Fishbane Vol 2.pdf

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PARA CIEIICIAS E INIGEMERIA VolumenII

Paul M. Fishbane UNTT¡ERSITY OF VIRGINIA

Stephen Gasiorowicz

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UNTI¡ERSITY OF MINNESOTA

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Stephen T. Thornton

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UNTVERSITYOFVIRGINIA

TRADUCCION rNG. QUrM. VTRGTLTOG'ONZALEZPOZO Consultor REVISIONTECNICA ALBERTO LIMA SANCHEZ FIS. FísicoUNAM

Universidad

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T.JAVIER DE I-q. RUBIA Dpto. de Física Fundamental Nacional de Educac i6n a Distancia-UNED Madrid-Españ;a

S.A. PRENTICE-TIALL HISPANOAMERICAIYA, MDilCO-ENGI^EIT/OOD CLIFFS-LONDRES-SYDNEY DEJANIIRO TORONTO-NUIVA DELI]I-TOKIO-SINGAPUR-RIO

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SINISSIS DE CONTEN¡-IDO

TOMO II

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22 r c RcAEI^EcrRra\ 23 trt.c.AMpoEtr¡crn¡co

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669

42 cttANrrz./rcroN ¡)lt v¡t.otrrisDlt

24 L¡rrDEcAUss 25 ForrNctALELEcrRrco

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725

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26 c P clTorusYDrrlrcrnrcos 27 coRruENlEssl¡crRlcAs riN

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28 clnctrlTos DEcoRTLNTEDrRtrcrA

813

46 lr^RTlctrisYcosMor.ocrl

13't

29 nrtrmos DEl.os cAMPosMAGNgncos Dti Los 30 PRoDUcqoNY PRoPIEDADES

gr2

N)IiNDICI I |jL SISTIiMA IMIüNACIONAI, DIiUMDADIIS

A- l

AIIIiM)ICII IT AI,GUNAS CONSTAN'I'T6 I¡ISICAS rT.,M)AMI1N'IAIIiS

A-l

APTiNDICA UI OTRAS CANTIDADIIS I;IS¡CA.S

A-5

APNNDTCEry MATEMAIICAS

A-7

AI'IIM)ICUV',t'Atil u¡.IiMnNTOS

A-1'

¡uAGNETtsMoYMATERTA

873 908 936

33 tNDUcTANcr YosüI^eoNEs NNCINCI.JITOS

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34 coRRTEMEsALTERNAs 35

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36 Lr\LUz 37

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960 982

EcUAc¡oNESDE MoTvT]LLY oNDAs ELECTROMAGNETICAS

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32

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STS'I'TIMA.S DIi I{iRMIONIIS Y BOSONIIS

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3L T¡YDETAnADAY

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43 l:I;EcrosculNrtcos nNcR^NDr¡s

786

CAMPOSMAGNETICOS

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MOMI]NTO ANGUIAN Y üM]RGIA

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44 rNcrir,grmrA cultvrrcl

MATERIALESi

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760

nsrclculurrcA

Dsprilos,LtrNTrsysus ApLIcAcroNns

1OO9

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I'HUOI)ÍCA DIiI.OS

APDNDICtr vI III]C¡IAS IMPONTANTI6 I1N lrt IüSlOITIA DI! Il TTSICA APIiND¡CE VTI T'A¡}IAS I;N TiI,TIilN'O

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AI'DNDICE VIII RI]CT.]ADRO CON TEXIC) SI'I.I|CCIONADO

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38 rnnTruEnENc¡A 39 DrFRAccroN

1l 08

RlisPtJLslAS A I'ROITLnMAS CON NUMtitro IM¡'AIT

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INDICIi

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cRllDI'tosDlil;o't'ocR n^^s

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RF.rrrrrvrDADFspticIAL

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CONTEMDO

(46 22 IJ\ cARGA Fr FcTRrcA 22-L l.aspropiedades dela materiaconcetga, &6 y cuantización 22-2 l¡ conservación dela carga, 652 22-3 I-a ley deCoulornb,654 22-4 I¡s fuenasenlasqueintervienen cargas múltipleso continuas, 657 22-S El significado dela interacción eléctrica, 662 preguntas, problemas, Resumen, 663

254 Determinaciónde camposeléctticosa partir de potetrciales eléctricos,737 25-5 Cálculode los potencialesde disFibuciones finitas de carga,740 25-6 Potencialesy camposeléctricosque rodean a conductores,T45 25-7 Potencialeseléct¡icosy campos electrost¡iticos en tecnologla,748 Resumcn,preguntas,problemas,753

26

)

Capacitancia,T6O Energlaen capacitores,764 Energlaen camposeléctricos,766 Capacitoresconectaclos en seriey en paralelo,768 26-5 Dieléctricos,77l 26-6 Descripciónmicroscópicade los dieléctricos, 777 Resunren,preguntas,problemas,780

) ) -)

669

23-L El campoeléctrico,670 23-2 L¡s lfneasdel campoeléctrico,676 23-3 El campocléchico debidoa una disttibucióncontinuade carga,680 23-4 El movimientode una partfculacatgadaen un campoelécttico,685 23-S El dipolo eléctricoen un campoeléctrico exüemo,689 . Resumen,preguntes,problemes,692

)

24 LEYDE GAUss

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24-l 24-2 24-3 24-4 *24-S

699

Flujo eléctrico,700 L-eyde Gauss,703 Aplicacionesde la ley de Gauss,707 Conductoresy camposeléctricos,713 ¿Quétan bien conocemosla ley de Gaussy la de Coulomb?716 Resumen,preguntas, problemas,719

25 PoTENcIALFTFcTRIco 25-L Energlapotencialelécttica,726 25-2 Potencial cléchico,728 25-3 Regiónesequipotenciales, 735

725

760

26-l 26-2 26-3 26-4

)

23 EL cAMPo ELEcTRrco

CAPACITORES Y DIELECTRICOS

27

CORRIENTES FI FCTRICAS EN MATERIALES

786

27-L 27-2 27-3 *274

La conienteeléctrica,786 Corrienües eléctricasen materiales,789 Resisüencia,79l Modelo de electroneslibtes para resistividad, 796 *27-5 Aisladores,conductoresy semiconductotes, 799 t'27-6 Superconductores, 803 27-7 Potenciaeléctrica,8M Resumen,preguntas,problemes,807

28 crRcurros DEcoRRTENTE DrREcrA Bt3 28-l Fuenaclectromotriz, 813 28-2 Circuitosdeunaespiray la reglade Kirchhoffparauncircuito,I l7

1"

28-3 Circuitosde variasespirasy la tegla de Kirchhoff paranudos,820 28-4 Instrumentosde medición,826 28-S CircuitosRC,830 Resumen,preguntes,problemas,833

29

EFECTOS DE LOS CAI}ÍPOS MAGNETICOS

J¿-l

842

29-I Imanesy camposmagnéticos,843 29-2 Fuetzamagnéticasobreuna carga eléctrica,845 29-3 Aplicacionesde la fueza magnéticasobre una cargaeléctrica,848 29-4 Fuer¿asmdgnéticassobrecortientes eléctricas,854 29-S Fuerzamagnéticasobreespirascon conienteselécttica,856 29-6 El efectoHall, 862 preguntas,problemas,863 Resumenr' li

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Y MATERIA

936

Propiccladcs lnagrróticas clc In rnatcri¡ crr conj unto,937

32-2 Los átomoscorno imanes,94I 32-3 Femomagnetisrno,945 *32-4 Diamagnetismo,949 *32-5 Paramagnetisrno,950 *32-6 Magnetismoy superconductividad, 95 I *32-7 Resonanciarnagnóticanuclear,952 Resumen,preguntas, problenras,955

33 INDUcTANcTAY oscrLrcroNEs EN ctRcr.rrTos 960 33-l 33-2 33-3 33-4 33-5

Inductancia e inductores.960 Energfaen inductores, 966 Energfaetrcatnposnragnéticos, 968 Oscilaciones en circuitos, 969 EnerglaerrcircuitosRLC,974 Rcsumcn,preguntas,problcrnas, 976 :

30 PRODUCCIONIYPROPIEDADESDE LOS 873 Cá,MPOSMAGnIEfiCOS,,,

3 0 - 1 L e yd eA mp é q4 7 4 '" ,^ '

' 3O:2 Ley dg Gausspad ál óasodel i magnetismo,STg 30-3 Solenoides,882 3O-4 l,ey de Biot-Savart,886 30-5 [a conienüede desplazamiento de Maxwell,895 *30-6 Problemasde consistencia:dependencia de fuerzassegúnel marcode referenciay la terce¡aley de Newton, 898 Resumen,preguntas, problemas,901

3T LEYDEFARADAY

CNETISMO

908

31-1 Michael Faradayy la inducción magnética,908 3l-2 l-ey de Faradayde la inducción,910 31-3 Fuer¿aelecttomotrizde movimiento,9LT 3L-4 Fuelzas,energlay potenciaen la fuerza electromotrizde movimiento,92 I 3l-5 Efectosde camposmagnéticosvatiablesen el tiempo,924 : y motores,926 31-6 Generadores *31-7 Relaciónentrecamposeléctricosy' magnétiqosdesdemarcosde refetenciaen movimierrto,g2S ' Resunibn,iróguntas, problemas,929

34 coRRTENTEsALTtrRNAs

982

34-L Tmnsformadores, 982 34-2 Elementosindividualesen circuitosde CA. 986 34-3 Circuitosde coriente alternacon RLC en serie,990 34-4 Potencia en los circuitosde corrientc altenra,995 34-5 Algunasapiicaciones, 998 Resumen,preguntas,problemas,1002

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35 EcuAcIoNEs DE MAxwELL Y oNDAs ELECTROMAGNETICAS

1009

35-l [¿s ecuaciones dc Maxwell,l0l0 35-2 Propagaciólr de los campos electromagnéticos, 10I i 35-3 Ondaselecttomagnéticas, 1013 35-4 Densidady flujo de energfa,y flujo de calitidad detnovirniellto, I 02I *35-5 Radiación deun dipolo,1025 35-6 Polarización,1028 *35-7 Radiaciolres conro electrotnagnóticas partlculas,1034 1035 Resumen,preguntas,problemas,

36 [-^,LUZ

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LO42

36-1 La velocidadde Ia luz, 1M3 36-2 ¿Sepropagala luz e-r línearecta?,1046

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3ó-3 Retlexióny refracción,1048 a pafir delprincipio "36-4 Reflexióny refracción deFermat,1055 36-5 Dispersión, 1058 preguntas, problemas, Resumen, 1062

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Y sus 37 EsPqJos,LENTES APLICACIONES

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37-l 37-2 37-3 37-4 37-S *37-6

42 cuANTtzAcroNDEvALoREsDE MOMENTO ANGI,JLI\RY ENERGIA 42-l 42-2 42-3

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39 DIFRACCTON

42-4 42-5

43

rt32

I-a diftacciónde la luz, 1133 Rejillas de difracción, I134 Difracciónen rendüaúnica,I140 Difracción y tesoluciónde instrumentos ópticos,I 143 *39-5 Efecto del anchode rendijasobrelas figuras de rejilla, I 147 r'39-6 Difracciónde rayosX, I148 *39-7 Holograffa,1153 Resumen,preguntes,problemas,1156

39-l 39-2 39-3 39-4

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40 REraTrvrDADEsPEcrAL 40-l 40-2 40-3 40-4

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40-5 40-6 40-7 *40-8

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rt62

¿Esnecesarioun éüet?,I 163 lns postuladosde Einstein,I165 Espacio,tiempoy simultaneidad,1167 Dilatacióndel tiempoy contracciónde la lorigitud,1169 Conimiento Dopplerrelativista,1174 Transformaciones de Lormtz, ll80 Cantidadde movimiento y energlaen la relatividadespecial,I 187 Mrís allá de la telatividadespecial,1192 Resumen,preguntee,problemas,1194"

t?t

La naturaleza ondulatoriade la materia, 1202 4l-2 l¿s relacionesde incertidumbrede Heisenberg, 1206 4l-3 L¡ naturaleza corpuscular de la radiación, t2tl 4l-4 Mecánicacu¡inticay probabilida d, L2l7 Resumen,preguntas,problemas,1218

110E

Experimentode Young de la doblerendija, I 108 38-2 lntensidaden el experimentode Young, de la doblerendija,1113 38-3 lnterferencia en la reflexión,ll16 *38-4 Intcrferómetros,ll24 Resumen,preguntes,problemas,1126

FrsrcAcuA¡tTlca, 4l-l

ro6s

y espejos,1069 inrágenes Espejos esféricos, 1072 Reftacción ensuperficies esféricas, 1082 Lenües delgadas,,1090 Instrumentos ópticos,1095 Abenación, 1l0l preguntes,problemas,I 102 Reeumen,

38 ¡rvrsRFERENcrA

4l

12?

Cuantizaciónde la energlay el momento angular,1225 La teodacurinticadel momentoangulary r' espectroverdaderodel hidrógeno,l23L El spin,el principio de exclusióny la estn¡ctutade los átomos,1235 [-a eskucturay los estadosde energlade la, moléculas,l239 Teoria de bandas,1245 Resumen,preguntas,problemas,1247

EFECTOS CUA¡\TTICOS EN GRANDES SISTEMAS DE FERMIONES Y BOSONES

t25

43-l El principio de exclusiónen metalesy estrellas,1254 43-2 Ldsetes:aplicacióndel comportamientode agrupaciónde bosones,1260 43-3,Supetconductividad, L264 y el helio llquido, l27O 43-4 Supetfluidez Resumen,preguntas,problemas,1271

M

INGEI\IIERIA CUANTICA 44-l 44-2 44-3 44-4

].27-

Semiconductores, 1278 Estructurasde semiconductores, 1286 lngenieriade bandasprohibidas,1293 Microscoplade banido, 1298 Resumen,preguntas,problemes,1301

45 FrsrcANUcLEAR

1306

45-l Propiedades est¡iticasde los núcleos,1306 45-2 Fuetzasnuclearesy modelosnucleates, l3t6 45-3 Enetglaen las teaccionesnucleates,1321 45-4 Radiactividad,1323 45-5 Fisióny fusión,1330 xl

lqtfl'

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45-6 Aplicacionesde la flsica nuclear;'1332 Resumen,preguntesrpnoblemas,1337

46 penrrcur.r\sYcosMolocra

y '.343

46-l Muñecasrusas,fuerzassubnucleares relatividadespecial,1343 46-2 [,aspartfculasnuevasy lasleyesdela 1347 consetvació,n, 1353 46-3 Repasodelasfue¡zasfundamentales, partfculas, 1356 4H Henarrient¡sdela ffsicade delr¡nivcrso,13fi 46-5 Exponsión momentosdpl universo,1365 46-6 Ins prime¡-os l37L , ..: 46-7 Palabrasfinales, preguntee, Reeumen,; Problem*, 1372 iij,

APEI\DICE I ELSISTTIÍA INTERNACIONALDET'NIDADES APE¡TDICE U E¡TU|VIS CONSTANIES FISICáS TUNDAII{ENÍALES

APEIYDICEM FISICAS

OTRASCAI|ITIDADES

APEIIDICETV

MATEMATICAS : .I

A.-5

.APENDICE V TABIAPtrRIODIC^ DELOSELÉMENTOS APENDICE VI FECIIASIMPORTA¡¡TES ENIAHISTORIADEIAFISICA APENDICEVII

TABr-AsENErli'EC-rO

APENDICEVIU

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A-7 A-1.1. A.13 A-15

RECUADROCONTE}(TO

:ETECCToNADO

A PROBLEMAS RESPI,JESTAS '. DE IruMEROIMPAR

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INDICE

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CREDITOS DE FOTbGRAFIAS

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C A P I T UTJ O

22

pard comprender los dc la naturalezpdel relómpago Lasinvestigaciones fueron importontes fcnómcnoseléctricos,En cstcgrabado,Bcnjanln Franklinllevaa cabouno de susfamosos publicóentrc 1751y 1753. conla cometa,cuyosresullados cxpcrimcntos

LA CARGA ELECTRICA

Aquf es dondeiniciamosnuest¡oestudiode la electricidady el magnetismo,tema que se ramifica a través de todo el mundo flsico. l,as fuerzas electromagnéticas controlanla estructurade los átomosy de todoslos materiales,ylaluzy otrasondas sonubicuas.La comprensiónde esasfuetzasesuno delos grandes elechomagnéticas éxitos de la ciencia.En este capltulo pfesentaremosla carga eléctrica,propiedad de los átomos,y la ley fundamennueva,pafanosotros,queportanlos constituyentes tal de la interacciónde dos ca¡gasen reposo,que es la ley de Coulomb.Estaley de fuerzaes tan fundamentalcomo la de gravitaciónuniversaly tiene la mismaforma. Sin embargo,la fuerza que describela ley de Coulomb puedeser de atraccióno repulsión.

22-L rá.s pRopIEDADESDE LA MATERIAcoN cARGA La matcria y la catgacléctrica hastaahora,hemoscaracterizadoa la En la mayor patte de nuestrasdescripciones, gmnel, átomosque la forman,medianteun a asl como a los conjunto, en su maüeria Cuando se investiga la estructurade los átomoscon más at¡ibutoúnico: la masa. que por éstos formados electtonesy núcleos,Estosse están detalle,encontramos I

646

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II !

puedencaracüerizaf medianteotro atributo:la carge eléctrica, que por lo generalse identifica con q. I-as cargaseléctticas ejetcen fue¡zaselectricasentte sl, proporcionales al producto de sus cargas, de igual modo que las masas ejercen fuetzas gmviüacionalesentre sf, proporcionalesal producto de susmasas.Las fuerzas elécIricasmarrtienenunido al átomo.Sin embario, entraun nuevoelementoen las fuerzas eléctricas,que no sp ptesentaen la gravitación: las cargasson de dos signos y, dependimdodeellos,lasfuerzasentreellaspuedeserderepulsión o biendeatracción. El conjunto de fenómenosrelacionadoscon las fuer¿asentrecatgasestacionatiases el temade la electrostótica,o estudiode la electricid¡d estÁtic¡r.

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III(AMENDETALIJ\DO Brcvc hlstoda

dcl cstr¡dto dc la clcctrtctdad

y el magnetlsmo

La mayorlade los estudiantcstienenal menoscierto gradodc familiaridadcon las catgas eléctricas,las fuerzasentreellasy el hechode que el magnetismotiene algo que ver con la electricidad.Tan obvios y scncilloscomo pudieranpa¡ecerestosasuntos,la evidencia experimentaly su comprensión,sólo se desa¡rollarona lo largo de mucho tiempo. La palabraelectricidadyoviene de electrum,la palabragriegaparael "ámbar",y Ia primeracita escritaacercade los curiososcfectosdel ámbarfrotadodatadel siglo V a. de C. Con seguridad,muchotiempo anteslas personasobservaronel crujir y chispearde una piel frotada.No fue sino hastael siglo XVII que se llevó a caboel descubrimientocrltico de que las fuerzaspodfanser de atraccióno repulsión.A travésdel tiempo,se desanolló la idea de que una cantidad,que ahora llam'amoscargaeléctrica,estáasociadacon las fuerzaseléctricas.Entrc los muchosnombresimportantesrclacionadoscon csosdescubrimientosestánlos de StephenGray, CharlesDufay y BeqiamfnFranklin. de salóndc los efectoseléctricos,demoda Franklin,fasci¡radocon lasdemostraciones en el siglo XVI[, llevó a caboabundanteinvestigacióncientffica.Su fama principal es su desanollode la idea existentequeasociabalos fenómenoseléctricoscon un tipo de fluido contenidoen la materia.I: repulsióny la atracciónse rclacionabancon cxcesoo defecto del fluido. En estbmodelo, estabaimpllcito lo que ahoraconocemoscomo el fenómenode la conservación de la carga: si el fluido tuviera que salir de un cucrpo, dejada una deficiencia.Franklin introdujo los términos'positiva" y'negativa" paralos dos tipos de carga.Tambiénestablecióla convenciónnormal del sigro, en la cual el electrón,queesla partfculaque realmentese mueve en los conductores,tiene carganegativa.Franklin es famoso,en especialparael púbüco en gencral,por susexperimentosespecüaculare,y muy peügrosos,con los reliimpagos,a los cualesreconociócomo fenómcnoscléctricos.Franklin y su amigo, JgsephPriestley,al igual quc Henry Cavendish,'estánrelacionadoscon cl descubrimiento de que la fuerza fundamental entre las cargaseléctricas es una ley de la inversa del cüadrado.Esta ley fue confirmada'enforma más directa primero por John \obison y despuéspor CharlesCoulomb, cuyosnombresseunénhoy a esalcy, a mediados y a finales,respectivamente, del siglo XVIII. En la primerapartedel siglo XIX, el magnetismo,quesecrefaentoncesun fenómeno sin relacióncon la electricidad,fue objetode experimentacióninte¡siva.[¿ naturalezedel magnetismoy su relacióncon la electricidadcomenzarona aclararsealrededorde 1820, principalrnentepor el trabajode HansCh¡istianOersted,André Marie Ampérey Michael Faraday.Estarelaciónsecomprendióen forma definitiva,y seunificó, con la formulación, en la décadade por parte de JamesClerk Maxwell, de la teorfadel electromagnetismo, 1860. La naturalezarealde la materiaconcargaeléctricasólofue reveladacon la exploración experimentalde los átomos.[¿ mecánicacuánticaesun elementoadicionalque serequiere paraexplicar las propiedadesde los átomos.Todas las propiedadeseléctricasde la materia .sepuedencomprenderhoy dentrodel marcode la teodacuántica.

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¡ Clnndo las cargassomuovor¡lrc fi¡or¿¡ssonmdscornplicadas,comovcrcmc cn crpihrlospostcrio¡cs.

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648 C¡pitulo

22 l¡ csrga cléctrlce

euperconduclores, Conductores, rlchdorcr y cemiconductore¡

Cer¡a por conducción

>. I-os átomossoneléctricamenteneutros (o simplemente,'neutros");estoes,un átomo en su conjunto no tiene carga eléctrica. Lo sabemosporque las fuerzas eléctricasentreátomossonpegueñas.2 Sin embargo,los electronesdeun átomo,que se representancon una ¿, cadauno, tienen,t¡mbién cadauno, la misma unidadde carganegativr,qacctnjn - -e.I,.oselectronessemuevenen órbitasenregionesparecidas a capasalrededordel núcleo,muchomáspesado,que consistede neutrcnes(repreporp), que tienenuna sentadospor n), quesonneuthles, y protones(tepresentados cargapositivade igualmagnitud,peroopuestaa la deun electrón,qpno{ór, - +¿.Aunque el núcleotieneel 99.95%de la masadeun átomo,el radionucleariólo esla 1O5parte del radiodeun átomo.En un átomoneutralel rrrfunero deelechonesesigual al número de protones,Irós elementosqufmicosse diferencianen el númerode elect¡onesen susátomos,o, de modo equivalente,en el númerc de protonesen susnúcleos.l¡s elechonesque, en promedio,se encuenhanmás cercadel núcleo, son diffciles de tetimr, por la interrsidadde la atracciónhaciaeste.Los elecFonesmásextemosson atrafdosconmenosinte¡sidadhaciael núcleoy seseparande él conmayorfacilidad. La facilidad con la que estosucededetermina,en gran parte,las ptopiedadestanto ffsicascomo qufmicasdel elementoque contieneesoselectrones.Un ótomogueha perdidouno o m¡íselectrones,y pot coisiguiente,que tienecargapositiva,sellama iottpositivo. Un ion negativoesun átotnoqueha gurado electrones. I-a evidenciaquecondujoal descubrimientode la cargaeléctricay de lasfuerzas eléctricas,dependlade las propiedadeseléctricasde la materia a granel y sólo indirecüamente del hechode quela materiaestáformadapor átomos.Poresemotivo, presentaremos una breveperspectivade las propiedadeseléctricasde la matetiaen conjunto. Si los electronesextemos de los átomos,en la materia a gfanel, son especialmente fáciles de retirar (o sea, estándébilmenteenlazadosa su núcleo),se comportancomo si estuvierancasi libres y se puedenmover a travésdel material, casi sin impedimento.Esos rnaterialesson buenosconductores.Los metalesson buenosconductores;algunoscomo el cobre, la plata y el aluminio, son rnejores conductoresqueotros.Determinadaclasede materiales,cuandoseenfrlarra temperaturaslo suficientemente bajas,contienenelectronesque,tealmente,semuevensin tienenotraspropiedades inhibición.Esosmateriales,llamadossuperconductores, parte de lossólidosno meuilicos dela mayor notables,comoveremos.Los electrones que sólidos, incluyen al vidrio,.el hule y los no se muevencon tantafacilidad; esos plásticos,son eisladores.El silicio, el germánioy un númerocadavez mayor de combinacionessintéticas,sonsustanciasquepodemoshacerconductoreso aisladoles res,controlandolasfuerzaseléctricasenellos,o la tempetahrta.A esassustancias tecnologfa. papel la un importante en llamamossemiconductoresy desempeflarr ' La facilidad con la cual se muevenlas cargaspor la materiase relacior¡u estrechamente connuestracapacidadde trarrsferircafgasen uno u otro sentidoentfe materialesdiferentes.Cuarrdolo hacemos,decimosquehemoscargadoo descargado los mate¡iales.Al frota¡un materialen el quelos electronesextemosesténdébilmpnte enlazados,como el ámbar, esos electronespueden'irse a otra parüey terminar depositadosen otro objeto.El materialoriginal, entonces,tiene un excesode carga positiva:ha perdidoelectrones. El objetoal cualsehan üansferidoesoselectrones, tendráun excesode ellosy quedacon un¡ carganegativa.Cuandola catgapasade estemodode un cuerpoa otro,se dice quelos cuelPosse cargan por conducción. Nótesequetantoel materialoriginal comoel objetohan adquiridouna catga. Podemostenerotro medio de control de la cargade un objeto si lo conectamos a tiena por medio de un buenconductor.Cuandose conectaasl un objetocon carga negativacon la tiena, los electronespasur del objeto a la tiera y el objeto queda ,neutral.Si, en lugar de ello, un objetotienecargapositivaen exceso'entoncesllegan electronesde la tierra y lo neutmlizan.¿Porqué fluye la carga?La Tiena mismaes

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2 Sin ombargo,no son prccisamcntcccro, L¡s razoncsaparcccrúntlaspucs'

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un buen conductor.En efecto, el conductorque va del objeto a la tierra permite compartirla cargadel objetocon la de la tiera; perocomoéstaestan$ande,la carga residualen el cuerpono se puededetectar.Sedice que eseobjeto est¡i¡terriz¡do o conectedoa tierrs (figura 22-l). Alcaminar cruzandouna alfombra,un dfa secode inviemo,podemosacumulargmdualmenteunacarga.Cuandonosaüerizamosüoca¡do un conductorconect¡doa la tiera, comoun tubometÁlico,derepenüe descargamos nuestraelect¡icidada la tiera. La chispague resultapuedesernotable. Evidencia dc que las cargas son dc dos ti¡ros

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I I I t_ I I I I II

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Se pueden demostra¡algunaspropiedadesimportantesde las cargaseléctricas, medianteexperimentoscon materialesfácilmenteasequiblesen un labontorio de ffsica elemental.Podemostransferir cargaeléctricafroüandouna varilla de teflón , sobreun trozo de piel, o frotandouna varilla de vidrio con sed¡, El teflón adquiere (figun 22-2a).Igualmenüe, unacargay la piel adquiereunacargaigral, peroopuesüe el vidrio adquiereuna carga,y la sedauna cargaigual, pero opuesta(figu¡a 22-2b>, En realidad,el üeflóntieneaho¡aunexcesode electronesy la piel, deficienciadeellos, mientrasque el vidrio tiene deftcienciade electronesy la seda,exceso.Asl, por ejemplo,la va¡illa de üeflónsehacenegativay la de vidrio, positiva.Habla¡emosde trIGITRA 22-l Panrnyc'porttüIct-, esasca¡gascuandodescribamoslos expetimentosmás adelanüe.Sin embargo,los modaal prtnclplo dcl slglo XIX. El signosque hayan adquirido las cargasen particularson i¡¡elevantespa¡a nuestros caballcroostl corrcctadooléctrlc¡nslo ücr¡¡. resulüados. El signodel electrónse llama'negativo'pot convención.El teflóny la piel parecentransferirla cargacon máseficienciaqueen el casodel vidrio y la seda, y con ellos seobtienenefectosmásfiicilmenteobservables. Paraestudiarlos efectosde las fuerzasentte las cargas,usaremosmasaspequeVarill¡ ñas, porque reaccionanmris visiblementehacia las fuerzas.Lo podemoshacer (a) (b) do tcflón empleandopelotitasde corchocubiertascon una pintum conducto¡a,que es la que permiteque la cargasemuevacon facilidadsobrela superficie.Secuelgaunapelota de corcho con un hilo delgadoy aislante(figrrta 22-3a),Si tocamosuna pelota de corchocon una va¡illa de teflón con carganegativa,de inmediatola pelotaseaparta de la va¡illa (figura 22-3b).Si tocamosdos pelotasde cotcho,colgadr" y neutrales, con la varilla de teflón con carganegativa,las peloüasserepelenlnfue¡tementemtre

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FIGITRA 22.2 C\ando (a) n frola tcflón con piol, y O) vldrio c¡¡¡ ¡oda,so budlcrc cargacléctrlca.

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Dcspuésdc tocarsc,la varilla y la pclot¡ sorcpclcn

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l,as cargasdo lgual slgrrosolcpclcn

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L,ascargasdc signo dlstlntoso¡trecn ; .1

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Un¡ v¡rlll¡ do tcllón ccrcargr rcgaüvero ¡cc¡cr porp¡i¡rtrr voza la pclotadocorcho rccrrblorta,ncutnl, qr d prlrclplo ce atníd¡ ¡ l¡ v¡¡llla. Dcspuéedo gr l¡ v¡¡tll¡ toca r la polota,óstr soha crryrdo y ro rtürn vlgorcanranto do h vullla cargrdr. (c) Sl tocann doepolot¡|rr do co¡choh¡cld¡¡s¡lc r¡oulr¡scon r¡m va¡lll¡ do tcfló¡¡ crry¡d¡¡ , ncgatlvanrcntc,las dc pclotllasro rcpclcn cntrosí. Las cargrs lgualoseorpolclr. (d) Si prtncro tocar¡¡o¡r¡u polot¡ doco¡r.ho, l¡rlcl¡lnnnto ¡¡or¡t¡r.cor¡un¡ v¡rllh dotofló¡t con carganogaüva,y rru polotr lgrd oot . r¡¡u v¡rlll¡ do vldrlo con cargr pocltlvr, hr 'dc polotitacsorlncranhod.Il crrgrr distlnt¡s soats¡cr¡. , ¡, . rrl . r: . p l { t j '

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6to Capítulo 22 La carga cléctrlce

flGURA 22-4 Expcrimcntodc Stcphcn Gny, sobrccloctricidadcstritica,cn cl siglo XVIII. El jovon,suspcndido onol aitc, cn crrgadoclcctrostdticamcntc; a contlnt¡aclón, podíaatncr pcdacitosdc papcl.

sf (figura 22-3c),Setieneun comporta¡nientosemejanteentredospelotasde corcho que se hayantocadocon una varilla de vid¡io con cargapositiva.Sin embnrgo,si tocamosuna pelotade corchocon la varilla de teflón, y la otra pelotacon la va¡illa de vidrio, las pelotasseatraenentresf (figura 22-3d). anteriores, llegamosa la conclusiónquelascargaseléctriConlosexperimentos casen las vatillas de teflón y vidrio son distintas,y gue Las cergrs igualee se repelen, les cergra difer^entesse ¡tr¡en

Antcsdo tocarsc, varills Y Polotasoatraen

I'IGURA 22-5 l,a pclotado corchonoutra cs atrrida, al principio, r la varllla cargada do tcflón, porqucalgwroccloctroncscnclla pasanal lado lcja¡¡oa causadc l¡ fucr¿¡ dc rcpulsióndcsdch varilla. Las cargas positivassobrcla pclotacsüin,cn promcdio,Íuis ccrcadc la va¡ill¡, y asila fucr¿ado atracciónsob¡ccüas,dcbidaa la vrrilla, cs mayor quola fucrzadc rcpulsión ¡obrc los clcctroncsdcsplazadoe.

sestrsen. Lescargasigualesserepeleny lascargasdiferentes Esasconclusionesson la explicaciónmás sencillade lo que hemosobservado.Por ejemplo,mientrasla varilla de teflón toca a la pelotade corcho,algo de la carga negativade la varilla pasaa la pelota.Entonces,tantola pelotacomola varilla tienen carganegativa.La pelota,qqeseha cargadopor conducción,de inmediatosaltay se quedanexplicadas, de igualmodo, alejade la va¡illa.Nuestrasdemásobservaciones por la regla de que las cargasigualesse repelen,y las cargasdiferenüesse atraen (ftgura22-4). Cuandolos expetimentosque hemosdescritose llevan a cabo con cuidado, podemosnota¡otro efecto.Antes quela varilla de teflón con ca¡ganegativatoquela pelotadecorchoneutfal,éstaesatraldahaciala vadlla,y no repelidapor ella.Despues de tocarse,se repelenfuertementeentresf, y acabamosde explicat por qué.¿Cómo podemosexplica¡su atracciónmutuainicial? Como hemoscubiertola pelotade corchocon pintuta conductora,hay electronesen movimientosobrela superftciede la pelota. Cuandose acercala varilla de teflón con carganegativa,los electrones móvilessonrepelidosy semuevenhaciael lado lejanode la pelotade corcho(figura 22-5). Esto dejauna cantidadigual de cargapositiva en el ¡i¡eade la pelotacercana a la va¡illa. Esascargaspositivasson at¡afdasa la varilla, con más fuerza que la repulsiónde las cargasnegativaspot la varilla. En otraspalabras,cuandolas cargas positivassobrela pelotade corchoestánmríscercanasa la varilla de teflón, de lo que estánlas cargasnegativasen esapelota,la fuerzanetaes de attacción.La atmcción inicial, por lo tanto,sepuedeexplicarsi la fuetzaeléctricasedebilitacuandoaumenta la distanciaentre las cargas.Al fenómenoen el que se redistribuyenlas cargas eléctricasdentrcdeun objeto,debidoa la presenciadeuna cargaexterna,sele llama polarizaciónde la carga.El hechode quelas fuerzaseléctricassedebilitencon la a é1. esde gran importancia,y regtesaremos distanciaentrelas ca¡gasinteractuantes l-acatgapor inducción Otro experimentoexplica cómo puedenobtenervna carga por inducción,o carga inducida,losconductoresinicialmenteneutrales.Pensemosen dosesferasmet¡ilicas neutras,sostenidascadauna pof un posteaislado,y que estánlado a lado, tocándo-

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22-1 l¡r proplcdadcr

& l¡ o¡tcrl¡

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[,a vnrilla con cargr ncgallvoso acorcoI wra csfcra

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HGURA 22{ (e) Dc osfcrasnr.ltllcer rput¡¡lcs sctcnid.o cn pctcs ¡lsl¡r¡to¡ ¡o tocan (b) Uru vartlle do toflón con cerga rrcgativapolarlzehs csfcrasmctdllces.(c) Sl cstasscscparanmlcntns quola vrrillr do tcflón cslóccrc¡, hs osfcns ücnar cargrs ' opr¡ost¡s.(d) Ctrndo sorotln l¡ va¡lll¡ do tcflór¡,l¡s doecsfons nrtlllcrs rlguor toniccdocargasopucslas.Nótcecquola crrgr total do lrs doecsfonr pcnurnco cn

¡-nscsfcras trrctdl¡cas ¡rnrrnnccencnrgntlas cuando sc quita la v¡rilla

cc¡o,

se(figura22-6a).Si llevamosunava¡illadeteflón,concarganegativa,muy cercade una esfera,los electronesen movimiento en la esferase van al lado opuestode la esferaalejada,dejandocargasopuestasen lasdosesferas(figura 22'6b). l¡s esfetas tienencerocargatotal,pe¡ouna espositivay la otra,negativa.Mientrassiguecerca la varilla de teflón, separamoslas dos esferas,dejrindolascon cargaopuesta(figura 22-6c). Aun cuando quitemos la va¡illa de teflón, las cargasinducidasPor ella pennanecenen las dosesferasmetrilicas(figura 22'6d). Decimosquelasdoscsfems sehancargadopor inducción,EsascargaspuedenPasara pelotasde corchocubiertascon pinturaconductora.La fuerzade at¡acciónentrelas pelotasde corcho,quese petcibeconfaciüdadpor tene¡muy pocopesoesaspelotas,demueshaquelascargasson de signo contra¡io.Nótesequesólo los conductoressepuedencargarpor inducción.

Cergr por lnducclón

Las unidadcs dc carga La cantidadde cargaqueportat.l :lecttón dependede cómosedeñnala escalade la carga.La unidadde cargaen el SI se llama coulomb (C).3Podemosdetermina¡el la magnitudde la fuerzaentredosobjetossepatados valordel coulombespecificarrdo una distanciade I m, cuandocadaobjetotiene I C de carga. La magnitudde la cargadel electrón,la cargamrispequeñaquese encuentraen la naturaleza,se ha medido con g¡an precisión.Una aptoximaciónbastantebuena pafa nuestfosfines es (22-rl

e - t.6dl x lo-re c. en la tabla22-1. Las masasy cargasdel neutrón,protóny electtónaPa¡ecen

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i4l coulomb c¡ lg unlded dc crrS¡ cn cl SI

Ceryr dcl clcctr{n

22.I

MASA Y^CARGA DE CONSITN,.rYENTES A,IOMICOS

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Masa (kg) Neutrón,n hotón,p Electrón,e

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1.6?5x 10-27 1.673'xlo-27 g ,l l x l 0 -rr

Carga (C)

0 1.602x lO-¡e x lo-re -1.602

I El coutomb so dcflno form¡lmortc cn térml¡¡c do corrlcnto, o carga por rnidad dc ticmpo, qrr cn cl SI ticnounldadcs dcarnpcras (A): uncoulorñbce ls cantidaddccrrga qrrcprsa porculquicrsccclóndcr¡¡condrctor cn I ¡. ¡l l¡ con{onto on ol condwtor c¡ I A.

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6sz Cepinrlo 22 Le cargecléctrlce

E J E M P LO 2 2 - | Ur.o.varilla de vidrio, frotada con secla,tiene una carga de + 110nC (1lO x l0-e C). ¿Cuántoselectronesle-faltana esavarilla? SOLUCION:Los elecüonesfueron hansferidosde la va¡illa de vid¡io al frota¡la con la seda,dejandoun excesodecatgapositivaen la varilla. Cadaelechóntiene unacargademagnitude,y por consiguiente,el númerodeelect¡onest¡ansfeddos debeser elect¡onestransferidos -

carga neta carga de cada electrón

1 1 0 xlo -e l L6 x l0-tnf/electrón

- 6.9x l0rr elechones

EJ EM PLO 22 -2 Ia mayormonedade oro con el águilaestadounidense tiene 28.4 g de masa.El númeto atómico del orc, que es el número de protones en el núcleodeun ritomodeoro,es79. Por consiguienüe, el númetode electnones en un átomoneutralde oro tambiénes 79. l¡ masaatómicadel oro es 197,lo cual quiete decir que I mol de oto tiene r¡na masc ñAu - 197 gt ¿C\ríntos elechoneshay en una monedade bro puto? ¿Cbál es la earganegativaque conüenela moneda? SOLUCION:El nrimero de átomosde oro en una masade 28.4 g es mN -=

(28.4É)(6.02x lgzr ¿¡e¡¡es/mof) = 8.68 x 1022átomos,

frAu

siendoN - 6.02 x td3 átomos/molel númerode Avogadro,queesel númerode átomosque hay en 1 mol de cualquiersustancia.Cada átomo de Au neutto contiene79 electrones,de modo que el númerototal de electroneses x ld2átomoc) númerode elect¡ones- (79 elechones/ritomo)(8.68 x 6.85 ld{ electrones. La cargaüotalde esoselechoneses catga total de electrones- (númerode dlecbones)(cargapor elechón) - (6.85 x ldacbct¡e*res)(-1.6 x lo-le C/clect¡e,n) - -1.1 x 10óc. El oro esneut¡o,y por lo tantohay una ca¡gapositivanetade igual magrritud,a causade los protones.Nóteseque el númerode elect¡onestransfe¡idosal frotar la varilla de vidrio en el ejemplo 22-I es 1013vecesmeno¡ que el que contiene una monedade oro,

22-Z r-A.coNsERvAcIoNY CUAI.ITIZACION DE lf,\ CARGA

Con¡crv¡cién de h cergl.

Los experimentossencillosque se describieronen la sección22-1 sugierenmucho que la carga se conserva,Sucedeque estoesuna ley flsica fundamental.Todoslos expedmentosquesehan llevadoa cabodesdesiemprehan demostradoquela carga netaes igual antesy despuesde cualquierinteracción,lo cual esun enunciadode la consbrvaciónde ls csrga. El hechode quela conseryaciónde la cargasedé a nivel microscópico, quictc dcck gue también sepresentaráa nivel tnactoscópico.

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Evidcncia de la conscn'ación de [a carga Veamosalgunasinteraccionesmicroscópicasquellevana la conclusiónquela carga se corsenra. Una de las reaccionesentrenúcleos atómicosque se lleva a cabo en un reactornucleares n + 'z3;U-* r!!Ba + !!Kr + 3r¡+ energfa. En ella,el nrirnerototaldeprotones(92)esel mismoenambos'lados- dela reacción.a Aun cuandoel númerode electroneso protonescambiaduranteunarcacción,la cargatoürlpermanecesin cambio.Asl, otrareacciónquepuedellevarsea caboen un núcleoatómico esla capturade electrón

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e- +P -rn*v' partfcula en la cu¡l v ¡epresenta una neuhallamadaneutrlno,El neutrino,a diferencia del neutrón,no tiene masa,hasüadondeeepuedesaber.En cst¡ teacción,los nri,mcros de protonesy electronescambian,perose sigueconsenrandola carga. por r, con un subfndicc Otro tipo de partfculacargadaas el plón, representado que indica el signo de la cargaque potta.En la reacción Y+P-+n*fi+' wrfotón,I, que esuna forma de radiaciónneutrade muy alüaenergfa,chocacon un protóny produceun neutróny un pión. Hastadondeindica la granexactitudcon la cualsellevana cabolos experimentosqueinvestiganesareacción,la cargaenel pión es exactamenteigual ¡ la del protón. Otras pnrtfculas,llamadaspositrones, sotr prácticamenüe idénticasa los electrones,a excepcióndel signo de la carga,y se mediante¿'. En la reacción representan y+p-p+e+

+e-,

se produceun electrón,pero sólo en asociacióncon un positrón,cuya cargatiene exacüamente ta mismamagnitud.De hecho,en las reaccionesobservadasen las que intervienenlas llamadaspartfculaselementales,nadie,nunca,ha presencladocaso alguno en el que aparezcao desaparezcauna carga neta. Hemosdadovarios ejemplosde la conservaciónde la catga.[.os deüallesde los ejemplosen particularno importan,al igual que los nombresde las partfculasque intervienen.Lo que importaes el principio de la conservaciónde la carga.Seaplica a cualquier casoen el cual hayatmnsferenciade carga. ¿Esposibleque algo de la cargade un elecüóno de un protón se desvanezca, como si fuera pintura?De nuevo,todaspruebasapuntanal hechode que las cargas del electróny el ptotón siempreson igrrales,sin impottar dóndeni cuándosemidan. Al vet los cuasares,quesonpoderosasfuentesde luz, a miles demillonesde añosluz de distancia,esüamos percibiendola materiaque existfahacemiles de millones de del color de la arios;la luz tardó esetiempo en llegar a la Tiera. Las observaciones luz que emitenlos cuasa¡esindica que,con muchaprecisión,las propiedadesde sus átomosson idénticasa las propiedadesde los átomosque obsewamosen el laboratorio. Esteresultadoimplica quela cargade los electtonesha permanecidoconstante durantemiles de millones de años. La cuantlzaclón dc la carga Ya hemosindicadoque las cargasparecenestarorganizadasen pequeñospaquetes. El tamañode uno de esospaquetesesel valor de una cargade eleckón (o una carga de protón,de igual magnitud).Las catgasmayotessiempreson múltiplos de los

' El irdtco cn ol símbolodcl clcmcntocs la rusa ¡tómica, quoa su vcz csla srrru dcl nrinrcrodc protorrcs y ncut¡oncscn uri átomo;cl subírdicc cs cl númcrodo protoncs.

22-2

I¡con¡crvrcló"r#; hc¡q¡

Cu¡ntiz¡ción de h cer3r

valoresanteriores.Seconocecomo cuentización de carga al hechode que,dentro la cargasepresentaenmúltiplos enterosde la cargadel de la exactitudexperimenüal, electron,y al hechode quenuncasehafi observadocargasmenoresque la del electrón. Esüehecholo estableciercnen 1909por primeravez los ahotaclásicosexperimentos, entoncespioneros,de RobeftMillikan. Ademris,susexperifnentosfueronlos primeros en los que se midió la carga del electrónen foma directa, y son la basede medicionesde gmn precisiónde esacantidad. Dunnüe las décad"sde 1970 y 1980, algunosflsicos han propuestoque los protonesy los neuttoneses!ánformados por partlculas todavla rnásfundamentales, llamado.querks, cuyascargassehanpoetuladoserdeZel3o -e13,A pesardemuchos experimentos,nuncasehan observadoesascargas,directamente,en el labotatotio. de Ahora,la mayor pattede los flsicos creequesólo sepuedenaislarcornbinaciones quarla con una carganeta que seaun tnúltiplo ehterode e, al igual que obset¡¡atse (figura 22-7).A cualquiercargaque sepuedaaislarla llama¡eindependientemente mos cerga libre. En tesumen,podemosdecir que Ll cerge6econsenv¡¡bsolutemente y que enmúltiplosenterospositivos o negativos dee. La cargrlibre estácusntizede

I'IGURA 22-7 Ihrolhs do portículas cargadns(olcctroncs)qrc pnsur¡>orrut solu mc
22-3 IÁ. LEYDE couLoMB Animadopor BenjamfnFranklin,JosephPdestleyllegó a la conclusión,a mediados del siglo XVIII, y de acuerdocon los propios experimentosde Fmnklin, de que la fuerzaeléctricaent¡edosobjetoscargadosvada de acuerdocon el cuadradoinverso de la distanciaentreellos. Priestleydedujo lo antetior despuesde observarque no hay cargaen la supetficieintema de un recipientemetálicoceffado,o casicerado; toda la cargaestáen la superficieextema;también,que la fuerza sobreun objeto escero.Estoescomoel fenómenoque cargadocolocadodentrode esosrecipienües, gmvitatoriasobreun objeto dentro 12: no hay atmcción describimosen el capltulo uniforme de maieria. En la gravitación,estetesultadoes de un casca¡ónesférico direcüadela natu¡alezal/lde la ley dela fuetza.Poranalogfa,Priestley consecuencia decla que la fuerza eléct¡ica responsablede sus observacionesdebe tener una

**ülffi?l'á*r* coulornbdeterminó enformadirectala leydetuerzadela

El epreto de C¡vendieh sc de¡cribe en el c¡p¡tulo 12.

electrost¡itica. Llevó a cabolos experimentosrelevantescon una balanzade torsión gnvitacional, que semejantea la usóHenryCavendishen 1798paramedirla constanüe (figan22-8). de pequeñas pelotiüas cargadas En el trabajo Coulomb, G reemplazaron lasmasivasdel apatatode Cavendish.Coulombdemosttóquela fuerzaelecttostática escentral;sedirige a lo latgo de la lfneaqueunea lasfuentespuntuales(enestecaso, pelotitas), y varla segrin I F oc -t, r'

(22-2)

en la cual r es la distanciaentte los centrosde las fuentesde carga.Si se cambiala cargadelaspelotas,posiblementecomodijimos enla sección22-!,Coulombdedujo que la fuerzaespro¡rcrcionalal productode las catgash! Qzenlas pelotas: F q qút

(22-3)

Parademostrarlos tesultadosde la ecuación(22-3), podemoscohectara iiena una de las pelotasde corcho,neutralizándola,y cargatotra pelotaidénticaconuna carga netaq (desconocida). Debpuesde tocat entresl las dospelotitas,cadaunatendtáuna

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L,'¡6(¡(//¿../r cel¡tl¡ru¡¡c¡orr ¡¡¡cdll¡¡osla luerz¡re¡¡trecsas dos pclotitas,y dcspués atcrrizalnosulta de nuevo para neutralizotla,y con ella tocatnosa la otra uno vez mrís. coda u¡ra tcndrá cntonccs una carga ql4, y medímos que la fuerza entre ellas ha disrninuido en un factor de 4, pata la misma separación.Este conjunto de resultados es consistentecon la ecuación (22-3): en el primer caso, Fcc (Sl2)(qt}) - q2¡4,y en el scgundo,F cr@l$@l$ - q'|rc. Combinando las ccuaciones(22-2) y (22-3), obtenemosuna primera perspcctiva de la ley de Coulomb, ia ley de la fuerz¿ electrost¿itica. l,a magnitud de la fue¡za es I

.r,'=lJ'4'ltrl ,2 '

(224)

et¡la cual k esunaconstante de proporcionalidad. [,a fuerzaesde atraccióncuarrdo lascargastienensignoscontrarios,y derepulsióncuandotienenel mismosigno. La corutantet desempeña el mismopapelquela conslanteG enln ley deNewton, de la gravitaciónuniversal.La magnitudde ,t dependede las unidadesqueseusen para la carga.Para la gravedad,ya se habla defr¡ridola unidad de mast corno kilogramo,y por lo tanto,lasunidadesde 6 se puedendeterminar haciendoquelas llGt RA 2l¡.8 Li báhru¡ do torúl¿n unidadesde fuerzasearrkg.m/s2.Cavendishtuvo quedetermina¡la magnituáde G tsó Coulombpan ccnprobar h forrnr$ro do conmediciones. Parael casodela ley deCoulomb,la cargasoloaparÉce e¡ interacciones &pcrdrrrtr do la fr¡cr¿¡cq¡ c.lcr¡¡dndo dc l¡ dlst!¡Ei¡ cntrocirt¡s y no sepuededeterminardemodoindependiente, electromagnéticas comoenel c¿sode l¡¡vcrrc cl&üc¡s. la masa,Por consiguiente, esp,osibledehniral coulombosigrrando u¡rvalora &: l., =,l

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enla cual e¡sellama permisividad lacío.sDespués veremosqueel valor del espacio de q esconsecuencia directadel valor definidode la velocidadde la luz, de modo que,en estesentido,€oestÁdefuridaensf rnisma.I-a pemisividadesaproximadamente ()').-(.\ e o : 8 .8 5 4x l 0 -r2 C 2¡N .rn2.

El valordc k, cotrcuatrocifrassignificativas, delasccuacioncs (22-5)y scdeduce (22-6): x tOeN. mrlc r. /c: 8.988 . e 2 -1 ) por lo general,el valorde ft a 9 x lOeN'm2/C2.Ahora En estelibro redondearemos, que hemosasignadoun valor a t, tentativamente podremosdefinir al coulomb.De DefÍnición delcoulomb las ecuaciones(22-4) y (22-7), decimosque cuandolafuerza entre dos cargas deternúnadas separadasI m es igual al valor numéricode k en newtons(8.988x lOe19, csascargcs sonde I C cada una, Nótesequela ley deCoulombexpresa la fuer¿aentreobjetoscatgadospun tuales, (cosaquedemostrareo puntosmateriales cargados. En el capitulo12mencionamos mos en el capftulo24) quecomola fuerzagravitacionaltieneunadependencia l/É parapuntosmateriales, demasaesféricamente simét¡ila fuetzaentredist¡ibuciones de la mismamasacolocadoscn los casesigualquela fuerzaentrepuntosmateriales ce¡rtrosde lasesferas. El mismocomportamiento csválidoparalascsrgaselóctricas, y po¡que las dependencias espacialescomo Ul de las fuerzasgravitacionales eléctricassoniguales.Estoesla causapor la cualCoulombpudomedirla fuerzal/1, Todolo quesenecesita auncuandolos objetosqueusóno fuetonpuntosmateriales. es que la cargade las pelotasqueseusenen el experimentoestédistribuidaen una sobresussuperficies. A formaesfé¡icamente simétrica;por ejemplo,uniformemente su vez, paraevitar polarizaciónde Ia carga,que redistribuirfalas cotgossobrelas pclotitas,éstast¡o deben.¡erconductoras. sellamafuerzade Coulomb,serelaciona La fuerzacléctrica,queconfrecuencia como: conunadireccióny, por lo üanto,esun vector.Estaley sereptesenta

=#l#)u,,, F,z 4nes\ríz / , '"

(22 .ti) LeydeCoutourb

5 N, ¡lcl T,l Tnmbldn¡o lc conococomo corctantedleldctrlcadel cspaclovaclo,

655

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\\ en la cual F¡2 es la fuerza que ejerce Ia carga puntual q2 sobre la carga punfual ql, al

Yffi,,.estar separadáspoi una distanciar¡2. El vectot unitario i12 se dirige desdeq2 hacia Qyalo largo db la llnea entre las dos catgas (figura 22.9). Nótesequesi Qú 1ztienen signos opuestos,la ecuación (22-8) indica que la fuerza es de at¡acción, por estrara lo largo de -i12. Pero más que recordar los subfndices de F y del vector unitario i, tan sólo recuerde que las.cargasiguales se repelen y las distintas se atraen.

Y*,

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(ir)

22 -3 Compararla fuerza eléctricay la fuetza gavitacional EJEMPLo para el ptotón y el electrón de un átomo de hidtógeno. Suponer un modelo cl¿isico de ese átomo, en el cual el electrón describe una órbita citcular al¡ededor del protón, que está en el centro. El radio de un átomo de hidrógeno es, aproximadamente,5x 10:ll m. SOLUCION: Primero calculemos Ia fuerza gravitacional, tomando las masas del electróny dcl protón, ñ,y mpde la tabla 22-l.Las fuerzasde gmvitacióny eléctrica son de atracción en este caso, y por lo tanto sólo necesitamoscalcular sus magnitudes,Empleando la ecuación (12-4), tenemosque

*'/"'' (lt

(b) FIGURA 22-9 (a) F¡ cs la fucrza quo cjcrco q, sobrc qr. L¡ fucr¿a ticnc la dirccción dcl vcctor u¡rit¡rio i', cuando las cargasson dcl mismo tipo, y do - i,r cuando las cargasson opucstas.

,. ' s-

()nt"tn,, --t.i*-'

Cuando irrtroducitnos los valores en esta ecuación, vemos que

(6 . 6 7x l0 - ' t N' Ñl} 4 r' )P . t t x l0-'r'ltg)(l.OZx I0-:?k8) ^lJ

(5 x l 0-tr m)2 :4

x 10-47 N .

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La fuerza eléctrica,según la ecuación (22-8), es

ttt @-r-41)rr(l

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ln'

t,

(9 x 10eN.m2lÉ)(1.6x 10-te()(1.6 x 10-'e c)

F-

(5 x l 0-tt* rr)

/.'i (:lt ¡-

t'

=9x10-81,{

La telación entre las dos fuer¿ases

r---_il- --=-l I{CURA 22-10 Ejcmplo22-4,Un objoto cn cl ospaciopor las poqucñosr¡spendido dc fuerzasigualcs,pcroopucstas, gravitacióny clcct¡lcaqucactúansobrcé1.

*

ff:# s ,* - 2 x r o 3 e de r. Demuestraque,en escalaatómica,la fuerza Esteresultadoesindependiente que la gtavitacional,y justifiea el no teneren cuenta eléctticaes muchomayor la gravitacióna esenivel.

E J E M pLO 2 2 - 4 Secargandos pelotitasde iorcho con 40nCyse colocan a 4 cm de distancia.¿Cuáles la magnitud de la fuerza eléctrica entte ellas?Cada pelota de corcho tiene 0.4 g de masa.Compare la fuerza eléctrica con el peso de la pelotita. SOLUCION:La fuerza eléctrica es k a ,a . fr:-: urL

(9 x lOeN.n(le)@O x 10-e/)(a0 x l}-e g) :0.01N. (4 x l 0-zm)2

El peso de cada pelota de corcho es

W : mg: (0.4x 10-3kgx9.8m/s2¡: 0.004N.

656 Sh,+e***--**

s L, (

658 C.apitulo 22 t¡ carg¡ clk¡lc¡

( (

L U L i_

U IIIGITRA 22-12 Ejanrplo22'5. So lndicanlas pcicioux do las Úcscargas puntualcs.t-ascargasq, y g, son posiüv8s,m¡ont¡úsquc g, osncgaüva'Sc 'in¿¡"¡n tr" fu"rr""-F¡, y F,¡-sobrcla cargs4¡, y sl¡ rcsult¡ntc, Ft, al ¡g¡¡¿lquo tasfucrzasFr, y Fo sobroIa carg¡ g¡, y su ¡asultanto,F '

\_/ I

{ EJEM PLo 22 - 5 SetienentrescargaspuntualesQt - 4z'' 2'OnC,y Qssobfeqt -3.0 nC, colocadascomo se ve en la figan22-L}. Calcularlas fuerzas Y 4t.

U (-

soLUCION:La fuerza sobre q¡ se debe a la P¡esenciade las cafgash I Qt. qt' Deseamoscalcula¡lasfuerzasvectorialesqueejercenlascargasq2y q3sobre net¿ fuerza la para calcula¡ por sepamdo,y despuessumaflasvectotialmente ,oUrui,. para et cálculo de la fuerzasobreq3se aplicaun métodosemejante. La frierzasobreqr es

(_ ( i

* Fr¡= hl(#;)r,, * (l+)r,.]. F,=Fre De acuerdocon la figura z2'l2,podemos deducitque l¡2 - -i, y que ir¡ - -j. Asf,

p, = (9.0x 10eN.ry{e)Q.o x lo-e l)

(-i)+L-##-q,-,,] . lryou$P

v

= (-9.0 x l0-e N)¡ + (13.5x 10-eN[' La direcciónde la fuerzaF¡ semeustraen la ftgam22-12' La fuerzasobreq3 se calculade modo muy semejante,con la salvedadde + quuJ u""tor unitarioi 132,apuntade q2haciaq3y estádadopor -cos 0l sen0i: n-

f/^\

/"^\

I

(

I

* Fr: F¡r* F¡z: ñh L(E;/u.' (;:;/u"J = (9.0x lo, N'ÑlÉ\(-3.0 x ro-e8)

+ t_9á#9 i ¡ffi(-

el)] ei +sen cos

El ringulo0 es45o,o sea,rl4 ¡ad,y entoncesF3 es F¡ : (- 13.5x lo-e N[ + (4.8x lO-e N)i - (4.8x l0-e N[ : (4.8x l0-e N)i - (18.3x l0-e N)j. \J

L: I

{

v l,as dtstribucloncs contlnuas de cargas

659

El hecho de que la catga sea cuantizadano tendrá consecuencias ffsicas cuando manejemoscargasmuchomayoresque e. Esasca¡gas,en realidad,s¿componende gtandesnúmerosde electroneso protones;la carganeüaes e(nrirnerode protones)e(númerode electrones).Puedeser buenaaproximaciónmanejarun gmn conjunto decargaspuntualescomodistribucióncontinuade cargaeléct¡ica.Paraanalizareste caso,podemosseguir el métodoque sugetimosen cl capltulo 12, en el cual sc describieronen forma.brevelas distribucionescontinuasde masa.Primeroveremos la interacciónde una cargapuntual,q, con unadistribucióngrandede cargacontinua (figura22-13),La fuerzaqueocasionael elementodiminutode volumensobreq, que semuestfay que contieneuna catgaAq y estóa una disüanciar' de g, es

^F:h^i?'.

221

l.rt lrtÉrt crgr

ca ll quc Intcrrl--ca núlüplcr o coatl¡r¡¡¡

Dist¡ibución conünu¡

docarsa 1. ",.

(22-n)

Representaremos conp(r') Ia densidaddecargade la distribución,indicandoque,en un puntoubicadoa un desplazamientor' de e, la cargaA4 contenidaen el pequeño volumenLV', es b,q= p(r')AV', En términosde la densidadde cargade la distribucióncontinuade carga,la fuerza debidaal elementode volumenindicadoes

or,. ^F:# '9r,

FIGITRA 22-13 P¡r¡ dotcrmt¡url¡ ñ¡q¡r totnl,robm ruracllrgl pturlual4,doblü I u¡u dlstrlbuclóncontinu do cargr, ro lntcgranlas fucrzrs ¡ob¡o lc ctcns¡ta d¡¡ninutc do c¡rgr, A4. Nótoeoquool voctor l' c¡mbla cuandonosrmvcrnc por le dist¡ibución.

(22-13)

La integraloperasobretodoel volumende la distribuciónde carga.Con frecuencia manejaremosdist¡ibucionesuniformesde carga,en las cualesla cargase distribuye uniformementeenunarcgión.En esoscasos,la funciónp sepuedesaca¡dela integml. Tétrgase en mentequeno esposibleunadistribuciónuniformey fija de cargaconun conductor,dentrodel cual,o sobreel cual,las catgastienenlibe¡tadde movinriento. La distribuciónde cargaen la cual selleva a cabola integtaciónpuedeserenuna dimensión,como cuandola cargaeskírepartidaa lo largo de una lf¡iea.Puedeseren dosdimensiones,cuandola cargase repartesobreuna superfic¡e,o tridimensional, cuandola cargaserepatteen un volumen.En unadimensión,la densidadde cargaes 1,,la cargapor unidadde longitud; en dos dimensiones,es o; la cargapor unidadde área,y en tres dimensiones,es p, la ca.rgapor r¡nidadde volumen,En cadacaso,el argumenüo de la dishibuciónde cargaesel vecüorde pcición r', porquelo quecuenüaes el vectordesplazamientode un elementode la distribuciónde carga,a la cargapuntuat. La integralen la ecuación(22-13),que expresala fueza, bien puedeteneruna respuestasencilla,expresableen términosde funcionessencillas.Siempreayudala simetrfaen estoscasos.A la inversa,la integral puedeser diffcil de calculat, en especialsi no hay simetrla en la distribución.Siemprese puedehacet uso de integmciónnumé¡icaen una computadora,si resultaque la inüegraciónes diflcil de llevar a caboen forma analltica.El ejemplo22-6 muestrauna integraciónnormal,y y cómopuedesirnplificarun problemala simetrla.

i I

1

I

(22-12)

Lafuerzanetasobrcq eslasumadelostérminoscomoel delaecuación(22-L2), En el llmite,cuandosefragmenta mrisy mríspequeños, la distribuciónenpedazos estasumasetransformc enla integral

, =ft[Mrr.'dv'.

J

l

Exprcelónformd peir le tuerze debld¡¡ un¡ dlctrlbuclóncontlnu¡dc carge,robreunr cnrgrpunturl

r

Por lo tanto, la fuerza eléctrica,de repulsión en estecaso,es lo suficientemente intensa como para levantar la pelota superior, si están colocadus una sobre ot¡a a 4 cm (figura 22'lo), una carga de 40 nc es algo mayor que la que se podrra poner, en un caso real, en una pelota de I cm de diámetro.

tt

I

22-4 LAs FUERZAsEN IAS QUE INTERYIENEN CARGAS MULTIPLES O CONTINUAS si hay varias.cargas!Los experimentosdemuestranque se aplica el ¿Q-uésuced_e principio _desuperposición:la fuerza sóbre cualquiercarga,originudupo, un de otras cargas,es la sumavecto¡ial de las n¡er-"-¿"uida's a cadacarga :olju.n-to individual.A esterespecto,la fuet,a de courombes,nueva¡nente, como la fuerza gravitacional, parala cual tambiénesválidala superposición. En ¡ealidad,la única diferenciatelevanteentrela ley de Coulomby fu ae la gravitaciónuniversal es el hechode que lasfuerzasgravitacionales siempresonde atracción,mientrasquelas de Coulombpuedenserde atraccióno de repulsión. como ejemplo de cómo se aprica ra superposición,vearnos .cuatrocargas, numerad¿s1,2, 3 y 4 (figura 22-rr). La fue¡zatotarsobrela cargaq2 es ra sinta vectorialde lasfuerzasdebidasa lasotrascargasindividuales, Qt, ít y gc: F 2 ,ro r": r F ' 2 r + F23 * F:o.

(22-e)

Si-hayNcargas,Qv 42,,.., q¡, todasactuandosobreuna car1aq,la fuerzatotal, F, sobreella esla sumavectorialde las fuerzasindividuales,F¡,sobrela carga debida 4 a la cargaq¡: -l

.t

iq' ^ 4 nr o,!r r ?' ' '

(22-t0)

El vector f, es el vector unitario de la carsa Q¡a la carga g. Hemos sacadode la suma al factor común ql4neo.

TECI\rICAS DE SOLUCIO.N DE PROBLEIT{AS

I t

con frecuencianecesitamos calcularfuerzaseléctricassobreuna cargadeterminada,cuandohay ptesentesottascatgasfijas o distribucionescontinuasde cargas. En esoscasos,téngaseen mentelas siguientestécnicas:

l,

El principio de euperposiciónceeplicr e h ley de Coulomb.

@r,

@r,

\/ \/ \/

',,7i5,

G

I.t

N,,N

F - F ,:4 ' :i ,!r" -

¡

657 I¡s ft¡crzas cn l¡s quc lntcwlcncrr ce¡ger mrúlrlplcr o contlnu¡s

1. Traceun diagramaclaro del caso.Asegúresedehacerla diferenciaen¡e las cargasextemasfijas y las cargassobre las cualesse debencalcula¡ las fuerzas.El diagramadebetenerejescoordenados de referencia. 2. No olvide que la fuerzaeléctricaque achiasobreuna ca¡gaesuna cantidad vectotial, y que cuandose encuentranpresentesmuchascargas,la fuerza neüaesunasumavectorial.con frecuencia, lo másfácil esemplearvectores unitariosen un sistemade coordenadas cartesianas. 3. Busquesimetrfasen la distribuciónde las cargas,que den lugar a la fuerza eléctrica.cuandohayasimetrfas,la fuerzanetaa ro largodeleterminadas direccionesserácero.Por ejemplo,si unacargapuntualestáa la mitadde la distanciaentredos cargasidénticas,sin llevar a cabo cálculoalguno sabemosque la fuerzanetasobreesacargaserácero.

flGURA 22-lt El princtptodo supcrposlclón scaplicaa cargasmüüplcs. l¡ fuor¿¡ total sobrcla cargag, cs l¡ sum¡ vcctorialdc l¡s fucr¿¡sIndivldu¡tcsdcbld¡s 8 lascargasqr, g, y g., sobrcla carga4r.

FIGURA 22-f4 (a) Ejcmplo22.6.Fucrza, solnouru cargapunhralq¡, dcbidaa un anlllo con cargatotal Q. Prtmcro calcr¡lan¡c l¡ fi¡cr¿acntrola cargapunh:al y un scgrErito di¡nlnuto do utillo, con carga d4. (b) Sólo sc nccsit¡ dctcÍr¡¡narcl comporrcntoydc la fucrza,porquolc componcntcs¡y z sc anulana c¡rs¡ do la slmctrí¡.

Véesclo que dice l¡ técnic¡ de ¡olución de pnoblemes¡cerr¡ de l¡ ¡imetria.

E J E M P L o 2 2 - 6 Caclula¡ la fu erzaque ejerceun anillo cargadouniformementeconunaca¡gatotal Q (figrrra22-14),sobreunacargapuntual,q¡, colocada en el eje.El radio del anillo es R,y qt estáa una distanciaZ del centrodel anillo. SOLUCION:El anillo tieneuna distribucióncontinuade carga,pero se extiende en una llnea curva,y por lo tanto,la integación debeseren una dimensión.Un pequeñosegmentodel anillo contienela ca¡gadq (frgura 22-l4a), Todos esos segmentosestánauna distanciar' =,1L¿+É de lo cargaqr, y la lfneade la carga a cualquiersegmentodel arrilloforma un ringulo 0 con'el eje y. de la fuerzasobreqr. Como cada A continuación,veamoslos componentes a la está misma distancia, r' segmentodel anillo , de q¡,la magnitudde la fuerz¿ a cada segmento infinitesimal, esla misma.Estono escierto debida infinitesimal, fuerza sobte segmento dq, en la partesuperiqrdel anillo parala dirección.I-a el en la dirección+) y en la (¡ - 0, z- h,es dFan,y esafuerzatienecomponenües dirección-z (figura 22-L4b),La fuerzadel segmentodg' en la parteinferior del en dirección +y y +2. Si la anillo (¡ - 0, Z - -.R)es dFd{,y tiene componenües rnagnitudde dq esigual a la magnitudde dq',los componentesz de la fuetzase y se sumaf¡in.Los componentes¿ son los anulaninentresf, y los cornponentes del anillo. anulación seráválidaparatodocomPonentie perpendiculares Esta al eje podemos considerarquelos elemenporque siempre perpendicularde la fuerza, pares. por Asf, necesitamoscalcula¡tan sólo el comPonenüe tos de cargaestrin y Fr. El componenüe del elementoque se ve en la ftgura 22-l4a es

\ ( (

( (

dr,=h*.o, g:hffion.

(_ ( (

La fuerzaneta sólo tiene un componente), y s la suma de los componentes infinitesimalesy:

t_

( (._

r,-Jar,:lhffion,

( (, (

660 b*

{

L ( \_

7-

rl coeilclelrre rotal de d{ es corEl¡ulüey se puede sacar del signo integral. Asf,

,,:h#%lon=H#

6r I¡¡ tucrz¡¡cntr¡q.iñffi c|fg¡.

múlt¡Plcr o cortlnr¡¡.

Porúltimo, de acuerdocon la trigonometfla,

co s0 =L . JR z¡ ¡ z' de modo que

r-TtQL v=GWW'

(22-t4\

Como siempre, lo mejor.estener una comprobación,y para esüe¡esultadopodemostenerdos.Cuandola cargapuntual{l estámuy alejadadel anillo, éste deberfacomportaÉe como r¡n punto lejano de cargatotal Q, y la fuena deberla asumirla fo¡ma de Coulomb,qQl(nealfi; lo cual,ciertamenüe, esel lfmite de la ecuación(22-t4) cuandoL >> R, CuandoL - 0, la cargaestáa la mitad del anillo, y, por simetrla,la fuemanetadeberfaserce¡o.Estelfmite tambiénencaja en nuestroresultado.

i

E J E M p t o 2 2 - 7 Unavarilla rectade longitudL est¡ialineadacon el ejex y sus estremosest¡ínen ¡ - t Q2 (frgon22-15). La cargatotal de la varilla es cero,pero la detuidadde cargano lo es; est¡idadapor X(r) - 2filLrpositiva a la derechadel origen, negativaa la izquierda.Calcularla fuerzaque se ejerce sobrcunaca¡gaq ubicadaenun punto.r- R sobreel eje.r,a la derechadel ext¡emo detechode la varilla. SOLUCION:Veamos lo que sucedecon r¡na rebanadadelgadade la varilla, ubicadaen un punto.r y cuyo espesoresd¡. La ca¡gaen esarebanadaes dQ = 1ax =2!o 1,6*, L

.1--1I i r= i,.' .'

La ft¡erzai¡rfinitesimalque ejerceesaca¡gasobrela cargaq es

d F :h !* a ,# t , y la fuetza total sobrela cargaes la integralde dF: P=

)

)

Ft+'=#,' I::,,Gl+ Io': [-1",e?

#'f:,t-*.a51* .^[-; H'{'[#i#iJ "#]]'

Fuerza dcbtda a una distribuctón esfédcamcntc si¡nétdca dc car1a Una distribución de catgaesféricamente simética es impoftantetanto flsicamente cpmo potque es'fácil de manejar.Esa disFibución es de la forma de una esfe¡a centradaen,digamos,el punto P,y la densidadde cargatieneun valor constantea

IICURA 22-f5 EJcmplo 22.7.Dasldad docarganornlfornrc.

t'

@ o

---@

rP

(

i

@'-@

q

(b) trIGURA 22-ló (a) Distribwlón do carga osféric¡mcntcsimétrica,dc la cargatotal Q, ccntradacn cl prrrto P. [a fuorzacjcrcida sobrcmr carga4 punnral,fucn do la dist¡ibuciór¡,y ¡ una distanclaR do P, cs lgual quo @) lr fucrra qw socJorccri¡sl t¡r¡¡ cargnpunhnl Q sc colocaracn P. (c) Si g qucda-dcntr,o do la distribuclóq a uru distanclar do P, y sl q' cs la cargatot¡l quc qucdadcntrodo rmacsfcradc radlo r, ccnt¡ad¡cn P, cntonccssicntola mlsm¡ fucrzaquc habría(d) sl hubicraruu carga puntualg' cn P.

Cargatotal donuodel radlor - g'

q'q

(d)

{

unadistanciadadadeP. Nótesequela densidaddecargapuedeva¡iarconla distancia de P, pero que,cuandohai simetrfaesférica,la densidadde cargadebese¡igual en cualquierdirección,vistadesdeP. Estecasosedesctibiódetalladamente enel capftulo 12 parala fuerzagravitacional,Esosresultadosdependentan sólo del hechode que la fuerza varfa inversamentecon.el cuad¡adode la distancia,de modo que aquf podemosusaresosresultados.La fue¡zade una distribuciónde cargaesféricamenüe sirnétricasobreunacargapuntual?, fuerade la distribución(figun22-16a), esigual a la quesetenddasi todala cargade la distribuciónestuvieraconcentrada enP (figura 22-l6b), Si, como en la figura 22-l6c,la cargapunhralq esüidentrode la esfera,en cualquierpartede ella, entoncesla fuerzaq debidoa la partede la distribuciónque quedaafuerade 4 escero (figura 22-I6d).

U i

\-

L t

{

22-5 ELsrcNrFrcADoDErA INTERACCION ELECTRICA

I

Hemosinuoducido ahorauna segundafuerza básicade la naturaleza;a la ley de por la la gmvitaciónuniversalhemosagregadola interacciónelécfica, representada fuerza de Coulomb. Tanto la fuerza eléct¡ica como la gravitacionaltienen una dependenciade la inversadel cuadtado,con respectoa la distanciaentre objetos puntuales.También,ambasfuerzasson proporcionalesal productode un atributo ca¡acterfstico.de los dos objetos:su masao su carga. En escalacósmic!, la ley de la gravitaciónprevalece.Es la fuerzaquemantiene girandoa la Tierta al¡ededordel Sol y a la Luna girandoal¡ededorde la'Tiema.l¡s razonespor ias cuales la gravitación domina a las fuerzas eléctricasen escala ast¡onómicasondos:primero,los cuerposastronómicostienenmuchamasa.Segunile modo do, los cuelposastronómicossoncasiexacüamente neutrcseléctricamente, que las fuerzasentreellos son relativamentepqqueñas.Sin embargoreri todaslas lasfuerzaseléctticasson,porlo común,mucho escalasmenoresquelasastronómicas, y apartede los efectosditectosde la gravedadde la mayoresquelas gravitacionales, Tierra, nuestraexperienciacotidianadependemuchomásde la fuerzaeléctricaque de la gtavitacional. Comohetnosvisto en el casodel átomodehidrógeno,la fuerzaeléctticadomina a la fuerzade gavitación a escalamicoscópica.Aun cuandola explicacióncompleta necesitade la flsica cuántica,podemosafi¡mar ahoraque la fuerza eléctricaes la responsablede gue: 1. 2. 3. 4. 5.

los electronesse enlacena un núcleopositivo,formandoun átomoestable; los átomosse enlacenenttesl formandomoléculas; los átomoso las moléculasse enlacenentresf formandollquidosy sólidos; sucedantodaslas reaccionesqufmicas,y que sucedantodoslos ptocesosbiológicos.

comola fricción y o[ras La fuerzaeléctricaes&idet¡¿isde fuerzasno fundamenüales, fuerzasde contacto.l,a energlaeléct¡icallega a nuestroshogares,pone en marcha nuest¡osautomóvilesy hacetrabajara nuestrasfáb¡icas.

62

(

I

(

Ll

RE S U M E N La cargaeléctricaesde dostipos,positivay negativa.Las cargasdel mismo signose repelenent¡esl y las cargasde sigro diferentcse atraenenttesf. En unidadesdel SI, la cargasemide en coulombs. Gmn partedel comportamientode los materialesbajo la influencia de las fuerzas eléctricasse caracterizapor la facilidad con la cual los electronesse apartande los átomosy moléculasa los queperteneceny semuevenpor el material.Normalmenüe, losmetalessonbuenosconductoresde la cargaeléctrica,mientrasquela mayorparte de los no meüalesno lo sony se les llama aisladores. La cargaeléctricabrisicaesla del electrón.El electróntienecarga-e, y el protón +e,siendoe - L.602x l0-le C. La cargaeléctricaestácuantizadaen la mateiia,en múltiplos de e y se conservaen todaslas interacciones,lo cual quieredecir que la carganeta antesde una intereacciónes la misma que la carganeta despuesde la interacción. La fuerzaeléctricaentrecargaspuntuales,Qt y Qz,separadas por una distancia f¡2r €S

p',=*(w),,,,

(22-8)

En la cual el factor ll4neaca¡actetizala intensidadde la fuer¿a.Estaecuaciónes la ley de Coulomb. Cuandohay presentes ca¡gasmúltiplesseaplicael principio dela superposición. Las fuerzasdebidasa las demáscargas,que actuansobreuna, se sumanvectorialmente.Paradistribucionescontinuasde cargadebemosintegrarlascargasindividuales,y la fuerzade esadistribuciónsobreuna cargapuntualq es

p=

#-T#?,dV,

(22-t3)

La cantidadp(r') es la densidadde cargaen un punto a una distancia/ de la carga puntual. En todaslas escalas,salvo la astronómica,las fuerzaseléctricastiendena se¡ muchomás intensasque las fuer¿asde gtavitación.La fuer¿aeléctricaesla responsablede la formaciónde átomos,moléculas,sólidosy lfquidoses[ables,y de la producciónde todaslas reaccionesqulmicasy los ptocesosbiológicos.

PREGUNTAS )

t'

I I

Cuandoel tiempo es húmedo,"bochomoso"(como parece se¡locn los laboratorios,cuandolos profesoresllevana cabo demostraciones),los experimcntosdc electrostáticasalen mal. ¿Puedeustedexplicar por qué es asl? ¿Quéfacilita la producciónde chispasen tiempofrfo? ¿Porqué necesitamoscubrir las pelotitasde corcho en la sección22-1 con pinturaconductora?¿Funcionarfael experimento sin ella?Explique la respuesta. Al caminarpor una alfombrase almacenan,con frecuencia, cargaseléctricaslo suficientementegrandescomo paraprovocar una chispacuandotoca uno la perilla dc una puerta.

En climas secosen invierno, cstc fcnómeno es mucho más común en invicrno quc cn vcrano. ¿Porqué? 4. En la figura 22-6, ¿porqué podemosobtener tan sólo uru cargainducidali¡nitada,auncuandocl númerodc elcct¡oncs gande? móvilesesextremadamente

5. Empleandocl aparatodescritoen la se¡ción22-1, ¿cómosc podrfadeterminarquécargaacumulauno al camifiarporl¡ria alfombradc lana?

6. Los distintos electronesde un átomo circulan alrcdcdordcl núcleo, casi puntual, a distanciasdiferentes.¿Porguó loe electronesintcmoa debcrfanest¡r cnlazadosmásfucrtcmcr tc al núcleoqúc los exlemos?

I

t_ l_ t_ t_ a

63

7. Se piensa que los neutronesy los protonesestánformados por dos tipos de partfculas,llamadasquarks,quetienencarga -(U3)ey (213)c,comosemencionóenla sección22-2.Haga una lista de las combinacionesposiblesde sólo tresquárks, queformen neutronesy protones. 8. Algunos materialespierdenelect¡onescon facilidad al frotarlos; entonces,¿por qué muchoedc los objetosque nos rodeanno estáncargadossiempre? 9. El teore¡¡n d¿ furnshow etablece queuna cargapuntual no puedeestaren equilibrio establemientrasactúansobreella fuerzas puramenteelectrostáticas.Veamos un anillo que tiene carga positiva uniforme y r¡na carga positiva en su ccntro.Parecequela cargaccntralsufrcfuerzasde repulsión idénticasde todasdi¡ecciones.¿Cómopuedeser cierto ese teorema? 10. ¿Cómo\esque la existenciade un acumulador,que manda cargasrlgativas hacia afuera, por uno de sus bomes, es de la carga? consisten\econ la consen¿ación 11. Usted tiene una pelota de corcho con ururcargade -4.8 x lO'reC, y trespelotassin carga,tambiénde corcho.¿Puede ustedinventa¡un métodoparaponeren contactolas pelotas entre sf, en una secuenciatal que comuniquea una de las pelotasr¡naca¡gadc -0.8 x 10'teC? 12. Hablamos de generaruna chispa en un dfa de inviemo, cuandotocamosun conductorcon tiena y quedamosaterri-

zados.Los neumáticosde automóvilesson aisladorestan buenos,que la carocerfa de un automóvilquedaaisladade la tierra. ¿Cómose explica la chispaque saltacuandotoca ustedla puertade un vet¡Jculodespuésde haberfrotado la vestidu¡adel mismo? 13. Supongaquela cargaeléctricade unapartlculafundamental como un electrón,dependede la velocidadv de la misma. Entoncese - eoll + (*,]lC)), siendoesla 'cargaen reposode la partfcula,c la velocidadde la luz, y r es un número' muy pequeño.¿Hayalgunarazón experimentalpor la cual r debasermuy pequeño,o cero? 14. ¿Viola necesariamente el principio de que no deberfaser posiblodetectarla volocidadabsolutadeun cuerpomediantc cualquierexperimento,la modificaciónde la cargaeléctrica que sedescribióen la pregunta13? 15. El color de la luz emitida por los cuasa¡eses la pruebade que la cargade los electronesno ha cambiadodesdchacc miles de millones de años.El decir que la cargade los electronesy protonesno ha cambiado,¿esequivalentea afirmar que la ca¡gase conserva? 16. Supongaque loa electronestuvieranla carga-e, y los proto. nes, +e(l + ó), siendo 6 muy pequeño.¿Deberfahaber, necesa¡iamente, una fuerza dc repulsión llP enhela Luna y la Tierra, por ejemplo, que pudiera anula¡ la atracción gravitacionalentreesoscuerpos?

PROBLEMAS Los propiedadesde h materia con carga 1. (I) Una pelota de corcho se carga con +l nC. ¿Cuántos electronesde menostiene en comparacióncon su,número dc protones? 2.. (I) ¿Cuáles la cargatotal de todoslos electronesen I g de Hzo? 3. (II) A unapelotitade corchocubiertaconpinturaconductora y cargadacon -2 x 10-l¡ C la toca otra idéntica,pero sin carga.A continuaciónseseparan.La segundapelotitasetoca con una tercerasin cargay se separan.¿Cuáles la cargade cadapelotitaal f,rruly cuántoselectronesen excesotiene cadaunade ellas? 4. (II) Unapelotade corchocubiertacon pinturaconductorase ca¡gacon -1.6 x 19-tzC. Sc tienen3 pelotasde corcho Describaun métodopara hacer iguales,pero descargadas. que unapelotatengauna cargade -0.2 x 1g-tzg. ¿Necesita Explique su resPuesta. ustedlas trespelotasadiciorrales? 5. (II) Dos pelotasde corcho con 0.5 g de masa,cada una, cuelgandel mismo puntomediantehilos sin masay aisladores,de l0 cm de longitud (figara22-L7).Una cargapositiva total de 2.0 x l0-7 seagregaal sistema.La mitad de esacarga la tomacadaunadelaspelotasy éstasseapafan a unanueva posiciónde equilibrio.(a) Traceun diagama de cuerpolibre paracadapelota.(b) ¿Cuálesla tensiónen los hilos antesde comunicarla cargay cuál es después?(c) ¿Cuáles el valor del ángulo 0 en la figura? A este dispositivo se le llama electrómetro,o electroscopio,i¡strumento Para medi¡ la cargaeléctrica.El ángulo mide la cantidsdde cargaen las

22-I

ü

664 u-_ - _

FIGURA22-17P¡oblcm¡ 5.

pelotassi podemosasegurarnosqueserepa¡tepor igual entre ellas. La restricciónse esquivacuandoel electrómetrose hacecon unabandaúnicade materialconductor,colgadade un ganchoen su puntoriredio;asf,la cargasedistribuyepor igual en la banday la mitad de ella repelca la otra mitad. (II) 6. El silicio es el elementomás abundanteen la superficie de la Tierra. (a) Supongaque la tierra estáhechade silicio (28 glmol) y calculeel númerototal de cargasnegativasque contienela Tierra. (b) Cuandoneutralizamosuna bola de corchocon cargade I pC al conectarlaa tiena, ¿quécarga fracciona¡iamanejamosen comparacióncon la carganega. tiva totalde la Tiena?

22-2 La consenacióny la cuantizaciónde la carga 7. (I) Las antipartlculasüenenla mismamasaque sr¡scontrapartcs,pe¡o cargaoFuesta.Por ejcmplo, la a¡rtipartfculadc un electrón,e-, es el positrón, e'. La mayor parte de las antipartfculasserepresentan conruu banasobrela partfcula, de modo queI es la antipartfculadel protón (antiprotón),y tienecarga-e. ¿Cuálesde las reaccionessiguientessatisfacen la conseryaciónde la carga?(a) p + p * e' + e' + e' + e, + z ni( b)¿ ' + e ' 2 p + n + 2 fi (c ) e ' + e - q c++ c- + p *F r Ui( d) n + p -e ' +-p + F ? E. (I) ¿Cuántacargaestácontenidaen I g deprotones? 9. (ID La carga cléctrica dc un cue{po cs independientcdel movimiento dc éste.Supongaquc no fucra cicrto, sino quc la cargade una partfculacomo un electróno un protónque sc mucven a una vclocidad y tuviera la forma c - rofl + Qllól,siendo eola cargade la partfculaen reposo,y c r 3x lOt m/s es la velocidadde la luz. ¿Cuálscrfa la carganeta de un átomode hidrógeno,suponiendoqueel átomoconsiste de un protón en reposoy un elect¡ónen órbita alrededordel protón,a unavelocidadpromedio(ulc)=(lll37)?

22-3 La ley dc Coulomb 10. (l) ¿A qué distanciadebenestardos protonespara quc la fuerzaentresf seaigual al pesode un protónen la superficie de la Tiena? ll. (I) Se suponeque un protón está formado de dos quarks 'a¡riba" de carga +(213)ey uno "abajo" de carga -(ll3)e. Supongague los tres quarksestánequidistantesentrc sf, a una separaciónde 1.5 x lO-ri m. ¿Cuálesson las fuerzas electrostáticasentrc cadapar de los tresquarks? 12.. (I) Dos iones'sodio (al decir iones, queremosdecir que tienen carga),a una distancia de2.3 x lO-em cntre sl, sc repclencon una fuerz¿de 2.3 x l0-¡o N. ¿Cuáles la ca¡ga de cadaion, y cuántoselectroneso protonesrepresentaesa carga? 13. (I) Dos pelotitasde corchoiguales,de 0.05 g de masacada una, tienen una carga, también cada una, de tan sólo un electrón,q - -1.6 x lo-le C. Se sefraran10 cm, lo cual es mucho mayor que sus tamaños.¿Cuálcs la rclación de las magnitudesdc la fue¡zade Coulombentreellas,a la fuerza gravitacionalejercidaentresf?¿Porquéeseresultadoestan distintodel ejemplo22-3? 14. (ID Supongaquefuéramosa medi¡ una cargaen unaunidad nueva,que llama¡emosla esu,definida de tal modo que la ley de Coulomb, en magnitud, fucra F - qrqrlf , y por lo tanto,queF - I dina (10{ N) cuandoqr - 4z - | esu,cuando r - I cm. (a) ¿Cuántasesuhay en I C? (b) ¿Cuálesla carga del eléctrónen esp?(La esu es una unidad real, la unidad elcctrostóticadc carga). á tS. tUl Un electróny un protónseatraenentresf, con unafuerza eléctricaque varla de acuerdocon l/É, justamentecomo la fuerzagravitacional.Supongamosqueun electrónsemueve en órbita circular alrededorde un protón. (a) Si el periodo dcl movimienloci¡culares24 h, ¿cuálesel radiodela órbila? (b) Si el periodoes 4 x 19-tor, como Io es en un átomode hidrógcno,¿cuálcs el radio de la órblta?

16. (ü) Se dividc una carga q cn dos pales, g - q¡ + q2.P¡¡ri,l

elevar al mlüimo la fi,¡erzade Coulomb dc rcpulelón cntrc 8t! 42,¿quéfrección dc lr cargeoriginal g dobontancr g, Y 4z? 17. (tr) Una partlcula alfa (nrlcleo de helio, compuestopor ? protoner y 2 ncutroncs) so dirigc s un dctcrminado nrlclc<, de u¡anio (atU, que tienc 92 protonesy 146 ncutroncs).La paffcule alfa sedetien?y seregresaa unadistenciadc lO-tr m del nücleo. Sin tener cn cuenteloe efcctos dc los clect¡o" nes,y suponiendoquc la partlcula alfa y el nrlcleo dc r¡ranic; son puntoomateriales,¿cuáles la ñ¡er¿¿dc Coulomb sobrc la partfcula alfa en su acercamientomáximo al nrlcleo? (tr) 18. Un clect¡ón gira cn órbita cn movimicnto ci¡cula¡ ru¡i, forme al¡ededor dc un protón mucho más pesado,y, por consiguiente,casi cstaciona¡lo,a una distanciadc J x ¡g-tt m. (a) ¿Cuálesson la magnitudy direccióndc Ia ñ¡crzadc Coulomb quc ejcrcc cl protón sobrc cl elcctrón? O) ¿Cr¡ál cs la velocidaddel clcctrónen su ó¡bita circula¡?(c) ¿Ctrál esla frecuenciadc la órbitacircular?(d) Calculcla constantc de un resortecon un clect¡ón cn su cxtremo, quc tcnga l;r frecuenciaobtenidacn la partc (c). Qtc, (U) Dos paffculas pur¡tualessc colocan a una distancia dc 8.75 cm cnt¡e sf y sc les comur¡icacarga igul. Ia prirncn' partfcula,dc 31.3 g dc masa,ticnc 1.93m/sl dc acclcració, inicial haciala scgundapartfcula.(a) ¿Cuálcs la mas¡ dc la segundapartfcula,si su accleraciónir¡icial haciala p,rimcra c¡ i.36 ¡rVr¡?(b) ¿Qudcugr tlenoc¡ü putfcuh? 20. (U) Dos pclotas dc corcho, dc 0.20 g dc masa cada um, sc cuelgancon hilos aislantcsdc 20.0 crn dc longitu4 de ul punto común. Sc les comunican cargas igualcs, mediantc una va¡illa dc teflón. las pelotas sc repélcn y sc dcsvlan, como se vc cn la frgrra22-18. ¿Quécargaq sc ha comuni cadoa cadapelotita?

¡IGI¡RA Z¿-f8 hoblcm¡ 20.

2t. I.os datos astronómicosnos diccn quc el radio dc la Ticna es ó.3 x 106m, quc su masacs 5.98 x lOu k, quol¡ mlsn dc la lu¡u es 7.36 x l0¿ k€, y quc la scpa¡aclónpromcdio cntre la Tiena y la Lun¡ os 3.8 x 10¡ m. Supongaquc, cn

65

nputras,comocreemos,Ia Tierra 4r 27. (ll) Secolocantres ca¡gaspositivasiguales,de magnitud lugarde sereléctricamente 1.2¡.rCen lasesquinasde un triringuloequiláterode 6 cm do y la Luna tuvieranr¡n exccsodo cargagositiva,cadeuna,dc iado. ¿Cuálcs la fucrza ncta sobrc una c¡¡¡gadc -2 pC quc 5.7 x t0r' C. (a).¿Cu.iles la magnitud;dc.la repulsión se colocacn el punto medio de uno dc los lados? eléctricaentreTiena y Luna? O) ¿Cuáles la relaciónde la . fuerzade repulsión,4 la fuerzagravitacionalde atracción? (II) Cuatro cargaspositivas,+q, estáncn un plar¡o,cn las 28. (c) Si la cargade la Tiena sc distribuycraruriformemcntccn csquinasdc un cuadradocuyos lados miden 4 como cn l¡ su volumen,¿cuálserfala dersidaddel excesode carga,en " frgwaZ?- 19.Una carganegativa,-g; se colocaen la mitad coulombs por metro cúbico (C/ml)? (d) Supongaguc el del cuadrado.(a) ¿Cuál es la fuerza neta sobre la carga excesode cargapositiva se debea excesode protones,que negativa?(b) ¿Esestableel punlo de equilibrio al ccntro, tienencarga 1.6 x lO-lg.C de cargaeléctrica.Calculela respectoal movimiento de la carganegativaen el planodel densidadde los protones,en protonespor metro crlbico, que cuadrado?(c) ¿Esestablepara el movimiento de la carga correspondea lascondicionesdela parte(c). (e) La,dersidad negativaen direcciónperpendicularal plano del cuadrado? promediode la Tierra es5.52 x 10r k&/m3,y un protóntiene 1,67 x 1g-ztkg de masa.los protonesconstituyenmás o menosla mitad de la masade la Tiena. Calculela densidad de todos los protones de la Tiena y compárelacon su respuestaen la pade (d). 22. (lI) Tres cargasdesconocidas,Qy 8z! gr, ejcrcenñ¡erzas entresf. Cuandog, y g, estána 12.0c¡nde distancia,y g¡ no está,se atraenentre sf con urra fuerza de 0.91 x 10-2N. Cuandogzy % estána 25 cm de distanciaY {¡ no está,se at¡aencon una fuerzade 7.2 x l0'' N. Cuandoqt y gr estrin a 12.0cm dc distancia! Qznocstá,se repelenentresf con una fi¡erzade 5,6 x 104 N. Dcterminela magnitudy signo de cadacarga. 23. (ID Un elect¡óntiene 0.9 x l0-3okg de masay -1.6 x lO-re C de carga.La masade la Tiena es 6 x 1024kg y su radio 6.4 x l0ó m. Supongaque la Tiena tiene una carganeta 28. I'ICURA22-f9 Problcm¡ negativa,Q, en su centro.(a) ¿Deguémagnituddebeser Q q, 2q, -4q y -2g Q es positiva) ocupanlas 29' (II) I¿s ca¡g¿¡s p* qu" la repulsiónde la caiga sóbreel electrónanule la cuatro de un cuad¡adode 2L de lado, centradoen esquinas atraccióngravitacional en la superficie de la Tiena? (b) de coordenadas(figura 22-20). (a) el origen de un sistema Supongaqueesacarganetasedebea unadiscrepanciaentre la carga4, debidaa las otras es la fuerza nela sobre ¿Cuál y positiva, negativa. del electrón, protón, la la carga del (b) una carganueva,Q, que cargas? la fuerza sobre es ¿Cuál Supongaque la mitad dc la masade la Tierra secomponede se coloque el origen? en x protoncsy que cadauno de ellos tiene una masade 1'ó t0-'kg (el restoson neutrones,que se suponeson neutros; los electronesno contribuyenmuchoa la masa).¿Cuálesla mapitud de la discrepanciade la carga,encomparacióncon la cargadel electrón? (III) Use la simila¡idadentrela ley de Coulomby la ley de 24. la gravitaciónunive¡salparacalcular la distanciadel acercamientomáximo entrc una cargapuntual de +10-óC, que parte del infrnito con energfacinética de I J, y una carga puntualfija de + lO-aC. Supongaquela ca¡gaenmovimiento va directamentehacia la carga punhul ftia, (Sugerencb: la similaridadconla gravedadcorsisteenel usodela-qnociones de la energfa.) de la en*gla potencialy la conservación

.

(_ l.

La.sfuerTasen lasque intcrtiencn cargasmúItípleso continuas 25. (II) Una carga de -2q está fija en un plano, en el origen (0, 0) de un sistemade coordenadas ry y una carga-g está +2 debe colocaruna carga se (-2 cm). ¿Dónde cm, fija en de'3q, en reposo,Paraque estéen equilibro (estoes, que pennanezcaen reposo)?¿Esestableescequilibrio? 26. (ll) ¿Cuálesla fuerzatotal sobrecadauno de los tresquarks dol problcma I I, dobldr ¡ lor otro* ds¡? 22-4

29. FIGURA22-20 Problcma 30. (il) Una carga Q se distribuyp uniformementea lo largode una varilla de longitud 2L, qteva de y - -¿ hasta/ -' t (figura 22-21).Se colocauna cargaq en el eje .r, en x ' D, (a) ¿Quédi¡ección tiene la fuerza en q, si Q y q tienen el mismo signo? ft) ¿Cuátes la cargasobreun segmentode la varilla de longitud infinitesimal dy? (c) ¿Cuáles el vector ' fue¡za sobro la earg q dcblda al segmcntopoqueñody?

{ (

(

Kú b.;,

t t I

r-

38. (il) Unacargatotal dc 3.1pC sc distribuycuniformomcnto enun staÍibrc delgadoy scmlcirculudc 10.0cm dondlo. unacargadc 2.0pC colocadacncl ¿Cuálesla fuerzasob,re ccnt¡odcl cfrculo? 39. (II) Se colocaen el cjc ¡ una sucesióndc n + I cargar positivasy negativas, g, altemadas, enx - 0, .r - d, x - 24 ..,,x - ú. Unacargaaislada, so coloca, comoscvc cnla Q, frgwa22-22,cn cl puntor - D a Brandistanciadel origcn (D >>n¿¡ (a)Formulounaecuación gcneralparala fuerza eléctrica sobrela cargaQ.@)Aproximeelresultado, hsciendo usodc le condiciónD >> nd.Sólotcngacn cuenü¡loc y loc inmcdiato¡cn import¡nci¡.[S¡. térmjnosimportantcs gcrcncia: usc(1+.x)-2= I - 2¡cuandor<<1.]

n

n + | cargas

30. FICURA22-21P¡oblcma i

¡

(d) Deduzcauna integral que describala fuerza total en la di¡ección¡. (e) Calculela integralparadeterminarla fuerza totalen di¡ección¡. 31. (II) Una cargase reparteuniformementea lo largo del ejey, infinitamentelejosen lasdireccionespositivay negativa.La densidadlineal de carga(cargapor unidadde longitud) en el ejc y, es tr. Calculela fuerza que eJcrcesobrc una carga puntualg, colocadaen el cje r en x - r¡.

32. (lI) Una cargase reparteuniformementeen el ejey, desde

t'

rl I I

l

tt

35.(II) Use los resultadosdel ejemplo 22-6 para calcular la

1r I

I I l

I

l l

I,

It t I

t_ rt*

I .i I i I I I I

t_ I,

t_ t_ L

t_ t_t* I

) ' 0 hastaJ . + cp,I¡ deruidaddc cargacn el eje y as l. Calcule la fuerzacjcrcida sobreuna cargapuntualg, colocadaen el eje.r en ¡ - ro. (II) Una varillalargay delgada,de longitud L, que contiene una dist¡ibuciónuniforme dc la cargaQ, se alcja de una cargapuntual g. h parte más cercanade la varilla está a una distanciadde la cargapunhral.¿Ctúl esla fuerzaeléctrica que ejercela varilla sobrela cargaq? (II) Una cargaQ se distribuyeuniformementcen un anillo delgado,de radio R. Este anillo está en el plano ¡7, I su centro estáen el origen. Determinela fuerza que ejerce sobrc una c^rB q ubicadacn cl origcn y describala estabilidad de su movimiento en el plano ry. ¿Cómose compara t con el cadode una cargapuntual colocadaen el centro de una esfera,cuyasuperficiocstáuniformementecargada? fuerzasobrcuna c¡¡¡gapositiva de2.4 pC, colocadaa 4 cm sobreel centrodc unaplacamacizauniformementecargada, de 6 cm de radio,que tiener¡nacargapositivatotal de l0 ¡tC.lsugerencic.'descompongael disco en anillos concéntricos, use los resultadosdel ejemplo 22-6para caü anillo y sumelas fuerzasdebidasa los anillos.] 36. (II) Catcule la fuerza que ejerce uru lámina plana infinita con densidadsuperficial de carga (carga por unidad de puedeusarlos superfrcie)o, sobreunacargaq. lSugerencia.' del ejemplo22-6.1 ¡esultados 37. (II) Setieneuna láminavertical infr¡ita que tieneurn ca¡ga de lO-aC/m2.Secuelgaunapelotade corchode 5 g demasa, medianteun hilo de 60 cm de longitud,a una distanciade 20 cm de la láminacargada.¿Cuálesla orientacióndel hilo (a) sj la cqrt? q_elalglo_tade corcho es q ' 5 x 10-' C! (b) ¿siesq - -2.4 x 10-eC?

+q - q +q - q r / O "

D>>nd

ts-d--l-d--+-d4 f_r

.

FICURA22-22Problcm¡ 39.

40. (IID ¿Cuál es la fuer¿epor unidad de áreaentre dos placas infinitas, uniformcmentc cargadas,con dcnsidad de carga supcrficial dc +10-' C/mt y -10'' C/m?,rcspcctivüncntc, cuando la distanciacnt¡c las placas cr l0 cm? ¿Y ci rc duplica la distancia cntrc las placas, cuál cs la fucrze? fSugarencia:pucdc ustedcmplearcl rcsultadodcl problcma 36,1 Problcmosgeneralcs 41. (II) ¿Curíntaca¡ga+Q se debedistribui¡ rniformemcntccn una placa cuadraday horizontal,dc 1 m por lado, ¡i dcbc quedarsrspendidaen el ai¡e r¡rr,amasad¿ I I y carta dc I pC a I mm de la superficie de la placa?Tenga en cucntala gravitación en este problema. ¿Cuál serfa la rcspuestasi la pelota debequedar suspendida2 mm sobre laplaca?, en forma cualitafiva, ¿cuálserfael cambio en la respuestasi la pelotatuvieraquc estarsuspendidaa I m sobrcla placa? 42. ('íDUna cargaúnica,q, - +10'7C, cstáfija en la bascdc rur plano quc forma un ángulo 0 con la di¡ección horizontal. En una ¡anu¡alisa y sin fricción del plano, sc colocaunapclotita & m - 2 g de masa,y con un¡ cargade +10-7C; cl plano sc prolongadirectamentchastclacargaflja (frg.22-23).Scpv¡fu mover pendienteaniba o abajo hasla quedara uru distarrcia estable/- l0 cm, dc la cargafija. ¿Cuálcs 0?

FTGURA22-23 Problcrn¡42.

26 protones 43. (II) El nricleode un átomode hienocontiene dentrode unaesferade 4 x 1g-tsm de radio.¿Cuálesla

67

fuerza de Coulomb entredos protonesen los ladosopuestos de estenúcleo?La respueslaa esteproblemademuestra quela fuerzaqueune al núcleo,comparadacon la repulsión de Coulombentresusconstituyentes, dcbeserverdaderamentefuerte. u. (II) Un electrónsemueveen órbita planetariaci¡cula¡alrededordel protón (a) Si la fuerzacentrlpetae.sla deCoulomb, de atracción,¿cuáles la velocidaddel electrónen términos de la cargae y el radio de la órbita circula¡?(b) ¿Cu:iles la cantidaddemovimientoangula¡,tr, del electrónenla órbita? (c) ExprescIa velocidaden términosdc e y L. (d) Exprese el radio de la órbita en términosde e y L. (e) Exprese,en términosde e y L, el tiempo necesarioparaque el electrón ¡econa una vez el cfrculo. (f) Evalúe esascantidades,para t - 1.05 x l0-'4 kg.mtA. Esto conespondea una versión simplificadadel átomodc hidrógeno. 45. QI) Supongaquela cargadel protónfueraligeramentemayor quc la del electrón, {prorri. (1 + ó)e,X q¿"a.¿n - -¿, siendo 0 < 6 << l. (a) Como hay unos 1,25 x lü7 protonesy elecüonesen el Soly aproximadamente L 15 x lOs protones y electronesen la Tierra, ¿cuáles el lfmite superiorpara 6 quc estableccel hechode quela repulsióncléctricaresultante entrcel Sol y la Tierra no puedesertan grandecomopara anularla at¡accióndebidaa la gravedad?I¡ masadel Sol cs aproximadamente 2 x 10skg, la de la Tierra,ó x 1021 k8, y G - 6.7 x lO-rt N'm2/k92.(b) ¿Cómocambia¡fael valor de el pesodc un jugador de ñ¡tbol que tiene 3 x l02Eprotones y elect¡ones? 46. (ID (a) ¿C\ráles la fuerzasobreuna cargaQ, colocadaen el planory,enel punto(.r,0),debidaa la siguientedistribución de cuauocaÍgas:q en (0, 3a),-q en (0, a), -q en (0, -a¡, y q en (0, -3o)? (b) Demuestreque parax ))e, la fuerza decreceen función de l. fsugerencia:Vse (1 + ¿¡'rn'¿'1(3ztl)puaz<< 1.1(c) SupongaquelascargassonQ,-Q,Q,-e, y que estánen los lugaresde la pane (a). respectivamente ¿Cuálserfala fuerzacuando¡ >> c, y por quéestan distinta? gl Dos cargaspositivasfijas, q, estánseparadas una distanQ ü, cia /. Um tercera carga positiva q tiene masa m y está restringidaa moverseen uu rccta entrelas doscargasfrjas (ft1rlr:a22-24).(a) Cuandose colocala terceracargaa una distancia¡ de la cargafija de la izquierda,¿cuáles la fuerza netásobre ella? ¿Dóndees cero esafuerza; esto es, dónde estáel puntode equilibrio?(b) ¿Cuálesla fuerzanetacomo

66s

l-., ¡*"=-F_

l._¡ *__*l

-A--:-ñ-

= @ _ _ _+q_ @ _ _ _ _ : _ _ _+q_ @ :

¡q

[.-----.-.---------....--....-.--.l FIGURA 22-24 Problcma 47.

función del desplazamientode la terceracargarespectoal punto de equilibrio encontradoen la parte (a)? (o) Para valorespequeñosdcl dcsplazamientorespcctoal punto de equilibrio,la terceracargasecomporlacomosi actua¡asobre ella un resorte.¿Cuáles el valor de la frecuenciade oscilación?

48. (II) Demuestreque la fuerzaentredos distribucionesesféricamentesimétricasde cargaesidénticaa la fuerzaentredoe paffculas puntualesque estánen el centro geométricode cadadistribucióny que tienenla misma cargatotal. (Srgerencia: hagauso del hechodeque la fuerzasobreunacarga puntual,debidaa la distribución1, es la misma quc si la distribución I se concentra¡aen su cento,y a continuación useel mismo razonamientoparala distribución2; después, usela terceraley de Newton.) 49. (III) Dos varillas, cada una con longitud 21, se colocan paralelasentrcsf a unadistanciaR. Cadaunatiencunacarga total Q, distribuida ruriformemeuteen la longitud de la va¡illa. Deduzcauna integralparala magrritudde la fuerza entre las varillas, pero no la evalúe. Sin desanollar las integrales,¿puedeustcddeterminarla fuerzaentrclas varillascuandoR>> L? (n (III) Setieneun númeroinlurito Jv' de'cargaspuntualesidénticas,g, colocadas en puntosigualmenteespaciados, encl eje ¡, en los lugares.x^ na (n asumevaloresenterosquevan de -6 a +a). (a) Deduzcaunaecuaciónparala fuerzasobreuna cargaQ, colocadaen,r - 0 y y - R, debidaa todaslascargas puntualesg, c indique la di¡ección de la fuer¿aneta. O) Encuentreel ¡esultadoparael llmite en el cual la distan-cia entrelas cargasrc * 0, y la carga4 0. de tal modo que Qla- 1(una densidadlineal de cargafrja).Demuestrequesu ecuaciónse puede formula¡ como una integral y emplee análisisdimensionalpara determinarla dependenciade la fuerzasobrela cargaQ, con respectoa R.

t

c APr TULO

Zjt,ji'

I I I

I

Sefornn un campo eléctrico cuando setrota un peine con un trapo, k nuísprobable que los pedacitos de papel sean atraldos al peine porque el campo ha inducido un momcntodipolar cn ellos, y no porque tengan carga neta alguna,

I ;r it

EL CA}TPO ELECTRICO

-

l

¡

De igual modo que el Sol ínfluye sobrela Tiema,no obst¡nteestara 150millones de kilómetros, una carga puede ejerceruna fuetza sobre otra, aun cuando esten poruna gmn distancia.El conceptode accióna distancia,segrinel cualuna separadas fuerza achia a $avés del espaciovacfo, siempreha parecidodiffcil de acepüar.L,a accióna distanciasugiereque de algunamanerael cuerporesponsablede la fuerza sobreun segundocue¡po lo alcanza,mide la distanciay actúa.Michael Faraday sugirióun modoparaevitarestadificultad conceptual:el primercuerpoinfluye sob're el espacioque lo rodea,estableciendorn campoa su al¡ededor,que estripresente hayao no un segundocúerpo.Cuandoel segundocuerpose localizaen un det$minadopunto,el c¡mpo quehay en dicho punto achiasobreel cuerpo.Estaimportante idea se puededesarollar en forma cuantitativa,y, al igual que todaidea realmenüe buena,cónducea mrísideas,que se alejanmucho del conceptooriginal, en utilidad y perspectiva. En esüecapftulo presentaremosy desanollaremosel concepto del campoeléctricd que producencargaseslriticasy aprenderemosalgunosde los modos en los que nos puedeser útil. Continuaremosempleandoel conceptodel campo,en capltulosposteriores,porque forma la basede la comprensiónde muchosefectos eléctricosy magnéticos.

69

670

P

Capitulo 23 El campo cléctrlco

'*;

P

M.....: ..ry

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UGURA 23-1 (a) Existc nn campocléctricocn rm punto P dcbidoa las cargassobrola csfcra,{, (b).l¡ cargadc prucba,go,rcpclc a las cargasdc la c.sfcraá. Sc produccun nucvo carnpoolóctrico,E', cn fl por la csfcrar{, porquclas cargascn,{ soh¡n rcdist¡ibuido.(c) la cargado prucba, q, cs ahorat¡n pcqucñ¡,quc casino afcct¡ a las ca¡gascn l¡ csfcra,{. El carnpoclcctrico quc producc.{ cn cl puntoP cs ehoraol mismoquocn la putc (a). En cadacaso,ol campoclcctricosodcbc¡ l¡ cargrdola osfoná.

(b) A

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(c)

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A

23-L EL cAMPo ELEcrRIco Es útil imaginarseque una distribuciónde catgas,positivaso negativas,da lugar a un cempo eléctrico, que actua sobre cualquier carga colocadaen é1.El cempo eléctricopresenteen cualquierpuntodeterminadosepuededescubrircolocandouna una carga de prueba pequeñay positiva,{e¡ ett €selugat,y viendosi experimenta fuerza.Una cargade pruebasólo es un sensor:no produce el campoeléctticoque estamostratandode medir; el camposedebea ottasca¡gas.La cargadepnrebadebe eslafenreposotporque,comovefemospfonto,lascatgasenmovimientoexperimentan fuerzasdiferentes.El campoeléctrico,E, sepuededefrnirmidiendola magnitud y direcciónde la fuer¿aeléctrica,F, queactuasobrela cargadeprueba.La definición del campoes Deflnlción del cempo eléctrico

F E=:-

(23-1)

Qo

La razónde usaruna catgapequeñade pruebaes que una gtandepodria,media¡rte del campoeléctricose su inte¡acciónde Coulomb,hacerquelas cargasresponsables la distribuciónoriginalde cargaque movieran(figum 23-1).Con ello afectarlamos produceal carnpoeléctrico,y por lo tanto,al campomismo.Asf, usaremosunacal€a depruebainfinitesimalmentepequeña,go,y definiremosal campoeléctrico,enfoffia ideal,mediarrte

'E=ümI

(x3-2)

. qo'o Qo

Unidedee SI del cempo eléctricq

I-a fuerzaeléctricaes un vector, y por consiguienteel campo eléctrico tarnbién. Caracterizamospof completo a un vector, como el del campo eléctrico,cuando conocemossu rnagnitud,direccióny sentidoen cadapunto del espacio, De acuerdocon la definición de la ecuaciín (23-2), las unidadesdel c:ampo eléctrico en el SI son newtons pot coulomb (N/C)t. La tabla 23-1 presenlalasr' niagnihJdesde los camposeléctricosparadiversoscasos.

I Vercmos, cn cl capitulo 25, quc cl campo clcctrico sc puede cxprcsar, cn forma altcmatlVa, cn rmidadcs dc volts por mctro, cn cl SI (V/m), ya quc I N/C - I V/rn

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TABLA 23.I I

Í

67t

VALORES DE AI,GI.]NOS CAMPOS ELBCTA¡COS (N/C)

Espaciointerplanetario Atmósfera en la superficie terrestre,despejada En una tempestadeléctrica Chispaeléctricaen ai¡e seco En un acelerado¡Van de Graaff(') En el acele¡adordel Fermilab(") En los átomos, en interior de la órbita del electrón En la ndiación electromagnética del lásermás intenso A una distanciaigual al doble del radio, del centrode un núcleode uranio

a?l

lo'r-10-2 100-200 lf 3xlff

ElcrmpoclÉc&lo

ltr 1.2x 107 ld 10t2 5xl om

{ Vcasc capíhrlo 25. rr Véasc sccción 23-4.

[,] canr¡lo cléctdco dc una cafg¡ ¡runhral El ejernplomrissencillode un campoeléctricoesel asociadoconuna cargapuntual, qr. Tenemosdoscargaspuntuales,qr y q0,separadas poruna distanciar (figura23-2). La fuerzade Coulombque ejerceq¡ sobreg0es

paraunacargapuntual:For

#!i,,

¡r,,

4t

@ ;for *

qo

_ _ _ L _ _ _0 * F u ,

(2 3 3 ) IICURA 23-2 hrcrzr Fo¡qrnoJorco rrnr

cargapuntul 4¡ sobmla cargapnturl 96

de acuerdocon la ecuación(22-8).si decimosqueqoesnuestracargadeprueba, ambascargrssonpclüvrs. podemos ernplear lasecuaciones (23-l) y (23-3)paradeterminar el campoeléctrico debido a qr: pa¡auna cargapuntual:

tt: -

Fo, r/o

4t o' :únuo;t'

(23 4)

El valor de la cargade pruebaseha anulado,y asl,el procesollmite en la ecuación (23'2) no inttoduci complicaciones.La ecuación(234) especificaque E¡ tiene la mismadirecciónqueFs¡,la del vectorunita¡ioie¡,rpe apuntadeq¡ a qo.Eliminamoe el sublndicede ior en la figura 23-3, que muestmla direcciónde E¡, determinada moviendonuestracargadepruebaa varioslugaresa unadistanciar de qr. Estecampo esradial (figura 2J-3a),y hemosusadoel vectorunitario radial i (medidoa partir de qr) pa¡aespecificarpor complentoel campoeléctricoE debidoa una ca¡gapuntual q (tambiénomitimoslos sublndicesde E¡ y q¡):

(23-s)

(b)

'- . t I l*

¡..".,

FIGIIRA 213 (a) l,e trila qtr flotan c¡r accilo so alkrcrn con cl campo oléctrlco do csta carga punhral. @) t^r diracclón&l campo cléctrico E dobldo a q, c¡ ndial. L¡ carga cs po,sitiva, y la dlrocclón dol campo cs alcjóndco dc clla. (c) I.r carga ce ncgativa, y la dirocctón dol campo cs hacla olla,

,,.El campoeléctrlcodebido. un¡ c¡rgr puntu¡l I oerlcJr dc une cerge posit¡vi y B€diri¡e hrcie un¡ c¡r8¡ neg¡tiv¡.

El campoeléctricose aleja de una cargapositiva,come en la figura zi-gb, cuando la cargaesnegativa,el campoeléctricotienela mismamagnitud,perosu sentidoes opuesto.El campoeléctricodebidoauna carganegativaapuntahacia esaca¡ga, como en la figura23-3c.

i

{

La utilidad del conccpto dcl campo IJnavezconocidoel campoeléctrico,E, producidoporunacargapuntual,q, podemos calcularla fue¡zasobrecualquiercargapuntual,q', colocadaen esecampo,empleando la ecuación(23-L);esto es, F : Q '8 .

\_ \_

(23-6)

Lo mrísimportanteesquecualquierüstribucióndecargas,no sólounacargapuntual, produceun campoeléctricoen el espacio.Usaremosel subfndice'ext" (extemo)en E, pamsubrayarqueel campocléctricoexternocs independiente dela curgaq'sobre la cualnctuala fuerza.Una vezconocidoE"r,,Iafuerzasobrecualquicrcargapuntual q' en el campo,esla genetalización de la ecuación(23-6): Fuerz¡ ¡obre un¡ carS¡ puntual en un crmpo elóctrico

pa¡ar¡naca¡gapunrualen un campoeléctricoextemo: F - q'E"*, (23-7) La ecuación(23-7)esurrresultadogeneralmuy útil. ¿Porqué nos preocupamosen introducir los campos?¿Porqué no manejartan sólo fuerzasentrecargas?Ya hemosmencionadoel papelque desempeña el campo en la tesoluciónde las dificultadesconcepfuales de una accióna distancia.Hay otras razonespor las'cualesel conceptode campoesútil y hastanecesa¡io,Cuandoalguna configutacióncomplicadade cargasactuasobreuna cargade pn:eba,éstasufreuna fuerzaquedependede su ubicación,r. Esafuerzae-sr¡nafunción complicadade los vectoresquemidenel desplazamiento dela cargadepruebacónrespectoa lasdemrís ca¡gas.Es mejor determinarde una vez por todasel campoeléctricoE(r) debidoa las demáscargas,Una vez conocido,es asuntosencillo determinarla fuetza sobre cualquiercargacolocadaen cualquierlugar del campo. El conceptodel camposehaceindispensablecuandoveatnos,en el capltulo25, que el campotiene energfa.Parapreservarla impofianteideade la conservaciónde la energfa,es necesarioel conceptodel campo.Peroel poderreal del conceptodel carnpoaparececuandoesel resultadode cargasenmovimiento.Aun si las cargasen movimientoestánlimitadasa una pequeñaregión,por ejemplo,dentrode los brazos de una antrena, el campoeléctricose extiendepor todo el espacioy la velocidadde propagaciónesla velocidadde la luz, l¿ supernova1987Aestallóhaceunos 163,000 años;los camposeléctricosoriginadospor el bruscomovimientode muchascargas en y alrededorde la estrellaenexplosiónllegatona la Tiena el 23 defebrerode 1987. Esoscamposviajeroshicieronmoversea los electronesen las antenasenla Tierra y fue la señalde que habfaestalladola supemova1987A.La descripcióndel proceso esmuchomásfácil de comprenderquela ideade queexisüeunafuerzaeléct¡icaent¡e las cargasde la supemovay las de un detectottenestre,y que esafuerzano sólo dependede la separaciónentrelas cargas,sino tambiéndel tetrasoentresusmovimientosrespectivos,Una ley de fuetzacon demomde tiempoincluida,quedepende de la distatrciaenhedoscuerposqueinteractuan,esdiflcil de expresaryde rnanejar. l,a noción de un campo es útil en muchasdisciplinas.En la hid¡odin¿imica empleamosun campodevelocidades,quedescribela velocidadv detodoslos puntos en los que se tiene flujo del fluido, como en los tubosde un sistemamunicipal de aguapotable.En el intetcambiode calor se empleaun campode temperatufas,que describela temperaturaen todoslos puntosen un recinto,Y en acústicaempleamos un campo de vatiacionesde densidaddel aire. En los dos últimos casos,no hay direccionalidaddel campo,por lo queserelacionacon una fuerzade un modo más

672

\-{ l

7_

indirectoque en el casodel campoeléct¡icorelacionadocon la fuerzaeléchica.En esoscasos,los camposson escala¡es, en lugat de vectoriales.

673 ElcropoG¡6ctrlo

EJEMPLO 2 3 - I Oeterminarelcampoeléctricodebidoaunacargapuntual q - +1.4 ttC a una distanciade 0.10 m de la carga.¿Curiles la ñ¡e¡z¡ sobrc una cargaq' - -1,2 pC colocadaa esadistanciadc q? SOLUCION: El campoeléctrico deuna cargapuntual estáexptesadodirectamenüe por la ecuación(23-5): t0-6 É)

]':

t''' x

l0óN/c)i.

El campoeléctricose dirige haciaafuera,en direcciónradial,desdeel lugar de la cargade 1.4¡rC (figura 23-3b).Si la cargafueranegativaen lugarde positiva, el camposedirigirla mdialmentehaciaadentro. queel campoeléctricoque Paradeterminarla fuerzasobteg', considerarnos dete¡minamosaniba es un campoextemoy etnpleamosla ecuaciónQ3-7).Ia rnagnitudde la fuerzaes la del campomultiplicadapor la magnitudde q': r = lq'lE= (1.2x to-6 é)0.3 x loó N/d) = 1.5N. El signo de q'es negativo,y entonces,cuandosemultiplica por la magnituddel camporadial haciaafuera,la fr¡e¡z¡ resultantesobreq'achia ¡adialmentehacia adentto.No esde sorprenderque las catgasopuestasseatraigan. En forma alternativa,podemosempleardi¡ectamentela ecuación(23-7), incluyendola noüaciónvectorial.Obtenemos F = (- 1.2x l0ó y')10.3x 106N/¿)il = (- 1.5N)i, que esel mismo resultadoque el anüerior. Si es m¡is de una cargapuntual la rcsponsabledel campoeléctrico,empleamos principio El el de superposiciónparadeiermina¡el campoeléctriconetoo resultanüe. pdncipio de superposiciónestableceque la fuerzaeléctricaneüasobreun cuerpoes la suma vectorial de las fuerzasdebidasa las cargaspuntualesindividuales.Por consiguiente,el'campoeléctriconetoesla sumavectotialde los camposde lascargas individualespresentes.La fuerzanetaqueseejercesobrenuestracargade pruebage, debidaa las demáscargasde la regiónes

f

(2 3 -8 )

Frrr"= Fs¡ * Fe2+ Fo3+ "' = I Fo,' Asf r;do:

Frr," Fo, s"*

Fo, , For , ... so*-+"'

(23-e)

:E ^= t*B ri n r+" ':IE,.

(2 3 -r0 )

En estaúltima ecuación,F¿,por ejemplo,esel campoeléctricodebidosóloa la carga 4t, en el punto en el espacioen el cual hemoscolocadoqo.Empleandola ecuación (23-5)paracadacargapuntualq¡,vemosque

puntuales:E..o: paraungrupodecargas

I \

I

"l

*)#

r,

(23- I l)

En estaecuación,el vectorunitario i, sedirige desdeel lugarde la cargaq¡hasta lugar en dondesemide el camPo.

por un Compoekfttriconetopr.oducldo gmpodc clrgeepunturlco

en llnea:Qt - + 2 pC en EJEMP Lo 23 - 2 Setienentrescargascolocadas = * + + y 3 ¡¡Ceo.Í2- 4 cm; h -2 ¡rCen-r3= + 10cm (frg!tru.23-q. \' -2 crrl qz campoelectricoen el purrtoz{,origendel sisüemade coordenadas. Deüerminar,el

6cm -------l

6crn +.-

l.l. 2c m . l -l'

I I

@ --ttl -.r- -e qt

42

SoLUCIoN:La soluciónseobtienepor aplicacióndirectade la ecuaciónQ3'LL). Aunque po¡ lo generales importante üeneren mente que la suma requeridaes vectorial,en estecasotodaslasposicionesquedanenunallnearecta.Colocamos un sistemade cootdenad"scartesianasen el puntoá. El campoeléctricoen el punto.Áes

-----@

E,r:Er+E2+83,

qj

FIGURA 23-{ Ejcrrplo 23-2. El campo clcctico cr¡cl puntoz{ sodcbc a troscargas. [a distancla,r, sonridoa partlr dol punto¿,

endondeE¡ (i = 1,2 o3)esel campodebidoa la catgaqienelpunto.4.Aplicando la ecuación(23-LL)paracarnposeléctricosindividuales,obtenemos

,^:*({P.^#.#)

(23-t2)

Debemosponeratencióna los signos.Los vectoresunitariosti en el Paréntesis indicanla direccióndel vectorunitatio, l¡, de la posiciónde la cargaq/ al punto .,{.La direcciónrealdel campoeléctricoE¡ debidoa la cargaq¡,sin embargo,está determinadapor el producto qiii,y el signo de la cargase debeüeneren cuenta. Por ejemplo,la direcciónde E3 es +i, Porqueel signonegativode la carga93, multiplicadapor (-i) produceuna dirección(+i). La evaluaciónnuméricade la ecuación(23-12)da comoresultado B, : (9 x 10eN'm2/C2)

.

(3

(-2

x 10-óC) . .. , ..1 (r)+ (0r4;t(-r)+ x 10-6Q) t-'r-1 s¡Io.ro L foOf;pf Q x 10-6Q) ...

: (3 x 107N/C)i. El campoeléctricoen el puntoz{ tienela di¡ección+¡, haciala derecha.

Dlpolo electrico

Los dipolos eléctricos y sr¡scamlrs cléctricos Un dipolo eléctrico constade doscafgas,+4 y -q,de igual magnihrdpeto con signo unadistanciatr (figura23-5a).El campodeuna éargadisminuye contrario,sepa¡adas de acuerdocon tlf . Si las dos cargasopuestas(digamos,hY -Qz)no sumanceto, su campotenddala forma (qt - q)lf , Pafar >>l. Si se colocarancafgasigualesy opuestas,precisamenteuna sobte otrá, las dos contribucionesal campo llf se anulariany darfancampoeléctricocero.Perocomolas doscargasigualesy oPuestas de un dipolo no estánuna sobteotfa, el carnPoresultantedisminuye en función de

e-¿----4) -q +q (a) FIGURA 23-5 (a) Un üpolo olcctrico corsisto do cargas igualos, poro opucstas, scparadas poruru distancia l. @) Et campo nclo cn cl punto P, quo cs D, scttl¡ sólo s lo largo do la dirección quo vr de +q a -9' (c) El momcnto dlpol¡r oléctrlco, p, so dirig,c dc la carga ncgatlva a la posltlvl.

674

o +t1 (c)

.P

e

-.1

a a a a a L L L L L L

L L 1L L L Li L L L L L L ,

L l"

L L L L L. L L L

l/É, como vetemos.El campoeléctricodependesólo del productoqL,quese llama momentoeléctricodipolar o momentodel Sipoloeléctricodel parneutro(+q,-q), y setepresentacon la letrap. Hacemosquep - gl seaun vectordefiniendoa L como dirigido de -g hacia +4 (figura 23-6). Asl, el momentodipolar eléctricop es p=qL.

Momento dlpol¡r eléctrlco

(23-t3)

El vector p apuntadesdela carganegativahaciala positiva.

EJEM PLo 2 3 - 3 Determinarelcampoeléct¡icodeldipoloqueseveenla figura 23-5b,en un puntoP a grandistanciar (r >>L) de cadacarga.P estrien el eje perpendicularquebisecüala llnea entrelas doscargas.

SOLUCION:Ios ejes¡ y y se ven en la figura 23-5b y el punto P tiene las (0, y). El campoeléctriconetoen P eskiexpresadopor E - Er + &, coordenadas siendo el campo E¡ debido a la carga +q y el Fz debido a la carga -q. Las magnitudesde los dos camposson iguales,pero E¡ apunüBalejr{ndosede +Q, mientrasqueE2sedirigehacia-q. Lascomponentesy de E¡ y E2seanulanentre sf y sólo nos quedamoacon una componenteneta¡ hacia Ia derecha,que es el doblede la componente¡ del carnpodebidoa cualquierade las cargas:

@ -q nGUItA 23{ Dlpolocléctrlcocuyo morrrnto dipolar oep - qL. [.¡ dlrccclóndo p o s d o - 4 n +q .

E = Eri = (Er, + E2r)¡=2Et,i, en la cual ., = Er,

q

0.

fficos

En la figura 23-5b vemosque cos 0 es

Llz

L

r

2r'

C o S0 = -:-

Asl, el campoeléctricotoüaldel dipolo, a lo largo de la perpendicular,es

,=(##)Gl,:ffi'

(23-l4)

La ecuación(23-14)esel resultado correctoa lo largodela perpendicular, aun cuandola distanciaal pardecargasno seag¡ande.El campoeléctricodemece conr enla formal/1. H campoenlospuntosa Io largodela mediatrizes

E:-a#,

(23-rs)

{

en la cual hemosempleadola ecuación(23-13)del momentodipolat eléctrico, p. Si r >>l, entoncesr ! y y

a lo largodela mediatriz: t = -Ah.

(23-16)

El campoeléctricode un dipolo, en general,no esantiparalelo. al momento dipolar, aunqueen estecasosf lo es.En las ecuaciones(23-15)y (23-16)hemos descritoel camposólo a lo largo de la mediatriz.

L

La lmportancia

L t

En el ejemplo2S-3encontramosque el campodel dipolo eléctrico,a lo largo de la mediahiz,no dependeni de q ni de I únicamente,sinode suproducto.Estoesválido

dc los dipolos cléctricos

L L L,

L L

t¡

675 -.'-.i*.

f..,.-

676

parael campoeléctticodel dipolo én cualquierpuntoeri el espacio.Sólo se puede deüermina¡el productop - ql, a partir del campodeun dipolo eléctrico,y no sepueden deüerminarq ni l, por sepa¡ado. L,os dipolos eléctticos son de gran interes porque se pfeqentancon mucha ftecuenciaen lanaturaleza.Septoduceun campoeléctricoauncuandola cargatotal deun dipolo seacero.Con frecuencia,los camposextemos,inducenseparaciones de cargasen moléculasy materialeseléctricamente neutros,produciendoun excesode Dlpoloe elécrricosInducidos y cargapositivao negativadeun lado,o del otro. Por lo tanto,ocasionanun momento p€rmenentes eléctricodipolar inducido (figura 23-7).Tambiénhay ejemplosde configuraciones decargaconmomentoseléctricosdipolarespernanentes (momentosdipolaresque no se inducenpo¡ camposextemos),en la naturaleza.Mu¡has moléculasque tienen estructutadisttibuida,con electronesde catganegativadistribuidosde preferenciaen ciertasregiones,tienenmomentosdipolareseléctricospennanentes. [¿ moléculade agua¡H2O,que tieneforma de V, con el átomode oxfgenoen el véttice de la V, es Dlpolo ol&trico Cargaccrcanaquo ejemplode ellas (figura 23-8). Én casoscomo el de la sal común (NaCl) y el ácido producocl dlpolo lrdr¡cldo (polarir¡do); oléctricoinducido clorhfdrico (HCD, una moléculase forrna a partir de electronesque sc agrupande car¿atotal4- 0 ptefetenciaal¡ededo¡deun átomo,comunic¡indoleunacarganegativa.El otro átomo FIGURA 217 Una cargaccrcanapucdc quedaconunacargapositiva.En esasmoléculas,queestrinunidaspot lo quesellama inducir rna carg¡ polarizadr,y por lo t¡nto, iónico,siemptehayun momentoeléctricodipolarpermanente. enl.azamiento A nivel m dipolo cléctrlco,cn un cucrporrutral. molecular,cuandolos efectosde los camposdipolareseléctricostieneng¡animportanciaflsica, los momentosdipolatespefinanenües siempresonmuchomayoresque H@ los inducidos.Por ejemplo,p - 6 x 10-s C . m parauna moléculade agua,mientras que un átomode hidrógenoen el senode un campomuy intenso,E - 3 x 10óN/C, adquiereun momentodipolarinducidodep = 3 x 10-YC . m. Capitnlo 23 El cempo cléctdco

23-2

.\

\ \ ,,ñ n@

FIGURA ALE I-a nroléculado agtu, HrO, cs un dipolo clcct¡ico porruncnto, AmbG olccboncsdcl hidrógcnosoncompalidos con ol átorio dc oxígcno,crcandoüi fucrto aüaco clcctrico quom¡¡rticnor¡¡ridaa l¡ molccula;cs lo quc sc llsnr crilaco covalcr¡tc.

DEL cA"ilrpoELEcTRrco LAs LTNEAS

El campoeléctricodebidoa una distribuciónde cargay la fuerzaque experimentan partfculascargadasen esecatnpo,se puedenvisualiza¡en Grminosde las líneasde cempo eléctrico. Michael Faradayintrodujo su empleo,a mediadosdel siglo XIX, aun a.ntesde que se comprendieracon claridad el conceptodel campo eléctrico.2 Faradaydecia"lfneasde fuerza".l¿s llneasdel campoeléctricoson continuasen el por un vector distinto espacio,en contrasteal campomismo, que estrirepresentado en cadapunto del espacio. Ya hemosvisto que podemosdesoibir al campoeléctticomoviendouna ca¡ga de pnrebaen el espacio.El camposeexpresacon facilidad en forma algebraicay es la mejor herramientapardobüenerresultadosalgebraicoso numéricosconcernientes a las fuerzaseléctricas.Sin embatgo,eshortible, desdeel aspectovisual,manejatel carnpo.No es fácil trazatuna región en el espacioy en cadapunto (ni siquieraen puntoscercanos)hazatun vectorcuyalongitud y direcciónvariablesfepresentenal campoeléctrico.[¡s llneasde campoeléctricosonuna altemativamrisadecuadaa la visual. reptesenüación Las lfneasde campoeléctricosontrazosuniformesy direccionalesenel espacio, por el campoeléctrico,de acuerdocon dosreglassencillas: determinadas

Líneasde campoeléctrico

1. l,as lfneasde campoeléctricosetrazande tal modo que la tangentea la lfnea del campo,en cadapunto,especifiquela direccióndel campoeléctricoiE, ep esepunto.Estareglarelacionala direcciónde las llneasdel campoeléctrico, con la ditecciónde éste. 2. La densidadespacialde las lfneasdel campoeléctticoen detetminadopunto, esptoporoionala la intensidaddel campoeléctricoen esepunto:

f' ¡,

2 DcspudsFnrudly,quo cm gnn cx¡rcriurcntntlor, pcro ¡ncnosbucnocomo toórico,to dio ¡ dihs w¡, significadorruisfísico quc cl qubticnonenla ach¡alidad.

(

( {

$

(

I l/<

V, -

(b)

Ptopicdadcs dc le¡ líncas dc campo cléctdco Dibujemoslas lfneasdel campoeléctricode una cargapuntualpositiva,q. Sabemos queel campoeléctticosedirige radialmenüe alejándosede unacargapositivaentodo lugardel espacio,,El campotiene la misma magnitud alrededordeuna esferacentrada en la carga,y esamagnitud decece al ar¡mentarla disüanciar, en la forma l/É. l,as llneas del campo electrico son radiales, apuntan hacia afuera de la carga y est¡in distribuidas uniformcrncnüeal¡ededor de ella (figura 23-9a). Podemosemplear la figura 23-9 paramil¡trir susp¡opiedades.

N lincascn totnl g cargr totsl

I|IGI RA 2]9 (a) Rc,prcscntaclóo do l¡s lincasr¡di¡lcs doc¡mpo oléctslcodoun¡ cargr purtual. (b) [Iay nrcnc lircas qr pasanporur árcr dol mlsr¡n tarn¡ib q¡a¡do ostl mls aloJadado la carga.

r tnnrhr I&nlcer pen e¡rdrr* ti¡c¡¡ dcl c¡mlro cléc,lrlco ir

.

cómo reflejan las lfne¿s himeraproptcdad.I,ategla2 anüerior,que establerre decampoeléctricola int€nsidaddel mismo,tequiereexplicación.El campoeléctrico ns cambiaen fotma abruptasu di¡ección al pasarpor una rcgión del espaciolibre de cargas.Asf, en una tegión pequeña,las lfneasdel campoeléctricoson casiparalelas entresl. En estarcgión podemostomarun dfeapequeñaque esteorientadaperpendicula¡a las llneascasi paralelasdel campo.La densidadde las lfneas,entonces,esel númerodelfneasquecruzanesaáteapequeña,dividido enueel valot del á¡ea.Nóüese que la densidades el número de lfneaspor unidad de drea. Srgund;plipUdaa ¿CAmoesta'blecemos el número de lfneasdel campoy la densidadde las mismas?Podemosescogerdibujar las N lfneasde campoque nos convengan,odginárrdoseeri una cargadádaq; N ei cualquiernrimero.Entoncesse dete¡minael nrlmetode llneasquedejanlas otrascargas.En particular,el númerode lfneasque salende una cargapositiva{¡, eFN¡,siendoNt - @¡lq)N,Asl, la mitad de lis lfneasse originarúcn una catgapositivaque tengala mitad de esevalor. Ahom, podemosusarla regla acercade la densidadde las lfneasparademostrarquelasltneas puedeniniciarse'oterminarsóIoen cargasy nuncden el espaciovacfo.Supongamos quese originan¡Vlfneasen la cargapuntualq, en la figura 23-9b,I gue las lfneasni secteanni sédestruyen.Si cgnsideramosel númeto de las lfneasde campoquepasan por un rireadel tamaño de'una moneda,ve¡emos en la figura que pasadanmuchas mrispor esa,órca¡ si el ríteaestuvieracercadéla fuentepuntual,quecuandola misma área está lejoÉ;j,ti no se crean nuevasllneas defuerza al retirarnos de la carga,

_

_

: : _i"l' r__r' -

a

678 Capitulo 2J El cempo clóctrlco

entonces,la de¡rsidadde las lfneasen un radio R a partir de la carga,seráigual a N dividido enbe el ríreade la zuperflrcieperper¡diculara las llneas.Esazuperficieesuna esferade¡adio R, centradaen la ca¡ga,y la densidadde las llneases NlarÉ, Sabemos que la densidadde las lfneases proporcionala la inüer¡sidad del campo,y que estre decreceen función de Uf . Por lo üanto,la relación entrela intensidaddel campoy la densidadde las llneas de campo eléctrico esautomática si éstasni se crean ni se destruyenen regionesen lasqueno hayacargas.Sólohemosdemostradolo anüedor para el caso de r¡na cBrgapuntual única, pero ¡rodemosempleat el principio de superposiciónpara demost¡a¡que esto,en general,es válido. Nótesequer.pa¡auna cargapuntual,laslfneasde campoeléctricosevan al infurito. Estosiemptesucederá cuandohayaun conjuntolocalizadode cargas.A distancias$andes en comparación con las dimensionesde la regióndel espacioquecontienela carga,parececomosi la carganetase localiza¡aen un punto,y las lfneasde campoeléct¡icose dist¡ibuir¿ín uniformementesobreuna esferadisüantequerodeea la carganeta. Tercera propieda.d.Las lfneas de canrpo eléct¡ico se originan en, y conen alejríndosede, las cargasfositivas. Se prolongan hacia, y terminan en, cargas negativas.Ello refleja el'hecho de que,lascargaseléctricasson las fuentesde los camposeléctricos,que apunlanalejríndosede las cargaspositivasy sedirigen hacia las carg'asnegativas. Cuartapropiedad-Nunca-secruzandos lineasde campo.No pueden,porqueel campoeléctricotienemagnitudy direccióndefinidasencualquierpuntoenel espacio. Si se cruzarandos o más lfneasde carnpoen algúnpunto, entoncesla di¡eccióndel campoeléctricoen esepuntoserfaambigua.

FIGLJRA 23-10 Lincos dc campo oléctrico dcbidas a uru carga punhral +q. Nótcsc ol númcro do lincas dc campo quo cruzan cl círculo (csfcra) on cl radio r.

l¡ simetrlapuedeser gufaútil paratrazarlas lfneasde un carnpoeléct¡ico.Una cargapunhralseve igualdesdecualquie¡dirección.Tienesirnetrfaesféricay laslfneas de camposiguenla únicadirecciónquerespelaa estasimetda;estoes,sonradiales. Igualmente,si manejamosunalfneao alambrelargo de carga,hay simetrlaal¡ededor de la lfnea, y las llneas de campo deben proyectarseradialmeñtehacia afuera, partiendode la llnea,perpendiculares a un cilindroquela rodee. Es convenientetrazarlas lfneasde campoeléctricoque qugdanen un plaflo que cortaun espaciocon una o mriscargas.Esteplano es el de la páginasobrela que se trazanlaslfneas.Paraunacargaaislada,esedibujoseverfa comola figura23-10.Es¿ dibujo nuncase debeusar enforma descuidadapara determinarla intersidad del campo. Simplementeno se puedenconta¡ las llneas de campo que cruzan una determinadallneao superficie.La figura23-10muestraun cf¡culode radior, centrado enuna cargapositiva.El númerode lfneasquecruzanestecftculo esN, fijo, y por lo tanto,la densidadde las llneasque cruzanal clrculo esN dividido entrela circunferenciadel ckculo,Nl2tur.Sin embargo,sabemosqueel campodecreceen función de de laslfneas,quedeterminala magnituddel Llf ,y no enfunciónde Llr.La der¡sidad campoeléctrico,es una densidadpor unidadesde área,no pot unidadde longitud. No siempreesfácil visualizarcómo la densidadsuperficialde las llneasvada enun clibujode ellasqueformaun plano.Sin embargo,esosdibujosplanosde lasll¡reasde campoeléctricosesiguenempleandoparaayudamosa visualizarel campoy el efecto que éstetendrfasobteuna cargapuntual.

Algunos ejemplos El modo m¡is fácil de demostratla utilidad de las lfneasde campoeléctticoes examinarvariosejemplos,ademásdel de la cargapuntualaislada.Lasfiguras23-Lla y 23-Llb muest¡anlas.lfneasen un planoque pBsapor doscargaspositivasde igual

ii

-

679 292

Ls linqt

dcl crmpo clóctrloo

FIGLJRA2$tt (a) Lírrcasdc canpo clécdco dobldas¡ d6 c¡¡grs punhu¡cs+q, lrdicadaspor hilos cri ¡colto. (b) Esquana do las lirrcasdocampo,quosovan !l lnflnito, y qrrcparoconrcpclcrsoantrosí.

trIGURA 2}'12 (a) Lirrcasdc campo cléctricodcbid¡s ¡ csrg¡spr¡ntu¡Ics+{ y -1, formrrdo un dlpolo, lndicadaspor hcbr¡s cn accltc.(b) Diagramacsqucrnáticodc las líncasdc campo,tod¡s sc l¡¡icl¡n cn la carga +{ y tcmü¡un cr¡l¡ -fi las qtr p¡¡cccr¡ cshr intcmnnpldss,cn rcalldadcontinrhnr lo lojc dc la carga.

ñ,; magnitud.Toddselladseprolongan al infinito, porqueno hay ca¡gasnegativasen las quepueddl üctmina¡.l¡¡ lf¡¡easCecampoqueseacercanentrc sl, entrelas dosca¡gas positi]ras,pafccen fepele¡se entre sf, lo cual es consecuenciade que dos llneas de camponuncepuedm cruzarse.Si colocrí¡amosuna cargapositiva q' en la tegión que semuestracn la ftgua 23-1lb, las llneasde camponos indicarfanla direcciónde la fuerza sobru la sa¡ga,asf como de la aceleración.Una vez teniendolas llnéasde campo,es fácil ver la dhecciónde la fuerzaque obrarfasobrer¡nacargadadaen el campoeléctticg, Debemossubrayatque, ar¡nqueel campo eléctricomismo tiene significadoffsico, las lfneasde campoeléct¡icosontan sóloun auxiliar paraplasmar el campo,y cómo reacciona¡fauna cafgacuandosecolocaraen esecampo. Las figutas23-L2ay 23-L2bmuestranlasllneasde campodeun dipolo eléctrico. Las cargasüenenigual magnitud, tq, y por consiguiente,a ellas se ftjarr iguales númerosde lfneasde campo, y.toda llnea que se otigina s¡ +q termina en -q. Cetca de cada carga, las llneas de cam¡x) ion sólo radiales, pero se deben desvia¡ de la ditección ¡adial para podet alcanzarla otra carga.Nóteseque las llneasde campoen la figrra 23-l2b son coru¡istenües con el campoE determinadoen el ejemplo23-3 (comparelas figuras 23-l2by 23-5).

E J E M PLO 2 3 - 4 Tracelas llneasde campoeléct¡icopamun sistemaque corrsisüe en,doscargasi,+2qy -q. solUCIoN: [a cargapositivatienevalor dobleque la carganegativa,y, arbitrariamenüe,decidimosindicar 12lfneasque seoriginan en+zq. Entonces,sólo 6

6so (

Capítulo 23 El carnpo clócrrtco

*se,$l¿.

-t-Ltl-ritryrltlA 'a l

r

+2q

?ir-q

(b)

(4,

FIGURA 23-13 Ejcmplo 23-4. (a) Las lincas do carnpo olcctrico ccrcan¡s a cargds purtullcs +2q y -q, son las dc rura carga puntual. (b) b mit¡d dc las l¡nc¡s dcl campo clcctrico quc salcn do +2q tormir¡a.¡r cn -q. (c) l,cjos do las cargaspuntualcs, las linoss dc campo clcctrico son las dc u¡ra carga punnral +4. (d) Lincas dc campo clcctrico para dos cargasdc signo cont¡ario y distint¡ n¡agrütud, rcprcscntadasporh¡los cn accitc.

+

+ t

I

!

j I

!

(c)

lfneastermina¡¿in en -q (figura 23-l3a), Trazamosesaslfneasen dos dimensiones.cerca de las cargaslas trazamosradiales.seis de las lfneasquese ofiginan en +2q debentermin en' q,y ningunade las lfneasde camposepuedencfizat ^r entresl. Por consiguienüe, tomamoslas 6 lineasde +2q máscercanasa -q como las queterminenen -q (figura23-13b).¿Quésucedecon las 6lfneasrestantes quesalende +2q?Aunqueinicialmentesecurvaránh acia*q,nogdarnoscuenta que,muy lejos,parecerán provenirde una carganeüa+1, porque+2q - q - +qi por lo tantosedirigirrinradialmente haciaafuera,a gmndesdista¡rcias. El hecho de quequeden6lineasesconsistente cónnuestraselecciónbriginal de 12lfneas comodensidadde lfnea(figura 23-l3c).

+

1

23-3 EL cAMpo ELEcTRrcoDEBTDoA uNA DrsrRrBUcroN

CONTINUA DE CARGA

P

FIGURA f-f d Pa¡a dctcrmi¡ra¡ cl campo elcctrico debido a uru dist¡ibución continua dc carga, sc suman todos los campos clcct¡icos AE dcbidc a los clcmcntos dc carga 44.

Hastaahoranoshemosconcentmdoen camposeléctricosdebidosa cargaspunfuales, o conjuntosde éstas.Pero tambiénlas distribucionescontinuasde cargaproducen campos,y esasdistribucionesson muy importantesen la práctica.Veremoscargas quesedistribuyenuniformemente enunaregióndel espacio,seaunalfnea,superficie o volumen.Tambiénaquítienenimportancialas distribucionesdondehay simetda. Paralasqueno sonuniformeso no sonsimétricas,el problemadedeterminar'elcampo puedesermáscomplicado. eléct¡icoresulüante Es útil establecerun marco de referenciageneralpara calcular los campos eléctricosdebidosa distribuciones lineales,superficiales o volumétricas. Veamosel cálculodel carnpoeléctricoenun puntoP, debidoa la distribuciónde cafgaque se

I

ve en la fi$¡ra 23-14. Dividimos la distribuciónde cargaen elementosdiminutos, cadauno oon ca¡gaA4. Primerodeterminamosel campoeléctricoAE en un punto exteÍio P, debidoa un elementodiminuto de carga,Aq, cuyadisüanciaa P es r:

:

I

(23-t1)

-3---'.' ^E

4neor'

En ella, i esel vectorunitarioqueapuntaalejándosedel elementode carga.Seaplica la superposiclóny el camPoeléctrico total en P se calcula sumandolos campos infinilesimalesAE: '

(23-r8)

E =IA E . En notacióndife¡encial,la ecuaciónQ3-I7) setra¡sformaen

(23*te)

dE = -!g- ¡. 4n€.6r'

El campoeléctricotoüalse calculaintegrandoen la distribucióntotal de la carga: I

:*l';, an=Jae ó e' o

'tu E = t

(23-20')

lin

Al gunor caooq ct¡t€líllcot

I

[¡ ecuaciónQ3-20l del campo eléctricoes formal. L¡ inüegralse complica por la presenciadel vecüorunitario, l, que carnbiade direcciónal integrarsesobrela carga áis¡ibuida. Además,parapoderlleva¡ a cabola integración,debemosconocercómo sedistribuycla cargaen el espacio.Esteúltimo pasoes necesarioParaconvertir al elementode carga, dg, en un elementode volumen. Podemosllevar a cabo la conversiónpala upa cargadistribuidaunifo¡mementeen regionesde una,dos y tres dimensionesen el espacio,como sigue: dg tccta,si unacarga,q sedis&ibuyeuniformemente ttna dlnittl,ón: ongmcnto la densidad a lo largodeunsegmentoderectade longitudL, enel eje.r'representamos linealde carga(carga/longitud),mediant¿f,:

(23'2t)

'= L'

La cargainfinitesimalcontenidaen una longitud infinitesimal,d'r, es para un segmentode tecta con ca¡ga:

dq = l'. d-r.

Q3-22)

Dosrümenslones:superfici¿. Si la cargaq se distribuyeuniformementesobre la densidadde carga superftcial una superficie de ¡i¡e¡ iotal á, rePresentamos (catga/rirea) medianüeo: q O3 - .

(23-23)

A

La cargainfinitesimal contenidaen una diferencialde rireadS es pafauna superficiecon cafga:

dq - odS.

(23-24)

Tres dlmensiones:volumen. Si la cargaq se distribuyeuniformementePorun mediantep: la densidadvolumét¡icadecarga(carga/volumen) volumen rr,* *,p,T" q

P=v

(23-251

681 2}}

El carnpo d&trlco dcbldo r u¡¡ dlstrlbuclón contlnur dc cergr

682 Capítulo 23 El campo cléctrko

Si dZes una diferencial de volurnen, la carga ilrfr¡itesknal es

paraun volumencon carga:dq

- p dV.

(23-26)

Los ejemplos z3-5 y 23-6 muestran córno se lleva a cabo la integrrdciónpara el campo eléctrico.

EJEM'LO

23 -5 Una varillarectaaisranüe, de rongitud

22, tieheuna de'sidadlinealdecargauniforme,.?,. Determine P, a unadistanciaR dela varilla,a lo largodela rnediutiizG.p"iii"rlar "í"*poite;ililiil; ener puntomedio, figura23-rs).hime¡o determine el campo rr"*t enel cual la va¡illa es muchomáslargaque la dimensiónn1i ,>"nir f¡ Alütinuu"i¿n, determfnelo paraunadistancia muylejanadela vadlia(n ,ri).

S.LUCION: Enestecasoseaplicaraecuación (23-22),porque la distribución de la cargaeslineal'El origenesel puntomedioi" r" ,*iri", e"" ejey.Empleamos lasecuaciones "n "r lza-zo¡y (23-22),coú- lÁ oi"oill*o, -r"n o¡ (figura 23- I5), paraenconttar que

E:

FIGIIRA 2}'15 Ejcmplo 23-5. Cam¡rc clcct¡ico dcbido a r,¡ruv¡¡¡ll¡ dc longírua 2l.guc ticnc rna dcrsld¡d llncal dc carga uniformc l, n la distancia R dc la varillnl

oi - sen oj). "Y(cos La cargad4 a unadistanciay aáajo deleje;r *

I-

(23-27)

originaun cal¡po, dE, queesimagen especular(de espejo)der campo¿p ¿eui¿oa otra carga, dq, a una distanciay a*íba del eje.De estemodo,esperamos queseanuleel Jo''pon"nt"y ael c^mpo, por simetrfa.En este casolo demostraremosformalmente llevando a cnbo la integración,aunque,nonnalmente,saca¡ernos ventajaa" u ,im"trtu purareduci¡ loscálculosmatemáticos. con frecuencia,osciertoquela craveparallevar a cabo integraciones como la d.e,laecuación(23-27)esdeterminarrasvariabresu¿"cuaaus.En estecaso,lu variable más sencilla que se puedeempleares el ringuro 0. Tanto y como r dependede 0, y debemoscambia¡ravadatrede integra;ón dey u d.Nu"oit"mo, dete¡minarla dependenciadey y r con respectou 0. Tun.mo, quu lr¡nl:!

I

(23-28)

R

y que

cos0

R r

(23-2e)

De acuerdocon la ecuación(23-2g),obtenemos R dy: R d(tan0) = R sec20 dg :;;;r¡

de'

con la ecuación(23-29),lacombinacióndy/f queapareceenra ecuación(23-27) es dylRrF.l

7:Vc"F?o':7@6ao:^oo' El factor l/R es constante y sale de Ia integral, quedando 1 I I

gi oi) d,-' ": #,^J-," n* - sen Los lfmites-1oy ?osonlos valoresmáximosde 0, que corresponden a los dos exhemosde la lfneade carga.l,as integralesson elernentales. El coeficiente de j, que es el componentedel en la dirección ,, es ;;";;;;;i"; "u-pá

,l

.J

i

/-

@3

cos Oo- cos(-Oo) - O, I, como eslte¡úbamos,no hay componente y del campo. El coeficiente de I es el componente de ¡ 2 fo o I^ l ro

E' =

ll anpo dúctr{co dcbldo ¡ u¡¡ dlstr¡buc¡óa contlo¡¡¡ dc crrgr

odo *n'l-* G.r^=--J-r" "ot - T*F

=#scnoo'

(23-30)

lo deseamos. Podemosemplearsen0o- Il{FN,si Parauna vadlla con longitud Z t?& sen 0s :1, y el componenteE, de la ecuación(23-30)sevl¡elve

pataL R: -; >>--* '

n, = J-.

(23- 3 I

) 2neoR' rrí' La ecuación(23-31)represenü¡al campoeléct¡icoparauna varilla casi infinitamentelarga,o paraun punto muy cctcanoa una varilla finita. l,a di¡eccióndel que campoesperpendicula¡a la va¡illa.Nótesequela ecuación(23-31)esüablece el campoeléctricovarla en función de l/R patauna va¡illa infinitamentelarga, en contrastecon la dependencirde la inversadel cuadrado(l/¡*) en la carga puntual. l¡ razon es que en estecasohay una cantidad infinita de cargaen una vadlla infinita con deruidadfurita de carga.l¡ sumade todoslos camposdebidos a ca¡gasen la varilla, aunaquellosque estÁnmuy alejadosdel puntoen el quese mide el campo, acumulaun camponeto que decrec¿con más lentitud que el campo dc una disttibución finita de carga. Pa¡ael casoen el que R >>1, sen 0s - UR,y la ecuación(23-30)sevuelve

para R>>L:

E,=lki

=

#,

Cempo eléctrlco ccrcr dc un¡ v¡rlll¡ lergr, rcctr, unlformemente cerard¡

(23-32)

caso(R >>l), hemos en la cualQ - 2LL esla cargatotalen la va¡illa.En esüe dela cargapuntual,potqueunava¡illadelongitudfinitase obtenidoel resultado disüancias. vecomoun punto,desdegrandes EJ EMP Lo, 2 3 - 6 Determineel.gampoeléct¡icoa una distanciaR de una lómina plana infinita con densidadsrperfrcial uniforme de catga, 03.

I I

Ir

i

el planoxy en la SoLUCIoN:Veatnosla figura 23-l6a,en la cual establecemos limina plana. Deseamosdetermina¡ cl campo eléctrico en un Punto P a una distanciaR sobre el plano y escogemosel eiez de tal modo que pasepor P. Con ftecuencia,un problemade inüegmciónmúltiple se puedeconsiderar comouna integtal de un resultadode otra intcgraciónsencilla;por ejemplo,una integtal doble sobreun áreasepuedeconsidera¡comouna integal sobrebandas delgadas,y cadaband¿es el resultqdode una integral sencillaa lo largo de su longirud.Comoya hemosdeterminadoE debidoa un alambreinfurito,dividimos el p-lanoen una serie de alambres,o bandasparalelas,alineadasen'ditección del e.!e.r.Cadabandaüeneanchutady. I-a figuta 23-16besla vistaen dheccion'del eje.r. Como o es la cargapor unidad de átea, 2" o dy es la cargapor unidad de longituda lo largodecadaun¡ de lasbandasparalelas.En lafigura 23-16avemos que P egtri a una distancia mfnima r de cada banda, y podemos emplear los resultadosdel ejemplo 23-5 patael campoen el punto P debidoa la bandaque se muesha.,L,aecuaciónQ3-31)rentonces,representael campodE debidoa la banda.Estecampotienemagnitud ody dE: ;-. ¿Tepr I Estocjarplocs tnrpchna porqr¡cscrtl¡ciau conlasplacrscargadas docaplcitoros,quosonolc¡¡rcntc dc ci¡cuitoeclé¿kica.

(a)

(b) FIGURA 2$16 Ejcrnplo23ó. (r) Crmpo cléctrlcocn rurpr¡nroP, a u¡u dlst¡ncl¡ fi sobrcruraplacacargadainñnita; scpualo dotcrmlrur coruidcrandouu ba¡d¡ do anctn dy. @) Anpo cléctico dcbido¡ u¡a bandadcandrcdy.

:,i':i

>_--

684 Crpítulo

23 El cemPo cléctr{co

En la figura 23-16bse muestrala dirección de dE. Podemossepa¡ara dE en comPonent: (seno)ody _ --) 2ne^r ' (cosl,))ody

at,: ji;_.

como en el ejemplo23-5,podemosver, por simetrfa,queel componetitetotal E, la de anchoa) al ouo lado de P anula¡áexactaimente - 0, porquett*b*du determinecesitamos Sólo que estamosconsiderando. de la banda "onfiUu"i¿n narE-Ek: o l" cos0 --*--dv. - - | r": ! an,2ne¡1 : )-., r La inüegraciónse facilita mucho si empleamos0 en lugar de y como variable. Como Jn el ejemplo23-5,tenemos!o telaciónfigonomérica tan 0 'y/R' asf gue,de nuevo,ay - R d(tan o - R sec2odg - Á/cos20 d0. Además,r - R/(cos0), qua la combinaciónque apafecedentto.de la integtal se simplifica á" ^o¿o mucho:

Esrfr

9os0 ,..

I

l :o r:@ fu d n :d o

Necesitamosconocerlos puntoslfmitesde la integraciónen 0, y segúnla figura, +nlZ' Asl, vemosquecuandoy va de -co a +co,Ova de -nl2 a E_=-

o

l " ''

I

/.nts J^n¡2

Ou: t

o

2€o'

o sea, Cempo eléctrico debido r un Pleno grlnde uniformementc cr¡ldo

pa¡aun planouniformementecargado:

s:*r.

(23-33)

L
a la El resultadofinal tiene al campo eléctrico perpendiculat,en todo lugar, ni E el campo direición: magnitud tanto en lámina, y es cottstanf¿' "omo del "n plano.Esto estazonable, punto Lt¿ tan alejado qué de ,iquiu*i"pende "t catga,se fl"i""tn"nt"; si el plant esinfinito y tieneunadistribuciónuniformede ve igual desdedondesea. -En realidad,no podemostener planos de dimensionesinfinitas"Para los ant¿rioresváiido paradistanciasmuchomásce¡canas planosfuritos,el-resuitado a la orilla del mismo' distancia pl*o finito, quela "t El campo cléctdco cafgas oPucstas

cntrt

dos planos uniformemcnte

cargados'

con

carga positiva, El ejemplo 23-6 demuestra que el campo eléchico Pafaun Plan?.c.on

alejrindosedel ¿" i*.iar¿ superficial unifóme de carga, o, esuniforme y se dirige Si el plano estuvieranegativamer¡te (figura ZZ-n flano en dire""ión perp"ndicular "¡. plano(frgÚa23-l1b). ¿Qué pero dtngidohaciael semejante, cargado,el compo "erta pero con la mismamagnitud opues¡a, planoi dos los ,u"idu si colocamos "*go "o. se ve en sf? entte paralela posición o, en catga, de superficial de densidad lomo exactament'e la figura 23-fi¿,los camposfuera de los planosparalelosse arrula¡án enla figum semuestra tesultante el aditivot. son placas las enhJsl, peroentre ""mpo

L

-

t

( \

7 '¡

*-*ll* g = ol2eo

g=al \

fl r=oneo

*.ll

ll--*-

'-r¡+-

il--*-

ll-*-

lJ+ (a)

+ E=0

E=

+

+

b)

(d)

¿1

IIGURA Z¡-17 (r) Canpo olóctloo dcbldoa un plam crrgadopoelüvrnrarto;co

el campoeléctricoesceroen d¡rdJ"Jdr¡*. ctpúm;iu¡a a*uo r 23-lld, Paradosplanospatalelos,conca¡gasopuestas, 'n planorngrüvanuüo cugado eodirlgo hach parte,exceptoentrelosplanos,dondeticnela magnitud cualquier para planooparalclos dc cargaopucst¡ uniforme:

^o L=-

I ? 1 _ ?¿t €g

y esüidirigidodesdela placaconcargapositivahaciala placaconcarganegativa. quc la direccióndel campoeléctricosie¡nprees la de li fuerzasobre Recuérdesc nuestracargapositivadepnreba,qo.

cl plam. (c) Con dc plarneparelclc cor cargr lgual, poto do ¡lg¡p coln¡lo, cl crmpo cléctrtcosc enulañrcn do lc pLrrn, pcro cs aditivo cntroollc. (d) El campoan cl l¡ücciorcs o/ra,y sodlrlgo do la placa poslüvr r h rcgaüva.

23-4 ELMovrMrENToDEuNA pAnrrcurJ\ Cá.RGADAEN UN CA}ÍPO ELECTRICO Nos hemos ocupado de la ca¡acüerizacióndel campo eléctrico de deüerminado conjunto de cargas.Veamos ¡hora la fuerza que sentiñin las partlculas cargadasen un campoelécEico ertcrno. La scgunü lcy dc Newton se transformaen

(23-3s) P = 48"r, = lfdO, Érr'? m la cual una partfcula de masa tn y ca¡ga g tiene una acelemción c debida a determinado campo elécüico exüemo,E*r. De aquf manejamoscomo siemprc la segundaley de Newton. El ejemplo 23-7 muestrael procedimicnto.

ll I

t; I

l_, l-' l_ lr) l,) l-t

I, L

L L:

t,'

EJ EM PLo 23 - 7 Se üenendoo placasparalelascon carga¡¡opuestas(figura 23-18).J-amagnituddc la densidadsuporficialde cargaen cadauna üene valorconstañtc,o - l.O x l0-ÚC/ml, y las placasesüina 1.0cm de distancia.(a) Si paÉe del rcposo un protón serca de la placa con cargapositiva, ¿conqué velocid¡d chocanícon la placanegativamentecatgada?(b) ¿Cuálseniel tiempo de reconido del ptotón? SOLUCION:(a) P¡imero calculamosel campo eléctrico y la aceleracióndel protón; a continuación,podemosemplearlasrclacionescinerruiücasparacalcular la velocid¡d y cl tiempo de reconido. Esü¡bleceriosel sisüemade cootdetradas queseve en la figura 23- lE. El campoE sólo tieneuna componentex, Er' ol en, de acuerdocorr la ecuación Q3-34\. Segúrnla ecuación(23-35)' la accleración, as, debidail campocléctrico,es

a¡-=a- =&

-

m

qo

1.0cm#l

E #

+

v

II

q-'

ll +

+ tl

ftl€o

rl

l0-te

F-

x 10'-6

é)Q.o 0.6 x Él^fl = 1.08x 1013m/s2, (23-36) (1.67x l0-:? kgX8.85 x l0-tz C¿lN.mr) ¿n la¡ cualcr h¿mosamptcadolt catga,{ y mara' ra, conocidas'delprotón.

il +

-|l

tl il-

tl

H H

fIGfrRA2&fE {Janpto23-7,Cargr+9) quosomucvocoboplr cupnlolr s.i '

685"i i,j

5 El poblema es ahora de cinemátiea en una diiuensión, con'acelerdclón , constante.SegúnlasecciónZ-S'rfusiendoag - c,

686 Crptllrto-lf " É crinpo d6ctde

('

t:

u'-u3-Zax'

U ('

Comola velocidadinicial, us,€sc€ro,

(-

(23-3'tl Introducimocel valot de la aceleraciónqueencontramosen la ecuación(23-36), recorida entrelas placas(¡'- l.Qcrn), Pafachcontralque i el de la'disüancia

I

(.-t

x 10;2n)'=2.2 x l0rr'm2'lsz; u2= 2(l:08x l0t3 m/s2x1.0 'u:4.7 x 105m/s.

U IJ (J

(b) Como el protón parte del reposo, el tiempo de recorido se calcula diüidiendola velocidadfinal enttgla aceleración:

lJ

4.7 x l}s xtlx u x l0-8s' [=-=-#=4'3 a , 1"08x l0'" ñl* .[¿s placasacelerana los protoneg,Y Por lo tanto,constituyenunaceleradorde partlculascargadas.

'

U \_¿ i\

(

,Dcflc¡
\-.,'

U (_

U ('

. ,l: l,i * o,::.#r..

l-/ I

¡ de la aceleracidnebcero: Ya quela velocidadsólo esen Nótesequeel componenüe ' (v6 la drrecbión'¡ - u¡i), el vector velocidad es .

Y = u*i+ t)yi= t)oi+É

ü.

(\-)

'(23-3e)

\-, La partfcula cargada viaja una distancia hotizontal L etitte las placas cargadas;en el

t

L '"t

( \_-,

e-

@il

xi

U

,l .t ! t

U

f

I I

Ii

i

U

I

(-

I¡ t

\. (

I

U

I T ÍIGüRA 1119 Una partículasodcsria cuandopasacntroplacaspanlclas con c¡fgaopu6t¡.

(;

\t

I

I

f I

(-,

U (

j

I

i

l'

tiempo ?",deüerminadopor

6s7

=ugT=L;

(23-4f)

Elmovlmlc¡¡to¿.ffi cergrdr cn un

T=L.

-o¡ro

clóctr'¡o

(23-4t)

[¡ desviación,o deflexión,de la p"rtr"ull en la di¡eccióri) es,entonces,

v= | a ,t2 - :# r': ; ##

(23-42)

l,a paffcula cargadasale de las placas en un lugar (ay) deüeminado por las ecuaciones(2340) y Q3a4. La partfcula cargadaquedi, entonccs,libre de Ia influenciade cualquierfuerza,si no se tiene en éuenta-ala gavedad, y sigrre,más allá de las placas,en lfnea recta formando un árrgulo 0 con su ¿i¡eccion iniJi¡:

tano -

u, t)x

=gL-(qtlnü&luq) üe

mufi'

El esquemade la deflexiónde partfculascargadas,que sedesc¡ibióen cl texto,cs la bas¿dcl funcionamiento delosciloscopio(figura Bl-l). Estea¡tefactomide magnitudesy dependencias con respectoal tiempo,de señaleselectrónicasmedianteuna deflexiónobservable deelechones.La figura B1-2 esun esquemade la parte mrisimportanüede un osciloscopio, el tubo de rayos catódicoso TRC (en ingles,C{\ Cathode-RayIltbe). El tubo liene dos conjuntosde placasparadesviaren sentidoveñical y horizontala los elechonesprocedentes dewt cañón dc ¿lectoncs. En cste cuión, loe electrones salende un frlamentocalentado,el cótodory se aceleran a una velocidadinicial vs (véa$ ejemplo23.8). Se didgena una pantallafluorescenüe, quehacevisible la llegadadp electroncs.En fr¡ncionamlentonormal,la señalque se.va a estudiarse conviertea un carnpo eléct¡icoent¡elas placasde deflexiónvertical,queson

(23"-43)

responsablesde la desviaciónen dirección ve¡tical. Nótcseque csat¡placas ¡sonhorizontalesl Oho campo eléctrico, proporcional al tiempo en form¡ line¡I, que sc llama basede tiempo, se estableceent¡e las placasde deflexiónhodzontal.El cambiode la magnitudde la señal (deflexión veftical) como ñrnción del üempo (deflexión horizonüal)se puedenobsen¡a¡entoncesen la panlalladel osciloscopio..

Pant¡ü¡ flr¡o¡rscc¡¡lc

FIGURA Bl-l Aco¡ca¡nlontodol c¡bc¡no dc un cciloscopio.

I¡IGURA B1-2 Diagramadorm tubo dc rayc catódlcc, qrr sot¡si co lc cctlccoplc, tclovlsorcsy muritorce doccnputadon.-La clcchorrc¡so¡rcmltidc dcl cdtodo(puntoe, ur clonuúo c¡ltcnto¡ lc mrlrola la rcjllla (Q; los cnfocr cl ánododo cnfoqrrc(F); y dcspu& la rcclcn (r{) un alto volt¡Jom¡cr¡t¡rssc corformrn (coltmrn¡ cn hacoe rncdlantopcqucrlesebcrtuns.las placasdc dcflcló¡r vcrtlcal, qrrceon horlzont¡lc,s,d.sví¡n cl h¡z cr¡scr¡üdovcrüc¡l do ¡cucrdo con ol volta¡o rpücadooltnoollrs. T¡mbtén son¡rnlnlstr! volt¡Jo! lrs placasdo donox¡ór¡horizor¡t¡l,quoson voriicrtcc, psrabar¡crconio¡rrlrtl¿"¿ ol , h¡z do olcctorrcscruzandola panfatla,can uru npidcz quosopuoao v¡rlar, [.c olcchor¡csllcgan aia oantallay hnccniluo:,o,iccra ic lryarc . dondcllcgan l

' i ., l'i i.l I

h I

4 \/

688 *ntlil",13'tr!

c¡iulro-cléctrlcb

IIGURA 23.20 Ejomplo23.8.Elcct¡óh qrropasscntrcplacasdodcflcrión vcrticál.

# :

EJEMPTO 2 3 - I Uneleótrónáunavelocidad ue- 3 x 106m/sentmala placas deflexión regiónent¡e las de. verticalde un,tubode rayoscatódicosilas, placastienenuna longitud,11- 3 cm (véaseel reeuad¡g'LElosciloscopioli)r,IJna pantallafl,uorescente estácolgoadaa Ia":- L7 cm mas allá.delas placas,Calcule la,deflexiónve¡ticaltotal, en Ia pantalla,lespecto¿,su.direccióninicial;,si,el. cainpoeléotricoentrelas placasapunti,hacia"abdjo oon magnitudE.: 1,01N/C. No hay deflexiónhorizontal.*

'v

SOLUCION:La figura 23-20 muesttaeL caso,Lardeflexión vertical tCtal del . electr{n es la desviacióny1, adquiridaal pasarentrelas placas,al igual que la ' desviabiónadicional,y2,resultadode la trayectoriarectadespuésdehabersalido de las placas.Empleamosla ecuaoión(23.42) pam calcularla deflexiónyr del ., .., . , elecffónnrienirasestá,entre.lasplacas!.. r .,,¡ r,,..n"1r ,", , 1 .. ' lqELl

,l

,,1 .1 ;A

El electtónquedadesviado;despuésde dejarla región entrelas placas,viaja en deüetminado ringulocon respectoa su di¡ecciónoriginal, que se calculacon la ecuación(2343), como tan 0 = qEL¡Jmúo. La deflexióny en la distancial2ala patrtallaes,entonces,

Finalmente;la deflexióntoüales

+¿,) v:t,Tv,:+#.+p ,¡ ryu6..\l ¿ müó müó =*(:¿, /

j

La evaluación numética con un. signo menos para E (ya que E apuhta hacia abdjó) ptoduce

)'

"" :

t t ' ' "i

I

'

(9 . i1 x t o -rt ¡3 1 (3 x 1 0 6 ¡rlg 2 ' r' ri r' x l' + (3 ' x lo ' 2 m)+ (1 2x lo -' -m)I

J

-i

, - 8.0 x l0-2 m.

: O.llm y U aeflexiOñy Deestos8.0cm,ladehexiony, z- 7.lcm.

,)

v

\-z

\

23-5

EL DIpoLo ELEcTRrco EN uN cAMpo

689

ETECTRICOEXTIRNO

El dlpolo clécFlco c¡u¡ -ñ¡ro cléctdcocrtcmo

En la sección23-l ptesentamosel dipolo eléctrico,que tiene una cargatotal cero, peroun centrodecargailositivo y uno negativoseparados unadistancial. los dipolos eléctricospemanentes (por ejemplo, las moléculaspolares como NaCl y HzO) existenen la naturaleza.Además,muchosmaterialesneutrales,como las pelotasde corchoque se describieronen el capftulo22, tienenmomentosdipolaresinducidos cuandoestánen un campoeléctrico.externo.A causade su importancia,deseamos describircómoreaccionurlos dipoloseléctricospermanentes en los camposeléctriI cosexternos. quesedescribióen el ejemplo23-3.Su Tencmosel dipoloeléctricopermanente momentodipolartienecaráctervectotialy asignamossudireccióncomoseindicóen p, esla (23-13).Colocamosal lafigura23-6.La ecuacióndelmomentodipolar, dipolo eléctricoen un carnpoexternouniforme (figura 23-21),Las fuerzassobre+q (F.) y -q (F-) son F* = qE,

FICURA 2:'-21 Dlpolo colocadocn un campocléctrlcooxtcmounlformo.No slonto ñ¡crza¡nl¡, poropucdoachur sobrcél un p8r.

F_=-4E--F+. Notamosque las dos fi.¡erz¡sson igualesy opuestasy por consiguientese anulan. Sobreel dipolo no hayfuerza neta, ,. Sin embargo,existeun par que tiendea hacergirar al dipolo.Paracalcularsu magnitudy rotacióncorrespondientes, debemosseleccionarun puntode referencia, y convieneescogerloa la mitad del dipolo, en el punto O, en la frgan 23-21. El movimientoreal seráindependientede la seleccióndel puntode teferencia.El par r conrespectoa un punto,debidoaunafuerzaqueachiasobreotropuntoa unadistancia r, estáe¡presadopor la ecuación(10-6):

f=rxF,

(23-44).

enla cual r semide desdeel puntoO. El parresultantede lasfuerzassobrecadacarga tiene,por lo üanto,el sentidode las manecillasdel reloj, y la magnitudde cadauno es r+

t-

Recuérdeacquc cn cl crpltulo 10,cl movimlento de un sistem¡ cob¡.ecl cu¡l rctúr un per eeindependientede le elecclóndel origen.

=(l)n'*" ''

Recuerdequc le rcgh dc le mrno derech¡ determin¡ l¡ dlrccclón dc un pr.oduclovectorirl.

=(l)nt *" u'

en las cualeslos subfndices+ / - indican las cargas.Como tar¡tor+ como r- son rotaciones ensentidode lasmanecillasdel reloj, el partotal tambiéntieneesesentido, y sumagnitudes T :f+ * T -= q L E x n 0,

(23-4s)

estaepu,agr.ón del narsobreun dipolo comoel productovectorial Podemos representar de p por E:

;i;#'n,,*;Pri

(23-46) P¡r ¡obrcun dipoloenun cempo cléctrlco

queexpresatanto,lamagnitud(pE sen Q como'la dirección (haciala página,en la figura23-21)del par. (0 - nt2).El El par mríximo(r - pE) se tienecuandop y E sonperpendiculares (0 par tiende p y paralelos (0 antiparalelos r). 0), o El es cero cuando E son inr a girar al d[polo eléct¡ico hasta que p queda paralelo a E. La posición 0 - 0 conespondea un equilibrio estable,pero cuando 0' n, el equilibrio es inestable, po¡queunapequeñadesviaciónharáque el dipolo gire hacia 0 - 0.'

'i..

690 c.ett";r5Tt'carüpo

clécti"lco

TABLA 23.2

Ú¡rw

Campo eléctrico

Par, r

Vclocldadangular a

Máximcj,hacia'lápágina

.,I

Decreciente,hacia la Página

Cero,

Di¡ección invertida, tuera de la Paglna, ' creciente

lraciala Página Creciente,

Máxima¡haciala página

Deereciente,haciala Página

Máxinto,tuerl {l la página Cero

Decreciente,fuera de la Página Direccióninvertida, . creciente,fuera , . de la P{gina,

este oscilará con si no hay un mecanismoque disipe la energfadel diPolo, de cero' Al girar el distinto ¡espectoa 0 - O eternamente,si pate di un valor de I el otro lado' Sin pasa hacia y llegaa I -:0 lipoto fru"iag - 0, guno'tnergfa "inéti"u, del reloj, con lo emba¡go,el par se welve en sentidocontralio al de las manecillas = pasade nuevo y 0 a 0 disminuyesu movimiento,se detiene,regfesa q"" girando en un dipolo un origiout. La tabla 23-2 muestrauna secuenciade ;ihd""i?ip"ri carnpoeléctrico,a travésdel tiempo' exüemoconstanDescargadisruptiv* I¿s fuer¿a:debidasa un campoeléctrico tienden a o.inducidb, de un dipolo, sea peünalrente te, sobre los componentes en eléctrico, campo del desintegrado.El que,u""¿u o no dependecon la intensidad las Para dipolo' al de la interuidadde las fu",,u, quemantienenunido "o.f"i^"iOnde aire (en su mayor pa¡te, de nitrógeno y oxfgeno), se presentauna moliculas x N/c'

3 106 élé"tri"o uptoxi*uaaqenie, "!, "uápo en descomponen se componentesdei dipolo molecularinducido

Trr*ri7Ai*üi*i¡"*¿"'"i

F'IGURA 23-22 El campo cléctrico cntrc las piczas mctálicas cs tan grandc quc hay una dcscargadisnrpüva on cl aírc: rura chispa.

En estepunto, los al campoexterno'Al fragmentosde cargaopuesta,qu9 se separanentresf debido seaceleranpor el aire que resultan cargadas descomponeselasmoiéculas,lL parte_s a.su y chocancon otrasmoltculas, ayudandou d"scómponerlás vez. El resultado'es en movimiento que producenuna chispa(figura 23-22).El d;-;;", ffi;J;; el ejemplofumiiiar, en granescala,de esteproceso' iuio "t

t,

(._ (

I

.\

fl"*

I

{

I

La cncrgía dc un dlpolo cn un cempo cléctrlco crtcrno se.debe efectuar trabaio sob¡e un dipolo eléct¡ico para hacerlo girar en un campo eléctrico-extemo. Por ejemplo,elcampoeléctricoefóctriarabajo fositivo parahacer girar al dipolo desde 0 nl4 hasta g 0. un agenüeextemo tendrfa que efectuar trabajopositivo (y el camPoeléctricoefectuarfatrabajonegativo)parahacergirar al dipolodesde0 - r/4 hastar/2. vimos en la secciónto-o queet tmúajo, 17,efectuado pot el agenteexüernocuandoejerceun par, r, sobreel sistema,y lo nrt¡evedel ángrrlo fthastaeldnguloo'es

69r 215 El dlpolo cléct¡.bo c¡un éFDo cléc.tr{oatcr¡o

W =Jr,.., dW- Jro, t d 0 . Asf,paraun dipoloconmornento dipolarp, w=

It,

pE*n 0 ,J0= pE(cos 0o- cos0),

(23-47)

siendoE el campoeléctricoextemo.El trabajoefectuadopor el agenteextemo se transform¡ en energfapoüencialdel dipolo áéctrico, y asf, cl dc energla "oñuio potencial, U - Uo,6 ^U-

0o- cosúl). (23-48], U - Uo= pE(cos ü Podemos escoger libremente la uoconstantc, y lo hacemos detal modoqueuo - 0 cuando0o- rl2, Asf,la energfapotencial, cuandoel ringuloes0,es g = -pEcos0.

(23-4e)

Nótesequc la ecuación(23-49)esconsistentecon nueshaseleccióndel ce¡oparala energfapotendÍat,porque Uo- -pE cosft, gue es cerocuando0o rl2, La ecuación(2349) se puedeescribir en forma más compacüaernpleandoel productopunto o escalaf,de p y E:

j u;ip1,n i,.pm;m,,4i*m;,

(23-s0)

fuites,describimos la estabilidad del equilibriodel dipoloen un campoeléctrico externo. En la ecuación(23-50),podemos verdi¡ectamenüe quela odentación enla cualp estrialineado conE esunpuntodequilibrioestable, porqueutieneunmfnimo allf, Encontraste, utieneuntn¡iximocuandop esantiparaliloa E,y porconsiguiente esunpuntodeequilibrioinestable.

Encrglr polcnchl dc un dlpolo cn un cempocléctrlcoclcr¡o

EJEMPLo 2 3 - 9 l¡ moléculade agua,H2O,tieneun momentodipolar permanentediep - 6 x lo-s c.m (figura23-8).calcule el parmríximosobre una molécula de agua en un c¡mpo eléctricouniforme de ld N/c. También, calcule su energlapoüencialmfnima, y comprirelacon uria energlamolecular térmicanormal,&r, cuandola moléculaespade de un gasa una tempehturade 400 K. ¿Quépuedededuci¡acercadel alineamientode lasmolécula,cdeaguaen el gas,a esaternperatura? SOLUCION:El cálculo del par mríximoy de Ia energlapotencialmlnima esuna aplicación di¡ecta de nues[os resultados.segrin la ecuación(z3,-4s),el par máximo se tienecuando0 - nl2,y tieneel valor r,nár: pE: (6 x t0-30f .m)(lOsN/f) = 6 x l0-2s N.m. De acuerdocon la ecuación(234g),la energfapotencialmfnima se tiene cuando 0 - 0; estoes,cuandop y E son paralelos: : -:pE: -6 x l0-2s N.m : -6 x l0-2s J, Uorio en la c¡al hemosempleadoel resultadoanteriorpararn¡. como esun punto de equilibrio estable,el momentodipolarde la moléculade aguatendedaa alinearse con E si estuvieraaisladoy sin perturbaciones.

J

t. 'l ,1 ,l -

-

,

r' i i :: i l r, I *-.**r.r+r.¡¡¡¡¡¡"¡*

692 C¡pítu10.23 ¡l.rapo

dfu"rlco

Polota do corcho con rm dipolo indr¡cido

ap¡eciablernenüe l.os,choques a lasmoleculas. molecula¡espueden'peÉurbar A unatemperstura?i la energlacinéticaptomediode uns moléculaesel número de gradosde libertaden su movimiento,multiplicado porkTl2i esel üeorema de la equipartición(véasecapftulo19).Podemosestimar estaenefgfacon la expfesiónk?" Cuando?- 400 K, kT: (138 x l0 'zrl/(X+oo ll = e x l0-2r J. La energfacinéticapromedioesunas 104vecesmayor que la energlapotencial mlnima debida a la inüeraccióndel dipolo con el campo'eléctrico.Asl, las colisionesaleatorias,quedesorientanal dipolo,enhelasmoléculas,conenergfas cinéticas lOa vecesmayoresque las energlasde alineamiento,enmascaranín que üengande aline¿¡secon el campo. cualquierüendencia

F E dc la varilla

El dlpolo cléctrico en qn catnpo no uniforrnc

Varillr dc tcflón f¡91¡¡l,rgon picl

FIG¡ l¡t \ 23-23 Dipolocolocadocn rur capool( rt¡lcooxtcmoy no urüfornrc;puodo cxprc¡inr )ntarr¡r¡afucr¿¡ nct¡. En cstccaso, cl carn¡rr olcctricocrtcÍ¡o ir¡ducoun dipolo onla pclotadc corcho,la cualsicntc cntonccsruu fucrra dcbldaal campo clcctrico.Estocfcctoscpucdocomprcndor mcdiantola lcy dc Coulomb.

.

Si secolocaun dipolo enun campoeléctricoextremono uniforme,entonces,adem¡is del par,puedehaberuna fuerzanetasobreel dipolo. El molimiento resultantese¡la una combinaciónde aceleraciónlineal'y rotación.Los detallesdel movimiento dependen,en forma cdtica, de la configuraciónparticulardel campoeléctrico. El efectode un campoeléctticono unifofme sobteun dipolo inducidoexplicala atracciónqueejerceunavarilla de teflón, frotadacon piel; sóbreüna pelotaneutrade corchocubiertacon pinturaconductora,como se describióen la sección22-L.la varilla cargadade teflón induceun dipolo eléctricoen la pelotade corcho,que está en el campo eléctrico no uniforme de la varilla. Se puede explicar la attacción, tahto con el empleodirectode las fuerzassobreel dipolo, como satisfactodamerite, poila firerziideCcjúlombenttecargasigualesyopuestas(figura23-23);OEoejemplo de la acción de un campo eléctrico no uniformb sobte un dipolo inducido, es la pedazosdepapelporun peinequeseacabadecargarpasrindolo atraccióndepeQueños por el pelo.l,os pedazosde papeltienenmomentosdipolaresinducidosy sonatraldos al peine,en su campono uniforme.

RE S UME N camposeléct¡icosen el espacioquelasrodea. Las distribucionesde cargaesLablecen I.os vectorescampo eléctrico se puedenddscribir moviendo una ca¡gapositiva y pequefra,de prueba,q0,por estecampo.El campo,E, se define como la fuerza,F, sobreesacargade prueba,dividida entreq0:

n :ü m I c u 'o 4 o

El campoeléctricotieneunidadesN/C, o V/m. La fue¡zasobreuna cargapuntualq' en un campoeléctricoexternodadoes F : (' 8" ^r.

(23-7)

I-as lÍneas de campo eléctrico ayudan a visualizar la dirección y magnitud del campo eléct¡ico producido por divetsas configuraciones de carga. Se inician y terminan en cargas positivas y negativas, tespectivamente, pero, apatte de ello, son continuas. En un punto dado, una linea de carnpo eléctrico es tangente al campo en ese punto, y la densidad de las lfneas de campo pot unidad de fuea es proporcional a la intensidad del campo eléctiico.

J

Según la ley de Coulomb, el campo eléctrico debido a una carga puntual g es

E-=-4 ,t. 4n6¡r'

(23sl

693 naÍ¡úca

Los camposeléctricosobedecenal principio de la superposición:

4.,o= E r + E 2+ E r + . . . :

I lir,

( 23 t0)

en la cual E¡ represenüa el campode los componentes queformanunadistribuciónde carga. En su forma mássencilla,un dipolo eléctricoconsisteen una cargapositiva,q, separadade unaca¡ganegativa,'9, poruna distanciaf,. Esacorrfiguración,o unaque seaeléctricamenteneutrapero que tengauna zonade cargapositivay negativa,una al lado de la otra, se presentacon frecuenciaen la naturalezay produceun campo eléctrico.Esecampodisminuyeenfunciónde la distanciar, en la forma llf ,y,para el dipolo sencillo, es proporcionala la magnituddel momentodipolar eléctrico,p, expresadopor , p = ql', (23-r3)

La direcciónde L (y de p) esdela carganegativaa la cargapositiva.üa dirección determina la dependencia angulardelcampodeldipoloeléctrico. El campoeléctr[codebidoa unadistribución continuadecargaes

E=*; ly,

(2 3 -2 0 )

En ella, r es la distanciade un elementod4 de catga,al punto en el que se rnide el campo.Pa¡ausa¡esteresu[tado,esnecesarioconocercómo varfadq en el espacio. El campoeléctricodebidoa un alambrede longitud infinita es radial y perpendicula¡al alambre.Un planocargado,de áreairrfinita,con unacargao por unidadde area,tiene un campo elictrico uniforme y dirigido peryendicularmenteal plano, I siendo

E=

;€"'

(2 3 3 3 )

Ademásde producirun campoeléctrico,un dipoloexperimenta un paren un campoeléctricouniformeexterno: .

t:

p x l_.

(23 461

El dipoloen el campoexternotieneunaenergfapotencialde U= _p.8, PREGUNTAS

(23-s0)

i

l. ¿Porqué las pipasde gasolinaarrastranalambrcsmetálicos por el pavimento? 2. ¿Porqué nuncapuedencn¡arse dos lfncasde campoeléctrico? 3. Hemospresentadoel conceptode un campoeléctrico.¿Por qué podrfaserútil introduci¡un campogravitacionatan'álo8o? 4. Un globo de hule inflado se carga frotándolo con piel. Explique qué sucedecuandoel globo se colocatocando(a) un mr¡rometálico;(b) un muro aislante. 5. Las lfneas de'campo eléctrico comienzanen las cargas positivasy terminanen lasnegativas,comoen el casode las

lfneasdc campodebidoa un dipolo. Estaafirmación,¿contradiccla imagcndc laslfncasdc campodcbidasa unacarga positivapuntualúnica? 6. Un par de cargasigualesy opuestasforma un dipolo, y el campoeléctricode un dipolo no escero.Pero,si tuviéramos quever un dipolo desdemuy lejos,lasdoscatgasparecerfan estaru¡rasob¡ela otray anulaÍse;estoes,no verfamoscarga, y por lo tanto no verfamoscampo.¿Cómoreconciliausted estasafirmaciones?

7. ¿Puedecl dipolo eléctricoinducido en una pelotaesférica, conductora,hacerque éstagire? ¿Y cl dipolo inducidoen' unavarillalarga?

,i'

i

' 11i, :i ri : .

i.:

8. Despuésdepeinarel cabello,el pei¡epuede,confrecuencia' atraerpedaiospequeñosde papel'El actodo peinarsepuede en el peine,peroen sf no afecta induci¡ urrn "tigt "lé.trica al papel.Entonces,¿quées lo quecausala atracción? (HtO) como 9. Explique có¡no actúa la moléculade agua que dosregiohay dado 23-8), (véase figura dipoloeléctrico alrededorde los átomosde H' con carga nes espaciales, negativa. eléctrico 10. Expliquepor quéla técnicade lasllneasde campo de no-r"rjoútil paraunacargapuntual,si los experimentos decreeléctrica que la fuerza huüierandemgstrado Cc,ulomb ce cn funciónde 1/r,o en funciónde l/É'ó' describir 11. El ¡novimientointemo de un lfquido se puede vector.velocique el es medianter¡ncampode velocidades' qué dad del elementóde fluido en un punto'dado' ¿En qué diferense urp..to seasemejaa un campoeléctricoy en ri a'l

cuyo campo 12. ¿Puedeustedinventar'un arreglode cargas estóctirigiclorapialme¡tehacia'unPuntoen deter"jé.,ri.oregiónclclespaciovacfo?La respuesta conectaliene ¡ni¡racla en colocadas cargas de iinpli.t.io'n"t prto it cstabilidad camPoseléctricosestáticos' (+g y 13. Supongaque se colocaun pequeñodipolo eléctrico a' y que es Perpendicular -qj en-algúrrpunto de una recta figura la en se-ve como (+Qy -Q), fljo trisect",a-otrodipolo girar con zi-zq.'si el diiolo.pequel-rotiene libertadde a su centro,¿quéhará? resPecto

-r ,I. I - t_ - - - -

, i

--e

I

+Q

I

(t\ +) +1, FIGURA 23-24 Prcgunta13 en 14. Sc tiene ut Bran ltúlncro dc dipoloq idénticos celtrados con el plano ry y apuntando en dirección z, dispibuidos el lfmite en eléctrico, a"nsi¿a¿ uniforme, ¿Cuál es el campo

en el que los dipoloJforman una distribucióncorltinla? , 15. Una placagrande,plana,con cargapositivay distribución uniformedicarga,ie colocaenel piso'Sesueltaunapfldora la placa'No ..rg. positÑ", partiendodel repoéo,sob¡e^ "on tengaei cuentala iesistenciadel aire' Describa,en forma .uriitotiur, el movimientode la pfldorasegúnla distancia desdela quese dejacacr. cacr 16. Supongaque una pastillacon cargapositivase deja con grande' esfera una de polo norte el sobre anit¡a ¿cs¿e tener Sin carga' de cargapositivay con dlnsidad uniforme pequeñas delaire,ni inestabilidades .n Ju*tu la resistencia que pudierahhaccrque la pfldorase alejarade la vertical' dcscribael movimientodc ella.

PROBLEMAS EI camPoeléctrico 23-I = cm)' cargade 3 ¡rC estáubicadaen (r'y) (0 cm' 3 (I) Una -1. cm)' (4 9 crn' eléctricoen b"t.t*in".t."-p9 eléctricoen el origen' Itbi|" q li campo 2. (I) Calculeel cargas:+q en (x' )) - (a' a)' +q en de distribución riiuiente (Jo, o); -q en.(-a,-a),Y -q en (a' -a)' y estáen el punto1- 0 Y-n" -3. (I) Una cargade ¡12 ¡rC m'-'¿Cuáles t punto g'l el en nC, q 0'5 íg^, i"guna" = " y direccióndel campoeléctrico(a) enx I ,oi t" mrgtti-tud = (d)enx 0'09999 m, (b)eni = 0.11m, (c)enx - 0'1O0Olm'

(II) Calculeet c#po eléctricoen un punto a 3'5 cm vertidel problema4' .ni-.nt" aniba del centrodel cu¿idrado = 6. (II) Una c;u1^-q estáubicada eny -( lL,y,üna segunda *q, eiy = + f l2 (figu¡a 23-26)' G) ¿Cuíl esel campo +q' "ig^, .l¿itl.o in.iorigen? (b) Si la cargaen- I l2 fusra lcuál (b)' parte para (c) la origen? el serfael carnpoeúctrico en determi¡z plano el todo en eléctrico .^rnpo .l ¿."¡f *¡t nadopory-0?

5-

en las 4. (iI) Hay cargasde +2 ltC,-4 pC,-U 1".' .*.8 ¡lC 23-25)' (fig'ara por lado cm 4 esquinasde un cuadraáode Coi.ut. el campoeléctricoen el centrodel cuadrado' --Q 4,;n' 6)=_--

Yn * u.

l-l I rl

-6lrcI

FTGURA23-26 Problcma6' y x ' -a' r ' 7. (II) Se colocan cargas idénticas, Q, en .a en x - 0? eléct¡ico campo el es (a) iespectivamente. ¿Cuál go prueba de (b) Suponga que se coloca urul carga positiva

694

vr* L I, t_ lu

t_

t_ I t_ l-

en¡ - 0. ¿Estará en equilibrioestableo inestable? lsugerencia.'supongaque la cargade pruebasodesplazauna distancia 6 en direcciónpcrpendicular al cjcr. ¿Cuálscrála fuerza netasobrcla cargade pruebacn la nuevaubicación?l 8. (II) Calculeel campoeléctricoa lo largo det eje dewt dipolo, a una distanciar del mismo,como se ve cn la figura 23-5, Describael campoparar >>L. 9. (II) Se colocauna sucesiónde z cargasq positivasy negativasaltemadasa lo largo del cje r, a unádistanciad entresf. El aneglo es simétrico óon respectoal eje y, estandola primeracarga+q en x df2,la primera-q en x -dl2,la segunda-q en3dlZ,lasegunda+q en-3dl2,y asfsucesivamente(figura23-27). ¿Cuálesel campoenun puntodistante y . I, siendo Y >>ü, en el ejey?

t_ t_ I,

t_

a_

a_ L t-

a_

a_

tlcURA 2.1!.27 ltoblcnr¡9.

a_ l_

I, t-. l_ I,

L t_ tl_ t_ I, l-

aL l) l_

1,. I, L L L; l-

tL I

10. (lll) Supongaque la cargapositivade pruebadet problenra 7 estálimitadaa moversesólo a lo largodel ejex. ¿Seráx 0 un.puntode equilibrioestablc?En casoafirmativo,entonces la cargade pruebadeberlaoscilar con ¡espectoa ¡ 0 paradesplazamientoq lo suficientemente pequeños.Si ese fuerael caso,¿cuálserfala frecuenciade oscitaciónde una carga de pruebade masam? lsugerencia..supongaque la ca¡gase desplazaa un punto.r - 6, siendo6 <
Laslíneasdel campoeléctrico

23-3

.

El campoeléctricodebidoa una distribución continua dc carga

14. (I) Calculeel campocléctricodcbidoa unavarilladelgada, infinilamentel¡uga,con cargauniformey densidaddeiarga 4 pClm,a unadistanciade 50 cm dc la varilla. Supongaquc la varillaestáalineadacon el ejer. 15. (I) Una varilla delgadaconcargauniformecon5 ¡C de carga tota¡y l0 cm dc longitud, sc colocacn cl eJe¿,centradaen el origen.Determincel campoeléctricoen (x,y,z) (5 cm, 0 cm,0 cm),y en (0 cm, 5 cm,0 cm). 16. (I) Hagaun esquemade las lfneasde campoeléctricoentre una ca¡gapuntual,Q, y un cuadradoplano uniform"mente cargado,de áreaL2 y catgatotal -e. La cargapuntualestá a unadistanciaI sobreel centrodel plano. 17. (ID Una carganegativaestádistribuidauniformementeen un cascaróncilfndrico largo.Hagaun esquemade las lfneas de campotantoen el interior como en el exteriordel cascarón. No incluya los extremosdel mlsmo. lE. (If'Se tienencargaspositiVasdistribuidasuniformemente, con densidadlineal dc cargal" en un cfrculo de radio R. (a) Con argumentos de simetrfa,deduzcala direccióndel campo cléctrlcocn un punto cn el plano del cfrculo, pero fuera áe é1. (b) ¿Cuál es la magnitud del campo cléctrico a ru¡a distanciaI a lo largo del ojo del chculo, paraI rel="nofollow">>R? 19. (II) Se dobla una varilla con una carganegativauniforme, en forma de sermicfrculo.Hagaun esqucmadc las llneasde campoeléctricoen el planode la varilla. 20. (II) Dos placasinfrnitas,con densidaduniformede cargade 3 pClmz,se colocanen el planoyz, pasandounade ellaspor .r - 2 cm, y la otra por ¡ - a cm,Determincel campo eléctricoen (¡, y, z) - (a) (0 cm, 0 cm, 0 cm); (b) (5 cm, 0 cm, 0 cm);(c) (5 cm,2 cm, 3 cm). 21. (II) Dos placasgrandes,planasy verticalesson paratetas entrcsf y cstánseparadas por unadistanciad. Ambastienen densidaduniforme, o, de cargapositiva.¿Cuálesel campo eléctricoen el espacioque las rddea,y entreellas? 22. (ll) El eje de un tubo huecode radio R y longitud t está alineadocon el ejey; la o¡illa izquierdadcl tubobstácny 0, como se ve en la figvt23-28. Tiene una cargatotal g, distribuidauniformenrente en su superhcie.Integrandoel resultadoparaunaespirao cfrculode cargaa lo largode su propioeje (véaseejemplo22-6),determine el campoeléctrico a lo largodel ejey, debidoal tubo,comofuncióndey.

ll. (I) Tracelas llneasde campoeléctricodebidasa cargasde +3 C y +l C, colocadas a 4 cm de distancia. 12. (ID Se tienenlascargasq, colocadas a lo largodel ejex, en x - tut,siendon - 0, tl, *2, t3,. . . , Hagaun esquema de laslfneasde campoeléctrico. 13. (ID En la figura 23-l2b se muestranlas lfneasde campo debidasa un dipoloeléctricop; por definición,la dirección de p va de -q a +q,Hagaun esquema de laslfneasde calnpo para(a) un dipolo -p adyacente y paraleloal dipolo p; (b) un dipolo,p, adyacente y paraleloal dipolop; (c) un dipolo, -p, en el ejede p, a ciefa distanciamásallá de la carga-q; (d) un dipolo,p, en el ejede p, a ciertadistanciamásalláde la carga-q.

l.'¡CllRA2J-2lll,roblcnur 22. 23. (lI) Una cargatotal,Q, se distribuyeuniformemente en una varilla de longitudL. La varilla estáalineadacon el ejex,; con un extremoen el origeny el otro en el punto¡ - ¿: Calculeel canpo eléctricoenun punto(0,D) y compare esle,,¡', resultadocon el cam¡xren el punto(LIZ, Dr. l' , Kt¡q i

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24. QI) Un disco ci¡cular delgado,de radio Jt, estáen el plano rJ, con el centro en el origen. Una carga Q en el disco se distribuyeuniformementeen su superficie.(a) Determine.el campoeléctricodebidoal disco,en el punto z - zeen el eje z. &) Determineel campoen el lfrnitezo- o. (c) Determine el campoenel lfmitecuandoR * o. ¿Sonigualesloslfmites de las partes(b) y (cX t<

(II) Se tiener¡navarilla delgada,con ca¡gauniforme,de 50 cm de longitudy se dobla en semicfrculo.La cargatotal sobrela varillaes2 ¡rC.¿Cuáles sonla magnitudy dirección del campoeléctricoen el centrodel semicfrculo? 26. (II) Una varilla de 80 cm de longitudsecargauniformemente, con una densidadde cargade 40 pC/m. Se colocauna cargade20 ¡rCa 80 cm del puntomediode la varilla,en una a la misma.Calculeel campoeléctrico llneaperpendicular en un puntoa la mitad entrela cargapr¡ntualy el centrode la varilla.

27. (III) Se tiene un punto a ruraaltufa eodirectamentesobreel centrodeun cuadradode lado2L. Esecuadrado, no conductor,tieneunadensidaduniformede cargaiguala o. (a) Con el métododel ejemplo23-6, formule una integralpara el campoeléctricoenzo.(b) ¿Cómosesimplificala integralen el lf¡nite L - *? (c) ¿Enel llmite e * 0? 23-4

El movimientode una parTículacargada cn un campoeléctrlco

2S. (l) Una placainfinita tienc una densidaduniforme de carga o - 6.42 x l0-7 C/m2.Se colocauna pastillade 4.75 g de masa,enreposo,a 0.8óóm de la placa.La pastillatieneuna cuga negativeq - *3.69 x 10-óC. ¿Cuáles su rapidez cuandollega a la placa?Sólo tengaen cuentala fuerzade atracciónelectrostática. 29. (l) Una placa grandey plana,con densidaduniforme desconocidade carga,o, se colocaen una mesahorizontal. Una pelotade corchode 1.55g de mása,con una cargade 4.5 x l0-7C, secolocaen repososobrela placay pe[nanece en reposo.¿Cuátrtovale dl 30. (U) Se tiene un alambreir¡finito con densidaduüforme de car1 , L, a lo largodel ejez. Una paffcula concarganegativa se mueve en un cffculo, en el plano ry, con centro en el alambre.Calculela velocidadde la partfculay demuestre que es independiente del radio del cfrculo.Sólo tengaen cuentalasfuerzasdebidasal alambre.

con velpcidadinicial ceroa 50 m sobreuna pellculauniforme de aguacon cargapositiva,con densidadde car¡;ao. Supongaquetal superficiees inf¡¡rita.¿Cuáldebeser o para que el clavadistatarde 1 min en caerhastala superhciede la hoja? 34. (II) Una pelotade corchode 0.40 g de masase colocaent¡e dosplacashorizontalesgrandes.La placade abajotieneuna der¡sidaduniformede cargade +0.80x l0-ó C/m2,mientras quela superiortienedensidaduniformede cargade -0.50 x l0-ó C¡mz.La pelotade corcho,que tiene una cargadesconocida, se coloca ent¡e las placasy se obseryaque flota inmóvil. ¿Cuálesson el signo y la magnitudde la cargade la pelota?

35. (II) Setieneel tubodc rayos"catódicos delejemplo23-8.Esta vezel electrónentraa la regiónentrelasplacasdedeflexión verticalcon una velocidadtotal de uq- 3.0 x 10óm/s. La di¡ecciónestal quela velocidadtieneun componente vertical a" - + 3.0 x 105m/s.Calculela deflexiónverticaltotal del electrónal alzanzarla pantalla. 36. (II) Una pelotade corchode 5 g de masa,con unacargade -2¡rC, estácolgadade u¡rhilo de I m de longitudsobreuna placahorizontal,uniformemente cargada,con densidadde cargaI FClm'.La pelotasedesplaza de la verticalmediante un ángulopequeñoy se permiteoscilar.Demuestreque la pelotaadquieremovimicntoarmó¡ücosimpley calculela frecuenciaangularde esemoúimiento. 37' (III) Un protónsemuevea una velocidadv - 5 x ld m/s, en di¡ección+x,y entraa determinada región.En ella,un campo cléctricoestáorientadotan¡biénen dirección+¡. La intensidadde ca¡npose reduceen forma lineal respectoa .r: al inicio de la región,x - 0 m, la interuidaddel campoes500 N/C; cuandox - 3 m, la intensidadde campo es cero. ¿Cuántotiempo tarda el protón en atravesaresaregión? La ecuacióndel movimientoserámásfamiliar nSugerencia: en términosde la variable¡' - x - 3.)

23-S El dipolocléctricoen un compoeléctrlcoextcrno 3E. (I) Un dipoloeléctrico consiste opuestas de2 endoscargas pC demagnitud, colocadas a unadistancia de 10cmentre

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31. (II) Una carga negativa,-q, está forzadaa moverseen un planoen el cual hay una lfneacontinuade cargapositivay depidad de carga/,. La carganegativa'de masam, puede pasarlibrementepor la lfnea de cargapositiva. ¿Cuáles la ecuaciónde movimiento de la carganegativa?

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32. (ID Una cargapositiva,q, puedemoverseett órbitacircular con respectoa un alambre negativamentecargado,con densidadlinealde c^rg A..Demuestreque el periodode la órbita es proporcionalal radiode la misma.Comparcestc del periodo de una órbita resultadocon la dependencia circularrespecto al radiodelamisma,paraunacargapunfual queinteractúecon otracargapuntual. # 33. 00 En los JuegosOllmpicosdel año2020,unclavadistade 70 kg demasatieneunacargapositivade I ¡lC y sezambulle

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FIGURA 23-29 Problcma38.

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sl (figura 23-29). El dipolo se encuentraen el senodc un campoeléctricouniformc de l0 N/C a lo largo dcl cjc r, y la di¡ecciónde p forma un ángulode +45" con el ejer en el planory. Determincel par sobreel dipolo. 39. (I) L: magnitud de las dos cargasopucstasque forman un dipolo eléctricodisminnyeen un factor de l0 mientrasque la separaciónentre ellas se reducea la mitad. ¿Cuáles el cambio de n¡agnituddel par sob¡eel dipolo, en un campo eléctricouniforme? (II) 40. Describacl movirniento del dipolo del problema 38. ¿Cuántotrabajoefectúael campoeléctricocuandoel dipolo se muevedesdesu posición inicial hastaquc se alineacon ' el campoeléctrico? 4t. (II) Supongaque los electronesde los átomosde hidrógeno en cl HrO pasanla mitad dcl tiempo en tas csfcrasde los átomos de hidrógeno y oxlgeno. Si el momento dipolar eléctricodel HrOsP - 6 x l0-roC.m,yel ánguloentrelos átomosde hidrógenoy el de oxfgenoes l05o (véasefigura 23-8),¿cuálesla distanciaentre(a)c¡da átomode hidrógcno y el átomo de oxfgeno?(b) ¿los átomosde hidrógeno? lSugerencia:Calcule el campo eléctrico en un punto muy alejadoy obtengauna ecuaciónpa¡ael coeficientede l//.] 42,(II) Una moléculadefluoruro de litio (LiD tieneun momento dipolar pennanente.I¿ moléculase colocaen un ca¡npo eléctricouniforme de lü N/C de intensidad,y la diferencia entrelasenerglaspotencialesmáximay mlnima de la molécula en estecampoes 4.4 x 10-25J. ¿Cuáles el momento dipolareléctricoparala moléculade LiF? hoblemas generales 43. (II) Una carga puntual,-9, está fija en el centro de un conductoresféricqhuecoquetieneunaca¡ga+9. Tracelas llneasdc campoeléctrico,tanto dentrocomo fuera de la esfera. 44. (ID Una carga puntual +g está fija en el centro de un conductoresféricohueco,tambiéncon una caria +9. Trace las lfneasde campoeléctricotanto dentrocomo fuera de la esfe¡a. 45. (D Trace las llneas de campo eléctrico para una carga puntual,+9,cercanaa un alambreinfinitamentelargoy con cargapositiva. 46. (ID Una pelotade corchode 0.5 cm de radioy con unaca¡ga de +5.0 nC, se cubrecon pinturaconductora.¿Cuáles la intensidaddel campoeléctricoinmediatamentc fuerade la superficie?Un núcleode uranio,con un radio de 10-11 m, tiene una cargapositiva de92e. ¿Cuáles la intensidaddel campo eléctrico,inmediatamentefuera de la superficie del núcleo? 47. (II) Una cargade 2 ¡rC se colocaen la posición(¡ y) - (2,0). Una cargade -3 ¡rC estáen (-3,0). Todaslas localizaciones estánen centfmetros. Calcule(a)el campoeléctricoen (0,4) debidoa cadacarga;(b) la fuerzadebidaa cadacarga,sobre una cargade I nC en (0,4). (c) La fuerzatotal sobrela carga de I nC en (0,4);(d) el campoeléctricototalen (0,4). 4E. 0I) Dos varillas infrnitamentelargas,uniformememteca!gadas,con densidades de carga+)'y -1t,respectivamente, por unadistanciaR. ¿Cuáles son paralelasy estánseparadas

son la magnitud y dirección dcl campocléctrico dcbidoa la¡ dos varillas, en puntos quc qucdan (a) en una rccta quc unc a las dos varillas,y (b) cn una mediatriza esarecta?Tnce una figura para most¡af la confrguración y tcnga en cucnt¡ la simetrla. 49. ([I) ¿Cuálcs la fuer¿¡ porunidad de longitudquc cjcrccuna de las dosva¡illas del problema48, sobrcla otra? 50. (U) Dos placas infinitas uniformcmcntc cargadasticncn deruidaddc carga2 pClm2y-3 pC/mz,sc colocanformando ángulosrectos,la primcra cn cl plano:¿ y la scgundacn el planoyz. Una partfculadc prueba,de I g dc masay 2 x l0-7 C dc carga,sc colocaa unadistanciadc I m do ambosplanos; estoes,su posicióninicial cs (x,y,z)- (l m, I m,0 m). ¿Cuál es la ubicaciónde la partfculade pruebacuandoel tiempo es r? 51. 0D Dos alambresir¡finitos, con densidadde carga 3 pOlrn, son paralelosal eje z. Uno pasapor (4t) - (2 crn,0 cm); cl otro por (¡ y) - (-2 cm, 0 cm). Calcule(a) el campoeléctrico en cl origen; (b) la fucrza sobrc una carga dc I pC cn cl origen; (c) la fuerzasobrer¡riacargade2 pC ubicadacn (¿ y) - (ó cm, -4 cm). 52. ([I) Un protór¡ con lf cV dc energfacinética, sc disparacn di¡ccción perpendicular a la superficic dc une g¡ari placa mctálica con densidadsuperftcialdc carga o - 5.0 x l0{ C/m2,uniforme. (a) Calculc la magnitudy dirccción dc la fucrza sobre el protón. (b) ¿Cxántotrabajo dcbc cfectuar cl campoeléctricosobreel protón,parallevarlo al rcposo?(c) ¿Desdequé distanciadebcdispararscel protón paraquc sc detengajusto en la superficicde la placa? 53. (ID [: cargaeléctrica con la magrritudmfnima que s¿F¡ede aislar,es la del electróno'del protón. En 1909,Robert A. Millikan desanollóun métodoclásicoparamcdir esecarga, que sc conocc como expcrimento d¿ Ia gon dc ac¿itcl. Millikan pudo implantar ca¡gas en diminutas gotitas dc aceite,que calana determinadavelocidadtermirul bajo la i¡rfluencia de la gravedady dc la resistcnciadcl ei¡c. Colocando csas.gotitascntrc placas paralelas,horizontalccy cargadas,como cn la f,rgura23-30,elcampo eléctricoenhc

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FICURA 2130 Prcblcn¡¡ 53. dc carga,Sncontó ' Mi[ik¡n midió muchasgoütascon distintasca¡¡tidadcs quc hnbíauna cargaminirr¡a;tod¡s las carg¡s $r obscrvócrnn nni,ltiploe cntcrc dc la cargaminima. Millikan inlcrprctó quo la cargeminüru cs la cargadcl clcctron,si la cargacra rrcgativa,o la dcl protórusi orapoeitiva.

697

las placasprocluceuna fuerzasobrela gotitacargada,dirigida hacia aniba, y que puedeanular,en parte,la fuerza gravitacional. Si la masay el tamañodela gotitaseconocen, entonces, determinando la velocidaddo cafdade lasgotitas con y sin campoeléctrico,sepuedemedir la carga. La fue¡zade frenado,o de resistencia,sobreuna gotita de radio r que cae a una velocidadconstantepor el aire,, lambiónsedirigehaciaanibay estáexpresadaporlaley de = 6zr4ru,siendo4 la viscosidaddel aire.(a) S¡oÁes, frct¿u¡lo Demuestre, de acue¡docon la segundaley de Newton,que la velocidadterminal,us,deIa gotasincarga,esus-f,4 pglq, siendop la densidad delaceitey g la aceleración debidaa la (b) Supongaquela cargade la gota,q, espositiva, gravedad. y que el campose dirige verlicalmentehaciaarriba,como en la figura,y que la fuerzaeléctricase dirigehaciaarriba. que la Errrpleando h segundaley de Newton,denruestre carsaes

en la cualu, esla velocidadterminalcuandoexisteel campo quela cargamfnimaes 1.6x l0-re eléctricoE. (c) Suponga C, la densidaddel aceite0.85g/cm3,y el radiode la gotita es2.0 x l0-acm.La gotitatienela cargamfnima.Calculeel valor de E que mantengaestacionaria a la gotita entrelas placas. 54. (II) En el capitulo24 veremosqueel campoeléctricocerca de un conductor debe ser perpendicular a la superficie conductora.Con este hecho, trace las lfneasde campo (a)cargapuneléctricoparalassiguientes configuraciones: y conductor;(b) tual,+9,sobreun planoitrfinito,descargado una cargapuntual,-q, cercade un alambreinfinitamente y conductor;(c) una carga largo, cargadopositivamente, puntual,+q,a unadistancia!2 sobreun planoconductorde áteaL2y car9 +q. (II) El campodebidoa una lfnea co¡rdensidaduniformede carga,l, varfaenfunciónde la distanciaradial,r, de la lfnea, elrforma 1/r. Supongaquesecolocauna cargapuntualq, en reposo,a una distanciaR de la lfnea,y quees de atracción la fuerza sobre la carga puntual,debidaal campo.Con análisisdirnensional, calculecómo dependeel tiernpoque tardala cargaen caeral alamb¡ecargado,de )., q, m, R y eo. 56. (III) Se tieneuna varilla recta,cargadano uniformemente, de longitudL, alineadacon el ejex, con susextremosen

x - xLlZ, del ejemplo22-7.Allf demostra¡nos quela fuerza sobreuna car9aq, colocadaen un puntor = R del ejer, a la derechadel extremoderechode la va¡illa; es

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Demuestreque,pa¡aR >, L,la fue¡zase reducea la de un dipoloqueactúasobreq,F =(qAoLzll2reoft3)i.¿Cuáles el momentodipolar?lSugerencia:Use las formasaproximadas(1-¡¡-t : 1 + ¡+ .t' + .f + .. . yl n(l + xi - x- ( *12) + (.C/3)- - . . , adecuadas ambaspara;r <<1.]

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57. (IlD El campo de un dipolo eléctrico disminuye en forrna l/d cuando la distancia, r, de un punto dado al dipolo, es nrucho mayor que la scparación entre las cargas.El único modo de arregiar las dos cargas,con una carga total cero, es formar un dipolo. Sin embargo, hay muchos modos de arreglar cuatro cargas con carga total cero, en una foÍna compacta. Un arreglo con un campo eléctrico que se comporta a grarrdes distancias como l//, es un cuadripolo cléctrico. (a) Para cu¡tro cargasalincadasco¡t signo altemo, como + - - + de tal modo que la combinación trabaje como dipolos de orientaciónopuesta,a lo largo de un eje, demuestre que el carnpo en una lfnea perpendicular al eje de las cargasdisminuyc en fonna de l/1, cuandor es mucho mayor que cualquier distancia de separación en el cuadripolo. lSugerencia: use la aproximación | Ir ^ * t) 'l

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FIGURA 23-31Problonra 57.

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LEY DE GAUSS

Lu l"y de Gausses una reexpresiónfundamentalde la ley de Coulotnb.rEn el capítulo 23 aprendimos el significadodel campoeléctricoy cómoemplearla ley de Coulombparacalcularel campodebidoa unadistribuciónestacionaria de cargas.A la vezqueesunaley fundamental del electromagnetismo, la ley de Gaussfacilitaen sirnplificatnuchoel tnuchos casosel cálculode loscamposeléctricos. En particular, cálculode los camposeléctricoscuandohay simetrfaen la distribuciónde la carga. del comportamiento También,la ley de Gaussnos proporcionauna perspectiva de podercalcr¡lary emplearel losconductores. Parausarla ley de Gauss,necesitamos ennuestroestr¡diode flujo flujo elóctrico,cantidadanálogaal flujo queencontramos defluidos.También,examinaremos el gradoal cualsehancomprobado experilnentalmentela ley de Gaussy la de Coulotnb.

I Er¡t¡c las cont¡ibr¡cionesdc Karl Friedrich Garrss,gran matcrnático dcl siglo XIX, a la fisica, cstá¡¡srrs trabajosdc mccánica cclcstc, clcct¡ornagnclis¡no,óptica y la tcoria do los oirorcs,

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'24.'L FLUJo ELEcTRICo

700 Capitrrlo

24. Irydc

Gaus

Sedescribió el flujo cuando estudiamos llujo de fluidos en el capltulo 16,

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El ponceptode fl¡rjo va más allá de su aplicaciónal campoeléctrico.Es rnásfácil comprefiderel flujo eléctricocon el patalelodel flujo del agua.PenSemos en un rio quercolre.Suponemosque el aguafluye tranquilamentecon velocidaduniforme en la direcciónhorizontal,o.r (figura 24-Ia). PodrÍamossumergiren el aguauna espira de alambreen foma de.uncuadradode áreaA : L2.Dependiendode la orientación de nuestraespira,pasarlandistintosvolumenesde aguapor ella, en un tiempodado. Si la bspiraestáorientadaperpendicularmente al flujo, el volumende aguaquepasa por +w, siendo por la espiraen I s est.á representado (lr,u: uLz- uA.

O +\

El volumende aguaqu¿pasapor.unidadd"ttiempoeselflujo.Pasamenosaguapor la espirasi seinclinaparaformarun ángulog conla vertical,comoenla figura24-1b, pqrquela longitudverticalqueda caraa la coffienteseteducede L a L cos 0. Asl, el flujo sereducea (l),,= ¡1lzCOS l,l= u¡l COs0.

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O+, (b) ¡TIGIJRA 24-l (a) [,lnncorricntctlc ngua cn tnovimicntor cn difccción.r, pass s tr[vós do una espira cuadrarla.(b) Cr¡a¡do sc inclina la cspira, fluyc rncnos agua a travós dc oll¡. on rm fnctor cos 9, El vcctor A c¡ ¡rcr¡rcndicrrlara la cspira.

una direcciónal Podemostencruna fonna másgeneralparael flujo asignando áreade la espira.El árease transfonnaen un vector,A, cuyamagnitudesz{ y su a la espira(figura24-Ib). Tambiénpodemoseliminarla direcciónesperpendicülar restricciónquela velocidadv esteen la di¡ecciónde¡. Comov . A = uA cos0, siendo0 ahoraelringuloqueformaA conla velocidaddel agua,podemosexpfesaral flujo como (D,,: v' A. sino inegularcomomariposa(figura Si la superficieno es planani cuadrad,a, calcular en diferentes lugares,podemoselrtonces 24-2), cuyaorientaciónesdistinta ttavés átea fonna de áreasinfinitesimales,dA. Cada el flujo totalsumandolos flujos a perpendicular plano. los de dA su Sumamos es a un planodiminuto,y la dirección = que dA emplearrdo del agua, integración. Así, el flujo dó,, v ' flujos infinitesimales esel volumenquepasapor unasuperficieS no plana,pot unidadde tiempo,es

=lJ n.dA. .u-=lJ,¿,t,,,

(24-t)

Empleamos el doble sigrro de integral para subrayar que estamosintegrando en una superficie en dos dimensiones.Nótese que en esta ecuación, la velocidad, v, puede ser distinta en cadapunto de la superficie.Podemosindicar que v varla con la posición expresándolacomo función de y y z: v(y,7), Pot ejemplo' suPongamosque el agua fluye en ditección +¡, pero con un valor que depende de y y z. Si Ia superficie, S, a

i IIGURA U-2 la supcrficic a t¡avcs dc la cual fluyc el agua pucdo scr irrcgular, cn la cual cl vector dc oricntación A cambic dc uno a otro lugar- TamPoco ncccsita scr corstantc cl vc,ctorvolocidad.

t l+

o +.\ I

( J"

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travésde la cual secalculael flujo, estáen el planoyz, el áreadife¡encialde sección transversales d.{ - dydz,la direcciónde dA esla direcciónx, de tal modo que v.dA = u Mt y el flujo es-


701 2,1'1 Flufo cléa.trb

(24 2)

[Iay unasfunilaridad entreel flujo de fluidosy el carnpoeléctrico.Sepuedever comparando laslfneasde flujo deun fluido (véasefigura l6-9) y lasllneasde campo eléctrico(figura24-3).Podemosampliarla nociónde flujo al campoeléctrico.El flujo eléctrico,Q, o Q¿,cuardolo necesitemos distinguirdealgúnotro tipo de flujo, sedefinecomo t = , i f E .d A. (24-3) El flujo eléctricohn dernostrado serunacantidadenormemente útil. Podemosusarlo paraayudamosa calcularcamposeléctricos, y apsreceen la formulacióndelasleyes fundamentales de la electricidady el magnetismo. La semejanza entreflujo de fluidosy flujo eléctricono es perfecta.Aunqueel aguacorrientepuedepasarrealmentepor una superficie,los c'amposeléctricosno represehüan a algo quesemuevaflsicamente.Ningúnmovimientofísico estáimpllcito cn elflujo eléctrico.Nótesetambiénquela "superficie"queusamosparacalcularel flujo es,por lo general,itnaginaria.Ningúncuerporealtienequefonnarla superficie. Nosdebemositnaglnarmuchassupcrficiesdistintas,de acuerdoconnuestraconveniencia, Cornodescribirnos enel capftulo23,la magnituddel campoeléctricoesproporcionala la delrsidadde lasllneasde campoa travésdeun dreaperpendicular a éstas. SeaN el númerode lfneasde campoeléctricoquepasanpor unasuperficieS,siendo /1 el áreaperpendiculata E. Paraestecálculosencillo,supongamos que E sea u NIA¡,yN x B4t- Q. Como constanüeetrelri¡eadelasuperficie,detalmodoqueE (24-3)esproporcional el flujo definidoen la ecuación al campoeléctrico multiplicado por el áreaa travésde la cualpasa,esaecuaciónnosdice queelfiujo eléctricoque pasapor una superficieesproporcional al númerode lfneasde campoeléctrico quepasanpor la supcrficie.

Dcflnlclón dcl ÍluJo cléctrlco

FIGURA 24-3 Lirrcasdc canrpo cloct¡ico dcbld¡q a un clllndro conductor cargrdo cor€ano ¡ una placa crrgada con slgrrc contrario, conductora, indicad"s por hoürar cn acoltC,

El nujó electrico quc p¡s¡ por un¡ ruperflclc cr proporclond el númcro dc line¡¡ de crmpo que peeen por éetl.

La sulrcrficic gaussiana Comoveremos,pa¡ausarla ley de Gaussnecesitamos determinarel flujo eléctricoa ttavésde unasuperficiecerrada,Esassuperficies, quepor lo generalseránimaginarias,puedetrtenerla formadeunaesfera,cilindro,o cualquieta ot¡a.A esassuperficies itnaginarias las llamaremos su¡lerficiesgnussianns.r La figuta 24-4 muestrauna superficiegaussiana con llneasde campoeléctricoquepasanhaciaadentroy hacia afuerade ella. El flujo eléctricoque pasapor una superficiecettadatienela misma formaqueel quepasapor unasuperficieabierta,comola quedelimiüanuestraespira de alatnbre,pero con un refinamiento:definimosque la direcciónde un elemento infinitesimalde superficie,dA, de la superficiegaussiana, seapcrpendicular a la superficie,y quc apuntchacia el extcriorde la superficiccerrada,Asl, de acuerdo con la ecuación(24-3),el flujo eléctricoa havésde unasuperficiecerradaes

a través deunasuperficie cenada: o : ffa,rr : ff f . arr,

r+-^. ,

*--"--.,1.\,

*----*----. rl \

O

r

¡

o

c'

(24-41

en la cual el clrculo en la doble integral indica que estamosintegrandoen una superficiecerrada. La{tgura24-4 muestrala direcciónde los elementosde ittea,dA, en cuatropuntos distintosde la superficiegaussiana.Nóteseque para dA¡ y dA2, E y dA eskin orientadosde tal modo que el productode E . dA es negativo;paradA3 y dAa el productopuntoes positivo.El flujo es negativoparala partede la superficieen la cual las llneasde campoeléctricoentrana la superficiecerrada,y positivodonde salenlasllneasde la superficie.El flujo total,parael casoqüeseve en la figura24-4,

\ FIGIjRA 244 Porconvcnción. las dirccciones dolasárcasdA scalcjany son ¡rcrpcndiculrrcsal Árcasupcrflclal.l-*s líncasdo campooléctrico¡rrrctrnn cn la srrpcrficicccrrada.El flujo clcctrtcototd parncstasuporficic,quola ¡rcncmcn quocs furln¡lnarla, ¡rrurlcada ¡rararccor
702 Capitulo

24

lry

dp Gau.rs

I'IGURA 24-5 Ur¡a rc¡l do pc,scaccn'ads dent¡o doi a5¡a c.sun aruilogo mccáúco B un¡ supcrficic gaucsin¡rncnun ca¡npoclcct¡ico. A mcnos que haya una fucnto (rma llavc do agrn) o u¡r sur¡idc¡o (rn drcnajo do agua) dcntro dc la rcd, todn cl agua quc c¡rl¡aa clln dclrc salir.

es cero, pofque todas las lfneasde campo quc entrarra la superficie salen dé ella, No necesitamosllevat a cabola diffc.ilintegraciórrindicadapor la ecuación(24-3)en este i. caso, porque nuesto razonaln¡entoffsico es lnucho rnás fácil. En el capltulo 23 aprendimosque las lfneasde campo cléctrico{cbcn iniciarsey ternlinaren cargas. Si tenemosuna superficie gatrssiann(certada)que no rodee a cargas,entoncesno se puedenoriginarlíneasde campoeléctrico,ni tenninar,dentrode la lnisrna.El rnisrno núrnero de llneas de catnpo que entran áebcn salir, y errtoncesla integral de la ecuaciótr (24-4) debe ser cero. Por consiguiente, si no hay carga dentro de una superficie ccrrada, elflujo eléctrico a trav(is de Ia superficie es cero. Err este caso, nuevalnente, ayuda la analogfa con el flujo de fluidos, Supóngase que nuestra superficie cerradaestáfonnada por una red de pesca,y que la red se coloca en un rfo (figura 24-5). Si no hay fuente (por ejemplo, una llave), o sul'¡'tidero(por ejemplo, un drenaje),dentro de la red, entoncestoda el agua que fluye hacia dentro de la red debe fluir hacia afuera de ella, El agua que coffe en el tlo en el que se coloca la red es análogaal campo eléctrico en la tegión en la cual se coloca la superficie gaussiana. La ley de Gauss se tefiere a la carga neta De nuevo podemosrecurrir a la analogfacon el flujo de fluidos para decir que el flujo por una superficie gaussianatambién es cero si no hay c^rga neta encerradaen la superficie. Imaginemos una canasta cerrada de alambre dentro de un río. Dos manguerasvan al.interior de ella. Por una se bolnbea agua a detennitlado flujo, que entra a la canasta,y por la otra se bombea agua al mismo flujo, para que salga.El rlo que coffe es análogo a un campo eléctrico externo. El extremo de la manguera que llega es análogoa una cargaelécgtricapositiva.El extremode la mangueraque sale toda el aguaqr¡epasahacia es análogoa r¡nacargaeléctricanegativa.N¡.¡evalncnte, dentro de la región encerradapor la canasta,sale de ella, y el flujo de agua a través de ella;escero. Del mismo modo, si una superficie cenada rodea cantidadesiguales de cargapositiva y negativa,entoncesel flujo eléctrico por esasuperficie es cero. La figura24-6 muestra el campo eléctrico debido a un dipolo, que se describió en el

"l

-"*-'u¡rcrfi

cic gaussianai

,,,.'r,

FIGURA 24-6 'lrcs supcrficics garnsiarras imaginnrins,y, ¡x)r lo tn¡rto, purrtcndas, cn cl cnnqroclóclricorlc ttlt di¡xrlo. Para ln su¡rcrficic l, r¡uo r<xlcaa la carga +4, cl flujo clcctrico cs positivo; , para la supcrficic 2, quo rodca a la carga -q, cl flujo os ncgativo, y para la su¡rcrficic 3, quc no rocicaa catga alguna, cl flujo cs coro.

Su¡rcrficio gaussiana3

Superficio gaussiana2

!, i

I

-L

703

capítulo 23, Irnaginémonosuna serie de superficies gaussianasde cualquier forma conveniente,colocadasdonde escojamos.Por ejemplo, si colocamosuna strperficie gaussianaimaginara (superficie l) alrededor de la carga +4 de un dipolo, todas las llneasde campo eléctrico salen de la superficie gaussiana,y el flujo eléctrico total es positivo. Si colocarnosuna segundasupetficie gaussiana(superficie2) alrededorde la carga -{, todas las líneas del campo eléctrico entran a esa superficie, y el flujo eldctrico es negativo. Cualquier superficie gaussialra,colno la superficie 3, que no rodea a catga alguna, no tiene flujo eléctrico neto a través de ella, porque el mismo riúmero de llneas de campo eléctrico entran y salen de la superficie. Si la superficie gausiannrodca a anbas cargas,ctrtoncesnuevanrcnlecl trúlnerodc lflleasde colrrpo que entrarr y salen de ella es igual, y el flujo total es cero. Esta observación es ilnportatrte.Nuestro resultadose aplica a cualquiersuperficiegnussianr, que rodee una configuraciónde cargas,mientrasno haya cat1aneta.Resumamos: El flujo eléctricoa travésde une supelicie cerr¡de que no encierrecarga neta escero. Recuérdeseque no nos estamos refiriendo a un cuerpo cerrado real que se introduzca en las Iíneas de campo eléctrico. Una superficie gaussianaes sólo una superficie ceúada imaginaria que podemos colocar donde escojamos.El flujo eléctrico a travésde la supetficie cerradadependede si hay o no cargaeléctricaneüadentro de la superficiegaussianay, si la hay, de su magnitudy signo.Es la basede la ley de Gauss.

24-2

24.2 l¿y úcGtttrc

El ñujo elécrico¡ travé¡ de une superllclecerredl cs cero,el le superffcieno encierra carga neta.

LEY DE GAUSS

Hemosvistoqueel flujo eléctricoa travésdeunasuperficiecerradaqueno encierta carganetaes cero,Cuandola superficiesf encienacarganeta,el flujo eléctricoa travésde ella no escero,y la ley de Gaussexpresaeseflujo en términosde la carga encertada. Comenzaremos viendoel flujo por unasuperficiegaussiana queencierra unacargapuntual.La figura24-7muesttaunaesfera(imaginara)gaussiana de radio R, centradaen una cargapuntualesláticaq. Escogemos la esferacentradaporqueel campoeléctticotienemagnitudconstantea una distanciafija de una carga,y será fácil calcularel flujo a travésde la esfera.Paraello, usaremosla ecuación(24-3).El campoeléctricodebidoa una cargapuntual,q, sevio que,segúnla ecuación(23-5), es \' E=( 'J \*nA )'' El campoeléctticoapuntaen direcciónradial,haciaafuerasi q espositiva.Comola direccióndel áreainfinitesimal,dA, de un áreapequeñaen la esfetatambiénapunta haciaafueraen direcciónradial,el productoE . dA - E dA.Debidoa queel campo etéctriqptieneel valor constanteql4nqÉ en cualquietlugar de la esfera,el flujo eléctricoinfinitesimalue pasapor el áreainfinitesimaldr{, es

I'¡GURA 24-7 Uru olccciónscncillado supcrficlcgaussianaparaunacargaptntul q asunacsfcradc radlo R.

do=E dA :4 ; k r d A . Podernos ahora sacar el campo E (consüante)de la integral que tepresenta el flujo total:

or

t' t¡

= = o,a = u** dA: 4#p$o, H Hdo Sn.dAflr Ü

Lt

^ñ

=4rÑ. Laintegraldedáenlasuperficiecenada,esjusüamenteeláreadelamisma,á Enton ce s q_A t rN: L . q (2 4 _ 5 1 A : a: q*ñ €e rreo Y ' ' '

I'IGURA 24-8 'loclrs la.ssu¡rcrficics gaussianasquc sc vcn crr la figrra dan ol ¡nismo rcsultado para cl flujo clcctrico. El ntisn¡o númcro dc lüroas dc carrr¡rcclrctrico cruzan ¡rr cada supcrficic.

del radiodenuestraesferagaussiana..El flujo eléctrico Estetesultadoesindependienüe que emanade una cargapunhrales q/q. 'Hemossupuestouna esferacentradaen una carga y ya hemos llegado al sorptendenteresultadoque ei flujo eléctricoes independientedel radio de la esfera. Peto podemosit mucho más allá y demostrarque el flujo a través de cualquier superficiecemadaquerodeea la cargada el mismoresultado.Esassuperficiespuedetr descentradas de la cargnpuntual,o, en realidad,cunlquier set esferasgaussianas superficieinegulat que rdee a la carga(figura 24-B).Calcularel flujo mediante integracióndirectaanallticao numédcaparaesassuperficiespodrÍaseruna tarea monumental.Paraestablecernuesttoresultado,recordemoshaberdemostrado,en la sección24-1, queel flujo a travésde una superficiees proporcionalal númerode llneasde campoeléctricoque pasanpor esasuperfltcie.Ahora bien, como las llneas de campoeléctricose originano terminanen cargas,el númerode llneasde campo eléctricoquepasanpor cualquiersuperficiequerodeenuestracargaaisladaesigual al númerodelfneasde campoeléctricoquepasanporunaesferacentradaenesacatga. es exactamenteel Asf, el flujo a travesde cualquierade esassuperficiesgaussianas mismo,comoseve en la figura 24-8.Por consiguiente, la ecuación(2:4-5)esválida paracualquiersuperficieS gaussiana, siemprey cunndoS rodeea ln cargapuntudlq: El flujo eléctricoa travésde cualquier superficiecerreda que enciernea una carga puntual l, esproporcionel e q.

I

\

(24-6)

fJ'o o :*

3 esun casoen el quela cargaestáfuerade En la figura24-6,1asuperficiegaussiana la superficiegaussiana.En é1,entrantantasllneascomo las que salen,y la cargano da flujo neto a travésde la superficie. Necesitamosgeneralizarla ecuación(24-6) pata el caso de catgaspuntuales continuasde catga.Sabemosquelacargatotal o neta,Q, múltiplesy distribuciones puededescomponerce en un conjuntode catgaspuntuales,Q¡.Y , de acuerdocon el principio de superposición,sabernosque el campoeléctricototal, E, es la sumade los campos,E¡, debidosa cargaspuntualesq¡. El flujo total, Q, a travésde una superficiegaussiana,debidoa la carganeta,es entoncesjustamentela sumade los flujos @¡debidosa las cargasr/¡:

o :It,:fff".dA, : lt o , :

eo-i "

\

9_ €o

Nuestro resultadose conoce genetalmentecomo la Iey de Gauss, Ley de Gauss

ffr.oo_ 9

(24-7)

.€g

704

I

La superficiecerradaescualquiersuperficiegaussiana querdee a la carganetaQ, El casoen el que la carganetaes cero est¡icomprend¡do,seaporqueno hayacarga rodeadapor S, o porquehay una carrtidadigual de cargapositivay negativa. Podemoscomprenderahora, con m¿isfacilidad, el ejemplo del dipolo que describimosen la sección24-1. Sabemosahoraque el flujo eléctricoa tmvésde la superficieque sólo rodeaa la carganegativa-Q, es -Qleoisabemosque el flujo a traves de la superficie que sólo rodea a la carga positiva +qr es +q/eo.También conocemospor qué el flujo a travésde cualquierotra superficiecemada,incluyendo las superficiesque rodeanambascargas,escero. Leryesdc Coulomb y de Gauss Nuestro tratamientode la ley de Gaussha sido consecuencia de la ley de Coulomb,porquela deducciónde la ley de Gaussus'óel campoeléctricode la carga puntual, detetminadornediantela ley de Coulomb. Este procedimientose puede invertir,y podemosdeducirla ley de Coulomba partirdela ley deGauss.Parahacerlo, centramosuna esferagaussianaen una carga puntual, q (figura 24-7). El campo eléctrico,E, de la carga,sesuponedesconocido. La ley de Gausssólo nosdice que el flujo eléctricointegradoen la superficiede la esferaes qleo,Sólocon estono podemosdete¡minnrel campo,porqueel flujo a travésde cualquierelemenüo dimitruto de superficiede la esferadependedel valor del campoen esa región. Sin embargo,podemosrecurir a un argumentode simetrla.Todas las direcciones alrededorde una cargapuntualdebenser equivalentes. La únicaconfiguracióndel campoalrededorde utracargaqueno favorecedeterminadn direcciónesun campo ¡adial.El elementode superficie,dA, de una esferagaussiana, tambiénesradial.Si suponemosque,en todoslos lugares,E estría lo largode la direccióndedA, habremos cotnetido,enel peorde los casos,un enor designo,quelo podremosarreglardespues. Asl, E.dA = E dA. Además,la simetrla,o la hipótesisqueno hay direcciónpreferida,tambiénimplica que E tendrála misma magnituden cualquietlugat de la esferacentrada.Entonces podemossacara E de la integralque expresael flujo total a travésde la esfera: .HLfÜ

"

: 0 E .d A : fl r d A: EO¿, : EA: E( 4nr 2¡!, €o JJ

JJ Jl en la cual r es el radio de la esferagaussiana. El último términoen estaigualdades justamentela ley de Gauss.De la ecuaciónsepuededespejarla magnituddel campo eléctrico: E:

4neor2'

Rste resultado es consistentecon la ecuación (23-5), Como E es positivo, escogimosbien la dirección de E, radialmentehacia afr¡eracuando la carga es positiva.La simetrladel casosólo nos dice que el campoeléctricodebeserradial, seahaciaafuerao haciaadentro.La ley de Gaussdeterminaquela orientaciónde E debeserradialmentehaciaafuetea.La ley de Coulombesconsecuencia directade la icuaciónanterior,si colocamosotracarga,q', en el campoeléctrico,y hacemosque F'- 4'E. ' La deducciónde la ley de Coulomb a partir de la ley de Gauss,parauna carga puntual,esuna aplicaciónbastantesencillade la ley de Gaussy de la simet¡la.En el capftulo23, en nuestradescripciónde la utilidadde los campos,dejamosimplfcito quela ley de Coulombsewelve difícil de aplicarcuarrdolascargassemueven,porque en esaley intervienendistanciasenttelas catgas;pero la "infotmación" acercade la distanciasepropagaa unavelocidaddcfinida.De hecho,la ley dc Coulombcomo tal

705 2+2 lryd.C,rrrra,

i,ll

,:' .

tl) ,

.

.r '..

( dl

FI G lrR,\ 2 4 - 9 E j c m p l o2 4- 1 .

cesa'de tene¡sentidoparacargas.eir tnovilnientorápido,rnietrtras quela ley deGauss contimiasiendoválida.La ley.deGauss;es má9gene¡alquql4de Coulomb. , Eolos.ejemplos.24'Ly.24-2.hacemos wo del hechoque la ley de Gaussno necesita,queempleemosdeterminadasuperficie en párticular.Esto es i¡nportante, porqueel flujo a travésde una supediciepuedesermuchomásfácil de calcularque a travésde otrar i EJEMPLO 24-l calcule n"¡" eléctricoa travésde rassuperficies gaussianas de la figura 24-9: (a)"i un cubode lado L querodeaa la carga,q; (b) unaesferade radioR querodeaa la carga4; (c) unaesférade radio b querodea a lascargas-2q y *q, SoLUCIoN:(a) No necesitamosllevar a cabo la integracióndirectadel carnpo eléctiicosobreel cubo.Segúnla ley de Gauss,el flujó eléctricototalestansolo g/e¡,potque q es la carganetaencerradapor la superficiegaussianacúbica.La forma de la superficieno importa,ni la posición:,de la cargaen su interior. (b) No importaque la esferagaussianaestádescentrada. El flujo eléctrico totalsiguesiendoqlq. (c) No necesitamos preocupamos de lasposiciones de lasdoscargasdentro del cubo.La carganetatotal,Q, encerrada por la supeqficie gaussian a, es -2q + es Qo -Q, y el flujo eléctricototal,a travésde la superficügaussiana -qlh.

EJEMPLo 4 2 -2 Tenenos unacargapuntualq = I mC,colocada enla efquinadóuncubode 10cmdelado, un E^ialcularel.flujo "n "unpo'eléctrico eléctrico.a travésde cadacaradel.cubo.

FIGURA 24-10 Ejcmplo24-2.

706

SOLUCIbN: El casosemuestraen la figura 24-lo. Esteproblemapareccdifícil, perosi empleamos la simetrÍalo resolveremos con facilidad.Primero,vearnos las tres carasdel cubg que tocan a la carga,Pata cadauna de esascaras,el productoE . A - 0, porqueel cámpoeléctricose diiige a lo largo de esastres caras.El flujo eléctricoa travésde cadaunade lascarasrestantes debeserigual, po: simetrfa,porquenadalasdistingueentresí. otrossiete ¿Cuálesel flujci eléctticototal a travésdel cubo?Senecesitarfan euboscolocadosen la misma otientación,rod'eando por completoa la carga puntualq. como cada.unode los ocho cubos estácolocadosimétricamenie

( t

\

alrcdedordela carga,cadaulrodeloscubostendráun flujo eléctricoiguala 4/8ea. Porlo tanto,cadaunade lastrescarasdel cuboquetocana la cargadebentener un flujo eléctrico igual a ql24€o.Nóteseque el flujo eléctricoa havésde cada cara,al igual que el flujo elécFicototal a travésde todaslas caras,es independientedel tamañodel cubo. Con la evaluaciónnuméricaobteriemos (D"* :

24-j

q 24
to-t /, o 106N'm2/c' " 24(tt.8i-¡0:rz 6z¡¡'¡1¡:i:

ApLrcAcroNEs DE r-A,LEy DE GAUss

La ley de Gausses fundamentalpor derechopropio. También es una henamienüa poderosaparala determinaciónde camposeléctricosen casosen los quehay un alto gtadode simetrfa.Si hay suficientesimetdade modo que el campoeléctricosea constanteen una superficiesencilla,y se puedesacarde la inüegralque expresaal flujo, entoncespodemosdespejarla magnituddel campo,de la ecuaciónqueexpresa la ley de Gauss.Bajo estascondicionesno necesitamos llevar a cabointegraciones complicadas.Mostmremosestatécnicacon varios ejemplosen los que intervienen distribuciones continuasde carga.Setienela llneadecargay la láminaplanacatgada. Esosejemploslos describimosen el capftulo23 y empleamosintegraciónen la distribuciónde cargaparacalcularel campo.Tambiénveremosel cascarónesférico y la esferauniformemente cargada,casosparalos cualescitamoslosresultados enel (para capftulo23 y la gravitación)en el capltulo12.Veternosque la ley de Gauss determinalos camposen forma brevey sencilla.Peroel poderrealde la ley de Gauss en la sección24-4. Alllcalculateserevelarácuandodesoibamosa los conductores moslos casosen casosenteramente nuevos.

TECMCAS DE SOLUCION DE PROBLEMAS

Paraemplearla ley de Gaussen el cálculo de camposeléctricos,dada una pasos: distribuciónde carga,ayudael empleode los siguientes cualquier dela distribucióndecarga.Ayudaráa reconocer 1. Hacetun esquema simettlaadecuada. 2. Identificarcualquiersimetrlaespacialdela distribucióndecargay del campo eléctricoqueproduce.Pot ejemplo,unacargapuntualtienesimetrfaesférica, porquese ve ig¡raldesdetodo el derredorde la esferacentradaen ella. La simetrlaesféricade la cargapuntualimplicaqueel campodebeserradial. queseaadecuada a la simetrfa,Es el paso 3. Escogerutrasuperficiegaussiana más importantepara determina¡los camposeléctricosmediantela ley de Gauss.Unabuenaseleccióndela superficiefacilitala solución.La expetiencia que hemosganadohasüaahora,manejandoy visualizandolos campos eléctricos,nos puedeayudar.Lo másútil esescogerla superficiegaussiana a de tal modo que el camposeaparaleloa (dó¿ - 0) o bien perpendicular (dó¿ - E dA),losdivetsoseletnentos de la superficie,y de tal modoqueel en la partede la superficiea la cual es perpendicular. camposeaconsüante parnuna cargopuntual mdsadecunda Por ejetnplo,la superficiegaussiana esutraesferacentradaen esacarga. 4. Habiendoseleccionadolas superficiesde acuerdoal paso3, debepoderse sacarel campoeléctticode la integralqueexpresael flujo. Entonces,la ley de Gaussse transformaen una expresiónalgebraicade la nngnitud del campo.

707 2,1-3 Apllc¡clonct

dc h lcydc Gru¡¡

708

En los ejernplos24-3 a 24-6 emplearemosesastécnicas,junto con la ley de Gauss, ecuación (24-7), para determinar el campo,

Capitulo 24 Iq&,Glm

.: ,; i

EJEM PLo 2 4 - 3 Línea de carga.Deterinineel campo eléctricodebidoa una varilla infinitamente larga, recta, y cargada con densidad lineal de catga positiva X, constante.

(a)

dA (tapa)

Tr*I í I

ul*l+ 6-""

l.l l+l t1 T l+l t'l

t I ,*i

.dA+ * : [.[-_-B [L"^ E'dA* Ll*,"E' dA.

$

J Jlapa

Su¡>crficic gaussiana

lr¿

i.l

SOLUCION:La figura 24-Ila muestra el caso. Hemos orientado la varilla a lo largo del eje z. Para determilra¡la superficie gaussianaadecuadadeseatnosver qué nos dice la simetrla,acercade la dirección y magnitud de las lfneasde campo eléctrico. Esas llneas deben salir de la va¡illa con carga positiva y, para ser simétricas,debenptolongarsealejándoseradialmentede la varilla, errel planory (figuta 24-Llb). Las lfneasde campo eléctrico no puedetrtener componentea lo largo de la varilla, porque no hay forma de decidir si el campo estarlaorientado en dirección +z o -2..La direcciórr del catnpo se puede identificar con facilidad visualizando la fuerza sobre una carga de prueba positiva colocada fuera de la varilla; la varilla la repelerá con una fuerza F = qE. Además, nuevamentepor simetda, la magnitud del campo debe ser igual en cada punto de un círculo centrado en la varilla. Asf, la magnitud del campo sólo puede dependerde la dislancia radial a la vatilla. La superficie gaussianaque aprovechala ventaja de la simetda esun cilindto cemadode radio r y alturaft, centradoen Ia varilla (figura 24-llc). Esa superficie nos pennitirá calcular el catnpo a una distancia r de la varilla. Ahora deseamosc¡lcular el flujo a travésdel cilindro. Podemosexpresarese flujo como

,1Aoodo)

dA (fondo)

{ c) FIGIJRA 24-11 (a) Ejemplo24-3.Una lincadecargacstáoricntadaa lo largodcl cjc z. &) Porsimctna,la dircccióndcl campocloctricoIl c.sradialon cl planory. (c) La rncjorsu¡rcrficicgarssianaquc podcmostsar paradctcrminarcl campo cléctricodou¡a cargalincal csru¡cili¡d¡o. Soindicanlasdirc¡cioncsdc lasdrcas,dA cilindro. paralasdiversassupcrficios<1ol

rJ iJlondo

para la tapa y el fondo, nóteseque E es paralelo a esassuperficies,de modo que el elemento de superficié, dA, es perpendiculara E. Por lo tanto, para superficiesde tapa y fondo:

E'dA

: O.

El flujo a través de la tapa y el fondo es cero. Para el lado redondo, el campo eléctrico es perpendiculara la superficie, de modo que

F', c'

t1: t & I

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[: *t :I

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'FTr I. ii' t,,. 'll, I

[,:a

Il i; x F Í

parasuperficielateral:E' dA : E dA. Esta expresión se debe integrar en la superficie lateral para calcular el flujo a través de la cara cilfndrica. Peto hemos escogido la superficie cilíndrica de tal modo que el campo eléctrico tenga magnitud constanteen ella, y esamagnitud' a una distancia r de Ia varilla, se puede sacarde la integral..Así,

E ff dA. *:L Jl^ n o E.d A= J J lido

La integral que queda para la cara cilÍndrica es justatnente el área lateral de un cilindro recto de alh¡ra lt, que es Znrh. Asl telremos que, para el flujo total a través del cirrlindro,

Ii

< l >:2nrl tl ;. AJroraque hemos calculado el flujo, apliquemos la ley de Gauss.l-a catga ¡ela dentro del cilindro, g, es la carga de una parte de la varilla de longitud /t' Esa cargaes la densidadde carga,1,,multiplicada por la lotrgitud, q = Lh.La ecuación (24-7), que es la ley de Gauss,queda entonces

2nrhE:

u

Llt

.i O

€O

[,' t ? I

,}, 11 t il t,

.j ; II t;

I

i¡it-;

r-

r

r709

Podemosdespejara E: 24-3 Apllcaclones

E-

dc la lcy dc Gaurs

(24-8)

2neor

La altutaarbitraria,á, seha anulado.En unidadesdel SI, la densidadde cargase da en coulombspor metro. Asf, qE tiene como unidadescoulombspor metro cuadtado,que es lo gue deberfatener. Obtuvimosla ecuación(24-8) con mucha mayor facilidad que la ecuación (23-30),cuandousamosintegracióndirecta.La ecuación(24-8)tambiénexpresael carnpode alambrescargadosde longitudfinita,siemprequela distanciaradial,r del alambte,seamuchofnenotquela distanciaa un extremodel misrno.En estecaso,la lfneaesefectivamente infinita,comolo hicimosnotaren el capftulo23. ¿Potquéno podemosusarla ley de Gaussparadeterminarel campodeunalfnea finita de'carga?La ley de Gausscontinúasiendoválidaparacualquierdistribución decarga,pero,pataunalfneafinita de carga,la simetdaquenospermitedeterminar l¡ direcciónde E y sacarlode la integracióndel flujo, no existe.Si los extremosdel alambteest¡i¡a la vista,constituyenunagufapatacaberdóndeestamosen el alambre; por ejemplo,podemosver que estamosce¡cade uno u otto exttetno.La simetrlaa lo largodel alambtese ha perdido.Esapétdidade simetrlatienedos consecuencias: primero,el campoeléctricotendráun componentea lo largo del alambre,y segundo, la magnituddel campova¡iaráa lo largo de la l{nea. EJ EM PLo 2 4 - 4 Cascarónesférico. Determineelcatnpoeléctricodentro y fueradeun cascarónesféricode radioR quetieneunacargatotalQ distribuida uniformemente sobresu superficieextema. SoLUCION: Mostramosla configuraciónen la figura 24-12a.Primeto,calculamosel campoeléctricofueradel cascarón. Porsimetrla,el campoeléctricodebe dirigitseradialmentehaciaafuera,cuandola cargaQ es positiva,y debetener magnitudconstanteen todoslos puntosa una distanciar. Usaremos una superqueseaesféricade ¡adiory centradaen el cascatón. ficie gaussiana El producto E. dA - E dA,porqueE y dA tienenla mismadirección.La ley de Gausses

*: f f t . dA = nffu

= E 4 n r2 .

(24-e)

Xx +

,l <-

+

+

-F 'f

/ ( b)

I

-\

flGURA 24-12 (n) Ejcnrplo24-4.La qucso¡ruc
710 Capitulo

24

Í*y_dcG¡t,!6

.\_

Aquf , el área total de la esferagaussiarlaes 4rr2, y la carga total que encierrala esferagaussianaes la carga Q en la superficie del casca¡ón.El carnpo eléctrico fuem del cascarólres, según la ecuación.(24-9),

r > R: fuetadeuncascarónesférico,

o F:: ;7-,

(24-10)

i

Asf, el calnpo eléctrico es igual al de una carga puntual de la misnla magnitud total, Q, en el centro del cascarónesférico. Para un punto dentro de esecascarón,de nuevo tenemos la sünetrÍa esférica, y trazamosotra esferagaussianadentro del cascaró¡r(figura 24-l2b). La integración del flujo eléctrico se lleva a cabo como antes.Sin emmbargo, en estecaso la esfera gaussianano encierra carga alguna, de modo que el lado izquierdo de la ecuación (24-9) debe ser cero. Por consigui ente,el canxpoeléctrico dentro de un cascarón esferico con carga uniforme debc ser cero:

dentrode un cascarón esférico:

r < /t:

I : 0.

( 2 4-n)

. En el capitulo12hicimosnotarqueesoslnismosresultados sonválidospara la fueza de gravedaddebidaa un cascaróirr esféricode rnateria.El problema matemáticoesidéntico,porquela fuerzade gravitacióntienela lnismaformade invetsadel cuad¡adoquela fuerzade Coulomb.En el capitulo12sólopreserrtamos los resultadossi¡r deducidos,porquela técnicade integracióndirectaes bastantecomplicada.La deduccióncon la ley de Gausg,quepresentamos aquf, esmuy sencilla,Es interesante hacetnotarqueNewtondemoróunos20 añosla publicaciótrde su teorfade la gravitaciórrdebidoa que le faltabauna prueba Fi i sencillade esosresultados,¡Si hubieraconocidola ley de Gauss,Newtonse l. , , "i 'ill itrj hubieraahorradomuchotiempo!

i

i l ,, []l

EJEM PLO 2 4 - 5 fsfera maciza.Calculeel campoeléctrico fueray den- i,r; 'li tro de una esferamaciza,no conductora, de radio R, quecontengauna cargaQ i l 'i :f'r uniformemente distribuida. :t\

i

,

i

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SOLUCION:Esa distribución de cafga, que se lnuestra en la figura 24-13a, presentala misma simetría que la figara 24-12a: el campo eiéctrico debe ser puramente mdial y sólo puede variar con la distancia, r, al centro de la esfera. Todas las superficies gaussianas,por lo tanto, seránrejor suponer que son esferas centradasen la esfera cargada,y el flujo a través de cualquiera de esas esferas tendni la forma

o:

('f

lf

ll

J./6IcmC¡l¡

E.dA : ¿' ll

JJeslcn

i.


En estecaso,E es el campo a una distanciar del centro.Al aplicar la ley de Gauss, necesitamosteñer cuidado de la carga que encierre la superficie gaussiana. Primero verernos el campo fuera de la esfera lnaciza (figura 24-l3a). La cargaenceffadapor una esferagaussianaen r > R esjustamente Q y, al igual que paraun casca¡ónesférico,

fuerade unaesferamaciza.

r > 1l:

It: --? =.

( ) 4 _ .1 ) \

4n€,rr"

Dentro de la esfera tnaciza, donde r < R, la situación es distinta. L,a carga pot nuestraesferagaussiana(figura 24-I3b) estáexpresadapor la encerrada Q' densidadvolumétrica de carga,p, multiplicada por el volumen, fnl. La dcnsidad de carga es p = Q/volumen total : Q/1|irIf). Así,

: ,i,#t:n;l Q': P!",'

-tɡ.",

rF

7rr 2,T3 Apllc¡cfoncr

'o 0

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4neoR2

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G¡r¡r

FIGURA M-13 (a) Ejcmplo 24-5. l-a mojor supcrfictc gausriian¡ para dotcrminnr cl cam¡ro clccrtrico fucra dc r¡rif, c6fo¡r r¡niformcmcnto cnrgada y no condrrctora. l,a sinptría cs csfórica.(b) l,a mcjorsupcrficic garrqsian¡quc sc pucdo cscogcr para dotcrmi¡ur cl campo clectrico dontro do una osfora uniformcmcnt€ cargadn, no condrrctora, cs u¡u csfcra gaussiana dcniro do la csfcr¿ maclz¡. Sólo la carga dont¡o dc la csfora gaussian¡ contribuyc al campo clóctrico cn r. (c) El campo c¡cctrico dcbido a uru csfcra m cor¡dtrtor¡ y unifonrrcnrcnto cargada,os frrnclón dc la dist¡¡cl¡ al ccnt¡o do la csfora.

De acue¡do con la ley de Gauss,el campo, cuando el radio r < R, es

E= #: o## dentrode unaesferamaciza,r < R:

= h#

Q4-13)

En estecasola cargaaumentacon el mdio en proporcióna É, mientrasque el áreaaumentaen fonna l, de modo eue E o
'.t,, ,

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--. , , , :

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7 l? C¡pftúo2ó'

(¡ [cyi&C¡¿ür¡ "

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( ( (i

¡IGIJRA 24-14 Ejcrnplo24-6. Una suporflciogausslan¡cómo& nera un plano tnflnlto unlformcmcntccargadoprcdo sorctulquicr contomoquy6 l¡dc scan al plano y anyalapay fondo soanparalclosal iilano' ¡rcqrcndiculnrcs

t

eléctrico sefá.pefpendiculara é1,y de alejará de é1.PodemOscomp¡obarlo cglocandoUnacargade p¡reba gercadel plano. Lq fuefza,en esacargqsealejani del C al planO.Bambién, la simetdanos dicüaque el o.acerca¡á.directamente carnpoeléctricotengauna fnagnitudqüe sólo dependade la distanciaperpendial'plano, uná buena cular al plano. Como el campoeléctricoes.Perpendiculat por ejemploun como recto, sólido gaussiana es cualquiet supefficie de selección (figura24-14)' plano cargado (rireaá) paralelos al y fondo su suüaPa cilindro, con al campo per,pendicular o paralela gaussiana es superficie de esa Toda la cara e sgpefiof gaussiana superfioie dA, .de .la difefenciales, ¿ireas I¿s eléctrico. dA E producto que el ' de modo plano catgado, del alejan se ta¡nbién inferior

es pamlastressuPerficies

para9l fon{g para el lado:

I

U, t

,\ .__z

l

( {

E.dA . E dA; 'E.dA -' E d , q ; E . d A -0 . .

parala tapa:

(

( I

de que dA, parael lado, aPuntaen todoslos La úttima ecuaciónesconsecuencia pgryendiculatfi é1. pero E siempiq,'es plano, paralela al lugaresen ditección es la ley de Gauss . La ecuaciónQ4'7) de

. r!n, : jl_"".dA E.dA + lli,-" .on: ff.,'" * ff".dA de la tapay del en ia cualhemosempleadoel hechoqueE esconstanteen el ¿ír'ea : ' gaussiana ' superficie la fondo,z{,de en el plano Ia c,aryatot¿ienceniclapor esasuperficie esla dtrese-énsuent¡a y el rirea encerada o, es de cafga superficial densidad la denhodel cilindro. Como en tmnsfotma annterior se oA.I-^ecuación que tenef esz{,'débemos Q-

t

( (, \-, (

{

Q _oA :zEA; €9

€g

E :+.

(24'14)

del SI,'.o se mide en cor¡lombspof.meho cuadrado.Asi, las :Eb.,Unidades untdado¡de €o$soñC/il, quc esresultadocomecto.La ecuación(24'14) es el (r

mismo ¡esultadoal que llegamoscon mucharnayor dificultad por integtación ditecta,en el caplhrlo23 [ecuación(23-33)].Nóteseque E es independientede la distanciaal plano. I.a ecuación(24-14)tambiénexp¡esael campoeléctricoen un puntodado, debidoa un planofnito cargado,siemprey cuandola distanciadel punto a los ladosdel plano seamuchomayor que la distanciaperpendicularal plano.

24-4 coNDUcroRESy caMpos Er,rcrRrcos

713 2*{

C,onductocc¡ y crmpor cléclrlcor

,

Un buen conductor,como la plata, el cobre o el aluminio, tiene gran nútnero de "libres,"guesepuedenmoverdentrodelmaterial(eléctricamente electrones neutro). Cualqiuercampoeléctricoquepuedadesanollarsedentrodel metal,comoresultado dela presenciadeun campoeléctricoexüemo,haráquelos electronessemuevan.En menosdeun microsegundo,sereacomodanenunaconfigumciónqueanuleel campo eléctrico dentro del material. Si quedaradentro cualquier campo, harla que los electronesdel conductorsemovieranhastallegaral equilibrio (sele llama equilibrio electroskitico),Losconductoresno tienencampoeléctricoestdticointerno. Nohry crmpoelécrrico esrótico denr¡.o Estapropiedadde los conductoresse muestraen la figura 24-15',Un conducto¡ dcunconductor se coloca en un campo eléctrico externo,espacialmenüe constantey estático,que apuntahacia la derecha(figura 24-l5a), En estecaso,algunoselectronesdel metal semuevenhaciael lado izquierdodel conductor,dejandouna deficienciade electrones del lado detecho del conductot.El arreglo de excesode electronesdel lado izquierdoy falta de electronesdel lado detechoforma un campoeléctricointemo nuevo,que apuntahacia la izquierda.Este campo interno anularáexacüamente al carnpoextemo,de modoqueno hay camponetodentrodel conductor(figura24-15b). , El movimiento de cargas en respuestaa campos eléctricos aplicadosse llama inducción. El hechoqueno hayacamposeléctricosesliticos dentrodelos conductorestiene consecuencias en el comportamientode conductores,cuandose colocancargasen ellos o cercade ellos, o cuandose colocanen camposeléctricosextemos.Este comportamientose dete¡minacon ayudade la ley de Gauss.Veamoslo que sucede cuandoseagregaun excesode cargaa un conductor.En la figuta 24-6 mostramos Su¡rcrlicio

E (a)

l,l ( b )

FIGURA Z-15 C-orxluctorsln carga cn un cam¡n clóctrico cxtcmo. (a) El campo clcctrico antcs do int¡oducir cl conductor. (b) So induccn cargascn h suporficio dol conductor, dc tal modo quo ol campo elcct¡ico dcntro dcl conductor cs ccro. [¡s cargas inducidas modifican al campo fuera dcl conductor, dc modo quc cl campo ya no tionc su forma original.

+r FIGURA 24-16 Para dctcrmi¡u¡ cl cam¡n cléctrico dcntm dc rm conductor dc tffn¡ño y forma indctcrminados, sclcccionamos una srpcrficio gaussia¡u inmcdiata¡ncntc dcntro dc la supcrficio, dc tal modo quo la supcrficio ccrrada no cncicrrc cargas.

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Capit\¡lo 24 ,try rlc Geu*r

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FIGURA 24-17 (a) Espaclo lrucco, no conductor, dcntro dc r¡n conduclor sin ca¡ga cn su intcrior. Toda la carga dcbc cstar cn la supcrficic extoma dcl corductor. (b) Si colocamos una carga dcntro dol cspacio hucco, aparcccni una carga inducida or la supcrficic intcrior dcl conductor, haclcndo quc cl campo clóctrico sc¡ cc¡o dcnl¡o dcl rnstcrlal coruluctor. Unn srtfrcrflcio g,¡lL\siIm tnzn(ls In¡nc(llRlnnrcntc¡fuor¡ do la su¡rcrflcic dcl cspnclo hucco ¡yrrde a dcmostrarcstos result¡dos.

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junto conunaSuperflrcie gaussiatra esé'conductor, inmediatamente enel interiordela a esa supetficiele aplicamoslá lby de Gauss,verernosque, superficiemétálica.Si como,nohay bampo,no hay flujó, y por consi'guienté no hay carganetádentrodel estáel excesode carga?En equilibrioelectrostático, todocicesode metaf.'¿Dónde Lce qargnolibres semuelen lr¡cl¡ ls¡ superficiesexterioreede loe carga estden la silperficieeiterna de u'nconductor. conducto¡'cg un mediono conductor,comoaife, denunaburbujaquecontenga Imaginemos que no hay excesode carga lrll ¿ Suporficlc tto de un conductor(figura 24-17a),y supongamos /tlA g¡wslnna denttode la burbuja.Sóloen la superficiede la burbujasepuedeacumula¡esacar- Íli 'tr ga.Una superficiegaussianaque rodeea la burbuja,pero que sc ehcuentredentro il del conductor,no tieneflujo eléctticoa travésdeella,porqueno hly campoeléctrico enel conductor.Asf, no hay carganetaen la superficiede la burbuja.Todoexcesode carga colocadoen un conductor,aun cuandocontcngaburbujasno conductoras,se muevehacia la superficieexteriordel conductor,siemprequeno haya catgadentro de las burbuja'sno conductoras. cuandohay cargadetrttode las burDebemosmodificarnuesttorazonamiento + bujasno conductorasqueseencuentrana su vez dentrodel conductor.Supongamos quehayunaburbujano conductoradentrodeun conductoty quecontieneuna.carga +Q (figuta 24-l7b). De nuevo,trazamosuna superficiegaussiana denttodel.metal üii quetodeea la burbuja.Comodenttodel tngtalno haycarnpo,la carganetaencenada debeserceto.En estecaso,se induciráuna cargad" -Q en la superficieinternadel metal;estoes,sobrela superficiedela burbuja.Estacarganegativainducidamalrtiene IIGURA 24-18 Paradctcrminarcl campo al campoeléctricoen cerodentrodelconductor.

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clcct¡icofucra do r¡¡¡conductordc t¡¡¡¡año a¡bitrario,sclcccionamos un cili¡rdro circular¡cctocomosupcrficicgarrqsiana. [-8 únicapafc dcl c¡lindro I travcsdc l¡ cual hay ur flujo clcctrico distinto do coro cs la tápacrlonu dcl cilindro, El clmpo elóctricocerc¡ dc ún conductor eeperpendiculer r le eupcrflclc dc &tc

Campos electrostáticos cefca de conductorcs De estadescripción,podemossacardos conclusionesirnporkntesacercade los camposelectrostáticosque rdean a los conductores.La primera es que eI campo de un conductor,debeserperpendiculara la supereléctricoinmediatamentefuera ficíe del conductor. Si hubieraun componerrteparalelo,entonceslas cargasde la y semoverfan,contradiciendo nuestrahipótesisde equilisuperficiereaccionarfan la ley deGauss,podemoscalcularel valorde ese brio. En segundolugar,empleando cercade la superficie,en términosde la densidadde campoeléctticoperpendicular cargaen ella. Parahacerlo,vealnosel conductorque semuestraen la figura 24-L8, y cuya tapaes cuyo lado es perpendicular con una diminutasuperficiegaussiana paralelaa la superficiedel conductor.Es diminutaporquela densidadde carga y sólorlosrcfctircnloso o ctrel punto superficial,o, puedcvar¡arcn el concJuctor, Dentrode la srrperficiemetálica,el campo en el quesetomala superficiégaussiana,

.t.f

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L T-

L L

eléctricoes cero, y es paraleloal lado de la superficiegaussiana. Asf, la única contribuciónal flujo provienede la tapa.si la superficiegaussianaes lo suficienüemenüepequeña, E,queesperpendiculara la tapa,sepuedeconsiderarcomoconstante enella,y

715 2tf-4 C.onducto¡cr y cem¡xr

elértdca

: *: fl' dA EA, siendo/ el áreade la tapade la superficiegaussiana.La cargatotal, Q, encerradapor la superficiegaussiana,es oA, de modo que la ecuaciónanterio¡setransformaen

-( qQ - : 4 : r ¡ . €o El ¡lrease simplifica.El campoeléctticoinmediatamente fuerade la superficiees prootcionala la densidadlocalde carga,o: (, L--

€o

(24-ts)

Esteresultadoesválidosólocercade la superficiedel conductor.Si eso no útil, dependede nuestroconocimientode la densidadde carga,o, y de lá magnituddel campo,que varla en la superficiedel conductor,al variar o. El campoeléctrico sicmpreseráperpendicr¡lar al conductorcercadesusupcrficie(figura24-19).Esirtil cotnprobar esteresultadoconsidera¡rdo un conductorqueseaunaesferade radioR y cargatotalQ. En estecaso,la simehlademandaquela cargasedistribuyauniformementesobrela superficie,y

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Campo eléctrico inmedi¡t¡mente ¡fuer¡ de l¡ superficic dc un conductor

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4ln'i'

Parael carnpoinmediatamente afuerade la esfera,la ecuación(24-15)darfaentonces comoresultadoE - Ql4nesÑ,queconcuerda con la ecuación(24-12),resultado que sededujoantes. El campoinmediatamente fueradeun conductor(E - olq) tienedoblemagnitud queel campode un platrono conductorcatgadocon la mismadensidadsuperficial de carga(E - ol24). Esto se puedecomprendercon facilidad.La cargaen una superficiede áread,4es o d,4,y da lugar a determinadonúmerode lfneasde campo. Paraun plano conductor,no hay llneasde campoen el lado conductor,de modo que todaslas lfneasde campodebenemergerdel lado abierto. Podemosresumirlo quehemosaptendidoacercade los conductores,en la forma siguiente: 1. El campoelectros&iticodentrode un conductores cero. 2. El campoelecttosláticoinmediatamente fuera de un conductores perp€ndicular a la superficiede éste,y tieneel valor o/e¡,siendoo la densidad superficialde cargalocal. 3. Un conductoten equilibrio electrostático,aununo que contengaburbujas no conductoras, sólo puedetenercargaen su superficieexterior,siempre que las burbujasno contengancarganeta. Podemosagregarun tesultadoimportantemá.. Supongamosque tenemosuna burbujaenun metal,sin cargadentrode ella.Ahorasabemosqueno haycampodentro delmetaly, esmás,no hay carganetaen la superficieintemadel metalquerodeaa la burbuja.Aun pata casosno simétricos,sepuededemostrarque,mientrasno haya cargadentrode la cavidad,el campoeléctricoescero, en todoslospuntosdentrode la burbuja. El hecho que no haya camposeléctricosdentro de cavidadessin carga,en los metales,tieneaplicaciones prácticas,Con frecuencia,los laboratoriosde investigación cuentancon recipientesformadoscon l¿iminaso mallasde cobre.Esoscuartos

+l \, f'IGURA 24-f 9 Cam¡ncléctricodcntroy al¡cdc
"bliridados"sottne¡esaridsparallcvara'cauonredicionc$electrórricas delicadas,para que no gueden afectadrispor th inlerferencia eléctrica'áxtema (figura 24-20). EL fecinto es una cavldad dentro del sólido metálico fr¡rmado por las nrallas Cc cobre. Dentto del recinto no hay campo eléctrico debido a cualquíer efecto extemo, siempre que'haya carga neta c€ro en el interior. Si hubiera una carga ileta en el interior, se inducirla cargaen et iirterior derlaslnallhs dc cobre,fórzancloa quc cl campo eléctrico dentro del cobre sea cero, y habrla un campo elóctrico derrtrodel recinto. Las consecuenciasde esas'propiedadesválr más állá del laboratorio, El interior del automóvil del lector es un lugar seguro en el caso de una tomrenta elóctrica,pero, por la misma razón, el tadiorreceptor trabaja rnenos bien cuando el vehfculo está "enjaulado" dentro de un puente metálico.

+.

24-5

¿QUETAN BIEN coNocEMos,LA LEY DE GAUSS

Y Ij. DE COULOMB?

La ley de Gaussbquivalen la dc Coulotnb sólo porque istn últinra es unn lcy de cuadrado inverso. La ley de Gausses uno de los bloqtresbásicosde nuestro conociI-IGURA 24-20 Dc ocrrcrdocon la lcy dc miento de electticidad y magnetismo, y debemospreguntar qué tan bien se conoce, Causs,no hny cnm¡xr clcctrico dcntro dc y probarlatan precisamentecólno sea pdsiblc.'Los erroresirnpllcitos en cr:alcluier u¡racavidad vacia dc,nt¡odc r¡rrr¡rctal,l¡x invostigadorcsaprovcchnn csn vcntaja medición de Ia ley de Coulontb estableccnllmites a nr¡est¡oconocinricnto de la ley trabajarrrlorlcntro dc una jaula tnctálica, de Gauss,y esos lfnrites se han tr,ejorado pcr Civersosmedios, cri fotma continua, dont¡o rlc la cual so climina¡r los campos r,l.,ln c,ierrcia el dud¡r eteniamentede hastael presente,Es una de las coracterístic,id dobidcx n l:rs fucntcs cxtcmns. ayer. a cabo porque llevados No es tanto los experimentos los experimentosde ayer porque el podrla sino rc'sultado de aycr ser sólo una aptoximahubieranestadomal, ción, y que, con aparatostnás modemos, se puede llevar a cabo un experimento más exacto. A cotrtinuaciónrepasaremosla precisiótr cotr la cual se han comprobado las precisionesde las ccuacionesdc la electrostática.Presentnrcrnoscorl algo de cletslle una técnica especialmentesensiblepara probar la icy cleGauss, Las prirrreraspruebasse relacio¡ralrcon el
776

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h'.,

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A cotrtinu¡ciónasignólltnites al pariítnetro6, c$nto cn la ial;la 2'i-1. Cu¿;',doÓ - 0, mencr cs cl litniie cic 5, h lt:;' se la lcy de la inversaclelcuadrndo('sexacta.lvlic¡rt¡:¡s tr:n:r rlel.;.c;irrol ililrrtclrlr, Disafot lc',,, e:,ui:".clils il:vclso. accrcatnrisa la del cuaclrario ;t.¡'fL,e,'iiti ll¿s,t¿ i3C1., tiiucho il¡ttescerrdeii'.c, sólo se collocierollen ufra.¡'eunión i' .r,ri:licó ier;.,ilrdcc' :i;r' despuósde la pubiicació¡rcleCoulomb, c,ucRr',1;isoii

El siguientedescubrimientode la ley de coulomb fue hechoen 1773,por Henry Cavendish,personajebasüanteexcéntrico.Por su conocimientode la gravitación, sabfaque la presenciao ausenciade cargaen la superficieintema de un conductor cerado esconsecuencia de lo queahorallamamosley de Gauss,y, por lo tsnto,prueba direetade la ley defuerzal/1. Colocóunaesferaconductoradentródeotra,y ctnecté lasdosmediarrteun alambre,Despuésde colocatunacargaen el aparato,desconectó el alambrey vio si habla quedadoalgunacargaen la esferainterna.Hasüa¿ondele permitió la exactitudde su experimento,no encontróninguna.pudo describir su resultadodiciendo que 6 debe ser'menor que detenninadovalor. Cavendishera todavlapeor que Robison,en lo concernientea la publicaciónde susresultados,que no aparecietonhnpresossino hastadespuesde más de 100años.El experirnentüe cavendishseagrupaahorabajo el nombrede experimentode Ia hielera,de Faraday, en honor de Michael Faraday;es la basede muchasde las pruebasmodemasde la ley de Gauss,con altaprecisión. No fue sino hasüa1785que chades coulomb entróen escen&,peto publicó con prontitudsusresultados,y ahoratieneel créditode la ley de la fuerza.Ensayóesaley directamente,con una balanzade torsión muy semejantea la que empleó H"r,ry Cavendishen I 798paramedir la fuetzadela gtavitación(véasecapftulo l2). El lfrnite de ó de coulomb, de hecho,fue peorqueel de Robisono el de cavendish,comose ve en la tabla 24-1. Hubo mejorasnotablesa los experimentossemejanües al de cavendish,por paf,edeJamesclerkMaxwell en 1873,samuelJ.Plimptony willard E, Lawtonen 1936,y Edwin R. Williams,JamesE. Fallery HenryA. Hill, en 1971. como indicaunamiradaa la tabla24-1,el gradode precisiónde esosexperimentos, quesonpruebasdirectasde la ley de Gauss,es.asombtoso.

717 ¿Qqé tan blcn conoccmm h lcy& Geum yb dc (hrlornb

Un experlmcnto nulo Desoibiremosunaversiónsencilladel experimentodeFaraday,de la cubetadehielo, quesepuedellevara caboen una demostraci6nen conferencia,o en un laboratorio de licenciatura.2El equiponecesarioe.sel electroscopio,detectorde cargalibre

rl.rr

Ar¿ndoladohulo

*2 -Cala

(a)

(b) 2 Posiblcmontc,la "hiclcr¿" cra u¡n cubamcüilica, quo

Sirviócomorccipicntcmoüiücopararodcarla carga.

I'ICURA 24.2f (a) IIn olcctroecoplo, ¡paratoquc dctcctala proscncladc cargr. (b) Esqucmado un oloctrccoplo. Curndoco cargacl conductormcüilico,la hoJadolgada dc oro tarr¡biénsc cargay cs rc¡rclidadolr varillaconductora.

so ¡rodiaconscguircn cl laboratoriodo Faraday.

,: tl \, '

sd|¡¡r¡.b¡¡¡i¡f¡!'

lloja do oro

(figr:m 24-21a). Cuando el electroscopio recibe un exceso de carga, Ia carga se distribuye en todo é1,incluyendo la varilla metálica y la hoja de oro dentro de la caja (figura 24-21b). La hoja es repelidajB la varilla metálica, hasta que el componente vertical de la repulsión electtostáticaqueda equilibrado por la fuerza de la gravedad sobre la hoja. La adición de más carga hace que la hoja de oro se aleje todavía más de la varilla. También se necesitaun recipiente nretálico hueco con un agujero en la parte superior, como se ve en la figr:ra24-22a. Se puede introducir carga al interior del'recipientecon una pequeñabola metálica en el extremo de una varilla aislante.El electroscopiose fija al exterior del recipir:ntey asf indica la cafga en el exterior. A continuación, se pone una carga positiva, +Q, en la bola metálica, que se introducepor el pequeñoagujeroen el recipientecerrado,sin tocarlo (figura 24-22b). La ley de Gaussestableceque no hay carga netadentro del recipiente metálico casi cenado, de modo que se debe inducit una carga -Q en la superficie interna del recipiente3. Como el recipietrtemetálico es neutro, se inducirá una carga +Q en su exterior, y la ind'ca el electroscopio.Si la bola se rnueve,rlo cambia el electroscopio en absoluto,lo cual coincide con la ley de Gauss.Entolrces,la bola de metal toca al interior del recipiente hueco (figura 24-22c). Si la ley de Gauss es conecta, la cargade la bola neutralizala carga -Q inducida en la superficie interior, dejando la carga +Q en la superficie exterior. El electtoscopio lo indica al no cambiar en lo más mlnimo. Cuando la bola de metal se sacadel recipiente,la superftcie extema de éste peremanececargada(figura 24-22d). Si se toca otro electroscopio con la bola de rnetal, podremos comprobar que no lleva carga. La descripción de este experimerrtodemuestra por qué es potencialtnentetan preciso. Si la ley de Gausses correcta, no hay cantbio en la posición de la hoja de orc cua¡rdose toca la superficieinüenra.En forma equivalente,el expetimento de Cavendish comprueba la ausenciade carga en el illterior de closesferas.Experimentos como el de Coulomb, que precisan de pequeños cambios en comparación con efectos menos precisos que otros, colno el de Cavendish,que mayofes,son furhererrüemente buscan pequeñas c rrgas compatadas con ausencia de eféctos. Los expetimentos que buscan pequeñ ,Scotg&s en compatación de cambios ttulos, se llaman expeúmentos nulos. Es nucho lnás fácil efectuar una prueba de precisión de la ley de Gauss,que de la le¡ de Coulomb, porque se puede emplear un experilnento nulo.

La lcy dc Coulorr b es válida para distancias pequeñas y gran
Fl(;I IRA 24-22 Un clcct¡ccopio so fija a la su¡xrrficic cxtcma do ur¡a csfcra co¡xkrclora hucca para dc[iostraf la prc,strncindo cargn. (n) No hny cargn, y la lro.jnrlo oro cuclgn hncir rbnJo. (r) Dcntro dc la csfcra sc coloca una bola cargada cn cl cxl¡crno do r¡na varilla aislada, y sc inducc carga. (c) Si la bola mcuilica toca la superficic intcma dol conductor hucco, toda la carga pasa a la suporñcio oxtoma. [r hoja dc oro dol electroscopio no indica cambio en la carga fuora dcl conductor hucco. (d) Cr¡arxlo la bola n¡ctdlica alslada sc sacaal cxtcriof, la carga pcrmanococn ol oxtcfior dol co¡¡ductor hueeo, y la boh rnoldllc¡ r¡o trcnc cafga.

Sin embargo, ho hr ños llegado al final de la historia, En primer lugar, los experimento5 que hemos citado en la tabla 24-1, sólo prueban las leyes a una distancia aproximada de 1 m. Sin embargo,se suponeque las leyes de la electtodinámicason válidas en sistemasatómicos y a distanciasgalácticas.En segundo lugar, hay otras pmebas a propósito del armazón de las leyes de la fisica, que sugieren fuertemente qu" no et potible una dcsviación de la tcy de Coulonrb que tenga Iafornm llf'6.8n lugar de ello, un modo de catacterizaruna desviaciónrespecto a la ley de Coulomb es empleando la forma aproxímada

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Si la ley de exponencial 2.78...,y p es una constatrte. en la cual ¿ es la constante Coulombescorrecta,el parámetro¡r - 0. Hemosvisto antesla forma exponencial; esuna fi¡nciónque decrececuandoaumentar, en una distanciaque dependede ¡1. Mientrasmayorsea#, con más rapidezdecrecerála exponencial,y mayor serála violación de la ley de Coulomb.Ahora sabemosque cualquierviolación queda conmáspropiedadmediantelfmitesde ¡"r.Podemosdeterminarlos límites fli: expresada p y, por lo tanto,de laspruebasde exactitudde la ley de Coulomb,a partirde los $i. d" tii, ' El agujcro prrcdo haccrsc miis y nuis ¡r4ucño, hasta quc su prcscncia no imlnrtc.

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experimentos citadosanteriormente. Porejemplo,el experimentodeV/illiams,Faller y Hill, implica que p es firenor que 6 x 10-8m-1. Esos limites se puedenampliar observandola dependencia del campomagnéticotenestrecon la distancia,y también delcatnpomagnéticodeJúpiter,medidopor la naveespacialPioneer/0. Aunqueno hemosestudiadoel magnetismo,todavfa,podemosdecir que los lfmitesde ¡r que se detetminanasl son en realidadlos telacionadoscon la ley de Gauss.Las mediciones planetarias,ademásde ser directas,dan valoresde ¡r que son más pequeños,en un ordende magnitudo más,quelos quese.obtienenen experimentosde laboratorio,y tenemosla venüajaadicionalde probarla ley de Gaussa grandesdistancias. Por último, ¿quétan bien conocemosla ley de Gaussa distanciascortas?Loe coloresde la luz, emitidospor los átomosexcitadosde hidtógeno,son indicadores muysensibles de la fuerzade Coulomba disüancias en escalaatómica,de unos10'10 m. La exactitudcon la que se determinala ley de Gauss(y, por consiguiente, la de Coulomb)escompambleenexactituda la delosexperimentos dePlimptony lawton (véasetabla24-l); estoes,aproximadamente de I patteen 1000millones.Hastaa distancias nucleares, deunos 10'15 indicanquehayconsistencia m, los experimentos conla teorfabásicaqueconducea la ley de Coulomb.

7rg Rcrumcn

RESU M EN El flujo eléctricodebidoal campoeléctricoE quepasapor cualquiersuperfitcie es

* : lJ,E.dA.

(24-3)

La ley de Gaussrelacionaal flujo eléctricoa travesde unasuperficiegaussiana por queesuhasuperficie ceffada, itnaginatia cetrada, conlacargatotal,Q,encenada lasuperficie:

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(24-7)

La ley de Gausses equivalente a la de Coulomb para casosestáticos,y, a diferencia de éstn,es vólida aun cuando se manejan camposno estáticos.Pot lo tanto, es una de las ecuacionesfundamentales del electrcmagnetismo. La ley de Gauss también es una hertamienta poderosa para determinat catnpos eléctricosdebidos a distribuciones de carga con alto gtado de simetda. Se pueden usar para deducir, en una fonna sencilla, los campos eléctricos debidos a una ca¡ga rectillneao los debidos a un plano conductor.Parauna distribución generalesféricamente simétrica de carga centradaen el origen de un sistemade coordenadas,la ley de Gausspropotciotrauna deducgiónsencilla del campo a una distanciar del origen. Si g es la carga total contenida dentro de una esferagaussianade radio r, entonces, el campo eléctrico en r es igual al de una carga puntual q en el origen, E = ql(4nt"f). Los conductores teaccionan de modos especiales a los campos y cargas eléctricas:

l

l; F E r r

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1. El campoelectrostáticodentrode un conductores cero. afuerade un conductoresperpen2. El campoelectros!áticoinmediatamente diculara la superficiey tieneel valor o/q, siendoo la densidadsuperfltcial esconstante. de caryalocal, queno necesariamente 3. Si no hay agujetosno conductoresque contengancarga,un conductoren puedetenercargasólo en'susuperficieexterior. quilibno elect¡os&itico

720 Capítulo 24 l¡ry&

c'¿¡¡sú

la ley de Gauss y su equivalente, la ley de coulolnb' se han zujetado a muchas pruebas experimentáles desde mediados del siglo XVIII. La ley de dependencia fespecto al cuadrado inverso de la distancia se ha comptobado con una precisión que va de una parte en 10ea una en 1016,etidistancias entre 10'10m y 10em.

PNEGUNTA,S 1. Se define un campo de temperaturascuandoseespec-tficala temperaturade todo punto dentrode una regióndel espacio. ¿Esposiblecalcularun flujo rclacionadocon csecampo? 2. En el texto citamosal experimentodc la hielerade Faraday, y describimoscon detalleuna de susvcrsiones'I-a descripción es dc una esferacon un agujeroen clla, y decimc que hay interior y exteriorde esaesferaabierta(f,tgura24'22a)' Sin embargo,una esferaabiertano tiene un interior ni un exterior definidos, potque, a difercncia dc una esferacenada y hueca,se puedcdeformaren forma continuay llegar a ser un plano. ¿Porqué es poeiblehablar del interior y exterior de unaesferaabierta,y por quéla esfcraabiertasecomporta como una esferaccrraday hueca(una burbuja)en el experimento? 3. Con la ley de Oauss,demuestreque las llneas de campo eléctricodebensercontinuas,y sedebcnoriginary terminar cn carSas. 4. Describala fonna en que pudierafalla¡ la ley de Oausssi el campode unacargapuntualtuvieraquedecreceren función de llr y no de l/É. 5. Si una lámina grandey planatienecargapositiva,el campo se cxtiendc en ambasdi¡eccionespartiendode la placa, y tienc una magrritudde o/2ee'Si Una segundakimiru de carga igual,pcro opuesta,secolocaparalelaa la primera,el campo que rodeaa la primera sólo se extiendehaciala segunda,y tieneuna magnitudde o/eo,siendooexactamenteigual que la anterior.¿Cómoreconciliaustcdestescgundocasocon la ley de Oauss? 6. Una primerasuperficiegarssianaesuna esferade radio r, y esferaconcéntricade radior - 6, siendo unasegundá,es]luna 6 muy pequeña.El flujo eléctrico a través de la primera superficic et qP, y sobre la segundasuperficie es cero' ¿Puedeustedllbgar a la conclusiónque,de acuerdocon lo anterior,qüb el espacioentre las supcrficiesestálleno uniformeme¡tg con una catga QI

7. Se tiene un campo eléct¡ico, E, que es cero en todos los puntosde una superñciecerrada,S. ¿Quiercdccir estoque no hay cargasdentrode esasuperficie?Cite un ejemplopara el cual hay cargasdentro dc una superficie, y al mismo tiempo E - 0 sobrela superficie. 8. ¿Cómose veria la ley de Gausspara el flujo de fluidos? ¿Cómose verfa para el campo gravitacional,definido por demasa? fuerza/unidad distribuye unifomrementeenun alambrecircular I: carga se 9. rodeadopor un toro (dona)parael cual el alambreocupael eje.I-a simetrfadelconjunto,¿nospermitedeciralgoacerca del campoeléctricodebidoa la cargadel alambreci¡cular? 10. Una cargapuntualpositiva,y una negativade igual valor, estánf,rjasen la superficiede r¡nconductorde forma a¡bitraria. ¿Quése puededccir,si es que se puede,acercade las lfneasde camporesultantes? ll. Una regiónen el cspaciotienecampoeléctricounifonnc. ¿Quépodemosdecirace¡cade si hay o no cargasdentrode la región? 12. Paradeducirel carnpocléctricode unalfneade cargainfini' enforma tamentelarga,empleamosrurasuperftcicgaussiana dc un cilindrorectocentradoen la.lfnca.¿Porqué,el usode esasuperficie,no nos permitc determinarel campode una lfneade cargade longitudy'rtila? que se conoceel campoeléctricoen determinada Suponga 13. región,y sólo tiene utr comPonente 'r y uno y, y que los componentessólo dependende x y y, pero no de z. ¿Qué puedededucirustedacercade.ladistribuciónde cargaque originaesecampo? i 14. Ti.n" ustedun instrurhentoque mide el campoeléctricoen cualquierpuntodelespacio.Paraunaregiónenla cualusted sabe,en forma independiente,que la densidadde cargaes constante,¿cómopuedeemplearel instnrmentoparamedir esadensidadde carga?

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PROBLEMAS 24-1 Fluio eléctrico 1. (I) Unaplacaffitnitamente grande,delgaday no conductora, tiche una der¡sidaduniforme de carga,o' (a) ¿Curilesel flujo eléctricopor un clrculo de radio R paraleloa la placa?(b) ¿Cuálespl flujo por esccfrculo si el plano del clrculo tiene una inclinacióqtde 30ocon resPectoa su orientaciónoriginal? 2. (I) El campo eléctrico debido a una lfnea de carga infinitamente larga, recta, con densidaduniforme de carga, l, apunt¡ dircótoalejándosede la lfnea,y su magnitudes B - ry2rdr;'sicndor la distanciaal alambre.Calculeel flujo de esecainpoeléctricoa havésde un cillndro ¡ccto de alhua l¡

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y radioR, concéntrico conla lfneacargada'Repitael cálculo paraun cilindrode radio2R. 3. (I) El campo electrico en determinaCaregión del espacio tiene la direcciónde z y su magnitudes E - 4xz, en la cual x y z se miden a partir de ciertoorigcrl.Calculeel flujo de [:1 ' *il esecampoa travésdeun cuadradoperpendicularal ejez; las !:t, esquinaidel cuadradoestánen (x,y,z)- (1,1,3),(1,2,3), l i ; (2,2,3)y(2,1,3).Todoslos campossemidenenN/C, y todas las distancias,en m. E,' -2x, E, 4. (I) Un campoeléctricotienecomponentes través de los lados a flujo eléctrico el Calcule -}y,y E, - 3¿ de un cubo unitario, cuyas esquinasson (¡,y¿) - (0'0'0)'

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(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,1),(1,1,1)y (0,1,1).Todos los campoese expresanen N/C y las distanciasen m. 5. (II) Un campoeléctricodc direccióncotutanteesperpendicularal planode un clrculo de radioR. La magnitudmáxima del campoen eseplanosc tieneen el ejedel cfrculo.Suponga que la magrútuddel campo eléctrico en el plano decrece desdeun valor axial, en la forma l/r. Determineel flujo eléctricoa travésdel plano del clrculo. 6. (II) Mediantecálculosdirsctos,cstoes,sin cmplearla ley dc Oauss,determineel flujo de un campoeléctricoconstante, E, a travésde una superficiehemisféricadc radio R, cuya baseci¡cular cs perpendiculara la di¡eccióndcl campo.Su resultadodcbc ser igual al del flujo a travésde la supcrficic de la tapade un cilindro cuya basecircular,dc radio R, está orientadaperpendiculara la direccióndel campo.lsugerencia: El árra de una bandainfinitesimal a una latitud 0 y de un qspesorM0 es 2rP sen 0 dt, 0 varfa de 0 en el polo norte,a rl2 enel ecuador.] 7. (II) Una cargag eccolocajusto ariba dcl ccntodo un cfrculo horizontalde radior, y sobrela cargasccolocaun hemisfcrio de eseradio. Calculeel flujo eléctricoa travésde la superficie cerradaque consistcdel hemisferioy cl cfrculo plano (figvra24-23).

FICURA24-23Problcm¡ 7. (III) Se tieneun paralelepfped! infinitesimalubicadoen un punto (r, y, z), cuyosladosson-dr,dyy ü,y estánalineados con los ejes¿ y y z (figura 24-24). Demuestreque el flujo eléctrico del campo E - Ej + Arj + Ek a través de la superficieque limita esevolumen estádadopor

La cantidadentre paréntesis,el coeficientedc d¡ dy dz sc llama la divergenciadel campovectorial E. 24-2

Lcy de Gauss

9. (I) Una carga de 10-3Cse distribuye uniformemente sobrc la superficie de una esferade I crn de radio. Calculc cl flujo eléctrico total a través de una esfera concént¡ica (a) justo dentro de la supcrficic cartada, y (b) jr¡sto afucn do l¡ superficiccergada. 10. (I) Una carga puntual de 5 pC sc coloca inmcdiatamcntc dentrodel centrode una caradc un cubo gaussianoimaginario. ¿Cuálcs el flujo quepasapor la sumadc las sciecaras del cubo? | 1. (t) El fl ujo eléctriconetoquepasepor unasuperficiecerrada dadaes -4 x l0 N.m2/C. ¿Quécargaestácontenldadcntro de la superficie,si éstaes (a) una esferade 3 cm de radio, (b) un cubo de 3 cm de radio, (c) un cilindro ci¡cula¡ rccto de 3 crn de alturay I cm do radio? 12. (II)'Una cargade 3 pC sc colocaen el ccntrodc un cubodo 4 cm de lado. Determineel flujo eléctricoa travésdo cada uno de los lados. 13. (II) Una región dadatiene un campoeléctrico que esla suma de doscontribuciones:la debidaa una cargaQ- 3 x 10-¡0C en el origen, y un campouniforme dc intensidadEo- 50 N/C en di¡ección¡. Calculeel flujo a travésdc cadalado dc un cubo de l0 cm de lado, cuyos lados son paraleloea las direcciones¡, y y z.El cuboestácentradocn cl origcn14. (II)El campogravitaciorul, g, debidoa una masapuntul, M, puedc obtenersepor analogfacon el campo eléctrico, formulandouna ecuaciónparala fuerzagravitacionalsobrc una masadc prucba,y dlvidiéndolacntrc le magnltuddc la masade prueba,m. Demuestreque la ley ¡19Q¿r¡ccpan el campogravitacionales O -f g , dl¡ - - nGM,sicndo G la corÉantegnütaciqnl. Useedc resultadoparacalcularel campo gravitaciaal a una distarrciar dcl ccntro dc una csfcn dc radio Ry densidadunifonne, pa¡ar < Ry pan r > R 15.(II) Una cargapuntual,q, cstáen el centrode un tetracdro de lado L (figura 24-25). ¿Cuál as'el valor promedio del campoeléctricosobreuna caradel tetraedro?

*:(u+**oy *P)0, oro, oz / \ox

FIGU¡IA 2425 koblcma 15.

24-3

FIGLTRA24-24 Problcrna8.

Aplicacionesde la ley ile Gauss

16. (I) Calculeel campoeléctricofuera de un cilindro largo de radio R finito, con una densidadvolumétriceuniformc dc carga p repartida por cl volumen del cilindro.

7Zr

17. Use la ley de Oaüssparademostrarque el campoeléctrico fuera de una placa grande,delgaday no conductora,con densidaduniforme de cargasuperficial o, es E - o lzs.o. lE. (II) Un cilindro infinitamente largo de ¡adio R tiene una densidadvolumétricauniformede cargap. Calculeel campo en todoslos lugarcsen el interior del cilindro. 19. (ID En un dfa claro, en cicrto lugar, el campoeléctricojusto arriba del teneno es 90 N/C, y se dirige hacia el piso. La tiena misma es un conductor razonabley no tiene carga eléctrica. ¿Cuántacarga ncta está en la superficie de un campode mafzde 40 acres(1 acre- 4046.9m2)? 20. (U) Dos casca¡ones cilfndricos,delgadosy largos,de radios r¡ y 12,respectivamente, estánorientadoscoaxialmente.Un cilindro estádentrodelotro y sonconcéntricos. Los cilindros tienen densidadeslinealesde carga iguales,pero de signo contrario,,?' Desc¡ibael campoeléctricoresultantedentro del cilindro menor,entrelos cilindrosy fueradel cilindro mayor. 21. (U) Un globode 30 c¡n de radiotie¡reuna cargade 3 x l0-8 C distribuidauniformementesobresu superficie.¿Cuáles el campo eléctricoa una distanciade 40 crn del centrodel globo?Supongaqueel globoseencogea un radiode 10cm, peroqucno pierdecarga.¿Cuálesel campoeléctricoa una distanciade 40 cm del centro? 22. (ll) Un cascaróncilfndrico dclgado de cobre, dc 4 c¡n de diárnetro,tiene a lo largo de su eje un alambremetálico delgado,cuyo diámetro es 3 x 10-3cm. El alambrey el cilindro tienen cargasiguales,pero de sigfio contrario,de 10-eC/cm, distribuidasuniformemente.Calcule el campo eléctrico en la región entre el alambrey el cilindro, y la magnituddel campoeléctricoen la superficiedel alambre. 23. (ID Un cascaróncilfndrico iargo, de radio interior r, y radio exterior r, tiene una densidadvolumétricade cargauniforme, p. Determineel campoeléctricodebidoa esadistribución dc carga,en todo lugar del esphcio. 24. (Il) Una varilla de teflón de 4.0 cm de radio y 20.0 cm de altu¡a se carga uniformementeen su superficie. ¿Cuánta cargapuedeaguantarsin que el aire que la rodeasufra una descargadisnrptiva,lo cual sucedecuandoel campoeléctrico en el aire es 3.0 x 106 N/C? No tenga en cuenta la probabilidadde descargas en las aristas. 25. (II) Un casca¡ónesféricogrueso,no conductor,con carga total Q distribuidauniformementetiene radio interior .R,y radio exterior R2.Calculeel campo eléctricoresultante,en todo lugar del espacio. 26. (II) Doshojasdelgadasplanas,infinitas,no conductoras, con cargassuperficialesuniformesde 12 ¡rC/mzy -8 ¡rC/m2son paralelasentresl y estána 0.1 m de distancia.¿Cuálesson los camposeléctricosentrelas dos hojas,y fuera de ellas? 27, (Il) Dos hojasinfinitas y planas,exactamentecomo las del problema anterior, se colocanpn ángulosrectos entre sf. ¿Cuálesson los cr¡mposen las cuatro regionesen las que quedadividido el espaciopor los planos? 28. 0D Una placa de material no conductorforma un plano ir¡finito. La placa tiene un espesort y tiene una densidad uniforme de cargapositivap. Seorientaparalelaal planory, y su superficiesuperiorestáa z - t/2, y su superficieinferior

722

estáen z - -t12. Con la ley de Gaussdctermineel campo eléctricoaniba y abajode la superficie,al igual que a un valor arbitrariode z en el interiorde la placa. (II) 29. Setieneunlesfera de 4 cm de radio,quetieneuna carga negativade 40 ¡.rC,distribuidauniformemente. La esfera estádentrodé otra mayor, de l0 cm de radio. La esfera exteriortieneuna cargapositivadc 50 !C, distribuidauniformemente.Calculeel campoeléctricocomofunció¡rdel radi or,para0< r< 15cm. 30. (II) Sedistribuyecargaenunaesfera,y la densidadde carga esp - poparar< a, p * p o(r- R)l(a- R) paraa < r < R,y p - 0 paraR < r. Calculeel flujo a travésde las superficies esféricasr i a, r : R, y r - lOR, y calculelos campos eléctricosconespóndientes en esosradios. 24-4

Conductoresy cantposeléctricos

31, (I) Doscascarones permetálicosconcéntricos, conductores fectos,tienenradiosR y 2R,respectivamente. Secolocau¡ra carg q en la esferailttema,y de -2q en la externa.¿Cuáles sonlos carnposeléctricosen todo el espacio,debidosa los doscascarones?

32. (I) Dos placasparalelascon cargasopuestas originanun campode 3 x l0rrN/C entrcellas.Soncuadradas, dc 0.5¡n por lado.¿Cuánta cargadebetenercadaplaca?Supongaque la distribuciónde cargay el campoeléctricosonuniformes, comosi lasplacasfueraninfinitas.Estoesunabuenaaproximaciónsi la distanciaentrelasplacasesmuchomenorque 0.5m. 33. (I) ¿Cuáles la densidadmáxima de cargaque se puede colocaren unaplacaconductoragrande,paraevitarla descargadisruptivaen aire,quesucedecuandoEn¡, - I x 190 N/C?

Supcrf-icic gaussia¡la

¡-IGtlRA24-26Problcna 34.

34. (II) Una esferametálica de radio ¿ está rodeadapor un cascarónmetálicode radio interiorDy radio exteriorR. El flujo por unasuperftciegaussianaesféricaubicadaentrea y b es Qleo,y a travésde una superficiegaussianaesfé¡ica inmediatamenteafuera de la superficie extema es ZQleo (frgura 24-26). ¿Cuálesson las cargastotalesen la esfera intemay en el cascarón? ¿Dóndeestánubicadaslascargas, y cuálessonsusdensidades de carga?

35. (U) El campoeléctricocercade la superficietenestre,cierto dfa,es 100V/m, y apuntaradialmentehaciaadentro.Si esto sucedieraen todoslos lugaresdelmundo,¿cuálserfael signo y la magnitudde la cargatotal de la Tierra?Si se considera a la Tierracomo conductor,¿dóndeestáubicadala carga? ¿Cuáles la densidadde carga? 36. (II) Una cargapuntual,q, secolocaa unadistanciatr/2 sobre el centro de una placa cuadradaconductoradc área12.(a) Tracelaslfneasdecampoeléctricoa ambosladosde la placa, que tiene una carga-4. @) Repita la partc (a) paracuando la cargaen la placaes2q. 37. (ID El centro de una esferaconductoramacizade 4 cm de radioy con2 pC de cargase colocaa lO cm arribay l0 cm alejadodel centrode unaplacaplana,horizontal,conductora y cuadradade 25 cm2de área,que tieneuna cargade I pC. Tracelas lfneasde campoeléctrico. Problentasgencralcs 3fl. (U) Se tieneun cubode ladoa ubicadoel el origen(figura 24-27).Supongaqueun campoeléctricoestápresente,y está descritopor E - üt'i, siendoá constante. Calculeel flujo a travésde cadaladodel cubo,y useel resultadoparacalcular la cargadentrodel cubo.

FIGURA24-27Problcma 38. (II) Repitael cálculodel problema38 paraE - bfi + c¡¿k. Lascantidades ü y c sonconstantes. (II) Repitael cálculodel problema38 paraE - bfi - dxyj + cxzk.Las cantidades b, c y d sonconstantes. (lI) Se ticneuna esferamacizade radioR, con unacargaQ Supongaqueunacargapuntual, distribuidauniformemente. q, de masa¡r¡,con signocontrarioal de Q tienelibertadde movimientodentrode la esferamaciza.Secolocaesacarga en reposoen la superficiede la esferay se suelta.Describa el movimientosiguiente.En particular,¿cuáles el perfodo demovimiento,y cuál esla energlatotal de la cargapuntual? lSugerencia:recuerdelaspropiedadesdel movimientopara el cual la fuerzavarla linealmentecon la distanciaa un punto fijo, queesunafuerzade restauración.] (II) Un campo eléctrico constantese encuentrade un tubo deseccióntransversal cuadrada deladoL, y esparaleloa los ladosde esetubo. Una iuperficie planacorta el interior del

FICURA24-28Problcma 42. tubo formandoun ángulo 0 (figura 24-28),Demuestre, con cálculosexplfcitos,que el flujo por esasuperficiees independientedel ángulo0. ¿Cómodemostmrfaéstosin cálculos explfcitosdel flujo por ta superficic? 43, (II) Una esferaconductorade 0.25 m de radio estácentrada en el origende un sistemade coordenadas, al igual que una esferaconductora,que la rodea,cuyo radio es 0,75 m. La esferainteriortieneunadensidadsuperficialde cargadc 0.l0 mC/m2,y la esferaexteriortieneuna densidaduniformede cargadel doble de esamagnitud. (a) Determineel campo eléctricoa una distanciade 0.30 m dcl origen;(b) a una distanciade 0.50m del origen.(c) ¿Cómoserfanlasrespuestasa las panes(a) y (b) si el cascarónexternono estuviera pres'ente? (d) ¿Cuálesel campoeléct¡icoa unadistanciade 1.0m del origen? 44. (II) Un campoeléctricoconstante, E,queapuntaendirección +2,pasaporun tetraedro cuyabaseestáenel plano equilátero rJ, y cuyos seis lados tienen longitud I (figura 24-25). Calculeel flujo totala travésde los tresladossuperiorcs del tetraedro. 45. (II) ¿Cómovarfacon la distanciaal cent¡ode una esferade radioR la densidadvolumétricade cargaparadarun canrpo radial de magnitudconstantedentro de la esfera?¿Qué sucedeen el origen,y por qué? 46. (II) Un cilindrorecto,macizoy conductor,tieneunacarga de 10 mC. Dentrodel cilindro estáunacargade -3 mC, al centrode un huecoesfórico(frgura24-29).(a) ¿Cuáles la cargaen la superficiedel espacioesféricohueco?(b) ¿Cuál esla cargaen la superficieextemadel cilindro?

FIGURA 24-29 ltoblcma 4ó.

723

47. (II) Un conductortien,runa superficieorientadaen el plano y¿,quc es la fronterade una región en la cual hay un campo eléctricoorientadohacia la di¡ección +¡. La intensidadde estesrmpo decrecelinealmente a medida que aumenta¡ de ¡ - 0 m a x - 3 m. Al principio de la región, en.x - 0 m, la interuidadde campoes 500 N/C; en ¡ - 3 m, la intensidad de campo ha bajado a cero. Describa la distribución, en di¡ección¡, de la cargaque produce€secampo. (III) Una esfera de radio R se c¡¡¡ga uniformemente con dcnsidad volumétrica dc carga p. Con la ley de Gauss demuestreque el campoeléctricodentrode la esfera,en un punto P cuyo vector desplazamiento del centrode la esfera es r, estáexpresadopor E - (pl3e')r, Una pequeñaesfera centradaen el punto cuyo desplazamientodel origen es o, sesacade la esfera(figura24-30).Medianteel principiode superposición calculeel campoeléctricodentrode la cavidad.lSugerencra:la cavidadsc puedecrear introduciendo en la csfera original una esferacon densidadopuestade carga,-p, y de radio á, centradaen e.]

49. (lII) Use la ley de Gausspara demostrarque una cargade pruebaen eI campoeléctricodebidoa cualguierdistribución dadade cargaestálicano puedeestaren equilibrioestático. lSugerencia:En un punto de equilibrio, el campocléctrico

724

(

FICIJRA 24-30 Problcmn48.

neto debeser cero. ¿Cuálesdebenser los camposen la cercanlade esepuntoparaqueel equilibrioseaestable?] 50. (III) En un mundo en dos dimensiones,el campoeléctrico debidoa unacargapuntuales radial,y tienemagnitudI Ql2re"r, igual queel campoeléctricodebidoa un alambre inftnito. ¿Quéforma asumela ley de Gaussen el mundo bidimensional?fSugerencia.'Prueberemplazandouna superftciecerradapor un contornocerrado,]

POTENCIAT ETECTRICO

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I

La fuerzaeléctrica(deCoulomb),al igualquela fuerzagravitacional, esconsecuencia de las leyesfundarnentales de la naturaleza,Lafuerzaeléctticaes conservativa, y asf,una colecciónde catgastiene energlapotencial.Esa energfapotencialpuede transformarce en energlncinética,igual que la energlapotencialde una roca en equilibrioal bordedeun acantiladosetrarrsforma enenerglacinéticacuandocae.En estecapltulo describiremosla energfapotencialeléctrica.Los conceptosde fuetzas conservativas,trabajoy energlapotencialsehan desanolladoya en los capftulos6 y 7. Es más,muchosde los resultadosque deducimosaqufson semejantesa los de la gravitación(capltulol2), porquela fue¡zagravitacionaly la ley de Coulombtienen la mismaforma de la invetsadel cuadtado. Las fuerzaseléctricasconciemena la interacciónde una distribuciónde carga con otra carga.Hemos encont¡adoútil el empleodel campoeléctrico,que afslael efectode la distribuciónde cargasolamente,en lugar de la fuerza. La fuerza es el productode la segundacarga por el campoeléctrico.Igualrnente,la energla potencialeléctricaes la energfade la dis$ibuciónde la cargajunto con la de una segundacarga.En estecapitulodeftniremosal potencialeléctrico,medidoen volts, queespropiedadtansólo de la distribuciónde la carga.El.potencialtienela misma relacióncon el campoeléctricoquela quetienela energfapotencialcon la fuerza.

725 ,**¡j¡¡

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726

25-t

ENERGTAPoTENcTALELEcrRrcA (

Capítulo 2! Potcncl¡l clóctrlco

Lnepropledndes dele6fuerzes y h energilpotenc¡¡lse conservetivlr estudir¡onenel cepitulo7.

Ya hemosaprendidoqueel conceptodeunaenergladeposición,o energfapotencial, útil. Porejemplo,sabemosqueunamasarn a unaalturañ (mucho esexttemadamente menorqueel radiode la Tierra)sobrela superficieterrestretieneunaenergfapotencial que sepuederepresentarpor U(h) - nrgft.Esto nos ayudaa determinarla velocidad del objetoen cualquietaltura,si conocemossu velocidaden determinadaaltura. Cualquiertuena queseafunción tan sólo de la posiciónesuna fuenaconservativa, lo cual quieredecir que un objeto bajo la influenciade esafuetza tieneuna energla potencialasociada. Esaenetgfapotencialesuna funciónde la posición,y sepuede conveftirenenerglacinéticadeacuerdoconla conservación dela energfa:La energfa total es E - K + U, siendoK la energíacinética.Conservación de la energlaquiere decir que el cambioen E escero,de modo queAE - 0 - AK + AU, o sea,AK - -AU Asl, cualquiercambioen U estarácompersadopor un cambioigual,peroopuesto, de X. , La fuerza eléctricaque ejercela cargaq¡ sobre la catga4, separadaspor una distanciar, es QTo l ^ +neor'

I.:;- - ;f,

( (_

I

( {

(25- l)

(

siendo I el vector unitario que se dirige radialmente hacia afuera, a partit del lugar de q. Esa fuerza tiene una notable semejanzacon la fuerza de gravitación entte una flasa fi6 y una masa til, sepafadaspof una distancia r,

F : - Crrro !, t. r-

a

(2s-2)

La fuerzagravitacionalsiemprees de atracción,mientrasque la fuerzaeléctricaes de atraccióno repulsión,segúnsea gqgpositivo o negativo.Ambas fuerzasson de modo que ambastienenuna energfapoterrcialU. Esa energla conservativas, potencial,queesfunciónde la posición,asumela mismafotma paraamboscasos. Sólo los canúlos de energlapotencialfienensignifioado.De acuerdocon la ecuación(7-9)podemosexpresarel cambiode energfapotencialde nuestrosistema cuandola carga4e(o, en el casode la gtavitación,la masa,me)semuevedeun punto inicialc en posiciónro,a un puntofinal, á, enunaposiciónr¡, pot el desplazamiento manera: s (figura25-1),de la siguiente FIGT RA 25-1 Cr¡andorrnacargadc pnrba, 40,pasadc m prmto¿ a tlfi punto b onprcscnciado unacarga4, fija cn un lugar,la cnergíapotencialdcl sistcrna cambia.

L L L

L

l ? 5 - 'l )

Parafuerzasconservativas,la integral en estaexpresiónes una integtal de lfnea, cuyo valor es independiente de la trayectoria de integración enfte los puntos a y á. Evaluemos ahora el cambio de energlapotencial eléctrica para la carga puntual q en elorigen, y la carga puntual 4o gue se mueve del pünto a al punto á. Iniciamos con el caso más simple (figura 25-2a), en el cual el punto a está en el mismo radio que el punto ó. Seguimos entonces la trayectoria de a a á a lo largo de la linea de puntos que se ve en la ftguta25-2a. Como la fuerza de Coulomb se dirige hacia afuem, a lo largo de la dirección radial que hemos escogido,para nuestrahayectoria F' ds : l - dr' Asl, de acuerdo con la ecuación (25-3), el cambio de energla poténcial cuando la carga {q se mueve de a a D, es (,, eeo f,o r:::dr Fdr:-¡ LIJ:-l )," 4neor' J,"

:#(;-) :-ffi::y:-ffi(+)[:

r, ( -¿\

\_

'-' (_

L I

L (_ L (_

L (-(-

L ( (_

727 .

zt-l

--

I

a v

L L L L L L L

L L ,

L L L L L L L L L L L L

L L L L

eléctrlca

FIGURA 25-2 Cambio dc cncrgia ¡ntcncial dcl sistclna do tlos cargas,Q ! Qo cuando la carga qo va dcl punto a al purto ü, cn tórminos dc la intcgral dc linca, indo¡rcndicntcdc la traycctori¡. (a) [.a carga qosc mucvc & lo largo dc un radio. (b) tos dos prntos no cst¡in cn cl ¡¡ús¡noradio. l¿ tmycctorla va radialmcnto lucln lfuora, h¡sta cl radio dcl punto á, y a continturción sigrtc la circunforcncia do cso radio,

-

"

Elner¡,i^ lntcnclal

¿Quépasasi la carga{6 seffiueveent¡edospuntosqueno quedenen el tnismo quese radio,comoen la figura25-2b?En esecasoseguimosla trayectoriapunteada illdica.Recuerde,que el resultadode la integraciónen la ecuación(25-3)es independ¡ente de la trayector¡a. Paraelsegmentol, queva hnciaafuera,radialmente de ¿ a una distanciar¡ del origen,el resultadoes idénticoa la ecuación(25-4).Parael a un¡ disiancinr¡ dcl origcn,In intcgral scgtnento 2, quesigucunacircunferencia es ccro, porque la fuerza es perpendicularnl segrnentode trnyectoria, ds, en parael cambiodeenergfapotencialsiguesiendoel de cualquierlugar.El resultado la ecuación(25-4). quelás Veamosel contenidoffsicode la ecuaciólr(25-4),Primerosupongamos cargasse acercanmás entresf (ro > r¡). si las cargasse repelen(qqoes positivo),el cambiode energlapotencialespositivo.Es comomoverunamasacil¿.tfaarriba pot una montaña.Si las cargasse atraen(qqoes negativo),el sistemapierdeenergfa potencial al acercarselas catgas.Es como mover una masa cuestaabaio pot la montaDa.Como con cualquierenerglapotencial,la energfapotencialeléctricase puede'convertir en energlacinética.Si no hay más fuerzasach:ando,entonceslas cargasdesignosigualessedesaceleran, o pierdenenergfacinética,cuandoseacercan. Igualmente,las cargasde signo contrariose aceleran,o gananenergfacinética,al acercatseentresf. Podemosfehacernuestroanálisiscüandolas cargassealejan(to< r¡). Las cargasque se repelenpierdenenergfapotencialeléctricay, si no hay ohas fuerzas,gananenerglacinética.Las cargasde signocontrario,quese atraen,gánan energlapotencialeléctricacuandose alejan,y pierdenenergfacinéticaen ausencia de ot¡asfuerzas. La ecuación(25-3)muestraque el cambioen energlapotencialeléctricaestá expresadopor la diferenciade dos funciones,U(ru) y U(r,). En el capltulo 7 quesólo tienenconsecuencias flsicaslos cantbiosde energfapotencial. aprendimos tenemoslibertadde escogerque el cerode la funciónde energla Por consiguiente, y natural Puedeserconveniente potencialestéen cualquiervalorde r quequeramos. escogerquela energlapotencialceroseaenel infinito.Lo podemoshacersi hacemos que ra + oo,y que r¡ osufiraun valor generalr en la ecuación(25-4):

Lr ecueción(25{) esel canrbiode energir potenclnleléctrlc¡cu¡ndo l¡ csrSegosenluevedesdecuclquier punlo e r¡n¡ dlsl¡ncl¡ ro dc h cergn g, r cullqulcr olro ¡rurrtoI unn dletrrrcllr¡ de l¡ n¡is¡¡¡¡.

: Lt(r)u (rJl,.-A ,u - ffi: Decimosentoncesque la energlapotencialde una carga{s a una distanciar de la cargaq es la difercnciaen energfapotencialentrela quetieneen esepuntoy la que tieneen el infinito. Cuandoinvertimoslos papelesde q y de qo,la energfapotencial a una distanciar de {6 es de nuevoqqd{nesr.Podemosdecir,por lo tanto,que la energlapotencialeléctrica, U(r), paraun sistemade doscargaspuntuales,Q y Qo, Energiepotenclal eléctrica enfredos quele clhgaspuntuales. Seselecciona pot unadistanciar es separadas

I)(r)= 4+7t€.o !q' ! r

(25- 5)

energiapotencialcerose¡enel infinilo.

728 Capítulo 25 Potcnclal cléctrico

En realidad es cierto que U(r) - 0 en el lfmite r *-. Asf , el sistemano tiene energía potencial cuandolas dos cargasestánseparadasporuna distanciainfinita. Nóteseque la energlapotencial de las dos cargastan sólo dependede la distancia r entre ellas, y no de ángr:loalguno. l¡ ecuación(25-5) tiene la misma forma que la ecuación(12-g), deducidaen el capltulo 12 patala energfapotencial gravilacional. Como aprendimos en el capftulo 7, el significado ffsico de la energla potencial es que el valor de la misma, cuando dos cargas tienen una separación finito, es el trabajo necesario para traerlas desde el infinito hasta esa separación.

[¿ fisión nuclearesuna desintr:gración EJEMPLo 25 - | denúcleos,Se tiene fisión de un núcleo pesadodebido a la repulsión de Coulomb entre el gran número de protonescon cargapositiva dentro del núcleo. Mientras más protones hay en un núcleo, más intensaes la repulsión. La fuerza nuclear de atracciónno es lo suficientemente fuerte como para superar la repulsión entre todos los protonesde un núcleo pesado.AI calcular las fuerzasde repulsión entre protones, deseamos determina¡ la energfa potencial entre ellos. Detennine la energía potencial electrost¿itica entre 2 de los 92 protonesde un núcleo de 23óUen el cual los protonesestántan cercanoscotno es posible, a utlos 2 x 19-tsnr de distancia. El radio de un núcleo de uranio es,aproximadamente,8 x l0-15m. SOLUCION:Hacemosque la energlapotencial cléctrica sea cero en el infitrito, y aplicamos la ecuación(25-5) para calcular la cnergfapotencial electrostática.La carga del protón (véasetabla22-L) es 1.6 x 10-reC. Entonces, r,

(+ c)' 4neor

(g x lOeN'm¡/rzzxl.6x t0-t" Q)2

( 2- , + ' * )

¡.r_,1

Es un valor normal de energfa en escalanuclear, y es unas l0) vecesmayor que la energfa que une a un protón y un electtón en un átomo de hidrógeno (véase ejemplo 25-3). Cuando se presentala fisión, esa energía potencial se convierte en energfacinética de los diversosfragmentos.Esa energfacinética, a su vez, es la fuente de enetgla en los reactoresnucleares.

Hay una diferenciaimpofianteentre la energlapotencialgravitacionaly la La primemsiemprees de atracciótr,y siemprees energlapotencialelectrostática. negativa,si se defineque su valor en el infinito es cero.Las fuerzasde atmcción Si tienen sólosondeatraccióncuandolascargastienensignosopuestos. electrostática igualsigno,la fuerzaesde repulsión,y la energlapotencialespositivasi su valot en el infinito escero.

25-2 PoTENcIALELEcrRIco Una catgapuntual,q, esla fuentede un campoeléctrico,E, queexisteen el espacio vecino.El campoeléctricoafectaa cualquierc^tE , qo,que se ihtroduzcaen ese por F = espacio,porquehay una fuerza,F, que actúasobre40,gue estáexpresada 4eE.En la sección25-1 vimosque la introducciónde una catfla,Qs,a unadistancia, r, de q, da lugar a la energlapotencialU(r), de acuerdocon la ecuación(25-5).Si escribimosque U(r) - qoV(r),podemoshacerunaafirmaciónanálogaa la del campo un eléctrico:una cargaq es la fuentede un potencialeléctrico(o, simplemente, potencial), V(r), queafectaa cualquiercarga,Qs,a u¡radistanciar de q, creando energlapotencial U(r) = qo(V(r).Hablandocon propiedad,deberfamosmanejat una pequeñacarga de prueba,{s, pafa que su presetrciano perturbeala catgaq, cualquierdisttibuciónmás generalde cargaque origine al potencial o, realmente,

eléctrico.Veremosmás adelanteque la definición del potencialeléctricoesuntraboio por unidad de carga,debido a una distribución de carga' y es, entonces,

Iz(r):

9Í),

(25-6)

8o

en la cual U(r) es la,energla potenciql de la cdrga puntual, Qe¡eñ pfeseñcia de la distribución de Carga.El potencial, Z(r), es independientede {6, de la misma manefa que el campo eléctrico, definido por E . F/qe,es independientede la chrga puntual: . El potencialeléctricosólo es una propiedad de ls distribución de carge que lo produce.

729 25-2 Potcncl¡lclóc&lo

Definición del potenci¡l etéctrico

E| potenciel eléctrico, el igull que el cempo eléctrico, cólo ee une propiedrd de h crr¡rr o crrgee, quc lo prnduce, y no dc le cergr dc prucbe¡ g¡.

Potencial eléctrico de una carga puntual Calculemos el potencial eléctrico del sistemamás sencillo posible, que es el de una cafga puntual. Imaginemos dos cargaSpuntuales, g y q¡, separadasPor una distancia r. Como indica la ecuación(25ó),la energlapotencial{el siqtemaes U(r) - N4nW, Si nos imaginamos eue 4o es una carga de Prueba'entonces Ulqo' ql{nesr. Hetnos calculado el p otencial eléctrico de una carga puntual q a una distancia r de la carga:

V(r) *

I

tl

(2s-7)

4neor

Potenclel eléctrico de unr cerge puntual

En estaecuación(25-7)'hemossuPuestoque la energlapotencialcerose da en el infinito y, en consecuencia,hemossupuestoque el potencialeléctricodebidoa una cargaq en el inrtnituescero.Comoafirmamos,el potencialeléctricosólodepende de la carga4, y no de la cargade prueba,qe. La iiferencia depotencialeléctrico debidoa la car1aq entrelos puntosay b,en es los lugaresro / r¿,lfespectivamente,

]:

L , v : v o - v o = - " 3 = h ( ;- ;)

(2s-8)

En ella hemosabreviadoa V comofunción de ro,o sea,I(ra) como 7o,etcétera. Podemosobtenerotra fotmulaciónde la diferenciade energfapotencial,emF - 4qE: (25-3)y (25-8),y sustituyendo pleandolas ecuaciones rt

rr

LV:wb-"o 4o

f¡ a

- -l

E.ds.

(25-e)

J,"

a

I

la diferenciade energlapotencialse expresacotnouno integral Ladifercnci¡deeucr¡irpolencinl En esaecuBción, de Ia traycctoríadel cámpo eléctrico.No hay teferenciaen esa eléctric¡esun¡integreldelcrntpo independiente eléctrico'' ecuaciónal catnpoeléctricode la cargapuntual.La ecuaciótr(25-3)esel cambiode energfapotencialcuandouna cargade prueba,qo,Pasadel puntoa al puntob en el áe cualquierdisttibuciónde carga.Asf, la ecuación(25-9)esuna expresión "*po generaldela diferenciadepotencialeléctricoenttedospuntos.Cualquierdistribución produceun camPoelectrico,y cualquierdistribuciónde cargatendráun á" "urgu potenciallléctrico.El poténcialeléctricoesun conceptoútil, en parteporqueesuna cantidadescalar.Es mrisfácil manejarloquela cantidadvectorialquela determina, queesel campoelécttico. ' Recordemosqueel cambiode energlapotencialdeun sistemaesigualal negativo moverun objetodel puntoa al puntob' De del trabajoefectuadopot el sistem¿,-al modoeqirivalente,U¿ - Uoesel trabajoefectuadopof un agenteextemoal mover el objeto.lisas relacionessonválidasparalos cambiosen la energlapotencialeléctrica, cuandose mueve una cafga de prueba.Por consiguiente'Podemosinterpretara la que ecuación(25-9) como estableciendo

i5\) Capítulo 2J Potcnclal cléctrlm

.

L¡ dilerencia de potencieleléctrico,Vt - Yo, es el trabajo por unidad de carga que se debeefectuerpsrs mover uns carge de prueba desdeel punto d hasteel punto á sin cembiar su energiecinética,

Este trabajo lo lleva a cabo un agente extemo; por ejemplo, literalmente podemos empujaf a la carga. Si no hay agenteexterno, entonces,un cambio de potencial, que coffesponde a un cqmbio en la energla potencial de la carga de prueba, debe estar acompañadopor un cambio correspondienteen la energfa cinética de esa carga de prueba. Si conocemosel potencial eléctrico, Z(r), debido a una distribución de carga,y conocemosla rnagnitud de una carga de pn¡eba, qo,entoncestambién conocemosla energfapotencial, U(r), cuando go se coloca en un punto a una distancia r:

I

( 25*r0)

U(r) : QoV(r).

Estaecuaciónnos dice que, en ausenciade otrasfuerzas,una cargapositiva de prueba, {e¡ eh preseñciade un potencial eléctrico, se moverá hacia los valores menoresdcl potencial, porque de ese modo decrece la energla potencial. La catga se aceleraal moverce hacia menorespotenciales. Potcncial cléctrico de distintas distribucioncs

I'IGURA 25-3 lil principio dc su¡rcrposicióndctcnnina cl ¡ntcncinl cn cl punto P, dcbi
El campo eléctrico obedeceal principio de superposición.Pot lo tanto, el potencial eléctrico de un sistemade cargastambién se puede determinarmediante el principio de superposición.Este dice que el campo eléctrico de una serie de cargases la suma de los camposeléctricosde cadauna de ellas. Asl, el potencial cléctrico cn un punto P, debido a n carges puntuales, Qt, 42, ..., 4, (la figura 25-3 tnuestra 3 cargas) a distanciasrb 12,.,., rn del punto P esjustamente o, v^ 'r - __::-

4nenr,

Potencialeléctricode un co\iunto de cergespuntuelee

dc cafga

a"

a-

4ttenr,

4neorn

v,::-4n€s , g11, ¡lt .

