Esta Di Sticas

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MERIDA YUCATAN A 04 DE SEPTIEMBRE DE 2014

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LISTA DE COTEJO #1 UNIDAD TEMÁTICA: REGRESIÓN LINEAL SIMPLE FORMA

VALOR

1. Realizó la portada con los datos completos: Institución, asignatura, tema, nombres completos iniciando con apellidos y ordenados alfabéticamente, grupo y horario y siguiendo las reglas gramaticales correspondientes en todo el documento. 2. Las instrucciones de cada ejercicio se transcribieron a formato de texto y toda la resolución se escribe en un documento de Word paginado en la parte superior derecha, con márgenes de 3 cm a la izquierda y 2 cm para los demás. 3. El trabajo se entregó en forma limpia, ordenada, con los ejercicios enumerados correlativamente comenzando con el #1 y guarda el mismo formato en todo el documento. CONTENIDO

0.5

4. El modelo de regresión obtenido es correcto y se describe explícita y correctamente el significado de dicho modelo 5. Elabora un diagrama de dispersión con los datos de cada ejercicio y traza la recta de regresión estimada. 6. Calcula y describe el significado del error estándar, coeficiente de correlación y de determinación en todos los ejercicios. 7. Realiza las pruebas de significancia (pruebas de hipótesis) correspondientes para los parámetros poblacionales (β y p). 8. Proporciona el intervalo de confianza para un valor promedio de y y para un valor único de y TRABAJO EN EQUIPO y RESPONSABILIDAD 9. El equipo (mínimo 3 integrantes y máximo 5) trabajó en forma coordinada y colaborativa y se condujo con armonía y respeto. 10. El trabajo se entregó (Impreso y engargolado) en la fecha establecida, contiene el total de ejercicios solicitados y se depositó en el sitio electrónico de la clase. Puntuación obtenida de

1.5

Observaciones:

0.5

0.5

1.5 1.5

1.5 1.5

o.5

0.5

10

PUNTUACIÓN OBTENIDA

3 1- Si el valor de efecto?

es elevado, ¿implica eso que entre las dos variables hay una relación de causa y

R= Si, porque mide el porcentaje del cambio (efecto) en la variable X y se explica por un cambio (causa) en la variable independiente.

2- Explique con sus propias palabras la diferencia entre estimación por intervalo del valor medio de las y para un valor dado de x y estimación por intervalo de un valor de y para una x dada. R= El intervalo del valor medio de las “Y” para un valor dado de “X” estima un valor promedio de “Y” dado cualquier valor de “X”, mientras el que el intervalo de estimación de un valor de “Y” para una “X” dada estima un solo valor de “Y” dado “X” fijado en una cantidad especifica.

3- ¿Qué objeto tiene probar si 1 = 0? Si se rechaza que 1 = 0, ¿significa eso un buen ajuste? R= Al probar que β=0 podemos aceptar Ho, lo cual significa que la pendiente en la población es cero y por lo tanto no hay relación lineal. Al rechazar Ho podemos ver que la pendiente en la población no es cero y así podemos decir que hay una relación lineal entre las variables.

4- En la tabla siguiente se da el número de acciones vendidas (en millones) y el precio esperado (el promedio del precio mínimo y del precio máximo) de 10 acciones de oferta pública inicial. Empresa American Physician Apex Silver Mines Dan River Franchise Mortgage Gene Logic International Home Foods PRT Group Rayovac RealNetworks Software AG Systems ∑

Acciones vendidas (x) 5.0 9.0 6.7 8.75 3.0 13.6 4.6 6.7 3.0 7.7

Precio esperado ($)(y) 15 14 15 17 11 19 13 14 10 13

68.05

141

xy 25 81 44.89 76.562 9

225 196 225 289 121

75 126 100.5 148.75 33

184.96 21.16 44.89 9

361 169 196 100

258.4 59.8 93.8 30

59.29 555.752

169 2051

100.1 1025.35

4 a) Obtenga la ecuación de regresión estimada en la que la cantidad de acciones vendidas sea la variable independiente y el precio la variable dependiente. Media de x=6.805 Media de y=14. Scx=

=

scy

92.6718

= 62.9

scxy

=65.845

bi=

=0.7105

b0= 14-(.0715)(6.805) = 13.5134 Ecuación de la regresión

Ŷ= 13.5134 + 0.7105x

b) Empleando 0.05 como nivel de significancia, ¿existe una relación significativa entre las dos variables? 1-

HO: BI=0 HA: BI≠0

2-

t=

Sbi=

= =

√

= 2.82 √

3- Grado de libertad gl=n-2 gl=10-2= 8 α=5%=0.05

-2.82

= .2512 t=8,0.05

2.82

-2.306

2.306

Como la t calculada es 2.82 >2.306 que es la t de la tabla critica. Se rechaza la Ho y se acepta HA lo cual significa que con un nivel de confianza del 95% existe una relación entre las acciones vendidas y el precio esperado

5 c) ¿Proporciona la ecuación de regresión estimada un buen ajuste? Explique. r=

r=

√

√

=.8624302

Existe una relación positiva considerable entre las variables, =.743785 El porcentaje de cambio” y” se debe al cambio de “x”, es decir el 71% en el cambio del precio esperado y se explica por los resultados de las acciones vendidas

d) Empleando la ecuación de regresión estimada, estime el precio esperado en una empresa que considera una oferta pública inicial de 6 millones de acciones.

