Fasores Y Variable Compleja

Fasores y variable compleja A. F. Oliva Hernández, I. R. Xaca Zepeda

Introducción Un fasor es un vector utilizado para representar una onda, de forma que el vector suma de varios fasores puede ser utilizado para determinar la magnitud y fase de varias ondas después de procesos de interferencia. Los fasores son una manera de representar números complejos de manera más sencilla, utilizando solamente la magnitud del voltaje o corriente y el desfase de la señal senoidal. Los fasores se representan de la siguiente manera: 𝑉𝑚 < 𝜃

𝐼𝑚 =< ∅

Los fasores simplifican la resolución de circuitos excitados con corriente alterna (AC) puesto que abrevian la representación compleja.

Transformación fasorial Si tenemos una señal senoidal o cosenoidal de la forma 𝑖(𝑡) = 𝐼𝑚𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡 + ∅) esta se puede representar con la identidad de Euler de la siguiente manera: 𝑖(𝑡) = 𝑅𝑒[𝐼𝑚𝑒 𝑖(𝜔𝑡+∅) ] Si tomamos su parte real, obtenemos su magnitud, la cual es: 𝐼 = 𝐼𝑚𝑒 𝑖∅ Y el desfase de la señal: 𝐼 = 𝐼𝑚 < ∅ La ventaja principal de usar fasores es que permite establecer relaciones algebraicas entre la tensión y la corriente en inductancias y capacitores.

Reactancia Cuando nosotros hablamos de corriente y voltaje estamos utilizando un sistema de coordenadas polares, por lo cual también es necesario representar en forma polar o fasorial las resistencias que se van a utilizar en los circuitos de corriente alterna. En este tipo de circuitos, la reactancia es la parte imaginaria que existe en el circuito y se define como la oposición al paso de una corriente alterna que ofrece una inductancia pura o una capacidad en un circuito; se expresa en omhs. Se representa en Z.

Las resistencias reales son las que se conocemos comúnmente, éstas simplemente se oponen al paso de la corriente o al voltaje; están dentro del plano de los reales, mientras que las admitancias están en el plano imaginario. Existen dos tipos de admitancias, las cuales son la inductancia y la capacitancia, aunque ambas almacenan energía, lo hacen de maneras diferentes. Mientras que las inductancias almacenan corriente, las capacitancias almacenan voltaje. La capacitancia en circuitos de corriente directa no tiene ninguna resistencia, sin embargo en circuitos de corriente alterna esto no es así. Como ya se mencionó, ambas almacenan energía, y la corriente al alternarse entre una y otra, ambas en algún punto almacenarán energía opuesta a la energía que se está suministrando en ese momento y por ello darán una resistencia al cambio la cual será negativa. Ahora, si se desea pasar de los términos de la resistencia a la reactancia, tenemos, para el caso de la resistencia: 𝑍𝑅 = 𝑅 Como se puede observar, ésta pasa de manera normal puesto que es una resistencia real. Para el caso de la inductancia tenemos: 𝑍𝐼 = 𝑗𝜔𝐿 Y para el caso de las capacitancias, tenemos: 𝑍𝐶 =

1 𝑗𝜔𝐶

En los casos de las inductancias y capacitancias se utiliza la letra “j”. Cabe mencionar que en el caso de las capacitancias, la j está en el denominador, por lo cual se puede representar como: 1 = −𝑗 𝑗 Por ejemplo, en una frecuencia ω = 10,000 rad/s, con un inductor de 5 mH en serie y un capacitor de 100 μF, tenemos que la reactancia del inductor sería: 𝑍𝐼 = 𝑗𝜔𝐿 = 50𝑗 Y la reactancia del capacitor sería: 𝑍𝐶 =

1 −𝑗 = = −1𝑗 𝑗𝜔𝐶 𝜔𝐶