(25- il )

en la cual r¡ es la distanciade la cargaPuntualq¡ al puntoP. El potencialeléctrico debidoa un conjuntode cargases la sumaescalarde los potencialesdebidosa las cargasaisladas.Estasumaescalatesmuchom¿ísfácil de llevat a caboquela suma vectorialqueexpresael catnpoeléctricodebidoa un conjuntode cargaspuntuales. El cálculodel potencialeléctricodebidoa una distribucióncontinuade catga tambiénesditecto.Debemoscalcularel potencialeléctricod Zen el puntoP, debido a una cargapequeiraAg (Figura25-4).Cornoel potencialeléctricoesuha cantidad escalar,la sumade todos los potencialesdiminutos,dlz, estáexPresada Po¡ una de potencial una distribucíón continua carga debido a el integraciónescalar.Asl, asumela forma sirnbólica

v:lav=*ly Potencialeléctricodebidoe une distribucióncontinuade carga

(2s--12)

La integraciónse debellevar a caboen la distribucióncompletade la catga.En la técnicaspataestecálculo,en casosespeclficos. sección25-5describiremos Unidades del potencial elécttico

I

La dimensióndel potencialeléctticoesenerglapor carga,de¡nodoquesusunidades en el SI sonjoulespor coulomb(ÍC). El potencialeléctricoseusaconfrecuenciay, lasunidadestienennombreespecialen el SI, el volt (V), en honot por consiguiente,

EJ

r¡l í:

t

7_

deAlessandrovolta, quienllevó a caboinvestigaciones al principiodel siglo XIX sobrela nafuraleza de la electricid¡d. lV=¡.¡76.

73r 25.2 Potcncl¡l cléculcro

(25 l3)

Unidedee de polenci¡l eléclrico

Enel capftulo23 mencionamos queel campoeléctricotienecomounidadesvoltspor metro(V/m) comoaltenrativaa newtonspor coulomb(N/c). La ecuación(25-9)nos itrdicael por qué cs asf.El potencialeléctricotienelas dirncnsiones del campo eléctrico multiplicadopor longitud,demodoquelasdimensiones del campoeléctrico debenserlasdel potencialdividido entreunalongitud(unidades de V/m): lN/C:tV/m.

( 2s"- t4)

Enetgia potencial en un sistema dc cargas La ecuación(25-10)expresala energfapotenciat,U(r) - qoV(r),de unn cnrgn de prueba{6 colocada en el potencial eléctrico de una distribución de cargas. Si esa distribución es un conjunto de cargas, entonces el potencial eléctrico, vp, está expresadopor la ecuación (25-l l), y la energla potencial de la carga de prueba es U(r)' qsVp'Pero serlaenóneo llamar a esto la energfapotencialdel sistemacompl;to de cargasQo,4t, Qzr...,q,r,porque el producto qsVptansólo representael trabajó que sedebeefectuarpara traer la carga qe desdeel infinito. No tiene en cuentael trabajo quese debeefectuarpara traer las cargas4¡ Q2,,,..,g, desdeel inifinito. para calcular la energfapotencial de un bonjunto de tres cargas,por ejemplo, armamos las tres, una Potuna.Paratraetla primera,q1,hastael punto P¡¡ ho s€ fl€c€sitaque el agenteextemo efectúetrabajo, si la energla cinética de la carga no cambia. Para traer la segunda catga,Q2,desdeel infinito hasta el punto P2,sf se necesitatrabajo, a causadel potencial debidoa q¡. Para nuestrasdos cargas,el trabajo que debe efectuar e,lagenteextemo paratraer a q2 desdeel infinito, o sea la energlapotencial, estáexpresadopor r|

Ut¡:U¡V,:

- t,

Qúz +ft€.or12

Cnrga totnl

a

FIGURA 254 Para dctc¡min¡rcl potcncial cn cl punto P, dcbido a una cargr conlinus, sc intcgran las cargas . difcrcncialcs, d4, como si cada d4 fucra rura c¡rga pntul,

(2 5 -t 5 )

enla cualr¡2esla distanciaentrelascalgasQtl Qz. ¿Quésucedesi traemosuna terceracarga,q3,desdeel infinito?Tenemosque calcularel trabajoadicionalefectuadopo¡ unafuerzaextemapamello. Estetrabajo por el productode qr por los potenciales estáexpresado eléctricosvty vzdebidoJa el lugar, Asf la contribución potencial adicional a la energla delsistema , Qt! 4zen es QtQt rt , rr Ut3 Í U2 3 :;- - r - ;1 fte o r 13

4zQl 1neor23

( 25- r 6)

siendor13y r23las distancias 4, y qby en:r¡eq¡/ {2, respectivamente.I-a energla "ntr" potencialtotal, U, del sistema, es la suma de IJ¡7,IJpy (Jy: | (a o z ,Q t4t,QzQt\ tr_ " -q n ro \rr - \r)

(2s-17)

Estosepuedegeneralizar paracualquiernúmero " ,r de cargas,y la fórmulaqueresult,a, parala energ{apotencial eléctrica del sistemaes una generalizaciónsencillade la ecuaciónanterior: U:

lQ¡4¡. Y 4nesF¡ r¡;'

Ene.r¡iie potenciel de un sisten¡¡ de

(25- I 8) cersas

enla cualr¡ esla distanciaentrelos lugaresde lascargasQiy 4¡,La sumaen j y enj comprendea todoslos paresde cargasen el sisterna,y la desigualdadi <j evita el conteode paresmás de una vez. Podemoseliminar esarestricciónsi escribimosla ecuación equivalente

: , *""¡¡¡bfíü¡.

U: I I

/)¿ Capínrlo 25 Potcncl,¡l cléctrlco

't"ti 4ncor"'

'lí' Ahorala sumano tienerestricción,exceptoquedebemosomitir el casoi :7, queno estáenla sumaoriginal,enla ecuación(25-18).Porconsiguiehte, podemosreformular la ecuación(25-18)como

u: lu,Lffi +),t,L #, * Lr,L #,. :*n,n,*tQzvz *larv.* "'

l'(n l)

(2s-te)

enla cual I/¡ esel potencialeléctricodebidoa lasdemáscargasenel lugardela carga qr, y asl sucesivamente. Se debe subrayarque la energ{apotencialde q¡ en un quieredecirque qlVysepuede potencialdadoIz1siguesiendoq1V1.F,sto convertiren energfacinéticade la partfculaque tienela cargaqr Estaenergfapotencialdebe diferenciarse de la energfapotcncialde la cohfiguracióntotal de la carga,con las (25-18)o (25-l9), Estaúltiinaesla enetgfaquepodrlaestatdisponiblesi ecuaciones queaparecenenel problemahubierandeescaparal infinito. Esdebido todaslascatgas a quela energfapotencialdecualquietotracargadependedel "ambiente"creadopor las demáscargasque la energlapotencialdel sistemano es igual a la sumade las delaspattfculas. potenciales individuales energfas En los ejemplos25-2 y 25-3 mostramostécnicasde cálculopara la energfa potencialeléctricay el potencialeléctricocuandointervienendos o más cargas puntuales.

parainvestigat los efectosde la En un experimento EJEMPLO 25-2 qt - 2 pC y qz * puntuales, colocó dos cargas Benjamin Franklin electricidad, (figura25-5).(a) Determineel -4 ltC, en los puntosP¡ y P2,fespectivamente potencialeléctricoen los puntosa y b debidoa esasdos cargaspuntuales.(á) energfatuvo Calculela diferenciadepotencialentrelospuntosby a. (c) ¿Curinta que suministtarFranklin paracolocaruna terceracatga,de 3 ¡:C, trayéndola desdeel infinito hastael puntoá?

FIGURA 25-5 Ejcmplo25-2,

(a) Usaremosla ecuación(25-11) para determinarel potencial SOLUCION: comoq¡ a la catgade 2 ¡.tC,colocadaen P1,y q2a la eléctrico.Identifiquemos '4 el poüencial en el puntoa' pC en P2,Primero,deüerminamos colocada cargade puntoP2es punto y punto a al punto la del r¡o 2 al P¡ €s Ín, a La distanciadel ,/@lStff potencial Vo, elputrto a, es, mtonces, elécttico, en 4 m. El r- -

n :* ( *

+ i¿) rzo/

,/2x10-69 : (9 x 10eN.mllcr)[ Zr*

*

-4 x 10-6 Q

4m

)=ou'

I

( de nuestroempleodel SI en Las unidadesdel potencialsonvolts, consecttencia la combinación de unidades esN ' m/C - tC este caso, todoslos cálculos.En conro ésta. V. Siempreesútil unacomprobación calculamosel potencialeléctricoen el pürto b. l¡ distancinde A continuación I/¡, 12ó: 1 m. Porconsiguienüe, el poüencial, la catgaq1ab e r¡: 2 m; igualrnente, es

t

-, vn :=L l L' r-'

. sz\

4/r€0 \r I r,

733

r z¡ /

= (9 x loeN. rr ¡r¡ /L ,\--i .f ^,¡gr¡C-:=t!:14

25-2 Potcnclál clÉctrlco

-4 x lo-o q\

-"

| ,11--

)

: -2.7 x lOaV = -27 kY. (b) La diferenciade potencial,Vu- Vo" -27 kV - 0 kV - -27 kV. Asl, el potencialeléctricoesmayoren el puntoa queen el puntoá. (c) La nuevacargafuncionacomo cargade prueba,Qo- 3 pC.Conocemos ahoraal potencialeléctricodel sistemaoriginal de dos cargas,de modo que usatnosla ecuació¡r(25- l0), Ur - QoVu, paracalcularla energfapotencialde la nuevacargaen el puntob: U¡: QoVt: $ pC)(-27kV) : (3 x l0-o qe27 x l0r V) : -0.08 J. La respuesta estrienjoules,porqughemosusadosiempteunidadesdel SI. El trabajoque hubieraefectiiddoFranklin paratraer a q3 desdeel infinito, esigualal cambiodeenetgfapotencialdelsistema,o sea,- 0.08J. ¿Tienesentido 'esto?El potencialeléctricoenel puntoá esnegativo.La carganuevaespositiva y seráatrafdahaciael potencialnegativo.Franklinno habrlaefectuadotiabajo positivoparatraerla cargaal punto á; al contrario,hubieraefectuadotrabajo negativo,tal como lo hemoscalculado.Habrlaefectuadotrabajopositivosi regresamesa carga de nuevo.al infinito. Es útil irnaginarselo que sucede ffsicamente,en lugar de tan sólo confiar en los signosde las ecuaciones. Es demasiado fácil cometerun er?orde signo.

EJEM PLO 2 5 - 3 El átomode hidrógenoen su configuraciónno'rmal,no excitada,tieneun electrónquegira alrededordeun protóna unadistanciade 5.3 x l0-rrm(figura25-6).Enlaposicióndelelectrón,¿cuáleselpotencialeléctrico entre las dos debido al protón? Calcule la eneigfapotencialelectroslática partlculas. la actividadqufmicade los Esaenergfaesrelevanteparacomprender átomos. SOLUCIONT El potencialeléctrico,Z' debidoal protón,sepuedecalcularconla ecuación(25-7).Tenemosque +p Vo = ---J- = ' .+n
(9 x 10eN.mzlcrxl.6x tO-,'e@¡ =27 Y. 5.3x 10- rl

secalculacon la ecuación(25-15),y simpleLa energlapotencialelectrostática mentemultiplicamosel potencialpor la cargadel electrón(queesla partlculaen movimiento): U :(-e)Vp-- (-1.6 x 10-teCX 27V): -4.3 x 10-r8J. (25-20)

El ElectrónYolt Con frecuenciacalculamosla energlamultiplicando el voltaje por la carga,como hemoshecho en todos los ejemplos hasta ahora, en este capftulo. Como la carga de un electrón se necesita con tanta frecuencia, una unidad de energfa útil es la de la cargade un electrón (o protón) multiplicada por 1 V. A esa unidad de energfase le llama un electrón volt (eV). El electrón volt no es una u¡ridaddel SL La telación del electrónvolt y el joule, que sl es unidad del SI, es

lcV:

(1.6x l0-t'CXI V): 1.6.xl0-'e J.

@

Protó¡r

\., \,\,

t

i¡--¡7

FICURA 25-6 Ejcmplo25-3. Rcprcscntac¡ón simplistadoturolccl¡ónctr órbitaalrcdcdordcl protóndoun dtomorir; lri
El electrónvolt

734 Capítuloa5

Potcnclalcléctdo

IüGUIIA 25-7 Ejcmplo254. Gconrctría parddctcminar cl potcnc¡alcn cl ptnto P paraun dlpolo clcctrlco. El momcnto dipolarcs¡r.* ql,

'l,a

unidadtienevalor especialparacálculosenff sicaatómica,nucleary departfculas. En el ejemplo,25-\,la energfapotencialelectrostáticaentredos protonescercanos entre es6 x l0] eV, o 0.6MeV. En el ejemplo25-3, la energfapotencialelectrostática el protóny el electtóndel átomode hidrógenoes -27 eV. En ffsica atómicanos encontramoscon quela energfanotmal esdel ordendeun electrónvolt, mientrasque en ffsicanucleates de I MeV (106eV). En la ffsicade partfculas,es'delotdende I GeV (10eeV).

EJEMP llo 25 - 4 Calculeel potencialeléctricodebidoa un dipolocuyo momer¡todipolar tienernagnitudpen un punto arbitrarioP (figura 25-7). SOLUCIoN:Un dipolo constade dos partfculaspunhales, de cargasigualesy opuestas,demodoquela ecuación(25- I 1) determinael potencial,queserácero en el infinito. Seanr la distanciade la carga+q al puntoP,y r + Ar la dista¡¡cia de la carga-q a P. El puntotambiénseespecificaen la figura (25-7)mediante el ringulo0 entrep y la lfneaentrela cúga -q y P. Laecuación(25-ll) da como resuhado

'

+q 4neor'

-q ner(r+ Lr)

ot, + q(r + A,r)- qr : ,Q , .. (2s-21) 4neor(r + Lr) 4ne6r(r* Lr)

Si p es el momentodipolar,la disianciaenttelas cargaso"sf - p/q, y la distancia Ar es pcos0 Lt' :IcoS 0:

q

(25-22)

Cuando esteresultadose sustituye en la ecuación (25-21), tenemos

I I : spcosOf ' 4nroL(,/r+ p.*Ol

(2s - 23)

Como hemosmencionado,la disttibución de carga en un dipolo se presenta repetidamenteen la naturaleza.Por ejemplo, las moléculaspolaresse comportan como dipoloseléctticos.lEl potencialeléctricoexactodel dipolo,deducidoen el I Ar¡¡¡quc csas molcculas (por ojcmplo, dc FI2O) son nculres, ticncn rur cxccso do carga positiva cn un oxtromo, y dc carga ncgativa cn ot¡s. En cl capitulo 26 sc prcsentauna dcscri¡rciónrruis complota.

ejemplo 25-4, asume una forma sencilla aptoximada lejos del dipolo, cuando r >>/. Estacondición equivale a qr >>q/- p, y podemosprescindir del segrrndotérmino del denominador de la ecuación (25-23). El resultado es

para r >>(:

V.: .triar

pcos0 4neor2'

735

Rcgtoncr

-cqrilPotenclslce

(2s-24)

en la cual medimos ahora 0 partiendo de cualquier lugar entte las dos cargas del dipolo. Nótese que el poüencial del dipolo para puntos distantes dec¡ece en función de U f , en comparación de la dependencia l/r para una carga puntual.

25-3 nscroNnsreurpoTnrYcrAlns [:s regionesen lasqueel potencialeléci¡icodeunadistiibucióndecargatienevalores constantes se llaman equipotencieles.Sonde interésespecial,y vale la penainvestigarlas.Supongamosqueun sistetnade cargasprduce detenninadopotencial.Las posicionesen el espacioque tienenel mismo potencialeléctricoforman superficies enttes dimensiones,y llneasen dos dimensiones.Decimosque los lugaresdondeel potencialtienevalor constanteformansuperficiesequipotenciales, en tresdimenejemplo, linees equipotencieles dimensiones. Como veamoslas siones,o en dos superficies equipoüenciales formadasporunacargapuntual.El potencialeléctricoes proporcional a Llr y tienevalor constanteen cualquierdistanciaradialfija, respecto una esferacentradaen la'cargafo¡ma una superficie a la carga.Pot consiguiente, (figura 25-8). Cualquierotra esfetacentradaen la catgaforma una equipotencial equipotencialdiferente,porqueel potencialvarla en función del radio de la esfera. Las equipotencialesson análogasa las curvasde nivel de un mapatopogtáfico, quesonllneasparalas cualesesconstantela diferenciade elevacióncon respectoal niveldel mar (figura25-9).Debidoa que la enetglapotencialgmvitacionalde una masasólo dependede su elevación,la energlapotencialgtavitacionalno cambia la fuerza cuandouna masasemuevesiguiendouna lfneade nivel. En consecuencia, degravedadno tienecomponentea lo largo de las lfneasde nivel. I-a gtavedadactua endirecciónperpendiculara unallneadenivel, y unapelotaquepaftededetetminada lfneadenivel aceleraráenunadirecciónperpendiculara esallnea,lo quellamarlamos "ditectocuestaabajo" de la montaña.Un esquiadorla llamarfalfneade cafda.lo que

Dellnición de rcgloncr cquipotencl¡lo¡

TIGURA 25-E Supcrficicscqutpotcncirlcs parauna cargapuntual.Soncsfcrasquola rod€an,

I,'IGURA25-9 Líncasdc nivcl cn mrprs topognificoc;sonlínc¡sdc olovación co¡¡stanto.Tambiénsonlincasdc cnorgia pokncial gravitaclonalcorstantc.[¡ fucr¿a dc gravcdadno ücnc componcntcsalo largo dc las lincasdo nivcl. Estcmapa mucsl¡alos nivclcs dc doscimascn las MontañasC¡tskiü, dcl cstadodc Nucv¡ York

es válido para las líneasde nivel es válido tambiénpara cualquiersuPetficieo línea equipotencial.Cualquierfuerza conservalivaactúa-endirecqiónperpendiculara la equipotencial,porque no pr¡edetener componentea lo largo de una equipotencial. -Como la eneigfapotencial tiene exactanlenteel mismo valor en una equipotencial, también así se comporta la enetgla potencial de una carga de prueba' No se efectua trabajo suando la carga de pmeba se mueve a velocidad constanteen una superficie o lfnea equipotencial.Parala cargapuntual que se describióarriba,las equipotenciales son esferascentfadas en la carga (figura 25-8). Una catga de preuba se puede mover libremente con fespectoa cualquierade esassuperficies,sin que el campo eléctrico

736 Capítulo

25 I'otcnclal

clóctrico

Las lineas de campo eléctrico son per¡rendicularcs e las srrperficies equí pot en c i a l c sd c b i d n s e r ¡¡ rsiste ¡ ¡ lnd e c¿¡r8ns.

efectuetrabajo. Como la fuerza eléctticano efectuatrabajo cuandouna cafga de pruebasemueve pof una equipotencial, podemos comPrenderpor qué el campo eléctrico no puede tenef una componente a lo latgo de una superficie equipotencial. Si la tuviefa, esa componentedel campo eléctrico efectuarfatrabajo pata mover a una carga sobre la supekicie equipotencial.Esto no es posible. Asl, el campo eléctríco debeser perpen' diiutar en úd; lugar a la superfcie equipotencial. Ademds, como toda la carga en un conductor en equilibrio reside en la superficie, una diferencia de potencial entre dos purrtossobre la superficie serfa igualaclarápidalnetrtepor u¡r flujo de carga libre, el d" niodo queta superficie de un conductor debc ser una equipotcncial. De hecho, al mismo entonces estará completo que conductof el itl¿i"u mismo razonamierrto potencial eléctrico. p^rtirde equipotencialcs ^ entresl seanperpendiculares El hecho que el campo eléctricoy las eqrripotenciales si se siempre, con fre"uencia es útil para determinat.superficies equipotenciales equipolas conocen el campo, y para determinar los camPoseléctricos si se "ono"" Podemosdar un ejemplo de ello paraalgunasconfiguracionesde cargaPafa üenciales. demoslas cualesconozcalnoslos campos. Veamos la carga puntual. Err la figUta 25-8 agregatfamos que las superficiesequipotencialesson esféricas.En la figura 25-10' si la mos laslheas de campo eléctrico, que se prolongan radialmente hacia afuera, esfefas, Por carga es positiva. Las superficies equipotencialesson, necesariatnente' origen' del que emergen vectores o los radios a serlerpendiculares (figurl Veamos las lfneasde campo eléctrico entre dos placascon catga opuesta Si placas cargadas' 23-11),Las superficiesequipoiencialesson planos paralelosa las

Líneas dc campo cléctrico

+l

+ + +

Supcrficies cqui¡ntcncialcs

\/

\lu Planoscquilntoltcialcs

¡'IGURA 25-10 l,as lincas dol campo olc(trico para urur carga puntual positiva (ncgativa) sc prolongan alcjrindose (acircándosc) radialrncnle, ¡rcrpcndicularcsa las cquipotcncialcs.

FIGURA 25-11 L¿s líncas dc campo clcctrico (trazos grucsos)y los planos cqrrif¡tcncialos (cn gris) pam rlos placas paralolascon carg$sopr¡cslas'

737 Dctcmlnaclón dc caiñfns a partk dc potcnclalcs

clóctilcos clóctdcos

(lc lul FICIIRA 25-12 I¡s línoasrlc carnpoolcctricoy las cquit)otcnciírlos rl i ¡xrl ocl crtri co.

lasplacascargadassotrcorlductoras, entoncestambió¡rdebetrsersuperficiesequipoZ¡, Vr, Vy .. ". 2,,entre tenciales. Asl, tenetnosuna seriede rr planosequipotenciales, e incluyendo las dos placascargadas. A continuación veamos las superficiesequipotencialesdebidas a un dipolo eléctrico,como una molécula polar (figura 25-12). Si trazamosnuestrassuperficies equipotencialessiempte perpendicularesa las lfneasde campo eléctrico, llegamos a laslfneasgrises que aparecenen la figura 25-12. Aun sin usar el potencial del dipolo eléctricodeducido en el ejemplo 25-4, acabamosde determinar,visualmente,cómo debeser el aspectode las superficiesequipotenciales.

25 - 4 pnrnnMrNAcroN DE cAMpos ElEcrRrcos A PARTIR DE POTENCIALES ELECTRICOS Como acabamos de ver, si conocemos el campo eléctrico E, la ecuación (25-9) determinala diferencia de potencial, Vt - Voentredos puntos a y á cualesquiera:

vr-vo =,[" o / = - "[.' t.Or , la diferenciade potenciales Comolas fuerzaselectrostáticas con conservativas, independiente de la trayectoriareconidaeritrea y b enlaintegralde llnea,y podemos escogef esatrayectoriade acuerdoa nuestraconveniencia. y calcuquepodemosinvertiresteprocedimiento En estasecciónaptenderemos análogo larel campoeléctricosi seconoceel potencial.Esecálculoescompletatnente al de la fuerzaentreobjetossi se conocesu energfapotencialcomofunciónde la posición.Tenemosla figuta 25-13,que muesttaun conjuntode líneasde catnpo a pocadistanciaentresí. Esassuperficies eléctricoy dossuperficieseuipotenciales perpendiculares a las líneasde campo.Si la equipotenciales son,por construcción, entoncestambiénserámuy es muy pequeñan distanciaentre las equipotetrciales mediantedZ. Según pequeña la diferenciadepotencialentreellas,querepresentamos la ecuación(25-9),si la distanciaentrelos puntosay b,inicial y final, es infinitesimalmentepequeña,entoncesno estamosintegrandoya en una trayectoriafinita en Jll B . ¿s.El signointegralsepuedeeliminary tenemos

d/ :

738

(2s-2s)

-E ' ds.

Capitulo 25 Potc¡rctal cléctrlco

Lo m¡is sencilloes decir que nuestratrayectotiainfinitesimal seacomo en la figura 25-13,estandods perpendipulat,a.,l,as,dos super,ficies equipotenciales. Comohemos dicho aniba, el campoeléctricotainbiénapuuta'etresadirección,dc modo que la ecuación(25-25)indica d(: &luipotcncial Iz+ dZ

-Eds.

En forma equivalente,

(2s-26)

- dv 'ds

L ---.

Con estaecuaciónse obtienela magnituddel campoeléctricoen términosde la a la equipotehcial en esepunto. rapidezde cambiode Zen direcciónperpendicular orientadahacia La direeccióndel campoesa lo largode la ditecciónperpendiculat, del potencial,En otraspa.labral, los valoresdecrecientes FIGURA 25-13 Doscqui¡rotcncialcs ds,cscn dlflcrcncn d/. El dcsplazamicnto, y dircccióndo E, cntrolascquipotcnci¡lc.s, a cllns. ospcrpcndlcular

hecia .nl campoeléctricocpuntaen la direcciónmáscortadeuna.equipotencial la siguiente. forman esferasconcéntricas,como parauna cargapunCuarrdolas equipotenciales a lo largode un radio..Por lo tanto,el campo tual, la direcciónperpendicular,queda eléctricoapuntaen ditecciónradial,y su magn'itud,es

E: -9!. dr

)

queformancilindrosconcéntricos, l¿ mismaexpresiónesválidaparaequipotenciales pero en estecaso,la variabler esla distanciaal eje cilfndrico. Cómo detcfmina cl potencial al campo en coofdcnadas'cartesianas Podemosver esüaforma desdeun puntode vista difetente,suponiendoqueun vector cartesianas: en coordenadas arbitmdo,ds,sedescompone desplazamiento ds-dxi+dyj+dzk. .t, y y ¿,tespectivafnente, En ella,i, j y k sonlos vectoresunitariosenlasdirecciones (25-25) la en ecuación asume la forma producto escalar Entonces,el dv = -E. ds : -E,dx - Erdy - E,dz,

(2s-27)

en dondehemossepatadoel campoE en componentescartesianos.En general,el V - V(x,y,z),El cambiode V al espaciales, potencialdependedelastrescootdenadas = + * posición yi xi a una nueva'r + ds - (x + d-r)i r posición inicial, pasardeuna ¿k + (y + dy)j + (¿ + dz)k es

: a *+ Y a y+ Y d r . d v:aox oz ov

(2s-28)

Nóteseel uso de derivadasparcialesaquf, que se hacenecesarioPorqueZdepende Reco¡demosqueel usode lásderivadasparciales cartesianas. de lastrescoordenadas parcial con respectoa x, polejemplo, quiete dech que detivada es muy sencillo: la se y y toma la derivadao¡dinariacon tespectoa ¡. Para mientras semantiehenfijas r = dVldx* 27;}Vldy.=0,ydVldz-?-xz. darunejemplo,siV xt,entonces Podemosigualar los coeficientesde d¡, dy Y dz en las ecuaciones(25-27) y (25-28):

u":-ZT,E,:-X, E,:-#'"

t

En forma equivalente,el vector campo eléctrico se expresaen términos de las derivadasdel potencialeléctricomediante (25 -2g)

Cempo eléctrico en términos de l¡s derivades del potenci¡l eléctrico

La ecuación(25-29) presentalos componentescartesianosdel campoeléctricoen términosdel potencial.Hemosencontradoun mododeexpresatun vectorparticular, el campoeléctrico,en tétminosde lasderivadasdeun escalar,el potencialeléctrico.2 La opeteaciónde detivat en la ecuación(25-29)produceun vectorcampoeléctrico que apunüaen direcciónde la mayor disminucióndel potencial.Esadirecciónes perpendicular a lassuperficiesequipotenciales.

E J It M P L o 25 - 5 Ernpleeel potcncialeléctricoder¡nacargnpurrtual, q, para obtetrersu calnpoeléctrico.

':

i

I -i

SOLUCIONT Conocemosel potencialeléctricoy senospide determinarel campo elécttico.En estecaso,el potencialesuna función tan sólo de la distancia.tadial por lo tantó,sonesferas a la carga,V * ql4ftesr,Lassuperficies equipotenciales, a una disüanciaconsüante de la carga.Segúnnuestradescripciónde la ecuación (25-26),el campoeléctricoestá,por consiguiente, dirigido tadialmentehacia y tienela direccióndel potencial afuera;esperpendicular a lasequipotenciales, decreciente. Sumagnitudes q q d(t\, : = -4".. E:.dv_ l*n.,' d, dr \;/ Tan sólo eslamosreproduciendolo queya conocfamosipe¡ola técnicaesútil en los contextosen los que no sepamosya la tespuesta. EJ EM PLo 2 5 -6 Una distribuciónde potencialen el espacioestádescrita por la función V - Axf - Byz,siendoA y B constantes.Determineel campo eléctrico. SoLUCION:En estecasode nuevo se nos da el potencialeléctricoy debemos una aplicaciónsencillade la ecuadeterminarel campoeléctrico,Necesitamos lasderivadaspatciales: ción(25-29).Ptimerodetetminamos

AV ;- : A y 2 ; 0x AV =- :2 A x y - B z; dy

Y : - ur. oz Por consiguiente, el campo eléctric.oes

E : - Ay'i - (2Axy- Bz)i+ Byk. Termina¡emosestaseccióncon un comentarioacercadel dipolo eléctrico.La (25-24)da el potencialdel dipblo, que es ptoporcionalal factor cos 0 en ecuación la figura 25-7.8n el eje de la mediatriz,0 - 90o,y como cos 90o- 0, el potencial 2 Unaconvcncióntaquigrríficaparacsasopcracioncsscapücacncstccaso.El cam¡ncléctricocstádcfinido porcl opcrador6radiente,A,quc achiasobrccl polcncial,E - -V( cstaxlo dcfinidocl opcradorgradicntc mcd iaritcV=il+¡ * + l* . ov ox

oz

739

740 Capitulo 2J Potcnclal cléctr¡co

eléctticoseráceto.Sin embargo,estono quieredecir queel carnpoeléctricoseacero en la mediatriz.El campoeléctricose detetminacon las derivadasdel potencialen determinadar o 0. Lo quecuentaparadeterminatel campoes lo rápidoque cambia r sen0. A lo punto.TenemosqueAVIOA el potencial,no si esceroen determinado latgo de la rnediattiz,cuandog = 90o,el campoeléctricoesmáximo.

25-5 cALcuLo Dtr los porriNcrAlns Dtr DrsTruDUcroNEs FINITAS DE CARGA

Técnlceeporc cnlcularpotenciales clóctricos

Sólo raramentetendremosque manejat el campo eléctrico y el potencial de una sola carga puntual; Con más frecuencia, tendremos grupos de cargas esparcidos en regiones del espacio, como cuando una carga se distribuye en la superficie de un metal, o cuando el catnpo de una molécula iónica complicada detennina su comportamicnto qulmico o biológico. Por lo tanto, es necesarioque podamosdetenninar los potencialesde distribucionescontinuas de carga. Esas distribucionespuedenno ser sencillas, y debemos desarrollarestrategiaspara calcular los potencialeseléctticos correspondientes.En estasección resumiremosprimeto las técnicasque se aplican, y a continuación mostraremosr¡naserie de ejemplos de su empleo. I.as formas cualitativas de las superficies equi¡rotencialesdebidas a una distribución de cargase determinancon más facilidad mediantetécnicasgráficas.Pata los cálculos cuantitativos,hastaahorahemos aprendidodos modos distintos de determinar el potencial eléctrico de una distribución de catgas:, l. Si se conoceel carnpoeléctrico,entoncesse puecleetnplearla ecuación(25-9) paradeterminarel potencial:

L v : i,,- vn : - f, u .a r . 2. Si no se conoce el campo eléctrico, podemos calcular el potencial en forma directaempleandouna de las diversasformas:

parauna cargapuntual,ecuación(25-7):

o v : -;-i +fi€or

ecuación(25-11); paramuchascargaspuntuales,

Iz:

l^

t I 9 ': 4 n eo i r ,'

parauna distribucióncontinuade carga,ecuación25-12): , : + 4nes)f+r En un cálculodirectodel potencialeléctricose debetomarla decisiónacercade la ubicacióndel potencialcero.De hecho,la convenciónque el potencialceroesláen el infinito, ya estáimplfcitaen las ecuaciones(25-7), (25-11)y (25-12).Es casi siemprela mejorselecciónparaunadistribucióndecargaqueno seextiendahastael unadiferenclade potencial,no senecesitatomar infinito. Si secalculadirectamente decisiónalgunaaccrcadelnivelcero, Placasparalelas

j( 1-

i r ,_ Veamosprimerola relaciónentteel campoeléctricoy el potencialparadosplacas conductorasparalelas(un capacitordeplacasparalelas,comoveremosmásadelante acercade los mismosen el capltulo26), cadauna de ellasa difetentespotenciales quelasplacasestánlo suficientemente entresi, cercanas (figura25-l4a).Suponemos podamos grandes para que las como tener cuenta no en o quesonlo suficientetnente de las por es una cerca orillas. Este caso, consiguiente, distorsionesdel campo aproximacióna las partescentralesdecapacitoresrealesde placasparalelas.En la

,

\-

it 1!

I

:( t-

(_ l

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't_

jv l

i(

i*

\_

figura,la placaizquierdaestáa menorpotencialquela derecha. se sabequeel campo eléctticoentreplacasparalelas esconstante, y queva delaspartesdemayorpotencial a lasde menorpotencial;en estecasode derechaa izquierda.En la ecuación(25-9) considcrntnos qucIn trnyectorin csunnrccl¡rdc ln plncnizquierdn n In dercchn, de tnl ntodoqucE esantipnmlelo a ds.Scala direccióndc izquiodaa derccha la qucdefina al ejer, y estéla placaizquierdaen ¡ - 0. Entonces,la diferenciade potencialentre lasplacasestáexpresada en ténninosdel campoEentrelasplacas,y la separación / de lasmismas,por

= -I,l ra ;:. L V = v u " ,o *- yr4 u rcn

E.ds= * [íudx= E !{ a*= nr ,

74r Z5-J Cálqtlo & loc potcnclalcr dc ¡ll¡trlbuclonc¡ flnltar dc crraa

Campoelóctrico entrcphcaeprrnlelro

A su vez,el calnpoeléctricoentrelasplacnsparalelas lieneunamagnitud

u-AV :7 .

( 25_30)

La ecuación (25-30) es un resultadopráctico imporiante. Dice que El campoeléctricoconstsnteenlre plecasconductorasperalelasesla diferenci¡ de potencialentre lss placasdividid¡ entre ls distanciaentre ellcs. Este resultado da el campo eléctrico entre dos placas conductoras plano-paralelas cuya diferencia de potencial es az. También podemos usatla para calcular las superficies equipotenciales relaciona das con cualquier campo constante.Esassuperficies son planos perpendicula¡es al ca¡npo, y la diferencia de potencial pam un plano a una distancia / de una equipotencial de referencia varla linealmente con /, LVE/. Nótese el signo: El potencial disminuye a lo largo de la dirección en la que apunta el campo eléctrico.

0v

0.25V

il

il il

ll il ds

,r,[.J

E J E M P L o 2 5 - 7' Dos placasmetálicasparalelas tienen225 cm2de área, cadauna,y esüinseparadas | 0.50 cm. Tienen una diferenciade potencial Wr de 0.25 V (figura 25-l4a). Determineel valor numéricodel campoeléctrico. ¿Cuálesson la densidadde cargay la cargatotal de cadaplaca?Trace las superficiesequipotenciales en 0.10V y 0.20V. OV

SOLUCION; La ecuación(25-30)seaplicadirectamente enestecaso.Conocemos la diferenciadepotencial,AZ, entrelasplacas,al igualquela separación deéstas. Entonces,la magnituddel campoeléctricoes

= 5ov/m, E=+: *:: / 0.0050 m y apunta dederecha (figura25-l4b). a izquierda En el capftulo 23 aprendimosque el campo eléctrico entre las placas es o/q:

E=50 Ylm:e' '

€o-

o = 50eoY l m:

(5 0 V /m )(8 .8 5x l 0 -r2 C 2/N .m2) :4.4 x l 0-t0 C /m2.

La respuestadebe estar en coulombs por metro cuadrado, porque empleamos unidadesSI en forma consistente.Conocemosel áreaenhe las placas,y con ella podemos calculat la carga total en cada placa, que es

Q: oA = (4.4x

= 1.0x l0- '5 C. Clmz)(225cm2)(10-a.m"lttm')

Como el campoeléctricoesconstanteentrelas placasparalelas,
iltl

tl il (b)Ll

0.t0v

0.20 v 0.25V

tl l¡ ,t tl l¡ tl ll

|]

tl

I

I

I

I

a

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

il

il

IIGURA 25-14 (a) Dosplacasparalclas, vlst¡sdc canto,ticncnrm¡ difcrcnciadc potcncialde0.25V. Sc indicam dcsplazamicnto difcrcncialds.(b) Ejemplo 25-7.Eqrripotcnclalcs paraV - 0.1Y y 0.2 V. Lrs placnsonsí soncr¡uipotc¡rclalcs, El campoclcctrico sc dirigc dc dcrcclu a izquicrda,cuandool potcncialdc la placa izquicrdacsmcnorquccl dc h placa dcrccha.

742 Capíarlo

d = 0.La superficieequipotencial, para0.10V es,entoflces, 2l

Pótenc¡e¡

cléctrlco

g r o l- : 0 . 2 0 cm J\) X /M

,t:!:: L

de la placa izquierda. Para O.20 V determinamos igualmente una distancia de 0.40 cm (figura 25-l4b).

EJEMPTO 25-8 Anillo con carga.Determine el potencialeléctrico debidoa un anillouniformemente cargadoderadioR y cargatotalQ enun punto P en el eje del anillo. SOLUCION: Defrnimosla geometrlade estecasocomo en la figura 25-15y calculafemos el potencialelécfico enun puntoP a unadistancia¡ a lo largodel eje del anillo. Esteproblernaes una aplicacióndirectade la ecuación(25-12). Definimosunacargadq,diferencial, a lo largodel anillo,queestáa unadistancia ¿elpunto P. Como r es constante,lo podemossacarde la consüante, , - {p¡p integtalde la ecuación(25-L2),paraobtener FIGURA 25-15 Ejcrnplo 25-8. Gcomcl¡ia para dctorminar cl potcncinl on uri punto P, cn cl cjc dc un anillo cargado dc rndio R, cmplcando una carga difcrcncial, d4.

¡f

=L:-q-:-=--=. v:i-4neor f ¿n: ' 4neor )

4nenrfR2 + x2

(2s-3 r)

Si hubiéramosdeseadodeterminatlo,el campoeléctricoa lo largo del eje se de derivadade la ecuación(25-29)(véase obtendrlaaplicandolas operaciones problema33). Estemétodoes más fácil que el de integracióndirectaque se presentóen el capftulo23 pa:ra. el campoeléctrico.

a EJEM PLo 2 5 - 9 Discocargado.Detetmineelcampoeléctricodebido catgado,deradioR y cargatotalQ, en un discodelgado,planoy unifottnemehte un puntoP en su eje,calculandoprimeroel potencialeléctricoen estepunto. SOLUCION:El casose muestraen la figura 25-16,Paradeterminarel calnpo el potencialeléctrico.Como conocemosel eléctrico,primerodeeterminamos potencialdebidoa un anillo,por el ejemplo25-8,dividimosel discoenunaserie con la intenciónde usarel principiode superposición. de anillosconcéntricos, En la figura25-16dividimosel discoen una seriede anillosde tadio r y ancho decargaenel discoeso- QlnÉ ,y la cargatotalcontenida d¡. t¡ densidadconstanüe

FIGURA 25-16 Ejomplo25-9.Esqucmaparadctcrminarcl potcncialcn rrnplnto cl ¡rctcncial P, eobrccl ojodc un discocargndorlcradioR,Primcrosodctc,rminn sc intcgra. dobidoal a¡üllodc radior y anchodr, y dospués

743

en un anillo de áreadiferencial d¡{ es dq *o

25-5 Cálc¡¡lo dc loe potcnclalcs & dlstrlbuclones fln¡ts dc c.rg¡

dA : o2nr dr.

Empleamos la ecuación (25-31) para el potencial debido al anillo, y a continuación integramostodos los anillos para determinar el potencial del disco:

dV:

dq

lneo$

+ x'

2y'o rdr 4leo jF¡7'

o (^ rdr :2.0 Jo Ñ:2.0 n

o

R6

: ; URr+ x 2 -x ) Vr-l + x-¡o ¿co

=ffiUn'+ x2- x).

(2s-32)

Esta integraciónes más diflcil que la.del ejemplo25-8. Sin embargo,no se necesitamanejodevectores. Como el potencial sólo dependede .r, el campo eléctrico sólo tiene un componenteen¡, E - 4i. El componenteE¡ es

E,:-ov -ñ:-2*F\7n'+r, -- o 1+-,).

/

que E sólo tengaun componente¡. Por simetrfa,sólo el No debesorprendernos componentexdel campotecibecontribucionesqueno se anulan.Como prueba, se puededemostraresteresultádoen el llmite, cuandor >>R, que se reduce, correctamente, al lfmite de la cargapuntual,Ql4ne"*,

EJEM PLO 2 5 - 10 Líneacon carga.Detennineel potencialeléctrico comofunciónde la distanciaradial,R, a unallneacon densidadlinealuniforme de carga,1. SOLUCION: el campoeléctricoparaunalfneainfinita concarga, Ya determinamos y podemosemplearla ecuación(25-9)paradeterminarel potenciala paÍir del carnpoeléctrico.La ecuación(23-32)nos proporcionael campoeléctrico,que sólo tieneun componente mdial.Integramosa lo largode una direcciónradial, de modoqueds - dr (figura25-17a),La ecuación(25-9)set¡ansformaen

I I fdr L,V: - | E,dr : -^ |¿ÍeoJ r J

P ( r =R )

FIGURA 25-17 Ejemplo 25-10. (a) Una linca infinita, cargada, ticnout cam¡n clcct¡ico radial. Para dctcrmi¡¡ar cl potcnclal cn c¡ prmto P, sc oxamina un dcsplazamicnto,ds, en cl cam¡rc cléclrico E, y sc usa cl campo oléctrico conocido. @) El potcncial resultantc, dclinido como ccro cn r - a, va do infnito positivo, pasaprrr r - 0, y contlnúa hacla lnfurito ncgativo panr r grandc.

/+4 Capítulo 25 Potcnclal cléctrlco

La diferenciade potencialdepende, naturalmente, de l-osllmitesde integración. Digamosqueel potencialceroseencuentreen r - a, de modoque

av : vn- vo: v : -:- i^ t = -=i- ,n "' ,"l*, 2res r 2reo '1"' J"

r :- 3 ¡ n R. ¿fteo

(2s-33)

a

Nótese que, en estecaso,no es posible ubicar el potencialcero en el infinito, porque efr fr - 6r el logaritmo es infinito. Ffsicamente,esto es osf porque la llltea misma llega al infinito; nunca nos podemos apartar de ella. Graficamos el potencial de la ecuación(25-33) en la figura 25-l7b,donde hemos supuestoque lacargade la llnea es positiva.

(

I

EJEMPLO 2 5- 11 kfera con carga. Determineel potencialpafaun cascafónesféricode radio R, uniformementecargadocon una cargatotal Q, en lugarestanto en el interior como en el exteriordel cascarón.Establezcael potencialceroen el infinito. SOLUCION:Ya conocemosel campo eléctricodel cascarónesférico,en el ejemplo24-4,y podemosusarla ecuación(25-9)paradeterminarel potencial eléctrico.Comosegundopuntofijo, escogemos r = ooydeüerminamos la diferencia de potencial,AIz,en r, con el potencialenco.Del ejemplo24-4 tenemoslas (24-10)y (24-l l): ecuaciones o

fuera de un cascarónesférico. r > R:

dentrode un cascarónesférico,r ( R:

Distancia

1'

+n€or-

E : 0.

radial,demodoqueenla ecuación(25-9),que El campoeléctticoesúnicamente da la diferenciaclepotencial,integtamosa lo largodeun radio,del infinito a una distanciaradial,r, arbitraria.El elementodiferencial,dr, apunüa aparkindose del origen,demodoqueE . ds = E, ü = E d¡. Parar¡npuntofueradel cascarónesférico,

(a)

f' g : :- ( !- 1 ) : L V: v ( r ) - v( a ) : - f' Ed:r - :-4neo)*r" 4neo\r aJ

JDecimosque lz(co)- 0, y entonces, el potencialV(r) esiguala AZ: fuera del cascafón,r > R:

V:

Q +n€or

O 4neor'

(2s-34)

y el La diferenciaentreel potencialparauna posicióndentrodel óascarón potencialen el infinito es

LV: -(f^ uo**a,+ i ro**,dr). \J. / Jn Distancis (b)

-

FIGURA 25-18 (a) Ejemplo l5-l l. El campo elcctrico, y (b) cl ¡ntcrr;ial clcctrico para un ca-scaróncsfórico de r,rdio R. Aun cuando cl campo clcctrico cs ccro dcnt¡o dcl cascarón,cl potcncial ticnc r¡n valor constantc, igual al de la supcrficic dcl casca¡ón,

Como E¿"n¡o- 0, la segundaintegral desaparecey la integtación es semejantea la anterior, de nuevo con el potencial ceto en el infinito: dentro del cascarón,r 3 R:

: '

#;u:

constante' (25-35)

Aun cuandoel campoeléctticoescerodentrodel cascarón, el potenciaino lo es, si definimosqueseaceroen el infinito.En la figura25-I8a graficamosei iii,,¡.,c esférico,y el potencialen la figura25-18b. eléctricoparael cascaróri

TA r! r.¡

25-t

CAMPOSY

POTENCIAI,NS NI.IiCTTCOS

Magnitud del campoelCctrico

Configuraciónde cargas Cargapuntual

PARA DTVtr,R5AS CONT:TGT'RAC¡()NIIS DI]CJTRGAS

q

4*F

4nerr

a'l

En cualquierlugar

-

€o

o /JRTT -.\

re\-ffiFl o

Lejos,sóloa lo largo de la mediatriz: p

c.d' Qx 4?t(o(Ri-+-ñtt

o

r>R: ;:, q fi< o r ' ,.R ' .

n (JRz + x2 - x) Zne¡R" -J--. "

o

r > /{' --:-4nenr

r< R :

r< R :0

Esferamacizano conductora,uniformemente cargadacon radioR

r:a

LV : - E¿ : -":

Cascarón csféricocargado, ,' > ,t' ---:--4nenr' de radioR

Anillo cargadode radioR, a lo largodel eje

@

),' r _;__ In _ tf€o u

Placasparalelascon carga o opuesta, densidad €o uniformede cargao d separación Discocargadode radioR, a lo largodel ejea unadistancia¡

Potencíaleléctrico

,q

1 Lfneainfinita de densidad 2"%, uniformede carga, l,

Ubicación del potencial cero

Q' , 4zcoR'

o 4neoR -::

c,,

üJ

@

[.ejos,errcualquier lugar: pcos0 f,,rrr'

.o

o 4neo.,[nTTF

,> R,- 9-

,
Hemoscalculadoya el campoeléctricoy el potencialpamdiversasdistribuciones queobtuvimoslos resumimosen l¿ tabla25-1, decarga.Los resultados

25-6 porENcrALEsy cAMposElEcrRrcos QUE ROpEAN

A CONDUCTORES

Esprobableque los casosmás importantesde distribuciones continuasdecargase denen los metales;en la sección25-7 presentaremos algunosejemplosprácticos. Fsasdisttibucionesratamenteson uniformes,porque las cargastienen libertad de movimientosobrey dentrode los metales.Sin embargo,partiendode lo que ya sabemos,podemosaprendetuna cantidadsorprendenteacercade los potenciales eléctricos cercade los metales. Ya hemosaprendidoque en la electtostática el campodentrode un material conductofdebesef cefo,quela carganetaenun conductotdebeestarensusuperficie exterior,y queel campoeléctticoinmediatamente fuerade la superficiedel conductor debesernormal a esta.Tambiénhemoshechonotarque,eomono hay componente

745 Potcrrcl¡16 y c¡mpoc clé
Su¡rcrficics c,r¡ri¡rc(cncialcs

Strpcrficicscr¡rripotcncialcs

FIGURA 25-19 (a) Un cnm¡n clcctrico unifonnc, nntosdc colocar cn ól rm conductor sin carga. (b) Dcspucs, cl cam¡rc clóctrico caml¡ia cn fonna drnmÁtica; no hay cnmpo cléctrico dcntro dcl co¡rductor. [,ns cargas inducidas, quc hnccn ccro cl campo cléctrico dcntro rlol condrrctor,aparcccncn la su¡rcrficiccxtcm¡ dcl mismo, Esas cargasafcptan al csnpo clcctrico fi¡cra dcl conrluctor.

Cercede un conductor,laesuperficies equlpotenc¡eles son per¡lclas a h superficiede éste.

del campo eléctrico a lo latgo de la superficie conductora,óstadebeser, en sf lnisma, una equipotencial. Como el campo eléctrico en todo punto dentro de un material conductores cero, el potencial interior debe tener el mismo valor que en la superf"rcie. Hemos visto ya un efecto de estanaturalezaen el ejemplo 25-ll,el cascarónesférico cargado.El potencial en la superficie, y en todo punto dentro del .cascarón,tiene un valor conslante;(esto es, es una tegión equipotencial). También podemosdecir algo acercadel potencial eléctrico fuera de un conductor, esté o no cargado. Si está cargado, el hecho de que el campo eléctrico sea p€rpendiculara la superficiequieredecir que las equipotencialescetcade la supetficie debenserparalelasa ésta,Esto sereáválido aun cuandoel conductornoestécargado, Por ejemplo, parael campo eléctricoque se ve en la figura 25-19a,debido a dos placas paralelas (que no se muestran), si colocamos un conductor rto cargado de tamaño arbitrario en é1,se modificará mucho ese campo (figura 25-I9b), Se inducirá carga en el exterior del conductor en equilibrio, induciendocon ello el campo eléctricopara. que seanormal a la superficie conductora,y, nuevamente, lassuperficiesequipotenciales cerca de un conductor deforna arbitraria debenser paralelas a la super/icie d e l n ti s n rc . En el capltulo 24, calculamos la magnirud del campo eléctrico cerca de la superficie de un conductor en términos de la densidad de carga en ese punto. Sin embargo, la densidad de carga puedee variar para una superficie irregular. Aqul veremos cómo el conceptode potencial nos permite decir más acercade la densidad de carga y, por lo tanto, de los campos cerca de conductoresde forma iregular.

El papcl dc puntos agüdos en supcrficies

conductoras

Veamos el conductor irregular de la figura 25-20. El lado izquierdo tiene una configuración más aguzada que el derecho. Podemos catacterizar esos dos lados inscribiendo esferas en los extremos y midiendo sus radios respectivos. La parte

746

izquierda es más cufva que la derecha, y rt < rz. Modelaremos este conductor en un procesode dos etapas.Primeto, consideraremos los dos conductores esféricos que se ven en la figuta 25-2La. Los tamaños de esas esferas coinciden con los de los dos extremos de nuestro conductor inegular de la figura 25-20. Las cargas q y q' se colocan en las dos esferas. Los potenciales eléctricos en ellas son, respectivamente,

747 25-6 Potcncldcs y campc tlcctdoc quc rodcan e conduclorc¡

C-arE^Q

Q V,: ' 4nenr,

vz:

4neor,

Ahora conectemoslas dos esferascon un alambreconductor(figura 25-2lb). El quela cargafluya rápidamente sistemacompletollegaráal mismopoteúcialdespués entrelasdosesferas.Estepotenciales 4t

'

4n
Conductor (supcrficlo c<¡uipotcncial) FIGURA 25-20 Un conductordo fonm irrcgularscmodclamcdlantccsfcrasdo radioer, y r, onsr¡scxt¡cm6.

Qz

-

4n
siendo h y Qz las catgas en equilibtio en las dos esferas. Cargas'y radios estrin relacionadosmediante

r,. \;/

!!L:!2. rr

12

Comosólo hemosempleadoel hechoque el sistemacompletoestáa un potencial único, este cálculo también se aplicaráa nuestroconductorinegular de la figura 25-20,Las esfefasconectadasforman un modelo para el tamañorelativo de los camposeléctricosen los dos extremosdel conducto¡.Nótese que q y 4' ya no aparecen; todo lo quequedaesel requisitode conseivaciónde la carga,qüeq + q' =

Carga g, potoncial vl

Cuga q', potonclallzt (a)

Q t + 42. La densidad superficial de catga, o, en una esfeta, queda determinada por la carga de la esfera y por.el área de su superficie:

^=+ .

Trr, es paranuestrasdosesfefas,la ecuación4 tlr t - q2J Porconsiguiente,

o,ilr4 o.ll1 /z' 4 Oytl:

O 2l '2.

.

¡rctcncial fz (b)

(25-36)

El campoeléctrico,E¡, inmediatamentefuera de cadaesferaconductota,es igual a o sea o¡les,de modo que podemosremPlazaro, Por eeE¡.Asf, eiE¡r1' ejE2r21 Errr:

E rrr;

EL

rz

Ez

rl

Carga42,

FIGURA 25-21 (a) Dos conductoros, al principio, cstrin a distintoe potcncialcs, quc dcpcndon dc srs cargas rospcctivas. (b) Sl los conducto¡as so concct¡n ¡rrilantc u¡r alambrc, dcbc pasar cargr par¡ igualr lc potcncialcs on todos los prmtc.

(2s-31)

Loscamposeléctricosserelacionaninversamentea los radios.Para un radio menor, El cempo eléctrico cerc¡deun esmeyorcercrderegionee songrandes. conductor la densidadsuperficialde cargay eI campoeléctricocorrespondientes El efecto que acabamosde describit es impotante en conductotescon puntas dcmuch¡curv¡tur¡. agudas(figura 25-22).Aun si el conductorestáa un potencialeléctricobajo, algunas de la superficie,con pequeñosradiosde curvatura,pueden regionesdetermihadas en su cercanla.Cuandoun campoeléctticoes lo gtandes campos eléctricos tener para vencerla attacciónentteionesy electrones,se grande como suficientemente

748 Cnpítrrlo25

D

r f 4 { +{+

lrotc¡rcl¡lclóctrlco

tttttt

Wt

.¡-

I

i\

Conductor con carga

FIGLTRA25-22 El campoelectricocorcadc radiosde curvahra pcquoños puodoscrbastantograndc,comosc vc parsla prnta dc unangujacargada.

presentala descargade corona,a corono.Los electronesse deseprenden de las moléculas,quesedice entoncesqueestánionizadas.En el aire,estosucedecuando los camposson del ordende 3 x 106V/m. La ionizaciónde las moléculasde aire originaun brillo verdoso.Los marinerossiemptehanvistoesosbrillosen laspuntas de susmástilesy palos,y al fenómenole llamaronfitego de SanTclmo.En tierra,el comodescargadisruptiva(veasefigura23-22 fenómenoseconocemásgeneralmente y la primemfotografladel capftulo26). por los grandes Las moléculasionizadas,con ca¡ga¡rositiva,son aceleradas de Ia descarga Asf, despues camposeléctricosy sealejande la regiónde la descarga. disruptiva,el aire,de hecho,se vuelveconductorquesacael excesode carga.Esto derayos bajael potencialeléctricoalrededordel conductororiginal.En lastormentas hay grandesdiferenciasde potencialentre la tierra y las nubes,a causade una acumulaciónde cargasen éstas(véaseIa primerafotograffade estecapftulo).Los disruptivaslocalesy bajanla diferenciade potencial paraffayosprovocandescargas y lasnubes.Esospararrayosno atraenlos rayos;al disminuirla entreel pararrayos diferenciade potencial,evitanqueel rayocaigaen suscetcalrÍas.3 esféricos,el potencialy el campoeléctricoen la superficiese Paraconductores disruptivasepuedeproducir relacionanmedianteV * RE.De estemodo,la descarga El bajo en conductores cou puntasaguzadas. colocandoun potencialrelativamente potencialmáximoquesepuedecomunicara un metalsin queseioniceel airees /n6, : R(3 x t0ÓV¡m¡. Parala puntade unaaguja,conradiode curvatutaR : 0.1 mm, el potencialmáximosóloesde 300 V, peroparaunaestructuraesférica,con R - 3 m' 107V. esaproxitnadamente

25-7 poTENcrALEsELEcrRIcos y cAMPos ELECTROSTATICOS EN TTCNOLOGIA partedenuesttoestudiodel unapequeña sólorepresenta Aun cuandola electrostática brevemencionaremos importantes. En fon¡a aplicaciones tiene electromagnetismo, ponet cómo se puede a trabajar en la pfácticael pata indicar aqul, de ellas algunas adquirido. conocimiento

Acclerador Van de Graaff Si colocamosuna cargaen cualquierpartede un conductof,se moveráhacia la superficieextetior;el carnpodentrode él serácero.RobertVan de Graaffaprovechó esteconcepto,en L931,paraconstruirun acelerador,apatatoqueproducepartlculas

3 Al rcvcs, ¡n objcto allo, aislado, como u¡r árbol o rm cdificio alto, pucdc corstituir una traycctorir hacia tiorra qr¡c ncccsitc mcnos oncrgía; e'sosbbjclossufrcn con frecuencia la acción dc los r¡ryos.

I

\sz '|-

Motorimpulsor (b) I'ICURA 25-23 (a) Diagramrcv¡ucmáücodc rm accloradorVan de Gr¡aff so¡plllo.L¡ cargasode.posita cn la bandatrarsportadora,cn supa¡toinfcrior, y pasaa la prfc supcrior. [.a cargapasaa la superficiccxtcmadel conductor,y cl potcncialcontinrinc¡rclc¡do h¡st¡ ¡lcaruar valorrs altos. El simbolo cn l¡ partc lpforlor dorcchalrdlca quo t¡ brso dol acolcradorscheconcctadoa tlcrra, (b) I-c nlf,osquotocsnGsogcrior¡dorV¡n dc Gnaff so somctcna t¡rialto potcncialcléctrico.[.os cabolloslndivldualcssccomportanconn trs hoJas dc rurclcctroscopio.

t

catgadas muy energéticas, Esaspartfculasseusanrentreottascosas,comosensofes microscópicos de la materia,y en tratamientosde cáncer.Van de Graaff usó un aparatosemejanteal que se ve esquemáticamente en la figuta 25-23a,Una bandao cadenaaislada,en forma continua,lleva cargaal interiorde un conductorhueco, dondehay escobillasque sacanla cargade la banda.Como los portaescobillas es!án conectados conun alambteal conductorhueco,la catgade la bandaseguirádesdelas bandas,por el conductory hastala superficieextemadel conductor.El potencial eléctticoen la superficieconductoraesféricaaumentaa medidaque la cargallega a susuperficie(V - qlaxenR¡, Unafuente.deiones,ubicadaen el interior del conductorhuecoproduceátomos cargados del mismo signo que el del potencial.Esosátomoscargadosson repelidos de la región de alto potencial,y asf son acelerados. A los apamtosse les llama ¡celeradoresVen de Graaff, o generadoresVen de Graaff (fi gura25-23b).Hay aparatos semejantes,llamadostándems,que tienenun alto potencialpositivo en su centro;los átomosnegativos,attafdosal poüencialpositivo, partende un potencial ceroy pierdendoso máselectronesdentrodel conductothueco,al passrporunhueco delgado.Los átomospositivosseaceletanentonces,de nuevo,al serrepelidospor el alto potencial, de nuevo a cero, ganando energla adicional. Si se rodea al aceleradorcompleto mediantetanquesgrandesde alta presión llenos de gases que tesistandescargasdisruptivas,se han alcanzadopotencialeshasta de 25 millonesde volts.

749

APHCACION

I

E[ mlcroscopto dc carripo-ioiics' , ,¡ r , El fenómenoen el que los camposgmndessedesarollan en puntosagudosde un conductofse lleva a su extremo en la microscopiade'rampoy iones,dondelosgmndes camposeléctricosnos permitenptoducir imágenesde átomosindividualeselrla estructumcrislalinade la punta deun metal.Seprepatauna puntadel materialcristalino, sumetgiendouna puntaconformada normalmenüe en un electrolito,queesuna sustancia mecánicamente quedisuelveátomosdel extrerno.Seprepatanpuntas del metaly hastade 200 nm de diámetro,dependiendo nm, la punta de 200 del cristal que se traten.En la escala

se ve lisa, pero a nivel subatómico.sig,resiendo muy áspera.Se inttoduce en un recipiente al vacfo, y se aplica un gran potencial, de vários kilovolls (figura B1-1). El extremo de la punta se alisa todavla más, al salir del metal los puntos agudos a escala atómica, en fotma de iones positivos, a causade los grandescampos.El procesode pulido deja una punta como la de las figuras Bl-2a y B1-2b, dependiendode la orientación precisa del ctistal. Un ejemplo familiar de la estructuraposible de una punta ser{ael de natanjas apiladasen capas'en una estructutasemipitamidal (figura B1-2c).

Al crióstato

Pantalla -\:.. fluorcsccntc -'l

Lic¡uiclo cnfriador Mt¡cstra a nltovolta¡o

/r I

I l I I

I

IüGURA B1-1 Diagrama csqucrruittco do trn microscopio de campo-ion. El crióstato nranticno rma tomporatr¡ra uniformc y baja dcntro dc la cámara.

Dista¡cia variablc

t\

tllt

A la bontba do vacio

Gas rcvolador Q-Ico Nc)

Xerografia en variasetapasde la aprovechanla electrostática Las máquinasfotocopiadoras El ptocesose inicia con una placa con carga *u"og"nfin, o fotorreproducción. Es un materialbuenconductota la luz, de matedalfotoconductor. positlva, "ubi.ttu como el selenio(figum 25-24a),La luz reflejadadel pero malo en la oscuriclad, lentey llegaa la placacargada,dondelas¡ireasoscutas por un pasa por copiar tdginal p"ro enlasáreasdondeserecibeluz, las cargaspasana la parte p"rírr*"""n "uiguJur, infurior de la pláca (figura 25-24b).La imagenresultantede las zonasoscurasestá Seagfega"tonef",concarganegativa'Esun por lascafgastemanentes' representada ingtedientesesresinatermoplástica.Esetonerva a la placa pol,ron"gro,üno d" "uyát positiva, dejandolas áreasoscurasoriginalescubiertascon toner ne9to "urgá "on (figuraáSi+").En el siguientepaso,el papel,quetambiénseha cargadopositiva*át", se colocasobrela placay atraeal tonernegto,con cafganegativa(figura 25-24d).seagregacalofpafafundirel toner,yconé1,la imagen,y adherirloal papel. Esto es la causade que las copiasteciénsalidasse sientencalientes(figuta 25-24e), y a vecestodavlaesténcatgadasal salirde la fotocopiadora'

750

I-

0.1u (a)

FIGT RA Bl-2

(a) hmta dc hicrro aun¡cntada. @) Las e.sfcrasrtprrscntan átomos indiüdt¡alcs do una punta dc loncs dc campo.

En la siguienteetapa,se introduceun gasdiluido, comohelio o neón,llamadogas rcvelador,en la cámara quecontienela punta.Seaumentael potencialpositivo, denuevohastavarioskilovolts, hastaque comienzana los átomosde gas.Estosucedesólocuandoel ionizarse sobrelos átomosde campoesmáximo: inmediatamente la punta.El campoeslo suficientementeintensocomo paraionizar el gas.Los ionesde gassalenalejrindosede la punta,siguiendolas llneasdel campoeléctricoque salende los átomosde la punta,hastauna pantalla a tiena, en la cual los ionesde gasque chocan conectada dejanuna huella visible. La imagenque seforma conesponde a la posiciónde los átomosindividualesde la punta,que asl séhacenvisiblesen una foto, como la 'de esútil la figuraB1-3. La microscoplade campo-iones enla observaciónde estn¡cturascristalinasy los efectos deimpurezasy defectosen cristales.Hastaalgunos coneste no cristalinospuedeninvestigarse mate¡iales

I

apafato.

I

¡ It

I s l

I

F

I

+++++++++++ +++++++++++ +++++++++++ +++++++++++ +++++++++++, * + + t + + + .+t + + + *. + + + + + + + + + + + l+ t + + i+ + + T + + i . + + . + . + : + r+ + + + + + '

t. t, I

Se agrcga tóncr ala placl

Pa¡rcI scpnrdndosc dc la placa (e)

(c)

original W )i

a -l

+++

(a)

I B

P

Placa fotoconductora carga
ITIGURA Rl-3 Microfotogralra por campo-lon do una pmta dc lrldio. I.os ¡itomos individr¡¡les produccn las figuras.

.-\ \ .//-,Ff+* ++++++++: C----l

(b)

+.+ .+ .+ .+ .+ .+ .+ .+ \+', +',+1+1+1+1+T+

L:rttc Placa fotoconductora cargada

(d)

dc la FIGURA 25-24 Diagramacsqucnuitico Papct con xcrografia.(a)unapla'cafotocónductora concDrga cargapcitiva. (b) [a luz clclaszon¡sbla¡¡cas dol origlrul ncutraliz,alas cargaspositivason la placa.(c) El tdnarconcerganogativaesat¡aido Tónere¡ a la cargapositiva.(d) El papol,con carga la placa positiva,tomacl ldn¿r.Mcdia¡rtccalorsc ñ¡ndc estccn el papcl,(c) quosc dcsprcndcdc la placa.

751

752 Capitulo 25 Potcncl¡l clécrrlco -rh

Ilancra original dc ¡ntcncial Nucva barrcr¿ dc potcncial

Encrgia total dcl clcctrón [norgía totrü dcI clcctrón

I}rcrgía potcncial dcbida a la distribució¡rcxln.nadc cargas (a) Í'IGURA 25-25 Encrgia dc los olcctro¡rcs cn fur¡ción dc lá distancia dc la suporficic cxtoma dc ur mctal. (a) l,os clcctroncs sc ¡nnnticnen cn cl irrtcrior dc un mctal nlcdiantc r¡na barrcra dc potcncial ccrca do la su¡rcrficic. Si la barrcra cs m,iisalta quc la cncrgia total dc los clccl¡oncs, óstossolo puc
I'IGURA 25-26 (a) Cabozadc ba¡rido, de un microscopio olcct¡onico do barrido tt¡¡tcl. (t) Diagrama csquon¡Áticodo uri microscopio dc barrido t(urcl. l,a aguja do punta fina cn ¡a caboza dc barrido Iloga a 1 n¡n dc distancia de la mucstm; osa distancia cs cl cspacio dc túnol. l-a corriontc do pcnctración a travós dc csc cspacio rMntionc constsntc el cspacio, al barrcr la su¡rcrficio con la punta, con lo quo so ticno un mapa do la supcrficie. El voltajc dc basc prcccdc a la corricntc dc lrcnctración, quo sc pucdc cmplcar para foÍnar cl voltajo dc ilnpulsión. Estc voltajc dc impulsión muovc a la punta mcdiantc piozoclcctricidad, fcnómcno cn cl cual sc aplica un voltÍjc y con ól se muovo rm cristal.

Distancia

Distancia

(b)

Potencialeseléctricose ingenieria cuánt¡ca I",oselectronesse fijan a sus respectivosátonios, dentro de un metal, pof atracciones electrostáticas.Esas fuerzas se pueden representaren física clásica mediante una barrera de potencial que no pueden cru?.arlos electrolres.La figura 25-25a es un diagra'made energfapotencial de un electrón al igual que su energfatoüal,constante. En ffsica clásica,el electrón no puede entrar a la región en Ia que su energlatotal sea menor que su energfa potencial. Sin embargo, como dijimos en el capftulo 7, el electión tiene ciefia probabilidad,muy pequeña,de penetratla banera, como si fuera potun túnel,debido a ef'ectoscuánticos. Algrin objeto con carga positivo que se acetquea la supefficie metálica tira de los electrones.El objeto tiene un potencial eléctrico con respecto al metal, y un electrón tiene una energlapotencialdebida al objeto extenro (figuta 25-25b)' Cuando la energfapotencial debida al objeto extemo se surna a la energlapotetrcial original que sujeta al electron al metal, se reduce' de hecho, la barrera. Aun cuando el potencial extrerr¡oseademasiadodébil para bajat la energfapotencial máxima por debajo de la energfapotencial,parapermitir que los electronesescapencomo dice la ffsica clásica, el hecho que baje la barera facilita que los electronesatraviesenel túnel a tmvés de la barrera. Esta "penetración ayudada por potencial", o tunelización ayudada por potencial, se usa en el microscopio de barrido túncl (figuta25-26a). Se coloca un potencialpositivo débil en una agujaultrafina de tungstenlo.Esa agujabame,o recotte, la superficie de una muestra, y suministra el potencial necesario para ayudat a los

Inrpulsor píozoclictrico

Voltajcrlc impulsión

Ag¡ja Espacio dc .,'t"

l)c¡rcracron ;

'frayoctoria do la aguja Sulxrficio dc la ¡¡rucst¡a

Voltaje dc polarización

(b)

t*

I t

¡'IGURA 25-27 Microfotografindc ba¡ridotúncl,con falsoscoloros,do la supcrficiodc u¡u mucst¡ado grafito. Son cvldcnf.es las figurasrcgularcs formadaspor los átomosindlvldualcs.

F IGURA 25-28 Atomos individualos do xcnón, cuyo tama¡1oas rlcl onlcn dc las dCcimas dc nanómotro; so han movido para colocarlos c¡¡ rn¡ fila,

electronesa escaparde la muestra,por penetracióno tunelización.Esoselectrones sonattafdosa la agujay fo¡rnanunacomienteque la recoffe,cuyamagnituddepende dela distanciaenttela agujay la superftcie(figura 25-26b).Esteefectoseempleaen dosformas: que reposicionaen 1. Se puedeinstalarun mecanismode retroalimentación forma continuala agujaparaque la conienteseaconstante. La distancia entfela puntade la agujay la superficiede la muestta,por consiguiente, es constante. La reubicaciónse puedemedir,y con ello se puedecartografiar la topograffade la superficie(figuta 25-27). 2. El potencialde la aguja puedeejercerun ligeto tirón sobrelos átomos completos.Aun cuandolos átomosseanneutros,los electtotres con carga negativa,y los núcleoscon catgapositiva,formanun dipolo inducido.El mismo mecanismoque peffniteque un peine,cargadoal pasarlopor la cabellerasecaen un dfa invenralseco,atraigaeléctricamente a pedazosde papelneutro,atraelos átomosde determinado materialdemuestra.De este modo,sepuedendesprender átomosa lo latgodela superficiede la muestra, unopor uno,y colocarlosen nuevasposiciones(figura25-28),Esteefecto prometepermitir la formaciónde nuevasmoléculas,y circuitoslógicos ultrapequeños, o circuitosde conmut¡ciónde computadoras. La cornbinay la mecánicacuánticase estátransformando ción de la electrostática con ingenicríacuátttica, cuyonombte,adecuado,es rapidezenunahenamienüa,

RE SU M E N La fuerzade Coulombesconservativay, por consiguiente,una energlapotencial(la energfapotencialeléctrica)estáasociadacon ella. Si una catfla,Qs,de prueba,pasa deun puntoa aun puntob enpresenciadeunacargapuntual,q, enel origen,el cambio por de energfapotencialestáexpresado

^u=ffi(*-)

(2s-4)

La diferenciadepotencialeléctricodebidoa cualquierdistribucióndecargaentrelos

753

/ >zl Capítulo25

Potcncla¡eléctr¡co

puntos a y b se define como el cambio de energlapotencialdividido entrela magnitud de una carga de"prueba,qel

LV=va-vo=""*:

- l. " r . o t

(25-e) l_

E esel campoeléctricodebidoa la distribucióndecarga.La integral En estaecuación, de la ecuación(25-9)esindependiente dela trayectoria entrelospuntosinicialy final. La diferenciadepotencial,Vu- Vo,esel trabajoqueefectúa,por unidaddq carga,un agenteextemo al mover una cargade pruebadesdeel punto a hastael punto b, sin cambiarsu energiacinética.El potenciales.iqdependiente,de la cargade prueba. El potencialeléctricose puededetenninarcon los siguientes métodos,además de losmétodosgráficos: (25-9). 1. Si seconoceel carlpocléctrico, elrtotlces sepuedeusarla ecuación el catnpoeléctrico;por lo generales más fácil calcularen 2. Si se desconoce algunade lassiguientes formadirectael potencial,empleando fonnas:

v:'l

para una carga puntual:

o s -'l\

:

4neor'

! j;

para muchas cargaspunfualés:

v : !_,

para una distribución continua de carga:

v- *- _t*' -

4nen7 r¡ ,fl

I

IO(/

4neoJ r

(2 5 _ l l )

(2s-t2)

En cada uno de estoscasos,se escogepotencial cero ell el infiiito. I.a unidad del SI para potetrcialelécttico es el volt (V); 1 V - | \C. Una unidad útil de energlapara sistemasatólnicosy subatómicoses el electrón volt (eV); I eV 1 .6 x 1 0 -reJ . Se puededeterminat el campo eléctrico si se conoceel potencial,en términos de las derivadasde éste:

E: - !!0x i - a0y:¡ - a0:!t,

l r 5 _? q )

por la y estáexpresado El campoeléctricoentredosplacaspamlelases constante, diferenciade potencialdivididaentrela distanciaentrelasplacas: r_

"-

AV /

(25-30)

El campo eléctrico y el potencial, para divetsas configuracionesde catga, aparecen en la tabla 25- I . l,as superficies equipotencialesson aquellas que están a un potencial fijo. El campo eléctrico es perpendiculat a las equipotenciales.Las superficies de los conductoresforman equipotenciales,y los potencialesdentro de conductoresen equilibrio son iguales, en todos los puntos, al potencial en la superficie. Los campos eléctticos inmediatamente en el exterior de los conductores son invefsatnente ptoporcionales al radio de curvatuta, de modo que hay campos eléctricos gtandes cerca de puntas aguzadasen conductofes, aun cuando éstos se encuentren a bajos potenciales. Las aplicaciones de la electrostática comptenden el acelerador Van de Graaff, el microscopio de campo-iones,la xerografíay el conttol de los fenómenosde penettación (tunelización).

r.;

J

i, ,ii .;:

,:

PREGUNTAS 1. ¿Cuántosjoules hayen 1 V.C? 2. Un planoinfinito tienecargapositivauniforme,de densidad supcrficial o. ¿Cómo usarfa usted una carga dc prueba i negativaparamedir o? 3. ¿Cómocrearfaustedun campoeléctricodentrcidel espacio huecode un cascarónmetálicoesférico? 4. En buen tiempo, el campo eléctrico en la atmósferainferior es,aproximadamente,100V/m, y apuntahaciaabajo.¿Qué sucedecuandose plantauna varilla metálicade 3 m en el teneno? 5. Cuandoun campo eléctrico mueve una carga,efectuando , trabajosobreella, ¿cuáles la fuentede enrgfaparapoderlo efectuar?¿Dedóndeprovino originalmenteesaenergfa? 6. Al describir la diferencia de potencial.como trabajo por unidadde carga,paramover una cargade prueba,agfegamos la frase"sin mover la energlacinética" (véaruelas negritas en la página730) ¿Porqué es importanteésto? 7. Siempreseráequipotencialun conductor?Si no, ¿bajoqué circunstanciasno seráequipotencial? E. Con la ecuación(25-29), explique por qué al cambiar la ubicacióndel polencialcerono seafectael valordel campo elécttico. 9. Un pequcño aceleradorVan de Graaff se puedeemplear como aparatodc demostraciónen co¡iferencias.Si una personatocala esfera,su cabellosc eriza(véascfigura 25-23b), Expliquc'porqué. ¿Porqué la pcrsonadcbcpararsccn un cojfn aislantcduranteesademostración? 10. La Tierra,normalmente,se defrnecomo con potencialcero. ¿Significaesoque ta Tiena no puedatenercarganeta?Si la como Tiena tienecarganeta,¿puedeseguirconsiderándosp con potencialcero? : , 11. Si conocemosel potencialeléctricoen determinadopunto, ¿tambiénconocemosel campo eléctrico?¿Quépodemos conoceracercadel campoeléctrico,si conocemosel potencial eléctricoen dospuntosarbitrariamentecercanosetresf? 12. ¿Esla energfapotencialde un sistemade cargaspuntuales independientedel ordenen el que se forme el sistema?

I¡IGURA25-29Prcgunta 13.

13. ¿Porqué hay tantassuperficiescurvasen el generadorVan de Oraaff de la figura 25-29?

14. ¿Cómosabemosen realidadque las fuerzaseléctricasson conservativas?

15.En el potencialasociadoa una cargapuntual,elegirnosal potencial cero como cstandoinfinitan¡cnto alojado do la carga.¿Quécambiarfac¡r nuestrasprediccloncsde cargas eléctricassi hubiéramoselegidoque el potencialfueracero en r - 10-¡ontde la carga? 16. Si comenzamoscon cargaspuntuales,paracadauna de las cualesel potencialcero estáen el infinito, ¿esposibleque una superposiciónde cargastengaun potencialceroqueno estéen el infinito? 17. El potencialde una configuraciónde cargaspuntualeses cero en determinadospuntos.¿Sigrifica estoqu€ la fuerza sobreuna cargade pruebaescero en esospuntos? 18. ¿Esposibleaneglarlas cargasde tal modo que el potencial seaceroen una región contiguafinita?

PROBLEMA^S Energíapotencial eléctrica (I) 1.' Una carga de 2.0 x 10-1C estáfda en el origen de un En una pasacon 1.0 g de mq¡a sq sistemade coordenadas. colocauna cargade 2.0 x 10-6C. La pasase acerca,desde muy lejos, hastaun punto a 45 crn del origen. ¿Cuáles la energlapotencialeléctricadel sistema? 2. O Supongaque la pasadel problema1 se suelta,partiendo del reposo,desdesu lugar a 45 cm del origen. Si no actúan otrasfuerzassobrela pasa,¿haciadóndese moverá?¿Cuál serásu energfacinéticafinal? 3. (I) Se trae del infinito una cargade 3-¡rC,y se fija en el (a) ¿Cuántotrabajose origende un sistemade coordenadas.

25-I

efectúa?@) Del infrnito se traeunasegundacargade 5 ¡.tC, y se coloca a l0 cm de distanciade la primera. ¿Cuánto trabajoefectúael campoeléctricode la primeracargacuando se trae la segundacarga?(c) ¿Cuántotrabajoefectrlael agenteextemoparatraerla segundacarga,si éstasemueve con energfacinéticainvariable? 4. (I) Se colocancargas4r - 6.0 x 10-5C, I Qz- - 4.0 x 10-l C en reposoy a 0.50.m de distancia.¿Curíntotrabajodebei efectuarun agenteextemopa¡amover lentay uniformemen- | te esascargashastaque quedena 0.40m dc distancia. ' l 5. (II) Se colocauna cargapositiva de 5.0 x l0-5 C a 1.0cm i sobreel origen de un sistemade coordenadat,y u" ",tj",

negativade la mismamagnitudsecolocaa 1.0cm abajodel origen;'ambas en el eje e. ¿Cuáles la energlapotencialde unacargapositivade 4.0 x 10-6C, colocadaenla posición (x,y, z) * (10 cm, 0 cm, 15 cm)?_¿y en (10 cm, 0 cm, 0 cm)? 6. (II) Repitael cálculodel problema5 parael casoen que(a) ambascargasen el eje z seanpositivasy la terceracargasea negativa;(b) los signosy magnitudesde todaslas cargas seaniguales. 7. (II) Secolocauna cargade 4 pCenel puntor =2,! = 3,2 Calculeel trabajo - 0 (todaslas distanciasen centfnretros). efectuadoparapasarunacargade - 8pC desdex - 2, y - 15, que z * -30, hastael punto* - 2,1 " 12,z - 6, suponiendo la cargasemuevea velocidaduniforme. 8. (II) Con argumentosde energlapotencial,demuestrequelas cargasdel mismo signono puedenformar un sistemacon unaórbitacircularcerrada.

25-2

Potencialeléctrtco

9. (I) Secolocandoscargasigualesde - 4 ¡tCa lo largodel eje y, en -3 mm y 4 mm, respectivamente. ¿Dóndees ceroel potencialeléctrico? 10. (I) Secolocandoscargasen el ejex: 4 pC en? cm;y -2 ¡tC en 4 cm. Determinelos puntosen el eje de las ¡ dondeel potencialseacero. t l. (I) Un protón pasadel puntoz4al punto B bajo la influencia única del campoeléctrico,perdiendovelocidadal hacerlo, desdeu, * 3 x lOam/s hastauu- J x 10r m/s. ¿Cuá1es la dife¡enciade potencialentrelos dospuntos?

12. (I) Una fuerza extem. .u"u" uniformementeuna carga a puntualde +10-6C de unaplacacargada negativamente, Las placassongrandesy parauna cargadapositivamente. lelas,y la de carganegativatieneun potencialde -20 kV, trabajoefectúa mientrasquela positivade + l0 kV. ¿Cuánto la fuerzaextema?

13.(I) Setienendos cilindroscoaxialesmuy largos,quetienen

t7. (II) El origende un sislemade coordenadasestáér'rel punto de intersección de lasmediatrices'de un triánguloequilátero de l0 cm de lado. Calculeel potencialen el origen, debidoa trescargasidénticasde 0.8 ¡.rCcolocadasen los vérticesdel triángulo. 18. (II) Setieneun cuadrado de20 c¡ndelado.Socolocancargas ensusvértices comosigue:12 x 10-2¡rC en (0 cm, 0 crn); -24 x l0-2 ¡:C en (0 cm, 20 cm); 36 x lQ -2¡rQe¡r(20 cm, 20 cm); -24 x 1Q-zpQ en (20cm, 0 cm), ¿Cuálesel potencial en el punto(40 cm, 40 cm)? 19. (II) Una cargade 2-pC estáfija en (r, y) - (2 mm, 3rnm), unade -4 ¡tCen (2 mm, 6 mm) y unade -5 -¡¡C en (5 mm, 3 mm). ¿Cu:iles la energfapotencialdel sistema?Irnporta el ordenen el quesetraenlascargas,dcl infinito? paralelasse llevana una dife20. (II) Dos placasconductoras ¡enciade potencialde 3000V, y una pequeñapastillade 2 mg demasa,quetieneunacargade 10-7C seacelera desde el reposoen un¡ de lasplacas.¿Conquévelocidadllegaráa la otraplaca? en la superz l. (II) UnacargaQ estádistribuidaurúformemente ficie de un casca¡ónesféricode radioft. ¿Cuántotrabajose necesitaparamoveresascargasa un cascaróncon la ¡nitad delradio?Lascargasterminandistribuidas uniformemente. )t

(III) Calculeel potencialdentroy fueradeum csfer:¡deradio R y cargaQ, el la cualla cargasedistribuyeuniformemente en el volumen.(Sugerencia: se debeescogerla constante aditivaparael potencialdenttode unaesferacargada, detal modo que los dos potenciales, en el exteriory el interior, seanigualescuandor = R.

25-3

equipoleneiales Regiones

tlc (a) un disco 23. (I) Trace las supcrhciesequipotenciales delgadocon carga superficialuniforme,y (b) un anillo cargado. 24. (I) Trace cuatro superficies equipotencialespara las cargas que se ven en la figura 25-30.

El cilindro interior,con carganegativa,se cargasopuestas. encuentra a un potencialde -20 kV, mientrasqueel cilindro exterior,con cargapositiva,a +10 kV. Una fuerzaexterna desde mueveunaca¡gapuntualde +10-óC, uniformemente, el cilindro negativoal positivo.¿Cuántotrabajoefectúala fue¡zaexterna? 14. (ID Tres cargasestánen reposoen el ejez,la q, - 2 mC en z - 0 m; la q, - 0. 5m C en z = 1 m ,y l a q , - -1 .5 mC e n ¿= -0.5 m. ¿Cuáles la energfapotencialde estesistema? 15. (D Se colocancargas+q, -Q, +Q y -q en las esquinas sucesivas de un cuadradoen el planoxy. Grafiquetodoslos lugaresdel plano.rrydondeel potencialseacero. 16. (ID Se tienendoscargas,de24 x t0-2 pC Y -10 x 10-2¡rC, respectivamente, en los ext¡emosopuestosdel diámetrode un clrculode 25 cm de radio,(a) ¿Cuálesel potencialen un puntodel cfrculo,queestéa 30 cm de la cargapositiva?(b) ¿Cuántotrabajoserequiereparatraerunacargade -2.0 ¡tC desdeel infinito hastacsepuntodel cfrculo?

756

FICURA 25'30 Problom¡ 24.

1

I .{ ,;l i iit

25. (l) I{aga un esquemade las superficiesequipotenciales para las cargasqr¡ese mueslranen la figura 25-31. Supongaque la va rilla es ais lant e.

30. (II) Dos placasinfinitas,cadauna cargadauniformemente condensiclad superficial o, secolocanen ángulorectoentre sf,y casisetocan.¿Cuáles sonlassuperficies equipotenciales?¿Cuálesson esassuperficies, si unade lasplacastiene densidad de carga-o?

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25-4 Deterntinación de cantpos eléctricos apartir de p ol en ciale s eIéctric os

3t. (l) El potencialeléctricode unadistribucióride cargadentro de unaregióndel espacioes V(x,y,z)- Ql4ne...t. Calculeel campoeléctricoen esaregión.

32. (l) Dctcrnrinccl c:uupocléctricodc una distribuciónde cargn,si el potcncialelóctricode la distribuciónesV - Alz + IJyzz2 + C, sicndo/, B y C corstantes.

I¡IGtJRA25-31 l)roblcn¡n 2.5

33. (II) Partiendode la solucióndel ejemplo25-8,dcl potcncial debidoa un anillo cargadouniformemente, empleederivadasen la ecuación(25-29)paradeterminarel campoeléctrico a lo largodel ejedel anillo.

26. (I) Hagaun esquemade los camposeléctricosy lasequipoparala distribución tenciales de cargaqueseve en la figura quela varilla,de longitudinfinita,esaisla25-32.Suponga dora. ),

r *l

tr

?(

tl

tl

+ +

+ + fl I - Ll rl

26. I'IGURA25-32Problc¡na ",1

(lI) Una varilla metálicacon cargauniformese colocaen direcciónparalelaa unaplacametálicainfinita,sin carga. enun planop€rp€nI{agaun csquema de lasequipotenciales diculara la placay a la varilla,y en un planoperpendicular a la placa,peroparaleloa la varilla.

en el planory, 28. (II) Hagaun esquemade lasequipotenciales q, idéntidebidasa un númeroinfinito de cargaspuntuales, por unadiscas,quequedanen unallneay estánseparadas de lascargaspuntanciaa, de tal modoquelascoordenadas t uales s on x n =n o ,y )n = 0 ,s i e n d o n= 0 , * l , t 2,t 3,...

29. (II) Dos cargasde igual magnitud,perode signoconlrario,

lI I

It

34. (II) Determineel campoeléctricoa unagrandistancia,sobrela mediatriz,de un dipoloeléctrico,a partirdel potencialde la ecuación(25-4).

a una distanciaL entresl. Hagaun esquema se encuentran equipotenciales superficies de lasequipotenciales. ¿Cuáles tendránpotencialcero cuandolos potencialesseparados paralasdoscargas,se escogencomoceroen el infinito?

(II) Determinada distribuciónde cargasestáticas en el espacio produceun potencialeléctricode la forma V(x,y,z)- a, + a{z+ arz2,siendoconstantes los coeficientes4,.Determine el campoeléctrico,E, en el origeny en el punto(x,y,z)I (0nr,0m, l m).

36. (lI) Setieneunacargadistribuidaen un cilind¡o infinitamente largo de radio R, cuyo eje es el ejez. La distribuciónde cargasólo dependeclela distancia,¡', al eje e. El potencial está expresado,para r < R, por V(r) = (Ql2trdlA(r/N + B(r/R)2+ Q, siendoconstantes,4, B y C. ¿Cuálesel campo eléctricodentrode la varilla?¿Cuáles el valor de C si se defineal potencialcomoceroen la superficiedel cilindro? 37. (II) El potencial,I(r), deunadistribucióndecargaesféricamente simétrica,estáexpresado por Z(r) = (Q/+nq'R)ts- 4(r/R)') pan r < &ypor V(r)= Ql{reor,pa.ra rt R.(a)Determineel campoelectrico.@)¿Dóndeestála carga,y cómosedistribuye? Paradeterminar la carga,utilicela ley deGauss lSugerencia: paradiferentesvaloresde rl. 3fl. flID El potencial,en el planory, de ciertadistribuciónde carga,es

.a

vl x, y): -

x

+neoL

-,.*,""(i) *"*,""¡#a)], [.*,."(*a)

Demucstrequeel cempo siendoL y o¡ longitudesconstantes. elé.ctrico,cuandolas distancias¡ >>ao,y >>aoesproporcional a an,y determinesudependencia de.ry y. Expresesurespuesta en términosde r, la distanciaal origen,y 0, el ánguloque forma la lfneadel origenal punto(.r,y)con el eje¡.

/> /

25-5

Cálculo depotcucialesde cargasdistribuidas

39. (I) Dos placasparalelas,metálicas,grandes,tienen una difcrenciade potencialde 50 kV, y el campoeléctricoentre ellastieneunamagnitudde 105V/m. ¿Cuáles Ia distancia entreesasplacas? 40. (I) En buentiempo,hay un campoelóct¡icoconstante cerca de la superficiede la tierra,cuyamagnitudes aproximadamente l0O V/m, dirigido hacia abajo. (a) Determineel potcncialasociadoconesecampo.(b) ¿Cuálesel puntomás paralenerpotencialcero?(c) ¿Cómocambiala convenJente energfapotencialde una cargade pruebacercade la tierra, en comparacióncon la energlapotencialde gravedad?(d) ¿Cuántacarganegativatendrlaquecolocarseenunapersona de 50 kg de masaparahacerquela fuerzaeléctricaquedara en equilibriocon la gravedad? 41. (II) Determineel potencialcomo función de la distancia perpendicular,R, a una lfnea infinita de densidadlineal i¡niformede carga,empleando la ley de Oaussy la ecuació¡r

(25-e). 42. (lI) Hay cargas<listribuidas uniformemente, con densidad linealL, por un serniclrculode radioR, centradoenel origen de un sistemade coordenadas. ¿Cuáles el potencialen el origen? 43. (III) Deduzcauna ecuaciónparael potencialeléctricoen todos los puntos,debido a una varilla de longitud L y densidad linealuniformedecarga,1,,empleando la ecuación (25-12).l¡ varilla estáorientadaen el eje z, con su centro quea distancias en el origen.Demuestre muchomayoresque L a la varilla,el potencialsereduceal de unacargapuntual, Q - LL, en el origen. 44. (III) Una carga3gose colocaen el ejex en el puntox = ;ro, siendoro positiva.Una segundacar1a,-qo, se colocaen el eje¡, en el puntox = 'xd2. (a) ¿Cnil esel potendial,en el quesu ejex, paraestadistribuciónde cargas?(b) Demuestre (a) puede para parte ir muy en se aproximar, resultado la grandes,con ru1términoproporcionala lft másuno proporcional a |f, más potenciasmayoresde 1/.t.(c) Demuestre queel desrnollode la parte@)esdel de una cargapuntu.rleIr el origen,más un dipolo eléctricoorientadoen el eje x y centradoen el origen,más otros términos.Determinela i¡tensidadde la cargapuntual,al igual que el momento dipolardel dipoloeléctrico.(d) ¿Quévalordebetenerr para que la aproximaciónde rma cargapuntualcon un dipolo quedeal l% del valor exacto?fSugerencia: usela aproxima ci ón( l + z ) I - I + k + ;k (k - 1 )2 2+ ...p a ra z < l ,l 25-6 Potenciabsy campose6ctricosque rodeana conduclores 45, (I) Un discodelgadode 23 cm de radiotieneunacargatotal en su superficie. de 1.5 x 10-7C, repartidauniformemente ¿Cuáles el trabajomfnimo que se requierepara traer una carga4 - 2'Ox lo-EC en reposo,desdeel infinito a una distanciade 78 cm del disco,a lo largode su eje? 46. (I) Un anillo delgadode 42 cm de radio tiene una carga uniformementedistribuidade 4.7 x l0-7 C. Se colocauna q' -4.8 x 10-8C, en el ejedel anillo,a 34 carganegativa, cm del planodel mismo.¿Cuántotrabajodebeefectuarun

758

agenleextemoparamoverlentay continuamente la cargaa unadistanciade 120cm, tambiénmedidasobreel eje? 47. (I) Se colocanlasnrisnrascargasen dos gotasidénticasde mercurio.Lasgotasestánaisladas, y asumenformasperfectarnenteesféricas; el potencialeléctricoen la superficiede cadagotaes9OOV. Lasgotascoalescen en unagotamayor, con carganeta doble de las cargasseparadas anteriores. ¿Cuálesel potencialen la superÍrciede estacargamayor? 48. (I) Seconectan dosesferas conductoras dedistintostamaños, medianteun ala:nbreconductordelgado.El ¡adiodela esfera mayores tresvecesel de la menor.Si se colocauna carga total Q en eseconjunto,¿quéfracciónde Q quedaen cada esfe¡a? 49. (I) Un campoeléctricode 3 x 106V/m es suficientemcnte grandecomoparacausarchisporroteo en el aire.Detemrine el mayorpotencialal cualse puedeelevarun conductcr de I 0 cm de radioiin quesepresente descarga disruptiva:nel airequelo rodea.Supongaqueel potencialceroseton a en cl infinito. 50, (I) Dos cascaroites nrctdlicosconcóntricos, perconductorcs fectos,tienenradiosR y 2R,rcspectivamente. Secoloc¡una carg q en el cascaró¡r interno,y urn -2q en el extern<. (a) ¿Cuálessonlos camposelóctricosen todoel espacio,r iebidos a los dos cascarones? (b) ¿Cuáles Ia diferencir de polencial entrelosdoscascarones? (c) Si un alambred .lgado, conductor,unea los doscascarones, ¿cómose red stribuyeIa carga? esféricos, 51. (II) Dosconductores de20mmy lO0mmder rdio, se conectanmedianteun alambredelgado,y tienenc: rgas qr y q2,rcspectivamente. Si secortael alambre,y losce rtros de las esferasestána 250 mm de distancia,hay una uerza de repulsiónde 3.5 N entreellas.Con estainforma'ión, calcule(a) q, y az,f b) los camposeiéctricosen lass perficiesde los conductores. cuandoestánconectados r >rel alarnbre. 52. (lI) Un globode20cn,deradiosepintaconuirtecubrinr ento metálico,de modo que su superflciees conductorr. Se colocaen su superficieunacargade 4 x 10-tC. (a) ¿O ál es el potencialsobrela superficiedel globo?(b) Supong, que salealgode áiredel globo,y quesu radioseacortaa I t I cm. del glok ? (c) ¿Cuáles el nuevopotencialen la superficie ¿Quésucedecon la energlareiacionadacon el cambo de energlapotencial? 25-7

Potencialeseléctricosy camposelectrostáticos en tecnología

53. (I) Un protónseacelerapartiendodel reposo,en un acelerador Van de Oraaff,a travésde un potencialde 5.5 x 10óV. (a) ¿Quéenergfatiene el protón, en electrónvolts y en joules?(b) ¿Cuáles la velocidadfinal del protón? 54. (I) Un pequeñogeneradorVan de'Graaffsc emplcapara demostrarlos efectosdel alto potencial.El aparatotieneun radiode I I cm y seusaal aire.¿Cuálesel potencialmáximo y cuántacargapuedete¡rerla esfe¡a? 55. (U) Los primerosaceleradores Van de Graaff se const¡ulan paratrabajaren aire,sin gasesa alta presión.(a) ¿Cuánto voltaje¡rodrfatenerun aceletador con unaesfctade I nr de

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radio?(b) ¿Cuántaenerglacinéticapodrfantenerlos protoporeseacelerador? nesproducidos (c) ¿Cuálesla cargatotal en la esferadel acelerador,cuandose alcanzael campo máximo? ProblemasGenerales 56. (I) Setieneunafuentedealtovoltajecapazdeproducir5,000 V, y deseamos ionizarmoléculasde aire entreplacasparalelas.¿Quéseparaciónde placasnos dará una descarga disruptiva? 57. (II) Deduzcaunaexpresiónparala energfatotaldedoscargas puntuales, una positivay de magnitudQ, fija en ei origen; la segunda, negativay de magnitudq y masanr,ubicadaa unadistanciar del origen.¿Cuáles la energfa,si la cargaq semueveen órbitacircularde radior, alrededorde la carga@ 58. (II) Una esferano conductorade radioR tieneunacarga+Q, distribuidauniformementepor su voh¡men.¿Cuáles la energfapotencialdeunacargapuntual,-{, a ur? distanciar (r < it), del centrode la esfera?Demuestrequeq oscilacomosi estuviera frjo a un resorle,y determinela constante del resofle. 59. (lI) Treselectrones estánen el ejex, en posiciones-2 nun, 0 mm y 2 mm, respectivamente, energfaseneccsitó ¿Cuánta paramovera cadaunodc ellos,por tumos,dcsdeel infinito? ¿Importael ordenen quefuerontrafdos? (lD 60. Calculccl potencial encl punto(¡,)) debidoal dipolodc la figura 25-33.Eldipolo consitede unacarga+q colocada en (0, a) y una carga -q colocadaen (0, -a). Use este potencialpara calcularel campo eléctricoen ese punto. ¿Cuáles la magnituddel campoen el puntoP, que estáa unadistancia3a del puntomediodel dipolo,a lo largode unalfneaqueformaun ángulode 45ocon el ejedel dipolo?

62. (II) Un positrón,de carga+e,sesueltapartiendodel repos;, a una distanciaro = lQ-tom de un protón,de carga+c.1 positrónacele¡ay se alejadel protón,debidoa la fuerzatl Coulomb,de repulsión.¿A qué distanciadel protóntendr el positrónexactamente la mismavelocidadde un electrór quetienela mismamasaqueel positrón,perocargacontl. ria, si el protónestuvieramovióndoseen órbitacircularr; radioro,alrededordel protón?Supongaqueel protónest; masivoquesepuedeconsiderar comofijo.

63. (II) Un electrónsemueveen el campode un núcleodehel, (númeroatómico,Z * 2).¿Cuál es el cambioen encr¡ potencialdel protón,cuandopasade unaórbitacircularri 3 x 19-tom de radio,a otrade 2 x 19-tom de radio?¿Cu, es el cambiode energlacinética?¿Cuáles el cambio,i energfatotaldel electrón?Estecambiode energfasedisi¡ por la luz emitidapor el electrón. 64. (II) Un dipolo eléctrico,frjo en el espacio,consitede ul' catSa+q en el puntox - - I m, y unacarga*g en cl punto - +1 ñ, en dondeq - 3C,Una cargade prucba,rro- 0.01t se hacemoverunifonnemente desdeel punto¡ - +10 ¡r hasta el punto .r - -5 m, describiendouna trayectori de 7,5m de radio,quchaccpasara la cargatl semicircr¡lar pruebapor el ejey. ¿Cuántotrabajosenecesitaparáfilovr la cargade prueba?

65. (II) Se cuelgandos pelotasidénticasde corcho,con cart' 2.0pCcadauna,del mismopunto,mediantehilosdelgadc, de 0.80m de longitud.(a) Calculela masade laspelotasci, corcho,si los hilosformanun ángulode 30oconla vertical (b) Calculela energfapotencialdelsistemadelasdospelot:' debida a la presenciade cargasy a la presenciadc I gravedid,comofuncióndel ángulo0 que fonnanlos hilo con la vertical.Defina la energfapotencialgravitacion:r comocerocuando0 - 0. 66. (II) Un planogrande,cuadrado, de lado L, paraleloal platr, y ubicado ¡r, una dersidad superficialde cargao , en tiene 1z Un planoigual,ubicadoen rr, tienedensidadde cargao¿Cuántotrabajose debeefectuarparacolocaral segund, planoa una distanciaa del primero?No tengaen cuent; los efeclosextremos;estoes,calculeloscamposcomosi lo, planosfueraninfrnitos.

67. (II) Un cilindroinfinitamentelargo,de radioR, sellenacor, una densidadvolumétricauniformede cargap. Calculecl potencialdentroy fueradel cilindro.

6O. I-IGURA25-33 Problcrna (II) Determineel campoeléctricoa lo largo del eje de un cargado,de radio R y cargatotal Q, anillo uniformemente en el ejemel potencialdeterminado de¡ivandolo necesario plo 25-8. Maneje el problemaempleandolas técnicasde en el capftulo23. Compare integracióndirectapresentadas las dificultadesde los dos métodosde cálculodel campo eléctriuo.

68. (II) El ¡adio interiorde un casca¡ónesfé¡icodieléctricoe: l0 cm, y el radio exteriores 12 cm, El cascaróntieneun:r cargade 10-8C, distribuidauniformemente. Hagaun bos quejo de la forma del potencialparatodoslos valoresde r. y evalúeloen el centro)' la distanciaal centrodel cascarón, en los radiosinternoy extemo. 69. (II) Una esferamaciza,de radio R, tiene una deruidarl volumétricauniforme,p, decarga.Calculela energlapotencial total determinando la energfanecesa¡iaparatraerun cascarónesféricode espesordr y densidadde cargap, desdc el infinito hastaunadistanciar del centrode la esfera,en el potencialdebitlo ¡ una esferauniformementecargada,de radior.

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IJna prueba de aisladorcs de alto toltaje, que se enrpleanen la líneos aéreas de transmísión. Las chispas íttdican que cl airc entre los metalescon carga ha sufrido unafalla de dieléctrico.

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CAPACITORES Y DIEI,ECTR.ICOS

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l1 tl( ld En electrostática,tocio.objetoconductorse caracterizapor un potencialeléctrico en todos sus puntos y dentro de é1.La diferenciade potencialentre dos cc¡nstante conductores cargados pueden acelerar cargas de prueba, y, Por eso, el sistema almacena energía. Un capacitor es un dispositivo de este tipo; almacena energla porque almacenacarga.Los capacitoresson ilnportantes en los circuitos eléctricgs, La relación entre la cantidaclde carga que altnacenaun capacitor,y la diferen¿ia'he potencial de sus cornponentes,depende de la geotnetrfa del capacitor. La relación entre la carga almacenaday la diferencia de potencial está influida por el material aislarrteo no conductor,que se llama tarnbiénmaterial dieléctrico,que se coloca efitre los componentescargadosdel capacitor.En estecapftulo, estudiaremoscómo afectan a los capacitoresla geometríay los materialesdieléctricos.También vamos a describir la estructuramicroscópica de los dieléctricos y con ello ampliaretnosnuestro conocimiento fundamental del comportamiento de la materia.

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26-1" cAPAcTTANCIA Definicióny propiededesde un capecitor

ya seapot el espaciovacíoo por un materialno Un par de conductores,'separados almacenan cargas,En su fonnalnás conductor,formaun capacitor.Los capacitores comúny útil, estánformadospor dos conductorescon cargasiguales,Q, pero

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opuestas. Hay una diferenciade potencial,Z, entrelos conductoresilEn el capftulo 25:demostramosquelestadiferenciade potencialdependelinealmentede la carga; estoes, V * Q. Asl, si duplicamosla carga,la diferenciade potencialentre los dos conductores se eleva al doble. En otras palabras,la relaciónde Q a Zes constante entredos conductores.La relaciónconstanteQ/lzdependede la fonna y disposición delos dos conductoresde un capacitor,eslo es,de su geometrfa,y del materialentre los conductores.Las figuras 26-la a 26-le muestrandistintasconfiguracionesde que prredenhacer las vecesde un capacitor,En nlgrrnoscasosse forma conductores uncapacitorcuandoun conduclorcon car_ga -e, Q induceuna cargacorrespondiente, ¡ eflur conductorad¡'acente.El segundoconductorpuedeestartnuylejos,hastaen el infinito (figura 26- I e). Los capacitoresson imponantes por varias razones.Diversas formas de capacitorespuedenma¡tener distintasca¡tidades de cargaparauna determinadadiferencia depotencial,o puedenmantenerdistintasdiferenciasde potencialparadeterminada cantidadde carga.Con el capacitoradecuado,por consiguiente,podemoscontrolar el almacenamiento y la entrega de la carga. Igualmente, podemos emplear los paracontrola¡diferenciasde potencial.Casicualquieraparatocon circuicapacitores to electrónicocontiene capacitores.Como implican una diferencia de potencial, puedenalmacenarenergla,al igual que carga.IJn m)'o es la descargaespeciacularde un gran capacitor,formado por el sistemade una nube y la tierra. Los capacitores tictlctlutilidad cspcciolpnraalrnacenarcBrgaa corto plazo,al igual quc encrgfa,Ulra lánrparade dcstello Aash) de fotograffa contiene un capacitor que alrnacenala energlay la descargacuandose necesitael destello.Otro empleo importantede los capacitores es la entregalenta, pero constante,de energia,cua¡rdolos capacitores estánacoplados con otros elementos de circuito. I-os sistemas de respaldo para para computadorasdependende esteempleode los capacitores. emergencia ,Cqloquemosdos cargasiguales,peroopuestas,+Q y -Q, en dos conductoresque fonián un capacitor.Esto se lleva a cabo con facilidad tocandolos dos conductores confas terminales+ y - de uña pila, medianteconductores(figura26-2).La cantidad de carga acumulada depende de la forma de los conductores y de sus posiciones relativas,al igual que del tietnpo que perrnanecenconectadoslos conductores. LlamamosQ a la carga en el capacifor, aunque la carga ncta, en el par con cargas opueslas, seacero. Arriba dijimos que la carga en un capacitot es proporcional a la diferencia de ptencial. A la constante'deproporcionalidadse le llama capacitancia, C, y está por Ia ecuación d¿tenlrinada

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'Sc ncostumbra,y cs convcniontc, cscribir V,y no AV, para rc,prcslcnlarla
FIGURA 26-1 Divcrsostipos dc capacilorcs: (a) dc placas paralclas; (b) cablc coaxial; (c) csféricos (dos conductorcs csfóricos huccos) (d) conductorcsdc tamaño y forÍ¡a arbitra¡ios; (c) conductor aislado, a r¡nndl$t¡ulch lnflnlta do ur scgundo co¡ldt¡ctor.

Batcria l'¡CtJRA 26-2 P<xlcmoscolcrar la carga + Q cn lul corxluclor,y la cnrga-Q cn cl otro, mcdiantcuna pila.

cargaenuncapacitor

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26 Capac¡(torcs y dlcléctdcos

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Etr olras palabras,la capacit_atrcia dc un capaci{orsc clelinecolno lr ¡c,:r:.::. :- diferenciade potcncial, I/, que rcsultacuandose colocatrlas cargcs *Q e:. .:s ::: conductores:

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Cuandohay carga,o poterrcial, en un capacitor,clecirnosque estácargado, \. : -:- _: se dcscargo,como ctrandodestellat¡n bolnbillo clcflash,¡ruedeerrtregarráprcr:':' '. su energlnalmncenada. C siemprese toma corno positiva;esto es, la ecuación(26-2) debe tene:, ::. forma correcta,valoresabsolutos.La unidad de capacitanciaes coulombs po:-.:- . (C/V), pero se da con tantafrecuenciaque se le ha asignadosu propia uniciade:. :. SI, el farad (D, en horrorde Michael Faraday.

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En la práctica,el farad es ilrcó¡nodo,por grande;parauso prácticose ernplear:::,-. mucha mayor frecuenciaias unidades¡rF, nF y pF.2'3

C á l c u l o d e l a c a p aci tanci a La capacitatrcia de un capacitorse puedecalcularde modo sencillo,si su geome',ria es 1o bastantesencilla.El capacitorlnás sencillo consisteen dos placas paralelas conductoras,de área,4,con cargas*Q y -Q, respectivarnente, distribuidasunifonnemellteen iasplacas.Si las dinlensionesde las placasson grandeser¡comparacióncoi su separación,d, etrtoncesel catnpoeléctticoetrtreellases,nluy aproximadatnente, constante.Sin teneren cuelltalos efectos(pequeiros)en las orillas, virnos ya que E = o lto,siendo o la clcnsidacl dc carga,QlA, t la perrnisividnddcl espnciovacfo, y 13 diferenciade potencialentre las placases V - Ed. Combinamos.estos resultados,¡' vemos que

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:! . v : t,(t:!.,t :9 :l-: o " ,oA €o t1 €o Ca pac it anc ia d e u n c a p a c i t o r d e p la ca s

C - Q/V,de un capacitorde placasparalelas, Así,Q/V = efld, y ia capacitancia, es

¡raralelas

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L :_ _ :- - .* .-

Si las placasparalelasfueralrnrenores,o la separaciónfuera mayor, entoncesel campo eléctricose acumulariahaciaafuera,cercade las orillas.A los camposcercanosa las orillasselesilama camposnrarginales,odedeformación(figura26-3).Lapresenc a de camposmarginalesno afectala relaciónlineal entre la catgay el potencial,pe'o sf modifica la forma sencillade la ecuación(26-4). El efecto de esoscahpos st :á pequeñomietraslas ditnensionesiinealesde las placasseanmuciro mayoresque ia separación,d. Podemosemplearla ecuación(26-4)paradeduciruna unidadde uso común para la pennisividaddel espaciovacío, q¡, distinta que la que hablanos deducidoantes, C2lN .m2. La ecuación (26-a) implica que las unidadesde q puedenser también las de capacitarrciadividida entre longitud, fatadios por metro (F/m): € o :8 .8 5 x I0-' '

C ' /N .m2:8.85

x 10-r2 F/m:

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B .B 5pF/m.

con el SI. Las dos unidadesson consistentes 2 Los capacilorc^scor¡¡crcialcs tiencn esos vrlorcs ¡n¡rcadcls, ¡rcr lo gcncral crr un ¡rotació¡¡ baslnlltc parnnticrofararlioptrc
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E J E \f P LO 26 - I Ca.¿:ie ia capacitancia,C, de placasparalelascon á¡ea,{ - l@ cm:, separaiaspoi una distancia,d - I cm, SOLlllC\: Cci:cce:'lcs ia¡to .4 (100 cm2), como d (1 cm), de modo que ¡lcei;r.s :::::"e¿: .¿ ec'-:ació;r(26-1) para calcula¡ la capacilanciadesconocida. i :;:.45

€ i_Á.s-ipF.trr)(i0--2,,{ 2\ 1:-/ = 8.g5pF. l0-: r¡ i. ¡.:e¿¿e .l ;.eca es basiantegrande, pero la capacitanciaes tan sólo 8.85 pF. l: =:¡:: ;::e ie 1os capacitores comerciales tienen capacitanciasmucho :--::.::¿s ;;e I F, io cual ocasionaque el faradio apenasse use como unidad. E J Elf P L o 2 6 - 2 El cable coaxial.Uncable coaxialesvntipodecableque se '.:si1p¿- ';a:rsrniti¡ información, como en los sistemas de televisión por cable Í3';= 16-{a). Estáhecho de un alambrecilfird¡ico conductor,macizo o trenzado, c. rodeado por una capa aislante y despuéspor una cubierta coaxial -:::.:i::oia -::c de radio á (figura 26-4b). Calcule la capaciLanciapor unidad de .:iElrud de ese cable coaxial, suponiendoque entre el alambre central y la :'.::ie¡'¿coaxial,la capaaistantees de vacfo.

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SILUCIO)i: Deseamosemplear la geometrla de la figura 26-4b,y detenninar la j::e¡encia de potencial para una catga determinada.I.a relación de esascantidaCesdeterminala capacitancia.Sin ernbargo,parBun cable coaxial de longitud nfinita podemos especificarsólo la carga por unidad de longitud, de modo que iebemos calcular la capacitanciapot unidad de longitud. Para calculatla, suponemosque hay una carga + I po¡ unidad de longitud en el conductor externo, y - l, en el interno, y calculamosel potencial resultante entrelos dos conductores,Este cálculo ya lo hicimos en el ejemplo 25-10. Vimos allí como la ley de Gaussespecificael campo eléctrico y, por lo tanto,el potencial fuera de un alambre de radio finito. Ese ejemplo se aplica en fonna directa al potencial en el espacio entrelos conductoresdel cable coaxial. En el ejemplo

25-10,tenemosque Vo- Vo: ,^-

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F. FIGURA 26-3 Campoclcctrico,ircluso lossamposmarginalcs, cntrcdm placas conductor¡sdou¡rcapacitordc placas paralclas.

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Dividiendola cargapor unidadde longitudl. ent¡ela diferenciade potencial,Z = Va- Vo,obtenemos por unidadde longitud: la capacitancia C l""gtt"d

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(26 - 5)

De igual forma, la capacitanciade una longitud L del cable,es L por el valor que c¿lculamos.

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ilGURA 26-{ (a) Cablc coa¡iat. @) Esqucrnadc r¡n cablc coaxial con un alambrc intcrior macizo, dc radio d,y uru cspa c¡tericr, o blindajc, dc radio l'. Un aislador sc cnct¡cntra cnt¡c los dos conductorcs,¡r,ro cn cstc problemasupor¡ürrr¡os quc cl cspacio cstá ocupado ¡nr vacio o ¡irc.

Capacitanciade un cebleco¡xi¡l

r (). 1 ()pítulo

26 Capacltom

y diclóctrlcos

U n c o n d u c to ra i sl adopuede tener capaci tanci a, porque,cuarl dose :--i . :_: c o n d u c to r,l a c a rg adebeprocederdcli rrfi rri to.E n efecto,el segundoccl ;j -:' ::._ , en el infinito. El ejernplo26-3 lnuestracómo calcularla capacitanciade un : ::. : _: : aislado. E J E M PL O 26-3 L{ t esferoai sl ada.¿C uáles l acapaci tarrcide a u:..,.::. conductoraaislada,de radio R? Calculela capacitanciade ia Tierra.

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SOL U C IONC : a l cr¡l arcrnos el potcrtci nlque resul taal col ocarul tacarpnC .. esfera,y la relaciónde esascantidadesserá,por definición, la capacita;::.:.= estecaso,la difererlciade potencialque intervienees tan sólo el potencla.-: esfera,si el potencialcero estáen el ilrfinito, Virnos, en el ejelnplo25- l I , : potetrcialparauna esferaconductoraes

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La capacitanciade la esferaaisladaes Q dividida entre I/: paraurlacsferaaisla<'la: C =,

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a L a d e p e n d e n ci de a l a capaci tanci ¡espccto a /i en l a ecuaci ón(26-6)se poc : : . - , arrál i si sdi rnensi onalLa . penrri si vi dad, h a b e ro b te n i d onredi atrte es,ti enecc: : r : urridadesF/m 1', por consiguietrte,se debe rnultiplicar por una longitud pr:-:, I-a úni ca l orrgi tuden esteprobl emaes el radi o de i: p ro d u c i ru n a c a paci tanci a. esfera, de la Tierra se calculahaciendoR igual al radio terrest¡e..R.. La capaciLrncia = 6 .3 8 x 1 0 6rn . P or consi gui ente, c :4 ¡e o l t:4 (3 .1 4X 8.85

x t0-' 2 n7¡1110.:S x l 0(' R 1):110

' Vernosque,en realidacl,el faradioes una ulridaclmuy grande,'

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Todos estosejemplosrnuestranque la capacitanciade cualquierconfiguracic:: determinadade conductoresdependede la geotnetría,pero es independientede l¿ carga y el voltaje. Sin embargo, pronto vere:nos que, aun cuando la geonretrÍ: pennanezcaconstante,la capacitanciatambiénse puedehacervariar cambiandolcs lnateriaiesentrelos conductores. La técnicapara detennillaruna capacitatrciasienrprees la lnisma. Suponetncs que los conductorestiene¡rr¡na carga 'r-Q; luego se detennina la diferencia cie potcncial, Z, entre los conductores,dcbida a esta carga. La relación QIV de lt capacitatrcia.

26-2

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ENERGTAEN cAPACTToRES

de r¡n capacitorcatgado,y ese Hay un catnpo eléctricoentre los dos co¡rdr¡ctores campo puede aceleraruna carga de prueba.AsÍ, utr capacitorcatgadoes capazie efectuarttabajo,y debecolrtenerenergla.Podemosdeterminarla energíaconte¡rij: en un capacitorcargadoviendocuántotrabajose necesitaparacargarloinicialmen:e Un capacitorse cargatomandouna cargapositiva,d4, de utr conductor,y pasátrC:.: al otro conductor.El segundoconductor,entonces,tieneuna catga+dq, y el pritne:: . fq. Ai continuar moviendo cargas adicionalesdq¡, las cargas existentesen .:s corrductoresse opondrán a la transferenciade más carga, y tendremosque efec'.;trabajopara¡novercadacargaadicional. c:: - : . P¡rrac rl c u l a rc l trabaj onccesari oparacargarun cai raci l or,supongatnos :c:C:ciores y'aesténcargadoshastauna diferenciade potetrcial,l/, cotrutra c3:_::-

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(figura26-5).La capacitancia, C, se relacionacon q y VnediartteV - qlC. Una carga, d4,se ttrueveahoradesdeel conductorde carganegativahastael de cargapositiva. La diferellciade potencialse oponea la traltsferencia de esacargaü,y trabajoque "l sedcbeefectuares dW :

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rl q.

El trabajototal cfectuadocuando itriciamos.]n ."ro carga y tcnnirlarnoscorr las c ar gas1Q , s c o b ti c tl ei trte g ra u c l on c c u a c i ó narrteri or, el rl req = 0 hastaq = Q:

tla 02 ,: Iu w:I'[u r:¿J u¿q: iC .

(26-7)

Nótescque no ltel¡rosrestringidola deduccióna capacitoresde placasparalelas:es u:rresultadogeneralparatodos los capacitores. )'a que la cargade utr capacitorrequierede trabajo,esetrabajoqueclaalrnacenado en el c apac il o rc o rn o e n e rg íap o te rrc i a lc, a pazde efectr¡artrabaj o,E s esa energfa pot enc ialla q u e p u e d el ro v e r u n a c a rg ad e pruebacol ocadael l trel os conductores, que u n b u l b o d e d e s te l l ob ri l l e (fi gura 26-6) La energíapotenci alde un hac ier r do c apac it or c ar g a d oe s

uu:le'

Fornra de energi a conteni das en un capaci tor cargado

(26- 8)

ConroQ = CV, esteresuitado equivalea /- t,/ 2 L/:-

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(2 6- e )

La ptimeraecuaciónseusacuandoseconocela carga,y la segunda,cuarrdose conoce el potencial.Otra fonna equivalente,útil cuandose conocencarga)' potencial,es

, = 9{

(16 I0)

' Como vimos en el capitulo 25, la energíapotencialeléctricaasociadacon el movimiento de una carga Q a través de un potencial fijo V, es U = QZ. Esta ecuación difiereen un factor 2 dela energíaen un capacitor,QVl2, en la ecuación(2ó-10),La razónde esta diferencia es que cuando se carga un capacitor,el potencial crece de tnodo que en realidadel potencialpromedio,cuanclose cargatrlas colltillua¡nente, placas,es Vl2. Acumuladoresen conrparación con capacitores Un acuntulodores un medio químico pata el almacenamientode energíaeléctrica, Mientrasque el potencialde un capacitordecrecea medida qr.reel capacitorenlrega

l 'IGU R A 26-6 l a crrr'rgr:r ;ri :: .', , .l' .. trn capacitorsc (lcs¡rrcrrrlc vi si bl cy cal orcr¡arrl ,rl ¡ ¡ "::r pasaa travóstl c l a l rr:; ::, turacánr¡ra,A qrris' ::::.: . - -caracteri sti co dc c:r:;; r (l i s[X )si ti vo.

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Capítulo 26 Capacltorcs y dtclóctdcos

su cafga,un acumuladofdebeser capazde mantenerunpotencialfijo entle i¡s :-:::::s (sus terminales) al ir entregandola carga. Si deseamosllevar el capacitor e ieiir:-nado potencial, lo adecuadoes emplear un acumulador, porque puede manieiei s: potencial deseado,aun cuando estéentregandosu carga al capacitor. EJ EMP L O 2 6-4 S e empl ea un acumul adorautomotri z,de 12 \' . ;, cargatun capacitorde 100-¡lF.(a) ¿Cuántaenerglase almacenaen el cap¡c:r:; (b) Cotnparecstaenerglncon la ahracenadaen el acullrulaclor mislno, si es c::;:: de entregarunacargatotal cleQ - 3.6 x 105C al voltajeespecificado.(Es la cer:. que puedeentregarun acumuladorcon capacidadnominal de 10Oarnperes-i-.o=. unidad noffnal de carga.) SOLUCION:(a) Cuando un acr¡rnuladorcarga a un capacitot, la diferencia de voltaje entre las placas del capacitor es el voltaje nominal del acumulador. Pc: lo tanto, deseamoscalculat la energfaalmacenadaen el capacitor cuando es:á3 12 V, expresadapor la ecuación (26-9): u:.-^

CV2

(100 x l 0-r' F¡(I2 V ), :-:1.2x - ^----

l 0-r.1.

porque ,lirnot" hemos empleadounidades SI. La respuesta ".ta "nl¡out"s, capftulo 25, la energla eléctrica potencial asociad¡ vimos en el Corno @) con el movimiento de una carga Q a través de un potencial fijo V, es U = Ql'. Asl, la energiapotencialen el acumuladores u : QV : (3.6 x l Os C ]X IZV ) :4.3 x l 0(' J. El acumuladorcontienemucho más energía,por un factor de 6 x 108,que la que almacenael capacitor.

En el ejemplo26-4 vimos que un acumuladorautonrotriztiene una energi.: potencialdeunos10Ó J,muchomásquela deun capacitotpráctico,de 100¡.rFcargad: V paraalmacenai un potencialcomode 1010 a un potencialmoderado.Senecesitaria come.deenergfaenestecapacitor.Los mayorescapacitores la cantidadequivalente del ordende 1 F, petosepuedenelevara un potenci3l cialestienenuna capacitancia un potencialdeunos1000V para tansólodevariosvolts,mientrasquesenecesitarla queun capacitorde 1 F tuvieratantaenergfacomola del acumuladorautomotriz.lá sealmacena enfonnadeenlacesquftnicos,másqueenuna energfadeun acumulador son una forma prácticade microscópicade la carga.Los acumuladores separación periodos,pero no son de energfa, largos gtandes cantidades ciurante almacenar prácticosparaentregarsu energlaconrapidez.A la inversa,comohemosnotado,la posibilidadde la entregarápidade energfaesunaventajadel capacitor(figura26-7). paraentregarenergfa conmáslentifud,juntc Tambiénsepuedenemplearcapacitores se Pata respaldaf la enefgíaen las computadoras, circuitos, con otroselementosde y de hasta volúmenes tan sólo de varios faradios, concapacitatrcias usancapacitores unospocoscentlmetroscúbicos,quetrabajana un potencialde unoscuantosvolir. Puedenentfega.ten forma continuauna cargacon una rapidezdel orden de I ¡-rC,'s duranteunai h. g;andcs i,-s *:e;;:cts FXGLT-{:6S.l mcrgía. : ::;c:- :¡--::r--;¡-- ,--r -;,jc: ;t.:r b¿..iCOdC :::.:;.:¡:rS Sta :ra:: *::S al láscr rt6:a ::i¿c jiir,,< iijc;JT;i:rs1 ¡:.:-'--:: )i l ,-.:r:- :: \ : " '. \ - : = 'J{:-.;t:+: :t: :. r s- ' e=.¡ ica -r! : : T : l a - . :--::,c ¡iel'lle :-
nr.ncrnrcos 26-3 nn¡nncranu ce¡v¡pos En estaseccióndesa¡:c'-:'Ei campoeléctricoesde importanciafísicafundamental. remosel conceptode que la energíade un capacitorestácontenidaen el c::--:': las"^::".1; deun capacitoreslíncargados, eléctricomismo.Comolosdosconductores

o a a o t t

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o a o o t o o a o o a

o O o o o o o o o o o O o o o a O o o o o o o o o O

o o o o o O o o o o t o o o o a

decarnpoeléctricovan del conductorcon cargapositivaal de carganegativa.Es ese canrpoeléctricoel que provocala aceleraciónde una cargade pruebacolocadaentre lasplacasdel capacitor. Valnos a relacionar la ecuaciótrpara la energíaen un capacitor,con la intensidad delcanrpoeléctrico en el capacitor.Paraestefin, es convenienteel capacitordeplrcas paralelas,porque se conoce tanto la capacitanciacomo el campo (figura 26-8). La (26-4)expresala capacitanciaparaestecaso,C - efld,siendor{ el áreade ecuación lasplacasy d su separación.El campo tiene intensidadconstante,E,y la diferencia depotencialentre lasplacases V : Ed.Entonces,la ecuación(2ó-9)expresala energla

'\-:.r ---:-{}-<

c l /: l -

- ?',1¡ "''i' (2 6 -n )

t | 1r | 1({

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He¡nospresentadola ecuación(26-1l) en tal forma que resalteel volumen del espacio entreIas placas,Ad.Es el volumen que contieneal campo eléctricoy, como elcampoes constante,el coeficientede volumen en esaecuaciónes la densidad de ener gí a. u. o e n e rg íap o r u n i d a dd e v o l u me n : U

:€oE 2 2 volumen

(2 6 -t 2 )

Densided de energia en un c¡mpo eléctrico

La energfa de un capacitor se encuentra,por lo tanto, ubicada donde el carnpo eiectricose ubica en el espacio(figura 26-9a). Podemosimaginar ahom el prescindir delasplacas,siempre y cuandohaya un campo (figurá 26-9b). De hecho,la ecuación (26-I 2) es utrc expresión general en electrostática para la dcnsidad local de energla cnel espacio vacío, aun cuando el campo eléctrico sea variable , Siempre que hay un campoelectroslático,aun cuandovarle en el espacio,la densidadde energla,o enetgla porunidad de volumen, en determinado lugar en el espacio,se calcula elevando al cuadradoel campo eléctrico,y multiplicando el resultadoWt edz. Después,vefemos quedebemosmodificar el coeficiente es/2cuando haya presentesdieléctricos,pero ladensidadde energfasiempre es proporcional al cuadradodel campo.

E J E M P L O 2 6 - 5 (a) Calcule la densidadde energladebida a un conductor esférico aislado, cargado, de radio R, en todo punto del espacio,como función de la distancia,r,al centro de la esfera.@) Use estadensidadde energfapara calcularla energlatotal del sistema.(c) Compareesaenerglatotal con la ecuación deducidaal considerara la esferacomo un capacitor.(d) Compareesaenergla total ciin el trabajo efectuadoal cargar la esfera. SOLUCION: (a) La ecuación (26-12) expresa la densidad de energla en ténninos del campo eléctrico. La ecuación (23-5) expresael campo eléctrico a un radio r, fuera de la esferacargada.El campo es radial, y su magnitud es ti :

-4, 4 n€or'

Dentro de la esferaconductora,el campo es cero. Asf, la densidadde eri-ergfaes (b)

Q= ' u :€ o E 2 : 2 32n2e^ra fuera de la esfera,y cero dentro de ella.

FIGIJRA 26_9 L,G .:j:i,:s :l:r:-;: is licncn cncrgla, sf I c J: :r; ':: r trrñil,: .tttri uncapaci tor,o,l , :i : --rh;

1',fi.

768 Capítulo 26 Capacltorcs y dlcléctdcos

(b) La energía total del campo éléctrico es la integral cie ia ce-::": energfa,en el espacio, Como ¡.¿= 0 de la esfera, necesitamosintegia: s..: 3: radios ,' > R. Debido a la sirnettfa esférica,es útil considelar que al vciü;e; s una sefie de cascaronesesféricosconcéntricos.El volumen, dZ, de un ca-<.3:--:. delgadode espesordr es el producto de dr y el áreade la superficie del cascarc:. 4nl. Entonces,el elementode volumen dV : 4nf dr,y

o: f -Yld, : g^f '10, - 32n' u=t uav ófi €oJR rr* er)^ -

_

02 ll-l 8zeor l^

Q, 8neeR

(c) La ecuación (26-6) expresa la capacitanciade una esfera aislada, C = nesR.Con la ecuación (26-8) para la energla,obtenemos

U: Q,

2C

Q, SzeuR'

es un resultadoidónticoal de la parte(b)' (d) Paradctcnninarel trabajonecesariopnfa cafgat la esfcratrayettdoutta cargadesdeel infitrito, st¡pongamosque la esferaya tiene una catgaq y estáa un potencialV- qlaneaR.El trabajoaclicionalpara traerla carga dq, es dW' V dq' y el trabajo total,es

w:

-{F Capacitor (a)

lr[|Foui"nlr-

obicn-.lh-

Bateria

I Q' fa f .. = f . . la (t ¿q: qncoR nu': dq: a * , , R' 4 * n o J, )n )v )o*

El trabajo efectuadopara traer la carga desdeel infinito, en realidad, es igual a la energlatotal del sistemacalculadaen la parte (b). Es una buena comprobación de la validez de nuesttasdeducciones

26-4 cApAcIToREscoNEcrADosENsERIE Y EN PARALELO

(h) parn FIGURA 26-10 Simlnloscmplcados y (b) batcrias,cn (a)capacitorcs, rcprcscntar circuitosclcctricos.

de deelementos Combin¡ciones circuito en seriey en paralelo

Comenzaremos ahora nuestra descripción de los 'circuitos eldctricos' Ya hemos mencionado doselementosde circuito: los capacitoresy los acumuladores,baterÍas o pilas. Los símbolos universalesde las bateríasy los capacitotes,que se ven en la figura 26-10, se han adoptadopata trazat diagrantas eléctricos, o diagtamas de cirqu" son dibujos esquemáticosque muestranla relación o conexión de diversos "uito, elementosde circuito. Se suponeque las líneasque unen los elementosde circuito en esosdiagramasson alambresperfectamenteconductores,con lo cual se quiere decir que forman equipotenciales.Las diversascombinacionesde capacitofesquE se usan en los circuitos se puedentrazar con estanotación. En una combinación en paralelo, los capacitoresse conectancomo se ve en la figura 26-lla; en una combinación en serie, se conectancomo en la figura 26-1lb. Deseamosdeterminar la capacitancia del capacitor equivalenteúnico que puede remplazar esascombinaciones,sin cambiar ei potenciál entre ellos. Si se conoce la capacitancia equivalente, se puede simplificar el manejo de los circuitos.

Conexión en Paralelo La bateríaen la figura 26-l2a mantieneun potencial ccnstante,V, entte los puntcs '-:: y, b. Como los.alambresde conexiónson conductoresperfectos,la llnea oc¿ es los c pun los : : equipotencial,al igual que la Ódl. ltt diferencia dc potencial entre

o o o a o o o a o o o o o I

o o o o o o o o o o o o o O o o o o o o I o o ol ol ol ol ol ol ol

3l

7

o o o O o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o

Z6q

C¡¡*r--,e;rffi-ffi' -ffi

En paralclo

En scric

(b)

¡'lGlJRA 26-ll (a) Circrrito con dos capacilorcsconcctadcxcn paralclo.ft) Circuito con dcx capacitoros c
y e y .f ,porconsiguiente, debe ser tr/,también. Los capacitores conectados en paralelo ticttcn el mismo potencial cntre sus conducf ores. ¿Cu ál es la c apac it anc ia equiv alent €, C ¡ q ¡ , d e l c a p a c i t o r ú n i c o q u e r e m p l a z a l a co lnb ina ció n de eapac it or es C1 y C1 en paf a l e l o , c o m o s e v e e n l a f i g u r a 2 6 - l 2 b ? S e de be man tener lat nis t nadif er enc i¡ depot enci a l . I / , y 'l a c a r g a t o t a l , Q , e n e l c a p a c i t o r

(il)

cq uivale nte , que en la c or nbir r ¡ c ior r ¡ : r r : r i e i a d e C ; ¡ 'C 1 . L a s c a ¡ g a s e n C ¡ y C 2 s e r('laciotra nc on el v olt ajc ' a lr av r ' -
Q - (- l' r

Q.- C.l'

I ['l. ¡a¡oo r¡r.l n¡ .-,,-.,,r-., L\ 1. ¡ ¡ . ! ¡ ¡ \ , . . -^"- - *ñ. = a ".."r-",'"¡..1 - " n , , 1 '. / l a c a r g a t o t a l , p r o d u c i d a p o r l a l,¡tr.rÍa.e r':el c i: - c r i; lode l¡ ii s ' . ; : ' ¡ l( . - il¡ . e s Q ¡ * Q r , d e n r a n e r a q u e

l- 2

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l.a últir na igL; ; r lr leJCr . i: r ' - ; c s iia Q Ue

(16 1.1)

(l) ) ¡-IGURA 26-12 (a) Sc cnr¡rlea rn ac r ur r r r l a
Cuandohay n capacitoresconectadosen paralelo,podemos,igualmente,demostrar que la capacitanciaequivalentees C .q u :C ,+ C ,+

" + C n'

(26-t4)

C apaci tanci a equi va l ente para conexi ón en paral el o

Cuandolos capacitoresestán conectadosen paralelo, la capacitanciatotal es mayor quecualquierade las capacitanciasindividuales. Conexión en sefie Veanrosahorala determinacióndel capacitorúnicoequivalentea capacitoresconectadosen serie(figura 26-l3a). Corno la bateríamantieneun potencialfijo, V,aparece una carga +Q en c, y una carga -Q ,f. La catgapositiva en c induce una carga -Q "n erld, e, igualmente, la carga negativa en / induce una carga +Q en e. Si revisamosel

t l G L R A 2 6 - 1 3 ( a ) Do sca p a cito r csco n ccta d o scn s cri c;dcbentcncrcargasi dónti cas,l Q,pcropuc{l entcncr ' r l:,:_itsdife rentes.[: carga ncta dcntro dc las lineasdc ptmtos cs ccro. [,os dos capacitorcsse prrdcn rcmplazar, '¡ ;.:;'.t¡r capacitorequivalcntc,c*.

1

N

770 Capinrlo 26 Capacltorcs y dlclóarlc<x

a ftli' o o o o .,¡ { I o o fur ilr o ü t t/: vt+v2:!,,* 3,: n(a;. J;): .1,,, o o o o o o o o ¡ t rl (26 .-^-. a //^ /o o o o o o o o o o o o o (' o o o ¡ o t o o o o o o o o

j rr-r-:--: - : i: c o n d u c to re n ttedye,encerradoconl íneadepuntos,vemosqi 3= s:. a i s l a d o d e l re sto del ci rcui to. S u carga total es cero, Io cu:. :. := -:: - - : . . : r - ! : : tI c o n s i s te n te conl acarga-Qendy+ Qene.Loscapaci toresC ,¡C -::::.::. idénticas,Q. lnt capacitoresconectadosen serie tienettcarg,:s::;'::::*- -. t Para el ci¡cuito que tiene el capacitor único equivaiente,en ^¡ :l*¡'::: l:- -': : i pasenlascargasidénticas,*Qy -Q, )'q:e er:s:: :. :- --::acumuladordebehacerque potencial, 7, a ttav& del capacitorequivalente,C.qu,gue el que ha¡' er.::¿. .- .' :V .t: Q,' C ; i 3::, - - : : -' c i rc u i to d e l a figura26-l 3a.E l capaci torC ,ti eneunpotenci al el capacitorC2 tieneun potencialVr: QlCr. El potencialtotal es l' - 'r'.,' i , ." . . consiguiente,tenefnosque

m l

F:

I-

La última igualdad indica que el valor de la capacitatrciaequivaleutese deten::::.: --,: lll

t.

(..¡t,

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C, C,

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11

f L2

Cuando hay n capacitores cotrectados cn scrie, la capacitatrcia equivalente es:: determinada por I

J.J.

Capac i t a n c i a e q u i v n l e n te p a r a Ia conexión en serie

L"qu

L

I

u2

Cuandolos capacitoresestánconectadosen serie,la capacitanciatotal es el recíprc':: dc la ccuación126-17'J\ t. y' *es menor que individuaic: _l-cualquiera de las capacitancias "'- "- ' - - - 'a -

r E J E }f P L O 2 6 - 6 Calcule la capacilanciaequivaletrtea los caPacitores l a fi g u ra 26-14a.

I'IGURA 26-14 (a) Ejomplo 2(>6. Ctnt¡c¡ cnpacitorcsdc Gstocircltito clóctricosc pucdcn cornbirur formanrkr r¡no. (r) lns
SOLUCION:En este circuito, los capacitoresestáltcombinadostaltto en se:: determinarla capacitanciaúnica equivalentea -: como en paralelo,y cleseamos combinacióntotal.Procedetnosen dos etapas.Primero,colrlbinamoslos dosc:pacitoresen paraleloen uno, cuya capacitanciasea C'o,,,(figura 26-l4b),.r t continuacióncombihamoslos trescapacitoresrestantesen scrie,cn un caPlcll:: equivalentefinal (figura 26- 14c).

7r o?,"

Paracombinarlos capacitores en paraleloernpleamos la ecuación(26-Á):

nO"

2é5

:rJs

C l u , : l 0 ¡rF + 6pF :

:?"r

Habiendo reducido el arreglo de capacitoresal que muestrala figura,26-14b, conrbinnlnoslos capacitorcsen scrie mediantela ecuación(26-17),como se ve en la f ig u ra 2 6 -l 4 c :

r:Jo

,'r:: :(}r

I

I I I : * -61,,,t,-,. \¡' ¡ C .o u 5 ¡rF 1 6¡rF - 2 yF ' 80

o o o '.fio' o

C " u u= l ' 3 P F '

26-5 DrELEcTRrcos

if 5)

Muchosmateriales, comoel papel,losplásticosy el vidrio,no conducenelectricidad fácilmenüe. A ellos los hemosllamado,anteriotmente,aisladores.Sin embargo, modificanlos camposeléctricosexternosen los quesecolocan,En estecontexto,se lesilamadieléctricos,Veremosqueun dieléctricocolocadoenun capacitorpermiüe mayorescargaspatadeterminadovoltaje.Un dieléctricosólidocolocadoentrelos dosconductores deun capacitor,tambiénconfiereresistencia y estabilidad mecánica a éste,Porúltimo,un dieléctticopuedereducirla posibilidaddearqueoentrelasplacas deun capacitor. Pot lo genetalse acteditaa MichaelFaradayel llevar a caboel primerexperimentoque demosttóque cuandose colocan materíalesaislantesentre los dos conductores de un capacitor,aumentala capacitanciade éste(figura26-15).Si C0

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aó' .(lt¿ a ,e tr

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D¡déorb

16,uF.

Lr prercncie de un dielectrlco en un caprcitor eumente le cepecltencie.

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3*"? o o a o o ot o ol o o or I t I

FTGURA 26-15 Faraday omplcó esto c¿pocitor & ;ro$üi:ú ¡n *S* XVIII, cn srrsinvc.stigacioncssobrc las pmpicdrd,cr de i':s ¡im¡:m¡¡cot,'

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I

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772 (h¡ritukr

26 (:¡p¡cllorrs

y dlcli'ctrlcos

cs Ia capacitanciaen el vacío (o en el aire)de un capacitordeterminado,la capa:"'-rncia, C, cua¡rdose cotocaun dieléctricoentresusconductoreses mayor que C¿;'c:; factor al que se le da el nolnbrc de constantedieléctrica, K. Tenen)osque C = xC oi

Def i n i c i ó n d e l a c o n s l a n le d ie lé clr ica

C

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i_: L (l

't'A rr r.A 26-L PNOPI I iDA DIIS T' I III.NCIITICA.9 DIi AI.GI,]NOSMAT?RIAT.T^5' Constante dieléctrica Material

K

Rigidez Dicléctrica En":a ( 1 0 6 V/m )

VacÍo 1.0 1.0005 Ai r e Pnrafi na 2.O-2.5 Teflórr L, I Poliestireno 2.5 L u cit e 2.8 J. I Myhr Pl e x iglas 3. 4 3. 5 Nylon 3. 7 Papel 3. 74 -4 .1 Cuarzo fundido 4-6 Pyrex 4. 9 Ba quelit a 6. 7 Cauchode neoprcllo ta Si l i c io Ge nnanio ló 80 Ag u a Titaniode 332 estroncio

3 l0 ó0 ¿q

20 40 l4 l6

t4

24

La constantedieléctrica,que es mayor que la unidad para todos los mare::¡.sdependedel materialy de las condicionesextemas,por ejemplo,la temperatura. B;,;3 ciertascondiciones,y paradetcrminadosmateriales,Kse acefcamucho a 1,mie:li:zs que para otros materialesy condiciones,puede ser hasta de varios cientos.P--r ejemplo, r para el aire en condicionesnormaleses 1.0005.La constantedieiéc.r.¡¡ casi no se distinguede la del vacío, para el cual r - 1. La tabla26-L muestra.;:' conju¡lto representativode valores de r; pero la dependenciade muchos de ess valoresrespectoa la ternperatura cs tan fuefte,que se debenemplearcon cuidai¡-

Pn¡cba-s cxpcrinrcntalcs

dcl comportamicnto

e

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i. l ie

lo

{r

1a

o o o o o o o

v:ft Colno el plexiglases un aisla<Jor, lu Qe,en lasplacasdel capacitorno pu+:e "urr'i, carnbiar,peroel voltajesí cambia.En consecuencia, la capacitanciadebecambia;¡¿ valor original, C¡, a un nuevo vaior, C, cuandose introduceel plexiglas:

c : %V

a o o a o

dc los dicléctricos

Parasitnularel experitncntoqlre condujoa Faraclaya sus conclusionesacercade los dieléctricos,primeroemplearemosun aculnuladorparacargafun capacitorde plac¿s paralefas en airc, a un potencialZn,con una cargaQn * CnVo(figura26-l6a). En esre caso,los subíndicesse refieretra la cantidaden aire;por ejemplo,Cees la capacitancie cuandohay aire entrelas placas.Desconectamos el acumulador,y con un voltímeir:. aparatoque mide el voltaje o diferenciade potencial(figura 26-16b),determinar::¡x el voltajeentrelasplacas.A continr¡acióndeslizamosun dieléctrico,como plexigi:s ctrtrelas placas(figrrra26-l6c). Observamosque.s¿reduce elvoltaje en un fa.ir q trel l a m a re mosK , y que el trrtevoval or es

IL

+ ls 5 v a l o r c s p a r a a l g u n o s tn a tcr ia lcs dc¡rndcn muclro dc la tcm¡x,ratrrra y do la frcctrrria, cuando los cam¡ns son oscilantcs,

$ I I

:ffi :.2 -K co

compruebala ecuación(26-18),y el factor K poneNuestroresultadoexperimental cualsereduceel voltaje,cuandosemantienefija la carga,esla constante dieléctic¿ Podemosllevar a cabo otro experimento.Esta vez dejamosel acumulad;r conectadoal capacitor,despuésde haberlocargadoen aire (figura 26-lta). I potencialcontinúasiendoel del acumulador,I/e,despuésde introducirel plexig:s (figura26-17b).Sin embargo,observamos que /a cargaen las placasconducta's: aumentaen un factor de r: Q - r(Q6.Nuestroresultadoexperimentalqueda*. (26-18): concordancia conla ecuación rcQo O *ff - rc6. c : í;: Es útil reinterpretaresostesultadosen términ os de la permisir-iei 5 parael cual C6= ev{ld,tendremosc-;e tomamosun capacitorde placasparalelas,

C: r Co: Y f

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Si se ma ntie ne f ija la c at ga, el nuev o v olt aje e s ,

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(2 6 -2 t )

E l nuev oc am p oe l é c t¡i c oe n trel a s p l a c a sreducesu magni tuda

C t¡ al l do l te.r 't¡ r t r l ¡ , i , , pl ac as
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(26 221

c etr r ¡ r o el óc l r i c o.

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o ) o o o o o a a o o

FIC U R A 26-17 (a) N ucv:rnrcr¡tc,u; capacitor,con una carga Qo y rn ¡ric;1.' : vcz dcj amos l a batcría conccta,l : : "' diclóctrico.El ¡xrlcncialdcbc¡rmlari cargacsQ >Qu.

lir :--.1 --. : i -r*_ llii,:

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//4 y dlcléctrlcos Capitrrlo2(r Capaóltor.cs

t-' ' .:, u¡rd ielé ctri c oes s us t ¡ t u¡ r r ¡ por € en todeslas fórmuhs de le electrostática.

en la cual E < Eo.Al revisar las ecuaciones(26-20) (26-22), velnos que se P-3:::. ^ resumif rcmplazando Ia perntísivitad dcl espacio vac{o, €o,por una nucva perr::s;vidad, e, que dependedel dieléctricoque se elnpleay clelas cotrdicionesextenras: €:

tr €.,

I

t^{.

Aunque hemos demosttadoestaregla sencillasólo p rra 'l casode placasparalelas, la sustituciónde q por € cuandointervieneun dieléctric(,,se aplica a todaslas geometrfasy a todaslas ecuacionesdondeaparecela pen,tisividad,colno las ecuaciotres de intensidadde campo,potencialy densidadde energía. Dieléctricos en los caPacitores Hemoshabladode la importanteposibilidadde empl,:arun dieléctricoparaaumentar el almacenamientode cafga en un capacitor.También,los dieléctricosdesempeñan un papel enla descorgadisruptiva entre las placasdel capacitor(véasela fotogtafía al principio del capltulg),,/Siel carrpo eléctrico en un material (o el voltaje a traves del material) se trái-em-rrygtande,los electronesson retiradosde sus átomos,y forman el capacitor.Esoscvetrtosdnljan una cascadaqrreatraviesnel tnnterinl,clescnrgando a los dieléctricos.Cadadielóctricotietresu rigidcz dieléctrica,Ii,,,,¡*, Qtrces el cntrrpo eléctrico máximo para el que resistela descargadisruptiva.En la.tabla 26-l se Las rigidecesdieléctricasde los capacitomuestranalgunosvaloresrepresentativos. res comercialesse especificancon un voltaje máxil¡o pennisible.

e\ o o a o o o o o o o o o o ol

ol ol

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Los capacitorescomercialesasumenva¡iasformas (figuraB1-l).4 Dos bandasmekilicasseparadas Poruna capadelgadade Mylar, o, en los tiposantiguos,por papel forma parafinado.Cuandoseen¡ollaeste-emParedado", Sin un capacitotcompactohastade variosmicrofa¡adios. actualessonmáscomplicados' embargo,los capacitores en Dos tipos principalesalcanzangrandescapacitancias En los un espaciopequeño,empleandovariasestrategias, capacitorescerámicosmulticaPa'sedoblanhojas melálicasenunaforma compacta,l¿s hojasestán son por aisladores eléctricos,cuyasconstantes separadas Lanelevadascomo20,000.Esasaltasconstantes del orden dieléctricasexplicanlasgrandescapacitancias, cerámicos de milesde microfaradios,en los capacitores multicapa. del mismoordenaproximadose [-ascapacitancias puedenalcanzaren volumenesaunlnenotescon los capacítoreselectrolfticos.Estaclasede capacitoresse el dieléctrico'queesun óxido fabricadepositando metálicono conductor'en foma de capadelgadaen ulla hoja de metal.El segutrdoconductoresuna pastao llqui,lo conductor,queseadhierebien al óxido metálico' puede La cr pade óxidometálicoentrelos conductores atacando serb stahtedelgada,hastade 10-8m' Es más, e] mt tal antesde depopitarla capade óxido met'álico,se c. ea rnaseriede vallesprofundosen el metal,con lo cual arrmrnta muchosu áreasuperficial.Si recordamosquela de laspldcasparalelasesinversamente capacitancia

ol ol ol ol

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: 3 : ::l ol

F ICIJRA BI-1 Algunos capacitorcscomerciales.

proporcional a la distanciaentre ellas, y proporcional a su área,vetnos que los capacitoreselectrolíticospueden tenergrandescapacitancias. Etr conjunto, los capacitorescerámicosmulticapa y los electrolíticos abatcanla mayor parte de todos los capacitoresde uso comercial. La industria electrónica continúademandandonuevoscapacitores,con por unidad de volumen aún mayores. capacitancias 4

por DoParam:is i¡rfonnación,vóaso'Cnpacitors" (capacitorcs), nalclM. Trottor, Jr., ScienrijicAnrcrican,julio do 1988,p. 86.

:l :l

3l

:l

o o o o o o o o o o o o o o o O ,O

o o o o

o

o o o ,o o o o o o o o o o o o a o o o o o

o

E J E M P L o 2 6 - 7 tJ¡capacitor de placasparalelastiene área.Á: 2O.Ocmz, y separaciónentre placas, d = 4.O mm. (a) Calcule la capacitanciaen aire, y el voltaje y cargamáximos que puede mantener el capacitor. (b) Se desliza entre las placas una hoja de teflón, que llena todo el volumen. Calcule la nueva y cargatnáxinra.(c) Antesde introducirel teflón,se llevanlasplacas capacitatrcia a un voltaje de24Y, con un acurnulador,el cual se desconectaa continuación. ¿Cuálessotrlas energíasetr el capacitorantesy despuésde introducirel teflón? ¿Sellevó a cabo trabajoal introducirel teflórr? SOLUCION:(a) La ecuaciótr(26-4) expresala capacitanciaen aire, que aquf representaremoscon C:

to ,r#)

(8 .8 5x l0't2Flñle.0ox

, : t ol

--:

a.o;io'r,/--

:4'4 x

l 0-' 2F:4.4pF.

La cargamáxinra dependedel voltaje máximo. Segúnla tabl a26-l ,l a ri gi dez dieléctricadel aire es 3 x l06 V/m, de modo que

Vno^:E*;¡l:(3

x t06Vlry1)(4.0 x l0-¡rl) - tOoV: t0kV.

A su vez, : x l 0 12F)(104V ) - -5x l 0-8 C 0 n ,á ,: (' 1 .1 ,,á x(.4 ( b) De acu e rd oc o n l a ta b l a 2 6 -l ,l a c o nstantedi el éctri cadel tefl ón es 2.1. S i ilrdicatnoscon primas los nuevosvalores,tendrenros

(', : r.(' : (2.t)(4.4 pt-'): 9.2pt-. que La tabla26-l dice la rigidezdieléctrica delteflónes6.0x 107V/m, demodo QUe

: (6.0x l0? V/ry')(4.t) V'n^^: [.,i,¡^,1 x l0-] ry'l::.+ x lOsV

0,,*:

("lri,,¡*:().2 x

x lOs\,) :2,2 yC. ¡;¡12.4 'n'-rz

Aumentannrucho tanto el voltaje máximo como la cargamáxima al introducir el teflón. (c) I-a ecuación (26-9) determina la energíaen un capacitorcargado.Antes de introducirel teflón, la energíaes U:

cv2 22

(4 .4 x l o - ' 2 FX 24 v)2 :

l .l x I0-eJ.

Despuésde introducirel teflón, C at¡mentaun factor r, mientrasque Zdisminuye por el mistno factor.Por consiguienle,el productoCV2, disminuye enel factor r:

_y_ U' _c'v'2 _GC)(vlr\'1

rc

t . 3 x lO -e J 2.1

:6x

l 0-toJ.

Cotno la energlapotencial ha disrninuido, el capacitorefectúatrabajo positivo al introducir el teflón. Cuandoel material en el espacioentre las placasde un capacitorse sustituye con un dieléctrico de mayor constante dieléctrica, la energfa disminuye (véase el ejemploanterior).Por consiguiente,el capacitorefectúatrabajopositivoal introducir el nuevo dieléctrico y, por consiguiente,debe haber una fuerza que introduzcaal dieléctrico.Con instrumentossensibles,se puedemedir el tirón sobreel dieléctrico.

?ti5

Dricr.g¡¡w

o o o o o o o o

que l a hoj a de tefl ón que se i r' .:::-_' : ::.::: 2 6 - 8 S upongamos EJ EMP L O placas del ejémplo26-7 capacitor sólo tiene 2 mm de espesci:.. :,:: las del consiguiente,sólo llenala r¡ritaddel volumen (figura26-18).Alrtr.sde ir:::;.--::: el teflón, el capacitor,desconectado,tiene una carga de I nC. Deren:'....- -' campo eléct¡icoen cualquierlugat del interior,y Ia nuevacapacitancia. SOLUCION:Aunque la hoja de teflón estáen el lado derecho,en la figura 16-: S. veremosque el lado no importa. De acuerdocon la ley de Gauss,la intensicat del campo eléctrico en el aire queda

l0 -e c oQ :6 €o €oA (8.85x l0-¡ Fl¡h)Q x l 0-r mt) El campodentrodel teflóndebereducirsepor el factor r: Eo :-:

, -Eo -L-rcr -'l FIGURA 2É18 Ejcrnplo 2G8. Sc introdrcc r¡¡¡diclcctrico cn ur capacitor dc plrcrs panlelas, y llcna sólo lr mllrd dol volwncn

I

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

x I04 V /m.

t{ :O- 3xr oaV/m .

Para determinar la calda total de voltaje entre las placas,pata lo cual necesitaredeterminamosla integral mos calcularla capacitancia, fd

f2 m m

V = J; E d x: J,

f4 ñnr _

r r dx + J,,, Er ",d.\

f2mm t - : r ,. - - """ dx * Er., l 4m m dx mm)* Et,r (2 nrrr) /io (l J,,. Jo = (5.6x lO4vlú)Q x l0-3 trr)+ (2.; x 10"virnx2 x 10-i rfr)- 170v' del lugarprecisodela hojade teflón. Estecálculoesindependiente es,por definición,C = QIV: Porúltimo,la capacitancia : fo

^ t:

l0-'c l;ov

=6PF'

del sistemavacíoo llenocon Estevalor es intermedioal de las capacitancias enserie,unovacío,dedistancia equivalea doscapacitores teflón,Fstecapacitor dl2,y elotto lleno de teflón,con distanciad/2.

EJ E M PLo 2 6 - 9 Se tieneel cablecoaxialdel ejemplo26-2.Hay cargas por unidadde longitud,1.,en los doselementosdel cable,el igualesy opuestas funcionacomocapacitor.Entreel alambrey el blindaje cual,por consiguiente, dieléctricar, hastala ptofundidadx,medida seint¡oduceun materialdeconstante desdeel extremo.¿Cuáles el cambiode energíapotencialdel cablecargado? ¿Quéfuetzaeléctticaactuasobreel materialcuandoseintroducecomosi fuera un tapóncon un agujeroen el centro? En el ejemplo26-2,identificamosla diferenciade potencialentre SOLUCION: del cablecoaxialy fue conductores los Vn- Vo: V :.'-

l f( o

tn I

(l

La energla potencial por unidad de longitud es la mitad del producto ie .a diferencia de potencial por la carga por unidad de iongitud:

Unidadde longitud

1... -2"'-

/-) "-,0 4n€r,

"'

tt

[véaseecuación(25-19)]Err la región en la que se c o l o c a e l sustituyeegpor € = Kq. Así, el cambiode energÍap o t e n c i a l , longitud,cuandoseintroduceel tapón,es

dielécl¡i:c. se ::

por unii::

E* -

O

o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o ,o o o o o

AU Unidad de longitud

',2 / | /'l l -*l

4z \eo

- l)€ / r "9 a

2Gó Dcsi;u:r [-:@I!{im

Si el tapón penetrahastauna profundidad x, el cambio total en energfapotencial es

oA¡ut :;

r)2(l

h

l\

(€o- ¿,) ' "'

< 0. La energladisminuyecuandoel tapónestádentro Como r > l, € > €a,y ^U que el tapón sea tirado hacia el hueco entre los y, por consiguiente,esperamos conductores.Lafuerza que se ejercesobre el dieléctrico, al moversehacia dentro del cable. se calcula mediante

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du -,

o. v

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). ' / t

r\ , h

4n\(o


-,-l

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a

F es positivaporque e > e¡. En realidad,el tapónesjalado hacia su postctón.

lrrcRoscoplcA DE Los DIELEcrRIcos 26-6 DESCRrpcro)i [¡s moléculascon momentos eléctricosdipolarespermanentes,como el H2O, se llamanpolares. En ausenciade un campo eléctricoextemo, las direccionesde los momentosdipolaresde las moléculasen un material se distribuyenal azat (figura 26-l9a). Sin embargo,cuandose coloca el materialen un campo eléctricoexterno, como en la figura 26-19b,los dipolos se sujetana un par debido al canrpoeléctrico y tiendena alinearsecon el campo.A causade la agitacióntérmica,estealineamiento

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o o o t o o o o o o o o o o o o o o a o o o

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r ,,f I

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/i, ¡ 1 , . .=r ( )

F - " . ,= [)

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Moléculas polarc^s

Molcculas no polarcs (d)

;HCIIRA : r rilmrrlflfrl 26-19 (a) Para las molcculas ¡rclalcs,; t' :¡: :.¡r '" lu clé¡t¡ico cxle,mo, los morncnlos di¡rcIarc,s. p. e: :. T::- l. rru' j-:.: r¡n campo clectrico cxtcmo, los momentc r: j. .:lr?rm flill rii '¡.'¡" :rL:-¡i I ilrrriiilllirfrüllr cam¡n. (c) Para las moléculas no pola¡es. gr; ¡irsrr;J no hay indicios dc distribución dc c¿r-¡¡ ; iltr-r¡, li rrirr'i:illlliim : 1 cxtcmo, las moló¡ulas no ¡xrlarcs a.;' ," :: - '" '-¿ñx-tf , lÍlrrlrlrlú inducido, alincado con cl campo clcitn::,

i78 Gp¡tu¡o

26 Capacltorcs

y dlclóctrlcos

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l6'u,l

(:D '-J

€E (- O

@ €E @ @

€, €D€ D @

e , eD@ @ @ @@@

@ @@ € t (il)

es imperfectoy sólo se da en ptolnedio.Es lnás pronunciadoco¡rcarnljoscie.i:::,-: más intensos,y a menorestemperaturas. Hay amplios lírnitesclevaloresclelc:,::-: pfó¡ucdío para grndo de alilleanrieutocrcce littcalt¡tc¡tíccct'.:'. los cualcs cl cxtenro campo eléctrico externo. : l,as moléculassin dipolo elécttico perrnanelrtese llatnan no polarc-i.F.1., de un cnmpo elóctricoextemo,.susdistribuciorrcsde cargnson sit¡rétricirS, tlsir , .,. s e e s c o g ed i re c c i ó nparti cul ar(fi gura26-l 9c), C otno descri bi rnos cn el capítrri oi -i. cuando esas moléculas se colocatl en ulr catnpo eléctrico extenro, adquicrcn u;r momento dipolar inducido que estácompletamentealineadocotr ei catnpo (figu;a 26-l9d), La magnitud de ese momento dipolar aumerrtaa rnedidaque aumentael campo extemo,y, de nuevo,hay límitesde valoresdel campo eléctricoextefiropara los cualesel momento dipolar crecelineolmente con el campo. Si se colocauna placahechade moléculaspolareso no polaresen un capacitor cargado,el efectodel capacitores como el que se ve eÍr la figura 26-2Oa.No hay carga libre que se mueva grandesdistanciasen un aislador.Sin enrbargo,los lnolncntos o inducidos,se alineancon el carnpoeléctrico.El interior dipolares,seanpermanelrles del dieléctrico pennaneceeléctricamenteneutro, ¡:ero la distribución de carga se polariza, de tal modo que apareceuna cargo inducida en las dos superficiesextenras Las medianteo¡,,,¡. de la placa.A la densidadde carga inducida la representatelnos dc cargaiguales,¡reroo¡ruestas. La dos superficiesdel dieléctricotienelrdensidaclcs der¡sidadsuperficialde cargaes prolrcrcional,ya seaal gtado al que se alineanlos tnomentos dipolares pennanentesen las moléiulas polares,o a la lrragtritudde los momentosdipolaresinducidosde las moléculasno polares.Así, habráunos litnites proporcional al canpo de valoresdel campo eléctricoexternoparalos cuales oitl(tserá externo, Podemosclasificar ahora los camposeléctricosque aparcce¡len los dieléctricos. Podemosdistinguir tres canrpos.El campo extenro, Ee, se presentarlahaya o no dieléctrico. Se produceuncampo elóctrico irtducido, E¡u¡,pot la cargasuperficial inducida,que se debe al campo extemo, A causadel modo en que se fonra 1a carga inducida, E¡,¡ es opuesto a Es. Por últitno, el carnpo eléctrico neto dentro del dieléctrico,E, es Il :

E

il

il (h )

u¡¡ l'IGURA 26-20 (¡¡)C\¡¡¡rlo sc irttro
o o o o o o o

[,, * E ,nu.

O

Q6 211

La dirección de E se indica en la figura 26-20b, De acuerdocon la ecuación (26-22), podemosvef que sólo si E¡n,¡,QUesabemosque es ProPorciotralo o¡¡4,€s proporcional a fi, el campo E resultanteserá proporcional a Ee. Esta proporcionalidad se puede expresarmediante la constanter: li ti

I"¿ constanter, de hecho,es la constantedieléctrica,colno se puedever en la ecuación

(26-22). Traduzcamos este argumento a térmitros de densidadesde carga. Supongalt'tos que el campo eléctricooriginal, Eq, lo produceuna densidadsuperficialde carga,o, en las placasdel capacitor,A o la llamamosdetrsidadde carga liór¿. Sabenrosque €i ' yapunt a E ¡,tt- o¡u¿J l a m a g n i tu d d e E e e sE o- ol eo,yqueE ¡* ¡ti etreconromagni tud (26-22), tenetnos la Segútr la ecuación hacia derecha. Ee a¡runta si la hacia izquierda (26-24) sc transfonna en que la ecuación modo que E - olxea,de :-: ¡c€0

o-

d¡11'r:. -

116 '<

€0

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Simplificamos €oy despejamosqn¿: o¡n.t:o[

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o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o a o o o o o o o o o o o o

o o

o O o o o o C o o o o o o o o O o o o o o .O o o o

o

o o o o o o o o o o o a o t o o

Como rc> I para todos los dieléctricos,la carga inducidasiemprees menor que la cargalibre.Estoes evidenteen nuestro¡nodelomicroscópico;si d'¿ fueramayor que Eu,en realidadinvertiríamosel catnpoen el ¡naterial.

2é6

Dcscipción

mie::mpno

dc ir

de-+r.r-

Lcy de Gauss y dieléctricos Llemosmencionadoque la presenciade un dieléctrico hace que eequedetemplazado pore. ¿Cómoafectaesteresultadoa la ley de Gauss?Parala superficiegaussianaque seve en la figura 26-2l,la ley de Gauss,en su foffna original, da como resultadp

fJ' oo:%:

Q.¡nct Q - Qt^u €o en la cual Qin.l es la carga encelfada, y a su vez es la carga libte

(26-27) menosla catga

indtrcida.Según la ecuación (26-25),

o ::0 - Q¡ ,,¿' Tcnemosasi t¡na fonna altenlativa de la ley de Gauss cr¡andohay dieléctricos ¡;resentes:

q ,iit, un: (€. Jl

(2ó l 13)

La constanteeaqueda remplazadapot €= KEe¡siemprey cuando Q sea la carga libre. Esun resultadogenetal,aun cuandola figura 26-2L seala de un capacitorde placas paraielas. Si el dieléctricono es unifonne, r no tendráel mismo valor en todo lugar. En esecaso.r se debe incluir en la integral,y la ley de Gaussse¡ía

: gil^r-'d^

n€0

Consecuencias del modelo microscópico

Ley de Gauss en presencia dc un dieléctrico

(26 2e)

dc los dieléctricos

Nuestromodelo de cargasinducidasexplica el comportamientoexperimentalde los dieléctricosque hemos descrito hasta aqul. Este modelo es también la baseParauna diversidadde predicciones experimentalesadicionales, todas las cuales se pueden comprobar: 1. Hay dos clasesde dieléctricos,los formados por moléculasno polates,y los fonnados por moléculas polares. Los momentos dipolares de los dipolos inducidos son, por lo general,mucho más pequeñosque los de los dipolos permanentes,de modo que el valor de r debe ser mucho más semejante a uno para los dieléctticos no polares,que Pata los polares. 2. Debido a los efectos térmicos disruptivos, los dieléctricos polares deben alinearse con más facilidad, o sea, deben tener valores mayores de r, a menorestemperaturas.La teoríacinética(véasecapftulo l9) indica que la constantedieléctricaasumela forma más precisasigtriente: constante ,r - :

I + --

(26*30)

f--.

Esta dependenciade temperaturase cumple bastantebien. A la ecuación (26-30) se le llama la ley de Curie. Los dieléctricos no polares no deben obedeceresa ley. 3. l-a polarización de sustanciassólidas con un momento dipolar perrnanente puede cambiar si los planos de su estructura cristalina se someten a esfuerzos al torcerseo prensarse.Bajo esosesfuerzos,los camposeléctricos intemos cambian,y los camposvariablesproducenuna señaleléctrica.Estefenómeno, llamado piezoelectricidad, es el fundamento de la operación de los mic¡ófonos y las celdas de carga.s : N" d,olT : Una celda de carga, o meiidor dc distorsiór¡ os rm dispositivo quc trabaja según sc describc :r :" :t rro I cr:;.asa¡iicacioncs son la mcdición dc fuerzaso dc doformacioncs.Por cjcmplo, so usan on básculas ¡-a,rrhs ;tsos o fixrzas, o cn calibradorcspara dcformacioncsdc rccipiertes o micmbros est¡ttcü¡ralcs ::¡;r :¡¡i ,i:[:¡:].r J:s a ;ii.:; :r, o t-<Í,x rzm.

Su¡rcrficic gatrssiam FICURA 26-21 Un dicldct¡ico.rl -vohuncn total dc un capscitor. Ur:¡ ¡.r srr¡rcrficicgnrrrsianaqu rodc¿¡ ¡ - :w[ dc intcrfase cntrc el dieléct¡icr' i Jh:r r tambión rodca c¡rgas librcs c ;iL: r-'fs carga total cnccrrada por la su;<-..'cr lcs gaussianacuando sc aplica la k¡ incluyc mbas cargas.

a o

7 Rt rS U} f E \

I

o o o o

Los capacitofesson dispositivosparaalmacenarcargaelectricay encrgie,\', itc:i,3. mente, consistenen dos conductorescon cargasigualesy opuestas,Q, ¡'uiri . '' ¡encia de potencial, I/. La capacitanciase define como

c=?,. v

rró-

I

La capacitanciade un capacitorde placasparalelaser'¡aire estáexpresadapor €oA -rj

a: '

t1 l , l - \i

o o o o o o o o o o o o o o o o o o

rl

siendo.4el áreade las placas,ydla separacióne¡rtreellas.L a u l l i d a d d e c a p a c i t a nc.r

en el SI esel faradio:I F : I C/V. sc ptredeexl)resar deun capacitor como Ln energiapoterrcial ||

C l tz

Q'

' : r c : "1- : - z

QV

(26 tt.26 9, 26- r()r

o energfaporunidaddc volurnetr, deuu carnpoeléctrico, cs de energfa, La densidad

u :" !'¿ ,

(26-'t2)

tnedianteun Los capacitoresconectadosen paralelo se pucdetr represetrtar capacitorequivalentecuya capacitanciaes " + C n,

C .ou:C ' + C ,+

Q6-1 4)

Los capacitoresconectadosen seriese puedenretnplazarpor un capacitorequivalente, cuya capacitanciasatisfagala ecuación

lll __:--+_+...+_. c"ou cr c2

I cn

(26-11)

conunapropiedad característica, conssonaisladores llatr.rada Los dieléctricos llenael espacioerrtrelasdosplacas r; r > l. Cuandoun dieléctrico tantedieléctrica, el valorde la capacitancia aumenta: conductoras deun capacitor, C:

rcC o,

(2 6 -r S )

siendoCeel valot de la capacitanciacuandohay vacío (o aire)entresusconductores. Se puedenmodificar nuestrosresultadosanteriorespara la presenciade dieléctricos, remplazandola permisividad del espaciovacío, e0,por la permisividad e expresada por € :

l i €0.

(26 23,

liamadarigidez dieléctrica. Cadaaisladortambiéntieneuna propiedadcaracterfstica que expresael campo eléctrico máximo aproxinradoque puederesistir el material si¡ descomponerseo ionizarce. El comportamiento de los capacitoresse puede comprenderteniendo en cuenir la estructuramolecular de la materia. Las moléculas polaresy no polares de u:: dieléctricose alineancon el campo eléctricoexterno,reduciendolos efectosde es¡ campo.Una forma altemativade la ley de Gausscuandoestánpreselrtcslos ii:1.':tricos en un capacitor,es

: -h, ffu.on en ia cual Q es la cargalibre.

780

I

I

o o o o o o o o I

o o o I

o o o o T

o

PREGUNTAS l. Hay dos modos normales de expresar las unidades de la permisividad en el SI. ¿Es problerna el hecho que haya más de un modo? 2. Tiene usteddos placasparalelas,un acumulador,un voltÍnretroy una porción de un plásticodesconocido.Inventeun métodoparadetenninarla constantedieléclricadel plástico. 3. ¿Quéargumento puedc usted presentarpara demostrarque el canrpo eléctrico de un capacitorde placasparalelasno puede caer abruptamentea cero ¡l pasrr al exterior de la región enlre las placas?Recuerdeel hecho de que la cafda de voltaje a lo largo de cualquier trayectoriacenada debe sercero. 4. ¿Cuál es el significado de un capacitorcon capacitancia

cero? cablecoaxialdelejemplo ¡5. Si el radiodelblindajeexteriordel porunidadde longi2ó-2sesuponeinfinito,la capacitancia tud del sistemaaumentaal infinito.En ot¡aspalabras, la por unidadde longitudde un alambreúnico capacitancia cargado es infinita.¿Porqué?Fisicamente, ¿quéevitaque estoseconvierta en un problemareal? 6. No esposibledescomponer todacombinación de capacitoresen unasecuencia de capacitores en seriey en paralelo. queno sepueda Determjne un ejemplode unacombinación descomponer en esaforma. 7. De acuerdocon nuestradescripción ffsica de la naturaleza delosdieléc tri c o¿s p , u e dues te di n rrg i n aur n s i stenlfísi a co en el cualla co¡rstante dieléctrica seamenorque 1? placas paralelas 8. Lasplacasdeun capacitorde sedesconectan quelascarga,y se oprirnenentresí. ¿Qué del acumulador y al n s uc ec lc c olrla d i fc re rrc idac p o tc rrc i alla, c a ¡l aci tanci cnerglaalInrcctr¡dr? todavía 9. Las placasde un capacitorde placasparalelas, conectadas a un acumuladorcon diferenciade potencialI/,

seoprimenentresf. ¿Quésucedecon Ia ca;EaJe .as;-a=* y la energiaalmacen¿da? la capacitancia 10. Se le proporcionaa ustedu¡ralámi¡u meü[c¿ delEai¡ a áreaA. Puedeusted forma¡ con ella un casc¡¡óasi:n= conforma¡laen dos cili¡d¡os concéntricos,o cor-¿.-.a=-formarun capacitorde placasparalelas.¿Quéa;eg.: :;i:; la mayorcapacitancia posible? ll. ¿Quésucedesi poneusteden corto (quieredeci;, :s¡ conun conductor)lasdosplacasdc un capacitorg:,ca ::n carga?¿Podrfaserpeligroso? 12. Para placas paralelasfinitas se tiene un calnFr :.¿.-=(véasefigura 26-3). ¿Quécfecto espcrarfar¡stedi¡ '-€este fenómenosobre la capacitanciade un ca¡a:'.::r :c placasparatelas? 13. ¿Esposiblequeun par de no conductoresquete:iFdi:É:as iguales,peroopuestas, trabajencomoun capaciior? ,Er . c formas debe ser distinto este aneglo, o ser igual, a les capacitores quevimosen estecapltulo? 14. ¿Porqué se aconsejaponer en cofo (conectarcon un cenductor)las placasde un capacitorgrandecuandono sc usal 15. ¿Esperaustedque el término "rigidez dieléctrica"tetga significadoparael vacfo? 16. El aire, en especialen los dfas húmedos,puedeprovoca; fugasdecarga.¿Porqué,erultonces, loscapacitores conau-e entresusplacaspuedenmantenerla cargade tal forrnaq'.rc puedenserútilesen circuitoseléctricos? 17. Una combinaciónde capacitores en un ci¡cuitopuedeequ:valera un capacitorúnicocuyacapacitancia sepuedacalcular en tómrinosdc lascapacitancias originales.Si fuénm,x a rcmplazarla combinaciónde capacitores conun capaciroi tinicoequivalente, algunadiferenciaen el co'n:¿verfantos portamientodel circuito?

PROBLEMAS 26-I

Capacitancia

de closplacascuadradas cle l. (l) (a) ¿Cuáles la capacitancia metal,cadaunacon lO0cmzde área,separadas 0,5cm?(b) ¿Cuáles el radio de una esferaconductoracon la misnra capacitancia? 2. (l) En momentosdistintos,un capacitorde 4-pF tieneuna cargade (a) 4 pC,(b) l0 ¡¡C,y (c) I rnC.¿Cuálesel voltaje a iravésdelcapacitor en cadacaso? l, ¿Cuánta carga se puede almacena¡ en las placas de un ::;acitor de l-¡lF si estánconectadasa un acumuladorque ¡:e.ie dar una diferenciade potencialdc (a) 2 V? (b) 12 V? : )ec€ usted diseñar un capacitor que pueda almacenar -, C c¿ ca:ga, pe¡o sólo cuenta con una fuente de poder :: . -rl \'" ,v dos placas metálicas de 0.2 m2 cada una. ¿Qué -:-"Ies debe tener la separaciónentre las placas?

5. (I) ¿Cuáles la capacitancia de un tramode cablecoaxia-de 25 cm de longítud,parael queel radiodelconductorinte¡l-es0.50mm y el,dela capaexternaconductoraes 1.5m¡ql 6. (II) Calculela capacitanciade dos conductoresesfé¡iccs concéntricos de radiosr y R, respectivarnente. Desciba lcs llmites de (a) r finito, R * @; (b) (R - r) <
I

o o o a o o o o o o o t o o o

f de la fuentede carga.¿Cudles la 230'Yry x, desconecla densidad de cargaen lasplacas?¿Cuáles la cargatotalen cadaplaca? variableempleado enun 10. (II) La capacitancia deun capacitor se de radiova de 0.2pF hasta0.01¡rF.El capacilor receptor de 300V, a Iacapacitanc;rrgaa r¡nadiferencia de potencial mínitna, se alsla,A la capaciancia cin m¡ixirna,y dcspués ¿cuáleset voltaje? 26-2 Encrgíaen capacilores I t. (I) Una nube tormentosa ticne una carga de 900 C y rtti potencial de 90 MV con respecto al terreno, a I km más abajo.(a) ¿Curiles la capacitanciadel sistema?(b) ¿Cu:inta energfase almacena en esa tormenta?

12. (l) ¿Cuárrt:rctrcrgfasc :rl¡r¡¡ccn¡e¡¡ tltracsl'crallrctálicacle l2 crn rlc ¡¡¡rliocrurnrlosc coloc;tct¡ cll;t trnltcnrgaclc4,0 x l0 1 c?

t3. (II)

Un cable coaxial con conductor inlenro de 3 nlm de diámct¡o y blindaje exterior de 8 mm de diámetro,tiene un potencial de I kV entre los conduclores.(a) ¿Cuál es Ia capacitanciade l0 m del cable? (b) ¿Cuántaenergía se almacenaen un tramo de l0 nr del cable?¿Cuántaenergfa se almacenaen un tramo de I km?

de la energÍa alr¡lace;.:;:l *:: r:-:.s.ss;: -* puesla a la parte (c)? [Si iio :¡ 5-" :s ;r:;a:;i contestado(c) en forma inccrrec',.:.

;:r -i 'r3r-id rií,ri

22. (Ill) Suponga que un elect¡ón es ur; as:::r E :an,: "l;:¡ir z su carga distribuida unifomremenie ei s; ;-=--,:É* ¿Cuál es el campo eléctricofuera del ;ac:: .i- : " l;i la energfaelectrostáticatotal almacena¡ae: :, :;-:": " : Suponga que toda la energla de la pañe 3" x ; -:*= responsablede la energfaen reposo del elec:¡ó¡ ,l; :.-,,r¡; en reposo es la asociadacon la masa de un objetc. $.8-..--.; teorfa de la relatividadespecial,aun cuan,jo ei cc-::: s-: en reposo.Asume la forma mc2,y en estecaso, m es .a ;-.;s; del electrón,0.! x 19-rokg, y c es la velocidadde la iu¿. 3 * 108 m/s. ¿Cuál debe ser el radio, R, del electrón?

26-4 Capacilorcsconecladoscn scriey enparalelo dcl sistcnla deplacascn paralcic 23. (¡l) C¡lculcla cnpacitatrcia de la figura26-22,¿Puedc estesistcnracondcs representarsc paresparalelos de placasde la mitaddeláreatotal,conec:adosen serieo en paralelo?

de 7.0y I 8 cm de concéntricas 14. (ID Dos esferasconductoras adquierencargasiguales,pero radio, respectivamente, en energíase almacena opuestas, de 4,2x l0-EC. ¿Cuánta el sislenra?

o o

26-3 Encrgía cn camposeléclricos 15. (l) El campoeléctricoen una tonnenlaes l25,0OOV/m. ¿Cuántaenerglahay en I rnr?¿Cuántahay en I lrrnr? Van de Graaffcondomoesféricode 2.0 m 16. (l) Un generador deradiotieneun potencialde 300,000V enel ai¡e.Suponga queel acelerador esrealmenteunaesferacargada.¿Cuánta en esecampoeléctrico? energlaestáalmacenada en un energlase almacena 17. (l) Aproximadamcnte, ¿cuánta dc una cr¡bode 5 c¡nde raclioquecstáa 1.0m de distancia cargapuntualde 5 x 10 4 C dc magnilud? 18. (II) Una esferametálicaaisladade l5 cm de radioestáa un potencialde 5000V. ¿Cuáles la cargaen la esfera?¿Cuál es la densidadde energladel campoeléctricofuera de la esfe¡a?Integreestoparaobenerla energfatotalen el campo eléctrico. 1 9 . (II) Una esferametálicade 0.10m de radiolieneunacarga enunaregión energfaestácontenida de 8,5x 10-óC. ¿Cuánta con la esfera? esféricade 25 cm de radio.concétrtrica

FIGURA 26-22 Problema23.

24. (ll) Calcule la capacitanciaequivalentedel circuito de la

O 18.r ü 4pF

20. (III) Una esferano conductorade 0.10m de radiocontiene de manerauniforme. unacargade 8.5 x l0-óC, distribuida ¿Cuántaenergfacontieneuna regiónesféricade 25 cm de radioconcéntricode la esfera? (III) Las placasde un capacitorde placasparalelastienen 21. La diferencia 600cm2de áreay estána 0.2cm de distancia. depotencial enlreellases80OV. (a)¿Cuálesel campoentre esla cargaen cadaplaca?(c) ¿Cuáles lasplacas?(b) ¿Cu¿il Ia fuerzaque ejerceel cam¡rosobreuna de las placas?(d) de modo Supongaque se tira de las placasparasepararlas, esel cambio quela distancia entreellasaumentalO%.¿Cuál

782

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f i g u r a2 ó - ? 3 .

3 l¡tt FIGURA 26-23 Problem¡24. 25. (ID Dos placas gtandes y delgadas,de metal, de áreaA

se espesord, que tienencargasQ y -Q, respectivamente, colocana una distanciaD entresl. Supongaque una placa sin carga,delgada,de la misma superficiey espesor,se colocaentreellas,de tal modo que la distanciaentreella ¡' la placaconcargapositivaesx. ¿Cuálesla capacitancia Cel sistemacombinado,comofunciónde¡?

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puntos a y á. ¿Cuál es el valo¡ de un capa:l::i'i-:: .^r pueda remplazat ese sistema y tener ia m:s¡rra .¿-¡" --r"¡para una cafda de voltaje V"b?

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( n) FIGIIRA 26-24 l)roblcrm2ó. (ll) ¿Cuáles la capacitanciade los dos conductoresesféricos concéntricos,cuyos radios son 3.0 y 12.0 mm, respectivamente,conecladoscomo se ve en la figura 26-24a? Suponga que los conductores se conectan como se ve en la figura 26-24b.¿Cuáles la capacitanciaahora? (lI.¡Calculela capacitanciadel circuito que se ve en la figura 26-25. La capacitanciade cada condensadores 5 pF.

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I.'ICURA26-25P¡ol¡lcnn 27. (ll) La figura 2ó-2ómuestraun conjuntode 5 capacitores, consuscapacitancias indicadas,conectados entresf y a los

29. (II) El capacitorC, tiene una capacitanciade 2 ¡F, el C.:.ar 3 ¡:F de capacitancia.Una carga q - 1O¡tC se cclo.^acri C. mientras que C, se lleva a una dife¡encia de potenciai ::i:: sus placasde 50 V. (a) ¿Cuál es la energÍato:al al-na:e:¡¿¿ (b) La placade C, con caJ_qa;le_iai-i: en los dos capacitores? se conectaa la placa de C, con carga positiva. ¿Quecambirr en el sistema,si es que algo cambia? No tenga e¡i cue;te :-T campos marginales en los extremos de los capacito:es. 30. (II) Se tienen los capaciloresdel problema 29, y se m¡Ci";¿ C, de modo que tiene una carga de l0 ¡rC a una dife¡e;.,::: de potancial de 5O V entre sus placas. (a) ¿Cómo can'::; "; capacitancia de Cr? (b) ¿Cuál es la carga en el cap.a:r:r. equivalentea todo el sistema,cuando la placa de C, que:;e:c carganegativase conectaa la placa positivade C-? 31. (II) Tiene usted cuatro condensadores cuyas capacila:.:.i-. son 2 ¡iF, 3 ¡tF,4 ¡lF y 5 ¡rF, respectivamente.Descrb: ':. ci¡cuito que tenga una capacitancia equivalente n']ert-t : 5-pF, en 0.032 ¡tF.

26-S Dieléctricos 32. (I) Con dos placas paralelas,un acumulador de 12 i' )' u:: voltfmetro, puede usted cargar Ias placas y desconectarlas después.También tiene una lámina de plástico cuya cc¡rslante dieléctricadeseamedir. Despuésde deslizar el plástico para que ocupe todo el volumen entre las placas,el voltímetro indica una cafda de voltaje de 12 Y a 3.4 Y . ¿Cuál es la constantedieléctrica? 33. (I) Un acumulador de automóvil, de 12 V, puede almacen¿r 4 x l0ó J de energla.Calcule el áreade un capacitorde placas paralelasque pueda almacena¡la misma energía,si la sepa¡ación entre las placas es I rrrm y entre ellas hay un ciielect ¡ i c o c o n r =3 . 34. (n) Repita el problema 13 cuando hay poliestireno entre las conductoresdel cable coaxial. 35. (ID Calcule el cambio de capacitanciade una esferaaislai¿ que se embebe en un dieléctrico con co¡rstante x. Si ei cambio de capacitanciase debe a una carga inducida en ia superhcie del dieléctrico, ¿cuál es la relación de la deruidac de cargainducida a la densidadoriginal de cargasupefrcia. . 36. (II) Dos placas metálicas paralelas, grandes, tienen '.:: diferencia de potencial de l2O kV, y el campo elécrdcc ri--;f, ellas tiene una magnitud de 1.0 x 106V/m. Se introCuce¡::e las placas un material con constante dieléctrica 1.5. ¡ ajusta la separaciónentre las placaspara que la capacr:-z:,c; quede sin variación. Calcule la nueva separaciónen^:: ;s placas.

FIGL:R..II 3ó-26 Problcrn 28.

37. (II) Un capacitor de placas paralelasque tiene ,-r- :::¿a ;i se modifica introduciendo un dieléctrico con ir-= . i m;: las placas. Como consecuencia,se triplica la e:e:¡; ;-r:; cenadaen el capacitor. ¿Cuál será la carga C=;:,:s a :;:s introducido el dieléctrico?

/ 38. (lI) Un cablcco¡rxial icncun alanlbreilrlcriordc 2.0lnnr clc radioy un.blindajenrctálicoexlcrnodo 3.5nlnrdo r¡dio. Ln parteintermediacstárellenacon un materialcuyaconstante dieléct¡icaes2.2.(a) ¿Cuálesla capacitancia de esecable, de 100m de longitud?(b) Si la diferenciade potencialentre losconductoresintenroy extemoes 1200V, ¿cuálesla carga del conductorinterno,y cuántaenergfase almacenaen l0O m de cable? 39. (II) Una placadieléctricade espesordy constantedieléctrica r se introduceen un capacitorde placasparalelas,cuya separación entreplacasesD. ¿Cuálesla nuevacapacitancia del condensador, si el áreade cadaplacaesz{? 40. 0I) Un capacitorde placapparalelas,cuyasdimensionesson 30 cm x 40 cm,y Ia separación entrelasplacases I cm,tiene y una consuna placade dietéctricode 0.4 cm de espesor, tantedieléctrica2.4. La diferenciade polencialentre las placases 20O V. ¿Cuálesson los camposeléctricosen el espaciovacfoy en el interiordel dieléctrico? 41. 0I) Un capacitorde placasparalelas, de l0 cm2y 5 mm de separación,tiene urr voltaje entreplacasde 300 V, y se introducenlos siguientesmaterialesentrelas placas:aire, papel,ncoprcno,bar¡uelita y titanatode estroncio. ¿Cuáles )r,cn cadacaso?Consultc la cargacrrcl ca¡racit, la tabl¡26-l , 42. (ll) Dos placasp¡ral,.[asde 100c¡n2de áreay con plexiglás entreellasfallan cu:¡ndose les aplicaun voltajede l0 kV. ¿Cuántacargapuedcnteneresasplacassi se quitael plexiglás?Usela tabla2ó.1. 43. 0D Un capacitorcorriste en dos cascaronesesféricosconcéntricos, de radior 11! t2t respectivamente.Calcule la capacitancia si el espacioentrelos cascarones se llenacon un dieléctrico cuya constantees K. Si el primer capacitor y tieneuna cargaQ, y si el tieneai¡e entrelos cascarones, espaciose llena a continuacióncon el dieléctrico,¿cuáles el cambiodc energfa? 44. (ID Un capacitorde placasparalelastieneZ x L de áre ,y separaciónentrelas placasD << L, l-a mitad del espacio entrelasplacasserellenaconun dieléctricoparael cual r xb,y la otra mitad, con un dieléctricocon K É r, (figura 26-27).Determinela capacitanciade estecondensador.

FIGURA26-27Problc¡rq44. 45. (U) Un capacitorconstade l2 placasconectadas altemadamentea la terminalpositivay a la negativa.Las placasson de 8.0 x 15 cm y estána 0.30mm de distancia.¿Cuáles la capacitancia? Supongaquela zonaentrelasplacasserellena con material de corstantedieléctrica2.5. ¿Cuálserá la caPacitancia?

47, (ll) Sc colocn urra Q g,rnndccn un c:r¡tacitorclc ¡illcrs parnlclasclcdrc¡ Lx Ly sc¡l:rrnción clcpl:rctsr/. A conlillu¡ción el capacitorse rellcna con un dieléctricode consranre r . S i L = 0 . 5 m , d = I m m , Q - s t t C , y r = 2 . 3 , ¿ c u á le s i a cargasuperficial inducida en el dieléctrico?¿Cuál es l:. .-: .. nitud del campo eléctrico en el dieléctrico? ¿Cuántaenerg:: se almacenaen este capacitor?

Problemasgenerales 4fl, (II) Esrimecuantacargaadquiereustedal caminarpor unl alfombraen un dfa frfo de inviemo.(Sugerencia..Considéresecomobuenconduclor,de formaesférica,y notecuánto se acercasu manoa la perillade unapuertacuandosaltala inevitable chispa,Usela tabla26-1.) 49. (II) Tieneusteduna placade aluminiode 100 cm2,que la puedecortarenpedazos, y unahojade200cm2debaquelita, de I cm de espesor, quetambiénpuedecortar.Ningunode los materialessepuederebanarparaformarsecciones más delgadas, ni aplastar,y la separación mlnima entrelasplacasde aluminioquesetenganes 1 cnl,Tieneunafuentede poderdeunsolovoltaje,500V. (a)Diseñeun sistema quepueda tenerla c:lntidad nráxinra dc carga,¿Cuirrtacargapucdc tcr)crcsesistcntr?(b)Discñcunsistcllla quetcr¡ga el canrpo eléctrico nláxirnoy calculeesecarllpo. ¿Esel nrisrnosistenra queel de la parte(a)? 50. (II) Calculela energfa de un capacitor compuesto queconsistade N capacitores idénticos, de capacitancia C,, conectados(a) en serie;(b) en paralelo.En laspartes(a) y (b), la diferencia lotaldepotencial a travésdelcapacitor compuesto es Iz.(c) Suponga quela cargatotalesQ, y repitael cálculo, 51. 0D Un capacitor corstade dosplacasmetálicas planasde 0,25m2de área,y separación d - 3.0cm. Seintroduce una placametálicaplana,de la mismaáreay 1.0cm de espesor, a mediadistancia entrelasplacasdelcapacitor, dos dejando espacios de 1.0cm deespesor, cadauno.(a)Calculela nuer.a (b) Si el capacitor capacitancia. originaltieneunacargaQ, superfrcial decargainducidaenla placa ¿cuálesla densidad (c) Supongaquela cargaoriginalen lasplacas intermedia? extemasp€rrnanece igual.¿Cómosecomparala energíadel 56 nuevosistemaconla delsistemasin la placaintermedia? (d) Compareel capacitorconla placaintermedia, conel mismo capacitorcon un dieléctricointermediode las mismasdiquela placa. mersiones 52. 0I) Un capacitorde placasparalelas.tiene áreaL x L, y separación entreplacasD <
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26-6 Descripción microscó¡ticade los dieléctrícos que, 46. (II) Conla ley deGaussy la ecuación(26-22)demuestre parala figura 26-20, E'il- o,,J%.

a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

FIGURA 26-28 ltoblema 52.

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un conjuntode capacitores y quelas conectado en paralelo, placasson bandascon una anchuradr, y calculela capacitancia. (1 (II) Una tormentaes un fenómenomuy complicado,en términosde distribuciónde cargas,peropodemosdecir,en quehayunacafdadevoltajehastade l0E formaaproximada, V entrela tierray el interiorde una nube,y que las cargas puedenserhastade cientosde coulombs.Esinvolucradas time la capacitanciadel sistematiene-nube,y la energla contenida en el espacio entrela nubey Ia tiena. (II) 54. Sele dancuatrocondensadores, cuyascapacitancias son puedeusted 2.0pF cadauno.¿Cuántos capacitores distintos formarcon ellos,empleandouno,dos,lres o los cuatro,en (cnseriey/o enparalelo), y cudles distintas configuraciones sonsuscapacitancias? (II) Se tiene el aneglo de cuat¡ocapacitoresde la figura 26-29.Loscapacitores,,l, B, Cy D tienencapacitancias 2.4 pF, 3.6 ¡tF,1.2¡tI¡y 4.0¡.rF,respectivamente. que Suponga una baterlaaplicauna diferenciade potencialde ó00 V a travésdelcircuilo,quesedesconecta a continuación. ¿Cuál esla diferencia de potencial a travésde cadacaoacitor?

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(II) Un capacitorde placasparalelastieneuna cape--:':r:' de 4,0 ¡rF.Las placasse catgana ó00 V. ¿Cuál*';a eiEE;. almacenada en el capacitor?¿Cuzinto trabajoseneces- ^^*. introducirun dieléctricocuyaconstante es r( - 2.0 en:: bs placas?Supongaqueel capacitorsedesconecta de la i¿e¡re de voltajeantesde introducirel dieléctrico. 58. (II) Un dieléctricocuya constantees K se i¡troducea ur¿ distanciar, en un capacitorde placasparalelas,cuad¡ad¿s, de área.{ y separaciónd. ¿Cuáles la capacitancia como funciónde¡? Calculela cantidadde energfaalmacenada e¡r el capacitor,paraunadife¡enciade potencialIz. 59. (II) Un capacitorde placasparalelastiene á¡eaL x L,:' separación entreplacasD <
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FIGURA26-29Problema 55. de 1,0nr2y 5ó.(lI) Se tieneun capacitorde placasparalclas, separaciónde 4.0 mm. (a) Supongaque la intensidadde disruptiva,en el aire,es 3.0 x campomáxima,sin descarga y la cargaalmacenadas sonla capacitancia 10óV/m. ¿Cuáles al voltajernáximo?(b) Supongnqueel bapacitorsesumerge enaceitecuyaconstante dieléctrica esr = 2.4,yqueIacarga máximaque puedealmacenar es superior,en un factorcle máximade 10,a la cargasin aceite.¿Cuáles la intensidad campoquepuedeadmitirel aceite?

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inferior,entoncesr( = xb+ [(rr - xdy/D]. Considerequeel capacitorcs unaseriede capacitores conectados en serie,y calculela capacitancia. 60. (II) Se conectanen seriedoscapacitores idénticosde capacitanciaC, cadauno,y la diferenciadepotencialtotales I/, Una placade dieléctricocuya constantees r puedellenar y se introducelentamente uno de los doscapacitores, en é1. Calculelos cambiosde energfaeléctricatotal de los dos capacitores, los cambiosen la cargade cadacapacitor,y los cambiosen cafdade potenciala travésde cadacapacitor. Tengaen cuentatodo cambio de energfacon un cambio conespondiente de energfaen algunaotrapartedel sistema. 61. (II) Trescapacitores, de fuerzasL ¡tF,2 HF,f 4 pF, respectivamente,sepuedenconectarde diversasformasent¡edos puntos.¿Quéaneglo producela capacitancia eguivalente menor,y cuálla mayor? 62. (lI) Demuestreque cuandolos capacitores se conectane¡i serie,la capacitancia total es menorque cualquierade las capacitancias individuales.

I CAPITULO

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-. T 1 Los circuitos cléctricos cotilo iste, que cs pdrtc de una computadora, detcrnúnan Ia nancra dc trabajar dc nuesta sociedad tecnológica.

CORRIENTESELECTRICAS EN MATERIATES

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T ü Las cargasse Inueven bajo la influencia de los campos eléctricos,y esemovimien:: EI movi¡niento partfculas por se llalna corrierrteelóctrica. de cargadas el espac:: vacfo, por ejemplo, el haz de electronesde un osciloscopio o citrescopiode TV, ,: vimos en el capítulo 23. Sin embargo,con mayor frecuencia,empleamoslas corris. tes eléctricas dentro de los materiales que forman los circuitos. El movimiento ic cargasdentro del material se complica por la presenciade fuerzas adicionalesa is debidasa los camposeléctricosexternos.Las fuerzasadicionalesse debena choquu T, Tt sL dentro del nlaterial y a los campos eléctricos internos. El efecto de esasfuerzasa como el efecto de la viscosidad: las cargasse tnueven a velocidad cotrstante.Debid: a las fuerzasde resistencia,debemosgastarenergig para hacer que las cargaspaser a través de los nrateriales,y con ello producimos energía térmica. Para describi¡ ¿ i-:i:S flujo de las corricntesen los tnaterinlese¡rfonna rnacroscópica, se define la resister.. cia, resistividad y conductividad, que son característicasde los tnateriales.A niv¿ micros ápico, la resistencia al paso de la corriente se puede describir en foflil cuali' rva medianteun modelo clásico de movimiento de electronesen una ri: crist-.¡nade átomos.Sin embargo,una cofi¡prensiónfundamentalde la resistenci¿ necesitade las ideasde la física cuántica,la cual explicatambiénlas diferenciasenl'¡ l.l:l:r conductores,aisladores,selniconductoresy superconductores.

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27-l

ELEcrRrcA r-A.coRRTENTE

La corriente eléctrica (o bien,tansólo la corriente) es la cargatotal que pas: : .i de un área..4de sección transversal,por unidad de tiempo. En la frgura 3l- ^ ::e=.: ¡ ¡ indicadola cargaque pasaa travésde un alambre.Como se consen'ala csr?3

786

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I.'IGURA 27-1 Cargas cn r¡rovinric¡rtoa scccióntraJrsvcn;al rlc ala¡nbrc.

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capítulo22),la carga que pasaa travésde una seccióntransversalnonnal al eje del alambre,es la misma que la qr¡epasaa travésde una seccióntransversalinclinada. Así,si todo lo que nos interesaes el flujo total de la carga,no trecesitamos especificar la f onna ni la o ri e n ta c i ó nd e l á re a .Au n c u a n dol as cargaspasanpor una regi óndel espaciovacío,la consen'aciónde la carganos penrite segLrirel flujo sistemáticarnelllc . P or ahor an o s c o n c e n tra re l n oesn Ia sl l o c i otresgetreral es de corri ente,cuandoesa c or r ier ) t edes c ri b ee l l n o v i tn i e n tod e l a s c a fgasen el espaci oi acío, o dentro de Inateriales conductores. Si AQ es la cantidadde cargaque pasaa trar'ésde un áreaduranteun intcrvalo dc tiempo Ar, entoncesla corrienteproncd¡o,4,-u,, se define como

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Si Ia corrietrtevaría etr el trallscursodel tictnpo,d..fjnjtnosla corrienteinstorttrítreo, 1, llevando al línrite cuando A¡ * 0, de tal modo que la corriente es la rapidez a la cual pasala cargaa travesde un área: instantánea AN t)j

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LI¡ridadcs dc la coricntc La r¡n ida d d e cor r ie¡ lt c es c l c olr loiir b i. c r s . - c L : n d o q . u r . t a t n b i é n s e l l a l n a o m p er e ( A ) cll Ilo no r de Alldr c l\ f nr i. ' . . \ r r r ; . c r L' . qr li( ' lr licr 'ó : r c : r b o t r a b r j o s d c v r r r r g u a r r l i ae l r elcctricida dy l naglr L' t is nr oa p¡ ; nc ii, io- . d. ' l s ig l o X I \ . r E l ¡ n r p e r e s e d e f i n i r á c o l l m á s pre cisiótren cl c apí t ulo 19, p. . r c c s ¡ d¡ iillic ior r s e r á e q u i . . ; r l e n t ce l a ¡ e l a c i ó n s e l t c i l l a L. \ - I C s . "alnl) " Cotl frccue trci a s e us a [ ] ar a r el) r c s enta r a l a l n p c r c . C o n l o e l a t n p e r e e s u t l a un ida db astatr t cgr ande, t at nbjc t r s e ex pr es a la c o r r i e n t e e n r n i l i a n t ¡ r e r e s( r n A ) , o l O - 3 ('r\, A, e lr lllicroa tllpc r es ( , ui\ ) , o l0 o llas t a na n o a l l r p e r e s ( r r A ) , o 1 0 - e A . i-as co rrietlt es alc anz ar l v alor es ent r e lí tn i t c s r n u y a t n p l i o s ( t a b l a 2 7 - l ) . A l a s 't'^ Bt. L 2 7-7 vALOIIIIS I)li I)IVrirrsA.S C()ItI{r tiNll:S

Caso

Corrientc (A)

Chipsde cótnputo,de tecnologíaavalrzacla IIazde electroncsen un receptorde TV Hazde protonesen el aceleradorFennilab Conientepeligrosaal organisnrohrunallo Bulbode centelleoen fotograffa Borubilloincandescente doméstico \f otorde arranquear¡tomotriz Coniente¡¡áxima en un rayo Conientenráxinlaen alambresuperconductorde ;;iobiode 1 crn2de seccióntransversal

l 012al 0tt 1o-j 3xl Ol l 0-2 a l 0-l

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1 i r;tr. c-stn¡ dc las sit' lc tr r ir l¿r lt:sb¡ isicasr lcl SI ( v r :as r rA¡ x ttx l i c t; I. l ) . l i l s i gni fi c atl o dc r ul ¡ r r ¡ r i r l ;¡ r l :¡ ,¡: r;:ri ¡l¡ r lcs dcr ivar ias, conlo cl cottlo¡ r r lr o cl llrr ar l , s
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I'IGURA 27-1 Cargas cn nrovimicnto a travós dc una sccción transvcrsaldc alambre.

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Si Ia corrierrtevaría elr el transcursodel tiernpo,definimos la corrienteinstantánea, /, llevando al límite cuando At 0, de tal modo que la corriente es la rapidez instantáneaa la cual pasala carga a través de un área:

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capÍtulo 22),la carga que pasa a través de una sección transversalnonnal al eje del alambre,es la misma que la que pasaa través de una sección ttansversalinclinada. Así, si todo lo que nos interesaes el flujo total de la carga,no necesitamosespecificar la fonna ni la orientacióndel área.Aun cuandolas cargaspasanpor una región del espaciovacío,la conservaciónde la carganos peffniteseguirel flujo sistemáticamentc. Por ahoranos concentrarelnos en las nocionesgeneralesde corriente,cuandoesa coniente describe el lnovimiento de las cargas en el espacioúacío, o dentro de co¡lductores. tnateriales Si AQ es la cantidad de carga que pasa a través de un área durante un intervalo de tiempoAf, entoncesla corrientepromed¡o,1,,--,s€ define como

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dt

D efÍni ci ón de l a corri ente ek ti r,¡¡

Unidadcs dc la corricntc La unidadde corrientees el coulonlb por segundo,que talnbiénse lla¡naampere(A) etr hotrorde André Marie Arnpére, quierr llevó a cabo trabajosde vanguardiaerr y nragnetistnoa principiosdel siglo XIX.r El arrlperese definirácon más electricidad precisiónen el capítulo29, pero esadefinición seráequivalentea la relaciónsencilla I A :

I C/s .

D cl i ni ci ón dcl anrpere

Con frecuenciase usa "arr.lp"para representaral anrpere.Como el amperees una unidadbastantegrande,tarnbiénse expresala corrienteen lniliamperes(rnA), o lO-3 (trA ),o 1O-eA . A , en lnic r oan l p e re(p s A), o 1 0 ÓA ,o h a s tan anoamperes Las c or r ie n te sa l c a n z a nv a l o re se n tre l ít ni testnuy atnpl i os(tabl a27-l ). A l as ' t ' ^B r .A 27- l vALOIIIiS DIi I)MtIr.SAS

ts

x x

CORtUIiN'I'IIS

Caso

Corrientc(A)

Chipsde cótnputo,de tecnologlaavarrzada Hazde electronesen un receptor de TV Hazde protones en el aceleradorFermilab Conientepeligrosa al organismo hulnano Bulbode centelleo en fotograffa BcnrbiI lo incandescentedonréstico Ifctor de arranqueaulomotriz Co¡¡iente máxima en un rayo Corientemáxinraen alambresuperconductorde i::obio de I cm2 de sección transversal

l o - 1 2a l o - 6 lo-l 3 x lo-l l0-2 a l0-r

0.3 I 200 100 l07

' ll a:rr;rrr' cs una rlc las sic{cturirl¿rlcsb¿isicns
o o o o o o o o o o o o o O o o O o o o o o o o o o o o o o o o o o o I o a o o o o

La corrientediferenciald1,que pasapordA, es

dI:J'dA:

JdAcos0,

(27-3)

en la cual I es el ángulo que fonnan J y el elementode áreadA. Segúnla ecuación (27-3),vemosque ües tnáxirnocuandoJ y dA son paralelos,y es cero cuandoJ es perpendiculata dA. La corriente total que pasa por el área .A es la suma de las diferenciales de corriente.dI:

, : ff^ r . dA. Dcnsidad dc corricntc

(27-4)

dc cargas en movimicnto

Calcularemosla densidad de corriente de un grupo de cargas en movimiento. que tenemosun conjunto de partículascon cargaq. En algunaregión Supongamos pequeña, el número de esaspartículascargadaspor unidad de volumen,la densidad nuntórica,es rrn.Supongatnos,también, que todas esaspartículasse mueven con velocidadv. Entonces,en un intervaloA/, la cantidadde cargaqüe pusapor un área dada,A,es perpendiculara v, como en la figura 27-4, es AQ, la cargacontenidaen el volumenA(u Lt) atravesadopor las cargasen movitniento: / carga \ . ¡,. AQ : I --. P- | (volumen): (nnQ(AuAt) : t1nnr,tr Wolr¡tnen/

(27 5)

hG O

-i

J

LJ, /1

)

J

\J

f f iv r Q ', q-

ITIGURA 27-4 Una stnc .l :;L--!-éca
Í",?i:

mJil

\

Paraello he¡nosetnpleadoel hecho de que la carga por unidad de volumen es la densidadnt¡méricade Ios portadoresde cargamulti¡rlicadapor la cargapor partícula. Así, la corrientequedaexpresadapor ,,A: Q

ni

: n,tqrt/l .

(2i 6)

Por último, la densidadde corrientees l dividida entreA, para el lírnite de,4 pequeña,J = IlA. La dirección de J queda especificadapor la dirección de v: J : nnQv.

27 -2

\27-7)

coRRIENTEs ELEcTRTcAS EN MATERTALES

Antes,definimos ya alos conduclor¿.r,como los materialesa travésde los cualeslas cargasse mueven con facilidad, y a los aisladores como los materialesa través de los cuales las cargas no se tnueven con facilidad; a los scm¡cottductor¿scomo los lnaterialesintermediosentre conductoresy aisladores,y a los sry ercoilductor¿scomo Ios nraterialesque, bajo ciertas circunstancias,en especiala bajas lemperaturas, conducenla corrientesin limitaciótralguna.El modo de conducciónde la cargaen losmaterialestieneimportanciaobvia.Un modelo sencillo,que desarrollaremos más en la sección 21-4, explica que los metales son buenos conductores porque tienen electrones que se comportancomo si estuvieranlibres.Un electról¡libre en un metal sufrcuna fuerzaF : -eE, y con ella,una aceleraciónen direcciónopuestaa un campo eiéctricoE.3 Esos electronessufren choquesfrecuentescon los iones positivosque i¡nnan la red cristalinadel lnetal,estéo no presenteel carnpo(figura 27-5). Cuando :rclrav catrrpo,los electrones,e¡rprontedio,no se fnuevelren determinadadirección. i: nr or , it nien to e s a l a z a r,c o n roe l In o v i rri e n tode l as¡nol écul asde ai re.C uandohay eléc t r ic oh , a y u n n l o v i tn i e n ton e to d e el ectronesen l a di recci ónde l a fuerza - - : : : r po : . : c l: ic a que a c tú as o b ree l l o s .L a s c o l i s i o n es,de l recho,dan l ugar a una fuerzade :.'-:.-<:encia al flujo de los electrones.Co¡no en la caídacon paracaídas, la resistencia :--:': d: hacerque el movimiento seade flujo estableen direcciónde la ft¡erza.Los I ...,;r1,.{ si¡rc sicndo válirlo r¡rc, (:n clcctroslálica, lcx; nrctalcs y otros con(h¡cl()rcs no ¡lc¡l(:¡l c¿lnrlx)s ''.- -:.i ::rs'j l rl e ri o r,cncslccasonosctr alar lcclect¡ ostálica: l ¡ s c ar qás s c ntttc v c nc nfonr ur c o¡ r l i r r r ¡ a.

'l ravccion¡ c.-:. f - - 'l 'r ¿ ) :c a t c rn :

: . r. f =

l'I(;ttRA 27-5 U¡r clcct¡ón ch.r¿ :.x frt:cucrtcia con los ioncs y lr rm¡sa. t¡n r¡lclal y sc dis¡xrc,sa al aar. Li r:. canr¡xr clóctrico, cl clcctrón adq';:crc':. :: l ) c ( l tK:i x )c or ¡ l l ) o¡ l c ¡ l tcdc v c l a i . ' ¡; . scrrtido co¡rtrario al dcl carn¡n. L:-< diforcltcias ur Ias travcclorias 3pr;riail cxagcradas. I.a lrayccloria dcl ejccu"¡r: rrur calrr¡ro clictrico cs ligcrdnrnic paralnlica.

C l asi fi ceci ó¡¡de l os nrateri al esde acuerdo a l o bi en que conduc en I: carga. S e establ eci óerre l c rpi tui o l i

i:

I

788 Cepitu,lo 27 matcdalcs

ol

A.la¡¡bro Cordcntc¡

cléclrlcas cn

FIGIIRA2T-2 Porconvcnclón,ladi¡cccióndclacorricntoesaqucllaalaoralparccc movcrso la carga positiva, aun cuando cn los conductoras cs la carga ncgaliva, los clcctroncs, la quc sc mucvc.

¡on posi(ivo fijo

corrientes que tienen una dependenciatemporal armónica se les llama cori:¿:::= altemas,CA, fenómeno que estudiaremosconmás detalle en el capítu1034. Pa. . es¿-, coffientes, los valores de la tabla 27-l representanla magnitud promedic j: .¿ coniente oscilante. L,acoriente es una cantidad escalar,pero tiene signo asociado.Es útil i¡i.. ::::. signo de la corrientemedianteuna flecha.Por convención,se asociala direcc.:; ;¿ lá flecha con la del flujo de cargas positivas,2aun cuarrdo,en los metales, s.:;r 3: realidad las cargastlegativas las que se lnueven (figura 27-2),Las cargaspos,r.iva5, que son los iones que los electronesdejan atrás, están fijas en una red c¡is.¡li:.: ordenada(véasecapítulo21). Estaconvenciónarbitrariade la dirección de la co ';:en: no origina problemasreales;un flujo de cargaspositivas hacia la derechay u.r f'lui: de la misma cantidadde carga negativa hacia la izquierdarepresentanla:;risma corriente. No es posible, midiendo tan sólo la comiente,determinar el signcr,ie las cargasque se mueven (los portadores de carga). Entonces,por convención, L¡s co¡rientespes¡n en le dirección que seguirónlaecrrgls positives.

Las corrientesseindicancomosi semovieranlas cargaspositivas,aun cua:rrlo, iva, e n l o s conductores,l osportadoresdecarga(l osel ectrones)ti enencar ganega 27 -l U n acel eradorde i nvesti gaci ónpara el tra t am icr t ci: E J E M P Lo tumores, emite protonesa una tasa de 2.0 x lOl3 protones/s.¿Qué cc:ri::.:: repfesentaestehaz de protones?

La conienteesla cargapor segundoquelleva el haz,Esac SOLUCION: es 1= (númerode protones/s)(carga de un protón) x x (2.0 protones/s)(1.6 l0¡3 l0-te Clprotón) = 3.2x lO-óC/s- 3.2x l0-óA Densidad dc cor:rientc

FIGUR 27-3 Eláreadcunalambrcfi¡ito sc dividc cn á¡easdifcrcncialcs, dA, y sc dcfincla derrsidad de corriento,J, cn cualquicrpunto.[¿ dircccióndc dA es normala la de la difercncialdc rirca.

Con frecuenciaesnecesariollegara los detallesdel movimientode las cargas,,'';s ta¡ sólotenerun movimientogeneraldela carga.En esoscasosdebemostrabajai::: la densidadde corriente, J, que es la rapidezde flujo de cargapor unid:: Je zuperficie,guepasapor un á¡eainfinitesimal.Nótesequela rapidezde flujo p:=:: variarde un puntoa otro,y paradefinir la densidadde cor¡ientedebemostenere:: cuentala magnitudy direcciónlocalesdel flujo de la carga.A diferenciaie la coniente,queesun esca¡ar, la densidad decorriente est¿nvectoi,cuyas sc: unidades ampe¡espor metrocuadrado.La direcciónde J se definecomo la dei flujo ne:c ;e cargaspositivasen el elementoinfinitesimal de áreaqueseconsidera, ¿Cuáles la relaciónentredensidadde corrientey coniente?Esa reiacic:.s¿ determina en un conductor, dividiendosu áreafinila,A, a travésde la cuai;:s.: .:. coffiente,en áreasinfinitesimales, dA (figura27-3).Esteprocedimienlo se¿s:::-.:-: al queseguimoscuandodescribimos el flujo Ceun fluicio(capíruio1ó,.c .. :l-.: eléctrico(capftulo24). 2 Dcbcmos ¡cclnmnr ¡ tlcnjamín Frnnklin osla ligcra incomcxlidari.

o o o o o a a o o o o o a o o o o o o o o o o o o o o O

o o o a o I o o o a o o I o o o

7

O

790 Capitulo 27 m¡lcdelca

Codcnrcs

cléctdces

*@

cn

FIGURA 27{ I-os.clcctror¡cssc dcsplaz-ancn dirccción opucstaa la do Ia corricntc, /, dcrsidad dc corricntc, J, y cam¡rc clcctrico, E.

-'> --¡..

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*O ,a\

+

Fl .J

electJonesse mueven con una velocidad terminal cofistante,que llamaremosvelocidad de desplazamie[to,v¿,o de deriva. l,a ecuación(27-6)expresala relació¡ entre la velocidad de desplazamientoy la corriente. En el caso especial en el que rrosea igual a n,, la densidadde electroneslibres en el metal, la ecuáción (27-6) áa I : noquoA,

(27-8)

donde.4esel áreade la seccióntransversal de un alambremetálico. Podemosdespejarla velocidadde desplazarniento de la ecuaciórr(27-g) en ténninosde la corriente: I -d

n" qA

(27-e)

Las ecuaciones(27:8) y (27-9) son las relacionesque descamosentre la corrientey la velocidad de desplazamiento.Recuerde que la dirección de la velocidad de desplazamientode un electróntiene sentidocontrario a la di¡eccióndefinida de la densidadde cortiente,a causade la convenciónde los portadoresde cargapositiva. En la figura 27-6 indicamoslas relacionesentre el campo eléctricoextemo, E, la corriente,I la densidadde corriente,J, la velocidadde desplazamiento del elcctrón, v¿, / el movimienlo de los electrones.Para el caso del alambre,J - IlA. Según la ecuación (27 -9), tenemosque J : n" qvo, (21-t0) en la cual, J en realidades opuestoa la di¡ecciónde v¿,a causadel signo negativode Ia carga q(-e).

EJEM PLo 27 - 2 calcularla velocidad de desplazamiento, u¿,de los erect¡onesen un alambrede cobrede I mm de diámetro,queconduceunaco¡riente de 100mA. El cobretiene,máso menos,un electrónlibrepor átomo,disponible paratrarrspo ftat la carga,y su densi dades8.92g/ pesomolecula¡ es63.5 "mt,su g/mol. SOLUCION: El casoessemejante al que.seve en la figuta2T-6,calcularemosla velocidad,de desplazamiento conla ecuación(27 -g).un datoesla corriente,I y podemoscalcularA' nf , siendor - dl2, el radiodel alambre.sin embargo, debemos calcularnoa partirdela informaciónpamel cobre.como éstetienemás o menosun electrónlibre por átorno,la densidadde los electroneslibres,n, es idénticaa la densidadnuméricade átomosde cobre,n, La densidadatómicase deducede la densidaddel cobre,pc, - 8.92 glcmt,del númerode átomospor . mol, N¿,y del pesomoleculardel cobre,M - 63.5g/mol: N¡Pcu (6'02 x lo23álomos/rqolieuksx8.92d/cm3)(1 electrón) n : "n 63.5 {molér:rl6 M Átrrrir.ú - 8.5 x 1022electrones/cm3. quela corrientey la velocidadde desplazamiento Si suponemos sonconstantes en todala seccióndel alambre,Ia ecuación(21:9)da comoresultado I 100x l0-3 A :lo: aql t0¡lc/"]""r.ótt)"(óJ5 -.ntt t8^5* 1dt"b"il"*[Fxl6 " :9.4 x lO-a cm/s= 9.4x l0-6 m/s.

o o o o o o o o O o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o O

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ol ol ol ol ol ol

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3l OI

o o O o o o o o o o o o o o o o o O o o o o o o o o o o o a o o a o o o o o o o o o o

o

7-3

Rai*od¡

.+I

l-ICttRA 27J C\¡arxlo r¡na corricnlc cs cstablc, cs ¡gual cn todas las pafcs d. i¡1 corxlt¡clor, arm cr¡arrdovaría cl drc.adc ástc. Sin cmbargo, [a dcrsidad dc corric¡rtc y la vclcridarl dc.dcs¡rlazrrnirrrtovrn rrrcnorcs,cn las pnrtcsdcl corxlrrctorquc tcngm myor

árca dc sccci
La velocidad de desplazamientoes tan pequeña,tan sólo de 0.001 cm,/s,que el lector pensaráque córno es posible que pase una corriente medible. ¿Qué sucede cuandoaccionamosun interruptordoméstico?Clatamente,no tenemosque esperar horas para que los electrones se desplacen varios metros. Cuando se acciona el intemrptor,el campo eléctrico que influye sobre los electrones,para que se muevan cn el alambre,se estableceen esealambre,a velocidadesque se aproximana la de la luz. Los electrones libres están repartidos en el alambre, y todos ellos inician su movimiento en fonna instantárea,en respuestaa esecampo, tanto los que estánmás cerca del intemrptor, como los que están cerca del aparato eléctrico. Un efecto semejantese presentaen el flujo de un fluido. Si se deseacambiar de lugar el rociador cuandose riega el césped,se cierra el agua, se mueve el aspersor,y despuésse abre la llave del agua. Como la manguera está ya llena de agua, el rociador acciona de inmediato:la fuerza sobre el agua, en el extremo de la válvula, se transmite rápidamentepor la manguera,y el agua que está en el extremo del rociador fluye saliendo de é1,casi al momento de abrir la válvula. La corrientc y la conservación de la carga ¿En qué afecta la conservación de la carga a las corientes en los materiales?La conservaciónde la masa implica que, en un estadoestable,la rapidezcon la cual entra un fluido a un sistemade tuberíases la tapidezcon la cual sale de é1.Igualmente,la conservaciónde la carga conduce al principio de la conservación de la corriente. Paraflujo estable,en el cual las corrientesno cambian al pasodel tiempo, la corriente totalque entra a detenninadasecciólrdel conductores igual a la corrientelotal que salede esa sección.Asl, la corrientees igual en todos los lugaresa lo largo de un alambre,aun cuando cambie de área (figura 27-1). Debido a esto, la densidad de coffientees inversamenteproporcional al área.En otras palabras,si el alambre liene áreasde sección transversalAt y Az en dos puntos, respectivamente,entonces la conservaciónde la corriente implica que J¡.d1 : JÁ2, siendoJ¡ y J2,respectivamente lasdensidadesde corriente err esaspartes, que se suponen constantesen la sección transversaldel alambre. La densidadde los portadoresde carg ,y su carga,son fijas enun metal determinado.Asi, según la ecuación (27 -IO), si la densidadde corriente esinversamenteproporcional al área del conductor, también Io será la velocidad de Cesplazamiento. Un análogo conocido, a estecaso,se presentacuandose conduceun automóvil y se acerca a una parte de la carretera atestadaen la cual tres carriles convergenen uno. El movimiento en la secciónde tres carriles es desespe¡antemente l::to, pero una vez estandoen la parte de un carril, puede aumentat la velocidad.

2- -3 RESTSTENCIA li:; :,s r':sto que cuando se aplica un campo eléctrico a un conductor,pasa una ::=:::r:. Pccemos conside¡ar que la diferencia de potencial, Z, debida al campo :::*-.:,-. es .a fue:rte del movimiento. La cantidadde corriente que pasa por un :-:-":: ¡,-. :'¡:= dete¡rni¡ada diferencia de potencial en ese material, dependede las :.:: :i i¡s . gecmetriade éste.

Le corriente, al igual que h cart¡, s€ conserv¡.

7

792 Capítulo 27 m¡tcdele

Crr¡cntG

cléclrlc¡r.s c¡r

E .E

.,,1[ :-

FIGURA 27-8 Pa¡alos n¡atcrialcs óhrnicos,la lcy
La resistenciaeléctrica, R, de un material,es una medida de la facilidad ccn .: que fluye la carga dentro del material. Se define la resistenciaeléctricacomo :3 relación del voltaje (diferencia de potencial) a través del material a la corriente que Pasaporél:

/l= Definiciónde rcsistenci¡

V

T

(2 i t "

Las unidadesde resistenciason volts por ampere,pero se definió una unidad aparte, del SI, llamada el ohm (f,)), como la resistenciaa t¡avésde la cual pasauna coriente de I A cuandose aplica la diferenciade potencialde I V:

ro:IY Unidadesde resistencia

La ley de Oh m s e a p l i c a s i e mp r e q u e le res is t enc i¡ d e u n n r ¡ l e r i a l e s co n sta n te .

d"'iiu.rro, materiales, sistemáticamente, El primeroen estudiarla resistencia experimentales, consistentes fue GeorgSimonOlun.En 1826,publicósusresultados incluyendola mayor partede los metales,lo en que, para muchosrnateriales, resbtenciaes cotstantedcntro dc un amplio nargen de diferenciasde potencial. sellamalcyde Ohm,En realidadno esley alguna,sinoun enunciado Esteenunciado de los materiales. Cuandola resistencia deun empfricoacercadel comportamiento ma{erialesconstante entreunoslfmitesde diferenciade potencial, decimosqueel la tradicióndellamar"ley" a estarelaciónlineai materialesóhntico,Continuaremos y deescribirlacomo entrevoltajey coffienteparaesosmateriales, (27-12) V': I R, R, sesuponeitidependiente de V, de V.La resistettcia, en la cual,R esindependiente muestrala consecuencia de tenerRcotrstatrte. en estccoso.Lafigura2T-8 Resistorcs4 apreciable es un resistor,y es el Una porciónde materialóhmicode resistencia elementomáscomúnquefonna un circuitoeléctrico(figura27-9).Lo "apreciable" del algunosohlnses dependede la aplicación,pero en la práctica,una resistencia resistencia, R, con un potencialdeterminado, pequeña. Un resistorcondetenninada se V, enfiesusterminales,peffniteel pasode una comienteI - VlR.Los resistores los diagramaseléctricos,y se ccmediantellneasen zigzag,-.W\M-,en representan cotnocapacitores, mediatrtealatnbresconducnectanentresi y conotroselementos, Much:s tores que, por lo general,se suponende una resistenciadespreciable. tienenvaloresde kilohms(kQ o 103O), c c: en los circuitoseléctticos, resistores, megohrns(MQ o lOóO).

FIGURA 27-9 L.osrcs¡storcsticncn clavc tlc colorcspara indicar cl valor dc su rc,sistcncia.

4 N. dcl T': A qstosclcmontossc lcs sigtc llnrnando,con rnrrchafrcrtrcncia,"resrtenci&s'. Pcr¡ ::s:, ::: rcscryarc¡¡roscl ténnino r¿sisl¿¡rciopara la propicdad dc cstortrar cl paso dc la corricntc, y LLs¡rcnrs -¿j-: :' para nombrar al clcmento dc circr¡ito ql¡c frlscc rcsistcncia.

a I o o o I o I o I o I o o o o o o o o o o o o o o I o ¡

o o o o o o o I o o o o t o I o a

O

o o o o o o o o o o o o o o O o o o o ,o o o o o O

o o o o o o o o o o o o o o o o o o I

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I 9 F. 'Z o U

, , , ..,a L -"

"' " 1 r ld ca l | ,./ , .,- Normal '/ ;, l 0 n lr \I

- |(x) -5() : : I

FIGURA 27-10 Muchcx matcrialcs son no óhmicos. No sc apcgana la crrrva idcalizada - l/R /- f/. cmno mucstra csta crrva caracteristica dc rur diodo. l-a rcsistcncia sigue dcfinióndosc como VlI, pcrola lcy dc Ohm no sc aplica cn escxmatcrialcs,y su rcsistcncia varía. Nótasc quc la cscala cambia."Dirc¡ta" c "invcrsa" son las dirccciones dc la corricntc. [.os datos para esacllrva "ca¡aclcnstica"sc tomarondcl libro TheArt of Electronics (El artc dc la clcctrónica), dc Paul l{orowitz y Winficld I Iilt, CambridgcUniversity Prcs, 1989. Directa

,"epcndicntc

,,r.tr'' Itr\fI

I

I fr,f I Inversa

l-'-1

v,,r,,¡" ii¡

Hay rrruchosllraterialesno óluilicos, aquellos para los cuales el voltaje y la lineal de la ley de Ohm. La figura 27.10 muestra corrienteno obedecea la ecr.¡aciótr curvas de corricnte en funciórl de voltaje, ideal y caracteristica,de un diodo, dispositivoque transmitecon facilidad la comienteeléctricacuando el voltaje es positivo,pero que evita el pasode corriente(estoes,tiene una resistenciamuy alta) cuandoel voltaje es negativo.Los diodos se empleanen muchosaparatoseléctricos (figura27 -ll). Por ejemplo,se puedenemplearpara cargarun acumuladory evitar qu-ese descargue,sin necesidadde tener un interruptor. Resistividad y conductividad La resistenciade un alambreconductor,de determinadomaterial,puedevariar con la forma de dicho alambre. Veamos de nuevo un alambre uniforme. Podemosimaginarnosque la resistenciaal flujo de Ia cargaen un conductores el resultadode choques de los portadoresde carga en movimiento (los electrones)con los átomos de la red cristalina.Cuandose duplica la longitud del alambre,el númerode choquesaumenta al doble, de igual manera que la distanciaque recoffe un peatónes, en promedio, proporcionalal númerode vecesque chocancon otrospeatonesen una multitud. Asl, la resistenciade un conductor cs proporcional a su longitud, L. Al revés,si se duplica el áreade la seccióntransversalde un conductor,entoncespuedepasarpor él el doble de corriente,de igual fonna que saldráel doble de aguade una tina con dos drenajes idénticos,en comparacióncon la que salepor uno de ellos. Siempreque el potencial peffnanezca constante,si se duplica la corrientequieredecir que la resistenciabaja a la mitad. Por consiguiente,/.r rcsistencia de un conductor de deterntinado material es inversameilteproporciotrcl al órea, A, de su sección transversal. Combinaremosesosdos resultadosparadefinir la resistividad,p, de un material, mediantela ecuación5 e7 _13\

-D

I ' : n;

L

FIGURA 27-ll Diodos cn un radiador.o sumi dcro, dc cal or. Los di odos son dis¡rcsitivos quo pcmütcn cl paso de la corricnlcsólo cn una dirccción.

-C

5 Sc acc'slrunlrr¿a rrs¿r rur lnisnn sírnlx¡lo, p, para la rcsistivi
Deñniciónde la resistiridad

Rcr¿s-e'-..

o o o o o o o o o o a o o o

/ >'l Capitulo 27 Corrlcnrcs cléctdcns cn ñatedelcs

RTSISTIWDADITSI

Material Conductores Elementos Aluminio Plata Cobre Hiero T[ngsteno Platino

o tá:';:,'''o"o

Conductit,idad, o (Q'nt¡-t

Coef cien:e temPeraiurs d

2.82x l0-8 1 . 5 9x l 0 - 8 1 . 7 2x l }- E 1 0 . 0x . l 0 - E 5.6 x l0-8 1 0 , 6x l 0 - 8

3.55x 107 6.29x lQ1 5.81x 107 1.0x 107 1.8x 107 1.0x l 0?

0.0039 0.0038 0.0039 0.0050 0.0045 0.0039

100x l0-E 44 x l0-E 7 x l0-8

0.1 x 107 0.23x 107 |,4 x 107

Scnlico¡lductorcs Carbón(grafito) Germanio(puro) Silicio (puro)

0.0004 0.00001 0.ü)2

3.5 x l0-s 0.46 640

2.9 x l}a 2.2 1.6x l 0-3

Aisladores Vidrio Hule de neopreno Teflón

l0ro a ¡gr.r l0e l0ro

l 0-r4 I0- e

Aleaciones Nicromo Manganina Lrtó¡¡

L¡ re¡ietivid¡d eesolo propieded del tipo dc metcrial, mientraequc le rrsistenci¡ dependetento del tipo-de m¡te¡{¡l como de su form¡.

y

CONDUC,IIYIDADI'-S

- 0.0005 - 0.048 - 0.075

a l 0-ro

l 0- r4

con estadefinición,,y conla dependencia de R respect o a Ly a.4,queacabamos de establecer, p no dependede las dimensiones del conductor, sino ,¿to ¿"t tipo del material.Las unidadesde Ia resistividadson ohm-metro(e,m): en Ia rabla 27-2 apa¡ecenvalorescaracterfsticos para diversosmateriales.La ecuación(27-13)se formulanormalmente comosigue: ^L n:pi EI recfprocode la resistividades la conductividad, o:ó I

Defrniciónde l¡ conductiüd¡d

l)

(27-ts)

Los valores caracterfsticosde la conductividad aparecen enlatabla2T-2.

Podernos escribirla ecuación(27-12)en términosde resistividady conductividad: V: IR

= nLTt: nt|; VI pÁ' l:

Recordemosque vlL es tarrsólo la magnitud,E, del campoeléctricoaplicadoal rnaterial,y queIIA esla magnitudde la densidadde corrienü,J. como las cargasse muevenen direccióndel campoeléctrico,encontramos, por consiguiente, que Relación entr.ecampo eléctricoy densidadde cotriente

E= pJ. 6 No sc dcbc confr¡r¡dircon q dcrrsidadsr¡rcrficial dc carga.

(27-16,

O

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o I

o o o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o !

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

,)

En forma equivalente, de acuerdo con la definición de conductividad, ecuación (27-15),tenemosque

Z7-3

Rcsistmcia

(27-t7)

J:oE.

Las ecuaciones (27 -16) y (27 -17) son resultadosgenerales,y no se limiüan a materialesóhmicos, para los cuales p y o no varían con V o con E' Las resistividadesy conductividadesde los materialesaparecenenlatabla2T -2, y varían entre muchos órdenesde magnitud. L,a conductividad de los metales es un iactor de l02r mayor que la de un buen aislador, como el teflón. El cobre y Ia plata tienenconductividadesmuy altas, pero el costo de la plata evita su uso en alambres exceptoen emergencias,como en EstadosUnidos, durantela Segunda conductores, El aluminio se empleaen conductoresgrandes'Peroya no se emplea Mundial. Guerta Esto se debe a que los óxidos de aluminio evitan la domésticos. circuitos en los eléctricos;hay una gran densidadde corriente en las buenos contactos de formación partesen donde el mal contacto reduce el flujo de corriente hacia canalesde tamaño iitnitudo. De ello resulta el sobrecalenamientoy el peligro de incendios. y carnpo C a l c u l el a d e n si dadde corri ente,resi stenci a E J E M pL O 2 7 -3 eléctricopara el alambrede cobre del ejemplo 27-2,si tiene l0 m de longitud. SOLUCION:Segúnel ejemplo 27-2,conocemosque el alambrelleva una corriente de IOOmA. Tiene un diámetro d = I mm, de modo que su sección transversal es A - r(Id)2. Entonces,podemos calcular la densidadde corriente desconocida a partir de la definición de J:

I-:-!ryI-= t : A

A : . 1.3x losA7m 2.

2 1 0 .5x l 0 -' m )'

Si de la tabla2T-2 tomamos el valor de la resistividaddel cobre, podemos emplearla ecuaciólr(27-14) paracalcularla resistencia: R =' l '

IA

(1 .7 2x l 0 -' r O' prl xl 0 r¡) -- = v¿\¿' n (0 .5 x tottr/1))

Por últirno, dada la resistividad,podemos calcular el carnpo eléctrico, con la ecuación(27-16): p J :(1 .7 2 x l 0 -8 O rl x l .3 x 105 A l mT¡:2.2 x l 0- ' V /t. Nótese que tanto la densidad de corriente como el campo eléctrico son independientesde la longitud del conductor. Sin embargo, el voltaje necesariopafa producirambos,sí dependede esalongitud. Í,:

Depcndenc ia de la resistividad respecto a la temperatura E:. aigunosmateriales,sus resistividadestienen una fuerte dependenciade la tempe=:::n:, la del cobre se ve en la figura 2'l-12. Podemosrepresentarla dependencia ::::;,;:a mediantela siguienteaproximaciórrlineal, cuya exactitudes suficientePara E - : : : : . " . : ¡ ar t e d e l o s fi n e s : d9

p = poll + a(T - To)].

(27-l 8)

;4 l. : : - - : : : r : ::: a e s e c o e fc i c n te d e l e n t peraturaparal aresi sti vi dad,ypsesl a t r:j r',-¡.i j s .r :e:rpeieturade ¡eferencia,G, QUe,normalmente,es20oC'l,os valores - - t : ; ¿ : 3:3 re re :i i a ta b l a T ' i -? ,p a ra T o :20oC ,Lasresi sti vi dadesdel atnayor .Eo - : . l3 ;:s =e:,3:i:i3:ian con ]a temperatura,como en la figura 27-12, porque, :¿:e Tcrn;t-: -¡"¡:"a¡,¿¡ e; :e:i;l;1.-s ge;eraies. ia ma¡'or tempefaturaprovoca mayores vibraciones eficacia el movimiento vez, con mayor impide :r ::':r ei: ,c= r:c;:s ¿e .:-. ;e,:es.lo c:ar. a su FIGURA27-12Rc-s¡'-,r-¿: ;r c om o ft¡ nc i ti ¡ l C c l : :¡ r :r ¡ que se .ie-<;^azan. de los ele¡t¡cile-<

a

:96

Crp¡trr¡ó 27 mrtcrlelt:s

(lorricntcs

clóc(r¡c&{ cn

o o o o o o o o

Sepuedenfabricartermómetroshaciendouso de la dependencia de la resistividad cotl respectoa la temparaturade detemrinados materialesestables(figura 21-13).Por ejemplo,la resistenciadel platino,que tierreun al'topunto de fusiólr,y l)o se oxida e¡r el aire, es la base de r¡n tennómetro patrón secundarioa altas temperaturas.Para temperaturasmayores que '1000oC,la resistividad del piatino ya no se representa mediante la ecuación (27-18), y se enrplea una fónnula modificada en la cual intervienen términos en,el cuadrado y el cubo de (f - f0), con sus respectivos coeficientes.

O

27 -4 C al cul e Ia resi stenci ade una bobi na de al ambrede E J E M PL o p l a ti n od e 0 .5 mm de di árnetroy 20 nr de l ongi tud,a 20oC .Tarnbi én,cal culela resistenciaa l000oC, l'IGURA 27-13 La rosis{ividaddc divcrsos tr¡.alcri¡lcsvnria lanto coll ln tom¡rcralrtrn, r¡rrcsc pucdcnrrsar¡ro sólo pnrarncdirla, sirro conro partcs dc controlcs olóclricos, co¡llo cslc tcn¡rost:rlo.

SOLUCION:Se nos pregutrtala resistencia,no la resistividad,pero la ecuación entre esasdos cantidadeses la (27-14). Así, podemosdetenninar lh resistenciaa 2OoCa partir de la resistividad a 20"C en la tabla 27 -2: T

Rzo"c: I

'

: (10.6x l 0-8 Q' r¡{)

;LXoJ

A

20 tl

:i l Q.

"-lo=t-''1¡'

l0O0oC,combinamoslaecuación (27-I4),R: pLl A, Paracalcularlaresistenciaa quedéla resistencia ecuacióll comofunciónde conla (27-18),paraoblenerutra conductores: paralnateriales la temperatura, /t:/io[l

+a(7-7i)].

(27 te)

En la tabla27-2, obtcnetnoscl coeficicl¡tctón¡lico pnrncl platino,y vcrlrosquc

= (l I O)[t + (0,0039"Q-tX1000"CI R,ooo". - 20"8)].; 529, en la cual hemos empleado ft - 20"C. La resistenciaa esa temperaturaes unas 5 vecesmayor que a la temperaturaambiente.

'27-4 MoDELo DE ELEcTRoNEsLIBREspARA RESISTTYIDAD Paul Drude,en 1900,propusoun modelo clásicosencillo,conocidocomo modelo de electrón libre, o modelo de Drude, y nos puedeayudara comprenderla le¡' de Ohrn. El modelo describe,en términosclásicos,la relaciónentreel conceptomacroscópico de resistividaden los metales,y los parámettosmicroscópicostalescomo la velocid¿d de desplazamientode los portadoresde carga.Este modelo se propuso unos 25 años bien establecidacomo antésde que la mecánicacuánticaestuvieralo suficientemente para permitir una explicación más conecta. Como no considerael comportamiento cuántico,el modelo del electrónlibre, en el mejor de los casos,sólo puededescribir determinadaspropiedadescualitativasde la resistividad,y tiene deficienciasfundamentales. Sin embargo, vale la pena que veamos este modelo por dos razones: la primera, que el modelo nos permite concentrarnosen el concepto de la tesistividad. La segunda,que el modelo nos da un ejemplo de cómo se lleva a cabo la formación de un modelo en cienciasffsicas, y cómo podemos decir que el modelo tiene éxito o falla. Iniciaremos con la idea de que los sólidos contienen electrones"libres", que se puedenmover dentro del matetial y transportarcarga.La densidadde los electrones libres, n, dependedel material, y, como veremos, es tesponsablede las diferencias entre conductores,aisladoresy selniconductores,que veremosen la sección 27-5'En los metales,el número de electronesdébilmenteunidos por átolno (son los electrones

a

t

t

Lt

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

¡o

lo to lo lo to lo lo lo lo lo lo lo lo lo lo o o o o ,o o o O o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a

quese comportan como si estuvieranlibres) estádentro de los limites 1.0y 1.3,pero puedeser hasta 3.5, como en el caso del aluminio. El modelo postula que los electro¡reslibres forman un gas de paftículas independientesa la temperatura ?n cuando se produce,una corriente, los electrones se acelerandebido a un campo eléctrico aplicado, pero,los choquescon los átomos, o los ionesque forrnan la red cristalina del sólido, Ios desaceleran.En sentido g"n"rul, hay fuerzasde resistenciaque actúan sobre los electrones(figura 27-14).1_afuetza deresistenciamás sencilla es la proporcionala la velocidadde l,oselectrones,de modo quela segundaley de Newton para el movimiento del electrón es,parael componente delmovimientoparaleloal campo aplicado, n ta :

274

Mctdelo

dc clccrrcrc

LÉs

¡a

ÑTD¡'

Las redes cristalinas en los solid¡* se descri bi eron en el crpitul o 31.

-e E - (c onstante)u,

en la cual ¡r¡ es la masa del electrón. La conslantedebe tene¡ dimensiones de masa/tiernpo, y la representa¡nos mediantern/¡ siendo¡una cantidadcon dimensionesde tiernpo.Es razonableigualar rcon el tiempo promedio entre choques,porque son los choqueslos que impiden el movimiento de los electrones.T La aceleración disrninuyea cero cuando la velocidadalcanzala velocidadde desplazamiento,u¿. Cuandola aceleraciólles cero, ma : -eE - (mlr)u¿= 0, o sea, eL - i

(27-20)

Ld

El signomenosindica que el sentidode la velocidadde desplazamiento es contrario al del campo eléctrico,que es Io adecuadopara ros portadoresde carga negativa. cuando esta ecuación se introduce en ra (27-lo), para la densidadde corriente, obtenemos J : li. . ' Lo: - u,

( t t . e) tE ,t -:-;

- n - c zt

U

(27-2t)

Una comparación con la ecuación (27 -17) da como resultado

o- '

n^e2 t m

(27-22)

parala conductividad.La infonnaciónacercadel sentido,que expresael signomenos et ria ec r ¡ ac ió ,(? 7 -2 1),' o i rn p o rtae n e l c á l cul o ya sea de l aconducti vi dad o l a,. r es is t iv idacqu l, e s o n c a n ti d a d e p s o s i ti v a s E . n fonna equi val ente, Ia resi sti vi dad,pl/ o, c lebt r ias e r ,tl

')

n ce- "t

(27-23)

L¿scantidadese y m son independientesdel tipo de material. El tiempo promedio cntrecolisiones puede expresarseen términos dercamino libre promeáio, )", y de la velocida.d ptomedio, Vo--, de los electronesen el "gas" de elechóneslibres, mediante laec uac ión ( 19-5 1 ):

1 up-Hemosempleadoel modelodel electrónlibre parapredecirla tesistividaddeun sólidoen términosde los parámetros'microscópicos áel sólido. para los carnpos eléctricos normales,ningunade las cantidades de la ecuación(27-23)dependedL E y' por lo tanto,la resistividad,o conductividad,es constante.Con esteargumento Drudeestablecióla baseatómicade la ley de ohm, y también,en forma independiente, HendrikAntoonLorentz,en1900. ?Unanálisisrigurosoconfirmaestcrcst¡ltado.VéascD. E.Tillcy,AnericanJournalofphysics,44,lgT6, p . -5 9 7 .

F IC IIR A 27- 14 F .l agr r a crr c l c a r, r1 * nscntcja il lt¡s cltrlroncs rlcl l¡nicl_. Í: c l c c l r r l tt's l i l r r ¡ s ,tn* l ¡ c orri c l : : : . . ¡ : : i Iil a¡irra corn: crrc,,slaal)¡lj(), Jrro ljJ;r: .i:¿ v t:l oc i r l ar l l c nl r i r ur l , <¡ r r cc l t l c ' s c l a i l ; -; ¡: r: : : la vclocirlad dc dcs¡rlazarrucnto. d,c.l::i: ¡ quc las rocas y Ia trayccloria cn ¿€;¡¡ s. oponon al ¡novimicnto.

o 798 Capituló 2Z Qintcntcs matcrlalA

clécirtcas cn

E J E M PL O 27 -S ¿Qué predi ceel model o del el ectrónl i b:e ac::- - *, tiempo de colisión de los electrcnes portadofes de comiente en el ccbre. s: ,¡ resistividaddel cobre es 1.7 x lO-EQ.m? Tiene usted los parámetrosCei e.'.:;-:":

27-2. SOLUCION:[,a relación entre los parámetrosmicroscópicos,como resisrirt:=: y tiempo entre colisiones, en el modelo del electrón libre, apareceen la t-:g';r-= (27-23). En el ejemplo2T-2 calculamosque la densidadnumérica de los elec:cnes portadores de corriente es n, - 8.5 x 1022electrones/cln3- 8.5 x li¡ electrones/m3.Según la ecuación (27-23), ,n

0.91 x l 0-30 kg

r - -;nn('l)

(8.5x 1026 * tO'trg¡r11.7x lOiEe , rr, electrones/m,)(l.O =2.4 x l0-ra s.

Dependencia libres

respecto a la temperatufa,

en el modclo de electrones

Segúrila teorfacinéticade los gases,que se.describióen el capltulo 19, el promedio del cuadradode la velocidad,que es la velocidadnns, o rnfz cuadradamedia, está expresadopor la etuáción (19-33),y es U¡rrurrr= l)r,r,. :

ltt.i .-"

l*

vtn

(27 24)

'

de Boltzmann.E Podemosemplearla ecuación(27-24),de en la cualkes la constante que r para promedio, ver usaresteresultado en la la velocidad - Nuy*n,y después (27 23): la ecuaciónde la résistividad, m üpm

ml 'l i =- ;

- :- - - - .- ^.- ne( ' T

fl ue'

/.

mt

=- t; tl ,d'

lkf

A\

l--

(2't,2s\

m

de la Como el camino libre medio es, según la teoría cinética,independi"ente que proporel modelodel electrónlibrepredice /a resisfívidaddebesitr temperatura, cionala/-f. Podemosvet por quéla resistividaddebeaumentarcon la temperafura, si nosimaginamosunuanaloglaen la cualuna personapasapor entreunamultitud. de la multitudsemuevencon másviveza,esmásdiffcil pasatentre Si las personas La resistividadaumentacon la tempeellas,porquelos choquessonmásfrecuentes. ratura,enLl modelodel electrónlibre,porquelascolisionessonmásfrecuentes. La ecuación(27-24)obtienela velocidadrms de un electrónen un metala la ambiente(293K): temperatura

v rms

Fkr vm

m t-:

V

-.--r-::j l l :

9- .-ll x l0 -' ' k g

1.2 x l gs m/s.

La masa pequeñade los electronestiene un gran efecto en estecaso.Como sabemos, por nuestro estudio de la teorla cinética (capftulo l9), la velocidad promedio de un electrón, en sf misma, es cero) Porque todas las direcciones del movimiento tienen igual probabilidad, a pesar del hecho de que el electrón se mueva a 120 hn/s. l¡ velocidad de desplazamientoque se calculó en el ejemplo 27 -2, cs l0t0 vecesntenar que la velocidad térmica que acabamos de calcular. El electrón adopta sólo ul componentede velocidad de desplazamientomuy pequeño,en dirección contrariaa la del campo eléctrico, entre cada choque. 8Hablando prornulio. Encslccasonoinfiu¡c cl ;:-,i rmsnoc,slavolocidad lavclocidad e,striciamcntc, dc rcfi¡nmicnto.

O

a o o o o o o o o o o o o o I

o o o o o o o o o o o o o o O

o o o o o oi ol ol ol ol ol ol ol ol

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o t

o a o o

EJ E M PLo 2 7 - 6 F^el ejemplo2T-5,vimos que el tiempopromedioentre choques,para los electronesdel cobre, es 2.4 x, lO-¡a s, según el modelo del electrón libre. Calcule un valor aptoxirriado de la ttayectoria libte media a temperaturaambiente.

SOLUCION:El camino libre medio se obtiene, aproximadamente,mediante,l,: u*r, Hablamos calculado que u'* es 1.2 x lO5ny's a temperatura ambiente. Por lo tanto, ):

t),^ ,r = (l 2 x l } s m l g )e .4 x l 0-ra f):2.g

x l 0-e m.

Nóteseque estevalot es equivale tan sólo a pocos espaciosinteratómicos(véase problema38). El fracaso del modelo de electrones librcs El modelo de electroneslibres nos ayuda a comptendet la conducción de cargaen los Sin embargo,si vemos con más detenimientolas prediccionesdel modelo, rnateriales. y las compararnoscon resulüadosexperimentales,encontratemosdisctepanciasimportantes.Por ejemplo, la velocidad térmica aleatoriade los electroneses más de l0 vecesmayor quelo que predice el modelo para el cobre a temperaturaambiente.l,os valotesexperimentalespara la velocidadmedia son escencialmente independientes de la temparatura,y no tienen la dependenciade forma ,[T que predice el modelo. Además,el camino libre medio real es mucho mayor que el esperado,y tiene una dependenciacon respectoa la temperaturacon la forma I-1. Aunque el modelo del eiectrón libre es correcto cualitativamente en muchos aspectos,no se puede toma¡ al pie de la letra. Un modelo cor¡ecto de conducción eléctricarequiere el empleo de la mecá¡ica cuántica.Los electronesde conducción nose comportancomo un gas clásico de electronessin interacción.Obedecenuna ley de distribución de velocidadesbasadaen la fisica cuántica, y el movimiento de los electronesdependede esos conceptoscuánticos.I¿ física cuántica nos pide lata¡ a los electronescomo si fueran 6¡dac que se dispersandesdela estructutade red del material.Predice que, €n un cristal perfectamenteordenado, sin impurezas,a una temperatura de cero, no habría resistencia alflujo de electrones, y la conductividad sería infnita. Las conductividades finitas se presentandebido a los efectos de las impurezasy a las vibraciones térmicasde los átomos de la red, a temperaturasfinitas. A altastemperaturas,la resistividad al flujo de los electronesestáoriginada, principalmente,por las vibraciones térmicas.A bajas temperaturas,la resistividadse debe a que los electronesse dispersandebido a las impurezas. Hay grande evidencia que las ideas de la flsica cuántica son correclas.Predice que el camino libre medio debe ser unas dos órdenesde magnitud mayor que la predicciónclásica,y que el tiempo promedioentrechoquesdebesermás o menosun o¡dende magnitud más largo. Como la velocidad promedio, upn-n- ,!r, esperamos entoncesque u*rm seamás o menos un orden de magnitud mayor que lo predicho por lateorlaclásica simple. Todas esasprediccionescuánticas,al igual que la predicción dela resistenciamisma, eslán respaldadaspor mediciones experimentales.

' 27 -5 Arsu.DoRES,coNDUcroREs Y SEMICONDUCTORES Losmaterialestienenenortneslfmites de facilidadde conducciónde la electricidad.Un buenconductorpodrfatenerunaresistividadl0-8 O . m; un buenaislador, varfaentre103a l0-5 O.m,y decielOraQ.m.[-a ¡esistividad de los semiconductores

27-5

Alsladorc,

oo&úG¡ 54k!trir!--r

a a a o o o

800 capítulo ?7 |utcflalcs

Corf¡cnt6 :

clóctr¡cae c¡r

I-IGURA 27-15 Diagrama lasdc rui clcct¡ón cn tul sólido; ¡ro ticnc crl cncnta la c.structuracristalina. I-¡r fisic¡ cliisict prulicc u¡l contir¡r¡o
Cr¡adro ¡u¡ncnt¡ldo: tüvclcs discrctos de cncrgía

O

I I L,rcrsín t"

lJan(líl Dcnn¡lr(¡r (nivclcsdiscrctos,: est-rccllamcn(c cspaciados)

FIGURA 27-16 Diagrama
:

Barxla prolúbida (sirrnivclcs)

: I3nndapcrmitirla (nivclcsdiscrctos,: csucclramcnle

Cr¡¿d¡o aumcnt,ado

aspnciaclos)

:

pendemucho de la temperafura.Una explicacióncuantitativaadecuadade la resistividad de todos ios materialesnecesitade la física cuántica.En esta sección nos asomaremosa la fÍsica cuánticapara describir las propiedadesctfticas que distinguen Ios conductores,aisladoresy semiconductores.e En flsica clásica,la energíade un electrónetr un metal puede tener cualquier valor; decimos que los valores de energía forman un continuo. En contfaste, una descripción cuántica de los electronesen los metales indica que los valores posibles de energfa de los electtonesconfinados en un metal estáncuantizados;esto es, las energlasposibles tienen valores disctetos. En otras palabras,un electrón no puede tenet cualquier valot de energfa, de modo muy semejantea como las frecuenciasde las ondas estacionariasen una cuerda no pueden tener cualquier valor, sino sólo un conjunto de valores discretos.En una muestra de material cuyo tamaño sea gfande en comparación con los tamaños atómicos, de 10-10m, esos valofes de enetgla son tan cercanos entre sl, que parecen ser continuos, de modo semejante a como no podemos distinguir los puntos en una fotogtafía en el periódico desde una gran distancia. La figuta 27-15 es un diagrama de energfa que muestfa los niveles permitidos. Es importantetener en mente que estediagramasólo muestra los niveles pos¡blesde energía.No necesariamentequiere decir que tengamoselectronesen cada uno de esosniveles. Cuando un conjunto de átomos forma una red regular, los valores energéticos posibles de los electronesse modifican todavía tnás. Las energfaspermitidas de un electrónsiguelrsierrdodiscretas,peroen lugar de haberuna separacióndiminuta entre los niveles vecinos, hay separaciones de energía, o bandas prohibidas, que son grandesregionesprohibidasal electrón.Las regionesen las que los niveles de energ:: estánlo suficientementecercanos,se llaman bandaspermitidas deniveles de energia (figura 27-16). Las bandasprohibidasson bastantegrandesen la escalade la fisic: 9 Encont¡a¡cmosrruis dctallcs cn cl capítulo 41, cn cl cual dc.scribircmosla fisica cu.intica.

o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o a o a O I

atómica,de magnitudes de electrón-volts.De nuevo, el especificarlas bandascomo lo hémbs'hecho iro especifica, por sl mismo; qué niveles tienen electrones,estén ocupadosono los niveles de energla.Las bandassólo especificanlos valoresposibles de energíadel electrón. Segúrrla físicr cuárrtica, cuando mucho hay dos electones en determinadottivel de energía. Esta propiedad, propuesta por Wolfgang Pauli en 1925, que se llama principio de exclusión de Páuli) no tiene contrapaflida en la fisica clásica,y desempeñauri papel crucial para detbrminar las propiedadesde los matetiales. Pensemos en un sólido. Hay muchos electrones"libres"; y en un estado de equilibrio de ese material,llenan los niveles de energía más bajos disponibles,hasta llegar a dos en cadanivel. Cuando todos los electronesse colocan en el nivel mlnimo posible de energfa,quedan dos casospoiibles. En el primero, el nivel mayor que se va a llenar quedaen algún lugar enmedio de una banda; en el segundo,los electronesllenan tan sólomás bandas,por completo. Esta descripciónsuponeque el material se encuentra a una temperaturasuficientementebaja como para que el electrón no pueda "saltar" a losnivelesde mayor energía,debido a efectostérmicos. Supongamosahora que agregamosalgo de energía a los electroneslibres, por ejemplo,imponiendo un campo eléctrico. Los electronesen los niveles menoresno puedenaceptaresaenergía,porqueno se puedenmover a un nivel mayor de energla que ya esté lleno. Los únicos electronesque puedenaceptarenergíason los que quedanen los niveles superiores,y en ese caso,sólo si hay niveles cercanosa los colr una bandaparcialrnentellena son concualesse puedanmover. Los m.ateriales ductores.Cuando la capa superiorde sus electronesse mueve librementeen los nivelesvacíos de energíainmediatamentearriba, hay una corriente.Se dice que los electronesque saltande un nivel inferior a uno superior, eslánexcitados.Laestructura en bandas de enetgla de los conductoresr se muestra en la figura 27-17a. I'os conductoresse caracterizan por tener clectrones sólo en bandasparcialntetúe llenas. Si los electronesde mayor energiaen un material llenan por completo una banda, entoncesun campo eléctrico pequeñono les dará la suficiente energfacomo para que pasenla gran bandaprohibida y lleguena la siguientebandailrferior,vacía.En ese caso,tenetnosun aislador (figura 27-l7b). Un ejemplo de un buen aisladores el diamante,que es una fornra del carbono,cuya bandaprohibidaes 6 eV. energíallenan una banda,,la En los senriconductores, los electrones.de¡r-rayor bandade valerrcia.cuarldoT= O.tal colno en los aisladores.Pero,a diferenciade los

I l Errcrgia I

I

I i

coo&¡rlqo sm.i{onó¡f-:ñ

r

tlanrla prolribicta

Randa cornplclanlcntc llcm

La:.':lCiCI

Alsladoro,

Band¿ co¡nplctamcnlc vacía

lJanda parcialtncnto llcn a . Banda prohibida (sin nivclcs clcctnírricos)

27-5

Banda complctarncnlc llcna

( h t4 ,r ,O,,O,

FIGURA 27-17 (a) f,os conductort:slic¡l
a o o a o o o o

)cIIue (JrIUue t{ri

802 Capíhrlo 27 Corrlcntcs clóctrlcas cn matcddcs

Banda.dc condrKción

*

FIGURA 27-18 (a) Pnr6 tc¡npcratrra ccro y sin cam¡n clcctrico cxtcmo, los scmico¡xluctorcs sólo ticncn una b¡nda prolribida do cncrgín muy ttngosta, intcrmc¡liaontrcunn complolamcntcllona,y ln sigrricntosu¡rcrior,rrn tranda complctamcntc vacia. (b) Un cam¡ro clcctrico pcql¡c¡lo, 8,,, o tcm¡rcratrrras finitas, bastanpara impartir B los clcctroncs la cnorgín suficicnto pflrs snlv¡r la bnnda prohibida, dcjnnclohtrc¡os cn la bnnda dc valcncia, y clcctroncs do' co¡rdrrcciónon la banda do conducción, quc antcs c"stabavacía.

Tipo n

Enlacc clc.lr(irico covalcntc

Q

Atomo dc Si (o Cc), dc valcncia4

r^\ ()

Atomo (lc ¡rrsón¡co, ilnpttrczo,,lcvalcncia.5

O

Elc¡tróndonador

TiPoP

6: \ v (b)

C

A t c m r i r e . r . : ¡ .i í nPtlr za , oc vaich-t3 _i Hr.xcoacc;lcr

FIGURA 27-19 l-¡'i scr,:ccnd'.rtcr (a) ti¡n t¡, y O) tipop, sc c¡cánnl do¡ar Ia rcd cristalinaorigi-naic,.n a'c;cs quc lc::gr. rcspcctivamcnte, rrús o nrnos elclrc:-.csCc valcncia, quc los átomcs r:si¡¡tcs dc la rcd.

Bandn prolú- -_ bida

O

Bandadc valcncia t.r'i: I ,, i:J r .iil.¡ ;

(a)

Para,Q,, - 0 y lcnrpcrahtrsccro

(b)

tt,',

, '.i r

;," I iil.l;,: . ]j,

Para Q., * O o tcmpcralr¡rafinila

aisladores,los iemiconductoies tienen pequeñasbat¡dasde energfaprohibidas errtre una bandapennitiday la siguiente,labanddde conducción(figuta 27-L8a),Debido a que la banda de energla es tan angosta, un campo eléctrico pequeño, o una temperaturafinita, petmitirá que algünoselectronessalven la bandaptohibida, y con ello, conduzcanla electricidad(figura 27- l8b). De estemodo, hay un campo eléctrico mfnimo bajo cuya influenciaun materialpasade ser aisladora conductor.El silicio y el germanio tienen bandasptohibidas de l. I eV y 0.7 eV, respectivamente,y son semiconductores.Para los semiconductores,un aumento de telnperaturaimpattirá a una fracciónde los electronesla suficienteenergiaténnica para que salvenla separación.Paraun conductorotdinario,un aumentode temperatutaaumentala resistividad, porque los átomos,.queson obstáculosal flujo de electrones,vibran con más vigor. ,Un aumerrtode temperaturaen un semiconductorperfnite que pasenmás electronespor la banda vacía, y asl disnúnuyela resistividad. Cuandoun electrónse encuentraen una banclade valencia de un semiconductot, cruza la separaciónde energlay conducela electricidad,deja tras sl lo que se llama hueco.,Otros electronesen la capa de valencia cercanasa la parte superior de los niveles de energlapuedenpasar a estehueco, dejar tras sf sus propios huecos,haci r los cualeshabrá otros electronesmás que se puedan mover, y asl sucesivamente,Ei hueco se comporta como una carga positiva que conduce la electricidad por derecho propio, como portador de carga positiva. Un electrón excitado desde la banda de valencia hasta la,bandade conducción, es, de estetnodo, doblemente efectivo para conducir la electricidad,en los semiconductores. Uno de los priucipales avancesen la tecnologfa de materiales ha sido nuestra capacidad de producir nuevos semiconductores.Los materiales semiconductores cornpuestos,como el arseniuro de galio, se llaman serniconductorcsh[brid')s, en contraposición a los semiconductoreseletnentalesintrínseco.t,como el silici r y el germanio, Hay otros semiconductores especiales que se fabtican introdur iendo impurezas,pequeñascantidadesde diversoselementos,en las redes.Por ejem¡,1o,un átomo en el grupo qufmico del fósforo, arsénicoy antimonio, puede rempiazar uno de los átomos de silicio en una red, sin afect¿dademasiado.Sin embargo, cada uno de esosátomos de impurezastiene un electrótrtnás en su capa de valencia que los que tiene uno de silicio. Este electrón adicional, pata el cual no hay lugar en la capa de valencia, toma su lugar en la banda de conducción, y puede conducir la electric:e: (figura 2':.-l9a).Un semiconducto¡con impurezasde estetipo, se llama semicc:'lc::tor tipo n, y los electronesadicionalesse llaman donadores, Se dice que el in3,:e:' semiconductor,el'silicio en estecaso,estádopadocolt los átomosde ilnpureza. 'Los átomos y los elementosdel grupo del boto, aluminio y galio t:er::. eiectrónde valenciamenosque los que tiene el silicio. Si, como en la figura l-- - i:

o o o o O

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o .o o o o o o o o o o o o o t o o o o o o o o ü

se agregauno de estos átomos a una red de silicio, en forma de impureza, habrá un electrón menos de los necesatios para formar un enlace que sujete a la red. Ese electronlo deben ceder los electronesde la banda de valencia de la red del material, y se crean huecos en esa banda. Esos huecos funcionan como portadotes de carga positiva. Los átomos de impureza se llaman accptores, y un semiconductor con imputezasde ese tipo se llama semiconductor tipo p. Muchos aparatoselectrónicos,como el diodo que mencionamosantes,dependen muchode las propiedadesde los semiconductores.Es probableque el dispositivo más conocidode ellos seael transistor,que puedeamplificar las señaleselectrónicas.

i !' r 27-6 Su¡rcrcn*crc

*27 -6 suPERcoNDUCToRES En 19l l, H. Kammerlingh Onnes,quien en 1908habíasido el ptimero en producir lo suficientementebajas como para licuar al helio, encontróque el temperatutas lnefcuriopierde toda su resistencia,en forma abrupta,a una temperotura crítica,7,, de4.1 K (figura 27-20). Este estadode cosaspersistea temperaturasmenoresque f", Cuandoun materialpresentaresistenciaceroa detenninadatemperaturacritica,se le llatnasuperconducÍor.Las medicionesdetalladasen un anillo superconductoren el cualse habia inducido una corriente,indicaron que, despuésde un año, no había habidodisminuciónobservablede la corriente.De acuerdocon las mediciones,fue posiblededucirque, si hubieraalgunadisminuciónresistivade la corriente,debería sucederen un petiodo ¡cuandomenosde l0e años! La perspetivade tener unacorrie nte elóctrica que durc para sienlpre esexcitante. Itnplica,entreotrascosas,la transmisiónde electricidada poco costo.El fenómeno de la superconductividad no se puedeinterpretarcomo una extensiónde la conductividadordinaria. La fonna abruptaerrla que desaparecela resistencia,por completo, sugiereque a [, un conduct-or ordinariosufreuna transicióna un estadode Ia materia totalmentedistinto,de modo semejantea como el agua líquida se transformaen un cristal(hielo), a 273 K. En I 957, John Bardeen,Leon Cooper y Robert Schrieffer explicaron satisfactoriamentelafase superconductora mediante física cuántica, en la forma que ahora seconocecomo teoria BCS. Su explicación postula que hay paresde electronesque se muevenen forma coordinadapor un superconductor,formando lo que sellamapares de Cooper. Esos pares están bien correlacionados,aun si cada electrón del par se encuentramuy alejado. Dos electroneslibres se repeleránentre sÍ debido a la fuerza de Coulomb. Sin embargo, en una red, la aplicación detalladade los principios cuánticosdemuestraque hay vna atracciór¡sutil entre electrones,que les pennite fonnarpares.Sin embargo,lo importantede los superconductores no es que sean posibleslos pares,sino que en la fase superconductoratodos los electronesestán rclacionados entre si, cottlo cuandoel aguase congela,todaslas moléculasde agua tienensu parteen la fonnación del crístalde hielo. Normalrnen¿Porqué esatransiciónde faseocasionauna pérdidade resistencia? te,la resistencia de los electronesa la aceleracióndebidaa un campoeléctricose debe a loschoquesde los electronesindividualescon los átomosde la red. Si el superconCuctorconsistieraen patesindividualesde Cooper;lo mismo sucederlacon los pares irdividuales,pero debido a que el estadoes colectivo, todoslos pares de Cooper ::Serian detenerse,o desintegrarse,a/ mismo tiempo, Para esto se necesitaríauna :r-;n cantidadde energía,y por ello favorece el flujo inintem,rpidode corriente, sin ' - = is lenc ia. L¿ teoriaBCS puedeexplicarpor qué algunosmaterialesse hacensuperconduc::r*s" pero otros no; aunque no predice muy bien los valores exactosde [. Err :s:e:::.. hasta 1986, los materialescon los mayores valores de-[ se volvíatl y por esose usapara :-:e:: ¡r.j:ci¡re-c a 13 K. El helio es líquido a esastemperaturas

o

I. 'l 'cttt¡x:ral ttr;t

I'lGllRA 27-20 Paralos stt¡rrc..:;,i-::::: la rcsistcnciabaja a ccro cn la lcrr;.:::: --: crilica, T:.

804 Capitulo 27 matcda"lcs

Crtrlcntca

clóctdcas

cn

cn nplicacioncs priicticas, colllo FIGURA 27-21 Sc trsatrilnnnc^sstl¡rcrcon
etrfriarsuperconductores.Sin embargo,es tan caro que los dispositivossupercor)duccomo Por ejemplo, bastanteespecializadas, toreshan estadolirnitadosa aPlicaciones de repro(véase 30), o a máquinas partículas capltulo de imanespara aceleradores (véas, en los hospitales magnética nuclear por resonancia ducción de imágenes J, GeorgeBedttorzdescr¡brie capftulo32) (figura 27-21).En 1986,K. Alex Mullery ron una nueva clase de materialesPara los cuales 7. es mucho mayor. Se hatr conuna f de 120K (-153 oC).10Patecequeesosntlevos descubiertosup€rconductores materialesno se puedenexplicar con la aplicacióndirectade la teorfaBCS, lo quc resulta interesante.El descubrimientotiene grandes irnplicacionestecnológicas, porqueesosmaterialesse puedenenfriar.¡elaiivamentea poco costo,colt nitrógeno líquido a '7'l K. Pareceprobable que esos xi3ieiiales se usarán extelrsamenteen aparatospequeños,como interuptoresen lass.:le:;c:llputadoras.La perspectivadel a a;13i er.l ei e:ui e, si n duda,es bri l l ant e,y e mp l e od e l o s n uevossuperconductores la investigacióny el desarrolloen el carnPcde su:.'rccllirctores se¡áextensa,

27-7

Se describióel conceptode potenciaen el cepitulo6.

PoTENcIAELEcTRIcA

La energfaeléctricase entregaen nuest¡oshogares¡'iuearesie'.rabajo,)'sumillistra eficientede esaenergÍa gran partede la energlaque usanuestrasociedad.Le entre,ga veremos en los que afecta los moCos esta sección En es de primerfsimaimportancia. energia eléct¡ica. de la entrega a la la resistencia Hemos comparadola resistenciaeléctricacon la resistenciamecánica.Cuando hay fuerzas de resistenciaen el movimiento mecánico, la energía mecánicase convierteen energfatérmica.La segundaley de la termodinámica(capítulo20) indica que algo de estaenefglatérmicase pierdesin poderrecuperafse'en el sentidoqueya no re pu"de convertir toda en trabajo mecánico. Igualmente, algo de la enetgÍa eléctricase pierdea causade la resistencia.Al igual que la fricción tnecánicagenera calor, el paso de una coffiente por un resistor ger¡eracalor. A veces es la energía térmica la que deseamoselnplear, como en el eletnento calefactor de una estufa eléctrica.Pero no toda se puede convertir en trabajo mecánico útil, Para calcular la energíaperdidapor unidad de tiempo (potenciaperdida) cuando una corriente pasa pof un material, veamos una carga pequeña'd4, que se lnueve A través de una diferencia de potencial, V.El calnbio de energíapotencial de la carga

t0 Vc.rsc,1rcre¡cmplo,"Su¡r:rcon
o o o o o o o O o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

o o o o o o o o o O o o o o O o o o o o .O o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

(d{/), que es igual al trabajo efectuado (dI7) por la fterza eléctrica debido a la diferenciade potencial, está expresadopor dU - Vdq, Por Io tanto, la potencia, que es la rapideza la cual la fuerza que impulsa ala cargagastaenergla,es dll/

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PocreclidÉ

(27 16)

Como la corrientees I = dqldt,la potetrciaeléctricagastada,que es la que se debe entregarpara hacer pasar1 a través del potencial I/, es ¡t : VI.

e7

271

Potencia perdide en una resistenci¿

Esteresultadoes general, independientedel tipo del material; en particular, no dependede si el material es óhmico o no óhmico, ni de la naturalezadel movimiento de la carga. La potencia tiene las unidades de watts (W) en el SI, y I W : I fs. Empleandola ecuación(27-27) tenemosotra unidad de potencia: I w:

I V'A.

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| | I: \i t l

Ql 28) : Paralos materialesóhmicos,V IR,siendoR consta¡te.Así, el gastode potencia paramatetialesóhmicos es t' l

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(21 2e)

Etrfonnaequivalente,podenrosetnplearl': IRen la ecuación(27-29),paraencontrar que Fornras alternativas parala polencia gastadaenuneresi sle'cia p : J ' l : tl R l l : t}R . (27 301 El uso de la ecuación (21-29) o la (27-30) depende de lo que se conozca en determi¡adaaplicación. [-a potencia perdiCa (rapidez de pérdida de energía) en un resistorapareceen forma de energía térmica, y se le llama calentanüento óhmico, calentamientode Joule, y pérdida I?R.

E J E M P Lo 2 7 -7 El n i c ro m o e s u na al eaci ónde níquel ,cromo y hi erro, que se usa con frecuenciaen los elementosóalefactoresde los aparatoseléctricos. Un alambre de nicromo de 1.0 m de longitud se pasa en zigzag por el fondo de un asador,y puedeconduciruna corrientemáxima de I ó A cuandola diferencia de potenciales l20 V, de un extremoal otro del alambre.rrSi la resistividaddel nicromo es LO x l0-ó O.m , ¿cuáles el radio del alambre?¿Quépotenciaemplea el asador?

SOLUCION: En este ejemplo, un alambre de resisterrciadesconocidalleva una corrielrteconocida cuando se le aplica un voltaje conocido.Por consiguiente, podetnos despejar la resistencia,R. A continuación calculamos el área del alambrea partir del valor calculadode la resistencia,la longitud del alarnbrey la resistividaddel material. La resis.tencia del alatnbrede nicromo se calcula haciendo/ = l6 A cuando V : l2O V. SeeúnIa definición de resistencia.

R:

t/ I

l'20v :7.5Q. 16A

:lL: clcctricidati
80() -Capitulo 27 matcrl¡ücs

C-ordcntes cléctdca.s cn

Ahorausaremosla ecuacion(27-13),querelacionalasdimensiones de^¿.¿=.:r_: y la resistividad,con Ia resistencja.De esaecuaciónse despejael á¡ea;e ¡ seccióntransversal,.4, del alambte: . PL A :;

(1.0x l0-6 P'm)(1.0 " ' tt' .J "r) " ' t : l ' 3 x l o' ? m:'

El radio, r, del alambre, se calcula a partir de A - nÉ, y resulta 0.20 mm. La potencia consumida pot el tostador se calcula con la ecuación (27-1 --t. con Zy con.I:

P:

VI: (120VXl6 A) : 1900W.

La potencia eléctrica se usa en un contexto distinto a aquel del cual nos her¡os ocupado aquf. Cuando la energfaeléctrica se entregaen los hogares,a la energfapor unidad de tiempo se le llama también potencia eléctrica.Esa potencia no siempt: es la que se pierde en una resistencia.Pagamosa la compañIa eléctrica la cantida,I de electricidad que les compramos. La unidad de energfa en la industria se llama
lkWh=(l

w,(Hil(,#')i n( t lpt ; = 36xr o( , r( 2i

El kwh no es unidad del SI.

EJEMPLO 27 - 8 Un foco de 100W se dejaencendido en un almacén exteriorparaevitarquesecongeleunapintura.La capacidad de 100W serefiere a la potenciadisipadaen el filamentodel foco, quetansólo esun resistor(figura 27-22),Si el precio de la electricidades 8 centavos/kWh,¿máso menoscuánto cuestatenerencendidoel foco durantelos 3 mesesde invien¡o? SOLUCION:l"os datosson la potenciaempleadapor el foco y el tiempo durante el cual se disipa. A partir de esa información podemos calcular la energía empleada,y comouno de los datoses la tarifa de energfaeléctrica,podemos calculafel costototal. El númerototal de horasduranteel intervalode 3 meses es aproximadamente(3 mesesX3Od/mes)(24h/d) - 2160 h. La cantidadde esla potenciamultiplicadaporel tiempoduranteel enetgfaempleada, entonces, eual.sedisipa: l = (100WX2l60h):220 kWh. enetgla- (poüencia)(tiempo) Asf

: (220 pñ/ñ)r.$!}): r,r.uo. costo

. \r Á-wnl Aunqueel fin principalde un foco esproducirluz, la mayorpartede la energla quedisipaseconvierteen calof,no en luz.

FIGURA2T-22 Ejcmplo27-8.El fila¡nontodc rur foco dc luz fi¡ncionacomo rosistorcuandola corricntcpasaa lr¿vcsde é1.La luz cmitidacs partcdc la cncrgíaquc disipaol filamonto.

I-os resistoresque se usan en los circuitos no sólo ,"'lóuru"i"riran por su sino tambiénpor una potencianominal.Esapotenciáes Ia máximaque resistencia, puededisiparel resistorsin dañarsea causade sobrecaletrtamiento. La potencia quela potencia nominalsemide en watts:Segúnla ecuación(27-30),queestablece disipadaen un resistores P - .I2R,podemosdeducirla corrientemáximapermitida baratos,de telativamente deacuerdoconla potencianominal.Unaclasederesistóres composicióny de pelfculade carbón,selimita a unos2 W, mienttasqueotraclase. conocidacotnode alambredevanaclo, tienenpotencias máscostosa, nominaleshasis de 50 W.

o o I o o o o o o o o o o o o I o o o o o o o o o o o o I

o a a o o a o o o o o o a a o o o

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La corriente eléctrica es la rapidez a la cual pasa la carga por un conductor. La conierrteinstantánea estáexpresadapor , *dQ (27-2) d¿ La unidadde corrientees el ampere,A, qrrees I C/s. Las corrientesse pr¡edenimaginar colnosi se movierancargaspositivas,peroen realidadson los electrones,negativos, losquese mt¡even. La densicladde corriente,J, es una cantidadvectorialque expresala corrienle qrrcpasapor un áreaen la unidadde tietnpo.La corrientese relacionacon la densidad decorrientemediante

, : [1,,J'dA

(27- 4)

EI nlodelo de conduccióna basede electroneslibres es titil como descripción del flujo de corrienteen un sólido.La velocidadmediade desplazamiento cualtitativa de loselecttgnesque pasanpor el tnateriales

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(27*e)

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enla c ual r r "es la d e l l s i d a dc l el o s e l e c tro l l e sl i b res,y g es l a cargade un el ectrón. l, a r c s is t c t r c ical ó c tri c a R , , c s l a rc l ¡c i ó rr< l clvol tnj ea l a cori etrte,

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UIinversode la resistiviclacl es la conductividad,o, que exprcsalo bienqr¡eun material co ndr r cla e c or r ie tl te : o =

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Muchosmetalesconductorespresentanuna relaciónlineal entrevoltaje y corriente. La resistencia,por consiguiente,es constantedentrode aln¡rliosIítnitesde voltajes. A es t ar elac ións e l e l l a m a l e y d e O h m, V: IR , La resistividad,p, es la cantidadque distinguela partede la resistenciaque es intrirsecaa cadamaterialen particular.Paraalalnbresde longitudLy áreaA,tenemos que

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(21 15)

l :, r : : cp c or no o d e p e n d e nd e l a te tn p e ta tu ra . tnedi a¡rte E l c anr poelé c tri c oy l a d e trs i d a d e c o rri e tr tese rel aci otl atr

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t BO8 C.apitulo 27 - matcr¡alca

Corrlc¡rts

clécldcas

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tanto de la mecánica cuántica como de la presencia de una nueva ies-: :: -: - : ¡- en la cual los electrones transpo¡tan la corriente eléctrica en foffia ct^le::."": Cuando una óorriente se mueve a través de una diferencia de potenc;a.. ;: - : ri. o se produce, potencia eléctrica, P, y está expresada por

a o t o o o

I¡: VI. la poténciatalnbiétr por estáexpresada resistivos Paralostnateriales ' v2 p = | = /lR. R

(17 :e. l-

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PREGUNTAS en un tubode tayoscatódicos. 1. Se tieneel hazde electrones en el hazva¡laal seracelera- La velocidadde los electrones dos.¿Esigualla corrienteen todoslos puntosa lo largodel haz? 2. ¿Cómoexplicala disipaciónde potenciael modelode elecosecuadro trón libre de resistenciaeléctrica?¿Concuerda rrricroscópico conel resultado de voltajey corrientb? 3. lt¡sr ln lrrisnr:¡ con'ienf e:r trar'ós dc dos ¡l:rnrb¡es scnrej:rntes .i. ¡lltAS J:-rii::l):s ; tlu.l x .-¡l¡¡rs¡¡i ¡11¡ .r' ¡'t q:::l' <

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..'y,i ::r:s-¡?s!-:=-s ,.: -'t-..:- .! ; 'I :

s i. -r: ¿-:¡-r'r:s * i --s-:¡ ---r-:.:'::r:: J -o :s= --e--:-,.- it ¿.::'::¡-'-:::*---r :i: ¡--'.:.:f,-e. 'C=i S-. .=-'¿t1t¡a i::is, 'i :L-T -ii:=.-r:

5. ;Qe :--N-icr-es &l*;i'-¡ i:s d:i:¡::rci¿s err velcl-id¿d de d¿.¡ :.,:.:mien¡o de los elect¡ones en alamb¡es, si las dimensiorrcs y la cornenle son iguales? 6. S i el I n o v i m i e n t o d e la s ca r g a s e n u n a la m b r e e s se m e j ante al flujo de agua en una manguera, ¿por qué, cuando se conecta una manguera nueva a una llave de agua, tenem'os

queespe¡arduranteciertotiempoparaquesalgael aguapor el chiflón, pero cuandoconectamos ün cablenuevoen un circuito,no tenemosqueespera¡paraquela cargasalgapor el otro lado,cuandose conectael irrtemrptor? 7. De acue¡docon la ecuación(27-25),la resistividaden el modelode electro¡res libresdebevariarsegúrrlaralzcuadrada dela temperatura y por consiguiente, válercero absoluta, cuandoI- 0. ¿Esestorazonable? usted ¿Cómointerpretarfa esteresultado?

8. Sabemosque la resistividad de un rnetaldependeie .: je :: y por corsiguiente,fambiénla resistencia temperarura, ie ;:; alambre.En el capftulo2l vimosquelasdimensiones porcióndemetal,comoun alambre,cambiancuandoéstes¡ calienta,¿Esestounarazónadicionalparael cambioie ,: ce ¡esistencia de un alambrequesesometea calentatniento . Joule?¿Espera el lectorqueel efectoseagrandc? 9. Cuandoustedconectaun intemrptory pasaIa corriente ei dr' l¡ .-:r:r. ('.se(-3193 ej alemb¡¿l

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I-a corriente eléctrica

1. (I) Por un alambrede 2.2 mm de diámetro pasauna coniente de 0.4ó A. ¿Cuál es la demidad promedio de corriente? ¿Cuánta ca¡ga cruza una sección dada en el alambre, pot segundo? 2. (I) Se alinean t¡es alamb¡es¡ectos,de 2 mm2, 3 mm2 y 4 nrm2 de á¡ea, respectivamente, a lo largo del eje x. Conducen densidadesde coniente de magnitud 14 Alm2,1 Alm2 y 8 Ay'm2,respectiva¡rente,también a lo largo del eje;r. Calcule la corriente en cai¿ alambre.

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13. ¿Qué es probable que suceda cuando una corriente es ta:r grandeque la disipaciónde potenciaen un resistora t¡avés del cual pasees tnnyor que ln potencianominal del resistor? ¿Qué mecanismo es responsablede este desastre?

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PROBLET{AS 27-1

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3. (I) Un alambre de 1.6mm deradioconduce unacor¡iente de 0.092A. ¿Cuántos electrones cn¡zanunaseccióndeten:-linadadel alambre, en I s? 4. (I) Los portadoresde carga en un semiconductcrtie:'.ei densidadnumé¡icano = 2.3 x 102aportadores/mr. Ca:: portadortieneunacargacuyamagnitudesla de Ia ca::a ;e un electrón. Si la densidad de cor¡iente es 1.2x 10' .i'::": ' ¿cuálésla velocidadde los portadores?

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portadores 5. (I) La densidadde los electrones de cc-::r":: :: el cobre.es8.5x 1028 electrones/mr. Porun alanb:: ;: " 3

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mnl de radio pasa una corriente de 1.2 A. ¿Cuál es la velocidad de los electrones?¿Cómo cambia esa velocidad en olro alambre, de 2.4 mm de diámetro, conectado al extremo del primero?

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6, (l) Un aceleradorde electrones,en el que éstosviajan a una velocidad de 0.90 x 108m/s, produce un haz de electrones que lleva una corriente de 1.0 mA. El área efectiva ocupada por el haz es 3.0 cm2. ¿Cuál es Ia densidadde los electrones en el haz? No tenga en cuenta efectos ¡elativistas. 7. (II) En el dispositivo de rayosX National Synchrotron Light Source, en el laboratorio nacional de Brookhaven, hay un haz de electrones con una corriente promedio de 200 mA. Los electronestienen una energlacinética de 2.5 OeV, y una velocidad muy cercana a la de la luz. ¿Cuántoselectrones pasanpor un punto dado en el acelerador,por hora? ¿Cuántos electronesestán dentro de un tramo de 1 m del haz? No tengaen cuentaefectosrelativistas(lo cual, en estecaso,es una mala rproximación). tt, (lI) Se coloca un cubo de nlaterial con una esquina en el origen deTrnsistemade coordenadas,y sus lados,de I cm de longitud,son paralelosa los tres ejes.La dersidadde corriente es,4i + Bj + C}., en todo el cubo. Las unidadesde r4, B y C son mA/cm2. ¿Cuálesson las corrientesa lo largo de loseje s.r,yy z ? 9. (II) En un plasma que contiene igualesdensidades,n, de electronesy iones positivos, los iones se mueven hacia la derecha.Su velocidadesmenor que Ia de los electrones,que se ¡nuevenhacia la izquierda,en un factor de l0-r. ¿Cuáles la densidadneta de corriente?Expresarsu dirección)'magnitud.

27-2

Corrientes eléctricas en materiales

10. (l) Calcule la velocidad de desplazamientode los electrones en los cables de conducción de un motor de arranque automotriz, de cobre, con 4 mm de diámetro, suponiendoque por él pasan 100 A. ¿Cómo cambiarfa esa velocidad si se duplicara el diámet¡o del cable? (Sugerencia: en el ejemplo 27 -2 hay datos útiles.) ll. 0D Un alambre de aluminio de 50 mm2 de área, colocado a lo largo del eje x, transporta 10,000 C en I h. Suponga que hay un electrón libre por cada átomo de aluminio. Determine la corriente, la .densidad de corriente, y la velocidad de desplazamiento.La densidad del aluminio es2.7 glcm3. 12. (ID I-a plata tiene disponible un electrón por átomo, para conduci¡ la carga. La densidad de la plata es 10.5 x 101 kg/m', y su peso molecular es 108 g/mol. Calcfulela velocidad de desplazamientode los electronesen la plata, cuando se conduce I A, y la sección transversales circular, de 0.ó mm de radio. 13. (II) Dos alambresmetálicos paralelos,de 0.5 cm de diámetro, y densidadde portadoresde carga, n,: lO23electrones/cm3, conducen una corriente de 5 A, cada uno. Los alambres se unen y a continuación se dividen en cinco conductores idénticos, pero separados,con un radio de la décima parte del radio original. Todos los alambres están hechos del mismo material. ¿Cuálesson las velocidades de desplazamiento, en los alambres gn¡esos y delgados?¿Puedeusted

explicar la diferencia de velocidades en !éii'r-.:i.-\ :e -:j velocidades del flujo de agua en tubos? 14. (ID Los portadotes de carga en determi¡ado alanibre :e s:ción transversalcircular, y radio R, tienen veloci:¿'"* a desplazamiento a lo largo del alambre, que no sr)nconsta;:s en su sección transversal.En lugar de ello, la velor-ila; cie desplazamiento aumenta linealmente de cero en la ci¡cu::lerencia (r = R), a uo en el centro (r = 0) (figura ::-:-i Compare la corriente total conducida por este alamb'¡e c::: la conducida por uno del mismo radio, la misma dersir¿c de portadores,y con una velocidad de desplazamientocci-stante de vJ2. uo(l u0

I,'IGURA 27-23Problcnn 14. 15. (III) Unascargas,q, se muevenlongitudinalmente por una varilladeseccióntransversal circulary radioR. L: der¡sidad, n, de portadoresde carga,decrececomo función de la distancia radial,r, al centrode la varilla,segúnn = ño- n'r. velocidad, [: u, de los portadoresvarfa de acuerdocon r segúnu - uo- u'P, siendoque nn,n', uoy u' sonconstantes. Calculela cor¡iente quepasapor la varilla. 27-3

Resistencia 16. (I) Un conductorsubterráneo de aluminiotiene91.4m de longitudy úea de 0.30cm2.(a) ¿Cuálessu resistencia? ft) ¿Cuáles el radio de un alambrede cobre de la misma longitudy resistencia? 17. Q) Una casaantiguaestá"alambrada"con alambrede cobre AWO # 18, cuyo diámetroes 0.0403". (a) ¿Cuál es la resistencia pies?(b) Un cúcuitosólo del alambrepor 10OO tieneun alambreocultoen lasparedes,y tieneuna¡esistencia de 2.3 O. ¿Cuáles la longitudde esealambre? 18. O t: resistividaddel cobrees L32 x 10-8Q.m. ¿Cuálesla resistencia deun tramode alambrecalibre10 (0.2588cm de diámetro)quetiene l0 m de longitud? 19. (t) Una varilla de carbónse usa en una máquinade sold¿¡ tiene2.0 mm de diámetroy 10.0cm de longitud.¿Cuáles y cuántacorrientepasapor ella,si la máquina su resistencia, de soldarproduceun voltajede 220 Y2 20. GD Un electricistapruebasi hay cortocircuitoconectando una dirferenciade potencialde ó.0 V a dos conductores paralelosvecinos,que, si no estuvieranen corto, s€najl independientes pasaunacorrienle entresf. A continuación, de 0.26A en losconductores. Estossonde un materialci:j'a resistividad y su diámetroes 1.5m¡t. U; es 1.7x 10-tC).m, cortocircuitohaceque los dos conductoresse comFrcíe:. como si verdaderamente fueranuno sólo.¿A quéiis'.--,-^-: estáel corto? 21. GI) Un alambrede nic¡omo,de 0.5mm de diámer: -': -:-. delongitud,seconectaa unafuentede50 V. ¿Que;-'=.::. : pasapor el conductora la temperatura ambienie,:-{": "" después de calentarse a 400oC?

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22. (lI) Un alambrede aluminiode longitudl, y uno de cobre, de lotgitud 2l; tienencxactamente Ianlismaresislencia. Las 'resistividades clel'ah¡minio y el cobreson2.8 x 10-&C)'my I .7.x l0-8O.m,respeótivamentc, ¿cuálesla relaciónde los radiosde los dos conductores? 23. (II) Un alambrede cobreseestiray alarga1%.Suponiendo queno cambiesu volumen,¿cuálesla variaciónporcentual clcsu resistencia? 21. QDTiener¡sted un alambrede 100nr de longitudy 0.5nnt de área,Sonun bapii aislante; no pucdeustedidentificar el rnaterialdel cualestáhecho.Tieneun acumulador de 12.0 V y un inslrurnento paranredirla corriente. Crianclo el acunruladorseconectaa losdosexlrelnosdcl alantbre, el instrunrentoinctica unacorriente cle1.07A. ¿Cuálesel material del alatnbrc? Usela tnbl¡27.2. 25. (U) Una bobinaseusaparaproducirun campomagnético,y ,es de alambrede cobre de 0.7 mm2 de áreatransversal enrollado muchasvecesenun carrete de 40 cmdediá¡netro. La ¡esistenciadel alan.rbre es 3.7 C).Como verenros'enel capftulo30, ¡raracvahrarel campomagnético,debbmos co¡rocer el númerodevücltas,o espiras, clclalarnbre. ¿Ctiíntasvueltasde alambrehayen el carrete? (queseael doble)la corriente 26. (ll) Deseaustedcluplícar que pasapor un alambrede longitudfija, y puedeaunrentar el voltajcquc la irnpulsa,tan sólo en un f¡ctor de 1.5.Tiene perode distinustedotrosconductores, delnrismomaterial, tosradios.¿Cuálesel factornrlnimoporel cualpuedediferir el radiode un alambrede repuesto, ¡espectoal ¡adio del a l a mbr or e igir t r l? 27. (11)El aluminio tiet'te2.1x 103kg/nrrcledensidad.¿Cuáles la resistencia deun alamb¡e dealuminiode2 cm dediámetro y 250nr de longitud?¿Cuáles la ¡nasadel alambre? ¿Cuál es la masa del alarnbrede cobre,de 8.9 x 103kg/m3de total? densidad, con la mismalongitudy resistencia 28. 0I) ¿Cuáles sonla longitudy el radiode un alambredecobre, de seccióntransversal es2 O y su circular,cuyaresistencia masaes 1.5kg? 29. 0D ¿Cuántaplata,'cuyadensidades 10.5x 103kg/m3,se paraformarun alambrede I kn de longitud,.que necesitarla tuvieraunaresistencia de 5 O? (II) 30. Un tubode cobretiene5 cm de diámetrointerior,y ó cm de diámetroexterior.¿Quélongituddetubode cobretendrá unaresistencia de 10-2Q? 31. 0I) Un resistorde cobre tiene la forma de un cascarón de eseresistor,si cilfndrico,o tubo. ¿Cuáles la resiste¡rcia su longitudes 1 m, su.radiointeriores 0.1 cm y su radio, exleriores0.2 cm? ¿Cuáles el radiode un alambremacizo de seccióntransve¡sal circular,con la mismalongitudy la Comparelasmasasde losdosresistores. misma¡esistencia? 32. flI) Un diodo zener,denominadoen honor de Clarence tienela cun'aI-V queseve en la figura27-24.H.aga Z.e.ner, un esquemade la resistencia del diodo en funcióntantode la corrientecomo del voltaje.¿Quétienede especialel voltrje críttcoV,? 33. 1'.:'.I-a :esisl:',':i:i Jel cobre aumenta0.4% por "C al de 20"C.Su coeficiente ¿LT,3i.ta; su i3nl;€iai;:apartiendo Cee rp a : s : : : - . 1: . : :¿, .s l- x l 0 -6(" C )-r.¿ C u áel se l c a mbi o

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FIGURA 27-24 l>roblcttut 32. fraccionariode la rcsistenciade un alambrede cobre,cuando sc cnlie¡lladc 20 a 200"C? ¿Cuárrtodc csc ca¡nbiose del¡ca la expansiórrténllic¡? No tcngaen cuentacanlbiose¡rcl área debidosa expansiórrtérmica.

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3.1. (III) Una esferade radio r y resistividadp se conectacon conductoresexlemos de radio rn (ro << r) en los polos norte y srrr de la esfcra.Calcule la resistenciade la esferaa las conrentesque pas¡11entre esos dos puntos. (Sugerencia: descomponga1aesferaen rebanadasconectadasen serie,e integrepara sumar las rebanadas.)

'27-4

1l[odelode clcctroncslibrcspara resistividad

35. (i) Conel tiempopronredioentrecolisiones, comosecalcuió enel ejemplo27-5,detemrinela velocidaddedesplazamiento de los portadores de cargaparaun materialen el cualel campoeléctricoes2.0 x 10-rV/m. 36. (I) Recuerde la ecuación(19-51),querelacionala sección transversalde choquecon el camino libre medio de una partfcula.Suponiendoque el camino libre medio de un electrónen el cobreseael calculadoen el ejemplo2T-6, estimela seccióntransversal decolisiónparaun electrónque chocacon un ion.

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37. (II) En el problenla14,desc¡ibimos un alambrede radioR, dentrodelcualla velocidaddedesplazamiento depo(adores de cargavariabacon la distanciaal cent¡odel alambre,de acuerdoconrd = uoll - (r/R)).Suponiendo queestealambre seade materialóhlnico,describacólnodebevariarla resistividadenfunciónder paraproduciresteperfildevelocidadesde desplazarniénto. 3tl. 0D En el ejemplo27-ó,calculamos libremeC:a la trayectoria entrechoquesparaun electrónlibre en cobre,y era2.9 x 10-em. Supongaque el cobre,cuyadensidades 8.9 g;'cr:',j. estáformadopor una¡ed cristalinacúbica.Calculela c:stanciaentrelosátomosde cobre.¿Decuántosespacia;':e:.tosatómicosesla trayectorialibre media? 39. (ID Se tieneun balfnde acerode diámetrodespre::::.= rodandocuesta:rbajode un planoinclinadoen árg;.: -

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4.0o,respectoa Ia horizontal. En el plano, se distribuyen uniformementealfileres con una densidadnumérica o 0.075por cmz. Cuando el balln choca con un alfiler, rebota y se desacelera.Estime la velocidad promedio del balfn al rodar cuesta abajo ¡ror el plano, sr¡poniendoque cada vez que choca con un alfiler se dcticne por completor para despuésacelerarsu movimiento. Por simplicidad,suponga que la velocid¡d es unidinrensionsl. '27-5

Aisbdores, conductores y semiconductores

40. (II) Si se considera que los electrones son un gas de partfculas independientes,¿a qué temperatura tendrfa un electrón la energlasuficiente para cruzar la banda prohibida del silicio (1.1eV), geffnanio(0.7 eV) y carbono(ó eVX 27-7

Potencía eléctricatz

41. (I) ¿Cuál es la resistenciade un foco de 75 W que se emplea en una instalación de 120 V? 42, $) ¿Cuál es el voltaje máximo que se puede aplicar a un resistor de l00O-C¿,de 1.5 W? 43. (I) Un estudiantegraduado en ingenierla tiene una serie de resistoresde l0O-C), con diversas potencias nominales, de ll8, 114, 112,I y 2 W. ¿Cuál es la coniente máxima que deberfaemplear ese estudianteen cada resistor? 44. Q) ¿Cuál es la corriente máxima permisible para (a) un ¡esistor de 5-k{¿,2 W? (b) Uno de 10 kO, 1/2-W? 45.(I) Se tiene un resistor de resistencia R. Si la disipación máxima permitida de potencia es P, ¿cuál es el voltaje máximo de operación? 46. (II) Un calentador emplea resistenciade nicromo (p = t0-o

ción parcial de la corriente eléctrica,el voltaje de s'-::ii:-l*-: baja a 105 V. Suponiendoque la unidad de calefaccr--:.ir;; una resistencia fija, ¿cuál es la potencia del cale¡-l.ajr: ahóra?

Problemas generalestj 51, (II) Una estufa eléctricase usa pa¡a hervir agua.La coi-rie;re que toma es lO A. Haga un estimadodel voltaje y resistencia. con base en lo que se tarda en calentar una taza de lé. 52. (ID Un recibo mensual de electricidad pa¡a r¡n apartamento es $ 25.33, y dice que el costo unita¡io es 8 centavos/k\\?r. Todos los electrodomésticos que se r¡sanen ese apa¡tarnento trabajan con 120 V. ¿Cuántos electrones pasaron por el medidor eléctrico del apartamento ese mes? 53. (ID Un alambre, de ¡esistencia r, se hila (quiere deci¡, se ti¡a de él pasándolo por un agujero estrecho), para duplicar su longitud. Suponiendo voltaje coristante y volumen frjo, ¿cuántocambia la disipación de potencia? 51. 0D Un acelerador Van de Graaff entrega protones de ó MeV, a una corriente de 3 pA, a un blanco en un trozo de tungsteno que detiene el haz de protones. (a) ¿Cu:intos protones se delienen en el tungsteno en 24 h? (b) ¿Cuánta energla se entregaal tungstenoen I d? (c) ¿Cuál es la potencia deltlaz de protones? 55. (ID Un t¡ozo de latón se maquina para formar un cilind¡o cónico largo. Su radio es r = ro + ar, siendo auna co¡rstante y -r se mjde a partir del extremo angosto del cilind¡o cónico, y va de 0 a L (figura 27-25). Deduzca r¡na ecuación para la resistenciade estapieza,y compárelacon la resistencia de un cilindro de igual longitud y cuyo radio sea igual al del cilindro cónico a la mitad de su altu¡a.

C¿.m)y genera250 W cuando se conecta a un cable de I I 0 V. ¿De qué longitud debeser el alambre,si su áreade sección transversales l0-ó m2? 47, (D Se tienen las tenninales de u¡r acumulado¡ de 12 V conectadasentre sf con un conductor de cobre. ¿Qué longitud debe tener el conductor. si su área de sección transversal es 3 x l0-5 m2, y la potenciadisipadaes 1.2 kW? 48. L,osautomóviles tienen disyunrorcs,o cortacircuitos,dispositivos que cortan la coniente si rebasade un valor crftico, paraprotegerde dañosal sislemaeléctrico.Un circuito,para los faros de un automóvil, tiene un disyuntor de 4 A. (a) ¿Cuál es la potencia máxima que puede entregar el acumulador a este circuito? (b) ¿Cuántosfaros, cada uno de 5 W, puede manejar este circuito? 49. 0I) Un acumulador de 12 V se conecta a dos conductores ' metálicos sumergidos en un recipiente de agua.Du¡ante 240 h pasa una corriente de 100 mA. ¿Cuánta energlase tomó del acumulador durante ese lapso? 50. (II) Un calefactoreléctrico de 500 W debetrabajarconectado a 115 V. Como resultadode un apagón,que es una intemrp-

l2 Cr¡a¡rdo traterncaplicacioncs domcs(icas dcla clcctricidad, su¡ronga, m oda caso,qucsrl.scorricntcsy difcrcnciasdc voltajcsondcl tipo scncillo 1co!'rstantc qucscha dcscritoc,ncstccapíll¡lo.

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I'IGURA27-25Problcma 55.

56. (II) Una barra de dislribución es u¡rabarraconductoraqle suministracorrienlea varioscircuitos.Esláhechade cobr:" cuyaresistividades 1.72x l0-8 O.m, y debeconducirl irl A a una distanciade 0.25 m, y a una temperaturade 3tT:'C ¿Cuáles Ia seccióntransversalmlnima de la barrasl :): ie debendisiparmásde 0.2 W de potencia? 57. (II) Un generadorentregaó0 A a 110 V. ¿Q;é;.:,:i::r.; entregaesegenerador? ¿Cuántota¡da¡laen ele;'aj!.-"=-; temperaturade l0-3 m3de agua?¿Cuántotaldai:¿rr. i; ii.i¡ar I L de agua,iniciandoen 20oC? 13Vcaso r¡ota al pic # 12.

/ 58. (II) U¡'alambredeterminado tieneunareÉistencia de 7.2 I por 1.000pies.Un cabledeextensiónde 100pies,,hecho con csealarnbre, seusasilnultánearnente conun taladroeléitrico qucionla3 A, y conu¡rasierracircularquetoma10A. Una extetrsión eléctricaticne dos alambresen paralelo.Si la fuentede voltajcesde 120V constantes, ¿quévoltajcllega a lasherramientas? ¿Cuántapotenciasepierdeen la exlensión?¿Sesentirlatibia esaextensión? 59. (ID Se estableceun potencialentreun ext¡emoy otro d" un alambrede cobre,y, comoresultado,pasacorriente.El cobre estáaisladotérmicamente, hastacierto grado.Al pasarla corriente,el alambresecalienta,haciendoaumentarla resistividad.Supongaque,duranteun cortointervalode tiempo, la temperatura del alambre,comofunciondel tiempol, es I * To+ kt 2. (a) Describala corrienteen el alambredurante eseperiodo.(b) ¿Cuálesla potenciadisipadaen el alarnbre, comofuncióndel tiempo?(c) De acuerdocon el cambiode la potenciadisipadaa travésdel tiempo, ¿secontinuará calentando el alambrehasta,quizá,fundirse? 60. 0I) La densidadde electrones portadores decargaenel cobre es1.7x 10-8Q'm, es8,5x 1028 elcctrones/nr3; surcsistividad y la velocidaddedcsplazanriento enun alambredecobrees y 3 m de 1.2x l0'5 rn/s.El alambrctiene1 mm de diárnetro longitud.¿Conquérapidezdeberetirarsela energlatérmica medianteun medio de enfriamiento, si el alamb¡edebe mantene¡su temperatura? 61. 0D Una capaúnicade 100vueltasvecinasde alambrede r' = 0.2 mm seenrollanen unabobinade diámetroD, = 2 cm.

. Una segunda bqbina, de la misma longitud, pero Clá::::-:: 'Dz= 4.:crn, está formada por una capa única de a]a;i:: 'estrechamente devanado, cuyo radio rz = 0.5 rnn L:s alambresson del mislño material.Calculela relaciónCeles rcsistenciasde las dos bobinas. 62. (IID Un alambre delgado, de longitud L y áreade sección tra¡rsversal24, está o¡ientado en di¡ección x, y es de un material óhmico cuya resistividad varfa a lo largo de é1,de acuerdo con la ley empfrica p - poe-,11. (a) Describa cómo varla el campo dentro del alambre,en función de la posición, .si el exlremo en ¡= 0 tiene un potencial, Zqlnayor que el del extre¡no ¡ - L (b) ¿Cómo varfa el potencial al ¡ecorrer la longitud del alarnbre? (c) ¿Cuál es Ia resistencia total del alambre?

63. (lII) Todala energíaquesepierdeporcalentamiento deJoule perrnanece en un alambre,y comoresultadode ello, la temperatura y la resistiviclad aumenta, aulnenta segúrrla ecuación (27-18).Por consiguiente, la conientevariarácomo funcióndel tiempo,el calcntamiento de Joulecambiará, Si el nraterial etcétera. delalambre tienecapacidad calorffica constante, la rapidezdc pérdidade energfaseráproporcional que a la rapidezde cambiode la temperatura. Suponiendo el polencialperrnanece constante, deduzcauna ecuación quedescriba diferencial la rapidezde cambiode la tempe¡atura.Si esaecuación seresuelve, ¿cómosepuedecalcular la conienleconrofuncióndeltienrpo?

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CAPIT UL O

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Losacumuladoresalnacenan energía quínica y la desprendenenforma de energía eléctrica. Esapropiedadde mantcncruna determinadadiferenciadepotencialdurantelargo tiemponos p er núte p roducir automóvileseléct ric os accionadoscon acumuladores.

CIRCUITOS DE CORRIENTE DIRECTA visto cómo se mueven ias cargas ba.;o la influencta de diferencias de H".o, potencial,y cómo los resistores¡' ics capacitorespueden i¡rJ'luirsobre el flujo de la corrientey el movimiento Ce la ca¡ga. Cuando se conectah entre sí resistores, capacitoresy acumuladores u oiras i¿enies de energia eléct¡ica. mediante cables conductores,fonnan circuitos eléctricos.PoCemoscompienderel flujo de las conientes en los circuitos aplicando tan solo Cos pf,ncipios físicos sencillos, el de la conservación de la corriente,y el de la consen'acionde la energia.En estecapftulo aprenderemosa aplicar esosprixcipios en forr!-!asistemáticaai análisis de ci¡cuitos. También describiremos los irutrumentos acosfurnb¡aCospara medir y vigilar la coniente,el voltaje y la resistenciade los circuitos eiéctricos.El flujo de energíahacia y desde los elementos de circuito es un tema importante de este capirulo, y nos conduceal concepto de corrientesy voltajes va¡iablesa trar'& cieitiempo.

28-l

FUERZAELEcrRoMorRrz

Lasfuentesde energíaeléctricaque hacenque las carsasse muevanen los circuitos eléctricos,históricamente,se han llamado fuentes de fuerza electromotriz. En rcalidadson fuentesde energla,no de fuer¿r y paraer-itarel empleode la palabrafuen-a, con frecuencia se usa la palabra 'FEM", o "fem". Cua¡rdop€nsalnosen las fuentes de fetn, por lo general tenemos en mente a acumuladores,pero hay una gran variedad de fuentes de energíaeléctrica,fabricad^qpor sereshuma¡ros.Un acumulador,o una batería,conviertela energíaquímicaa una fem: una celdasolar convierte la energia

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7

I,'IGURA 28-l Conjunto rlc fucntcs dc fcm: bltcría quínricn,Rl¡nrllro
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de la luz solar en una fem; un teffnopar produce una fem como resultado ce';¿ diferencia de temperatüas; una gran planta eléctrica comercial puede quemar ce.fu-i gas o cornhlstible nuclear pafa impulsaf un generadof que produce una fem, o poe:e usar la energfacinética del agua coffiente con el mismo objeto (figura 28-l). En este capltulo, emplearemos el ténnino "bateda" para representar cual{.ti.i fuente de fem. Nos restringiremos a baterfas para las cuales la fem sea constanle r travésdel tietnpo. Cuandomenos hastala secciótr28-5, tamlién limitaremos nuesri" atención a fenómenos como flujos de corriente o diferencias de potencial que. igualmente,seanconstantesa ttavés del tiernpo. A esecompoftamiento consta¡te se le llama comportamiento de equilibrio, o de estado estable, Cuando todas las coaientes, campos, potenciales,etcétera,de un circuito son constantesa través del tiempo, hablamos de comportamiento de corriente directa, o CD, o cd. Circuitos

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I I-IGURA 28-2 Circuito sc¡rcillocon una ft¡cntc dc fcrr¡ á, y rxr rcsistor, R.

Cuando las baterfas,fesistotes,capacitoresu otros elementosde circuito (que incluiremos después) están conectados mediante alambres idealizados sin resistencia, forman un circuito, Por ejemplo, cuandose cierta un intemrptor y una bateda mand¿ corriente a travésdel filamento de un foco de luz, se ha formádo un circuito. La figura 28-2 muestraun citcuito sencillo en donde i" rrconlas convencionespata resistores, colrductoresideales(alambresque no tienen tesistencia),y batetfas;el foco luminoso es tan sólo un resistor.En estaetapamanejarernoscomientesestables,y sólo veremos circuitos sin capacitores. Los problemas en los que intervienen los citcuitos, normalmente, consistenen relacionar corrientes y diferencias de potencial en ellos. Deseamos conocer, po¡ ejemplo, la cafda de potencial a travésdc un capacitor,o la corriente que pasapor un resistor cuando err el circuito hay detennilradafem. El papel dc las baterías

FIGURA 28-3 Alcssandro Volta, quicn introdujo el término "fucr¿a clcct¡omotriz-,rrvcntó la primcra pila cl&t¡ic¡, la pila voltaicacn 1800.Aquí lo vcmos dcmostrandosu invcnto al crnpcrador NapolcónDe ñnic ión d e l a f u e r z a e l e c l ro m o tr iz

Cuandouna baterfaes partede un circuito simple, como el de la figura 28-2, pasauna coniente que va de la terminal de la baterla que tenga mayor potencial, la que tiene t la señalde positiva (figura 28-3). La cantidadde corriente que pasadependedel resto del circuito. En la figura 28-2, el resto del circuito consiste en un resistor único; llamamos a su resistencia,R, la resistenciade la cerga. [Iay pasode corriente,porque los portadoresde carga negativa (los electrones)son atrafdosa la terminal positiva. Debido a que se define a la corriente colno teniendo ditección opuesüaa la de los electrones, ayuda el imaginat que hay cargas positivas que se mueven hacia ia terminal negativa, o la terminal que tenga el menor potencial. La baterfa tiene una diferencia de potencial entre sus tenninales, que se llarna voltaje entre terminales, o voltaje de terminales, En el intedor de una baterla, un proceso qulmico regresalas catgas positivas a la tenninal positiva (figuta 28-4). Puedeuno imaginar que la baterla esun dispositivo que gastaenergfapara bombeat o impulsar cargas,exactamentecomo una bomba de agua gasta energfapara bombear agua hacia un tanque elevado, con rnayor energía potencial gmvitacional. Es la acción interna de bombeo de la batería la que da Ia definición precisa de la fem. Supongamosque se necesitael trabajo dW paramover una ca¡gad4 desdela terminal negativahastala positiva. Entonces,la fem de la batena se define como

a = Y. dq

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En el SI, la unidadde fuerzaelectromotrizesel volt, o joulespor coulomb.A

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se usa, de modo informal, la palabra voltaje para describir la fem, E,pero, voltaje quieredecir, con más propiedad, la diferencia de potencial o el voltaje entre las tenninalesde la fem, que puede ser distinto a la á, como veremos más adelante. Cuandouna bateríapone ca.rgasen movimiento, impulsandouna corrientedesde la terminalpositiva, o de mayor potencial,por el circuito y hastala terminal negaüva, o de rnenorpotencial, decitnos que la bateda se descarga.Al descargarse,la batería estágastandosu energíaquímica. Si, en lugatde ello, la cargase impulsa de la tetminal negativahacia la positiva, procesoque se puede llevar a cabo con una baterfamayor, sedice que la batería menor se está cargando. Supongamosque la diferencia de potencial en las terminalesde la baterla de la figun 28-2 es á. Según nuestros conocimientos, pasará unflujo de corriente por el circuito.Para calcular esa corriente, podemos hacer uso del hecho que el potencial eléctricoestá relacionado con una fuerza conservativa.Por lo tanto, el trabajo neto efectuadopor esa fuerza, al lnandar una carga por un circuito cerrado, es cero. A su vez,la caída total de potencial irnplícita en cualquierviaje redondo que inicia en cualquierpunto de un circuito cerradodebesercero.Hagamoseseviaje redondoque colnienza en el punto a, y sigatnosla corrientealrededordel circuito.No hay cambio dcpotencialcuandopasamospor el alambreideal,sin resistencia. Al pasarla baterla, desdela tenninal negativahasta la positiva, el poüencialaumentar¡n valor á. Cuando cruzamosla resistetrciaóhrnica, el potencial disntinuye Ia cantidad /R [véase la ecuación(27-12)1.La caída de potencial implica una disminución de la energla potencialde las cargas.Esa energía potencial se convierte en energla térmica en el resistor.El cambio neto de potencial, al pasar una vez por todo el circuito, es cero, demodo que I ) 9. _) l 6 -l R :0 . &ta ecuaciólrdeterminaa la corriente,/:

I

é R

Ilcsistencia interna

FIGURA 284 Los acu¡nuladorcs automotriccs usadosson rm pcligro ccológico cuando no se desc¡h¡¡ en forrr¡ adc¡uada. El ácido es parlc del proceso cn tur acr¡rnr¡la
(28 3)

tE tL --

IIayalgode pérdidade energíaen el funcionamientode cualquierfuentereal de fem, encontrastecon lo que se suponeen una fuente ideal. Por ejemplo,un acumulador aulomotrizse calientaalgo cuando se descarga,como resultadode calentamiento resistivo. Así, una bateríareal tiene una resis/encia¡nterna,r, ademásde mantener unafem. Esa resistencia,a veces,se indica separadade la fem (figura 28-5). Si calculamos el cambio neto de potencialsiguiendoel circuito, como antes,veremos quela ecuación(28-2) se transformaen Ir

//t:0

.F

I I'IGURA 28-5 U¡n fucntc dc fi¡crz¡ clcctro¡notrizl,ambiónticncu¡¡¿rcsis(ch:ir intcma, r. I-a palc sonrbrcadaabarcaa ias dcx.

(28 4)

A causade Ia resistenciaintenla se producelrdos modificaciones.Una es que /rz diferenciade potencial ctúrc Ins terntitnles de una batería ya no es tan sólo rf; está expresada, en vez de ello, por con resistetrcia intema: V : é' - Ir.

(28-s)

ka diferenciade potenciales futrciónde la comiente.Dependiendode la dirección rlelflujo de la corriente, el voltaje entre las tem¡ina'lesde una bateríapuedeser mayor o menorque la fem de ésta.2La segundamodificación"esque la corriente dependede ia resistenciaintema. De acuerdo con la ecuación (28-4),la corriente en nuestro circuitoes I_

r* R

(28 6)

Compare estaecuacióncon la (28-3). : Si ha¡ rtru scgrurdafucnlc dc fcnr cn cl circuito, la corricnte pucdc entrar en la tcrmi¡ral positiva do um . , ¿ i : i r ac .o r n ov c r c nr o scn la se cció n2 8 - 2 .

A causa de l a rtsi sl enci a i nterna. tl potenci al entre l as tern¡i nal es dc un¡ b;rteri a es rl i sti ¡¡to ¡ su fenr.

81ó Cr¡ritulo dirccta

28 C¡.o¡tos

dc cotr¡c¡¡tc

Podemosver, elr la ecuacióro,.{28-5), qr.repara pequeliasresis:i:.:..r .: ::- :._ : potencialentre las tenninaleses aproximadalne¡rte igual a la iue::: ¿.:: :-- : -: Esto es igualmenteválido si no,frayoorrie¡rtealguna,de rnodo que .a t;.:. : : :. : : :^: p o te n c i a l e n tre l astermi nal estambi énesl ai ndi caci óndel afemcua¡.i :-:::s: '. - : : externa,o de carga,en el circuito, es muy grande.Se aconsejaque la resisie::.1 _-.--; sea pequelia,pero es útil recordarque cuandodecirnos"pequeña",nos :e:e:_- :; r ¡I que seapequeñaen compafacióncon las resistencias internas,que \.ar;ai::e :: _:::: con la aplicación.La resistenciainterna de un acumuladorautornorriznc;;.:. :s menor que 0.01 C),pero puede ser hastade 0. I Q para urra pila seca.E:l ::-.::.-.:: casos, la resistenciaintema es tan pequeriaque se puede igrrorar err los a¡:a.ls:s:: circuitos eléctricos.Es curioso,pero los acumuladoresordinariosse agotanal ;:-.: del tiempo,no porquedisminuyasu fem, sino porqueaumentasu resistenciail:e:-,.: de tal modo que disminuyela corrienteque puedesuministrar. EJ EMP L o 2 8 - 1 S e ti enen dos resi storesdi sti ntos,con sus respeciir , resistencias Rr = 5.00 Q y Rz = 10.00 C),y urro de ellos se puedecolocaren e. circuito de la figura 28-5.La fuerza electromotriz, E,y la resistenciaintema, r , de la baterla,sc desconocen.Cr¡andose itrtroducesólo R¡, la corrierrtees /¡ 0.291 A, y cuandosólo estáR2,la corrientees /2 : 0.147 A. Calculedy r. SOLUCION:I{ay dos incógnitas en este caso,E y r, y dos distirrtasecuaciones corr las que se puedendetennilrarlas conientes.La ecuación(28-4)se emplea dos vecesparalas dos corrientesy resistencias distintas,darrdo 6-l tr-11I{r:0, €-l .r-/2R 2:0. lrlultiplicarnosla prinreraecuaciónpor 12,yla segundapor.I¡y las restamos,para despejará, y encontralnosque

€:++(Rz - R,). Si introducimosestoen cuaiquierade las dos ecuaciorres anteriores,podetnos,a su vez, despejara r: r:

I2[< 2- ItR l -1 -' , - I,

La evaluaciónnuméricada cornoresultado

(0.291 AXO.l47 A) 110.00 f¿ - 5.00a) : 1.48V 0.291A -0.141 ^

c¿) (0.147 1 4X5.00 AXl0 00o) - (0.2e : 0.10Q. ---0.2e1

f -únT--

Potencia eléctrica y baterías Una fuente de feln (o de energfaelóctrica)es tambiénuna fuente depotenc¡a e:¿.:'::: La potencia es la rapidez a la cual la fuente entregaenergía.De acue:Ccc::.: ecuación(27 -30),la potenciade la fuentees la caídade potenciala tra\'ésde l: :::..:: multiplicadapor la conienteque pasapor ella.Parauna fuentede fue¡zaeleci:c::: --; rf . tenemosque D _ '¿I

-A.

o a o o o o I

o o o o a o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

t

o o

o o o o o o o o o o o o o o o o O o o o 'O o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

Veamoscómo funciona estopara el circuito de la figura 28-5.La ecuación(28-6) nos diceque á estáexpresadapor I(r + p1,siendo 1 la cor¡iente en el circuito, y r y R las internasy de carga,respectivamente.Si empleamosesaecuaciónpara resistencias 6 en la ecuación(28-7), vemos que P:

I:R - I:r

E1: dc um Clroitm de Kirchhoff

cpin pan

_vle rtgle un cidiro

(28-n)

Esteresultadolo dicta la conservaciónde la energía.I-a potenciaeléctricade la fuente de fuerza eiectromotriz está formada por la suma de las potenciasdisipadas en las tanto internacomo la de carga. resistencias,

y LA.REGI-ADE 28-2 crRcurros DE UNA ESprRA. KIRCHHOFF PA.RA.UN CIRCUITO Un c ir c uit o de u n a e s p i ra e s u n o q u e c o n s i s teen un sól o trayectode l a corri ente. El circuitosimple que se describióen la Secc.28- i (figura28-5) esun ejemplode un circuitode una espira.Es útil repetirel ejerciciode ir siguiendoel circuitoy examinar el cambio de potencial en cada paso, y para hacerlo lo volvemos a presentaren la figura28-6acon diversospuntosseñalados. El potencialse graficaen la figura 28-6b, y en él seguimos al circuito en la dirección de la corriente, definiendo el potencial cero,arbitrariamente,en el punto a. La parte en el interior de la batería,por lo general, no es accesible.Como no nos interesanlos detalles, en la figura 28-6a trazamos la resistenciainterna, r, como si estuviera separadade la fem, y en la 28-6b trazamos el aumento de la fuerza electromotriz como si fuera gradual. No hay calnbio de potencialcn un alambre ideal conductor.En uno real, hay algo de resistencia,muy pequeña, pero,por lo getrcral,no se toma elr cuetrta,a tnenosque se etnpleenalatnbres muylargos. El que el cambio de potencialal ir por el circuito completoseacero,es tan sólo unaconsecuencia de la conservaciónde la energía.Si hubiéramosseguidoel circuito enla direcciónopuesta,contrala corriente,todoslos cambioshubieransido del signo contrario,pero el resultado final seguiríasiendoque el canrbiode potencialen un

l- -

Bal c na

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¡ 'l ( ;tJ R A 2tl - 6 ( a) U nc i r c L::i - i ' t r. i r, i -, i : ' nxrslrarrrkl lir ft:nl(l ).a pasrslr';[ i -': "-! rr' y c l n:s i s l or r l t:c ar gal R ;' I' " -: -. : ; . : ' ¡ x l l t:l r c i al ¡ x r r a l os ¡ r r i ; [)art(; (a).

818

il

Capítullo 28 Ctmttos dlrccra-

,+

.-tl-o

dc coric¡rtc

l)trrccirin rlo nviulct: l,

Ái,,/,= I j, - \',,.==6

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FIGURA 28-7 Rcglas para difcrcncias dc poncncial a travós dc elcmcntos dc circuito.

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... r\',,t,= tR

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, .,=*.? ( T *---Jf-t",',-(

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lt ¿\vir, -

-

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C

C

circuito colnpletoes ccro. En cl co¡¡tcxtodc los circuitos,n csta lcy sencillasc lc dn el nombre especialde regla de Kirchhoff para una espirn:2 Le sumade loscambiosde potenciala Io largode un circuitocerradoo trayectoria cerrada es cero,o see

Regla de Kirchhoff para una espira

I

L V= 0 .

(2 8 -9 )

tmyctoria cma
L" ."gtu parauna espirase aplicaicualquier trayectoriacerradaelr cualquiercircuito eléctrico. Cuando se traza utl citcuito elr un diagfarna,puedelt tetrersetnuchas trayectoriascerradas,y la regla del circuito cerrado,aplicadaa las diversastrayectorias, es una herramientaimportantepara detenllinar los paránretrosdeseadosdel circuito. En la figura 28-6asólo hay una trayectoria,o bucle,cerrada. Al aplicar la regla para una espira, necesitarnoscoirocer las diferenciasce potenciala travésde diversaspartesde un circuiio. Por ccnsig';iente,es útil ¡es::::::: lo que hemos aprendidoaquí y en capítulosan:e¡ic:esa.eica de los cr::':i:-. :e potencial,AIl, a travésde elernentosindividualesCel c:;:;irc qt-1S:r:. 3S-- : Reglas para diferencias de potencial e través de elenlentos de circuito

l . Al p a s a r d e l a termi nal negati vaa l a posi ti ra i e u;: bal er:ac::.: :-: : - : e l e c tro m otti zes á. el catnbi ode potel rci ales posi ti vo, -\t' = - /. A l ;¡ s¿: d e l a te rmi nal posi ti va a l a negati va, el carrrbi ode pol enci rl es;i ega: : i: " L V " -é .

,

Ilz

Rr

2. Al pasarpor una resistencia,R, cn la misntadirecció¡tque la corriente,1. e. = -IR. El signo es opuesto,LV cambio de potenciales negativo, -IR, ^V al en sent¡docontrario al de la corriente. ^vanzat 3. Al avanzardc la placacon carganegativaa la de cargapositivaen un capacitor de capacitanciaC y carga Q, el canrbiode potenciales positivo,AV = *QlC. El cambiode potetrcialesnegativo,AV: -QlC, cuandoavanzamosde la placa con cargapositivahacia ia de carganegativa. En la operaciónde estado estable,no puede pasar coffieilte a través de un capacitor.En estesentido,el capacitorfunciona colno un internrptorabierto,que r's un lugaren el que hay un espaciolibre en un collductorpor el que no fluye la corriente.

,---*F¡

l?",,

Rcsistorcs conectados en scric (l*

(b)

I

FIGURA'Z8-8 (a) !!.¡zircuitocontrcs rcsistorcs concclado\qnscriccquivalcal circuito(b),conun rcsilqr cuyarcsistc¡lcia esR*.

Apliquemos ahorala regla de la espiraal circuito que se ve c'n la figura 28-8a.qL:i consisteen una fuerza electromotrizy tres resistores.No tolr)arct¡loscr) cur'rlta:: resistenciaintenlade é. Iniciamosen un putrtoo, y avanzatnoshaci:rla t)íitl'rlae:.e.

2 Estarcgla,cuyo no¡¡brc c^scn ltonordcl físicoGr¡"slav Kirchhoil',rlt:lsiglo X lX, larrrbiénsc ll¿r: sr¡ -'.:¿ lcy dc Kirchhoff.

o o o o o o o o o O o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o o o a o o o

t

sentidode las manecillas del reloj, siguiendo la dirección supuesüade la corriente. (También podríamos avanzar por el circuito en Ia dirección contraria.) De acuerdo conla regla de la espira de Kirchhoff, la ecuación (28-9),

¡. 28-2

Clroltos dc "ndc Ktrchl.off

spin f b ¡q¡¡ pan @ €qsrtu

-tR ,- l R r-/R .:6.

L L V :8 Despejandola corriente, I-

6

R r+ R 2 +R j

(28-r0)

Comparemosel circuito de la figura 28-8a con el de la figura 28-8b. Se dice que los tresiesistores de la figura 28-8a están conecüadosen serie. Deseamos determina¡ un resistorúnico equivalente, Ro' que, cuando remplace la combinación en serie, permita quepasela misma corriente en el circuito. Esta operación le recordará al lector la combinaciónde capacitores conectados en serie y remplazados por un capacitor equivalenteúnico, en el capítulo 26.La coniente en la figura 28-8b es,simplemente, I-

"A p "co

"

La comparaciónde las dos ecuacionesanterioresmuestra que la resistenciaequivalentea un conjunto de n resistoresindividuales conectadosen seríe se calcula mediante la suma: par anr es i s to re s c o n e c ta d o s e n s e riRe..; : R , + R 2 + R , + ...R n.

(28-l l )

El análisisde ci¡cuitos de una espirapuedesermuy sencillo.Por ejemplo, veamos denuevoel circuito de la figura 28-6a,que tieneun resistor,R, y una fem, á',y una ¡esistenciainterna, r. Los dos resistoresestán conectadosen serie, y la resistencia equivalente en seriees r + R. La corrientees Ia fuerzaelectromotrizdividida entrela ¡esistencia total, / = 6lC + R), que es el resultadode Ia ecuación(28-6).

Resistencia eqr¡ivalente de resislores conectados en scrie

E JEMPLO 2 8 -2 Se ti e n e e l c i rcui to de l a fi gura 28-8a,en el cual Ia resistenciainternade la fuerzaelectromotrizes lo suficientementepequeñapara pasarlapor alto. Calculela corrienteen el circuito si 6 = 12 V, Rr = 2.0 (l ,y R2: R3: 6. 0 O . SOLUCION: Comenzandoen el punto a, enrpleamosla regla de Kirchhoff de una espira,y recorremosel circuito cerradoen el sentido de las nranecillasdel reloi. Tetremosque + é ' - IR , - tR , - /R r:9, L A V: en la cual /es la corrietrtedesconocida.Despejandoesacorriente de la ecuación se obtiene

/:---!----: R r+ R 2 + R .r

t2v 12v :14,,:0.86A. t.oc¿+6 . 0 c ¿ + 6 " 0 c ¡

Podríamos ver también que los tres resistoresestán conecladosen serie y, empleandola ecuación(28- I l), sumar susresistenciaspara obtenerla resistencia equivalente, 2.0 {2+ 6.0 Q + 6.0 O : 14 O . El resultado de la corriente es. entonces,(l2V)l(I4 O) :0.86 A como antes. EJEM PLo 28 -3 Calcule la corrientedel circuito de dos bateríasque se presentaen la figura 28-9. Los valoresde las fuerzaselectromotricesy resistcnc ias s on é' f 6 Y , ry - 0 .4 Q, R ¡ = 3 C l , rz:0.1 Q, E 2: 72V , y& : l 0O I

SOLUCION:Suponemos que la corriente pasa en la dirección que se indica, y avanzamos en seritido contrario al de las rnanecillas del reloj, siguiendo el

I'fG tJ Itr \

2fl - 9 l:j('i¡:lri.) -

820 Capítulo 26 Cl¡
circuito, desdeel put.rtod (tan sólo pata mosttar que los resuitadcs:--:-s:: - 5;:i¡ .u de la regla de Kirchhoff de la espirani dependende la dirección se-eu::: :dirección supuestade la corriente.4La regla de la espira da como resii::.?¡ll nV : t-

E, * E, r , . |. R o +1 2 +1 1 3

* /r,

- ,9, + IR o+ 6' 2+ /r2 * 1R -.,: Q.

6 V - 12V

o- +o' + r o- o+ 0.1o + i o

:

-6 t'

: l3i o - - :

El signo menos indica que hemos supuestouna dirección equivocada:¿ -¡ corriente. La dirección real, que toma la corriente, es opuesta a la de la ig::= 28-9. Como la fem dt es tnayor quc la d',, nos podríamos haber dado cue:::¿" razonandofísicamente,que la corriente debe desplazatseen sentido contra¡ic ¡ las manecillasdel reloj. No esnormal que dos fuerzaselectromotricesse opc¡g{ en circuitos de una espira, excepto cuando un acumulador carga a otro.

y LA REGIA 28-3 crRcurros DE vARIASESpIRAS DE KIRCHHOFF PARA NODOS

t l. l FIGURA 28-10 Dos circuitos tlc va¡ias csplras.

No todos los circuitos son tan sencilloscomo los que hetnos descritohastaahora. Veamos los dos circt¡itosde la figura 28-10. Sotr ejemplosde circuitos devariu espirns, que tienen unn utriótt, nodos, qlrc son lugaresetr los que se encuentran, cuatrdo ntenos, tres conductores o alalnbres. Las corrientes que entran a un nodo dividen su flujo hacia las diversasramasde la unión. El circuito de la figura 28-10a tiene dos nodos de cuatro coltductores,y cl
Regla de K i r c h h o f f p a r a n o d o s

I/o,*,L = I /.",,u".