Ŷ=bo + bix Ŷ= 13.5134 + 0.7105(6) Ŷ= 13.5134 +4.263 Ŷ=17.77 El precio esperado de 6 millones de acciones es de 17.77 millones

6 5- Los programas de recompra de acciones corporativas, suelen promoverse como un beneficio para los accionistas. Pero Robert Gabele, director de investigación interna de First Call/Thomson Financial, hizo notar que muchos de estos programas se realizan únicamente con el objetivo de obtener acciones que se emplean como opciones como incentivo para los altos directivos de la empresa. En todas las empresas, las opciones de acciones existentes en 1998 representaban el 6.2 por ciento de todas las acciones comunes en circulación. En los datos siguientes se da la cantidad de opciones otorgadas y la cantidad de acciones en circulación de 13 empresas (Bloomberg Personal Finance, enero/febrero, 2000) Opciones otorgadas en circulación (en millones) (x) 20.3

Acciones comunes en circulación (en millones) (y) 61.8

xy

Adobe Systems 412.09 3819.24 1254.54 Apple 52.7 160.9 Computer 2777.29 25888.81 8479.43 Applied 109.1 375.4 Materials 11902.81 140925.16 40956.14 Autodesk 15.7 58.9 246.49 3469.21 924.73 Best Buy 44.2 203.8 1953.64 41534.44 9007.96 Fruit of the 14.2 66.9 Loom 201.64 4475.61 949.98 ITT Industries 18.0 87.9 324 7726.41 1582.2 Merrill Lynch 89.9 365.5 8082.01 133590.25 32858.45 Novell 120.2 335.0 14448.04 112225 40267 Parametric 78.3 269.3 Technologyl 6130.89 72522.49 21086.19 Reebok 12.8 56.1 International 163.84 3147.21 718.08 Silicon 52.6 188.8 Graphics 2766.76 35645.44 9930.88 Toys “R” Us 54.8 247.6 3003.04 61305.76 13568.48 ∑ 682.8 2477.9 52412.54 646275.03 181584.1 a) Obtenga una ecuación de regresión estimada que sirva para estimar la cantidad en circulación de opciones otorgadas dada la cantidad de acciones comunes en circulación. Media de x=52.4615 Media de y=190.6076 Scx=

= 16,549.79

scy

= 173,968.23 scxy

bi=

= 3.1243

b0= 190.6076 – (3.1243) (52.4615)= 26.7022 =51,707.17 Ecuación

Ŷ= 26.7022 + 3.1243 x

7

b) Emplee la ecuación de regresión estimada para estimar la cantidad en circulación de opciones otorgadas por una empresa que tiene 150 millones de acciones comunes en circulación. Ŷ=bo + bix Ŷ= 26.7022 + 3.1243 (150) Ŷ=495.3472 El precio esperado de 150 millones de acciones comunes es de 495.3472 opciones otorgadas en circulacion

c) ¿Cree que la ecuación de regresión estimada proporcione una buena predicción de la cantidad en circulación de opciones otorgadas? Emplee r2 para justificar su respuesta. r=

√

r=

√

=.963650

=.9286 El porcentaje de cambio” y” se debe al cambio de “x”, es decir el 92% en las acciones comunes y se explica por los resultados de las opciones otorgadas en circulación

8 6- El promedio industrial Down Jones (DJIA) y el Estándar & Poor´s 500 (S&P) son índices que emplean como una medida del movimiento general del mercado de valores. El DJIA se basa en los movimientos de los precios de 30 empresas grandes; el S&P 500 es un índice compuesto de 500 acciones. Algunos dicen que el S&P 500 es una mejor medida de la actividad del mercado de valores porque tiene una base más amplia. A continuación se presenta el precio de cierre del DJIA y del S&P 500 durante 20 semanas a partir del 9 de Septiembre del 2005, 30 de enero de 2006 DJLA (X) S&P 500 (Y) XY X2 Y2 10679 1241 13252639 114041041 1540081 10642 1238 13174796 113252164 1532644 10420 1215 12660300 108576400 1476225 10569 1229 12989301 111703761 1510441 10292 1196 12309232 105925264 1430416 10287 1187 12210669 105822369 1408969 10215 1180 12053700 104346225 1392400 10403 1198 12462794 108222409 1435204 10531 1220 12847820 110901961 1488400 10686 1235 13197210 114190596 1525225 10766 1248 13435968 115906756 1557504 10932 1268 13861776 119508624 1607824 10878 1265 13760670 118330884 1600225 10779 1259 13570761 116186841 1585081 10876 1267 13779892 118287376 1605289 10883 1269 13810527 118439689 1610361 10718 1248 13376064 114875524 1557504 10959 1285 14082315 120099681 1651225 10960 1288 14116480 120121600 1658944 10667 1261 13451087 113784889 1590121 213142 24797 264404001 2272524054 30764083 N=20 N-2=18

9 a) De el diagrama de dispersión de estos datos empleando DJIA como variable independiente 1300 ESTÁNDAR AND POOR´S

1280 1260 1240 1220 1200 1180 1160 10000

10200

10400

10600

10800

11000

DJIA

b) Obtenga la ecuación de la regresión estimada b =(N∑XY)-(∑X∑Y)/((n∑X2)-(∑(x)2)) N∑XY = ∑X∑Y = n∑X2 = ∑(x)2

