razionali, considerando soltanto la struttura metrica data dal valore assoluto della differenza di due numeri razionali, non è completo. Possiamo introdurre una norma nello spazio vettoriale C 0 R d nel modo seguente:

( ) il numero non negativo dato da

associamo ad ogni ϕ ( x ) ∈ C 0 R

ϕ1=

47)

( )

d

∫ ϕ ( x ) dx

Rd

( )

Questa corrispondenza definisce una norma in C 0 R d , poiché soddisfa i quattro assiomi di uno

( ( )

)

spazio normato. Lo spazio normato così ottenuto lo indicheremo con C 0 R d , ϕ 1 . In questo spazio la "distanza" tra due funzioni ϕ ( x ) e ψ ( x ) dello spazio, è una "media" della distanza puntuale

ϕ−ψ 1 =

48)

∫ ϕ ( x ) − ψ ( x ) dx

Rd

( C ( R ) , ϕ ) non è completo: esistono successioni fondamentali in ( C ( R ) , ϕ ) che non d

d

0

0

1

1

convergono a un elemento dello spazio, cioè ad una funzione continua a supporto compatto in Rd . Dim. Sia f ( x ) una funzione sommabile. Mostriamo che esiste una successione {ϕn } di elementi

( )

di C 0 R d convergente "in media" a f ( x ) : lim

49)

n →∞

∫ f ( x ) − ϕ ( x ) dx = 0 n

Rd

(

Infatti se f ( x ) = u ( x ) + iv ( x ) = u + ( x ) + iv + ( x ) − u − ( x ) + iv − ( x )

{ }{ }{ }{ }

)

esistono successioni ϕ(n ) , ψ (n ) , ϕ(n ) , ψ (n ) crescenti di funzioni non negative, appartenenti a 1

( )

C0 R d ,

con

1

integrali

2

2

limitati,

convergenti

( ϕ( ) → u , ψ( ) → v , ϕ( ) → u , ψ( ) → v ) 1 n

20

+

1 n

+

2 n

−

2 n

−

quasi

ovunque

a

u + , v+ , u− , v−

L'integrale di Lebesgue

Consideriamo la successione {ϕn } data da:

(

ϕn ( x ) = ϕ(n ) ( x ) − ϕ(n ) ( x ) + i ψ (n ) ( x ) − ψ (n ) ( x ) 1

50)

2

1

2

)

Abbiamo: () ( ) () ( ) ∫ f ( x ) − ϕ ( x ) dx = ∫ u ( x ) + iv ( x ) − u ( x ) − iv ( x ) − ϕ ( x ) + ϕ ( x ) − iψ ( x ) + iψ ( x ) dx ≤ +

+

−

1 n

−

n

Rd

≤

2 n

1 n

2 n

Rd

∫

u + ( x ) − ϕ(n ) ( x ) dx +

() ∫ v ( x ) − ψ ( x ) dx + ∫

1

1 n

+

Rd

Rd

=

u − ( x ) − ϕ(n ) ( x ) dx +

( ) ∫ v ( x ) − ψ ( x ) dx =

2

Rd

−

2 n

Rd

() ( ) ∫ u ( x ) − ϕ ( x )dx + ... + ∫ ( v ( x ) − ψ ( x ) )dx → 0 1 n

+

2 n

−

Rd

n →∞

Rd

in virtù del fatto che

() () ∫ u ( x )dx = lim ∫ ϕ ( x )dx... , e ϕ ≤ u ( x ) (q.o.), ..... 1 n

+

n →∞

Rd

1 n

Rd

( ( )

+

)

La successione {ϕn } è di Cauchy in C 0 R d , ϕ 1 . Infatti

∫ ϕ ( x ) − ϕ ( x ) dx = ∫ ϕ ( x ) − f ( x ) + f ( x ) − ϕ ( x ) dx ≤ ∫ ϕ n

R

m

n

d

R

m

d

R

n

− f ( x ) dx +

d

∫ f ( x ) − ϕ ( x ) dx → 0 m

Rd

( )

per n, m → ∞ . D'altra parte f ( x ) , in generale, non appartiene a C 0 R d .■

( ( )

)

Questo risultato mostra che si vuole "completare" lo spazio normato C 0 R d , ϕ 1 , dobbiamo

( ) (R ) è

aggiungere agli elementi C 0 R d almeno le funzioni sommabili su R d e considerare quindi lo

( ) f (x) ∈ L (R ) :

spazio L1 R

d

in cui C 0

d

( )

incluso. Ma nello spazio L1 R d

il numero associato a

d

1

51)

∫ f ( x ) dx

Rd

cessa di essere una norma, poiché non soddisfa l'assioma b) di uno spazio normato. Infatti, come abbiamo visto,

∫ f ( x ) dx = 0

Rd

è soddisfatto per tutte le funzioni quasi ovunque nulle in R d , che, in generale, sono diverse dal vettore nullo dello spazio (costituito dalla funzione identicamente nulla in R d ). Ciò implica che, se vogliamo soddisfare l'assioma b) di uno spazio normato, dobbiamo identificare tutte le funzioni definite in R d che si annullano quasi ovunque in R d . A tal fine possiamo considerare come elementi dello spazio, non le singole funzioni, ma classi di funzioni che sono eguali quasi

21

Elementi di metodi matematici della fisica

ovunque. In modo equivalente si può introdurre una nuova definizione di eguaglianza di funzioni: due funzioni sono uguali se i loro valori coincidono quasi ovunque. In pratica, poiché è più conveniente operare con funzioni che con classi di funzioni, viene utilizzata la nuova definizione di eguaglianza di funzioni (principio di identificazione). Nell'ambito di questo principio, poiché le funzioni non cambiano se i loro valori cambiano arbitrariamente su un sottoinsieme di R d di misura nulla, è naturale assumere che le funzioni siano definite quasi ovunque. L'insieme che otteniamo da L1 R d mediante il principio di identificazione è indicato con

( )

( )

( )

( )

L1 R d . L1 R d è uno spazio vettoriale complesso; il vettore nullo di L1 R d è costituito dalla classe di funzioni q.o. nulle in R d . Nell'ambito del principio di identificazione, indicheremo ancora con f ( x ) gli elementi di questo spazio. Diremo anche che f ( x ) appartiene a C 0 R d se

( )

d

coincide quasi ovunque con una funzione definita su tutto R , continua e a supporto compatto. In questo modo C 0 R d costituisce un sottospazio di L1 R d . Se f ( x ) ∈ L1 R d , poniamo

( )

( )

52)

f =

( )

∫ f ( x ) dx

Rd

( )

Con questa associazione abbiamo che L1 R d

è uno spazio normato. Sulla base dei teoremi

fondamentali della teoria dell'integrazione secondo Lebesgue (in particolare del teorema di Beppo Levi) si dimostra che L1 R d è uno spazio normato completo. L1 R d rappresenta il

( )

( ( )

( )

)

( )

completamento dello spazio normato C 0 R d , ϕ 1 . Sulla base della 49) si dice che C 0 R d è

( )

un sottospazio di L1 R d

denso in esso, così come l'insieme dei numeri razionali è denso

nell'insieme dei numeri reali. Consideriamo ora un'altro spazio vettoriale che ha un ruolo importante nelle applicazioni. Indichiamo con L2 R d l'insieme delle funzioni definite in R d , misurabili e tali che il loro

( )

( )

modulo al quadrato sia sommabile su R d . Chiameremo gli elementi di L2 R d

funzioni a

quadrato sommabile. Per esempio la funzione definita in R da: 1 f (x) = 1+ x è misurabile, non è sommabile su R, ma è a quadrato sommabile su R. Mostriamo che L2 R d è uno spazio vettoriale complesso. A tal fine dimostriamo anzitutto che

( ) se f ( x ) , g ( x ) ∈ L ( R ) , allora f ( x ) i g ( x ) è sommabile su R d

2

d

( )

, cioè appartiene a L1 R d :

Poiché f ( x ) e g ( x ) sono misurabili, il loro prodotto è misurabile. E' sufficiente allora mostrare

che f ( x ) i g ( x ) = f ( x ) g ( x ) è sommabile su R d . Ciò è senz'altro vero se una delle funzioni è nulla quasi ovunque. Supponiamo allora che sia f che g siano quasi ovunque diverse da zero. Tenendo presente che vale la diseguaglianza

22

L'integrale di Lebesgue

ab ≤

1 2 a + b2 2

(

((a − b ) ≥ 0 )

)

2

abbiamo f (x)

⎛ ⎞ 2 2 ⎟ g (x) 1 ⎜ f (x) ≤ ⎜ + ⎟ 2 2 2 ⎜ f ( y ) dy g y dy ∫d ( ) ⎟⎟ ⎜ ∫d ⎝R ⎠ R

g (x)

• 12 12 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 2 ⎜⎜ ∫ f ( y ) dy ⎟⎟ ⎜⎜ ∫ g ( y ) dy ⎟⎟ ⎝ Rd ⎠ ⎝ Rd ⎠ Ne segue immediatamente che f ( x ) i g ( x ) è sommabile e

12

53)

∫ f ( x ) g ( x ) dx ≤ ∫

Rd

Rd

⎛ ⎞ 2 f ( x ) g ( x ) dx ≤ ⎜ ∫ f ( x ) dx ⎟ ⎜ d ⎟ ⎝R ⎠

12

⎛ ⎞ 2 ⎜⎜ ∫ g ( x ) dx ⎟⎟ ⎝ Rd ⎠

(diseguaglianza di Schwarz). Se α, β ∈ C , abbiamo che αf ( x ) + β g ( x ) è misurabile e αf ( x ) + β g ( x ) = ( αf ( x ) + β g ( x ) ) ( α f ( x ) + β g ( x ) ) = α f ( x ) + β g ( x ) + 2

2

2

2

2

+2 Re ( αβ f ( x ) g ( x ) ) ≤ α f ( x ) + β g ( x ) + 2 αβ f ( x ) g ( x ) 2

2

2

2

( )

Da questa diseguaglianza e dalla 53) deduciamo che αf ( x ) + βg ( x ) ∈ L2 R d . Utilizzando la 53), abbiamo anche

54)

∫ f (x) + g (x)

Rd

2

12 12 ⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞ 2 2 dx ≤ ⎜ ⎜ ∫ f ( x ) dx ⎟ + ⎜ ∫ g ( x ) dx ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ d ⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ Rd ⎠ ⎝R ⎠ ⎠ ⎝

2

cioè 12

55)

⎛ ⎞ 2 ⎜⎜ ∫ f ( x ) + g ( x ) dx ⎟⎟ ⎝ Rd ⎠

12

⎛ ⎞ 2 ≤ ⎜ ∫ f ( x ) dx ⎟ ⎜ d ⎟ ⎝R ⎠

( )

Questa diseguaglianza suggerisce che anche in L2 R d

( )

12

⎛ ⎞ 2 + ⎜ ∫ g ( x ) dx ⎟ ⎜ d ⎟ ⎝R ⎠

possiamo introdurre una norma,

associando ad ogni f ( x ) ∈ L2 R d il numero 12

⎛ ⎞ 2 f = ⎜ ∫ f ( x ) dx ⎟ , 56) ⎜ d ⎟ ⎝R ⎠ che si presenta come una generalizzazione della norma "euclidea" degli spazi ordinari 12 ⎛ ⎞ 2⎞ ⎛n n R ⎜ se x = ( x1 , x 2 ,..., x n ) , x = ⎜ Σ x i ⎟ ⎟ . ⎜ ⎝ i =1 ⎠ ⎟⎠ ⎝ Anche per L2 R d si presenta però il problema dell'assioma b) degli spazi normati. Questo

( )

problema si supera anche in questo caso mediante il principio di identificazione. Otteniamo

23

Elementi di metodi matematici della fisica

( )

( )

allora, con questo principio, l'insieme L 2 R d . L 2 R d

è uno spazio normato con la norma

definita dalla 56). Sulla base di teoremi fondamentali della teoria della integrazione secondo Lebesgue, si dimostra che L 2 R d è uno spazio normato completo. Poiché ogni funzione

( )

( )

continua su R d , a supporto compatto, è a quadrato sommabile, abbiamo che C 0 R d ,

( ).

nell'ambito del principio di identificazione è un sottospazio di L 2 R

( ( )

completamento dello spazio normato C 0 R d , ϕ

2

d

( )

L2 R

d

rappresenta il

) , in cui è definita la norma "euclidea":

12

⎛ ⎞ 2 ϕ 2 = ⎜ ∫ ϕ ( x ) dx ⎟ ⎜ d ⎟ ⎝R ⎠ E' utile tener presente che nel caso di L 2 R d , la norma discende da un'altra grandezza che è

( )

possibile definire in questo spazio. Abbiamo visto che se f ( x ) , g ( x ) ∈ L 2 R d il loro prodotto è sommabile. Questa proprietà non si

( )

( )

verifica in L1 R d . Per esempio le due funzioni definite in R ⎧ 1 ⎪ 13 f (x) = ⎨ x ⎪0 ⎩ ⎧ 1 ⎪ 23 g (x) = ⎨ x ⎪0 ⎩

x ≤1 x >1 x ≤1 x >1

sono sommabili su R; il loro prodotto però non è sommabile (si può notare che f ( x ) è sia sommabile che a quadrato sommabile, mentre g ( x ) non è a quadrato sommabile).

( )

( )

Tornando a L 2 R d , se f ( x ) , g ( x ) ∈ L 2 R d

abbiamo che f ( x ) g ( x ) è sommabile.

( )

Associamo allora ad ogni coppia ordinata f, g di elementi di L 2 R d il numero che indicheremo con , dato da 57)

< g, f >=

∫ g ( x )f ( x ) dx

Rd

gode delle seguenti proprietà: è in generale un numero complesso tale che a) = 58)

b) =+ c) =α d) ≥ 0

24

∀α ∈ C

( g,f , f ∈ L ( R )) d

1

2

2

L'integrale di Lebesgue

e) =0 , se e soltanto se f coincide con il vettore nullo dello spazio. prende il nome di prodotto scalare o prodotto interno. Ogni spazio vettoriale in cui sia definita una corrispondenza che associ ad ogni coppia ordinata di vettori un numero (in generale complesso se lo spazio vettoriale è complesso) che soddisfi le proprietà 58), è detto spazio unitario o spazio pre-hilbertiano. La norma in L 2 R d è indotta dal prodotto scalare. Abbiamo infatti

( )

59)

= f

2

In ogni spazio unitario il prodotto scalare induce una norma. Se lo spazio normato che ne risulta è completo, allora lo spazio unitario è detto uno spazio di Hilbert. L 2 R d è quindi uno spazio di Hilbert.

( )

In generale se Ω è un sottoinsieme misurabile di R d , si considerano in modo del tutto analogo gli spazi L1 ( Ω ) e L 2 ( Ω ) . Nelle applicazioni gli insiemi Ω sono del tipo: intervalli

(a,b), semiretta ( 0, +∞ ) ,... nel caso di R1 , e d-rettangoli,..., nel caso di R d .

( )

10. Lo spazio L1,loc R d

Sia f ( x ) una funzione, in generale a valori complessi, definita in R d e sommabile su R d e Ω un sottoinsieme misurabile∗ di caratteristica di Ω la funzione 60)

R d (per esempio un d-rettangolo). Se χ Ω è la funzione

f ( x ) χΩ ( x )

è sommabile su R d . Infatti è misurabile (prodotto di due funzioni misurabili) e f ( x ) χΩ ( x ) ≤ f ( x ) . L'integrale di f ( x ) χ Ω ( x ) su R d , è per definizione, l'integrale di f ( x ) su Ω (indicato con ∫ f ( x )dx ): Ω

61)

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x )χ ( x ) dx Ω

Ω

Rd

Evidentemente questo integrale coincide con l'integrale su Ω della restrizione di f ( x ) a Ω (vedi definizione a pag. 15). In generale se f ( x ) è definita in R d , si dice che f ( x ) è sommabile su un sottoinsieme Ω di R d , se è sommabile su R d la funzione f ( x ) χ Ω ( x ) . In tal caso, si pone come nella 61)

∗

Si dimostra che tutti gli insiemi aperti e gli insiemi chiusi di R d sono misurabili.

25

Elementi di metodi matematici della fisica

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x )χ ( x ) dx Ω

Ω

Rd

Si ha quindi che se una funzione è sommabile su R d , allora è sommabile su ogni sottoinsieme misurabile di R d . Una funzione definita in R d e misurabile, è detta localmente sommabile se è sommabile su ogni sottoinsieme compatto di R d . L'insieme della funzioni localmente sommabili definite in R d , è indicato con L1,loc R d (si applica anche in questo caso il principio di identificazione).

( )

L1,loc R d

( )

( )

( )

è uno spazio vettoriale complesso. Abbiamo L1 R d ⊂ L1,loc R d . Nel caso

unidimensionale, per esempio, le funzioni f ( x ) = cos t , g ( x ) = e x ,... , sono funzioni localmente 2

sommabili, ma non sommabili su R. Ogni funzione continua in R d è localmente sommabile. La nozione di funzione localmente sommabile può essere considerata come l'ultimo stadio della nozione classica di funzione. La corrispondenza 62)

x → f (x)

viene sostituita con 63)

Ω → ∫ f ( x ) dx Ω

dove Ω è un generico sottoinsieme compatto di R d , e

∫ f ( x )dx

rappresenta una "media" di

Ω

f ( x ) su Ω . Questa sostituzione diventa particolarmente significativa se f ( x ) è definita soltanto

quasi ovunque. D'altra parte la 63) è più aderente, da un punto di vista operativo, al procedimento di misura di una grandezza fisica descritta da una funzione. Occorre però notare che la corrispondenza 62) è alla base delle altre operazioni dell'analisi, come la derivazione. E' possibile introdurre una nozione di derivazione sulla base di una corrispondenza del tipo 63)? Vedremo che la risposta è affermativa, se la 63) viene riformulata in modo appropriato.

