Exemple De Calcul Zidarie

COD DE PROIECTARE PENTRU STRUCTURI DIN ZIDĂRIE Indicativ CR 6

EXEMPLE DE CALCUL EXEMPLUL NR. 1 6.3.2.1. Calculul forŃelor seismice orizontale pentru ansamblul clădirii 6.3.2.1.1. Metoda forŃelor seismice statice echivalente •

Clădire din zidărie cu P + 2E (nniv = 3).

•

Toate nivelurile au aceiaşi greutate Gi = 240 tone şi aceiaşi înălŃime.

•

Clădirea este amplasată în zona seismică ag = 0.24g

•

Greutatea totală a clădirii este G = 3 x 240 = 720 tone

Se determină forŃa tăietoare de bază (Fb), forŃele seismice de nivel (Fi) şi forŃele tăietoare de nivel (VE,i) în următoarele ipoteze: 1. Structură din zidărie nearmată (ZNA), cu regularitate în elevaŃie: ⇒ ForŃa tăietoare de bază se calculează cu valorile cs (tabelul A.2) •

Pentru ag = 0.24g → cs = 0.256 → Fb = 0.256 x 720 = 184.3 tone

⇒ ForŃele seismice de nivel se calculează cu valorile kF,i (tabelul A.9) •

F3 = 0.500 x 184.2 = 92.1 tone

•

F2 = 0.333 x 184.2 = 61.3 tone

•

F1 = 0.166 x 184.2 = 30.6 tone

⇒ ForŃa tăietoare de nivel se calculează cu valorile kV,i (tabelul A.10) pentru nniv = 3 •

VE,3 = 0.500 x 184.2 = 92.1 tone

•

VE,2 = 0.833 x 184.2 = 153.4 tone

•

VE,1 ≡ Fb = 184.2 tone

2. Structura din zidărie confinată şi armată în rosturi (ZC+AR), fără regularitate în elevaŃie: ⇒ ForŃa tăietoare de bază se calculează cu valorile cs (tabelul A.6) •

Pentru ag = 0.24g → cs = 0.176 → Fb = 0.176 x 720 = 126.7tone

⇒Valorile forŃelor seismice de nivel şi ale forŃelor tăietoare de nivel se obŃin cu aceiaşi coeficienŃi ca şi în cazul ZNA •

F3 = 0.500 x 126.7 = 63.4 tone

•

F2 = 0.333 x 126.7 = 42.2 tone

•

F1 = 0.166 x 126.7 = 21.0 tone

•

VE,3 = 0.500 x 126.7 = 63.4 tone

•

VE,2 = 0.833 x 126.7 = 105.5 tone

•

VE,1 ≡ Fb = 126.7 tone 1

EXEMPLUL NR. 2 6.3.2. Metode de calcul la forŃe orizontale 6.3.2.1.1. Metoda forŃelor seismice statice echivalente ⇒ DistribuŃia forŃei tăietoare la pereŃii structurali.

(a)

(b)

Figura Ex.2.1 (a) PereŃi transversali - paraleli cu axa OY (b) PereŃi longitudinali - paraleli cu axa OX

⇒ ÎnălŃimea nivelului het = 300 cm ⇒ Cordonatele centrului de greutate al planşeului (CG) : •

xCG = 4.35 m

•

yCG = 5.25 m

⇒ Calculul rigidităŃii laterale şi al centrului de rigiditate •

Rigiditatea relativă de nivel a peretelui (rigiditatea geometrică Kg = K/Ez)

Kg =

t λ p (3 + λ2p )

unde -

λp =

-

t

-

xi,yi

het lw

factorul de formă (pentru un nivel) grosimea peretelui coordonatele centrului de greutate al peretelui în raport cu sistemul de axe

2

Figura Ex.2.2.NotaŃii pentru determinarea centrului de rigiditate

⇒Transversal (pereŃii paraleli cu axa OY) Elem. T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9

•

t (m) 0.30 0.30 0.30 0.25 0.25 0.25 0.30 0.30 0.30

lw Kg×102 λp (m) (m) 4.050 0.740 11.43 1.625 1.846 2.536 2.025 1.481 3.901 3.925 0.764 9.134 1.250 2.400 1.189 3.325 0.902 7.269 2.425 1.237 5.603 2.250 1.333 4.712 2.825 1.061 4.376 Σ Kg(T) = 0.502 m ΣxiKg(T) = 1.931 m2

Tabel Ex.2.1 xi xiKg×102 (m) (m2) 0.15 1.714 0.15 0.380 0.15 0.585 4.05 36.992 4.05 4.815 4.05 29.439 8.25 44.172 8.25 38.874 8.25 36.102

poziŃia centrului de rigiditate

xCR =

∑ xi K g ( T ) = 1.931 = 3.845m ∑ K g ( T ) 0.502

Longitudinal (pereŃii paraleli cu axa OX) Elem. L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8

•

t (m) 0.30 0.30 0.30 0.25 0.25 0.30 0.30 0.30

Tabel Ex.2.2. yi Kg×102 yiKg×102 λp (m) (m) (m2) 2.222 1.701 0.15 0.255 1.250 5.261 0.15 0789 2.222 1.701 0.15 0.255 1.237 4.461 5.55 24.758 0.603 12.333 5.55 68.448 2.222 1.701 10.35 17.595 1.250 5.261 10.35 54.451 2.222 1.701 10.35 17.595 Σ Kg(L) = 0.341 ΣyiKg (L) = 1.841m2

lw (m) 1.350 2.400 1.350 2.425 4.975 1.350 2.400 1.350

poziŃia centrului de rigiditate

yCR =

∑ yi K g ( L ) = 1.841 = 5.400 m ∑ K g ( L ) 0.341

⇒ Calculul rigidităŃii la torsiune Rigiditatea la torsiune a structurii se calculează cu relaŃia •