5288080020 5285282174 45450481080 45429512164

b =2797846/20968916

a = (∑y/n)-(b∑x/n)

b= 0.1334

a=1239.85- 1421.95832 a =-182.108

-182.1083219+0.1334x c) Pruebe la significancia de la relación. Use significancia = 0.05 Ho: B1=0 Ha: B1 dif de 0

T, 05,18= 2.101 t=b1-B1/sb1

10 b1=0.1334 B1=0 SB1=0.006738635 t= 0.1334-0/0.0067 t=19.80048678

-2.101

2.101

Debido a que t (19.80) es mayor que 2.101 se rechaza la hipótesis de que B1=0 por lo tanto, se puede afirmar que hay una relación entre el cierre de los índices de DJIA y los de S&P.

d) ¿Proporciona un buen ajuste la ecuación de regresión estimada? Explique Tendríamos que obtener que tan fuerte es la relación para esto utilizaríamos el coeficiente de determinación para saber con qué tanta precisión se relacionan estos datos por lo tanto utilizamos la fórmula r= scxy/raíz (scx*scy) Por lo tanto: SCXY ∑XY-(∑x∑y/n)

SCX ∑x2-(∑x)2/n

∑XY ∑X 139892.3 ∑Y n ∑x∑y/n

∑x2 1048445.8 ∑(x)2 n

2272524054 45429512164 20

y2 (∑y)2 19522.55 n y2

30764083 614891209 20 30764083

SCY y2-(∑y)2/n

r = 13989.3/raíz (1048445.8*19522.55) r= 139892/143067.5909 r= 0.9778

264404001 213142 24797 20 264264108.7

11 Conclusión: La ecuación de regresión proporciona un buen ajuste, ya que hay una relación directa entre el índice DJIA y el S&P 500, en el cual el valor estimado de S&P 500 y el valor real quedan muy cercanos. e) Suponga que el precio de cierre de DJIA es 11,000. Estime el precio de cierre de S&P 500 Utilizando la ecuación de regresión : -182.1083219+0.1334x obtenemos: -182.1083 +0.1334(11,000) 182.1083+1467.4=1285.29 Conclusión: Si el precio de cierre de DJIA es de 11,000 el precio aproximado de S&P 500 es de 1285

f) ¿Debe preocupar que el valor de 11000 del DJIA empleado en el inciso e) para producir el del S&P se encuentre fuera del intervalo de los datos empleado para obtener la ecuación estimada? No, porque los datos que se proporcionaron son cercanos a 11,000 y aparte el índice DJIA y el S&P 500 están directamente relacionados, por lo cual se tienen dos razones para estar seguro que al usar 11,000 en DJIA podríamos aproximarnos mucho al índice de S&P 500

12 7-

Jensen Tire & Auto está por decidir si firma un contrato de mantenimiento para su nueva máquina de alineamiento y balanceo de neumáticos. Los gerentes piensan que los gastos de mantenimiento deberán estar relacionados con el uso y recolectan los datos siguientes sobre uso semanal (horas) y gastos de mantenimiento (en cientos de dólares)

Uso semanal(X)

Gastos anuales de mantenimientoY)

XY

13 10 20 28 32 17 24 31 40 38 ∑=253

17 22 30 37 47 30.5 32.5 39 51.5 40 ∑=346.5

X2

221 220 600 1036 1504 518.5 780 1209 2060 1520 ∑=9668.5

Y2 169 289 100 484 400 900 784 1369 1024 2209 289 930.25 576 1056.25 961 1521 1600 2652.25 1444 1600 ∑=7347 ∑13010.75

60 50

Costo en cientos de dólares

40 30

Series1

20 10 0 0

10

20

30

40

50

USO SEMANAL EN HORAS a) Obtenga la ecuación de regresión que relaciona gastos anuales de mantenimiento con el uso semanal. N∑XY = ∑X∑Y = n∑X2 = ∑(x)2 b =(N∑XY)-(∑X∑Y)/(n∑X2)-(∑(x)2)

96685 87664.5 73470 64009 B =96685-87664.5/(73470-64009) B =9020.5/9461 B =0.95343

13

∑y/n =34.65 a=

(∑y/n)-(b∑x/n) A= 34.65-24-12 b∑x/n=0.9534*253/10 A=10.5279569 b∑x/n=24.12

a=

Ecuación de regresión : 10.53 + 0.9534X

b) Pruebe la significancia del inciso a) con 0.05 como nivel de significancia Ho: B1=0 Ha: B1 dif de T, 05,8= 2.306 t=b1-B1/sb1 b1=0.9534 B1=0 SB1=0.1381

-2.306

2.306

t= 0.9534-0/0.1381 t=6.90 SCX ∑x2(∑x)2/n ∑x2 Valor SCX=946.1 ∑(x)2 n SCY y2 VALOR SCY =1004.525 (∑y)2 n SCXY ∑XY ∑XY(∑x∑y/n) ∑X 902.05 ∑Y n

7347 64009 10

SCE SCY(SCYX)2/SCX SCY VALOR SCE=144.474051 (SCXY)2 SCX (SCXY)2/SCX

813694.202 946.1 860.050949

CME SCE/n-2 SCE 18.0592564 n-2

144.474051 8

1004.525

13010.75 120062.25 10 9668.5 253 346.5 10

Se raiz(CME)