26

DISTRIBUZIONI 1. Nozioni basilari

( )

Sia C ∞0 R n

l'insieme delle funzioni ϕ ( x1 , x 2 ,..., x n ) definite in R n , in generale a valori

complessi, infinitamente derivabili rispetto a x1 , x 2 ,..., x n e aventi supporto compatto. Per ogni

( )

ϕ ∈ C 0∞ R n

esiste un n-rettangolo K limitato e chiuso tale che per x ∉ K

( )

ϕ(x) = 0 .

( ) è uno spazio ( R ) , con α, β ∈ C .

Naturalmente K non è lo stesso per tutte le funzioni di C ∞0 R n . C ∞0 R n

( )

vettoriale complesso: se ϕ ( x ) , ψ ( x ) ∈ C 0∞ R n , anche αϕ ( x ) + βψ ( x ) ∈ C 0∞ Esempio I.

n

Se n=1, la funzione ϕ definita da

⎧0 x ≥1 ⎪ 1) ϕ(x) = ⎨ − 1 2 ⎪⎩e 1− x x <1 appartiene a C ∞0 R1 . Il suo supporto è l'intervallo [ −1, +1] . È infinitamente derivabile per

( )

x > 1 , poiché è identicamente nulla, e per x < 1 , poiché è l'esponenziale di una funzione

infinitamente derivabile. Inoltre tutte le derivate di ϕ nei punti ±1 esistono e sono nulle. In n dimensioni un esempio analogo è dato da ⎧ 0 ⎪ 1 ϕ ( x ) = ϕ ( x1 , x 2 ,..., x n ) = ⎨ − 2 2 2 ⎪e 1−( x1 + x2 +...+ x n ) ⎩

2)

x12 + x 22 + ... + x 2n ≥ 1

per

x12 + x 22 + ... + x 2n < 1

per

Il supporto di ϕ in questo caso è la palla chiusa in R n , con centro nell'origine e raggio uno. Moltiplicando ϕ ( x ) per una funzione u ( x ) infinitamente derivabile, per esempio un polinomio

( )

nelle variabili x1 ,..., x n , otteniamo ancora un elemento di C ∞0 R n

( )

: u ( x ) ϕ ( x ) ∈ C ∞0 R n .

Nel seguito sarà utile la seguente notazione: se α = ( α1 , α 2 ,..., α n ) è un n-upla di interi ≥ 0 e α = α1 + α 2 + ... + α n , α1

α2

indicheremo αn

con

Dα l'operazione

⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞ ∞ n ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ .... ⎜ ⎟ sugli elementi di C 0 ( R ) . Porremo cioè ∂ ∂ ∂ x x x ⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ n⎠

di

derivazione

Elementi di metodi matematici della fisica

α

∂ α1 +...+α n ∂ ; D = α1 = α1 α2 αn ∂x1 ...∂x n ∂x1 ∂x 2 ...∂x αn n α

3)

( )

α è detto anche un multiindice di ordine n. Poiché le funzioni ∈ C ∞0 R n sono continue con tutte

le loro derivate, l'ordine delle derivazioni parziali non ha importanza. Porremo anche D0 ϕ ( x ) = ϕ ( x ) . Def. 1 Un funzionale lineare T su C 0∞ ( R n ) è un'applicazione lineare di C 0∞ ( R n ) in C, cioè una

( )

corrispondenza che associa ad ogni ϕ ∈ C ∞0 R n

un numero (in generale complesso), che

indicheremo con T ( ϕ ) o anche con < T, ϕ > , tale che

T ( αϕ + βψ ) = αT ( ϕ ) + β T ( ψ )

4)

( )

∀α, β ∈ C, ∀ϕ, ψ ∈ C ∞0 R n

Se si introduce una nozione di limite nello spazio C 0∞ ( R n ) , allora è possibile caratterizzare i funzionali lineari in base a qualche ulteriore proprietà, come, per esempio, quelle di continuità. In C 0∞ ( R n ) possiamo considerare vari tipi di convergenza. Alla base della teoria che verrà sviluppata c'è una scelta del tipo di convergenza, che deriva dalla seguente nozione di limite:

( )

Def. 2 Si dice che una successione {ϕk } di elementi ∈ C ∞0 R n , converge in D alla funzione

( )

ϕ ∈ C ∞0 R n , e si scrive D

lim ϕk = ϕ

5)

D ϕk ⎯⎯ →ϕ

oppure

k →∞

se e soltanto se

a) i supporti delle funzioni ϕk ( x ) sono tutti contenuti in un n-rettangolo chiuso e limitato K

b) per ogni fissato multiindice α = ( α1 ,..., α n ) Dα ϕk converge uniformemente a Dα ϕ su

K, cioè

(

max D α ϕk x∈K

) ( x ) − ( D ϕ) ( x ) → 0 α

per k → +∞

Lo spazio vettoriale C 0∞ ( R n ) , munito della nozione di limite precedente viene indicato con

( )

( )

D R n . Gli elementi di D R n sono anche chiamati funzioni test.

( )

Def. 3 Un funzionale lineare T su D R n è detto continuo, se D

ϕk ⎯⎯ →ϕ

implica

(

( )

lim T ( ϕk ) = T ( ϕ ) ϕk , ϕ∈ C 0∞ R n , k = 1, 2,.... k →∞

( )

Def. 4 Una distribuzione T è un funzionale lineare e continuo su D R n .

28

)

Distribuzioni

Le distribuzioni formano a loro volta uno spazio vettoriale che è indicato con D' ( R d ) . La somma T1 + T2 e il prodotto λT sono definiti da < T1 + T2 , ϕ >=< T1 , ϕ > + < T2 , ϕ >

6)

(λ ∈ C)

< λT1 , ϕ >= λ < T, ϕ >

2. Esempi di distribuzioni

Esempio II.

Consideriamo il caso n = 1 e supponiamo che f ( x ) sia una funzione definita in R

e continua. La funzione definisce una distribuzione Tf mediante +∞

< Tf , ϕ >=

7)

∫ f ( x )ϕ ( x ) dx

∀ϕ ( x ) ∈ D ( R )

−∞

L'integrale esiste, poiché l'integrazione riguarda un intervallo limitato e chiuso [ a, b ] , che contiene il supporto di ϕ ( x ) ( ϕ ( x ) = 0 per x ∉ [ a, b ]) .

Ovviamente il valore dell'integrale è un funzionale lineare su D ( R ) . Tf è continuo: supponiamo D che ϕk ⎯⎯ → ϕ per k → ∞ . Sia K un intervallo limitato e chiuso che contenga i supporti di

tutte le funzioni ϕk ( x ) . Abbiamo

< Tf , ϕk > − < Tf , ϕ > = ∫ f ( x ) ( ϕk ( x ) − ϕ ( x ) ) dx ≤ ∫ f ( x ) ( ϕk ( x ) − ϕ ( x ) ) dx ≤

8)

K

K

⎛ ⎞ ≤ ⎜ ∫ f ( x ) dx ⎟ max ϕk ( x ) − ϕ ( x ) ⎝K ⎠ x∈K Poiché max ϕk ( x ) − ϕ ( x ) → 0 , abbiamo lim < Tf , ϕk >=< Tf , ϕ > . x∈K

k →∞

k →∞

E' utile osservare che, per le funzioni continue in R, il funzionale Tf definisce univocamente la funzione. Teorema 1 Se g ( x ) è una funzione continua in R, tale che Tg = Tf (ciò significa Tg ( ϕ ) = Tf ( ϕ ) ∀ϕ∈ D ( R ) ), allora g ( x ) = f ( x ) .

Dim. Supponiamo che g ( x ) − f ( x ) non sia identicamente nulla. Esiste allora almeno un punto

x 0 tale che g ( x 0 ) − f ( x 0 ) ≠ 0 . Per la continuità di g ( x ) − f ( x ) esiste un intervallo (a,b) contenente x 0 , in cui g ( x ) − f ( x ) non cambia segno. Se consideriamo la funzione

29

Elementi di metodi matematici della fisica

⎧ − ( b − x )(1 x −a ) ⎪ a<x
che appartiene a D ( R ) , abbiamo che senz'altro +∞

b

−∞

a

∫ ( g ( x ) − f ( x ) )ϕ ( x ) dx = ∫ ( g ( x ) − f ( x ) )ϕ ( x ) dx ≠ 0

cioè Tg ( ϕ ) ≠ Tf ( ϕ ) . Ma ciò è assurdo. ■ Pertanto, per funzioni continue, la corrispondenza ϕ → Tf ( ϕ ) fornisce un modo equivalente per

definire le funzioni, alternativo alla corrispondenza tradizionale x → f ( x ) , basata sui valori numerici di f ( x ) . Questa proprietà si estende immediatamente a R n . Ogni funzione continua in R n

f ( x ) = f ( x1 ,...., x n ) , definisce una distribuzione Tf ∈ D' ( R n ) :

< Tf , ϕ >=

9)

∫ f ( x )ϕ ( x ) dx

( )

∀ϕ ( x ) ∈ D R n

Rn

Se f ( x ) è continua, Tf data dalla 9) determina univocamente f ( x ) . Esempio III. Consideriamo più in generale una funzione f ( x ) definita in R n e localmente sommabile. In modo del tutto analogo all'esempio precedente f ( x ) definisce una distribuzione Tf mediante < Tf , ϕ >=

10)

∫ f ( x )ϕ ( x ) dx

( )

∀ϕ ( x ) ∈ D R n

Rn

L'integrale esiste, perché se indichiamo con K un n-rettangolo limitato e chiuso contenente il supporto di ϕ , abbiamo

∫ f ( x )ϕ ( x ) dx = ∫ f ( x )ϕ ( x ) dx

Rn

K

e f ( x ) g ( x ) è sommabile su K in quanto è misurabile e f ( x ) ϕ ( x ) ≤ C f ( x ) per x ∈ K , con C = max ϕ ( x ) . La continuità di Tf discende da una diseguaglianza del tipo della 8). x∈K

Per funzioni localmente sommabili si dimostra il seguente teorema, che è l'analogo del teorema 1.

30

Distribuzioni

Teorema 2 Due funzioni localmente sommabili f ( x ) e g ( x ) definiscono la stessa distribuzione Tf = Tg se e soltanto se f ( x ) = g ( x ) (q.o.).

Se applichiamo il principio di identificazione, possiamo dire allora che le distribuzioni rappresentano una generalizzazione del concetto di funzione localmente sommabile. La corrispondenza f → Tf da L1,loc ( R n ) in D' ( R n ) è iniettiva, sicché L1,loc ( R n ) può essere

identificato con un sottospazio lineare dello spazio lineare D' ( R n ) . Pertanto nel seguito identificheremo una funzione localmente sommabile f, definita quasi ovunque in R n , con il funzionale Tf che essa definisce e scriveremo 11)

< f, ϕ >=< Tf , ϕ >=

∫ f ( x )ϕ ( x ) dx

Rn

In particolare il funzionale che assegna l'integrale

∫ ϕ ( x )dx

ad ogni funzione

( )

ϕ ∈ D Rn

Rd

definisce una distribuzione che verrà identificata con la funzione f = 1 . Esempio IV. Se f è una funzione localmente sommabile, definita quasi ovunque, per ogni fissato multiindice α = ( α1 ,..., α n ) il funzionale 12)

< T, ϕ >=

∫ f ( x ) ( D ϕ) ( x ) dx α

( )

∀ϕ ∈ D R n

Rn

è una distribuzione. In generale il funzionale definito dalla 12) non è identificabile con una funzione localmente sommabile (vedi esempio successivo), cioè non possiamo scrivere in generale

∫ f ( x ) ( D ϕ) ( x ) dx = ∫ f ( x )ϕ ( x ) dx α

Rn

( )

∀ϕ ∈ D R n

Rn

dove f è localmente sommabile. Una distribuzione è detta regolare se identificabile con una funzione localmente sommabile. Una distribuzione non identificabile con una funzione localmente sommabile è detta singolare. Esempio V.

Consideriamo la funzione di Heaviside ϑ ( x ) , definita da

x>0 ⎧1 ϑ(x) = ⎨ x<0 ⎩0 ϑ ( x ) è localmente sommabile (non è necessario definirla per x = 0 , che è un insieme di misura

13)

nulla). Il funzionale +∞

14)

< T, ϕ >= − ∫ ϑ ( x ) −∞

dϕ ( x ) dx dx

31

Elementi di metodi matematici della fisica

è una distribuzione. Mostriamo che è una distribuzione singolare. Abbiamo +∞

( )

< T, ϕ >= − ∫ ϕ' ( x )dx = +ϕ ( 0 )

∀ϕ ( x ) ∈ D R1

0

Se T fosse regolare, esisterebbe una funzione localmente sommabile f ( x ) , tale che +∞

15)

( )

∫ f ( x )ϕ ( x ) dx = ϕ ( 0 )

∀ϕ ∈ D R1

−∞

Sia a un numero positivo. Consideriamo, la funzione test ⎧ − 2a 2 ⎪ a −x ϕa ( x ) = ⎨ e ⎪0 ⎩ 2

16)

x
Abbiamo: ϕa ( 0 ) = 1 , ϕa ( x ) ≤ 1 . Quindi e e

1 = e

+∞

+a

−∞

−a

∫ f ( x ) ϕa ( x ) dx = ∫ f ( x ) ϕa ( x ) dx ≤ 1

+a

e

∫ f ( x ) dx

∀a rel="nofollow"> 0

−a

cioè +a

∫ f ( x ) dx ≥ 1

∀a > 0

−a

In particolare, per a fissato +a n

17)

∫ f ( x ) dx ≥ 1

∀n

( n = 1, 2,...)

−a n

a⎞ ⎛ a Ma ciò è assurdo. Sia χ a n ( x ) la funzione caratteristica dell'intervallo ⎜ − < x < + ⎟ e n⎠ ⎝ n fn ( x ) = f ( x ) χa n ( x ) ; abbiamo +a n

18)

{f ( x )} n

∫

f ( x ) dx =

−a n

+∞

(f (x) ≥ 0

∫ f ( x ) dx ≥ 1 n

n

n = 1, 2,...)

−∞

forma una successione monotona decrescente di funzioni non negative sommabili,

{

}

convergente quasi ovunque a zero per n → ∞ . La successione fn ( x ) = f ( x ) χ a ( x ) − fn ( x ) è monotona crescente e fn ( x ) ≥ 0 ; inoltre fn ( x ) converge quasi ovunque a f ( x ) χ a ( x ) .

{

}

Applicando il teorema di Beppo Levi a fn ( x ) si conclude che +∞

lim

n →∞

32

∫ fn ( x ) dx = lim

−∞

n →∞

a n

∫ f ( x ) dx = 0

−a n

Distribuzioni

Confrontando questo limite con la 18), abbiamo che non esiste una funzione localmente sommabile f ( x ) che soddisfa la 15). Esempio VI. L'esempio precedente porta a considerare il funzionale δ n-dimensionale definito da 19)

< δ, ϕ >= ϕ ( o )

( )

∀ϕ∈ D R n

Il funzionale della 19) è lineare e continuo. La distribuzione definita da questo funzionale è chiamata la distribuzione δ di Dirac (n-dimensionale). Più in generale la distribuzione di Dirac n-dimensionale, con polo in un punto ξ fissato di R n , che è indicata con δξ , è definita da 20)

< δξ , ϕ >= ϕ ( ξ )

∀ϕ ∈ D ( R n )

Risulta quindi δo = δ . In base alle considerazioni dell'esempio precedente, si ha che la distribuzione di Dirac è singolare. In modo analogo si possono definire le distribuzioni 21)

< T, ϕ >= ( Dα ϕ ) ( 0 )

∀ϕ ∈ D ( R n )

per ogni fissato multiindice α . Se una distribuzione è regolare, allora, come abbiamo visto, possiamo rappresentarla mediante la formula 11). Se una distribuzione è singolare è conveniente talvolta usare la 11) simbolicamente: se T è una distribuzione singolare, associamo a T una funzione generalizzata o simbolica T ( x ) e scriviamo simbolicamente 22)

∫ T ( x )ϕ ( x ) dx

< T, ϕ >=

Rn

I simboli T e T ( x ) possono essere usati scambievolmente. Naturalmente una funzione generalizzata o simbolica T ( x ) è una vera funzione (localmente sommabile) se T è regolare. Nel caso della distribuzione di Dirac, si scrive simbolicamente 23)

< δ, ϕ >=

∫ δ ( x )ϕ ( x ) dx = ϕ ( 0 ) ,

Rn

introducendo la funzione generalizzata δ ( x ) . Analogamente si scrive 24)

< δξ , ϕ >=

∫ δ ( x − ξ )ϕ ( x ) dx = ϕ ( ξ ) ,

Rn

in termini della funzione generalizzata δ ( x − ξ ) .