9

8

1

1

KJ R = [ ∑ K gi ( T ) × ( xCR − xi )2 + ∑ K gi ( L ) × ( yCR − yi )2 ] × 10 − 2

3

Din tabelele Ex.2.1. şi Ex.2.2. poziŃia centrului de rigiditate are coordonatele: •

xCR = 3.845 m

•

yCR = 5.400 m Kg(T) Elem. ×102 T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 Σ

m 11.43 2.536 3.901 9.134 1.189 7.269 5.603 4.712 4.376 50.2

Tabelul Ex.2.3. Kg(T)× Kg(L)× Kg(L) xi |xCR-xi| 102 × yi |yCR-yi| 102 × 2 Elem. ×10 (xCR-xi)2 (yCR-yi)2 3 m m m m m m m3 156.1 L1 1.701 46.9 0.15 3.695 5.25 34.6 L2 5.261 0.15 145.0 53.3 L3 1.701 46.9 0.4 L4 4.461 0.1 5.55 0.15 4.05 0.205 0.3 0.1 L5 12.333 0.3 L6 1.701 41.7 108.7 L7 5.261 10.35 4.95 128.9 91.4 L8 1.701 41.7 8.25 4.405 84.9 Σ 34.10 Σ 451.5 Σ 529.8

⇒ KJR = (529.8 + 451.5) × 10-2 = 9.81 m2 ⇒ DistribuŃia forŃei tăitoare de bază •

ForŃa tăietoare de bază:

•

Componenta translaŃie

Fi ,x ( tr ) = •

Fi , y ( tr ) =

Ki , y

∑ K 1, y

Fb

Componenta rotaŃie

Fi ,x ( rot ) = •

K i ,x Fb ∑ K 1 ,x

Fb = 100.0 tone

Ki ,x ( xCR − xi ) M t ,x KJ R

Fi , y ( rot ) =

Ki , y ( yCR − yi ) KJ R

M t ,y

Excentricitatea structurală -

excentricităŃile centrului de rigiditate e0x = |xCR – xCG| = |3.85 - 4.35| = 0.50 m e0y = |yCR – yCG| = |5.40 - 5.25| = 0.15 m

•

Excentricitatea accidentală -

•

•

eax = ± 0.05 × 8.40 = ± 0.42 m eay = ± 0.05 × 10.50 = ± 0.525 m

ExcentricităŃi totale -

ex,max = e0x + eax = 0.500 + 0.420 = 0.920 m ex,min = e0x - eax = 0.500 - 0.420 = 0.080 m

-

ey,max = e0y + eay = 0.150 + 0.525 = 0.675 m ey,min = e0y - eay = 0.150 - 0.525 = - 0.375 m

Momente de torsiune -

ForŃa seismică pe direcŃia x (pereŃii longitudinali) 4

-

*

Mtx,max = 100.0 × 0.92 = 92.0 tm

*

Mtx,min = 100.0 × 0.080 = 8.0 tm

ForŃa seismică pe direcŃia y (pereŃii transversali) *

Mty,max = 100.0 × 0.675 = 67.5 tm

*

Mty,min = - 100.0 × 0.375 = - 37.5 tm ForŃe tăietoare pe direcŃia x Kg(T) Elem. ×102 m T1 11.43 T2 2.536 T3 3.901 T4 9.134 T5 1.189 T6 7.269 T7 5.603 T8 4.712 T9 4.376

Kg(T)/ ΣKg(T) 0.227 0.050 0.077 0.181 0.023 0.144 0.111 0.093 0.094

Fi (tr) tone 22.7 5.0 7.7 18.1 2.3 14.4 11.1 9.3 9.4

xCR-xi

(xCR-xi) × Kg(T)× 10-2 m m2 42.23 3.695 9.37 14.41 -1.87 -0.205 -0.24 -1.49 -24.68 - 4.405 -20.75 -19.27

Tabelul Ex.2.4 ∆Fi Fi (rot) (tot) tone tone 3.95 26.65 0.88 5.88 1.35 8.58 -0.18 17.92 -0.02 2.28 -0.14 14.26 -2.32 8.78 -1.95 7.35 -1.81 7.59

ForŃe tăietoare pe direcŃia y Kg(L) Kg(L)/ Elem. ×102 ΣKg(L) m L1 1.701 0.050 L2 5.261 0.154 L3 1.701 0.050 L4 4.461 0.131 L5 12.333 0.362 L6 1.701 0.050 L7 5.261 0.154 L8 1.701 0.050

Fi (tr) tone 5.0 15.4 5.0 13.1 36.1 5.0 15.4 5.0

yCR-yi m 5.25 -0.15 -4.95

(xCR-xi) × Kg(L)× 10-2 m2 8.93 27.62 8.93 -0.67 -1.85 -8.42 -26.04 -8.42

Tabelul Ex.2.5 ∆Fi Fi (rot) (tot) tone tone 0.61 5.61 1.90 17.3 0.61 5.61 -0.05 13.05 -0.13 35.97 -0.58 4.42 -1.79 13.61 -0.58 4.42

5

EXEMPLUL NR. 3 6.3.2. Metode de calcul la forŃe orizontale 6.3.2.1.1. Metoda forŃelor seismice statice echivalente Se verifică posibilitatea utilizării calculului cu două modele plane în cazul clădirii din figura Ex.3.1 dacă : •

înălŃimea P+2E < 10.0 m;

•

planşee din beton armat;

•

structura identică la toate nivelurile.

Figura Ex.3.1

A. Verificarea îndeplinirii condiŃiilor de regularitate în plan date la 6.3.2.1.1.(3). •

Structura clădirii este aproximativ simetrică faŃă de cele două axe principale ortogonale

•

ConfiguraŃia în plan este compactă, fără retrageri (dreptunghiulară)

•

Raportul dimensiunilor în plan este λ =

Lmax 10.50 = = 1.21 < 4.0 Lmin 8.70

Calculul rigidităŃii laterale şi al poziŃiei centrului de rigiditate Transversal (pereŃii paraleli cu axa OY) Elem. T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9

•

t (m) 0.30 0.30 0.30 0.25 0.25 0.25 0.30 0.30 0.30

Lzid KgM×102 λp (m) (m) 4.050 0.741 11.40 1.925 1.558 3.548 1.725 1.739 2.864 3.925 0.764 9.131 1.250 2.400 1.189 3.025 0.992 6.326 2.125 1.412 4.254 1.650 1.818 2.617 1.925 1.558 3.548 Σ KgM(T) = 0.448 m ΣxiKgM(T) = 1.542 m2