14 ∑x∑y/n

8766.45

4.24961839

sb1 Se/raiz (scx) se 4.24961839 0.13815971 scx 946.1 raiz (scx) 30.7587386 Conclusión: Debido a que Ho: B= 0 cae en la zona de rechazo, podemos afirmar que hay una relación entre el uso semanal de las máquinas y el costo del mantenimiento. c) Jensen piensa que usará la nueva máquina 30 horas a la semana. Obtenga un intervalo de predicción de 95% para los gastos anuales de mantenimiento de la empresa. *Calcular error estándar del pronóstico (SYi) SYi = Se raiz (1+1/n)+(xi-promedio x)2/scx Se=4.2496 1+1/n=1.1 Xi=30 X promedio= 253/10 =25.3 SCX=946.1 SYi= 4.2496* raiz (1.1)+(30-25.3)2/946.1 SYi=4.50

ýi=10.53 + 0.9534(30) ýi=39.132

Intervalo de predicción: Ýi (+-)t(syi) 39.13 (+-) 2.306*4.50 *=39.13+10.377=49.50 *39.13-10.377=28.753 CONCLUSIÓN: Se gastarán entre 2,875 y 4950 dólares por el costo de mantenimiento d) Si el precio del contrato de mantenimiento es de 3,000 anuales ¿recomendaría firmar el contrato de mantenimiento? ¿Por qué sí o por qué no? Si, por que según la predicción del intervalo que podríamos pagar por el costo de mantenimiento (por 30 horas) es menor a lo que seria el promedio de 2,875 a 4,950 por lo cual el 3,000 dolares, está cerca de la predicción mínima supuesta antes.

15 8- En un determinado proceso de manufactura, se cree que la velocidad (pies por minuto) de la línea de ensamble afecta el número de partes defectuosas halladas en el proceso de inspección. Para probar esto, los gerentes han ideado un procedimiento en el que la misma cantidad de partes por lote se examina visualmente a diferentes velocidades de la línea. Se obtienen los datos siguientes. NÚMERO DE xy PARTES DEFECTUOSAS ENCONTRADAS 400 441 420 20 21 400 361 380 20 19 1600 225 600 40 15 30 16 900 256 480 60 14 3600 196 840 1600 289 680 40 17 a) Obtenga la ecuación de regresión estimada que relaciona la velocidad de la línea de producción con el número de partes defectuosas encontradas. VELOCIDAD DE LA LÍNEA

Media de X = ∑x/n = 210/6 =35 Media de Y = ∑y/n = 102/6 = 17 Scx=

= 1150

scy

= 34 scxy b=

-

a= 102/6 -

bi=

= 16.1905

b0= 17 – (16.1905) (35)= -549.6675 = -170

Ecuación

Ŷ= -549.6675 + 16.1905 x

= -0.1478

Ecuación

Y1=22.1739 + (-0.1478)X

= 22.1739

b) Empleando el nivel de significancia 0.05, determine la velocidad de la línea y el numero de partes defectuosas están relacionados. Ho: B1=0 Ha: B1 dif de 0

T, 05,4= 2.78 t=b1-B1/sb1

-2.78

2.78

16 b1=16.1906 B1=0 SB1=0.0012948 t= 16.1906-0/0.0012948 t=12,503.65

Debido a que t (12,503.65) es mayor que 2.78 se rechaza la hipótesis de que B1=0 por lo tanto, se puede afirmar que hay una relación entre la velocidad de la línea y los desperfectos c) ¿la ecuación de regresión estimada proporciona un buen ajuste a los datos?. Tendríamos que obtener que tan fuerte es la relación para esto utilizaríamos el coeficiente de determinación para saber con qué tanta precisión se relacionan estos datos por lo tanto utilizamos la fórmula r= scxy/raíz (scx*scy) Por lo tanto: SCXY ∑XY-(∑x∑y/n)

SCX ∑x2-(∑x)2/n

SCY y2-(∑y)2/n

r=

√

r= 0.8597 r2=0.7390

∑XY ∑X -170 ∑Y n ∑x∑y/n

3400 210 102 6 3570

∑x2 34 ∑(x)2 n

8500 44100 6

y2 (∑y)2 19522.55 n y2

1768 10404 6 1768

17 d) Obtenga un intervalo de confianza de 95% para predecir el número medio de partes defectuosas si la velocidad de la línea es de 50 pies por minuto. SYi= 1.4891(raiz 1.3556) = 1.7338 IC Yx= Ŷi (+-) t SYi Yx (+)=19.6039 Yx (-)= 9.9639 El intervalo es:

19.6039 >o igual a Yx >o igual a 9.9639

18 9- Un hospital de una ciudad grande contrató a un sociólogo para que investigara la relación entre “el número de días de ausencia sin autorización” de los empleados por año y la “distancia en millas entre su casa y el trabajo”. Se tomó una muestra de 10 empleados y se obtuvieron los datos siguientes: DISTANCIA ENTRE NUMERO DE DIAS DE xy LA CASA Y EL AUSENCIA SIN TRABAJO AUTORIZACIÓN 1 64 8 1 8 3 5 9 25 15 4 8 16 64 32 6 7 36 49 42 8 6 64 36 48 100 9 30 10 3 12 5 144 25 60 14 2 196 4 28 14 4 196 16 56 324 4 36 18 2 a) Elabore el diagrama de dispersión con estos datos. ¿Aparenta ser razonable una relación lineal? Explique. R= no aparenta ser razonable por que unos puntos están relativamente cerca y otros dispersos b) Obtenga la ecuación de regresión estimada por mínimos cuadrados. Media de X = ∑x/n = 210/6 =35 Media de Y = ∑y/n = 102/6 = 17 Scx=

= 1150

scy

= 34

scxy b=

-

bi=

= 16.1905

b0= 17 – (16.1905) (35)= -549.6675 = -170

Ecuación

Ŷ= -549.6675 + 16.1905 x

= -0.1478

Ecuación

Y1=22.1739 + (-0.1478)X

a= 102/6 -

= 22.1739

c) ¿Existe una relación significativa entre las dos variables? Explique.