33

Elementi di metodi matematici della fisica

3. Differenziazione delle distribuzioni Def. 5 Proveremo a definire

∂T , la derivata rispetto alla variabile x1 di una distribuzione T su ∂x1

R n , in modo tale che, se T è identificabile con una funzione f che sia continua, dotata di derivate ∂f continue, ritroviamo nel senso usuale. ∂x1 Se f è una funzione con derivate continue, abbiamo ∂f ∂f , ϕ >= ∫ ( x )ϕ ( x ) dx ∀ϕ ∈ D R n ∂x1 ∂x1 Rn Poiché l'integrale è esteso ad un n-rettangolo limitato K, possiamo scrivere (Teorema di Fubini)

25)

( )

<

+∞

+∞

+∞

∂f ∂f ∫n ∂x1 ( x )ϕ ( x ) dx = −∞∫ dx 2 ....−∞∫ dx n −∞∫ ∂x1 ( x ) ϕ ( x ) dx1 R

( x = ( x ,...., x ) ) 1

n

Integrando per parti su x1 e tenendo presente che ϕ ( x ) è nulla all'esterno di K, otteniamo +∞

+∞

+∞

∂f ∂ϕ ∂ϕ ∫n ∂x1 ( x )ϕ ( x ) dx = −−∞∫ dx 2 ....−∞∫ dx n −∞∫ f ( x ) ∂x1 ( x ) dx1 = − ∫n f ( x ) ∂x1 ( x ) dx , R R

sicché 26)

<

∂f ∂ϕ > , ϕ >= − < f, ∂x1 ∂x1

Quindi, la derivata funzionale − < f,

( )

∀ϕ ∈ D R n

∂f può essere definita univocamente in modo alternativo, mediante il ∂x1

∂ϕ >. ∂x1

Queste considerazioni sono alla base della definizione della derivata

∂T di una ∂x1

∂T è la distribuzione che associa ad ogni ϕ ∈ D R n , il numero ottenuto ∂x1 ∂ϕ >. considerando − < T, ∂x1 ∂ϕ Questa definizione è valida perché − < T, > rappresenta un funzionale lineare e ∂x1 ∂T continuo. La distribuzione è quindi definita da ∂x1 distribuzione T:

34

( )

Distribuzioni

27)

<

∂T ∂ϕ > , ϕ >= − < T, ∂x1 ∂x1

Analogamente la distribuzione

∂T ∂x i

( )

∀ϕ ∈ D R n

( i = 1, 2,..., n )

è definita da

∂T ∂ϕ > ∀ϕ∈ D R n , ϕ >= − < T, ∂x i ∂x i Dalla definizione discende immediatamente che possiamo definire 28)

( )

<

∂ ∂T ∂2T = ∂x j ∂x i ∂x j∂x i

Infatti 29)

<

∂ ∂T ∂T ∂ϕ ∂2ϕ , ϕ >= − < , >=< T, >. ∂x j ∂x i ∂x i ∂x j ∂x i ∂x j

Analogamente ∂2T ∂2ϕ , ϕ >=< T, < >. ∂x i ∂x j ∂x j∂x i

Poiché ∂2ϕ ∂ϕ , = ∂x i ∂x j ∂x j∂x i

abbiamo 30)

∂2T ∂2T = ∂x i ∂x j ∂x j∂x i

Questa operazione di derivazione può essere ripetuta in modo del tutto arbitrario. Pertanto abbiamo il seguente Teorema 3 Ogni distribuzione T in R n possiede derivate di qualsiasi ordine e l'ordine di derivazione può essere cambiato. Si ha:

31)

< Dα T, ϕ >= ( −1) < T, Dα ϕ > α

In particolare ogni funzione continua o, più in generale, ogni funzione localmente sommabile possiede derivate di qualsiasi ordine, nel senso della teoria delle distribuzioni; ma, in generale, queste derivate non sono funzioni.

35

Elementi di metodi matematici della fisica

Se associamo alla distribuzione T la funzione generalizzata o simbolica T ( x ) , si può dire che T ( x ) possiede derivate di qualsiasi ordine (e l'ordine di derivazione non ha alcuna importanza)

( D T ) ( x ) . ( D T ) ( x ) è la funzione simbolica definita da (vedi 22)): α

32)

α

∫ ( D T ) ( x )ϕ ( x ) dx = ( −1) ∫ T ( x ) ( D ϕ) ( x ) dx α

α

Rn

α

Rn

( D T ) ( x ) è la funzione simbolica associata alla distribuzione D T . α

α

E' utile considerare la seguente generalizzazione. Sia L un operatore differenziale in n-variabili d'ordine p, con coefficienti costanti a α : 33)

L = Σ a α Dα α ≤p

L'operatore L*, definito da 34)

L* = Σ ( −1) a α Dα α

α ≤p

è chiamato l'aggiunto formale di L. Per il carattere vettoriale di D' ( R n ) , possiamo considerare la distribuzione LT = Σ a α Dα T . Abbiamo allora: α ≤p

35) < LT, ϕ >=< T, L * ϕ > Se p = 2 e a 2,0,...0 = a 0,2,0...0 = ... = a 0,0,...0,2 = 1 e tutti gli altri coefficienti sono nulli, L coincide con ∂2 il Laplaciano ∆ = Σ 2 . In questo caso i =1 ∂x i n

36)

< ∆T, ϕ >=< T, ∆ϕ >

Esempio VII. Sia n = 1 . Se indichiamo con ϑ la distribuzione definita dalla funzione di Heaviside ϑ ( x ) (Es.5), abbiamo +∞

dϕ (Es. 5) ( x ) dx = ϕ ( 0 ) dx −∞ Pertanto se δ è la distribuzione di Dirac unidimensionale con polo nell'origine, risulta '

'

< ϑ , ϕ >= − < ϑ, ϕ >= − ∫ ϑ ( x )

37) ϑ' = δ Usando le funzioni simboliche, la 37) si può scrivere nella forma dϑ (x) = δ(x) dx Le derivate successive della distribuzione δ sono determinate da

38)

36

Distribuzioni

< δ' , ϕ >= − < δ, ϕ' >= −ϕ' ( 0 )

39)

< δ( ) , ϕ >= ( −1) ϕ( m

m

m)

(0)

Analogamente la distribuzione definita da ϑ ( x − a ) ha per derivata δa . In termini di funzioni generalizzate: dϑ ( x − a )

= δ(x − a) dx m m m m m Per δa , abbiamo < δ(a ) , ϕ >= ( −1) < δa , ϕ( ) >= ( −1) ϕ( ) ( a ) . 40)

Sia f ( x ) una funzione definita per x < a1 , a1 < x < a 2

( a 2 > a1 )

e x > a 2 . Supponiamo che, per

questi valori di x, f ( x ) sia derivabile due volte con continuità. Assumiamo inoltre che esistano e che siano finiti i limiti da destra e da sinistra nei punti a1 e a 2 , sia di f ( x ) che delle sue derivate. Poniamo ∆f (

m)

( a i ) = f (m ) ( a i + ) − f (m ) ( a i − )

( m = 0,1

)

f( ) = f . 0

La derivata prima di f ( x ) in senso distibuzionale, che indicheremo con f' , è definita da '

a1

'

a2

'

'

< f , ϕ >= − < f, ϕ >= − ∫ f ( x )ϕ ( x ) dx − ∫ f ( x )ϕ ( x ) dx −

41)

−∞

= − f ( a1 − ) ϕ ( a1 ) +

a1

a1

+∞

'

∫ f ( x )ϕ ( x ) dx =

a2

+∞

'

' ∫ f ( x )ϕ ( x ) dx + f ( a + ) ϕ ( a ) − f ( a − ) ϕ ( a ) + f ( a + ) ϕ ( a ) + ∫ f ( x ) ϕ ( x ) + 1

1

2

2

2

2

−∞

a2

+ ∫ f' ( x )ϕ ( x ) dx = a1

a2

+∞

( ) ( ) ' ∫ f ( x )ϕ ( x ) dx + ∆f ( a ) i ϕ ( a ) + ∆f ( a ) i ϕ ( a ) 0

0

1

1

2

2

−∞

Come si può notare, la funzione localmente sommabile f' ( x ) non può essere identificata con la

{ } la distribuzione definita della funzione

derivata distribuzionale di f. Se indichiamo con f'

localmente sommabile f' ( x ) (che è definita per x < a1 , a1 < x < a 2 , x > a 2 ) possiamo dedurre dalla 41)

{}

0 0 f' = f' + ∆f ( ) ( a1 ) δa1 + ∆f ( ) ( a 2 ) δa2

42)

Procedendo in modo analogo deduciamo dalla 42) che 43)

{}

0 0 1 1 f'' = f'' + ∆f ( ) ( a1 ) δ'a1 + ∆f ( ) ( a 2 ) δ'a2 + ∆f ( ) ( a1 ) δ a1 + ∆f ( ) ( a 2 ) δa2 ,

{ } è la distribuzione definita dalla funzione localmente sommabile f ( x ) .

dove f''

''

37

Elementi di metodi matematici della fisica

Esempio VIII. Sia x 0 un punto fissato di R1 . La funzione f ( x ) = log x − x 0

44)

è localmente sommabile. La derivata nel senso usuale di f ( x ) non gode però di questa proprietà: 1 ( x ≠ x 0 ) non è localmente sommabile. x − x0 In generale, l'integrale del tipo di Cauchy f' ( x ) =

+∞

ϕ(x)

∫ x−x

45)

−∞

dx

0

con ϕ ( x ) ∈ C ∞0 ( R ) , non esiste (tranne nel caso eccezionale in cui ϕ ( x 0 ) = 0 ).

D'altra parte se consideriamo la f ( x ) come una distribuzione, f ( x ) possiede in senso distribuzionale una derivata, che è un funzionale ben preciso definito su tutte le funzioni di C ∞0 ( R ) . Determiniamo la derivata distribuzionale di f ( x ) .

Abbiamo: +∞

x0

−∞

−∞

< f' , ϕ >= − < f, ϕ' >= − ∫ log x − x 0 ϕ' ( x ) dx = − ∫ log ( x 0 − x ) ϕ' ( x ) dx

46) +∞

− ∫ log ( x − x 0 ) ϕ' ( x ) dx = − lim+ ε→0

x0

⎡ = − lim+ ⎢ log ( x 0 − x ) ϕ ( x ) ε→ 0 ⎢⎣

x 0 −ε −∞

−

x 0 −ε

∫

−∞

x 0 −ε

∫

log ( x 0 − x ) ϕ' ( x ) dx − lim+

−∞

ϕ(x)

η→0

+∞

∫

log ( x − x 0 ) ϕ' ( x ) dx =

x 0 +η

⎡ ⎤ dx ⎥ − lim+ ⎢ log ( x − x 0 ) ϕ ( x ) x − x 0 ⎥⎦ η→0 ⎢ ⎣

+∞

x 0 +η

ϕ(x)

⎤ dx ∫ x − x 0 ⎥⎥ = x 0 +η ⎦ +∞

−

x 0 −ε ∞ ⎡ ⎡ ϕ(x) ⎤ ϕ(x) ⎤ = − lim+ ⎢( log ε ) ϕ ( x 0 − ε ) − ∫ dx ⎥ − lim+ ⎢ − ( log η ) ϕ ( x 0 + η ) − ∫ dx ⎥ ε→ 0 η→ 0 x x x x − − ⎢⎣ ⎥ ⎢ ⎥⎦ 0 0 −∞ x 0 +η ⎦ ⎣

Poiché i due limiti, ε → 0 + e η → 0 + , esistono separatamente, possiamo considerare l'unico limite (che naturalmente esiste) dato da 47)

+∞ ⎡ x0 −ε ϕ ( x ) ⎤ ϕ(x) dx + ∫ dx + ( log ε ) ( ϕ ( x 0 + ε ) − ϕ ( x 0 − ε ) ) ⎥ < f , ϕ >= lim+ ⎢ ∫ ε→o x − x0 x 0 +ε ⎣⎢ −∞ x − x 0 ⎦⎥

'

D'altra parte lim ( log ε ) ( ϕ ( x 0 + ε ) − ϕ0 ( x 0 − ε ) ) = 0 ,

ε→ 0 +

38

Distribuzioni

sicché possiamo concludere che esiste il limite +∞ ⎡ x0 −ε ϕ ( x ) ϕ(x) ⎤ lim+ ⎢ ∫ dx + ∫ dx ⎥ ε→ o x − x 0 ⎥⎦ ⎢⎣ −∞ x − x 0 x 0 +ε Questo limite prende il nome di integrale a valor principale di Cauchy e viene indicato con

48)

+∞

49)

P.V. ∫

ϕ(x)

x − x0 Possiamo quindi scrivere

dx

−∞

+∞

< f' , ϕ >= P.V. ∫

ϕ(x)

dx x − x 0 −∞ E' utile tener presente che la non esistenza dell'integrale 45), deriva dal fatto che i due limiti,

50)

x 0 −ε

lim+

ε→ 0

∫

−∞

ϕ(x) x − x0

+∞

dx ,

lim+

η→0

∫

x 0 +η

ϕ(x) x − x0

dx ,

presi separatamente, non esistono (come è evidente dai calcoli precedenti). La teoria delle distribuzioni fornisce un modo per dare significato all'integrale divergente 45), prescrivendo una forma particolare di limite (che esiste), che è quella data dalla 48). La distribuzione che fa corrispondere ad ogni ϕ ∈ D ( R ) il numero dato dalla 49) è indicata con P.V.

1 x − x0

+∞ ϕ(x) 1 , ϕ >= P.V. ∫ dx x − x0 x − x0 −∞ La 50) si può scrivere nella forma

51)

< P.V.

1 x − x0 nel senso della teoria delle distribuzioni. 52)

( log x − x )' 0

= P.V.

Esempio IX. Se x = ( x1 , x 2 , x 3 ) è un punto di R 3 , poniamo r = x12 + x 22 + x 32 . La funzione 1 r è localmente integrabile in R 3 . Infatti se consideriamo una palla B ( r0 ) , con centro nell'origine e raggio r0 finito, abbiamo r

dx1dx 2 dx 3 0 π 2 π r 2 sin ϑdϑdϕ 4 πr02 = ∫ dr ∫ dϑ ∫ dϕ = ∫ r r 2 B( r0 ) 0 0 0

39

Elementi di metodi matematici della fisica

Per r ≠ 0 , 1 r è derivabile in senso classico e soddisfa l'equazione di Laplace nello spazio tridimensionale. Se f ( r ) è una funzione derivabile due volte, abbiamo x ∂f df ∂r df = = i i i ∂x i dr ∂x i dr r 2

∂ 2 f d 2 f ⎛ x i ⎞ df ⎛ 1 x 2i ⎞ = + ⎜ − ⎟ ∂x 2i dr 2 ⎜⎝ r ⎟⎠ dr ⎝ r r 3 ⎠ ∂2f d 2 f 2 df Σ = ∆f = 2 + 53) i =1 ∂x 2 dr r dr i Dalla 53) segue immediatamente che, per r ≠ 0 , ∆ 1 r = 0 . Ovviamente 1 r non è derivabile nell'origine in senso classico. D'altra parte 1 r definisce una distribuzione in R 3 , sicché possiamo determinare il suo laplaciano in senso distribuzionale. Dalla 36) abbiamo: 3

54)

1 1 ∆ϕ < ∆ , ϕ >=< , ∆ϕ >= ∫ dx r r r R3

(ϕ ∈ D ( R )) 3

Poiché l'integrale è convergente (vedi calcolo su B ( r0 ) ; ϕ = 0 all'esterno di una sfera di raggio finito), possiamo scrivere 55)

∆ϕ ∆ϕ dx = lim+ ∫ dx ε→ 0 r r 3 ( r ≥ε ) R

∫

Utilizzando la formula di Green ed il fatto che ϕ = 0 all'esterno di una sfera di raggio opportuno, abbiamo: 1⎞ ∂ 1⎤ ⎛1 ⎡ 1 ∂ϕ ⎜ r ∆ϕ − ϕ∆ r ⎟dx = ∫ ⎢ r ∂n − ϕ ∂n r ⎥ds ⎠ ⎦ r =ε ⎣ ( r ≥ε ) ⎝

∫

dove n è la normale uscente al dominio r ≥ ε . Tenendo presente che ∆ 1 r = 0 per ∂ ∂ r≠0 e = − , otteniamo ∂n ∂r 56)

∆ϕ ⎛ 1 ∂ϕ ϕ ⎞ dx = − ∫ ⎜ + 2 ⎟ds r r r r ⎠ ∂ ⎝ r =ε ( r ≥ε )

∫

( )

Poiché ϕ ∈ C ∞0 R 3 , risulta ∂ϕ <M ∂r

40

∀x = ( x1 , x 2 , x 3 )

Distribuzioni

e

1 ∂ϕ M M ds ≤ ds = 4πε 2 = 4πεM , ∫ ε r =ε ε r ∂r r =ε

(

∫

)

sicché lim+

ε→ 0

1 ∂ϕ ds = 0 r r ∂ r =ε

∫

D'altra parte: ϕ(0) ϕ(x) − ϕ(0) ϕ (x) − ϕ (0) ϕ ds = ∫ 2 ds + ∫ ds = ϕ ( 0 ) 4π + ∫ ds 2 2 r r r r2 r =ε r =ε r =ε r =ε

∫

e

∫

ϕ(x) − ϕ(0) r

r =ε

2

ds ≤ max ϕ ( x ) − ϕ ( 0 ) r =ε

ds = 4 π max ϕ ( x ) − ϕ ( 0 ) →+ 0 r =ε ε→0 r2 r =ε

∫

per la continuità di ϕ ( x ) . Concludiamo allora che lim+

ε→ 0

∆ϕ dx = −4πϕ ( 0 ) , ( r ≥ε ) r

∫

sicché 1 ∆ = −4πδ r o in notazione simbolica 57)

1 ∆ = −4 πδ ( x ) x ∈ R3 r Quindi il potenziale elettrico di una carica puntiforme q che si trova nell'origine,

(

58)

V0 ( x ) =

)

q 1 4πε 0 r

soddisfa l'equazione q δ(x) ε0 Più in generale il potenziale elettrico di una carica puntiforme q che si trova in un punto ξ di R3 ,

59)

∆V0 ( x ) = −

Uξ ( x ) =

q 1 4 πε 0 x − ξ

⎛ x−ξ = ⎜ ⎝

( x1 − ξ1 ) + ( x 2 − ξ2 ) + ( x 3 − ξ3 ) 2

2

2

⎞ ⎟ ⎠

41

Elementi di metodi matematici della fisica

soddisfa l'equazione 60)