Tabelul Ex.3.1 xi xiKgM×102 (m) (m2) 0.15 1.710 0.15 0.532 0.15 0.430 3.75 34.241 3.75 4.459 3.75 23.723 8.55 36.372 8.55 22.375 8.55 30.335

poziŃia centrului de rigiditate xCR = 1.542/0.448 =3.442 m 6

•

excentricitatea centrului de rigiditate e0x = xCG - xCR = 4.350 - 3.442 = 0.908 m

•

excentricitatea relativă a centrului de rigiditate e0x/Lx = 0.908/ 8.70 = 0.104 > 0.10

Longitudinal (pereŃii paraleli cu axa OX) Elem. L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8

t (m) 0.30 0.30 0.30 0.25 0.25 0.375 0.375 0.375

Lzid KgM×102 λp (m) (m) 1.650 1.818 2.617 1.500 2.000 2.143 1.350 2.222 1.703 2.125 1.412 3.545 5.375 0.558 13.528 1.350 2.222 2.128 2.700 0.909 10.78 1.650 1.818 3.271 Σ KgM(L) = 0.380 ΣyiKgM (L) = 2.683m2

Tabelul Ex.3.2 yi yiKgM×102 (m) (m2) 0.15 0.393 0.15 0321 0.15 0.255 5.85 20.738 5.85 79.139 10.35 22.025 10.35 111.573 10.35 33.855

•

poziŃia centrului de rigiditate yR = 2.683/0.38.0=7.06 m

•

excentricitatea centrului de rigiditate e0y = yCG - yCR = |5.25 - 7.06| = 1.81 m

•

excentricitatea relativă a centrului de rigiditate e0y/Ly = 1.81 / 10.50 = 0.172 > 0.1

⇒ Calculul rigidităŃii la torsiune Tabelul Ex.3.3. KgM(T)× KgM(L)× KgM(T) KgM(L) xi |xCR-xi| 102 × yi |yCR-yi| 102 × 2 2 Elem. ×10 Elem. ×10 (xCR-xi)2 (yCR-yi)2 3 m m m m m m m m3 T1 11.40 123.54 L1 2.617 124.96 6.91 T2 3.548 0.15 3.292 38.45 L2 2.143 0.15 102.3 T3 2.864 31.04 L3 1.703 81.31 T4 9.131 0.86 L4 3.545 5.19 5.85 1.21 T5 1.189 3.75 0.308 0.11 L5 13.528 19.80 T6 6.326 0.600 L6 2.128 23.03 T7 4.254 111.0 L7 10.78 10.35 3.29 116.68 T8 2.617 8.55 5.108 68.28 L8 3.271 35.40 T9 3.548 92.57 Σ 38.00 Σ 508.67 Σ 44.88 Σ 466.54

KJR = (466.54 + 508.67)×10-2 = 9.75 m3 ⇒ Razele de torsiune (relaŃiile 6.7) • r0 x =

KJ R 9.75 = = 4.66 m 0.449 ∑ Kx

•

KJ R 9.75 = = 5.07 m ∑ K y 0.380

r0 y =

7

B.Verificarea regularităŃii în plan - relaŃiile (4.1a) şi (4.1b) din P100-1 ⇒ Transversal e0x = 4.35 - 3.44 =0.91 m < 0.3 × 4.66 = 1.39 m → OK! ⇒ Longitudinal e0y = 7.06 - 5.25 = 1.81 m > 0.3 × 5.07 = 1.52 m CondiŃia de regularitate în plan nu este satisfăcută !!! C. Conditii suplimentare - verificarea relaŃiilor (6.4a) şi (6.4b) din CR6 •

raza de giraŃie a masei planşeului dreptunghiular se determină cu relaŃia (6.5) l pl =

•

D = 12

L2max + L2min 10.50 2 + 8.70 2 = = 3.94 m 12 12

Excentricitatea centrului de rigiditate -

transversal : *

-

excentricitatea e0x = 0.908 m şi r0x = 4.52 m

longitudinal *

excentricitatea e0L = 1.18 m şi r0y = 5.02 m

•

(6.4a) → transversal r02x = 4.522 = 20.43 > l pl2 + e02x = 3.94 2 + 0.912 = 16.35m 2

•

(6.4b) → longitudinal r02y = 5.022 = 25.2 > l pl2 + e02 y = 3.94 2 + 1.812 = 18.79 m 2

RelaŃiile sunt îndeplinite Se acceptă efectuarea calculului pe modele plane cu condiŃia majorării eforturilor cu 1.25.

8

EXEMPLUL NR. 4 6.3.2. Metode de calcul la forŃe orizontale 6.3.2.1.1. Metoda forŃelor seismice statice echivalente ⇒ Calculul momentului de inerŃie polar şi a razei de giraŃie pentru un planşeu cu formă neregulată Se calculează momentul de inerŃie polar şi raza de giraŃie a masei planşeului cu forma şi dimensiunile din figura Ex.4.1

Figura Ex.4.1 - Forma şi dimensiunile planşeului

⇒ Aria planşeului Apl = 12.00 x 10.00 - 4.00 x 4.00 - 2.00 x 2.00 = 100.0 m2

⇒.Centrul de greutate al planşeului raportat la originea axelor xG =

12.00 x10.00 x0.5 x12.00 − 2.00 x 2.00 x0.5 x 2.00 − 4.00 x4.00 x( 8.00 + 0.5 x4.00 ) = 5.56 m 100.00

yG =

12.00 x10.00 x0.5 x10.00 − 2.00 x 2.00 x0.5 x 2.00 − 4.00 x4.00 x( 6.00 + 0.5 x4.00 ) = 4.68 m 100.00

⇒ Momentele de inerŃie ale ariei planşeului faŃă de sistemul de axe GXIYI, paralele cu cele ale sistemului OXY, care trece prin centrul de greutate G cu coordonatele xG,yG (se foloseşte teorema lui Steiner pentru momentele de inerŃie). I x ( pl ) =

12.0 x10.0 3 2.0x2.0 3 + 12.0 x10.0 x( 4.68 − 5.00 )2 − − 12 12

2.0 x 2.0 x( 4.68 − 1.00 )2 − I y ( pl ) =

4 .0 x 4 .0 3 − 4.0 x4.0 x( 4.68 − 8.00 )2 = 759.10 m 4 12

10.0 x12.0 3 2.0x2.0 3 + 12.0 x10.0 x( 5.56 − 6.00 )2 − − 12 12

2.0 x 2.0 x( 5.56 − 1.00 )2 −

4.0 x4.0 3 − 4.0 x4.0 x( 5.56 − 10.0 )2 = 1042.00 m 4 12

⇒ Momentul de inerŃie polar al ariei planşeului (relaŃia 6.6) Ip,pl = Ix(pl) + Iy(pl) = 759.1 + 1042.00 = 1801.10 m4