SCXY ∑XY-(∑x∑y/n)

SCX ∑x2-(∑x)2/n

∑XY ∑X -95 ∑Y n ∑x∑y/n

∑x2 276 ∑(x)2

355 90 50 10 450

1086 8100

19 n SCY y2-(∑y)2/n

r=

y2 (∑y)2 46 n y2

10 1086 2500 10 296

√

r= 0-0.8431 r2=0.7108 R= las variables están fuertemente relacionadas ya que el valor de r es cercano a 1 d) ¿La ecuación de regresión estimada obtenida en el inciso b) para calcular un intervalo de confianza de 95% para el número esperado de días de ausencia de los empleados que viven a 5 millas de la empresa. SYi= 3.1365 (raiz 1.1579) = 3.6320 IC Yx= Ŷi (+-) t SYi Yx (+)= 14.7767 Yx (-)= -2.0131 El intervalo es: 14.7767 ó igual a Yx > ó igual a -2.0131

20 10- La autoridad de tránsito de una zona metropolitana importante desea determinar si hay relación entre la antigüedad de un autobús y los gastos de mantenimiento. En una muestra de 10 de autobuses se obtuvieron los siguientes datos.

Antigüedad 1 2 2 2 2 3 4 4 5 5 30

Costo de Mantenimiento 350 370 480 520 590 550 750 800 790 950 6150

(XY) 350 740 960 1040 1180 1650 3000 3200 3950 4750 20820

(X^2) 1 4 4 4 4 9 16 16 25 25 108

(Y^2) 122500 136900 230400 270400 348100 302500 562500 640000 624100 902500 4139900

Donde el promedio de x=3 y el promedio para y= 615 a) Empleando el método de mínimos cuadrados obtenga la ecuación de regresión estimada. SCxy= 20820- [(30)(6150)]/10 = 2370 SCx= 108- [30^2]/10 = 18

SCy= 4139900- [6150^2]/10 =357650

bi= 2370/18 = 131.66

bo= 615- 131.66(3)= 220.02

Y= 220.02 + 131.6X La ecuación nos dice que mayor sea la antigüedad del autobús podrías pagar más por el costo de mantenimiento.

21 b) Haga una prueba para determinar si las dos variables están relacionadas de manera significativa con α=.05 H0: βi=0 No están relacionadas HA: βi≠0 están relacionadas

H0

Sbi= *75.4983+/√18 = 17.79 τ= *131.66-0]/17.7951 = 7.3986 α=.05 g.l= 10-2 τ=2.306

7.3986

-2.306

H0

Aceptar HA y rechazar H0 porque a un nivel de 95% de confianza, las dos variables están relacionadas de manera significativa porque los datos demuestran correlación del modelo.

2.306

c) ¿Proporciona la recta de mínimos cuadrados una buena aproximación a los datos observados? r= *2370+/√(18)(357650) = .9340

r^2= (.9340)^2 =.8725

*Existe relación directa, los datos se ajustan adecuadamente debido a que están entre 0 y 1 [-1 ≤ r ≤ 1+. Hay una relación positiva muy fuerte en el que el 87.25 % de las variables están correlacionadas. d) Calcule un intervalo de predicción de 95% para los gastos de mantenimiento de un determinado autobús cuya antigüedad es de 4 años. Syi= (75.4983) √ 1 + *1/10+ + *4-3]/18 = 81.1582 Yi: Y= 220.02 + 131.6(4) = 746.42 α=.05 g.l= 10-2 τ=2.306 Yx= 746.42 ± 2.306(81.1582) = I.C: 559.26 ≤ Yx ≤ 933.57 *Se calcula que un autobús en un nivel de confianza al 95% con 4 años de antigüedad, se pagaría por mantener entre $559 y $934 en concepto de gastos de mantenimiento

22 11- Un profesor de merca desea saber cuál es la relación entre las horas de estudio y las calificaciones en un curso. Se presenta una muestra de 10 datos obtenidos en los estudiantes que tomaron el curso el trimestre pasado.

Horas de estudio 45 30 90 60 105 65 90 80 55 75 695

Calificaciones 40 35 75 65 90 50 90 80 45 65 635

(XY) 1800 1050 6750 3900 9450 3250 8100 6400 2475 4875 48050

(X^2) 2025 900 8100 3600 11025 4225 8100 6400 3025 5625 53025

(Y^2) 1600 1225 5625 4225 8100 2500 8100 6400 2025 4225 44025

Donde el promedio es de x= 69.5, y el promedio y=63.5 a) Obtenga la ecuación de regresión estimada que indica la relación entre la calificación y las horas de estudio. SCxy= 48050- [(695)(635)]/10 = 3917.5 SCx= 53025- [695^2]/10 = 4722.5 bi= 3917.5/4722.5 = .8295

SCy= 44025- [635^2]/10 = 3702.5 bo= 63.5- .8295(69.5)= 5.8497

Y= 5.84 + .8295X La ecuación nos demuestra, que mayor sean las horas de estudio, mayor calificación podrías obtener.