∆U ξ ( x ) = −

q δ (x − ξ) ε0

Come è noto, il potenziale elettrico di una distribuzione continua di carica ρ ( x ) , soddisfa l'equazione di Poisson: 1 ρ(x) ε0 Le distribuzioni matematiche che abbiamo introdotto consentono di descrivere in modo rigoroso distribuzioni fisiche come quelle associate a cariche puntiformi. Da qui nasce l'appellativo di teoria delle distribuzioni. 61)

42

∆V ( x ) = −

LA TRASFORMATA DI FOURIER Studieremo ora, nell'ambito della teoria delle distribuzioni, un'altra operazione che ha un ruolo importante nelle applicazioni. 1. Introduzione Sia f ( x ) una funzione definita in R e non periodica. Sia fT ( x ) una funzione periodica di

⎛ T T⎞ periodo T e tale che fT ( x ) = f ( x ) per x ∈ ⎜ − , ⎟ . Sotto opportune condizioni fT ( x ) può ⎝ 2 2⎠ essere sviluppata in serie di Fourier: 1)

+∞

fT ( x ) = Σ c n,T e inω0 x

ω0 =

n =−∞

2π T

( −∞ < x < +∞ )

con T2

2)

c n,T

1 = f ( x )e − inω0 x dx ∫ T −T 2

In tal caso, poiché f ( x ) = lim fT ( x )

( −∞ < x < +∞ ) , possiamo scrivere

T →∞

3)

+∞

f ( x ) = lim Σ e

+T 2

inω0 x

T →∞ n =−∞

1 f ( t )e − inω0 t dt ∫ T −T 2

su tutto l'asse reale. Per effettuare il limite T → ∞ nella 3), procediamo in modo euristico introducendo un secondo parametro τ , indipendente da T, e sostituendo il limite nella 3) con il seguente: 4)

τ2

1 inω0 x e f ( t )e − inω0 t dt ∫ T →∞ τ→∞ n =−∞ T −τ 2 +∞

lim lim Σ

Se assumiamo che f ( x ) sia sommabile su R, abbiamo τ2

lim τ→∞

∫ f ( t )e

−τ 2

− inω0 t

+∞

dt =

∫ f ( t )e

− inω0 t

dt

−∞

Tutti questi integrali esistono in virtù del fatto che f ( t ) e − inω0 t = f ( t ) . Se supponiamo di poter effettuare il limite τ → ∞ termine a termine, otteniamo

Elementi di metodi matematici della fisica

+∞

5)

1 +∞ 1 +∞ Σ ω0 e inω0 x ∫ f ( t )e − inω0 t dt = lim+ Σ ω0 F ( nω0 ) f ( x ) = lim+ ω0 → 0 2 π n =−∞ ω0 →0 2π n =−∞ −∞

con 6)

F ( ω) = e iωx c ( ω)

e − iωt ∫ f ( t )e dt 2π −∞ Tenendo presente che ω0 rappresenta l'ampiezza degli intervallini... ( −2ω0 , −ω0 ) ,

7)

c ( ω) =

+∞

1

( 0, ω0 ) , ( ω0 , 2ω0 ) , ..., possiamo dedurre che il limite ω0 → 0 1

+

( −ω0 , 0 ) ,

nella 5) coincide con l'integrale

+∞

∫ dωF ( ω) . 2π −∞ Concludiamo allora che 8)

f (x) =

con c ( ω) data dalla 7).

1

+∞

∫e 2π

iωx

c ( ω) dω ,

−∞

La 8) unita alla 7), è detta formula integrale di Fourier. L'integrale a secondo membro della 8) è detto integrale di Fourier della funzione f ( x ) . Per funzioni definite su R e non periodiche l'integrale di Fourier sostituisce la serie di Fourier. La 8) è stata dedotta euristicamente senza alcuna pretesa di rigore. Studieremo ora in modo più approfondito il legame tra f ( x ) e la grandezza c ( ω) definita dalla 7).

2. Trasformata di Fourier

La grandezza c ( ω) che compare nella 8) ed è data dalla 7), è ben definita se f ( x ) è sommabile su R. Def. 1 Sia f ( x ) una funzione a valori complessi definita in R e sommabile su R. La funzione di ω ( −∞ < ω < +∞ ) fˆ ( ω) , data da +∞

9)

1 fˆ ( ω) = e − iωx f ( x ) dx , ∫ 2 π −∞

si chiama trasformata di Fourier di f; fˆ ( ω) è anche indicata con F ( f ) , o F ( f ( x ) ) , oppure F ( f )( ω) .

44

La trasformata di Fourier

Dalla 9) segue immediatamente che +∞

1 ∀ω 10) fˆ ( ω) ≤ ∫ f ( x ) dx , 2π −∞ Utilizzando i teoremi sui limiti della teoria dell'integrazione secondo Lebesgue, si dimostra che fˆ ( ω) , sempre supponendo che f ∈ L1 ( R ) , è una funzione continua di ω e gode della proprietà (lemma di Riemann-Lebesgue): lim fˆ ( ω) = 0

11)

ω →+∞

Dalla 9) segue anche che la trasformazione di Fourier F : F : f → fˆ é lineare. Infatti: se f, g ∈ L1 ( R ) e α, β ∈ C , abbiamo F ( αf + β g ) = αF ( f ) + β F ( g )

12)

Stabiliremo ora una delle proprietà più importanti della trasformazione di Fourier. Teorema 1 Se f ( x ) , supposta sommabile , è derivabile con continuità m volte e se le sue derivate di ordine

≤ m sono sommabili, allora

( ) ) = ( iω )

F f(

13)

k

N

1

Dim.

∫

e − iωx f (

1

N

2π − M

+ iω

∫e

k

k)

fˆ ( ω)

( k = 1, 2,..., m )

( x ) dx =

− iωx

2π − M

f(

k −1)

1 2π

e − iωx f (

k −1)

(x)

N

+ −M

( x ) dx

Nel limite N, M → +∞ , tenendo presente che, in virtù della sommabilità di f ( lim f (

N,M →+∞

14)

k −1)

k −1)

(x) ,

( x ) = 0 , otteniamo

( ) ) = iω F ( f ( ) ) = ( iω) F ( f ( ) ) = ... = ( iω)

F f(

k

k −1

2

k −2

k

F ( f ) .■

Come si può notare la trasformazione di Fourier sostituisce l'operazione di derivazione con una semplice operazione algebrica di moltiplicazione. In virtù di questa proprietà, la trasformazione di Fourier è uno strumento molto utile nello studio delle equazioni differenziali. Dalla 13) discende anche

45

Elementi di metodi matematici della fisica

+∞

1 m f ( ) ( x ) dx 15) ω fˆ ( ω) ≤ ∫ 2π −∞ Pertanto, quanto più f ( x ) è derivabile con continuità, con derivate sommabili, tanto più m

rapidamente fˆ ( ω) decresce a zero per ω → +∞ . E' utile studiare la derivabilità di fˆ ( ω) . Consideriamo quindi il rapporto incrementale: fˆ ( ω + ∆ω) − fˆ ( ω) ∆ω

=

+∞

− i∆ωx −1 ⎞ − iωx ⎛ e f x e ( ) ⎜ ⎟ dx ∫ 2π −∞ ⎝ ∆ω ⎠

1

Abbiamo ⎛ e − i∆ωx − 1 ⎞ f ( x ) e − iωx ⎜ → − ixf ( x ) e − iωx ⎟ ∆ω→ ⎝ ∆ω ⎠ 0

e ∆ω ⎛ − ix∆ω ix ∆ω ⎞ sin x 2 2 ⎜ ⎟ ⎛e e −1 ⎞ −e 2 ≤ x f (x) f ( x ) e iωx ⎜ = f (x) x ⎜ ⎟ ⎟ = f ( x ) xe ∆ω ⎝ ∆ω ⎠ ⎜⎜ 2i x∆ω ⎟⎟ x 2 2 ⎝ ⎠ Se supponiamo allora che anche xf ( x ) sia sommabile, possiamo applicare al limite ∆ω → 0 il − i∆ωx

−

ix∆ω 2

teorema di Lebesgue della convergenza dominata e concludere che il limite lim

fˆ ( ω + ∆ω) − fˆ ( ω)

∆ω esiste e può essere ottenuto facendo il limite sotto il segno di integrale. Si ha quindi ∆ω→0

+∞

+∞

1 1 ⎛ d − iωx ⎞ fˆ' ( ω) = e − iωx ( −ix ) f ( x ) dx = f (x)⎜ e ⎟ dx 16) ∫ ∫ 2π −∞ 2π −∞ ⎝ dω ⎠ Più in generale abbiamo il seguente teorema. Teorema 2 Se f ( x ) , supposta sommabile, gode della proprietà che anche x m f ( x ) è sommabile, allora fˆ ( ω) è derivabile m volte con continuità e

17)

m fˆ ( ) ( ω) = F

(( −ix )

m

f (x)

)

Pertanto fˆ ( ω) è tanto più derivabile quanto più rapidamente f ( x ) decresce a zero per x → +∞ . Questa proprietà è complementare a quella dedotta dalla 15).

46

La trasformata di Fourier

( x ≤ a) ⎧1 f (x) = ⎨ ( x > a) ⎩0 La sua trasformata di Fourier è data da

(a > 0)

Esempio I.

Sia

18)

1 2 sin ωa fˆ ( ω) = e − iωx dx = ∫ π ω 2π −a

+a

fˆ ( ω) è infinitamente derivabile. Tuttavia non decresce a zero rapidamente per x → +∞ , in virtù del fatto che f ( x ) non è derivabile con continuità. Esempio II.

Sia α > 0 .

19)

F e

(

−α x

)

=

1

+∞

− iωx ∫e e

−α x

2 π −∞

dx =

1

0

∫e

x ( α− iω)

2 π −∞

dx +

1 2π

+∞

∫e

− x ( α+ iω )

dx =

0

1 ⎡ 1 1 ⎤ 2 α + = 2 π α + ω2 2 π ⎣⎢ α − iω α + iω ⎦⎥

=

Esempio III. Sia α > 0 .

(

)=

1

+∞

1

−

ω2 4α

dx = e ∫e 2 π −∞ 2α (Questo risultato è stato stabilito utilizzando il teorema di Cauchy). In questo caso la trasformata di Fourier è infinitamente derivabile e decresce rapidamente a zero per ω → +∞ , in virtù del

F e

20)

−αx 2

− iωx −αx 2

2

fatto che e −αx è infinitamente derivabile e tutte le derivate sono sommabili. Esempio IV. Sia f ( x ) = ϑ ( x ) e − ax x α−1

( α > 0, a > 0 )

Abbiamo +∞

1 − a + iω x fˆ ( ω) = e ( ) x α−1dx ∫ 2π 0 Per determinare fˆ ( ω) , consideriamo l'integrale R

∫e

−( a + iω) x

x α−1dx

( 0 < ε < R < +∞ )

ε

e la funzione F ( z ) = e − z z α−1 ,

47

Elementi di metodi matematici della fisica

prendendo la determinazione principale di z α . F ( z ) è olomorfa nel campo complesso tagliato lungo il semiasse reale negativo. Per il teorema di Cauchy, l'integrale di F ( z ) esteso alla curva mostrata in figura è nullo:

R

− x α−1 ∫ F ( z )dz + ∫ e x dx + ∫ F ( z )dz + Γ

ε

C1

Applicando i teoremi di Jordan abbiamo

∫ F ( z )dz = 0

C2

lim

ε→ 0 +

∫ F ( z )dz = 0

C2

z ( x ) = ( a + iω) x ( ε ≤ x ≤ R ) l'equazione parametrica di −Γ .

e

lim

R →+∞

∫ F ( z )dz = 0 .

Sia

C1

Abbiamo allora R

∫ F ( z )dz = − ∫ F ( z )dz = −∫ e Γ

−Γ

−( a + iω) x

ε

R

( ( a + iω) x ) ( a + iω) dx = − ( a + iω) ∫ e ( α−1

α

− a + iω ) x

x α−1dx

ε

Possiamo concludere allora che 21)

Γ (α) ⎛ 1 ⎞ fˆ ( ω) = ⎜ ⎟ 2 π ⎝ a + iω ⎠

α

dove Γ (α) =

+∞

∫e

−x

x α−1dx

0

è l'integrale di Eulero di seconda specie (la funzione Γ ( α ) interpola i fattoriali dei numeri interi positivi: si ha infatti, integrando per parti, Γ ( n ) = ( n − 1)! ). Questo esempio mostra esplicitamente che , dal fatto che f ( x ) ∈ L1 ( R ) , non segue necessariamente che anche fˆ ( ω) ∈ L ( R ) . Per 0 < α < 1 , la fˆ ( ω) data dalla 21) non è 1

sommabile. Pertanto la relazione 8) che riscriviamo nella forma 22)

f (x) =

1

+∞

∫ e fˆ ( ω) dω 2π −∞

48

iωx

La trasformata di Fourier

può non aver significato, in generale, nell'ambito della teoria usuale delle funzioni (osserviamo anche qui che e iωx fˆ ( ω) = fˆ ( ω) ). Mostreremo però che la 22) è del tutto valida nell'ambito di una classe particolare di funzioni che ha un ruolo importante per le considerazioni che verranno sviluppate. 3. Lo spazio S ( R ) Def. 2 S ( R ) è lo spazio delle funzioni definite su R, a valori complessi, che sono infinitamente derivabili e che, insieme a tutte le loro derivate, decrescono a zero per x → +∞ più rapidamente di ogni potenza di

1 . x

Le funzioni di S ( R ) sono dette funzioni regolari a decrescenza rapida . Un elemento tipico di

( a > 0 ) . Naturalmente anche P ( x ) e − ax generico, appartiene a S ( R ) . S ( R ) è uno spazio vettoriale complesso. Se ϕ ( x ) ∈ S ( R ) abbiamo S ( R ) è la funzione e − ax

(

lim 1 + x

23)

x →+∞

2

p

)

q

Σ ϕ(

n)

n =0

(x) = 0

2

, con P ( x ) polinomio

∀p, q = 0,1,...

Dalla 23) segue che

(

M p,q = sup 1 + x

24)

x∈R

p

)

q

Σ ϕ(

n)

n =0

(x)

è sempre finito per ogni coppia di p, q = 0,1, 2,... Si deduce allora che sia x l ϕ(

( x ϕ ( x )) l

(m )

m)

(x)

che

sono limitate e sommabili su R, per ogni coppia di interi l , m = 0,1, 2... Lo spazio

S ( R ) è munito anche di una nozione di limite.

Def. 3 Una successione

{ϕ ( x )} k

di elementi di S ( R ) converge in S a una funzione

ϕ ( x ) ∈ S ( R ) , e si scrive

25)

S

ϕk → ϕ ,

se per ogni coppia di interi non negativi l,m, la successione uniformemente in R alla funzione x l ϕ(

m)

{x ϕ( l

m) k

( x )}

converge

(x) .

In modo equivalente la 25) si può esprimere nella forma

49

Elementi di metodi matematici della fisica

(

lim sup x ϕ(k ) ( x ) − ϕ(

26)

k →∞ x∈R

p

n

n)

(x) ) = 0

∀p, n = 0,1, 2,.. S

Def. 4 Un'applicazione (operatore) A : S ( R ) → S ( R ) è detta continua se ϕk → ϕ implica S

A ( ϕk ) → A ( ϕ ) .

Dai teoremi 1, 2 discende il seguente Teorema 3 La trasformazione di Fourier F è un applicazione lineare e continua di S ( R ) in S ( R ) . Dim. La linearità è immediata. Se ϕ ( x ) ∈ S ( R ) , x l ϕ ( x ) è sommabile per ogni intero l ≥ 0 . Dal

teorema 2 segue allora che ϕˆ ( ω) è infinitamente derivabile. D'altra parte, poiché l ϕˆ ( ) ( ω) = F

(( −ix ) ϕ ( x )) , l

dal teorema 1 abbiamo:

( iω )

m

(

l ⎛ l ϕˆ ( ) ( ω) = F ⎜ ( −ix ) ϕ ( x ) ⎝

)

(m ) ⎞

⎟, ⎠

cioè ω

27)

m

l ϕˆ ( ) ( ω) ≤

1

+∞

∫ ( x ϕ ( x )) l

2π −∞

(m )

( m = 0,1, 2,...)

dx

l Segue allora che per ogni fissato l ≥ 0 , ϕˆ ( ) ( ω) decresce a zero per ω → ∞ più rapidamente di

ogni potenza di

1 . Pertanto ϕˆ ( ω) ∈ S ( R ) . ω

Sia ora {ϕk ( x )} una successione di elementi di S ( R ) convergente in S a ϕ ( x ) ∈ S ( R ) . Poiché ϕk ( x ) − ϕ ( x ) ∈ S ( R )

e

la

trasformazione

di

Fourier

è

F ( ϕk − ϕ ) = Fϕk − Fϕ = ϕˆ k − ϕˆ , dalla 27) abbiamo

ω

m

1

+∞

( x x x ϕ − ϕ ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ 2π

l l ϕˆ (k ) ( ω) − ϕˆ ( ) ( ω) ≤

l

k

−∞

+∞

=

1 2 ∫−∞ 1 + x 2 1 + x

(

) ( x (ϕ ( x ) − ϕ ( x )))

(

) ( x (ϕ ( x ) − ϕ ( x )))

≤ cos t sup 1 + x 2 x∈R

l

l

k

k

Tenendo presente la 26) si può concludere che

50

(m )

(m )

dx ≤

m)

dx =

lineare,

sicché

La trasformata di Fourier

28)

(

lim sup ω k →∞

ω∈R

m

)

l l ϕˆ (k ) ( ω) − ϕˆ ( ) ( ω) = 0

m, l = 0,1, 2,...