⇒. Raza de giraŃie a masei planşeului (relaŃia 6.5) l pl =

I p , pl Apl

=

1801.1 = 4.24 m 100.00

9

EXEMPLUL NR.5. 6.2.2. Metode de calcul pentru încărcări verticale 6.2.2.1.Determinarea forŃelor axiale de compresiune în pereŃii structurali

Figura Ex.5.1. Calculul greutăŃii zidăriei pe nivel

⇒ Calculul greutăŃii proprii a etajului ÎnălŃimea etajului het = 3.00 m Aria planşeului Azid = 11.213 m2 ⇒ Calculul ariei zidăriei în elevaŃie (pe înălŃimea unui nivel) •

Zidărie cu grosimea t = 30 cm - Ax A → 10.30x3.00 - 1.50x1.50 - 1.00x1.00 = 27.65 m2 - Ax C → 10.30x3.00 - 2.00x2.00 - 1.50x2.00 = 23.90 m2 - Ax 1 → (10.30-0.60)x3.00 - 2.00x2.00 - 2.50x2.00 = 20.10 m2 - Ax 3 → (10.30-0.60)x3.00 - 1.50x1.50 - 2.00x2.00 = 22.85 m2 Total = 94.50 m2 • Zidărie cu grosimea t = 25 cm - Ax B → (10.30 -0.60) x3.00 - 1.50x2.40 - 1.00x2.10 = 23.40 m2 - Ax 2 → (10.30-0.85)x3.00 - 1.00x2.10 - 1.50x2.40 = 22.65 m2 Total = 46.05 m2 ⇒ Calculul greutăŃii zidăriei pe nivel Calculul este făcut în patru variante de alcătuire a zidăriei: i. Elemente ceramice (cărămizi) pline ii. Elemente ceramice cu 25% goluri iii. Elemente ceramice cu 45% goluri iv. Elemente din BCA cu densitatea de 600 kg/m3 (corespunde zidăriei cu densitate în stare uscată 500 kg/m2 majorată cu 20% pentru umiditaea medie reală!) S-au considerat greutăŃile zidăriei (elemente + mortar) inclusiv tencuiala cu grosime de 2.0 cm pe ambele feŃe.

10

Grosime t = 30 cm Elemente Azid gzid Gzid m2 t/m2 tone Pline 0.620 58.6 Gol 25% 0.510 48.2 94.5 Gol 45% 0.430 40.6 BCA 0.250 23.6

Grosime t = 25 cm Azid gzid Gzid m2 t/m2 tone 0.520 23.9 0.440 20.3 46.05 0.370 17.0 0.220 10.1

Tabelul Ex.5,1 Total greutate ΣGzid ΣGzid/Aetaj tone tone/m2 82.5 0.778 68.5 0.646 57.6 0.543 33.7 0.318

⇒ Calculul greutăŃii planşeului •

Aria planşeului (între pereŃi) -

•

Greutatea planşeului în gruparea seismică (pe 1.0 m2) -

•

A-B/1-2 → (5.50 - 0.15 - 0.125)x(6.00 - 0.15 - 0.125) = 29.91 m2 A-B/2-3 → (5.50 - 0.15 - 0.125)x(4.00 - 0.15 - 0.125) = 19.46 m2 B-C/1-2 → (4.50 - 0.15 - 0.125)x(6.00 - 0.15 - 0.125) = 24.19 m2 B-C/2-3 → (4.50 - 0.15 - 0.125)x(4.00 - 0.15 - 0.125) = 15.74 m2 Total = 89.30 m2 placa de beton armat 16 cm grosime tencuiala la intrados pardoseala (inclusiv şapa) pereŃi despărŃitori uşori încărcare utilă (locuinŃă) 0.4 x 150 daN/m2

400 daN/m2 40 daN/m2 120 daN.m2 80 daN/m2 60 daN/m2 700 daN/m2

Greutatea planşeului 89.30 x 700 = 62500 daN → 62.5 tone

⇒ Greutatea totală a nivelului ΣGzid Elemente tone Pline 82.5 Gol 25% 68.5 Gol 45% 57.6 BCA 33.7

Gpl tone 62.5

Gtot,et tone 145.0 131.0 120.1 96.2

Tabelul Ex.5,2 Gtot,et/Aetaj tone/m2 1.37 1.23 1.13 0.91

⇒ Calculul maselor de etaj Întreaga masă a etajului (zidărie + planşeu) este concentrată la nivelul planşeului. G • Masa etajului M i = tot ,et g n G • Masa totală a clădirii M = niv tot ,et g Greutatea totală supusă acŃiunii seismice are valorile din tabelul următor. Elemente Pline Gol 25% Gol 45% BCA

Tabelul Ex.5.3 ÎnălŃimea clădirii (numărul de niveluri) nniv=1 nniv=2 nniv=3 nniv=4 nniv= 5 145.0 290.0 436.0 580.0 725.0 131.0 262.0 393.0 524.0 655.0 120.0 240.0 360.0 480.0 600.0 96.0 192.0 288.0 384.0 ----

11

⇒ Determinarea forŃei axiale de compresiune pe pereŃi pentru un nivel al clădirii 1. Se determină reacŃiunile planşeelor pe fiecare linie de pereŃi (p1 şi p2) cu relaŃiile  l  q l p2 = p1  2 − 1  p1 = tot 1 l2  4 

Figura Ex.5.2. Încărcări verticale pe pereŃi din greutatea planşeului

Pentru fiecare zonă de pereŃi (Z1÷Z9 din figura Ex.5.3b) se calculează forŃa axială dată de planşeu prin înmulŃirea reacŃiunii pe unitatea de lungime (p) cu lungimea zonei aferente (care include câte 1/2 din lăŃimea fiecărui gol adiacent plinului de zidărie).