( )9.-

La ecuación(28-12) es válida para cadaempalmede un circuito de variasespir:s. Varias veceshelnos empleado el flujo de agua como análogo nrecánico útil c:. flujo de corriente eléctrica.La conseryaciónde la corriente en nodos es análc-:¡

acua¡rdo suponcmos la dirccción dc la corricrrtc, no haccnros nuis quc frrmitin¡o-. :s:¡.:;:: -= quc, cn riltinlo tónnino,detcnninarin Ia corriclrlc.L¡s solucioncsdc esasc€lracionc..ic:::-*:¡- 'ccrncionc^s su dirccción. I-o que sucedc no es distinto quc c';.r. i: .¡ ::::=,-¡ signo dc la corriente, o, cn otras palabra^s, q u cla so lu ció n d e ur¡,accuaci ónal gebrai ca,paral ,csunval orncgati vo,cnl ugardc¡i osi ti r:.::¡ s :.:--,¿::

a

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e o o o o o a o o o o o o o o o O o o o o o o o o o o

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o o o o o o o o o o O o o

lo lo lo lrO a o o o o o a o o o o O o o o a o O o o o O o o o o a o o o o o a o o I a o o t o

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(b) I'IGURA 28-1f (a) Circuito de dc b**lcs y dos nodos. @) Los aas ra¡nalcs dcl circuito sc indican de forma distinta.

a la conservacióndel flujo de agua en la unión de dos rios: el flujo total de agua que entraen el punto de afluencia debe ser igual al flujo de agua que sale. Solución del comportamiento

de circuitos de varias espiras

Veamoscómo nos ayudan la regla de los nodos y la regla de la espira a despejarlos valoresdesconocidosen los circuitos de varias espiras.Se tiene ei ci¡cuito de la figura 28- lla, Lac o rri e n te p a s a e n tre c a d a n o d o .Tenemosasíl ascorri entes I¡, 12e\en trespiernas, o rantalcs, afed, da y dcba, respectivamente(figura 28-1lb). Podemos postularla dirección de las tres corrientes,en forma a¡bit¡aria, pero, como veremos, lasecuacionesalgebraicasde las conientes las determinarán.Si esasecuacionesdan comoresultadoun valor negativo paracualquierade las corrientes,esacorrienteviaja, en¡ealidad,en direccióncontrariaa la que habíamospostulado.Se puedeaplicarla reglade Ios nodos en las unionesa ;- d, paraobtener para el nodo a:

It + It: Iú

(28-I 3a)

para el

I¡= Ir+ [r.

(28-l3b)

Esasdos ecuacionesno son independientesentre sí. ¡De hecho son idénticas! Esto sucedea veces cuando se aplica la regla de los nodos, pero lo mejor es avanzaLt y formular una ecuación para cada nodo, y a continuación comproba¡ si son i¡dependientes o no. Ahora necesitamosaplicar la regla de la espira acada uno de las espirasen la figura 28- 1 1a.Según la idea de que el número de nodos independienteses el número de huecos distintos en el circuito a través de los cuales podrfa pasar un lápiz, este circuito tiene dos espirasindcpendientes.Pero podemos trazar tres espirasposibles, lasque s e ind i c a n c o n l o s n ú me ro sc i rc u l a dosl ,2y 3, si endo3 el que abarcael perímetrodel circuito. Sólo dos de estastres espiraspuedenser independientes.Como espirasindependientespodemosescogerdos espirascualesquierade las tresposibles. Antesde escogerlas,apliquemos la regla de la espira a las tres, y comprobemosque sólo dos son independientes.El punto a es parte de cada uno de las tres espiras,de modo que, por comodidad, comenzaremosen el punto a y aplicaremosla regla de la espira,de la sección 28-2, recordandolas convencionesde signos algebraicospara las diferencias de potencial. Se desptecianlas resistenciasintemas de las dos fem. Avanzamospot cadaespiraen la direcciónindicadapor Ia flecha:

parala espiral:,:'[v: + I 2R2+ parala espira2:

-Ez * 1.R, - 1rR2: 0;

parala espira3: -Ez * 1¡R',* 1,R, - Et:0.

(28 t4a) (28-14b) (28-14c)

7 822 Capirulo
28 Clroltos

dc cotr¡cntc

Esas trcs ecuaciol¡csde la tegla de ia espiraetl realidadrro son indepcrrdientes; l: suma de las dos primeras produce la tercera. Si toma¡¡os una de las ecuacione-. (28-13),la regla de los nodos,y las dos primerasecuaciones(28-14),que procedei de la regla de la espira, tencmos un total dc tres ecuacionesdc las cuales despejar las trcs incógnitas 11,12 e /3. Si introducimos valores de resistenciasy fuerzas podemosresolverlas tresecuacioneslinealesde las corrientes. electromotrices, El ejemploen el que intervieneel circuito de la figura 28- I I muestraparticularidadescomunesa muchosproblemasde circuitos.Podemosresumirlas propiedades itnportantes,en un conjuntode técnicasde soluciónde problelnas. TECMCAS DE SOLUCION DE PROAI¡MAS En problemasreiacionadoscon circuitosde vrrriasespiras,debernoscalcr¡larlos parámetrosdesconocidosde circuito,como resistenciao corriente,cuandose dan otros parámetros.Para resoiver esosproblemas,puedeser útil el siguiente proced i m i e n to : 1. Trace un diagratnaen el cual se encuentretrclaralnenteespecificadosfuentes de fue¡za electromotriz,resistores,capacitores,etcétera.Haga una lista de cuálesparámetrosse conoceny cuálesno. 2. Asigne una coriente separadapara cada ramal del circuito, e indique esa lfneadel circr.rito que se inicia conienteen el diagratna.U¡r ratnalescr.ralquier y terrninaen nodos,pero que en sí no incluye un nodo. Por ejemplo,las tres lineasposiblesque unen a a.con d en la figura 28-l lb son ramales.Puede obvio el sentidoetr el que pasala coffiente.Se puede no ser inmediatamente suponercualquierdirección de la corriente,y la soluciótralgebraicafinal determinarála dirección conecta. Si la solución de una corriente sale negativa,nuestrahipótesis inicial sobre el senticlode la corriente estaba equivocada. 3. Aplique la regla de los nodos para las corrientesen cada'nodo.Si el circuito tiene M nodos,entoncesM - I ecuacionesque relacionana corrientesen entresl. los nodosseránindependientes .1. Identifique el número de espirasNcontando el número de manerasdistintas en las que ellápiz puede pasar a través del circuito, lo cual es un procedimiento sencillo para circuitos en un plano. Indique ^lfespirasen el diagrama, Por ejemplo,las espirasidentificadoscou l y 2 en la figura 28-11a. 5. .A.pliquela regla de la espira a cadd uno de estasespiras.

i.

6. Compruebeque el número de ecuacioneslinealesen los pasos3 y 5 coincida con el número de incógtritas. 7. Resuelvaestesistemade ecuacionesy calcule las incógnitas,seanconientes u otfos pafámetrosde circuito. Convietre,normalmente, resolver algebraicamenteesasecuacionesy sólo hastadespuéssustituir los valoresnuméricos. Cualquier caso especial,o límites sencillos, se pueden comprobar con facilidad de estemodo.

Resistores conectados en paralelo Igual que como pudimos conectar capacitoresen paralelo, decimos que los trcs resistoresen el ci¡cuito de la figura 28-12a estánconectadosen paral¿/o. Desearncs sabersi un resistorúnico equivalentepuedeo no remplazarlossin afectarIa cor¡ieni: lque suministrala batería,como en la figura 28-12b.A partir del circuito sencilloce la figuta 28-12b, vemos que R.c : 6'l , de tnodo que podetnos detennina¡ R.q s. podemoscalcular.I.Parahacerlo,tecurrimosal análisisdel circuito de tres espiras; cuatro nodos de la figura 28-12a.En esaftgura estánidentificadaslas corrienlesq::

I

L,

a o a o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o a o o a o o o o o o o o o

o o o o o O o o o o o o O

o o o

Ol

O, Or

o/

O,!

o

o' o o o o o' o o o o o o o o o o o o o o o a

t

"qr I 2&3

R1

E

FIGURA 28-f 2 (a) El circuito cúr L'Es r€sistor€sconcctadosen paralelo eguivalc r (b) cl circuito con un rcsistor cu,'-a resistenciacs R*.

(b)

(r)

y h re¡Il dc m cpin Clrultc dc Klrchlrcffpenmcirolrc

calcular para determinar la resistenciaequivalente.En los tamales del necesitaremos punto d al punto D, o del d al c no están identificadas las corrientes. No las identificar,porque la aplicaciónde la regla de los nodosen las uniones necesitamos b y dindicaque la corriente de ¿ a b es In6: Iz + It,y que la corriente de d a c es I¿, 'Iz+ It. Por consiguienle,1,,6= I¿, - Iz * It. Aplicando en a la ley de los nodos, obtenemos I: It * Io ¡: Ir + 12+ [3. (28-15) Hubiéramosobtenido exactamenteel mismo resultadopor aplicación de la regla de nodosen el nodo c, de modo que las uniones a y c no son independientesentre sí. Asl hemosaplicado todas las reglas de nodos (paso 3 de las técnicas de solución de problemas). La aplicación de la regla de circuito para los tres bucles indicados en la figura 28-l2a produce lo siguiente: á - l rR r : 0.

P a ral a e s Pi ral :

:0'

p a ra l a e s Pi ra 2 :

-l r R r+ /rR r

p a ral a e s p i ra3 ;

* /rR . + I2R 2: 0'

Bas tresecuacionesse puedetrescribirde la siguienteforma: E :

ItR r:

I2 R 2: /¡R ¡.

Cadauno de los tres resistorestiene el mismo voltaje, V = I . a travésde ellos, de tnodoque las corriet¡tesson It :

I R ;'

t'' :

6 R,

"

/t:

I R.

de la ecuación(28-15),es La'corriente,

r:!_ +LR ,+t_R .:r(L* a* l) Rr R r' \R ,

R r/'

El circuito de la figura 28-l2a se puederemplazarpor el equivalentede la figura 28-12b,con la misma fem, á, y corriente, I y con una sola resistenciade valor Ro,. La corrienteparaestecircuito tiene el valor I:t.

R"u

Lacomparaciónde lasdos ecuacionesanterioresindicaque la resistenciaequivalente der resistoresconectadosen paralelo es par alr r es is t o re s c o n e c ta d o s e n p a ra l e l o ,+ --1-* -!-* -L* RJ Rl R2 \q

" ' .+ '

(28-16) &

Nóteseque la resistenciadel ¡esistor equivalentees menor que cualquiera de las de losresistoresindividuales:R* < Ri.

R csi srenci acqui va t enr ear csir or e¡ p"""r.ro "on""irao."n

I

82,4 Capitulo 2E C¡rcr¡¡ros dc corrl€r¡tc dirccta

28- 4 R eduzcael ci rcui tode l a fi gura 28-l 0a a uno de u! - r a E J E M PL o espira con una bateria y determine la resistenciaequivalente. SOLUCION:Las resistenciasRt y R3estánconecladasen serie y puedenlemplazarse Por R7 : R, + ftr. Igualmente, las resistenciasR5 y R6se puedenremplazaf con

Rr:R-t+Ru' por el de la figura28-13a. El circuitode la figura28-l0a quedasustituido en paraleloy sepuedenremplazar R7,& y Reestánconectadas Las resistencias por &, comoen la figuta28-13b,mediante llll

&:&t&*R; Por último, como en la figura 28- 13c,las resistenciasen serie,Rr y .&; se pueden combinarcn Rls:

llro: ¡r * Rs' del ci¡cuitode la figura28-ll EJ EM PLo 2 8 - 5 Determinelas corrientes : 10.0Q, y R¡: 80.0O. : V, R2 100.0 O, pala E1- 6.00Y, Er= 12.0 Rr SoLUCION:Sigatnoslas técnicasde soluciónde problemas.El diagramaelécestánidentificadosen la figura28-l l. trico ya estádado,y todoslos parámetros son e En estecaso,las incógnitas ^I¡,12 \. Además,ya hetnosfonnuladolas para estecaso,las(28-13)y (28'14),respectivay denodos espiras ecuaciones y escogemos la un único independiente, paso 3, hay nodo mente.Segúnel y escogemos paso 4, espiras independientes' ha,r'dos el (28-13b). Según ecuación (28-14a)y (28-1ab)paralasespirasI y 2. Tenemostresecuaciolasecuaciones nesqueresolverconlas tresincógnitas. sustituimos1, = Iz* It, segúnla ecuacióndel nodl, en las Pararesolverlas, de la espira: ecuaciones (28-t1a) I2R 2 + (1; ' :- /3)R 1 E , : Q' -6:-/,R .-/rR r:9.

(c )

(28- l 7b)

De la ecuación(28-l7b) despejanrosa 13: I2R 2+ E 2

,

FIGURA 28-13 lJjc.mplo28-4. Succsióndc al do la figura 28- 10a. circrlitosequival<:ntcs

n'

A- 1

Cuando introdncimoseste resultadoen la ecuación(28-L7a),llegamosa una ecuaciónpara12: 1t, /2(RI + R :) -r (12R 2+ E r) -R . - €, : 0. Despejandoa /2, obtenetnos

t':

p r

,r16,

*,&t* o¡i

¿n'

(28-tel

Si sustitulmosesteresultadoeu la ect¡ación(28-18), llegatnos*runa ecuación final para.[: T_

R 2(E t+ E )+ R ó2 R ,,R r+ T" R 3+ R

P

Por último, 11es la suma de 12e I3'. R r(d' , + d2)-f /{rdr I, : ¡¡R , + R ,R ;+ R ¡. '

l?R -

a o o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

Las ec u a c i o n e s(2 8 -1 9 ), (2 8 -1 0 ) y (28-21) son l a sol uci ón al gebrai ca que buscábamos. ¿Habrá un limite con el que las podamos comprobar? Si hacemosque R2 sea grande, podríamos esperar que haya tanta tesistencia en este ramal, que la comiente 12debería bajar a cero. En verdad, en este lfmiti, (f', + f))l (Rt + R ), 1, tiendeal mismo resultado,e 12 *0, Es precisamente I| lo que cabrla esperarpara el circuito si se eliminara el ramal que contiene a R2. La sustitución numérica directa de los parámettosconocidos de circuito en las ecuaciones(28- I 9), (28-20) y (28-21) da como resultados

28-3

Clrcr¡ltm dc um epin _vLe rc¡ie un ciror&¡ dc Klrchhoffpan

/r = 68 mA, /3 = 141 mA, e 12= -73 mA. Nóteseque .I2es negativo, lo que quiere decir que pasaen dirección contratia a la que supusimosen la figura 28- I l.

/?r

y l as resi sten2 8 - 6 Su p o n g aq u e l a s fu er¿asel ectromotri ces E J E M P Lo ciasseconocenelr el circuitode la figura 28- l0b. Deduzcalasecuacioneslineales quese puedanresolve¡para calculartodaslas corrientes. SOLUCION:Como las corrientesno están indicadasen el diagramaeléctrico, lo volvembs alrazar, con las cor¡ientesindicadasen cada segmentoseparado,y tambiénidentificamoslos nodos (figura 28-14). Hemos indicado tres espiras distintasen el circuito. Hay 6 corrientes,pero cuandose aplica la regla de los nodos,una de las ecuacionesno seráindependientede las demás.Así, podemos escogertres nodos cualesquierapata aplicar las reglas de los nodos, con lo cual obtenemostres ecuaciones.Las tres ecuacionesde las espirasson las restantes que faltan. Las seis ecuacionesson: p a ra e l n o d o a :

l t : I z * l s,

p a ra e l n o d o á :

lz:

p a ra e l n ó d o c :

l o + I t : 1,,;

pata la espira l:

ó -l rR r-l 2 R r-/rR r:g'

para la espira 2:

- /rR , + I4R 4+ /rR . : 0;

para la espira 3:

-/o R o + / j R r-/.rR o:g.

It*

o

d

FIGURA 28-14 Ejcmplo 28-6. El ci¡cujto dc la figura 28-lOb sc idcntific¡ con cspiras y nodos para su soh¡ción mc
I¿i

Con pacienciasuficiente podemosresolveresasseisecuacionescon setscottlentesdesconocidas.

deestadoestabl e, I¡e12,enel E J E M P LO 2 8 - 7 D e te rm i n e l a s c o r ri entes que del resistot que origine de la figura 28-15, al igual la resistencia R¡ circuito una corriel¡tede estadoestable,/3 " 50 mA. Además,calcule Ia caldade potencial a travésdel capacitor.l,os valotes conocidos de los elementos de ci¡cuito son ,l = 6Y, Rr - 100 f), Rz - 80 Q, y C :2 ¡rF. SOLUCION:Este problema es desacostumbradopot dos razones.Hay un capacitor, y estamospreguntando los valores de dos corrientes, I e 12,y una resistencia, R3,en lugar de tres corrientes.En el circuito hay dos espirasy dos nodos, peto sólo un nodo es independiente.Por consiguiente, habrá ttes ecuaciones,que bastanpara determina¡ una solución. Como ya hemos hecho notar, no puede pasar coniente establepor un capacitor,que por lo tanto funciona como un internrptor

Il t

tt

;:t

Rr^

FIGURA 2&15 Ejemplo 2E-7.N;is --¡ cn fwrcionamicnto dc cstado cs¡:--' : capacitor funciorvl co¡Tlo'ül ;,lc=-::::r abiclo, a pcsarque ha¡ a r cl:.:-: ¡ -- , :". r srrsplacas.

1 cero,y entorlces,de l.recho, es un circuito de una sola abierto,La corriente.Iqserá preocuparnos por para la espira 2. la ecuación necesitatnos espira.Ya no sencilla.Cualquiernodo da It - Iz' La ecuacióndel nodo es especialmente 13,/ coño 12' 0, I¡ - /¡ '" 50 mA, La resisteñcia,R3,se calculacon la ecuación de la espira rf-l 1R 3-/' R ' :9' 8 -1,R , ^ --l . --:It.=

6-l ^l < t /,

6V -(50mA X l 00A ) l orn

.n^ :Lv\¿'

Para determinar la caída de potencial, I/,-,a través del capacitor,nolaremos que la ecuaciónde la espiraparala espira2 cs válidaaun cuatrdono hayacorriel)te en la espira.Corno csta ccuaciónexpresacalnbiosde potencialalrededorde la espira,nos dará I/6. Iniciando en el punto a, y siguiendoel circuito indicadoen la figura 28-15, FICIIRA 28-16' A pcsar dc habcr sido rcmplazadoscn muchas aplicacioncs ¡rcr los i¡Etn¡mcntos digitalcs, los multímctros analógicos,como cl dc la figrtra, sigucn utiliándosc. '

El primer ténnino no contribuye, porque /2 = 0, de modo que

' Vc: E - IsRr:6 V - (50mAX20f)):5 V. Nóteseel signode la diferenciade potencialentrelasdosplacas.El potencial decirquela de la placaI a la placa2' lo queqr,riere aumentact¡andopasalnos placa 2 sehanacu¡nulado mayorquela ¡llacal, En la placa2 estáa un potencial cargasPositivas.

2S-4

ilr)

FIGURA ?A-fi @) Un amporímctro sc co;rccLacn scric (londc sc vaya a mcdir la c¡ricntc. La rcsistcncia dc un am¡rcrÍmetro iel'c scr ¡rcqucña,para no cambiar la c.:ricÍric. @) Diagramaclcctrico dol cl ¡c : . : o.

INSTRUMENTosDE MEDIcIoN

de circuito, Hemosmanejadolibrementecorrientesy voltajesen diversoselementos Paraestefitt se pero hastaahorano hcmosdicho córnose miden esascantidades. en unos cuentacon una gran variedadde instrumentos, Peronos concentfaremos voltaje o resis'tencia de corriente, de que las cantidades pocos.Independlentemente se midan con carátulasanalógicas(por ejemplola de un reloj), o con pantallas detalladode esasmedidel tnecanislno e independientenlente digitales(numéricas), para quelos instrumentrcs principios generales determinados ciones,sedebenrespeta¡ que Llamaremos del circuito miden. funcionamiento el de mediciónno distorsionen que mismos. detallarlos instrumentos la atenciónsobreesosptincipios,más I.os amperimetrosmiden la coniente,los voltímetrosmidenel voltaje,y los óhmetros miden la resistencia.Con frecuenciaesosaparatosse combinanen un instrumentollamado multimetro o VOM (volt-ohm-miliamperímetro)(figura usanun galvanómetro, 28-16).Las versionesanalógicasde esostres insttumentos Un galvarróen el capítulo30, quesebasaen efectosmagnéticos. queestudiaremos "G" circulada,consladeunabobinadealamb:: medianteuna metro,queserepresenta quegiraenun campomagnéticoproducidocuandounacoffientepasapor el alalnb;e. Una agujasedesvlaunacantidadproporcionala la corrientequepasapor la bobina.

Amperímctros

L n amperim e t r o d e b e t e n e r r esiste n cia pequeña.

s26

de los circuitos.El que:: midenlascorrientesen los conductores Los amperlmetros queseaun buena::,;e--.' quiere corriente no decir una hacia reaccione galvanómetro resistencia pequeña ett con;r3-3:::' tener una debe metro.Un buenampertmetro porque el ampe;::-:::: :c necesario, Esto es del circuito' con lasdemásresístenc¡as q-e :-: pasa Ia cor:ie::e del circuito a través del cuai conectaenserieelrel segmento :r aie::r-: pequeña r.c una resistencia tiene va a medir.Sólosi el amperímetro

I

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

)

I

Tcrminal

dcl

sl-

)

2&4

dc müicn]n

ltrtrumdtm

) ) ) ) I cfTnrnal ocl

)

arnpe rimctro

) ) ) ) )

(b)

{al

FIGURA 28-18 (a) El galvmómotro dc rn am¡nnmctro, indicado FFr la partc sombrc.ada,prrdc llcgar hasta sulírnitcsi pasapor il ruracorricntc dcnusiado grarxtc.(b) Si sc agrcgau rcsistor cn dcrivaciór¡ cl am¡nnmctro Esc resistorsirvc scpucdcseguircmplcando,porquc la máyor partc dc la coricntc pasapor el rcsistors,l¡un¡. paradislnirl¡ir Ia rcsistonciaintcma (otal
)

I ) )

coniente.La figura 28- l7a muestraun circuito que se va a medir con un amperímetro, que se representacotr una "A" circulada en la figura 28-17b. Suponga que la resistenciadel amperímetro es R¡, y que la resistencia en serie es R. Antes de illtroducirel amperímetro,la corrientees

)

1:

) )

I ) ) ) ) ) )

Voltimct¡o

Á.

/

de introducirel atnperfmetrc,la corrientees Dcspués t '-

)

t

A'

E R + R ,4

(28-22)

Sólosi R¡ <
)

Voltírnctros

)

Losvoltímetros miden diferenciasde potencial a travésde elementosde circuito con los que se conectan en paralelo. La figura 28-19a muestra un voltlmetro, que se representapor la "V" circulada en la figura 28-19b, que se emplea para medir el potenciala través de un resistor. La figura hace evidente por qué el voltímetro, que niide diferencia de potencial a través de un elemento de circuito, se conecta en ¡aralelocon ese elemento. Un buen voltímetro debe tener una gran resistencia,de i¡l modo que no afecte al circuito que va a medir. Si la resistencia interna del ';cltímetroes R7,la combinación de voltímetro y resistenciaen la figura 28-19b forma en paralelo,cuya resistenciaequivalentees -ricircuitocon resistetrcias

) ) ) ) ) )

llt

) ) ) ) ) ) ) ) )

h*-nn-R' delcircuitooriginal l:-rdo R,.tt R,entonces R* = R,y ningunodelosparrimetros :;:.:¡ieciado.

pA' @'

{b)

FIGURA 28-19 (a) Un voltimct¡o se concctaorrparalclocon cl clcmentode circrrilocrryacní
U n vol ti metro debe tene r una ¿ran resistencia.

Un galvarrómetroconectadoen serie con un resistor de gran resistenciap;¿:: servir como voltimetro, Si se conoce la cortiente, .I, que pasa por ei galvanónel:c. entoncesla cafda de potencial a travésdel voltimetro es, aproximadamente,1R;..Pcr ejemplo, tomemos un galvatómetro que puedamedir una corrientemáxima de 100 ;,-.{" Esto equivale a medir 10 V si la resistenciainterna se ajusta en

tt' :

Tcrminalcs dol voltimotro

FIGURA 28-20 Un galvanómctro conunn rcsistcncia grandocn scriopr¡c{lofuncionar co¡novoltinrctro.

10v i* ; io ' ? A

: lo 5Q '

Un voltlmetroanalógico es,entonces, un galvanórnetro con,,1', ,"rirto, serie,cu)'a ",r (figura 28-20). En nuestro ejemploempleamos resistencia es,Ry urrresistorde ld-Q para tenerunaindicaciónde 10V a escalacompleta,Si hubiéramos queridotenerunvoltaje V a escalacompleta,hubiéramos necesitado unaresistencia Rn= 1gz9. de 1OO0

2 8 - 8 U n vol tímetrocon 105Q de resi stenci a E J E M PL o i nternase u sa para medir el voltaje a trar,ésdel resistorR, en el circt¡ito de la figura 28-21. Comparela caidade potencialcotry sin el voltírnetrocuandoE - 6Y, Rr- 10 k O, y Rt * 5 k O. Esto describcel enor en la rnedición,originadopor el voltfrnetro mismo. SOLUCION:Sin el voltimetro, la corriente que pasapor el circuito es á/(Rt + R ), o sea,(6 \D/(10 kf¿ + 5 ka) = (6 v)/(15,000 o) - 0.4-mA. El voltaje, 21,a través de R¡ es,entonces, V t : /R r : (4 x 10-o .{ )(104O) : 4 V . Cuando se conecta el voltímetro, la resistencia R¡ se remplaza por la resistenciaequivalente, Ri, expr esada'p o r 11l l 1 = _ + _:+ Rr R, R, '

-+ 10" Q

-_:__= l .l x l 0-4C )-' . l 0' Q

R l -9xl 03O

t¿

I¡ICURA28-21n¡"*plo Za-r.

El cambioen Rl afectala corrienteen el circuitoy, porlo tanto,a la caídade i

yoltaje a través de é1.Esta caída es justamente la caída de voltaje a través de la resistenciaequivalente,Ri.

V't:IR't: l+O

(6 V )(9 x 103ñ)

= 3.9V. (9x 103ñ¡+1s x 103ñ)

I-a diferenciaentre3.9 Y y 4Y es 0.1 V, equivalentea un emot del 3% debido al voltlmetro. Mientras mayor seala resistenciadel voltfmetro, es menor el effor que se introduce.

Ohmctros tarnbiéntieneun galvanómetro y unáresistencia El óhmetro,quemide resistencias, internade referencia,R*6 peto tiene,además,una baterlade fuerzaelectromot¡iz conocida(figura 28-22a).El óhmetroprimero se calibra parcialmentetocandosus en cortolastenninales)pardqueel ólunetromida terminalesunacon otraQtoniend.o resistencíacero.La corrienteque pasaes I : El&.r. Estadeflexión de la agujaesa la marca"0" de la escala.El resistorque seva a medit, R, se alslay se conectacci la corriel:3 lasterminalesdel óhmetro,comoen la figura 28-22b.Pot corrsiguiente, conocii:. seteducea Sl(R*r+ rt). Si secalibrael restode la escalacontesistencias la indicaciónde corrientese conyierteen una indicaciónde R, y con ello tenengs nuestroóhmetro.Nótesequesi R esmuchomayorgueR*r,hay pocacorriente,¡'.:

828

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o I O

o a o o o

p

o o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o

6lt 28-4

I

a I

o

t ü

d. m.d¡ci¡m

r '+ +^" I

!r-r

tcrminatcs

I 0""*"t"-=.*1

lf CUIIA 28-22 (a) Una fucntc dc fc¡n ;l galvanómclro y una rqsistcncia dc rcfc¡cu-;¡ sc pucden concctar para forrrur un óhn¡ct¡¡. (b) Diagrama clcct¡ico del óhmct¡o.

R ( b)

agujadel galvanómetrose desvíamuy poco,de modo que las indicacionesde grandes La escaladel se concentrancercadel inicio de la escalade desviaciones. resistencias óhmetrono es lineal (figura 28-23).Si R esrnucho menor eue &.¡ la agujasc acerca a la posiciónparaR = 0f). Por consiguiente,esteinstrumentono es exactocuandose tratade medir resistenciasque sea¡ mucho mayores o mucho menotes que R*¡. Sin embargo,siempre podemos cambiar la resistenciaintema, R*¡ de tal modo qrre el instrumentose pueda emplear para medir R entre limites más amplios. El óhmetto queacabamosde describir no es el único tipo posible. En los problemasde final del capftulose describenalgunasotras posibilidades. Parala mayor parte de las aplicaciones,los apatatosanalógicosse eslánsuplantandopor aparatosdigitales, que en genetal son menos costososy más exactos.No sonraros los multfmetros digitales, con exactitud de 0. 1%. Esos aparatosemplean circuitoselectrónicos transistorizados,y sus resistenciasnormales son 10O MO, cuandose usan como voltÍmetros. Sin embargo, los instrumentos analógicos, con agujaindicadora,por ejemplo el indicador de existenciade gasolinaen el tanquedel automóvil,son rnejores cuando se trata de reconocervisualmente las tendénciasde losparámetrosque se miden.

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FICURA28-23 [arcspuctadecstcól-¡¡'ct¡:.::,: -:f,¿. :( i: - lm medir resistcnciasmucho menorcs o m:ch ;-.,:t r r:t-r ---r J úü--'xliil;iliiirir de rcfercncia.

a Capírulo dirccta

I

28-5 crRcurros ltc

830 28

Clro¡(os

a

dc comlc¡rtc

I I

Los circuitos RC son circuitos con tesistoresy capacitores,Son interesantespo¡que sus corrientesy potencialespresentancomportatnientovariable con respectoal tiempo.Paracorrientesen estadoestable,el capacitorfirncionacomo un intem:ptor abierto, como ya hemos dicho. Aun para circuitos que tienen fu entesindependientes de fem con respecto al tiempo, podemos introducir dependencia ternporal de un circuito cadavezque abrimoso ceffamosun intemrptor.Los circuitoscon capacitores, como el de la figva23-24, tienen efectosinteresantesque dependendel tiempo. Esos efectosson útiles para controlar motores, maquinaria o computadoras, En el ejemplo 28-i observamospor pritnera vez ei efecto de un capacitoren un circuito eléctrico,cuandonos enfocábamosal funcionamientoen estadoestable,con capacitortotalmetrtecarqado.Aho¡a deseamosexaminarel cotnportatnientotransiquesucedecuandoel capacitorse estácargandoo descargando. torio,más interesatrte, Veamos el circuito que se nruest¡aen la figura 28-24, con el capacitorinicialmente Cuandose cierrael irrternrptor,a la posiciórro, cuandof = 0, la coffiente descargado. comienzaa pasarde la termi¡ralpositivade la batería,y la cargapositivase comienza a j u n l a r e n l a p l aca 1 del capaci tct,nri entrasqueuna carganegati vai gual sej unt aen la placa2. La corrientepasapor todoslos purrtosdel circuito,exccptoa travésde las placasdel capacitor.Inmediatanrentedespuésde cerrar el intemrptor, la corriente tiene su valor ¡náximo, pe¡o la cargaque se acunrulaen las placasdel capacitorse., opone ai flujo de Ia carga,y la corrientedisminuy'e,Cuandoel potenciala travésde las placas del capacitores igual a la fem v se alcanzael equilibrio, la corriente disminuyea cero.Esto sucedecuandoIa cargade las placasdel capacitor,Qe,es tai que I = Q¿C. Despuésde haberalcanzadoel equilibrio¡'haber disminuidola conientea cero, pasamosal intemlptor a la posición á, ¡' sacamosla baterÍa del circuito. El circuito constaahora sólo del capacitorcar_qado ;'del resistor.La cortiente pasa por el placa placa del capacitor a la 2. La rapidez dd flujo está limitada I circuito de la corriente pero disminuye a medida que el principio, la alta, por el resistor.Al es del través resistor. capacitorse descarga a Eventualmente,el capacitof se descarga por completo, y la corrietrtebaja nuevalnentea cero en el equilibrio, Aplicarnos primero la regla de Kirclüoff de la espira, al circuito de la figura 28-24, para el itrtemrptor en la posición a, cuando está cargando el capacitor. Esa regla de la espira da como resultado

o é-tR--::0

a e a a a a a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

(28-23)

L

En estaecuación,ni la corrientetri la cargadel capacitorsorrconstantesmientrasse cargael capacitor.Cotno 1: dQ/dr,podetnosrefonnular la ecuación(28-23)como

^

^dQ o

6-K -----;=U .

o¿(

(28-24\

I

La única variable en esta ecuaciólr es la carga, Q. Aunque la ecuaciótrdiferencial (28-24) es de soiución directa, prcferimos omitir las dificultades matemáticas i' presentarsu solución: Q:

CE(l -

e-ttRc).

j'\-

.

tr

FIG URA 28-24 Ci¡cüto cmpleado para cargar y descargarun capacitor a travó^sdc un rcsistor. Cuando sc cicrra cl intcmrptor cn a, la fucntc dc fcm carga al capacitor, mic¡ltns ql¡c cl capacitorsc dr^scarga a travis dc R cuandocl interruplorsc pasaa á.

ir I

J" '1"

I

f

I

l

¡

i --

o o o o o o a

a q a

6

o .e 5 c6 0.tifi('rf

,q

= ,E

( ) .6 .1¿ (f g0

l)

O

0,.17:? K

0 (al

/tc

r =R C Ticm¡ro

zRC

3RC

Ticm¡n

( b)

I-IGURA 28-25 Rcspucstatem¡nml dc (a) la coricnlo, /, y (b) la carga, Q, de rm capacitor, cuando se carga. Laco¡stantcdc tiernpo caractcristica dcl com¡rcr'tamientocxponencial es RC. Dl valor 0.37 de la gráfica dc la corricntc,cs cl factor c-r; cl valor 0.ó3 cn la gráfica dc Ia carga,cs cl factor (l (c) Iista pantalla
Si diferenciamosIa ecuación (28-25) con respectoal tiempo, y la sustituimos en la ecuación(28-24), nos convenceremosque es una solución (véaseproblema 46), De rnásimportancia es lo siguiente: ¿concuerdafísicamente con lo que esperamos? Segúnla ecuación (28-25),la carga del capacitor es cero cuando f : 0, y se acumula 'uniformementehasta llegar a Cd cuando f = cc,lo cual estáde acuerdocon nuestra descripciónanterior. Podemoscalcular la corriente en el circuito diferenciando la ecuación (28-25) conresPectoal tiempo:

,:#:n'(#,-"^') e

R

--¡

RC

(28-26)

El signode la corrientees positivo,de modo que hemosescogidoel sentidocorrecto dela corriente,el de las manecillasdel reloj. El valor máximo de la corrienteesd/R cuandoI = 0, / la corriente es cero cuando t = co, también de acuerdo con nuestra descripciónanterior. Inmediatamente después de cerrar el intemrptor, la fuerza electromotrizde la baterfa es d = .lR, y no cae el potencial a trav& del capacitor, potqueestridescatgado.A medida que se carga,la conienüebaja a ceto, exponencialmeile. Las ecuaciones (28-25) y (28-26) indican que la dependencia Lantode la carga comode la corriente con respectoal tiempo estádeterminadapor el producto RC, al cualse le da el nombre de constante de tiempo, Tiene urridadesde tiempo; cuando Ry La escal ¡ temporal de l a dependenc i a C tienenunidades del SI, RC estaráexpresadoen segundos.La constantede tiempo de los circuitos RC con respecfo el determinacuán rápidamentese cargao se descargaun capacitor.Mientra menor sea l i errrpoestá expreseda por el produc to RC. el valorde RC, con más rapidezdecaeránlas exponencialesde las ecuacionesparaQ e 1; igualmente, mientras mayor sea el valor de RC, más lentamente cambian las exponenciales.La figura 28-25a muestra la corriente en el circuito, y la 28-25b la cargaen el capacitot, como función del tiempo, mientrasse cargael capacitor (figura 28-25c).Despuésde un tiempo RC, la corriente ha bajado a e-t = 0.37 vecessu valor original.Despuésde transcumidoese mismo tiempo, el capacitorse encuentraal ( t - ¿-t) - 63% de su carga completa. Tiene el 86% de su carga completa cuandó el tienrpoes 2RC,y 95Vocargadocuandot = 3RC. Regresemosde nuevo al circuito de la figura 28-24. Supongamosque el inte;:uptor ha estado en la posición a durante largo tiempo, que el capacitor está completamentecargado, y que no hay paso de corriente. Cuando f - 0, pasamosel rnterruptora la posición b.En el circuito sólo quedan el capacitot que se descargay :l resistot (figura 28-26). La carga positiva eslá en la placa 1, y suponemos,cotno Lites,que la coniente es en el sentido de las manecillasdel reloj. La regla del circuito l:Cicaahora I'IGURA 28-26 F: ¡::- : :,: : l,¡;:r

o

IR+ó -0.

tjc l::c;;¿:*:.: (28--27)28-24rlcspué-s intcmtptoraia ¡.:5 ¡ -,r ,

-

I

ar

832 Capítulo d¡rcct,¡

EmpleandoI - dQldt,terremos Oul_ 28 '

Clrcultc

OO. O l
dc corrlcntc

': Estaecuacióndifetencialseresuelvecon la función Q:

Q o e - 'l R C ,

t-

--

l1q-"

en la cual Qo es la carga inicial etr el capacitor, cuar)doel intem.rptorse cambia de posición, Qo: CE. La ecuación (28:29) se puede sustituir en la (28-28) pa¡a comptobar que es su solución (véaseproblema 47).La carga en el capacitor decrece en forma exponencial,su constantede tiempo es RC, y, despuésde largo tiempo, no habrá carga en el capacitor. Para calcular la corriente,diferenciamosla ecuación (28-29):

Po U

,

'

0 .1700

/

O RC Ticm¡n FIGUR^ 28-27 Carga dcl cBpacitor a mcdida quc sc dcscargacl capacitor dc la figu:a 28-26, a travos dcl rrsistor, on ftmción dcl tiempo. [.a constantodc ücmpo, caractcrísticadcl comportamicnto cx¡roncncial,do nucvo cs RC.

dQ

Qo

dr

RC-

-,,pt.

(2tr- 30)

En estecasola corrienteesnegativa,lo cual indica que la comienteteal tiene el sartido contratio al de las manecillas del reloj, en sentido opuesto al de la corriente que supusimoscuandotrazamosel diagrama.De nuevo, es rnáxima cuando f = 0, cuando la magnitud de la corriente es Qq/RC = d/R. Despuésde largo tiempo, la coniente, de nuevo, es cefo. El comportamiento de la carga y la corriente para el capacitor que se descarga por un resistor es, cuantitativamente,el que esperábamosde acuerdo con nuestra descripción anterior. La magnitud de la cor¡iente, para este caso, es la que se indica en la figura 28-25a para cargar el capacitor. En la figura 28-27 se grafica la carga del capacitorcomo función del tiempo.Nuevamente,el factor 0.37 es ¿-1. En.ergia cn los circuitos RC Es interesanteexaminar el papel de la energiaen el casode un capacitorque se carga, De acuerdo con Ia defirrición del potencial, la cantidad de trabajo efectuado por la fem E de la baterla duranteel procesode carga,es multiplicado por la cargatotal procesadapor la baterla.Esta carga es la catga fnal, C E,de las placasdel capacitordespués de un g¡an intervalo de tiempo. Asi, el trabajo efectuadopor la bateda, l/5",, es

Wu^: 6(C6): C82

(28*3r)

¿Dóndeestá la energfaque iguala estetrabajo?En parte, la energfaestáalmacenada en el capacitor. Sabemos,de acuerdo con la ecuación (26-9), que la energfa total almacenadaen un capacitor es CV2l2. El voltaje I/, en este caso es á, y entonces,la energlaalmacenadapor el capacitor,Q"o, es L6-cap

(28-32\

.)

¿Dónde se encuentrala otra mitad del trabajo efectuadopor la baterfa?El único elementoadicionaldel circuito es el resistor,y la otra mitad del trabajoseha empleado en calentamientoJoule de ese resistor. Según la ecuación (2?-30), sabemosque la pérdida de potencia en el resistores P = 12R.Podemosintegrar la potencia en función del tiempo para calcular la pérdida de energíaen el resistor, E o: .

'

fo

E * ,:

I2R dt:; I Jo

E2

^

ln

I e-z' tR cdt Jo

:+(-e-:'rnc,f :q; oL

La pérdida de energía térmica en el resistor explica, realmente, la otra mirad ce. trabajo efectuadopor la latería. Esta división de 50% de la energíaentre el res:s:;: y el capacitor,es índependientede E, R y C. Parael casode la descargadel capacii:: toda la energlaalmacenadaen el capacitor se disipa como calor en el resistor.

o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o O

p

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o I

EJ Elf PLo 2 8 - 9 El circuito de carga aPa¡ec€ea ia ñ-i:";-:S-:3' -*'-ri-: : ,t intemrptor en la posición ¿ cuando ¡ = O. Tiene los elementos - i: \-. R fi¡al er ela carga tiempo, de la constante 100.0 c¿,y c: lo.o i¡F. (a) calcule capacitory el trabajo efectuado por la bateria. (b) ¿Cuánto tiempo se ta¡'da el capacitor en alcanzar e|99.9% de su carga final?

ffi b,

SOLUCION:(a) La constantede tiempo es RC: ¡6:

(l 0 0 .0 o x l o .o x l 0 -o F ) :

1.00x t0-r s:

1.00ms.

La cargafinal en el capacitor Q¡, de acuerdocon la ecuación(28-25),en el lfmite cuandof es grande, es CE: Q¡:

C ¿ ' : (1 0 .0x 1 0 -6 F X l 2 V ) :

1.2 x l 0-4 C .

1,E's Segúnla ecuación(28-31), el trabajoefectuadopor Ia batería, W1o w ¡u : C 8 2 : (t0 x l 0 6 F X 1 2v)2 :1.4 x l 0 r J. (b) Empleamosla ecuación(28-25) paradeterminarcuántose tardael capacitor en cargarseal99.9%:

e :0999er : e¡A _ c-ttRc). Eliminamos la carga máxima, Q¡ de esta ecuación, y la rearreglalnos,pata obtener c _ ttR c_ I _ 0 .g g g: 0.001. Sacandologaritmo natutal de ambos lados se obtiene * -' : * 6 , 91. RC El tiempo paraalcanzarel 99.9Vode su cargafinal es

ms): 6.91n.'. t : 6.9lRC: (6.91X1.00

RESUMEN Las fuentes de fuerza electromotriz (fem), á', como las baterías,son fuentes de encrgíaeléctrica.Se define la fuerzaelectromotrizcomo la cantidaddel trabajoque puedeefectuarparamovef una carga: dW

(2 8 -r)

dq

Las bateríashacen que las cargas se muevan en los circuitos. l,os circuitos más simples que se analizan son los de corriente directa, en los cuales no cambian los parátnetrosa través del tiemPo. El análisis de circuitos de una o varias espirasse lleva a cabo empleandolas dos reglasde Kirchhoff. La regla de Kirchhoff para una espira es la traducción de la naturalezaconservativade la fuerza eléctrica,al "lenguaje de circuitos". Afirma que la sumade los cambiosde potencialsiguiendouna trayectoriacenadade un citcuito escero:

I

lfaYcctona

a r,,': o.

(211 e)

ccm(la

Podemos especificar el cambio de potencial a travtls de baterlas, resistoresy capacitores.Cualquier fuente de fuerzaelectromotriz tiene una resistenciainterna, r, quepuedeser lo suficientementegtandecomo pararequerirnuestraatención.

I 834 Capinrlo discta

28

Circr¡ltos

dc cordcntc

t

I-a regla de Kirc'lúoff para los nodos es la conservaciónde la coniente eléc:¡:c: en el "leirguaje de circuitos". Afirm.a que la suma de corrientesque entran a un noic es igual a la suma de corrientesque salende él: F¡

- ^ -* \ - r

l-ten¡nda

I I I

(28-1:

L-tslida.

o

Un.totalde n resistoresconectadosen seriese puedencombina¡ en una resistencia equivalentemediante ia ecuación .+ /{,.

R .q = /l r * R z + l l r + .

¡

o o a o o o o o o o o o o o o o

(2E Ilr

Un total de n resistotesconectadosen serie se pueden combinar en una resistencia equivalentemedianteia ecuación lllll

/{",r

:

--

1l,

r

r /1, ' il.,

r

'L

'

' /{,,

(2 8- r 6 )

[.os amperímetros,voltímetros y óhmmettos miden coffiente, voitaje y resistencia, respectivaménte. Los amperínretros debenteneruna resistenciaintema pequeña pñra que no afectenal ralnal del circt¡itoen el cual se ltriclela corriente,Al revés,los voltímetr'osnecesitanuna resistenciaintema grande,porqr¡ese elnpleanen paraielo con el circuito que se estámidiendo,y tanrpocodebenafectaral ci¡cr¡itoque sernida. Un circuitb p¡esentacotnportamientovariable con respectoal tiempo cuandose cargaun capacitorcon una fuentede fcnr, o cuandose descargael capacitor.Paraun circuito sencillo,con una fuerzaelectrornotrizd. una resistenciaR y un capacitorC, un capacitoriniciallnentedescargadotieneuna carga Q :

C ,i ,l

y una corTlente I-

-

c-r

.( -,:R < /(

¡i (

)

(28,25) (2g_2 ó)

Cuandose desconectala fuentede fem del circuito,y se permiteque el capacitorse descarguea ttavésdel resistor,la cargadisminuyeexponencialrnente: t' ( Q : O' ;c-'

O

(28-29)

o o o o o o O o o a o o o

La constantede tiempo,RC, determinala dependenciacon respectoal tiempo, del aumentoo disminuciónexponencialde la cargay la corriente,durantela catgay la descargadel capacitor

PREGUNTAS 1. ¿Porquées peligrosoestarenunatina de bañollenacuando un aparatoeléctricodescansaen la orilla de la tina? 2. Un voltfmetro poco costosomide el voltaje de una pila seca, e indica 0.9 V, mientras que un voltfmetro digital, de alta calidad, indica 1.5 V. ¿A qué se puede cleberesadiferencia? 3. Demuestreque no tiene importancia si, al trazarun diagrama eléctrico, ia ¡esistencia interna de una firente de fem se coloca anteso despuésque la fem misma. J. ¿Porqué disminuye el potencial linealmente a lo largo de la lcngitud de un resistor en forma de cilindro uniforme? 5. E;l el capítulo 27, dernostramosque la resistenciade una porción de material es proporcional a su longitud e inversa:xente proporcional al áreade su sección transversal:Explique por qué 1o anteriores equivalentea las regiaspara las ¡eslstenciasen seriey en paralelo. 6- - Q.:e caso tiene trazarun diagramaeléctricocon concluctores

sinresistencia, si loselarnbres realcssiempretienenalgode resistencia? 7. Si se tieneuna combinación de fem especialde baterias. y capacitores, constante, resistores posible un construi¡ ¿es circuitoen el cualla fem siguiendb un circuitocerradono seacero? cualquiercombinaciónderesisto8. ¿Esposibledescomponer resen unasecuencia de resistencias en paraleloy en serie? Si no lo es,presente un ejemplode unacombianciónqueno sepuedadescomponer asl. 9. Elflash deunacámarasedescarga medianteun ci¡cuitoRC. Determine,digamos,en unatiendadondevendancámaras, los valoresde.Ry C, y con esoobtengael tiempoRC. 10. Parecesuperficialque, en le sección28-5, si habfamos escogidola corrientecondirecciónequivocada, hubiéran.ios terminadocon la ecuaciónIR - (QlQ = 0, en lugar de la ecuación(28-7),paradescribirla corrienteen un ci¡cu:::

t

F..

t

o o o I

o o o o

vt 'o

RC. Esto serfa desastroso,porque la solución a nuestra ecuaciónnueva serla una exponencialcreciente,e',lRc,en lugar de una dec¡eciente,y esta ecuación crece sin lfmite. ¿Quées lo incorrecto de esta deducción?

O O

o o a o o o o I o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o I o o o o t

11. Cuando usted invierte las polaridadesde todas las baterfas en un circuito, las magnitudesde todaslas corrientespermanecenigual. ¿Porqué? 12. ¿Seusa un circuito RC que carga un capacitor, en un foco de destello,igual al circuito a través del cual se descarga?

13. Suponga que conecta las terminales de Ccs ba:e;- a distintas fuerzas electromotrices,la + con la * v la - :::: ; -. ¿Qué esperausted que suceda? 14. Parecerla que el único efecto de la resistencia interna Cc';:a baterfa en un circuito es cambiar la fem de la batena, á . a E' = E - Ir,siendo f 'una fem sin resistenciaintema. ¿Po*-.a ser verdad lo anterior? Si no fuera, ¿por qué no? 15. En el ejemplo 28-4, demostramosque el circuito de Ia figura 28-l0a se puede¡educir a un circuito de una espiraempleando una ¡esistenciaequivalente.¿Escierto lo anterior para ei ci¡cuito de la fieura 28-10b?

PROBLEMAS 28-1 Fuena electrontotriz L (l) Un acumuladorautomotriz de 12v tiene capacidadnominalde I l0 A, lo cual quieredecir que mandaráI l0 A por un conductor conectadocon sus terminales.¿Cuál es su resistenciainterna? 2. (l) Ia naveespacialMagallanesque estudióVenusen 1990 empleódos tablerossolarescapacesde producir l20O W. Si esabaterfasolar podfa producir un total de 40 A, ¿cuál era la fuerza electromotriz de la fuente? 3. (l) t¡s bateríasnlquel-cadrnioque se usan en los rruelos espaciales tienenunacapacidadnonrinalde 30 A . h. Pueden mandar30 A duranteI h; y su fenl es 30 V. ¿Cuántaenergir contÍenenesasbaterfas? 4. (II) Una pila secacon resistenciaintemade 0. l0 Q produce una corriente de l@-mA y la pasaa través de un resistorde l5-Q ¿Cuál es la fem de la pila? ¿Cuál es el voltaje enrre terminalesde Ia pila, en estaaplicación? 5. (lI) Determinado acumulador automotriz tiene una fuer¿a electromotrizde l2 V. Cuando produce una corriente de l0O A, el voltajeentreterminaleses 9.0 V. CalculeIl resistencia internadel acumulador.¿Cuál es la potenciaque disipa el acumuladorcuando produce esa corriente? 6. (II) La resistenciaintema de una baterla cuya fem es 3.0 V varfa de acuerdo con la corrienle que entrega, según la ecuaciónr = (c( + p^Q,siendo ct= 0.10Q y p = 0.úl AlA. Calculelos voltajesentre terminalesy la potenciadisipada en la baterlacuandoI = 2.0 A e.f = 5.0 A. 28-2

enfre los puntos a y b? ¿Paraqué valor es cero la corriente en el ci¡cuito? 8. (I) Se conectan6 resistores,de 150 Q cada uno, en serie. Si la diferenciade potencial entre los extremosde esteconjunto de ¡esisto¡es es óOOV, ¿cuánta corr¡ente pasa por ellos? ¿Cuál es la potencia gastadaen el circuito? 9. (I) Dos resistoresde ó0-fl se conectan en serie entre dos terminales, cuya diferencia de potencial es 120 V. ¿Cuál es la potenciatotal disipada? I 0. (ll) Una parte de un circuito se muestra en la figura 28-29. La caídade potencialentre los puntos áy a, que se representa = 3 . 5 V , V"¿=2 Y y Va = m e d i a n t eV *, e s V 6 =2 Y ; V " 6 -0.5 V. Calcule las diferencias de potencial V* Vory V,o.

Circuitos de una espira y la regla de Kirchholf para un circuito

7. (I) ¿Paraqué valor de ^Rr,en la figura 28-28, es cero el voltaje

FIGIIRA 28-29 Problcma10.

n.

FIGIJRA 28-28 Problcma7

(lI) Un generador,que es una "baterfa"que emple: en.:i n m e c á n i c ae n l u g a r d e q u l m i c a , d e 2 2 0 Y de fu e r z: e l :::- :motriz, y 1.2O de resistenciaintema,se empl* pa- :¿-i; una serie de 20 acumuladores,cada uno con fe;.*.:: : -. 0.05 C) de resistencia intema. (a) ¿Cuál es el lc.::.: :-::: terminales del generador?(b) ¿Cuál es el voli¿ e 3::: ¡'minales del banco de acun¡uladores?(c) ¿Q';: i3! !i lr,j ..i :i

7

¡r

se¡ie se debe intercalar para permitir una corriente dc carga cte 40 A? (d) ¿Cuál es la potencia ctisipadaen todos los resistores?

16. (II) Calcule la corriente que pasa por cada uno de los resistoresen el circuito indicadoen la fieura 28-33.

12. (Il) Una lintema sorda está formada por 2 pilas'de 1.5 V conectadasen serie bon un foco de l0 O de resistencia.(a) ¿Cuál es la potencia entregada al foco? (b) Las pilas se agotan cuando de hecho aportan su resistencia intema al circuito. ¿Qué valor tiene la resistenciaadicional, si la potencia entregadaal foco ha disminuido la te¡ceraparte de su valo¡ inicial?

/?,=59,

€:= (.vAL _T

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U v

FIGITRA 28-33 Problcma16.

28-i

Circuitos de varias espiras y la regla de Kirchhoff para nodos 13. (I) En lafigura28-30, las corrientesIy = 2 A,/z = 0.5 A, 1¡ = -¡0. Calcule las corrientes - -3 A, 1o - -0.510, e I, desconocidas,Io,I, e I*

+l +F

reducirselos ¡esistores 17. (II) ¿Pueden de la figura28-34a un circuitoúnicoequivalente por aplicación de lasreglaspara ci¡cuitos, conconexiones y enserie?Determine en paralelo i¡s coir;entes a tr¡r'ésde lostrcsresistores.

FIGURA23-30 Problcmn 13.

1 4 . (I).Calcule la resistenciaequivalente del circuito que se ve en la figura28-3i. 2Q

3c ¿

FIGUR'\ 28-3{ Problcnu 17.

18. (II) Tres res:s:tr.esconectadosenparalelo tienenresistencias

t9. 3l) FIGURA2ft-31Pioblcnia 14.

15. (U) Calculela conienteque pasapor ei resistorde 4-Q en el circuitode la figura28-32.

de 20 O, r-5 Q i' ó? Q , respectivamente.La coniente total que pasa:c: el ccnjunto es 10 A. ¿Cuál es la diferenciade potenciala i!-3\'ésiel conjunto,y cuálesson lasEorrientesa \ trar'ésde .'a:: '::.o C.:los resistores? /rI\ Fl ' -'.^:- -- ,,- ^^-'1cto eléctricoes 240 V constantes. Tiene usie: l0 iccos idénticos,iuyo consumomáximo de potenciaes 6J \1'. /a) ¿Cuáles la resistenciaen cadafocosi el co¡rs:¡:,cce :¡:¿;-iciaes 600 W cuando se conectanen serie?ft; Si sec:necial en paralelolos 10 focos,senecesita un resistcra¿ic:orat p3ra que no se quemen.El ¡esistorse p u e d ec c f : c i a : 1 3 s : 3 e n p a r a l e l co e n s e r i e ,c o n e l c o n j u n to de los facs. ;C';ii seriala resistenciaen cadacaso?¿Cuál e s I a n é : i : d : ¡ i : : r r 'e ; : : '¡ e : ¡ l l e s i s : ¡ : . e r c a C ac a s o ?Estcs -^, w u5 ru¡. , r¡ 15, --e. .".". ::sei a j cs pai a 'j n voi taj e már i mo

t^^^^

de 2.f V.

l- .., -l-

FIGURA 28-32 Problcnra15

: -.)

confemá 20r 0I) Seconect¡nen pl;aielo,\ bate¡ías idénticas, y resistencia l?. intemar, cadauna, con una resistencia Determir¡e el valor de la corriente,y compáreloconel obtenidocuandolasbaterías esténconectadas en serie. 21. $1)t a figura28-35muestraun ejemplodedivisordc voltaje, dispositivo quepemriteobtener un voltajereducido. Calculc la cliferencia depotenciala travósdela líneaCD, enténninos de la diferenciade potenciaientreAy B.

o O o o o o a o o o o o o o o o o '-o o o o o O o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o o o

p 'o

res una que se pueda reducir a un resistor único pcr :;" ción sucesiva de las reglas para resistores en seri: 1 paralelo?

o o t a a O I

o o I o a o o a o o O o o o a o o o o o a o a a o o O o I

o o a t

I O

o .f

¡ l)

FIGURA 28-35 I'¡oblcma 21.

FIGURA28-38Problema 25.

26. (II) Dos baterfas, confem Et= 12Y,y Er= 24Y, respectivatnente,se conectana resistores seven cuyasresistencias en la figura 28-39.(a) Calculela potenciadisipadaen el ¡esistorde ó-O . (b) Supongaqueseinviertenlasterminales en la baterlade 12 V y repitasuscálculos.

22. (II) El circuito de la figura 28-36 es un ejemplo de un circuito divisorde voltaje con carga(véaseproblema 21). Si se vanan los valores de R, y Rr, se pueden obtener valo¡es disti¡tos de Vr; Rrrepresentala carga. Sea R, = Rz = 10 lifJ, r' .'= 6 V. Para resistenciasde carga de 50 kf¿, 500 kA y 5 IfQ, ¿enqué difrere Vrde 3 V?

, )1

I'IGURA 28-36 l)roblcnn 22.

ts a1 le ,a 5.

Je si

7'l

ti f)

l 2 {)

24f)

360

FICUIIA 21t-39Problcma 26.

(II) Se tiene el circuito de I afrguraZS-4}. Calcule la coniente v la potencia disipada en el resistor de 4-Q , como función de la ¡esistenciadesconocida,R .

(ll) Setieneel circuitode la figura28-12a.Si á = 1.5V, ¡' si los tres rgsistorestienenresistencias idénticas,calculela queasegu¡equela corriente,1r,sea10mA. resislencia

24. (lI) ¿Cu.intos nodosindependientes hay en el circuitoque aparece en la figura 28-37?Paracomprobarsu respuesta, todaslascorrientes. determine

ita se tto

FIGURA 2810 Problcma 27.

Los

28. (lI) Setieneel circuitoclela figura 28-41.Calculela corriente

llo

n6 'D

Ije,

;ule nos

FIGURA 28-37 Problcma 24.

25. (ll) Remplacela red de resistores de la figura 28-38por un resistorúnicoequivalente. esa ¿Es combinaciónde ¡esisto-

FIGURA 2841 Problc¡¡ra 28

s

quepasapof el resrstorde O-()','(a)calcuiandola resiste¡reia equiva'lentedel circuito, y (b) empleandolas reglas de Kirchhoff. 29. (ttl Los elementos conocidosdel circuito delafrgura2S-42 aparecenallf. Calcule el valor de R, que p-ioduzcauna corriente.I, de 0.1 A, con el signoindicado.¿Hayun valor de R, queproduzcauna corriente1, de la mismamagnitud, perode signocontrario?Si esasf,¿cuáles?

J2. (lll) Se tiene un tetraedro cuyos iaciosson :::'.;-::;:i5 idénticos; cada uno con ¡esistencia de t Q(fig';:a l3-+-< . Süporiga'queeste arreglo se conecta en dos de s'.;s', é::l::s a un genetadorcon 4 V de potencial.¿Cuál es la ;::e:-,::a disipadaen cadaresisto¡?

/r.= 2 0 o

iir=51)

T

I f)

flGURA 2842 Problur¿29. 30. (II) Los puntosa y b seconectanconel sistemade resistores que se muestraen la figura 28-43. Los puntosa y b se conectancon una bate¡íade 25 V y resistenciaintema mfnima. (a) ¿Cuáles la resistenciaequivalenteentre los puntosa y á? (b) ¿Cuálesla diferenciade potenciala través pasapor el resistor delresistorde 1.8O?(c) ¿Quécorriente d e5 .l- O ?

l.uo

¡'lGtJRA 2845 Problcma32.

33. (III)

L1 figura 28-4ó muestra una escalade resistorescon n escalones.(a) Determine la resistenciaequivalenteentre los puntosP, y Pr, cuandon = 1; (b) cuandon - 2; (c) cuando colsugerencia: Deduzca n = 3; (d) para el Iílnite cuando ¡l una ecuaciónpara Rn,la resistenciaequivalentea una escalera de r¡ peidarios,en términos de R"-,, la resistenciaequivaienie a una escalerade n - I peldaños,y de lR,y emplee esaecu3ciÓnpara el lÍmite cuandon * co.]

l0 f )

r1

¡,1'

I

ri

l '1

FIGIIRA 28-46Problcrna 33.

28-4 Instruntentosdc nedición

FIGURA 2S{4 Problcm 3i

838

O

o o a o o o o a o O o O

FIGURA 2843 Problcma30. 31. (I[) Un cubo está formado por conductoresidénticos, cada uno con resistenciaR, y se coliecta a un voltaje de lfnea I/ (figura 28-44). ¿Cuál es la resistenciaeqúivalentedel cubo? ' iCuál es la corriente en cada uno de los conduciores?

o O o o o o o a o o o o

34. (I) Un voltúnetrocon 5 kf2 de resistenciaintemamideei voltajede unapila secaD, cuyovoltajenominales 1.5V, i' el resultado intemadela pila es1.1V. ¿Cuáleslá resistencia gastada? 35. (I) Las corrientesproducidaspor una fuentede 12 \¡ i¿ fem, con unaseriede ¡esistencias de 10 O a 1000O s€\'ai.: medirconunaexactiludmurirnade0.l% conun ampenmei:: delarnpe:::re:::debeserla ¡esistencia ¿Quétanpequeira el vol:a.:: 36. (I) Se va a usarun voltimetroparadetennina¡ travésde una seriede resistencias, de 100 f2 a 10,'l'+ intema331: :.-¿Cuálesel valormfliinrode la resistencia metro,de tal modoquesepuedamedircon0.1% ce e -::"

o o o o o o o o t o a o o o o o o o o o

7, D I D I I t

(lI) Un amperfmetroque puedemedir una corriente máxima de 50 ¡rA tiene una resistencia interna de l0-'O. ¿Qué resistenciaen serie lo convertirá en un voltfmetro de 0 a

100v? 38. (lI) Supongaque la corriente que va a medir un amperlrnetro es tan grande que la aguja de su galvanómetro quedarfa en el tope de su desviación máxima. Este problema se puede solucionarmediante el empleo de un resistor de derivación. Vea la figura 28-18, y demuestre que con el resistor en derivación (resistencia = ^(,) presente, la corriente 1 está expresadaen términos de una corriente reducida, /o, que pasapor el galvanómetro, por la fórmula I = Ioll + (RJ&)1, siendorRola resistenciadel galvanómetrc.Asl, una indicación de la corriente reducida, /o, nos permite medú la corriente1.

, , ,

t t

la figura 28-47 se va a medir con dos voltfmetros,cuyas resistencias intemasson 5 kf) y 100 MO, respectivamente. ¿Quévoltaje indicará cada uno?

t t t D D t t D t

t t D )

I ) )

1( x () 2

I l

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'

F-IGURA28{7 Protilcma39. I,'IGURA 28-50 Prot¡lc¡¡ra 42.

40. (Il)

Un puente dc Wrcatsto¡t¿es un aparalo que mide resistcricias.En el circuito dc la figura 28-48,R es una resistencia desconocida.Las resislenciasR,, R, y R, son variables.Se puedeemplearun galvanómetro,G, paradelenninarcuándo es cero la diferencia de potencial entre B y C, si se conecta la baterfa entre.4 y D. Las resistenciasvariables se ajustan hasta que no hay corriente en el galvanómetro, cuando el circuito se cierra en el intcm,rptorS. Deduzcauna ecuación paraR en tén'ninosde R,, R, y R.. II

)

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) ) ) ) )

43. (I) Un foco de destello en un circuito RC se descargacon una constantede tiempo de 10-3 s. Si el capacitor tiene una capacitanciade l0 pf, ¿cuáles la resistenciaen el circuito RC? 44. (I) El mecanismo de un foco de wtflash trabaja medianle ::;r circuito RC, y tieneun capacitorcargado,con una constar.:3 de tiempo de 2.0 s. Si la resistenciaen el circuito RC es l]'0. ¿cuáles la capacitanciadel dispositivode carga?

46. (II) Demuestre,por sustitución directa, que ,: :---::.:(28-25) es una solución de la ecuacióndifercnc::. - ! ,--

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)

28-5 Circuitos RC

45. (I) Demuestreque el productoRC tiene unidadesd: s::,... dos. Calcule las constantesde tiempo para los s:g-::::.::s valoresde R y C: l0 MO, 2 1tF,3Q, 2 pF; 10OOO. ,: :i

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FIGIJRA 28-49 Problcma41.

12. (l I) R epi ta el probl enra 4l par:r el ci rcui to de la fi gura 28-50.

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paramedir la resistenciaR . Trace el ci¡cuito, inclul'encr -:s resistenciasintemas. V e I son el voltaje y la corrienta q';: se miden, respectivamente.Determine una ecuaciónexa:'t para ^(, en términos de las resistencias intemas del voitimel¡o y del amperlmetro. ¿Bajo qué condiciones es R, - Z//?

39. (lI) L: salida de la red divisora de voltaje que se muestraen

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41. (II) El circuito que se muestra en la figura 2E{9 se :=,:. : :

€ I-IGIJRA 28{8

Problc¡na 40

47. (II) Demuestre,por sustitución directa, qr: ,: :--.:: :(28-29)es una solución de la ecr¡acióndiie¡::.;":. - i-- I 4 8 . ( I I ) U n r e s i s t o r t i e n e 4 x 1 0 a C ) d e ¡ e s i s t e n : : :. .: - - :;- - ..: :' t i e n e 8 0 ¡ r F d e c a p a c i t a n c i aS . e c o n 3 . ^ : i : .: i .:- : : - - -

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bateriade 6 V. Calcüle(a) la.constantedb tiempo,y (b) la corriente,en el rilomenioen el cual el capacitorha adquirido e|7O%de su ca¡gamáxima. 49. G¡j Caicute la corriente.en la baterla, .o-o fui"i¿r, ¿"1 tiempo,parael circuitq que semuestraen la figr:ra28-5I , si se cierra el intemrptor S cuandot = 0.

(II) Un estudiantetiene un gran surtido de resistores,:ics ellos de f W nominales.¿Cómo puede combina¡res:sicr:s idénticos para obtener una resistenciade2O f) coi: capa:tdad de 2 W?

56. (II) Demuestre que si se conecta una batería de fem h;a, i' resistenciaintema r, con un resistor de resistenciaR, entonces, la potencia.máxima entregada al ¡esistor externo se p r e s e n t a c u a n d o R *r . (II) Cuando se conectanpor separadocon un voltaje de hnea Z, dós resistoresgeneranpotenciasP, y P2,respectivamente. ¿Cuál es la potencia generadacuando los dos resistoresse conectanen se¡ie? ¿Cuál es la potencia cuando se conectan en paralelo? '

5{t. (II) Un resistor R fonna un circuito único con un'arreglo de FIGIJRA 28-51 Problcma 49.

50. (Ii) El circuitode la figura 28-24tiene¿,'=12V, R - 20 k.C¿ y la y C- 100¡:F.¿Cuáles sonel voltajea travésdel resistor cargadel capacitor,0.5 s despuésde habe¡cerradoel intemrptor a la posicióna? 51. (II) Tieneusteddoscapacitores, de 20 ¡rF,y tresresistores, y los dos resta¡rtes de 2 Q. Deteru¡rode 4 C)de ¡esistencia, queprocluzca un circuito tninela conexióndeesoselementos cuy,aconstantc de ticnrposea5 x 10-5s.

52. Demuestreque Ia constántede ticnrpode un capacitordc placasparalelas rellenocon un dielóctricode resistividad del áreay de la separaciónde las finita es independiente placas.

53. (II) El policarbonato,polímeropolar,es un materialcuya constantedieléctricar - 3.2.Tieneuna resistividad,p - 2 x 10¡4O ' m. Supongaqueseusaparallenarel espacioentre las placasparaleiasde un capacitorde 0.25 m2 de área,y 0.25mm deseparación deplacas.Secolocaen lasplacasuna cargaQ = 5 ¡¡C,y el capacitorestáaislado.¿Cuántotiempo paraquese desvanezca el90% de su carga? senecesita

dos baterfasde fuerza electromotriz á v ¡esistenciaintema r. Las bateríasestánconóctadas(a¡ en serie,y @) en paralelo. Calcule la corriente que p:lsa por la resistencia en ambos casos.¿Cuálarreglohaceque la conientc scamayor cuando R es mayor? ¿Cuálhaceque la corricnteseamayor cuando R e sm e n o r ?

59. (II) Una batidorade cocina, de 1200 W, una aspiradorade 480W ¡'una lámparacon foco de 150 W se conectan,todos ellos,al mismo contactode un circuito de 120 V. Unfitsible acciona como si fuera un inlem:ptor que abre cuando la conicnic es nleyor quc l5 A. ¿Cuántacorricntetoln¡ cada aparato?Si se cambiael foco, ¿cuálcs la potenciamlnima, en $.atts,del foco nuevo que ltará que el fuSible se queme? No se preocupede las oscilacionesde la corrientey el voltaje en los circuitosrealesdomésticos,sino supongaque todas las corrientesv voltajes son de CD.

60. (II)

Se tienen tres resistoresde 4 O cada uno. Cada ¡esistor puededisipar,cuandomucho,20 W. Vea las cuatromaneras posiblesde conectarlos tresrcsistores,y calculela potencia máxinia que se puede disipar en cada una de las formas.

61. (II) Detemrine las corrientesen cada ramal del ci¡cuito de la Fis. 28-53.

Problentas generales 54. (II) Se tiene el circuito de la figura 28-52, en el cual se usa una baterfa de 12 V para cargar una de ó V. La resistencia en el circuito es 20C) . Calcule (a) la co¡riente en el circuito; (b) la rapidez con la cual aumenta la energÍa de la baterfa menor; (c) la rapidez total de disipación de energfa en el ¡esistor.

FIGURA 28-53 Problc¡na 61.

al de la figu: 62. (II) Disetieun óhmetroconcircuitosemejante

trlGURA 28-52 Froblc,m¡54

28-22 quetengaun internrptor,y que seaadecuado;::-. medirresistencias de 100C), 1 kC¿, 10kQ, 100kf¿v 1 )Íi 63. (II) Empleandola tabla27-2, comparela ciensiiadj: ;:y pórCidrCepc:::.: : eléctrico rrictrte,intensidad de can.rpo

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65. (II) Un circuito de una espira tiene una batena dc "-,,r:¡

en dos conductores cilfndricos de la misma longitud y el mismo radio, uno hecho de aluminio y el otro de cobre. Los conductoresse conectan(a) en serie,y @) en paralelo. (c) Si los conductoresde determinadalongitud y radio se fabricaran con todos los materiales que aparecen enlatabla2T-2, y si se pasarapor ellos la misma corriente, ¿cuál tendrfa la mayor densidad de corriente, el campo eléctrico más débil y la mlnima pérdida de potencia? Suponga siempre que no importa la dependencia de la temperatura.

electromotriz Zo,y resistenciainterna minima; a la bai*-; se conecta un capacitor, relleno de un material de ccLan:t-vidad o. El capacitor está formado por dos placas circul¿rcs de radio r, separadas por una distancia d << r. (a) ¿Cuái es el campo eléctrico entre las placas del capacitor?fb,) "Cui es la corriente que pasa por el circuito?

66. (III) Se tiene la red infinita de resistores de la figura 2E-,<-<¿ Calcule la resistencia, R', de la red, teniendo en cuen'.aq:: con un conjunto.infinito de resistores, si se ag¡ega un peiS:ño más a la escalera,no varfa la resistencia.Asi, la rei se puede descomponercomo se ve en la figura 28-55b.

64. (II) Unpotenciómetro sencillo, usado para medi¡ con exactitud voltajes desconocidos,apareceen la figura 28-54.8n ella, V, es el voltaje conocido de la fuente, V,es el voltaje desconocido,y el resistor es variable, en el cual se pueden leer los valores de R, y &, de acuerdocon la posición de una aguja.Esasresistenciasse hacenvariar, hastaque la corriente en el amperlmetro sea cero. Demuest¡e que el voltaje desconocido,tiene el valor V, = V,RJ(R, + p.¡.

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FIGURA 28-54 Problc¡na 64

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28-55 ltoblcma 6ó.

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Una nanifcstación espcctaculardel canipc t:tagt:éticotcrrcstrc es la aurora borcal 1y'o austral, rcsultado dcl movinticnto departíci¿iascargadasen la cstratósfera,bajo la itrflucncia dcl cantpo.ktafotograJía esde una aurorc ai¿¡rai, ton¡adaicsdc el transbordadorcspacial Discovery,cn 1991.

EFECTOSDE LOS CAMPOS MAGITETICOS

I o o o o o o o o o o o o o ol ol ol ol ol ol ol ol ol ol ol ol ol

Ho"" miles de años se sabe qr¡e trozos del mineral magnetita, llamados imanes, ejercenentre sf lo que ahoraconocemoscomo fuerzasmagnéticas.Las piedrasimrin imparten algunasde sus propiedadesa trozos de hierro cercanos.Los marineros han empleado la brujula de navegación,hecha con piedra imán o hierro tratado,durafite, á1menos, 80Oaños, y quizá muchos más. En 1600, William Gilbert, médico inglés, quien llevó a cabo un estudio sistemático de fenómenos eléctricos y magnéticos, sugitió que la brujula se comporta como lo hace porque la Tiena es, en sí, una gigantescapiedta imán. En tealidad, nuestro empleo de las palabras "polos norte y sur magnéticos" en relación con los imanes de barta, proviene de la relación entreel magnetismo con los polos geográficos norte y sur, por parte de Gilbert. El magnetismono se relacionó con la electricidadsino hasta 1820,cuando.dndré Ampére llevó a cabo experimentosptopios y de Hans Ch¡istian Oerstedpara demcstfar que se presentanlos efectosmagnéticoscuatrdose lnuevelr las cargaseiéctricas. De hecho, los fenómenos eléctricos y magnéticos son aspectosde las interaccic;res de objetoscon cargaeléctrica.En la décadade 1820,Michael Faradayller'ó a c:L:

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trabajosclave pata descubrir la relación entre electricidad y magnetismo, peto fue JamesClerk Maxwell quien, a finales de la décadadde 1860, llevó a cabo la síntesis definitiva de la electricidad y el magnetismo. Esta súntesisqueda descrita por completocon las ecuacionesde Maxwell, las cuales, con el trabajo de Newton, las ideasde la termodinámica y la teoría especialde la relatividad de Einstein, resumen virtualmentetoda la física clásica. Nuestra comprensión de la luz y de otras ondas electromagnéticas descansaen el gran logto de Maxwell. En estecapítulo y en el 35 estudiaremoslos fenómenos magnéticos,su relación con los fenómenos eléctricos, sus aplicacionesprácticasy otras consecuenciasnotables de las ecuacionesde Maxwell. Descubriremoslas leyesde las fuerzasmagnéticasal describirlos experimentos con imanesy con corrienteseléclricas.Aprendetelnoscómo estánrelacionadaslas tnagtréticas con los catnposeléctricos,de igualmodo que Iasfuerzaseléctricas fuerzas estánrelaciotradas con los catnposeléctricos.Los catnposnragnéticoslos generanlos y las cargasen movimiento. En estecapítulolros concentraremos irnanes en los efectos delos campormagnéticossobreobjetosde prueba,y dejaremos,parael capitulo30, el asuntode cómo se generanlos campos magnéticos.

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29-L TMANESY cAMPos MAGNETTcos Cuandodos.imanesrectosse acercanentre sí, se hacenevidenteslas fuerzasentre ellas,fuerzasmagnéticas.Como veremos,esasfuerzasson de un tipo con el cual no noshemosencontfadotodavía.Los imanesrectostienenuna orientación,o eje. En posicionesse atraenentre sÍ, y en ottas, se repelen,y, en otras más, determinadas ejercenpares ente sí. En forma arbitraria, identificamos el extremo de un Lnán que esatraldohaciaun punto muy cercanoal polo sur geográfico,como polo sur, S, y al otro extremo, polo norte, N. Si usamos dos imanes de barra identificados de este modo,veremos que el extremo N de uno atraeal extremo S del otro, mientras que los dosextrenrosN se repelenentre sl, al igual que los dos extremosS (figuta 29-1). Nóteseque esto quieredecir que el polo sur geográficoes en realidadurr polo norte magnético.En base a nuestra experiencia con las cargas eléctricas,podríamos sentimostentadosa llegar a la conclusiónque un imán de barra contiene"cargas magnéticas", o ntonopolosnngnéticosen cadaextrelno,y que,de algunamanera,las podríarnos sacar.Los experitnentosdcmuestranque estono es posible;si el lector cortaraen dos partesun itnátrrecto,tenninarlaco¡rdos itnanesrectos,y no dos cargas magnéticas separadas. El hierro y algunosotrosmaterialestienenuna propiedadpeculiar:si colocamos unode esosmaterialescercade una piedra inrán (queesun imán "natural"), el material sehaceotro imán. Algo, con la sola presenciade un imán cercano,haceque el hieffo se vuelva ilnán. Seacual seala causa,podemosconvertirlimadurasdilninutasde hierroen irnanesdiminutos que se puedenemplear como medidoresde pruebade las fuerzasmagnéticas.

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I 844 capítuld 29 Efcctd dc los camfros mgnétlbos

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FIGURA 29-2 I-¿s li¡nnduras dc lúcrro dcfincn cl carnpo magnótico dc (a) tur irruin rccto, @) ur¡ im¡ín do hcrradura, y (c) un conductor do cor¡icnte clcctrica.

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Campos magnéticos

Los imanesy las corrienteseléctricas establecencamposmegnéticos.

limadurasdehierrosobreunahojadeplástico Si, comoenla figura29-1,esparcimos sobreun imán recto,las limadutasse alineanen ciertasdirecciones;las fuerzas en ciertasregiones,comopor las alinean,y seagolpanmásdensanrente magnéticas ejemplo,cercade los.polos,que en otras.Para distintosimanes,las limaduras y alineamientos. La figura 29-2 muestraia tienendistintasdensidades esparcidas distribuciónde ellas alrededotde un im¿inrecto,uno de herraduray, ¡sorpresa! alrededorde un conductorcon corrienteeléctrica.El último casoes un indicio que las fuerzasmagnéticasse relacionancon cargasen movimiento,al igual que con igual que la fuerz¿ imanes.La fuet:zamagnéticaactúaa distancia,exactamente gravitacionaly la eléctrica.Las limadurasdehierroindicanque,igualqueun objeto un campo un carnpogtavitacionaly un objetoconcargaestablece conmasaestablece un campo magnéticoen el eléctrico,un imán o una cortienteeléctricaestablece le asignamcs espacio.A estecampo,quemásadelantedefiniremoscuantitativamente, el slmboloB. El imánrecto,el de barra,y el conductorcon corriente,originancaca Las fuerzasmagnéticastieuenun carácte: uno un campomagnéticocatactedstico. direccional,de modóqueel campomagnético,al igual queei can;': marcadamente eléctrico,esvectorial. Del mismo modo que la fuerzasobreuna cargaeléctricapequeñase pue:: emplearparacartografiarun campoeléctrico,el alineamientoy la densidaide .¿s

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limadurasde hierro miden la dirección y la intensidadde cualquier campo magnético presente.La relación entre las limaduras de hierro y el campo magnético es directa. B sedirige a lo largo de la dirección de alineamientode las limadutas, y su magnitud esproporcionala la densidadde ellas. De igual forma que el campo eléctrico se puede visualizarcon las líneas de carnpo, el campo magnético se puede visualizar con las lineas de campo magnético, que son líneas continuas que coffen paralelas a la direccióndel campo en cadapunto, y cuya densidad(númeto de llneasporunidad de área)es proporcional a la intensidaddel campo. Las limadurasde hieno materializan así las lÍneas de campo magnético. En la figura 29-2 vemos que las limaduras se alineanentre los polos de los imanes, y, por consiguiente,asl lo hacen las lfneas de campomagnético.Decimos que el sentidodel campo magnéticoesdeI polo N al polo S,de igual forma que decimos que el campo eléctrico va de las cargaspositivashacia lasnegativas.Nótese que si el extremo N de un pequeñoimán recto se coloca cerca delpolo N de uno mayor, el imán de prueba se aleja, lo que coincide con un cuadro intuitivoen el cual el campo magnéticodel imán grandese aleja de su polo N. Sin ernbargo, nóteseque el campomagnéticoalrededorde un conductotcon corrienteno tienepolo magnético.Una vez habiendodefinidoun campomagnéticode estemodo, podemosproseguira investigarsus efectosy determinarlas leyesde fuerzarelacionadascon el magnetismo.

29-2

I-IGIJRA 29-3 Sc pucdc cmplear una bnrjula para dc(cnnir¡¿r la dirccción dc un cnrrrqxr rrurg,rrrilico, corrrocl dc trr i¡r¡á¡r rc.cto.(n) Ill ¡nlo N dc la bnlijuln cs rc¡rclido ¡ror cl polo N dcl irrufurrccto, pcro (b) es atraido por cl polo S dcl irruin.

FUERZA MAGTTETTcAsoBRE UNA cARGA ELEcrRrcA

Los experimentosindican que las cargas eléctricas,al igual que los imanes tectos, sientenfuerzas en presencia de carnpos magnéticos; esto es, que esos campos las aceleran. Este fenómeno es fácil de demostraren un salón de claseo en el labotatorio (figura29-3). Podemos emplear un imán recto para desviar el haz de electronesde unosciloscopio.t Cuando un imán tecto se coloca en distintaso¡ientacionescercadel haz,éstese desvla de diversasmaneras.La desviaciónnos permite medir las fuerzas

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consu poloN orientado de tal modoqueer campo

megnéticoesté en dirección +y (figura 29-4).Lamagnitud del campo magnético en

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FIGURA 29-4 Expcrimcntc con uria carga cn movimicnto dcnt¡o dc ur¡ campo'magrÉtico. (a) a (d) la cargacs poeitiva. (a) Sc pucdc usar un osciloscopio pára medir loe cfcctos do un campo magnótlco sobrc una c¿rgancgaliva, quc as cl clcctron cn cl tubo do rayos catodicos. (f¡ En la oricntación quo sc mucstra, cl clccl¡ónse dcsrr'ahacia abajo, no hacia arriba, como cn cl caso do l¡ carga positiva quc sc vc cn (b). I No r¡se zu Tv para cstc fin. ¡h imagcn ¡ro
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/ ¡)-1t) Cepírulo 29 Efcctos dc los campos magnótlcos

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el lugar de una carga eléctricaposit¡va de prueba, g, se puede hacer variar varialid.c la distanciadel imán a la.carga.Qbservpmoslos.siguientes fenómenos(perorecuerje que cuandose llevana caboestoqgxpetimentoscon ll11imán rectoy un oscilcscopio, l a c a rg ad e l e l e c trónes negati va):

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1. Si q se mueve a una velocidad u en direcciólr+2, etrtonces4 se desvíaen dirección-x (figura 29-4a).Adernás,nrienlraslnayor es ,, es lnás intensala fuerzaF. Las tnedicionesdetalladasinclicanque la magnituclde F, debidaai ^nhl\^

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2. Si q se nrueve en dirección +x, F actria en dirección +¿, y, de nuevo, es proporcionrl a u (figura 29-4b). gerscLul

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3. Si q senruevecti direccióny (+ o -), no hay catnbioen la direccióno velocidad

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de la carga;estoes,tro hay fuerzasobreella (figura 29-4c).

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Iil producto vectorial se describc cn cl ca pit ulo 10 . .

Ln lcy de l:r fi¡erza nragnética

4 . Si g se rnuevea una velocidadu en una clirecciónarbitraria,F es proporcional a1cotnponentede velocidaclperperrdicular al campotnagtrético,u1,/ perpent dicular a las direcciones,tatrtode v1 corno cleB. Esteresultadocondensalas ¡ partes(a) a (c,).En especial,si la cargaestáen reposo,deurodo que u = 0, no ¡ h rv ñ rc r" r < nhr3sl l x (fi gura29-4cl ). I

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5. F es proporcionala la nragriitudde B. 6. F es proporciotili el sigtro y a la rnarltritudcle q. Podemos emplea¡ un o s c i l o s c opi opara csl udi arel efectode una carganegati va,o sea, l a de un electrón(figuras29-.1ev 29-1D.

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|, t: ;. compl i cada,de resul tados, ; r L a p a n i c u l a r i dadcl avei e estaseri e,apatentetnente t

de r'. El rcsr:it:io 4 abrrcalos tresresultados,1 a 3. En los resultados esla dependencia es 1 y 2 , l a v e l o c i dadi ni ci al es tan sól o en di recci ónz o x, y, por consi gui en t e, p e rp e n d i c u l aar B. E n el resul tado3, no hay v,, ni tanrpocoft¡erza.E l que l a fuer za tantoa v conroa B se i trdi caen l n f i gura 29-4. s e ap e rp e n d i c u l ar F, es propot' ci onal a l a rnagni tudde q, u¡y D, l a fuerzenrrgnL;ti ce, R e s u rrri e n d o, y su direcciónes perpendicui¡,riatiio a la de B como a la de v, y dependedel signo ln¿di:inleel producto v'ccÍorictl,una direcciónperpendide g. Se puederepreser'Itar, cular tanto a v corno a B. Esteproductose describiódetalhdatnelrteen relacióncon los paresy el movimiento giratoiio. Recuórdeseque un vector c = a x b (productc vectorialde a y b) tienecolno magnituci,aDsen 0, siendo 0 el ánguloque fonnatrlos vectoresa y b, y sietnprese tcma lnenor que 180" (figut'a 29-5). El vector c es perpendiculartatrtoa a como a b, y' sr.rCirecció¡rla detennilrala regla de la mmo han detenninadoque la fuerzamagderecha.De esternodo,Iruestrosexperin.:etrtos nética sobre una carga g cle prueba, que se mueve con velocidad v en uu calnpo rl a g n é ti c oB , e s Frr:qvxB , (29-tt

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Este importanteresultadoes la ley de la fucrza rtrngnótica.2De aquÍ en adelante olnitiremosel subíndiceB a lnenos que necesitetnosdistinguir la fuerza magnética de algunaotra fuerza.Si 0 es el ánguloentreios vectoresv y B, la nragnitudde F esii expresadapor P :quB 5s¡!:qu_rB .

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La figura 29-6 muestracótno,segúnla regla de 1amano derecha,F es perpend:c'.:.": al plano que fonnan y y B. Comparandocon las observacionesen la figura 1j-: v e n ro sq u e l a e c u aci ón(29-1) es total menteconsi ster¡tecon nuestrosresu^'. : : : : I-cs dc¡los sc doblan

2 Ilablandocon propixlad, una dlnícfdn prccisaclclcanrponragnóticoproducidopor uu ¡';cr.::. :.- -:-. u¡r irruin o rur co¡xluctor con corric¡itc, cstá cxprcslda ¡¡tirlit:r¡rloIa li¡orz.¡ sobrc urur clrg.r ..1;::-:-- l :: ¡novimie¡rto.Así, la c¿uació¡r(29-i) sc t¡saco¡no t¡na tlcfinición de ll. El rnr.ncjodcl carrixi;:i:--:-:: <Jolas lir¡"rdurasdc lúcrro, qttc
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experimentales.Recuérdeseque el producto vecto¡ial de dos vectoresparalelos es cero;es la tazón por la cual no hay fuerza magnética sobre una carga que se mueve a lo largo del eje de un imán recto, y no hay fuerza magnética relacionada con el conrponente de v paralelo a B. La ecuación(29- l) indica que las dimensionesde B son muy distintasde las del campoeléctrico, E. La unidad de campo magnético en el SI se llama tesla (T), en honorde Nikola Tesla, autor de importantesaportacionesa la teconologfade la generaciónde energía eléctrica. En ténninos de las unidades SI anteriormente definidas,

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Otraunidad,no del SI, en uso corriente, es el gauss (G); l0a G : I T. La tabla 29- I preserrtaalgunos valores de carnposmagnéticostepresentativos.

E J E M P L o 2 9 - | El haz de electrones,sin perturbar,de un osciloscopio, se mueve a lo largo de la dirección;r (figura 29-'7).El polo sur de un imán de banase acercaal tubo de ra1,oscatódicosdesdearriba,y desvíael haz.La magnituddel campo magnéticodel imán es 0.05 T en la cercaníadel haz, y la velocidadde los electroncsdel haz es 2 x 105m/s. ¿cuál es la magnitudde la fuerza magnéticasobrelos electrones?¿Cuáles la direcciónde esafuerza;estoes,hacia dóndese desvía elhaz?

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SOLUCION: Esteejercicioes dc aplicaciónclircctade la lcy de fuerzr magnética, la ccuació¡r(29-1). Dcsearnosdeterr¡rillarla fuerz¡ dcsconocida,a partir de la catga,q, su velocidad,v, y la nraglrituddel camporrrag;rciticc. Fstese dirige hacia el polo srrr,de tnodo que,cornoinclicala figura 29-7, el c.,rlrpodel irrránde ban.a, lf, licne la dirccción +y. La velociclad,v, cs perpctlcliculara B, y la fuerza nragnética es Ii :

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q Qi x Bj ) qt,It(íx j 1 .= ,1ri Jk. En ella, i, j y k son los vectoresunitarioscn las direccioncsx, 1.y z, respectivarllcnte.Colr valoresnutnéricos, I ¡ : ( - 1. 6 x l 0 -," C )(2 x l O s n r/s )(-5 x l 0 -2 T)k : (-_ 1.6 x t0-¡s N 1k. Con la regla de la tnano derechapodemos comprobar que el producto vectorial, v x B, tiene la dirección +2. Sin ertnbargo, la cargadel electrónes negativa,cle nrodoque la fuerz.asobreel electrónestáen direcciórr-2, y el haz se desvíahacia es adir ec c ión ,c o rl ros e v e e ¡l l a fi g r¡ra2 9 -7 . (-:::v.

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T^l rLA 29-L AI-GI¡\IOS CAI\II¡OS l\L/rc\-fTI

Ubicación o fuente

Espaciointerestclar l0-tc C c r c a c l cI a s u p c r f i c i e 5 x l C - 5 clc l¡ ticrra I l n á t t p a r as r r j c t a rn o t a s ;0 - : añ

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"1." Traycctoriasin rlcsviar(sill il';i¡,., i

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,. i3iüllC(X

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IIGIJRA 29-7 Fjcmplo 29-1. El carn¡ro nragntiticosc dirigc haciacl polo sur dcl inriirrrccto y, ¡xrr lo tanlo,ticnc ln dirc¿ció¡t r.v.EI lrrgarcrr ti cual llcga cl h¡2,dc clc/:trollesa la ¡rarrtallacal¡¡bi¡cn dircrciri¡r -2. al accrca¡ cl imiirr.

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I{agnit:t: iT

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I n r í n r e c t oc e r c a clc los polos C c r c at l c l a s u ¡ r c r f i c i c dcl Sol Ilna¡resgr:rndesrlc laboratorio Irlayor ilrráncst¡blc Mayor catnpopulseJc cn el Iaboratorio C e r c ad c I a s u p e r Í i ; : . ' clcun pulsar Ccrca de la su¡-.e:-t;c:.' d c l n ú c l e oa i ó : r i : :

i C ': - - : :.r - : :--l -' . 5 -.-. . -t-,-

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B4B Ca¡rítrlo 29 frngfrót¡cos

I-a.fuerza Efcctoi

dc los campos

de Lorentz

Otros experimentosi4dican que las eargasreaccionanen fofina independientea los campos eléctrico y i'nagnéticó.'Así, si hay un campo eléctrico además de uno magnético,produceuna fueza adicionalF : qE sobrela carga.La fuerzaneta es

F = ¿ l[ [ + (v x B )] .

Ley de fuerza de Lorentz

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(2 9 1¡

en la secciótr29-3,se llarnaley de Esta ecuación,cuyasirnplicacionesestudiatetnos fuerza de.Lorentz, en honor de Hendrik A. Lórerrtz,físico de firralesclelsiglo XIX, quierrinfluyó sobreel desarrollode muchasralnasclela fisica clásica.

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29-5 ArLTCACIoNESDE L{. FuEnzA MAGNETICAsoBRE UNA CARGAELtrCTRICA Las fuerzasmagnéticassobrepartículascargadastienen implicaciolresimportantes que yan desdeel funcionrmietlto Ce los n¡raratoselectrónicos,hastafenómenosde astrofísicay iísica de plastnas.En estc capitulo suporrdrernosque los can'¡pos del ticrnpo. Es decir, que estarnostratando cot¡ magnéticosson inCepenCientes ma g n e to e s tá ti ca.

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FIGURA 29-8 (a) Una ¡nfícula cargadaso rnucvc c¡r dirccción ¡rcrpcndicular a ut carnpo magnótico constantc, B, quc sc vo cn vlsta sr¡pcrior, o "¡rlantn". la partlcrrlr cargadadoscribo una traycctoria clrcular c,n cl plano pcrpcndicular a B. D sc dirigc hacia afucra dc la prigina. @) El scntido dc la curvahJracs opuosto, para cargasopuostas.

La c inenrá t i c a r e l e c i o n ¡ d a c on aceleración perpendiculer e le velocidsd se describió en el cepitulo 3.

Itlovirnicnto circular en url carnPo magnético constante La ley de fuerzamag¡ética.ecuaciónl:9- 1), estableceque sólo es la velocidaden el p'lanoperpendiculara B la que ccntribuve en la ecuaciónde la fuerza. EI cotttponente de Ia velocidad de una particulc carg.;.ía,p:rrolclo al campo magnético, no qucda te, :io varíaen ausenciade cualésquieraotras afectodopor el canpo y, por consiguiL.ir fuerzas,como las fuerzaseléct¡icas..{Ceniás,la ecuación(29-1) estableceque l¿ fuerza sobre la carga, ¡,, por consigtiien:e,lc ccclreación de Ia carga, es perpendicular a By, por lo tanto, actúa.sóloen ei plano perpendiculara Ii. de esasob:;ervaciones, con más detalle,veamos Parainvestigarlasconsecuencias en deie.r;n3da uniforme regiótr del espacio,y una cargaq, un campomagnético,B, veiocidad perpendicular v, al campo de prueba, que entra en esa región, cc:r r ia (figura 29-8). ¿Cuáles el movimiento siguieirte ie la carga'!Segunla ecuación(29-1), lafuetzaserá perpendiculara y y su masn:lud será Fu = quB. Vimos, en el capítulo 3, que cuando la aceleración,y por consiguiente,la fuerza, tiene magnitud constante y es perpendiculat a la velocidad,hay ntovinricnto circular avelocidad constante. Una partfcula cargada que sé mueve perpendicularnente a un campo magnético consfantey espacialmenteuniforme, se moverá en un circulo (figuta 29-8a). La mag' nitud de la aceleración,parael movimiento circular,es a = t/lR,siendo R el radiode' la trayectoriacircular de la partícula;la direcciónde la aceleraciónes haciael cent¡o de la trayectoria circular. De acuerdocon la segundaley de Nervton, la magnitud de la fuerza debeser lna : múln. En nuestrocaso,la ftetzaresponsablede la aceleración tiene F¿ como magnitud, y la segundaley de Ncwton (F¿ - ma),setransforma en

. Radio de un circulo que describeun¡ partículn que semueve perpendicularmentea un campo magnéticoconstante.

B(Fti6do&hFt.)

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Despejamosa R;

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R es proporcional al producto de rn pot u; esto es, a la cantidad de movilnien:: :: -: partícuia que se mueve,p : ntt),e i-nversamenteproporciottal a las magni::ies :: -. I cargalq, y del campo, B. La ecuación (29-5) sólo es válida cua¡do la vel:::::: g perpendiculara B. Si el movimiento es en el sentidode las manecillasdei :e.:- : : , : I

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o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o

o o o o o o O o o o o o o o o o o o O o o a o o o o o o o o o o o o o o o O

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I) mayor, R mcnor

B mcnor, R mayor

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dependede la dirección de v y del signo de la carga,segúnla regla de la mano inversa, La figura 29-8b describeel movitniento de una carga de pruebade signo derccha. contrarioal de la de la figura 29-8a. Como se ve en la figura29-9, mientras mayor seaB, másgrandeserála fuerza magnética,y más "esttecha"serála trayectoriacurva, o sea,tendfáun menor radio de curvatura. El radio de curvatura es el del fragmento dcuncfrculoa lo largo del cual se mueve la cargaen determinadomomento. Mientras lnenorseael campo magnético, menor será la fuuerza, y mayor setá R, El movimientocirculartieneperiodoT :2nRlu, o sea,segúnla ecuación(29-5), 2 n ma pqB

2 nnt qB

FIGURA 29-9 lll mdio dc un círculo (lcscrito ¡xlr rxrn pnrtíctrla cargadaquc sc mucvc cn dirccclón pcrpcndicular a ur campo magnótico constantc,B, cs inversamcnlc pro¡rcrcional a B.

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(2e-6) iilt

Enformaequivalente,la frecuencia.f = 1lT. es

qt) ^ ,-2n* t

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(2e-7)

A estafrecuenciase le llama frecuencia ciclotrónica. Nótese que el periodo y la de la velocidad.Una pattículalentadescribeun cfrcusonindependientes fiecuencia en el mismo tiempoen el queuna partfcularápidadescribeun grancírculo lopequeño (figura 29-10).El hecho que la frecuenciaciclotrónicaseaconstantees el pdncipio del ciclotrón, aparatoen el cual se aceleranpartículascargadasmedianteun básico campoeléctrico, mientras que petrnanecenen una órbita casi circular, po¡que se entre los polos de un gran imán (figura 29-ll; véaseproblema24), mueven La ecuación(29-5), que define el radio de la ttayectoria circular de una partícula se aplica en muchos dispositivos de detecciótrde palículas; por ejemplo, en cargada,

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í), v pcqucru,

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FICURA 29-10 Paradctcrminadacarga,y con un campo rvrgnótico constantc pcrpcndicrrlar a la dirccción del rrrcvimiento, cl ticm¡n quc larda run palícula cn dcscribir r¡na rcvolución cs indcpcndicnlc dc Ia vclocidad dc la palicula.

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la cámara de burQujas.Cuando las partículascargadasque se producen en chcqua altas energlaspasanpor hidrógeno líquido, dejan hueilas formadas por dirninu=s burbujas,como un avión a reacción deja una hr¡ellade vapof de agua en la atmósie;: (figuta 29-L2). Se puede calcular la cantidad de tnovimiento midiendo el radio cle cutvatura de las huellas cuanclose aplica un campo magnéticoexterno.Esta itrfoni.:ación ayuda a desenmarañarla.interacción cornpiicadaetr la cual se produjerolr es3s partfculas. Aun par"aun campo nragnético.queno sea constanteen el espacio,.podenios comprenderel movimiento de una pafiícula cargada,en fonna cuantitativa,suponiendo que el ca¡npoes casi unifonne. Esto siemprees buenaaproximaciónsi vetnos1o que sucedeen una región st¡ficientemenlepequeñaen el espacio,Consideremosun cafnpomagnéticocuya magnitu
"Tilfiln3l"iilr"

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enel v,que est¡i u,¡, delavctocidad, hayuncornpo'e'te, 'o

plano perpendicular a B, ese componenteno canrbia.La partícula avanzaa lo Iargo de v¡ mientrasse mueve en un ctrculo en el pla¡o fon¡ado por v1_(figura 29-14).La

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o FI G URA 29- 13 Una padioilr do qlrg¡ 4 sc mucvc con vclcri dad v cn dirccci ón -.. E;: la rcgión 1, cl cam¡nmagnétlto,B¡, cs dc inlcrsidad nrdia, ycstá oric¡lado c; Circcción +¡. En la rcgió¡r 2, B¡ tlono magnittrd pcqucña y cstá oricntado cn i:¡:ccirin -;r. En la rcgión 3 B¡ ccdO gran lntcrsldad y cslá oricnlado cn dirócción

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FIGL R,\ 29-1a (a) Padipla cqrgadaen ';: lrgión en la cual ol cam¡nmrgnético cs :c:-,s¡artc; dcscribo rlna traycctorlf ' ' : ::l:coiCal. (b) Elcct¡ónonttru cirn¡ra do, :::bla: produjo estahuolla'cnocpfnl, La '-: cci¡da sc i¡ric¡ cn l¡ p¡¡lo Inforlo¡. I¡ :::.:cc sc cstrccln nlás o mcnosdo l¡ mlt¡d . -:::a ar::b¡, porquc cl clcc$n hi lrndiado :. : ::o:. ;.'ccn cllo ha perdldo cnbJgía. I l

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o o o o o o o o o o o O o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O

tra)-ectoria que resuita fonna r¡na espiral, o hélice, cuyo eje está a lo largo de B (figura 29- 14b). El rnovirniento circular en el plano perpendicular a B tiene su radio nIt'

(2 e 8 )

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q, y de l nasa 2 9 -2 U n a p a rtíc u l ade carga dcscotroci da, EJtrMPLO desconocida,,n, se tnueve a una velocidad v = 4.8 x 106m/s en dirección +¡, entrandoa una región de campo magnético constante(figura 29-15). El campo tienemagnitud B = 0.5 T y estáorientadoen dirección +2.I.a partfculaes desviada hacia la direcciótr-y, y describeun fragmentode círculo, de radio R : 0. I m. ¿Cuál es el signo de la carga de la partícula,y cuál eslarelación qlrn?

SOLUCION:Los datossotr la velocidad,v, y el campolnagnético,B' y podernos sobre la partículapata calcularla cargay la tnasa elnplearIa fuerza trragtrética relacioParadetennirrarel signo de la carga,tan sólo necesitatnos desconocidas. nar el signo de la fuerza,que actúaen dirección-)', con el signo de la carga.La fuerzaestá expresadapor la ecuación(29-1), y el productovectorial v x B se dirige,segúnla reglade la mano derecha,haciala direcciólt-1'.Paraque la fuerza 4v x B tengaesadirección,la cargaq debeser positiva. La magnitudde la relaciónqlnt se calculacotrla ecuación(29-5),R: nwlqB: I tt I l -l : ln¡l

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4.8 x lOh-nrls " :Y.t)x (0.-sTXO.l ff)

293 Apfk-ircdrl¡fus magnétie sobrc um or¡rdlnno

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l"I(;trRA 29-15 lJjcrnplo29-2. Si sc con
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Estapartícula es un protón. Para ver por qué, supongarnosque la carga desconocidaes la deurr electrón,lql* 1.6 x 10-reC. Entonces,n = lq'/(9.6x 107C/kC) : (1.6 x 10-reCy(9.6 x 107C/kg) : 1.7 x 10-27kg, exactamentela masa de urr protón.Sin embargo,tróteseque el experirnentoque se describióen esteejernplo puedemedir sólo la relacióncargaa tnasa,y no la cargasolamente.

lncrgía de una partícula cargada en un campo magnético cstático Enlos casosque hernosdescrito,la velocidadde la partículacargadanuncacatnbia; nose afectael componentede la velocidad paralelo a B, y el componenteperperrdicularde la velocidades el de un movilnietrtocircularuniforme en el cual cambiasu pero no su tnagnitud.Como la energfacinéticaes K : lmti, por lo genetal dirección, escierto que /n energío cinótica de una partícula cargada ett utt campo ntagnético cstoüco,es conslante.Elteorelnadel trabajo y la eneigía estableceque el trabajo ¿//l por r¡n afu e rz ae s i g u a l a l c a n l b i od e cnergíaci néti ca;por consi gui ente, ef ec t uado cauponragnéticoestdtico no efectúatrabaio sobre una corga.

U rra parfícul a cargada que s e nruel e en un cenrpo rnagnóti coestáti c o ti ene energi a ci néti ca constante.

Sclcctorcs dc vclocidad Undispositivoespccialde carnposeléctricoy tnagnéticoes lo que forma un selector dc velocidad. Supongatnosque hay rrna tegión con catnposuniformes, E y B, perpendiculares(figura 29-16). Se dice que esoscarnposestáncru4ados. 1.l"r+rnutuatnente Unapartículade masa m, c^Íga q positiva,y velocidadY, entraperpendiculannente tantoa E conlo a B. Demostrarenrosque hay detenninado valor de u para el cual la pnrtícula atraviesala región silr desviarse,A una velocidaddistintade u, síse desvía, ca;::.-,: demodo que, en un haz de partículas con distintas velocidades,sólo las que tienen FIGURA 29-16Uru par.t.-ula crttraa unart'gióndecant¡.xc.:: :--: pasan desviarse. vclocidad sin cierta i l r agnóti c o c nr i r ati r r s .Si l a r c l r' . : : : , - . , : Hay carnpotanto E cotno B, de modo que necesitatnosrecunir a la ley de fuerza par l íc ul a c s u' F /l ) , Ia i 'an rc r-: : . 1 i 1 ? . . ' i deLorentz [ecuación (29-4)] y calcular las contribucionesde ambos campos a la Ia r c gi ti l r s i r r r l tx v i .r nc .

852 Capihrlo 29 magnótkeir

Efcctocdg

loc ampor I

a a

fuerza.Empleandolas cootde¡adasde la figura29-16,la ccntribuciótr
C I

La fuetzamagnética,(v x B es,segúnla regiaclele ilranoclcrecha, \'¡= -quBk. Como las fuerzas eléctricay magnéticatienen direcciorreso::ucstas,se anulan si sus magnitudesson iguales,elr cuyo casola parilcrilaseguirásirrdesviarse.Esta aaulación sucedecuandoquV'q[, de tnodo que la vclocidnclcleurrílpftrtlculacargnclaqr¡epase por los campos cruz0dossitr dr-'sviarse cs Velocidndde una pnrtlcuh crgrdr que se mueve sin desvilr:re, perpendicular¡nente¡ c¡mpos cléctrlco y magnéticocruzadoa.

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Si invertimos él signo.dela carga q,la fuerza iiéctrica cbra en diteccióir'-2, mientr¿s -¡ que la fuerza magnética en dirección +z; las fuerzas sc seguirán anulxnclocuanclor. ¡r sea la de la ecuación (29-9). tRelaclón cdrga a nrcsü del electró:¡, Sii JosephJohn Thomson, a qr¡ien se le puede llamar con propiecladel descubri
F¡GURA 29-17 (a) j. J.'l'irorrrson trabajando onsulaluratorio.(r) Fsc¡ttotrn paionrulir dcl aparatoquccnrpicó'l'lrtnn-son la rclacióndc ca¡gaa ¡n¡sarlcl clcct¡rin.lil campolnrgnólicosc dirigolrlcia ia pá¡iira.

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así,continuarony pasarona una regiónde campbseléctrico acelerados I-oselectrones, y rnagnético cruzados.Thomsonajustólas magnirudesde esoscamposhastaque los pasaronsin desviarsepor el aparato.Cuandose combinanlas ecuaciones electrones (29 9) y (29-10), vemos que

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Elevandoal cuadradoambos lados de la ecuación,podemosdespejarq/4r:

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O

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dc L¡ Fm cz¡g¡ clacrriis

.\pliacioa sobrc uü

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2F3 magnótica

2V Bz

(2e-U)

Lafigura29-I7b representael aparato de Thomson. I-os electronesse aceleraronentre Iasplacasc y a,y continuaron hacia la parte entre las placasd y e. Thomson no midió la velocidadde los electronesa partir del voltaje entre las placas a y c. En lugat de ello,quitó el campo magnéticoentre las placasd y e y midió la velocidad de los observandosu desviaciónal pasarpor el campoeléctricoverticalentrelas electrones plac as dy c , in d i c a d ap o r s u l l e g a d aa l p u n to P 2.A conti nuaci ónencendi óel catnpo y lo ajustóhastaque los electronespasabansin desviarse;esto es, haiia magnético quellegabanal punto P1,que quedaen el eje centraldel aparato.Su primer resultado deq/m delelectrónfue 0.77 x l0rr Ci kg. Aunque esteresultadoes distinto del valor ques eac ept aa h o ra .I .7 5 9 x 1 O :'C ' ;,g ,s u medi ci ónfue un l ogro tremendo. Camposnlagnéticos en el cspacio e;r-tcrior A travésde nuestragal axi a,por E nel es pa: ice ri e :-:.: e ri s :e r.3 ::l o s i n a -s neti cos. es del o¡dende 10-10T.Laspartl cul as r;ra tn e ti c o la r ni e n s i d a cd e i c a n .:p c : . er n¡ 1o. -!úÉóuo ^- - ^. ¡ ^- - ^, . ^ . -;.-,:. u¡,,,.fc,s se genefa¡ r' acele¡ana causa de diversos ptocesos Si su ca¡:liaC ¿e novirnienio es menor que determinadovalor crftico,p., ¿sre;e:es. desvianfo¡¡a;ilc clrcu,oseigantescosdentrode la galaxia,debidosa las fuerzas s,e sob¡eeila-..:L¡S i3]'c-qcosmicoscon cantidadde movimiento mayor que rnagrieii3es en un c:i.',jic c;:" 3 inc:o de cun'aturaesmayor que el radio de la galaxia inueven se ,t. Pa:acaicularpcparaun rayo cósmicocuya cafgasea se e-
l :,riti t

dc la parti.-uJa

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x I0 -i ' C ri (-i -::T rr-i x 10:' m) :8

x l 0-8kg.m/s. Tmycrtoria

Parauna partícula,cotno un election o un protón, estacantidadde movimiento es grande.En contparación,un electrónen el haz de un cinescopiode TV, enormemente tienenormalmenteuna cantidadde movimiento de 10-22kg'm/s, mienttas que los protonesen el mayor aceleradordel mundo, del Fermilab, alcanzancantidadesde movimientode 5 x lO-lÓkg'm/s. Como los ra¡'oscósmicoscon una cantidadmayof de rnovimiento que p. salen de la galaxia, podetnosesperardetectarrnás rayos que lleguena la Tierta con cantidadesde tnovimientomenoresquepc' que cósmicos conmayores.La observaciónexperimentalde partículasque llegan del espacio nos ayudana estimarel valor del campomagnéticointerestelar. exterior

Tr¿r ' c c l on:i .' l ::¡:-

(h)

Cinhtrones de Van Allen. La Tierra tiene un cantpo rnagnéticocomo el de un inmensoimán recto, dirigido desde el polo sur magnético hacia el polo norte magnético.Las particulas cargadas lo suficientemente alejadas de la superficie tencstrecomo para evitar la interferencia de la atmósfera, viajan en trayectorias por las llneasdel campo magnéticoterrestre,La figura 29- 18amuestracómo espitales seagn¡panlas líneas,o "se pellizcan"al acercarsea los polos.Los análisisdetallados 3 Rccurrimos a la cantidad dc movimicnto, y no a la vclocidad, ¡rcrquet¡n cálculo de la vclocidad da como rur valor mayor que la vclocidaddc la luz. l:sto indica quc cs nccesariala rclatividadcspccial,la cual ¡csuitado sugiere em¡llear la ca¡tidad dc movimicnto, para cstc caso.

dcl clcct¡ixl

Í'IGU R A 29-l E (a) P a¡i "ul ¿s,-r-:1:a. :.tl c l as l i ¡l¿s i c . -' ' -.:.: cspi rala)rerl cdor magnóti cotcrrestrc.E I pas o.r- :r:,-:::.::. dc Ia hól i ce,di snünu¡c :x-< :i-' .:: r.accrcarscl as ¡.rníct:,:s¿ .: s - .:: : sonnLi s(l ctrcasl rc,;1,:-. r :.- -' i -' ..' _.

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854 Capitulo 29 Efcctos dc los campoc rnagnéllcm i

de la fuerza sobre una.carga en movinriento inclicalrque cuanclolas li¡eas s¿ concentran,la trayectoriahelicoidalde las partículasse hacemás plana,y, finahnenie. se fegresasobresf misma. Una partfculaque va en espirala lo largo de las !íneasde campo, desdeel polo sur hacia el polo norte, da'r'rreltacerca de éste, y se dirige en espiral hacia el sur. De hecho hay espejosmagnéticos cerca de ios polos. como esre lproceso se repite en reversa, las partículas cargadasrebotan hacia uno y otro laclo entre los polos. Por lo tanto, estánatrapadasy se acumulanalrededorde las líneas i: '!:' de campo magnético, en zonasque se llaman cinturones de Ya¡r Allen, en horrorde t¡'; James Van Allen, quien las descubrióen 1958 enr¡>leando los datos del satélite It.t. a.Explorer I. e';. Hay dos cinturonesde Van Allen, uno que tieneprotorres,a ulla aititud mediade l-ir ¡l li:!: ; 3000 lan, y otro que contieneelectrotres, a r¡nos 15,000kln clealtura (figLrra?9- 18b), ¡:a rl $l:: ' Esoscinturonestienendensidadeshastade 105partículas/crn3. Las particulrs elr los {,,, 'j,.i yiento cinfurones tienen su origen principal en el so/cr, que está fonnado por 'f.'l l lr¡' " partlculas que se originan en el Sol y se alejan de é1.Los protorresy electronesse x : j:',1r:": seParanen dos regiones,por tener distintasvelocidadesy cantidadesde lnovimiento, ' ¡ i ": Jil': ' Una consecuenciade los cinturones esla aurorrz,fenórnenoque se presentasiempre liti . , .r' que las partfculascon carga entraria la attnósferay excitan los átornosdel aire (véase liii:.l i ' .' { :r la figura inicial del capftulo).Las aurorassc notan más cercade los polos,donclclas .1¡il i l fn e a sd e c a mp o mag:néti cose zanrbul l erl]1¡^i " I" ' l ' i o* " l l ..' " -,l c corl el l a s los l i l / . , t: cinturonesde Van Allen. f i: i.

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2 9-3 S uponS aoue se ¿.cerca¡ l a Ti c¡l e un protón, a una : l . r' E J E M PL O ,.r.. v e l o c i d a dd e 1.5 x 10: tn,/s,a trn i rgi ;l c a.' j C ' l -S r:-ri : :-:.:;sl ::r¡rs C c.lca n: i, o - . ma g n é ti c ote rrestre, ¡' queda cr;l l ;:' ri c l :. ,-. :l ::' :::,-' ...:::.::.:: .:: \' r' :t ,\i lcn, r u n a a l ti tu dm edi ade 30OOl ' ;^,.si : ::.:::::.: s' : ' .:.::i :.-.-:.-i . .: ::.:.::.i ::r: :: r : - : ¡ :., d e l c a m p oa esaal ti rudes 10-5T, c:l cul : .: :::::= ::., -:-' .c::::.::.. . :. ::,j ; c ¡ : ¡ cuwaturadel movimiento del ::--:::.. SOLUCION:l-a frecuenciaciclc::: :.i : :. -se:'-::.

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El p ro tó ns e mueveen una esp::a.:;; c :::l o i e cui \' rturadel ;ci i dedei c¡: : : ¡ n e n ted e l a v e l oci dadperpeni :c:.:: al c-,::.:' ¡:i rl !l rL;i i co,E sc c::-upo::cl i i'l: 3: : r ¡ c o m o m a g n itudur= usen40' = ..-<> ,u-::. s,.i .6i )--. l Ornl /s.C onl aecr : a; : ; : . :, (29-8),llegamosa :

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= 103m - 1,, knr. El radio de curvaturaes mucho menci que la altitud del cinturón de Van Allen,

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I

Los espejosmagnéticosanálogosa los de los cintutonesde Van Alien, pero í construidospor el hombre,puedenseringredienteimportantede cualquiergeneraciónt; de potenciatermonuclearpor fusión, porque puedenaprisionarlas partículascargadaslt :, que intervienenen las reaccionesde fusión tennonuclear.Erl realidad,gran partede a r la investigaciónactualsobrefusión termonuclearcontroladase dedicaa los efectos t. de los camposmagnéticossobre las particulas cargadas,

29-4

soBR.EcoRRrErrrES FUERzAsMAGNETTcAS

ELECTRICAS --.-.*_--l

FIGLTRA29-19 Cor¡ductorcon corricnic, cn uri campo¡rugnético.Aislamosm s€glrrnto, d/, dcl alambrc,quocontlcncla cargad4 cn movimionto. , l

Hemosvisto que puedehaberuna fuerzasobrecargasen lnovimientodetrtrodeun campomagnético.Como las cónienteseléctricasen los conductoiessolrcargasen queun campomagnéticoejerzaunafuer::.,sobrelascargas movimiento,esperamos

o o o o o o O o o o o a o o o o O o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o

o o o o o o o o o o o o O o o O o o o o o o o o o o o O o o o o a o o o o o o o o I o o a t

deéstosy, por lo tanto,sobreel conductormismo (figura 29-19).Los experimentos es tae x p e c ta ti v a . r es paldan Un c or r c l r¡c totire n e c fl rg a s .' tr n ro v i nri entoen todo su i nteri or,y el campo pu e c l ev a ri a r a p re c i a b l e n re n te a l o l argo de su l ongi tud.La fuerzatotal luagnét ic o sobreun conductorcon corrientees la sutnavectorialde lasfuerzasmagnéticassobre lorlaslas cargasen rnovirnie¡ltoelr sr¡ interior.ParacalcularIa ftrerzatotal, primero la fuerzasobre un segmentopequenode utr conductorcon corriente. detenninarnos A continuaciónsumamos,o itrtegramos,la fuerzainfinitesimalen cadasegmento. Fuerzas magnéticas en conductores coffiente

infinitesimales

portadorcs

de

( 4,

el pequeño segmento de un alalnbre delgado portador de corriente Rcpresentemos cond/:Tiene una magnitud i¡finitesim al, dt y una dirección a lo largo de la corriente que conduceel alambreen el segmentod/. Si la carga,dq,en movimiento, instatrtánea contenidaen un segmento,df del conductor,tiene una velocidad v a lo largo de este (figura29-19),su desplazamientod/en el tiempo dt, es d1: v dr, y así

(b)

df v := -. (2 e -t 2 ) of Cornola corriente1es,pordefinieión,dqldt,lacantidadde cargadentrodel segmento cs d q :td t.

(29-t3l

que el carnpomagnéticoseráuniforme en la longitud del segmentosi éstees Nótese losuficientementepequeño.Con las ecuaciones(29-L2) y (29-13), podemoscalcular la fuerza magnética, dF, que actúa sobre nuestro elemento de catga, dq, y por sobre el elelnento de conductort consiguiente, ,n, d F :d q v x B :(1 d f)(df

xB /

*1,'y -" rl /" ., { | ,n

0f

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-J.r(c)

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*__.__),

FICURA 29-20 Scgmonto dc r¡n alambrc, alincado con (a) ol cjc e, (b) cl cJcr, y (c) cl cje y, cn trn cam¡ro magnótico. Sc mucstran las fucr¿asinfinitcsimalcs, dF, quc actúan sobrc cl scgmcnto.

\

Simplificamosel factor dr para calcular la fuerza infinitesimal sobre un elementodl dcalambreque porta una corriente ^Identro de un campo megnético B:

dF:/dlxB.

(2e-14)

que la corriente es igual en todo lugar del conductor,porque se conserva.aLa Nótese rnagnitudde la fuerza magnética,df,', es d F :l d l Bs c n],

I

'fo ón las de tos

(29-1s)

enla cual I es el ángulo que forman la dirección del segmentode alambre (que es la direcciónde la corriente), con la dirección del campo magnético. Al igual que para Ir direcciónde la fuerza, la figura 29-20 indica tres emplazamientosdistintos de un segmentode alambre portador de corriente en un campo magnético uniforme que tienela dirección +). En cada caso, la dirección de la fuerza sobre el segmento de conductorestá expresadapor la regla de la mano derechay la ecuación (29-14).En la figura 29-20a, dl se dirige hacia la dirección +2, y, Wr consiguiente,la fuerza npuntahacia la dirección -¡. En la figura 29-20b, d/ apunta en dirección,+¡, y la fuerza apunta en dirección +2. En la figura 29-20c, d/ se dirige hacia +¡,', entonces paralela a B, y, por consiguiente,no hay fuerza, Iuer¿as magnéticas sobre conductor.es ffnitos portadores

dc comiente

l¡ fuerzaneto, F, sobre una secciónfinita de alambre, es la suma vectorial de las iuerzasque actúan sobre los segmentos infinitesimales que forman el bonductor. la fuerza neta por integraciónde dF [ecuación(29-14)l en toda la Detenninamos rg 3 5

{ No cstarrxrshabla¡do de conductorcs grucsos, para loe cualcs ¡iodríamos ncccsita¡ tcncr cn cucnta ,r:;¡i¡ncs dc la tlcnsidaddc corricntedcntro dcl alambre.

Fuerza magnética sobre un segnrento de alanrbre portedor de corriente elóctrice

856

longitud del conductor. Como.f es igrral en todos:1t--..; l;. .s.-:.... ¡;utriosdel co:-,¡i,-r:ior, de la ecuación (29-14) tiene la fonna

Capirulo 29 Efcctos dc loc cam¡ro rmgnétlcoc

F¡ : /

[Kt * t,).

():¡ ,..:

La facilidad de llevar a cabo la integraciórrdepencleclclcasoprrticul0r',colilo Vr¡i:'.i-r j en el ejernplo 29-4.

EJEMPLO 2 9 - 4 Un alambredelgadoy rcctocotrCuce utx:ccrr;-',il:i : pasapor una regiónde campomagnéticoconstante, perpencliculrr al al r;;:;;., (figura29-2h). La longituddel alanrbreerrla parteclelcampctnrigriúticoes l. Calculela fuerzanctasobrcé1.Rcpitael p;obl,:tnaparílult nlr:ullr¡c qucfcnl un ¿ingulo0 con el campo(figura29-21b). ; \t

todoslos elenretltos SOLUCION: En estecasoconocetnos de la ecuacióndc l,r (29-16); sólc nrrcesital:los intlgrlción.Cair' efectuni:la fuerzatotal,laecuación

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segfnento,d/, del alambreticne la rnisrnadirecciórr,d/; - t1/:k, y B cs colrsta¡rtc pnra cada seglnento,B - rj.La fi¡erzairrfitritr'sirrral sobrc catlnsc!',lnr]riio, i),': es idéntica: cons¡guiente, dF:

(¿l)

/[(d/ kl x { B j l ] = l cl / l l (k x i ,¡: t tl l i i (-i ),

u n v e c to rq u e ti enel a di recci ó¡i--r. Lst:rcl i recci ónsc corl pl ucbi ¡con faci l i clr , j con la regla de la mano de¡ccha.i-a fuerzatrcta,F, es la integralde dll:

¡ t.

"

,'' '\n

\'

",* +ll ---¡-

lt

'

(t r) FICURA29.21(a)Ejemplo 29-4.@)El mismo sagmcnto dc alambrc quc cl dc lg partc (r), poro formandn rrn rlngrrlo.

l dF :

I t¿, B q-i 1 :1ür

-i l l .' ¿r -tB t.i . \D l i1 JO La fuerzanetatiene dirección-¡, \' su rnagnitudes iBL. El único cambio cuando el ccnCuctorfr¡nl'.ar¡tr íurgulo 0 ccr P,, es rrii l¿! ecuaciónde la magnituCciei elel:ientoinÍirritesirnalcle fuerza: )ray un factci e a d i c i o n a l s, e n 0, en dF [ecuaci ón(]9- 15)].La di i ecci óudc i a fu¡r' eapeti i i íi l )ccl -¡. ,Jerecha, de y l ¡ es di rccci ón C or; ;o :ruc l a regl a l a cotr i g u a l ,d e te rm i nada pot lo tat:Lo,corno anil;a. 0es constante,no entraen la integral,que pelTnnnecc, Tenemos que F:

). j'

J

J

F - IBL se;i 0, etl direccióit -¡

(29-1:r

(29-17)y (29-18)sonresuitacios útilese itnportatrtes. Se¡:rued.,. Lasecuaciones CcigrrJc, la firerzasobieur1nllinbr.-combinarenunaccuaciónvectorialQuecxprc's3 quees y recto,de longitudl, enun camPoIneq;rético, F= i Lxl ],

(29 i: i,

estandoel vector L orielrtadoa lo largo del conductor,1' tetrietrtlola i,iiccción .i¿ ,: corriente. ell movinlicir',¡,.:: La ecuaciónparala fuerzanragnéticasob;euna carg¿ai,;lacla a la ecuaciótl de la lucrza nrngnética ctr rrlr cotriiucic: directamenle, conducido, ha el ordcn
29-5 FUERZAMAGNETICÁsoBREEsplp.,q.s CON CORRIENTE ELECTRICA Los camposmagnéticosejercetrfuerzassobre todo tipo de conclucic'r:; ¡ o Í l i : : : - . coffiente,incluyendolos de circuitoscerrados.Como veremos,ltil :

:,

o o o o o o o o o I o o o o O o a a o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o a o a I I

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o o o a o o o o o o o o a a o a o

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ilGURA 29-22 (a) Uru cspin rígida ¡' recr:ngula¡ dc alambrc r coloca cfl tm campo rrugnético corlsta¡tc. (c) Esrlucmagecrnétricodc la cspir¿quc nos pcrmitc calcular 0) Vistalatcml clcla cspira,-alo laigo dcl cjc.v. cl pardc giro sobrc ella. El par fiendc a alirra¡ al vcctor p con cl cam¡o magrÉtico,B'

t

I I

f

s v s ¡, n

uniforme,en realidad,sólo ejerceun par sobreuna espirade corriente.Estefenómeno es el causantedel par que hace trabajar los motores de corriente directa .y el aparatoque citamosen el capítulo28, y que se usa en amPerímetros galvanómetro, y voltlmetros, Se tiene una espira rectangular rígida de alambre portador de la coniente/(figura29-22a). El campo magnéticotienedirección +¡. I-os ladosde la espira dealambrese numeran 1,2,3 y 4; los lados I y 3 tienenlongiruda y los lados2y 4, longitudb.Lafigura2g-22b es una vista de canto del aparato,siguiendo la dirección +y.La dirección perpendicular al plano de la espira, que es la del pulgar cuando los dedosde la mano derechasiguen la dirección de la corriente,forma un ángulo V/con el campomagnético. Podemoscalcular la fuerza sobre cada uno de los segmentosde la espita con la ecuación(29-Ig). El ríngulo, g, que forma la di¡ección del campo magnético con la direcciónde la corriente, se indica en la figura 29-22b, para el lado l; los lados 2 y 4 sonperpendicularesal campo magnético,y entray sale de la página,respectivamente. Porconsiguiente,la fuerza sobre cada lado es

F, = IaB sen I, en dirección-Y;

(29-20a)

F2=IbB,en dirección-z;

(2e-20b)

F3= Ialsen O,en dirección+),'

(29-2oc)

Fo - IbB, en dirección+ z;

(2e-20d)

Rstasfuerzas se indican en las figutas 29-22a y 29-22b. Las fuerzas F¡ y F3 son iguales,pero opuestas,como lo son las fuerzas Fz Y F¡, de modo que no hay fuerza neta.Sin embargo, hay una diferencia importante entre estosdos conjuntos'de fuetzas: F¡ y F3 actuan a lo largo del mismo eje,CC' en la figura 29-22a, y no ejercen momento degiro sobrela espira.Fz y F¿actúanen ejesdistintos;como se ve en la figum 29-22b,

s

I 858 C:pirulo 29 Efcctos.dc kx cem¡roe magnétlcon '

y, por consiguiente,producenun par que haceque la espiratienda a girar en el sentido de las manecillasdel reloj en esecampomaglético. Cuandola espirahaya giradoen el planoye,estoesrcuando.0- pOoen la figura 29-22b,F: y F¿actriansobrecl rnisnro eje y ya no habrá par. Cuando la espira se encuentreen el plano xy (0 - 0"), el par es máximo. Porúltimo, cuando0 cambiadq signo,tambiéncanrbiade signo el par,y la espira tgnderáa girar en sentido contrario al de las manecillas clelreioj. al ejc cctrtral,CC', errla figura 29-22a,con Pode¡.nos calcularel par con_respecto los resultadosdel capltulo 10.De acuerdocon la ecuación(10-6),el 1:nrrreto,r, con resPectoa este eje, es r:(rzxFr)

* (rnxFo),

que van del eje CC'hacia los laclos en la cual 12/ ra soh los vectoresperpendiculares (figura 29-22c),Tanto 12como 14tietrencornomagnitudai2. 2y 4',respectivamente La figuta 29-22cmuestraque yres el ángulo entre 12y lru,y elrtre14y F4.La rnagnitu
r 2 f 'r s e n r y '+ r n l l a . s e n r ! aa

Lc clcdos so dobl¡n rodca¡do la cspirs, cn dlncción do I

FIGURA 29-23 Rcgla dc la mnno dcrcclu para indicar la dirccción dcl montcnto dipolarmagnótico, p, dc una cspira dc corr¡cntc.

P¡r sobre unl espirl de corrienle en un c¡mpo m¡gnéticoconst¡nte

:;(lbB) senry' +;(/bB)sen tL: IabB scntL. ¿¿

l ? q * '1

siempre y cuando la magnitud de ¡l sea, tt: IA .

r ? Q - ^:

A partir de esasecuaciones,la magritud del par es

r : pB senrl,, comoen la ecuación(29-21),y.la direccióndel par es1ade +1' Un:-: exacüamente en esüadireccióntratade alienar¡Jcon B. Por lo generalsecumplc queel par tit :: a hacergirar una espirade corrientede tal nrcdoque p y B quedenalincadcs. El par sobreuna espirade corrientedenlrode un campomagnéticounifo¡:i:: =, análogoal parsobreun dipoloeléctrico(pardecargaseléctricasi:::.= enteramente peroopuesüas) dentrodeun campoeléctricouniforme,quesedescribióen el ca:.:,.: con el momentodipolar elóctrióo,p, !':-^::: 23. El dipoloeléctticolo describimos 5 No confrmdir a con la pcrmcabilid¿d dcl e,spaciovacío, ¡16' ¡r

I

t (29-21)

Hemos empleadolos valoresde F2y Fa obtenidoscon Ia ecuación(29-20),Segúnla regla de la mano derecha,ambostérminosen la ecuaciónde r apuntatren direcciól i +y, de modo que el par neto tiene esadirección, una giro, de corriente par, de sobre espira en un calnpolnagnético, o momento El puede y generalizar. (29-21), se Primero, el factcr resunrir por ecuaci ón la expresado ab es el área,A, de la espira de corriente. Estc resultado se generaliza a cualquier espim plana de áreaz{, cualesquieraque sea su fonna, mediattte tégnicasde cálculo, de descomponeruna espira plana de cualquicr fonna etr lcctá¡gulos diurinutos, semejantes a la eppira que hemos estado describiendo. Segundo, la lraturaleza vectorial del par se qnanejamuy bien si se define un vector ¡.rperpendicularal plano de ta espira.sDos vectores son perpendicularesa cualquier plano; ¿cuál de ellos escogemoscomo ¡r? Escogemosdefinira ¡Jcon una regla de mano derecha:dobiandc los dedos de la mano.derechaen dirección de la cortiente por la espira,y con ello er pulgar indica la dirección de ¡r (figura 29-23). Pruébelo para la figura29-22c, donCe hemos indicado a p. El ringulo entre ¡l y B es r¡, AsÍ hemos demostrado que la dirección y magnitud delpar sobre unaespira de corriente estánexpresadaspor Í= l X B ,

o o o o o o a o o a o o I

o t o o o o o o O o O o o a o o a t t

I

t t I I I I

o o 3

o o o o o o a o o a a o o o o o a o o o o o o o o o o "oo o o c o o o o o o o o a O a o o o

alineadocon las dos cargas,cuya magnitud es igual a la de la carga multiplicada por la distancia de separación de las cargas. En términos de la respues[aa un carrrpo magnéticoexterno, la espira de corriente es, para todosfines medibles, un dipolo magnético,óPor consiguiente,llamamos momento dipolar magnético a I, que desempelña un papel análogoa p, el momento dipolar eléctricode la espira. Es posible una generalizaciónmás, Supongamosquél en lugar de una espira de alambre,nuestro circuito consta de N vueltas, cada una abarcando la misma área plana.Po.dríamosreferirnos ahora a una bobina, más que a una espira. Cada vuelta de la bobinasientelas fuerzasque hernosdescrito,y el par se multiplica por N. Este facto¡se une a los demás,intrínsecosde la bobina,y entoncesel momento dípolar masnéticoseráahora P:

IN ¿.

(29-24)

Hemos visto otro sistemaque se alineacot¡ los calxposmagnéticosexternos:lab litnadu¡asde hierro que usamospara llegar a nuestradefinición preliminar de los camposmagnéticos.Esaslimadurasde hierro, dijimos, se comportancomo pequeños imanesrectos que también se ponen a girar en los campos magnéticos.Los imanes tectosreaccionana los campos exactamenteigual que las espirasde corriente.Corno veremosen el capitulo 30, cuando calculemoslos camposmagnéticosproducidos por dipolos magnéticos,los imanesrectos,en sí mismos, son dipolos magnéticos. Estose debe a que, a nivel microscópico,los metalestienencorrientescirculanntes formadaspor ios electronesen órbita alrededorde los núcleosatómicos.El comportanrie¡rtornagnético de los ¡nate¡ialeses un área de investigaciónmuy activa. Btudiarelnosestecomportanriento,con más detalle,en el capítulo32. Cargasmagnéticas

i

I t

) ,l e A

Nuestroprocedimientopara estudiarlos camposmagnéticosha sido investigarlos efectosde ellos con objetosde prueba,como imanesrectos,o dipolos magnéticos dirninutos.Esto se asemejaal procedimientoque seguimos para determinar los efectos de los camposeléctricos,peroexisteuna diferenciafundamental.Parael caso delos camposeléctricos,podemosemplearobjetosde pruebacon cargaseléctricas sencillas, o monopoloséléctricos.Con cargasaisladases directoel aprendizajede las leyesde fuerzaparalos camposeléctricos.Si hubiéramosempleadodipoloseléctricos comosensores,las correspondientesleyes de fuerza hubieran parecido ser mucho máscomplicadas,y nuestratareahubierasido mucho más difícil. Sin embargo,¡esto eslo que hemos hecho en el magnetismo! ¿Por qué no hemos empleado cargas rnagnéticas, o monopolos magnéticos,como sensores?La respuestaes que, aunque sehanllevado a cabo muchos experimentosparaencontrarmonopolosmagnéticos, nadie,nunca, ha observado claramente un monopolo magnético, y puede ser que, sencillamente,no existan tales objetos. Si en realidad no existen, hay una asimetrla fundamentalentre la electricidad y el magnetismo.Rs notable,porque la electricidad y el magnetismoestánrelacionadastan íntimamente. Motores y galvanómetros

par nde ees

rles, fulo

Conel aparatode la figwa29-22a, tan pronto como la espirade alambregira y pasa porla posición en la cual estáalineadacorrel plano yZ, cambia el par que actua sobre ella,de signo, y se há'cecontrario a las mánecillas del reloj. De hecho, el par cambia dedirección cuando V/ pasa por 0o o 180". Sin embargo, si podemos hacer que la czrrientecambie de dirección cadavez que la espirapasepor W: 0" o I 80", entonces

ó Una de las propicdaclesmcdibles dc un di¡rolo, la qtrc lo rlcfine, sca magnótico o clcctrico, cs cl cam¡rc quc produce cl mismo di¡rcIo.Iin cl capítulo30 calcularcmoscl campo di¡xrlarmagnótico. raractcrístico

qq; 2$J

Fm--ü¡aFrE&G6SE oDffi¡:Ú€'LFÉ

Mon¡enlo dipolar megnótico de un¡ l¡obin¡ con corriente

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860 C,apítulo,29 magnétlóoe

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llfcctoc rli tos. cam¡xx

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I I I I I

I{ol ac i ón

a ol q q

A ni l l o bi ¡rart

Conl¡lcto("osobilla")

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IIGURA 29-24 (n) Bobirra condrrcto¡adc corrlc¡rto allnc¡da con cl cnmpo mágf¡dtico. Tlcnc un conmutador dc anillo bipalido. @) fu ucnu dc rm conmdador dc anil lo bipaf ido. El par cjcrcklo sobrc la cspira la hncc girar, fonnando un motor clóctrico.

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o o o o

(b)

el pat producirá,en fonna continua,una rotación en seriticlode las marlecillas.icl teloj. A estedispositivoparacambiarde clirecciónla corrientesele llalnaco¡unutodcr de anillo bipartido (figura 29-24). La espira corrtilrúagirando bajo la infiuencia ijc un pa¡ cuyo signo no cambia,y hemoscreadoun tipo de motor c!¿cÍr¡co. El hecho que un campo magnéticoejerceun par sobre una espi a de corricl:te nos sugiere también que esa espira se pucda emplear elr un aparato que rniCa corrientes. De hecho, ya hefnos empleado ese aparato, en el capltulo 28: es u:i galvanómetro. Por ejemplo, podemos fijat a una espira un resorte para equilibrar ¿l par debido a un canrpo magnético conocido (figura 29-25a). La cantidad de estiramiento del resortees una medida del par de la espira,y, por consiguiente,de la corriente que paia por ella. El gaivanómetro,que se ve en fonna esquelnáticaen la ligr:ra 29-25b, es la basede los instru¡nentoseléctricos que estudiamosen cl capítuio 2E.

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o o o o o o o r! o

Energía y par en las espiras Cuandoun calnpomagnéticohacegitar una espirade corriente,efcctúairabajo,P.::, un campo constante,la única variable en el trabajo es el ángulo de giro, r¡r.Concc:mos, de acuerdocon el capftulo 7, que cuando la fuerza o el par dependensólo Cc :g posición,esútil en conceptode energfapotencial,porquepo
: : u(,t)- u(eO') lr')c,(r' ,./ J;'" r d{' - I;" (¡rBsen : _pB

/" 90"

senrlr'dr!' : ¡rlJcos90' - ¡rB cosr.,, Jr

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o o o o o o) o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o

El cosenode 90" es cero, y entonces

U(,1/)- U(90') : - pB cosrlr.

ü,]

(2e-2s)

Sepuedeescoger,por comodidad, la U cero. Se acostumbraa definir que U seacero cuandoV: 90"; esto es, cuando p es perpendiculata B. Así, hacemosque U(90") : 0 en la ecuación (29-25), con lo cual obtenemosla encrgía potencial de una espira de corriente con un momento dipolar magnético deterntinado, H, €n un campo nngnético constante, B : U ((t): -¡. 8. (2e-26) La energlapotenciales mínima cuando¡l estáalineadocon B; esto es, cuando V/ 0o.Asf, la orientaciónen la cual p se encuenttaalineado con B, es un punto de cquilibrioestable.Esto concuerdacon nuestro resultadoanterior que el par tiende a hacergirar Ia espirapara que p y B quedenalineados.

29-5

Fuera

I

sórc 6pñ mzgrÉtiq ckflrlc¡ con corricntc

La energia de una espira de corriente en rrn campo megnétic o c ons ts nte,E l vel or míni mo de |l energi e potenc i el s e presenta cuando están alineedos el momento magnéti co di pol ar y el c ampo nragnético.

E J E M P L o 2 9 - 5 U n a e s p i rad e corri enteen ul l camP omagnéti coconsdi sti nta t ant es ea l i n e ap ri rn e rod e ta l rn o d oq u ep ti eneunadi recci ónl i geramente de la de B , y s e s u e l ta .N o h a ¡'m e c a n i s moal gunocon fri cci ónni pérdi daal guna de energía por esta causa; esto es, no hay amortiguamiento.Determine el m ov im ie n toq u e s e e s ta b l e c e n l a e s p i ra. ligeramentedel punto SOLUCION:Iniciamoscon la espiraorientadaapartándose de equilibrio estable;esto es. con y pequeño,pero no cero, siendo yel ríngulo que forman p ¡' B. Paradescribirel comportamientode la espira,expresamosa IJ(ry)paravalores pequeñosde y. Empleandola aproximaciónpara pequetios I\' -9, tenemosque ángulosc o s V/: I - (V ' l :), d e l ' \p e n d i ce uB v2 (2e-27) L ' (V ) : -¡.8 c o s u - -;,8 + EI término -¡tB es constante,y, por consiguiente,no tiene efectos sobre el de un sistemaffsico movimientode la espira.El términopBVt2P es característico familiar: el osciladorarmónico. Este resultadono debe sorprendemos,porque sabemosque los movimientospequeñosen la cercaniade casi cualquierequilibrio estable,son armónicos.El osciladorarmónico del capírulo 13 tiene,como energíapotencial,kf ¡2,fotma que se relacionacon el movimiento armónicoen la variabler, respectoal printo de equilibrio¡ = 0. En estecaso,y desempeñael papel de x, mientras que ¡.rBsustituye la constantedel resorte,,t. la espira en el campo magnético trabaja como un péndulo fÍsico, de modo que también po-

FICURA 29-25 r.a)Galva¡rómct¡o. Mide la corricntc quc pasapor una bobina. Un rcsortc equilibra cl par dcbido a las fucr¿as magnóticassobrc la bobir¡,a.(b) Esqucma dcl galvanómctro. La dcformación dcl rcsortc, mcdida en la canitula dcl mcdidor, i¡xlica la corricnte.

Bobi¡¡adc alambre

862 Cr¡ritulo 29 magnétlcoc

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o ol ol ol

drfamossustituirla masa,r¡, etrel osciladorannónico,por el ¡nornentode inercia de la espira,/¡a,tespectoal eje de rotaciótr.Paraevitar cualquiercolrfusióncoir la corriente, I emplearemos 1¡7para repre€entafese mo¡nento de inercia. E. movimiento será'entonces

l,.fcct<)(' dc lmcnm¡nr

tl t:t!^sen(tut* { )' [véaseecuación(13-1)].En ella, r¡, y @sonla amplitudy la fase,respectivattrente, que son datos; la frecuencia angular es (!)--

liB

l; v ¡,rl

Tenemos movimiento armónico en r¡ respectoal punto de equilibrio estable,¡: - 0, estatrdo¡r alineadocon B. Hay un intercambioentre la energía.potenciai (ecuación 29-27) con el término de energía cinética relacionado con el movimiento de la espita: cuando la energia potencial es grande, en el valor máxtmo de r¡, la energla cinéticaes cero; cuando la energla potencial es cero, cuando i' - 0, la energfacinéticaes lnáxima (véaseproblema47). Una aguja de brujula, sin amortiguamiento, se cofnporta en forma rnu)' semejantea la espirade esteejemplo, porqt¡eesaagrrjaes un imán recto y, pcr lo tanto,funcionacomo espírade corriente.

i

29-6 EL EFEcro IIALL

I

t

t La dirección de una corriente no detemrinarpor sl, el signo de los portadoresde carg: en esa coriente, porque una corriente hacia la derechapuede ser producida por e. i movimiento ya seade cargaspositivas hacia la derecha,o de cargasnegtativashacia ¡. la izquierda. El efectode Hall nos permitirá detetminar el signo,.Se tiene una-bani¿ de metal de longitud l, a la cual se le aplicaun potencialeléctricodesdeun extrernc r hasta el otro, de tal modo que Pasauna coriente por la banda. Esta se coloca en ij:. campo magnético uniforme, perpendiculara la banda (figura 29-26). Describa:¡cs ¡ en forma cuantit¿tiva la diferencia de potencial entre los puntos a y á' i [¿ ecuación (29-19) obtiene la fuer¿a total sobre la banda, F - IL x B. Es:: fueÍza,de acuerdo con la regla de la mano derecha,se dirige hacia -.¡ y actúa hac.: : la izquierda en la figura 29-26, Si se emplea la ley de fuerza equivalente, F c'r ' B, podemos demostrar que la fuerza sobre los portadores de carga actúa hacia .: izquierda, sea cual fuere el signo de los portadores.Si las cargasen tnovimiento sc.. positivasy la corrienteva en dirección +y, entoncesla velocidad de las cargastanl'::::. tiene la dirección +). Segunla regla de la mano derecha,f'= qv x B se dirige, ento;rc:-i. hacia el punto a de la figura 29-26. Sin embargo, si las cargas en movirniento s--: negativas (electrones), entonces su velocidad tiene la dirección -y' El proi:;.':: vectorialV x B se dirige hacia la derecha,pero q es negativa,y qv x B, nuevame:: se dirige hacia la izquierda,haciendomover á esascargasnegativashacia ;. l: cualquier forma, hay una acumulación de portadoresde carga en el lado izquiei;: la banda. Esa acumulación no puede continuar en forma indefinida: una vez c j3 :.: ha pasadoa la izquierda los portadoresde carga suficientes,origfiaf¿ín unu ñ,r..=. t= Coulomb de repulsión, que se opondrá al tnovimiento de más portadores cie c.::; haciaallf. Se estableceun equilibrio una vez establecidoutr potencialeléct¡icc.':--:: los puntosa y b, que evita más cortimientos de portadoresde cargahacia la izq::.:Entonces,las cargasse mueven por la bandahacia arriba,con'rolo haríansi n¡ l:: .--. campo magnético. De hecho, la separaciónde la carga estableceun campo ele:'--::: enhe lgs puntoso y b, Porconsiguiente,tenemoscamposcruzados,E y B, ¡'i:s :-:;: viajan sin desviarse,hacia arriba del alambre, exactamelrtecomo el sel::::-: velocidad que describimosen la sección29-3.

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FIGURA 29-26 Banda conductora ptrpcndicular a un campo magnótico cor¡stanfc.Dcsarrolla un potcncial, llamndo voltajc dc tlall, cnkc los puntosa y á, cuando la ba¡da conducc trna cor¡ie¡rto I'

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3

¡l I

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

EI signo de la difercncia dc potencial entre los puntos a y b dcterntina el signo dc losportadores dc carga. A este fenómeno se le llama efecto de Hall. Si los portadores de cargason negativos,las cargasnegativasse acumulanal lado izquierdo dela bandametálica, y el punto a estáa menor potencial que el punto á' A la inversa, si los portadoresson positivos, las cargaspositivas se acumulan en el lado izquierdo de la banda, y el punto ¿ está a un potencial mayor que el del punto á. La prirnera medicióndel signo de estepotencial de Hollla llevó a cabo el ffsico Edwin H. Hall, en 1879.Su medición comprobó que los portadoresde corrienteen los metalestienen carganegativa.

de cerga

n:c ttflm;úc

el si3oo óc tro eolt¡dm cn un nct¡!-

2 9-6 El aparatode la ftguta 29-26, que demuestrael efecto EJEMPLo Hall, se encuentraen un campo magnético de 2.0 T. El ancho de la banda es 1.0 cm, y se mide un voltaje cuya magnitud es'1.2 ¡lV entre los lados. ¿Cuál es la velocidad v de los portadoresde carga en la banda? SOLUCION:Conocemosla magnitud del campo magnéticoy, a partir del voltaje, podemoscalcula¡ la magnitud del campo eléctrico cruzado.Como ya hemos visto, el calrrpoeléctrico se establecea travésde la banda,y bajo esascondiciones la ecuación(29-9),del selectorde velocidad,rige; por consiguiente,la velocidad desconocidaes F R

El campoeléctricoque se establecea travésde la bandalo determinael potencial elécttico,I/,y es F_

l! a.

[recuerdela ecuación(25-30),siendod el anchode Ia banda.Asl, la velocidad de los portadoresde carga es

u:

V Bd -:

7 .2 x 1 0 -o V

(2.0TXl.0 x 10- m)

: 3.6 x 10-a m/s.

Es una medida de la velocidad de desplazamientode los electrones.

O

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

El efecto de FI¡ll determin¡r

RESUMEN

? 0 t' c t,

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b

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a. m a )o

Losimanes,las cargaseléctricasen movimiento, y las corrienteseléctricas,experifuerzasmagnéticas.Esasfuerzasse puedendescribiren términos de un campo lnentan nragnético,B, cuya dependencia espacial se puede determina¡ con limaduras de hierro,u observandosu efecto sobre una carga eléctrica de prueba,en movimiento, ounelementode cortiente de prueba.En términos de esecampo, la fuerza magnética una cargaeléctrica,4, dependede la velocidad de la carga,segúnla ley de fuerza sobre nragnética, (2e-t) F a : Qv x B . Launidadde campo magnético en el SI es el tesla,T: I T = 1 kg/C ' s). Cuando es!án presentes tanto campo eléctrico como magnético, lo que dge es la ley de fuerza de Lorentz:

F:s[E +(v x B )] .

(2e-4)

ft

¡s le lj

En un campo magnéticoeslático,el componentede la velocidad de una partfcula paralelo al campo, no es afectadopor esecampó. La magnitud de la fuerz¿ cargada,

::"-

864 Capitulo 29 Efcctos dc los campoc magoótlcos

sobrela pattfcula,debidaal campo,es proporcionalal componente de la velocida: petpendicular al campo,y la direcciónde la fuerzaesperpendicular a esteconlcnente,y.al campomismo.Por consiguiente, la enorglacinéticade unapartículaccl cargadentrodeun campomagnético,no cambia.Cuandoel campoesconstante, ul:3 partfculacargadaquesemuevaperpendicularmente a é1,describeun círculoderadi,. R:^u qB

ll9 - _{

La frecuenciadel movimientocirculatde la partlculaesla frecuenciaciclorónica, ,_48 J 2n^'

t.)q-

que es independientede la veloéidad de la partfcula.La trayectoriageneralque sigue una carga en movimiento es una espiral que rodea a llneas de campo magnético.Los cinturonesde Van Allen son reliones cercanasa la Tierra en las cualeslas particulas con carga se acumulan en trayectorias en espiral, bajo la influencia del campo

magnéticotenestre. a Cuairdo"unápartfculacarlada tiene determinadavelocidadperpendicula¡ camposeléctticoy magnéticocruiados,seanulanlasfuerzaseléctricay magnética, y la partlculapasasindesviarse a travésdeesoscampos.l,a rnagnituddeesavelocidad especiales . E l ?a _a \ B Con ay.udade un selectorde velocidades,aparatoque se basaen parte en este fenómeno,sepuedemedirla relacióncatgaa tnasadel electrón. [a fuerza magnéticainfnitesimal sobre un tramo infinitesimal de alambre delgado,de longituddl, queconduceuna corrienteI en presenciade un catnpo es magnéticoconstante, dF=ldtxB. eg-t4\ Paracalcularla fuerzanetasobreun alatnbrede longitudfinita dentrode un carnpo magnético,se integrala ecuaciónanterior.Por ejemplo,la fuerzasobreutr alanlbre porla rectodé longitudl, dentrode un campcimagnéticouniforme,estáexpresada ecuación(29-19),F - /L x B. Un segundoejemploes el de un alambreque lleva unacoffientey quetienela formadeunaespira,o de unabobinadeN vueltas;ei rirer esa pot la espitaesr{. Cuandosecolocaenun campomagnéticoconstante, aba¡cada espirasienteun par (29-2); 1:pxB. igual conmomentodipolarmagnético comoundipolomagnético La espirareacciona a p. Paraunabobinade Nvueltas,¡.rtienenragnitud tt:

IN A

(29-:4

y su diteciión esperpendicular a la ca¡ade la bobina;su sentidoesel quedetenrii: la reglade la manoderechacon la corriente.El par tiendeah{cet girar la espirr;: La energlapotencialde la espiraenun cr.::'.:: tal modoque¡,ty B quedenalineados. sepuedeexpresarcomo magnético'constante

U( ú) : - r . B, en la cual r¡resel ringuloqueforman ¡l y B. El efecto Hall aprovechala equivalenciaentte la fuetz,asobre una ca::3 :: q':: .:: movimiento,y sobreun alambreportadordecorriente.Esteefectodemuestra portadores de conienteen los metalestienencatganegativa,

I

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o o a o a o o o o o o o o a o o a o o o o o o o a o a o o o o o o a o o I

o a o o o a o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O

o o o o o o o o o o o o o o

PREGUNTAS l. Un conductor con corriente es eléctricamenteneutro, pe¡o sin embargo, todo campo magnético actúa sobre é1. ¿Por qué? 2. Explique cómo podrfa definir y medi¡ un campo magnético si existieranmonopolos magnéticos. 3. Un haz de electronesen un osciloscopio es desviado hacia la derechaen la pantalla. ¿Podrla deberseesto a un campo eléctrico, o bien, a un campo magnético? Explique cómo podrfa distinguir entre esasposibilidades.

magnético externo. ¿Espera usted que haya una fuerza adicional sobre el alambre, debida a su movimiento? 9. Tiene usted un tramo de alambre de longitud fija, que desea emplar para formar un dipolo magnético con el momento dipolar magnético máximo posible. ¿En que forma lo devanarfa? ¿Serlamejor hacer una sola espira,o Nespiras? 10. Un imán ¡ecto pequeño forma un dipolo magnético; un a'lambre conductor de corriente en la forma de una espira pequeña también forma un dipolo magnético. En este caso, la espira de corriente deberfa dar lugar a un campo magnético. Con esta analogla haga un esquema de las lfneas de campo magnético que generarlaesa espira de corriente.

4. Unhaz de electrones forma una mancha en el centro de Ia pantalla de un tubo de rayos catódicos. Se acerca un imán recto,desdeel lado izquierdo, visto desdela pantalla,con el polo S más próximo alhaz. ¿Haciadónde se moverá la mancha?Suponga que el extremo N de un imán recto se acerca al haz desdearriba. ¿Hacia dónde se moverá la mancha?

11. El polo sur magnético terrestre es cerca del polo norte geográfico. ¿Por qué el polo norte geográfico se habrá llamadopolo sur magnético?

5. Gran parte de la descripción de las fuerzas magnéticas depende del empleo de una regla de la mano derecha. ¿Dependela fuerza magnética, en forma fundamental, del hecho que hayamos escogido la mano derecha, y no la izquierda?

12. Supongaque el devanadode un motor eléctrico de corriente directa estáformado por muchas vueltas,y no por una espira de alambre que lleva una corriente I. ¿Qirael devanadocon más rapidez que una sola espira? ¿Seguirá trabajando el conmutadorde anillo biparlido?

6, Si acabade usar un selector de velocidadespara electrones, y deseausarlo para escogerpositronescon la misma velocidad, ¿tiene que cambiar los ajustes del selector?Los positronesson como los electrones,pero su carga es positiva.

13. Se tiene una gran cubeta de agua, un imán recto con sus extremos N y S sin marcar, un alfile¡ ¡ecto y un corcho. ¿Cómo fabricarla usted una brujula? Una de las cosas que necesitausted conocer para formar la brujula es cómo distinguir el polo norte del sur; se le permite ver el Sol para ayudarsecon esta partc de la pregunta.

7. Las cargas inducidas originan fuerzas eléctricas hasta en objetos eléctricamente neutros. ¿Cómo sabemos que las fuerzas entre los imanes ¡ectos no son fuerzas eléctricas inducidas?

1¡1. Los polos norte magnéticos, ¿repelena las cargaseléctricas positivas?

E. Imagine que un conductor eléctricamenteneutro, que conduce una corriente, se mueve en presencia de un campo

15. Un compañerode clase le dice que I T es I N/A.m. ¿Tiene razón?

PROBLEMAS 29-I Imanes y cantpos magnéticos

29-2

l. (ll) Haga un esquemade los camposrnagnéticospara cada uno de los aneglos de la figura 29-27.

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(a)

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( b)

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E::F

(c)

FICURA 29-27 ProblcnraI

q

Fuena magnética sobre una carga eléctrica 2. (l) Un protón, con velocidad v : (2 x 103)i+ 102j + 15 x 102)km/s se¡nuevea travésde un campomagnéticoB = 0.3i * 0.4j + 0.5k T. Calcule lafue¡zz sobreel protón.

3. (I) Un protón con 100 keV de energla entra a una región de campo magnético uniforme. El protón se mueve unifomlemente en dirección +¡ perpendicular al campo. A continuación experimentauna aceleraciónde 3 x 1010nVs2en di¡ección +). ¿Cuáles son la magnitud y dirección del campo magnético? 4. (II) Una pelota de corcho que tiene una cargaq y una masa de 2.0 g, sc pone en movimiento rectilineoperpendiculara un campo magnético uniforme de 0.10 T. ¿Cuál es el valor de q si su direcciónde movimiento cambia 1oen 1.0 s? 5. (II) (a) Una partlcula cargada en rápido movimientc, ie carga¿, masa rlr y velocidad v pasapor una región de can:¡. magnético B, que tiene una dirección perpendicular al :r'.:vimiento (frgura29-28). La partfcula du¡a A¡ en ia ¡ei:rr Calcule el ángulo 0 que forma al desviarsei';:¡::: j; s u p o n i e n d o q u e0 e s p e q u e ñ o ( b ) k p a r - l i cu l i3s ;:, :::'- : c u y a m = 1 . 7 x 1 0 - 2 7 k g y, e = I . 6 x : 0 - : r C , ) sr i : :,: :::

o o

estáen lfneacon la dirección+¡ y definimosa la dirección vérticalcomo di¡ección¿.El tubo tiene0.3 m de longitud. Calculela desviación,en düeccióny magnitud,del hazCe debidaal campbterrestre, electrones

it . , FIGURA29-28Problcm¡ 5. es0.1 es 1.4x 107m/s.El tamañode la regiónmagnetizada m de diámetro.¿Quévalor debeténerI paraquela desviación sea0.I rad? 6. (II) En un modelomuy simplificadodel campomagnético y tiene de la Tiena, el campoésparaleloal eje de rotaci.ón, una magnitudconstántede l0{ T hastauna altu¡ade 100 a ce¡o(figura29-29).Un kn, y despuósbaja rápidamente concarga+b,y9.5x l0'26kg demasasemueve rayocósrnico haciael ecuador, a una velocidadde 108m/s,'directamente desdeaniba. (a) ¿Enqué direcciónse.desvlala partÍcula? (b) Calculecuántose desviaráresPecto al puntode impacto quetendrfasi no estuvieracargada.De hecho,no setratade un ejemplorealista.Las partlculascósmicaslan masivas comoéslatienenmaYorcarga.

región,el radioprlrn.Oiode curvatura 13. (ll En determinada en el cinturónde de la trayectoriade electronesatrapados promediode un electrón Van Allen esde 300m y Ia en.ergla es 100keV. ¿Cuálesel valordel campomagnéticotenest¡e en esaregión?

$o.o",u"

B

P¡rticula do rayo

FIGURA29-29Pro¡l"muO. l. @ l,os electronessin perturbar,en un cinescopiode TV, viajaríana una velocidadde 7 x 107m/s a lo largo de la Ci¡ección+¡. [: TV estáen un lugarde la superficielerrestre m el cual el campomagnéticotieneunacomponentevertical ric 13 pT y horizontalde22.5T. El componenlehorizontal :trfr'J

29-3 Fuer¿a magnéticasobreuna carga clóctrica ft. (I) Un protónentraa unaregiónde campomagnéticoconsperpendiculannente tante,orienlado Allf,el a sütrayectoria. protónviaja a una velocidadde 3 x 106m/s en trayectoria circularde 20 cm de ¡adio.¿Cuálesla magnituddel campo magnético? queprocedendeun cañón 9. (D (a) Supongaqueloselectrones ',f, de ló00 V se inyectana una regiónde campomagnético perpendicular a la velocidaddeellos.¿Quécampo constante, tengaun niagnéticoharáque Ia trayctoriade los electrones de 6 cm?(b) ¿Dequémagnituddebese¡ radiode curvatura paradarun radiode curvatura de 20 un campomagnético cm a una parlfculaalfa (carga,Q J 2e,y tnasa,'lto= 7360 vecesla masadeun e)ectrón), cuyaencrglacinéticaes 1200 eV? queel radiode curyatura de un proiónquese 10. (I) Demuestre muevea unaveiocidadde25 km/sen un campomagnético con las distancias de l0-r0T es pequeñaen comparación siguenun Los protones,por consiguiente, interplanetarias. de de laslfneasinterplanetarias caminoenespiralalrededor qtrclosprotoncs dccirnos cstfn"llga.los canrpomagnéfico; a laslíne¡sde canrporndgnótico" cn loscatllposcóslnicos, de de ünaestrella en la superficie 11. (l) El campomagnético ti eneunamagni tudde 108T. ¿C uálesel rad io neutrones quesemueveallfconuna de la órbitacirculardeun electrón velocidadde I 9Éde lq de la luz? ¿CuáleSla iragirituddela fuerzamagnéticasobreel electró¡r? quetienen 12. (I) ¿Conquéfrecuenciacirculanlos deuterones, la mismacargaquelos protones,peroel doblede éu rñasa, de l.2T? en un ciclotrónconcampomagnético

programado superconductor, 14. (II) En el supercolisionador paraconstruirse en la décadade 1990,enel estadodeTexas, semoveránen un cÍtculode 13.8km de ¡adio. losprotones carnposrnagnéticos de 5,T. ¿Cuálesla Sepodránalcanzar de la cantid¡ddemovimientodeun protónquese rnagnitud de 13,8km de mueveen estecampo,con su trayectoria radio?Pa¡aprótonescon esacantidadde movimiento,l¡ energfaes E - pc, siendoc la velocidadde la luz, 3 x lOE I m/s. Calculela energfadel protónen megaelectrónvolts; ' MeV - 1.6x l o-tr J. 15. (II) Supongaque los electronesen un ci¡escopiode TV tienen l0 keV de energía,y que se muevenen direcció¡^ perpendicular al campomagnéticode la Tiena (véasetabia vectorialfinaldeun electrón 29-1).(a)Calculela velocidad al llegara la pantalla, si la distancia horizontalquerecore a su es 40 cm. (b) ¿Cuál.esla distancia,perpendicular trayectoriaoriginal,quesedesvfael electrón?

o o o 10

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o o o o o o o o o o o o o o

16. (lI) L¿ Tiena escomo un imán gigantecuyasllneasde campo se asemejana las de un imán recto, y van del polo norte magnéticohacia el polo sur magnético. Asf , el campo magnético en el ecuador es, aproximadamente,constante,y su magnitudes 5 x l0-5 T, y va del polo sur geográfico hasta el polo norte geogtáfico. Si no tenemos en cuenta la resistenciadel ai¡e ni la fuerza de gravitación, un cuerpo cargado podrfadescribir una órbita alrededorde Ia tierra en el ecuador, como resultado de Ia fuerza magnética, si tuviera la velocidadexacta. Suponga que ese cuerpo tiene una carga de 0.1 C y su masa es O.l g. (a) ¿Cuál tendrfa que ser su velocidadpara que viajara por esa órbita? (b) Suponga que la fue¡za gravitacional actúa sobre este cuerpo, también. ¿Cuáles la relación de la fuerza gravitacionala la fuerza magnética? 17. (ll) En la sección29-3,calculamosla cantidadde movimiento crftica para que un electrón pernanezca dentro de la ga laxia.( a) Com o la ener gí ade una par t í c u l ad e a l t ae n e r g í a se rela ci onac on s u c ant idadde m ov inr ien t om e d i a n t eE = pc (vé as epr oblem a 14) , ¿c uáles la ener gí ad e u n e l e c t r ó n co n la cant idadc r f t ic ade m ov im ient o?¿Cu á l e ss o n l a c a n tida dcrític ade m ov im ient o y la ener gí apa r a ( b ) u n a p a r t i culaalfa (carga2e¡'masa,1r'ecesla del protón)?(c) ¿Cuáles para un ion de uranio,de cargae y sonlas co.respondientes con masa240 r'ecesla del protón?

o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O O

o o o

18.(ll) Un protón se mueve horizontalmenteen diiecc;ón perpendiculara un campomagnéticoconstanteorientadode tal modo que desvía el protón hacia aniba. l: magnitud del ca¡npoes 0.010T. ¿Cuáles Ia velocidaddel protón,paraque la fuerzamagnéticaanule exactamentela fuerzade gravitaciónen el protón, dejándoloen trayectoriahorizontal?Este problemamuestralo debillsimaque es la fuerzagravitacional en comparacióncon las fuerzaselectromagnéticas.

23. (ID Desea usted tener un selector de velocidai q;e s:i sintonizable,con capacidadde selecciónpara electro;esq -:: se hayan acelerado desde el reposo mediante un poteir.i¿. que puedeser de 12OOV a 12,000V. Si el campo magnetico, B, se mantiene frjo en 0.1 T, ¿qué llmites de intensidadesCe campo eléctrico deben tenersedisponibles?Si la intersidad del campo eléctrico estuvierafija en l0O V/cm, ¿quélímites de intensidadesde campo magnético deben estar disponibles? 21. (lI) [: figura 29-30 es un diagrama de un ciclotrón. Una partlcula cargadaparte del punto central, y, para determinado campo magnético perpendicula¡ al plano del movimiento, sigue una trayectoria circular. El ciclotrón aprovechala ventaja de que el tiempo que tarda la partlcula en ¡ecorrer medio cf¡culo es independientede la velocidad de esta. Se aplica un voltaje altemo a través del hueco entre las dos "des" (las partes semicirculares), de modo que, cuando la pcrtlcula cruza el hueco de nuevo, despuésde haber tenlrinado medio cfrculo, el voltaje ha cambiado de signo, y la partfcula de nuevo se acelera. La frecuencia del voltaje oscilante debe coincidir con la frecuencia ciclotrónica. De estemodo, la parlfcula siempre acelera,describiendoclrculos cada vez mayores en el mismo tiempo, hasta que el haz saleen el ¡adio máximo. (a) Si el campo magnético tiene una intensidad de I T y la partfcula que circula es un protón, q = +e y m = I.7 x lO-27kg, ¿cuáles la frecuenciaciclotrónica? (b) ¿Cuáles la velocidad máxima del protón cuando el radio máximo es 50.cm? (c) ¿Cuál es la energfa cinética correspondiente máxima? (d) Si el voltaje máximo a t¡avés del hueco es 50 kV, ¿cuántos clrculos completos recor¡e el protón para llegar a su energfamáxima? (e) ¿Cuántotiempo pasael protón en el acele¡ador?

19. (lI) Un electrón se mueve a una velocidad u= 106m,/sen una regiónde campo magnético constante,cuya magnitud es 0.3 T. La dirección del electrón, al entrar a esta región, forma 20o con el campo, y el electrón sigue una trayectoria helicoidal. Cuando se ve a lo largo de la dirección del campo magnético,la trayectoriaes un cfrculo en proyección.¿Qué distanciaviajó el elcctrón a lo largo de la dirección de B cuandoha conrpletadoun cfrcülo proyectado? 20. (ll) Un electrónentra a una cámarade burbujasdonde hay un campo magnéticoconstantede 0. l0 T de intensidad,y describeuna trayectoriahelicoidal.El avanceentrelas vueltasde.la.trayectoriaes 3.0 mm,'al igual que el radio de la partecircular de la trayectoria. Calcule los componentesde Ia velocidad,paraleloy perpendicularal campo.

V 'n t^ ,n re tu

21, (ll) Un protón y una partfculaalfa, que tiene el doble de la carg y cuatro veces la masa del prinrero,se acelerancon Ia misma diferencia de potencial y entran a una región de campo magnético constante,perpendicular a sus trayectorias.(a) ¿Cuáles la ¡elaciónde los radiosde sus órbitas?(b) ¿Cuáles la relación de las fercuenciasde su órbitas? 22. (ll) Un electrón se inyecta, cuando f = 0 s, con una velocidad vo = ( 105m/s)i, en una región donde hay campos eléctrico y magnético paralelos, E : (20O V/m)j y B - (0.05 TI, respectivamente. Calculeel movimiento siguiente.

Rcgión dc cxtracción Elcctro
/ Ilspaciolibrc

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Illcrlrcxlo c¡l l)

¡'IGIJRA 29-30 l)roblc¡rn 1.1

25. (U) Un ciclotrónse usaparaacelera¡ campomagnético de2 T demagnituC. la cual existeel campo magnéticot;e::e; (a) ¿Cuálesla frecuenciaciclo::'om::l -: energfacinéticaque puedeter ei 'j: :::: :: máquina?(c) Repita las pa:::s : . -: ::- -,- h e l i o d o b l e m e n t ei o n i z ¡ C c .'L : : - . : , : ' : - 1 : - . "- : m a s ad e u n p r o t ó n¡ ' d c s '. : , - : : : - : : - i :

( puede llegar hasta el detector de fugas, donde se ioru:: , formando,aHe', se acelera, y se analiza al pasarlo por u; campo magnético. Si la acele¡aciónse lleva a cabo a trar'és de una diferencia de potencial de 100 V, y el ¡adio ie curvaturacaracterlsticode helio simplementeionizado es20 cm, ¿cuál es el valor del campo magnético?

26. (II) El aceleradorde,partlculasen Fermilab,o l¡boratorio Nacionalde AceleradoresFermi,en Batavia,Illinois, puede acelerarprotonesa velocidadesrelativistas.El aceleradores circular y nrantienea los protonesen órbitascirculares aumentandola intensidadde un campomagnéticoperPensu diculara la trayectoriade éstos,a.medidaque.aurnenta cantidadde movimiento.La cantidadde movimientoaupor regiones mentaporquelos protonespasanrepetidamente de potencialeléctrico.El ¡adio del principalacelerador'en de mantener Fermilabes 6.2 *rn, y los imanesson capaces intcnsidadcsde campo magnético entre I T y 4.5 T. La magnitudde la cargaeléctricade un protónes l.ó x 10-reC. ¿Cuálesson los lfmites de cantidad de movimiento que puedenusarseen esteacelerador?Como los prbtonescon esascantidadesde movimiento son muy relativistas,sus sor¡ aprciximadamente,E'pc.¿Quélimitesde enerenergfas glasse pucdenalanzaten el Fermilab?¿Cuálserfi la velocidadde uda'pclotadc béisbol,dc 0.5 kg de masa,si tuviera en Fermilab?Para la energlade los protonesmásenergéticos la pelota,use las fórmulas normalesno relativistasque relacionanenerglacon velocidad. 27. (II) Un protón,con cargaQp! masano,se aceleraa t¡avés de un potencialeléctrico Z. A continuación,entra a una a su constante, B, perpendicular regiónde campomagrrético trayectoria. En esaregión,la trayectoriadel protónescircular, con radio de curvaturaRo.Otrapartlcula,con la misma cargaquela del protón,perocon masam¡,siguea éstebajo Su radiode curvaturaen el campo lasmismascondiciones, veces mayor que Rr. ¿Cuáles la es 1.4 magnético,R, relaciónde m,a mo? El dispositivoquehemosdescritoesun tipo de espectrógrafo de masd, que se puedeusar para identificarun quelo forman materiala travésdelasmasasdelasmoléculas (ftgura29-31).A veces,en lugarde un potencialelectrostáticosencillo,comoennuestroejemplo,seempleaun selecto¡ partfculas de E y B cntzadosparaseleccionar develocidades de unavelocidaddeterminada.

I I I I

29. (ID Tiene usted un aparatoque puede establecerun campo eléctrico de l0OO N/C, y un campo magnético de 0.5 T. Desea construir un selector de velocidad, para electrones cuya velocidad sea 4 x 103ny's. (a) Trace la orientación de su apa¡ato,indicando E, B y v. (b) ¿Cuálesson los valores mlnimo y máximo de u que puede ustedselecciona¡?lSugerencia'. Disponga el aparato de modo que v y B no sean perpendiculares entresl,]

29-4

I I I I

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Fuenas magnéticas sobre corrientes eléctricas

I I I I I I I I I

30. (I) Un alambrclargo cotrduceuna corrientedc l5r\. Un í¡nín recto se acercaal ala¡nbrede tal modo que los portadoresde carga,con velocidadde l0-l cm/s, sientenun camPomagnético de 5 x 10-2T, pcrpendiculara su direcciónde movimiento. Calcule la fuerza (a) sobre cada portador de carga (electrón)en movimiento, y (b) sobre u¡t tratno de 1 trl de alanrbre.

de 10 uttacorriente rcctoy delgadocotlduce 31. (l) Un alarnbrc mA y forma un'ángülode ó0ocon ull catnpotnagnético contantes, de 10-óT. La partedel alambredentrodel campo tieneuna longitudde l0 cm. Calculela fuerza,tantoen delalamb¡e. direccióncomoenmagnitud,sobreel segnrento (I) Un alambrerecto se coloca en un ca¡npomagnético 1.. 'campo forma un {' uniforme de 0.010 T. La direccióndel de It quellevaunacorrieute ángulode 3Ooconla delalambre, de 1.0m del 10A. ¿Cuáles la fuerzasobreun segmento al ambre? 33. (II) Unacorriente,I pasapor unaespiracircularde alambre S etieneun deradi oR queestáenel pl anory (fi gw a29-32), de magnitudB, que apunta campomagnéticoconstanle, de ¡. Calculela fuerzasobrcun elemento haciaIa dirección la espira,dcfinidopor un ángulod0, ubicadoa un ángulo0 delei ex. 1t

a a a a a a a a a a a a I

f .--.r:.:-(F-lr--,-..27. FIGTJRA 29-3f Problcnu :S. 0D Un detectorde fugas de helio está formado por un espect¡ómetrode masas(véaseproblema27) y un sistema a otro sistemade vaclo que Cevacfoquesepuedeconecta.r ?ertenezcaa un aparato,dondese creaque hay una fuga y ::¡e. los Sasesquepenetrendel exterior,disminuyanel vacfo. Se esparceheiio gaseosodesdeel exlerior, en la parte que al interior, $ec:ee'iieneIa fuga.Si sesuccionaheliogaseoso

I

33. FIGURL29-32Problcma

34. (II) Un alanrbrede longitudI estácolgadode dos¡esc::: cuyaconstantees k, y conectadoa una fuentede corl::.:: (figura29-33).Se iniciaun campomagnético, B, en di;e;-

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o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

ción horizontal y perpendicular al alambre (hacia afuera de la página); pasa entonces una cor¡iente.Ien el alambre, que se mueve hacia una nueva posición de equilibrio. ¿Cómo y cuánto se moverá el alambre?

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FIGURA29-33 Problcma 3.1.

35. (lI) t: figura 29-34 muestra un dispositivo que se puede

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emplear para medir calnpos magnéticos. Por una espira ci¡cula una corriente /, y se sLlJnergeen una región con campomagnético. Está colgada de un resortecu)'a constante est, que se esti¡asi el campo magnéticotrenecierta di¡ección. En este caso, la espira tiene / - I cm de archo v pasa /= I mA; el ¡esortese esti¡a0.5 cm, t = .1x 10-'N/m, ¡'el campomagrÉtico es r¡niforme. ¿Cuál es la magnir.rd del campo? ¿Cómo se puede emplear es€ aparato,o modiñcar, para medir campos que no sean uniformes?

uniforme de 0.0óOT a la espira,v la a;*;:a. ci =;== forma un ángulode 57" con el eje de la bob¡¡cs :--ze. par, en magnitudy dirección,que actú¿sob¡ela blbtr¡" 38. (I) Una bobina ci¡cula¡ de 3.0 cm de diá¡r¡euocors:sr ¡€ 250 vueltasde alambre,conduceu¡racoriente dc l.l0 m-{¿Cuántotrabajo se debe efectuarpa¡a hace¡lagira¡ 160P cuandosecolocaen un campomagnéticouniformede 0.^10 T? El campoforma un ánguloinicial de 30' con la di¡ección del momentodipolar de la bobina. 39. 0) Una bobinaci¡cular tiene N vueltas,y radio R; conduce unacorrientef. El momentodipolarmagrréticoestáalineado inicialmentecon un campo magnéticoextemo hjo, B. ¿Cuántotrabajodebeefectuarunafuerzaexternr¡parahacer girar la bobinaun ángulo 0? 40. (I) Un átomopuedetenerun momentodipolarmagnético de 10-2rfI. El átomose encuentraen un campomaSnético de 10 T. ¿Cuáles el rango para la energfapotencial involucrada? 41. (iI) Por un conductorpasauna corriented y se biñuca en doscanalescuyasresistencias sonR, y r\lr,respectivamente, y forma.uncircuito. El conductorestáentrelos dospolosde un imán,en un espacioconcampomagnéticouniformeque va deunaca¡apolara la otra(figura29-35).El circuitoforma

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FIGURA 29-35 Problcrr¡¡41.

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B(,:, {t, , ,::) C.l FIGURA 29-34'Probicm 35. 29-S Fuena magnética sobre circuitos de corriente eléctrica 3ó. (I) Una bobi¡a de alambre, de 10 cm2 de área, con 220 vueltas,estásometida a un par máximo de 10-3N.m cuando se coloca en un campo magnético de 0.01 T. ¿Cuál es la corriente a través de la bobina?

,nes ente J ec -

37. (I) Una bobina rectangularde alambre tiene 30 cm de altura por 20 cm de ancho. Tiene 24Q weltas y lleva 0.40 A de corriente. ¿Cuálesson la magnitud'y la dirección del momento dipolar magnético? Si se aplica un campo magnético

una espira; el campo está en el plano de la espira. ¿Qué par se ejerce sobre el circuito, con respecto al eje del conductor, si las ramas están a una distancia d entresf, y la longitud de los ramales es L?

42. (II) Una bobina circular de 20 cm2 de área tiene 20 vueltas. Cuando se coloca en un campo magnético de I T, el par máximo es l0-ó N .m. (a) ¿Cuál es la cor¡iente en la bobiru? G) ¿Qué trabajo se necesita para hacerla girar l80o en el campo magnético? ¿Dependeel trabajo del ángulo iniciai?

43. (II) Un motor eléctrico está formado por un devanado de alambre por el que circula corriente, dentro de un campo magnético constante, B (figura 29-36). El campo produce un par que tiende a hacer girar la bobina de tal modo que queden alineados B y el momento dipolar magnético, ,l,. Cuando'ésto sucede, un corunutador de anillo bipa,'t:Jc invierle, la dirección de la corriente, y ¡r cambia l8O' s: orientación; el par trata de continua¡ la rotación- S;:'::¡; que ¡.¡y B, al inicio, estan casi antiparalelos r.i::s::; -::-

ción,perosentidoopuesto).Hagaunagráficade la magnitud del par como función del ángrrloentre.p y ,B, al variar el ángulo de -180o'hasta0o. En 0" el conmutadorinvierte la soniente. Haga und gráfica dcl par durante otra media welta. ¿Cuálesel valor promediodel par duranteunavuelta completa,cuandqla corrienteen el motor es 2.2A,.lamagnitud de B es 0.10 T, y el áreade la bobinaes 80 cm2?

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conradiodecurvaturaR.Hay un campomagnéticoconstar.te,de intensidad 8, quesedirigehaciala página.(a) Calcule la fuerzamagnéticasobreel segmentoa. (b) Calculeia fuerzamagnéticasobreel segmentoB. Puedehace¡usoCe argumentosde simetrfaparasimplificar. (c) Sumelos resultadosdelaspartes(a)y (b) paracalcularla fuetzanetasobre la espifa.¿Cómose podrfangeneralizar para los resultados unaespira(ue tengacualquierforma,en el planory? 46. (II) (a) Calculeel mornento
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el q q q

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FIGURA29-36lloblcma43. (II) Un electróntieneca¡gaq - - 1.6x 10-reC, y su "tamaño" es,aproximadamente,3'x 10-15 m, lo cualsellamasu radio clásico.El momentomagnéticodipola¡ del electrónes,más o menos,10-23 A'm2. (a) Supongaqueestemomentomagnéticofuera debidoa que la cargatotal q describierauna órbita con el radio clásico.iCuál serlala velocidadde la cargaparagenerarestemomentomagnético?@) Suponga queel momentomagnéticodel electrónfueraperpendicular a un campomagnéticode I T de magnitud.¿Cuáles el par sobreel electrón?

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(II) La espiracon corrienteque seve en la figura 29-37 está en el plano ry, y estáformadapoÍ un segmentorecto, a, de longitud2R, en direcciónr, y un segmentosemicircular,B, l

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FIGIÍRA29-38Probterna.46.

47. (II) En el ejemplo29-5 demostr'amos que,cuando toun..arpr. unaespl;-. I de corriente g,, grra giralrger:. de momenlodipolarmagnéticb liger:.I mente partiendodel alineamientoperfectode e¡rcon ¡r con: :::l campomagnéticoB, el movimientogiratoriode la espr--. espL:F con corriente,debido al par originadopor elI canrpc, canrpc,:: ::- | armónicoy su frecuenciaangulares a = $E7I]. I* esz. momentode inerciaconrespectoal ejede rotación.Calc':.: la energfacinética,K, asociadaa estemovimiento, ¡s¡¡6. r' 1' ::- t muestreque la sumade las energfas potencialyf cureiic: cinétlc:s f constante..

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48. (II) Una bobinaconduceuna conienteI - 1,0 ::::; f I rnrf, ¡n¿\,:::-, nlomentode inercia,Iu - 1.2 x lQ-Ekg.n2, con resir::::¡ un ejedegiro,y un áreade4.0 x l0-am2.La bobinase: :. i: enun catrrpomagnéticode 0.10T demagnitud,y secies;.::; 10odesuposicióndealineamiento entre, sumomenio:.-:'i lar magnético,¡r,y el campo,y sesuelta,partiendo l d-'i :::,:s: d:i ::::;:

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Describael movimiento que se suscita.¿Cuál es la velocidad angularmáxima de la bobina en ese movimiento?

29-6 El efecto Hall {9. (ll) Supongaque la banda metálica que se usa en el aparato de demostraciónde efecto de Hall, tiene una sección transversal con anchura w y profundidad do. La anchura.es el espacioa través del cual se mide el voltaje de Hall, AZ. Demuestreque la densidad numérica, n, de los portadores de cargae, es independientede la anchura,y es n = IBI(d"e AI,). Conociendo la densidad,deduzcauna ecuación para la velocidad de desplazamiento,para medirse con un apa¡ato de Hall. 50. (ll) El sensor que demuestra el efecto de Hall se usa para medirIa clercidadde portadoresde cargaen una nruestrade metaldesconocido.Una muestrade ¡naterial,de 0. l0 mm de secolocaen un campomagnéticode 0.50 T. Cuando espesor, pasapor el material una corrientede 10o mA, se mide un voltaje de Hall de l l ¡iV. ¿Cuál es la densidad de los portadoresdecarga? 51. 0I) Se lleva a cabo un expe¡imento de efecto de Hall con unabanda de aluminio, cuya densidad es2.7 glcmt. La banda tiene 1.0 cm de ancho, que es la distancia a la cual se mide el voltaje de Hall, y 0.50 mm de espesor.Cuando el campo magnéticoes 0.050 T y la corriente es 96 A el voltaje de Hall es 1.0 ¡.rV. ¿Cuántoselectronespor átomo están libres para conducir corriente en el aluminio?

esa órbita? Compare la magnitud del campo magnéricc q;: se necesitarla para hacer que un electrón se mueva en u¡l cfrculo del mismo radio, a la velocidad que deberfa tener si se moviera alrededor de un protón único. 56. (ID Una catga masiva, Q, está Írja en el origen de un sistema de coordenadas.Un campo magnético,B, tiene la di¡ección +¿. Una partfcula ligera, de cargaq y masa m, describeuna órbita circular de radio r, alrededor del origen. ¿Paracuál valor de B, en función de R, es posible ese movimiento, si Q y q tienen el mismo signo, y si el momento angular del movimiento es una constantefrja, L? 57. (ID Se tiene un capacitor de placasparalelas,cuya densidad de carga es tó.0 x 10-5C/m2 en las dos placas,y un carnpo eléctrico que tiene la dirección +2. ¿Qué campo magnético es necesario para formar un selector de velocidad para deuteronesde 40 keV que se mueven en di¡ección +y? Un deuteróntiene 3.2 x l0-27kg de ntasa,y su carga es l.ó x 1 0 - r eC : I k e V - 1 . f x 1 9 - r o . ¡ . 58. 0I) Un haz delgado de partlculasde masa m y cargzq se mueve en el espaciovacÍo a velocidadescomprendidasentre vt f vz.Entra a una región, de longitud L, con un campo magnético constante,perpendiculara la di¡ección del haz, y paralela a la frontera entre la región sin campo y la región con campo (frgura 29-39). Alli describe una trayectoria circular con ¡adio de cun'atu¡a R, hasta que sale del campo. Demuestre que el haz se ersancha mientras pasael campo y calcule la dispersión en términos de ángulos lfmite.

52. Un sensorde efecto de Hall se puede emplear para medir la magnitud de un campo magnético. Un investigador ha perdido su instructivo y ha olvidado el procedimiento de calibración.Sin embargo, cuando coloca el sensorde Hall en un campo magnético conocido de 2OO0G, mide un voltaje de Hall de 234 mY. ¿Cuál es el campo del imán cuando el voltaje de Hall es 498 mV?

hoblemas generales 53. (II) La bobina de alambre en un galvanómetro tiene un área de 1 cm2 y 200 nreltas. Se coloca en un calnpo magnético de 0.1 T de magnitud, y se orienta de tal modo que su plano, inicialmente,es paralelo al del campo. El par de restauración del resortedel galvanómetro es proporcional a la desviación angular,y la constantede proporcionalidades l0-7 N . m/" (véase ejemplo 29-5). ¿A qué corriente corresponde un movimientode 50o?

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54. (II) Las masas de los iones de carga conocida se pueden medi¡ con exactitud determinando el tiempo que tarda un ion en describir una trayectoria circular en un campo magnético conocido. Cuando la magnitud del campo es I T, y si se cuenta con un aparato capazd,emedir intervalos con una exactitud de 10-es, ¿con cuánta exactitud se puede medi¡ la nrasade un ion con carga +e en 1 revolución? Si la masa se debemedir con una exactitudde 10-rokg, ¿cuántasrevolucionesse debencronometrar? -i5. .ll) Cuandoun electrónse mueve en órbita alrededorde un iiotón, la órbita más pequeñaliene unos 0.5 x lO-tom de ::dic. que se llama ¡adio de Bohr. El campo eléctricodel :::t¡n der-Ltener ¿quémagnitud para que el electrónsiga

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flctlRA 29-39Problc¡na 58.

59. (II) Un electrónque se mueveen el planory estásujetoa fuerzasdebidasa un campo magnéticoconstante,B, que tienela dirección+2.Suponiendoque el electrónpierdeel 10% de su energfaal haberdado 20 vueltas,como consecuenciade fuerzasde fricción,¿cuálseráel cambiofraccionariodel radiode la órbitadespuésde 20 vueltas? 60. (I) Parael movimientoque se describeen el problema anterior,(a) ¿cuálseráel cambiofraccionariode momento angulardurantelas 20 vueltas?(b) ¿Cuáles el par que ejercenlas fuerzasde fricción en términosde la energla cinéticainicial? 61. (II) En una regiónde campomagnéticoconstante, B, medianteun cañónde voltajeconocido,Z, seinyectanelectro-

o o o a

(II) N electronesse muevena una velocidadv en órbita circularde radio R. (a) ¿Cuáles el momentoangularde; sistemade electrones?(b) ¿Cuáles el momentodipoiar magnéticoasociadocon la espirade corriente?(c) ¿Cuáles la relaciónde lascantidades obtenidas en laspartes(a)y (b)'l

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(II) Una espirarectangula¡de alambre,de anchoa y altwa b, se conectaa una fuentede corrienteque hacepasarur,¡ corriente'f por el alambre.I-a espira está apoyadaen ur campomagnéticouniforme,B, con direcciónvertical(figura 29-42),y colgarfave¡ticalmentesi no hubieracorrienic. Suponemosqueel alambreno tienemasa,pero quehay dos masas,n¡,ftjas a susesquinasinferiores,¿Cuálesel ánguio, 0, al cual la espiraestáen equilibrio?Calcrilelode dos maneras: conpares,y expresando la energfapotencialcomo funciónde 0, y calculandosu mlnimo. ¿Quósucedesi se inviertela direcciónde la corricnte?

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Placa fotogrifica

/.' Cañón de. clcct¡oms

IICURA2940 Problcnu 61. nes (figura 29-40). Estosse muevenen un Planoperpendicular a B y describenun arco de ¡adio R. Determinela relacióncargaa masa,elm, parelos electtones,en términos de los parámetrosmencionados. 62. (II) UnaspartfculascuyamasaesM,t' A (1.6x 10-27kg) y medianteuna cuyacargaes g - l.ó x 10-reC, se aceleran difer enciade potencialde2 x lÚ V, y se dirigenPerp€ndicularmentea un campomagnéticou¡riformede 0.2 T de intensidad(figura29-41).La regióndondese encuentrael campotiene 30 cm de profundidad.Calculela desviación angularde laspartfculas,8, comofunciónde.{.

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65. (II) Supongaqueun aparatoexperimentalpuedetenercanposeléctricoy magnéticode magnitudy direcciónconsta¡' te. En esteaparato,un protónquesemueveconunaveloci' dadde 1.0x l0a cm/sen direcció¡r+2,no acelera,mienttas que uno que tiene una velocidadde 2.0 x lOa cm/s si:l al ejez,sien:e componente ¡, a un ángulode 35oconrespecto una acele¡ación inicial cuyamagnitud es 7.2 x 108m/s2en dirección-r. Un protónque se mueveen el plano.rytiene órbitacircular.Determine losvaloresdeE y B enel aparato.

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Enel "Tokamak", instalación experimentalpara estudiar la generación depotencia porfitsión, seempleancampos magnéticospara confinar un gas de iones positivos. Esoscampos, y los devanadosde conductor que los producen, son topológicamentecomplicados.

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Pclrtras sin ente ¡2en iene rato.

PRODUCCION Y PROPIEDADES DE tOS CA}TPOS MAGNETICOS

En el caplrulo 29, aprendimosque las cargasen movimiento y los conductores pottadores decorrienteeskinsujetosa fuetz¿rs cuandoestánenpresenciadeun campo Pero,¿cómose produceestecampomagnético?Ya aprendimosque las magrrético. cargas eléctticasejetcenfuerzasentresl, y queprducen camposeléctricos.En este capftuloveremosque las cargasen movimientg, y las corrienües,ejercenfuerzas magnéticas entresl, y quelos camposmagnéticosmismossonproducidospor cargas enmovimiento, o, lo queeslo mismo,por conient€s.Describiremosy exploraremos lasmanerasen las que se producenesoscamposeléctricos.Aprenderemosla ley de Ampére,incluyendola generalizaciónde Maxwell, y la ley de Biot y Savart,que describelos camposmagrréticosque producen las cargasen movimiento, o las coffientes. También inicia¡emosuna exploraciónde la relación fntima entre los campos eléctricosy magnéticos,que,finlamente,nos conduciráa las ecuacionesde Maxwelly a una comprensióndel fenómenode la luz.

30-L

LEY DE AMPERE

Du¡anteel invierno de 1819 a 7829,I{ans ChristianOercteddescubrióque las coffienteseléctricaspuedeninfluir sobrelas brújulas(figura 30-1).Antes de este sólo habla la sospechade una relaciótrentrela electricidady el descubrirniento prontoque/os magnetismo. Oersted,al igualqueAndré-MarieAtnpére,demostraron alambrescon corriente eléctricaejercenfuerzasentres/. Como esosalambresson queenel capítulo eléctricamente neutros,lasfuezasno soneléctricas.Recordatemos 29, un conductorcon coriente alinealas limadurasde hiero en un planoperpendicular a é1,en figutas circulares(figum 29-2c), Esto hace pensarque un alamb¡e portadorde coniente esuna fuentede campomagnético.La fuerzaque actuasobre uno de esosalambres,en presenciade otro, en realidadse debeal campomagrrético una ecunciónpara que generael segundoalambre.En estasecciónencontraretnos estecampomagnético. El cam1rc magnético de un alambrc recto

¡'IGURA 30-f (a) La bnrjula siguc aprurtando al nortc cuando no hay corriontc cn cl alambro, pcro (b) cuando so cicrra cl intorruptor, la agr:ja roacciona nl campo magnóüco producido por rura corricntc cn ol alambrc.

Paracalcularel campomagnéticoproducidopot un alambrerectoúnico,calcularede corriente,iuponiendoque mosla fuerzaentredosalambresparalelos,pottadores uno esla fuentedel campomagnético,y quela fuetzaqueactúasobreel otrosedebe tectospamlelosde longitudL, a esecampo.Setienendosalambrescon segmentos Las ñ¡erzasentre los conductoresse identificadoscon I y 2, respectivamente. la separacióndentre losconductotes, a medidaqueaumenüa debilitantannípidamente queesténmds quesólonecesitamos teneren cuetrtalasfuerzasentrelos segmentos sonparalelas, seatraenentre los conductofes cetcanosentresÍ.Cuandolascorrientes serepelen(figutas30-2c,d). sl (figuras30-2a,b); cuandosonantiparalelas, de alambresonlargos,queI >>d.En la figura queahoralc segmentos Supongamos debeal campo 30-3a,lafuerzasob¡eelalambre2,quesedirigehacialaizquierda,se

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FIGURA 30-2 Dosconductorcsparalclos $,E cúdl¡ccn corrientccjcrccnfuorzas carc si; cs¿sfucrzassonmayorcscuando b d¡¡nbrcs sc cr¡cucntrannrásccrcanoc. y las ir)" (b) I re 666¡cntcssonpa¡alclas fu¿rs ssr dc at¡acción (c), (d) f¿s ctrriclfcs son anüparalclas,y las fuerzas rm.dcrplsión

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F1 L¡s co¡ld'e¡

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o o o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o I

o o o o o o) o o o o o o o o o o o o o O o o o o o o o o o o o o o o o o ? O o t

o o o o t

Conductor I

Conductor 2

t'I,+

/,1

1 ,, I.'.

-É (il)

Condr¡ctor I Conductor 2

' 8, (crrtrando

B, (salicndo .Ic ia pÁgim¡

t,, l.-:

(h)

L

I,'ICURA 30-3 Dcterminación dc la dire.ccióndel cam¡n magnótico dcbido al conductor1. Las corrientcs /, c /, son paralclas ent¡c sí. (a) Segri'nla rcgla dcla manoderccha,8,, dcbido al conductor l, sc di¡ige hacia el papcl cuando cl cor¡ductor 2 cstáa la dcrccharlc.lconductor l. @) 8,, debidoal condr¡ctor l, sedirigc salicndodc la página,crn¡xlo cl conductor2 cstáa la izquicrda dclconductorl.

(a)

I'

,t'

| II

a la página)

I I

I

( b)

|

FIGURA 304 (a) Campo magnético 8,, debido al conductor I, dcscribc un circulo alrcdcdor dcl conductor en la dirccciónindicada.(r) Si sc invificra la corrientccn cl conductor 1, la oricntación dc B, carnbiaría,dc acucrdo con la rcgla dc la mano derccha.

del alambre l. Segúnla ecuación(29-19),qrrcdescribela fuerzasobreun magnético de alambre portador de corriente,Ia fuerzasobreel alambre2tiene la forma segmento Fz:

Iz L, x 8,,

(30-1)

y cuandoel campo B1,debido al alambre l, seala misma en toda la longitud siempre delalambre2. Esta hipótesissejustifica con alambreslargos.En estecaso,el vector Ir, de magnitudL, se oriehtaen direcciónde.I2.Vemos que a medidaque movemos elalambre2 al¡ededordel alambre1,manteniéndolossiempreparalelosy a la misma la fuerza siempre es de atracción,y siempre tiene la misma magnitud. La sepa¡ación, ecuación(30- l), y esta observaciónacercade la fuerza sobre el alambre 2, implican queel campo ntagnético, 81, debida al conductor I, describe un circulo alrededor delalambre /. La ecuación (30- 1) indica que la fuerza.F2 es insensible a cualquier componentede B, que seaparalelo a los alambres,pofque el producto vectorial de dos vectores paralelos es cero. Respecto al componente de 81 perpendicular al alambre2, si aplicamosla regla de la mano derechaa la ecuación(30-1), veremos queB¡ se debe dirigir hacia el papel,ntientrasque el alambre2 estéen su posición or iginal, a l a d e re c h a d eall a n rb reI (fi g u ra30-3a).S i nembargo,si el conductor2se muevehaciala izquierdadel alambrel, el campo B1 en el alambre2 se dirigirá hacia afuerade la página, porque los dos alambresse continúan atrayendoentre sf (figura 30-3b).Empleando este argumento para otras posiciones,encontraÍros,como esperábamos,que el campo magnético B,, debido al alambre l, describe un clrculo alrededorde ese alambre I (figura 30-,4a;véase figura 29-2c). Podemos demostrar, con un expeiimento más, que no hay componentede Bl orientadoparalelamenteal alambre L Si arrollamosel alambre2 formando un clrculo, comoen la figura 3O-5,una componentede B¡ paralela al alambre l, originarfa una fuerzasobre el alambre 2. Como indica la ecuación (30-l), esa fuerza tenderla a aumentaro contraerel cÍrculo que describeel alambre2,y esteefectose podrla medir. El resultadoes que, en esta configuración, el alambre 2 no siente fuerza alguna. El calnpomagnético,B¡, alrededordel alambre 1, es feallnentede clrculos alrededordel mismo. Regresemosa los conductoresparalelos.Si invertimos la ditección de la corriente enel alambre l, entoncesla fuerza sobre el alambre 2 también se invierte. Si repetimos elejerciciomediante el cual determinamosla dirección del campo magnético al¡ededordel alambre l, verlamos que las llneas de campo magnético nuevamente describen ci¡culosalrededordel conductor, pero en dirección opuesta(figura 30-4b). Podemos resumirdiciendo que la dirección de B se determinacon unaiegla de la mano de¡echa (figura30-6): .Si el pulgar de la mano derechatienela direccióndel flujo de corrienteen un alambre,losdemásdedossedoblsnen la direccióndel campomagnético.

Conduc tor 2 FIGTIRA 30-5 Si cl conductor 2 doscribicra un cí¡culo al¡cdcdor dcl conductor l, reaccionana a cualquicr componcntc dc B, dcbido al alambrc l, q.;c fucra paralclo a csc alambrc. Sc cncrrnln quc ¡ro cxistcn csasfucr¿as.

II

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t. 876 Cepitulo 30 Producclón y prcplcdadcr de lo¡ c¡mpo¡ m¡gnétlcos

Hemosencontradola direccióndel campomagnéticoqueproduceunaconiente. ¿Cuáles su magnitud?Esamagnitudla determinamosestudiandola magnitudde la mediarrteexperimentos,quela magnitud fuerzaentrelos conductores.Sedemr¡estra, de la fuetza entredossegfnentostectosy paralelosde alambtees

'-

cl tl2L

.:__4_'

d es la en la cual,f¡ e 12son las corrientesen los alambres1 y 2, respectivanetrte, y I essulongitud.La constantede proporcionalidad, separaciónentrelos segmentos, C, dependede la definiciónde lasunidadesde corriente.A la inversa,si usamosuna constantedefinidade proporcionalidad,la fuerzaentrelos dos alambresportadores de corrientedeterminalas unidadesde la coniente.En el SI, se sigueel segundo método.C sedefine de tal modo que t'o!'l P: 'L, ¿7td

(30-2)

en la cual, la constanteps, llamada permeabilidad del espaciovacio' a su vez, se define como Fo: 4rcx l 0-? T' m/A .

Deflniclón del arnpcrq

TnycctoriaC

(30-3)

Con estadefnición de ¡t¡, I A se defne como la corriente que pasa por dos alambreslargosy paralelos,dc longitudL, a una distanciadc I m entrcs{, estal que esüeresultadocon hfuerZa de atracciónentreelloses(2 x 10-7N/nlL ¿Concuerda En el capltulo22 definimosel coulotnb otrasdefinicionesqueya hemosestablecido? comola cargaentfedospuntosmaterialestal, quehay determinadafuerzaentreellos. En el capltulo27, ptovisionalmente,definimosa I A como 1 C/s. La definición del coulomben términosdeuna fuerzaent¡ecargasdependede otta constantedefi¡ida, q, exactamente con el mismo métodoqueusarnosPa¡aque la definicióndel ampere seanconsistentes, lasdefiniciones relaciones Asf,paraquenuestras de¡,t0. dependiera Si sedefinentanto¡.tecolnoq, la definicióndebe ser consistentes, de ¡tsyde eadeben serválida pa¡asu producto,que es

FIGIJRA 30-7 La traycctoria C circur¡da r-mrlambrc portador do corricnto, a una distancia r dcl misnro, y siguo la dirccción dcl campo mrgrrctlco, B, alrcdcdor dol rlÍnbc.

:- c- 2 : (2.997 (30-4) 92458x lOEm/s)-2. Ito€o ¡La constantec esexactamentela velocidadde la luzll En el capltulo35 veremospor qué es asf. Comparandolas ecuaciones(30-l) y (30-2), vemosgue un alambreque lleva una corienüeIorigina un carnPomagnéticocuyamagnitudes

Crmpo megnético producido por un ¡l¡mbrc recto

n: ?/.78r

,'

I

(30-5)

T

por la a una distanciar del alambre.La direcciónde estecampoeskideterminada describió arriba' se como derecha, mano reglade la I¡ydcAmp¿rc Podemosllegar a una forma másunivetsaldel campomagnéticoproducidoPorr¡na coffiente,expresandoen forma distintala ecuación(30-5).Imaginemosuna integral de llnea en el campomagnético,B, quedescribauna trayectotiacircular de radior, siguela direccióndeB. A esta alrededordeun alambre.La tmyeptoriade inüegración trayectoriala llamamosC, como se indicaen la figura 3O-7.El signo $ indicaquela

I En cl SI, l¡ vclocidaddc la luz y cl scgrndosc de¡lncncn form¡ m¡tcnuitica,y cl nrct¡osc cstablccca ü térmiriosdo cll6. En form¡ c.spccíf¡c¡,I m cs l¡ dista¡rciaquortcono la hu on cl vacio,on 11299,192,158 scgundo.VcascP&ysicsloday, agoetodc 1989,ptigina23'

;¡ üt ;c -"¡

o o o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o t o t

¡l

t

o I

ü

o a

o o o o o o o o o o o o o O

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a

trayectoriade la integml de lfnea es cenada, po? recorrer, dn estecaso, todo el cfrculo. Parala trayectoriaque escogimos,B y el elemento infinitesimal de distancia,ds, de la integtal, son paralelos, y entonces.B ' ds : B dJ. Como B es constante cuando la distancia,r, al alambre es constante,

/-Cnrrár::r

Travedoria tolalc' i

(30-6) \ I

$ n . a ' : u 6 ds:B( 2 n r ) .

El factor 2rl es la longitud de la trayectoria, que es la circunferencia del cfrculo de radior. Si empleamosla ecuación (30-5), veremos que

$" ' o':

wL^rz*:ltol.

(30-i)

Estaecuación(30-7) tieneuna convenciónde regla de l.amano derecha,segúnla cual, la ttayectoriaC debe ser en dirección de los dedos de la mano de¡echa cuando el pulgarestéorienüadoa lo largo de 1. Una cor¡iente pasaa través de la trayectoria que hemos descrito. Veamos ahora unatrayectoriadentro de la cual no pasecorriente alguna. En especial,veamos la trayectoriaC' que se ve en la figura 30-8. Esa trayectoria se descompone en el segmento de a a b, el ci¡culo casi completo, C2,el segmentode c a d, y el cfrculo C¡, casicompleto.Deseamoscalcular 4., n . ¿r. l-a contribución total de los dos t¡amos, deaab, y deca d ,e s c e ro ,p o rq u e B e s p e rp endi cul aral atrayectori aenel l os.A sf,

t

B .ds :

i

JCI

FIGURA 30-8 l,a traycctoria C'corsta dc ur¡ círculo C¡, cn scnüdo do las mnnccillas dcl rcloj y dc radio r,, wr lrsm d quc cnt¡a hasta uru distarrcia r, dcl alambrc, un círculo, Cr, cn scnüdo cont¡ario al dc las manccillas dcl reloj, dc radio rr, y wi trarrb, D, quc sc alcja hasta r,. El campo mogrÉtico forma r¡n círculo cn sentido contrario al dc las manccillas dol rcloj.

B .ds*J.n.at

-B .,(2xrr)4 Br(2rrr),

(30-8)

siendoB¡ la magnitud del campo magnético a una distancia r¡ del alambre, y 82la magnituddel campo a una distancia 12.El primer término es negativo, porque B se dirigeen sentido cont¡ario al de ia di¡ección de la trayectoria en la parte C¡. De acuerdo conla ecueción (30-5), vemos que se anulan las dos contribuciones a la ecuación

(30-8):

I

0

B .cs: -!oL¡2n, ¡ ¿7'fI

l.

:

+fie"rs

_ ¡to l + psl :0.

(30-e)

(30-7)y (30-9XAntes,la trayectoria ¿CuálesIa diferenciaentrelasecuaciones

i C encenabaa la corriente d mientras vemos, en la figura 30-8, que la trayectoria C'

noencierracorrientealguna.Hemosrecorridolos primerospasoshaciala generalizaciónque sigue, y que justifica una descripciónm¿isdeüallada.Sea la carrtidad Ir,..,,"d" la corrientetotal encerradupor cualquiertrayectoriacerrada,Entonces

$ ".*

= tol*1ig,

(30-10)

calculdndosela integtal siguiendo esa trayectoria cerrada. Esta ecuación, que fue formuladapor Ampére en la década de 1820, duranüegus extensos trabajos sobre magnetismo, se llama ley de Ampére (figura 30-9). Se debe especificarla di¡ección dela integral: si los dedos de la ma¡ro derecha se doblan en el mismo sentido que el de latrayectoriade la integral, el pulgar indica la dirección de una corriente positiva al pasaratravés de la trayectoria cenada, o ci¡cuito. Deestemodo, la corrienüetoüalpuede incluirlas componenüespositiva y negativa. Recué¡dese que In trayectoria no tiene que sercircuhr, sino tan sólo cerrada. l,a generalización que llevamos a cabo tiene en cuentaun ¡esultado experimenlal que vale la pena señalar;Los campos magnéticos queproducen corrientes distintas se superponen,del mismo modo que los campos eléctricos de cargasdistintas s€ suman,de acuerdocon el principio de superposición.

FIGURA 30-9 Idcalizacicr¡ cn cstc grabado do fincs dcl siglo )flX, dc A¡rdÉ-Maric Ampcrc, dc pic, y zu amigo ¡ colaborador, Frangois Arago, oxpcrimcntando con los cfcctc m¿grÉücrx dc las corricntcs clcctric¡s.

Ley de Am¡Érc. EI campo mrgnáico que pr.oducc un¡ corriente obcdc
!

878

Emplco dc la ley deAmpé¡e

C.apítulo 30 Producclón y prcplcdade de los cempos magnátlcos

Si hay algunasimetrfaQuehagasuponerquela integml en una ttayectoriacerraCase3 sencilla, enton¿esse puedeúsat la ley de Ampére;ecuación (30-10), para determi¡a: el campo magnético,en forma análogaa cuandousamosla ley de Gausspata calcuia: campos eléctricos. En el caso de la ley de Gauss, la integral es en una superficie cerrada, y E se relaciona con la carga eléctrica encefrada.En el caso de la le¡' ce Ampére, la integral se calcr¡laa lo largo de una trayectoria ceffada, y B se relacio:la con la corriente eléctrica encerradapor la trayectoria.

lacorriente,/,enunalambre,cuyasecció:: EJEMPLO 3 0 - I Sabemosque tieneradioR,sedistribuyeunifonnemente enesaseccióntransversai. transversal conro magnético función de la distancia r al ejedel alambie. ¿Cuálesel campo del y mismo? dentro fueradel alambre,

i TrBycctoria dc iintcgración --?-'/

(a)

El alambrese ve igual al movernosa su alrededor;tienesimetris SOLUCION: esperamos que todo catnpomagnéticono varíea. cillndrica.Por consiguiente, va¡iar el ánguloalrededordel conductor,sino quc sólo seauna función de la distanciaradial,r, al ejecenlral.Si aplicamo, la ley deAmpére,ecuación(30-10). paraünatrayectoria circulardemdior'centr¡rdo enel alambre,B seráiguala todo lo largo de esa trayectoria,y podemosernplearla.informaciónacercade la porla trayectoriaparacleterminar el campocomofunciónde corrienteencerrada dependede si la trayectoriaquedafuerao r. La cantidadde corrienteencerrada de¡t¡o del alambre. .. : el era delalambre,quedeterminará l-a figura30-lOaindicala trayectoria/.t campoexterio¡.De acuerdocon la regla de la.manodetecha,B se orientae:, B . ds = B ds. La magnitudd¡; direcciónde la trayectoria,y pot consiguiente, y, asf,salede 1.. campomagnéticoes constanteen la ttayectotiaseleccionada, integral,dejandotansólola circunfe'enciade la trayectoria.La coriente encerradaesla corrientetotal quellevael alambre.Asf, la ley.deAmpéte,ecuación (30-10),setransfotmaen f^^

$ n' as : Q f ds : B 0 d.t: B(Znr): IIol. JJJ

Podemosdespejara B,para llegar a R t\/ 1v h

h\ I j

n " =¿nr {

I

L,aley de Ampéreindicaque el campomagnéticofuera del alambrees independientedel tamañodel conductor,de igualforma que la ley de Gaussindic¡ simét¡ic¡ queel campoeléctricofueradeunadistribucióndecargaesféricamente del tamañodela dist¡ibución. esindependiente Paradetermi¡ar el cam¡rodenbo del alamb¡e,continuamos:mpleandoir' ci¡¡r: lt &r.:¡¡ dC sinretris, F€¡ü est.r scz dcs:tibit'nrüi nrxxtrr br¡lstri"l por Ia trayectori esImultipialunbre(figura30-i0b). l-a corrienteencerrada cadapor la relacióndel áreadel clrculode ¡adior al áreadel ala:' b¡e: 1

r*.o',d"=I +. (c )

Entonces,comoantes,la ley de Ampéreda comotesulLrdo /sr2\

FIGIIR.A 3&10 (a) Ejcmplo 3Gl. S, ur a une traycctoria circular dc radio r para dclcrminar cl campo rnngnótico fucrn dc ttn rlambrc qrc conduccu¡u conicntc l, (b) T:a1'ectoriasemejantedcntro dcl conductor. (c) \lagninJd dcl cam¡rc rnagnótlcocn f,¡sion dc r.

: ut,lkr) $ n'at B(2nr): "

Si despejamosB, vemosque B - '"

u^l 2nR2

"r

o o a a o o o o o o o o O o o a o o ol ol ol ol

il

o o o o o o o o O o o o o o a o o o o o o O o o o o o o O o o o o o o o o o o o o O a o o I

Por analogla con la ley de Gauss en la electricidad, toda corriente fuera de un círculo de radio r, no aporta contribución al campo magnético a ese radio r. Dentro del conductor, el campo magnético decrece en forma lineal a cero' a medidaque r se acercaa cero. También, los resultadospara el interior y exterior del alambre son iguales cuando r = R. La figura 30-l0c es una gáfica de la magnitud del campo magnético.

30-Z

LEy DE GAUSS pARA EL cAso DEL MAGNETTSMo

La ley de Gausspara la carga eléctrica expfesauna relación impofiante que obedece el flujo del campo eléctrico; esto es, una integral en un álea del campo eléctrico que pasaa travésde ella. La ley de Gaussrelacionala cargaeléctricacontenidaen dentro de una superficie cerrada con el flujo a ttavés de esa superñcie cerrada. En esta sección,veremosuna ecuaciónanálogapara los camposmagnéticos.Los campos eléctricosestáticosse inician y tenninan en cargaseléctricas.A difercncia de las llneasde campo eléctrico, las líneas dc cantpo nngnéticoforman curvas cerradas. Siexistierancargasmagnéticas,análogasa fascargaseléctricas,entonces,las lfneas decampomagnéticose originarían¡' terminarlanen cargasmagnéticas,al igual que las líneas del campo eléctrico se originan y terminan en cargas eléctricas.Sin embatgo,no obstante de los ntuchos intentos experimentales,nunca se han descubicrtocargas ntagnéticas.Toda carga magnética representariaun polo norte o sut aislado.Como hemos hecho notar en el capírulo29, cuandoun imán recto se corta endos,nos enconttamoscon dos nuevosimanesrectos,y ño con cafgasmagnéticas Como, aparentemente,no existen las cargas magnéticas,no hay nada aisladas. a la cargaeléctricaen dondepuedaniniciarseo terminarlas llneasdel campo análogo magnético. No habi e n d oc a rg a sm a g n e ti c a su, n a e cuaci ónanál ogaa l a l ey de Gaussparal a se aplica al magnetismo,pero sustitul'endola cargaeléctricacon cero. electricidad el Definamos flujo magnético, Q¿, paraun campomagnéticoB en una superficieS, abiertao cerrada.como

o ¡(s): l l .B.dA.

( 30- 1) r

FIGURA 30-11 f,as hness dcl carnpo magnótico son paralclas,sicmprc, a1cam¡c magnótico, y su dcnsidad es una mcdid¿ i: la intc¡xidad dcl rnisn¡o.Como no fuy' Ins línc:rsrlcl cnttt¡r crrgas rrurgruilicns, nmg¡lóticono ticrrcnfin, y cl flujo magnótico a travcs dc una supcrficic ccr¡-¿:: cs ccro. Es Ia lcy de Garns para el c¿so'jcl rnagnctismo.

Les cargas magnéticas nunc¡ se hcn descubierto. En consecuencia, les líneas de cempo nragnético form¡n cun'¡s cerrades.

Flujo Magnético

la ley de Gauss para el magnetismo es Entonces,

paraunasuperficie cenada: o, :

I

,1

ff

B .dA : 0.

(30-12)

Ley de Gauss pare el magneti s mo

Al igualque para el flujo eléctrico,los elementosinfinitesimalesde superficie,dA, a la mistna, y, para una superficiecerrada,se orientanhacia sonperpendiculares afuera.Esta ecuación se puede interpretar como que el número de líneas de campo que entrana una superficiecerrada,menos el número que sale de ella, es magnético cero(figura 30-1 1). Toda lfnea de campo magnéticoque entraa una superficieceffada debesalir en algún lugat, porque t.rohay cargasmagnéticasen las cualespuedan o terminar las líneasdel campo magnético. iniciarse La unidad de flujo magnéticoen el SI es la del campo magnéticomultiplicada porun área; esto es, tesla-metroscuadrados(T ' mt). Esta unidad se maneja con Ia frecuenciasuficiente como para tener su propio nombre en el SI, el weber flMb), en honorde Wilhelm Fduard Weber:

lWb:lT'm2.

(30- l 3)

ComoI T: I N .s/C .m, vemosqueI Wb: I kg'm2¡C's. Laslíncas de campo de un imán tecto En el capítulo 29, al trazar las llneas del campo magnético de un imán recto, parecfa naturaldecir que las llneasse inician en el polo norte y terminan en el polo

U ni dades S I para el Lu.: : i ;:e:-' ::

880 y prcpiedadcs Capítulo |O Prodmclón de los cempoe 'magnétlcos

FIGT RA $-12 (a) [¡s lin,:ns dcl , amlxr r¡]^grioticodo.r¡n inu{n rccto son continuas y for¡¡¡rulciclos ccr . ados.C, urtlnria¡rrlcnt¡o dol imdq ycndo dcl ¡nlo sur rl polo nofo. (b) I¡ continuidatl dc lls lincas dc campo rn¡gnótico cs corlsccusnciadc la lcy dc Gaurs paracl rna¡protismo:el ¡nismo núrrrcrodc lincas dc campo magrrótico quc cntran a ornlqrrior su¡rcrficic ccfrada, salcn do la m¡srna.

sur. A la luz de lo que acabamosde aprender,sabemosque las llneasde campo Porconsiguiente, necesitamos magnéticonuncaseinicianni terminan;sonconti tntcts. de lasllneasen lrni¡nánrecto.De hecho,esirslfneas reconsiderar nuestraperspectiva ho se inicianni tenninanen los polos,sinopa.ranpor el intánrccto.Las lfneasde campoque van del polo norte al polo sut fuera del imán, regresarrdentrode é1, coincidecon la ley de formandocircuitoscerrados(figura30-l2a).Estaperspectiva (iausspa¡ael magnetismo, la ecuación(30-12),porqueparatodasuperficieceúada derrnitrránrecto,entrael mismonúmetode quesepuedadefinirdentro,y alrededor, lfneasa la superftcie,queel númerode lfneasqu(:salede ella.En la figura30-l2b se iírdicantressuperficies: Dijimosantesquela fonnadelasllneasdelcampomagnético fueradeurrimánrectoes guala la delaslfne,udcl campoeléctricofueradeun dipolo vemosquesi eléctrico,que consistedc cargaseléctricasigualesy opuestas.'Ahora nos fijamos entrelas cargasdel dipolo eléctrico,y compar,ünosel campoeléctrico en esazona con el campomagnéticodentro dc un imán recto, hay una difererrcia distintas,y, por lo clave.Comoindicala figura30-13,los campostienendirecciones tanto,los flujos tienensignosdiferentesen los closcasos. Emplco dc la leydc Gauss trIGURA 30-13 Aunquc las lincas do campo cléct¡ico fuora do rm dipolo clóct¡ico sc ¡scrEjan a las dc campo magnético fucra do un imán rccto, lc campos interiorcs son bastantc distintos. Las línoas de cam¡rc cléctrico sc inician y tcrminan on las cargas clcctric¡s, micntras quc las linoas dc cam¡rc rnagnético son continuas.

útil paralimitarlasformasquepuede La ley de Gausspamel casodel mrlgnetismo,es ejemplo, Pot la ley de Gausspara el magnético. emplearemos tener un campo que el campo que para demost¡a¡ maglético rodea a un alambrepoíamagnetismo componentes tienen radiales. Necesitamos una superficiecenada, dor de coffienteno

Campo nugrri:

o o o o o o o o o o o I o O J

o o o o o o o I o o o o o o o o o o o o O o ol oil ol ol ol ol ol ol ol

o o o o o o o o o o o o o o o o O

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

imaginaria,alrededordel alambre, adecuadapara aprovecharlas ventajasde las simetrlas.Pa¡a un alambre recto. la simetrfa adecuadaes la cilfndrica. Nuestra superficiecerrada,por lo tanto,es un cilindro rectode radio R y longitud l, cuyo eje centralquedaen el alambre(figura 30-14). El alambrese ve igual desdecualquiet puntoen la superficiedel cilindro, y, por consiguiente,el campomagnéticono puede dependerdel ángulo alrededordel eje del cilindro. Asf, si hubierauna componente radial,8,,en detenninadadistanciaradialfija, tendrfaqt¡eserigualen todoel derredor delalambre. Para determina¡ el flujo magnético neto, O¡, a través del cilindro cerrado, debemostener en cuenta las constribucionesde sus extremos y lados. Sólo hay un componentede B a lo largo del alambre, componentelongitudinal, que contribuirfa al flujo en los exttemos. Peto la contribución de un extremo debe anular la del otro; si el componentelongitudinal entra a la superficie en una tapa,debedejarla en la otra. El flujo a través de las tapas,por lo lanto, es ce¡o. La contribución de los lados al flujo magnético se debe al componenteradial del campo,8,.El flujo neto es

o , : J J.,** B .d A + : u .dA = B,( 2nRL) . .l .l o *B 'd A .1.1"* f

t'

FF

siendo2¡rRl el áreadel lado del cilindro. Segúnla ley'de Gauss,esteresultadodebe sefcero,y como el área del lado del cilindro no es cero, B. debe ser cero. Con la ley de Gauss hemos demostrado que no puede haber componente ¡adial del campo magnético. Esta descripción muestraun modo de emplear la ley de Gausspata el magnetismo, En capitulos posteriores,veremos que el flujo magnético desempeñaun papel centralen otras leyes fundamentalesdel electromagnetismo.Por consiguiente,es importantesaber cómo calcular el flujo magnético, tanto para superficies cenadas comoabiertas.El ejemplo 30-2 es un ejercicio de estetipo. Como el cálculo del flujo magnéticose asemeja,matemáticamente,al del flujo eléctrico, en realidad este ejerciciono es nuevo.

EJEMPLO 3 0 -2 f-^ región entre los polos de un electroimánde mesa (figura 30-15a) tiene un campo magnético constante,B = 0.0030T, orientado en dirección +r. Una espira cuadradade alambre, de L - 1.0 cm de lado, forma un ringulo de 30" con el campo (figura 30-l5b). Calcule el flujo magnético a través de la espira.

il./,

l/' o. v\

B r" orienta cn rtirc¡ción +r. (c) Et EGL:RA 30-15 (a) Ejomplo 3G2. Elcctroim¿inrlc mcsa (b) pa¡a el a la ",,01 nr¡rcrficie. :,:nrnlo dc su¡rrficic, dA, sc orienla cn dirccción¡rcrpcndictrlar

881 3GZ loy dc Gauss para d cz.so dcl m¡SDctlsmo

FIGT RA 30-14 Su¡rerficic gaussianaquc aprovccln la vcntaja dc la slmctría cn un alambrc rccto y largo.

t

8u2 C,r¡ritulo 3O Pro
o o o o o o o o a

dada' SOLUCION:Para calcular el flujo que pasa a trovés de una superficie su calcular debcmos especificar un elentento de área, clA, de la superficie, 'e La producto escalar con el campo magnético; integral ell toda la superficie. 3l iiguru áO-tSc muestraque el elementode superficie,dA, que es Perpendicular = = cos B dA ángulo, 0 6Oo,con B' Así, B' ¡,i^rro d" la espira le alarnbre,forma un puedetrsacar de la integral de á¡ea en la se constantes, 0 son b Co-o d¡. b ¡ ecuación(30-11),del flujo magnético:

Os(s):

lf n.aa: ll,

o L2 cosodr = B coso lJ, al : B cos

El valor nutnéricoes Ou (S ): ( 0.0030T)(cos60" X 1.0x 10-2 m)2 : 1.5 x 10-7 W b'

I

3O-3 SoLENoIDES a setnejantes Un solenoidees un elenrentoeléctricoque generacatnpostnagnéticos De 30-16a)' (figuta paralelas placas cle capacitor los camposeléctricosque generaun constantesen el igual modo que esos ca¡io.itor"s esfablecencampos eléctricos una región dei en constante ma.gnético calnPo un solenoide generar¡n "lpo"io, Un solenoid"l,l"ol está formado cle una bobina de alambre, devanada ".po"io. sobreulr cilinclrode longitud infitrita,colno seve en la figura 30-16b' uniformemente que,nonnahnente'se E¡r estafigura hemosexageradoel espacioentrelos alatnbres, conducidaes/, encuentrá muy próxirnol El diámetrodel cilindro es d, la corriente por unidad de y el alambre ," d"uuno de tal forma quc hay rl Yueltas'.o espiras' iongitucl.I-a long:tudst' mide e io largo dcl ejc del solctroiclc'

o a o o o o o o o o o t

-¡tly;t

g*it

üGURA 30'16 (a) Urr solcnciclc idoal os m cilindro dc longitud irrfirrita formndo con (b) una bobinn dcvanada ttnifomlcmcntc por Psrto sc la cual pasauna corricnto /. l-r-sta indica con scparación cxagcraclaclclas cspiras,

'{- t,';

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iüi\7.

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o o a o o o o o o o o o o

' , io ,i\f ---

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(lc vui:ltas' lnoslnn(lo los calll[rus FIGURA 30'17 Una panc rlc iut soici¡oidc trüs so inl¡cs'tramtty cxagcrada' las cspiras dc scpar¿ciiin l-a supcrpucsios. magnéticos

I

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o o o o o o o o o o

A) : y*"::9::J!IJILrX0'03 B: ¡tonr d 0.6 x lo- 3;--------:

O

o o o a a

3+3

Sotcno¡dcr

0'6 T'

(b) Como el solenoide está devanadoen fotma apretada,la densidadde welüas, n, dependedel di¡ímetro d de acuerdo con n ' lld, Asl, si el diámetro aumenta en un factor /, n decreceen un factor 1//. También necesitamosla dependencia entrela corriente máxima y d. Si aumentamosden un factor/, entonces,el área de la sección transversal del alambre aumenta en un factor f, y también la coffiente.El campo dependedel producto n.I,de modo que si d aumenla en un factor/, el campo magnético aumenta en un factor (Uñ(h - /. Si hemos de duplicar el campo, debetnos, también, duplicar el diámetro del alambre que usemosen el solenoide.

a

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

885

magnéticodesconocido,dentto del solenoide, conociendo la coriente, I, y la densidadde espiras,n. ConocemosI peto debemoscalcularn. Si el alambretiene un dirimetto d entonces tenemos una vuelta cada distancia d, y n : lld. Entonces

) ¡ I ¡

I-a técnicade emplar la ley de Ampere para calcular el campo magnéticodentro deun solenoidelargo y cilindrico se puede aplicar, directamente,a geometrlasno cilfndricas,con exactamentelos mismos resultados.La ecuación (30-15) es válida auncuandola sección transrersal del devanado no sea circular. Sólo necesitamos queel solenoidesearecto, y que el área de su sección transversalsea constante. [,os resultadosa que hemos llegado para el solenoide ideal son válidos, con aproximación,para un solenoidecuya longitud seafinitasLa figura 30-21 bastante muestralas ltneas de campo magnético de un solenoide en un plano que pasapor el cent¡ode é1.l,a longitud del solenoide es cuat¡o vecessu diámetro. El campoexterior del solenoidede longitud finita se ve en la figura 30-21,y se asemeja mucho al campo magnético de un imá¡ recto, en la figura 29-2a. ¿Quiere decirestoque el campo de un imán recto tiene el mismo origen físico que el de un solenoide?La respuesta es sí. Un imá¡ recto está formado por espiras de coriente a atómica.Ampére sugirió que los imanes permanenteseslán relacionadoscon escala conientesintemas. De hecho, el campo interior de un i¡nán recto es el mismo que el campointerior uniforme de un solenoide.El origen del magnetismoen la materia se siguedescribiendoen el capítulo 32.

\

: ::::,--_ ,_:_ :::::--.1

.i :,/ '-' ..--u/

f,IGURA 30-21 Campo magnético dc un solcnoidc dc longihd finit¡. ScgÍLnE. M. hrcoll, Berkeby Physics Course: Electriciry and M agnetism, McGraw-Hill, 1990, p. 229.

Solcnoide toroidal

i) ét

Unsolenoidereal tieneuna longitud finita, y, por consiguiente,su campomagnético tienealgunosefectosde los extremos.Estosefectosse puedeneliminarhaciendoque elsolenoidetome forrna de dona, o de toro (figura 30-22). Si se le da esa forma, se algode variaciónen su campomagnéticodel interio¡de lasespiras.El radio introduce Ejc dcl toro

la er F m :"

tse lel de I lue rla t,

tPo

FIGURA 30-22 Toro dcva¡ado con un L3.Íti,:r: corricntc I ticnc tm cam¡rcmagnéüco en s r :. cmplcandola ley dc Am¡rrc. [i =::: :,:. : bobina cs ro. [¿ distancia R ' ;. c-. :--r ! .]

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a'IrAJT¡O J

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FIGURA 30-20 Sc traza r¡n circuilo rcctangular im gin¿rio mitad dcrit¡o y mitad fucra tlc rm solcnoiclc, Esto circuito cs un¡ traycctoria para aplicar la lcy dc Ampcrc,

Tr¡¡r¡o 4

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2

Trarr¡o2

cr. cünpo magnéticc'dentro del solenoide. La figuta 3O-20 muestra un solenoide gu: tiene una coffienle /, y un ci¡cuito imaginario cerrado,que consistede cuatro laCc: de un rectringulode longihrd / y altura w en el cual aplicaremosla ley de Am¡Ére" El alambre del solenoide pasa N veces, llegando desde arriba, por el circui:c imaginario.Supongamosque la trayectoriadel circuito imaginarioseaen el seniiC; de las manecillas del reloj, de modo que la regla de la mano derecha indica que l: coffriente neta que se dirige hacia el ci¡cuito imaginario, Nl es positiva, Catcularncs ahoralaintegtal de Uneadel lado iz4uierdo de la ecuaeién.$O*f0). Sólo hay un apone pequeñisimodel'trarno 2, del punto ü al punto c, porque el catnpo exterio¡ es insignificante. No hay contribución debida al tratno 1, del punto a al punto D, ni iel tramo 3, del punto c al punto d, por dos motivos. Ptimeto, el campo extemo es insignificante,y el intemo esparaleloal eje del cilindro, y, por lo üanto,perpendicul:: a la trayectoria. Segundo,cualquier apoñe de esosdos tramós se anulada con el Cei otro, porque los recorremosen direccionesopuestas.Desde el punto dhasta ei ¡unlc c, tramo 4, el campo es pamlelo a la trayectoria. A lo largo de esta parte de eila, a campo tiene un valot constantey desconocido, B. La contribución a la integral es BI, y, por lo tanto,.la ley de Ampére da como resulto.do I 'l \ (30-11. Ó n . ¿s - B/: Ltol"n*a^- IINL 'Podemoseliminalla dependenciaexpllcita respectoa si vemos que el número ce l, veces,N, que el conductor del solenoide pasapor la trayectoria imaginaria, es ig;a a la longitud, /, multiplicada por el núlneto de espirasdel solenoide por unidad ce longitud, n; N: nl. La cantidadn es la densidadde espiras,o vueltas, del solenoiá Tenemosentonces i -.\ (- l Bl: psn/l , y el campo magnético en el interior de un sclenoide largo tiene magnitud Cempo me {nético en el interior de un solenoide

B -

¡t6nl.

(30-l:

Nótese que esta ecuación no hace referencia a distancia alguna al eje, interiot de la bobina. Nuestra deducción es completamente independiente

cercaniade nuestratrayectoria,en la fígura 30-20,al eje del solenoide,y qualqulc eleccióndeesadistanciallegarlaal mísmocampo.El campomagnéticodentrodeL1 solenoidelargo esunifi1rmea travésdel inferíor.Dependelinealmentedela corie¡¿ E J E M P L o 3 0l - 3 U:r solenoideest¡iformadopor alambresde di¡ímet¡oc 0.6 mm, que conducenuna conientemáximade I: 0.03 A; los ala¡nbres* en una sola capa.(a) ¿Cuáles la magnitudmirlrra ü devananestrechamente carnpodentrodel solenoide?@) Supongaque la cordentemrixima que ;';*e conducifun alambrees ptoporcionalal áreade su seccióntransversal,)' i-e 'el diámetrodel alambrees la única variableque se consideta. ¿Cuáidebcr del alambrepafaduplicarel campomagnéticoen el i¡terio¡l ser el di¿imetro (a)Conla ecuación(30-15)podemoscalculatla magnituddelcs::¡ SOLUCIoN:

ffi4

a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o¡ I

ol

o o

65j

O

3O-f

Solm¡dc

o o o o o o o

a

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

{al I'ICURA 30-18 (a) Líncas dc campo nugrrético dc un por laslimadrrra-s solcnoidc, i¡rdicadas dc hicrro qrrcsc alincan concl cam¡n. (b) La rcgla dc la rruno dcrcclu cslablcccla di¡eccióndcl campo magnéticodenl¡o dc trn solcnoidc.

oidc

Hagamosun esquemade cómo se vena el campo magnéticode un solenoide.La figura30- l7 es un cortede variasespirasde un solenoide,y nuevamentesu distancia esrnayo¡que lo que sería norrhalmente.Muy cerca de los alarnbres,los campos magnéticos forman círculosal¡ededorde ellos,porqueel campotiendea ser el de un conductorrecto único. La figura 30-17 muestraque entrelas espirasadyacentesdel alambre,los campos originadospor ellas tiendena onulnrse enbe sí. Dentro del solenoide,esoscampossc suntanfonnando un cotnponentegrande,que se dirige hacia la derecha,a lo largo del eje del solenoide.Cada espira de alambre contribuye parahacerque estecampo interior,a lo largo del eje, seagrande. constructiva¡rrente Fueradel cilindro el caso es algo distinto. Una zona en la parte superior tiene aportacionesconstructivas de los campos circula¡es debidos a las partessuperiores delasespiras,formando un campo que se dirige hacia la izquierda,en la partesupericf, dela figura 30-17, y hacia la derecha,en la parte inferior de esafigura. Los campos citcularesde los alambresde la parte inferior tambiéncontribuyeny forman un campo fueradel cilindro, que se dirige hacia la derechaen la parte superior,y hacia la izquierdaen la parte inferior. Este campo tiende a anular la contribución de los alambres en la partesuperior. El moclelo cualitativo que resulta, de las líneas de campo, es que los campos debidosa espirasdistintas de la bobina se refuerzandentro del cilindro, y forman un camponeto que es paralelo al eje del cilindro, y cuya dirección estádeterminadapor unaregla de la mano derecha:si los dedos se doblan en la di¡ección de la corriente, el pulgarindica la dirección del campo magnético (figura 30- 18)\Fueradel cilindro, elcampose dirige, principalmente,en dirección contraria,y es ñiicho más débil. Otra formade visualizar que el campo es débil fuera del cilindro, es recordarque las líneas decampomagnético se cierran. Como no se pueden cruza¡entre sí (¿por qué no?), secomprimenen el espaciolimitado dentro del cilindro, pero se extienden por todo el espacioen el exterior (figura 30-f9). Aun cuando el campo magnético no sea eractamentecero fuera de un solenoide real, con buena aproximación se puede suponerque el campo, en esa zona, es insignifican¡e.En un solenoide ideal, infinitamentelargo, el campo magnético exterior es cero. ünpleo dc la ley de Ampére para detcrminar dc r¡n solenoidc

el campo magnético

Ahoraque comprendemos en fonna cuantitativa que un solenoide largo tiene un calnpomagnéticograndeen su interior,paraleloal eje del mismo, y un campodébil f uer ade é1,pod e m o sa p l i c a rl a l e y d e Amp é re para cal cul ar,cuanti tati vamente,el

I'IGI.JRA 30-19 L1s L¡c-:s .t: :.r;:.: ¡lm8.nit¡coesl;int-illJ;Jr :.- t: --: -:. i'- dc tm solcrrnr,ic,

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x -1 -- i:{:-r:t

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dc cl . S i cl scl cr¡;:: : ,::-. - -:-,- :.-r-.: Iargo, cl ca'lr¡:

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\ 88() Crpínrlo 30 Prodmclón y prcplcdads dc loc cam¡ros magnétlcos

de la bobtnaas fs, )/ el radto getreral
¡rnNI. $ n.Or : Il(2nR')= En este caso,N es el númeto total de espirasque fofrnan la bobina. Asf , la magnitud del campo a una distanciaR' es

':##

I

HGURA il-23 So prrxlc colocar tna b¡lanza do torsiór¡ cuyo indicador sca rrn imán rccto pcrmancntc, cn cl carn¡ro magnético dc un solcnoidc. La nragnitud dc la dcsviación dcl irruin cs frr¡ción
(30-l6)

Aunque no hay efectos de los extretnos, el campo no es constaflte en la sección transversaldel toro. El campo a determinadoR' es distinto del que hay en otro valo¡ de R'. Si el radio de la bobina, re, es Ínucho menor que el radio general,R, del toro, los valores posibles de rY, desde R - ro hasta R * i0, no varlan mucfio entre sl. El campo magnético dentro del toro, en ese caso' tampoco variará mucho. El campo magnético que produce un solenoide da la forma de fabricar un galvanómetro,instntmentoqrredescribimosen el capltrrlo2il' En cl caPftulo29 vimos un imán recto perrnanentese alinea con un campo lrragnético'pofque sobre "ómo cl imán se ejerceun par, En la figura 30-23 mostramosun irnán colgado de una fibra de cuarzo. I-a fibra se resiste al torcimiento. Este arreglo es lo que se llama balanzade torsión; cuando se coloca en el campo magnético constantede la pafe centfal de un solenoide,el par debido al campo equilibra a la fuerza
3O-4 LEYDE BIoT-sAVART La ley de Ampére tiene validez general.Sin etnbargo,su a plicabilidad como herramienta de cálculo de campos magnéticos dependede la I imetría en el sistemade corrientes que originan el campo magnético. A continuac ón vamos a deducir una ecuacióndirectaparael campo magnéticoproducidopor un;, corriente.Estaecuación' la tey de Biot-Savart,sepuedeaplicar aun cuando no haya ;imetria. Hay un anáiogo sencillo a este procedimiento, en electrostática.Cuando ,ray una simetrfa en una distribución de carga, la ley de Gauss nos da una henam:enta muy poderosapañl determinarel campo eléctrico. Cuandono hay simetría,siel npre podemoscalcularel campo eléctrico neto, empleandola superposiciónde los carnposeléctricosde cargu puniuales,determinadacon la ley de Coulomb. En forma análoga,la ley de Biot y 3avart nos calcula el campo magnét¡co debido a una distribución infinitesimal & segmentosde corriente.A continuaciónusaremosel principio de supe¡posición,pan determina¡ el campo magnético de un arreglo finito de corrientes. ¡esultado que ya conocemos. la ley de Ampére, aplicati: - Comenzaremos con un a un alambre largo y recto, que conduce una corriente, I indica que la magnitud Ce.l carnpomagnético a una distanciaradial, r, del alambte, es lrol B : 2nr

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O

o o o o o O o o o o a o a o O o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

laecuación(30-5).Las líneasde campoforman círculosque rodeanal alambre,y su direcciónestá determinadapor la regla dé la mano derecha.Esperamosque este camposea la suma de la contribución de todos los elementos infinitesimales de coniente,ldl, que forman el alambre.Paradeterminarla forma de las contribuciones individuales,observaremoslo que sigue. La dependenciaque tiene un calnpo magnético con tespecto a l/r, se asemeja la de un campo eléctrico debido a una varilla larga, cargada,con densidad lineal de carga,X, constante,de la ecuación (23-3I):

bb 3G4 L<)'dc Akx.Smrt

dal

-t) " - 2"%; '

I 1<-

Esteresultado fue obtenido integrando, de la ecuación (23-27), el componente perpendicular del campo eléctricc, respectoal conductor, y debido a la carga en una longitudinfinitesimal, d( de la varilla cargada:

Elcmcnto/

| |

dc carga tlq = ), tlQ

,T

dr_: .+ 7 t€ oi"lt ,o,,¡,. ^l r -

(l)

En estecaso,el elementoparticulat de la varilla cargadaestá a una distanciar : {FiF al punto donde se mide el campo, y S es el que se ve en la figura 3O-24a.El es la intensidaddel campo eléctricodebido a una cargapunfactor(ll4ne)(Xd\l¿ tual,dq = X dl. El segundofactor, cos f , sólo estápresenteporqr¡eestamosfijándonos enel componenteperpendicular.La semejanzaentrelas ecuaciones(23-31)y (30-5), enla cual l/eo se sustituyepor #0, y ), se sustituyepor I nos sugiere probat un procedimiento semejanteparadeterminarel campo magnéticooriginado porun tramo d/, de un alambreque conduceuna corriente,l. El resultadotienela misma delongitr.rd formaque el correspondienteparael carnpoeléctricodel conductorcatgado,ecuación (23-27),conlas sustitucionesque describimosaniba:

d B:4 9 t 1 / 4 n r'

i I

:.

I

I

I

.v

le m da lel

a.

(30-r 7) (h)

Elcampoeléctrico se dirige radialmentealejándosedel elementode carga.El campo nugnéticosigue formando clrculos, y, en el punto P de la figura 30-24b, B se dirige haciael papel,de acuerdocon la regla de la mano derecha.La di¡ección de la corriente seindicahaciendoque la longitud infinitesimald/ seaun vector,d{, cuyadirección seala de /. Nótese que B es perpendicular,tanto a d/ como a r. Cuando decimos que unvectores perpendicular a otros dos vectores,recordatr¡osel producto vectorial. Unapequeñadeducción trigonométrica indica que si 0- ó * 90o (como en la figura 30-24b), entonces,cos @= cos(B - 90o) = cos 6 cos 90o + sen gsen 90o : sen g. La (30-17) se tra¡sforma en ecuación

ltt D a I. a ?l ts

"o,

dB:

po I dl sen9 ;- - 2

Fo ,dl rsen? ¡1 4ft

r-

(30 r 8)

¡,'ICURA 30-24 (a) IIn alambrc quc conducc u¡ra dersidad supcrficial nct¿ dc carga se prrcdc dcscomponcr cfl scgmcntos qrrc contribrrycn al campo clcctrico cn cualquicr punto. Si sc intcgran las contribucioncs dc los scgmentosse obticnc rur cam¡rc clóctrico ncto. (b) A.lambrc quc conducc rr¡a corricntc d cn forma scmcjantc, ticnc un canpo rr¡agnólicoquc sc pucdc calcular intcgrando las contribucioncs dc los scgmcntoedcl alambrc. Pm u¡r segmcnto dc longitud d1, el vcctor d1 sc oricnta a lo largo dcl scgmcnto, cn la dirccción dc /.

endirecciónperpendiculara dl y r. L,apresenciade un factor sen I confirma nuestra que estáinterviniendoun prducto vectorial.Hemosdetenninadoel campo sospecha nngn¿tico,dB, producido por un segnrcntode alambre, de longitud df , que condu.ce unacorrienteI, que se encuentra a un desplazomientor del segmento:

dB:&ldl-xr 4n r"

(30-19)

Elproductovectorial, dl x r, tiene magnitud d1 r sen B y la dirección adecuadapara estecaso,hacia la página. Nótese que no hay ambigüedadrespectoal vector d/. Si el segmentoes suficientemente corto, se puede considerar que es una tecta. La (30-19)es la ley de Biot-Savart, bautizadaen honor de los dos flsicos que ecuación ptimerola formularon, Jean-BaptisteBiot y Félix Savart.Esa ley es análogaa la ley deCoulomben electricidad.Hastatiene la misma dependenciageneralde la disLancia,

LeYde Biot-savart

888 Capítulo 3o Producqlón y proplcdadcs dc loicampoc magnétlcos

1/f. Noteseque la magnttudde r aPareceen e. ;lu:i-:ei36oióe Lae.ü3:::il .-'--,> Sin embargo,los factoresangularesson bastantedistintos. Uso de la lcy de Biot-Savart Esta ley se puede emplear para determinar el campo magnético debido a dist¡ibucicnes no simétricas de corriente. Por consiguiente,se usa del ¡nismo modo que Ia Ie;" de Coulomb en |a electricidad.El campo magnéticoneto se dt termina integra¡do d1B: t

S:

,,

f t st

l¿g:Po l 'ot,*t. 4n) r"' J

Esta ecuación (30-20), con frecuencia,es demasiadodificil pata su empleo práctico' En la realidad, los campos magnéticos debidos a distribuciones no simétricas de cofriente, se miden en forma experimental, aunque se dispone, en la acfualidad,de cornplicadosprogramasde cómputo para diseñarlos devanadosde corriente necesarios para producirun campo deseado.Esos programassuperponenlas contribuciones infinitesirnalesa dB, expresadacadauna mediante la ley de Biot-Savart. E J E M p L O 3 0 - 4 Un segmentorecto de alambre, de lorrgitud l, conduce una corriente /. Con la lcy de Biot-Savart, detennine el cntnpo lnagllético en el pluno perpondicularal alambre, y que pasa por el punto medio del segmento' SOLUCION: Orientaremos el alambre a lo largo del eje f, colno en la figura 30-25a, corr el origen ed el centro del segmento, Por consiguiente, desearnos determinarel campo en el planoyZ. A una distanciadetetminadaD del alambre, éste se ve igual desdecualquier parte de ese piatro. Por consiguiente,podemos calcula¡ el campo en cualquierlugar alrededordel alambre,y escogemosel punto y = D, z : 0. L;regla de la mano de¡echaindica que la cantidadd/ x r se dirige -hacia afuerade la página,siendo df y r tal como se indica en la figura. El 9flnpo forma cl¡culos que rdean ai alambre, como antes.Vearnosla determinaciónde la magnitud en el punto D. S-egunia ecuación (30-18), el campo magnético del segmento df tiene magnitud sen0 Fol , cos r¡i sen(¡ - 0) lnl unl - -:- d.\ ------ : + dx ---t-, d.x -=-r dB ='-" r478 r' r' 4Ít ln err la cual hemos remplazadodf po.rdx, y empleado el ríngulo qique definimos en la figura 3O-25a.Para determinar el camPo magnético neto, sumamos las = contribucionesde los segmentos,de x -Q2, a x' LlZ: p-

b! r'''

cos@, ox' 4n J -t,, r-,-

3 3 3 ol rl ol ol ol t t t

o o t I

o t I

o t

o t I

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o

t FIGURA 3G.25 (a) EjernPlo 3G4. Scgmcnto rccto do alambrc, do longitud l, quc conducc t¡na corricr-rtoI; cstá oricntado ra el eje r y ccntrado cn el origen. O) f,os + aquí -:--n:tesde intcgración son -So y {o; nüc¿n¡os cl limitc + óo.

I I

o o o I

o o o f,r

o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O o o o

Tanto 0 como r dependen de x. L.a integnl se calcula con más sencillez si empleamosva¡iablestrigonométricas,y, por lo tanto, cambiaremoslas va¡iable-.. de x a Q.Tenemos que

x = tan @i D

Dr..' 4 a 6 :

dx : D d(tanü:

,a6. cos' @ -!

Además,r : Dlcos f, y entonces,la combinaciónque apareceen la integtal anteriot se transforma en I

c o s r/,

YYi,vdr : cosó (D/.",

D , = ' cos d@' @ éoi, of 4,d4' u

Así,

B : ¿P+:n u i _. 'o", . o,4 a 6 ' J

en la cual, el llmite de integtación+6 se indica en la figura 30-25b.La integral del cosenoes seno,y

B=

tt^l

#[*n

do -sen(- óo )] : 4

nnóo.

Podemosreexpresateste resultadoen términos de I y D, empleando It1

L IL

,

sen (,^

Jp¡z¡'z+o'z

para llegar a

B:

ltol

an p,,@2y ¡ pz'

(30-2r)

l,a forma de esta ecuación indica que el campo no sólo depende de la distanciaD al alambre, sino también de las magnitudesrelativas de D y L. Podemoscotnprobarestetesultado,evaluandoel llmite cuandoI es grande;en esecaso,obtendrlamosa la ecuación(30-5).En el llmite en el que L >>D,la ralz cuadradade la ecuacion (30-2 1) se transforma en Q2, y ^ o'

Fol

L

l-tol

4l Dw l2 ): 2 n D'

que es el resultadocorrecto, obtenido mediante la ley de Ampére.

Es posible que el lector pregunte por qué, en el ejemplo 30-4, no pudimos haber empleadoen forma directa la ley de Ampére. La tazón es que hay contribuciones debidasa alambres portadotes de corriente, que introducen corriente en nuestro segmentofinito de longitud L,y la sacan, lo cual no se indica en la figura 3O-25a. kos alambresdestruyen la simetrfa cillndrica. Sólo es esa simettfa la que hace útil laley de Ampére. Esta ley, natumlmente,sigue siendo válida, pero no es útil en este caso.[¡ ley de Biot y Savartse pue deusatsiempr¿.Cuando el segmentose hacemuy largo,de tal modo que las contribuciones con ottos segmentos del alambre son pequeñas, entoncesla ley de Ampére de nuevo nos es útil. Como hemos visto, la ley deBiot-Savarty la ley de Ampére llegan al mismo tesultado.

SA; ]4.{

Ir&

üe-5r-

890 C:pírulo 3O Producclóny dc los campos mag¡rót¡cos

o o o o o o o o o

DPPROBLEMAS TECNTCAS DE SOLUCTON prcplcdadcs

En los ejemplosde estecapltulo y el 29 hemosestudiadodos aspectosde problemas acerca de campos magnéticos. Podemos desear calcular cafilpos magnéticos

ptoducidos pordeterminado conjunto decorrier¡tes, independientes deltiernpo, o podemos querer calcular lasfuerzas magnéticas queactuan sobrecoffientes o sobre cafgas en movimiento. Todo lo que, pof lo general,es necesafiopara aLacaresos problemas, está contenido en dos conjuntos de leyes clave, y el lector debe comprenderlos slmbolosen esasfórmulas,y lo qrresignificanlas leyes.En primer lugar, contamoscon las leyes que determinanel campo rnagnéticodebido a cargas en movitniento, o corrientes,que se prredenescribir en las dos formas a

LeydeAmpére: Q B'ds: t ey de Biot-Savaft:

t

lol*""*d",

o o o o o o o o o

,JB:1!.!d!:: +lt

r"

En segundolugar, contamoscon las leyes que expresanla fuerza sobre una carga en movimiento, o sobre una corriente, debida a determinado campo magnético, que son Fr:qvX l i dF:/d/x

(29-14)

En cadaconjuntode leyesinten'ieneuna regladc la mano derecha,y el lector debesabercómo emplearla.Parala ley de Ampére,si el pulgar derechosiguea la coniente, los demásdedosse doblan en la direcciónde la trayectoriade integración. Paralas leyesde fuerza,y la ley'deBiot-Savart.se aplicala reglade la mano derechaparaun productovectoriai. En base a estasleyes, podemos sugerir el desarrollo de una lista de hábitos. Muchos de ellos son exactamentelos mismos que se usanpar4resolvercualquier problemaen la física.

oi

o o

1.. Trace una figura que indique el caso físico, con las cantidadescol'rocidas, si es el caso. i n c l u y e ndodi recci ones,

O

o o o o o o o o o o o o o

2. Escriba lo que se conoce y lo que se debe detcrminat. ¿Semanejan cargas en movimiento,o conientes? 3. ¿Qué principios físicos ¡elacionanlas canticladesdesconocidascon las conocidas? 4. Si el ptoblema es acercade una fuerza, vea si hay información suficiente para calcularla mediante las leyes de fuerza. Si no es así, podrá necesita¡ calcular un campo magnético o integrarrrna fuerza infinitesimal.

En un casocon la suficientesimetrla,por ejernplo,paraalambreslargosy rectos,podemosetnplearla ley de Ampdreparacalculatun campomagnético. Cuandoseael caso,por lo general,con la ley de.Ampérese llega¡áa la soluciónconmayorfacilidadquecon la ley de Biot-Savart. 6. Si el sistemano tienela simetríasuficiente,siemprepodemosrecurrira la identifica¡en formacorectaal ley de Biot-savart.Al emplearla,asegúrese y posición, vector df, al de r. Una simetrfaparcial elementoinfinitesimal , podrfaexcluiruna o más direccionesdel campomagnético.Si la simetria en seatrularán sóloindicaunadirección)entonceslos demáscotnponentes y el lectot sólo necesitaráintegrarei el cálculo de la integral de d/, quesedesea. componente

5.

F

y unidades. Siempreseaconsejacomprobardimensiones

8. Sustituir los númerossólo hastael pasofinal; todaslas pruebasque se pueda: encontraf cotr límites, o casosespeciales,setfurútiles siempre.

I

a I

a o O t_ o a o I

o o O o o o o o o O o o o o o O o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O o

891 M

FIGURA 30-26 Ejemplo 3G5. Sc rrcccsita uru inlcgración para dctcrminar cl cam¡rc magndticoncto cn cl ccntro dc la cspira.

3 0 - 5 U n a l a mb re fo rmaunaespi raci rcul arderadi oR12cm. EJEMPLo : Porél pasauna corriente/ : 8.0 A, en sentidocontrarioal de las manecillasdel reloj (figura 30-26).Calculeel campo magnéticoen el centro. SOLUCION: En estecasono contamoscon la simetríasuficienteparapodertrazar una t r ay e c to ¡i a a l o l a rg o d e l a c u a l el campo magnéti co sea constante,y, por c on s i g u i e n te ,n o p o d e mo su s a r l a l ey de A mpére. D ebemosusar l a l ey de Biot-Savart, e integrar las contribuciones,dB, de los diversos elementos del alambre pata determinar el campo toüal,B, desconocido.El vector r va del elementode corriente,d/, al centro del cfrculo, que es el punto donde deseamos calculat B. La cantidad dl x r, para el elemento de corriente que se ve en la figara 30-26, se dirige hacia afuera del papel, y lo mismo sucederáen todos los elementosde corriente que forman la espira. El campo magnético neto en el centro,de este modo, es hacia afuera de la página. l,a magnitud del campo debido al elemento que se muestra,se obtiene, de acuerdocon la ecuación(30-18),mediante

dB: letj!

4n R" En estecaso no hay térrninos en seno, porque d/ es perpendicular a r. [,a integral dedl alolargo del circulo es su circunferencia,2tR,y por consiguiente,el campo netoal centro tiene como magnitud

B:

f

: l¡toIdl : )dB l# _nr '

4ri 1- | o, : ttol 24 4nR 2 l -

4n P .z

: r'ol 2R' El valot numér¡code estecampoes B_

(4nx 10-7r'nfi)(8.0A) 2(0.12m)

(30-22)

:4.2 x 10-5T.

Estevalor es más o menos el del campo magnético terrestre,en la superficie del terreno. l,a orientación del campo magnético que hemos calculadocoincide con una regla de la mano derecha en donde los dedos se doblan en el sentido de la coniente, y el pulgar indica la dirección del campo. Esta regla de orientación es la misma que encontramospata el campo magnéticode un solenoide,y, realmente, la espira se puede considerarcomo un solenoidemuy comprimido.

l3f e. ¡¡1-furrft

r 8 )2 Grpinrlo !O Producclón y proplcdadcs dc los cam¡rcs nagnétlcos

dB dcbido al clc¡ncnto dl

t" u\

/,1

FIGURA 30-27Ejcmplo30-ó.El carr¡pomagnéticonctoa lo l8¡go dcl cjo do la ospiru,dobidoa la cspiracon corriontoI sc oricnta sigrriondoal ojc, dc acr¡crdocon la rcgll dc Ia manodcrcch¡.l¡ contribuclóndc un olcmcnlolnfinitcsimnl,rll, ticr¡oconlponcntcs ¡ lo largodcl cJc,y t¡mbiéncn otrasdirccciorrcs.

E J E M P L O 30-6 De nuevotenemosla espiracirculardealambredel ejemplo 30-5,y la trazamosenla figuta30-26.Calculela magnituddel campomagnético a todolo largodelejedela espira,orientadocomoseve enla figura30-27.¿C.tál esel límite del resultado(a) al cenko,y G) a grandesdistanciasde la espita? SOLUCION: En estecasodeseamos calcularel campomagnéticoa todo lo largo del eje de la espira,y no sólo en su centro,comofue el casodel ejemplo30-5. Comodijimosallf,la ley deAmpereno nosesútil enestecaso.Prime¡odebemos usarla ley de Biot-Savartparacalculatel campomagnéticoen el eje,debidoa determinado elementodeconiente,paradespués sumarlasconttibuciones delos En elementos. estecaso,la espiraestáalineadade tal modo quesu eje esel eje en el origen(figura30-27).Setieneun puntoP a una r, y su centroseencuentra escogidoun elementodl, en el cual la espirapasa d del centto. Hemos distancia por el eje +y. Suconttibución,dB, espetpendicular tantoadlcomo a r, demodo que tieneun componentea lo largo del eje de la espha,y tambié¡runoa lo la¡go escogidoun elementodel ladocontrariodela espira,donde ¿s +y. Si hubiéramos y, eje estacorta al hubiéramosencontradoun dB con componentea lo largo delejedela espira,enla mismadirecciónquela contdbucióndelpdmetelemento de espira,y tambiéncon una componenteen la dirección-y. El componente¡' de dB, debidoal pdmet elemento,anulaal tespectivodel segundoelemento.Esto sucedecon todos los pares de elementosalrededorde la espira,y entonces debemoscalcularüansólo el componentede dB a lo largo del eje de la espira, la queesel componentex.Es importanteel comprendetelpapelquedesempeña simetda, y si nos detenemosduranteun momento buscandosimetrias,seni tiempobienempleado. Parala geometriaque se indica,tenemosque

o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o a o o o o o o o o o a O o o a o o

ol

oi

ol ol ol

ol ol

I

o I o I o O o o o o o o O

o o o o o o o O o a o o a o o o o a o o o o o a o O a a O a o o

La longitudinfinitesimaldf : Rdf, la manitudde r es r = JFI¡5 cos(90"- l) : cos 90' cos 7 * sen90'' seni'

893 M

R

:

llry dc Blot.S¿vart

S€fl ) ::.

'

,f R2 a ¿z

Reuniendolos términos. obtenemos

: ';:,,1,*;l!¡,. oo' El camponeto es R2 I< 2 f . .. ttol f '" , , j r¡t,,1 r1r) 1-l ) .1 ,/:' . |d 2' - "l 'i ,:. 4 n (R : , u.,¿ ,.rt.¿ | (R : -¡Ll z)r t J () J Como establecenuestro argumento de simetría, el campo magnético tiene la direccióndel eje +x. (a) Para el centro de la espira, la ecuación (30-23) se reduce a la ecuación (30-22),lo cual es correcto, cuando d es cero. ft) A grandes distancias,d > R, el campo magnético axial en la ecuación (30-23) se reduce a .. "Bx, -

u ,,l R 2 4t I ttRz : u :'-i,¡t 2n

(3 0-2 4 )

Dipolos magnéticos I¡ ecuación(30-24) es semejantea nuestra ecuación del campo eléctrico a lo largo delejede un dipolo eléctrico, la ecuación (23-14). En realidad, los cálculos cuidadososdel campomagnético en todo el espacio,debido a la espiraportadorade corriente delosejemplos30-5 y 30-6, indican que las llneasde campo magnético,como en la figura30-28, son muy semejantesa las lfneas del campo eléctrico del dipolo, figura 23-12.IA espira de corriente forma un dipolo magnético, cuya intensidadse caracte¡izamedianteel momentodipolar magnético,¡t. (Véasecapítulo 29, donde estudiamoslarespuesfade esa espiraa un campo externo).En lugar del momento dipolar : dL,para el campoeléctricode un dipolo eléctrico,llegamosa la cantidad eléctrico,p

\l

\

\t

\ \I \----,\ \_\,

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-.._-ji

---'7 /

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(\ / tt

FIGURA 30-28 (a) Lmas rlc cantt magnótico para rnra cspira cir.-u-a:* corientc, indicadas ¡nr lh;a,i::2. :: ---:.(b) Ul campo dc csa csi:¡" is'r. ,1¡--.:.: diDolarm¿cnéiico

deunacspiracirculardc corricr¡tcüor¡cnla mis¡nafor¡na FIGITRA30-29,(a)bs líncasdcl cam¡nmagrrólico quolasdo cam¡nrnagniticodc (b) un solcnoidc,y dc (c) rurirnánrccto.

a-

lJ,' Ia oual se cletlne como

p = I nR 2 paraunaespi ráci rcul a¡decorri ente:

(30-25)

El carnpotnagnéticoséve en la figura30-28.A unadistanciad, lejosde la espira,la a lo largodel ejees magnituddel cam¡;ornagnético a lo largo del eje:

u=*#

De hecho, par^.toda espira cerrada de área á, que tenga una coniente d hayun resultado.,análogo:El carnpo magnético dectece en función de Ué a grandes distancias,y .la intensidad del campo se caracterizapor el momento dipolar, mds general, expresadopot el ptoducto de la cottiente en la espita, por el rireade la mism¿: llfomento dipolar magnótico.l,os dipolosmagnéticosseforman debidoa espiresde corriente.

tt:

IA .

La dirección del campo quedadeterminadasi formamos un vector p con p. Parato
2 No sc dclrc confi¡ndir con la ¡x:rmcabitidaddcl cspacio vacio, po.

s9{

(30-2i1

a I o fr o o o o o a o o o o o o o o ¡ o o ol .l ol ol o o o o o O o o o O o o o o o o o a o o a

o o o o o o o o o a o O o o o o o o o o o o O o o o o o o o o o o o o O o o o o o o a o o o

895

30-5 LA coRRTENTEDE DESpTAzAMIENToDE MAxst¡ELL 3G5

dc dc5pl^z-n¡cn¡6 dcMandl

Ia comlente

En estasecciónveremos que hay una falla lógica en la ley de Ampére cuando hay temporal de la corriente,y presentaremosla modificación que propuso dependencia Clerk Maxwell en 1865, que elimina esa falla. Esta modificación fue clave James parael establecimiento de la teorla unificadade electricidady magnetismo,que se en el capítulo35. En circuitoscon capacitores,podemostenercorrientes describirá quellevencargasa las placasdel capacitor,y terminen alll. En el capltulo 28, virnosquelascortientesen los circuitos RC puedendependerdel tiempo. Cuandopasan a un capacitor,la cargase acumulay, por último, Ia corrienteque tmjo lascorrientes la carga,debedectecer.Esto coincide con la conservaciónde carga,que es una ley de la naturaleza.Si no hay acumulaciónde cargaen algúnlugar,entonces fundamental lascortientesdeben ser estables,porque una carga debe salir de una región, sin irnportarsu tamaño, a la misma velocidad con la que entra. l,a ley de Ampére se aplica integrandoen una trayectoriacerrada.El lado derecho dcln ecuaciónde esta ley, la (30- l0), contienelo que llamamoscorrienteencerrada pof una trayectoria. Con "corrie¡rte encerrada por una trayectoria" indicamos la rapidezde flujo de carga a través de una superficie, cuyo límite es la trayectoria cenada.Esa superficie puede seleccionarsede muchas maneras distintas (figura 30-30),pero cuando la corriente es continua, la corriente que cruzo cualquiera de Distintas su¡rcrficics dcl'irú
FIGURA 30-31 Dos sr¡rcrficic.s acolad.Ls¡nr ia ;;-s:: lravesdc la srrpcrficieI pasarma corricntc,fic:. :.: i i=1

-_-

- l.:

:-: =:r

::al :'

-

896

---..,

.

c-apíruto.l0" fióaúi.lór, y proplcdadcs dc loa carupor rnagnótlcos

+q. Podemosemplear los resultadosde los capltulos23 y 26,que el campo, E de ese capacitor es uniforme entre las placas,y pequeñofuera de ellas. El se dirige "u-po de la placa con carga positiva, en la cual se acumula la carga, a la placá "or "ur!u negativa' El flujo eléctrico relacionado con una superficie que pasa entre las placas, Q¿, esl entonces,tan sólo EA.La magnitud del campo eléctrico es E (rlEdel,4). Como Q¿ : EA e¡este caso,esteresultadoequiv,,le a

(30-28)

eo0e : QSi detivamos con respecto al tiempo, llegamos a 1,,ecr¡ación

dO" " d¡

€^ -----:

TIGURA 30-32 Cam¡rc clóctrico cntrc do6 placas paralclas con ce¡gas +q y -q, rcspcctivamcnto, Es uniformc, y ¡r4ucño fucra do la rcgión cnhc las placas.

:

da

/10_?a)

--1:

d¡

Est¿ ecuación implica que sea cual sea el valor de la corriente que pasapor el conductor que llega al capacitor,esa corriente es igual a la cantidaclq dó¿ idrentre las placas.Por consiguiente,,si remplazamosa 1en la ley de Ampére, pot Ia suma de los dos términosde la ecuación(30-29), I

'* 'o* '

la ley de Ampere quedaríasatisfechaparc cuolquiersuperficieque pudieramos defrnir,parala trayectoriade la figura 30-31.Parala superficie1, tan sóloseaplica el términolenesta suma,mientrasqueparala su¡re¡fisis2, sóloseaplicael término del flujo va¡iable.Este segundotérmino, ee de¡,/dr, se escribede modo que no dependa explícitamente dela geometriaplana.En realiclad, Maxwellpudodemostra¡ que si se empleaia sumade esosdos términos,cualciuiersuperficieda el mismo resultadoen Ia ley de Ampere.Ai términodel flujo va¡iable'lollamó Maxwell la corrientede desplazamiento, /¿: _ lr:

L¡ corriente de desplazamiento

L¡ sum¡ de l¡ corriente normnl y la corriente de desplezamiento,en un circuito cerr¡do, no cambia.

Ley de Am¡Ért generelizedl. Sr eplicerun cuendol¡s corrientes v¡rien ¡ tr¡vés del tiempo,

d(D" €o ¿i

(30-30)

Nóteseque la coriente de desplazamiento sólo se presentacuandohay conientes variables;una corrienteverdaderamente continuanopuedeimplicarflujo "ambiunt.. Perocualquiercorrientecjueentraa un capacitordebese va¡iable.por ejemilo,la corrientedisminuyea medidaquesecarganlasplacasdel capacitor,hastaquellegan a la saturación, en cuyomomentola conientecesa.. Aun cuandola corrienteno seacontinuacuandose tienencapacitores,la sunn de ln corrienteordinaria y la corrientede desplazanúcn¡s, escontinua. Maxwell generalizóla ecuaciónde la ley de Ampérecomosigue:

$

B .ds = ¡ro(1+ /J = ¡rof* po.o *.

(30 - 3 1 )

En este caso,la superfrciea través de la cual pasala cantidad cuyo valor es la suma de I e I¿, es cualquier superficie que abarquela trayectoria cerradaa 1o largo de la cual se integre el carnpómagnético. El que un flujo elécuico variable produzca un campo magrético, es de graa importancia para las ondas electromagnéticas, como veremos en el capitulo 35. Sil embargo, como demuestra el ejbmplo 30-7, tiene müy poco efecto práctico e: cualquiet otro caso. Esto se debe a que la rapidez de cambio del flujo eléct¡ico col respecto al tiempo debe ser muy gtande para producir un carnpo magnético aprecia. ble. En las condiciones de laboratorio, el efecto de las corrientes es mucho nnis importante que el efecto de los campos eléctricos variables.

o t o a o o o o o o o o a a o o o o t o o t o o o o o a o o o o o o, o oi rt a o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

Trayrctoria circular

8g-

C, dc radio |R 3{F5

FIGURA 30-33 Ejcmplo 3O-7.[-a si¡netría h¿ce quc el valor dcl campo magnético sca igrul cn culquicr lugar dc la traycctoria C.

E J E M P L O 30-7 Se están cargandolas placascircularesplanas de un capacitor.En cierto momento, la carga se acumula a razónde 1 c/s. Las placastienen radioR : 0.I m, y una separación d: 1 cm. Calculeel campomagnéticodebido a la corrientede desplaza.miento, en el punto medio entre las placas,a un radio iguala la mi ta d d e l ra d i o d e l a s p l a c a s . SOLUCION: como las placasson circula¡es,la simetna indica que el valor del campomagnéticoes igual en todo punto de la trayectoriac, que es un cfrculo con centroen el eje de las placas,y cuyo radio es Rl2 (figura 30-33).l-a integral delineaen Ia ley de Ampére,se calculaen el sentidoque se indica.como B tiene magnitudconstanteen esa trayectoria,y se dirige a lo largo de ella, podemos eliminadade la integral.Lo que restade la integral es la ci¡cunferenciade la trayectoria,2r(Rl2):

fu .u ,:rfa,=r ( z " f) Paracalcularla corrientede desplazamiento, notaremosque, en términosde la catFaq sobre las placas, el campo eléctrico es constante,y tiene la magnitud expresada por n :t

q

. eo n17'

Ahora debemos calcular el flujo eléctrico a través del área delimitada por la ttayectoriac, y rro el flujo eléctrico total del capacitor.El flujo a travésde c es Emultiplicado por el árean(R!2)2.

a':

la

/R \2

^fu^\t) Así, la corriente de desplazamiento es

:

I

4,oq'

=-"\4t, : i 9.9 r¿= (o1,*" /,(: 1q) " dr dt 4 ú'

f Podemos calcularla magnitudde ^Bconla ecuación(30-3l):

B ZnR:u^l,:l')ls 2 4 ú',

Ia cordcnts

dc desplaz¡mtento dcMexweII

t

s,)8

ctllolrccs,

R- IP I

(ipítu.lo

lO Pr
+7t

a o o t o o t o o o o o o o o o o o O o o o o o o o O o o o o O o o a o

cJq

R -¿¡'

Numéricamente,dq/d/ - 1 C/s =.1 A, y /f :0. 1m. Asl que

B

-

4n * ' l ()-' N /42 _____ I A) : 1s a 1. 4;_ O.ii,i(l

En verdad se trata de un cattrpo pequeño.

-

30-6

rRoBLEMAS DE coNSISTrjN.rIA: DErtrNDINCIA

DE FUERZAS SEGU]\ EL IVIARCO DI: IiI]FIIRENCIA TI]RCtrRA LEY DE NEWTON

Y I-¡\

Ahora sabcmosqlle ulla carga en nlovilniento procluceun campo magnético,y que un campo magnéticoproduceuna ñ¡erzasobreuna cargaen movilnietrto.Si cotnbique ejetcendos cargas namosestosdosconceptosparacalcularlas fuerzastnagrréticas sorprendentes. Esascotren movitniento entre sí, lleganrosa algunasconclrrsiotres clusionesresultanser los pilaresde la teoríaes¡recialclcla relatividad.Paraestudia¡los, primero debetnosexpresarel campomagnéticoquc ptocluceuna cargaúnica en tn o v i l n i c n l o . Camyro rnagnético dcbivi¡nic¡rto produci dopor P o d c rn o sp a rti rc l el a l e1' deB i ot-S avarty l l egaral catr,potn:rgl réti co alatnbre, quc corriente 1,contiene dc cotrduce una q. elenrento cll, Un única, una carga cargasen movinrietrto.Cot¡:oI : dqldr,el ténnino I dl de la ley de Biot-Sava¡ttiene la forma ldf = (dqldt)d{ = dq(dt ld¡) - dq\,.En estecaso,la cargainfinitesimal,dq, es la cargaaisladaq. CuandosustituinrosI dt = qt i'tr ll ley de Blot-Savart,ecuación (30-19),detenninarnosel campo nagnético, B, en un l)unta P ubícadoa un despla' zamientor dc una carga q que se nueve con velocidorlv: ou-''-/tngvXr

l?o-1?\

av El campomagnéticofonna círculosalrededorde v en los planosperpendiculares (figura 30-34). Fuerzas magnéticas entrc dos cargas cu mc vimicnto Las fuerzasmagnéticasdependende la velocidarllsu tlireccióny magnitud,a la vez, dependende la velocidad de la carga sobrela cual rrctúatr.Son distintasde las fuerzas de fricción, como la resistenciade un paracaid¿r, clue puede depender en forma

¡t

!

..t

I

o I o

Fl:t-R.\ 30-3J t:na cargaq sc ¡ntrcvccon velocidadv. El canpo Íraglótico .';itul¡x alrc
O ,{_

t

o

I I

o o o o o o o o O

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

6,D

de la velocidad, pero que, de hecho, representaun promedio generalde aproximada unadiversidadde fuerzas que actuan sobre un cuerpo en movimiento, desacelerándolo.La diferenciaestribaen la naturalezafundamentalde la ley de fuerzamagnética' (29-l). Esa dependenciatespectoa la velocidad es lo que indujo a Einstein ecuación la teorfa especialde la relatividad. a desa¡rollar Usemosel campo magnético de una carga en movimiento, ecuación (30-32), juntoconla ley de la fuerza magnética,pam determinaf la fuerza magnéticaentredos enmovimiento, q¡ y q2.Supongamosque las catgasse muevencon velocidades cgrgas v¡ ) v2,tespectivamente.El vector desplazamientode la carga2 a la carga I es r21,y eldela carga I a la carga 2 es r¡2; rt2: -Ízt, y ambos tienen magnifud d' Paradeterminarla fuerza magnética, F¡ : qrvr x B, sobre la carga q¡, Primero el campo magnético, B,2,debido d Q2,eft el lugar de q1.De acue¡do con calculamos (30-32), lnecuación Q zvz' \ rzt B r: P . ltL

demodoque

F.r :

Fo

3Gó

Prcblm&osl¡teir & frrcra dcpcn&mfr scgúnclumdc rcfmteYle tcrcm lcy & lfcrton

U

vlX(v2X r2l ) d3

(30-33a)

la fuerzasobreq2 es Igualmente,

(3 0 -3 3 b )

,i r. A

e It n ¡-

z)

estasecuaciones,)' comparamossus resultadosen algunoscasosespeSiaplicamos sencillos,llegaremosa ¡esultadossorprendentes. ciales

Lasfucrzas magnéticas Par'eccn de¡rcnder dcl marco d. t f.r.r,.i" aplicaremoslas ecuaciones(30-33) al casode dos cargasdel mismo signo' Prime¡o semuevena una velocidadu a lo largo de la dirección+.r (fiSura30-35a).El Anrbas debido q2en la posición de q1,se dirige hacia afuerade la campomagnético,82, ^ que el campo magnético, B¡, debido a (1, ett la posición de q2, se mientras página, dirigehacia la página. Las fuerzas magnéticas se calculan con la ley de fueza de o directamentecon las ecuaciones(30-33),figura 30-35b.Son iguales,pero Lorentz, y se atraenentresf, o se repelen,si las cargastienensignoscontrarios,y su opuestas, es magnitud ¿'2 lto t-a: 4nQ úz ¿ 2 .

)2,

as na

(30-34)

ql

. ffi*,

Ir:

¿ o+ f

: ' f f i+ v l t,

Tambiénhay una fuerza eléctrica entre las cargas, y su magnitud es

-!-g* . F,: "

4 n €o d"

ql

@*"

(3 0 -3 5 )

I

lt '

L¿sconstarrteset y Fo se relacionan de acuerdo con la ecuación (30-4), con la de la luz, c, así que velocidad

X:trffi:rlo€o":5

q2

(a)

t

Tn, I

(30-36)

esinsignificante, quev seade la mismamagnitudquec, la fuerzamagnética Amenos con la fuerzaeléctrica.Como sabemos,la velocidadde la luz es encomparación grande(c-3xl08m/s). En mecánica,establecimosel principio que no hay expedmentoque pueda un marco de referenciaabsolutoen reposo.Lo que es igual, no hay determinar quenospermitadistinguirentreun mafcodereferenciaenmovimiento experimento de otro. Esto es lo que sellamaprincipiode relatividad.Por ejemplo,si uniforme,

@ + _v . q2

(b) FIGIJRA 30-35 Dos cargas,cada t¡n¡ ccn vclocidad v, quc se mrrcvcn cn dircccior':.-: scparadasurn distancia d. (a) Campo magnótico on cada carga, dcbido a l¡ :.carga que sc mucvc. @) Fucrza sc5carga, debida al campo magrrirc.. dc l¡-¿¡urL;¡ carga.

o o o a o a

observarnos la trayectoria de una pelota que searro-'e, no se puede decir si ia plataforma desde la cual la arroja es estacionaria,o ;i se mueve con velociCad constante. La aplicaeión del prhcipio de relatividad a h r fue zas nragnéticasque calculamos arriba nos conduce a,dificultades. Podriarr.rs'imaginar que carnbiamos los mafcos jnerciales de referencia y que; moviéndorros con las dos ca-rgas,hacemos el marco en el cual lirs dos cargasestár en reposo.En nuestras.observacionesdesde este marco no habrá catnposmagriéticosy, por lo latltc),no habrá fuerzas debidasa parezca.n ser iguales.Si no campos magnéticos,aun cuando las fuerzas"eléclricas hubieralnás efectodependientedel matco de referenci,\,seviolarla elprincipio de la relatividad, porque la fuerza total dependerlade si estamosen movimiento o no. Si deseamossalvat al principio de la relatividad (lc, cual fue el punto de partida de Einstein,y lo cual confinnan los experimentos),se debehacet algunamodificación a las leyes que hemos desarrollado hasta ahora. Óebemos solicitar qve cuando camb¡emos los marcos inerciales de refcrencia, se "mezclen" Ios campos eléctrico y magndtico de tal fonna que la aceleraciónobservablede las cargasno se afecte.El ténnino'lnezclen" (decimosque los catnposs¿ tronsformen entre cllos) quiere decir que una combinaciónde camposeléctricoy magn.tico en un marco de referenciasea una combinacióndistinta en otro marco. Asf, un carnl)opuramenteeléctricoetr cl marco en.elcual las c rrgasse encuentrenen reposodebetransformafseenuna mezcla de campos magnético y eléctrico en el matco de ¡efercncia en ei cual las cargasse mueven.Como indicaltuestrocálculode la magnitudrelativade las fuerzaseléctrica y magnética,sólo cuando la velocidad con la cual sc mueven las cargases del tnismo orden de magnifud que la veiocidad de la iuz, los efectos de tnezclado tienctr consecuenciasfísicas importantes, En este caso, es necesario una modificació¡t grande de los campos eléctrico y rnagnético.Muchas aplicacionesl'nodernasel¡ investigaciónde materialesy en tnedicina empleanpartÍculascargadasen lnovimielrto rápido, de modo que esasniodificacionestienen irn¡rortanciatanto tecnológicaoln'r

I

o o o o o o o o o t

o o a o o o o o o o a

cientffica. Fracaso dc ia tcrceta lcy dc Nswton

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@* r ,:

llr I I

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FIGI-I'Rr\ 30-36 Dos cargassc I¡rt¡cvc¡ra la lclocidad v cn ol plnno do [n piiginl, cn las :::tccioncs indicadas.Estrinscparadas,cn :,:l:¡li¡¿do instantc, por ura distancia d. l:: h:y c¿mpo magrrético dcbido a qt, en cl "-;:; de q,, pcro sí hay cnmpomagnótico :r;ríc a g,, cn cl lugar de 4t, Por :,:rs;¡-;iente,h¿y una fucza magnólica,Fr, pcro no la hay sobroqt. :.: r:: -_'-. -t'¡_l

Una segunda aplibaciórt de las ecuaciorres(30 13) tlos conduce a conclusiones igualment'einteresantes.Süpongamosque, en luga,'de tloverse en dirección paralel.r entre sl, las dos cargasse mueven'en determinado ángulo, como en la figura 30-3t. por u¡a distnacia d, en el Siguen estando en el plano de la página, y sep¿rradas Ii1, debido a {1, €11la posiciórr momento que las exalniiramos.El catnpomagnél',-'o, de q2,se ditige hacia la página, pero no hay camp , 82 debido a qz en la posición d' q1, En otras palabras,hay una fuerza F2 sobre q1 debida a q-l' Pero no hayÍuerz'l magnótica,Fr,dcbida a q2. En este caso,fracasa Ia terccra ley de Newt,'n. Vimos en el capltulo 8, queh terceraley de Newton en mecánica,equivale a l;r collservaciónde la cantidadd.' movimiento. En el capftulo 35 veremos que cuando hrry presentesa la vez campos eléctricos y magnéticos, la coinbitración de es()s car rpos transporta cantidad dc movimiento.Como hizo notar nuestradescripciórrantcriordel principio de la relati' vidad, el único marco de referencia en el cual ambos carnpostro están presenteses aquel en el cual todas las cargas es!ánetr rePoso,y en estemarco tro hay probleml con la tercera ley. Asf , en todos los tnarcos en los que está en peligro la tercerale;, de Newton, los campos electromagnéticostranspodat cantidad de tnovimientc Aunque, por el monerrto, no podetnosdemostrarloen detalle, la conservaciónde!': cantidad de movinúentocontinúa siendo vrílida cuandose tiene en cuenta Ia cantidc.: de movimiento que transportan los cantpos.Respectoal ptincipio de relatividad,esa: consideracionestambién estánrelacionadasfntimatnentecon la telatividad especiai La conservaciónde la cantidadde movimiento, y no la tetceraley de Newton,e, el fundamenio de lar leyes de la física'

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o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

conienteseléctricaso, lo que es lo mismo, las catgasen movimiento, ftoducen magnéticos. Las lfneas de campo magnético alrededor de un alambre largo tectoqueconduceuna coffiente constanteforman cfuculoscon centfo en el alambre, el planoperpendiculara é1.La dirección de las líneas del campo en esoscltculos cuandoel pulgar de la mano derechaapuntaen dirección de la cordente; determina demásdedosse doblan en dirección del campo magnético. La magnitud de éste unadistanciaradial r del alambre es

B=

llol

2nr

( 30- s)

definida, lto= 4n x 10-7T . m/A es la permeabilidaddel espaciovacfo. constrante los camposmagnéticos producidos por corrientes invariablessiguen la ley de Ampéte:

$ n'a.

: ro/m"*,r".

( 30-r 0)

Enestaecuación,la integralde llnea sigue cualquiertrayectoriacertadaa travésde cualpasala corriente /"r.*d". Una segundaley que obedeceel campo magnético originapor la ausenciade equivalentesmagnéticosde la cargaeléctrica.Como no haycargasmagnéticasen las cualesinicien o terminenlas lineasdel campo magnético.esasll¡eas se deben cerrar en sl mismas. Este hecho lo expresala ley de Gauss parael magnetismo:

r,

paraunasuperficiecerrada:ou : ff B . dA : 0

(30-r2)

'Esta ley estableceque el flujo magnético,ó¿, a t¡avésde cualquiersuperficiecerrada, escero;en forma equivalente,el número de lfneasde campo magnético que entran a unasuperficiecerradaes la misma que el número de llneas que salen de ella. l,a ley de Ampére es una herramienta práctica importante para determinar los magnéticoscuando hay la simetrla suficiente para permitir seleccionaruna en la cual se simplifique la integtal, como por ejemplo, en la determinación lrayectoria ,delcampo interior de un solenoide largo. Un solenoide es un alambre devanado úliformemente en una bobina, formando un tubo. Cuando pasa la corriente, se produceun cafi¡po magnético dentro del tubo, tiene magnitud constante, y eslá con el eje del tubo. La magnitud de ese campo interior es alineado g:

¡ t ot r l,

(3 0 -1 s )

'enla cual,r¡es el númerode espirasde alambrepor unidadde longituddel solenoide. Comosu campo magnéticointerior es constante,un solenoidees en el magnetismo loqueun capacitor es en la electricidad. Cuandono hay simetrla suficiente para permitir el empleo de la ley de Ampére paradeterminar el campo magnético producido por una configuración dada de se puedeemplea¡'ensu lugar la ley de Biot-Savart.Segúnesaley, el campo conientes, magnético,dB, ptoducido por un segmento,d/ de alambre, que lleva una corriente, d situadoa un desplazamiento,r, es

dB :&

4n

Idtxr r-1

(30-1e)

El campo magnético debido a un segmento infinitesimal se puede integrar para el campo magnético neto debido a un segmento finito de alambre. Un que se relaciona en forma estrechaes el campo magnético de una carga lca en movtmtento,

B:ln4l'-l 4n r''

(30-32)

o 902 Capítul', .i0 Pr.o
en la cual,.4 es el áreadc la espira. Si las iorrientes no son constantes,como ,ruandolos ala¡nbtesse intemrmpen por placasde capacilor, enloncesuna superficic que abarqueuna trayectoriacerrada podda no cruzar el alambre que pucde cruzar gtra supedicie, y el concepto de la corriente encemadapot una trayectoria se vuel ¡e.ambiguo. Esta ambigriedadla remedia la modificaciónde Maxwell de la le¡, de \mpére, l)araquedar

: ^( t]. ds

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¡to(l+ I) :

¡t¡l+ ¡,ouo'lt! ot

(30-3 r)

La cantidad1¿,proporcionala la rapidezde canrbiodel fluj,, eléctrico,se conocecomo corrientede desplazamientode Max*'ell. La superficiea travésde la cual pasala suma de I y de I¿ es cualquieraque abarquela trayectoriacerradade integraciórr. l,os campos eléctrico y magnético se transforman entre si cuando se ap¡ecian desdc distintos tnarcos de referencia,rcsultadoque es fund¡imeiltalen la teorfa es¡>ccialdc Ia relativiclad.La lcrcera lcy dc Ncwtorr no se ;rplicn a las fuerzas magnéticas,aun cuando sigue siendo vrilicla la conservaciónde la cantidadde movitniento, cuando se incluye la cantidad cie movimiento en los carnposelectromagrréticos,

PREGIINTAS l. Unabrujula.se mu( vecercadeu¡ralambrerectoqueconduce unacorrientc.¿Qrróoricntacióntomala bnijula en diversos lugaresal¡edeclor dcl al;rmbrt? Un campomagnéticoalrederlorde una corrientese oric¡rta segúnunareglade la manoderecha.¿Quieredecirestoque la derechatienealgiin signiftcadointrlnsecóen la física,o prefiereun ladorespectoa otro?_ sea,quela naturaleza

3. En la definiciónclelampere,¿inrportala longitudde los dos paralelos? conductores 4 . Un alambrese conectaa una baterla,y se colocaentrelos polosdeun électroimán de nresá,sin corri¿nte(vóasefigura 30-15a).Cuandose cierra el intem:ptor de corriente,el puedesaltarhaciaaniba,o no,dependiendo decon alambre quéterminalesde la baterlaseconectael electroimán. ¿Por qué? fueradeun solenoiderectoespequeño, 5, El campomagnético perono escero,mientrasqueel c,ampo extemoa un solenoicero.¿Porqué? de toroidalesexactamente 6. En la deirnicióndel ampere,¿tenemosquepreocupamosde lasfuerzasdeCoulo¡nbentrelascargasdelosdosalambres? 7. ¿Porqué la ley de Biot y Savartestáexpresada en forma diferencial?Expliqubpor quéno sepuedefoimularcombla (30-19),perosinlossignosdiferenciales. ecuación

o a a o o

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i l :l A ,

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[,a aplicaciónclela ley de Biot-Savart demr¡estraque el campo magnéticodebido a un ailillo de corriéntc, o el óimpo extcrior de un solenoide de longitud finita, es un ca.tnpo:magliéticodipolar, cuya forma es la misma que la de un im¿in recto, o, igualmeñte; tiene la misma form4 que el cam¡ro eléct¡ico exterior que produce un dipolo eléctrico.La espirade corrientefonna un dipolo magnético,que se caracteriza por uh'moménto iipolar magnético, p, alineldo en dirección perpendicular a la superficie de la es1ira, según la regla de la man,r derecha,Su magnitud es

tl. ¿Porqug es preferibledeiutir la coniente en términosdela fuerzaentredosalatrbreslargosy paralelos,en lugardeen términosdela rapidezala cualpasala cargapor un punto? 9. ¿Seráposibleanegla'run conjuntode corrienteeléctricas ¡' producirun campomagnéticoque,a grandesdistancias cie. aparatoresponsable, estédirigidoradialmente, entodoputo, alejándose del aparato?Tieneustedlibertadde escoge: los aparatos,.y., cn su caso, ofrezcauna pruebaquee. irnposible,o clescriba el aparato. I 0. Supongaqueel espacioentrelasplacasdel capacitorques describióc¡ la sección30-6no estávaélo,sinollenocon¡. dieléctrico. el tratamiento enesaseccic: ¿Cómocambia¡fan y la determinacjón de la corrientede-despazamiento? ll. Supongaque se (lescubrieran cargasmagnéticas.¿Cuá.s scrfanalgunasconsecuencias prácticas? 12.. ¿Cuáles sonlasunidadesde la relaciónEIB enel SI, sl::r E un campoeléctrico,y B un campomagnético? 13. Cuandodos imanesrectosse colocanlado a ladc, r : atraeno (b) sere¡:rfen,si lospolosadyacentes son(a)c;;. tos,o (b) iguales.Si trazaustedllneasde campornaF.t::: parala conrbianció¡r dedosimanesenamboscasos,e.;=.:r: magnéticonetoentrelos imanestenderáa (a) a;r';la:.:: (b) multiplicarse por dos?¿Quéconclusiones pu::: -::: sacar?

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o o o o o o o o o o

PROBLEMAS 30-l

l. (l) ¿Cuáles la fuerza, por metro, entre dos alambres largos y paralelos,cuando por cada uno pasan 10.0A en di¡ecciones opuestas,si los dos están a üna distancia de 2.0 cm? 2. (l) Determine las dimensionresde ¡io y %, y, con su lenguaje, demuestreque el producto ¡toq, tiene las dimensiones de (l/velocidad)'.Calcule el valor de esavelocidad en unidades delSI: 3. (l) Un cable coaxial consta de un alambre central que lleva unaconiente I hacia la derecha,y un tubo centrado en ese alambre,que conducela misma corriente,hacia la izquierda. Determineel campo magnético fuera del cable.

O

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

I*y de Ampére

10. (II)

Una corriente uniforme, cuya densidad lineal es h Nm, pasa paralela al eje z en un cascarón cillnd¡ico de radio R. ¿Cuál es el campo magnético fuera y dentro del casca¡ón?

11. (II) Por el cilindro interior de un cable coaxial pasa una corriente hacia abajo, y regresa por el cilindro exterior (figura 30-37). El radio del cilindro interior es 0.5 ctn, y el del cascaróncilfndrico exterior es 0.8 cm. Calcule el campo magnético en la superficie cilfndrica, en un punto intermedio (a medio camino) entre las superficies interior y exterior, cuando la corriente sea 5 A. No tenea en cuenta efectos en los extremos.

4. 0I) (a) En un alambre gruesoy ¡ecto, que lleva una corriente uniformeen su sección transversal, ¿dónde es máximo el carnpomagnético? (b) Si el radio del alambre es R y la conientees | ¿cuál es el valo¡ del campo magnético máximo? (c) ¿Cuál es el campo magnético mlnimo, y dónde se ubica?Tengaen cuentaregionestanto dent¡o como fuera del alambre.

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5. (lI) Haga una gráfica de las cun'as de campo magnético en el plano ry pa¡a valoresB,,?Bc,3Bo ' 4Bodel constante campoalrededorde un alambrerectoque conducecorriente a lo largo del eje z. Bo es cualquiervalor Cel campo que se de las superficies cscoja.Esascun'asson las intersecciones de campo constante,con el plano .g'.

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6, (lI) En un haz de electroneséstosse mueven a lo largo ciei eje+x, a la velocidad0.01c.Entra a uru región de 10 cm de longitud,y es paralelo a un alambre que conduce 0.50 A de coniente en di¡ección +¡. El haz está a I cm del conductor. (a) Especifiquela di¡ecciónhacia la cual sae desvíael ha z,si e s q ue lo hac e. ( b) Calc ule la des v iac i ó n d e l h a z al pasarpor la región de l0 cm, calculandoel impulso que recibedurante su breve estanciaen la región. (c). Después de haberpasadodel alambre, ¿tieneel haz la misma energía que tenla al entrar a la región donde estabael alanrbre? 7. (II) Una lámina metálica muy delgada,infinitamente larga, estáen el plano ry, entre ¡ - -w y x - w. En dirección x pasa una corriente de h Alm de densidad lineal. ¿Cuálesson la magnitudy dirección del campo magnéticb a una distancia ¿ <
¡) ,o ro o 'd

9. (II) Se tiene un alambre que pasapor el origen, y que va po¡ el eje z y lleva una corriellte /. (a) Calcule los componentes x y y del campo magnético en.un punto cuyas coordenadas son (x,¡0). (b) Con esteresultado,dete¡mine el campo magnético debido a dos conductoresparalelosal eje z, cruzando el plano ry en (a,0) y en (-a,0), y llevan una corriente / en di¡ección +¿. (c) ¿Cuiles son los campos cuando las corrientes tienen di¡eccionesopuestas?Haga un esquemade las llneas de campo magnético para esos dos casos.

cl l l

8 crn

'

FIGIIRA30-37

P¡oblcma 11.

12. (II) Dos conductores largosy paralelos,que conducen una corriente/ en la mismadirección,tienendensidadde masa,1.Los conductoresestán,inicialmente,a una distanciaD enlresf, y a continuaciónse sueltan.Deduzca una ecuaciónque describael movimientorelativode los alambres.No tengaen cuentafuerzasqueno seanla htetza magnéti ca. 30-2

lzy de Gausspara el casodel magnetismo

13. (D La figura(30-38)muestralaslfneasde campomagnético que emergende un polo de un imán recto;esas.llneasse asemejan a lasdel campoeléctricoque salende un ladode un dipoloeléctrico.Hagaun esquema delaslfneasdecampo magnéticoen la región del polo dentro del imán. Como comparación, hagaun esquema,también,de las lfneasde campoeléctricoen la partecentralde un dipolo eléctrico. Describalasdiferenciasentrelos dosesquemas.

+1 N

FIGURA 30-38Itoblcrna13. 3i:: :: :.:: : : vertical;junto a él se trazaun cuaCr¡i'- ---1! :,-:: :-:;.- :r- 11

14. (II) Un alambrelargo,portadorde co¡iie:::.

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a,y,z)* B(x,y,z)+ aABlAx,etcétera.Demuestreque la le1' de Gaussco¡rcluce a la condición(0B,l?x) + (d8,/d;) (dB" l0z): 0, en estelÍmite

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,tr | ri-],

I

IIGIJRA $-39 ltoblcma14.

'5.

mismoplanoqueel alamb¡e(figura30-39).Con lasdistancias indicadas,detenhineel flujo magnéticoa travésdel cuadrado. (II) Demuestre,empleandola ley de Oaussparael magnetismo,queun campomagnéticoquetengasólounacomponenter, debeserconstantecttanrlo varfe.x.

16.(tr) Demuestreque se satisfacela ley de Gar¡ssen'el cun¡rc magnéticodebidoa un alambrerectoquellevaunacorriente/ unapartede en direcciólr+z,paraun volumenquere¡nescnte un radior runcascaró¡t cilftxlricodc altura.lr,qrrc.vaya.des
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30-3 Solenoides 18. (I) Un solenoidede 1.5 cm de diánetro tiene 60 cm ie longitud y estáformadopor 450 vueltasdé alambre.¿ü:a-l esel campomagnéticoen el centrodel solenoide, cuandola corrienteen la bobinaes5 A? 19. (I) Un solenoidesuperconductor largose devanacon alambrc fino de niobio,dc ¡nodoque hay 3 x 104vueltas/m.Si una fuentede corrienteproduce50 A0, ¿cuáles el campo dentrodelsolenoide? magnético 20. (II) Se necesitaun campomagnéticoen un volunrenciiíndricode 2 cr¡lde iadio y 10cm de longitud.Tieneusted300 m de alambreaisladode 1 mm de diárnetro,y unafuentede po
l'IGllRA 3042 Problcma21.

)', (II) Demuestreque el flujo magnéticoa travésde un sole16. FIGURA3040 Problcma

!

a 17. (ID Apliquela ley de Gaussparael casodeimagnetismo, de ladosa, by^c,unade cuyasesquinas un paralelepfpedo quelasdiestéen el punto(¿¡z) (figura30-41)'Suponga x, ) y z, que'sortlas.deo, D y mersionesen las direcciones pequeñascomo para.queB(x + c, son.lo suficientemente

FIGURA3O4l

:.1+

por i: noide cilíndricoideal de radio R estáexpresado deweltas. fórmulaó o: p¡lnR},en la cual,n esla densidad de longitud. o espirasiunidad )a

Conside¡eun solonoidetoroidal colt seccióntransvena; cuadraday cadalado de longitudl. La paredinteriordei toroidefonnaun cilindrode radioR. El toroideestádeva' y a traves de, conNvueltasdealambre nadounifomrernente total tnisnroflu1'eunacorrienteL ¿Cuálesel flujo magnótico a travésdel toroide?

30-4 I*y de Biot-Savart 24. (I) Dos alatnbreslargosse colocana lo largode los ejes.ti Conducenla mismacor¡iente,¿ h¿.:: ¿, respectivamente. a.: positivas. Calculeel canrpomagnético direcciones sus largodel ejex. i' 25. (II) Un segmentode alamb¡eformaunarectade longrtud y lleva una colriente I. Determineel campo matr.:::: a é1,qi;3;:-< enun planoperpendicula¡ debidoal segme¡lto, por un extremo. longitudinfinitay enformadeLse:;.¡: 26. 0I) Un alambrede que pasa una coniente,I a lo largoCeie-:' tal de fonna sealejadelmismoa lo la::: haciael origen,y después -"

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o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

ejer. ¿Cuál es el campo magnético en un punto del eje Z a una altura 11sobre el origen? 27. (lI) Se tiene un segmento recto de alambre, de longitud I., que lleva una corriente /. Con la ley de Biot-Savart, determine el campo magnético a lo largo del eje del alambre, nrás allá del extremo del mismo, debido a este segmento. 28. (ll) Una longitud diferencial, dL, de alambre que conduce una coniente de 10 A, está colocada en el origen de un sistemade coordenadas, y su di¡ección es la de +¡. Determine el campo magnético debido a este segmento en los siguientes lugares (¿y,z), expresados en centhnet¡os: (a) (0,0,5),(b) (0,5,0), (c) (5,0,0), y (d) (5,0,5). Presentetanto magnitud como di¡ección del campo magrrético. 19.(II) Se tiene un anillo delgado dieléctrico de 2 cm de diámetro que gira al¡ededor de un vástago perpendicular al plano del anillo, y que pasa por su centro, a 25O rev/s. Suponga queel anillo tiene carga uniforme y ca¡ga total 10-5C. ¿Cuál es el campo magnético que la carga rotatoria produce al centrodel anillo? 10.(lI) Repitalos cálculos del problema 29 pa¡a un disco macizo de 4 cm de diámetro, con la misma carga total. il. (II) Una espira de corriente forma un cuadrado de lados l. Por ella circula una corriente / en sentido contra¡io al de las manecillasdel reloj. Determine la di¡ección y magnitud del campomagnético al centro del cuadrado. Compárelas con el campo al centro de r.¡naespira circular, de diámetro l, que óonducela misma corriente. 2. (II) Se tiene el alambre que se muestra en la figrua 30-43. Calcule el campo magnético en el punto P, el centro del semicfrculode radio R, como fr¡nción de .Ry de la corriente /que conduce el alambre.

formandoun ángulorectoen el origen(figura30-*i, . P¡;:. pasaulvt corriente1en dirección-), quecontinúaen dtección +¡. ¿Cuál es el campo magnéticoen el punto i:,-r,). siendopositivastantor comoy? (II) Se tiene el alambreque se muestraen la figura 30-45, siendolos diámetrosinterior y exterior del semicfrculo,40 cm y ó0 cm, respectivamente. La corrienteen el alambrees 4 A. ¿Cuáles el campomagnéticoen el punto P, el centro de los semicfrculos?

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rl ' FIGURA30-45P¡oblcma 34.

35. (II) Calcule el campo magrréticoal centro de una bobina cuad¡adade alambrecon 20 vueltas,de 25 cm de longitud, y que lleva una corrientede 4 A. 36. (Ii) Una cug q se mueve a una velocidadi¡ntantáneav, cuandocruzael eje de un anillo de corrientecon momento dipolar magnético ¡.r. En ese instante, g se halla a una distanciad del centrodel anillo, en la di¡eccióndel vector momentodipolar magnético,y se mueve en direcciónper: pendicularal eje (figura 30-46). ¿Cuál es el movimiento i¡rstantáneoresultantede la carga?Determineel radio de curvaturainstantáneode esemovimiento. Dipolo rt¡agÉtico Espira dc corricntc

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-+ I

Ejc dcl dipolo n¡agnéüco

"t-1

F-tl-------1 FIGUR.A 3043 Problcrna 32. (II) Un alambre muy largo eslá alineado con los ejes +r y +y,

FIGURA30-46Pmblcma 36.

37. (II) Una espiracircular de corriente,de radio R, produceun campomagnético.¿A qué distancia,a lo largo del eje de la espira,tieneel campouna magrritudmitad de la correspondienteen el centrode la espira?¿A qué distanciase reduce la magnituddel campo a 1/100 del valor en el cent¡o? Expresesu respuestaen unidadesde R. 38. (II) Determineel campomagrréticoenel puntoP, dela figura

I

FICURA 30-44 Problcma33

FIGURÁ 3047 Problcrna38

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o 30-47,si pasaunacorrierrte de5 A enel alarnbre, delongitud infinita;el radioR del semicfrculoes5 cm. 39. Gn) Medianteintegración,determineel momentodipolar magnéticode un cascarónesféricode radio R qUetengauna gira cargatotalQ, distribuidauniformemente, si el cascarón con velocidadangular¿0,orientadaa lo largodel cje ¿. 40. (UI) Se tieneun tubo Inetálicolargo,de pare¿ldelgada,que conduceunacorrient'rtol;rlI distribuidauniformemente en la pared.Una sencillaaplicacióndela ley de Ampéreindiia queel campomagrético dentrodel tubo esóero'.Demuestre, medianteun argumentogeométricosencillo,queel mismo ¡esultadoes consecuencia de la ley de Biot-Savart.' 30-S La cotriente de ilesplazantientode Maxwell 41. (I) Se tieneel circuitoRC que se indicaen la figura 30-48. El intemrptorS se cierracuandoel tiempor= 0. Calculela corrientede desplazamiento en el capacitor.Despuésde un tiempolargo,en comparacióncon el productoRC, se abre de nuevoel intemtptor.¿Cuáles la conienlede desplazamientoen esemomento? R

r-'--k Tr r----{ tu--

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Problemasgenerales

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47. (ll)'Chlculela fue¡zapor unidadde áreaent¡edoslámi¡as t" mctálicasque conduzcanconientesidénticasen la m.isna *: dirección.La conieilé que pasapor las láminastieneun¡ densidadlineall¡ Alrn, cofno9n el problema7. i 4ll. (II) Dos corrientes iguales,I perodesentidoopuesto,r'iajan t , por el conducto¡interior y exteriorde un cable coaxiai. Como función de la distanciaal eje central,determineei campomagnético(a)dentrodel conductorinterior;'(b)enIa zona entre los conductores;(c) en el conductorexterio¡, tubular;(d) fueradel conductorexterior., 49. 0l) Un átomode hidrógenosepuededescribircomoformado porun electrónqu : describeunaórbitacircularalrededor de un protón.La fu'rza.que origina el mc,vimientoes la atracciónde Coulomr entreprotóny electrórr, cuyascargas tte,siendoe - 1.6x 10 ¡eC. Además, sont€, respectivamc el movimientoestár :stringidgpor el requisitoque el momentoangulartengr ¡r¡ valor de nhpru,siendon entero,)' h - 6.63x l0-31J. s, a constantedePlanck.Calculelamagnitudy direcciónclelcampornagnético enel lugardelprotón. ¿Cuálesel momentomagnéticode la espirade coniente? 50. (II) Calculela fuerzaentreel alambrelargo y recto,y la clecorrientequeseve en la figrua30-49, espirarectangular cUando lascorrientcs /r * 5 A, e Ir- 2 ¡.

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I'IGURA 30{8 Problcma41. 5 cr¡

42. (I) Un capacitor de placas paralelasse ca¡ga con una rapidez / - 1.5 A, I-as placastienen un áreade 0.@ m2, y est;ina una distanciade 3.0 cm. ¿Cuál es el valor OeJB'd/ para una trayectoria cerrada ql¡e pasa a media distancia entre las placas,y ql¡e cubra un áreade 1.0 x 10-2m2?

43. (II)

Comienza a pasar una coniente de 1 -pA en un circuito con un capacitor de 5 x 10-rl F, de 4 cm2 de área, cuando t = 0 s. (a) ¿Con qué rapidez cambia el voltaje entre las placas del capacitor,cuando r - 0 s? (b) Con el resultadode la parte' (a), calcule en forma expl{cita dAJü y la corriente de desplazamientocuando t = 0 s. {4. (lI) Un voltaje altemo, expresado Wr V = I/o cos(ot), se conectaa las placasde un capacitorC. ¿Cuáles la corrientc de desplazamientoen este capacitor?

{5.

*,, FIGURA3049 Problcma 50.

51. (II) En el ejemplo30-6 vimos que el campomagnético debidoa una espiraci¡cularde radio R, que conduceuru corriente1,sobreun puntoalejadounadistanciaddel centro de la espira,a lo largodeleje,es

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tD 2, ) 2\312' (¡\ T u )

(II) Entre las placas de un capacitor de 3-¡:F se aplica un voltaje Iz - I/¡ cos(
{6 . riII) Una esferaconductorade radio R, al principio, tiene una densidad sperfrcial de carga, oo. Cuando t = 0, la ca¡ga se comienza a apartar, durante un periodo fo, de tal manera que o = o ol1'- (tltil. Determine la corriente de desplazamiento e:i la superficie de la esfera,como función del tiempo.Com;are la corriente de desplazamiento con la corriente que :cnCuceel alamb¡e.

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FIGTJRA 30-50 Problc¡¡n 51.

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F---- Nt l - + / I ' ,

\=:--=----'-{l (.r)

cambia la distancia[ enrrc cl imán y la V cspira

I Sc cicrr¿ cl intcmrptor

Y

't t k l

CambiaIa oricnlnci
Cambia la rlista¡rcia cntrc las dos espiras

dc dos cspirns

I,'ICURA 3l-3 Maneras dc haccr va¡ia¡ el flrio rrugrÉtico a travcs dc rru aspira, y, cmr cllo, i¡¡ducir u¡ra conicntc/*. (a) Cambia la distancia cntrc un¿ csp¡ra dc alambrc y r.n imán rccto; sc indrrc ur¡a corricntc cn lucspira.(b) Sc cicrra lm intcrruptor para iniciar una corrientc en r-¡n¿cspira, y en la scgr-urda, ccrcana,sc induce uu corricnto.(c) Cambia la dislaJrciaentrc una cspira conductor¿dc corrien(c, y oFa cspira; sc inducc corricntc cnla scgundacspira. (d) Uru scgurd¿ espira gin hacia la cspira con corricnlc, y sc indw una corricntc cn la cspira. scgunda

fem,es un c¿mbio de potencial eléctrico; esto es, una integ¡al de hne¿ de urr campo eléctrico.En estecaso,nos interesala integral de línea siguiendouna hayectoria c€rrada:

n :$'' ds.

(31- I )

Estainteg¡al de linea, y, en realidad, cualquier integal de linea, debe incluir una especificacióndel sentido en el cual avanzamos por la línea (figura 31-4). El precisode la ley de Faraday de la inducción es enunciado

S:{

E'ds =

do" d¿

( 3r 2)

Enella, Q¿ es el flujo magnético a través de la superficie, .S,que abarcala espira:

.

o, : J J ,B .d A . tr I'

El circuito alrededot del cual se define la fuerza electtomotriz, la ecuación (3 1-1), debeacota¡ la superficie a través de la cual se calcula el flujo, y la orientación de Ia superficieestádeterminadapot la dirección de la integral de línea y por una regla de lamanoderecha.Esta última es como sigue: si los dedos de la mano derechase doblan endirección del circuito, el pulgar indica la dirección de la superficie para calcula¡ el flujo; esto es, la dirección del elemento de superficie, dA (figura 31.4). Es fundamentalel signo menos, en la ecuación (3 1-2), como veremos más adelante. Di¡ccción dc un clcmcnto dc su¡rcrficic rtücado por la espira

¡

Dirccción dc la intcgral cn la cspira

FIGLTRA 314 Cuando sc cor¡occla dirccción dc rccorrido por uru bobirn, la orientación de la superficic quc abarca la cspira qucda cspccificada por una rcgla dc la mano derccha. En cstc caso. most¡amos un vcctor único, A, para la supcrficic total, quc cs plana. Parauna st¡rrficic curva, laS dircccioncs dc las ¿i¡casinfinitcsimalcs, dA, varían de prmto a punto.

Ley de Feradey de la inducción

c)1 t Capi¡{b

31, 'L€i{dc Ferrürhy'

Í;,lit,l:v!r,. r+ iilr:' ¡ in ¡r,{ ii}i

pamiromagnótico ''

I co¡stantc B^ l¡ < 0) . ' 'f ,I

'

I I

IICUBAILS'Ejcrnplo 3 1-1.

E,'¡B ü'f L o 31-1 Un campomagnéticóconstante sólo tieneun componente Z,Bo,etlaregión;r< O,y es'cero.üundo¡t 0 (figura31-5).U.qi¡espitabúadrada metálica,conladosL, seorientaenel plano¡y, y s.gJiradeella a haves
ff

o, = JJ,B ' dA = BoJJ,d.a! BoLz, magnéticoa travésde la totalidadde la espira.No porquepasael mismo,campo cambia cuandoel tiempo es I < 0, de modo que no hay fuerza elechomot¡iz inducida,ni corriente. En el periodode tiempo enttet * 0 a I : Llu,la espiradeja una región de campomagnético,Por consiguiente,cambiael flujo. Sólo quedaen la región del campo,la parte de la espirapara la cual x - L - ut, En otraspalabtas, sólo quedaen el campoun áreá(L - uT)L,y @n: Bo(L- t)t)L, Esteflujo no escons[ante,y pam esteintervalode tiempo do" : - BouL. ¡i La fuerzaeleptromotrizalrededorde la espiraes igual a estevalor con signo negativo:E = +BoaL.Seinduceuna corriente , E .RR

BouL

(31 - 3 )

en sentidocontratioal de las manecillasdel reloj, en la espira,entref : 0 y t Qu.En esteperiodo,el valornuméricode la corrienteinducidaes

o o o o o o O a o o I o

o o o o o o o o o O o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o o

Se colocan un par de esas espiras, coaxialmente, a una distancia R, con lo cual forman una bobina de Helmholtz, para la cual, el campo magnético en cualquier lugar del interior es bastante constante (figura 30-50). (a) Determine el campomagnético en el eje, como función de r, y evalúelo en.r = 0, x = N4,y x * Rl2. (b) Demuestre que d8,/dr = 0, y dtB,ldf = 0 cuando * = l(2. 52. (II) Se tienen dos conductores paralelos a una distancia d= I cm, y por cada uno pasa una corriente 1 - I A. (a) Compare la ñ¡erza magnética entre esos conductores y la fuerza eléctrica que ejercerfan entre sf, si los portadores de corriente (electrones)no se neutralizaran por un fondo de cargas positivas. Como densidad lineal de portadores de carga, suponga que se tienen 1O2rpor cm. (b) ¿Qué exceso de electronespor unidad de longitud, ¡espectoal fondo positivo, harfa que la fuerza eléctrica fuera igual a la fuerza magnética entre los dos alambres? (c) ¿Qué fracción del númerototal de portadoresde cargaconstituyeel excesoque se calculó en la pafle (b)? 53. (II) Un alambre largo conduce una corriente 1,. Orientado radialmenterespecto a é1,se encuentraun segmento de un segundoalambre, que lleva una coffiente /r, que se aleja del primer alambre. El segmento tiene longitud L y su extÍemo más cercano se encuentra a una distancia d del primer alambre(figura 30-51). Calcule el par de giro, su di¡ección y magnitud, que actúa sobre el segmento de alambre, con respectoal eje definido por el conduclor largo.

54. (III) DeterminadadistribucióndecorrienteeiácincaF.-tu_.-: un campomagnéticoB - B(Jn- .rj) cercadel origen Ce'; sistemade coordenadas.Determinela dist¡ibución Ceccrrienteresponsablede esecarnpo. 55. (m) Cuentaustedcon unafuentedepodercapazde producir l0 W, pero limitadaa una corrientede 0.2 A. Tiene que construirun solenoidecilfndricode I cm de radioy 12 cm de longitud.Puedecontarsólo con 3 kg de cobre,pero,por suerte,encontróuna extrusorade alambreque le permite fabricaralambrede cualquierdiámetroquedesee.Explique cómo construir un solenoideque haga máximo el campo magnético,Calcule ese campo máximo y determinelos parámetros del devanadodel solenoide. Al calcularel campo, useel radiopromediode lasespirasen el solenoide. 56. (Iil) Un alambrelargoconduceuna corrienteI y estáformadopor unaparterecta,un semicfrculode radioR, y otra parterecta(figura 30-52).Deten'¡rine el campo¡nagnético en un puntoP, a unadistancia,x, de O, a lo largode un eje que pasapor el centrode curvaturadel semicirculo(punto O), y queseaperpendicular al alambre.

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Il

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:o na fo

FIGURA 30-51Prublcn¡a 53.

FIGURA 30-52 Problcnu5ó.

cAPr T ur , ol 3 L ,

Michael Faraday exponicndo una de sus célebrcs conferenciaspúblicas, en 1856. F,s,as confercnciasle granjearongran éxitopopuhr.

LEYDEFARADAY

En lo, capífulosanterioresmanejamosel conceptodel campo magnético,susfuentes y sus efectos sobre carSasen movimiento ;' corrientes eléctticas. Comenzamos a presentarindicios de la relación intima entre electricidady magnetismo.En este capltulo presentaremosuna ley física completamente nueva, la ley de Faraday. Establecequeün canlpo magnéticovariable,o, más precisamente,un flujo magnético variable, produce un ca¡npo eléct¡ico o, lo que es 1omismo, una fuerza electromagnética, siguiendouna trayectoria,La ley de Faradayrelaciona a los campos eléctrico y magnético,y predicela existenciade camposeléctricosque no se relacionancon fuerzas conservativas.Esta ley es un componentefundamenlal de nuestracompreny cómo se genefan.Adelnás,la ley de sión definitivade las ondaselectromagnéticas, Fataday tiene aplicacionestecnológicastrascendrrntes. Está en todo nucstro sistema de generación de energla eléctrica, y desempeñaun papel en la mayor parte de los artfculos electrónicosque usamos.

3].-t

Y MrcrraEl F^A,RADAY

I.A. INDUCCION MAGNETICA Un gran experirnentadot, a diferencia de uno competente, feconoce cuando una tateza, o medida inesperada,es verdaderamenteimportante. Admite la idea que u:l fenómeno inesperadono siempre representauna causapara regresar el apamto ai fabricante, para su repatación, y comprende que un efecto pequeño no siempre es eüor experimental.Tiene la persistencianecesatiapata perseguirel efecto, en foni3

y08

o o o o o o o o o O o o a o o o o o O o o o o o o o o o o o o o I o o o o o o o o o O

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o o o o o o o o o o o o O o o o o o o o o o o o o o o o o O o o o o o o o o o o o o o o o o

( L0 T)1r0.0x l0 'zm/s)(0. l0 m) :0.15 A.

I:

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0.065c)

3L-2 *r-rJc.Feredr¡dc[r iñ.t¡tláq

Cuandot > Uu,la espiraha salido de la región de campo constante,de modoque el flujo asumeun valor constanle,cero,y no hay ni fuerzaelectromotriz inducida,ni corriente. Su¡rcrficic Espira Supcrficic

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FIGIlR,t 3l-6 A t¡avesdc dc srr¡rrficics cualcr¡rricra,S, y Sr, quc defirrn uru cspira cerrada,pasacl misnro nrhncro dc lineas de campo rnagrÉtico.

Lasuperffcie empleada en la lq'dc

Faraday

En nuestroenunciado de la ley de Faraday, no especificamosla superficie que se formacon el circuito en cuestión.Demostraremosque no inporta la superficíeque seuse,siemprey cuando esa superf cie estéacotada por el circuito en cuestión. El llujo es igual a trayés de cualquier superfcie. Para ver cómo llegamos a ello, algunasde las propiedadesdel flujo magnético.El flujo magnéticoa ¡ecordemos t¡av&de una superficiees el número de líneasde campo magnéticoque pasanpor ella.Debido a quet como indican todos nuestrosexperimentos,no existen cargas todos las líneas de campo nngnético son conf inuas; ni se inician ni magfléticas, terminanen cargas. Además, el flujo mognético a tratés de uno superf;cie es proporcionalal número neto de líneasde campo quepasan a travésde esasuperficie. ' Recuérdese que el número de líneas de campo magnético que pasana través de una superficiepuede tener un signo: el signo de las hneas que pasanpor una superficie enunadirección, es opuesto al de las líneas que pasancon la orientación contraria. Veamoslas consecue¡rcias de esaspropiedadesde las hneasde campo magnético. Setienenestaslfneasy un circuito acotadopor dos sup€rficies,Sr y Sz(figum 31-6). como las líneas son continuas,el número de ellas que pasan a través de las dos superficiesdebe ser igual en ambas,y, por consiguiente,el flujo a través de las dossuperficiesdebe ser igual, Nuestro argumentoes válido para cualquierpar de no sólo las dos de la figura 3 l -7. Puedeser que algunasllneasno pasen superficies, a travésde ,S,,cotno la lfnea 1, pero si una línea entra e una tercerasuperficie, 53, y noa una superficie .S¡,entoncesla lfnea también debe salir de la superficie Sr, y, por consiguiente,no contribuye al flujo neto a través de Sr. Nótese que para que sea válidpnuestro argumento, todas las superficies deben tener la misma orientación respectoa la espira. Esa orientación se especifica mediante la regla de la mano de¡echa(figura 3l-4). Hemos llegado a la importante conclusión que elflujo magnético a través de una superftcieacotada por una trayectoria cerrada es igual al que pasa por cualquier otra superfcie acotada por la misma trayectoria. Anbas superficies deben estar orientadasde acucrdo con la regla de Ia mano derecha. Es un resultado muy útil, porquemuestraque podemosseleccionar,para nuestracomodidad,la superficiea travésde la cual calculemosel flujo magnético. Una buena técnica de solución de problemas es determinar una superficie en la cuaise pueda calcular con facilidad el flujo, cuando sea necesariocalculaflo, como enla ley de Faraday.El ejemplo 3 l -2 demuestraesta técnica.

El flujo magnético csume el mismo velor pere curlquier superficie limit¡d¡ por une espire dade.

Su¡rcrficic

Linca I

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FIGURA 3f -7 [:s supcrficies S, ¡ S, esi.a; limitadas por urra cspira. Si la ll¡r¿ dc campo rnagnótico I pasapor la s.4rf c:c Sr, ¡rcro no por la supcrficic 5,, Cctr ;:asr: dc nucvo por la superficic S¡ ), Fsr corlsiguicntc, no contribul'c aJflu-ic magnóticoncto ¡nr la zuprrfi.-:c5,

La mejor suprrficie respeciJ ¡ l¡ ¡u¡. cal cul ar el fl uj o

a C:pitulo ]1

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I' IGURA 3 1 - 8 Il j cmpl o3l -2 i :i vcctorIl o cs corlslanlcy vcrtical,

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regi ónti etl eun cal l po t lt agE J E M I' L O 3 | -? S upotrqnql recl l ' tr.nni l radn : nético constante,B B,'k, siettdok.el vectorunitnrio en direcciótrz. Detenninc el flujo magneticohacia arriba,que pasapor el henrisferiode radio R, que se ve e n l a fi g u ra 3 1-8.

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SOLUCION:Pociemoscj.-tenrinarel flrrjo a travLlsdel lietnisferiosi 1odetenninatno: acotadnpor la r¡isma trayectoria.El lfrnite del a travesde cualquit-'rotir srrp.-r-ficic ) h e mi s fe ri oe s un cÍ:-cul oJe rrtl i o R c' trcl ¡rl arro.rl 'y, l a superfi ci ctnásscn cilla el l l Lr;o,cs el ci rcul opl :rl to,eh el pl ano.ry.P arael cl rculo,B a c o n l a c u a l c al cr.¡l ar t es paraleloa dA. El sielrodci ñujo ..spositivo,si B,¡es positivo.Matcmáticatnenf. te, la igualdaddei iiujo lr tfe'"ósci,'ihctnisli:rio,y a travésdel cfrculo platro,es

o I o I o o

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rD. , ;= il_ .B . d . t , . , s , ,[ [ d A : I ] , , z iRr.

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Aunque es dificil .i .¿l"uio O';i",. de1flujo . *"t'n, dei domo, cuandose usala s u p e rfi c i ep l a n r, -' 1cál cul ose vuel vetri vi al ,

¡ : ;,

I'aley de Lenz v la dirección dc la corric¡rtc i;rdt¡cida

F'IGURA 31.9 ;r corricntolnd¡¡cldacn la c-spiradc alambr r dcl cjcmplo3l-l produco lrn ca¡¡po magn lico oricntadotd comosc indic¡. Estc cur K)aumcritaGlflujo tol¡l lraciaarriba,a tr vti:;do la csplrr,y concllo cont¡arrcstala d ;minucióndclflujo m^gnóticoquc i ducola corrlcr¡tocri primcr IullaI.

I

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l r corri entei nduci darl ci cj el l pl o 3 i - i 5 Es i n s tru c ti v oe x a mi narconnrásdcteni mi errto Sabemosque las coirientesproducetrcamposlnactréticos,y la corrientcinducidarlo f' podemosver queel campc esia excepción,Si emplearlosla reglade la lnano clerecha, magnéticoproducidopor la corrienteinducidase dirige hacia aniba, a travésde la ii l. trayectoria(figura 31-9), Este campo tiende a atltnentarel flujo nragnéticoa trar'é-: f¡ de la espira,flujo que era decrecienteen el ejernplo 31-1. En efecto, la corrient¿ ItFqr:ela causó.El análisisde la le¡ inducidase tratade oponcr a1flujo en ciisnrinuciótr que coniente irrducidatiendea evitarqu, J es cierto la que sieinpre indica de Faraday de pensar de la ley Faraday,clebidoa Hel-ni:c; Ia tle acelca fonra cambieel flujo. Esta : qtrc ley dc tr,enz: se llarna Emil l,enz, es un princi¡'io itellerel

o I a o o t

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'I-ey de Lenz

quc setrttalr de oltoner nlagnóticos Las corrientesinducirlasproducencnn-¡pos a loscambiosde flujo que lasinduccn. La ley de Lenz es muy útil para detenninarl,adirecciónde utra corriellteindu:;:: Aunque esto se puedellevar a ca'bccon la ley de Faraciay,es lnuy fácil conlele:-:. emor de signo.La ley de knz nos a¡tda a evitar taleserrores. a , 31- 3 E l ¡rol onoñcdeul ri nrál rrectoseetnpuj ahacil ac:EJ EMP L o un anillo rnetálicofijo (fi gura3 l- 10). Con la ley de T cnz, oeterminela il:. : : de cualquiercorrienteinducidaen e1anilio.

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14dcFtedcydcb ln&¡cclón

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Movim.icnto dcl imÁn rccto

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SOLUCION:Al acetcarseel polo norte del im¿in hacia el anillo, las llneas de catnpomagr¡éticocetcanasal anillo se hacen más densas.El flujo magnético a travésde la superficie del anillo, que es perpendicularal imán, oumenta.La ley de I*nz establece que la coffiente inducida se opondrá al cambio del flujo magnético que pasapor el anillo. La corriente inducida, por consiguiente,debe produci¡ un campo que acfue para disminuir el flujo magnético, y el campo magnético.El campo magnético inducido se dirigirá hacia la izquierda. Si empleamosla regla de la mano derecha,es fácil ver que la corrienteen el anillo, que produciráese campo,estáorientadaen el sentidocontrarioal de las manecillasdel reloj, vista desdeel polo norte del imá¡. El lector debe¡áser capaz,ahora,de deduciresleresultadoaplicandola ley de Faraday.

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E J E M P LO 3 1 - 4 Se fo rma u n c i rc ui toce¡radomedi ante un al ambrefi j o en forma de U, y una barratransversalconductora,libre de moverseen dirección ¡. Todo ello quedaen el planory (figura 3l - I I a). EI extremocerradodel circuito estáen x = 0. Hay un campo magnéticoorientadoen direcciónz, que varía en funciónde.r segúnB - Cxk; es cerocuandor = 0. Supongaque se tira de la barra móvil, a velocidad vconstante,hacia la derecha,desde¡ - 0 cuandof : 0. La posiciónde la barra,en cualquiermomento,es.r= ut. Si la resistenciadel circuito varla de acuerdo con la longitud total, L, de acuerdo con R - aL, siendo cr un coeficienteconstante,¿cuáles la corrienteen el circuito en función del tiempo?

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o o t I ,

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F-IGURA 3l-I0 lljcrnplo 31-3. Cuando cl imiin rccto sc a¡rroxima a la cspira, induce cn clla un¡ corricnto.

[-a barr¿ trarlsvcrsal sc mucvc horizont¡l¡rrntc

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t D I ) )

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I rrcción dc la trayectoria l::-.:aEraCión

FIGURA 3l-lt (a) Ejernplo 3l-1. O) La lcy de L¡ü i:J;;: :¡,: inducidacn cl circuito quc conticnc la barra tr¡svcrs¿i l:;¡in .: , sc indica.

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Iryd cP a n d e y

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SOLUCION:Conro el área de la espira arrlnorta, cl flujo a lravés dc ella oun'tr-:r: y s eaplic alale y d c i ñ d t ¡ c c i ó n d e F a t n c l a ', '. S i o r i e l r t a t n o s a l e l e n r e r r t o c l e s r r r u.* :- . hacia arriba, a lo largo de B, el flujo a t'¡vés de la espirn es

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o ". : Jifu n ¿ t: J[{ ' d A: Jfl " c,¿ ¡ J .' .I

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Como el cáÍlp<,n(rvaría en ditección¡,, poclernos definir a d,,1como fonlrac; :. bandasde longitu,lD y anchodr-,paralelasa la direcciórry. Cuandoel tiempo'* t, la longitud de la espirava de ¡ : 0 a ¡ = ut. Así fu

o o o o

!!" : CDJ' . d¿

El flujo magfléticoaumentaai autnentarel tietnpo. l,a ley de I-¿nz dice que se inducirá una corrier te en dirección de ias m4necillasdel reloj, porque el flrrjo magtróticocl-:bidoa la corrielrteincluciCa debeestardirigido haciaabajoparahacerdisnririuircl flr jo (fig'ura31- 1lb). Est: coincide con la ley clc Faraday,para la cu¡rlla integrnl ll E ' ¿s a lo lntgo de la trayectoria,que, po¡ convenciónes etr selllido contrari¡ de las tnanecillascj,e. reloj, , s negativa; esto correspondca r¡na fern illclucidn en direcciórl de ia corrietrte. Por consiguiente,telret:.tos

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o o o o o

i u ' o ' : ' t : - o ' 1cl"¡ ' : - _ c Du z t '

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Para ¡elaciono¡ lu lu.r- electrol,-lotrizcon la corriente inducida, debemcs r total dc l a espi ra,R . Il sa resi stenci es a c a l c u l a -l a resi stenci l l = ctL = a(l D + 2ut):2a(D " r

ur).

l,a corr;enteinducidaes

s ul' t : r ,. : a: - }t(D R + rt1 Debe el lector podercomprobarq.reestacorrientetietrelas dimemionesconectas, Algunos comcntatios Un flujc, vatiable no necesariamentequiere decir que un cantpo m,agnéticosec v a ri a b l e .El :j e n :1o31-4presentavari ascual i dader;físi casnotabl es,acercadelale; de Faraday,entr, ellas, queelflujo nrcgnóticctpueclcvariar, no sólo porEte el canrpc magnético cambie con respectoal tienpo, sino tanúitín porque el área de Ia espirc a través de la cual se calcula el flujo, puede cattrbicr co¡t rcspecto al ticntpo. Er' e" ejemplo 31-4, el campo magtréticoes collstante,y no es razonabledecit que esle campo magnéticoconstantehaya producido r¡n campo c:léctricoetr el espacio.E. único lugar en el que se puededecir que apateceun calnpo eléctrico,es ctr la espii: en movimietrto. ,

¡

I-os catnpos eléctricos inducidos ,to son conservatiros. Nolaretnos que lc' t clel, rscarilposclóctricoscc: t camposinducidosse difercncianen fonna funclnrncntal, i los cuales nos hemos encontradoatrtes.En nuestro trab¡ro atrterior,los carnpc. F eléctricossiempreestabanrelacionadosconfucrzos conser)ativas.El trabajoele.'- I ttuado por esoscampos,para hacef mover una carga alredclor de un ciclo ceria¡:. L l! siempre es cero: f

conservativo'. tl -

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n',ts - n.

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rt. ¡ ; ;

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o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

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o o a o o o

Bto esprecisamentelo que no es cierto para los carnposque,resultande la ley.de Faraday;lafuerza electromótri z alolatgo de una espira cermda está especifi"udu po, el flujo que cambia:

t:fE.ds: -*

no consefvatlvo:

El campoeléctrico inducido es no conservativo,y no se puededescribir medianteun potencial que seafunción del espacio.Hay una falla aparenteaqul, de la conservación de la energfa.Hicimos notar, al final del capftulo 30, que, para que la ley de la conservación de Ia cantidad de movimiento siguiera siendo válil.a, los campos y magnéticodebentransportarcantidadd'emovimiento. Iguaimente,la falla eléctrico de la conservaciónde la energfase remedia porque el campo magnético, al üp¡¡ente igualqueel campo eléctrico, contribuye a la energíatotal. simetría entre la ley de Ampire y la ley de Faraday. Si ahora recordamos la formade la ley de Ampére que incluye a la coriente de desplazamiento de Maxwell (véase sección30-5), veremos una cieria simetría en las leyes de electricidady nagnetismo(figura 31-12).l,a corriente de desplazamientose produce porun flujt eléct¡icoque cambia, y la ley de Ampére describeuna relación entre la integral del campomagnéticoal¡ededorde una espira (en términos de una corriente que pasapor ella)y un flujo eléctrico que cambia,que pasaa travésde cualquiersuperricieacóta¿a porla espira, ecuación (30-32). si no hay corriente eléctrica ordinaria, entonces podemos elimi¡a¡ el término proporcional a 1en la ecuación (30-32) y enunciar la leydeAmpere en la siguiente forma:

qo':

FIGIJRA 3f -12 Armr¡r rn hay concxión dirccta dc la bobiru dc alambrc y cl núclco dc hicrro portador dc corricntc, cl bombillo se cncicndc. l-a corricntc quc c¿mbia cn cl nticleo indr¡cc r¡¡u corricntc lo $¡ficicntüncnto grandc cn Ia bobiru, concctada al bombillo, para quc c.stosc cncicnd¡.