S S ⎛ ⎞ Pertanto ϕˆ k → ϕˆ ⎜ F ( ϕk ) → F ( ϕ ) ⎟ . Quindi F è continua.■ ⎝ ⎠

Teorema 4 La trasformazione di Fourier F in S ( R ) è un'applicazione biiettiva. Dim. Siano ϕ ( x ) e ψ ( x ) due elementi di S ( R ) . Abbiamo +∞

29)

iωx ∫ ϕˆ ( ω) ψ ( ω) e dω =

−∞

⎛ +∞ − iωt ⎞ iωx ψ ω e ( ) ⎜ ∫ e ϕ ( t ) dt ⎟ dω = ∫ 2 π −∞ ⎝ −∞ ⎠

1

+∞

+∞ ⎛ +∞ − iω( t − x ) ⎞ ˆ (t − x) = = ψ ( ω) dω ⎟ dt = ∫ dt ϕ ( t ) ψ ∫ dt ϕ ( t ) ⎜⎝ −∞∫ e 2 π −∞ −∞ ⎠ +∞

1

+∞

∫ ψˆ ( t ) ϕ ( t + x ) dt

=

−∞

(Si è applicato il teorema di Fubini, osservando che F ( t, ω) = ψ ( ω) ϕ ( t ) e

iω( x − t )

è sommabile su

R 2 in virtù del fatto che F ( t, ω) = ψ ( ω) ϕ ( t ) ). Sia ora ε > 0 e ψ ( x ) = e −ε x

2 2

∞+

30)

∫ ϕˆ ( ω)e

−

ε2 ω2 2

−∞

2

. Usando la 20) e 29) otteniamo ∞+

t2

∞+

2

t − 2 − 1 e dω = ∫ e 2 ε ϕ ( t + x ) dt = ∫ e 2 ϕ ( εt + x ) dt . ε −∞ −∞ iωx

Osserviamo ora che ϕˆ ( ω) e

−

ε2 ω2 2

e iωx ≤ ϕˆ ( ω) ,

e − t 2 ϕ ( εt + x ) ≤ sup ϕ ( y ) e − t 2

2

2

y∈R

Possiamo allora applicare il teorema della convergenza dominata ed eseguire quindi il limite ε → 0 + sotto il segno degli integrali. ∞+

Tenendo presente che

∫e

−

t2 2

dt = ( 2 π ) , abbiamo 12

−∞

1

+∞

ϕˆ ( ω) dω = ϕ ( x ) 2π −∞ Pertanto in S ( R ) è valida la relazione 22). 31)

∫e

iωx

51

Elementi di metodi matematici della fisica

E' utile osservare che l'operazione che conduce a ϕ ( x ) a partire da ϕˆ ( ω) , è dello stesso tipo della trasformazione di Fourier, salvo il cambiamento di i in –i. Questa operazione è chiamata antitrasformata di Fourier ed è indicata con F . La 31) può essere scritta nella forma 32)

F ( ϕˆ ) = ϕ ,

oppure

33)

F F ( ϕ) ≡ F ( F ( ϕ)) = ϕ ,

∀ϕ∈ S ( R )

F è un'applicazione lineare e continua in S ( R ) . Partendo da

34)

F ( ϕ )( ω) =

35)

F F ( ϕ) = ϕ ,

+∞

1

iωx ∫ e ϕ ( x ) dx 2π −∞ e scambiando i in –i nelle considerazioni precedenti, otteniamo in modo analogo

Dalla 35) segue che F

∀ϕ∈ S ( R )

suriettiva. Inoltre, per la linearità, se F ( ϕ ) = F ( ψ ) , allora

F ( ϕ − ψ ) = 0 (la funzione identicamente nulla su R).

Quindi, dalla 33), ϕ − ψ = F ( F ( ϕ − ψ ) ) = 0 , cioè F è iniettiva.■ Considerando allora l'applicazione inversa F −1 di F , dalla 33) e 35) otteniamo 36) F −1 = F . Dalla 29) segue un'altra proprietà importante. Per x = 0 , abbiamo +∞

+∞

−∞

−∞

∫ ϕˆ ( ω)χ ( ω) dω =

37) Poniamo χ = F

−1

F

( ψ ) . Risulta

−1

( ψ ) ( ω) =

1

∀ϕ, χ ∈ S ( R )

∫ ϕ ( t )F ( χ )( t ) dt

+∞

∫e 2π

iωx

ψ ( x ) dx =

−∞

1

+∞

∫e

2π −∞

− iωx

ˆ ( ω) ψ ( x ) dx = F ( ψ )( ω) = ψ

Pertanto 38)

+∞

+∞

−∞

−∞

∫ ψˆ ( ω)ϕˆ ( ω) dω = ∫ ψ ( x )ϕ ( x ) dx

∀ϕ, ψ ∈ S ( R )

In particolare +∞

39)

∫

ϕˆ ( ω) dω = 2

−∞

(eguaglianza di Parseval).

52

+∞

∫ ϕ(x)

−∞

2

dx

∀ϕ∈ S ( R )

La trasformata di Fourier

Poiché gli elementi di S ( R ) sono ovviamente funzioni a quadrato sommabile, possiamo dire allora che il prodotto scalare di due funzioni appartenenti a S ( R ) è invariante rispetto alla trasformazione di Fourier. 4. Distribuzioni temperate e trasformata di Fourier Come abbiamo già osservato, se f ( x ) ∈ L1 ( R ) , non necessariamente fˆ ( ω) ∈ L1 ( R ) , sicché l'inversione della trasformazione di Fourier tramite F

( F ( fˆ ) = f )

può non aver significato.

Mostreremo ora che questo problema non si presenta se la trasformazione di Fourier viene estesa dalle funzioni sommabili su R alle distribuzioni. Questa estensione si basa sui risultati ottenuti in S ( R ) e può essere realizzata, come vedremo, per un sottospazio di D' ( R ) . Se f ( x ) ∈ L1 ( R ) , fˆ ( ω) è continua e limitata (e quindi localmente sommabile). Pertanto fˆ ( ω) è

definita univocamente dal funzionale +∞

40)

∫ fˆ ( ω)ϕ ( ω) dω =< F ( f ) , ϕ >

∀ϕ ( ω) ∈ D ( R )

−∞

D'altra parte procedendo come nella 29) (applicando quindi il teorema di Fubini) si ha che 41)

+∞

+∞

−∞

−∞

∫ fˆ ( ω)ϕ ( ω) dω =

∫ f ( t )ϕˆ ( t ) dt

∀ϕ∈ D ( R )

Quindi la trasformata di Fourier di f ( x ) ∈ L1 ( R ) può essere definita in modo equivalente considerando il funzionale: +∞

42)

ϕ→

∫ f ( t )ϕˆ ( t ) dt ,

∀ϕ∈ D ( R )

−∞

Questa osservazione suggerisce che si potrebbe definire la trasformata di Fourier di una distribuzione T ∈ D' ( R ) mediante la relazione 43)

< F ( T ) , ϕ >=< T, F ( ϕ ) >

∀ϕ∈ D ( R )

Occorre però notare che, per una generica distribuzione T ∈ D' ( R ) , la 43) non ha significato. Infatti se ϕ ∈ D ( R ) , non c'è alcun motivo perché anche F ( ϕ ) ∈ D ( R ) (vedi Es. I: la trasformata di Fourier di una funzione a supporto compatto non è una funzione a supporto compatto). Questo problema però può essere superato considerando una classe particolare, ma importante, di distribuzioni. Osserviamo che lo spazio di D ( R ) è un sottospazio di S ( R ) : 44)

D(R) ⊂ S(R)

53

Elementi di metodi matematici della fisica

D

( ϕ , ϕ ∈ D ( R ) ) , a fortiori abbiamo ϕ

e che se ϕk → ϕ

k

S

k →ϕ .

Def. 5 Una distribuzione T (un funzionale lineare e continuo su D ( R ) ) è detta una distribuzione S

temperata, se può essere estesa ad un funzionale lineare e continuo su S ( R ) ( ϕk → ϕ implica T ( ϕk ) → T ( ϕ ) ).

Lo spazio delle distribuzioni temperate è indicato con S' ( R ) . Esempio V.

Una funzione sommabile f è temperata. Infatti: è ben definito l'elemento di S' ( R )

dato da: +∞

45)

< f, ϕ >=

∫ f ( x )ϕ ( x ) dx

∀ϕ ( x ) ∈ S ( R )

−∞

Esempio VI. Una funzione f ( x ) definita in R è detta a crescita lenta se valgono le condizioni: i) f ( x ) è localmente sommabile, ii) esistono costanti positive C, n, M tali che f ( x ) < C x

n

per

x >M.

Un polinomio p ( x ) = a 0 + a1x, +... + a k x k è una funzione a crescita lenta (in particolare f ( x ) = 1 ). Analogamente all'esempio precedente, ogni funzione a crescita lenta determina una distribuzione temperata tramite la 45). 2

Esempio VII. Le funzioni e x , e x ,..., localmente sommabili, sono distribuzioni, ma non sono temperate.

Esempio VIII. La distribuzione δξ di Dirac è temperata: 46)

< δξ , ϕ >= ϕ ( ξ )

Se T ∈ S' ( R ) , anche

∀ϕ∈ S ( R )

m

d T ' dT ∈ S ( R ) . Infatti (è sufficiente considerare questo caso) è definita m dx dx

da <

dT dϕ , ϕ >= − < T, > dx dx

∀ϕ∈ D ( R )

Ora se ϕ ∈ S ( R ) anche ϕ' ( x ) ∈ S ( R ) , sicché se T è temperata < T, ϕ' > ha significato per ogni

dT , ϕ > ha significato ∀ϕ∈ S ( R ) . dx Anche per le distribuzioni temperate possiamo usare la notazione simbolica e scrivere ϕ ∈ S ( R ) . Ne segue che <

54

La trasformata di Fourier

+∞

47)

< T, ϕ >=

∫ T ( x )ϕ ( x ) dx ,

∀ϕ∈ S ( R )

−∞

in termini della funzione generalizzata o simbolica T ( x ) . Osserviamo ora che, se T ∈ S' ( R ) , < T, F ( ϕ ) > ha significato per ogni ϕ ∈ S ( R ) , poiché S

S

F ( ϕ ) ∈ S ( R ) (teorema 3). Inoltre se ϕk → ϕ , allora, per lo stesso teorema, F ( ϕk ) → F ( ϕ ) . Ne S

segue, per la continuità di T, che ϕk → ϕ implica < T, F ( ϕk ) >→< T, F ( ϕ ) . Pertanto

< T, F ( ϕ ) > definisce un funzionale lineare e continuo su S ( R ) , cioè una distribuzione

temperata. Tornando alla 43) possiamo enunciare il seguente: Teorema 5 Se T è una distribuzione temperata, F ( T ) può essere definita mediante l'equazione

48)

< F ( T ) , ϕ >=< T, F ( ϕ ) > ,

∀ϕ∈ S ( R )

Si ha allora che F ( T ) è una distribuzione temperata.

La distribuzione F ( T ) è detta trasformata di Fourier di T. In modo analogo si può definire l'antitrasformata di Fourier di una distribuzione temperata T, F ( T ) . F ( T ) è la distribuzione temperata definita da: 49)

< F ( T ) , ϕ >=< T, F ( ϕ ) > ,

∀ϕ∈ S ( R )

Se associamo a F ( T ) la funzione simbolica Tˆ ( ω) , possiamo dire che Tˆ ( ω) è definita simbolicamente da: 50)

< F ( T ) , ϕ >=

+∞

∫

−∞

+∞

Tˆ ( ω) ϕ ( ω) dω = ∫ T ( t ) ϕˆ ( t ) dt

∀ϕ∈ S ( R )

−∞

Naturalmente se T coincide con una funzione sommabile f ( x ) , Tˆ ( ω) è una funzione classica e coincide con la funzione fˆ ( ω) già introdotta: +∞

1 fˆ ( ω) = e − ixωf ( x ) dx ∫ 2 π −∞ ˆ La funzione classica f ( ω) della 51) soddisfa concretamente l'equazione 51)

52)

+∞

+∞

−∞

−∞

∫ fˆ ( ω) ϕ ( ω) dω = ∫ f ( t ) ϕˆ ( t ) dt

∀ϕ∈ S ( R )

(per le stesse considerazioni che hanno condotto alla 41).

55

Elementi di metodi matematici della fisica

In virtù della 51) e 52) il legame tra Tˆ ( ω) e T ( x ) , definito per una generica distribuzione temperata dalla 50), verrà scritto in generale nella forma simbolica +∞

53)

1 Tˆ ( ω) = e − ixω T ( x ) dx , ∫ 2 π −∞

oppure nella forma F ( T ( x ) ) ( ω) = Tˆ ( ω) . E' utile tener presente che per una funzione simbolica T ( x ) , associata ad una generica distribuzione T ∈ D' ( R ) , può essere definita l'operazione di moltiplicazione per una funzione a ( x ) infinitamente derivabile. Si parte dell'osservazione che se f ( x ) è localmente sommabile su

R, tale è anche a ( x ) f ( x ) . Possiamo introdurre allora la distribuzione regolare a ( x ) f ( x ) data da +∞

< af, ϕ >=

54)

∫ a ( x ) f ( x ) ϕ ( x ) dx

∀ϕ∈ D ( R )

−∞

D'altra parte se ϕ ( x ) ∈ D ( R ) , anche a ( x ) ϕ ( x ) ∈ D ( R ) . Possiamo allora scrivere la 54) nella forma +∞

55)

< af, ϕ >=< f, aϕ >=

∫ f ( x ) ( a ( x ) ϕ ( x ) ) dx

∀ϕ∈ D ( R )

−∞

Sulla base della 55) che è un'equazione valida nel caso in cui f ( x ) sia una funzione localmente sommabile, possiamo definire il prodotto a ( x ) T ( x ) nel caso di una distribuzione generica: a ( x ) T ( x ) è la funzione simbolica definita da

56)

+∞

+∞

−∞

−∞

∫ ( a ( x ) T ( x ) ) ϕ ( x ) dx =

∫ T ( x ) ( a ( x ) ϕ ( x ) ) dx =< T, aϕ >

∀ϕ∈ D ( R )

Per esempio se δ ( x − ξ ) è la funzione simbolica associata a δξ , a ( x ) δ ( x − ξ ) è definita da: 57)

+∞

+∞

−∞

−∞

∫ ( a ( x ) δ ( x − ξ ) ) ϕ ( x ) dx =

∫ δ ( x − ξ ) ( a ( x ) ϕ ( x ) ) dx = a ( ξ ) ϕ ( ξ ) ,

sicché possiamo scrivere 58)

a ( x ) δ ( x − ξ) = a (ξ) δ ( x − ξ) .

Nel caso di una distribuzione temperata occorre notare che in generale il prodotto a ( x ) ϕ ( x ) , con a ( x ) infinitamente derivabile e ϕ ( x ) ∈ S ( R ) , non appartiene a S ( R ) . Appartiene però sempre a S ( R ) il prodotto di un polinomio p ( x ) per una funzione ϕ ( x ) di S ( R ) . Pertanto possiamo definire per le distribuzioni temperate il prodotto p ( x ) T ( x ) tramite:

56

La trasformata di Fourier

59)

+∞

+∞

−∞

−∞

∫ ( p ( x ) T ( x ) ) ϕ ( x ) dx = ∫ T ( x ) ( p ( x ) ϕ ( x ) ) dx =< T, pϕ >

∀ϕ∈ S ( R )

k In particolare ( iω) Tˆ ( ω) è definito da

∫ ( ( iω) Tˆ ( ω) ) ϕ ( ω) dω = ∫ Tˆ ( ω) ( ( iω) ϕ ( ω) ) dω

+∞

60)

+∞

k

−∞

k

−∞

Abbiamo allora:

∫ ( ( iω) Tˆ ( ω) ) ϕ ( ω) dω = ∫ T ( t ) F ( ( ix ) ϕ ( x ) ) ( t ) dt =

+∞

61)

+∞

k

−∞

k

−∞

= ( −1)

k

( ) ∫ T ( t ) F ( ( −ix ) ϕ ( x ) ) ( t ) dt = ( −1) ∫ T ( t ) ϕˆ ( t ) dt =

+∞

k

−∞

k

+∞

k

−∞

+∞

+∞ ⎛ dk ⎞ ⎛ dk ⎞ k ˆ = ∫ ⎜ k T ( t ) ⎟ ϕ ( t ) dt = ∫ F ⎜ k T ( x ) ⎟ ( ω) ϕ ( ω) dω = < F T ( ) , ϕ > dt ⎠ ⎝ dx ⎠ −∞ ⎝ −∞ Pertanto per le funzioni simboliche associate alle distribuzioni temperate si ha sempre l'equazione

( )

⎛ dkT (x) ⎞ k F⎜ ω = iω Tˆ ω , 62) ( k = 1, 2,...) ⎜ dx k ⎟⎟ ( ) ( ) ( ) ⎝ ⎠ che avevamo dedotto per le funzioni ordinarie sotto certe condizioni. In modo analogo, si dimostra che è valida sempre l'equazione 63)

F

(( −ix )

m

)

dm ˆ T ( x ) ( ω) = m T ( ω) dω

( m = 1, 2,...)