(a)

(b) Figura Ex.5.3. Calculul forŃelor axiale pe pereŃi

2. Se detemină ariile verticale de zidărie (pe înălŃimea etajului) aferente fiecărie zone (Z1 ÷ Z9). Ariile respective includ plinul de zidărie (care este continuu pe toată înăltimea etajului), zidăria parapetului şi buiandrugului (pentru golurile de la faŃade) şi zidăria buiandrugului (pentru golurile interioare).

Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6 Z7 Z8 Z9

Gplanşeu Gzidărie (tone) (tone) El.pline 25% gol 45% gol BCA 6.2 10.6 8.7 7.4 4.3 8.2 9.3 7.7 6.5 3.8 4.7 7.9 6.5 5.5 3.2 5.2 7.5 6.2 5.3 3.1 18.7 10.6 12.3 10.4 6.2 7.4 9.8 8.1 6.8 4.0 3.4 7.8 6.4 5.4 3.2 6.3 10.2 8.4 7.1 4.2 2.4 4.8 4.0 3.3 1.9

Tabel Ex.5.4 ForŃa axială (tone) El.pline 25% gol 45% gol BCA 16.8 14.9 13.6 10.5 17.5 15.9 14.7 12.0 12.6 11.2 10.2 7.9 12.7 11.4 10.5 8.3 33.3 31.0 29.1 24.9 17.2 15.5 14.2 11.4 11.2 9.8 8.8 6.6 16.5 14.7 13.4 10.5 7.2 6.4 5.7 4.3

Din valorile forŃei axiale rezultă efortul unitar de compresiune în zidărie pe nivel.

12

Zona

Aria Z (m2)

Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6 Z7 Z8 Z9

1.50 1.24 1.05 0.96 2.18 1.36 1.05 1.39 0.60

ForŃa axială (tone) El.pline 25% gol 45% gol BCA 16.8 14.9 13.6 10.5 17.5 15.9 14.7 12.0 12.6 11.2 10.2 7.9 12.7 11.4 10.5 8.3 33.3 31.0 29.1 24.9 17.2 15.5 14.2 11.4 11.2 9.8 8.8 6.6 16.5 14.7 13.4 10.5 7.2 6.4 5.7 4.3

Tabelul Ex.5.5 Efort unitar de compresiune (daN/cm2) El.pline 25% gol 45% gol BCA 1.13 1.00 0.91 0.70 1.42 1.29 1.19 0.97 1.20 1.06 0.97 0.75 1.32 1.19 1.09 0.86 1.53 1.43 1.34 1.15 1.26 1.13 1.04 0.83 1.06 0.93 0.84 0.63 1.19 1.06 0.97 0.76 1.20 1.07 0.95 0.72

Figura Ex.5.4 PereŃi structurali pe cele două direcŃii

Valorile forŃelor axiale sunt date în tabelele Ex.5.6a şi Ex.5.6b Elem. T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9

Elem. L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8 L9

Zona Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6 Z7 Z8 Z9 Zona Z1 Z4 Z7 Z2 Z5 Z8 Z3 Z6 Z9

Tabelul Ex.5.6a. Aria ForŃa axială (tone)/Etaj (m2) El.pline 25% gol 45% gol BCA 0.495 5.60 4.95 4.50 0.35 0.900 12.80 11.60 10.70 8.70 0.345 4.10 3.70 3.40 2.60 0.288 3.80 3.40 3.10 2.50 1.125 17.20 16.10 15.10 12.90 0.538 6.80 6.10 5.60 4.50 0.645 6.80 6.00 5.40 4.10 1.050 12.50 11.10 10.20 8.00 0.345 4.10 3.70 3.30 2.50 Tabelul Ex.5.6b. Aria ForŃa axială (tone)/Etaj (m2) El.pline 25% gol 45% gol BCA 1.035 11.70 10.40 9.40 7.30 0.750 9.90 8.90 8.20 6.50 0.495 5.30 4.60 4.20 3.10 0.413 5.90 5.30 4.90 4.00 1.125 17.20 16.10 15.10 12.90 0.413 4.90 4.40 4.00 3.10 0.795 9.50 8.40 7.70 6.00 0.900 11.30 10.20 9.40 7.50 0.345 4.10 3.70 3.30 2.50

13

EXEMPLUL NR.6 6.2.2. Metode de calcul pentru încărcări verticale 6.2.2.1.Determinarea forŃelor axiale de compresiune în pereŃii structurali ⇒ Efectul excentricităŃii planşeului Se verifică efectul excentricităŃii planşeului faŃă de centrul de greutate al peretelui. conform art. 6.2.2.1 (5) Peretele considerat este reprezentat în figura Ex.6.1 şi face parte dintr-o clădire cu P+3E, având înălŃimea de etaj het = 3.00 m la toate nivelurile (inclusiv parterul). Zona aferentă peretelui studiat are dimensiunile 6.00 × 8.00 m, planşeul fiind în consolă pe o deschidere de 2.00 m la toate nivelurile. Greutatea de proiectare a planşeului qpl = 0.80 tone/m2. Greutatea volumetrică de proiectare a zidăriei (inclusiv tencuiala) qzid = 1.60 tone/m3. RezistenŃa de proiectare la compresiune a zidăriei fd = 16.0 daN/cm2.

Figura.Ex.6.1.

Cu dimensiunile din desen rezultă: • • • • • • • • • • •

Aria secŃiunii orizontale a peretelui : Aw = 3.24 m2 Greutatea peretelui pe nivel Gw,et = 3.24 × 3.0 × 1.60 ≅ 15.6 tone/nivel Greutatea totală a peretelui Gw,tot = 4 × 15.6 = 62.4 tone DistanŃa de la extremitatea tălpii 1 până la C.G al secŃiunii orizontale a peretelui XG,w = 2.525 m Greutatea planşeului pe nivel Gpl,et = 6.00 × 8.00 × 0.80 = 38.4 tone Greutatea totală adusă de planşee Gpl,tot = 4 × 38.4 = 153.6 tone DistanŃa de la extremitatea tălpii 1 până la C.G al planşeului XG,pl = 4.00 m Excentricitatea încărcării din planşeu epl = 4.00 - 2.525 = 1.475 m Momentul încovoietor la baza peretelui dat de excentricitatea planşeului Mpl = 153.6 × 1.475 ≅ 227.0 tm (comprimă permanent talpa 2)

⇒ Momentul capabil al secŃiunii orizontale a peretelui din zidărie nearmată pentru compresiune pe talpa 2 : Mcap ≅ 523 tm ⇒ Rezultă că dispunerea excentrică a planşeului faŃă de perete, consumă circa 43% din capacitatea de rezistenŃă la compresiune excentrică a peretelui.