ó u .o r .

' I d¡ <"u^ Aexcepción del factor ll q poydel signoie.'tu"l"yesanálogaa la ley de Faradayde lainducción.3

31-3 rurnze nrnctnouotnrz on nrovrnrruNró

v

FIGTJRA 3l-13 (a) Varilla conducto¡a dc longitud l, quc sc mucvc con vclocidad u, corstantc cn dirección +¡, dcnt¡o dcl campo rnagnético,cl cr'"I ücno di¡ccción z. l¡ varilla ticno dirccción y. (b) So i:rduco r¡na fucr¿a clcct¡omotriz do movimicnto a lo largo dc Ia varilla quc sc mucve; csa fcm prre
?

Varilla conih¡ctora

E¡restasecciónseguiremosestudiandoel hecho que cuando un conductor se mueve enun campomagnético,se induce una fem en el conduetor.A esta fuetzaelectromo_ trizla llamamos fem de movimiento. veamos una varilla conductoraque se mueve convelocidadconstanteen un carnpomagnético(figum 3l-l3a). Demostraremosque g

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lr Lcry dc Fereday

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la ley de Faradaynos lleva a una acutnulaciónde cargaspositivasen la parte inf'e¡ro¡ de la varilla, y catgas negativasen la parte superior, lo cual origina una fuerza electromotriz a lo largo de la varilla. Dcspuéscletnostrarernos que se puedeconsidera¡ que cl mismo efecto es una consecuenc'iade la ley de fucrza de Lorentz. En la figura 3l-13a, la varilla tiene longitud L y se lnueve a una velocidadu'a travésdel campo. Podemosescogernuestrosejes de tal modo qrrela posición de la varilla a lo largo del ejer seax - ut, LCómopuedeser éstoun casoen el que se aplique la ley de Faraday? La respuestaes que la ley de Faraday se aplica a toda espira, sea real y conductora, imagínariaen el espacio,o que sea en parte real y en parte imaginaria,del tipo que vamos a examinara continuación.Imaginemosqr¡efijarnosa varilla en movimiento en la figura 3 1-I 3b, rnedianteuna líneapunteada, a una lÍneaimaginariafija, indica
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( 3r - 4)

Esa rapidezde cambio es independientede re y de cualquierotra partedel cerramiento de la espiraimaginaria,i¡dicando que nuestraselecciónde la posición de la parte punteadadel circuito no tiene importancia. La fire¡za electfonlotfiz en sentido contrarioal de las manecillasdel reloj, que es la que,icbc tornnrsesi orientamosel flujo en dirección+2, es entonces ,1.:

- ¡1.¿r-

(3r-5)

Si la linea punteadafueraun alambreconCuctor,esafr,erzaelectromotrizimpulsaría una corriente en sentido contra¡io al de las manecilla ; del reloj, vista desde arriba, alrededordelcircuito. Esto sena consistenrecon ia apli,'aciónde la ley de l,enz. Como en realidadno hay circuito cerrado,la coniente sólo ¡;asaduranteun corto tiempp, desde la parte superio¡ a la inferior de la varilla. Las cargaspositivas se acumulan hacia la parte inferior de la varilla hastaque se estableccuna fuerza electromotriz por acumulaciónde cargas,y se alcanzael equilibrio..Cc,tnola varilla es la única parte "real'de nuest¡ocircuito,todala fuer¿aelect¡omotrizactúasobresu longitud.Es una reflexión de nuestrasobsen'acionesanteriores:si el clrnpo magnético,en sl mismo, no cambia,entoncesno hay razónde tenerun canrpoeléctricoitrducidoen el espacio vacfo.El efectose debeal movimiento de la varilla. l-afuena electromotr¡:de mot'it¡tie¡r¡oque resultatambién se puedecolnprender con facilidad en términos de la ley de fuerza de Lorentz. Cada portador de carga en la va¡illa se mueve en un campo magnético y, por consiguiente,siente una fuerza igual a q v x B. Esta fuerza actúa en dirección -)', cuando las cargasson positivas, Lafuerza por unidad de carga, o el campo eléclrico que produce esa fuerza, tiene como magnitud u8s. Como esa fuerza es constantea lo largo de toda la longitud de la varilla, la diferencia de potenciai de un extrelno al otro de ia varilla es LV = EL = L¡ fem de movim¡ento s€ pu€de consider¡r comoel rcsult¡do de l¡ fueze mrgnétice cobrc cergeoen movimlento.

BsuL.Elpotencial es tan sólo la fem que actúaen la varilla, de acuetdocon la ecuación (31-5). El signo en esa ecuación hace que el potencial mayor esté en el extremo inferior, de acuerdo con nuestro análisis de la fuerza de Lorentz. Etr este caso,las cargas son desplazadaspor la fuerza de l,orentz hasta que un campo eléctrico que prduce una fuetza sobre los portadoresde carga,se establecedentro del conduct,-'r y anula exactamentela fuerza de Lorentz. Hemos visto que podemosconsiderarque una fuerza electromotrizde movimierto se debe,en forma equivalente,4la ley de la fuerza de Lorentz, o a la ley de FaraCa¡ de la inducción.Regresemosal ejemplo 31- l, en el cual una espiracuadradase saie

o o o o o o o o o a o o o o o o I

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deuna región de can'rpornagnéticoconstante,y llega a otra región sin campo. La flgura31-14 muestrauna orientacióndistintadel arregloen la figuta 31-5, y hemos identificadolos ladosdel cuadradoa a d. Dijimos anlesque no hay cortiente en la espiracuandof <0, cuandola espiraestácompletamentedentrodel campoconstante. Sinenrbargo,siguesietrdoválida la ley de fuerzade Lorentz.Estasdos afirmaciones sercconciliarlsi observanrosqr¡c las fucrzas sobre los portadoresde carga en los diversossegtnenlosse anulan cuandola espirase encue¡rtracotnpletamentedentro de la región del campo. La fuerza sobre las cargasposilivas en el lado a se dirige I) \. haciaabajo,al igual que la fuerzasobrelas cargaspositivasen el lado c, y no pueden , r, fuerzas cargas alrededor Igualmenle, las sobre moverselas de la espira. las cargas positivasen los lados b y d se dirigen hacia abajo,y por consiguiente,no hay fuerza FIGURA3l-14 tuuilisisdc la cspiracn movimicnto dcl cjcmplo3l-l, cn tcrminos algunaque tiendaa hacercircular a la carga.Sin embargo,una vez que el lado a sale dc la lcy dc frrcr¿a dc l.orcntz.. dela región del campo,hay una fuerzanetadebidaa las cargasen el lado c, y tiende a empujar a las cargas en sentido conttario al de las manecillas del reloj, tal como dedujimosen el ejemplo 31-1. La fuerza electtomotriz setá B6ul,que esjusto lo que encontramos allf. Pot último, no hay fuerzasmagnéticasuna vez que la espiraha salidode la región del campo. EJEMPLO 3 1 - 5 U n a v a ri l i a ,d e l ongi tudL, que estáen el pl anory, gi ra encírculoco¡lvelocidadangularconstante,cd,en sentidocontrarioa lasmanecillas dc l r c loj;a l rc c l c c l odrc l o ri g c tr(fi g L rrn 3 l - I5). f:st¡irl cr¡trocl cutrcarnpornagnóti co constante, de rnagrritudBe,oricntadoen dirección:. Detenninela fuerzaelectromotriz de movi¡niento e¡r la varilla, aplicandola le1'de Faradayde inducción. SOLUCION:Completaremos una espira trazando las ltneas punteadasque se indicanen la figura 3l-15. El elementode áreaestaráorientadohacia ariba, de modo que la integral de la espira que representea la fuerza electtomotriz debe como dirigida en sentidocont¡a¡ioal de las manecillasdel reloj. En considerarse estecaso, 0 = tot,y el áreade la espira es la del segmentoque barre la varilla en el rlngulo 9: área= i}L' : t1atL2. El flujo magnéticoa travésde la espiraes Be por el área,y la rapidezde cambio

del flujo es

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Entonces,la fuetza electromotriz de movimiento es

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Dirccción dc la traycctoria dc intesr¿c¡ón j

FIGURA 3l-15 Ejcmplo 3l-5, Las lincas puntcadas rcprcscnl an cl ccrrami cnto imaginario do urn cspira, a la cual @cmos aplicarla lcy de Faraday.

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7 920 Cápitulo

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FIGURA 31-16 A mcdida quc la placa mctálica circula¡ cao atravcsarrdourrarcgión poquoñacorr campo magnético corstantc, dirigido hacia ella, sc i¡duccn corricnlcs panisitas o sccundariason la placa. l¡ dirccción dc csascorriontcs cstd dctcrminada ¡nr la lcy dc Lcrz

El signo indica que la fem se dirige radialmentehacia afuera del origen. Podemos comprobar esadirección empleandola regla de la mano derecha,para indicarla dirección del vector fuer¿a de Lorentz. v x B, Corrientes

FIGURA 31-17 Para i¡rlübir cl dcsarrollo dc las corricntcsparisitascn la placa rnctálicacn movimicnto, sc pucdcncalar nnuras cn clla.

parásitas

Hastaahorahemoshabladode las fuer¿aselectromotricesinducidasen el movimiento de alambresy varillas. Pero también podemosnrover grandesporciones de metaler un campo mag¡ético. ¿Cuál es el et'ectoen este caso?Ei origen fisico de la fueru electromotrizde movimiento nos sugiereque, también en este caso, se induci¡án corrientes,pero se distribuirán por el conductor.Esascorrientesse llaman corrientes parásitaso corrientes secundarias.La figura 31- 16 muestralas corrientesparásitas que se establecenen una placa plana, yertical, que se mueve por una región limitadr Hay'dosregionesde campomagnético, de campomagnético,dirigido haciaia pág.ina. indicadasen la figura 3 l - 16,la superior;- la inferior. A medida que la placapasapor el espacioen dondehay campo magnético(por ejemplo, entrelos polos de un imán,ei flrrjo magnéticoaumentaen la partesuperiory disrninuyeen la inferior. Se inducen coffientes en la placa metálica que se oponen al cambio en flujo magnético; esascorrientes tienen sentido contrário al de las manecillas del reloj en la parte superior,y al revés en la parte inferior, Las corrientesparásitasque se inducen así se disipan en calentamientode Joule, por la resistividad de la placa metálica. Este calenLamientopuede ser ulra desventaja apreciable en deteminadas aplicaciones; cuando es indeseable,se puede teducii eliminando trayectorias de flujo de la corriente. Esto se lleva a cabo ya sea cortando ranuras en la placa metálica (figura 3I-17), o laminando el metal, con un aislado¡ entre las l¿iminas.La laminación, por ejemplo, puedeemplearseen el núcleo de hieno de un electtoimán, que consiste en una bobina devanadade alambre, un solenoide, sobre un núcleo de hieno. Por razonesque describiremoselr el capftulo 32, el núcleo amplifica el flujo magnético debido al solenoide. Si la corriente en el alambre varía en función del tiempo, también variará el catnpo magnético que atraviesael núcleo, Aparecen corrientessecundariasen el núcleo (figura 3 1-18a).Para evitat 1oantetioi, el hieno se puede laminar altemando con algún material no conductor, que evitaque se desarrollenconientes inducidas(figura 31- l8b). Se seguirrininduciendo conient3:

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Bobir¡¿dc alambrc [-amimdo altcmando con rnatcrial no conductor

Núclco dc licrro

Corricntcs pañisitas

(b) I'IGIJRA3l-18 (a)Scestablccencorrientcspanisitasgnclmicleodehicnodcr¡nclcctroirruir¡sila corrientocn cl solcnoidc no cs cstablc. (b) Para irüribir csasconicntcs, cl núcleo sc puedc haccr con láminas dc h.icrro,intercaladascon láminas dc matcrial no condtrctor.

enlashojas de hierro en el núcleo, pero, como el áreade las hojas es limitada, también lo esel cambio del flujo y, por consiguiente,las conientes. l-as corrientes parásitasno siempre son inconvenientes,como veremos en la sección3 1-4.

3l-4 FUERZAS,ENERGIAY PoTENcIA ENI-A FUERZAELECTROMOTRIZDE MOVIMIENTO La presenciade corrientesinducidas, causadaspor flujos magnéticosvatiables,tiene eobre otraimplicación más: ya sabemosque las corrientesexperimentanfuerzasen presen- L¡s fuerzssmrgnéticas cia de campos magnéticos, lo cual debe ser válido en el caso de las corrientes corrientesinducidseinhib€nel inducidas.Asl, los alambres en los cuales se inducen corrientes, experimentan movimiento' fuerzas.Es más, Lafuerza magnético sobre la corriente inducida inhibe siempre el movimientoque producefuerza electromotrizde movimiento.Esuna consecuencia delsigno impllcito en la ley deI-¿nz. En la espira en movimiento del ejemplo 3 1-I , apa¡eceuna corriente inducida, I al sali¡ la espita de la región del campo magnético. La fuerza sobre el alambre está por la ecuación (29-16), expresada

( 3r - 6)

F t:IJta rtnt, !

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le, leo rÍa eo.

r,gr' lue ltes

enla cual dl describea urr elementode longitud del alambre,y B representaal catnpo magnéticoen eseelemento.Tracemosuna vez más la espira,estavez incluyendo las fuerzassobre cada tramo (figura 31-19). No hay fuena en los lados, o partesde los lados,que estrinfuera del campo magnético. Con la regla de Ia mano derecha,la fuerza sobrela patte del lado b, que está dentro del campo, se dirige hacia abajo, y la anula lafuerzasobre la parte del lado d dentro del campo. I-a única contribución a la fuer¿a netaproviene del lado c. En este caso, la aplicación de la ecuación (3 l-ó) produce ulrafuerza

F : I LBo haciala izquierda. "

(31-7)

que, en el ejemplo 3 I - l, la magnitud de la corriente es I ' BsuQR, siendo Recuérdese Rlaresistenciatot¿l de la espira,y Nla velocidad con Ia que se mueve esüa.La fuer¿a sobrela espira es, entonces,

uL2BA

( 3r 8)

r'.: -R.-

Esta fuerza trata de inmovilizar a la espira, Se debe suministrar energla con determinadatapidez, a la espira, para mantenerla en moyirniento con velocidad v. En otras palabras, una fuerza extema debe comunicar potencia pam colrstante mantene¡en movimiento a la espira. La fuerza extema tiene magnitud 4, y se dirigini haciala derecha, de modo que la potencia gastada es

P:F'v:F-,u:

u2L2 B2o

R

( 3 I _9)

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I FIGLTA 3 l -l 9 l.¿-.:.rc¿-. ::;¿sr":.¡ ¡; :¡: Ia espLra dci e.,t;r;l: l.-A- - t - ::; oc s ^¿..-c1c i-f- :- J- j - .:..: -1

y¿¿ Capítulo 31 lry dc Fmday

Comparemosla potenciadisipadapor la luerza extemacon la poter¡ciadisi;-::- .: un resistor.La pérdida de potencia,o de energíapor unidad de tien.rpo,es

P : r2 R: f 8 -e ' L f R : " L ' ü R \R ]

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Inpotenci adi si pada,debi daaIjlu, i: : : L a s e c u a c i o n e s(3I-9)y(31-l 0)soni gual es. corriente a través de un resistor, es igual a Lapotencia requerida para ma¡te ''..' movi¿ndosca la espira.El principio de la conservaciónde la energianos sugiereq:: esteresultadoerauna conclusiónprevisible.

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Resistencia magnética

t|IGl.rRA 3l-21) lnuin cn I ,vitación. Un imán rccto sc n 'rtcvc hacia ,l matcrial superconductor, induciend<¡cn él corricntes pcrsistcntc.s.[,ns fucrzas mngróticas cnt¡c c¡ sufrcrcondr¡clory cl irruin sc rrdc rcprtlsión, y lo suficicntc¡rrcntc in(crrsrs como para sostcncrcl paso del ir rÁn.

La fuerzasobrela espira,tal como la expresala ecuación(3 1-8),es proporcionaia .: velocidada la cual se mr¡evedicha espira.Esto es válido, por lo general,parafuerz:sobrecorrielrtesinducidasdebidasa fuerzaelectromotrizde movitniento,porques'i origenes la fuerzade Lorentz,que tambiénes proporcionala la velocidad.Antesncs hemosreferidoa lns fr¡erzasde retardoque dependenen fonna lineal de la velocida:. y las hemos llamado fuerzas de resisrencia.La ¡rrescnciade fuerzas de resistencia hace que el movinriento de conductoresen campos magnéticos sea análogo al movimiento dentrode un medio viscoso.Puedeserulr fenónrenoútil. Las corrientes secundariasen una porción de metal que se mueve a travósde un catnpornagnético trabajancomo frercs. Los frenos de estetipo tienen aplicacionesprácticasque van desde el empleo { n tmndes motores eléctricos,hasta el amortiguatnientoen las Por balanzasanallticasd, licadas,en las cualeslas oscilaciollesson una desvetrtaja. tnecáelinrinar las corrientes secundatias. La energla lo tanto,no siempr¿ cjeseamos nica perdidaapareceen el metal como calentamientode Joule,del mismo tnodo que se calientanlos frenos por la fricción con ia que funcionan. La placametálicaque cae a travésde un camponragnético(véasesección31-3) y que se ve en la figura 31-16, muestrala resisténciatnagnética,Lg fuerza de resistenciaactua contra la gtavedad,y origina una velocidad tenninal. En lugar de acelerara travésde los polos del imán, la placa,al final, caecon una velocidad estable, Podemosllegar ai extremo de suponerque la placa metálica es un superconductor, matetial sin tesistencia,y que tiene la propiedadque el campo magnéticono penetraa su interior. Si dejamoscaeresapieza de material en la tegión del campo, más que desaceleraal ent¡ar al campo; es repelida. Rebolará de nuevo hacia arriba, desde la región del campo, Este ¡ebote será perfectanrenteelástico, sin pérdida de energfa,porque no lray mecanismopara tal pérdida en un material que no tenga rcsistencia.La repulsionde esosrnaterialesde regionesdondehay campomagnético es el principio que se empleaen la levitaciónmagr¡ética(figura 31-20)' que se usaen tretresde levitaciórrttragnética(veasehgura 2-2E).

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.F a" L'., 9.

de 5.0 ctn de l ado,cae 3 1 - 6 U na espi racuadradade al atrrbre, EJ EIIP L o por una regiótrde campo }: gravedad, de la la influencia bajo u a una velocidad grarrdes imanes cientificos ¿= (sólo ios T de magnitud de l5 nragnéticoconstante, F' t.' que campo tnagnéticc tlo tiene gmndes) una regiótr en tan alcanzanesoscampos t' 3l-21). El campo se dirige perpendicularmentea la espira,hacia la pá:i;: t. 1r-rgura 2La espiraestrirestringidaa estarsiempreen un plano vertical. La resistenciato:¡ I p
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durante el paso de la esPira.

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It -{) FIGU R A 3l -21 E j empl o3l -ó.

F - uL2Bo2¡R.Lafuerzade gravedadse dirige hacia abajo, y su magnitud es mg. La velocidad terminal, u,, se alcanzacuando la fuerza de tesistenciaes igual a la fuerza de gravedad Bl) 1,,L2 ,.

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(3 r-il)

Sustituyendolos númetos, ,, :

C ¿) a A mt< (0 .f5 k g x 9 .8m /s 2 )(1.0 _ - L.v ,,,tr . ( lo

(b) Siempre que la espira se mueva a su velocidad terminal, la energfatotal disipadaen calentamientode Joulese¡áuna constanteexptesadapor el producto de la potenciapor el tiempo que la espiraperrnaneceen la región de transición. La potenciaen calentamientode Joulees,de acuerdocon la ecuación(31-10), P:l ' l l :' O

' pl L'tli, '

El tiempo transcurrido en la transición es I = Uu,, de modo que la petdida de energÍaes

L E:t' t:

Íu'3 (r)

u,L3B2n R

Sustituyendoa u, en la ecuación(3 1-I I ), vemos que

: ^,,r ^E:';:[.!'ft' Es justamenteel cambio de energíapotencial gravitacional.Como la espirapasa por este cambio sin un cambio correspondienteen la enetgía cinética, toda la energlase ttansforma en calentamientode Joule. Sustituyendo,

AE=(0.r5kg)(9.8m/s2)(0.050 m) = 0.074J. Hasta con un valor muy alto del cam¡romagnético, Ia velocidad terminal en el ejemplo3l-6 es telativamente grande.Un freno efectivo de estetipo tequiete de un campomagnético grande. Nótese que la velocidad tetminal es proporcional a la ¡esistenciade la espira conductora.Aun cuando una mayot resistenciaimplica más o:srpaciónde energía para una corriente dada, la corriente inducida disminuye a nedidaque aumentala resistencia,.yu, termina c¡eciendoa medida que creceR. Es nrasfácil co¡lstruir f¡enos grandescon piezasmacizasde metal, que contiene grandes :c::ientesparásitasdistribuidas,y, por consiguiente,grandespérdidai resistivas.

Etrcras,cñcrgi¡Y 314 dc cn la frrcrz¿ clcctrcmotdz movl,rn-lcnto

FIGURA 3l-22 (a) El flujo magnótlco a travcs dc r¡na espira cond¡¡clora ar¡rncnla, p,orquc cl polo nortc dc rm lm¡in rccto sc mucvc hscla clla. [.a csplra os rc¡rclida, (b) l¡ di¡ccción dc la corr¡onlc induclda cn la cspira lo comunica uri camfxr rrugnét¡co con cl polo norlc luclr la izquicrda, y dos polc nortc sc rc¡rclcn. (c) Sc tira dcl inuin rccto alejdndolo
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a o o o Fuctza; y la ley de Lcnz las fr¡erzassobrcl0s La ley dc l¿nz nos proporcionaun segundomodo dc c,¡¡rsiclernr coffientes inducidas. El crrtnpomagnético de una espirade coffientc, o solenoide,es igual que el de un imán rccto. Ya hemos visto que ta¡rtolos irnanescolno las espiras de corienüe ptoducetr catr pos dipolares magnéticos.Supongamosque.el polo norte de un imán recto se mueve l¡acia una espi¡a conductofa que, inicialtnente, no conduce corriente. El flujo magnético a través de ia espira aumellta, y se induce ulra fuerza electromotrizen la espira,hnciendoque pase una conicnte (figura 31-22a).Esta corriente inducir a, a su vez, produce un campo magnético cuyo flujo tiende a anular el aumentode flr jo debidoai imán rectoen movirniento.La direcciónde estecampo magnético,por consiguiente,se oponeal campodel imrin.Podemosimaginamosque es el campo mag¡ético de un imán recto, corno el que se ve en la figuta3I-22b.El caso es de dos polos norte que se encuentfan,y sabemosque, etl estascondiciones, se fePelen. Si ahoraalejamosel imán recto de la espira,la co¡riente inducida en ella se dirige sentido contrario (figura 31-22c). El campo magnético inducido cambia de dien tección, y un im¿inrecto equivaiente a la egpira, eslarla volteado, con su polo sut adyacenteal imán recto en movimiento (figura 31-22d).El casoes el de un polo norte y uno sur adyacentes,y ya sabemosqtre ios polos opuestosse atraenentre sl. El itnrin ti¡a de la espira.

3l-5

EFEcros DE cAr{pos MAGNETTcos

VARIABLES EN EL TIEMPO El flujo tnagnético a través de una espira puede caribiar de diversos modos. (i) La espirapuedemoverseo girar en presenciade un campo magnéticoque no cambie con respectoal tiempo, (ii) L¿ fuente del campo magnético se puedemovet, moviéndose con ella el campo, como cuandocambia de posición un imán tecto. (iii) La fuente del campo magnético, y, por consiguienteel campo mismo, pueden tener una dependencia expllcita con ¡espectoal tiempo, como cuando se l¡ace cambiaf la coniente a través de un solenoide.En los casos (ii) y (iii) no es suficiente invocar la fuerza de l,orentz, f en el caso (i) sl es posiÉle. Sin embargo,no deberfahaber modo de decir si se mueve ia espira o el campo cambia. Los experimentosconfirman lo sigriente: la ley de Faraday de inducción es válida, aun cuando el flujo variable se deba a dependencia tempoml de los caÍrpos. Como sólo se puede interpretar la fuerza electtomotriz de rnovimiento en términos de la ley de fuerza de Lorentz, el hecho que también un campo magnético variable en el tiempo produzca utra fuerza electromot¡iz inducida es un aspecto verdaderamente nuevo de la ley de Famday.

924

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Dctcrminación dc los carnpos i¡rducidos La ley de Faradaydelnuestraque si catnbiaun campomagnéticoa rravésdel tiempo, entonces se induceun campo eléctricoen el espacio,de tal modo que se satisfacela (31-2).Si hay simetrlasuficienteen determinadocaso,entoncesseráposible ecuación calcularel campo eléctrico inducido, de igual fonna que cuandousamosla ley de Ampéreparadeterminarun carnpomagnético.

31-5

[fcctc

dc mpc vrlablcs

rugnctks cn cl ticopo

, I-a s d o s c a ra s p o l a resci rcul aresdeunel ectroi mán,ambas E J E l\ f P LO 3 " 1-7 con 0.5 m de radio, R, estátrhorizontales,y el polo norte abajo (figura 3l-23a). El electroimán ptoduce un campo uniforme en el volumen entre las dos caras.El campo se aumentalinealmentedesde0.1 T hasta 1.1 T en un periodo de 10 s. Describa el campo eléctrico que se origina en la región entre los polos. SOLUCIoN: El campo eléctrico desconocidose induce debido al flujo eléctrico que varfa.Hay simetrlacilíndricaentrelas caraspolares,de modo que el campo eléctricoinducidosólo puedevaria¡con la distancia,r, al eje centralde Iascaras, y no de acuerdoal ángulo alrededorde ese eje. Debemos determinarel flujo magnéticoa travésde un clrculo hotizontal de radio r, centradoen el eje de las caraspolares.La intensidaddel campomagflético,B, es constanteen el áreadel cfrculo, y se dirige hacia arriba, desdeel polo norte; entonces,el flujo hacia arriba que pasapor el círculo es O B : ftr:B'

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-: N

Como describimosen el enunciadodel problema,el campo magnéticotieneuna dependencialineal con respectoal tiempo, de la forma (a)

B :Bo + z t.

Dirrccióndc trayectoriadc

I-a rapidezde cambio del flujo, por consiguiente,es

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, inlcttración

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nr'!(Bn" + rr) : ;r:.t.

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La ley de Faraday,ecuación(31-2),expresala integral a io largo del clrculo, del campo eléctrico inducido:

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:-T¡:-nr2a

$ r.ar : E 2nr. : -n r|u . Asf, la magnitud de E es y'rrla

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E :2 /rf :ro ' '

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(31-12)

Como el flujo se ditige hacia arriba, la dirección de la trayectoriade integración esen sentidoconttarioal de las manecillasdel reloj, viendo haciaabajo,haciael polo norte (figura 3l-23b). Con el signo menos en la ecuación (3 1-12),el campo eléctricoinducido tiene el sentidode las manecillasdel reloj. La simetríarequiere que esecampo tenga igual magnitud en todo el círculo, de modo que estáexpr.esadopot

'

,::.Br :

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-

El campo eléctrico induóido aumenla a medida que nos alejamosdel centro. Sustituyendo con números, el coeficiente q,.se calcula sabiendo que I aumentade O.I T hasta l.l T en lO s, de modo que la tapidez de aumento es cr(1.1 T - 0. I T)/10 s - 0.1 T/s. Entonces,el campo eléctrico inducido.es

E : +(0.1T/s)r: (0.05T/s)r, queaumentade 0 N/C cuandor : 0 m, hastaun máxirnode E¡,;¡¡,-'(0.05 T/s)(0.5 r : 0.5m. m) = 2.5x l0-2N/Ccuando

Dirccción dcl (b) clccr¡ico induc¡do FÍCIJR.A 31-23 (a) Ejcmplo 31-7. I-oe dcvanados do corricntc que produccn cl campo no so mr¡estran. @) Vista supcrior hacia ol polo norto. Un campo magnético variablc cnEc lss caras polarcs dc wr 'clcctroimrin induco un campo olcct¡ico. [¡s corsidcracioncs dc simctría nos pcrmitcn cspccificar cl campo clcctrico, no tan sólo su intcgral siguicndo una traycctoria arbit¡a¡ia.

t

¿Es neccsario un cam¡ro magnético cuando se induce una cor.riente?

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l

Hay un aspecto de la ley de Faraday que no es muy obvio. Suporrgamosque har' I partfculas:cargadas, como protones,en movilrriento,.peroestántan alejadasde .: ü región de las caras polaresde un imán, qr¡c e canlpo nragnóticoes lnuy peque;:: donde se encuentranlos ¡rrotones.¿Acelerarfar todavfacuandose hace carnbia¡ei a t campomagnético?¿Seindt¡ceun campoe lctri :o aulrcn rcgionesmarginales,el irs *t que el campo magnéticoes pequeño,o e r ref ionessin carnpomagnéticoalgunc, i como en la zona exterior'de un solenoide,trroi, al? Según la ley de Faraday,todo ic que impora es el cambio en el flujo a tra' és d: la espira err cuestión, sin importu dónde se encuentreésta,Los experimenJcs dernuestranque las respueslasa ambas preguntases afirmativa. Para comptendet esa rbservación,es útil recorclarque las lineasdel campomagnéticodebensercerr rdas,y qlle cualquiercambio en el campo, en una región pequeña,se puede relaciol ar con un cambio correspondienteen el númeto total de llneasde carnpofi¡erade c ;a región.Un flujo rnagnéticoque canbia prredeinducir camposeléctricosen regior :s alejadasde dolrdeel campo magnético es gtande.

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FIGT RA 31-24 Gcrrrador ilc co altcma. /\^|cl

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I'IGURA 3f-25 (a) Ur¡afu :r¿a.cxtcrna ¿clocidad, haccgiraraunabobinacon anglnr rrr cn ur c¡¡npo ¡n¡r,'¡ético.En osa boblnasc lnduccunafucr¿aclcctromof-lz al condcpcndcncia scnoidalrc,spccto ticmpo,dc frccucnciaangularar.(b) Vista latcraldcl proccso,cn dircccióndc a¡.

cENERADoRESY Mor( )RES

[,a generaciónde energíaeléctricaen nuc ;tra :;ociedadse basa,cn gran ¡rarte,en la ley de inducciónde Faraday.La conversj)n d(] enmgla mecállica(por ejernplo,los álabes giratorios de una turbina de vapcorrstante,B, y se hace gitár a una velocidadangularcr, respectoa un eje pe pen,iicular al campo (figura 3l-25a). Las terminalesdel conductorque forma la bobj ia (e r el casode los motores,cambiarenlos *bobina" por el de "devan do" que es el que se aplica) se sacanal el nombre de exteriot a tiavés de determinado tipo de < :nta :to deslizante,con un céndrtctorfijo, Al girar el devanadoen el campo mag étic.r, canrbia el flujo magnético que io attaviesa,y se induceuna fem. De acue¡cr corrla figura 3 I -25b, el flujo magnético a travésdel devanadoes ó¡ - A ' B =.48 c 's 6. Imaginemosque'larotación comienz¡ cuando I - 0, de modo que 0 = r¡t. Ento rces.la derivada del flujo magnético con respectcial tiernpo es d@ o:sgj d¿

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cos(cr¿l: - ABU sen(rr.rt).

(3 1- r 3 )

Hay Nweltas de alambre,y entonces,la fuerzaelectromotrizinducidaentrelasdos terminalesdel devanadoes I --il"

I,-IGURA 31-26 Cua¡rdo r icct¡'omoü'izq ' rc varía sc, r¡uc sc origina t rr la rotaci, dcntro dc un ca¡mpo¡nngn' (como cn la figrra 3 t-2.5a circuito, sc producc rma cr con la mlsma frecucncia a

926

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fucr, ' ridal r:ntc,y r d ctr a b o b ill:r ico c, rsta¡rtc cs p;r,tc dc rur ricntc senoidal gular, a¿.

(i : -,t, {;"u : \,,,18a.¡sen(
(3 r - 1 1 )

Esfe arreglo es lo qrreforma nuestrog( nerador,que se rc presentamedizurteun cl¡culo que enciena una onda senoidal (figura 3I-26), Si el conductor del devanado del generador se conecta como elemento de un citcuito en serie,con resistenciaR, entoncessc general na coffiente 6 . ' :R :l l

N A B u¡

sen((r)r)

111-l Ír

en el circuito, Fsa corrienttealterna oscila en signo, y tiene'unamagnitud máxima

iguala NABalR. a estecircuitc,P, estáexptesada ertrcgada porel producto La potencia dele porlacorriettte; fueizaelectromotr¡z P : 8l : IN ABosen(rat).

(31-161

o o I

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o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

La fuerza mecáníca que hace girar al devanado debe ser la fuente de esa potencia. Sabemosque una espiraque conducecorrienteforma un dipolo r¡agnético, y que éste I ¡V¡¿to expetimenta un par que tiendea alinearlocon la diteccióndel campomagnético..A,sf, 5 Ff, que girar contra par. la fuerza hace al devanado debe efectuar,trabajo ese Calculeo mos la rapidez a la cual se efectúa el trabajo- El par sobre un dipolo, de momento dipolarmagnéticop en un campo B tienemagnitud NABttt _

r: l F x Bl _ - ¡rB sen0, en la cual recurrimos a la figura 31-25b para la definición de'0 y recordamosque el momentodipolar magnético es perpendicular a la espira de éorriente. La potencia "'p o mecánica,P*, o trabajo por unidad de tiempo, que debe ejetcet la fue¡za que hace girarla espira contra este par es : ¡1Bo 9n0.' P-." : 711¡

= INABo.¡sen 0.

(N ABo¡\2

sen'(c¿f).

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FIGURA 3l-27 Potencia disipada on ol circr¡ito dc la figura 3l -26. Sicmprc e.s positiva, a difcrcncia dc la corricntc, cuyo signo altcma.

(31-17)

Esteresultadoes igual al que expresala ecuación(3 1-16). Como se esperaba,la potencia eléctricaexplica pot completola potenciamecánicaque entra. La dependenciaexplícitacon respectoal tiempo,de la potencia,se calculacon , ón(31-14);o el pr oduc t ode la c o n i e n te ,e c u a c i ó n(3 1 -1 5 ),p or el potenci al ecuaci bien,más sencillamente,con el ptoducto V2¡R.En esecasotenemosque : . P:

N1A2ll20f

TicmPo

El momento dipolar magnético de una bobina con N vueltas es /N,{ [ecuación (29-24)).Entonces P*

R

(3r-r8)

Estacantidad siempre es positiva, en contraste con la fuerza elect¡omotriz o. la coriente,las cuales,ambas,alternan - su signo. El contrastese muestraen la figura 3l-27,queesuna gráficade la corrientey la potenciaen el circuito de la figura 3l-?6, comofunción del tiempo. Deseamosconocetelpromedio con respecto.altíempo,de la potencia.Parallegar aé1,notatemosque la función de seno cuadradooscila entre 0 y l, y su promedio en unperiodoes ll2. La potencia promedio disipada en estecircuito es, entonces,

_lvk _, ¡D Pr cM __l@ABw)2 ' R R'

(3r-re)

Tan sólo hemos descrito el principio de funcionamiento de los generadores eléctricos. La práctica real, en la que los generadoresde muy alta eficiencia emplean la potenciamecánica del vapor caliente, o de las cafdas de agua, para hacer girar gfandesturbinas en campos magnéticos gigantescos, implica g¡an capacidad de ingenietfa (figura 3 1 -28). La enetgfaeléctrica se transmite en forma de corriente alterna.Una vez transmitida,se usa, normalmente, para hacet trabajar motores que se basan en la ley de Faradayde inducción, que vuelven a conveftir la enetgla eléctrica en energlamecánica.El generador que describimos arriba emplea energla mecánica para prducir conienteeléctrica. Si hacemostrabajarun generadoren feve¡sa,podemosconvertir energfaeléctrica, en forma de corriente, en enetgla mecánica. Tenemos lo que,se llamaun motor. Ya vimos un ejemplo de él en el capftulo 29, al describir cómo; si unacoffientedirecta pasapot una espiracon conmutadorde anillo bipattido, se forrna unparsobrela espiray estagira; el conmutadorinviette la coniente despuesde media vuelta,y aseguraque el par siempre estéen la misma ditección. Si tenemosun motor concorriente altema, podemos omitf el conmuüador,porque la cofflente lnvierte su direcciónen forma automáticadespuésde medio ciclo. La rapi dezalacual giran esos motoresestá relacionada con la frecuencia de la corriente alterna. El diseño de motoreseficientes es de gran importancia tecnológica, pefo una descripción detallada de losmotores nos apartarla mucho de nuestro campo.

FICURA 3f -28 Gcncmdorcs hidroclcctricoe, quc producen e.ncrgia clcct¡ica mcdiante la cncrgra rrrcanica dc. agua quc hacc gi¡ar a las n¡¡bi¡.as impulsoras y a Ic gerrmdorcs ac -;.lr:; r cllas. Estm ütimos ücr¡cn d,cr¡¡¿: rs ¡-.-: interior dc cam;rs cl..:..5

928 Capitulo t1 kydcFeraday

Este pr.oblemr se tr¡tó ¡l ñ¡ ¡l del cepitulo30.

*3t-7 REI-AcIcN .tN'r'RrjcAMt os liltc'l'l{tcos Y MAGNIETICOSDESDE MARCOS DE REFERENCIA EN MOWMIENT.)" Nos encontmmos ya ,.n posición dé resolver el problerna de la consistenciade las leyes de electticidad y magnetismo con el principio de la invariancia, de Galileo; o sea,el princifio de la relatiüidad.Segúndicho principio, no debehabermodo de deci¡ cuál de dos marcos inetcialesse mueve y cuál no, si se encuentrafinroviéndoseentre sl. Las leyes del movim¡ento deben ser iguales en todos los marcos inerciales, de modoque no constituyenun método para decit cuál mafco se'mueve. Asl, un observador,O, y un observador,O', que se mueve con velocidad constante,u, relativa al observadorO, deberlaexp¡esarlas leyes del movimiento exacüarnente del mismo modo. En especial,la'segundaley de Newton,

S: r', en la cualp - fiv, debeserigualparael observador O, quienve quela partlculase mueveconvelocidadv, al igualquepa¡ael observador O', quienve quela misma partlculasemueveconvelocidady' - v - u. Estosetáel casosi'u esconstante(cual debcserloparamarcosinercialesde referencia)y si Ia fuerzasobrela partlculaes igualparaambosobservadcres. Si la pattfculaestácargada,y estásujetaa unafuerzadel,orente,hayunadificultad porque la fuerza de l-orentz dependede la velocidadde la partlcula.El apa¡enüe, probelmasólo serfaaparenlesi ambosobservadores apreciaranla misma fuerzade Lorentz.Determinemoslo nec¿sarioparaque la fuerzade Lotentz seala tnisrnapua El obs¡'rvadorO ve quela fuerzade l¡rentz esfecuación(29-4)] ambosobnervadores. (3r-20) F:q[E+(vxB)]. Y el observadorO' ve que lr fuerza es

q{E'+ [(v- u).xB'l]. ,, (31-21) cuenta posibilidad que la los cámposvistospor el En esüecasohemostenido en (E y B) seandistintosde los que apreciael observadorOl (E'y B'). observadorO Esaposibilidades1oquehaceposiblereconciliarlasfuerzas.Las fuerzasquevenlos seráigoalsiemprequelos camposque aprecianesténtelacionados dosobservadores por E':E+(uxB) (3 t - 2 2 )

L,oecempoeeléctrlcoy nr Bnéticose ¡nczcl¡nscgrinun obscrv dor quepeee deun marcoinerc¡¡l r ol ),

B': I]. (l r- 2 i ) unasoluciónúnicaal problemade rcconcino representan ecuaciones Aunqueesüas correctas noson cuandolasvelocidadés liar lasfuerzas,resultaquesonlasrelaciones que, g¡andes,en comparación con la velocidadde la luz. I-legamosa la conclusiótr deun marcoinercialdereferenciaa otro,los camposeléctric¡ bajola transformación y magnéticosemezclan(setmnsformanentresl) de un modo muy especial. La desctipciónde arriba indica cómo los observadotesestacionarioy en movi-: miento aptecianla fuentey el efectode la fuerzaelectromotrizde movimiento. Supongaque un observador,O, se encuetrtraen un matco de refetenciaen el cual hayacampomagnético,peto no eléctrico.Si semueveuna varilla conductotaenese O, carnpo,habráfuerzaelecttomotrizdemovimiento,Sufuente,segúnel observador esuna fuerzamagnéticasobrclos elect¡onespottadóresen la úa¡illa (sección31--?) O' quesemueveconla,varillala ve enreposo,y, además,ve el mistnc El observador campo magnéticoconstanteque ve,el observadorO, de acuefdocon la ecuación (31-23).Porconsiguiente, el observadorO'.no observafuerzamagnética. Sinembugo, el observadorO' tambiénve un campoeléctrico,E' [ecuación(31-22)], y e.se campo eléctrico tiene una magninrdque hace que los electrorresportadoresenir varilla acelerenexactamentedel mismo modo que los ve aceleratel observado¡0, Ca,laobservadoratribuyelos efectosobeervadosa distintascombinacionesde campx

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ta ley de Faraday describecómo un flujo magnético variable a travésde una espira, Q¡, origina la inducción de una fuerza electromotriz, á, que recorre a la espira:

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(3t-2)

El signo menos en la ley de Faraday se vuelve a enunciar,esta vez en té¡minos más reales,en forma de la ley de Lenz: las corrientes induqidas producen campos magnéticosque tienden a anular los cambios de flujo que las inducen. El cambio de flujo al que se refiete la ley de Faraday puede darse ya sea porque el campomagnético cambia en función del tiempo, o porque el áreau odentación de lasuperficiea travésde la cual se calculanlos cambiosde flujo, cambiacon el tiempo. En esteúltimo caso,la fuetzaelectromotrizinducidase llama fem de movimiento,y se puedecalculat directamentepor aplicación de la ley de fuer¿ade Lorentz. La aplicaciónde la ley de f-,enza fuerzaselectrornotrices de movimiento indica que la corrienteinducidadebeptecedera lasfuerzasmagnélicasque inhibenel movimiento del objeto en el cual se induce la fuerza electromotriz.ta disipaciónde potencia debidaa flujo resistivo de las corrientesinducidaslo iguala la potencianecesariapara manteneren movimiento al conductor. Cuando se tiene una fuerza electromotriz debidaa cambios magnéticos variables en el tiempo, la ley de Faraday es un nuevo prrrcipiode la flsica. Cuando un flujo magnético variable pasaa travésde un sólido conductor,la ley deFaradayse manifiesta por la presenciade corrientesparásitasen el mate¡ial. El generadot de corriente alterna, en el cual se funda la generaciónde energfa eléctrica,esuna aplicación de la ley de Faraday.Cuandouna bobina gira en un campo magnético,se induce una fuerza electromotriz en esabobina o devanado.I.a energfa mecánicade totación se transfoma, asl,.en energfa eléctrica, en forma de una conienteen los circuitos conectadosal devanado.

PREGUNTAS l

Una superficie esférica se coloca en un campo magnético variable.¿Habráuna corrienteeléctricainducidaalrededor del ecuador?

2. ¿Debehaber una bobina real conductora en una zona donde hay campo magnético cambianle para que se induzca un campo eléctrico? 3, Las termi¡ales eléclricas, que son los alambres que van de una parte a olra de los aparatosque se usan en los experimentos,para los experimentosdelicadoscasi nunca se separan, sino están cercanasentre sl, o aun trenzadas.Explique por qué se deberla hacer esto.

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{. ¿Puedecambiar el campo magnético en determinadaregión, sin que cambie el flujo magnético que pasapor la superficie de esa zona? Si es asf, cite tantos ejemplos como pueda. 5. En cadaparte de la figura 3l -29 se muestrauna corrienteque se induce en una espira conductora, a causa de un campo magnético va¡iable que pasa através de ella. En cada caso, ¿es correcta la di¡ección de la coñiente inducida que se indica? (a) Un imán se acerca a una espira; (b) una espira conductora con corriente se acerca a una espira en reposo; ,'clse cier¡a un intemrptor en la primera espira,haciendoque :ase por ella una coniente; (d) se ciena un inteiruptor en un c¡::ducto¡recto, permitiendoel paso de corriente.En este :i-<:. el alanlbrey la espiraestánsobreuna mesaplana.

FICURA 3l-29 Prcsunta 5

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6. Un aro conductorse hacerodar en lfnea recta a velocidad en el hemisferionorte'a constanteen direccióneste-@ste, travésdel campomagnético.¿Fluiráunaco¡rienteenel aro? Si esasl,¿enquédireccióncirculará? 7. Una espirarectangularse muevecruzandoun campomagnético uniforme,de tal modo que la fuerzaelectromolriz induci la escero.¿Quépuedeusteddeciracercadel ángulo del entrel.rnormala la superficiede la espiray la direcciór1 campomagnéticoduranteel movimiento? 8. Secolocaunaláminademetalentrelaspiezaspolaresdeun a lasllneasdel imánpermanente, en el planoperpendicular campomagnético.¿Senecesitatrabajopositivoparalirar de la láminay sacarla?En casoaftrmativo,¿porqué? 9. Cuandoun imán rectose muevehaciauna es¡riracon corriente,seinduceunaconienteen ella.¿Cómo,si esel caso, ffsicamenlemedibles,si la espirase cambianlascantidades muevehaciael imán,y no el imánhaciala espira? 10. Si una placaplana,colgadade una cuerda,y paralelaa las caraspolaresde un imán (las cualesestánen un plano vertical,paralelasentresf), se muevecomo lentejade un Si el péndulo; a través de las caraspolares,se.desacele¡a. poderco,la placallegaal reposo. imáneslo suficientemente ¿Porqué?¿Cómose podrfaevitar estefenómeno? 11. ¿Puededescribirun caso en el cual se induzcafuerza cuandono electromotrizde movimientoen una espira,'aun hayacambioen el flujo magnéticoa travesde la misma? " susátomosseionizan 12. Cuandosecalienlaun gaslo suficiente, en electronese ionespositivos.El gasformaun plasma.Si a esteplasmase hacepasarpor un conducloperpendicular un potencialeléctricoque un campomagnético,se'acumula cn¡zaal conducto.El aparatoquese basaen estefenómeno es el generador magnetohidrodiruimico(MHD). Con la intensidaddel campomagnéticoy el potencial,podemos calcularla velocidaddel plasma'La cargay Ia densidadde enel resultado. enel plasmano aparecen losportadores ¿Por qué no? 13. ¿Quésucedecuandoun imánrectosedejacaerporel interior de un tubo dé cobrelargoy recto? 14. En una demostración,un anillo'de aluminio se coloca con rodeandoun vástagode un núcleo de hieno devanado

a una baterla(figura31-30).El anillo alambieconectado si saltacuandosecierrnel circuito.¿Porqué?¿Quésucede se haceun corleen et anillo?

t'IGL,RA 3l-30 Problcma 14.

15. Una pieza citlnclriia de lúerro se introclucrdcntro de un paraamplificarel campomagnétiro. A lastermisolenoide, nalesdelsolenoideseconectaun voltajequevarlaen forma al tiempo.Se deslizaun aniiloclecobre armónicarespecto demodoqueestepasepor el anillo,y se sobreel solenoide, quedeallf.(a)Expliqueporquéel anillodecobresecalienta, aunquenadalo toque.(b) ¿Cuil es la fuentede la energla (c) Expliquecó¡nosc conservala energlaen este :.r1].^t 16. En la pregunta15, el ejedelsolenoideesvertical.Es posible decobreque,cuandosedeslice tenerun anillodeterminado sobre el solenoidey se colxlue en el plano horizontal, p€rmanezca sus¡rendido enel espacioque¡odeaal solenoide. (a) ¿Porquéfuncionalo anterior?(b) ¿Cuálesson,loscriteriosde selección delanilloparticulrrdecobre? las formasquepuerlaustedimaginarse t7. Describa.todas Para generarcanrbiosdeflujo magnéticocuandohayunacor¡iente constante.

PROBLEMAS 31-2

tey de Faraday

de Ia lnducclón

1. Q) Una espirade alambre,de 0.35m2de área,secolocaentre las piezaspolaresde un electroimán,en ángulorecto con la di¡ecciónde las lfneasde campo magnético.¿Cuáles la fuerzaelectromotrizquese generaen la espira,si cambiael campomagnéticoconunarapidezuniforme,de 2.0 T a 4.0 T en 9.3 s? Supongaque el campomagnéticocs uniforme en toda el áreade la espira. 2. (I) Supongaque la espiradel problemaI tieneunaresistenpotenciasedisiparáen calentamiento ciade23 O. ¿Cuánta óhmico mientrasaumentael campomagnético? l

-10

3. (I) Un campomagnéticoquecdmbiaconel tiempo,peroque es uniformeen el espacio,tienela direccióndel eje x.'Se colocaunaespiraconductorade 7 cmdd diáinetro,y 1.5x 10-3O de resistencia, en ei planoye. Si la corrienteen la espiraes2 A, ¿conquérapidezcambiael campornagnético? 4. (II) Una espiracuadradade alambre,de L x L, en el plano rry,entraa una regióndondeel campomagnéticose dirige primerohacia+2,y después hacia-z (figura3 l-3 1).El ancho de cadaparteesL. La espirasemuevea unavelocidadu en dirección+x. Calculela fuerzael ctromotriz,con signo¡'

o o o o o o o o o o a a I o o o o o o o o I o o o o o o ¡ o o o o o I o o o o o o I

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magnitud,queseinduceen la espiraal entrary pasarpor las regiones de distintoscamposmagnéticos.

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F ICURA 3 l- 3 1 Pr o b le m a4 .

(ll) Un alambrelargo y recto,orientadoen dirección¡, lleva una corriente de 0.50 A. En el plano rry se encuentra una espiracuadradade 1.0 cm de lado, con su lado más cercano a 30 cm del alambre(figura 3l -32). En un inten'alo de 0.10 s, Ia espiracuadradase mueve uniformementel0 cm hacia el alambre.¿Cuál es la fucrza electromotrizinducidaen la espiramientrasse mueve?No tengaen cuentala variación del campomagnéticodel alambredentrode la espira,es deci¡, solotome en cuentael valor del camoo al centrode la esorra.

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FIGIIRA 3l-32 Problcma5.

@ ¿Cuil es Ia fuer¿a ele¡tromotriz máima que produce una bobin¡ cuadradade 6Oweltas, de 25 cm por lado, que gira sobre unode susejesdiagonalescon una frecuenciade 10 Hz, dentro deun campomagnéticode 0.50 T perpendicularal aje? (ll) Una bobina de 125 vueltas,de 2.0 cm de radio, y cuya ¡esistencia es 3.0 Q, gira sobre un diámetro,dentro de un carnpomagrréticouniforme de 0.50 T. ¿A qué velocidaddebe girarparaproduciruna corrientemáxima de 6.0 A en la bobina? (ll) Hay un campomagnéticoconstanleB = Ao(¡* j * k), en la región ¡ > 0, y > 0, z > 0. Una espira cuadradade dimensiones L x L, cuyos lados son paralelosa los ejesx y i semueve,con velocidadconstantev - uo(i-f j) en el plano n. de tal modo que su centro se desplazapor la lfnea x = y Caiculela fuerza electromotrizinducida en la espira,si su :.squrnadelanterapasapor el origen cuando el tiempo r - 0. i-llrUna espiraverlical gira con velocidadangular(d,cor¡o se le en la figura 31-33. Cundo el tiempo t = 0, está alineada a un carnpo magrréticoconstanteen dirección ¡. '-* ia ley de [-¿tu para determinar la dirección de -qendrcular la fuerza :.:¡uomotriz inducida en la espira,cuando t : 0, r = Tl4, t = li. ¡ ; = 3714,siendo Tel pcriodo de rotaciónde la espira.

FIGIJRA31-33 l)roblcnra 9. 10. GI) Con un alambre en forma de U y una barra transversal que tiene movimiento libre en la direcciónx, se fonna una espiracenada;todo ello quedaen el plano.rry. El extremode Ia espira se encuentaen ¡ = 0.'Hay un campo magnético constante,B - 8.,k, orientado en dirección z. El caso y las dimensiones importantes son las que se ven en la figura 31-11a,exceptoqrreaqul el campo magnéticoes constante. Suponga que se tira de la barra móvil a una velocidad constante,v, hacia la derecha,iniciandoen ¡ = 0 cuandot0. La posición de la barra transversalen cualquier lnomento es.r = ,f. Si la resistenciade la espiravarla de acuerdocon la longitud total L, segúnR = crl, ¿cuáles la corrienteen la espira,como func.ióndel tiempo? Compare su respuestacon la del ejemplo 31-4,y explique las dife¡encias. 11. (il) En el ejemplo 31-4,sea constanteel campo magnético, orientado en dirección y, B- Boj. Calcule la corriente inducida como función del ,tiempo. I 2. G) En el ejemplo 3 I 4, su,pongaque el campo magnético varfa en forma lineal respcctoay, y que tiene la direcciónz: B - Cyk. Calcule la corriente inducida como función del tiempo. 13. (lI) Se forma un anillo metálico de tal modo que se expanda o se contraiga libremente. En una región donde hay campo magnético constante,Bo, cuya dirección es perpendicular a Ia de la espira, ésta se expande, y su radio crece en fomta

FIGIJI{A3l-34 l)roblcr¡ra 13.

lineal, con respectoal tiempo, segúnr - ro(1 + ar)(figura 3l-34). A medidaquese expandey sehacemásdelgado,su resistenciapor unidad dc longitud cambia,segúnla regl ' empfricaR= &(l + pr). Determinela corrienteinducidaerr ' el anillo como función del tiempo.Especifrquela dirección y la magnitudde la corriente. 14. (II) Una espiracircularde áreaá gira con frecuenciaangular
21. (II) Una varilla de longi tud I se mueve a velocidad constante, u; entrando a un:r región entre los polos de un imán de herradurá, donde I ay un campo *rgttéti"o cbnstante,peipendicularalavari la, én una regióncircular(figura 31-3ó). 'L = 2R, el radio r r la región circular, ¿Cuál es la fuerza electromotriz indu ida en la varilla. en función del tiempo?

,/.."(,1)

19. (II) Una bana metálicade 0.3m delongitudsemuevehacia la derechaa una velocidadde 0,1 m/s, Estabana forma un ángulodC45qconsu'dirección demovimiento.Pasaa través deunaregióndscampomagnéticouniforme,cuyánragnitud al planoquebane es l0-2 T, orientadopeqpendicularmente la bana (el camposalede la página,en la figura 3l-35). ¿Cuálesla diferenciade potencialentrelosdosextremosde la bar¡a,al moversepor el cam¡romagnético?

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31-3 Fuena ele¿tromotrizile movintiento 16. (I) El transborda dor Vogaver/ se mueve por el espacio interestelar,en el .cual el campo magnéticoes l0'r0 T. Supongaque tiene una antenade 3 m de longitud.Si se mueve de tal maneraque la antenasea perpendicularal campomagnéticocuandoel transbordador viajea unavelocidadde lOam/s, ¿cuáles la fuerzaeleclromotrizinducida a travésde la antena? 17. (I) lJn Boeing ,747 vtela hacia cl no¡1e,a 90Ohnflr en un lugardondeel campomag4é,tico terrestreconsistcdeun componenteverticalhaciaamibade2 x 10-5T, y un componente de las alasde haciael sur de 3 x 10-5T. Si la envergadura un747 es 35 m, calculela fem inducidaentreellas.Si la aeronavevolara hacia el este,en lugar,dehaciael norte, ¿cómocambiarlala respuesta? 18. (II) Un disco metálicode 30 crn de di¡ímetrogira respectoa su eje de simetrla,a unayelocidadangularde 450 rad/s.El uniformede 4 x 10-2T, discoestáen un campo.magrrético perpendicular itptano deidisco.¿Cuálesel voltajeinducido entreel eje y el bordedel disco?

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¡,-ICtlRA 3l-36Ilroblcm21. 22. (ll) lJna bobinagiratoria es un dispositivononnil pua medircamposnragnéticos. Se tieneuna bobinade árcar{, con N vr¡eltas, que gira a una frecucncia angularoten un campomagnético. La posicióndc la bobinase ajustapara pro'drrcir unaconienteinducidanráxima,/-¡*, eucsepuede medir empleandoun anrperfmetro aclecuado. R es la ¡esistenciatotal del circuitode la bobina.Deduzcala relación entreel campomagnéticodesconocida e d,¡,. 23. 0I) Si la bobinagiratoriadel problenraanteriorseusaracon el conmutadorde anillo biparticloque se describióen el capftulo29, se puedemedi¡ la corrientedi¡ectacon un galvanómetro sensible.Deduzóala ¡elaciónentreel campo magnéticodesconocido y la conientedirectapromedio,d quesemide. 21. (ll) Un alambrclargoy rectoconduceuna corrientede20 A. Una varillametálicadelgadade 10 cm de longitudse orientaen direcciónpeqrendicular al alambrey se mueve con una velocidadde 1.5 ny's,paralelamente al alamb¡e, y la dirección sonel tanrario dela fuerzaelectromo¿Cuáles triz indr¡cida etr la varilla,si cl punto,más cercanode ell¡ est¿i y si la varillasemuevcendirección a i crndcl alanrbre, opuesta a la de la corriente? Fuezas,,energí-a y potencíaenluc4a electromotríztie movimíento I x i. 25. (II) Una espiracuadrada de alambre,de dimensiones estáen un planoperpendicular a un campomagnéticocons. tante.El camposólo ocupauna determinada región,cuv: 31 -4

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FIGLJRA 3l-35 Probloma 19. 20. QI) Una placacircularde metalr;emuevecomolentejade penduloentrelos polos de un electroimánde juguete.La placaestáorientadade tal formaque esparalelaa lascaras conientesparádel imán.Describademanera'cualitativa'las sitasquese inducenen la placa'alrn.overse.,

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lfmite es defrnido (figura 31-37). los lados de la espira forman un ángulo de 45econ ese llmite, y una fuerza externa hace mover a la espira a una velocidad v, saliendode la región del campo constante. ¿Cuánta potencia debe suministrar la fuerza externa, como función del tiempo? 26. (Il) Una barra conductora se desliza sin fricción sobre dos car¡iles paralelos y horizontales, separadospor 75 cm. La barray los rieles forman un ci¡cuito cerrado con un resistor cuya resistencia es O.I fl, que suponemos constante durante el movimiento. El circuito se coloca en un campo magnético vertical uniforma de 0.15 T, que es perpendicular al plano del circuito. Se tira de la barra a una velocidad constantede 4Ocny's,a lo largo de los rieles. (a) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza necesariapara tirar de la barra? @) ¿Cuál es la potenciadel calentamientode Jouleen el resislor? 27. @ Un alambrelargo y recto conduceu¡u corrienteconstante, /n Una espiracuadrada,cuyos ladostienenL de longitud y dos deellossonparalelosal alambre,seretiraa velocidaduniforme, u,en direcciónperpendicularal conductor.El lado máscercano de la espira,inicialmente,se encuentraa una distanciaD del alambre; la resisterrciade la espira es R (a) Calcule la fuer¿a necesa¡iapara tirar de la espira. @) ¿Con qué npidez efectua trabajo la fuerza? (c) ¿Cómo se compara la respuestaa la parte (b), con el calentamientode Joule de la espira?

5 ¡l V?.(No tenga en cuenta Ia pequenava¡i¿ción cbi ca;¡: magnéticoa travésde la espira.) 31, (D Un solenoide largo, de radio R y n vuellas p'or L"njdac de longifud, conduce una corriente altema ^I = 1o sen(cxl (figura 3l-38). ¿Cuáles son los carnpos eléctricos que se inducen dentro del solenoide, a una distancia $2, y fuera del solenoide, a una distancia 2K7 fSugerencra: apüque la ley de Faradaya las dos trayectoriasque se indicar¡ y use la simefía.] 32. (ID Un solenoide cillndrico muy largo, de radio r, formado con n vueltas de alambre por unidad de longitud, conduce una corriente que dependedel tiempo, I = I&4". En forma coaxial con el solenoide, y rodeándolo, hay dos vueltas de alambre que forman una bobina circular ligeramentemayor que la sección transversaldel solenoide (figu¡a 31-39). l: 'bobina con dos vueltas está alejada de los extremos del solenoide,y tiene una resistenciaR. Determine la corriente, ^f', en la bobina con dos vueltas. como función del tiempo.

28, (II) En el ejemplo 31-ó, ¿quésucedesi la velocidad inicial de Ia espiraes (a) menor que ¿'i,y (b) ma¡'or que u,? 29, (ll) Los watthorfmetrosdomésticosse basanen el principio que Ia fuerzade resistenciadebidaa las corrientessecundariasinducidascuandopasauna piezamór'il de metal a través de un campo magnético,es proporcionala Ia velocidaddel metal.En estecaso,un disco delgadogira, impulsadopor un motor cuyo par es proporcionala la potenciacorsumid: en Ia . . casa.El disco pasaentre los polc de un imán. Dcmuestre que, en general,la velocid¡d de equilibrio del disco es u¡n medida de la potenciacorsumida. El número total de weltas del disco es,porconsiguiente,equivalentea medir la energfacorsumida. 3I-S Efectos de campos magnéticos variables en el tiempo 30. (I) Un alambre largo y recto conduce una corriente / = /o cos(l2Ort), siendo f el tiempo. Dos lados de una espira rectangularfija tienen 50 cm de longitud,y son paralelosal alambre;los otros lados tienen 2 cm de longitud. El lado largomás cercanoestáa l0 cm del alambre.¿Cuántovale /o si la fuerzaelectromotrizmáxima inducidaen la espiraes

FIG.IIRA31-39Problcm 32.

33. (II) EI campo magnético uniforme del elect¡oimán del ejemplo 3l-7, con caras polares ci¡culares de radio R - 0.5 m, decreceen forma Iineal rcspectoal tiempo, desde2.0 T hasta 1.2 T en I .5 ms. ¿Cuál es la fuerza electromotriz inducida en la trayectoriaque se indica en la figura 3 l-40, que consiste de cuartosde arco, a dista¡rciasradiales N4 y N2, conectados por lfneas radiales?La trayectoria tiene el sentido de las manecillas del reloj. Viendo haciaabajo. h¿ciael polo no;tc

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FIGIJRA3l-38 ltoblcma3l

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FIGIIRA 3t-10 f\oL'lcr¡:ei-: 2

34. (II)

Un solenoide de radio r, ie','a::::

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uni dad de l ongi tud, conduce üná C ,ai tlj r.t:.:::::-a:-

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siendot el,tiempo.¿Cuálesson la magn.itudy I - Ió.cos(@t); di¡eccióndel campoeléctricoinducicloin¡hediatamente fuera del solenoidei' y motores 31-6 Generadores 35. (I) Una bobinade 5.0 cm2de área,con 5Ovueltasde alambre, se conectecon un resistorde 50 O de resistencia.Se hace girar a maro, a una frecuenciade 1.0 rev/s dentrode un campomagnéticode0.50T. (a) ¿Cuálesla cantidadmáxima de coniente que se produce?(b) ¿Cuáles la potenciapromedioquese produce? 36. (ID Tiene usted 25 m de alambre,un campo magnético constantede 0.I 5T, y un aparatoque puedehacer'giraruna bobinaa una f¡ecuenciafrja de 9OHz. ¿Quétamañode bo'birracircularproducirlaunafuerz¡ electromolrizaltemade 120V de voltajemáximo? 37. (ID Una ruedade bicicleta,de radio R= 35 cm, gira a una a velocidadangularde 65 rad/s,en un planoperpendicular de 0.20 T de magnitud. un ca¡npomagnético.constante, ¿CuiI es la fuerzaelectromotrizgeneradaentreel centrode la rur:day su bordc?Cuandoun cxlrcmode un conduclorse cone(:ta conel centro,y el otroa un carrilcircularenconta:to c,rnr I trorde,sp:letrcriüfiá,corri,inte direclaquepasapo' el ?¡am,)f€. A estearreglose le llalrtagencrador.lomopolar. *31-7 Rebción cnlre camposeléctricosy magnéticos desdemarcosde reterench en movimienlo O apreciaun campoeléctrico 3lt. 0D Supongaqueel observador E - Ei, y un campomagnéticoB = 8k. ¿Enqué dirección, y a qué velocidad(constante),u, debemoverseun segundo observadorparaqueno aPreciecampoeléctricoalguno?Use la ecuaciónno relativista,la (31-22),Si E - 103V/m, ¿para no quélfinitesde valoresde .Besadecuada la aproximación relativista? Problemasgón'eraies 39. 0I) Un alambrede 50 cm de longitud,de secciónt¡ansversal de 1.0Q, y conunamasade.óI y unaresistencia cuadrada, sedesliza,sin fricción,cuestaabajo,sobrecanilesconducmfnima (figura 3l-41). Los toresparalelos,de resistencia en la parteinferior, mediante carrilesestáninterconectados un conductorsin resistenciaparaleloal alambre,de tal maneraque el alambrey los caniles forman una espira rectangutarcenada.El planode los carrilesforma un ángulo de45oconla horizontal,y en todala regiónexisteun campo

'/' () FIGURA 3l-41 Problcnra39.

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vertical,unrtbrme,de 0.50'l',haciaarrrba.¿Cua, magnétrco esla velocidadconstante del alambre? (D Un alambrerectoconduceunacorriente1= 10 A, cerca 40. (figura de una varilla que se mueveéntredos conductores 31-42).El resistortieneR = 5.0 C),y la varilla se muevea unavelocidadde 3.0cm/s.(a) ¿Cuálesla fuerzaelectronrotriz inducidaen la varilla? (b) ¿Cuáles la corrienteen el circuito?(c) ¿Cuánto trabajoseefectúaparamoveria va¡illa l0 cm haciala derecha? ¿Quéfuerzaefectúaestetrabajo?

FICURA 3142 P¡oblcm¡ 40.

4t. (II) Una bobinagrandcy circular,de N weltas y radioR, conduceunacorrienteconstante, I,y giraa velocidadangular constanle,co, respectoal diámetrohorizontal.Al centro de esla bobina,se encue¡rtrauna espirapequeña,fija y horizontal,rle radio r. (a) ¿Cuáles la fuerzaelectromotriz (b) ¿Cuáles el ánguloentre inducidaen la eslrirapequeña? el plano de la b,rbin¡ y el del a¡rillo,cuandoesa fucrza electromotriz esrrráxima? 42. Se cuentacon ur acumuladorde 6.0o V. conctadoa dos conederassin fricción, paralelas,a 0.100 m de distancia entreellas.Hay u, , campomagnéticb, B, de0.300T demagy unabara cottductua, nitud,perpendicul;rr a lascorrederas, puederesbalarsobreellas,en direcciónperpendicula: al canrpo(figura31-43).La bana secolocaen lasconederas, pare del reposo,y acelera.(a) ¿Cuáles la direcciónde su mo'¡imiento?(b) ¿Arálesla di¡eccióndelafuerzaelectrorno triz indr¡cida?(c) l¡ resistenciatotal del ci¡cuito cerradoes 0.200O. Calculela corrienteen la banacuandosu velocidad sea1.00¡n/s.

; nül),,0) q ,:f) (.) 0

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43. (II) Un alambrequeconduceuna coriente / tienedi¡ecclir. vertical.A du lado,una espkade alamlrrese colocadeu. modoqueellay el alambreverticalestátr en el mismoplai: ,vefiical(figura3l-44). El alambretecto se acercahaciai¡ espira.Si se induceunacorrienteen esaespira,¿cuálessdirección,y cuálesla direcciónde la fuerzasobrela es;::'

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solenoide, de tal modo que la ca¡a de la bobi¡ra es perpendicular al eje del solenoide; las dos bobinas son concéntricas (figura 3l-46). (a) ¿Cuál es la fuerza electromotrizinducida en la bobina sensora?(b) Si la resistenciadel ci¡cuito de la bobina sensoraes 5 C), ¿cuálrtovale la corriente?

FIGUIIA 3l{4

Problema43.

44.(II) Si se hace pasar el plasma de un generado¡magnetohidrodinámico (véase la pregunta l2) por un conducto perpendicula¡a un campo magnético,se acumula un potencialentre los puniosa y á, que estána I m de separación(figura 31,45). Si el campo magnéticotiene una intensidadde 2.5 T, ¿cuál debe ser la velocidad del plasma, para que el potencial sea

1000v?

FIGIJRA 31-46 Ilroblcma 47. Flujo dcl plasma

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Pr oblcnm 44.

45. (lI) Una bobina con 300 vueltas, de 10 cm de diámetro y 20 C)de ¡esistencia,se coloca en dirección perpendicular a un campo magnético uniforme de l 0 T. De repente,el campo magnético invierte su dirección. ¿Cuál es la carga total que pasapor la bobina? 46. (ID Un campo magnético constante, de 0.50 T, tiene la direccióndel eje.r. Una bobina de alambrede 30 vueltasy l0 cm2de árease coloca en el planoyz. La bobina,llamada bobina exploradora,se voltea al revés (en otras palabras,se hacegirar 180'). (a) Si la cargatotal que pasapor la bobina cuandose hace girar es 0.030 C, ¿cuáles la resist'encia del circuitode la bobina?(b) Se usa la mis¡na bobina exploradoraparamedir un campo magnéticodesconocido.Se hace girar en varias direcciones,hastaque alcanzasu cargamáxima, 0.045 C, cuandosc hacegirar en el planory. ¿Cuáles la magnitud del campo magnético? (c) ¿Cuál es la dirección del campo magnético en la parte (b)?

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FIGIIIIA

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¿18.(II) Un alambreque se doblaformandoun scmicfrculo,se hacegirarcon velocidadangularro,respecto al diámetro, comoseve en Ia hgnra37-47. El alambrey sussoportesse colocandent¡odeun campomagnéticouniforme,perpendicularal planode los soportes.¿Cuálesla fuerzaelectromotriz inducidaen el circr¡itoquesemuestra? Si la resistencia de estecircuitocerradoesR, ¿cuálesla potenciapromedio quesedisipa?

{7. (ll) Una corriente / = .locos(alf) pasaa través de un solenoide de l0 cm2 de área,y con 105weltas/m. La frecuencia es ó0 Hz, e In= 10 A. Una bobina pequeña,bobiná sensora,se usa paia detectarel flujo variable. Esta bobina senso¡atiene un área de 20 cm2 ¡' l0 r.ueltas,y se coloca longitudinal al

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FICIIRA 3l'{7

I}ot¡lcrna 48.

49. 0ll) Un electrón describe una trayectoriaci¡cular de radio R = I m cuando viaja en un plano perpendicular a un catnpo magnético constanteen el espacio,cuya magnitud es 10-6T. Visto a lo largo de las lfneasmagnéticas,el electrón describe una trayectoriaen sentidocontrarioal de las manecillasdel reloj. (a) ¿Cuál es la velocidad del electrón?(b) Suponiendo que el movimiento del electrón no esrelativista, ¿cuál es la energfa,E, del mismo? (c) La magnitud del campo magnético se reduce gradual y uniformemente en determinado porcentajeduranteun intervalo At. Demuestreque el cambio fraccionario de energfadel electrón, AE/E, es independiente del radio de su órbita, y de la velocidad del electrón. Este efecto es la base del funcionamiento, a bajas energfas,del aceleradorllamado betatrón. (d) Si el campo magnético se reduce 10% en un tiempo A/ = 5 s, calcule AEIE.

935

c APrru to 32

L,,sgrandesimanestiencnnúcleoferronngnético,Aqutveryrcs uno dc esosinrcnesquc sc entplea pt;ra levantarchatarra c¡t un desgüeipdero.

II,IAGNETISMOY MATERIA

¿Por qué se puedeconve¡tiruna piezade hieno dulceen un imán recto,y una i¿ aluminiono? ¿Porquélas piedrasimán,de magnetita,t ienerrcampos.mal;néticosl ¿Porqué los imanestirande las agujas,perono de pedazosde papelo de plástico? a esaspreguntas,y muchasmásde graninrportanciatecnológicares:Las tespuestas denen la comprensiónde laspropiedadesmagnéticasde la materia.Es necesariaes¿ comprensiónpara la fabticaciónde memoriasde computadora,motoreseléct¡icos. generadores, aceleradores transformadofes, de partlculas,y explotadores médiccs De igual forma que las ptopiedadesdieléctricasde los materialesdeperrdende ia facilidadde polarizaciónde los átomosy lasmoléculas,laspropiedades magnéticas de los materialesdependende,las propiedadesmagnéticasde los átomos¡'ias moléculas.En estecapltulorelacionarer¡ros los diversostipos de comporlarnie:l:.r¡ragnéticoque prespntanlos materialesa granel,conlos átomosde los cualeses:¡: formados.Describitemosel mecanismoresponsabledel femomagnetismo, ca¡¿c::tlstica de los imanespennanentes.Los materialesferomagnéticosrepresenra:: i clasemás importante,entre tres categoriasprincipalesde nraterialesmagnéti;.:-.. Revisaremos las propiedades magnéticas y describi;er.;de los superconductores, el origen atómico de la resonanciamagnéticanuclear,herramientaimporta;::e= : cienciadematerialesy enmedicina.

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o a o a o o o o o o a o o o a o o O

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Nriclco dc hicrro

(h)

F-IGURA 32-l (n) Un solcnoidc quc conducc una corricntc clóctrica origina un cam¡n mngnótico. (b) Cuando cl volumcn cilind¡ico cn ol intcrior dcl solcnoidc so llc¡u con ur núclco dc hicrro, cl campo magnótico sc pucdc amplificar mucho.

PRoPIEDADES MAGNETICAS DE I-A MATERIA 32-I EN CONJUNTO Supongamosque medimos e[ campo magnético, 8"r,, producidci pot un solenoide conductorde co¡riente, en las cercaníasdel'mismo (figura 32-la). A continuación, introducimosuna barra (núcleo) de madeta o de cobre en el solenoide,y repetimos la medición. Sólo una medición muy precisa indica¡fa un catnbio de una parte en un rnillón,en el campo medido. A continuaciónremplazamosel núcleo por uno de hierro dulce(figura 32- lb). El campo medido aumentaen miles de vecesrespectoal campo original.Además, si se sacael riúcleo de hierro, el metal pareceráun imán recto, aun cuandono tuviera propiedadesmagnéticasantesde introduci¡lo. La última observación indica que el solenoide magnetiza de alguna forma al núcleo de hierro dulce, perono puedehacerlo en los núcleosde maderao de cobre.Los materialesque pueden formar imanespefmanentes,como el hiemo, se ilaman ferromagnóticos,mientras que los que presentanpropiedadesmagnéticassólo en presenciade camposma'gnéticosexternos se llaman noferromagnéticos. El comportamientomagnéticode los maüerialesen conjunto,tanto gases,líquidos y sólidos,se caracterizapor su magnetización, M, que definiremos como el ntomento nngnético dipolar por unidad de volunten. El cam¡ro fuera del mate¡ial es el de un dipolo magnético,el mismo que el de un irnilr tecto. Cotno un dipolo tnagnéticotiene las dimensiones de comiente por área, la magnetización tendrá las di¡nensionesde corrientepor rirea entre volumen, o sea, corriente por longitud. l-as unidades de M son amperespot metro (A/m). Aunque la magnetización puede variar de un punto a otro dent¡o de un material, nos limitaremos a la magnetizaciónunifonne. El campo magnético neto de un solenoide S,, con un núcleo de hierro en su interior, es la suma vectorial de las contribuciones del carrpo magnético externo, el del solenoide,B"¡t, I la de Ia magnetización del núcleo. Se puede considerarque el núcleomismo es un segundosolenoide,52¡pofeue cualquier dipolo nragnéticoequivale a un solenoide.Pero podemos expresarel campo magnético de 52 en términos de su momentomagnético porunidad de volumen. Supongamosque Sr se puedeconsiderat cornoun solenoide de átea'A,longitud L, y Nespiras que conducenuna coniente .L De acuerdocon la ecuación (30-15), el campo magnético de 52 es

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Ferronr lgnetienro

El crmpo mrgnético de un eolenoide ee deecribió en el crpitulo 30.

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en la cual, rn2es el momento magnético de 52,nr2 - NIA: / Po es la permeabilidad delespaciovaclo. El factot m2lV es el momento magnético por unidad de volumen, o sea,la magnetización,M. Asf , la contribución al campo nragnéxicototal, por parte delnúcleo,es /oM, y el campo total del solenoide con el núcleo es B :.8 .,, * l oM

(32- l )

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t I Pa¡acütarconñ¡sioncs con la pcrnrcabilidad nragrrótica, quc lls¿rcIrlosmás adcla¡tc,.cI¡plcarcrnos ¡, larnpararcprcscntaral momcnto dipolar magnóüco cn todo cstc capitulo. ¡No lo confunda con la m¡s¿ I

C ampo magnéti co neto en prs toi :r un materi el con magneti z ac ::."1

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938 Cepitulo

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Magnctlsmo

y matcrl¡

B"*t

FIGURA 32-2 El cam¡romagnólico ncto, B,
Deñnic ión d e l a i n t e n s i d e d m *g n é tice

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(figura 32-2). Naturalmente,no se necesitaun solenoide:la ecuación(32-1) se aplica siempfe que Bcrr sea cualquief carnpo extemo en el que se coloque el material fenomagnético. Este casoes semejanteal de los dieléctricos,en los cualesun campo eléctrico interior tiene las aportaciones de un campo eléctrico externo debido a cargas libres, y de una distribución intema, inducida. Para esecaso,es convenienteseparar los efectos de las cargasintemas y de las cargaslibres. En el cnpltulo 26 virnos que esto se lleva a cabo mediante la introducciónde una constantedieléctrica,y una permisividad generalizada. En esta ocasión deseamos separat Ios efectos de la magnetizacióninterna,y de los camposmagnéticosexternosdebidosa las corrientes ordinarias.En estecaso,la corrienteordinaria,o extema, es la del¡olenoide 51,A esascoffienteslas llamatemos conientes libres,o reolcs. Los efectosde las corrientes libres se separandefiniendola intensidad mngnótica, II, cantidadque dependede \a díferencia entre un término que implica al campo intemo neto, y la magnetización del material:

H :1 lto

u.

t

o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

(32-2)

Lasdimensiones deH no sonlasde B, sinolasdeM. Si sesustituyeB en la ecuación (32-2) por 8.., * ¡rñf, segúnla ecuación(32-l), vemosque el campofnagnético magnéticaen un materialmediante extemoserelacionaconla intensidad (32-3)

B"r, - ¡lsII

La ecuación(32-3)muestraque,independientemente de si el materialesferromago si esel espaciovaclo,la intensidadntagn¿ticamideel nético,no fe¡?omagnético, campomagnéticodebidoa corrienteslibres. Otraforma de la relaciónentreB, H y (32-1)y (32-3): M sedeterminacombinandolasecuaciones Le intensidrd,rrrgnóticn nisln loe efeclos
Dcf rici,n de h eusceptibilidad E¡Erel: a

B- loH + ¡roM

(324)

Los materialesno ferromagnéticosno tienen magnetización,a menos que haya un campo mag¡ético externo, 8",,, que la'induzca. Los experímentosindican que, entre lfmites muy amplios de condiciones,la nngnitud dc la nngnetización de los materialesnoferromagnóticosvarla enfornn lineal con eI campo nrcgnéticoexterno. La dirección de la magnetización es más complicada: el campo original, 8",,, y el cafrrpo,pslVf,debido a la magnetización,son pamlelos pata una clase de materiales, peto antiparalela en otros. Para los matetiales no ferromegnéticos,M dependeen forma lineal de B"r,. Pot consiguiente, M tiene tatnbién una dependencia lineal respectoa II. La susceptibilidad magnética, Xn, se define como el coeficientede la ¡ ! 1 ..r;_--J -_r_óJ-e" -nofi reci óo rr Jaj nteosi dadmas0érj c€; ' ttlpcgtg$ rri Eñsr$srf *o...o.'-' --,-,8 i lslr relaciónlinea| entre Ia magnetización y Ia íntensidad magnétíca:

lG r,,(

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z/t.

gnnCc Así, unmateial congnn suscepÍíbíídadnagnélbalteneunamagteltzact'on en ptesencia de un campo extetno, y uno con srrsceptibilidnd magnética pequeña tiene

ol or

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938 C-apitulo 12

Magnstbmo

y matcrl¡

FIGIJRA 32-2 El campo magnitico ncto, Il, dcntro dc rm m a to r ia l, o s d istinto dcl campo oxtcrno, 8",,. La magnctización, M, quc rcprcscnta cl cfccto dc las propicdadcs magnéticas dc los componcntcs del matorial, contribuyc al campo ncto cn su intorior,

B"*,

I

Detiniciónde la intensidndm¡gnétic¡

(figura32-2).Naturalmente, no senecesita un solenoide:la ecuación(32-1)seaplica que siempre Bcil sea cualquiercarnpoexterfloen el que se coloqueel material Estecasoessemejante al delos dieléctricos, fenomagnético. enlos cualesun campo eléctricoinüeriortienelasaportaciones deun campoeléctricoexternodebidoa cargas separa-r libres,y deuna distribuciónintema,inducida.Pataesecaso,esconvehiente los efectosde las cargasintemasy de las cargaslibres.En el cnpftulo26 virnosque esto se lleva a cabo mediantela i¡rtroduccióndc una constantedieléctrica,y rrna petmisividadgeneralizada. En esta ocasióndeseamosseparaflos efectosde la interna,y de los camposmagnéticos magnetización externosdebidosa lasconientes ordinarias.En estecaso,la corrienteordinaria,o externa'es la del¡olenoide51,A coffienteslibres,oreal?s.Los efectosdelascorrientes esascofrienteslasllamaremos definiendola intensidadmagnóticn,II, cantidadquedepende de libresseseparan la diferenciaentreun términoqueimplicaal campointernoneto,y la magnetización del material:

u = I- tvt.

( ?) _ ') \

Fo

de H nosonlasdeB, sinolasdeM. Sise sustituyeB enla ecuación ; Lasdimensiones

(32-2) por B",, + ¡/qM, según la ecuación (32-l), vemos que el campo fnagaético extemo se relaciona con la intensidadmagnéticaen un material mediante B"r, - ¡leII

(32-3)

de si el mateiial i"oorugLa ecuación(32-3)muestraque,independientemente ", o si esel espaciovaclo,la intensidadntagryética nético,no femomagnético, mideel campomagnéticodebidoa corrienteslibres. Otrafonna de la relaciónentreB, H y (32-l) y (32-3): M sedeterminacombinandolas ecuaciones Le interrsidrd,negnótice risle los efeclos de lel corrientes I bres.

Dcf ,rici,'nde le 0usceptibilid¡d mrgrréti a

B: ¡roH+ poM

(324)

Los materialesno ferromagnéticos no tienenmagnetización, a menosquehaya un campomagnéticoexterno,B",,,que la induzca.Los experímentos indicanque, entrelimitesmuy ampliosde cotrdiciones,Ianngnitud dc la nngnetizaciónde los ntaterialesnoferromagnéticosvarfa enformalineal con el campontagnéticoexterno. esmás complicada:el campooriginal,B"r,,y el La direcciónde la magnetización campo,pelvf,debidoa la magneti-¡ción,sonpatalelosparaunaclasede materiales, pero antipa¡alelaen ottos.Patalos materialesno fertomegnéticos, M dependeen linealr forma lineal de B"*,. Por consiguiente,M tiene tambiénuna dependencia respectoa H. La susceptibilidad magnética,Xn,se define como el coeficientede la relación lineal entre la rnagnetizacióny la intensidadmagnética:

M = 1r,fl

/? ? - 5 \

magnéticatieneunamagnetización granCe Asl, un materialcongransusceptibilidad enpreeenciadeun can¡poexterno,y uno consusceptibilidndmagnéticapequeñatiene

o o o I

o o o t

o o o o o/ o oi ol ol ol

:l

:l

il3l

3l

:l

o o o o o o o o o o o o a o o O

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o

pocamagnetización.Si la susceptibilidadde un material es positiva,su rnagnetización se alinea con el campo extemo; si es negativa,se alineaen sentidocontrarioal del campoexterno..Ladefiniciónde la susceptibilidad magnéticaes válidaparacualquier tnaterial,sea o no fenomagnético,pero para los materialesno ferrorlngnéticos,1,,, es,con buenaaproximación,constanteentreun margellamplio de camposeléctricos extemos.Como M y H tienenlas mismasdimensiones,X, €s adilnensional. La tabla 32-1presentaalgunasmagrritudesde susceptibilidadque se encuentranen la naturaleza. podemosexpresarla relación entre el ca¡npo Con nuestradefinición d. X ^, magnéticoen un materialy la intensidadmagnética.Segúnla ecuación(32-1), B = B"r, + poM = loH + l,toX,,fI = ¡to(L+ 7,)Il,

(32-6)

En estaecuación,definimosel coeficientede H, como la ¡renneabilidad, ¡r, del r¡aterial: H=

(32-7)

I t o( l + . X n )

La relaciótrentreel campornagnéticototal en un mateiial y la intensidadrnagrética, quees una medida del efectode las conientesIibres,es,elrtonccs,

3 = ¡rll

(32-E)

TA B r, ¡32-l A I,CUNASSTJSCEI'TIBII,IDADES I\IACNI,I'IICAS(n 200C,r mcnosqu€sc indiqucotrecosa) SusceptiItilklad, Ma¡erial

Diamagnéticos Agua Cobre Plata Cerbono en forma de diarnantc Bismuto Paramagnéticos Sodio Oxido cr'iprico Alunrinio Oxfgenollquido

- 9. 1 x -9.6 x -2.4 x -2.2 x

10- ó 10-ó l1's 10'5

- 1. 7 x 10- 4 7.2 x L0-6 2. 6x l0'4 2. 2x 70'5 3. 5 x 10- 3

(e0K) Del mistno modo que la permisividadeléctrica,e, rernplazaa la pennisividaddel Ferromagnéticos Flierro (recocido) espaciovacfo, €9,en las ecuacionesde los cotnposeléctricose¡r los l¡aterialessi la Pcnnnloy cargaes carga libre, ¡.rremplazaa ¡rocuando ln corrientecs corrientelibre, cn los (55% Fc, materiales.De acuerdocon la ecuación(32-3), velnos qrrc,cr.tanclo ha' un callrpo 4s% Ni) magnéticoen el vaclo, ese campo se relaciona cotr la intensidadnredianteuna MetalMu ecuacióncomo la (32-8), pero aparece¡reen lugar de ¡,t;entonc€S,,r, es la permea. ('t7%Ni, bilidaddel vacfo. Como podemosdeducir,de acuerdocon la tabla 32-I , ¡t es muy 16%Fe,5% Cu, cefcanaa ¡J0pata los materialesno ferromagnéticos. 2% Cr) Todaslas entidadesque definimosarribason útiles paracaracteiizarel comportamientode los materialesen conjunto.En la tabla 32-2 resumirnosesasentidades, susignificado flsico y sus ecuacionesmás útiles. r A B LA

5. 5x 10', 2. 5 x 104

1x ld

32- 2

PROPIEDADESMAGIYETICASDE CO\JrUNTO Y SUSREL{CrO.\ES

Símbolo B.rt

H ilÍ

/lo P

Propiedad Campo magnético extemo, producido er forma independiente dcl tipo de material,por un imán o corrientescercanos Intensidadmagnética,proporcionalal campo m¡enético extemo Magnetización, momento dipolar magnético por unidad de volumen de un material Campo magnético neto, su¡na del campo magnético extemo y un término proporcional a la magnetización Permeabilidaddel espacio vaclo Susccptibilidad de un material Penneabilidad de un material, p= /.¡o(1+ X,)

Algunasrelaciones B.rr

B*,= H=

H ¡Jü

B*,/tto

II-

XnB"rrhto

n-

(l + r,)Bo,,

X^H ¡ro(l+'1)H

M

B

No seusa

No seluso

}f'lx^

Bllt No seusa

/¡o(l+ I ), X^

,/

940 Capitulo

32

Magnctlsmo

y mátcda

U n sol enoi detecto de 5 cm de di ámetroy 25 cm c: 3 2-l E J E M PL O longitud está devanadocon 200 vueltas de alambre, por el cual pasan5 A. Es:. lleno de un mate¡ial de susceptibilidadmagnética,y,,: l0-5. Calcule (a, .: intensidadmagnéticadentro del solenoide,y (b) el carrrpolr,irgnéticodentro iel solenoide. (c) ¿En qué factor cambia el campo magnético d, bido a la presencia del matetial? SOLUCION:(a) La intensidadrnagnéticase relacionacon las coffientes libres dei solenoide.De acuerdocon la ecuación (32-3), tierremagnitud

u:b:[e']t Ho

200 vueltas :800vueltas/tn. 0.25m

Entonces (b) El campo magnéticototal, B, incluye al efecto del mismo y al del material que llena el solenoide.^Bse puedecalcular con, por ejernplo,las ecuaciones(32-8)

y (32-7): l tH : :(4 rx

#o(l * /.^)H = 5 x l 0-' T, 10-' T m,A X l + 10-5)(4000/.l r/' t)

.

(c) El factor de cambio del campo es

: /o0 + /.^)ll - lo¡l : ' ^ ' ^B n ^ Y que el cat¡bio del campotambiénes es pequeña,de modo I-a susceptibilidad de un materialcomo cobre o plata"den&o de un pequeño.La introducción solenoidecasino cambiael campomagnético,porqueesosmatetialestienen (véasetabla32-I ). i dadesmagnéticaspequeñas susceptibil Propicdades rnagnéticas de los materiales en ttes'grandesclases.La La tabla32-I indicaque los materialesse descomponen que tienensusceptibilidades primeracomp¡endea los materialesferromagnéticos, puedenformar imanes gandes y positivas.Como ya describimos,esassustancias Dirm agne t i s m q

Peremegnetismo

t

I I I I

t

¡/ - (800rrueltas/rn)(5 A) - 4000A/m.

B:

I I D

o

: n¡,

/{o

en la cual hemosempleadola ecuación(30-15)para el carnpointeriorde u:: solenoide.En estecaso,n esel númerode vueltaspor unidadde longitud: t1:-

o

! peffnanentes, I.as suslanciascon susceptibilidadesnegativasmuy pequeñasse llarrianmateriales diamagnéticos. En esosmateriales,la dirección de magnetización es opuestaa la del campo que la induce. El campo magnético dentro de esos materiales se reduce respecto a su valor fuera del material. Si se coloca un material diamagnético ce¡ca del polo norte de un imán, la magnetizaciónproduceun campo que se dirige hacia el polo (figura 32-3). El maüerialdiamagnéticoactuacomo si tuviera un polo nortejunto al polo node extemo . Es repelido por el imrín. El comportamiento de las sust¿ncias diamagnéticas es semejante al de los dieléctticos, para los cuales'los efectos de polarización tienden a anular el carnpo eléctrico relacionado ion las cargas libres. l,as sustancias que tienen susceptibilidades positivas pequeñas se llaman materiales paramagnéticos. Para ellos, el campo magnético externo alinea consigo misno a los momentos dipolares rnagnéticos.La magrretizacióntiene la misma di¡ecclón que el campo de un imán externo (figura 324),y es como si la sustancia paramegnética tuviera un polo sur dirigido hacia el polo norte del imán: la porción de zustalcia

I I I I

o I

o a o o I

o t

o o o o o o I I O

o a o o o o o o o

O

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O

o o 'o o o o o o o I o o o o o o a o o o a

. Fs rcpclido

I |

9!*1

M¡tcrial. diamagnéüco

3Z-2

r:--"':l

Mátcrial pa¡anragnótico

l¿/

'

Es atral'do

l

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r ." 1

ln ,

l

(

t,, \r

IIGIJRA 32-3 [¡s s¡sta¡rcias diamagrrdticas porwr polo dom lrruinrccto. sonrcpolidas

FIGT RA 32-4 Las sutarrcias paramagnóticas son atraidos a rm polo dc un irnán rccto.

paramagnéticaes diamagnetismo atraldahaciael imrin.El fenomagnetismo, y pafamagnetismo sedescribir¿in másen lassecciones 32-3a 32-5, respectivamerrte.

32-Z Los AToMos coMo TMANES Elcampomagnéticode una espitade conientees igualal de un imánrecto.¿Cómo pueden tenerel mismocampomagnéticodossistemris tan aparenternente distintos? La respuestaresideen la estructuraatómicade la materiay en las propiedades magnéticas delos átomos.Unadescripción completadelaspropiedades delosátomos necesita dela ffsicacuántica,temadel capftulo41"Sinembargo,esposiblecomprenderen fotma cualitativalas propiedades de los átomospartiendode un magnéticas modeloplanetatio clásico y agregrindolealgunaspropiedadesde la descripción necánicocu¡intica de los átomos. Los elect¡onesen órbita, en los átomos,son y los átomos,entonces, conientes, secomportancomodipolosmagnéticos. Porello ¡odemos espera¡que los átomostenganmomentosdipolaresmagnéticos. Los mo:entosmagnéticosde un gran conjuntode átomostienendireccionesal iizar,y, pór por lo general,esibro. lat:ato,el momentomagnéticodeun materialmacroscópico, en los cuales'los Il excepciónse presen[aen los maüeriales-ferromagnéticos, :rieitos magrréticosatómicostiendena aliiearse con susveci¡os. Los materiales ::::cnagrréticc puedenempleatsepata fabticar imanespe¡rnanentes. Es posible "permanentes" rst¡i: Ios efectosmagnéticos calentando un materialmagnético,o r:-:"s.iolo conun ma¡tillo.Estasaccionestienenla consecuencia dealeatorizar las r,:-e¿;1,:¡¿5 colectivasde los átomos.

IB

átomc

co¡no l¡n¡qs

7

ul {a) Orlritadel clcctrón

FIGURA 32-5 (a) Un elcctrón cn ó¡bita circr¡lar alrcdedor dc u¡r núclco. Dcspucs de mrmcro:as órbitas, cl cfccto cs igual al dc una cspira contint¡a dc coricnto al¡c¡lcdor dcl núcleo. @) El clcctrón crr movi rnicnto forma un dipolo magnéüco, con momento rmgnótico m (m*,r,) orientadohaciaabajo,opucstoal r riomcrrtoangular,L.

Un elecfrónsecomporta conroun imán dimlnuto.

Las propiedadesmagnéticasde los átomos individuales se ven iirtluiilas por una tendenciade sus electronesa aparearse,de tal modo que los molnenlos nragnéticos debidos a sus órbitas tengan direccionesopuestas.El tesultadoneto es quc un par de electronesno tienen momento magnético.En efecto, por cada electtórren órbita con el sentido de las manecillas del reloj, hay otro en la misma órbita, con el sentido contrado. Esperamosentoncesque, en términos de tnovitniento orbital, los átomos con número par de electronesno tengan momento dip rlar lnafnético, mi:irttas que en los átomoscon número impar de electronessólo el ú ltimo electrón,sin :rparea¡,es el que importa. Esta simplificación persisteaun con la mecánicacuántica. Como vimos arriba, los electronescontribuy.enal mornento dipolar inagnético de los átomos mediante su movimiento orbital. Pero los electronestrmbrén poseen un momento magnético interno que no se debe a estructurade corriente a lguna. ¡El electrón mismo se comporta como un inxin dininuto! Los mom.ntor Í¡ragnéticos ds intemos de los electronesapareadostambién tienden a tener direccioneso1rr¡sstas, modo que, en la mayor parte de los casos, el momento magnético totr I se sigue debiendoal electrón rnpar.2 Momento

dipolar

magnético de los átomos

; gir 4enórbita Supongamosque,comoenlafigura32-5a,unelectrónúnicodecarga..e circular de radio r, a una velocidad 4 alrededorde un núcleo pesadc El ¡ eriodo del movimiento es T - 2nrlu, Como la coniente eléctricaes carga por un dad le tiemp,;, la corriente que rodea a un núcleo casi estacionarioes

O

o T o o o o o o o I EJ EMP Lo 3 2 - 2 ktimeunmomentomagnéticoorbitalatómicosuponienel tatnañoatótnico,i0-t0m, do queel tadio de la órbitasea,aproximadamente, o y que la energlacinéticaseauna energlanormal atómicade 1 eV, Compareel o resultadocon el momentomagnéticode una espiramactoscópicade 1 cm2que tengauna cofrientede 1 mA. o o o a O o -o o o |

eu 2nr

-g

(32-e)

El signo menos indica que la coniente tiene direccióncontrariaa la el nrovi¡niento del electrón.El circuito de corriente tiene un *ea rf ; asf, de acuerdo :on la ecuación (30-28),la magnitud del momentodipolar orbital magndtico * bl : l.aeD nr2 : rrorbi tar

(32- 10)

:

ft.* f

)eur.

La dirección del vector momento magnético, m, la determina la regla de la mano derecha (figura 32-5b).

2 El apareamicnto dc los clcct¡.oncs no siemprc sc cfcchlra; cl hicrro, quc ücnc un número pa¡ dc elcct¡or,es, cs fucrtcmcntc magnético. El quc haya o no aparcamicntci depcndc do ruu intcracción sutil de las fuerz¿s cc Coulomb cnt¡e los cloct¡oncs.

9+2

o o a o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o

o o o o o o o o o o o o o o o O o o o o o o o o o o o 'o o o o o o o o o o o o o o o O o o Ol

SOLUCION: El momento magnético desconocido se calcula con la ecuación (32- l0). El dato es el radio, r, de la órbita, y podemosdeducir la velocidad, 4 del electrón en su órbita, partiendo de la energla dato. Conviene conveftirla a las unidadesdel SI, en cuyo caso,el estimadode I eV de energlaes 1.6 x l0-1eJ. A pattit de esa energfa se calcula y mediante

943 32-2

lns

átomc

como

lrnas

tmn u 2: 1 .6 x L 0 - te J. Con la misma exactitud que la del dato del radio de la órbita, la masa del electrón es n¡c = 10-30kg, de modo que

[¡ ecuación(32-10),entonces, da el rnornentomngnético = rflorbrr¡r

x l0-re CX5 x 105m/s)(10-'om)= 5 x l0-24 A'm2.

En comparación, el momentomagnéticode la espiramacroscópica es '(1.6 '

(lQ-r AXl0-4 m2): 10-?A'm2, ^: x lo cualcs2 l016vecesmayorqueel momentomagnético clcun átonronislado, Por lo genetal, es cierto que un lnornento magnético se debc a urla cnrga circulante,y que es proporcionalal momento angularque tiene la cargaen circulación. Esútil expresat los homentos magnéticosen términos de momento angúlar, porilue éstees una ca¡rtidadffsica fundamental. Pa¡aun electrón en un átomo, la relación es la siguiente:la ecuación (32-10) se puede escribir en la siguiente forma:

fro¡biral :

I

.e

;e Uf ¿

=-

= - lll"l) f ¿me

e L. ¿l ne

(l ) . I l ¡ ' 't

Mol nento nragnéti code un átonto c on un el ectrón

enla cualttt¿esla masadel electtón,y L - mruressu momentoangularcualrdo.eslá enó¡bitacircula¡.Si incluimoslas propiedades vectorialesdel momentoangulary lasdelmomentomagnético,entoncesla ecuáción(32-11)se transformaen (32-12)-

ffiorbitar = gt.L.

El coeficienteg¿, gue relaciona al momento magnético y al mornento angular se conocecomo la relación giromagnética. Para el movimiento en órbita acabarnosde verque e Sr,= Zmr,

(3 2 r 3 )

Apareceel signo rnenos, porque trrorb¡ral y L tienen direcciones opuestas (figura

32-5b). Segúnlas teglas de cuantizaciónde la mec¿ínicacuántica,para órbitas circulares ( s ec c ión10- 5),l a ma g n i tu d d e l e sfh ,s i e n d o l := hl ?n;& esl aconstanl edeP l anck, y /es un entefo. Entonces, el vector f,o¡bit¡ltiene magnitud /o

. f ior bir ar: ( ; , \¿,t¡ e

\

hlt

='n r f . .

t1?- 1l \

/

i El factorn¡ se llama.magnetónde Bohr,.enhonor de Niels Bohr, uno de los de la mec¡inicacuántica.,Su valor es ' fundadores

^ u : ftl t

= 9 .2 7x l0- 24A"m2

('11- I ))

A estemomentomagnéticoorbitalle debemos sumarla contribucióndeltnonrcntomagnétícointrlnsecodel electrón,Írinrrinscco. Sucedeque el valor de m¡n¡r¡^,".o es

E l nro¡rl cntonragnól i co de l os áto¡¡ros de un el ectrón está cuanti z edo.

944 Capitulo 12 Magnct¡smo y m. ttrLr

justamentemB.r.as protonesy electronestambiéntieqenmomentos.mag4éticos, cuyasmagnitudesestrinexpresadas por una fónnula como.laecuación(32.15),pero dondeaparecen suspropiasrnasasen lugarde la masadel electrón.Comosusmasas sonunas20oovecesmayores.que las deun.electrón, susmomentosmagnéticos son tan pequeñosque no desempeñan papel alguno en el magnetismode la materiaa granel. El momento magnéticonuclear es importante en determinadosefectos, incluyendola resonanciamagnética. nuclear,que describiremos más adelante.El magnetismode la materia,por lo general,se.debesólo a los momentosm?gnéticos orbitale intrlnsecode los electrones. Los efectos de conjunto sc debcn al alincamiento de los dipolos magnétlcos atómicos l,os camposmagnéticosproducidospor los átomosindividualesson pequeños, en compatacióncon los quevemosen un imánrecto.Entonces,¿cómopuedeimpoftar el magnetismo en conjunto?Si todoslos momentosmagnéticos en los materiales perfectamente atómicos sealinearan enun material,esobvioquetendrlarnos un g¡an efecto.Comodemuestra el ejemplo32-3,el alincamiento delosmomentos magnéticosatómicossólodebeserligeroparaproducirefectosnracroscópicos notables. EJEMPLO 32-3 Se tiene I mol de átomos,cuyos lnomentosmagnéticos individuales soh fi6 - 19-:l A .m:. Suponga que esos momentos püedan estar sólo en las direcciones+zy -z; una fracción / apunta"hacia a¡riba" y 1 -/ apunta "hacia abajo". ¿Qué valor de / prociuceel mismo momento magnético que una espira que conduceuna corriente de l0 mA? SOLUCION:El momento magnético de la espira mencionadaes 2 IA : (10- A ,¡110-' m:' - l 0-6 A ' m2. Ahora calcularemosel mornentomagnéticoneto de la mueska, paradeterminada /. Cuandoel momento magnéticode un áiomo apunta"hacia ariba," el momento magnético es +r?oicuando apunta "hacia abajo," el momento magnétibo €s -?ro. La fracción hacia attiba es y Ia fracc.iónhacia abajo es 1 "f, "f. Asf , el momento, magnético neto de los átomos es m -- Nnmolf - (1 -,:-r] : .\',¡mo(?[- l)' en la cual /V¡ es el número de avogadrl lgualamos estemomento magnéticoneto con la de la corrienteen una espira,) \'emosque A l nr.(l

- l ):

1,{ .

Despejamosa / para vet que t/

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I

(8 x l0lE).

Una distribuciónal azartendnr / ' | , y tan sólo unadesviaciónde esa distribu' , clón de unaparte en 10 millonesda lugar a estosefectosmacroscóplcos. i El ejemplo32-3muestraqueinclusouna pequeñadesviaciónde la distribuciónr aleatoriapuedeorigina¡fiIomentosdipolaresmagnéticosparel0 completarnente del :jemPlo, querfamossabercómoe¡ materiaen conjunto.lnmediatamente'antes Fodemosahorapeasarcómo posibleque tengamoscualquierefecto.macrosc<-,.pico. esposibleel ot¡o extremo.Si tansólounapequeñadesviacióndel desordencompleto

a o o o o o o I

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O o o o o o o o o o o o o

t

o o o o o a o o I o a o o o o I o o O o o o o o o o o O

o o a o o I o a o o o a a I o o o

originaapreciablesefectosmacroscópicos,¿porquéla mayorpartede los materiales esno magrética?La razónes que en una muestrade l02aátomos,las fluctuaciones queseapartandeun momentomaiméticoptomedioigual a ceroseespera estadlsticas queproduzcan,en promedio,un excesbtan sólo de l0l2 átomoscon una dirección particular.En estadlstica,/Xi esuna fluctuacióncaractedstÍcarespectoal promedio, cuandointervienenNobjetoCo eventos.Asl, el válor caracterfstico de unafracciórr i 10-12, y que estooriginaun átomos tengan determinada direicióri es lOr2¡1024 /de pequeño.Debemosrevisarnuestto momentomagnéticoneto infinitesimalmente a¡gumentocuandolos átomosformanun sólido o un lfquido,y, por consiguiente, tienendistanciaspequeñas entresf. En esecaso,lasfuerzasentrelos átomospueden hacerque los átomosvecinosse'alineenentresf, y originenmo¡nentosmagnéticos apreciables en grandesregionesdel material.Cuandoestosucede,se tieneun imán pennanente,

94i 32-3

FerrorDagncttsmo

Relaclón entte cantldadcs mlcro y macroscóplcas (estoes, seráun Un trozo de materialtendráptopiedades magnéticasapreciables átomoso moléculas imán)si lasdireccionesdel dipolomagnéticodesusabundantes En esecaso,la sumavectorialde losmocomponentes no sontotalmeniealeatorias. mentosmagnéticosatómicosno serácero. Si dividimos la sumavectorialde los un rnomentomagnético momentos magnéticos entreel númerodeátomos,obtenemos neto,ms,por cadacomponente(átomoo molécula).En esecaso,la magnetización es

(32*r6)

M r nñ0,

siendon el número de componentespot unidad de volumen. Una vez determinada M, podemos calcular las demás propiedadesmagnéticas macroscópicas,según la desoipción de la sección 32-1.

32-3 rrnnouecnrsnsuo

.

Los materiales fenomagnéticos, que incluyen los elementos hieno, cobalto, nlquel, gadolinio y disprosio, con sus aleacionesmutuas o con otros élementos, pueden tener una imanación grande y peünanente. La dirección y magnitud de la magnetización sepuede establecer medianüeun campo magnético externo. sedel¡eal En tos materialesferromagnéticos,los momentos dipolaresmagnéticosintrfnse- El ferronregnetismo engranescahdelos cosde los electronesen los átomosse alineanentresf, en gtandesnúmefos,y originan elinecnriento n¡ome¡rioonrngnéticosdeloselectronee' grandesefectos magnéticos. No hay mecanismo clásico que pueda alinear-esos momentoscon la fuerza suficiente, y la explicación es entemmente de mecánica cuántica,Wemer Heisenbetg,uno de los cteadotesde la teorfa cuántica,sugirió en 1928que, como consecuenciadel principio de exclusión, que vimos en el capftulo 27, los electrones con momentos magnéticos intrlnsecos patalelos se arreglan en órbitasque tienden a maximizar la distanciaentre ellas. Con estose reducela energfa potencialde la repulsión coulombiana entre ellos, y forman un estadocon momentos magnéticosparalelos; un estado de menof energla. Como consecuencia,bajo las c¡ndicionesadecuadas,hay una prefetenciade los momentosmagnéticosintrínsecos delos elect¡onesa alinearseen dirección paralela entre if' Los momentos magnéticosintrfnsecosde los electronesno apateadosde átomos distlntos(por ejemplo, cada átomo de hierro tiene dos elect¡onesde esos) normalmenteno se alinean en un trozo de mateiial femomagnético.En lugar de ello, el alineamientose lleva a cabo ent¡e átomos adyacentes,en regiones llamadas donúnios l0¡7o ldldtomos'yqueocgpanunvolt¡rnen magntíricas,quepuedencontenerhasta palabras, y' cubos de 0. 1 mm a I mm de lado. El campo en otras ent¡el0-12 10-t m3, magnéticodentro de esos dominios es bastante grande, pero el material puede estar

FIGURA 325 Fotcnicrografia
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formado por miles de esos dominios, cada uno con su magnetizscién con distinta dirección, de rpodo que la magnetización de todo el material sqrá cero, como pfomedio, a menos que se tengan algunos mecanismqsespepiales.Una muestra de material magnético se puede ver como en la figura 32-6, que muestra,con claridad las frontems entre los dominios, llamadas paredes de dominio. La figura 32-7a es un diagramaesquemáticode los dominios, con sus momentos magnéticosindividuales. El mecanismo especial que puede alinear las. magnetizaciones de ,distintos dominios lo apofia el campo magnéticq extenro. Si se aplica r)n campo,.Bcrtrp un trozo de material feromagnético, puedensucedefdos cosas,qui' ttansfomranel m4terial en imá.npetmanente. Primero, se puede agtanda¡ el tamaño de los donrinios con sus momentos magnéticos ya alineados con Bcxt,a expensasde los dominios vecinos, Segundo,los momentos magnéticos de algunos de los dominios pueden girar hacia la dirección de B.r, por realineamientogenetal de sus componcntes(figura 32-7b), Recuérdeseque el estadocon un momento magnético alineado GohB¿1¿ es un est¡dr con menor energfa. El proceso que hemos descrito se puede comprender mediarrüeuna simple analogfa.Imaginemosun gfan ejército,cuyosmienrbfos dan'caia'adi¡ecciohesal azar (figura 32-8a). El general da órdenes con una boiina y les dice qub den frente'a 'cwil direcci,ón.Quizá in-fluidos por las detetminada dirección, pero no les dicé seleccionesaleatoriasde algunosmiembros del ejército (A,B ó C;en la figura 32-8b), los vecinos inmediatossiguen el ejemplo y se alineancon ellos. El resultado,én este' caso, son tres regiones separadasde alinearnientó:Un'chsO anál'ogose apllca o los imanes ferrosos, y entonces las flechas de la figura 32-8 representanlos dipolos intrlrrsecos.Antes de aplicar un carnpoextenro,los dipolós tieneñ distintasálineaciones en los diversosdominios, debido a los efectoscuánticosque se describieronaffiba, ¿Cómo podemos hacer que el alineamiento abarque mayores distancias?Es sólo cuandose mencionala direcciónprecisaen el altavoz,cuandolos soldadosdel ejército se alinean en esa dirección, En el material femomagnético,las instrucciolresde uha dirección precisalas da el campo extemo. De igual modo que los soldadospermanecer¡in aline¿dos después de haber apagado el altavoz, los momentos dipolates magnéticosatómicos pennanecenalineados,'áuncuandcise quiteel campd extemo; la magnetización permanece,Un campo externo de alineaóión se há aplicado en alguna ocasión en el pasado,a cualquier im¿inférrico que sea imalnpermanente. Cuandoun imán fénico se calienta,el mayor movimierito de los átomosocasiona una aleatotizaciónde su orientación,y, por cortsiguiente,a una disminución de la

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FIGURA 32-7 (a) Fonnacióndc rlo¡nirrios cn los rnatcrialcs fcrromagnótico , cn ar¡scnciade un campo magn¿tico cxtcr¡lo. [¡s flcchas indican los momcntos ¡nagn¿ticosdc los dominlos indiv iclualcs. (t) [: prasc.rciadc rur cam¡rorrur¡¡r.rótico cxtcrno if¡Iluyc sobrc los dominios, hacicrdo quc algrmossoannuyorqs y realinc¿ndo a ot¡os.

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FIGURA 32-S (á) lbs comporíentcs dc rm'ójército'(cquivalenh lós momcntosmagnéticosatónicos::.: dé[cjórcito(oJosmomcntos ferroirruin) scoricntanal azar.(b) l,oscom¡roncntcs rr¡ágnéticos atómicc) il-.:. r, cntrosí, tratandodo alincarsc.A¡Ircnos quc hayalur¡ guíaoxtcrna,pl alincamic¡rto sucedc¡ácri prlu.r¡ rcgioncs,llamadas dominios.

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o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o jo

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o

alineación.Alatentperatura de Curie T" (en honor de Pierre Curie), la aleatorización escotnpletay el material ya no es imán. El valor de I varla de un rnatcrial a otro; en el hieno, 4 - 1043 K; en el gadolinio, T, - 292 K. Abajo de [, aparece el fenomagnetismo,del mismo modo que abajo de273 K el aguaforma la red ordinaria que llamamos hielo. Cuando un imrin fénico se enfrfa abajo de [, no sc vuelve imán pernanente en forma automática, por el mismo motivo que cuando se congela un lago,no fotma un cristal gigantesco.[,a transiciónal comportamientoferromagnético, al igual que la congelación,se lleva a cabo en dominios, como se describeen nuestra analogla del ejército en marcha.

947 32-3 Fcm¡mgnctlsroo

E J E M P L o 3 2 - 4 Bstimela magnetización máximaposibleenun dorninio aisladoen el hieno. En un dominioaislado,con magnetización máxirna,los mornentos SOLUCION: magnéticosatómicosest¿ln alineadosen forma perfecta.Primetocalcularernos el momentomagnéticoatómicodel hieno. EI valor del momentomagnético por la ecuación(32-15),nr¡n¡¡.,".o intrlnsecode un electrónestáexpresado - nl¿ .m2. x máximaposiblese presenta La magnetización cuando - 9.3 10-21A nt6¡.¡,o..o de los doselectrones sin aparearenun átomodehieno sealineanerrtre sí,y conla detodosloselectrones delosdemásátomos.La densidad no apareados numérica,n, de los electrones en el hierroes no apareados [2elecvonesno aDareados\/0.02x l023,ri¡srnos\/l{nól\ / l.s l. \ /l06€rñ'\

'=\Éi\

r" '"r /\ru*/[**it. lr-j

= 1.7x l02eelectronesnoapareados/m3. parallegata una Multiplicamospor nt, el númerode electronesno apareados, magnetizacióntotal de t rc-¿4 A . n{) no apareados/mr)(9.: Mn*- nm6: (L.7x l02eelect¡ones x - 1.6 td ¿/m. de1hienorecocido, conla M,*, experimental Esteresultado sepuedecomparar x inten'ienen muchosdonri1.7 104Ay'm.Comoen esteresultado experimental nios, la difetenciaen un factor de 100quieredecir que los dominiosnuncase alineanperfecüamente. Histé¡esis magnética, I/, es más La relaciónentreel campomagnético,B, y la intensidad que en ot¡os.Paranredirla relación complicadaen los materialesferromagnéticos porcalentamiento. éstesedesmagnetiza, entreB y Hen un materialferromagnético, Seenfrla,se le da forma de un anillo,y se le devanaun alambre,por el quesehace pasaruna conienteL Esteareglo experimentalse liamaanillo de Rowland.Sin el materialfenomagnético dentrodel anillo,o solenoidetoriodal,tieneel valorcasi constante Bo- ltoll - HonI,

(32-r7)

siempreque el toro sea"delgado".En esaecuación,n es el númerode espiraspor cuandoseintroducematerialferromagnético unidadde longitud.Comoya sabemos, enel toro,el catnpomagnéticoaumentamuchoy llegaa un nuevovalor,B. B semide conuna bobinasensorafuera del toro (figura 32-9), Mide una fuerzaelectronlotriz inducidaproporcionala la tapidezde cambiodel campomagnéticocon respectoal tiempo,Al aumentarla corrienteen la bobinatoroidalcon determinada rapidez,

Anillo dc Ro*,lmd

FIGI]R A 32-9 U n ¡nl l : :: l . - - . ¡n'rcl c¡l tl cvan¡rl o(so,c::-:-: -: ::^,

r^ .^ ñ,,^,1.

II dc cscm¡tei ¿,. U :: :.::;: l os canl bi c¡i c D

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948

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C-rpitulo 32 Magnetlemo y rnatcrla

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FIGUT{A 32-10 IJ¡racurvn ( o nr^r:rrctiz¡ción mucstrtrcl fcnómcno dc l¡ hislórcsis cn 16 nutcrialcs fcnomngnC,tcos. I ¿ cr¡rvaso inicia cn ol origcn, con frugnctizáción ccro dcl nntorial. Al aplicar u¡rn intcnsid¡d rnagr¡ética //, cl matorial respondc haciórdccrnagnctico, y sigtrc sicrxlo magnótico aun cuarxloI/sca coro,nuovarncnto.

(a)

(b )

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C¡rmlx) rrlsgrx:ticooxtcmo (x l ()"t¡

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sabemosque la intensidadmagnéticaH = nI,y la bobina sensoramide a B,Lafigon 32-10 muestraun ejemplo de una relaciónmedida entre ¡/ y ¡; a estagráfica se le llarna curva de magnetizacidn.Conociendo H y B, podemos determinar la magnetiMagr Éücarncntc zación,a pattir de la ecuación B: poII + trtoM. st¡8v( i ln que se observa en el caso de los materialesferromagrreticoses la curva de la .W figura 32-10. Una curva de magnetizacióncon estaforma se llama ciclo de histéresis, y muestrael fenómenode histéresis.La presenciade.lahistéresisindicq que hay una Cuandola corrienti,f etr cl solenoide ineversibilidaddel procesode magtretización. cambia un poco, y se \l¡elve a su valor original, pot lo general no se alcanza la magnetizaciónoriginal.Por ejemplo,si en la figura 32-10 comen.:alnosen la curva c a un valor de poII de 10-4 T, B, en ei material ferromagnético,.esnegativa. Si aumenta poII a 3 x 10-4 T, y se regresa de nuevo a lO-4 T, B es positivo ahota, siguiendola curva á. l-a histéresisexpresael hechoque los dominiosmagnéticosno regtesana sus estadosde ceto campo externo cuando cesala corriente. '.'Recuerdan" el aumentodel campo, y no se regresanen forma automáticaa sus alineamientos MagrÉticanrcntc originales.
FIGLJRA 32-11 Cicl<¡sdo I matcrialcs (a) mngnéticamcr tc srravcs,y (b) Í¡a gnóticamcnto duros.

3 N. dcl T.: En cl trar¡scursodo csto capitrrlo sc.ha moncionado al "hicrro" cn forma un pcrcoamplia. En rsalidad, dcsdc cl punto dc vista mctalúrgico, sc cónsidcra al "hicno" comd h.icrro (elcmcnto) iin, o'con muy ¡roco,carbn. Sc lc iiama tambiénhicnodulcc. Es magnóticamcntcsuhvc.Porotra partc;cl áccrn; quc cs hieno con carbón, es magnéticamcntc duro y fornn irnancs permancntcs ct¡ando so imantan, comolas agrúas.ordina¡ias de coscr.

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FIGL?A 32-12 (a) El disco drno, :3¡lrlico, dc una computa(lora.L,as -,:rz¿s rn¿gnéticassobrc cl disco -*cñ'¡m' y 'lccn' datos cn forma dc srdolcsd:gitalcs.ft) Microfotogrnfíadcr¡n :-s¡ j'¡¡cr.

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o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o

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32-4

5n I ¡llcctrón

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o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

Elcct¡ón 2

Momcnto orbital ncto: ml + m¡ - 0

1u"",

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o o o o o o o o o o o o o

Dlaffignctlsmo

Elcct¡ónI Elcct¡ón

Elcctón 2

orbitalrrclo:mt . mu - m.b.h I ,Jvlorncnto

F-ICt'R,\ 32-tJ (a) Un átomo con
¡ l i l c l c anr l x r c x l c nr o.

especialimportancia para fabricar memorias de computadora,cintas magnéticaso discs flexibles y duros, poque esosmaterialesson establesresPectoa carnbic ieblcios a camposmagnéücos de Ios al¡ededores (figura 32-12).

132-4

DIAMAGNETTsMo

inducidooriginadopor8.... el el campomagnético diamagnéticos, Enlosmate¡iales campoexterno,tienedirecciónopuestaa éste,y el campomagnéticodentrode esos conel ferromagnetismo, encontraste esmenorqueB"*,El diamagnetismo, materiales v paramagnetismo, se Pfesentaen materialescuyosátomosno tienenmomentos Podemoscompreno intrínsecos. seanorbiüales dipolares magnéticos'pennanentes, clásicoen el cual un modelo derel fenómeno,en forma cualitativa,en términosde átomos. Imaginemos giran en órbita alrededorde los núcleosde los loselectrones doselectronesque se mueven en órbita altededordel mismo núcleo, con sus que Suponemos opuestas, endirecciones alineados intrlnsecos magnéticos momentos contrario en setrtido es queenuna,el lnovitniento a exepción susórbitasso¡ idénticas, al de las manecillasdel reloj, y en otfa, al revés(figura 32-l3a). Si no hay campo seanulatr orbitalesdelosdoseleclrones extemo,losmomentosmagnéticos magnético (mr* mz - 0), y no hay magnetización'. un cafnpomagnéticoextemo,8"r,, pefque establecemos Ahora,supongamos pendiculara las órbitas de los elecfones (figura 32-l3b). Para el electróna la izquierdade la figura,a medidaque aumentael carnpoextemo,aumentael flujo a t¡avésde su órbita; según la ley de l*nz, el electrónrespondepara tratar de el flujo en aumento.El electtón,concarganegativa,seacelefa,aumencontrarreslar tandosumomentoangular,al igualquela magnituddesumomentomagnéticoorbital, m¡¡euese dirige haciaabajo.Cuandoel campoextemose nivela,la conservación deimomentoangularaseguraquepersistael cambioen mr. El electrónde la derecha debedesaceleraf pafa oponerse al aumento de flujo a través de su órbita, de modo quela magnitud de su momento magnético, IIl2, se teduce.El resultadoes que ahora ñr + Inz tiene un valor neto que se dirige hacia abajo, y se produce un campo rnagnético que se oPone al campo extemo en aumento. Esto es el origen de la zusceptibilidadmagnética negativa. Se debe tevisar el modelo clásico mediante un tratamientomecánico cuántico adecuadodel átomo, porque en mecánicacuátrtica,el momentoangularse cuantiza,al igual que sus carnbiosposibles.No puedecambiar lige-

950 Capitulo 52 }fagnctlsmo y metcrl¡

rarnentesi el catnpo cambia ligerarnente.Sin elnbargo,tenelnosla seguridadque u:i tratamienioestadísticode un gran conjunto de átomos reproduceel efecto de l.i descripciónclásiba. Cúando se ápliba en forina'cuantitativa,el sencillcjmodelo cualitativo que acabamos de describir conduce a estimaciónes razonábles de la magriihid de los efectosdiamagnéticos.La universalidadde la desciiijci
"32-5

PARAMAGNETISMo '

El paramagnetismose presenta en rnateriales cuyas moléculas tienen momentos dipolarespermanentesdebidosa momentosmagnéiicos intrínsecosde los electrotres no apareados.En ausenciade un campo magnético externo,estosdipolos se orientan alazat, por el movimiento tétmico, y la magnetizaciónneta de los matetialeses cero. Un campo magnético exteirro,B, ejerceun par sobre los dipolos atómicos,que tiende a ali¡ear sus momentos magnéticos a lo largo de B, y produce una susceptibilidad magnética,positiva,Recordctnos,del capfhrlo 29, quc la encrgfadc un rtronlctrto dipolar magnético, m, en un campo magnético; B, es, de acue¡do con la,ecuación (29-24), U * -m . B. l¿ energlamínima se tief¡e cuando fn y B son.parglelos. Hay dos efectosen acción pam determinat el grado,alcual se a.linean.losdipolos nragnéticospermanentes.El primero es el campo extemo, que produceel alineamiento, y el segundo,es el movimiento térmico,.que desorclerra.el alineamiento.La importancia relativa de esosdos factoresse mide con el tamalio relativo del factor de enetgía magnética, mB, y el factor de energla térmica, ,kI, siendo ZJa temperatura. Si Ttiene el valor suficientepara quekT,>>mB, el alineamientopromedioen un gran número de electronesserádébil. A la inversa,si .Tes tan pec¡ueñacomo para.que,tl << mB, el .alineamiento promedio setá fuerte. Para tempe,'aturasintermedias, el alineamiento promedio es propo¡cional a .la relación de ,'sas enetglas, ñpr*, (constante)(ltB)lGD. A temperaturaambiente,los momentos magnéticosintdnsecos de la mayorparte de los materialesparamagnéticossólo eskin nrcialmente alineados, pe¡o, como vimos en el ejemplo 32-3, los alineamientos nruy pequeños originan grandesefectosde conjunto. En 198J,Piene Ct¡rie obseryó la relación liñeal entrela magnetización y la relación del campo magnético y la temperatura,lo que ahorase llama /¿v de Curie:

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(3 2 - 1 8 )

de Curie'.Estaley seexpresa,"bon en la cualC esla constante frecuencia, e¡rtérminos definidadeacuerdoconla ecuaciórr (32-5),comoilf de la susceptibilidad magnética, : X,H. Si esperamos quela suscept'ibilidad seapequeña, comolo'éseh losrhateriales podemosremplazara B, en la ecüación(32-18),por peH: paramagnéticos, entonces '

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(32-1ei

La susceptibilidades positiva, lo Cualés óátacterísticodel paramagnetismo. , I .adependenciade la temperatu¡a"que se ve en la ecuación (32- 18) es la misma que la.del fenómeno muy parecido en-los dieléctricos [véaseecuación (26-30)], E¡

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o o o o o o o o o o c o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

esecaso,también,a esadependencia se le llama ley de Curie. Esperamos que la relaciónlineal entre la magnetizacióny el campoaplicadofalle a temperaturas suficientemente bajasy/o en camposgrandes,Si los momentosmagnéticos intrínsecosse alineanperfectamente con el carnpo,,nopuedenseguir alineándosepara producirmagnetizaciones todavlamayores.Estefenómeno.desa¡urocidnes bien que conocido.Se puedeetnplearuna versiónmás cuantitativade los argumentos hernospresentadopara perdecir la magnitud de la susceptibilidadparamagnética. Estasprediccionessesatisfacenbien, el pammagnetismo no esun fenómenouniverA diferenciadel diamagnetismo, quetienenmoléculasconelectro- FIGURA 32-14 El oxigonoes pocoslosmateriales sal,potquesonrelativamente par¿¡nagnótico,y, por consiguicnto,cs (figuta32-14).Cuandosepresenta, nesno apareados el paramagnetismo esun efecto re¡rclido ¡nr los polos dc un irruin. Aqui pte- vcmos qrrc el oxigcno líquido vertido cnt¡e mayor,por lo general,que el diamagnetismo. Sin embargo,el diamagnetismo dos polos se manticnc on un lugar, debido a dominaa temperatutassuficientementeelevadas. las fucr¿as entrc ól y cl i¡ruín porrnanontc,

*32-6 MAcr{ETIsMoy supERcoNDUcrrwDAD tan extrao¡dinarias conrosus tienenpropiedades magnéticas Lossuperconductores colectivofÍsicocuántico propiedades eléctricas. Esnotablequeel mismomecanismo seaexactamente E l campo magnéti co dentro de un quehacequecualquiercampoeléct¡icodent¡odeun superconductor cero,tanrbién hacequeel camponngnéticoen el interiorseacero.Un superconduc- n¡aterial superconductor es cero. perfectoen el sentidoquesiempreseinducirán torsecomportacomoun diamagneto cualquiercampomagnéticoenel interiot, lasconientestalesqueanulenexacLamente del decimosquelaslineasde campomagnéticosonexpulsadas Enformaalternativa, superconductor, fenómenoque se llama efectoMeissner.En los superconductores es expulsadopor compieto(hgura 'J2-15).En los superconductoüpoI, el ca-tnpo dentro testipo II, el camposeaíslaen estn¡cturasfilamentosasno superconducto¡es esosfilamentos,la resistividaddel delmaterial(figura32-16).Cua¡doestánpresentes cero. Circulanconientesen las superficiesde los materialya no es exactamente aislandoel restodei materialdel campomagnético,La cantidadde flujo filamentos,

Supcr"ccrúrtor

I

FIGIJRA 32-15 Un srrporconductorti¡rc I cxpulsa al carnpo rnagnótico dc su intcrior, funcionando como rliamagncto pcrfc,cto. Sc cstablecen corrientcs cn cl intcrior. supcrficialcsquc anulancxactnmcnlccl cflnlf)o¿rplicado

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o o o o o o o o o o

Supcrcor¡ducto'r Il

FIGURA 32-16 En los srpcrconductorcs tipo II, cl campo m¡enó-lico csi: confinado on cst¡ucturasfilamcntosas. Dcntrc dc los fililncntos, ci maicna, :: sc oncucnt¡acn faso superconductora.

952 Capínrlo

32

Megnctbmo

y rmtcda

o o o o o o o o

magnéticodentro de cadafilamentoes un flujo rnfnjmo.permitido pot Ia ffsica curintica,proporcionala la constantede Planck Podemostraducirla afirmaciónqueun superconductorexpulsael campomagnéticode su intedorenunaacercade la susceptibilidad magnéticadel materialen su fasesuperconductora. L¿ ecuación(32-6)expresael campointernoen términosdela intensidadmagnética,H, y.esecamnoin¡emo debesercero: B = Ao(1*.X,)H - 0. , queproducenel campo La intensidadmagnéticase,debe'a lascorrientes'libres magnéticoexterno,y no es cero.Psr consiguietrte, debemostener I + 1, - 0, y la : susceptibilidad magnéticaes : .

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o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o ol

X ^= -1..

. 1 El hecho que no haya campo magnético dentro de un superconductordemuestra que no puedehaber cortientes allí. Imaginemos, como en la figura 32-16, que cierta región internn de un superconductortiene corriente.En esecaso podernostrazaruna trayectoriaalrededorde esaregión, y aplicar la ley de Ampére, ecuación(30-10), que exptesa la integral del campo magnético a lo latgo de una espira, en términos de la corriente que pasaa travésde la espirao trayectoria'cemada. Sihubiararrrracoriente, habrfaun campomagnético,lo cual no es posible.Llegamosa la conclusiónqüeloda la corriente que conducen los superconductoresdebepasar por lasuperrtcie de los núsmos.Uira superficie es cualquier frontera entre fases superconductorasy no superconductorasdel material; por ejemplo, la'corrielrtepuedepasarpor las paredes de los filamentosen Ia fi-zura32-16. En presenciadel campo magnético de magnitud suficiente (el campo crttico),un regresaa la fasenormal,no supereonductora,aun material en la fase s'r¡perconductora cuandola temperaturase ma¡tenga fija. Es un ptoblema serio, porque uno de los usos principalesde los superconductoreses ia constn:cciónde electroimanesque notengan calentamientode Joule. El campo mamético puede destruir por sl misno la superconductividad, Feliirnente, loe zuperconductorestipo II, que canalizan el catnpo magnético en frlamentos,son un medio de fabrica¡ mate¡ialessuperconductores'con campos cnticos mucho me''ores. Son 'los materialesque se usan en la construcción de imanessuperconductores.

*32-7 Rrso¡¡axcr¡urcrlrlc¡

¡rucrnnR

_

I-os núcleosestánformadospor protonesy neutrones;al igual que los e'léctrones,, dipolares magnéticos intrínsecos. Como.las masasde losptotones tienenmomentos y losneutrones sonunas2000vecesmayoresquelasde loselectrones, susmorrientos magnéticossonunas200Ovecesmenoresqueel momentodel electrón,mp."Imaginemosel movimientode un protón, con momentomagnétic'omo, en un campo magnéticoextemo,B. Si el prbtón e.s&ifijo en el espacio(lo cual no es mala porser tan masivo),necesitamos tenerén cuenta,sóloel par queB aproXimación; ejercesobremo , r = ffip x B. Pa¡ael movimientoorbital,hay una relaciónentreel angularorbital,queesla ecuación(32-12), momeñtomagnéticoorbitaly el'mornento 2 gtL, siendo.g¿la relacióngironragnética, Los protones,al igual que los rnod,irrt y loselectrones, tienenLatnbién unacantidaddemovirnientoangularintrÍnneutrones spíny quere denotapor S,el cual,deacuerdoconla flsicacuántica, seco,denominado puedeténeruna magnitudque esúnicamente un múltiplo enterode r'r(la constante de?lanck ñ dividida entre2rc),el spin del electróno del protóntienernagnitudj/r. Respectóal momentoangulatórbital,se tieneuna relacióngiromagnétibidelspin, 95,definidapor mo =-gsS

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(32-20)

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o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O

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o o o o o o o o o o o o o o

El par sobreel protón es la tapidez de cambiode su momentoangularintemo, ¡ dS/dt,de modo que,con S - m/gs,tenemos .

-LdT'= ,n.x B. (Js dt

(32-2t)

Bta ecuacióndescribela rapidezde cambiodel momentomagnéticodeun protónen uncampomagnético.La magnitudde m, no puedecambiar,perosu direcciónsf, y laecuación(32-21)describeel movimientodeprecesiónde morespectoa la dirección deB (figura 32-17),4Si m, no est¡ialineadocon B, entoncesel par tienedirección prpendiculartantoa mp,como a B, y tendráel efectode movera mode tal modo quesuejedescribaun conoalrededo¡de la direcciónde B, comoen la'figura32-L7, Elmornentomagnéticopuede serensentido delasmanecillas delreloj,o enel inveso, a un eje definido por B, dependiendodel signode la relacióngiromagnética. tespecto Sedemuestra, en forma directa,que la velocidadangularde la precesiónes @ o : 7sB

(32-22)

(véase problema36).I-a energlapotencialdeun momentornagnéticom enun carnpo extemo,esláexpresadapor U - -m . B, y el movimientocon la energlaminima es aquélen el cual el momentomagrréticotiendea dirigirsea lo largo,en lugarde en sentidocontra¡io,de la dirección de B. Si B tiene la direccióndel eje z, hay conservación del componente z del momentoangular,porqueel parno tienecomponenteen esadirección.Asf, el momentomagnéticono sepuedecambia¡deun cono "hacia aniba'a un cono"haciaabajo.' El casocambiacuandoseesLablece un campomagnéticoadicional,queoscilay tienela di¡ección.r,digamos.Esecamposepuedeestablecer por la presencia& ondas que, como veremosen el capltulo 35, consistende campos electromagnéticas, y magnéticososcilantes.En estecaso,sólo importael campomagnético eléct¡icos oscilante, de la forma B¡ cos(ott)i.Hay'unpar debidoal campooscilante,quees rt z. Debidoal facto¡cos(arf),a veces '(mp x i)B¡ cos(art).El par tieneun componente elcomponente z sedirige 'hacia ariba'y a veces"haciaabajo-,y, en promedio,no tendrámuchoefec(o.Sin embargo,en el casoespecialenel quela frecuenciaangular, o, del campo oscilantecoincida exoctamentecon la frecuenciaangular,c,le,de la precesión (condiciónqueseconooecomoresonancia,yquesedescribióenel capftulo l3), el par tiene un efecto continuo,a latgo plazo, sobreel momentomagnético,y puedevoltearsu dirección.El campomagnéticooscilante,en estecaso,suministra justamenteIa cantidadprecisade energ[a,2mo. B, necesariaparavoltearel spin del protónde amibaa abajo,o absorbeesacantidadde energfa,condiciónnecesariapara voltearel spin de abajoa artiba. A este efecto'se le llama resonenciemagnética nucleer (RMN, o NMR, inicialesdel términoen inglésnrclear magneticresonance).Cuandoel spinsevoltea debidoa una transfetenciade energlaentreel campooscilantey el protón,emiteuna señaldetecüable. Por ejemplo, es posible medit un cambio de energfaen el campo oscilante. Asl, sintonizandola frecuenciadel campomagnéticooscilante,la frecuencia,{r)e- g5B,sepuedemedir con granprecisión.En fisica ckisica,cualquierconode movimientoes factible para el momento magnético.Sin embargo,la naturaleza cuánticade los spines intrfnsecosimplica que sólo seanposiblesdos conos bien pataS -lil2ry,asl, qqedajustificadala descripcióndel volteoo inversión definidos, delspin como el único cambioposibledel sistema. Si seconoceel campomagnéticoexüemo,el métodode RMN sepuedeemplear paramedirla relacióngiromagnética, &.De estemodo,sesabegueesastelaciones üenenlos coeficientes2.79 y -1.91, paralos protonesy neutrones,respectivamenüe, de los factoresclásicos.Estoscoeficientessugierenquelos protonesy los además ' Ese prcccsiú¡ lJarvda prccesión Larmor,a aníloga a la dc un trompoo ur¡girmcopio inclinado (viasc cliNlo l0). E¡r rqrpl aso, lr grrvcdrd cs le rcsponsrblc dcl par.

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É tr¡,.;r--¡:¡ .¡ ¿:-¡-¡:¡-r.

-+rg¡: B -

FICURA 32-17 El rrnrrs-Jc::n-¡r:::: :c rm protón,mr, prccrdccon resFc: ¡ -r dircccióndc r¡ncam¡rcmagra;c*:er:l-r':

95¿t Capitu¡o 32

Megncl¡smo

y matcrla

neutronestienen estructurasnrás cotnplicadasque las de los electtones.Mediciones como éstasnos ayudan a comprender el fr¡ncionamiento intemo del protón y del neutrón. También se puedetrampliar las rnedicionesde RMN a los núcleos, etr los cualesse empleanpara estudiarla estructuranucleary las fuetzasque dan lugar a ella. Por eje.¡nplo,el núcleo deuterón, que se puede describir como un estado de enlaza¡nientode un protón y un neutrón, estructuradodé tal mane¡a que los spines intrinsecos,y, por lo tanto, los momentosmagnáticosintrlnsecos,son paralelosentre sl; es de esperarque tengaun momento magnético que seala suma de los momentos del prótón y del neutrón. Las mediciones de ¡esonanciamagnética nuclear dan un resultadoligeramenteinfedor que la suma, lo que indica que el momento magnético del deuterón debe tener una pequeñaaportación debida al movimiento relativo del protón y del neutrón. Cotno consecucticia,el deuterón,quc pudiera esperafsetuviera una forma esferica, hoy se sabe que tiene forma de puro. Las fuerzas nucleares que puedendat lugar a esafoñna deben abatcaf a las fuerzasdependientesdel spin, cuya magnirud se puede determinar a partir de mediciones de resonancia magnética nuclear.

APLICACION Resonanciamagnéticanuclear l-a ¡esonanciamagnéticanuclear(RN D tieneaplicaciones irnportantesen el estudiode los nraterialesy en el diagrósticoen nredicina.En el diagnósticose llanla inngen de resonancia ntagnitica(IRM, o MRI, inicinlesclelténninoen inglésnragnctic rcsonailccinnging). Se elitninó la palabra"nuclear" porque nrr¡chospacientestemc¡rel uso dc las radiacio¡lcsnucleares.De hecho,la imagende reso¡ratrcia rnagnéticase consideracomo un procedinrientoespecialmente seguro.En el estudiode los materiales,incluyendolos tejidosanimales,se conocenbien las relacionesgiromagnéticasde los núcleos,pero el campo rnagnético,B, contieneurraaportaciónde los electrones,al igual que de los núcleosdel m¡terial. Así, la medición de B a travésde la RlvfN nos proporcionainfonnaciónacercade los átomosy de las moléculasa las que pertenece(figura Bl:l). Esto se puede iraducir a infonnación acercade redescristalinas.ode matcriales orgánico';.En el casodel diagnósticoen rnedicina,la IRM iuncion¡ ¡rrirrcipalmente con los átomosde hidrógeno,cuyos t'IGtlRA Il l-2 Irnngcndc rcso¡mncia rnngnética rlcla calrza,dondcscvc uu tlu]rorcn la pituilaria.

il lL? \ B1-1 is¡ r:-iquinnsc crnplcapnraproducirinuigcncsdc corlc E¡rsu magnótica mrclcar. -1:sa:r¿ :: ;r:::n:cs. ;rcrmcdiode¡c^so¡rancia ': :n:::' i€ 3.-¡i'.i:):i:l:n iná¡rsulxrcorrdr¡ctor,

núcleos son protonessimples. La imagen de resonanciamagnética localizaconcentraciones de átomosde hidrógenoén los pacientes. La grasa,que tieneuna alta concentraciónde hidrógeno,se puede distingrrirde los músculos,con menorcontenidode hidrógeno,l,cs tumoresse puedendistinguir del tejido newioso, y los huesos,cue tienen poco hidrógeno, apenassi se ven (figura B l -2). La imagen de resonancianragnéticapresentaresultadosque se consideran complementariosa'los de otros aüxiliaresde diagnóstico,como i;s rayosX. La IRM ha demóstradbser efectivaparael diagnósticc:: enfermedades neurales,como esclerosisrnúltiple. El desanollo de la resonanciamagnéticanuclear, cjesdeur¿ aplicación csotéricade la nrecfirica cuCrrtica,pasandopor ux métodode mediciónde momentqsangularesy ¡no¡nentcsCl;c.::-magnéticos,hastallegar a ulla herralnicntatccnológicacaia r :-: rnáscomún,demuestrala irnportanciade Ia físicacuáll:c:. e: .: ingenieríay la cienciaaplicada..

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o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o a o o o o o

Las propiedadesmagnéticasde la materiá en conjunto se resumen en la magnetización, M, y el momento dipolar magrréticopor unidad de volumen. En presenciade un campo magnético externo, 8"r,, existe un campo en un material, determinadopor

B: 8.,,+ póM.

e2-l\

El efecto de las comientes libres (reales, en contraste con los efectos atómicos inducidos), está expresadoen la intensidadmagnética,H : B"",/¡rs: .

u=9- r u.

(32-2)

ljo

de un materiala utr carnpo La susceptibilidad magnética, 1,, describela respuesta magnéticode origenexterno: (32*s) ñI = 1-H. En ténninosde 1,, el campomagnéticonetoes B:to(l *¡.)H:pH. (3 2 * 6 ), (3 2 -8 ) Enella,¡r esla permeabilidad delmaterial: (32-7) P: Yo(l+ l^\' El magnetismoen la materiase debe,en último ténnino, al magnetismode sus componentesatómicos,y, en especial,a los electronesno apareadosde los átomos. Un electrónen órbiLaalrededorde un núcleo,produceun momentomagnéticoorbital

(3 2 -t 2 )

ffio r b it¡ t = 9tL,

en la cual,g¿ es la relacióngiromagnética.La mecánicacuánticaestableceque esos momentosmagnéticostenganel valor fr or bital :

= (#,^), mul,

(32-14)

en la cual el factor m6 es el magnetón de Bohr / / es un enteto, Además, Ios electronestienen momentos magnéticos intdnsecos,de igual magnitud que rn¿.Aun con un pequeño alineamiento de los momentos magnéticos se obtienen grandes efectos magnéticos en los tnateriales en conjunto. Los materiales ferromagnéticos tienen altas permeabilidades.L,os momentos dipolaresatómicos est¿inalienadosen pequeñasregiones,llamadasdominios, debido a fuerzasde origen mecrinico cu¿intico.La imposición de un campo externo origina

entresf, y sefonnanlosimanes sealinean quelosmomentos dipolares delosdominios "recuerde" la orientación de ferromagnético permanentes. El hechoqueunmaterial en el cualla uncampoexternoquelo magnetizaoriginael fenómenode la histétesis, curvade magnetizacióndependede cómose ptodújo ésta. negativaspequefras, lo tienensusceptibilidades Los materialesdiamagnéticos siempreestá cual,en último término,sedebea la ley de Faraday.El diamagnetismo por ottos efectos'l,os materialesparamagpresente,pero puedeestafenmascarado positivaspequeñas, debidasa losmomentosmagnénéticostienensusceptibilidades esmásfavorable,desdeel puntode vista ticosintrfnsecosde electronesno apareados; que se alineencon.un campoeléctticoexterno'El paramagnetismo enetgético, expulsimal campo depende fuertementede la temperatuta.Los superconductores de su interior. magnético En la resonanciamagnéticanuclear(BMN o NMR), auxiliar irnportanteen én medicina,los momentosmagnéticos cienciade materialesy en aplicaciones preceden respectoa un campomagnéde losnúcleosy suscomponentes, i¡t:-insecos dela al imponerunaondaelectromagnética esdetectada Esaprecesión ticoaplicado. delmaterialquesetrate. exacta,que,enúitimotérmino,escaracterlstica frecuencia

o o a

PREG JI |TAS 1, ¿Po,qr,ó,ennuestrocálculodelnromentodipolarmagnético asociadoconel movimientoo¡bital,eraraionribleinraginar estaciona¡io al núcleo,y queel eleclrónci¡culaalrededorde él? 2, Cuandou¡r elecirónsc mueve cn ó¡bita alrcdedorde un núcleo,enun modeloplanetario,el sistemaformaun dipolo eléctrico.¿Por qué este dipolo eléctricono produceun campodipolareléctricoen lascercanfas del dtomo? 3. ¿Bajoquécondiciones seaplicatambiénla ley deOausspara el campomagnético,a la intensidadmagnética? l. En una¡nediciónconanillo de Rowland,del campomagnético dentrode unaporciónde materialmagnético,¿ayudael devanarmuchasweltas de la bobinasensoraalrededordel material? 5. El hierro, ¿presentapropicdadesdiamágnéticas? ¿Córno ;odrfausteddetemlina¡las? .'." ó. El alumi¡riose separacn los desgüezade¡os con grandes :manes.¿Comoesposibleesto? I. i: trabamagnéticade una puertade .refrigcrador, ¿clebe conmaterialmagnéticamente iabricarse duro,o suave? E. ,Por quéno se debenfabricarlos disquetes de lascomputaccrasconmate{ialmagnéticamente suave? 9. .A,lernperaturas suficientemente altas,predominael diamagi-3:ismosobreel paratnalnetismo. ¿Porqué?

10. Expliquecómoatraeun imánrectoa unaagujade acerono imanada, y la 1l . Tieneusted'dos barrasde hieno idónticas, unaimanacla otráno.¿Cómopucdeüsteddetermina¡ cúáldeellasesimán, sin r¡sarun terccrir¡án,ni siquierala Tiena? 12. Supongaqueun electrónen ó¡bitacircularalrededorde un núcleose colocaen un campomagnéticoextenio.El mornentoangulardcl electrón,¿carnbiará si cl campotiene direcciónperpendicular al planode movimiento?¿Y si su dirécciónesparalelaál planode movinüento? 13. ¿Esposibledisponeruna espiraclásicacon corricnte,para quetengamomentomagnético,perono momentoangular? Supongaprimero que disponeustedportadoresde carga positivay negativacon los cualestrabajar, y después que sólodisponedc portadores negativos. 14 ¿Cuálesel valorde H enun irnánpen¡lanente aislado? 15. Sc necesitaun campoextemo,para establecer ruramagnelizaciónmacroscópica dentrode un irruinpermanente enfriado abajodesutenrperatura de Curie.¿Quépodrfahaceresto, en el casode los imanespennanentes quese encuentran en la naturaleza? 16. En un campomagnéticounifonne,un dipolomngnóticono estásujeto¡ fuerzanetaalguna,sólo a un par. ¿Cómose repeleno atraenentresf dosfunanes rectos?

PROBLE]VIAS 32-2 Los átomoscomoimanes ntagnéticasde la materiaen conjunlo i )- I Propiedades -. mag.. I nava¡illacilfndricadepaladio,desusceptibilidad n (l) Supqngaque I mol de átomosen un materialtienen ::'..:2 7* 8 x i0-4, I cm de radio y 5 cm de longitud,se momentosmagnéticosindividualesde 10-23 A . m2.En auuniformede 1.0T, alineada ::.:ca enun campomagnético senciade cualquieralineamiento, promeforman un ángulo : ::. e..¿Cuálesel momentodipolarmagnético dela varilla? dio de 90o con un eje extemo.¿Cuántoclifiereel ángulo 1.. i -- r i¡ozo de hierrosc colocaentrelos polosde un imán. pro-mediode 90o,si el material'tiene iguai momentomag=i c:r.po magnéticoes 0.0010T antesde introducirel nóticoqueunaespirade I cmzde alambre,rlueconduceuna .-:ero. pcro I ,0T después. magnética ¿Cuálesla intensidad conientede 10mA?El momentomagnético dela espiraestá ::: -: ; el hieno? alineadoconel ejeextemo.Suponga queloscontponentes de losmomcntos I I -- -: :":blre:óroidaldetgada, magnéticos atónricos se.suman;rlgebraicanrente. de 55 cm dc longitudtotal, : ' : : :;:. . I00 lr.¡eltasde alambre.Por el alambrepasa 8. (I) Elnúmeroatómicodel aluminioes 13,.' su densidad es -<,r -;": :- : : . : : : e 1. 7A .¿ C u á l e s l a m a g n i tu d d e H d e n t rodel 2.7 glcm3.(a) ¿Cuántos electrones hayen 10crnrde aiumicon : :': : i . :.-:. : r :crsistedeun materialferromagnético, quese nio?@)Si cadaelect¡ón tieneel momentonragnético i *i: : : ..::":.: ::-.:glética X^ * 1.2 x 103? calculóen el ejemplo32-2,5 x 10-2{A . rn2,y todoslos 4 ::"estánalineados, momentos magnéticos con unacorriente/, tieneun . . : : . : . ::: sc.e;roide, ¿cuálserfala mag- : ¡: ::.: : J- a) Si sc ponecobredentrodel solenetizacióndel alu¡ninio? l:l.l : -:- :s :. ::.:--.iloen el campomagnético? O) ¿Qué 9. (II) Se tieneun electrónen órbitaci¡cula¡al¡ededorde un :. : : :.- . -:-::-loCentrodelsolenoide? protónúnico,o sea,un átomode hidrógcno;la cnergfatotal - : - :: - : -.: :: ::ire secolocaent¡eloi polosde del eiect¡ónes -13.5 eV. Calculeel valor del momento : -:.: 'j magnéticoorbital. ::- -:. :--,-', =:3:lético de ó.0 T. ¿Cuáles la : --: : : :;:-:: 10. (II) Supongaquehay un electrónen órbitaci¡cula¡al¡ededor - - : - - . t . : : . :.¡ :b lg ? ' ::r ,::.' - :l:c Ce m a te r ia l fe r r o m a gde un sólo protón,o sea,forman un átomode hidrógeno.El I --: - q : - : : , : : : , : - : : = i- < *- electróntieneuna energlade -13.5 eV, estandola energfa lr': . - : : : : d - : . a : : ¡ ' su d e va n a d o tie n e 12 - : ::=-:::a '.--ie. :i :.:i :::. potencialceroenel infinito. (a) ¿Cuálesel radiode la óibita? 3a:€ pasaf a tfaVeS del -.: (b) ¿Cuálesla velocidaddel movimiento?¿Sejustifica decir r :i!:,:.: ie T dentfO ¿;-.:.:il I l:.i :i ::,3i:CC 2.4 lü:--" - -l quecl movimientono esrclalivista?(s) ¿Cuálesel petiodo :,:; *: .s:¡:. l¡ " ))L )

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o o o o o o O o o o o o o o o o o o o o o I o o o o o o o o o o o o o o o a o o O o o o o o

de la órbita?¿Esrazonablequela observaciónde los efectos magnéticosde los átomosse lleve a cabo duranletiempos largosen comparacióncon los periodosde los electrones? t1. (II) Segúnla mecánicacuántica,en el estadofundamental de un átomode hidrógeno,un.electrónno tienemomento angularo¡bital.(a) ¿Cuáles el momentomagnéticoorbital de ese electrón?(b) En un estadoexcitadodel átomo de hidrógeno,el momentoangularorbitalesL - 2h, En unidades de lr, ¿cuáles el momentomagnéticoorbital de un electrónen esleestadoexcitado? 12. (II) El momento magnéticointrfrueco dc un protón tiene magnitudz¡,ri*o - 5.56(el2M)(ñ/2),, siendoM la masadel protón.Un modo de explicarcl factor 5.5ó es decir que, duranteuna f¡acciónde tiempo| ól protón es r¡naca¡ga y que puntual,c, en reposo,con m'bú- co- 2(e[2lvo(hl2), duranteuna fracción de tiempo | - t, es una part{cula de cdrgae y masa0. I 4M describiendo un clrculoal¡ededorde un núcleocentral,de tal modo que el momentoangulares k. Calculef. 13.(II) El electróntieneun radio clásicoro- ezl4rqrn,c2- 2.8x l0-rsm. Estacantidadse sugierepor análisisdimensional. particularde cantidades La combinacíón clásicasesIa única que se puedeformar con dimensiones de longitud.Use la ecuación(32-I 1), igualandomdüdconel magnetón deBoh¡, tn,'pata demostra¡que cualquiercarta quese encuentrea la distancia del radioclásicosemoveráconmayorrapidez que Ia velocidadde la luz. Supongaque todala cargasc concentra enunaband¡deradioro.¡El manejodelmomento de un electróncomocantidadclásicaconducea magnético dificultadesl t4. (II) [a corriente,/, en unaespiraci¡cula¡de radioR, sedebe al flujo de electroneslibres,uno por cadaátomo,en esa quela relacióngiromagrrética dela espira espira.Demuestre es independiente de /, R y de la densidadde los átomos. 32-3

FIGURA32-lE lloblcrna19. 32-18).Hay 100Ovueltasalrededordel toro. ¿Cuántaconiente debe pasarpor la bobina para producir r¡n campo magnéticode I T dentrodel toro? Considereal toro como con campomagnéticoconstanteigual al campoen el nüo centrál,o de su ejecircular. 20. (lI) [,a figura 32-19muestrauna cr¡rvanormal de histé¡esrs paraunaaleacióndematerialferromagnético,queseusacol frecuenciaen fabricaciónde imanes.(a) ¿Curíles el campo magnéticoextemomáximoquesenecesitaparaalcanzarel. campomagnéticointernomáximoen la aleación?(b) ¿Pa¡a alcanzarel campomagnéticomáximoposibledent¡ode Ia aleación?(c) Paraalcanzarel campomagfiéticonúximo posiblesin campomagnéticoextemo? /l ('l ')

Ferromagnetismo

15. (I) Sedevanaun toro con 200Ovueltasde alambrepor metro. Por el alambrepasauna corrientede I A. Si el núcleodel toro es de hieno, cl campomagnéticointemo en el núcleo es 1.4 T. ¿Cuáles la magnetización? ¿Cuáles el valor de ¡tlpoparael núcleode hierro? 16. (ID Una corrientede 2.0 A pasapor un solenoidecon 500 weltas/m. A lo l¡rgo del eje del solenoidese coloca una barrade hierro,con p/po- 3.5 i 103.(a) ¿Cuálesel campo magnéticodentrode la bana de hieno? (b) ¿Fuerade la barra,pero dentrodel solenoide? en forma de discotiene 1.0cm de 17. (II) Un imánpermanente espesor,y 5.0 cm de diámetro.El campomagnéticoen el eje cercade su polo norle,es0.020T. ¿Cuáles la corriente que pasapor una bobinade alambrede 50 weltas, de las queorigineel mismovalordelcampo mismasdimensiones, magnético en el eje? 18. (D Un campodipolar magnéücoüeneun valor de 0.005T en ai¡e.Seinroduce unapiezadeacero,deI 100desr¡sceptibilidad, entrelasca¡asdel d.ipolo.CalculeB, H y M denhodel hieno. 19. (ID Un toro de ló cm de radio centraly 1 cm de radiodel tubo,serellenaconhie¡ro,conpermeabilidad22}0po(frgura

l t,,(l )

F¡GURA32-19 32-19Prcblsrn¡ 20. F¡cunA

21. (II) El valor máximo,que es el valor d¿ so:urac:i., e:.-'...: campomagnéticointemodel material,quesernuesr-a figura32-10,es 1.25T.Calculela permeabilida{,u.c':::,:-poII - 3 x 10-4T, puntoen el cual el imán ha a-c:-.-¡::-'-: saturación. :¿;i'-: r 22. (II) Setienendosbandasconductoras para-elas, 6.0 x l0-4 m de espesory 10 cm de anncho,*;aie¿¡i .,:ri unadistanciade 5.0 x 10-j m. El espacioar¡e e";s g :--crJ cu)'apqlneabü¡¿¿rs Sltl -; conrurmaterialfenomagnético

I

Por cada bandaltasa¡r2.0 A de corriente,.uniformes, en di¡ecciónopuestacntresf. Calculeel valor del campomagnético,y la intersidadmagnéticaen el espacioentrelasbandas. 23. (ID Un anillo de Rowlandmide la cargaque pasapor r¡na bobinasensoraintegrandola corrienteen el tiempo(véase figura32-9).Tarrtola bobinasensoracomola bobinaprirnaria se devananapretadamente rodcandoun material.Las bobinastienenun á¡eaz{.El númerode weltas en la bobina sensoraesN. La fem inducidaen la bobinasensora, por un flujo magnéticovariableen el materia(quea su vez sedebe a que,al ccrrarl¡n intemrptor,pasacorrientepor la bobina prirnaria)es d, y la bobina sensoratiene resistenciaR. queel cambiode campomagnéticoes Dernuestre

_9!! oo= - #!u o ,=-# J,u,= NA

26. (III) Vca la figura 32-20, pero esta vez suponga que e. electróncircula en el sentidode Iasmanecillasdel reloj, er lugar de lo contrario, 4 la velocidad 4. Aplicando la mis¡r.: secuelade pasos,demuestreqrre el cambio en el momenic tnagnéticode la órbita clelelectrónse opone a la dirccci:r dél carnbioen el camlo extento,igual que en el casocua.rl¡ el clcctrón circula en scntido contrarioal dc las nranectll:s del reloj. 'r'l

(iII) En cuantg a los problemas 25 y 26, suponga que l':¡ ahora dos electroncs que se mr¡eyer1a una velocidad r,,e: órbitas circularescle¡adio R. una en el sentido de las manecillas dcl reloj, y cl otro en sentidocontrario.(a) ¿Cuáiesel motnento nragnético orbital neto cuando el campo exte¡i: es cero? (b) Cuál es ese momento magnético cuando e. campo externo ha llegado a Br? (c) Demuestre que i: s u s c e p t i b i l i d a d m a g n é t i c a p a r a e s t e s i s t e m a e s '/. = -Qtoe2R2l4m,)p., siendo p. la densidaddel elect¡ón.

24. (ll) Una bobinas,:nsora, con0.2C)de resistencia, sedevana apretadamente, e r 10weltas,alrededordc un materialrnagnético,de 0. l2 nr2de área.Cuandose cierraun intemrptor en la bobinaprimaria,se mide una cargade 0.ó mC en la Si el camponagnéticoinicialeracero,¿cuál bobinasensora. esel nuevocampomagnéticoenel material?(Véaseproblema23.)

28. (III) Con las técnicas de los problemas 25 a 27, esti¡nel¿

*32-4 Diamagnetismo

*32-5 Paramagnctismo 29. (II) La temperatura de unamr¡eslra debluminiodentroCe'¿:'. campomagnético y al mismotien:¡r semantiene constante, aunlentael campo.Hagaun esquema del momentomagr,3tico inducidoa medidaquese aumentael campo. 30. (Ii) Un alambrelargo,rectoy conductor,estáincrustado e:: un materialpar,rmagnético aislante,cuya susceptibiliC,ai nragnética es2.6 x l0-aa 30OK, y conduceu¡racorrientece 10 mA. Par¡ esa temperatura,determineel valor de ls intensidad nragnótica comofunciónde la distanciaal ala:i,bre,al igualqueel camponragnético. 31. La constante C enla ley deCurie,ecuación 32-18),sepuei: detenninarcon lastécnicasde la flsicaestadfstica, y resu:'i ser C = nm B¿lk, siencloft la co¡tstante de Boltzmanny n .: densidacl nunrérica que participane::e. de los electrones efectoparamagnético. paramaE ... Estimela susceptibilidad ticadelmolibdenoa temperatura q':: ambiente,suponiendo la densidadde los electronesno apa¡eados es igual a l: densidad numéricade losátomos.Calculeestaúltimaccl:. pesoatómicodel molibdeno,96,y su densidad,9 g/cmr.

25. 0II) UIr electrón,bajola influenciade unafuerzacentral,se muevea una velocidad¿/ren órbitacircular,con sentido contrario al de las manecillasdel reloj, de radio R. Se establece un campomagrréticouniforme,B, perpendicular quelamagnitud al planodela órbita(figura32-20).Suponga del campocambiaconddtenninada rapidez,d8/dt.(a)¿Cuáles son la magnitudy la direccióndel campo eléctrico inducidoen el radiode la órbitadel electrón?(b) La fuerza tangencialsobreel electrón,debidaa queel campoeléctrico inducido,haceaumentar la velocidaddel electrón. Calcule que la velocidadorbital el valor de duldr.(c) Suponiendo inicial fuera ur, calculc la velocidadfinal, u¡, cuanclola aumentaunifomre¡nente magritud del campornagnético du/dt en cl desdecero hastar¡n valor final B¡, irttegranclo tiempo.(d) Con el ¡esultadodel cambiodevelocidad,determine el cambio de nromentoangularorbital. (e) Con la (32-Ll),relacione ecuación un cambioenel momentomagnéticoorbitalcon el cambioen el momentoanqular.

susceptibilidadmagnética del cobre, que tiene 29 electrones por átonro. Sr¡ponBaquc todos los electronesse lllueven e: órbitas del mismo radio, y que 14 se mueven en el seniii: de las manecillas del reloj, y l5 en sentido contrario. Necesitarácalcularla densidad¡rr¡méricade los electrone;en e. cobre.

*32-7 Resonancia magnóticanuclear

Tray(toria dcl clcct¡ón

32. (I) Si la relacióngiromagnética del neutrónes -1.91€;':':. calculeel momentomagnético delnrismo. 33. (II) Supongaque es posiblealinearperfectamente los ;:mentosmagnéticosde los protonesen I mol de hidréEer.: gaseosoen condiciones normales,¿Cuálesson la ma_s;.::. zaciónyel campomagnéticodentrodel gas?

34. (II) Supongaqueesposiblealinea¡los momentosntase';I'IGURÁ 32-20 Problcrna25.

958

cos de todos los neutronesy protonesde los núciecs::

a I a I I

a a I a o o o o o o o o o o o q o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o

O

o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o o o a O O

o o O o o o o o o o o

oxfgeno.¿Cuál serfa la magnetizaciónde I mol de los isótopostóOy r8O?Supongaque el oxlgenoforma un gas de O, en conduciones de temperatura y presiónnormales. 35. (U) Expresela ecuacióndm/ü - gr¡n x B, respectoa la ¡esonanciamagnéticanuclear en forma de componentes, parael casoB - Bk y m - m,i + mrj* rr.k. (a) Demuestre que ¡r¡¿es constante;(b) demuestreque ,?t¡2t mr2+ mr2es constante que nr¡ - m, cos(
vueltasde alambre,y tieneunacorrientede I A. tá susceptibilidadmagnéticadel tungstenoes 7.8 x 10-5.Determi¡e (a) el campo magnéticoextemo, B*,i O) la intensidad magnética, H; (c) el campomagnético,B; (d) la magnetización,M. (a) Repitalaspartes(a) a (d) paraun to¡oconnúcleo dehier,ro, en lugarde tungsteno; la susceptibilidad delhieno es5.5 x 103. 4t. (II) En uno de los dosmodelosclásicossimplesdel spindel electrón,la cargacirculaen el radioclásicodel electrór¡ro (véaseproblema13).En el otro, la cargatotal del elect¡ón estárepartidauniformemente en un discocuyo radioes el tadioclásico.Calculela relaciónde losmomentosmagnéticos parael casoen el cual todala cargase encuent¡e en el radioclásico,en comparación del casoen el cualla cargase reparteen el disco. 42. (tt¡ El neutróntieneun spinintemoS,cuyamagnitudesñ/2, y un momentomagnélicoqueserelacionaconel spinmediante la relacióngiromagnética, &, como en la ecuación(3220). Esta relaciónes g, - -1.91(el2m^),Supongaque un neutrónconsistedeunapartfculapesada, concargapositiva, masaM y momentomagnéticoettl2M.y unapartfculamás ligera,concarganegativa,masam, en órbitaalrededorde la partlculanráspesada, conmomenloangularfi.¿Cuáltendrfa que ser la masant par¡texplicarel mon¡e¡rtomagnético observado del neutrón?Porsimplicidad,no tengaen cuenta el movimientode la partlculamáspesadarespectoal centro de masa. 43. 0II) En nucstradescripcióndo la teorla clnética,en el capftulo19,hicimosnotarque,segúnBoltzmann,el nú¡¡rero de sistemascon deierminada energlaE, en un conjuntode sistemas en equilibrioa la temperatura T, es Ce-4rr.Eneste caso,C es una constanteque estádeterminadapor el requisito que,cuandosesumentodoslos sistemas, lleguemosal mismonúmerototal desistemascon cl queempezamos. Para un conjuntodeNdipolosmagnéticos enreposo, enunca¡npo magnéticoextemo,N(I) - Q¿4-a' \ltr - 6r{'a "- 4/rr,siendo 0 ei ánguloentrela direccióndel dipolo y la del campo magnéticoexterno.C quedadeterminadopor el requisito que el nrirnerototal de sistemas,N, seaN - C I i 2n sen0 d$¿(nrca qltl (a) CalculeC. (b) Calculeel valor promedio de cos 0. (c) Hagauna gráficade (-cos g) comofunciónde mBlkT.

C A , PITU.L O

El arco elóctríco no seforma al cerrar el interruptor; sólo seforno cuando se abre, porque la ley de Faraday entra en accíón para nanlener una corrienle que ya exbte, que pasa Por las bobinas. E! arco es una manitestaciónde esa corriente, que salta a través de un espacio de dirc,'o " cntrehicrro.'

II{DUCTAhICIA Y OSCIIACIOhIES

ENICIRCUITOS En lo, ci¡cuitos eléctricos,los resistáresson causade la pérdidade energfa,y los capacitoressonmedioscon los cualessealmacenala energlSenun carnpoelécttico. Tambiensepuedealm¡cenarla energlaqnun camPomagnético,y los inductoresson los elementosde circuitos que lo hacen.Su funcionamientose basa en la.ley de Faraday,quedescribelos efectosdecamposmagnéticosquecambian.l,os inductotes sólo son.activoscuandocambianlas qorrientes.Por esta tazón,permitenun gado a travésdel tiempo. fundamentalde controlde los circuitos,.concoffientes.vatiables y son análogosa capacitores resistores I-os circuitos eléctricos.con inductor.es, y de podemos el comportamiento amortiguados; comprender osciladoresarmónicos oscilador armónico coinportamiento mecánico del términos del tales ci¡cuitos-en amortiguado.Las dependenciasde cbrrientesy voltaje tespectoal tiempo son el corazón de las aplicacionestecnológicasde los citcuitos. En este capltulo nos en circuitos en los cualeslas fuentesde fueruaelectromottizsean concentraremos constantes,

33-t

INDUCTANCIA E INDUCiORES

Cuando un circuito tiene una cottiente eléctrica.que vatla, ésta produce un campoi

magrréticoque vada. De acuerdocon la ley de Faraday,se va a inducit una fuerza'' electromotriz(fem) adicionalen el circuito.Los efectossobtelos circuitoseléctricos: o las.aplipaciones, comocomputadoras,televisores, son conunes,ya que son,tanüas conrespectoal tiempo. sistemaseléctricosdeautomóviles,queimplicandependencia

9&

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O

o o o o o o a O o o o o o o o o o o o o

o o o o o a o a a I o o o o o I a o t o a o o o o o o o a a o a o o o o o

yu.L 33-1

'^ ?L-**H

|

I

c i¡d¡rros

FICURA 33-1 Cr¡nndocnnrbi¡lo corric,ntc cn rurcircrri(o,cnrnbin cl fiujo quc lios{rpor ó1, ori¡;itrnrxkrurn fr¡cr¿nclcctron¡dr¡2. irxlucicln,dc ncucnlocolr ln lcy rlc l;nratlny.

Todo circuito elóctrico ccrrado en el que la corrielrte tenga algunadeperrdencia con respectoal tiempo se puedc tomar como ejemplo del principio gencral.La figura 33-l tnuestra un circuito coll un interruptor que se ciena cuando r - 0, Cuartdola corriente aunlellt¿.,partiendo de cero, el campo magnético airedeclordel colrcluctor tanlbié¡raurnetrta.Al crecerel calrrpornagrrético,el flujo rnagrrético,que sc dirige haciala págitra,que atraviesael áreaencer¡adapor el circuito,aumetrta.Segúnla ley de Faraday,fonnulada por Lenz, se inducc ulta fern cn el circuito, y se opolrrro estc aurnctrtode flujo. Por consiguientc,la fuerza elcct¡ornotrizi¡lducidasc oponeo,la fucrzaclecttotnotrizde la baterfay desacelerael flujo de corriente.Lo que hernos descritoes utl principio sencillo: la fonnulnciótrde la lcy de Faradaypor l¡nz nos dice quc las corrientesinducidassiemprese oponena cualquiercanlbio en el flujo lnagnético.El resultadoes que las corrientesvariablcs en los circuitos originan cfectosdc ittduccíón que tratan dc reducir la rapidczdc cantbio dc esoscorricntcs. Adelnás del efecto sobre el circuito de un "bucle" que se vió arriba,hay otro efectoposible,relacionadocon el flujo variablea t¡avésde superñciesdistintasque lasdefinidaspor el circuito de corriente.Si se encuentraun segundocircuito en la cercanfadel ¡rrimero,el flujo rnagnéticovariabledebido al primer circuito pucdehacer variarel flujo a travésdel segundocitcuito, y se induciráuna coniente en estesegrurdo circuito.Este efecto, a su vez, produce un flujo vatiable que puedeafectaral primer circuito, y asf sueesivarnente. En este caso, se dice que ios dos circuitos estiitr enlazados,o ligados. Cuandoel prirnercircuito induceuna fuer¿¿electromotrizen sfmistno,decimosque hay una autoinductancio,or en forma abreviada,inductnncia. Cuando el primer circuito induce una coffiente o fuerza electromotriz en el seguudocircuito, decimosque hay una i¡rductanciamutua entrelos dos circuitos. y la inductanciamutua es la ley Nóteseque el principio ffsico de la autoinductancia deFaraday. Autoinducta¡lci¿.Corno el campo rnagtréticoque se estableceairededorde un alambreque cotrduceuna corriente / es ptoporciotral a 1, el flujo magrréticoa trav& de un circuito tarnbiénes proporcional a L.t I dependede la superficiedeterminada de que se trate; esto es; de la geotnetrfadel cireuito elr el cual se induce la fuerza electromotriz. Para un circuito único a traves del cual pasa una coniente I la inductanciase defille exlrresatrdoel flujo magnético, O¡, cluepasa a través de una superficiedelirnitadapor el circuito: r l) :I/

(33* l )

D cfi ni ci ón dc i nducl anci a

inducidacn cstc circuito,es la

{]3=2\

I

o o a a o I a

Inductaci¡

I Nucsfo crrr¡rlc
[\¡l l rel aci onada con una i nduc tai :c :¡

(:l I

": FIGURA 33-2 (a) El flujo por un circuito, o clcmcnto dc circuito, sc pucdc dcbcr a su propia corricnto, o a la corricntc que conduce un circuito o clcmonto dc cin¡ito adyaccntcs.(b) las dos bobinas monladas cn cl núcleo dc hicrro dcmue^stranla in
(b)

Como vefemos, la adición de un término de fuerza electtomotriz induci.la proporcional a,la rapidez de cambio de la corriente, tendráun marcado efecto sobre la r¡anera como las cargásfluyen a travésdel circuito. Inductancia mutucLVeamos los dos circuitosadyacentesde la figura 3:-2. Si pasaUDacorriente/¡ por el circuito 1,y otra /2 por el circuito 2, hay urr flujo magrrético, por @¿(1),a travésdel áreadel circuito 1, expresaclo Definición de indr¡ctencia mr¡tue

O¡( l ):

(33* 3 )

Ltl t+ Mrrl z

El primer término se debe a la corriente que pasapor el circuito 1, y la constante de proporcionalidad,L¡, es la autoinductanciade esecircuito. El segundotérmino se debe a la corriente que pasa por el circuito2,y la constanteMpes la inductancia mutua del circuito 1 debida al circuito 2. La ecuación(33-3) define la inductancia mutua. Tanto Z¡ como Mp dependen tan sólo de la geometria y, como veremos, del medio en el cual está ei circuito. Las inductanciasno dependen de las corrientes mismas. El término mutua impli,caun grado de sirnetría entre las dos espiras.2El flujo magnético a travésde la espira2 tiene un tórmino propórcional a su propia coniente (figura 33-3a),y tambiénuno proporcional a la corrienteen la espira I (figura 33-3b):

(33-4)

Os(2): L2l 2+ Mzrl r.

En el segundotérmino intervienelo que pudierapareceruna nueva constante,M2¡, Aunqueno,es obvio, sin embargoes cierto que /as ínductanciasmuluas son iottnt""

FIGt:I \ 33-3 Inductarrciamutrn. El flrrjo ::r2grrc: ro a t¡avcs dc la Cspira.2sc dcbc a .:.) ei cz::,o. magnéücodc su propia .rrljcnt.. J i' a O) cl campomagnéücode ' : ::.lla cspira l.

Lineas de campo magnótiéo ' debidas a la cspira 2 (a)

j¿gidaq ¿ la espira I

(b)

2 N. dcl T.: Dc aqui en addanlc, cmplcarcnroslos iór¡lrinos"circlrito", "c,slim" o "buclc" a convc¡lr.i..i:, dcpcndicndo dcl ónSo.Sc rhta (lc,disti¡ttns fómrns dc'tu,r traycctorin ccmtd¡ dc corricutc clcctrica, y, ¡c,: corsiguicntc, sc dcbcrá corsiderar quc los tónnincx son s: xinimos par¿ los fincs que sc dcscribcn.

962

o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a O o o t o

o I o o o o o o o O o o o o o o o o o o o o o o O O O O

o ¡ a o

e D D I D I D D I I t I D D

%3 33-l

lnductancla c lnducto¡s

Í'IGURA 334 Jccph llcnry, cn uncnrplonuulo doh vcntanadola primcralglcsia dc Albany,NcwYorlqlugnr
Mn : Mzt.No presentaremosaqul la demostración.Se acosfumbraa omitir los subfndices,y escribirM - Mn - Mzt, como inductanciamutua de las dos espiras. La ley de Faradayexpresala fuer¿aelectromotrizinducidaen la espira2 debida al cambio de corrienteen la esoira l: 8zt

dI, :

.

-

lll

--.

-.

ctf

(33 -5)

Fent asociadaa una inductanciamutua

Una ecuación semejanteexpiesa la fuetza electroinotrizinducida en la espira1, debidaa la coniente en la espira2, Las inductanciasL y M tienen unidades de flujo magnético dividido entre corriente;en el SI, weberspor ampere(Wb/A). Como la resistenciay la capacitancia, la inductatrciase manejácon tantafrécuencia,que tienesu propiaunidaden el SI, en henry (H):

lH=1Wb/A :lT'm2 / A .

(33-6)

Unitlarltleinductnnci¡ enel SI

El nombrede estaunidadesen honorde JosephHenry,investigador del siglo XIX, quien,al mismotiempoqueFaraclay, estudiómuchosefectosde la inducción(figura 33-4),Una inductanciade I H es grande,pero no de¡nasiado, Por ejenrplo,un solenoide cilfndricode 10cmzde áreay 20 cm de longitud,con 10weltas/cmtiene unainductancia de 0.25H. Prontopodtemoscalcularla inducta¡ciadeun solenoide. apreciable Los elementos en loscircuitosconautoinductancia sonotrafuentede fuerzaelectromotrizquesedebetenerencuentacuandoseempleala regladel ci¡cr¡ito pa¡acambiosde potencial.Esoselementos,que,normalmente, tienenla forma de y los resistores, y, normalmente, solenoides, son tan útilescomo los capacitotes se ponenen forma deliberadaen los circuitos.Si se colocana propósito,o si son inherentes al circuito,comoen la figura33-1,sellamaninductores(figura33-5).'En losdiagramas elébtricosserepresentan conel sfmbolo \,e!oto/.El cambiodepotencial at¡avésde ellos, segúnla ecuación(33-2), es tal que trata de oponersea cualquier aumento o disminuciónde la coffiente;en esaecuación,el signomenosexpresala leyde Letrz,la oposiciónal cambio.Por lo general,la inductanciamutuaes tan queno tieneimportanciaen la regladel circuito.En los circuitosenlazados pequeña setieneun casoespecialen el quela inductanciamutuaesmuy impottante,comoen lw transformadores, dispositivosempleadosparacambiarIa magnitudde voltajes va¡iables seseguitándescribiendo conrespectoal tiempo.Los circuitosenlazados en IICURA 33-5Divesoslnductoru. elcapitulo 34,

964 Capítulo 33 inductmcle €n clr€ultos

l+-

t.

Q

o

y occllaclone

l. i¡

FIGIIRA 33i Un solcnoidc dc longihrd l, radio R y clcrsidadn dc vucltns, condtrc r.r¡,1corricnlc /. Sólo sc mrrcstra cl campo magnético, B, dcl intcrior. El campo oxtcrior cs ccro on cl lúnito cunndo cl solcnoide os l¡rfinitamc-ntclargo.

?

C,

Cálculo de le inductancia

podercalcular debernos Parapoderusarla reglade circúitocuandohay inductores, que o la inductancia mutua.Al igual o medirla autoinductancia la capacitancia, 14, inductanciase puedecalcularcon facilidadtan sólo paraunaspocasgeometrfasl Veamosel de. La másimportantede ellasesel solenoide. simples,peroimportahtes. la figura33-6,cuyalongitudes/ y su radioesR. Cuando/ >>R,el campomagnético y estáexpresado por la ecuación,:: es longitudinaly constantc, dentrodel solenoide

(30-15): B -

¡totrl,

en la cual ¡Jses la permeabilidad del espacio vacío; n es el núrnero de vueltas'de,i a l a m b re p o r u n i d a d de l ongi tud del sol enoi de,e / es l a corri ente ql re pasapo r1 el alambre. El flujo magnético a través de una ,,-ueltadel solenoide es el campo,B, multiplicado por el área de sección transversal,A, Qn= BA - ¡tsAnl. El flujo,:

porel nútner o totolde vueltas,N ' n/: totalesestevalormultiplicado magnético

i

(33-7)

O¡¡: i r

a el coefi ci entedel a ' C o m p a ra n d oc o n l a ecuaci órt(3-r-l ), l a aul oi r)(l uctancies corriente: p a rau n sol enci dei deal :

Induc t ¡nc in d e u n s o l c n o i d e i d e n l

L:

u,,rlf tt2

(3 3 - 8 ) ,

E J E If PL o 3 3 - 1 E n ui r coi l o perc.Jc,l a ccrri entcenunabobi naci l índrica. , de 10 cm de longirud,0.5 c¡n d,eraCio¡' iOCOri;eltas de alambre,aumentacott' una rapidez constantede 103.ds. Ca.lcu.ela i;er¿r elect¡omotriz i¡ducid¡ duranteesteperloclo. inciucidaes.cieacue¡docon SOLUCION:El dato es d.i/d¡;la fue¡zaelec::---;¡ct¡:z la ecuación (33-2), ¿ a

-

-

, t,

i) -

d:

del solenoide,con la ecuación A continuacióndebemoscalcula¡la induct¡,:rcia (33-8).La densidadde n¡eltas es n - (1000 '.ueltas)/(0.1m) : 10{ r'ueltas/n.Fl áreadel solenoideesA = rcf,y entonces m)(l 0anrn)' = p o A ' fn z: (4 n x l 0-? T.rnl A )[z(0.00.sni )' ?](0.1 que La rapidezde cambio de la corrientees 103A/s, así E : -(10-3 H X l 03 A ¡s) = - 1 Y ' ,

¡:

l 0-3 H :

Ya que avanzalnosen el circuito en la direcciólr de la corriente, la fuera electromotrizseránegativa,- I V. En muchoscircuitose Iéctricos,I V esunafem apreciable. , ¡:i Como ejemplo de una inductancia mr.rtuácalculab)e,ve¿ii¡osun solenoideddi longitud f , ridio R¡, deñsidad de devanado n¡, i corri'enté.I1,que contiene, denl

al de é1,una éspiraúni'cade tadio R2,cuydáreaestáorientadaperpendiculafinente segrin eje del solenáide1Fig,33-7).El campomagnéticodel solenoidesedetermina qubpasapor la espifaúnicaes¡ la ecuación(30-i5),B = p¡nrIr.El flujo magnético Q¡¡:,8A2:

BnRl: p,,nRlnl ¡,

e

q

q e q a d, q q o, o

q

q

q oi o ot

q oi

oi ol oI oi f: o' o, o o ol

o o o O o o o o O o o o o o o o o o o o o' o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o' o o

Q .. ,''- ..-_: *.; _*___--l

965 33-l

Inductanci¿ c lnductorcs

F'lGtlLA 33-7 tjl drcn rlc ln c.s¡rirarbricny I)c{¡rciracs pcqnrxlicular nl cjc
P ordc f inic ión,la i n d u c ta trc i lan t¡tu a ,M , e s e l c oefi ci entede .I¡:

(3 3-e ) M : yonRln, con Si,enlugardeunaespiraúnica,tenemos segundo solenoide un número un total devueltasN2,entonces, el flujo totalque enlazaal segundosolenoidetiener¡nfactor N2,y debeaumentarse M de acuerdocotresen'ris¡nofactor: ¡4 :

t??-rn)

ynnRjnrN2.

E J E M P L 'o 3 3 - 2 Se tiene la espiraúnica y el solenoidede la figura 33-7. Slrpongaque la éspiratieneuna corriente12,funcióndel tiempo.Calculela fuerza electromotrizindr¡cidaen el solcnoidepor la corriente/2: detenninarel flujo SOLUCIoN:Parapoderaplica¡la ley de Faraday,necesitalnos magnético,
p n n Rl nrl 2.

La fue¡zaelectromotrizes la derivadade s ignonegati v o : At

é : -;Í:

'esteflujo con respectoal tiempo,con d/z

-yonR)n,n--.

quela itrductancia esmutuaM¡2 la utilidaddeconocer Esteejernplotnuestra directamente a partir a travésdelsolenoide, - Mzt.Elcálculodelflujo nragnético tarea formidable. verdad, u¡ta del campodipolarde la espiraúnica,sería,en Efectos de los materiales magnéticos sobre la inductancia En el capftulo 32, virnos las modificacionesdebidasa l¡raterialescon propiedades Irrdicamoscórnopodernosllegara ecuacionesque incluyana la corriente magnéticas. libre (o real), sólo si remplazalnosla penneabilidaddel espaciovacío, ¡ls, por la permeabilidaddel material, ¡1. La penneabilidadestá expresadapor la ecuación

(32-7), tt:

tto(l + /.,,,).

En ella, y^esla susceptibilidadmagnéticadel material; negativay pequeñapara y positivay diamagnéticas,positiva y pequeñapara las paramagnéticas, sustancias grandepara el ferromagnetismo.Si un solenoideestuvierarelle¡locon un material catnbiaríaal remplazat p0PotI'ten la ecuación(33-8). su autoinductancia magnético, cambiadentro la susceptibilidad Paralos materialesdiamagnéticosy paramagnéticos, prácticamenteconstante,igual a ¡t¡. deunos límites tan pequeños,que /u petTnanece Paralos materialesferromagnéticos,los campos magnéticosy las indtrctancias puedenaum ent a rmi l e s d e v e c e s .

o: 96 Capítulo

33-2 33

Indrrctancle

ENERGTA EN TNDUCToRES

y oecllacloncs

cnclrct¡rtos

Un inductor desempeñaun papel en el campo magnético análogoal cleun capacitor en el'campo eléctriéo: es un componenteque almacenaenergfaen ei catnpo trragnético. Del mismo modo qrre las placas paralelas forman un capacitor simple con capacitanciafácil de calcular,un solenoideforma un inductor simple con inductancia fácil de calcular. El capacitor de placas paralelas tiene en su interior un campo eléctrico uniforme; el solenoidetiene un carnpotnagnéticounifonne en su interior. El teorema del trábajo y la energla estableceque hay energfa en un inductot. Como cualquier fuerza electromotriz inducida en el inductor se opone al cambio de la corriente,una fuente externa,como por ejelnplo, una batería,debeefectuartrabajo para hacer que una comientepasea travésde r¡n irrductor.La cantidadde trabajo que en el inductor.Paracalcularesa se efectúaes una medidade la energfaalnracenada energla,prócedemosen forma análoga a cuando la calcularnospara el capacitoren el capftulo 2ó. Calculamos el trabajo que efectúa una fuerza electromotriz extema, que es el necesariopata hacerpasar a una cortiénte por el inductor. La ecuacióh general para la rapidez, dWld,t (esto es, la potencia, P), a la cual efectuatrabajo una fuerza electromotriz extema, ó.^,,cuando pasautra corriented se deducede las ecuaciones(27 -26) y (27-27): dw df

-,o - "'"''

Si la fuerza electromotriz externay el inductor soir los únicos ele¡nentosdel citciuto, la primera debe ser igual, pero opuesta,a la fuerz¡ electrornotrizinducida en el estaúltirna ecuacionse inductor,que es la de la ecuación(33-2).i Por cotrsiguiente, transforma en dl l ' | | di (33-il) ;o ¡ d¡ Si la corrienteaumenta,la potenciaes positiva, io cual quiere decir que la fuente extemadebeefectuartrabajoparasuministrarenergíapositivaal inductot;la enetgla interna,(J1,del inductor,aumenta.Si la cor¡ientedectece,la potenciaes negativa,lo cual quieredecir que la fuenteextematoma energíadel inductor.La energfainterna de éstedisminuye.El cambio neto, iU¿, eu la energÍatnagnéticatotal del inductor, al cambiar la corriente de un valor 1, a otro /2, del tienrpo tl al t2, se puede calcula¡ integrandoel trabaio efectuadopor 1afuente extema al cambiar la corriente,Integtaremos la ecuación (33-ll) para dll'ldt, de un momento inicial, f1,4 ult momento posterior, f2: .¡ : (r, dl f"dlY :Ll IdI !/ | Ldt I J,,

dl

11 ;Lti-;

'.

of

-u.

el aumentode energía En especial,si el inductorconduceunacorriente1,entonces, que la energladel cero, es 1o llamamos simplemente desde corriente al aumentarla inductor; UL :)

t,'

( 33- r 3)

Esta ecuación se debe compatar con la de la energfd, Uc, contenidaett un

C, quetieneunacargaQ, la ecuación(26-8): capacitordecapacitancia uc: .

oi oi

o o o o o o of

or

oi ol of

oi '

oÍ o[ oi oi

oii oii

oi oi

ol oi o oi , e'

oi

Lt:.

L¿

Energiecontenid¡ en un inductor

Or Ol

I Q'' ¡ r. zw

3 En Idpnictica sicmprc habni r¡na pcqucrla rcsistcncia c¡r cl circuito, cuando nrcnos si no cstuifon¡utio por suporconductorcs.

Q'

oi o' o o e O e a" o o o o O o

o o o o o o o o o o o o o o o o o O o o o o o O o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o' o o

Nóteseque la ecuaciónde la energíade un capacitortieneel factor l/c, mientrasquc la de ln energíade un i¡rductortiene el f¡ctor I. Sin cn¡bnrgo,recudrclese q¡e la ausenciade capacitanciacorreisponde a C:co, mientrasqrreIa at¡senciade inductnncia coffespondea¿ * 0. Enloslúnitesde C *co-y I * 0, lasenergíasrespectivasson cero.

c)63.i'2

lircryía

c¡¡ l¡xh¡ctre

E J E M P Lo 3 3 - 3 U n s o l e n o i d es e d i sefi aparaal rnacel n¡U ¡.-.0,' l 0 J dc energfnct¡alldopasnpor él r¡lracorriclrlc,/, dc 4-50rnA. 'lie¡rer¡r¡órcndc scccióll t r ar r s v er c a l ,,,l ,' d5e,0 ó rn 2 ,y u rral o rrg i fu d,t deO.20rn. ¿C uántasvuel tasde alambredetretenerel solenoide? SOLUCION:Dlseatnos calct¡larel número de vueltas,N, dadasla corrierrte,la longitud y el área del solenoide,y la energíaque almacena.Para calcular N, necesitamosexpresarla energlaen términosde N, para lo cual.necesitamos la inductancia.La autoinductanciade un solenoide estáexpresadapor la ecuación -(33-8),Esa indr¡ctancia sepuedeexpresaren términosdel númerototalde weltas, N, más que de la densidaddel devanado,tt, medianteN - nf , siendo/ la longitud del solenoide.Asf, , "=

ttn A N ' ' /

La ecuaciónparala energia,la (33-i3), se transformaen I ,rro l .\' : ,,

11' Podemosdespejara N:

2(0.10 JX0.20 m) = 1. 8 x 1 0 4v u e l ta s . El hecho que se necesitentantas vueltas en el ejemplo 33-3 indica que los papel inductores son meriosprácticospáraalmacenarenergíaque los capacitores.'El primariode los inductoresno es pa¡aalmacenarenergia,sino más bien paracontrolar la dependenciade la coffienteen los circuitos,con resp€ctoal tiempo (figura 33-8).

FIGTJRA 33-8 Aplicacioncs do los indr¡ctorcs.(il) [rstcaparaton¡dirncn(ario, corstruido por JoscphI Icnry, tlcn¡ucst¡acl principio dc frrncionamicntodo rur tinrbrc cascro.Cuandosc activacl imán. se inducc ruracorricnlccn la varilla mclálica,que oscilasobrt rur pivotc y golpcaa la rrrrirnii.n clmpnnn, (:) Drrun sisrncigrafo, sc fija a la caja,utit:ntrírsqt¡c lrcn¡¡ancr¡lc rma botrinarlc alanrbrccrtclgadc tu¡ rcsotc (o viccvorsa).Cr¡a¡xlosc I¡rucvcla l'icrra como rc.sulla
I

por la ecuación(33-13)'aun Nótesequela enetgladel inductoresla expresada

968 Capitulo 33 cn clrúa¡ltos

Inductanch

y oú€llacloncs

cuando la corriente sea estable. Hernos dicho que el otigen de los efectos de la indúctancia se deben a la ley de Faraday, la cual implióa'cambios en la coniente, que ¿Cómo se pueden reconciliar las dos afirmaciones?La energla de u:r inductor aun corriente, tiene una corriente establese origina err el ctecimiento inicial de la para trabajo que efectuar cuando.se haya efectuado en el pasado lejano. Hubo establecerla corriente en el inductor, y si se quita de rePentela fuenüede fuerza electromotriz, el inductor efectua trabajo para inducir una coffiente :n la dirección original. En realidad son los cambios en la corrictrte el origen de los cambios energfamagnética. i

33-3

ENERGIAEN cAMPos MAGNETTcoS

Todo elementoportadorde corrienteen un circuito tieneun carnpon'agnéticoy' consiguiente,una autoinductancia,Los elementosde circuito tielle una ener asociadacon su campomagnético.En el capftulo26 dijimos que la energíaeléctt relacionadacon r¡ncapacilorestáen el campoeléctricodentrodel mismo.Igua la energlade un inductoresláen su campomagnético.El solenoideideal una herramientapata determinarla densidadde energíaen un calrlPoma uniforme, porque éste,dentrode un solepoide,,.es ' de área.4y longitud l, estádefrnidapor solenoide ideal un de La incluctancia con la ecuaciónparala energfatotal de que, cle acuerdo (33-8), de modo ecuación inductor,ecuación(33-i3)' tenemos :,¡t,,A í,212

u,.::t,'

TamLién sabemosque el carnpo magnético en el solenoidees propo¡cionala : corriente.La ecuación(30-15)establecela relaciónprecisa,B ¡tsnl' Si sustituin

(33-14)'obtenemos de B, etrla ecuación / en ténninos r pl

ti "

taa

I

L

El volumen dentrodel solenoidees ¡1(. Como el campomagnéticoes conslante t¡o del solenoide,podemosidentificarla densida{ de energía, il¡, QU€es la por unidad de volt¡mendel campo magnético,cotno 182

*B _ .> ,, L

D e n e i d q d d e e t r e r gínd e u n cr m p o megnético

(33-l

tto

no unifonne, sirrim Este resultadose generalianal casode campo tna-enético cómo se produzca.Se debe compararcon la ecuaciónde la densidadde energla un campo elettrico, ecuacíón(16- l3): Ll ¡ =

¡ r- 1 - r €¡ r L- ,

res'ulüadoque se dedujo en forma sern4ont". Es importante darse cuenta que energía está ubicada dentro de los campos maStt('ico y eléctrico mismos' óuando estánpresentesambos campos,la der sidad de energla es la suma de densidadesde energlaeléctrica y magnética:

u : L t t +u E =

:(X."u')

a o a o o o o o o o o o O o o o o o o o o o, o' o o o o o o O

o o o o o o o o o o o o o o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

a

o o o O o o o o o o o o o

969

EJEMPLo 3 3 - 4 Un gtanelectroirnánproduceun campomagnéticode 1 T. Comparela densidadde energfarelacionadacon esecampo, con la del mayor campoeléctricoen el aire, 106V/m.

33-4

Ocll¡clonct

cn chd¡hd

Las ecuaciones(33- 16) y (26-I2)expresan Ia densidadde energfaen SOLUCION: magnéticoy eléctrico,respectivamente.De acuetdocon ellas,la telación campos de energlaeléctricaa magnéticaes delasdensidades

v !'

uu _ | lru _ uE

1t

|

r '7

€or -

|

lJ2

.r

r)'

lt oeo L -

de que,como en la ecuación(30-4),esfactor l/¡req tienedimensiones Nótese al cuadtado,y esavelocidades la de la luz, c. En nuest¡ocaso,las velocidad sondatos,y de los camposeléctricoy magnético magnitudes uu: uE

(4n x lo- 7 NiAX8.85*

(l r)' l o -D r n l( r ""- f

:9 x loa'

Bta alta relaciónde densidadde energÍamagnéticaa eléctricano tiene paralas energfas en un circuito,porquelos camposmaSnéticos Lnportancia muy pequeños. variables son,normalmente, concoffientes asociados D O

U

33-4 oscILAcIoNESEN cIRcuITos Ticmpo (b) a quela caídade potenciala trar'ésde un inductordependede qué tan rápido que la presenciade inductoresen ie la conienteque pasapor é1,es de esperarse FICURA 33-9 (a) UncircuitoRL,quc del tiempo' Un casosimple es el incluyounafuontcdc fomcorstantc.@)Si i¡cuitosoriginennuevosfenómenosdependientes

R, deuncircuitocon una fuentede fuerzaelectromotrizó, un resistorde resistencia circuito un RL. Tiene es (figura Este ci¡cuito 33-9). L uninductorde inductancia pafapermiti¡controlatlas condicionesiniciales,Cuando1oceramm, el UnintemJptor sientela corrierrteque cambiay, debidoa la ley de l-enz,se oPonea ello; inductor lelresultado es queel inductorptovocael aumentode conientea travésdel tiemaplicamos la regla po,y no un saltosúbito.Paravef estoenfonnamáscuantiLativa, delcircuitoal bucle,en direcciónde la flechacircularinteriorde la figura33-9a.La delos cambiosde potencialalrededordel circuitoes suma

E -rR -¿ *:o

sccicrracl intcmrptorcuarúo¡ - 0, la corricntosubodcsdocoroh¡staru¡ valor do cstadocstnblcsólo dcspucsdc cicrto ticmpo,dotcrminadopor la rolaciónI/R.

( 33- r 8)

d¿

Lasolución a esta ecuacióndiferencial de lcomprobará nuestrorazonamierrtoflsico del comportamientode las corrientesen presenciade inductores.Parahallar acerca l a s oluc ión,c om p a ra m o sl a e c u a c i ó n(3 3 -1 8 )c o n l a (28-24), que procedede apl i carla regla de circuito, de Kitchhoff, al circuito RC que se ve en la figura 33-10:

f--l I I S+

F--l I I J

c -9- n19: o. - ¡ \¡ ;- - v'

Enella, Q es la carga del capacitor.La primer ecuacióndiferencial, que determina la cofrienteen los circuitos R¿, tiene exactamentela mismaforma que la de la catga en loscircuitos RC.Lo que caracterizaa un citeuito RC es el compoÍamiento transitorio dela cargaa través del tiempo. Las semejanzasentre los circuitos RC y Rl se resumen enla tabla33- l, y la soluciónde la ecuacióndifetencialde la corriente,la (33-18),es

r. FIGURA 33-t0 Un circuitoRCcsanáJogo circuitoRLdc la figura33-9a.

'r'^rrf.A JJ-

970 (,rpitulo J.] cn c¡rol¡tos

Ilrducta¡rcli y osc¡lacloncs

L

ANALCX;IA ¡' 'i'i]{I] CIRCT,II'¡OS

Y ¡¿' '{C

Parántetro del circuito RC

Parónetro del circuíto M

a

Variable Coeficiente de la va¡jable

I

UC

R

Coefi ciente de d(variable)/dt

t(

L

Constantede tiempo

D'

LIR

la misma que la de la ecuación.(28-24)para la carga,si sustituimos lo indicado en la tablá, En particular, si sustituimos RC por LlR,la coniente en el circuito Rtr'tendrá la funci&i e-'l(u&sor respectoal tiempo, Se dice que el circuito Rl tieneunaconstante de tiempo igual a LlR.Los valoresgrandesde la constantede tiempo, de grandesI transitoriacon rcspectoal tietnposealenta, y/o pequeñasR, hacenque la dependencia mientrasque los valorespequeños,por pequeirasLylo i:randesR, originan que el con rapidez.El origen del comportamiento comporlamientotransitoriodesaparezca en el papeldel inductor.Se indrrceuna fr¡erzaelectromotriza través transitorio'reside d e l i n d u i to rs i e mpreque cambi al a corri ente,perono en otroscasos. P a ra ' l l e g ara sol uci onescompl etasde l a ecuaci ón(33-18) para l a cor r ient e, incluyendolascondicionesiniciales,podernosaplicaren forma directalos resultados del capltulo28 parala soluciónde la ecuaciónciiferencialparael circuito RC. Como en el capftulo 28, es importantecomp¡e;lderfisicanrcn¡c córnoafectaránlas distintas condicionesinicialesa la solución.Ccnro principio guÍa,téngaseen nlenteque La corrie¡¡tc e¡r un i¡¡dr¡ctor no puede c ambiar e n f o r m e i n s t e n t á¡ r e e .Cu e n d o la corriente es constante, un inductor no desempeña papel alguno en un circuito.

La c or r ient e e n u n i n d u c t o r n u n c a c a m b i a i n s t a n t á n e a m e n t e ,y c u a n d o se estabiiiza en un valor constante, el inductor no desempeña papel alguno en el circuito.

que se cierra el intemrptor de la figura Pa¡amencionar un ejempio, s'.:p.-neamos 33-9a cuandof = 0. Antes que | - 0, no hay corriente.Despuésde largo tiempo,la corriente se estabiliza en el vaior consLanteI = 6 lR, I)orque cuando la co¡riente es consüante,el inductor no deserilpeñapapel alguno ell et circuito. La función que exponenclalcon respectoal tiempo, satisfaceesoslimites, ,v que tiene ,J,ependencia es

( I

i1

f( -

i. Rll : -t<

': ft

a-

R ttL).

/? 1_l o\

La figura33-9besunagráficade ia conienteen funcióndel tiempo,pataestecaso, esla uni.dad, consistente con i e / = 0, resultado Cuandof = 0, el ténninoexponen:ial Cuandof * @r el principio que la corrienteno pl edecalnbiaren forma instantánea. desaparece e l tiende aElR, inductor como si no hubiera término exponencial el presente.Sustitu;'ael lector la ecLración(33-19) en la (33-18) para comprobarque, es una solución (r'éaseproblema37). r'ealmente, a la vez en un circuito,cotno Cuandohay resistencia,indu:lanciay capacitarrcia en el de la figura 33-11, tenemoslo que, por lo genetal,se llama un circuito RLC, Normalmente, también se iiene un intem:ptor y una batería, que suministra la coffiente. Suponemosque eir ese circuitcjya hay coffiente. Siguiéndolo en dirección de la flecha, ia regla de Kirchhoff del circuito da como tesultado

- Ld: - 1R- 9:0. o/ L Ya que .l /)

¡

l-lctiR\

33.1 I C.irorittr RLC lrc'totito.

''!

d¡

r ?1 _ ? 0 1

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O

o o o o o o o o o o o o o o o o

o o O o o o o o o o o o o o' o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

La ecuación(33-20) se puedeexpresartambiénen la siguienteforma:

Rgg df

- L *d-t'

q1

a^

33-4 Ocil¡ctoncmc¡¡ü

(. r3 -2 t )

C

Estaecuaciónes diferencialque,con las condicionesinicialesadecuadas, determina la cargaen el capacitor,y, con ella, la corrienteen el circuito. La ecuación(33-21), que contienela carga y su pritneray segundaderivadas, Lososcilnrtores¡rnrónicos tie¡reun análogoen los problemasmecánicosen los qtreintervienenmasasen resortes, nnrorligunrtoe eetleecribieron enl¡ t3-7. en presenciade r¡n amortiguamiento,La füerza del resorte,-/tx, es proporcional a la sección posición,x, de la masa, medida a partir de la posición de equilibrio; la fuerza de resistencia,-áu, es propotcional a la velocidad, o primera derivada de x, y el término de aceleraciórt,nta, en la segunda ley de Newton, es proporcional a la segunda derivada de ¡. .Cuando agregamos el término aceleraciónen el misrno lado de la ecuaciónque las fuerzas,la segundaley de Newton es d2-v

, d,r

- tll- :- ;- b1- - A- I:U

dt '

(33-22)

at

para el osciladorarmónico amortiguado.Esta ecuaciondescribeel movimiento de una rnasaen el extremode un resorte,sumergidaen un fluido que origina une fueza de resistencia,Es un sistelna fÍsico del cual podemos tener algunn intuición: La UnclrcultoRLCeeenilogoeun equivalenciamatemáticade las ecuaciones(33-20) y (33-22), que se describeen oscil¡dor¡rmónicormortiguedo. detalleen la tabla 33-2, ayudamucho a comprenderlos efectosde los inductores. l-a propiedadnotabledel movimientode una masaen un resortees,naturalmente, quees armónico.El amortiguamientomodulael comportamientoarmónico,carnbiando ligeranrenteel periodoe imponiendouna envolventeal movitniento,en fonna de una expolrencialdecreciente.Por consiguiente,esperamos,al tne¡rossi no es detnasiadograndeel término de amortiguamiento,-R dQ/dt, que Ia cargaen el capacitor de un circuito RLC también tenga dependenciaarmónica con respectoal tiémpo, enceradaen una envolventeque decrezcaexponencialmente con respectoal tiempo. y, como las derivadas corriente catga al tiempo, La es la derivadade la con respecto y exponenciales, de los senos,cosenosy exponencialesson cosenos,senos respectivamente,la coniente también será armónica con respectoal tiempo, y estarádentro de utraenvolventeque decreceexponencialmente en el tiempo, Sin resistor.Supongamosprimero que no hay amortiguamiento:hacemosque R = 0. En estecaso,esperamosque el sistemade inductor y capacitorse comporte como un sistema mecánico de una masa y un fesorte sin amortiguamiento,que es el de la oscilación armónica simple. La frecuenciaangular del sistemamecánico análogo es a - {pm , y asl, empleando las equivalenciasde la tabla 33-2,1a frecuenciaangular del circuito LC es I .

rABL^

tt /vLv

33-2

ANAI.OGIA ENI'IIII I,OS CNTCUITOSR/,C Y EL MOYIMIBNTO ART,{ONICOAMORTIGUADO

Circuito Variable Coeficientede la variable

a

Coeficientede d(variable)/df

R

2 Coeficienlede d2(variable)/dr

L

rlc

Movimientoarmónico x k

972

La forma generalde la cargaen el capacitores, entolrces,

Cnp¡tulo 33 Inductancln y oscllacloncs c¡r c¡ro¡¡tos

* ) Q, cos(< rr), Qt sen(a.rl

Q:

(33 24)

o, lo que es lo rnisrno, Q = Q, cos(ror.f ry'). Las constantes,tanto Qt y Qz, o Qo y @,quedandeterminadaspor las condiciones iniciales.Por ejemplo,si sabemosque el capacitorya ha sido cargadoa una carga total determinadacuandoel tiempo f = 0, y que la corrientetambiénes cefo cuando I = 0 (seaPorquese cierraun interrptorque petmite el pasode la corrienteen el circuito kLC en esemomento),entoncesesasdos condicionesdeterminanlas dos constantes desconocidas.Ejercicios de este tipo son semejantesa los que manejamos en el capftulo 13, B J E M P L O 3 3 - 5 La cargadel capacitoren un circuito que sólo tieneuna capacitancia, C y una inductancia,L, en serie,tienela forma Q = Qe cos(alr),(a) Calculeel voltaje a travésdcl inducto¡.(b) Si ¿ - 12 ¡tHy C - 0.80 pF, ¿cuáles el periododel voltaje en la parte (a)? SOLUCION:(a) Los datos son la capacitanciay la inductancia,y podemos calculartodo calnbio en la corrientea partir de los cambiosespecificadosen la carga de las placasdel capacitor.En témrinosde esascantidadesconocidas,el voltaje desconocidoa travésdel inductores

que Tenemos d,Q

o, *

dt2

[*

: n, cost,a¡r]

!*[ = arsen(rut)] : -,o00[,r.rcos(rot)]

-a' ' Qo cos(u)t): -tu' Q.'

Así,

: vr.: @ 2LQ: r,t' -LQocos(rot).

Al igual que en el movinliento armónicosimple, en el cual la aceleraciónde la masa en el extremo del resorte es proporcionala su desplazamiento,en los circuitos lC el voltaje a través del inductor es proporcitnal a la carga del 'capacitor. (b) El periododesconocidodel voltajea travésdel indr¡ctores idénticoal periodo de la cargaen el capacitor: 2n T_ (:)

Comoar: 11,[Te ,tenemosque

T :2nJ I l

:2n

HXO80 x 10-6F) : 1.9x l0-s s..

Se introduce la rcsistencia Veamos ahora el caso en el cual L, C y R están presentesa la vez, como en el circuito de la figura 33- I 1. De nuevo, seguimoslas técnicasdelcapltulol3,aplicadasaiosciladorarmónicoamoftiguado,paraenconbar una solución a la ecuación (33-20). De hecho, podemos aplicar nuestra soluciónal oscilador amortiguado,ecuación ( 13-54), si empleamoslas equivalenciasde la t¿bla 33-2.La solucióna la ecuación(33-20)tiene la forma general Q:

Qoe-" ' cos(co'*f g5).

(33-26)

o o o o o o o o o o o o o o o O o o o o o o o o o o o o o O o o o O o o o o o o O o o o o o

I t I D I D t D I D I I t D I D t f

t I ,

t I I t D I I t D

973 33-4

Ocll¡clons

cn clmlta

a1#Ll

t-IGtJItA 33-12 Coniparación dc rrn circuito RLC con y sin smofiguamicnto: carga rlcl capacitor cn fur¡ción dcl ticm¡n. til caso anrortiguadoticno wr pcriodo a¡>cnasligcranrcntc ¡nayor. Ics cl ¡rcriodo rlcl oscilador no amortigrado.

Las constantes cx y a.¡'se determinan por sustirución de nuevo en la ecuación d i fer enc ialor iginal ,l a e c u a c i ó n(3 3 -2 1 ),y s o n R

(31-27)

^ -2 L

I

,1 R 2

( !1 " =

t a

LL

AtZ

IL

I r

- 'l '

(3 3-2 8 )

LL

Las constarrtes Q¡ / f se calculana partir de las condicionesiniciales. El hecho que la constantedel amortiguamientoexponencial,cr,dependasólo de I y R, es consistetrte con el resultadoque encontramosal estudiarlos ci¡cuitosRl, que tienencomportamientotransitorio.El factordeamortiguamiento,a, paralos circuitos RIC es la mitad de la constantede tiempo en los circuitosR¿. El elementoresistivo, R, es el elementoclave del amortiguamiento,porque en él se disipa la energfa.El factor del amortigrranientoexponencialmentedecreciente,e-d, forma una envolvente parael comportamientoarmónico.Además,la frecuenciaangularmodidecreciente ficada,crr',del comportamientoarmónico,se desplazarespectoa la frecuenciaangular, or,del circuito no amortiguado(un circuito ¿C), por ¡a dependenciade d con respecto a o'. Si la constantede amortiguanriento, a, espequeñaen comparacióncon Ia frecuencia angularsinamortigr.ramient o, a * 11,[E,entonces a¡'sóloes ligeramentemenor que c0. En la figura 33- 12 graficamos la carga en el capacitorpara el caso en ei que L - I H, C = I F, y R = 0.3 Q comparándolo con el caso cuando R = 0 O. El periodo, en el casoamortiguado, es sólo muy ligeramentemayof que el del casosin amortiguamiento. l-a figura 33-13muestralo que sucedea la cargasi aumentaRa 1.5Q, a2 Qy a4 Q. ¿Cuáles la explicación de este comportamiento?La ecuación(33-28) indica que

,

D I ,

R=4 o

)

t

D ¡

D D )

I I

t t t

FICIIRA 33-t3 Circuilo RLC R..

974 Capirulo3S cn circr¡llos

lnductanciayoscllac¡oncs :

cuandoR aumentahastar¡n valor crítico,R, c0'2distlinuye a cefo. CuandoR = R., tenemos ^l " R .t LC 4L2' ecuaciónque tiene la solución p

E

- 't

l" \/L

(33- 2e)

Cuando@'2es cero,no hay tnásoscilaciones. A estecaso,como en el capítulo13,1o llamamosamortiguomientocrít¡co.El valor R = 2 O en la figura 33-13 representa este caso:cuando ¿ = 1 H y C = I F, R. = 2 f2. Para valoresde Rmayores queel crítico, telremossobreamortiguoniento. Este ti¡ro de movimiento tiene su arrálogo mecánicoen el de una masa en el extremode un resorte,cuandola masa se trlueve en un frascode melaza.El valor real dei factor de decaimientoexponencialseobtierre con facilidad intentandouna soluciórrde la forma Q = Qoe-o',y despejandoa. En la figura 33- l3 se presentar'¡nejemplo de esecomportamiento,para el casocn que R :4 O (ma y o rq ue& ).

,!

'i

:

l

I

I 1

i I I

;

EN crRcurros Rr.c 33-5 ENERGTA

:

[a energíaes importanteen cl osciladorannónico,),esperarr)os que tct.rga ilnp
Sin resistenci¿ Hacemosque R = 0, con lo cual sabe¡nosque no hay amortiguamiento. Supongamosque las coqdicionesitricialesson tales que la carga en el capacitores Q : Qo cos(c)¡). La corrienteque pasaior el circuito es,entollces,

" o¡

I =+ - _ ateosen( ú) r t.

(33-3 r)

En la figura 33- l4 se graficaun periodocompletode las dos funcioriesanteriores. La energíaque contieneun capacitorestáexpresadapor la ecuación(26-8), Uc - qPC, o sea,

U, :

^7

#

qs5:(r;rr).

(33-32)

La ecuaciórr(33-14)expresala energíanragnéticade un incluctor,U¡- f,LP:

:ff sen'1,rlt). u ,:;L a ' e t sen2(arr)

(33-33)

Hemos usado.a¡ = U J LC,ecuación (33-23). Las funciones Ug y U ¿segrafican en la figura 33- 15. La energíae¡ cadaelgmentonunca es negativa,pero, al llegat una a un máximo, la otra baja a cero. La energíalotal en el inductor y el capacitor es Ia suma de esos.dostérminos, y es constante:

U =#[cos2(cor) + sen'(at¡):$

t j j - i .:

l

o o o o o o o o o o o o o o o O o o o O ol ol ol ol ol

ol

ol ol

ol

:l :l of

3l

:l

:l

:olf

ol

:l

o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o

9:5

r)

il

qr

;: ' .\'r 7'

2C

33-5 Encrgíe o clruit<x

f,I!

i -;-

tl

a

'f

@

+t

1

'l'1 it

lrr 4 |

-t'1 |

tr tt tl r l tl tt

0oo)

d ZC

9

E a)

a

Ticm¡ro

Ticmpo FIGIIRA 33-15 Encrgiasdcl cap:rcilorc , induclor,para ln cargay la corricnlc
FIGTJRA 33-14 L;r carg,adcl capacitory la corricrrlccn un circuito qrrcsólo conticnc inducta¡rcia y capacitanciason fimcioncs amrónicasdcl ticmno.

+ 0,,

+++ll" Los dos elementosde circuito se intercambian'energla entre sf, de un lado a otro, exactamentecomo en el osciladormecánicola energfatotal es constante,siendola suma de la energíapotencial del resortey la energlacinética de la masa fija a é1.En la figura 33-16a,el capacitorcomienzacompletamentecargadocuandof - 0, y el flujo de corrientees cero.El campo eléctricoen el capacitortieneun máximo, y toda la energiaestáahxacenadaallí. La conientecomienzaa pasar,alcanzandounmáximo cuandot = Tl4 (figura 33-l6b). Err estepunto, el campo eléctricoen el capacitores cero,y toda la energiaestáalmacenadaen el campomagnéticodel inductor.Cuando t = Tl2, el capacilorse encuentrade nuevo completamentecargado,peto con la carga positivaen la placa opuesta;la corrientees cero,y toda la energíaregresade nuevo al capacitor (figura 33-16c). El procesocomienzade nuevo en reversa,y toda la encrgfaestáde nuevo en el inductor,cuandot - 3T14,cuandola corrientees máxima (figura33-16d).Cuandor = I, e! procesocompletose inicia de nuevo(figura33-16e). Sin un resistorque disipe energÍa,la oscilacióncontinuaráeternalnente.

I

_Q,

ttttt" (cl

Se introduce laresistencia El papelde la resistenciase comprendecon facilidad en términos de la energía,Como la potencia,P, es voltaje por corriente, la rapidez a la cual se disipa la energlaen un resistores el productode la corrientepor el cambio de potencial, VR= IR, a través del resistor: D

t

R-

-

tt

t

-

t i p.

(33-35)

Esapotenciaes proporcionala la corrienteal cuadrado,y siemptees positiva.La energlasiemprese pierde en forma de calentamientode Joule en un resistor, independientemente del signode la corriente.Estoesel origendel amortiguamiento exponencial en los circuitosRZC,La pérdidade potenciaen los resistores se debe (e) (P¿- ^IZj, o loscapacitores FICURA 33-16 (a) a (c): Esqucrrasdc i:r diferenciar delasecuaciones parainductores equivaientes (Pc= IVA.La rapidezde disipaciónde energíapuedeserpositivao negativa,tanto soct¡cncia, c¡-¿cn ol tiompo,quomucstr¿n en el i¡ductot como en el capacitor,segúnel caso[véaseecuación(33-11)].A scdcsanollanloscamposolcct¡ico)y, concllos,lascncrgias, magnético, diferencia dei resistor. a vecesesoselementos tomanenerefade otroselementos del correspondicntcs a la figura33-15,dou: circuito,y a vecesse lasregresan. derm capacitory un inductor.

RE S U} f E\ 'i:l inductores un elementode circuito que se comportacomo una espiracon :criente, o comoun solenoide. Tieneuna inductancia, L, definidapor la relaciórr e::'¡eel flujo magnéticoy la corrientequepasapor él: Q n:

LI '

(3 3 r)

De acuerdocon la ley de Fataday,la fuerzaelectromotrizinducidaen esteelelnento :: ci rc uit o,es

o^ = -

dou

¿i

: -L,d l ¿,.

(3 3 2 )

t--a1e;'de Faraday indica también que, cua¡rdohay espirasadyacentesen un circuito, c en un par de circuitos, la corriente que cambia en un circuito induce una fuerza electromotriz en el circuito adyacente. En este caso, el factor geométrico es la i¡ductancia mubta,M,que mide tanto la fuetza electromotriz inducida en la espira2, debida al cambio de coriente en la espira 1,

E z t :- r ! , 1 ) ,

{ r s)

y la fuerza electromotriz enla espira l, debida a la corriente elr la espira,2. La inductanciase mide en henrys (H) en el SI. La fuerzaelectromotrizen un inductores un término más que se debesumar a la regla del circuito,de Ki¡chhoff. lJna inductanciasencillay calculablees la de un solenoideideal: paraun solenoideideal: L - un.4/ri;

(33-8)

En elia,,4es el átea, I la longituddel solenoide,y n el númerode n:eltas por unidad Cel o ngit ud. La energla que tiene un inductot es '

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)tt' .

r.1.r i i )

De igual modo que la energfaen un capacitorestáen el campo eléctrico,la el',e¡sÍa Ce un irductor está en el campo magnético. La densidad de energÍa, o enereía por unidad de volumen, en un campo magnético, se calcula compararrdoel campo conocidodentrode un solenoidecon la energlaque tiene el solenoide.t es , l Bz u p : .¡l L

r3i l 6)

lto

[,a combinación de inductancia,capacilanciay resistenciaen circuiios con y sin barenasconduce a dependenciasinteresantesde cor¡ientesy cargascon respectoal '.ienrpo.La cotdente en el inductor nunca cambia en forma instantánea.Cuandoun ;iuctor se coloca en un circuito con una baterlay un resistor,la regla de circuito ;ioCuce una ecuaciótrde la cortiente, cafacterizadaporun comportamientoexponenc:ai transitorio, cuya constantede tiempo es Ir/R. Ese circuito se llama circuito LC. Cua¡do se le agrega un capacitot, la rella del circuito produce una ecuación de la ca¡sa en el capacitorque tiene la misma forma que la de la posición de una masa en ! 1 extremo de un resorte,donde el amortiguamiento es proporcional a 1avelocidad ie la masa, El circuito eléctrico, que se llama circuito RLC, tiene oscilaciones a;:icrtiguadas.En particular, si se elimina el.resistor,el circuito que resrrltasostiene --scilacionesarmónicascon un intercambiocontinuo de energfaentreel capacitory el inCuctot,Paraesasoscilacioneslibres,la frecuenciaangulares l.

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(3 3 2 3 )

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o o o o o o o o o o o o O o o o o o o o O o o o o o o o o o o o a o a o I o o o a o o a o o

o o o o o o o o o I o a o o o o a o o o a o I o o o o a o o O o O o o a o o o o t o o o o o

PREGIINTAS l. Doscircuitoselóctricos estáncercanos entresl.Cad¡circr¡ito tieneautoi¡rducta¡rcia. nlu¿Debchaberulrainductancia tua? 2. ¿Senecesita efectuarmástrabajoparahacerqueunaconiente pasepo¡ una bobinade alambre,quea lravésdcl misnlo alambre, cuandoesrecto? 3. Se tienendosespiras circulares condivcrsnsconli¡¡rrr:rcir:. nes(figura33-17).Suponicndo quc lr scpnrtci
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9. Un bonlbillode luz seco¡tcclien seriecc:t '.:u:rs.-s:r I :[ paralclocon u¡rabobinade graninductancia¡' res.s*.c; mlnima. Cuandose cierra un intem:ptor que cc:-,e{-; "q. circuitoconunabaterla,el bonrbillodestella¡niesce p*ri,r brillo.Cuandoel intemlptorsc abre,el bonrbillor.;tlr; ¡ dcstellnr, y senpngil.Iix¡rliqrro l
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¡' l (;IJ R JA.l -1 7Itr,H tu.I, rt¡r 4. ¿Potqué podrlaoriginarla ley de Faradayque las lucesde un aparalo eleccuandoseenciende unacasadisminuyeran de queusemuchaenergla, comolrnasecaclora trodonréstico ropa? 5. ¿Espositrlecalcula¡la inductanciamutuaetttreun alanlbre rectoy unaespirade alambre? 6. ¿Porquéve ustedunachispaen un inleruptor de bombillo la luz? cuandoapagala luz?¿Haychispacuandoseenciende ¿Porquésl o por.quéno? 7. Describacómo podrfamedir la inductanciacon unabateria de fuerzaelectromotrizconocida,un resistorde resistencia conocida,un voltfmetroy un cronómetro. 8. La energlade un capacitorestáen el campoeléctricoincluident¡ode é1. do,y la de un inductoren el campomagnético que enfomla indiqt¡en, inventar experi¡nentos usted ¿Puede queestaenergfa estáenel campomismo,distriinequlvoca, buido en forma local en el espacio,de acuerdocon la ( 3 3 -I 3 )? ec uac ión

1.1.l :¡rl rrs(:cct()t¡ .1,r:lc;i l cul o tl i :l a ctrotgl¡¡¡ ;r r glt éllc¡ .1.1 dc ll¡ l solcnoide cmplcaba dc unapartedelsolenoila inductancia de,quesetraducfa deenergfa, enla ecuación de ladensidad B'[2lto.El campomagnéticodebeabarcarel exteriordel son porquelodaslasllneasdelcampomagnético solenoide, correcta cerradas. ¿Porquéel cálculoanteriorda la respuesta de la densidad de energfa? l.l. Hemos hechouna analoglaentre un osciladorarmónico y un circuito'RLC.¿Quécantidades amortiguado mecánicas son análogas a las energfas LI2l2 y Q'lzC en el circuito RLC? de la ecua15. ¿Cónrotratarfade enconlraruna generalizació¡r ción (33-13)cuandose colocandosci¡cuitoscon distintas conientesa una distanciapequeira,de tal nrodo que su un papel? inductancia mutuadesempeñe 16. La densidadde energlamagnética,B'lZlto,tienedimensiocomopresiónmagnénesde presión,y sepuedeconsidera¡ o repultica.Conestainterpretación,justifique la atracción paralelosqueconduzcan conientesen siónde dosalanrbres respectivaopuestas, la mismadi¡eccióno en direcciones r, mente.

PROBIIEMAS 33-l

Inductancia e inductores

l. (I) Una espirade alambretiene2 mH de inductancia'cuando pasapor ella una cor¡ientede 30 mA' ¿Cuál es el valor del flujo magnético que pasapor la'espira? por unidadde volu¡¡rende utr 2. (I) ¿Cuáles la autoi¡rduclancia solenoide? 3. (I) Calcule la inductanciamiltua de un solenoidede 30 cm de largo, de 1.5 cm de radio, y con 50Ovueltas,y la de una espira única de 2.0 cm de radio, centradaen el solenoide, con su área perpendicular con el eje del solenoide. {. (l) Un investigadorhacepasarttnl conientc ¡rorun solcnoi' clc,y la corrietltecatnbiacoll urrarapidezde 100 A/s. Mitle

de 0.02V. La lorlgitud1' indr¡cida unafuerzaelectronrotriz son,1l cm y 1.3cm,resPectivael diámetrodel solenoide mente.¿Cuálesel númerode vueltas? inclucidae¡¡un circuitoaislai"'' 5. (I) La fuerzaelectromotriz la corriente en el circuitoca¡nbiaatazónde 10A s. cua¡rdo es0.3V. iCuántoesla autoinductancia? un inductorca?e:í': necesita electricista 6. (II) Un ingeniero producirunafuerzaelectromotrizde 4.0 mV. La fuer:: ¿: poderdisponibleproduceuna conientede la fcm¡ I * siendoIo - 2.0 A, y ro = 3.8 x l0? radlsiÑ ii; cos(cot), clcbcus¡r'l ¿Quétanrairoclci¡tcluctor

7. i iI) Unacorrientede I A pasaporun circuitocompletamente ¡ islado.Un flujo magnético de0.010T . m2pasaporel lugar :ei ci¡cuito.Cuandoel ci¡cuitose colocacercade o{roque lienc I .¡rile corricnte,el flujo magnéticoa travésdel primer cúcurtoarnuenta a0.012T.m2. (a) ¿Cuálesla inductancia o rnufuedc los dosci¡cuitos?(b) ¿Cuántoflu,icnrag¡¡élicopasa a travésdelsegundo 'E circuito,cuyaautoinductancia es I mH? t. (tl) ¿Cuáles la autoinductancia del inductorsencilloque equivalea dosinductores, coninductancias Lty le,respectivamente, conectados en serie?No tengaen cucntala inducta¡ciamulua. 9. (II) Setienendosinductores, cuyasinductancias son\f k, respectivamente, coneclados en paralelo.¿Cuáles el valor de la inductanciaequivalenteúnica que puederempalzara la inductancia las dos,suponiendoquesepuedadespreciar mufua? 10. GI) I-a ecuación(33-8) fue deducidapara un solenoide que esleresultado tambiénes cilfndricoideal.Demueslre válidoparaun solenoidcde lranscualquier formay sección versal,siemprequela longitudseagrandeen comparaciótr de cualquiermedidade la secciónlransversal. 11. GI) Setieneel solenoidecilfndricoy el anilloquesevenen la figura 33-18.El solenoidetiened, - 3.0 cm de diámetro, / 15cm de longitud,y 20 vueltasde alambre.La espirade alambreen el interiortiened.- 1.0cm, con su á¡eaperpendicularal eje dcl solenoide,y estáconeclada, mediantedos conductores,a un resistorde resistenciaR - 200 O. tá corriente,/r, tienela formade un pulsoquecomienzaa subir en forrnalineal,cuandoI - 0 s. Llcga a un máximode l0 A en cuandot - 0.l0 s, y a conlinuacióncomienzaa descender forma lineal;cuandollegaa 0 A cuandot - 0.20s, cesade pasar;I, - 0 parat<0s; /t (100A/s)rpara0 < t < 0.10s; - 0.10s < t < 0.2Os;/, - 0 para I, - (10 A) - (100A/s)rpara > t 0.20s. Calculela corriente/2inducidaen la espira,como funcióndel tiempo.

.I'icnr¡rc (s) t 1 ( ; l ; R A 3 3 - 1 9I \ i , l , l c r ¡ n1 3 . 0.45 s. ¿Cuáles el voltajea travésdcl inductorcomo función del tiempo,.si I = 2.3 x l0-r H? Exprese su respuesta a l g e b r a i c a n r e n to e .i i ¡ s ¡ u n a e r á f i c ac o n e l l a .

¡4. ( l l ) U n c l l . ) c c o ¡ x i r l l i c n c t ¡ n ¡ l ; l r r i l r r cc o ¡ l r t u c t ocr e n l r a lcl e r l d i o r , , ,r c i l c e c i or l c i : i l l u b o c o n r i r r c l o r t l rca
15. (iI) Se ticncn dos solenoidcsidinticos colocadosextrerlo con extrenlo,con las espirasen la nrismadirección.Dctnucstrc que la autoinduclanciatotal del sistcnlacotrrbinadoes 2(L + ¡¡1, siendoI la autoinductanciade cualquicrade los solenoidcsy M esla inductancia¡r'lutua.

16. (II) Un toro, de sección transversalrectangulary ancho w, altura/r y radio interiorR sedevanacon Nvueltasdc alambre (figura 33-20). ¿Cuáles la autoinductauciacleltoro?Use la aproxinraciónln( I + x¡ = ¡, válida para.r << i , para describir el caso en el que rR>> lv y sr¡¡elación con la ar¡toinductancir de un solenoide.

FICIIR,\ 33.20Problcrm1ó.

FIGURA33-18Problcrna 11. tt

I _1.

.lIl I¿ espiradentrodel solenoidecilfndricodel ejemplo 33-l se sustituyepor otro solenoidec,ilfndrico,de longiti;J /,. ndio R, y densidadde vueltasnr. Calculela induc.'rn,:iamutuade estesistema. ül I¡ cornenteen un inductortienela variacióntriangular Cc Ia figu-a 33-19,con amplituddc 0.50 A y periodoT -

9-8

17. (II) Se tiene un toro de sc, ción transversalcuadrada.El radio del mismo, que es la cl stanciadel eje de si¡netda aJcentro clelcuadrado,es 20 c ,r; Ios lados del cuadradotienen 3,0 cnl, El toro se devan: con i000 vueitas de alambre.(a) ¿Cuál es la autoinductanc a del toro? (b) ¿Cuái es la autoindr¡ctanciasi el nricleo del toro se fabrica con hier¡o dulce, c u y a ¡ t =2 0 0 0 ¡ t r r 2

t8. (II) Setiene una bobina toroiclalclevanadaen un núcleovacfo cuva autoinduitancia es 6.0 rnll. L,a corrie¡rteen la bobinr

o o O o o o o o o o o a o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O., o o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o O o o o o o o o o o o o o o o o o o o, o o o o o o o o o

J;¡¡nu ¡aun ¡ lor ¡ llc ¡ nc nt c , 2. 0A en 0. l0 s . ( a ) ¿ C u á l e s l a fuerzaelcctromotrizinducida?(b) Si cl centrohuecodcl toro sc llcna con un núcleo dc hicrro, cuya ¡r - 2500 ¡to,¿cuá[cs la fuerzaelect¡omotrizinducida? (ll) La figura 33-21 muestraun alambrcrccto que conducc una corric¡rle^f,y una espiracuadradade ala¡nbrc,cotr uno de sus ladosparaleloal alambrerectoy a una distanciad dc é1 .El cu ad r adot ic ne ladosde longit udo. Cal c u l cl a i n
33-3

Encrgía.encamposnngnéticos

26. (\)Elcam¡ronragnéticoterrestrecsdeunos0,5x 10-{Tccrca dc la supcrficie, pero disrrrirruyeal aume¡rtarla altitui. Supongaque el carnposobrela Tierracs constante, y calcuie la energfantagnética e¡1una capa cleI 00 hn de cspesorsobie la supcrficie. 27. (l) Las dos piczaspolarescircul¡res dc r¡n irirántienen63 cnl clc diii¡¡ctro, y están scparaclasa 21 cm. El clnrpo n r a g n ó t i c oc n l r c c l l a se s 0 . 1 0 T . ¿ C u á le s l a cn e r g fam a g r r é t i c a a l n r ¡ c e n e d ae n c l c a n r p o ? 2¡f. (ll) Utr nlanrbrcrccto co¡lclr¡ccuna corricntc I - 0.25 ¡\. Calculc l¡ clc¡lsi o ) c c n t r a d oc l t e l a la l n b r c?

¡'l(;tJltAJ3-21I)rol,lc¡¡'¡ i9.

33-2

Energía cn induclores

(l) Sctieneun inductorconL - I H 1'unaresisie;:cia i;::e;:-.a dc 0.5Q. Descamos cmplearcstcinductorparaa:ñacc¡ai: MI de encrgla.¿Cuáles la rapideza la cual se c:si;a ir energfapor calentamiento Nc ss de Jouleen estesisiema? prácticoalmacenargrandes cantidades deenergía en inCuctoresgrandes. conC - 0.02 ltF,tieneunacargade 15¡C. 21. (I) Un capacitor,

quedebeconciuc:: estable equivalente ¿Cuálesla corriente un inductordc L - 20 r¡I-lparaeue almacenela n:rsnr catrtidad de crrergfa? 22,. $D U¡raconientcdepencle del tiernpoen la formaI = Iac', pasaporun inductorcon¿ - 100pH; /o = 0.1 A y a = 0.C5 s-1.Detennincla potenciadisipadaen el induclorcomc funcióndcl ticmpo. con L = 5.0nrll cs i 2 23. (ll) El voltajca travósde un incluctor V fijos.La cottienteaumenta(a) dc 0.0 A a 0. l0 A; (b) ce 0. 10A a Q.2 O A , y (c ) d e 0 .2 0A a 0 .3 0A . ¿Quépotencra promedio encadapaso? debesuntinistrar t¡nafirenteexterna = conC = 24. 0I) Setieneun inductorcon¿ I H y un capacitor (a) I F. Comparela energÍa contenida ettel inductorcuancio pasapor él una corrientedc l0 A, con la energÍaen el en l¡ corrietrte capacitor, si la cargaes la tnismacontenida de l0 A duranteI s. (b) Repital:rparte(a)conutracorrieltte de I nlA. cilíndrico fomraun solenoide 25. 0I) Un ingenieroelectricista de5 cm2deáreay l0 cm delongitudcon 1000tn dealambre delgado. El alarnbre manejaunaconientemáxirnade 100 (b) ¿Cuánta dcl solenoide? mA. (a) ¿Cuáles la incluctancia encrgfapucdealrnacenar el inductor?

3{i. (lI) Sc lic¡lc r¡¡rloro dc radio Il, dcvatradocon n vr.rcltas poi r.:r:irl;rrl dc long¡1,,.¡, y cl alarnbrcconcluccuna corricntc/. L¡ s c c c i ó r lrr a l l s v c r s ¡cl l c lt o r o f o n l i n u l t c r ¡ n d r n clco o n l a cl o sr l c l c r i l i ( t ¡ cü l ; b <
u ¡q ¡l ¡u l ¡v )

f c ¡ l a d c u n c ó n d t ¡ c t on r r r r yd c l g r
33-1

Oscilacionascn circuitos

l-r -n 3 3 . ( i ) U n c i r c u i t o R l C t i c n c R = i 0 C ¿ , L - 3 m l l i 'C (a) Calculc cl factor de anrortigualnicnto y i ¡ fr e c'- :e ::.: a n g u l a r .( b ) S i l a r e s i s t c n c i fau c r a v a r i a b l e ,¿q u ór 'a i o :;:; darÍaun anrortiguarnicnto crítico? 34. (l) Dctnucstrequc la constanteclcticrripo,LlR, ct':e:3::: :de i:¿:-.::. riza a los circuitos/il, ticne l¡s ciitnensiotres 3 5 . ( l ) U n o s c i l a c l ocr l é c t r i c oc s t áf o n l r : i r l op o t u r rci l ::.::: ,: p l a c a sp r r l l c l a s y u t r s o l c t t o i d cl a r g o y c i l i ll d :i ::. S: .: :::c u e n c i a d e r e s o n a n c i ad e l o s c i l a d o r c s c.r ., :- :. :; f r e c u e n c i ad e u n o s c i I a d o rs e m e j a n t ee n e l c .::- s: :.:- ::t a n t ol a c a p a c i t a n c icao r ¡ r ol a i n d u c t l n c i a ,e n';:::;::: :: l 3 6 . ( l i ) S e t i c n e e l c i r c u i t o A L d c l a i i g r r r r 3 3 - i . S: : :- - : i t t t e r r u p t o r c u a n ( l oI - 0 . L o s c l c n l c n i o s r l - 'l . ': ': - r f = I V , R = 6 Q , y L * l t n F i . C o l i i ¡ ': ¡ ::'r : - :"

calcule cuántacargapasapor el ci¡cuito duranteel primer . (a) I ms, (b).l s, (c) I h. 37.'(D Demuestre,por sustitucióndirecta,que la ecuación (33-19)'esunasoluciónde la ecuación(33-'18). 38. (II) Demuestreque las ecuaciones(33-26) a (33-28) son solucionesde la écuación(33-20).Supongaquelos valores de ff, t y C son tales que (D'2< O. Si Q(0) - Qo, ¿Qué restricclones imponcla ecuación(33¿0) sobrelasconstantes Q', Qz, ar y orren la solucióntentativaQ - Q¡e-art+ Qre-azt? 39. (ID Un ci¡cuito abiefo estáformadopor un capacitor,C, y wr inductor,I, conectadosen serie.En el capacitorsecoloca rina'cargag, y se ciena el ci¡cuito cuandoól tiempo r - 0, medianteun intemrptor. Determineel valor máximo de Ia corri¿nte,al igual que los tiemposparalos cualesse tiene esevalor máximo, 40. (II) Se tiene el circuito básico RLi, Lleye a cabo una aproximaciónadecuada de la ecuación(33-28)ydemuestre que cuandorr,es pequeflaen comp4ración con a -.ll{8, la frecuenciaangularmodificada,ar',del ci¡cuitoRLC amortiguado, es ol' - o - f$/8t/81, Deduzcauna ecuación semejantepara los periodosde los casosno amortiguadoy subámortiguado. 33-S

Problemasgenerales 45. (ID Demuestre,a pafir de la definición de inductancia,que si el voltaje I/a travésde un inductorcambiaa travésdel tiempo,la conientetotal quepasapor é1,en esetiempo,es I= ( r lL) Í v dt .

t

la figura 33-22,seestablece a travésde un induct¡i ccl.:i = 0.01H. Con el resultado del problema45, grafiq'.:e .a ::rrientecomofuncióndel tiemoo.

t., t

:i

Ticn¡xr (s) I'I6URA 33-22 Problc¡na46,

47. (II) El interruptordelcircuitodela figura33-23sch¡ ccnado haceun tiemponiuy grande.(a) ¿Cuálesla corrienteencada tramodel circr¡ito?(b) Cuandose abrc cl intcrnrptor, Ia conienteenel inductorbajaenun factorde 3, en5 rns.¿Cuál es el valor de la inductancia? (c) ¿Cuántovale la cor¡iente quepasaen cadatramoa los 10rns?

Energía en los circuitosRLC

41. (I) Calculela energladenun ci¡cuito ¿C, suponiendoquelas condicionesinicialessontalesquela cargadel capacitores Q - Qocos(@t+,ó). Demuestreque la energfaesconstante. 42. (ll) Un ci¡cuito estáformadopor un capacitorde C - 500 pF de capacitancia, conectadoen seriecon un inductorde I = 10-aH de inductancia. Si secolocaen el capacitorunaca¡ga de 0.5¡rC,hayunaoscilaciónen el ci¡cuito.(a)¿Cuíl esla coniente máxima que pasapor e.steci¡cuito? (b) Calcule la energfamáxirnadentrodel inductor.(c) ¿Cuálesla relación de la energfamáxima en el inductora la energfamáxima en el capacitor? 43. (ID Un circuito LC estáformadopor un inductorde 4 mH y un capacitorde 2A0pF. Si Ia encrglamáximaalmaccnada en el ci¡cuito es l0-4 J, ¿cuálesson la cargamáximaen el capacitory Ia conientemáximaen el ci¡cuito?¿Cuálesson los valoresmfnimos? U. (m) El capaeitorde 50 mF de un circuitoZC, al principio, se cargacon2mC. El inductorde 4 mH tieneunaresistencia muy pequeña.En determinadomomento,despuésde 1000 oscilaciones, la conienteque pasapor el inductores cero, mientrasqueel capacitortodavlatieneunacargade 1.0mC. (a) ¿Cuáles la resistencia del circuito?O) ¿Cuálesso¡rlas energfasdel circuitoantesy despuésde las 1000oscilaciones?(c) ¿Porqué los dosvaloresde la energfaen la parte(b) sondistintos?¿Dóndeha ido Ia energfa?

980

46. (II) Suponga queunaondacuadrad¡cie'.c.r:_::.:::-.: .: ¿:

o o * o * o g o o o o O o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o o

FIGURA33-23Problcnn 47, 48. (II) Un cablecoaxialtie¡reun alarnbreintcriórmacizo,de radiorr, y un tuboextcriorde radiorr. Por cl alanrbre i:lterior pasau¡racorricnte1, que rcgresapor el cotrducicr extemo.Suponiendo que el cableseainfinitanlente largo, calculcIa energfadcl campomagnético,¡ror unidadilc Iongitud.Tengaen cuentatodoel campodentrodelalanlbre intemoy fueradel conducto¡externo. 49. Q) El molibdenoes paramagnético, con susceptibilidad magnética1.2x l0-4a 300 K, y cercaclela mitadde es:e valora 20 K. Suponga quela autoinductancia cleun solenoidc ¡ellenoconmolibdenoes L - 0. I nlH a 300K. ¿Cuálcs el cambiofraccionario en la autoinductancia entre300K r 20K? 50. (II) Una ondaelectromagnética, la luz, estáfonn¡dapcr u:.: y tnagnéticos oscila:^::s configuración decamposelóctricos La frecuenciadeesasoscilaciones esla de la onda1'¿mlr:s:. y la amplituddel canrpomagnético,Bu,es exactanei.ie. : por la amplituddelcampoeléctlico,Eu.Compruei¿q-:: :s': relaciónes dimension:rlmente correcta.Dernuesi:::-..:.densidadde energfa eslr ::'.:s;:::.. : enel carnpomagnótico la der¡sidad de energlaen el campoelécl¡ico,r':. .: ::.: luminosa.

o o o o o o o o o o o o o o o o o

(II) ¿Cuálesson las corrientesa travésde cadauno de los tresresistorés.de la figwa 33-24,inmediatamente después de habercerradoel intemrptor?¿Cuáles son,después de un tiempolargo? 6O

t0-rtt

53. .'

.

54. FIGURA 33-24 Problema51.

(II) Se devanandos solenoidessobreun núcleocomúnde hierrosuave(figura33-25).El solenoide S, se conectaen

0

o o o o O o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

.

'

serieconunabaterfay un resistorvatiable.Comeru¿ndo coi.¡ e¡ resiFtorajustadoen.¿,con bajaresistencia, semueveei contactodeslizante y seregresa haciaB, granresistencia, de nuevo a./4. Haga un esquemadel voltaje B a t¡ar'ésdei solenoideSr,mientrás'sucede lo anterior. (ID Un toro fenomagnético esp;rte de un aparatoqueseva a usatéh ún lugardondela penneabilidad magnéticatiene el valor constante¡r = l000¡ro.El toro tieneuna sección transversal circularde l0 cm2.En su longitudtotal,de unos 80 cm, el toro estádevanadocon 640 vueitasde alambre. Inmediatainente y rodeándolo, sobreestedevanado, setiene un devanadosecundariode 50 vueltasde alambreaislado. muluade los dosdevanados? ¿Cuálesla induCtancia ¿Cuil esel papeldelnúcleodelúeno,si esquedesempeña alguno, paradeterminar esainductancia mutua? 0I) Un to¡o de radio interior r¡ y radio exte¡iorr" tiene seccióntransversál cuadrada(frgura33 -26).Estádevanado con N weltas de alambreque conduceuna coniente.1.(a) Conla ley deAmpere,determine el camponlagriético dentro del,toro.(b) Calculela clensidad deenerglamagnética dentro deltoro.(c)Integreesadensidad de energfa magnétiiapara determina¡"la energlamagnética total dentrodel toro.(d) Con la fórmulaUt"= ill', ecuación(33-13),detemrine la autoinductancia deltoro.

"l

I'IGUIIA 33-26l\oblcrn 54, F'ICURA33-25Problcnn52

cAPrruro 34

o o o o O l o r,i oo :] o j o .,¡ o o o o o o o o o o o o o o o ni, o o o o o o o Iv o un o o o o o o ¡: o o o o o a o i I

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CORRIEI{TESALTERNAS

tb )

Uomo vimos en el capÍtulo 3 1, la ley de Faradayespecificacómo un flujo magnético que cambia induce una fuer¿aelectro¡notriz.Una bobina girando en presenciadeun im¡in induce una fuerza electromotriz qüe varia en fonna sinusoidal, o senoidal,a través del tiempo. La fuerza elect¡omotriz inducida produce una corriente alterna (CA), que es fuente de potencia.Los generado¡esde CA convierten la energlamecánica del agua que cae, o del vapor de agua a presión y caliente, en energia eléctrica medianteturbinas,y son el punto inicial en el suministrode la potenciaelóctrica.En estecapltulo veremoscómo podemosvariar el voltaje máximo de una fuerza electromotriz que oscila en forma armónica, un elemento importante elr el suministrode energla eléctrica. Al conectar resistores,inductores y capacitoresen circuitos con fuentes de fuerza electromotriz de corriente alterna, se hacen posibles corrientesy voltajes con nuevos comportamientosdependientesdel tiempo, Esos circuitos son completarnente análogos a un sistema mecánico que estudiamos alltes, la lnasa impulsada armónicarnenteen el exttemo de un resorte. Los sistemas de estetipo presentanel fenómeno de la resonancia.

34-t

TRANSFoRMADoREs

un generador enlale¡ deconientealtenrabasándotros En el capftulo31,describimos ar¡nó. por depenciencia corrientealtemasecaracteriza deFataday.Recuerdequo.una

rl

lllr

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982

o O

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o

I"IGU R A 3{-l (a)'l 'mnsfonrrarl or cottrcrcial,tut "Varitc", I)ilra()t)lr:r t.'r vci l {aj cs dc sal i tl al rnsl adt: I ?0 V , (l A . I i ' ), '¡l ri ntortruul i l rtunrl ortl t:tso c urut:rc i le¡l¡t i ,r i¡xh¡striaclóclricailt: listarlosI hurlos, con-st ntitlo ¡xrr (itror¡¡cWr:slirr¡tlrt)llsr (.nl: . Ittl l 5 y l tl S (r.

llobina I,rV, vucltas

lkrtriru 2, N, vucltas

l b b i r u r I , N , v u t : lla s

[]obirn 2, N. r'r¡cltas I

,l

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ur ,, \(

-\

t'l(;URA 31-2 Dos ¡n
nicacon respectoal tiempo (senoidaly cosenoidal),al igual que las otras variables, del circuito, colno) por ejemplo, el voltaje.l Nos gustaríapoder variar el voltaje m¡iximode CA, porque los voltajes altos y bajoStienen aplicacioneserr distirrtas" circunstancias, Por ejempló, es más económicotransportarenergÍaeléctricaa alto voltaje,pero los voltajesaltos son peligrosose ineficientesen pequelioselectrodo. mésticos. Supongamosilue r.rngeneradorde CA prodr:ceuna fuerzaelectromotrizde , laforma eeneral é = Vosen(rot)' 1.34,l) [ v éas eec uaci ó n1(3-i 4 )].El fa c to rZ p e s l a a mpl i tuddel vol taj c< l el afi rentecl efuerza y es la cantidadQuedeseamosüariar.En estasecciólrdescribirernos electromotriz, un dispositivo qüe puede tornar una fuerza électrolnotrizde CA, conto la de.,la (34- l) comoeútrada,y producirutrafuerzaelectrornotrizde CA.corrd¡s¡ill¡a ecuaciótr arnplitudde voltaje. Este aparatose llama tránsfor¡nador, y se puede construir La i rr
I Uso."rnnsla ¿trrcviatura"CA" para intiicartrxkr ti¡n rk: con'icrilc,,uulln-¡"q,,,.uur,"irr lirr,rr, án,uuri,i,, ¡ travss
984 Capítulo 34 Códcntes

alicrna.c

solenctidestienen áreastransversalesiguales,A, pero distintos números de vr-ieit¿s totales, Nty Nz.A travé3de la primera bobina (el devanadoprinnrio;D se tiene una fuer¿a electromotriz de CA, E, con una amplitud tr/¡,como en la ecuación (34-i): Et : Vt sen(cof).

_l*

r--l

Determinaremos la fuerza electromottiz, Ez, a través de la segunda bobina (ei devanado secundario) y demostraremos que en realidad tiene amplitud diferente de la de E¡. La figura 34-3 es la tepresentaciónnormal de este caso.Como á, depende del tiempo, la coniente a travésde la bobina I cambia, y hay un flujo magnético que cambia a través de ella. La ley de Faraday,entonces,indica que la corriente total, 11, en la bobina I [véaseecuación (33-2)] está determinadapor la eculrción

'+ ,ittÉ. f^=' #.l\#,,

lV, wcltns

N. wclt¡s

FIGURA 34-3 Diagrama cléct¡ico, con cl simbolo dc dos bobin¡s totalmcntc cnlazadas. Cuando t¡ra ost¡i cn ol mismo circuito con unÁ fucnto dc fucr¿a clcct¡omot¡iz dc CA, cstc circuito funciona como lra¡sform¡dor.

(34 2)

. dt ,

-

6t:

- L- ';- ,

OT

(34 3)

de la bobinal. No nosinteresatantoel valorde f1,como siendoI la autoinductancia ár.,a travésde el hechode que;al mismotiempo,seinduceunafuerzaeiectrotnottiz, la bobina2. Esafuerzaelectromotrizse inducedebidoa quela corrientevatiableen la bobina1 produceun flujo magnéticovariablea travésde la bobina2. Pordefinición, mutua,M.' de la inductancia E, depende .Í _ L2-

-

ÁI tr " 'i " ',¡ ¡ - '

(34 4)

a ü¡ldt de la ecuación(34-3),llega:nos Si en ellasustituimos 6.: -L

M,

ó 2

,!'f

,1 .,i

I

(34*5)

La ecuación (34-5) tiene una importante información: la relación M/L es constante, y, por lo tanto,Ertiene la nüsma depertdenciaarnúnica rcspccto al tientpo queEr. Si la frecuencia angular de la corriente en el devanado prirnario es c0,como elr la ecuación (34-1), también lo serála corriente inducida en el devanadosecundario. Hagamosuso del hecho de que las dos bobinasson solenoidesidealestotalmente enlazados.En este caso, conocemos tanto M como /- La inductancia mutua de los dos devanadosesun casoespecialde inductanciamutua de un solenoidey un anillo; la ecuación(33-9) describeestecaso,y de acuerdocon ella,

(34 6)

M:l oA 1l

La autoinductanciade la bobina 1, segúnla ecuación(33-8),es AI,¿

L:

l oA

7,

(34 -7)

en la ecuación(34-5),llegamosa esosresultados Sustituyendo

fz : Y ! 4 ! , N] - : { , , . Le rel¡ción de las fuerzas electromotricesen los dosdev¡nedos de un transformador esigual e le releciónde los númerosdc weltas de cad¿uno de ellos.

6.1

póANt'

.{|

E , _ N, Er

N1

(34- s l

o a a o o o O

o o o o o o o o o o o o o o o

o1

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

o o

o o o o

o o

o o o

o o o o o o o o o o o

comola dependencia de la cA con respectoal tiempoes idénticaen &y en E2,la (34-8)telacionalasamplitadesde,qoltaj ecuación e, V1y V2(loscoeficientes delaldependencia temporalsenoidalde lasfuerzaselectromotrices) en los dosdeya¡rados:

v =,ry1 vl

Nr

(34-e)

El transformadores una medio de manipular esasamplituclqsde voltaje. cuando N2 > N¡, el transformador es de subida, y la amplitud,de voltaje e_nel devanado. secundario es mayor que la del primatio. Cualrdo Nz . Nr, el transformador es de bajada, y la amplitud de voltaje en el devanado secundario es menor que en el devanadoprimario. Nétese que los términos primario y secundario no implican ningunadifetencia fundamental entre los dos devanados. ¿Cómo se telacionan las corrientes en los dos devanados?Se debe conserva¡la energlacuando trabaje el transformadot. Si tiéne una constn¡ccióneficiente, lo cual quiere decir que se reduce al mlnimo toda resistencia, y no hay perdidas por calentamientode Joule, entoncesla rapidez de flujo de energía,expresadapor el producto.Id, debe ser igual en los dos devanadosdel transformador.Así, tenemosque I 1 8 1:

1 2 82'

Sustituimosesto en la ecuación (34-8), y llegamos a It 12

-N ., Nl

( 34- r 0)

En otras palabras,si la amplitud de voltaje en el devanadosecundariode un transformadorde subida aumenta,en relación con la del devanadoprimario, la corriente quepasapor el devanadosecunda¡iodisminuye en el mismo factor; si la arnplitud de vollaje en el devanado secundario de un transformador de bajada disminuye en relacióncon la del devanadoprimario, la corrienteque conduceel devanadosecundariodisminuyeen el mismo factor.

O

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

985 34-1 Tmosfcn¡dqs

EJEMPLO 3 4 - 1. Un transformadorde bajada tiene 5000 vueltas en el devanado primario, que maneja una corriente CA de amplitud de voltaje Z¡ 20,000 Y,y 220 vueltas en el devanadosecunda¡io.Si se deseauna amplitud de coniente en el devanadosecundariode 1@ A, ¿cuáles la potenciamáxima que debe entregarel devanadoprimario al devanadosecundario? SOLUCION: La incógnita deseadaes la potencia, P2, entregada al devanado secundario.La potencia se relaciona con la ampl itud desconocida de voltaje, V2, y a la corriente conocida, /2, mediante la ecuación Pz- I2Vz.Podemos calcular V2,a paftir de Vy y del número de vuelt¿s del devanado. /2 queda determinado pot la ecuación (34-9):

v. v): 880 ,,: #,l,, : # (2o,ooo secunda¡io es l0OA, la potencia Si la conientemáximaqu" deyanado "l = (100 AX880 V) - 88 kW. Si el transfórmadorse máxima que manejaes P, "ondu"" construyecon eficiencia,es igual a la potenciamáxima que puedemanejarel devanadoprima¡io. Transmisión de comicntc Los voltajesbajos son más prácticospara uso local, porquese afslancon más disruptivascomocuandolos voltajes facilidad,y no hay tantopeligto de descargas esmuchomáseficiente másadelante, sonaltos.En reciprocidad, coftromostta¡emos

L¡ relcción dc l¡s corrlenteg en los doe t¡evanadosde un tr¡nsform¡dor es iguel a le invers¡ de l¡ rel¡ción de lo¡ númerosde vuelt¡s en los dev¡n¡doa.

o o o o o o a o o O

t"lGt'Rr\ 3.14 (a) Los ¡¡orrcrarlonis, otr las c lcclricas,prcxlttccncncrgía "::::r.s : .'.;. ¿ c n lon r H < l cC A . A l l r . l;a;:-.:brrn¿dorcscorno óstc convicrlcn la ¡irt'-¡cid¡tl dc bajos voltaJcsa nltos voltrljcs. : Lincasdc trar¡-sn¡isió¡¡ dc cloclricirlad, CA a volttrjcSlnr¡¡lto$ qltc ric ;-c cor;dtrccrr ,:r;."' tcnc¡ cuidado paia mantcncrlos a;-<. :dcs. clectricamcnlc.dc sr¡salrcdcdorcs, 5, alguicnso para bajo una clcosaslíncas,sc i,-d¡c o¡r la descargailisruptiva cn ol airc ; :,: ¡ojc¿ los cables.

transmitir la energlaeléclricaa altos voltnjcs,desdeuna planta generndora(figura nos 34-4a)hastalos hrgaresdondese vaya a usar (figura 31-4b).Los transfon.¡radores penniten reconciliarlas distintasnecesidades de voltaje de la transrnisiórr a grarrdes reqr.rieratr CA para distanciasy del uso local, El hecho de qne los tratrsfon¡aclores funcionar, ha detenninadoel papel de la corrierlte altenra en nuestro uso de la electricidad, Delnostraremosrápidamenteque es rnáseficientetransrnitirla energíaeléctrica a altos vollajes,seade CA o de CD. Una lÍneade transtnisiótrde electricidadentrega energiapara uso local a determinadarapidez,P, y a detenninadovoltaje, V. Esto quieredecir que pasauna corrientea travésde la 1íneade transmisiónque es P : IV. Esa lÍneade transmisióntendrásu propiaresistencia,R, y la poterlciadisipadaeti los caoles sera

: P¡crdirlr

(34-r1) "^:+':r! a esla relaciónde la potenciaetrtregaCa Unamedidade la eficienciade transmisión (34-11), esa de Joule.Segúnla ecuación la potenciaperdidacomo calentamiento relaciónes P

t/2

P¡rnlirla

PR

(34-12)

Esta relación aumentacon rapideza medida que aumetrtaV.Pata citar un ejeniplo realista,una líneade transmisiónque entregueuna potenciaP = I MW, deberíatener una resistenciatotal de 10Q . Si se entregaraesapotenciaa 110 V, la relaciónde la ecuación(34-12)seríademasiadobaja: ( I 10 $'?/( 1 Mw)( 10 A) -- 1.2 x 10-3.En este caso,el 99.9%de la electricidadseríaparadisiparpotenciaen las lineas.Sin embargo, si la coriente se entregaraa 500,000V, la relaciótrseria(5@,@OV)'?/(i MWXl0f¿ ) ' 2.5 x LO4,yia mayor partede la electricidaclque se produceseríaentregada.

it ,'

$' frrr $il, ü¡i

EN crRCUrTosDE c,4. 34-Z ELEMENTosTNDTITDUALES En estasecciónrevisaremoslos efectosde cbnectarutrafuente de fuerza electronotriz de CA, para la cual E - Zs sen(orr),en circuitos que sólo tenganelernentosúnicosde resistencia,capacitanciae inductancia.De estaforma podremos comprendet mejot los efectosde cadaelemento.Calcularemosla corrienteque pasaa travésde cadauno de los elementosde circuitos, y la compararemoscon el voltaje.

rs6

í1.

o a a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O O

o o O

o

o o o o o o o o o o

o

o o o o o o o o o o o o o O

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

Como la dependenciade la CA con respectoal tiempo es idéntica en dl y en Er,la ecuación(34-8) relacionalas atnpliudes de r¡oltaje,Vty I/2(los coeficientesde la-dependetrciatemporal senoidal de las fuerzas electtomotrices)en los dos devanados:

lz :,{1 vl

Nr

f-1

-_-.-.:-

985

Tra¡¡sformi¡dorcs

(34-e)

El transformadores una medio de manipular esasamplituclgsde'rrol,o¡".Cuando N2 > N1, el transformador es de subida, y la amplitud,de voltaje en el devanado. secundarioes mayor que la del primario. Cuando Nz . lfl, el tansformador es de bajada, y la amplitud de voltaje en el devanado secundario es menor que en el devanadopdmario. Nétese.que los tétminos primario y secundario no implican ningunadiferencia fundamental entre los dos devanados, ¿Cómo se relacionan las corrientes en los dos devanados?Se debe conserva¡la energfacuando trabaje el transformador.Si tiene una construccióneficiente, lo cual quiere decir que se reduce al mfnimo toda resistencia, y no hay perdidas por calentamientode Joule, entoncesla rapidez de flujo de energía,expresadapor el proclucto.Iá, debe ser igual en los dos devanadosdel transformador.Así, tenemosque I1 6 r:

¡1 6' '

Sustituimosesto en la ecuaciótr(34-8), y llegamos a /,-N t 12

Nr

(34-10)

En otras palabras,si la amplirud de voltaje en el devanadosecundariode un transformadorde subida aumenta,en relación con la del devanadoprimario, la comiente quepasapor el devanadosecunda¡iodisminuye en el mismo factor; si la amplitud de voltaje en el devanado secundario de un transformador de bajada disminuye en ¡elacióncon la del devanadoprimario, la corriente que conduce el devanadosecunda¡iodisminuve en el mismo factot.

3 4 - 1 Un trursformador de bajada tiene 5000 vueltas en el EJEMPLO que maneja una copiente CA de amplitud.de voltaje I/¡ = primario, devanado Y,y vueltas en el devanadosecundatio.Si se deseauna amplitud de 2O,0OO 220 el corriente en devanadosecundariode 100 A, ¿cuáles la pot'enciamáxima que debe entregarel devanadoprimado al devanadosecundario? : SOLUCION: La incógnita deseada es la potencia, P2, entregada al devanado secundado.La potencia se relaciona con la amplitud desconocidadevoltaie,V2, y a la coriente conocida, ^I2,mediante la ecuación P2- IzVz.Podemos calcular V2,a part|r de V¡y del número de vueltas del devanado. I/2 queda determinado por la ecuación (34-9):

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es 100A, la potencia secundario Si la corrientemáximaqueconduceel deyanado = = Si se V) kW. el transfórmador (100 88 AX880 máximaque manejaes P2 que puede el marrejar potencia máxima corstruye con eficiencia,es igual a la primario. devanado Transmisión de cotricnte Los voltajesbajos son más prácticospara uso local, porquese alslancon más disruptivascomocuandolos voltajes facilidad,y no hay tantopeligto de descargas másadelante coüromostraremos , esmuchomáseficiente sonaltos,En reciprocidad,

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t,'¡GlrllA 34-4 (a) Los gt',rrcrnrloros, cn lRs clictricas, prrxhtccncncrgía ¡rlatrtas clcctricacn fonrn dc CA, AllÍ. tra¡ufonnadorcs co¡no óstoconvicrlc¡r la clc¡t¡icidarl do t.'ajosvolhJcs I altos voltájc.s. (b) Lincasdc t¡nnsniisióndo cloctricicln<1, quo condrtcorrCA n volt¡rjcslrn lllos quc sc dcbc tencr cuidado para mantcncrlos ' aislados,cldctricamcntc, dc sr¡sBlrcdcdorcs. Si olguicn sc parabajo una rlo osaslínoas,so puc
transmitir la energíaeléctrica (I|tosvoltajcs,desdeuna planta generadora(figura ^ 34-4a)hastalos lrrgaresdonde se vaya a usar (figura 31-4b). Los transfonr-radores nos penniten reconciliarlas distintasnecesidades <1evoltaje de la transnrisiórr a grarrcles requieratrCA para distanciasy del uso local. El lrechode qr.relos tratrsfonrraclores funcionar, ha detenninadoel papel de la corrietlte altenla en nuestro uso de la electricidad, Delnostraremosrápidamenteque es tnás eficierrtetransrnitirla energíaeléctrica a altosvoltajes,seade CA o de CD. Utra lÍneade transmisiótrde electricidadentrega energia para uso iocal a determinada rapidez, P, y a detennirradovoltaje, Z. Esto quiere decir que pasauna corriente a través de la línea de transmisión que es P : IV. /?,y 1apotetlciadisipadaen los Esa líneade transmisióntendrásu propiaresistencia, cablesserá

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(34-12)

Esta reiación aumentacon rapideza medida que aumetrtaV,Pata citar un ejernplo realista,una líneade transmisiónque entregueuna potenciaP = 1 MW, deberíatener i una tesistenciatotal de 10O . Si se entregaraesapotenciaa 110 V, la relaciónde la :t = Mw X l 0C ¿) 1.2 x 10-3.E n est e ¡,. e c u a c i ó n(3 4 -1 2 ) seríadernasi adobaj a:(110V )' ?/(1 caso,el 99.9Vode la electricidadseríapatadisiparpotenciaen las líneas.Sin embargo, $,' si la corrientese entregaraa 500,000V, la rclaciónseria(500,000$'?i(l MWXl0f¿ ) - Ili t:' 2.5 x 104,y la mayor partede la electricidadque se produceseríaentregada. Íii i:. t! ea s; ci

34-Z

9;: :

ELEMENToSINDI\TDUALESEN CIRCUITOsDE CA

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En estasecciónrevisaremoslos efectosclecbnectarutrafuente de fuerza electrotnotriz t. de CA, para la cual d - I/s sen(cr/),en circuitos que sólo tenganelementosúnicosde f: t' resistencia,capacitanciae inductancia.De estaforma podremos comprendermejot los efectosde cadaelemento.Calcularemosla corrienteque pasaa travésde cadauno E ¡ de los elementosde circuitos, y la compararemoscon el voltaje.

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o o o o o o o, o/ o o o o o o o o o o o t

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I I

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o o o o

o o

Circuito rcsistivo cornenzaremoscon el circuito resistivo de la figura 34-5a.r-a regla de la espira-ce Kirchhoff, para los cambios de potencial siguiendo el circuito es Izosen(rr-rl) - /R : 0.

VR , , _R_

o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o

o

o o o o

o

o o o o o o o o o o o o

ol

r-l.l-, -:

El voltaje a través del resistor es, entonces, vR - IR =-trlqseh(@r),y Ia corriente 1a travésdel resistores Vu sen(Lttt) R

(34- t4)

Laconientequepasa,y la cafdadevoltajeenel resistortienenla mismadependencia senoidalcon respectoal tiempo (figura 34-5b).Decimosque estánen fase, La o amplitudde 1 es I^¡^ * VdR. o ai 0

Circuito capacitivo Ahoracotreciamos unafuerzaelectromotriz decorrientealternaconunacapacitancia TiemPo pura,formandoel circuito(figura34-6a).Aplicamos la regladela espiray calculámos (b) la conienteen él y el voltajea travésdel capacitor. qrrela comiente Recr¡érd.ese no FIGURA 34-5 '(n)Rcsistorconcctadocn pasaa travésdel capacitor scric con unafucntc do fucr¿¡ clcct¡omot¡iz mismo.La reglade Ia espirada comoresultado

V ,)si n (t,tt) -? :,

( 34 rs)

. dc CA. (tr)El voltnJca travcsdel rcsistor,y la corricntcqucpasa,cstáncn fasc.

El voltajeen el capacitoressimplernente la fuerzaelectromotrizirnpulsora,Vc = Vo sen(art). Pa¡acalcularla corrienie,calculamosprimerola cargaQ, con la ecuación

(34r5):

O : C /6.sen(a.rt).

(34- 16)

La corriente I entonces,es la derivada de la carga con respectoal tiempo:

do

,:ñ:coCVocos(tot).

(34-17)

Introducimos la identidadtrigonométrica ben[0+ (nl2)) = cos B (véaseApéndice IV-4),y reformulamos la ecuación anteriorcomosigue:

I:
(3 4 -. rri)

El valor máximo de la corrienteen el circuito es aCVs. Si relacionamosel voltaje máximo a travésdel capacitor con la corrientemáxima en el circuito, encontraiemos que 1 ,6 * a C V 6

(34-ie)

Podemos compararestaecuaciónconunasemejante parael circuitoresistivo, para la cual, la relaciólrconespondiente era I,úx - VdR. La resistencia efectivade un circuitocapacitivo sellamareactanciacápacitive,X6,y sedefinecomo

x'=

I

o o o DW

atc

La ecuación (34-19) asume ahora la forma Ticm;n , ¡ *ir : '

t/

vo

(b)

v ' 'rc

La reactanciacapacitivatiene unidadesde ohms. En la figura 34-6b presentamosuna gnífica de la'corriente; ^f,y el voltaje, I/6., como función del tiempo. Nótese que cuando el tiempo r = 0, el voltaje a través del

I-a corrientc Fftcc& 9Llei r:i:¡-'r (a) C-a;r;::-- r.rÉc".ra- = FIGURT\ 3l{ scric con uu fix''ir:: ü :.-r-¡ :.::r:¡:r--; ,l ^ aA

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*J{-

I

988 Capitulo

34

C.offlcnt6

altcmas

capacitor es cefo, pefo la coffiente en el circuito es máxima. La fase de ia cor¡ie; tiene una diferencia de rl2 rad (90") respecto a la fase del voltaje. Decimos que coftiente prccede, o estd adelantada al voltaje en una fase de nl2. ¿Tienesentidola diferenciade faseque acabamosde describir?Supongarnosque se ciera un intem:ptor que completa el circuito cuando t - 0. En ese moln..rlto ¡ro hay carga en las placas del capacitor,y el voltaje, proporcional a sen(olr),cc¡nierrza en cero.La cargapasacon facilidad, a su valormáximo, hacia las placasdel ca racitor. Sin embargo,al aumentarel voltaje, se ha acumuladoya bastantqcargaen ell rs,y las cargasposterioressonrepelidas. Entonceslacorrientedecrecehastacero,alrlcanzat su máximo el voltaje. En todo el ciclo,las curvassenoidalesque desuiben la c rniente y el voltaje continúan teniendo diferencia de fase,como hemos descrito.

o I a o t o

E J E M PL O 3 4-2 E l ci rcui toqueseveenl afi gura34-6ati eneul ,r fuerza electromotriz representadapor E = I/e sen(cot),siendo Vo - 6.0 V; ti, ne una capacitanciaC " 1.0 ¡.¡F.(a) ¿Cuálesson las coffientesmáximas cua rdo las frecuenciasson exactamente60 Hz y 6 MHz? (b) ¿Cuálesson las corri, ntes,/, y los voltajes, I/6.,cuahdo el tiempo es 2.0 ms, para la frecuenciade 60 I z?

tr

o a o o o o o o o o o o o o o o

lr

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SOLUCION: (a) la comientemáxima desconocidase calcula con la ecuación (34-19), y dependede la frecuenciaangular. Las frecuenciasangulares,@,para los dos casos,se calculan con co=?nJ y son 2r(6OHz) : 2n(6O s-t) = 377 rad/s; fzunbién2n(6 x l0ó s-r) '3.77 x 107rad/s,respectivamcrrte. Asl, segrirrla ecuac i ó n (3 4 -1 9 ), para 60 Hz: In¿,= Q77 rad/s)(1.0x 10-6n(ó V) = 2,3 rnA; para6 MHz: I,ú^ - (3.7'7x t07 rad/s)(1.0x 10-ÓD(6 V) - 230 A La mayor frecuencia origina una gtan diferencia en la corriente máxima. Para capacitivaes tan pequeña(X6 = ella la mayor frecuencia,6 MHz, la reac.tancia UaC - 0.027 O), que el circuito casino ofreceresistenciaal pasode la corriente. ft) Deseamosespecificarel tiempo en las ecuacionescompletasparacomientey respectivamente. voltaje, (34-18) y f/o sen(a.:t), Podemossustituir la ecuación 34- 19) en la (34- 18).Cuando/ = 60 Hz, tenemos

( I

/ : Io sen(art* ó)

V : Vosen(ot),

en lascuales,lo:2.3mA, ó - nl2 lrrd,Vo= 6.0V, I o : 377 radls.Pan t -- 2.0 ms,la conientees

,"n[1:27 radle)(0.00 I : (2.3me; 20s)+i *ol : 1.7mA, LLI

y el voltaje es : 4.1 V . Vc : (6.0v)sen[(377rad/¡)(0.00201)] Cuando t - 2.0 ms, la corriente disminuuyc de su valor lnáximo hacia cero, mientras que el voltaje está aumentando hacia su máximo. En.ese lnornento, arnbastienen un 7O% desus valores máximos.

o o o o o o o o o

Circuito inductivo

t

el capacitorpor un inductor,en el circuitoquetieneunafuerza Ahoraremplazamos electromotriz deCA (figura34-7a).Repitiendoel procedirniento anterior,aplicamos

I

o o o o o o o

O

o

o o o o o o O o o o o o o o a a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

primero la regla de la espira para los potencialesalrededorde un circuito:

lzosen(rott#)-:

O

989 34-2 Elcmcatoo l¡dfulduelcc c¡ clrs¡ltos CA

(14-n\

La calda de voltaje a través del inductor'debe ser la fuerza electromotriz Vt ^ Vo sen(alf).Para determinar la corriente que pasapor el inductor, necesitamosdespejar la corriente,I de la.ecuación(34-22).ReformularnosIa ecuacióncomo E

.

l/

dI :

dr. t]sen(a.rl)

Itrtegtando estaecuaciónobtenemos la corriente:

.

os(c,r). I: -+c Q)L

O

6 .é

cos 0 = -sen[9 -(xlz)) (véaseApéndice Empleamos la identidadtrigonométtica y queda IV-4), la ecuación

I: @ +r"n[r , -l: ll L \r/J

.qO

I

( 7 4- ) 1 \

L

(tr)

La corrientemáximaa ttavésdel iuductores I 'm

:"

V^

(34-24)

o¡L

resistivo,.16, en el circuitopuramente Cornparando estaecuacióncon la semejante = VJR,vemosquela resistencia para inductivo, esr¡1.A estole efectiva, un circuito llamamosreactencieinductiva, definidamediante Xr=aL.

(34-2s)

Las unidadesde la reactanciainductiva son ohms. a1pasode la coniente aumenta Paraun circuito inductivo,la resistenciaefectiva cuando las frecuenciasson mayores. Físicamente,esto es razonable,porque los inductoresreaccionan oponiéndosea cualquier cambio en el flujo de la corriente a travésde ellos. Una frecuenciamayor quiere decir que el voitaje y, por consiguiente, la corriente,cambia con más rapidez.Se induce una coffiente que se opone al cambio. En la figura 34-7b presentamosla gráfica de la corriente y el voltaje del inductor, en función del tiempo, Como en el casodel circuito capacitivo, las curvas senoidales estándesplazadasentte sf en un cuarto de ciclo, aunque se invierten los papelesde corrientey voltaje, en los dos casos.Esla vez la co¡rienle se retrasa respeétoal voltaje. Nuevamente,tratemos de comprende¡ lo que sucedecuando se cierra un intemlptot en el circuito, cuando t : 0. Al aumentaf el voltaje desdecero, el inductor se resiste a cualquier flujo de comiente, e inducirá una colfiente opuesta.Asl, al aumentar el voltaje partiendo de ceto, la corriente en el inductor será negativa; la fase de la corriente será tal que esta va "detrás" del voltaje. Cuando el voltaje a través del inductor eslá en su máximo, y apenas comienza'a disminuir en el inductor, ésie se resistea la bajada del voltaje, e induce una corriente positiva pata tratar de mantener alto el voltaje. Cuando apenascomienza a disminuir, en su punto máximo, la cotdente cambiade negativa a positiva, y se mantiene a 90o desfasadacon respectoal voltaje.

del ejemplo 34-2,.pelo.con 3 4 - 3 Cpn los mismoq.patámetros EJEMPLo una inductatrciade I = 1.00 mH, calcule las reactanciasinductivas.

Ticmpo

l,a cor¡icnto ostá rot¡asada 90" conrcspccto al volta.ic

FIGURA 34-7 (a) lnductor corrcctadocn scric con run fucnto dc fucr¿a clcctfomotriz dc cA. (b) La corricntc cn cl circuito cstÁ rct¡asada 90" rcspccto al voltsjo s travós dcl inductor.

990 C:pinrlo

3{

crricnts

altcmrc

SOLUCION: En el ejernplo34-z encorltra!¡"ros q.e las frecuenciasangularesson 377 radls y 3,77 x 107rad/s, respectivalnerlte, Las rcactal¡ciasilrductivassc calculancon Ia ecuación(34-25): paia 6O Hz: X¿ * aL : (377 radls)(100x l0-3 II) : O,3:.7O para 6 MHz: X¡,- uL = (3.7-l x 107rad/s)(I.O0x t0-3 I_D - 3.77 x 104c¿. Cotno esperábamos, la resistenciaal flujo de corricnteaulnerrtarnucho cuarldo la frecucnciaes rrayor' lo colltrarioqu" lrnrncr circuito capacitivo.

ALTERNA ?4-3 crRcurros DE coRRTENTE

CON R¿C EN SERIE

E l os c ilad o r a r n r ó n i c o i m p u l sa d o se des c ribe e n e l c a p í t r r t o 1 3 .

í=

"

s c nrt or )

Todos los resultadosde la secció' 34-2 se puedencomprender en ténninos de un análogo mecánico.Este.aná.rogo nor p".mit" un nuevo pulrto crevista físico del comportamientode los circuitosde CA y silnplifica la tarü de combinarelerncntos de circuito en circuitosrnásgeneraresformadoscon disp.sitivos electrónicos. En mecánica,urt osciladorarmó¡ticoinpursado., un dirpo.iü,ro cual una fuerza armónica extema actúa sobre, por ejemplo, "n "l rno ,u.^u fija a un resorte.si la fuerzaimpulsoraha estadoactuandqdurunt"áigun tiempo,lu rnoruno tienemás que moversecon ia frecuenciaangular,c,.r, de ia fuerza, estéfija al resorte "un "uurrdo y tengaalgo de amortiguamiento.Este sistemadenruestra el irnportantefenómeno fÍsico de la resonancia, caraclerizadopor una gran amplitud cuarido la frecue¡.rcia impulsora,rt.l,es cercanaa la frecuencianarural,-c.ro.: En el capítulo33 hicimosnotarIassemejanzas entreel sistemade masay resone, y los circuitosRrc en serie,sin un término de irnpulsiórr. si agregzunos una fuente de fuerza electromotrizde corrientealtema a un circuito RtC en*serie,continúala vigencíade la analogíaentreel sistemamecánicoy este circuito-En paticu lar,estc circuitopresentacomporramicntode reso¡tancia. Él circuito nrc il;; "n.iii", la espira,con fuentede fuerzaelectromotrizde cA esel caso más sirnplede una clase importantede circuitosen los que inten,ienenvoltajesde cA, y lo, R, ly C de circuito "l"mentos La figura 34-8 muestranuestrocircuito irnpulsado,y ra aplicaciórr de la reglade los cambiosde potencialalrededorde un circuito claconro resultado dl

n

- L+ - Y ; - Ii l : 6 l ,osen(rr;t) o¡L

(34-r6)

Como.I = dQldT,podemosreexpresareseresultadoen ténninos de la variableúnica Q, la cargaen el capacitor: tlGUR,\ 3.{-8 CircuiroRLCim¡rrrlvrdo ¡nr i-ra l-r¡cr¿z clect¡omot¡iz dc CA.

vosen(t:tt) - t9;9-

Z

-o

: li? o

(34-21)

La cantidad desconocidaen estaecuacióndiferencial es e. una vez despejadaQ, al diferenciada con respectoal tiempo obtendremosia coniJnte. Así, podemoscalculu las cafdasde voltaje a travésde los diversos elementosder circuito. La ecuación (34-27) se puede comparar con la ecuación (13-5g), que expresara segundaley de Newton para el caso de un oscilador armónico con aíoftiguarnie¡ro. Aquf la presentamosen la seguientefgnna:

2-cu'rndo no haya confusión posiblc, warcrnc cl tónnino "frccr¡cncia" cn lugar dc .,frccucnciaan-ti:.::. para rcfcrimos a ar.

o o o o o

t

o o o o o o o a OI

OI

ol

I

ol

fl

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o

en la cnal, el primer término es la fuerza impulsora,que tiene amplitud Fe. En el capitulol3 dernostrarnos que, despuésde haber actuadoclurantemucho tiempo la fuerzaimpulsora,estaecuacióndiferencialde la posición,r, errfunción del tieLpo, tienct¡nasolttciólletl la cual la posiciónde la nlasaoscilacon Ia frccuencia ^nguto. dela frerza irnpulsora.Estasoluciónestáexpresadaen la ecuación( I 3-5g),que aqul preserrtamos en la siguientefonna: x:

Asen(at -

tf).

(34-29)

como describirnosen el capitulo 13, la amplitud,.A,y la fase, f, se determinanpor sustitr¡ción directaen la ecuacióndiferencial,y los resultadossolr I

A = ......, Jnilt,:,2 - t,f,)2'+ b2ot2

| {r

I

;l --w n tl . o \c ,

ta n d

(34 30)

\

(34-31)

)

En ellas, cr;6es la frecuencianatural del oscilador, expresadapor o.l0= {W La fuerza y la posición son, ambas,armónicascon la misma frecuencia,pero estánfuera de fase.Por ejemplo,la función sen(ort),que es proporcionala Ia fuerza, aumentade cero, cuandot : 0, mientrasque la función sen(ror- ó), qre es proporcionala la posición,aumetrtadesdecero cuandosu a.rgurnento, cD¡- d , es cero;esto s uc edec uandt= o Qla. Pa¡aresolverla ecuación(34-27) para el casode la carga en el capacitor,sólo necesitamos efectuarlas sustituciones.formales de la tabla 34-1, que relacionanlos paránetrosdel osciladorarmónicocon los del circuito eléct¡ico.Asi, la soluciónpara la cargaes Q

=

Q,¿,sen(@t- e),

(34-32)

en la cual t/ YO

Q ^¡ o:

JL'(r'-a)3)'+ 1

_: _l_ tan ry'

tl

I

R \cr;C

t14-1?\

R2l.r2

- rt)

(34-34)

TAIIL tl.34 -L ANAI.OGIA IIM'I{I]

I,OS CIITCUI'IOS ¡¿¿CY IlL MOI'IMII'-NTO

Circuito Variable

Carga,Q

Coeficientedc la variablc r\nafi^iont^

I .C

. d(variable)

¡a

p

-:--

dl ¡ : - _ L - , - d 2 ( va r ia b le ) U nte dC ^ -O-e l l -c:l e - - - Ar L

DIl I]N RI¡.SOR'IT

Masa-resilrte

Posición,¡ t-

b nt

.L

Ténninode impulsión

Zosen(art)

Frecuencia natural

1 --,/LC

Fosen(art)

lk

V;

991' .i4-J

Clrcr¡ltog .1" .-o.tLrr[

dGloJ

992 C:pínrlo

J4 Com¡cntqr eltcfn.r

En estecaso,la frecuencianatural,(o0,del circuito,es la dei circuitolC puro,sin tétminode amortiguamiento, R = 0, de acuerdocon la ecuación(33-23):

\/LC quehemospresentado Todoslos tesultados aqufsereducena los casosquetratamos en la sección34-2, en la que sólo hay un elementode circuitoa la vez. Sólo necesitamos femplazaflos valoresde l, R o l/C por ceto,segúnseael caso,

Impcdancia Ya hemos definido las teactanciasX6 y X¿, e'ftlas ecuaciones (34-20) y Qa-25); desempeñanel papel de una resistencia efectiva. Como veremos, la resistencia efectiva de nuestro circuito más generales la impedancia, Z, definida por Inrpedanc ia

: Jtv,- xÍ lr.'

/-

(34,36)

por [¿s unidadesde la impedanciasonohms.Nótesequeun cablecon impedancia, muypequeña, demodoque,a diferencia lo general, tiene¡esistencia dela resistencia, de la longitud.Es cuestiónde algode algebra(véase la impedancia esindcpcndiente problema26) el poderdemostrarque,en témrinosde esascantidades, la ecuación (34-33)setransformaen Qrr^r: !*,

(34.-37)

Además,

#:i-'".

- X,-)'

(31 - 3 8 )

AO

l:

- ry')' @Q^;^cos(c''rr

Asl, /n¡ - alQn¡,.CuandointroducimosQ,n;"de la ecuación(34-3'7),obtenemos I:l^xcos(ror-Q):

Recuérdeseque, en le eección28-5, rimos que un capacitor no permite el prso de corriente const¡ntc.

Vo cos(at -
t

o o o o o o o o o o o o o o o o a O

A partir de la ecuación (34-32), podemos calcular la corriente en el circuito:

I :

o o o o o

(34-3e)

La co¡riente asume la forma de una fuerza electromotriz de CA con amplitud de voltaje lze,dividida entre la impedancia;en otras palabras,la amplitud de la corriente es la del voltaje dividida entre Ia impedancia.Esta ecuación es análoga ala I = V/R para corriente directa. Por consiguiente, /d impedancia, desempeña el papel de la resistenciaen circuitos de AC. A diferencia de la resistencia,la impedancia depende de la frecuencia. Esta dependenciase puede comprender con basesfísicas. La inductancia se opone a un cambio de lacomiente, y los mayores valores de la frecuenciaangular irnplican cambios m¡is nípidos de la corriente. Sin embargo,la inductanciano tietre efecto cuando los potencialesson estáticos,coffespondena a.¡r0. Esasptopiedadesse reflejan en la relación de frecuencia Xt - otl. Un capacitor tiene exactamentelas propiedades opuestas:no puede pasarcorriente por r¡n capacitor,en el lfmite, cuando la comiente es con;tante, pero el capacitortiene poco efecto cuandocambia la domientede modo tan rápido que se pueda acumular poca carga. Esas propiedades se reflejan en la dependencia'deX6 respectoa la frecuencia,X6.= U aC.

o o o o o o o o o o o o oi oi ol ol ol ol ol

ol

3l

o O o o o o o O o o o o o o o o o o o o o o o O O

o o o o o o o

a o o o o o o o o o o o o o

E J E M P Lo 3 4 - 4 El c i rc u i to k L C e n sededel afi gura34-8seconectacon una fuente de fuerza electromotriz de CA, que tiene la forma 8- Vo sen(cr.rt),' siendo f/eexactamenteI lO V, la frecuencia/ exactamente60 Hz, y a - 2nf . Si R- 20. 0f ) ¿ - 5 .0 0 x l 0 -2 H ,y C - 5 0 .0 pF,cal cul el ascal dasdepotenci al a travésdel inductor,cuando¡ - 0 y / - f¡, siendo f1 el primer momento,después de r : 0, en el cual E alcanzaun máximo. SOLUCION:La cantidad que deseamoses la calda de potenciala través del inductor,y estáexpresadapot Vt: -Lüldt.La corriente,.I,en estecircuito,está expresadapor la ecuación(34-39),asíque

vt.: -,

- r,l : LYu!',"uk,,t -,tü Í,I';cos(rr;/ "L ' I

En el rnonrcntof : O, /¿ asurnela fonna

=-ff ,"n,i, ,,.=rysen(-ó) La fuerza electromotriz alcanzaunmáximo cuandoel tiempo es¡r, que es cuando at ¡ : r c 12, o sea n' ' l t.:-:-='¡ 2a¡

4rJ'

4Í

LV'ne

i;

Cuando I = f1,tenemos que LV^ u

/a

\

v,.:-f r.n\../-a)=

z

,

* n\ t - o , l:

Ll | ,tL

z

cose.

Para evaluar estosresultados,vemos que o; : 2r(60H2) = 377 radls. Entonces ll

- i i n.) "c - uC (377rad/sX5.00 x l0-s Fl x l0 -' H) = I E.9Q. X ¡.: 'atL (377rad/sX5.00 .=

A su vez,

z : J Vc -

x)t+ R ? : @o so _ -

= 39.6n

J

t an r f i:

'

t1 _-(X ,. - )(,) : = } (5 3 .0 Q

R'

20.0f¿'

- 18.9Q) = t 71. rr :,s9.6' .

Cuatrdof = 0, LV^ot send¡ : V,, . 2: __=y

_

(5.00x l0-'z HXI l0 VX377rad s) sen(59.6" ) 39.6f¡

= - 4 5.2Y . Cuandof = /¡, (5.00x l0-2 HX110v )(377rad/s) LV^u¡ : 26.5V.. cos(59.6') cost¡): V,.: -i-

Resonancia en circuitos nI.C impulsados La amplitud de corriente, al igual que la amplitud de la c.argaen un capacilot, I.-lT amplitudesde voltaje a travésde cualquierade los elerirentosdejun circuito MC, ptopoióionales prese¡tael fenórnenode resonancia.Lai amplitudesson inversám.enté se'nthxides'f¿suendit,'ó ampli{u las (cc es mínima, l/Q. CuancloZ o lu ir¡p"duncia

34-3

Clrcr¡ltos

dc cordcntc

altcrna con 116 cn scrlc

o

994 Capitulo

]4

C¡idcnre

-i Difcrcncia dc fasc

altcmr¡

I

c

IIGURA 34-9 Para cl vollajc lm¡nrlsorqr¡oscmucstra, lr corricntc ¡ t¡avcs do r¡r ci¡cuito RLC varía arrnónlc¡¡rrcnto óon la frccwnclr dcl misrrrc, pcro so difcrcncia cn amplitud y faso do tal modo qw dcpcrdc dc si la frccrrr¡cia impulsora, or, cs igrral a ta frccmncla rrah¡¡al no a¡¡¡ort¡guda, arr o no. En la ¡csonancia (a¡ - ¿.¡o),la ampliM dc co¡rlcntc cs rn¡ixi¡na y la fasc cs la dol voltajo impulsor. En la gniflca dc l¡ corricntc cn flurción dcl ticmpo, hcmos cont¡olado la frccucncla h¡clcndo variar L.

mizan.Esto sucedecuandola frecuenciaimpulsora,ú), se encuentrace¡cade la frecuencianatural sin amoÉiguamiento,are(figura 34-9). Como en el caso del del facto¡de dependen osciladormecánico,la cantidady la agudezade la resonancia serfan R. Sin R, las amplitudes amortiguamiento, en estecaso,de la resistencia, infinitas,cuandola ftecuenciaimpulsora,rrle,/ la natural,rrr,ftteraniguales.Sin embargo,siemprehay algo de resistenciaen los circuitosreales.La figura 13-2I b deamortiguamiento pa¡avariosvalo¡esdel parámet¡o muestrael picoderesonancia enun osciladormecánico.En el casodecircuitosR¿Cseaplicangráficassemejantes. estoes,mienttasmenores la resistencia, Mientrasmenores el amoftiguamiento, El máximode estepico sepresentaa mayory másagudosefáel pico de fesonancia. una ftecuenciaimpulsorapara la cual los términosXc Y Xt, en Z, se anulenentresl exactamente;en otraspalabras,cuandoXt - Xc,

Estacondiciónimplicaque '

,"=#.,

I . ¡' @i,¡, :
o o o o o o a o o o o o o o o I o o o o a o O o o o o o o o o t o t

ol ol

ol (34-40)

ol

ol ol rl ol

3l o

o o o o O o o o o o o o o o o o o o o o o o o O o o o o o o o o o o o o o o o o t o o o o o

A estevalor de la frecuencia angular, Z = R. La amplitud de corriente en estevalor de la frecuenciaimpulsoraes,simplemente,

995 34-4 Potcncla cn los clrcr¡itos dc conlcntcáltcru

en la tosonancia: ,r*:

lO

(34-41)

Tanto el valor de .I*¡ efl resonanciacotrto la agudeza del máximo de resonancia aumentancuandoR disminuye.Veremoscon más detalleel asuntode Ia agtrdezaen la secciólr34-4, cuandodescribamosla potencia. Los fenómenosde tesonanciatienenmuchasaplicacionesen circuitos.La más comúnes en la recepciónde señalesde radio y televisión(figura 34-10).un modo de sintonizarun receptores catnbiarla capacitanciade un capacitorvariable,cambiando con ello la frecuencia resonante.Asf, el receptor es sensible a determinada frecuetrcia,y toma las señalesde transmisión que tenganesafrecuencia.

34-4 PorENcrAENLos crRcurros DE

CORRIENTEALTERNA

I.'IGURA34-10 Capacitor(condcnsador) variablo.Losradiorroccptorcs soprrOdon sinloniz.¡r n frccucrrcias cspccíficns ca¡nbiando cl valordc C y cm¡rlcando cl fcnó¡ncnodc rcson¡¡rcia dc ci¡cuitosLC.

En la descripción de las cafdasde voltajeo de lasconientesquepasana travésde diversos elementos aislados de circuito(sección34-2),lafase,Q,parecía no desempeñarun papelmuy importante;tan sólo describíaun retrasoconstantede tiempo entreesascantidades, y la dela entrada, o fuerzaelectromotriz impulsora. La fasees másimportante cuandose examinala potenciadisipadaen el circuitoRlc. como fecordafemos, la energía sólosepierdeenla resistencia deesecircuito,mientras que laenergla queacumulan ya seael capacitor o el inductor, sealmacena temporalmente enalgunas partesdel cicloarmónico,pe¡ono sepierde.Así,la potencia disipada en el circuitoes - p)]' cos(c rr ¡D -- ¡t2D¡\ -- Ilo

(34- 42\

Z2

Estapotenciasiempre,espositiva,perooscilaentre cero¡' un máx imo i grrala Vo'N 3.' Parafines de ingenierfa, es más importanteconocer la potenciap romedio disipadaen el tiempo. lndicaremosel promedio de las cantidadescon respectoal tiempo mediarrte pico paréntesis,( ), El promedio de un cosenocuadrado,duranteun ciclo,'es un medio: ([c o s (ro r- d ,)]t): l . aslque

(P)=

::')! l! ,t*u,t 4,)f2)

(3443)

encontrumo, Si sustituimos la ecuación(34-36)de la impedancia, unu formu explÍcitade la potenciapromedio: ,/D\ \¡/-

_

I I

V3R

2l(tlorc)- @Lf +R

:

I

V i R ot2

i 2\;r:;,y;;"o''

(34-,44).

Esta ecuación presenta el comportamiento resontantede los circuitos de CA. Al aumentarla frecuencia impulsora c¡ hasta crre, la potencia disipada tiene el compórtamiento caracterlsticode un pico de resonancia.La potenciadisipadaes máxinn enla resonancia,cuando la frecuencia angular impulsota, c,r,es igual a la frecuencia arrgular, ros-,[T|re. En la resonancia,cuando ,: ú)0,la potenciads

(P )," . : }V¿

2R

(34 45)

El conccpto ilc l¡ r¡iz cu¡dr¡d¡ mcdl¡ ecpr.ccentóen el cepitulo 19.

La corriente presentael mismo comportamiento resonanteque la potencia. L ecuación (34-39) indica que la corriente oscila respecto al tiempo. Es de utiliC: j cafacterizarla corriente,y otras cantidadesque varlan armónicamenteen la CA, ccr un valor rns (ra{Zcuadrada media), Este valof, xrr.., de cualquief cantidadr, se define como la rafz cuadrada del promedio (respectoal tiempo) de los cuadradosde esa cantidad: x,-. E J(rt). En especial,si ¡ varfa en forma armónica, esto es, si x = xe cos(o:f - g5),podemos recunir al liecho de que el promedio del cosenocuadradorespectoal tiempo es igual a ll2,para demostrarque '- r m s

(34-46)

E' \j ¿

Al aplicar este concepto a la corriente altema, velnos, de acuerdo con la ecuación

(34-39),que

I_'^": vo = ,lw2lLGz- a,ia+o)'z-t{' ]fi

(34-41)

Nóteseque,en la ecuación(34-43),la/,,* y la potenciapromedio,(P), oiredcccn la ecuaciónparala potenciacon corrientecontinua:

(34-48)

(P) - /2,^ R,

I.a figuta 34-11es una gtrificade l^ como funciónde la frecuenciaangular a.La agvdezadel pico de la potencia impulsom,o, parat¡esvaloresde resistenci promedio (o de lrj en función de rD,se ca¡aclarizapot el anchodel pico, o, más ptecisamenterpor Aco,quesellama,notmalmente, la anchurototal a medíanrci-xitna, emplitud de,band¡,o anchode banda,en el contextode la CA. Paracalcularla las frecuencias angulares a lascualesl;r potencia amplitudde banda,detqrminamos la diferenciaentreesasfrecuencias bajaa la mitaddel valordel pico,y determinamos

o fdl

E

/,1* R mc
I nCIJnA 34-t I I¡ corricntc nns clcva
g,%

Frccucncia

!

o o o o o

i

t

l

I

¡

o o o o o o o o o o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a O I

o o o

o o o O

o o o a o o o o o o o a I o o o o o O o o o o o o o o o o o

o o o o o o O a o

O

o o

angulares. Estecálculoindicaque,paravalorespequeñosde la resistencia, la amplitud debandaes i A< t¡ :

,

I¿ l.

..

(34- 49)

Mientrasmenor seala resistenciay mayor seala inductancia,menor serála anchura debanda.La inrportanciade una anchurapequeñade bandase puede comprender imaginando un receptorde radio o de TV, cuyo circuito de sintonizacióndependedel fenómenode la resonancia.Si la resohanciaes aguda,el receptorseleccionará mejor sólola frccuenciaresotrante(figura 34- I la). Estose clebea que la corrienteque pása por el circuito, o la potelrciaabsorbidade la señal de CA, se reducetnucho piira frecuenciasque sean tan sólo un poco distintas de la frecuencia de resonancia.A la inversa,si la resonanciaes amplia, el circuito reaccionaráa frecuenciasde señal de la frecuenciadeseada(figura 34-l 1b). alejadas 3 4 - 5 D o s e s ta c i o n eds e FM emi tencon l a mi sl na i ntensi dad, EJEMPLo desdela misma distanciaen las cercanias;una a una ftecuenciade 91.3 MHz, y la otra a 91,1 MHz. A usted le gustamucho la primera, pero no le importa la segunda.Deseafabricarun circuito sencillo,RIC en serie,paratenerull receptor exclusivopata su estaciónfavorita, teniendoa la máno un inductoi ccjnindt¡c' tanciaI exactarnentede I pH, y urla resistenciay una capacitanciaajustablésl Paralimit¿r al l% la potenciaque se recibede la estaciótrno deseada,¿quévalores u s te d ? de R y C s e l e c c i o n a ría SoLUCIoN:Etr estecasotellenlosdos probletnas:ullo, fabricarun circuito cuya r es or r ar rcsi ac o o r,l e' 2 x .f - 2 r(9 1 .3MÉ Iz)' 5,74 x l 08H z; el sei ¡undo,hacer que el máximo de resonanciasealo suficientementeagudocomo paralilniti'lrld ent r adad e l a e s ta c i ó nn o d e s e a d ae n @ r - 2r(9 l .l MH z) -' 5.72 x 108H z. La: f r ec uenc i ate s o n a n l es e d e te rmi n aa p a fi i r deLy C . C onün val orconoci dodeZ, se calcula C con o62= l/LC, o sea

C :-;=(s n

x l0s Hz)r(li rH )

= 3.04 x 10-12 F.

El requisitode la agudezadeterminaa R. l-a potenciaentregadapor la señal en la fesonanciaes Ia de la ecuación(3445), tnientrasque fuerade la resonanciaes tienenla t¡rismaintensidad,de modo la de la ecuación(34-44).I-asdos estaciones que se puedeusar el lnismo valor de i/0.Entonces

(P),,,, tii',-: \¡ /rcs

ll /v"" l-'

u'ul:ldtp Lr

\ "

l/

:

!f,Rcti

) la;-;"¡t

-' 'F

ll2atz,

filfr - ,,3¡* '';P

Por consiguicnte, l L ' (r|

: R 2r,r?. - a t| )' + (D ? R' zl (0.01)

de la izc¡uierCon buena aproxitnación, podetnospasarpor alto ei ténnino cor2R2 lados: de ambos cuadrada podemos sacar raÍz da. Elrtonces : L (o o - < o,)(ro6 + r¡' X 0.01): R or. L (ra ! - ro f¡i O.Ot¡ El factor (a¡o* a¡r)es,con buenaaproximación,igual a 2a¡, de tnodo que

AsÍ,

='Rp4. ZerrL(a4- or)(0.01)

¡' ¡ :. x r08Hz)- (5 . 7 2x 1 0 8Hz )] (0 . 0:1 )2 . 5 ¡9 . ' 2 ( tg-oHX 6.28)[(5.74

:21",(2n)(,[ o -, / l[ 0 , 0"l) o : 2L (u¡-ro')(0.01)

99. ,

34-4

Potc¡cia

cn ls ci¡o¡irc& coricntc al¡cro¡

a o

998

El factor de ¡rotencia

C.epitnlo 34 C¡lrrlcntc¡r ¡ltcrnar

La potenciaen los circuitosdc CA se presentaen forma distintade la dc la ecuación (34-44). Llegaremos a esaforma con ayuda de Ia identidad trigonométrica

I

o o

I

cos2ó

(tan' dr)+ I

I I

Si ahoraempleamosla ecuación(34-38)en lugar de tan f, obtenelnos

cos2d :

ÍVRxx.-YJIll cosd):

:

R2

(x ;

a o o o o o o

/{2

1 , . ¡ j ¡1 2 :

R

z

':: (34 50)

Entonces, empleando las ecuaciones (34-47) y (34-49), vemos que la ecuación (34-48) se t¡ansforma en

: l!^,2 cosrlt. (P) = 1,1",R

(34 - 5r )

(34-51)sellama/actor depotencia,Paraun circuito El términocos@de la ecuación sin resistencia,es cero,mientrasque pafa una resistenciapura, alcanzasu valor máximode uno.

34-5 ArcuNAs APLIcAcIoNEs

I "rv'ñ",,'.l'-"-'*tu

[¡ corricnto pasa

Slmbolodeldiodo I'IGURA 34-12 Simbolodo m dlodocn La corrientosólo diagramas clerctricos. puedcpasarcn la dirccciónquc lndicala flccha.

FIGUR..\ 3.1-13 Esta frrcntc de @cr dc CD convicñe la CA en corricnto dire¡ta nlcdiaJltcun rccti llc¡dor.

I.a mayor parte de los circuitos electrónicosen uso actual tienen rnás elementosde los que hemos estudiadoaquf. Esos elementospuedendesempeñarfunciones de amplificación, como en los transistore,s, o tener una resistenciaque dependede la direccióndel pasode corriente,como en los diodos.Los circuitosmodernos,nomralmente, se fabrican en forma integrada,con mt¡clrosmiles de elementosincluidos desdeel principio, y llevan a cabo funciotres bastantegenerales.Sitr embargo,hay varios principios en esos dispositivos, distintos a los que hetnos descrito, que se puedencomprendercon pequeñasadicionesa esoselelnentos. Diodos y rcctificadorcs Muchas fuentes de energfaeléctrica'producerrvoltaje de CA. Sitr etribargo,lnuchas aplicaciones eléctricasrequieren voltajes de CD. Por ejemplo, el altemador de un automóvil produce CA, pero el acumuladornecesitaCD para cargarse.Necesitanlos un modo sencillo de cambia¡ el voltaje de CA en voltaje de CD. El proceso con el cual se logra Io anterior se llama recÍifcación, y, en nruchos casos,1oque se us¡ es un diodo. Un diodo es un elemento de circuito que tiene una gran resistenciaa la comienteque pasaen una dirección, pero baja resistenciaa la que pasaen dirección contraria, la que apareceen la flecha del sltnbolo del diodo (figura 34-12) en los diagmmaseléctricos.En efecto, el diodo permite que la coniente sólo pasaen h dirección de la flecha. Los primeros diodos l'uerontubos al vacfo. I-Ioy, los diodosse fabrican con semiconductores. El diodo se puede usar para fonnar un rectificador, elemento de circuito que transformala CA en CD (figura 34-13), Vear¡os el circuito de la figura 34-14a.EI voltaje a través del resistorde carga puede ser positivo o negativo. Sin eurbargc, cuandose itrtercalaun diodo en el circuito, se bloqueal'rlos volta.iesnegativos,dejamo tatr sólo voltajes positivos a través de ese resistor (figura 34-l4b), A ese circuito s: le llama rectificodor de media onda. Puede bastat como aproximación a una fi¡eirr: de voltaje de CD, aunqueel voltaje enlre los puntos a y b, Vo¿,, decididan¡eirie:r. :j uniforme ni constante,

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oi o o o oi Ol

o I

o o o o

El casoanteriorsepuedemejorarmuchoernpreando el circuitoqueseve en ra :-::ura 34-i4c, llamadorectifcadordeondacontplifa,Aunqueparece queesecircuito e-'lráscotnplicado, en realidadesbastante sencillo.Cuanáola fuerzoelectromot¡iz ;:cduceun voltajepositivo,la corriente positivapasaelrel sentidode lasmanecillas

FIGURA 34-f 4 (a) Voltajc dc CA a rravós dc un rcsistor.ft) Sc intcrcalaun rcctificadordc mcdia onda. (c) Sc intcrca.la rul rcctificadordc onda colnpleta,

:-'l relojpor la trayectoriacabd,endirecciónde lasfleclrasdel rectificado¡.El voltaie espositivo.Cuandola fuerzaelectromotrizproducevoltajenegativo,la_corrietite ' -¿, :csitiva pasa en sentido contrario al de las nrcnecillas del reloj, y la trayectoria de .: corrientees dabc. En estecasotambién, el voltaje vn6espositiv'o.Nót"r" que ahora :l vab, es positivo para todos los medios ciclos,y el voltaje nns es rnucho 'oltaje, :na)'orqueparael rectificadorde media onda.El empleodef /¡ros,que describiremos : continuación, permiteaplanarlos picosde voltaje,produciendouna salidade r oltaje r:is constatlte Filtros un filtro es un dispositivo que toma una señal de entradaen Llnaparte de urr ;iicuito, que puedeser una rnezclade cA y cD, y sólo pasala seña.lde CA o la de . CD a otrapartedistintadel circuito.Nuestradescripciónde las¡eactancias capacitiva : inductivaindica qüe un capacitoro un inductor prredenfuncionar como filtros. learrrosla figura 34-15, en la cual, la corrientelqrre entra es una mezcla de cD y '^^1 Pn¡

eJ r ¡ ¡ ¡ y ¡ v ,

-i -*^l ^

I

I : Io * 1 1 5 s ¡((rl )

I

;

Entrada

Entrada

I i,

lI

rF

I ) a s al a

Entrada

c{ c{

s1

I

s u1 ¡ ¿ Pa sala CD

Salida Pasala

ct) .

I

(b )

( c)

(d)

FIGURA 34-15 l¡s filt¡os dc CA y CD so forman con capacitorcso inductorcs.Con r¡n capacitor: (a) la corriente altem¿ pas¿) llcga hastala salida. (b) La corriente di¡ec',¡ pasay llega hastala salida. Con rur ürdtl:i.'r (c) la corricntc dirccta pasay IIcg;rl',asl: i: salida.(d) La corricntoaltcnu pasa;-,.as:: .: salida, pcro no la corriontc dkc€il.

looo C.apítulo 34 (irrlcnte

eltcrner

En este caso,I9 e /¡ son constantes.Una corriente constanteno puede pasar a tra\'¿-r de un capacitor,mientms que la irnpedanciade l¡ll cf,pacitorbaja a cero si or se hace grande.Asf, para el capacitor de la figuta 34- l5a, sólo pasala parte de la CA al ot¡c lado. Para el capacitor de la figura 34-15b, la CA pasa a través del capacitor y llega a tiena,'y la CD pasa po¡ el lado de la salida del circuito. Un inducto¡ trabaja exactamenteal revés:la CD pasasin impedancia(X, - 0 cuando co* 0, y ar=0que coffespondea CD), mientrasque la itnpedanciaes grandeparauna CA con ol grande. Asf, para el inductor de la figura 34-15c, la CD pasahacia la salida; para el inductor de la figura 34-15d,la CA es la que pasa.

o o o o o o a O

t

o EJEMPL o 3 4 - 6 Setieneel circuitode la figura34-l6,enel cualC * 1.0 pF, R - 0.20O, I/0- 0.10Y y Vr: 0.25V. ¿Cuálesel valorde arpatael cualla amplituddevoltajea travésdel resistores50% del valordel voltajemáximodel generador?

(r + Vr scn(ol)

produceunamezclade CD y CA. Pódemosaplicarel SoLUCION:El generador calculandoel resultadode aplicarla regladel circuito principiodesuperposición y después queco¡tesponde términos de CD y CA, por separado, sulnarlas a los térrnino de CA, la corrienteen el circuitoes,segúnla cafdasde voltaje.Pa¡ael (34-39), ecuación _ ¡TAC -

FIGURA 34-16 Ejcmplo34-6.

lu, cos(cot- @) :

,t:=cos(cot -:! * I?," J(llotC)'

- rf).

La calda de voltaje a travésdel resistor,para la CA, es /c¡R, y, por consiguiente, tiene una amplitud

V,R

J(larc)2+ n2 El capacitor trabaja como filtro perfecto para el término constante en el voltaje de entrada,porque no puede pasarcomientecotrstante.Por consiguiente, no hay calda de voltaje a través del resistor,asociadacon el término en Ze. El valor máximo del voltaje de entradaes.Zo+ Iz1,y la relación de la amplitud del voltaje a través del resistot, al voltaje máximo de entrada,es

vLRl{Vqq'z-+Ñ V o+ V l Deseamosque este factot sea igual a un 50%. Lo hacemos0.50 y despejatnosa a: a) :

(t/o+ I/r)2(0.50)2 = 0.049MHz.

(0.20 ox1.0 quese ve, por ejemplc.ei l,a aplicaciónde un filtro al voltajerectificaclo, los picosy vallesen la curvade voltajeen funci¡r. la figura34,14b,emparejará detiempoRCdelfiltro esmuchomayorqueei pericc-' deltiempo.Si la constante del voltajerectificado,el voltajequeresultaseaproximatnuchotnása url vol:¿': losfi.:::s deCD (figura34-17).La figura34-18muestracómopuedenmodificar unaseñalqueseamezclade variasfrecuencias.

I

o o I

o O o o o o o o a/ o o o o o o o o o o o I o o o o o o I o o o o

o o o o o o o o o o a o o o o a o o o o o o o O o o o o o O o o a o o o o o o o a o o o o o

1001 AIgm

aplleclons

,t)

.o-: o

th\

,

FIGIIRA M-17 (a) Un circuilo RC trabajacomo filtro pnio ,rn rolrij" dc CA rcclificado. Esc filtm pucde producir un voltaje quc casi sea dc CD. (b) La dismiriuciói¡ lcntá dc los scgincútos db volraió óasi cb¡rstarric cslligobcrrurda¡nr la constantcdo ticrnl)odcl circr¡i(oRC.

A^ Igualación dc impcdancia otro aspectode la cA, de gran importanciapráótica,se relacionacon la igüalacíón de int¡rctfancin,que indica, colno el¡ nr¡estradescripciónde los filtros',la iclación ctrtredistintnspsrtesdc urr circuito. La figura 34-l9a mucstraestecaso,en el {uc deten¡inadacombinaciótrde eiementosde circuito fonna el circuito 1, conectaclo en los puntos a'y b al circuito 2. Los dos circuitos tienen impedahciasZt y Zt, respectivamente.No rÍos importa, en este caso, el ori-qende ias corrientes en esos circuitos,siempre que podamos entrega¡potenciadel circuito I al circuito 2. por cotlsiguiente,suponemosque el origen de esascorrientesestádentro del circuito 1, y lo descomponemoscomo en Ia figura 34-19b.El asuntoprincipal es que, si Z, es fija, ¿cuálesson los requisitos que debe llenar 22 para que la potencia entregadaal ci¡cuito2 seamáxima?Si, por ejemplo,un amplificadorestereofónico se conectacon una bocina,¿cuáldebe ser la impedanciade la bocina para que se le puedaentrega¡ l a pot enc iam áx im a ? La respuestase encuentra calculando la potencia promedio (P), entregada al circuito 2; segúnla ecuación(34-48) es ^¿2mR2. I.a corrienteen el circuito de la figura 3 4 - 19bes t t 'fms

@rms

Filt¡o

Entrada

Salids

v v/--t",ronn.r* DaJas

*

+'t'F

n",;,:l*"

*r

,/\

.,/

\.J

/

snrr¡miqr'"

Filtro nasa DBñOAS

FIGURA 34-lE (a) Filtro pasabajas; pcrmitc quo pasonlas frccuenciasbajas do u¡ra scñal dc cntrada. (b) Filt¡o pasa altas; ¡rcnnitc cl paso dc altas frccuonciasdo la scrul. (c) Filtro pasabarxlas,<1ucpcrmito cl paso dc frccucncias cnt¡c dctcrminados. limitcs.

r1J-S?l

:7 2tol¡¡

En ella, d,., es el valor tms del generador, cuyovoltaje,o amplitudmáximaes Izs.Si el generadorproduceuna fem senoidalde la forma de la ecuación(34-l), entonces, la ecuación(34-46)indicaque E,^"- Vd,[1.La impedanciatotal,Za¡; se calculasuÍlando,porsepatado, lasreactancias capacitivas, inductivasy resistencias, fesultadoqueesconsecuencia denuest¡oconocitnientó dela maneraenquesesuman , Impedancia Z, lascombinaciones en seriede C, Ly R (véaseproblema32):

ImpcdarrciaZ,

(a)

: Jlxr, ¡ xc, - (X,.,* X,,r)f,+ (R1+ R2)2. Ztotut

r14-51\

Así,la potenciapromedioentregada al circuito2 es

E?^,R,

E?^"R,

(34-54) lX r, * X 6, - (X r, + X ,.,)) + (Rr + R2) Esclaroquehay un valor de los parámettosde Z2 g¡ue maximizaesapotencia:si 22 esdemasiado pequeña,el factorR2tambiénseú pequeñoy (P) serápequeña; si 22es demasiado gmnde,predominaráen el denominador de la ecuación(34-54),y (P) de (b) nuevoserápequeña.En un valor intermediode los parámetros de 22,se tendráun ,FIGURA 34-19 (a) Diagrama clcct¡ico valormáximo de'(P). En estecasointervienendosparár'netros'independientes: la para dcmostrar la igualación de impcd¿,'ria. '(b) resistencia, R2,y la reactancia total del circuito2, Xcz-. X¿2.Formalmente,.calcula- El circuito I dc la partc (a) sc dcscomponc cn una fircntc dc fcn¡ d ¡ ura a (P) con tespecfoa impcdnncia,2,. Sc su¡nnc quc cl ci¡ar¡i.o mosel valor de los padmetrosquemaximicena (P):derivando : esascantidades e igualandoa cero.En este'ejercicio, la potenciaqsr,náxima'gr¡ando. sólo ticnc una impcdarrcia,.Q. 1p\

Z?"o,

R¡ = Rr y Xcr- Xt,= - (Xc,'Xt).

100 2 Cepitulo }{

Crr¡cntar

(i.i ii

eltcrnet

Lrr impedrnci¡s de dos p¡rles de un circuito ¡c deben iguelar cu¡ndo ¡e dcre r rntr.e3ar potenci¡ mixim¡ de un¡ p¡rle de un clrculto s otr¡.

La segundacondición, que el ténnino de reactanciaen Z 2 sea igual, pero opuesto,al de Z¡, es cohsecuenciadel anterior,porquequiere decit que los términos de reactancia en el denominadorde la ecuación(34-54)se ant¡lan,maximizandoasfa (P) seacual fuete el valor de las tesistencias.La primera condición, que las resistenciassean iguales,es quizá menosintuitiva; sin embargo,es consecuenciadirectadel requisito que la derivada de (P) sea cero (véase problema 54). Cuando se cutnplen las condicionesde la ecuación (34-55), se dice que las impedanciasestánigualadas. La igualación de impedancia es deseablecuando se quiere entregar poterrcia máxima a una partede un circuito.Vale la penahacernotarque no siempredesealnos entregarpotenciamáxima. Por ejemplo, un voltímetro debe teneruna desigualdadde impedancia,porque es deseableque tome lan poca corriente como seafactible. El temadel anlálisisde circuitosestátnuy clesarrollado. No hemospodido hacer más que describir susbases,y en estecapÍtulo, el lector no habráaprendidoa anegla¡ y mucho menos a diseñar,televisoreso computadoras.Pero los principios que hemos presehtadose aplican a todos los circuitos eléctricos.

RE S UME N La presencia de fuentesde fuerzaelectromotriz de CA en circuitoscon resistores, r.¡na variedad y capacitores, introduce de posibilidades inductores nr¡evas. Los transde formadoresnospermitenvariarla amplitudde voltajede fuerzaselectrornotrices y los núrnerosde l'ueltasen los CA. La relaciónentte las fue¡zaselect¡omotrices primarioy secundario de un transformador devanados es 2 _:-

.)

t\ 2

Crt

l Yt

(34-8)

quepasanpor losdevanados de la energfaimplicaquelascorrientes La conservación tenganunarelacióninversa: tespectivos /l t2

(3 4 -r0 ) lY I

Un circuito RLC en serie con una fuente de fuerza electromotriz de CA, de frecuencia ol, se comporta como un oscilado¡ armónico amortiguado, impulsadoen fo¡ma armónica por una fuerza variable. l-as solucionesde las corrientes,voltajesy cafgasen esoscircuitos se puedendeterminarcon las solucionesque ya se dedujeron para el oscilador armónico impulsado. Para esoscircuitos, la impedancia,Z, es una entidad que desempeñael papel de una resistencia.La impedancia dependede la frecuencia:

= { x r-y ¡+ ili,

/:

(34--36)

en la cual,X6 es la reactanciacapacitivay X¿lareactarrcia inductiva.La coriente del circuito impulsado es, entonces,

(34* 3e) enla cual,Z¡ esla amplituddela fi¡er¿aelectromotriz impulsoray o essufrecuencia, La fase,f, es l l 'I1 tan @ - R\,c

-,'),

( 14 -1¿\

t t

o o a o a o O o e a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o ol ol ol ol ol .l

:l 3l

o o o o o o o o o o o o o O

o o o o o o o o a O o o o o o o o o o o o o o o o o t o a o o o

Estoscircuitos presentan comportamiento de resonanciacuando Ia frecuencia de impulsiónse acercaa la frecuencianatural, tos={W.Este tipo de comportamiento seve con más claridad en la potencia disipadaen'circuitos'RZC impulsadcjs.EI promediode la potenciadisipadaóon respectoal tiempo bs

(P) : if-.R : I!,,,.2cosg,

1003. -fP'ñe

(34-st)

enla cual, 1,,,o- Vsl,/T Z es la cóniénte nns. Cerca de la resonancia,Ia potencia disipada es rrráxima,y el anchodel lnáximo de Ia potenciápt'omecli'o, en función de laf¡ecuenciade irnpulsión, tiéne, ün rnédio máXimo de '

R

At c o= ¡ i

(34*4e)

¡esultado que es válido siemprey cuandola resistenciano seadenlasiadograrrde. Si agegamos diodos,que son dispositivosque permitenel pasode corrienteen ur solosentido,a nuestrosurtidode elementosde circiuito,podemosconstruiruna diversiüd de dispositivos electrónicos, incluyendo rectificadores, que producen una fuerza electro¡notriz positiva,o negativa,a partir de una fuentede CA; o bien,filfos, que toman unaseñalmezcladade CA o CD, y dejan pasar,predorninanternente, algunade las dos pates,la constarrte(CD), o la variable (CA) de la señai.la igualación de impedanciase el:e:: :. t"r.'*:¡icrr= c{rco ¡¡e ixf:.= ¡=:e, r:re:'=-- -!- = r'--if,-r :E=s jre lrS:¿ -=:::iz de-x, cj::rt¡. )a;? qJ: ! >:-:'¿. -'e-

PREGI-INTAS 1. ¿Porqué es tan importanteel materialque se usa en los núcleosde los transformadores? 2.. ¿Cuáles sonalgunas aplicaciones de delostransformadores subiday de bajada? 3. SinrR,la amplituddecorrienteenr¡nci¡cuitoRIC enserie,sería infinitacuandola frecuencia impulsorá,c¿,fuer¿iguala c¿, peroestaposibilidadnuncapuedesuceder, porquesiempreha¡' algo de resistenciaen los circiutosreales.¿Cómoreconcilia ustedestaafirmaciónconla existencia desuperconductores? 4. Paracalcularla corriente (34-47)],elevamos rms [ecuación al cuadradola corriente,calculamos el promedioconrespecto al tiempo,y a continuación sacamos rafzcuadrada. ¿Por quésimplemente no calculamosel promediode la cor¡iente al tiempo?' respecto

(figura34-20).¿Cuálde las siguientesafirmaciones es co. rrecta?El foco (a) no encenderá, porqueel capacitorestá conecladoen seriecon él; @) se encenderá muchocuando la frecuencia seagrande;(c) tendráel mismobrillo entodas lasfrecuencias. 7. Se conectaun generador pero de CA, de voltajeconstante, f¡ecuenciavariable;un capacitor,un foco y un resistor (figura34-21).¿Cuálde lassiguientes afirmaciones escierta?El foco(a)no encendrá, porqueel capacitorpone encorto al foco; (b) brillarrímás cuandola frecuenciaseabaja;(c) brillará más cuandola frecuenciasea alta: (d) tendráel mis¡nobrillo en todaslasfrecue¡lcias.

/

5. En el ejemplo34-6,dijimos que la fuerzaelectromotriide entrada erauna¡nezclade CD y CA, y después tratamos lós y sumamoslos dos. efectosde la CA y CD por separado, ¿Porquésejustificaesteprocedimiento?

u Foco

6. Seconectanen serieun capacitory un foco,con un generaperode frecuenciavariable dor de CA de voltajeconstante,

/

7 Foco

'

FIGURA 34-20 Prcsur¡taó

FICIIRA 34-21 Prcgunta 7.

8, Un electrodoméstico o un ci¡cuitoen la casatienendeterminadacapacidad de coniente.¿Cuálesla razón,y por quélas conientesno deben¡ebasaresemáximo?

;Por quépodrfaneccsitarun contactode 22OY en lugarde '¿node 120V?

ts- Dc

ci¡cuitostienenimpedanciaZ¡ y Zr, respectivamente. enserieentresf, ¿porquéla impedancia Cuandoseconectan no sc calculaconZ - Z, + \? X., es inñnitacuandoel voltajede enlradaes It. L: reactancia, dc CD. ¿Quieredecirestoquela impedanciano estádeftnida para, stecaso? LX Si un cal'acitortieneimpedanciagrandeparaCD, y un inductor tiene impedanciagrandepara CA, ¿porqué un circr¡itoLC en seriepuedepermitir el pasode conientealguna?

y unaimpedancia de75 O. ¿Por ciaquesepuededespreciar, qué es importanteemplearcablesde a¡rtenacon la mismr impedancia? quetrabajanen 120V, peroque 14. Algunoselectrodomésticos lomanmásde 20 A de corriente,tienencontactosdistintos que los,normrlespara120V. ¿Porquó sondiferentesesos contactos? si no fi¡erandiferentes? ¿Quésucederfa de TV tienentransformador? 15. ¿Todoslos receptores ¿Cómo se podrfanusarlos transfonnadores en un receptorde TV?

t6. Si la electricidadse mandaen lfneasde transmisiónentre 200 y 500 kV, ¿habráque generarla electricidada esos voltajes?¿Porquésl o por quéno?

PROBLEMAS 311

Transformadorcs

L rJ) Supongaque la energla eléctrica cuesta 15 centavc,/kWh. Se tiene una lfnea de transmisiónque ent¡ega1 de l0 O. Calculelas pérdidas If\\'y tieneuna resistencia anualesdebidasa la lfnea de transmisión,si la electricidad V, y (b) 440 V. sc conducea (a) 50O,00O y timbres, l- (I) lvfuchosaparatoseléctricos,como ca¡nPanas para trabajancon 12V CA. Seusaun pequeñotrar¡sformador producir este voltaje, que tiene un devanadoprimario de 120Oweltas, y toma 120 V CA a la entrada.¿Cuántas rr¡eltasdebetenerel devanadosecundario? de bajadase 3. (I) El devanadoprimariode un transformador conectaa la corrientedoméstica,ll0 V a ó0 Hz; Si el entregaunacorrientecon ampliludde devalad,.secundario 5.0 .¡ a 2 V, ¿cuáles la corrienteque toma el devanado prim: r-icI No tengaen cuentalasperdidasen el transformador, .1. 0) Un transformadorcuyo voltaje de salidase puedehacer variar,s¿empleaparaobtenerconientealtemade unafuente de 120V, 10 A. El devanadosecundarioes de 1200vuelt¡s dealambre.El transformadorvariabletrabajaconectando distintos números de weltas de alambre en el devanado sccundario,y con ello sepuederegularel voltajesecundario. C,¡andotodaslas 1200weltas forman el devanadosecundario,el voltajede salidatiene120V dc amplitud'¿Cuántas vreltas de alambredebenemplearseparaobtenervoltajesde (a) a5 V? (b) 12 V? (c) ¿Curintacoriente pasaráparacada voltaje? 100 \ icltns

rc^ 1000vuelt¡s FIG{JRA 3422 Pmblcrna5.

trü0+

5. (il) L¿ figura (34-22) muestraun tra¡rsformadorideal con I l0 V en el devanadoprimario,quesuministraconientea un resistorde resistencia R. El resistordisipa88 W. ¿Cuál esla corrienteen el devanadoprimario? 6. (II) Un trarsformadorde bajadatiene una arelaciónde vueltas(Nr/Nr) igual a 5:1. (a) Si se conectael devanado primariocon un generadorde voltaje oscilantede220Y, (b) Supo¿quévoltajeapareceen el devanadosecundario? niendoqueno haypérdidasde potenciaenel transformador, ¿quécorrientetendrfaque pasarpor el devanadoprimario para que un resistorde 40O conectadocon el devanado tometodala potenciadel circuito?(c) ¿Cuáles secundario la resistenciaque, conectadacon el generadorde 220 Y, tomala mismapotenciatotal? de la figura34-23tienedosdevanados 7. (II) El transformador unosuminist¡a220Y,y el otro I I V. El voltaje secundarios; de entradaen el devanadoprirnarioes I l0 V. Si el devanado tieneel secundariode 220 V tiene 1000weltas, ¿cuántas secundario de I I V? devanado

¡ 1!. !,

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FIGURA3{-23 koblcrna7. 8. (II) Supongaque un t¡ansformadorconsisteen dos devanade alambresobreel mismonúcleo.El matedosseparados magnéticap. ¿Cómo rial de éstetieneuna permeabilidad en losdos dependela relaciónde lasfuerzaselectromotrices devanados de u? 34-2 Elementosindividualesde circuitosde CA conr¡rafuentedepoder 9. (I) Un resistorde l20C)estáconectado queproduceun voltajede forma lzosen(arr),y f = al2n = (lJ Hz, Vo- I ó3 V. ¿Cuálesla corrientequepasaporel resistor?

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o o o o o o o o o o o a o a o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o o a a o a o o

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o o o I o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

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o o o o o o a o o O o o O

a

o o o

10. (I) Una corrientealtema de l0 A, valor máximo, en un solenoidede aútoinductancia | = 250mH, ii¡duceünafueiza electromotriz de l0 V, valormáximo.¿Cuálésla frecuencia angularde la corrientealtema? f 1. (I) Una fuentede poderde CA, con 60 FIzde fiecuencia,se conectaa un capacitordeC = 40 ¡.rF.La corrientéinstantánea máximaquepasapor el circuitoes2.2óA. ¿Cuáieisel voltajc nliximo? 12. (I) Una corrientepasapor un ci¡cuito quti sóló tiene un capacitory una fuentede poderde CA; tiene la fomra 1,, c os f 2r ft - (1 1 6 )),e n l á c u a lIo * 2 .4 5 A y f = 180H z. S i el voltajemáximoque suministrael generador es 95 V, ¿cuál esla capacitancia? 13. (I) Una fuentede poderde CA quetrabajaa unafrecuencia de 50 Hz seconectaconun inductor.El voltajemáximode la fue¡rtees40 V, y la corriente máximaes 8.0A. ¿Cuáles la reactancia inductiva?¡.Cuántovale la inductancia del c ir c uit o? 14. (Ii) Por un circuitopasaunacorriente^I= .losen[atr+ (r/.1)], siendo/o = 4.8A y c':=2n(30H2).(a) ¿Enquémomentopasa la cor¡iente máxima?(b) Si la cor¡iente pasaporu¡a inductanciade 20 H, ¿cuáles el voltajemáximoen el inductor? ¿Enquélnomentossetieneesevoltajemáxinto? 15. (II) El pronrediodel cuadradodel voltaje,en un circuiro inductivo(circuitosin capacitores ni resistores) impulsado por unafuerzaelectronlotriz'de conientealternaes(30 V)r; el promediodel cuadradode la corrientees(2A)2.¿Cuáles la ¡eactancia inductiva? Si la conductancia es25 mH, ¿cuál es la frecuenciade la corrientealterna?

34-3 Circuitosde CA.conKLC en serie 16. (I) Se tieneun circuitode radio con inductanciafija de 50 (variasintonizable ¡lH. ¿Cuálesel valor de la capacitancia ble) parala recepciónde unaondade radiode 90 m? 17. (I) ¿Cuáles sonlos lfmitesdeun capacitorvariablequeseva a combinarcon unabobinade 0.15mH parapoderformar un circuitosintonizado quecubralosllmitesde lasfrecuenciasde ondalarga,de 540 kllz a l6O0kHz? 18. (I) Un generador de CA, con l0 V de amplitudde voltajey 4000Hz de frecuencia,sefabricaparaimpulsarun circuito quedebeserresorlalrte. La resistencia delcircuitoes0.2 O, y la inductancia es I mH. ¿Cuáldebeser el valor de la capacitancia? 19. (I) Un ci¡cuitoRIC en serie,de.60Hz de f¡ecuencia,tiene unacorrientemáximade 1O0mA. ¿Cuálesla cargamáxima en el capacitor? Si la impedancia es40 C),¿cuálesla.fuerza electromotriz? 20. 0I) Un ci¡cuitoRLCenserietienelossiguientes parámetros: R = 10.0O, L = 10.0mll y C = 20.A¡ñ. Calculela reactancia capacitiva, pataIassireactancia inductivae impedancia, guientes (a)ó0 Hz, (b) 300Hz y (c) 101000I{2. frecuencias: 21. (II) Un ci¡cuitoRIC en serieestáformadopor unafuentede fue¡zaelectromotriz de ó0 FIzAC conVo= l20Y;R = 200Q, ¿ = 150mH y C = 2 mF. CalculeXc, XL,Z,Q,Á,,ip, e /*,.