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b) Empleando α=.05 pruebe la significancia del modelo Prueba para βi H0: βi=0 No Están relacionadas HA: βi≠0 Están relacionadas Se= 7.5231 Sbi= *7.5231+/√4722.5 = .1094 τβ= [.8295-0]/.1094 = 7.5771 α=.05 g.l= 10-2 τ=2.306

τβ τρ *Existe una correlación positiva muy fuerte en un 87.77% de las variables que están correlacionadas, hay una gran fuerza de relación en la que demostramos que se rechaza el Ho y aceptamos el HA a un nivel de 95% de confianza. -2.306

H0

2.306

r= *3917.5+/√(4722.5)(3702.5) = .9368 r^2= (.9368)^2 =.8777

*-1 ≤ r ≤ 1+

Prueba para ρ H0: ρ=0 No Están relacionadas HA: ρ≠0 Están relacionadas Sr= √,(1-.8777)/10-2} = .1236

τρ= [.9368-0]/.1277 = 7.3359

c) Pronostique la calificación que obtendrá Mark, él estudio 95 horas. Y= 5.84 + .8295(95) = 84.64 d) Calcule un intervalo de predicción de 95% para la calificación. *Mark podría sacar 85 en el eximen si estudia al menos 95 horas. xi= 95 horas Se= 7.5231 horas X= 69.5 yi= 84.64 τ= 2.306

Syi= (75.4983) √ ,1 + *1/10+ + *(95-69.5)^2/4722.5] = 8.3695 Yx= 84.64 ± 2.306(8.3695) = I.C: 65 ≤ Yx ≤ 103.91 *Mark puede sacar de 65 a 100 de calificación si estudia al menos 95.

24

12- Bloomberg Personal Finance (julio/agosto 2001) publicó que la beta del mercado de Texas Instrument era 1.46. La beta del mercado de cada acción se determina mediante regresión lineal simple. En cada caso, la variables dependiente es la rentabilidad porcentual trimestral (revalorización más dividendos) menos el rendimiento porcentual que se hubiera obtenido en una inversión libre de riesgos (como la tasa libre de riesgo se empleó la tasa Treasury Bill). La variable independiente es la rentabilidad porcentual trimestral (revalorización de capital más dividendos) para el mercado de valores (S&P 500) menos la rentabilidad porcentual de una inversión libre de riesgos. A partir de los datos trimestrales se desarrolla la ecuación de regresión estimada; la beta del mercado de acción en cuestión es la pendiente de la ecuación de regresión estimada (b1). La beta del mercado suele interpretarse como una medida de lo riesgoso de la acción. Si la beta del mercado es mayor a 1, la volatilidad de la acción es mayor al promedio en el mercado; si la beta del mercado es menor a 1, la volatilidad de la acción es menos al promedio en el mercado. Supongase que las cifras siguientes son diferencias entre rentabilidad porcentual y rentabilidad libre de riesgos a lo largo de 10 trimestres de S&P 500 y Horizon Technology. S&P 500 (x) 1.2 -2.5 -3.0 2.0 5.0 1.2 3.0 -1.0 0.5 2.5

Horizon (y) -0.7 -2.0 -5.5 4.7 1.8 4.1 2.6 2.0 -1.3 5.5

a) Obtenga la ecuación de regresión estimada que sirve para determinar la beta del mercado de Horizon Technology. ¿Cuál es la beta del mercado de Horizon Technology?

X2 1.44 6.25 9 4 25 1.44 9 1 0.25 6.25 2 Σ X = 63.63

Y2 0.49 4 30.25 22.09 3.24 16.81 6.76 4 1.69 30.25 Σ Y2= 119.58

XY -0.84 5 16.5 9.4 9 4.92 7.8 -2 -0.65 13.75 Σ XY= 62.88

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Σ X= 8.9 Σ Y= 11.2 Media de X= 0.89 Media de Y= 1.12 SCx= 63.63-(8.9)2/10= 55.709 SCy= 119.58-(11.2)2/10= 107.036 SCxy= 62.88-(8.9)(11.2)/10= 52.912 B1= 52.912/55.709= 0.9498 B0= 1.12-0.9498 (0.89)= 0.2747 Ŷ= 0.2747+0.9498X La beta del mercado de Horizon Technology es 0.9498 lo cual significa que la volatilidad de la acción es menor al promedio en el mercado. b) Empleando 0.05 como nivel de significancia, pruebe la significancia de la relación. COEFICIENTE DE REGRESION POBLACIONAL ERROR ESTÁNDAR SCE= 107.036 – (52.912)2/55.709= 56.7806 CME= 56.7806/10-2= 7.0976 Se= √

= 2.6641

PASO 1 HO: β1=0 HA: β1≠0 PASO2 Sb1= 2.6641/√ = 0.3569 t= 0.9498-0/0.3569= 2.6612 PASO 3 α= 5% g.l= 10-2= 8 t0.05, 8= 2.306

26

PASO 4

-2.306

2.306

COEFICIENTE CORRELACIONAL POBLACIONAL r= 0.6852 PASO 1. HO: ρ= 0 HA: ρ≠ 0 PASO 2, Sr= √

= 0.2575

t= 0.6852-0/0.2575= 2.661 PASO 3. α= 5% g.l= 10-2= 8 t0.05, 8= 2.306 PASO 4.