14

EXEMPLUL NR.7. 6.6.3.2. RezistenŃa la compresiune şi încovoiere a pereŃilor din zidărie nearmată ⇒ Calculul momentului încovoietor pentru un perete din zidărie nearmată Se determină valoarea de proiectare a rezistenŃei la încovoiere (momentul capabil) pentru peretele cu dimensiunile din figura Ex.7.1 în următoarele condiŃii: 1. RezistenŃa caracteristică a zidăriei la compresiune este fk = 3.0 N/mm2 (fk = 30.0 daN/cm2).Coeficientul de material γM = 2.2. RezistenŃa de proiectare este fd = fk/γM = 1.36 N/mm2 (13.6 daN/cm2) 2. Valoarea de proiectare a forŃei axiale : N = 800 kN (80.0 tone / 80.000 daN)

Figura Ex.7.1.

Pentru cazul în care calculul se efectuează manual (fără ajutorul programelor de calcul automat) se dau, în continuare, sub formă sistematizată, formulele necesare pentru calculul caracteristicilor geometrice ale secŃiunii orizontale a pereŃilor în formă de I.

Figura Ex.7.2 NotaŃii pentru calculul caracteristicilor geometrice ale pereŃilor

NotaŃiile folosite pentru calcularea caracteristicilor geometrice ale secŃiunilor orizontale ale pereŃilor sunt arătate în figura Ex 7.2. •

t - grosimea inimii peretelui

•

lw - lungimea inimii peretelui (inclusiv grosimile tălpilor, pentru I,L sau T)

•

t1 - grosimea tălpii 1 a peretelui

•

t2 - grosimea tălpii 2 a peretelui

•

b1 - lăŃimea tălpii 1 a peretelui

•

b2 - lăŃimea tălpii 2 a peretelui

secŃiunile

15

•

aria tălpii 1 a peretelui: At1 = (b1 - t)t1

(Ex.7.1)

•

aria tălpii 2 a peretelui: At2 = (b2 - t)t2

(Ex.7.2)

•

aria inimii Aw = lwt

•

αt1 = At1/Aw şi αt2 = At2/Aw coeficienŃi adimensionali

•

βt1 = t1/lw şi βt2 = t2/lw coeficienŃi adimensionali

(Ex.7.3)

În cazul peretelui în formă de "I" (figura I.13) caracteristicile geometrice ale secŃiunii peretelui se calculează astfel: 1. Aria totală a peretelui AI = Aw + At1 + At2

(Ex.7.4)

DistanŃa centrului de greutate G, faŃă de extremitatea 1 y G ,I =

k y ,I l w 2

(Ex.7.5)

unde factorul ky,I se obŃine din relaŃia 1 + α t 2 ( 2 − βt 2 ) + α t1βt1 1 + αt1 + αt 2

k y ,I =

(Ex.7.6)

3. Momentul de inerŃie I II =

tlw3 k I ,I = I w k I ,I 12

(Ex.7.7)

unde factorul kI,I este dat de relaŃia

k I, I = 1 + 3(1 − k y ) 2 + α t 1[β 2t1 + 3(k y − β t 1 ) 2 ] + α t 2 [β 2t2 + 3(2 − k y − β t 2 ) 2 ] (Ex.7.8) 4. Modulele de rezistenŃă ⇒ La talpa 1

II yG ,1

WI ,1 =

(Ex.7.9a)

⇒ La talpa 2

II lw − yG ,1

WI ,1 =

(Ex.7.9b)

5. Limitele sâmburelui central (faŃă de centrul de greutate G)

rsc ,1 =

WI ,1 AI

rsc ,2 =

W2 ,1 AI

(Ex.7.10a)

(Ex.7.10b)

Cu notaŃiile de mai sus • t = 25 cm • t1 = t2 = 30 cm • b1 = 150 cm • b2 = 250 cm 16

• • • • • • •

lw = 400 cm Aw = lw x t = 10000 cm2 At1 = (b1-t)t1 = (150 - 25) x 30 = 3750 cm2 At2 = (b2-t)t2 = (250 - 25) x 30 = 6750 cm2 αt1 = At1/Aw = 3750 / 10000 = 0.375 αt2 = At2/Aw = 6750 / 10000 = 0.675 βt1 = βt2 = t1/lw = 30 / 400 = 0.075

Rezultă • AI = Aw + At1 + At2 = 10000 + 3750 + 6750 = 20500 cm2 •

k y ,I =

1 + α t 2 ( 2 − β t 2 ) + α t 1β t 1 1 + αt1 + αt 2

•

k y ,I −

1 + 0.675( 2 − 0.075 ) + 0.375 × 0.075 = 1.135 1 + 0.375 + 0.675

•

yG 1 =

k y ,1lw 2

= 1.135 × 200 = 227.1cm

2. Efortul unitar mediu de compresiune este: N = 80000 daN → σ 0 = sd =

80000 = 3.90 daN / cm 2 20500

3.90 ≅ 0.285 13.6

3. Aria zonei comprimate (relaŃia 6.22) Azc =

80000 = 6920 cm 2 > At 1 = 4500 cm 2 0.85 × 13.6

4. Forma şi dimensiunile zonei comprimate •

xc1 lungimea zonei comprimate de partea tălpii 1

•

Azc > At1 → axa neutră este în inimă şi

xC 1 =

Azc − bt 1 × t1 → xC1 = 96.8 cm t

• PoziŃia centrului de greutate al zonei comprimate în raport cu extremitatea tălpii 1 yG 1 =

0.5bt 1t12 + xC 1 × t × ( t1 + 0.5 xC 1 ) → yG1= 37.2 cm Azc

Mărimile respective sunt reprezentate în figura Ex.7.3.(zona comprimată este poşată)

17

Figura Ex.7.3. Caracteristicile geometrice ale zonei comprimate pentru peretele din figura….