)', (II) Calculelos voltajesa travésdel capacitor y el inductor

)'t,

delcircuitodeCA delproblema,2lcuandor= 3 s,si la fuez¿ electromotrizse conectacuandot = 0 s. En esemomento, todoslos elementos del ci¡cuitono tienencargani flujo.de corriente. (II) El voltajemáximo en el circuitode la figura 34_24es 110V, y la'frecuencia de oscilaciónes 60 Hz. Calculela corrientc nráxirna y I:rscafclas'máximas dcpotcncial a través clelresistor, capacitor c inductor.

6(X) o

0.8 l.l

2 ttl' FIcItR^ 34-24ltoblcma23. ,r

(ll) ¿Cuálesla frecue¡rci4 angularresonante, @or delcircuito del problema23?Supongaqueel generador devoltajetiene unafrecuenciaangularvariable,or.¿Paraquévalbresde ol tendrála conientela mitaddelvalorquetieneenresonanéia? ?i (ll) Un circuito de CA constade un capacitorde placas paralelasy un solenoidelargo y cilfirdrico.Supongaque todaslasdimensionesdel aparato,incluyendolos diámetros ;' longitudesde alambre,se reducenen un factor de dos (nóteseque la densidadde lueltas se duplica). ¿Cómo cambiala frecuenciade resonanciadel circuito?Suponga quehay cambibsen la resisteniía, 26. (ll) Demucstreque ¡a ecuac.ión (34-32)satisface a Ia ecuecion (34-21,, por.sustitucióndirecta.Detefminela carga máxima,Qn,;r, enel capacitor, entérminosdela impedancia, )1 (II) Hagaun esquerna de la conientey el voltajeparalos sigüientes circuitosdeCA en,serie: (a)un circuitopuramente capacitivo,.(b) un circuitopuramenteinductivo,(c) un circuitoRL, (d) un circuitoRC,y (e) un circuitoZC. 2Í1.(II) Uñ resistbrtoma 8 A cuandose conectaa unafupntede 220 Y, ó0 Hz. ¿Dequé capacitancia debeserun capacitor paraque,conectado en serieconel resistor,bajela corriente a 6 A? ¿Cuáles sonlascaldasdevoltajea travésdelcapacitor y del resistor?

29. (ll) Un capacitordc 16 pF seconcctaenserieconunabobina cuya¡esistencia es30 Q, y cuyainductancia sepuedevanar. El circuitose conectacon un generadorde 12 V y 60 Hz. ¿Cudles la diferenciade potenciala travésde la combinacióninducto¡-resistor, cuandola frecuencia esla deresonanci a? quelosvoltajesmáximosa travésdelres:s:::. 30. (II) Suponga capacitore inductor,de u¡r circuitoRIC impulsacio pci 'j:l

gene¡adorde CA con frecuencia/, son idénticos.Si el R. determinelos valoresde C resistortieneuna resistcncia ¡' L en términosde fi y /. (1,) Un circuitoRLC en serietieneun capacitorde 0.10pF y un resistorde 75 O. Si el circuitotieneresonancia a una Si la resisfrccuenciade 1200Hz, ¿cuáles Ia inductancia? terrciaaumental0%, ¿enquó porcentajedebecambiarel i¡i.luctorpara mantenerla frecuenciade resonanciaen el mismovalor? (il) Setieneun circuitoRLC en el cualse conectanen serie doe resistores,Rr I &, dos capacitores,Ct y Cr, y dos total Lt y Lz. Dcmuestreque la impedancia induclores, tienela forma ¡esultante

t

z , ^ ,,,=, ¡.),,+i i :

tx,.,+ Í"¡'Ttx Fntt

conunafunciónarmónica esun vectorasociado '11)Unfasor f.r¡ - C sen(ot+ f); cualquierfunciónannónicase puedc enestaforma.El fasorestáenel planory,comienza expresar en el origeny gira; por definición,su longitudes C, y su + f), comoen la figura34-25.(a) es C sen(cof componentey Traceel fasorparala funciónD cos(arf+ f) en la gráficaque :;eneel fasorparala funciónC sen(orl+ p¡. ¿Cuálfasortiene la fase más avanzada,esto es, tiene una direcciónque ;orrespondea un ángulomás grande,medidocon la direcclón +¡? (b) ¿Cuáles la diferenciade fase entrelos dos íasores,en l;r gráficaque dibujóparala parte(a)?Traceel 'unción fasorparala /(t) ' .4 cos(o:f)+ I sen(a¡t)'

*

Rolación fasor \cl

Cs ¡nr(r ) l+ Q )

Es-.-l¡ngitud,

c

HCtJltA 34-25 I'roblcm¡33. I

(

.il , L ¡u corriente altema tiene la forma I(t) - Iocos(olt; El voltaje, en utr circuito de una espira por el que pasa :s; ccrriente,tiene la forma general V(t)' Vosen(@t),siendo :'- ) o io6 que se describen en el texto. Haga un diagrama ::sc'¡al r'r'easeproblemaS3)paraV(t) e I(t) para un circuilo (a) sólo un resistor; (b) sólo un capacitor; (c) : j. ccr'":,:ir¡:a ;:i¡ u¡ i dr :tor.

P6¡¿nr¡oen circuitosde CA

$l

I Cualesla potenciapromediodisipadaen el resistordel :;.i:!. delproblema 9?

ú. I U- fuentede CA, con 240 Hz de frecuencia,.disipa ::,e;-a:acon unarapidezde 80 W en un resistorde 40 O. Si Lr- r-l

es2.0A cuandof = 0, ¿cuánto valecuandohan la cor¡iente transcunido0.05s? 37. (l) Se tiene un voltaje dc CA de la fonna Zn sen(rol), C. Calculela conecladoa un capacilorde capacitancia por la fuentede fuerza potenciainstantánea, 14,entregada y deternrine la potenciapromediodisipadaen eleclromotriz, el circuito. cléctricoportátil,quetrabajaconun volta38. (l) Un calentador je de CA de I l5 V deamplilud,tieneunacapacidad de2 kW (a) ¿Cuánto valela resistencia del calentador? de potencia. (b) Detcrminela conienterms. (c) Determinela coniente máxilna. sonlos factores de potcnciade (a) los circuitos 39. (l) ¿Cuáles (b) loscircr¡itos puramentc purarnente capacitivos, inductivos,y (c) loscircuitospuramenle ¡esis'ivos? qr¡e,en promedio,no r.edisipapotenciaen 40. (II) Demuestre inductivo(circuitoqueno tienecapaun circuitopuramente citoresni rcsistorcs). son los factoresde potcnciapara(a) circuitos 41. (II) ¿Cuáles R¿,(b) circuitosRC,y (c) circuitosLC? 42. (ll) Una fuentede fuerzaelecttomotrizde corrientealtema, que trabajaa una frecuenciade 60 Hz, produceun voltaje rmsde 115V. Calculela amplitudde voltaje.La fuentede poderse conectaen seriecon una impedanciaZ - 25 Q. Calculela corrienterms y la amplitudde corriente. 43. (ll) Cuandouna bobinatoma200 W de un sistemade I/,,* = 110V, 60 Hz, el factorde potenciaes 0.6. Si la misma bobina,con un capacitorconectadoen serie,debetomarla deun sistema deV,*= 220V, ó0 Hz, ¿cuál mismapotencia Si el objetivofueramantenerel debeser la capacitancia? mismo factor de potencia,y no la misma potenciarms, ¿cómocambiarfasu respuesta? 44. (II) Un motor eléctricoque consune5 kW de potencia,a 220y, con un factorde potenciade 0.80,se va a hacer trabajaren el extremode unalfneade transmisiónde poten' total dc 2,5 O. ¿Quévolttje y cia, con t¡na resistencia potenciadebensuministrarse en el inicio de la llneade transmisión? de CA suministraenergfaa un 45. (II) Una llneade transmisión aparatocuyofactorde potenciaes 0.8,a unatasa(P) - 12 kW, y un voltajede 480 V. Si la lfneade transmisióntiene 2.0 O de resistencia, ¿cuántaenerglase pierdeen calentamientode Jouleen la lfneade transmisión? de220V tienecapacidad decorrienteigual 46. (II) Un generador este a 80 A. ¿Cuálesla potenciamáximaquepuedeentregar generadora una impedanciade factor de potenciaiguala 0.55?¿Y si el factorde potenciadebeser0.95? 47. (ll) Un resistorde 80 O y un capacitorde 40 pF seconectan en se¡iecon unafuentede poderde 220 V , ó0 Hz. Calcule la corriente,potenciay factorde potencia,¿Cómocambian los númeroscuandose conectauna inductanciade 0.40H en serieen el circuito? 48. (II) lá conienteen lascasas,quetieneun voltajenr¡sde I 10 V y una frecuenciade ó0 Hz, hacetrabajarun resistorde variable,quese ajustaa R = 50 O, un capacitor resistencia en de C = 20 pF fija, y a un inductorvariable,conectados

a o t o O

I

o o o o o o o o O o o o o o o a o o O

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O

o o o o o o a a o o o o o I o

I I

I se:ie. (a) ¿Cuál es la potencia que absorbeei circuito, si L = i0 mll? (b) ¿Cuálserfala potenciaque toma si la resistencia se redujeraa la mitad, sin cambiar el ajustede.lainductancia? (c) ¿En qué factor habrfa que cambia¡ la inductancia para icmar la misma potencia,con el nuevo valor de R? (d) ¿Cuál es la máxima potencia que se toma en las partes (b) y (cX

) ) ) )

R

I

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.19. (II) Pa¡aun circuito RLC en serie,impulsado,demuestreque

) )

R Z

)

FIGURA 3{-26 Problcr¡r.r 56.

56. (ll)

) ) ) ) )

D

I

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Elfactor de calidad, ofactor Q,que es Q gn la ralz cuadrada, se define como Q . o¡oL/R,En este caso, Q no es la carga eléctrica.Este factor lo usan con'frecüencialos ingenieros electricistaspara representarla agudezade un circuito resonante.Esta ecuaciónmuestraIa carabterfstica re$onantede la disipación de potencia cuando o - oo. Para grandes valores de Q, la resonanciaes muy aguda.Para pequeños valores, es amplia. -<0. (ll) Parael problema 49, hagauna gráftcade RlZpara valores de rolroodesde0.4 hasla2.5, y va.loresde Q igunl a l, l0 y l0O. Si disponede ellos, use un progtarna'decomputaclora

y elaborelasgráficas.

I f D

que 5l . (lI) Paraun circuitoRLCimpulsado, enserie,dernucstre Q (véaseproblema49) se relacionacon Ao mediantela ecuación a(t)

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I I ¡

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Q ot - Q '

que,en lugardeapegarse a la ley deOhm,una 52. (lil) Suponga es proporcionala la frecuencia,lo cual tro es resistencia unahipótesis muy fuerade la realidadcuandosetienenrainfluenPorlo tanto,seaR = (c,/a¡J&.¿Qué diofrecuencias. paraAar?¿Sigue el centrado ciatieneestosobrela ecuación p i c oena- ao?

EI vcltaje impulsor del circuito fiLC de la figura 34-2ó es /= I/ocos(art).Calcule las corricntesen los t¡esele¡nentos. ¿Hay algunafrecuencia resonante?fSugerencia:escribalas ecuacionesdel circuito,y sustituyala solucióntentativa.f /ocos(arr+ 9¡1. (II) Un diodo, a tr¡vés del cual sólo puedepasarla corriente cu¡ndo ia fuerz¡ electromotrizes positiva, trabaja como filtro para un de CA dc fiecuenciaangularo. La -qenerador co¡¡ientetieneuna magnitudmáxima /0.Determinesu valor promedio,,vsu valor mrs.

y un rectifica58. (lll) Diseñer¡n circuito con un transformaclor clor d¿ o:rcir cor)rplr'txque tontc 20,000 V CA, 60 Hz, y prociuzcar¡na buen:raproxinracióna 400 V CD. Trace uu diagranrade ese circuito, y especifiquelos parámetrosdel I ransfo¡r^.ra doi.

59. (III) Un circuito RC de filtro, conro el de la figura 34-16,se llanta,ñliro pasa alros cuando se toma el'voltaje de salida en las te¡nrinalesdel resistor.Haga una gráfica de la ¡elación V-.lV,,,,comofunción de la frecuencia.¿Porqué esecircuito bloqueaias serialesde baja frecuencia,pero pennitepasa¡a l a sd e a l t af r e c u e n c i a ?

60. (lll)

Un circriitoRC de filtro, como el de la figura 34-ló, se liunt f;liro pasa bajas cua¡rdosc mide la salida de voltáje en las ternrinalesdel capacitor. Haga una gráfica de la rel¡c ión I/*r/I/"n,como función de la frecuencia.¿Porqué ese circuito bloquealasseñalesde altafrecuencia,pero permite el pasode las de baja frecuencia?

6t. (ill) Los receptoresde TV necesitanuna CD de alto voltaje 31-5 rllgunasaplicaciones en í-r. ,l l) S e lr eneel c ir c u i tod e l e j e mp l o3 4 -5 ,yq t¡ea p a rece ia figura 34-8.SeanC = I ¡rF,y R - 0.2 l), peroaltora queentratiendla fornra quela fuerzaelectromotriz sLrponga y queI/¡=0.25V. Calculeel pr:ranrcnte senoidalZ' sen(o.lr), para(a)/ = 10Hz, (b) / = pctenciala lravésdel capacitor .0r Hz, y (c)-f = 1 MHz. ¿Quétipo de filtro eséste? IIl Ll prirneracondiciónparaigualarinrpedanciaes que Ias ::s:slenciasseaniguales[ecuación(34-55)].Demueslreque :sto es cierto, partiendode la ecuación(34-54) para el caso :r ei que los ténninosde reactanciasotrigualesy opucstos. Deii',e, con respectoa Rr, la potenciaresultado,igualea ccro que con ello se obtiene la condició¡rde igual -. ::i',uesii'e .::.:. : , t ! ¡ d.

ll Se cc:.:ctandosbobinasen paralelocon un generador :: C.i ¡::. roliajemáximod,,yfrecuenciaf.La¡esisledcia ' - i " - . - - : je lr n ri m e rab o b i n as o nR , y L ,, y l a stl e l a r'!. ¿Cuáe q u eto maeste l s l a c o rri e n te ':_: - - . : : s *- : R. :- : : - . - : l l- : ál ess ufa c to rd ep o te n c i a ?

l bajaconiente.RemplaceeI inductorde la figura 34-27p<>r un resistorgrande.Demuest¡eque cste circuito "RC" con un¡ fuerzaelectronrotrizclcCA rectificadaes eficazparareducir l¡ r'ariaciónde CA ("fluctriaciones"),pero no para re
V.

Il Ó1. F-ICUR^34-27Protrlcrna

62. (III) Setieneel filtro LC de la figura34-27,siendola fue¡za electrornotrizlzosen(cot). Supongaque X. >>X6,o que r0>> que ar6.(a) Denrueslreqúe V*t = (XclX)Vo.(b) Demuestre pr:: el circuitodela figura34-27,porlogeneral, esefectivo de CA, perono los de CD Ce:: reducirlos cbmpoñentes fuerzaelectromotriz. 1 l,-l'-l

-

tv,sblentasGenerales ó:. 'tr) Setieneel circuitode la figura 34-28.Lafuerzaelcctronrot¡iztieneuna amplitudVo- 12 V, y una frecuenciade i0O0Hz; L - 20 mI{, Ct - 25 ttFy Ct- 45 pF.Calcule(a) (c) el la conientemáxima,(b) la frecuencia dc resonancia, !'oltajei¡stantdneomáximoa travésde cadacapacitor;(d) el r oltajeinstantáneo máximoa travésdel inductor.

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la corrientemáxima en cadatramo; (b) la frecuenciade resoruncia; (c) el voltaje instantáneomáximo a traves de cada capacitor; (d) el voltaje instantáneomáximo a travésdel indr¡ctor,

67. (II) Formule las dos ecuacionesque espccifican las cor¡ientes /, e /2 en las dos espirasdel circuito que se ve en la figura

34-3t.

E

Lspira I

Lspira 2

Inductancia mutr¡aM FIGURA 3l-31 Problcma 67.

FIGIIRA34-28Problcma 63.

68. fll) Se va a diseñarun circuito RLC en serie,para que tenga una f¡ecuencia de resonanciade 2.2 MHz, cuya curva dc polenciaen función de frecuencia,/, debe tener un ancho total de 1l@ Hz. Si el único capacitordisponibletiene50 p F d e c a p a c i t a n c i a¿, c u á l e sd e b e ns e r R y L ?

equiva6¡. .IJ) tjn arnplificadorcon 15,000O de impedancia

h_\.

;entese va a concctara una bocinade 8 Q medianteun t¡ansfonnador. ¿Cudldebeser la relaciónde weltas del uaruformador? la figura34-29,sepuedeconside,.II)L: impedancia,Zr,de nrr como una resistenciapura, Rr - 2 fl, mientrasque la en serie,R2 irnpedancia Z, se relacionacon una resistencia . i /- l 0 5 H z y V o - 4 O, yu na c apac it ancCia- 5 x 1 0 -8 FS . 50 v, ¿cuálesla ¡rotencia dislpadaen Z¡?

69. 0l) Un resistor con I - 2 O lleva una corriente desdeel enchufede la pared,un capacitorestaconectadoen paralclo con esteresislor.L: fuente de coniente tiene una amplitud de I 10 V v una frecuenci¡ de óO I{2, y la reactanciadel capacrtores E Q a estaf¡ecuencia.¿Cuáles la corrienteque s e l l e v a p o r i a c c r r , b i n a c i ó ne n p a r a l e l o ?

70. ( i l )

U n c a p a c i t c :d e l - r , u F ; 'u n r e i i . t o r d e r e s i s t e n c i R a, variable,se cciecial: e;r serie entre sl y con una fuentede V^ de 110 \', ó0 Hz. lia_sauna gráflcade la variacióndela coniente rms en función ie R, ¡ calcule el valor de R pua e l c u a l I a p o t e n c i ae n t l e g a d as e am á x i r n a ,

7t.

65. FIGURA34-29Problcrr¡a ffi. $ Setieneel circuitode la figura 34-30.Ia fuerzaelectroir.otriztieneuna amplitud Vo- 12 V, y una frecuenciade

(lI) Un circurroie C.{ suniilsira t;- - 110 V a 60 Hz a un resistor de 5 Q, un caiaciior de .10 ¡rF y un inductordc autoinductanciava;i;'rle, enlre 5 mH :'200 mH; todoseilos en serie.El ca¡rc:lcr ie:e ¡eslsli;un voitajemáximo de 800 V. (a) ¿Cuáles la cc;:leiie i:láxl-maposible que no dañeel capacitor?(b) ¿A qué r'alor puedeaunlentarcon seguridad l a a u l o i n d u c t a n cai?

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flGURA 34-30 Problemaóó.

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35

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lo lo lo lo

Estosplatos, parte del Conjunto Muy Grande (Very Large Army) dc telescopios cn Nucyo México, reuncn ondos dc radio de galaxias lejanas. La luz lal ondas dc rddio, ¡'otrasfornas de radiación, son conaccuenciadc [as ccuacioncsfundanen¡álesdel electromagneÍismo:Ios ccua ci o ¡t c'sdc M tÁi,c It.

ECUACIONES DE MAXWELL Y ONDAS ELECTROMAGNETICAS L^by de Faradayindicaquela electricidad y el magnetismo tienenunarelación por partede James fundamental, La introducciónde la corrientede desplazamiento, ClerkMaxwell,ampllaestarelacióny conduce a un conjuntocompletoy consistente de leyesde electticidady magretismo.Esasleyesse conocencomolas ecuaciones de qr¡econdujeron a suestablecimiento Maxwell.Losexperimentos nunca individuales La predicciónmás dieronuna indicaciónde la amplitudde sus implicaciones. deondaselectromagnéticas dramática de lasecuaciones deMaxwellesla existencia por el espacioa unavelocidadpredecible,la velocidadde la luz. El quesepropagatr electromagnética ha conducido darsecuentade quela luz esunaformaderadiación a una comprensióncompletade todaslas propiedades de ésta.En estecapítulo y relaciónde loscanrpos eléctrico y ma$rético tambiéndescribiremos la orientación quesepropagan enel espacio, formandolasondaselectfomagnéticas; la enetgíay la queno fenómeRo cantidad de movimientoquellevnnesasondns,y la polnrización, hastaahora. aparece enningunade lasondasconlasquenoshemosencontrado

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1 0 10

35-l

Capítulo 35 Ecr¡¡clonca dc Maxwcll y ondas clcctroma gnéticas

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r¡.s EcUACIoNES DE MAxvrr-L

Vamosa haceruna lista y a comentarlas ecuacionesde Maxwell, que resu::t::'t 3. y el tnagnetismo. contenidode la electricidad Esasecuaciones porcomp:3:! describen los camposeléctricosy magnéticos en presencia de cargasy conienteseléctricas. I. Ley de Gaussparacamposeléctricos

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II. I-ey de Gaussparacamposmagnéticos tt t¡

f f s . d A: 0 . J] III. I-ey de Ampéregeneralizada ccnada J ¡to i¡rfinitc.si¡¡¡,n1, dA, fl(; URA 35- I Dlcr¡¡t'.¡ cn ln su¡rcrficicccrra
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IV. Ley de Faraday

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(35-4)

I. La ley de Gauss, la cual, en casos estáticos,equivale a la ley de Coulomb; relacionael flujo eléctrico a travésde una superficie cerrada(que puedeser imagi¡aria) con la carga que encierra [véaseecuación(24-7)). El elementode superficie,dA, es norrnal a la superficie S, y se dirige hacia al'uerade ella, con una magnitud ü (figura 35-l). La carga,Q, es la cargatotal contr'nidadentrode la superficiecetrad¡. El factor e¡,la permisividaddel espaciovacfo,sc presentndebidoa nuestraselección de unidades.Actt¡almenteesta ley es una generalizaciónde la ley de Coulumb. Mienftas que la ley de Coulornb sólo es correctaparacargasestáticas,laley de Gauss es válida ann cuandolas cargasno seanestacionatias; estoes,aun cuandoel camp eléctricovarfe en función del tiempo. II: Los monopolos magnéticos,que seríanlo: análogosmagnéticosde la car-o eléctrica,nunca se han descubierto.Su no existenciasrrpuestaconducea la ley& Gausspara camposmalnéticos [véaseecuación(30-12)]. Esta ecuaciónes váli&, del tiempo. : tambiénparacamposmagnéticosdependientes In. La ley de Ampére describe la relación entre un campo magnético ¡'h

S deMaxwellsedesoibióenel capÍfulo conientequelo origina,La generalización dei [véaseecuación(30-31)].El lado izquierdode estaecuaciónes la expresión tangencial del campomagnéticoa lo latgodeunatrayectoli integraidel componente uraes cenadaarbitraria,C (figura35-2).El ladoderechotienedosconttibuciones: la cortientetotal que pasaa travésde cualquiersuperficie,S, linritadapor la espi cerradaC, y la otra es la rapidezde cambio del flujo eléctricoa travésde esasuperftci

I'ICIIRA 35-2 (a) Una supcrficicS, acot¡da por la traycctoria cerrada C. Por la supc¡{icic pasrrrrnaco¡ric¡rto I, pcro un flujo clcctrico variablc tanrbii,n ¡xxlria contrilrr¡ir a la lcy dc Am¡rcro. Si la intcgración n lo largo dc C sc hace cn scntido contr¡rio al dc las manecillas dcl reloj, ft) cntonccs la di¡ccción dc los clcn¡cnlos dc supcrficic, dA, quc fomran a S, la tk:lcnnina ln rcgla tlc la mano dcrccha.

o o a o I o o o a o o o

queesla contribuciónde la corrientededesplazonúent.o. Maxwell esel La presencia del parámetto de la introducciónde la conientede desplazamiento. vacío,al igualquede €s,esconsecuencia delespacio dela eleccii la permeabilidad de las unidadesilel SI.

IV. La ley de Faradaydesoibeel canrpoeléctricoinducidoquegeneraun magnético variable [véaseecuación (31-2)]. El lado izquierdo es la integral

componentetangencialdel catnpoeléctricoinducidoalrededorde una trayecic:,r cetradaarbitraria,C. El ladoderechomidela rapidezde cambiodel flujo mag¡éi:'l a travésde cualquiersuperficie,S, acotadapor C, justo como en la figura 35-2. ecuación(35-4),al igualquela (35-3)irnplicaunaconvencióndesignoexpfesa

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:.. la regla de la mano derecha.El signo menosés muy importante.Representael :.echode que el campomagnéticoinducido,si actuarasobrecargas,darfalugara ¡na coriente inducidaque se opone al cambio del flujo magnético(ley'deLenz). Las ecuacionesde Maxwéll presentanun gmdo de sirnetrlaentre los campos :iéctrico y magnético.Estasimetríano esperfecta,porque,aparentemente, no éxiéten ^osmonopolosmagnéticos.La ley de Faradayno tieneun ténnino cor¡o el ¡:e"Ide la ie¡' de Ampére, porque no hay carga magnética libre que forme una corriente i:ragnética.En el vacfo,dondeno haya cargaseléclricas,la si¡nétríaes perfecta. En presenciade la materia,los fenólnenoselectromagnéticos se puedendescribir con una forma modificadade las ecuacionesde Maxwell. ParaIa mayor partede los materiales,podemostemplazarsimplemente% por s : re¡, siendo r la constante d i eléc t r ic a.A ex c e p c i ó nd e l o s ma te ri a l e sfe rro rnagné{ i cos, Ia regl a acl i ci onalcl e renrplazarla penneabilidaddel vacío (¡-re) por la penneabilidaddel rnaterial(¡¡), no afectamucho el estadode cosas,poique p se acercamucho a ¡16.

o catnposel éctri co U n v is t az oa las ec u a c i o n e s(3 5 -3 )y (3 5 -a )i n d i c aque cr¡al rclIos qtre dice estánocoplados. y tnagnéticodependendel tiempo,se influyen entresí; se los catnpos eléctrico que, este acoplarniento, consecuencia de Demostraremos colno y rnagnéticopr.reden transportarenerglay cantidadde lnoviltlietrtoa distanciasllrtry grandes.De hecho, esasconfiguracionesacopladasdel carnpo puedentransporlar energfaa distanciasmucho mayores que lo que podría indicar la disr¡rinucióndel campoeléctricoen funcign de llP en la ley de Coulomb,o la dismitruciórrdel catnpo magréticoen funciónde l/Éen la ley de Biot-Savart.Los camposacopladosproducen ondasviajeras,llamadasondas electromagnéticas.tsas ondasnos ¡odeanpor todas partes:ejemplosde ellasson las de radio, televisión,microondas,luz visible y ra)'os

X, sirnpleqr¡ese ve en la figura 35-3 tnuestralo que querertros El ¡nodelolrrecá¡rico decircon el acoplamientode los camposeléctricosy Inagnéticos.Itnaginetnosuna tablalisa con una ranura,y una cuerda,la cuerdavertical (en negro),a lo largo de la cual puedentnoverselas ondasen un plano perpendiculara la mesa,y pasarpor la

(lx:rda vcñical

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Propagaclón dc to¡ cem¡Ír clcctromr¡gnétlcos

35-Z PRoPAGAcToNDE Los CAMPOSEI,ECTROMAGNETICOS

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¡ .'1( ;tl l l A 35- 3 Si s tc ¡ ¡ r .rI:tc c i i t t i c o p a n rlt:¡nostr¿r las o¡rdas acopladas. Cua¡i-' .:-' cr¡cnlas sc turclt cnlrc si colt lui.rs. :, ¡ r r ov i ¡ r üc nto or ul tr l ator i o J c ;u ; : ' : : , tr a¡ l s v c s ¡ l c r r Ia,l i r c c c i i :: i .':.- -Iul tn( ) v i nl i c r l l o o¡ tt!ui r l ' :- ' . :. c l l c r ( 1fl, l r r tl s \ c $:r : : :, :.:.'.;. \'\'i c c v c N a

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l}ortlo su¡xrior dcl árcaz{,

LOTZ Capítulo 35 lkuacloncs tlc Maxwcll y ondas elcctrcmagnét icas

FIGURA 35-l (a) Como sabemos,dcbido a la lcy dc Ampcrc, un conductor porládor de corricntc, alincado cn dirc¡ción ¡, ticnc rn cam¡rc magnótico quc forma círculos cn rl plano yz, ft) Si la corricntc cn cl aln¡nbrc c;rmbian travó.sdcl ticmpo, cl campo nragnitico quo prodt¡cc tanrbión ca¡nbia con cl ticmpo, ind¡rcicn
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(b)

unasegunda ranura.También,imaginemos cuetda,la horizontal(engris),queestá sobrela mesa,ftja a la cuerdaverticalporun conjuntodehilosdeiguallongitud.Esos hilospasana travésdeganchosdiminutosde tal modoque,cuandola cuerdavertical estáen su puntomáximoo mfnimo,la cuerdahorizontalse encuentraexactamente sobrela ranura,y cuandola cuerdaverticalestáal nivel de la mesa,la horizontalse encuentra en un alejamientomáximode la ranura.Así, debidoa la presenciade los hilos, un movimientoondulatoriode la cuerdavertical origina un movimiento ondulatorioen la cuerdahorizontal.Los hilos acoplana las doscuetdas,En el caso de los camposeléctricoy magnético,no hayhilosni cuerdas,perosl existeel efecto de un camposobreel otro. Como resultadode ello, las oscilaciones en el campo en el campomagnético,y vicevérsa. eléctticooriginanoscilaciones Deseamosteneruna percepcióncualitativade córno pueden,las cargasen movimiento,originarondaselectromagnéticas. que,aun Elaboraremos un argumento comuniqueel mecanismo cuahdoal final debacuantificarse, por físico mediodelcual sepropaganlasondaselectromagtéticas. Setieneun alambrerectoqueest¿i alineado : con el eje.x,y queconduceuna corriente1.Teniendola cortientecomose ve enla figura 35-4a,se foffna un campomagnéticoen forma de anillos que rodeanal conductof;siemprequela corrienteseaconstante, esecampomagnéticoesconstante. quecambiala corriente.Paraconcretar, Supongamos queaumenta. sr¡pongamos El campomagnéticoaumenta;aligualqueel flujo magnéticoa travésde un áreaz{¡ en el plano.rz.De acuerdoconla ley de Faraday,ecuación(35-4),urrflujo magnético que cambiainduceuna fuerzaelectromotrizalrededordel llmite de estaárea.Esta estáasociada conel campoeléctticoinducidoquesemuestraen fuerzaelectromotriz la ftgura35-4b.La ley del*nzdeterminala direccióndel campo. Veamosahorala orilla superiorde.4¡.A lo largodeesaorilla,el campoelécttico seha inducidoen direcciónde -.r. Estecampoeléctricoinducidocar¡lbia,porquese debea un flujo magnéticoquecambia;en nuestroejemplo,va en aumento.Pero,de de Ampére,ecuación(35-3),no necesitamos acuefdocon la ley generalizada cargas para un inducir carnpomagnético.Un canrpoeléctricoquecanúia en movimiento producetanúiénun compomagnético, or¡ginandounacorrientcdedesplazatniento, en estecaso,esa lo largode la direccióndel campo de desplazamiento, La corrienJe eléctricoque cambia,que es la direcciónde la corrienteoriginal.La corrientede a valoresmayoresdez, quela corrienteoriginal.En este seencuentra desplazamiento punto,podemosver cómofuncionala propagación: Ia corrientede desplazamiento produceun campomagnéticosecundario, B', a valorestodaviamayoresde z (figura al planoxz; estoes,tienela dirección+y o -y.Como la 35-4b).B' esperpendicular varlaconel tiempo,tambiéncambiaB'. Del mismomodedesplazamiento corriente debidoa la corriente originalptoduceunafuerzaelect¡odo queel campomagnético

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al planoxz,el campolnagnético motrizalineadaen direcciónx, si nos restringiéramos prodrrce inducida en direcciónx a valorestodaüa r¡nafuerzaelectromotriz secundario y y proceso mayoresde z. repite en valores mayores el se de mayores ¿, Vea¡nosalgunasde lasconclusionescualitativasa que podemosllegarde acue¡do c onla des c ri p c i ó na n te ri o r:

101I 35-3

Onds

clcctrcmagnÉr

i.zs

l. . S c lc cc i o l rn n r()s u l rn c s ¡ri ra i rn n g i rrnri,,ettcl n,zl ¡rl nrrorz,ycontl l l ol l cgntnos a un c r¡a c l roc tr e l c u a l l o s c a l n p osse propaganen di recci ónz. E l campo eléctricoestabaalineadocon el eje.r,paraleloa lá coniente,y el campomag¡ lét ic oe s ta b aa l i n e a d oc o n e l e j e y , perpendi cul artanto al campo el éctri co co¡noa la direcciónde propagación.Estandola corrientevariableres¡ringida a quedar cn une línea a lo largo del eje x, los ejesse propaganen una forma cilíndricamentesimétrica,hacia afuera,partiendodel alambrecon corriente. E l c a mp o e l é c tri c op e ffn a n e c ep a ral el oa l a di ¡ecci ónde l a corri ente,y el campo rnagnéticopeffnaneceperpendiculartanto al campo eléctri-cocomo a la dirección de propagación. Esra es una propiedad general de las ondas electromagnéticas. 2.

La corriente que fue fuente orignial de los cambios, debe cambiar con el tiempo. Una corrienteestabletan sólo produciríaun campo magnéticoestático. Es evidenteque /cs cargas queproduc.encanpos eléctricos¡, nngnéticos que se propaguen, deben estar acelerando.Esrazonableque, si el movimiento de las cargases armónico en función del tiempo, entonceslos campos eléctricoy magnéticotambiéntendrándependenciaarmónicacon respectoal tiempo.En la sección35-3 comprobaremosestaexpectativa.

Sólolas cargasen eceleraciónpueden producir cemposclectromagnéticos que sepropeSuen,

35-3 oNDAs ELEcTRoMAGNEficAS En estasección demostraremoscómo se puede cuantificar la descripción cualitativa delfinal de la sección anterior. Con las ecuacionesde Max*'ell demostraremosque loscamposeléctrico y magnético obedecenecuacionesondulatorias.Predeciremos lasvelocidadesa las cuales viajan las ondas, ¡esultado al que nuestra descripción cualitativano puede llegar. Los campos eléctrico y magnético en estasondas están en fasey sus magnitudes esüanrelacionadasdirectamente.Los campos eléctrico y magnéticoque se propaganjuntos forman una onda electromagnética.La velocidad deesaonda es igual en todas las frecu'encias. Comenzaremosdesdeun punto ligeramentedistinto del cual iniciamos en la sección35-2. Remplazarembsel conductor portador de cor¡iente por unu hoia de corriente,que se puede formar pof un conjunto de alambtescolocadoslado a lado y orientadosen el plano ry.La coriente se alinea con el eje x (figura 35-5). Con esa configuraciónde corrientes veremos que la onda sólo se p¡opaga en dirección z.

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FIGURA 35-5' L1 corricntc pasa Frcr una hoja, cn di¡ccción .r. Sc ;-;: aproximar.mcdiantcalnmbrcs alincados, lado a lado, cn dirccció¡ .; S, .: corrientacs oscilatoria,las cargassc muovon primcro en dircccio;t -¡. ;;s: v:: cn dirccción -¡.

1 , O7 4 dc Mawcll Capirulo 35 Ecuaclonc o ndas clcct rc ma gnót I cas

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a¡¡. qtre describit¡osetr la sección35-2'ql Esperarnos,
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E n l o s c e p i t u l o s l 4 y l5 d e scr ib in r o s las ecuacio¡¡esde onda.

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(35-ó)

patalos componentesBrY E,de los canlpos.Atnbos componentesdependendelvaiq ie z y del tiempo r, Reóuérdeseque las derivadasparcialesse usall siemprequeha¡ cantidades,como los campos, que dependende dos o más variables' Al derivu parcialmelltecon fespectoa una variable,las demásvariablesse mantienenfijas' Las ecuaciones(35-5) y (35-6) representandos ecuacionesdiferencialesparcilles que debenobedecerel componenteI del campo eléctrico,EI y el componente) quels del campomagnético,Br. Estasecuacionesacoplanlos dos campos,al igual dos ecuaciones Las mecánico. Parece" hilos acáplana lut cu.rdá. en nuesttoaná1o,eo complicadas,pero es posible combinarlasy simplificarlas en un procedimienlc directo.La derivadaparcialde 1aecuación(35-5) con resPectoal tietnpoes irE, t tB _:___, : lio€o_;.2_. UI

C T I.:

Igualmente,la derivadaparcialde la ecuación(35-6) con resPecioa Z es

_._,', : l_-l¡. C: CT

C :'

como no importa el orden de la derivación parcial, los lados izquierdosde esu ecuacionesson idénticos.Por consiguiente,podemosigualarlos ladosderechos: ;1 LÍ:,

A 2 uF' l v

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1^2 UI

vlmos ar,i:s' Estaecuaciónen Extienela misma forma que la ecuación(14-25)que ya pl:':: annónica una onda es ecuación de esta Una solución cs Ia ecuaciónclc ondo. + :: q u e s e p ropagaen di recci ón

E':

Eocos(kz* rt¡t + th\,

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en la cuai E6 es Ia amplitud, k es un númefo de onda,y c0es una frecuenciaangular. La sustitución directa de esta expresión en la ecuaciénde onda, ia ecuac,ión(35-'7), comprobaráque realmente es una.solución. El ángulo de fase, @,aparece,pofque desearemos ver cómo se relacionala fase del campo mágnético,que tamhiéntiene unasoluciónoscilatoria,con la fase del campo eléctrico.

1015 35-3

Ondas

dcct¡omagnátl*¡

Algunas propiedades de la solución de la ecuación de onda ile nuestadescripcióndel capítulo 14,acerca'delmovimiehto ondulaRecordamos, torio,que la ecuación(35-8) representa una onda de longitud )"= 2rlk, y frecuencia f - a12rc.La velocidadde la propagaciónde la onda es u - )"1 = ro/t. Esa velocidad s edet enninad e i n rn e d i a toa p a rti rd e l a mi s maecuaci ónde onda,como dernuestra la conrparacióncon la forma original de esa ecr¡aciónde onda, la eciración(14-25). T ener nos ent o l l c e s )l " -

trorr'

(35-e)

Cuandosustituilnoslos valorcsnuméricosclepn y €(),obtenenlos rs2-1r./s@ó=-'taiT;i Velocidad dc las ondas electromagnéticas

= 8 .9 9 9x l 0 t6 m 2 l ' s 2 : (3 .00x 108m s)2:6:.

enla cualc esla velocidadde ia luz.Así, 1

Jnr"

(35- 10)

ielación entre ,E y ¿l en una orr¿" .t""t-magnética Paraver cólno se relácionanE y B enunaonda electromagnética; podenrospartir de las ecuaciones(35-5) y (35-6) y derrostrar que B, también obedecea una ecuación ondulatoiiasemejantea la de Eo que es .. i ,' B u azl"' ' . -;i: ltoeo atz . Comoel componente a.t y del campomagnético .L "uJio "i¿",ri.o, "o.pon"niu formauna onda que se" propaga a la velocldadc en dirección¿. Sin embargo,como lasecuaciones(35-5) y (35-ó) acoplan a los campos, las ondasde B, no se propagan enfotma independientede las de ^E,.Si tenen'¡osuna solución ondulatoria paraE,,la ecuación(35-8),entonces,de acuerdocon la ecuación(35-5), )Bn

7

dE,

d

,, : - uoro"; : - Fo€ohl9" - at + fi) cos(kz

-,a)t + Q). , = -po€ooEesen(lcz (35-6)setransforma Laecuación en

(3 5 -ll)

yt : -* : -+[Eo cos(kz - at * ó,)]: kEo sen(kz - at + ,lr). (35-12) 0t 0z Az Deestasdos ecuacionesde las derivadasde B, es fácil comprobar que B, : Bo cos(kz - @t + Ó) tienela dependenciacorrectarespectoal tiempo.

( 35-3) r

1016 Capítulo 35 Ecr¡acloncs dc Maxwcll v ond¿r clcct¡ornagnér lcas

Relacionesentrelas a-mplitytdes,La amplitud,Bs,de la ondade campomagnético no es independiente de la del campoelécttico,Eo, demostrarernos en el "o*o ejemplo35-1. EJ EM pL o 3 5 - I se tiene la onda electromagnéticaviajera para la cual los eléctrico y magnético estáh expresados-por lu" (35-g) y _"^ryry: "",ru"iones (35-13). con las relacionesentre derivadas,debemosdernost¡ar que las amplitudes se relacionanmediante Es = cBr, SoLUCION: Debemos demostraruna relación entre dos cantidadesacopladas, E y B, y por consiguiente debemos emplear las ecuacionesque las acoplan. La ecuación(35-l l) es una ecuaciónde acoplarnientoque relacionauna derivada de B, con la derivada de 8,. Esta ecuaciónestnbreceqire si E, estáex¡iresadopor la ecr¡ación(35-8),enlonces dB E

: - ¡tocoatEosen(kz - a¡t -f 4¡).

como B, estáexpresadopor la ecuación(35- I 3), podernosdetenninarla de¡ivada parcial dB.. d -U = -A;f/lo cos(kz- u¡t *,¡l)] = -kB¡sen(kz - utt * $, Igualamos los dos resultados:

-kBosen(kz- ot + Q) = - ¡ts€sotEgsen(kz - at * ó). El factorsenoseanula,y nosquedamoscon Bo = {'ol-o(0uo. El factoralk - c,mientrasgue¡,rofr = tlir, ¿"modo quellegamosa Bs * Edc,la relaciónquedeseábamos comprobar.

Relaciónenirr les ¡mplitudes (lcl campoeléctricoy megnéticoen une ondaelectromagnétic¡

I.a relaciónentrelas amplitudesdel campoeléctricoy magnéticoen una onda electromagnética esindependiente de lascorrientesqueestablecen la ondaoriginal, y quedeterminanla direcciónde propagación y de los campos,En general,ten-emos que E: cB,

(3s- r4)

en la cual E y B sonlasamplitudesde los camposeléctricoy magnético,respectivamente,enunaonda electromagnética. Transversalidadde las ondaselectrontagnéticas. l-oscamposquedesctibenlas ecuaciones (35-8)y (35-13)formanondasviajerasquer" propuguñen direcciónz. Aun cuandolos camposesténorientadosen lasdirecciones r y ), no dependen de.r o de y. Las ondasde estetipo tienenlos mismoscamposen todo lugaráe un plano paraleloal planory y se dice que describena ondasplanas. El hechode que sean ondasplanastieneque ver con las comientesque empleamospata establecer esas ondas,en primer lugar, y son posiblesotras fonnas.En particular.no hay neda especial encuantoa lasdireccionesr y y. Si hubiéramos hcci, ,t :.,uúr-r;i; ;;..: tuvieranla dirección y, y no la.r,hubiérarnos encontfado ofir: lo¡;iuutrr(ic:.i.,.,, de ondaplana,con E en direccióny y B en direcciónr. La propagaciónde la <.,ij.,; seguirlasiendoendirecciónz. Porlo general, se cumplequ" toiuJ esassoluciones

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presentanla propiedad
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(35*15)

En u¡r¡ onda elcctromagnética, loa crnrpoe eléclrico y¡¡lignétlco, y l¡ 'di recci ón rte propngnci ón, s on m¡rl u enrente perpendiculares.

Es más, una onda electfomagnéticaestransyersal,porque la direcciótrde los campos quela forman es perpendiculara la direóciónde propagaciónde la onda.'Niel campo eléctrico, ní el campo ntagnético, tiene.nuno componentebn la dirccción dd propagación de Ia onda.

EI campo eléctrico y el cantpo riagnético están en fase. Nótese que las fases queaparecenen las ecuacionesarmónicaspara Br! E,,ecuaciones(35-13)y (35-8), tespectivamente,son exactalnenteiguales. El que estén en fase los campos quiere decir que cuando el campo eléctrico es máximo, el campo magnéticotambién es máximo;cuandouno es cero,el otro escero,y asísucesivamente. Los campososcilan juntos, como se ve en la figura 35-6. Paraesteaspectode las ondaselectromagnéticas, falla la analogíade las cuerdasacopladas,porque,como muestrala figura 35-3, las ondasen las dos cuerdastienenfasesopuestas,no la tnisnrafase, La figura 35-7 muestra otra vista de la onda, en la que se subrayanalgunas los camposestánen fase, propiedadesimportantesde las ondaselectromagnéticas: petpendicularesa la ditección de propagación,y perpendiculares sontransversales, entresf.

Dircccion dc f I prop¿Eacton

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HGURA 35-6 Vista su¡rrior, dcsdcla ci¡cción +¿, dc los campos clóctrico y ::3:'.étlco de urn onda clcctromagnética crt :.;.:--.-'.:-..a raves dcl tiempo.

FICURA 35-7.Pcrs¡rcliva;cn dctcrmin¡do momcnto,dc loscamposclcctrico¡r . qucscpropagana magnóticotransversalcs lo largodcl cjc z.

El campo eléctrico y el canrpo magnético están en fcse en un¡ onda electromagnética.

1018

L¿s 6¡¡lac

Cap¡tuto 3t Ecr¡aclonc¡ dc Mexwcll y ond¡-r clcctromgnél lca^r

Mawxell reconoció,por eva¡uaciónnumér¡cade u, ecunción(35-9),que la velocidad de la ondaes lavelocidadde la luz.De inmediatoenuncióla conclusiónde que la luz (tema del capftulo 36) es una onda electromagnética.l,o especialparanosotrosacerca de la luz es que, a través de adaptación evolutiva, nuestros ojos han llegado a ser detectoresespecialmentebuenosde la región de longitudes de onda en la cual el sol emite su radiacióncon mayor intensidad,y que puedepasarcon facilidada travésde la atmósfera.A estazona de longitudesde onda se le llama espectrovisible. Nuestros ojos puedendistinguir distintasfrecuencias,con facilidad, dentro del espectrovisible. Interpretamosesasdiferentesftecuenciascomo colores.Las lorrgitudesde onda más cortasdel espectrovisible son violeta;las más largasson rojo. El tratamientode Maxwell de la corrientede desplazamiento y su predicciónde se publicaton en 1864. Varios flsicos notablesen su las ondas electromagnéticas tiempo encontrarondiffcil de aceptarla corrientede desplazarniento, y posaronmás de 20 años para que cesaratoda resistenciaa esa teorfa. No fue posible confinnar la existenciade ondas electromngniticascuando lns propuso Maxwell, Aunque las ondasse propagansin presenciade cargas,se necesitauna coniente variablepara iniciarlas.A tnediadosdel siglo XIX no habfa tecnologlaparacrearcorrientesalternr alta cotnoparaproducirradiacióndetectable.En 1887, de frecuenciasuficientemente Heinrich Hertz preparó la primera pruebadirecta de las ondasde Maxwell. Encontró que cuandohay descargadisruptiva en el aire debidaa una alta diferenciade potencial por la fonnnción de chispns entrc lns puntas, Las entrc dos puntas, se acotnpBt-ro chispasdc este "trayecto de chispa", o espaciodc descarga(figura 35-8a) parecen tenerun ritmo que sugiereun movimiento de vaivén de la cargaen el espacio.Para confitmar que ese movimiento oscilatorio de cargas produce radiación, tomó un alambre doblado en un cfrculo con un espacio de descargapfopio y colocado cerca de la chispa original (figura 35-8b). Encontró que la onda electromagnéticaque se propagabaen el espaciodel trayectode chispa y la espiracircular de alambre inducia un campo eléctrico en el conductor y originaba también chispas en el espacio secundario;la espira funcionaba como antenadetectora,También, Hertz teflejó las ondas de supedicies metálicas, las enfocó mediante un espejo metálico cóncavo,y vio que, por lo general, cornpartfan muchas de las propiedades de Ia luz que estudiaremosen los capítulos36y 31 , Las frecuenciasde las ondaselectromagnéticas que estudió Hertz son muy distintas de las ondas que forman la luz visible, I¡ ad¡nitesolucionespata cualquier ecuaciónde onda de las ondaselectromagnéticas

tlctlllA 35-8 (a) El npnrnloquo u^só}Icrlz parala detcccióndc la radiación electromagnótica.(l) F^squemadc csc aparato.l: radiación sc propaga
elcctfomagnéticas

son realcs

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1019 35-3 Ondas clcctromagnéllces

¡¡ 'f ralanricnlo rlc.l cá¡rccr

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TV Radio I11 Itadio AN{

Ondasdc radio

Rariiodc ontll Lrrgr Na vcg aci ri rt ¡-IGURA 35-9 El csocctro dc Ia radiación clcctrornasnótica.

de todasias ftecuenciasse le ftecuencia,y al conjunto de ondaselectromagnéticas llamaespectroelectromagnétic'o.En los cielnañossiguientesal trabajode Hertz,se ha exploradoel espectroelectromagnéticoentre unos lítnites muy ainplios de frecuencias(figura 35-9),Toda la evidenciademuestraque las ecuacionesde Maxs'ell describencon exactitud el expectro completo de radiación.El tennino radiación incluelectromagnética indica el espectrocompletode Ias ondaselectrolnasnéticas, yendola luz visible, radiaciónultravioletanradiaciótrinfranoj.a,microondas,on{as de radio, rayos X y rayoi gamma. El capítulo 36 contiene una descripciónmás detallada del espectro. en la descripciónha intervcnidola fonnaciónde ondasen vacío. Hastaestepr.rnto, Las ondas electromagnéticastatnbién se propaganen la materia. En medios no ecuacionesde Maxwell sólo semodifican ligeramente, metálicos(transparentes),las se reduce en un factor n de porquela velocidad de las otrdaselectromagnéticas acuerdocon I c 115-l rí\ p€. tt Lacantidadn es el indice de refracción del medio que se trata.En todoslos tnedios, . Detjnición delínctice derefracción exceptoen los feffomagnéticos (que se presenlaronen el capítulo32), ¡t se acerca muchoa Fo,y e = rq, siendo rla constantedieléctricadel medio. Esto quieredecir quepara la mayor parte de los medios

'

Tt

.

V #ouo* Ji'

' (35.-17)

enotfaspalabras,el índice de refracción n : ,[1. Se debehacernotar que la cónstante c;eléctrica,normalmente,dependede la frecuenciade la onda electromagnética. l:ando la velocidad de la onda dependede la frecuencia,se dice que eilmedio es ::s:crs;'.o. o dispersante.'

,IDEDUCCION

102 0 Gpíruúo 3l En¡¡cloncr rlc Max*cll ond¡s elcct¡ornaSfr¿t¡ces

y

Lss ecueciones de Mexwcll como ecuaciones diferenci¡les que describen onda6 A partir de un conjunto de cargasque aceleran,y de las ecuacionesde Maxwell, deduciremos las importantes ecuacionesque nos llevarán directamente a las ondas electromagnéticas.El conjunto particular de cargasqr¡eusatemosforma corrientes en el plano ry, que oscilan hacia adelantey atrás en dirección x, como en la figura 35-5. Como en la descripción cualitativa de la sección 35-2, conocemos que las carSasen movimiento originar:in canrpos eléctricos y magnéticosque vanan. Nos concent¡aremosen campos dependientesdel tiempo que varían al cambiar ¿, pero no cuando varíen ¡ y y. Esto implica que pam z dada, los carnposson iguales hastael infrnito en direcciones.ry y. Esto no puedeser cierto, eslrictamente,y tendremosen cuentaqrrc,en algún lugar, crrando¡ y t son suficientemcntegrandes,los camposen realidad disminuyena cero. Tracemosun circuito C imagitrarioen el planoy¡, estoes,en ¡ - 0, que vnyade y - ó h¡rsta y = b enz + dz (figuraBl-l). Vamos ) - - á, endet enninado v a l o r d e ¿ , yr e S r e s e d e y= - ¿ ^ aaplic ar laley deAm pÉ r e g e n e r a l i z a d a a e s e c i r c u i t o . L o s l a d o s y *t b , q u e v a n d e ¿ a z +d z son muy cortos.No tendremosen cr¡entaIa contribr¡ciónde ladoscorios,porquelos podemos hacerinfinitesinraltnentecorlos. Es tnás,nuestronrgurnentocualitativoe¡r la sección 35-2 no nos pemrite creer que hay un campo B, lo cual se puedecomprobarcon ayuda de la ley de Gauss.Al aplicar la ley de Ampére generalizada,se facilita la ecuación35-3. Todo lo que necesitamoscalcular,para la intcgml de línea de la ley de Am¡rcre,son las contribucionesde los ladoslargosdel circuito. Tenernosque

8,,(:+ cl:,tx 2 l))-¡J l, (; rX, 2 ó )= ¡, , , u , , ,f 9I ; (ll

t].dA.

(B t I

./ ¡.,-,1'trrryrtrr.

[¡ diferenciaBr(z + ü, t) - B)-(¿t)cs, de acucrdocon la clefinicióndc dcrivad¡, la rapidezde cambio de B, con respectoa:, nrultiplicadapor d¿,de modo que

z¡l-3'¿,) \('; / Aparecela derivadaparcialporquemantenemosconstante t en By(Lt), ^ Ve¿mos ahora el lado derechode la ecuación (B 1-I ). Al emplear la ley de Ampére, la ley de la mano derechadice que para la trayectoriaC en la direcciónque indica la figura 81-1, el elementode superficie dA estáorientadoen di¡ección -x, de modo que E . dA = -E*d,{. Además, el árear{ . 2Dd¿es infinitesinralmentepcquerla,de modo quc po
r,o.oi ll u'

.

E.dA:

aa

c

tl E,

-¡toeo;

J Jiad.¡¡hyd

| |

a,l = -poeo\

4

JJE&h h yd .l

rt

= - l¿o€o 2b dz. (Br-2b) OI -: Hemos empleado derivadas parciales porque z es una segunda variable que se mantiene fija. Ahora igualamoslos dos ladosderechosde las ecuaciones@l-2a) y @l-2b): OIJ..

\

-;- t¿l I 0z/

= -r¿o€0 \ra

dr,

estoes, aB"

_ _ : _ : _ l t o € o AE, ^:, que es la ecuación(35-5). A continuación aplicamos la ley de Faraday,ecuación (35-4), que es la cuarta de las ecuacionesde Maxwell, I¡ aplicamosa una trayectoriac'que va de ¡ a a x = -a,en determinado -

o o o o

to

o

o o o a a I

I

t

o o o o o I o o o o o o o o o o o o I li

ol

ol

ol ol

:OIl

ol

3l

I

O

a a o o o o o o o o o o o o o

o o o o o o a o a o o o o a o a o o o o o o o o o o o o o o

valo rde z,yreg res adex = - aa¡ = aenz + d¿( f igur aB l - 2 ) . E n t o n c e s , u n a d e d u c c i ó i i c a s i identicaa la que nos condujoa la ecuación(35-5)nos llevaa Ia ect¡ación(35-6),

1021 35-4 Dcnsidady fluio dccncrgiy l'lrrfo dc cantlded de movl,mknto il

Las ect¡acio¡rcs (35-5) y (35-6)son lasquc'usamosen la sección35-3 paracletenninarlasonclas electrornagnét icás

TraycctoriaC'

l l C I l R A l l l - l ' f r a yccto r iacr n ¡ r lca tla ¡ranr r f s f r r c i rI ; rr c l ¡ l c i r ' rcnntr cABr ld zy d li,lCt,' a p n r l i rr l c l a l c y r l c A r n ¡ r r c.

F-fC I I R /\ l l | -2 1'rr)ccl ori ;rcrrrpl catl¡rarn l tl crl t¡citr¡r¡ r rcl ;¡i i ri ¡rcnl rc él l "i dt y A t, l dz,

y FLr-UoDE 35-4 DENsTDADy FLuJo DE ENERGTA, CANTIDADDE MOVIMIENTO La cncrgía dc las ondas elcctromagnéticas Podemosquemamosal Sol debido a qr¡e las ondas electromagnéticas transportan energía(figura 35-10).Paracalculárelcontenidode energíade las ondaselectromagnéticas,recordemosuno de nuestrosresultadosanteriores,eue los camposeléctrico

I'IGURA 35-10 (a) Las irstalacioncs Jc b¡onceado artificial suminist¡a¡ err:¿ia r. fonna dc radiación ultlaviole'¿, ui:r.ss i potcncialmcntc pcrjudicial. (b) t-a eac;g:: radiantc sc midc con rm ii)sgi;-nc-,:: llamado r¿diómct¡o.

1022 Capitulo 35 Fnacloncs ond.as clcctromagnétlcas

dc Mawcll

y

y magnéticoalmacenanenergía.La densidadde energía,expresadaen la ecuaclon 3 3 -1 7 ,e s ( t/82 -\ ( ! ' + n ' ) = € ! 1 rr¡,+ L , ¡ (35 r 8 ) ,= r(" + < ottr)::;l t

\¡.0

\lto€o

/

J

/

Estetesultadoes geheraly, por lo tanto,debeserválido paralos camposelectromagnéticosen las ondaselectromagnéticas. Apliquemos el resultadode densidadde energíaa una onclaque viaja en di¡ección z con los carnposeléctrico y magnético expresadospor las ecuaciones(35-8) y (35-I 3), respectivamente : E r= ¿ucos(ft;- utt* l t)

y

Il ,-

-B ucos(k;-

utt -Ftl tl ,

siendo Es= cBs.Paraestaonda, la densidadde energíaes

u = l; k ' s t + f f r)c o s 2z1-/ tu t + d )1 .

La enc rg i a c o n t e n i d a e n e l c¡ n r p o elóctrico rle unn ondn elcclronragnótica es ¡8unl ¡ l ¡ e n c r S i n c o n t e n i( ln cn cl campo nrngnético.

(3 5 - - t 9 )

En estaecuación,.l prirn"r ] segundoténninos del coeficientedel factor del coseno cuadradoson las contribucionesde las partes tnagnéticay eléctrica de la onda, respectivamente.Como Es= cBs,la energ[a que contieneuna onda clcctronngndtica está compartida por igual cntrc el campo ndgnético y cl campo elóctrico. En forma ya seadel ténnino elóctricoo magnécquivalente,podrfamostomar la contribr.rción tico de la densidadde energla,y rnultiplicarlo por 2 para calcular la densidadde energfatotal en una onda electromagnética:

-t= --' B' u = €of)"

(3s- 20)

¡ .0

supcrior /

T I

c ¡Jt

t

son tan rápidasque, parafines Las oscilacionesen las ondaselectromagnéticas prácticos,bastaconsiderarel protnediode la densidadde energíarespectoal periodo como (u). Colno el promedio del factor del de una oscilación,que representaremos cosenocuadradoen la ecuación(35-19) en un periodoes un lnedio, obtenetnos

Movir r ú cn to

elmtrorng¡rotica

I.'IGURA 35-l I Encrgía clcctromagnótica oncerradacn un volumcn zlc dr; llcga al drca ¡1 durantc cl ticmpo dt.

I

(u)

. I d " .l u I¡ oüda

/ti

l 'l 5

-¡'O

Transporte de encrgía La dependenciade cos2(Lr- or + d) con respectoal tiernpoy la dependenciade la densidadde energiacon respectoal espacioen la ecuación(35- 19)indicaque la enerett si lnistna,se transportaen forma de una onda gfa en una onda electromagnética, que viaja a la velocidad u = alk = c, en dirección ¿. La cantidadde energla,dd,, perpendiculara la direccióndel y que atraviesauna supediciede área.r1, transportada transporte,en un intervalode tiempo df, es la enetgíacontenidaen el volulnende área zl, multiplicado por la distanciac dt (figura 35- 1 l); estoes, la densidadde energíati multiplicadapor esevolumen:

dó',= Y1tr''¿'¡' Así, la rapidezde transportede energía,o, lo que es igual, la potenciaentregadapor es la ondaelectromagnética, d(;, _ cuA d¿

porunidadde áreaa unasuperficieperpendicula: entregada Porúltirno,la potetrcia por cstoes,elJlujodc cncrg{a,estáexpresada a la direcciónde propagación, E nergia e n t r e g a d a p o r u na o n d a electronragnética por urridad de tienrpo r de áre a .

^

td8,

J:---=l :cu. A dt

I

a I a a a a a o o o o o o o o o o o o o o or

o o o o o o o o t o I o o a o o

o o o o o o o o o o o o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o e o o o o o o o o o o o o o

Es t c f lr r jo t iet le u l l a c l i re c c i ó rr rc l a c i o n a d ac o n él y bs ri l l vcctor. E l ' vector S qti e describeel flujo de energlase conocecolno vector de Poynting, en honor de John Henry Poynting. Es

t

s:

E xB .

lto

del vector de Poynting, (3s-23) Definición exprese el flrrjo dc energie de loe

Comprobaretnos qr¡ela magnitudy clireccióndel vectorSseancorrectas,en realidad. Notaretnosque, col¡o los camposE y B estánen ángulorectó entresl, la magnitud de S es justamente EBllto.Esto se puede reexpresaren ténninos de la densidad de energíaelectromagnética,u : €iE , en la siguiente'forma:

que

canrpos electromegnéticoq

(3s-24) Es la rnisrna magnitud que encodtralnosen Ia ecuación (35-22). Respecfoa la dirección,recordafemosque el productovectotialde dos vectoreses perpendiculara Véeseel recu¡dro "Producto vectori¡lo ambos.Vemos, en la figuta 35-7, que la direccióndel productovecto¡ialE x B es la en el capifulo10. dirección+2, la direcciónde propagaciórtde la onda.En forma más general,la transversalidadde la onda electromagnética determinaun vectorde Poyntingque estáen la drrecclonde propagaclon.. La densidadde energfa,f , poi.corisigüiente, la magrrituddel vecforde Poy'ñting, varíaell función del tiempo.El val.orpromediode la magnitudde S en un ciclo de la ondaelectromagnética se llama inteñsidad, I de la radiación.La ecuación(35-24) Deñnición de l¡ intensidad de nos pennite relacionarla intensidadcon la amplitud, E¿,del campo eléctricode la r¡di aci ón onda:

/ : (S) : ceo(82): lce¡Ei.

lr)-'\l

Nóteseque, de acuerdocon la ecuacióh(35-21), la iirtensidadtambiénestárelacionadacon la densidadpromedio clela energia'etrla bnda, I - d,u) Cantidad de rnovirniento

I I /t¡

en las ondas elcctromagnéticas

Unaondaelectromagnética transporta.cantidad de movimiento,al igual que energía. Pa¡avisualizaren forma cualitativa,imaginemosde nuevo una onda plana que se propagaetrdirecciólrz. Simplificatnoslas cosassi empleamosuna onJa con campos eléctticoy magnéticoa lo largo de las direcciones.:r y y, respectivamente. Cuandoesa ondachocacon una partfculade carga+g, el campo ejercefuerzassobrela partÍcula. Supongamosque.en determinado momento el campo eléctrico de la onda tiene la di¡ección+x, y, por consiguiente,hay una fuerza,qE, en dirección =.r.La cargaacelera y semuevecon detenninadavelocidad,ú, en dirección+x. Si E tienela di¡ección+¡, entonces B, qué oscila.enfasecon E, débetenerla dirección+y. La fuerzama'gnética, q v x B, sobre.lacarga actua en direcCión+z y empuja a la carga en ese sentido. Cuandodespués,el campo elébtricoinvierte su signo, la fuer¿aeléctricasobrela carga actúaen la dirección -x, y la velocidadtomaun componenteen dirección -x. El campo magnéticotambién invirtió su signo, y la fuerza magnéticacotttinúaactuandoen dirección+2. Todas las fuerzasen las direccionesx y y tienen promedio cero, pero la

,l

I

erzaque actúaen ditecciónz siemprees positiva,y hay una fuerzaneta en la ión +2. La carga ha aumentadola cantidadde movimiento en dirección +z;

ún la conservación de la cantidadde movimiento.estacantidaddebehabersido ttaídapor la onda electromagnética, De estemodo, se puededemostrarque la densidad de cantidad de movinliento una onda electromagnética,que es la cantidad de movimiento que transportala por unidad de volumen, es S/c2. La magnitud de'densidad de cantidad de mtentoes

S r.¿ ),

(35-26)

LL

la direcciónes la de S.

Densided de cantid¡d de movimiento en ondae electronregnéticas

ll

¡ 1a

¿

r024 C:pitulo 3f Eo¡¡cloncs dc Maxwcll y ondr elcct¡omgnétlcas

En el cepitulo 19 empleamoe el mismo método pare celculer le presión de un grs, debido e choquee etómicos con l¡s peredes.

hesión de radiación Una consecuenciadel hecho de que las ondas electromagnéticas tengancantidad de movimiento es que, cuando se absotbeno reflejan' transfieren cantidad de movimiento al material con el cr¡alcl'¡ocan.La rapidez a la cual se transfierecantidad de movitrlicnto, por unidad de átea,es ln ftlerza que se ejercepor unidad de área,estoes,una presión: las ondaselectromagnéticasejercenuna presión de radiación. Cuando se absofbeuna onda electromagnética,como cuando llega la luz a una superficie neg?a,por ejemplo, toda la cantidad de movimiento en la onda se transfiere.La cantidad de cantidad de movimiento producido pot la tadiación que llega en dirección perpendiculata una superficie,.A,en un intervalo de tiempo df, está expresadapor la densidadde cantidad de movimiento multiplicada por el volumen A(c,dt), Asf, la cantidad de movimiento transferida,dp, es

¿o: l{)t¡ / dt):1, ¿,. c

\c',/ pot ptesiónde tadiación,estáexpresada la área, La fuerzaporunidadde S lS l dp F (3s-27) - :- :- - ¿ 1:- :l l t c .4c A A dt para llegar a la cual hemos empleado la ecuación (35-22). Expresa la presión de '; radiación cuando se absorbe toüalmentela radiación. Cuando se refleja la onda electromagnética,lo cual sucedecuando llega a una superficie lustrosa y me!álica, por ejemplo, entonces la cantidad de movimiento se invierte por reflexión. la áensidadde cantidadde movimiento transferidaa la superficiemetálica es2ulc,yla presiónde radiaciónes 2u, 3 5 - 2 S e ti ene un refl ectorde l Oa W que proyectaun r ayo E J E M PL O cilfndricode 0;6 m de diámetro,¿Cuáles la presiónde radiaciónsobreun espejo met¡ílico colocado en ángulo recto resPecto al rayo? No tenga en cuenta el ensanchamientodel rayo. SOLUCION:.La potencia entregadapor la onda electtomagnética a una superficie de áteaA, en ángulo recto con el rayo, es P - (flujo de energla)(área)= S/ - cttA, en la cual, r¿es la densidadde energlaen el rayo en la superficie.El áreadel rayo es A - rf = z(0.3m)2 - 0.28 m2. Asl,

'

t t : - =e

104J/$

P Ac

(0.28m X3 x 108m/t) A su vez,la presiónde radiaciónes

: 1.2x 10-aJ/m3

f

L :2u :2.4 x l}-a N/m'. la presiónesdel otdende l0-e atm, cantidad diminut¡' Porconsiguiente, E J E M P t o 3 5 - 3 l,a intensidad,o flujo promedio de energfa,de la radia' ción solar que incide en la Tierra es I .4 x 103Wm2. Comparela fuerza que ejerce la radiación solar sobte una partfcula de polvo totalmenteabsorbente,de 10-óm de dirimetro, y 3 x 103kg/m3 de densidad de masa, con la debida a la gravedad del Sol. Se supone que la partfcula de polvo está a la misma distancia entrela Tie6a y el Sof. La masa del Sol M5o¡= 2 x 1030kg, y la distancia ent¡e la Tiena y el Sol es R = 1.5 x 101rm. SOLUCION:La intensidad f = uc (en todo esto, estafemos trabajando con prome' dios con respectoal tiempo), otigina una presión de radiación

o o o o o o o o o o o o o o

o

o o o o o o o o o o o O

o o o o o

Ol

ol ol

ol

:l ol I

ol ol

3l ol :l

r026 C,apitulo 35 ficrracloncs dc Marwcll y ondas clcctmmagnét lcns

área, es S - cu - c€aÉ. El flujo total de energía por uniclad de tietnpo, que es la potencia,a travésde cualquierstlPetficie/' es

n = I [ ^s . d^. Si la magnitud del campo eléctricoes independientede la dirección,lo cual cabría esperarde una fuente puntual, entonces,la rapidez total de flujo de energla a través de una esferade radio R, centradaen la fuente, es I' : ccdliz(4nllz).

Los canrpoeeléctricoy mrgnético en l¡ ond¡ electrom¡gnét¡c¡cmit¡d¡ por unc fuentcpuntunl disnrlnuyenen ftrnción de l/Il.

( 3s- 28)

Pero toda mdiación emitida, finalmente, debe pasar a través de cualquier esferaque rodee a la fuente,para cualquierradio; por lo tanto, P no dependede R. Segúnnuestra ecuaciónde P, vemos que estosólo es posible si el campo eléctrico disminuye como l/R, El campo magnético,en forma similar, debedisminuir en función de l/R, porque los camposeléctrico y magnético son proporcionales,en una onda electromagnética. Vemos la diferencia de este resultadocon el compor{amietrtocatacterfstico,de función de 1/r*, de los camposestáticoseléctricosque se describieronen el cnpftulo

23. (35-28)cn tómillosdc intensidad,; deln ecuacjón el resultaclo exprcsar Podcmos y suvalorpromedio,quese vector Poynting, de del La cantidadcq.* esla magnitud 35-25)].Entonces de valor este tnitad definecomointensidad, [ecuación I esla P : 2l(4nR2).

(35-2e)

a debidn de ln ondaelectrotnngnétic¡ de R, la inlensidnd ColnoP esindepenclierrte csta tnuest¡a 35-4 El ejerrrplo función de l/F. elt puntlal, distnitruye una fuente importantepropiedad. EJEMpLO 3 5 - 4 UnfocodelOOWemiteradiaciónelectromagnéticapot Suponga quelO% de 100W seconvierteentadiación igualentodasdirecciones. de la radiaciónvisiblea 1.5mdel visible.¿Cuáles la intensidad del espectro foco? dela radiaciónvisibleaunadistancia SoLUCIoN:Debemoscalcularla intensidad R de la fuente,para determinadaenerglapor unidad de tiempo, o potencia, inadiadapor la fuente,en el espectrovisible.Estapotenciatotales Ps= l0% de cruzandola superficiedetoda 100 w, = 10w; estádistruibuidauniformemente la esferacentradaen la fu'ente.Si R esel radiode esaesfera,segúnla ecuación' en el radioR. Asl, conR - 1.5m, ói Zgl,Ps = 2I(4ftP),siendo/ la intensidad

, : #: ##: o2w/ m2 compare este valor con los 14@ flm2 en la luz solar que incide en la alta estratósfera,o con los 1000W/m2 que alcanzala superficie tenestre.Aproxima' damente,la rnitadde esaenerglasolartienela forma de luz de la partcvisibledel espectro,mientrasque el foco emite la mayor parte de su energlaen la región infrartoja del espectro,

debidosa unacatg& estáticos de los camposeléctricos En nuestmdescripción de simetríaparadecir qtJeel vectorCanryl puntual,recuffimosa consideraciones itértriro tienedirecciónradial. Esteno puedeserel casode las ondaselectromag: néticasemitidaspor una fuentepuntual'porquehemosdemostradoque' paraesal¡ a la direcciónenla cualviajan.Cuatrdolasondas ondas,loscampossontransversales provienendeunafuentepuntual,viajanhaciaafueraen fonna radial.La soltlciónde puntuales io qu" pareceserunaparadojaessenciila:no hayfuentesvcrdaderantente las catgas porque e irradia Sol no es un El electromagnética. Punto' deiaüación

o o o t t t t

o o t o o o o o o o o o o o o o o o o o o O

o o o o o o o o a o o o a o o o o

t

o O O

o o o a o O o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o I o o o o o a t o o o a

derltrode él se mueveny aceleratr.En realiclad,el Sol es un gran conjuntode anténas d i poloc uy a or ienta c i ó ler s a l a z a r. Cornportamiento

angul ar delaradiación

tozT 35-5

Radlaclón

dc un dlpolo

dc un dipolo

con respectoal ángulo La variaciónde la intensidadde la radiaciónelectromagnética antena.En nuestra ' de una propiedad de observaciónes irnportantede la radiación movimietrto un armónico (figrrra cargas ejecutan 35-13), las antenadipolo sencilla llamaremos eje z. El a la cual el antena, de ia dirección de la sitnple a lo largo largo preferida, a lo del eje una dirección z. Un tnovimientode la carga determina que algutro. Uno movimiento vea apreciarja a lo largo del eje z no observadorque vari aci ones l as del movi todas a p re c i a ría p c rp é n d i c u l a a r l e j e vi er aen ur r allnea z v i e ra.e¡rángul o B con respectoal ej e: rn ient ode las c ar g a s .U n o b s e rv a d o r' q tre apreciarlaqr,retascargasse mue,venen forma armónicacon trnaamplitrrdmenor qr¡e la alnplitudtotal, por un factor sen 0..EIcatnpoeléctricoque verÍael obserl'ador,por s eri a .p ro p o rc i o n aal s e n 0 . C s mo l a i ntensi dades proporci onalal co ns iguient e, cu adr adodel c ar n p oe l é c tri c oe n l a o n ' d al,a i n te n si dadde l a radi aci ónque emi teuna antenadipolo en direcciótr0 es proporcionala sen29: ^ JCC-

sen20

'

R'

(i5-30)

E¡rella tambiénhelnos incluido el factot l/r* que describecómo varÍa la intensidad enfunción de la distanciaR a la antena.Esecómportamientode la intensidaddescribe la distribución angular de la potenciaemitida por cargasque oscilana lo largo de una linea (figura 35-14). La figura 35-15 mr¡estrael patrón de las iineasde campo eléctrico,más las de campomagnético,parael camPoeiéctricoirraciiadopor una de esasantenas,parauna sucesiónde 5 tiempos;cadauno de los cualesco¡iesirondea un octavodel periodode oscilación:se trazamedio ciclo'

0t=0

( b)

FIGURA 35-14 Distribucióndc intcrsid¡d, S, dc ruraantcrurdipolo quc inadia. La lrlcncia sc crnitc cn rut ringulo 8.

Í 4

, (e)

ol =n

FIGURA 35-15 Lrnoas dc carnpo elcct¡ico y rnagnóticoproducidaspor una antcna dipolo que irradia, cn una sccuencia de cinco ticmpos. (Scgun P. Lorrain ct al., Electromagnetic Fiekls and l|/aves, Nc*' York: W. I I. Frc¿man,1988.)

o o o o o o o o o o o o o o

o

o o o o o o o o o o o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o O

o

1 .4 x 1 0 3 ' W /m2 : 0.5 x l 0-s N /m2 3 x 1 0 8 ' m /s

It

Ac

El áreaque presentala partlculade p6lvo es A * rP'* r(0.5 x l0-6 rn)z - 0.g x l0 l2 nr2,y cntoncesla fuerzaes F - : uA :

(0 .5 x t} -s N l ñ )(0 .8 x l 0-,r,fi )

= 0.4,x l 0-,7 ñ.

La lnasade Ia particulade polvo es ¡tV :

':

44t

pln r' :

(3 x tO3Xg ¡t' ¡ i " :(0 .5 x 10-6 rfl 3 :.1..ó x l 0' ' t

kg.

La fuerza de gravedad tiene la magnitud

CmNl,u¡

,.

't

(6.67x l0-" N.tr¿l\.{)(t . sxt

R2

l9--ll-!49 rl!:l@

(1 .5 x 10tt.s\2

: 0. 9 x l 0 - r7 N . Asf, vemosque esasdosfuerzasson comparables, y la presiónde radiaciónpuede evitat que las partlculasde.polvocaiganal Sol. Las características del'granode polvo son normales para el espaiio interplanetario.

i35-5

RADIACIoN DE uN Drpolo

Hemosvisto que son necesariascargasen aceleraciónpara producir ondas elect¡o: Vetemos sistemasen los cualeslas cargasen aceleracióninicien ondas magnéticas, electromagnéticas, como antenas de transnúsión,y a sistemasen los,que midamos larespuestade las catgasa los c,ampososcilantesde una onda electromagnética,como antenasreceptoras(figura 35-12). En estasección,describiremosen forma breveuno delos sistemasmás sencillos que puedenfuncionar como antena,la antena dipolar. La radiaciónemitida con el patróncatacterfsticode esaantenase lla¡naradiación de un dipolo, o radiación dipolar. Una antena dipolo se forma con una carga que se mueve hacia uno y otro lado deuna redta,en movimielrto an¡ónico. Etr sf misma, la antenaes, por lo genetal, neutra,de modo que la catga oscilantese concibecomo una cargade las dos de un dipolo.La segundacargaestá,ya seaen reposo,u oscilandotambién(figura 35-13). Esa atrtena es fácil de construir con ayqda de. un generador de CA. Cuando las dilnensiones de la antenason pequeñasen comparacióncon la longitud de onda de la radiación,la corriente a travésde la antenaestáen fase.Los camposrnagrréticosy eléctricosque resultanestánorientadoscomo se indica en ia figura 35- 13.Tienen las configuracionesnecesatiaspara formar una onda electromagnéticaque se aleje, cuya frecuenciaseala de las cargasoscilantes.

FIG{IRA 35-12 El omplco do las ondas olcctromngnit icas do distintas frccucnclas hn llcgado n scr pertc noÍn¡l dc nuostra tccnologia. Aqui vcmos tros antonas.

Antcnn dipolo

B @aciala página)

Cómo decrecc la intensidad dc radiación dc una antcna en función dc la distancia Unade las características más importantesde las ond¿id electromhgnéticas in'¡rdiadas po¡ una antena es la rapidez a la cual dectece Ia intensidadcuando ar¡mentala distancia.Para comprenderesta particularidad,no es impofianteque la antenasea Cipolo.Poderlos tener cualquierantena,incluyendouna que inadie ondaselectronagnéticasen forma sitnétricaen todas las direccionés,como por ejenrplo,el Sol. emitidas por el Sol, parecen Desdecierta distancia,las ondas electromagnéticas :ro!'enir de una fuenteputrtual,y podemoshaceruso de esehechopata estudiarlas de las intensidadesde catnpoeléctricoy'magnético,Conro vimos en la :iagnit,.rcies :ecc:ó:i35-4, el flujo de energÍa,que es la lapidez de flujo de energíapor unidad de

B (salc dc la págirn)

FICIIRA 35-13 [,os parcsde cargas rgtl¡lcs,Pcroopuc.stas, sc mllcvenco: rnovimicntoarmónicosimplc a lo largc :: r¡na línca (cn qstc caso,r'cnicaJ).Es;s p:--:s dc cargasfonnan un¡ antcm d:;i..:. E:. 'l y ft), los dos ladosdc i:, l:iic;: :..r:; corgasopuestas,y' las C:rc.:c;::.r::: . :x catn¡n-sclóc{r::cssc rj-.i; ::.::-

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

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Algnnos rnateriales,como el Polaroid,son analizadoresde Ia Iuz visible.fri¡n fonnadospor nroléculaslargasalineadasparalclamente entre sf. Los elcctronesse puedenfirover con faciliclada lo largo de lasmoléculas, $ero no en serrticlolfia;;;;; y como los espaciosintermolectrlates son los adecuados'para las longitudescleonda de la l,z visible, estos materialesse comporlan como lo hizo la malla de las n¡lcroondas. Una lnalla de mictoondas,o un trozo de Polaroid lro sofrta¡r sólo analizadores; tambiénson polarizadores: ra racliaciónde microondasqüe pasa por la malla se polarizaen direcciónperpendiculara la de los alarnbres. Estt esiácil de cornprender. Supongamos que las rnicroondasno polarizadasse acercana la rnalla..L a rid¡ác¡ón nopolariT,adaes la qne está fonnaclapor una mezcla cleonclas cuyos vectorescle c at npoc léc { r ic oc s l ín o ri e n tn c l o a s l a z a r.e rrlresf. E s tarl ¡rrobabl cqrrec,l cnrn' o eléctricotetrgatttra'direcciórr corr.ro otra,siernpreqr¡cseapcrpcnciicular a la dirección depropagaciónde la onda.I a mayor parteclelas fuentesderadiación, corno rosfocosde luz, pnoducenradiaciónno'polarizacla, porqueir.adiandesdemuchosdipolos orientados al azar'como hemosvisto, tan sóló aquellasondascuyo campo er.éctrico tienedirecciónperpendicular-a la.mallapuedenpasarpo¡ ella,mientrasque lasondas cuyocampo eléctricoes páraleloa los alambresde la malla, son abso¡bidos. Así, la radiaciónque pasapor la malla se ha polarizadoen direcciónperpendicuiar a la de la Inalla.

Ala¡nbrcsdo la malla

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Il a lo largo de los alambres \ \ ^\

. Los otcctroncs . nopucoc¡l rcspoltocf

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Ley de M nlus

L,oselcct¡oncs sc ¡nucvcn h.rciaarriba y hacia abajo

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C uar dola r adiaci ó nn o p o l a ri z a d aq u e s i g u el a cl i recci ón: i nci deen u¡ pol ari zador cuyoeje de poiarización(el eje perpendicula¡a los "aiambresde malla" dentrodel tnaterialpolarizante)fonna un ángulo 0 con er eje .r, por ejemplo,entorrces tari sólo (b) E perpendicular a losalambres elcotnponentede cualquiercampo eléctricoa lo largo del eje de polarizaciónpodrá I|IGURA 35-18 (a) Cuando los ala¡nbrcs pasar,Lo que sale es radiación.linealmentepolarizadaa lo largo de una línea que dc la m¡lla so orio¡rta¡ron dirccciólrdcl fomra un ángulo 0 con el eje.r, sea Ee la magnitud del .nrlo eléctrico q,,";lru carn¡xlckiclrico tlc r¡¡laor¡d¡ incidcntc,los gkrctronoscn cllos ptrcdcn rcspondcr y atravesado por el polarizador..La intensidadcorrespondiente es, de acuerclócorr la abisorbcrcncrgía dc la onda. La onda ecuación(35-25),tránsrnilida rc.
Io=(S)=(constante)Efi

la onda,los elcct¡oncsdc los

coloquemosahorar:n segundopolarizador,de tal modo qtresu eje cstéalineaclocon alarnlrrcsrlc l¡ ¡¡rallacstánlimilados y no prrcricnrcs¡xlrrlcr.Sc absorbcpoca.cncrgía, e lejex ( f igur a35 -1 9 ).L a a rn p l i tu dd e l c a mp oe léctri coen Ia ondael ectrornagtréti cay Ia rxrdapasacon poca atcnuación.:

Iil ciuu¡r<-r I,l irraili¡r cn cl plano.ry

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Ii clcsprrtis (lo I)¡sor por cl I)rirnor

Ii rlcs¡rrrr':s (b pasar ¡x)r cl scgruxlo

lxrlarizaclor

¡xrlarizador

l.uz no polnrizada -->-

Fjc dc . polariz;rcióil

I)rimcr polalizador

Sc6rrndo ¡xrlariza
F'ISIIRA 35-19 Un rayo no ¡nlanzarlo pasa¡tri rttcroP orrr¡rP ol ari rad olc, r¡\o .' : fonna rrn dngrrlo0 con el cjc r, y cl n¡.: salc polnrizadolincahrrcntcclt csa di ¡t:cción. lJrrscgruxlo lxrlarjz¿rio¡ ¡ I i;: coi i <:lci c .r sri l tl¡x:nrri fc. cl |;rs i rrl el c<¡rrt¡xrrrcrrl tl clccarrrl xr cl cct:cl .t :: :. - l dircccirirlrlt:l ¡j¡ -¡.

Il;

35-6

FIGURA 35-16 Lo bicn quc dejan pBsars las ondas luminosas, u otras onclas clcctromagnóticas,los matcrialcs ¡rolarizantcs,dcpcndc dcl cómo sc oricnta su cjo cn rclacióncon la direccióndcl ve¡tor carnpo olictrico dc la luz. Los matcrialcs lnlariz¡ntcs ticncn una cspccio dc cjc intcnro. Pasapoca h¡z a tr¡vds dc los dos parcs do gafas en cslc caso, ¡rcrquc los ejcs dc cst¿scst¡in a 90"; la luz qllc pasapor rur lcnto no pucdo pasar por cl scgrtndo, con srt cjc a 90".

I'IGIJRA 35-f 7 (a) Rcccplory (lc(c¡tor paradctcnninar la ¡xrlarizaciónde la radiación dc rnicroorxlas. (b) Sc coloca cnlrc cllos una malla, oricntádado tnl mcxloquc pascla radiación.(c) Ahorn, ln nrallasc orientadc tal modo qrc la radiaciónno pucdc pasar. 1¡ oricntaciótr dc la rlalla indica la ¡rolarización dc la radiación.

PoLARIzAcIoN

Un pequeiroexperimento con gafas polarizontes, er.¡la playa, nos hace ver que un cambio de orientacióndel eje de los oistales ocasionaun cambio en la intensidadde la luz translnitida(figura 35- 16),Esto sucedeporque los cristalesest¿inhechosde matedal sensiblea la dirección del vector campo eléctrico. La luz teflejada en el aguao en la arena de la playa está polarizada, lo cual quiere decir que su carnpo eléctrico la polarizaciónde la onestáorientadoen determinadaforma; los cristales"detectan" da electromagnética(la luz). En estasecciónestudiaremoslo que significa la polarización, y cómo se produce y detecta. Veamos de nr¡evo una carga que oscile a lo largo del eje z, como en la figura 35-14. Encontramosque, si vemos en dirección.r, apreciaríamosuna onda electromagnética plana que se propagaen dirección x, con un campo eléctrico alineado en la dirección z, E = E k, siendo E, - Et cos(Lr - (0f). En estecaso hemos ajuslado la fase 0 = 0. Decimosque la luz estápolarizada linealmente a lo largode la dirección del vectorcampoeléctrico,cuandoesevectortienedeterminadaorientación.Ajustemos la frecuenciadel movimiento del elect¡ónen nuestraantenadipolar de tal modo que la longitud de o¡rdade su radiaciótrseadel orden de centrfrnetro.La polarización se puede detectarcomo sigue: se induce una co¡Tienteen una antenareceptora,y la corrienterns que se detectase puedemedir (figura 35-17),Coloquemosuna malla metálica, pot ejemplo, un entrepaño de homo, entre el transmisor y el receptor,El diámetrode los alatnbresde la malla debeser mucho menor que L cm, y el espaciamiento entte ellos debe ser del orden de I cm o menos. Entonces, como vamos I describir,la intensidadde la radiaciónen la receptoradependede la orientaciónde la malla met¡llica,y decimosque éstafunciona como anal¡zador de la polarización' El mecanismopor el cual la malla trabajacomo atralizadores el siguiente:los electronesen los alambresde la malla se aceleranpor el campo eléctrico de la onda a lo largo del mismo, y absorbenla energíade la onda. Cuando los alambresde la malla son paralelosal campo eléctrico,los electronesde esosalámbresse pueden rnover en respuestaal campo (figura 35-18a). Como se ponen en movimiento, absorben grandes canÍidades de la energía del campo. Esa energla se Pierde en óhrnico.El campoeléctricode la radiaciótrque pasaa travésde la malla calentamiento tiene menor magnitud,porquese ha sacadoenerglade la onda incidente.De hecho, la malla es opacaa la radiaciónpolarizadacuandoestdorientadaa lo largo del vector a la ditección campo eléctrico.Cuandolos alatnbresde la malla son perpendiculares en el metal aceletan a través del diámetrodel se z (figura 35-l8b), los electrones pequeño, alambtes de la es los electrones en los diámetro como ese alambre.Pero, y grandes cantidades por completo, pueden absorber no pueden responder malla no de energlade la onda incidente.La energiaquedaen la onda transmitida,que' por lo mismo, es grande. La malla actua como si fuera transparentecuando se orienta en forma perpendiculara la direcciónde polarizaciónde la onda.

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que incide en el polarizadores

C:piruIo fJ F¡r¡acloncs dc Maxwclly c ndas clcctromagnétlcas

(3s-32)

Eo=Eocos0i+Eosen0j,

Sólo el componenteparalelo al eje del segundo polarizador, esto es, el eje x, pasa. Asl, el calnpo detrás del segundo polarizador, que en este caso funciona como analizador,es E6cos B i. La inte¡rsidadde la luz transmitidaes,por consiguiente,

/= (constarrte)(Es cosg)2,

O

(3s-33)

de la luz sereduce: v la intensidad

(35-34)

/ - {¡ cos2 0. [ -¿u t le ] l a l ¡ ¡ s

Estn cct¡aciónes la lcy de Mnlus, cn honor de Etietrnel-,ouisMnhrs. En especinl, cr¡fln(lo0 - nl2, csto es, ct¡anclolos ejcs dcl polarizadory el ntralizndorsorlpcrpcndicularesentresf, no se transrnitela radiación, Una de las consecuenciasimportantesde la ley de Malus es que, cuando la luz no polarizadaatraviesaun polarizador plano, tiene /a nútad desu intensidadoriginal, Esto se verá en el ejemplo 35-5, que tnuestraun empleode la ley de Malus. 35-5 L.a l uz pasa a través del vi dri o de un proyectorde E J E M PL O y transparencias, saleno polarizadacon intensidad/s. (a) Se colocauna lfinina de Polaroid sobre el vidrio, con su eje de polarizaciónnlincado cotl la direc. ción de las l2 en punto, ¿Cuálesson la polarizacióne i¡rtensidadde la luz que pasa?(r) Se coloca una segutrclalárnina de Polaroid, corr su eje de polarización en direcciótrde las 2, sobre la prinrera.De nuevo, calcule la polarizacióne intensidadde la luz que sale. SoLUCION:(a) Podemos llegar a la solución suponiendo que la onda luminosa se propagaen la dirección de z, y que Ia dirección de las l2 en punto estáalineada con el eje +.r. Entonces, el polarizador pasa luz cuya polarización eslá en direcciónr; por consiguiente,la luz que saleestápolarizadaen ditección¡. Pam calcular la intensidad,es necesariocomprenderque la luz no polarizadaestri formada pot una seriede paquetesde onda cuyo campo eléctricoestáalineado a la direcciónde propagación, en diversasdirecciones,siempreperperrdiculares Si la proycccióndcl campoeléctricoincidentesobreel ejex es,paradetenninado paquete,E cos g, la intensidad del paquete al haber atravesadoes / = .Iscos20 Debemospro tnediar es intensidadrespectoa todaslas 0. Cotno el promediodel cosenocuadradoes un medio, la intensidadpromedioque pasaes Id2. (b) La dirección de las 2 fonna un ángulo 0 = É (360) : 60ocon la dirección de las 12. La intensidadde la luz incidenteen la segundalárninaes /q/2;porlo' tanto, según la ley de Malus, la intensidad de la radiación que atraviesaamb$ láminas de Polaroid es

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La luz queemergeestápolarizadaen direcciónde las2.

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Cómo producir

radiación

polarizada

Ya hemos visto dos modos de producir ¡adiación polarizada: aceletandocargaset¡

y pasandoradiaciónno polarizadaa travésdeun,; una anteriadipolarorientada, polarizador.Hay otrasmanerasde polarizarla radiación,y descdbiremos dost : continuación.

mo : suP \r ré

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o o o o o o o o o o o I o o o o o

I-a luz cstápolarizada o¡rdirccción z

Dispcrsor

[.a luz no polarizada sc PropaSacn dirccción¡

Las cargas oscilanc¡r cl planoyz

[,rrzpnrcinlrncrrtc (rnlro lx)l¡tri¿l(l¡t loscjcs

Lrt ltt¿r:slii¡xrlarizlulir ul diroccióny

Lrrz no polariz-acla, lrrclla a irr¡dia¡ cn dirccció¡r¡

Polarizaciónpor dispersió¿. Nos damos cuentade que la luz se dispersacuando observamos el iraz de un fato de automóvil en una tonnenta o nevada,porque en esos casos la dispersiólres lnuy pronunciada.El haz del faro es mucho menos visjble desde un ladoen una noche.seca,si no hay mucho polvo en el aire. Sin embargo,aun en ausencia de gotitas o de partículasde polvo, la Juz y demásfonnas de mdiación electrotnagtrética son dispersadas por las.moléculasde aire.El mecanistnade dispersiótres el siguiente:el campo eléctricooscilante,E, de la radiaciónque entrapone enmovimientoa electronesen las lnoléculasde aire. Los electronesactúancomo sujetosa una fuerza annónicaexterna,y oscilan con la frecrrenciadel osciladores, c am poent r al rteSe . tn u e v e l le n u n p l a rrop e r pendi cul ar a l a radi aci óni nci dentey, si laondainc id e n ten o e s táp o l a ri z a d ae, n to l rces no ha)' di recci ónpreferi dadel movi mientode los electrones,mientras sucedaen el plano. Un observado¡viendo un electrón en una direccióncercanaa la radiaciónúnicai:ienteverá ult carnporadiado sinpolarizarporqueno hay direcciónpreferente.Unobsen ador que vea al electrón enunadir ec c i ó np e rp e n d i c u l aar l a d e l a radi aci óni nci denteverá radi aci óncuyo campoeléctricoestáen direccióndel movimiento de los elect¡ones.Ese observador veráque el electrónsólo se lnueve en una dirección,y no verá el cornponentedel movimientohacia,o aiejándosede é1,y, por consiguiente,ve luz l}QVopolarizada (figura 35-20).Paraángulosiuternredios,la polarizaciónes parcial.Un linealmente métodosimple de observarlo,si el lector vive en un lugar donde la atr¡ósferasea clara, essujetarulr trozo de Polaroid y yer hacia,pero Íro a, el Sol. La illtensidadde qr"rela luz dispersadapot las laluz cambiarácuatrdogite el pol.aroid,denrostranclo de aire estápolarizada. lnoléculas : .: Polarizaciónpor reflcxión Cuarrdola iadiacióir'nopolarizadasi reflej5en ulra superficie como la del agua,entonceslá luz reflejadaestáparcialnrentépolarizada (figura35-21a).Cuandoel ángulo de incidenciaes el conecto, la luz reflejadaestá

FICIJRA 35-20 Polarizacióndc mCiacióe por dispcrsión. Urn onda elcctromagniuca sc puc
(b)

(a)

F¡GLTA 35.21 Radiación ¡rclarizada ¡nr : xl ¡n. (a) Vcrnos aquí un cscaparatccon -:quc confr¡nden. (b) lll mismo -,'i:r:cncs ::rü;.a:atc, pcro con cl lcntc dc la <:á¡nara :.:.:¡aC,o con m ñltro ¡nlariz¡dor. Sc ¡cl mt¡cho la luz rcflcjada quc pasapor -¿

o o o o o o o o o o o o o o o o o a

polarizada(figura35-zrb).La razónde ello no es muy distintade la totalmente polarización (figura35-22).I,aluz no polarizada, por dispersión queincideformando un ángulo 0¡ (ángulode incidencia)llega a una superficie.En general,podemos descomponer el campoeléctricode la ondaincidenteen doscomponentes, cadauno pendicular a la di¡ecciónde propagación. Una de esasdirecciones, lu z, pefpen"ra la otra dicular a la superficiede la páginay paralelaa la superficiereflejante; direcciónla llamamosa. Cuandoia ondallega a la superficie,su catnpoeléctrico aceletaa los electrones, Esascargasaceleradas irradiany originanla ondateflejada y la transmitida. Primerodescribiremos la radiaciónoriginadapor el componente de E en dirección z, perpendicular al planodel papel.Los electrones acelerados por esecomponentedel campoeléctricoincidente semuevenen ángulosrectosa la direccióndela ondateflejada.Un observadorque veahaciaatrása lo largo de la lúneade la onda reflejadaapreciaun movimientototalde los electrones. Asf, hay fuertereflexiónde esaPartede la ondaincidente. A continuación veamosla radiacióninducidaporel

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FIGTR{ 3i11 li¡r' un dngulo dc incidcncia,0,, para cl cual la onda rcflejada está .:rr-:ci. **l!¡izád¡. Lc componcntcsdcl cnm¡n clcctrico son ¡rcrpcndicrrlarcsa ,:ü i¿r;o en cl ¡lano dc la página (indicados mediantó flechas), como flcra :r . :-];s. -r:ji .:c ".r pa,ilr.a {:rCicados mcdianto prmlos circulados). - - 11

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Dirccción z (fuera de la pigin¿) Transmitida

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o o o o o o o o o a o o o o o o o O o a o o o

componentedel campo elécttico en dírección a de la onclaincidente. Los electrones que absorbenesa radiación incidente se mr¡évenen dirección paralela a la de a. un observadorque vea a lo largo de la lfnea de la onda reflejada airecia un movirnierrtcj acortadode los electrones,/, por lo tanio, una cantidad reducida de tadiación reflejada.'La mayor parte de la radiación se transmite. Asf, hay una polarización preferentepara la luz reflejada. En el caso especial de que la dirección de la onda reflejadasea en ángulo recto con Ia dirección a' (perpendiculara la dirección de la tadiacióntransmitida),no hay radiaciónreflejadapolarizadaa 1olargo de la dirección a', porque,.pataeste ángulo recto, el movirniento de los electron", quu absorbeny vuelvena irradiar, a lo largo,dela direccióna', no se puede vet. La radiácíón reflejad-a esplano-polarizada con un campo eléctrico en dirección 7, paralel.a al plano de la superfcierefleiante. Para estecaso especial,las ondasreflejáda y transmitida deben formarun ríngulo de 90'entre sl. EI ringulo de incidencia para el cual los rayos reflejado y transmitido (o refractado)son perpendiculares el)tresf, se puedecalcularcuanclohayamosdesarrollado las reglas para esos rayoi 1la ley de snell), lo cual haremos en el capltulo 36. Presentarcmos a continuaciónel resultado.Cuandoel óngulo de inciclcnciaes0¡, el llamadoángulo de Brewster (en holror de David Brewster), el rayo reflejado es polatizado plano, Este ringulo, que es el de incidencia de la figura 3s-22, está expresadopor . l a n { i 1 r:

i€ n, l -: V €r-'

(35-35)

endondehemosempleadoel hecho de que, en la ecuación(35- 16),la definiciondel fndicede.refracción,fi, p =¡le, aproximaciónválida en todos los nraterialestransparentes. Como hicimos notar arribá,el efectose presenta,pero es menosnotabledn otros ángulos' Un analizador cüyo éje de polárizáción esté orientado en direcci'ón perpendiculara Ia direc'ciónz, qúe es la de polarizaciónde la onda reflejada,absortrerá la rnayor parte de la radiación reflejada. Asf las gafas polaroid,que sL empleanpara , reducit el resplandor,necesilantener su eje de pálarizu"ión .n di¡ección 1r"rti"ui. 'Forrnas generales de' polarización Hastaahoia, nos hemos congentradoen ondasque seanImealmentepolarizaaasjesto es,aquellascuyos vectqrei campo eléctrico esténen una dirección frja. Sin embargo, la polarización lineal sólo es un caso especialde un rico conjunto ie posibilidadls. supongamosque alineamosdos dipolos perpendicularesa la dirección z, uno con el ejer y otro con el eje y. De ambos se generanondas de igual frecuencia.una onda sepropagará en dirección z con un campo eléctrico tepresentado por E - &cos (lce- @t)i + Ez cos(k - @t + 0) j.

(35-36)

Enel primertérminono hay fase,porquepodemosestabrecer el origenparaquese elimineeslafase,como.antes. sin embargo, po¡lo general, no pod"ilor.liminar 0, 'Lafase lafasedel segundotérmino,enformasimultánea, relativade los dostirntinos nosepuedehacerceropor un catnbiode origen. El campo eléctricode la ecuación(35-36)es más complicadoque el de Ia polatización lineal simple.sigamosla puntadel vectorcampoCléctrico,del modo queverfamosun foco en la puntadeunabatutaen movimiento,de longitudvariable. Loqueverlarnosdepende deE1,E2y g. El movimientodela puntaeslo quedetermina lapolarización del campo.Fijémonosenel campoE enz * o, por facilidad,y veamos algunos casosespeciales : 1. E, El vectorcampoeléctricosólotieneun componente ¡. RsriibtpriTq.:0. ción lineal queya desoibimos(figuta 35-23a).

1033 35-6 Pol¡rlzrclóa

.,

Er = 0. La'punta del vector campo eléctricooscila a lo largo del eje y, y la onda estálinealmentepolarizadaa lo largo del eje y (figura 35-23b),

3. La fase 0 - O. fl campo eléctrico, en este caso,esiá expresadopor, B = (Ii ,i + üj )cos(or). Verlamos que la punta del veclor campo eléctrico oscila en una llnea recta que queda entre los ejes x y y, formando un ángulo c[ con la horizontal, de tal modo que cr - E2lEyDenuevo tenemospolarización lineal, pero en cietto

ángulo(fi gura35-23c). 4. El casocambiacuandohaytantoE¡ comoE2y d * 0. Primetovdremoscuando Et - Ez,y el casoespecialcuandoQ - nlz. En estecaso,como cos[-atf+ (nlz)l - sen(cot), tenelnosque E : Er[cos(
un tnovimiento 5. En el caso más general,E. * Ez, y ó * 0; la puntaejecutará (figura tenemos po I a r caso, radi aci ón izada el{pticamcnte E n ese e l íp ti c o . 35-23e). Nótese que todos los casos que se han descrito se pueden considerar como superposiciones lineales de radiación polarizada a lo largo dc los eies x y y, respectiyanrcnte.Elcampo eléctrico es la suma vectorial de los camposeléctricosde dos ondasseparadaslinealmente polarizaciasque se propaganén la misma dirección y con la misma f¡ecuencia.En esteseniido, la polarizacióncircular se basa en la polarizaciónlineal descritaa:'lies.

* 35-7 RADIAcIo\Ts EIECTRoIIAGNETTcAS COMO PARTTCUL'I.S Uno de los descubrimientosmás asomb¡ososciela primera partedel siglo XX fuue el descubrimientode qluelaradiac:ón eiecíron:cgnéiicaestáfornoda por particulas. Las investigacionesde i\fax Planclq .A,lcertEinstein ;' Arthur Compton dejaron en estáformadapor un gran número claro que lo que llamamosonda electrornagnética de partlculasindividuales,llamadasfotones.EsaspartÍculasson i¡divisibles; no es posible tener 0.3 fotones, por ejempio. Para la radiación caracterizadapor una frecuenciaf - ol2n,la energíaque pona un fotón único es tr-i ,i

(3s-37)

J , s,esla constante dePlanck.Tambiénun'fotóntransporta enla cualh - 6.63x 10-34 por de movimientoexpresada la cantidad

Ehfh

n:;:;: 35-23 Varias polarizacioncs: (a) ¡nlariz:ción linc¿l a lo largo dcl cjc r; (b) polarizaciónlincal a lo lnrg,odcl cjc y; (c) polarización lincal a lo largo dc un cje gcncral en cl plano xy; (d) Polarización circular; (o) polarización clíptica. IIGURA

1034

i. .

(35-38)

dela raJiaciónelectromagnética quedóestablecida corpuscular porlos La naturaleza de de Compton ace¡ca la dispersión de pof experimentos la radiación los electrones preferencialmente libresdel carbono.Los fotonessedispersaban en un ánguloque a un fotóncomounaboladebillat relativistaque sepuedecalcularsi seconsidera

o o o o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o' o o o o o o o o o o o o o

o o o o o o o o o o

o o o o o o o o o o a o o o o I o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o O o o o o o o O

choca elásticamentecoh cada electrón en reposo. La cantidad de movitnierrto del fotón que saledependedel ángulo de choque.La ecuación(35-38), entonces,implica que la fiecuencia de la radiación dispersadatambién dependedel ángulo de colisión, de una fonna que se puede calcular con facilidad. El que ft seapequeñaexplica por qué consideramosa la luz como un fenómeno contitruo,más que,una serie de fotones individuales.Quien esté parado bajo las cataratasdei Niágara no siente estarbombatdeadopor gotas de agua.

103i Rcsmm

E J E M P Lo 3 5 - 6 ¿ C u á n to s fo to n e s e mi teunfocodel uzde6OW poruni dad de tiempo?.Suponga,para simplificar,que la luz se emite con una sola longi{ud dc onda, de 590 nm. SOLUCION:En I s, el foco emite una energíatotal de 60 J Sihay ,r\ fotonesde frecuenciaf - clL- (3 x 108m/sV(S,9x 1O'7m) = 0.51 x 101sHz, entonces : +-

E hf

60/ : i .8 x 10ro (0.51x l0'5 s,'r[6.63x l0-'o J.s)

Se enriten fotones con una frecuenciadel orden de I O:0por seeundo. Para intensidade!luminosas extremadamentebajas, se puedetrdetectat los fotonesindividuales.Igualmente,en reaccionesen ias que inten'ienenpartículas elementales,se presenüancon frecuencia casosefi los que se emiten fotones únicos. Los deberrcontar individualmentedetectoresespeciales.Si la evolución del ojo humanohubierasido un poco distinta,y el ojo pudierarespondera fotonesaislados, la noción de radiición cornpuestade partículashubiera sido obvia para todos.

RE S U M E N rri

LasecuacionesdeiMaxwell, que son las de las leyesde Gausspara los camPos 1aley'deFaraday[ecuaciones y magnétieó,la leydeAmpéregeneralizada,y eléctrico y carsas, esposibletener deconientes (35-1)a (35-4)1, implicanqueaunenar¡sencia decarsaslibres,los En ausencia quesepfopagr¡en, campos elécttic6i magnéticos de onda,quetienela fbrma a la ecuación obedecen y magnéticos campos eléctricoe ó'E, lto€o ' ¡

atE, A7:

,i

"il

(3 s-7 )

a lo largo de la direcciónz. Sea Euelcasoque:Eu '0 y 4 - 0, lasondasseproPagan -I cualseala direccióh, le velocidad de propagaciónes ,,7 1 u

(3s -e)

--

l,¿o€o

Estaüelocidad es la velocidad de la luz,u - c =3 x 10óm/s. En medios materiales pof la constantedieléctrica, rc,la velocidad de propagaciónes c//Fca¡acterizados c/n,siendo n - frel fndice de refracción. Hay soluciones de la ecuación de onda (ondaselectromughéti"us)en las cualeslos campostienen la forma armónica

E,:

'

Eo cos(kz- aú * 4¡)

Br=.Bocos(kz- at + Ó)'

*8) (3-5 :, ,(35-13)

1036 Capitnlo 35 fruaclona dc Muwcll o nda-sclcctroma gnét lca-s

y

o o o o o I c o o o o a O o o o o o o o o ol o1 ol ol

Esasondassepropaganen direcciónz. En fonna másgeneral,los catnposeléctrico y magnéticode lasondasquesepropagalendetenninada direcciónsontransversales a ella.Las amplitudesde los camposeléctticoy magnéticoserelacionanmediante

(3s-14)

E: cB, entrésl: y los campossonperpendiculares

E.B =0.

(3s-15)

transportanenergía,con r¡na densidadde energfa Las ondaselectromagnéticas por exptesada

, = r[ -* e o L ' . ).

| /82

-\

\¡ .0

/

-

' ( 35-r 8)

eléctricoy magnético.Las enpartesigualespo¡ los,campos Esaenerglasetransporta densidadde cantidad{p r¡ovimiento, tambiéntransportan ondaseléctromagnéticas S/cz,siendoS el vectorde Poynting,

ExB.

s:l

(3s-23)

lto

Asi, la radiaciónpuede transportarcantidadde movimiento, y.cuanáoun material absorberadiación,hay presiónde radiaciónsob¡eel material,expresadapot

s

(3s-27)

* - l t.

c

Las particulas catgadasirradian cuando se aceleran.Parauna cargaqt que sufre una aceleracióna lo largo de la direcciórrz, el flujo de energíaes proporcional a

, ..

ttn1o, r-

(3s-30)

en la cual 0 es el ángulo que forma la dirección de aceleracióncon:el eje'2, y r es la angularde.laforma sen20 distanciaa la catga.La radiaciónque tieneuna dependencia se llama radiaciónde dipolo. La polarización de una onda electromagnéticaes la dirección del'vectolcarnpo eléctrico transvetsal. Se puede m edir, porque determinados'matetiales,.llarnados polarizadores,transmitenondaselectromagnéticastan sólo a lo largo de determinado eje de polarizaciórr.Los polarizadoresde pueden ernplar tanto para detectar como para polarizar ondas electromagnéticas.Si se coloca un segundopolarizador con su eje formando un ringulo 0 con el primero, entonces el campo eléctrico, E, de la onda transmitida se reduce en magnitud, desdeEs, la de la onda inciderite;de acuerdocon E : Eocos 0. Asi, la intensidad,/, que es el promedio del flujo de energla, de la luz transmitida,se reducedesdela intensidad/s incidente,de acuerdocon la ley de Malus: 1 : ^focos2 0.

ol

3 ol

ol

(3s-34) :

Lasondassepuedenpolatizarporreflexión.Si la luz incideenun mediodeconstante dieléctricaK conun ángulo0¿,cl ángulode Brewster,tal que tan9s: n

(3s-35)

luz reflejadaestá (n esel fndicederefracción,quedependedel material),entonces,la tantoala direcciónincidetrtecomoa la de polarizadaenunadireóciónperpendiculat reflexióñdé la onda.La luz tambiénsepuedepolarizatpor dispersión.

:l ol

:l

:l

3 l ol

.l

_3 1 o I

o

o o o o o 0

a o o I o o o o I

o o o o o a o o o o o o o o o o o a o o o o o a o a o I o o o

PREGUNTAS l. Las partfcutascargadasestablesque se muevenuniforme_ lncntc no produccnondaselectronragnéticas. ¿por quó la co¡ucrvacióndo lr energfasugiereqr¡eesodebcscr cierto? 2. Lasseñales dc ndld dc ondacorlatienentongitudes deoncla devariasdecenas dc metros.I-asreflejaespecialnrente bicn la ionósferade la Tiena, capasuperiorde la atmósferacon muchascargaslibres.Expliqueporquéesasondassepueden recibira grandc¡dlslancias. 3. La produccióny detecciónde la polarizacióndependedel vcctor campo Gléclrlco.En prineipio,¿puedchaberuna polarización asociadacon el vectorcampomagnético? 4. ¿Puedehaber ondas clcctromegnéticas estacionarias; al ' igual que viajeras?Rccuerdeque son posibleslas ondas mecánicasestaclonarias cn una cuerilacuandosesatisfacen determinadas condlciones,por eJemplo,quelos extremosde la cuerdaesténfiJocJ¿Cómopodemoscontrolarlos valo¡es de los camposcléct¡icos o magnéticosdentro de lfmites fijos? :l 5. Si maña¡rase dcscub¡ieranlos monopoloemegnéticos,habrla que modificar la lcy dc Oausspara cl magnetismo, ecuación(35-2),y la ley de Faraday,ecuación(35-4).¿Cómo se ve¡fa esamodificación? ó. Cambiarfael caso dc la pregunta5 a la natufalezade las ondaselectromagnétlcas en el espaciovacfo?

7. Una vcla solar es una supcrficic granclesobrc la cual la ¡rresióndc h r¡dinciórrsohr pucclccnrpujnr(figwa 35-4). Sc hln propucsto las vcl¡s sol¡rcs par¡ qr¡c las travescspacialesviajen a travésde nucstrosistenrasolar.¿eué propied¡des cleberf:r¡r tcne. c.s¡svelns, y qué dificultades ve t¡sted en Ia propuesta? 8. Los cohetesse impulsan hacia adelantecuandor¡¡utmasase expulsa hacia atrás. ¿Podrla una fuente de luz, o de otra radiación electromagnética,usarseen lugar de la masa? 9. ¿Cónro puede usted decir si la luz está plano polarizada o no?

t0. ¿Puedeestarplanopolarizadaunaondasonoraen aire? lt. La h¡zincidenteestálinealmente polarizada endi¡eccióndel eje x. Nos gustarfahacergirar la direcciónde polarización, paraquequedéa lo largodel ejey. ¿Puedehacenelo anterior con un polarizador?¿Puedehacersecon dos?¿Cuáles la reducciónmfni¡nade intensidadcuandoseusar¡dospolarizadores?¿Puedehaberuna rcducciónde intensidadaun menorcontrespolarizadores? 12. En la pruebade Hertz,de la existencia de ondaselectromagnéticas,apafecen chispasen un espaciosecundario de desca¡tacomoresultadode unacorrientealternaenun ci¡cuito primario. Hertz interpretóesaschispascomo debidasal efectode las ondaselectromagnéticas y no al efectode la inducciónde Faraday.¿Quétipo de pruebasnecesitóllevar a caboHertzparaeliminar.lainducciónde Faraday? 13.¿Puedeusted usar el ejemplo.y los argumentosque se presentaron quelasondas en la sección35-2parademostrar eIectroma gnéticassontransversales? algunos errores ¿Hay enel l o? l {. Demostramos,imaginandosu efectosobreuna cargalibre,

que la radiaciónelectromagnética transportacantidadde movimiento.Veamóssu efectosobreun dipolo eléctrico, para decidir si podrfatransportar tambiénmomentoangular. Comiénceorientandoel dipolo con su eje a lo largo de la dirección delvecto¡campóeléctrico dela ondaelectromagnéti ca. 15. Setienela velasblarqi-re seciescribió enla pregunta?. ¿Será mejor fabricar la vela reflejante (lustrosa)o absorbente (n'e$a)? .ll

FIGUIA3$24

Prcgrmta7.

OBLEMAS

16. ¿Estádefinidcr'elvector de Poyntingsólo parala radiación electromagnética?

'

I Las ecuacionesdc Maxwell (I) Compruebela consistenciade las dime*ion., de ambos ladosde cadauna dc las cuatroecuacionesde Maxwell. (II) Las leyesde Oaussparaloa camposeléctricoy magnético difierendebidoe la falta de cargasmagnéticas.Suponga que existenlos monpolosmagnéticos(cargasmagnéticas); con cl sfmboloM. Vuelva a formular la ley de ' represéntelos Oaussparacamposmagnéticos,y especifiquelas unidades deM en el SI.

(II) I-a ley de Ampérey la de Faradaydifie¡en por la falta de un término de-corrienteen la ley de Faraday.Suponga que existenlos monopolosmagnéticos(llámeles lr0,y reformule la ley de Faraday.Describael significadoffsico de los térrninosnuevosque añada.

4. (II) ks ecuac.iones (35-l) a (35-4)se aplicanen el vacio. Formulelas ec'uaciones de Maxwell paramedio material empleandola cónstantedieléctrica,r, y la penneabiliCaC rel ati va,K ^-l + y^. | | ll

-i -i- ¡- On das ele ctro nrag n é tic as 5. i) Si el campoeléctricopara una onda planacs Q - 0, E, ,5, ccs(k + rot)! E = 0, ¿cuálesson B y Ia direcciótr de :rcpagaciónde la onda? l. .ii Use el análisis dimensional para demostrarque l/fiffi ::ere las dimensionesde velocidad,pT-t]. -. li . Calculela longitud de onda,númerode onda,frecuencia _' fiecuencia angular aproxitnadas, para las ondas electro:ragnéticasasociadascon (a) su estaciónAM favorila; (b) s: estaciónFM favorita; (c) un homo de microondas;(c) la .i:r amarilla; (e) los rayos X. i.

II. A prrtir de las ecuaciones(35-5) y (35-6),cleduzcattna e--'.¡ación de onda para el componente¡ del campo nragné:::c. ¿Cuálcs la velocidaclde la onda rcsultante?

v.

I I r Escribalascontrapartcs de lasecuacioncs(35-5)y (35-6) ;i:a los campos electromagnéticosB, y E- que quedenen cl :iano ¡z y se propaguen en di¡ección x. fSugerencia.'co:tence con las figuras B1-1 y B1-2. A continuaciónasigne :-.Jevosnombres a los ejes segúnx + y + 7 + ¡.f

i ri. ii) Una ondaplanaarmónicade radiaciónelectrotnagnética, ccn longitud de onda 2. se propagaen dirección de -¡. El c:mponente z del campo eléctrico tiene magnitud Eo y no ha' componentey. (a) Deduzca una ecuaciónpara el campo ¿lectrico.(b) Use esaecuación,y el resultadodel problema 9. para calcular el campo magnético. ¿Qué componentes '.'ectorialestendrá estecampo? i1.

II; Una onda plana se propagaen una direccióndel plano i; que fomra un ángulo, 0, con el ejc .r. Dcmuestre que el :a;¡po eléctrico está expresadopor Eocos(k¡ cos I + 11'sen I - rof + ó). ¿Qué clireccionespuede tener F.o?

l:.

iI Una onda plana,de l .2 rn de longitud de ondasepropaga en Ci¡ecciónz. El campo eléctricotiene la direccióny y su a:iiplitud es 3.0 V/m. Deduzcauna ecuaciónpara el campo nagnético, incluyendo su amplitud, en unidedes del SI. Su¡onga quc el campo eléctricotiene su máximo cttandoI _n._n

1-r. lI. Una onda electromagnéticaviajera se generaen el ex:::i.lrcizquierdode un tubo orienladoen dirección¿; la onda ', ia.jaen dirección +2. En los extremos del tubo, z -- 0 y 7 = l. se encuentranespejosmuy reflejantes.EI campo eléctrico :: l¡ onda incidente es E - E,cos(k - et)i, y el campo r.::lrico dc la otrdarcflcjada enz - L es E - E¡cos(,k + @f - ; i. Demuestreque el calnpo eléctrico neto forma una o¡rda :s:::icna¡ia y, calculando 8r, que el campo magnético aso::aco, 8,, también tiene la forma de una onda estaciona¡ia. 11. ili Un pulso de radiación electromagnéticaviaja en direc:::: -:. El campo eléctrico está orientado en dirección x y :s E = E*s-{z'cr)4azi.¿Cuál es la orientación del campo r"ag:netico?Haga un cálculo de la dependencia espacio:;::l¡o del pulso magnético y emplee las ecuaciones(35-5) ¡ 35-ó) para determinar una forma de B que satisfagalas e: ua: ronesde Ma xwe ll. 35-1 Densidad y Jlujo de energía y flujo de cantidad de movimiento l-i.

I Una estación ¡adiodifusora emite una señal con 50 kW :e pclencia. ¿Cuálesson los valores del campo eléctrico y

- -rl i

quela magnético a distancias de l0 y l00Okm? Suponga serial,lejosde la.antena,se transmitecon igual intensidad (Lasestaciones en todasdirecciones. realesno puedenpermitirse transmitirsu energlade esemodo, y sus antenas distribuyenla energfacon alto gradode direccionalidad.) 16.(I) El campoeléctricopaiadeterminada ondaelectromagnéticaticncun valormáxirnode 50 rnV/m.¿Cuál.es la intensidadde la onda? 17. (I) Una ondaplanaarmónicade 12¡.rmde longitudy 10V/m de anrplitud dc cantpoeléctricollegaa unasuperficie totalmenlereflectora de l0 cnr2.¿Cuálesla presiónderadiación queejerceesaoncla? plana,conamplitudmáxima I ft. (l) Unaondaelectronragnética de cantpoeléctricode 250 V/rn, incidesobrbupaguperficie perfectamente perpendicular absorbentc, a.sudirecciónde por propagación. deabsorción deenergfa ¿Cuálesla rapiclcz unidadde á¡eade la supcrficic? 19. (II) El campomagnéticoparadeterminada ondaelectromagnéticatieneun valormrs de 10-8T. ¿Cuáfes la intensidad dela onda?¿Cuánta energfasetranspofa porminutoa través deun áreade0.5m2? 20. (II) Un lásernornlal,de demostraciones, de 0.25 mW de potencia, tiene1.5mm dediámetro son derayo.(a)¿Cuáles losvaloresmáximosde los camposeléctricoy magnético? (b) Suponga, conrodehechoesposible,queel rayoseenfoca de unalongitudde ondapor lado.¿Cuál a un áreacuad¡ada esel valormáximodelcampoeléct¡ico, si l. = 625nm? (lI) Supongaque un foco de 100W emiteluz por igualen todasdi¡ecciones. sonlosvaloresrfláximoy rmsde ¿Cuáles los camposeléctricoy magnéticoa unadi5tanciade I m? 22. (ll) Un foco de 150 W inadia unifonnémenteen todas direcciones, ;' 40% de su energfase emitecomo.radiación enformade lr¡zvisible.¿Cuálesla densielectromagnética dad de energiaelectromagnética de la luz visiblea una distanciade 50 cm del foco?¿Cuáles sonlosvaloresrmsde ios camposeléctricoy magnéticoconespondientes en ese lu-ee r? ?1 (1I)Suponga que una estaciónde radiode 50,000W emite su señalpor igual en todasdirecciones.'(a) ¿Cuáles la intensidadde la señala unadistanciade 100l
25. (II) ¿Cuálesson las dimensiones y unidadesdel SI parael vectordePoynting?Reduzcasu¡espuesta a lasdimensiones y unidadesde masa,longitudy tie¡npo,y a continuación ¡eexprésela en términosde wattsy metros,

26. (II) [: energfasolarrecibidapor una superficiehorizontal enWashington, D. C.,fue,en promediodetodoun año,160 W/nr2.Suponiendoque esa¡adiaciónse absorbepor completoen determinado metrocuadradode terreno,¿cuálesla cantidadaproximadatotalde moVimientoentregada en esa áreaen 1 ario?Compareesenúmerocon un estimadodela cantidaddemovimientóqucabsorbew'receptor de,béisbol, al atraparun lahT,omiento,

o o o o o o

a

I

o o o o o o o o a a a o o o o o o o o o o o o o a o I

o o

o o o o a o o o o

o o o o o O o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o a o o

27. (U) Supongaque deseaemplearla presiónde radiaciónde un hazde luz parasuspender enposiciónhorizontalunahoja de papelde 100cm2de área,y I g de masa.Supongaqueno hayproblemasdeequilibrio,queel papelesnegroy absorbe completamentg la,luz, y que todo el haz de luz se puede emplearparasostener el papelcontrala acciónde la gravedad. ¿Cuántoswatts debeproducirla luz? En vista de su respuesta, al papel? ¿quésuponeustedquele sucederá 28. (II) Un hazde luzcondeterminado vectorde?oyntingincide sobreunasuperficieplana,totalmentereflectora,a un ángulo 0 de incidencia,con respectoa la vertical. ¿Cuál es la cantidadde movimicntoque transfierea ta superficiepor unidadde área? 29. (lD Un láse¡entrega103J de energfaen un pulsoque dura l0-es. ¿Cuálessonloscamposeléctricoy magnéticomáxirnosparaun rayo láserde l0-3m de diámetro? 30. (lII) El ladocoño áe un rectángulodelgadoy rlgido de 2.0 x 0.50c¡nse fija a un ejevertical.La mitadde cadaladose pintade negroy absorbepor completola luz; la otramitad es de meial lustrosoy reflector(figura 35-25).La parte

tica es la alturade la torre, ¿cuáles el periodo de la oecilación en la tone?

l,.

l---' (r\ 'o / ' Antcna di¡rolo

¡'IG{JRA35-26ltoblcnn 31. (lII) Una antena en forma de cn¡z yace en el plano ry, ceniradaen el origen (figura35.27). Las cargasoscilan con la nrisnrafrecuencia en cada brazo de la cruz. Determine el vector de Poynting a lo largo del eje z como función de z, si hs cargasque semueven en direcció¡r+Í en el brazo.:rpasan por el origen en el misnro momento en que (a) las cargasque senrucvenen clirccciórrr.yen cl brrzoy¡rasln porcl origcrr; (b) las clrges quc sc rnr¡cvellen clirccción-) e¡r el brazoy pasanpor el origen; (c) las cargasen ei brazoy se encuent¡an en su posición+y máxima, a punto de regresar.

FIGT RA 3$25 Problcrnq 30

posteriorde cadamitad es distintade la fronlal. No hay fricción en el eje. El aparatose baña en un rayo bien de luz, cuyovector colimado(esdecir,queno se ensancha) y se propaga de Poyntingtienemagnitud1.0 x l0-3kg/s3, perpendicularmente al eje vertical.¿Haypar netosobrela superficiedelrectángulo? Si esasl,¿cuálessu valorpromedio debido a la luz, a travésde una rotacióncompletay uniforme del rectánguloalrededorde su eje? 35-5

Radiaciónde un dipolo I

l. (II) Una antenad¡polo emisorase orientaa lo largo del eje y. Parala geometrlaqueseindicaen la figura35-2ó,proporcionela siguienteinfo¡maciónparaun puntoP muy alejado, sobreel eje z: (a) la direccióndel campoeléctrico;(b) la direccióndel campomagnético;(c) la direccióndel vector de Poynting. (d) Repita las partes (a) a (c) para la onda electromagnética mediociclo después. 1)

(II) Supongaque una tone vertical de 120¡n de alto es una antenadipolo,concorrientesyendoy viniendoa lo largode con comporla torreparagenerarondaselectromagnéticas tamientodipolar.Si la longitudde cadaondaelectromagné-

I-IGURA 35-27 Problcrna33.

35-6 Polarización 34. (D ¿Aqué ángulo clclxn csLrrlos cjcs dc dos hojas idcalcs de determi¡adaf¡elde Polaroidparareducirla intensidad te deluz no polarizada a (a) U2;(b) 1/a;(c) 1/10;(c) 1,'lCi 35. (l) I.os ejesde cuatroláminasidealesde PolaroiCes:a:.-:.: sobreotto, y cadauno forma 25o con el anlerl:: -]-: pasa¡:: , c fraccióndeluz inicialmente no polarizada - -':: hojas? 36. (I) lá imagende la Luna se reflejaen rul es:ai.:--:-e :¡ : lranquilo,en la noche.¿A qué án-sulo'.al:;= -<:::3 :: I El l:::::: :: :=:- :: -::. esn áxin-:a horizonte la polarización delaerraes 1.33.

t

37. (II) Un rayode luz quesepropagaen direccióne sepola¡iza en dirección¡. Perpendiculares al rayosecolocandosláminas Polaroid superpuestas. El eje de polarizaciónde una fonna 47ocon tespectoa la dirección.r,y el de la otra,630 respecto al ejede la primeralámina.¿Cuálesla intensidad de la luz transmitida? pasapor 38. (II) ¿Quéfracció¡lde luz inicialmenteno polarizada dosláminasde Polaroidcolocadas en ángulorectoentresl? ¿Quésucedesi sc colocaunatercerahojaentreellas,consu eje formandoun ángulode 45ocon los otrosdos? 39. (II) Una luz polarizadacircularmenlehaciala izquierdase propagaen di¡ección+¿,llegaa r¡nalámi¡rade Polaroídque es paralelaal plano¡t, y cuyo eje de polarizaciónformaun ángulode 30o con el eje x. ¿Cuáles la polarizaciónde la ondatransmitida?

intensidadde la luz transmitidaye no es cefo,a menosque el eje de la terceraláminaseaparalelocon el de algunade lasdosláminasrestantes. 8 5 -7 ni¿¡abiones elecltromagnértcasc ontop artícuüs 43. (II) Calculeel númerode.fotones queemitetrnaestaciónde radiodeAM a unafrecuencia de I Ct6 Hz, queserequierepara igualarla energlacontenicla en un fotóndeluz visibleder¡na lorrgituddc onda de 50Onm.

u.

(II) la potenciagenerada por el Sol es4 x 1026 W. Suponga quetodase emitea una longitudde onda.promedio de 500 queemitecadasegundo. nmny calculeel nrimerodefotones

Problemas generales

40. (ll) Una onda circulamrentepolarizada,clc intensidad10,

y radioR. Poról 45. (II) Setieneun solenoide conrrvueltasfllt,

pasapo¡un a¡ralizador quedejapasarun campoeléctricotan sólo cn unadirección,de modo quela ondasalepolarizada linealmente.En ténninosde .Io,calculela intensidadde la luz queemergedel analiz¡dor. 4r. (II) Una luz de intensidadIo que se propagaen dirección¿ sepolarizalinealmenteen di¡ecciónx, no pasapor unahoja de Polaroid quedejapasarluz polarizadaen direccióny. l: figura35-28muesttaun modoenel queesaluzpuedepasar por el analizadoren direccióny, si se usa un segundo analizador.Si el analizadorinferiorforma un ánguloI con la dirección¡, ¿cuáles la intensidadde la luz quepasapor el analizadorsuperior?

pasaurn corriente1- .focos(arr). (a)Celculeelcampomagnético dent¡odelsolenoide. el campoelectricoinducido 1t) C.alcule dentrodcl solenoide cohrofunció¡ide la distailcia r al eje, (c) Calculeel vectorde Poynting, S. En especial, dete'nnine su direcciónen distintosliemposduranteun ciclo, 46. (II) Los camposeléctricoy magnéticode unaondaelectroactú3nsobreuna cargaq. ¿Conqué velocidad magnética debcmoversela cargaparaquc lá fuerzarnagnética sobre ) ella sea,cuandomás,el i0% clela fuerzaeléctrica? Si la viaja cn direcciónz y el .campo onda elect¡omagnetica eléclricosóiotieneunacomponente x, ¿cuálesla diiección (o Cirecciones) del movimientode 4, paraque la magnitud cieia i.:erz¿rnaenética seamáxima?

8l ¡nlarizador solo transmitc a E polarizadc cn dircccióny

El polarizador solo t¡arsmitc a E poianzrio cn rirgulo 0 rcsPcctc al c;c.r

41. FIGURA35-28Problcma de intensidad/0,pasaa trar'ésde 42. (II) Una luz no polarizada, (a) ¿Cuáles la dos láminasde Polaroid, sucesivamente. intersidadde la luz despuésde haberpasadopor Ia primera lámina?(b) La segundaláminase hacegirar de tal manera quela intensidad escero.¿Quéángulo dela luz transmitida polarización de las dos láminas?(c) Entre formanlosejesde las doshojasde Polaroidse introduceuna te¡cera.Calcule l¡¡intensidadcomofuncióndeI rlnguloI qucformael ejede quela ia terce¡aláminacon el de la primera.(d) Demuestre

1 0l 0

i1l) Secuentaconla velasolarquesedescribióenlapregunta ?. Sepuedeaiiilearparaqúesu áreaseaperpendicular a una lÍrea raiial procedentedel Sol, paraque sufraun érñpuje que,en estábónfiguraDemuestre iirecto de alejanriento. ción,la fueza sobrela velasiemprctieneel mismosignoy esprcporcional a I lF, siendor la distancia de la velaal Sol. Supongaoue sobrela vela actúantan sólo la presiónde debidaal Sol.Estemétoraciiación ¡' la fuerzagravitacional dc eccnónricode propulsiónse ha propuestopara viajar hasialos confinesdel sistemasolar,cuandoel tiempode tránsitono seafacto¡importante. 48. (II) Una vela solar(véasepregunta7) debecumplirconlos requisitosde quecuandoestéperpendicular a los rayosdel Soi,¡' estéa 1.5xl0" m del Sol,la presiónderadiación,P, sobreella,anuleexactamente la atraccióngavitacionaldel Sol.k densidaddel materialde la vela,queesunahojade espesorconstante, es p. (a) CalculeP, si el flujo de energla i sola¡es 1.4kW/m2en el radiode la órbitade la Tiena.(b) Expreseel espesorde la vela en términosde p, P,la masa gravitacional. del Sol,y la constante Si p es2.0 x 10rkg/m1 es el espesor del vela? debe material de la Suresultado ¿cuál serindeoendiente deláreade la vela. 49. (n) Deduzcauna ecuaciónparael campoeléctricode una planaconlassiguientes propiedade.s: ondaelectromagnética (a) la frecuenciaes 1012Hz; (b) la ondase propagaenun mediode fndicede refracción1.5.(c) sepropagaa lo la¡go de unalfneaen el planorz queformaun ángulode 45ocon el eje zi (d) estdpolarizadaa lo largodol ejoy; (o) el valor promediodel vectorde Poyntinges 103flm2.

o o O

o a o O o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

o o

o o o o o o o o o o o o o o o o O

o o o o o o o o o o o o o o o

a o

o o o o o o o o o o o o

50. (U) Una piscina tiene alumbradosubma¡fuio.¿Cuál es el ángulo de Brewster para la reflexión sobre el éspejodel agua?El fndicedc ref¡accióndel aguaes 1.33. 51. (ID I: cantidadde energlasolar que llega a su organismo, cuandose da un baño de sol en la playa, ei de unos 1000 flm2. Supongaque su organismoabsorbael 50%de esta radiación incidente, y que el área expuestasea 0.8 m2. ¿Cuántaenergfasolar absorbeusteden 2 h? 52. (II) Un láscrpulsado,dc alta potencia,sc usaparacbnfinar plasmaparaestudiosde fusiónnuclear;su potencianominal es 10 MW. El rayo láserso enfoca en un áreade I mm¡. Calculcla intensidad,camposeléctricoy magnéticomáximos,y la densidadpromediode energlaen eserayo. Comparesusresultadoscon lastablas23-1y 29-l,que muestran algunosvaloresde camposeléctricosy magnéticos, respcctivamente. 53. (ID ¿Cuáles el númerode fotones/mrque contieneun rayo dc radiaciónelectromagnética do 2 cm de longitudy cuya arnplituddc campocléctricocs l0 V/m? 54. 0D El flujo de energlasolara unadistanciaRsr 1.5x 10t' m del Sol,queesel radiode la órbitatenestre,1400flm2. (a) ¿Cuáles el flujo de energlatotal del Sol, en watts?(b) Supongaque la longitud de onda promediode la ¡adiación es600 nm; calculeel númerototalde fotonesemitidos.(c) Conel resultadode la parte(b), calculeel númerode fotones por segundoque llegana una superÍrciede I mm x I mm a la distanciaR¡. Estasuperficieda caraal Sol. 55. (ID Un láseremite N fotonesde frecuencia/. El rayo llega a un espcjoque sc mucvc con una velocidadu en dirección quela energfacinética depropagación del rayo.Suponiendo del espejocs muchcimayorquc le del rayo,con la conservación de la energla.y la conservaciónde la cantidadde movimiento,determinela frecuenciadel rayo reflejado.

Considere que el fotón es una partlcula de ene¡gfa l/ cantidad de nrovinriento /r//c.

y

56. (III) Se tiene una corriente .f que pasa po¡ un alamb¡e cillndrico de longitud l, radio b y resistenciaR. La corriente pasa uniformemente a través de la sección transversaldel alambre. Calcule los calnpos eléctricosdentro y en la superficie del alambre. La corriente en el conductor da lugar a un campo magnético, que ¡ruedeusted calcular. Con esoscampos, detennine Ia dirección y nragnitud del vector de Poynting sobre la superficie dei alanrbre.Demuest¡e que la rapidez de flujo de energfa hacia el alanrbre a travós de su superficie es IR2, que es la potencia disipada en el calentamiento óhnlico.

57.(III)

Se tiene un capacitorformado por dos placasmetálicas circularesde radio R, a una distanciad entresf. ft es mucho mayor que d, de tal modo que se pueden despreciar los camposmarginales.Si la carga,Q, sobrelas placas,carnbia con el tiempo,cntonces,scgúnla lcy dc Arn¡róre,sc inclucird un ca¡r'rpo magnéticocn la región e¡rtrclas placas.(a) ¿Cuál es el cámpo magnéticoi¡rducido?(b) Con esecampo magnético inducido y un cálculo del campo eléctrico entre las placas,determineel vector de Poynting. (c) Demuestreque con esevecto¡ de Poynting, el flujo neto de energfahacia el capacitoresla rapidezde cambiode la energfadei capacitor,

ql2c.

58. (III) Se tiene una onda elect¡omagnéticaplana de frecuencia /, que se propagaen dirección z en una caja cúbica, de lado L, siendo L mucho mayor que la longitud de onda.El campo eléctrico de la radiación tiene la forma E = Eo sen(kz- orr)i. También, en forma altemativa, podemos decir que la radiación está formada de Nfotones, y cada uno se propaga en dirección z con una energfa /r/, siendo /¡ la constante de Planck. Con dos ecuacionesallernativasde la energ(ade la radiación,expreseEo en términosde h, !, N y L.

o o o o o o o o o o o

cAPr r uLo 3 6

O

Las pinforcs impresionisras¡nlenlarottcon cncono copturar, e¡ s¡tscuod.ros,,los cfCCtos núgicos dc Ia luZ, conto ctt isla csccnadc los botescn cl río Scna,cn Francig: Regatacn Argcntevil, de Claude Monct.

LA LTJZ

IJnu d" las propiedadesmás notables de la luz es que parec'éptóprigarse.eh llneas rectas.Este hecho se n¡at¡ifiestaen la llitidez de las solnbrai, y en loirayos quese mafcan cuando la Iuz penetraa un recinto oscuro y polvoso, a travésde utra abeftuta diminuta. l¡ creenciaprimitiva de que vemos los objetosporque 4lgoemiten nuestros ojos persistió el tiernpo suficiente para heredarnos utr tnodislno ("echamos una mirada"), pero aun los frlósofos de la antigua Grecia relacionaron la emisión de luz con fuentes como el Sol, e identifica¡on al ojo como un detector. El movjmiento rectilíneo de la luz pareceindicar que está formada por partfculas emitidas.potuna fuente, e Isaac Newton, cuyos primeros trabajos fueron sobre óptica, tespaldaron, finalmente,esa hipótsis (figura 36-1a).El tnodelo de partículaspodla explicarlas observacionesen .lostiempos de Newton. De hecho, sorptende que en esosafiosla idea de que la luz collsisteen ondas,haya ganadopopularidad,pero asl fue,'conbase en la idea de Robert Hooke, de que la luz es cierto tipo de actividad oscilatoria enu[ medio todavla desconocido. Esa idea condujo, en 1687, a Christian Huygens a proponer una teorla ondulatoria de la luz. En estecapítulo lnostraretrlosque la teorfa ondulatoda puede explicar todo lo que la teoría corpuscular también puede. En los fenólnenosque sólo puedeexplicar la teorÍaondulatoria. capltulos 38 y 39 ¡¡resentaremos A principios del siglo XIX, era aparenteque algunas observacionesno podfan ser explicadaspot la teotla corpuscula¡,e indicabanque la luz se comporta como üna revisamgqconcuidado,la onda. Por ejemplo; cuando,bajo condiciones.controladas, luz no produce sombrasnítidas; hastacierto punto, l¿ luz.pe dobla en las esquinas,

i0+2

..¡

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

o

o o o o o o o o o o

o o o o o O o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o O

Newtonno tenfael equiponecesafioparaefectuarestaobservación, y, de hecho, combatió la teorfaondulatoriabasándose en que la luz no parecedoblarseen las esquinas. O bien, nuevamente bajo condicionesconttoladas,podemosver que los haces de luz se interfierenentresl de la mismaformaquelas ondasdiscutidasen el capftulo l5 interfierenentresf. Los experimentos definitivos,de ThornasYoung,en 1801, ncercade los aspectos ondulatorios de ln luz, filralmetlteestablccierorr ta prcctnincttcin de ln tcorfnondulntorin (figurn36-lb), Ln sigrricnlc prcclicciórr rlc lns ecuaciones de Mnxwcll accrcode la luz y delnásondaselectrotnngnéticas ¡:arccfa haberresueltoel asunto de una vez por todas.Sin embargo,en el siglo XX, hubimos de revisar nuestro punto de vis[a una vez más, porque los nuevos experimentos indicabanque algunos aspectosde la luz sólo se puedenexplicar si éstase comporta ¡ vecescomo compuesta de partlculas. En la actualidad no estamos obligados a escogefentfe una teotla corpusculat y una ondulatoria de la luz. La explicación mecánicocuántica abarca ambas. En este capftulo y en el siguiente,nos concentraremosen las propiedadesde la luzquese conoclan en los tiempos de Newton y Huygens.Describenlas propiedades enlas cuales,en su mayot pafte, tenemosalgo de experienciacotidiana: la reflexión

delaluzenlosespejos, al pasarporlenteso agua,y la dispersión, la refracción que origina losarcoirisy la separación deloscolo¡es. Iá. YELOCIDAD DE IA LUZ 'O.I Pa¡ademostrarque la luz viaja a velocidadfinita se requierealgo de inventiva. AunqueGalileohabfaadmitidola posibilidaddequela velocidaddela luz fuerafinita, susprimerosintentosexperimentale deobservaruntiempofinito depropagación para el pasode la luz desdela cumbrede una montañahastala de otra,fallaron.Olaus Roemerefectuóobservaciones en 1675,de los eclipsesde las lunas de Júpiter. en distintasépocas Enconttóque la sincronización de esosfenómenos,observados del año, se podfanexplicar sólo suponiendoun valor grande,pero finito, de la velocidad de la luz.Roemerempleódatosdelsistema.solar, disponibles enesosañós, y obtuvocomovelocidadde laluz2 x 108m/s,lo cual,desdeluego,esun resultado deordende magnitudcorrecto.Lasptimerasmedicionesterrestres lashizo en 1849 HippolyteFizeau,quienempleóun aparatoihgenioso,que mostramosen la figura 36-2a.Secolocaunafuenteluminosadetrásdeunaruedadentadaquesepuedehacer girara grandesvelocidades. La luz pasapor unaplacade vidrio inclinada,y después pasaa un espejo entredosdientesdela ruedagiratoria(figura36-2b).A continuación y sereflejadirectamente. Si la velocidadde la luz fuera infinita, podríafegresar di¡ectamente al huecoentreel diente I y el 2, el mismo huecopor el cual entró, de la velocidadde rotaciónde la ruedadentada(figura36-2c). fndependientemente porel mismohuecosi la velocidad b ,iz gueüaja a unavelocidadfinita tarnbiénpasarfa :e+= :e la ruedafueramuy lenta.Pero,si ac¿leramos la rueday lá velocidadde la luz

I,'IGURA 36-1 (n) Corrccptorlc la nalttralczaco4lrscrrlarrlc la luz, scgrin Nowton, En os(c csqucnra,dc srr libro Optica (1704),las líncasAB y CD rcprcscntansupcrficics do vidrio. (b) El concoptodc la naturalczaondulaloriadc la luz, Jrorpartc dc Yor.mg.En cstc esql¡crrla, dc susco¡rfcrcnciaspublicadascn I 807, los puntos A y B roprcscntanagujcros dc alfilcr; los prrntosC y Ii rcprcscn(an r¡rn¡¡cl¡ns rkl¡xlol¡rso¡rrlassc fr:fr¡t:rzn¡t t:t¡lrr: sí, y l os ¡urrrl os I) y l r, rrurrx:l urs rk rv l c ¡l r s o fol l tc,fTlr t.

ro44 Capítulo36

t I

Obsorvador Laluz

tl (b )

(c)

.

(d)

trIGURA 3ó.2 Método dc Fizcaupara mcdirla volocidaddc la luz: (a) csqucma dcl aparatoquc usó.(b) l^a luz incidcntc y (c) la rcflcjada pasana travásdo la misma ranura.(d) Ct¡andola n¡cdagira mlis aprisa, la luz roflcjadano pucdopasarpor la ram¡¡a originalni la siguiontc.(o) Cururdola (c) velocidaddc rot¿cióncs todavíamayor,la luz rcflcjadapasapor la ranurasiguionte.

tieneun valor finito, c, entonces,a deüetminqdo valor dela velocidadangular,la rueda semoverálo suficiente,duranteel tiempoqueempleala luz en ir al espejoy regresár, y llegaráal diente2 (figuta36-2d),No hayluz quellegueal detector.Al girarla rudda aún másaprisa,la luz.llegade nuevo al detecto¡,féró estavez paia pot la siguiente'. ratrutaen la rueda,la que estáentrelos dientes2 y 3 (fígum 36-2e).Si lá ruedase mueve a una velocidadu, cuandose"presenlapoi_primgmvez'el casode'fa figurá 36-2e,entoncespodremosigualarel tiempo2Dlcqúetardala.luzenun viaje redondó desdela ruedahastael espejoy regresar,con eiiiémpo / lu quétárdala n¡edaengirar .''. : " una distanciade unaranura: . .:

t2D -:_ DC

F-D

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o o o o o o o o o o o o o o o a O o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

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o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

a o

o o. o o o o o o o o: o o

Enella,/ esla distanciaentredientes,y D 6la distanciade la ruedaal espejo.si D 1045 esmuchoq¡ayor que f ,entoncesbasüaun valot de v muchomenorque c paramedir 361 I¡ vdaldgl d. l¡ b c con exactitud. I-a mejor mediciónquedarlalimitada tansólo por nuestracapacidaddemedir el tiempoy la distancia.Ahora podemosmedir tiemposcon unaexactitudde I parteen rABLA 36-1 l013y distanciascon4 partesin 10e.Porconsiguiintu,hoydt¡nimos quelavelocidad INDICES DE RI]I¡RACCION DE DI. dela luz en el vacfoes c - 299,792,458mtsy, con la definiciónde c, empleamos el VBRSASSUSTANCIAS(A 1= 6o0 tiempoparamedir distancias.En esüenuevosistema,el metrono sedefine,sino que nm) Irulice de semide.un metro esla 11299,792,458 partede la distanciarecor¡idapor la luz en 1 Materlal Refracció4 n s.Parafines prdcticos,basüaemplearc - 3.00 x lO8rn/s.

Aire (1 atm,0oC) Dióxido de carbono (1 atm,0' C ) H i el o El índicc de rcfracción Agua(20'C) Fizeau también determinó que la velocidad de la luz en materiales transparentes, Alcohol etilico como agua o vidrio, es menor que la correspondienleen el espacio vaclo. Para la Aceitede ricino velocidadde la luz en el espacio vaclo reserva¡nosla letra c, y expresamosla velocidad Benceno Cuarzofundido en un maüerial como Vidrio Crown ( 36 - r ) Vid¡io Flint t1 Diamante

i.00029 1.0@15

1. 31 1.33 i.3ó 1.48 1.50 1.46 1.52 1.ó6 2.42

enla cual n es el tndicede refracción del material,cantidadque presentamosen el capftulo35. L,atabla 36-1 da una lista de los fndicesde ¡efracción de diversos materiales. Hayotro aspectode la velocidaddela luz en losmate¡iales quemerecemención especial: El{ndicederefracciónesfuncióndelalongituddeonda(ydelafrecuencia). Etindice
(36-2) n: {*. magnéticarelativa,K, 31, es Enestecaso,hemossupuestoque la permeabilidad transparentes a la luz. La variaciónde n con la buenaaproximaciónparasustancias frecuenciase debe a que la constantedieléctricatambién puedevariar con la ftey no emplear debemosemplearra la frecuenciaadecuada, Porconsiguiente, cuencia. suvalorest¡iticoen la ecuación(36-2).1,afrecuencia,.f,Y la longirudde onda,1,,se relacionanmediarrte.flt= u, de modo que en un medio de lndice de refracciónn, vemos,de acuerdocon la ecuación(36-1),que (3 6 -3 )

lA: -n

Esta ecuación muestra que es el producto de / por ,1,lo que es inversamente deun¡ ond¡p€nDanece proporcionala n. Nóteseque,al pasarla ¡adiaciónde un medio a otro, Iafrecucncia L¡ frecuenci¡ no cambía;Es fácil de comptender:imaginemosdos observadotesen amboslados igunl,rl paserdeunmedioaot¡o. deuna interfaseaire-vidrio. Cadafrente de onda que pasapor un observadordebe pasarpor el otro, potquesi no, habdaun apilemientode frentesde onda,o desapari/,e ciónde los mismos;ningunade las doscosaspuedesucede¡.Comoconsecuencia, velocidadde la luz cambia con eI índicede refraccíón,de tal modo quec/f=ú' es estoes,igual paraambosmedios.Asl, cuandola luz pasaentrelos medios constante;

lv 2, n rT r:

n242.

(36-4)

(¿l)

7046 Capitulo 36 Ia luz

¡j(

I'ICURA 3G3 (a) Cam¡rr clcctricoy . m¿gnóticodc uda ond¡ olcclron¡a.gnótica quoso?ropaga.(b) Is frcntcsdcondasc ' cscogbncn,fofmÁ arbitrsris,cn puntoscn ' "t , a

t cl&trico y los quc son miriÍ¡oE lorf- . .cámpps ¡nagnético; lps frcntcs podrian cstar if¡ 16. puritos dondé los canpc solr itc'ro ' ' -

¡

36:,2- ¿SEPROPAGAI-l\ LUZ EN LII{EA RECTA?''' " ' Una.de las nretasL ot. capítulg es desiribi¡ un modelo on¿lulatoiiode la lui; Podemos'ver,con bostantefeciliáad, gue ün modelo corpusculhfe'xplicalo
;En.el capitutp35 desctibiurc ¡ lis ohdaselictrbmaghéticasque sé propagua: lo largo del eje+z.hs depen&nciasespacialy tempotal,ile lbs cathpobeléctticosy magneticosse describenco¡¡rn¡afunción como cos(,tz- olf). Estafunción tieneuna seriede crestasy valles,y se tieneun máximo en ki'- ór :'0, o sea, ol -

-

-;f,

-

Lr,

el máximo seproinga a la velocidadc. Hemosllainadoa estouna Por consiguienüe, porque plana, todos lc prn¡tc bn el plimp rji, defin:idospór ün valor fijo dez, onda tienenlosmismoscamposseacualseael'válordex o dey (figura 36-3a).Asl, podemos describir los planospara los que-é-lúgurnenfo k: at es'constihte,ccimoreprc-I de onda.La,figura 366b muestrauna sucesiónde frentesde onda, sentando/?¿ntes tmnsversalesa la direcciónde'la ondá electrómagnética(lulninosa).Es útil pensar queesosftenüesde ondarepresenüuldetetfninadoconjunfode valotes de los canpos,' a lo largo de la onda.Por ejemplo,los frentesde ondapodiían reptesent¡rel lugu 'gbométricodé los puntostalesgue el campoeléctricses rr¡ixlmó e¡ ellós, o de los . puntos tales'queel'campoes cero en ellos. En la figuta.36-3b,en forma arbi-

o o o o o o o o a a o o o o o o o o o o O o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

o O

o o o a o o o o o o o o o o o o o o o O o o o o o o o o o o

a

O

o o o o o o o O o o

tralia, se establecenlos frentes de onda en los puntos donde amboscarnposson máximos.Siempreque no haya obskiculos,la secuenciade los frentesde onda se muevea la velodidadc a lo largo de la direcciónodginal de propagación.En ot¡as palabras,la ondasepropagaen llnearectotexactamente tal cornola observamos. I

I,rlnclplo dc Huygcn Podemoscomprenderesosresultadosdesdeotro puntode vista.Imaginemosun frente de onda que se propagaen dirección +¿ (figura 36-4a).La ubicacióndel frente de ondadespuesde un intervalo de tiempoAf se calculaconsidemndoque todo punto del frentede ondaodginal funcionacomofuentede luz, emitiendoun pulsoesférico deradiación(figr¡ra364b). El radiodela esferaenel espaciovacfoesc Af, la distancia queviaja la luz duranteel tiempoAl. En un medioen el cualla velocidadde la luz es c/n, elndio de la esferasereducea (cln) At, o sea,en un factorn. En el llmite en el T quela separaciónentretodoslos puntosdeemisiónespequeña,la envolventedetodas ( A t + esasesferasdiminutas,medidaen dirección de la propagacióndel frentc de onda .'Ll inicial,es un nuevofrentede onda.En el espaciovacfo,los frentesde ondaquese I genemnasfpeffnanecenplanosy patalelosal plano;ry.Así, seasegurala propagación cLt ldelosfrentesdeondaen llnearecta.Ch¡istianHuygensdesanollóestemanejodelas (a) ondas,quese llamaprincipio de Huygens. Se puedejustificarel principiode Huygensmedianteun estudiodetalladodel comportamiento de las ondascon las ecuaciones de Maxwell, lo cual no haremos. aquí.El principio fisico es sencillo,si nos imagina¡nosque una ondaesuna perturbaciónquesepropagaen un medio.Un puntodeunaperturbaciónperturbaal medio vecinoa é1,el cual,a su vez,perturbael mediovecino,y asfsucesivamente. La perturbaciónprosiguea velocidaddefinida.Por consiguiente,el efectode una perturbaciónen un puntoesuna perturbaciónque aparecedespuesen unaesferaquerodeaal punto.I-aúnicapropiedadde lasondaselectromagnéticas queesdistintaesque,como indicanlas ecuacionesde Maxwell, no esnecesarioun medío. Veamosahotalo queda comoresulLado el principiodeHuygenscuandoun frente deondase acercaa una iariura en una pared(figura 3ó-5).Cuandollega a la pared, tansólo la partede la onda dent¡ode la ranurapuedecontinuarpropagándose.'Esa partege¡era ondasque se propagana travésde la ranura,con la cualidadadicional deque las ondasesféricasemitidasce¡cade los bordesde la ranurano tienenondas vecinas,y segenerauna ondaquesepropagaalejándosede losbordesde la'rahura, ¡'IGURA 36-4 (a) Corstrucción dc hacia los lados,Esta dispersiónde la onda alrededorde los bordesde la ranurase fhrygcru, do frontcs do ond¡, [¡s ondrs sccundariasquc sc cmitcn cn cada pmto dcl conmayordetalleenel capítulo39.El principio frcntc dc onda sc srnrvul y forrnan un nucvo llamadifrección,quedescribiremos en términosde la f¡acciónde frcnlc dc onda, y produccn ondas plarus. ic. esaprcciable, deHuygensnc sugietcquela propagación sólosi la longituddeondaesaproximadamente en lasondasdesviadas, igual, Rcprcscntacióndc Iluygers dc las oni.< energla sccrmdarias,cn su libro Traité de i¿ l¿,m:ir¿ o mayor,queel tamañode la ranura.Si el anchode la ranuraesmuchomayorque la (1678). I

I

Di¡ccción do la onda

I [¡s ondas sc dcsvian on las orillas dc la ranura

FIGUII A 36-5 Corst¡ucciür do l luygcrs, der-rcnlcs¿c ¡r¡¡ rf, -.sb::r:rÍ. y pasar¡a bavesdotir¡aranu¡¡ abiefa cn ur¡apa;cC.)-a ;.rs,l;r r :r¡:i!.r"¡-..:Í frcnfcsdc ondasedcsüa¡ alrcdedordc la-scriil¿-.ú ;::-q:¡.

o o o o o o o o o a o o o

lOtt9 c.1pírulo 36'k

hlz

I'IGURA 36-6 Lc rayc son línc¿s pcrpcndicula¡cs a los frcntcs dc onda; ¡nr corusiguicntc, sc ticnc ln dirccciónrlc propagacióndc la luz. Ar¡ui sc trsatur l;iscr pan mcrlir las imprrrczascn cl arscnirlrodc g a lio ,r n a tctlascr l n ico n(hrcl orr,

O

longitud de onda, sólo una pequeñafracción de la eriergfasC va corr las ondas desviadab,y eScorrecto considerarque toda la ranura es uha füentCde uh frenté de onda plano. Como la luz tiene longitudesde onda de unos 5'x '19-zin, la ranurano debe ser mucho más grandeque esetamaño para que el efecto seaapreciable.Estaes la explicación de por qué no se obsera'óla difracción de la luz en l'áépbcade Newton, Una muest¡anótabledel efectoque acabamosde describir la vernoserrla figum iniciaL del capítulo 15, que muestraa olas eh el mar, lasd,ndo'Rorunaisla. ' Rayos (r) Normal a h su¡rcrficlo

Rayo incidontc

En estemomentono nos interesatodo el frente de onda. Podetnosdescribirel comportamiento de la luz tansóloen ténninosde la dirección,de y de propagación cambiosde esadirección.Podemos seguiresadirecciónmedianterayos,quesotl líneasperpendiculares a los frentesde onda.La luz que entraa un cuartooscurecido,. ; por un agujerito,es un cuad¡ovivido de la propagaciónen forma de iayós, al igual

queia luz queemiteun láser(figura36-6).Nonnalmente, no.y¿r¡o.s losrayoq,pero sepuedenhacervisiblescuandola luz sedispersa por,digámos,'pattfculas dqpolvo, queviajaentodaslasditecciones,, No vemosla luz de lasestrellas desde,u¡ra estrella laluz.La quela rodeabsvacío,,sin porqueel espacio luminosa, materiaquedisperse descripción de la luz basadaen la propaeación de ios rayosen lfirearectasellama ópticageométrica.

36-3 (b ) FIGURA 36-7 (a) Rayo Liser qrrc so reflcja cn uru srqrerficic plan'r. Iin trna l¡imina dc vidrio, hay rkrs rnyos rcflcjldos, urro cn la su¡rcrficlc dclantcra y cl otro cn la su¡rcrficlo tnsera. (r) El ángulo dc incidcncia, 0, os igr.nl al ángulo dc rcflcxión, 8'.

Ley de reflexión

REFLExToNY REFRACcToN

Reflexión Un rayo luminoso se refleja, esto es, "¡ebotalr, cuando llega a una superficie lisa, como la de un espejo.El rayo inc¡dentcforma un ángulo; O,'conla lfnea normal a la superficie en el punto de reflexión. El ra¡'o reflejado quedaen el planb fonnado por .el qay.oincidentey la normal (figuta 36-7a).El ángulo,9; que fomra el rayo reflejado con la normal, obedecela ecuaciónconocidacomo ley dc reflcxión:

U= 0

(3ó-5)

(figuia ¡dlZU). I-as consecuenciasde estaiey se ven e¡ la figr¡ra 36-8aparala reflexion db un conjrnrtode rayodparalelos(un ftozde rayos)incidentes,de un espcjoplano¡, en la figura 36-8b, para el caso de una superficie curva. Para ésta, los ángulos d:

o o I

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O

o o o t o O o

o o o o o o o O o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o t o o o o o

Hazdc rayos' rcllcJadoa

10i9 36-3 Rdlcrtón

y rcfrrcriío

¡TIGITRA36.8 Rofloxldmdo nyos do su¡rorficlcs(a) planasy (b) curvas.

incidenciay reflexión siguensiendoiguales,pero la direcciónde la normal a la varfadepuntoa punto,y lostayosfeflejadosittadianenvariasdirecciones. superfltcie EJEMPLO 3 6 - 1 Unrayodeluzincidesobredos espejos colocados a 90o entresl. Esterayoestáen el planoperpendicular a los dosespejos(figura36-9). el rayoquesaletendrála Demuest¡eque,después de dosreflexionessucesivas, misma dirección del rayo que llega, péto en sentidocontrario,sin importar el ri,nguloque forme el rayo incidentecon los espejos. SOLUCION:En la figura 36-9 vemosque el ángulo ACB, entrelasdosnormales a lassuperficiesperpendiculares entresf, es90o,En consecuencia, el ánguloBCD y, porconsiguiente, estambién9Oo.Los triríngulos ABC y DBC soncongruentes, el ringuloCDB,marcadocon 0, es iguala 0. Asf, el rayoqueent¡ay el quesale formanel mismoángulocon la llnear{D, y sonparalelos.

FIGIJRA3&9 Djcmplo3G1.El n¡-oqx llogaal puntoz,l,salcfirulrncniepcr 5D.

APLICACION Reflectores de rincón

El ejemplo36-1demuestra el principiode construcción delos reJlectoresde rincón En ellos,se colocantres espejosformarrdoringulosde 90oentresf, como el tincóninteriorde un tecinto,o bien,un conjuntode esosrinconescolocadouno junto a ot¡o. l,a figuta Bl-1 muestrael trayectode un rayoal llegara un reflectorde rincón.Con los mismosprincipios geométricosque se emplearonen el ejemplo36-1 se demuestraqueun rayo incidenteen cualquierángulo, en dirección salede un reflectorde rincón exacüamente paralelaal rayo incidente.Los reflecto¡esde rincón se usanen la actualidad,rutinariamente,como y . ma¡cadoresde curvasen caffetetas,y en.camiones tróilers,porquela luz de los fatos de otro vet¡lculose a esevehlculo.. teflejay regresa,automáticamente, Duranüela misión Apolo 11, en 1969,se colocóun reflecto¡de rincón, y seha observado,mediantepulsos de luz de l¡iseremitida desdela Tierra, que tebotarry regiesan(figuraBl-2). Es posiblemedircongran exactitud intervalode tiempo que transcuneentreia "i es partidade un pulso y su regreso.En consecuencia,

FlGtlRA Bt-f

Reflcctordc rincón-

posiblemedir la distanciaentreel laser¡' el ¡ei¿::;: :; la Luna con una exactitudde 15 cm. Una a:,.::::::: ptáctica de las mediciones con tal e:rs::ir:i e-.::. topografla,o agtimensura.L¿ telel-,¡':a . --::empleadoparaestudiarei movine:.:: :e-::-. : :: - .:.

(a)l l ayol áserrl i ri gi ) lloflcckrr dc rinc
dosbordesde la falla de SanAndrés,en California. ordinarapuedemedir'los Ningunatécnicatopográfica pequeños cambiosde posicióntelativadepuntosen ambosladosde la falla, en promedio,de unospocos por año.Lasmedicionesconreflectoresde centímetros

'rincótr también muestraÍ¡,coll una exactitud de una parteen l0rr, que la L.unay la Tierra estátracelerando hacia el Sol, en fonna idóntiea.Es r¡naprueba extremadatnelrte buetradel principio de equivalencia (vóasecapítul ol 2).

Refracción Cuando la luz que fonna un rayo pasade aire a agua,o, en fonna más general,deutt medio a otro, el rayo incidente se desvíade su dirección original en la frontera entre los medios;se dice que el rayo sufreuná rcfracción (figura 36-l0a). Seann¡ el índice de refracción del rnedio del rayo incidente,y n2 el del medio del rayo refractado.Los ángulos que forman los rayos irrcidentcy refiactado con la llnea nonnal a la frontera

(a)

(b)

pasardounmcdio FIQURA36-10(q).Unrayodcltuscrcfraclaalcntra¡aunln¡rqucdbagrra.(b)rcfracciónnl scdcsvra conindiccderefracciónnr,a otróconindiccdc n:fracciónnr.En cstccaso,rt, ) nr,y el rayorcfractado haciala normalá la súpcrficic'dela interfasc.Si n, hubicrasidomcnqrquc n,, el rayo rcfractadosehabria dela normal. dcsviadoaleiándosc ;r¡

|

o ¡ o o o o O o I o o a a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o I o o o o a o o o o o

It l.

lo lo lo lo to

lo o a o o o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o

entre los medios son 0¡ y 92,respectivamente(figura 36- r0b). Entonces It r sett 0¡ -

sen 0 2. '¡2

10i 1 (3ó-6)

3(>.1 Rcflcxl{¡n

y rcfnealón

Ley dc Srrell, de l¡ refr¡cció¡r

&te resultado, queehcontró WillebrordSnellen 162l,seconocecomoley ¿eSnell. El Índicede refraccióndel aireescasila unidad,demodoqueel ángulo, ór, d"l tuyo tcfractadoetr la frontera,cuandola luz pasadel aire a un medio con lndice de refracción n, estáexpresado por sen0¡ - n sen02.

(36-7)

como n es,por lo general,mayot que I, entonces02< 9¡; esto es,la htzse clesv{a haciala normala la superficiede lafrontera.I-aecuación(36-6)tambiénindicaque cuandola luz entraa un medioconmenorfndicederefracción,comocuandopurudu aguaa aire,sedesvfay sealejamásde la lfneanormala la frontera(figura36-l l). EJEMPLO 3 6 - 2 Veamosla luzquerefractaun prisma, cuyafonnaesde triánguloequilátero(figura 36-12).El rayo incidentees paraleloa la basedel prisma.¿Cuálesla desviacióntotaldelrayo,si el indicederefraccióndelmaterial delprismaes 1.50? SOLUCION: l,a luz pasapor dossuperficies, y debemosapiicarla ley de Snellen cadainterfase. La figura36-12muesfaqueel ánguloqueformael rayoincidente conla notmala la primerasuperficiees 0 - 30o.El ángulo,ó , queformael rayo refractadocon la normala la primerasuperfrciees,de acuerdocon la ecuación (36-7),

fiGURA 3ó-f l El agrraücnc wr índic¡ dc rcfracción mayor quc cl dcl airc, do modo qrrc la palc sruncrgida dc csta rcgla parccc doblarsc y olcjarsc dc ln nornral a l¡ srr¡nrficic
sen0=nsenó da comoresultado Cuandon : 1.50y 0 = 30",eastaecuación ó: 19.5'. que refractado es el rayoincidente el rayo también I.a figura36-12muestra en la segundasuperficie.Si el ringuloqueformael rayorefractadoconla normal = ty,entonces a lasegundasuperficiees {+ r¡r+ 120o- 180o,o sea, V/ ó0' - Ó ' 60o- 19.5o- 40.5",El ringulo,0, queformael segundorayorefractadoconla normal a la segundasuperficieeskideterminadopor sen 0'= n sen t/ - 1.50sen(40.5")- 0.97 Asl, fl = sen-t 10.97¡= 77",f ,comovemosenla fi gura36-l2,el ánguloqueforma el rayode luz quesale,con la basedel prisma,es 0' - 0 ' 7'7o- 30o' 47o.

/'1 I¡rimcr rayo rof'racta
.1 l2(lo

La refraccióncausaalgunosefectosópticoscuriosos.Porejemplo,el acortamien- rqcuRA36-12Ejcmplo 36-2. gmmétrica dclalraycctoria to deun objetoen el aguaesun fenómenocomún(figura 36-13a).Si el lectores!áen construcción qucsigucunrayoincidentccnrnprisnn' la orilla de una pisciiá, una pemonaque estedent¡ode ella le pareceráque tiene asignaal origendeun rayoluminoso, piemascortas(figuta36-13b).Un observador desdelos pies dé la personaen la piscina,un punto que estáen una recta en cuya el observador cteeque Porconsiguiente, direcciónel rayoenttaal ojo del obsetvadot. el puntoP es el origendel rayo que procedede los pies. Energía en la reflexión y la r.efracción de reflexión.El rayo incidente Por lo general,la tefracciónviene acompañada en ptoporciónal cuadradodel campoeléct¡ico transporta energlaelectromagnética, incidente,E-. En la frontera ent¡e los medios, esa energíase divide en energla rcfnctadz y aneryla rcflejada,de tal m,úo que la anergla tatal re conrcrva, En co¡rsccr¡eocia d¿lalñríaelercntagné!.íe,anan&laluzincídeprpndiaiarmenb.

j -

t

.

'tr'IGLRA36-13(a)Dcsdecatcánguloscpucdevcrlaprofindidadvcrdadcradolarcglhsumcrgida, al igrnl qw la profundidad acofada. (b) Una ¡rcrsonadc pic dentro do una piscina parccc tcncr las piemas más cofai, scgún un obascrvadorfucra dc la piscina.

en la superficie que separaa un medio de índice de refracción nl, d'eotfo de fndice de refracciónn2, la intensidadde la luz reflejada,I., se ¡elacionacon la intcnsidad incidente,Is, medi ante (36-8 ) r11, r¡r,: incidentede aire (n - 1.0) en vidrio (n - 1.5),sólo Asf, paraluz perpendicularmente se reflejael 4% de la luz incidente.[.a intensidaddel rayo reflejadovaria de acuerdo con el ringulode incidencia 1,,

Rcflcxión

I.'IGURA 3ó-14 (a) Divcrsos rayos ¡rropagándosccn un medio con mayor indicc dc rcfracción (agua), a otro con mcnor indicc (airc). Cuando ol ángulo do incidcncia os 0., hay roflcxlón lntorna total. (b) Rcfracción y rcflcxión intcma total cn la intcrfasc airo-agua dc tm tanquc dc agru.

'r2 lairc) rr ¡ (a8ttt

(a)

1052

lntcrna total

Paraalgunosángulosde incidencia.toCala energíaestáen el rayo reflejado,Estecaso se conocecomo reflexión interna tolal, 1'sólopuedepresentarse buandola luz pasa de un medio con ma)'orurdicede refracciónhaciauno con menorfndice,como cuando la luz pasadel agua al ai¡e. Podemoscomp;ender estefenómeno nredianteesquemas geométricossencillos. lmaginemosun ra)'o incidentede luz, iesie un medio con indice de refracción n1,QU€pasaa otro con Ínciicede refracció:rn.. pero estavez, siendo\> trz.Laley de Snell,ecuación(36-6),se puedeescribi¡en la forma sen 92 = (nt|n) sen 0¡. Como el facto¡ nrln2esma)'or que la unidad, 8¡ ijega a 90oantesque lo haga 0¡, cuandova creciendo.l: figura 36- i4 muest¡a1oque n:ceCcpaia diversosvaloresde 01.Cuando 02 = 90o,el rayo en el medio 2 se desliza por la interfasede los dos medios. Esto

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

o o o o o o o o o a a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

sucedecuando 0t alcanzaun valo¡ crftico, Q, tal que (nJn) sen 0. - sen 90o - l, o sea

xn 0, :2

(36 -9)

nl

An"Sulo critico pere reflexión interne

Cuando0¡ esmayot que 0",no hay ringulo02quesatisfagala ley de Snell.La energfa electromagnética que transportael rayo incidentedebeir a algún lugar,y el rayo se refleja.No hay disminuciónde intensidaddel rayoreflejado;la reflexiónestotal. EJEMPLo 3 6 - 3 Una nadadora buceaen una piscinaprofunda,con sus ojosa una distanciahorizontalR - 1.5m de la orilla (figura36-15).¿Hastaqué profundidad bajola superficieseencuentran susojossi apenas puedeverla altura totalde un guardavidas paradoen la orilla?El.índicede refraccióndel aguaes 1.33. SOLUCION: Nos intetesaun fayo de los piesdel guardavidas hastalos ojosde la nadadota. Si ellapuedever lospiesdel guardavidas, el restoserávisible.Cuando los ojos eslánen el punto másprofundoposibley puedaver los pies,el rayo en teversa,estoes,el queva de los ojos de la nadadoraa la basede los pies,debe fotmarel ringulocrltico,Q (figuta36-15).De acuerdocon la ecuación(36-9), sen0" :

nt¡* ntg*

-

1 negu

siendo D la profundidad máxima posible de los ojos de la nadadora,Podemos despejarD de estaecuacion:

Dz- R'(n-2.^- l) - i.? m:; l) - (1.5m)2(1.332 ' r8r¡8 D-1.3m. tecnológicas másimporunade lasaplicaciones Lasñbres ópticestepresentan tantesde la reflexióninternatoüal.El principiosobreel que s€basaestatécnicade de la luz deun lugata otroesdirecta:unafibrade plásticotransparente conducción sirvecomoconductotde la luz si un rayo en su interiorsufreteflexióninternatotal al llegar a la superficielateral de la fibra (figura 36-16a).Limitaremosnuestra de la longitudde la a fibrascuyo dirimetroseagrandeen comParación descripción

cstóncasicn el fondodc !¡ FICURA 36-15 Ejcrnplo36-3. Cuandolos ojosdc la nadadora el rayocr'rc loso;r ¡ los picsdol guardavidas, piscina,y npcnaspucdanscguir¡rcrcibicndo critico. lospicsticnccl ángrrlo

1ü 5 i

¡

ondacunducida; estoesrlnayorqueunos60 hm,.parano preocuparnos concomplicaciones dcbidasal carácter ondulatorio dela luz.Lasfibrascuyosdiárnetros sonde unos50 ¡lñr,.que,tnáso mel¡os,es el diámetrode t¡ncabellohurnano,se usancon f¡ecuencia. La figura36-16bmuestra un,rayoenel aire(n =.1),queentraa un cilindro de diámetroD, fonnandoun ángulo9¡ con el eje del cilindro.Si ryes el índicede refracciónde la fibra, entoncesel áriguloqueforma el rayb con el eje e¡rel interior de la fibra es 0¡ siendoscn 0¡ : sen0¡lrt¡.Esterayo llegaráa la pareddel cilindro formandoun ángulo(90' - 0¡)con ln lonnal a,ésta.FIab¡árcflexióntotal intenrasi n¡ sen(90o- ,0i , 1, estoes,si n7cos 0¡ > 1..Entonces,

--;., -r.;/ | -t- ¡t;: r ;-- *, scn'l/'>

nrcos0¡.- nrJl - scn20, - "t,.1

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Como sen2,l a t, tenemosque

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= uñi - i' J,?rl sen'--(),

I;ibra óptica

la condicióndereflexiótr Así,sesatisface automáticamente totalintema,r¡cos 0¡ >1, \.

't, "\*/-"

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.,¡ lii- l >1.

t

;

( 36- 10)

t

PLICACION

o t o o a a o

Fibrasópticas

al

Cotnoei v¡ilbrniáiilnodesen0¡cs I, ya quela luz cntraplinreroal cilirrclro desdesu

( l)) 1,1 (i l I lt A. ló-t ó ( r ) l l c l l c x i r S rlro l r l in l( :n n cn tun libnr ó¡rticn.(tr) Dctallc
c x lr L' t ¡ ¡ o,ln c c r ¡ ac iór l ( 3 6 - l 0 ) c s u n Í r c o t r c l i c i t i r rr l e r c l l c x i ó r l i t r l c n l a t o t a l , ,[T.fJt'ra fibra caractcrística tiure rrn illdice de rcfr¡cciórr de 1.62, rnayot que el valor crítico. Nótese qr¡e ¡.rliavez que ull ¡Ílvo está err el itltcrior de una fibra,

pennaneceallí, oun cuando se ctlrve la Jibro

t: I It

Las fibras ópticas desempeñanhoy un papel ilnportante en la tecnología (figura B2-l). El caso ideal descrito eu el texto se modifica cuando la fibra es real. La reflexión toüalinterna es algo menos que tolal, si hay impurezas como humedad, polvo o aceite sobre la superficie, porqr¡ela energfaelectromagnéticapuede tener fugas por la "barrera" fonnada por la capa de aire, la fibta y la imputeza. Este ptoblema se controla pritrcipalmenterecubriendo cada fibra con una capa transparentecuyo índice de refracción seamenor qüe el de la fibra. A este procedimiento se lellama-forrado, y ha permitido la implementación práctica de las fibras. ópticas (o de la óptica defibras) . La luz puede reflejarse miles de veces por metro, y, por lo tanto, es importanteno tener fugas de luz. En general,ia intensidadluminosa se atenúa (disminuye) a medida que el rayo se propaga en un medio, y es importante reducir esaatetruacióntanto como sea posible. Esto se ha logrado fabdcando la fibra con cualzo fundido, material muy transparente,y purificrindola para eliminar toda huella de agua.lara instrumentoscomo fbroscopios, que se usan en ex¿ímenesintemos del organismo humano, la distanciaque recorte lg.luz no . pasa de varios metros, y los refinamientos nrencionadosno son tatr crfticos (figura B2'2), En

JI

li

ot

o o o o o t

HCURAB2-1Fibras ópticas. comunicacionescon pulsos de luz en fibras ópticas, intervienen distanciasmucho mayores.Para el cable transatlánticoTAT-8, que puede conducir 40,0@ conversaciones en foffna simult¡inea con dos pares de fibras de vidrio, es necesarioelevar la señal cada 50 km, con una estaciónrepetidora.Esto es mucho menos caroque los sistemasde alámbre metálico, que

cadakilómetro.En el futu¡o tequierenel tefo¡zamiento cercanoseusaránfibrastnuchomásdelgadas; de l0¡m de diámetro,con luzláSer.Comohay tanpoca pérdidadeenetglaen esasfibras; el númerode (elementos de refuerzo)sereduce. repetidoras

o o o o a o a o o o o t o I o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

I [:li'' Ft¡cnlchurrinca :r

FTGURA B2-2 Un fibroscopio cstá formado pu ds haccs dc fibms ó¡icas; r¡rto cs psra cor¡dr¡ci¡ luz do r¡r¡¡ fucntc ¡ la zona quc sc vs a vcr, y cl otro para cor¡duirla dc csr zon¡ el ojo. En csta figrra sc cstá cxaminando rur ¡rolipo crr cl cstónrago.

136-4 REFLExToNy REFRAccToN A pARTTR DELPRINCIPIO DE FERMAT Comoejemplode funcionamientodel principiode Huygens,veamosla ley de tedefrentesdeonda flexión[ecuación(36-5)].La figura36-l7amuestraunasecuencia queseacercana un espejo.En la figura 36-17b,el puntoC2 es el cent¡ode una Frcntcs clc

Frcr¡to dc onda rcflcjada

a

o o o o o o o o o o o o o

flCIJR.A 3ó17 (a) Frcntes dc onda qrc sc acercan a un cspcjo plano. (b) Dcspucs, csc ¡ frcntcs sc roflcjan. Nótcso quo so mu.shan .,/ mcrios ondss sccundarias, para mayor claridad. i-os fror¡tcs so Scncrari rEdiarúc ls corst¡ucción dc fluygcrs. l: rclacitmCrD.. - C,D, lloga, con doduccioncs goorrÉbicas' al rcsultado dc quo lc ringulos dc irrcidcrria y do rcfloxión son.i¡ualcs. (c) Mwtcntc dcspucs. (d) Más ta¡dc, cuardo la rmye parto do Im frentcs dc onda yr sc rcflcjaru-

10i i

1056

onda esférica reflejacla,una entre muchas a lo largo del espejo. Se fotma un frente de onda que se aleja, o reflcjado, en este caso es la lfnea tanleltte al pünio D, d"l semicf¡culo con centroen C2.La distanciaque recorre la onda en el tiempo Af es igual en la.onda que llega y la que se va, de modo que, por,considetacionesgeométricas sencillasse llega al resultadodesctito en la ecüación (36-5), o sea, que el ríngulode reflexión es igual al ángulo de incidencia.Las figuras 36-17c y 36-17d muestran etapasmós avanzadasde la secuencin. Aunque la ley de Snell también se puede obtenerpor aplicación del principio de Huygens, la geometrfaes algo más complicada. La desviación del frente de onda se relacionacon la desaceleraciónde las ondasluminosas en el medio, Esta desviación se puede visualizar por analogfa con el cambio de dirección de una columna ancha de soldados,marchandoen ángulo respectoa üna banqueta,y que.tehganla orden de que al llegar a la banqueta,deben aminórat su velocidad sin cambiar la distanciaa otros soldadosen la fila. lrlás que presentarel.ejercicio.¡leométricode demosttarque la lef de Snell es consecuenciade la óbnstn:ciión de I{u"gens, la demostraremos pafiiendo del principio enunciadopor Pierre de Fermat, t r 1657. El principio de Fermet esüableceque

Cápírulo 76 lsb,¿.

Principio de Fernrnt

EI trayectode un ra)'ode luz.entredospu¡rtoses9l quc.redúcegl mínimoel tiempo de recorrido. Un principio selnejante,para la reflexión, fue enunciado por Hetón de Alejandrfa, entre 150 a. C. y 200 d. C., y Fennat usó la noción de tiernpode tecorrido de la luz aun antes de haberse demostrado que la luz viajn a velocidad finita. Tanto la propagación de la luz en linea recta en un medio único, como la ley de reflexión, tambiénse puedendeducirpartiendodel principio de Fermat. Paradeduci¡ la ley de Snell a partir del principio de Fermat, imaginemosun punto á en el medio l, de Índice de refracción fl1, y un punto B en el medio 2, con fndice de refracción n2 (figura 36- I 8a). Deseamosdeterminarla trayectoriaent¡e los puntos A y B por la cual el rayo de luz tarde lo minimo. Digamos que.A,dstáa una distancir d sob¡e la interfase,y que B está a una distancia d abajo de ella, I decimos QueI r distanciahorizontal entre,.1y B es 2b. L¿ ¡ecta que une a.,{ con B cruza'lainterfase a una distancia b de la normal que proyecta a 14sobre la interfase; pero conro los lndices de refracción son disti¡tos, la tra;'ectoria del rayo crazala interfase enun punto P. I-a fieura 36- l8a muestraque la distanciade.4 ál punto de intersebciónPes {7lA7,y la distancia dei punto de intersección,P, al punto B es {TTT@Fff' El tiempo que tarda el rayo en reéorreruna distanciaD en un medio de lndicede refracción n es f = Dlu - Dl(cln) = nDlc' Así, el tiempo total de recoffido es

( 36- 1r ) o

.E

La figura 36-l8b es una gráficade rr¡ como función de x. El tiempomfnimode defr¿como recofridoseobtienelocalizandoel lugarenel cualseaplanala petrdiente funcióndexi est3e¡, el valor dex parael cual

a I

P .9

9i,¿:o

F

dx

Posición (b) FIG{JRA 36-18 (a)Dimonsiorasy ¡ingttlos ' parademostrarla lcy dc Shcllmcdiantccl ' dc' pi:rcipio dc Fcrmat.@)El tiuh¡n sccrrido, tu dcl rayo,comoftmclóndói..

Fsta condición iinplica que

x)

-t .t

;P) 'I

I I

*.0.

o o o O

o o o o o o o o o o o o O

o o o o o

or

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

Ahora, en Ia figura 36-l8a vemos que X

-6__=: ld' + x.

10 3 7 senfl¡

3É4 Rcflcxlón y rcfrrcclón e pertlr rlcl PrlnclPlodc Pcrrnet

(36* t 3a)

y que

2b-x (36- I 3b)

ffi:s€Iroz'

en las cuales4 y 0zson los ríngulosqueformanloi dosrayoscon las no¡malesen susmediosrespectivos. Asf, la ecuación(36-12)se puedeescribiren la siguiente forma: n¡ sen 9¡ - n2s€fl02, (36-14) queesjustamentela ley de Snell. Nos desviarfamuchodeducirel principiode Fermaten formadirectaa partirde lasecuaciones deMaxwell,perosepuededemostrar queescons€cuencia deeilas.El principiodeFermatesun enunciado muy generalacercadelastrayectorias quesiguen losrayosde luz, y, comomost¡aráel ejemplo364, principioscomoel de Fermat, quesellamangenéricamente principiosmfnimos,sepuedenaplicarencasossorprendentes. l,os principiosmlnimosformanunaparteimportantede la cienciamoderna.

veunapeloLa EJEMPLo 3 6 - 4 Unniño,euelpuntoádelafigura36-19a, en que el el niño puede pasto crecido, punto punto.4 en se encuentta B. El en el en recortado, el quepueen césped y punto encuentran B se coffera 1.1m/s, el punto, qué debe cruzafla plana. átea es de alcanzat2.2mls. Toda el ¿En -r, posible? como sea pelota tan pafa que recoja la pastos fronteraentrelos Pronto SOLUCION:Sea¡ a¡bitrariapor el momento,y la escogemosde modo que el tiempode tecortidodel niño seamlnimo.Seau1la velocidaden Pastocrecidoy u2la velocidadenpastocorto.Tenemosqueu2-29"!t-ta r arbitraria,la distancia es qr" r" deberecorreren pastoctecidoes L¡ - ü4='ffllgl9-.mpleado + el tiempo enpastocortoesla''[AT reconida @=8,y ir- t¡rr.La distancia es allf esf2' Lzluz- A2ur Asl, el tiempototalempleado etnpleado (a)

= tt+tz=L**,-ry. rtot"l

JP+t¿-8 'w l

Deseamoshacermlnimo estetiempovatiandox.Estolo podemoshacerigualan- {¿ ú.u con respectoa.r, peroel álgebraqueintervienees do a ceto la detivadade 16¡r¡ bast¿ntecomplicada.De modo alternativo,gmficamoslo¡"1colrlo función de x; Fo al hacerlo,debemosemplearlos valoresnuméricosde v¡, v, y d (figura36-19b)' *2 3 con el En realidadhay un mlnimo, máso menosen.r - 1.5m. Compatémoslo (ó Posición = un en línea recta. Aun corre a cuandoel niño valo¡ de¡ 2.5 mquecoffesponde que en en el la distancia ufi punto niño pequeño,en forma intuitiva,escogerfa (b) pastocortoseamayor,peroque,sin embargo,le acortarasu tiempode carrera. flCURA 36-19(a)Ejcnplo3G4'(t) seguidapa¡ececomo la que tomarfaun rayo de luz al Ticnr¡rc La Lrayectona dc rccorrido como fu¡clÚn cJclIrrgar desdeun medioconmenorvelocidaddelaluz, a otro convelocidad dondc el niño cn¡za ol bordc cnuc cl pasto propaga¡se crccidoy cl pastocorto. mayor.De hecho,losdoscasos,el del niñoy el de Ia luz,sonanálogos.

1058 Capítulo 16 I: luz

TABI . A

36- 2

INDICD DR RI]FRACCION

DI]I,VIDRIO

COMO I¡TJNCION DI], I-1\ LONGITTJD DE OND^

Longitudde orulaen el airc (nm)otz: (Znc:li)2(rad2/s2x l0r¡) n

2.72 r.89 r.50 r.02 0.82 0.ó0 0.25

361 434 486 589 656 768 I 200

36-5

IIGURA 36-20 Ncwtoninlc,rcalando un prisrnacn un rayodc luz.

Dispersió4

1.539 1.528 1.523 1.511 1.514 l .5l I 1.5{)5

€olor Ultravioletacercano A zul Azul-ve¡de Am:üilla Anaranjado R oj o Lrfrarrojo

DTsPERSToN

Exploraremos ahora otra propiedad del índice de refraciiórr, algunas.de' cuyas espectaculares. consecuencias son verdaderamente EI índiccde refraccióndepcnde, cn gcnera| de I,alongitud de onda, o color, dc la luzque.se transn¿ite.Latabla36-2 lnuestracómo varla n en función de la longitud de onda para el vidrió, eh la región de la luz visible y zonasadyacentesdel especlro.Scgúri esa tabla, l¿islongitude'sde onda distintas se refractan'endistintos ángulos.De esernodo, la luzblanca, que está fon¡ada poruna ¡nezclade'longitudesde onda distinteis,se'puódbsépararerr sus colorcs conrponenles,los del arcoiris. Ne*'ton fuc cl pritr:cro ón llevar a cabo tnedicionescuidadosasde la transmisiónde la hrz que pasa,pofun ¡l'isrna (figurri 36-20). Encontró que, cuandoun ra;-odelgadode luz solar, obtenido con una pequeña abe¡h¡raen una persianade ventana, incide sobre un prisma, la luz se descompone en los,coloresrojé, namnja,amarillo, r'erde,a21 y violeta, que forman un arcoiris (figura.36-21). Cuando proyectó cada uno de los rayos de colores en'un segurido prisma, se refractaron, pero no hubo más cambios de color. También, Newton encgntró gue cuando el haz separadopasabapor un segundo prisma, invertido con respeótoal primero, la luz emergíacomo luz blanca.Lá dependenciadela'refrácción respflt lá longitud de onda de la,iuz se llama dispersión. ,o'¡i

Et árc¿iiis V cf cielo azril Los col,oresdel arcoiris son el ¡esultaclcde la dispcrsiónde la luz por parte de las gotitasindividualesde aguaen el aire.Cuando la luz solarllega a.unagota de lluvia, se reflejauna vez antesde salir de ella. Son posiblesmuchastrayectorias;en la figuta 36-22asemuestrandos de bllas.Las condicionesgeométricasson talesque ningún de una reflexión a un ángulo ma)-or que unos 42o.Asf, rayo.puedesalir después. bajo y detnisde un obsen'adoren tiena, no le llega luz cuandoel.Sol se,encuentra que procedade,gotasaltasen el ho¡izonte.En forma equivalente,cuandoel Sol queda detrásdel observador,sólo las gotas que quedan dentro de un cono de unos 42ode I l)l

FIGIIRA 3G2l (a) Dispcrsión dc la luz per rm prisma. (b) La'luz bla¡rc¡ cntra al prisnu, so dis¡rersay,la luz,dc,distintaslongitr¡dcsde onda siguc disti¡tlaslñlyc4lorias..Elrcsr¡ltadocs r¡n rayo scpsradocn coloros.

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O o o o o o o o o o o o o o o O o o o o o O o. o o o

Luz dcl Sol

IIGURA 3622 (a) Cr¡a¡rdo la luz dcl sol cnlrar una gota de agru dcsdc el cje horizontal y salodcspucs dc rcfloJarso ufu vcz, no pucdc ss¡ircon un ¡ingulo mayor quo 42o. (b) Como rosullado do cllo, la luz rcgrcsa a un obccrvador,dcsdo (odas las gotas do agru quc quodsncn un cono con rur ángulo dc uf¡os 42". (c) lá luz dol Sol ostá forrnada por varic colo¡cs.Dcbido a la dispcrsión, los discc que forman la baso dc los conos pa¡a distintc colo¡csson dc taÍ¡años ligcramcnto distintos; clrojo fornra ol cononrayo¡ y cl azul cl ¡rrcmr.

ángulo,le reflejanla luz del Sol (figura 36-22b);además,todaslasgotasenesecono reflejurluzhacia el observador.Nos concretaremos a un discoqueajustaen el cono, pofquela profundidaddel cono es i¡televanüe.Otra cualidaddel disco es que la luz serefleja m¡ls fuertementedesdelas goüasde lluvia en la orilla, a unos 42o.Hasta ahora,la dispetsiónno.ha desempeñado'papel alguno.El efectode ella es que el ángulodel radio exterior del disco es ligeramenüedistinto para diferentescolores. Comose ve en la figura 36-22c,el discoparala luz roja esmayor queparaIa luz azul.Comola intensidadde la luz en el discoesmayoren lasorillas,lo quevemos , esun anillo rojo fuera de uno azul, y los demáscoloresintercalados.Dentro del ; atcoiris, todoslosdiscossetraslapan, dandoluzblanca.se puedeproduciruna rcoíris secundariocuandohay dos reflexionesinternasdentrode las gotasde agua(figura 36-23).El ordende los discoscoloreadosque ptducen esas8,otasestá.invertidoen . eshcaso,estandola luz toja en la parteinfedor y la aanlen la superiorde estearcoi¡is secundario. La ftgura 36-24amues$acómo ve un observadorel arcoiris,y cómoel patrónde dispersiónorigina la inversión de coloresde un arcoiris secundario,en comparacióncon uno primario. l,a luz es m¡is intensaabajodel arcoiris primario y sobreel secundario,porquelos discosse traslapan,y es relativamentemás oscura entrelos dos a¡cqiris(figura 36-24b). La dispersiónesun fenómenomuy común.Al igualquela refracción,la dispersiónl de la luz pot la materiadependede la frecuenciao longitudde onda.Lord Rayleighdemostróen 1872quela ftacciónde la luz visibleincidentequedispersan inmediaLamente lasmoléculasde airevadaenfunciónde./l. Estotieneconsecuencias ji Al ponerseel Sol,los rayosdeluz pasana travésdemásy másatmósfera, observables. de altafrecuencia,o bajalongituddeonda. y sedifundenmásy máslos componentes 3G23 l: luz quc ücga al o!> [.os componentesvioleta, azul, vefde,etcétera,de la luz blanca,se van dispersando I¡IGIJRA proccdcnto dc wt a¡coiris sccr¡nda¡io ha y' El color del Sol cambiade blancoa amarillo,luegoa anaranjado sufrido doe rcfloxiones iltemas cn las gotas sucesivamenüe. f¡ralmenüea rojo, porquelasfrecuenciasmayoressedispersany no lleganal observador' do lluvia. l,a luz dc ondas más colas fla luz t N. dcl T.: En cspañolsolo tcncmc rm vocablo,dÍspersidn,pararnmbrar tantáa la descom¡xxicióndc dc su y cs rcflcjada¡nr cllas,dcsviándosc la luz por ¡n prisn¡a,con¡ofnra indicarqricla luz llcgaa ¡rartículns casial mismo camino.Sonfcnomcnosdistintos.En los prirrafossiguicntcssc hatrlanidc las dosacc¡rciones ticrnpo,y cl lcctor dcbccsta¡alort¡ al fcnómc¡¡ocspccíficoquc sc cstólratat¡do'

azul) salo conun:ingulo m.is p
Loig

o o o o o o o

GotBsdo lluvia

\

O

(a) IüGURA 36.24 (a) Onndo cl ojo vc una partc dol ciclo con gotas do agua iluminadas por la luz solar, la luz quc rcflcjan las gotas individualcs formn ur arcoiris primario, dc rur¡ rcflcxión intcma cn cRdagota, y uro sccundario, con rlos rrfloxionc^sintcmas. (b) Arcoiris doblo sobrc cl "Corrjunlo muy Grandc" VLA (Yery Inrge Array), obscrvatorio dc rndiolcloscopia cn Socorro, Nuovo Móxico. El arcoiris primario, miís marcado, qs cl infcrior. El ordcn dc los colorcs cstá invcfido cn los dos arcoiris, a causadc la rcflcxión adicional quc produco un arcoiris secundario.Los discos sc traslapan,y ¡nr corxiguiontc, abajo dcl arcoiris primario sc cncl¡cntra t¡n¡ zoln más clara,nl igunl quc sobrccl arcoiris sccundario; cntrc los dos cl fo¡rdo os ¡ruis oscu¡o,

tb)

'La dependencia de'la cantidadde luz dispersada en funcióndeJa frecuencia de queel cielose \jeaazul.Comola luz azultienemayor tambiénes responsable qúe la roja,el cornponente azulde la luz lo dispersala atmósferay llega fr'ecuencia donde.nohaymoléculasquedispersen a.¡¡rgst¡os ojos.Sobrela atmósfera, la luz,los un cióto negfo, excepto,nafuralmente,dondeestánel So1y las ast¡onaütas'ven estrellas. Si'-el'ciálo es azul, ¿por qué las nubes son blancas? l,a ,ley / se aplica a la, di_spersión de ia luz por o\etob n ucl¡o menoresque la longitud de onda de la luz. Pot cgnsiguiente,se a.plicaa la
z =.4 cos(o¡or),.-

r¡

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en la cual,á es,la.amplituddel.movimiento.

1060

o o o o o o o o o o o o o o o O

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O

o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o. o o o o o o o o' o o

Supongamos ahotaque hay una onda planaelectromagnética, oscilando.con frecuencia angularro,queincidesobreun dtomo,cuyocampoeléctricoestáorientado endirecciónz. La fuerzaeléctricasobreel electróndel átomo es oscilatoria,y su frccuenciaes ar. El casoes el de un osciladorarmónico impulsado,o fo¡zado.El movimiento delelectrónesoscilatorio, y la frecuencia deimpulsiónesa¡.Laamplitud " presenta fesonancia,lo cual quiere decir que se hace grandecuando úro* úrr.Por ' consiguiente, el movimientotienela forma t n;¡

I _

cos(arf).

El osclledor ¡rmónlco impulerdo y le , ¡.eson¡ncl¡ ¡tl¡clon¡d¡ ¡e descrlbenen l¡ ¡ección l3-8.

(36-16)

Paramaterialescomo aguay vidrio, roe^, es del orden de 5 a 6 vecesmayor que las tfrecuencias ca¡acterlsticas de la luz visible. Unacargaque acelera,el electrón,irradia energfaelectromagnética, y la intensidadderadiaciónesproporcionalal cuad¡adode la aceleraciónpromedio.Segrinla (36-16),la aceleración promedioesproporcionala ecuación

*4' #"#F(cos2(
l ,c l ='-u l -@r' m la cual C es una constante.De acuerdocon la ecuación (36-2), K - n2,siendon el II ñ fndicede refracción. Entonces üI

l=t-

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.t ' - .

' @6- 0 '

(36-,17)

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Estaecuacióndescribecómovarla el lndicbde refracciónerifunciónde la fiecuencig. Como,para la luz visible, ú)e)) q¡,el lndícede refracciónaumentua medidaque muchas aumentala frecuenciade Ia luz De hecho,los átomosy moléculas'tienen fiecuenciasde tesonancia,de modo que,una'versiónmásfiel de la ecuación(36-L7) debetenerva¡ios términosde la forma Cl@k - ar2¡sumados.Con ellosse obtuvo la curvade la figura 36-25.

nGUnA 36-25 Indicode¡efraccióncqm funcióndc la frocucricialuminosacn lc m¡tórialcsrealos.Las rcgioncscn doridcl¡ f¡ccucncialuminca, o¡,sc aco¡c¡a l¡s frccucnciasn¡tr¡¡ales¡tómic¡s dcl ¡n¡tcrid EJEIvf PLo 3 6 - 5 Con los datosde la tabla 36S,2l,delindicederefracción (onoctccaso,a¡ y at'j ttcccsitan del vidrio, dete¡minelos valoresae a{ I la constanteC en la ecuación(36-17), procodlmiontoscspocialcs,porqtr r csrs frccucnciasscprcscrüanfEsd¡a¡ciás y compnrebehastaqué gmdo se ajüstala ecuaciónal restodelos datos.

1061

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Capitutop6.'Letu7

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F'IGLIRA36-26 Ejcmplo36-5.l: gnifica dc n2¡1nz - 1) cn ñmcióndc ar2nos¡rcrmito .comprobnrln lcoriaquclrcmostlcsnrrollnrlo, - y rlctcrminnr
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(36-r8)

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graficambti2l(lr'2 - '1)enfuncionde ar2iraraversi la funciónes A continuación, lineal,lo cual comprobarálo bien quelos datc¡ seapegana la teorfa.Suponiendo quela concordanciaseabuena,podemosdeterminararey C buscandola ordenada al origen,,iJC,y la pendiente; -1/C. I,-atabla36-2muest¡avariosvaloresde co2paracadalongitudde onda.Dan paracada los.valoresde n, nosotrospodemoscalcularlos valoresde n2¡1n2-L¡ "longitudde tabla de la izquiérda, damos y valores En la una lfst¡i de ar2 los 94{a. qorespondientei 1). ¿" n2Knl -'En.l"hcd 36-26hemosgafqcado,!'l@'- t) en tun9iónde or2¡1b3t.para lós punlossiguena uhá lf¡tearecta,y muy buena'apioximación, esix datos.'Qori -'hémbsiraád¿,¡¡u lfneadela cualpodemosdeterminárla pendientey la ordenada -llC - -0.0243x l0-3rlrad2¡b2¡-r, o sea,C = 4.1x al origen.Pamla pendiente, qüe rcrrf,; 7.4x 103¡r'adls2.Á partirde la ordenadaal origeh,afiC, cálculamos. qüb orla veces es, verdadeidrirente,'várias de frre inayor El..valot r¡dt/:1. :10i' frecuenciade la luz visible.

""o.p'üüdesdg.laluzseexplicairbieñeni¿rminosd{.\¡niteorfaondulatoria.I¿ ,iT08.m/sen el vacfó. de lai ondasluminosasesc =.3:OO . . ,,, velocidá4,6",¡r¡oBugución "'i.,:.t '.. r ., | .,. , ... . .Bnmediostra¡sparentes, u" ctq, éiendon.el fndicede la velocidaddo.propagaci.ón lrefrabción'del.rrndip. Por lo gengtal,el Jndicede tefracgióndependede la longitud 'de ond¡ dÉla'lü2.

o o o o o o o o o o o o o o o O

o o o o o o o o o o o o o o o o

a o o o o o O

o

o a o. o o o

La propagacióndela luz sepuededescribiryaseaen términosdefrentesdeonda, queforman una envolventede ondasesféricasoriginadaspor ondasanteriores (principiode l{uygens),o en téminos de rayos,quesonllnensperpendiculates a los frentes deonda.Los rayosluminososviajanenllneasrectas,a menosqueencuentren fronteras.Al reflejarseen una superficie,el ángulo, 0, que forma el rayo incidente conla normal a la superficie,es igual al ángulo,fl, que el rayo reflejadocon esa normal;estoesla ley de reflexión: g-0

ro63 Prcgunter

(36-5)

Al pasardeun mediode lndicede reftacciónn¡ a otrocon fndicede refracciónn2,el ángulo deincidencia, 0¡ y el de refracción, 02,serelacionan mediante la ley de Snell parala refracción:, n 1s e n0 ¡ - n 2 s en02,

(36-6)

Estos resultadosse pueden establecerempleandola geometrfade los f¡entes de onda,También se pueden deducir con ayuda del principio de Fermat, que establece quela trayectoria que sigue un rayo de luz entre dos puntos es la que emplea menos tiempo.Una consecuenciade la ley de Snell es que la reflexión total intema se p¡esenta cuando la luz que pasa de un medio de fndice de refracción n¡ llega a una fionteracon un medio de lndice de refracciónn2,siendo.n¡> n2,siempreque el ángulo deincidenciaseamayor que un ringulo crftico, 0", expresadopor

sen0":12

(36-e)

entte el indice de refraccióny la longitudde onda se llama La dependencia que componenun rayo La dispetsiónhaceque las distintasfrecuencias dispersión. deluz blancasetefractenen ángulosdistintos.l,os coloresquesalende un prisma, ela¡coirisy el cielo azul son fenómenosnatu¡alesde dispersión.I-a dispersiónse de la teorlaatómicade la materia. puede explicaren tér.minos

PREGUNTAS 1. Si la luz sólq se propagaen lfnearecta,¿porqué una luz en unahabitaciónllegaa alumbrara otrahabitaencendida ciónvecina? 2. ¿Quétan diffcil serlareflejarla luz de la Tierraa la Luna con dosespejosplanosperpendiculares? ¿Po¡qué esmejor que lnya tresespejosmutuamentePerpcndiculares? 3. Si los pescadospudieranPensar,se darfancuentaque los fndicesde refracciónrelativosdelaguay el airelespermiten engañara los pelcadores. ¿Cómo? 4. Una pcrsonabuceandobajo el agua ve un guardavidas paradoen la partebaja de la piscina; el aguallega hastala cinturadel guardavidas. ¿Enquéforma apreciael nadador quesedistorsionala partesuperiordel guardavidas? 5. Un pescador,con el aguade un lago hastasu cintura,parece tenerpiemasmáscortasquelo normal,paraunaPersonaque lo vea fueradel lago. ¿Cómopareceráun Pezen posición horizontal,cercadel fondodel lago,a eseóbservador? 6. Una ondaplanade radiación,tieneun campoeléctricode la forma Eocos(Iz- art)cuandoseproPagaen el espaciovacfo.

¿Cómovarfank y arcuandola ondaplariaentraa un medio de lndicede refracciónn? 7. En la pucstadel Sol, cambianlos coloresde éstede blanco y, por último, rojo. Al sumergirseen a amarillo,anaranjado, el horizontela parteinferior del Sol, éstepareceaplastadoy no redondo.¿Porqué? 8. h permeabilidad,¡ro,esunaconstantedefinida.Si c también esconstante definida,¿es% a su vez definida?¿Quéimplicacióntieneestoen la definiciónde la carga(véasecapítulo 22)? 9. Una monedaestáen el fondo de una alberca.Pa¡tiendode sobrela moneda,ustedla ob€rva un puntoinmediatamente desdeel nivel de la superficie.A continuaciónmuevesu eabetaho¡izontalmente,alejándosede ella. ¿Hay alguna distanciaho¡izontala la cual la monedaya no se3visible? 10, La luz del cielo se refractacercade la superficiede la a¡e¡a caliente,dandola impresiónde que hay una supcrficiclisa quese pudierainterpretarcomo agua.Es lo quesellar¡u u¡ espejismo(figura36-27} El ai¡e ce¡cade la superficiede la

12. ¿',Porqué los astronautasen órbita ven que el cielo es negro, y.no azul gornose.veclesdela Tierra? A trt: ru ¡ls f¡ ¡ o

/fr

13. ¿Cuál es el f¡rdicede refracción del vacfo? 14. Drlrantc r¡n'nronrerfo;r¡stedcstá enllrediodc

una piscinl circul;rr;'cri el fondo.dc óllai está llcnn co¡r agua a unn proftrrr
t5. La

FIGIIRA 36-27 Prcqrmla10.

luz láser, dirigida hacia el extremo de una varilla de vidrio, saleporel ótro extremocasi con la intensidadoriginal. Si otra varilla de vidrio toca eseextremode la primera, formando un ángulo de 30olos ejeslongitudinalesrno sucede nada.Pero si el punto de contactose lubrica con glicerina, la segunclavarilla "roba" algo del rayo original de luz. E x p l i q u el o q r r es u c e d e .

16. La lu¿ blanca inóide en un"alámina de vid¡io. ¿Hay disperarenaes más calienteque el aire de arriba.La luz, ¿viajamds rápicloo tnás lento en aire cálienteque en aire frfo?

17. Encaje un alfller en un ext¡emo de un tapón de corcho, y a

I i . Los espejismosse pr¡edenpresentarcuando una capa de aire frío quedanráscercade la superficie.¿Cómopuedeafcctar esacapa de aire la aparienciade las casasdistantcs?

cbntinuaciónpóngalosa flota¡ en agua,coh el alfiler hacia abajo. Aün cuanclbno ló háya encajadornüiho, Iro podrá ver : el alfilcr clcsdcfi¡craclelagua.¿Porqué?

sión de colores en la luz reflejada?

PROBLEMAS 36- I

La vclocidad dc la luz

l. (i) La estrellamás cercanaa nuestrosistemasolar,ap:rrtedel Sol, es Alfa Centauro,a unos 4.2 a.l. de la Tierra. ¿A qué distanciaestá,en metros?

Sornbradc Jripitcr

2. (l) Una onda de h¡i ¡reul(l - 460 nrn) P¡sa dc aire a agtrr, cuyo fndice de refracciónes 1.33).¿Cuálesson la longittrd de onda y la frecuenciadc esaluz en el agua? 3. (I) Una luz arnarilla,cuya frecuenciaes de 5 x 10¡aHz, llega a un vidrio, de n - 1.5. ¿Cuálesson las longitudesde otlda de esa luz en el vacfo y en el vidrio? ¿Cuál es el fndice de refracciónde un matc¡ial dentro del cual la longitud de la luz amarilla sea la n.ritadde su valor en el vacfo? 4. (II) Suponga que.tiene usted una versión del aparatode Fizeau, en el cual.la distancia que recorre el rayo de luz en su viaje redondo es 2D = 30Qm. El ancho de la.aberturaentre ios die¡rtes cle la rueda es 1.0 mm, y la distancia centro a centro entre esasranuras es 2.0 mm. La rueda tiene un radio cle10.0cm. ¿Cuálserlala velocidadmfnima de rotación,en ¡evoluciones por nrinuto, para que la lu2 que entra pór el centro dc una ranura salga por el de la ranura siguiente?¿Es posible construi¡ estc aParato? 5. (II) La figura 36-28 rnuestrauná vista exagcradadel e_clipsamiento de Io, la lulra mas próxima á Júpitef, vista desde dos puntos de la órbita de la Tieira alrédedor del Sol. Si la Tierra estuviera inmóvil en el pünto más cercano a Júpiter, N, determinado'éélipsésb iniciarla á una hota precisa.Cuando'la Tierra está en el purito 4 el eclipse se inicia algo más tarde de lo esperado,porque la luz debe recorrer la distancia adicional'de un diámetro ctela órbita de.la fierra,alrecledor del Sol. La distanciamedia de la Tier¡a al Sol 1.50 x 10tt ¡s

1064

O¡ bi ta dc i o

Jtipitcr

F IGIIRA 36-2E Problcnn 5.

tiempodespués severáel eclipseenel puntoF, m. ¿Cuánto conel puntoN? en conrparación 6. (II) La velocidadde la luz en el vacfo se define como 299,'792,455 m/s.Un experimentode telemetrfalunarmide el tiempo que tardaun pulso de luz en alcanzarla Luna, nos reflejarsey reg¡esara la Tic¡ra. Esos experimentos permitendeterminarla distanciaentreLuna y Tierra,que, de 15cm. es3.84x 106m, conexactitud aproxiinadamente, que medirel intervalo de tiempo debe es el menot ¿Cuál reloj queseuseparacronometla¡esetiertlpode iday vuelta dCialuz? 7. (II) Galileotratóde medirla velocidadde la luz con a1ruda de lucesy un reloj, en dosmontañasveciras.En escencia, se ¿5ría un obturadoren la primeramontaria,que permitia e.lp.rsodeunalu'z;un observador la vefaen la segunda montañay emitlauna segun'da señal;la personaen la primera montañamedfala demor,qentreel tiempo de abertu¡adel

o o o o o o o o o o O

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

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o o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o q o' o o

obturadory el tiempo de recepciónde Ia señal:Con.sus conocinrientoe del tiempode reacciónen el hombre,esli¡ne,el tiempoquemedfala primerapersonacomoempleado enel viaje redondo.¿Cuántotarda¡farealmentela luzde iday vuelta entredos cumbresa una distanpiade 4 km? Su respuesta explicapor qué no funcionó el intentode Oalileo. 8. (II) En un experimentosemejanteal de Fizeau,setieneuna ruedadentadade 30 cm de diámetro.Una luz láserbrilla a travesde unaabertura,viaja 2000m, y regresareflejada.La velocidadmáxima de rotaciónde la rueda es 7,0 x 104 rev/min,¿cuáldebeserla separación entreranurasadyacentesen la orilla de la rueda? 36-3

Reflexióny relracción

9. (l) Un proyectorfijo emite un rayo angostode luz en un espejoplano.¿A qué ángulo,con respectoal rayo,se debe ponerel espejoparadesviar90oel rayo?

I 4. (lt) 1", luz,procedente delaire,entraa unapiladetresplacas paralelas, cuyosfrrdicesrespectivos de refracciónsonl.5iJ, 1.55y l.ó0, El rayo incidenteforma un ángulode 60ocon la normala la superficiede la placasuperior.¿euéángulo forma el rayo cuandosaleal aire,despuésde pasarpor la pila de placas? 15. (U) Un rayo de luz entraa una esferade vidrio (n = 1.5)a unalatitudde 30o,paraleloal planoecuatorial. Conun dibujo a escala,determineel ánguloal cual el rayollegaráa la pañe posteriorde la esfera.¿Habráreflexión internatotal? (lD 16. En el prismatriangularde la figura 36-30serefractaun rayo de luz blanca.Entra al prisma con una trayectoria paralela a la base.Seobserva la luz en unapantalla, a 10m detrásdel prisma,perpendicular a losrayosquesalen.¿Qué distanciaestiinseparados los lugaresde la luz azul (n y l a l uz roj a(n - 1.514X 1.528)

material,quese usa 10.0) El ángulocrfticoparadeterminado ' en aire, es 43o. ¿Cuáles el fndice de refracciónde ese material? (I) Un rayo horizontalde luz se reflejaen un espejoplano ll. quegira respectoa un eje vertical,a 30 rev/min.El rayo rcflejadopasapor unapantallaqueestáa 20 m, en el punto máscetcanoal espejo.¿Conqué velocidadse mr¡evela manchade luz por la pantalla, cuandoestáen el puntomás cercanoal espejo? 12. @ ¿Ctui1es el ángulocrltico parareflexióntotal intemaen üdrio Crowr\2(usadoen aire),parael ct¡aln - 1.52?Demuesde t¡equeesposi6leusarun prismatriangula¡de 45o-45o-9oo vidrio Crown, como reflector perfectode luz (figura 3G29).

O elll

-

.

(a,0,"u"o,'rliXll'rl

. . FIGIIRA 36-30 Problcrna16,

t7. QI)Un guardáviilas de I .8m deestatura estáparadoenagua

I|IGITRA3{t-29Problcnra I2. 13. 0I) Un vidrio gn¡eso,con n - l.62,yase en el fondode un tanquede agua(n - 1.33).Un rayo luminosoentraa¡ agua desdeel aire, formandoun ángulode 60ocon la vertical. ¿Quéánguloforma el rayo con la normalcuandoestáen el agua?¿Quéánguloforma con la verticalcuandoestáen el vid¡io?

¡ N. dcl T.: En q.spanofsólo tcncmos un.vocablo, dispersión, pan nombrar tanto a la descomposicióndc le hzporrurprisma, como pnra indicar quc la luz llcga a partículasy cs rcflcjada pofcllas, dcsviándoscdc su camino. Son fonómcnos distintos. En loe pánafos siguior¡tcs sc h¡bl¡rá dc las dos accpcionascasi al mismo ticmpo, y cl lcctor dcbc cstar alcla al fcnómeno es¡rccrficoquc sc esté tr¿tando.

de ó0 cm de piofundidad.Desdeun puntoen el fondode la piscina,un nadadorve quela cabezadelguardavidas estáen unallneaqueformaun ángulode45" conla vertical,¿Aqué disiancia dc losojosdel nadadorestánlospiesdel guardavi das?P ¡rael agua,n - 1.33. 18. Un rayo angostode luz incideen ángulode 30orespecto a la normal,en una láminade vidrio de 6 mm de espesor. Describala posicióndel rayo salientede luz. ¿Cuáles su dirección?Saledesplazado con respectoal rayoincidente? Si esas{,¿cuánto? Parael vidrio,n - 1.60. 19. (II) En un prismatriangularequiláteroi¡rcideun rayodeluz formandoun ángulode 35oco¡rla normala unadelascaras. Paraesleprisma,n - 1.55.¿Cuálesel ángulode salida? 20. (lI) Se tiene una varilla n)asiz¡rde vidrio, de 30 cnr dc longitudy 2 cm de diárnetro,cuyo lndicede refraccióncs pcrpendicuhres 1.53.Los eitremosde la varilla'son al e;e longitudinal.(a) La luz entrapor el centrodelextrenlodeia

106i

varilla,procedente delaire.¿Cuálesel ángulomáximode in.cidenciaparael'cüalla.luzserefléjatota¡rn€nt€ dentrode la (a) parauna rraritlasernejante, varillat'¡b¡ Repita,lá,parte totalfieffesumergidaertagua(n - 1.33).' 21. (Ii) Un ráyode luiillega a una láminade'vidrioijé 3 mm de 'espepore fndicederefoácción1.45,folmarrdoun figrilo de incidenciade 45". La luz se reflejaen un espejoé!rcontacto con la parteposteriorde la lámina.¿Cuántose desplazael rayo,en comparación conel trayectode regtesoqu¿tendrla si no hubie¡aláminade vidrio? 22. (ll) A mediodfa,una varillaverticalde 2.0'm'delongitud proóuceünasombrade 1.0m de longitud.La mlsmaiarilla secolocaa mediodfaenunapiscinade agua,defondoplano, cuya profundidades la mitad de la longitudde la varilla. Para ¿Qúélongitudtienela sofnbraenel fondodela alberca? e l a gua,¡ r - 1. 33. 23. (II) Tieneustedtresllquidostransparentes, conlasiclentificaciones l,2y 3. No semezclanentresl.Cuandola luzpasa dcl llquidoi al7, hayun ángulode incidencia, 0,,y uno de refracción,8r.Dosexperimentos die¡onlossiguientes resulta d os I: - 2, 0t - 22" ! 0 ,= 3 2 " ;2 3 ,0 t,=3 5 o ,y4 = 51" . paracada de losfndiccsde refracción Calculelasrelaciones parde lfquidos. 24. (Il) Se tieneun fayo de luz queincideperpendicularmente en un prismatriangular, comoseve en la figura3ó-31.El lndicede refraccióndel materialdel prismaes n' = 1.ó45. Supongaquelosdosladosreflejanfes secubrenconunacapa delgaday uniformede dieléctricocuyo fndicede refracción eseprisma? siendototalmente reflejante nz*.7.42.¿Seguirá ¿Quévalor debetenern 2 paraque el prismasiga siendo totalmenterefleiante?

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l'ICllRA 3ó-32 Problc¡nn 26.

*3 6.4

Reflexióny refracción a partir del principio /e Fernrat

27. (lJ)Medianteel principiodeFermatdemuestrequeelángulo crítico para reflexión intema total estáexpresadopor sen 9. = lin, siendcin el índice de refraccióndel medio en el que se origina ei ra1'ocleluz. El medio exteriores aire. 28. (lI) Demuestreqr:e la ley de ¡eflexión es consecuencia clel p r i n c i p i od e F e r m a t .

29. (II) \ledianteel principiode Fermat,demuestre quesi dos mediostienenexactanrente el mismoíndicede refracción. entoncesun ravo de luz sc propagae¡rlltrearectaal cruza¡ la inlertase entreellos.

30. flI) \fedianteel principiode Fermat,demuestre queun rayo de lrrzqueentraa unaláminade vidriodeespesor unifonne saleen direcciónparalela a su direcciónin.icial. paralelode un rayode luz 3r . (II) Determineel desplazamiento quellegaa unaplacaverticalde vidrio,de lndicede refracciónn, espesor emplee D y a un ángulof conla horizontal; el principiodeFermat.En elproblema30 demostramos que un rayodeluz quepasaporunaláminadevidriosaleparalelo a sudirección original.Sinembargo, el rayoestádesplazado a su lÍneaoriginal,y esedesplazamiento respecto eslo que deseamos aqui . 36-5 FIGURA 3ó-31 Problcm¡24.

Dispersión

32. (I) ¿Enquéporcentaje esmayorla luz roja de .1,-700nm en unvi dri oconn - 1.514, respectoa l al uzazulde l .= 450nm en el mismovidrio,conn = 1.528?

33. (II) Deseamos selecciona¡ un vidrio parafabricarun prisrna ,,<

(II) Un prisma tiene sección transversaleq forma de un conrelacióndebasea alturaiguala l/1 0. triánguloisósceles, Un rayo de lul irrcideén el lado izquierdo,paraleloa la base. ¿Quéánguloforinacon la baséel'rayo
la ley de Snell 26. (1tr)Conla corstrucciónde Huygensdemuestre de la figura,36-32. desarrollando losdetallesgeométricoe I U(X)

quepuédas€pararel componente.amarillo (1,= 590 nm) de la luz, del componenleverdiazul(L= 490 nm). El prisrna debe ser una bar¡a con seccióntransversalen forma de triánguloequilátero.Si un rayode luz biancallegaparalelo a.'labasedel prisma,debesalir de él con los dos colores por al menos20.¿Cuáldebeserla dife¡enciaentre separados losJndicesde refracciónparalos doscolores?(Sugerencia: como la diferenciade ánguloses pequeña,tambiénlo será la diferenciade fndiccsde ¡ef¡acción.Sólotengaen cuenta

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o o o o o o o o o o o o o o o O

o o o o o o o' o o o o o o o o o O o o o o o o o O o o o o o

o o o o o o o o o o O

o o o o o O o o o o o o O o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o

Ios términosprincipales de lasdiferencias de ánguloy de fndiccde refracción.) estánmezcla34. (lI) Un rayode luz blanca,cuyasfrecuencias pasaporun trozodevidrio, dasy tienenla mismaintensidad, y llegaa unafronteracon el airea un ángulode incidencia 0. El fndicede refraccióndel vidrio aumentaal aumentarla frecuenciaangular,segrinla fórmulan2- | + lCl@!"- o¡2y to'o-795 x 10mrad2/s2. Ql, siendoC - 443x lOrcrad2/s2, (a) ¿Cuálesla mayorfrecuenciaangularquepasadel vidrio al aire?(b) ¿A quéángulode incidencia debellegarla luz a dejarpasaral airesólof¡ecuencias la interfasesi deseamos de luz roja,con oJ* 2.9 x l0r5 rad/s,y meno¡es? 35. (U) Con los datosdel problema34, calculelos ángulos crfticos de reflexión total intema para cinco valoresde longitudde onda,entre430 nmy 770 nm, Hagaunagráfica consusresultados, 36. (ID l¡ teorlaatómicaaplicadaa los gasesconducea una ecuaciónparaC, en el ejemplo36-5,en donde¡ - I esmuy pequeño;es C - Nezl2ton.,siendoil el númerode átomos porunidadde volumen,m, la masadel electrón,y e la carga Con del mismo.Enel aire,N = 3 x l0rm-3 y n - 1,0003, estosdatoscalcuteoro.Compareel valor queobtuvocon el quesecalculóen el ejemplo36-5.¿Espetarla ustedqueesos valoresseparecieran? Problentasgenerales 37. 0) La luz de 6ó0 nm de longitudde ondaentraa unapieza devidrio Crown,cuyofndicede refracciónes 1.52.¿Cuáles de esaluz dentrodel sonla longitudde onday la velocidad vid¡io? que si un rayo incidentede luz blancaes 38. (II) Dernueslre. paraleloa.la basede un prismacuya forma seala de un (ángulodelvérlice- 2f) seseparaendos triánguloisósceles componenlesque salendel prismaformandoun ánguloA0 <
y cliferentes temp€rahr¡as. t¡ velocidaddelsonidoenel agua depende dc Ia tenrperatura. En la capainferior,es t, l6 vcces la de la capasupcriot¡cn la capaintennedla,1.08vcceela de la capasuperior.Un dispositivodetectoral nivel dela superficie determinaqueel sonidodelsubmerjnollegaa la superficie formandoun ángulo de 40" con ella. ¿Cuáles la distancia horizontalentreel detectory el submarino? 42. (III) Un rayodc luz llegaa unade lassuperficiesdeun prisma formandoun ángulode incidencia0,.La seccióntransversal del prismaes un triánguloisósceles, con ángulode vértice iguala 2Q.[¿ luz saledel prismacon un ángulode desviación total O (figura 36-33). El prisma tiene un fndice de refracciónn y se encuentraen el vaclo, que tieneun fndice derefracciónexactamente iguala l. ¿Paraquéángulo,0,,es mlnimo el ángulode desviaciónO?

42. FIGUIfA36-33Problema

43. (III) Un rayo de luz llega del aire a una placa de vidrio; se refleja en paÍe y se refractaen parte,en las dossuperficies de la placa (figura 36:34). El vid¡io tiene un lndice de refracciónn y su espesores d. Expreseel desplazamiento, dc reflejarse d entreel rayoqueentra,y el quesale,después en la superficieposterior,enfunción den,dy 0t.

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43. fiCURA 36-34Problema 44. (ID La primerabuenamediciónde la velocidadde la,luz, porOlausRoemeren 1ó75,sebasóenel siguiente . efectuada método:el periodoorbital promediode Io, que es unaluna de Júpiter,es 42.5h, pero se ve que eseperiodoesunos 15 s menorcuandola Tiena, en su órbita,seacercaa lúpiter,y unos15'smáscuandosealejade é1.(a) Comola velocidad orbitaldé la Tiena es30 lary's,y comola Tiena reconeparte de su órbita al moverse hacia Júpiter, ¿cuántose habrá acercadoa Jripiter duranteuna órbita de Io? (b) Con esta información,estimela velocidadde la luz.

1067

a o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o 'o o o o o o o o o o o o o o o )

o o o o o o o o o

/o.0r Si tl c s c onc c l a¡ l r r s l abal t'n¡ l ' 'l Gt.l R A 2 6 -1 6 (a )[In abatcnacar gar ¡ ncal) acilor ,co¡ lcar gaQoy¡x r tc nc i al y rrrc|i rn o s cl vo l ta j c, con r ¡ ll voltír ncl¡ o, cl i¡ r slnr r ncnlo ir xlica r á /0. ( c ) Si s c i ntr c r i t¡ c e tm di c k i c tr r c o c ¡ t c l cnl)¿citor,cl vollajc baja a l' < Vo.

S i s e m ant ie n efi j a l a c a rg a ,e l n u e v ov o l ta j ees I :

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c ar r r ¡ r o el óc l r i c o.

FIGU R A 26-17 (a) N ucvar¡rcntc,u; capacitor,con um cnrga Qo y rur ¡r:r;; vcz dcj amos l a batcri a conccl ari : : diclóctrico.D ¡ntcncial dcbcpcmt.i,r.i.': cargae"sQtQn.

:iá ::.; -, . . ¡ -. ': "tLi , " i-- "i - 11r

cAPrruLo

37

Empleando.uncspcjo,JohannesGumpppirttó un autorrcftato excgpcional.Estccuadro indica lasfascinantes propicdndes ópticas dc los espejos.

ESPEJOS,LENTESY SUS APTICACIO¡{ES

o O o o I o o t a o o t o o o o t o o o I o o I t

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Con fr""uencia, la tecnologÍaaumentanuestracapaciclacl de comprenderla naturaleza, porque nos proporciona nuevas herramientas e instrumentos, y nos permite explorardominios antesinaccesibles. La astronomfay gran partede la física deben su ptogreso a la invención del telescopio. La biología modenra no podría haberse iniciado sin el microscopio.En estecapftulodescribiremoslas 6asesque gobiernan la construcciónde instrumentosópticos.Su ft¡trcionamiento sebasaen dos leyesmuy simples,que se presentaronen el capftulo36. La ¡rrirnera,la de reflexión,nos ayuda a comprenderlas imágenesqr¡evemosen los espejos,y explicael funcionamientode i¡lstrumentoscomo el telescopioreflector. La segundaley es Ia ley de SneiJ,y cuando se aplica alaluz que pasapot ffonteras curvas e'ntresuperficies refractoras,explica el funpionamientodel ojo, las cátnaras,Ios lentesde aumentoy los microscopios. Como esasdes le¡'esse puedenaplicartan sólo trazandolas trayectoriasgeoméiricas de los rayos de{uz, esteaspectodei estudio de la luz se ilama óptica geométrica.Lcs instrum.entoscuyq funcionamiento depende de, o está linlitado por, la naturaiezz ondulatoriade la luz, se describiránen los capfiuJos38 y 39.

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o o a o t o o o

o o o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

37-l

IMAGENESY EspEJos

1069 37-1 Imágcncsyepcjoc

La superficieteflectotamássencillaesla deun espejoplano.Cuandouno semira a sfmismoenun espejo,lo queve uno esuna imagen.¿Quéesesaimagen,y cómose fo¡ma?Comenzaremos imaginandouna fuentepuntualde luz frentea un espejo plano.La figuta 37-1 muestravariosrayosde luz queemiteuna fuentepuntual(S) reflejadosen un espejoplano,de acuerdocon la ley que dice que los ángulosde incidenciay de reflexiónson iguales;es la ley de reflexión.De hecho,podrfamos habertrazadoun númeroinfinito de esosrayos,tancercauno deotro comodeseáramos,Los rayoscercanosentresf formanhaces,comoel hazde rnyos2. En la figura 37-l hemosincluidoun ojo queobserva,queinterceptaal hazde rayos2. Los conocilnientos de geornetrfa sencillanospennitenver que todoslosrayos reflejadosse prolonganhastael ntismopunto,/. Pa¡aque quedeclaro,veamosla figura3T-2,en la queindicamos losrayosI y 3, Hemosindicadolosángulosiguales y reflexión,ilf % en esosrayos,respectivamente, deincidencia al igualque los ángulosdt! dt, El ánguloqueformanBPy'es igual,por consiguienüe, a¡, de modo queel puntoB se forma tmzandouna p€rpendicular al espejodesdeel puntoS, y si el puntoI quedaen la prolongaciónde esalinea,Ios tridngulosBIP¡ y BSP¡son triángulos semejantes. Conel mismométodo,seve quetambiénlo sonlostriángulos S, la distancia8S BIP¡y BSP3.Comoambosrayos,I y 3, salendel mismopr.rnto formala basede ambostriánguloshaciala izquierdadel espejo(e\ ladodel objeto), y la distanciaBl forma la basede ambostriángulosa la derechadel espejo(el lado delosrayosI y 3 haciael ladodela dcla imagen). Lasprolongaciones, imaginarias,

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RaYo I

Rayo 3 FIGURA 37-1 Los rayos quo se alcjan dcl prnto objcto S sc rcflcjan cn tm cs¡rjo plam. Al ojo cntra tm hrr. elccsoarnyoc, qlrc' iprrontcmcnto, procedcn dol purto l.

FIGURA 37-2 Todos los rayos rcflcjados quc proccdcn dcl prrnto S sc prolongan lucia cl punto /. l-¿s condicior¡cs gcométricasimplican qrrcla distancia pcrpcndicular dcl cs¡rjo al punto $ qtlc cs s; c¡ l¡rrnl l ln dist¡ncia dcl es¡rcjoal ptrnto t, qr¡c cs ¡.

10 7 0 Capitulo 37 lispcJos, lcrrtcs y sru aplicacloncs

itnagetrse cruzanen el punto /, al igtralqtte la prolollgacióndeÍodo rayo reflejado. lJn punto dc imagen es, de hecho, cualquicr pr¡llto que no sea del objeto, del cual €llaha; o pareceemallat, un númefo ilimitado de rayos, cuando éstos se prolongan en líneasrectas. De,hecho,hemos calculadola ubicación clel puttto .L Como BIPI y BSP¡ sotl triángulossemejantes,las distanciasBS y ^&/son iguales,¿Cómo sabe el sistema ojo-cerebrodondet'iponer"a /? Dos ojos, o uno que se rntlevaun poco, sientetlt¡n haz de rayos, corno en la figura 37-1, más que un sólo rayo. El sistemaojo-cerebro puedemedir su gmdo de divergenciay es capazde extrapolarestehaz divergente, prolongándolohastael punto.L La irnagen clc un objeto finito

Dcf inic ión de l a i n t a g c n

Inr:igenes virtual y real

Si se extiendenuestrafuente luminosa,un segundopunto de ella fonna un segundo punto db imagen.Además,estesegundopunto de imagehestáa la misma distancia del primer punto de imagenque tiene el segundopunto de la fuente al primero,Un conjunto de pdntosde fuente cercarrosfonnaplrntosde imagencercanos(figuta 37-3). El objeto total, o fuente (emplearemoslos dos ténninos de trrodo indistinto), forma un conjuntode puntosimagenque coincidenry en conjuntoforman una imágen, U/ld imagen bs un conjunto dc puhtos coitiguos donde se originan o parecen originorse Ios ro¡,osreflejodos, cuando éstossc prolongon eh líneas rectas. Nuestro espejo plano forma imágenespe rfectaJ,porql¡e la imagen coincide geométricatnentede modo perfectocon el objeto. No sólo no hay distorsiónclela imageir,sino que, la figuta 37-3, muestraque el objeto y la imagen tienen el tnismo tatnaito,Decitnos quetrtt espejoplano no produceuna itnagenompliada,o ottntcntarla Como en realidadno pasatrrayos de luz por la itnagetrque forma ur espejoplatro, la llamamos imagen virtual. Más adelurte verelnos que, con superficies curvas, podemosformar una imagenreal, que es un conjuntocontinuode putttosa travésde los cualessí pasatrlos ra¡'osde luz reflejada. Fiemosdiciro que la iinagenfonnada por utr cspejoplnttoes ¡rcrfect:i,Peroticnc una particularidadnotabie.Si ustedse cubresu ojo derecho,su imagen,cualtdola ve como si se enco¡ttraraa ustr.dr¡'listnoett la caiie, iic'tleu11ojo izquierdocubierto,En la figura 37-4 podemosver qr¡elos ojos cieieciloe izquierCode la itnagenno están invertidos.El ojo cubiertode la fuenleestárnáscercanoa la parteinferiorde la página, al igual que el ojo cubiertode la in'ragen.Sin embargo,si fral una itrversióndel frente en la fi-eura,lnielttrasquela de y la espalda;la nariz del objclo iiene la ;i:e.'clc:: -.',.-¡. qt;e ha llalnado, en fonna genefal, A esto es lo se dirección tiene ia imagen la de image:r. inversiónderecha-izquierda

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FIGURA 37-3 Cuando cl objcto cs finilo, hay un punto imagcn por cada pr¡nlo objoto, Iisto quiorc dccir quc un haz dc rayos cntra al ojo proccdcntc dc cada punto imagcn, sitr impolar la ¡rosición quc usted tcnga frcnto al cspcjo- Sc puc,dccmplcar la gcomclria para calcular la inrngcn /r./r,f, dcl objcto (ce

o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o a o o o

Rcfl exlones rnírlt iples Si Ia imagenqueproduceunasuperficie¡eflectorase inviertede¡echaa izquierda,la t.','.j que producenreflexionessucesivasen dos espejosno. ¿Quéqueremosdecir por imagenptoducidapor reflexionessucesivas? Hemosvistoquela imagenqueptoduce ,l \ una fuentesedebea teflexionesde los rayosemitidospor la fuente.Peroesosrayos . .,i¿11 reflejadosfoffnanun conjuntode rayosdivergentes;dehecho,aslseformala imagen, Los rayosreflejadospuedenreflejarseuna segundavez en otro espejo,y podemos Imagen imaginamosqueel conjuntodivergente derayosqueincidenpotsegundavezforman puede unasegundafuente.En otraspalabtas,unaprimera imagen hacer lasvecesde unafuentepara unasegundaimagen.No hay diferenciasi la primeraimagenesreal fICURA 37¿ Una irnagonso inviclo dol ópticosdemuchos frcntc hacia atnis. Esto quiero dccir quc su o virtual.Estaideanospermitecalcula¡losefectosdelossistemas elementos, seanespejosplanoso curvos,o lentes.Emplearemos con frecuenciaesta ojo dcrccho cstá cubicrto, su imagcn tcnd¡ri ideaenel restodel capftulo.Cuandohayreflexiones múltiples,el númerodeimágenes un ojo iz4rricrdo cubicrto. puedenmultiplicarse(fi gura37-5). l-osreflectores derincón,quesedesctibieron enel capítulo36,fueronun ejemplo de la utilidadde las reflexionesmúltiples.Un reflectorde rincónse forma con tres en ángulode 9Oomutuamente. Un rayoguelleguea un teflector espejosdispuestos de rincónsaledirectamente haciasu fuente(véasefiguraBl-l en el capítulo36). Cuandoes importanteque todala energlade la luz incidentesereflejey regrese,el hazincidentesepuederefractara un vidrio cortadode tal modoqueel rayopasepor una reflexióninternatotal, en la superficievidrio-aire(siendoaire la segunda l,a ventajadeemplearla reflexióninternatotalesqueno haytransmisión superficie). de luz haciala superficiereflectora.Esto se dife¡enciade los espejosmetálicoso plateados, quesiempreabsorbenalgode la energÍade la luz quelesllega.

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FIGURA 37-i Reflcxioncsmriltiplcs dc cspcjoscasi paralctos,.n caricahuadc CharlcsAddams(1957).

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1071

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7072 capitulo 37 rspcJcx, lcntcr y $r¡f apllcaclota

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F IGURA 3 7 - 6 I- jcm p lo37-1. \'i si 3 srr¡rcriordc un rayo dc hrz r¡ttcinciic cl; :.1; cs¡xjo, quc gira rcs¡rcto a tra c.jcVcn:c:ti.

E J E If P L O 37 - I U n.¡\' o dc l uz i nci cl ea ul i ángul o 0crtr¡n espej opl ano, S : ci cs?e' or::a sobrerrncj e verti cal ,un furgul ocr,¿qué c o l g a C ov c n i c 3 i :nc:ri e. o i :a ''e l ¡avo r:i -.i :ri c? á n s u l oó Y O"_ SOLUCION:La tlgura 3l-6 es un¡ r isla sr:periorde estecaso.Al principio,el ra y o i n c i d e n tefoma un áng' .rl oI ccn l a nornal , N , al espej o,al i gual que el rayo re fl e j a C o1. .U n a ¡ci aci ó:l cc, esre;..er ái r?ul oa hacegi rara l a nonnalu¡rángulo s " p a raq u e te n gauhi Íi i l c' ' ,3rosi ci ..nrcn].rxl ,,V ' .E i l ruevoángul ode i nci dcncia es 0 * a, que ianiblri:res el iru¿\'oansulo de reflcxión respectoa M. EI ángulo e n tree l ra )' o i l i ri cj erl e¡ e. ;:evo :' aro :el l t' j a
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(a) ilCL R \ 37-7 lis¡xjrx e^sfóricos i r trlr;,r. _r',,b) convcxo. El objcto qttc sc -- ::. :::? licclu, c,srrn objcfo finito.

ESFERICoS ESPEJoS

En la figura 37-3 r'imcs que 1csespe.losplanos producenimágenescon el nristno tamañoque el objeto.Podemosfabricai espejosque produzcanimágenesde distintos tamaños,o inrágenesrealeso virtuaies,rrediante superficiescurvas.La superficie cuyo estudioes más sencillo,y' la rnás fácil de fabricar,es ulr scglncntode esfera. Como her¡amientapara analizarlos efectosde ias reflexionesde esassupetficies, aumentarernos las ry'cnicasde trozo dc ravos de 1asección37-1, cuandoseguimos los rayos,o hacesde tayos,que se ¡eflejabande utr espejoplano.En especial,el lectot verá que el trazo de rayos es útil, porque hay ciertos rayos, importantes,que son especialmente fácilesde seguir. Podemos imaginarnos que nuestro espejo es un segmento de una esfera. Esta tiétresu centroen algún lugar del espacio.Si la fuentelutninosa,o el objeto,estáal rnismo lado de la sr¡perficieque el centrode la misma, el espejoes cóncavo(fi.qr,r 37-7a);sí la fuentecstáalotro lado, el espcjoes convexo(figure 37-ito'¡. Pafaaplicarlas técnicasde trazode rayos,haremosalgunashipótesissirnplificato ri a s .L i a m e m o sl a perpendi cul aral punto central del espej o,el ej e del mi smo,

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o o o o o o o o o o o o o o o o o o O o o o o o o o o O o o o o

o O o o o o o o o o o a o o o o o o o o a o o O o o o o o o o o t o o o o O

o o o O o o o o

Estudiaremos objetossobre,o cercadeesteeje.Laspuntasdelasflechasqrreaparecen encomparación en la figura37-7estána ünadistanciah delaaltura,y si á espequeña que el objeto estácercanoal eje. con los radiosde curyaturade los espejos,decimos queesténsuficiarrayos sólolos Porúltimo,simplificaremos lasmatemáticasviendo poder paraángulc emplearaproximaciones tementecercadeserpatalelosal eje,pata peraxiales. pequeños al estudiarlasreflexiones.A esosrayosselesllama

1073 37-2

f-spclccsúÉrlcc

Espcios cóncavos de un La figuta 37-8amuestraun espejocóncavo.Revisemoslos rayosptocedentes puntoluminoso(haciala izquierdadela figura)enel ejeCB.Lafuenteestátanlejana que rodos los rayos queprocedcnde ella lleganprácticamenteparalelos al eje. Se dice qrrela fuenteestáen el infinito.El punto C indicala posicióndel centrode la esfera,de radio R, de la cual el espejoesun segmento.La posiciónde C, quees el ccntrode curvatura,por lo tanto,estáa unadistanciaR de la superficiedel espejo,y a é1. todnsl¡s llneasqueprocedende Cy lleganal espejosonperpendiculates ubicación delfoco, Veamosaho¡ael rayo 1, que se reflejaen el puntoz{,en direcciónr{F, en la figuta 37-Ba,El ringulo0 es el de incidencia;la lfnea Cz{es perpendicular 0esel ringulodereflexión.¿Aquédistancia al espejo,porconsiguiente,

FTGURA 37-S (a) Los rayos cmitidos por un objcto cn cl i¡rfinito ¡cn paralclos al cjc,lodos. El rayo I sc rcflcja cn la supcrficic dc1cspcjo cco?vo y pasa por cl foáo, F. (b) Con bucna aproximaciór¡ F cs in&pcridiolc dc q csto cs, todo rayo quc llcga paralclo al cje sc rcfloja y pasapor F. Asi todc tos rayos quo procc
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I f l(; I lI t A 3 7 - 9 (a ) l )rr o l rj r:l o fi r¡i to r tut¡ riis l; u ¡c i ¡ rs r k ; t u r cs¡xj o f<)n ru rtu u r i ¡l L1¡ ' ,cnr l ur)a (lislancia i
D i sta nc ia f oc al d e r ¡ n e s l ) e j oc o n r a d io d e cr¡r v alura 11 ,

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está el puntq { del espejo?EL rayo -1llega paralelo al eje, ciemodo que el ángulo de incide¡cia es igrralal ángulozlCB, al cual tanrbiétrlietnosllatnado8. Por lo tanto,el triánguloáCF, es isósceles,con basede longitpd R. $sí, trazandouna perpendicula¡ (rR i 2)cos0.P a¡apequeño d e s d e e i p u n to F a l a b asezl C ,vemosqrrel adi stanci aC F= 0 ,c o s 0 * 1 ;l ¡o rc o tl s i g ui el rte,C F-R l 2,oIl F-/l -C F* l l l 2,yesi tdcpendi ettÍ(' de 0.t Todoslos rayosparalelosccfcalrosal cjc sc reflcjan y pasanpor el punto F, a una distanciaRl2 delespejo(figura 37-8b).Un nútneroinfinito de rayosdivcrgcna partir d e l p u n to F ; p o r c o nsi sui ente,es el puti to i tnagendel putrto obj eto di stanl c.A d i fe re n c i ad e l o s p u ntos i rnagetrproduci dospor un cspej o¡rl atro,es ul l punto de imagenreal, porquelos rayosse cruzanrealnrenteen él (figura 37-8c). El purrtoF en el cuai se reunenlos ra1'osprocedentesde un punto objeto en el infirrito, para formar una itnagense liama foco, o puntofocal, ya que los rayos se enfocana él; su distancia,/, al espejo,se llanradistancia focal.zEstetérminosepuede aplicat a cualqui'ersistemaóptico qr.teproduzcaimágenes,-incluyetrdo espejos planos,cuya distanciafocal es infinita. La distanciafocal es la que hay del punto imagen al sistemaóptico-, sea espejoo lente, ct:alrdoel putrto objeto está etr el infinito, Paraespejoscóncavos,hemos detnostradoque

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(3 7 -r)

Si invirliéramosla direcciótlclela flecllaen los rayosdc la figura 37-8b,veríamos que un puilto de luz colocadoen el foco F fon:rerí¡ utr haz de lu¿ paralelo.aleje del espejo.Asl, los espejosesféricoscóncavosse puedenetnplearcomo faros buscadotes y en las lintcmas.

I Imagen dc un objeto tirrito. Veanros ahora un olrjeto finito, cotno en la figura 37-7 , quesca pequcñoen comparacióndel radio clecurvaturadel espejo,y suficientemente cercano al eje para que los rayos sean paraxiales.En ia figura 37-9a identificamosel objeto,que estádcrecho (o "parado"), con las letrasS y .S'.Como sucediópara el gspejoplano y el punto luminoso en el eje, los hacesde rayos que en el provienende détenninadolugar del objeto pasanpor un lugar correspondiente espaciodespuésde la reflexiótr,y asf se forma.unaimagen,I a I', de todo el objeto, Deseamosdetenninarla posicióny el tamañode la imagen, 1 lstc resr¡lta
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o o o o o o o o o t o a o o o o o o O o o o I a o o o o o o o o I o o o o a o o o o o o o o

I TECNICAS DE SOLUCION DEPROBLEMAS

1075 F-rpcJoccsférlcoc

Para sistemasópticos, como espejosy lentes,es itnportantepoder encontrarel tamañoy el lugar de las imágenes,dadauna fuenteu objeto.Como tódosloi rayos se cruz¿n en el punto imagen de un punto objeto, o se comportancomo si lo hicieran,en el casode las itnágenesvirtuales,sólo necesitamos localizarlos puntc de cnrccde u¡loscuantosrayosque procedande cualquierpuntodel objeto;a csos rayos los llanratnosrayosprincipal¿s.Tienen la virtud de que es fácil seguirsus tayectoriasy ver dónde se cnlzan. Aun cuandoel sislemaóptico sea tal que en realidadno exista3un rayo,podemosptetenderquesl existe,porqueparanosolros, los rayos principalessólo son una henamientapara ver dónde va el restode los rayos, En este caso emplearemosun espejo convexo (sección 37-2), como el de la figura Bl-1, y un lente convergente(sección37-4), como en la figura Bl-2, Sin ernbargo,la técnica se aplica igualmentea espejoscóncavos(sección37-2), a lentesdivergentes(secciótt37 -4), y, con las limitacionesmencionadasmás adelante etr el texto, a superficiestefractorasúnicas (sección37-3). Todos esoscasos se presentatren el texto. Contamos con cuatro rayos principales, que se numeran del I al 4, para un determinadopunto objeto,S: 1. Rayosque entranal sistemaparalelosaleje óptico.Por deñnición,esosrayos pataxialesse reflejano se refractanhaciael foco F.

fu",

Ra yo 1ñl

Figura lll-l

4t

Los ctratro rayos principalcs para la rcflcxión cn rm csfrjo convcxo.

Rayo 2

FIGURA Bl-2 tc

tJcs r¿yos principalcs para la rtfracción cn t¡rvt lc¡rto convergetrtc.

3 Por ejcmplo, l;c prrcrlchaccr rrn agrjcro a la mil¡d rtcl cs6jo, panr qrrc cl rayo qllo llcg,a¡nr cl ccnlro no se rcflcJc.

1076 Capitulo 37 aplicaclons

F-s¡rclos, Icntcs y sus

o I o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o o O o ,LosqayosquesalendelosputrtosobjetoSySl'secruzanreahrtenteenlospulltoso imagen,le/". Todoslosdemásputrtosdeiobjetotienenpuntosimagenquesepueden o encorltrardel mislnomodo,y con ello se construyela itnagen,cotnoen las figuras punto quedan punto S', inragetr, 1, comoel objeto, 37-9by 37-9c.Nótesequetantoel o en el eje óptioo,,Nuestrqtrazo indicaque u¡l objeto vertical origirrauna itr,r:;l: o parntocloslossistcnras qtreestr:dirtr^i.!'1Ar¡':' j óplico"s verlical,Estoes'cierto o calcu:lar el lugarde tan sóloun puntoimagen,y no de todos.ir'orL:rerirt¡ü, si tansólolocalizamos un puntoimagen,I dela parte imagansepuecledetennina.r o a o o 2. Rayos qr¡e pasall por, o tienen la dirección como si pasaranpor, ei foco, al enlraral sistema.Estosrayos tan sólo sorrcaso; invertidosde los rayostipo 1, y, por consiguiente,son reflejados o refractadosde modo que salen dei sistemaparalelosal eje.

3. Rayos que pasan,o tienen la ditección como si lo hicietan, por el centro de curvatura, C, de la esferaque forma el espejo o la superficie clerefracción. Esos rayos inciden perpendiculannenteen la superficie y se r,'flejarán o refractaránen la llnea de llegada.hfo tien'enanálogoerl un lenlo delgado, que tienedos superficiesy dos radiosde cr¡rvntura,

4. Rayos que llegan al centro de la superlicie del espejo.Los rayos reflejados forman el nrismo ángulo con el eje, que los rnyos incidentes,a excepción del signo.Parael casode lentesdelgados,el rayo que se trazadirectamente al celrtro dcl lente, atraviesaen llnea recta, No lray regla análoga para superficiesúnicasde refracción.

Si se trazan esos rayos principales desde un punto objeto S en la fuente, podremos ver dónde se crllzan sus reflexiones o refracciones,o pafecencruzarse, y d c l c n rri rrnlrn ubi enci ól rdcl ptrntoi tttngcn,/, tl cl ¡l rrntoobj cto,S . C unndout t sistemaó¡iticotiene¡náscleuna superficieo "eletnento"de reflexiótro refracción, p o d c rn o sa p l i c a rl a rcgl asctrci l l adc quel a i l nagcl rfonracl ¡ porutrcl cl ncntopuedc Iln cse caso,sedcbeilvolvcr a lrlzar servirconlo lrlr!)r¡cvoobjctoparacl sigrrictrtc, los ra¡tosprincipalcspara cl objeto nuevo,para aplicnrlosal siguicnteelelnctrto' l a si gui errte i magen. ó fl i c o . C o n e l l o , l ocal i zanros El orieende estasreqlasse describecotrnlás detalleen el texto.

Parahacerlo,usarelnosla técnicadel ra;-oprincipalque se describeen detalleen el recr¡adrode técnicasde solución de problemas.En la figura 37-9b, los rayos principalesque se trazaronparalocalizarel pirnto1de la imagen,quc colrespondeal punto S del objeto;sonllenas,y en la fisura 37-9c,las que se trazalrparalocalizarel punto imagen;/", que coffespondeal punto objeto S 1',son punteadas.Estosconjuntos de rayos son: Ra_'-osprincipales de un espejo cóncevo

1. El rayo l; que llega al espejo paralelo al eje, y se refleja y pasapor el foco F, cuya posición collocemos;

2 . El ra y o 2 ,quepasaporel focoysercfi ej asnl i endo< l cl espej oparal cl oaleje;

3 . El ra y o 3 ,q uepasaporel centrodecurvaturadel espej oyserefl cj are,¡f esando por donde vino. 4. El rayo 4, que pasapor el centro de la superficie del espejo,y cuya reflexión forma el mismo ángulo con el eje, que el ángulo dc incidencia.

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o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O

o o a o o o o o o o o o o o' o o

roTl 37-2 Espcioc efédcoc

ffiY*:JH:.Tññ:*HTIJiII IfrTili"HlrF''lifl ITñH

imagcn sc lucc vitual, cusndo cl obJotoso mucvc l¡acia dont¡o dcl foco F.

superiordel objeto(estoes,el puntoobjetoS),I, de hecho,dosrayoscualesquiera delos cuatroprincipalessonsuficientesparadeterminarel punto/. Por ejemplo,los rayosI y 2 sonsuficientesparalocalizarel punto.Ien la figura37-9b. La imagen,enla figura37-9a,localizada medianteel procedimiento delasfiguras 37-9by 37-9c,es real; rayosluminososrealespasanpor los puntosI, f , y puntos intetmedios, en contrastecon la imagenvir¡:al producidapor espejosplanos.La imagendel objetoen la figuta 37-9 es invertida(de cabeza),y reducida,de menor tamaño. Al alejarseel objetodel espejo,la imagenseacercamásy másal foco,F, y tambiénse hacemás pequeña.Cuandoel objetose ace¡caal espejo,la imagense y sealejade é1. agmnda Veamosahorael casode la figura37-10,en el cualel objetoestáentreel foco y elespejo.Los rayosprincipalesdel punto.Sse trazansegúnel rnétododel recuadro detécnicasde soluciónde problemas. Nótesequelos tayos2y 3 sólosecomportan comosi pasafanpof los puntosF y C, respectivamente. En estecaso,los rayos proceden que .S, cruzan, perosu dirección teflejados del objeto,en en realidadno se esla quetendrfansi provinierande detrásdel espejo,en el puntoimagen/. En este Sonpropiedades caso, la imagenesvirtual.Tambiénesderechay aumentada. útiles delos espejoscóncavos,que se empleanen cosmetologíay en odontologfa.Al acercarse el objetoal espejo,tambiénlo hacela imagen,quesehacemáspequeña,a medidaque el objeto se acercaal foco, la imagense alejamás y más,y su aumento esmuy grande.

lspejos convexos paraespejoscóncavosnos Lasmismastécnicasde trazadode rayosqueempleamos permite comprenderlos espejosconvexos,El puntoC esel centtode curvaturade la Todaslaslfneas'desde esfera, deradioR, dela cualel espejoconvexoesun segmento. elpuntoC al espejosonperpendiculares a éste,

Ubicacióndelfoco. Comencemos localizandoel foco,queesel lugaral cualse enfocan todoslos rayosque procedende un puntoobjetoen el'infinito; estoes,el conjuntode rayosparalelosal eje,La figura 37-11muestraquelos rayosreflejados en un punto demodo quela imagenesvirtual;los rayosparecenoriginarse divergen,

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1.078

c;apifJllo 37 Espcio6, lcntcs Y cr:s apllceclona

FICURA 37-f l C\nndo'un cs¡rcjo ¿tf¿¡cb es convcio, cl foco estri dctnis dcl nismol corno sc mucstra con cl Faádo dc rayos. [,os rayoc rcflcjadcr rliycrgcl, y si'rs prolongRcioncsso cntzrtn c,Ílcl foco.

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comúnen 4 detrásdel espejo.Naturalmente,debemosdemostrarquesl /¡4) un pun' to común.Parahacerlo,emplearemos el tayo 1 en la figura 37-11.La lfne¿desdesu hastael'puntgC,esJ.g puntode interseccióncon el espej.o lormal al espejoen.esepgq: y feflexióndelrayo,1.S-iguiendo con0 sonlos'ddíncidencia io. Los ángulosmarcados parael casocóncavo,pode. el misinorazónamientg trigonométricoqueempleamos por la ecuación estádetenninada mos demostrarque-ladistancia,,f,nuevamente

(37:tr), .i

R l".=,-

'

.2

como para el caso cóncavo.'Esteresulháo es (véaseproblema8), exactamente de 0 pataángulospequeños9, de modo que fodoslos rayosreflejados independiente 'pare"ántdiverge¡de F. Tendremqsuna imagen,y sefáviftual.'El foco de un espejo . . cóncavo,est¡idel mismoladoqueel objeto,mientrasqueel foco deun espejoconvexo esuidel lado opuestoal del objeto' .1.

.

Rayos principeles pere un esP€io cot¡vexo

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flGURA 37-12 El trazodorayosdcscdbc la formacióndc ¡¡r¡aimagcnvirtual conun convcxo. cspcjo.esfórico

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o o o o o o o o o o o o o o o o o a a o o o o o o o

o o O o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o

al eje óptico, y cuyo rayo reflejado se prolonga hacia ntrás, por la lfnea del objeto haciael punto F; el rayo 2,ttazado como si pasarapor 4 y cuyo ¡ayo reflejado es paraleloal eje; el rayo 3, *trazado como si pasarapor C, y cuyo rayo reflejadoregresn por la lfnea de incidencia,y el rayo 4-, que llega al cehtro de la srrperficiedel espejo, y cuyo rayo reflejado forma el mismo ángulo con el eje que el ángulo de incidencia. Si se hace con cuidado el trazo, se verá que los tayos reflejados divergen entre sf, perolos cuatro (y en realidadtodos los que provienen de,$, parecenoriginarceen el punto /. El punto I es la imagen virtual del punto S. En fonna setnejantepodemosver que hay una imagen virtual de todo el objeto; esaitnagenes derechay menor que el objeto, Cuando el objeto se aleja del espejo,la imagense hacemenor y peffnanecederecha,pero no hay transiciónde imagenvifiual a real, como la hay en el caso cóncavo. Esas propiedadeshacen que los espejos esféricosconvexos se puedan emplear como retrovisoresen los vehlculos. La figura 37-13 muestra un caso más extremo, el de toda una esfera funcionando como espejo.En este caso, la imagen no es perfecta en el sentido geométrico que hemos descrito.

Relación entte la distancia al objeto y a la imagen Enlasfiguras37-9a,37-l0y 37- 12hemosindicadola distancia,s,del es¡rejoal objeto, I'IGURA 37-13 Rcflcxiónc¡ru¡rcsfrF la distancia,i, a la imagen,y la distanciafocal, f . Doda /, o el radio de curvalura,R csfdrico,quo formagranpartcdc r.nucsfcn; la vcmosaquíencl grabado'N{arnconuru - 2f y la posicióndel objeto, podemoslocalizarla posiciónde la imagen,su altura, csfcrRrcflcctora" MauritsC. Esclrc¡. ¡nr y si estáo no invertida.La deducciónde la relacióncr¡antitativaentre.r,i y / se lleva a cabo directamentecon geometrla.En el recrradro"Deducción de las ect¡aciones ( 37- 2) y( 37 -8 )d e l a p á g i n al 0 8 6 ,s e d e s a rrol l ael casodeunespej oesféri cocóncavo. La ecuaciónes ,l L ' ,1 .1' t: ,-

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:¡g ' ,.i ti íi l :fi

Rel¡ción entre l¡ dist¡nci¡ el objeto, dist¡ncie e lr imegen, y distencia focrl, pers e8p€Jo8

acercade los signos,ve¡emoscómo la n isma Conun conjuntode-convenciones ecuaciónes válidapara el espejoconvexo.La ecuación(37-2)se comprendecon Cuandoel objetoes.lejano(s - .c), entoncesl/s -0, e i facilidaden doslfmit-es. que definición de/. Cuandoel objetoestáen el foco,s - /, entoncesl/i = 0; es la /, la imagenestámuy alejada,Esteresultadoparecerazonable,porqueun objeto'que estáenla distanciafocaly produceunaimagenenel infini¡o,tansóloesunainversión delosrayosdeun objetoqueestáenel infidito y queproduceunaimagenenel foco. Si el objeto estáentreel espejocóncavoy el foco, como en la figura 37-10, ,ses menof que "f, y la ecuación(37-2)implica quei debeser negativa. entonces Relacionamos una i negativacon la imagendel ladotraserodel espejo;estoes,con unaimagenvirtual. Igualmente,i es positivacuandola imagenes ¡eal. Se pr:ede aplicarla ecuación(37-2)a un espejoconvexosi seguimosla convenciónde quela distanciafocal,f, esnegativacuandoelfoco estáen el lado de la imagenvirtual,en elespejo. Estoequivalea decirquesi el centrodecurvaturadel espejoestádetnisdel mismo,/ esnegativa.En la aplicaciónde la ecuación(37-2)a un espejoconvexo,s siempre es positiva,y / siemprees negativa.Asl, I debeser negativa,la imagen Objcto siempre esvirtual.Además,la imagendebeestarentreel espejoy el puntofocal.Esto \ sedebea que l/s - (- l/l/l) + (li lil) espositivo,y asl l/lil , - Ul.fl.Porlo tanto,lil < l/1.hs reglasparael signode la distanciaal objeto,s, sedescribiránen la sección37-3.

hngat (virtrnl)

, , _i. -

Aumcnto geométricas indicanqueunaimagenpuedeno serdelmismo construcciones Nuestras tamanoque su objeto. Veamosel espejoconvexode la figura 37-14.El rayo 4 al puntocentral,á, del espejo,nosesútil potquetodoslos ángulosmarcados0 sonigua-

FtGtrRA 37-14 Gconrc¡¡iadcl cilcr:io.lci aturcnlo.

10- g

1080 capitulo 17 E¡p.fcr, aplkaclone+

Icntcr y $ur

les, y entonceslos triángulos.AS'Sy Af I Éonsemejantes. Asl, la magnituddel aumento,M, sedefinecomol.arelat'fénde laselturnFdel objetoy la imagen,y es

,o=#:{f

(37-3)

Se acostumbraadelantatuh poco, y especificarsi la imagetres derechao invertida.Estosepuedellevat a cab-1dl muy sencillo, escribiendo lnodo

1u,: -!.

El ¡umento

e.'-4)

11'";i :l l rl r s

Si M es negativo,la imagenes invertida;si M es positivo,la imagenes detecha. Podemoscomprobarqueestaformatrabaja,en casosexplfcitos: 1. Cuandoel espejoescóncavo,y el objetoestámásalejadoqueel foco,la imagenesreal(i espositiva).Segunla ecuoción(37-4),M esnegativa, y la itnagen debeestarinvettida,comoseve en la figura37-9a. 2. Cuandqel espejoes cóficavo,y el objeto estámás próximo que el foco, la imagenes virtual, i es negativa.De acuetdocon la ecuación(37-4),M es y la imagendebeserdetecha, positivoentonces, comoseve enla figura37-10. 3.t Cúándótl'e$pejo es convexo,'laimagen'usvirtual, i es negatlva.Segúnla ' ' ecú'ación(37-4),'MespositiVoy la imagenilebeserderecha,óomo'seve en la figura37-12. ,

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I.a ecuació¡ (37-2) se puederearreglaren la s.iguienteforma:

la distanciaa Con ello podemosdeteiminatM en una forma en la que no.aparezca la lmagen:

M : -!:' ''fll6: f)

f

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(37-5i

tecordamos puede. aplicata eipejos;tantocóncayoscoinocodvexos,'si nsq fSiqrlape. j qu" nbgutivapaia esiosúltimbs..En eÍ casode los convexos,'/.- s siemprees "s demodoqueMsiempreespoqitivo;la imagensiempreesderecha. También, negativa, , l/ - sl = l/l * lsl siemptees mayor quel/l para espejosconvexos,asl que la imagen de,meno¡famañoque.elobjeto. siempre.,es ft = EJEMPLo 3 7 ;2 Un espejoesféricoéonvexode radiode curvatura dela cuartapartedel tamaño 20.0cm,produceunaimagendercchaexactamente del objeto,que esunabujfa.¿Cuálesla distanciaentreel objetoy su imagen? detetminat SoLUCION: Podemos / conla ecuación(37-1),f = N2- - 10.0cm, El signo negativoindica que el espejoes convexo.La ecuacién(37-5),da,' entonces, '.":

,

"!'

r ( t - l\

'\.',

M)'

M = i; espositivá,porquela imagenesdetecha,y así En estetaso. sabemos,eu,"

"

:'.'..

1\

: 3)0 . 0 c m . s: "\ ¡ ( t - +ili= - 1 f : _ i( - r o . o c m /

"tsl¡iroblema'preguhtá por lo tanto,también la{istancia-entieobjetoe iknagen;

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o o o o o O o o o o o o o o o o o o o o o O o o a I O

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1081 37-2 ErpcfocrfÉrlcor

,------1.t' F

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o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

FfGUnA 37-15 Ejcmplo37-2.Trazodc rayc p8f8ubicarla¡magcf|.

debemoscalcular i. l-a podémosdetermina¡en términos de s, con la ecuación(324):

t = *sM = -(30.0c mx t )= -7 . 5 c m. El signomenosescotlsistente conlo quesabemos acercadequela imagendeun espejocotrvexoesvirtual,seencuentra delnisdel espejo.Entonces, la separación objeto-imagen,.s - i, es - i:30.0cm - (-7'5 cm):37'5 cm' . .s La constn¡cción geométricade la figura 37-15confirmanuestroscálculos. La relaciónentrela distanciaal objeto,a la imageny la distanciafocal [ecuación (37-z)),laecuacióndel aumento,la(37-4),ylastécnicasde traz¡ derayosseaplican a loslenües, igualquea los espejos. Esostreselementos sonsuficientes paramanejar todoslos casosque nos interesan. El espeio plano c.ornocaso cspccial dc r¡na supcrficic curaa Un espejoplanosepuedeconsiderarcomoun espejocóncavoo convexo,en el lfmite cuandoR * oo,también,lo que eslo mismo, cuando.¡f- cc.En esecaso,la ecuación (37-2)implicaque j:

- S,

queesjustamentenuestrotesultadoatrterior,quela imagenesvirtual y seencuentra a la mismadistanciadetrásdel espejoquela distanciadel objetoal espejo.Podemos calcularel aumentode un espejoplanocon la ecuación(37-5): Paraun espejoplano, ¡4 : J-

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El aumentoesuno, y la imagenesderecha. Trazado de tayos Hemosempleadotécnicasde trazadode rayosparadetermina¡las imágenesFoducidaspor algunostiposdeespejos, y usafemoslasmismastécnicasenla sección37-4 paradeterminarlas imágenesde algunoslentessimplificados.Esastécnicasson la basepara diseña¡sistemasópticos formadospor espejosy lentes,en especiallod sistemasmás complicados.Podemosdesea¡que un sistemaóptico produzcauna imagenmuy nltida entrellmites definidosde distanciasal objeto;por ejemplo,nohay nec¡sidadde quelos sistemasópticosde lossatélitesenórbitapuedanenfocara co¡tas dist¿¡cias.O bien, podemosdesearsacrificaragudeza paraqueun sistemaóptico

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T A BL ^ 3 7 -\ CONVI?,NCION DI,].qI(;NOIi PAIIA iT.SPIJOS,STJT'I]¡{I:¡I]I¡i.SDN RI]I:RACCION Y I,I]; '';I:J

I

para aplicarla ilrfonnacióllen est¡ tabla,necesitamosdistinguirdos "lados" de rin: strpet'tcie reflectorao refractora: El lado A, que es el de clondese ori-{ina1aiuz, y El lado I), que es aquelal cual pasala luz. 'letltes, pa¡a los espejos,el lado B es idél¡ticoal lado,4; pnra las superficiesde refracció¡,:r' ]os dos laclosestánopucstos.Tan sólo zl determinael signo de la posiciónclelobjeto.Tocotr rcferenciarl lado 8. clctcnninadas ctucciall das las demásca¡rtir'iadcs Deterntinada por lado A Distancias dcl objcto

Positiva,si cl objeto estácrr el i;rclo;1(objcto tcal) Ncgativa,si el objeto estáal lado opuestode.4 (objetovirtual)

Dcterntinadn por cl lado B

Distenciai a la irriagen R Curvatura, Puntofocal

Positivasi la irlrgcn estádel lado B (inragenreal) Negativasi Ir imagencstáclellado opuestoa B (irnagcnvirtual) I'ositiva si cl cclttro clcctrrvattlraestádel iado B Nc¡ativa si cl ceiltrorlc cun'ntirracstádcl lacloopuestoa B P o s i t i v a ,s i c s t : id c i l e r i o B N c g : r t i v a ,s i c s t r ic n e i l l c l o o p r t c s l o: r l d c B

I .i

trabajecon poca lr¡2.Ilsos sister¡Irs irric¡ieiltrrlicrespejoso lentescuya sup{:rficieno prueSoSy clevariosele¡¡retttos que sc lTluevetl seaesférica,o bien qrielos leniesSc-air (l c el l l pl cal lprograópti cos rl i s.' ;l ¡dor.s si stcl l tas e l tt¡es i , c 0 1 ¡ol o s l e rr l ,:s:oo¡l .l -cs pi rl ü ul l si stel l l a,0 di señaf grui i rayos i i útttci o tl c l l ¿ l ;rrzl i tt.ra d s c c ó l n p u toc 0 i -)írcL' s tnodi fi cado s di sei l os tri t:tr cl c crear l a i tnagen, o de rr1;i caci ói r ¿ c a n ti c i l ;a rl a c a l i < l ;r< ¡ l deseadas' ópi i cas l :s e n l o s q u e s c a l .a n c e n | :' opi ¡' i 36i cs Tcrminarernosestírscccióir con un conrentarioacerca.cle los sigtros.No se preocuDeen tf?,taide lnanienerun ¡egistrode los signosde las diversascantidades qu" hemosclesciito.Desaricliesus propiastécilicasde t¡azo dr rayos,y po'Ji'áusted deducirlos signos,sitrayuda.La table37- i lnuestralos signosde todaslas cantidades cle¡efi'acciótr)'letltes.Sitrelnbargo,recomenda¡ecesariaspa¡aespejos,sr.rperficics l a tabl a. cn dcmasi ado mo s q u en o s e c o tl fíe

nSFERICAS 37 -3 REFIACCIoN EN fiuPERFICtrns Los espejoshacencalnbiarla dirccción de los rayos de lrtz y creanintágenesreales o vi¡tualesclelos objetos.I-os rnistnosfines puedetrlograrsepor refracción,másbien y reflexiónes q¡e por reflexiórr,Mierrtrasqtrela ley de átrgulosigualesde ilrcid¡-'ncia el cotnporlalnientoclelos espejos,la lcy de Snell es sufizufici.-nteparacieten'ninar ciente para cleterminarel comportanlientode los lentes.Cotno en el caso de los cualitativode los lenies, espejos,tan sólo descanroscornprentlerel cotrrportatnietrto y no.l diseño cle casosrealcs;supondremosqtte las superficiesson esféricassin y s ó l o vcremosrayosparaxi al es. mu c l rírc i )rr' a tl l rít, Eir estecasotomarerroseu cr¡elrtarayos de luz que viajan de un medic coll un indicede refracción,a otro, pasarldoporuna fionteracurva.Aplicando repciidameii:: las reglas que desarrollemospata ese tipo de frotrtera,podremos cotnpr:ndet ios la ley de Snel1,básicaparadescribirla lefracciá: ientes.En el capítulo36 estuCiamos de ia luz qu¿ crLlza1afroiltcra entrc ulr mcdio de illdice de refracción/li, )' ctfo cc:l indice cierefiacciólr li2.La figura 36-9 muestrala reft'accióude eserayo. Los ánguios de incidenciay refracciórrsatisfacctlla lcy clcStrcll,ccuacióu(36-6):

o o o o a o o o o o o o a o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

I

'\^ -' , e

-

37-3 Rcfraccb";G aftritx

FIGIJITA 37-16 Traz¡do dc trt Fa\o I¡E cnl¡a a un mcdio cuyo rndicc dc rcft:ccicc cs mayor quc cl dcl nrdio dc dondc prov¡cno;sc nc.€asits cmplc¡¡ lE icy dc Srcl. parn ln rcfracción. [¡ cst¡ figura re;trs i rcfracción on uu supcrficic csfónca convcxa.

n¡ sen 0l - nzsen8"t. Desear¡osaplicar estaley a una fromteraque no seaplana,sitroquc fonne un segmento de una esferade radio de curvaturaR. Tomemosuna super{icieconvexa,parala cual el centro de curvaturaestéen el punto C, como en lB fiSura 37-16,en la región por dondepasala luz, Escogemosque ttt 1 tlz,de tai modo que la luz que pasedel medio I al rnedio2 se desvíehaciala perpendiculara la superficie.Sin embargo,lasfórmulas ¡ que va¡nosa desarrollartend¡ánaplicaciónmás general. El foco de una superficie única de refracción Como en un espejoesférico,una superficieúnica de ref¡accióntieneun punto focal F, que se ubica trazandorayos que provienende una fuentemu¡' distante,paralelos al eje. Parala superficieconvexade la figura 37-16, el rayo I se desvíahacia el eje, y lo cruza en el punto F. Ese punto seráel foco, si todos los rayos incidentesque son paraleiosal eje cruzan por F; es decir, si el punto de cruce para determinadorayo es independiente del ringulo de incidencia, 8¡. Para rayos paraxiales, el ángulo de incidetrcia,01,y el de reftacciótl,02,soh pequeños,de modo que la relaciónsen 0: 0 es una buetranproximación,Asl, la ley de Sneli se transformaen

nr0, = nr9r.

(37-6)

sencillasvemosQueÓr : 0¡y asl fi - 0¡ - 02'Para geométricas Pordeducciones pequeños,la relaciónentreBFy la longituddea¡co.4Ben la figura37-16es ringulos BF(?t-0r)=AB' junto conla ecuación(37-6)implicaque ComoAB = R0,,esteresultado, Bp=-lot-

u t - uz

= ^n' fl z - i l t

En realidad, esta distancia es independientede 0¡ para ángulos pequeños,de mo
"'

-f:l \r¡. - n, ilR. ./ \ ¿

(37-7)

Nótese que, a diferencia del caso del espejo, el foco, Para una superficie única de refracción,puede estarmrís alejado de la superficie que el centfo de curvatura' como se ve en la figua 37-16. El que esté más alejado o no dependede las magnitudes relativasde n1 y n2,Aunque he¡nosdeducido la ecuación (37 -7) parauna supedicie

o o o o o a o

roB4 Ca¡ritrrlo37 lis¡ricx, lcntcs y sus apl i c ac lons

H C

[-IGLT...\ 37-17 Rcfracción cn rm s,::re;ic:c csfóricacóncava.

tl t I n2

t

o o o o

convexa,tambiénla podemosdeducirpara una superficiecóncava,con igual facilidad.El centrode curvatura,C, de la sup€rficiecóncava,estáen el ladode dolldeincide la h.rz.Llegarnosexactarncntca la misma fórmula, exceptoque el punto focal está hacia la izquierdade la superficic,del mismo lado que C. En la figuta3T-I7 vemos que el foco de esasuperficie es virtual.

O

o o o o o o o o

Imagen de un objcto finito Superficie convexa. A cotitiniración vearnos el caso dc un objeto vcrtical detecho,sobreel eje óptico.Ya sabemos1osuficienteacercade los rayosprincipales, y podemos proceder con su trazo. Para una superficie refractora irnica, tan sólo dos de los cuatro rayos principalesde un punto objeto cualquiera,como por ejemploel punto,S,nos servirán.En la figura 37-18 indicamosel rayo I, que incide paraleloal eje y que se refracta de tal modo que cruza el eje en F, y el rayo 3, que foffna una recla que pasa pot C. El tayo 3 es perpendiculara ia superficie y, por consiguiente, no se desvla.f,os dos rayos refractadosse encuentranen el ptrntol. Nuevanrente,esos rayos sólo son dos, de un número infinito que salen del punto S y pasan por 1. Por ejemplo, en la figura 37-18 hemos trazado r¡n rayo cualquiera. Por deducciones geométricasque no haremosaqui, determinamosa que el rayo cualquieta pasapor ^L Trazando los rayos principalesparacualquief punto en el objeto, podetnosteconstruir la imagencompleta,qr¡e,parala distanciaoue se trazó,es real; los rayosde luz pasan pot ella. Además,es invertida.

Para los rayos princ¡pales,ven el recuadrode Técnicc¡de soluciónde problemas, páginasI075-1076.

Superficie cóncavo- En la figura 37-19, presentamostres posibilidades que dependende si la distancia al objeto es mayor que /, menor que R, o menor que / pero mayor que R. En cadacasoempieamoslos mismos dos rayosprincipalesdesde

Ra yo I

(

Ilayo cuaiquicra

1.-¡r1--! iIGI'RA 37-18 Ill traz¡do dc rayosindica :.:::J: jr¡ sll¡rficic csfórics dc rcfracción : ::::-: :--z i::agcn rcal.

Rayo crralqrricra rcfractarlo

I t12> t1l

I

o a a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o I t

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o

Rayo I

fu.,

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.' ,'rirl

.'

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iii ''.i .,a :,1

'

1

i . r '; " ; , , : l l ¡ i,, t.,.t''r¡i.l '

,

i 'l

.!.,,,i tj 1fi l l j , i

O

o o o o o o o o o o o a o o o o a o o o

IIGURA 37-19 Trezadodc rryc, ccr lc rayosprirrcipalosdoformrclón dc lrnrgcn paraunr su¡rcrficicrcfr¡ctor¡ csfé¡ic¡ cóncava;casoecn los qrc (r) s > /; (b) R >

el puntoS queusamosparalocalizarla imagende S en el punto/en el casoconvexo (figura 37-18).En las figuras 37-t9b y 37-L9cel rayo 3 puedeno pasarpor la superficiecurva. Podemosampliar la superficiepa¡aver lo que sucededasi el rayo 3 pasarapor ella, porquelos rayosprincipalestansólosonauxiliaresparadeterminar dóndesecruzantodoslos rayosquepasanpor la superficie.En cadacaso,la imagen esderechay vittual (los rayossólo parecendivetgerdesdeel puntol),

108ói

.*DEDUCCION

Capí¡¡lo.37,Eipclg6,' lentcS,ysui'r: apllcacloncs

/

¡' f

Deducción de l¡s ecuaciones(37-2)y (37-8)

dos puntosde un eje óptico, la fuente .Paradeducirla ecuación(37-2) exar¡rinaremos es esféricay cóncava. ,luminosa,u objeto,5, y su imagen,1;la superficiequetrataremos Podemosver,confacilidad,en la figura82-1, y conel hechode quela sumadelosángulos ecuaciones sonválidas: iintemosde un triánguloes n, quelassiguientes 'l =B +d i

(82-1)

6-"f+ a:y+(^t-il:Zy-0.

(B.2-2)

(B2-1).Las distanciasdela ,Parallegara la ecuación@2-2) hemosempleadoIa 'figuraB2-1serelacionan conlos ángulosmediantela""u."ión ecuaciónexacta AB - Ry,y mediante las ecuacionesaproximadas(paraángulospequeños)AB - í6 - sF. Esasecuacionesnos pennitenreacomodarla ecuación@2-2) en la siguienteforma: .

t.

.

1

ü _2*B _*ú lRs

la distanciafocal/- rR/2paraura superficie ;Eliminamosel factorcomún,{By empleamos '' iesférica.Asf obtenemos i

ttl í s'f'-

--r-:-.

'

que es la que dqseábamos deducir;es la-ecuación(37-2). la ecuación(37-8),la relaciónentrela distanciadel objeto,la Ahora deduci¡emos y la dilancia focal, parauna superficiéde.refraccióñ distanciáde.latima8en de'radiode Qurvatura'R"parael caso:particula¡de una superficie convexa (ftgura.B2-2). Hemos el resultadofinal no dependerá.de esahipótesisiParaángulos supuestoquen¡ < ñ2,aunQüé pequeños, la forma aproximadade la ley de Snell,ecuación(37-6),siguesiendoválida. Por deduccionesgeométricassencjllasse demuestraque 02 -. F.-. g, y Que01 - p + y, dc modo que n{ p+ y)= n.zU J-d):. üó distañcias8e lafiguia B2,2 siguenla relación exacta'AB=.'R9;y las aproximacioner peraángülosp¿quéñds,áB :6y = ii1. Asf, la ecuacióri(82.3) se transformeen ' . "l\

...,'

. .i.

1

. . , ... : .,

FIGURA 82.1

'.

(+s . +s\ = /i r t'- - - 'r | ' \' R

s ./

llri

(.48. 4.8\ , l'

-' \.R

-

-

i .,J

o o o o o o o o o o o

o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o

a

o o o o o o o o o o o

1087 37-3 Rcfncclón

cn supcrflclcr

c¡fé¡lcat

FIGURA B2-2 Constn¡cción gcornétrica por¿ dcducir la ccuación (37-8) para ruu sr¡nrñcic rcfractora c.sfórica.

EliminandoIa longitudde arco.,{8, n2 -

,tl

,{ que es la ecuación(37-8).

Relación cntrc Ia distancia al objeto y la distancia ala imagcn La relaciónentrelasppsicionesdeun objetoy unaimagen,paraunasuperficieúnica derefracción,cóncava,sededuceenel tecuadro"Deduccióndelasecuaciones (37-2) y (37-8)".Allf se llegaal resultado Pa¡a una superficie de refracción:

17t -T

,s

nz ;D

,12 -

nl

(37 8)

Estaecuación es análoga ala (37-2), válida para el caso del espejo.Para deducirla, hemossupuestoque la superficie era convexa; esto es, que el centro de curvaturade la superficieestádel lado hacia el cual pasala luz. Supongamosque estocoffesponde a un valor positivo de R, al igual que para el espejocóncavo. Además,s fue positiva desdeel principio. Si i es positiva o negativa, según la ecuación (37-8), es asunto numérico; ambos signos se penniten. Cuando i es positiva, está del lado de la superficiehacia el cual pasala luz, y la imagen es real, lo que quiere decir que la luz pasapor ella. Cuando i es negativa, queda del lado desde el cual llega la luz, y la imagenes virtual, lo que quiere decir que la luz sólo parece irradiar de la imagen cuandose la observa desde el medio 2. Podemos demostra¡ que el resultado no dependede hacer eue rt2 > n¡ (véaseproblema l5), aunqueun dibujo geométrico sf podnadependetde ello. Podemosrepetit esteejercicio con una superficie esféricacóncavaentre los dos nedios (véaseproblema 16). En estecaso,el cent¡o de la superficie esféricaestádel ladode la fuente luminosa.El resultadoimpo(ante es que /a ecuación(37-8) continúa s:erio t'álida, pero con valor negativo para R. Del mismo rnodo que cuando la :ra?en esrádel lado hacia el cual pasa la luz, i es positivo y la imagen es real, R es :osi::r'a cuando eslá de ese lado. Cuando la imagen estádel lado de donde viene la i':2,i esnegativa y la imagen es virtual. Igualmente,R es negativa cuandoestáde ese ;dc. \'éase el resumende las convencionesde signo en la tabla 37-1. \o veremos el aumento pata rüia sola superficie de refracción. Es de mucho ru¡'ar irnportancia práctica para el caso de una lente, que tiene dos superficies,y en l¿sección37J lo deduciremosen forma directa para ese caso.

-

I

1088 Capimlo'37 Fop*l*, apllcaclonc

Signo de la distancia aI otrlcto lcntcr y ru

Flemosestablecidoque una distancianegativaa la imageny \¡n radio de curvatura negativotienenun significado.¿Esposibleque s tengaun valor negativo?A primera vista, esteconceptopareceno tenermucho sentido.Sirrernbargo,es conecto y a la vez útil. Una s positivacorespondea un objetoreal,desdeel cual irradiala luz. Para +,t,los rayos luminosos divergen del objeto al acercarsea ia superficie ciela frontera. I-os valotes negativos de s correspondena los rayos que coilvcrgen al acercafsea la ffontera, de modo que su extrapolación quedaríadel lado hacia el cual pasa la luz. ¿Cómo es posible arreglar esteestadode cosas?Desde luego que no se puede hacer con un objeto real.Pero es posible,si la irnagenproducidapor una superficieactúa como el objeto para una segundasuperficie (figura 37-20a). Los rayos de la fuente se refracta¡iinen anrbasfronteras, la I y la 2. Podernosdescornponetel probletnay determinarprimero el punto imagen, /¡, producido por la frontera 1 (figura 37-2)bi. En realidad, la luz nunca fonla el punto irnagen .f1,oorque in"'etvienela frontera 2. Sin embargo,la itnagcnss transformacn el objcto virtual parala luz quc,se refracta en la frontera2 (figura 37-20c),De acue¡tjocon nucsiraconvcnciólr,la distarrciaa la fuente,,s2, esnegativa,porquelos rayoscon\.ergenhaciaia frontera2, y el objeio está en el lado opuestode la fro¡:te¡3respectoai lugar de donde procedela luz. La luz viene del lado izquierdode la frontcra2, pero el objeto virtual estádel lado derecho, La ecuación(37-8) es r'álid.apara la refracciónen la frontera2, con distancias2al objeto,negatil'a.[.as trayectoriasrealesde los rayosluminososque atraviesanambas fronterasse muestranen la fiEura 37-:Cii.

(r)

(b)

,iir

ijl t: ,:l

/.t \ \u/

i l;,,:.

o o o o a o o o o o o o o o o o o o o

-_E_.

(t)

O O

O

A H

FIcuRA 37-20 (a) Formacióncto imágcnes crrandointcn icncn dos su¡rcrficics de refracción. Para simplificar, ft) ¡rcdcmos dcscomponcr cl proble¡na ubicando primcro cl purito imagcn I,, para la frontcra 1. (c) La imagcn rasrrltantcsirvc como objcto vilual; u-sarnos cl prrtto objct<-r virtrral.l, paraln intcr¿cción con la frontcra 2, para ubicar la imagcn final, cn cl punto imagcn /. (d) t-a Lnycrloris rcal dc lm myos.

o a o I o o o o

ol

ol ol ol ol ol ol rl ol of ol ol ol ol ol

o o o o o o o o o o

o o

o o o o o o o

o a a o o o o o o o o o O o o o o o o

o o a o o o o o

Supcrficic |

\rl objeto

37-3 Rcfracc¡ón ca npcr{ldcr csú¿dc¡c

-

\ "-.

l,,i*:

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Yf|

l-_

1089

Superficic 2

)

^/

'jt' .50cnr _- _____l

FICURA 37-21 Ejonplo 37-3.

EJEMPLO 3 7 - 3 Se ti e n e u n c i l i ndrodevi dri ode50cmdel ongi tud,cuyo n * 1.6, en aite (figuta 37-2I). La superficie 1 tiene un radio de curvatura R¡ : 0.20 m, y la superficie2 tieneradio de curvaturaR: - 0.40 m. Un objetopequeño (unahoja) se colocaperyendicularal eje óptico,a una distanciade 120cm de la superficie 1. (a) Determine la ubicación de la imagendel objeto debidaa la refracción en la superficie 1. &) Seaesta imagen el objeto para la superficie 2, y determine la ubicación de sr imagen al pasar la luz pot la superficie 2. (a) Emplearemosla ecuación(37-8) para calcularla distanciai1 del SOLUCION: punt oim a g e ñ ,1 ¡,a l a s u p e rfi c i el .T e n e mos n2- l .6y nt- 1.0(ai re).E lcentro de curvaturaestádel lado hacia el cual pasala luz, de rnodo que R¡ es positiva. Por último, s - + 1.20m. Asf tenemosque 1.6

llr

nt

n 1 -tr|

I.0

s

i

R

1 .2 0 m ir :

i.

1.6- 1.0 -0_10 in

* 0 ' 74 m'

La imagenesteal y estáa 74 cmhaciala de¡echade Ia srrperficie1. @) A continuaciónempleamosla primeraimagencomo objeto,para la superficie2. Comolas superftcies estána 50 cm de distancia,estenuevoobjeto estáa24cm a:laderechade la superficie2.Elobjetoestádel ladohaciael cual pasala luz, de modoquesu distanciaa la superfrcie2 esnegativas2: -0.24 m. ParaestesegundopáSo,lr¡ = 1.6,n2: 1.0,y R2= -0.4 m, ya quela superficie 2 y su centrode cuwaturaestádel ladodedondeprovienela luz),Asf, escóncava, la ecuación(37-8)da comoresultadoahora I.6

I !_-

-0.24m ' iriz :

I.0 - r.6 -0.4 m

* 0 ' 1 2 m'

Como es positiva, la segundaimagen es real, o sea, está a la derechade la superficie 2. En la figuta 37-22hemos seguido los rayos principales I y 3, para la superficie 1,hastala produccióndel punto imagenftnal,12,que es real,y la imagen

Supcrficic2 Superficie I Rayo I dc S,

'

Imagcn intcnncdia, sogundoobjcto (virtual) nl

-_/ / r ,\.r

_ FIGURA 37-22 Dosrayosqueformanla imagcnfinaldcl cjcmplo37-3.

Ii tarnbién E1trazo<1e rayos El puntoimngenintermedio; semuestra. esinvertiela. demuchaprecisiórr paraqlreel esqiretna seaútil. paraesteejemplono necesiia En estecaso,esmcjorapligarlasecuaciones. En el ejemplo 37-3 se aplicó en forma sucesivala ecuación37-8. Aunque con frecuenciase establecióque esto es 1onrejor para efechiar analíticalnenteun cálculo antes de aplicación numérica, ubicar la imagen puede ser una excepción, Algunas veceses muy fácil r¡bicarnut¡réricatnentela imagetrde un primer elemento antesde usatlopara un segundoelc¡nento.

37-4

Para nuestrosfines, una lcnte estáforlnáda por material transparentede fndice de refracciónn, etnbebidoen un matetial de.lndicede refracción,rl, que noúnalmente es aite, y en esecáso1li1 = 1 (figura 37-23).Supondremosque n > 1, y que tI t= l. Tarnbiénsupondrelnosque lns lenlesson delgadas,y por consiguientc,la distntrcia del objeto y la imagenal lelrteno depencleclequé superficiedel lente se trate.Esto simplifica mucho el rnanejo,oLas dos fronteras.delas srrperficies,1 y 2 en la figura 3'7-24,soir segrnentosesféricoscóugnvos o convexos, cou radios de curvatura respectivosRr y R:.El que esosradiosseatrpositivoso negativbsdepcndcclesi el centrodb curvatrrraestádt:l ladoheci¡ eI ctralpasala lrrz (R positivo),o del lado desde e l c u a i v i e n e l a l uz (R negati vo).P or ej ctnpl o,en l a fi gi rra 37-24a,R 1 es pos it ivo, mi e n tra sq u e R 2e s negati vo. queun objeto real se encuentraa una distanciasl a la izquierdade SupongamoS una Jente'delgada..Podemosubicat la imagen final, e ide¡tificat sus propiedades empleando'dosvecésia ecuación(37-8),una tras otra, pará cibteneruna inrageilen por una superficieúnica,como lo hicimos en el ejemplo 31-3.La imagen.producida la ftirneta superftcieiirve como objeto para la segundasupet{icie. Noienenos que preocúpamós ucercu'de si los diversos objetos e imágenes son rc.aieso virtuales, áerecháso invertidos, etcétera,pdrque Ia e.cuaciónmanejará cdosasuntosen foüia automática.En la suprficie l, tenemosque'

I¡IGIIRA 37-23 l-trz qrrc p¡ss ¡l travós dc u¡r lcntc.

Srrpcrficic2

Su¡rcrficio I

.//

\

.. /.. ¡

l' i

,

r.

\.'/

; i

\l

(¿)

,/

(b)

,

LENTESDELcADAS

I

rr

¡t-l

(37-9a)

cil) ., l

t1

l\ 21

\/

que podemosreordenaren la siguiente forma:

t

\t

I

n-l

; ll

,i ,,

1 \ti4 \/\t

,. )

:

I

:'/ i

i

2

(i),i

. FIGURA 37-24 Sois tipos dé lernes j::gadas, con supcrficies'de distintcis¡adios i: ¡iuvatura: (a)rR,> 0; R'< 0; (blR, > 0, .R, >0; (c ) R r < 0 , R 2 > 0 ; ( d ) ' R r < 0 , ' ' . < 0 ; ( 0 R t,= - ,fir > 0 , .?, < 0; (e) R , = -, &

I

(37"eb)

,?.sl

Ahora, el funto imagen ll, producido por la superficie 1, sirve como pulito objeto, 52, para la superficie 2, produciendo un punto imagen final en 12' ¿Cuáles el signo de i1? Si i1 es positivo, la imagen estáa la derechade la superficie 1 y, Por lo tanto' a la derechade la superficie 2, Esto correspondea una distancia al objeto s2,para la superficie2, que esnegativa.Igualmente,si i1es negativa,la imagenesli a la izquierda de ambas supe¡ficies, que coffesponde a distancia s2 positiva, al objeto, para la superficie2. Debemos,entonces,invertir ei signo de i1 cuando la usemos como distancias2 del objeto para la superficie2. Pot último, hotaremosque al aplicat la ecuación(37-8) por segundaYez,lt1 - tt, f tt2* I . Asf , :. n ." . /l t sz.-1* i zt

(d)

(c )

,,D ,lJ\l

_1* l: lr '

I o trazamoslos ,"yo. *l no, "j"*plo, al ejc. dcl lentc pcrpendicular

"n

,iÍt" dolg::

como si sc dbsviaranr¡rlavez, cn cl plano ccnini

I D I I

o t o o o t o a o o t a o o o o o o o o o o o o o o o o I o I o o a I o )

1090

I

o o t o

o o o o o o o o o o

o

o o o o a o a o o o o o o

o o o o

o o o o o

o a o o o o o o o o o o o

1091

Cuandosustitt¡il¡osla ecuación(37-9b),vemosque 37-4 kntcs

-,('+)n's)t) +!:L;: iz Rz \ trK ,

dclge&r

Si ahora escribilnossr = ,s para el objeto original, e i2 = i para la imagen final, rearreglamosy obtenemos l)arauna lcnte delgadaen airc:

ll -- -r -;

-(rr - ,,(*

J¡

l\

-.,1 R, )'

(3 7 -r0 )

Relaciónentre les distsnci¡sde l¡ irnogeny del objetoper¡ un¡ lente, delgadr.

Estaecuación,qve únicamentese aplicaa lentesdelgadasen aire, esla ccuacióndel fabricantc de lentes.Debido a la ecuación(37-10), la inragenprredeser positiva o negat iv a;es toe s , re a l o v i rtu a l ,L o s s i g n o sse resumenen Ia l abl a 37-l ,y el trazado de rayosperrnite,en casoalternativo,comprenderla imagen. La ecuación(37- l0) puedeemplearseparadetenninar el foco cleuna lente.En el lltnite,cuandos +co, i = f ,la distanciafocal es

l: o,-'r(i;- *)

(37-ll)

Distanciefoc¡l de un¡ lentedelglda

Si sustituimosesteresultadoen la ecuación(37-10),llegamosa ia ecuación(3'7-2), quededujimosoriginalmentepara espejos.El signo de / quedadeterminadopor los L¡ ecuación(37-2\seeplicapor igual a lentesy e espejos. signosde los radiosde curvatura,pero,en general,podemosdecir que / es positiva si la irnagende un punto objeto en el infinito estádel lado al cual pasala luz (imagen real),y negativasi estádel lado de dondeviene la luz (imagenvirtual). El rayo l, de luz que llega paralelaal eje óptico de la lente,cnrza el eje en /, o ReyoprincipalI pare unl lentq se cotnportacomo si lo cruzaraallí. Nótese que hay cierto gtado de simetríaen la ecuación(37-10).Cuandola luz llegadesdela derechadel lente,1'no de la izquierda, Rr / Rz inviertensus papeles,y la luz que provienedel infinito se afoca a la misma distanciade la lente, pero del lado opuestoal prirner foco, A su vez, si la luz llega, o secomporta como si lo hiciera, desdeuno de los dos focos simétricos de la lente (es Rayo principal 2, pare une lente el rayo 2), saldrá como un conjunto de rayos paralelos. Hay un rayo más, que es útil para comptender el comportamiento de las lentes. Si,como en la figura 37-25a, el rayo 4 se trazapor el centro de la lente, se comporta Rayo principal 4, pare un¡ lente comosi pasaradirecto. Recuerdeque el tayo principal 3 no se aplica a las lentes. Podemosver que el rayo 4 pasatecto examinandoel corte aumentado,figura 37-25b. Las dos superficiesde la lente son, muy aproximadatnente,paralelasen la parte centraldel lente, y asf el rayo se comportacomo uno que Pasepor una lárninade vidrio. Hay un pequeño desplazamientodel rayo, pero tiende a cero cuando la lente esmás y más delgada. Así hemos determinadotresrayos principalesque se puedenemplearparaformar Pare los rayos principelee,véeseles Técnic¡s de solución de problemas, páginasf075-1076.

Cc;¡rtrodc la lcntc

FICURA 37-25 (a) El rayo quc pasa¡nr cl ccr¡t¡o dc ur¡a lcntc prosiguc sin dcsviarso, porquc en su ojc la lcnto cs como r¡ru l¿imina dc vidrio. (b) Dctallc aumcntado do la misma lcnto. Si la lcnto cs dclgada,cl dcsplazanüontodcl rayo cs ¡rcr¡ucño.

7092 Capiruio 37 apllcacioncs

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_ lir¡rcJos, lcntcr

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aIGURA 37-26 H trazodc rayoslndica córnosoforrla rma imagcnrcaiconun tipo dc lcntodolgada.El puntoP indicacl ccntrodc la lcntc.

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la imagen.Veamosun ejemplo.La figura 37-26 rnuestrauna lente que reúnela luz de un objeto,Con los rayosprincipales,podcrrrosdetenninarcorrfacilidad el punto imagen/de un punto objeto S. La construccióntrabajapara todo punto del objeto. La imagenesreal c invertida,en estecaso.Etr Seneral,si una lentehaceque los rayos que pasenpor ella se reúnxr),sc llnnia lcntc contergcilte,y si haceque se esparzalt, se llama Ientcdivergenie. L^s leiltesconvergentcstiellcndistanciasfocalespositivas, mi e n tra sq u e l a s d i v ergortesi i c-nendi st¡l rci asi o¡al c.snr:gati vas. C otral gutrostrazo s fácilesde rayosse prrededemostra¡que r¡nalenlecotno la de la figura37-24aes lente cotrvefgente,y t)traconro la clc la figura 3l-l-lc c:;lcntc clivergerrtc,

o o o o o o o o o o o o o o

Aumento Una lentedelgadaproduceuna itnagenpeiñcta rnir-ntrasseaválida la aproxinración para ángulospequerios.Así, podetnoscalcLrla¡el aun.¡entocon empleo directo de de la itnagen.tiene maglitud triringulossemejantes.En la figura 37-?6,.-i ai:i';.rclrto f

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.SS'Pe.II'P, vemosque la De acuerdocon la geometríade los triángrricssetnejantes, magnitud delaumentoes [Ml = ll/lsl. Del nrisino mocloque paralos espejos,un examen Cc'cicilr sistemáticode los signosindica que ploclL'iiros colr un solo signo si la imagen es derechao inve¡tida:

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o o o o o o a o o o o o a

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Es la ecuación(37-4),dela misnrafornraque vitnosparalos espcjos.SiMes positivo, la imagenes derecha;si esnegativo,la intaeenes invertida.Segúnla ecuación(37 -2), tenemosla forma altenlativa ,' .\l : , , _ . J

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que es la ecuación(37-5),ql¡e se usa tanrbiénen los espejos. E J E M P L o 3 7 - 4 una lente cónverqente,como la que se ve en la figura 37-24a, tiene superficiescon radios de cr¡fvaturaRr : 80 cm y R2 : 36 crn, fespectivamente.Una esmeraldade 2.0 cm de altura se coloca a 15 cln a la izquietda de la lente, cu)'o n - 1.63. ¿DónCeestarála imagen, y cuál será su tamario? ll

I

SOLUCION: Primero calcularenrosla distanciafocal, segúnla ecuación(37- 11). de Ia primerasrrperficiees positivo,Rr : B0 crn, micrrtras El radio de cr¡rvatr¡ra

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Objeto FICIIR^ 37-27 Ejcmplo 37-4. Cuando cl olrjcto qucda dcntro dcl foco do Ia lonro, ol Inzo
que la segundasuperficietienecurvaturanegativa, R, - -36 cm. A sf,

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I r/ :(r 63-r,,\80 .;

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- ro cm/

| : 0.025cnr- I

La distancia al objetoespositiva,s = 15cm,de modoqueraecuac ión(37 -2)da colnoresultado ll -=iI

I - - = 0.025cm-I .t

I l5 cm

- 0.041cm - '.

I = -24 ctn. El signo tnenos indica que la imagen es virtral, y del rnismo ,A,s.l, lado que la fuenteluminosa.El aumentoes Itl : -!: --r2 --4 ffi = r.6. s l5pnf El valor positivo indica que ra imagen es derecha.La figura 37-27 tndicaras trayectoriasde los rayos.

En la sección37-3 vimos cólno la imagenproducidapor refracción en una superficie hacelasveces.de objeto_para la segund"superficie. üte principioseamplía alascornbinaciones dedoso máslentes,y fármael corazóndeldiseñode instrumen_ tosópticoscomplicados._La figura37-2gpresenta unaconstrucción de imagenpara doslentesconvergentes delgadas. El objettSS'queda dentrodela distancia focaldel lentel, y, porconsiguiqnle, originaunui*"g.n i,i.trul,,ument"da,/,.l",.Esaimagen comoobjetos2s'2parael lenre2. h tnzo derayosempleaut ..yo paralero, ll"lolu ItA2F2l e I¡P2lparadeterminar la posiciónde ra imrg.n r"nr,perolor.uyo. quese escojan enrealidadsiguenla trayectoria sA¡F7AIy sp-lB/.Este'ejernplo muestra que esposibleobteneruna imagenreal aumenlada condoslentes.*u.rg"n,"r, aunque noseaposibleconuna. En el ejemplo37-5,el objetoparala segunda lenteestáa distancia negativa dellente.

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o o o o o o o o

Innla2

FIGITRA37-28 El trazadodc rayosirxlica có¡no
1093

Imlgcu final, rcBl c irrvcrli(ln

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E FIGURA 31-29 (a) Ejcmplo3T-5. (b) El trazadodc rayosconfirmrlc crilcrdc.

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¡¡.Bfvf P ¡,O .3 7 - 5 I-a lenie'1 ,en la frg,tra 37-29a es'convergente,con distangiafocal de 22 cm. Se coloca un objeto a 32 cm a ¡u izqqierda. Lal9nle2, que es divergentecon distanciafocal de 57 cm' qued4a 4L cm a la derechade la lente 1. Describala posicióny demáspropiedadesde la imagenfinal.

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SOLUCION:Simplementeaplicaremosdos vecesla ecuación(37 -2). La distancia focal de la lente 1, convergente,es /, : +22 cm, y la distancia del objeto real es .s= sr = + 32 cm. Si no estuvierala lente 2, el objeto formarfa utla imagen ^f¡l'¡, que se calculacon la ecuación (37-2); qtredaen una posición,i1 tal que

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Esto da como resultado que it: +79 cm' y una imagen real (figula 37-29b)' Como eslá presente la lente 2, estainiagen en realidad no se forma. La lente 2 es divergente.Toma ios rayos paralelos del infinito y ios hace diverget, de modo que la imagende un objeto en el infinito es virtual, La distarrcia * '57 crn, Aden:ás,el objeto SiS'; r-*"" focal, por consiguiente,es negativn, iz * imagen /il 1,qúe queda a (70 cm 4 1 cm) - 29 cm a la derecirade la lente 2' esto

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o o o o o o o o O o o o o o o o o O o o o o o o

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o o o o o o O o o o o o o o o a o o o o o

es,al ladode la lente2haciael cualpasala luz.La distancia, s2,del objetoes, por lo tanto,negativa; sz = -29 cm.La imagenfinalestáentonces a la distancia i2detenninada por

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1095 37-5 Iftstrumcntoc irptlcos

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- 57 cm

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-29 cm

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o sea,i2 - +59 cm. La imagenfinal es real, a 59 cm a la derechade la lente2. El aumentototal se calculaaplicandodos vecesla fónnula del aumento:

: Mr.,u",M"*., : -!, l-t) - -(170cml M,,,, [:{sl"ol -29cnr sr sz/ 32cnt \

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La itnagenfinal es invertida (M,o,esnegativo)y su tarnarioes 4.5 vecesel del objeto. El signo se determitvt autontáticamcnte en el producto de los dos QUilteiltos.

Nuestroscálculosse cornprueban, por el trazode rayosen cualitativatnente, la figura 37-29b.

oPTrcos 37-5 rNsrRUMENTos El ojo El ojo nonnal de los vertebrados,cuya estructurabásicase ve en la figura 37-30,es, en sí, ut'rnotableinstrumentoóptico. La luz entra al ojo propiamentedicho a través dela pupila, cuyo tamaño se puede cambiar por contraccióno expansiónde una membranallamadairts, segúnla intensidadde la luz incidente.A continuaciónpasa a travésde un lentecristalinoconvergente, a una cámarallenade hunor vítreo,fluido cuyoíndicede refracciónes cercanoal del agua.La luz se enfocaen el recubrimiento interiorde la parte traseradel ojo, la rctina, que estácubiertacon célulasreceptoras sensibles. La acciónde la luz sobreesascélulasproduceun mensajeque se mandaal cerebropot el nemio óptico, y el cerebro reconstruyela imagen. Cuandoel ojo normal estárelajado,los objetosen el infinito fonnan una imagen ex ac t am enten e l a re ti n a ,a u n a d i s ta n c i aa p ro x i madade 1.7cm del cri stal i no.C uarl do seacercanlos objetos,los músculosque lo rodeancomprimenal cristalino,y lo hacen másconvergente.La distanciafocal se reducey la imagencontinúaenfocadaen la retina.FIayun límite a estepoder de acomorlatniento. Los objetosmás cercanosque elputrtocercano,aunos25 cm del cristalino,o menos,parapersonasjóvenes, parecen difusos.El punto cercanotiendea alejarsecon la edad,porqueel cristalinose vuelve incapazde comprimifselo necesario,como anteslo hacía,y la imagende un objeto

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Ncwio óptico

l¡ntc cristalúlo hr¡rila Cómca

fICtlRA 37-30 lisqrrernnrlcl
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(b) FIGURA 37-31 l-as lincas prurtcadas indican las traycctorias quc scgulrían lc nyos si no hubicra gafas do corrcccló¡t- l¡s lincas llcn¡s ma¡can la tnycctorla do los rayc cuando sc lntcrcal¡ r¡u lcnto do corrccclón (a) Una lcntc convcrgcnto haco qrrc los rayos quo provicnan dc un objcto, cn cstc caso, cn cl infinito, sc rfoqucn nuis ccrca dol cristalino dol oJo. Esto antoojo corrlgc la lrtpormctropía, pc¡mlticndo quo ol punro ccrcáno sc accrquo d oJo. @) una lcnto divcrgcntc hacc quo lc nyc dc un objcto, cn cstc c¡so cri ol ¡nfln¡to, afor¡rcn más lcjos dcl cristallno. Est¡ lonlc corrigo la m¡opia.

cetcano queda fuera de la retina. Este problema se cofrige n'¡ediantelentes conve¡gentes(figura 37-3la), En casosde miopla, la itnagende r"rnobjeto en el infinito quei: frenteialq retina.Una lcnte divergenteda la correcciónnecesaria(figura 37-31b).

ü ]ra'cár¡ata La cámaraequivale ópticamenteal ojo, con una excepciótrimportante.Hay una lente conve¡genteen la parte delantera,y la pelicula, que desempeñael papel de la retina, estriatt¿is,Hay un diafragma, aberturaque equivale a la pupila, y vn obturador, qve permite seleccionaruna imagen instantáneay evila que la foto quedemovida (figura 37-32),1,adiferenciaent¡ela cámaraque se Inuestray el ojo es que en éste,la distancia focal del cristalino cambia,mientras que en una cámara,es fija. En la cátnara,el lente se mueve hacia adelante y hacia atrás, cambiando la distancia a la itnagen, para permitir que objetos a diferentes distancias produzcen una imagen afocaclaetr la pelfcula.

Pa¡a los irrstrumentosópticos emPleadospara observar objetos lejuros, el aumcnto angular estnconcepto crítico, y lo describiremosantesde pasara otros instrumentos. En la ecuación (37-5) vemos que el autnetrtode una lente o espejo es infinito cuando s - /. Esto es menos importante de lo que patece, porque la dista¡cia a la imagen, f, también se hace infinita en esecaso,Más itnportanteque el tamaño realde la imagen es el ángulo que forma en nuestro campo de visión, Para los lftniüesde nuestra visión, la cxtensiónangular es la que deternú¡tacl detallc quepodentosver eil ur, objeto observado.

Diafragma

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Aumento angular

fIGLa{,

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lr". , l 37-32 Cortodcl slstcrn¡óptico dc unacrirnarafotognifica.

o o o o o o o o o o o o o o a o o o o a o o o o o o t o o o o o o o o o o o o o a o o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

'?. l-l(;UI{A 37-33 'l'arrwlo nngular dc ur olrjcto, 0,; as ln cantldad quc lrn¡nr{a cn ¡rucstracnpacidaddc vcr dct¡llcs dcl oblcto.

Itnagineque estáa una distarrciad de un objeto de altura /r (figura 37-33).Para unobjetoque tro abarquegran parte de la visión, el tamafio angular 0" del objeto es

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t 1 1- l ) r

Parala visión normal, sin auxiliar, este tamaño angulat se puede hacer máximo cuandoel objeto se encuentraen el punto cercanode la visión, a unos d - d^i^- 25 cm, y es 0, = hl(25 cm) lo que se usa corno referencia para el aumento angular; ahoraque usarnosun sistemaóptico paraobservarnuesttoobjetq y que Supongamos la imagetrde éste, visto por el sistema, tiene un tamaño atrgular 0¡. Errtonces,el nunrcntoangular del sistemacs |I

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0, u"

(37-13)

A unrcnto angul ar

En estecaso no nos preocupan los signos, y sólo nos fijamos en las magnitudes de los ángulos. Si conocemos el aumento angülaf de dos elementos que se superponen en un sistema óptico, entonces, el aumento angular neto es el producto de los aumentosangularesde cada elernento. Lupa simple Unalente convergentetiene una distanciafocal positiva. Según la ecuación (37-2),

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rtl ifs Pa¡aun objeto real, i pasa de positivo (imagen re¿l) a negativo (imagen vi¡hral) al En esepunto, i es -co. acercarseel objeto hacia Ia lente, pasandopor el punto J "f. Una lupa sintple esuna lente convergentecon un objeto cercade s - / (figura 37-34). Si el tamaño del objeto es ñ, el de la imagen es, por definición, h¡ = Mh, siendo M -

o o o o o

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lmagcn virtual lcjana

FIGURA37-34(a)l^aIupasimplocsuna y cl objctosocolocr lcntoconvcrgcntc, corca dcl foco, La imagcn cs virtual, y lcjana. (b) Emplco dc la lupa.

1097

1 09 8 Capinrlo 37 Espcios, Icnrcr y srs aplicacloncs

El tamañode la imagenesinfinitosi i esinfinita,pero /s la magnituddel aumento. el tamañoangularde la imagenesrtnib. Cuandos * f , el aurnentoangulares n_

h,Mhhlh ___* * l

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(-37-l .l )

s l, = . r f

Nóteseque no tuvimos pfoblema paraver la imagenen el infinito. Errel punto cercano, d*¡=25 cm, el tamañoahgula¡de nuestroobjeto os 8.6¡"¡o- hld,n¡n. Asl, el ar¡merlto angular de la lupa es

(37-I 5) Si tomamosuna lenteconvefgentede 2 cm de distanciafocal, obtene¡nos un aumeltto angularde (25 cm)l(2 cm) - 12.5. El microscopio El microscopio conrpuesto,inventadopor ZachariasJrrlissenhacia 1590, clagran aumento angular para objetos cercanos(figura 37-35a).Urt sistelnade dos lentes muestrael principio de este instrumento(figura 37-35b). El objetivo es ulra lente convergentede distanciafocal, /1, coña, y el objeto que sc ve (cletatnañoil¡¡)se coloca justo detrásdel foco de esalente.La distanciaa la inragcnes l/i - (Uf) - (l/s); i es gmnde y positiva cuando s es un poco n'lavor que /. La distarrciaa la irnagen es, igual a la distanciaentrelas dos lentes,L. Estairnagenintennedia apfoximadamente, tieneun tamañoh = Mho- LhJ f t.La segundalcnte, el ocular, ftrnciotlacotno lupa simple: se coloca de tal modo que la imagen intermediaquedeen su distanciafocal f z(< L). Entonces,el tamañoangular,0¡,de la ilna3enfirral que ve el ojo en la posi(37-1-i ),coi r/tr* /¡, y f c i ó n d e l o c u l a f e s tá e xpresadaporl aecuaci ón - fz:

IIGURA 37-35 (a) Mlcroscoplo cccnF)csto. (b) Esqucma dc tm mlcroscoplo ccrirtmsto, El objctivo produco una ilnagcn cacr dcl foco dcl ocular.

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El aumentoangularneto es,segúnla ecuación(37-15), 37-J

:tY'l{'f':t:+ Mu: ' Oobj"to ^o' Hold^¡ -[r.f,

Imtru¡.ldtaó¡nto

Sietnpleamosvalotes normales,como I - 15 cm,.,¡f , - 5 mm,y f ,=2 cm (d6, siempre es25 cm), entoncesel aumento angular neto es 375. El tclcscoplo El telescopioaumentaobjetostnuy distantes.Fue inventado en Holanda, al principio delsiglo XVII, y p¡onto impactó la astronomfa.Galileo se fabricó un telescopio refractor(telescopiocon elementossólo de refracción) en 16@ (figuta 37-3óa). En menosde un año publicó sus primeras observaciones,que mencionabanun "hinchatniento"alrededor de Satumo, cuatto de las 12 luttas de Júpiter,y la resoluciónde la Vla Lácteaen estrellaspuntuales individuales. La tnayor parte de los telescopiosse usancomo cámafas,más que para visión directa. El telescopio tefractor se asemeja al microscopio, pero part el telescopio, el objetooriginal está realmente en el infinito (figura 37-36b). La primera lente, el objetivo,creauna imagen intermedia muy cercanaa su foco. Si esepunto coincide cqn el foco del ocular, entonceséstefunciona nueval¡ente como lupa simple' La imagen final esüi aumenlada.Calcuiemos el aumento angular para un objeto que tenga tamaño angular8. Por ejemplo, la Luna tiene un tamaño angularaproximadode 1". Podemos distinguir,a simple vista, las est¡ellasseparadasaproximada-nlentel' de arco [1/60 de l"l.) Si el objeto original tiene un tamaño /re,el objetivo produce una imagen de talnañoh¡ - Mhs: iáqls- i0, - .f , 0 r.b imagenfinal' etrtonces,tieneun

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refractor ilGURA 37-36 (a) Telescopio (b) deGalileo,paraverobjetoslejanos. refractor. ópticode un telescopio Esquenre

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FICIIRA 37-37 (a) Tclcsco¡rio rcfltrclor, cn cl curl r:l objclivo sc rcmplaz: con ttn cspc,ioctjncavo.(b) lisqr:crrt:rik:' rrn tclcscopio rcfl cctor,

por la ecuación(37-14),si cti < l ho -h1y f o sc¡, 0i aumentoangula¡expresado -f z, vez, angular autncnto el es htlf z - 0Jrlf ,. A su

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Asf, a.diferenciadel microscopio,la lente objetivo dc un tr'lcscopiociebete'netl:t distanciafocal /1 tan grandecomo seapráctica. El estudiode las galaxiaslejanasdepeudedcl er:rtnerrdcl espcctlcde Ia l'.rzqr:e cmiten, para podcr dctcmrinar sr¡ collposiciírn i' sr,lcol'i'irl'licili{lDoj)llicr, :rl de objctosnru)' lcjanostienc igual que del examende su energla.La luz itrcidr-'ntc una intensidadmuy baja,y se necesitamás luz en el ocular,paraestudiarlos eslxcttos, Paratene¡eficienciamáxima en la tecolecciónde la iuz, el diánlet¡odel sisicmaóptico debe ser grande.Es mós diffcil construir lentesgratrdesque espejosgrancies,de modo que la mayor parte de los telescopiosgrandesson rcflectores(figura 31-37a),y no refractores.En un telescopioreflectorun espejorernplazaal objetivo,con objetode crear una imngen intermedia,que, a cotrtinuación,la agrairclael ocular (figuta 37-37b). Otra ventaja de ese telescopio es que no presenta abet'tacióncronrática (véasesección37-6).

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Optica geomótrica sin supcrficies curvas Los desarrollos recientesen las técnicas de tnanr¡facturaparecen poclcr reproducir muchasde las propiedadesde los sistemasópticossin necesidadde moldearni tallnr superficiescurvas.Esastécnicaspermitenla producciónde vidrios cuyos lndicesde refracciónvarlan,de nrodo controlado,con la posición.La luz se desr,íauniforrnementedentrode esosvidrios.Podemosimaginarnoscomo fonnadosporuna sericde capas infinitesimalmente delgadasde vidrio, cada una con un lndice de refracción infinitesimalmente distinto al de su vecino. Un rayo luminoso se desviaráun ángulo infinitesimalmente pequeño al cruzar la fronteta entre cada capa. La figura 37-3t muestrala trayectoriaque sigue la luz de distintaslongitudesde otrdaen el mate¡ial de esetipo. Adecuandoel modo en el cual varia el indice cletefracción con ia ¡rosición, serla posible, por ejenrplo, producir lentes de gafas fonnados por piacas
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37, { -- Abfrrrfóq

FICURA 37-38 Mrstra dovid¡io c¡rol cr¡alvaríacl indicr do rcfracclón.Por ost¡ carsa,la luz scdaiü¡ dcnro dcÍvid¡o.

*37-6 ABERRAcToN Un cálculoexsctoindica¡laque todoslos rayosque llegana un espejoo süperftcie perofinita, derefracciónesféricos,desdeel infrnito,secn¡zanenunazonapequeña, y no enun puntoúnico.Estoesun tipo de sberración(figura37-39).l¿ abenación debedistinguirsede la distorsión,en la cual, la'imagenno tieneJaforma idénticaa irnagende la figura ' la del objeto,comoen la figura 37-L3.Paraftnescientfficos,.la esmala,porquetodorayodel objetotienesu lugarpreciso 3?-13no necesariamente enla imagen.La aberraciónse ¡efierea lo que podrfamosllamarla calidadde una imagen,y no su forma geométrica.Pot ejemplo,si la pellculasensibleenuna cámara quela imagendeun objeto,o devariosobjetos esdeseable estáenun plano,entonces a la lentcdcsde y lejanos,quedeenun plano, adcmds,quefodoJlos rayosqub,et)tten prrnto plano de la del al mismo un puntoúnico de un objeto vayanprecisamente aben'ación. ptopiedades, hay pelfcula.Cuando.laimagenno tieneesas en ópticageométrica. deabemaciones, Podemosdistinguirdostiposimportantes que en los sistemas de que hecho el describen monocromáticas, Lasaberraciones no se afocanI un Punto punto objeto de un de determinado teales, los rayos ópticos tipo d,r abe¡¡ación depende para este (figuru comección 37-40a).La únicodela imagen de no objetos lejanos imrigenes que sólo óptico forma de la aplicación.Un sistema (figura 3740b). es Aunque tendráabenacióncuandouseuna superficiepafabólica que gire resPecto a poco de mercuri<' vidrio, un diffcil construiresassuperficiesen y superficies se'emplear-r en esas parabólicg, un eje vertical forma una.supe¡ficie algunostelescopiosmodernos.También,en forma altemativa,esetipo de aberr¿ción FIGURA 37-39 Esta imagcn &fcctuca cs cl rcsult¡do dc r¡r¡a abcrración osféric¡. L¡ abcrración csférica cs un üpo dc abonación monocforl¡itica.

FIGT RA 37-40 (a) En abonaciorrs monocrorrdticss,todoclos rayosquo provicncndcl infinito no pasanpor ol mismoprmtocn m cspcJocsférico,dorriodo quc cl foco no cstádcfl¡¡tdo.(b) Estotlpo & abcrr¡ciónsc climiru crnplcandoun ospcir parabólico.

FIGURA 37{1 (a) En lasabonacioncs crorruitidas,cl foco dounalentcconvorgcnto pucdoscrdistintop¡ra dislinlaslongitudos ¡lc o¡xla,Aquí lndicnrn
t .---t*

*i

Lur, bla¡¡ca '

se reduce al mfiiimo cuando la parte esférica de la super{icie del lente o espqo es pequeña,aunque,entonces,el sistemamaneja poca luz. In aberración cromúticc apareceen los sisiemasrefractorcs)y no eti es¡¡jos, tefracciótr dc uu maic¡iai ,1,:;;cndc, Como hicimos notar cn el capitulo 36, el lndicc ;:1e por lo general,de la longitud de onda de l¿rli,'z incicietrte;es el fcrlólneao ,ie ia dispersión.Por consiguienle,ia trayectoriaóptica cleun rayo c1ecieria longirrrddc un r¿yo de ctra iongituCrle o:rda(i igure onda puedeser distintodel carninoque sigr.re un punto de objeto es f..rentede una rnezclade longituries dc 3741a). Si detenninado c:lto¡r'ces la luz blanca, integettdcrr:seputrtosL'i'eplrtesc3tilr con la otrda,como sucede parÍi eselrplear corección sirnple la aberiaciórrctoindtic¿r las ldngitudesde onda,Una banda angosia cle .Je oircla. Lo sr hacc que pasai una lotrgih.rclcs qire sólo dejen filtros vaiios (figura Se tlisci-ian lentes 37:4 ib), dii'ersos con más frecuencia,es superponer elementospara anular la ciispersiói:,cotr ol''jcio de teciuciral nríilinrola ciispcrsiól nets por pasossucesivos, cc¡Teccioilessuccl;ivas, |.as lenteslnodemas comp€nsanl¡ aberrircióirineCie,irte con mr¡chaswperficies de ¡efracción.Utr buc¡r lcnte <Jecárrraraprredetctrct unn docena de elementos,de diversas clases Ce '¿icirio,coti rclacioues geotnétricas conrplicadasque, en casode un lente :oe¡lr, solt va¡iables.En los capftulos38 y 39 veremosque la naturalez'roi:dulator!ad.- ia i'.;zesr¡r¡líl¡litc furidanrentale inevital.rle niticias,adede la capacidadque tienen los siste;:,:sópticos ie pioriLrciriirrágetres gccntéiiica. de la óptica tnás de las aberraciones

iA E S U} v iEI ! C '
ii

l,os rayos paralelosque inciden en ufla sllperficie teflectot'ao refiactcfa, cotlvetgen apfoximadamentehacia el foco, a una distancia/ dcl elernento.Paraun espejo, I - NZ [ecuación(37-l)], siendo R el t¿dio de'cutvatura
r.102

o o o o o o o o o o o o o O a o o o o o o o O O

o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o O o o o o o o o o o o o o o a o o O o o o o o o o o o o

'1.103

esférico,se relacionanmediante

PrcSunt¡s

rll

(37-2)

- - 1- ;:;.

s tJ

La ecuación (37-2) se aplica a espejos tanto cóncavos como convexos, si se tiene debidacuenta de los signos de s, i y R. El tamaño de la imagen tiene un aumento M vecesel tamaño del objeto, siendo

¡rl:-!:rf s J -s

(37-4,37 -5\

ParaM positivo,la imagenesderecha;si M esnegativo,la irrragen esinvertida. Parauna ftonteraesféricaentreun mediode fndicede'tefracción n, y otrb de lndicede tefracciónn2,cuandola luz incidedesdeel medio l, la ecuación(37-2) quedaremplazadapor tt I

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llt

+ --:: 'i

n1 -

nl

(37- 8)

R

La tuismafórmula se aplicapardsuperficiesesféticastantoconvex., .omo .ón.auur, si setienenen cuentadebidalos signosde s, I y R. si uno se imaginacue la inragendebida Lnsletrtesdelgndnsse puedencotnpren¿ler alar ef r ac ci ó ne n l a s u p e rfi c i e má sp ró x i n raal obj etoes el obj cto paral a refracci ón enla segundasuperficiede la lcnte.Paralcntesdelgadasen aire, :;eaplica la ecuación (37-2),siendo

| L:(n f

/ I ^I - l)l'\R' - R=j |

(37-11)

es (3'r.-2)y (37-l1) secombinanen Lasecuacion

l.i:(,'-',(i-il

.

(37-10)

Lasecuaciones(37-4) y (37-5) se aplicantambiéna lentesCelgrdas' Las lentes delgadas se pueden usar aisladas o en combinaciones para formar ópticos,incluyendolupas,gafas,cámaras,microscopiosy teiescopios. ittstrumentos EI aumentoangular,que mide la relación del tamañoangularde un objeto, visto a travósdel instrumento, con el tamaño angular del mismo que se ofrece al ojo sin auxiliares,esun aspectofundamentalde esosinstrumentos,asi como la calidadde la imagenque producen.

PREGI.]NTAS 1. ¿Porqué, al frentede una ambulanciaaparece'AICI'{ALUBMA'' de espejos; cubiertas 2, Setieneun Sran¡ecintocon paredes encendido.¿Estámejor'ilual centroestáun candelabro minadoel recintoqueuno con mantasnegrasen lugarde los espejos? 3. I: imagende urn bujla encendidase proyectasobreutra' panlalla,colocadaa la distanciafocal de una lenteconve¡gente.Se pegaun trozo de papela la mitad inferior dc la lente.¿Severátan sólo la mitadde la imagen? 4. Trace un sistemacoordenadoderechoy su imagenen un espejoplano. La imagen,¿esde un sistemacoordenado derechoo izquierdo?En un sistemaderecho,el producto vectoriali x j tienela direcciónk.

5. Un espejodental,queeslo queusaun dentistaparaexaminar los dientes,¿debeser cóncavo,convexo'plano o algunas vecesunoy otrasolro? 6. Los espejoslateralesde algtrnosautomóvilestienenla adestar vertencia"los objetosqttcsevenen estcespcjopttedett li'soscs¡lcJos, nráscerc¡nosqrtclo qtrcprtrccct¡". ¿sot¡l)ln' o có¡tc:tvtls? . ¡los,co¡rvqxos una de las lentessimplesde la figurn37-24,|a 7. Paracada ccuación(37-4)delautncnto,indicaqueel tanuñodela imagende unapelotacolocadaen el foco esinfinito. ¿Lopuede visualizarusted,medianteel trazode rayos? E. La'figura3F13 muestrala reflexióndebidaa unasuperficie ,. esférica.Partesde las cuatro paredesdel recinto, hast¡ la pareddetrásde la esfera,sonvisiblesenla imagen.¿Porqué?

O

o

9. I.a distanciafocal de una lente,¿cambiacuandota lenteestá en agua? 10. Cuandouna lupa se colocaperpendiculara la llnea entresu centroy el Sol,seformaunamanchacalientedel ladode la lentemásalejadodel Sol. ¿Cuáles la relaciónentrela distanciade esamanchay Ia distanciafocal de la lupa?Por qué la manchase calienta?

I I

o o

I I

11. Una cáma¡afunciona fo¡mandouna imagenreal sobreuna placa de pelfcula. ¿Puedetomar una foto de una imagen vi¡tual? 12. En la novela El señor de las moscas,de William Golcling (1954),unosniñosredescubren el fuegocon ayudadel.Sol, quepasapor lasgafasde Piggy,queesmiope.¿Hacometido Goldingalgúnenor? 13. Los rayosprincipales,¿sonútilesparaun puntoen el ejede un sistemaóptico? 14. Cuando usted se hace un exatnende Ia vista, hasta uno puededilatar sencillo,comoel leerunacarta,el examinador (abrir)la pupilaconciertasgotasenlosojos.¿Porquéesútil esto? 15. La ftgura 37-42 es una fotograffa de una lente de faro, diseñadaparaproyectarun hazangostoy colimadode luz, a grandesclistancias,¿Por qué el lente eslá cortado en

FIGI)RA 3742 Prcgrrfa15. much¡s secciones?¿Córnoes posibieque el vidrio, cortado en es¡ f, nna, funcionc conro lcntc?

16. En la ;ccción 37-5 mencionamosla posibilidadde fabrica¡ unas eafasplanascon rnaterialen el que varfa el lndice de refracciónde acuerdocon la posiciólt.Haga un esquemadel perfil del indice de refracció¡rpara una lente convergente, fabricadade estemodo.

L7. Hay una le1'enda,segrin la cual Arqufmedes, e¡r calidad de asesordel gobernentede Siracusa,inventóun sistcnraóptico formado ¡ror escudosque podfan concentrar la luz solar lo suficientenlente bien conroparaincendiarlos ba¡cosenemigos desdelcjos. ¿Fx plausibleesr leyende?

PROBLEMAS 37-I

Imágenesy espejos

1. (I) Se tienendosespejosen ánguloréctoent¡esf. ¿Cuántas imágcnesvirtualeetendráuna fuenteluminosapuntual? 2. (II) Se tienendos espejospa¡alelosque se dan ca¡aentresl, colocadosen el eje r, en ¡ - a y x - -d. Supongaque un punto de luz se coloca en ¡ - ¡o entre los espejos.¿Cuáles son los lugaresde los cuatropuntosimagendel objeto,con los valoresmJnimosde distanciai a la imagen? 3. 0I) Un espejotiene exactamentela mitad de la altura del lector,y su partesuperiorestáalineadacon la coronillade su cahza. (a) Si susojosestuvieran en la coronilla,¿cuánto sedeberfaace¡caral espejoparapoderversesuspies?(b) Si su altura es de 180 cm y sus ojos están a 15 cm bajo la coronilla,¿quéhabrlaquehacercon el espejoparaqueusted se pudieraver al mismo tiempo su coronilla y suspies? 4. (IU) Supongaque dos espejosplanosse unenformandoun ángulode 6Oo(figura 37-43).Entre los espejos,en su bisec-

triz,secolocaun objeto.Conméto
del eje, a 20 cm del espejo,¿dóndequedarála irnagen?¿Qué valor tiene el radio de la esfera que forma el espejo?Trace el sistemapara cl segundocasodescrito. 6. (D Una página impresase coloca a25 cm de distanciade un espejoconvexo, que es parte dc una esferade 50 cm de radio. ¿Dóndese ubicará la imagcn, y cuál es su aumento?llaga un esquema,con los rayos. 7. (ll) Suponga que la luz de un objeto, real o vifual, llega a un espejo convexo de ¡adio de curvatura R. ¿Paraqué r'alct de s tiene i su valor positivo máximo? Tenga en cuenta valo¡es positivos y negativos de s. Cuando I tenga su mayc; valor positivo, ¿cuál es el aumento? ¿Para qué vclores, positivos o negativos, o valor de s, alcanza el aunreniosu valc: nláximo absoluto? 8. (II) Dcrnuestre,nrcdiante el mimlo razonamie¡rtoque empleamos en el lexto parael casodel es¡rjo cóncavo,que la reflcxió;r del m1'o I cn la figura 37-11 pareccoriginarscerr el prrrrtoF, independientemenle del ánguloB. Sr.rargu:ltrrto i;'r ' ."¡ .'el punto F, hay una imagen de un punto objeto ':; . . , t- . .

IryGt RA37-43 Problcma4.