Lo spazio S' ( R ) consente di dare una risposta generale al problema dell'inversione della trasformazione di Fourier. Abbiamo il seguente teorema: Teorema 6 La trasformazione di Fourier in S' ( R ) , definita dalla 48) è un'applicazione di S' ( R ) in S' ( R ) lineare e biiettiva. Dim. Siano α, β ∈ C e T, U ∈ S' ( R ) . Abbiamo ( S' ( R ) è uno spazio vettoriale): < F ( αT + β U ) , ϕ >=< αT + β U, F ( ϕ ) >= α < T, F ( ϕ ) > + +β < U, F ( ϕ ) >= α < F ( T ) , ϕ > +β < F ( U ) , ϕ >

∀ϕ∈ S ( R )

Pertanto

57

Elementi di metodi matematici della fisica

64)

F ( αT + β U ) = αF ( T ) + β F ( U )

Per ogni T ∈ S' ( R ) , considerando anche la trasformazione F definita dalla 49) abbiamo < F F ( T ) , ϕ >=< F ( T ) , F ( ϕ ) >=< T, F F ( ϕ ) >=< T, ϕ > in virtù della 35). Quindi 65)

∀T ∈ S' ( R )

F F (T) = T

Procedendo in modo analogo si ottiene 66)

∀T ∈ S' ( R )

F F (T) = T

Si conclude allora che F è biiettiva e che F −1 = F .■ Quindi se F ( T ) = U , allora F ( U ) = T . Le equazioni 7) e 8) che abbiamo dedotto euristicamente sono del tutto valide nel contesto delle distribuzioni temperate. Si può osservare che il carattere biiettivo di F implica che F ( T ) = 0 se e soltanto se T = 0 . Esempio IX. Consideriamo la trasformata di Fourier della distribuzione di Dirac δξ . Abbiamo: < F ( δξ ) , ϕ >=< δξ , F ( ϕ ) >= F ( ϕ )( ξ ) =

1

+∞

∫e 2π

− ixξ

ϕ ( x ) dx =

−∞

=

1

+∞

∫e 2π

− iωξ

ϕ ( ω) dω .

−∞

La trasformata di Fourier di δξ è la funzione a crescita lenta e − iωξ 67)

e − iωξ F ( δξ ) ( ω) = δˆ ξ ( ω) = 2π

In particolare 1 δˆ ( ω) = 2π In forma simbolica 68)

+∞

69)

e − iωξ 1 δˆ ξ ( ω) = = δ ( x − ξ )e − iωx dx ∫ 2π 2π −∞

Viceversa, consideriamo la funzione a crescita lenta ( ξ fissato)

58

2π :

La trasformata di Fourier

e ixξ

f (x) =

2π La sua trasformata di Fourier è data da +∞ ⎛ e ixξ ⎞ e ixξ 1 F =< ϕ >= , , dxe ixξ F ( ϕ )( x ) = ( ) ⎟ ∫ 2π 2π −∞ ⎝ 2π ⎠ +∞

1

∫ dωe 2π

=

iωξ

ϕˆ ( ω) = ϕ ( ξ )

−∞

Quindi ⎛ e ixξ ⎞ 70) F⎜ ⎟ = δξ ⎝ 2π ⎠ In particolare la trasformazione di Fourier di f ( x ) = 1 e data da

71)

F (1) = ( 2π ) δ 12

Se utilizziamo la funzione simbolica δ ( x − ξ ) , la 70) si può scrivere in forma simbolica: +∞

72)

1 − iy x −ξ e ( ) dy = δ ( x − ξ ) ∫ 2π −∞

In particolare +∞

73)

∫e

− iωx

dω = ( 2π ) δ ( x )

−∞

Dalla 62) segue che 74)

( ) ( ω ) = ( iω ) (k)

F δξ

k

e − iωξ 2π

In particolare 75)

F

(

2 π δ(

k)

) ( ω ) = ( iω )

k

Viceversa dalla 63) e 71) deduciamo 76)

( )

F x m = ( 2π )

12

(i)

m

δ(

( m = 1, 2,...)

m)

La trasformata di Fourier di un polinomio è data quindi da 77)

(

)

F a 0 + a1x + a 2 x 2 + ... + a n x n = ( 2π )

12

(a δ + ia δ + ( i ) a δ 0

1

'

2

2

(2)

+ ... + ( i ) a n δ( n

n)

) 59

Elementi di metodi matematici della fisica

Esempio X.

()

Sia f ( x ) sommabile su R e tale che anche fˆ ( ω) sia sommabile. In tal caso F fˆ

è data da +∞

()

1 e iωx fˆ ( ω) dω ; F fˆ ( x ) = ∫ 2 π −∞

78)

()

F fˆ ( x ) è una funzione continua di x.

In virtù della 65) abbiamo

()

∀ϕ∈ S ( R )

< F fˆ , ϕ >=< f, ϕ > ,

79)

()

()

cioè f e F fˆ sono eguali come distribuzioni. Dal teorema 2 (pag. 31) segue allora che F fˆ ( x ) e f ( x ) sono quasi ovunque eguali.

()

Poiché F fˆ ( x ) è continua, si può dedurre che la funzione f ( x ) è eguale quasi ovunque ad una funzione continua. Se f ( x ) è continua risulta allora 80)

()

F fˆ ( x ) = f ( x )

∀x ∈ R

Esempio XI. La trasformata di Fourier in L 2 ( R ) .

Una funzione f ( x ) ∈ L 2 ( R ) , definisce una distribuzione temperata mediante +∞

81)

< f, ϕ >=

∫ f ( x )ϕ ( x ) dx

∀ϕ∈ S ( R )

−∞

L' integrale esiste perché il prodotto di due funzioni a quadrato sommabile è sommabile. Ogni funzione infinitamente derivabile e a decrescenza rapida è a quadrato sommabile, oltre ad essere sommabile: se ϕ ( x ) ∈ S ( R ) , allora ϕ ( x ) ∈ L1 ( R ) ∩ L 2 ( R ) . Il funzionale lineare 81) è continuo: si ha infatti, per ϕ, ϕk ∈ S ( R ) ,

+∞

< f, ϕ > − < f, ϕk > =

∫ f ( x ) ( ϕ ( x ) − ϕ ( x ) )dx ≤ k

−∞

+∞

≤

∫

−∞

(

)

f ( x ) ϕ ( x ) − ϕk ( x ) dx ≤ sup ⎡⎣ 1 + x 2 ϕ ( x ) − ϕk ⎤⎦ x∈R

+∞

f (x)

∫ 1+ x

2

dx

−∞

e l'integrale esiste perché 1 1 + x 2 è a quadrato sommabile. Una funzione a quadrato sommabile non necessariamente è sommabile. E' questo il caso, per esempio, della funzione f ( x ) = 1

60

1 + x2 .

La trasformata di Fourier

Pertanto in generale, la trasformata di Fourier di una funzione ∈ L 2 ( R ) esiste in senso distribuzionale. E' possibile caratterizzare completamente la distribuzione temperata F ( f ) con f ∈ L 2 ( R ) . Un primo risultato è dato dal seguente teorema Teorema 7 Se f ( x ) ∈ L 2 ( R ) ∩ L1 ( R ) , allora fˆ ( ω) ∈ L 2 ( R ) e +∞

∫

82)

+∞

2

fˆ ( ω) dω =

∫ f (x)

−∞

2

( fˆ = f )

dx

−∞

Abbiamo già dimostrato questa eguaglianza nel caso di una funzione ϕ ( x ) ∈ S ( R ) , che , come si è osservato, appartiene a L 2 ( R ) ∩ L1 ( R ) . Generalizzando opportunamente il procedimento che ci ha condotti alla 39), si dimostra che la 82) è valida per ogni f ∈ L 2 ( R ) ∩ L1 ( R ) . Se f ( x ) ∈ L 2 ( R ) , consideriamo la funzione ⎧f ( x ) fN ( x ) = ⎨ ⎩ 0

83)

per per

x ≤N x >N

(N > 0)

Abbiamo: 12

f − fN

84)

⎛ +∞ ⎞ 2 = ⎜ ∫ f ( x ) − fN ( x ) dx ⎟ ⎝ −∞ ⎠

12

+∞ ⎛ −N ⎞ 2 2 = ⎜ ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx ⎟ N ⎝ −∞ ⎠

→0

N →∞

x ≤N ⎧1 Ovviamente fN ( x ) è a quadrato sommabile. Tenendo presente che χ[ − N,N] ( x ) = ⎨ x >N ⎩0 è a quadrato sommabile e che fN ( x ) = f ( x ) χ[ − N,N] ( x ) (prodotto di due funzioni a quadrato

sommabile), si ha che fN ( x ) è anche sommabile: fN ( x ) ∈ L 2 ( R ) ∩ L1 ( R ) . Possiamo allora applicare a f ( x ) il teorema 7. La trasformata di Fourier fˆ ( ω) di f ( x ) , che è definita in senso N

N

N

classico, è data da: +∞

+N

1 1 fˆN ( ω) = fN ( x ) e − iωx dx = e − iωx f ( x ) dx , ∫ ∫ 2 π −∞ 2π − N e gode della proprietà

85)

86)

fˆN = fN

Dalla 86) discende che

61

Elementi di metodi matematici della fisica

87)

fˆN − fˆM = fN − fM

Dalla 84) segue che {fN ( x )} allora, in virtù della 87), che le L 2 ( R ) . Per la completezza di L 2 ( R ) , tale che

( N = 1, 2,...) è una successione di Cauchy in L 2 ( R ) . Abbiamo fˆN ( ω) date dalla 85) formano una successione di Cauchy in L 2 ( R ) , si conclude che esiste uno e un solo elemento fˆ ( ω) di 12

2 +N ⎛ +∞ ⎞ 1 − iωx ˆ ˆ ˆ ⎟ =0 lim f − fN = lim ⎜ ∫ f ( ω) − e f x dx d ω 88) ( ) ∫ N →∞ N →∞ ⎜ ⎟ 2 π −N ⎝ −∞ ⎠ Dalla 84) e 86) segue che la fˆ ( ω) data dalla 88) gode della proprietà

89)

fˆ = f

La fˆ ( ω) determinata dal limite 88) è definita soltanto quasi ovunque in R. Si dimostra che questa funzione a quadrato sommabile, che è una distribuzione temperata, coincide con la distribuzione temperata trasformata di Fourier di f ( x ) ; fˆ ( ω) = F ( f )( ω) . In conclusione la trasformazione di Fourier in L 2 ( R ) è un'applicazione lineare di L 2 ( R ) in L 2 ( R ) . Questa applicazione è biiettiva e gode della proprietà 89) (più in generale si ha (vedi

38)): +∞

90)

∫

−∞

gˆ ( ω) fˆ ( ω) dω =

+∞

∫ g ( x ) f ( x ) dx

∀f, g ∈ L 2 ( R )

−∞

cioè, usando la notazione di prodotto scalare, 91) < gˆ , fˆ >=< g, f > La trasformazione F in L 2 ( R ) è un esempio di un operatore unitario in uno spazio di Hilbert. La trasformazione F in L 2 ( R ) gode delle stesse proprietà. La funzione f ( x ) è determinata dal limite 12

92)

2 +N ⎛ +∞ ⎞ 1 iωx ˆ ⎟ lim ⎜ ∫ f ( x ) − f e d dx ω ω ( ) ∫ N →∞ ⎜ ⎟ 2π − N −∞ ⎝ ⎠

=0

5. Trasformata di Fourier in diverse variabili

( )

Sia x = ( x1 , x 2 ,..., x n ) ∈ R n , ω = ( ω1 , ω2 ,..., ωn ) ∈ R n . Se f ( x1 , x 2 ,..., x n ) ∈ L1 R n , la sua trasformata di Fourier fˆ ( ω1 , ω2 ,..., ωn ) è la funzione definita da

62

La trasformata di Fourier

fˆ ( ω1 , ω2 ,..., ωn ) =

93)

1

+∞

+∞

−∞

−∞

... e ( 2π ) ∫ ∫

− i ( ω1x1 +ω2 x 2 +...+ωn x n )

n 2

f ( x1 , x 2 ,..., x n ) dx1dx 2 ...dx n

Introducendo il prodotto scalare in R n < ω, x >= ω1x1 + ... + ωn x n , possiamo scrivere la 93) brevemente nella forma: fˆ ( ω) =

94)

1

e ∫ 2 π ( )

− i <ω,x >

n 2

R

f ( x ) dx

n

con dx = dx1 , dx 2 ,..., dx n . La fˆ ( ω) è anche indicata con F ( f ) . La fˆ ( ω) gode di proprietà analoghe a quelle del caso di una sola variabile. Se Dα f esiste, è continua ed è sommabile su R n , abbiamo (teorema 1):

(

)

F Dα f ( ω1 ,..., ωn ) = ( iω1 )

95)

dove α = ( α1 , α 2 ,..., α n ) e Dα =

α1

( iω2 )

α2

α ... ( iωn ) n fˆ ( ω)

∂ α1 +...+α n ∂x1α1 ...∂x αn n

( )

In particolare se ∆f esiste, è continua ed appartiene a L1 R n , risulta

(

)

2 F ( ∆f ) = − ω12 + ω22 + ... + ω2n fˆ ( ω) ≡ − ω fˆ ( ω)

96)

Il teorema 2 si generalizza nella forma ∂ α1 +...+α n fˆ ( ω1 ,..., ωn ) = F ∂ω1α1 ...∂ωαn n

97)

Se α > 0 e f ( x ) = e

(

−α x12 + x 22 +...+ x 2n

(( −ix )

( )

Lo spazio S R n

α1

( −ix 2 )

α2

... ( − ix n ) n f ( x ) α

)

) , abbiamo (vedi eq. 20)

− −α ( x 2 + x 2 + ...+ x 2n ) ⎞ 1 e F ⎛⎜ e 1 2 ⎟= n 2 ⎝ ⎠ ( 2α )

98)

1

ω12 +ω22 + ...+ω2n 4α

è lo spazio vettoriale complesso delle funzioni ϕ ( x ) ≡ ϕ ( x1 , x 2 ,..., x n ) a

decrescenza rapida, cioè delle funzioni ϕ ( x ) che soddisfano le due condizioni: i)

ϕ(x)

è infinitamente derivabile, cioè

Dα ϕ

esiste per ogni multiindice

α = ( α1 , α 2 ,..., α n )

ii) per ogni coppia di multiindici α e β = ( β1 , β2 ,..., β n ) si ha lim x1β1 x β22 ...xβnn Dα ϕ ( x ) = 0 x →∞

( )

(x = ( )

x12 + ... + x 2n

)

S

Una successione {ϕk } in S R n converge in S a ϕ ∈ S R n , e si scrive ϕk → ϕ , se

63

Elementi di metodi matematici della fisica

lim sup x1β1 xβ22 ...xβnn Dα ( ϕk ( x ) − ϕ ( x ) ) = 0 k →∞ x∈R n

per ogni coppia di multiindici α e β .

( )

( )

La trasformazione di Fourier F definita dalla 94) è un'applicazione di S R n in S R n lineare, continua e biiettiva. L'antitrasformata F , che è dello stesso tipo della F salvo il cambiamento di i in –i, fornisce la trasformazione inversa F −1 . In modo del tutto analogo al caso unidimensionale si considera lo spazio vettoriale delle

distribuzioni temperate su R n , che è indicato con S' ( R n ) , e si introduce la trasformata di Fourier

degli elementi di S' ( R n ) . Il teorema 6 e l'equazione 65), 66) si applicano anche a S' ( R n ) .

( )

La trasformata di Fourier di una funzione f ( x ) ∈ L 2 R n , che è definita per una generica f ( x ) a

( )

( )

quadrato sommabile in senso distribuzionale, è una funzione fˆ ( ω) ∈ L 2 R n . Si ha, in L 2 R n , 12

99) e

⎛ ⎞ 2 f = ⎜ ∫ f ( x ) dx ⎟ ⎜ n ⎟ ⎝R ⎠

< g, f >=

12

2 ⎛ ⎞ = ⎜ ∫ fˆ ( ω) dω ⎟ ⎜ n ⎟ ⎝R ⎠

∫ g ( x ,..., x ) f ( x ,..., x ) dx ...dx 1

R

n

1

n

1

n

n

=

∫ gˆ ( ω ,..., ω ) fˆ ( ω ,..., ω ) dω ...dω 1

R

n

1

n

1

n

=

n

=< gˆ , fˆ > Nello spazio di Hilbert L 2 R n , F è una trasformazione unitaria. Se ξ = ( ξ1 , ξ2 ,..., ξ n ) ∈ R n , e

( )

δξ è la distribuzione di Dirac in R n con polo ξ , abbiamo: 100)

e − i<ω,ξ> δˆ ξ ( ω1 ,..., ωn ) = n 2 ( 2π )

101)

F e i< x,ξ> = ( 2 π )

(

)

n 2

( F ( ( 2 π ) δ ) = 1) , e n 2

δξ

6. Convoluzione Teorema 8 Siano f ( x ) e g ( x ) sommabili su R n . Allora, per quasi ogni x ∈ R n , la funzione y → f ( x − y ) g ( y ) è sommabile su R n . Posto per tali x

102)

h (x) =

1

f ( x − y ) g ( y )dy n 2 ( 2π ) R∫ n

( )

si ha che h ( x ) ∈ L1 R n .

64

(x − y = (x

1

− y1 ,..., x n − y n ) )

La trasformata di Fourier

Dim. La funzione F ( x, y ) = f ( x − y ) g ( y ) è misurabile in R n × R n .

Controlliamo che F ( x, y ) è sommabile. Abbiamo ⎛ ⎞⎛ ⎞ f x − y dx = g y dy f x dx ( ) ( ) ( ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ < +∞ ∫n ⎜ ∫n ⎟ ⎜ ∫n n n n R R R R ⎝R ⎠⎝ R ⎠ n n Dal teorema di Tonelli discende allora che F ( x, y ) è sommabile su R × R .