. -2.306

2.306

Con estas pruebas para los parámetros poblacionales podemos concluir que como t=2.661≥2.306, entonces se rechaza Ho y se acepta Ha, lo cual significa que a un nivel del 95% de

27 confianza los trimestres de S&P 500 esta fuertemente relacionada con las acciones de Horizon Technology a un nivel poblacional. c) ¿Proporciona la ecuación de regresión estimada un buen ajuste? Explique Para saber que tan fuerte es la relación necesitamos obtener el error estándar y el análisis de correlación. ANÁLISIS DE CORRELACIÓN. r= 52.912/√ = 0.6852 2 2 r = 52.912 /(55.709)(107.036)= 0.4695 Con esto podemos concluir que hay una relación fuerte entre los datos por lo que la ecuación de regresión nos proporciona un buen ajuste. d) Utilice las betas del mercado de Horizon Technology y de Texas Instrument para comparar los riesgos de estas dos acciones. La beta del mercado refleja el riesgo de la acción, la de Horizon Technology es 0.9498 y la de Texas Instrument es de 1.46. Con esto se puede observar que la beta del mercado de Texas Instrument es mayor a 1, diciéndonos que su volatilidad es mayor al promedio en el mercado por lo que la acción de esta empresa es más riesgosa.

28

13- La Transactional Record Access Clearinghouse de la Universidad de Syracuse publica datos que muestran las posibilidades de una auditoria del Departamento de Tesorería de los Estados Unidos. En la tabla siguiente se muestra la media del ingreso bruto ajustado y el porcentaje de declaraciones que fueron auditadas en 20 municipios. Municipio Los Ángeles Sacramento Atlanta Boise Dallas Providence San José Cheyenne Fargo Nueva Orleans Oklahoma City Houston Portland Phoenix Augusta Alburquerque Greensboro Columbia Nashville Buffalo

Ingreso bruto ajustado 36 664 38 845 34 886 31 512 34 531 35 995 37 799 33 876 30 513 30 174 30 060 37 153 34 918 33 291 31 504 29 199 33 072 30 859 32 566 34 296

Porcentaje auditado 1.3 1.1 1.1 1.1 1.0 1.0 0.9 0.9 0.9 0.9 0.8 0.8 0.7 0.7 0.7 0.6 0.6 0.5 0.5 0.5

29

a) Obtenga la ecuación de regresión estimada que sirve para pronosticar el porcentaje de auditorias dado un ingreso bruto ajustado.

X2 1344248896 1508934025 1217032996 1057030144 1192389961 1295640025 1428764401 1147583376 931043169 910470276 903603600 1380345409 1219266724 1108290681 992502016 852581601 1093757184 952277881 1060544056 1176215616 Σ X2= 2.2772x1010

Y2 1.69 1.21 1.21 1.21 1 1 0.81 0.81 0.81 0.81 0.64 0.64 0.49 0.49 0.49 0.36 0.36 0.25 0.25 0.25 Σ Y2=14.78

Σ X= 672713 Σ Y= 16.6 Media de X= 3365.65 Media de Y= 0.83 SCx= 2.2772x1010-(672713)2/20= 144860981.5 SCy=14.78 -(16.6)2/20= 1.002 SCxy= 563974.9 -(672713)( 16.6)/20= 5623.11 B1= 5623.11/144860981.5= 3.88x10-05 B0= 0.83-3.88x10-05 (0.83)=0.6994 Ŷ= 0.6994+3.88x10-05X

XY 47663.2 42729.5 38374.6 35763.2 34531 35995 34019.1 30488.4 27461.7 27156.6 24048 29722.4 24442.6 23303.7 22052.8 17519.4 19843.2 15429.5 16283 17148 Σ XY=563974.9

30

b) Empleando como nivel de significancia 0.05, determine si hay relación entre el ingreso bruto ajustado y el porcentaje de auditorias. COEFICIENTE DE REGRESION POBLACIONAL ERROR ESTÁNDAR SCE= 1.002 – (5623.11)2/144860981.5= 0.7837 CME= 0.7837/20-2= 0.0435 Se= √

= 0.2087

PASO 1 HO: β1=0 HA: β1≠0 PASO2 Sb1= 0.2087/√

= 1.734x10-05

t= 3.88x10-05-0/1.734x10-05= 2.2376

PASO 3 α= 5% g.l= 20-2= 18 t0.05, 8= 2.10

PASO 4

-2.10 COEFICIENTE CORRELACIONAL POBLACIONAL r= 0.4667 PASO 1. HO: ρ= 0 HA: ρ≠ 0

2.10

31

PASO 2, Sr= √

= 0.2085

t= 0.4667-0/0.2085= 2.2388 PASO 3. α= 5% g.l= 20-2=18 t0.05, 8= 2.10 PASO 4.