9. (III) Trazandolos rayos paraleloslejanos,al igual q.:: cercanos quelosespejos parabólrc;s al ejeóptico,demuestre quelosespejcs afocanconmásprecisiónlosrayosparalelos, esféricos.

1104

-o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O I

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o o o o o o o o o o o O o o o o o o o o o o o o O

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Refracción en superfctcs es!éricas

ur:¡::l .: Es:::..: es el es¡eriol

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10. .I: -u-naesfera de vidio in : 1.52) de 10 cm de ¡adio se siimergeen agua (n = 1.33).LIna fiorpequeña está5 cm fuera ci¿la esfera.¿Cuálesson la ubicacióny la naturalezade la rmagen(real o virtual) de la imagende Ia flor, formad3por ¡ef¡acción en la p¡imera superficie?

20. (ID Deseamosfciria¡ una in¡ eende un i¡rsectccon ur¡ len:: convergentede 25 cm de ciistanciafocal, ¡'un aumenioCe 2. (a) ¿Dónde se debe colocar el objeto pa¡a que la imagen sea¡eal?(b) Repita la parte (a) paraque 1aimagenseavirtual.

11. (ll) Demuestre,aplicandola ecuación(37-8), que si la luz incide sobre una superficie de refracción convexa, qon n2 > n, (véasefigura 37-18),hay una distanciacrltica,.rc,tal,'que la imagen de un objeto más cercano que s. será virtual. Determine s., y demuestre, con.t¡azado de rayos, que la imagenvirtual, cuandos < sc,es derechay aumentada.

21. 0I) Un objeto de 2 c¡n de altura se coloca en uno de los lados de.una lente delgada,convergente,de 40 cm de distancia focal. ¿Cuálesson la ubicación, tamaño y orientación de la imagen cuando el objeto se encuentra(a) a 80 cm de la lente, Q) a a5 cm de la lente, (c) a 35 cm de la lente, (d) a l0 cm db la lente?

12, (II) Se tiene una frontera esféricaconvexa entre dos medios, y un objeto de¡echo cuyo punto extremo está en S, cómo en la figura 37-18. Suponga que nz < nb y no que /12) ¡,. Determine la naturalezade la imagen (invertida,derecha, t¡az¡nclolos rayos virtual o real, reducida o arunentacla), dcsdcS. ¿Hay alguna distanciacrftica a la cr¡al cahrbic la naturalcz¡
22. (lI) I-as dod'superficiesde una lenle delgada tienen radios del rnismo signo y magnitud, Demuestre,con trazo de rayos, quc la distanciafocal de esalentc es infinita. La imagenque ' produce, ¿esreal o es virtual?

13.(II) Una frontera esfóricaco¡rvexll¡rroducctrna itttagctrcttya por l:t está ¡tr. (a) Demttestrcquc cuandoun objeto estámuy lejos de la supcrficic,la irnagen estda una distanciai - nrRlQt,- n') de la superficic,y que la imagen es inverlida, reducida y real. (b) ¿Cuál es la distan ci a, sa, la c ur l la dis t anc iaa la im agc ns e h a c ei n f i n i t a ? (c) ¿Cuál cs la posición dc la inragencu:rnclos cs r¡n Poco menor que el valor crftico que se determinóen la parte (b)? ¿Esreal?(d) Al continuardisminuyendos, ¿quésucedecon la posiciónde la imagen?

14.(II) Se tieneuna supe¡flciecóncavade radio de curvaturaR, que separados medios con fndices de refracciónnt y n2, siendon, > n, (figura 37-19). Determine la distancia,s, de un objeto para la cual la imagen, que es virtual, quede superpuestaal objeto. 15. (III) Al d educ ir la ec uac ión( 37- 8) , s upus i m o sq u e ñ r < n 2 en la figura B2-2.Haga un nuevo esquema,adecuadopara n2 < nt, para r¡na superficie convexa. Apliquc el nrismo , a r ad e m o s tipo de ta z onam ient o,c on ángulospeque ñ o s p trar qu c s e aplic a la nr is nr a ec uac ión a l g e b r a i c 4 ,s e a t t cr¡a lesfuer en las m agnit udesr elat iv asde n r y n r .

16. (III) Demuestre que la ecuación (37-8) es válida para una superficie cóncava de refracción cuando n2 > nb l.razando una figura análoga alaB2-2, y partiendo de hipótesis para ángulospequeños.

23. (lI) Una lente convergenledelgaclaforma una imagen de una montaña lejana, a r¡na dislancia de 25 cm de la lente. (a) . ¿Cuáles l:r dislanciafocal dc l¡ lcntc? (b) Una pifla de pino sc coloc¡ :l l00,cln dc'la lcntc. Describa la imagen quc rcsultn,su autne¡ltoy clistanciatlc la lcntc, y si es real o virtual, clcrcchao invcrtida.(c) El vidrio dc la lenteliene un fndiccdc refracció¡rde 1.ó.La lcrifcestáiunrergidaen un lfquido transparentecuyo lndice de refracciónes 1.4. ¿Cudl cs su distanciafocal en estcrncdio? 2.1. (II) Se ticnen las lentcs delgadasde las figuras 37-24a a 37-24d. Srrpongaquc en cada caso,las magnitudesde los radiosde curvaturason R,= 10 cm, y n2 = 50 cm, y que n = 1.5. (a) Calcule las distanciasfocales de cada una de las cuatro lentes, y emplee el signo dc ellas para obtener los lugares de la imagen de un objeto lejano. (b) En cada caso, la imagen ¿esderechao invertida, real o vi¡tual? (c) Calcule el aumento, M, a partir de la ecuación (37-4), y compruebe que sea consiste4tecon sus resultadosde la parte (b). 25. (lI) Un objeto se coloca a l0 cm a la dercha de cada una de las lentes del ,problema 24. Para cada caso, localice la imagen, diga si es derecha o invertida, real o virtual, y c a l c u l ee l a u m e n t o . 26. (lI) Repitael problema25 para un objeto colocadoa 4 cm a .,la rlercchaclecadauna dc las lentes. 27 . (lI) Doi lentes delgadas,de .distanciasfocales f t Y I ¡ t6' pectivamente,estánalineadasen el mismo.eje, y colocacias tnúy cerca una de otra. Demuestre que la distancia focal,.í, de la combinación,es lll

.f:7 ,*i,

37-4 Lentesdelgadas de 17. (I)La imagende un objetocolocadoa24 cm dedislancia una lente,se formaa 5l cm, al otro ladode la misma.(a) focal?(b) ¿Quétipode lentees?(c)La ¿Cuálesla distancia (d) ¿Cuálesel aumento? imagen,¿esreai?¿esderecha? de26y 20 tieneradiosde curvatura 18. (I) Unalentebicóncava dela lentees 1.53,¿cuálesIa cm. Si el fndicede ¡efracción dis t ancifo a cal? 19. ,.Il Se colocauna ntanzanaa 15 cm frentea una lcnte estál a a c a l .(a )¿D onde d; r ' er g e n te d e. 2 2 c m d e d i s ta n c ifo

37-5

Inslrumentos ópticos

2fl. (I) Los ojos dc una personamayor tierlenpixrics:3i-'3:3s 70 cm. Para que esa persona pueda leer u:r libro a ;:¿ ie'-e corecció::, de de cm con anteojos distancia 30 .c:::i ser la distanciafocal de los lentes? 29. (I) Una pcrsonanriope tiene punios ce:c.l:: r .e.¿:,'-:-' -l c m y 2 2 c m , r e s p e c t i v a n t e n i eE.; p t n : : .t.':':: e s e . :;.;: más alejado que puede \'ar ccr.:l::;;:: -:,: -:e:):-: 3 D e t e r m i n el a l e n t en e ; e s ¡ l ; e: ú : : q l : 3 s ::t:s:.- :: - ::: ':i

I

i

con cla¡idad al infinito. (b) ¿Quéefecto tiene la lente de conección de (a) sobre el punto cercanode la persona? ¿Podráseguirleyendocon facilidadun libro? 30. (I) ¿Cu.iles el aumentode un telescopioque tieneun lente objetivode ó0 crn de distanciafocal,y un ocularde 2.9 cm de distanciafocal? 31. GI) L,osdos lentesde un telescopio,con 20Ox de aumento, estánseparadas 92 cm. ¿Cuáles sonlasdistancias focalesde laslentes? 32. (ID Calculeel aumentoangulardel telescopiorcflectorque muestraIa figura 37-37b. *37-6

Aberración

33. (ID Setieneun espejoesférico,y no sehacela aproximación paraxial (figura 37-44). Demuestreque cuando un rayo paraleloal eje forma un ángulo 0 con el radio R en el punto de contacto,entonces/, que en estecasoes la distanciaa la cual el rayo cruzael eje, es /

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/ : ^ \t-r" *o )

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Demuestreque, para ángulos pequeños,esta fórmula se reducea / - R/2.NótesequeFno esel foco en estecaso,ya que no hay foco definido, sino sólo el punto en el cual detetminadorayo cruzael eje.

Problcma : gcnerales ii 36. (ID St' ticne un espejo cóncavo circular, de distanciafocal/ y diárretro d siendo / >>d. El eje óptico del espejose dirige hacia el Sol. ¿Cuál es el área de la zona que contiene los rayos reflejados,como función de la distancia, L, al espejo, si L < f? La luzsolartieneunaintensidad.Ialllegaral espejo. Deter¡nine la intensidad de los rayos reflejados como función de /.. Suponga que el Sol es un objeto puntual. 37. (II) Se le da una lente convergente (figura 37-24a) con igual s radios de curyatura, y una lente divcrgentc (figura 37-2ac), con los misnros radios de curvatura que los de la lcnte corrvergente. Las lcntcs se fabrican con rnaterialde n y 1.50, todos los radios dc curvaturason 50 cnr.Las lentes se colocan en los cxtrcnros opustos cleun Lubodc 20 cnr de longitud, y Ia lente más ccrcanase encuentraa 20 cm del objeto.¿Cuáles la ubicaciónde la imagenqr¡ercsultadc las dos refracciones?¿Hay alguna diferencia porque seala lente conve¡gente,o la divergente,la más cercanaal objeto?

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38. 0I) Se tiene un cilindro de vidrio de 50 cm clelongitud,en a i r c ,c u y o n - l . ó , c o m o c l q u e s e n r u e s t r a e n l a f i g u r a 3T- 2 1 . Los dos extremos tienen forma
39. (II) Dos espejoscóncavos,Mry Mz,estánuno frentea otro. Sus¡adiosde cun'aturarespectivos son24 cm y 40 on; la distanciaentreelloses ó0 cm. U¡r foco se colocaen ei e.je óptico,a ó cm de ,11,.(a) ¿Dóndese forma la imagendel foco,queforma M,? Traceel siste¡na. @)La irnagendelfoco que forma M,, a su vez, puedeformar una imagen,como resultadode las reflexioncsen Mr. Mediantetrazaclo de rayosformeesasegundairnagen,partiendodel foco, 40. (II) Unalente,hechade vid¡ioconn = 1.5,tiqnela configuraciónqueseve en la figura37-45,y hayunabujlacolocada a 50 cm de la superficie1.No sepuedesuponerquela lente ya quetieneun espesor esdelgada, de 5 cm. (a) ¿Dónde se encuentra la imagenformadapor la superircie1?¿Esinvertida?¿Cuálesel aumento?(b) Usandocomoobjetola imagen formadapor la superficie1, detennineel lugar de la imagenfinal,en relacióna la bujfa;tambiónel aumcnto de la imagen.¿Esinvertidao derecha?

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üGURA3744 Problcm¡ 33.

3.f, (II) Con el resultadodel problema33, calculelos lfmitesde valoresde / paraun espejohemisféricode I m de radioy 40 cm de longitudde arco. rI) El fndicede refraccióndel vidrio óptico que se usapara u:ia lentedelgada,con R, - +20.00cm y R2- +!3.75 .., "t lt - 1.48523,paraluz de A,=587.6Ím,y n - 1.48135para |:z Je )e- 7 68.2nm. ¿Cuálesla diferenciaen distanciafocal iar? esesdos longitudesde onda?

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I'IGURA 37-f5 Problcma40. !:

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o o o o a o o o o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O o o o o o o o I o o o o

o o o o o o o o o o o O o o o t o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o o a o o o o o o o o

41.(II) Una lente delgada,con distanciafocál /,, se coloca a una

distanciad del frente de un espejo cóncavo, con distancia focalfr. ¿Cuál es la distancia focal de la combinació¡r?

, St¡pcrficic reflcctora

FIGURA 37-47 Problcma 43.

FIGUR A3746 Problcma 42.

42. (II) Setienela esferadevidrio,den = 2, queseve enla figura 37-46.Todo ¡ayoquellegáesparaleloal ejequcpasapor el centrode la esfera,y se refracta;llegandoa la superficie traseraen el eje.Demuestreqüeestosucedeasfcuandolos rayossonpa¡axiales. si la superficietraserasepintacon un materialreflejante,la simetrfaindicaque el rayosaldráde regresoen direcciónopuesta.En las pinturasreflejantes (mícroesfede lascarreteras se empleandiminutasesferas rat) quefuncionanasf. 43, (III) A unasuperficieesféricade vid¡io, lleganrayosde luz paralelosal ejeóptico(figwa 3747). El rayoqueentraforma un ángulo,B,con la nor.mal a la superficie. Demuestre que los ¡ayos cruzaránel eje óptico a una distanciad - cos 8) del centrode la esferza,donde¡ es R|t7=;Ñ6 el lndicede refraccióndel vidrio. ¿A qué se reduceesta ecuacióncuandolos ángulossonpequeños?

44. (III) El fndicederefracciónde un vidrio varfade 1.528,para la luz azul,a l.5ll, parala Iuz roja.Con cl ¡esultado del problema43, calculela dispersiónde coloressobreel,eje, paraluz que llegaa un extremohemisféricode unavarilla de vidrio,formandoun ángulo0 -- 0.4 rad. Supongaquc el radio de curvaturade la esferaes R - 50 cm, ¿Cuáles la dispersión cuandolosrayossonparaxiales? 45. (III) Un sistema ópticotieneunalentedelgada, n - 1,4,con radiode curyaturapositiva\ - 25 cm parala superficie1, y de curvaturanegativaRr -25 qm parala superficie2. Estalentereunela luz que le llegadel lado.derecho. ¿En dónde,a la izqrrierda dcl lcrrtc,dcbccolocarscuna placa planade espesor¡, del mismo vidrio, y quó espesordebe tener,si deseausledquela luz queinadieun objetolejano quedeafocadaun una pantallaa 35 cm a la izquierdade l a l ente?

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Los qolores brillantes de hs plumas de colibrí no sc dcben a pignentaciones, shto a intcrfcrcncia dc la luz que reflejan.

INTERFEREI{CIA

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propiedades geotnétricas de la luz, -Un los capftulos 36 y 37 hicimos no{ar las Pudimos describit muchas propiedades,de ¡eflexión y refracción, considerandoa la luz en términosde rayos lineales.Nunca necesitamostecur¡ir al hechode que la luz es un fenómeno ondulatorio. Sin embargo, si vemos con más cuidado el comportamiento de la,luz cuando intervienen obstáculoso agujeros cuyas dimensionesseatt semejantesa las de la longitud de onda de la luz, la óptica geométrica ya no es adecuada;la naturalezaondulatoriade la luz cobra importancia.I-a óptica geométrica no puede explicar los colores que se observan en ias burbujas de jabón, ni en los dertames de aceite. Igualmente,si vemos con atención las sombras,encontraremos que no,sontotalmentenftidas,contradiciendolas prediccionesde la óptica geométrica. Esos fenómenosse deben a interferenciay difracción, los temas de estecapltulo y el 39. La ópticaflsica, que tiene en cuentala naturalezaondulatoria de la luz, puede explicar una mayot cantidad de observacionesque ia óptica geométrica.

38-1 L¡¡ fcoóocnoe onduletorios quq s€ d:sif¡icr,on en Io. cep¡lu¡os 14 y lSrae ¡Fütrn ¡ tod¡¡ ler ondm, lácluyendo [6d. L lu¿

x108

ExrERIMENTo DE YoUNG DE I-a DoBLE RENDTJA

seande agua,o enunacuerda)u ondas Cuandodosondasarmónicassesobreponen, entredosondasluminosassedebea luminosas,interfierenentresl; La interferencia de lasdosond¿ssesumanvecto¡'ialnenfe, que los camposeldctñcos,o mdgnétlcos,

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Intcrfcrcncia constn¡cliva

\ dc,sl¡ttctiva I¡rtcrfcrc,ncia

(b)

IIGURA 3E-1 (a) Intcrfercncia constnlcliva cntrc dos ondas;sc presc¡llaon cl prrntoxo,dondccoincidcnlos máxi¡nos. I-¡r inlcrfcrt:rrcinrlc^stn¡ctiv¡cntrc dos o¡rdss cn cl ¡xurtox,, donrlosc anrtl¡n sc prc,scnln sus arnplilwlcs. (b) Dos ondascohcrc¡üe,s ticncn la rnismalongitud dc onda,y urut difcn:ncin cor¡st¡ntc do faso.

que resultaes una con rrh nr¡evovalor de campoeléctrico. La ondaelectrotnagtrética Vearnosla srrperposiciónde dos otrdaslunrinosasde distintasfirentesen puntos a lo largo del detenrrinados en el espacio,y en un momento dado,que,se..propaguen ejex (figuta 38- 1). Donde las dos ondassesumanell una de mayor magnitud, depimos quelas ondas interfieren constructivamente,comoen el punto rs de,la figura 38-1a. Cuandolas dos ondas se anulan etre sf, decimos que interfieren destructivamente, cornoen el punto x1. Si las dos ondas tienen longitud setnejante,pueden interferir en una amplia tegión del espacio. constructivao destructivamente Paraque las ondasluminosasprocedentesde dos fuentesproduzcanuna figura de interferenciaen el espacio;debehaberuna reiacióndefinidaentresus longitudes de onda y fases respectivas,en susfue ntes rcspect¡vas.Esto es, las ondas deben ser L¡s ondespuedenproducirune figure Las dos ondasluminosasquese ven en 1afigura 38-1btienenexactamente de interferenciasólosi soncoherentes. cohcrentes, la misma iongitud de onda y una diferenciade fase constante.Estost¡enesde onda muy largos son del tipo de las ondasque emite utr láser,que es una fuente de luz coherelrtey lnotlocromática,y es fácil demostrar en el laboratorio la figura de qu e p ro d u c eu n a l u z d e l á s e r(v éasecapítul o39). S i l as ondaset¡i ti das int er f er enc ia e¡ una o trrasfuentesconsisterren una rnezcladc otrdasdc distintaslongitudesy fases, entoncesno habrfa figura de interferencia.Un foco incandescenter )' una flama de a di sti ntosti empos bujÍ apr oduc e nl u z d e m u c h a sfu e n te sa tó mi c asi ndependrentes, y lugaresdentro del filamento o la flama. Se dice que esaluz es incohcrcnte. Sin embargo,T'homasYoung, quien a principios de los 180Ofue el pritneroen observatlos fenótnenosde interferenciaen la luz, no t¿¡lialáser. ¿Cólno produjo figurasde interferencia?Partamosde la luz incohe¡entede un foco incandesce¡rte. )) Podrfamospasarlaprimero por un prisma y seleccionarun solo color. Entonces estaríamosmanejandoluz monocromática,que solo cotttienelimites estrechosde' longitud de onrJa,Sin embargo, la luz monocromáticasigue siendo itrcoiterente, porqueestáfon¡ada por muchos pulsossucesivosy traslapadosde fasesdiferentes. Los pulsosde luz que procedende fuentesatónricasindividualesdentto de utr foco sonulr fenómenocuántico.Esos pulsosduran del orden de r: l0-8 s, y'la longitud de los trenes individualesde onda es; por consiguiente,cr, o sea, varios metros.' ahora producir luz coherenteen dos fuentes iluminando una sola abertura Poden-ros (una rendija o un agujero), S, cotr nuestrafuente lnonocromática. La nberturadebe ]) ser tan pequeñaque sólo entre un pulso de luz a la vez. De este modo no habrá de faseen la luz que procedede distintospulsos,que puedehaberentrado diferetrcias por distintaspartesde la abertura.El tren único de ondaslulnitrosasque pasaforma una onda cilíndtica, que puede iluminar a otrasdos aberturas,St y S; (figura 38-2). IIIGURA 38-2 l-¿5 e¡des lumiosas quc Esasdosaberturasfárntán fuentes de luz coherente.Si Sr Y S¿son equidistándesde' pasan¡ror las rcndijas S' y S, son 5. ia luz que procede de S recorre la misma distanciapara llegar a S1y 52,y está en cohcrcntcs.(a) Tambióncstin ell fasc, la rccorrela misma longitrlddc i:se al pasar por las dos aberturas(figura 38-2a). Si St y ,S2flo son equidistantesa S, ¡nrquo luz traycctoriade la rcndija S a la S, y a la St. pofquetienenuna iasondasluminosasque pasanpor ellassigrrensiendocoherentes, ft) Cuandoson distintaslas longitudcsdc :r;e:enciade fasedefinida(figura 38-2b).Por último, aunquela figura de interfer"en- trayc{lorjfl,ira¡ rru drf:rcnci¡ cc Í¿s.'s.

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111 0 Capitulo !8

a

cia queproducedeterminado pursosólodura r0-ss, el siguiente purso,quetienera misrnalongitudde onda,produce la misrnafiguraqueer primerpurso. "*""]",,'"n," Porconsiguiente, la figuráesestable y oUr"ruuUt". Todafuente¡inicade luz sepuea" deestemodoparaproducirdosfuentes coherentes. "mpt"ur Es el'métodoqu" uró v"uofin rus experimentos, en los cuaresobsewó por primeravez ra interferencia. r-u ¿?"u"ntajaber ,rl,rá, l"^ioung es quera intensidad dela figurae: eequela,porquesedeberestringirrnuchoIa ruziniciar, l:y en vez Hoy; podemosusarun láser, creun foco,y unasorarendijn,.g.urr láseresnuís la intcnsidacl de la luz t,ir"r q,," pnrapor ra aberturi ."lu"a" rracerrnuy }lt;ff:t""

Intcrfc¡cncl¡

La figurl dc interferencisdedos fuente¡cohenentee fuc descr¡t¡enel cnpítulo15.

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a a o o o o o o o o o o o o o o o o o

Ftgura dc intcrfcrcncia con dos fuentcs Repasemos la figura de,interferencia queseprocrrcecr¡ancro interfiereIa luz proce_ dente de dos fuentesde ondas.ot,ui.nrur.'r-nr. onar. l";;;:;; por Ia rendija rectangular y vertical,.9,son cilfndricas, y lo misrno., iiurti á" lu rrr" qr" pu* despuéspot las rendiiassr sz Iu n'grr.u3g-3a.La figura 3g-3b es / ,na vista superior.si s¡ y s2estánu lá ii*u "n¿irt""""i;;" s, entonces salenondasdela rnisma frecuenciay fase de S, y 52,en forma du .ir"ulo, .r"" l¿. ampliosquese propagandesderasrendijas.Los cfrculos "u¿u representan lascrestasde rasondasquese propsgan. Dondesetraslapan rascrestas, Iasondasinterfieren constructiva, La figuraqueformanesoscírculos uior.n,., ";¿;;" al avanzarras ondas, las posiciones "" dondeloscfrculosaparecen avanzán ¡' formanrectas. Hay interferencla constructiva; estoes,movimientoond¡rarorio conm¡),orarnprirud,_a í";;¡;;;s;crc csas y' porconsiguiente, los lugaresdondese intersectan Iaslíneassonbrillantes. 'neas, E'tre lasregionesde interferencia constn¡ctiru, hu¡:interferencia destructiva, y Ia pantalla estáoscura.El resultado esunaseriede zonas y or.ur* io puntoUn. "laras "n

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Frcntcs
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Minimo (oscuro)r,:,

Máxinro (claro)

Minimo (oscuro)' : Máxú¡lo (claro)

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(a) Rcndrja S

(a) Ondasptanasquo incidcn pcrpcndicula¡nrcnrc sobre .yg-Yll3l-3 t5u rc¡Oij_aS;produccnrna scrio do ondascimAri"*. C,*r¿o csascrie rcndijasS, y g, l* on¿* son 1:."IT]bqr.r.las cohcrcntes. o) vista superiordcróonjunto.L:"ifin¿ri.^iilrosutran inrc.r.*"li, ¿"*o".,ñ, sc presc. nracn todo lugardc la dirccciónen la cr¡arsc cruzan los circurc co_rrcéntri.cf,quc rcprcscntanlas crcstasa" fu, onars-qu" L ¿¡ñrr,¿rn, csto so dcbc a quo tas ondascstáncn fase cn csas-diLciones. se obscrvardnzorus ¡ltcmas claras.y ccuras cn puniuff. fu p"olcla a las paredcs.

Máxirno (cluo)

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Mrnirno (oscuro)

M¡iximo (claro)

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Vamos a investigarcon más detalleestaconfiguracióhde doblerendija.Se tiene lageometrfade la figura 38-4.A lo largode los rayos 1 y 2,laluz recorrela! distancias LJ h, respectivamente, parallegaral pun[oP de.lapantallá.Como los rayosrecomen distanciasdife,rentes,puedén ya no,eslar en fase en P, aunque lo.estuvieron en las rendijasSr y Sz. El que estén o no en f,asedepende dela diftrenciá de tongitud.'.de trayectoria, LL = 14 - L¡. Las ondaslleganen fasesi AL es cero o ull múltiplo entero deunalongitudde onda.Lgs camposeléctricospuedenseguirinterfiriendoconstruct iv am entaun e c u a n d ol a sl o n g i tu d e sd e tra y e ctori aseandi sti ntasen muchasl ongi tudesde onda.Igualmente,si el nráximo de una onda llega n la mitad de una longitud dconda det r ásd e l l n á x i tn o d e l a o tra , e l c a m po el éctri col náxi ¡node una onda' se presentará en el mismo lugar en el espacioque el campoeléctricomíninro.de, la otra onda.P or c ons i g u i e n tel ,a s o n d a ss e a n u l a ns i A L es rrnmúl ti pl o dc medi al ongi tud deonda(defasado180").La itrterferencia es constructivacuatrdolasondassé suman entresf. v destructivascuandose anulanentresf: parainterferenciaconstructiva: AL = nA, r' r\ = (' * A L par aint er f er eh c i d a e s tru c ti v a : ; )' '

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l'lCIJR,\ 38-4 l¿s ondaslumi¡rosasde los rnyos I y 2 prrc
' { 38* l b)'

El resultadoes una seriede lÍneasclarasy osóuras,debidasa las rendijasverticales, enla pantalla,como se indica en la figura 38-3 y se muestraen la figura 38-5. Podemosemplearla geoinetrlaque sé indióa en.la figura 38-6 páta detenninar' lascondicion¿sile interferenciaconstructivaydestructiva.Suponemosque la distarrcia,R, a la pantalla,es mucho maybr que'ladistan¡iad entrelirsdosrendijas,En este caso,el ángulo, g, entre la lfnea SlP y Ia línea de Si perpendiiulara la pantdllaes, aproximadamente, el mismo que el formado de igual modo por 51.En la figura 38-6

I¡IGURA 38-5 Figrm dc intcrfcrcncia prcxhrcirla ¡xrr rloblcsrc¡xlijasvcrticalcs;cs trnascri cdc l íncasvcñi cal cscl arasy ql rcsc al tcmancn rrnapanl al l a. oscl ¡rfl sr

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3,c:¡iclurni¡losa

'FIGIhtA

Pantalla

38-6 Dl¡ncrxioncs¡ ingrJo+quc 'tt rrsañpara dctcnnina¡ las corldicionc,sJc figrrradc interfcrcncia,parala luz qr;cilcga dc longituJcsCe al punto P. t¡ rfífer¡:ncia traycctoriaes AL = d scn 0.

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Lt12 C-epítrilo 3a Intcrfcrcnc

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vemosque el ángulofo¡madopor S2S¡Ktambiénes 0' Asf, (38-2) AZ - dsen 0. (38-1a)y (38-1b),los máximos(zonasclaras)y los mlnimos segrinlas ecuaciones (zo"nas oscuras)se Ptesentanen la pantallacuandolos ángulosestándeterminados Por

,, : )" constructiva:senl/ 'l ¿' parainterferencia

FiguredeintcrferencirPerr doe fuenlea

n : 0,

l, *2, . . .;

(38-3a)

l\'i ^ / '¡^ "" =0' + l' +2' (38-3b) scn0= (' * parainterfetenciadestructiva: i )i,' \/ (n - 0).En alnboslados conlasfuentes(9 - 0) esnrd,xitno El puntoqueestáalineado de estalfneacentralquedanmlnimosy tnóxinrosquese ¡ltcnran'El valor de rt que identificalos máximosse llama orden'Los máxitnosa ambosladosdel máximo + 1): Si espeqr¡eng' d¡ central(deordencero),sonmáximosde primerotden(n I 0' en igual tal modo que sen I : 9, los máximosy mlnimostienenespaciamiento. sus e informó visible, luz quehemosdescritocon YoungllevOa caboel exPerimento quela luz se en formaconcluyente, demuestra, r"sulüdo" en 1802.Su experimento que el resultado puede explicar comportacomouna o.tda.I-a ópticageométricano seve en la frgura38-5. de doblerendijade la EJEMpLO 3 8 - 1 Se lleva a caboel expcrimento largode la pantalla' a lo central del máximo frguia38-6,siendoy la distancia y. Si la distanciade de función como máximos bZt"r.in" iu" pori"-ion"rde los esd - 0.2 mm,y de las rendijas la la rcndijaa la pantallaesR - 3 m, separación la posición calcule (,i" lejano, 633 nm), ,i i" tu, prouienedeun láserhelio-neón y del máximo de novenoorden. soLUCION:l,a ecuación(38-3a)proporcionalos ángulosp.aralos cualesse presentanlos,máximos.De acuerdocon la figura 38-6, la distanciay está exptesadaPor Y'R tanB ecuación Si R >>y,'tan'0= sen9, ypodemosintroducirel valo¡de sen0 de la en están enlonces, máximos, (38-3a)paralosmáximos.Los tt).R 'tl

los valorcsdadospam Parael novenoorden,n'g y y - 9)'Rld.Si sustituirnos orden, t', Ry diparael máximode noveno J_

9(633x l0-e mX3m): 0.2 x l0-'m

S.5crlt

I cm' l-a distanciaentre cadauno de los m¡iximos, entonces'es aproximadamente l: para determinar empleado haber podrlan se Nótese que esasmediciones (38-4)' la ecuación 2. de despejar podemos si medimos y, R y d,

Lr stpareción engular de los móximos y minimoe en los fenómenos de intcrfertnclr, aumenl ¡ cu¡ndo gumcnt¡ l/d.

Ir

de todos los fenómenos I-a figura de máxilnosy mlnimos es caractetistica ondulatorios.Los efectosde interferenciaobservadosdependende la relación'X'/d; queaumentaestarelación'aunrcntaIa scparaciónangularde lafigura de a med.ida Ay, entremáximosen la parrtallaes'según interferentia.Porejemplo,la separación, la ecuación(3S4);Ay - R ).1d.Conayudade un láserde helio-neóny uná doble 0. I mtn, sepuedeestudiar variableshastaaproximadamente rendijaconseparaciones la seiaraciónangularen una demostraciónde laboratorio.Para ver fellómenos en un tanquede ondasde agua,dondela longitudde ondase mide en semejantes entrerendijasdeberlanserdel ordende centfmetros' lasseparaciones centlmetros,

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o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o

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EN EL ExpERTMENToDE youNc, , ! 38-Z TNTENSTDAD or r-A DoBLE RENDUA i

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La descripciónanterior se basabaen argumentosgeornétricospara determinarlos ángulospara los cuales se pueden obtenermáximos y mlnimos. A continuación Cirigiremosnuestraatención ala intensidadde la luz que llega a la pantalla.La L¡intensid¡dluminoeesedescriblóen rntensidad(o brillantez, cuando se trata de la luz) mide la energfa.entregad4poruna rl cepítulo36. ondapor unidad de tiempo por unidad de área. t" energfaen una onda mecánicadada,o superposiciónde ondas,es proporcional alcuadradodel desplazamiento. Parala luz, la caniidadque desempeñael papel de desplazamiento es el campo eléctrico o magnético. La intensidadde una onda luminosa,la energfaque entregala onda por unidadde tiempo por unidadde área,es el promedio,con tespectoal tiempo, del vector de Poynting,que se presentóen el capítulo35, el cual es proporcionalal producto de los vectorescampo eléctricoy campomagnéticoen la onda.Como el campomagnéticoen sÍ esproporcionalalcarh, poeléctricoen una onda electromagnética, Ia intensidades proporcionalal cuadrado delcampoeléctrico (I d: Ú). Para determinar la intensidadde un conjunto de ondas, surnamoslos campos eléctricos de todas las ondas,y elevamosla surüa al cuadrado.' Porejemplo, con dos fuentes de igual intensidad,.Ie,el campo eléctrico máximo es el doble del campo elécrico Eede cada fuente, de modo que

ltr:Lt¿n)':.1. enla cual1n;,esla intensidad la intensidad máxima.I, á^- 4fo.Igualmente, mlnima e.In,;n setienecuandolos camposeléctricosseanulanexactamente, - 0. quesebasaen la etieilfa,es. ' El razonamiento sencilloqueseacabadepresentar, tanútil quelo desanollaremos encualquierpuntoP dela panlállh, más.La intensidad, en la figura 38-6, es'proporcionalal vector neto de Poynting,que a su vez es proporcional al cuadradodel campoeléctriconeto.El campoeléctriconetoinstant¡ii. n*, E*,, en P, es la suma de io" eléctricosinstantáneos de las ondas "*po. queemitenlasdosfuentes: luminosas &. - Er + E . El vectornetodePoynling,por lo tanto,tienela magnitudScc(81* U)z - E1* 2F,,.Fn * Ei. Pero,comolasondas luminosas oscilanrápidamente, no esel veciorde Poyntinglo quenosinteresa;esel ' promedio conrespecto al tiempodel vectorde Poynting,estoes,la intensidad, f, en elpuntoP. Es dondeesimportante la coherencia de la luz. ti representamos conparéntesis angulados lospromediosconrespecto al tiempo, entonces

ln",*(Ei) * 2(Er, F-,)* ( E).

(38-s)

Para luz incoherente,no hay correlación,es decir, no hay relacióndefinida de fase,entre los campos eléctriios de las dos fuentes.Por un momento las dos fuentes tienenuna fase relativa, y en otro la fase relativa es distinta; y el término (E¡ . E) es ccro.Asl, /¡.o¡:

/¡ + 12

(38-6)

Perefuentesincoherentes,tre intensidsdeelndiüdu¡les s€sum¡n.

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]riguradeinterfcrcnciapatadosfuentescoher,cnte9.]r ¡ -' . I l.ru ondascoherentis,( E, F,,) q la lcuación(38-5)no escero.Si, enun momento : ' I dado,hay interferenciaconslructivaen'.elpunto P,'donde E¡ E,2,pgriirtitá l¡iurlerierencia porque Igualmente, constructiva, las ondas son cóherentes. bi en detet-' I destructiva, enla cualEi :. -qr tám.bién persiiie I rninadomomentohay interferencia -Iyy (38-5) ecuación :es;uás. Pa¡a interferencia destructiia,@1. E),t: la da como' [I '. = I, - )1, + It - 0. :e-.:.-:: I* I

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Intcnsldad cn cl cxpcdrocnto dc young, dc la doblc rcndll:

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o o o o o a a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

queproceden de quelos camposeléctricosde lasondashrtninosas Supongamos las fuentesSr y Sr en nn puntoúnico,P, en el espacio,se orientanen la misma y susmagnitudes sonr dirección,

Capítulo 38 lnrcrfctcnclr

Er : Eo sen(ot),

(38*7a)

Ez: Eo sen(cr;t + {.r).

(38-7b)

La diferencia de fase, 0 , püa 82, es consecuenciade la diferencia de longitud de trayectoriasentre las ondas.Si Q - Znn, siendo n entero, los campos son idénticos,y hay interfetencia constructiva. Esta diferencia
de AL a nA,,de modo que tenemos óLL=-¡ z"vt- ü'

'

4, . LL 2nA

(38-8)

Pam la geometrlade la pantallalejanade la,figura38-6, podetnoscmplear la ecuación (38-2) para tmnsfo¡rnar la (38-8) en

2n ^LL Q : Zn=l : t;: r/ scnl')'

(38-e) :

Ahora,el campoeléctriconetoen P tienecomotnagnilud En.,: E, + E. : Eo[sen(or¡ + sen(or+ (;)]. Siaplicamos la ecuaciónsen 0r + sen 92 - 2 sen[(0¡ + 9r)/2]sen[(0y- 02)12](véase ApendiceIV-4), siendo 01 - ctt y 02' at + Q,tenemos

( 38- r 0) .'{ I.osvectoresdePoynting,Sr Y Szde la luz queprocededelasfuentesindividu-ales,tienenmagnitudes i

y s: d. El : Efr[sen(art Sr ccEf = E3[sen(r¿r)]2 + 4,)f', (38-ll) queel vectornetodePoynting enP tienemagnitud mientras respectivamente,

ccEl",:483cos2(9)-"'[,' . (9] sn",

( 3 8- r 2)

(quesonlos promediosde los vectoresdePoynting Paradeterminarlasintensidades tansolosaberqueel promediodesen2(at+ b)' conrespectoal tiempo),necesitamos las intensidades individualescomo/s cc i con respectoal tiempo.Si representamos en términgsde /e, la intensidadneta que procedede las dos fuentes É12, entonces, es I_

i i

¿ n c(

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0,3 ""',(9),

/1 R -l ' ,l l

Cuando.lafase, f, en la ecuación(38-7b),se relacionacon la diferenciade (38-8),entonces (38-13)de la ecuación la ecuación mediante longituddetrayectoria la intensidads¡ l¡,pantallalejanasevuelve Interrsid¡d de la figurc de interferencie dc da rendijas.

rn,,:4rsr"rr(+sbño)

( 3 8- r 4)

I Si dos fucntos cohcrcntcs sc dcbcn a dos abcfll¡ras cquidistantes dc ur¡a solá fucnto, como cn la figuz 38-2a, cntoncesla intcnsidad, y, por corsiguicntc, la amplitud dol cam¡ro electrico dc cada fucnto, son igualcs.

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o o o o o o o o o o o o -o o o !

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

Distancia.cnla pantalla

F-IGITRA 38-7 Inlcnsid¿d ncta dc la luz proccdcntc dc la doblc rcndija, conn fr¡ncióndc la dislnncinal prrntoccntrnl dc ta parrtalla(y = scn 8). Comparcla cohcrcncia c incohcrcncia en los rosuhadcx. l¡ misma car¡üdad do cnorgia luminosa alcanzala pantalla cn amtxx casrx, ¡rcro cn cl casocohcrcntc,sc da cn miiximos y minimcx.

Es la ecuaciónde la intensidaden el experimentoclásico de Young, de la doble rendija. Los máximos y mínimos se presentan en los ángulos que especifica la ecuación(38-3).La figuta 38-7 es una gráficade la intensidaden la pantalla,como funciótldc scn 0. Ilsh figura sirve tambiérrcotno gráfica dc [a ilrtcrrsidndcotno funciónde la distancia,y, al rnáxirnocentral,en la pantalla.Para pequeñaO,y :ft sen 0, siendo R la distancia a la pantaila. Si las aberturasson rendijas angostas verticales,entonceslos máximos claros en la panlalla'son llneas verticales que se llamanfranjas. También,en la figura 38-7 hemos graficadola intensidad,2/e,que habrlaen la pantallasi lasfuentesfueran incoherentes.El resultadode la incoherenciaesconstante yno presentamáxitnoso minimos de interferencia.Sln embargo,la energíaque llega a la pantallaes,cn promedio,cn toda la pantal/a, exactamenteigual en ios dos casos, comolo dicta ia conservaciónde la energía.Parapromediarla energíaque llega a la pantallaen el casode la coherencia,tan sólo necesitamosemplearel hechode que el pr om ediod e l fa c to r c o s e n oc u a d ¡a d oe n l a ecuaci ón(38-1a)es j y aIn(| ) - 2I¡.La energíaernitida en cada fuente es igual, sea cohe¡enteo incoherenteia luz que provienede esasfuentes,I' la energíatotal que llega a la pantallatarnbiéndebe ser irrdepencliente de la coherencia.La energíase reparteuniionlrenrentcelr la pantalla cuandolas fuentesproducenluz incoherente,mientrasque se distribuyeen máxitnos y rnínimoscuandolas fuentesson de luz cohe¡ente.

3 8 - 2 U s te d v i v e e n unpuntoH ,a20!.rn deuna antenadi pol ar E J E M PL o vertical de radio, que emite a una frecuenciade I l0O kHz en el punto B (figura 38-8).La calidadde recepciónde su radio es función directade la intensidadde la señal,Se construyeuna segundaantenaen el punto A, ubicado a d = 100 m de la ptimerp. La segundaantenaemite una señalidénticaa la primera.Calcule la nueva intensidaden su radio, en términos de la anterior,y determinesi rnejora o no su señal, SOLUCION: El caso es como el de la doble rendija pa¡a la luz, porque hay dos fuentesde radiación coherente.La única dife¡enciaes que estavez, las longitudes de onda relevantesson mucho más largas. Como la distancia a las antenases se aplicanlas aproximacionesgeométricasque mucho mayor que su separapión, empleamosal desctibir el experimentode la doble rendija. Esasaproximaciones nos dicen que la diferencia de distancia"entteusted y ias dos antenas.esR, - R, - d cos I (figura 38-8). Debemos determinarel campo eléct¡ico neto en el punto H. Los campos eléctricos, que son paralelos a las antenas, sgn. verticales, perpendicularesa la página. Supongamosque la primera antena,en el punto B, B\ /A emite una señal cuyo componentez en el punto I/ es E¡ = E6 cos(rot)y que la (r t*d4 \ \ = / intensidadoriginal es 16 CÉr, siendo C una constante.El campo eléctrico de Ia Antcnas transmisoras segunda antena tiene Ia misma forma, excepto que hay una diferencia de fase debida al hecho de que la antenase encuentraa una dislancia R, - R¡ más lejana: I-IGURA 38-8 Ejcmplo38-2.rR^y ,R,san E n : Eo cos(ot+ 0),

desucásaa dos8¡tcn¡s,c:I lasdistancias losprmtoszi y B,rospecüvarrcntc.

r1i5

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1r16

a o a o o a o

en la cual, $ - 2n(R1- Rñll, - (ztrd cos0)/L.El carnponetoen el punto es, ^I/ entonces,

C¡p¡tu¡o tB Intcrfc¡cncle

E,,*- E,t a En- Ee [cos(arl) + cos(or + ó)], Estasumaessernejantea Ia que necesitábamos parallegara la ecuación(3g-l0), En - 2Es cos(fl2)sen[@t+ (ilz)].La.intensidad neta es, a semejanzade la ecuación(38-13),

I n",: CEI",:

+crt*,'(!) : 0,,.""(9)

t

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Faltacalcularel factor cos2lq¡27, y ver por quéfactorcambiala intensidad. Necesitamosque (,1,\ /And coso\ /rrl coso\ -] costt/:cosl -x)--r /=cr.rs[

I

\ -/ \ / -, t , / \ , ' /

En estecaso,d - 100m y 0 - 15".La longituddc orrda,.X., sc obtienede la x l0Ó I 100 kHz l. frecuencia Hz. l Obtenemos L r/.f / -(3.0 x l08 m/s)/(t.1 x loós-t)- 273m. Asl, /¿)\ l-n(100m)(cosI 5")l : - cosl ."'(i/ 2ji'.;; I

cos(l .l l rad) = 0.44.

La intensidad neta,^I,*,- lrcosz(gl2)esun factor4[cos2 (óIZ)J- 4Q,4q2- O3g pot la itrtensidad original,/e.La sefialquerecibeusteden el purrtoff enrealidad porquehay interferencia seha debilitado, parcialdestn¡ctiva en su radio,entre lasseñales de lasdosantenas.

38-j

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TNTERFERENcTA EN r-a REFLEXToN

I

l

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Los fenómenosde interferencia septesentanconmuchafrecr¡encia cuandoun rayo se refleja en parte y se transmiteen parte a travésde urrasuperficie.Si el rayo transmitidodespuésse reflejaen una segundasuperFrcie, entonces,los dos rayos reflejadospuedeninterferirentresf. Los dosrayosreflejadosen realidadsoncoherentes,porquesonpartesdel mismorayo.

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7, i

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Anillos dcNewton

F¡G tiR A 38-9 (a) Utra picza do vldrio, cuva psdc infcrior cs curva, dcscansasobro ';l sr:¡rrficic planadc vidrio. (b) El s-ilcf¡¡ sc ih¡¡nina col¡ k¡z blancn dcsdo ¡:ri'aa, l' su vista supcrior prcscnta e¡úllos dc sio¡, quc s¿ llaman anillos dc Ncwton. (c) ,t;-c cor¡cenlricc do zorns altcmas cl":as ¡ oscruas; apa¡eccn cuando sc forman ¡::i-ios dc Neslon con luz monoc¡omdtica.

Cuandoun vidrio curvosecolocasobreunaplacaplanade vidrio,y seilurninadesde aniba (figura38-9a),si semira desdeaniba se ven anillosde color (figura38-gb). Si seiluminael vid¡io conluz monoctomática, y no conluz blanca,entonces aparece una seriede anillosconcéntricos oscurosy claros(figura 38-9c).Estefenómeno, llamadoaniJlosdeNewton,lo conoclaIsaacNewton,hacia1700,y fue estudiado por suscontemporáneos, RobertHooke y RobertBoyle. Pamcomprender esteefectode interferencia, itnaginemos el casoquesemuestm en la figura38-10.El vidriocurvodescansa enlrn vidrioplano;ambostienenfndice de refracciónn. Ambaspiezasestántodeadaspor aire,al igual queel espacioent¡e ellas.Nos convienehablatde rayos,quedefinimos pcrpendiculares a losfrentesde onda,y cuandodigamosqueinterfierenlos rayos,nosreferimosa la interferencia de las ondasque forman esosfrentes.El rayo incidenteen la figura 38-10pasacasi por la piezasupetiotde vidrio, y sereflejaunapartey otraserefract¿ verticalmente la en superficiecurvainferior,en el puntoP1.El rayo I representa la partereflejada, y el rayo 2la pattetefractada,que continúapor el espaciode aire y se refleja enel puntoP2,en la pa¡tesuperiorde la superficieplanadel vid¡io inferior. Comoel rayo incidenteescasivertical,elrayo2 viajaunadistanciaadicional2P1P2enel aire,mu¡

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4 7 É :f. *+ ,L

o a o a o o o a o o o o o o a o a o a o a o o o o a o o a a t

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o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o

aproximadamente.Los rayos 1 y 2; qie salen por la:irartesupedor,intdrferirán, y el, resultado,cuandola luz es monocromática,esuna seriede anillos clarosconcéntiicos,,' colno en la figura 38-9c. Esperamosque la producción de anillos luz inonocromáticadependa "laros "bn dela diferencia de tmyectonas,2PlP2,que¡ecorre el rayo 2. Al entrarla luz inc idente al vidrio curyo, de tal modo que lós puntos P¡ y p2 estáninád cercanósal punto de . contactoC entre las dos piezasde vidrio, disminuye la diferenciade lohgitudesde tra1'ectoria,2PP2. Al acercamosmucho al punto C, podemos esperarencontia¡ úirí' zonnclaraetr el centro,originadapor la interferenciaconstructivade los rayos 1 y 2, querccotrencasi la misma distancia.Al revés,en el centrono hay espaciode aire entrelas piezasde vidrio, de modo que de hecho no hay frontera y, por "on"iguiente, sepuedeeSperarunazonaoscuraen dl centro.La selunda expectativaes Ia correcta: comose ve en la figura 38-9c, hay una zona oscura en el centro. Desde el puirto de vistade los rayos I y 2,la zonaoscuraen el centroes una indicaciónde interferencia destructiva.I-a interferencia destructiva se presenta porque uno de los rayos sufre uncambiodefose dc I80" durante la reflexión.Como veremos,la luz sufre un cambio defasede l80o cuando se refleja en P2,mientras que no sufre esecambio cuándo se reflejaen P¡. Veamos con más detalle el cambio de fase en una frontera reflejante; En'el capftulol5 describirnosurr fenórnenoanálogo en la reflexión de ondasunidimensionalesen cuerdas.Supongamosque se conectandos cuerdasde distintas densidades (figura38- I l). El punto de unión forma una frontera en la que puedehabir reflexión y transmisión.En el caplh:lo l5.describimosexp€rimentosque indicaronq¡e,si Ja. velocidadde la otrdadel lado donde proviene es mayor que la conespondiente.alotro ladoclela frontcrn,entoncesla onda reflejadase invierte,lo cuql correspondepur. conimientode fasede 180o,si la onda es armónica,También aprendimosque el que el pulso sea invertido o no, dependede ciertas condicionesa la frontera, en esecaso, lasdensidadesde las cuerdas. Las ecuacionesde Maxwell determinan lo que supedecon los camposeléctrico y magnéticode una onda electromagnéticaen una frontera de dos medios dieléctricoi, conun conjunto de condicionesa la frontera. Parala mayor partede los-casogde inte-

ll¡

)

vidrio, n

C

Pz

FICURA 38-t0 Esqrrcmado las condiciones gcométricas,quc so r¡sapara obtcncr las condicioncs dc intcrfcrcncla corst¡uctiva cn los anillos dc Ncwlon Los dos rayos qrrc van al ojo so intorficrcñ dcspuüsdc rcflcJnrsccn disüntas supcrficlcs.

tl¡

Cuerda ¡r¡ásdcrsa

No hav ca$bio de"fase

FIGURA 38-f l (a) El cambio dc fasc dc l¡ luz al rcflcjarsc cs scmcjantc a la invcrsión quc sc prcscnta cuando un pulso quc sc mucvc a lo largo dc tnra cucrda sc crrcucntra con ot¡s cuc¡da nrds dcns¡. Pa¡ala lu. sc prcscnta un cambio dc fasc de lEf ct¡s.Ddo cl s<5r.:rdo rr.r$.o C<¡r bI.= & ntr.rirb. :::r-sti:r-¡-i- 1\' Sr- S ;¡.--.:-dir'¡:r-.-r'-..rr\ l¡ ¡x¡.:.r i:r:r'a:r .ts .-¡rü nrcnN drr.si ¡rn ls lr,r,r.r.'-rn|r cl sc5.rrh rlrcdiocri ls fr.lltcm dc rcl-.cri,'. tit¡]c mc¡ror indicc Cc rcfracció¡:.

111-

r 118 Capitulo 38 Intcrfcrcncl¡

Cómo c¡mbi¡n lre f¡s€ecu¡ndo l¡s ondr¡ lunrlnoseeeer"cflejnnen lm fronter¡s entre medios difercntes.

rés ffsico, esascondicionesa la frontera dependendc las velocidadcsrelativas de las ondas en los medios. El campo eléctrico cambia de signo, o no cambia, según si la velocidad de la onda en el medio nl otro lndo dc la frontcrn es mnyor o tnenor que la conespondienteen el medio de donde viene la ónda. Las condicionesa la frontera no implican tal cambio de signo pata el campo magnético de la onda. Cuando el campo eléctrico cambia de signo, peto el magnético no, el resuhadoes urr cambio de fase de 180oen la onda electromagnética.La velocidad de una onda elechomagnética es inversamenteproporcional al fndice de refracción, u - cln. El resultado para el cambio db fase, por lo tanto, se puede enunciar del siguiente modo:

.

L¡ fese de une onde electromagnéticaque pass de un medio con indice de refrrcción nl, e otro conindicede refracciónn¡, canrbiaI 80oal reflejarse,cuando nz > ,tz,y no cambia cuendoñz 1 try,

Ahora podemos comprender el comportamiento de los anillos de Newton. El cambio de fase de 180osólo se presentaen la reflexión en Pr, pgrque el rayo 2 pasa del aire (n - 1), al vidrio (n t 1). Como un desplazamientode fasede n rad, o 180o, correspondea un corrimiento de media longitud de onda,la condición de interferencia constructivaes p a ra i n te rfe re n c iaconstructi va:LL: Condiciónperr Interfercnci¡ constn¡ctiv¡ en los ¡nillos de Newton

2P te, : (,,.

l )r,

r : 0, * l , + 2,.., . (38-15)

La manera en la que vana la diferencia de longitudes de trayectoúa,2PyP2, conla distanciaal punto C est¡ideterminadapor la curvaturade la supcrficiedel vidrio (véase problema 28). Los anillos altemos claros y oscuros correspondena radios medidos desde C, para los cuales los valores de Al son valores para los cuales una onda monocromáticatiene interferenciaconstructivay destructivaque se alternm. En especial,el centro,dondeAL - 0, tiene interferenciadestructiva,y por esoel centto es oscuro,Esto coincidecon un modelo mucho Inás sencillode lo que sucedeen el centro:hay una capade aire de espesorce¡o; estoes, ¡no hay capade aire! Cuando dos piezasde vidrio con el mismo fndicede refracciónse locan,es como si no hubiera frontera;dondeno hay frontera,no hay reflexión.Asi, estamossegurosque el centto debeestaroscuro.[¿ consistenciade esosdos modelosnos comunicaconfianzaen que nuestradescripcióndel cambio de fasees correcta. ¿Cómo explicamos los colores que observamoscuando sobte los vidrios incide. la luz solar, que es una mezcla de todas las longitudesde onda?Para determinada distanciaradial al punto C puedehabersólo una longitudde ondaen el rangovisible; digamos que sea para el color azul, para la cual hiry interfetencia destructiva. A ese tadio vemos el color de la luz soiar cuando se le restael azul. Si vemos utr poco más lejos de C, donde la distanciaP,P2 esmayor, habrá interferenciadestructivaparauna longimd de onda iigeramentemayor, digamos, el verde, y vemos la luz del Sol con el verde restado.Más lejos todavía, habrá interferenciadestructiva del colot rojo,y veremos Ia luz solar menos el rojo, Esos colores no sorl tan vfvidos como los del arcoiris, porque son mezclas de distintas frecuencias, de donde se testan algunasotras frecuencias. Young explicó, en 1802, los anillos de Newton, junto con su explicacióndel fenómeno de interferenciade dos rendijas,La explicación de Young, en términosde una teorla ondulatoriade la luz, no fue plenamenteaceptada,sino hast¿añosdesput!, Es cu¡ioso que aun cuando Newton observó los anillos que llevan su apellido, optó pot el modelo corpuscularde Ia luz. Prueba de lo planitud con los anillos de Newton.Los anillos de Newton sonul método práctico para determinat lo plana que es una superficie dada de vidrio. Si la supedicie por medit se coloca sobre ün mármol óptico de vidrio, que es un vid¡ic

o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o O

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ol ol rl ol ol ol ol ol

o o o o o o o o o o o o O O

o o o o o o o o o o o o o o o o o O o o o o o o o o o a o o O o

cuya superficie se sabe es plana dentro de los lltnites dó uná fracción de longitud de' ondade luz visible, entoncesno deben apa¡ecerzonasde interfe¡eniia constructiva si la pieza qr¡ese pnrebatambién és plana y paralelaa la primeio supe#icie.Si la 'priméra segundapieza es plana, pero no paralela a la superficie, las franjas de 'son interferencia líneas rectcts.En esta prueba,'una superflrciese sigue puliendo y colocando sobre un mármol óptico hasta que no aparezcan franjas de interferericia (figura 38-12).2 En el comercio se consiguenespejosplanos,con precisiónmayor que él 5% de una longitud de onda, o sea,'unos25 nm. Se emplean en los láseres,al igual que en los interferótnefros (véase la sección 38-6), que son instrumentosque emplean la interferenciade la luz para.medirdistanciashastade una ftacción de longitud de o¡da,3 EJEMPLO 3 8 - 3 D o s p l a c a sd e vi dri o pl ano,de l ongi tud¿ - l O cm, se tocanen un extremo,pero estánseparadaspor un alambrede diámetrod - 0.01 mm en el otro extremo (figura 38-'13).La luz incide'casiperpendicularmente al vidtio, y el ojo percibela luz reflejadacono se indica. ¿Cuáles la distancia,x, enhe los m¿iximosque se obsi:nan, si !a luz incidente,que es azul, tiene .t - 420 nm?

flGURA 38-12 Franjas producidascuando sc colocrn dos placasdo üdrio, no planas, una sobrc otra. Sl las dos supcrficios frrcran pcrfcctemcntc planas y paralclas, no habría figura dc intcrfcrcncia. Si las sr¡rcrficics fircran plnnns, ¡rro no parnlclns, las franjas fomrarían líncns rcctas. ls unn br¡cna pnrcba dc la planitud do 106es¡rcjos.l,as dcformncionessc origirun cn incgularidadcs dc la supcrficic.

SoLUCION: Este ejemplo es semejanteal de los anillos de Newton, pero aqul las dos piezasde.vidrio son planas.De los dos rayos reflejadosde luz que se ven en la figura 38- 13, sólo el que se refleja en la segundaplaca sufre un cambio de fase de 180" (ó *r - r rad). Si la distancia entre las placas,donde la segundaonda luminosa pasa por el aite, es ),.Ia diferencia de fasesentre las dos ondas.queda determinada por una diferencia total de longitudes de trayectoria L,L - 2y. De acuerdocon la ecuación (38-9), estadiferencia de faseses '2Y z^ f tT:

, e tt: -La.dlferencla ..^ total cleiases es

.

4nY _T.

.

ó:ó,"rtó ^ r = n + Y

Esadiferenciade fasesdebeserun múltiplo de2r paraquehayainierferencia constructiva. La relaciónparalos máximoses

2mn = n+ry-, A

FICIJRA38-13Ejbmplo38-3. 2 Sc puedc colocar un distanciador diminuto entrc la picza por mcdir y cl nuirmol óptico, para abrir un cspaciocntrc cüos cn forma dc cuña. Si las dos piczas son planas, sin cl dislanciador no só obscrvan franjas dc intcrfcrcncia; una pcrsorurquc haya pasado scmarus pulicndo, quo hnya adqtrirido cl costoso mrirmol óptico, puedccorrcr ol ricsgo dc quc las piczas so ¡rcguencntre si, y sca práclicamcntc imposiblc apafarlas. I N. dcl T.: También sc cmplcan los anillob dc Ndwton para confolar cl acabadoilc loe iÉircioe Jrarabólicos dc telcscopios. Un alicionado sc pucdo tallarsu propio.cspcjo, con supcrfrcic exacta hast¡ u¡t8fr8lcróndc lgngitud de onda; con cllo, su tclctcopio scni {o muy alta calidad, l,oe cgpcjos quc so tallan así pucden toncr hasta 30 cm dc di¡imctro.

1119

t

rt20

o

siendo nr entero.De estaecu&ciólrse pucde despejnry:

I I

t

C.apitulo 18 Intcrfcrer¡cl¡

A,^

y= Oem - l) . Deseamosdeterminarla distancia,r' entre las bnndasclaras. Empleamosla relacióngeométricaentretriringulossemejantes'en la figura 38-13: yx

7=T; ,:

L

Al

L)",^

-1,\tmdt+

I).

La diferencia en r, de un máximo a otro, cortespondea un cambio de n¡ en una unidad, asf que

Ax:

LA

- r ) - lz( m- l) - ll} A4 { ( 2^

L1. :_ ;;L

a+

( 10x l0-2 m)(420x l0-em)2 :2 mm. (0.01x l0=3rrr)4

Paraplacasdevidrio de 10cm delongitud,habránunas50 bandasdeinterferencia constn¡ctiva, Interfcr.encia

de ¡rcIículas delgada"

denceitesonunn dejnbony enlosderrnmes quesevenenlosburbujns [¡s colores qrlees otro ejemplode enpcl{culasdclgadas, de la interferencia manifestación esentrelaluz (figura38-14). Enestecaso,la interferencia porreflexión interferencia

FIGIJRA 38-14 l¡tcrfcrc¡rcin por pclícula dclgada cnburbujss dc jaMn.

reflejadaen las dos superftciesde la pelfculadelgada.Veamosel rayo luminosoI que incideen la peliculadelgadade la figura 38-15.Partede la.luz se reflejaen la fronteraI, y forma el rayo 2.Parte del rayo 1 se refractaen la f¡onteta I y serefleja despuesen la frontefa tI. Esta onda luminosa se refractaen pade de nuevo en la fronüeraI, y forma el taYo3. Comotantoel rayo2 comoel rayo3 seoriginanen el ruyo 1,en el puntoP¡, las constructivao destructivadependende la diferencia parainterferencia condiciones - PtPq,asfcomode cualquiercambiode AL - P¡P2P3 de longitudesde trayectoria, durantela teflexión.La reglaquesedescribióenla sección fasequepuedapresentarce 38-3 paracambiosde fasepot reflexión,indicaqueel rayo 1 sufteutr cambiodefase por reflexiónen la superficieI, pero no en la IL Las peliculasdelgadas,comolas vatiables,demodoquevariaslongitudesdeonda burbujasdejabón,tienenespesores

Frontera II

flGURA 3E-f5 Ceomct¡íadola intorforcr¡ci¡cr¡mcmbrarusdclgadas.Un rayo do luz sc rcfloja cn las frontcrns dclantcray hascradc la pclicula,y l¡s ondas roflcjadasintorficrst¡cntrc si.

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o o o o o o o o o o a o o o o o O

o o o o I o o o o o ¡ o o o o I o o o o I I

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o o o o o o o o o o o o o o O o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o a

O

a o o o

van a interferirdestn¡ctivamente, en distintaspariesde la burbuja,y los coloresque. aparecenen la luz reflejada representanla luz original menos la lorrgitudde onda que interfieredestructivamente. También hay un Bumentode los colores para los cualeshay interferenciaconstructiva.Parauna pellculade aceiteque flota en el agua, éstapuedetenerun fndicede refracciónintermedioentreel del aire y'el del agua,én cuyo caso,habráun cambio de fase de 180oen lasdos superficies:la del aire-aceite y la del aceite-agua.Entonces,los cambiosde fasedebidosa la reflexión,se anulan entresl en la interfetenciade la luz reflejada en esasdos superficies,y toda diferencia de fasesólo se debe a una diferenciade loneitudesde trayectoria. Una nueva propiedad, que no se presentaen el casode los anilios de Newton, sf toriaquedadentra de la.pellcula.El cambio de fase.secalcula,en esecaso,con la ecuación(38-9), pero /a longitud de onda que sale es la que hay dentro del ntaterial, l*lj.ulu : !n, siendo n el fndice de refracción del tnaterial.

E J E M P L o 3 I - 4 La butbuja de jabpn, cuyo corte,transversalse ve en la figura 38-15, tiene espesor¡ e lndice.derefracciónrt. Sobreella, verticalnrente, incide luz de longitud de onda 2",en aire, y se refleja de regreso.(a) Exptese la condicién para interferenciaconstructiva de la'luz reflejada;(b) Si r = 400 run y en la 1uzreflejada?. rt: 1.3,¿quécolor, o coloresinterferiránconstructivamente SOLUCIoN: (a) Cuando la luz incidente, en la figura 38-i5, es vertical, ia distanciaPf o:0. La luz se refleja en P1 y P2,sufriendoun cambio de fasede 180" sólo en P¡, donde el fndice de réfraccióndel medio del lado lejano,o sea, la jabonadura,es mayor que el del aire.La diferenciade longitridesde trayectotia es AL = 2t,y la dife¡enciade fases,@r.,entrelas dos ondasreflejadasdebido a Al se determinacon la eeuación(38-8) en té¡minosde la longitud de onda, 1.,,, c n la pel l c u l ad e j a b ó n : ,¡ t.,,.

_2t

1o-;--

_ ) tt_t

)

La diferenciatotal de fase entrelas dos ondasreflejadases,enlonces, 1"''. '

( t:

:

it *

Óu .:

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/. de fasede 180oen P¡. elrla cual,,Taparece comofactoraditivo,por el ca.mbio cuandoQ = 2rcm,siendo¡rtentero.AsIr2nn * n constructiva Hay interferencia - -.: +(4ntnll),osea; paraintederenciaconstructiva 4nt : (2m- I))., m = 1,2,3,. ...

(38-16)

longitudde onda,el (b) Cuandohay interferenciaconstructivaen determinada esintensoen la luz reflejada,Laecuación(38-16)expresa colorcorrespondiente y tansólonecesienesteproblema, constructiva la condiciónparainterfercncia ya quet - 400 nm y n : 1.3: tamosaplicarlaparacalcular.2,, /^

nrn) 2100nm 4(1.3)(400

4nt 2m -

|

2m - |

/ t t t '- t

Cua trdo m = 7, 2, 3 y 4, es os v alor es de l , s o n

)"=210O nm, 700 nm,42O nm, 30Onm. En el espectrovisible sólo quedan las longitudes de onda 70O nm (rojo).y 420 irn (azul), y esos son los colores que interfieren con¡tructivarrre¡te'en la lilz ieilejada.El color, pata la longitud de onda intennedia(,1- 560 nrn) interfiere iest¡uctivamente,y no se verá en la reflexión.

1121 }rf-3

Intcrfcrencl¡

cn l,¡ rcflclóo

t t 22 Capítulo 3E Intcr{crcncla

trIGITRA 3&16 Ejcmplo3E-5.[,c rayosI y 2 llcgnna m puntolojnno, dordcintorficrcncnt¡osi,

Accltc, n,

delgada de agua,nz'l.33,flota en aceite EJEMPLo 3 8 - 5 Unapelfcula y que derefracción, n3= 1.65.La luz el agua, cuyo lndice denso más de canela, pata intensidad de onda tiene ¡rráxima una longitud a 45o, reflejada blanca, aproximadade ó00nm, ¿Cuálesel espesormfnimoposiblede la capade agua? de los dosrayosreflejados l,a figura38-16muestralastrayectorias SOLÚCION: un punto distante. rayos reflejados.sufren Anúos paralelos a un que llegan con la asociada y no neta de hay diferencia de 180o, corrimientode fase fase conlasdistintas reflexión,Sinembatgo,sl hayun corrimientodefaserelacionado longitudesde trayectotiade los dos rayos:el conimiento dc fase {¡ pntaln P¡Padel tayo 1, adicional, trayectoria

'l't= '2n,

l'1.t. 1 '

parala trayectoriaadicional,P¡P2+ P¡P¡,del de fase,@¿, y el desplazamiento tayo2, A2-_Pf;+PzPt i,,ro 2n

(P tP 2+ P 2P r)n,

Nótesequela longitudde ondaparael tayo I esla del aite (rr - 1), 1, mientras del rayo2 es l¡¡re ' Hnz.Es la difetenciaQ2- f¡ la que que'laconespondiente figuraen la diferencianetade faseentrelasdosondas.Esadiferencianetaes ,b: ó', - ó,:

)-)¡ (PrPz+ P2P)a:f - VrPo)'¡.

paracalcularlongitudesdetrayectoria geométrica necesaria I.a construcción rayo incidente entraformandoun zínguloI con la se ve en la figura 38-16.El y puede en un ángulo0, o refractado ser.reflejado a la superficie, perpendicular que Notaremos P¡P2 0'. ' PzPt* f/(cos0). También, hacia'elagua,a un ángulo difetenciadefases,entonces, 0).La (2t tan ü) cos(90' 0) PlPa- PlPscos(9oo- es

ó =(]+\'Jp \cosu/

¿

_0) -(2r tano,)cos(eo" '^ ^

a f' el espesorde la membrana: De estaecuacióndespejamos

1ó 4n (nrlcos0') - tan 0'cos(90"- 0)' Deacuetdocon la ley de Snell,send : (sen0)ln2,yhaciendo0 = 45', Ü = 32'' El problemadice que hay un máximo de intensidad,esto es, interferetcia 'constructiva, constructiva,2 = cuandof - 600 nm. Paraquehayainterferencia 'mQr),m 1,2,3, . ,. . (¿sepetmitenl - 0 en estecaso?). De modoque -

o o o o o o o o a o , a o o o o o o o o o t o a t o o a o o o o o o o a

O t I I

o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o -,/

).nt(2x) 4t( Qtrfcos0) - tan 0'cos(90"- l/) 600nm

2."

I : (1065nm)nr. (1.33/cos 32")- tan32"cos(90"- ¿ s rr

El espesormfnimo de capade agua,param: 1, es 1065nm,

APLICACION entirreflejnntcs Recubri¡r¡icntos Laslentesde algunascámaras,binocularesy otros ópticosestánrecubiertoscon una capa . , instn:mentos delgadade material,parareducir la intensidadde la luz reflejacla; Muchos instrumentosópticoslienenlentes rnúltiples,y cadauno de ellos, én forma característica, reflejaun 4% de la energfade la luz incidente.Después devariasreflexionesse pierdeuna parteapreciablede la y la imagenfinal puededeleriorarsea causa intensidad, dela luz reflejadaque va y viene entrelas superficies. [¡s recubrimierltos antirreflejantestambién se colocan en - . lasceldassolares,que son los componentesde las baterias solares,paraaumentarla intensidadde la luz trarr^smitida., Seusa,normalmente,fluoruro de magnesio,MgF2, para estosrecnbrir¡ientos.Una sola capapuedereducir la energlareflejada en un factor mayor que 2. Un material de recubritnientodebe tener.uníndice de refracción intermedioetrt¡e el del aire y el del vidrio c¡:e se va a recubrir.Parael MgFz, y parauna longitud de ondade 550 nm ,n = 1. 38. Si la luz se refleja tanto en la superficie I cotno en la II, como se ve en la figura Bl-1, entonceshabrárm cambio de fase:enambdsreflexiones. La reflexión total ' sereduceal mlnimo cuandolas dos ondasde luz reflejadainterfieren destructivanlcn¡¿.Si el espesordel recubrimientoes t, y la longitud de onda de la luz en aire es l, se tendráinterferenciadeslructivacuandola diferenciaerrlorrgitudesópticasde trayectoria,2f; sea l igual a¡,1.,,, . . , siendó X, la longitud dc onda llr;il¡,. dentrodel récubrimiento,La condiciórtde interferencia. destructivaes, entonces,

llayo I

Supcrficic I

/lr

V i rl ri rr

f'lGtiRA lll-l t¡x n:culrri¡rrl
reflectividada 550 nin, qtreestáa la mitad de los límites visibles. Los colorés en los extremos del espectro visible, el rojo y el violeta, se siguen teflejarrdo,y la luz reflejadatieneun matiz a)gopúrpura.Se puedenobtener energíasreflejadastan bajas como 05% con capasmás complicadas,múltiples,de recubrimientos,La condición de fase que fija el espesotdel recubrimiento sólo es parledel asunto.La interferenciadestructivaque prodrrceel recubrimientoantineflejanteserátotal, sólo si las anrplitr¡des de los dos rayos reflejantesson iguales. Co¡r¡ola arnplitudclela luz reflejadadependede los f¡ldices.de ¡cfracciónde los rnediosque intervienen,la , 'con{ició¡rde igualesamplitudesse vuelve una condición del índice de refrapción del material del recubrimiento. En especial,si n2 e.splíndice de refracción del vidrio (81- 1) que se va a cubrir, y.si la luz incide desdeel aire, entonces,el material de recubrimiento debe tener un tandelgados índice de refracción n, = {r4 (véaseproblema 36). [,osrecubrimientos seaplicandn'espesores = A veceses deseableaun entar la intensidadde la luz porque pafa posible, 0, asfse comosea m estoes, reflejada.Los láseresnecesitanespejosque reflejen esp'esor, r,,para el reducemejorla reflex.ión.El fuertemente la Iuz en sus longitudesde onda de trabajo. recubrimiento antirreflejantees,entonces, Para estefin, un recubrimiento único debe tener un ) espesort = Xl2n,para que haya interferencia t: (Bl-2) 4n. coniJ¡uctiva.entre.lasdos ondasluminosas reflejadas. ,Lpsrecubrimientos'múltiples, , que consistenen capasde solo U¡ ;ecubrimientode cuartode ondade.espesor algsd i eléctricosti enen todavia nrás di vgrsosrna-tpri destructivaparaunasolalongitud ;reseita interferencia au.petrtarIa intensidadde la luz rel'le,;ari¿, de .. . eficaci4par..a de Ia luz visible.Si el espesor ie cr:caen ej espectro Es posiblereflejarrnásdel 997- de ia erergía. \f:F" es i,33nrnsobreun lentede vidrio,reducela

.;); ,,:(^*t)^.:'(,,'

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*38'-4 TNTERFERoMETRos

Espcjofijo

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Tclcscopio

H rJ csr

Los interferómetros ópticos son aparatosque emplean la interferenciaentre ondas luminosas para medir cantidadescomo longitudes de onda, diferenciaspequeñasde trayectoria, velocidades de onda, e fndices de refracción. La figura 38-17a es un esquemade uno de los tipos de interferómetroóptico, el interferómetro de Michelson. En esteinstrumento,un rayo se divide con un divisor, que puedeser,por ejenrplo, un espejosemiplateado,y fonna dos ondascoherentesque puedenrecorrer distintas distancias,o pasar por medios distintos antes de volvet a unime e interferir (figura 38-17b),Este instn¡mentolo inventóAlbert Michelson en la décadade 1880(figura 38- l7c). La luz monocrotnáticade la fucnte,etrln figura 38-17a,se divide en el espejoen el punto ¡1.Los dos rnyos,a continuación,viajan a lo lnrgo clelas trayectoriasI y 2, antes de volver a unirse en 21.El rayo recombinado se forrna por superposiciótr(y, por consiguiente,por interferencia),de los dos rayos que llegana.Á.El elementoC, que es un compensador,se agtega pata asegufarque las dos ondas luminosas pasen por la misma cantidadde vidrio, Si las longitudesde trayectoriason exactamente iguales, lps dos ondas luminosas interferirán constructivamente.Si los espejosM y FMson exaclamenteperpendicularesentre sí, el rayo combinado sufre interferencia constructivay es brillante. Si las longitudes de onda no son exactamenteigualespot estar gimdos un poco los espejos,la interfe¡encia producirá líneas oscurasy claras altemándose,de modo muy semejanteai que se describió en el ejemplo 38-3, entre dos placas planas de vidrio. Las franjas se desplazaránsi se mueve ligerarñenteel espejomóvil, lo cual se puede controla¡ con un tonrillo, Un movitniento del espejo de tan sólo l./2 ptovocará un corrimiento de un máximo de franja al siguiente. Las ondas de longitud desconocidase pueden medir detenninando con mucha exactitud el movimiento del espejo móvil, y contando el número de máximos que pasanpor el oculat del telescopio.Si Al es la distanciaque se lnueve el espejo,y N es el número de máximos que pasanpor el ocular del telescopio,paráestemovimiento de espejo,entonces AI UL

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La longitudde ondaes ^

FIGLR.{ 3&17 (a) Esqucnu dc wt r.le¡i c;ornetro dc Miche.lson.La luz so C,r':jc cn cl cspcjo parcialmcnto platcado. L: .:i q,.p ¡rsu.lLarc¿orrc dos trayc,ctorias i si:-' is antcs dc rcgrc.sar,c intcrficrc cn cl ; -r.. ,,i, ¡- a continuación sc obscwa con el ':lts::g,ic. ft) lntederómotro modemo dc \Í; c -,:.s¡i- ic i Fotografia dc Michclson con S¡ n' r;'. c¡r:cTlc l.t'o.

112. i

2LL

( 38- r 7)

sc de lnáxitnos, con granntimerode conirnientos Si se llevana cabomediciones longitudes de de onda.Si seconocela longitud puedendetenninarcon exactitudlas en onda,se puedeemplearla mismatéctricaparamedir distanciasmuy pequeñas, interferómetros con Por ejetnplo, los mucho ingenio. estecaso,AL. Sehanempleado se puedenmedir lndicesde reftaccióninttoducietrdodiversosmediosde espesot Comola longitudde ondaen el materialesA.ln, conocidoenunade lastrayectorias. de refracción. puede el lndice detetminar se AunqueMichelsondesanollósu interferómetrocon el único fin de medir el móvimientode la Tiena a travésdel supuestoóter,el "lnedio" a travésdel cual,se pensaba, se propaganlas ondasluminosas(véasecapltulo40), empleóvariaciones de su instrumento,a ttavésde varins décadas,para efectuarvariasmediciones finae lasmedicionesde la estructura Entresuslogrosseencuentran expefimentales: y primetas las medicionesde interferenciaóptica hiperfnraenlos espectrosatómicos, mediantemélodosópticos,del metro,por entonces Susmediciones, en astronomía. 1961a la redefinicióndel mismo,en términosde la longitud paftón,condujeron.en Un metrobasadoen rojo-naranjadel kriptón86 18ÓKr¡, de ondade la lfneaespectral la longituddeondadeunaluz esmásptecisoy seteproduceconmayorfacilidadque

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o o o a o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o a o o o a a o a o a o a I I t

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Iisyrcjrisparcialnrcntc platc,arkrs

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La defiiliciónactualdel ntetro en clósrayaseh una barraen un eschparate. unobaéaclo del tiernpb:' y,de exacta veloóidá¿ una medición de la ¿ó la luz depende Intcrfétómciro

dc Fábry-Peio

I|ICIIRA 3ft-18 (n) Inlcrfcrómctrodc fabry-Pcrot. ft) lkqucma dcl instnlrncnto. Una parlo dc la luz so trarumito y olra palc sc rcllc..ja,cn los espcjos parcialmcntc platoa
, .. El irrterferómetroque se usa con más frecuenciaes el intcrfcróntetro clcFabry-Pe.rot. (figura38-l8a), inventadopor ChatlesFabry y Alfred Perot;se rnuestraen forma en la figura 38-18b. Tiefre^closplacasextrelnas,que son cspejosde esquenrática ¡nccl i ntrtc ul l n vnri l l nqrrc plnt c ndo ¡rn ra l c l aysp l anns,col recta(l as ¡ m l c i n l ,e x n c ta n rc rrte ntecliatrtc utr tnecatristng dc pcnnitecalnbiarla distanciaentrecllas,unifon.¡rc¡ncnte, tomillo.Un rayo láserincide (rayo A) y se transmiteen parte (rayo B) y en partese refleja.El rayo reflejado, a su vez, se refleja en parte y en parte se transmite, como tayoC, que interfie¡econ el rayo B. La principalmejora gue presentaesteinterferómetrode Fabry'Perotes que las placaseslánplatgadasde tal modo que soq posibles. nrúltiplesreflexiones.Esasreflexionesmúltiplesrefuerzanlas zonasde intérf!'rencia haciencloque los tnáximosseanmás intensos.Así, se les puedelocalizar constructiva, conrnayor facilidad, y la figura se hacernásnítida. Es más fácil ver cuándose han desplazadoesos máximos, de modo que se puedenmedir con más precisión las distancias, Cotnpárenselas figuras38- l9a y 38- 19b,que son figurasde interferencia por un interferórnetro de Michelsony uno de Fabry-Perot,respeitivámenproducidas te.Es evidentela tnayor nitidez de ia figura de Fabry-Petot. Para'medirdistanciascon un interferómetrode Fabry-Perot,se comienzacon las placasen posicionesconocidas,y se cuentael nútnerode cambiosde máximos de interferencia(franjas)al eambiar la separaciónde las placasla distanciadeseada. Cor¡o 1aubicac'iónde los máximos se puededetenninarcon gran exactifud;el.cam-. bio de distanciase puedemedir con un error de tan sólo una fracciónde,longitudde ondade la l.uzJáser.El conteo'defranjas lo hacen,.en forma automática,sengorss electrónicos.El.número de franjas que intervienen cualrdola distanciaes de aproxi.madamente1 m, es del orden'delmimero de longitudesde onda de h"rzvisible.que cabcuen I ur, ei cuai es de unos 50 lnillolles. La llegada,delos láseres'haaumentadotodaviamás la utilidad dc loS ititerferómetrosde todos tipos. La luz d'e'fuentesordinariasproduceondas'enuna serie de pulsos,y la diferencia de fase entre .los pulsos es .aleatoria.Esta luz tiene ,dos desventajasen interferometría:la primera,'suintensidades baja,.porquesélo'sepuede enrplearun pulso a la vez; por ello se p"asaprimero la.luz pot una'abehtlrapequeña. En segundolugar,'1alongitud'decoherenciade estah.r2,qüe es,la''longitud'del.rayo,FIGU R A 38-19 Fi gurasdc i ti l c l c rc nc i ¡ por (a) un intcrfc¡ó:rc1:oijt queforma una curva senoidal úniia,.eitá'limitada por la"duraciótrde los ptdsos,-yes pro
]l l r í

RE S UME N La teotlaondulatoriade la luz explicafenórnenosópticos,como la interferencia y difracción,queno puedeexplicarla ópticageométrica. ThomasYoungfue el pdmero en demostrarla naturalezaondulatoriade la luz, con su expcrimentode la doble rendija,queproducemáxirnosy mfnimosdeinterferencia. Si l, esla longituddeonda, y d esla distanaiaentrelasrendijasangostas, habrárnáximosy mlnimoscuandolos ángulos0 en la pantalla,esténdeterminados por pam interferenciaconstructiva:senU :

n : 0, t l, X2, " ';

'1,

p a rai n te rfe re n c i da e s trucri va: sen 0 : (,.:)),

r¡ : 0, * t, + 2,.

(38-3a) (38-3b)

La intensidadde Ias franjasde interfe¡encia,parala doble rendija,es In,,r. 4l o.or' ( {

r.n O),

\i .

(38-14)

/

en la cual, .Ises la intensidadmáxima parauna sola rendija, e 1*, es la intensidadtotal observada. Los anillos de Newton se ptesentancuando la luz cae verticalmente sobre un vidrio curvo que descansasobre un vidrio plano. La luz que se refleja de dos supetficicsinterfiere.Parala luz tnonoc¡omática,se obsewnrranillos altemosclaros y oscuros.Cunndose emplealuz solar, se observancolores.E¡¡ nmboscasos,el centfo es oscufo, porque la fase de una onda electromagnéticacnmbia l80o al reflejarse, cuandola ondapasade un medio a otro de mayor fndicede refracción.La condición para interferenciaconstructiva en los anillos de Newton es

^¿:

(, .;)^

en la cual, AZ es la diferencia en longitudesde trayectoriade los rayos que interfieren, La interferenciade pelfcula delgadaes la que origina los colores que se obsefvan en burbujas de jabón y derramesde aceite.Para luz i¡cidiendo perpendicular.mente desdeel aire a la superficie de la película de espesort, la condición de interferencia constructiva es

4nt-(2m-L)).,

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Jt

.

.

,

(38-16)

-t

donden es el lndicede refracciónde la'película.La luz reflejadadesdelas dos superficiesde la películadelgadainterfieredestructivamente paraalgunasondas
PREGU¡iTAS 1. ;Por quées más prácticoun lásercomo fuentede luz coheiente,queun focomuy luminosoy unaseriede rendijas? representan zonasdónde En 1afigura38-3b,lasintersecciones constnrctiva de crestnsde losfrentesde sc tie¡'¡einterferencia :ada que avanzan.Entre los cfrculos,.losvallestambiénse l::uelzz¡ entresí. Esosvalles, o mlnimos, reforzados,¿rep:es€r,iar"r tambiénuna zonade interferenciaconstructiva?En

i 1l¡-i

y valles,cuandocadaondatiene entrelascrestas lasregiones desplazamienlo cero,lasondassumancero.¿Esesazonauna de interfe¡encia constructiva? 3. En la figura 38-3b, las interseccioncs representfln lugares dondeselieneinterfercncia constructiva. ¿Severánesaszonas clarasen el aire,o senecesitauna pantallaparapoderverlas franjasalternasclarasy oscuras?

o o o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

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o o o o o

O

o o o a o o o

.f, Cuairdo em'pleanrosdos ralrurás largas para la interferéncia, deciniosque tenemoslfneaso franjas..silsárantosdos agujeros, en lugar de dos rendijas, ¿seguirlamosobservando ll. line as ,o algo dis t int o? 5. ¿Por qué una capa úrricaclelgadaproduceinterflerencia clestnrctiva en la reflexión de la luz tan sólo parauna longitud de oncl¡ cn la región clclespcctrovisiblc? 6. AI clescribi¡intcrferenciaoriginadapor capasclelgadas, he_ mos habladode ver desdelejosla luz reflejada.¿porqué? ¿No hay interferenciasi la lr¡z se contempla cerca de Ia capa delg ada?

placas de vidrio. ¿Sc pucdcn obscn'ar todas cs¡s :.-,:.:-,; ¿Seguirásiendoazul su color? En nuestradescripciónde los anillosdeNewton, no rontan:s en cucntaluz que se reflejaen la superficiesuperiorde ia piecurya.de vid¡io, ni la de la superficie inferior de la pia:a inferior. ¿Porqué no?

12. En cl cjcmplo 38-2, sc constnrycuna scgundaanrc:racul,.¿ seiralcs igual de intcnsaque la prinrera,pcro la señ:l q;e s: recibees más débil. ¿Cómopuedeestarde acuerio lo an:eic: con Ia consery¡ciónde la energfa?

13. 7. Err r¡n mílrimo de interferenciaprovocaclapor dos fi¡cntescle luz coherctrte,no lray inlensicladlul.¡rinosa, y, Florcol.rsigr¡ie¡)- . te, n o hay ener gf a.Sin enr b: r r go,c ¡ da u n ¡ d e I a sd o s f u e n t e s de luz poclríaproducirenergfaen esepunto.¿Porqr¡óestcc¡so l {. no se opone a la conservaciónde la energis?

¿Córno es posible emplear interferometríapara me::r ;., p e q u c ñ af r a c c i ó n d e l o n g i t u d d e o n da , cu a n d o l a C i sl e :::a entre ntáxinrosreprcsentauna diferenciade una lcr:i:::c :: o n d ac o n t p l e t a ? C r t ¡ n r i o t ¡ s t c
8, Cualrcloluy urr lt)íltil)roen l:r inlc¡rsiclacl clc l¡ luz rcflcteCe desdepellculasdelgadas,hay menoscnergÍaen el ravo ret-le15. Parecerfaque determiriida capa antirreflejantepo<j::: s.:: jaclo. ¿Quiere.dccir esto quc sc viola la collsen,aclór:cie ic ' efectivapara cualquiersuperficiea la que se aplica,si:r.::: etrergfa?Si no es asf, ¿quésucedecon la energraque, de otic que su espesorseael de la ecr¡ació¡r (B 1-2);sin emba:g:. =:: ¡nodo, hubiera estadoen la luz reflejada?PueCeser útil el no es cierto.¿Porqué no? Puedeustedretrocedera la Ces::: pcnsarcórno se clebever la luz que pasa por ioCo el ipiir:c c i ó n d c l a e n e r g l ac n I a r e f l e x i ó n , en e l ca p i tu l o i ó , r ¿- . que prodtrcclos anillos clcNcwtorr. averiSuarpor qué debetenerseen cuentael indice ie:e::¡:9. ¿Esposibleemplearclosrayosde luz que viajen en c:re¡ción :. ción de la superficicque se va a recubrir. un o Polar iz adoc on s u v c c t or c at npo e l d c l ¡ : c c : l : : : e r d c e : t ló. ¿Porqué es impolante, enel experimentode la Coblere;itr:.3. dire c c ión. t y el ot r o polar iz adoen dir e c c i ó n '. , p a : a í o r r : : que cadarendijasealo más angostaposiblc? una figura dc intcrferencia? 17. Las capasantirreflejantesse aplican siempre a la supe-1;:: 10 , En e l ejer r r plo38- 3 es t inr allosque s e p u c : e r . ; i 3 s e : . : a : ', j : r s frontal,el lado del cual provienela luz, de un elementcópi:c3. 50 ba ndasde int er f er enc iec c ; - ls ir ' . . : c : e i . ra. : : e. : s . : : : s i : : : i s )'nunca en la superficietrasera.¿Porqué?

PROBLE}LIS 38-l

ExpcrintenÍo de Young tlc Ia dul¡lc rcndiju

1. (l) Una f uet r le< ir -l' . ; znor loc ; : : : : ál: ; a : c : , : : 'e n : : : . - i ¡ : : : : l l : d de o nda des c onoc id¡iii: m ir laCc sr e: ii; a s : '; r : d : s l ¡ : . c i ad e 0.2 0 m m ent r e s i. En ul: a palllalla, a 3 . C n c e l : á s C e l a s bandasc lar ass epr r r C r s0 . ; 0 : r ', . ; C u i l e s ren dijas ,aP3r ec en la lo lr git udde ond¡ de la luz ? ie i;is::efe;-.ciaco;i Ccble 2. (I) Se lleva a cabo un experimei.rlo renclijaen un tanquede agua.Las rendijasestána 4 5 cm de clist anc ia, .sye c oloc auna pant allaa 1 . 5 m d e l r s r e n d i j r s L a velocidadde ondasen el aguaes 0.15 m/s, ;- la frectrenciadel vibradot que producelas ondases ó 5 Hz' ¿A qué distanciade la llnea centralde la pantallase encontraráel primer máxirno? 3. (I) La fuente de un experimentode doble rendija tiene una longitud de onciade 525 nm. Las rendijasestána una distancia de i20 ¡lrn, y la pantallase encuent¡aa 40 cm de las renclijas' el tercermáximo? ¿A qué distanciadel centro se presentará 4. (I) Sobre unn pareclcon dos rendijas' incide luz de 590 nm de lorrgitudcleonda. Las rendijasestána 0.i2 mm dc distancia' A una clistanciade R cln dc la pared se coloca utta ¡rlaca fotográfica-El nráxirno n = 3 apa¡ecea 18 cnr del máximo centralen la placa fotográfica.¿Cuántovale R? 5. (ll) UIr experiltrctrtocotr cloblcrenclijaproduce franjas etr utra pantallalcjana.¿Cómovaríala separaciónentrelos nráximos

r l i r l r i r :r 'nl :r ¡ r l r ttl l r l l l ttt¡ ul ¡ tl t¡ ( tr .) or tl r t¡ r l l r r l ,r l r , i rg l l t , ' l ' i ¡-

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entre las rer,{lir:,:'' : de le Itrz.'/(b) se dtrplicala se¡r:ir:iciótr r e n d i j a sy l a p a n ta l l a i J s: e n t r e l a s d u p l i c a l a d i s t a n c i a se d u p l i c al a i n t e n s i c l a d e l a l u z ? 6 . ( I I ) U n l á s e re m i t e l u z c o n 1 = ó 3 3 n m ; se d i r i g e a u r 3 i :l :: renclijs con 0.25 mrn de separrción,)' produce i:::.;:s :: interfercncia.Si los máxi¡nosestána 2.0 cn-rde c:s::::::'. ,: qué distanciaestá la pantalla sobre la cuel se t'se-;'¿: "'rs franjas? ::: 7. (II) En un experimentocon doble rendija pera ce:::::.::":: longitud de onclacleluz desconocida,la dis¡anc::lc::" :'¿:-:s da, entre 1ó máximos (8 a cada lado del rrlarh-'' 'e:':a'. 16.8 cm. La pantallaestáa 3.45 m ciela oc'¡le:e:'j:r:' ' -:-s r e n d i j a se s t á na 0 . 2 1 m m d e d i s t a n c i a'¿C u á ie s :a ::':3 ::'- : :: onda? 8. (II) Supongr qtte rrna doble rendija il":n:i:s :i:: ::::: ': lejana.L-aluz de las rendijasS, y S' provienece "r:: s:': ':e:':¡ -: S, que se encuentraa n-reqial:;::: -: :3 : :' ¡nonocromática, l-i :-'-:-:: :: geonlei;ir la Con que cle Sr. ': -: ¡náscercade S, p a r a l a r c l a c i ó ¡ ie n t r e l a p a n t : i l ) a¡ l a o cb 'e :::': : :'l ::::': = i o s l u g a r c sd e l o s n l á x i n l o s ; 'm í r l i n c s El ;::::: :': : ' - :; u n m á x i m o , o m f n i m o , o n i n g u n c i : ';s ::s 9. (II) Dos fuentctseencuenlr¡n: C'li':r;- :: :'':':-: : ----- :-:: i -t ' ' - - '-i: :::: en fomta coherente,con tln3 fi'e.-':.-:"-::

con uriadiferenciadefased entreellas.Secolocaunapantalla comoen la figura3S-6,a2.2mde distanciadelasfuentes.¿A qué distancia del centro (8 - 0) se presentaráel primer máximo,a, a medidaque varla deOa7fl 10. (II) Sobreuna doble rendija incide luz de dos longitudesde ondadistintas,\ f k. En tna pantallalejana,el 20emáximo de 1.,se sobreponeal l9e máximo de ,1,r.Demuestreque la diferenciarelativa,(1,,- L)lL, espequeña, y calculeun valor numéricoparaesarelación. 11. GDSetienendosrendijasangostas iluminadasdesdeatrás;la luz llegaa unapantallacercana,estavez,y no lejana(figura 38-20),Supongaquela longitudde ondade la luz, ,1,tieneun tamañosemejante a la separación, d, entrelasrendijas,y a la distancia,R, a la pantalla.El ángulo0se midedesdeel punto intcnnedioenlrelasrendijas.(a) Demuestrequeel punloque corresponde a 0 - 0 siguesiendoun máximode la figura de interfercnciaen la pantalla.O) ¿A qué ángulo,0, habráun primermáximo?(c) Demuestreque su resultadode la parte (b) sereduceal resultadoconpantallalejanacuandoR>>d (y

n >>1.),

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I Pantalla

integrandola intensidaden la superficiede ella.Esteresultado debcser el doble de la intensidadpromedioque prodrrceuna rendijaaislada,y demuestraquela conservaciónde la énergfa esválida aun cuandoha¡i,ainterferencia. f4. GI) Setieneel arreglode la doblerendijaqueseve en la figura 38-21.El centrode la pantalla,C, esun puntode interferencia constructiva. Un recipiéntede espesorw, con un lfquido de fndicede refracciónn, se intercalaen la trayectoriadel rayo de la rendija S, a C. Trace una gráfica cualitativade la intensidadde la luz en C comofunciónde w, suponiendo que la distanciaentrelasrendijasesd, y quela pantallaestáa una distanciaI de cadarendija. 15. La abcnura angular, o ancho angular, de un máximo de intensidaden la figura de interferenciaorigin'adapor dos rendijas,se definecomo la separación angular,A0, de los puntosparaloscualesla intensidad tienela mitaddesu valor mdxinlo.Exprescel anchoangulardel máximoce¡ltralen términosde la longitudde onday la distanciaentrerendijas. angulares de todoslosmáximos? ¿Sonigualeslasaberturas 16. (lI) Un láse¡He-Ne,de i - 633 nm, alumbraa dosrendijas separadas 0.2mm. ¿A quéángulomlnimo,8, esla intensidad 5O%dela máxima?Si la pantalla estáa 3 m dedistancia, ¿cuál es la distanciaentrelos dos ángulosen cualquierladodel máximo,parael cualsepres€nte esaintensidad? Estadistancia sellamaanchototala mediomótimodcl miximo central. 17. (Ii) Dos fuentespuntualesde onüs de ¡adio,a unadista¡cia de I 5 m entresf,ir¡adianen fase,conunaf¡ecuencia de2.4x promediode cadafuenteaislada lOt Hz. (a) Si la intensidad es 10'2flm2, ¿cuáles la di¡ecciónen la que es nráximala (b) ¿Cuáles la magnitudde la intenintensidadcombinada? sidadmáxima?(c) ¿A quéángulohab¡ádecrecido la intensidada la mitadde su valor máximo?

18. (II) Supongaque las dosrendijasclern expcrimentono tienen el mismotamaño,de modoqueel campoeléctrico exactamente de una de ellasen determirudopunto,P, de la pantaüa,es E, 38-2 Intensidadcn el experimentodc Young,de la sen(arr),mientrasque el dc la.otra es E, sen(orr1 f), siendola doble rendija longitudesde trayectoria[comfase { debidaa la diferencia'de 12. (I) A dosrendijasllegaluz verde,conlongitudde ondade 6O0 parecon la ecuación(38-7)].Demr¡estre quela intensidadenP nm; la separación entrelasrendijases0.5 mm. Determinela es (r*,) - (1,) + (1r) + z {Qf,Q}cos f,siendo (¡) e 0) I/Is,alas distanciasde 0.2 mm y -0.4 ¡elaciónde intensidad, las intensidades debidasa la luz de lasrendijasindividuales. mm del máximocentral,en unapantallaqueestéa I m de las (sen'?(a.¡r)) 0.1 necesitará lSugerencia: - t; (sen(arl)cos(arr))= rendUas. 19. I¡s fuentespuntualesS y S' irradiancon la mismaintensidad clásicode Young,de la 13. (ID Con el resultadodel experimento y la mismafrecuencia,correspondiente a unalongituddeonda doblerendija,determinela intensidadpromedioen la pantalla, de 0.020m (figura38-22).Estándefasadas 45o,y a2.5 m de FIGURA38-20Problcrna I l.

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FIG{JRA 38-2f Problcma 14

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FIGURA 38-22 Problcma19.

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o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o

distancia. kg. un" gráficade la intensidadcomofunciónde la distanciacn el eje .r, para valoresde.¡ mucho mayotes que la separaciónde las fuentes. 10. CII) Deduzcaunaecuaciónparah intensidadnetaparael caso delproblema19,en términosde¡, de la lgngitudde onda(1.), y de la separaciónde las fuentes(d). Tengaen cuentaque el campoeléctricode la onda electromagnética digminuyeen funcióninversade la distanciaentrefuentey receptor,y que. la distanciaentrela.fuenle;S, y cualquierpunto'en.eleje,es distintade la distanciaentrela otra fuenle,S', y esepunto. (Sugercncia: uselos resultados del problemai8.)

Ccnt¡o de curyahra

FICÜR.A38-23Problcma 28.

de aire en eselugar, y cuál es el ¡adio de curvaturade la de la lente? superficie 28. (II) El radiodeburvatr¡ra deunasuperficieconvexaqueseusa 21. (l) Se tienenlas dos placasde vidrio del ejernplo38-3,y la paraproduciranillosde Newtones R (figura38-23).Deterconfiguración de la figura38-13.Lasplacastienen25 cm'cfe mine la posición,¡, medida desdeel punto en dorrdela . al vidrio, luz longitud.Cuandoincidepérpendicularmente superficieconvexatoca a la superficieplana,del enésimo' de 656nm de lámparade hidrógeno,apaiecenI 02 franjasde anillooscurocuandola longituddeondadela lüz es,1,e incide interferencia. ¿Quégrosortieneel alambrequeseparalasdos perpendicul armentedesdeaniba. placasen uno de susextremos? 29. (lI) Sepresenta interferencia constructiva cuandounaburbuja de vid¡io se'colocanuna sobre 22. (I) Dos piezasrbctangula¡es dejabónreflejaluz de 420 nm de longitudde onda.¿Cuáles otrá,en unasuperficieplana.Se introduceuna cintadelgada el espesormlnimo de la burbujasi su fndicede refracción de papelenttcellas,en uno de susextremos,de tal modoque es 1.38? seforma una cuñade aire.Las placai se iluminanperpenCi30. (II) ¿Queesp€sormlnimo de recubrimientoantirreflectorde de longitudde ondade 589nm, cularmente conluz incidente \lgF, sc necesitaparareduciral mlnimo la reflexiónde luz y aparecendiez franjasde interferenciapor centímetrode azul a 480 nm, (longitudde ondaen el aire)?ParaMgFr, n cuña.¿Cüátesel ángulode la cuña? 1.36. 23. (II) Cuandose colocandosplacasde vidrio planc,u;a sct're (II) Paraluz que emita un láserde He-Ne, = 633 nm. ¿Qué entreellas,enunode suslados,unaciiia otra,y s€introduce ^" dc MgF, espesornlínimo distinto de cero de recubrimiento de papel,se forma una cuñadelgada,llenade aire,entrelas permite una ¡eflectividad máxima? porreflexiónde luz placas.Seformanbandasde interferencia 1t (II) l-a luz quereflejauna capade aceiteque flota sobreagua queincideverticalmente sobrelasplacas.[: monocromática, paraluz de 495 y ó36nm presentainterferencia constn¡ctiva prirnerabanda,cércadela orilla dondesetocanlasplacas,;es de longitudde onda,queincideen direcciónde la normal.El clarau oscura?¿Porqué? indicede refraccióndel aceiteesn - 1.48.¿Cuálesel espesor normalde anilloede Newlon,ha1'una 24. (Il) En un experimento posiblede Ia pelfcula? mÍnimo placa.plana. convexa toca la zonaoscura,dondela superficie luz de500nm de 11 0I) L: luz reflejadade unacapade aceitequeflota sobreagua Sobreel sislema, incideperpendicularmente presentainterfe¡encia destructivaparaluz con 540 nm, ó00 longitudde onda.La superficie convexaseretiralent¡rnente nm y ó75 nm de longitudde onda,incidenteen direcciónde de 0.25nlnr. dc la placaplana,hastaqueestáa unadistancia la normal.El lndicede refraccióndel aceiteesx ' 1.6O.¿Cuál una seriede máximosy mlnimosen la zona Aparecerán esel espesormlnimo posiblede la pelfcula? central,a medidaque se aleja la piezzsuperior.¿Cuántos alejarseo acerc3rse 3{. (II) b luz blancaque se refleja despuésde incidi¡ perPendi' ¡náximospasan?Los anillos,¿parecerán al centro? cularmente a unapellculauniformedejabóntieneun máximo de iirterfe¡enciaa 6O0run, y un rninimo a 450 nm; no hay 25. (ll)'Se tiencel aparatode anil'losde Newtondel problema24, mjnimos entre600 nm y 450 nm. Si n - 1.35Parala Pelfcula, y el mfirimode la lenteconvexaestáa 0.25 mm de la placa plana.En el espacioentrelasplacassevierteagua.Losanillos, ¿cuálesel espesorde esapelfcula? y cuántas de é1, alejarse moversehaciael centro,o ¿parecen QI) Una luz incide perpendicularmentesobre una capade máximaspasan? en aire.(a) Si aceitecon n = 1.2.La pelfcuaestásuspendida ( 550 nm),hacia verde ,?, se con más intensidad la luz refleja 26. (II) Una lente,cuya superficiecurvaes partede una esferade pclfcrrla n O) Si cspesor de la atrás, cs el nrfninro y sistcma placa plana, el sobrc una 6.0 m dc rrdio, sc coloca ¿cüál aumentara r, la luz quetieneieflejo máximo,¿tendrfaI más se empleaparaproduciranillosde Newton.¿Cuálesson los largao más cbrta?(a)'Si la pelfculafuera una interfaseent¡e' diámetrosdel octavo y novenoanillos clarosen la figura agoa(n = l.33) y aire, ¿quéseverla? reflejadacuandola longitudde ondade la luz es,1"= 589nm? 38-3 Intederenciaen la refexión

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27. (II) Luz de 560 nm de longitudde ondaoriginaun sistemade 36. (ID En el capltulo36 mencionamosquc cuandola luz incide perpendicularmente desdeun medio de fndicede refracción sobre anillosde Newton,con unalenteconvexadescansando en uno de lndicede refracciónnr, entoncesla nr,.y refracta se a una claro se encuentra plana. anillo 20e El una superficie intensidadde la luz reflejada,/. se relacionacon la de la luz de la pellcula distanciaradialde 0.98cm. ¿Cuálesel Qspesor

1729

: @, - ttr)21(n2 itrcidente, + nr)2.Paraqueun 10,mcdiante,l./.In recubrimiento eliminelasreflexioncs, no essuficienteconque la luz quesereflejede lasdossuperficies difieral80oenfase; Ia interferencia serátotalmentedestnlctivasólo si las arnplitudesson iguales.Denruestreque cuandose desprecianlas reflexionesnrtiltiplesen las interfases,la interferenciadestructiva en la luz que sc refleja en un vidrio recubiertoes ¡¡áxima cuanrlo(nn¡*/n..",,,,) - (a*",,,,/tl,¡,,¿J, 37. (lI) Uscddcscaclirninrrla luz reflcjadadc unalálninadc vidrio plano,paraluz inciclcntc dc longituddc l)crpcndicular, ondade óOOnm. Si el f¡rdicedc refraccióndel vidrio es 1.55, y tiene ustedun materialde recubrfuniento cuyo fndicede refracciónes 1.25,¿quéespesormfnimo de recubrimiento alcanzaráel efectodeseado? 38.(II) La luz azul,de ,1,-450nm, incidepcrpendicularmente en unap€lfculadejaMn, plana.En la luz reflejadaapareceuna sucesióndebandasclarashorizontales (véasefigura38-24,en la cualla pellculaestdiluminadaconluz b¡anca, y no conluz monocromática). ¿Cuáles la rapidezde cambiodel espesor

FICURA38-24problcma 38. de la pelfculadejabón,en funciónde la altura,si lasbandas clarashorizontales estána 0.5 c¡nde distancia? Parala soluci ó n d e jabón, n= 1. 35. 39. (ID El materialqueseva a usarparaun recubrimiento antirreflector tiene fndice de refracción1.25.¿Quéespesordebe tene¡la capaparadar losmejoresresultados para1- 550 nm, y un ángulode incidenciade 30orespectoa la normal?

43. (ID Un investigador deseamedir la longitudde ondade u¡a luz verde(^:550 nm),conunaprecisión de 0,\%. El juego enel movinrientodel tomillo queseusapara.ajustar el.espejo móvil permiteque el cambiode posicióndel mismono se puecla. deternrinar con precisiónmejor que0.2.nm. ¿Cuántos desplazamientos de franjasedebenmedir? M. (lI) Un lásercon luz
't38- 4 Interfcrónrctros 40. (D A un interferómetrode Michelsonentraluz láserde ,l575 nm. ¿Cuántas franjaspasaránpor el campode visión si uno de los espejossemueve14mm? 41. (I) Si el espejode uno de los brazosde un interferómetro de Michelsonsemueve0.31mm a lo largodel brazo,atraviesan el campo980 franjas.¿Cuáles la longitudde ondade la luz quese empleó? 42. (U) En el trayectode uno de los rayosdel interferómetro de Michelson,iluminadopor un haz angostode luz, de 48ó nm de longitud de onda,se intercalauna cuña muy agudade vidrio, de fndicede refracción1.60,Con ello se hacenpasar 500franjasoscuraspor el campode visión. Calculeel espesor de Ia cuñade vidrio en el puntoen dondcel rayola atraviesa,

1130

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FIGIIRA38-25Protrlcma 49,

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desplazamiento de fase,e ignoretodadisminuciónde la señal 53. (I) Sé'tieneel par de antcnasdipolo del problema52. Suponga enfunciónde la distancia que estánseparadaspor un cuarto de longitud de onda,y que la señal en la antena 1 está retrasadacon respectoa la corres(ll) {9. Una radiacióncoherentede micründas se reflejaen dos pondientea la antena2 en 90o (un cuárto de ciclo). Demuestre obsatáculos idénticos(figura 38-25).Cadaobstáculo,dc taque la sdrialtiene un máxii¡ro en una dirección, no en dos. maño a, es mucho menor que la longitüd de onda de la radiación,1.,y mucho menor que la distanciad entre los 54. (II) Cuatro bocinas idénticasse colocan en las esqui¡asde un obstáculos. Deduzcaunaecuaciónparalos ángulos,d, deficuadrado de la do A.l,[Z Emiten sonido en forma coherente,de nidosen la figura,paraloscualeshayamáximasen la pañtalla longitud de onda 2,.Uh escuchase sitúa muy lejos del cuad¡alejana. do, a lo largo de una de las diagonales.Si la intensidad,con sólo una bocina, es Io, ¿cuálesson las intensidadescuandose 50. (ll) Una ondade radio sufreun conimientode fasede l80o coneclan dos, tres y cuatro bocinas? En una tabla, haga una cuandose refleja en la superficietranquiladel océano.Un lista de todaslas combinacionesde intensidadque resultan. barco,en el puerlo,quese acercaa unaestaciónen la orilla, recibeunaseñalde 200 MHz de la anlenade la estación.Esa (III). El espejo dc Lloyd refleja luz a grandes ángulos de antenaestáa 20 m sobrela superficiedel mar,al igualque incidencia que proceden de una fuente puntual, hacia una la antenadel barco.Lasseñales pantalla (figura 38-27). Al aproximarsea 90o el ángulo de directay reflejadainterheren, y seoye unasucesión de máxi¡nosy mfnirnos-de incidencia(ángulo rasante),coinciden fuente e imagen. (a) señalen el barco.¿A quédistancia seencuentra la el barcode la estación o ¿Interferirála luz directay la reflejada,constructivamente primeravezquela señalpasapor un mfnimo?¿A quévelocidestnrctivamente en este Iímite? (b) Supongaque la fuente dadseacercael barco,si el tiempoentreel primermfnimoy nronocromáticase encuentraa 10.0 ¡n del centro del espejo, el siguientees50 s? y a 1.0cm sobreel plano del mismo, y que la pantallaes lejana. ¿Cuálserála separaciónangularentremáximos sucesivosen 51. (ll) Las fuentesSr y Sz ilumina¡runa pantallalejana;la la fi-euracleinterferencia,si el ángulo se midc desdeel punto distancia a la pantalla esmuchomayorqucla separació¡t cnlre objeto hastala pantalla? lasfuentes.Cadafuenteemiterayosluminososcon la misma fase,perolaintersidad, /,, dela luzdeS,, esdobledela intensidad, ^lr, de la luz de Sr. Determinela relaciónde la irrtcnsidad máximaa mlnimade la luz, quese obsen'een la pantalla.(Véaseproblema18.) 52. (II)Il figura38-26esunavistasupe¡iorde dipolo dosantenas de radio,que son tones verticalesseparadas en el eje x, por una'distancia A{2.Eslearreglopermiteque la señalde radio ' queen sedirija conmayoresinteruidades enunasdirecciones otras,mientrasq'uesi sólo hubicrauna antena,inadiaríasu señalcon igual intensidad, /0, en cualquierángulo,0. (a) Determinela intersidadinadiadapor el par de antenasa distanciamuy grandede ellas,comofunciónde 0,suponiendo l:sJrjo oa t-royo quelasseñalesen lasantenasestánen fase.Describala señal paratodoslos váloresde 9, de Ooa 36Oo.(b) Ahora,la señal de lasantenas está180"defasada. ¿Cómocambia,si esquelo FICURA3lt-27Protrlcma 55. hace.la distribución dela intensidad? 56. (III) Sobreuna placade viclriode espesor/¡ e fndicede refracciónn quedescansa sobreun espejo,incideluz delongitud de onda,l, EI rayoforma un ángulo0 con la ve¡tical.La luz que se refleja en la partesuperiorde la superficiede vidrio y la que se refleja en el espejopresentaráninterferencia.¿Para qué ángulos será totalmentecorntructiva la interfe¡encia? [Paraángulosun pocodistintosde la incidenciarasante(véase problema55), la luz no sufrecambiode faseal reflejarseen un conductor,comopuedeserun espejo.]

Antcna I

Antcna 2 t'IG{tRA 3E-26 Problcma 52,

1131

e a I a I a I a a o a o o o o o o i$i o #i o ffi o s* o F PIFR.ACCION # oo $, o o tr cleia h¡z se l:¡,ceílparcntccuaudoliay,obstriculos La naturalczaondi¡lalot'ia o o compal'able al dela lor:gi{ud det¿rlnaño deondadela luz,dc algunos abcrturas cicntos o denanómetros, o bien,cuandoseexai'¡rinarr distancia.s del nrismoordenelrlasorillas de lassombras. En esoscasos,la interferencia ocasionaefectosqueno puedeexplicar o comoel de la doblererrdijaclelca¡ritulo38. La difracciónes la ópticageométrica, o deinierft:renciti. otramanifestación delosfenó¡tre'nos Sepucdeusafeseténninocomo peto,por Io gcncral,se refiercen forrnaespecifica ültemativoal cleir¡lcrfcrencia, a o la desviaciónrle los frentesde ondade su cotnportamiento rcctilfneo.Ya estaincs o familiarizadoscotr la desviaciónde las olas cir el tnar al rodeargbskiculos,y la # dispcrsióncircularde las ondasen el aguaqriepasnnpor rrnaabeftutamásarrgosta # O quesu iongitudde onda.Esosfenór¡renos soudc difracción.Tambiénlo esla figura # o demáxilnosI'múritnosqucoct¡l)ala pantallaetrun experimento de doblerendijade s¿ o etrtreondasqueernanan Young.El ténnino"difracción"tatnbiénilldicainterfereilcia gmn dc utr o hasl¡ cotrjunto númcro, contitluo,de fuentes.Las rejillasde de un o * ditincciór¡tienenmuchasranuras,o fuetrtesdr' luz coherentc,y sc puedennratrejnr o dela d,rblerendija.Esasrejillasticnenaplicaciones inr¡'s¡coinounageneralización o atónricosy dcmatcrialescristalinos.Veren:osqre tatrtesenel estudiode lossistemas t; y trotablesde iliicrfeaununatenc!ijaúnicay angostaproducefigurascaracterísiicas J; dela difracción. La holografía esunanplicación relrcia,comoresultado espectAcular et* oi y difracció:rson,ambos,corlsecuende la difracción,Los efectoscleiuterfr"'rencia ondas. de las cia de la supcrposiciólt ol ol E 'l

Para producir csta i¡ttagenclcun t'iolhfiteron dctcrnti¡n¡úcs!osfenónrcnos,dcintcrfcrcncia.y dífracción. I-as líncas itdican cl nrcvinticttio dcl ¡nstrume¡tto que vibra, y sc relacionan mediontc Ia iltrfcrencía de dos inágencs hclogrof cas.

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39-t

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'de En Ia décaáa 1820, se llóvaron a'ijabo intento!'ietios para comprender las consecuencias de la nah¡ralezaondulátoriade la luz. El experimerÉode Youn!, de la doble reridija, habla mostrado que hay efectos claros de in.terfetencia asociados con la luz. Aunquela desviación de lasolas en el agua rodeandoobstáculoso rodeando lasorillas de las abertufas,como en'la figura.39-t noses familiar, no es partede nuestraexperienciacotidiana fespectoa la-luz.'Estose debe u qu", .l*o dijimos en los capítulos 15 y 38, los efectosde interferencía necesitanluzcohercnte, y debido aque los efectos de difracción, enfornta caracter(stica, son más iriportantis cuando lasobcrturos'o los obstáculosque eilran enjuego tienen"dimensiones contparables a la longitud de onda. Pa¡a,la luz, la condición de coherenciano se cumple en la mayorparte de,loscasos,y las longitudesde onda, de algunoscientosde nanómetros, sondiminutas, en comparación de los objetos comunes, Además de su experimento de le doble rendijá, Young llevó a cabo otros que demostraronque ta luz puederodearuh obstdculopequeñoy único, del mismo modo quelo hacen las olas en el água. Young crelq firmemente en la teorla ondulatoria,y publicabasu3cteenciab,a pesarde la résistenciade la cornunidadcientífica.Augustin Fresnel,Frangois Atago y otras autoridadespublicaron más experimentosy teorlas para tratar de esüablecercon mayor firmeza la realidad de los fenómenos de difracciónin la luz, que tratancaéosen los que la luz se desvíarodeandoobstáculos, envirtud de sus propiedadesondulatorias.Fresnel avanzóen sustrabajoslo suficiente comopatacjüe,en 1821,pudieraemplearunaversiónprimitiva de un interferótnetro, parallevar a cabo la primeramedición cuantitativade la longitud de onda de la luz. El principio de Huygens se habla usado mucho antes para demostrar cómo se puedeconsiderarque cada punto de un frente de onda produce ondas esféricasque sesuman,por supe¡posición,y forman un nuevo frente de onda. F¡esnel empleó la construcciónde Huygens para comprender varios fenómenos de interferencia,que soncompletamenteinconsistentescon la óptica geométrica.Demost¡ó que aun una sola abeftura ctea su propia figura de difracción, porque las ondas que pasan por distintaspartesde la abeftura interfieren entre sí. Igualmente, aun un sólo obstaculo creauna figura de difracción, porque el obstáculo ha bloqueado partes de la onda planaoriginal, y ya no participan en la regeneraciónde la onda "aguas abajo". Con una fuentede luz cohetente,un obstáculointermedio,o una paredcon agujeros,y una Objcto internlcdio

Fucntc lurnin6a

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FIGURA 39-1 So conocc bicn ol modo on cl cunl lns or¡dnscn cl agun sc dcsvínn rodcando otxt¡iculos- Aqui vcmoe ondas pamlclnspnsandopor m hucco,y prcxlrrcirrxlo frcntcs dc on
Pantalla

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FIGURA 39-2 (a) Sc puc
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clcdifrncciórr (l'igurn39-2n).Prcsctrt:rnros psr)tollo, podc¡nos obscrvnrcfcclos varios objetosintennediosen la figura39-2b:dosrenclijas, variasrendijas,variásaberturas pequeñas, una rendija,y un obstáculosirnpleen forma de disco.La figura 39-3es unafotogtafíade la figurade difraccióren la orilla'der¡nasombra,la de unanavaja percibirn de rasurnr. Conun pocode ingenio,loscfectosde la difracciónsepuedetr lcjnrrodc vnporclcrnercurio a trasirnplevista.Porcjctnplo,lratc
FIGURA39.3 f)ifraccióndc la hrz alrctfcdordc uu navnjnclcafc,ilar.

[.rrr.hacin t¡n¡ lc,i;tnn l)a11t¿rlla fircntc lcjatra I.'IGltRA 39-4 l.os rayos paralclosdc tum fircntc lc,janasc difrnclan cn trtt ohjcto intcnnc
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39-2 nnJnras oE olEnecclox Un método sencillo pnra generalizarel experirnetrtode ilrterferetrcincot¡ la doble de rendijaes autncntafel nf¡nlerode rendijaspequeñas.Hay una figura caracterfstica

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o o o o o o ¡ o o o o o o o o o o o o o o o O o o o o O o o o o o o o o o O o o o o a o o o

terferenciasi las rendijas tienen una distancia regular; a esteconjunto de renii_ias-se le llama rejille de difrscción, I-as tejillas de difracción son imporiantespor dos iazones.[,a primera es que, como son muchas las ranuras,permiten el paso de más iuz,en comparación de la que perrniten pasardos rendijas; de ese modo at¡mentala lntensidad.En segundo lugar, los máximos de interferenciason mucho más agudos quecuandohay dos rendijas,lo cual permitemedir con más precisiórrla longitud de ondade la lu z . En el experimentode Young, de la doble renclija,se cortaron,literalnrente,dos rendijasen una mascarilla opaca. Sin embargo,no es neccsariala presenciadc agujcrostranspnrentes en una rnasc¡¡illaopoco.Tocloto quc se neccsitaes una seric deobstáculosque funcionencotno fuentcspuntualespara In reirradinciótrde ondas secundariasesféricas. Asl, una rejilla de difracción puede adoptar mucha.cformas. Porejemplo, se puedenhacet rayaduraso llneasregularesen placasde vidrio o metal. Cuandola luz pasaa travésde una placa rayadade vidrio, las marcasfuncionan como fuentespara la regenetaciónde ondassecundariasesféricas.A estetipo de rejilla se le llama rcjilla de transmisión. Cuando las rayadurasse hacen en placas de metal, tmbajancomo puntos objeto de luz reflejada, y no transnritida;a esastejillas se ies rejilla de reflexión. Aun las marcasen una regla ordinaria puedenseruna rejilla Llarna dereflección por luz laser.Lo importante es que la luz se dispersea partir de centros adistancias¡egulares.Veremos,en la sección39ó, un ejemplo notablede eslapropiedad, al estudia¡la difracción de rayos X, en la cual loo átomos,en la red cristalina regular de un solido, funcionan como punt6 objeto que vuelven a irradiqr. Para todasesasrejillas, el análisis de su figuta de difracción es similar, aunquenos concentratemosaqul en las rejillas de difrac¡ión y las repesentaretnoscomo si fueran rendijos reales. F¡aunhofer fabricó las primeras rejillas empleandoalambtesdelgadosparalelos. Como hemos dicho, cuando se usanmás rendijas en determinadointervalo se obtiene una figura de dif¡acción más nítida, y la rejilla se adecúamás al análisisde la luz. En la décadade 1870,Henry Rowland inventó máquinastrazadorascapacesde cortar (grabar) tejillas con miles de ranuras por centlmetro (figura 39-6), Este proceso tevolucionóel empleode las rejillasde dif¡acción,y las rejillasdcl tipo de Rowland desempeñaronun papel muy importanteen los descubrimietrtosy avancesde la flsica lnoderna. l-os espectroscopios,instrumentosópticos que se emplean para medir la longitud de onda de la luz emitida por lo átomos excitados, tienen, por lo general, una rejilla de difracción. El conjunto único de longitudes de onda, o frecuencias, producidaspor los estadosexcitadosde cada tipo de átomo, ion o molécula, se llama su espectro.L,a medición de esos espectroscondujo a la mecá¡ica cuántica, y a la comprensiónde la estructu¡adel átomo. Las rejillas de difracción se siguenusando

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IICURA 39-6 Máquir¡a dc Hsr¡¡y Rowland,paratallar rcjillas. Con clla, cl cmfrlcorlc las figurasdc difracción ori¡innrlnscrr rt.jillnsvino a scr ltcrret¡ricnta lxrnrurl¡nrn urnli;¿arla ltu.

Rojilla

Pclicula fotográfca _r,*.\

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Conscn¡ación de Ia energía e intcnsidad

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Onda plana dc la fucntc FIGURA 39-8 Gcomctri¡ dc rurarcjilln
Ubic¡ción de los mriximos¡rrincipales de una rcjille de difr¡cción.

Le diepereiónrnguhr de le rejille de difr¡cción ¡unrent¡ cu¡ndo dienrinuye la rel¡ción de seprrecióndc rend(ie r longltud de 0nd¡.

Le intensidadde un máximo ee proportlonal el número de rtndiins elev¡do ¡l culdr¡do.

Veamos ahora el análisis de la figura de difracción de Fraunhofer. En la figura 39-8 v€mos algunasde las rendijasde una rejilla con Nrendijas, separadasentre sf poruna distanciad; una onda plana monocromáticade longitud l, óe acercadesdeuna fuente lejana. I-a onda plana llega con la misma fase a cada rendija, y en cada rendija se emiten ondas esféricasen fase. Examinemos la propagaciónde las ondas a lo largo de las lfneasmarcadasW, Las líneas I7l, W2, W, etc, forman un ángulo 0 con la direcciónoriginal de propagaciónde ondas.Nóteseque pennitimosque la pantalla está tan lejana como para que esasllneas sean paralelas,aproximadamente,aunque procedande utr punto determinado;si el punto no es lejano,una lente puedehacet que los rayos seanparalelosal llegar a.la:rejilla. Si las ondassecundariasestánen faseen el frente.4,,{',defihido por 0, entonces la luz, que finalmente llega a la pantalla lejana eri eseángulo, tatnbién estaráen fase, y habrá interferenciaconstructiüa:utt rháximo. La condición para que las ondasen tA' esténenfasees que cada longitud de trayectoriaseadistinta de otras en múltiplos de la iongitud de onda 1,. La diferencia de longitudes de trayectoria entre ondas vecinos es d scrr I (figurn 39-8). Asl, hay mátintoi principales,en los cuales la luz de todas las rendijas interfiere constructivamente,en ángulos tales que

(39-l) dsen0=¿¡X,siendoll¡ -0, * I,12,., , Como en el casode la figura de dos rendijas,el enteron especificael orden delos máximosptincipales.En estetesultadovemosel fenómenouniversalde la difracciórr, que consisteen que la figura sc cxtiendeen ángulo,al au.ntentar 1,1d,La ecuación (39-l) esla mis¡naquela (38-3a),qucdeterminalosmáximosde la figuradela doble de la figuraen la pantallaeslnuy diferente,como rendija.Sin embatgo,la intensidad vetemospfonto. Antes de llevar a cabo el análisismatemáticode la interrsidadde la figura, foÍna cualitativa,de acuerdoa lo que ya examinemosprimeio la intensidad;.en Si la luz. no hubiera figura algunade interferencia, la intenconocemosacercade sidad promedioen toda la pantalla,debidaa N rendijas,serfaNI¡, siendoIe la intensidadptomediode una solarendija.Se debeconservarla energfa,h4yao no luminosaesceroen zonasde interferencia destructiva, Si la intensidad interferencia. luminosaenregionesde interferencia constructiva. Como debehabermásintensidad de energla la intensidadmide la rapideza la cual llegala energía,la conservación promedioen todala pid" quu aun en presenciade la interferencia,la intensidad. principales, dondehay es la intensidad en los máximos pantalladebeserN/e.¿Cuál En puntos, catnpos lnaghéticos delas esos los eléctricos o constructiva? i¡rterferencia las veces campo de una de ellas.: que proceden de todas rendijas sumall N el ondas proporcional a campos elevados al cuadrado,la intensidad los es Comola intensidad en cualquiermáximops{ pot la intensidad/6 debidaa unatendija: Pafamaxrmospnnclpales:

/n¿, = N21o.

(3e-2)

Este resultado concuerdacon el iálculo de la figura de doble rendija, cuando quelasalturasdelos máxilnosson4/0,Si la intensidad mriximacreceen encontramos paraN rendijas,entonces, paraconservarla energfa,el espacioenel fonna Lan'máicada que se presentael máximo debe ser mucho menor. Supongamosque los rruiximos principalestienenuna a¡rchuraA9,la anchura.esla extensiónangularen los purrtosen

r736

(

mucho en ciencia y tecnologla, y se consiguen rejillas simples y poco costosasde plástico. La figura 39-7a es un esquema de un espectroscopio,y la figura 39-7b muestrael resultadode empleat el espectroscopioparaobservarla luz de un arbotante de vapor de sodio; Iejano. Los conjuntos de arrtenastrabajan,en cierto modo, como rejillasde difracción.Esasantenaspuedenemitir y recibir,como los radiotelescopios o antenasde acercamientosa torres de conttol.

ll

Ir lr ir ir lr

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I

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

-ol o1 O¡

o o o o o o a o o O o o o a o o a o o o o o o o o o o o o o o O

o o o o O o o o o o o o o a

dondeun máximo principal tiene la mitad de la altura máxirna, la mitad de.In,¡. I-os ruiximos principale son tan intensos,y hay tan pocahlz entreellos,c¡rela intensidad total esaproximadamentela suma de las intensidadesen los máximos principales.Asl,

113 39-2

Rcjtllan & dlfncck

/"¡, A0 - N/o. :i :i

Deestaecuaciordespejamosla atrchuta,y cuarrdoempleamc la ecuaciorr(39-2),obtetreme A¡ \ t ":

,i

NI o / r úr

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N/n

I

ñ4:

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139_3)

Unmodocualitativode comprendetla disminuciónde A0 en funciónde N esnotar quecuandoaumentaN, esmenosprobabletenerinterferencia constn¡ctiva total.Si no esexactamente ladiferenciade Iongitudesde trayectoriapararendijasadyacentes un múltiplo entero de la longitud de onda, comprendidasmuchasrendijas,las diferenciasde fasesentrela luz de rendijasdistantes,ftnalmente,causa¡áalgo de la vorinciónqucsepucclc onulnción dcl canrpoclóct¡ico.Al numentnr N, disnrittuye toleraren el valor de 0 paramantenerun máximo. hemosencontradoquecuandoaumentael núnrero,N, de rendijas, Resumiendo, la altura de los mdximosprincipalesaumentaenfuncíónde N2.Adentas,disminuyeh anchura,estoes,los mdxintosprincipalessevuelvcttnñs agudos,enfunciónde l/1,1. Es la propiedad clavequehacetanútilesa lasrejillasde difracción. Un picoaltoy angostoirnplicaquese puedever con facilidad,auncuandola fuentesearelativaEsoúlti¡noquieredecir mentedébil,y quees posibleubicarlocon granprecisión. que las longitudesde ondaparalas que se presentan los máximosprincipales se (39-l). pueden determinar conla ecuación congranprecisión, Intensidad de la figura por 0, queno En la figura 39-8,la ondaW2 que viaja en la direcciónespecificada a un máximo principal,tieneuna es el ángulocomespondiente necesariamente diferenciade fase2B Áenot que la onda I71: 2rd sen0 ------' ' 2lt: 'A

(3e-4)

Ia onda W3 tienela mismafase,2p,menorquela de Ia onda W,y asl Igualmente, Asl, en Ia pantallalejana,el campoeléctricodebidoa cadaunadelas sucesivamente. -l p),...,E¡¡= Er¿ Eocos(arr -20,4 = Eecos(col l{rendijasesEl= Eecos(arl), pantalla es la sumade los total en la E6cos[art- 2(N - 1)p]. El campo'eléctrico debidosa cadauna de lasly'rendijas: N- t

E : Eo I

- 2u[]). cos(<,.rr

(3e-5)

,= 0

de matemáticas y avanzadas, Estasumasepuedellevat a caboconprocedimientos dacomoresultado

- (N - l)/jfI# E: Eocoslr¿r

(3e-6)

I-a intensidades proporcionalal promediode É respectoal tiempo. Cuandoelevamos al cuadrado la ecuación (39-6), el promedio del coseno cuadrado con respecto al esepromedio como proporcionala la tiempoesj, e identificamosel factor ÉJZ "n /e, debidaa una rendija,Asf, intensidad,

paraNrendijas:/ : t" [1!q4l'

"L *"/ l

( 3e- 7)

A medidaqueB *0, SegúnIa eiuación(39-1),p esceroenlosmáximosprincipales. senp esdel ordende p, mienttasquesen(Nfl esdel ordende N p. Así, la relación senrNO/senp tiendea Nen el lfmite,cuandoF *0. En estelfmite,la ecuación(39-7) con la (39-2),quefue muchomássencillade deducir. concuerda

Ln ¡nchurr de un máximo es inversenrente proporcionel el número de rendiJes.

FIGLJRA 39-9 Gnifica dc la rclación //0, cn fiurción dc las fascs p - (2r' scn 6)/1.para N - 2, 4 y l0 rcndijas.I-¡ distribucióndc intorsidadcs cnmbia mr¡cho cn fiulci
Se puedecomprenderla ecuacién(39-7) con mayor facilidad si la graficamos, como se ve en la figura 39-9,paraN: 2,4 y LO,La relación4/0 sc graficaen función de p,La figura muestrael máximo principal en B = 0, que correspondea 0 * 0, el centrode la pantalla,al igunl que los máximosprincipalesa los lados,que correspondena n = + 1 en la ecuación(39-l).I-¿sanchurasde los máxirnosprincipalesdecrecen, ciedamente,en fr¡nciónde 1/N. Nóteseqrrchay tn¡nbiónN- 2 rnáxilnossecr¡ndnrios S us i ¡rl t:r¡si < l ntlsor¡ cs < l clortl c¡rclc c t¡l ¡> c r¡trc i ro s rcc n rl ntrnrrl c ¡tr¡i xi l nosl )ri nci l )nl es, /¡ ttti s ttraPn . rol n srcj i l l nsdcrdi l ' racci ótt de r¡sogcrrcralN, v¡rl cr¡¡i l es,y sc puc(l cl l acer casoonrisode los lnáximossecundarios.Flsicarne¡rte, estánpresentesporquehay Ia posibilidad de que la luz de dos o más de las rendijas no vecinas pueda estarerrfase en deteminado ángulo, aun cuando la luz de todaslas rendijas no estéen fase. Son fáciles de prepararen el aula las dernostracionesdel efecto de la difracciórrpor rendijas múltiples. l-as líneasespectralesemitidas por fuentesató¡nicaspuras de luz son evidenüesaun con una rejilla de difracción baratay tnatrual.Una demost¡aciónirnpresionanüegue produce picos de difracción es la reflexión de luz láset, viendo una regla ordinaria en ringulo, l,a separaciónde las fuentes,d, es grande en compamción con la frecuencia de la luz, y los máximos principales está¡rmuy cercarlosentre si, en árlgulol pero Nes lo suficientementegrandecomo paraque los tniiximos sepuedandistinguirbien, PodemoscomprobarnuestroresultadogerreralparaNrendijas en el casocuando N: 2. Si hacemosque N - 2 enla ecuación(39-7),obtendremos,igualandosen(2p) -2 s e n p c o s B , scn(21))1' , (2serrBcos//)2 ñ : : +10 cos-1 /r' , = ,of 'o t* (r*rr-p)t/i L J Verdaderamente,este cs cl resultadopara dos rendijas, que presentamoscn la e c u a c i ó tr(3 8 -l 3 ). Resolución de las rcjillas dc diftacción Dispersiónangular, Antes, se usabanlas rejillas de difracciónpara identificar de los elementos.Ahota que ya se conocenesas las longitudesde ondacatacterísticas longitudesde onda,las rejillas de difracciórrse r¡sanprincipalmentepara idetltificar elementos,iones y compuestosmediantela luz caracterlsticaque emiten, o como herramientapara comprenderla estructurade las moléculas.Como por lo generalse conoced, la distanciaentrelas rendijas,la ubicaciónangulardeun máximo principal (nr * g¡ permite conocer .tr con la ecuaciótr (39-l). En este caso, una linritación de longitudesde onda,1¡ importantees la capacidadde separarlas1íneasespectrales y k, muy parecidas.Dos cantidadesdetenninanla eficacia de los instrumentos Una es la dispersión angular, que se define como A0/AA, que mide especüoscópicos, la diferencia,40,de los ángulosde los máximosprincipales,debidosa dos lotrgitudes de onda casi iguales,que difieren en Al. I El témrino"dis¡rersión"seusacon frecuencia en ciencia y üecnologíapara indicar un cambio de urra va¡iable con respecto a otra. Recuérdese,por ejemplo, la dispersiónde la Iuz por un prisma, de acuerdocon longitudes de onda.Diferenciamosla ecuación(39-l) paradeterminarla dispersiónangular:

dcos0A0:mLi; Dispersiónengula¡

A0 nl : :LA d cos0'

(3e-8)

La dispersiónaumentaparaórdenestnayores,es proporcionala la distanciaentrelas rendijas,y aumentaal alejarsedel máximo central. Resolución. La dispersiónangularsola, no nos dice si podemosseparar,visualmente, dos longitudes de onda semejantes.Este aspectode la eficacia de una rejilla rAqui, y cn lo quc siguc, crnplcarcmosA y no d para inclicarderivarlasy difcrcncialcs,para evilar confi¡sioncs con la sc¡raraci
1138

a I a o I o o I o o o a o o o o o o o o o o o o o I o o o o o o I o o o o o o o o t a o o a

o o o o o o O o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o

estácaracterizadopor el poder de resolución de la misma, que se define asl:

*=*.'

(39-9)

Poderderesolución

Enestecaso,A1 esla menordiferenciade longitudesde ondaquesepuedeobservar conla rejilla.Los máximosdedoslongituddeondaqueseparecenmucho,estánmuy cercanos ent¡esl, y no sepuedendistinguir.Mientrasmayorseael valorde R, mejor podrádistinguirla rejillala diferencia de ondade doslfneas relativade longitudes el hechodequelospicosdelosmáximosseagudizan muypróxirnas,Ya describimos alaumentar el númerode rendijas.Es la agudezade los picoslo quepermitequeuna rejillasepatedosllneasmuy próximas.Medianteun análisisdetalladodelasanchuras de máximosde un sistemade N rendijas,es posibledemostrarque el poder de resolución de unarejilla es R: nN.

(39- 10)

Poder de resoluciónde una rejilh

El poder de resolución mejora al aumentatel número de rendijas,N, y es mejor para órdenesmayores, esto es, para rnayores valores entero.sde n.

EJEMPLO 3 9 - I El vapor de sodio calentadoes una fuenteluminosa y dos fácilmerrteasequible.Se caracterizapor un color amarillo-anaranjado (a) longitudes deondaintensas, de589.0y 589.6nm,lo quesellamaun doblete. que doblete el los resuelva rendijas se nec¡sitan en una en máximos rejilla ¿Curintas a 4 m de la rejilla,con 2@0 de primerorden?(b) Si la pantallaest¡iexactamente principales posiciones de los dos máximos de primer rendijas/cnr, son las ¿cuáles lejanacomo ordenen la pantalla?Supongaque la pantallaestálo zuficientemente paraqueseptredan aplicarlascondiciones de difraccióndeFraunhofe¡, del poder SOLUCION: La solucióna esteproblemaresideennt¡estradescripción Los datossonlasdos deresolucióny en la posiciónde losmáximosprincipales. longitudesde onda,y debemosbuscarlos máximosde primerorden(nr= l). (a) Primero.calcularemos el podermáximo de resoluciónnecesariopara separarlas dos lfneascercanas.La diferenciade longitudesde ondadel doblete essólo Ar, - 589.6nrn :- 589.0nm - 0.6 nm. El poderde resoluciónnecesario parasepararel dobleteesel de la ecuación(39-9),

R:h:

589.0-¡rm :982. 0.6-am N = R = 982,Senecesitan La ecuación(39-10),conm = 1, da comoresultado unas1000rendijas. (b) Las posicionesangularesde los máximosprincipalesde primerorden la separapor la ecuación(39-1).Paraemplearla,necesilamos estánexpresadas ción de rendija,4 que esd - 1/(2000rendijas/cm)= 5,000x l0-Óm. Entonces, la ecuación(39-1),conm = 1, da comoresultado

o, = : para t¡: sen * paraA2: o, : sen

-#T"t ?: #TI'*I\:

: o.ll78; o.rr7e.

al son0¡ = 0.1181rady 02= 0.1182rad,y la distancia Losángulosrespectivos son,tespectivamente, cent¡ode la pantallaesy = L tan 0. Esasdistancias yr = (4m)tan(0.1181rad)= 0.4745m, : l': = (4m)tan(0.1182rad) 0,4750m.

1r3g

l{c,rxlijrr, ¡t¡lclto - r,t

Otrtllt ¡rlrrtut

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l + l+ l-> ttl

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l+ l+ 1.> tti l+l * i --

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0.

(c )

DTFRAccIoNEN RENDTJA uNrcA

Si el ancho, a, de una rendija única, es comparableo menor que la longitud de onda de luz coherenteque pasepor ella, se produce una figura de difracción. Esa figura se debe a que las ondassecundariasregeneradasendistintos lugates de la rendija única se interfieren entre sí. Para,explicarla figura de difracción, considerafemosque la rendijaúnica es un númeroinfinitamentegrandede fuentesinfinitesimalesde ondas secundatias. Asf, la figura que produceuna tendijaúnica tienemucho más en común con una rejilla de difracciónque con r¡lladoble rerrdija. de ondaspl anasde l ongi tu dl, S e ti e n e ' u nh az paral el ode hi z monocromáti ca, que va ha'ciauna banera opacacon rrnarendija rectangrilarde anchoa, siendo(a > ,X,).Una onda coheretrtellega a la rendija y regeneraonclasesféricasen cada punto de ella, En la figura 39-l0a vemos la luz que sale de la rendija, que s,iguehacia adelante,por la direccióninicial,llacia el punto central,P, de la pantallqlej4na.I as ondassecundariasregeneradasestántodasen faseen esadirecciótr,y gl punto central de la pantalla es brillante. A lo largo de la direcciónque lleva al punto P' de la patrtalla,estandodelinido el óngulo con se¡r 0 = )Ja, hal¡ráinterferenciadcstructivabajo cicrtasco¡rdiciones (figura 39- 10b).Las longitudesde trayectoriade la lftreas¡s2al ¡runtoP' sotl iguales, porque la pantalla es lejana, de tnodo que sólo necesitalnostener en cuenta las relacionesde fasede las ondasluminosasen la linea J¡s2.La ondaque se emite en la partesuperiorde ia rendijaha recorridouna distancia,l hastael puntos2,.yla emitida desdeel punto medio de la rendijaha viajadoune distancia)-l2hastae!punto ¡j. Asl, l& onda emitida en la parte superiot estáfuera de fase a lo largo de la lfnea ,s1.s2, respectoa la emitidaen el centrode la rendija,e igualmente,en el puntoP'. En fotma semejante,la onda que se emite inmediatamente abajo de la parte superior de la rendija está fuera de fase respectoa 1a emitida inmediatamenteabajo del centro. Podernosséguirlos puntospor parcs a 1olargo de la rendija.Pata todo punto en la mitad supcriorde la rendija,hay un punto en la nritad infcrior, y las ondasde los dos puntos estánexactamenlefuera de faseentre sÍ, El resultadoes interferenciadestrucu oscura,en l a pantal l aen P ' , aün ángulo ti v a ,o s e a ,u n a z o nade mfni ma i ntensi dad, implícito en:sen0 *Na. En la direcciónespecificadapor sen B: 2)"la,\a onda secundariaemitida en la partesuperiorde la.rendijarecore una distancia?)'mayor que la emitida enlaparte inferior,y a una distancial, mayor que la ernitidapor el puntocentral(figura39-10c), Podemosimaginarnosque la rendija,de anchoa, se descomponeen dos rendijasde anchoal2. En la ditección esiogida, nos encontramosen un caso semejanteal de la figura 39-10b.Hay interferenciadestructivaen el punto P", debidaa Ia interferencia destructiva neta de'la mitad superior e infe¡io¡ de la rendija. Por ejernplo, pot cada onda secundariaque se etnite en determinadopunto de la mitad superior de la re¡rdija, podemos encontraruna segundaonda secundariaque ernite otro punto etr la rnitad superior, que interfiere destructiVamentecon la primera onda secundaria,porquesu diferencia de longitudesde trayectoriaes ),12.Lo mismo sucedecon la mitad inferior. Tendremosotro mlnimo de intensidad,o zona oscu¡a,en la pantalla,cuandocl ángulo

m til

l.*l*l-"

IH:

# ffi fi. il,

Las imágetressólo estánseparadas0.5 mm, pero ln resolució¡lserá suficietrte paraque se pucdandistirrguirlas dos llneasespcctrnles.

il P

lll

\l, l

{'lu'

fl/'

FIGURA 39-10 Oxlns plnnnsdc hrz mont¡cromdtica quc cntran a una rcrxlija aquí, angocta,dc anchoa, cxagera
seatalquesen0 - ZUo. velnosquea cadatnolnento háyunudiferencia análisis, Sicontinuamos'nuestfo

Ubicacione¡de los nrinimosen la figura de difracción de una rendijn rinica

11 4 0

adicionolde longitudcsclctrnyectoria,igual a l, etitrela partc supcriory la inferiot de la rendija, y colno resultadose tiene interferenciadestructivay zon^ oscuraen la pantalla. Por lo tanto, ^ sen0 :+,' dolrdenr : t l,' ¡:1-: ': ooauinterferenciadestructiva:

o o o o o o o o o o O o o o O o o o o o o o o o o O

o o o o o o o o o a o a o o o O o t t

o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O

o o o o o o

i 1+i 3l-3

Df&¡cdóq

ca ¡crdits úat¡

__ ---r-i--F-

--..-.r¡.t--

--......_-.----.-)-

- X/u

----.-+-

Intcrsidad

-31/¡r

ilGURA 39-lL Figura do intcrfcrs¡¡cia dc difraccion co rcndija tnrica, y las intcrsidadcs ¡clativas dc csa figr:ra. l: mayorpalc do la crrcrgía luminosa cst¡i cn cl má¡i¡m cc¡rr¿J. Eso md¡lmo üonc doblo anchun on comoa¡ación con lc¡ mdxlmos sccund¡rlos.

El valor rn - 0 ho es partede estasucesiónde mlnimos: pa¡a /n - 0, sen 0- mhla 0, y hemosvisto i¡üe esüepunto centralP siempredebeser de máximo. La figura de inüerferencia tieneel comportamientoca¡acterlsticode los fenómenosde difracción:los valoresmayoresde a/.1.producenmenordisperciónangularen la figura de interferencia,y, al revés,los valoresmenoresde alL producenmayor dispersiónangula¡.En el lfmite, cuandoa >>1,la dispersióndisminuyetantoquesólo hayunamanohaqqntralclaraen la pantalla.No confundirla dispersiónangularen la parrtallacon unaployecgióndel anchode ranuraen la ópticageométrica.La pantalla estámuy lejana,¡1,,ei rigierala ópticageomél¡ica, la proyecciónde la ¡anurasobrel¡ pantalla,debid¡ i la luz incidente,serlaunallnea,quetendrfaexaclamente el ancho de la rendija,Mlentras menorsea el ancho de la rendija en comparaciónconla_ longitudde onda,serd nuryorla dispersiónangular de lafgura de inte(erencia Más o menosa la mitad de la distanciaentrelos mfnimossucesivos,tendremos condicionespara;iFüederencia constructivay un máximo de intensidad,o sea,una zonacla¡a.La figqra 39¡11muestrala difracciónde una ¡anuraúnica.La de _- figura -_o-_mayor parte de la luz,, de hecho, está en el máximo centml, cent¡al, ancho. Podemos comprendef l¡ ubicaoiónexactadelosmáximos,al igualqueel valordela intensidad enesospuntos,sólo si llevamosa caboun análisismatemáticomáspreciso. EJEMPLO 3 9 - 2 lJnaluz de laserheiio-neón, de 633 nm de longitudde onda,pasapor r¡narendija única de O.l0 mm de a¡cho. L,afigura de difracción se observaen una pantallaa 3 m de disüancia,lo suficientementelejanacomo para'quese apliquenlas condicionesde difracciónde F¡aunhofer.¿A'qué distanciaestrinlos dosmfrimos vecinosal m¿iximocenttal? l'

I

SOLUCION: En estecasoseaplicanlascondicionesde la figura de difraccióncon rendijaúnica; en especial,la anchuraa de rendijaesunas 160vecesmayor que la longitud de1onda.Podemosemplearla ecuación(39-11)para calcularlas posicionesangulatesde los mfnimosqueconespondena m ' I y - 1.Esosringulos son,respectivatnente, .. ml 633x l0-e*n : +0.0063; SellU:-+l .a 0.10x l0-3¡n I 0: *0.36'. A rna distanciade 3 m, esosm¡iximosestanína (3 m) tan0.3óo- 1.9cm dela lfnea central.La distanciatotalent¡eellos,por consiguiente, es2(1.9ctn) - 3.8 cm. Intcnsidadcs en la difracción por rendija única

i'

Yahemosefectuadocasi todo el trabajonecesariopara detetminarla figuta de dipa¡aunatendijaúnica,conmayotdetalle,cuandoanalizamos f¡acción la rejilla de N rendijas. Comodemostróel análisiscualitativoantetior,el principioffsico básico

r142 C¡pi¡r¡¡o39

DLfr¡ccióo

Bl-l). Cada banda fur¡cionacomo una rcncüjaindividual. Toda lo,rendija,entonces,queda dividída en est¿forma, y asi, '

o o o o o o o o o o o o o o o

N d =a

O

de la figura de difracción debida a una r€ndüa única.es que lgs rayos de distint¡s: partes ile la rendíja interfieieñ entre.sf.Podemos,entonces,dividlr fo'rmalmentela:

igualmente rendijarinicaenun8sucesióninfinitadé rbndijasinfinitamenteangostas, espaciadas,y analizarcomo si fiera'una rejilla. Fstas operacionesse llevan a cabo. en el ¡ecuadro 'Deducc.ión'deIa intensidadde.l'afigu¡a de interferenc.iadebidaa un¡ l rendija'única" y p¡esentamosel resultado de la inrensidad en Iaf gura de interferencia, cn furlapantálla distonte, debida it una iendija'única de ancho a:

pararendijasúnióas:

Inteneid¡d de le figura de interferencia debid¡ ¡ une rendiir únicr

¡ .

,antd ) a-

¡ .ru

r

na sen?

en la cual

g _ _ ---l l _

/,

DEDUCCION Deducción de la intensidad en la figura de interferencia debida a una rendija única rendija única,de anchoa, en i{ bandasde ancho d (figura Suponemosque.descomponemos'una

'

pah mantenerconstante En el lÍnrite,cuandoel númerode band.rsN -'-¡, d de6e'tenbáia ".ro, a a. Conrc cada ba¡da es inftnitanre¡te angostra,podgnos marcjar las bandas co¡no las ranumb delgadasde urn rejilla.Así, podemc ernplearelresultadoparala rcjillá dedifracción,de la ecución (39-'D,ar forrnadirecta,paradeterminarque la intersidaden la prntalla, cuandoel ringuloes fl es

, [senrN/¡12 : ' JT ' "l;n ¡ il ' la Estaecuaciónes paraun anchode rendijad = a/¡V,que tiendea cero.cuandoN * a. Segúnla la ecuación(39-4), p - (Íd sen 0)11"- ln(alttsen?)!2' '*/N, tomandodc la ectración(39-13)la definición cie*. Así, la intensidadadquierela forma . .

I:

. I sena l2 trm /ol._. _ l. A-o "[sen(c/N)l,

.,.

i,.

t,

.

En el límite, cuandoN es grande,el faclor sen(* ltü =* lN, y 'r ':

I ;

- 'sen- d N'.I,O

'

i

l

H.

d. Sólonecesitamos de ancho, El factor/e es la intensiüddebidaa unade las subrendijas, máximaposible, /6r, dela rendijaúnica,deancho el factor,\¡/9comola intensidad interpretar (39-12) a, parallegara la ecuación N ba¡rdas, cada uru dc ancho - /

la FIGURA B l-1 .Podcnros,cornprcndcr figuradc intcrforcnciaparaunarcndija . únicasy¡nnic¡dor¡uoFstáfonnadadoun grannú'rncro, iV,dobandas,y omplcando rcsultadopáiarcjillhsdc difracción.

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o --o o o

o O o o o o o o o o O o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o. o o o o o o a. o J o

lqg!*" queha¡ un máximocenttalcuando Q; 0. En esecaso,la ecuación(39-13) I indica indicaque a -, ,0.cómo el llrnite de (sena)la .i I cuandod * 0, la intensidaden estepuntode la pantallaesexactamente lr¿r. Nuestradescripció¡cualitativa,al principiodeestasección,indicaqueel ángulo a estansólo la diferenciadefaseenttela partesuperiory la pattemediade la tendija. La intensidaddác¡ececonmpidezal auméntara. L int.nriiu¿ escero,comodijimos antesquc debéser,pamringulosimplfcitosen la ecuación(39-11).Ahorapodemos ver quegstoglyde cuandg.desmúltiplo enterode n:

1 1Á ' Dlfracclón y mfuctoo d. lnst¡a¡fncnt06 óptko.

paramlnfunos: d=nn=A*4,donder¡ = tl, +2,+3..... (39-14) ., ^ Lasintensidades en los máximossecundarios secalculanen el ejemplo39-3. E J E M P L O 3 9 - 3 Calculelasrelaciones delasintensidades delosmáximos primeroy segundo,a la intensidaddel máximocentra¡,parauna rendijaúnica, SOLUCION:1 Paradeterminarlas posicionesexactasde los máximos,debemos derivarla intensidadcon respectoa d o a 9, e igualarel resultadoa cero(véase problema23).Sinembargo, podemchaceruna nipidasi tenemmencuenta esti¡nación quelos mriximosseencuenhanapoximadamentea la mitadenre lm minimc: paralosmáximos:

1)r,donde n : 1.2,3,.... "-(^* Representemos mediante/n la intensidad enesosmáximossecundarios. Emplearemosestaaproximaciónde a en la ecuación(39-I2), paraobtener \L/

I :alY7'

In _Jsenl(n+*)n]]'z_

I"*=i-G+Jrr-l

Parallegara estaecuación,hemosempleadosenzltr¡2|- sen2i3r¡2¡=' . . = ]. Haciendon,- |y n - 2,obtenemos . rl

f; =o'o+s, 3: o'o16'

L¿ intensidadde los máximossecun'darios decrecerápidamente. Conmucho,el máximo centrales el mrisintenso. la figura39;12esunagnificadela relacióndela intensidad a zuvalormáximo parala renpijaúnicacomofunciónde 0. Nótesequeel máximocentraltienedoble anchu¡aque los m¿iximossecundarios, propiedadque distinguelas figuras de interferencia de unay dosrendijas.Pa¡aestagtáfrcahemos escogidoa - 4L

39-4

DIFRAccToNY REsoLUcroNDE

INSTRUMENTOS OPTICOS . Ya hemosvisto que la capacidadque tiene una tejilla'pata resolverlíneasmuy ptóximasestálimitadapor la anchurade los máximosprincipales.Igualmente,el hechode queren unh aberturaúnica hay,algo de dispersiónde luz debidaa la difracción,limita, de modo lntr{nsecorla capacidad.que tienenlos instrumentos para ópticos tesolverlos objetos.La resoluciónde los instrumentos ópticos,como telescopios, binocularesy microscopios, tambiénestálimitadapotla aberraciónde suslentes(véasecapltulo37). Mediantetécnicascuidadosas, se puedereduci¡la al mfnimo,y no hay lfmite teóricoparamejoraren esesentido.El límite aber¡ación sedebea la difracción,qire establece la aberturadel instrumenlo,El anchode un por el tamañode la abe¡turay por la máximocentralde difracciónestádeterminado longitudde ondade la luz; y no por el diseñodel lente.' '

I ..5

0 (rrtd) FIGURA39-12Rclación dc intonsl
Ya que la mayor parte de los instrurnentosópticos se basan en lenteso espejos circulares,nos concentraremosen las aberturascirct¡lares.El tamaño de la abertura de un sistemade lentesdeterminala figura de difracción,lo cual dedujo por primera vez Sir GeorgeAiry,,enla décadade 1830.La figura 39- l3 esrna figura de difracción de la luz de una fuente puntual lejana, que pasa por una abertura circular. La zona . central clara, que tieneun 85% de la intensidadluminosa, se llama disco de Airy.'L,os anillos que la rodean son el mlnjmo y los máximos secundariosde la figura de difracción.La orill¡r dcl disco de Airy, o más exactamente,la ubicaciórrdel primer minimo, se presenLa a un ringulo,respectoal eje central, uurin: ^

I'IGURA 39-13 l:tgrrrlrlc rllfrucclórr tlo l¡r luz dcbidaa t¡n¡ fi¡cntclcjana,dcspuósdo habcrpasadopor una RbcrlurR circular.Un 85%do la intcnsidad so lt¡minosa conccntracn cl máximoicntral, quoso llamadiscodc Airy. Posiciónrproximldr del primer nrinimo de le flgure de difr¡cción de uns nbc¡'turl

Criterio de Rayleigh

1.224 l-

(3 9 -r 5 )

Esteresultado siendoD el diámetrode la abertura. sepuedecompararconla ecunción (39-ll), quces¡xcificn cl ringulodc'lprirnernritritnopnm\rlrurcho>L, quesen 9:0 cuandoBespequerlo, Recuérdese colnoQ,;,,- .1,/a. El factor1.22sedebe la abertu¡aescircular;enefecto,a - Dll,22,El factorexacto a quevariael anchocr¡ando r.22.,en no nosimpo*,rr*t;"-:;mitrrto lara obtenelun ,reat_idad fi:,un*t*udo

g,* =

(39-16)

i.

Vealnoscórno la presenciacleuna figura de difracciónlinlita nuestracapacidai de formar imágenes.Deseatnosobsen'a¡dos objetosmuy próximos, por ejemplo, una estrelladoble;o bien, podríarnosnecesitarver detallesen una radiograflatomada de una tuberíaen una plantade fueze. dondese sospecheuna fracturadel metal,La presenciadel discode Airy quieredecir que aun una estrellamuy distanteno produce un punto imagen,sino una inrageren forma de ciisco,con una dispersiónangularque obedecea la ecuación(39-I ó). La imagende dos estrellas,en un telescopio,que estén tan cercanasque susdiscosde Airy se traslapen,no se puedereconocercon facilidad como imagen debida a dos estrellas.En la fi,su¡a 39-I4a hay dos objetos con Ia sepamciónangular, 8, lo-suÍcientemeniegrandecomo para poderlosresolvercoo facilidad. En la tigura 39-1.ib, apenesse puedenresolver.Cuando se aceróanaún, más, cómo en la fi_qura39-i-ic, se tiaslapanlos máximos centraiesde difracción, demasiadopara podet resolverlos.Seha establecidola costumbrede describirel caso limite, el que se ve en la tigura 39- f -ib, como criterio dc Ra¡,\¿igfi: Dos fuentespuntualesse podún resolverapenas,si el máximode Ia inragende difraccióode la prinreraestásobreel primer nrini¡node ta imagende difracción de Ia segunda. El criterio de Ray'leigirquedasatisfechocuando la separaciónangulat de los objetos es justamente0**, definida por la ecuación(39- 16).2Insistimosen que el lfmite de la resoluciónde imágnes,debido a la naturalezaondulatoriade la luz, es fundamental, l,a descripciónanterio¡es de la separacióna4gularde la imagerrfonnadaporun sistemaóptico.Los métodosdel capltulo37 nos permitendemostrarque eseángulo también es la separaciónangular de los objetos. Los ángulos son iguales porque los rayos principales que pásan por el centro de una lente no se'desv'fán.Por ejemplo, de dos cuando empleamosun.niicrosóopio;es útil conócer1a separación'espacial objetosque apenaspuedanresolverse.Si lds objetosse colocanen ei foco de la lente (figura 39-15),la sefaraciónminima, S,,,;,,; de una'lentécon diámetroD es

is

S^r: ,f0,,¡=? ..u

(3 e- 1 7 )

2 Hablandocstrictamentc,cl critcrio dc Itaylcigh conticnccl factor 1.22 t¡ro cli¡niruunoec¡l la ccr¡¡ción (39- 15).Como las lécnjcasmodcmas dc cómputo nos pcrmiten resolvcrdos fi.¡entesaun cuandolos dos máxin¡,os tlc sus inügcncs astti¡rnrás ccrc¡nos <¡rc cl prirncr lnítrlrno rlc utur tlo t:llns, lt precislón quo lrnpllcn cl factor 1,22 üs irrclb.vantcpara c.l¡r¡Ce.rreal clc rcsoltlción. Por t:llo fuc quc cli¡ninamos csc factor.

1144

o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O

o o o o o o o o o o o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

a

o o o o o o o o o o

a

0'

I¡IGURA 39-14 Lrz grrcprovicnc dc dosfucntcspasapor una abortu¡a.(a) l,c objctc so rcsuclvcr¡con facilidad. @) Aponassopucdcnrcsolvcrlos objctos.L8 scp¡r¡ción angul¡r cs 0,o,.(c) L,oeobjctocno sc rcsuclvsn l¡s líncasgriscsdo cad¡ osqr¡omstEprcsontan l¡s sum¡sdc las docintc¡sid¡dcs, Ap€nas si sc ¡tsuolvcn S ¡Y S ,

flCURA 39-15 Separaciónminima, 56,, quc pucdc rcsolvcru¡r¡ lcntc.Depcndodo0n¿,,y dola disbnciafocai dol lonto,

1145

r 146 Capítulo 39 Dlfracción

o o o

Este resultadose puedeaplicar a la separación¡nínilna de objctos que puedaver el ojo humano. EJ EMP L O 3 9 - 4 nsti rncl a separaci ón tníni l nacl edosobj etgstal esque el ojo humano apenaslos pueda percibir como separados(lo que se llama separación m{níntade.objctosvisibles),si.losobjetosestán(a) a la distanciadel punto cercano,de 25 ctn, y (b) a utra distanciade 5 rn. Supongaque el diámetrode la pupila es 2.5 mm. la medianaentre los límites de las longitr¡desde SOLUCION:(a) Errrplearemos onda visibles, o sea, unos 550 nln, en la ecuación (39-17), para estitnar la separaciónmínima de objetosvisibles.Paraver un objeto a determinada<listancia, los músculosdel ojo ajustania distanciafocal a esevalor. Asf; a 25 cm, o sea,el punto cercano,tenelnosque ,g.' 5 ¡rr1550 , l (j ' ¡r) - - 0.055rllln. ;¡r '.itr)L_. Es tnás o rnenos el diárnetrode r:n ililo Deqrlerio,o deu¡r cabello humano. es i a separaci ónentrel as cél ul asde .l areti na.En T a mb i é n ,a p ro xi madameni e. o tra sp a l a b ra s ,l ascél ul asc;uereci benl a l uz ¡' l nandatrsu mensaj enl cercbrono e s tá ntn á s c e rcanasque 1a sepr:aci cnrni ni tnaque se podrÍa resol ver.E s un e j e m p l oa d mi ra bl ede i a econo¡níad¡ l cs si stemasbi ol ógi cos. (b ) A 5 m,l n di stanci ai e se¡ar¡ci ór:míni ma es i ). ,, J,n;,': i)

-

I n¡ r r r

te;r.mosincapacidadintr[nseca(debida r::.l i r ;os mi l írnetrosen una regl a. Resolución de los tclescopios Los efectosde difracciónpuedenli¡:i:a: ia eÍ:acia de los telescopios.Parala región del espectroelectromagnéticoco;es¡ordie¡:e a la luz visible, uno de los mayores iJ¡le, ce liú pulgadasde diámetro,en Monte telescopiosen el mundo es el telesccp:-Ce Palomar,en el estadonorteamr'ricano Cali:c::ri¡. Su lílnite de difracciónimplica ie uncs 0.03s cjea¡co.Su ¡esoluciótrreal,esunas una resoluciónangularaproxitnaCa lcs ie eiec::s ie ia iu¡bulr.nciaatmosféricay dela 300 veces la anterior,a causa act.:aj marca :e:eso;uc;ón angul ar para un tel escopio a b e rra c i ó ño rd i n a ti a.La s i e es 0.36 ::c--. ci . pJsce el Tel escopi ode N ueva te rre s tre ,e n l u z ' v i si bl e, ccnic el de .A.:ecibo, PuertoRico, trábajan Tecnologfaen Chile. Los radiotelesccp;cs en longitudesde.ondaaproximadade decei:asCecentímetros,Pafauna longitud de ondade 50 cm, la resoluciónangularCeeseapar;to,que tieneun diúnetro de 300 m, es unos 7 minutos de arco. 3 9 - 5 E l espej op:i r,rari oci elconj untoópti co del Tel escopio E J E M PL o EspacialHubble, que,giraa600 km sobrela Tierra, tieneun dirir4etrode2.4m. (a) Calculela separaciónangularmír¡imaque podría¡esolverparalpz visible de unos 550 nm. 0r) Supongaque el telescopiove hacia la Tierra. ¿Cuál es la sepamciónde los objetosmás próximos entre sÍ que puederesolver?No tenga en cuentalos efectosatmosféricos. SOLUCION: (a) Este problema es una apiicación directa del'ringulo de resolución, ecuación(39-16): n '0^,,, =

)"

(550 x 10-e m;

i:

t^';-i

: 1.3x l0- 7 rad: 0.06s dearco.

I

o

I

o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o I

o o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

Estaresolución es,mejorquela máximaobteniblesobrela Tiena,debidoa los efectosdela turbulencia atmosférica. queconesponde al ringulocalculado en la O) h distanciade sepamción patte(a),deunadistanciaI - 600lcrn,es ll

d,útr?¿e-ú, - (600 lffn) (2.3 x 10-7rad) - 0.14 m - 14 cm. '' l,a separaciónde 14 cm es muchomenor que la tesoluciónteal. l¡ turbulenciaatmosféricaestablece el l{rniteverdadetode esesatélite.Los satélitesde observacióntenestre,comoel l,andsaty el Spot,tienenposibilidadesde resolupatecentenerresoluciones ción de algunosmettos,y los satélitesespfasemetos, de menosde I m. ,l

Un aparatoópticono necesitatene¡unasolaabertura.Los espejosdemuchosde los mayotestelescopiosreflectoresestdnformadospor va¡iassecciones,como un mosaico,en partepotqueesdiflcil moldeary manejarunasolapiezade vidrio.Esos instrumentos tambiénreducenlos efectosde dif¡acción,Polqueel ringulomfnimo quese puederesolverlo determinala interferenciade las piezasmás distantesdel entte Si esaseparación aparato. máximaesD, entoncesel ángulomfnimoseparable losobjetosesUD. NótesequeD serefie¡ea separacióntransversal;la distanciaentre oculary objetivo no intervieneen los efectosde difracción.Una de las sugerencias mrisintriganesparamejoratla resoluciónde esemodoesla ide¿de instalaren la Luna demodo unconjuntode telescopiosópticospequeños,conecladoselectrónicamente, quetodos obsewenel mismo objeto y formen un instrumentoóptico grande.Este conjuntose repartitla en una región de 10 km de diámetro,y tendrfauna resolución 100,000vecesmayor que el mejor üelescopiotemest¡e.Si no fuera por la atmósfera de la Tiema,con esieinstrumentose podrla leer un encabezadode periódicoen la Tiena, ¡desdela Lunal

.39-5 EFEcrb DELAIycHo DE RENDUAsoBRE pE RqlrLIiA rAs FTGURAS En nuestradescripciónde las figums de dif¡acción de rendija doble y múltiple, qüecadarendijaesunafuentede luz queemiteunaondaesférica.I.a consideramos dispersiónangularde la figura de difraccióndependedel parámetrod|2.,siendodla separaciónde lasrendijai. Hemosvisto ahoraquelasrendijasúnicasde anchofinito tienensu propiafigura de difraqción.La dispersiónangularde esafiguta dependede a/1,,siendoa el ¿irichode la ranu¡a.¿Quéófectotieneun anchoftrrito de ranurasobte la figura de una tejilla múltiple? [,a respuestaesque,paradifracciónde Fraunhofer, la distribución generalde intensidadeses el productode las dos distribucionesde a la rendijadobleo múltiple,semultiplica intensidad.l: figuta /-¡,, quecorresPonde porla figura I,¡¡" queconespondea la rendijaúnica.I-a intensidadconrendijamúltiple porla ecuación(39-?),mientrasque la cottespondientea una sola; estádeüerminada j rendijaes la de la ecuación(39:12),Asf, su productoes

''

[sen( Nf) - 1' ?lt:""\' =/''¡'L-ñ7-l \;i para ra"u",,,"""ro;i";fl:" " j -,

^ lt:-

r1

;

'-,

nd sen?

v

na senl

o = --T-.

( 3e-l8)

(3e-1e)

máximaen En la ecuación(39-18)hemoscombinadolos factoresde intensidad unai¡':ensidadmárima única,In¡r. , , ,

rt47 39-l Efccto dcl ¡¡cho dc ¡crdlts ¡obrc |re n8ur.r d. rclllb

t

>

El hechode que las distribucionesde intensidadse multiplique quieredecit que la dist¡ibuciónmás ancha,que, por lo generalse debe a la tendija rinica, frrnciona como envelvente de la distribución más angosta.Por ejemplo, supongamosqrred = 3a parauna doblerendija(N= 2).En estecaso,ladistribuciónde.larendijaindividual es mucho más atrrpliaque la de la de rendijanrriltiple.Al nrisrnotiernpo,seaa - 41,, para que se pueda distinguir con facilidad la figura dg rendija única. La figura 39- l6 muestra la dishibución de rendija única, de rendija doble, y la figura cómbinada. Nótese que determinadosmáximos de la figura de doble rendija estánausentesen la figura combinada porque en ellos cae el múnimo de una figura de difracción de una rendija. Esos máximos que faltan se llarnan órdenesfaltanf¿s. Los lugares de los ótdenes faltantes son independientesde 1, como se ve¡á en el ejemplo 39-6. En Ia figura 39-17 vemosuna medició¡ide la figura que hemosdcscrito,pero coq d - l0a,

l¡

QI

FI

tl rh

Producto dc (a) y (b)

6

o

,;

t

I

j)

EJpMPLO 3 9 - 6,Calcuie.elordenmfnimofaltaRte enunafigutade interde las dos rcndijasos ttes vecessu ferenciade doble.rendija,si la sepa¡aeión arrchoindividual,d - 3a.

l=Jx[/,\ , t

I o*"n". faltantcs

Angulo 0 dc olxcrvnción (ra
F'IGUI{A 39-16 Distribr¡cioncs do inlcnsidadcon¡o fi¡r¡cióndcl ángtlo 0 tlc obsc*""t 'r.t,not" rcndijas mriütiplcs;dcbcn incluir los cfcctosdo la difraccirir ¡nr rcmlija r'uüca.Para ¿ - 41, (a) la figura dc intcrsidad con rrndija r'rnic{, (b) pura rcndija doblo (d - 12 L),y. (c) su proclucto, quc es la distribución observada..Sc prcscntan órdcnos faltantcs, on esto caso, d3a, y faltan el 3cr, 6c, 9!, . . . do ln figrra rcncral.

Los máximosparaIa doblérendijaestánén. "' SOLUCION: I

' t'

zrl sen0'

D :- - - :- - * :l l 7l , A? .'

t

.- '

El ordenmlnimo faltantese presentarádo¡rdecoincidauil rhinirno,en la figura de difracción de rendijá única, con un'máxitnó en ia ile doble rendija. Los '' mlnimos sé encuentranen 7. -

nrl se¡r(/ --:-I--Jl--.

:

/..

¡17Í,

donderlr esun entero.Resolvemoslas dos ecuacionesparaseh 9y co'mparamos, sen(/ Asl, tendremosun máximo faltante cuando dn unl

La lbiigitudde'ondase ha anulado,y iro'idtervieneen la locáliluciónde los habráun orden órdenesfaltántds.Si dy a no formanunhftacciónracional;nunca falthntel'Sihbthbargo,en nuestf.oóaso,dfa = 3; de modo que el prirnerorden faltantdsetienepararn ; l, queesel mínimode primerordenenla rendijaúnica, y n - 3,'miximo de tercer orden paia la doble iendíja.'Esteresultadoque queseven en la ftgura39-16. calci¡lamoé cóñcuerdacónlós r:esultados FIGL?A 39-17 Figrra dc difracción para ::t:jas mütjplcs cr¡nndod * 10¿. Nótcrsc .:s Snlcrrcsquc faltart.

Dr RAYOS X 39-6 DrÉnAccroN Hemoeresaltadoel empleode tejillasde difraccióncomomedioparala explicaciónde ya la luz difractada.I-a luz es üansólo una forma de radiaciónelectromagnética, de myos Veremos que difracción X. los sólidos ctistalinos estudiatemos la continuación formanunaespecienaturalde rejillas,y quesepuedeemplearla difracciónde rayosX de los sólidos.las rejillasde difraccióntrabajanporgue paraexplorarJaspropiedades comodispersores. Ulrainüerferencia constn:ctiva o fr¡ncionan aberturas los obstáculos las de todnslas aberturas porquelas u obstáculos, potenüe se produceen la luz dispersada orden l,os átonios están en regulnr. fuentesde óndassecundarias {e un sólido cristalino bien como rejilla, porqueen realidadforrnan.unconjunto babajarradmirablemente auncuandoeseconjuntoestérepartidoentresdimensiones,y no regulardeobstiaculos, en dos.Cadaátomoen el conjuntopuedeservircomodispersorsi la luz llegaa é1,

I i+8

o a o t

o o o o o o o o o o o o o o o a o a o o o o o o o o o o o o I

o a o o O

I t O O ¡

o o o o o o o O

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o. o o o o o a o a o a

(a)

nGLrnA 39-1t (r) 'Flcstr r lr Rontgcncn la phyr' (hrcla 1900),certcrnrnlnsplndaporcl descubrlmlcnto dclc rayc X por Wilhclm Ronlgon,cn 1895.(b) Prtnrra radlognfi¡ dc r¡¡¡scr hr¡nuno,por Rontgcn.Es la nuno do su csposa.l,os rayosX ücncn la conocidapropicdad& atravcsa¡la m¡tcria.

En 1895,\ililhelm Róntgendescub¡ióque se producfaradiacióncuandobombardeabametales con rayos catódicos de alta ene¡gfa.[.os rayos catódicosson electrones. Esa radiaciónera distintade las que se conocfan,y la llamó rayosX (figura39-18a).Pocodespués, produjola primeraradiogafla,deunamanohuman¡ (véasefiguta 39Tl8b),Hoy sabemosque los rayos X no son más que radiación electromaglética, cuyalongitudde ondaestáent¡elos Ifmitesaproximados de 0.01 nm a l0 nm. Seproducecuandolos electrones de los álomoscambiande estadode excitación, o cuandoseacelerano desaceleran. Los rayosX puedenpenetrarmateria que contengaelementosligeros, como el carbono;por ejemplo,los tejidos del otganismo,pero puedenpenetrarmenossi la materiacontieneelementosp€sados, comoel plomo,queseusaparaprotegerse de ellos,o comoel calcio,en los huesos. A ptincipiosde la décadade l90Osesospechóquelos rayosX podrfanseruna FIGURA 39-19 Los cristalcs ticn€n formade radiaciónelectromagnética. AunqueRóntgenllegó a la conclusiónde que cstnrctura tridimcrsional, formando éus . no se podfanreflejarni refractar,un experimentode difracciónque s€describióen ritomos rcdos rcgularcs. Esto dlagrama que podrfantenerlongitudesde ondaaproximadade 0. I ml¡cstra unñ dc las nuis scncillas, la dc la s¡I 1899sugeda,vagamente, quo tic¡¡c cstructu¡a óúbica. nm,muchomenorquelasdg la luz visible.Al mismotiempo,algunosinvestigadores comri4, NaCl, sospecharonqug los i¿lidos podrian estar formados po¡ átomos, dispuestosen conjuntosregulares.En 1912,Max von Laue tuvo la idea de dispetsarlos rayosX la mismalongitudde ondaque ensólidos.Si los rayosX tuvieranaproximadamente la distanciaentre los átomos,de aproximadamente- 0. I nm, entonceslos efectos de la difracción serlan importantes.A von Laue le interesabacontar con ur)a herramientaparamedir con exactitudlas longitudesde onda de los rayos X, tanto como encontrai'unaher¡amientapata la exploraciónde cristales.Convencióa dos de sus colegas,Friedrich y Knipping, para que llevaran a caboun experimento,y pronto se pudo observarla difracción de los rayos X. I^a idea de von Laue fue un paso fundamentalenrla medición de los espectrosde rayos X, y originó una ¡evoluciónen nuestracapacidadde estudiode la naturalezade los sólidosy las moléculasque los forman,El conoclmientopreclsoque la sal de mesa,NaCl, tiene de los la estructuratridimensionalque se ve en la figura 39-19,es consecuencia 3. 4nm di difracciónde rayosX, y virtuatmentetodo nuestroconocimiento experimentos Fueel empleode difracde la estn¡cturab¡istalinaprovienede'esosexperimentos.

I

I

1.

'.1

FIGURA 39-20 (a) L,c aruilisisdc milcs dc figurasdc difracción producidaspor crishlcs dc la r¡olccula gigantcdc ricido dcso¡i¡ribonucleico(AQN), indicaronquo @)la molcculaticno la forma,dounadoblc hélicc.

(bt

-

2.C ^.:'-

I 1* t

o o o o o o o o o

11 50 Capinrlo

39

Itcndijhs vorticalcs

Dlfncclón

i,

c 9 ,,"

l -/ o' '

I

( r t)

"

I;onn¡ció¡rclcul conjrurto dc nla¡rcturshori zontalcs

O

Rcndijas horizontalc.s

o o o o

0

c 0 0

O

/o

(b )

FIGU¡IA 39-21 Annlogia para i¡xlicar córrc sc forman las manclns :,r¿:rdo los cristalcs difr¡ctan rayos X. (a) Un haz m,onocromático rncidccn rma rcjilla con rcndijasvcrticalcs,muy cxagorad¡saqrrípam' riuyor claridad; cl rayo pasnpor muclursrcndijns. Pr¿xluccluu figura ,:jc¡.iifracciónformnda por miximos rcpartidos cn dngulo horizontal. ft) Igrralmcntc,los m¡iximc¡sdc difrncción,rcpartidosvcrticalmcntc, sc produccn cuando cl mismo haz pasd ¡ror r¡na scric dc rcndijas horiz-ontalcs,dc nucvo muy oxagcradas. (c) Cruurdo ol haz'pasa succsivalncntcpor las dos rcjillas, sc rcparlc rula scrio dc m:iximqs c¡r . :odala panlalla .

Ionnación cicru¡ conjrnto dc manclns vcrticalcs

@

O6 0 06 ^09 O9 Y so 06

loo o Y@ c\ Y@

c

Mnnclvrs disllcrsas cn cl planoyz

ciótr clerayos X en una fonna dc A,DN cristalizado lo que condujo al descubrirniento de la estructu¡aen doble hélice que tiene esamolécula (figura 39-20). Como los cent¡os de dispersiótr, los dtornos de un sólido, son puntuales y tridimensionales,más que semejantesa rendijas, 1afigura de difracción de un sólido cristalino está formada.por un.conjunto regular de manchas;y no de llneas. Si nos imaginamos el ccinjuntode puntos corno análogo a rejillas cruzadasde difracción, o sea,rejillaseuperpuestascon las ranurasde la ptimeta en el eje z, y las de la segunda en el eje y,.podremos iomprender por qué se ven manchas. Si mandamos un rayo bien colimado a lo largó del ejex hacia la ptimera rej illa, el resultadoseráun conjunto de manohasrepartidasa lo'largo del'eje'y (figura 39-21.a).Esas manchasllegan a la segundarejilla, y cadauna de ellas producesu propio conjunto de manchasali¡leadas en pamlelo'al eje e (figura 39-2lb), El resultado conrbinado en una pantalia lejana. perpendiculara.lejex, es un cónjunto de manchas(figura 39-2lc).El experimentoCe von Laueen un sólido cristalino, que se ve enforma esquemática'en'lafigura 39-222. forma un conjunto de manchascomo las que se ven en la figura 39-22b. W. L. Bragg aclaróde inmediatola idcade ve¡ I ¿ne,al proponer,en 1912,l:l) Jr-,Jrr,^ sencilloy sistemáticode mostrarcólno la estructuracristalinadel sólidodeterminaba--

o o o o o o o o o o o o o o o o I

o a o o O

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o O o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o. o o o o o o o. o o o

1151 RaycXdifractados ¡

(a)

3F6

Dtf¡rcOóq&frtof

(b)

flGURA 39-22 (n) Es<¡rnma dcl cx¡rcrlrncnto dc von l¡rc, dc difr¡cclón do nyc X. (b) Las rnanchas dc von l¡r¡c cn r¡na dc las primcras figrnas dc difmcciq¡ dc rayoe X, L¡ m¡¡rcha graxlc cs radiación ¡o dlfncuda.

F'IG[ RA 39-23 (r) Sc pucdon dcfinir mrrhc planc dc Bragg, paralclc cntrc si, cn ur¡ crist¡l uidi¡rssiorul, @) Modclo dc m cortc trürsvcfs¡l dc cstnrh¡¡a crist¡lina.

posicionesde las manchas.Bragg hizo notar queren todo cristal, se puedentraza¡ muchosconjuntosde planospafalelos(lamadosplanosde Bragg),quepasenpor los lugaresdondeestánlos átomos,y que los,planosde un conjuntotienendistancias cafacteflsticas de separaciónentreellos (espaciamientos de Bragg).I-a figura 39-23a muestfadóndecoftan algunosde esosplanos,un corte transversalbidimensionalde una¡ed cristalinacúbica,semejantea la formadapor el NaCl. Un plano de esosse muestraen un corte fidimensional de un modelo de cristal en la figura 39-23b,y todoslos planos pasanpor el cristal. [a ventajade este método es que podemos imaginamosque cadafamilia de planosparaleloses una rejilla de difracción tipo ranuras,para lo¡ rayos X. I-a figura 39-24 muestrados rayos dispersadosde dos planosparalelosen el interior de un crisüal.Esos rayos se dispersande un plano determinadopara el cual el ringulo de rcflexión es igual a[ ringulo de incidencia, porqueen eseringulo, las ondassecundadasque emiüecadaátomo dentro del plano sesr¡manconstructivamenüe. ñrora, veamosla inüerfe¡enciaent¡elas ondasdispersas en planos distiitgs,que se presentaporquelos rayosX penetranal c¡istal. Si la separaciónentrelos planoseS4 entonces,de acuerdocon la figura 39-24,1adiferencia delongitudesde trayectoria para las dos llneases2d sen 0. Nóteseque el ringulo"0 se mide desdela superficieplana,y no respectoa la normal al plano.I¡ interferencia constructiva para la dispersión odginada en los dos planos adyacenüesse presenta cuandola diferenciade longitudesde hayectoriaesun múltiplo enterode la longitud de onda.Estatelación se conocecomo la ley de B*gg, o la condición de Brngg: engulo. p"o loocueleehry inlerfercnci¡ c¡ h (3e-20) dispcrsiónporcon¡t¡r¡ctiv¡ Ley deBraggz?.dsen0 - nA,,siendon 1,2,3,. . . . .'''.cor¡juntordc ítom c¡ .l

un crl¡t¡l

1152 Crpitulo 39' Dlfriccldrn,

r/scn0

rwlrtuÁ do ln tlifraccióndc rqyos,Xcntrcltanc IüGURA 39-24 Esr¡rctrrn 8e,omótdco dc Rragghdyoccntcs.

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*i-'J4úAbblrúa'

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't\tn dofrrYos X

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Fucnto d c a lto vgltajc ¡-IGURA 39-25 Es<¡rcmadc trt cs¡rcctrórnotrodc rayos X, cmplcado para cstudiar las propicdadcs do los cristalcs. Los elcct¡ones bonüardcan la placa dcl ánodo, producicndo rayos X quc sc colimnn antcs do scr difractados por cl cristal. Un dctcctor móvil rcgistra la intcnsidad dc los rayos como ñmción dc 0, para dctormina¡ dónde sc ticno intcrfc¡cncia construcüva, ,

Como'losplanostienendistanciasiguales,las ondasque se dispercanen los átomos del conjunto completo de planos en la dirección'especificada Pof la condición de una tejilla de diy, de como en el caso constructivamente ¡odas Brugg, se suman algqsto. grande es fracclón, el rnáximo Y La,descripción de aniba no es adecuadapara explicar las íntensidadesde las manchas,eunquepodemosgeneralizarque,si determinadafamifia de planoscontiene más átomos que otra, los máximosque producen esos planos son más inténsos.Es muy importante la información de la inlensidad, para determinar la estructura cristalina. Se tequieren métodos matemáticosmás avanzadospata tener un modelo completo del'a'figura de difracción, Qü€es, elt general,bastantecomplicada, debido a los muchosplanosy órdenesde dispersiórrposibles. ,Además de aclarar la estructurade la.dispersiónde von Laue, W. L. Bragg colabofó con.sulpad¡e,W. H..Bragg, en un conjunto modificado de experimentos (figura 39-25). El espectrometro de rayos X se basa en sl¡s experifnentos. r

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.,EJ E M P L o 3 9 =:7 I-a fi gura39-25mi:est¡aun'tuboderayósX, queproduce ,;r¡n¡i.d:istribución'continua.de longitudesde onda.Si esasondasqedispersanen .'.un.eonjuntodeterminadoy'e planosparaleloslg tul comúq (NaCl),.co¡run espacianientod = 0.282nm, ¿quélongitudesde ondaaparécetrinen dl Prlmer)' segundoordena 25o?

o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o

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o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o o o a o o o

s, LUCION: Para aprovecharla ventaja de la ley de Bragg, se debe conocer ya sc r la longitud de onda o el espnciamiento de los planosatómicos.E¡ estecaso, sc conoce el espaciamiento,y podemosemplear la ley de Bragg para identificar lo rgitudes de onda desconocidas,o para seleccionardeterminadaslongitudes pírra su estudio posterior. Emplearemos la ecuación (39-20) para calcular las lorrgitudesde onda: IIaz¿crcfcrcncia

llol4nfr

llaz dc la frs¡tc

2d *n0

2(0.28 2 nm)(sen25") 0.238nm n nn I-. s longitudesde ondaa 25oson0.238nm y 0.119nm parala primera(n " l) y st' iurida(n " 2) órdenes,respectivamente. Nótesequesi 0 - 25,|a desviación a la direccióndel rayooriginales20'50o. r, neraltespecto ^

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*39-7 HoLocRAFIA ent¡ela luz emitida En l9 t7, DennisGaborpropusoquelos efectosde interferencia sepuedenregistratenpellcula, porrrrrobjeto(unafuente)y un segundohazcoherente fofl¡rl'rdouna rejilla de difraccionmuy especial.Cuandola luz pasapo¡ esatejilla, del objeto,imagenquese tridimensional totalmente se
|*ll-.1

nCII¡lA 39.26 Lr¿ col¡crcntcdc u¡u fitcntclcjnnn,y dc turrayodorcfcrcnci¡, intcrficrcncn ln pclícula,producicrdour¡ hologrnrnn.

(3e-21)

constructiva se En la rarrdade pellculaqueseve en la figuta 39-26,la interfetencia y seregistrarácomozonas prr ;ertaráenunaseriede puntosigualmenteespaciados, queenla pelfculaselieneunnegativo.Esospuntos ne:fa enla pelfcula.Recuérdese que so p; rtesde llneascontinuas entmno salende la página.La figuracompletade consisteenun conjuntodelfneascurvas int 'rf,.renciaenla pelfcula,por consiguiente, interferenciaconstn:ctiva.La pelfcula donde hay pt€sehtan todoslos lugares ([ul rr no seatotalmentedestn¡ctiva; gris, donde la interferencia de pu,.dt'registrármatiies Ahora veamosel asuntode cómo se contempta,o se reconstruyela imagen.' al mlsmoángulo;en un hazigualal hazdefeferencia, Su)o rgamosqueproyectamos )arte oscuras zonas de la pellculason pellcula (figura Las 39-27). traserade la la que se indica, Ia de la luz original de ob tri ulos que dispersanla luz. La dirección es máxima, comoindicael para difractada la cualla luz la itt úe,esunadirección punto veráluz como en el colocado E es{ur rnade la figura 39-27.Asl, un observador que podemos es la imagende la imaginamos ,r. punto distante,I, viniera de un si producela imagensea idéntico elhazque serequireque fur'nt,:otiginal.Nóüesequeno pelfcula. en toda Si y sea cohe¡ente la al hazoriginal de referencia,siempre cuando de es desplazarel ringulo la imagen el ringulodel nuevorayoesdistinto,el únicoefecto quesc contempla.

!'IGURA 39-27Orardoun:z1a,ic refc¡rncia pas¿por trl rrg^a:lv'. b.'le!:z i^: la irrugca&i ci.r:: .-c5:Lsc rccorrslruyc

rr54 Capítulo 39 Dlfracclón

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IIIGIJRA 39-28 lrrs lrologrnmns prcxhtccrttuut imngcn triditrrctrsionalqttc pcrmitc vcr al objcto original, dcsrlcdisti¡rtaspoaicioncs.En cada lttgnr sc obscrva¡á una imngcn distinta.

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' .. Supongamósahora que la fuente puntual estámas cercanaa la pellóula cuandb se hace la fotografía. En estecaso,los lugaresde itrterferefiiia óonstructivairo esta¡¿in espaciadospor igual en la pantalla (figura 39.28). En lazona.4 ¡, sereproduceel caso que describimos arriba, pero en la región .42, los plrntos donde hay interferencia constructivaentrelos rayosson disti¡ltos.Cuandola películaexpuestaseilumina con un haz de referencia,un observádofen Er verá una onda plana con la dirección da E1 a ,{ ,; estoeS,bl observadorestaráviehdohaciaatl'ásIa fuenteen determinadoángulo. Sin embargó, cudndo el observad'orbeencuentreen 82,'el i¡áfimo de la figura de difracción indicará una imagen de nuevo de la fuente, en'direcóión de E2 a A2. El obseúador esmráviendp a Iafucnte desdc otro ángulo. Hay una imagen hidimensional üerdadera,que se iuede ver depdedistintos ángulos,riruy diétinta a la imagen a plana,,bidimensional,hecha con una cárpara. :

Ct¡andoel óbjeto,es más,complicbdoqué una'füe;rtepy+liiál,.\a.luz I\egaa cualciuierpunto.drÍd9en fa pellculai desder4uchosputrtoseri el objeto-La figurade esmuchomáscomplicada queformaesaluz con el rayodé referencia' interféfencia esáimagen, e irregular;pero,sin embargo,esúnicaparael oÜjeto.Unavezregistrada que de un rayode refetencia, sirvegomorejillá dg difracciónparaluz quepiov'enga fornie urradisttibucióüúnicaque reproducela luz emítidapor el objetooriginal,y quela pelÍculaesunatejillade Aunquehemosconsiderado desdemuchosángulos, 'eh comotayas unasuperficie difra"ción,si sepuederegistrarla figuradeinterférencia éstapuedeformarunarejilla dereflexión,corriola del holograma entonóes .brill?rn1e, 'de ünatatjétade crédito. ¿CO*cise'fiáceparaque el rayo de reférenóiaseacoherentecotr la \uzde'la Ce fuenie?Si la'li¡zde un foco ordinariosedivide'endos,cbmoen el experimento comc Young,y unaparteiluminaal objetomientrasquela otrasedirigepata.servir

o o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a a o o t o o o o o o o o o a

o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o O

o o o ? o o o o o o o o o o

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115:. 59-i

Rcgistro dc intcrfcrcncia cn la pclícula

Bpojo

llolrgraf.'

FIGURA 39-29 Esqucma dc cómosc dividcla luz láscrparaformarhaccsdc ilumirucióndeobjctoy dc rcfcrcncia.El h¡z iluminadorsc rcflcjacn ol obJoto, yh interfcrtncia do la luz sc almaccn¡cn un holograrna.

feferencia,entoriceslos dosrayospodrl"n r"r Esto,enla práctica,no serla "ohe¡entes. satisfactorio,pofque las trayectoriasde los dos rayos estarfalimitada por la corta longitudde coherenciade los trenesde ondaenun foco, Un rayokiserdividido forma un punto de partidamrís práctico,por la longitud,virtualmenteilimitada,de la cohcrenciade csaluz (figura 39P9),.

Losusosde los hologramasv¿nmásall¡ide la bellezade suimagen.La holograflatieneel potencialde permitir un sistemaextremadamente compactode' . almacenamiento de información.Como la luz que procedede cualquierpunto de, digamos,una página impresa,alcanzatodo punto de un holograma,todala zonade una pellcula,mayorque variaslongitudesde ondade secciónpuedereproduciruna páginacompleta, ' aunquecon menosdetalle.Es más,sepuedenformar hologramas sucesivos de páginassucesivas con emulsionesfotográficasgn¡esas.Si se lleva a cabola de cadapáginaconun rayoderefetencia exposición orientadoen un ánguloun pocodistinto,entonces, iluminandoel hologramaresultantecon un rayo de luz eneseánguloparticular,sóloaparecela página desdeun puntoestratégico correspondiente, determi¡ado.Todaslas pinturasde un museosepodrfarr rcgistrarerrsecuencia,de estemodo,con gmn exactitud, pequeño. enrn espacioverdaderamente

Otrousoimportantede la holograffaimplicael fo¡mar doshologramasdel mismo objetoen la misma pellculaen distintostiempos.Si el objetoseha movido un poco entrelas tomas,entonceslas dos imágenes interferir¡inentresf como lo hacela luz queprovienede las dossuperficiesde una burbujadejabón. La fotograffade prinóipio del capltulomuestraun hologramade interfetenciade un violln en movimiento, bajo la influenciade una cuerdavibratoria.Estafiguta de interferencia,que nó se debeconfr¡ndircon la interferenciaqueforma el hologramamismo,revela detalles'del moviinientoque,de otro modo,nq serfan 'i visibles.Igualmente,lasvariaciones de densidaden el ur aire sehacenvisiblesen forma de inte¡ferenciaentredos im{geúessuce"lv* del aire,tomadasen el mismo holograma.De estemod-o,sepuedenestudiarlos mecanismospor medio de los cualesunabujla calienta el aire sobreella, o un aetoplanoproduceondasde choque.

o O o o o o o o o (3e-1) o o [' t, o $ ¡ *. o o 8r.' f o !r ,: o (3e-1) t 'ftr o o o o ll, o o (39- 8) o o o o o o o o o o (39-t2) o o o ( 3e- 13) o o o (3e-14) o o a o o -o o a

La difracciónesuna manlfestación¿" iilt"ri...n.iu ondas.Ejernplosde ella son "ntr. las figuras qué se producenen pantallascon rendijas múltiples a igual distancia (rejillasde difracción),y las figuras que fonna la luz que pasapor aberturasúnicaso que rodeaobstáculos. Si d es la distanciaentrelas rendijasde una rejiila de clifracción,y 0 es ei ánguio se observalrrnáxirnosprirrcide observacióndesdela direcciónde la luz irrciderrte, palcsen el caso si endont : 0, *

d sen 0: n)" ,

En estaecuación,¡l es el ordende los nráxi¡nosprincipales,Si la intensidadprotnedio que llega a la pantallaen cualquierrendija es 10,entoncesla intensidadde la luz que procedede ia rejilla en los lnáxitnos principalcs es M16, siendo ly' el número de rendijas.Adetnás,la anchurade los máxirnosptincipale'svaría dc acuerdocorr 1/N, de rnodoque los máximos de dif¡acciónse hacenmásagudosal aulnelrtarN. Estadepcndenciade paránetros de la rejilla se describeen la ecuaciónclc la distribución : de intensidades: r t

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ei cer,-rbioie ín-slilo Ce observaciólt, 0, como La dispersión angu]¡r re'-rrese:'.i:r función de canibio de ionsil'.1i ;c ::tca. '" ¿s

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rtjille de separarlíneasmuy El poderde ¡esolución,Ii, es la c:pacic:i i',lr-i.c':-.r'rJir.1 i u n ta s :

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suponequc la rendijaestácot:lrucstalo:'it: :::1:1:.uincroCerendijasmuy angostas. Los criteriospara interferenciadestruclivas¡n ,, Selr (/:

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y a es el anchode la rendija.La distribucióncleii::ersiirJ:s perauna rendijaúnica es ¡t-I-'r:úx

en Ia cual el áneulo a es

Los rnlnimos estánexpresadoscn témrittos de a lnediattte i

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La mayor partede la luz que procedeciela renciijaúnica esiáen e[ máximo central;

o o o o o o o o o o o o o o o o O o o o o o o o o o o o O o o o o o o o o o o o o o o. o o O

Ios¡naxmossecundarios sonmuchomenosintensos.Mientrasmásangostaseala rcndija,más anchaserála figura de difracción. El criterio de Rayleigh dice que dc fuentespuntualesapenasse resuelvensi el miximo de la imagende difracción de la.ptimerafuenteestáen el p,rimermfnimo de la imagendedifraccióndela segunda fuente.El ringulomlnimodeseparacióndedosfuentes muyc€rcanas, obtenidoconunaabertumcirculardedi¡imetrpD es,aproximadamente, 0^r, =

*.

1r57 fñgusl¡t

(3 9 -r6 )

pamunalentede diámehoD, es LseparaciónmInima,.gn¡,de dosobjetoscercanos,

S¡¡¡¡ - fO"r-=#

(3e-r7)

del aire,y no a los pr{cticote Elescopiostenest¡essed ebealaturbulencia ütesdela difracción. ,¡fh U" airttibucionesde intensidadde los espectrósde difracción,hay órdenes debido a los efectosdel traslapede las figuras.detendijas únicas y

múltiples. los rayos X se difractan en los centtos de los átomos de planos de Bragg quesonplanosqueformael anegloregulatde los átomos espaciados, cnuncristal.La técnica es importanteen muchos camPosde la flsica modema, como tr detenninaciónde la estructu¡ade los crietalesy de la composición atómica. La ley deBragg expresalos ángulos de observación,0, medidos desdeuna superftcieplana

muna red cristalina,paralos cualesseobtieneinterferenciaconstructivacuandola distanciaentrelos planosesd: n- 1,2,3,.... 2dsen0- nl',siendo

(3e-20)

La holografla representaun ptocesoespecialmedianteel cual se reproducetr Un hologramaes una rejilla de difracciónespecial, imágenest¡idimensionales. formadopor la interfereirciade dos rayoscoherentes,uno de referenciay el otro un rayoobjeto,reflejaSopor un objetotridimensional.Sepuedereconstruirla imagen tddimensionaldel'objeto proyectandoun haz de referenciasobreuna pelfcula holográficarevelada(negativo hologtáfico). PREGUNTAS l. ¿Sereducirfala difracción de ondasde aguaalrededorde los puntalesde un muellesi seredujeranlos diámetrosde los postes?¿Y si se aumentarasu di¡imetro?.

7. I-a dispersiónde la luz por difracciónenun ir¡stnünentoóptico es mayor cuandoel instrumentoemplealuz roja, que cuando emplealuz azul. ¿Porqué?

2. Existenplanestentativosde construirtelescopiosparaondas de diversaslongitudes,incluyendodc la luz visible, cn la Luna. ¿Quéventajastendrlanesasinstalaciones? 3. Describacómo se podda obtenerunamanchade Poissoncon unabola doboliche.¿Desearfa ustedquela fuentey la pantalla se encontraranpróximas,o lejanasde la bola?¿Porqué sf, o por qué no?

8. Un hologramacontieneinformaciónacercade todoun objeto, en sólo unapcqucñapartedc la pellcula.¿Espcraustedquela imagenformadaporuna pequeñapartcdel hologramaseatan nJtidacomo la.quef9rm3 todo el holograma? 9. ¿Oúles sonlasdiferenciasentrelas figurasde interferenciaque formar¡ en una pantallalejana,luz coherentcflue pasapor una rejilla de difraccióncon miles de rayasen determinadoespacia. miento,y unadoblerendijaconla mismaseparaciónderendijas?

4. ¿Esposibleobtenermejor resglucióncon un microscopiocon luz azul que con luz roja? ¿Porqué sf o por quéno?

10. Un foco emiteluz con especlro'caracterfstico de la radiación producirá de un cuerpo negro. figura esla luz cuandose ¿Qué polarizadas están campo eléctrico 5. Dos ondas linealmente,El observaa travésde una rejilla? de una estCalincadocon el ejc r, y el dc la otra con cl ejc y. En ausenciade materia que puedacambiarla polarización, 11. Ss encuentrausted de pie en el'mar, y una ola pas:¡a su alrededor.¿Esestoun ejemplode difracción? ¿puedeninterferi¡ esasondasentresf? 6. En una demostraciónde máximos de difracción en donde 12, ¿Cómo"saben" los rayos X en la difracción,que hay dcterminadoconjuntode planosde átomosparaloscualesseforma intervienenla reflexión de una luz lásery unareglaordinaria, unafigurade difracción? ¿necesitatenerla luz determinadoángulode visión?

lf. El iiechode quela luz sedesvíerocleando bordes,¿quieredecir qu9,conuru cámarasensible,puecleustedteerún perióclicoa la welta de la esquina?Se trata de una preguntaseria;.tratede queproducirla estimarlacantidad dedesviación el qbstáculo más podrlatenerla l¡r4. pequerio en Ia luz,y cuántainformación

pelfculasde 3 dimensiones, 14. En lasllamaclas quese comenzaron a usarmás en la décadade,1950,se alcanzaun efecto tri
PROBLEMAS 39-2

Reiiltas dc difracción

longitud, ¿qué ángulo separa las imágenes de primero y . r segundo'ordencuando'la lr¡z es de )" = 580 nm, e incidé l. (I) Una luz lásersedifractaconrrnarejillade 400 lfneas/cm. nonrralnlente? 1O.34cm en El máximocentraly el cuartoestán.separados Sobreuna rejilla cledifr¡cción, con 50@ lfneas/cm,incide 10. 0f) r.rna pantallaalejada1.44m. La pantallaes perpendicular al luz blanca. La luz difr¡ctadase observaen una pantallaa 3 m r3lo que fomla el máxi¡nocentral.¿Cuáles la longitudde cledist¡ncia.C:rlcúlelasposiclonesdc primery seguhclo orden ondade laluz? , para la luz azul (420 nrn), luz verde (550 nm) y luz roja (650 y'hay unapaniallaper2. (l) Una rejillatienel0O0lfrieas/crn, nm):'Flaga lrn esqlrc'rnadcl cfispositivo/ la figura en la pendicularal rayo que forma el máximocentralde la figura de difracción,a 3 n'rde la rejilla.Si por ellapasaluz dc dos c rc¡l ongi tr¡dcs deondade430nm a ó80 tienen 11. (l l ) La l r¡zvi si blabl Iongitudes cleonda,498nrny 510nrn,¿quóseparación ' nrn:Si la radiaciónCecuirponeg¡o,quecontienetodasesas en la pantallalos máximosclelercerordenpara las dos longitudes, incidesobreunarejillade5 clndeancho,corr2500 de onda?' Iongitudes lÍrnitesde ángulossetienenparaesasiongilineas/cnr, ¿que perono sabc 3. (l) Urrestudiante r¡nareddedi'fráccióh, encuentra tudesclc ond¡, er.rel nráxinrode primcr orden?¿Parael I-Iaccincidirlr¡zclbún láser,cuya la clisl¡ncia eutrelaslf¡reas. rni l i nl o ¡i e seel l i :C o orden? en üna ,.= 680 n¡n, cn la rejilla,y cxatninalcis'máximos 1) ,'TT I -nr t .¡..ra .r iñ\: elnite dos lfncasespectrales intetras, pantalla Si la distarrcia entielasdócirnas ^-. ,.1^) a'265cm dedistanci¡. -,-,,.,ca r:r',;r rojr, Ce ó50 nrn clc longitud dc onda,y una azul, dc 420 nráxinras a cnclaliclódcl m:ixihloccntralés 14.3cnr,¿cuálcs ::l:r.Le ir:¿i:.'3.:r a ilxi rlji)ll clc
iguales, ti. (il) Una rejilla se forma con cincorendijasangostas espaciadas uni-rmemcnle,fara luzde l= 52'0nn1,queinciie en las rendijas,,laposiciónangulariei perpendicularmente !-ICIJR/\39-30Problom¡13. piimer orden principal ¿s 25o con la normal. ¿Cuáles ia de lásrendijas? separación ¿Cuáles la'posiciónangulardel cuandose'cubienla prineráy la quinta 39-3 Difracción por rendija única primerordenprin'cipal rendijas?¿Cuálescuandosecubren.laseguhday la cuaila? 14. (I) Sobreuna rendijade anchoa = 0.50 mm, incide luz de l' = [email protected] nm. ¿A qué árrgulo,9, reslxcio a la normrl a la mascarirejilla, para ei 9. fI) El poder de resoluciónde;detemrinada lia donde está la rendija, se presentala segundafranja oscura? de primerorden,es 104.Si la rejillatiene2 cm de espectro rr)D

o o o o o o a o o o a a o o O o o o o o o o o o a o o o o o o a o o o o o o O o o o o o o

o o O o o o I o o a a o o o o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O O O

o o o

15.(I) Una rendijaúnica,de 2.8 x l0-5m de ancho,difractaluz de 495 nm de longitudde onda,queva haciaunapantalla.La distanciaentrelosmfnimosa cadatadodelmáximocentrales 1.8cm. ¿A quédistancia estáta pantalta? 16. (l) Una rendija única difractaluz de láser,de ó12 nm de longituddeonda,quepasaa unapantalla a 3.0m dedistancia. La distanciaentrelos máximosde primerorden,a los lados del máximocentral,es4.0mm. ¿Quéanchuratienela rejilla? t7. (ID A travésdeunarendijahorizontalde l0 ¡.rmdeanchopasa luz azul Q' - 47Onm). ¿Cuálesla relaciónentrela intensidad máximadel máximo central,y la intensidadmáximadel siguientemáximo?¿A quéángulo,0, respectoa la horizontal, tendrála intensidaddel máximocentralla mitad de su valor máximo?¿Aumentarla 0, o disminuirla,si seusaraluz roja (l en vez de ó70 nm) la azul? 18. (II) Sobreunarendijaúnicade 20 ¡:m de anchoincidenondas planasde luz,de 500nm de longiluddeonda.Una lenteafoca lasondasplanasen unapantalla,a I m de distancia.(a) ¿Cuál esla anchuradelmáximocentralen la pantalla? @) ¿Cuáles la relaciónde intensidades delmáximocentraly losmáximos de primerorden? 19. (ID Unarendijaúnicaproduceunafiguradedifracciónen una pantallalejana.Demuestreque la distanciaentre los dos mfnimosa cadalado del máximocentrales el doblede la distancia entrelos demásmlnimosvecinos,Comparesu resultadocon el,casoconespondiente a una figura de doble rendíja,con rendijasmuy antostas. 20. (II) Cuandopasaluz de 450 nm de longitudde ondaa través de una rendija única de ancho desconocido,la figura de difracciónpresentaun segundomáximodondeseobservóque estabael primermfnimode luz de longitudde ondadesconocido. ¿Cuáles la longitudde ondadesconocida? zt. (II) A una rendijaúnicade anchoa llega luz de longitudde ondal,;los frentesde ondaplanosformanun ántulo 9r con la mascarillade la rendija(figura 39-31).Determinelos ángulos0 paralos cualesaparecen mlnimosen una pantalla muy lejanta.¿Hay"máximocentral"en la direccióndefinida por la ondaque llega,estoes,en 0 = 0,?

r l ,l lt''l

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ancho Rcndija,

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FIGURA 39-31 Problcma21.

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,', (II) Supongaque incideluz en unarendijaúnicaa un ángutro a la normala la mascarilladela rendija.Demuestre Qrespecto qüe sigue úigentela ecuación(39-12),pero que se debc ¡emplazarsen 0 por (sen 0 + sen fl en la ecuaciónde a (39-13)]. [ecuación 23. (III) Cuandodeterminamos la posiciónde los mfnimosde la figuradedifraccióndeFraunhoferpararendijarlnica,dijimos que los máximosestána la mitad de la distanciaentrelos mfnimos.Pararevisarla exactitudde estahipótesis,(a) demuestre que los máximos de la figura de inte¡ferencia (senza)/cP estándeterminados por lassolucionesde le ecuacióntrascendente a - tan a. (b) Compareunasoluciónnuméricadeestaecuacionparalosmáximosprimeroy segundo con ángulosque bisectena los de los mfnimosprimero,segundo' y tercero;necesitará (c) Orafiquelos tablastrigonométricas. puntosde inlersección que dey = 1"n dy y - a, y demuestre la aproximación mejoracuandoaumenta el ordendelmáximo. 39-4

Difracción y resoluciónde instrumentosópticos

2,1.(l) Una ondaplana,de radiació¡rde microondas, con X.- 2.0 cm, pasapor una aberturacircularde 10.0cm de diámetro.' ¿Cuáles la posiciónangulardel primermfnimode la figura de difracciónde Fraunhoferqueresulta? 25. (l) Unosastronaulas dejandosvehlculosh¡nares a 5.00lsn de dislancia, enlaLuna.¿Dequécliámetro debeserun telescopio tenestrepararesolverrayosláserde l - 650nm emitidospor los vehfculoshaciael telescopio? Los vehiculostienen3.0m de longitud.¿De qué diámetrodebeser el telescopiopara poder ver los vehfculosmismos?No tenga en cuentala turbulenciadelaire.La distanóia Tiona-Lunaes3,83x lOsm. 2ó. fl) Un astrónomoaficionadoemple4un telescopioreflector de 20 cm de diámetroy 20O cm be distanciafocal para observarluz de l, = 600 nm de unaestrella.(a) ¿Quéresolu(b) ¿Cuál ciónangularmfnimapuedeoblenereseastrónomo? es el diámetrodel discode Airy? (c) ¿Cuáles la separación mínima de dos.objetosen la Luna que puederesolverel telescopio? 27. tl) Un astronauta en un satéliteapenaspuederesolverdos fuentespuntualesen la Tiena, 200 km abajo.¿Cuáles la distanciade separación entrelas fuentes,suponiendo condicionesideales, ,1.= 550 ¡rm y un diámetrode la pupila de 5 mm? 28. (II) Se usaun telescopioparaobsérvardosfuentespuntuales lejanas,a una distanciahorizontalde 1.2 m. La luz tiene longitud ), = 5@ nm, y el frentedel telescopiose cubrecon una mascarillacon una ranuraverlical de I mm de ancho. ¿Cuáles la distanciamáximaa la cual se puederesolverlas dosfuentes? 29. ([I) I ^" dosestrellasde un sisterRa binarioapenaspuedenresolversecuandoseobservanconun telescopiode arco3 s dereso lución,y estána 75 añosluz de la Tierra.Calculesuseparación 30. (ID Un satéliteespfa,segúnanunciopúblico,es capazde disti-rlguir detallesdeó". Si el satéliteestáenórbitaa unaaltura de 250 mi, ¿Cuálseráel diámetromlninrode su lente,supoa l. - 550 nm?¿Nose¡famejor niendomáximasensibilidad quela pelfcula,u otro sensor,fuerasensiblea longitudes de ondamáscortaso máslareas?

r15g

I

31. (II) ¿Quésepa¡;i;iónlateraldebeexistirentredosobjétbsa I

*39-6

I I I

'DiÍracciín CerayosX

krn de una cárnara,,pargque tkta los pueda'resolver?El clerayosX, en un es¡xctrómetro 42. (I) A un'.iirtnl desconocido, diámetrodel leritede la cámaraes 5'mm, y la pelfcüla'es sehaceincidirun hazde longitudde onda1.1nm. Seobserva sensiblea luz de 550 nm de longituddé onda. un máximocleprimerordcna 13.1o (figura39-32).¿Cuáles estimai 32. (II) Conel criteriode Rayleighformulehipótesíé'para correspondiente de los planosde Braggen el la separación la distanciaa la cual el ojo humanoes capazde resolverlos cristal? periódlsticos.Lleve a cabóun bxperirnenio'para encatxizaclos ' .' '' .: , versi su estimación'es bueria. SR-71puedevolarl"más 33. (ID El aeroplanode reconocirnie4to de 70,000¡riesdealtura.Si la pupiladelpiloto f iene2 mm de dos diámetroen un dla luminoso',¿cuáles la distancia.entre objctosen tiertaquepuecleresolvetel pilotodesdqlosf0,0O0 pies?Supongaque la longlt¡rdde ondade la luz es550 nm.

(

34. (ID Los fa¡osde un automóvilestána 1.f m de distancia.Por la noche,las pupilasde un conductorse han dilatadoa 4-8 los dosvehfculqspata. rnm. ¿A quédistanciadebenacorcarse poderresolverlos faros?Supongaquela longitudde o¡rdade. la luz es550nm. *39-5

Efeeto del a4cho de rendija sobrefguras'de reiilla

.¡'IGURA 39-32 Problc¡ru¡42.

es'l0 vecesel 43. (II) La clistancia etrtre prrcs vecinos de planos de Bragg en la 35. (II) La separación'dedos rendijasaÍrgostas a calcita(CaCOr)es 0.3 nrn. ¿A qué ángulos,con respecto deldécimo anchodecualquiéra deellás.lCuál e3la intensidad esosplanos,sc prcsentará¡r losmiximos de primcry scgundo el tomandóal tndximocentral¡cómo máximode interferencia, con rayosX de 0.12nm de longitudde ordende difracción, por lasdosrendijás ' primero,cuandopasaluz monocromática onda? pántalla y llegadespuésa una distante? de átomos 36. (ID A dos rendijasllegaluz de 588 nm de longitudde ori¿a; 44. (I) Se tiene un cristalcúbicocon separación rayosX iguala 0.25nm. En el c¡istalsedispersan adyacentes la distanciaentrelas'rendijases 0.80mm. Cad¡ una de ellas qué ángulo de elásticamente. onda, 0.1 nm de de longittrcl intensidades, ¿A tiene0.25mmde ancho.CalculeIa relaciónde primer de orden? se observa¡á la dif¡acción de Bragg las siguientes distancia, a pantalla de a 1.0 m en'una, .I//0, del r¡láximocentral:0.10rhm,'0.40 mm, 0.40mm, 45. (II) Unamicatieneunespacialnicnto distancias dep)anos deBraggigual y 1.7mm. quela salde mesa,0.28 nm. Paraun rayo a 1.0nm, nrientras X delongituddeonda0.1nm,¿quématerialproducela figura 37. (II) Sobreunarejilla'dediftacciónincideperpendicülarmente angular?¿Cuáles la de difraccióncon mayor separación dosmáxinros luz de 6OOn¡ndeiongitudde onda.Sepresentan i angulates, A9,paracadamaterial, I diferencia deseparacioncs en seng -'0.3dy'sen0'0.36, respectivamente. adyacentes paraplanosde Braggarribacuandoloscristales se iluminan Falta el quinto orden,(a) ituál es la separacióneht¡e lás P y nm? ¿ ra)'os de onda de 0.09ó 0.104 con X de longitudcs posible dc es el ancho mfnimo rendijasadyacéntes? 1U¡¿Cuál en i rendijaindividual?(c) Citetodoslos órdenesqueaparecen r a laspales (a)y (b). la pantalla,de acuerdoconlasrespuestas Problentas generales

38. (II) Los centrosdeunadoblerendijaestána 2 mm dedistancia; cadarendijatiene0.5 m¡n de ancho.¿Hayórdenesfaltantes? En casoafirmalivo, ¿a qué ángulosfaltan,en una pantaila lejana,si 1.=550 nm? 39. (ID La anchurade rendijasde una difraccióncon 2500 rayas/cmesla tercerapartede la distanciaentrerayas.¿Cuáles de los máximosprincipalesde la ¡elaciónde las intensidades primer de la rejilla? y orden de segundoorden 10. (II) Etrunamascarilla,en la cualse hancortadodosrendijas dea - 0.25mm deancho,incideluz de ó25nm delongitud de onda.Las rendijasestána una distanciad = 0'30 mm' Calculeel primerángulo,respectoal ejecentral,parael cual la ntitad la intensidad enunapantallalejanaseaexactamente ¡náxima. de la intensidad 41. (ID Una rejilla estáfomradapor rendijasde anchoa, cuyos de la centrosestána unadistanciamutuad. Hagaun esquema figura de difraccióncuando(a) d >, a, y (b) d - a <
46. (I) Un liscr dc rubf, de ó90 nm de longitud de onda,con á¡ea de secció¡rtransversalde l0-3 nr2,sc apuntaa la luna, a 3.84 x 108m de distancia.Estime el diá¡netromlnimo del haz de luz que llega a la luna. 47. (I) Una rejilla de 3 cm de longitud tiene grabadas18,0C0 lÍneas.Una lfnea de ó40.000 nrn de longitud de onda apen:s se resuelve, en el segundo orden, de una segunda llnea con longitud de onda ligeranrentemayor. ¿Cuáles la longitudde onda de la segundalfnea? 48. (II) Para estudiar las fonnas de los aeroplanos,a 100 krn de distancia,se enrpleael radar.(a) Suponiendoque la escala de distanciasque determine la forma del aeroplano,o sea, el tamañode las curvasque distinguenun aeroplanode otro, es I m, ¿quéresoluciónangrrlarse necesitaen el sistemace radar? (b) Calcule la longitud de las ondas de rada¡ si jas señalesreflejadasse recibenen un plato de 2.5 m Cediám::::. 49. (II) Las ondas, en los mares profundos, se mueven en f¡e::¿s linealeshacia la bocanade un puerto, de 50 m de ancho (iig'.:-

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o o o o o o o o o o o O o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

39-33). ¿Paraqué longitud de onda habrá un mfnimo dentro del puerto a un ángulo de 50o respectoa la lfnea axial de la bocana?

de ellases,t/(N-1).Cadaantenaemitesu señ¡lconla misma intensidad,1o, hacia cualquierángulo, 0. (a) Determinela intersidad emitida a gfandesdistanciasdel conjunto,como función del ángulo 0 en términosde Io, suponiendoguc las Olasdcl ma¡ señalesde todaslasantenasestánen fasc.(b) Describala scñal paratodoslos valoresdc 0, desde0ohasta3ó0o. 51. GI) En el capftulo41 veremosque un electrónse comporta , l. i ¡l con una qrda de longitud 1.,relacionadaconsu cantidaddcr¡roI , j: t, . 1 , I vimiento, p, mediante L- hlp, En ella, l¡ cs la constantcdc Planck,h - 6.63 x 10-r' J .s. I"os electronesque sc ernplcan en un mictoscopio electrónico pueden difractarse,y esos microscopiostienenun limite por difracción.Si la energlade los electronesen un microscopioelectrónicoes l0 eV, y si la aberturapor la quepasantieneun diámetrode0.01mm, ¿cuáI, 49. tr'ICURA39-33Problcrna aproximadamente,esla separaciónangularmfnima quepuede distinguir el microscopioen un objeto? (ü) Haciendo variar la distancia entre dod antenasdipolo verticales,y la fasedela señalgeneradaencadauna,sepueden 52. ([II) El principio de Babinet sc emplea en el manejo de la obtener señalesmás intensasen determinadasdirecciones difracción de la luz medianteobstáculos.Dice que si la luz (véasecapftulo38). Supongaque s€ alineanIV antenasa lo incideen unapantallaopaca,cn la cual sc abrcun agujcro,do largo del eje r (figura 39-34). I¿ distanciatolal entre la cualquier forma, entonces,ta figura de difracción quc sc primeray la última esl, de modo quela distanciaentreun par produceesigual,exceptocuando0 - 0, quela quescobtendrfa si la pantallase quitara y el agujero se remplazarapor un obstáculo.Con el principio de Babinet,cstimeel tamañode una obstn¡cciónopacaen un portaobjetossi un rayo láscr angosto,de,L - 480 nm, quc incide pcrpendicularmcntcal vidrio, sedispersaformandounamanchade 4.0 c¡nde diáme.: tro en unapantallaa 1.6m del portaobjetos. 53. (III) ¿Qué frgura de difracción se producc en u¡ra pantalla lejana cuandoincide luz, de longitud de onda I perpendicularmente en un plano que üene N cabcllc muy dclgados, \A siendola dla distanciaentrc'doscabclloscualquiera?[Sugcl- tJ- o- r - .1 a- a- a rencia:véaseproblema52.] 54. ([I) Un núcleode 3.2x 10-¡5m de raüo dispersaunandiación electromagnética de 1.25x 1023Hz de frecuencia.El núcleg absorbe totalmentc la radiación,y, por consiguientc,es un N antcnas, I obstáculoperfecto.¿A quéánguloquedaráel primer mfnimo scparacioncscntrc cada par N- l de difracción?lsugerencia:Empleeel principio de Babinet (problema52).1 FIGLJRA 39-34 Problcnn 50

-f

1161

CAP I T U

I'a relatividad cspccialdctermina losresultadosde netlir objctosque sc t,nrcvc,tcon rcspccto cipreciablela di$torsión,cua¡vlola t'clocitlarlrcliti¡,a c¡ttreel obje:to y u.stcdasuna l,ttste!: {s fracción ap¡cciablcdc la velocidaddt la lui. l/cnrosoqul cl panoronnzrlcl ci¡tro de pittsburgh dcsde un acroplailo ntuy velo7.

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RELATIYTDAD ESPECTAT

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Aun cuaRdoeh el electromagnetismo y la mecúrica se conlpartenconceptos'como enefgiay cantidadde rnovimiento,parecehaberuna diferenciaprincipal entreesas dos disciplinasfundamentales.Las leyes de la rnecánicapareceni", rnirmn, en todos los marcos de referencia inerciales, que son los que se mueven con velocidad unifotme respectoa un marco inerciai patrón de referencia, 1 rel="nofollow">orejernplo, un tnarco en reposotespectoa las estrellaslejanas.El electro;nagnetismoapafeceal violat esta , ley. De acuerdo con las ecuaciones de Maxu'ell, las ondas electromagnéticasse Pfopagana la velocidad c, sin restriecionespara el estadode movimiento de la fuente o el'detector. Esto sugiere la existencia de un marco de referencia absoluto para el relectromagnetismo.

La teorfaespecialdela relatividad,formuladaporAlbertEinsteinenunanotable publicaciónlenel añode 1905,amplióel principio,arelectromagnetismo, dec¡:elas lbyes que lo describandebenser las mismasen todos los márcosde refeiericia iherciales.Esto no se llevó a cabo alterandolas ecuacionesde Maxwell, sino tnodificandociertashipótesisacercade nuestrasrrocionesde espacioy tiempo, hipótesissirrlugara dudahasta1905.Estecapítulo'se ocupacleaclarafla nafuraleza del espacio.ydel tiempo,consecuencia de la teoríaespecialcleIa relativi¿ar;.Otro objetivodeestecapltuloesla exploraciónde las consecuencias flsicasde la.teoria, - r!r:

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o I O

o o o

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o o o o O o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

r763 Vicnto do étcr

4O -1

¿Iis nc
ecr?

l'ICtrRA 40-l Dingrnnurcsqucttrdtlcodo tuur ¡ncdicio¡r rlc vclocidad rlo la luz, cn dondc luy un vicnto do étcr soplando en la misma dirccción cn la quo viaJala luz. l¿s vclocidadcs dcl rayo son distintas para loe dos scntidos dcl viajo.

40-t

uN ETER? ¿EsNEcESARTo

En los años que siguieron a la fonnulación de las ecuaciones de Maxwell, no inquietaba el valor absoluto de la velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas.En una era de modelosmecánicos,se creÍaque las ondaselectromagnéun medio que lassostuviera,del mismo modo que lasondassonoras ticasnecesitaban lrecesitandel aire. El medio supuesto,que se pensaballenabaal universo,se llamó óter. Se suponfaque el étereslabaen reposoen relacióncon las estreilasfijas,Debería Se ptopusieton tener una estructuramágica para soportarlas ondas transversales, que para Se supuso la teoria de al éte¡. representar muchos modelos ingeniosos propagación de de las ondas Maxwell daba c como resultado de la velocidad del éter reposo, refercncia en del de electromagnéticas¿n relación con el nnrco con el aire en reposo. en relación que velocidad del es 330 tn/s la sonido rnisrnolnodo En un matco de referenciaque se mueva a una velocidad¡¿en relacióncon el éter,la velocidadde la luz emitida por una fuenteen reposoen relacióncon el éter seriac + a, si el marco se moviera hacia la fuente, y c - il, si se alejarade ella. l-a Tierra representaeselnarco.dereferenciaen movimiento,porqueal girar alrededordel Sol viaja a una velocidadaproximadade 30 kny'srespectoa las estrellasfijas. Desdeel punto de vista de un marco de teferenciafijo en la Tiema,el éterpasaa una velocidad de 30 km/s. Con toda probabilidadserfadiflcil detectarelviento del éter. Para ver por qué, itnaginemosuna medición normal de la velocidad de la luz, en la que el rayo luminoso se propaguea lo largo de un eje que tengaia direccióndel viento del éter. Si la distanciade un espejoa la fuente,y al detector,es l, entonces, en ausenciadel viento del éter, el tiempo de un viaje sencillo de la fuente al espejoy regreso,es t0' ZLlc (ftgwa 40-l). Si el viento del éter sopla contra la fuente, la velocidadde la luz que vahacia el espejoes c - tl, y la velocidadde la luz que regresa es c + ¡1.Asf , el tiempo para un viaje de ida y vuelta es

a' ata'.

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a Para u- 30 hn/s, y c - 3 x 105km/s, el factor u2¡czes 10-8.A sl , se necesi tarl una para parte en l00 millones, que una sensibiiidad pata detectar el tietnpo,,lnejor detenninar el viento del éter. El experimento

(b)

(40 l )

de Michelson-Motley

En 1887,Albert A. Michelsony EdwardW. Morley llevarona caboun experimento degranprecisiónparamedir el efectoposiblede un vientode éter.Lo hicie¡on'con instrumentodiseñadopor Michelson(figura40-2).Supongaun interferómetro,

FIGURA 40-2 (a) Esqucma dc rm intcrferómctro, construido por Albcrl Micholson cn u¡ bloc¡uc,cn 1887. O) Dsqucmadcl funcionarnicnto dc csc intcrfc¡ón¡ot¡o, cstando la mcsa girada hacia l¡ dcrccha. Siga la traycctoria do los rayos, dcsdc l& fucnte en ol purto a, pasandopor ol tlivisor de rayo, en el punto ü, y tcrmi¡undo cnbl ocular, en cl punto/.

El interferómetro de Michelson se describió en el capitulo 38.

r164 Capitulb 40' Rcl¡¡tivtdatltrirccl¡l

mos que el vietrto dél éter tuviera la direcciólr que se indica en la figura 40-3a. La distancia del espejCIsemiPlateado(dspejoqué transmite en parte y refleja en parte la luz que le llega), al espejoM¡ en la dirección del viento del éter es l. El tiempo que se ta¡da la luz en ir al espejoM1 y regresares tl, expfesadopor la ecuación(40- i). A continuacióncalcularemosf2,el tiempo que tarda la luz en ir al espejoM2 / fesresar, en dirección pefpendicular a la supuesladel viento del étet. También, el espejoM2 eski a una distancia L del espejo semiplateado.Esta hipótesis, de que los brazos dei interferómétro tienen igual longitud, como v'eremosm¿isadeiante' no es absolutamente ne'cesafia,Como el segundofayo es per¡:endicrilarn la dirección supüestadel éter, la luz tendrfa que viajar una distatrcia'mayorque 2l; el viento clelétbr "soplarfa" sobie el rayó y lo'iesviaría de su curso. Coffio se vó en la figura 40-3b, ia luz viaja una distanciarepresentadapor la liipotenusadeun triángulo en elcual un eatetotiene longitud I y el otro es la distanciat¡ansverlal que se Cesvlael rayo en elliempo t2l2; :: ctzlL. Como la velocidad de la luz es c, esto es, ut2J2.Ladistanciaes {F +@qff

obtenemos' / ut " \2

,\71.

ctz 1

Elevainosumbot ladosal cuudrudoy obtenbrnos L2+

(*)'': ('u)''

De esta ecuaciónse deduceque

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,1.

Ar 7 4L

¡ L

4.

1,rlq

-44

/.Li c

Ilpcjp M2

Dirccción supucsta dol viento do ótcr

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Vicnio dc btcr, vclocidad¡¡,

Espujo scmiplateado

Trayerto dcl rayo

Espejo Mr

Dirccción inicial dc l a l uz

/l\

XIGLRA 40-3 (n) Ev¡ucrna dcl cx¡rrimcnto dc Michelson-Morlcy..l,a luz quc proccdc de ú'11i¿ci'1. sc dividc cn dos rayos, mccliantoun cspcjo somiplatcado.I.os rayos, rcflcjados por los cspcjos lvf ¡ ."Í,, ' so ¡ccombinan antesdc llcgar al lclcscopio, cn cl cual sc produccn franjas do i¡rtcrfcrcncia. (b) El =¡'; pcrpendiculnr al $¡puqsta viento del éter so dqsvía do su curse. Corno la distancia recorrid¿ c.s:'li¡v.r¡ quJ la linca directa l, cl ticrnlm dc tur viajc rcdondo, hastacl cspcjo y dc rcgrcso, es mayor qt:c . : q:: scría si la distancia fucra 2L.

o o I o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o I o a o o o o o o o o o a t I

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o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O

o o o o o o o o o o o o_ o o

Ahora recurtimosal hechode que para.rpequeña,l/(1 -.r) = 1 +.¡,.y qpg 1l{1-x=l+ (x/2),fórmulasque aplicamosparax u2lcz.Asf encontramos que la diferenciade tiemposentrelas llegadasde dos.partesde un pul;o de onda es lLu2 ^ Lt:tr-tz:;T? (40'!2) Esto correspondea una diferenciade longitudesde trayectoriade cA¡ - ttÍlé.t-os dos rayos se combinanal regresarde los dos espejos,y como partieronen fase,se interferiránsegúnla diferenciade.longitudesde sustrayectorias. Es imposible fabricar un aparatoen el cual las trayectoriasa los espejossean exactamente iguales,Además,comolos espejosno sonexacüamente perpbndicula¡es a los rayos,la diferenciade longitudesde trayectoriava a variar ligeramentedesde un lado del espejoal otro,y al ver por el telescopigseapreciaráun conjuntode franjas de interfetencia(figura40*4).Porfortuna,todoslos efectosdebidosal apantomismo ' se puedenteneren cuentegirrindolo90o.l,os efectosdel aparatono sealteran,pero la rotación intercambiaefectivamenüe Mr y M2¡ / coh ello cambiala longitud de trayectoria a -Lu2lc2; cuando las longitudes de los brazos son desiguales,.L se remplazapor la longinrdpromedio.Si hubieraun efectodebidoal éter,la figura de franjasse desplazaría,cuandose hiciera girar el aparato.La diferenciatotal de longitudesparalas dos orienüaciones es - zhÍl¿. ^L ResultadodelerperimentodeMichelson-Morley.Unava¡iacióndelongitudde . trayectoria - 2Lu2l¿ produceun desplazamiento de frarijasde interferenciacuya ^LA,Ll).- 2(l,lD!c)2. Aunquela ¡elación(4c) esmuy pequeña,no esrul magnitudes númeroimposiblementepequeño,porqueL es mucho mayo¡ que l. El aparatoera capazd,edetectarhasta0.04 franjas. Si (uic)2fuera tan pequeñocomo 10-8,valor consecuenciadel movimiento de la Tierra al¡ededordel Sol, en el aparatose encont¡a¡fa, un desplazamientode 0.4 franjas.El resultadodel experimentofue que no se gbservódesplazamientoalguno; esto es, si hubo algrin corrimientom modo alguno, ésüehubiera sido menor que 0.04 franjas. En otras palabras,no habta comprobaciónexperimentalde la existenciade unviento de éter.Experimentosmris recientes,con empleodeláseres,demuestran gueel corimiento esmenorque l/1000, o 10-3,del resultadoquesgpodria "esperat'por el movimientode la Tiena a traves deléter.El expedmentodeMichelson-Motleyagudizola diferenciaentrela mecánica y el electromagnetismo. Las ecuacionesde Maxwell ptedicenunavelocidaddefinida y de la luz, toda la experienciaanteriorhabfaindicadoque esavelocidddse'debe.' referira un matco de refe¡enciadefinido.Esema¡codeberlahabersidoel "preferido" del electromagnetismo,pero, sin embargo,el experimentode Michelson-Morley demostróque no sepuededetecta¡ma¡copreferidode teferencia

1165 4O-2 Loc ¡roctuledos & El¡stcl¡

FIGIJI'A ¡{)-{ Fraqissdc lntcrfcrcncl¡ cr¡ r¡r¡intcrforórr¡ohodoMlct¡clsqr.

4o-z Los PosTuraDos DEErNsrErN pero Albert Einsteinconoclael experimentode Michelson-Morleyy susresulüados, estos,en aparienciasorprendentes, un papelprincipalen la creación no desempeñaron de la teorla de Einstein (figum 40-5). Supusoque las leyes de la electricirlady el magnetismo(leyesde la electrodinrimica),como las de la mec¿inica, sonlasmismas deestahipótesisesla teorfe entodoslos ma¡cosdereferenciainerciales.El resulüado dele reletividad especial.Einsteinmismo enunciólos dospostuladossiguientes: l. Las leyesde la fisicesoniguelesen todoslos mercos.lnercieles de refe-

ii La velocided de le luz en el especiovecio esigu"l en todoc los msrcos ine';cisles. .. de referencis

Iitct RA40¡

Albo¡t Ei¡stcin

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Loc@ulcdoe del¡ rcl¡tiüd¡d ecp$¡{ .

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Estrictamente:'hablando, el segundo postulado es parte del prirnero, porque ias ecuacionesde Maxwell no cspecifican'unrnrlrco cüatrclopreclicenla vcloeidad de la luz. Como hemos vistb en la sección40- I , el seguirdopostulado pareceríaincompatible con el primeto. La combinación de las dos afinlaciones, aparentementeirreconciliables,condujo a la perspectivarevolucionaria del espacioy del tiernpo,sobre la que se basala teorla especialde la¡elátividad. El primer postulado,aplicado a la mecánica,se presentóen el capítulo 4, cuando hicimos notat que las leyes de la mec¿inicano varlan bajo la transformación

11íú C-apitulo 4O Rcletlvlded crpcdlrl

(40-3)

r'r r - uf, Ma¡co F

La figura 40-6 muestra los dos marcos de referencia para los cuales se aplica la ecuaciónanterior.Las variables'conpdma'son las coordenadasde utr sistemao nrarco derefetehciaF'. Las variablessin prima son"lascoordenadasen el marco de referencia F. Los marcos de referencia"Fy F' se mueven entre sí, Al diferenciar la ecuación (40-3) con respectoal tiernpó, se'llega'auna ley de transfonnación de velocidades

(40-4)

v'=v-u. nGUnA 4(M El ma¡codo ¡cfo¡pnclaF'so mucvca unÁvclocldadu con rcepoctod ma¡coF. Un obscrvadorcstúcn i , dctcrml¡udom¡¡co dc ¡cfc¡cnclacir¡¡¡¡do midc la posicióny ticmpodc lG cvcntmcn cl sistcrn¡dc coordcnadasy rcloJcsdc cso ¡na¡co,

El prirnerpostuladó,segúnNewton,implicabaque el tietnpoes igual en todoslos hacet matcosdereferencia. QuizápafezrÁobvio,al lector,qucni siquietase,rrecesita de la la de afinnaéión acerca esta afitmación.Newton reconoció necesidad la de y, lenguaje esta trivial en modemo, afirmación es Ja ley natutalezadel tiempo, transformación (40-5) Esta ley de transformaciónse debe agregara la ecuaciótr(40-3), Atnbas ecuaclones forman las transformacioiles de Goi¡teo. Ias leyesde transformación de Galileo, ecuaciones(40-3) y (40-5), son ¡ncont' patibles con el segundopostulado, Supongamosque tenemos una fuente luminosa en reposo,en el origen ilel marco de teferdnciaF. Cuandoesafueirte emita un destello de luz en la forma de una onda esférica que se expatrde'a la velocidad rle la luz, entoncesla posición del frente esférico de onda, al tienrpo es f, es

(40-6)

it f * 2 2 -f -c z f

(figuia 4O-7). Ahora vbamos córno se compórta la luz según un observadoren ot¡o mirco de refetencia, F', que se fnueve corf'respcci'oal marco F; como en la figiira 40:6. Supongarnosque el origen O' de F' coincide con el origen O de F cuatrdor = / -.0, qu9 es cuandola luz destclla.El segundopostuladoirnplica que c/r F' , eI pubo tambíéñforma un frente esférico dc onda, porque la velocidad de la luz es igual e;t F' y en F, sea cual fuere la dirección. Asl, x'2* y,2+ 7,2- r,2 *,zr,z

(40-

Si hacemos que t' - f, esla ecuación no se puede satisfacer con la relación ent¡e r )' r especificadapor la ecuación (40-3), porque eso significarfa que ,'2 * y'' * :.'2= lr I r,j

FIGUR{,t0-7 Unpulsocsfdrtodoh¿soc¡nitocnolorigordclmarcodcrcfc¡crrcia F. Sc6rn rn obscrvador cn csc mrrco, l¡ luz forma r¡n frcntc dc s¡da csférico, c.rü?do cn cl crigcn O. Si ol origcn d dcl nra¡m dc rcfcrc¡ria F, qtr sc muovc lre rcryacto rl rrerco F, coir-rldo ccr O álind9 so inicia cl dcstb[o, cnlonffs, ttr¡ cn O ' qrrcsc mrrva con ol nurtü do rcfoisrrl¡ fr dinl $rc h orxla fonna :krljcr .lc crÉa csfcrico c¡r cl m¡¡co do rcfcrcncia F ccr¡trado cr¡ O'. -r: *rc

Ma¡co F

Marco F'

o o o o o o o a

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o a o o o o o o a o o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

(x - ut)z * f * t. Esta conclusión muestra el corrflicto entre las leyes de transformación de Galileo y la afrrmación de la magritud absolutade la velocidad de la luz, se ve.gue necesitamos volver a examinar las nociones fundamentales del espacioy del tiernpo.

llt ,f{F3 Erpaclo, ttcrupo y 3lor¡hrd

4o-3 nsp¡.cro, TrEMpo y sTMULTANEIDAD Al estudiarlos conceptos de tiempoy espacio,primerodebemosdefinirconcuidádo cómo mediremosel tiempo, y cómo definiremoslas coordenadas en el espacio.En la sección40-4 formaremosun ejemploconcretode un reloj. por lo pronto sólo necesitamos quenuesfo reloj seaperiódico:que los intervalosde tiempodel tictac seaniguales.Podemoscolocarnuestroreloj y fuente luminosaen el origen de un sistemade coordenadas,pdra encenderla luz, que se propagaa lo largo del éje .r. colocamosun espejoen determinadopunto,x¡, y medimosel tiempoquenecesitala luz parallegara xl y regtesafdespuesdeteflejarse.Si el interválode tiempoempleado fue de dos tictacs,decimosque xr estáa una distanciade una unidad de longitud respectoa.r = 0. En forma especffica,si el intervalo de un tictac es r, entoncesla distanciade x1, de ida y vuelta,es cr. Ahora alejamosel espejohastaque el tiempo que tarde la luz en llegar a él y tegresarseacuatto tictacs.Esepurito estaráa dos unidadesde longitud (2cr) de distanciarespectoa r - O, a lo largo del eje x. Si proseguimos de estemodo,en pdncipio podemosasignaruna coordenada (x,y,7)a cadapuntoerrel espacio. Para poder describi¡ el tiempo en cada punto del sisüemade coordenadoo, coloquemosun reloj en aquellosparalos cualesx, y y ¿ searimúltiplos enterosde la unidadde distancia,cr. Podemossincronizarlostodos,estoes,ponertodoslos telojes a la mismahora como sigue:en el origen,a mediodfa,semandaunaseñalal punto.r - 1, ) = z - 0, Cuandollegue allá la luz, el operadordel reloj lo pone a "un ticüac despuésde mediodla",que comesponde al punto.r - 1, ) - ¿ - 0. El operadoren.r 2, ! = Z = 0, pondrásu reloj a "dos tictacsdespuesdel mediodla' cuandoel frentede ondallegue a esepunto,y asf sucesivamente. De estemodo, todoslos relojesest¡in sincronizados, y contamosconun ma¡code¡eferen'cia en el cualel espacioy el tiempo esténbien definidos(figura 40-8).Hemostransmitidonuestrasseñalesde modo sin lugara confusión,pgrquela velocidadde la luz es,por postulado(¡y por experimento!) independiqnte de cualquiermovirniento. I-a transmisión pormediode deseñales pelotasde béisbolharla que se debieramedi¡ la velocidadde las pelotas,y ion ello entrarfamosen complicacionesrelacionadascon el hecho de que, para medit la velocidad,se debendefinii, sin lugar a confusión,el espacioy el tiempo. Aunquelos intervalosde tiempoy las distanciasen nuestroma¡code referencia

o

o o o o o o o o o a o o o

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FIGLIRA 40-E Rclojos.fijos cn r¡¡u rcd dc prnros, gtr rpstrlu ;r ' coordcrudas espacíalas, separadas a distarriasfijas.k ubirxica dcb ¡dq' y su lechra doñrrcnlas coordcnadas cspacio-tcmporalcs dc un rrt¡lo.

I IOó Capituto 40 Rclarlvldad cspcclal

Ondasltuninos¡somiüdnscn A

FICURA 40-9 (a) Ondas lu¡ninosas cmitidas cn el puntoul, a la mitad do la distanciEcntrc los prntos B y C, lloga a los puntos B y C al mismo tiompo. (b) Cfnndo B sc accrca a z{', y C sc alcja do r{', la luz llcga a B antcsdc llcgar a C.

F, o en otro mafco F', estánb¡en detltrtdos,debetnoscü:.danlosoe colno especirri,:amos tiempos y distancias vistas desdeun marco cle referencia ell lnovilnie¡)to. De nuevo, imaginemos los marcos de referenciaF y F' de la figura 40-6. Urr observador en 6/ del marco F', que deseaver cómo avanza el rcloj er¡ el lnarco F,
o o o o

Sirnultaneidad

¡

Definiinos que dos eventosque se llevan a cabo en distintos puntos de un marco de referencia'determinado son simultán¿os cuando suceden a la rnisma hora,en ese mafco. Es también lo que querentosdecir, que dos cventosson sinuhóncos cn un marco de referencia inercial. El concepto de simultaneidad es fundamental, porque se introduce insensibletnenteen muphostipos de medicioneq.Por ejernplo,supongamos que un observadoren el matco de teferencia F' desearnedir la longitud de un tren elr reposo tespecto al marco de referencia F; el obscrvndor vc qrle se lnucve el tren, Paramedir la longitud, el observadoren F' debe tener en cuenta que las ubicaciones, x'Ly x'2,de los exttemos delanteroy traserodel tretr, se marquen al mis¡¡totiempo, o sea,simultáneáriienté.iil marcar, o'medir la posición del-extremotrasero de un tren en movimiento a media noche y el extremo delantero a 2 min después de la medianoche,y decir que la longitud del tren es la diferencia entre f as dos marcas,no proporciona una indicación correctade la longitud del tre¡r.Asl es como la noción de simultaneidadllega a Ia mediciónde la longitud.Pero,cornohiz¡ nota¡Einstein,nuestra noción cotidiana de simultaneidadestáfuerternentedelemrinadapor la existenciade una velocidadmáxima de las señales,que es la velocidn
Revisemoscon más cuidadoel problenrade medir la lorrgitudde un tren etr movimiento.La figura40-9amuestraun trende longitudl, iniciallnenteen teposo con respectoa una plataforma.Semide L mientraSel trenestáen reposo,de modo ¡., varasdemedir queno haydificultadenllevara catroesamedición;tansólotendem:os { t con B y C, y las contamos.La partetraseray delantetadel tten se representan { j dospersonas, A y A' se colocanexacfamente en el puntomedio tespe¿tivamente, |. del hen. La perconaA estádentrodel tren,y,{' estáen el exterior,en la plataforma, Por el mornento,semide todocon respectoa un rnarcoinercialde referenciaúnico, en esemarco,tal comodesctibirnos arriba. F. Hay un conjuntode relojessincronizadcs A todoslos üemposdel ma¡code teferenciaF los llamamosf. Si,4,murda utr pulso, esféricode'luzcüandof-0,esaluzllegaaByaCsimultánearnente,cuürdot'I.l2c. queel trensemuevea la velocidadunifon¡e u (figura40-9b). Supongainos'ahora El marcodereferenciaenreposoconrespectoal trenesF, mietrtrasqueF' esun nuevo matcoen reposoconrespectoa la platafonna.La plataformaF' tienesupropiosistema de relojes a lo largo de los tieles del ferrocarril, y los tienrposen ese marco se con t'. Al momentoquela persona,4estrijunto a la percona.4',la persona, representan mandaun pulso de luz, y podemosponerlos relojesa I = 0 : t'. Desdeel puntode '4 vista del ma¡code refe¡enciaF, todo es igual al casoorigilal: el pulso de luz liegaa ambospuntos,B y C, cuandot = UZc. Pero estottopuedeser ciertodesdeel putttode referenciadelmarcoF, si lavelocidadde la luz esigual ur antbosmarcos.l,a persona .á' ve gue el punto I se acefca,aun cuandoel pulsode iuz se mucvehaciaB a la velocidadde la luz (fija),de modoqueel pulsoluminosollegaa .Ba unal¡oral' - f'¡ el pulsoluminosollegaal puntoC cuandoel tiempoes algoadelantada. Igualmente, De hecho,si el t¡ensemueveunadistanciaa/'¡ duranteel tietnpo t'^ i'" algoatrasado. la disfanciaque reconeel en el cual el puntoB Femuevehaciael pulso,.entonces rayo que va haciaB es (Ll2) - ut'n i segúnel segundopostuladode Einstein,esa dist¿nciaescf'¡. AsI, (Q2) - ut'B- ct'6,de dondepodemosdespejar/¡: t/1 - It

c +u

(40-8)

Igualmorte, segúnun observadoren F', el rayo de luz debeviajaruna distarrciaadicional

o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o o o

ol ol ol ol ol

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o o o o o o o o o o o O

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

o o o o o

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11ó1

ut'¿paÍa llegar a C. Empleando el mismo argumento,

tL: !!2-. c-u

(f0.9)

El tiempo t'¡ es distinto al tiempo f'6, de modo que /os eventosque sonsimultáneos en F no son simubáneos en F'. Esüaidea, bastante contraria a la intuición de que el concepto de simultaneidad no es absoluto, es la clave de toda la rclatividad, como veremos a continuación. Nótese que la diferencia de tiempos entre t'a | t' c es muy pequeñacuando u << c; estehecho explica el otigen de nuestra intuición no relativista.

ordinarias fuerandelmismoorden Siviviéramos enunmundodondelasvelocidades quela velocidad unaintuicióndistinta. dela luz,habdamos desarollado

4O-4 Drr-arAcroN DELTrEMpo y coNTRAccIoN DE Iá. LONGITUD Los postuladosde Einstein, o el hecho de que los eventosque son simultáneosen un marco de teferencia no lo son en otro que se mueva con resp€ctoal primero, tiene dos consecuenciasespectaculares,Son el retraso de los relojes, o'dilatación del tiempo, y el acortamiento de las varas de medir alineadascon el movimiento, o lL contracciónde la longitud. Explicatemos ambasconsecuencias. Dilatación

del tiempo

Pata aclaratnuestradescripción,supongarnosun reloj muy sencillo (figura 40-10a).t Está formado por una varilla con un foco en un extremo y un espejo en el otro, a una I Soguiremosla cxplicación dc N. David Mcrrnin, cn Espacioy ricmpo en rela¡ividnd,McGraw-Iüü, 1968.

I Espejocn rcposoon cl ma¡coF

Á,Go dc luz rcflcjada

É L

L

+ t

Obscrvador encl marcoF'

Foco luminoso hjo cn el marco F Mccanismo dc disparo

(b) '. - 2 dc un rcloj. El bombillo enun ext¡emodc la varilla dcstcllacua¡¡do FIGURA 40-10 (a) Diagrarnaesquerruitico rcciboun pulso de luz roflcjado cn cl cspcjoa r¡nadista¡¡ciaI del bombillo. El intcrvalo dc ticmpo cntrolos dcstcllosflos tictacs)sn cl m¡rco dc rcfcrcnciac,s24c. O) la longitrrdqrtcdebcrcconcrcl rayoluminoso paracl cualcl tcloj sc cstrimovicndo' sogunun observador

4{F4 D¡lat:ctóo<tcmgocont¡acclóndc lrlo4lu

El que los eventos se¡n einrultóneos o ' no depende del m¡rco de refercnci¡ desde el cull ee mid¡n.

I 170 Capitulo 40 Rcl¡tlv¡dád

crp€c¡el

o o o

distanciat. Fijo al foco hayun mecanismo quehacedest¿ilarcuandoun pulsodelrrz anteriorregtesa, después de reflejatseen el espejo.Segúrrun observador en reposo, en relaciónconél reloj,el foco centelleaconun periodoT * 2Llc, El relojsecomporta enfórmamuydistinta,segúnun obscrvador enrnovirnicnio. queesteúltirnoseencuentta Supongamos enun marcoinercialdereferencia, F', q,re semuevea una velocidadr hacia.laizquierda(figura40-10a).Un obsrvadoreli F' veráqueel reloj sealejahaciala derecha,(figura 40-10b).En F', la luz sigueviajanclo a unavelocidadc, haciael espejo,peroahoratienequeir máslejos:el es¡rcjosernueve mientrasla luz viajahaciaé1,dcsdeel foco.Cotnoertnr¡estra descripciórr del rayo transversal de luz en el experimento de Michelson-Morley, el tiempoquesetardala luz en viajaral espejoy regresarestal que

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qT'.= | 2V estoes, T' - 12L¡c'S¡{ t - 1tt?Jc\,o r.

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Dilatrción del tienrpo

T :_ - - -

Vl - (u'lc').

(40.-I l)

El tionpo T'es tnayor quc el tiempo ?i por el factor ll{l-(tlffi.2lll obsclvttl¡r en el ma¡co F' ve que los tictacs del reloj en F son más largos; elr otras palabras,c/ reloj en movimiento se atrasa en un factor {T:TFtrt A este efecto se le llarna diletación del tiempo: Los relojes en movinicnto cantinan ntás lcnto quc los relojes en reposo,No es que se alterenfísicamente1osrelojes;rnásbien, el tiempo es distirrto cuandosele mide desdemarcosinercialesde referenciadistintos. Hay dos ptopiedadesimportantesdcl cfectotlc dilatnciónclclticnr¡ro.I-n prirncrn es que el efectoes simótrico.Si hubieraun reloj en reposoelr cl rnárcodc referencia F', idéntico al reloj en reposo en el marco F, entoncesel observadoren F vería que el reloj de F' se atrasa,del mismo modo que el observadorelr F' ve qne el reloj de F se atrasa. Si no fuera asf, los observadorespodrÍan hacer uso de la asimetrla para decidirquién se muevey quién estáestacionario,en violaciónexplícitade la premisa original que sólo tienesignificadoel movimiento relativo.En segundolugar,aunque el reloj que hemos visto, un "reloj de luz" es algo raro, es universal, porque todo teloj imaginable se debe compoftar como é1, Cualquier reloj adicional en F se puede sincronizar con el reloj de luz de tal modo que su tictac esté ligado, directa y flsicamente, al tictac del teloj de luz. Los tictacs de un reloj pueden tener distintas formas,.desde las vibracionesperiódicasde un sistemaatótnico,hastala frecuencia de una onda luminosa,' o el latir de un corazón. Todos ellos se atrasan según un observadoren movimiento con respectoa ellos. Pruebas experimentales de la dilataciín del ticntpo. El efecto clela dil¡tación clel tiempo es teal. Podemos tener pruebas expérimentales¡nidiendo vidas rnedias de núcleos radiactivos o de partfculasinestablesen movitniento. Por ejemplo, la partícula fundamental, inestable,llamada muón, cuando está en reposo, tierreuna vida media.de2.L97 x 10-6s.Esto quiere decit que en una müestra grande de muones,el 63% habrá decaldo en2.I97 x 10-ós. El tiempo que tarclnen decaer el 63% de una muestfa grande determirrada se puede tomar como el tictac de un reloj. Se pueden producir muones en un acelgrador de partfculas, y viajarán a una velocidad rt, determinada por las car'actetJsticasdel acelerador. Se ve, en el lnafco de refcrencia del laboratorio, que el63% de los muonesen movi¡niento Sedesintegran(decaetr)en electronesy néuttinos, cuando transcurreun tiempo t : 2.197 ¡n:(Fffi ls, >'no cuando han tránscurrido2.197 ¡ls. En los lrrodenrosaceleradoresde altas enerli^: es posible acelerarlos muonesa una velocidad tan alta, que el factor .jc dilat¿il 2En'nucstronruilisis,hcmosslrpr¡csloilctcmrirr¡,1¡.t¡'rccc¡,,¡¡ (lc nrovii)¡icntorl<:lr¡nrc,r ck:rcfcr:';.,.,.. cs.inrlcpcntliento
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.^L^rrlv, Lt , | - \ú tL- ) Pucue sef lrash de 1u", y el oJ?6 de esos muones decaen en

unperiodode lff x (2.L97¡ts):2.L97 s. Tarnbiénseha comprobadoel.efectode dilatacióndel tiempo,en 1972,enuna forma mucho más o¡dina¡ia. Un reloj de cesio,muy exacto,se puso en un avión comercial,quevoló alrededordela Tiena; sepudocomptobarla dilaüación del tiempo con una exactitud,delLO%.Tambiénse ha confirmadocon tantafrecuenciaeste (40-10). efecto,queno hay dudade su realidadni de la exactitudde la.ecuación

EJEM PLo 40 - 1 Enunaeroplanoqueviajaa 1.0x 103km/hal¡ededordel tnundo,por el ecuador,hayun reloj.Esereloj sesincronizaconuno esüacionario Despuésde I viaje alrededordel mundo,¿cuánto al momentodel despegue. difierenlos dosrelojes? SOLUCION: La ecuación(40-10)nospermitecalcula¡la va¡iaciónde cadatictac del teloj (en estecaso,1 s), Necesitamos calcularel númerototal de segundos quetardael aviónen viajaralrededordel mundo,y lo calculamosdividiendola El radiode la Tiemaen el distanciarecomidaent¡ela velocidadde la aeronave. es2¡rr - 40.I x 10rkm. l¿ velocidad ecuado¡es6.38x 10rlan; la circunferencia demovimientoes 1,0x 10rlan/h,demodoqueel tiempoderr:eloes40.I h; eSto es,(40.1h) (3600s/h) : 1.44x 105s, El factorde dilatacióndel tiempoes {T=@iVl; el reloj marca{l-@i7j de menos.Siendou: (1.0 x segundos 10rhn/h) x (103m/kny(3600 s/h) - 280rn/s,podemosevaluarr/c. Resultaz/c y entonces u2fC - 8.6x 10-'r,Pa¡aese - (280nVs)/(3.0x 108m/s) - 9.3 x 10-7, podemosescribir valor tanpequeñode uzlc2, l----

a

lu- u'

a

= | - #:

^11 vu

I - (4 . 3 x lo -: 3 J .

-

Asl, N, el númerode segundosperdidoses N = (4.3x 10-13) 0.44 x ld s) - 6,2x 10-8s. un reloj que no se adela¡teni se Parácomprobaresteresultado,se necesitarla atrasemás de 6.2 x 10-8s en 40.1 horas,o 1.44 x ld s; su exactitudserfa, s. aproximadamente, I s en cada1012 En estecasono hemosüenidoen cuentaefectosdebidosa la rotaciónde la Tiena y a la presenciade la gtavedad.Esosfactoresdebenintervenircuandose de la relatividadespecial. comparenlasmedicionesrealesconlaspredicciones La paradoja de los genelos. Se debetomar en cuentaque todosnuestroscasos seaplicana relojesque semuevencon velocidadesuniformes.Si no seconsideralo un parde anteriorsepuedenllegaraparadojascomola de losgemelos,Imaginemos a altavelocidad,tt,y reconeun gemelosidénticosen la Tiena.Uno deellosdespega llegaal rePoso, suavemente, largoviaje.Despuésdeviajarmuchotiempo,desacelera y seregresapor la mismatrayectoria.Al llegara la Tierra,el gemeioquese quedó allí observaráque el queviajó seve muchomásjoven; estoes,ya no sonidénticos. esajuventud,pofque,enrelaciónconél mismo,el gemelo Piensaqueeradeesperarse los queviajabaseestabamoviendoconvelocidaduniforme:el reloj,el metabolismo, y. La desaceleración Iatidoscardiacos,etcétera,se fetfasabanun factor 'l'T:@m. aceleraciónen el punto de retorno ocuparonun tiempo tan cofio que no afectarlan esaconclusión.La paradojaaparececuandoel gemeloviajeroseconsideraenrepo3o, mientrasque el gemeloque se quedóen Tierra,junto con la Tiema,se muevena la que velocidadu en direccióncontraria,segúnel gemeloviajero.Esteúltimo esperarfa joven. que ambos pueden tenet no fuera más quedó Tierra en que el gemelo se ¡Claro la razón!

1171 40-4 'DtLtaélón 'ilel tlcrapo y contr¡cclón dc le longltud

r172 Capitulo40

Rclatlvlded

crpcclel

No hay pa¡adoja: el gemelo viajcro no siernprc se cucuclrtra e¡) un ¡narco de referenciainercial. Se mueve con velocidaduniforme la mayor ¡:artedel tienrpo,pero experiment¡ una desaceleración,primero, y despuésuna aceleración,en su punto de retomo. Asf, no puededecir lo mismo acercadel retrasode los relojes, cotno sí puede hacerlo zu gemelo. Desde el punto de vista de la relatividad especial,sólo el gemelo que se queda en casa, que siempre perfnaneceen un marco de refe¡encia inercial, puedeaplicar a sl mismo la teorla.En realidad,haciendouso lirnitado de la relatividad general(sobrela que diremos algo en la sección4O-8),el gemelo viajero puedeliegar a un a¡gumento cientfficamente coffecto acerca de por qué y cuántos años es más joven el gemelo que se quedó en casa,cuando termine su jomada, Conttacción

dc la longitud

El rehaso de los relojes en movimiento se acompañade la contracciónde longitudes, en la ditección del movimiento, de objetos que se tnueven, Podemos conrenzarcon un argumento que hace uso de la dilatación del tiempo. De nuevo, yeamos el nruón, partfcula inestablecuya vida media es r=2 ¡.ls.Es tan pequeñaque aun si un muón se moviera a una velocidad cercanaa la de laluz, cr serla mucho lnetror que la altu¡a de la atmósferay, sin la relatividad, los muones que se producetren la alta atlrrósfera decaedan antes de llegar al suelo. Pero; en tealidad, los rayos cósmicos producen cantidadescopiosasde muones en la estratósfera,y algunos de ellos llegan al suelo. Lo permite la dilatación del tiempo. Supongamosque, vistos desde el suelo, los muonesse muevena una velocidad¡¿.Como estfuren movitliento, su vida aumenta Segúnun observadoren el suelo, aproximadamentela mitad de los a rl ./@i$, muones.fecorrefán la distancia l, expresadapor el producto de la velocidad por la vida, ya aumentado: t-ur

(40-1r)

L --

L

t+L FIGURA 40-11 Esquemadc tm rcloj dc dosbrazos,omplcadoparadcnrctrar la contracciórida l¡ long¡tud.Nótosct¡ con ol tp¡nto do , i comoJanza Michclson-Morloy.

Contr¡ccióndele longitud

Estalongitudesmuchomayorquelo queserlasi no hubieraeféctode dilatacióndel tiempo,porqueel factorraízcuadradatiendea cerocuandou tiendea c, En nuestro y de ese casoparticular,la longitudpodrlasermayorquela alturade la atrnóslera, modolos muonespodrfanllegara tierraantesde desintegrarse. a tierracuando ahoraqueel muón "promedio"llegaexactamente Supongamos que Vearnosquéve un observador decae,de modoqueI esla alturade la atmósfera. semuevaconel muón,estoes,queveaal muóncomoen reposo.Mediráqueia vida del muón tienesu valor noimal t. Sin embargo,esteobservadortambiénveráqua en la Tierra;la colisiónconfierra esun llegaa tiena, tal comolo ve el observador eventoque ningún observadorpuedediscutit.Asi, en el tietnpor ve que todala mide quela atmósfe¡a atmósfetapasapor é1,a la velocidad¡¿.Si nuestroobservador tieneunaaltutaL', entoncesla atmósferapasarápor él en un tiempoL'lu.Ese tiempc debeseriguala r. Asf, L' ' ur,o bien,con la ecuación(40-l 1), u2

(10-

El observadorquesqmuevecon el,muónmide que la atmósferaesmásdelgaCaq:e en tiema.Parael observadoren movitniento,la altu;: :: lo que diceun observador la atmósféra,o cualquierlongituden direcciónde su movimiento,ha sufriCo;:: contraccién de longitud, en un factor ,fT:@i6. ,uOtromodo de ver que debehabetuna cohtracciónde longituda lo largc :: ,: direccióndel tnovimiento,es modificar el reloj que hicimos al principio ie e.= otta idéntica,enringulorecto(truisve=¿l': sección.A la varillaoriginalag¡egarnos ella (figuta 40-11):El mecanismose modifica para que el foco sólo se e:'.c:::.', cuandoambosrayoslleguende regresoal mismotiempo.Estosepuedelo-::'a:s: .:s

I

o o o o o o o o

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o o o o ar oi ol ol

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o o o o o o o o o a o o

O O

o o o o o o o o o o o o o o o O o o o o o o o o o o O o o

longttudes de las varillassonidénticas.Cadadestellodel foco esun evento,y esos \ar eventos seobservandesdecualquierma¡codereferenciainercial.Supongamos ahora queel reloj semuevea la velocidad¿ endireccióndela segunda varilla,conrespecto aun observadoren el marcode referenciaF'. Segúnel observadoren esemafco F', elviaje redondode la luz, en la varilla transversal,es

2Lr

(40- | 3)

Eltiempodeiday vueltadela luz gueviajaa lo largodela varillahorizontalesel tiempo, /¡, quetardaen llegafal espejo,sumadoal tiempot'2quetardaen regresar. El espejose muevehaciala detecha,de modo que la luz, en su viaje haciael espejo,recorreuna distancia adicionalrt'¡, Si, segrinel observador en el marcodereferenciaF', la longitud dela vatillaesl', lue esla cantidadquedeseamosdeterminar,entonces

A cn rcposocon rcspcctoa B; B hac¡,marcascn A (NOESPOSTBLD

Parael viaje de regreso,el foco se aproxima al espejoa lá velocidad r, de modo que (c) el tiempo,i'2, queiarda'en regresa¡es c fz - L ' -u t' z' Deesasdos ecuacionesobtenemos( ¡ y | 2,respectivamente,y los sumarnos: T.r

-¿

L' c -u

L'

2L'IC

c+u

l -(u2' c2¡

-

T

(40-r4)

(40-13)y (40-14), lasecuaciones Esto, sinembargo, debeseriguala T', y comparando ilegamos a L'= L JT:@|Ff, que es la contracciónde longitudde la ecuación (40-12). Nótesequela contracciónde longitudsólosepresenlaa lo largo de la dirección delmovimiento. En la figura40-12sepuedever queno hay cambioen direcciones t¡ansversales al movimiento. 4 0 -Z E l ra d i o d e n u e s tragal axi aes 3 x 1020m. (a) ¿A qué E J E M P Lo velocidad debe viajaruna nave espacialpara cn:zarla por completo en 300 años, medidos dentro de esanave? (b) ¿Curintotiempo tra¡scurriría en la Tiérm durante la travesla? SoLUCION: (a) Nuestro viajero hipotético esta¡ia en reposo dentro de la nave espacial,y verfa que la galaxia pasaa cierta velocidad, u. La galaxia se contrae en dirección del movimiento, y lo que debe reco¡rer en 300 años de "tiempo de la nave" es la longitud contralda, a una velocidad u. Si I es el di¿imetrode la galaxia,entoncesel di¿imet¡ocontraldo, según la ecuación(40- 12), es _

TI

$

(b) ^m

Ct'1 = l'+ Y¡'r.

-'

EL

f,t Jt t A y B cnrcpco

l:-:

!r

Tt t¡d o -f E;i

.

^m" $, B cn rcposo con rcspccto a A; A hacc ma¡cas cn B (NO ES POSTBLE)

I'IGURA40-12 (a) Dc varillas, A y B, ticncn la misma longitud cuando estdn cn roposo cntro sí. (b) Ahora las yarillas so. ¡corcan r¡na hacia la ot¡a. Dosdc cl punto do vista dc la varilla A, la B sc acolaría on dirccción tr¡nsvcrsnl ¡ su movlmlonto. L¡ variUa Q, slnrn/tdneamente,puJría lncu m¡rcas ccrca dc los cxtrcmos de l¡ varilla A, como so indica. (c) Si cl princtpio do rclatividad cs válido, cntonccs,dcsdo cl punto do vista dc B, A sc acolaría también. Esc acortamicnto podria marcarlo A cn B. Pcro, si so llcvan al rcposo las varillas y sc comparan, la marca cn A, dlgamoe a los 0.8 m, fuo hccha por la marca de I m dc B; la ma¡-cacn 0,8 m dc B fuo hccha por la marca dc I m do A. Un'evonto", rogistrado por las marcas, so ha visto on forma distinta por dos ' obscrvadorcs, lo cual cs imp<xiblo. l¿ única solución posiblc os quo no pucdo haber acolalnicnto en dircccionos pcrpcndicularcs al movimionto.

I

Si el tiempo que se mide en la nave es T, entonces, la velocidad necesatia es

, 'F:fura

L' l) :- -

T

T ' = podemos de la siguienteforma: escribir Asf,I G2lT\lL - Q?lc')l,que L' x: -.)^- (l - x), x obtenemos enla cual x = u 2| c2,Cuandodespejamos L' ^

-

.1 L

TV

)ñ)' I

r773

rr74 Capitulo 4O R€lrrlvld.d

opeclal

Sa b e mosque¿ - 2 (3 x 1020m)= 6 x 1030m,y que 1n=(3O0ai ros) ( 3. 15x10 s/ano) = 9.5 x lOes. Esto da como resultado (6 x l 0ro.rn):

"

Y:--

(6 x l02o.rn): x lOe$)2 + (l x 108.m/$):(9.5 36 x l0ao 136x l01o)+(0.8x l0r7)

I r+ [;xl \,' ,

Asl, r,/c: r(:

vll - C . l0=T = I * l.-s - 0.99999.

nruypróxitnaa la de la luz puedereconei Sólosi la naveviajaa unavelocidad distatrcias enun tiempo"razonable". lasgigantescas (b) Vista desdela Tiema,la galaxiano estácontraída,y la nave viajaa 0.99999c.El tiempodel viaje,vistodesdela Tierra,es,entonces, 1 !!:T.-arios. : - 2 x l0rr s : 64,000 t-. -:L- -:--¡rñ (0.99999X3 x 108.m/s) ¡' ei observador'eil la tierra ver¡iqueel rcloj clc'lanavesólolnarca Sin embargo, viaja dc uno a olro ladode la galaxia. años cuando 300 'I

4O-.5 coRRrMrENToDoppLERRErLTrvrsrA .t

Et corrinricnto Dopplcriprrr cl ¡onido eedescribió cn el crpitulo 14. i I

El corrimientoDoppler parael sonido describelos canrbiosde altura del sonidodel silbato de un tren cuandose acerca,pasa,y se aleja de un observador.Cuandouna fuenteen movimiento que etniteondassonorascon frecue¡rcia/ se rnuevehaciaun observador en feposo, en relación con el aire, la frecuettcia observada,/', esú desplazadarespecloa la frecuenciade la fuente según t' '-

-.:! -

la uotaciótr,para representai es la'ecuaciórr(14,50). Henroscatnbiadoligerárrrente con u, en lugar de u' la velocidadde la fuente,y la velocidaddel sonido por c. e: lugar de u. Si la fr¡enteestáen reposocon respectoal aire,y el observadorse mueve haciaella, entoncesla frecr¡enciaque llega al observadores

l . t, = .t.(*,i) \

'/

que es la ecr¡ación(14-54),con un cambio semejantede nomenclatura.Las f¡ecue:.' cias/' no son igualesen los dos casos,de modo que es posible,tnedianteuna medic:.':de frecuencias, y el conocinrientode la velocidadreiaiir:. exaciadel desplazatniento calcularsi es la fuenteo el tnovimiento el que se mueve en relaciótrcon el mei:c. que es el aire. La razón de la diferenciaentre los dos conimie¡rtoses que, pa:r el sorrido,hay utr marco de ¡eferenciapreferente,que es el que está en reposc ::i il::..respectoal aire. El corri¡nientoDoppler, para la radiaciónelectrouragnética, yendo la luz, no puede,segúnel principio de relatividad,distingr.rirentrelos dos ;:,s:s y, por lo tanto, debe tener una forma disti¡rta. 'Pa¡a deducir el'corrimie¡rto Doppler para la luz, i:naginenrosuna iuz ::: centelleoperiódico, que se mueve a la velocidad¡¡hacia el obsen'ador(figura i-':-i -: I-a fuentese colocaen el origen del marco F', Supongaque se emite un pulsc :e .:: cadainlervalode tiempo /, de modo que la frecuenciade emisión esJo = i i. ''.-,;¡ poralguien que se mueva con Ia fuente.La observadoraestaciona¡iade ia je:e::,: ve que el marco de referenciaF'se muevehaciaella a la velocidad Ifjie e, l:::',:': ".

o o o o o o O o o a o O o o o o a o a o o o O

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o a o o o o I o o o o o o a o o a O o

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Obscrvadora ostacion&ria vc ondas dcsplazadasal

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{ :' l,a fucnto rcmr¡ovo haci¡ la dcrccha -u micntras cmito onda<

C¡rimtcaro

Dopp¡crÉ¡¡¡Hr

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FIGIJRA 40-13 Efccto Dopplc¡ ¡sociado con cl movimisnto rolaüvo dc r¡rn fucntc luminosa y un obscrvador. lá obscrvadora hacia quicn la fucntc so mucvc, vc qua los frcntos dc onda cstán concc,ntrados ; (disminución dc la longltud dc onda), y ¡rr co¡¡slguicr¡tcvc un co¡rir¡lonto lucl0 ol ¡zul. h obscrvadoradc la cual sc alcJala fucntc vo los frontcs do or¡da más distanciados(mayor longitud dc onda), y por lo tanto, vc t¡ri corrimicnlo hacia cl roj,, T¡mbién so dcbc aplicar un factor dc dilataclón dcl ücmpo.

ent¡ela llegada de la primera onda y la (N + l)ésima, y ve que es ¡. Ve que hay N ondasen la distancia cf, acortadapor la distañcia uf que se ha.movido la fuente en esetiempo. Así, la longitud de onda es f,-

distancia número de ondas

at-ut .N

l c-u)t N.

y la frecuenciaquedeterminala observadora es ccN

:

f : 1:

"'

(c-u)t

1

NI l-(ulc)t'

=- -

El efecto de la dilatacióndel tiempo nos da una relaciónent¡e r y r. I-a observadota mide que el reloj de la fuenteseret¡asa,de modo que el tipmpo, r, gue mideentrelos pulsos,es

'r

.=-_;-+===. ' Jt - 1u2¡c2¡

Como, esel tiempoen el queseemitenNpulsos,tenemosque

f :Nt:'-:L.

N

^ -1 u ¡c ¡' tt-l I

- - - =- =_-

Jt -fu'lc')

N r' r r; ._:1_2t^^1

v 1-i i, ' t . :r"l '"L.1-(ulc )

,

,

:'.',(40-t5)

J + (t podemos Si empleamos I - I esctibirla ecuación,(40-15) - x)(l x), enla siguienteforma: |

,

.^ tl + fulc) I

¡ - - - .-

.tt-.to { t_ 1 ui c¡l -

{40- I 6a)

E¡ la cual, /6 es la frecuenciade la fuenteen su'marcode teferenciaen feposo,y /¡

Corrimiento Dopplerpereh luz

o ,o iO io quc IIIGURA 40-14 l-aslíncascspcctralcs sopucdcnatribuir a un clemcntoospccífico csüindcsplazadas ¡ mcnorcslongitudcsdc ond¡, cn comp¡rsclóncon las liricas cspccEalcsparacl mismoclcmcnlo cn la I Ticra. Estodosplaz¡micnto h¡claol tono cl¡¡o indicaquola cstrcllaVogasc cstri ¡corcandoa nucst¡oSol.

esla frecuenciaobserv/dadesdeun marcode¡eferenciaquesemuevea ulravelocidad u conrespectoa la fu{nte.Los dosmarcossemuevenunohaciaotro,a unavelocidad podemosusarl - c// relativau, y la frecu{nciaaumenta.En lugarde la frecuerrcia, paraexpresarla longftuddeonda,,,¡, queve la observadora entérminosde la longitud de onda,.xa,de la fufnte: 1 - (ulc) It:A o (40-16b)

| +614

y disminuyeIa longitud A estecaso,cuandola fuentesemuevehaciael observador sele llamacorriomientohaciael azul. Sepuedeinterprelarquela de ondaoservada, o la del receptothacia velocidadu es la de la fuentehaciaun teceptorestacionario, Segúnlosprincipiosdela relatividad especial, no hayforma unafuenteestacionaria. de distinguir entre esasdos posibilidades.Si la fuente se aleja del observador, entoncesdebemoscambiarel signode ¡¿en nuestroresultado,y

[t-:1,,i1

(40- l7É¡)

Jt:JoVi +( r /,t la longitudde.onda es Enformaequivalente, ,

/.t

:

i

lt + (rk ) / ------

(40,r7b)

.-

^^

Asf, la frecuencia decrece,o la longitud de onda aumenta,en estecaso. El espectro visible estri desplazadohacia el roio, y se dice que las ecuaciones (40-17 a y b) describen un corrinúento hacia el rojo relativlsta. Es el caso de Ia observadora esüacionariade la derechade la figura 40-13. Implicaciones

cosmológicas dcl corrirniento

Dopplct


[¿s mediciones del corrimiento Doppler de la luz estelarhan demostradoque éstees fundamental en la evolución de la astroflsicay la cosmología tnodemas. Err una de sus aplicaciones,el corrimiento Doppler sc emplea para calculai las velocidades de estrellasy ottos cuerposradiantes(véaseotra aplicación en el problema 56).3La radiación que emiten los átomos y las moléculas se caracteriza pot las líneas especftales,que son frecuenciasdiscretas,o bandaslnuy angostasde frecuencia,de radiación especialmenteintensa.Esaslfneasespectralesson una firma de los elelnentos y sus compuestos.Si se observatoda una sucesiónde lfneasespectralesen la luz esüelar,que corfesponde a otra secuencia de lineas espectralesobservadasen el laboratorio, y están desplazadasesasdos secuenciasdeterminado factor, sabremos entoncesque la fuente de la luz estelar es la tnisma que la del laboratorio, Perose mueve con una velocidad que se puedecalcular medianteecuacionescotno la (40- l6) (veasefigura 40-14). Uno de los usos más interesantesdel conimiento Doppler lo encotrtróel astrónomo &lwin Hubble (figura 40-15). En las décadasde 1920,1930y 1940,estudió las lfneasespectralesde un gran número de estrellasen galaxiaslejanas,y etnpleattdo FIGURA 40-f5 &lwin Hubblccn cl olr¡cnrtorlo Mo¡¡¡6¡t¡¡oRü¡,¡¡ lp4B,

1176

¡ Ot {o¡rñr tt¡ob¡cm¡ .f6 ¡¡rr¡ obterrcrtrt npllcttclóI.

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o ,o o o o o o o o o o o o o o t o o o o o o o a I o o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O

o o o o o o o o o o o o o o o o o

los briilos caracterlsticos,conocidos de ellas, estimó"sudistancia.a la Tiena. HufUl" descubrió que los espctros de Ia mayor parte de esas.estrellas lejanas están corridos hacia el tojo, lo cual quiere que las galaxias de esas ."t."ltu" se alejan de _decir nosot¡os. Encontró que la velocidad de alejamiento dc las galaxias, ett relación a nuestraSalaxia, esproporcional a su distancia a la Tierra.Este resultado se conoce como ley de Hubble, y tiene la forma matemática

1174O-5

Conl¡ntcnto

Doppld

rct¡rlv¡,

Ley de Hubble

D :h .

(40-l8)

Enella,D esla distanciaa unagalaxia,u esla velocidadde recesiónen relacióncon nosotros, y r/es la llamadaconstantede Hubble,queresultaser.Iy'=2.5x l0-l8s-1. El hechode que la distanciay la velocidadse¡nidanconrespectoa la Tierraparece dadea nuesttomundounaposicióncentral.Estaaparienciaesdecepcionante. Si todas las esttellasy galaxias se apaftan entre sf, errtoncesun observadorubicado en cualquiera de ellasverlael mismoefecto.Estoseve conclaridadsi nosimaginamos unmodelosencillode puntosuniformessobreun globo(figura.40-l6a).Allnfla¡ el globo,todoslospuntosseapartanunodeotro,y cadaunodeellos"ve" quelosdemás seapartande él (figura40-16b).El modelode las galaxiasquese alejanentresf es partede la teorfacosmológicadel big bang (la gran explosión),segúnla cual el universo comenzóen un puntoy sufrióunarápidaexpansión, En esateorfn,ln ednd deluniversoesdel ordende H -t, o sea13,000millonesde años. Las medicionesdel corrimientoDoppler,junto con la ley de Hubble,permiten calcularlas distanciasa las galaxias.En la décadade 1960,los astrónomos, usando encontratonfuentespuntualesde radiaciónmuy intensa,en los rndiotelescopios, cual,es se observ¡ronconitnientoshacia el rojo muy grandesUJlo= 0.3). Esas fuentesson cuas¿r¿s,r objetoscuasiestelares.Se llegó a Ia conclusiónque los emiteneno¡fnescantidadesdeenergfa,y apa¡eceel problemadel mecarrigmo cuasates cadavezmáses porel cualseptoducetantaenergfa.Una explicaciónquese acepLa por presencia de agujeros de maüeriaoriginadas la quehay enonnesaceleraciones deradiación. danlugara grandescantidades negros;lasaceleraciones E J E M P L o 4 0 - 3 Los estudiosde un cuasa¡indicrr queuna lfneaespectral cuyalongitudde ondaen el laborátorioes 121nm, tieneunalongitudmedidade querige 358nm. ¿Conquévelocidadsealejael cuasarde la Tierra?Suponiendo la ley de Hubble,¿cuálesla distancia,en añosluz, del cuasara la Tierra?' SOLUCIoN:l,a ecuación(40-i7b) es la fórmula del cortimientoDopplei para obtenemos matemáticamente longitudesdeonda.Manejándola

(t)'('-, -

1 - L-

u

Cuando despejamost/c de esta ecuación,vemos que

u _( A' lldl- | . c ( A,lA)*" | Los datosnuméricosdanX"rl)r- (358nm)/(l2l nm) * 2.96,de modoque a/c 0.79,y l ¿ - (0.79X3,00x 108rrVs)- 2.38 x 108m/s. Aplicandola ecuación(40-18),obtenemos

D:h :(#H#g):oe5

x ro26m

FIGURA 40-16 (a) Un gJobocon p¡..úüc6 rcprosontsruu amlogia dcl universo en cxpansión dc I lubblc. (b) Al i¡rllarsc cl globo, los puntos sc alcjan cnt¡c si, a r¡rÁ vclocidad que dcpcndc dc la dista¡rie enr:: clloe.

Como 1 año luz - (3.15 x 107sX3.0Ox 108m/s) - 0.95 x 1016m, el resultadoes D - l0l0 años luz. Esa distancia está casi al "borde del universo", y la luz que llega a la Tierra transmite infonnación del cuasar de hace 10,000 millones de años.a Suma rtlativlsta

de vclocidades

Supongamosque un observndorA nrideque la velocidadde un objetoesvl; a su vez, un observadorB determinaque A se ¡nuevecon una velocidad u respectoa é1.Según la ley de Galileo, de suma de velocidades[ecuación (40-4)], el observadorB medirá que el objeto se mueve con una velocidad vz = vr + u. Como veremos pronto, este resultado tan sencillo no puede ser consistentecon la relatividad especial, Podemosemplear el corrimiento Doppler dc la luz para encontrar la itnportante ecuaciónque describala manerade suma¡ velocidades.Supongatnosque una fuente emite luz con frecuencia!s, en marco de referencia en reposo (figuta 40-17). Un observadorque se aleje de la fuente a la velocidad u¡ a lo latgo del eje.r recibe una ftecuencia desplazadaal rojo, /t, Si ese observadot,O¡, dewelve pulsos de luz con frecuencia;f¡ hacia otro observador,02, que se aleje de O¡ en la misma dirección a la velocidad u2,corl respeclo a O¡, espetarlanos que la relación entre la frccuencia, /2, recibida, y la frecuencia original, /0, fuera la frecuencia /e desplazadapor la velocidad, Iz, del segundo observadoren relación con la fuente, En la lnecánicano relativisLaesperaríamosencontrat el conimiento comectocon la fonna galileana l/' ut + tJz,Ahora emplearemosel procedimiento de arriba para obtener la contraparte relativista de la forma galileanapara la suma de velocidades.No nos debesorprender que la fórmula necesitemodificaciórl, porque para ur - u2 ' 0.8c, por ejetnplo, ut + u2 es ñalot que c, lo cual no permiten nuestrasecuacionespara la dilatación del tiempo y la contracciónde longitud,las ecuaciones(40-10)y $O-LZ)' l,a frecuencia,f ¡, medida por el observadorO¡, es, según la ecuación (40-17a), J L

IüGl.rRA 40-17 Ur¡,¡fr¡cntclur¡inc¡ cmito uru frccucncia/" vista comufrwucucia ¡f, por t¡¡¡obsorvadorO¡ quosomucvc a h El obscwador vclocidadu, hacial¡ dcrcct¡,a. O, vuclvo a omitir un dcstcüocon frccucncia/r, vista por un obscwador02, quc sc muovohaclala dcrcch¡ a la vclocidadu, con rcspcctoal obsorvadorOt. @l obscrvadorOr somuovoa la vclocidad Iz con &spoctoa la fuontooriglnal.) El obsorvadorO2mldo un¡ f¡tcuo¡¡cla/¡ cn la la loy dosumadc i luz, consistontocon volocid¡dcs.

_

| - (urlc) JO

| + (urlc)

Si ese observadorde inmediato emite un rayo de luz hacia el observador02' quese mueve a una velocidad v2,relativa a O¡, de alejamiento,entonces,la frecuenciavista por el observador 02 es J2

_

| - (uzlc) | + (urlc)

JI

4 El cstud.iodc las lincas cspcct¡alcsde los cuasarcsnc da información accrc&do ciclas cantidadcsfísicas hacc 10,00Omillor¡cs do añc. Dc csc modo s¿bcmosquc la carga y la masa dcl clrctrón no h"r¡ cambiadocn mds quo aproxlmad¡mcntc I p¿r1ccn l0'' por uio.

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o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O

o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

Podemos elimrnarJ; expresendoj¡ en temrinos de jrr, )'de l¡r velsiJsd t:, que desconocemostodawia,del observador02 en relación co¡r la fuente. Tenenrosque

r17. {O-5 Corknlcnto

Dopplcr rr¡¡ttvk

-

: L, /Lq/-r [ 1,;,i,:i t, -'tt'V '12 I * t r'¡l { r + ti'r/.:t' quepodemosvolvera escribiren la forma l(n'r)

.t 2 - .to

| + (Vlc)

cuando eleva¡nosal cuad¡ado Url fú en sus dos formas, e igualamos,obtenemos

| - (v lc)_ [l - (r,,ic)]ll- (u.rlr,)) -

1+ (vtc) f últzc)f-il (¿rl,jl

Dejamosque el lectordespejeI/de estaecuación.El resultadoesIa /¿yde suntatle velocidadcs: t/_

u r + u2

' - T; fut,Jc1'

(40- I 9)

Vemos que, en el lirnite no relativista,cuando uJc y uy'c.son'pequerlos, la ecuaciótr(40-19) se reducea la ley de Galileo de la sulna de velocidaclesi v + ut u2.Pero si u¡ = u2 = O.Sc,entoncesla ecuación(40- 19) dn corno resr¡lfndo I/ - 0.8c, y no 1.0c. Si ut - c, obtenernosque Z - c, independientede u2, de modci que la velocidad máxima es c, y nunca se rebasa. La ecuación (40-19) es una bella demostraciónde cómo se empahna la cinemática relativista con la forma no relativista,o de Galileo, al mismo tiempo que da un resultadogeneralmuy distinto.

EJEMPLO 4 0 - 4 Una fuenteluminosadestellacon una frecuenciade 1.0 x l0t5 Hz. La radiación se refleja en un espejoque se mueve a una velocidad de 100 lc¡/s, alejrindosede la fuente. ¿Qué diferencia tiene la frecuencia de la ¡adiación reflejada, observadaen la fuente, respectoa la radiación original? SOLUCION:Ataca¡emoseste problema del mismo modo que la deducciónde la ley de suma de velocidades.Imaginemosun observadorhipotético que viaja con el espejo.Ese observadorrecibe la radiación, corrida hacia el rojo, de la fuenle, y la vuelve amanduhacialafuentn qte litne,r*grht el t,ln¡'r'twL ¡t .l-Jrr**ytttvbt observador en la fumte ve que esa radiación eslá óesplazadauna vezmt¿sfiacia el rojo, y equivale completamentea los resultadosde la reflexión en un espejo que se aleja. Primlro determinaremos la frecuencia observadaen el espejo.l,a frecuencia emitida es/q. Como la fuente se aleja del espejo a la velocidad u,la frecuencia, rojo: ;f', observadaen el espejo está corrida hacia el

lt - @lc )

J ,: J o lt + lu / . )

Esa frecuencia también es la de la radiación "emitida" por el espejo,en su mafco de referencia en feposo. El hecho de que seauna fuent'een movimiento que emite hacia un observaáor eslacionario no tiene corrsecuencias'pofque el mismo corrimiento de frecuencias se obtiene si la fuente está en tePoso y el observador se mueve. La frecuenci a,f" , que se obsema en la fuente, pOr lo tant1, estd fiás despkuda hacia el roio:

J

_J

| - (ulc)

T+ tulr)

S un¡¡ rel eti üst¡ de vel oc i d¡de¡

1180 C-apítulo 4O - Rclarlvldad cspcclal

a a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

ful' t':r"l'g.1.róf La radiaciónreflejadadifiere de la original en/q - /". Tenemos

ro-r,,= n[,-ffi]= it^?.i _?_)]: wh

x 108m/s)- O.3O x l0-3esmuypequeño, ty'c- (105m/s)/(3.0 Enestecaso, y lo podemos eliminarencomparación conel I enel denominador. Entonces fo- f" -2(l.o x l0r5Hz)(0.30x 10-3) - 6.0x 10r¡H2," que sólo es 6 x 10-avecesde la f¡ecuenciaoriginal Ot¡o modo de llegar a esüeresultado es imaginar la imagen de la fuente en el espejo,como i¡radiando directamentehacia el observadorde la fuente. Si un espejo se alejaa la velocidadu, entoncesla velocidadderecesiónde la imagenestáexpresada por la ecuación(4'G19),con ü¡ : u2- l. C\rando V = 2ulll + (u2lé)Jse zustituyeen la fórmula no¡mal del corrimiento hacia el rojo, se obtiene el mismo resultado.

DE LoRENTz 4o-6 TRANsFoRMAcIoNES en cualquiermarcode referenciaF describiráun eventomediantesu Un observador ubicaciónen el espacioy en el tiempo,en esemarco;estoes,pof suscootdenadas o espaciotemporales. Un observadoren un segundomarcode espacío4emporales, F', describiráel mismoeventoporsuscoordenadasespaciotempotales referencia, en y que velocidad F'. Sean F F' inerciales, se mueven a la u lo iargo eje a del el ma¡co quelos ongenesy ejesde F y F' coincidencuando ¡ entresf. Tambiénsupongamos El origendelmarcoF' enmovimiento, algúntiempodespués t - /- 0 (figura40-18a). porr = üt enel ma¡coF, mienrasqueel mismo,enel marcoF', sigue estáexpresado o siendo¡' - 0. Un evento,quepuedeserunaexplosión,el choquede dospartféulas el destellodeun focode luz,quedadescritopor lasvariables(¿l) en F, y (x',r')enF' (figura40-18b). La hipótesisde un tiempounive¡salrelacionarÍalos tiemposmediantela ecuación(40-5), tra¡¡sformación de GalileoI

t' = t,

y lascootdenadas de posiciónmedia¡tela ecuación(40-3), de Galileo; transformación

x' = x - ut.

Como ejemplo de cómo se aplicanesas/eyesde transfortnación,supongamosque subedeuna explosiónen el origendel ma¡coF (.r - 0) cuandoel tiempoes l. En el marcoF'se describirlacomoqueocure enÍ' = x - ut - -ut,Esfisicamentelógico: el marco de tefetenciaen movimiento,F', habrádejadoatrásal marcoF. Como leyesde transformaciónde galileono satisfacen hicimosnotaren la sección4O-2,1as la bondiciónde que la velocidadde la luz es igual en todoslos marcosde referencia inerciales.l,as leyesconectasde t¡ansfo¡mación,queseconocencomotrensform¡cionesde Lorentz, lasdeterminóHendrikA. l,orentzen 1890:5 y'=y(x-ut); L¡¡ ecu¡clone¡ (4G20), (4S'21), (40-23) y (1+U) ron ¡¡! lr¡nsform¡cloncd ile Lorcnt¿

transformaciones de l-orentz:

f,:

/ i [¿ \

¡¡x\ _l

c' /

(40-20) (40-21)

. ^ sEst¡ fcch¿cs bastantcantcriora 1905,fc¡lu dc publiclción dcl tnrba¡odc [instcin accrcadc la sccorsidcracomol¡ fcch¡dcdcscubrimiontodclarolatividadcs¡rccial. EI pa¡rl rolatividad,q&,porlo gcnt-:rnl, clavodcEirstoi¡t quizi" frr mcnorc¡rcl dcscubrimicntodcnucvasfórmul¡s quoonrounirlosdistintosrcsultadc bajocl dominiodcuru totelidadconccphul.

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o o o o o o o o O o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o' o o

1181 4O{

Tn¡sform¡cloocs

¿.f-orco¡

Evcnto

#

u

./ O' Marco dc rcfcrcncia F'

FIGURA 40-lE (a) I.oe orígcncs dc los sistcrrus do coo¡d6¡¡¿¡lq<,F y F', coincidcn cu¿rido ¡ ' t' - 0. @) Un cvcr¡to sr¡ccdo algún ticmpo dcspu&. Un obscrvador sn ol marco do refcror¡cia F doscribc distintas coordcnndas cspaclo.tomporalos dol cvonto, quo lo quc dcscribc rm obscnador cn ol ma¡co F'.

Estandoy'definidofor 1) E:.

'

Jt - (r'lc')

(40-22)

A esasecuaciones debemos ag¡egar que ff

(40-23) (40-.24)

Las ecuaciones(40-23) y (40-2$ teflejan el hecho de que la descripciónde las coordenadas I y zdeun eventoesigualen los ma¡cosF y F'. Observamosquecuando'lavelocidadrelativade los dosmarcosde referenciaes pequeña en comparación de c (ulc<<1),entonces de T =l,y lastransformaciones Lorentzse reducena las de Galileo,ecuaciones(40-3)y (40-a).Estaesla razón de la necesidad de qud las t¡ansformacionesde I-,orentzno seanevidentesen la mecánicaordinaria.Tambiénsepuededemostrarque,cbmoen Ia ecuación(40-6), la ubicaciónde un frentede una ondaplanaemitidadesdeel origencomúnde los ma¡cosFyF'cuandot- /:0,estáexptesadaWt'i- c2f -O-y2 - c2l2(véase problema31).Esteresultadoreflejala necesidaddequela velocidaddela luz seaigual en ambosnnrcos. De hecho,las trarrsformacionesdel-ntenLzindicanm¡ís:engeneral, x'2-éf2:f-¿f.

(40-25)

que la cantidadf - czf es invariante,lo cual quiere l¿ ecuación(40-25)esLablece Hay un decir que su valor es igual en todos los marcos de referenciainerci¿rles. análogofamiliar tridimensionalen geometrla:para puntosen.la superficiede una esfeta,f * f + 22siemPrees igual.

Un¡ c¡ntid¡d inv¡ri¡nte

1taz CapíruIo 4O Rcletlvklad

cspcclal

Podemosobtener.ry Í en términosde x' y r' resolviendolas dos ecuaciones algebraicassimultáneas, la (40-20)y (40-21).Decimosque el resultadoson las trarnformacionesinve¡sasde Lorentz. Nóteseque si el marco F' se mueve a una velocidadI a lo largodel ejex, alejándose de F, entonces queel sepuedeconsiderar ma¡coF semuevea una velocidad-u a lo largodel ejex, alejándose del lrrarcoF', Asl,las leyesdetransfornracióninvcrsasedeterninano part¡r de lasleyesoriginalcs de transforntaciónmediantcIa sencilla sustituciónde -u en lugar de u:

(40*26)

¡:y(.x'*ut'}l UX,\

t:t(.,

Ttansformaciones de la longitud

de Lorcntz, dilatación

(40- 27)

dcl tiempo y contracción

Podemos usa¡ las transformacionesde Lorentz, ecuaciones(40-20) y (40-21) para volver a deducir las fórmulas para la dilatación del tiempo y la contracciónde longitud. Supongamosque un reloj estáfijo en el marco F enx - 0. Comienza a afldar cuandot - f -0, y su localizacióninicial esx - x' = 0. El tiempo y el lugar de inicio se puedenconsidemrcomo el primer evento.Si el periododel reloj es r, entoncesel primer tictacseráel segundoevento,que sucederdcuatrdo¡ - 0, f - r. Cotr ayudade las transfotmacionesde Lorenlz, ecuaciones(40-20) y (40-2I), vemos quc X.- _ TUf¡

(40-28a)

t'=T.

(40-28b)

en el marcoF' ve el intervaloentre nosdicequeun obsen'ador L¡ ecuación,(40-28b) por un factorde y. Un tictacsdel reloj quese muevecomomáslentoso alargados, observadoren esemarco,por lo tanto,ve que el reloj se atrasa.En el primertictac, seye queel reloj estáenx' ' - TUr- -uf ,lugar del origendel marcoF, visto desde el marcoF'. , I-a fórmulaparala contraccióndela longirudsepuedeobtenersi seimaginauno una varilla de.longitudI en reposoen el ma¡coF. l: longirudde un objetoen su propioma¡códe teferenciaenrepososellamasu longitud propia. Las coordenadas de la vá¡illa sbnx¡ - 0 y xz - L. ¿Cuáles la longitudde ia va¡illa en el marcoF'? ma¡codereferencia, Comohicimosnótarantes,si un objetosemueveendeterminado de los dos una mediciónde longitud sólo tiene sentidocuandolas coordenadas que t'l = f'2. Es extremosie determinanen forma simult¡inea.Así, necesitamos convenienteescogerque ambs seancero; estoes, hacerla determinaciónde la longitudcuandoel tiempo/ 1- t', - 0. Veamoscuálessonesostiemposen el matco F. Tenemosque

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U .tr \ ____: I

Comor¡- 0 Y t'¡ - 0,obüenemos

ol

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Tambiénobüenemos

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/ t,r:ylt, \ y a Como'/2- O xz: I, llegamos

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o I o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o ol ol o

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o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

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o o o o o o o o o o, o o o

loi ro tárrto,vlsi2s desdeel ma¡co F las dos nredicionesse habránhecho en distintos tiempos. Vemos de nuevo que los eventos que son simultáneos en uh'marco no lo son en otro. Podemos determina¡ ahb¡a las coordenadas de los dos extremos en el

1183 4G{

Tr¿osfomb¡gdcLqw

: 7 (x i - u f t) :0'

^l i,

x'2 : y(x, - utz) -

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u 2 t\

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r

t' \' -_ 4 ) :! ,' , I

(40*2e)

Esteresultadoes la contracciónde longitud,observadaen el marcoF'.

E J E M P L o 4 0 - 5 I.a naveespacialA, delongitudpropiaL, üaja haciael Este a la velocidadu¡! la naveespacialB, de longihrdpropia2L,viajahaciael Oesüe a la velocidadu2,vistasdesdela Tierra.El pilotode la naveA ajustaa cerosureloj cuandopasafrentea él la proadela naveB. l-os pilotosde Ia naveestánsentados denftode los conosde proa de susrespectivasnaves.Con las'tmnsformaciories deLorentz,calculeel tiempoen el cual,,segun el piloto de la naveA, pasefrente a él la cola de la tiave B. SOLUCION: Las transformacionesde Lorentz tienen la informaciónnecesaria. Paraproceder,necesitamosidentifica¡doseventc y describirlc en él marcoF; con coordenadas@,!, Z), en las cualesla nave A est¿ien reposo,y en el marco F', con coordenadas(x', !', Z'),en las cualesla nave B est¿ien reposo.Colocamos los pilotos en el origen de su respectivomarco de referencia,Las fórmulasde transformaciónde Lorentz sólo implican velocidadesrelativasde los ma¡cosF y F'. Paracalcula¡la velocidadtelativa,a, empleamosla ley de sumarelativisü de velocidades,.pa¡a objetosqueseáproximanent¡esl. Estaley estáexpresada pot la ecuación(40-19),

Movimlcnto dc B con rcspccto a A .<_

"=r|ffi¡,1

i#:-

Si lasnavesestánalineadascon sustespectivosejes,r y x', el f¡enLede la nave en.r - 0, y su colaestáen x'' -'L A en su propiomarcoen repososeencuentra (figura 4O-igu).Igualmentl,el frente de la naveB estáen {' = O,y t,r.purtu (a) posteriorest'áen ¡' - 2t. El tiempoen el que Pasanlas Proasuna frentea otra es que podemosescogefcomo efectutindot.cuandot ' / '0. Nuestras "l "rr"nto ecuacionesque relacionanlos marcosF y F' son x,_ylx+ut)

v

2L: y(0 + ut) = yut; l2L u?

A (cnrcpco)

,Movimicnto dc B con rcsPocto a A .<_

,,_r(,.3)

Asf,x = 0, t : 0 yr' - 0 y f = }son consistentes. El segundoeventode interespamnosotrosescua¡do pasala coladela nave B frentea la proade la naveA, cuandox' '2L y x - 0 (figura40-19b).Dad"s x, y x,podemosdetermina¡f, el tiempoparael eventoregislradoen el malcoen' reposoáe la naveA. Cuandoesosvalotesde¡1y.r seintroducenenlasecuaciones querelacionan¡' y ,' con ¡ y f, obtenemos

tl

I.

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"*.rM -{$;SF¡: 0

.t/. ''l .

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A (cnrcpco) (b) i FIGIJRA 40-19 (a) Ejonrplo4G5. Evcrüo cspccificadopor cl parc dc lasproasdc hs' mvcs A y B. @)Evcntocspocificadopor cl pasodc la cola dola navcB por lr proadc h n¡vc A. A¡nboscasos,dcsdool pnnrtodo :. . vistadc un obecn¡ado¡onla n¡vo A; la navo B sc vc acortad¡

I

1184 Cepítulo

4O Rclatlvklad

GlFclal

Es el tiempo que anota el piloto de A cuando pasa frente a él la cola de la nave B. Es un ¡esultado razonable: el piloto A ve que la longitud de la nave B se contfae deZL a\Qy. Cnmola nave B se mueve a una velocidad ü en relación con la nave A, el tiempo que tafda en pasaf es la longitud observada, 2Lly, dividida entfe ¡l.

: EJEMpLO 40 - 6 un tfen de longitudpropia2L 500m, se acercaa un tunel de longitudpropiaL - 25Om. La velocidaddel tjen, ¡l, estal que y= quela U ,tI- @tl|- 2. Un observadoren reposocon respectoal tunelmide longituddeltrensecontraeen un factofde 2, hasta250 m, y espefaquetodoel ten-quepaen el túnel.Un observadoren el tten sabeque la longitud de éstees 500 m, y que el túnel se contraeen un factor de 2, a 125 m. Por lo tanto,el el ttendicequeel ttenno cabráenel túnel.¿Quiéntienela razón? observaáoien Paraanalizaresteproblema,comenzalnoscon dosmarcos:el marco SOLUCION: F, queesel marcoen reposodel tunel,y el marcoF', queesel marcoen tePoso en el marcoF asignaríala posicióndel lado izquierdodel ¿at"t. Un observador Un observador túnelcomo.r - 0, y.el ladoderechocomo¡ - L (figura 4O-2Oa)' posterior, x' ' -2L y en el marcbF' asignaal frcntedel tren-x'- 0, al cxtre¡no comprobarque,medidoen el lnBrcoF, el (figura40-20b).Piirneronecesitamos confinnarque,medidoen necesilamos trensf cabeen el túnel.A continuación, estaparadoja. el marcoF', el trenno cgbeen el túnel.Al hacerlo,explicaremos 4O-2Q,y en la figuta medianteflechas doseventos,marcados Identificamos por tanto eventos los Sedebenespecificar en ambosma-rcos, los describiremos tren al túnel. del es la entrada su posicióncomopor su tiempo.El primerevento l,os relojesen losios *"r"oi se ajustande tal maneraque ii:ando t - f ' - 0, el frentedel tren (.x'- 0) coincidecon el iado izquierdodel tún,:l(¡ - 0), medido enel ma:'coF cuandoel tiempof = 0 (figur'r40-20a)y potul¡ por un obse¡¿ador óbservadoren el marcoF' cuandoel tiempo/ - 0 (figura40-20b)'El segundo del ext¡emode¡echodel túnel(x - L) con el frentedel eventoesel alineamiento tren (.x'- 0), medidopor el obsen'adoren el ma¡coF (figura40-20c),y por el en el ma¡coF' (figura40-2fr)' respectivamente' obsen¿ador l Segúnla ecuación(40-20),x' 'l<x - ¡¿t)'Pa¡ael segundoevento'

Q: .,,(L- uú), Marco F' (nurco dcl trcn, cn movüniento) Evcnto l, t'= 0 I

Marco F

(marcodcl nrrrcl,cn rcpco) Ev c nt o 1 . ¡ - 0 I

i

f-F-:ffi4qñl

.L FIGLJRA¡10-20Ejomplo4&6' Dos cvrfllG asociadoscon ol pasodc un trcn muy rÁpidopor un hhrol: la coinctdcnciadcl fnntc dol ücr\ prtncro co¡rcl lado izquicrdodcl hlrrcl, y scgrndo,con cl lado dcrcchodcl tü¡ol. f-aspartcs(a) y (c) mrnt¡¡n lc ovc¡ttosdc acr¡ordocor¡u¡¡ obscrradq cn cl m¡¡co dc r¡forcr¡cl¡ dcl nirrcl; las partcs(b) y (d) mucstranlos cwota do acr¡c¡docon rm obecrvadoron cl m¡¡co dc rcfcrcnciadcl trcr¡-

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de modo que r - Llu.Es el tiempo del segundo evento, visto por el observador en el marco F (figura 4O-2Oc).El cálcülo de f' mediante' la ecunción de transformación de Lorentz, ecuación (40-21), t' - yIt - (uxlcz)], da como resultado

o o o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

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Es el tiempodel segundoeventomedidopor el observadoten el marboF' (figura 40-20d).¿Dónde,segúnel observadoren el marcoF, se encuentrael extremo posteriordel trencuandot : Llu?Tenemos

x,= -21:?[,- l3\1: yg_ L). L \,r/l Despejamosr de aqul, y llegamosa x - (-2Lly) + L - 0.Por lo tanto,en el momentomedidoen el marcoF patael segundoevento,la parteposteriordel tren está,verdaderamente, eir la entradadel túnel. Observadoen el marcoF, el tren cabedentrodel túnel.Queremosdecirque el observador en el marco F ve que el ftente estáen la salidadel túnel,y Ia parteposterioren la entrada, al nismo tiempo,que,enl¡este caso,es t = Llu, que el obsetvadoren el marcoF' no ve que el tren cabe Comprobaremos en el túnel.Eseobservador consideraqueel tren estáen reposoy el túnelse muevehaciael tren. ¿Cuáles el lugar, en el marcoF', de la entradadel túnel cuando'eltiempoespecificadoesel eventodel alineamientodel frentedel tren y la salidadel túnel,que es el valor dex' cuandon - 0 y el tiempo/ - Llyu? Sustituyendoesósvaloresen Ia ecuación(40-26),obtenemosel resultadode que.r - 0 implicaque¡' - -ut' - -Lly - -Ll2 (figura40-20d).Asf, desdeel punto de vista de un observadoren el marco F', sólo hay un cuartode tren dentrodel túnelcuandosu narizalca¡zala salidadel túnel. y vearrros, desdeel ma¡coF', el tiempo Hagamosunaúltimacomprobación, en ia entradadel tunel.¿Cuáles r'al cualla parteposteriordel t¡enseencuentra f' cuandox' = -2L v ¡ = 0? Tenemosoue ft

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tl Lll \,.-/J \l _(r{ :c:) Este tiempo es distinto del tiempo t' - Lluy, cuando ei frente del tren alcanza el final del túnel. Así, el observadoren el tren, en el marco F', mide que el final del tren pasa por la entrada del túnel en un tiempo posterior. El observador en el marco F' dirá que el frente del tren pasa por la salida del túnel antesque el final pasepor la entrada.Las diferenciasentre las interpretacionesde los dos observadoresse deben a sus distintasnocionesde sirnultaneidad. ¡Esas diferencias permiten que ambos estén correctosen sus afirlnac ione s !

o o o o o o o o o o o o o o

Transformaciones

de Lor"entz de campos eléctticos y magnéticos

Las ecuacionesde Maxwell predicen la velocidad de la luz. Por consiguiente,debe ser evidente que los calnpos eléctticos y rnagaéticosdesempeñenun papel distinto en la relatividad especial.En el capffulo 31, vimos que para mantenerinva¡iancia de Gaiileo (invarianciabajo las leyes de transfotmaciónr' = r - u¡ y f' = l) de la ecuación Cefuerza de Lorentz, los campos eléctticos y magnéticos se deben mezclar entre sl cuaido los observamos desde distintos matcos de referencia, En.las ecuaciones .i i -:2) y (31-23),respectivatnente, dedujimos las leyes de tmnsformación de Gaüleo ,ari

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FIGTA{ 40-21 Un condrctor portador dc corrlonto, obscwado dcsdc dos marcos (a) Dcsdc cl marco cn cl cual bl alambrc cstd cn rcposo. En csto ü -íc¡encia. cl ¡lambrc cs clóctricnrlcntc ncutro. (b) Dcsdc cl marco quc sc mucvc con crs¡, b cr.gas pcitivas. En cstc cnso, cl alnrnbrc adqulcrc un¡ dorsfulnd¡¡ct¡ dc cargl.

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E,-E+(uxB); lr¡rcr de tr¡n¡formeclón de G¡lileo pc¡'¡ c¡mpoe electromagnóticoe

L¡.c corrient.-s eléctric¡e ec dcc¡'ibicron .n cl c¡pitulo 27.

B'= B. Como de costumbre, Ias'primas indican que el campo se mide en el marco de referenciaF'. La sustitución de la ley de transformaóiónde Galileo para el tiernpo y posición,,por las transformacionesde Lorentz, quiere decir que también los campos electromagnéticosse transforman en fotma distinta. Vamos a describir brevemerrte el origen fisico de las leyes de transfoimación para esoscarnpos, I.os campos eléctricosson el resultadode la presenciade cargaseléctricas,y los camposmag¡éticos son el resultadodel movimiento de éstas.Veamos un ejemplo de córno se afectan las distribucionesde carga eléctrica debido a las transformaciones de l¡rentz. Supongamosque en un marco F, un conductoreléctricamenteneutro lleva una coriente en dirección +¡. La corriente estáformada por cargasnegativasque se mueven con determinadavelocidad de desplazamientoen dirección -r, contraun fondo de cargaseléctricaspositivas estacionariascon los mismos intervalos (figuta 4O-2la).Este conductor produceun campo magnético,pero ningún compo eléctrico, Ahora veamos el mismo conductor, observándolo desde un marco F', que se mueva a la velocidad de desplazamientov¿ (figura 40-2lb). Un observadoren el marco F' verla que los electronesen el alambre est¿inen reposo y que las cargas positivas, los iones, se mueven en dirección +¡, Demostraremos ahora que lir neutro en el marco lelatividad especialimplic a queel conductor no cs eléctr:icamente F'. Un observador en el marco F medirfa que los electro¡restienen rnenos espacio enhe ellos que lo que ve el observadoren F', dcbido o la contracción de Lorentz, En otras'palabras,el observadoren Fl mide n¿ír espacioentre los electronesque lo que mide el observador en F. El observador en F' mide menos espacio entre los iones positivos que lo que mide el observador en F. Para el observador en F', los iones positivos se están moviendo. Asl, si el observadoren F ve la misma distanciaentre

que entreionespositivos,el observadoren F'no estaráde acuerdo,y cl electrones neutro,segúnel observador en F'. Parael obserya alambre no seráeléctricamente campo eléctrico' vadoren F', hay un afecta quedebidoa la maneraenla cualla relatividadespecial Hemosdemostrado al espacio,la presenciade un solo ca¡npomagnéticoen un marco de refere¡rcia introduceuncampoeléctricoenotromarco.Es deestaformaquesurgenlasleyesde entrecampos.Un cuidadosoanálisiscuantitativode casoscomoel transformación queacabamos de desctibirda comoresultadoel conjuntocompletode las transformacionesde Lorentz entre los camPoseléctricosy magnéticos.Esas leyesde' junto conlastransformaciones deLorentzdeespacioy tiempo,dejan transformación, de Maxwell. Puestoquela físicasde las ecuaciones invariableslas consecuencias deMaxwell, físicasde lasecuaciones velocidadde la luz esunadelasconsecuencias esavelocidades igual'entodoslos marcosde referencia.Hemosrecorridotodoel clrculoconunadescripciónconsistente.

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+o-7 CANTIDAD

11r

DE MOVIMIENTO Y TNERGIA EN LA REIATTYIDAD ESPECIAL

4{F7 Cenr¡d¿d'& inoVfaforo y cncrgíe cn l,e rclatlv¡d¡d crpec¡r¡

Cantidad de movi¡niento La necesidadde modificar nuestrasnociones de espacio y tiempo sugiere que las definicionesde otras cantidadescinemáticas,que se basanen medicionesde espacio y tiempo,tambiénrequierenmodificación.En mecánicano relativista,lacantidadde nrcvintientode una partícula que se mueve con velocidad v es p ' mv

L¡ c¡ntid¡d de moümientoy suc pr^opiededcs sc dcecribcn en el cepitulo 8

A veces llarnamos al coeficiente de v en esta expresión, la masa en reposo, m.En ausencia de fuerzas externas, la suma de las cantidades de movimiento de las partículas que interactuan es constante; esto es, se conserva la cantidad total de movimiento: 'Tr

LPt" f " constante' La cottservaciónde la cantidadde movimiento tiene su origen en la terceraley de Newton, y es un principio válido, tanto no ¡elativista como relativistamente. La cantidad de movimiento, en relatividad,.es una cantidad que se asigna a particulas en movimiento y tiene .las propiedades siguientes: (a) en ausencia de fuerzas extetnas, se conserva la suma de las cantidades de movimiento de las. partículasque interactúall,y G) en,el límite, cuandov :- 0, p * ¡¡¡v.Tan sólo,en basesdimensionales,esperalnosque

ntf(u)v , .P ' u : 0; además, enlacuallafunción/(ú) debeseri cuando La /(r.')esadimensional. función/(ü) dependesólo de la magnitud de v, de modo que /(u) debe ser función de u:. Como / es adimensional,debeóé¡ función de r.ff c2,o sea,de la combinación,' ' ya fatniliar, y - ll{T:@i$, ' Un análisis algo ldrgo de choques entre pafículas de igual masa nos lleva al ' resultadoque /(u) - ¡ de'modo que mv n= m ' .1

(40-30)

::

C¡ntided dc movimientorel¡tlvl¡t¡

Cua¡rdo(ulc) ..1, estaecuaciónse reduceal resultadonormai parabajasvelocidades,

p - , , ' ¡ v ' L a s;e u n d a l e rd e N e frn ,or *' *;],,' l^ t':;

' .r ^..,.

=nr;(j'u). of o¡

(40-31)

L'naconsecuencia de la modific'aciónrelativistade la ecuaciónde la caniiiludde. novimiento es qqe F y du/dr ya no necesilantener ia misma dirección(véase. 46). ;roblema Energíacinéticá PodemosemplearIa ecuación(40-31)paradeduciria ecuaciónrelativista.de.la (6-8).El trabajo del trabajoy la energía, ecuación eiergiacinética, K, conel teorema pafapasarunapartfculademasant,del reposoa la velocidadu,será,según e;ec¡uado energla'cinética de la partfcula.En:elrecuadro el :ecremadel trabajoy la energia,'la -Deciucción y de la energlacinéticarelativista", llevamosa cabo.lasoperaciones .-e:a;rosa

l)=r,.r(r;ffi K':mc2(i-

- t)

(40-32) .

{L:GrlcT =t - GIZÓ; demodoqueenellímitedebajas l-::.:: ::¡j espequeño, .:-¡c-'.ies.K sereduce GQ. nolarenlasección hicimos domt/l2,como alacostumbra

Energiecinétice¡'el¡tiügt¡

1188 C,apítulo 4o Rchtlvlded

DEDUCCION cspcclel

Deducción de la energia cinéticc relatlvista Para simplificar, deducircmos la ecuaciónde la energíacinética, K, en uu dimensión. DefiniremosKpara una pailícula como el trabajoefectuadoparahacerpasara una partículadel reposo, cuando f - 0, a una velocidad u, cuando f d t. Así

* =l o " :l ;r fa r =J '.,0 , Ahora empleamosla ecuación (40-3 I ) para la fuerza:

Fu= umfi trrt=^r'fl +^*H. equivalea El primertérmino ¡lr¡ v/ _=-#a

dr

.l

I

dt Jt _ ()21c2)

-l('- :;)"'(-t1, i; ii)=(:l),

Asi, el integrandode la ecuació¡r(B I - I ) asumela fonna

[""(5)* "]'# enestaecuación rectangulares es El factorenlosparéntesis

u,,, ,'[(5)" *,]=^,1¿#r\* ']=,,,,[-*m]= Bl-2, esjustam"nt",r"2 ,*í, ,fr ,y, comoindicala ecuación ao Asl, ef i.nte.gran fl. "",nf

= K= m,z!]d, ^r'1,,:', f' queesla ecuación(40-32).

Encrgía asoclada con la masa del Einsteinhizo notarqueserelacionanla energiay la masa.Es posibledemosttar, colrla energía.Supongarnos siguientemodo,quela inercia(masa)estárelacionada que hay un vagónde ferrocarrilde masaM y longitudL, detenidosobrelos rieles, Imaginemosque hay un foco fijo a la paredinterior izquierdadel furgón (figura 40-22a).En determinadotiempo,el foco emiteun destellode luz haciala pared derechadel furgón.Comovimosen el capltulo35, si la energfadel pulsode luz es conel destello,cuyamagnitud hayunacantidaddemovimientoasociada E, entonces de la cantidadde movimientoimplica que el furgóndebe es Elc, La conservación moversehaciala izquierdaconunacantidadde movimientoigualy opuesta(figura 40-22b).ComoIa masadel furgónesM, éstesemoverácon velocidadtal que

Mu :

!

El tiempo,f, que tardael pulsoentrelas patedeses '

ct= L- ut,

porquela paredderechasemueveahomhaciael destellode luz. Asi L c -F(ElMc)

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

o

o o o o o o o o o o o

O,

o

t

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o

1189 4G-7 Centl.l^d dc movl¡nlcatov cncryíe en la relat*taad cspcclei

F-1)_-_..-]

FIGURA 40-22 (a) uru fucntcru¡ntnosa dcntrodc'n ñ'gón dc fcnocarrilcmito un1:ulso,elcctromagnótico quotrsrlsporta racncrgía¿. L¡ c"anti¿¡¿ dc [¡oümionto ocoroa8r rctroccso,p Elc, ponc cn marchaal furgón,En c.stccasosomr¡cslrr cxagcrada la posicióndcl ccnt¡odc masa.(b) Esrcmoíimicntoccsacuando pulso or -cs-absorbido cn cl ot¡oext¡cmodcl vagón.'

La distanciaque recorre el vagón en ese tiempo es rr¡ ^EL'.EL

lr:

(40-33)

Mcc*(E/Mc)

E+Mc2' Después dehabersemovidoel furgónunadistanciaD, sedetiene,porquela luz, con sucantidadde movimiento,esabsorbidapor la paredderechadei si la cantidadde movimientoseha de conservar,el centrode'agon, m-asa del furgón, con.todo y foco quedestella,no sedebemover.sin embargo,el furgónse hamovido haciaIa izquierda.según lo anterior,debemosinferir qi"-I" en la luz es "nJrgíu equivalente a unamasap transpottada por el destello,y qu. auru ." muevehacia "r"tal la derecha,cuandoel furgóns" muevJhaciala izquierda,de modoqueel centro podemoscalcular igualandola posición, demasaperrrianece estacionario. X, del ¡.r centrogeneralde masaantesy despuésdel destello.supongamos posición la iue inicial.delladoizquierdodel vagónes!áen¡ o. se pu"a" .oLiaerar, entonces, que elvagónesun puntomatedal,demasaM, queiniciaimenteestáenx = I-l2.Entoncls, antesde emitir la luz,

* -0')(o)+-(Y-?.&lz) - M L

p+M2' tt+'M' Después queseha absorbidola luz en'ellado derecho,en la posición x = L - D,

* -@!!- , D)+ Ml(Ll2)- Dl

T

Igualamosambas ecuacionesy despejamosa para encontrarque iu

MD

L_ D, segúnla ecuación (40-33),L - D : LMc2l(E+ Mc2),ycuandosustituimos aL - D y a D en la ecuaciónde p, obtenemos ,, - Y' Lt ^t

EA@-+ Mc\' WAl@-+.Mñ=

E 7'

E esequivalente a.unarnasap, de acuerdocon la ecuación E = pc''.

(40-34)

Relaciónentre masey energia

11 9 0 Crp¡tr¡lo {O .nc¡¡t¡vld¡.|

erpccht

Estees un resultadomuy importante,porqueindicaque la masay la energíason concePtos intetcambiables. Podemoslti""iir aqufel razonamiento, diciendJquesi un objetotieneunamasa¡í, entoncestieneuna energiaen reposoE - mc2.La luz no tienemasaenel sentidonormal,perocualquierenerglaquutunguequivaleu unu . nrasaE/c2.La energfatotal,E, de cualquicrob¡utovienca ,"r la ,,ilrrnde la energfa' cinética,la energlaen reposo(o energfade masa,4,, .^),y la energfapotencial.pára unapaftfculasobrela cualno actúanfuerzas,no hay energfapotencial,y E=Iir**r-K:

nrc2

(40-35)

,/l - Qizlc2) De acuerdoconesteresultado, y con la ecuación(40-30), Velocid¡d en términosde le c¡ntided de moümiento relatiüsta y de le enerS¡¡

, = L! E

(40-36)

E J E M P L O 4 0 - 7 El núcleo8Beesun isótopoinestabledel berilio.Decae endospartfculas alfa,sBe* nHe* aHe.[¿s masaiatómicas, expresadas enuma, unidadde masaatórnica,son M(8Be)- 8.005305uma, y M(He) - 4.002603 uma.óSupongaque decaeun núcleode 8Becuandoesláen reposo.Calculela enetgfacinéticade losnúcleosde helio(pnrtículas alfa),en MeV. SOLUCION: se debencorrservar tantoenergfacomocantidadde movimiento,y esasleyesde conservación son la basepararesolverel problema.El EBeestá iniciatmenteen reposo,de modo que la cantidadtotal de movimientoes cero, siempre.l,os dosnúcleosdehelio,por lo tanto,tienencantidades demovimiento de.igualmagnitud,perode direccióncontraiia,y, por consiguiente, lasmismas cinéticas, ener-glas La energlainicialesexactamente la energladebidaa la masa del 8Be.La energfafinal es Ia sumade las energfasen reposoy las energfas cinéticasde lasparlículasalfa.Igualamoslasenergfas inicialy final y obtenemos + K,o,¡. E = M (tBe)c2= 2Mq4K,e1c2 La enetgíacinética Kror"rs llama valor Q en las reaccionesnucleares.Está expresadaporladiferenciaentrelasenerglasenreposoinicialyfinal:

*

a a I I

se ha comprobado,en innumerablesocasiones,la realidadde la ecuación4n* nE2t en una gran variedad de reaccionesnucleares.Una confirmación más "rp"Ii', tacular de esta ley se vió con el descubrilniento de la antinntcria. La mecánica,;, cuántica,aunadacon la relativjdad, indican que para cada partfculahay una antipar- ,, tlcuh conespondiente.La antipartículatiene una carga opuestaa la partlculo,y urrar antipartfculay una partfcula se puedenaniquilar entre sl, produciendouna radiación: electromagnética(figura 40-23).Igualmente, con sólo la energfa de radiación, se pueden crear una partfcula y una antipartÍcula.La conve¡sión de energla, en forma de radiación,en masa,se ha comprobadosin lugar a dudas.

FIGUR,A 40-23 En e^stafotografía, rn antiprotón quc cntrn (línca infcrlor izquiorda) choca con un.protón cn rcposg y sc aniquila, producicn
q

u)cz "3;iitl?- ;,Íffi?'tu)rc2 - (00000ee

Empleamosel factorde conversiónI u - 931.5MeV/c2paraobterrer

: (o.ooooee.u)(Yry9A : o.on, K,o,J *"u. 6l:s masas atómicas se u-sai mt¡cho en Ia fisica nuclcai, porque las masas del clcct¡ón son igtulcs cl ambc lados,y las cncrgíasdc enlaccdc Im clect¡oncs*n t- ¡.qutñai quo sc pucdc no tcncr en cuentacualqui!; difcrcncia cn csascncrgias dc cnl¿cc.

a a a a e t t

e a a a !

o a a a a I a a a a I I I I I I I I I I I I I I

o O

o o O o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

Como ariba ya demostmmosque la conbervaciónde la cantidadde movimiento implica que las energíascinéticas de las'dos partlculas alfa son iguales, cada partlculaalfa lleva una energíacinética de (0.092 MeV)/2 = 0.M6 MeV.

1,123i : 4O-7 Canttdadd.;Ñ cncrgh cn la rclatlvldad cspcclal . I

E J E M P L O 4 0 - 8 U n m e te o ti to d e a nti materi ade l .0kgchocaconl aTi erra. (Soiose trata de un experimento imdginario o "de pensamiento";rro hay evidencia firme de que haya antimateriaen tan gtandescantidades.)¿Cuántaenerglase liberaen el procesode aniquilamientoen el que toda la antimateriay una cantidad igual de materia se conviertenen energlaradiante?No tengaen cuentala energfa cinéticadel meteorito,(ulc) <<1. SOLUCION:La energla en reposo de la masa M es Mc 2, La antimateriainteracciona con una cantidad igual de materia en el procesode aniquilación, de modo que la cantidad de energfaliberada esZMczz E - 2 M c 2- 2 (l .o k g )(3 x l O Em/s)2- 1,8 x l 0r7 J, Para tener una idea del .significado de este resultado, la cantidad de energfa (qufrnica) en 1 tonelada de TNT es 4.2 x 10e J. La expiosión del meteorito generarlael equivalentea 4 x 107ton de TNT, o seaunas40 bombasde hidrógeno. como combustiblepara los Se ha sugeridola aniquilacionmate¡ia-antimateria viajesinterplanetatiostripulados.Es el combustiblemás eficienteposible. Rclación entre cncrgía y cantidad de movimiento dc una partícula Hayuna relación importanteentre la cantidadde movi¡nientoy la energÍade una partlculaque se mueve,De acuerdocon la ecuación(a0-35),tenemosque nr' 2 r l -

¡'1 -

_

| (u'lc') paraplcz, que es una cantidadcon las La ecuación(40-30) nos da una expresión mismasdimensionesque E2: r r r : r ' :/- 2

'

I - [r'' c-)

entreestosresultados es Ladiferencia = tr2ca. Fz - t." Dzc2: "''.11==(t ,{: ,=) ffi\r. Estaecuaciónsepuedeescribittambiénen ia siguienteforma:

E=./'F¿;Wa.

(40 -37)

(40-38)

Notaretnosque para cualquier partfcula sirr masa (partículacon nt = 0),

E=pc.

t

(40-3e)

La luz obedecea esta ecuación,y, por consiguiente,se comporta como partícula sin masa.Hay otras partfculasque son, dentro de la exactitud que permiten las mediciones,tambiénsin nrasa.El neutrino es una de ellas.Como la velocidadde una partfcula semide con la relación de p a E, como en la ecuación (40-36), vemos que las ntuevena la velocidad constantec. No hay matco de partículassin masa.sientpre.se referenciaen el cual se lleve al reposo a esaspartlculas,o bien, lo que es lo mismo, . a cualquier velocidad distinta de c. Sabemos que esto es cierto para la luz, pero tambiénque es cierto para cualquier otra partfcula sin masa. También vemos en la ecuación (a0-37) que la combinación É - p'r' es invari¡nte. Las cantidadesinvariantes tienen el mismo valor en todo marco inercial¡'de igualmodo que c2É - l, como se vió en la ecuación(40-25). Esto puedese¡ de valor :a:aei análisisde los fenómenosde choquerelativista.

Relaciónentie Ia energie,cantid¡d de movimientoy m¡s¡ de un¡ prr4icule

*40-8

r1g2

MAs ALLA DE r-a RELATTwDADEspEcrAL

Capitulo 4O Rcht¡v¡dad apcclrl

El principio

dc cquivalcncia

La relatividad especial expresa la equivalencia ffsica de todos los marcos inerciaEl principio de equivelencir en rclatividad generel

les de referencia.En los marcosno inerciales,o en aceleración,es válida ot¡a equivalencia flsica. se expresa por el principio de equivalencia, que formuló E i n s te i ne n 1 9 11: No es posible,experimentalmente,distinguir entre un marco de referenciaen ¡celer¡ción y uno inerciel dentro de un potencial grevitacionolsetcccionado en forme adecuadn,si las observecionesse llevan a cabo en una pequeñaregión del tiempo y del eepdcio. Hay varias consecuenciasde este principio, que es el que está detrás de la rclatividad general,que también se conoce como la teorla de Eir¡stein de la gravitación; fueron descritas en la sección l2-8. Los mencionaremos de nuevo:

f\'..

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:ii _ ._ .___._ti i r-

^-,-,--,. ---.--,-----r\E-2- --- --' -'--:-'T\t:: : r'

r- - -

J

L ----:*---l

FIGURA 4GZ Un pulso lurninoeosc dirigc haciaun olovadory.ponctrocn él.1Sl cl cfcvadorcstl cn rcpo¡ó;it putsotlcg¡rl¡ al punto Q. Si cl olcvadoracclc¡ah¡cia. ¡¡rib¡ cor¡rm¡ m¡g¡rttudg, miont¡¡s ol pulso dc luz lo cn¡za,un obscrvadordcr¡trodol clcvadorvcría quo cl dcstolloslguola traycctoriaparabólicaquc sc marcacn linca dc puntoe,y quc flrulrnonto llogn al punto Q cn le parcdopucsta,a r¡fu dlst¡ncla A abaJo daQ'

A. La igualdad de la masa gravitacional y la ntasa inercial.La masa gravitacional,no, el atributo de un cuerpo que apareceen la ecuación de Newton de la energla

poüencial gravitacional Gmromro

¡|

l /:

- ..#

r

y la masa inercial, ra¡, el attibuto de un cuerpo que apareceen la ecuaciónde proporcionalidad entrela fuerzay la aceleración, F :

ffiie,

debenseriguales.Comoconsecuencia, todoslos cue{poscaena velocidades iguales en un campo gravitacional.Si un cuerpo de masa m eslá sujeto a una fuerza gravitacionaldebidaa un cuerpode masaM, la relaciónF - n¡aes Gm^M fttqi i-: no dependede la masadel cuerpo.La igualdadde la masa si rn¡- mo,la aceletación inetcial y la masa gtavitacional se ha comprobadoexperimentalmentecon una exactituddeunaparteen 10¡1. B, La ilesvlacióngravitacíonal de la luz. Si un haz horizontalde luz entrapor un agujetitoa un elevadorqueacelerahaciaattiba, con una aceleracióng, entonces, en el tiempo f que tatda la luz en cruza¡el elevador,el nivel horizontaldel agujero sehabrámovido haciaaniba unadistanciagPll. Si el anchodel elevadoresL, la lur llegaráa un lugar Q, a una dista¡rcia

^:)q(i)'

por debajodel lugar Q' que est¡ídiametraly horizontalmenteopuestoal agujerito , (figpn 40-24),Un observadordentrodel elevadorafirmaráqueI al:uzcaea esaaltura. i no hay experimentoquepuedadeterminarsi el Segunel principiode equivatencia, elevadorha aceleradohaciaarriba,o si ha permanecidoenreposodentrodeun campo j FIGITRAá0-25 Estalm¡gcnssuonón¡rcs' formadapor wu lcnto gravitacional, dcmrrcstraquolo masadasviaa l¡ luz. La masado uru galari¡ rcl¡tivamcntoccrct¡u h¡ dcsviadola luz dc rm cuasardotnisdc clla, dc tal nrodoquorc puedcnobsorvar cuatro imdgcncsclarasdcl cuasar,dcsdcla Ticrra. I.a rnanchadifi¡sadcl ccntrocs cl núclcodc la galaxia.

graviüacional. Por lo üanto,según el pdncipio de equivalencia, la luz debe caer en un campo gtaviüacional. Nótese que A es la misma disüanciaque caerla cualquier otro

sondos: implicaciones cuetpo.I"as 1. Todo io quu tiene energfacae con la mismaaceleración en un campo gmvitacional. ' 2. l-a,luzsedesvfaal pasarcercadelasestrellas,comodesuibimosenel capltulo i 12 (figum 40-25). :

:

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o I o o o o o o o a

or ol

ol ol

OI

o o o o o o O o o O o O a a o O o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o I o I I

t I

I t

o

1193 \1/

4O-8

ffiffiwM)

Ft¡ento

Más sllá &

l¡ rclarlv¡d¡d

apcrfei

Fucnte

/,\ I

)

j-

A

) \ Y

(a)

l'I

(b)

C. El conimiento gravitacional hacia el rojo. Cuando Ia luz "cae" suf¡e un catnbi<¡de frecuencia.veamos lo que pasacuafidouna fuente luminosa, a una altura ¡ sobreel piso, en presenciade la gravedadlocal, emite una radiaciónde frecuencia / (figura 4O-26a).Según el principio de equivalencia, un observador que vea al sistemaque acelera hacia arriba, con una aceleracióng en el espacio vacío, debe descdbirla flsica del fenómeno igualmenle bien. Si cuando sucedela emisión est¿in enteposotanto la fuente conro el detector,entonces,segúnel observadorque ve que todo el aparatoacelerahacia arriba, en el tiempo que tarda la radiación en llegai al detector (t = xlc), el detector habrá adquirido una velocidad hacia arriba cuya magnitudes u = gt : gxlc (figura 40-26b). Así, el detector ve que la ¡adiación tiene unaffecuencia f', con corrimiento Doppler hacia una f¡ecuencia mayor que la de emisión,/, Las dos frecuenciasse relacionanmediante

f'= f

I + (ulc) .u !