Dimensiunile zonei comprimate alăturată marginii 2. se calculează folosind bt2 şi t2, •

Azc < At2 → axa neutră este în talpă

•

xC 2 =

•

yG2 = 0.5 xC2 = 0.5 × 27.6 = 13.8 cm

Azc 6920 = = 27.6 cm bt 2 250

5. Excentricitatea forŃei axiale în raport cu centrul de greutate al peretelui e1 = yG - yG1 = 227.1 - 37.2 = 189.9 cm e2 = lw - yG - yg2 = 400 - 227.1 - 13.8 = 159.1 cm

6. Valoarea de proiectare a momentului încovoietor capabil este (relaŃia 6.23): Mcap,1 = Ne1 = 800× 1.899 ≅ 1520.0 kNm ⇒ 152.0 tm

Mcap,2 = Ne2 = 800 × 1.591 ≅ 1270.0 kNm ⇒ 127.0 tm 2. Calculul pentru rezistenŃa la SLS 2.1. Determinarea sâmburelui central al secŃiunii •

Momentul de inerŃie al peretelui Iw =

25 × 400 3 = 1.333 × 10 8 cm 4 12

•

kI,1 = 3.589

•

II = 3.589 × 1.333 × 108 = 4.784 × 108 cm4

•

Modulele de rezistenŃă sunt:

⇒ Modulul de rezistenŃă la talpa 1 WI ,t 1 =

II 4.784 × 10 8 = = 2.10 × 10 6 cm 3 yG 1 227.1

⇒ Modulul de rezistenŃă la talpa 2 WI ,t 1 =

II 4.784 × 10 8 = = 2.7710 6 cm 3 lw − yG 1 400 − 227.1

18

•

Limitele sâmburelui central W1,t 1 2.10 × 10 6 = = 102cm AI 2.05 × 10 4

⇒ FaŃă de talpa 1

et 1 =

⇒ FaŃă de talpa 2

et 2 =

W1,t 2 2.767 × 10 6 = = 135 cm AI 2.05 × 10 4

2.2. Momentele încovoietoare pentru SLS sunt ⇒ FaŃă de talpa 1: M1 (SLS) = 1.2 × 1.02 × 80.0 ≅ 98.0 tm ⇒ FaŃă de talpa 2 : M2 (SLS) = 1.2 × 1.35 × 80.0 ≅ 130.0 tm

19

EXEMPLUL NR.8. 6.6.3.3. RezistenŃa la compresiune şi încovoiere a pereŃilor din zidărie confinată ⇒ Calculul momentului încovoietor pentru un perete din zidărie confinată Se determină momentul capabil pentru peretele cu dimensiunile din exemplul nr.7 realizat din zidărie confinată cu 2 stâlpişori 25 × 30 cm din beton clasa C12/15 (fcd = 5.8 N/mm2 - tab.3.7) armaŃi cu 4Φ16 PC52. (fyd = 300 N/mm2)

Calculul se face în două ipoteze: A. Zidăria este executată cu elemente din grupa 2 cu εmu = 1.8‰ B. Zidăria este executată cu elemente din grupa 1 cu εmu = 3.0‰ A. Deoarece εmu = 1.8‰ < 2.0‰ (pentru care betonul atinge valoarea de proiectare a rezistenŃei la compresiune fck/fcd) se neglijează aportul betonului din stâlpişorul comprimat (se consideră că secŃiunea este integral din zidărie). •

Momentul capabil al peretelui de zidărie nearmată (exemplu nr. 7) - Compresiune la talpa 1 M = 152.0 tm - Compresiune la talpa 2 M = 127.0 tm

•

Momentul dat de armăturile din stâlpişori: - distanŃa între axele stâlpişorilor ls = 3700 mm - aria armături unui stâlpişor 4Φ16 = 804 mm2 - momentul Ms = 3700 × 804 × 300 = 89.2 × 107 Nmm → 89.2 tm

•

Momentul capabil al peretelui de zidărie confinată - Compresiune la talpa 1 M = 152.0 + 89.2 ≅ 241.0 tm - Compresiune la talpa 2 M = 127.0 + 89.2 ≅ 216.0 tm

B. Se calculează aria de zidărie ideală transformând aria de beton în arie de zidărie echivalentă •

Coeficientul de transformare (relaŃia 6.14) f cd 5 .8 = ≅ 4.25 f d 1.36

n= •

LăŃimea tălpilor ideale -

•

bt1 (i) = 150 + (4.25 - 1.0) × 25 ≅ 230 cm bt2 (i) = 250 + (4.25 - 1.0) × 25 ≅ 330 cm

Ariile tălpilor ideale 20

•

-

At1,i = 230 × 30 = 6900 cm2 ≅ Azc = 6920 cm2

-

At2,i = 330 × 30 = 9900 cm2 > Azc

-

Pentru ambele cazuri axa neutră este în talpă

Coordonata centrului de greutate este -

•

•

Adâncimea zonei comprimate La talpa 1 xC 1 =

-

La talpa 2 xC 2

Centrul de greutate al zonei comprimate La talpa 1: yG1 = 0.5 xC1 = 15.0 cm La talpa 2 : yG2 = 0.5 xC2 = 10.5 cm

Momentele încovoietoare capabile ale secŃiunii ideale de zidărie nearmată -

•

6920 ≅ 30 cm 230 6920 = ≅ 21.0 cm 330

-

•

yG = 221.9 cm (faŃă de talpa 1)

La talpa 1 Mcap (zna,i) = (2.22 - 0.15) × 80 = 165.6 tm La talpa 2 Mcap (zna,i) = (4.00 - 2.22 - 0.105) × 80 = 134.0 tm

Momentele încovoietoare capabile ale peretelui de zidărie confinată -

La talpa 1 Mcap (ZC) = 165.6 + 89.2 = 254.8 tm La talpa 2 Mcap (ZC) = 134.0 + 89.2 = 223.2 tm

Notă. Sporul de rezistenŃă obŃinut considerând aportul stâlpişorului de beton armat este de 5.7% pentru talpa 1 şi de 2.9% pentru talpa 2

21

EXEMPLUL NR.9 6.8.1. Verificarea cerinŃei de rezistenŃă 6.8.1.1. Verificarea cerinŃei de rezistenŃă pentru solicitările în planul peretelui Se verifică satisfacerea cerinŃei de rezistenŃă pentru peretele cu dimensiunile şi încărcările din figura Ex.9.1. Solicitările corespund grupării seismice de încărcări.