∫ dy ∫ dx F ( x, y ) =

∫ dy g ( y )

Applicando il teorema di Fubini a F ( x, y ) si conclude che h ( x ) , definita per quasi ogni x, è sommabile su R n .■ La funzione h ( x ) è detta convoluzione (o prodotto di convoluzione) di f ( x )

e

g (x)

e si

scrive 103)

h ( x ) = ( f ∗ g )( x )

( h = f ∗ g)

o

Si verifica immediatamente che 104)

f ∗g = g∗f

Teorema 9 (della convoluzione) Siano f ( x ) , g ( x ) ∈ L1 R n . Risulta

( )

105)

F (f ∗ g) = F (f ) F (g)

Dim. Per il teorema di Fubini abbiamo:

hˆ ( ω) =

1

e ( 2π ) ∫ n 2

R

=

1

e ( 2π ) ∫ Rn

dx

n

− i <ω,y >

n 2

− i <ω,x >

g ( y ) dy

1

f ( x − y ) g ( y )dy = n 2 ( 2π ) R∫ n

1

e ( 2π ) ∫ n 2

Con il cambiamento di variabile x − y = ξ hˆ ( ω) = fˆ ( ω) gˆ ( ω) .■

− i <ω,x − y >

f ( x − y )dx

Rn

( dx = dξ )

nell'ultimo integrale, otteniamo

E' utile tener presente che l'operazione di convoluzione può essere definita anche in situazioni non contemplate dal teorema 8. Non è però garantita la sommabilità del prodotto di convoluzione. Si ha, per esempio, il teorema Teorema 10 Siano f ( x ) , g ( x ) ∈ L1,loc R n e si supponga che sia soddisfatta una delle seguenti condizioni

( )

65

Elementi di metodi matematici della fisica

i) g ( x ) ha supporto compatto

( )

ii) f ( x ) ha crescenza lenta e g ( x ) ∈ S R n

Allora, per quasi ogni x ∈ R n , la funzione y → f ( x − y ) g ( y ) è sommabile e la convoluzione

( f ∗ g )( x ) , data 106)

( f ∗ g )( x ) =

1

f ( x − y )g ( y ) dy n 2 ( 2π ) R∫ n

( )

appartiene a L1,loc R n .

Un altro risultato riguarda le funzioni a quadrato sommabile. Teorema 11 Siano f ( x ) , g ( x ) ∈ L 2 ( R ) . Allora, per quasi ogni x la funzione y → f ( x − y ) g ( y ) è sommabile

e la convoluzione ( f ∗ g )( x ) gode della proprietà che esiste una costante M > 0 tale che

( f ∗ g )( x ) ≤ M

q.o. su R n

Si dimostra anche che Teorema 12 Se f ( x ) ∈ L1 ( R ) e g ( x ) ∈ L 2 ( R ) , ( f ∗ g )( x ) è definita ed appartiene a L 2 ( R ) .

Per quanto riguarda il teorema di convoluzione, si dimostra che, utilizzando la trasformazione di Fourier in senso distribuzionale, il teorema conserva la sua validità nei casi in cui entrambi i membri della 105) abbiano significato: i) f ( x ) ∈ L1 ( R ) e g ( x) ∈ L2 ( R) , ii) f ( x) ,g ( x) ∈ L2 ( R) ,

( )

( )

iii) f ( x ) a crescenza lenta e g ( x ) ∈ S R n , iv) f ( x ) a crescenza lenta e g ( x ) ∈ L1,loc R n ed ha supporto compatto. Esempio XII (Equazione di Helmholtz). parziali 107)

−∆u ( x ) + µ 2 u ( x ) = ρ ( x ) ,

Consideriamo l'equazione differenziale alle derivate in R 3 ( µ > 0 )

dove supponiamo che ρ ( x ) sia continua e sommabile su R 3 . Studieremo la 107), considerando in generale le funzioni dal punto di vista delle distribuzioni temperate. Associamo alla 107) l'equazione 108)

−∆g ( x ) + µ 2 g ( x ) = δ ( x )

Vedremo che questa equazione ha un ruolo importante per la determinazione di una formula esplicita della u ( x ) soluzione della 107).

66

La trasformata di Fourier

Per risolvere la 108), applichiamo ad entrambi i membri la trasformata di Fourier (ricordando che F ( T ) = 0 se e soltanto se T = 0 ). Abbiamo 109)

ω gˆ ( ω) + µ 2 gˆ ( ω) =

1

2

( 2π )

32

con ω = ω12 + ω22 + ω32 . Nel seguito porremo anche r = x12 + x 22 + x 32 . Otteniamo quindi 110)

gˆ ( ω) =

1

1

( 2π )

32

2

ω + µ2

e g (x) =

1

e i<ω,x >

1

i <ω,x > ∫ e gˆ ( ω) dω =

( 2π ) R∫ ω + µ2 Introducendo coordinate sferiche per ω = ( ω1 , ω2 , ω3 ) , otteniamo

111)

112)

g (x) =

( 2π )

32

+∞

1

( 2π ) ∫ 2

=

+∞

2 ( 2π ) r ∫0

=−

ω +µ

ω sin ω r 2

ω + µ2

π

sin ϑe 2 ∫

i ω r cos ϑ

dϑ =

0

dω=

dω

+∞

1

( 2π ) ∫ 2

0

2

ω dω 2

ω +µ

2

+1

∫ d cos ϑe

i ω r cos ϑ

=

−1

+∞

1

( 2π )

2

3

2

1 t sin rt ∫ t 2 + µ2 dt = r −∞

+∞

i

( 2π )

2

ω dω 2

0

2

3

R3

2

1 te irt i 1 i 1 e −µr iµ dt = − 2 π iR i µ = − 2 π i ( ) 2 2 ∫ t 2 + µ2 r −∞ 2iµ ( 2π ) r ( 2π ) r

In conclusione la distribuzione temperata g ( x ) soluzione della 108) è data dalla funzione sommabile 1 e −µr (µ > 0 ) 4π r Questa funzione è detta soluzione fondamentale dell'equazione di Helmholtz o anche funzione di Green dell'operatore differenziale −∆ + µ 2 , che soddisfa la condizione di annullamento all'infinito. Per µ = 0 , g ( x ) coincide con il potenziale di Coulomb di una carica unitaria puntiforme che si 113)

g (x) =

trovi nell'origine. Per µ ≠ 0 , g ( x ) è detta anche potenziale di Yukawa; è un potenziale a corto raggio di azione che descrive le forze nucleari a basse energie.

67

Elementi di metodi matematici della fisica

La g ( x ) consente di ottenere una formula esplicita per la soluzione della 107). Se ρˆ ( ω) , uˆ ( ω) sono le trasformate di Fourier di ρ ( x ) e u ( x ) , applicando la trasformazione di Fourier alla 107), otteniamo 114)

uˆ ( ω) =

Se poniamo vˆ ( ω) = 115)

ρˆ ( ω) 2

ω + µ2

uˆ ( ω)

( 2π )

32

, possiamo scrivere

vˆ ( ω) = gˆ ( ω) ρˆ ( ω) = F ( g ∗ρ )( ω)

Abbiamo allora u (x)

( 2π )

32

= v ( x ) = F −1 ( vˆ ( ω) ) = ( g ∗ρ )( x )

cioè 116)

u (x) =

−µ x − y

1 e ρ ( y ) dy , 4 π R∫3 x − y

⎛ x−y = x −y 2 + x −y 2 + x −y 2 ⎞ ( 1 1) ( 2 2) ( 3 3) ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ che fornisce per µ = 0 , la ben nota soluzione dell'equazione di Poisson per una distribuzione di

carica ρ ( x ) . Esempio XIII (Equazione di diffusione). Consideriamo il problema della diffusione di una sostanza in un mezzo continuo. Indichiamo con ρ ( x1 , x 2 , x 3 , t ) = ρ ( x, t ) la densità della sostanza G all'istante t. Se j ( x, t ) denota la densità di corrente (quantità di sostanza che passa per unità di tempo attraverso un'unità di area perpendicolare alla direzione in cui diffonde la sostanza), si ha, nella cosiddetta approssimazione lineare, 117)

G j = −D grad ρ ,

(D > 0)

dove D è una costante che prende il nome di coefficiente di diffusione. Se la sostanza non è né assorbita né prodotta dal mezzo, deve valere l'equazione di continuità 118)

G ∂ ρ + div j = 0 ∂t

Combinando 117) e 118) otteniamo l'equazione di diffusione

68

La trasformata di Fourier

∂ ρ ( x, t ) = D∆ρ ( x, t ) ∂t La 119) è detta anche equazione del calore, perché è l'equazione per la temperatura T ( x, t ) in un 119)

solido di densità ν , coefficiente di conducibilità termica k e calore specifico c, con k νc Da un punto di vista fisico la ρ ( x, t ) sarà determinata se conosciamo la densità ad un istante D=

iniziale, che possiamo far coincidere con t = 0 . Considerando il caso generale di R n , studieremo allora il seguente problema (problema ai valori iniziali) per l'equazione di diffusione

120)

⎧ ∂ρ ⎪ ∂t − D∆ρ = 0 ⎪ ⎨ρ ( x, 0 ) = ρ0 ( x ) ⎪ ⎪ρ ( x, t ) = 0 ⎩

x ∈ Rn , t > 0

(t = 0)

⎛ ∂2 ∂2 ⎞ t < 0 ⎜ ∆ = 2 + ... + 2 ⎟ ∂x1 ∂x n ⎠ ⎝ n dove ρ0 ( x ) è una funzione assegnata su R , per esempio continua e sommabile. La 120) si può

scrivere in forma equivalente nella forma (ricordando che ∂ ρ ( x, t ) − D∆ρ ( x, t ) = ρ0 ( x ) δ ( t ) ∂t Associamo alla 120) o 121) l'equazione

121)

d ϑ(t ) = δ (t ) ) dt x ∈ Rn , t ∈ R

∂ g ( x, t ) − D∆g ( x, t ) = δ ( x ) δ ( t ) ∂t o, equivalentemente, il problema

122)

⎧∂ x ∈ Rn , t > 0 ⎪ ∂t g ( x, t ) − D∆g ( x, t ) = 0 ⎪ 123) ⎨ g ( x, 0 ) = δ ( x ) ⎪ g ( x, t ) = 0 t<0 ⎪ ⎩ Per risolvere la 123), consideriamo la trasformazione di Fourier rispetto alle variabili spaziali, trattando t come un parametro. Applicando questa trasformazione alla 123), otteniamo

124)

2 ⎧∂ ˆ ⎪ ∂t g ( ω, t ) + D ω gˆ ( ω, t ) = 0 ⎪ ⎨ 1 ⎪ gˆ ( ω, 0 ) = n 2 ⎪⎩ ( 2π )

ω = ( ω1 ,...., ωn ) ∈ R n , t > 0

69

Elementi di metodi matematici della fisica

Abbiamo quindi gˆ ( ω, t ) =

125)

1

( 2π )

e

n 2

− tD ω

2

t>0

Usando la 98), otteniamo g ( x, t ) =

126)

1

1

( 2π )

( 2tD )

n 2

n 2

e

−

x

2

t>0

4tD

con

( g ( x, t ) = 0

x = x12 + ... + x 2n

t < 0)

La g ( x, t ) è detta soluzione fondamentale dell'equazione di diffusione. Se consideriamo il problema di partenza 120) e applichiamo la trasformazione di Fourier rispetto alle variabili spaziali, otteniamo, invece della 124), 2 ⎧∂ ˆ ⎪ ρ ( ω, t ) + D ω ρˆ ( ω, t ) = 0 ⎨ ∂t ⎪ ρˆ ( ω, 0 ) = ρˆ 0 ( ω) , ⎩

127)

t>0

che ha per soluzione − tD ω ρˆ ( ω, t ) = ρˆ 0 ( ω) e , 2

128) cioè

ρˆ ( ω, t )

( 2π )

n 2

= gˆ ( ω, t ) ρˆ 0 ( ω)

Concludiamo allora che

ρ ( x, t )

( 2π )

n 2

t>0

= g ( x, t ) ∗ρ0 ( x ) ,

cioè ρ ( x, t ) =

129)

1

( 4πtD )

n 2

∫e

R

−

2

2

4tD

ρ0 ( y ) dy

(t > 0)

n

con x − x = ( x1 − y1 ) + ... + ( x n − y n ) 2

x−y

2

( ρ ( x, t ) = 0

t < 0)

E' utile tener presente che 130)

∫ g ( x, t ) dx = 1

R

70

n

∀t > 0

La trasformata di Fourier

Infatti: 1

( 4πtD )

n 2

∫e

−

x

2

4tD

1

dx =

( π)

Rn

n 2

∫e

−y

2

n +∞

1

dy =

( π)

Rn

Π

n 2 i =1

∫e

− y 2i

dy i = 1

−∞

La 130), consente di stabilire che 131)

lim ρ ( x, t ) = ρ0 ( x )

t →0 +

La 130) è un caso particolare della seguente equazione 132)

∫ ρ ( x, t ) dx = ∫ ρ ( x ) dx

∀t > 0

0

R

n

R

n

Infatti

∫ ρ ( x, t ) dx = ( 2π )

n 2

ρˆ ( 0, t ) = ( 2π )

ρˆ 0 ( 0 ) =

n 2

Rn

∫ ρ ( x ) dx , 0

Rn

dove si è usata la 128). Esempio XIV (Equazione libera di Schrodinger). l'equazione libera di Schrodinger

133)

⎧ ∂ψ + ∆ψ = 0 ⎪i ⎨ ∂t 2m ⎪ ψ ( x, 0 ) = ψ 0 ( x ) ⎩

Studiamo ora il problema ai valori iniziali per

x ∈ Rn , t > 0

( )

( )

dove ψ e ψ 0 sono a valori complessi e ψ 0 ( x ) ∈ L 2 R n ∩ L1 R n . La 133) si ottiene dalla 120) con 134)

D=

135)

⎛ 2m ⎞ ψ ( x, t ) = ⎜ ⎟ ⎝ 4 πi t ⎠

e la sostituzione di t con it. 2m Abbiamo allora dalla 129) n 2

∫e

i

x−y

2

m

2t

Rn

ψ 0 ( y ) dy

( )

x ∈ Rn , t > 0

( )

(l'integrale senz'altro esiste se ψ 0 ( x ) ∈ L 2 R n ∩ L1 R n ). Riscriviamo la 135) nella forma 136)

⎛ 2m ⎞ ψ ( x, t ) = ⎜ ⎟ ⎝ 4 πi t ⎠

n 2

i

x

2

e 2t

m

∫e

R

−i

< x,y > m t

2

e

i

y m 2t

ψ 0 ( y ) dy

n

( )

Tenendo presente che la trasformazione di Fourier in L 2 R n conserva la norma, dalla 136) si deduce

71

Elementi di metodi matematici della fisica

137)

∫ ψ ( x, t )

R

n

2

dx = ∫ ψ 0 ( x ) dx R

∀t > 0

n

Quindi l'applicazione: 138)

U t : ψ 0 ( x ) → ψ ( x, t )

( )

è un operatore lineare unitario in L 2 R n , per ogni fissato t. La funzione n 2

x

2

i m ⎛ m ⎞ 139) x ∈ Rn , t ≠ 0 G ( x, t ) = ⎜ e 2t ⎟ π 2 i t ⎝ ⎠ è detta la soluzione fondamentale dell'equazione libera di Schrodinger. Osserviamo che la 135) ha significato per ogni t ≠ 0 , anche per t < 0 . Quindi, in realtà abbiamo risolto il problema

140)

⎧ ∂ψ + ∆ψ = 0 ⎪i ⎨ ∂t 2m ⎪ ψ ( x, 0 ) = ψ 0 ( x ) ⎩

(

)

x ∈ Rn , t ∈ R

L'equazione di Schrodinger è reversibile nel tempo, a differenza dell'equazione di diffusione che è irreversibile nel tempo. La diffusione è un tipico processo di aumento dell'entropia. La 139) è associata alla condizione iniziale G ( x, 0 ) = δ ( x ) . Se consideriamo la condizione iniziale G ( x, 0 ) = δ ( x − y ) (y fissato punto di R n ), otteniamo n 2

m x−y

2

i ⎛ m ⎞ G ( x, t; y ) = ⎜ e 2t 141) ⎟ ⎝ 2πi t ⎠ La funzione di G ( x, t; y ) è il propagatore dell'equazione libera di Schrodinger.

7. Convergenza distribuzionale

Per le distribuzioni si può introdurre una nozione di convergenza, che risulta utile sotto vari aspetti. Considereremo lo spazio D' ( R n ) ; le nozioni e i risultati che otterremo si possono

estendere alle distribuzioni temperate. Consideriamo una famiglia {Tα } di distribuzioni dipendente da un parametro α che appartiene ad un insieme di indici I. Supponiamo che Tα ∈ D' ( R n ) , ∀α ∈ I . Si dice che {Tα } converge distribuzionalmente alla distribuzione T ∈ D' ( R n ) per α → α 0 , e si scrive 142) se

72

Tα → T α→α 0

La trasformata di Fourier

( )

∀ϕ∈ D R n

lim < Tα , ϕ >=< T, ϕ >

143)

α→α0

Questo tipo di convergenza è detta anche convergenza debole. Se l'insieme degli indici I è discreto e si considera una successione

{Tk }

di distribuzioni,

scriveremo lim Tk = T ,

144)

k →∞

se

( )

∀ϕ∈ D R n

lim < Tk , ϕ >=< T, ϕ >

145)

k →∞

Questa nozione si applica anche a serie di distribuzioni 146) T1 + T2 + ... + Tn + ... La serie 146) converge distribuzionalmente alla distribuzione T, se

( )

k

∀ϕ∈ D R n

lim < Σ Ti , ϕ >=< T, ϕ >

147)

k →∞

i =1

Si scriverà in tal caso ∞

T = Σ Tn

148)

n =1

Una proprietà importante di questo tipo di convergenza è espressa dal seguente teorema Teorema 13 Se lim < Tα , ϕ > esiste per ogni ϕ ∈ D R n , esiste una ed una sola distribuzione T tale che

( )

α→α0

Tα → T , cioè α→α 0

lim < Tα , ϕ >=< T, ϕ >

α→α0

Un'altra proprietà significativa riguarda la possibilità di scambiare sempre l'operazione di derivazione con quella di limite distribuzionale: se Tα → T , allora D m Tα → D m T , per ogni multindice n-dimensionale m. Si ha infatti (è α→α 0

α→α 0

sufficiente considerare le derivate prime): <

∂Tα ∂ϕ ∂ϕ ∂T , ϕ >= − < Tα , > → − < T, >=< ,ϕ > , α→α 0 ∂x i ∂x i ∂x i ∂x i

sicché ∂Tα ∂T → ∂x i α→α0 ∂x i In particolare abbiamo che ogni serie convergente di distribuzioni, può essere derivata termine a termine, tante volte quanto si vuole.