1 - (,tlr)

:

t *-

c

,9X | +''

c2'

Sepuedeconsidera¡al factor g¡ como url potencial gravitacional, @:expresaremos la energlapotencial de una masa /,¡ en la cercarrlade la Tier¡a como ngx - nrS.De estemodo, el efecto de la Tierra se afsla en el factor ó - gx.Nuesto resultadode la telaciónde ftecuencias tiene la forma

";: f',4I ) t- t .l

Lf

f'-f

(40-40)

c'

ó

(40-41) ffc' Apliquemosahoranuestrotesultadoa la graüüaciónurriversal.l¿ dife¡enciade errergla ptencial,paraun4 Ínasam y r:rraesftellade masaM y mdio .R,enhela superfrciede la estrellay un punto alejadode ella es -GmIvI/R.Asl, podemosasigrrara la eshellaun ptencialgravitacional correspondierrbe iguala-GMIR l-a ftecuenciadela luz gueemite lasuperfrciede la estrellay llega a un telescopioen la Tierra tieneun corimie¡rto

Ll f

GM Rc2'

FIGURA 40-26 (a) Aparato para rncdi¡ l¡ frccucncia dc la luz cmitida cn ls Tic¡ra, dcntro dol campo gravit¡cion¡l tc¡rcst¡c; g os la acelcracióg hacia abajo, dcbida a l¡ gravcdad. (b) Mcdición dc un corrimicnto Dopplcr dcbido a l¡ acclcración dcl dctccro¡ (como partc dcl sistcma total) cs indistinguiblc do lo quc sc obscrva cr¡ando ol aporütosc cncucntra cn un potcnciel gravitacional; g cs la acclcración (lucia arriba) dcl sistcma.

r794 Capitulo

4o

Relettv¡d¿d

GPcclal

No tomamos en cuenta la "cafda" hacia la superficie de la Tiema' El signo menos indica que la frecuenciase ha desplazadohacia el rojo, hacia las frecuenciasmenores. Asf, la iongitua de onda crece, lo que indica un corrimiento gravítacional hacia el

/ /, 1 2 x1 0 - 6 . M= 2 x 1 0 3 0 k g in =z x lO s m, d e mo d o q u e A=/ 2 rojo.P ^r^Jlsol, delsodio,enel caractetlsticas llneasespectrales dealgunas Lásúltimasmediciones espectfosolar, ha confirmado esto con una exactitud de 57o. En una medición terrestredel conimietrto gravitacional hacia el rojo, hechaen l96O por Robert Pouncly Glen Rebka,se "dejó caer" luz cleuna torre elr la Universidad x de Harvard. Este experimento midió un desplazamientofracciolratio de 3.3 10-15, c o n u n a e x a c ti tuddel % . Cuando el potencial gravitacional es muy grande,el corrimiento de frecuencia, 1, la frecuencia de la luz se Arf, se hace grande.En el caso extremo en que (Aflñ: luz. Se ha formadoun agujero ncgro. puede ver la se es, no desplazahastacero; esto ia teorfa cornpletade > cuenta en se tietre (GM/Rc2) l. Cuando Esto sucedecuando giiutein de la gravitación,un agujeronegro se forma cuatrdose cumple la condición modificada (GM/Rc2) > i .

La teorfa especialde la relatividad se basa en dos postulados: l. [¿s leyesde la flsica son igualesen todoslos mntcos itrercialesde referellcia 2. [,a velocidad de la luz en el espacio vaclo es igual etr todos los inercialesde referencia.

a de Galileo,queaplicamcs la noció¡lde invariancia generaliza El primerpostulado de El segundopostuladosehajustificadopor el resultado las leyesde la mec¿inica. que no hay evidenciadeutr marcode referenciaabsoluto' de y Morley, Michllson de espacio¡ de los concePtos un replanteamientc' requieren postulados Los velocidao una a y se lnueven F F', de referencia, inerciales marcos ¿or Si tiempo. relativar, entonces en e. en el marcoF no son simultáneos 1. Dos eventosque son simultáneos marcoF" 2. Un intervalode tiempo,quesedeterminacomoTen un "reloj" en rePosce;i el marcode referenciaF, esiguala T' en el ma¡coF': deltiemPo: T' = dilatación

T Jl- - (u'lc')

ie:er::-: 3. La longitud de un objeto en reposo en el lnarco de referenciaF, se L': es F' referencia de y es ¿; en el marco contracción de lotrgitud:

enelmaicocere:e:enc:e queinadiaconunafrecuenciafi 4. Unafuenteluminosa F': de referencia el marco en quetieneunafrecrienciafr, F, seobeerva JL -

JO

segun u¡ y - u2,respectlvaitente' 5. Si dosobjetossemuevencon velocidades ce ma¡co ei: e1 vista de un objeto velocidad la entonces un observadof, es otro del referencia

o o o o o o o o o O o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o

o o o o o o O o o a o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o O o o o o o o O

o o o O o t o a

, :1+#fu. develocidades: leydesuma

' (40-1e)

1 l

El corrimiento Doppler telativistade la luz tiene ilnplicacionesastronómicas importantes. La medición del conimiento haci.aef rojo de la luz de una galaxia, expresadopor la ecuación (40-17), co¡rducea.unvalor de la velocidad, u, a la cual la galaxia se aleja de la Tierra. Esa velocidad, a su vez, se relaciona con la distancia D a la galaxia, mediante la ley de Hubble: ar -

u.

(40-l8)

etrla cualI/ esel parímetrode F.Iubble, de la edaddel universo. númerocaracterístico Las coordenadas espacio-temporales de utr eventose describenen los marcos inercialesde referenciaE y F' medianüe(r,f)y Q',t'),respectivamente, Esascoordenadasserelacionanmediurtela transformación de Lorentz; ¡':y(x-uf)

(40-20)

/\ . I u.\\ l'=),lt - , l, ('/ \

(40 2 l)

por dos coordenadas Un eu"ntose puedcespccificar en la cual y-l[n -(u2l--iFr.. sepudencalcularconlas cualesquiera de (x, f, x' , t'), ! las otrasdos,a contfuruación, coñy' - !, y z' - z, leyesde transformación de Lorentz,quesedebencomplementar cuandoel movrnientorelativoseda en dirección¡, La cantidaddemovimientorelativista sedefinecomo p=

. n.lv r:------;-;'r \J r - lu' l c' )

(40-30)

La ecuación general entre la enetgíay la masa ¡t es E = pcl,\a ecuación (40-34).I-a energlatotal de una partfcula es r_ - :

nrc2

(40-35)

------

J t - @k\

y consisteen wa energla err feposo asociadacon la masa de la partícula, E** de la ener$la cinética relativista,

K: nrcz[--1--

_ ,l

LJI - (Drlcr)

- nt?,y

(4O-7)t

J

La velocidad de una partlcula estáexpresadaen términos de cantidadde movimiento y energla,de acuerdo con

Y:

c'p E'

(40-36)

La energlay la cantidadde movimientoserelacionanmediante

E:.t4p76

(40-38)

Parapartfculassin masa, E - pr,ecuación (40-39). Einstein amplió su teoria más allá de marcos inercialesde refe¡encia,proponiendo el principio de equivalencia,según el cual distinguirentreun marcode referenciaacelerado No esposible,experimentalmente, enformaadecuada, y uno inercial,dentrode un potencialgravitacional seleccionado se llevan a caboen una regiónpequeñadel espacioy del tiempo. si las observaciones I

importantes: Esreprincipio tieneconsecuencias

t 19r

1796 Capitulo,l0

1. Las masasinercial y gtavitacional son iguales,resuhado que se ha comproRelar¡v¡ded

esFclal

bado con una exactituddeuna parteen l0lt.

) l'ah¿z cae,en un campo gtavitacional. 3. Una fuente que imadia con frecuencia/ en un potencial gtavitacional f, se observaráque irradia con una f¡ecuencia/' tal que f,

PREGUNTAS

¡

J

,Ó rf-T.

(40-40) c-

rfgido? l. ¿Puedehaberalgo aslcomoun objetoperfectamente dc la 2. Cuandose dice que "los relojesse atrasan",¿depende direcciónen la cualsemuevan? 3. l,a masaenreposodeun protónes937McYI c2.¿Cómopuede tenerunamasaunidadesdc encrgla? traves(a 4. Medidodesde la Tierra,¿cu:íleseltiempomlnirnode entrela Tiena y Alfa Centauri,lasegundaestrellamáspróxima a nosotros,queestáa 4.3 añosluz dc distancia?¿Porqué no se'pucdeacorlaresetiempo? deMichelson-Morel experimento 5. Supongaqueseefectuara corto de tiempo,mucho ley en un intervaloarbitrariamente menorque I dla, y que no indicarahuellasde movimiento por el éter. ¿Essuficienteesteresultadopara descartarla presenciadel éter? la 6. Segúnuna soluciónquese propusoparahacerconsistente perimentoMichelpresencia del e.,, del éterconlosresultados son-Morley,hay una resistencia del éter:por algunarazón,la en Tierra arrastracon ella una burbujade éter,al desplazarse expericl espacio.¿Puedcustedimaginarlas consecuencias mentalesque se podrfanargumenta¡paradesca¡ta¡esaidea? 7. Se golpeaa una pelota de golf tan bien, que viaja a una velocidadde 0.95c,peroestan robustaqueno sedeforna por el golpequerecibió.Vistapor el golftsta,¿quéformatienela pclota al ir por el aire? 8. Si un espejose alejade unafuenteluminosaa unavelocidad 0.75c,la imagendel espejo¿sealejaa unavelocidadl.5c de la fuente? 9. Hace varios años,los ast¡ónomosencontra¡on,viendo a un entrcclcriosmáxlmos cuasarmuy lejano,quclasscparaciones de i¡tensidad aumentana una velocidadde unos 0.2 ms de arco por año. El cuasarestá tan lej:rnoque la velocidadde separaciónse traduceen'u = 8c. ¿Significaestoel fin de la de la relatividad teor'íe espccial?

radiaciónde mayor frecuenciaque se hayaobsewado.¿Sr' la teorlaespccialde la relatividad? tendrfaqueabandonar por 12. SecuentaqueEinstein,siendoadolescente, sepreocupaba lo que podrfasucedersi alguienaceleraraa una velocidad mayorquela de la luz,semiraracn un espejoal haccrlo.¿Quó eralo quelc preocuplba a Einstein? I3. Supongaque en un conduclorhay unoshombrecitosverdes quepasancargasnegativas, en cadena,de pcrsonaa persona. estandoparadossgbrelascargaspositivas,de tal modoquee conductorpermanezca eléctricamente neutro.El mecanism< ' porunr de cambioparael flujo decorriente,¿serfaobservado cxÍg q, fueradcl conductor?¿Cómolo verfaun observado quesemovieraconla mismavelocidada lo largodelalambre' L4, En unasuperficiehorizontalsinfricciónyaceunacajacerradr demasapeque¡¿.I eqparedes interioressonespejosperfertosd,' todaradiación.Dentrode la cajase encuentra un láser,en l; paredizquierda,y proyectaun destellomuy corto de luz, di¡ectamente a la paredderecha.¿Quése observadesdeei exlerior,y por qué? 15. Segúnla ley de Hubble,unallneaespectralúnica,caracterfstica de un sólo átomo, estádesplazada hacia el rojo, una a la distanciaentrela estrellay la Tiena. cantidadproporcional ¿Cómosabemosque la radiaciónde determinadocolor que pareccprovenirde unaestrellalejanaesla radiación,desplazadahaciael rojo, de determinada lfneaespectralconocida? deconcentración delongitudpareceimplicarque 16. El experimento a la velocidadde la luz, se una varilla de un metro,aceler¿da contnerfa hastar¡npunto,y queseperderfantodaslasmarcasde calibraciónenella,¿Hayalgoinconectoenestemododepensu? 17. En un elevadorqueaceleraincidela luz. Perosi un elevador se muevehacia aniba a una velocidadconstante,un rayo horizontalde luz llegarfaa un lugarbajola proyecciónhorizontalen la paredopuestadelelevador.¿Quieredecirestoque la luz caeenun elevadorquesemuevea velocidadconstante? 10. 1-;n¡va¡illa de 2 m de longitudviaja, con una velocidadtal 18. Cuandose tuvo noticiade la supemova1987a,llegarondesquc I - 2, haciaun agujeroquetieneun pocomenorquc I m partfculas quc,deacuordoconexperimenlellosdaneutrinos, is drámet¡o.¿Cabrála varilla por el agujero?¿Cómove las 'tos en aceleradores, carecende masa.Lo hicieron en varios cosesun obsn'adoren el marco de referenciaen reposocon lugaresde la superficieterrestre.Se creeque esosneutrinos resF€cioa la varilla? la supemova.¿Cómose los emitió todos,simultáneamente, podrfan emplearlas diferenciasde tiempos de llegadapara quc ciertapartfha encontrado 11. Su¡criEaq.:eun investigador comprobarsi los neutrinostienenmasao no? :';a, :c;:.c '.lr neutrino,viaja un poco más rápido que la

PROBLE\L{S 1CI-I ;El necr,:cio¿l éter? 1:jLe:a a u¡¡ velocidadde ó00 mi/h respecto 1. I i*': ¿e-=i.:-...,: a. a-:¿.'"'; ¿ :;c:¿ el Es;e,de la ciudadá a la ciudad8, y

regfesaaz{sin parar.En ausenciade viento,lajornadasetarda 4 h. Otraciudad,C, estáa la mismadistanciade exactamente .á, perohaciael Norte. Supongaque so¡,laun viento del Este

o O o o o o o o o o o o o o o o o a o a o O a o o o o o a o o o o o o o O a o o a o o o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o O

o o o o o o o o o o o o O o o o o o o o o o o o o o o o o

ei Oeste)de oOmi/h, y calculelostiemposquetardael ..'.ac¡a ai'iónen los viajesz{Báy ACA.

*x '

la l. ft) En unaversióndel experimento de Michelson-Morley, l.:z emitidapor átomosde sodio,de 590 run de longitudde :nda, recorreunatrayectoriatotalde 10 m en cadabrazodel hterferómetro.Parala exactituddel aparato,que es de un ccrrimientode l/40 de franja,no se apteciódesplazamiento. Estimeel mayorvalor posiblede la velocidadde la Tierraa t¡av¡lsdeléter.

0.6c

10-2 l-ospostuladosde'Einstcin 3. (lI) Se coloca,sobfeun tomamesaquegira a 1200rev/s,un láser pequeñoy poderoso.Su rayo forma un ángulo de 30' con la horizontal,y llegaa unasnubesa 50 km de distancia. Calculela velocidadcon la cual la manchade luz se mueve por lasnubes.Estavelocidad,¿violael lfrnitede la velocidad de la luz?Expliquesu respuesta.

0fJ

FIGURA40-27Problcma 11.

11. GI) Una naveespacial,de 30 m de longitud,üaja a 0.6cy pasa por un satélite.Se sincronizanlos relojesen el ma¡coderefe40-4 Dilatación del tiempoy contracciónde la longitud renciaS'dentro de susrespectivosmarcosde referencia,y sc 4. (I) Dosgemelossedicenadiós.Uno,astronauta, viajaa Marte. á;ustana cero;de tal modoque/ - r - 0 en el instanteen el que Ei viajetarda3 añosen cadadirección,y la velocidadpromeel frentede la naveF pasapor el punto/ del satélite,ubicadoen dio conrespectoa la Tierraes70,000kn/h. ¿Cuáles,aproxi/ = x = 0 (frgw 4A-27).En esemomento,uneluz destellaenF. madamente,la diferenciade tiemposen los relojesde los (a) ¿Cu:ílesla longitud de la nave,medidapor rurobeervadorc¡i gemelos,cuandose encuentren de nuevoen la Tiena? el satélite?(b) ¿Qu¿horave un observador en el satélite,ensu (c) Cuandoel destellodeluz reloj,cuandola coladeB lo rebasa? 5. (I) La estrellamáscercarua nosotros, P¡oximaCentauri,está llegaa B, cn la parteposteriorde la ruve, ¿cuálesla indicació¡r, a unos 4.2 ailos luz de distancia.(a) Si una nave espacial /,, de un reloj en 8? (d) ¿Cuil es la indicaciór¡f,, del reloj del pudieraviajara 0.80c,¿cuántota¡darfaen llegara la est¡ella, satélitecuando,segúnel observador delsatélite,el destellollega segúnel piloto?(b) ¿Quédistanciamedirfa,entrela Tiena y a t| hoxima Centauri,alguienen ei marcode referenciaque se mueveconla nave? 12. @) Ma¡:fase emba¡caen un üaje cósrnicoa la velocidadde 6. (I) El transbordadorespacialdescribeuna órbita alrededorde QAp$c en relacióncon la Tierra. Antes dc salir, dice a zu hermanogemelo,Juan,quien permanecenien la Tiena, gue se la Tiena a 17,500mi¡h, en 90 min. ¿Cuántotiemposehabrá alejarádurante25 años,tiempo tenestre,y regresarádespuesde duranteun viaje retrasadoel reloj atómicode un ast¡onauta, a5 a¡loe, tambiénde tiempotenestre.De estemodo,Juanseú 50 de 5 dfasen total? añe mayorcuandoregrescella.lr prometemandarun mensaje ld 7. (I) El diámetrode nuestragalaxiaes,aproximadamente, wr radiofónico en cadauno de le cumpleaños(de ella). Segrfur que protón a una un se mueve añosluz, o 102Im. Suonga y cuánta reloj en la Tierra, llegarán eso6 mens¡¡jes a Juan, ¿cu.indo = l0-7. Esasvelocidadescovelocidad tal que {l-1777T edadmástendri Ma¡fa, al regresara Tiera, quecuandosalió? que conorresponden a los rayoscósmicosmásenergéticos cemos.¿Cuántotardael protónen cruzarla galaxiaen (a) el 13. @l) Un conedor¡elativista,quealcanzauu velocidad4 cerq¡¡¡¡r a la de la luz, pasabajo la meta,a una alhuañ sob'resrs ojos. marcode referenciaen reposocon respectoa la galaxia?@) guecontinuará Demuestre ücndo el arcod€Ia meta,auncuando el ma¡code referenciaen reposocon respectoal protón? sis vean adelanle, ojos hacia haslaquehayacorridouru dilancia 8. (II) Una varilla de un metro se incli¡n de tal modo queforma hnllc/T:\77V-n - "thu/cnuís altá del a¡co. lsugerencia: un ángulode 30ocon el ejex. ¿Cómodescribirlaa Ia va¡illa trabajeen el marcode referenciaen reposorespectoal conedor, un obsen¿ador en reposoen un marcode referenciaF', quese e imagfnesegue en Ia parte zuperiordel arco de la üctoria se muevea la velocidadu - 0.80c,en di¡ección+¡, en relación emitenpulsoe deluz,el últimodeloscualessepuedenvercuardo con la varilla? sedirige verticalmentehaciaabajo,haciael corredor.] 9. (II) Un estudiantedebe terminar una prueba en I h, en el ma¡code referenciaF, del profesor.El estudiantesePonesus patinescon cohetesy pronto alcanzauna velocidad0.?5c, 40-5 Conimiento Doppler relativista en relación con el profesor.Cuandoha pasadoI h en el reloj del profesor,¿cuántotiempo habni pasado,determinadopor el 14. (I) Dobletede sodioquieredecir quelas ondasluminosasque emiteel sodiotienenun pardefrecuenciasmuy próximas.ks profesor,en un reloj quesemuevacon el estudiante? longitudesde onda de esedobleteson 589.0 nm y 589.ónrn10. @ Visto por un observadoren r¡n rnarcoinercial de referencia, Supongaque la llnea de menorlongitud de ondade estedoblete un pequeñoreloj que se mueye a r¡rn velocidad constantede se desplazahaciael rojo hastala longitud de ondade 593.Jn¡rf 0.89c,üajaunadistanciade 1500m.Elreloj enmovimientohace en la luz que emite determinadaeshella. ¿Quésucedecon Ia 100tictacsduranteel paso.¿Cwintostictacshaceun reloj idénlongitud de ondadel segrurdomie¡nbrodel doblete? tico, en reposocon relaciónal observador?

r797

15. (I) Una nave espacialacelctaa 0..1m/s2,alejándosode la Tiena. ¿Cuántotardará,medidoel tiempodesdela Tiena, paraquc un faro vcrdc (l . 600 nm) cn la Tiura s0 vca rojo (¡,' 500 ntn) desdela nave?

40-6

Transformacioncsde l*rentl,

24. (I) Lasmedicioncs congalaxiaslcjanasindicanquctodasellas 'scalcjanenlrcsf,a unavelocidadproporcional a susdist¡ncins intergalácticas. Supongaquevemosquela galaxiaI se aleja 16. (I) Determinadalfnea espectral,medidaen la estrellaAlfa denosotrosa unavelocidad0.4c,haciael Strr,y quela galaxia Centauri,tiene una longitud de onda L- 396.820 nln. La '2,a igualdistancia, sealejadenosotrosa la mismavelocidad, misma lfnea,medida en el laboratoriotenestre,tiene una hac.iael Norte(figura40-28).¿Qué ,elociclad de alejamiento longitudde onda), - 396.849nm. Calculela velocidadradial de la galaxia2 medirfaun observadrr en la galaxial? de Alfa Centauricon respectoa la Tier¡a. (II) Los agentespillan a un conductorpor habersepasadoel 17. alto. La defensade éstees que vió quela luz eraverde,como resultadodel corrimientoDoppler.Lo anestan.¿Porqué? Calculclo seriode eslainfracción. que la luz ama¡illade 587.6nm de longitud 18. (II) Se encuentra del helio,estáconidahaciael rojo, al de onda,caracterfstica observarlaen determinadaestrella;su longitudde onda es 6O3.5nm, medidaen la Tiene. (a) ¿A quévelocidadse aleja la estrellade la Tiena? (b) Con la ley de Hubble,calculela distanciaentrela estrellay la Tierra.

I I

19. (II) Pa¡adeterminadocuasar,( L- \)lU ' 1.95,siendolo la

(

longitud de onda de la radiación,medidaen el marco de refereirciadel cuasar.¿Cuáles la velocidaddel cuasar,en quesemueveendi¡ección relaciónconla Tiena, suponiendo dela Tiena?¿A quédistanciaestáel cuasar, radial,alejándose de acuerdocon la ley de Hubble?

20. (II) Una fuenteemiteluz con una f¡ecuenciade l0ri Hz. La señal se refleja en un espejo.quese mueve a 100 lcry's, de la fuente.¿Cuálesla frecuenciade la radiación alejándose reflejada,observadaen la fuente?

FICI,RA40.28Problcma 24.

p - u/c,y ,( siendo {Tf-FIZT:TI (I) [,os eventosA y B son simultáneos: en el marcode refero unafuentequesealeja.deun observador, u la velocidad..de

zt. (II) la ecuaci6n Nh

encia.S y estána 1 krn de distancia,en una lfneaquedefine de un observadorque se aleja de la fuentc,asumauna forma pasana la misma al ejex. Todaunase¡iede navesespaciales sencillasi u espequeñaen comparaciónconc. Demuestreque +¡, y todos han sincronizadosus velocidad en dirección x * B, si I . lo(1 + ¡), entonces,parap pequeña, en relojes,de tal modoqueformanun marcode refetencia.S' ,,, (III) Duranteel viaje quesedescribióen el problema12,Juan movimiento.Cronometranlos eventosA y B, y dicenque manda un mensajepor radio a Marfa, qn cada uno de sus suceden a l0'ó s unodeotro.¿Cuálesla velocidaddelasnaves cumpleafios(de él), y en total manda 50 mensajes.¿A qué espaciales? ¿A quédistanciacn el espaciodeterminanquesc interyalos, medidos en su marco de referenciaen reposo, encuentran los doseventos? recibeMarla los mensajesdurantela partede alejamientoen 26. (lI) En determinadomarcode referencia,el eventouno sucede su viaje? ¿Duranteel viáje de regreso?Con estainformación, cuandocl tiempocs f1 - 0 s, y la posición.r,- 0 m, mientr:rs calculecuántoenvejeceMada durantesuviaje, segúnun reloj queel evento2 sucedecuandot, - 5 x 10:8s y.r2- l0 m. ¿Hay en la Tiena. algún segundomarco de referenciaen el cual esoseventos 23. 0II) Una fuente emite pulsosde una frecuencia/¡. Una nave podrlanestaren la mismaposición,peroen tiemposdistintos? espacialse aleja a una velocidadut de la fuente,y recibc una En casoafirmativo, especifiquesu movimiento con respecto frecuencia/¡, corrida haci¡ et rojo. Supongaque la nave de al primer marcode referencia.Si no es asf,¿cuáles el ma¡co inmediatomandaseñalesde regresocon frecuenciatr, Una en el cual los eventostienenla menor separaciónposibleen segundanave, que viaja;a la velocidadu2,en relacióncon la distancia?(Sugerencia'.useinvariantes.) primera,y en la misma dirección,recibirálasseñalescon una (II) Una nuevanaveespacialde guerra,Klingon, aceleraa una 27. frecuencia/r, desplazadahaciael rojo. (a) Calcule/t y .fz.$) velocidad del planetaXO4T.t¡ máximade0.2c,alejándose Si fueramosa eliminar la priinera nave, considerárlamosque nave una velocidad de 0.25c,en relación la sigue a Enterprise /, esla frecuencia,conida haciael rojo, querecibela segunda qué parecealcanzarIa velocidad con la nave Klingon. ¿Con nave, que se mueve a determinadavelocidad,u, en ielación en el planeta? por observador vista Enterprise alaKlingon, un << úi<< c, que, c como si'tanto u¡ Demuestre con la fuente. que en el marcode referenciaS determina entoncesu - ur + u2,QUees lo que sc esPerapor las reglas 28. (II) Un observador doseventossellevan a caboen el mismo punto en el espacio, normalesquegobiernanel movimientorelativo.(c) Calculeu separados un intervaloAr. Demuestreque cn cualquierotro para valores arbitrarios de ut y ur. Este resultadoes la ley + ur, que u' u, de marco de difiere referencia, esos eventos están separadosen el de velocidades, suma de relativista tiempopor un mayorintcrvalo. cuandou¡ / 93no sonmuy pequeñasen comparacióncon c.

11 9 8

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I I I I I I I

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a a I I I I I I I I I I I I I

o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o I

a o I

o o o

29. (fI) Una partlcula en el marco dá ¡eferenbia F tiene una velocidad u) + uyi. ¿Cuá[es la.velocidadque ve un observador en reposo en el marco F', que se rnueve a una velocidad zi ¡elativa al marco F? 30. (ü) Enciende ustbd una lintema que proyecta un haz de luz que sé mueve a una velocidadc/n,por nn medio de lndice de refracción n (figura 40-29). Suponga que el medio se mueve a una velocidad u iespecto a usted, paralela a la di¡ección de la luz. ¿Cuál es la velocidadde la luz en el medio, vista por usted?[El resultadopara cuando (ty'c).
.

i -/1----

1 I

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FIGURA 40-29 Problcma30.

31.(II)

Use las transformacionesde Lorentz para demostrarque, como en la ecuación (40-ó), la ubicación de un frente de onda plano, de una onda em.itidacuandot -./ - 0, desdeel origen común de los má¡cos de referencia F y F', es:i - clt' - 0, ¡ por x'2 - c2t'2- 0.

7,'

(lII) El campo eléctrico sigue la ecuación de onda ñ

0^ t - 1 7

,t^t

ñ\

c' lo ' L )

-;-t------;-= u ()t' 0x' cuanclolas ondaselectromagnéticas se propagana lo largodel ejex. ¿Cuálesla formade la ecuaciónpararuu ondaüsta desde un marco de ¡eferenciahar¡sformadocon las ecuacionesde l-orentz,que se muevea urn velocidad'ua lo largo del eje;r? (Sugerencia:r¡sa¡las leyesde tra¡sformaciónde Lorentzpara parad/d y dl&, entérmnc,c dedldt'y d/Ax'.) obtenerecuacionep especial en la re,latividad 40-7 Cantidadde ntovimi¿ntoy energ,ía (I) Esttmela masaque se pierdecuandoex¡ilbtaI millón de qufmica de TNT. Supongaque en cada'reacción tonéladas entrelasmolóculasindividualesintervienen10bV deenergla.

3{. fl) l,os sereshumanosgeneñmener$laconunarapidi2 dc unos lOrrW, a nivel mundial.E¡ los EstadosUnidos,conmenosdel 10%dela poblaciónmundial,seusaür 25% dela energla.¿Con quémpidezsepierdemasadebidoa los efeótosrelativistas? t:.

36. 0I) ¿Quévalor de u/c debetener una partléulade masae: reposo m para qué su cantidadde movimiento ten¿" -iE magnitudp= 2nu? 37. (II) Un electrón,acelerado enel Acelerador LinealdeSranforen California,tieneunaenergfatotalde 50 OeV. ¿Cuánra cr ella es energlacinética?¿Cuálesla cantidadde mor.imien:¡ del electrón?¿Cuál essu velocidad? 38. (D Un protónaceleradoen el LaboratorioNacionalFem: en Illinois tiene746 GeV/c de cantidadde movimiento.(a ¿Cuáles la velocicladdel protón?O) ¿Cuáles ia energÍ! cinéticadelprotón? 39. (ID Un ek:ctrótr,y su antipartfcula de masaidéntica,el posi. trón, se aniquilan.entre sf y producendos fotones.Tantoe. electróncomo el positrónestaban,inicialmente,en reposo ¿Cuálesson la energfay cantidadde movimientode cad, fotón? 40. (ID Un fotón esuru unidadcuánticade luz. Tieneunaenergfa E = l¡f siendol¡ la constante de Plancky / la ftecuenciade la quecuandoun electrónlibreabsorbeun fotón. luz.Demuestre sin que sucedanadamás,no se pucdenconservaren forma simultáneala energlay la cantidadde movimiento. 4I . G) Al amlizai la huelladeunapartfculaenunaplacafotográfica dént¡ode un ca¡npomagnético,encuehtmustedque la energía total de la partlculaes 870 MeV. t¡ desviaciónde la partfcula dentrodecampomagnéticodainformaciónacercadela cantidao demoümiento,y,.conello,ve ustedqueesacantidadesp - 729 MeV/c,parala parifcula.¿Cu.iles.lanr¿sadela partlcula? 42. 0I) Geheralizando el ejerhplo4017,supongamos queun núcleode tBe semueveen dirección't con l0 MeV de energla cinética,cuandodecaeen dosparffculasalfa.Ambas'partlcuIasalfa salena lo largo del eje x. ¿Cuálesson susenergfas cinéticas?lSugereicia:nóteseque Q <<M(.He)c2.1 J3. l: üda mediadeu¡n partfcula,Uanrada piónneutro,d, es0.9 x 10-16 s en el ma¡code referenciade la paffcula. ¿Quéenergia debe tener un C para p,roducirside modo que su punto de deslrtegnciónsedistingadebupuntodeproducciónenuna placa fotográfic¿?Supongaquesenecesitar¡¡u distanciade I nun para esamedición.I: masadel pión cónesponde amt - 135MeV. 1{. 0l) Los productosde decaimientode un núcleode masa¡lf i¡cluyen otro núcleode masaM (M < lf) y radiación.Si el núcleoquedecaese encuentra en reposo,¿cuálesla energfa cinéticadelnúcleorestante, demasa¡ly'?(Sug erencia: Emplee el hechode quela radiaciónde energfaEtransportacantidad de movf:rientoflc.] 45. 0II) Seha demost¡ado queparael cuanto experimentatmente deradiación(el fotón),la energlay la cantidaddemovimiento se relacionanmedianteE - pc, lo cual conespondca una particulade masam = 0. Supongaque en la observación de unasupemol'aa 170,OOO añosluz de distancia,hay destellos defotones, entrelosllmitesdeenergla de E - l0 eV a'ld eV, que llegana l0-8 s, uno trasotro. ¿Quélfmitesestablece lo anterior,parala masade un fotón? fsugerencia:emp¡eeel . hechode quemC espequeño,demodo queE - ps + (m2c3pp) . esunabuenaaproximación.]

qll) A la Tiena,sobrela atmósfera, solara una 46. (IID Deduzcauna ecuaciónpara la fuerza,F, defuridapor llegaenergfa m(dlü)(^yu)y demuestreque la fuerzay la aceleración, dry'dr el Sol, tasadeunosi400flm2. ¿Conquérapidezpierdemasa no necesariamente apunta¡en una mismadirección. Cebidoa la radiaciónde esaenersfa?

trgg

*40-8

Mós alhí de la relatividad cspccial

47. $) Una est¡ellade neutronestiene 4 x lOmkB de masa,lo ton do radio, ¿Cuálcs el corrimi¿ntogravitacionalhacla el rojo dc la radiaciónque emite a una frecuenciade lOreHz la superficiede la estrella? 48. (ü) Un reloj sob¡eun disco que gira a una velocidadangular ar,cuandose coloca a una distanciaR del centro del disco, experimentauna aceleraciónhaciael centro.¿Quépotencial gravitacional supondráque hay, un obsen¡adoren reposo en relación con el reloj,'scgrinel principio de equivalencia?El reloj, ¿seahasaráo se adelantaráen relación con el reloj al centrodel disco?

55.

O O

(II) En un modelomecánicocuántico,un protóny un antiprotón seaniquilanentresf y producenun par de fotones,queson euantosde luz, cuya frecuenciase relacionacon su energfa mediantela ecuaciónE * áf siendol la constantede Planck (á * 6.ó3 x lO'raJ . s). El protóny el antiprotóncasicstáncn reposocuandose aniquilan. Calcule las frecuenciasde los fotonesemitidos.¿Cuálesson esasfrecuenciassi el protóny el antiprotónse acercanentresf en rumbo de colisión, en el cualcadapartlculatieneunaenergfade 500MeV? mc2=938 MeV, tantoparaprotonescomo paraantiprotones. OI) Según lo que vimos en el capltulo 19, la función de distribuciónparael componente z de la velocidadde un gasa la temperatura Ies G(u')oc c-fiolt2krt'

Problemasgenerabs 49. (ID Electronesy positrones(queson las antipartfculasde los elcctroncs)dc 50 GeV dc energlase muevenen direcciones aparato opuestasalrededorde un anillo de almacenamiento, en el cual las partfculasse mantienenen órbitas circulares. ¿Cuáles la velocidadde cadapartfculaen el ma¡code referenciaen reposoen relacióncon la otra?

en la cual & es la constantede Boltzmanny m es ?amasade una moléculade gas.Si una moléculaen reposoemiteuna llnea espectral,de luz de una f¡ecuenciacaracterlstica rf¡, enlonces, de la luzque ¿cuáles la distribucióndc frecuencias emiteel gas.deesasm
50. 0D El Acclerador Lincal de Stanford acelcraa clectrones hasüau¡a energfatotal de 50 GeV. ¿Quélongitud tendráuna varilla de un metroiparaun observadorhipotéticoen rePoso gon rcspectoa uno dc estoselectrones? 51. En 1990, cl avión de reconoci¡nientoSR-71 Blackbird, ya parajubilarsc cn el,MuscoSmithsonianodel Aire y cl Espa' ' cio, establecióvariasmarcasde velocidad.Reconió el viaje do 2,300 millas desdcl¡s AngeleshastaWashington,D. C., a una vclocidad promcdio de 2,153 mi/h, y de 2,242 milh du¡anteel viajc dc St. l.ouis a Cincinnati, dc 31I mi. ¿Cuál hubierasido la difcrenciadc ticmpo transcunidodurantclos doo recorridos,mcdido por un reloj atómico colocadoen el avión y otro reloj igual en tiena? 52. @ Un nyo cócrnicoseaccrcaa la Tierra,procedentedel epacio cxtcrior. Un obscrvadorhipotético, en un marco dc referencia quc sc mr¡cvr cor el rayo cóernico,mide que la Tierra es una pclota aplastadacuyo eje cs jo- dc su diámeto. (a) ¿Con qué 59. @)Sedefrnea Ia rapidezVderncuerpoenmovimientomediantc velocidadsc aproximacl rayo cóernico?(b) El rayo cóornicoes tanh({c) - u/c,siendou la velocidadrelatiüstadel cuerpo,Un rm potór¡ cm rnasam y rnasaer:rrgla,mé ' I OeV. ¿Cu.iles obnervadoren el marco de referencia.f que se mueve a la la crrcrgh dcl protón quc se aproxima,vista desdela fierra? velocidada e¡¡dirección+¡, con respectoal marco$ mideSr¡c un cuerpotienela velocidadu a lo largodel eje.r.Demuestre 53. (tr) CIranavcgucneradqKlingontiene2l7mdelongitudpropia, que un observadoren el marco S mide que la rapidezdel y viaja a velocidadde 0.20c,conresPectoa suplarcta depanida. cuerpo es W - U + Z. En estecaso,Ues la rapidezdel ma¡codc L,osklingons sc preparana atacaral Euerprise, que s€mucvea referenciaS'con respectoal marco S. Por lo tanto,la rapidez la mis¡navelocidadcon respectoal misnb planeta.Si loe klinsesurü¡ como lasvelocidadesen transformacionesde Oalileo. gor¡spqral proa direcüoal hterprise, ¿cu.ilesla longihtd dc la navcKlingon, qrrcmidc cl papitánKirlq &l hurprise? 60. (III) Un protónsemuevecon uná cantidadde movimientodc magnitudp, en di¡ección+¡. Chocacon un segundoprotón, 54. (tr) Una partlcula dc masa M estáen rePoso.Decae en dos < quc cstácn rcposo.En cl choqucsc produccntresprotones (a) Si y partfculasidénticas,cadauna con masan, 2m M. un antiprotón.Las cuatropartfculaspermanecenunidasencl hacia sc mucvc partfculas dcsintcgración dc la las doe une dc estado final, esto es, no se mueven entre sl. Emplee lu el Nortc conuna cantidaddc movimiento demagnitudp, ¿cuál conservacionesde energfay cantidadde movimicnto pan es la cantidaddc movimiento de la olra partlcula?G) Con la calcularp. Paraprotonesy antiprotones,nc2 g 938 MeV. conscrvacióndc la encrgfa,calculep,

L200

_o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

o o o o o o o o o o o o

c A Prru Lo 4t

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o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o ¡

o

) 7

Participantes en la conferencia Solvayde 1927; muchosde cllos sonfundadoresde Ia mecánica cuántica. Primcrafila, izquíerda a dcrecha: L langnruir, M. Planck,M. Curie, IL A. Iarentz A. Eíttstcin,P. Langcvin, C. E. Guye, C. T, R Wilson, O. W. Richardson.Segunrlaf;la, izquícrda a dcrecha: P. Debye, M. Xnudsen, W L Bragg, H. A. Krantcrs, P. A. M. Dirac, A. II. Conpton, L V. de Broglie, M. Born, N. Bohr. De pie, de izquierda a derccha: A. Piccard, E. Hcnriot, p. Elvenfest, E. Hercen, T. De Donder, E. Schródinger, E. Verschafelt, ll. pauli, ly. Heisenberg, R H. Fo*,!er y L. Brillouin.

FISICA CTJA¡ITICA

Tr

Ils justo decirque Ia historiadel descubrimientode la mec¿inica cuántica,que expiica el conjunto de fenómenos que se conoce como física cuántica, está al mismo nivel de la revolución cientifica iniciada por Newton. Los fenómenosfÍsico cuánticosque describe la mecánica cuántica no se pueden comprender en términos de la ffsica clásica. La.mecánica cuántica describe el comportamiento de la materia en escala microscópica, mucho m¡is allá de lo que pueden percibir nuestros sentidos. se necesilarongrandessaltos de la imaginación para penet¡aren esasleyes fundamentalesde la naturaleza.Los resultadosque describiremosen estecapitulo comprenden las propiedadesondulatoriasde la materia, la naturalezacorpuscularde la radiación y el hecho de que la posición y la cantidad de movimiento no pueden especificarse en forma simultánea con precisión perfecta. Según la flsica clásica, dado un conjunüc definido de condiciones iniciales, y el conocimiento de las fuerzas que actuan, se puededeterminar el comportamiento de un sistemafísico sin lugar a imprecisiones. Etr contraste,la mecánica cuántica sólo predice ias probabilidades de los eventos físicos e implica que es la única información que podemos obtener acerca de esos eventos.En este capítulo describiremos algunos de los fenómenos que no puede manejaria física clásica e indicaremos cómo los t¡ata la mecánicacuántica.

1201

7202 Capitulo

4L-l 41

r-A.NATURALEZAoNDUr-aToRrA DE LA MATERTA

Físlca ruántlc¿

Una de las revelacionesfundamentalesde la mecánicacuántica es que tada materia presentapropiedadesondulatorias. En realidad, se ha comprobado,con experimentos, que partlculas,como los electrones,presentanpropiedadesondulatoriascafacterlsticas, incluyendo la interferencia. Esta posibilidad fue propuesta por Louis de Broglie en 1924, poco antes de la formulación definitiva de la mecánica cuántica (figura 41-1). Es posible probar las ptopiedadesondulatorias de los electronesy de otros tipos de materia, porque la mecánicacuántica establececlaramentela longitud de onda relacionadacon lo que se llarnatfa, clásicamente,urra partfcula. Cuando se someten a cxperímentos que investigan las propiedades ondulatorias, laspartículas con cant¡dadde movinticntop,sc contportan conrcpartículas co¡t longitud de onda de de Broblie igual a )",

,h 'p ^=-

Longitud de ond¡ ¡socied¡ con tod¡ p¡r'iicuh de cantided de moümientop

(4 t- l )

En ella, h - 6.626 x 10-34J . s es la constante de Planck. Otra formulación es la siguiente: el número de onda, k : 2nl)., asociadocon una partlcula cuya cantidadde movimiento esp estáexpresadopor El nún¡erode ond¡ y longilud de ond¡ de laeondasclásic¡esedescribenen el capitulo 14.

,2n2npp K:::

h

=i,

que se presentacon frecuencia,se escribecornofi: En ella, la combinaciónh12rc, It ¿t

: 1.05x 10-'- J s

de la ¡nateriasólo es de á irnplicaque el carácterotrdulatorio La pequeriez depolvo,de l0'ó g denrnsn, quc muypequeña, Unapartícula enunaescala evidente sóloviajea l0 m/s,tieneunalongitudde ondaiguaia h 6.63x10-raJ.s " h , -6.6x l0-r,'ln. ( p tnD l0-' kgXl0 mis) ^:_:_=:_ queningúnexpetirnetrto dedifracciónpodriadetecta¡la. Estalongitudestanpequeña revelanrnu)'poco Las partfculasde polvo, las pelotasde béisboly los aeroplanos ondulatorios.Sin embargo,en escalaatómica,las cosasson acercade susaspectos (rn,*9.Lx lO-3rkg)quesemuevenaunavelocidad bastantedistintas.Loselectrones de ellosen los átomos,tienenunalongitudde onda de 106m/s,caracterlstica

1-

6.63x10-3aJ.s (9.1 x l 0-3r kg)(106m/s)

:0.7 nm.

enla Estalongitudde ondaesde la mismamagnitudde las distanciasinteratómicas estásujetaa pruebascon experimentos de difracción, materia,y, por consiguiente, paralos tayosX. comolos quedescribimos Desde el punto de vista meciinico cuántico, se dice que toda particula tiene una doble natumleza, ondulatoria y cotpuscular. El caso es análogo a la dualidad de la óptica flsica y la óptica geométrica.l,os experimentosen donde interviene la propagación rectilúneade la luz, o su teflexiótr y refracción, no nos dicen nada acercade=' las propiedadesondulatoriasde la luz. Al revés, la interferencia, la difracción y la penetmción'de las ondas electromagnéticasa través de los materiales, foman un segundo conjunto de fenómenos en los cuales se hacen patentes las propiedades ', ' '',,. ondulatoriasde la luz.

FIGURA 41-l l,ouis dc Broglio (dc pic)

EJEM PLo 4 L - 1 ,;CuáleslalongituddeondadedeBrogliedeunneutrón. (masanr = 1.6x t0-27kg¡ conunavelocidadu = 1500rn/s?(Si sesuponequeü

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O

o o o o o o o o o o o o o o o

es ia velocidad rnrs de utr gas de neutrones,la tetneraturacorespoltdientede equt lr b ri oe s a l re d e d o d r e 3 5 K.)

1203 I¡ natumls¿a

ondulatoria

dc La rutcri2

S O LU C IONL:a l o n g i l rrdd e o n d ad e d e B rogl i .ees

) : !:1

i;r.)

o.2snrn.

Estcvaloresde la nlism¿imagnituddc la distanciaillteratórnica rronnalellt¡n.cristal.

[,videncia cxpcrirnental

dcl comportarniento

ondulatorio

dc la matéria

Los experinretttos que confirmarotlla conjeturade de Broglie los llevarona cabopor vez, ell 1927, Clintorr J. Davisson y Lester H. Germer, y, err fonna inde¡>rirnera pendiente,George PagetThotnson. Encontraronque cuandose dispersanlos electrones por un cristal, hay algunasdirecciolrespreferidas,como cabrfa esperarcon interferencia constructiva. Nos hetnos encontrado con la ley de Bragg, que es la condiciónde interferenciaparaondas,en el capftulo39. Cuandose reflejanondasde longitud.1en urtasucesiónde pluros cristalirros, por una distanciad, habrá separados interferenciaconstructivaparaángulos0 que satisfaganla ley de Bragg: ll(2d) sen 0 :Zrcn,

(41-4)

etrla cual, ,?es un enteroy k:2rc1)" es el núme¡ode onda.De estaecuaciónse puede dcspejarla longitud de onda paraobtener

.21 7. _ _ s€D(i tl

(4 1- s )

En el,experirnentode.Davisson-Genner, la distanciaentrelos planosde dispersiótr en el cristal fue detenninadapor experimentosde rayos X y resultód:0.091 nnr (figura 41-2), A continuación,Davissony Germer dispersaronelectronescon energíade incidencia igual a86.4 x 10-reJ (54 eV) y observaronun máximo de difracción,que es ulr comportalnientoondulatorio,a 65o. La energíacinética del clectróncorrespotrdea una calticiadde movirniellto,p,

p : r/2nt"E- j2(9.1 x l0-'jr kgXEo.+ x l0-'oJl :,t9 ; r l0-:s kg nr/s. Ahoraqueconocemos la cantidaddemovimielito, podemos detenninar el ángulode (41-5): constnlctiva, interferencia de acuerdoconla ecuación c éh

..

ll

n(6.63x 10-r{J s)

tt)

ttlt

2d

2rlp

-

Colccto¡ de cle.tro;ies

:0.92tt.

Patan = 1,se tieneun resultadode 9: 6óo,que concuerdabien con el valor medido.

E J E M P L O 4 t - 2 ¿A qué ángulosse presentanmáximos de difracciónde electronesde 120eV de errergíacinética,que irrcidenen un cristalcuyosplanos de c lis p e ri i ó ne s tá na 0 .1 2 n rn d e d i s tu rci ai SOLUCION:Debemos aplicar la condición dó Bragg. Parahacerlo,necesitamosla longitud de onda de de Broglie, y, po'rconsiguietrte, la cantidadde movimiento: la calculamosa partirhe g * p2l2m = 120 eV. Prirnerogonveriirnosla energlaa joules: 120 eV = ( l20 eV)(1.6 x 10-tefev) : 19 'x 1g-tzJ. Entonces,la longitud de onda es .

h

h

6.63x10-ral

s

x l 0-rr kg)t t' l x l 0-17J) " /z 1 cl ' t : l .l x l 0 -ro n l :0 . l l nm. P

u l 2 m ,E

(b) I¡IGIJR A 4l -2 (n) Il l trrl rcc l c c trc i r:i :¡.';: sc tt.sócn cl cxpcri[rcnto dc
1204 c1pítulo

41 l:slc¡

a¡ántlq

do l'lGL RA 4I-3 l;igrrnr dc tllfrncclón (lc r¡cutfonc,sqt¡o pfis¡¡ron¡rcr tloblos rcndiJss, l ( M ¡ . r r n < lcr llst¡ ¡ ¡ cln ( scg th r A.' ta illn g¿crf a l,."S i ¡tgl c'rn(l rurrx i0¡r', i" n, , i i o y a y ott DoLrbie-SlirDiftrnctioi¡ of Nci¡trorrs"(Difrnccló' do not¡konc.son rcn(lryBrurlcn p. 1988])' 60, 1067 ¡r¡ysrcs' Modern ol [Oct' rrulija
Posició¡r

de planoscristalinosd - 0'12nm, los ángulosparaintedeConunaseparación tenciaconstructivason

serio: h:#ffi:l41n un máximode difracciónen 0 = 28oparan - l, Y tendremos Porconsiguiente, otroen70oparan'2,

3

u(

ul 9

.:

FIGURA 414 Diagrama do oncryia cn cl cual Ia cncrgia potcncial forma u¡ra barrora pan rnra particula clásica con mo¡ros cncrgia quc cl mriximo do cncrgía potoncial a la distancia rr. En el cepitulo 7 se describieron las barreras de energir Potenciel.

L¡ nltración cuánticl seprésentóen I¡ sección--5.

partfSe han llevado B ca$g expcrirnentosde difracción con una diversidadde que se neutrones de los onda de la longitud culas.En el ejemplo 41-1, calculatnos de condiciones las satisfacen esas longitudes mueven a deierminadavelocidad; de los efectos de difracción apreciablesal dispersarseen cristales' La difracción de las estudio el en práctica importancia tiene cristalinas n"ut on"t pof suPerficiL se estudios, a esos prestan bien Pueden se Porque neutrones superficiessólidas.Los o agua, desacelerarmediante choquescon matefiales coll hidrógeno, como Pa¡afina 4l-3 figura La largas, más onda de longitudes tienen y r", n""*rnes más lentos nm de Ce I neut¡ones incidían cual el en exPerimento un de muestra los resultados parrtallacon dos rendijas a unos iOo i-m de longitud de onda de de Brogli" "n,tnu dislancia. ie eslos La simplicidad del efectono debedisimula¡ la naturalezaextracrciia:;a como compoiisn se y neutrones los electtones los resultados.En algunos aspectos, n;3r cuando f Ne*'to¡, de ley segunda la se mu;ven siguiendo partfculascl¡ásica-s: '- :raparticula LUin sujetosa fuerzas.Una onda ordinaria en el aguano s€ mueve coli.o por esL-ucturas clásica, Sin embargo, los electrones y los neutrones desviaCos producenlas que ias modo mismo dei de interfetencia, r"gulur"", produ""rifigotas ondasen el agua. Filttación

cuántica

neutrones y aifa Hay evidencia experimental de que partículas como electiones' de una aHe¡ potencial, de energÍa barrera pueden pasaf a través de una qnrr"l"o, de región de la que Er, con energía clásica, Pa¡te iegión -r¡'< en el espacioa otra.Una partícula aiiÍ. siempre 41-4, Pe¡rnanecerá Esto r < r2"n.i diug.un'ade energíade la figura < r < ra serfa menor que rz región partícula en la ," d"b" u qrr" la energlatotal de una serla negativa,lo cinética energía y su la energfapotencial áe la paflcula, entonces partlcula real una que permite cuántica Sin emüargo,la mecánica > def ¡ración ""^f p"'1" """itnposible. ejemplo 14. Un r región <-r2aparezcaen la á" fa región t1< r á"" nuclear'' fusión la tenemos en una barreralo en iuáittca, tunefiZáción,'oPenet¡oción La tunelización". de "microscopio de barrido el únu uptl"u"ión impo-rtÁte es de corpusculares aspectos de los términos en filtración cu¿inticano puedeexPlicarse sf la explican. ondulatorias la materia. Sin embatgo, las propiedades de barrera' Para ver cómo los ienómenoe ondulatorios pueden originar la penetmción

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O

o o o o o o I o a a o o o o o o o o

t?o5 4l-l

la natr¡ral-z-

ondul:tori¡

& b m¡tcrir

FIGLIRA 41-5 (a) Luz incidontc, quc pssa dc üdrio a u¡ra i¡rcr1-¡sc vidrio-airc, quc cumplo con las condicioncs geomótricas adecr¡aJ¿s, Sufrirá um rcfloxión intoma total. (b) Si una scgrurdapioza de vidrio cs¡ muy ccrcarura la primcra, algo dc la luz cruz¡rá cl cspacio dc airc.

:enseiros en una analogfaentre la filtración cuánticay ei fenómeno de reflexión total hlema en óptica. Cuandola luz que pasapor un cristhl, llega a una fronteracriskl-aire :on-nandoun ángulo mayor que'el cdtico, la reflexión es total (figura 41-5a). Sin e;nbargo,si el aire forma tan sólo una capa delgada entre dos regiones dcl vidrio, entoncesla reflexión no es total (figura41-5b).Larazón es la siguiente:si,seaplican ias ecuacionesde Maxwell se ve que dentro del espaciode aire, el campo electromagnéticorelacionado con la onda luminosa disminuye en fo¡ma exponencial,y no sepropagaen forma senoidal.Si el espacioes gtande,o si no hay un segundovidrio, el campo desaparecerápor completo (figura 4 i-6a). Pero si el hueco no esmayor que algunaslongitudesde onda, entoncesla disminuciónexponencialdel campo no es total. Queda un calnpo teducido en la segunda interfase, y partiendo de alli,.los carnposse puedcn propagarotra vez como ondassenoidalesen el seguirdocristal, aunquecon una amplitud muy reducida.(figura4l -6b). Los ondas luntinosasse lnn filtrado cuánticamcntc, o "tuttclizado" a tray¿s del espacio de aire, con intensidad que se puedecalcular.l Igualtnente,en la penelracióncuánticatnecánica,.esposible calcular la reducción de la intensidad de las ondas mecánicas de.mate¡ia que se filtran a través de una banera de potencial. Se trata de un cálculo.de lafracciótt del núntero de partículas que se filtran por la barrera. La fracción'es muy pequeña, bajo las co¡rdiciones nonnales,y es la causade.quetro se trate de un fenómeno intuitívo. Un estimadode estafracción demuestraque dependeprincipalmente del ancho a de la barrera,y de la diferencia U = E,la altura de la.ba¡reray la energia: lanK6=E'¡ (4r -6) fracción de partlculas que sq filtran - el'QlhE En esla ecl¡ación,(U)"esla altura promedio de la banerade potencial. Se favorece la penetraciónd,ela barrera.cua¡rdoel ancho de estaes pequeñoy cuando la energia,E, no estámuy po¡ abajg del rn¿iximode la barrera. fa peqtreñezde lí gatantizaque es, por 1o reneral,uua.ftaccióumuy pequeira,y, desdeel puqto de vista clásico,sepuededespreciar.

Virlrio

Vid¡io

: i,:r lrlla dcnrost¡ació¡r
FIGURA 4I-6 (a) Campo clcctrico on una interfasc vidrio-airc, para cl casodc rcflcxión total intcma. (b) Campo olccl¡ico crr r.urcspacio angosto do rirc orttrcdos pic;ns dc virlrio; nrucstraIa filtración cuá¡rticado r¡¡rcíun¡rooloclroningtto{ico n travcs dcl cspacio dc airo.

r206

4t-z

C-apíhrlo 41 F¡slca cr¡ántlca

DE HEISENBERG

En el capitulo 8 vimos unn rel¡ción de ince¡lidumbre;en el capítulo15 aprendirnosque las relncionesde incertidumbreeonpropiedades gcneralesde los pulsoedc ond¡s.

Rel¡ciónde incerlidurnbre posición-centid¡dde n¡ovin¡iento

r¿.s RELAcToNEs DE TNcERTTDUMBRE

Como los electrones,y todas las pártlculas, tietren catacterlsticasondulatorias,se aplican a ellos las ptopiedadesde las ondas,que ya describimos en los capítulos 14 y 15. Las más importantes de ellas, enunciadaspor Werner Heisenberg,se llaman releciones de incertidumbre de fleisenberg (figura 4I-7).Lasrelaciones de incertidumbre se presentan,con mayor ftecuencia, en dos formas. Segun la relación de incertiduntbreposición-cantidad de ntovintiento, Todo intento de ubicar una particula dentro de una distanciaAx, limita, necesariamente, u¡rn detcrntinsción si¡uulhinc¡ dcl contponcnte¡ de la cantid¡d de rr¡oümientode esaparlicula, con una incertidumbre Apo y las dosincertidu¡nbres serelacionanmediente

Ar {p, > /r.

(4r-7)

No hay limitaciones en la detenni¡ración simultánea de ;r y py por ejernplo. La segundarelación de incertidulnbre es la rclaciótt dc inccrtiduntbrc tientpo-cnergía: Si sellevae cabouna mediciónde energiaen un tiempo A/, entoncesla exactitud A-Econ la que se puedemedir la energíaduranteesteintervalode ticmpo está limitsda por la relación

Rclnciónrlc inccrtftlr¡r¡rlrrc tiempo-energiq

FICURA 41-7 Wcmcr Hciscnborg.

LE A t> l t

(4l -8)

de Planckestablece la escalaparala cuallasecuaciones de El valorde la conslanüe El pequeñovalorde esaconstant cobranimportancia. e (h=6 x l0-34 incertidumbre sóloesimportantea J ' s o /i = l0 -r'tJ . s) garantizaqueel principiode incertidumbre la ubicacióndc unapartfculadc polvocotr escalaatómica.Por ejemplo,si conocernos r¡na exactitudde l0{ m, entonces,el principio de incertidurnbrerestringenuestro de su cantidadde movimientocon una exactitudde 10'28 conocimientosimult¿ineo por estandiminutaquequedazuperada, abrumadoramente, kg . m/s.Estaincertidumbre relacionadas con la imperfección experimentales deun aparato lasdemísincertidumbres de medición.Asl, el principiode i¡certidumbreno tienepapelen la práctica,eh el laspelotasdebéisbol,y ni siquieraen lasmotasdepolvo. mundode los automóviles, Sin embargo,cuandomanejamoselechonesen un átomo,o con protonesen un núcleo,el casoesmuy distinto.l-a masadeun electródes,aproximadamenüe, 10-s kg, y su velocidaden el átomoüeneuna magnitudde 10óm/s.l¿ carrtidadde movimiento unos 10-2a lqg. rds, El dirimetrodeun de un elecbónenrürátomoes,por consiguiente, átomoesdel ordende l0-10m. Si tratamosdeloc¿lizarel lugardeun elect¡ónenun átola ca¡rtidad mo, a unazonadeun l0% del tamañodeun átomo(A¡ : 10-ttln), entonces de movimientoselruelveinciertaen unos 10-23kg . m/s, queesunasl0 vecesel vahr de la cantidad. de movinúcntodc un electrónensu órbita ató¡nicackisica.Ls cantidad la seguridaddequeel electrón demovimientosehacelan incierta,queni siquieraüenemos estáen el átomo.El productode un tamañoaüomicoy la cantidadde movimientodeun electrónen un átomoes unos 10-34J . s, que es bastantecercanoa h La relaciónde paraátomosy núcleos,quela cantidaddemovimiento incertidumbre esdetal importancia newtonianaesun conceptoquesedebeemplearcon cuidado. cómolas relacionesde incertidumbre En el restode estasecciónindagaremos al modelodualde onda resuelvenalgunosconflictos,quesedesctibirrin,inherentes y corpúsculo.Las ecuacionesde incertidumbre,también,son útiles para efectuar estimadosnuméricoscuandosonimportanteslos efectoscuánticos. El dilcma de la doblc rcndija dedifraccióndel tipo quesedescribeenla sección4l-l sehanllevado I.os experimerrtos protones,neutronesy una diversidadde hacesmolecula¡es, a cabocon electrones,

o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o I ,'l o ,;,i o ,j o o o o o o o o o o o o o o o o o ol ol ol ol ol ol ol

o o o o o o O

o

o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

i r I i i '

.*-ei:coi:'.probadoque esaspartículasposeenlas propiedadesondulatoriaspredichas :.:¡ .a ieo¡ia cuántica.Este hallazgo oc,asionaconflictos, o dificultades conceptuales, c:e se percibenbien con el siguienteexperimento.Se tieneuna fuentede eléitrones. Eslcs se emiten a determinada frecuencia, de tantos por segundo.La corriente de e-¿cironesllega a una pantalladespuésde haberpasadoa tr4vésde dos rendijas(figtna :l-S). Si nos imaginarnosque los electronessonpartfculas,esperarnos que cadauno l:se pcr una u otra rarrura.De hecho,si la ranura.Aestáabiertadurante5 min, estarrdo ::-ada la B, y después abrirnos la B y ce¡falrlos la .,{, durante otros 5 min, los :,ec:ronesllegarána la pantallaen dos lugaresbien definidos(figura 41-8a).Pero si -as iendijas se abren en fonna simuitánea durante un total de 10 min, entoÍ)cesse icma una figura de interferenciamuy semejantea la quese ve en la figuta 38-5,para :i c as ode la luz ( fi g u ra4 l -8 b ). Los dos resultadosparecenser ilrcompatibles.Supongarnosque un observador ;udiera decir por cuál rendija va a pasar un elect¡ón. Entonces,mientras éste pasa, podríaceffar la otra rendija. El procesose podda repetir paracadaelectrón.El sistema jurrtocon el observadoralertadeberíanllegar(y asíes)al lnismo resultado de rerrdijas, que si se abreuna u otra rendija.De alguna nnnéra, el cantbiarel experimentopara quc sepatnos por cuál de las dos rendijas pasa el electrón destruye Ia figura de interfcrcncia.La mecánicacuártica, si ha de ser una teoríaútil, deberíapredecirla iigura de interferenciaen el casode.ladoble rendija,y la distribución de dos máximos, cuandose abren las tendijas una a la vez, o cua.ndoun obseryadorve por cuál de las dos rendijaspasael electrón.Veremos que la ecuaciótrde itrcertidumbreposiciónczurtidadde movimiento resuelveel conflicto.

Dos rendijas"únicas"

Pa¡rtalla (muy alcjaáa)

I

t I

o o

4l-2

Lzs relaclones

dc ¡nccrt¡duñbrc dctlclscnbcrg

Pantalla (muy alcjada)

(i r)

i

I

o o o

1207

Pantalla (muy alcjada)

FIGTIR A 4 1-8 Esqucmasdo la frccucncia a la cual llogan los clcctrones a una pantalla, cn un cxpcrirncnto do doblo rcndija. (a) t a distribución do frccucncias dc llcgada, con ¡náxinros únicos, cuando sólo so abrc r¡¡r¡ rcndija á la vcz. @) Distribueión dc frccuencias dc llcgada, quo cs ur¡a figura dc intcrfcrcncia, cuando ambasrcndijas estánabiefas.

t

o o

1208 C.apitulo 41 F¡sica oántica

I

a a a a a o o o o

l'lGLrRA 4l-9 F^v¡rcma dc rln dolc,ctor,pom rur ox¡rcrinlcn(odo doblc rcndija, para dcscubrir ¡nr cuál rcndija pasaun olcctrón. Un nrccanismo: alumbrar las rcndijas, y soñalarcl paso doi clcctrón nrcdiarrtcla luz rtflciadn on ó1,

Solución del dilema de la doble rendiia

,I

¡r,,

,th 2 h

i LI

I

En nuestroexperitnentocledoble rendija con electrones,un observador,para poderdecir algúntipo'Ahora, porcuál rendijapasadetenninadoelectrón,debeemplearundetector.de podemos demostrar por qué, si un detector nos pemlite ver pof curil rendija Pasaeli electrón, se destruyr' la figura de interferencia.Para que el detector determine por cuál re¡dija pasa el electrón, debe poder ubica¡ la coordenaday del electrón cerca de la, mascarilla con las rcndijas, con una exactifud Ay < dl2, siendo d la separaciónetrtrelas rendijasyy la direccióntransversala ellas(figura41-9).Nuestrodetcctordebeinteractuar co¡ los clectroncspara"ver" 1rcrdónclcvall. Por ejetnplo,el elcctróllpucdc consistiren un rayo de luz (cornoel de un faro) que se refleja cn un clcct¡ótr,Cualquierinstrulnento de estetipo debetransferirla cantid¡d de movimiento de la luz al electrón,en dirección paralela a la pantalla (la dirección ),, en la fig'ura 41-9). Si esa ttansferenciade cantidad de moümiento es {p, entoncesla ecuaciónde incertidumbre esüalleceque

t r , r i.

o o o o o o a o O

(41-9)

o o o o o

Esacantidadde ntovintiento,inpartida al electrón,essurtcientepara borrar laf gura queparaunaseparación dentrerendijas,los recordemos rieinterferencía.Panverlo, quecorresponcabo a las interferencias constructivas, llevan cuales se los ángulosa son de interferencia, dena los máximos 4l-10) d sen 0n = tth, en la cual 0nes el ánguloque fonna el haz que origina el enésimomáximo con el eje x (figura41-10).Si la distanciaa la pantallaesD, entoncesla distanciaentremáximos

O

o o o o o o o o o o o o o o

R¡cnto do ¿

FIGURT\ 41-10 Gcomctria do las difcrcncias de longitud do tmyc.toria para un cxperimcnto dc doblc rcnclija'

.q¿i¡

-

O

o o

o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O

o o o o o o

1209

ad,vacentes en ella, que también es una separaciónen la dirección y, es

: Dsen 0,,:9!#4 l/.,*, - Dsen AJ,rrá*

-+

:+ .

41-2

(41- l l)

Supongamosahora que el detector le irrparte al electrón un empujón lateral (en direccióny). Con ello, el electrónadquiereuna cantidada.dicionalde movimiento, .1p."en dirección +y. Con ello cambiaráel ángulo de deflección en Ap, lp,y con ello su ubicación en la pantalla, en una magnitud DL pylp. De acuerdocon la ecuaciónde incertidunrbre,este desplazamientodel punto de llegada a la pantalla,P, es

D(2hld) .r : ^ Lp,. ppkrul

D

2Dld

D).

(41-t2)

Estedesplazatnientono tiene más especificaciónque la que sabemosque es compai ¡able con la separaciónentre los máximos, ecuación (4 1-11). Así, la figura de intederenciase borra, y no sólo se desplaza. Lo que hemos demostradoes que no t¡ay paradojaafguna. Un experirnientopuro de doble rendija, y uno con un detector especial que se use para determinar las trayectoriasde los electrones,son distintos, y para ellos se predicen distintos resultados.Una medición que dependade la naturalezacorpuscularde un electrón (¿por cuál rendija pasa?)debe, como mlnimo, perturbarel sistemalo suficiente como para ' eliminar la evidenciade la naturalezaondulatoriadel electrón.En fonna muy genera-I, segarantizaque la ecuaciónde incertidumbre elimina cualquier contradicciónentre los aspectosondulatorio y corpuscularde cualquier sistemafísico. Este resultadose enuncia,con ffecuencia, del siguiente modo: todo intento para daterminar si utt electrón(o cualquier otro sbtemaftsico) es "realmente" corpuscular,o "rcalnrcnte" ondulatorio, el sísten[t tanfo, que no sepuede ll.evara cabo deternúnación alguna .perrurba Las ecuaciones dc inccrtidumbrc

y los estimados numéricos

Se pueden emplear las relaciones de ince¡tidumbre para estimar la energla más pequeñaposible que puede tener una partfcula bajo la influencia de determinada fuerza.Esta infotmación determina las energfasdel estado fundamental, o mfnimo, los átomos y las moléculas, y, por consiguiente,es de gran importancia. Tenemos unapattlcrrlacon una energíapotencial U(x). Escogemosun sistemade coordenadas de tal modo que la energfapotencial mlnima esté en r = 0, y cambiamos la energfa potencialpor una constante,lo cual podemos hacer con libertad, de tal manera que U(0) - 0. Como la energla total de la partícula es E : Qt 2l2nt) * U(x), la energla es minima cuandoson mlnimas tanto la energlacinética como la energíapotencial; esto es,cuandop = 0 y x - 0. Como hemos dicho que t{0) - 0, E:0 sería,en esecaso, el valo¡ mínimó. Sin embargo,la mecánicacuánticano permite una localización perfectatanto de p como de.r. Si suponemosque la partícula está en ¡ : 0 con una incertidumbreAx, entoncesimponemosla incertidumbreen la cantidadde movimiento p, con una magnitud mayor que lrlLx. Esto quiere decir que p2 no puede ser cero, sinoque no está especificado,cuando la exactitud es (4p)2 > WLx)2.Como p2 no puedeser cero, tampoco la energlapuedeser cero. La energíadebeser cuandomenos @il212m,y como {p dependede Ax, la energia mlnima también es función de Ar. Podenroscalcular el valor de Ax para el cual la energla tiene su valor mlntrno, pero esevalor de energía m{nima no puede ser cero. Paracomprendercómo es que Ia relación de incettidumbre posición-cantidadde irovimiento determina una enetgla mlnima, vearnos,por ejemplo, una partfcula sujeta a la influencia de un resorte. La energfa potencial es U(r) = mazf ¡2, siendo a; la :tcuencia angular del movimiento cl¿isico.la energíade la partículaestáexpresadapor

ll

o2 -!-

/,nt

Jt^

m a ) 2x 2 /.

(4 r-l3 )

Ias dadone .

de tncértldmbrc dcllclscnbcrg

f \ b)

Si la posición de la partfcula está detenninaciacon una exacritud á. ie rar ;r:Cc que la incertidumbreLt = b, entoncesIa incertidurnbreen cantidadde n:ovlnia:.:: es Ap > ftlb. Asl, el valor nrlnimo de la energlase debe apega¡a la desigualiai (hI b)2

u^ r; *

nta2b2

z

{ + l-: j

En la ftgura4l-1 I se graficael lado derechode la ecuación(41- 14).Vemos que tiere unmlnimo como función de á. Llamemos/(b) al lado derechode la ecuación(41-11), y determinemossu valor mínimo. Lo hatemos empleando la condición que, en un mlnimo, la pendietrtede f(b) sea cero: d//dá = 0, Asf

Inccrtkh¡mbrc cn la ¡rosición FIGITRA 4l-11 El lnrlo dcrcchodo la crulción (4 l - 14), quc rcprcscnta n /(lr), cor¡¡ofrurcióndc la inccrti
+Qt) : - +tnt)'t

n ta 2:0 b.

Cuando despejamosÉ de estaecuación,llegamos a b2r,rin:lílma, Sustituyendoeste valor en la ecuación de f(b), obtenemos el valor nrfrritno de ella, que, según la ecuación(41-14),es igual al valor mfnimo de E, que €s 4,,i,,,

r.,':#^+r/r\,*):tu

( 4 r -r 5 )

Es una estimación dela energ{amecdnico cudntica en cl punto cero.Un cálculo detallado llega a E^i, - lfal2. La energla mlnima nunca es cero y, por lo tanto, la partlcula en el extremo del resortenunca puede llegar al reposo completo. ¡Es obvio oue estees un resultadono clásico!

posición-cantidad de EJEM PLo 41 - 3 Con la relaciónde incertidumbre movimiento,estimela energiamlnima de una partfculade masatn en un pozo unidimensionalde anchol. SOLUCION: En estecaso,Ar se especificadesdeel principio:si toclolo quese sabede la partlculaes queestáen algúnlugardel pozo,entoncesAx : L. A su vez, Lp >lt lL. Por lo tanto, la cantidadde movimiento de la partlcula está p, y la energlaminima debesatisfacerdn¡, conuna incertidumbre determinado (Ap)2l2m,o sea t;¿ Lnrin -

2_ú

E J E M P L o 4 1 - 4 Con la relación de incertidumbre posición-cantidadde movimietrto, estime la energíamfnima de un electrón, de masa nr, que se mueve dentro de un potencial de Coulomb de atracción, de la forma U(r) - -e214ftW, Expresesu resultadoen electrón-volts. SOLUCION:Con r = co, tenemosun potencial eléctrico de cero, mientras que la energla total de la pattfcula se determina según tr:p' 2n

e2 4neor'

Desde el punto de visLaclásico, esto describe a una partf cula en la clase de órbitas descritasen el capitulo L2,y la energfamínima es -infinito, lo que corresponde al caso en que la partlcula está en el centro de fuerza, r - 0. Como en nuestta descripción anterior del empleo de la relación de incertidumbre posición-cantidad de movimiento, exptesamos la enetgla mlninta en tétminos de la incertidumbre en el radio, Ar. No necesitamospreocuparnosde cómo se relaciona Ar con Ar, asf como con Ay y Az, porque todaslas incertidumbresson estimaciones.Pc; simplicidad,haremosqueAr = R. Al aumentarla distanciadel electrótral orige;.. la energlapotencial aumentadesde-infinito. Así, cuando la i¡certidumbre e; .: posición tiene la magnitud R, la energlapotencial aumetltaráhas'.a-e?l1-€.R.It

12 1 0

o o o a o o O o I o o o o o o o o o o o o O o o o o o o o o a o o o o o o o a o o o o o t o

O

o o o o o o o o C o o

A la función del lado derechode esüa,ecuacióilu llum"remos /(R) y d.eterminaremos su valor mfnimo. Cuando esafunción es minima, tenetnos. .

O

Cuando se sustituye este valor de R en /(R), obtenemos el valor mlnim o de f , esto es, la energla mlnima:

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o I o o o o I o o o

incertidumbreen la cantidadde movimientg esmayor que ff/R,y, por consiguiente, la energla cinética es mayor que (hlR)712m.El valor mlnimo de la energla obedecela desigualdad /t2

^

41-3 I¡ mnrnlcza

"11 orprrsorbr & h r¡d¡¡dóa

c2

z,rn'- 4 " r" R

"'

'

df

't

li2

e2

dR:-.nr+On* : 0 . La solución a estaecuación es

R : Yt"ne. !:

h2

n1e2 | / tt2 \l e2 -t,t r''i,,:;ffi-( nr c 2) 2 4rrr4";¡7: t+^Jl

El signo menos de la energlaindica que la partfculaestáligada al potencialde, Coulomb de atracción.Parallegar al valor numéricoparaE,,;, sustituimosm : m " : O , 9x 1 0 -3 0 k g , /r - 1 .0 5x 1 0 -3 I.s 4 ,y ezl 4tceo (1,6 x l 0-te C )2(8.99 x 10e m/F) : 2.3 x IO-28C2 . mlF, l,a magnitud de E ¡,.es,entonces,2.2x 10-t8J,Como I eV - 1.6 x 16-tl J, la energíaen elecirón-voltses - 1 3 . 7eV

E ^ ,:

En el ejernplo anterior usarnos Ia técnica que describimos para determinar energlasmlnimas a partir de la relación de i¡certidumbre posición-cantidadde movimiento, para calcular la energia mínima de un electrón sujeto a la fuerza de Coulomb de un protón. Vetnos que este¡esultadoes mu)'próximo al valo¡ correcto. Por lo general,estasestimacionesno son tan exacLas,pero se puedenusar para ver la dependenciacoffecta de los parámetros,en este caso l;, n ¡' e7¡4;eo.El resultado prirrcipales que la mecánica cuántica da una energíanrínima aun para sistemasque no tengan esas restricciones clásicas.El hecho de que existe una energia minima explicala estabilidadde todoslos átomosr

4l-3

coRpusculAR DE LA RADrAcroN LA NATURAT.EZA

Radiación del cuerpo negfo La ¡necánicacuártica consideraa la materiay a la radiacióndesdela misma base. Del mismo modo que las partlculas presentanpropiedadesondulatorias,las ondas presentanpropiedadescorpusculares.La mecrinicacuánticase inició con el ajuste,a la teorla, de los datos experimentalesde railiacíón del cuerpo ncgro (ftgura4l-L2), por parte de Max Planck er¡ 19OO.Cuando se encugntraen equilibrio termodinámico ¡adiaciónelectromagnéticaen cualquier cavidad,a una temperaturaI, la densidadde energla de esa radiación se puede medit perforando un aguje-r.opggle¡g en la pated de la cavidad y estudiandola intensidadde la radiación emitida cgmo función de la f¡ecuencia. Con una aplicación clásica de la equipartición.de ia energfa (véáse capífulo 19), Lord Rayleigh y James Jeans.ptedijeron que la densidad de energla, ri¡f, I deberfatener la forma 9,¡fz

u(f.D:f

t r.

FIGIJR.A 41-12 Max Planck

L¡ r¡dieción del cuerpo neSro se describió en el cepitulo 17.

1272 Capítulo 41 Frslc¿ cr¡ántlca

Este resultado concuefda.con los experimentos para bajas frecuencias, pero difiere mucho en altas frecuencias. Planck encontrc que si se introducfa la constanle fr, que ahora se llama constarrtede Planck, podia ajustar la densidad de energla observada en todo el conjunto de las frecuenciasmedidas,mediante la fórmula que ápareceen l a e c u a c i ó n(1 7 -1 3),

u(f,r):Y;r-!:= La función de densidadcle energfatiene el significadosiguiente:Es la encrgía electromagnética enunacavidadde volumenunitario,para radiacióndefre.cuencias con9rendidasentref y f + df , ! se expresau(-f,T)df.La figura 17-18bmuestrala concordanciaentrelos valoresmedidosde uQf,T)y la fórmula de Planck,parauna temperatura de2.7K (véasesección17-5). El resultadode Planck,que fue un ajusteempfricoa los datos,sólo se podia queenuncióAlbettEinsteinen 1905.La hipótesis deducirconunanuevahipótesis, estcf fue quela radiaciónelectromagnética formadapor cuantos,o cuanta,unidades idénticas c indivisibles, cada una portadora de una energ{ahf, siendof Ia se frecuencia de Ia radiación.En otras palabras,-laradiaciónelectromagnética transmiteen pequeños"paquetes"de energla.El cuantode energíaserelacionacon la frecuenciade la ondade radiaciónmediante La energía dc un fotón Berel¡cionn con su frecuencia nrediente E - á¡/l

E. hJ.

(41-16)

quedemuestran quelos cuantosde radiaciónse experimentos Prontodescribiremos A esaspartfculasseles.llamófotones.Comol¡ cantidad comportancomopartfculas, de rnovimientoy la energfade cualquierpartfculaqueviaja a la velocidadde la luz se relacionanmediantep' Elc, un fotón de energlaE - h"f tieneuna cantidadde movimientocuyamagnitudes tr c

Lf

:-.

hch tr

(4 r- 1 8 )

Esta fórmula fue la que adoptó despuesde Broglie en su asombrosaconjeruraacerca de las propiedadesondulatoriasde la materia [ecuación (4 1- l)].

E J E M P L o 4 L - 5 Una estrellaordinaria,visible fáciimentea ojo, emite enla superficiedela Tiena es/ - I .6 x I 0'eWm: radiacióntal quesu intensidad a una longitudde 560 nm. Calculela frecuenciacon la que los fotonesde esa estrellaentranal ojo, adaptadoa visión nocturna. En estecasodebemosconvertirla longitudde ondade la radiación SOLUCION: en frecuencia,ptimero,y despuésen energÍa.Se puedecalcula¡el nú¡ne¡ode esel fotonespor metro cuadradopor segundo.La única estimaciónnecesaria quela pupila á¡eade la pupiladel ojo adaptadoa visiónnocturna.Supondremos es citcular, y que su diámetroes 0.5 cm. a unafrecuenciaf - cl)'. La energfade Una longitud,deonda,,1,,conesponde es E hJ hcl)" la intensidadesI - NE, siendoNel cadafotón,por consiguienüe, ' Entonces a por cuad¡adopor segundo. que'llegan la Tierra met¡o númerodefotones

r L

r) l tc

(1.6x to-'/lm2. s)(5.6x to-sÁ) 1 o . O +L ro - ' o l. n G *108 /{)l/')

= 0.44 x 10rofotones/m2 ' s.

O

o o o o o o o t

L

Nóteseque,paraIa radiación, .chc JhJ

o o o o o o o o o o o o o

o o o o o o O

o o o o o o o o o o o o O o o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o O o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o a o o t o o

r211

Calculatnoeque el áiea de la pupila es A' nf * n(2.5 x I0:3 in)2 = 2 x 10-5rn2; por consiguienüe,el número ile fotónes qúe entran al ojo en I s gs ¡il : (0.44 1 10rofotoneslf.

)Q x to-f)

41-3

- 0.9 x 105fotones/s.

Ia nat¡¡raleza

dc le corpusrlar radiaci¡io

sensible; El ojo humano es un detectorde fotonesextremadamente registmrhasta5 fotones/s.

^ r ,o a {o

[l cfccto fotoeléctrico El mecanismode la radiaciórrdel cuerponegroestancomplicadoqueno delnuestra de la tadiación,El trabajode Albert Einstein directamente la naturalezacorpuscular en 1905,paraexplicar al entplearla, corpuscular dio mayorrespaldoa esanaturaleza por HeiruichHertz en 1887,en el efectofotoqtéctrico. Esteefectofue descubierto en la figura 41-13.Los datosde que vemos,en forma esquemática, experimentos fueronIossiguientes: 1905,quedefinieronel efectofotoeléct¡ico, electromagnética, pulidaa la radiaciórr 1. Cuandoseexponeunaplacametálica veces, A a estoselectrones positivos. no iones puedeetrlitirelectrones, Pero seles llama/otoelectrones. sólo si la frecuenciade la luz incidenteesmayorque 2. Seemitenelectrones un valor umbml,mlnimo o crftico;estoes,ti f , f o'El valor de /e puede variarsegúnel materialde quesetrate. 3. La magnitudde la corrienteemitida de elect¡oneses propofcionala la intensidadde la fuenteluminosa,pe¡ono dependede la frecuencia. de la de la fuente 4. La energlade los electronesemitidoses independier¡'re de luminosa,perovafla etrfonna lineal,con la frecuencia la luz incidente (figura4 l- l4). indicaronque,conutraexactitudde lO-e 5. Despues de 1905,losexperimentos s, no hay demoramedibleentrela llegadade la radiacióny la apariciónde la corienüede electrones.

F c x F N

s0 a

Placa mctálicn

ilGl?r {1-t3 Esqrsna&l dlsposittvocxpcrirnontal OO J, al :::::: :::crlect¡ico. Le luz llcgaa rru placamctdicacnr¡nac¿imara ,::.: l: ;orie¡¡to dc cloct¡oncssomidoconr¡¡rcolcctor,y la cnergia : :.,.-:¿ .: :crc.rmirnpa cl voltsjcdorcjiüe qucssncccsit¡pare =-':::.::--- lcs chcircrrc y llcvarlosal rcposo.

dcl cfccto flGURA 4l-14 Resultedoe fotoclcctrico,mostrandola cncrgíacinóüca dc los olcctroncs crniüdos(dclitio, Li, y sodio,Na),comoñmcióndcl¡ frccuoncl¡ dola luz. Nótcscla rclaciónl.incal,y la prescnciadc unafrocucnciaminima,/0.

I271* Capitulo

41

Frlca

oántlca

El sólo hecho de que los electronesse emitan de un metal sujeto a la ;adiaciór electromagnéticase puedecomprendersin necesidadde ideascuánticas..Losmetal¿s tienen electrones libres. Como esos electtones no salen libremente del rnetal, es tazonable esperar que se debe depositar un mlnimo de energla'eñ ei metal, para libera¡los. En la teorla electromagnéticaclásica,la energlaentregadapor.la radiacion al metal es proporcional al cuadradodel car¡po eléctrico, E; esto es, a la intensidaci de la radiación que llega. Debemos esperar,por consiguiente, que la energía que transportan los electrones sea proporcional a la intensidad; por ejemplo, si se duplicara la intensidad, se deberla duplicar el núrnero de electroneselnitidos con determinadaenergiacinética,Lo que no se puedecomprender,desdeel punto de vist¡ clásico, es que se emitan electronesaun cuarrdo1áradiación incidente sea de mu¡' baja intensidad,que la energlade los electronesemitidos sólo dependade la frecuencia en forma lineal, y que haya un umbral de frecuencia. Según las ideas ciásicas,la energlala debenentregartodas las frecuenciasde la radiación. Además, deberiamos espera¡ que, con radiación de baja intensidad, la energia requerida para liberar determinadonúmero de electronesse debeda acumula¡ durantealgún tiempo, y que hubieracierta demora,que aumentaraal disminuir la intensidad,para gue aparecieran los electrones.Desde el punto de vista clásico, sólo las propiedades I y 3 tienen sentido. En 1905, Einstein explicó esosfenómenos postulandoque se etniten electrones porque absorbenfotones. Los fotones correspondena radiación de frecuencia;f y ttansportanenetgla E" hf . Si hay una'enetgfamfnima, I7, necesatia'párdliberar un electrón, entoncesno se emitir¿in electrones cuando hf seamenor que I,f/.Cuando sea mayor, el exceso de energfa se puede trarrsforrnaren énergla cinética,de los electrones emitidos: l?

i ntu' - i l J - w .

(41-19)

La cantidad l.l/esuna especiede energíapotencial que se debe acumular'paraquese pueda liberar el electrón, y se llama/r nción trabajo. Es una ca¡acterfsticadel tnetal que emiüelos electrones.Se necesilarm fotón paraliberarun electrón.Por consiguiente, se puede comprender la proporcionalidad de la corriente de electronesemitidos, a la intensidad de la radiación, porque la intensidad es proporcional'al número de fotones en la onda electromagnética.Un electrón absorbeen forma sitnultárea a un fotón, y, por lo tanto,tambiénse explica ia falta de denroraen la emisión. Los primeros expetimentosexactossobre el efecto fotoeléctrico los llevó a cabo Robert Millikan, en 1916, quien no crefa en la teorfá de Einstein. Sin lugar a dudaó,'éusexpefimentos confirmaron la ecuación (41-19), y con ello la explicación mecárlico cuántica dei efectofotoeléctrico.

4 l - 6 l ;-mayor l ongi tudde onda a" tu, qu" puedep r oducir E J E M PL o efecto fotoeléctrico en el potasio es 564 mn. Calcule la fur{ción trabajo del potasio, en electrón volts. SOLUCION:I.a longitud de onda mrixima, o, lo que es equivaleirte, la frecuencia mlnima, que se necesitapara induci¡ el efecto fotoeléctrico expresapor sí el umbr. de frecuencia,/s, la cual necesitamospara calcula¡ la función tmbajo. I¿ frecuenci; mlnima, /s estáexpresadaen "f0 = cl L",^.,Entonces,la función trabajo es

W:hfo:*

(6 . 6 3* l0 -" J . r(3 . 0 q > < @ J 'J J "

- 11n- 1/ : (3.53x 10-te l) -, 1.60x l0-'',J

: 3 . 5 3 y l0 -, , _ r

o o o o o o I o o o o o o o o o o o o o o t o o o o o o o o o o o o o t o o o o I o o o o t

o o a o o O o O a o O o o o o o o o o o o o o o o o o o o O o o a o o o o o o o o o o o o o

Fr¡onto dc rayos X

Dctcctor dc r¿yo6X

iioja dclgada

( b)

ta/

ITIGURA 4l-15 (r) Arthtr Com¡rton.(b) Ev¡ucma
[I cfccto Compton Una prueba aún más contundentede las propiedadescorpuscularesde los fotones se obtuvo en los experimentosde Arthur Compton en 1922 (figura 41-15a),Compton hizo atravesafrayos X por láminasmetálicasdelgadas(figura 41-15b),y descubrió que los fayos X dispersadosque salen pueden tener una de dos longitudes de onda. Ulr componentesallacon la misma longitud de ondaque la de la radiaciónincidente. El otro componentesalfacon una longitud de ondama)'or.Esteresultadocontradecf a lo esperadode acue¡docon la teona clásicade la radiación,segúnla cual los electrones absorbenradiacióny la vuelven a iradiar, en forma de radiaciónde dipolo, sin cambio alguno en la longitud de onda, Los experimentosdernostraronque, parael segundo componente,lalongitud de ondava¡iabaen función del ángulode dispersióndel rayo X (figura 4l:16). La dependenciaentre la ma¡or longitud de onda y el ángulo se aiustana la fórmula

o !

7 6

T.

/. _ /.:

_ l l _cosu). nlc

(4i *20)

en la cual, l, es la longitud de onda de los rayos X incidentes,y .1"'es la de los rayos X dispersados;n¡ es la masa del elect¡ón. La presenciade l¡ indica que este efecto debe explicarlo la mecánica cuántica, y la independenciadel resultado,respectoal nretal que se usaba en las l¿íminas,indicó a Compton que es una propiedad de los electtonesdel metal, y no de la est¡ucturacristalina de éste. Compton descubrió que se podía deducir la ecuación (41-20) considerandoque el fotón es una partfcula de energía hf , y cuya cantidad de movimiento es hf/c. El choque de esta partfcula con un elect¡ón en reposo se puede imaginat exactalnente como una colisión de dos cuelpos en mecánica,teniendo en cuenta la conservaciótr de la cantidad de movimiento y de la energla(figura 4l-l'7). La configuración inicial es un ptoyectil de fotón, que incide en un electrón en teposo, y la configuración final es un fotón dispersadoy un electrón con cantidad de mgyimf eglgo. Es necesario La energla expresar la energla del elect¡ón en fo¡ma relativista, E" * 'ryVT;7-T al que la energfade del fotón dispersadoes distinta de la del fotón incidente, igual una bola de billat desviadadifiere de la que tenla cuandochocó. Como la energíadel fotón es distinta, también lo es su longitud de onda. El cálculo que se presetrtaen el tecuadro "Deducción de la ecuación 41-20)" demuestra que ésta es coffecta. I.a cantídadhlmc se llama longitud de ondo de Compton delelectrón, y tiene dimensiones de longitud, y su magnitud es hlmc - 2.4 x l0-r2 m.

\,

i" t ongitud de onC.:

i¡ ; F'IGURA 4l-16 Rcsul'¿Cos cxpcrimcntodc ComPloL E. r-1\::-c x sccundario,dcbido a la dis¡s:5i :l X ¡ror clcctroncs librss, sc l¡cc r:--¡ -' pronunciadoal aumenta¡ei á:,¡;; x dispcrsión.

12L6 C.rpfulo 41 [islcn cr¡Ántlcn'

I'ICURA 4f -17 Cino¡¡uiticndcl crilcr¡lodcl , ..dqsplaz.nrnlcntodc frccuoncla cn cl cfccto .Compton.l,a lup sc dispcrsnpor rul olcctrón ^ coino sl fucri rrnnparticula (folón). Corno : cn los cho
Fotón

{VlAr-@ - /'i F'rccucncia

\r"' fr[ioso

Antes

Despues

*DEDUCCION Deducción de la ecuación (41-20) Para deducir la ecuación (41-20) formularemos las ecuacionesde corservación de cantidad de movimiento y de energíaen el choque que describe la figura 4l - 17. Emplearemo! los identificadoresde energíay de cantidad de movimiento.de esafigura. Las ecuacionebde óbnservación de cantidad de movimiento son en dirección¡:

p = p' cos 0+ p'c cos @,.

en dirección1:

O = p' sen 0 - p'" senQ.

RearreglamosestasecuacionesParaque queden p-p'

c o s g =p 'r J o s . 6 . '

p 's c n 0 - p '. s o t d .

. '', '' ,

-.. ,'

-

Podemoscombina¡ esLasecuciones elevandoal cuadradoamUoi'taáopysrim#aolos, nespues de emplear la relación trigonomérric" sen2r + cósz¡ - l, tanto pua A ionio paia 4, tügamos a La ecr:aciónde consen'aciónde la energíaes

E .mc2= E ' tE L, Sustituimos E = pé,'E' ="p'c,ynr,-',/-p7!7WT en la cual¡nesIa masadei elecrrón. sigue: la eci¡cíón co:no rearregla¡nos

y

,i :

Pc- P'c+ mc2=,I-ITVTfrV,

, '

,i'|

,:

Ahora elevamos aI cr¡adradoambos lados de esta ecurción, para eliminar la raíz cúadrada; elimina¡ el factor c2: despu& r

¡a

p. + p'' *

1A

Te'-Zpp'

'

'.

+zmpc -2mp'c = p'¿: + y;¿.

(Bl-2)

Por último, restamosla ecuación@1-2) de la (Bl-1); 2pp'(l - cos 9) - 2mpc+2mp'cc0. Podemosreacomoda¡el resul*.adoen la siguiente fórma:

.:'. '

l,_1=!1i_coso¡. Al srstituirp - hlLy p''lr/i',

PPmc obtenemosla ecuación(41.20).

La natumlezacorpuscularde 1aradiación semanifiestaen exp;;ir¡¡entosefectuados con el propósito de esrudiar esa naturaleza, los que prueban el carácter ondulaconfirman,esecarácter,auna torio de la radiación,por ejemplo, los de interfererrcian frecuencias extremadamente altas. De hecho, la difracción de.rayos.X origingda por cristales demsstró que esos tayos forman parte del espectro electromagnético'

o o t o o o I o o o o o o o o o a o o o o O o o o o o o o o o o o o o o a o o o a o o o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

4t-4

MEcANTcAcuA¡[TrcA y pRoBABTLTDAD

121: 414

Mccá¡lq

cintlca

y ¡rcbabilu1'

Los fenómenos que hemos descrito en este capftulo difieren radicalmente de lo que nos dirfa nuestra intuición. Las diferencias son más pronunciadas para un haz de electronesque paseporuna doble rendija, experimentoque describimosen la sección 41-2. Volvunos a;éI,Cuando ambasrendijas est¿irr abiertas,se observaen la pantalla una figura de interferencia, sea cual sea la frecuencia a la cual pasenlos electrones por el sistemade doble teirdija. Supongamosque reducimosmucho la frecuenciacon Ia cual salen los electrones de la fuente. Entonces, la figura de interferencia se forma por acumulación uniforme de electronesen regiones de interferencia constructiva, mientfas que no se acumulan electtonesen las zonasde interferenciadestructiva.La llegada de cualquier electrón no tiene relación de causa a efecto con la llegada de cualquier otto, de modo qu e cada electrón, de alguna forma, debe lleva¡ información acercade la figum final de interferencia. La mecánica cuántica explica el resultadocuando describe al electrón y la pantallacon las tetrdijas mediante ung función de onda, que contiene toda la infortnacióuacercade la figura de difracción, l,a función de onda (hablandoestrictametrte, su cuadrado)sólo expresala probabilidadque tiene el electrónde enconrarse en uno u otro lugar de la pantalla.La probabilidades máxima cuando la magnitud de la furrciónde onda es máxima. La probabilidadde que un electrónlleguea la pantalla dotrdese interfieten destructivamentelas dos rendijases mu)'pequeña,tnietrtrasque la probabilidad de que llegue a donde la interferenciaes constructiva,es grande.Esto irnplicaque el resultadodel viaje de cualquierelecrón no estádetenninado;tan sólo se puede conocer la probabilidad para determinadoconjunto de ¡esultados. Un casoanálogoes cuandola luz polarizadr p* a trar'ésde un analizador(véase capítulo 35). S¡ el polarizador forma un ángulo de 45" con el r'ector polarización, entoncesla intensidad de la luz que pasa es la mitad de la de la iuz que incide. En ténninos clásicos, esto se puede comprender con facilidad. Pero esa descripción clásicano funciona si la luz esui formada por fotones. El probiema se hace evidente cuando la interrsidadde la luz incidente es Lanbaja, que los fotones llegan uno por *decidi¡á" determinadofotón si pasao no por el analizador?La solución uno. ¿Cómo a esteproblemaes que,en mecánicacuántica,una función de onia Cescribeal fotón, al polarizador y al analizador; con esta función de onda nn sóio podremos predecir que determinado fotón tiene una probabilidad de j de atravesaral analizador.No podemospredecir si un fotón determinadoPasaráo no. ' Resumiendo: La nrccánica cuátttica difere de las denñs teorías que hemos estudiado hasta ahora porque no hace predicciones de los resultados de eventos L¡ nrecÁ¡¡ic¡ cuónticesólopretlice aislados.Sólo predice lasprobabilidades de resultados espectficos. Un caso de este tipo se presentaen la desexcitaciónde un electrón de átomo, probebilidades. desdeun estado exciüado,o en la radiactividad nuclear, La radiactividad sucede cuandoun núcleo decaeo se desintegra,a un estadode menor energíapor emisión, oHe;, o un fotón. La por ejemplo, de un nuetrón, una partfcula alfa (núcleo de lo confirman, que predice, y los experimentos si iniciamos todos mecárica cuántica Ne, entonces, después radiactivos, de un tiempo de núcleos número con determinado que quedan será de núcleos t, el número N : Noe-' t'

(4r-2r)

El parrimetror tienedimensiónde tiempo,y se llama vida, o vida ntedia,del núcleo radiactivo.Sepuedecalcularmediantelos métodosmecánicocuánticos, y sumedición es relativamente sencilla..Despues de habértranscurridoun tiempot - r, eI númerode núcleosque quedanes e-1,o sea,0.37Ne.El valor de r es igual para determinado núcleo,hayasidoproducidoartificialmente en el laboratorio, o sehaya enun rnineral,deunaantigüedad encont¡ado de i000 millonesdeaños.¿Córno"sabe"

A

1218 Capínrlo 41 Fts¡ca carántlce

un núcleo determinado,cuándodesintegrarse?No hay evidencia de que el núcleo tengaunreloj intemo que le diga cuándodecaer(sedice qrie nohay variablcs ocultas). Como la descripción mecánico cuántica de un ¡úcleo,aislado. no puede.contener infonnación acercade lo que vayan a hacerlos demdsnucleos,la única interpretaciótr posible es que la probabilidad que tiene un núcleo de durar determinado tiernpo, f, es parte de la función de onda de esenúcleo, mlentras que no lo es una.determinación ptecisa de cuándo,decae. Pa¡ecerfa.quelo anterior no difiere del problenra.de esperana de,vida en una población. Hay,determi¡ada probabilidad de que exis[an personas.de.l0Oa¡ios de edaden una población,pero las tablasactuarialesno predicenel casode un,individuo. Sin embargo, sf hay una diferencia. Las personassf tienen,,relojes.intemos,.y un exalnen de los hábitos y trabajos de los i¡dividuos nos pueden proporcionar más información acercade su esperanzade vida. Con información médica suficienternente detallada,podrlamos,al menos en principio,hacer una predicción acercade deterininado tiempo de vida. Una caracterfsticade los sistemascuánticoses que una medición tiene un efecto bien defurido sobreel sistema,Podemosejemplificarla con una técnicaque se conoce como datación radiactiva, ofechado radiactivo. Ve¿rmoslo que sucedecon un trozo de madera descubiertoen una excavaciónarqueológica.El método de datación raC, cuyo núcleo tiene 6 tadiactiva dependede que, én la atmósfera, la relación de l2C, protonesy 8 neutrones,a con 6 ptotonesy 6 neutrones,es constante,At¡n crrando decaiganradiactivamentelos núcleos de ¡aC, con utra vida media de 8270 años, su laN, estable,por rayos núlnero se recuperaen la atmósfera,por bombardeodel núcleo raC laN. a partir del Una vez muerto un cósmicos lue tienen el efecto de producir árbol, su maderacesade absorberca¡bono de la atmósfera,y la proporción de loC en relación con l2C, disminuye uniformemente según la ley expresadaen la ecuación (41-ZI). Supongamos ahora que la proporción de átomos de r4C indica que una muestrade maderatiene 20,000 años de arrtigüedad.Se ha llevado a cabo una medir4C no desintegradosque quedan se separan,continuarán ción. Si los átomós de eI37% deel l os.E notraspal abr as, d e c a y e n d o d e ta l m o doqueal os82T0añosquedará una vez que se mide que un átomo no ha decaÍdo, por decirlo asf, se restablecesü reloj a f * 0. Es muy diferente de la identificación de personasde 100 atios. ¡Clato que esaspersonas,una vez sabido que tienen 100 años,no welven a nacer! Estos conceptosson muy distintos a lo que podriamos llama¡ "sentido común". Sin embargo, debemos recordar que el sentido común acerca del mundo fisico se desanolla a través de la observación, y que no hay razón pot la cual el mundo microscópico deba apegarsea las nocionesde lo que se esperapor la observacióqdel mundo macroscópico.

RE S UME N Los fenórnenosque estudia la fisica cuántica son de mayor imfortarrcia en microscópicos, comoátomos,moléculasy núcleos,Esosfenómellos son sistemas vemos a Ia intuiciónbasadaen la ffsicaclásica.En escencia, inesperados bastante que lo que nos imaginamosson partfculas,se comportan,en ciertosaspectos, comoondas,y lo que creemosque son ondas(por ejelnplo,la rndinciónelcctrolnagtlética),se comportan,en cicrtosaspectos,como pattfculas.La tnecónica curinticanos da un lnodelo unificado de esosfenómgnos.Una "partlcula" cuya cantidadde movimientoseap, tendrápropiedadesde una ondade longitudde de Broglieiguala .,1 .lt

'p

(4t:-l)

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

o o o o o O

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o o o

en la cual h - 6.63 x 10-34J . s es la constantede pla¡ck. I-a.frecuenciaasociada a unapartlcula se puederelacionar,de forma semejante,con su energfa,Las propiedades ondulatotias de las pattlculas incluyen la interferencia, que Iiertamente se ha observadopa¡a partlculas como electrcnes y neuttones, en experimentos de difracción' También tenemospruebasde las propiedadesondulatorinsdc la nrateriacon la filtración cuántica, o tunelización. [,a pequeñez de á es Ia causa por.la cual las propiedadesondulatoriasde la materia no son evidentesen escalamacroscópica. Exaclamentedel mismo modo en el que las partlculasclásicastienenpropiedades ondulatorias,las "ondas" elechomagnéticastienen propiedadescorpusculates. La radiación electromagnética de frecuencia se comporta como si consistiem en ,f paflculas (fotones) de energfa tr - t,f

1279 Pregunes

(41-16)

y de cantidad de movimiento p := ,

tf c

(4t * t7)

corpusculares en el espectrode la radia. La radiaciónpresentasuspropiedades cióndel.cuerponegtb;en el efectofotoeléctrico,en el cual los electrones absorben fotonesincidentesy sonexpulsados de losmetales,conenerglasespecíficas; y en el efectoCotirpton,en el cualvarfanlaslongitudesde ondade ios fotonesdispersados porlos electrones. Hay inconsistencias aiarentesenia descripción deun "objeto"conatributostanto deondacomode partfcula. Los fenómenos de interferencia intrinsecos a lasondas necesitarl que Ia ondase propagueen el espacioy en el tiempo,rnientras queuna partfcula debeteneruna ubicaciónprecisay bien definida.Las inconsistencias se de Heisenberg, queestablecen :lqi"* einpleandolasrelacionesd-eincertldumbre lf¡nitesdel empléode variablesclásicascomoposicióny cantidaJdemovirniento. Todointentode especificar la posiciónendirecciónar, conunaprecisión x, implica un límite con el cual se puedemedir, en forma simultánea,el componente ¡ de la cantidad demovimiento, ' A,p.,> h, (4r-7) ^x limites a precisión en la cual, h hlZn).Igualmente, hay

la de las n.rediciones de energlay tiempo. una medición de energíase limita a tene¡ una precisión aE por la

i duracióndel tiempo,Af, quetardadichamedición: h,EN > lt.

(41-8)

Estasecuacionesfe3uelveninconsistenciaspotencialesent¡e una descripciónsimulláneacorpusculary ondulatoria. Una de las consecuenciasde las relacionesde incertidumbrees que una partlcula nopuedeesüaren reposo en el nivel mfnimo de energíapotencial. Ei estadomfnimo deun sistema cuántico, que es el de energfade estadofundamental, siempre es más elevadoque el que se esperapor argumentosclásicos. La mecánica curintica es especial,porque no se puede ernplearpara predecir el comportamiento futuro de un sistema, sino sólo la probabilidad de un conjunto decornportamientosposibles.

PREGUNTAS l. ¿Serlaútil el efectofotoeléctricoen un sistemade alarma contra¡obo?¿Y en un sistemade alarmacontrahumo? 2. Mientrasmás cortaesla longitud de ondade un fotón, másse comportaéstecomo unapartfcula.¿Porqué? 3. [¿s relacionesde incefidumbre dan una razónpor la cual no sepuedealcanzarla temperatura I - 0. ¿Cuálesesarazón?

4. Un ciganillo encendidose puedeve¡, en una nocheoscura, desde500m. Describacómoestimariausted1atiecuencia con la cual los fotonesdel cigarriilollegana la retinade un ojo adaptadoa visiónnoctuma. Para investigarregionesn.ru¡'diminutasen el espacio,por ejemplo,el interio¡de un protón,senecesitan hacesde elec-

o!

t¡onesde muy alta energla.¿Porqué?¿Puedeustedestimarel l l . El hechode que todaslas partfculas,sin importar lo grancles que sean,tenganpropiedade.gndulatori¿s, tipo dc energlanecesariaparaestudiarunaregióndediiimetrocf? , ¿quieredecirque probabilidad que pelota hay determinada de béisbolse de una 6. Dado quelos electronesse comportancomo ondas,¿cómose puedafiltrarporel guante deuncátchcr? describeel confunientoDoppler en términosde cantidadde , ", . 12. Al describi¡la radiacióndel cuerponegro,mencionamosuna movimiento? cavidad.¿Quéeslo queda la cavidad?iQueremosdecirque 1 Antes de contar con la fórmula de Planck Rayleigh.y Jears hay unacavidadrealen materiala granel? hablanobtenidola ecuaciónuU, T) - (\nflókT. .!. ¿Cómoporelacionesde incertidumbre,tomadas,enconjun{g,¿imque sin contar 13. I-as d¡iamosdecir algo estrinuil en estaecuaciór¡ar¡¡r plicanquehay restricciones sobrelamediiión simultánea de con datoaexperimentalesde radiacióndel cuerponegro? y posición tiempo? 8. Supongaque la mitad de una muestrade núcleosradiactivos reflexiógdeelgc,trones, ha decafclo en determinado tiempo,?" ¿Cuántotiempopasará 14. Un microscopioelectródcofrurciona,por y no por reflexiónde luz; por un objeto.El uso'de.partlculas, paraquedecaigala mitad de los núcleosrestantes? como electrones,¿elimirn los problemasrelacionadoscon la 9. La vida media,r , que mide la vetocidadde decaimientode difraccióna travésde la aberturade visiónde un microscopio? por conu¡a muestrade partfculasradioactivas,estái¡¡fluida sideraciones de relatividadespecial;esto es, las partfculas I 5. El hechode quela velocidadde la luz seadefiniday predecide incertidumbre? ble, ¿estáen contrade lasrelaciones radioactivasen movimientodecaencon mayor lentitudque quesemueven 16. lasestaciorurias, ¿Cómo"saben"laspartfculas que es lo probabilidad aumenta más la de filtración ¿Qué y quedebendecaercon menorlenlitud? cuántica,reduci¡a la mitadla diferenciade energfasentreU y E, o reducira la ¡nitadel atrchoóe la banera? 10. Un electrónpasapor un aparatode doble rendija.¿Enqué sentido,si esquelo hay,podemosdecirquehayunafigurade en la pantalla? interferencia

I'ROBLEMAS 41-I I-a naturalezaondublois de h materia

seestudian mediantedifraccióndeelcctrones 9. (ü) t oscristales (figuras41-18ay 41-18b,respectivamente), y neutrones al quela distancia igualquecondifracciónderayosX. Recuerde ca¡acterística enun cristales 10-8cm.Estimela i¡teratómica energíaque debe tener un electrónpara pgder usarseen de difraccióncon cristales. Repitacl cjcrcicio experimentos conneutrones.

1. (I) ¿Cuáles la longitudde ondade de Brogliede un electrón, cuya energfasea(a) 1.0eV, (b) 10 eV, (c) 1p0eV' (d) 1.0 x para 10eeV? (e) ¿Quétamañostendrfanlosblancosnecesarios a cadaunade esaslgngituobservardifraccióndc electrones desdc onda? 2. (I) ¿Cuáles la energlacinéticade un electrón,cuyalongitud de onda de de Broglie es la de la luz roja visible,unos óO0 nm? 3. (l) ¿Cuáles la longitudde ondade de Brogliede un protón, kg de masa,cuyaenergfacinéticaes(a) de 1.0 de 1.7x 10-27 MeV; @) de 10 MeV; (c) de 300 MeV? No tengaen cuenta efectosrelativistas. 4. (I) Se tieneun cristalcon distanciaentreplanosde 0.18nm. (a) ¿Quéenergfasnecesitarfantenerlos electronesparapoder observarhastacuatromáxi¡nosdeirüerferencia?O) Repitael problemausandoneutrones. 5. (I) Setieneun cristalcon distanciaent¡esusplanoeiguala 0'20 nm. ¿Cuil esel ángulode dispersiónde elechonescon40 eV de energfa,en esecristal, al cual sepresentaun primer m'áximo? 6. (I) Expresela longitud de ondade de Broglie de unapartfcula 'Problcr¡ra9 de masam y energlacinéticaE, en terminosdemy E. Suponga FIGURA 41-18 que la partlcula se mueve a una velocidadcercanaa la de la luz. ¿Cómosemodificala ecuaciónobtenida? de un microscopioelectrónico 10. (II) Aunqueel funcionamiento de difrac7. (II) Supongaquedeseallevara caboexperimentos no dependcde la ¡laturaleziondulatoriáde la materia,las de del sf estableceñ'un'llmite ción con los protonesdel problema3. ¿Quéespaciamiento ondasasociadas conlos elect¡ones pooer de resoluciónde esosinstrumentos; dispersoresnecesitarfaen cadauno de los tres casos,cuando la figura 41-19 (a) Si los electrones sonde 1.0MeV, l0 MeV y 3@ MeV? muestraunabacteriaa 10,000aurnentos. las energías de un microscopioelectrónicotienenunaenerglade 104eV, 8. (lI) ¿Cuáles la longitud de ondade de Broglie de un neutrón y la aberturadel microscopipe$?,1 x l0 .4,m, estimeel ángulo cu¡'aenergiacinéticaes igual a la energfacinéticapromedio que puede energla = mfnimo se reso.lver. neceslta(b) ¿Cuánta T 4.0 K? a unatemp€ratura ie u:i gasde neutrones

1220

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

I

o o o o o o o o o o o O

o o

O

o o a o o o o o O O

o o o o o o o o o o o o O

o o o o o O

o o

4l-2- I-as relacionesde incertiduntbrede Heisenberg

F¡CURA4l-19 ltoblu¡u10.

rfan tenerlos electronesparaquesepuedanresolverdosobjetos separadoe 0.2 nm? Exp,resesu respuestaen electrónvolts. 11.(II) Un haz de electroncsde 1.0 eV de energfallega a una banerade potencialpan la cual (U) - 2.0 eV, y cuyaanchura es0,10 nm. Calculela fracciónde electronesque se filtra por la bane¡a.

t2. (II) Supongaque la barreradel problemaI I tiene 1.0nm de espesor.¿Quéfracción de electronessefiltra por ella?

13.(II) Un vehlcuto con 200Okg de masaviaja a 1.0 m/s y se acercaa uh tope liso, cuya alturapromedioes 20 cm, y su anchopromedioes0.5 m. Estimeel factordefiltración a partir de la ecuación(41-6). esláconte14.(II) Un electrónen un dispositivosemiconductor nido dentrode una banera de potencialde 2.5 nm de ancho. La diferencia entre la energfapotencial promedio y la del electróncs 1.4eV. ¿Enquéfactorcambiala probabilidadde filtracióncuánticasi (a) disminuyea la mitad el anchode la banera?(b) aumenta1.2eV la energladelelectrón?(c) disrninuye a la mitadel anchode la barrera,y au¡nentaE en 1.2eY? 15.(III) La fracción,F", de partfculasde masam y energlaE, quesefiltran a lravésde unabar¡eracuyaenergfapotencial es U(x")y cuyo espesormfnir¡o es Arn, estáexpresadapor la ecuación(41-6), 2lh' ^\"\/2¡ ltl( \"t- '

l' , -

16. () Un electrónestálocalizadodentrode unaregióncúbicade 0.10 nm de lado.¿Cuáles la incertidumb¡e en su energia cinética? 17. (i) Se le da a ustedun detectorque puedecronometra¡la llegadadeunapartfculaconunaexactitudde l0-12s. ¿Cuáles la exaciitudpósibleen la determinación de energlacon ese detector? 18 (I) Semidela velocictad de un eléctrón,enritidopor un átomo, con una précisióirde *2.0 cn/s. ¿Cuáles la menorincertidumbreposibleen la'posicióndcl electrón? 19. (I) Sesabequeun protónde un átomode ca¡bónestádent¡o de una esferade ó.0 x 10-'5m de diámetro.¿Cuálesson las incertidu¡nbre e¡rla cantidadde movirnientoy la energladel protón? 20. (II) Una luz monoc¡omática, de 720 nm de longitudde onda, pasapor un obtu¡adorrápido,quepennanece abiertodurante 1.0 x l0-e s. ¿Cuálserála dispersiónde longitudesde onda después de salir la luz del obturado¡? 21. (II) [¡ incertidumbre en cantidadde movimientode un electrón, cuya energfacinéticaaproximadaes 25 eV, es 10%. mfnimaen su posición? ¿Cuálesla incertidu¡nbre 22. (ll) Un electróntotalmentelibreen un espaciovaclotieneuna posicióndentrode una esferade R = 1.0 x 10-14 m, caracte¡Ísticade un núcleoatómico.¿Dentrode,quévolumense puededecir, con seguridad,que se encontraráel electrón despuésde 1.0s? Repitael problemaparaun electrónque, inicialmente,se determinaestádentrode unaesferade radio R - 1.0x iO-rom, el radiode Unátomo. 23. (ll) Una pistolade radarmide la velocidadde unapdlotade béisbol,perfectamente ¡edonda,de250gdemasa,y dacomo resulrado93 mi/h, con unaexactitudde0.2%(figura4l-20). ¿Concuántaexactitud,en principio,se puédemedirla posición de la pelota?Esa exactitudno se puedealcanzaren la prácti ca.

til.

"t

enlasposicioSupongaqueunasucesiónde barrerasadyacentes potencidesU(xr),U(x),...y espenes¡r, ra, "..tienenenergfas soresAr,, A4, ....,respectivamente. l¡ fraccióndepartlculasque penetranesasbarrerasestá expresadapor el producto de las probabilidades F(x,), F(x), ...de quela partfculapuedapenetrar por las banerasindiüduales;o sea,F = independientemente F(x,)F(r).... Demuestrequeenel lfmite,cuandocadabareraes delgada,se obtiene infrnitamente st - zlh',l dr,fi;iltJtlt

-*t:1

comofracciónde partfculasquepasanla banera.Nóteseque la ecuación(41-6)esunaaproximacióna esteresultado.

FIGURA 4t-20 Problcma23

1227

O

Un haz de ele¡tronescuya cantidadde movimiento esp, choca con una rendijade anchoo. C¿lcr¡lela dispersióndel haaen una pantalla que estáa una distanciaD de la rendija, teniendoen cuentatantola anchurade la rendijacomola dhpersióntransver[véaseecuación( 17- 14)], sal debidaa queentranenjuego lasrelacionesde incertidumbre- 37. (II) Con la ley de Stefan-Boltzrna¡r¡¡ calculela temperatura delSol.El radiodel Sol es0.7 x 10em, ,,< (II) Setieneuna partfculade masaz, con energfapotencialU y estáa 1.5x 10trm de la Tierra,y la tasaa la cual llegaa la = -Uo@la)para.r < 0, y U * +Uo@la)paraÍ > 0. Con las . s. Tienala radiación solarei 1.36x 103J/m2 calculeel nivel mfnimode ener¡elaciones de incertidumbre, del alr¡nlinioes 38. (II) I-a energfamáximade los fotoelectrones gla quepuedetenerla partfcula. eV pararadiació¡r de onda,y 0.90 i 2.3 de longitud de 200 4m 26. (tr) Un neutrón,de 1.6 x 10-27kg de tnasa,estáde¡rtrode ur eV para 2ó1 nm. Con estosdatos,calcuiela constantede núcleode plomo,de7.7 fmde radio(l frn - 10-tim).Con las Plancky la funcióntrabajodel aluminio. calculeu:¡aenergfapotencialmfnirelacionesde incertidumbre (II) l,a longitudcleondaumbralparael efectofotoeléctrico en 39. ma,negativa,paralos neutronesdentrode losnúcleoepesados. el tungstenoes270,nm.Calculela funcióntrabajodel tungsteno,y la energiaci¡éticamáximaquepuedetenerun fotoe41-3 La naturalezacorpuscular de la radiacíón lectrón,cuandoincideen él radiaciónde 120nm. 27. (l) ¿Cuálesson la energlay la cantidadde movimientode 40. 0I) Un fotón de 50 x 103eV de energfa(50 kev) chocaccn un fotón en la luz de un laserHe-Ne,cuyalongitudde onda un electrónen ¡eposo.El fotó¡rse clispersa en ángrrlode45o. es 632 nm? es la energÍa ¿Cuáiessu energfadespuésdel choque?.¿Cuál 28. (I) Calculela energfade un fotón paracadauno de los casos cinéticadel electróndespuésdel choque?, (a) radiacióndemicroondasde 3.0cm de longitud siguientes: 41. (II) [: longitudde ondade rayosX que llegana un expende onda;(b) luz azul de 420 nm de longitudde onda;(c) una mentode dispcrsión de Comptones7.078x 10-2nn, y ia de ondade radio de 1070kllz de frecuencia;(d) !¡n rayo X de los quesalenes 7.314x' l0-2nn'r.¿A qué,ángulose midió ia 0.1 nm de longitudde onda. dispersada? radiación 29. (I) Sob¡eunasuperftciemetálicaincidetuz de 0.85x 1015Hz. 42. (iI) Se tieneun casode dispersiónde Comptonen el cualu¡ Si la energfacinéticamáximade los fotoelectroneses 1.7eV, fotónchocaconun elect¡ónlibre,y rebotahaciaatráscedien¿cuáles la función trabajodel metal? sonla frecudo la mitadde su energlaal elect¡ón.(a) ¿Cuáles 30. (I) Un metal tiene4.8 eV de función trabajo.¿Cuáles la enerenciay la energladel fotón incidente?(b) ¿Cuálesla velocigfa cinéticamáxima de'unfotoelectrón,si incide en Ia superdaddel electróndespuésdel choque? ficie una radiacióncon longitud de ondade 200 nm? 43. (III) Setieneunecavidadque contiene¡adiaciónde cuerpo 31. (II) Estimela energlade un fotón de cadauno de los siguientes radiación deenergiapara negroa ó000oC. Calculela densidad tiposde radiación:(a) luz visiblc, (b) rayosX, (c) microondas, entrelos ll¡nitcsdc 720 y 750 run de longituddc,onda,y , (d) señalesde televisión,(e) radio dc AM. compárelacon la densidadde energfade radiaciónentrelos de 480 y 510 nm de longitudde onda.lSugerencia: lfmites que de una salen 32. (ID Calculeel nritneronecesariode fotones paracalcularla densidadde energlaenfunciónde la longitud estaciónradiocmlsora"enAM que emite a una frecuenciade de onda,empleeuU,T).dÍ = uU,T) dl,(.dÍldl), y calculeel 106 Hz, paraque la energfaigualela contenidaen un fotón (d//di.). DebesustituirA¡ - , en u(f , T).1 factor de luz visible,con 500 nm de longitudde onda. 33. (II) l: potenciageneradapor el sol es4 x 1026W. Suponiendo ¿14.(III) La ¡adiaciónsolaresmáximaa una longitudde onda aproximadade 500 nm. ¿Cuántoes metlor la intensidad que se emite totalmentea una longitud de ondapromediode a 400 nm y a 700 nm? Empleelos resultadosdel proble50Onm, calculeel númerode fotonesemitidospor segundo. 43. ma 34. (ID I-a densidadde energlade la radiaciónelectromagnética ' s. enuna zoru¡del espacioes 10-t2üm3.Supongaquela longitud 45. GII) Uncristaldesoclioemiteó.25x l0tt fotoelectrones/nf peso y masa de sodio es A 23, la densidad atómico del El de ondade esaradiaciónestáa medio espectrovisible, a 550 del cristales 970 kg/m3;suponiendoque los fotoelectrones nm. ¿Cuáles la densidadde fotones? por las 10 capasde átomosdc sodiomás sonsuministrados 35. (D Emplee el hecho de que el ojo humanopuededetecta¡ cercanos a la superficie del cristal, ¿cuántosátomos,en hasta5 fotones/s,como mlnimo, en la región visible, para promedio, Supongaquelos un fotoelectróty's? suministran estima¡la intensidadde la estrellamenosluminosaquepuede átomosforman una red cúbica. ver un ojo adaptadoa visiónnoctirma.¿Cuálesla relaciónde esaintensidada la de la luz de mediodfa,deunos 1400flm2? Estoslimites tan amplios indican que, en realidad,el ojo es 41-4 Mecónicacuánticay probabilidsd un instrumentomuY adaPtable. (I) vida 36. (II) Demuestreque la energlatotal en una cavidadllena de 46. El númerode átomosen un estadoexcitadocuya = para único, es N(r) media, r, decaimiento con fotón radiaciónde cuerponegro,a unatemperaturaTkelvin, esto N(O)e4'. ¿Cuálesel nrimerode fotonesemitidospor segundoi es, de densidadde energlauQf,T)de acuerdocon la ley de radiaciónde Planch ecuación(17-i4),es U(D - aTa.Este 47. (I) Se manda un rayo de luz a lo largo del eje +:, pcr u: polarizador,de tal modo quese polarizaen direcciónCele.: Calculeel valor de la ¡esultadoesla ley de Stefan-Boltzmann. +¡, Esterayo llega a un segundopolarizadorque fcnna :.'r la integral ¿, dada constante 4.1

7222

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O

o o o o o o o o o o o o o o o o I

t

o

o o o o o o O o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

ángulode 30 conel ejer. ¿Cuálesla probabilidad queel fotó¡r mica. ¿Cuáldeberlaser la tempcraturaparaque la misma pasepor el segundopolarizador? cantidadde heliogaseoso, en el mismovolumen,tuvierauna longitudde ondade de Brogl.ieiguala lasdistancias interató18. (ID La vida mediade un conjuntode núcleosradiaclivosesel micas? tiempo que tardaen decaerla mitad de los n¡lcleos.Exprese la vida media en términosde la vida, T, que apareceen la 55. QI) Estimela frecuenciacon la queuna lintemasordaemite (41-21). ecuación fotonesen el intervalovisible. Supongaque el 5C%de la energfaes emitidaen el intervalovisible,y que la longitud ¡9. (ID [¿ vida mecliadel ¡{C es5730años(véaseproblema48). promediode ondaen estosllmiteses 550nm, Lot organismos acumulan que proviene este isótopo de la , i atmósferamientrasviven,peroal morir ya no lo acumulan. 56. (II) Una consecuencia de la ley de Planckde la radiaciónes Semidequeel esquelétode un mamuttieneunaconcentración I que la densidadde energfa,expresadacomo funciónde la d. tnC que es el 20% de la concentración en la atmósfe¡a. longituddeonday de la temperatura, L(1.,T),tieneun máximo I murió el mamut?Supongaqueno cambiala concenen l. = lr¡,, siendo\"Á^ - (?.9 x l0-3 m.K)lT,y Tes la ¿Cuándo | traciónatmosféricadel ¡aC. temperatura i absoluta(véaseproblema43).(a)Conesteresultado, calculelr¿, para la radiaciónque emite el Sol, cuya (ID (41-21) l¿ ecuación puede se escribi¡ en la siguiente 150. temperatura superficialaproximadaesó0O0K, y la cual,con forma: 6¡ - -(N/r)dt. Interpreteesta ecuación,incluyendo I muy buena aproximación, irradiacomocuerponegro,(b) Con el signo. Su interpretación, ¿respaldala afi¡maciónde que el I el resultadoobtenido,estimelo calientequees"al rojo". decaimiento de cualquier por núcleo radiactivo no se afecta I la presenciade otros? 57. (II) Demuestreque en procesosencillode absorciónde un I fotón por un electrónlibre, sin que sucedanada más, no (ID que que dice una tiene Se muestrade materialradiactivo l5l. puedenconservarse energfay cantidadde movimientoen x l0r0 desintegraciones/s, 3.7 una tiene actividad de I curie | forma simultánea. (Ci). La aclividades la rapideza la cual se presentanlas, | desintegraciones. La actividadde I g de Ra (radio)es I Ci. 58. (III) Se suponeque las abundancias de 238Uy 235Ufueron I igualescuandose formó la Tiena. La vida mediadel 238U fara el radio,á - 226; csti¡nela vida del 22óRa. es I x lOeaños.[,a reiación sK (potasio),cuyavida es 0.ó x 10'0años,y la del 235U es 1.0 (lI) g es la actividad de I de 152. ¿Cuál actualdesusabu¡rdancias es238UFI5U 3.5 x lOEaños?(Véaseproblema51.) - 140.A partirdeestos II y datos, de la hipotesis, estirne la eclad de la Tiena. I I (lII) 59. La longitud de onda de de Broglie de un electrónlibre, fioblemas generales I dr :nglgla E, se puedeexpresasren la forma 1" = hlp = hl bioló.l2nt,E. Cuandoel electrónentraa una zonaque estáa un F¡,
r223

a

I I I I I

c A p r T u,f, g|,{.,ft*u-'

a I a I I I I I

a a a a a e a

Estagráfica gcncradapor éonpuradora cs una rclrcscntaciórtdc uú áronto dc bcrilio. Los ele'ctróines"se ntuevenen órbita" en las dos esferascxtenni.

I

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l. ,l 't il it it

a a a a a a a a a a

CUANTIZACION DE VALORES DE MOMEI\TO A¡{GUtAR Y .EI{ERGIA

.1

unapartlcula o sistema departfculas, libres En ffsicaclásica, esténsusmo,vi¡nientos o confinaiJospof fuerzas,puedetener úalores.continuosde energfa.Sin embargo,los expbrimentbshan demostradoque, cuando se examina en escalaató¡ñica;la energía pugdeazumirsólo'valo¡esdiscretos.Estehechonofable se puedeexpficar en téiminos de la mecánipacuántica,en especia.lporla naturaleia,gndulatoriadé la materia (véase capftulo 41).:Lo discreto de los valores de energÍa; o su cüantizáción, se relaciona estrechámentecon.la cuantización del mómentb angular..Las conseóuenciasde la cuantizaciónde energíay momento angular,tema de estecapítulo, son imporlantes, Cuando aunamoslos principios de cuantización con el llamado principio de exclusión, podemos describir muchas propiedades,inexplicables de otro modo, de los sistemasmiooscópicos, incluyendo Ia estructutay estabilidadde átomos y molécu-

I I I

importantes las.Esasideastienenconsecdencias aun a un nivel inacroscópico. Por: de bandasde los metales. ejemplo,explicanla estructura

r22 4

-l

a a e a a a a a e I

o o o o o t

a o o o o o o o o O

o o o o o o o o o o o o o o o o o o

o o o o o o O o o o o o

4z-t

y EL cuAryTrzAcroN DE rá. ENERGTA

}TOMENTO A¡TGUI.A.R

42-l

.A,travesdeestelibro hemospuestoen telievequela materia en átomos.En "on.irt" nuest¡oestudiode la teorfacinéticade los gases,empleamos moléculasy áionros, cuya identidadse definfaprincipalmente por él pesoatómico.Se permitia.quelas moléculasgirarany vibraran,pero,pof ejemplo,en nuestradescripciónde la equiparticióndela energfa, nuncapreguntamos quétanrápidogiranni quémagnitudtiene la amplituddevibración,En la teodaclásica,un átomo,compuesto deelectronés con carganegativaquegiranalrededordeun núcleoconcargapositiva(siendoel núcleo unasl0t vecesmenorqueel átomo),secamportacomoun sistemasolarenminiatura, y sepermitfanlasórbitasde'loselectrones, elfpticaso circulares, decualquiertamaño. Esavariavilidaden las formasde los átomosestáin fuertecontradiccióncon los experimentos. Un átomode hidrógeno(rtl), litcraltnentces indistinguiblede otro, Porlo genetal,sólovemosunaformade hidrógeno,,una de helioy unade hierro.La mecánicacuánticalo explica,debido a una predicciónnotable:en contrastecori los planetarios, sistemas en loscualeslascondiciones inicialesirrestrictas determinan la energlay el momentoangular,/ossístgnnscuánticos sólopuedentenerdeterminados valoresde energlny momentoangular, estoes,volorei cuantizados, Los valores posiblesde energfasiempreestánseparados por espacios, si bien éstospuedenser pequeños. Al conjuntode lo9 valoresde energlase le llamanivelesdé energía,y el primercálculocomectode.esos nivelesfue hechopor Niels Boh¡ en 1913. Virtualmentetodoslosátotnosenun recipientede helioa temperatura ambiente estarán errsunivel mlnimode energla,el estadofundantental, Los choquesténnicos nonnalesentreellosno puedensutninistrarla energlasuficienteconroparacarnbiarlos de su nivel mlnimo de energfaal siguientepennitido(un estadoexcitado).A temperaturas suficientemente altas,una fracciónde los átomosserán"golpeados" saliendoal siguienteestado,de mayorenergfa,y entonces nuestrorecipientecontendráátontosexcitadosde helio.Esosátomosexcitadospueden"saltar"de regresoal nivelmlnimo de energfa,y, en el.proceso, emitirdnluz deJiecuencias discretas.La energlaquetransportela luz serála diferenciaentrelasenergiasdel estadoexcitado y el estadofundamental,De de estemodo se conservala energía.La luz emitiáa consisteen fotonescon una frecuencia,/, deternrinada por la relaciónfrecuenciaenergla delosfotones,E - ht, Asi sepuedenestudiarlosnivelesatómicosdeenergía, examinandola radiaciónque emiten los átomosa frecuenciasdiscretas;a altas (figura42-l). ternperaturas

(b)

( i)

r ??<

(ii)

flGURA 42-l (a) El colorcmitido¡nr los dtornosdcspucsdocxcitarlosmcdiantccl cnlorcs (ii) nrbidio,aziil on*tcristicodclclcnrcntopaticulaidcquosotratc: (i)cstroncio,rojo, y (lii) cobrc, vc¡dc.(b) crundocl colordc cad¡ clcmontodola partc(a)soanalizacspcct¡ográficam€ntc, r vcqtrcüe¡rcfrccrrr¡cias,o lincas,discrct¿s.

Cwntlzaclón

dc la ocrgb fltommto2f4Ele

y d

Les energiesy los nlonlenfosrngulrres de los sistemasestóncu¡ntizedos.

( l u,

1226

la cuáhtizeciótide

I-a naturalsza ondulatofia.de

(hpitulo

42 Cuantl¡¡clón dc valorcs r¡¡onrcnf () nngrrlnr y cncryío

fnateria yenergía

.

' da ¿" la'en-etgfa La teorla ondulato¡iade la materia un'aexplicaci.ondc la"cuantizádi¿tr que se describióamiba.Por cjetnplo,vearnosuna partfcúlacoufirlaclndcrrtrocleurrn caja, con un lado de anchura fillita, D. Si'la partfcula detrtro de la caja sc comporta como una onda estacionaria en una cuerda de lorigitud D, fija en sus extronos, entonceslas longitudes de onda tienen estarestticción:

dc

f :2: n= |

Bcuación (14-8)], en la cual n: 1,2,3, . . . (figura42-2). La longittrdde onda se relacionacon la cantidadde movimiento,p, mediantela ecuaciónde de Broglie, 2,= 41-1), de modo que estacondiciónequivaiea hlp (ec,aación

|' = + =

¿

p: , +

h

La energlade la partículaen la caja, -í,rrr,se ! discretos

restringeentoncesa los valores

n2h: [- =7___u. ¡i ,'t/)'

n=3 n2b

"=T

14. t\ (q_-t)

La enetgladel estadofundamental0r = 1),entonccs.es li:, Srttb:,¡' los valorespos;bles de energla estánseparadospor espacioscu¡'o orden ie magnitud es h:f nib:. Nu.-st¡o cálculo,más preciso,difierede la estimaciónque hici¡nosen el capífulo4l con a''uda n=4 de molinie;ito [ecuación(a I 7)]; de la relaciónde incertidumbreposición-cantidad ^2bh n=T=7 estees,con frecuencia,el casocon estasestimacionestan toscas. El modelo de Boht, del átomo de hidrógeno I'IGLJRA42-2 Laslongltudcsdc orda dc enunacucrdafija on I ondascstacior¡,arias por la amboscxt¡omoeostrincxprosadns longituddc esta,divididaentrcscrnicntcros

Veamos cómo las propiedadesondulatoriasde ia na:e¡ia ncs permiien cornpretrder las órbitasde los electronesen los átomos.Iniciarerncscc:r una descripciónclásica del átomo.En 1911,EmestRutherforddescubrióquelcs áionos tielrenuna estructu¡a nuclear. El átomo más simple es el de hidrógeno, que sólo tiene un electrón,de masam¿y carga-e, y un núcleoque,por lo eeneral,cci'sisteen un Proiónú:ico, de masa frpD ffir,y una carga-+e.Si el electrónsemovie¡aen fonxa clásica,susórbitasserian circula¡eso elipticas,estandoel protón en el centro,o en ei foco, por analogÍacon Paralas ó¡bitascircularesde radior, la segundaley de Newton, las órbitasplanetarias. F - nta. es et

l tl cuU-

+ n€or

( 4) -)\

r

El lado izquierdo de estaecuaciónes la fuerza dé Coulomb. La ene'rglatotál es )t

t)-

'e-

lffio

+n€or

E = K * U ::--;--t

( ¿ ,- 7 \

ley' potencial ceroestéen| = co.rLa segunda enla cualseha!9".igiá"quela energla que (42-2),implica deNewton,ecuación . r , , . , ) . . . . , p z, , u, : =! . ^,)

.",ro"i,11" resultad" este cuando "i^ "**,i*rF

e2 -

--:-

c2

Sneor 4neor

3),obtenemos ez

'8neor

(42-4)

I L¡ rclat¡vidad sólo corrigo ligcramcntc la cstructura dc t¡s érbit$.atórnicae, y ¡ror ollo cmplcnmoc la form¡ no rclativista do la cncrgía cfuútica cn la ccuación (42-3).

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O o o o o o o o o o o o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o e o o o o o o o o o a o o o

l-a energíaes negativa,lo cual es conecto para electronesen órbitas ceffadas,cuando se selecciona energla potencial cero en el infinito. será útil determinar.el momento angular, L, en la órbita circular. su magnitud

r227 42-l Cuntlzaclón

esL-m¡)r.Delaecuación(42.2),,::!@!s-4"quelamagnitu¿¿"l momento angularesL - m,ur: m,(el'/@l¡ r - e{nrj7ñ{xra vez,podemos

dc le cncrgil y cl momcnto¡ngul¡r

despejarr para determinar el radio de la órbita, para determinadóvalor del momento angular. L2 l' = -

m"e'f 4ne6

( 42- s)

el modeloplanetarioclásicoqueacabamos de describir,la energfa,el radio de la órbitay el momentoangularpuedenasumirun continuode valores.pero este modelotieneunafalla fatal.Sabemos queunacargaquesemueveen órbitacircula¡ aceleraconstantemente, y vimos,enel capltulo35,queunacargaqueaceleta,irradia energla.En consecuencia, un electrónen órbitaperdedaenergla,constantemente, por radiación;al volvetsemásnegativasu energla,el radiodisminuirfa[véaseecuación (42-4)Jhastaque el protón absorbieraal electrón.Los cálculosdetallados(véase problema14) indicanque estot¡rdarfasólo 10't0s. q El primer tratamientodel átomo,que incorpprócondiciónde cuantizaciónde enetgfa,lo expusoNiels Boh¡ en 1913(figura42-3).Citamosa continuación dosde las !\ ,.\ hipótesisquehizo Bohr pam tratarde explicaral átomode hidrógeno: r\ \), , 1. I.s órbitascircula¡esclásicas,con energfay radio variable,se remplazarr I,'IGURA42-3 Nicls Boh¡. pot estadosestacionarios,llamadosasfporquelas energlasde esos "itudo, son fijas, y, por lo üanto,los electrones en esosestadosno puedenirradiar enforma clásica.I 'tsenergfasdeesosestadossóloasum"nyuloro discretos, 2. [.os.valoresde energlade los estadosestacionarios se dete¡minanpara órbitascircularesimponiendola condiciónde queel momentoangular,L, estécuantizadoen unidadesintegralesde li: L- nh,

donden- 1,2,3,..., (42-6) Al enteron sele llamanúmerocuánticoprincipal de la órbita,La ecuación(42-6)es la condiciónde cuantizaciónde Bohr, Pa¡aver cómo la condiciónde cuantizaciónde Bohr determinalos valoresde energia,sustituimbsa L en la ecuación(42-s),quedeterminael radiode unaórbita circula¡en términosde Z. Vemosque n'h' , -=ñ;T;;: r"

n2eo,

(42-7)

enla cual,el radio de Bohrrdg¡€sel quecomesponde a n - l:2 h2 a o = ----;;-:

nl"e - | 4ft€¡

0 .53 x l 0-r0 m.

(42-8)

Nóles.e quelos radiospermitidosson discretos,y el fndicen correspondeal número cuánticon de L. Todavez que los ez que los ¡adios ¡actlossólo puedentener sólo pueden tenervalores valoresdiscretos, di fijos, la ecuación(424) indica que la energfa también tiene valores discretos y fijos.3 fi ios.3Cuando Ct¡ando losvalorespermitidosde r, de acuetdocon la ecuación(42-7),seiniroducenen la

' El h,cchodc qrrc sca as,f rn ab cr¡sr¡don - l, cs, tan solo, histórico. r.'tsi, dccir qrrc L es tijo o cstacionarto, para órbitns circr¡l¡rcs dc ritomos con rm clcclrón, llcva ¡lJom¿ticrrier¡tc r las cncrgíascstacionarias,La primora do las hipotcsis dc [!ohr, prnscnlndnsaniba, c.s, ¡nr lo '¡fo, nó.rdentc cer la scgunda, cn cstc c8so.

Condiciónclecu¡ntiz¡ción de Bohr

Radios permitidoe de órbit¡e circulares, perr el hidrógeno.

1224 (apitulo

42 (ira¡rt¡"nc¡ó¡¡ dc vdoru momcnto angular y c¡rcryíi

dc

ecuación (42-4, pñrn la energfa,obtcnemoslos'volótes pbúriitidos-de cnbrlln clcun rítornodc hidrógcnoc¡r el modclo de Bolrr: ' li : '-'t

_-

czc2l

9ne,,[1n1lt2) lQn,.t'2l4rer,)] ri r,,/ c:' \? 2l .8 x l o- roJ 13.6cv :-;-l ;--;l :----l -* 2n' \4ne,,hf nl tt2

Energías p€rnlitidas del áton¡o de hidrogeno

/, ,r = .I 5 -

tt= 3

0

's ,5

8fi€nr,,

(42-9)

Hemos agregadoel subfndice ,¡ colno tecordatorio de la naturalezadiscreta de las energias.La energiadel estadofundamental es Z1 = -13.6 eV. La figura 42-4 r¡uestra los vaiores de energlapredichos por la ecuación (42-9). Las energfasdel estadoexcitado se aproximan más y más al aumentarn, y la energfa tiende a cero cuando n 4 üJ.Las energfaspositivas correspondetral caso en el cual la energla cinética del electrón es positiva, cuando rn tiende aoo; esto es, el electrón no estáligado al protón.En eselugar, las energíascinéticasdel elebtróny del protón puedentenervalotescontinuos.La energídno es discretacr¡andoel sistclnano está confinado.La energlamínima necesariapara quitar u¡r electrónen el estadofundamental,de un átomo,se llalna energía dc iottización.Parael hidrógeno,eslaenergfa e s (0 e V) - (- 1 3 .6eV ) - i 3.6 eV . Podemositnaginamosque la cuantizacióndel lnolnentoangulates i¡n resultado del requisito de que la circunferencia de la órbita teni.gaun núntcro entero de ondas de de Brogli¿. Esta condición, que nos recuerda a las condiciones qüe fijan las pide que,paraun radio de óibita'identificadb frecuenciasde las ondasestaciona¡ias, con el entero n,

(42-r0) Como l" - hlp;pata esaórbita,la ecuació;r(-13-10;lo:n¡ la forma .,

-

I

2 : -r, , -r, / , , : L : , . FIGURA 42-4 Nivcles dc cncrgia cn un átomo dc hidrogcno, para órbitas ci¡cularcs cn cl modclo dc Bohr, obtcnidos con la ccuación (42-9). Estoe nivolcs, quo no sc t¡azan a cscala cn csta flgura, sc ugolpnn a mcdidn quc aumcnta cl númcro cuúüico n. Anibo dcl purrto dc ioniznción, D - 0, cl clcctrón y cl protón ya no sc cncucntran liead06.

h,p,,

i ¡,2::

i:

- "'

que e,sidéntica a la ecuación (42-6). Prucba dct rnodclo dc Bohr Las predicciónes del modelo de Boh¡ para el hiirógerro, cotrcuerdanbien con los experimentos.El modelo se ha confirmado experimentalmentemediante la observación de las frecuenciasluminosasdiscretasque emiten los átomosde hidrógenoal haber sido excitados.Esas frecuenciasluminosas,bien definidas, son las de.los fotones emitidos cuando un electrón "salta" de una órbita a ot¡a de menor energía (figura 42-5).El principio de la conservaciónde la energla,determinalas energÍas, y, por consiguiente,las frecuenciasde esosfotones:

Los electronesetómicospuedenefectuertransiciones(saltos)de un nivel permitidor'con une cnergía inicial E¡, a otro nivel permiüdo, con energia final E¡. Cu¡ndo Et >'Et, se liberc energia.Le energíaliberade se puedemanifestarpor la eperición de un fotón que transportl el excesode energia,Ei - E¡.Como un fotón de energiaE tieneuna frecuencie.¡lexpresadepor E = ú/, la frecuenciadel fotón emitido4eski determinadapor Frecuenci¡s de ln luz emitida por átomos

hf*q-Et'

(42-rr)

a l¡ corscrvación dc h cnergia, dc por sí, pcrmitc la cmisión dc dos.o miis fotorrcs, cuya zuma
o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o I o o o o o o o o o o o o o

Al revtls, un elechón que esté en deüermirradonivel.inicial permitido de energla, puede absorbe¡ un fotón de la frecuencia correcta y "saltar" a urr estado de mayor energfa, o excitado (fig,rra 42-5),L^ frecuencia del foton absorbidadebe obedecera hÍ * 4- Ei.

(, -0.lt.5 - t . . 5|

EJ EMPLo 4 2 - 1 Determinadol¿iseremiteluzconlongituddeondade3391 nm. ¿Cuálesla diferenciade energlas,en electrónvolLs,entrelos dosnivelesde -3,.1() energiaque intervienenparaprcducir esaluz? SOLUCION: La diferenciadeenetgfas, AE,.entre los dosniveles,serclacionncolr ln longitudde onda,I , de la radiaciónenritida,por l,t¡ = trl':li! .

s

A

Porconsiguiente,

Estadofu¡rdamcnull

(6.63x lo-341/.AQo x toi úlA

LE=U :

: U.J/ cV.

por la ecuación Pamel hidtógeno,lasenerglasE¡y E¡posibles,estánexpresadas (42-9).Podemosreformularla ecuación(42-l l) en tétminosde la longituddeonda, 1.,másquede la frecuencia,ernpleando la relación/ - c/^. Entonces,laslongitudes exciladohacia deotrdade los fotonesemitidoscuandoun elect¡ónpasadeun esüado otro inferior, estánrestringidasa los valores

:ut: u': *,(\- i), 7 nc \r¡ i ni / I

flGURA 42-5 Un olcct¡ón atómico pudc pasr un nivol hacia abajo con la cmisión & un fotón, o n wr nivcl lr¡cla arriba, con absorción dc m fotón. La frccrrcnciadcl fotón csüí detcrmi¡¡¡da por cl cambio dc cnorgía.

(4)_t)\

en la cual, nt y nz son los númeroscuánticosde las energfasinicial y final, y& (mJ2hc)(e2¡+ne¿¡2 respectivamente, - 1.W74x l0? m-r esla co¡stantede Johannes Se Rydberg,en honor de Rydberg. encont¡óque las longitudesde onda predichas concotdaban en formaexcelentecon lasmedidacde laslÍneasespecttales (figura 42-6). De hecho,en 1890,Rydbergya habla establecidoun del hidrógeno del espectrode emisióndel hidrógeno, ajustepuramenteempiricoa lasfrecuencias queconesponden a muchos conla fórmulade la ecuación(42-12),L¿sf¡ecuencias valoresde n2y nr (n¡ < n2) se pudieronaproximarmucho con estafórmula,y se predijetonnuevasfrecuencias,con estabase,Boh¡ estabaen el caminoconectode la explicaciónde los valoresde esasfrecuencias.

FIGURA 42{ El cspcctrodc cmisióndcl hidrógcno.

4 2 -2 Calcularlamagnituddeladiferenciadeenergfas ent¡ela EJ EMPLo mlnima del átomo de hidrógeno (n - 1), y la del prirner estado excitado (n - 2). Estima¡ la üemperah,raa la cual ocupada una fracción apreciable de un gas de átomos de hidrógeno, el primer estado excitado.

SoLUCION: Paracalculatla diferctrciade energlaenEelos nivelesn - | y n - 2 del hidrógeno,sólo necesitamoscalcularEz - Er, estandoexptesadaslas energfas por la ecuación(42-9)z

E.- Et

=', (]- r): 10.2eV. [#-#]:(-r3.6"vr 1229

r230 Capitulo 42 Q¡antlzacl,óndc momcnto anguhr y cncrgía

v¡lorcs dc

ParaestirrÍarla temperatura,f, a la cual una fracciónapfeciablede ótomos de hidrógenoocuparlael primer estadoexcitado,preguntamoscuántaenergla por átomo,parallegara 10.2eV - (1,6x 10-teryeVX10,2 cinéticasenecesita, eV):r 1.6x lO-lEJ. Si hacemosquej&Isea iguala estenúmero,comolo sugiere de la energfa, f = (3X1.6x 10-rsJy(1,38 el principiode equipartición "", "ntot x x 10-23 confinnanuestra íK) 0.8 105K. Esteestimado,en formadramátiea, afirmaciónanteriordeque,bajolascondicionesnormáles,la matetiaseencuentra UnápEqueña fraciión de átomosseexcitaa tempemensu estadofundamental. de los furasmuchomenores,y ello eslo quehacepoóibleestudiatlos espectros elementos en el laboratorio. l,os principiossobrelos quese basael modelode Bohr, aunquesefurmularon originalmentepara átomosde un sólo.electrón,se puedenaplicarpara cualquiersistemaclásico.Porejemplo,veremosen la sección42-3,cómopodevibracionesen lasmolécumosaplicarlosal osciladorarmónico,querepresent¿ En el ejemplosiguienteaplicaremos lastécnicasdel las,y a moléculasgiratorias, modelode Bohr paradescribircómqseformanpartfculascomolos protones.

masivosseatraen 4 2 - 3 Dos quarks(partículassubnuclea¡es) EJEMPLO entresi con una fuerzaconstante.Considerarestecasocomo una partículaúnica de masa M describiendouna órbita bajo la influencia de una fuerza central consfante,con energíapotencialU = Us(y'r¡).En el1a,r es la distanciaentrelos quarks, Us es una conslantecon la dimensión de energfa,y ro es una constante con dimensión de longirud. Usa¡ estafunción energíapotencial para detertrrinar las.energlascuantiza.l"" de órb i tas circul ares. Paraemplearlas regiasde Bohr, procederemoscomo lo hicimos para SOLUCION: el átomo de hidrógeno, expresandoprimero la energfa de ótbitas circulares en términos de momento angular, y después aplicando la condición de que el momento angular estécuantizado.[.a energlaes

t : ! . v r r ' + u o L. Jti r'

La fuerza que cotrespondea nuest¡aenerglapotencial tiene magnitud F - IJlrs, de modo que pa¡a órbitas circuiates, la ecuacióndinámica F = nrc es [J^ .Ma2

t:;

La cuantización del momento angular tiene lafotma Mur : nlt, o sea, r = nh/Mu. Cuando sustituimos lo anterior en la ecr¡acióndel movimiento, obtenemos (Jo

Mu2

M2u3

ro

nfilM.u

nlt

Cuando sustituimos Asf, u - (nfiUdlufrs)\t3,yt =nhlMu =¡nh72l3QdMUo)r/3, que para vemos la energfa, estasexpresionesen la ecuación (Jn .

I

3 ((Jl h2\tt3

-. \ r,1 ,,, ^,^ - ,:;M. . /nh(Ju\zrt*= @D2t3.VolM E U)¿ ,,,' :..,t# l# J ro ' ¿ M r i ) ) .,t' ,' . \ M 'r o /

\

/

A pesarde los éxitos de las teglasde cuantizaciónde Bohr, que trabajanbien para átomosde un electtón,no se puedenaplicar a átornosde vafios elect¡ones. Aunque la intuición de Boh¡ nos dio una comptensióncualitativade los átomosde eraclaroqueIo quesehabfahechoeraprovisional.Lasreglasde tnuchoselectrones, en las leyesclásicas,y no se comprend:a muy artificialmente Bohr se'injertaron

o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o o o O o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o I

o o o o o o o o o o o o o O

o o a o o o o o O o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

r237

cuándo deciditla un electrón "saltat" de una órbita a otra, ni dónde estarla durante el s alt o.

42-2 la tcoóa stántlce angular y cI clpcctro

dcl momm¡o vcrdadcrc dd h-ldrógcrc

42-2 I-A.TEoRIA cuAIyTIcA DEL MoMENTo ANGUr-aR Y EL ESPECTROVERDADERODEL HIDROGENO WenrerHeisenberg (en 1925),y Etwin Schródinger (en 1926)generalizaron sus extetrsos estudiosde la "vieja" teorfacuánticaparallegara la formulacióncorrecta de la mecánicacuántica.Los detallescaenfueradel propósitode estecurso,y sólo tendremosque citar algunosde los resultados de la mecánicacuántica,sin tratarde deducitlos.El espectrocompletodel hidrógenoesuno de los temasque debemostratarde estaforma. Heisenbergempleóel principio de correspondenciade Bohr como gufa parasu formulaciónde unateoríade los fenómenos cuánticos. Esteprincipio,que surgiódel trabajooriginalde Bohr sobreel átomo,establece que los ¡esultados mecdnicocu¡inticosse debenreducir a aquellosque son consecuencia de un tratamientoclásico,cuandolos númeroscuánticosson grandes,por ejemploel núnreroatómicoprincipal,n. El problemal5 muestracómosepuedeaplicareste principiode correspondencia. En nuestradesctipcióndel modelode Bohr,nos limitamos,por simplicidad, a órbitascirculares. Un tratamiento mecánicocuánticocompletomnnejatodotipo de órbitas,y toma en cuentalas propiedades más complicadasdel ¡nomento angularen la mecánicacuántica.Cuandoseaplicala teorfacompletaal átomode aparecen algunaspropiedades notables. hidrógeno, por completo.Un electrón,cuandoestá 1. El conceptode órbitasdesaparece ligadoa un núcleo,como en el hidrógeno,estádescritopor unafl nción de onda punto, (véasecapítulo4l). El cuadradode la funciónde onda,en determinado desoibela probabilidadde encontrarel electrónen esepunto.El electrónpuede sólo por la energfa,momento existiren uno de varios estados,caracterizado angulary orientaciónen el espacio(el análogode la inclinaciónde una órbita estáncuantizadas, planetaria con respectoa determinadoeje). Esascantidades por un conjuhtode númeroscuánticosqueasumenvaloresenteros. especificadas la funciónde onda,y conella,todas losnúmeroscuánticos, Unavezespecificados del átomo,quedadeterminada, laspropiedades 2. El momentoangulardel electrónen el átomose cuantizade acuerdocon L //¡,en la cualI tomalos valoresO, L,2,,. . . Más adelanteveremosquehay una restricciónmás sobre/.) Además,podemoshablarde esemomentoangularsólo en relacion con determinadoeje (figura 42'7)' Lo que queremosdecir es lo el componentedel momentoangulara lo largo del eje especificado,al siguiente: en adelantelo llamaremosel eje e, sólo puedeasumirlos valoresn¡á aqul cualde l, 0, -1, . .., -(f (42-6)),connt- /, I - l'[ -2,.,., en laecuación fccrno '.',.- / . En otraspalabras,el componentez, L, del vectormomentoangularestá por [(l + 1¡¡¡2,, ilaniizado.El cuadradodel momentoangularestáexpresado ,t y /r. indica el momento angular 42-7 sus proyecciones figura La :rcpci : l, / - 2y I 3. Estecomportamiento / difiere para totalmentede ¡e;n:tidas pata grande, que lh aunque L muy tal clásica, sea un número ¡ necánica g.cm2/s, las desviaciones como I con respecto a la descripción :;c::scópico, ;Js.casonmu1'pequeñas. en experimentalmente L¿ suantizacióndel momentoangulatfue descubierta l9i i porOtto Stemy WalterGedach,conel experimentosiguiente:un hazdeátomos

,,,r-tj .,i | ,,,

rrtq=0 |" -' 1".. lr /l t¡= -l I

n -t {-

t

tnt= 2 ,r/l = | t¿rl= o t,tl=

- |

tttQ= -2

,rl = .l tttQ=2 /l ¡ [=

¡

,)r0= 0

0 -1

/rrl = -l "'t-

'

= -3 rr¡q FIGURA 42-7 Dirccciones dc los vccto¡cs morncnto angular para / : L, 2 Y 3, ¡xrmiü
r 2 32 Capiulo 42 Cl¡antlzáctón dé valor.es dc momcnto angul¡r y cncrg'ra'

huin visto dc,s(lc cl luz

FIGUR/\ 42-E Ex¡rerimcntoSlcm-Gcrlach El campo magnético no cs r¡rifonnc. Iln cstc caso,cl haz sc dividc cn trcs com[nr]cntcs.

se hace pasarpof una zona de es¡resorD, en la cual hay r¡tl carnpotnagnótico,B, orientadoen direcciónz (figura 42-q.s Los átomosse caracterizanpor un tnomel)tonragnéticodipolar, p, y l^ encrgfa potencial de los átotnos en el calnpo rnagnéticocstá cxprcsadapor la ecuación

(29-26): Si B varfa en función de z, entoncesha¡'una fuerzasobreel átonro,proporcionala

d'o"t^"t' tu magnetico sumomento "" "'ttt lr-t, u, =1,, . t'. = d. , l;

(4 2 1 3 )

En la forma clásica,l¿,gue es proporcionalal conrponentedel momerrtoangular del átomo en direcciónz [véaseecuación(32-12)),6no estácuantizado,De acuerdo los átornosllegarianal lado alejado con el punto de vista clásico,por consiguietrte, del aparato,distribuidosunifonnelnenteen direcciónz. El árgulo rnáxirnode desviación, 0, que caracterizaestadispersión,sería,aproxitnadamente, .. L,, (fuerza)(tiempoen la zonadel campo) U = -:- Inü p dIJ ID '-d:

ti l u u

N

,II¿ VU

ntü -

(]:

(42-t4)

en la cual,p = mu es la cantidadde movimiento del átotnoen el haz. Más que tener una dispersiónuniforme, Stern y Gerlach vieron que sus hacesse dividían en componentesen ángulosespecíficos.El número de cotnponentesvariaba con la especiedel átomo, Para el helio, sólo habia un cornponente,el no desviado; un haz de átomos de oxlgeno se dividla en 5 componentes,y un haz de átomos de plala, en dos componentes.En todos los casos,los componentesse distribulan en forma simétrica respectoal punto de no desviación.Esasobservacionesimplican que los momentosfiBgnéticos debenesta¡cuatizados,lo cual, a su vez, irnplica que el tnomento

5 En cl expcrinrcnto dc Stcm-Gcrlach, el cam¡n magrróticosc omplca para dcsviar a los átornos.El cstudio dc los cfcctos dc los cam¡ns magnéticos sobrc los cs¡rctros dc los ¡itomos (cl electo Zeennn) fr¡c iniciado cn I 896 por Pietcr Zccman. Rcsulló quc e,stotrabajo fuc critico cn ol dcsarrollo dc la comprerxión do la cstn¡cturo atómicB.

6 Rccuórdesc quc,oncl capítulo32,cmpleamos la notaciónm, y rro¡r, para'clmomcntodi¡nlai magnético,

o o o o o o o o o o o o o o a o o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

o o O o o o a o o o o o o o o O a o o o o o o o o o o o a o o o o o o o a o o t a o t

a t

angular está cuantizado. El haz inicial de una especie de áton'¡ocon núlnero cuántico I de momento angulat, consisteen una mezcla igual de átotnosen cada uno de los 2/ + I estados permitidos que coffesponden a la cuantización de su componente Z. Cada uno de estos2 / + I estadostiene una proyección z distinta de rnomentomagnéticodipolar,proporcionala - l, - (/ - l), . . ., (/ - l), l. Asi, el componenteúnico del helio coffespondea I * O,y los cinco componentesdel oxlgeno coffesponden a / - 2. Pronto desctibi¡emos el caso de la plata, para la cual se observandos cotnponentes. 3. Los valoresde energíaparael átotnode hidrógeno,se cuantizande acuerdocon

1233 42-2 latcorít cuánllca dcl momcnto angular y cl cs¡rccrro vcrdadcro dcl hldrógcrrc

(42-15) Lo cual se acercaa la prediccióndel nlodelode Bohr, peroen una fomra generalizada. El elrteroorigirral,l, etr el nrodelode Bolrr, se retnplazaPor /rr + / + l. siendon, * a l os val oresettteros0, 1,2, 3,. , , N ótese,si n 0, 1, 2, 3 , . . .y I q rre d are s tri trg i d o A detnás,utr /+ l ;e n o tra s p a l n b r as,/1rt - I paradetenl ri tradaa. ) c r r r bar g o ,q tre rr estadocon dclennirrndn/' describeen realidadcl conjrrntod e 2/ + | estadosdistitrtos, todoslos ct¡alestiene¡lel lnistno motnetrtoangular. La c'cr¡aciótr(42-15) co¡lclt¡cea ¡tivelescle energíacotnplejos,un poco tnás que el rnodelo de Bohr, en el cual cada uno contienevarios estados conrplicaclos ( f igr r r a4 2 -9 ).N ó l e s e q u e eel s ta d o ¡¡ri ni ttroti enen. -0 y / = 0(rr = l ),yesúni co. = El siguit'lrtctrive.l,que correspottdea n 2, coltsisteen I estadoparael cual rt, - I y / - O y 2/ 1 .| = 3 e s l a d o s c o ¡¡rr- O y I= l ;estoes,hay4estadospararr-2.E l cual rt.= 2y1: s igt r iet r tc tti v e ' l ,q u e c o rre s p o ttd t' a r t-3,col l stadel estadoparael 0, 3c s t ac l o s c o l trt¡- l y | : l ,y 5 e s ta d oscol l r¡r- 0y / = 2,utrtotal de9estados. Estosrcsultadosre geri"ralizande ¡llancraobvia: el nútnerototal de estatlosrepre¡. sellladospor lt, es lt Ya fienlos hecho notar que las consetvaciotresde etrergíay cantidadlineal de

I= o

ñ-'

Q= :

Q=.1

n-

r

Ll

(-'onlinuollt l

(l I

-ll

1

- *¡ ¡ = l

>"-O b0o.

I Iidrógcno

/

fi-tt -9

-il -t2 - t3 - .- - *- ,| = l

campo magnético, cadanivel con dctcrmi¡¡,aria F¡GURA 42-g Espcct¡o dc u¡r átomo dc lúdrógcno, rcsultado d¿ la mccúúca cuántica. E¡r auscrrciadc tm / consistc,cn rcalidad, cn 2/ + I est¡dos.

123¿t

L

Capitulo 42 Cua¡llzacióil di momcnto angular y cnc4gia

v¡lorés

dc

'l

+

0= 0

II

C onti rl r¡o

^l ul . I - l L'l a

-3 -4

' -5 ? -.0 'rti-

Hidrógeno

/

H -n -9 -t0 -|l

-12 - 13

rr= |

- l ¿.

FIGURA 42-10 Algruas trarr-sicioncs¡rosiblesdo cloctroncs cn la rcprascntaciónrnccárücocúárl(ic¿dc trn átcnp dc hit:n5gc:::

moyimiento continúan siendo v¿ilidasen.lamec¿inicacuántica.Lo mi'rno es cierto de la conservacióndelmomento angula¡en ausenciaCepaiesertexrcs. Esto afectaal estaCo en el cual puede terminar un electrón,cuandoefeciia i:n sai:c enitiendo un fotón. l¿ radiación electromagnéticatransportael momen:o ang'.¡lai,]'para un tbtó;r, el riloniento angular es la'a -.ñ. AsÍ, los momentos a::gula¡es inicial y frral de los estadosdel elect¡ón deben diferi¡ en una unidad de i. Algu.ras de fas t¡-"¡siciones posibies se muest¡an.e¡r la figura 42-lO. Todc los resultados que se describen aquí tienen una concordancia ext¡emadamentebuena con los experimentos.

Corfi¡ruo

espectnies EJEMP LO 42 - 4 l-a seriede Balnteresun conjun:c i¿ i:.:^.eas que conesponden a transicionesatómicas del hidrógenot que terminan con un número cuántico principal n 2. Haga un esquemadelas t¡ansicionespermitidas que conduzcana estaserie, y.calcule las longitudes
12f^:-:--

E n -E z

2nh

me |

(

o'

\'tt.-/l- - t:.- _ t- l

2 2nh\4neoh)\u'

l\

4)

ht" (t' \' n2-1

línlil\4n
n'

Por consiguiente,

FIGLR{.{2-11 Ejemplo 42-4. Esta scrie dc trarLsiciorics sc llama scrio dc Balmcr.

l 6rh3. c -2 x l 0-' --:363 /,1 = 7 :' -r,= -l ; " fz' m" (e" l 4ne)" n' -4 Lá loirgitud de onda más cotta, quelcorrespondea n que coffespondea n - 3, es 653 nm.

/ ,,2 \ { -}m \n" -4/ =co, es 363 nm; la máxima,

o o o o o o a o a o o o a o o a a o o I a o o o a o o I I

o a o

o o o a

o O

a I o a

I I I

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

42-3 ELsprN,ELpRrNcrproDEExcLUsroN,y r¡. ESTRUCTURA DE LOS ATOMOS

dc

-.l**

i¡m

El spin dcl electrón Cuandoun átomo, con momento magnéticodipolar, se coloca en un campo magnéticoexterno,cambiasu energfapotencial,de acuerdocon la ecuación (29-26),U*e- ¡r. B. Comoacabamosde descripción verennuestra delexperimento l*u,r,uo=u C.n B de un átomo,con número de Stem-Gerlach, cadauna de las2l * I orientaciones cuántico / de momento angular, tiene un momento magrréticodipolar con un l =t componentez distinto. Cuandoeseátomose colocaen un campomagnético,las2/ + I orientaciones ya no tienenla mismaenetgla.Si secolocahidrógenoenun carnpo magnéticoexüemo,lasenerglasdel primerestadoexcitadocon I - l, por consiguiente,sedividen(figuta 42-12).Las frecuenciasde la radiaciónemitida,o absorbida,en ,¡ =l [ =0 unatransicióna, o de,uno de los tresniveles,divididosahora,son,por consiguienüe experimento. ligeramente distintas,y sepuedendetecüarmediante FIGLJRA 42-12 Cua¡rdo un ritorno dc I-os estadosde deüetminadaI quetienenuna energfacomún, en ausenciade un hidrogcno sc sujcta a un campo magnéüco oxtcmo, los tros ostadc qr corrcspordca e c¿mpomagnético,se descomponenen Ql * l) multiplctcs,con energfasligeramenüe / I, tcnic¡¡do todoc la mism¡ crrcrgia sin distintas, enpresenciadeun campomagnético.Como / - 0, 1,2,3,. . . , sóloseesperan campo magnéüco, ticncn ahora crrrgías dlstlntas; loe nlvcles so dividcnligoramorto multipletesde valor impar, Sucedióque no fue esteel c¿so:paraalgunosátomos,por l,a división dcpcndo do l¡ intcrsid¿d dcl *to es,haydoscomponentes, comovimoserr campo magnctlco. Nótcso quc cl cstado ejemplo,el de la plata,Apatecendoblctes; Pa¡aun d oblete,Z/ + 1 - 2, demodo / = 0 sólo corsistc cn r¡ri nivol, y, por lo nuesbadescripcióndel expedmentoSüem-Gerlach. tanto, no sc dlvidc o dcscom¡rorrc. e¡e t - i paraesüosáüomos,lo cual estabaptohibidopot lasreglasde la üeodacuántica, tal como esüabura principic de la decadade L92O.FIL1924,Wolfgang Pauli decidió quehabtla que desctibir al electrónmedianteun númerocu¿inticornás,gue solo podia asumi¡doevalores.Unaño despues,GeorgeUhlenbeckySamuelGoudsrnitpropr:sieron queel elechóntióneun momentoangularintr{ttseco,o spin,ft12:-slt. Mienbasqueel angular,L' th que hemosdescritohastaaqul estárelacionadocon El opin del clectnin momentoel movimiento de un electrón alrededorde un núcleo (la versión mecdnico cuánticade r x p), el spin es una propiedadinterna del electrón. . El hechode que los electronesüenganun momentoangularintrlnsecosfi con s j, quiere decir que 2s + 1 - 2, y que un electrónpuedeapareceren dos estados.Por a las "ariba" y,"abajo",quecor¡esponde simplicidad,podemosllamar a esosesüados dosdireccionesposiblesque puedetenerel vector spin. En ausenciade un campo la energladeun electrón"arriba"esla mismaquela deun elect¡ón"abajo" magnético, m el átomo de hidrógeno.Sin embargo,en presenciade un campomagnético,Ias de esosdosestadossonligeramentedistintas.Estoseve, expedmentalmente, energfas distintasde los fotonesemitidoscuandolos electrones enlasfrecuenciasligeramenüe pasanentreesosdos esüados. Comoresultadodel spin del electrón,el númerode los / seduplicade 2/ + l, a estadosposiblesdel elec6n que conespondena deüerminada 2(2t + 1).Cuando 1 - 0, el númerodeestadosconla mismaenetglaes2 (figura 42-L3). Cuandose observabien, en Pa¡a /: l, hay 2 x 3 = 6 estados,y asl sucesivamenüe. presencia de un canipomagnético,el estado / = 0 siempreesun doblete,el estado/ - I tiene6 niveles,y asl sucesivamentJe.

ConB

B=0

O

o o o o o o o o

r il) El aPln, cl prlmtplo yleotnrtrndclc

ntr=*J-

[=0

-\-- .,- - ^r =**

mr=.-!

FIGT RA 42-13 [¡ cxistcnci¡del spindcl clcct¡on cxplica por qudalgruroscstadossc dividcn cn núnnro par dc nivclas,cuandosc aplicarm campo magrréüco.

O

1,236
Sodio

dc

Q=0

: --6

l . =t .-:

_T-*

tlidrógcno

0 =2

Q =3

:-:

_-_6 _-5

:: -:j t

6 5

o

-*_____

4

4

.**_*_4

o

-5

_-4 *--_

3

-2.0 _4 b¡ O

_.-__3 FIGURA 42-14 Lsqucma do lc nivclos do onorgia dc rxr átomo, cn cstc caso sdio. Cuelita(ivamcntc os scmcjsntc al cspcctro dcl átomo dc hidrógcno. Los multiplctcs tionen todos casi la misma oncrgía. Para átomos con Z > 2, las cncrgias para dctcrminado valor de n, ¡lcro para divcrsos valorcs do l, ya no siguen siondo cxactamontoigualcs. l,os nivclcs con dctcrminada n y / se scparanligoramcnte dcbido al canrpomagnéüco intcmo.

*-* -4.0

-_.)

Atomos de varios electrones y el principio

Figure 42-15 WolfgangPauli.

El principio de exclusiónde Peuli

2

de exclusión

En forma conceptual,las ideasen las que se basael moi,ejo de Bohr se amplíana los átomosde varios electrónes,en una fonna mu;- sencilla.En lugar de una órbita,hay muchas órbitas p€rmitidas,v los electrohessc-Cistribu¡'enerltre eilas, llenando primero las de energíaminima. Los ¡esultadospredichospor.el tratamientomás Cada eiectrónse ln\revedetltroel rigurosode la mecánicacuánticason seme,ianles. potencialde atracciónde Coulomb del núcleo,nás un pctencialde repulsióndebido núnre¡oatót:l i co,queesel a l a p re s e n c i a d el osdemás(Z- 1)el ecrrones,s:ei rC oZel númeto de elect¡onesde un átomo no ionizadc. Sucedeque la estructurade niveles de energíaes, cualitativamente,igual que la del átomo de hidrógeno. Seguimos teniendoun númerocuánticon, que indica la energíatotal,y un númerocuántico /, que indicael momentoangulardel electróne¡i esenivel de energía,peto ya no slSue siendo válido que, para determinadan, los niveles / = 0, / = I tenganla mlstna enetgia.Pa¡a un nivel frjo de r, la energíaaumentacon I (figura 42-14). Podrlamos esperalque, en el estadofundamental de cualquier átomo, todos los elect¡onesestuvieranen el esladode energÍaminima. El espectrode radiaciónde uti átomo así, sdrfa, cualitativamente, igual al del hidrógeno. Los números serian distintos,porque la.cargacentralesZe,y Porquese tendríanlos efectosde la repulsión entre los electrones.Ese espectrotendna poca semejanzaóon la estructurarica que se observaa través de la tabla periódica de los elementos. . De nueyo fue Pauli quien hizo notar que, para cornPrendbrla estru:ctúrade ios átomos de varios electrones(Z >2), se necesitabautl nuevo ingrediente.Propusoel principio de exclusión, según el cual, cada estadocuántico puede acoinodar sólo a dos ele'ctrones,uno en el estado "arriba" y el otro en el estado "abaio ". (figura

42-15). Examinemosqué sucedecuandocómenzafnosa llenar niveles de enetgíasiguiendo el pdncipio de exclusión(figura 42- 16).El helio, Z - 2, tiene dos electrones;atnbos pueden entrar en el estadon : I, f = 0. No hay lugar para otro electrón'enel estado mfnimo. Se dice'qúe el helio forina una capa cerrada. A continuación, veamos al litio, Z'= 3. Dos electronescaben en el estadon = I, I = 0, y el tercer electrón debe ir al siguienteestadode etrergfa mínima, para el cual n : 2, / * O. El tercer e'lect¡ón

o o o a o o o o o o o o o o o o o o O

o o o o o o o o o o o o o O

o o o o o o o o o a o o

1)142-3 EI apl¡r, cl prlnclplo dc cxch$ió!yla cctructura dc los átooo

I

r, I

Z= | ( H)

¡r=2. i =

I

Z = 4 (lJc)

z =1 ( L i )

Z= 2( He)

t *'t,J

'r=2 . e= 0

-rr-

r= l . e= 0

-rrr-

I fl

Z = 7 (N )

----4t-

-;-r-

-*JfZ- 9 (l:)

Z= ll( O \

Z = l 0 (N c)

¡,

t

¡= 3.1 =0

J*r--f-uLrrt n= 2. l=0

-f-r_

*,

Z= ll( Na)

-t-¡-+:-F+T

-:+l ' -t-¡-l;-Lr

Z = 1 5(P)

IM il ,' '' 11; .,Ll -' f il f -L;-l-r-Lr ,, a,

l,

1,

' ? ;l ' 1

- t s F- - - !

-bl-l-l-F

Z = lll (Ar)

Z = 20 (Ca)

estámásalejadodel núcleoque los otrosdos (tecuérdese que r ccnr), y que la carga positiva+3e de ese núcleo quedaalgo oculta por la carganegativade los dos electrones en la órbita n - 1, Cotnotesultadode ello, el te¡cerelectrónestáligado conmenosfirmezaal núcleo,y por consiguiente puedepasarcon másfacilidada la órbitadeun átomocercano.Porconsiguiente, un átomode litio puedeenlazarse con otroátomopatafonnar una molécula,y, al igual que otrosátomosque tienenun electrón fuerade unacapacerrada,esmuy activoqufmicamente. Parael berilio,Z - 4, denuevollenamosuna capa,la n - 2, /' 0,y esperamos queel berilio seamenosactivoque el litio. Estotesultasercierto.Pa¡aZ : 5 a Z = l0, sellenansucesivamente los nivelesn - 2, I : 1. El elementoZ- lO esel neón, quecomesponde a otra capaprincipal cerrada,la capan - 2; esun gasinefte,de una clase'deelementosnotablespor su inactividadqufmica.El flúor, Z - 9, tieneun eiectrónde menosrespectoa la capacompleta.Lós elementoscomo el flúor, que :enenun agr4eroo huecoenunacapa,feaccionanconintensidadespecialconátomos :omoel litio, que tienenun electrónfuerade una capallena.El flúot tieneel valor nlnimo de Z deloshalógenos,átomosconun sólo agujeroen su capa,de igualmodo ;ueel litio tiene el valor mfnimo Z delos metalesalcalinos,con átomoscon un ¿lect¡ón fuerade una capacompleta. El cuadroque hemosbosquejadoes muy cualitativo,y se necesitamuchamás qulmicasde los átomos. ;-lormaciónpara explicarpor cornpletolas propiedades Sastedecir que los detalles de la tabla periódica se pueden comprender,lanto ;¿itativa comocuantitativamente, conunadescripciónmecánicocuántica.El lectrcr iie notarquela existenciadenivelesdisctetosde energfa,spin, y el principio de

FIGURA 42-16 Ev¡ucma dc ocupación dc nivcles dc cncrgia por clcctroncs, para clcmcntos dc Z - | a Z - 20. Las palicioncs dc los nivclcs no cst¿ina ascala.

t

r23e C:pinrlo 42 Cuart¡"iclór de falorcs momcnto angular ycncryía

&

exclusión son'fenómenostotaknentemec¿inicoóuánticos.No hay indicio clásico de su existencia EJ EM P Lo 4 2 - 5 UnátomotieneZ= 3Telectro¡res. ¿Cuálessonlosvalores de n y para el electrón ligado con menos intensidad? SOLUCION:Procederemoshaciendo una lista dc los niveles posibles para valores crecientesde n y / , empleandola tegia qu", pu* detenninaáan, r. puedeasumir valores solo hasta lt - 1, para despuescontar los elecholresque llenan cadauno de los niveles. Núntcro de electroncs I

2 ) J

0 0 1 0 1 a

A a A

r+

0 1 2

¿ 2 2 6 10 2 ó l0

Total acumulado de elcclrones

2 Á 10 12 t8 28 30 36 46

De estemodo, se esperaque el 37selectrónquedeen la capa rt: 4, [ - 2.

los En el ejemplo42-5aplicamosreglassencillasde conteoparadeterminar númeroscuánticosdel electrónexternode un átomocon determinadonúrnerode electrones. Al aumentar z,eslasreglassencillasfallan,porqueentranetracciónnuevos de a unatendencia efectos. Porejemplo,la dinámicadelmovimientoorbitalconduce un electróna alinearzu spincon o contrael momentoangularorbital.Entonceshayun dcl spiny del ¡notnelrtoangulat : términoen la energÍaquedepcndedel alinearniento orbital,que se llama términospin-órbita.Estosefectospuedenoriginarpequeñas respecto.a'nuesfras diferencüsen el ordendellenadode losniveles;lasdesviacioned reglassencillascomienza¡cuan-doZ = 19. , , ''i ' ¿obcdccen todas las partículas al principio dc exclusión? :; de ffsica,nucleat han Los electronestienenun spin igual a lt12.Los experimentos queprotonesy neutronestambiéntienenspin igual a hl/,y,dp acuerdo demost¡ado conun teoremamuy general , todaslasparticulascuyasspiyessqanh12,3hlzt5lil2, semientero al principio de exclusión.A laspartlcul4squetienen:spin . . . , obedecen se les llarna ferrniones,en honor deEnrico Fermi. Esto tiene.unaconsecuencia y importantesobrela est¡uctura'delos trúcfeos,que estátrformadospot Protones y con los experhlrentos, los.núcleos tienen neutrones.De acuerdocon lo esperado, una estrucfuraen capasanálogaa la de los electronesatómicos.En los núcleos,.la energfapotenqialpromedioesel resultadode |a atracciónm¡¡tuade todoslos protones Esafuerzaqstal, quetodoslosnivelesde energia, y neutronesporunafuerza..nuclear. tiendenaestarigualmenteespaciados. . Pauli demostróque Hay partlculasqueno obedecenal principiode exclusión.. aquellaspartfculascuyospin inttlnsecotienela forry¿s/i, siendos:,0,. li 2,. . ..,se compor@nenfotma distintade lasquetienenspinli12.A diferenciade los fermiones, queno puedencompartirel mismo estadocu¿inticoer\tresf, de hecho,las partículas "prefiere.n'l.tenet el mismo egtado.las partJculas,deesta clase,cuyo spin es un múltiploeqtero de li,.sellaman bosones,eq honor de SatyendraNath Bose.El fotón esun eje¡nplodebosón;tieneun¡nomentoangularintrínsecoiguala h. Loslorc,::s al igual quetodapart{culacgnspin entero,nuestrailunapreferenciapcre c: r.?re' f' I

1"

+

És

_

;f;*_

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O O

o o o o o o o o o _o_ o o

garse en el misnto estado cuántico. Verentosalgunas consecuenciasf{sicasde esta congregación,cuando estudiemoslos ldseresy el aHc lQuido.

42-4 t¿. EsTRUcTURA Y Los ESTADosDE ENERGIA DE I1IS MOLECUIAS I-a formación dc las moléculas Las moléculasson combin¡ciones de dos o más ¡itotnos.Podclnoscalculorlas propiedades de las moléculas,porqueaunel núcleomásligeroesunas20@ veces másmasivoque un electrón,y por consiguiente, los núcleosen una moléculase muevenmucho tnás lentamenteque sus electrones.Por consiguiente,se puede considerarcomo buena aptoximaciónsuponerque los núcleosestánfijos. Los electtonessemuevencon rapidezalrededorde los núcleos,y, de hecho,creanuna distribuciónde catganegativa,en la cualestánembebidoslos núcleos. de las moléculassimplesse pueden importantes Muchasde las propiedades Veremosln moléculaI'I2, a un ejemplodeterminado. comprender enfocándonos cómoestándispucstos qr.rcconstade dos ótomosde hidrógeno.Paracomprettder y los clcctronesdc los útotnos,paraquelos dosseenlacen los núcleos(protones) y fonnenunamoléculade H2,y paracalcularla energladeenlacedeesamolécula, la energlacomofunción de r, la separaciónentrelos dosnúcleosde estudiaremos hidrógeno. Hay varias contribucionesa esta energía.Primero tenemosa la entrelos núcleos,concargapositiva.Parala tnoléculaH2, repulsiónelectrostática estacontribuciónes U(r) = e2¡4nenr. paracada Tambiéndebemosincluirla atraccióndecadaunodelosdoselectrones Aunqueun cálculoexactonecesitade la núcleo,y la repulsiónelectrón-electrón. mecánicacurintica,podemosdescribiren formacuantitativala sumade esascontride esa bucionesa la ene¡gla,quees la "contribuciónelectrónica",y la dependencia contribuciónde r. Cuandor esgrande,la energlaesmfnimacuandoun electrónestá cercade uno de los núcleosde H, y el otro estácercadel otro núcleode H. En otras palabras,parar gmnde,la moléculaH2parececomodosátomosindependientes de el lfmitecuandor *0, Entonces, los dos hidrógeno.Tambiénpodemoscomprender núcleosde H estándirectamenteuno sobre otro, y, por lo que conciemea los pafafinesatómicos,escomoun núcleo electrones, "ven" utl núcleode catga2erque, dehelio.Asl, patar * 0, la moléculaH2 parececomoun ¿itomode helio. Asignemosahoraalgunosvaloresnuméricos,l,a energíadeun átomoaisladode hidrógeno,en estadofr¡ndamental, es - 13,6eV, de modo quea r grande,la contribucióntotal electrónicaes el doble de estevalor, -27.6 eY. Parar pequeña,la contribuciónelect¡ónicaes la de un átomode helio.EstaenergÍasepuedecalcular notandoque (a) cadaelectrónve.unnúcleode cargaZe, siendoZ = 2.La enetgía electrón.núcleo es,entonces,-22(1.3.6eV) - -54.4 eV paracadaelectrón,con un total de -108.8 eV. (b) Los dos electronesestánbastantecercanosentre sl, en promedio,aproximadamente a la mitadde un radiode bolrr.En estecasó,la energla asociada conla repulsiónelectrón-electrón esaptoximadamente el doblede 13.6eV, y espositiva.Cuandounimos(a) y (D),la contribuciónelectrónica parar pequeñoes (- 108.8eY) + (27.2eV) : -39 eV. Es una estimación'bastante buena;un'cálculo adecuado, mecánicocuántico,de.la energlade enlacedel helio, asl'como los experimentos, indicanquela energlade enlacedel helioes -78.5 eV.' Paraestima¡ la contribuciónelectrónica.comofunción de r, irazamosuna iÍ¡eauniformeent¡eel resultadopa¡ar pequeña(-78.5 eV) y el resultadoparar granie(-27.6 eV). La figura42-17muesttael términode repulsióninternuclear, e2;1;*r: ia contribuciónelectrónica y la sumade esosdostérminos.Estasunta

123i la cstru
y lc csudo dc lro mol&d!

cic

O

7240 Capítulo 42 C:ranrlzaci{ndc momcnto angulat y cnc4iz.

v¡lor.cs

dc

lrfiilmo cn la sunra

é FIGURA 42-17 Diagramadc enirgía parala fonnación do la molcotla I Ir. I-a crtrva $tPerior cs la cncrgia potcncial asociadacon la rcpttlsión intcmuclcar; la infcrior cs r¡na cstinr¡ción dc l8 orcrgía ¡rctcncial asc¡ciadacon lcs clcctronc^s;la curva intcrmc¡ll¡ qs la s¡m¡ dc las dos antcriorcs. ' Esta suma ticno rm minimo cn r =0.07 nm, muy ccrca do la scparaciónnuclcar obscrvad¡ cn la molccula Hr.

&"

0.05

0. l 5

- - .t...-

'ri '- " '

0.2

. f.I] -. ' -" , . " . . . . . 1 " * *

\s-

olcctróttica Co¡¡t¡lbr¡ciór¡

Scparacióncntro álomos (nrn)

tiene un mínimo a una separaciónnucleai apqoximadade 0.07 nm, y es un punto de equilibrio estable.El valor exp€¡imentalde la separaciónde los átotnosde H en la mtlécula H2 se encuentramuy próximo a estevalor. Este comportamiento es válido para otras moléculasdiatómicasestables.Dicho con más senci.llez,lasfiterzas de atracción entre los electrongs)- los núcleosanulan lasfuerzas de repulsión entre los electrones,y entre los núcleos,en Ia posición del equilibrio estable. No todas las configuracionesde átomos, sólo algunas, pueden cumplir las condicionesbajo las cualesse forman rnoléculas.En fonna cualitativa,se pueden formar moléculasbajo las siguientescircunstancias: 1. I-os dos átomo, tiánen electr oi", npnrondos fuera de capas cerradas,y las órbitas de esos électronesse traslapan."Apareado" quiere decir que un 'electrón tieneel spin aÉibay el'otroabajo,Como los electroncstienenspines opuestos,el pdncipio de exclusión de Pauli no evita ciuese a'cetquenentresf, a la zonaentrelos núcleos.En esazona,la atracciónde cadauno para el núcleo "opuesto"'más que compensa su repulsión mutua y, de hecho, hay una atracciónneta. Los électronesapareadosdd estetipo pueden.formarun ctilacc, lo cual quiere decir que su interacción proporciona el mecanismo para elilazar entresÍ a los dos átomos.Miéntras rnayor seael número de enlaces,nlás fuerte serála atracción.

i 1 I I

i

2. Sólo los electronesque no estánen capascerradasson los que puedenformat enlaces.Bsto se debe a qué urr etectrón én]una capa cerrada tiene ya un *socio" dentro de su propia capa. En otras se$mdb electtón en papel de su palabias,sólo los electronesen las'capas¿xtemas contribuyen a las propiedadesqufmicas. 3. Un-electrón puedé no estar en una bapa cenada, sin etnbargo.,puede estat apáreadodenlro de su m.ismacapa, parcialmente llena. Esos electronesno puedenaparearsecon un electrónde otro átomo. Más exaqtaménte,el quelos se apáreencon socios de su ptopio á!o.m9.o d'eotr.o, urrnto d". ", "l.eiron". qué óonfiguracióntiene la menor energía.Esto no se calcula con,facilidad, pero los químicos han desar¡ollado un conjunto de reglas emplricas que gobieman un gtan número de casos. La molécula de H2.esun ejemplo de enlazamientoentreátomos que tienen capasno llenas. Decinos que esas rnoléculas se forman pof enlozantiento, o.ligadura de valencia.El enlazamiqttto iónico se presenta.cuandoun átomo,.eqtrunelecttón fuera de una.capa"cerXtda,se cornbina.ponun átomq en el cual.Jacapa.gxtenratiene un Por ejernplo' vgamos al fluorurp de sodior'NaF'.El, lugar libro, f'aggjero" o hue.co-.

*le

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

o o o o a o a o o o o o o o O

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

sodio' como todos los metales alcalinos, tiene un electrón fuera de una capa cerrada, y el flúor, como todos los halógenos,tiene un agujero en su capa externa. se debe in'ertir energfa pam que el electrón externo de un átomo de so¿io se libete. Esa energíaes la de ionización del sodio. su valor es 5.1 ev, que estácompensadapor la que se desprende si el electrón libre cae en el agujero de un átomo de flúor. Esta energla desprendida es el negativo de la energla que se necesitada pam quitar ese elect¡ón de la capa del flúor, ahora ya llena, que es -3,s ev. La inversión neta de enetgfa,necesariapara mover al electrón de un átomo de sodio a uno de flúor, es 5.1 ev - 3.5 eV - 1.6 eV. sin embargo, tenemos ahora un ión positivo, Na*, un ion / negativo, (F-). Estos iones se atraenentre sf, y la enetgla asociadacon esa atmcciórr más que compensa los 1.6 ev; por lo tanto, el NaF tiene menos energla que los átomos Na y F separados. Las fucuas

deVan dcr'Waals

A las teglas que se citaron arriba, de las condicionesnecesariaspara la formación de moléculas,no les faltan excepciones.Bajo condicionesespeciales,por ejemplo, con los gasesinertes, cuyos átomos no tienen electronesfuera de capas cerradas,esos gasessí forman moléculas, Un ejemplo es el Ar2, argón diatómico. La razón de que se formen esasmoléculas es que hay una fuerza adicional entre los átomos,aun entre los de los gasesinefies. A esta fuerza se le llama/rerza de van dei waals. se debe al electromagnetismo,pero decrece con mucha mayor rapidez que la fuetza de coulornb al aumentar la distancia, r, entre los núcleos, A pesar del hecho de que la fuer¿ade van der waals es bastanüedébil, siempre es de atracción,y asl puededar lugar a enlaces entre los átomos. se puede comprender la fuerza de van der waals desde un punto de vista ckisico, semejanteal atgumentoque explica por gué un peine atraetrccitos de papel sin carga, Cuando un átomo s€ ac€rcaa oho, zu dist¡ibución de carga afecta al otro, dando lugar a un pegueño desplazamiento de cargas, y se crea una estructura de dipolo elecftico. Este dipolo elecüico tierre un c¿rnpo eléctrico, que inüeraccionacon el dipolo electrico del primer átomo. I-c de dipolos se atraen con una fuerza proporcional a l/P (véaseproblema 33), I as fue¡zasde van de¡ waals, aunqueson muy debiles,originan varios fenómenos, adem¿ísdel de la formación de moleculas exóticas, como por ejemplo, la adhesión entre un lfquido y las paredesde su recipiente,y la desüación del comportamientode los gases reales,con respecto al de los gasesideales (véase capltulo l7). Espectfos moleculares En la formación de moléculas, los electronesque circulan forman un ambienie en el cual los núcleostienden a estarseparadosa una distancia fija,rs,del orden de 0. I nm. Esosnúcleoscasi son centrosfijos de atracciónpara los eléctrones.Podemosesperar, deacuerdocon las ideasgeneralesacercade la mecánicacuárrtica,de la sección42- l, quelas moléculas tenganuna serie de niveles electrónicosde energla,separadospor los tipos de energla que camcterizan los niveles atómicos, esto es, huecos del orden de I eV a 10 ev. Sin embargo, los experimentos indican un espectro todavla más compiicado,aun para moléculas diatómicassimples. Esta compllcación se debe a la posibilidad de movimientos cuantizados no permitidos para el átomo de hidrógeno: movimiento vibratorio y rotatorio.

lllovimiento vibratorio. Vimos que, pafa moléculas diatómicas, hay una distancia ent¡e los átomos, re, a la cual la curva de energla potencial que se ve en la figura 12-17, tiene un mfrlimo. cuando una curva de éstastiene un minimo, los.dos núcleos puedenoscila¡ con respecto a ese punto. Como vimos en el capftulo,T, las partes ü¿¡carasal fondo, de la curva de energfa potencial, se pueden aproximar; en el caso rcrrra1,mediante una parábola; esto es,mediarrteun potencial de oscilador arnónico.

1?..

42-4 I.¡ c:ttn¡cnrra y lc audoc & cncrg'ra dc las molór¡b¡

r 2 42 Capírulo 42 Cx^nlkaci6^dc momcnto angular y cncrgía

walorcf

dc

Como consecuencia,habrániveles de energfq asociadoscon el lnovilniclrto vibratorio de los núcleos en esepotencial de oscilador annonic.o.En el ejemplo 42-6 demostraremos, empleandotécnicasde Bohr, que,esosniveles-deenergla está¡ determinados p{['¡u = tt]I@,en Ia cunl,r¡es enterg'y. ú]es unsfreouenciacaracterfstica igrrala ,l'T7W Aquf, & es la "constante del resorte", y M ésla masared¿tcidade los dos núcleos en movimiento vibratotio, y es igual a M - MlM2J(Mt + M),y Mty M2 son las masasde ios dos núpleos. : : E.JE,MPL.o 42-6 Suponga,queuna tnasa rn está fija al extrernode un resorte,y que se lnueve en.órbita ci¡cular.de ¡adio r bajo la influencia de ese resorte,el cual ejerceuna fuerza cerrtrípetade atracción,de rnagnitud.F-.lir. Con la condición'de ajustar ulr núrneto errterode longitudcs de.onda en lqs ór.bitas circularespermitidas,determineel especttode energlaasociadocon esasórbitas circulares,Este sistemaes el de las moléculasdiatórnicas,en las cualeslos dos átotnosse compodancorno si estuvierurunidos por un resorte. SOLUCION:Procederemos exactamente como 1o hicimos para el átomo de hidrógeno: primero emplearemosF * ¡na para obtener una relación entre la posición,r, y la velocidad,u. Despuésimpoirdremosla condición de cuantización, para obtenerotra relación.Para F = lr, la ecuacióndcl movilnicnto, F = n¡a, cuando el movimier¡to es circular, €s . ,

l l l tJ '

K r,:-, .r o, lo que es equivalente,

k/ : tno'/'

De estaecuaciónsepuededespejarco,dando o- '/ k/ m. La energlaesla suma de la energlacinética,K, y la enetgfa potetrcial,U(r), de un bsciladorarmónico tridimensional: ' t [:K

* U(r):]muz +!kr':\,rtta2r2 ¡\mo?r2:.tn(D2r2"

La condiciónde ajustede longituddeondaimplicaque tú,= 2rcr. n2,: 2rcr,paraobtene¡ Empltnremosahora,l,-hIp' hI nw = hf mar enlaecuación ).:2^' tI

l! D t@r

De estaecuaciónsededuceque .: 1

, -;--

llll

.

¿ntn(D

Cu?urdose sustituye esto en la ecuación para la enetgfa; encontramos, para las energfas permitidas, que

fia/nh

E n - ftl 1 )2 r2:' #:' :::: zÍrytq

ñho¡ ¿n

nl t@ ,

donden :1,2,3,...,

(42-16)

que es el resultado que buscamos.

Aunque hernosencontradoniveles de energlaque coffespondena movimiento circulár,siemprepodemospensarque esemovimieRtose debea movimientososcilatoriossuperpuestos (veasecapítulo l4). Por.lo tanto,podemos imaginamosquenuestroresultadorepresentaen forma másgenemllos niveles

o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o a O

o o o o o o

o o o

o o o

o O o o o o a o o o ? o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o I o o o o a o o a o o o' o o

permitidos de energla de un oscilador armónico en tres dimensiones. Esos niveles están igualmente distanciados en unidades de fta.1 A su vez, un sistema de dos átomos que se comportan como si estuvieran conectados por un resorte, se comporta como una masa única (reducida) al extremo de un resorte tridimensional. Hemos visto que el mlnimo de energlapotencial, el "resorte-, estácreadopor la nube de electtonesen la cual eslán embebidoslos dos núcelos,y, por consiguiente, podríamos esperarque sean parámetroscomo el tamaño de las óúitas atómicas,lo que determine el valor de ,t. Podemos estimar el valor de ,t mediante análisis dimensional.I.as dimensionesde toda constantede resorte,como t, son [k] : [EL-x], siendo [EJ la dimensión de la energfa, IML2T-Z]. Para estima¡ & emplearemosesta relación con las distanciasy energlas atómicas normales; E= e2lSreoaoyL = oo, siendo a6 el radio de Bohr. Entonces, k=

o'

o ' (e z m,.\t_l (rr.)r/ :

._

Eneuaj 8reo\4zel )

rl-

.t

\o

\.*J'i

(42- t7)

El análisisdimensionalno puedeespecificarcualquierotro facto¡numérico,y para mejorarnuestraestimacióndebemosagrega¡algode razonamiento flsico.En especial, comolasmoléculasson algomhyoresque los átomos,podrfamosremplazara dopor un radioalgomayor,digamos2ae.Estoconduceal estimado ,

K - - - l_ -l .,

| ( m ") 3 (

c2

\o

(4 2 -r8 )

1 6 h 2 \4neoh)

Una vez conocida la consüanteefectiva de resorte, podemos halla¡ las energfas permitidas de oscilación, con la ecuación (42-L6):

T-;

8",,6: nl¡gs= y1l¿

Jz'z'zi'

(4 2 -l9 )

en la cual,n esun entero,y M esla masareducidade los dosnúcleos. Hemos escrito la ecuación (42-19) de ese modo, porque preserrlaal factor de la ecuación(42-9),es la magnitudde la QnJ2)(e2l4nelh)2, eu€, recordaremos energfadel estadofundamentaldel hidrógeno,13.6eV. LlamemosE6a esefactor. Entonces, Eui6=ttE¡ lZrZ -, 'n"

Y

M'

(42-20)

Numéricamente,el factor por el cual se multiplica rtEe,es del orden de 1O-2; estoes, las energlasde vibración son del orden de l0-r eV.

Movimientorotativo.El hechode quehayaun mfnimoen la energlapotencial, sugiereque, independientemente de las vibraciones,los núcleosde una molécula por unadistanciaro,puedengiraren tomo a un centrocomún, diatómica,separados comosi estuvieran tendrá unidosporunavarilladgida.Nuestramolécula,entonces, con rotacionesde un sistemasemejanüe nivelesde enetglarelacionados al de unas entérminosdel momentoatrgular, mancuernas. La energfaclásica,E, estáexpresada l, medianteE: L2l2I,y cuandoaplicamosa esteresultadola condiciónque el momentoangularestécuantizado, calculamoslasenetglascuantizadas. ; Un mancjo mccánico cuántico corrccto da como rcsultaclorm cspcctro dc cncrgras,para cl movimicnto dcuu masacn el cxtrcmo dc ur resortc, cn Ndimonsioncs, quc as ligcrarncntc dislinlo dcl ¡csultadodel modclo C c B o h ¡ e n l a c¡ u a ció n ( 4 2 - 1 6 ) ;e scr csu lta d o e sEn -l n+(N p)ftal ,cncl cual ,dcm¡cvo,n=1,2,...,yol cs i¡ í-.cucncia angular clásica.

1243 [actructrmy¡ccst¡do¡& cncrgía dc lan molésuL¡

f :--::ic =f:::5

dc valo¡.cs dc i? Q:¡ntiz¡clón ¡ngular cncrgr¡ -Y

Todavla debemosevalüa¡al fnomento deiriercia o inercia ¡otacional. Ufla molé¡ula diatótnica, como OH, se puede tepresefitar¿n foimá aptoxirnadaniediánte dos m'asas, Mt y Mz, unidas por una varilla rlgidn siñ nias?r,de longitud a: I-a'molécula giianí en tomo a rur éje perpendiculata la varilla, {ue pasepot el cetrtrode masa del sistema.Para rotacionesen tomo al centro de masa,el momento de inercia, I es (véasecapítulo 9), .I_Ma.2,.

..

en la cual M eslamasa reducida del sistema.A continuación aplicamos la condición de cuantización del momento ansulat. Los niveles de enersfa de rotación tienen. entonces,la forma

Er^=# Aqul, / es el númerocuánticodel momentoangular.Hemossustituidors' 2as= 8reofr¡ezm",como lo hicimos cuandodedujimosel caso de la caja. De nuevo al factorEe,de modoque reconocelnos /(/-r. tr

"rot

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Los nivelesde energlase suprimenpor un factor adicionil de{itf,/ M ,de los factores de los trivelesde vibración,y son del orden de i0-3 eV. I-a descripciónde los espectrosrnolecularesque resulta es la siguiente:hay niveles electrónicosseparadospor distanciasdel orden de electrónvoits. Relacionada con cadanivel, hay una serie'denivelesde vibración,separadospor unos 10-2de los niveles electrónicod,y relabionadácon cada uno de ¿slosiriveles, hay una serie de niveles de rotación, con separacionesdel orden de 10-4dc los niveles electróuicos (figura 42-18), Estos dos últimos conjuntos de niveles se describencolno bandasde vibración y bandasde rotación. El estudio de las batrdasde rotación es itnportanteen quimica, porque son las que se excitan con mayor facilidad. Los espectrosmoleculates én los que intervienen transicionesentre los niveles de rotación consistenen longitudes de onda del orden de 104veceslas longitudes de onda atómicas,y, por lo lanto, implican la espectroscopfainfrarroja, y no la visible. La estructuracompleja de los nivelesmoleculares clecncrgla origitra lrrr¡chasde las sutilezasde la qulmica otgánica y de las reaccionesquirnicas que sucedenen los de sistemasbiológicos. Una aplicación tecnológicamuestrauna de las consecuetrcias la complejidad de la estructuramolecular. Los grandespotencialeseléctricosque se tienen dentro de los transformadores pueden provoca-rla falla eléctrica de bolsaSde aire en el hanformadot, En'la falla, el alto voltaje ioniza a las moléculas de aire. Los electronesque se liberarrsbn aceleradospor los grandescamposeléctricos.Al chbca¡ Enorgia (cV)

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o o o o o c a o o a e o o o o o o o o o o o a o o o O o o o o o o o o a o a o o I o a o o o

con moléculas cofisecutivas de aite, liberanmás electrones,Ios cuales, a su,vez, son acelerados.Se forma, como,resultado, urraavalanchade elec&ones,que origina conientes que ponen en corto al hansformador. Un-método excelente para eütar esüeti¡o de falla, es int¡oduci¡ un gas que permita que los elechorreslibetados pierdan energla de tal forma que no provoquen m¡is ionización. Para ello se usa hexafluoru¡o de azufre, SF6,que es gas€Go, tiene rma esüuchra molecular muy rica, y hay muchas formas, no ionizantes, de excitado, con las cuales puede ahapar un elecffirr que choque corr é1.

L24i 42'5 Teorá&bfu

42-5 TEoRTADE BA¡rDAs muchasaplicaciones En el áreade la ffsicade semiconductores de los sepresentan fenómenos cuánticosa la ingenieda.En la sección27-5 describimos la estructurade bandasen los nivelesenergéticosde los sólidosctistalinos,estructuraen la cualhay regionesde enetgfaen las que se encuentranespaciosde energla,estoes,nivelesde energlano permitidoso bandasprohibidas. En cualquiersólidono hayelectrones que puedantenerun nivel de enetgfapara dichasregionesprohibidas;sus energlasse restringena cie¡tosrangosfinitosy secoriocencomobandasde energlapermitidas. Describimoscómo la'presencia de bandasde energfa,y los númerosde electrones queocupanlos nivelespermitidos,determinanel hechode quealgunosmateriales seanconductores, mientrasque otrosseanaisladores o semiconductores. Estamos ahoraen mejorescondicionesde razona¡acercade por quése forman las bandas,la descripciónde lo quese llama la teorta de bandas. Iniciatemos¡ecordando, de la sección424, nuestradescripciónde los niveles deenergfapam dosátomosde hidrógeno.Vimos quepodemosimaginamosqueun átomodehelio esel resultadodeuni¡ dosátomosdehidrógeno.Sin embargo,nuestro ingenuocuadrode la energfade unióndel helio,segúnel cualel valor de la energla del estadofundamentaldel helio es un múltiplo simplede la energfade enlacedel hidrógeno,esdistintodel valor experimental.l,a enetgfa re¿lde enlaceesdistintade porquelos electronesde los dosátomosdehidrógenointe¡accio lo queesperábamos nan entre sl. En otr.aspalabras,una nueva interacciónque se añadaa un sistema por lo general,desplazanilos nivelesde energladel sistemaactual.Esta existente, acercade cómo se con más observaciones, afirmaciónnecesitacomplementarse modificanlos niveles de energlacuandola interaccióncambiaunifo¡memente. en un Cuandolos dos átomosde hidrógenoes&lnmuy alejados,hay doselectrones pardenivelesidénticosde enetgfa,- 13.6eV, los estados fundamenlales de los dos átomosseparadosde hidrógeno.Se dice que los dos electronesest¡inen niveles porquecada degenerados de energla.En realidad,hay cuatronivelesdegenerados, y puede spin 'abajo", esos estados tienen "arriba" o electrón estafenun estadodespin los misrnosvalores de energfa.¿Quésucedea esosniveles cuandolos átomosse acercaride tal modo que se forma el helio, y que la interacciónent¡elos elect¡ones sehaceimportante?Arriba vimos que hay, cuandomenos'un nivel menor que lo originales,de -13.6 eV, que esel verdadetoestadofundamentaldel helio. Los tres nivelesrestantesse desplazanhacia arriba y correspondena esladosexcitadosdel helio.l,a siguienteesuna ca¡actedsticageneralde los nivelesde energla: y un¡ nuev¡ inter¡cción entrs en Cuendo hay nivelesde energíedegeneredos, juego, los niveles se dividen, y algunos v¡n hacie arribe y otros hgcie ebajo, en releción con sus posicionesoriginales. La observacion anüeriof desempeña un papel importanüe en la teorla de bandas. ¿Q¡uésucede cuando manejamos mayores cantidades de material, y no sólo dos átomos?Para concretar, estudia¡emos N átomos de sodio, que tienen capas llerras rnásun electrón, el electrón de valencia, en un estado n '3, f - 0. Hay 2N estados &genemdos (de igual energla) disponibles para el electrón de valencia, cuando los áiomosestrin muy lejos enke sf , y no hay inüemcción entte ellos. El factor 2 se debe

Divisióndelosnivelecdégene¡¡dosde energir.

1246 Capinrlo 42 crlantlzác¡ó¡ dc veloro momento an[F¡bry cncrgía

dc

so. [IG,,URA42-19 Crurxlomuc]ros.¡itornoq \rnonfo¡nrando[m sólidocrislalino,los nivclcs dcgcncradosdc lfátomc¡s sc dividcn para formrir cstnrturas de banda,'cn las cualcs hay limi,tcs dc cncrgiqs clcctrrmicas pcrmitidas, y llrccos, dc crcrgías prohibidas. En cl sodio, los clcctione^sdc valcncia llcnan la ¡nitad dc u¡u bandn. .

@-l ffil

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FNivclesvacíos

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WW.ml Nátomos ' lójanos (dcgencraciórr2Af

Nivclcstlcnos

i:'1) con Nclcbt¡<¡ncs l'{:¡t!::.W1:l}t: 2N nivolos 'N átomos intcractuando

a que el electrón puede estar en un estadode spin "aniba" o de spin 'labajo", y esos estadostienen la misma energía.Supongamosahora, que los N átomos forman una red cristalina con ndos muy próximos entresl. Entonces,los estadosdel electrónde valenciq, originalmente degenerados,se dividen por,nuevasinteraccionesentre los átomos;N niveles de energlase desplazanhacia abajo,yNhacia arriba, cadauno una cantidadligeramentedistinta.Los 2Nniveles de energfaforman, entonces,una banda de niveles muy próximos entre sf. Los N electrones de valeucia sólo llenan la mitarl de esa banda, que son los Nniveles inferiores de energia (figura 42-19). Como vimos en el capítulo 27, un carrlpo eléctrico, fácilmente, puede levantar algunos elect¡onesde la parte superior de los niveles llenos, a los niveles vacfos, donde se puedenmover sin estorbo.El sodio metálico, por consiguiente,es urr buen conductor. En contraste,podemosver.lo que pasacon Nátomos de tnagnesio.EI valor Z del magnesio es uno más que el del sodio, El magnesiotiene la misma estnrcturaque el sodio, con la excepciónde que tiene dos electronesen los estadosn * 3, f - 0,I-a banda que forman los estados originalmente degenerados,cuando los átomos de magnesiose combinan para fonnar una red, por lo tarrto,quedacolnpletamerrtellena. El magnesiopodrla ser un aislador. Sin embargo,los niveles vaclos que provinieron n-3, I - l ,queestabansobrel osni vel es o ri g i n a l m e n te d el osestados n-3, I - Q , cuando los dos conjuntos de niveles eran, cada uno, degenerados,se distribuyen en una segundabanda.Parael magnesio,sucedeque las dos batrdasse traslapan(figura 42-?0), Por lo tanto,hay lugar para que los electrones,bajo la influehcia de un campo eléctrico,pasena los niveles vacios,y el magnesióesbuen conductof.Hay otroscasos en los cuales las bandas de este tipo no se ttaslapan. En realidad, se pueden tener todas las posibilidadesque se describieronen el capffulo 27. ¿Cuáles son las interacciones "nuevas" que suceden cuarido los átomos se arreglanen una red regular;y que ocasionanla división de los niveles de e¡ergia elecproducir una estructu¡ade bandas?Son las intetacciones trónicos.degenefadoslpara de los electronescon los iones que no son iguales a los que oqiginaimentese habían fijado. En,especial,si no hubie¡a, ionqs, ios electtonesse movBrfanlibremente en la "caja'l formada por las dimensiones'delmatetial, dento de la cuai sup ptopiedades ondulator.ias los hace cgmportarse de manera semejante a las ondas en una.cuefda, en ondasesLacionariascuyas longitudes de onda deben ser múltiplos enterosde las dimensionesadecuadasde la caja. Esas ondas son las que se forman por la función

+Encrgia I I

_-:-iT /l=-1.I=l

FIGIJRA 42-20 Origcn dc la,cstructuradc bandasdc Nátomos dc magncsio cn un so[do cristalüp. La dcscompcición dc lm ; ,,-1 n-rl nivclcs degcncrados,con númcro cu¡intico n = 3, / = 0, origina una banda quc cstá complctamcntc llcoa dc clcct¡oncs. l,os nivclesdcgeircradosn = 3, á = 1, también :. se dividon, y la banda pcrrnititla quc Nátomos scparados, forman so traslapa con la formada por los nivclcs degcncrados n ivclcsn - 3 , 1 - o .

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o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

.I de onda,y es probableque el elect¡ónse encuentreen las crestas(o valles)de las ondas.[¿s crestasy los vallestienenunasepamciónregular.Llegadosa estepunto podemosirnaginarque agregamoslos ionesen lugaresregularmente espaciados. Resultandosmodificacionesde nuestrocuadroodginal.La pdmera,sólo aquellos elect¡onescuyaslongitudesdeondacorresponden a la separacióniónicapuedenestar respaldados por el material,por motivoseshechamente relacionador los a¡gu"on mentosde dispersiónde Braggquepresentamos enel capftulo41. En segundo lufar, esposibledemostrarquela mitad delasondaspermitidaqdeelectronestienenc.""L, o valles,dondese encuentranlos iones,y la mitad de las crestaso vallesquedan exacüamente enttelos iones.Las energlasdela mitadcuyospicosseencuentran donde estánlos ionessedisminuyen,potqueesmásprobabtequeesoselectronesesténcerca de los ionesa dondesonatrafdos.Las energlasde la mitadcuyascrestaseslánentre los lugaresde los iones,se elevan,porque esoselectronesno sientenla fuerzade atraccióntan fueftementecomo la sentlancuandoestabanen un átomoaislado.

Una de las consecuenciasimportantesde la mecánicacuánticaes que las energfasde los sistemasacotadossólo pueden asumir valores discretos.En ei modelo ¿e gon¡, la cuantización de niveles atómicos de energfaes consecuenciade la restricción de que los momentos angulatesseanmúltiplos enterosde /¡;

L- nh, siendon - 1,2,3,, , . Conestacondición,los valorespetmitidosde energfason \z m" ( ^ = -#\ñil '' n' r,2,3, 8,, , siendo

(42-6)

(42-e)

Io cual concuerda con los experimentos. La conservación de la energfa permite que los electrones salten entre los niveles de distintos valores de n, emitiendo fotones de ftecuencia | .

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(42-Lt)

siendoE¡y E¡lasenergfasinicial y final, respectivamente. La mecánicacuántica,desa¡rolladapor Heisenbergy Schrodinger,indicaquela estructurade los niveles posiblesde energlaes más complejade lo que prediceel modelode Bohr. Paracadavalorde n,hay n2 nivelesde energía,caracterizados por momentoangular thrsiendo/ -0,1r2r...,(n -l),y2/ + l orientacionesespaciales permitidaspara el vector momento angularcaracterizadoWr /. Sin embargo,la estructumcompletade los átotnosno puedecomprenderse hastaque agregamosel hechodequelos electronesportanun momentos,ngularintrfnseco,/y'2,llamadospin. Además, el principiode exclusiónde Pauli indicaqueno puedenapa_recer másque dos,electrones en cualquierestadocuántico,queconesponde a los2s + I estados con s - i, Con esasadiciones,sepuedeexplicarla estructuracomplejade los átomosde va¡ioselectrones, y conello explicarla tablaperiódicade los elementos. l,as moléculasse forman cuandolas fi¡etzasde at¡acciónentrelos electronesy losnúcleosanulanlas fue¡zasde repulsiónentreelect¡ones,y entrenúcleos,en la posicióndel equilibrio estable.Esto puedesucedersi los d'tomosque intervienen 'ie¡enelectronesfuem de capascenadas.los especttosmolecula¡esindica¡rniveles ceenergíade una molécula,que estánasociadoscon las vibracionesy rotacionesde .csátcmosde la moléculacompleta.Los modoselectrcnico,vib¡atorio y giratorio :crr¡a¡ unajerargufa. Los electonesen los solidossonat¡afdospor los ionesqueformanla red cristalina. I ieto d,epqaahacrion es dividi¡ los niveles anüeriormenüe degerrerados, fo¡mando quesellamarrband"sde energfa. 'i.a zorr¿denivelesa distanciasenhesl rrnryesfrechas,

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, PREGUNTAS partfculas empleanparaacelerar nucleares a grancles energlas, paraprovocarreacciones nuclea¡es. vande En uh ácelerador Graaff,¿serfa mejorel aíreo el hexaÍiuorurode azufre,como gasaislante? ¿Podemosdeterminarla composiciónatómicade"objetos distantes estudiando el doble de energla laslongitudesdeondaddloi fotonesque 11. ¿Porqué se necesitaaproximadamente paraexcitarun electrón.del estadon = 1.,/ = 0, al estadon = emiten? 2, t - 2 del He*,en comparación co¡rel FIe,helioneutral? ¿Quédeterminalaslongitudesde ondamáscortay máslarga que que usted puede un átomo t2. el radio de la órbita inferiorder¡nátomo a las emitir de hidrógeno?, ¿Esperarfa que, de helio fuera que el de un átomeno¡ igual a, o mayor de los átomostienen Por un lado,decimosquelos electrones de hidrógeno? qué? mo ¿Por por qu9 una incerenergfasdiscretas; otro lado,decimos l¡ay tidumbre inherenteen nuestra.capacidaddc medición'dc 13. Al desoibir la formaciónde moléculas,dijimosqueel nrfnipotencial mo dela cnergfa netacnla interncción aqul? de
l. En la descripciónde una partlculaconfinhdaen una cajá,en

ai estadófundamental la sección42-1, ¿porquésecaracterizó co n n = 1, y non= 0?

)

3. 4.

5.

6.

Ambos pu¿denestaren los 7. ¿Escierto quetodoslos átomosde hidrógenosonindistingui- 15. El helio tienedos electrones. despin"arriba"(o "abajo"),o bien,unopuedeestar estados 'bles entre sl? posibie distinguir entre hidrógeno es ¿Cómo haciaarribamientrasqueel otro haciaabajo.Teniendoen cuyo núcleo consistade un protón (rH), del que tengaun cuentael principio de exclusióny el hechode que los que protón tengaun p¡otóny un neutrón(H, deuterio),y del estadosde momentoangular / - I tienenmayo¡ene¡gfa y dosneutrones(3H,tritio¡? quelos estadoscon I - 0, ¿quéarrello de.spines tendráel 8. ¿Porqué un átomocon momentomagnéticodipolar necesita estadofundamental? un campomagnéticoque varfe en el esPacio,paradesviarse? 16. Supongaque ag¡egamosun electrónal hidrógeno.Este ¿Noserfasuficienteun campcimagnéticoconstante? segundoelcctrónpodrfaesta¡en.la misma órbita que el 9. El término estruc:turafina3e empleapara'ihdicarniveles primero;en esecaso,los spinestendrlanque apuntaren de energlamuy cercanos.Describael origende esosnivedireccionesopuestas. ¿Quépodr{aevitarla existenciade les, para algunosde los sistemasque describimosen esta eseátomocon carganegativa?La existenciade un átonro capftulo. que consisteen un protóny tres electrones, ¿serlaigualvan dc Oraaff, cuyasterminalesse encuen10. Los áceleradores menteprobable,o improbable? tran a voltajesmuy altos, dentro de un tanquea presión,se

PROBLEMAS Cuantizacióndc la energíay el momcntoangulir

42-I

1. CI ¿Quélongitud de onda de radiaciónse necesilapara ionizar a.lhidrógeno?(Sugerencia:recuerdeque,paraionizarur átomo, rx necesarioeleva¡ el nivel de energladel elmbón pof emitir, desdesu estadofindamental, hasta,cuandomenoe,E = 0.) ionizado,o sea,helioenel cual 2. (I) Setieneheliosimplemente se ha quitadoun electrón. ¿Cuántaenergldse necesitapara ' quitarel segundoelect¡ón? . 3. ,jI);C.rálessonla energlay la longitudde ondadel fotónque seemitecuandoun átomode hidrógenópasadesdesuprirner estaCoexcitado,n - 2, a su estadofundamental; con n - 1? ,1 ',C e. l- - ian- 3? I

Ii

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{. (I) Dado que,en el modelode Bohr, la radiaciónsólo se emitecuandon cambiaen unaunidad,¿paraquéllmitesde valoresde n quedarála radiacióndel hidrógenoen la zona visible, estoes,con longitudesde ondade 400 a 700 nm? (II) La seriede Lymanes un conjuntode lfneasespectrales para el hidrógenocuyaslongitudesde onda conespondena (42-12)connr= l(ftgvra42-2I).(a)¿Cuálesson laecuación los númeroscuánticosde los estadosque intervienenen las tres t¡ansicionesde la se¡ie de Lyman, con las ma)'cres longitudesde onda?(b) Calculclas longitudesde ondapaia las transicionesde la parte (a). Esaslongitudesde ori:. visible,o ultra'r'ioleta? en lasregiones ¿están

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O

o o o o o o o o o o o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

de onda,y es probableque el electrónse encuentreen las crestas(o valles)de las ondas,Las crestasy los vallestienenunaseparación regular.Llegadosa estepunto podemosirnaginatque agregamoslos ionesen lugaresregularmente espaciados. Resultandosmodificacionesde nuestrocuadrcoriginal.La primera,sólo aquellos electronescuyaslongitudesde ondacorresponden a la separacióniónicapuedenesüa¡ por el material,por motivosestrechamente respaldados telacionados con los argumentosde dispersiónde Braggquepresenüamos enel capftulo41. En segundolugar, esposibledemostrarquela mitadde lason.laspermitidasdeelectronestienencrest"s, o valles, dondese encuent¡anlos iones,y la mitad de las crestaso valles quedan exacüamente entrelos iones.l,as energlasdela mitadcuyospicosseencuent¡an donde esün los ionessedisminuyen,potqueesmásptobablequeesoselectronesesténcerca de los ionesa dondeson atrafdos.Las energlasde la mitad cuyascreslasestánent¡e los lugaresde los iones,se elevan,porqueesoselectronesno sientenla fuerzade atraccióntan fuertementecomo la sentlancuandoestabanen un átornoaislado.

12.rRs¡.Im

RESU M E.N Una de las consecuenciasimportantesde la mecánicacuánticaes que las energlasde los sistemasacotadossólo pueden asumir valores discretos.En el modelo de Bohr, la cuantización de niveles atómicos de energfaes consecuenciade la restricción de que los momentos angularessearrmúltiplos enterosde /¡:

L- nlt, siendon- 1,2,3,,.,

(42-6)

Conestacondición,los valorespermitidosde energfason

E , , =-# (*)',

si e n dno- r,2,3,

(42-e)

lo cual concuerda con los experimentos. La conservación de la energfa permite que los electrones salten entre los niveles de distintos valores de n, emitiendo fotones de frecuencia I .

hf - E¡- E¡,

(42-11)

siendoE¡y E¡lasenergfasinicial y final, respectivamente. La mec¿i,nica cuántica,desanolladapor Heisenbergy Schrodinger,indicaquela estructurade los niveles posiblesde energlaes más complejade lo que prediceel modelode Bohr. Paracadavalor de n,hay n 2nivelesde energla,caracterizados por momentoangular th,siendo/ -0rL,2r...,(n -l),y2/ + l orientacionesespaciales permitidas para el vectormomentoangularca¡acterizado Wt /. Sin embargo,la hastaque agregamosel est¡uctutacompletade los átomosno puedecomprenderse hechodequelos electtonesportanun momentoangularintrlnseco,1y'2,llamadospin. Además, el principiode exclusiónde Pauli indicaqueno puedenapatecermásque a los2s + 1 estados doselectrones en cualquierestadocuántico,quecortesponde con s - i. Con esasadiciones,sepuedeexplicarla estructuracomplejade los átomosde va¡ioselectrones, y conello explicarla tablaperiódicade los elementos. l,as moléculasse forman cuandolas fuerzasde atracciónentrelos electronesy losnúcleosanulanlas fuerzasde repulsiónentreelectrones,y entrenúcleos,en la psición del equilibrio estable.Esto puedesucedersi los átomosque intendenen tie¡¡en electronesfuerade capascerradas.Los especttosmolecula¡esindicarrniveles deenerglade una molécula,que estánasociadoscon las vibracionesy rotacionesde losátomosde la molécula completa.[¡s modoselectronico,vibratorio y giratorio iormanunajerarqula. l,os elechonesen los solidossonatraldospor los ionesquefotman la red cristalina. degenerados, fotmando t efectode esaahacciones diüdi¡ los niveles anüeriormente ,¡a zonadenivelesa distanciasenhesf muy esfrechas, de energla. (Fe s üa¡nanbarr¿lqs

PREGTINTAS 1 . En la descripciónde una partfculaconfinhdaen uha caj:i,en la sección42-1,¿potquésecaracterizó al estadófundamental co n n = 1, y non= 0?

, ¿Podemosdetermina¡la comi:osiciónatómicade'objetos distantes estudiando laslongitudesdeondaddloi fotonesque emiten?

empleanpara acelerarpartfculasnuclea¡esa granclesenergfas, para provocar reacciones nucleares. En uh ácelerado¡ van de Graaff, ¿serlamejorel aire o e1hexailuóruro de azuf¡e, como gas aislante?

11. ¿Por qué se necesita aproxinradamenteel doble de energla para excitar un electrón.delestadon = l, / = 0, al estadon = 2, t '2 del He', en comparacióncon el He, helio neutral?

3. ¿Quédeterminalaslongitudesde ondamáscortay máslarga a lasquepuedeemitir un átomode hidrógeno?, 12. ¿Esperarfausted que el radio de la órbita inferior de un átomo de helio fuera meno¡ que, igual a, o mayor que el de un áto4. Por un lado,decimosquelos electrones de los átomostienen mo de hidrógeno? ¿Por qué? energlasdiscretas; por otto lado,decimosqu9lay una i¡rcertidumbreinherenteen nuestr¡.capacidad de'medición'de 13. Al describirla formacióndc moléculas,clijimosque el nrfnimo de la cnerglapoterrcialneta energlas.¿Haycontradicción aquf? en l¡ interacciónde dos átornos de hidrógenoes el lugar en el cual las fuerzasde atracción 5. Debidoal principiode exclusión,sólo los electrones cuya entre los electronesy los núcleos anulan las fuerzas de repulenergfaestécercade la energfade Fermi; se muevenbajo entre cada electrón,y ent¡e cadanúcleo,en el lugar del sión la influencia de un campo, y originan corrientes"Si los equilibrio estable.¿Cómo t¡aducimosuna afirmaciónacerca principio de exclusión,¿en electronesno obedecieranel ' del m{nimo de energíapotencial,¡ una afirmación acercade qué se diferenciarla la conducciónen los metales? una fuerza? 6. En el experimentode Stem-Gerlach,se observóque los átomosde plata sólo ter¡Jandos componentesde momento 14. ¿Porqué los argumentosque presentanlcsacercade la formación de la moléculadiatómicade fuCrógeno,H3, no se aplican angular.¿Quieredecir esto que todoslos electronesde un a la formación de una rnolécula diaiómica de helio, Her, a átomode platatienennúmerocuánticode momentoangular, partir de dos átomos de irelio? 1, igual a cero? 7. ¿Escierto quetodoslos átomosde hidrógenosonindistinguibles entre sl? ¿Cómoes posible distinguir entre hidrógeno cuyo núcleo consistade un protón (tH), del que tengaun protóny un neutrón(H, deuterio),y del quetengaun protón y dosneutrones(3H,tritio¡? ¡

15.E l

h e l i o t i e n e C o s e l e c t r o n e s . {m b o s p u e d e n e s t a r e n l o s estadosde spin "aniba" (o "atrajo"), o bien, uno puedeestar hacia arriba mient¡is cue el otro hacia abajo. Teniendo en cuenta el principio de exclusión y el hecho de que los estadosde mome;::o aneula¡ / = 1 tienen mayor energfa que los estadoscon / - 0, ¿quéarretlo de spines tendráel estadofundamentai?

8. ¿Porqué un átomocon momentomagaéticodipolar necesita un campomagnéticoque varfe en el espacio,paradesviarse? 16. Suponga que agregamos un electrón al hidrógeno. Este ¿Noserfasuficienteun campomagnéticoconstante? segundo elcctrón podrfa estar cn.la nrisma órbita que.el 9. El término estruc:turafina!e empleapara'ihdicarniveles primero; en ese caso, ios spines tendrfan que apuntar en de energfamuy cercanos.Describael origende esósnivedirecciones opuestas.¿Qué podrla evitar la existenciade les, para algunosde los sistemasqué describimosen esta ese átomo con carga negativa?La existenciade un átomo capftulo. 10. Los áceleradorcs ván dc'Oraaff,cuyasterminales se encuentran a voltajes muy altos, dentro de un tanquea presión,se

que consiste en un protón y tres electrones,¿serfaigualmente probab'le,o improbable?

PROBLEMAS 42-1

Cuantizaciónde la energíay el momcntoangulir

1. (D ¿Quélongitud de onda de radiaciónr" necoitu pan ionizar al hidrógeno?(Sugerencia:recuerdeque,paraionizarun átomo, rs necesarioelevar el nivel de energladel electón por emitir, desdesu estadofur¡damental,hasta,cuandomenos,E - 0.) 2. (I) Setieneheliosimplemente ionizado,o sea,helioenel cual se ha quitadoun electrón.¿Cuántaenergla'senecesitapara quitarel segundoelectrón? 3. (I) ¿Cuálessonla energlay la longitud de ondadel fotón que se emite cuandoun átomode hidrógenópasadesdesu primer estadoexcitado,n - 2, a su estadofundamen(al; con n - 1? ;Yd en' 1an- 3?

r248

(I) Dado que,en el modelode Bohr, la radiaciónsólo se emitecuandon cambiaen unaunidad,¿paraquélfmitesde valoresde n quedaráia radiacióndel hidrógenoen la zona visible,estoes,con longitudesde ondade 400 a 700 nm? (I) La serie de Lyman es un conjunto de lfneasespectrales para el hidrógenocuyaslongitudesde onda coffespondena la ecuación(42-12)connr = | (ftgura42-21).,(a) son ¿Cuáles los núme¡oscuánticosde los estadosque intervienenen las tres tra¡sicionesde la serie de Lyman, con las mayofes longitudesde onda?(b) Calculclas longitudesde ondapara las transicionesde la.parte (a). Esas longitudesde onda, ¿estánen lasregionesvisible,o ultravioleta?

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

n= 5 n= 4 n= 3 n= 2

son los núrneroscuánticosde los estadosque inteniencl = las tres trarsicionesde la seriede Paschencon las ma:'"Jafes longitudesde onda?(b) Calculelas longitudesde ondaprcz las transicionesde la parte(a). Esastransiciones,¿estánei; regiónvisible, o en la infrarroja? 9. (II) Deduzcauna fórmula para las longitudesde onda cie¿s transicionesen iones con un sólo electrón,cuyos núclecs tenganla catga+Ze. ¿Paraqué lfmites de valoresde Z es,'uz'. la radiaciónen la región de 0.1 nm, paratrarsicionesde ,r 2 a n - l? y ¿enel rangode 0.1 nm? 10. (ID Es útil introducir la constantede estructurafina a . el{neoltc en problemasen donde intervienenátomos.(a. ¿Cuálessonlasdimensionesy el valor de a? ¿Cuálesel valor de lla, con precisión de un entero?Es útil recorda¡estc núrnero.@) Expresela energfadel enésimonivel del átcrnc de hidrógeno,E", en términosde a. (c) Calculela velc,cid¿c del electrónen la órbita inferior de Bohr del hidrógeno,en términosde a.

11.QI) ¿Cuálessonel radiode ó¡bita,la velocidad,la cantidadCe ,l= I

Seriede IüGURA42-21Problcma 5. (II) El helio simplementeionizadoes un átomo con un electrón,con Z - 2,y masanuclearigual a cuatrovecesla masa delnúcleode h.idrógeno. Calculela longitudde ondamáxima que errel análogode la seriede Lyman,aquellastransiciones terminenen n - 1 (véaseproblema5). (II) ¿Cuálesla longitud de ondade la primeralfneade la serie de Lyman (véaseproblema5), en el boro cuatrovecesionizado (Z - 5)? para (ll)l-a seriede Paschenesunaseriede llneasespectrales el hidrógeno,cuyas longitudesde onda correspondena la ecuación(42-12),cuandont ' 3 (figura 42-22).(a) ¿Cuáles

n= 5 n= 4 ,-2

n= 2

¿=l

8. FIGURA 42-22 Problema

movimientoy la energfadeun elect¡ónen el estadon - 3, para el hidrógeno?Supongaun modelo clásico para calcula¡ la cantidadde movimientoy la velocidaddel electrón. t2. flI) Se tiene el modelo planetario,de Rutherfo¡cl,de órbit¿s (a) Conla ecuaciónparael radio,ecuación(42-5), circulares. calculela velocidadde un electrónen términosde ezl4xq, el momentoangular,l, y rn,.(b) Conel resultadode la parte(a), calculela aceleración del electrón.(c) Calculeel periodode la órbitadel electrón. 13.(I) Segúnel electromagnetismo clásico,la potenciairradiad¿ por unapartfculade cargae quesufreunaaceletación a, es

o -?

^,

" " 3 4nenct

Con esta fórmula, y con los resultadosdel problema 12, calcule la energfainadiada por un electrón,por unidad de tiempo,paraunaórbitacircularcuyacantidadde movi¡niento angularseaZ. 14. (II) (a) Con los resultadosdel problema13 demuestreque la fracción de energfai¡radiada por un electrón en un sóio periodoTestáexpresadapor LE _8n ( :

e2

\'

f

3 \4,,," L) (b) Con esteresultado,determineel númerode periodosen los que el electrónperdedatoda su energla,y el tiempo que tardarlaen hacerlo.Evalúeesteresultadoen forma numérica, para¿, cuandoel radio orbital sea0.1 nm. El resultadodebc serdel ordende l0-¡os. 15. G) Calcule la frecuenciade la radiación cmitida por un electrónen un átomo de hidrógeno,al pasarde un nivel de nrirnerocuánticon + k,a otro de númerocuántico¡. Deduzca unaecuaciónsencillaparacuandon >> k Expresesuresultado en términosde L - nh y compárelocon la frecuenciaclásica, .f¿ - llT, siendoT el periodocalculadoen el problema12. Demuestreque las dos tan sólo seránigualespara,t - l, de modo que el requisitoque los resultadosde la mecánic.r cuánticacoincidanconlos de la mecánicaclásica,paravalores de Bofu) muy grandesde n (el principiode conespondencia

1249

quieredeci¡quesólosepermitentransiciones concambiosde ,' , n con valoresAn - 1. 16. (In) (a) Expresela potencia(P irradiadapcii un ^ElAt) electrónqueacelera(véaseproblema 13)en té¡minosde I - ntt.La energfase irradiaráen formade un fotónde energla á/, siendo/ la frecuenciaque concspondea une transición A¡ - 1. ft) Calcule,Ar- LEIP, en términosde n.-Conesta fórmula,calcule-unvalor numéricode Ar cuandon - 1, Este i¡tervalo de tiemposepuedeconsiderarcor.nola constantede tiempoparaque el estadon - 2 del átomode hidrógenopase al estadon - I (fundamcntal):(c) Comparesü constantede tiempoconel periodode un electrónen la órbitan = 2. Según su comparación, ¿podrlausteddecirquela órbitan = 2 escasi estable?(d) Grossomodo,Af esel mayortiempoquetieneusted disponibleparamedir la energladel estado¡ - 2. Con la relaciónde incertidumbretiempo-energfa, estimela dispersión de energfasdel estadon = 2,y compá¡elacon la energÍa de transición,E, - Er. 42-2

La teoríacuánticadel ñomento angulary el espectro verdaderodel hidrógeno

L7, (II) Se debehaceruna correccióna las fónrulas para los ¡úvelesde energfaclclos átomosscmejantes al del hidrógeno: lasórbitaselectrónicas en tomo al centrodemasadelsistema electrón-protón, más que en torno at protónmismo.A esta co¡rección se le llama efecto de la masa reducidn, y es pequeño,porqueelprotón,demasarl¡presmuchomás.masivo queel electrón,de masam..Fl respltadoesquelosnivelesde energladel hidrógenopedebencorregirparaquedar

21. (I) ¿Cuál es el elementomás ligero con un sólo electrón en el | nivel r¡ - 2? 22. (ll) En los electrones de varios átomos, la ordenación de nivelet no coincide con la de los átomos semejantesal hidrógeno. Ein un átonio ile varios ele'ctrones, que sea particularrhenteestable,los siguientesestadosestántotal= / =0 , 1 ; n - 3 , [ m e n t e O c u p a d o s : n = l , t - O ; n =2 , ( *A , 1 , 2 ; n - 6 , I 0,1,2;n-4, 1 , 2 , 3 ; n =5 , { -0 ,1 , -0, ¿Cuál es el valor Z parh este átomo? 23. (ID Un átomo con Z = 10 tiene una ca'pacerrada;otro con Z = I I (el sodio) se p'uedeconsiderarcomo un "núcleo" con una carga neta de +¿ y un electrón eh el exte¡ior. En términos de estarepresentaciónsimplista, iCuál esperarfausteclque fuera la energfade ionización del soclio?(sugerencia: ¿quéniveles estánllenosen el "núcleo"?) 21. 0I) Cuando un electrón, en un estadoatómico caracterizado por los números cuánticos (n,/), se coloca en un campo magnético, entonceslos (21 t- l) estadosposibles ya no ticnen la misma energfa,E r.El campo magnético divide losnívelcs degencrados, dc tal nodo que los'.nívelesde energía t i c n e n l o s t , a l o r c s D , t *x / l l , E,,.,_F r <( l _ l ) ¡ J , . . . , E ,.t_ N (1 - 1)B, E,,./- x/ B,sicndo rcunaconstantc,(a)Enpresencia de un campontrgnético,¿cuántaslfneasespectrales distintas l i a ; ''e ; r h t r a ¡ u i c i ó n l n ^ 2 , / r l ) + ( ¡ ¡ - l , / - 0 ) ? ( b ) ¿Ye n (rt = 2, I * L)? (Sugerencia: la t¡arsicicn (n = 3, / = 2) difere¡:tesiransiciones en las que el cambio de energla,AE, es ig'.:al,p:dr::en un¡ sola llnea espectral,de frecuencia/ sEth ) 25. (U) l: e;re;gÍapctei:cial, U, de un dipolo rnagnéticocuyo rr.o¡-nenlc di;t la: rr en un campo magnóticoB, is U - -p'B., El mcmenl¡ r.aii::lcc iipolar de un electróntienemagnitud p= (.e,ií,,;S;C',:á:..::er:::::. nris i o nlenos)liene un eiectrón con spin hactaa:r::, e: cc::)aración con otro con spin hacia abajo, e;r pteser:::a :: '-::: c:.;:.:c :-l3g¡crico externo cuya magnitudA = 1.5T. s';p::jen3c :.ueel campo es paraleloa la di¡ecciónhaciaa::tb:i

l= 8. . = - - - ::t" . ". | (tn,.lnr) 2n2(4neuh)2 .+ Los nivelesde energlaparael deuterio,átomocon un núcleo cuyacargaes la del núcleode hidrógeno,perocuyamasaes aproximadamdnteel doble de la del hidrbgeho,obedecenla misma fórmula. Calculela dife¡enciaen las lohgitudesde ji. _¿:,;.::::.¿;e;:ios cuvascapas ondade la radiacióheinitidaen la transiciónentrelos estados 26. (iI) Los gasesi;e:es s::. e x t e m a s , d e d e : c =: ; : . : ; : i . e s : 3 : . . . e : . e sD. c i : ; t ; : t e l o s va l o n - 2 a n = 1 paralos dos átomos.Fue la observaciónde esta r e s d c Z p a r a l o j : s l c s ¡ : s : s : : . : : . : : . : : . : : 1 . . s ' p a : 'al o s cu a l e s diferenciala quecondujoa HaroldUrey,en 193I , á dcscubrir Z < lffi. [: aprcrii:acl::. :e .]e::ic s::¿sl','c:s ios rit'eles el deuterio. enelordenn= 1,2,3, ; . ^ . : . . . . . , : - i , e s : n c o ¡ :e cta 1S. (U) Una versiónpesadadel electrón,llamadamuón,p, se cuandoZ es ma¡'cr :.ue.3:=r:ji3 j3x:e:qe. I l. P,.r lc tar.lo, diferenciadeaquélenquesu masaesm,=207m,. En el átomo los cálculosque haga ¡:o c:;'t::::::á: :c:. .: t::.a :e:iódica de hidrógenomuónico,conun protóny un muón,el efectode en su extremosupei:oi. masareducidadel problema17esmuihomásimportanteque parael del hidrógenoordinario.(a) ¿Cuál'esef radiodel átomo 27. gD I-a energíade erlace dei elec¡::r r = ^ ;. ;:-.::.c p;,2 el cual Ia carga eléctricanucle¡: es -Z¿ s¡ ::.:;l: l::la::ic ios dehidrógenomuónicoensu estadofundamental? O) Calcule para resultados el átomc Ce ¡::*ó_re:.: :e:L:l:l:.jc ci pr ¡' queseemiteenla transición la longitucldeondadela racliación = Ze'1.tas energíase ;cr; :¿ci ; :. I e.¿:: :oi:s :rencs (Ze)(e) = deun átomodehidrógenomuónico,del estadon 2'alestado -s fuertementeligados,pan al*r.:roeát:r:s - cc:^r'i::es ce Z Je i n - 1. a 29; estoes, a travésde los niveles.rl= 3. sc: bs s.::ienies:

.

ii

t

El spin,eIprincipio dc exclusióny la . estracturade los títomos

42-3

19. (I) ¿Pa¡aquévalor d,eZ se llenael nivel n L 3'l ' 20. (I) Determinelos núme¡oscuánticosn y / de los niveles qre se llenanen el estadofundamentalde un átomo de p o tas io,Z = 19. |

/\{

I

Z: Energ{a dd ionizaciórr(eV):

IO

l1

:3

24.6 2t.6

5. i

i-<s

2

i9

28

29

-i -: ;.6 '7;i

Compare estosvaloresconlosquspoCr::obien::parala eliminaciónde un electrón¿ = 1. ¿A c-lá atilb::..:usiedla grandfsimadiscrepancia en la mayorparieCelcs cascs?

o o o o o o o o o o o o o o O

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O

1 Lo estructuray los estadosdc energíade l¿s moléculas

Estaenergfapotenciales la que origina la fuerzade va¡rder Waalsentrelos átomos. 34. (IID El movimiento giratorio de una moléculadiatómica afectala posiciónde equilibriode los núcleos.Si Roes la . separaciónparamomentoangularcero,y R es la separación promediocuandohay rotación,entoncesla energfade ¡otación est(t + l)h2l2MR2,siendoM la masareducidade los , núcleos.Además,parauná f¡ecuenciadadade vibración, a¡, la energfapotencialdevibración,cn presencia de rotación,es !Mo2(R - Ro)2.Calculela nucvaseparación de equilibrio,R, ieduciendo al mfnimg E(R), la suma de los dos términos nuevos.Considereque R,- rR¡espequoño.¿Cómocambiael momentodo inercie,y qué cfocto tieno cse cambio sobrcel espectrode rotaciónde la molécula?

II ,Cuálcsson las energfasde los tresnivclesmfnimosdel quelas :s-:e::ir devibraciónde la moléculaOH?Suponiendo :;:s::irnes permitidas conespondan a An - l, calcutelaslon¡:::":ies de onda de las transicionespermitidas entre esos :lveies. E1 l-a longitudde ondade la transiciónn' I - ¿ - 0 en -t" :. cspectrode vibracióndel CO es2.93 x lO-sm. Con cste '.alor, estimela constantede resorte,/1,cn la ecuación 32-16).Aproximela masade los núcleosde carbonoy de cxigenoa 12y 16vecesla masade un núcleodo hidrógeno, paracompararsu resultadocon un cálcuiaspectivamente, que lc empieandola ecuación(42-18).La discrepancia encontraráentre los dos nrlmerossugiereque la ecuación (1?-18)es una aproximación de muy toscaa la constante Problemasgcneral¿s ¡ es one. _xü.ill) La transiciónrotacional / - L /' 0 en el estado 35. fl) ¿Paraquévalor del númerocu¡lnticode momentoangular, ¿, tieneel momentoangularmecánicoel valor 1.00g . cm2/s? eiect¡ónicomás bajo de la molécula de CO tiene una longitudde onda de2.603mm. Estimela inerciarotacional 36. 0l) Supongaque dos electronesestánen órbita alrededorde un protón (un ion H-), ambosen nivel n - 1. Hagauna lista de la moléculade CO y la separaciónde equilibrio de los de lascontribucionesde energfapotencialy hagaunaestimaát om os . ción de cuántaenerglase necesita¡fapa¡a ionizar uno de los iII) b difrerenciade energlaentre el estadomfnimo de la electrones. moléculadc CN, y el primcrestadoclectrónicoexcitadodarfa lugar a una llnea espectralúnica, a una longitud de onda 37. (II) Un electrón del hidrógeno pasa del primer estado excitadoal estadofundamental.L¿ duraciónpromediodc ce¡canaa los 387.4nm, si no hubierarotacisnesni vibraciola transiciónes 2.6 x l0-¡o s. ¿Cuáles la incertidumbreen y primeroexcitanes.Sin embargo,los estadosfundamental el valor de la energfadel primer estadoexcitado?Exprese rotacionalcs do, en ¡ealidadconsistenen unaseriede estados su respuesta con energfas en electrónvolts,y comofraccióndela energfa superpuestas(Í+Dlfz l2Io,y lU +l)lí2lzlb dc esecstado respectivamente. CalculeIo e 1, a partirde los datossiguientes:transición(n - l, | - 1) * (n - 0, [ - 0) da l, - 387.4@8 3t. 0I) Empleelashipótesisdel modelodeBohr y calculeel radio (n - l,/- 2) e(n - O,/ - l) da ,?,-387.3998 nm;transición de la órbita del electróndel estadofundamentalparael litio nm; transición(n= l, / = g) e (n = A, I = l) da .?,= 387.5763 doblemente ionizado,Liz*. nm. ¿Porqué debenser,flsicamente,distintos^loe /t? 39. (II) Una canicade20 g denusa semueveenunaórbitacircular cercadel fondo de una vasüatambiénci¡cular. I-a altura de '.ll) (a) Con los datosdel problema31, calculela separación ent¡enúcleosde C (,{ - 12)y N (/ - 14)paralos dosestados los ladosde la vasija es h - af , siendor la distanciaradial. electrónicos n - I y n - 0. (b) Calculelaslongitudesde onda Para a - 0.25 cm-¡, calcule la separaciónentrc las energfas (n - l, / - 3) (¡¡'O, / '2). Compare paralastransiciones sucesivaspermitidasde la canicaen la vasija. No debesorcon el valor medido, l,- 387.33ó9nm. susresultados prendemosqueno tengamossentidointuitivo de los fcnómenosmecánicocuánticos. 3-l. 0l) Supongaque cuandoun átomo se separade otro una dando afecta a la otra, distanciar, su distribuciónde carga 40. (II) Todoslos valoresenterosdel númerocu¿inticoprincipal, de cargas,con separa-. iugar a un pequeñodcsplazamiento n, aun los muy grandes,se pcrmiten en los átomos.En la ciónd << el radiodel átomo,y croandoun dipoloeléctrico, práctica,es muy diffcil excitar órbitas que cor¡espondana queel campoeléctrico Segúnla ecuación(23-14),sabemos grandesvaloresde n en un núcleo ató¡nico,a menosque el iebido a esedipolo tienemagnitudE =edl4neoÉ.En este átomoestétotalmenteaislado.Estime el valor máximo de n .aso, no hemostomadoen cue nta los factoresangulares que se podrfaexcitarsi se pudieratenerlul gasde hidrógeno ccmo senoso cosenos.La separaciónde cargacreadaen el atómico,con densidad P- 1.0 x 10{ g/cm3. segundoátomo induce un momentodipolar de magnitud 41. flI) Calculela cantidaddemovimientodeun electrónenórbita aE. El coeficienteatienelas dimensionesde 4zeo(longicircular con momento o cantidad de movimiento angular sucedequeesta ruC)3, comosepuedevs¡ s¡ f,=edpvd,l orbital I y, empleandosusconocimientossobreel momento .oirgitud es la separaciónde carga,d, Ahora, el dipolo magnéticodipolar debido a una espirade coniente (figura irducidointeractúacon el campoeléctrico,E. Demuestre 42-23),demuestrequeesteelectrónen órbitatieneunmomenq::ela interacciónque resultada como resultadouna enerto magnéticodipolar igual a gÍapotencialde la forma general

-\.

¿'2 ¿15

U( r ) = -(c o n s ta n te¿tfieo ). -; ' f

eli L M =- 2n.lt

L25r -

; -. j ¡f :

o a o o o o o o o o o o a o o

del hiárógenoparaqueya no setengala segurifundamental dad si estáen el estadofundamentalo en el primer estado excitado.Por las'razonesque se dcscribenaquf,lienc poco sentidoimáginarseque un electrónsigueüna órbita clásica comola de.losplanetas.

FIGURA 42-23 Problcm¡41. -: :::::dacl ,'hfLm,sellama magnetóndeBohr,y es el valor ::---jj:^r cuatiz-adode los momentos magnéticos dipolares de :.:::::.-.es en sus órbitas. Il Repita su cálculo de lós niveles de energfadel átomo de 3':,:, pero suponga ahora que la energfapotencial 9s U(r) " - r:.l:e^r) + (olf), siendo ouna constante.Lqs valoresde e:.::3:a,ison mayoreso menoresque los que,corespondenal :-i¡ i::aLnente coulombiano? ¿Es ffsicamenie razonable su ::-::laio? ¿Esmás importante el efectodel término agtegado :::: .':grande, o para n pequeña,y es lógiio eseresultado? .13

iil Según la relación de incertidumbre de Heisenberg, es :-:.:':si';le medir con gran precisión la posición de un electrón ¿::;;ci sin hacermuy incierta su cantidad'demovimiento. C:.:,:-a¡do las magnitudesde la cantidad de movimiento para :- :s:::o estacionario y el primer estado excitado de un :.:::--;:: en un átomo de hidrógeno, calcule 1o bien que se : -::e jeterminar Ia posición de un electrón en el estado

44. (III) Con la relaciónde incertidumbreposición-cantidad de movimiento,demueslrequeno esposibledetectarórbitasen el Hdrógenomedianteól siguienteargutnento: (i) unamedición de ia enésimaórbita debeser tal que Ax ( rn,¡ - r¡. CalculeA¡. (ii) Eito
O

í

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t t 1 -*.-..i!

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

Con humo en et uu c se nacen vstorcs estosrayos ldser. t as l-aseresJuncrcndn como resultado defenómenos cwínticos itnportantes cn una escala macroscópica,

EFECTOS CUANTICOS E¡{ GRANIDES SISTEMAS DE FERMIOI\ES Y BOSOI{ES TT

flemos vistoquelaspartlculasqueformanla materiasondedostipos:lasquetienen mornento angular(l + i)h, siendo/ - O, 1,2, . . . , sonfermiones, y lasquetienen motnentoangular/sonbosones.Los fermionesidénticosobedecenal principiode exclusión de Pauli,y el númeropermitidode ellos en el mismo estadomecánico que -es el estadoque especificala energfade la partícula-, es,cuando cuántico, mucho, dos.Los bosonesidénticosobedecen un análogoal principiode exclusión, quese traduceen rrnatendenciaa congfegafse en el mismo estado,el de energfa mfnima.Los comportamientos detivadosde los sistemascon muchosfermioneso bosones son el tema de estecapltulo.Ya hemosvisto cómo se puedeexplicarel llenadode las bandasde energlaen los materialespor medio del principio de exclusión, aplicadoa los electrones. Aun cuandono hayafuerzasdinámicaspresentes,los fennionesidénticosse comportancomosi hubierauna fuerzade repulsión entre porqueobedecenal principiode exclusión.Esta"fuerza" ellos,precisarncnte erplicala incompresibilidad de la materia.Los efectosde agrupamiento de bosones idénticos explicanal lásery a la superfluidez. Los fermionessepuedencongregar en pres,formandobosones, si hayfuerzasdeenlaceapropiadas entreellos;cuandoesto sucede, un sistemagrandede fermionesidénticosse puedecomportarcomo un ;stema grandede bosonesidénticos.El fenómenoexplicael comportamiento de los

r253

o o o

r zi 4 C:pitulo 43 trfcctodtuántlcor grandc slstcmrs dc fmloncs yb os ns

cn

o o o o o o o o

y.:originapropiedades'tales c€mo la cuantizacióndel flujo, y el superconductores, qrieván rnásallá'dela meraausenciade resistividad piopiedades efectoJosephson, en los superconductores.

EL pRrNcrpro DE ExcLUSroN EN METALES 43-t Y ESTRELIÁ.S Electtones cn los metalesy

I

la enctgía de Fcrrni

La descripció4clásica de la conductividad eléctrica de los metales (sección27 -3) se basa en la presenciade electroneslibres en ellos..Esoselectronesse mueven bajo la influencia.te un campo eléctricoextemo. La resistenóiaal paso de la corrieniese debe a la existe¡cia de iones.En la descripciónclásica,los electronessufren choques con los.,iones,que originan una fuefza.de retardo y una velqcidad lenta y constante de los electrones,llamada velocidad de desplozamiento.La descripción mecánico cuántica de la conductividadse basa en la misma premisa¡'electroneslilres en metales. Sin embargo, la descripción del 4ovimiento de esos electtotresdebe set lnecánico cuántica,y ello origina algunas diferenciasprincipalesrespectoa las estimacionesclásicas, ' Im a g i n e mo sq uc l os el ectrol l es está¡lconfi nndos un. caj auni cl i mensi onal cle, "i, por ejemplo, de algunos centímetros. De acuerdo cotr la L, macroscópica longitud para único (12-I), niveles.de energia ulr electrón confinado los calculalnos ecuación a una caja unidimensionalcon la siguienteecuaciótr: ,- :)l t:n: t : arr.L.'

i

En ella hemosempleadolt = ttl2r,.Enuna cajatridimensionalhay trescontribuciones anáiogas,que conespondenal movimiemntoen las direcciones¡,y y z. El resultado es que

;:lrllli+ r¡ + rr])

li_

:n1,. t,'

( 43 r- ) i: t

e n l a c u a l c a d au n o de l os enteroSfl, 1,rl y n3 puedentomar l os val orés1,2,3,... . El estadoinferio¡ es uno para el cual rt, : tt: ^ n3: l , y es único. El siguientenivel de energlaconstade tres estados:(ñ1,rl,, t4) - (2, 1, l), (1, 2, l) y (1,1,2); los tres tienen Ia misma energía.Estados distintos con la misma energla se llaman estados al aumentarel valor de n, el gradode degeneracióncrece. degenerados; Ahora supongarnosque comenzaÍros a llenar los niveles descritosper la ecuación (43-1) con electrones.Segúnel principio de exclusiónde Pauli, en cadaestado pueden caber,cuando mucho, dos electrones.Hay-muchoselectrones,porque en un metal hay uno o dos electronespor átotno que estánlibres. En el procesode llenado, debemosrespetaral principio de exclusión.El nivel minimo de energ{apara un metal que cóntienc No electrones,correspondea un caso en eI cual los niveles de energ{a se llenan desQeel "fondo", el nivel de energía mhúma, hacia arriba, colt do1 electronespor'nivel de energ{a.Es importante notar que los valores de nl + n?t+ nlt que se estánmanejandoson muy grandes.Supongarnosque un electrón en el rnetal tiene la energfa de 1 eV - 1,6 x 10-le J, valor caiacterlstico de la energla de los electronesen conductores.También hagamosque L = 1 cm, pata manejar una pieza de metal pequeña,pero definitivamente macroscópica.De la ecuación (43- 1) vernos

que

(n 1+ n |+ ni)-1,,"

2(0.9x i0-r0kgx l.ó x l0*reJX0.0lm)2

EL2 )t

7l - l l -

)

--

:2.6 x l 0ra.

¡' ? (t . o sx lo -3 4J . s ;?

,:¡

o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o I

t

a I

o o o o o o o o o o o o O o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a

o o a o O o o o

Por lo tanto, estamos manejando valores de n¡ n2 y nj que son muy gtandes. Por ejemplo, si hacemos {ue n1 - fiz: th = 10E,entonces,la diferencia de enetgfas,AE entre eseestadoy uno adyacente,cuando aumentan, en 1, peto sin cambiar ftzy nt, se calculaco¡t AE

(n , + l )2 - n l

E

nl+nl+n3'

2n,

n? + n l+ n l-'- "

l O- d

[,os ¡liveles cleenergfaestántan próximos que decimos que casi formarr un continuo. Cuando un electrón acelera en fonna clásica bajo la influencia de un campo extenro, su enetgla aumenta uniformernente. En la mecánica cuántica, el electrón sólo puedesaltar a un estadode mayot enetgfa.En estecaso,el principio de exclusión de Pauli desernpeñaun papel itnportante:un electrónno puedepasat a un estadode mayot energla a menos que eseestadono tenga electrones.Asf, solo se puederracelerat los elect¡onesen la parte zuperior de lm niveles lleric, a causade rm campo el&hico. A la energlamás alta llelra se le llama energía de Fermi, E¡, eir honor de Enrico Fenni (figura 43- 1). Entre las muchascontfibucionesde Fermi a la ffsica, estáel dase cuerrtade la itrrportanciaque tiene el ptincipio de exclusión para sistetnasde muchas partículas(figura 43-2).En general,la longitud de onda de de Broglie conesponde al espacioque ocupa.Asf, lo m¡is cercanoquc puedenestnrdos aproximadanrcnte con la electrorres misma energfay momento angular es más o menos la mitad de su longitud de onda de de Broglie. Si la distancia fuera más corta, de hecho se sobrepondrlatrlos electrones,caso que prohibe el principio de exclusión. Se puede calcular la energfa de Fermi con una exactitud de pocos purrtos porcentualessuponielrdoque la distanciamás cercanaposible entte dos electroneses la mitad de la longitud de onda de de Broglie que coffesponde a la cantidad de Si representamos con d esa distatrcia mfnima, novinúento de Fernti, pp -Añfi, total N., en una caja cúbica de lados L es el número de electrones, entonces

'":(f)" , / N"\ - ' l' o:\D )

1255 43-1 El prlnclplo dc rxclrrslón en mctalea y cstrcllas

t Encreía I Et.

l'lGUllA 43-l l,os nivclcs dc cncrgiacn ur sólido cristalino form¡n una qstructurndc bnn
(43-2) - | /1

(43-3)

libresenel metal,Cuando Enestaecuación,n, esla densidadnuméricade electrones estadistanciamlnimacon la mitadde la longitudde ondade de Broglie, igualamos A.p,ala energlade Fermi,vemosque hn h , 4,. (43-4) o:" 2: 2P,, 2\Fffi J2m,,E¡. Podemoscombinar las ecuaciones(43-3) y @3-$ y despejarE¡': Er (ft12m)(tf nr)'/', Un cálculotnáspreciso,quetengaencuentael númerodeelecttones nos quepuedancaber,con energlaE . Eo, incluyendofactoresde degeneración, secundario: llevaa cambiarel factortf por 3tf , cambiobastante lr2

(43-5) h"(3n2n,)ztt libres.Por La magntud de Ia energlade Fermidependede la densidadde elect¡ones ejemplo,el cobretieneun electrónlibre por átomo.Su pesoatómicoes63.5d-91, y su densidad es8.95g/..'. Entonces, En:

/l electrón\/o.oz x 102r.átomos-\ /t naot-\(t.ls g\ /l06tn*\ '- I' l:noL " aromo- / \ / \63.5 il \ wf-) \ tn' ) : 8.5x l02Eelectrons/m3.

'.

- l- = . - ll. - . . - " - - - - l l _ - - l l - l l " . . . . _ ¡

J= Er= 1.12x 10-18 (43-5),obtenemos en la ecuacón esteresuultado S.:s:::;i'e:lCo

FIGURA 43-2 E¡r¡ico Fcrmi fr-¡ccxcclcnfc cx pcrimcntador .'-teórico. Entrc otros 10g106, cncabczócl cxitoso csfuerzo dc corstrucción dcl primcr rcactonCcfisión nuclca¡ cont¡olado,tcrmin¡do en dicicmb¡cdc 1942 cn Clücaeo.

t?. 56 Capitulo Emdcs yborcne

43 Efcctc oántkc sislcmÁe dc fcmloncS

cn

(partÍ cul. as E J E M PL O 4 3, - L C al cul el aenergfa-deFermi para N neutri n< ;s sin masa-despin ltl2,representadaspor u), confinadts en un volumen cúbico de ladosl, Como, hastadondese sabeexperimentalmente, los neutrinosno tienen masa,ohdecen la relaciónE - pc entrc energíay cnntidaddc nlovinriento. SOLUCION:l-os neutrinosson fermiolrescon sltinlfl2 de rrodo qrreel principio de exclusiónse sigueaplieando;estoes, h¡,.*2d, sicndo d la distanciaentrelos neutrinos. La única diferencia entre el tratamiento de los neutrinos y nuestro t¡atamiento anterior de los electroneses que, para los neutrinos, empleamosla relación para partículassin masa, E¡-= pñ, en lugar de Eo =p"ol2rn". Así, LF.

, " - l - 1,,

lt

ltc

O

1L'

L

Lu

.1 1 / l .

li

De aquf que

'

E, :l#t= nltc:ttlt'r n. : ( #) "

Un conteomás exactode losestadosconducea un valor de E¡mayor que nuestto cálculo aproximado, por un factor de n/3.

Tenie¡rdoen mente el cuadro que hemos descrito,podemospreguntafqué sucede cuandosc aplicaurr carnpoeléctricodébil n r¡trtnctal.Sólo los elcctrotresen ln parte superio¡de los nivelesllenospuedenacelerary'pasara estadosdc tnayoresenerglas, porquesólo ellos encuentrannivelesvaclosque ocupar(figura43-1). En la ecuación de la conductividadeléctrica,ecuación(27-22),con el tietnpode colisión expresado por la ecuación(19-50),la cantidadcorrectaque se debeempleares la velocidadde quc pide la teorfacinéticade los gases, Fermi, u¡,,definida por E¡r- |m,u|.y no ur¡ns, Recuérdeseque el empleo de u,^, prdujo una dependenciade la resistividadcon respectoa Ia temperaturade la fonna /T, inconecta,[véaseecuación(2'7-25)).El efecto de los cambios de temperaturasobre el comportamientode los electronescotr determinadaenergíade Fermi, es mínimo. Un cambio de 100 K en la temperatura sólo hacecambiaria energíade un electrónen kT: (1.4 x 10-23ryKXlOOXj = t.+ * 1 0 -2 tJ -(1 .4 x 1 0-2' D (1,6x 10-¡el e\)= 0,9x l 0-2eV ,E ncomparaci ónconl a ener gf a de Fermi del cobre, que es 7 eV, el factor liI es despreciable.Asl, la resistividad ser¿i independientede la tremperaturapara cambios moderadosde temperatura. La incompresibilidad

de la materia

El principio de exclusión desemperiaun papel principal para explicar la incompresibilidad de la materia.Una medida de estaincompresibilidades el módulo de volumen (el reclproco de la compresibilidad),B, que se definió en el caplhrlo 21, ecuación

(2r-5): LVIV En ella, p es la presión, -en realidad, un cambio de presión-, que lleva a cabo un cambio fraccionarib, LVIV, en el volumen de determinadamuestra de la materia. Como un cambio infinitesimal de volumen estáorigin:adopor un cambio infinitesimal de presión, reforrnulamosla definicióh para que quede d¡ t

B:-V"t dV

oI o o o o o o o o

(.+3- r

ahoraque la muestrade materiales un cilindro con áreade secció: Supongamos y guela ptesiónseaplicaen'losextremos,o carabcirculares. El t¡aba-:,transversai.4, al comprimirel materiala lo largodel ejedel cilindroesdIIl- -FdL, sienJ efecfuado

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o I o o o o

t ol t'l

ol

o O O

o o o a O a o o o o o o a o o o o a a O

t

o O o o o o o a o o o a o I

o o a a a I

o o

il la iongitud que se comprilne el cilindro. Se efectúatrabajodIl, asl que se disipa energiadE - dW en la muestra.Por consiguiente,el cambio de energlade la muestra esá expresadopor

d E: d w : -F d L :-rI)

( A dr ,): - r )dv.

\A /' puede escribirla presión,p, en términosde la relacióndel carnbiode'energfaal ¡' se cambio de volumen:

I

A

ur

(43-7)

t,/

Cuando cambia el volumen de un metal, carnbia la densidad numérica de los electrones,al igual que la enetgfatot¡1. Calculemosel módulo de volumen suponiendo que solamenteinterviene la resistenciade un metal a la compresión, a causade estecambio de energla.La energlatotal de los electroneslibres en un material es igual al número de electrones,N,, multiplicado por una energfa promedio, que tiene un valor entre O y E,..Mediantecálculosque omitire-mos,por su extensión,se llega al ¡esultadode que el factor promedio de energla es iEr (véaseproblema 46):

c=lr,u,:tr#.(r", *) r, Así, según la ecuación (43-7), la presión es

,: -#:i#"e"r"(+)

(43-8)

Segúnla ecuación (43-6), es necesario'unaderivada más de la presión, para calcular el módulo de volumen:

,#l?fiout,,,(*))

B:-vdP:dV

: -v :?

h'

f't

¡2

1/

C\

¡ s" _ J( t i ; r ( 3 n 2 ¡ 2 l r1 ¡ / ;) fr r','r',r,,,/N"\"'

3 Z n t,.' -' " '

\V )

|

(43-e)

Pa¡a el cobre, rr, : 8,5 x 1028m-3, de modo que B - 6.4 x l0l0 N/m2. El valor experimentalde B para el cobre, es 13.4 x 10t0 N/rn2. Para las incertidumbres de nuestrasestimaciones,el no tener en cuenta la interacción entre electrones,ni la. repulsiónde.Coulomb entre los iones, el hecho de que nuestraaproximación quede a un factor de 2 del resultado experimental,es impresionante.La repulsión efectiva entrelos electrones,debida al principio de exclusión, desempeñaun papel principal en el alto grado de incompresibilidad de la materia. Enanas blancas y estr.ellas de neutror¡es El principio de exclusión también desempeñauna parte importante en la evolución de las estrellas: es el causantede evitar el colapso de la estrella bajo la atracción gravitacionalde su masa,Pot lo geneml, las estrellasse forman por acumulación,por atraccióngraviiacional mutua de grandesnubes de gas, principalmente hidrógeno, que forma la mayor parte de la materia pdma del universo. Cuando los átomos de hidrógeno caen a la estrella y se agfupan, la energla potencial gravitacional se convierteen enetgíacinética. Aumentan la densidady la temperatura.Se ionizan los áromos,y, al presenlarsemás compresión, los protones que forman los núcleos de nidrógeno se acercan lo suficiente para sufrir diversas reacciones. Por ejemplo, a 'rar'& de una sucesiónde reaccionesque se describir¡ínen el capftulo 45, se pueden

12543-1 El prlnclplo dc r*cü¡sllo mctelcycsrdlr

c¡

12iB C:pítulo grodcs vbosonr

43 Efcctm oántkoc sistcrms de fmioncs

cn

combinar cuatro pfotonesy formar'un,núcleode helio y dos positrones(la antirr."':ria de los electrones).En esteproceso se libera una gran cantidad de energfa,y el prcceso es responsablede la luminosidadde muchasestfellas;tambiérrrepresentauna especie de quemado termonuclear.Mientras se efectuanlas reacciones,la telnperaturade la estrellapennanecealta,y se estableceun equilibrio:la presióngravitacional,debiclo al peso de la materia, iguala exactarnentela presión del gas de protones a la temperaturade la cotnbustióntermonuclear.Cuando el hidrógeno,que es el combustible, se ha agotadohastael extremode que el proóesoya no puedescguir,qucdauna fracción apreciablede helio en la estrella.La presión gravitatoriacontraemás el tamaño de la estrella,hastaque su tempetafurads suficienternentealta como parr que los núcleosde helio comiencena participaren reaccionesque producentodavfatnás energía.En una secuenciade ptocesos,bien detenninada,se forman elementosmás y más pesados,hasta llegar al hieno. EI hieno no participa en más teacciones y esasreacciotlesse detienen.Sin embargo,el nraterialcohtinúasu termonucleates, gtavi tacional, contracción Se puede calcular la presión gravitatoria que trata de comprilnir a la tnateria. Supongamosque.la estrella tiene Nnucleones (protonesy neuttones), cada uno de masaM. En estecaso,podremos ignorar la.masadel electrón.Una fuerza gravitacional caracterlstica,en la superficiede la estrella,tiene magnitua C¡Ulf;2 1Ñ,y,pot la presión(fuerzapor unidadde área)gravitaciotralcn la superficiees consiguietrte, G(.\,l I):l Il 2

P' : ---l;J
=

G(,\11' l )2

+¡p

en la cual, el volumen V =

C (N M)2 : u')+ ^ -, -/rr-'

"t

|-P . Nóteseque la presióngravitacicnalse clitigei;rzcic adentro.En realidadvaria dentrode la estrella;un cálculo rnásriguroso indica que la car¡tidadcorecta es 3/5 del valor estimado arriba. Asi, l 't- " '- -

FIGLJRA 43-3 Una enanablanca, muy bicn conocid¿. dcscribc r:na ó¡l¡ita alrcdcdo¡ do Si¡io, zu cstrclla compañcra. Sc pucdc vcr aqü la cnaru blmca como r.urapcqucñs rnanchablalca justo a la dcrcch¡ do la imagen dc Sirio.

^ -^

G ( - \ '- l l ) :

(43-10)

I.r i

Al dectecerZ, la presiónaumenta)1'si no l3r' presiónque la equilibre,la estrellase aplastarla.El principio de exclusiónes ei que origina esapresiónde equilibrio,que se llamapresión de degeneraciónde los elecirones,pc.Está expresadapor la ecu¡ción (a3-8) y se dirige hacia afuera.El subindicei¡rdicaque en estecaso,la presiónde degeneraciónse debe a electrones;el sÍm'cologeneralde Ia presión esp. Nóteseque la presiónde degeneraciónes máxima cuandola masadel fermión que intervienees mirrima, lo cual es la causade usa¡ la presión de degeneraciónde electroncsen lugar de, digamoe,protones.Cuando esapresión coincide con la presión graütacional, se alcanza el equilibrio. Paraeshellasmeno6masivas,el producto frral es una enann blnnca (frgan 43-3). Si ly'. - nrirnero de protones = Nl2, podemos calcula¡ el radio de la estrella tesullante. Obtenemosunos 7000 km de ¡adio parauna esttella con la masa del Sol, 2 x t03okC (véaseproblerna49). Esto comespondea una densidadde ¡7.5 ton métricas/cm3l Pa¡a una estrella con más masa, ps es todavía mayo¡ y, para mantener el equilibrio, debe aumentar el factor N, lV en la presión de degeneración,ecuaciótr (43-8). Sin embargo,estoquiere decir que crecela energíade Fermi de los electrones, Cuando esa enetgfa es de magnitud comparable a la masa en reposo del electrón, debemos manejar al electrón en forma telativisla. En el caso relativista extremo, se puede emplear el resultadodel ejemplo 43-l.La enetgfatotal del electrón,de nuevo, esN",rnultiplicadoporlaenerglapromedio,peroestavezpeespropotciornla(N"lV)al), Esto, a sl¡ vez, implica que se anula el factor I/ de.la ecuaciónp o - po,lo cual no se puede satisfacerescogiendobien a V. La presión gravitacional siempre será rnayor que la presíón de degeneración de los electrones, cuando 1a esttella es más masiva que aproximadamente 1.4 masas solares; a esto se le llama masa de Chandrasekhar, que fue determinada por primera vez por Subrahim Chandraselüar a finales de la décadade 1930. En esecaso,el colapsoo áplastamientogravitacional continúa.

o o o o o o o o o O o o o O

o o o o o o o a o c o a o o o o o O o o o o o a o o o O o o o o

o

o o o o o o o o o o o o o o o o O o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O o o

EJ EIÍ P L O 4 3 -2 D e m u e st¡eque si l a encrgl adel el ectrón,E , en ul ra estrella, es tan alta que se puede no tener en cuenta su masa en reposo (véase ejemplo 43-l), entoncesla presión gmvitacional es del orden de magnitud de la presión de degenetaciónpara una estrella de una masa solar. Una estrella es eléctricamenteneutra y, con buena aproximación, el número de neutrones es igual al número de protones,cuando se fotma la estrella. SOLUCION:La presión gravitacionalestá expfesadapor la ecuaciórr(43-10). Deseamoscomparafla con la presión de degeneración,que se puede calcular a partir-de la ecuaciónp : -dEldV, ecuación (43-7). De nuevo emplearemos E - iEpN, pero necesitamosla ecuación de la energla de Fermi que sea aplicable a partfculassin masa,Ev- rcl¡c(N")utVtt37véase ejemplo43-1). Asl,

dE // ' - -- dl/

-#[;u'*"1:

- 0.6Na,t3 nltt W

= -.0,2xltc N 4,t3 v -4tJ

Podemos relacionar al número de electronescon la masa de la estrella co¡no sigue.La neutralidadeléctricase expresaN, = Np.La masa total clela estrella, M.,una masa solar, es el número total, N, de neutronesy protones,porla masa M del protótr o del treutrór\ M o = NM. Por últinro, el núrnero de protones es la mitad del número de neutrones,y así N, = Nl2 = (Nlyt)lzM = lvl, l2M. Asl, la relaciónde la presiórrde degeneracióna la presiónde gravitaciónes

lt)ot' la :9 2"tuQs""My{}.2xhc(0.5,1r -rr*.,rlj nl - l'2' ptt 0.32G(NM)2lr+r' Este cálculo burdo sí llega al orden de magnitud correcto. Chandrasekhar demostró,en forma más general,que si una estrellatieneunamasas,[1",entonces PlPo: 1.25-ztt.

Lo que pasacuandouna estrellarebasala masa de Chandrasekhary se aplastase puededescribir,toscanrente, diciendo que la presióngravitacionalforzaa los electrones de la estrella a combinarse con protones, formando neut¡onesy neutrinos, segúnla reacción e + pl tt+ v. Como hicimos notar en el ejemplo 43- 1,los neutrinos,aparentemente, no tienenmasa y, lo tnás imprtante, es que interacciotrarrtan débillnente con la materia, que de inmediato escapande la estrella.El resultadofilral es una estrella fonnada sólo por Ntreutrones, o sea,una estrella de neutrones. Los neutrones,siendo fermiones, obedecentambién al principio de exclusión. Tenemos utla nueva condición de equilibrio, pc - p,,, siendo pn la presión de degenéraciónde los neutrones,y tiene la misma forma que p., pero se cambia N, por N,y m"por M. Se puede despejar V dela ecuación

:',fi o"'l',"(#)"' pe: 0.32ry: p,,

(4 3 -lr)

y por lo tanto,R.Paraunaestrelladeunaspocasmasassolares,los cálculosnuméricos obtienenuna R del ordende ¡10 kn! La estrellade neuttonesestan densacomoun que sigueninttigandoa los núcleo,y su compacidadoriginamuchaspropiedades Walter Baadey FÁtz Zwictq predijeron,en 1934,la existenciade astrofísicos. porAnthonyS.Hewish quefuerondescubiertos Los pulsares, deneutfones. estrellas y sus colaboradores en 1967,los identificóTom Gold, en 1968,con estrellasde neutrones en rotaciónrápida.

r259 43-r

[,] prlnclplo

dc sxclwlón mctaleyGtfdl¡s

m

7260 Capítulo 43 Efcctos oánt¡cos cn gmndcs sistcrr.as dc fcrmloncs yb omna

E J E M PL O 4 3 - 3 C al cul eelradi o deunabstrel l adeneutrones, cuya rras a seaigual a tres masassolares. SOLUCION: Cuando se igualan'la presión gravitacional,pc, y la presión de degeneración,pn, vemos que

o32 ;+,!::i#

t(l{e)"., Gn')'

en la cual hemos remplazadoN, el númeto ¿" n.ntrán", , pat 3Mo/Il, siendo M. la masa solar, y M la masa de neutrones.Según estaecuación,obtenemos (+ n1,tt fl/',tt1 ¡ ' :l- - i

l l tf l zM)(3n\2t3(3,\{ ol 1,t)stl

0.32c(3tvt)2 \ 3/ Asi, siendoRel radiode la estrelladeneutrones. ñl-l

Si la masade la estrellaes tan grandeque hastala presióndebidaal principio de exclusiónd.ePauli, aplicadoa los neutrones,es inadecuadapara reóistirel aplastalniento, se presentacontracción gravitacional continua y se forma un agujeronegro. Es cla¡o que una cornprensiónde la materia, seaen su forma terrestreordinatia, o en los núcleosde lasestreilas,no senaposiblesin la aclaraciórrque acabamosde obtener con el principio de exclusión.

-ffi i

I

Fotón,

tAA\.,."

ü ( a)

/ 1 \ r 3 1(h2l 2l vl )Gn2)2' l 3l l ol l vl )st3 _ 1 ., 1^4,." ^ \ .1* I 8.32G(3¡vrn)2

qucsalc

Ernisióncs¡ronlánca

Al¡sorción

4l-z

ApLrcAcIoN DELcoMpoRTAMrENTo LASERES:

DE AGRUPACION DE BOSONES El hecho de que bosones idénticos tiendan a asruparseen los mismos estados mecánicocuánticostiene un impacto en varios sistemasfísicos.La aplicaciónmás di¡ecta es el funcionamiento de los láseres, que implica el agrupamiento de los fotones.Debemospresenlarmayores detallesacercade las transicionesentte niveles de energía atómicos o moleculares en los cuales se producen los fotones, antes de describi¡los láseres. Transicioncs cntrrc niveles dc énet3ía Como vimos en el capltulo 41, el alanto de radiación electromagnética,que es el fotón, se caracterizaporuna longitud de onda, 2",o po?una frecuencia,rfrelacionadas entre sf mediante " clL.Jarnbién sé caracterizapor un vector cantidad de ri'lovi-f miento, p, que da la dirección de propagacióndel fotón. La magnitud de esacantidad de movimiento la da la ecuación (4L-I7):

(c)

Emisión sstimulada

FIGURA 434 (a) En la cmisión csponüincs, sc produce r¡n fotón cr¡ando r¡n clcctrón cac do r¡¡rcstado atómico cxcitado a u¡r nivcl infcrior do cncrgía. (b) Un ritomo prrcdoabsorbcr rr¡ fotón si ln frccucncia dc ástccoincidc con la difcrcnci¡ dc cncrgíns c¡¡t¡c los dos nivclc"satónricosdo lcx valorc.s arlccrndos dc /. (c) Iln la cmisión cstimulada,cl dc¡aimicnlo a partir do un cstadocxcitado succdccon más facilidaden prcscncia dc fotoncs cn cl nismo cstado quc cl folón ouc sc crnite.

hf

'1 1

c

Los fotonesse emiten,o se irradian,cuandolos electronesde átomoso moléculas sufren una t¡ansición o paso de un nivel mayor de energfaa uno menor, como en la ftguta 43-4a. Se dice que esos fotones se entiten espontáneamente.Ya hemos mencionado qué,Iaé transicionesen las.que se emiten los fotones están sujetasa Ia ley de conservacióndel momento angulat,;! como los fotones secomportan coi,ro .. h¡vieran número cuántico de motnento angular .l' * 1, con algunos f - 2 o valores mayores, las transicionesmás frecuentesse tienen entre niveles atómicos o moleculares para los cuales l[, - [,¡ : 1.

I I

!

_-L_

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o O a o o o O a

b o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O o o o o o O o o o o o o O o o o o o o o

Para que un átorno inadie, primero debe pasarsea un nivel de energla más eie''aio, desdedondesufra una transiciónespontáneaa menoresniveles.Pata llevaflo a'-l esladomds elevado de energla,es necesatioque al electrón se le dé la energlay e. n:c¡nento angular adecuados.Una manerade hacedo es bombardeatal átomo con i::cres cuya energlaseala necesariapara la tmnsición. En estecaso,un electronatómico ::sc.-be unfotónypasaaunnivelmayordeenergla (figura43-4b).Si los electrones e:-.el nivel fundamental tienen / - 0, entonces, con mucha precisión, los únicos e-<¡cosgue se pueden alcanzatde esta forma son aquellos en los cuales los elechones :.:rsajr /= 1. Es posible alcanzatotros estadospor otros mecanismos,como colisiones con otros átomos, En estecaso,se puedellegar a estadoscon I 2r3, , , , De hecho, el descubrimientode estadoscott / > I sólo fue posible debido a que exisüela excitación con métodos distintos al de la radiación electromagrrética.¿Cómo regrcsa al estado :¿¡d¡rnenlal un electrón que se encuent¡een rn eslado an I - 2? Si existe un nivel de energíal- I i¡rüermedioent¡eloe estados(-2y elfundamentaleon 1- 0,elelectron puedepasarprimero al estadointermedio, I = 1, emitiendo un foüon,y a continuación al estado/ - 0 emitiendo un segr.rndofotón (figr.ra 43-5). Sin embargo, ¿quésucedesi no hay eslado inüetmedioa través del cual pueda pasar el elechón? Todavfa es posible un salto, acompañadocon la emisión de un foüon,pero la probabilidad de que sucedaesunas 10{ veces menor. Si el cambio de / es 3 y no2,entonces un paso acompañado de la emisión de un solo fotón es 108vecesmenosprobable.Fsasprobabilidadesse pueden comprenderimaginando que determinadoriivel excitado de energlaes como una tina llena con agua. Un gran agujero de drenado que Ia vacfe en corto tiempo conesponde a la posibilidad de transicionesen las cualesel momento angular sólo cambie en una unidad de f. I{ay dos agujerosdiminutos, de ¡irea lOay 108menor que el primero. Si el drenaje grande estrí abiedo, podemos no üeneren cuenLala salida por los agujeros pequeños, pero si se tapa el drenaje grande, que conesponde a cuando no hay transiciones Ll * I posibles, habrá una fuga a trav& del siguiente agujero menor. Se ta¡da mucho más en vaciar la tina con el agujero diminuto. En esüecaso, cuando no hay trursiciones Ll : I posibles,se dice que el nivel de energfaes metaestable, o casi estable. Los estados metaestables desempeñan un papel principal en el fu ncionamiento del.láser. Hasfa ahora hemos descrito la posibilidad de transicionesespontdn¿asen los átornos.En 1917, Albert Einstein, empleandoargumentosbasadosen la termodinámica, junto con la teorla cuántica rudimenta¡ia de la que se disponia en ese tiempo, predijo la posibilidad de transicionesestimuladas.Imaginemos que un electrón está en un eslado metaestable.Permarreceráen él durante largo tiempo (largo, a escala atóInica,normalmente son unos l0-8 s) para pasar,con emisión de un fotón único, al esfadofunda¡¡'rental.La energfa del fotón seráhf - Ei- ErsiendoE, y E¡ las energfas electrónicasinicial y final. Sin embargo,si en las cercanlasde los átomoshay fotones de frecuencia /, entonces estimularán la trarsición, que sucede con mayor rapidez cuando Bumenta el número de los fotones de estímulo, Decimos que hay emisión estimula.da(figura 43-4c). Mientras m¿isfotones extemos haya, con mayof tapidez sucederála emisión estimulada. Hay otro efecto muy importante: como son bosones, Iosfotones que se eniten por emisión estimulnda, de preferencia, estarán en el mismo estado cuántico que los fotones de est{mulo; esto es, üendránla misma cantidad de movimiento, frecuencia y fase. Se forma un estado coherente de muchos fotones, estado en el cual se tefuerzan los campos electromagnéticos asociados con los fotones. Este estado coherente es una onda o haz plano único, intensa y monocromritica. Es más, como los fotones tienen la misma cantidad de movimiento, tanto en magnirud como en dirección, el ház.eskl ext¡emadamente bien colimado. El fr.rncionamientode los láseresse funda en la existenciade esastmnsicionesestimuladas.De hecho,láser es acrónimo de "light amplificationby stimulated emission of radiation", r'amplifrcaciónde luz por emisión estimuladade radiación).

1261 43-2 Láscres¡ apllcecióo &l comportamlcnto dc agrupccfn & b@G

{ I

I Emisión ¡ owr,-aq/\¡f> i uo [m roton

Encrgía

l

I lEmisión

L0.= 2 Excitación porchoquc

iilHffivt^^: I I

-*-'**

t=o

FIGI}RA 43-5 Excltacicn y dcscxcitaciq¡ dc nivclos atómicos. Un nivcl t - 2 rc pucdc dccacr con rapidcz modiantc cmisión dc un solo fotón, al cst¡do ñmda¡nc,ntal; cs pciblo un paso a rm nivcl lntcrnrcdio, / . l, scguido por un paso al nivcl / - Q, cmiüéndoco dos fotones cn forma succsiva. En colisioncs, cs posiblo la cxcítación dirccta dcsdo cl nival f - 0ttssta cl / - 2.

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I;áscres, Espcjo pdfg0,lmqttc rcflcjnhtc

Fucntc dc ¡xrJcr

Supongamosque,!á¡embgün conjunto ¿é ¿tomo. en una cavidad, y que cadauno de ellos estáeh un estadometaestable.Hemos visto qr¡ela preqenciade muchos,fotones de energli áf'estitnulaiá üna trhnsición muy rlpiáa al estadofundamental,siendo/ la frecuencia.quecoffespondea lg transición al estadpfundamental, pero que, si rro fuera.asl, los'átomos petmanecerlanen el estadometaestabled-urante. largo tiempo. Entoñcespodemosimaginamosestá.sécuencia: despuésde largo tiempo,un átomo decaeal estadofundamental y emite un fotón de energfaft/. El fotóir'e'stáforzado a peffriqnec.eren la cavidad, mediante espejoscolócadodde tal moclo que reflejerral fotón de regresoa la cavidad (figura 43-6a). Otros átomos,en el bstadometaestable, son bstimuladospor el primer fotón, y sufren una transición un poco más rápida al estado fuhdámental, f producen más'fotones.del rirismo es.tado.Fl núme¡o cada vez creiiente de fototres "correctos", que son los que.inducen la emisión estirnulada, produce rápidamenteuna'avalanchade decaimientos.Esos fotones formalr un rayo láscr.bien colimado y cohérehte(figura 43-ób). trl rayo láser se puede emplear de diversosmodos. La descripción antbriot sólo representael tipo rnássencillo.deláser, Es posible variai los'meeahismosque intervienen parb.producir láseresde distintos tipos. Un ejemplg de meianismo dife¡ente lo tenemos en el láser de helio-neón, en el cual el materidl detrabajó es una mezcla de helio y neón, gaseosos,en un tubo (figura 43-7a), Est9 lageq muestr.aun modo de alca¡rza¡ un niyel metaestable de energfa. Los elect¡onesen el átomo de helio se elevan desdeel estadofundamental 1u - i, t : O¡, a uq paf de. estados excitados metaestables,en el cual uno de los electronesse enóuentm en un nivel f, - 2, / :0 (figura 43-%). El estado en el que los spines elechónicos son antipatalelosqueda.unos1.2 eV más arriba que aquél en el cual los s!ínes i,onlara-lelgs.EsG último eslado;a su vez, estáa unos 18.6eV arriba del estado fuidamentai. Ésas excitaciones no prieden suceder por absorción de un fotón, porque ta t'¡ansici¿n tiene Ll - O. En lüga¡ de.ello, Ia excitación se hace por "hoquo "on elechonéi libres, inducidos por urn descargaelécrica a travesdel g'as.La misma razótr

FIGURA 43-6 (a) Diagrama do ur láscr. So ticnon los cspcjos para confinar a los fotoncs y dar las condicionc,sncccsaqiaspara la c¡nisión cstimulada. @) El rayo láscr dc un láscr do kriptón.

f i"*r. 2 0 . 6 1c V

$*::r* _-\ ---t/ Colisionc"s

i a)

FIGI"R.-\ "1-1-7 (a) I-áser de helio-neón. @) Nivcles de oncrgía del helio y:neón qu@ ir.l.."icrn cn cl l-uncionamicnlo do cstc láse¡. Las flechas anch¿sgriscs foprcscntan las :z:r,s:c;.-¡r-sq're prcd:rccn Ia lrrz dcl láser; dccimos qucbsas [ansicioncs intcrviencn cn la . j -¿¡.':.-: L
7? 6 2

I , 0 =0

1b)

20,6ócV

o o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oi ol ol

I

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

¡:: ia cuai el estadono se puede excitar por absorción de un fotón, aseguraque la iesexcitación no sucederápor emisión de fotón. Cuando pasanmuchos átomos de he,;c a los estadosmetaestables,decimos que esosestadosestrinrnuy poblados. Los niveles metaestablesdel helio no son aquellos que emiten fotones, produciendo rayo láser. En lugar de ello, los átomos de helio en el estado metaÁstable choca¡rcon los átomos de neón del gas,y les transfierenla energlade la excitación del :león. El neón tiene dos niveles /: 0, aproximadamentea las mismas energlas que las de los estadosmetaestablesen el helio, de modo que la energfa se transfiere con facilidad. En la transferencia, el helio regresaa su estadofundamental, y se forma una gran población de átomos de neón en los dos niveles excitados con t 0. Esos átonrosde neón pueden decaef ahora a dos estadosinferiores con f - ll El estado superior / = 0 tiene una frecuenciabaja de transición con una longitud infrarroja de 3392 nm. También son posibles decaimientos a un nivel inferior / : r, con radiación de 633 nm de longitud de onda (roja). El nivel más inferior de los dos /: o decaea un nivel [ = l pot transición láser al infrarrojo, a una longitud de onda de I153 nm.2 Los átomosde neón siguendecayendopor emisiónespontánea, no estimulada,a un estadoexcitado [ - 0,y los electronesen esosestadosson desexcitadospor colisiones cotl otrosátonrosy cotr las paredes2 de la cavidaci.Los átonrosde neón en su eslado íundamental, entonces,vuelven a excita¡se a los esladossuperioresde / - 0 pot colisiotrescon átomos de helio en sus estadosrnetaestables. A esta reexcitación continua se le llama bonúeo óptico. Los fotones emitidos estáncontenidosdentro de ia cavidad, que con frecuencia tiene la forma de un tubo angosto,rnedianteespejosreflectoresa cada extremo del tubo. Los fotones rebotan de uno a otro lado entre los reflectores y estimulan trallsicionesde los átotnosmetaestablesen el tubo. Como los fotonestambién deben extraerseparafonnarunhaz coherente,los espejosde los extremosno son reflectores totales, Etr su lugar, uno de ellos es parcialmente transparente.La fracción de la radiaciónieflejada hacia adentrodel tubo es mayor que el 99%,y con ello, se presenta rápidamente la cascadade la radiación estimulada. Los fotones salen del tubo en forma de un rayo coherente,monocromático y bien colimado, a traves del espejo parcialmenteplateado.El estadocohetente es tan intenso, que aun cua¡rdosale bn sólo el l% de los fotones, el rayo es útil, En resumen,la fabricación de un láset necesita:

1263 43-2 Láscra, aplledóo dd comport¡mlcnto dc agmpaclóo & bo¡os

1. Un conjunto de átomos que contengaun nivel de energiametaest¿bleal cual se puedanexcita¡muchosátomos. 2. Un mecanismo para sujetar a los fotones emitidos en una cavidad que contengalos átomosexcitadospara que haya una desexciLación estimuladamasiva de los átomos excitados (una transición láser) 3. Un mecanismo pafa repoblar el nivel excitado despu& de haber sucedidola i¡ansiciónláser. {. Un modo para extraer el rayo láser coherente,lo suficientementebien para que puedaser útil. Algunos r¡sos dc los láseres )es::ibi¡nos, en el capítulo 36, cómo es que la posibilidad de medir con exactifud ;-'-:;';al,osde tiempo nos permite emplear los láserespara llevar a cabo la telemetr{a, ::e :-sla nedición de la distancia (véase figura Bl-2, en la página 1050). La gran

- i;¿^-;¡::-s:c::r-rspucdc.nocurrircnformacspontrinca,pcrotambiónpucdcnscrcstimulad¿syfornrarun :.. : ,:-icr cr.hc-:c. e¡ cuvo caso l¿s llamamos ,ra¡uicio¡ws kiser. Armque la cmisión cstimulada pucdc no scr :¡-c :¿-.:¿;:;: c-r ia miisión cspontánca,sí producc rm rayo cohcrentc. -:l ;rc]^r dt q'oc scan dcscxcitacioncs por choquc origina cl rcsultado, csperado,qw la velocidad de r.-a:r::'i::--t: r'¿::: r.:¡rción invcrsa rcsDocloal diámctro de la cavid¿d,

.. ... -. -,--"*&-¿iúti¡ü,i;5id+--

FIGLIRA 43-8 Fijacióir dc una rctina dcsprcndida por mirdio dc rayo láscr. En la actualidad es u¡r proccdimicnto médico rutin¡¡io.

intensidady la colitnación del rayo láser permite efectuarmediciones de telemetrla a grandes distarrciasitarf gtán'déb'óbhroIa de la Tiena a la Luna. Otra aplicación es la separaciónde isó{opcis,cuya importancia se describió.enel capftulo 19 (véaseel recuadro de aplicaciónesen la página'579). Esta separación, que es impottante desdeel punto de vista óoúrercial,trribajacornó-sigue:los espectros delos distintos isótoposde un elementosoir ün poco distintos, debido a las pequeñai diferencias en sus masasnuclearesy momentos magnéticos dipolares, Ambas propiedades afectan ios nivelés atólnicos de energla. Si se irradiarr átomos que sean mezcla de isótopos, con un rayo lásei sintonizado con mucha exactitud a una ftecuencia de transición de sólo uno de los isótopoS;entqnces,se excitarán únicamente los átomosde esosisótopos,Por ejemplb, un lásersintonizadoadecuadamente puede e*citar.átomosde 235U,pero no de 238U.Se aplica un segundo rayo láser con la suficiinte energfapara ionizar a los átomos de z?sUya excitados,pero no a los de 238U.Los iones cargadosde 235Use puedenseparar,mediante campos eléctricos, de los átornosno ionizados de 238U. l,os rayos láser'tienenimportancia enla holografia. La coherehciadel rayo láser es fundamental en'estaaplicación, como describimosen el capltulo 39. Los láseres también tienen aplicacionesimpodantes en medicina. Uno de sus primeros usosfue El c¡istalino del ojo enfoca un rayo láser err urra'área fijartetinas ?Jesprendidas. pequeñáde lá rbtina,qu"ese fuirde al tejido del cual se desprendió(figura 43-8). Cqmo la energla se entregaen un tiempo corto, no hay necesidadde inmovilizar al ojo. Es ménos'probableque se presénteninfecciones,qr:e con los procedimiento¡ quirurgicos. También se púedenemplearlos láserespara cauterizarheridasintemas,y detener la hemonagia.Del mismo modo, podemosmencionaila aplicaciónpotencialde los láserespata teacciones termonuclea¡escontroladas, que describiremos más en el capftulo 45. I.os tayos láser, enfocados a núcleos ligeros, pueden ser capacesde proporcionar la energla necesaria pa¡a que se fundan I' produzcan más enetgía. La figura 43-9 muestraun aparatodiseñadopara estefin. Por último, los lásetesprometen dar u¡¡ método Ce nranipulación dc sisternas mictoscópicos tan pequeñoscomo átomos individuales.r Sl 1opueCenllevar a cabo, sení,nde irnportanciaen la ingenierla cuántica (véasecapítulo -i.i).

43-3

suPERcoNDUcrrrrDAD

Pa¡cs dc Coo¡rcry

la tcoría BCS

En nuestradescripciónde los fermioñesy la energíade Fermi en los metales,no dinámicasentrelos fermiones,¿Cómo tuvimos en buentatodaslas interacciones serepelenentresl a causadesuscatgas puedeellotenetsentido,ya queloselectrones en.:.. La ruzónde que los efectosde la repulsiónno seanmuy importantes eléctribas? dos los metalesordinadostienequever con el principiode exclusión.Imaginemos electronesen estadosdiferentes,Su interacción se nranifeslarlaen algún cambio de " estado,que es el único modo en que verlamosque algo habrla sucedido.Sin embargo,i

y.aestín la gran mayoriade los electronesno puedecambiarde estados,'porque ptiniipio superiorese infetioresal'suyoprópio,y el totalmenteocupadoslos.estados de exolusiónp¡ohibemásocupación:Asl, .ladescripcióride un metalcomogasde't electroneslibres'sujetosal principio de exclusión,es mejor que lo que cabrlaes;pemr,'. l¡s interaccionessfocasionancierta modificación de las prediccionesde 1ateorfade los electones libres, y esasmodificaciones se compfenden bien. FIGLA{ {3-9 E¡r ol sistcrnaláscr O\lEG.d. i: -¡ Lriicrsidad dc Rochcstcr, sc dsA¿::: jsc¡:s d,cslc muchas dirccciones, a ;e;ñj.:-i ic ;¿::;s- q'.r: contiencn núclcc r:,tt-,;.ra:s ¡gr is: jn tcrmonuclcar.

126+

r Vease por ejcnrplo, Stoven Chl¡, :'I-asórTrapping of Ncutral Partiiles" (Captrua de partrculasncut¡alcs mcdiantc hisor), Scientifc Anerican, febrcro dc 1992, pp,70-76.

o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O o o

o o I o o o o o t o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

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--=.2 :-::-::--::.' . ::: --:---.-:-. -a-.::.::= :::::.-::.::.= = . = : : - : : . : S ; . : S:+ ::-.i L --1 l i -:3 -l l .:e .:S:--:15-j ::= ::3:.:IS ::-si -i -::. )e:::: : : : - - : : . e- i c c r : :p .e -;a s ..¿ ::.:e :a ¡:::: e :e a ' ,i ¡: i ci -ccasi cna u;:a atracci óni ebi i er^:¡e l;-:.-:s eleciro¡:escua'aseneie:asse aceiquena la energíade Fermi. l-eon Cooper :=::'::io esaar¡eccicl'i.g;e oigina ia formación de paresde electronesdebilmente :::.::ados, +le se llaman peres de Cooper. Esosparesson bsones, y la tendencia ::ec::r'a de los bosonesa congregarseen el mismo estadocuánticose lleva a cabo .ra-.i¡ei punto en el cual todoslos paresde Cooperocupanel mismo estadocuántico. l'.:a:.ic esto sucede, decimos que /os pares de Cooper sc han conde¡uado en un j j:i;r coherente.Los dos eiectronesque se apareanpuedenestarhasta a lOo nm de :.s:::cia (recuerdese que la separaciónentreionesde la red puedeser de 0.1 nm a I :.r:', ie rnanera que ios pares no forman estructuraspequeñas,semejantesa los :.:3incs.Sin embargo,los movimientos de los dos electronesdel par esláncorrelacio. :::ccs t, en detenninadaregión, hay muchos paresde Coopet cuyos "enlacesl'se e:.:¡elazan.Como los parestienen tnenoresenergfasque los electroneslibres, ya que se necesila algo de energfa pafa separaflos,se desarrolla un hueco alrededor de la eneigÍa de Fermi. No hay niveles permitidos de energfadentro de estabanda, cuyo a::cho (separaciónde energlas)es 2A - 10"3eV (figura 43-11). John Bardeen, Leon Cooper y Robert Schrieffer hicieron notar, én 1957, que, como un par de Cooper es un bosón, pofque los dos electronestienen un momento angular total de 0 o #, estospates pueden,y io harán, pasar tdos al mismo estado.a .A,su teoría se le ha llamado teorla BCS. Los pares se condensancuando la üemp€ratura cieimaterial baja de cierta temperaturacrftica [. El cambio abrupto de estadoa esa tetnperaturacrltica es análogo al cambio de fase de liquido a sólido.

: '¡;rt;.,ti.js¡ r¡i;,c-rce:c,tr óe ¡ ice um podbih¡ & ffprrccsjlr!-t,lcs Ie e-uperconduc¡iridrd a ¡hrs t€mpcrrtuns ge dsrribieron eu l¡¡ sccciones27{ y 32{. Prre¡ de Cooper

FIGUR.A 43-10 Cablc supcrcorductor; los fil¡mcntos son ol matcrial supcrconductor rc,al,[.as aplicacioncs do csos cablcs sc dcscribon cn los capitulos 2? y 32.

Nivclcs

1t,,.

oo aa ao oc

.,,,J"'"'

FIGURA 43-11 Forrnación dc la banda prohibida do cncrgia cn la t¡a¡sición dc un mctal a [, dc u¡r cstado normal a r¡no srpcrcondrrtor. I-a cscala vcrtical cski muy distorslonad¡.

t>t

Propiedades electromagnóticas

dc los su¡rcrconductof€s

La propiedad más sorprendentede los superconductoreses que, por abajo de I su ¡esistividad es cero. Este fenómeno se explica por la coherencia en estado de supercunductividad.En un metal normal, cuarrdouna corriente se i¡icia y no hay diferenciade potencial que la mantenga,los electronesse dispersanen la red y ceden su ene¡gfa.La energfaaparececomo caleniamientoóhmico, y la coniente decaecon rapidez.Sin embargo, en un superconductor,un gmn número de paresde electrones

' ): hcchc, cl ala¡e^ilnicnto sc prcscntasólo dcbido.a la prc.scnciadc otrm parcscn cl ¡nismo cstado.Esto :¡ ¿ la c;:::s:ón estimulada de fotone^s,quc se llcva a cabo cn un láscr.

s -j.:

t26 Capituio € Efcascr¡ántkoc grands sis¡cos dc fmioncs ybosoos

cn

Matcrial supcrconductor ¡IGURA 43-12 Lírnas dc campo mngnitico cxpulsadas¡rcr un urillo dc un nratcrial qw cfcctúa rnla Iransición al cstado sulucondr¡ctor, crnndo la tcrn[rcratr¡rabaja rlc la critica, [. El flrrjo qrrc
de los Las propicdadesmegnéticas sup€rconductoressedescribieronen el capitulo 32 por primera vez.

IT

se muevenjuntos en forma coordinada.Paraque pierdaenergíaei superconductor, habr{a que rontpcr la totalidad del cstado coherc¡itc,lo cual necesitariaque se una gran cantidadde energla.Los mecanisrnosde suministraraen forma instantánea no la resistenciacléctricaordinaria puedenentraren juego si hay que desacelerat, todos al nisno tiempo, a un liú¡nero macroscópicodc pares electrón-electrón, Una analogíaes la diferenciaentie impuisarla mano por agualíquida digamos 1022, (un metal "normal"), e impulsarlacontm un car¿imbano de hielo (un "supercondt¡cde perder sólo una Pocade energla:puc(le fáciles tor"). En el primer caso,liay modos pequeños. En el segundocaso,sólo puede y arbitrariamente forma¡ ondas remolinos vez, toda a romPe la si el carámbano de energía, gran cantidad perderuna que puede penetrar campo magnético es no Meissner, efecto propied ad, el Otra alguno a un supeiconductor,y que un carnpo masnético que ya ésté pfesentese expulsa cuando el metal se enfría a menos que f. (figura 43-12). La incapacidadde estableceruncampomagnéticodentrode un superconductortambiénes collsecuencia Si trataraustedde aumentarun campo de la coherenciadel estadosuperconductor. io que haría, según la ley de Faraday.;serla magnético defltro de un supetconductor, Se induciria una corriente que se cipondtíaal inducir una fem dentio del material. todos pares como los de Cooper actúan al mismo Pero cambio de flujo magnético. puedegenerarunacorriente de flujo magrrético rnás diminuto tiempo, hastael cambio para por completo anular el campo inductor. grande cotno suficientemente Cuantización

del flujo

Supongamosque colocamosun anillo de material superconductorque estéarriba de su temperaturacrltica, dentro de un campo magnético. El anillo queda en un plano perpendiculara la dirección del campo. A continuación bajamos la temperaturadel material,por abajo de T,pataque se vuelva superconductor.Como los superconductores expulsan los campos magnéticos) no Pasaránlíneas de campo a través del m¿ttetial.Todas las lfneas estaránya sea fuera del anillo, o dentro de su agujero. Se puede emplear la teorla BCS para demosttar que la coherencia del estado superconductorimplica queelflujo magnótico a travésdel anillo está cuant¡zadoen unidades de hl2e: C u anti zac ión de l f l u j o

,Oo:' * :

r¡d)0,donden : O, 1,2,

(43-12)

o,y suvalores2.07x 10-15Wb = 2.07 La cantidadQsesei cuántumdeJtuio magnétic x 10-15 aquíesla deun pardeCoopet.La predicción T . m2.La carga ,2:e,que'aparee

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o O o o o o o o o o o o o o o o o' o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

ieque el flujo está cuantizadose ha comprobado sin lugat a dudasmediante experii::en:os.La explicación de la cuantizacióndel flujo necesitade todo el aparatode la necá¡.iicacuántica.

43-3 Supcrcond¡cffi

4 3 - 4 U n a u n i d a d d e fl uj omagnéti co,ó6,seconfi nadentrode E J E M P Lo un cilind¡o de alambrede cobre,de 1.3 x 10-5m de di¡imetro.¿Cuáles la magnitud del campo magnético en el alambre, suponiendo que seauniforme a todo lo largo del mismo? SoLUCIoN;i.,aunidad de flujo es Qo=2.07 x 10-15T . m2. Si el campomagnético es unifome dentro del alambre de radio R, su magnifud es!á expresadapor

oo= 2 .0 l x l 0 -1 5 T .m2 ^B: nR" z (0 .6 5 x l 0 -5 m)2 :1.6 x l0-sT. Este tesultado es menor, en un factor de 6, que el campo magnético terrestre,y, por consiguiente,se puedemedir muy bien.

Filtración cuántica de pates y los efectosJosephson La filtración cuántica, o tunelización, que esbudiamosen los capftulos 7 y 41, se pueden presentar a través de uniones o empalmes entre metales normales, entre y entresuperconductores. En estecaso,"unión" metalesnotmalesy superconductores quiere decir una banda aisladoramuy delgada entre dos piezas de metal. La banda aisladorase forrna con un material que se pueda evaporar,pata depositarseen capas delgadas,La posibilidad de crear pellculas extremadamentedelgadasy uniformes, como una banda aisladora, es uno de los principales avancestecnológicos de los últirnos tiempos. Si la banda es gruesa,no puedepasarcorriente entre los metales.Si es 1osuficientementedelgada,de 10 a 20 nm, un electtón puede filtrarse a través de ella,de un metal al otto. Supongamoslos dos metales,que seanel I y el 2, con energfas de Fermi Eny Em,respectivamente,siendoEm, En (figura 43-l3a). Si los metales se unen en un empalme, los electronesde los niveles llenos de energfa,que estén inmediatamenteabajo de E¡¿ del metal 2, puedenfiltrarse a niveles vacíosde enetgía en el rnetal I (figura 43-l3b). Pasa¡áuna coffiente,aull en ausenciade un potencial eléctrico,Sin embargo, si los dos metalesson idénticos,no habrá corriente a menos

(b)

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o o o o o o o

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\':¡::.:.

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FIGURA 43-f 3 (a)Dosmctalescondisti¡toenivelcsdc cncrgiadc Fcrrni.(b) [,os mctalcssc uncncon unabandaaisladoracnt¡c cllos. Aun cn auscnciatlc u¡¡ potcrrcialolcctricocxtomo,pasaeorricntcdol mct¡l 2 al mct¡l l, crundolos ctectronps sc flttranpor la bandanlslndora.

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lk + I !'r oánilcos "-:m d c f m l on e s G t r(: ! re J|m

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,,L,'| | I-IGURÁ 43-14 Cuando sc aplica r¡n ¡ntcncial clcctrico quc hacc bajar los nivclcs dcl lado tlcrccho,cn conrparación dc ltx dcl lado iz4rrierdo, pa-sauna corricntc de filtración cruintica, o tuneliz¡ción,a travósdc la bandanisladora. F.nestc caso, los mctalc^scn arnboslados de la band¡ son igualcs.

I

Nivelcs JIcncs

Nivclas llonos

l__

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l \{i s¡no¡rri tl c¡i trl

l I/" ^,.E stc potenci rl hnrfa bnj ar l a cnergÍr de q u e s e i m p o n g au n p o te n c i a exten)o, F e rmi e n u i i l a d o d e l a b a n d a ai sl adora,o l a el evarÍadel otro l ado, de modc que de nuevo seriaposiblela filtración cuántíca(figura 43-14). Supongamosahoraque tenenrosuna unión entreun lnotal erl su estadonomtal y (fi gura43-1-5a), y qri ecíl dapi ezacl cl l ctal ti cl rel a u n o e rrs u e s tn (l os rr¡> c rc o n cl rrctoi extemo,nc prs:,i í.lel l ectrones. mi s ma e n e rg índ e F e rm i .Si n o ha¡' potetrci cl S uporrg a mo s q u e s e a p l i c a u n p o tenci alextenl o, I/" ,,,q,.rcbrj a i a cncrgíade Fenni dcl s u p e rc o n d \l c toP r.a s a rái l n a c crri cntecl l t¡e l os nretaj esnci l nal cs,pero, debi ci oa l a b a n d a ,o h u e c o ,d e e n e rg Íae n el supcrcol rductor, cl potcnci alextemo cl eberebas¡r ¡l i vcl csveci csl -¡r13 ocupnrsccol rc' l ect¡ou n v a l o rtn ftti tn oa tt' ,e<s i cte n erdi sporti bl cs nesfiltrados(figura43- 15b).Es',evrlc:-n::nitnoesc t'-.i-= J, v, r'afialrdoel poteticial externoy observandola iniciacióndc la iiitración, es posiblemedir el tamahode la b a n d a ,L a fi g u ra ,1 3 -1 -5mu c esti al r i el aci ór el i :c coi i i r.ni ci ' potenci alur estecaso.

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1269 43-3 Supercond¡¡ctiv&r-á

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corricnrc desarida

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fifCURA 43-16 La corricntc quc pas¿¡por uIl pa¡ dc cmpalmcs dc Joscphson, cnccrra¡xlo a rn flujo rnngnótico,varía cn fiurción
Band¿aisladora

Vealrlos ahoracl casode dos supercolrductoresscparadospor uua bandaaislante delgada, Io cual sc conoce cotno unión de,Joscphsol, o empalfie de Josephson. Prilnero podría aparecerpoca corriente a través de la barrera. Si la probabilidad de filtración de un solo electrón es muy pequeña,entonces,debido a que la probabilidad de que dos electrones independientes se filtren es el ptoducto de las probabilidades de tunelización de los electronesindividuales, habría poca filtración de un par de electrones.En 1962,Brian Josephson,que por aquel entoncestodavíaera estudiante,notó que si la barrera tiene menos de I nm de espesor,los dos superconductoresforman un sistemacuánticoúnico y coherente.Como resuitadode ello, lo que se fiitra a través de la barrera no son dos electrones individuales, sino un par de electrones,como unidad. Esto tiene dos consecuenciqs,ninguna de las cuales comprobaremosaquf: primera, a wt en ausenciade una diferencia de potencial entre dos superconductores idéttticos,pasará una corriente dc tunelización a través de un entpalmede Josephson, A esto se le llama efecto Joscplwon de CD. Segunda,cuando hay una diferencia constante de potencial, V, a través de la barrera entre dos superconductorés,la corriente que pasa entre ellos oscila,con unafrecuencia angular

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Y.

( 43- r 3)

A este fenómeno se le llama efectoJoscphson de C/. Corno se pueden medir con gran precisión las frecuencias,el efecto JosephsonCA es el medio más exacto para que físicos e ingenierospuedannonnalizar mediciones de voltaje. En fonna equivalente,petmite la medición más precisaposible de la reiación fundamenlal ¿/ú. Nóteseque la ecuación(43-13)se puedeaffeglarcomo lut¡: (2e)V,obien,como h: hl2tt y a* Zrcf, enlaforma hf = (ze)V. El lado izquierdo da la energla de un fotón de frecuencia;f,mientras que el derechoes el trabajo efectuadoparahacerpasar a un par de Cooper a través del potencial Z. Veamos el caso de dos ernpalmesde JosephsonconecLadosen paralelo (figura 43-16). Al igual que la figura de interferenciaproducida por un electrón que pasa a travésde una doble rendija, apareceuna figuta de interferenciaen la corriente neta. La figura o bietr, en este caso, el patrón de interferencia es afectado por un flujo magnéticoencerrado por los dos brazos del par de uniones. El flujo desempeñael mismo papel etr el caso de las uniones de Josephsonque la separaciónde la rendija en la i¡terferencia de la luz (experimento de Ia doble rendija), La dependenciade la coniente respr:ctoal flujo magnético encerrado,Q¿, estáexpresadapor

J = J,n¡o.", (U,io)

(4 3 -r4 )

Estefenómeno nos pennite medir óon precisión el flujo lnagnético.El SQUID t.S tp er c o ndu c tor Q Ua ntunr I nterfer cnce D evicé, aparatosuperconductorde interferercia cuántica), que se basa en el fenórneno -descritoarriba, se usa mucho e¡r ;:..iicionesde gran precisiónde flujos rnagtréticos muy ditninutos(figura 43-17).Sehalt :::dido carnposmagnéticoshastade l0-13T: Con los SQUID, un fenómeno mecánico

FIGURA 43-17 ElstcSQUID (Superconducting Q Uantum In terfe rence /)evice,rlis¡nsitivosu¡rcrcorxhrclor clc inlcrfcrcnci¡rcr¡¿inticn), fnlrricndoc
**¡¡l¡iüii¡i¡Éi-i

' 1 2 -0 Capitulo*-1 Efectm sántlcc sk:ru dc fc¡mioncr Stzodcr ybo.on
m

cuánticoselectoha llegadoa ser una herramientatecnológicade mucha aplicrrciór: en calnpostalescomo el de diagnósticor-rtédico, en los cualesse generalrvariaciones diminutasen las corrienteseléctricasgeneraclas por el corazóno el cerebro,que se puedenmedir a travésde los camposmagnéticosque producen.

+5-4

Superfluidez

FIGURA 43-18 Efcctodc strtidor dcl hclio supcrfluido,ql¡csc comporlscomosi no tuvicraviscosidad. ,-ti

SUPERFL

hay otro fenómenode importanciatccnológicaa Además de la supetconductividad, que irnplicala condelrsaciótr dr bosoilcscrl u11estaciornacroscóbajastemperaturas, oFIe,cuyo por dos protones pico coherente.Los átomosde helio, rrúcleoestáfonr.¡aclo y dos neutrones,sorl bosones;su núcleo tienc rnorncutc'angular cero, y ios dos electfonesde los átomostietlenun tllomentoangi¡laÍque es inúitiplo enterode /¡. El p€ro, a diferc'nciacieotros líquidos,no helio forma un llquido a bajastemperafuras, se solidifica cuando la temperaturabaja todar'íanrás, a rnenosque se comptilna, a más de 25 attn.A ia tetnperaturade 2.17 K, conrienzaun can'rbio simulfáneamente, cle estado,Al bajar ia temperaturade ese punto, una fracción ci¡¡icnte Ccl heiio lfquido fluye como si no tuviera fricción intenrr, o viscosiCad..A.estapropiedadse le llama superfluidez. El helio superfluidopuedepasariibrementea trar'ésde los c a n a l e smá s a n g o s to s.A sci endepor l os l ados de un \' íl sc Je :::ci pi :l dos que l o conüenga,y pasaal exterior (f igura 43- 18).Se puedeernplea;p¡.;acc:stru ir la máquina termica más cercanaa la perfección (sil fricción), q:te co:rvie:-,aene¡Eia'.émlice¡ energfacinéticasirrpartesen movirniento,exceptoel helio liqr:iCo¡nistlo. Por últitno, y lo que tienemás irnportanciatecnológica,ya gue uti n.iele¡ialsl:pt:riii:iio oueclecor¡er perfectoCecalor. como si no hubieÉ fricción intema,hacelas vecesCerin conC'.rcio¡ ol {e pei :::i teerp' c3r esa s seanboso:rL-s,:l os E l h e c h o d e q u e l os átomosde bajas,los iiio;:tosciei.el;c se. -ai)sie?an suficientelnente ptopiedades.A temperaturas :i3 ai s,slcila, se en el mismo estadofundamental,coherente.CuanCose ag:eg¡ e;.¡ef producen excitaciones,procesoanálogo al del t¡ovir:ric:ilc Ce ios e.r'clrciri'sque F,lr;itor¡os pasandel esiadofundanrentnlal tr:ritucrestndorotlto¡io clr l¡isr;rci.ici¡lrrs. y mo l é c trl a s l,o s n i vel es son di scrctos,y se necL' si i i ' ,:::l :l ::::::' ..'.,' i ' i :,' i :-,.ri ri í: lÍouic!o,¡:cro in producir unfi excitaciód.Lo tnist¡'rosuceclcen cl siste:r:eil.:l l:.:1j.,, separaciónentre los niveles de ctrerglaes, en ese caso,d:in;::'-:'.:.IJll especir,l,ias son ondasde cotnpresión,o sonoras.Esasorj¡s son dell:iismo excitacionesmfnimas tipo que las que fonnán las ondassonorasen los sóii¡lcs.Se nccesi:aagregaimuy S i n embareo,l a energia p o c a e n e rg l oa l s i s te mapara produci r esasexci taci o¡res. de la excitaciónno 1oes todo, Aun cuandolas onias sclloiasson las excitacionesde clasede excitaciones energlatnfnima, es diffóil excitarlasen forma nrecánica,r' -'s:^ esto es, tic :.'c:ucen fricción interna, no es útil pará transporfarenerglan-recánica; Paracomptenderel sigtrificadode estaobsen'ación,\'earrosel procesomedianteei cual se produce la fticción. una esler¿ide n'iasail a irar'ésde helio líquido.Si Supongamosque arrastratnos la esfera cede algo de energíay cantidad de tnovinriento al líqrrido,creará una excitación, Esas excitacionesson estadosmecánico cuátrticosciiscretosque correspondenal movi¡nientodel sistetnacompletode helio iÍquido, y tienetruna cantidad de movimiento y una energiadefinidas, p y E, respectivamente.La consetvaciónde, la cantidad de movimiento estableceque Mv¡= P + MYh en la cual v¡ es la velocidadinicial de la esfefa,/ y¡es la velocidaddespuésde haber cedido algo de su energia.Etrtonces,vr - vi - Ql f4 lguafunente,la conservaciónde la enetgíase puede escribir

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o O o o o o o o o o o o a O o o o I

o o o o o o o o o O o o a o o o O o o o o o I o o o o O o o o o o o o o o a I O t

o a o o o

7271

S::sliiuirnos a vr en la ecuación de conservación de la energla:

'Rcs|mcn

r,: - ( 2 v ,n r* ' - ) \¿ r,t : E +\( z\ tur/ S: e.::¡inamos el último ténnino de la derechaporser M grutde (macroscópico), :.trcei1osdespejara E: E = vi'p.

(43-15)

Sie::ipre que se pueda satisfacer esta ecuación, será posible que la esfera pierda e;:erg:aprovocando excitacionesen el líquido, y, por consigr.riente, habráresistencia al:rovimiento de la esfera. \;eatnossi es posibleexcitar ondassotrorasdc esternodo.Paraellas,la relación etrtrecncrgfay catrtidaddc tlrovirlrierltoes E-r" p , en la cual, u" es constarrte, la velocidadde la onda sonora.Así, cunndo¡/¡< u*,tro se puedesatisfacerln ecuación (43-.l5), y rtolny modo de que la esferapicrda energla. vinja colno si el lfquido tro ejercicrafricción sobre ella; esto cs, En cotrsecucncia, cotnosi llo hubicra viscosidad.A la tnistnaconclusiónse puedellcgaren utl tnarco de refcrenciaell el cual la esferaestéen reposoy el liquido fluya a su alrededor,Por consiguiente, el aHe superfluidose lnuevesin viscosidad, El trepar del helio lfquido por los lados de url vaso se puede cornprenderen términosde ausenciade viscosidad,junto con el hecho de que las fuerzasde van der Waals entre los átomos veciuos de helio, y entre los átomos de heiio y los de las paredesdel vaso son mayores que la fuerza de gravedad sobre un átomo de helio. Esasfuerzas,entonces,tiran de los átomos de helio hacia arriba, en contra de la gravedad.Las extrañaspropiedadesdel aHe líquido son otra demostración,a gran escala,de los efectoscuánticos. La importanciatecnológicade estaspropiedadesse liga tnuchocon la importancia de la superconductividad.Los sistemassuperconductñres, como los grandes conjuntosde imanessuperconductores que se empleanen los aceleradores de partfculas,sc deben mantenera telnperaturasrnenoresque su temperaturacrítica, Los útricossuperconductoresprácticos que se pueden usar para esos conjuntos,son aquellosparalos cualesel helio liquido estésuficienteme¡rle frío parafuncionarccrno un enfriador.En estecaso,el hecho de que el {He líquictoseaun conductorde calor casiperfecto,-ya que su coeficientede conductividadténnica es cientosde miles de vecesmayor que el del cobre-, es de importanciacrítica.Todo el conjunto de funanes, los cuales,en el aceleradorFennilab forman un anillo de 6 km de desarrollo, conectadode helio, y no se pueden sepuedeenfriarmedianteun sistemaenteramente formar "puntos calietrtes".En especial,tro puede presentarseebullición en lugar alguno,y eistoda un seguroesencialpara que ninguna de las bobinasde los imanes secalientemás allá de-sutetnperaturacrítica,

RESUMEI{ En grandessistemas,para los cuales la mecánica cuántica gobienra la dinámica, el principio de exclusiótr de Pauli desempeñaun papel crucial si el sistema está compuestopor fermiones.Este principio estableceque sólo un fermión, paranuestros :1nes,una partícula con spin ftl2, de determinado tipo, puede ocupar determinado estado,como por ejernploun nivel de energfa.En los metales,estoquieredecir que .osnivelesde energíamuy próximosse llenancon electrones,hastallegaral nivel de Fenni, E¡. La energíade Fermi de los electroneses Er . . : ; ¿tlIt,

\ - \ n- n ( , ) - ''

( 43- s)

1272 C:pitulo grand< ybcooe

cn 43 Efcctc orÁntkü slstro dc fcrmloncs

en la cual, nc es la densidadnulrérica de electrcncsen el metal. Só1olos electrones cercanosa la parte superior de los nivelbs llenos to¡nanparte en procesosdinálnicos, como el flujo de corrielrte. El prirrcipiode exclusiónes responsabled'ela incotnpresibilidadde 1amateria. En la materia ordinaria,la incompresibilidadse puede esiimar,con una precisión dentro de un factor de 2, suponiendo que los electrorresen ella están libres. El principio de exciusiólrevita que las estrellas,qlre no scanmuy tnasivas,se colapsen o aplastenbajo la atracción gtavitacional mutua entre sus componentes. Un sistema compuesto por bosones, -que son partículas cuyos spines son al{e-, manifiestaefectosnlecárrico múltiplos enterosde lt, como fotonesy átotnosde cuánticosbastantedistintosde los de los sistemasfenniótricos.Los bosonesidénticos tienen una gran probabilidnd de agregarseeir el nrisrno estado cuántico. Colno consecuenciade ello, puedehaber emisión estirnuladacleradiación(fotones)para llegar a estadosya ocupadospor otros fotones.El funcionatnientodel láserse basa bosónicasde los fototres.Parafal¡ricar en la emisiórlestimuladay en las propiedacles un lnodo de poblarun nivel excitadode energíaen un conjunto un láserlnecesitamos de átomos;un modo de aculnularmuchos fotones de la energÍa"adecuada"para tnasivapartienclodel rlivel excitado,y un nrodo provocaruna transiciónestinu.¡lada de exttaerel rayo lásercohcretrtefonnado por la enrisiónestit¡n:lada Los fermionesse puedenaparearpara forn,ar bosolres,y estosparesenlazados tiendena congregarsee¡r el tnistno estadocuántico.Es el mecanistnoen el cuai se cuaudoulra serie de basa la superconductividad.Se forman los supercotrductores que se llaman peresde Ccopcr, ocupaltun estadocuántico pareselectrón-electrón, únicó y coherentea bajastemperaturas.Los parescieCooper se puecienfiltrar, y este fenómenoha permitidoaumentarnuestracapacidadcieobservarcamposmagnéticos aHe muy pequeños.La superfluidez,caracterizaCapcr flujo sin viscosidadd¿l de la tendenciade los bosotresa condensuperfluido,esotro fenónretrocotrsecuencia a ba-ias ielnpelattlfas. cuáirtico, estado sarseen el mismo

PREGUNTAS amboselectronesestánen el mismo estado,¿cótnose evitael 1. ¿Cómocambiarfael comportamientode los electronese¡rlos p r i n c i p i od e e x c l u s i ó nd e P a u l i ? de Pauli? materialessi no seaplicarael principiode exclusión 9. Supongaque se pudicrafabricarun cristalcon los átonrosde 2. La mayorpartede los cuerposcelestesgirany tienencierto los gasesincrtes, por ejemplo, a muy bajas tenrperlturas.Ese creenquelospulsaresson momentoangular.Los astroflsicos cristal,¿tendríalas caracterfsticas de un metal? periodos tan giro, con algunos estrellasde neutronesenrápido girar rápido podrfa tan cómo s. Explique cortos como 0.005 10.L,osspines de los dos electronesdel estaclofundanlental del uno de esosobjetospequeños,peromasivos. helio pueden ser paralóloso antiparalelos.El princpio de perc exclusiónde Paulíno se aplicaa los spinesantiparalelos, 3. ¿Quépapel desempeñael hechode que los fotonestiendana en et mismoestadocuántico,ennuestradescriplos electronescon spitresparalelosse deben evitar entre si. congregarse ción de los láseres? ¿Esperausted que los dos arreglos posibles de spin tengan la energfa?Si ¡¡o cs asf, ¿cuálertcrgfaserlala nrcnor? misma comPuestos qulmicas pucden formar sc 4. En las reacciones qufmicos'en estadosexcitadosmetaestables, ¿Es éste un 11. ¿Córnopuede decir usted si los electronesen galaxirs ;tru¡' distantesobedecenal principio de exclusiónde Pauli? método adecuadopara llegar a las condicionesnecesarias parala acciónláser?

12. De acuerdocon nucstradescripciónde la evcluc;cn esie:rr,

5. I-a temperaturade Fermi, [, se definecomo E¡ - /cT¡,¿Qt¡ó qrie.lúPi¡¿;s5ri¡ ¿porqué Júpiterno es una estrclla?Su1>onga significa que Ioen determinadomaterialseamuchomayor,o conjuntode átomosde hidrógenourudosp:r ia er:r'eda.d. del material? muchomenor,quela temperatura 13.Un electrónque pasr por r:nrlse¡;e¡1epici.l:';3sei u:r :1.-.snase de r¡na estrella que se pasos evolución de la 6. Describa los desacclera¡ror coli¡iones,1' qued: caDtJi-dJien ';:n¡ ó:bila con traruformaen un agujeronegro' un númerocuánticopnn;ipal grcJe, ;:.-'' .:l:'¡-o ::l ;:ctón y también 7. Un láse¡de He-Neemiteluz queno es coherente, al¡ededo¡Cél cual s3 n1u¿\'3.DaCo q':: las i¡ansicionesde : *^ . 1 : ^ ^ ; . : .^. .^ - ^ - ; - ^ : ^ ^ . . , - . ¡ : . 1i::¡. : : . . . , s - ; i : ; , : s : l ; : . ¡ s l / luz láse¡coherente. ¿Porqué? = *1 : t p m i n : ¡ : r ¡ ' . . 1 >. ^ t : óein: e , g s : : : : : ; l j a ¡ - . e ; . l : a la i ¡ a vé S E. Un electrónen la Luna y r¡no en la Tiena tienenambosspin de una transició;1. o: irar'ésc¿ r-¡.ase:ie de:iarsiciones? del hidrógeno.Como arriba1'estánen el estadofundamental ¡l ¡

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o I o o o o o o O a o o o o o o o O o o o o o o o o o o o o o a a o o o o O

o o o o c o o o

o a I o o o o o o a o o a o a t o o o O o a o o o o o o o o o o

O

o o o a a o o a a o a o o

1.1.El frlamento de un foco de luz tiene muchos átomos que se excilan térmica¡nerrte,pasando a los lnismos cstaclosexcitados. ¿Por qué el foco no funciona como láser?

15. ¿Qué dificultades podrla usted encontrar al tratar de fabricar un láserde rayos X?

16. Con el argumento del por qué el flujo de helio superconductor alrededorde un obstáculoes no viscoso cuandose lleva a cabo a velocidad menor que la del sonido, explique por qué las ondaselectrónicasse propagansin pérdida de energlaa través

'

de una red cristalina rfgida a T = 0. ¿Por qrré los electrorres experirncntanresistenciaa temperaturasfinitas?

17. En nuestradescripción de la incompresiLili¿adde la mate¡ia ordinaria, hablamos de los metales, y no de una clase más general de sólidos. Nuestra descripción, ¿seaplica a los aisladores?Véase,en el capftulo 27, la diferencia entre coniuctores y aisladores.