Figura Ex.9.2 Verificarea cerinŃei de rezistenŃă seismică pentru un perete din ZNA

Materiale: •

Elemente pentru zidărie din grupa 2 cu fb = 7.5 N/mm2

•

Mortar M5

•

RezistenŃa caracteristică a zidăriei (Ńesere conform fig.4.1a) fk = 3.0 N/mm2 (tabelul 4.2b)

•

Coeficientul de material γM = 2.2.

•

RezistenŃa de proiectare a zidăriei fd = 3.0 / 2.2 = 1.36 N/mm2

•

RezistenŃa caracteristică iniŃială la forfecare fvk0 = 0.30 N/mm2

Solicitări secŃionale la baza peretelui •

Momentul încovoietor de proiectare -

•

ForŃa tăietoare de bază -

•

Mb = 45 × 9.0 + 30 × 6.0 + 15 × 3.0 = 630 kNm Fb = 45 + 30 + 15 = 90 kN

ForŃa axială la bază -

Nb = 3 x 200 = 600 kN

Calculul rezistenŃei la moment încovoietor •

Lungimea zonei comprimate xC =

•

600000 = 1730 mm 300 × 0.85 × 1.36

Valoarea de proiectare a momentului capabil

22

lw xC  4000 1730  7 − ) = 600000 ×  −  = 68.1 × 10 Nmm = 68.1tm 2 2 2 2   >Mb = 63.0 tm M Rd = N Ed (

Calculul rezistenŃei la forŃă tăietoare RezistenŃa la lunecare în rost orizontal (6.6.4.1.1.2) •

Excentricitatea forŃei axiale e=

•

M Ed 630 = = 1.05 m N Ed 600

Lungimea zonei comprimate (figura 6.9) lc = 1.5lw − 3e = 1.5 × 4000 − 3 × 1050 = 2850 mm → 2.85 m

•

Lungimea pe care aderenŃa este activă lad = 2lc − lw = 2 × 2850 − 4000 = 1700 mm → 1.70 m

•

RezistenŃa de proiectare la lunecare în rost orizontal (relaŃia 6.34b)

V Rd , l =

1  1700 600000  + 0 .4  0.30  × 300 × 2850 = 178600 N → 17.86 tone 2 .2  2850 300 × 2850 

RezistenŃa de proiectare la cedare pe secŃiune înclinată (6.6.4.1.2) •

Efortul unitar mediu de compresiune pe perete

σd = •

N Ed 600000 = = 0.5 N / mm 2 tlw 300 × 4000

RezistenŃa caracteristică la întindere a elementelor (relaŃia 4.6a)

fbt = 0.035 fb = 0.035 × 7.5 = 0.2625 N/mm2 (AtenŃie ! Valoarea încadrată este corectată faŃă de textul R1) •

RezistenŃa unitară caracteristică la rupere pe secŃiuni înclinate (4.5a)

f vk ,i = 0.22 × 0.2625 × 1 + 5 •

RezistenŃa unitară de proiectare la rupere pe secŃiuni înclinate (4.7a) f vd ,i =

•

0.187 = 0.085 N / mm 2 2 .2

RezistenŃa de proiectare la rupere pe secŃiuni înclinate (relaŃia 6.36) VRd ,i =

•

0.5 = 0.187 N / mm 2 0.2625

300 × 4000 × 0.085 = 68000 N → 6.8 tone < Fb = 9.0 tone 1 .5

CerinŃa de rezistenŃă la forŃă tăietoare nu este satisfăcută..

23

EXEMPLUL NR.10 6.6.6. RezistenŃa de proiectare a panourilor din zidărie înrămate în cadre Se calculează rezistenŃa unui perete de zidărie înrămată într-un cadru din beton armat în următoarele condiŃii: •

Dimensiunile panoului: - lungime : lp = 4500 mm - înălŃime : hp = 2500 mm - grosime : tp = 250 mm - aria panoului Apan = 250 × 4500 = 1.125 × 106 mm2

• -

Dimensiunile cadrului: stâlp 1 : 400 × 400 mm stâlp 2 : 600 × 600 mm

•

Materiale

-

Zidărie:

fk = 3.0 N/mm2 → fd = 3.00/2.2 = 1.36 N/mm2 fkh = 0.70 N/m2 → fdh = 0.70/2.2 = 0.318 N/mm2 fvk0 = 0.30 N/mm2 → fvd0 = 0.30/2.2 = 0.136 N/mm2 Ezid = 1000 × fk = 3000 N/mm2

-

Beton :

C16/20 Eb = 27000 N/mm2

⇒ RezistenŃa la lunecare în rost orizontal (relaŃia 6.45) hp

2500 = 0.555 4500

•

λp =

•

k1,pan = 1.255 (prin interpolare în tabelul 6.3)

•

FRd1 = 0.136 × 1.125 × 106 × 1.255 = 19.20 × 104 N → 18.20 tone

lp

=

⇒ RezistenŃa de proiectare la fisurare pe secŃiune înclinată (relaŃia 6.46) •

k2,pan = 1.955 (prin interpolare în tabelul 6.3)

•

FRd2 = 0.136 × 1.125 × 106 × 1.955 = 29.90 × 104 N → 29.90 tone

⇒ ReziistenŃa de proiectare la cedare prin strivirea diagonalei comprimate

24

•

k3,pan = 0.612 (prin interpolare în tabelul 6.3)

•

Momentele de inerŃie ale stâlpilor

•

-

I1 =

400 4 = 21.3 × 10 8 mm 4 12

-

I2 =

600 4 = 108.0 × 10 8 mm 4 12

latura stâlpului echivalent (relaŃia 6.48) -

•

bst ,ech = 4 6 (21.3 + 108.0 ) × 10 8 ≅ 528 mm

raportul modulelor de elasticitate -

Eb/Ez = 27000/3000 = 9.0

•

raportul hp/tp = 2500/250 = 10

•

factorul k5,pan = 1.655 (prin interpolare în tabelul 6.4)

•

Fd,31 = 1.36 × 528 × 250 × 0.612 × 1.655 = 18.18 × 104 N → 18.18 tone

•

factorul k4,pan = 0.114 (prin interpolare în tabelul 6.3 corectat)

•

Fd,32 = 0.318 × 1.125 × 106 × 0.114 = 4.08 × 104 N ≅ 4.10 tone
25