149)

73

Elementi di metodi matematici della fisica

La nozione di convergenza distribuzionale è particolarmente utile nelle situazioni in cui si vuole dare significato a procedimenti di limite che non hanno significato nell'ambito delle nozioni classiche. Essa consente altresì di stabilire un legame tra le distribuzioni, in particolare quelle singolari, e le funzioni ordinarie. Se una famiglia {fα ( x )} di funzioni localmente sommabili converge distribuzionalmente a una distribuzione T, scriveremo 150)

d

d

(o anche lim f ( x ) = T ( x ) )

fα ( x ) → T ( x )

α→α0

α→α0

dove T ( x ) è la funzione generalizzata o simbolica associata a T. Esempio XV. Sia fn ( x ) = sin nx

( n = 1, 2,...)

x∈R

La successione {fn ( x )} , tranne in x = 0 , non converge puntualmente. Abbiamo però 151)

d

sin nx → 0 n →∞

Infatti, per ogni ϕ ( x ) ∈ D ( R ) , abbiamo +∞

+∞

−∞

−∞

∫ ( sin nx ) ϕ ( x ) dx = ∫ ϕ ( x ) +∞

1 ⎛ 1 ⎞ d ⎜ − cos nx ⎟ = − ( cos nx ) ϕ ( x ) n ⎝ n ⎠

+∞

+ −∞

+∞

1 1 + ∫ ( cos nx ) ϕ' ( x ) dx = ∫ ( cos nx ) ϕ' ( x ) dx n −∞ n −∞ Quindi +∞

1

+∞

∫ ( sin nx ) ϕ ( x ) dx ≤ n ∫

−∞

ϕ' ( x ) dx

−∞

Passando al limite per n → ∞ otteniamo la 151). Esempio XVI. Abbiamo visto che la trasformata di Fourier di f ( x ) =

e ixξ 2π

è la distribuzione δξ .

Questo risultato lo abbiamo espresso simbolicamente nella forma +∞

152)

1 − iy ( x −ξ ) dy = δ ( x − ξ ) ∫e 2π −∞

Alla 152) si può dare in realtà un significato preciso e diretto nell'ambito della nozione di convergenza distribuzionale. Consideriamo l'integrale ( N > 0 )

74

La trasformata di Fourier

+N

1 − iy x −ξ e ( ) dy ∫ 2π − N

A fissato N, l'integrale esiste e fornisce una funzione ben precisa di x: +N sin N ( x − ξ ) 1 − iy ( x −ξ ) 153) = e dy π ( x − ξ) 2 π −∫N Per N → ∞ questa funzione non ammette limite (tranne per x = ξ ) nel senso ordinario. Esaminiamo il limite dal punto di vista distribuzionale. +∞

∫

sin N ( x − ξ ) π (x − ξ)

−∞

+N

=

ϕ ( x ) dx =

⎛ + N 1 − iy( x −ξ ) ⎞ dx dy ⎟ ϕ ( x ) dx = ∫ ⎜⎝ −∫N 2π e −∞ ⎠ +∞

+∞

+N

+∞

1 1 1 dye iyξ ∫ e − iyx ϕ ( x ) dx = dωe iωξ e − iωx ϕ ( x ) dx = ∫ ∫ ∫ 2π − N 2π − N 2 π −∞ −∞

=

1

+N

∫

2π − N

e iωξ ϕˆ ( ω) dω →

N →∞

1

+∞

∫e 2π

iωξ

ϕˆ ( ω) dω = ϕ ( ξ )

∀ϕ∈ D ( R )

−∞

(ogni ϕ ∈ D ( R ) appartiene anche a S ( R ) ). (E' da notare che abbiamo scambiato l'ordine d'integrazione di x e y, in virtù del fatto che l'integrale in y è esteso ad un intervallo limitato). Possiamo quindi concludere che +N

154)

lim

N →∞

∫

e

− iy ( x −ξ )

dy = lim

−N

N →∞

sin N ( x − ξ )

π ( x − ξ)

d

= δ (x − ξ)

In particolare 155)

sin Nx d = δ(x) N →∞ πx lim

Esempio XVII. Un risultato analogo al precedente può essere ottenuto nel modo seguente. Consideriamo l'intervallo ( 0, 2 π ) e le funzioni di classe C ∞0 ( R ) e a supporto compatto contenuto

in questo intervallo. Questo insieme forma lo spazio D ( ( 0, 2π ) ) . I funzionali lineari e continui su D ( ( 0, 2π ) ) sono le distribuzioni su ( 0, 2 π ) , che formano lo spazio D'

( ( 0, 2π ) ) . Siano x e ξ

( ξ fissato) punti di ( 0, 2 π ) . La serie di funzioni

1 +∞ in ( x −ξ ) Σ e 2π n =−∞ non converge nel senso usuale (il termine n-simo non tende a zero). Dal punto di vista distribuzionale abbiamo, per ϕ ( x ) ∈ D ( ( 0, 2π ) ) , 156)

75

Elementi di metodi matematici della fisica

2π

+N 1 + N inξ − inx e inξ 1 Σ e ∫ e ϕ ( x ) dx = Σ n =− N 2 π n =− N 2π 2π 0 i coefficienti di Fourier: 2π

1

∫e 2π

cn =

− inx

2π

∫e

− inx

ϕ ( x ) dx ;

0

ϕ ( x ) dx

0

sono funzioni rapidamente decrescenti per n → ±∞ , in virtù della infinita derivabilità di ϕ ( x ) . Dalla teoria delle serie trigonometriche di Fourier abbiamo e inξ

+∞

Σ

157)

2π

n =−∞

cn = ϕ (ξ)

Concludiamo allora 1 +∞ − in ( x −ξ ) d Σ e = δ ( x − ξ) 2π n =−∞

158)

in D'

( ( 0, 2π ) )

Sia f ( x ) = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) una funzione non negativa localmente sommabile

Esempio XVIII. su R n , tale che

∫ f ( x )dx = 1

159)

Rn

Per α > 0 , definiamo fα ( x ) =

160)

1 αn

⎛x⎞ 1 f⎜ ⎟= n ⎝α⎠ α

x ⎞ ⎛x x f ⎜ 1 , 2 ,..., n ⎟ α⎠ ⎝α α

Dimostriamo che d

lim+ fα ( x ) = δ ( x )

161)

α→ 0

Anzitutto, con il cambiamento di variabile y = a)

∫ f ( x )dx = 1

b) c)

∀α > 0

α

R

n

lim α→ 0

lim α→ 0

∫ f ( x ) dx = lim ∫ f ( y ) dy = 0

∀ fissato ρ > 0

∫ f ( x ) dx = 1

∀ fissato ρ > 0

α

x >ρ

α→ 0

ρ y> α

α

x <ρ

In virtù della a) la 161) afferma che 162)

76

(

x , otteniamo x = x12 + .... + x 2n α

lim

α→α0

∫ f ( x ) ( ϕ ( x ) − ϕ ( 0 ) ) dx = 0 α

Rn

)

La trasformata di Fourier

Dividiamo R n in due insiemi x ≤ B, x > B sicché

∫ f ( x ) ( ϕ ( x ) − ϕ ( 0 ) ) dx ≤ ∫ f ( x ) ( ϕ ( x ) − ϕ ( 0 ) ) dx + ∫ f ( x ) ( ϕ ( x ) − ϕ ( 0 ) ) dx α

α

α

x ≤B

Rn

x >B

Sia M = sup ϕ ( x ) − ϕ ( 0 ) , x∈R n

P ( B) = sup ϕ ( x ) − ϕ ( 0 ) x ≤B

Abbiamo, usando la non negatività di fα e la a),

∫ f ( x ) ( ϕ ( x ) − ϕ ( 0 ) ) dx ≤ P ( B) + M ∫ f ( x ) dx α

α

x >B

Rn

Sia ε > 0 . Per la continuità di ϕ ( x ) possiamo scegliere B (indipendentemente da α ) in modo tale che P ( B) <

ε . Per le proprietà b) esiste un γ tale che, per ogni 0 < α < γ 2 ε ∫ f ( x ) dx < 2M α

x >B

Quindi, fissato ε , esiste γ tale che per 0 < α < γ

∫ f ( x ) ( ϕ ( x ) − ϕ ( 0 ) ) dx < ε α

Rn

Ciò dimostra la validità della 162) e quindi della 161). Osserviamo che per ξ fissato, facendo un cambiamento di variabile, si deduce immediatamente 163)

d

lim+ fα ( x − ξ ) = δ ( x − ξ )

α→ 0

(è questo il motivo per cui si indica la funzione simbolica associata a δξ con δ ( x − ξ ) ). Per esempio se consideriamo in R la funzione f ( x ) =

1 , questa soddisfa la 159). π 1 + x2

(

)

Abbiamo allora 164)

lim+ fε ( x ) = lim+

ε→ 0

ε→0

11 επ

d 1 ε lim = = δ(x) x 2 ε→0+ π ( x 2 + ε 2 ) 1+ 2 ε

La funzione g ( x, t ) , con D = 1 data dalla 126) (vedi anche 130))

77

Elementi di metodi matematici della fisica

165)

g ( x, t ) =

1

( 4πt )

n 2

e

−

x

2

(t > 0)

4t

è del tipo di una famiglia fα ( x ) , con t = α 2 . Abbiamo quindi

166)

lim+

t →0

1

( 4πt )

n 2

e

−

x

2

4t

d

= δ(x)

in R n

Sia x 0 un punto fissato di R. La funzione

Esempio XIX.

1 , x − x0 come abbiamo già osservato, non è localmente sommabile. Pertanto l'integrale

167)

168)

f (x) =

+∞

ϕ(x)

−∞

0

∫ x−x

dx

con ϕ ( x ) ∈ D ( R )

non può definire una distribuzione in quanto non ha significato. Abbiamo visto che si può dare significato all'integrale 168), considerando la derivata distribuzionale di log x − x 0 , che ha condotto all'integrale a valor principale di Cauchy e alla distribuzione P.V.

169)

1 x − x0

⎡ x0 −η ϕ ( x ) ϕ(x) ⎤ 1 , ϕ >= lim+ ⎢ ∫ dx + ∫ dx ⎥ < P.V. η→0 x − x0 x − x 0 ⎥⎦ x 0 +η ⎣⎢ −∞ x − x 0

1 in modo più diretto, x − x0 nell'ambito della convergenza distribuzionale. Osserviamo che, se diamo a x 0 una parte immaginaria + iε ( ε > 0 , per esempio), la funzione Affronteremo ora il problema del significato che possiamo dare a

170)

fε ( x ) =

1 x − x 0 − iε

è localmente sommabile. Quindi fε ( x ) definisce una distribuzione. Il limite ε → 0 + , considerato puntualmente, ci riporta alla f ( x ) (e quindi non risolve il problema di dare un significato a 1 ). Consideriamo invece il limite ε → 0 + dal punto di vista distribuzionale. Abbiamo per x − x0

ogni ϕ ( x ) ∈ D ( R )

78

La trasformata di Fourier

< fε ( x ) , ϕ >=

ϕ(x)

+∞

∫ x−x

−∞

0

+∞

− iε

dx =

∫ (x − x )

−∞

0

2

ϕ ( x ) dx

+∞

x − x0 +ε

2

ϕ ( x ) dx + iε ∫

−∞

( x − x0 )

2

+ ε2

Dalla 164) deduciamo ϕ ( x ) dx

+∞

lim+ iε ∫

171)

ε→ 0

−∞

( x − x0 )

2

+ ε2

= iπϕ ( x 0 )

Resta da esaminare il primo integrale. Abbiamo +∞

x − x0

−∞

0

∫ (x − x )

2

+ ε2

ϕ ( x ) dx =

(

+∞

+∞

(

)

1 2 ϕ ( x ) d log ( x − x 0 ) + ε 2 = ∫ 2 −∞

)

+∞

1 2 = − ∫ log ( x − x 0 ) + ε 2 ϕ' ( x ) dx →+ − ∫ log x − x 0 ϕ' ( x ) dx = ε→ 0 2 −∞ −∞ =<

d 1 log x − x 0 , ϕ >=< P.V. ,ϕ > dx x − x0

Considerando anche il caso in cui diamo a x 0 una parte immaginaria − iε ( ε > 0 ) , concludiamo che 172)

lim+

ε→ 0

d 1 1 = P.V. ± iπδ ( x − x 0 ) x − x 0 ∓ iε x − x0

Le due distribuzioni che abbiamo ottenuto vengono indicate con 1

173)

+

= P.V.

x − x 0 ∓ i0 Abbiamo anche trovato che 174)

lim ε→ 0

x − x0

( x − x0 )

2

+ ε2

d

1 x − x 0 ∓ i0 +

1 ± iπδ ( x − x 0 ) x − x0

= P.V.

1 x − x0

Sia F ( z ) la funzione olomorfa definita da F (z) =

175)

+∞

∫x a

( )dx

f x1 1

1

−z

( ) è continua e sommabile e z non appartiene alla semiretta ( a, +∞ ) . F ( z ) è olomorfa 1

dove f x

nel piano complesso privato della semiretta ( a, +∞ ) . Sia x ∈ ( a, +∞ ) . Poiché P.V.

1 e x − x0

79

Elementi di metodi matematici della fisica

δ ( x − x 0 ) possono essere estesi, come funzionali, alle funzioni continue e sommabili su ( a, +∞ ) ,

abbiamo che 176)

(

)

+∞

F x ± i0 + = lim+ F ( x ± iε ) = P.V. ∫ ε→ 0

a

( ) dx

f x1

x −x 1

1

± iπf ( x )

La F ( z ) presenta quindi una discontinuità sulla semiretta ( a, +∞ ) , data da: 177)

F ( x + i0 + ) − F ( x − i0 + ) = 2iπf ( x )

x ∈ ( a, +∞ )

Esempio XX. Sulla base della nozione di limite distribuzionale possiamo dare un significato alla funzione simbolica δ ( a ( x ) ) , se a ( x ) è una funzione derivabile con continuità ed ammette

zeri semplici e isolati. Dare significato a δ ( a ( x ) ) , significa definire una distribuzione

rappresentata simbolicamente da δ ( a ( x ) ) . Abbiamo visto che lim+

ε→ 0

d ε = δ(x) π ε2 + x 2

(

)

Possiamo allora definire δ ( a ( x ) ) come limite distribuzionale 178)

d

δ ( a ( x ) ) = lim+ ε→0

1 ε 2 π ε + a2 ( x )

Siano x1 , x 2 ,..., x k ,... gli zeri di a ( x ) . L'andamento di sufficientemente piccolo).

80

1 ε è dato in figura (per ε 2 π ε + a2 ( x )

La trasformata di Fourier

+∞

Per ε sufficientemente piccolo l'integrale

1

∫ πε

−∞

2

ε ϕ ( x ) dx riceve contributi finiti soltanto + a2 ( x )

in piccoli intervallini contenenti i punti x1 , x 2 ,..., x k ,... che cadono nel supporto di ϕ . In questi intervallini possiamo scrivere a ( x ) = a' ( x k )( x − x k ) e 1 ε 1 ≅ 2 2 π ε + a (x) π

(

ε

ε 2 + a' ( x k )

)

2

( x − xk )

(

d → δ a' ( x k )( x − x k )

2 ε→0

)

Resta da dare un significato a δ ( cx ) . Abbiamo: 1 ε 1 ε c2 1 η 1d 1 lim+ = lim = lim i = δ(x) 2 2 2 2 ε→ 0 π 2 ε→ 0 + π ε c + x c η→0+ η2 + x 2 π c ε + ( cx ) Quindi: 1 δ(x) c

δ ( cx ) =

179)

(su R n δ ( cx ) =

1 c

n

δ(x) )

(c ≠ 0)

Pertanto otteniamo, in virtù dell'ipotesi che gli zeri siano semplici (sicché a' ( x k ) ≠ 0 ) δ ( ax ) = Σ

180)

k

δ (x − xk ) a' ( x k )

Per esempio

(

)

i) δ x 2 − a 2 =

1 ⎡δ ( x − a ) + δ ( x + a ) ⎤⎦ 2a ⎣

(a > 0)

+∞

ii) δ ( sin x ) = Σ δ ( x − kπ ) k =−∞

81

BIBLIOGRAFIA 1) Riesz F., B. Sz. – Nagy, Functional Analysis, New York (1955). 2) Laurent Schwartz, Mathematics for the Physical Sciences, Hermann ed. Paris (1966). 3) Ivar Stakgold, Green's functions and boundary value problems, Wiley – Sons (1998), Second Edition. 4) E. Zeidler, Applied functional analysis (Applications to Mathematical Physics), Springer (1995).