-2.10

2.10

Con estas pruebas para los parámetros poblacionales podemos concluir que como t=2.2376≥2.10 y t=2.2388≥2.10, entonces se rechaza Ho y se acepta Ha, lo cual significa que a un nivel del 95% de confianza el ingreso ajustado esta fuertemente relacionado con el porcentaje de auditorias a un nivel poblacional. c) ¿Proporciona la ecuación de regresión estimada un buen ajuste? Explique ANÁLISIS DE CORRELACIÓN. r= 5623.11/√ = 0.4667 2 2 r = (5623.11) /(144860981.5)(1.002)= 0.2118 Con esto podemos concluir que hay una relación fuerte entre los datos por lo que la ecuación de regresión nos proporciona un buen ajuste. d) Emplee la ecuación de regresión estimada del inciso a) para calcular un intervalo de 95% de confianza para el porcentaje de auditorias en un municipio en el que el promedio del ingreso bruto ajustado es $35000 Xi= 35000 Sy= 0.2087√

= 0.5505

Ŷ= 0.6994+3.88x10-05(35000)= 2.0574 My/x= 2.0574±2.10 (0.5505)= 0.9014 ≤ My/x ≤ 3.2135

32

14- Una institución de un determinado país publicó evaluaciones sobre la satisfacción con el trabajo. una de las cosas que se pedían en la encuesta era elegir (de una lista de factores) los cinco factores principales para la satisfacción en el trabajo. Después se pedía a los encuestados que indicaran su nivel de satisfacción con cada uno de esos cinco factores. En la tabla siguiente se presentan los porcentajes de personas para los que el factor indicado fue uno de los cinco factores principales, jutno con una evaluación obtenida empleando el porcentaje de personas que consideraron al factor como uno de los principales y que estaban “muy satisfechos” ó “satisfechos” con ese factor (www.apse.gov.au/stateoftheservice) Factor Carga de trabajo adecuada Posibilidad de ser creativo o hacer innovaciones Posibilidad de hacer contribuciones útiles a la sociedad Obligaciones y expectativas claramente planteadas Condiciones flexibles de trabajo Buena relación de trabajo Trabajo interesante Oportunidad de hacer carrera Oportunidad de desarrollar sus habilidades Oportunidad de utilizar sus habilidades Retroalimentación y reconocimiento al esfuerzo realizado Salario Poder ver resultados tangibles del trabajo

Cinco principales 30 38 40 40 55 60 48 33 46 50 42 47 42

Evaluación 49 64 67 69 86 85 74 43 66 70 53 62 69

a) Elabore un diagrama de dispersión colocando en el eje horizontal los porcentajes de los factores principales y en el eje vertical la evaluación correspondiente.

33

b) ¿Qué indica, respecto a la relación entre las dos variables, el diagrama de dispersión elaborado en el inciso a)? Según el diagrama de dispersión demuestra que las variables están muy relacionadas entre si y que a mayor consideración del factor como uno de los cinco principales, mayor satisfacción con el. c) Obtenga la ecuación de regresión estimada que sirva para pronosticar la evaluación (%) dado el porcentaje del factor (%)

X2 900 1444 1600 1600 3025 3600 2304 1089 2116 2500 1764 2209 1764 Σ X2= 25915

Y2 2401 4096 4489 4761 7396 7225 5476 1849 4356 4900 2809 3844 4761 Σ Y2= 58363

Σ X= 571 Σ Y= 857 Media de X= 43.9231 Media de Y= 65.9231 SCx= 25915-(571)2/13= 834.9231 SCy=58363-(857)2/13= 1866.9231 SCxy=38717-(571) (857)/13= 1074.9231 B1=1074.9231 /834.9231= 1.2875 B0= 65.9231-1.2875 (43.9231) =9.3721 Ŷ=9.3721+1.2875X

XY 1470 2432 2680 2760 4730 5100 3552 1419 3036 3500 2226 2914 2898 Σ XY= 38717

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d) Empleando como nivel de significancia 0.05 realice una prueba para determinar la significancia de la relación. COEFICIENTE DE REGRESION POBLACIONAL ERROR ESTÁNDAR SCE= 1866.9231 – (1074.9231)2/834.9231= 483.0116 CME= 483.0116/13-2= 43.9101 Se= √

= 6.6265

PASO 1 HO: β1=0 HA: β1≠0 PASO2 Sb1= 6.6265/√ = 0.2293 t= 1.2875-0/0.2293= 5.6149 PASO 3 α= 5% g.l= 13-2= 11 t0.05, 8= 2.2

PASO 4

-2.2

2.2

35 COEFICIENTE CORRELACIONAL POBLACIONAL r= 0.86 PASO 1. HO: ρ= 0 HA: ρ≠ 0

PASO 2, Sr= √

= 0.1539

t= 0.86-0/0.1539= 5.588 PASO 3. α= 5% g.l= 13-2=11 t0.05, 8= 2.2 PASO 4.

-2.2

2.2

Con estas pruebas para los parámetros poblacionales podemos concluir que como t=5.5614 ≥ 2.2 y t=5.588 ≥ 2.2, entonces se rechaza Ho y se acepta Ha, lo cual significa que a un nivel del 95% de confianza la consideración de un factor como uno de los cinco principales esta fuertemente relacionado con la satisfacción a un nivel poblacional. e) ¿Proporciona la ecuación de regresión estimada un buen ajuste? ANÁLISIS DE CORRELACIÓN. r= 1074.9231/√ = 0.86 Con esto podemos concluir que hay una relación fuerte entre los datos por lo que la ecuación de regresión nos proporciona un buen ajuste. f)

Dé el valor del coeficiente de correlación muestral. r2= (1074.9231)2/(834.9231)(1866.9231)= 0.7413

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