PROBLEMAS 43-l

El princípio de exclusión en metalesy estrcllas 1. (I) ¿Cuáles el valor de la energÍade Fernridel berilio,que tienedoselectrones de valenciapor átomo?El pesoatómico en g¡amosdel be¡ilioes 9.01g/mol,y su densidad es 1.85 g/crnr. Z, (I) Calculela temperatura de Femli (vóasepregunta 5) del cobre,parael cualla energlade Femlies7.1eV. 3. (I) Calculelas energfas de Fermidel sodio(n, = LfJ x ¡9:e m-3),potasio(n, = 1.40x 1028 m-r),y aluminio(n. = 18.1x 1028m-3). Todos esosmetalestienenun sólo elect¡ónde valenciapor átomo. 4. (I) Calculelos módulosde volurnen,8, del sodio,potasioy aluminio,co¡rlos datosdel problema3. Los valoresexperimentalesde I para esosmaterialesson 0.ó4,0.28 S'7.6, respectivamente, en unidadesde 10t0N/m2. 5. (I) El sodio,queesun metalconun electrónlibre por átomo, tiene un peso alómico en gramosigual a 23/mol, y una densidadde0.97g/crn3.¿Cuálesla densidaddeloselectrones en el sodio? 6. (I) La densidadde los electrones en el cobrees 8.47 x 10:¡ electrones/mr. Calculeel módulo de volumendel cobre.El valor experimental es 13.4x 1010N/m2. 7. (I) ¿Quévaloresde n, (= nz = n) dan como resultadouna energlacercanaa I cV paraun electrónen una cajacúbica cuyosladostenganexactame¡rte 100nnr?¿Cuálesla energía ¡eal de esteestado?¿Cuáles la encrgfareal del estadoen el cualn, y n, no cambien,pero¿r aumenteen 1? enun metal,E .,puede 8. (I) La energfadeFermideloselectrones paradefinir la cantidadde movimientode Fermi,pr, emplearse medianteEr - pí12^. Expresela cantidadde movimientode calculela veloFermi en términosdL n". Con susresultados cidadde Fermi, ur, que es la de un electróncon energlade Fermi. deun electrónconla energfadeFermi 9. (I) ¿Cuálesla.velocidad electrones/m3? en el sodio,dadoquen, - 2.65x 1028 10. 0I) Cuandola velocidadde Fenni es 0.25c, siendo c la velocidadde la luz, es más adecuadoemplearuna relación relativistaentre tr ! pr, e\ lugar de la no relativistaque en el problema8.Estimeel valorden. paraei cual empleamos esnecesaria la relaciónrelativista. 11. {ü) Treselectrones estánen un pozode potencialunidimensicnal,i¡Íinitamenteprofundo,de diámetroI. (a) ¿Cuálesel laicr mÍni¡no posiblede la energfapara estesistema?(b)

En ambaspanel ¿Cuálesel siguientevalormayordela energfa? notengaencuentainteracciones deCoulombentreloselectro¡res 12. 0I) Se tienenN fennionesidénticos,no interactuantes, de masazr,enun pozodeenergfa unidimensional, infinitamen¡ profundo,dc diánlctroL. Suponga queN>>1.Calculc(a) l¡ cnergfade Fcmri, y (b) la energlatotal de estesistemaCc partfculasen su estadode energfamjnima. (c) ¿Cuáles la cantidadmfnimade energfaque puedeabsorberel sisten'la Estoes,¿cuálesla energfarnlnimade excitacióndel sistena, en su estadofundamental? y p¡oio13. (ID Supongaqueel núcleosecomponede neutrones neslibres.¿Cuáles la ecuación,análogaa la (43-1),parael casode un núcleo?Supongaqueel núcleoesunacajacúbic.a con ladosl. I estal queel volumende la cajaes igualal de unaesferaderadioR - ro4rl3, siendo.4el númerototaldeneux 10-15 = tronesy protones, ro 1.2 m. ! 11. 0D Calculela energfadeFenniparalosneutrones confrnadcs en el núcleosFe, queformaaproximadamente unaesferade 4.6 x lO-rsm. Hay 30 neutrones en el núcleosóFe.

15. 0i) Demuestreque la resistividadseráindependiente de la temp€ratura en la descripción cuánticademateriales conductores,cuandolas ternperáturas'dean /nuchomenoresque la tenrperatura de Fermi(véasepregunta5).

t6. 0l) La defirrició¡i gencralclcla preslóhón un gascuyaenerg;a inténraes tJ,esp: -(dqdn; siendóZel volumendel gas. Estoesconsecuencia de la primeralgy de la termodinámica y del hechode queel trabajoinfinitesimalefectuadocuanCo un sistemacambiasu volumendV, és dW - pdV, Dado u hechode queparaun gasde fermionesidénticosen T- 0, Lt =i NEo,demuest¡e quecuandoT - O,p ^;UlV parael gasde fermiones.Esteresultadoes igual al que obtuvimosen el capftulo19,al estudiarel origenatómicode la presión.En ese caso,el resultadono dependfade la distribuciónprecisa,de modo que no es de sorprenderque lo volvamosa encontrai aquf. 17. (II) Con el resultadodel problema16, (a) calculela presión de un gas ideal de N fermionesidénticoscuandoT - 0, en términosdel volumen,y (b) calculela presióndel gasdegeneradode electrones cuando? = 0 en unamuestrade cobre. La densidadde los electrones libresen el cobrees 8.5 x lF electrones/cm3.

de los 18. (II) Calculela relaciónde la presiónde degeneración pa¡aunaestrellacomonuestro electrones a la delosprotones, So1.Supongaquela estrellaeseléctricamente neutra.

1273

19. (II) Supongaqueloselectrones estánconfinadosen un plano, d\¡ del ¡reón.'Calculela longitud de onda y frccue:iciari,:l por unidadde área.SigaIos conunedensidadden, electrones fotón cnritido. pasosque condujerona la ecuación(43-5)paracalcularla 26. (I) Un ldscrlle-Ne cl¡ite racliacióncon una potenciade 1/i00 energíade Fermi de esesistema. W a una longituclde ollda de 632.8 nm. ¿,Cuántos fotones 20. (ID Un núcleode plomo estáformadopor 82 protonesy 126 emitc ¡;or segunclo? neutrones enunaesferade 7 x l0-ts m de radio,Supongaque ) 1 (I) IJn lásetenritc racljacióna una longituddc ondade 660 nm, ningunade las partlcutas interacciona con otra,Calculel:ls Se cnliten foto¡lcscoll una írecucilcilrtle 1.5 x l0li s'), ¿Cu:il energfas de Fermi de los protonesy los neutrones. es la ¡>otcncia del ldscr? 21. (II) (a) Calculeel radiode una estrellade neutrones, comoel 2tl, (II) Se tienen N bosonesicléliticosdc masa //r y uir pozo pulsardel Cangrejode la figura 43-19,como funciónde su uniclintensionel dc cnergí1,infinitanlentehondo, clcradio l. masa.(b) Calculela energfade Fermiy la cantidadde movi(a) ¿Cuá1es la encrgíaiotal de cste sistentade ¡rartícuiasen mientode Fermi de unaestrellade neutrones, en ténninosdc su cslaclo
Ci f raccjóii; esi .s. Irrrii spcrsiór, r.tigrrlnr AOcs, crrrrrclo nlenos, -r It : i. , D, sic;-.tio D e; ciiál¡etrorle la aberturadel láser.¿Cuál e s e i i i á n r c l ¡ o c - . - ¿ ; : : : : t - - i t ec l c lr a y o p r o y c c t a d óa u n a p a r cd a I k : t : d : . ; : :l : i s . - : :. - . . : t : '- : ¡ i - i u r ¡e.s 0 . 3 5 c l l , q l ¡ ee n l i t el u z de 6 7 5 n n r i c l : : : - : : ; l - : :i ¿ . : : t C a ?

?n

( I i ) L r r . r r 'c: : : j : : ; - - : : : . . . :lr. : z c l ¡ 5 - 5 0n m d c l o n g i t u c lc l eo n da a u n a l n i e : : - s : ¡ . ::i. - <; <^ , l r ai o i o r r e s i s(.a ) ¿ C u á 1 e sl a p o t e n c i e del ijsr:l : 1 . . . . : 's : : : : . s : r ; r C c .r a d i r c i ó n q u c e j e r c eel r a ¡ o s o 5 : e - : . : s - ; : : - . 1. - . - 'i : s l r c s : , s i 1 ; r o ¡ , e c tuan c l r c u l o d e 2.2 nrr, Ce i::::'.."::'

31. ( I I I ) E n 1 9 1 - . l . : : s : . - . : '.: : - '- r r : , : . iu n t r r b l j o q r r e d e s c r i b eel FIGURA 43-19 Problcma21.

22, (Ill) Un cálculoadecuadode la energfade Fermien unacaja cúbicade ladosL equivalea contarel númerode electroncs que llenantodoslos estadoshastael de energlaEn.Hay dos estadosparacadaconjuntode ente¡ospositivos,{n¡,n2,ntl, quesatisfacen la condiciú¡, ilí + ní * ni -2Qn,ErL2ln2ltl) "aproximaciónde.continuo"al problemadc ¡P. En una contarcl númerode cstados,adccuaflaparavalorcsgrandes de nr, n"y nt, el númerode estadoses el dobledel volumen de un octante(la octavapafe) de unaesferade radioR; esto es, 2()(4n13)R3,Compare,la respuestaen términosde la densidadcon el resultadoaproximadoquedimosen el tcxto, E, t (lt2l2m,)(tf.n"¡ztt. i 23. CII) Cuenteel númerode estados,empleandolas técnicas descritasen el problemaZ2,,ycalculeIa energfa deFermi para libres,no interactuantes. un gasbidimensionalde electrones Demuestrequed - )urtZ,aproximaciónque empleamosen la descripciónen el texto, no es tan buenacomo lo es para un gastridimensional.

procesoie r':'..s.::. :s:.:::: l:.j:. PoC:nlosresuinirsusrcsultados co;r'¡cs:: .-:: . -: ::- ,:.,:'.--: -i .-...¡ I n áio;not ienedos estados. E l e s t : r d oI : s : . f - " : : : : : : : . : : . . - : l 3 s i . r C c2 c s u n o e x c i t a d o .El á t o n l c s e 3 i r : - i : . : : . - ,. : . - : : t : . - . : : - i : ; i : : l l e n o c l e r a d i ; l c i ó nd e c u e q ) o ; t 3 i : - . . t . . : '. i i i : : : . , , : . . '. : s c : ; c e p í t u l o 1 7 , i i e n e I a j. función e:i:::.r- ;::.s.::: :. . i-. L: idpiiicz dc t¡ansición p a r ac x c t l : . . ^ : ó:::'.. : : : . . , : : - : . : - : : : : : I , i , . : . e s p r o p o : " c i o rIi l a l n u i l l e r oj : ¡ : : ; - . : s : : . : : : . : . - - : . '. , : : . . : 3 5. \ ', ,p o i l : C c l l s i d ¡d d c f o l o l l c 's : r : ( '. - 'a a .s: : ^ . . . : : : - '- -. - . : : . - .:..-.,: : : t : : , i . i, *- c : : r al x ( l i ¡c ti cl rcn l c,s

NsQt,T;B

da, .\',i,-I,I i,,. .' i:. :3:r::::.: - : ::'. r: : : :. :-.: : : cionel :.i :ri::-.i::;::,::;:s e:. e.:s:.-,.:; l t '- [ r , . í T , 't s . - .-.. , . - . s . : : . - ; . i - : . : : : : . - <: : : '. : : ' ] tenr.oi :;:::. : -':. -: : :: : ...':: --.: :.: : :: :.: ; : : : :. -':. c i o : i e s- J : ': s : : . , : - : . . . . 1 : : . : , : - . . . : : . : : . '. , - : : B o i t z ; r - ¡ : : : : : : : . : - r: : : . " : . : : . : . . .... l,:. = ¡-; d e m u e s : l ec : :

43-2 Itíseres: aplicación del comportamientode agrupación de bosones

2{. (t) Un láseremiteradiaciónde 880 nm de longitudde onda, y entregal2 W de potencia.¿Cuántos fotonesse emitenpor segundo? del láserde He-Ne(figura43-7a) 25. (t,)Lr luz roja caracterlstica se det'ea emisiónestimuladaentrelos niveles20.66y 18.70

l)i-(

(b) En el liniite clásicc,uU,7) = Enf 2kTlc3.Demuesrreque Ia ecuaciónmecáilicocuánticapara rzpuede coincidir con la anieriorpara I_erande,sólo si B12= 821,y calculeel valor de la relaciónAlB,. a partir del requisitode igualdad. 32. (IiI) Dc acuerdocon el próblenla31, la frecuenciao tasa

72-+ t

-,-*r&**

o o o o o o O o o o o o o o o a o o o o o o o o o o a a o o a o o o o o o O o o a t o a o a

a o

con la cual los átomosen equilibriocon la radiacióna una temperatura Temitenfotonesde frecuencia/, tienela forma

O

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

F'-': N2

c'(l+,,,,1, ¡

,rtrrtt-lf'

).

en la cual C es una constante.(a) Con la sugerenciaque se cita abajo, demuestreque el núme¡o promedio de fotones (n), de frecuencia /, por unidad de volumen, está represcntadopor ( n) : ll( ¿- t t r ^7-

l)'

(b) Haga uso de este resultado para demostrar que la frecuencia o tasa de desexcitación por átomo es

?{

(I) ¿Cuál es la frecuencia del componente de CA de comente, cuando se estableceun voltaje de CD igual a 2.75 Y a trav& de un empalme de Josephson! ¿Y cuando el voltaje de CD es C¿ 10.00 ¡.rV?

36. (II) Compruebe que las unidades de flujo magnético sean consistentescon la ecuación(43-14).

37. (ID Cuandopasaunacorrientea travésde unaunión Josephson,la corrientealtemaqueresultasepuedeconsiderar como correspondiente a fotonescuya frecuenciaes la de esaCA. Paradeterminadaunión Josephson, si esosfgtonestienenu¡ra energfade 10-6eV, ¿cuálesla diferenciade potencialde CD a travésdel gmpalme?

- - t ; : r ( l+ ( ll) ) ' Esto estableceel resultado de que la frecuencia de transición para desexcitaciónaumentaen forma lineal rspectoal número de fotones de frecuencia adecuadaque ya estó prcsenle, tal corno se necesitapara el funcionamiento del láser. fSugerenc¿¿.'la función de distribución, para calcular n fotones de energfa á/ es, de acuerdo con el tmbajo de Planck sobre radiación del cuerpo negro, Pn - ¿-nhllkr(l- e-htlk\. La suma que representael núrnero promedio esLPnn, y esa suma se puede llevar a cabo notando que E .r" es una serie geornétrica,

y que nf - x(dldx)Ef). I

43-3

43-4

Superfluídezyel helio líquido

38. 0I) Segúnun métodoquetieneen cuentael comporfamiento de "acumulación"de losbosonesqueformanun superfluido, la temperaturaa la cual se forma ese superf'luidoes 4 n la cualC.'2trV(2mklh2)rn. V esel [N(2.ó12X0.886)C]43, volumenen el queestánconfinadoS los Nbosones,y m esla masadel bosón.Apliqueesteresultadoal"He lfquido;suponga quela densidaddel lfquidosea0.147glcm3,ycalculeI. Ei valorexperimental de I paraestesistemaes2.2K. .... l

Superconductividad

33. (I) La temperatura crfticade un superconductor, f, varlade acuerdocon la masaisotópicadel elementoquelo forma,M, segúnla ecuación7",[M = conslante. En el mercurio,[ = 4,185K parala masamolar isotópica,199.5g. ¿Cuáles la temperatura crlticaparala masamolar isotópica203.4g?

Problemasgenerales

r

39, (lI) (a) l-a funciónde dist¡ibuciónde energfaparaloselect¡onescuandoT= 0 esn(O - (Yl2tt)(2¡lllt13n,[8.Empleelapara (b) Calcule calcularla funcióndedistribucióndevelocidades. (r/) empleando el resultadode la parte'(a). 34. (I) En unauniónJosephson seestablece wn diferenciadesco40. (II) ¿Cuáles el radio de una estrellade 10-rmasassola¡es, nocida,Z, de potencial,y seproduceunacorrientealternade suponiendoque tieneta densidaddel $ol? Comparesu resI a figura43-20muestraun circuito 12.5GFIzde frecuencia. puestacon el radiode Júpiter.. que contieneunos 12,000empalmesJosephson. ¿Cuáles el 11. (II) Supongaquela energfade Fermidepende sólode lt, de la valor de I,? (nJ, y de la masadel electrón Con densidadde electrones; anilisisdimensional, obtenga.la dependencia. 42. (II) Supongaquela energiade Femrisólodepende de h, de la densidadnuméricade electrones (n,) y de la velocidadde la luz, (c).Empleeanálisisdimensionalparaobtenerla dependencia.

43. (II) Deseaustedcomprobaiel'efécto isbtópicoquese describió enel problemá33 conun conjuntodedatosqueh¡ ¡eu¡rido. Demuestrequesi fucra ccirrectaudá ecuacióndel tiyn T.lv{rconstante, unagráficáde ln([) en fuhciónde ln(.14) serlaun¡ rectacuyapcnclicntc determinaI, ¿Cómosc verfala curvasi

:rr?

F'IGIJRA 43-20 Problcnu 34.

44, (II) Demuestre quela ecuacióndelefectoisotópico,T"ffi que sedescribióen el problema33 implicaquel, esproporcional a t, que es la velocidaddel sonidoen un materialde masa isotópicaM. (ID (a) Empleelos métodosque se presentaron 45. en el texto)' demuestreque en un gas de electroneslibres en una caja con cúbicade ladol, a T = 0 K, el n'.r,rrero totaide electrones menorqueE es energ{a 1) 1<

-I

I

'': 3 ' "N :( u4+r'\i \ 1 ¡,z o z " ) en la cual E . Er, (b) Con los rcsultadosdc la parrc (a), que el númerode elecironescon energlasentreE demuestre yE+d E es

=#w)',,,/E ¿ti, n(E) dE

U 0r x V( :r A* +!

\'l i x o^l J r A 'v i l '¡ n

tl v

^5 o

r\

+ ,\l o ClFl A (l rr v KCi

0 N IC I ' I'ir o7n

en la cual n(E) es la función de distribuciónde energlade los r_*L*.1" l_,L--_,r l---J-'_l**L.*t_*^ -r . clcctrones,fSugercncia:a ecuaciónquc sedeseaesn(^E)d,E 0,'1 LI I,ó {).l l :.{) ?,4 2.ü N(E+d ¿ " ) - / V ( ¿ ' ) . 1 tl'r't, a6. GI) Empleela funciónde distribuciónde energfadelproblema I-IGURA.l3-21 Problcr¡n47. 45 parademostrarquela energfatotal de un gasde elect¡ones en una caja cúbicade lado l, cuandoT - 0 K, es d", - iNE . detcniclopor haL.crscagotado el conlbustible, los cfectos dc 47. (lll) El cornporatamientode los átomosde rm cristal, a la repulsión debidos al principio cie exclusión dc Paulí para temperaturaT, bajo la influe¡cia de lasfuerzaselásticasentre electroncs, son lo suficienternentefuertes para evitar que la los átomoses análogoal de la luz en una cavidad.a una estrellasc apiastegravitacionalme¡rtc. E¡resecaso,se forman temperatura? (la radiacióndel cuerponegro).El comportalas enanasblancai. (a) Calcule Ia energlade Fecmri de los miento de la red se puededescribi¡mediante/onones,oscilaelectronesen una enail¡ blancadb ntasa M. (b) Calculeel fadio cionescolectivasde la misma,quesepuedenconsiderarcomo deuna ena¡rablancade rnasa,tl'f. Si A,t= oes una masasolar, paflculasanálogasa losfotonesdeunacavidadcaliente.Los radio actual del So1? ¿cuál es la relación de su rcsultacloal^4 fononesson bosonesldénticosque obedecenlasreglascuán(Sugerencie:siqa nuestroprocedimientopera una est¡ellade ticasparaesaspartfculas.Hay unadiferenciaimportanteentre neutrones.La piesióngravitacionales igual quc antes,porque las vibracionesdc la rcd y la radiacióndel cuerponegro: el sólo los protcnes y ios neutronesdetenninan la rnasa.El númerode modosposiblesde una red formadapor N átomos nutnero¡le eicctron¡ses igual quc el de protones,ql¡e,iprose limita a 3N, que conespondenal movimiento en tres cs ia mi(ad del total de protonesnrásner¡tfones. xinradamente, y hay una frecuenciamáxima,fu.. Siguiendo dimensiones, E l r a d i o d e l S o l e s ó . 9 6 x 1 0 3m . ) la lógicaque usó Planckparadeducirsu espectrode cuerpo negro,esposibledemostrarquela energfatotalde vibración, 49. (lli) O;ando se ha quenrido iocioel hidrógenocleuna estrclla, quedan nú''l¿os Cc l,clio y electrones.Supongaque hay N U, dela red del cristal, es 9Nf r ? ' f^ ..rj u: - 7üJo u'-

elecirones,1'que Ia est¡ellaes utu esferade raclioRy nrasaM - (.\,r2)lrr,..(a) Con la ecuación(43-8),calculela presiónde degenención.,3) l-a fuerz: gravitaciotialde los núcleosde helio origina un¿ preslónhacia adentro,que, aproximadamentees en témlinos de ,l?. pF,,,.= E!,,iv > (Glv{llNlV' Calcule Ir*i"nv (c) l: csiicllr se aplastaráhasta que las clos presionesse anulen,cu::.io l:nqa L¡nradio Py. Calcule R7 ett ténninosde tn,, ni¡i,\'.Y.(C)EvaiúcR, parauna estrellaque tenSaunamasa pequelio. solar.El resuii¡cioserásorprendentetnente

' o ' t' TilT, T¿,llamadatemperaturade Debye,es en la cual L TD' h!,úJk, (a) Dcmuestrcque' en el lfmite, cuando?" >> ?r, la energfadel sólido es la expresiónclásica 3,\'ft7. O) Demuestrequeen et llmite, cuandoT <
r276

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o o a o o o o O o o o a o o O o o o o o o o o o o o o

\

CAPITULO

/-

/-

+ +

Estamicrofotografla hechacon barrido por tunclización muestralos átomosdc una celdasolar, dispositivo que trabaja aprovechanda el cotnportamícntocuántico de materiales scniconduitores cuidadosamentc discñados. Podcmos cstructurar esos materiales a la medida de la aplicación,para producir laspropicdadcselcctrónicasque descentos,

I I\GE NTERIA C'TJAINTI CA

Lu cienciay la tecnologlasiempreharrestadomuy entremezcladas. A vecesla tecno: logíaha precedidoa los avancejs cientificos,comoen el casodela físicatérmica,que fueestimulada por la necesidad decomprender la Revolasmáquinasqueimpulsarorr luciónlndustrial.Otrasveces,la cienciaha precedidoa ia tecnologfa,comofue el casodel desarrollode la industriaeléctrica,a partirde los descubrimientos deFaraday y Maxwell. La segundamitad del siglo XX ha visto avancessimult'áneos en tecnologíay en flsica,El descubrimiento de la mec¿inica cu¡inticaha conducidoa unacomprensióncadavez mayor de las propiedades detalladasde los materiales,y esta comprensiónse ha acompañadode desa¡rollosrápidosen la fabricaciónde los mate¡iales de la tecnologfa.En estecapftulo necesariosparasatisfacerlasnecesidades y susaplicaciones, y a continuación comenzarelnos esfudiando los semiconductores viajaremos por los desarrollos tecnológicos rápiday cualitativamente m¡isrecientes quese basarren la comptensiónde la ffsicacuántica.Termi¡arernoscon una desciipciónbrevede algunosde los apuatoscuyofuncionamiento sebasaetrfenómeya potencial de llevar a cabo grandes :ics cuánticos,habiéndosedemostrado su 3oniiibuciones a la tecnoloefadel futuro.

1,277

44-l

t27A Crpinrlo

44 Ingco¡crí¡

sedescrlbccn el L¡ conducción capitulo27,

TABLA 44-I A¡¡CI{O DE B ¡fDA DFAJcLINOS SEMICONDUCTORES Materlal

sEMTcoNDUcToRES

d¡ánr¡c¡

Ancho de banda (en eV)

Estañogris Telurio Sulfuro de plomo Oe¡manio Silicio Arseniurode galio Boro Selenio

0.08 0.3s 0.37 0.67 l.l2 L43 1.5 1.8

r A tcmlrcr&tura amblcntc.

Las ptopiedades de conducción elect¡ica de los sólidos se inician con dos propiedades principales: el principio de exclusión de Pauli, nl cual obedecentodos los eiectrones (veasecapftulo 43), y la presenciade una estructutade bandas,con huecos, que es consecuenciade la red de ionesen el material (véansecapltulos27 y 42). El principio de exclusión de Pauli limita el munero de electt'otresqr:e puedenexistir en cadanivel de parantr elcctrón, energfaa no mós de dos. El nivel lnÍnilno de encrgíadc un cotrjr.rtrto, es el que se llena primeto. La energfadel nivel supcrior esla encrgb de Fernti, E¡,. La estructürade bandasexpresala ptesenciade batrclasprohibidas de energía,entre las bandas permitidas; no hay niveles derrtro dc las bandas prohibidas, y, por consiguienüe,los elechones no pueden'iener etrergíasallí. En los conductores,los niveles se llenan hasta la energia de Fermi, pero hay niveles vacíos elr la banda delrtro de la cual se encuentraesaenerglade Femri. En los selnicolrductoresy aisladores,La banda de valencia, que es la más alta que contieue electrones,se llena clirectamente hasla alcarrza¡una bandaprohibida. Los materiaiesque tienenuna bandade valencia totalmente llena, por lo general, se colnportatán conro aisladores,a nrcttosque la baüa prohibida de'energiaentre la bandade valenciay la siguientebattdaperntitida excitandotém,icalne¡rte seapequeña.lEn esecaso,es posibleinduci¡ co¡rCuctividad algunos electrones pa¡a que pasen la banCa. La siguiente baiida ariba de la de valencia, por lo tanto, se llama banda Ce cor,i:,ccidn (r'éase figura 27-18a). I-as amplitudes ca¡acterísticasde banda, -que son las dii-i:renciasen la etrergíade la parte :r:rbicnte.se ven en la tabla44-1, superiora la inferior de la banda- a tein:e:-3lur;r para algurrossemiconductores.Er contiirsi3, ia ¿r;i'.'-rn ce 'ca;ü del dirunante,fonra alotropicadel c¿¡bonoque sepuedecoirid¿rr: c¿l:lc risie::te,a 5.-5eV.

Efcctos Cc la tc::'.pcranrra : : : : : e : : l i r , . , i : i : : r e r a t ', ¡ l a l, oquehe: nos dic hoa c e t c a C c ) a , 'l , c r g Í i C ¿ l ¿ : '; l . . s e : ; : . . . . c er o, T- 0 K. Es t ud i e m o s a h o ¡ a l c s e f c c '. c s : ¡ l l l . ': : - , ''- . . . . r c l i =: i : . , . :<. : ¡ : r o . i -o C'::.:l:d: fuldadebemos hacer porque el cc¡npola¡ris:lr,c <j'--los s:l:-'-:;'i'.::ir:cs lcr ..i::l;s ,-i:.i.cs:1: 1.:i:::.:;:rrementalmente de la temperatura. Lo más fácl1 r's "'r¡ t ur a en los c onduc t o r e s . A I = 0 K , e s i g u : l t ; t c l l t c 'p i o 'r : . 'L 'i r q - : e d ; r j ú i r ': ¿ l 'r r c s '.l l l

q' | .:u i cs:i i i c-1,:s;r;;i b l¿s e l e c t¡ó ne n u n n i v e l de energl ahrsta de E 1,,S i srr¡;o;:ei n,-s que rcprcscirluli'.ulcol-,iin.:c,ü:]ioirJcs,a i = C li, i:r estánespaciadoslan estrechamcntc p ro b a b i l i d a d ,f(D d e que el estadode etrergía5 csi ó ocupa.l opol ur: el cci l -:: (eit realidad, hastapot dos electrotres,a causAdel spin), es

paraE<E¡,:

I@)=I,

pamE>8t..:

f(D=0.

(44-1)

Cuando f > 0 K, algunos electronesse excitarárrtd:ilnicainctrte¡lasar;i1ca niveles previamente desocupados,dejanclo vacantcs niveles de et:ergfa tras Ce sí. Paia telnperaturasno demasiadograndes,elio pr:cdc suceclersólo con clectronescuyas qt:e Ir,, sciá il:l¡;'obal:le a E¡, porquesi son Iirucliol11cl:ores energfasseancerc¿Inas qqe adquieranun impulso ténnico suficientelnctttegrande. Si los electioiris se comporta¡ansiguiendo las reglas clásicas<1itedc:;cribii¡rosen cl capítulo i9, obcclcPc,focotito obecieceu al irrillcilio cerlana una distribuciónde Maxwcll-Boltz.nratiii. de exclusión de Pauli, su distribución de energla,eti catnbic, se describenrediaiitcln distribución de Fermi-Dirac' cuya forma es L¡ distribución de Fern¡i-Dirac

.iU,): ¡.'7n!:t;;¡¡7

(44 2)

Podemoscomprobar que, a partir de estadisttibi:cióir, pocle:nosilegar a la ec'.raci
o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

o a o o o o o O

o o o o o o o o o o o o o o o o

.fret (14-1) parael límite cuando I 0. Para E > Ep, el exponentese hace muy grandea ri medida que Tse acercaa cero, de modo que tiene un valor lfmite de cero; para "f(A E . Eo, el exponente es muy grande, pero negativo, de modo que el factor exponencial .o se hace cero,y f(E) 1. La figura 44- I muestrala distribución para las temperaturas crecierrtesT:0,7t y 22, Nótese que para (E - ED >>kT,el factor exponencial dotnina eu ei denominador,y obtenernosla aptoxirnación €

EJ EMPL O 4 4 - L Supongaquelos electronesdel cobreobedecenladistribuciótr de Fermi-Dirac. La energfade Fenni en ei cobre es Er. * 7.04 eV. (a) La vclocidad de Fermi, u¡r,es la de un electrón que se mueve con energfacinética igual a E¡,. ¿Cuánto vale u¡ para el cobre? (b) a partir de la distribución de Fermi-Dirac , f (Ei =| , ¿Cuál es el valor de a una ternperaturade 300 K -f(D paraun electrón cuya velocidad sea 1% mayor que u¡? (c) Estirnela temperatura a la cual la probabilidadf(E) sea 10-10 cuando E sea 1.2 eV mayor que E¡.

I

,,

J l¡.

Er Encrgia

tr'IGURA 44-1 Dist¡ibución de Fcrmi-Dirac,/(Q, quc dcscribc la probabilidad dc cncontrar un fcrmiór¡. dc ul conjunto idóntico, conuna cnergía E. I-a distribución sc'muostrapara trcs tcmpcratu¡assuccsivamcntcnuis gnrdcs, T - 0,'t\y Tt.

SOLUCION:(a) Supondremosque los electronesson no relativistas,de modo que E ¡ ; = lm " u ? ' ,o s e a

[1f,ffi

1.57x l0um/s. t)F: -t' l--" : l#: 0.9llxl0 {1t.. V ^ts (b) Cuandola velocidadde un electrónaumenta1%,la energía,proporcionalal 2%. Entonces,E l cuadradode la velocidad, aumentaaproximadamente (1.02)(7 .O4eV) = 7.18 eV. SiendokT : 2.6 x 10-2eV cuandoT: 300K, (E EilkT = 5.4 y,.porlo tanto

f (E )1 lt-=r a

O

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

( E) = s - ( E- E r ) t k 7 '

(44-3) Esta ecuacióntiene la fonna de la distribuciónde Maxwell-Boltzmarrrr que describirnos en el capltulo 19, de modo que tenemosalgo comouna distribución clásicacuandola diferenciade energfas,E - Er es grandeen comparaciónde &T, ambiente, f = 300 ¿Cuálesun valornormaldekT?Esútil recordarquea tetnperatura K, estocoffesponde a Il4OeY.2 "f

I I

- 4.6x to- 3.

(c) Igualanrosf(D a 1O-r0ydespejamosa&2,dadoqueE- Er= L.zeV. Cuatrdo = l0-r0, el término exponencialdel denominadordef(D en la ecuación f(E) (44-2) es mucho tnayor que 1. Asf , (E) = u-@- Eñtkrs 10-to, "f y -(1.2 eY)lkT: ln(lO-to)= - 10ln(10) = -23. Entonces,tT= (1.2 ev)123= 0.052 eV. Es el doble del valor de kT a f = 300 K [véasela parte (b)] y, por lo tanto, el estimado que deseamoses 6@ K.

¿-- Banda dc conducción El

Er EL

Semiconductofes,

electrones y huccos

Pa-'a aplicar nuestras ideas acerca de las üemperaturasfinitas en serniconductores, :ebe:ros reconsiderarel papel de la banda prohibida de cnergfa, Supongarnosque la s::::;¡a de bandases la deunsemiconductor; estoes,cuarrdoT- 0, labandade valencia ='¿ --e:a, la de conducción eslávacla, y la bandaprohibida de energías6 Ec = E, - E, .-¿-.':..¿:neniepequena. Eoesla energiaen la banda prohibida, E, es la energlarniixima ¿e ':- :¿;:ia de valencia (e\ borde de la banda de valencia) y E es la energla mínima de i b,¿-..."ie condurción (el borde de ln baüa de conducciótt) (figura 44-2),

: ¡ t : " i = ]il

K,if

= ( i.3 8 * i0 - ? 3]/KX3 OOKy( 1.6* l o-l eJ/eV ) =2.6x l 0-2cV = t/40cV .

Scmicond¡rctor inlrir¡scco 0¡ o la

Banda do vnlcncia FIGURA,I4-2 l¡ cst¡uch¡radc ba¡das dc r:n scmiconductor intrirscco cs la dc u¡¡a banda ilena dc valcncia, una banda prohibida relaüvarrrcntc arigosta, y, cn T - 0, r¡¡n banda dc conducción vacía.Lc puntos llonos &prcsontan clcctroncs,y lc circulos reprascntanhuccos.Cuando I - 0, no lray clcctroncs en la banda dt, conducción, ni huecos cn la ba¡r,la dc valcncia.

T 27g

J

1280 C¡pau¡o 4{ IageaJcrb

orántlce

Pa¡a deüerminaf"qué sucedecualldo Zno es cero, debernosaclarar lo que quie;e decir la energlade Fermi pata este,caso.Si nos imaginanrosque la energíaCeFcnni es aquella affiba de.la cual no hay electrones,a tempefatura cefo, entonces,todo valot de la energla dentro de la banda prohibida podria sewir. Esto es importante, porque debemos encontra-rnna distribucién,có?recta de las energías del electrón, análoga a la ecuación (44-Z),y esaecuacióntiene la energfade Fermi. Nuestro procedirrrierrio es el siguiente:emplearemosla ecuación(44-2),pero colr una cantirjadclescorrccrda, p, en lugar de la energlade Fermi:

f(E):*i¡,*

(44-4)

I-a cantidad ¡r es, de hecho,utra variabie tennodinámica,el potencial quíntico, pero no nos deben preocupar las propiedadesdelalladas de esa variable, que solr corrsecuenciasde las leyes de la termodin¡ímica.Por el tnonrento,desconocemosa ptpero determinaretnoJsu valor pafiendo de una condición de conservaciónde carga. En Io quc sigue, nos apegaremos a la práctica establccida en la ingenieria d.eserniconductores,usandoEp en lugar de ¡.r.Cuando el lector vea fórmulas para semicondüctores con el parámetro E¡, tenga eu cuenta que no es la energia de Fenni en el seutido en que la hemos definido al principio. Cuando T t^0, algunoselectronespasana la banda de conducción,y la bandade valencia se vacfa, simult¿ineamente,de electro¡res(figura 44-3). A teurperatuta ambiente, Es >> kT (aproximadamenteI cV >>al eV). Entonces, podemos estimar muy toscamente que el número relativo de electrotrescapacesde saltar la banda p ro h i b i d a e n ,d i g a m os,el si l i ci o,parael cual fo-l eV , cse-Ii rtkr= ¿-25:10-1l .Asl, sólo es una pequeña fracción de los electrones la que podrá alcanzat la banda de conducción. I-a misma deducción serfa válida si, en lugar de Eo,hubiéramos empleado la cantidad menor E" - E¡, siemp¡e que esa difetencia tro fuera del nristno orden de magnitud que 89, como veremos que sf es, en fonna caracterlstica.Tendríamos asf un caso en el cual es válida una distribución de energía de la misma forma que la ecuación (44-3), aunque todavfa debemos detenninar E;', Cotno la filtrción cle la ecuación(44-3) decrecetan rápidamentea medida que aur¡rentala energia,el núrnero de elect¡ones por unidad de volumen (la densidad nurnérica n) en la baucla de conducción se aproxima bien si eambiatnosa E en la ecuación 44-3) y ponelros ell su lugar la energíamlnima en la banda de conducción, E"-:

Despu& veremos la constantede proporcional:o¡.i. .\:.. Lcs eieciro:.ese;: lc benda de conducciónson libres de moversecua:idose apiicau;-.ca:',!-r eie:tiico. Lc,sque tienenmovimientolibre se llamanporta¿ores¡¡ \,'icuieie iecl:::ee:iivo). I.os elect¡onesque'ascienden- térmicarne¡te )' ei:ia a la i:e-i:dade cc;il:cción

n'"'*'' I

IIGURA 44-3 L,c clcctro¡rosócrcanc a la p,afc zupcriordc la bandadc rdancia puc&n sslt¡r la bahdahrohibidaonun sc¡nicondtrctor,a tcmpcratura finit¡. l¡ distibt¡cion dc Formi'Di¡ac dcscribcla probabilidaddo quc un ctccu,cntcagaIa cncrgia:suficidhtcparápasara Ia ba¡¡d¡docortducción:Por odr clcctrónguosoprcdc prsar, qucdaun huccocn l¡ ba¡¡dadc valcrrcia.

R¡nción de distribucióridc Fenni

Nivcle.sdc cncrgra

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

o o o o o o o o o I o o o

o o o o o o o O

o o o O

o o o o o o o o o o o o o o O

o o o o o o o o a o o o o o o o o o o

ce,'anlu-eatesvacantesen la banda de valencia.Ascienden sólo los elec&onescuyas e:.':;gias seancercanasa Eu,y entonceslos huecoso lugaresvacantesestán e¡r esas L':rrrgtas.¡\ esos lugaresvacalltesse les llama agujeros, o huecos,elr el .estudiode .:-. capasatórnicasy nucleares.Los huecos se propagancuandouno se llena con un :-:::lón, lo cual a su vez deja un hueco en la posición original del electrón,el cual a sr '.'ez se iiena con un electrón, y asf sucesivamente. Si hay un campo eléctrico que se :irige a +.r, entonceslos electronespasaránhacia la dirección --r y, por lo Lanto, :, i.:eco se moverá hacia la dirección +¡, originandomás corriente.Una analogfa que a;'-uCa a visualizar es la de una burbuja de aire que asciendeen un fanquede agua.La "..:cante" en ei agua, que es la butbuja de aire, se fepone constanternentecon agua c;e va hacia abajo pof la fuerza de gravedad;esa agun deja su propia vacnnte,y asf se :i.ruevecolltinualllentehacia aniba. Por consiguiente,el hueco se comporta como i;la partículacon cargapositiva, lo cr¡alexpiics por qué s utr hueco se le llama, como aiiernativa,portador p (p de positivo). La probabilidndde encontrarun hueco con eirergÍaE se puede detenninar mediantela distribución de Fermi-Dirac. Si /(E) es la prcbabilidad de encontrarun electtón con energlaE, entonces,la probabilidad de no encontrarloes

I -/(E):

I-

1287 4á-1

Scmkon<ürctort¡

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(44-6)

' - I;\1k7"

En ella, E es la etrergfadel estadoelectrónico vacfo (el hueco), que es una energlaen labandadev a l e n c i a ;e n to n c e s ,e l fa c to r .O¡-E esposi ti vo.P a¡a E r- E > > A I, l ocuai verenroses el caso normal, la exponencial del denominador es muy pequeña,en conrparaciótrcon la unidad, y el lado derechode Ia ecuación (44-6) se ¡educe a o-@r-E)lkr. Este factor exponencialdisminuye en fonna tan rápida cuandoaumentael factor E¡' - E, que, con buena aproxilnación, podemosremplazarEo - E pot Ep - Er. Así, la densidadnumérica de huecosestáexpresada,con exactitud, mediante n :

N

¡, -ll:r

( 4.1-7)

- Ii,. tlk r

verernosla constante Nr. Nótesequeel productode la Después deproporcionalidad, p estriexpresada por concerrtración de portadores n y de portadores n p : N Í - \ t ; , - E r ' ¡lk' r ltl,,e - \Et' t,\lk7 ' :¡ y' ,.N,,c- ( t:,- E' ) lkr:¡y',.N ,.c-l r!i 7'.

(11-8)

Hasta ahora hetnos supuestoque cada hueco en la banda de valencia fue creado por la promoción de un electtón a la banda de conducción, de modo que el número de portadoresp es igual al de portadores¡¡. A los semiconductorespara los cuales éstees el caso, se les llama semiconductoresintr{nsecos. Podemosemplear,ahora, estacondiciótr para determinat Ep. Tenelnos fr¡= P ¡, para la cual el subíndice i indica que estamos trat¿ndo con un semiconductor int¡ínseco.Según la ecuación(44-8),

: (4 4 " e ) ni : pi: ,f* "/ffi.r-Est2k'r (44-5) enesteresultadoconlos delasecuaciones Conrparando el factorexponencial t' (41-1),locualesválido,siemprequeN.y N, no varfenconmucharapidezenfunción seve que Cela temperatufa, E ,-En -E F -E,:i E r.

I

(44- l0)

elpotencialquínüco)eslden elpunto Enotraspalabras, Ep(o mdscorrectamente, justificanuestraexpectativa de que prohibida. Este resul.tado iio de la banda ":e E, - Er y Er - E, sonlnucho más grandesque kI, si ta¡nbiénlo esEr.

Sen¡iconcluctores intrinsecoo

t282 'I

C.apitulo 44 In$úicría

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( a) (a) Energía cn ñ¡nción dc cantidad dc FIGIJRA44I movimionto para un clcct¡ón librc. (b) Enorgia cn funciórr dc . . ,, la cantid¿d dc movimicnto para trr elccl¡ón cn la ba¡rdado (b) conducción. l: cncrgía mininra posiblc dcl clcctrórr cs Ii..

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po6itiva I'IGURA,l4-5 l¡ rolación cnc¡gía-cantidád dc nrcvimionto ¡raraun clcct¡on cn la ba¡¡d¡ dc conduqción (figura 44-4b) sc modific! porquo cl clcctrón sa comporta cofiio si tuvicra w¡a ¡irasa modific¡da m'. También so mucst¡a l¡ rclación crrcrgia-c¡ntid¡d dc moiimicnto pan un hucco, quo, por lo gcncral, tiónc un¡ masa cfccüva difcrcnto do la quo tionc cl clcct¡ón

Semiconductor€s extr¡nsecog

Hay un efecto más, de importancia en los semicond"uctoresi La energia de ulr elect¡ón libre cuya cantidad de movimiento es p, obedecea E : p2l2m", colro en la figura 44-4a. La figura 44-4b muestra la reiaciótr etrergfa-carrtidadclenloviilrielrto que serla válida para los electronesen la banda de conducción, si esos electfoires estuvieranlibres.Sin etnbargo,a causa.delas interaccioncsde electronescorrla rcd, esta telación cambia. Para cantidad pequeñade tnovitnietrto, el efecto principal es cambia¡ la inclinación de la parábola, lo cual es equivalente a carnbiar la masa del electrón y tener vna masa efectiva del clcctrón, represerrtadapor /r¡-. Para.los semiconductores,/t¡' es, caracterfsticanente,r.¡1)ordcrl de rnagrritud tttcnor que Ia ma s a v e rd a d e ra d el el ectrón;parael arseni urodegal i o(GaA tn"s), fntc= 0.067,ypar a el antimoniuro de indio (InSb), esta relación es tan sólo 0.015. Adelnás, la masa efectiva de los portadofes n no necesitaser igual que la de los portadores¡r; por lo general,rn" esmucho menor paralos portadoresn (figura 44-5).Lacorrsecuenciamás importante de una masa efectiva pequeñaes que aun)entala velocidad de desplazamiento de los portadores(véasecapftulo 27). Una comprensión de por qué las masas efectivas asurren sus vaiorcs está rnás allá del propósitode nuestradescripción.Aproxirnadamente,la relación nr.ln, es pequeñasi E, es pequeñaen comparación con el ancho de la banda de conducción. E, es grande en compatación con el ancho de la banda de corlducciórrcuarrclono se perturbanmucho los niveles atómicos de energíapor la preselrciade átorrrosvecillos. Lu estasih¡ación"de enlacesfirmes", laslnasasefectivas,lronnaltnente,sonnruchorrla)'ores que las de los elechoneslibres,porquees diffcil "lnover" elcctronesr:n csosr¡ateriales.

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Dopado, o impurificación Hastaahotanos hemosconcentfadoen los semiconductores iirt¡ínsecos.Pasaren.lcs extr{nsecos, ahoraa desc¡ibirlossemiconductores o con itrtpure:as,en los cualesse pueden tener más portadoresn o p por adición de átoincs cc il:rpuiezasa la recl cristalina.La adiciónde impurezas,seaen fornrallaturnio anificial, se colloceconlo dopado. Funciona como sigue: supongamosqtre asies3n:cs nlgunos á¡oinos de a¡senicoal germanio.l¿ estructuracristalinapennanece* i:raltcrada;cadaion aisénico remplazaa rur ion germanioen la red, pero la est¡uctu¡aelectrónicacarnbiará.El germa.nio tiene cuatro elect¡onesde valencia, mient¡as que el aréirico ticne cinco; conro se ha agregadoun elect¡ón que puede afecta¡ la conducción,por cada átomo repuesto,se dice que el átomo de arsenicoes úa impure?t donadora. Cuandose agreganportadoresll de estemodo, se dice que el material impurificado es r¡n semico¡tductortipo n. Si el electrón adicional no estuvieraligado en modo alguno al ion ciearsénico, podrl4 llena¡ un nivel de energfa sólo.en la banda de conducción, y, por lo tanto, podrfa conducir corrientecon facilidad. La energÍade eseelectróu tendria que ser del otden de 8", Aunque el electrón adicional en realidadestáligado al ion arsénico,sólo lo est¡i débilmente. Si el arsénico no fuera parte de la recl del semiconducior, podrÍamosespetarque el electrónestuvieraligado al ibn atsénieocon una energía

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o

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o o o o o o o o o o o o

o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O

seiie-;a¡:e a la de Bohr [ecuación (42-9) con n : 1]: It- :

ean¡(.

-T 4 n ;' 1 -

,

- I 3.6 ev. It,

l::.r.:- icl scrniconductor,cst.acncrgla de elllacc se debilitn por dos razotres:La -':.:;r,ri:..que la rnasadel electrótr se reduce efectivarnente,y en el caso normal en ::.:-r .ie un l'actor de 10, de ntaa nt*. El radio de la órbita de Bolrr del electrón queda :.:: E::r:.,Ce, qr.reel elcctró¡rcircula dcrltrodcl espaciolnayor de la red del semicon:-::c:. En segundo lugar, el medio semiconductor tiene conslante dieléctrica r, :e:1:jia ¡nediante€ - rce6,que, en el casononnal, es mris de 10 vecesmayor que el ".¿.:¡ ie 1 para el vacfo. Esos dos factotes hacen que la energlade enlacecambie a

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H 1"",1 1 '=0 K

(a)

c a nt *

¡ : ---2(4nel)1'

(44- I l)

\:esros valores numéricos para nt* y e indican que la magnifud de esa energla es i-.e:l,o¡que *ide la energfanonnal de Bohr. Esta pequeña'energlade enlazamilento, rqrj icl o¡clenclc1ft cV o t¡renos,sc ¡nallifiestapor ln prescnciadc liivelcsncliciol¡nles cle ¡;:L'rgia nl.ry ccrcanos al fondo cle la balrcla de conducciórr (figura 44-6a). I-a j:ierencia elltre esas encrgfas y 4 es del orden de k?" o tnenos a ia tórnperatura anbiente. Asl, ei electrón adiciotral, que estii enlazadoa T =O,se excita colt mucha i¡cilidad a la balrdade conduccióna temperaturaatnbiente.No sólo los electrones adicionales de un setniconductor tipo n dan más electrones para transportar la corriente,sino que la facilidadcon Ia cual se excilana la balrdade conducciónpuedé hacer que seatl mucho más importantespara la conducción, que los electronesdel semicolrductorintrfnseco.

( b) E J E M PLO 4 4 - 2 Calculela energfade ionizaciónparaunelect¡óndonador en antimoniurode indio dopado,semiconductor en el cual e/q = 11.9, y nt'lm¿. ¡'IGURA - 0.015.

SoLUCION:La energfade ionización,E, es el negativode la energíade enlace del estadofundamentaldel átomodonadorfecuación(44-11),]demodoque t ' ut n*

, . . f tt t *\

/ \ + ne. t t ) '

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: ( 13.6cV)(0.0'tl (rl¡)

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: (,.4x l0 'rcV

Todaestaenergfacotresponde a unatemperatura Z: E/k = 0.025K.

. Si una impureza tiene déficit de electronesde valencia, se crea un sobrantede portadoresp, porque se forman huecos cuando los electrones de los átomos del semiconductorintrfnsecose fijan fueftemente a los átolnos de las impurezas.A esas Lnpurezasse les llama impurezasaceptoras,Wtque aceptanelectrones.Por ejemplo, el bo¡o tiene tres electronesde valencia, y es impureza aceptoradel gennanio. Los semiconductoresimpurificados con el fin de que tengan un exceso de huecos por,adoresp) se llaman semiconductorestipo p. Siguiendo los mismos razonamien:csque empleamospara los semiconductorestipo n, los tipo p tienen las estructuras. :e iivel como la de la figura 44-6b, con algunos niveles adicionalescercanosa Er. -¿s :c;'¿dores n de la banda de valencia pasancon facilidad a los niveles aceptores, huecosen la banda de valencia,muy efectivos pafa conducir cargas. -'a::i: l:lsi cue en ios semiconductoresintdnsepos,la energfade Fermi efectiva en -{dopadosdetetmina la probabilidad de ptomover electrones y -:s -::l:¡rCuctores

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7 '=0 K

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Ti¡ro rr

7 >0 K Tipo p

44-6 Estructu¡a do bandas do cnergía para scmiconductores ünpirificados. (a) En los scm.iconductorcs tipo n, [o, a la cual sc le indica con Eo qucda ccrca dc E . los nivclcs dc los clectroncs, los puntos llenos, dc l'¿s impurczas donadbras, qucdan arriba do E,, y co¡r facilidad so cxciüin a T >0, pas¿ndoa l¡ banda dc cond¡cóión. (b) En los scmiconductorcstipop, E,, quc sc rcprrscnta por E , ciucda ccrca dc [" Hay nivclcs rclacionadosco¡¡ las impurczas sccptorss quc cstd,nmuy cercanos a E, dc niodo quc, a tcmpcrahras finitas, los clcctroncs dc la banda dc valcncia passn con faciiidad a esosnivclcs, dcjando huccos (rcprcscnlados ¡nr círculos) cn la banda dc valcncia.

1283

128d C.¡pf¡¡¡o +i

lagsa.:rb

orántlca

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o o

huecos a niveles en los cuales puedan conducif. La energía cle Fenni se calcula relacionando en forma cotfecta las densidade3de los portadores n y los p, Coi:io ia energla de Fermi desctibe, básicatnentg un punto de partida en la deten¡inaciórr ie cómo aumentan las densidadesde portadores en función de la temperatu;'a,como eu la ecuación (44.3), podemos generalizar que la energfa de Fermi seacerba (aumenta) a E" en los semiconductores tipo n, y se aberc'a(deérece) a E, en los semiconductores tipop. En realidad,si el donador de un semiconductortipo n da la tnáyot partc de los portadores n, como sucede en el caso noffial, enlonces Ia energiá de Fenni estará sobre los niveles de donador, muy cercanaa E ; iguáhnente, ell un senriconductor tipo p que esé suftcientementeimpurificado, la energíade Fermi estarácerca de E,, abajo de los niveles del aceptor. Esos resultados se pueden deducir fonnahnente comenzando con la ecuación (44-8), que se ha deducido a su vez empleando las condiciones especialesde un semicondüctor intrinseco, y sigue siendo válid:r inciependientementede si el semiconductorestá dopado o no. Las consthntesAt y N, "n la ecuación (44-8) se-puedenobtenet sumando el número de electronesen la banda de conducción,y el número de huecosen la banda de valencia, respectivamente:

N -)f'dII)"' -

"c

\ '2 n h '

(nttrk7'\3t2 ""'\ i;i;r r

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1

)

(44*12)

El siendo nti y nú las masasefectivas
t:' ) i' t - f¡, f,r, ¿,'- /l* /k 7'

(4 4 -r 3 )

Nóüeseque la ecuación (44-13) no es idéIrticaa la (44-8), aulr cuando tiene la tnistna forma. La ecuación (44-L3) relaciona las densidadesde ¡:ortadoresn y portadoresp en un semiconducto¡ impuríf;cado, con las densidades del portador intríuseco, mienftas que la ecuación (44-8) relaciona las derridades de portadoresen el semiconductor no impurificado

itnportzurtes. Por ejetnplo,si dopamos La ecuación(44.13)tieneconsecuencias un semiconductorintrfnsecocon impurezasde aceptorparaaulnentarla densidadde de modoquela ecuación(44-13) huecos,debedisininuirla densidadde electrotres, r¡do¡ni¡enenun semicouduccontinúasiendovigente.Esnormalquelosporta.lores to¡ extrfnsecotipo n, mienttasque los poladores p dominanen un semiconductor extrlnsecotipop. I

enel a¡seni r:tode 4 4 - 3 i ¡smasas efecti V as E J E M PL O eal i osenri conducy ml m,:0.48; l a bandaprohi bi da-es' E c= 1.43 e Y. to ¡ s o n ^ l y " ' 0 .0 67 Calcule la concentraciónintifnseca de portadoresn y.p et7el arseniurode galio, a temperafuraambiente,cuando kT: 0.026 eV.

o

o

de portadoresintrÍnsecosen un setl'iconductot, La conc.entración SOLUCION: esté o no dopado,está expresadapor la ecuhción44-12.Con ayudade la écuación44-t3, obtenemos

, lli:f)"'/3üli\"' N,'N,c - t:! t,^r = -\ zntt:)

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[to.qt -l0-a)kg;1l.3dx l0-:r.l/li)(300(¡lr: j' s) ' Z' tl.Oi"- 1ai:j' L -]

?\ - ( |'r'r'/i i :10 [(0.06 ( 0.48¡1'rl t,' 2 x l0 r l carl i c rs/ru3,

016'Y )

4 b'urúca hipotesls importantc que cntr¿on la ccuación (44-ti) bsquc las difc¡eñcias dtrcic¡S cn comparación con tL

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E¡-cctosópticos en los semiconductofes - : ::::abilidad de que un fotón que llegue a un semiconductorsea absorbido tiene Unrbral -:. :rbral, o valor mínirno, en función de la frecuenciade fotón ,f (figara44-7). Sólo :. .: erergÍa del fotón, lrf es mayor que la bandaprohibida,puedeun electróndel .E :9 .:U ---::e¡;aiabsorberal fotón, porque sólo a esasenergíashay niveles vacÍosdisponibles ;:--: ocupación, por el electrón en la banda de conducción. Asi, algunos materiales s;i. :iansparentes(pasa por ellos un fotón sin ser absorbido) entre determinados .;.:tes de frecuencia, pero ya no lo son a frecuenciasmayores. Si un fotón, para el () :;a', hJ > Eo, es absorbido por un electrón en la banda de valencia de un semicont.:" :-:c'.cr,es impulsado pasandoa la bandade conducción,con frecuenciaauna energía Encrgia (cV) .asiante mayor que 8.. Perderáenergíasi choca con átomos de la red, hasta que su I-IGURA,l4-7 La probabilidad dc erergíase acerquea E , cuandoya el principio de exclusióninhibe más pérdida,al nbsorción rlc fotonc¡ c¡¡ r¡¡¡scnricorrdr¡ctor ::ual quc, o en lugar de, la ausenciade niveles dc energíalnenoresque 8.. E¡r esa lio¡rcrur tr¡r¡bralcrnn
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FIGURA 44-8 Un elcctrón cxcitado a la banda dc conducción por absorción de wr fotón picndc cncrgía por choquo hasta quc su cncrgía llcga a 8.; cn csc punto sc rccombina con un hucco cn la ba¡rdadc valcncia,y sc cnütc un fotón.

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Cuando un par electtón-hueco se tecombina rápidamente, dentro del orden de i0-8 s, al procesose le llamafluorescencia.El tiempo 10-Es también es caracterlstico ie las trarrsiciones atómicas, y el término fluorescencia también se emplea en los iiocesos atómicos. Se puede presenüarun caso difetente cuando hay'niveles de l:ipurezas en la banda prohibida, y el electrón pasa a esos niveles. Si una banda ie impureza es metaestable, porque una transición directa de recombinación de ella a la.bandade valencia esté prohibida pof las leyes de la coriservación,entonces'se ::ce que el electrón estáatropado. Finalmente sufrirá una transición a un lugat libte ei ra bandade valencia (recombinaciónelectrón-hueco),pero ello puede dutarhasta ,e¡ios segundos,o aun minutos. A este término se le llama/os/orescencia,y los ;¡:eriales en los que sucede se llaman fósforos. La frecuencia de la radiación :¡s:o¡escente eslá determi¡ada por la diferencia de energfa entre el nivel metaestable r rs pafe superior de la banda de valencia. Asl, el color de la luz que emite un fósforo ,'s caiacteristico de los niveles de impureza en la banda ptohibida, y podemos escoger ::r:i:ezas de tal modo que se emita tadiación de una diversidad de colores. En un =.e::ci de TV en colores, la pantalla es!árecubierta con puntos de fósforo que emiterr ::-e::ón en los colores primarios (ftgura 44-9).I-os fósforos se excitan medianüetres -':.= :e elect¡ones(catodoluminescencia),que se desüan hacia el lugar adecuadode la pot la señal de entrada y -:i--.-' 3 nediante campos eléctrico magnético determinados

FIGURA 14-9 Est,afosforescenciaexcilada es visiblc en esta fotomic¡ografia dc una pantalla dc r,n tclcvisor a colorcs.

1285

a la antenade TV. Cada uno de esoshacesexcita distinto color, y la señal que en:i-.1 determina la intensidadrelativa de los colores. Un semiconductor que se expone a radiación para la cual hf > Eo tiene ma¡o: número de portadoresn y p,y por consiguiente,mayor conductividad. Los dispositivos cuya conductividad cambia cuando se exponen a la luz, -que son dispositivos fotocottductores-, se emplcan en luces que se enciendenen fonna auto¡náticaen ei cfepúsculo y en la auurora, o para medir la intensidad luminosa, conto en los exposÍmetros de las cáma¡as (figura 44-10). Hay aplicaciotresmás cotnpiicadas, como los diodos emisotesde luz (LED), y los láseresde semiconductor,en los cuales intervienen estructurassemiconductoras.como verefnosen la sección44-2.

FIGUITA 44-10 Ex¡roeimctro,quc usan los fotógrafos para dotcrmiria¡ l0's ajustcs corrcctos dcl diafragnrn dc su cámar¡. Iln cl corazó¡r dcl irstn¡mcnto so c¡lcucntra url matcrial cuya rcspucsta clerctrica dc¡rcndc dc la intcrsidad dc la luz quc recibo.

Las energias de Fermi se igualan a travós de ¡neterieles que esté¡re¡r contacto cléctrico.

44-2 EsTRUcruRAsDE sEMTcoNDUCToREs Al aplicar nuestroconocimientode las distribucionesde energlaen semiconductores, en a las estn¡ctutasde semiconductores,que son combinacionesde semiconductores que pasar principio es el puedan ellos portadores de catga, un entre contactopara que detennina escencialmentetodas las propiedadesimportantes:al igual que la temperatura, el potencial quínrico, esto es, -lo que hemos convenido en llannr Ia energía de Fermi de los scmiconductores-, ticne el mismo valor para un sistcna cn equilibrio. Este hecho es consecuenciade las Ieyes de la termodin¿lmica,perotto necesitarnosdel lenguaje de la tennodinámicapara deducirlas.Sólo necesitanlos apiicar las mismas ideas que enrpleamospara los semiconductoressetrcillos,que fueron, de que en ausenciade potencialesextemos, y en equilibrio termodinámico, no hay flujo neto de carga o de energíaa través de Ia frontera entte dos materiales, Los materiales pueden se¡ del nrismo tipo de semiconductor, dopado en fonna distinta, dos semiconductoresintrLnsecosdistintos, o aun un semiconductory un metal. Demostramosesteimportante resultadoen el recuadro "Por qué la energíade Fermi es constantea trav& de una frontera".

.DEDUCCION Por qué la energia de Fermi es constante a trsvés de una frontera Cuando dos materialesestánen contactode tal nrodo que puedenpasarportadoresclecarga entre ellos, entonces,en equilibrio térmico, sin potencialesextemos, la energla de Fenlli debe ser igual en los dos materiales. Para deducir este principio, notaremos que, en equilibrio témrico, no hay paso neto de encrgla tri de carga a través de la frontera. Representemoslos dos materiales mediante A y B; a las densidadesnuméricas de estados posibles de energía para ocupación de elect¡ones a la energfa E, por n¡(E) Y ¡ta(D, resp€ctivamente.Basta cor¡sidera¡sólo a los electrones,porque el corirportamientode los huecos se puede deduci¡ a partir del comportamiento de los electrones.Las condiciones de falta de paso de energiay falta de paso de carga quieren decir que el flujo de electrones deAaBac u a i q u i e r r . 'r l o ¡ d e f e s i g u a l a l p a s o d e e l e c t r o n e s d e B a A a l . m i s m o .va l o r d e E. Ei flujo de electronesde A a B a la energía.t'es proporcional al número de electrones presentesen z{ multiplicado por el núme¡o de estadosvacfos presentesen B; esto es,a h densidad de los estados ocupados en z{ por la densidad de estados vacfos en B. Pa¡a expresario matemáticamente, necesitamos las densidades de los estados ocupadosy desocupados: densidadde estadosocupados= (densidadde estadosdisponibles)(probabilidadde ocupación)

= n(Df(D, por la distribuciónde Fennien la cual,/(E) esla probabilidadde ocupación,expresada Si empleamos el resultadode quela probabilidaddequeun estado Dirac,ecuación(44-2).

1286

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O

o o o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o

3-i:e \'3cio es igual a luro menos la probabilidad que ese estado esté ocupado, ta¡¡rbién i:;-.::en]os que

128¡' 44-2

Estn¡ctrru

dc mlcond¡¡ctorc

::irsidad de estadosdesocupados= (densidadde estadosdisponibles)(probabilidadde estar

= n(Dll- f(Dl. Aplicalnos esosresultadosa nuestro caso; (i1ujo de elect¡onesde A a B, a ia energiae

cx ln n@)f ., (E )l r,tt,,(E )[ | _ J o @)D ;

(flujo de electronesde B a A, a la energfaE) x[no@)f o@)]{n^(E)[l _f.^(E)]] Igualanrose¡rtresf ias expresio¡resanteriores:

pylElf , Q:I {nn-(EJl| - f u@\} : Vt*Wf B@il | L.W)I I

.fn@) - thLF¿fír@fr: -[¡¡@) - l [ÁJ+h(tfi ; . [ n@ ) : . f n@ ) . Si comparamos ahora esta ecuación con la (44-2), vemos que el único nrodo en que se puede satisfaceres que los parámetrosE¡ en los dos materialesseaniguales.

Le uniónpn Cualido un selniconductor tipo p y uno tipo n se ponen en contacto, se forma una iinión p-n, o empalmep-n. Esa unió¡r tiene interés,porque funciona colno un diodo, conro verelnos a cotrtilruación.Veretnos uniones p-n en las cuaies alnbos semicotrCuctoresestén fabricados irnpurificando el mistno semiconducto¡intn¡seco. Err la figura 44-1 la, hetnos empleadoppf pnpararepreseutarlas densidadesde huecos,y & ti:,y n^ para las densidadesde electronesen los semiconductotestipo p y tipo n, T-.os respectivamente. esquemasestán muy deformados, porque la relación de los portadoresdotninantesa los portadoresde signo contra¡io en cadaIado del empalme E es,nonnallnet'rte, del orden de 10tI; dibujadosa escala,los nivelesde npy p,, serían E indistiguiblesdel eje horizontal.De aquí etr adelantellamaremosa las regionesde los conductorestipo n y tipo p, ei lado n y el lado p, respectivalnente. El lado p tietre un exceso de huecos móviles, y ei /l un exceso de electrones (u) rnóviles,no trecesarialnentecotr la tlrislna densidadnumérica. Se conservala neutralidad eléctricael) el lado p rnediatrtelos ionesnegativosaceptores,inmóviles,en ia red cristalina,y en el lado n por ios ionesdonadorespositivos,inmóviles.Cuandose ponenen contacto dos materiales,los huecosmóviles del lado p tienden a difundirse haciael lado rr,y los electronesmóviles del lado r¡ tiendena difundi¡sehacia el lado ? ,r. Esta rnezcla continúa hasta que alcalrzanel mismo nivel las energlasde Fermi en '6 .¡s dos materiales,medianteel siguientemecanismo:las cargaspasa¡rhastaque la o :::sa neta positiva que queda en el lado n (el derecho)y la carga neta negativa que :..:edaen el ladop (el izquierclo)establecenuncampo eléctricoque detienela difusión :"::¡a -i-i-l1b). El lado n estaráa mayor potencial, I/e, que el lado p. Pero los :.::::::-.estienencatganegativa,de tal modo que Ia energíade los electronesdel ladcr (b) :::::.-.: se red;tceen evo. '' e:::rcs el ernpaLnep-n corrayuda de diagratnasde energía.I,a figura 44-l2a FIGURA 4,f-f I Una urión tiF) p-r: sc ::.-:i::-1 ics r.i" eles de energíade los ser¡riconductores alrtesde potrerseen.contacto. fonrn ¡ronicmlo cn co¡fncto un sc¡¡¡ico¡xh¡ctor ti¡xr rr corrrno ti¡xr¡,. (a) Lrs .: =.-.:::;rsprchibidasson iguales,porqueambossemiconductores est¿infabricados tlctr.iidadus¡ttunóricasdc los ¡rcrtadrrres / :::,3:.*r e^nisino semiconductor intrinseco. Cuando se fonna la unión, las ba¡rdas (p, y p", rcspcctivarncntc)y las dc l.'s conducción se van a distorsionar(figura 44-l2b). El potencial pofadorcs n (rr, y ¡n, rcspectivarnenic)ci.: los sc¡niconductorcstipo p y n. Esas -.:":::::a;.'le :.::::._ i 1-r: .: q;e ,leva a ias energíasde Fermi al tnismo nivel. Según las figuras dersidadcs no estánreprcsentrCrsa cscal¿. (r) Cornclsc tlcscritx cn cl t':xi,,,l:¡ ri:f'.lci:; ---3 .. :;-9. r¿::lrs que estaafinnaciónequivalea la ecunción - 0nLr

- 0p= f,r

€ VO,

dc los portadorcs ltrcc quc sc ¡.:Llm,ic u:.: clifcrcncia dt: ¡rctcncial a u-¡t r:s(lc lir fro¡rtcra.Sc indica la dircccióndci cur:po eléctrico quc rcsulla.

C.:pimlo 4i

Lado rr

l,adop

1286 Ingcoicía

Latlo ¡r

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l ,¡tl o r¡

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sánl¡ca Ij¿ntlado lJartrlarlt; condr¡cció¡l corxlucción

/,F¡GUR{ 4{-t2 (8) Estructura dc rúvclcs dc oncrgia do scmiconcluctorcsti¡xl r¡ y tipop, ailtcs dc conc.tar:c para fornur un¡ unión. (b) Dcspucs dc formnr Ia unión, y dc irabcrsccstablccido cl cquiübrio, los nivclos do cncrgia sc ajwtnn clc tal rr¡anc¡a $rc sc igualan lc nivolcs do Fcrmi dc los dos matorialos. Con cllo so bajan los niveics dc cncrgia dc los clcct¡oncs dcl ladp n, y so olovan los nivclcs do cncrgü clcctr'onicadcl ladop. (Scgln B. G. St¡cctman, Solü State Electronic Dcrices fDis¡rcitivc clcctrónicos dc cstado solido], Itcntico Hall, 1980, p. 14l.)

**--\___ Banda tlt:

Ilancla dc valcncia

v al onc i a

Il l rl hs rl t:cncrgi l i

(l t

en la cual, gi^y Ei, son las energÍasde Fenni clelos senricotrductoresiipo l y tipo p, respectivafnente,antes de poner en colltacto los nrateriales.Despuósde habedos puesto en con[ácto,

(44-14)

E ro- E r,r= eV g,

Hcy une diferenci¡ de potencial generad¡intern¡nrente¡ travésde le frontera en un¡ unión I-r.

en la cual E*l E*son las orillasde la balrdade corrducciónen el semiconcluctor tipo p y tipo n, respectivamente.Esta relacióli es colrsecuenciaclirectade la figura 44-12b. Una ecuaciónsemejantees válida para las orillas de las bandasde valencia. Nótese eue I/e,que se conoce como potctlcial de contacto,no cs un pot,'r)cixl externo. Es una propiedad del empalme mistno. Supongunos que el cambio de potcncial a travéscle la frontera es abnrl)to,y En los lnaterialcsrcflles)el cnmbio no puc(lc scr estudiemoslas consecuencias. abrupto. A la distanciaa travésde la cual se tiene cse car¡rbiosc lc llarnarcg¡ónde transicíón, o región de agotanriet¡ro,como en la figura 44-13. Sir-rernbargo, no üend¡emosen cuenüaa los efectosdebidosa la anchurafinita de la regiórrde transición. I asder¡sidadesde portadores¡t a los dos ladosson,en collsecuelrciade la ecuación(44-5), rr

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Porconsiguiente, t';,

'2:/'. y'¡' n, :(

¡on accptorncgati!e y hucco

Ion donador positivo y clcctrón

FIGURA,I4-t3 El ca¡nbio dc ¡rctcncial cn ruraunión p-n so llcva n cabo a t¡avcs dc una zor¡adc a¡cho finito, quo sc llarna rcgión dc agotamicnlo. Normalmcnto, hay u¡¡ campo olcctrico gcncrado intomamcntc. (Scgin Narciso Garcia y Ailrur C. Damask, Physicslor Cotnputer Sclcttcc Sludents [Física para ostudiantcsdc cicncias], John Wiley & Sors, 1986,p.457.)

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(4.1 r5)

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en las cuales,en el últitno paso,hen'¡osemplcaclola ecuaciótr(44-14).Igualtnetrte, de hr¡ecosen los podemosdemostrárque, en el equilibrio,1arelaciólide densiclades dos lados es P ,¡ _ ,,t,,:Ar ,,

(44,1ó)

el Las relacionesde las ecuaciones(44- l5) y (a-ft) trosayrrdatra collr¡)render mec¿mismoflsico del equilibrio de conientes en las dos direcciolles.Veamos los electrones;ya que el flujo de huecos trabaja de la urisnrafonna. Segúrr'laecuaciórr (44-15), la concentraciónde electronesen el lado p es nrellor que etr el lado /r pof un factot e-'vdkr, pero esos electtonesno tie¡.renbartera de potencial qlre salvar psre pasar al lado n. Hay una gran densidadde electronesdel lado n, peto para pasai al lado p necesitanla energíasuficientepara salvaruna barrerade potencial cuya airura 'e-cvdkr de Nh;t.":ll ES €Vs¡ y sólo habrá un número reducido, debido al factor que energía. De en ll:: .trj íanta este modo, el flujo de eiectrones tenga Boltzmann, direccionesse iguala en el equilibrio. (44-14),cadaunodel osproducl os,p,,n,,y | r¡,pptque,:e:': .. . : S e g ú n l a e c u a c i ón e c u a c i o n e s (4 4 -1 5 )y@ a-16)soni gual esenel equi l i bri o,tarrbi énsoni gual ..' rr , '. : ' Pr llr t

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Equilibrio i P .= 0 )

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Pol¿rización dirccta

128y

Polarizacióninvcrsa (V -.V \

(v - v.,)

Rcg ió nd c ngoram;cnto

44-2

Estruclr¡ru

dc rmicon&raorcs

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E (intcmo)

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I'IGURA 44-f 4 (a) En la rurión ¡.r-nsin ¡rcI:rriz,t, cl ¡>otcncialint¡írucco dc con{acto conducc Bl cquilibrio. ft) lin la ¡xrlariz;rciól](lirc€ta,on unn unión p-1, los nivclcsdo r;rtcrgía
Polarización Vealnosahoraqué sucedecuarrdoaplicamosun poterrcialcxtenlo, Z"*,,a travésde unet npailneP -/r,q u e ,a c o n s e c u e n c i a d e e l l o ,sedi ce queesl ápoLori zado.E nesecaso ¡:uedchabcrun flujo trctode corgay etrergfa,y las ctrcrgiasde Fcnlli ya lro lrccesitan scr igu:rlcs,a diferetrciadcl casono polarizadoclc la figura 44-14a.Prirucrosuporrg,amosque el potencialextenlocs tal que las ctrcrglasdcl ladop sc accrcanl¡rása las del laclo rr (figura 44-L4b). Este potencial extenlo, a causa del cual se rcduce la . m agnit uddelad i fe re n c i a d e p o te n c i a l e n tre e l l ado nyel l adop,desdeIl zel hastaIZel - lV"*rl,se describe corno voltaje de polarización dirccta. Los electrones que se difurrdendel lado ll hacia el lado p tienen que superarfirellosbarreta de potencial. Lo mismo vale paralos huecosque se difundendel ladop hacia el lado ¡1.La diferencia de potenciales la tnisma,pero las cargasde los portado¡estienensigno contrario,y, por tanto,la misma barreraque salvaf,Hay una corrientenetadel ladop haciael iado dc rnagrritud. ru,que aulllelltacon rapideza lnedidaque llzol- lV*,iclisrninuy'e Nótese quehay tarnbiénuna pequeliacorrientefija del lador¡haciael ladop, relacionadacon el movirniento de electronesy huecos,sin una bar¡era de potencial que salvar. Si se aplica el potencial externo de tal modo que la diferencia de potenciai entre el lado l y el lado p aunrcntede lVsl hasta lZql * 14",1,tendre¡nosun voltaje de polarizaciótr üwersa (figura 44-l4c). Los electronesdel lado rt y los iruecosdel lado p, alnbos,tienenuna dificultad todavíamayor parasalvarla barreraadicional,y hay; pocacomientedebido a esosportadoresde carga.Sin embargo,no se afecLala pequeña coffiente fija del lado n hacia el lado p. Para hacer más cuat.rtitativosnuestrosrazonalnientos,supondremosque un %^t positivo es ulla polarización directa, y que un Z"*,tregativoes una polarización inversa.Prirnero vealnosla corrientedebida al movitniento de los huecos,correspondiendola coriente positiva a que las cargaspositivasse muevan hacia la derecha.La barrera de poterrciál e(Vo - (",¡ irtt.tiir"que pasen los pottadores positivos, cuya -. v*ütl. Los densidad es pp, desde la izquierda, y sólo pasa la fracción Poe:e(vo pero.su,densidad'es portadorespositivos de la derechano encuentranesa ban'efa, e de V.*r.Lomismo vaie, por separado,para menof,por un factor ,-cvúkr,independient Ios portadores n. Supongamos que /e, que es proporcional a e-tvdkr, sea la corrierrtede los portadorespdesdela derecha,y de los portadoresrt desdela izquierda. Sin el potencial extenro, /q se anularía por la corriente de.portadoresp dgsde la. . :lquierCa.y de portadoresn desdela detecha,pero esascorrientessehan modificad<¡ : , : iu; li3c t or ¿ v " ,tl k T ,En to n c e s ,l a c o rri e n te netaqvepasa' haci al aderechaes,

- l ). 1,,",: 1,r1c''1""*'/k7'

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--¡¡--

( 44- r8),

7

Esta relación entre corriente y voltaje, que se llama ct¿rva característico I-V de ltt unión, se muestta en la figura 44-15. La curya caracte¡lsticaI-V indica que el empaltne p-n se co,nporta corro u11 diodo, que es un dispositivo que pemite el paso de corriente en una dirección, pero no en la inversa. Se pueden emplear los diodos para formar rectificadores (véase capltulo 34). La uniónp-rr también puede trabajar cotno celdn solor, o cotno ltn c!iodo enúsor de luz (véaseel recuadrode aplicaciones"Celdas solaresy LEDs)".

FIGUR^ ,f4-15 Curva caractcrísüca /- lz do ur¡ cmpslrnc pn. I-a unión so compola como un diodo bajo un potcncial cxtomo, Z*,.

r odo de E J E M PL O 4 4 - 4 C al cul el arel aci óndecori entesa travésder.rldi para voltajesnegativos,para uniónp-n pata voltajespositivos,a las corrier.rtes voltajes cuyas magnitudes estén determinadaspor c 2..r,- 0. 1 eV, 0.2 eV y 0.3 eV, a I= 300 K. SOLUCION:La corriente a través de un diodo de unión polarizado por uil volta.je está expresadapor la ecuación(44-18).Así, ia relación de las corrientesuara polarización R, positiva a negativa,es

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APLICACIONES Celdassoleresv LEDs

Si un foton luminosocon frecuenciat > E/h llega a una ' uniónp-n, un electrónde la bandade valenciaque lo absorbase excitarápasandoa un esüadoen la bandade conducción.El electrónse vuelverul portadorny deja detr¡ísun hueco,que es.portadorp.El potencial intdnsecode contacto,,Ze¡separalos electronesde los huecos:los portadores.pdel ladop pasarána la unión, en direccióndel campoeléctricointrttseco, mienttas que los portadoresn del lado n tambiénsemoverán haciala unión. El movimiento de esosnuevospottadores prduce una diferenciade poüencialopuestaa Vs.Por consiguienüe, actuacornovoltaje de polarizacióndirecta a travésde la unión, aun en ausenciade I/"r¡.Debido a ex;teefectoJotovoltaicose prduce una coffiente,y se puedeentrega¡electricidada un circuito exüemo.Todo lo que senecesitaesun conducto¡unidoa los dos componentesde la unión. En el silicio, los fotonesouya longitud de ondaseamenorque 1200nm, dar¿inlugar al efectofotovolüaico. Una celda solar¡ que es un aparatoque Pfoduc€ elect¡icidadmediantela luz del Sol, esun empalmep-n formado de tal modo que los fotones del Sol sepuedan abso¡beren la zonamáscercanaal potencial interconstruidode contacto;estoes,cetcade la unión (frguraBl-l). Pa¡aaumentaral máximoestazona,se dejallegar la luz solara la partesupetiordel se¡niconductor,que est¡icubiertacon una capa antirreflejante.I.a luz penetraen el semieonductory se

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Ccid¿ sola¡ Car¡;a ¡'IGURA Rl-l Esrlt¡cmadc ru:¡ cclclasolnr,quc goncrl corric¡rlcrr lravós dc la carga (cl rcsistor),cuandoincidc luz sobrcol laclo2 do una urriónp-n.

absorbeen la zona de la unión que estáabajo. Los materialesse seleccionancon una barrdaprohibidaio suficientementepequeriacorno para absorberauu el' componentede longitudes de onda nrás largas de la luz sola¡. También es importante tenet un grar coeficietrtede absorción de la luz, Para conscrvar energfay calrtidadde movimiento, un electrón debe ceder algo de cantidad de movimiento cuando absorbeun fotón. Err el silicio cristalino, un electrón lo puede hacer cediencloalgo cle cantidadde móvimiento (y energla)a la red cristalirra,y con ello se reduce,en varios órdcnesde rnagnitud,la probabilidad de que sucédaurra transiciólr.Asf, en el silicio crisitalinono es muy buenala absorciórr.El silicio

o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o O

o o O

o o o o o o o o o o o o o a o o a

o o O o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

en la cual K = eV.*JkT. Cuarrdof : 300 K, kT = 2.6 x lO-79V, dg modo que el parámetroK tienelos valores3.85,7.69 y 11.5,p^ra evcxt=0.1 eV, 0.2 eV y 0.3 e\¡, respectivarnente,Los valorestespectivosde R son, entonces,48,2.2 x 103y i0.2 x 104.El crecimiento rápido de esos valores a medida que aumenta ctrl"",, indica el grandísitnopoder de polarizaciótrdc diferetrciasde potcrrcialrelativarnentepequeñas. EI transistor de unión bipolar El transistor es un apafato con tres tenninales que se puede emplear para controlar co¡rexactitud las corrientesque pasanpor.loscircuitos, y en especialparaamplificarlas o itrterrutnpirlas.Uno de los primeros transistores,el tatlsistor de unión bipolar (BJT, bipolar junction transistor)inició unn revohrciónetr elcctrór¡icaquc todavfa sigue.Ese trallsistory la teorfade su fulrcionanrietlto fuerorrclesarrollados en 1948y ITIGIJRA 44-16 [-a "cnjn dc l]ardccn", qrc 1949 por John Ba¡deen, Walter Brattrain y Williarn Shockley (figura 44-16). Los consfuyó cn 1949,conticnc rur circuito con t¡ansistorGs.El cnccndido instantá¡rcodcl t¡atrsistoresde unión bipolar se puedendescribir, esquen'ráticzunente, corno disposi- circuito impresionóa las audiencias,quc tivos de tres terminales,n-p-n o p-n-p. En un transislot n-p-n hay dos uniones en las cstabanacostru¡rbradasa es¡rrar largo los tubos cualesse intercalauna á¿setipo p, angosta,entredos setniconductores anchos,.tipo tic¡rpo pars quc so calcnteralqr¡o clcckó¡licos dc los cifcuitoc sc rrssban r¡,quese llaman enüsory colector (figura44-17a). En un transislorp-.n-p,seiltercala cnto¡rccs. una baseangostatipo n entre un emisor y un colector, atnbos tipo p (figura 44-l7b). La figura 44-l8a muestra la estructurade bandaspara un transistorde unión bipolar tipo n-p-tt, donde no hay voltaje externo, o de polarización.

amorfo tiene un poder de absotción 50 vecesmayor que el del silicio cristalino, y el diseleniuro de cobre e indio tiene un poder de absorción otras 10 vecesmayor, porque en esosmateriales,se puede co¡lservarla cantidadde movimiento sin la intervención de los iones. Debido a las limitaciones de concentra¡la luz y absorberfotones, hay un máxitno teórico del2SVo para la conversión de energfasolar a energÍaeléctricapara el silicio. Las celdasprácticasde silicio ttabajan a eficienciasaproximadasde lO%. Quizá la barreramás seriapara la utilización de la energiasolat en gran escala seasu costo, En 1991, el costo por kWir de enetgÍa procedentede celdassolaresera de 30 a 60 vecesmayor que el de la producida a partir de combustiblesfósiles. La expectativaes que, con mejoras etr la tecnologíade lcs materialesconocidos,las celdassolarespodrán competir con las fuentes convencionales de energÍa ar.tesdel año 2000. La generaciónde corrientemediante celdassola¡esya es indisperrsableen los satélites,,ypara ics lugaresen Tierra muy alejadosde ottas fuentesde e:.ergía(figura B I -2). Un diodo emisor de luz, o LED (inicialesde .!ii;:-emittirtg diode), que es una uniónp-n que ttabaja :::::c semáforo. es, en esencia,una celda solar que '-..:i¿:aal reveis.Cuando se aplica una polarizabiótt ' :.::.:3 a t¡aves de la unión, pasanelectronesdel lado n :-:¡:: e; laio p. ¡' huecosdel lado p hacia el'ladb n. :l'-;:::do liegan los electronesal lado p, se combinah con

los huecosdisponibles y emitenluz en eseproceso.L,os huecosquellegan4l ladon secómbinancod los electrones y'tambiénemitenluz. Los LED disponibles, sc usall mucho como hlces electrónicasde éeñal,porque son muy duraderos,usan poca energla,se pueden conecta¡y desconectarcotl rapidez, y sén compactos. . Los LED se emplean también en las pantallasde caráfuiade algunosreiojes, y de calculadofas.

FIGURA Bl-2 El alto costqinicial dc las celdassolarcsso compo¡rsa cuando trabajan cn condicioncs para las cualcs sc ticncn i,ocBsflltcnrBtlv&s, cn aplicacioncs rcriroths,corno cn cstc satólitc.

r2g1

_-r

-"-¡,-,.;*;'i:=

'

Iogalcrír

orántfc:

Colcclor

Ilr¡risor

I.J¡rc Colc¡to¡

44-17 Diagramas do t¡a¡sisto¡cs do unión bipolar n-p-n, y (b) p-n-p. Los simbolos clectricos do csos aparcccn on la partc lnfcrlor do las figuras.

a)

Emisor

Basc

Colcctor

En la figura 44-18b mostrarnoscómo se aitera la estructurade '¡a:ri¡s :ur.::i: ,;.:, y ia uniórrcolector-L'ese i::.:¡-.:::l:¡.:¡. unión emisot-basese polarizadirectatnetrte, como se puedehacercon el circuito de la figura 44-19a.Como la basees lar airscsi:r, el transistor es más que tan sólo dos empalrnes n-p, espa;ia cci. es;a;j.-., Lcs elecüonesque entrana la basedesdeel emisor se puedendirunii¡ ?oi lci:l ;a ::..e, y no se acumulará campo eléctrico del tipo que se enconlro er. la .:ni.-:: .,:-;:.:.;e describimosantes.Una vez que los electronesdel emisoralcanzaiila '.:::ó:'.'b:se-cclector,pasancon facilidad por ella y llegan al coiectc: íitgu;a -l-i-l9:.. \c:ese q':e la cor¡ienüeque pasapor el colector estácontrclad,apcr e. r'ci::;e ce :cla¡izac:ón directa a través de la unión emisor-base. Definimos vna relación de transferencia dc cor;':ci::i, ¿r.:;'^eiir:iie I

( 4.1-19)

Colcctor 4tf-lt Est¡ucturado bandasdc un dc rmiónbiploarr-p-n. (a)on dovoltajooxtcmodc polarlzación, @) con polarización dircct¡ cn la wrión

r-baso,y polarizacióninvcrsacn la colcctor-baso.(ScgunM. Shur,

la relacióndel cambioen /c, de corrientedel coiectoi,al ca:n'oio/r, de corricntedcl la corlentedeI emisoresla sulnadc emisor.Comosepuedeverenla figura4.1-19a, (1¡): y la de base la co¡¡ientedel colector la corriente (44-20)

Ir= Ir+ l r.

of semiconductor Dcvices [Fisica dc

somiconducto¡rsl,Pruticc,

r99O,p.242.)

La ganancia de corriente, p, es una medida del cambio en corriente del colector

Ilmisor

B¿sc Colcctor

Flujo dc lmccos

FIGIIRA 44-f9 (a) Sc alcarza la polarización del transisto¡ dc rmión bipolar n-p-n, dc la figura 44- I 8b, con r¡n circuito como cstc. (b) &v¡ucma do los flujos dc particulas cargadasquc rcsultan pare ostc caso.

I'ii l ruodc

(h)

0loc{ Iot lcs

-4

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O a o o o o o o o o o a o o o o o o o o o t o o a

o o o o o a o

44'3

ll :t I!,

lngc¡lcrie

dc band¿s

prchiBl=

(44-21)

Segúnlas ecuaciones(44-19)a(44-21),

:L:1" I,

O O

o o ¡ o o o a o o O a o o a o o o o o o o o o o o o o t o a o o o a o o o

1293

Cebidaa un cambio en corriente de la base, 16,f se define como

+ Iu I"

/ r : l- _

I

- 1 + :o l)

t- d.

(44-22)

Cuando a se ace¡ca a Ia urridad, p puede ser grande. Pafa valores normales de un transistotcuya baseséide aproximadamente1 ¡lm de ancho, la polarización directa aproximadaes 0.2 V, y la inversa es de 5 a 10 V; a eslá entre los llmites 0.97 a 0.99, que corresponden,segúrrla ecuación (44-21), a garranciasde32 a 99. Asl, una pequeña variación de la cor¡ierrüe que errtra a la base * amplifca para dar una variación muy grande de la cordenüegue pasa al colectot. Nótese que el trarrsistorllena su papel de amplificador, en fonna muy sersible, por manipulación de voltajes de polarización. El transistor

de efecto de campo

,

Eltrarcistor dc efcctode canrpoes rma estructurade semiconductoresque seusa nrucho en la electrónicamodema. Una placa de semiconductor,llamada canal, seconeclaa dos terminales,que se üamarrfuente y drenaje. En el canal,seinduce una cargamedianteuna piacametálica,que sellama compuerta,qveestríseparadadel semiconductoípor maüerial. aisla¡rte.El ca¡ral y la compuerta, juntos, trabajarr como capacitor. En el transistor semiconductorde óxido metálico y'efeclo de campo (MOSFET, nletal-oxide seit.iconductorfiefuffict transistor),el aisladorque separala compuertadel canal semiconductor es dióxido de silicio (figura M-20), Cuando se aplica un voltajc positivo a lq compuetta,se induc¿una carganegativa en el canal;estees,llenarral carraln p{rtádores. Al autnetrta¡el volde de compuerta,también aumenlala concent¡aciónde portadoresrr en el canal,y, pof consiguiente,también aumenlasu conductancia.Si se aplicaun voltaje ent¡eel drenajey la fuenüe,pasauna coffiente a través del canal. Esa corriente puede hacerseva¡ia¡ cambiando el voltaje de compuerta, tal cotno lo acabamosde describir. Asf, el trensistot de efecto de campo es un dispositivo de tres terminalesen el cual la corriente entte dos de ellas se controla con mucha ptecisión cambiandoel voltaje en la terceratenninal, la que estáconectadaa la compuerta. Los MOSFET ilustran los principios etr los que se basan los componenüesde la elecftónicamoderna. Medianüetécnicasque describiremosen la sec¿ión44-3, miles, o quiá rnillones de MOSFET diminutos, y otras estructurasde semiconductoresque ' fonnan circuitos complicados,se fabticatr como si fueran una unidad; a esosci¡cuitos se Iesllama circuitos integrados.I-as capasde material que forman los componentesde los ci¡cuitos integrados pueden ser hasta de 0.2 nm de espesor, y el rirea de un MOSFET puedeset hasta de 5 ¡rm x 5 pm (figura 44-21).I-as conientcs normalesque se tnanejan en estoscircuitos son del orden de 20 rnA, [a desventajaprincipal de los MOSFET es que hay lfrniües de la velocidad de funcionamiento, porque las corrientes pasan a tmvés deellos en la misma región dondeseencuentmnlas impurezasdopantes,y asl,los choques con ellas restringen la vbloci¿ad de desplazamientode los portadoresde coniente, Con una disposición geoméhica distinta, que se desctibini en la sección M-3, * mejora la movilidad de los electrones.

Ca¡ulinducido conpofadorcs¡r 'flGURA,14-20 Esqucmadoun MOSFET, cfcctodc campo,dc óxido lra¡rsistor.dc mct¡ilico.Esun üpo dc trarsistor docfccto

*:**'

FIGURA 44-21 fn 1992, los ingcrücroe do IBM produjoron csto MOSFET, tan diminuto, quo su longitud cs dc algunos cior¡tosdo ¡ra¡rónrotros,y quc ys son posiblos los chips dc mcmoria con 4 gigabits. El chrp dc mcmoria rruis grando disponiblo cncsos momcntos tcnia u¡n capacidaddo 16 megabits. Estc t¡ar¡sistorcs tsn pcquci¡o, quo muchas do sus propic
INGENIERIA DE BANDAS PROHIBIDAS L¡s avances tecnológicos en la fabricación de estruchlras de semiconductores han ;eado una nueva caja de herrarnientaspara el ingeniero en electrónica y el diséñador

*"s*¡¡.¡¿i¡¿h¡¡¡

¡{+1l Máquiru dc cpitaxla con IIGLR{ a1c;:rolcirür, r crnplca para formar cffrt¡-s flL¡crccópicas, capa molccular pcr cr;a:mlccular.

de computadoras.Uno de lós avancesimplica la capacidadde coloca¡ capasdelg: is de r¡no o r-ariosrnsterialessob¡eur¡ácapa rinic¡ inferior, tm subsírato. Cecro ¡:r:::¡::1. coo estnrilra cri*aii¡a mu)'sg¡reja¡te- Ese-orcioncs descnclas. Lr litografia es ot¡a tecnologlaitrdispcnsablcctr la fabricaciórrdc cilcuitos i¡rtcgrados. Con esüeproceso podetnos crear ln¡scarillas clclriladas sobre una supcrficic dc tur cdstal (figura M-23). Una va¡iante es la litografia dc barrido de haz dc electrorres,erria cual se elifnira una peücula opaca sobre una base transparente,formando una f igura precisa,por medio de un haz elect¡ónico en lnovitniento. I-os dctrrllestransparentcsque resultan tienen una pequeñezhasta de 20 nrn. Por este "negativo" pasa luz y va a un semiconductorvi¡gen que se ha cubierto con un ¡rclirneroque sedesinüegabajo la acción de la luz. El semiconductorcubierto puedegmbarsemediantesustanciasquÍrnicas,como cloto gaseoso,que penetrandonde se ha desintegradoel polírnero. En forma altenraiiva, se puedm depositar otros maüedalessobre las zonas donde se haya desintegradoel polfmero, o bien, se pueden introducir iones de impurezas en esaszonas. lJn proceso como el arrüeriorse puede repetir para producir estrucrurascomplicadas con rnuchas que resultannos ha¡rpennitido producil cotnputadorasclc capas.l,os circuitos inüegrados escritorio muchas vecesmás poüentesque las cotnputadorasprincipales de ayer. Heterouniones

S-T,G{--'&{+1-3 ;-¿r & l¿s cstrtrcüras producidas por :Íca;cacs s.¡=r-&-s ilc-sr.:;r- L¿s :,r::'ts :qr;: ¡ncnoe dc mcdia ,t5¡:A

3t r¿l'r:

1lv+

Una heteroestructuraes un cristalútrico en el cual la ocupaciónde los lugaresclela red por iones cambia en una interfase o frontera. Esos cristales se fabncan por epitaxia, como se describió arriba. Como ejelnplos tenenrosa los Ge.{siGa.-\s,y a Al*Ga1-*As/GaAs,en los cualesla diagonalindica la interfase.Cuanic crnpleanros l:eclio clcc',re distintos,decimosque ha¡ una hcteroL¿¡tló¡i.El dos semiconductores diferentessemiconductorestengatrdistintasestructurasde bandasprohibidasprcduce algurns propiedadesnuevas.La figura 44-24amuestra la estructu¡ade bani¡s prohibidasde dos semiconductoresdistintos,dopadocaC¡ u::o cct:.r :::ai.':ial',ipc n. El semiconductorde la derechatiene una banda prohibida más anchaque el de la izquierda, y en cada caso la energla de Fenni, E¡.,queda lnás cerca cieE. que cie.0,. no necesitaser uniforrne,En la figura 44-21n,las El dopadode los semiconductores impurezasdonadoraseslán a cierta distancia de 1o que será la unión. Cuando los maüerialesse unen para foffnar una helerounión, el flujo de cargashace que las enetglasde Fermi se igualen,como en la figura 44-24b.I-a fonna de la diferencia de poüencialque tesulta dependede los maüerialesen la unión. En una heterocstructura, la otilla de la barrdade conducción (o, dependiendodel material, la orilla de la barrdadc valencia) se disüorsionapara contienerel pliegue que se ve en la frgura 44-24b. Poclcmos comprender este pliegue como sigue. Cuando se fonna la hetcrounión, las energiasse desplazanpara igualat las energlasde Fermi de los dos semiconductores.Sin embargo, las separaciones de las bandas prohibidas a cada lado de la unión, deben pennanecer donde estaba¡rantesde formar la unión, porque son inttfnsecas de los semiconductores. El único modo de satisfacerambas condiciones es desanollar un plieguc, como el que se ve en la figura 44-24b.

o o o o o o o o o o o o o O

o o o o o o a o o o o a o o o o o o a o o o o o o o o a o o o o

o o o o o o o a O o I a a o o o O a a o o o I o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

Ccmo resultado del pliegue, los electrones en Ia banda de conducción en la r% . ':.'i'---:Jcse encuentran cn un pozo de energh potencial cuandose tratan de mover ¿/,.r#: :--' és del empalme. Asf, por ejemplo, la "subida" potencial entre el GaAs dc la .:.:::;:ria y el AI6.a5Gas.55As de la derechaes 0.35 eV, de modo que los electrones lipl+--:s:i:-- :¡nfinados al fondo del pliegue, del lado del GaAs. El pozo de poteñcial está .:-';= j: jos iones donadores,que, en esteejemplo, estándel lado del Ale.a5Gae.55As, ia) ;e:l-..io que, si se aplica un campo eléctrico perpendicular al plano dq ia figura ----::. los electronespasarána lo largodel canalformadopor el pozo,sin encontrar I ::-rL:cl^.rs iones de irnpurezas en su canrino. Esos electrones,por consiguiente,se Encreia I ::e;:;r mover con mucharapidez.Las velocidadesllormalesde desplazanriento son ce: c:den de 1.8 x 105 rl/s, unas 1000 veces tnayores que en los MOSFET. La O,r #t" '.'e.;c,iad de desplazamientode los electroneses factot importante en dispositivos q'.:efl:ircionan colno interruptoresen las cotnputadotasde alla velocidad. Pozos cu.ánticos, alambrcs cuánticos y puntos cuánticos

[i, t

Cua¡do dos heterouniones o más se instalan espalda con espalda, las formas peculiales que toma la otilla de la banda de conducción, pueden tener "paredes" dentro ge las cualesestátrlos electfotres.La figura 44-25 muestrauna capadelgadade GaAs in:e¡calada entre dos capas AlGaAs, rodeadas por GaAs que contiene los iones jc¡ado¡es. La figura 44-25b es un diagrama de energfa de esa estructura. Los e.ect¡onesde la capade GaAs selnr¡evenen unpozo cuántico.Esospozosde potencial s¿ca¡acterizanpor tenerniveles cual^rtizados de etrergía.Podernoscaicularlos valores :e esasetrerglasimaginando que se establecenondasestacionariasen dirección de la :istancia o, que es pequeña,entre las "paredes"que confrnanal electrón,exactamente j¿l tnodo cn cl cual lns energfnsdel átotnoetr el Inodelode Bohr se deducensi nos ilnagitratnos c¡uelasondnsestaciotrarias seajustana lasórbitasatónricas. l,as energlas permitidasdel pozo cuánticoson, entonces,

(b)

rn

:-

tt2/l1tt2

-i: -

-i:

-

[.:

nozo dc po(cncial

,) EF

Lu,,

FIGÜRA 44-24 (a) Dilgra.rnasdc crr,rgia pam dos rcnricorüuctorcs disti¡tc, dopado cnda uno para tipo n, antcs do uni$c cr¡ un lrctcrocurpaLnc.(b) C\rnndocsüin unidoe, l¡ orilla dc la baxia dc conducción form¡ rm plicgrrc quc pucdc frurcionar conro pozo dc cncrgia ¡rctcncial para lc clcctrurcs. No luy rc,striccióndc movimicnto dc le clcctloncs, hncia ¡dcnt¡o o hacia ñ¡cra do l¡ p¡igi¡rs,ptro c.stopozo.

(11-23)

en la cual n es cualquier entero.La distanciaa, de confinamiento,nomrahnentees de l0 a 10Orun. Aunque c es grande en comparacióncon las dimensionesatómicas,el hechode que ln'sea pequeñacompensaparcialmenteese efecto. Só1ose cuantizala energíadel movitnientolateral;nose cuantizaelmovilniento en ia direcciónperpendicularal plano de la páginaen la figura 44-25a. EJ EM PLO 44 - 5 Calculela diferenciade etrergíasentreel estadofulrdanlental y el primer est¡cloexcitado en un pozo cu¿tntiJode 20 run clearrcho,si la masaefectiva es /?¿* - 0,07 ntr, ¿Cuáles la longitud de onda del fotón que se emite cuando un electrón sufre una transición entre los dos eslados?

'

iffiipru- -'

'^'ft':iffi.,*il;;1f A l GaA s

SOLUCION:Emplearemos la ecuación (44-22) para calcular ia diferencia de energíaentre los niveles caracterizadospor ¡r - 2, el primer estadoexcitado,y n = 1, el esLadofundamental. Entonces ( 22_ 1\ h2n2 3h2nz :::--'--i - : ^- : -' :

\E : E:-¿r

2tn*o2

: 6. lx l0-2 r

-

3(1.05x l 0-34 J . s)r(3.1.1)l

2n*a2 2(0.07)(0.9 x l0'-'"kg)(2x l0-*nr): 6.2x l0-2tI :3.9 x l0-: eV J: 1.6x 10-'e//eV

FICURA,14-25 (a) llotorocstnrctum dc¡rtmdc la cu¿l 1b)soformarur¡rozodo cnorgíapotcncialquc confinaa los cle¡t¡oncs.

L: iiecuencia de un fotón emitido en una transición esf- AEl2nh, y la longitud i¿ :nCa es :

)-h c

"r g

:r3.14)(1.05 x l0-3a/.,d)(3x t0Em/s) :3.2 x 10-5m.

6.2x 10-2ttr

1295 ,."-¿-¡tx¡¡¡..*r,

-l-fl-+f¡.1¡¿

t ii

E 3

¡

(h) FIGURA 44-26 El pozo cuántlco dc la figura 44-25, cuando sc zujcta a un potcncial cxtomo. (a hásta d) Al aumcntar cl potcncial, hay una mayorprobabilidad dc quc rm olcctrón so filtro dc un lado dcl pozo a ot¡o, cr¡andola ubicación do los nivelcs pcrmiüdos cn cl ¡rozo coincido con un nivcl ocupado cn la banda do conducción a la izquicrda. (o) Cunra ca¡acton'stica1-fpara csto caso.

I ,t/

quc FIGURA44-27Los¡nzoscuánücos qucloselcctroncs hcmc dcscritopcrm.itcn sc mrrcvan cn lo quc, dc hccho, cs uns zofl¡ bidimc¡sional.

7296

il

Un pozo cuántico puede funcioltar como intem.rptor muy sensibie. La figura 44-26 muestra la curva caracterlsticaI-V paraun dispositivo de pozo cuántico. Con voltaje cero entre los puntos A y B, ltgva 44-26a, el pozo cr¡ántico presentauna barrera a los portadores n. No hay filtración cuiintica, o turrelización,porque los niveles de energlaen ambosladosdel pozo cuánticoestiinocupadospor igual. Cuando se aplica un voltaje, los portadoresr¡ de la izquierda están a r¡na lnayor errergia,y pueden filtrarse a niveles vacfos. Asf, Ia coffiente aumerltaal aurnentar Z, couro se ve en la figva 44-26b. Cuando la parte ilrferior de la banda de conducción a la izquierda aumenta lo suficienüe para coincidir cotr uno de los niveles cuantiz¿dos infedores dentro del pozo, hay,un aumento dr¿isticoen el flujo de la coniente (figura 44-2e). Un aumenüoposüeriorde voltaje hacedisminuir la corriente,porquecl fondo de la barrdade conduccióna la izquietdaya no coitrcidecou utr nivel del pozo (fig¡rra44-26d). El efecto es muy semejanteal contportatníentoen resonancia que se presenta cuando la frecuencia de una fuerza impulsora amrónica coincide con la frecuencia caracteristicade un osciladorarmónico ligeramenteamortiguado.A rnedidaque sigue aumentando el voltaje, la corriente disminuye, para luego aumentar de nuevo al acercarseal segundonivel de energla,como vemos en la figura 14-26e.La resonancia es 1o que origina el intem.rptor sensible. La existenciade niveles de energíadiscretosen el pozo se puede corrfimrar por la absorciónselectivade luz láserde las frecuenciascorrespondientesa las diferenci¿rs de energfa entfe los niveles del pozo, según la ecuaciórr LE-- hf.Si se fabrica una larga serie de emparedadosAlGaAs-GaAs-AlGaAs, podemos crear una serie de pozos curinticosque se asetnejena una ¡ed cristalina. De hecho, al arreglo se ie llanra supcrred, La estructurade niveles.deenergíadc una supemedes exactarnentecomo una estructufanormal de bandas,con una diferencia importante: los espaciarnientos de la red cristalina son del orden de 0,1 nm, mient¡as que los del pozo cüántico son del orden de 10 a 100 nm. Por consiguiente,la superredtiene bandasptohibidas del orden de milielectrón volts. El movimiento en el plano bidimensional, perpendiculara ia anchura del pozo no estácuantizado.La presenciade las paredesclelpozo restrilge el movimiento del electrón a, efectivamente,dos dimensiones(figura 44-27).La física del movimiento del electrón en dos dimensioneses un carnpo muy interesantede investigación,en se lleva a cabo especialporque pareceque la superconcluctividada aitastemperaf.uras en materiales que tienen estructura plaua, en la cual los electl'onesse mucven, de pteferencia, en dos dimensiones. I.'as alambres cuánticos,y los put:tos cuánticosrepresentannrás pasoshacia ia realización de sistemasen los cuales dotnine el cotnpottamie¡lto cuántico. Corresponden a "tubos" y "cajas" con eleetrolres,respectivamente.La creación de esas estructurases, técnicamente,más complicada que la de los pozos cuánticos,y puede set que pasealgún tiempo para que se puedanincorporat a los dispositivos cuúrticos.

enun puntocuántico,queequivalea unacajatriditleusiotlalditninuta, I [,oselectrones tienen niveles de energíamuy separados(viase.problema 31). Los electronesq'.:e tienenesasenerglasy que atraviesanIa caja presentancomportarnientode resonancia.

o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o a o o o o I

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a

o o o o o o o o o o o o o o o o O

o o o o o o o o o o a o o o o

I-áseres de serniconductotes

l rans¡cron

/--

I¡l,

=-- . f oton

Lcs materialessemiconductoresse adaptatrbien a la construcciónde láseresmictosir u\ / o ¡ r .' / ,,,,_1,..:,u ccpicos. Esos láseresya han ericontradosu aplicación en los tocadiscoscompactos, __ \ l(cglon ::npiificadores en los receptoresde satélite,y en comunicacionescon fibras ópticas. Flujo do huccos do lásc¡ \_ Un diagrama de energfade una hetetoestructuraexplica cómo se puedenformar esos l,ado ¡r l¡do n iáseres.El serriconductor dentro del cual se pfoducirá la luz láser (por ejemplo, FIGURA 44-28 Diagrama dc encrgíaspa:z Ga.A,s),se iltercala, o empareda,entre dos capasde AlGaAs adecuadamenteimpu- un lrisor dc somiconductor. Ln lt¡z ldscr sc rificado. El lado derechodel diagramade energfade la figura 44-28se dopa paraque producc cn la rccombinación dc portadorcs partc ccntral. y se¡ tipo n, y el lado izquierdo para que seatipo p. Una barrerade ¡:otencialevita que los n polndorcsp cn la e:ectronespasenhacia la izquietda, cercade la parte inferior de la bandade conducción, ¡' una banera contraparteevita que los huecos pasenhacia la derecha,cerca de la parte su¡rior de la banda de valencia.Si se aplica un voltaje que haga que más electrones :asen a la región de GaAs, y que pasenmás huecos a la región del láser,y si lá bamera evita que reg¡es€n ianto los portadores n como los p, se acumula una inversión de ¡cblación. Nótese que, a diferencia de los l¿Geresque describlnos e¡r el capftulo 43, el "bombeo" se efectua en forma autotnáticaen esos materiales.l,os electronesy los. huecos se pueden recotnbinar emitiendo fotones, y esos fotones estimulan m¿is recombinacioneSrápidas. l¿s ca¡as del ctistal único que forma la heteroestructura aclúalr como espejos,porque un 30Vode la iuz se refleja en la interfasecristal-aite. Esto describeal procesoque vimos en el capftulo 43,para la producciónde luz láser. [-a figura 44-29 esuna imagen de un conjunto de nicrohseres que esLiformada por : un pozo InGaAs cuántico, con capas apiladas de AlAs, GaAs y AlGaAs, tanto arriba como abajo de é1.La acción l¿íserse llevri a cabo en el pozo cuáltico, y como esepozo es argosto, la potencia necesaria para hacer trabajar al láser es muy pequeña. Se necesitanmuchas reflexionesde Ia luz para obteneruna amplificación adecuada,y el g:an número de capasproporciona determinadacatrtidadde teflexión en cadainterfase. Aun cuandola reflectividaden cadacaraes menof que el I %, el gran númerode capas ü iugar a una reflectividad total del material del99%. Muchos láseres,cadauno con :eornetríacilfndrica, se puedenformar sobreun substratoúnico, nrediaiiteepitaxiade :.azmolecula¡ y grabado(ataque)posterior.La figuta 44-30 muestrauna partede una -.uperficiede 7 mm x 8 mm sobre la cual se creaton ¡dos millones de microláseres! dc Esosconjuntoslaiserse puedenemplearen colnunicdcionesópticas,con fibras ópticas. tr'IGURA44-29 Imagcndo microscopía barrido¡rortunolizacióndc un microláscr. Es cvidcntcl¡ cstructurR cn multicapas.

I

o o o o o o o o o o o o o

Ilujo de clc:'-:r.c

..':.nian una coniente sólo cuando se les aplica diversos voitajes. Esas estructuras :i:rxeien ser dispositivos de conmutación muy precisos.

t"UOn *rr0 Pafc dc la su¡rcrficicsóbrc la cualsoh4nfabricadounosdosmilloncs dcmiproláscrcs.

44-4

(a) Cu.uxlo dos nrctalcs FIGURA¡|4-3I cstrinsoparadospor rur ospacio librc, no luy filtracion cudnüca cn cl cquilibrio. (b) Si sc aplica un ¡rctcncial cxtcmo, la cncrgía dc Fcrmi cn turo dc los mctalcs disminuyc, dcjando nivolcs vacíos cn los cualcs pucdcn filtrarsc clcctroncs dcl lado quc tcnga mayorcs cncrgias olcckónlcas. L¡ altura do la barrcra quo se dcbc supcrar cs la fu¡rción trabaJo dcl mctal, Hz, i,l

Los microscopiosde brirido por tunelizeción se describiercn en el cepitulo 7, y la tuneüzación,o filtración cuónlice, eedescribe con mÁ¡ detdle en el copitulo41..

MrcRoscoPrA DE BARRTDo

¡Hemos visto que, a causade los efectosde la ,lifracciótr, la resoh¡cióncon la curl se Jpuede estudiarun objeto se limita debido r la longitud de onda de ia raclinción empleadapara estudiatlo.Asl, para identificai'átotnos,cuyo tamaño apro.-
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Mictoscopía de bamido por tunelizació¡r EI microscopiode barridopor tuneiizaciól (ST\f , scattil¡ngtunnclirtgnticracope)se basaen el resultadomecánicocuánticoCeque los electronesse puedetrfiltrar de una son inaccesibles.La figura 44-3.1a partea otra a travesde dominios que, clásica::rer:ie, por ulr vacío de muestralos nivelesde energfaen dos inuesti3s¡netálicasseparadas ancho¿. l¡s electronesque tenganenersiade Fe¡rni puedencruzardesdeuna muestra hasta la otra, en número apreciable,sólo si (i) hay niveles vacfos de energíaclue tenganla misma energfa,para que el pruncip;cie exclusiónno evite la filtración,y grande.Si se aplicaun carr.rpo (2) que la probabilidadde filtración seasuÍ'icieir:ernente eléctrico,bajando asl la energfade Fen:ll ::: ur laCo,como en la figura 14-31b, entoncesse satisfacela condición(i) ¡' pu:d: i¡eseiitarseia filtración.Aplicando la ecuación(41-ó) se ve que la fracción de elecl:-'::escl:e cnlza esabarreraes {-,,-::.1:1

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en la cual, n¡ es la masadel electróny ll'ia i::r:;:: :¡;'¡¡.jc Celnretel(la aiturade la barera de potencial entre los metales).La p:cp:e:;i ir;porlente Ce la ecuación (44-24)esIa extremadasensibilidadde la fracciónc.;: se 5.ira, esloes,de la corricnte, a la rnagnitud de la separación. La figura 44-32 muestracómo se fomla un rnicrosccpiode barrido por tunelización. Una puntade tungstenofuncionacorno"agu;ercen la purtalla". Cuandosehace descansa¡esa punla sobre una superficie con dislinto polencial que el de ella, entonces,de acuerdo con Ia ecuación (aa-2a). la corriente q',repasa por la punta es I-a resclución dependedel tamaño un indicadorsensiblede su distanciaa la sr.rperficie. de la punta. Es posible fabrica¡ punlas que tenninen en u¡i sólo átorno, calentalrdo una punta preliminar de tugsteno,y aplicándoleun inte¡rsocarnpoeléctrico.El catnpo separaa los átomoscapapor capa,dejandoun sólo átomo en la purrta.Con esasputrtas es posible, hoy, difetenciar caracteristicascle 0.1 nm de diárnetro. Podentos ver átoritos separados en una superficie.

1298

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I,'ICURA 44-32 lisqtrcrm rlc rur nricroscopiotlt: barrirlo¡rcr trrnclizaci
Ha;' dos malrerasde barrer una superficie. En un lnétodo, los soportespiezoe.e¡iricosque sujetanla punta se disponende tal lnaneraque sientanla co¡rientede :-:.'.iaCo)' muevan la punta hacia ariiba o hacia abajo, para malrteneruna comiente ::rstante, o bien, lo que es lo mislno, una distanciaconstantea la superficie.Los : ::i3jes que se aplican a los soportespiezoeléctricosduranteesteprocesofonnan un :etistro de la topografla de la supefficie. Utr segundomodo de bamerla superficie es :-.¡'''ei la punta en setltido horizontal, cruzandola superftcie,y rnidiendo la dependencia ;: la corriente de tunelización en cualquier punto dado, en función del voltaje 3:.:cado. Se puedenernplearlas curvascaracteristicasl-Vparaidentificar los átomos ; e. :lpo e intensidadde su enlnznmientoa la superficiedel substrato,Los rnicrosco:..s Cebarrido por tunelizaciótrson bastanteeficaces,porque la miniaturización del !-:3iato ayuda a reducir el "ruido". Mientras menof sea el apa¡ato, mayor es Ia :::cuencia de las vibraciones térmicas aleatorias,y esteruido es relativarlrentefácil :e ¡-ilt¡a¡y quitar, Adetnás, los STM trabajanrnejor en aire que en vacÍo, porque el :cnbardeo aleatorio por moléculas de aire tiende a promediar el ruido. Loas STM se emplean en una diversidad de estudios de superflrcies,Como la :;esencia de estadosocupadosreduce la corriente,si se mide la dependenciade .: ;orriente respectoal voltaje aplicado en determinadopunto, es posible estudiarla 5'¡Jcrura de bzurdasde energfaen la superltcic de los c¡istales.Se puedenmedi¡ distri:':;iones de carga electrónicaen las superficies,al iguai que el modo en que las :s'j'cuciones son afectadr. por la deposición de pellculas muy delgadrs sobre las su:e::-lcies.Otra aplicaciótr es el empleo de la punta del STM para manipular á$omos -:::r'iduales, o grupos de átomos,y moverlos pot la superficie de la muestra (figura l":--ii1 r'éasetambién figura 25-28), Hay potenciai para la creación"deestructuras :--:.:cularesa la medida, para tareasespecfficas,en dispositivosmicroelectrónicos.

FIGURA 44-33 Mapa fornrado con pu¡rtc diminutos quc consistcn cn ur¡ospocos milos dc átomos do oro. El trnpa, con r¡n diiimetro aproximado dc r¡namic¡a, fuc hecho manipulando los ptntos dc oro con la pturürdo un nrícroscopio dc barrido ¡rcr trurclización.

lf icroscopía de fuerza atórnica l:;::: las corrientes no pasan a través de los aisladotes,el STM no puede formar ::-::3:es de superficiesaisladoras.Parahacerlo,necesitamosemplear otro:aparato, :t-.\::.. scoeio defuerza atótnica (AFM, atomicforce microscope),el cual, en lugar ufia supefrcie midiendo el efecüode la :e :t:-::-": superfrciescon una corrienüe,fetrat.ia '!r-.:: :--e ejercesobreun voladizo pequeño,corno si filera un trampolin. Esá fueza

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es una fuerza atómica, y pareceabsurdala idea que esafuerza debe se¡ directarrrentc medible. Sin embargo,si calculamos que una constanteinteratómica dc resorte,k = nt0)2,cotlo - 1013Hz, que es una frecuencia atómica noffnal, y con m = 10-?5kg, vemos que & - 10 N/m. En comparación,la constantede resorte de un trozo de hojr de aluminio de 4 mm de longitudy I mm de ancho,en voladizo,es aproxirnadrrneuic de 1 N/m. Como Ia constanteatómicadel resortey la constantede resortedel voladizo mecánicoson de la misma magnitud,se puedenmedi¡ las fuerzasatómicasdetectando pequeñ.osdesplazamientos,de unos 0.1 nm, en esevoladizo o cantiliver. Con ello es posible estudiar una superficie de átomos del mistno modo que una aguja sobre un disco de latga duración, mediante su desplazamicnto,siente la estructr¡rairrterior de los sutcos del disco. En algunosmicroscopiosde fuerzaatómica,el voladizo es un trozo de silicio, o de óxido de silicio, de unos 100¡rm de largo y I pm de espesor.Esosvoladizostienerr una constante de tesorte del orden de 0.i a 1,0 N/m. El sensor que detecta al movirniento del voladizo debe detectar desplazatnietrtosrnelroresquc 0.1nrr. Ulr modo de hacerlo es coll una luz láser sobre el cantiliver, y registrar la posición del rayo teflejado con un detector luminoso. Ese detector activa la base piezoeléctrica sobte la cual se eoloca la muestra,y una colTientecontrola a la base,de tal modo que la distancia entre la muestra y la punta se mantellga constante.El lnovitniento de la muestra se traduceen una imagen de la superficie (figura 14-34). El efecto de las vibraciones extemas de ia construcciótrdonde se encuentrael AFM es bastantesecundario.I-as frecuenciasnonnaiesde esasvibracionesson de de resonanciadel voladizo sotrcle10 unos 10 a20Hz, mient¡asque las frecr¡encias de amplitud,debidasa vibracio¡res extcnrns
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:i.:';r sellevanacabo.TambiénsehaempleadoelAFMparaestudiarlaestructura, r esc¡la atómica, de las superficiesde grafito, niica, cloruro de sodio, y muchos otfos ;:a:¿:iales. Otra aplicación prometedora es en tiibologia, el estudio de la fricción. Pc: e_'einplo,cua¡rdose coloca la punta de nlquel de un voladizo a unos-0.4nm de '::ir s:perficie de oro, algunos de los átomos de oro sirltanhacia la punta y se pegan e e,la. .\l retira¡ la punta, se fonna una columna Vertical de átomos de oro, óomo el ¿:r:ulo de un tornado,y van desdela superficiede oro a la de níquel.Esteenrpahne ::'.:s=retálicose murifiesta a nivel rnacroscópicoco¡nofricción. Se esperaque estos es:uCioslleven a mejoramientos en la técnica de lubricación; las capasde material .'ue inhibanla fonnatión de esos"cuellos"rnetálicosentredos.up"rfi"i". harár las .' '.:;es de excelentesiubricantes.

1]'iri Rm.

Lo últinro en la ingeniería cuántica En este capítulo hetnos hecho notar el juego mutuo
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RE SU M E N

Debidoa que los electronesobedecelral prirrcipiode exclusiónde Pauli,susenergías en los sólidoscristali¡rosse repartensiguiendola distribuciónde Fenri-Dirac: I Itt.t-: I '¡,'tl;-

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en la cual E¡ es la energíade Fenni. Dentro de los semicouductores, cu)'aestructura de bandases de una bandade valenciaseparadade r¡nabandade cot.rducción por una batrdaangostade etrergíaprohibida(con la energiade Fenni a la rnitadde esabanda), esadistribuciótrconducea una conduccióueléctricafuertetnetrte dependientede la temperatuta.Tattto los electronesque pasana la banda de corrducción,conro los huecosque dejan tras de sí, puedetrconclucirla electricidad.Dentio de los sernicorrductores,los electronesy los agujeros tienen masas efectivas que pueden ser muy diferentesde la masade los electrotleslibres.Las propiedadesde conducciónde los serniconductorestarnbiénpuedenhacersevariar rnediante1aimpurificación o dopado; es la introducción de impurezasque aumentanel núrnero de portadoresde carga con carga positiva o negativa fuortadores n y portadoresp, respectivamente).La l,lpurificación desplazala posición de la energÍade Fermi, pero deja eniazadaslas iensidadesde los portadores n y los p de un modo tal que dependedel comportapuedenemitir luz cualrdose rnientodel conductorsin dopar.Los semiconductores ¡¿combinanlos portadoresn y ios p, originando fluorescenciay fosforescencia,y 1a :::Cuctividad puededependerde si la luz ilumüra'almaterialo tro. puestosen contactoentresi, seael mis¡no material Un par de semiconductores .::-.pur:;icado de distinta fonna, o sean distintosmateriales,fonna utra unión. Las -:.:¡iies,o elnpalmes,presentarruna diversidadde comporlatnientosy son la basede :::;. :riie de la tecnolocíaclectrónicaelr uso etl la actualidad.La couscrvaciónde la

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lDsrni€ríl

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energlay de la carga conduce al principio de que es constantela energíade Fern...: travésde una unión. Este principio tiene como consecuenciala generacióninternade un potencial eléctrico, el potencial de contacto, a través de la frontera de una unión p-n, estructurade semiconductoresque consiste en un semiconductor dopado con pottadoresp en conüactocon el mismo semicotrductordopado con portadoresr¡. El potencial de conlacto explica por qué las uniones p-n funcionar diodos, que "or-ro son dispositivos para los cualesla coniente In¿¡posa,de hecho, sóio en una dirección cuando se aplica un potencial extemo, I/"*,: Ino= Io7¿"vutlkr- 1),

(44-18)

en la cual, .Iees una coffiente asociadacon el potencial de contacto.Un empalme p-tr también puede trabajar como diodo emisor de luz, o colno celda solar. El transistores un dispositivo de semicondr¡ctorescoll tres tenniualcs, elr el que pequeñoscambios de pobenciala través de un par de tenninales puede originar una grur amplificación de la corrienüeque pasapor otro par de terminales.por ello, esos dispositivos son útiles para el control exacto de conientes y voltajes en circuitos. Estudiamos en especial el transistor de unión bipolar, y el transistor de efecto de campo. Las técnicas modemas de manejo de materiales penniten la elabornción de heteroestructuras,que so¡restructurasmonocristal fonnadas de un lnodo co¡rtrolaclo exacüamente,con diversos materiales.El comportamiento eléctrico de las hete¡oestructurasdependelntimamente de fenómenoscuánticos,aun trascendiendolos efectos curínticosque originan cualquier estructurade ba¡rdas.Los láse¡esmicroscópicos de semiconductof,y los pozoscudnticossotrInanifcstacionesdc estallucva tecnologia cuyos l{mites todavfa se desconocen. Los microscopios de banido por filtracrór enrplear ia filtracióil cuántica para exPlofaf conductores,y los microscopios de fr,erza atómica nos penrriten explorar aisladores.Ambos instrumentos evitan las
PREGL}T^LS ,*¿!,¿ a: calcula¡ la densidadnuméricade portadoresn en ¡*:.: st¡ i.mpurificar,que es semiconductor, a temperatura ñ.:;si'.e. ;Es necesario lleva¡a caboun segundocálculopara l.:--rjil¿: la dersidadnuméricade huecos? '.:¡ huecose mueve del lado p de una unión, al lado l-¡i: su energfa? -* -¡:: q-.;éauJTtenta ::c¡r':a la energfade Fermi a la mitad de la banda -a;¿ ie energia,cuandolas masasefectivasde los por-:i-:l¿¡ -r,:{rres,r f ics p son distintas?

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8. ¿Porqué,ffsicanrerr'e, es ciertoque mientrasmcnorseala masaefectivade un portadorn, serámayorsu velocidtclde desplazamiento?

9. Hemosdescritoprr 1uéhay nuevosestadosdisponibles para electrones cercade l;, parteinferiorde la bandade conducción en un semiconducto; extrlnseco tipo n. ¿Porquéhaylilrevos estadosdisponiblcsparahuecosinmediatantente arrib¡ clcle partesuperiorde la bandade valenciaen un se¡niconductor extrinsecotipop? an :,+lr.i-*:lo que hace que los metalessean opacosa la 10. ¿Hayalgúntipo rle.'iscosidad queinfluyasobreloshuecos en un semiconductor y lesdetermineunavelocidadtennin¡l en perotransparentes :a¡-'¿'¡-:n a los rayosX, ¿esseme":s:bie, un campoeléctri:o,o esoshuecostan sólo acelcranbajo la seanopacos a la luz ..-:. i ;':e l;:e quelos semiconductores ;-:s,:.: . :€:. :ia.:L(!a¡entes influcnciadeesecampo?Si hayvelocid¡dtemrirnl,¿esIamisma a la luz infrarroja? quela de los electro;tes? it:. . r:-.s :::é:ccosparapoderquitar electronesde la super- s¡":: ; Córro sepuedenquitarlos huecos? :--:.: I1. En nuest¡adescri¡rci,in de los transistores, citamosunaarnplificación de corrientc. significar ésta quese anrplifica s:!,:":"ac a energfa de ¿Puede la Fermi a bajas tempe¡aturas, " l'.: la potencia? Si esasÍ,¿dedóndevienela energlanecesarja? :ie;cr¡ -::"se¡r;::. juctor estátanimpwificadoquelosnive^s5.r! rtrrÉ;Ej s:l ionador se traslapancon la bandade 12. La ancirurade las bandasde los serniconductores, cn la :::ú-¡:.:"::tabla44-1, estácitadaa la temperatura a¡nbie¡ite. ¿Cólno podrfa ser la dependenciaentre el ancho de banda y la l-r:.,: -t.e:e :. :: ::-oe.a e:lergÍadeun huecoal pasardel lado temperatura? : = --: : L jat: 2-:.? -::::,

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PROBLE}ÍAS

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13. (ID l-as masas efectivas de portadores n y p en el germanic

Semiconductores

I Ei ei silicio, Es - l.l2 eV, y la masa efectiva de los :.--::adoresn es m' = O.3l m,, siendo rn. la masa del elect¡ón. .-: .: -:le las densidadesnuméricas de portadoresn a 10o K y : ,liii K. Compare su resultado con la densidadnumérica de .:s eiectrones"libres" en el cobre, que es 8.5 x 1022electro:.es:ml. T es la densidadnumérica de los electronesen la banda -Cuál a las :e c:nducción del germanio, para la cual nl= O.SSt?r¿, s:¿urentestemperaturas?(a) 30 K. (b) 100 K y (c) 300 K.

= -:. l; Pa¡a el cob¡e (¿'¡ 6.95 eV) a temperaturaambiente,3@ probabilidad de ocupación de u¡r estadoelectróIt. calcule la :.:co cuya energfasea (a) 5 eV, (b) 6 eV, (c) 6.9 eV, (d) 7 eV, ,.e)8 eV. -.

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ton nr l' = 0.55 m. y m; = 0.37 m,,respectivanrente. EI ancho de banda prohibida del germanio es 0.ó7 eV. Con esta info¡mación calcule la densidad numérica intrfnseca de portadores a26OK.

t4. (II) Se impurifica una muestra de germanio de tal modo que la densidad de donadoreses n - 1.0 x 1022m-r. Calcule E Eo a T " 300 K. La masa efectiva de portadores n en el geffnanio es nrl- 0.55 rrr,.Conpare su resultxdo con ¿epar:r el germanio.

15.(II)

Se impurifica una muestra de germanio de tal modo que la densidad de huecos es p - 2.8 x 1024m-r. (lalcule E, - E, a I = 300 K. La masa efectiva de portadoresp en el gennan:o cs rrt| = 0.37 nr,.

16. (II) El senliconductor intrlnsccoInSb tienc u¡rabandade energfaprohibidade 0.18eV, y lasmasasefectivasde los el ectrones y huecosson,0.015m,y O.39rfl .,¡ espect ivai7 Calcule la bandaprohibida de energlade un senliconductor mente.Calculeias densidades paraT - 100 de portadores i;tiirueco en el cual 1.02 x l0-s de los ¡rivelesdisponibles K y300K . :ercanosa la parte inferior de la bandade conducciónestén 17. (II) La ntovilidad,¡.r,deun portadorde cargaenun material, ccup ad os,aT= 126K. se defineconrola velocidadde desplazamiento del porta, i) ¿Cuálesla probabiliclad de ellcontrarun electrónen la parte dor,ur,divididaentrela magnituddel campoeléctricoque lnferior de la bandade conduccióndel germanio,para la cual impulsala corriente,p - udlE.Parael silicio a 300 K, las E;= 0.61 eV, cuando T= 300 K? nrovilidades de los electrones y huecosson,aproxilnada.s y mente,0.14 m2/V 0.05 m2/V ' S , respect ivam ent( a) e. mediante Er/li, se define temperatura de Fcrmi, Tr,, .l) La Con la definiciónde ¡r y la relaciónentred y la corriente, siencioli la consta¡rtede Boltzmann.¿Cuántovale Z, para (a) crlcule la densidadnuméricade electrones libres,n, si la plata(E = 5.1 eV); (b) cobre (E¡-= ó.95 eV), y (c) una est¡ella conducri vi dad es 3.8 x 10-:(C ¿.m)-' y n > > p.( b)Repit ala x ( Eo: 2 105eV? :nrn a b lan ca parte(a)parala densidad quehay de huecos,¡r, suponiendo il) ¿Cuáles la longitud dc onda tnáxima de la luz que pucde > > n. una i mpuri fi caci ón que p tal vale¡rciaa la de

-1. I7 Para el cobre (E'- 6.95 eV), ¿a qué tenrperaturaes 33% .: probabilidadde poblar un estadode energfaa'7 eY?

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excitar a un electrón y pasarlo de la ba¡rdade conducciónen (a) el silicio (Er- l.l2 eV), (b) el germanio(Eo = 0.ó7 eV), y (c) el carbono(E, = 5.5 eV)?

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f . il) La tablasiguienteindica la energfaaniba de la orilla de la bandade valen cia, LE, para ¡os niveles de encrg{ade divcrsas impurezas aceptorasen el silicio: Inrpureza: Boro J,E (en eV) 0.045

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Zinc 0.31

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Nlquel 0.22

(b) ¿Cuálesla distribuciónparakT <<EF?(Sugerencia: véase problema45 en el capftulo43.) 20. 0I) Sepuededelurira la energfade Fermi comoaquellaa la 11 . ,l) .A,temperatura ambiente, 30O K, el OaSb sin impurificar cualla probabilidad deencont¡ar un electrónesi. 1a¡Demuestr¿neuna bandaprohibidade 0.ó8 eV. (a) ¿Cuáles la probabi(b) Afine esa tre queestees el casoa cualquiertemperatura. .:dad de que un elect¡ón ocupe un estadode energfaen la parte que probabiiidad que si la idea de un electrón demostrando ::;er:or de la banda de conducción?(b) ¿Cuál es la Probaeneigfa E arriba de 8", es P, entonces, tenga una la probade ::iliad que haya un estadode huecosen la parte superior bilidadde queun electróntengaunaenergfa,E, abajode E¡, .. ::rda de valencia? esl -P . ll I-¡s masasefectivasde los portadoresny p en el germanio iragaunagráficadela distribución (III) Conunacornputadora, 21. ,üd¡s 0.37 n., respectivalnetrtc. por ¡¿i - 0.55 ,r,y ntf,:-.:a: de Femri comofunciónde la energiaparaun materialcuya ;oi:cent¡ación,n,, de Portadoresn, a 300 K, es 2.5 x 1Ole -¿ 20 K, 100K, energiade Fermisea11 eV a lastemperaturas :.'r. Con esosdatos calcule el ancho de la bandaprohibida del 300K y1000K . ::='.:r,;o.

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Indio 0 .l 6

Calcule la longitud de onda máxiJnade la radiación necesarla para excitar electrones de la parte superior de la banda de vaienciahastaestosnivelesen aceptores. -l) Calcule la concentración intrfnseca de portadores en el eermanioa 380 K, dado que rl = O.SSm,,y mi = 0.3'l nt,.

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Galio 0.065

18. (II) Calculela conductiviüdeléctrica, a temperatura ambiente, del siiicio dopadoparatipo n, si la densidadnuméricade los portadores ny psonl.l x lO¡e¡n-ry1.1x l0r3m-r,rcspectivamente.[Srrgcrcncia: Uselos resultados del problema17.] 19. (ll) Conla distribucióndeenerglaparaun conjuntodefermionesidénticosa la temperatura que la lurita T, (a) demuestre queesla probabilidadde queun distribuciónde velocidades, fermióntengaunavelocidadentre, y u + du,es

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1+2

Estructurssde semiconductores

22. [) Ur¿ celdasolar de GaAs produceuna corrienteeléctrica cua&Joia frecuenciade la luz que llega a ella esrnayorque 3.4 x 10;' lI¿ ¿CuáIesel anchode la bandaprohibidade encrgfa? 23. @ Haga una gráfica del factor eFv'tt)lkr- 1, de la ecuación (44-I 8), comofuncióndc la tenrpcratura parar¡namucstrac0 la cualeYu,- 0.02eV,dentrode 106lfrnitosl0OK < f < 350K. Haga la gráfica del mismo factor como función de cVu,, positivay negativa,paraT - 300 K. U. (ll) la energfade Fermi de un semiconductormuyimpurificado, tipo n, es próxima a 8", mientrasque la energfade Fermi de un semiconductormuy impuriltcadotipop escercanaa Er. (a) con un diagramade energfas,demuestreque cuandose unapolarizaforma unauniótrp-n con esossemiconductores, ción i¡rversasuñcientepermitirá que los electronesse filtre¡r del lado p al lado n, fenómenoque se llama efectode Zener. (b) La corrientede tunelizaciónes una función sensibleal anchode la banera a travésde la cual se,debenfiltrar los electrones.Demuestre,con diag¡amasde energfa,que ese anchodisminuyecn forma sistemáticacuandoaumentala polarizacióninversa,y causaun aumentorápidodeIa corrienle, (Sugercncia,' recue¡dequela rcgiónde tra¡uicióntieneun emplcarcn cl diodo anchofinito.)El efectode Zenérsepuecle Zener,en el cual pasauna conientecuandoel potencialde polarizacióninversaalcanzadeterminado valor. 25. @ Setieneunauniónp-nformadacondoemuestrasdegermanio dopado.T^c do6muesttasson como las que se describenen los problemas14y 15.¿Cuálesel valor de eVrparaestaunión? 26. (lI) Una uniónp-n de silicio tienon - 4.5 x ldr m-3del lado n,y p = 1.2x lÚ4 m-3del ladop' Parael silicio,Eo- \.L eY, mi ' t.t m", y m; ' 0.56 m". Calculelas energfasde Fermi antesde formar el empalme.Use susresultadosparacalcula¡ eVoa(a) T - 177K, i' (b) ? - 300K.

29. (lI) Setieneunaheteroestructura en la cualun semiconductor intrlnsecocon bandaestrechade energfaprohibidaestáintecaladaentreun semiconductorintrfnsecocon unabandaprohibida.más ancha.(a)Traceun diagramadeenergías paraeste sistema.(b) ¿Quésucedeconlosportadorcs n cn estesistcnla en ausencia de potenciales externos? 44-3

Ingeniería de bandas prohibidas

30. 0I) Se produce un pozo cuántico de 12 nm de ancho, y las mediciones espectroscópicasindican que le diferencia de energfaentre el estadofundamental y el primer estadoexcitado dentro de estepozo es 1.64 x 10-2eV. ¿Cuáles la masa . efectiva de los elect¡onesdentro del pozo? 31. (U) Para un punto cuántico, en el cual está confinado un electrón en tres di¡ner¡siones(figura 44-36),los valores permitidos de energlatienenla fomta hlir.2nl ltltlnl /,'- -___ _. .._,-

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e n l a c u a l , l l 'e s l a ¡ l l a s ae f c c i i v a d c u n e l e c t r ó r r,o t,o .y a J s o n l ¡ s t r c s d i n r e n s i o n c sd e c o n f i n a t ¡ r i c l t t o d c l a ca j n ; ¡ 'l o s v a l o ¡ e s¡ ¡ ,s o n e ¡ t t e r o sS. u p o n g aq u c d c t e r r r r i r r r dpou r r tocu i n tico tiene hs dimensicnes20 nnl x 20 llm x 40 nm, y que ir¡' = 0 . 0 ó 5 n r . .( a ) C a i c u l e I a b a n d a p r o i r i b i d ae n t r eel p r i m e r ¡' segundoestadosexcitados.(b) ¿Cuáles la longitud de oncla de la ¡adiaciónemitidaen la transiciónelltreesosdosestados?

27. (Íl) Muchos LED emiten luz roja (figura 44-35). Con este hecho,estimeel anchode la bandaprohibidaparamateriales con los cualesse f¿bricanlos LED.

/ Itr¡nto cuártico FIGURA 44-36 I)roblcma 3l

44-4

27. FIGURA 44-35 Problerna

3

(D tba cccic*e de 4 má pasa a través dc un LED can eoer-aa {b a.fEú & Fútrhida de l-8 c!r- Silp6pg2 qgp.a.¡--¡= pc*adc é csrkrf¿ rsa a un agrrjero, y con cllo s¿ de*r:a emire ¡¡¡r solo fo(órl (a) ¿CbáI es Ia polcncia ctntlida enforma d¿ luz? (b) ¿cuintoe fotones/s sc cmjtcn?

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o I

Microscopíatle barrido

32. (I) La corrientequesemide en un ¡nic¡oscopio de barridopor ¡ punta tunelización, cuya se mantiene fija, aumenta15 r'ecesi cuandoesapuntapasadelpunto,4al punto.Ben la superficie.2al ¿Enquéfactorestámásce¡cael puntoB de lapunta,queel IÁ puntoA? { 43. (tr) E vol¡dizo de tm microscopíoée fuaz= e¡.a¡::z t: ::,2::: q¡*adede ¡esrrc &0.6Nt'ay vzstrsz¡'z=¿: c¿:.,-.:3:i .Í setu és*i*a}.2nrn" ¿AÉf eslz retacíér: C¿i:, í;¿-= li 2.' --: ?t sobreel voladízo,a Ia fuerzede gravecad sobre t :,i n::s.:: :: 0.1s de masa?

1301

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o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o

Problentasgenerales

se determina a partir de la concliciónde normalización L.z N, cn la cual i idcntifica los nivclcs pcrmitidosde cnereia.,

3J. (I) Un carnpo elóctrico dc magnitud l0ó V/rn sc aplica crr ciirccción {.¡ a un trozo dc Si inttlnseco, para cl cual las 42 (II) El láscrquc leó un discoconrpatcocs uno dc sentico;i:::tor cuya potcnciaes del orden dc miliwatts, con luz dc longl:::; nrovilidades de electroncs y huccos a tet¡tpcraturaalubielltc de onda de unos 800 nm. (a) Estime la frecuencia con ia q;e son 0.14 m2/V . s y 0.05 m'z/V ' s, respectivamente(véase emite sus fotones. (b) Si el disco compacto gira al paso d:l problema 17). ¿Cuálesson las velocidadesde desplazamiento, láser a varios cientos de revolr¡cionespor minuto, ¿cr:ánros cn clirccción y magnitu(I, de los electrones y los huecos a fotoncsllcgarána una partcde 0. I rrunde longitud del discoi tcnlDcraturaarnbiente? 43. (II) Se tiene un grupo de Nátonlos que obedecenla estaciisi:;a x 35. (I) Una muestra de silicio se impurifica con 0.2 1023átode Maxwell-Boltzmann. Los átomos sólo tienen dos estad,cs mos/m3 de arsénico. La densidad intrfr¡seca de portadores n de energfa,uno fundarnental,de energfa Ery otro excitado, es n, = 1.5 x 1016portadores/m3.¿Cuál es la concent¡aciónde de energía .8,. La diferencia de energfa, A,E E, - Eo >> kT. huecosen el equilibrio? De¡nuestreque la energfaprornedio de los átornos,a la tern36. (II) La masa efectiva del electrón en el silicio es mi - l.l nr,. Peratura I es Eo + LEe-^Elkr. Calcule el valor de N", con la ecuación(44-12), a 300 K, y con A' (II) Sobreuna pelfculadelgadade GaAs (Eo- 1.521eV) incide el ¡esultado calcule el lugar de E en relación co¡r la orilla de luz monocrolnática,y se mide la rebistenciaeléctricade ia la bandade conducciónpara1amuest¡ade silicio contaminado película. (a) ¿Qué sucedecon la resistencia¡l aumenta¡la del problema35. Ion_eitud. de ondade la iuz, iniciando'enla regiónultravioleta? 37. (ll) Un electrón donador se mueve en anti¡no¡riwo de indio (b) ¿A c¡rélongitud de onda crftica se prcs(:ntaun canrbioen intpurificado,paraclcual eleo- 77.9,y r¡¡'- 0.015¿t..Calcule la resiitcncia?(c) La resistencia, ¿aurncntao disrninuye,en la el r¡dio de una órbita circular atónricade ese electrón.en I o r r g i t u dd e o n d ac r l t i c n ? ténninos del radio cleBohr, o0.La carganuclear efectiva para 45. (III) Con ir ecuaciónpara AN(!) quc se presentóen el probleeseelectrónclébilnrcnteligado es Z - l. ma 39, exprese(a) el nu¡trerototal de electronesen un volu3¡1. (II) Se aplica un ca¡npomagnético de 1.80 T a antimoniuro cle men 4 )' (b) la energíapronrediode u¡r electrónen un volumen indio dopado.¿Cuálesla frecuenciaangularde los electrones Pa lr tenrpcratura T. (c) Calculclos lfinitesparalos resultados do¡radores?(Sug er encia : véanselos paránretrosdcl ser¡ricorrde las par-tes (a) >' (b), cuando ?n 0. ductor en el problema 37, y la descripciónde la frecuencia 46. (III) Un semiconductor degeneradoes aqüel que está tan ciclotrónicaen el capítulo29.) ünpLr:irrcad,o que los iones dopantesparticipan en la forma39. ill, Ei numero de electronescon energfaentre los lfrnites E a ción de su propia estructurade bandas.La energla de Fenni E - JE contenidos en un volumen Z está expresado por pueCequeCarCentrode la bandaoriginal de conducción en u¡r _i.I)IY(D, siendo/(Q la función de distribución de Femrisenriconi:cior ciegencrado tipo n, y dentrode la bandaorigiDliac, y AN(Q es el nú¡nero de estadosdisponible a los nal ¡¿ ';ale:-iciaen un serniconcluctordegenerado tipo p. el¿ctronesentre los lÍntitesE a E + AE. Como Cu:':rl,- s¿ ir-r;r:: un empelmc p-n a partir de un semiconductor que sea ie_qenerado tatlto en el lado p como en el n, se I' ( 2 n t \1 t2 . forrna ur ci:oao túnel. Bajo estas condiciones, es posible la ^ N (1 r) filtraclón cuánt.icacuando hay un voltaje extemo. Trace un calculelasdensidades quetenganenergfas deelectrones cntro diagra;:laie energia (a) pa¡a el estado de equilibrio (sin i0.45 eV y 10.41eV, parael galio (E¡.= 10.40eV), a las voltaje eriemo a trar,ésde la unión); (b) para una polarización temperaturas de 90 K y 3OOK. lnvers3. ;Crinro variará la corriente de tunelización al aumentar la poiarización inversa a partir de cero? (c) Trace un (lI) Repitalos cálculosdel problema39 parael intervalocle dias¡anra de energia para una polarización directapequeña. energfa entre12.65eV y 12.ó7eV. ¿Cómo vanerá la coniente de tunelización al aumentar la (II) Paraun conjuntode fenlrio¡res idénticosa altalanrpcratupolarización Cirectapequeria,partiendo de cero? (d) Demuesra, el númeropromediode ocupaciónde cualquiernivel de que tre cuarCo ia polarizacióndi¡ectaaumentamás allá de un quela distribucióndeFenni-Dienerglaf(Q <
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y protones,cuyasinterac¿iones EI núcleode lodoátomosecomponedeneutrones determinan laspropiedades delnúcleo.En el capítulo46 veremos quetienenestructurahastalosneutroncs y proton6.

FISICANUCLEAR tf* u"" qu. sesupoqueel átomotieneun núcleo1uecontienetodala cargapositiva, y casitoda la masaatómica,la estructuray las propiedadesdel núcleopasarona ser objetosde estudio.Al principio, muchosde los cientfficosquei¡tervinieron en estas investigacionesestabanconvencidosde que la flsica nuclearno tendrlaaplicación práctica.Naturalmenüe, sabemosahoraqueestono esverdad:la comprensiónde las propiedadesdel núcleoha tenidoconsecuencias enormesparala tecnáloglay parala sociedaden geneml.En esüecapltulodescribiremoslos componentesnucleares,las propiedadesest¡iticasde los núcleos,y las desintegtaciones radiactivasde algunos núcleos,Ve¡emoscómo reaccionanlos núcleosentresl. Las aplicacionesprácticas de la flsica nuclear se han difundido, y comprendenla generaciónde energfa,el fechadoradiactivo,la pruebade gietas y huecosmicroscópicos,la conservaciónde alimentosy el t¡atamientodel cáncer.

45-l

pRoprEDADEsEsrATrcAs DE Los NUcLEos

Com¡rcnentes nuclea¡es rA idea de gue un átor¡o contiene tn núcl¿o en sr¡ c€ntro sutgló debidoa )w investigacionesde E¡rest Rutherford, qsien, eñ 797r, establenióla sauújr;-rfitcleu de| átamomedianüeexperimentosde dispersión. casi túa la masade un áto¡nose concent¡aen el núcleo,unaesfe¡acuyoradioesunas105vecesmenorque el radio

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o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o a o o o o o

::- 3:cí:1ocompleto, defirudo por los eiect¡onesde la órbita más extema. Considera:3=:s escsresultados,que describimoscon algún detalle en el capffulo 8. Aun antes ce :ebe¡ hecho Rutherford su descubrimiento, Joseph J. Thomson habfa notado la :::senc.ia de eiect¡ones en los átomos. Con más experimentos se averiguó que el :';::ero de electronesen un átomo es, aproximgdamente, la mitad de su pesciatómico. l n'i¡nero de electrones es igual aI número atóntico, Z, cantidad definida por las prcpiedades quimicas. Thomson habla medido la relación de carga a masa del e-e:trón, y',junto con las mediciones de H. A. Wilson y Robert Miilikan de la carga iel eiectrón, se puedededucit que la rnasadel electrón es ¡nucho menor que la masa a:ómica. Como el átomo es neutral, debe contener una carga positiva, +Ze, además ce ia carga electrónica,-Zc.Lo que tto se conocla era cómo se distribufan las cargas ¡:sitivas y negativasdentro del átomo, o qué era lo que portaba la carga positiva. [,os experitnentosque condujeronal descubrimietrtode la estructuranucleareratr ie ciispersión.En Ia sección 8-8 describimoscómo pudimos inferir la existenciade uia pastilia de aceto en un espaciode ''algodón" (dulce) disparandopelotashacia el iulce. De igual marrera se llevó a cabo la exploración de los átomos, mediante dispersión. El modelo atómico ptefetido al iniciat el siglo XX, - propuesto por Thomson y denominadornodelo de Thomson -, tenfa electronespunhralesembebidos dentro de una distribución uniforme de carga positiva. Rutherford acometió el estudio de los átomos por dispetsión de partfculas atfa (a) con los átomos en una lamina delgadade oro (figuta 45-1). Las partícuiasalfa se producen al desjntegtarse algunos elementos pesados,como veremos en la sección 45-3. Rutherford habfa analizado la catga y masa delas particulas a y sabíaque estábarrformadas por átomos de helio doblemente ionizados, de carga +2e.t Una partícula c es unas 8000 veces más masiva que un electrón, y casi no se desvla al chocar con é1.Una distribución uniforme de la cargapositiva, como la de la matriz positivamentecargadadel rnodelo de Thomson, apenas desviarla a las partículas a que pasaran por la mitad de la distribciórr de carga,porque los efectosde la repulsión debidaa cadalado de la disfribución, tenderlan a anularse. El experimento de Rutherford indicó que eran demasiadaslas partfculas a las que se dispersaban en ringulos grandes, como pata poderlas explicar mediante el modelo de Thomson.2 Sin embargo, si la carga positiva y la masa del átomo esfuvieran

130; 45-L Proplcdarla

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(b)

FIGURA 45-1 (a) Emcst Ruthcrford (cn csta foto, a la dcrcch¡, con llars Coigcr) dirigió los expcrimcntos do dispcrsión quc rcvclaron la cst¡rrctura nuclcar dcl átomo. (b) Particula alfa qw so dispcrsa dc u¡ nuclco. Sc.ticnc r¡na dc.sviacióncaractcrística,cuardo la paliorla
1jO s C:picutoa5

Frsic¿suda

concentradasen una estructura.central,el ángulo de dispersión podría ser grande, Podemos estimar el ángulo normal de dispersión, 0, de una particula a i¡rcidr:nte. desviadapor su i¡tetacción eléctrica con una esfera con carga positiva, de raciioR, como sigue: 0= Lplp, siendop = mou es la cantidad de movimiento que recibe ja particula a) u es su velocidad,y Lp eslacarttidadde movimiento que recibela pafiícul¡r ¿ry que trasladaal pasarpor la distribución esféricade carga.La desviaciónnonnai se tiene cuandola partlcula d pasacercade la orilla de la distribución de cargapositir,a (figura 45-1b). En este caso, podemos aproximar Ap mediante F At, siendo F = (Ze)(2)laxeoÉ la fuerza de Coulomb entre la distribución de cargay la partículaa que llega a la orilla de esadistribución,y At = Rlu es el intervalode tiempo durantc el cual se desvfa esapartlcula a. Asi, I; A t

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(Zc)(2t,)l i l p T --4re,ll" nt,u

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( 1 5 *r )

El factor l/R del resultado indica que mientras merlor sea el radio del núcleo, será mayor el rlngulo caracterÍstico de dispersiótr. Para R igual al radio del átolno, aproximadamente0. I nln, la dispersiónes despreciable.La cantidadde dispersión grande que descubrió Rutherford se puede explicar si R es dcl orclclt clc lO-5 ¡ror cl radio del átomo.

4 5- L U na parti cul a d corr 5 MeV de energl aci néiica va D J E M PL O directamentehacia un núcleo de oro (Z :'19) en reposo.Ese núcleo es mucho más pesadoque la partícula a. Calcule la distatrciaq a la cual se acercala partfcula al núcleo de oro, sitr regresarse,

-: + \\partícula

a

t- - n - *l I \Nú.1*

FIGURA 45-2 Ejcmplo45-1.Un choc¡uo do frcnto cn cl crul una partícula a cs haciaatnispor un dcsviadadirccta.¡ncnto núcleo.

SoLUCION:La repulsión de Coulomb entte el trúcleode oro y la partfcula a hará que ésta desacelere,se detengay se regrese.Supongatnosque ei núcleo de oro es tan pesado que peffnanecefijo, y empleemos la conservaciónde la energfa para resolver este problema. La energía total inicial del sistema es E: K + U. Hacemosque la energlapotencial,U, seacero cualrdolas partfculasque chocan es&inmuy alejadas.Entonces,Ees igual a K, o sea,5 MeV, y esevalor pennanece constante.Cuando la particula a llega al putito de regreso,su energíacitiéticaes cero, y la energfa es enterarnentepotencial. En este pr¡nto, la separaciónes .R (figura 45-2).La energla potencial de Coulomb de dos objetos con cargasZ¡e ;; Z2c es

u (r): z ' z ' c 2 4fr€o

| r

.

de la energfaigualarrdolas energfasen r - € y en¡ Aplicamosia conservación (lo cargaa de la partfcula) y Zz- 79 (la cargadel.núcl;c Zy'2 - R, y hacemos de oro):

Kl,=,.+Ul,= * + Ul,: o; -:Kl" ^ Kl0 Despejamosa R: (2)(79)e2 | ^ :#;:(2)(79)(1.6 R 1+7t€o

(2)(79)c2I

, :V.1.___. ^

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x lo-"'/)'(9 x lo')N nr: -c'-r

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Es:a dista¡rciaes algo mayor que los radios nuclea¡escotnbitrados,delas dos :¿r:culas que intervienelr, de modo que la fuerza nuclear será mÍnima. Sin e;;rbergo,la distanciaquedabastantedentro del radio de Bohr,más interior. ,

1ic9 4J-1

Prcplcdadc

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f i-stribtrciones de dispcrsión ': :iser.;ación de Rutherford, de rlngulosde dispersióngrandes,lo condujo a pro:,::.:: el :nodelo planetario que virnos en el capitulo 42. También pudo llevar a'cábo ::.:',:.cs más complicados de 1o que sucedecuando un haz colimado de partículas l ::: ilsrrrado a un conjunto de átornosformadossobreIa basede su mbdelo.Algunas :: .:s patículas a siguen üna línea directa hacia el'núcleo, y otras pasafihacia un .::: :lgura 45-3). Parauna recta dada,la fuerza en cualquierlugar de ella es la ftrerza :e Cc:lcmb, y se puedecalcularla trayectoriade la partículaa . Si el haz de partículas : -= ;;stribuye uniformemente por una zona con una serie de núcleos blanco, ::r:.:ces se puedecalcular el número de partfculasa que llegan a cualquierdistancia I¡IGURA 45-3 IIaz do pa(ículas a quc .-"::i¡.ino de los ladosdel nÍ¡cleo.Rutherfordenrpleóestatéctricaparapredeciruna Ilcgn n urn lnuostrarlc nurtcrial;sc dispcsará > at, la partículablancono retrocederá.Sólo verenrosestecaso,por : : s ir r r ¡ r lic ic lad, La ¡rro b a b i l i c l ndde q t¡es c Íld i s p ersacll a ¡rartfcul aa un ri ngul o0cs .':,-;rorciorral a,la secciótt transversalde colisión; o(0). Ruthcrflorrldcnrostróc1rre, Ln sección trn¡lsvcrsnl dc colisión se '-'::ia.ll >>/r. estasección transversales descri l ¡i ó en el cepi tul o 19. 0\ : vo(\ "/

Z, Z. t ' 1

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l6( 4ne, , ) r Kls er r 'r 1 l ) / 2 ¡ '

I-¡s característicascríticas sotrla dependenciarespectoal inverso del cuadradode K, ;. la fuerte dependetrciarespectoa 0. Los ayudantesde Rütherford, Hans Geiger y Ernest Marsden, contaronlabo¡ios:¡lente ias padículas a dispersadasde una hoja delgadade oro obsen'andolas que l.egabana una pantallafluorescetrte(figura 45-4). Esosexperimentoscornprobaron

E, Iloja'dc oro

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Panra]tn fluorcsccntc -' L:iirerford sólo pudo llcvar a cabo un cálculo clásico,lrcro nosotos sabcmosahoraque ]a fisica cuiintica r:f:-:¿ .:r esrs Gscalas.Por un ext¡aordinariogol¡redo suerte,la ley del cuadradoi¡rvaso de la fucrza do Coulomb --s.z -.::¡¿ ic;; i6 ¡r.r- ¡rarala cual ur cálculo mccánico cu¡intico producc rura distribución idéntica a la quc : - :.: ;::- iL.S;alcuios clásicos.

FIGURA 454 Diagrama dcl cxpcri.rncnto on el quc Gciger y Marsdcn obscrvaronla dispcrsión do particulas a por los itomos de oro dc u¡ra laminilla dc cso mctal.

n31 ü C¡FeE¡o

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delnúcleoy el mo
n¡xla

de Rutherford. Rutherford tambiénnotó una desviaciónrespectoa lo predicho por 1a ecuación(45-2), Cuandouna partlcula a se encuentraen trayectoriadirecta hacia un núcleo, se regresa a 1800 (véase el ejemplo 45-1). Si el valor de Z de| blanco es suficientemente pequeño, y la energfa de la partfcula a irrcidente tie¡re el val¡,i suficienüe,mayor de 5 MeV en el experirnentode Rutherford, entoncesia energíaCeia partfcula a es suficienüepara supemr la fuerza de Coulotnb, y penetraen el núcleo. l¡ fuerza que experimentala partículad se modiFtca,por lo tanb, y ia ecuación(45-2) ¡ a n: es correctra,lo cual explica la desviaciónque observó Rutherford iespecto a la ecuacióir (45-2), La partlcula cxque penetra experimenta una fuerza nuclear, y etr ia obseivación de Rutherford fue la pritnera vez que se detectó la fucrza nuclear en Ia dispersión. Neutrones. Como casi toda la masa de un átorno está en su núcleo, y como el peso atómico es,aproximadamente,el doble del número atótnico, el núcleo no puecle estarcompuestosolo de protones,En 1920,Rutherford srpuso que un núcleo poclrfaestat formado por Z protones y N - A - Z particulas de más o menos la misma masa que la del protón, pero sin catga eléctrica; a esas partfculas se les llamó, des¡;ués, neutrones.4.4eselnúmero dc masa,quees el núrnerode protonesnrásel de ueutrones en el núcleo. Fue dificil la comprobación experirne¡rtal,porque es dificil detectar partlculas neutras. Cuando pasanpartlculas cargadasa través de la materia, las fuetzas de Coulomb hacen que los electronessean expulsadosde los átomos de la materia, dejando una trayectoria de átomos iotrizados que es fácil de obseruar mediante diversastécnicasde detección.Pero cuando pasanpartlculas neutras,conro fotones o neutrones,a havés de la materia, no la ionizan con facilidad. Cuarrdo se bombardean átomos de boto o de berilio con pattículas a, la observaciónde los núcleos que rebotan indica que se producenpartlculasneutrales. Sin embatgo, esaspartfculasno son necesariamenteneutrolres;por ejetnplo, podrlan serfotones.En 1932,JamesChadwickdemostróque las partfculasneutrasproducidas porbombardeo de boro y berilio con partfculas c son en realidad neutrones.Chadwick permitió que el componenteneutro pasamhacia un material que contieneuna buena cantidad de hidrógeno, como parafina,y observó que a vecesse producía un protón muy energético(figura 45-5). Interpretó esto cotno el resultadode un choque euire el componente neutral y un núcleo de hidrógeno, que consta de un solo protón. Midiendo la cantidadde movimiento del ptotón obervado,y empleandola conservación de la cantidad de movimiento, Chadwick comprobó que el componenteneutio 'j

no pdfa serufi fotón.En lugarde ello, llegóa la conclusiónde quela partÍcula,a l: { cualsellamahoy neutrón,debetenerm;iso menosla mismamasaqueel protón.Asi,i del trúcleopor püte de Rutherford,s¿! unos 20 añosdespuésdel descul¡rirnicnto

i .t FIGURA 45-5 Esquonra dol crporiÍpnto con ol quo Ct¡¿dwick doscubrió los nout¡oncs. la parafina contionc ¡lto porccntajo dc hidrógcno, y por conslguicnto, dc núclcos quc son protoncs únicos quc haccn dc blancos para los proycctilcs quc ücgaru Un análisis cincrnÁtico indica quo sólo lc r.ut¡orics quo sc dispcrsan dc los núclcos do hid¡ógono podrían producir lm protoncs cncrgéücos on la paralina.

"/ tProtón (5 NlcV)

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Parafi¡u (conticnc hidrogcno)

4 Por r"zoncs como las que sc describcn cn la pre$x1ta 4 y en el problcrrn -56,sc 3:\.::i clcctroncs cn cl núclco.

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o I o o o o o o o o o o t

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s¿ :i:cuenlran en los núcleos y comparten muchas de sus propiedades.Una diferencia -::.>ciiante entte protones y neutrones es que, a diferencia de los protones, ios :.e j:¡cnes iibres no son eslables,sino que decaencon una vida aproximada-r=890 s. Sin =::.'ialgo, los neutrones no decaen dentro de los núcleos estables;pronto veremos : a: c ue. l-as propiedadesdel núcleo dependende la fuerza que lo mantieneunido, que se Jxna fuerza nuclear, o fuerte. Sabemosque debe existir esafuerza, porque sin ella -a :i:er¿ade Coulomb, de repulsión, harla que se desintegrarael núcleo.

Lr vide se describe en el crpítulo 41.

S.lgo de terminología Recordemos que el número de nucleones en un sólo trúcleo es el número de masa, ..1.cantidadque determina casi totalmentela masa del núcleo; el número de protones es el número atómico,Z;y el número de neutroneses N: A - Z.Un núclido es un i';cleo de un elemento con Z y.4 dados,y se represelrtamediante

2x, en donde X es el sfmbolo qufmico del elemento. Por ejemplo, el núclidol He es un núcleo de helio (Z * 2) con 2 protones y 2 neutrones.El núclido lHe también se presentaen la nafuraleza.Esta terrninologfaes redundante,¡;orqueei sfmbolo qufmico ce por sf ya deüerminaa Z, de modo que normalmente se usa la forma aHem¿íssencilia. El protón esun núcleo de hidrógeno,lH, pero con frecuenciaemplearemosel slmbolo normal, p, ptra el mismo. Como acabamos de ver para el helio, el núcleo de determinadoelemento qufmico tiene un valor de Z determi:rado,pero son posibles varios valores de N. Por ejemplo, el neón tiene tres núclidos estables¡21'{e,2¡ Ne y "N"), y varios inestables.I-os núclidos con el mismo valor de Z se llaman isótopos del elemento dado (véase capftulo 19). El peso atómico de un elemento qufmico en grarnos,- que es la masa de 1 mol del elemento -, en realidad es un promedio de los diversos isótopos naturales del elemento, ponderados de acuerdo con la abundancia relativa de sus isótopos. Masas nucleares y enetgías de enlace Las fnasasde los núcleos son iguales,haslauna exactifud deO.5%,a las masasde los átomos correspondientes, y esas masas se pueden determina¡ con ese nivel de exactitud a través de métodos puramente qufmicos. Sin embargo, la masa de un núcleo, que llamaremos ¡n(i.X) se puede deberminarcon mayor exactitud, quitando de su átomo uno o más electrones, y a continuación manejaado el núcleo con un espectrómetro de masas (véasecapftulo 29). Este espectrómetro puede, por ejemplo, emplear primero campos eléctricos y magnéticos cruzados para determinar la velocidad del ion, que se ha acelerado en oho campo eléct¡ico. El ion pasa por una zona de cunpo magnético fijo; en ella, el radio de curvatuta de su trayectoria determina con exactitud la cantidad demovimiento, Si conoce¡nosla velocidad y la cantidadde movimiento, podemos determinat Ia masa. Con esos i¡strumentos se pueden detetminar las masas de los iones con una gran exactitud: se pueden medir las masas atómic¿scon rttn exactitudtnejot que I parte en 108.El que se obtenganmasasaüomicas I'no nucleates no es desvenüaja,porque, como veremos, las masas de los electrones se a¡ulan en los cálculos. De pasada,hacemos notar que las abundanciasnucleares, que son las cantidades ¡elativas de isótopos que se encuenhafr en la naturaleza, üambién se pueden determirrar mediante la especttometda de masas.l,os átomos ionizados de detenninada muestm natural del eiemento pasan porel espectrómetro. Como sus masasson distintas, cada só'.opo sigue una ttayectoria distinta, y el número telativo de núcleos que siguen detrminada trayectoria es una indicación de su abundancia. Una unidad de masa práctica en flsica atómica y nuclear esla unidad de masa ;:ónúca, (u, o uma), que se define como;de la masa de un átomo l2C. Ese patrón de

Un núcleodedo contieneZ protonesy Nneutronee,h¡ciendo un tot¡l de,4- Z i lf nucleones.

TABL A 45. 1

y rrúcleossepuedenrrreelir masaesútil, porquelasmasasrelativasde ios¿itomos colr AI.GUNAS IYTASAS ATOMICAS granprecisión,auncuandopodamosexprcsa;"la unidaddemasaatómicaconnrucho ¡:,lemeflto Masa atómlca (utna) menosprecisiónen términosdel kilosram,r: 1.007825 lH 1u - 1.66057> . 10-27kg (4s-3) 2.Or4t02 t^¡ 3.0rffi29 Otra r¡nidadpráctica de masa es consecuerrci r de la relación relativista entre masay iHe 4.W26o3 enetgla, que nos permite expresarlas mas;,sr n eV/c2, o MeVic2: iHe 6.015121 (45 -/1\ 7.01ó003 lu=931.4(t4MeVic2. iLt tjts r0.012937 l2l12.000000 También,es cómodoexpresatla energlaetr términosde uc2,por la relaciónde la 6v l4^ (45-4).En unidades demasaatótni<:a, lasmasasde losnucleones son ecuación 14.w3242 óv 14.003074 !4N x 10-27 (45-5a) mp- l.m728u - 938.272McV7i2- 1.6'7262 kg y trtN 15.000109 troo 15.994915 (45-5b) u - 939.566Mc\ /c2= 1,67193x 10-27 kg, rrrn- 1.00866 22.989768 ?iNa 23.985042 mientrasquela masadel electrónes 'rllllr 2ó.981539 ?3Ar x l0-rokg (45-5c) i Itcv/c? - 0.910939 m, - 5.48518xl0-au- 0.51099 34.9ó8853 ilcl 39.96259r fica y del átomode hidrógenoes 54.938047 la masa iSMn 55.934939 :8Fe M(tH ) - t.007825u - 938,783\r .V /c2= 1.67356x 10-27kg. (4 5- 5d) 59.930788 93Ni 59.933820Nótese, en las ecuaciones(45-5), la notacjón normal de ia eme mayúscula, M, para !9co 73.92rr77 la masa atómica,y la eme minúscula,tt¡, f)a:'alas masasnuclearesy de partfculas; 3ioe 89.904703 seguiremosempleandoestanotación. I.a ¡b a 45-l presentalos valores de algunas Vt ,37.m5232 se puedecalctrlarrestatrdo masasatómicasen uma. l-a masanuclea¡ ccrr,:spotrdietrte '#Ba r80.947992 atómica. Zntrde la masa 'rTTa 207.976627 lTPb 208.9810ó5 %?Pb Energía de enlace,De acuerdocon la:;e :uaciones(45-5),la su¡nade las masas 209.982848 'ü?o de 6 ptotones,6 neutronesy 12 electroneses 12.0989u, o sea aproximadamente l% 232.03805r l2C, qu i ( ; exactaurellte12 u. Una observación 'z#Th más que la masa de ut¡ átomo de -#u 235.U3924 cuidadosademuestraque esla discrepanci.rs" debe por completo a la masa nuclear. 238.050785 (lu(: ÓI: ]L ¡

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L¡ m¡s¡ nucle¡r e¡ eproximrdemente ' % pc¡or gue ler meser tot¡le¡ dc ¡u¡ c rrDpoocDtcr-

1312

la suJnade las masasde los 6 prototres I.a masa de un núcleo de carbón es menor y 6 nucleonesen estamisma cantidad.Poi' k gencral, la nnsa dc un núcleo establc núcleo, esnrcnorqueZnti+y¡nn,¿ebidoalasener¡Ía:queenlazanlosnucleonesenel y también a la relatividad especial,como j)ronto vetemos. Para sepatarun nucleón, o un conjunto de nucleones,de un núcleo cstrrble,se necesitaenergla. La energta de enloce,E¡, de un núcleo cs la que se desprendecuando el núcleo se forma a partir de los,{ nucleonesindepenrlientesque 1oforman. Para comprender la relación ent¡e energfade enlacey masa rrucleat,debenrosetnplearla eqrrivalencia entre masa y energfa(véasecapftulo 40). Como se debe agregarenergfaa un núcleo para transformado en nucleoneslibres, la energla del núcleo es menor que la sittna de las energfasde los nucleones libres, y, debido a la equivalencia entre masa )' energfa,la masa del núcleo es menor que la suma de las masasde los componentes. Esüasconsideracionesson válidas patacualquier sisüemaligado, pero para átornos;' los dem¿issistemasligados que hemos visto anües,este efecto es pequeño.Para e, núcleo, las fuerzas de atracción entre nucleonesson tan fuertes, que la energÍa i: enlaceesunafracciónapreciablede la masatotal.Asl, dcbido a la rclaciór rclal:'..:r* entre masa y energfa,la masa de un núcleo es del orden de I % ntener qr.'r ': :.. .

queloformai. delas masas delosnucleones Si hubiéramos sumado las masas de 6 átontos de hidrógeno .v 6 neu::c:--. ::. lugat de compa¡ar las masas del núcleo de ca¡bono con 6 eiect¡c:es. J.:- - ". := .-. partlculasque la forman, hubiéramosobtenido 12.0989u, en con::a;: -':::. * = - I -

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T. \ B L, \ 45- 2 .\I-GL}-./\S trNFI{GIAS DN DNINCE NUCL¡]AII

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2 .2 3 28.3

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7.7 8.0 8.8 8-8 /.o

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127.5 492.3 552.r 1803 ?

3:,.3:iesparael átonto de l2C. Se anulanlas 6 masasde electrones.Podemosdespreciar .:s eíectos de las energíasde enlace de los electrones,porque son mucho tnenores total. Asf, la energlade enlacees c2vecesla diferenciaentrela :ue ia ¡nasa-energía ::'.¡saató¡nicay la surnade las masasde los Z átotnosde hidrógenoy de Nneutrones:'

Et = LZM(IH)+ Mr¡,,- M(nlc'

(4s-ó)

L:¿ catrtidades positiva pam núcleosestables.La tabla45-2 prqporcionalas energias , fb - (12.0989 :: . . : liac c t ot alesp a raa l g u l l o sn ú c l e o s E . n e l c a sodel 12Cobtenemos , - :1.0 u; c2i931.494MeVirrc\ : 92:12MeV, segirnla ecuación(45-ó). adenrás L¡ trrbla45-2 presentatambiórtlit energíade cnlacepor iluclcón,E¿,/rl, j: .e encrgíatotal cleenlace.UIra vez que,4 es l2 o trrayor,la energlade errlacepor y vale entre7 y 9 eV por uucleón.En la figuia 45-6 ::r:cieónes bastantecotrstarrte, Nótesela posición rr¡ficanros estacatltidadcotno funcióh del t¡úllrerode lrrása,,,1. oHe grande de E/A, y; por que valor cei en esta curva, tiene un excepcionalhrente ccnsiguiente,estátnuy fuerte¡nelrte ligado,y la regiónalrededordel56Fe,pataia cual' .: cun'a presentaurrrnáxilno arnplio, El hecho de que la energíade eniacepor nucleótr y decrezcaa medidaque.4aulnenla, 3unlentedesdecero,paralos trúcleospequerios, a\ :uendo A > 6O,¡ros dice ¡rruchoncercade la estabilidadnuclear.Vetnos que la o ::'.asa-errergla total por nucl eóndivninuye (aumeutala euerglatotal de enlace)cuando ¿ c se ccnrbitrandos núcleos pequeliosy fonnan uno.intennedio, por ejemplo, E¿lA para ¿ , : H es 1. 1 M e V, mi e n tra s q n e E¡l A e s 7 .1 MeV para el 1H e. Iguahneti te,-l a ! 235U, ::rsa-errergíatotal por nucleón dismitruyecualrdoun trircleogrande,conro el & ';r¡a el cual E¿lA:7.5 MeV, fonna dos lrúcleositrtenuedios,para los cualesE¡l,,l ;-'.:edescr de alrecledorde 8.5 MeV, o cuatrdoun núcleo gtalde forma un núcleo ? ::e:rcr nrásun trúcleode aHe (utrapartfculaa). Así, son de esperarselas desintegta::::'.:s Cc núcleos grandespara fonrar otros ¡nenores.Si realmenteestosdecui¡nien- L0 : ---.--.u::L'no no, y la velocidada la cual ocurren,dependeen detallede la estructura 6

,.t() ri0

t20

l6() ?(x)

Nr'uncrorlc rn¡sa -:. " : l: s i: iic gr ac i ó l td c l o s n ú c l e o s ,Po re j e n rp l o,undecai tni entosól opuedesucedet :-:;',:: .::¡ iiltración cuátrticaa travésde una barrerade potencial(véasecapftulo tr'IGURA45-ó Encrgíadc cnlacc¡rcr - - I =-.::i5ire¡'¡oscoll lnás delalle esosasuntos. nuclcón,E /z{,comofuncióndcl númcrodc rnasa,21. ,-r1a¡*rJr:o¡r iedadcs

'".:i o _rdistribución interna dc nnsa y carga- Los experimentosde Ruther- =. :::-t::ic. Cua¡do la energíade la partfcula que bombardeaaumentahasta' : - :. :;:l 1apanicula puedepenetraral núcleo,podemosestudiarla estrucbuta -:- :.:;::-...si a¡aiizamosia distribuciónde la dispersión.Si bombardeamos - ,: : : : ::. :-::::,-i.es. que sdlo intetaccionancon el núcleo mediarrtela fuerza de -. -- -. -,:,j:::.:s :::enninar la distribuciónde la cargaen el interior dei núcleo. :.:--:lec con partículasa, Protonesoneutfones'determinaremos :.:--:::i:l:-.:. cientrodel núcleo.Ambos tipos de experimentosdan : .::: : -:. :: i: -:r. :-'-::.ecaes

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o o o o o o o o o

Enetgía de errkce por nucieón (IIel'/nucl-cón)

>L .

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Energía tótal de enlace (lfev)

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'4*:,ry+r&ú>?*iú5¿t¡**--

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13r1

como ¡esultadoaproximadamenteel mismo cuadro, tanto del radio como cie la y los neutrones constitucióninternadel núcleo;en okospalabras,los protorres están distribuidoscaside igual maneradentrodel núcleo.Los experimentosde dispersión indicanque tanto la masacomo la cargade un nircleodc núlncro.4 de t)tasa,se hastaun radio R¿expresadopor distribuyeuniformemenfe

Capitulo 49 Ftsla nudc¡¡

R ,t:

FIGURA 45-7 L,osmrclcorrcscstÁnmuy agrupadosdcntro dc los nriclcos. L,os dlstintos to¡¡osdc gris rcprcsontnnprotoncs y nculroncs.

t30 t2 0 il0

-

Li¡¡ca dc cstabilidad

100

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l sn .E

2+o 30

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20 t0

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to 2 0304050óo70 8 0 9 0 Númoro dc protoncs

FIGURA 45-8 Los nriclidos establcs, ubicados cn una gnifica dc número do ncutrcncs, N, cn función dcl númcro dc protones,Z. Nótcso quo para los núclidos mris pcsados,Ncs mayor quo Z. Los núclidos cst¡blcs sc sgrupan on r¡na cr¡rva llannda linca dc cstabili
r,A t13,

(45 - t )

en la cual, ro = I.2 x 10-15m. La densidadde carga y masa dentro de estevolumen es casi igual pam todos los núcleos. Más allá de Rr, ias densidadesde carga y masa bajan con mpidez a cero. El hecho de que R¿s9aptoporciorial a,4ll3quiere decir que el volumen, que es aproximadamenteigual ainR),es proporcional a A: volumen = = lnQr4rtt¡t = iort"l. Esto i¡dica que los nucleonesestrinrepartidosunifonnei"n) mente en el volumen del núcleo, lo cual confirma el irecho de que las distribuciones intemas de tnasa y carga pueden tener Inás o l¡relrosla nlisrna fonua para todos los núcleos. En el modelo clásico, el núcleo se asemejaa un conjunto de canicasrnuy unidas (figura 45-7). l,os nucleonesdentro del núcleo estánfuerternenteatraídosa sus vecinos inmediatos, tnienttas que los de la superñcie están lnenos fuerternetrte ligados. Estabilidad Aunque los núclidos con valores de Z hasla Z : 92 (el uranio) se presentanen la naturaleza, no todos ellos son estabies.El núclido '?JjBies el núcleo establemás pesado.Aun cuandoel uralrio¡ro es cstable,sitr ernbargo,su isótopode vida más larga,el 238U,tieneuna vida lnediade uiros4,000nrillonesdc arios.5 A bajos valoresde Z,los núcleostiendena tenerel misilro núlnero de neutrotresy protones; estoes,N = Z, pero,a medidaque aumentaZ, rVtiendea ser mayor, porquehay una fuerza de Coulomb de repulsión ent¡e protones,que no la hay para los neutrones.El aoCaes el núclido establemás pesadopara el cual N : Z.Lafigura 45-8, que núclido esuna gráftcade los núclidos eslables,muestrauna zotrallarnadalfnea de estabilidad, en la cual quedanlos núclidosestables.Estacurva tienela fonna aproxinradaN: Z, paraZpequeño,y de N - l.62 paraZ grande. Hay aproximadamente250 isótoposestables.Cuando el núrnero de isótopos establesse exptesa en términos de Z y I si son pares o itnpares, surge un notable comportamiento.Un 60% de los isótoposestablestienenZy Npares alavez;un2)Vo tieneZ par, Nimpar,y 20% tienenZ impar, Npar. Sólo 5 isótoposestablestienenZ y Nimpar, alavez.,Lagran preferenciade los núcleos paratenerZy Npares a la vez, se puede comprendermedianteuna fuerza de apareamie¡rtodel tipo de la que fonna los paresde Cooper en la superconductividad(véasecapítulo 43). En las secciones 45-3 y 45-4 ve¡emos más ias energíasdel decairniento,los diversosmodos en los cualesdecaenIos núcleos inestables,y las tasasa las cualesse presentanesosdecaimientos. Spinesy ntomcntos nrcgnéticosdipolares. Los núcleostienerrmomento angular, del mismo modo que los átomos.A estemotnento angular,por 1ogenerai,se le liama spin del núcleo, porque, sin conocer su ertructura intema, podemos imaginar que es intrfnseco.Los nucleonestienenr-¡nspin igual a ft12.Y, al igual que para los elect¡ones + en los átomos, los nucleones que componen al nucleo pueden tener un lnon'lenio angular orbital. El momento angular total de un núcleo es el resultado de sumar los momentosangularesorbitalesy los spinesde acuerdoco¡rlas reglasde la rnecánic¡ : cuántica, suplementadascon el principio de exclusión. El principio de exclusió:r porejemplo,quedosprotonesno sepuedenmover en lamisma órbita,tenienj: establece, p

5 Rccr .¡ cr d csc,dcl capítul o4l ,qucl avi damc¡i i acsci i nterval odura¡i tccl cual dccacl ani t:di ,:i ' .:,: -.: do partículas incst¿bles.Es igual a 0.69r, dondc r es cl tiempo dc vida.

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o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o a o o o a o o o o o o o

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:-iibos su spin hacia a¡riba. una de estas reglas dice que cuando se suman los ;:'.3lnentos angularesy los spinesde un uúmero impar de partlculasde spin/r/2, el :esultadoes un mornento angular neto que es un múltiplo impar de fi/2, mientras que -iesumai los mornentosangularesy lós spinesde un número par de partlculasde spin ' . l, el ¡esult¿does un momento angular neto que es múltiplo entero de /r. Asl, en sus :-<:acosfundamentalesrespectivos,el lHe tiene spin ltl2, pero el lHe tiene spirr0; el l: riene spirr'00/ th12, mientras que el lTHo tiene spin 5i. Relacionado con el momento arrgular de un núcleo tenemos a un momento :--asneticodipolar, el cual da el medio de detectarel momento angular del núcleo. Henos descrito la resonancia ntagnética nuclear, en la cual el momento dipolar :.:snético se detecta debido a un fenómelro de resonancia,en ei capitulo 32. otro -:-.-';iode dctectarel motnentotnagnéticodipolar nucleares tcner en cucntaque ulr ::;cio magnético produce un campo magnético, y como los electronesatómicos --:3ie;l tanto spin como lnomento angular orbital, la energla de esos elect¡ones :e:eide de ese campo magnético nuclear. La diferencia pequeñaque resulLaen los r.:"'elesde energladel eleckón se llama div¡sión hiperfna o desdoblnntientohiperfno :e ics espectrosatórnicos,descomposiciónunas mil vecesmenor que la descornposr¡ion de estructurafina, que se describió en el capftulo 42. .A.unquefalta una explicación universal de todos los morncntos dipolares mag.-.e::cos,los órdenes de magnitud de ellos son los de los momentos magnéticos :::olares del protóny del neutrónmisnros.Esperamosque,a su vez, esosmolnentos ::::1.:rléticos dipolares sean del orden de altf2m,,c,ca¡rtidadqr¡e se conoce colno ' -tgnerón nuclcar, para el protón, y cero para el neutrón, que es ueutro, semejanteal ::rorrrento rnagnéticodipolar de ahf2m"cparael electrón.óEste estir¡ladode orden de ;;:agnirud es comecto.Nótese que, debido a ias rnasasque intervienen, el momehto ¡:.a-Enéticonuclear es unas 2000 veces menor que el del electrón. E" por qué la :escornposiciónhiperfina de los espectrosatómicos es unas 10oo vecesmenor que l:. ,iivisión en estructurafina. EJEIu PLo 4 5 -2 (a) A partir de los datos de masasatómicas,carculera energíatotal de enlace,y la de enlacepor nucleón, del 5óFe.(b) ¿cu¿í¡taenergfa se necesitapara quitar el protón menos fuertementeligado del 56Fe? soLUCIoN: (a) La tabla 45-l y las ecuaciones (45-5) preserrtanlas masas necesariaspara que podamos emplearla ecuaciórr'(45-6)para calcular la energla de enlace.Cuandose aplica esaecuaciónal 56Fe,vemosque / ir , ( s 6F c:[z ) :,,,t.." A 4 (r H ) + N s 6 r." /tt,, - M 1s6Fc)]c2 : [2 6 (' H ; + 3 0 n r,,- M (s ,,Fe;]c2. ^ ,1 : t2 6 ( 1 .0 0 7 8 2 S u ) -r-j 0 ( 1 .0 0 t j 665 u) - 55.934939 ul c2 : (0.52846v/¿1Q31.a9a McV lv"e1 492.3MeV. : -; ::e::ia de enlacepornucleón es (492.3MeV)/(56 nucleones) (8.8 MeV)/nu:.:::. -: ?'":a d¿terminar cuánta energla enlaza al protón menos fuertemente -. ¡:::. al cuai llama¡emos So,empleatemosuna ecuación como la (45-6) pero, 59Fecon la de un átomo de ---¡.: ie coi:iparar la masa de un átomo de 55Mn 55Mn -:--:--:::::: :ras ::r átomo de (el núcleo de es lo que queda cuando se

737i 4J-1

Prcplcdade

atátle

dc ls núcls

Capitulo

o' o o o o o o o o o o o o o o

quita un protón de un núcleo del 56Fe.¡:

1316 4J

Físlq

nuclcr

=lM{tH) * M(55Mn)- M(5(',Fqlc2 ,sr(soFe) u]c2 u - 55.934939 : [ 1.007825 u + 54.938046 : (0.0109 .494MeV/uc2): 10.2MeV. uc2¡1t¡31

( 4s - 8)

[-a energlanecesariapam quitár tan sólo un nucleón de un núcleo se llalna energía 56Fees especialmente de sepaiación l,a energla de separacióndel protón para el sFeesuno fuertes. deetrlacesespecialtneníe grande,de 1O.2MeV,porqueelnúcleodel

45-2

FUERZAsNUcLEARESy MoDELos NUcLEARES

Fuerzas nucleares

L¡ fucrz¡ nucle¡r esde corto ¡lcance.

Una de las principaleslareasde la flsica nucleares descubrirla naturalezade la fuerza nuclea¡. Debe ser lo sufibientementefuerte como para superarla repuisiórreléctrica entre protones.Se necesitauna energfade 5 a 10 MeV para liberar un nucleóIl de un núcleo. Este valor se puede comparar con los 13.6 eV que se necesitanpara ionizar al hidrógeno, o con los 3 a 5 eV necesa¡iospara liberar a utt elcctrólr de un metal (ln función trabajo). Con este patrón, las fuerzas nuclearesson aproxitnadalnetrteulr millón de vecesmás fuertesque las fucrz ts eléctricasque enlazanlos átolnos. El hecho de que la cnergíade sc¡rar,cióndcl rtuclcónsea del ordcl¡ dc algutros MeV, aun para¡rúcleostan pesadosco¡noel plonto (.,1: 208) itnplicaque el número de "enlaces"que frjan un nucleóna un núcleo no es tnayor al crecerel núcleo;decinros que la fuerza nuclearse satxra cuandoun nucleón se rodeade otros. Lafucrza tuclear tiene cOrtOalcance,comparablea la distancia enire los nucleortes, en un núcleo.Pot alcance se entiende la distancia más allá de la cuai la iuerza nuclear decrececon rapidez;pronto daremosuna definición más cual¡titativa,A partir de nuestrafórmula parael radio nuclear,la ecuaciótr(45-7),podetnosCeducirque la distanciaentrelos nucleoneses del ordende I fermi (fm), o l0-:5 rn (u-rnbiénse liama/crtltómetro).La conclusión de que Ia fuerza nuclea¡ tiene corto alca:rceesiá respaidadapor experimentosde dispersión,que tambiénnos perrniten',eCiieseeical:ce,en forma cuanti' tativa. Podemosresumirel comportamientocuanliia:ivole las inle;accionesnucleares como sigue.A excepciónde distanciasmucho n:eno;es;';e l. :::, rj:13iepresentación razonablede ia energíapotencialnucleón-nucleónes/

Distancia (fm)

C ,l ttl ,,ntlt, - .tl r I

FIGURA 45-9 El ¡ntcncial dc Yukawa, U(r¡ - -f e'Blr,cornparado con cl dc Corlomb. Hcmccscogido f = tY n=O.l

¡rl

:

-rr-

--

--

(4s-9)

en la cual r es la distanciaentrelos dos ir.ucleones, 1'ei parálnetroR, que defininlos x m. La figura 45-9 I:luestraesta 2 1g-ls aProximadamen',c, es, alcance como el potencial de la l¡risrnamagllitud' peto con que la energÍa al iguai potencial, energía = dos energíaspotenciales esas -92lr,Para comPafación; Uc Coulomb, de una forma potencial de la ecuacióni La energía para r pequeno. comportamiento mismo el tienen (45-9) se conoce como el potencial de Yuka*,a, en ltonor de su i¡rventor, Hideki' Yukawa. Se puedejustihcar en el contextode la lnecárica cuántica,colno veretnos

enel capitulo46. ,i y no a la fuerza hemoscitadoa la fuerzatrucleón¡lucleón' En nuestradescripción, Mediantenumero' o a la neutrón-neutrón. a la fuerzaprotón-neutrótr protón-protón, de eltlace energías por de las que estudio el al igual dispersión, de sosexperimentos

frn 7 Como los dos nuclconcs ticncn la m.isna rnasa,cs nccqsario considcra¡ al sistcnu cn tÓnninosdo un¡ masa rcducida quo actúa bajo la influcncia dc rura fucrta ccnl¡al.

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O

o o O o o o o o o o o o o o o o o o o o o O o O o o o o o o o o o O o o o o o o o a o o o o

:1-: r:-.:.leoscon el mismo valor der{, pero distintosvaloresde Zy de N, se demuestra :--::. :ásicamente, las únicas diferencias en las interacciones entre neutrones ¡r .::'.3i:.esse deben ai electromagnetismo, Una descripción completa de los potencialesnucleareses mucho más co¡nplicada :': el rctencial de Yukawa. En primer Iugaf, hay una repulsión (repulsiónde núcleo) ::.:--e^osnucleonesa distanciasmetlores que, aproxitnadamente,I fm. En segundo .-¡a:, las tue¡zasnuclearestienen una dependenciaapreciablede la orientación del .::¡ ie los nucleones.En tercer lugar, y quizá sea lo más itnportante,las ft¡erzas *.-:.::l:es, en fonna caracterlstica,implican lnás que tan sólo dos partículasque granprobletna,porquelas fuerzas .:.:::::iúan. En fÍsica atótnica,estotro represelrta .::. :¿,¡tivarnentedébiles,y existenherramientasmatemáticasmediantelas cuales :,:,iencs ;nanejar esasfuerzas, cuando intervienen muchos cuelpos. En flsica nu:.:::. las fuerzassonfuertcs,locual indicael parámetro92 dela ecuaciórr(45-9).No :r;-.:en técnicasmatemáticasatrallticaspara el manejo sistemáticode esasfuerzas. *.:s problemasimpuestospor las fuerzasnucleatesson demasiadodifíciles para :': j::se resolver a partir de ut¡a teotía fundalnental. A pesar de esta dificultad, se ::;cce ¡nuchoacercade los núcleos,Como en el casode los materiales,iray Inodelos .. :;:oximaciones que explicandistintaspropiedades,limitadas,de los núcleos,que :: h:.:rdesarroilado.Describi¡emos dos de esosmodelos, el de capasy el de la gota :: .; quido. El nrodclo dc capas :;: el capitulo 42 vimos que los niveles de energía de los electronesen un átomo :crman una estructura de capas. EI núcieo atrae a los electrotlescon la fuerza de Los 3culomb, que disrninuyeen funciótrde Ilf ,y afectaaun a electronesalejados.E eiect¡onestambién interaccionanentre sí, pero esa interacción sólo conduce a ::cdificaciones relativamentepequeñasde la estructuraatómica deierminadapor Ia :ierza pura de Coulomb, desdeel núcleo. Hemos visto et'iestecapi',uloque las fuerzas :-lclea¡es son muy distintas de las de Couiomb, en especialpor ser de corto alcance. i pesar de esta importante diferencia, los nucleonesindividualesde un núcleo ::::bién se comportan como si estuvieran en un potencial extemo. En efecto, las ll:eracciones de un nucleótr y los que lo rodean originan una fuerza pron'redio,o :;ergía potencialpromedio,que tienenivelesde energíabien definidos.La descrip:.in del núcleo que se basa en esta idea se llama modelo de capas, o modelo de 3,tr! ícula indep endiente, Lo que a primera vista parece incomprensible en la descripción anterior es por ::é los nucleones podrlan estar en alguna "órbita" durante cualquier intervalo de ::e;npo. El principio de exclusión desempeñaen esto un papel importante: ios :.::leones puedensufrirtransiciones a otrasórbitassolo si, al chocar con otro6nucleones, :.. :-. ¡' sussemejantestienennivelesvacfosde energíadóndepasar'Sin embargo,la de los niveles de energÍa estiin llenos, y esto es lo que origitra la -.::r.::Arie ::::::ri:daCde las órbitasy la existenciáde una estructufaen capas. ?::a e;iaminar cómo se veria una estructura como ésta, supondremos que la '-:::: :^uesienteun nucleón dado, es una fuerza de resortettidimensional.eEn tres r --:,.:j: c:.3s,ios niveles de energíade un osciladorarmónico son una generalización :: - -: ::. :esultadodel ejemplo 42-4, que conespondea la posibilidad de movi¡nien: ::. '-::s i:;lensiones:

L:ho(2tt,+/+i).

(45- I 0)

:- : , . : : - : . - : : . ¿ r cc u á n ti c ora d i a l ,n , = O , 1 ,2 ,3 , . . . y /, el númerocuáttti code - --'-:.' : --.¡:-:¡. asumeios valores / : 0, 1,2,3, . .. . Como siempre,hay 2l + | l : : , : : < : : . ' : : : ¡ . : '::' - ze lcp cn ta lla r n ie n to ,m e d ia n te clc ual l oscl cctroncs"bl o<¡tl can"cnpartcal carn¡n : - i-.- r :.: - . : . :-: :ii . :s ..:;:-'ts dc los elcct¡o¡tcsmás distantcs. ' j r'-j t: r :ir:-::3 ¡clc¡rcial cs mcnos importantc aquí que cl hecho dc qttc un sólo nuclcón sc :-:r -: : :- : :: :t-. -T--:3-'::¿ iuerzacent¡al.

131r 45-2

Fuarzzs

nuclcarc

y modclx nuclm

1318 Capitulo 45 Físlq nudcar

esladoscon la misma energlapafa cada valo¡ de l. Llenamos por separadcr.:r:-:: de energfacon protonesy neutrones.El estadode energíamfnima de Z protc:,:-i. : :: ejemplo, se obtiene llenando niveles sucesivoscon dos protones(spin /r/2) cac¿ -::.:. vri:: c:. -esto es,2Q./ + l) protonespo&fan caberen.lós nivelesparadetennir¡aclo I. Asl, el orden de llenado de niveles, para protones,es ei siguiente:

I I

¡ I st I É

Protottcs totales g :]hw;

n, : Q,/ : Q'

2 Protones

2

6 : |liat;

n, : Q,/ : l'

6 Protones

3

l 0 protones

18

2 protones

20

14 protones

34

6 protones

40

¿ :j h c a :

i l ,.:Q,¡-2'

B :l h a t;

nt : l , [ :0'

P= l l tu o ;

n,:Q,¡-t

6 = l k a t;

n, = 7, { - l ;

o o o o o o o

y asl sucesivamente;la misma secuenciaes válida para los neutrones.Es de esperarse que los núcleos en los cuales est'ánllenos los esiadosque coresponden a nritneros cuánticos dados, o capas,sean especialmónteestables,Según la lista anterior, las ; c a p a s c e ffa d a s sepresentancuando Z= 2rZ:2+ 6:8, Z- 3 + (10 + Z)= 20,2 = .; = + + 29 (14 6) 40, y asl sucesivarnente.Cotno la misma lista es váiida paraneutrones, según este modelo sencillo se debfan tener trúcleos especialmenteestablespara valoresZ o N igual a2, 8, 20, 40,'70, . . .. A estosnúmerosse les llama números .¡. mágicos. i I-os valores experimentalesde Z paralos cualesla energiade enlacees especial- .tt mente grande son 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126. Esos números no representalruna .¡ coincidencia perfecta con los números mágicos predichos,e indican que el ordende 't llenado de niveles es distinto en la realidad,algo distinto de lo que sugiereel potencial r'! del oscilador armónico simple. En 1949, Hans Jenseny Maria'Goeppert-Mayer,en .i¡ forma independiente,hicieron nota¡ que la energladeberlacontenertérminos queno lr:t t:: se hablan incluido antes,que implican tanto al spin de un nucleón aislado, como su . .¡ : lnomento angular orbital. Este acoplanticntospin-órbita es el mismo tipo de acom¡ plamiento que origina el desdoblamientode niveles atómicos (veasesección42-3), Si se incluye este tipo de acoplamiento, se tiene desdoblamiento de niveles, y se ' I perturbala ordenaciónde éstos.Con elio se predicenmás correctanrentelos números mágicos observados,al igual que ei patrón complicado de desdoblamientosde niveles en los núcleos, Esta descripción confirma que los niveles de energfade los núcleos, al igual que los de átomos y molécuias, se llenan dei modo que dicta el prirrcipiode exclusión.

O

o o o o o o a o o o o o o o o a o o o

j

I

i

a

El modclo de la gota dc agua

I

{ Las fuerzas nucleares de corto alcance, y el poco espacio entre los nucleones {

componenteshicieton suponera Niels Bohr que un núcleo se deberfacomportir, en i algunos aspectos,como un fluido continuo, como el agua.El modelo basadoen esta idea,el modelo de la gota de agua, que tambiénse llarnamodelocolect¡t'o,nohace --i¿ referencia al comportamiento de los nucleones individuales y en este sentido es a ! complementado al modelo de capas.Se basa en la senrejanzaentre los dos tipos de I datos a continuación,sobre Ia ffsica nuclea¡y sobre el comportamiento de los fluiCos {' incompresibles.Primero, la densidadde toda materia nuclear es, aproximadarne:it:, i 9 constante,al igual que la densidadde un fluido incompresible,En realidad, es 1oq';e ¡ queremos decir cuando citamos que un fluido es incompresible. Segundo, ai ::.... it que la energla de unión pot nucleón, E/A, es aproximadamenteconstanteie nu:le: ; a núcleo, el calor de vaporizaciónpor unidad de masa es constantepara :o::.s :, distinto tamanodeunfluido incompresible.El calotde evaporaciónes1¿s,eigia::c-;:. j

ol

ol ol ol ol ol ol

j

t

¡ .t: -+ t

-

ol

3l

o o o o a o o o a o o

1319 45-2 lucr¡ac

l. --:: i.'n'rino de orderrcero, que es la suma de las rnasascielos nucleonesen :a-tcsc: ZM,, + Ntttn: ZM,, + (A - Am^.

I

o o o o o o o o o I O

o o o o o o o o o

I O

o O o o o o a o o o o t

(4s-1i)

l. L-¡, tennirro proporcional al volumen del núcleo (o rr A, como hernos ::::rostrado), que tenga en cuentala enetglade enlace,casi constante,por :. : : ieón: * tt r A,

(. +-5l2 )

:: .a cual, av es positivo,porquela energíade enlacereducela mas"edel núclco. -'r iémlino proporciornl a A213, o, en fonna equivalerrte, ai áreasuperficial -:. : ¿ l núc leo:

(+ 5 -I i)

- l u r Á' ¿ ll

'- ¡l nucleótrcercade la superficieno está tan enlazadocolro uno cn el inierior, ie l:lodo Qlrcd5 tienc etr cuentautr¡rnrenor energÍade enlaza¡¡ue¡rto, y es ;csitivo. Este término es el análogoal de tensiónsuperficialen una gota de . r quido. tres ténnitros restantestietrerrelr cuenta algunasobservacionessinrples, -os ::' : : iic as del núc l e o : -, -i. un ténnilro para la repulsiórr de coulonrb entre todos los protones en el irúcleo.Esteténnino tiendea aumentarla masadel nucleo.Si srrponernos que los protonesse distribuyen unifonnementepor una esferade radio R, - rv4u3, ecuación(45-7),erltonces,1aenerglanecesariaparaensarnblaresacargaes 3

Z7e2

5

ne, r r , A t lt

* 0. j1

Z2 _ ,NÍeV At l

(45 l1)

.reaseproblema59 del capítulo r2).IA ccntribuciórrde la energiaa la nriisa es estacantidaddividida entrec2. 5. Uri ténnirroque tieneun lnf nimo paraN = z, quetieneen cuentala tendencia :ei número de neutronesa ser igual al número de protones.si sólo hubiera :::ir:inos de 1 a 4, entoncesla energlapodríadisminuiriraciendoque Z fuera ;e;o; esto es, los núcleossólo cosistiríande neutrones.De hecho, no hay :-.ú:ieoscon rnuchosmás neutronesque protones,y los núcleosson especial:-erle establescuandoN: Z. Este términose representacorno t Á 1-/\2 -LL) \ñ , | (. ..1

(45-15)

: , - .. . : lal, a. ,e s p o s i ti v o , ','::.:s

;erninos que describanla tendenciade los núcleosde númerospar de ::::::.¿-( r',/oneutronesa estarrnásfuertementeligadosque los de números - : . - : . - i : e c ¡o to n e sy /o n e u tro n e s .E s ta t enderrci ase presenta porque

nuclcrc

y modclc nrxlm

t

1320 Cepítnlo

{J

los spinesde dos nucleonesen cada "capa" son antiparalelos.Estos témr^;.cs tienen la forma empftica

Frslca nr¡clcar

-

dp

pataZ,N pat:

a:

para Zpar, Nimpar, o pata Z im¡rar,Npar:

A: 0

panZ, Nimpar:

A: -.t!l',

(,15-iSar

J¡

I !f

{ ¡ :, 3

(45- t6b)

(45- I óc)

,/ /l

La suma de todos esosténninoses la fórmula dc ¡nasascmicnrpirica:10 -rtM1 : Z M¡¡ + G - Z)tn,, - tt,' rl + rt.stl :i+j !4 TAI}LA 45. 3 PARAMI,TROS DE I.A I'ORMUL\ SI,MII,MPIRICA DE I,A MASA Parántetro

Valor (u)

av cs

1 .7x l o -r 1 .8x l o -2 7 .5 x l 0 -' 2 .5 x 1 0 -: 1 .3x 1 o -:

Qc aA

(t' (A t+ Q..t

- 2Z)2 + L. (45 - 17) n

Los parrimetrosse detenninm en fonna etnpfrica, ajustaudoestarelación con muchas masasnuclearesdistintas. En la tabla 45-3 se prcsetrtautr conjunto de parátrietros. Pa¡a esosvalores, la cun'a de la figura 45-6 para A ^ 20 o más concuerdabien con Ia ecuación(45-17).Paranúcleosmuy ligeros,la nociórrcleunnúcleoque pareceuna gotita donde son signiiicativas pérdidasde volutrren y superficie, y la fónnula de la masa no trabaja mu¡' bien. Esa fónnula no tiene cu cuenta desviacionesmenoresde núcleo a núcleo,que tienenque ver con la estructurade capas.Aparte de lo anterior, el ajustees exc¿lente. I-na gotita se puede deformar. Con ello se carnbia la energfa,porque cambia el áreasuperficial. De hecjlo. las gotitas osciian debido a esüeefecto, aun cuando el fluido sea incompresible.l¡s i¿erzassuperficialestienden a tegresara la gotita a su forma esférica,pero el té::¡i:'ro ie eiersia Ce Coulomb favorece uná defonnación mayor. Cuando comparamosestos dos eiectos para núcleos pesados,vetnos que la gota de llquido es inestable,y se roinpe en ¡ic,sgotiiasmás pequeñas.De estemodo, el tnodelo de la gota de aguapro¡crcicna ura exp:icacióndel piocesode fisión.

4 5 - 3 (a) C c;.a :::;-:.ase::i e;p:::ca C e l a masa,ca lculeias E J E M PL o ::'tP:. t-Pb masas atómicas del ¡:.. Caic'.:le.a energia de separaciónde )' :ÚPb. neutronespara ei (a) Empleamosla fcn::^a se¡:iie¡:i::;icaie ia lnasacon los parámeSOLUCION: tros de la tabla45-3: M (o 8 Pb ) : (82X l .001S l -{u -

l -! - S l l

/ql \-

| |

t" - ,/ r .- ,- j ...1 : + (1.8 x l 0-: u,r l r' r! ' : - i -.i > r Iu "' Ll

:oa¡"t- 1

+ (2.5x l0-: u)',.

'i r " l l :) -'-,, } 108 J

-

_f

(t.l x lo-2 u\

\

--

I

J2o8 /

:20'7.912u: u) -(209-S2X 1.008665 u) -( 1.7x l0 -'zuX209) M(oepb):(82x 1.007825

* ( r . 8x l0 - 1 u X 2 0 e- )("7 . 5x r 0 - a ",[#f"] r0En algrmoscasos,cl cocficicntccalculado0.?2 delfactorZ2¡All3enla ccuaciórr (45-l4) scrcmplaza ¡c2 concl parimctrocmpiricoa6 - 0.ffi1c'.fs r¡ru difercnciamuy pcqucñacn la cont¡ibucióndo la cnergiaalas la fomracrnpírica. masasdolosnúclcos.En la tabla45-3usarnos

1r

q q

q

ü

q

o ot o

ol

o o o o o o o o O

a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

I O

o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o O o o o o o

- 2(82)l'] + (2.s x ro-2Lr){[209 + o. .t

20e

)

:2 0 8 .9 1 5 u .

t32r 45-3

FncrgÁcn

las ecciorc nrclrc

(b) Para calcular la enetgía de separación de neutrones, fomularnos una ecuaciónsemejantea la (45-8): ^t,(t"oPb):frn,, * M(oBPb) - M(2oePb)lc2 : [.0 0 8 6 6 5 u -r2 0 7 .9 1 2 u - 208.915u]cr : (0,0057).ú(931.494 MeV ltñ

: 5.3 McV.

l,os valores experimentalesde las masas son M(208Pb)- 207.97663 u,y M(aePb) - 208,98107u, y el valor experimeutalde la energíade separaciónde un neutrón es 3,9 MeV. La que calculamos,de 5.3 MeV, a partir de la ecuación semiempftica de la masa,no tiene en cuentalos nrimerosmágicos del rnodelo de capas,para los cualeslos núcleos estánligados especialmentefuerte. El ¡rúclido totPb es un ejernplo de uno "doblementernágico", conZ = 82, N - 126,de modo que debe estar ntuy fuertemente unido. El núclido 2@Pbcede su neutrón con bastantefacilidadparaalcanzarestaconfiguraciónespecial.Por consiguiente,el valor real, 3.9 MeV, es inferior a nuestro valor calculado.

15-3 ENERGTA EN LAs REAccror\iEsNUCLEARES Por reaccionesnucleares,por lo general,se indican los procesosque sucedencuando los núcleos interaccionanmediantecolisiones.Sucedentodaslas posibilidadesde 1os distintos tipos de choques que se describieronen el capítulo 8. Dos núcleos pueden teneruna colisión elásticao diversostipos de colisionesinelásticas.Un núcleo puede absorberenergfa,y decaerdespuesen alguno de varíosmodos, que describiremosen la sección 45-4. La masa puede pasar de un núcleo a otro por intercambio de ::,ucleones. Los núcleos'quechocanpuedencoalescef,--pfoceso que se llama fusión nuclear. El decaimiento de un núcleo único inestablese puede corrsiderarcomo una :eacción nuclear. Como ejemplos tenemosal dccaitniento a, en el cual un núcleo se iescompone en otro núcleo y un núcleo de helio; y Ia fisión nuclear, en la cual los :¡oductos de decaitnientocomprendena dos núcleos de tamaño más o menos igual. En todas esasinteraccionesse aplican las leyes de conservaciónque hemos desamoi,aCoen este libro, incluyendo las de energla,cantidadde movirniento,momento :::'-:la¡ ) ca¡ga. Er e, nivel más sencillo, las colisiones entre núcleos nos permiten medi¡ :-.::j¡ies cinemáticas,como masaso momentos angulares.Para estudia¡ las reac:-:nes ir;:ieares se ha desarrolladouna terminologfa especial para su cinemática. -" ::::--s ::. choquenuclear en el cual los estados,tanto inicial como final, consisten =.-:: s :--:.ecs. ¡eacción que se escribe del siguientetnodo: A+ B -C + D . i,: l: - :: .: ::;sen'ación de la energla,pero como es importante la reiatividad en las ;:.-:¡a::.--,-. ;^;¡i.-¿:es, debemos emplear relaciones relativistas. Para cualquier : -.:,:: : :::---:r:.:. ie masaM, estaenergfatiene la fonna E-K + M c I, :5, .r.r. ::*r -i-':, 3 {,::3ls cnéica del núcleo. El valor de r(depende del ma¡co de refec¿ la energía,E,t * En- Ec + Eo,se aplica en cualquier mar:.r;.,¿, :Éi: ¿ :.:r-;-r"::i-: :: i: : : . - - , : - , : " " i..-.-i .:i :i i :s g u e e l n ú c l e o Be s e l bl ancodel núcl eo,enreposoenel -.i':i entoncesla conservacióndela enerefatiene la forma :::rrc-¡ ::e=:cic. --

- - =.----.*.#s¡iÚ

¡

7322 Capítulo

(Kt + M,tcz) + ]iñ2 4J

Físlc¡

nudqr

= (Xc + Mrrr) * (Kp + Mnc2)

/4<

t

':

o

en esemarco de referencia.Dependiendodc las nrasasde los núcleosque inten ie:.e;:. la teacción puede sef ¿xorérmica,cuandotiene más encrgla cinótica errel estadofinai que en el inicial, o endotérmica,si tiene menos enefgfacinética en el estadofirral. Ur: parámetrocinemático que describeesaspropiedadeses el valor Q de la reacción Q = K c* K D - K A - K D .

I

t

(45-1e) =' 3 '-: €

Nótesequeel valor Q estridefuridocontespectoal marcode referenciadel iaboratorio, Si setieneencuentala posibilidaddequeel rrucieoB tengaenergíacirrética,lleganros a unatelacióngeneral.Un valor Q positivocorresponde a unareacciónexotermica, y el Q negativoa unafeacciónendoténnic¿. Si pasatnos todoslos terminosde energlacinética F

en la ecuación (45-18) a un lado de la ecuación, y todos los ténninos en masa al otro, podemos exptesar el valor Q en términos de masas atómicas:

Í 8 6

n q

> v

Q - (M^ n Mn - M6- Mp)cz

o

:$. ,:g :

(4s-20)

, i:,

a:, ' ¡á'l

)Á

.g

V)

i

+:

0. 0.2 0.3 0.4 ().5 0.6 0.7 ().u Encrgiadcl ncutrór¡(McV)

FIGUR^ 45-10 [¡ sccción t¡a¡svcrsal total para la absorción dc ncutroncs ¡ror cl !Na. L¡ cncrgra sc midc cn cl ma¡co dc rcfcrsncis dcl laborstorio. Los picos, quc también so llaman rcsonancias, corrcspondcn a cstadoscxcit¡dos
De estemodo, el valor Q puedeconfirma¡medicionesefectuadaspor espectrornetrfa de masas.Midiendo energíascinéticasen una reacción,y conrparandolasecr.¡acioncs i.#. ,.7., :.F 'j (45-19)y (45-20),podemosemplearel valor Q paramedicionesde masaque de otro ',.t3!;. {.*: modo no se podríanllevar a cabo. ':* La diversidadde medicionesde distintasreacciorres nucleares,- irrcluyerrdo su :É, dependenciade diferentesvariables respecto al proceso de colisión, colno por ' r{ ' ,,, :.i l ejemplo, de la energfay ángulo del proyectil -, lrosproporcionagran partede nuestro .rt'; I '1,1 conocimiento de la estructuranuclea¡y de las fuerzasnucleares.El conceptode tnás t:\ i t.; utilidad para las colisiones es la sección transversal de colisiótt que, como hernos j.i '¡ . descrito en el capltulo 19, tnide el área efectiva que toman los núcleos en colisión. Lt,,i La sección transversales una medida de la probabilidad de interacción; mientras i ' , ' ¡t ; ,i mayor seala seccióntransversal,tnás probableserála colisión,y, por consiguielrte, rl ' t '[r i la teacción. Podemosdefinir asf una secciótrtransvetsalp ara ceda reacción posible : . . i 3' que mida la probabilidad telativa de cada proceso. ;,lr;[ i i .id':.t Una de las propiedadesitnportantesde la sección transversales la presenciade lYt resonancictstque definiremos aqul como elevaciones de la curva de la sección :1 ) ¡ transversalen función de la energiade colisión, de la forma que se ve en la curya de *.:: i resonanciade la figura l3-21. Vemos en la figura 45-10 fonnas de resonanciaen la , :j'l ptobabilidad (o sección trarrsversaltotal) para absorción de neutronespor el 33Na. ji Cada pico correspondea un estadoexcitado del núclido 2tNa, que decaea continuación. I-a presencia de un pico de resonancia en una sección trar¡s,-ersalindica la presencia de un estadoexcitado en esa energía. En verdad, a esosestadosexcitados : Ar, se les llama, con frecuencia,resonancias.El anchode un máximo de resonancia, i. tieneuna interpretaciónsencilla.Cuandouna resonanciadecaecon un tiempo de vida '' r, el tiempo que tenemospara tratar de medir la energíadel estado,se limita a t. E. ,,É,; Entonces,el principio de incertidumbre de Heisenberg sugiereque Ia posiciótrde la !!i :t-i: resonancia en la energla se desconoce f es capaz de desconocerse)hasta una .g: 4 l*t precisión, AE, expresadapor: ,É l

l

.

LE L¡ ¡¡chur¡ deun¡ reeon¡r¡ci¡ee proporciond¡ cut¡empo i:nver^eenente loecepítuloel3r 15y 41. d. vid& Véenee

r-l t.

.:{ . t:i ¡:i ' i,i I

( 45-)1\

,l|i;,I As!, la anchura de energ{a de la resonancia cs lt dividída entre eI tiempo de vida de ,,r ] la misma, Mient¡as tenga vida más corta una tesonancia,su máximo de resonancia t: se¡á más ancho. En fisica nuclear, las lesonanciaspuedetrtener anchurasque van , . i .; desdeaproximadamente 0.1 eV, que coffesponde a un tiempo de vida de 10-la s, hasta 1 MeV, que conesponde a un tiempo de vida de 10-21s. En algunas interaccionesde nucleones y ottas partlculas que participan en la fuerza nuclear, se tienen resonancias a con amplitudeshastade 100 MeV. Esto cortespondea una vida de 10-23s, semejante , i al tiempo que tarda la luz en cruzar al núcleo.

.:

-*

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_

o o o o( a o o o o o o o o o o o o a a o o o o o o o o a o o o o o a o o o o o o o

o o o o o o o o o o t o o a o a o o I o o I o o o o o O O

o I

o o o I O

o I

o o I o o o o o

l i ¡,..., r"*. f¡í-.' :*

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) ^l íÁ- ';" .!.1 .t'...,- - , ( . l e. ü./ 9, ia."'r$ /,'-'- - . |. ,t t.- * | - - ' c. t/ ;14

t--* -.

rb)

( a)

15-4

RADTACTTvTDAD

Henri Becquetel descubrió la tadiactividad en 1896,arrtesde haberseestablecidola existetrciadel núcleo (figura 45-1 1). La radiactividad, ... término acuriadopor Marie Curie - (figura 45-12),es el fenómeno del decailnientonuclear.I.os núcleospueden desintegratseen una diversidad de modos, o canales; - por ejemplo, emitimdo fotones o partlculas a. A los diversos modos de decaimiento los pueden.gobernar distintasleyesflsicas,de modo que cadauno puedeteneruna distintaprobabilidad de suceder.El tiempo de vida, o la vida, 4 de un conjunto de núcleos radiactivos,es una consta¡te con dimensionesde tiempo; que determinala rapidez con la cual decae un conjunto de esosnúcleos: si Ne es el número de núcleos presentescuando I = 0, entoncesN(l), el número de núcleosque quedan'cuandoel tiempo es f, está.expresado por la ecuación (41-21). N(f) - Nne-tl'.Un modo alternativode escribir estaecuación es definir Ia constante de decaimiento, .x,,como X.= l/r, ast que N(r) = Noe-tu.

FIGUR.A 45-1 1 (a).Flcnri Bccqrrcrcl, guicn dcscubrió la radiactividad al dcjar una placa fotográfica bajo salcs dc uranio cn un cajór¡ durantc varios
(4s-27)

La rapidezcon la cual decaenlos núcleos,la tasa de decaimiento,es -dN/dt. Según Ia ecuaciónanterior,

clN --;-

(45-23)

dt

La tasa de decaimiento, l.N, que también se llama la activídad, es alla cuando es grande el número de núcleos inestables,y,cuahdo es gtande la constantede decaimiento (la vida es pequeña).Tatnbién emplearnoslavida ntedia, f yz,eue es el tiempo para que decaigala mitad de los núcleos inestablesde una muest¡a..Lavida media se relacionacon la vida por t *= 0.693'r(véaseproblema48 en el capítulo41): La unidad SI de actividad es el becquerel(Bq): l Bq " 1 decaimiento/s. Si un núcleo puede decaer de dos o más formas, entonces la tasa total de decaimiento es la. suma de las tasas de decaimiento para los diversos modos. Imaginemos que hay varios agujerosen una lata: el flujo total que sale de la lata es la suma de los.flujos de cada uno de los agujeros.La velocidad de.decaimientodel modo indicado por el sublndicej (¡rorejemplo,j puedeindicar el modo de decairnierrto e). es proporcional a la constantede decaimiento,!, para escjmodo, y asila tasatotal ie decaimientoes proporcional a la suma de todaslas constantesde decairniento.En :,lraspalabras,hay una conslantede decaimientototal; 1, expresadapor

A :L A , .

( 45-21\

FIGUR.A .15-12 }la¡ic O:¡ic cn su iabontorio uc l¡ Sc¡r"¡-'r¡,cn Paris, aproximad::renic en i9O8. Ella y zu cspco, Pie¡ic.O:ne , ilci a¡on a c¿bo 106primcros tnlr¿j,x rrxpo¡i¡nlcs sobrc la ndiactiüdad, pc:1o c'.:Ccila cb¡uvo dos prcmioe Nobcl.

1323 . - --

^**.

-,.-.'¿.dri*iit¿éÉ.

r324 Capítulo {5

Fbie

nucls

Si el decaimientocon u¡l¡nodo, digamos el modo 1, es fnuciro mrísrápido que todos los demásmodos, l.r es mucho mayor que las demásconstantesde decaimiento,y ei término .X,¡domina en la suma de la ecuación (45-24). En ese caso, l, - 2,1.Es como si un agujero en nuestra lata fuera mucho mayor que los demás.Decimos que el rrúcleo decaeprcdominante¡nentca tav¿s dclcanalider¡tificado por,?,¡.Por ejernplo,el 2l4Bi de las vecesmedianteel canal de decaimicnto cr,y el resto de las veces decaeO.OZL% por emisión de un electtó¡¡. Con excepción de las reaccionesde fisión, que se describiránen la sección45-5, un decairnientoradiactivo caracterfsticoimplica a un núcleo, el núcleo padre, qr;'e emite una particula, y se convierte en un núcleo ftyo. Segúrrlas partículasemitidas, pueden sucedet tres tipos distintos de decaimientos, que se llaman d, F o ^{,deacuerdo con las particulas que se emiten.

a

,á f

4 5 - 4 Una muestrade mineral de urarrio emite radiación a, EJEMPLO caracterlsticadel 235U,a 9.3 x 105decaimientos/s,¿Qriémasa de umrrio, desde el punto de vista qufmico, hay en el mineral? La vida media del 23sUes 7.04 x 235Uen una muestra de uranio es 012%. 10Eaños,y la abundanciadel SOLUCION: Como datos,tenelnosla actividadde decaimientoy la vida tnedia del 235U.A partir de la vida media podemoscalcular Ia constantede decaimiento, ,X,;una vez con l" y con la actividad, podcmos calcular el número de núcleos de zrsg. 4 continuaciónpodemosemplearla abundanciade 235Upara calcularla A partir de la ecuaciótr cantidadtotal de uranio. Tenelnosque .t= Ilr - 0.6931tr72. (45-23), tenemos que el número de átomos de 235Ues de la actividad,Ia

'Y:

I dN

__ _:

r, . d.\'

___::--

0.693d¡ x 10's'¡r), (7.04x l0^j"pJ(3.16 :3.0 x 1022. (- ^. 9.3x 105decaimiéntos/p) )- dt

:35U,podemosemplearel númerode Avogadro Con estenúmerode átomosde paradetermina¡la masa,rn,del 235U:

---lz{--\rr,

*rr- ) - t2e.

/r¡ : (3 .0 x l 0rr ;i tomos){ 6.01 x 1g:'ljilomoJ' --' Como el 235Uforma el0,72% del ururio etr Ia naturaleza. la cantidad total de uranio es

Le flltr¡ción c¡pitulo 41.

o o o o o o o o a o o o o o or ol o a ol ol o ol t

ol ol

El decaimiento en el a modo de decaimiento se representacomo

cuóntic¡ ee describe en el

I

.l

alfa

) X - ,/,_!X' +lHe,

t

f¡

0l0.wD(r2 ú - Ia0Q2e)= 1.6ke, Dccairniento

o o

OI

.l

145-ai r

en la cual, X y X' son los slmbolos quÍrnicosde los núcleos padre e hijo, respectivamente. En esaecuaciónhemos teconocido que la pattlcula a emitida es, en re.liiiad. *z$4Th + iFIe. un núcleo de aHe. Un ejemplo de este tipo de decaimiento es 33r8U El decaimiento alfa implica la filtración cuántica de una partlcula a a t¡ar'és ie una barrerade potencial.Paraque haya decaimientoa, la masadel núcleo i.e¡i:e::: : . :'- , ser mayor que la suma de las masas de una partfcula a y del núclec i:,, diferencia sob¡ante de energla se convierte en energla cinética de la par-:l:'.:1:,:: ' :: núcleo hijo, la sistemáticade las masasnuclearesimpiica que el decam.3:r:: -1:: cadavez más probable a medida que aumentael tamaño del núcleo, \Íi;::.: " :. - "^..:, conZmayot que 83 son inestablesen estemodo.

:l

3

'¡ I

Í '1

-l

_t

3l

ll

o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

Se e;tienden las fuerzas nucleares 1osuficientemente bien como para permitimos ::'-¿e¡l ias probabilidades del decaimiento a. como la rapidez a la cual sucede la :---:ión cuántica es en exhemo sensible a la anchura y al.turade la bane¡a de :,::*::ial, ios limites de vidas de núcleos en modo de decaimiento a son irimensos, :=-
li5 4J-{

nrüsjyü

E J E ] f p L o 4 5 - 5 E l 2 a l Amd e c a eenell nodo d: 24l A m* a+ 237N p.cal cure .: energia cinética de la partfcula a si el núcleo.de24lAm decaeen reposo,y las ::rasasatómicassonM(241Am): 241.056g2.u,M(4He) = 4.002603u, y vlrrtNp¡ = 237. 0 -1 8 1u7. soLUCIoN: Debemos aplicar aquí tanto la conservación de la energfa como ia de la cantidad de movimiento. De acuerdo corr la conservación de la energla, tenemosque M (z a t A n t) : M(o H c )+ M(rvN p) +

K, (.

en la cual, K¡ es la energla cinética del estadofinal con ios dos cuerpos.Asf , K,: lM(2at Arn) * M(aHc) - M(237Np¡1c? : (2 4 1 .0 5 6 8 2u - 4 .0 0 2 6 0 3u - 237.04817 u)cr : 0.006047¡¡¿,2 : (0.00(1041v.1,Q31.474McViur4 : 5.(r3McV. Esta energlacinética es mucho menor que la masaen reposode cualquierade los núcleos finales, de nrodo que podetnos considerar que el nrovimiento es no relativista.K¡ - K(aHe) + K(237Np),siendo K - p2¡2M aelos núcleosrespectivos. La conservaciónde la cantidad de movimiento, aplicadaal estadofrnal, da conro resuitado0 - p(aHe) * p(t"Np), o sea,p(237Np;- -p(4He). Asl,

- Kr-K("'Np) K(aHc) ' r' : Kr-+q;Y¿: --¡

1.1/(:r?N p)

t, : A r

p ( He ) '

tvl( a Hc)

Zul,UÁ te.Np)

v - r(f -

t:¿(391: A,' -¡ :r' N p)

r.,.trr,

2.1/1

,{1({H c)

^ (' Hc )V t . \ p l

Podemosdespejara K(4He) de esta ecuación: K(a l l c ):

=

K' ,

, I v1'He¡I ' - L,'u1tt*'-.,

5.63McV :5.53 MeV. I + (4.00u1237u)

El núcleo "tNp tan gmndemenre masivo en compa¡ación con la partfcula cI, que se mueve con"rmucha lentitud, y la particula a lleva la mayot patte de la enetglacinética. Decaimiento beta En el modo de decaimiento B de unnúcleo, se emiten un electróny un antineutrino (D), o urr positrón y un neutrino (véasemás adela¡rte),dejando un núcleo hijo.11El anti¡eutrino es la antiparticula del neutrino,(u) de igual modo que el positón es la antipartícula del electrón.l2 Las propiedades del antineutrino y del neut¡ino son idénticas,pam nuestrosfines acfuales. Wolfgang Pauli postuló, en 1930, la existenciadel neutrino, basándoseen datos experimentales del decaimiento p.Unapropiedad importante de eseneuttino, que '' :\ntes, al elcctrón cmiüdo sc lc llamaba partícula bcta. t: I labiarxlo con propicdad, cl ncutrino dcl ácc¡imicnto B cs unn variexl¡dcspcci0l dcl ¡¡cutri¡rc,ól nculrino ¿ :::-- Pcro cst¡ difcrcncia no dcsempcñapa¡rcIalguno en nucstra dcscripción.

El neutrino fue presentedoen el crpitulo ó.

'-/ ;. r!

Dccaimicnto fi dc rll cn rcgrso (dccaim.icntoa t¡cs cucry)os)

;,

+]

fi) 2.uNp

l.l ¡ In ^

i'-> cr

Dc,cai¡¡icnt
(dccainricntoa rlos crrt:r¡xx)

(a) El dccair i' nto bcta FIGURA 4tl3 dc t¡cc crrcrpoe, cn contrasto c ,ri (b) cl dccal¡r¡lcnto a, qrrc cs dc doe cricr¡ns. En cada caeo,cl núclco padrc c"stdcn rcposo. En cl dcc¡irr¡lcnto n trc.scrrcrJx)s,s()n poeiblcs r¡¡u mr¡ltitl¡d dc (lirccclonc.sy dc
tiene carga cero y spinlrl2, es que intetacciolrata¡ débilmente con la maiei;::. ;-:: cualquierneutrino puedeviajat a:ñdsluzentre rnateriaordinaria para que seaaprec:able la probabilidadde interactuarcon la matr:ri;r.Por consiguiente,no debeserprende; que el neutrino no haya sido observadoi ndepel dientetnenteen un procesode colisión hasüa1956, despuésde transcurridos6Oaíi,rs,le haber observadopor primera vez el decaimientop. Como resultadode la débil il rte 'accióndel neutrino,lo que en realidad se observaen un decaimiento p es el electrón y, a veces, el núcleo hijo, pero nunca el neutrino. Por último, el neutrino tiene otra propiedad irnportante:vittualrnenteno tiene masa.13 Cuando se emite un electrón en un decaimiento p nuclear, el núcleo hijo tiene una carga +¿ más que la del núcleo padre; esto es, Z auntenta I en esteproceso de decaintientop. Como hicimos en la ecuación(45-25), escribiremossimbólicamente esteprocesode decaimientop en la siguientefonna:14 )X t , ,lt,X' 1- c- -l- f.

Un ejemplode estetipo de decaimicntoes 3H * 3He+ e- + V. En estaforma de decaimientop, un neutrónseha convertidode hechoen un protón,un electtótry utr p rnáspriniitivoesel del el dccainrietrto delnúcleo,En realidad, antineutrino clentro ncutrónI¡ristrro: llal)-(''

-r\

to .O

(4 s- 2 1 )

io io

890s. Asf, libres,Iavida de esteprocesoes,aproximadatnente, Paraios neutrones por sÍ mistrros,son inestables, Eu contrasüe, los neutrolresdetrtrod¿ los los Ireutrones, p, sonc;tables. El modoprimariodedecaimiento núcleosqueno sufrendecaimiento p, la ecuación(45-26),sóloesposibleparala condiciólrde la masa Mo' M"

,O io

(4s-28)

'O ,O

(veaseproblema27). En ella hemossupuestoque el neutrino es,en realidad,sin masa; Mr y Mo son las masasde los núcleos padre e hijo, respec'tivamente.Para núcleos que sufren decaimiento p, la energfacinética de los electronesllega hasta 10 MeV, y lo caracterlsticoes 1 MeV. Si los neutrinosdel decaimientop no se puedenobserva¡en forma directa,¿cótno fue posiblequePauli predijerasu existenciay propiedadesdesde1930?La existencia del neutrino se infirió con base en diversasleyes de consewación. En primer lugar, las conservacionesde cantidad de movimiento y energla tienen consecuencias bastantedistintaspara el decaimientode tres cuerpos(uno en el cual el núcleo padre (figura que para para decaimiento partfculas,figura 45-I3a) que decaimiento de de dos dos cr.rerpos cr.lerpos(figura tres partfculas, figura 45-I3a) decaea tres decae

N([ ] )

o

tq

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( 45-)6\

K"¡. Encrgía cindtica

FIGURA 45-14 Encrgía dcl clcctrón para un gnrpo grudc dc dcc¡imiontos p. L-B rncrgia no cs fija, sirro rnás bicn dis¡rrsa, c¡rrsccucr¡cia dc la cincrruiüca dcl dpcáimicnto a trcs cucrpos. l-a one.rgía eirima pciblc &l cloctol. ^(,,, cs la guc r-+r'r si D i:*r

o o o o I o o o o o o o o o o

,o ,O

lo i t j i¡ f ¡ } I ; i I i

de doscuerposde un núcleoen reposo,las energias 45-13b),En el decaimiento de de cadauno de los dosproductosdel decaimientoest:infijas: lasconservaciones enformaúnica,iasmagnitudes cantidadde movimientoy de energladetermitran, Esto de la cantidaddemovimientoy de la energíade los productosdel decaimiento. no es ciertoen el decaimientoa ües cuerpos,en el cual se permiteque distintas quevar{enenttelílnites,paralos de los trescuerpostenganenergfas configuraciones permiben quela energlacinéticadel electrón trescuerpos.Diversasconfiguraciones vayadesdecetohastaun valormáximo,comoseve en la figura45-14.Una gráfica similarparael decaimientoa doscuerposmostrarlaun valot úlricode energía,a la energfamáximaK6,. Paulizupuso,partiendodela curvaampüaqueseve en la figura 45- 14,quedeben

I

l3Mriscxact¡nrntc, loenrcjorcscxf,crinrcntoslndicanquolarrnsndclr¡cutrinoc's,clurntlonr:is, l'7cvli, valor -- 3 x l0-5 vcccs la masa dcl clcct¡ón. Io A n*t.o ru¡o qu" * proar.*c cn distintas formas dc rlccaimiento p, caractcnsticamcntcsc qucrla cn ul cs¡ado n¡rlc¿¡ cxcit ado, y cnlonccs por sÍ misun dccacrá at n:rcdodgutw. ri G:eq-rio sc ob6tr"ó pr ptrr:z vez d arrylb apcdto &la etc*as, ügt:rx fs;cct; o:{.c::-r r'x. d $r:¡eo & I¡ c's:¡-.:i-ic & l¡ cr.g:-se¡;r x'-:csr:'io ¡terrir,r

í i t i ; i

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o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

o o o o o O

o o o o o o o o o o a O

o o o o o o o o o o o o o o o o O o o O o o o o o o o o

esi:ri )resentestres pa¡tículas,-incluyendo el neutrino-, por demásinvisible.l5Lr :cnsen'ación del momento augular conducea la misma conclusión.Si el decaimien:¡dei neutrón fuera de dos cuerpos,n p + e 'y no de tres cue{pos,tendfiamosuna jis;iepa¡cia. Los neutrones,al igual- que los protorresy electrones,tienen un spin :,iuai a l:12, pero las reglas de suma de momento,angularno nos perrniten cpe dos s¡i¡res de lr/2 sumen un spin total de hl2.La adición de una tercerapartlcula con spin .':.I puederesoiver la discrepancia;de esta forma pudo Pauli predecir que la tercera ::ñlcula, invisible y sin masa, el neutrino, era un fermión. Lrs vid¿s de los decaimientosp varian desdemás o menos I s, hastam,ís de 1d0 s. Su i.ependenciarespectoa ia energfa,y la baja rapidez del decaimiento p de algunos :..:cl3cssugierenque eseprocesode decaimientoB no es uno de filtración lnecánico ::át:ca, sino más bien una manifestaciónprimaria delafuerTa débil (unaspecto de .: ;rerza electrodébil, véase capltulo 5). Empleando los métodos de la mecánica :';ihtica, podemoscalculat, con buenaaproximación,las vidas y demáspropiedades :e ,os decaimientosp en términos de propiedadespostuladasde la fuerza débil. Podemos melrcionat aquf dos fonnas adicionales de decaimiento p, ambas cor¡se:ue:icias de la fuerza débil. La primera esla entisiónde positrón, que tiene la forma zí,,X

- ) , X' t

a- * t,.

13f45-4

RAt¡l.:pi#,

(45:29)

Sste proceso se permite bajo la condiciórr de que las masas

M x > M x ' - 2nr,.

(45-30)

[.a segundavariante esla captura de.electrón, err la cual, un electrón de una ótbita atómica es absorbido por el núcleo:

. ,-l,X * e'- -+|X' + t. La captutadel electrónesposiblebajola condiciónde masas: Mx'Mx''

(45-31)

+¿ncrgra -

tN

| Mds nivclcs l¡acia a¡riba ó..1.i (r.10

(4s-32)

5.S 3 5.69

Nótese que las cotrdicionesde las rñasas,para el modo primario de decaimientoy.la captura de electrón son,idénticas.Siri embargo, el decaimiento p tiende a llevarse a cabo en núcleos riios en neutrones,y la captura de eiectrón en núcleos pobres en neutrones.Casi toda la energiacinéüca en la capturade electón pasaal neufrino, debido a la corservación de la energla y de la cantidad de movimiento (véase ejemplo 45-5). Dccaimicnto

i0 -5. .1.91

gamÍra

Un núcleo en un estadoexcitado puede decaeten el modo de decaimiento y. Emite fotones al decaer a su estado fúndamental, o a estados excitados de menor energla (figura 45- l5), exactamentecomo lo puede hacerun átomo en un estadoelectrónico excitado. Como las difetencias caractetlsticasde energlaentre los estadosnucleares ercitados y el estado fundamental son unas 10óveces mayores que las diferencias :crresporrdientesdé energiasen los átomos, no es suficiente la llama de un fósfoto ;ara exitar al núcleo, como lo es pa¡a excita¡un átomo. Sin embargo, con frecuencia se producen núcleos hijos en sus estadosexcitadosen el decaimiento a, p o hasta el r'. )' esos estadosresidualespueden decaer,a continuación, con el modo de decairrienio ,v.Los fotones con energlas hasta de algunos MeV no fueron reconocidos, al piurclpio, como radiación electromagnética,y, por ello se les dió el nombre especial :e :-"¡"cs ¡ se habla de un'modo de decaimiento y del núcleo. l¿s vidas del yvan de 10-17s hasta a 10-8s. ic¡:;iento S: ::::¡cen bien las fuerzas electromagnéticasresponsablesdel modo de decai=-:---:: ' Por lo '-anto, podemos emplear observaciones de tiempos de vida y las . ,: ::;.. < ; iisnbucicnes angularesde los fotones emitidos como indicaiici¡,'.:, ' ¡1¡i+¡r'^. : :'-.: : . : : :,;=e::s c -úliccs ;- de la nah:rale:a,Jelos estaccx el -': rs : :::n:- se ¡:ren prcbar o cíesarroilarmodeios, como de ias capas,y sus ::::- : : - : :-= -e .- e:::- r' núnreroscuánticosde los estadosexciLados.

E , { \fc V r

Jr

fiGURA 4515 Algunss trarsicis¡cs dc dccaimicnto ydcl t1N.l dcsc¡ibc i6 cstados curínücos rcspcctivos, idcnüficdc r¡c.'r rti;l1¡¡is r:'irlj:,--: n|r :,- i-c':r\ir*

J,

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L * ;.u i ú i x5

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146

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t44 l .l ? ¡ni n

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15u¿ 2.45 X 105años

140

7J4 x tt.taanos

L^,, ts rJó E ü q

t 1a ¡.,u

g

¡34

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'

¡---

l600zarios ,,-

3.I0 mi n

Lfnea de estabilidad

3.ti2d /

2¡lt

.

.

26.8nriú

7t4

z

DccaLnicnto 0.

130

\ DccairnicntoP-

l2rl 126 4 3 8d FIGLTRA 45-f 6 L¡ seric do decaimic¡rto dcl !8U, roproscntada on tura grríIica dc N cn función dc Z, Tambión so indicen las vidas modias dc cada núclido. Sólo so vo r¡na dc l¡s cuat¡o ramificacioncs distint¿s.

Radiactividad

t?4

80 fr2 84 ¡16 88 90 92 Nruncroatónúco

natural

Con frecuenciasucedeque el núcleo hijo producido et] un decaimientoradiactivo es, a su vez, inestable,El resultado es una ser¡c radiactiva, en la cual una sucesiónde núcleos decae,como en una cascada,y' llega a uno o va¡ios núcleos estables.A lo largo de los escalonesde la casc¿da,algunos núcleos pueden tener dos modos simulláneosde decaimiento,que compiten ent¡e sí, por ejemplo, uno de decaimiento cry uno de decaimientop; en esecasodecimos que hay ramif¡caciótt I-a figura 45-16 muest¡ala serie del uranio, que se inicia con el :3sL*.Pcr lo generai,existe en el lado rico en neutronesde la itnea de estabiliCad,que desci'ci:::cs en la sección45- 1, y que también se ve en la figura. I.os decairrúeniosbeta tirar de la i:.neade ramificaciórr ace¡cándolaa la linea de estabilidad.De ios t¡es rnodcs posiblesde decaimiento,sób el decaimiento c¡hacecambiar a r{, y en 4 unidades.Por 1otanio, si una seriese inicia con un padre cuyo valor á tiene Ia fo¡¡na á - 4n, sienio ,: e:tlero, entoncesse encontrarántodos los núclidos coná - -{n - 4, -ln - 8, etcélera,hasiaobtene¡un núcleo estable.Igualmente,si el núcleo inicial tieneá = 1n - l, enioncesse llega a núcleos c o n .á : 4 n -3 ,4n -7,. , . U na terceraseri econ A = 1n - 2 ¡' una cuartaconá = 4n + 3 también son posibles,p€ro una "quinta" serie con á = 4n . -{ serÍa idéntica a la setie A = 4n. Así, sólo hay cuatro series radiactivas diferen!es. La serie que se ve en la figura 45-16, para el trtfUes ia serieA - 4n + 2; una serie que se inicie con 'zr|1fhes la serie A - 4n, Las vida< de los núcleos padresoriginaies son 6..1x 10eañospara ei TflJ y 2.0 x 1010añospara el *Th.El hecho de que esosnúmerosseandel mismo orden gue la eiad del sistema solar explica por qué los podemos encontra¡ todaüa en la naturaleza; si su üda fuera menor, todos los padres hubie¡an decaldo ya. Es nüis, el hecho de que los núcleos hijos s€ tepongan en forma continua media¡rte decaimientos de los núcleos padre explica por qué enconhemos núcleos con üda extremadamente corta en la natuuraleza, que se inicia con el SU, el sexüopasoproduce Por ejemplo, en la seriede desinüegraciones ffiRq y esüenúcleo sufre ur¡ decaimienüoa pasandoa'zf8Pocon una vida media de 3.8 dfas, ciertamenüemucho menor que la edad del sistema sola¡. Sin emba¡go, el 'zlÍRn se puede det€rminar por medios qultnicos en los minerales de uranio. Se puede resolver el problema gene¡al de cruíntos núcleos hijos existen en deüerminado momento, para deüerminadac¿ntidad de núcleos padre en una cadena de decaimientos; implica ia solución de ecuacionesdiferenciales(véaseproblema 38).

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

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;. prcducto final de una serie radiactiva es un núcieo estable.l¡ serie que se inicia : ::. :. '.fU ',iene14 etapascon 4 ramificaciones distintas.En la serieque se inicia con :. :;.-1L, hay 10 etapascon 1 ramificación. A pesar de las rarnificaciones,hay un :::':::to finai único ert cada caso: los núclidos establest*TPb,y ?ffPb,respectiva--:-.-=_ Radiac t iv idad y v i d a 1 6 - : ::::actividad tiene efectos apreciablessobresistemasbiológicos. Algunos efecücs .--..^:e-.eables,- por ejemplo, en el diagnósticoy tratamientomédico -, y otros son :r'.sriatnenteal contrario, indeseables.Los efectosindeseablesse presentancualldo -::.. i: ias fonrras de la radiación depositaenerglaell ur)acélula viviente nonnal. Esa :: i;:i:, en fon¡ra ca¡acterfstica,se absorbecuandosucedeutia iotrización.Se rompen .:r. e;l.acesqufmicos, destruyendolas sustanciasnecesa¡iasen la célula. l,os iones :::::aJos pueden inducir feaccionesqufmicas anonnaies.Podenrosdistinguir tres :.-1e:3s de daño. El funcionamiento qufmico de los procesoscelularespuede ilte:-.-::.;irse al grado que la célula muere o no puede reproducirse;o bien, se pueden ;e::e: lcs controles intemos del comportamiento celular, de modo que la célula se ::::-.3:ancerosa; por último, puede cambiar la estructuragenética de la cólula, : ::-. i ¡nando descendenciaanormal. El peligro de determinadasustanciaradiactivaestáasociadocon la actividad,con .: eiergía de los productosdel decaimientoradiactivo,y la cantidadde energíaque se iepositaen el organismo.Una medidadel dañoposiblees la energíade la radiaciórr qle se absorbe por uniclad de masa del organismo. La unidad correspondiente,dei Si, es el gray (Gy)t 1 Gy = | Ilkg. Una dosisi dé varios Gy en todo el cuerpo humano :uede ser letal,y l0 Gy o más son letalesen corto tiempo.Como el dañodependede có¡rrose depositala energla,una medidamás precisatiene en cuentael tipo de productosde decaimietrtoradiactivoque ptoducedetenninadadosis.Por ejempio,como .es partlculas a ionizarr con mayor eficacia, es más probable que produzcan daños severos que los rayos B o los rnyos ¡ Al reves, es nrenos probable quc los rlybs ;eretren ntucho a los tejidos. Estasconsideracionesestáncomprendidas,de un modo ; : : nplic ado, en u n a m o d i fi c a c i ó n a l g ra y ,q u esel l ama eIsi evert(S v),tambi énuni dad :ei SI.t7Sül embargo,para fines prácticos,podemosimaginar que el gray'y el sievert s:n equivaientes,aproximadamente. Bstas medidas estár influidas por otros factores, además;por ejemplo, algunas celulas,en especiailas que se reproducencon frecuencia,sou más susceptiblesa los iaios por radiación, que otras.Aun una dosis pequeñapuedeoriginar un dano a largo 'vale la pena el riesgo relacionado con la radiactividad, para ;lazo. Para decidir si c'¡tenerdeterminadobeneficio, recordemosque conslantementenos bombardeanics ::;'cs cósmicos, y que tanto"la Tiena como los elenrentos en nuestros propios ::*:a-iismostienen algo de radiactividad natural. Recibimos de esasfuentesuna dosis :::cxi:nada de 10-3Sval año. La exposición a la radiactividad de fuentesa¡tificiales s,ece'cecompa¡arcon estefondo natural.Por ejemplo,ürr habiLantede EstadosUnidos ::::':e. en promedio, menos que la dosis natural en forma de rayos X de diagnóstico, -. -:, ;:diactividad de fondo relacionada'bonla genetación de energfanuclear es 3 x -l-: '.'eceseste valor. Sin embargo, un desastrenuclea¡ podría originar un riesgo ;.'::i.: ;ia)'or de exposición a Ia radiación. Como conocemos poco acetca de los ::::::s a largo plazo de la radiación de bajo nivel, tenemosllmites conseryadoresde , : i - : . ^.:r:-isiblcs' cl límite recomendadoparaexposicióndel organismototal es -

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:-.::;:-i C l:.:..::.9,"i{adiationExposu¡cinOurDailyLivcs"@x¡rosiciónaradiacioncscnm¡c,stras : --:-.lr l":¿.r:-.-;:-'sTe:cher(ltlarzode1971);A.C.Upton,"HcalthEffc¿tsofLow-Lcvcl'Ionizüg . - - 1 . ' : . : . : : :- :- :::::¡ r - licn iza n te d e b a jo n ive lso b rel asal ud),P hysi csTodtry(agostodel 991).P ara -'_ : - ::i :r:: L l99O. lr'.;<;..P,;?.iationBiophysics(Bíofisicadclaradiación),PrcnticoHall, " : - - : . ; : r : j :j.:- .1 :.s:sic;:' :Si,a n á lo g a sa lg r a yya l si ovcf,sctsannon¡¡al -rncn(eysonel rodycl L-l.i: : - : :- C.. I :c¡ n - 0 .0 1 Sv. --i:-:

'! e-}tr 45-1 R"die.l.tdd

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45-5 FrsroNY FUSToN :s

Fisión

Númcro dc m¡sa dcl fragnrcnto dc fisión FICURA 4$17 Probabilidad nrlaüva dc producclón dc un fragmcnto dc númcro atómico¡{ cu¡ndo sc fisionn un núclco tlc uU, O¡¡ndo loe r¡cut¡one,slcntos induccn la fsión, sc producc una divcnidad de núclidos hijos, o fragrncntos. Nótoso quc cs menas probablc quc sc produzcan fragmcntos quc tcngan oxactamcntcla mit¡d dcl tarnaño qrrc cl padrc, cn astc caso, cl uU, quc ctrando los fragrncnto's son dc tamaño dcsigual. (Scgun I/. E. Burcham, Nuclcar Physics,McGraw-l üll, 1963.)

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Hemosmencionadoque el decaimientoa esun procesode filtración'cuá¡rtica. Es un tipo de fisión, proceso en el cual ulr uúcleo se divide en dos o más fragmentos dc t¡maiio más o menos igual, Se ticne fisión en núclcos grandesporque la encrgíalos favorece.Dos dc los ténninos de la ecuació¡lde la energlade un núcl'co,éir el rnodelo de la gota de agua, nos ayudan a comprelrderpor qué se prcsentala fisióll. Cuando un núcleo grande se divide en dos fragmentos,la suma de los ténninos de repulsión de Coulomb de la ecuación (45-14) para los dos fragmentos es bastantemenor que la del término único correspondienteen el núcleo padre.El sólo ténnino de Coulomb implica que el procesode f,rsiónmás favorable desdeel punto de vista de energíases aquéi en el cual el núcleo padre se divide en dc¡sfragrnentosiguales,'Otrostén¡inos en la ecuación tienen en cuenta diferencias detalladasde energfa.Algunos núcleos están más fuertemente unidos que otros. En los procesosreales de f,isión,.los dos fragmentos,normalmente,tienen tama¡iosdistintos (figura 45-17)

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4 5 - 6 C al cui el a di ferenci ade enersíasdebi & i sal ténni node EJ EMP L o entreun núcleo a";TU y dos nicleos de '#p¿ $aladio). solamente, Coulomb, La diferenciade energias,debidoal ténnino de energíade Coulomb, SOLUCION: y la sulna ecuación(45-14),paraun núcleopadrecon Z protonesy z1'nrtcleones, protones para cada uno de dos los núcleos hijos ccin Zi2 términos de los mismos y Al2nucleones, es : Z:t: 3 L L :_ .;-= - _ 5

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r Nos ilrteresael casoZ: 92 y ,4 = 238. La evaluaciónnuméricada como resultado

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-z-?t\Q.8 x l OEeV ) - 3.6 x 10EeV - 360MeV .'

Es una ca:rtidadrespetableCeenergia,aun parauna ¡eacciótrnucleat¡perono cs toda la historia,porqueotros térrninoscontribuyetra las difqrelrciasdeetrergla de estetipo. Sin ernbargo,nos proporcionaurl estitnadorazonablede ordende magnitud.

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oa dc tá fision

\ Ncu{roncs

E Fo-'tso dc fsi&r (a), FIGt:R-{ {-(tt ': = gx s p.'oc\):c por i --'.r - w
Si la energíade Coulomb desestabiiizalos núcleosgrandes,¿.cómoes que puede;t existir esosnúcleos?La presenciade una energíaproporcional a lá ¡uperficie de una gota de lfquido es una banera colrtra la desitrtegración.El tgnnlno de energía es positivo, y es mfnilno cuando el núcleo es esférico [ecuación (45- 14)]. En la figura 45-18 vemos una secuenciaen la cual un núcleo o gota grarrdede líquido, fonnado 235Use desintegraen dos fragmentos.Al comenza¡ por absorciónde un neutrón en el a separarselos fragmentos, la superFtcie,y con ella la enerifa.sr¡perfi.cial,auntenta sin que cambie mucho la energla de Coulotnb. Al separarsemás los fragnrentos,ei termino de enetgla superficial hace que sea favorable, energ{ticamente, que los fragmentos que se separanse "acintufen", o sea,quq se les forme un angostatnien:o. Es sólo cuando se han sepa¡adolos núcleos para formar dos esferas,cuando la ener3:a superficial ya no cambia. El hecho de que la suma.delas energfasde superficie ¡ :: Coulomb aumenteinicialmente,al comenzata separarselos fragmentos,quierec:::: que hay una banera de potencial. Esta barera es del orden de 5 MeV, par3 :. , :.. como el uranio. :' I-a pteencia de una banera de potencial implica Ia posibiiiüi l: filvzcíóa mec:ánco cuinti ca- Este pr ueso, qu e se I! amz fs i ó n €s? i : ::.. :,, - . en re¿lici¿d,aunguea baja rapidez-Hay otro p:cc¿sr, ei ll:-nado-:;::: .-:-: neutroneshacíanúcleospesados,que lcs c3::::1-. ::::.: .: j -:: cua¡do se proyecla-n

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-r::'.... Ei núcleo que tesultaestáen un estadoexcitado,y el neutrónque se agfega :-::-3 -ia emrgfa de enlace de aproximadamente5 MeV. Es aproximadamentela :.:-:: ie la barem de potencial contra la Frsión,y el nuevo núcleo tiene, por lo lanto, 233Uy el 235U, la -: =:.::gla sr¡ficiente pa¡a pasar con facilidad a la fisión. Pa¡a el ::--3:;:rarefusa te barera de potencial y con ello se garantizala fisión; para el 238U, :. :.:-;ron Umbién debe sumüristrat,al menos, I MeV de energiacinética. La fisión :-,-:::: es importanüe,para hacer posible el empleo de fisión sostenida en la : . :.: -: ::ón de electricidad.Veremos estaposibilidad en la sección45-6, l'¿-.:,:n - .:-i :-3::ientc pesados liberan energfa durante la fisión, po(que la curva de energla :: ::..::e por nucleón décreceal aumentarz{,para gtandesvaloresde,4 (véasefigura --'-: -{ la invensa,esa curva aumenta al aumentat.¡{.para valores p equeñosde á; los :-:-,:::os ligetos, por lo mismo, desprendenenergia durante la fusión, que es la :::.:::iación de núcleospequeñospara fonnar mayores.Utr ejemplo es la combina:.::. j¿ nucleoneslibres para formar núcleos: 2.23 MeY de energfa se desprenden : -::-:c se combinan un protón libre con un neutrón libre y forman un deuterón, 2H. ::: :::¡a más comú[r, los núcleos que se combinan tienen carga, y como la fuerza de l::-;mb tiene largoalcance, mientras que la fuerza nucleat no, cada uno de los :. -:.¿cnes qr¡c se combinan debe tener bastanteenergfa,para rebasarla barrera de :.:tercial debide a la ft¡etza de Coulomb. Una vez rebasada,los núcleosse acercany se :unden, y la energla desprendidapor su fusión es mucho mayor que la energ{a ::ie¡ica total de los núcleos. Las reaccionegde fusión son básicasetr los procesosde "combustiórr" de las eslrellas.Esas teaccionessucedenen ciclos o decaimientos;el ejemplo primario de eilos es el cíclo del protón: 2H + e' + v; se desprenden0.4 MeV de energía (a5-33a) 3He + 1j se desprenden5,5 MeV de energía * (45-33b) 'H p 3He + 3I&.* 4He * Zp * ¡ se desprenden13.0 MeV de energfa (45-33c) p +p

La terrrperatufainüemade las estrellases suficientelnentealta paracomunicarenergfa suficiente a algunos de los núcleos en colisión, para que superen la repulsión de Coulomb que inüervieneen las tres reaccionesde a¡riba. El efecto neto de esteciclo es convertir cuatfo protones en una partlcula a con la emisión de energfaen forma de fotones y un'neutrino. Autrque la energla que se comunica al neutrino se pierde, )'a que el neutrino yarno sigue interactuando,los fotones continúan calentandoel i-rrteriorde la estrella. Es la fuente de energfa que llega, finalmente, a la Tierra, :rocedente de nuest¡a ptopia estrella, el Sol.

EJEMPLO 45-7 cadavez quese CalcuieIa energfatotaldesprendida produceuh núcleo de aHe en el ciclo del protón.Agtegue,a las energfas (45-33),la quesedesprende que sep¡esenü¡n enlasecuaciones cuandocadauno queya estaban delos2 posihonesqueseproducenseaniquilancon2 electrones, p¡esentes 4 fotonesy unaenerglacinéticaequivalerrte enla estfella,produciendo a cuatrovecesla masadel electrón;el positróny el electróntienenla mis¡namasa, C 51 MeV/C, o sea,2.0M,.eY:2e'+ 2e- -4T + 2.0MeV. S,I'LUCIoN: ha la tetcetareaccióndel ciclo,ecuación(a5-33c),hay presentes ::s núcleos&'4", y entoncesla ecuaciól(45-33b)se Cebellevar a cabodos ', ::es. Igualmdrte,la reacciónde la ecuación(a5-33a)debesucederdosveces, queproduceun núcleode aHees l. -echo,la cadenade reacciones

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45-5 Flcirin y fro

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r332 C:gefu+S

ü 0.4McV) :t--p.7p + zc-2(2Íl:re] + * ! -r 2(3He+ y + 5.5'Mev)+1ze * i 2u'+0.8Mev) t,Ze-

2(p + p) * p * p *2eFric¡

nrrlcar

g á

g

-' (aHc+2p +1, + 13.0McV) * (2y + lL 0 McV) I (2e' i 2v * 0.8MeV) -t 2e--+(aHe* 2p * ? + 13.0MeV)'+ (2y.+ 11.0MeV) + (?r .+.0I MeV) + (4y + 2.0MeV) = aHe* 2p +7y +2v * 26.8MeV.

*

Nóteseque quedan2 protones,los cuales. puedencontribuira iniciarun ciclo más.

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EJEMPLO 4 5 - 8 l-a produccióntotal de potenciaen el Sol,'su lutttittosi- * dad, es unos 3.9 x 102óW. Suponga que el Sol está form"ádototalmente de 4 protones, que su luminosidad peffnanece constante,y que "quema" protones mediarte el ciclo del protón, hasta que todos se hayan cbnüéitidé'e,npaúlculas a. ¿cwlnto puededurar el sol de estemodo? Puedeustedusai los fesultadosdcl ft :ü

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ejetnplo45-7.

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SOLUCION: Segúnlos resultados del ejemplo45-7,seneceditrig 4 prbtonespara l¡ producirunapartlculaa, demodoqueIa energiadesprendidd p or'protónes26.8 quela masatotaldel Sol is 2.0x l0mkd, d'ernodo MeV/4 - 6.7MeV. Sabemos que el númerode protonesen el Sol es,N, - (rnasadel Sol)iá¡;l ¡2.0 x 1030 kü1(..67 x lO'27kg/protón)- L2 x lO57protones.Pódertro. cálcularél húmero :l¡ , de protonesconvertidospor segundo,N, a partirde la potenciatóthldel Sol:

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3,9 x 1026//s

(6.7MeYlprotónX1.602 x 1g-tt ll@)

= 3.6x i038protones/s ., . - i. . '

El tiempo que tardarÍa para quema¡ a todos los protones del Sol se puéde calcular dividiendo el número de protonesentre su tasade empleo en el ciclo del protón: 1.2 x 1057Plotones

ñliÉpñ*..A:3'3

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'9'':'

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Esto equivale a unos 10rr años, o sean 100 inil millone$ de años. Ei- tiómpo de real de quemado del Sol se asemejamás a 1.0mil millones ab á¡os, ¿el cual ya ha pasadola mitad; estose debea que sólo el1O% central de la rnasádel Sol está a la temperaturasuficiente como para pasarpor el ciclo del protón. '

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4S-6 ApLrcAcroNES DELA rrsrcA NUctEAir

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Dataciónradiométdca En el capltulo 41 describimoscómo se puedeemplear el núcleo radiactivo, 'oC,para fecha¡ materialesbiológicos. La vida que sc maneja es de,8268.años,y es el o¡den aproximado de magnitud de las edadesque se puedenmedir con esternétodo(figura 45-19). Otro conjunto de deiaimientos radiactivos, con vidás mucho mayo¡es,se puede emplear para fechat tiempos geológicos mayores, entre los hnrites de 10e¿ 1010años.Cuandoel magma líquido se solidifica, se forman rocas;de ahi en adela¡:e. es más diflcil una separaciónde los elementos,quimicamenteinducida. Siemprec.u: no haya plomo en una muestta de roca, en el momento de su formación, toCo¿l ::r?: que se encuentreen la roca debeset productode decaimientosde236U,para los c:::.= r- 4,500 millones de años.Por consiguiente,la relación de 23ag :ocp5er: le :::r ^ nos permiüecalcularla edadde ella. Paracmplearesatécnica,debenics est¿:s3i:.:: l

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I 33: Apllecioncs

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FICURA 45-19 U¡r hucsc dc caribú r¡sadocn cl Tcrritorio dc yukó;: p¡;: limpiar pielcs. El carbono d<;cstc implcmcnto sc fcchó y rcsultó dc l3_.1 : 150ariosdc antigüe
ie que no hubo plomo en el magma lfquido que formó la.roca al inicio. Igualmente, pcdelnos medir los porcentajes de los productos radiactivos intennedios de la cadena ciedecaimientodcl 2llu. Una técnie¡ biut"nt" distinta es la que se empleapara medir las partÍculasa, dei jecailniento d en las ¡ocas cuya edad deseamosconocer. Esas rocas se forman sin i:elio, que pudo habef escapadoen forma de gas, de la fase liquida de la roca, y con jetenninado porcentajede elementospesadoscomo el 238U.Sin enrbargo,una vez quese solidifica la foca, todo helio que puedaaparecercotrlo resultadode uno o va¡ios iecaiinientos d secuencialesdel uranio, puede quedar atrapado.Cuando ur núcieo :''sU decae en foñna secuenciala 26Pb, se produeenocho partículasfi. Si se nride la relación del potccntaje de uranio a la del porcentajede helio en una roca, podemos calcular la edad a la cual se comenzó a acumulár el helio. Pata emplear estatécnica, debetnosestat segufosde que el helio producido por decaimientoradiactivo pcrntatrcc( en la roca. Itadioisóto¡rce

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Los radioísófopo.¡,lisótopos inestables que se producen en las reacciones nucleares, tienen vidas cafacüedsticasde decaimiento. l,os átomos con esosnúciidos se cornportarrqultnicahente como'los isótopos esüablesdel mismoátolno. l-a observación del lugar de decaimimüo de un radioisótopo nos ayuda a comprender dónde se ha i.levadoa cabo un pr,ocesoqufinico o ffsico con la inüervencióndel radioisótopo. Corno ::dioisótopos se erhplean ¡53Gd,67Ga,'otPb y t23Ien diagnósico médico, -que se --¿dcn concenhaqen un tumor canceroso,y si se observael lugar de los decailnientos ; s¡ localiza al nihor;91 oCo en el tratamientodel cáncer-: se puede depositarel :. -:r:ti,o en un tumof y, al decae¡_emitegrandescantidadesde energiaque mata_rr las :.- -.:s en eselugar; tatnbién,el 85Krparu detectarfugas; -el kriptón puedepenetrar .:. :::.?s muy pequeñas,y los decaimientosindican el lugar de ellas. L---i:c:ación dc encrAía nuclcar . : :: -:.uaciotr &sctibiremos dos métodos mediante los cuales se pueden emplear - - : -. : . :ara tencrar energfaeléctrica.Ef primero, que emplea el procesode fisión,

::r -r . i:rilologl¡ probada y bien establecida.El segundo,que emplea el proceso de ' ' - - ' : -.:aria m es cornercialmente posible. En ambos caso6,la energíadesprendida : r" .: r -::.:.¡rofEs nucleafes fespectivas se convierte, mediante colisiones, en enefgía :- -- -¿ cr,¡el= emplea a su vez para hacer girar turbinas y generar corriente :. : i -i i: 5o nc ocupa¡emosmás de estosaspectosdel proceso

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Fisión controlada. Es posible generar energia a pañir ie ,¡ ¡lsi;;,, r.r:.-: -; proporción de masa en los neutroneses lnayor para los nú"l"o" pesados,cc;iic ic,<je urqlio, que para los núcleosügeros. (Etr el ejer¡rplo45-6 desc¡ibimosei decainilei:c ¿" z3sg en dos núcleos de llePd, pero, dehecho, er isótopo establenrás pesaio del paladio tiener{ - i 10.) Estehecho, consecuenciade la repulsión coulombiana ie lcs .; 2 pfotones,implica que cuandoun núcleo padresufre fisión inducida paratransformarj se en dos fragmentos,los núcleoshijos tienen, relativamente,demasiadosneutrones para ser esüables.Pueden sufrir decnimiento p, o, lo que es m¿ís.frecuenüe,se pueden : j pnoduciralgunosneutnrnes,junto con los dos frag¡nenüos hijos, ur la fisiúr (figura 45-l8e). ,¡ El proceso de fisión inducida tiende a sucedercon mayor facilidad cuando los .1 j neutronesque bombardeanson lentos. Aunque los neutrones quese producen en eI :i.i ptoceso de fisiórr tienen, por lo general, demasiadaenergíacinética para inducir la fisión de otros núcleosde uranios,con eficiencia,se puedereclucirsu energlacinética ZA permitiéndoles choca¡ en un moderador, material cuyos átomos tienen núcleos tl,fr ligeros. l,os neutrones que rebotan pierden urra fracción apreciable de su energla ffi uú .H cinéticaen esoschoques,Una vez sucedidolo anterior,los lreutronespuedenilrducir ia otros procesosde fisión. Natu¡almente,algunos neut¡onesno lo harán, pero en cacia r.il reacciónde fisión se producen,en promedio,de2 a 3 neutrones.Si hay suficient,,s "4j ." i l '¿r& núcleosfisionabies,por ejemplo¿" 1339o tr5u, de tal nrodo que cuandornenosulro ffi de los tteutro¡res liberadosincluzcaotra fisión, se rrricclc i# scslL.ticr el proceso.Co¡ clio tcndretnosuno,rcacciótten cadcna (figura 45-20), quc sc lleva a cabo dc¡tro cler¡rr . .iiüil if¡ ..ft redclor. d Si se aumentano disminu¡en las ca:rtidades¡elativasdei material fisio¡able o if.i nil del moderador,en fonna de "r'arillasce controi", el procesode reacciónse puede ár :t1 aceleraro desacelerar,y controlar asi de modo satisfactorio.El problenrade eliminar ! 4'; Ios productosde desechoha sido dificil de resoiver.Esosproductosde desecho,que ¡*ii rkÉj incluyen los fragmentosmismos de fisión, son ca¡acterlsticamente radiactivosy ' i:i:;j .{d tienenvidas largas,en comparaciónde la vida de un se( humano.Como la radiactividad puedeoriginar daño genetico1' cáncer,debemosdesecharesosmaterialesde ¡{.i ,: aiii '. ria." tal modo que quedenaisladosde los sereshumalrosy demrisseresvivientes, durante titJi :'?'j muchas generaciones

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FIGURA 45-20 Rcacción cn c¡dc¡ra, cn l¿ cual los ncut¡oncs librcs quc sc produccn cn un proceso dc fisio¡¡ indr¡ccn la fisión do olro,snticlcxx¡¡uls..Scl¡¡rlicnt:rrIn sc,cuc¡rcilr ltx; O, 0,O. Ul ¡¡xxlc¡trlorrlc^slcclc¡rr ¡loutroncslibcradosy nurncrrtaln probabilidaclquo produzcanotrn fiskir.

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Lln reactor ttaturaL Ha¡' er idencia de que existen en la rufuraleza depcsitos suficientementericos de uranio, que han sostenidouna reacción "natural" en caclcna. ?t Esos depósitosmineralesno sólo debentetreruna grarrconcentr4ciónde uranio, si¡o también de deuterio,,- contenido er.rel agua -, para que trabaje como mode¡ado¡. l,a relación de 235Ua 23EUque existeen la actualidadno es suficienüementealla como p^q¡aque se tengaun re-actornatural, pero como el 235udecaecon menor vida queel -¡i ,, :¿ 238u,sabemosque 23su el fue más abundanie en tiempos'pasadosy.cuerpos mineraies ir$:r: pudieron haber sustentado una reacción en cadena en las épocas.piimitivas. En .rftl Africa,rs se han descubiertolos restos de wt reactor natural posible que se detuvo :,j*il después de haber quernado cierta cantidad de 235u. La evidencia comprende un lffi ..É.:r depósito agotadode 235Uy una distribución caracterlsticade,núcleoshijos, clescen- #,' 'fii : dientesde ptoductosde fisión.

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Fusión nuclear controladaEl control de los procesosque dan podgr al Sol, para rifl geneta¡ direclamente potencia en la Tierra, es,idea.antigua.El deuterio, que es un g:,. t átomo de hidrógeno con núcleo 2H, abundanteen el agua de mar, podrla sr¡ministra¡ ? ', '4. combustible para la reacción de fusión, y parec.equeel"problema de los desechos radiactivos de la fusión nuclear es menos agudo que.elde la fisión. Pero la tecnolgÍa del conttol de las reaccioResde fusión ha.dernostradoser difíeil de dorninar. l: escenciadel problema no es tan sólo de hacer que loq núcieos choquen con la eirj. . ._ l8 Vóasc G. A. Cowarl, 'A Nalural Fission Rcoctor" (Roactornatural tlc fisi6n), '.Scieniil:c ,4,r:¿¡;¡.:': j j.. 36,jr-rliodc 1976.

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sufícícntc pard suryfaf /a banen de repulsíón de Coulomb, ¡nrn fttnch'rst:,stito l¡accr quc esascoliiíones se lleven a cabo en gtandes cantídades.En principio, un conjunto de núcleos podt{a llevatse a enetglas1o suftcientementealtaspara fundirlos, mer}ianle calentatniento,pero las temperaturasnecesariaspa¡a hacedo correspondena energlas de escalanuclear, mris que de escalaatómica. Podemosestirnarque esta energla es f, = e2l4ntaR,la energla de Coulomb entre dos núcleos con carga positiva unitaria, separadospor un,tadio nuclear R, siendo R del orden de l0-ra m. Al sustituir, nos etrcontramos con que E: 150 keV. Esta energla corresponde a una ternperatura aproximada de 10eK, mucho mayor que la que podrfa resistir cualquier recipiente. En realidad, a esastempefatufas,los átomos pietden sus electronesy la maleria se descompone a un ga¡¡ completamente ionizado de electronesy núcleos, o sea, un plasma. Aunque en la distribución de Maxwell hay pattfculas suficientescon altas velocidadescomo pafa que a una temperaturade 100K sea suficietrtep&raproducir reacciones,esaüemperatumsigue siendo demasiadoalta pata pemritir un tratamiento cotivcncional. Alrtes de describir las ideas actuales acerca de cótno superar el probletna de manejarel plasma caliente,describamoslas reaccionesmislnas. La que más protnete de ell¡s es la llamad¡ teacción D-T, El deuterón,D, es el núciiclo 2I'I,y el tt'itón, T', es el núclido 3H. El átomo con núcleo de tritón se llama tritio. La reacción de fusión D-T es D + T * a Ke * n El valor Q de estafeacciónes 17.6MeV. Una segundareacciónposible,de interés, i es la D- D:

D+D*3He+r¡, en la cual se produceun total de 4 MeV de energfacinéticn.Adcnrásdei iicchoclc deesarcacción queseproducemdsenefglaenla reacciónD - T, la seccióntransversal delaspafiículas escasi1Ovecesmayorquela dela reacciónD - D cuandolasenerglas positivassupefar,en en colisiónestánen el llmite de 100keV. Esascaracterfsticas granparte,las caractetfsticas negativasdel tritio, que es aitamenteradiactivoy se dominarla Sin embargo,si sepr"rdiera nucleares. debeproduciren otrhsreacciones reacciónD-D, tendrfamosuna fuentede energlavirtualmenteilirnitada,porqueel deuteriosepresentaen abundanciaen el agua' Si sepudieraresolverel problemade produciry conteneiel plasmacalieute,la produciclos la energfacinéticadelos neutrones reaccióndefusiónsedaautocebantei es más que suficienüepara mantenef al plasma a alüastemperaturas,aun cuaJldoulta gran parte de esaenergla cinética se use en la producción de energía,Se han seguido dos métodos bastantc distintos para atacar el problema del confinamiento del plasma caliente. El primero es el del confinamiento inercial, esquemaen el cual pastillas iirrinutas del matetial que contiene los núcleos adecuadospara fusiones se compri;:renrnediantepoderososrayos láser, o corriente de iones hasta alcanzarlas tempei-arurasy presionesnecesarias(figura 45-21), En esteesquemano se trata de tnantene¡ :cuinado al plasrnadurante largos periodos; los rayos se disparan en pulsos, y 1as :::sulas o pastillasse sustituyencon cadapulso. Las principalesdificultades de este :t:icdo se relacionan con la comprensión de cómo se comportarán las cápsulas ¡:¿nCo choquen con ellas los hacesde suministro de energla,con la construccióny ::-i:.:-'o de las pastillas,y con el direccionamientode los rayos' trn el segundo esquema, del confinantientomagnético, el plaslna, al cual se ie ::;-::ica energla térmica adicional por absorción de ondas electromagnéticas,se :.3:.'-.3re en su lugat mediante fuenas magnéticas. El confinamiento puede durar ,13: s :eriodos de tiempo. Una dificultad que encaraestemétodo es que los campos ¿:icosno afect¿lral componentedel movimiento de una partfcula cargadaque '*:": -::-jse' en uno u ot¡o sentido. Pa¡aeütar esbeproblema, se deben empiear confi-

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t FIGURA 45-21 (a) El acclcrador Paliclc-Bcam Fu-sionAccolorator II cn los laborstorios Sandia, cn Albuqrrcrc¡uc,Ncw Moxico, EUA. So usa para cxporimcntoc dc confi¡ramicnto ir¡crcial. (b) Esqucnradc fusión por confriamicnto incrcial Inc{iiantc nyos l;iscr o dc paficulas. hs cápsulasD-T sc mandan a un lttgar en don
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guracionescomplicadas de campos magnéticos.Ulla de ellas emplea espejosmagnéticos, como ia que contiene a los cinturones d'e Van Alleh'ef la Tietra (véase capltulo 29).El toknnnk es un aparatoque trata de rnantenerel plasina con carnpos magnéticoscontenidosen un volumen finito (figura 45-22,véasela figura inicial del capftulo30). Un ejemplode campomagnéticocotrfinádoesel del solenoidetoroidal. A principios de la décadade 1990, los grandestokamaks casi alcanzaronreacciones autosostenidas.Aunque son promisorios tanto el confinamiento inercial como el magnético, todavÍa estalrroslejos de hacer de la fusión una tecnologla comercial,

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RESUM E\-

E- :-'::.go fue descubierto medianüe expedmentos de dispersión que dieron como :..s-.=:o nu¡¡etc aprcciables de partlculas a dispersasen grandes ángulós, Io cual ;g :..:.:ca si el átomo tiene una estruch¡ranuclear pequeña,masiva y positiva. Ei :.;:"3:, rnanter¡idounido pot la fuerza nuclear, se compone de Z protonesy N - A - Z :.: -::..es, sien& á el núme¡o de masa. Los núcleos que tienen igual valor Z, pero :.::-:::s valores dc N, son isótopos de una especieatómica dada. Las nrasasde los :, -:.¿:s y de los átomos se miden cómodamenteen unidades de masa atórnica, u, :e;-.:;:'< dc tal modo que la masa de un átomo de l2C sea exactamente 12 u. La s-"e:¡:¿ de enlace, que es la que se desprende cuando se forma un núcleo a partir de s; .{ ccmponentes, o nucleones, es apteciable; en los núcleos grandes,una energía :¿--:=:istica de enlace por nucleón es de 7 a 9 MeV. Esta energfa de enlace es tan ¡:r.;e que, a causade la equivalenciarelativista entte masay energla,la m¡sa de un :"- :. : ; es del otden de I % menos que la suma de las masasde sus componentes.Con ;,-era aproximación,los componentesdel núcleo estánempacadosestrechamenteen ;: .s;era de radio R,t = lo Atl3,

(.15 - 7)

s r : : r do r o= 1. 2fi n . Ir" v i d o s d e n ú c l e o s i n e s l abl es,el espectrodeestsdos,spi ^sy r.o¡nentos dipolaresmagnéticosconstituyen modos útiles para comprenderel con'r;.c r-anri ento nuclear. Pa¡a distanciasmayofes que aproximadamentees I fm, la fuerz¡ nuclear entre nucleotresse describebien en términos del potencial de Yuk¡wa,

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(15_9)

:n ,a cual 92 mide la intensidadde la fuerza, y R es el alcance.de aproximadamente I t¡:r. Como no conocefnos las fuerzas nuclearesa pequeñasdistancias,y como la r.:exidad de la fuerá nucleares tan grandeque son inadecuadasnuestrasherramien:s r¡atemáticas para calcular sus consecuencias,no podemos hacer un conjunto cor:rpletode prediccionesa partir de las leyes ffsicasfundamentales.Sin embargo,se ha Cesanolladoun conjunto útil de modelos paraexplicar el comportamientonuclea¡. El r¡odelo de capases un método en el cual los nucleones individuales se mueven ientro de un poüencialnuclear centml. El espectroque resulla, inclu¡'endo ia presencia de núrneros mágicos, -que son valores de Z y N para Ios cuales un núcleo se encuentraespecialmentebien unido-, se puede explicar mediante estemodelo. El rncdelo de la gota de agua considera que el núcleo es un medio continuo, y puede er;licar comportamientoscomo el de la fisión, que es la desintegraciónde núcleos gra:iCes.l-a fórmula semiemplrica de la masa,que se inspira en el modelo de la gota :e agua,se ajustamuy bien a las rnasasde los núcleos. El fuerte enlazamientode los núcleos tiene implicaciones importantespa¡a que :::c¿;r ocurrir reaccionesnucleares,incluyendo la dispersióny el decaimiento.l-as :es:.-.a¡cias de vida corta, estados excitados de los núcleos, se ven en secciones ::.:s'.'e:sales de dispersión, y sus anchurasson inversamenteproporcionalesa sus '. :.as.ie acuerdocon el principio de incertidumbre de Heisenberg. pueden decaermediante tres procesosprincipales: decaimiento p, -.:s núcleos ;:,:":::r;ento a y decaimiento y, dependiendode si el núcleo que decae emite un :.::-:::., una partlcula ([, o un rayo y, (que es un fotón de alta energía),resPectiva;,,.-:":: :n forma conjunta, esosprocesoscomprendenel fenómeno de la ¡adiactivi- 1: ' z de un procesoúnico de decaimientoestádescrita por la ecuacióu -pidez ( 4\_))\ N(r) : Noe-^'

r337

i 33s &pitul.o {J Fr¡ica nuclcar

En ella, N(r) es el número de núcleos no desintegradosque peirnane.en cuand: etiempo es t, N0 es el fiúmeroinicial cuando, - 0, y .X. es la constantede decailni..:rtc. que difiere para cada tipo de decaimiento.La filtración cuánticaes un mecani.mc escencial del decairniento a. Lá radiactividad natural se relaciona con cadena; de desintegración,que son procesos en los,cuales los productos de un decaimi-'nto radiactivo, a su vez, son radiactivos y Cccaen,La presencia de esos procesosnos suministra técnicas de datación radiométrir:a.Algunos núclidos producidos en forma artificial tienen una diversidad de usor;,'iacluyendoapiicacionesradiacti'¡as y médicas. La sistemáticade las rnasasnuclea¡es'i¡dica que la fisión; que es la ruptura de $andes núcleos para formar otros más pequerios,y la fusión, que es;lacórnbinación de pequeñosnúcleos para formar otros mayores, son favorables energéticamcnte. Cuando se presentan esos ptocesos se desprende energla. Sin embargo, ambos sólo se pueden llevar a cabo si se supeta una banera de etretglapotencial. Los procesos de fusión son los mecanismosmediante los cuales las estrellasobtienen'su'ehetgia. La fisión inducida porneutronespuedesucedefen reaccionescontróladasen badena, en las cuales,un núcleo que se fisiona desprendeneutronesque pueden iniciar otras reaccionesde fisión. Esasreaccionesen cadenason fuente comercial inlportantede energla.

PR[GUNTAS 1. Las partlculasalfa tienencaÍg +2c,y masaaproximadade que le podrlan 4 masasnucleónicas. Describaexperimentos permitirmedir esascantidades. bajo 2. Lasestrellasdeneutrones sonastrosquesehanaplastado la influenciade la fuerzade gtavitación,formandolo queen de escenciaes un enorne núcleocompuestoprincipal¡nente neutrones.¿Porquéno decaenesosneutrones? 3. En nuestradescripciónde por qué algunosnúcleossufrenla el efectodel términode energlaquees fi-sión,no mencionamos proporcionala,{ en el modelode la gotade agua.¿Porquéno? 4. I-6 protor¡esy electronestienenspinesint¡fnsece igualesah[2. Useel hechode que el spin del óLi es lr, parademostrarqueel en protonesy núcleode óLi no puedecorsisti¡exclusivamente elecüor¡es. 5. ¿Porqué es masfáci.lproducir ionescon vIla cargapositiva, en vez de cqn una carEaneBativa, a paíir de álomosneutros?

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",.' 9. De los núclidosr5N,160y r7F,¿cuálespeiausteclquetenga la mayorenergfade separación de piotóny por qué? 10. L¡s condiciones de ¡nasaparael decaimientop y la captura de electrónsoniguales.¿Bajoquécondicionesesrnásprobable quesucedacadaunaparadeterminado núclido? qufmicostiendena concentrarse elementos en 11. Determinados la médulaósea.¿Porqué se debeevitar a esoselementos, cuandosonradiactivos? los ¡rúcleosiigeros,enla 12. ¿Porquésonmejoresmode¡ado¡es quelos núcleospesaios? fisiónltuclearcontrolada,

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quesehandesacel erado 13. Los neuttones conun nl ode r ador * no puedeni nduci ¡ fi si órrrápi daen l os núci eosde 2r 3U. /¿ qué? ¿P or i , las.energias clréileastrnalesde ix 14. Cuandopresentamos productosde Ia reacciónCe f::s;:;l D-T, 'He )' r:¿ij::c;¿s, supusimosque la colisicn se ii¿;a a ci';o e; ;e2oso.Slt ,¡ etnbargo, ubemosq:e Lzi q'::.t Ja¿:-¿; u:¿'cz-¿¡aCe¿r¿:zje * q':: ::s i,:¿ T¡;ct e ia 'ta¿r€a potencialce Coulc¡¡b. "fcr Éi U cuente.laenergiaci;:éilcai;-;c::l?

&. m;s'esWra &lnwat D:ar*, tm n@qrvtro 6. ¿Gtra pe lz eh.s"Áarr,as'wlópcasCcwelarwlo cstp el oxigan? 7, I,u expimentas yarz medir lzs estructuras i¡femx óel * núcleo emplezr¡ en forma caracterííica,a elect¡onescomo 'l 5 T ¡ '¡:r'or nz.1¡ dp l -< ::::l ¡s t:t-< e i :F ca ni o(i ucen en l a rg 3F p¡oyectiles.¿Porqué púrlan serde masutilidadlos elect¡o.s, l|," fisiónsonradiactivos. ¿Porquéi '..É¡ nesquelaspartfculasa paraeso6experimentos? . lri 16. ¿Porqué esperaustedque un ncuirónp€netremás en una ¡:\Á¡. eCa,atCayazCa, f,l. 8. De losisótoposdelcalcio3eCa, ¿cuálespera queuna perticuiaa de la mismaenergfa muestrade n"lateria de neutrón, ustedque tengala menorenergfade separación ,É,, cinética? y por qué? tr $' ,l{i

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PROBLEMAS

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de colisiónde Rutherfo¡d 2. (I) ¿Cuáles la seccióntransversal estóticasde los núcleos 15-1 Propiedades de una partfcula a (Z = 2) de 5.0 MeV, sobreun núcleode 'r:..fu. plomo (Z - 82) a un ángulode dispersiónde 90o?Expresesu :'*.: barns;l bam - 10-2acm2. respuesta 1. I'r ;Cuántosneutronesy cuántosprotonestienenlos siguie::tesiúciicos? ;Li, I5N,l6Cl,53Cr,7aGe,lolRu,r35Cs, 3. @ Setiene'ladesüacióndeunapaflcula a de5 MeV deensrgia :sL:. :'!-É1-,::¡R, cinética,originadepor un átomodc oro, parael cuel Z - 79. ). .

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(a)paraR - 0.1nm; *time la deflexiónangularcaracterlstica, buida en un volumen esféricof nR3,la energlaelectr: s:¿:-: ¡ 'b) paraR t0 fm. es ]f¡+reon. Con este resultaáo, exprese lÁ diferenc:;. i .t. fli) Una parifculaa con velocidadno relativistav seacercaal de energfas electrostáticas del par de núcleos espe;c :.-.:=' riores, y ;ent¡o de un núcleo de radio R y carga +Z¿. Calcule la emplee esa ecuación para determinarro, cieÍi:;:: por R - roAtl3,en témrinos de AEdistanciadcl accreamientomáximo. Supongaque el núcleo .rsmuchomáspesadoque la páffcula a. ¿Paraquévalor de v seráigual a R el acercamicntomáximo? lll) Calcule la distanciadel máximo acercamientoa la que 45-2 Fue4as nuclcares y motlelos nucleares ;legaunapartfculaadé 7.00MeV cuandosedispersadefrente con un núcleo de aluminio. No tengaen cuentael retroceso 12. (I) (a) La energfadel primer estadoexcitado de un nl;c.e: cel núcleode aluminio. Compareel resultadocon la sumade de aHe es 20.1 MeV. Calcule la frecuenciay longitud C¿o:los radiosnuclearesdel helio y el aluminio. de un fotón, necesa¡iaspara excitar éste estadopartiencc :e átomos de helio en reposo. (b) llaga lo mismo para el nl:cil:: 6 . (iI) Una partfcula a de 4.0 MeV de energfase dispersa lE?Os,cuyo primer estado excitado tiene una enersfa ipil:. : formandor¡n ángulode 45o,por r¡n átomode plomo. (a) ¿A qué 0.0O98 MeV. ciistanciallegó la partlcula a del centro del núcleo?@) ¿A qué distanciallegó la partfcula a de la supcrficiedel núcleo 13. (I) Con el modelo de capas,determine si los siguientesnúc^:de plomo?Supongaque la partfculaa esun punto. dos tienen una capa cerrada (nirmero mágico) de neutronesc

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l7O,38Ar,a8Ca,llsSn, l44Slu,208Pb.

protones: ílI) Las masas dc los isótopos establesdel silicio son 2tsi, 2eSi,y para para 17.976928u el 28.976496u el 29.973772 14. (II) Suponga que los dos protones de un núcleo de aHe está;.1 u parael sSi. Calculelas energlasde er¡lacede cadanúclido. a una distancia aproximada de 4 fin. (a) Calcule la fue¡za de Coulomb entre ellos. ft) Use la energ(ade enlacedel aHepara 8 . (ll) Expresela seccióntra¡¡sversalde colisión de Rutherford estinwr la fuerza nuclear. Compare ias dos fue¡zas. en términosde la trarsferenciade cantidadde movimiento, quetieneunaca¡rtidadinicial 15. (ii) Calcule la fuerzr que co¡respondea la energfapotenciai Jp, deunapartlculadispersada, de movimiento mri,y una cantidadfinal de movimiento (na de Yukawa, ecuación (45-9). Flagaun esquemade ella como cos 01i+ (rau sen Qj (figura 45-23). función de la distancia de separación; en la misma gráñca,

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haga un esquemade una fuerza que varfe con el inverso del cuadrado,suponiendoque esafuerza correspondea la misma energfapotencial que la ecuación (a5-9) para r pequeña.

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16. (II) La energfa necesa¡iapara ersamblar Z protones en ula distribución uniforme a través del volumen de una esfe¡ade radio roárl3 El parámetro ro es, aproxi"t!1Vr'¡loto.¿v3). madamente, 1.2 x 19-tsm. ¿Qué fracción de la masa de un núcleo de carbono representaesa energla? 17. 0I) Use la fómrula semiempfrica de la masa para calcular las energfasde separacióndel neutrón, protón y partlcula c del núclido a8Ca.

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9 . 'Ii) Si des¿amosemplearun electrónparainvestigardistanciasdel tamañode unnúcleo de utanio, ¿quéenergfadeberla t¿nerel electrón?¿Y si deseáramosinvestigardistanciasdel tamañode un nuclcón,dc aproximadamente1 fm? I! Con el teoremadel trabajoy la energfaresuelvael ejemplo :5-1. lntegfe el trabajo entre la distancia de infinito a la :lsiancia de regreso,R, del punto en el cual la fuerza de Cculomb ha efectuadoun trabajo igual a la energfacinética ::¡;ai de la partfculaa. t1 =., Los núcleos espeio son paresde núcleosp"araloc cuales f ;' .\'en eilos son opuestos.Por ejemplo,et ?iN" y et illúe s.:nnúcleosespcjosconZ - ll, ¡V- 12,y Z - 12,N' 11, :=;ecú'.'amente.[¿ idea de que la única diferenciade ener:;s i¿ .:sosnúcleos se debe a una diferencia en la energfa :.:¡t¡stáüca es el fundamentode otro modo de medi¡ los :: -, :s :¡cleares, y, en especial,la constanteroen la ecuación .:...-- Si resolvió usted el problema 69 del capltulo 25, !ir-:rs'jr gr¡ecuandouna cargaQ estáuniformementedistri-

18. (lI) Con la fórmula semiemplrica de la masa, calcule el valor de Z que reduce al nrlnirno la masa total M(A,Q para,4 fija, resolviendo )MIAZ = 0. 19. (IID Con la fórmula serniempfrica de la masa, calcule los valores de ri para los cuales se presentafisión espontáneaen dos fragmentos, cada uno con z1/2nucleones.En otras palabras, calcule los valotes de ,4 para los cuales M(A,Q 2M(Al2,Zl2) > O.

45-3

Energía en las reacciones nuclcares

20. (II) [-a primera reacción nuclear que se haya observado, fue por Emest Rutherford, y fue a + 14N*P + r7O.Si se emplean partfculas a de 5 MeV para bombardcar taN etr reposo, calcule la suma de energfascinéticasde las dos partÍculasque salen,a parti¡ de las masasatómicasde la tabla 45-2.lM(t1O'1 * 1 6 . 9 9 9 1 3 1u l . 21. (lI) l,a particula a que usó Rutherford para iniciar la primera reacción nuclear observada (véasc problema 20) tul'o que superar la barrera de Couiomb entre los protones del aHey los

¿eii'S. S.;¡:nla qrrela partfculatr sedebeacercar a I ñn de 31. (ü) La teorfa del decaimiento 6r como proceso de filtración un protónen un nricleoblancoparaquesetengaunafeácción cuánticanos permite predecir una relación experimentalentrc nuciea;.Caiculela energfamfnimaquedebetenerIa parlícula la vida media, trr,y la energfacinética,K, de las partfculasa a Darai¡iciar la reacción.Comparesu resuitado con los5.26 emitidas durantela radiactividad.Una versión'ao¡oxinladade esa predicción es IfeV de energlade la particulaa en el experimentode Rutherfcrd.¿Eraprobablela reacción? 2(3.97 McV¡i2) . : __.-==_ _ i2j, '¡ ¡ 'l ¡ ) 22. (U) En la reacciónde fusión3H + 2H 1He+ n, la enérg.fa t1 K liberadaes 17.óMeV. Si el núcleode He tienecuatro.veces quelaspartlculasiniciales en la cual ¡( estáen N{eV. (a) Anote los valoresque flltln en la masadel neutrón,y suponiendo la sieuientetabla: estánen reposocuandose llcva a cabola reacción,¿Cuáles la energfacinéticadel neutrón? Núcleo K (MeVl t,n 2roPo 23. (ID Los nucleonesno son est;iticos, sino que sc mucven i.¡o ? deun nucleón dentrode losnúcleos.La energíaaproximada 2rqla 1 .r L ? dentrode un nú¡cleoei de unos20 MeV. Con esaenergla -'"rr 9.3ó cinéticay el principiode incertidumbre, estimelas dimenj ---In sionesde una esferaque podrla conteneral nucleón.¿Es 1 . . i 1x i 0 : r a ; i c s igualal de un núcleo?Interestetamañoaproximadamente pretesu resultado. (b) Parallevar a cabo r.¡nexpcrirrrer:c,:.rcesita::losul-.¡fuentedc 24. (ll) La reacciónnuclearque usó JamesChadwicken su partfculasa cuyavida medir sc: c:¡:.::::::.:s :e 9')::;;r. ¿o'rál paraiclcntificaral neutrónfue a + ttg - ¡ i experimento es la ftrentccienrayoi chcl¿:r .,:: :'i. j c i.irrr'. r S,'.':¡:'¡blcl¡tcntc? l a N.S uponga quela p a rtl c u l aa te n g a5 .3 Me V d e e n e rgfa, 3 2 . ( l l ) C o n l l s m a s ¡ s C c l : 'i c L : : i ; . . . ; : - : : : : r 'e . {. - - i : : : .e r . r . Ap ctr y q ue elr r B es t áen re p o s o M ; (" 8 ) ' 1 1 ;0 O9 3 0u5. S i l a i t i c c I I , c a l c u l c l l c n c r r : : r: : : i x : r : : : '.: : : . ) , Í r \ ', : : . : : : c l ¡ ci :ó i l energfacinéticadel ¡oNes 0.8 McV, ¿Quócncrgfatendrla p r o d u c i d oc n c l d c l : r : ; l l : . , : . : : : : : : : . : . . ': : : . el neutrón? t. t3.. 33. (lI) En urn muestra.1:r...,:i:: s : -' -':. i -r¡ ::s:--,:.'a:r;-l, no esposible,y por qué reacciones 25. 0I) ¿Cuálde lassiguientes p o r d e c a i m i e n t os , ¿ : , , ''T . . . e . : 3 s : : . : . : : : : : ¡ : : : . . : : , : c J, e n 4,, no?(a) d +'0Ar * n + a3K,(b)p * 5tNi * rHe + *Co; (c) n ,fP o. ¿C uál es i ¡ rcl :¡ci :¡: :: l :r r:::. : - i :]::, i cc¡:;--l i e¡: i o a, + rrTodad + rNpr. (d) 2topo* a + DTi. jl a l a vi d¡, 14. pr¡a:¡:e::':.::¡.:: ta /Y r\ HI ^ .':r:'l cadmiometálico,se J{, :'C 26. (IU) Una hojahechacon 5 mg der¡:rCd, --i -I ruú ..1 ...g v,r :.s _.--_:l:;.cs. l . l cs te;l dos de l os \¡ 1 ,/ conun flujo'de.10'a exponedurantet h a un hazdeneutrones, o r g a n i s n : s : : - : : - . : . : : , : s : : : i : : 3 : : i e i a a : i ¡ , ó s f e r en, l i en tr a s captura(la reacSi la seccióntransversalde neutrones/cm2s. viven. Ei es:.u:.e:c:: :: =:::.::: :;e¡te201 dcl toC e¡¡COnles2 x lClabarns ción rl3Cd+ n +rraCd)paraesosncutrones a- r ,f- r :ál l c l o v i v ió e l .- ^- ér c - - ',- :i nr r a.- i ¡ ''¡ ói fer r (véaseproblema2), ¿cu:intosnúcleosde rroCdse forman? S:-;c:._1.:-¿ .s ;c;-.cell::¡cióndel roCatmosféricono mam'..;'.: (Sugerencia: calculeel áreaefectivaque ocupanlos átomos c am D :3. . de cadmiodel blanco.) '..r;r

45-4

pequeiio grupode núclidosque puede 35. (ll) El 'B::s ;: :: que dccae:;c: .:s ::cs ::ccesos cledccainrjcnte0. De¡¡ruestre e s t oe s ; . : s : : . : . l l - t s r ) = 7 9 . 9 1 8 5 2 8 uM , ( m K r ) = 7 9 . 9 16 3 1 6 u , . ¡ , 1{S r . - - 9 9 i ó 5 2 1 u ,

Radiactividad

36. {fi; S-;":;.¡a c;: la vida de un núcleo en reposo,para decai27. (I) Demuestreque el procesoprimario de decaimientop, q u e , p a r a f i n e s p r á c t i c o s ,l a a n ch u r a ¡ : ^ . : : ; : : '. : s : i : . . i r g a ecuación(45-26)sólo esposiblecuandola masaatómicadel n¡::.:::l :e ie ,.:¿a espectralse puecleno teneren cuenta;esto núcleopadreesmayorquela del núcleohijo. es, .¡ e:e:rra :/ asi.rnre un solo valor, ftjo. Cuando el núcleoes ecuación(15-29) 28. (t) Demuestrequela emisiónde positrones, finita, semueve ;ar:e 3e u:l co:l:untode átomosa tc¡nperatura sólo es posiblecuandoMr, Mo - 2n,, siendoM" Ia masa ¡l aua;,3 \'e:es i.acia,y a vece::alcjándosede un detectorde atómicadel núcleopadre,y Mola delnúcleohijo. r¿\'osy, ¡'que ei anchode la lfnea espectralestádetermin¡do posible 29. (I) Demuestreque la capturade elect¡onessólo es ¡or el ccriniento Doppler de los rayos I emit'idos.Este fenónreno se conoce como cnlan^chahientciD^dpplcr.Estirne padre que del la es mayor atómica del núcleo cuandola masa ia r,chura, debida al ensancharnientoDopplet, para esos núcleohijo. átomosa temp€raturaT- 80OK. cuandoel N(r),presentes 30. (I) El númerode núcleosiaestables, 37. jII) Un núcleo radiact.ivo,a, decaecon un tiempo rr en un úempoesr, dismiruyesegrlnla ecuacióndjferencial

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po¡ sustitución en i cual r es el iiempode wda.Demuestre, .fo(l) :;'3;'¿. qle ia soluciónde estaecuaciónes,ciertamente, _.,._J_, 1j+r-t

n'icec b, c.:e Cr¡ze con uru vidz rz a un núclen c, H carnbío st ¿! =:-,.e:e rc =k"as 6 .-,o¿¿¿ae'i¿a.-.:*íét:. Cí, - ,-¡.r.'--,,.L'i;3=1=5ó:=:,:i.--!i)-A s::.¿xa ¿e rtcieg b r:O c.:!i:=a3 ¡ ::= ¿:'-:cjcn secc;ií¿ ie este tipo, porqte escs n jcies 3€ conslrn:'ir en íorma continua ini Cecakniento,y pas¿¡ a s¿¡ núcleos a, pero aLmismo tiempo se renuevanpor decaimientosde núcleos¿. Dernuestreque.laecuaci6ncorrecta para el cambio dc núcleos Lnes.dffót -(Nrlrr)dr + d,\',

o o t* o o # ''H o o .,$ o ,ffi 'si a o # ,# o ffi o ifi o ffi o ffi a o o o o o o o o o o o o o o o o o o t o o o o o o a o o o o o H 'iB. 0'B

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FtGt RA 4$24 Problcrm3?.

;Cómo se generalizaestaecuaciónpa¡a una cadenade dec aim ient os d- b * c d ...,c o n ti e mp o s d evi dar,,rr, ii. rn, . . . , respectivamente (figwa 45-24)i -r'5. i.III) Tenemosuna cadenade decaimientosen un sistemade uesnivelcsde núcleos,4 b, c, siendoMo> M¡> M". El nivel c decaetanto al nivel ó, con tiempo de vida r.6, y al nivel c, con tiempo de vida r*, mientrasque el nivel á decaeal nivel c, contiempode vida r¡0.Asf , cl nrlmerodc núcleosen el nivel a, cuandoel tiempoes f, siguela ecuacióndiferencial dl/ , , ( r )

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(c - tttt,,- e -'t¡,),

: )enuestre queno hay necesidadde formular una ecuaciónpara .\'- ;:.a vez conocidosN. y & como funcionesdel tiempo, r:r:,.e ,\.(r) - Noo- N,(r) - N¿(r)si iniciamos sólo con un ::r-:lto de núcleosN* de núcleoscuandoel tiempoes¡ - 0. il : :p*n!¡¿st¡eque,cuandola tasade decaimientodel núcleo : = r. ;rcblerna 38 es mucho menor que la de decaimiento :c- -;; la: ó rj núcleoc, entonces,despuésde un tiempolargo g: ::n;¿¡lclón con r¡ú,¡/ó(t) ! (rüdh¿rN,(t).Puedeusa¡los ::s:.,'t¡i:¡s cür?rddc en el problema38.

¡ll.

u.

wattseléctricos)emplea23rUcomo combustible.Estecci:rbustiblecontiene4% de235tJ,ycadareacciónde frsionprcduce200MeV deenergfa.Supongaquela plantanuclca¡rie¡:e 30% de eficienciaen la producciónde energfreléctrica.(a, Calculela cantidadde combustiblequesealirnentaen 1 aio. @) Determinela cantidadde energfatérmica liberadaai ambienteen esetiempo.(c) ¿Cuántoseventosde fisión se producenpor segundo? (I) Una de las ¡eacciones del ciclo del protónesla ecuacióri (45-33b),'H+p *3He + 7.Calculela energfaIiberadaenesta reacción.Uselos datosdc la tabla45-1,perotengaen cuenta que los átomosdentrode las estrellascarecenpor comDleto de elect¡ones.

-;lv't'l' rúN"(tl

,vá(r)= tlu,,TLP

l-=;t

Aplicacionesde la fisica nuclcar

43. flI) Uná plantade energfanuciea¡de 300 Mwe (300 mega-

I

Demueslre,por sustitución,que el número de núcleosen el nivel á es

.í-:--í

45-6

N"(r)= -: N'(/)'

(a) Demuestreque la solución a esta ecuaciónes /V"(r) ,\*e-t/'o.(b) Demuestreque el númerode núcleosdel nivel D, en el momentot, obedecca la ecuacióndiferencial dN/,(r)

41. GI) La temperaturadel interior de las estrellases uncs . l - !_ (a) Estime la energla cinética normal de los prcicres _-*: chocan y padicipan en el ciclo del protón. (b) Ccn:::: rrespuestapara la parte (a) con una estimación de ia e::e:¿-.: cinética que deben tener protones inicialmente alejaics e:r;: sl para llegar a 1 fm de distancia, a la cual las fue¡zas a;:::.. pueden ocasiona¡ la fusión. 42. $) Calcule la diferencia ¿nt¡e la energla de Couiomb ia:a núcleo padre (Z,A), con la suma de las energÍasde Cc::.c:r-: de dos núcleos trtjos,(fZ,!A),y te _ respecrir.:fiZ,O_l),41, mente, siendo / ruu fracción entrc 0 y 1. Demuestre q:e :sdiferencia de energfa es rnáxima cuando / - .rto es, a pa.::-: i; sólo de los términos de energfa de Coulomb, es enereeil:!_ mente favorable para que la fisión produzca dos fragre:.::s de igual tamaño.

¡.t-¡,ón

i: l:s ¡o,vectiles nucleares se exp¡esa en --¿ ::-sz; Í:c ü.¡ :l:rÉ;tu¡as¡c ]T, sicndo I megatonelada de TNT - 4.3 ¿ - :'-,- . ]r:r =,asa ñ:i:iT¡ dc ¡5U se necesita en wra bonrba i-:c.;ir(Sugerencia: Cada f¡sión de llrl i,cr:nc2ézs? ..-*= : ll€ I{:v d¿ ercrgia.) -' :-c:;-t

Problemasgenerales 45. (t) El ciclo del carbono,procesoestela¡de quemado,secundario respectoal ciclo del protón,constade las siguientes ¡eacciorrcs y decaimientos nucleares: t z c +p - l 3 N +7 ,

con 1.9MeV de energlaliberada;

r 3 N +r 3 C + e '+ v

con 1.2MeVde energlaliberada;

t 3 C +p *l 4 N +Í

con 7.6 MeV de energlaliberada;

l 1 N +p -lJO+ ¡ 5 O {r i N +e '+y ,

I

rsN+ p + r2C+ aHe

con7.4 MeV de energlaiiberada; con l.? MeV de energfaliberada; con 5.0 MeV de energfaliberada.

(a) ¿Cuáles el efectoneto de un ciclo, y cuántaenerglase produceen él? (b) Setieneunaest¡eilacuyarnsa es3 x 10s kg, quecorsisteprincipalmente dehidrógeno, y el 0.1%desu masaes rzC.La du¡acióncaracterlstica deun ciclo de ca¡bono enla est¡ellaes5 x 106años.Estimela energlaqueseproduce cadaaño debidoal ciclo del carbono,suponiendo quecada núcleode ca¡bonoactúacomocatalizador del ciclo.

134t

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*.: .:.:--:;:r:i*.:a de la masa, deduzcauna r:.: i :: c---ace.je unnúcleo. (b) Apiique : :: .: ::e:aia de enlacedel 12C.,,

en reposo,¿qué energfa deben tencr los átcr,cs ie .-.: . - : - ' : que se toquen sus núcleos? (t

(II) Un ltaz d.r n,)Lrtrones cle2.5 OeV rle enc:'gfase :::{--:

por bombardcocir núcleoscon protolles.¿Quédist;---.; . .:, :..:: -*-: -: s: ;l..¡ra producedosfragmentos, - : . ::--: que este haz cuando ha decaliio el 90% de ios neutrones? S--rcnga dos fragmenlos los -S:--.-, j:-.: : : ' : - : : . . :.: : l : .-argase distribuyeuniforme:c rencia!.Losner¡t¡onesson ¡elativistas,y son impofa:l:-. -:. ¡:t . _l--:. e.s.a ::;'e;-<Ía potencialde Coulombdel efectos de la dilatación del tiempo.l : -- ::-,: :. . : ::: :::-=::::.::sap€nas setocan? 53. (II) Una de las primeras sugerenciasaéercade la con:posi:.-':-. dcl núcleo fue que conticlte á protones y A - Z eiect¡oncs Con el principio de incertidumbre, estirneque si un elecirc:. se limita a moverseen una esferacle 10-¡am de radio apio\.nrado, quc es el tarnañode rrn núcleo, entoncessu cantiCici;e movit¡rientodcbe scr rnayor que unos lOrMcV/c. Conlc ios rayos p cnlitidos por el núcleo tienen r¡naenergf;rdel ordcn de 1 MeV, este estiuradodescartala posibilidad que h:r': electtonesen el núcleo.

Fsión , Wr_')""

54. (II) Calcule la energiacinética total.que,se.p¡oducc en el ciclc del ca¡bono (véaseprobleura 45) desprrésque se han aniquiiado,con electrones, los dos positronesproducidosel1ei ciclo.

iIGLRA 15-25 Problcnu47.

+i

I C:l l: :o:rilulaseiniempfricadeiamasa, calculelaenergÍa :: se¡:raciin de un neutrón para los nuclidos tóO y r7O. 3r: l:q :e la i,ife ren c ia.

:r.

.- Dcs p¡oionesdentro de uu:r cstrella,cadauno con 5 kcv :: ::c:gia, chocan de frente. ¿Cuál es la distancia de su :,:::ca::rientonrixitno? J Un nueso tiene 10 g de C, emite partfculas p p¡ocedentes ::l :'C. con una frecueucia de 1.3 por segundo. Cua¡rdo se :::::¡ el itC del ai¡e y pasa al hueso, la actividad del carbono :-::-::al, debida a su conten.idode raC, es 15 Bg/rnol. La vida ::i :'C es 8268 años.Estime la edad del hueso. .l D-'s áicinos idénticos y neutros de helio se acercanentre s. Ccro no hay repulsión de Coulomb ent¡e ellos, deberían ;:.;e; aproximarsemucho, lo suficientepara que se tocaran s-s:.u;.e os. (a) ¿Que hay dc n) alo en es t e ar gur nc ¡ i t o ?( b ) 2 fltt, l::.: el radio del núcleode helio es,aproxinradatncnte, que se acercanent¡e sÍ está -' :. ::irl:o de masa cledos núcleos

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J 5.

(II) La energíade rur conjunto de fenniones no interactuantc.s de inasa ¡¡;, con densidadnulnórica n en un volu¡nen I/, es I = i .r/r:;rr/i0lr)(3nl¡)51t. Con cstaecuación,calculela encrgh de ios protoncs,tr,, en un nircleo,.entónrrinosde A, Zy ro, siendo ro la escaladel ¡aciio nuclear en la ecuación(45-7). Rcpita su cálculopara la energlaclclos neutroltes,8,.

56. (lII) Inicie con los resultadosdel problema 55, y sume los ténninos de energla del p,rotóny neutrón, co¡r las variables,4 ;'r -N - Z.Podrá haceria sustituciónZ = (A - r)12,y N = (A + 'r)12.Aproxinre el ¡esultado para r <
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o I o o o o o t o o I o a I a o t o o o o o o o o I o o o o o I a o a t o a o t o o I o I

o o o o o o o o o a o

CAPITULO

46

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o

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o o o o o t o o o o o o o o o o o o t t I

o o ü o o o I I

.h;: ..*u¡en ampliada rcgistra el descubrimicnto de.un ponador lundamental de Ia fuerzt t"¿:-tt¿Lll. h panícuh Z, cn el CERN (Ginebra) en 1983.l^a panlcula Z esproducida por r. :..::r,i¿ Ce un par protón-antiprotón, Sufirma caracter{stica es la producción de un par t ..t::'c z-positrón que se mueveen direcciones opuestas,alejándosedel punto de colisión. I-as :-.':€ciartas r¿stant¿sreprcsentan otros dcscchosdel choque.

PARTICULAS Y COSMOLOGIA A.... t. Losdominios tlel intedor de un protón, y los confines del u¡riversoparezcall r,: :e:-ei qre ver entre sf, creemos que los gobieman los mismos principios fisicos. i. +.:¿r ambos conceptos en los bordes de nuestro conocimiento de las leyes '-::-:¿:entales de la ffsica, sirven de campos de prueba de nuestras ideas actuales r:.e::¿ ie esasleyes. Pefo esosdominios convergenen un modo más profundo. Los ',-. :¡s Ce paflculas estudian las reglas que gobieman el compoftamiento de la ;;:::3 a las distanciasmás coftas que podamosexaminat. Los astrónomostratarrde :: :" :cmportamiento del cosmos en las distanciasmás lejanas.Como la velocidad c ,.¿.r.¡zes finita, cuando vemos objetos muy distantes,vemos la radiación que .---::ri.n hace mucho. El ver objetos muy distantesequivale a ver hacia atrásen el s: ?': !la)' una evidenciacadavez más convincentede la teorfade la gran explosión :r; i.¡n{ , segunla cual, el universo se inició en un volumen diminuto haceunos 15 :-, :-.*..:nes de años. De ahl que nuestros esfuerzos por ver hacia attás, hacia la época - rj: s. ;ició el universo, nos regresena los asuntosdel comportamiento de la :¡:.¿:.1a ::f¿s distancias.

y rb-1 )rL\TcAS RUsAs,FUERZAssuBNUcLEARES .EJ.{ TT\'IDAD ESPECIAL :;' : : ; ' e, . : - a: ; ia- e s u n j u e g o d e mu ñ e c a s u n a d entrodel aotra;cadauna,excepto --- :. : -.:i' ;: :'-¡Ce abrir para encontfaruna vetsión más pequeñade la misma. i f '1 .1

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i_1++ .-fñin

H¡drone¡

{ó

Fra;olr

y coologir

se puede compatur'a abriruná-muñeca tu"sa.A medida que los iirvestieado:esge delerminadaépocahan visto con rnayor detenifnieritolo que considerabancomo lcs comPonentese intemccionesfundamentalesde la materia,han encontrado,a escalas mríspequeñasdentro de esamateria, otros componentesque interaccionanmediante otrasfuetzas.Los componentese interaccionesa escalasmayoresse puedenexplical en t&minos de la ffsica a escalasthenores.'Elprimer paso verdadu.o..jnlu "upu.t,r" de la muñeca rusa" consistió'enque Jbhn Dalton se dio cuent¿(lB0g), basánáoseen trabajos de frnales del siglo xvIII, de que cuando los elemehtosie combinan qufmicamente,lo hacen en proporciohespreóisaslTambién se dio cuenia de que la explicación más sencilla'deestefenómeno es qrfe existen diversos tipos de átomos, uno por cada elemento qufmico. I.os átolrios'de los elementos qufryicos son los bloques conskuctivos de lás moléculas.'Las fuerzas inüeraiómic;s que hacen de "cola" para.estaformacióñ son de origen elécttico, Pero, en realidad; los átomos no son veidadeümente indivisibles. vimos, en ei capftulo 42, cómo eski formado un átomo, por electrónesy un húcleo. La estructura del núcleo y de los electronesrepresenlala muñecarusadentro de un átomo. El átomo estáunido por fuerzaselecttomagnéticasentr¿ los electrónedy los núcleos. . Como vimos en el capítulo45, haslalos nrlclijosticnelresin¡ctura.Estánfonnados'por.nucleones, -que son protonesy neutrones.El'núcleo estáuiiidó porla fueiza nuclear, o fuerza fuerte. Esta ñ¡erza es distínta de la fuerza electromagnélicaporqqe tiene un alcancefinito. Y la energíanecesariapara saca¡un neutrón o un protón de un núcleo dado es tan grande,que son inrportantesics efectosrelativ'istas,-los que relacionarrla energíacon Ia masa-, por priniera \?z en nues.,Ja perspectivab¡eve Cela estrqcturade la materia, El origen de esass¡andesene¡g:asse cebe encontraren la intensidadde la fuerza nuclea¡. Los elecltonesy los nucleones,¿ilei.:n esil-;ct:l:al S: es as:. q...:ef:::-z"rs mafitienenunidas esasestrucruras?Hasr i;::i¿ s:'¡e:::c-..;,; ¡¿.-¡:,;:-:e¡: :;s¡ oe:itic d e l e l e c h ó n .N o tenemosevi denci aque:i cj :.¡?¿ s.;-:.::;,:.:s:.:¡:;c:es esr ¿. ii compuestospor componentesmás lr:ni¡nen¡¿-¿s.:-::a:.-.c *s e. casc ce lcs nucleonesy otrasparticulasque inre:acc;oLr^;.:e:--:=.3i.3.:;:. :;.e:::-,-a:-:.e¡:e. se c o n o c e nc o m o hedrones. l ,os expel i ne:.:cs:e:i :^:::s,,.- -..-.' ..,.: :¡' :r o ccl j,: s'- ¿s'-:--¡:ur¿ aceleradotesde particulasnos han proporcionai¿ e','i:j.¿:.::¿ asíconio informaciónacetcade la naturalezacielas i¡::er¡::ic:.:*. r-3 .:.:.:-,.-:.;:. Dis¡rcri;ión ¿Cómodeterminamosla forma y el tamañode un c:-,e:: ::-.-: ..;:: ;:a::ai' I-¡ ."t;ros. Esto significa que observamosla luz (fotonesr:'.)e -::,-.:::- ::. :. _-:j:::. \::s:¡cs ojos son el detector,y observanuna luz reflejaCa,.: :::. --.:_.j::e :c:¡.-a j.e las propiedadesdel objeto. ¿Quéevita que veamoslos átomostambiénas:l Es -e j.i=:::::. ce l: luz. :a cue limita nuestracapacidadde discernir detallesde ob;e::s ;¿::e:.cs. ,-::ic er:, i ::r:ce en el capftulo39. La resoluciónde det¡lles Ce ta:::a:c i. :t.:n :'::e::. ::ec¿si:ecue la luz sea de longitud de onda ,1 I d. Así, para esr:d:a: :cs a:::L ie estemcüc. necesita¡famos luz de corta longitud de onda.Debii"- a i: re.acic:' ,.- hlp [ecuación (41-l)], nuestráluz'estáformada por fotonescca eiax ca::liied ie novimienro. El hecho de que la rnateriatengapropiedadesoriularc¡ias auin3niáestelü¡i¡e al caso en el cual dispersamosproyectilesde materiaielec::oies.por ejemplo), En el capftulo 8 explicamos la relación enlre ia ca¡ridad de movinriento,o energla,de un proyectil, y el tamañodel blanco Je esepic;'ectil que se puecleestudia¡. Paraque un proyectil pueda "ver" un objeto d,erarna;:od, debetener üna cantidadde movimiento, o enetgfa,mlnima. Repasemosesa.¡elación,eslavez empleandonuestro conocimiento de las figuras de difracción. El tama-io angular caracterlsticode la figura de difracción formada fur unproyec.til de longitud de onda .r.,clispercándose

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o o o o o a o o o o o

de un objeto de tamaño d, es sen 0 * )'ld, El tamaño de la transferencia de :e::idad de movimiento en un experimento de difracción es, en fotma caracteds'.:l:o,Arc - p sen 0. Por consiguiente,

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Lp=penu-p

13+5 46-1 MuñeM,frm subnuclcarc y datfutdad

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(46- I )

dd

e:rConde,e¡ el último paso,hemosusadola relacióndede Broglicentrecantidadde ;::orirnretrtoy longitudde onda,p - l¡/1. Vemosquescneccsitamayorcantidaddemo.;;l-rientoparaestudiarobjetoscadavez mds pequeños.Hacemosnotarque en el ;'-a-icode refe¡enciadel labotatorio (proyectil en movimiento y blancofrjo), gran :,ar"ede Ia energladel sistemaeskícontenidaen el movitnientodel centrode masa, :. c':al, a causade la conservaciónde la cantidadde movimiento,siguesin altemrse rcspu& dela colisión.Estaenerglano estridisponibleparala exploración delblanco. Pcr Io tanto, Laecuación(46-l) se aplica en realidod a la cantidadde movimiento iEi centrode masa,y a la transÍerenciade cantidadde movimiento. l¿ ecuación(46-1),queexpresaloslfmitesdenuestraposibilidaddeverdetalles de un sistema, a causa de los aspectosondulatoriosdel "proyectil" incidente, ese¡cialmenteestá contenidaen las telacionesde incertidumbrede Heisenberg. L¡srel¡cionesdeinccrridunrbrede eedeecribieron enel Recordemosque la telación de incertidumbtecantidadde movimiento-posiciónes Heleenberg crpitulo4l' > fi, ecuación(41-7), en la cual h,- hl2n. Si interpretamos que d es la -t:lP r"¡ce¡tidumbre de posición,Ar, entoncesla telaciónesevidente. E J EMPLO 4 6 - I El protóntieneun radioaproximadode 1.2fm. Sedesea emplearelectrones comoproyectilesparaestudiarla estructutade los protones queel ringulode dispersiónmáximo en una escalade 0.5 a 1.2frn. Suponiendo observableparaun electrónenel sistemade cent¡odemasaes3Oo,¿quécantidad de movimiento del centrode masadebentenerlos electronesque inciden?¿Es necesario emplearcinemáticarelativista? SOLUCION: La ecuación(46-l) nosproporcionauna relaciónentie la cantidad de movimiento incidentey la escala,d que sepuedeexplorar,y s h P'dnno' por el valor mlnimo & d, queesd - 0.5 fm: El valor nuiximo dep estrideüerminado p-

6. 63x 1 0 -3 4 J ' s

(0.5fm)(scn30")

l !ftr 6 .6 3 x l 0 -ro J ' s = + --:;;-

(0.sJmX0.5)l0-'' m

.. ,A :2.^ ,1 X l 0-'-n' r__ kC . m/S

Asl, pc : (2.7x l0-18kg ' m/$(3.0x lOEm/s) leV

: (8.0x l0-¡ol) 5.0x 10eeV, l'-El: ** depc o sea,5.0 GeV. Comom"cz=0.5 MeV pataun electrón,el valornecesario esunas10,000vecesla masaenreposo,y el movimientoesaltamenterelativista. Nótesequeun eleckóncon 5 GeV de energfaen el marcode teferenciadel cent¡odemasatienemuchom¡isenergfaen el marcode refe¡enciadel labotatotio, unos 53 GeV, o 53,000MeV (véaseproblema6).

Fropicdadcs a distintos nivcles l,s '*x:,'-i':¡l€nrc de dispersiónque hemosdesctito son las herramientascon las r;¿,ss er ;.:ran:ics lm distintosnivelesdela estructurade la materia.Sucedequeesos =-ticiores monótonasuno de otro; -no esla mismamuñecarusa :-.a{ : : 5.-:r.

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I

f,IGURA 4ól Rcsultado tlc r¡¡¡ncolisión simulada cntrc protoncs, cn los hnccs dol Su¡rcrcolisionndorSu¡xrcotxhtctor ('SSC), accloradorquc sc conslntyo ctr Tcxas. l¡s traycctorias sc forman con particulas quc salcn dcl sitio do colisión, o quc so producon cn colisioncs subsccucntos.Son curvas dcbido a quc hay prcsentc un campo rriagn¿tico.So prochrconmrrchns¡rnrtículos, dcbido a quc intervicrrcn e,ncrgíasmuy rclativist¡s, Son las cncrgías quc so rcquicrcn para crplorar cl intcrior dcl protón con cl dctallc alcanzablc on cl SSC.

queápafece;r pc:;::=e:i irnportantes la quesalea cadanivel.Hay dospropledades i: materia de la subrruclear,'que es el nivel de la estr¡cL;r¿ vezen el nivel estructurul y \'eancs e'st{nconfifiados. los protones:dominala telatividad, los comporlenteb esaspfopiedadespot tumo." Relatividad.Aun al nivel de la estructuranuclear,no sepuedenpasarpor alto evidencia,de lo anterio¡en de la relatividad.En el.capitulo.45,"vimos los efectos. el hechode que las masasde los núcleosen estadosexcitadosson ligeras,pe¡o fundamendistintasdelasmasasdelosmismosnúbleosensusestados mediblemente interviene ent¡e a travésde la equivalehcia tales.En estecasola telatividadespecial la la relatividades'funddmental: E : mcz.Enel nivel subnuclear, masay energfa, de protón")esun masade un protónen su primerestadoexcitado(una"resonáncia 30% mayorquela del protónnormal. paraestudiar dccentrodemosadelosproyectiles energfas necesarios Igualmente,las la estucturaclelprotón,sepuedencalculara'partirde la relacióndeincertidumbrepara caritidadde movimientoy posición,o sea,L,pL,r > ü. El radio de un protónes, quedeseamo!echaruñvistazoa unaregión ln, Supongatnos 10-15 aproximadamente, una cuyo radio es * de esteialor. Entonces,siendoAr ='10-17m, edtirnarhos de car¡tidaddemovimientolrp:- /r/Ar. Si usamosuir'el¿óttóncomo transfetencia quela transferencia de csntidaddemovimierrto'e!del mismo proyectily suponemos ordendemagrritudquela cantidadinicial de movimiento,el proyectilelectrón,debe teneruna energla(relativista)de centrodé masaE - (A.p)cx (hl h'r)c.Siendo.Íc: pqn la r¡asadel 200.$,feV: fry (véaseApeqdiceiD,.q.= 20 GeV. En gomparacjó.n es elechón,cuya energfaequivaleaproximadamente a.0.5Jt{e!, ¡lueqtrq.ptQyectil Unaenerglade20 GeV, tambiénesmuchomayorquela energfaque ultrarelativista. a la masadel protón,del ordende 1 GeV. coffesponde en nuestro"r¡ricroscqpio", sehaceqlan,grandes, e¡ergfasnecesarias las Cuandq . pa{i¡ de .surgeunacomplicacióninmediata:sepuedencrep¡.pa$fc¡rJps a.licionales,a carga,En incidente,guardarrdolas,leyesde conseryació4;.cor¡o.la,dp, la errergfa. pqr.qjemplo,,antiprotode antiparticulas,.comq particular,reconocem.os la presencia de contraparte, exceptoque todosJos4úmeros nes, que son como sus,partfculas Siqmpre cuánticosintrlnsecos,-como la cargaeléctrica-, tienen.spintcontrario, si el excesodeenerglaqs.suficienterr¡ente puedencrearseparespartfcula-antipartícula asi de dispetsiónelectrón-prolon gue,sedespribió,sp.vgelye grande.El pxperimento mugho máq,complicadp,porqueel estadofinal puede,cqntener.¡nughas. Bartí.culas (figura46-1).' . ... ,: Jn 4 6 - )'o"""*',os hacer choca¡ de.iente dp, EJEMPLo "" "ll"tor.,"" colisionador sinútr.ico, que es un aceletadoren el,cual se encuentfande f¡enie hacesde igual energfa,para.producirun par.protón-ar¡tip{otÉ\,pP.:La masaiel protón es 938 MeV/c2. Calculela magnitud de la cantidadrnínima de movimienio de cadauno de.los Coselectronesque chocan..Lqreacqión el ,¿-1 e- 4 e-+ e-p + p. No tenga en cuenla el efecto de la masa del electrón. SOLUCION:Debemos satisfacerla conseryaciónde la enetgla y la cantidaCi: movimiento, I¿ cantiqladmfnima de movimie4tg co¡rgsppnde a una eier:;3 mlnima, sólo la suficiente para formar la masa en reposo de todas lqs pa;t:::." finales, sin excedenteen forma de energía cinética. El resultado es ui: p": :: electronesy unpar ppenrePosoen el marcode referenciadel laboratc¡:c.:. c::. para el caso de un colisionador, es también el ma¡co de ¡eferencla ie. ce:::: masa.'Almislno tiempo, qüedasatisfechaen fórma automáticala cc:-se- a:-:: de la cantidad de movimiento, porque la cantidad inicial de r:icvi:lle.-.:: ::j- ': : ¡ p a r i l e e l ectroneses cero, pata un col i si onado¡si métri co.\' . .t:tt ' ::: : : - p a rti c u l a sdel estadofi nal estánen reposo,' tambi énes !a * :::j :i miento de nuestroéstadofinal de enereiaminima,

o o o o a o o o o o o o o o o O

o o o o o o o

o o o o o o o o O

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

s€a k"¡, la magnitud de la cantidad mfnima de movimiento de cada uno de .os dos elect¡ones.La energlainicial total es¡entonces,2Jkr"t"rr:, ¡1sta +t¡"r/ enargiadebese: igual a la de un par de electronesy de un pur fJi , tudosen reposo: lF

hE'¡',.F +;:¡

4(r2

.utra..ío¡lm t,*.,

=ltn.c,+lntnc2,

cl ,a cual hemos empleado el hecho de que la masa de un arrtiprotón es igual a la de ';n potón. Elevamos ambos lados aI cuadradoy restamosm,Ic4,y obtenemos (mncz¡ mr c2)2- m,,2c4 = 2n¡,,ttt,,ca+ tn,,.2 k rrrn'c' c o, h del protón es uhas 2000 veces mayor quc la del clectrón, y por TuT consiguientepodcmos no tencr en cucnta, con seguridacl,al ténnino 2nrirn'oca, que contiene a rnr. Nos queda

:'+ k-A=,1,,C Numéricamente, /cn¡.:: (938 Mev)/c - 0.938 GeV/c.Nóteseel enrpleode la unidadGev/c, cómodaen estoscasospa¡ala cantidaddemovirniento.En fonna equivalente, la enetgfamfnimainicial total,E-¡., es ta energfaqueconesponde a la masaen reposode un parpp

E^¡,- 2moc2 cevlfl* - 2[(0.938

- 1.88Gev.

I-a enetgla mfnima necesaria para que un electrón choque con otro en reposo y produzca un parpp es mucho mayor (véaseproblema ?).

Confinamienfo.Si excitamosun átomo,aumentanlasenergfas de lasexcitacionessucesivas hastaque,en determinado punto,la energfaesmayorquela energlade en.lace del átomo.De él puedenescaparuno o máselectrones, dejandoat¡ásun ion positivo.Conla energlasuficiente,sepuedenseparartodosloseleótrones delnúcleo. Igualmente,cuandoexcitamosal núcleo,las enetglasde las excitaciones aumentan hastaqueel núcleosedisgtegaennúcleoshijoso nucleones. De estemodosepueden aislar los componentesdel átorno,o de un núcleo,o se puedenobservaicomo partÍculaslibtes. Sin embargo, los componentes de losnucleonesu otroshadrones no se puedenseparar y observarindividualmente,sin ímportar cuanta energíase agregue.A estefenómenose le llamaconfinamiento.En especial,lasexcitaciones confin¡r¡¡ienro de los nucleones,cuyasmasassonapreciablemente mayo¡esquelas de suscontrapartesenesladofundamental,no decaenformandolos componentes del nucleón.Esto no quieredecit queesasexcitacionesno decaigan.[,o hacenconmayorfacilidadpara ¡roJucir ot¡as excitaciones,de nivel nr.is bajo, o en los nucleonesmismc y en ohas que interactuanfuertemente,corno le mesones(veasesección462). En la F,¿ruculas .eccion463 descdbi¡erncbrevementelasrazonesdel confinamiento.

+6-2 Lq.spARTrcul-as NUEvAsy r-ASLEyES DE L{ CONSERVACION

Ccrao sc tra¡rsmite la fuerza nuclear ,¡s ;:r¿:¿soriginales de lo que ho; se llama frsica de altas errerglas,fue la -:É'ie::-[,¡c¡;rn ce Ia energíapotencialrelacionadaconlasfuerzasnucleates.Unavezque re E::lffo el p*encial nucleat,la aplicaciónde los principiosde la mecánjcacu.íntica :¡r:-:: :$E/:-€r a ics nr}clec de modoaruilogoa cornosemanejanlos átomc, En 1935, 5.'r ::EÍ¡.si¡c';l¿ gra.rmodificación,comoresulüado deunaideade Hideki yukawa.

#

dc l¡ conrn'acÉr,

fl rrc.nct !¡ l¡ fue¡z¡ nucle¡r se dcsibe e¡ d c¡pitulo 45.

Propusoque en el nivel más fundamental,ias fiierzas entre las particülasi¡re¡-"c¡r,.-tesse debenal intercambiode un-büantoespeóial,qge llamaremo! partÍcula "e¡rlaz¿:te". Una de las dos partfculasque interactúanerhiteuná parilculaénla2a¡rte.r' le c::: la absorbe.Yukawa pudo prdecir la masa de la partfcula erilazanteresponsabie;e .: fuerza nuclea¡, - a partir del alcancedelas fuer¿asnucleares-; a esa'partícu;ela i.::::: .. mesón. . La idea de que una fuerza se'interrnediapor un intercambió no es.cornplicaca; en el béisbol, ei lanzadory el receptoreje,cen entresí una fuerzá de repulsióna rar'és del intercambio de una pelota. Lo que es,nuevoaqui es que el oUjeto intercambiaic contieneuna cantidad apreciablede.enerqíp.Supo¡garnosque la masa del mesón es m. Cuairdo se ha emiiido un inesón,y antes,ie reabsorberse,el sister4ade partícuias gue interactuantiené un déficit de.energfadql orden nlcz.La conservaciónde la energíapuede ser consistentecon ese,déficit sólo si 91intervalo de tiempo,'Af. para el cual existe el déficit, satjsfacela ecuaciónA E .At 7 lt, que es el ifrnite permitido por la relaciónáe incertidumbrede Heisenbergentre tiempoy energfa.,sisuponemosque este sistema esü'dominado por efectos mecánico cuánticos, de modo que ias telaciones de incertidumbre se satisfagancomo igualdadgs,entonces AE A¡ : /¡. Siendo LE = mc2, tl. 1l

tl Al +- - - - - :.-

AE L¡ no con¡cn¡ción dc le cncrgin en cl interc¡mbio de cuantos no es medible, debido s un¡ releción de

(

n'tc'

^ 6_)\

Estaecuaciónnospermiteretenerel pdncipio de la conservaciónde ia'energía,porque no podemos medir la no conseryación de la energfa en un tiempo menor que At. Cuando se emite y se reabsorbeuna partícula de estemodo, decimos que existe en un estadovirtual, y que el procesoes virtual.

incertidun¡bre.

Alcance. Veamos.cuánto puede viajar'un rnesóri;'que sbrá"t¡rr¿i'irieriida de la distanciaa la cuai llega la fuerza nuolear.Durante'eltiemp'oAf, la distanciaque puéda viajar el mesón es tl Ar, y como u debe ser rnenor que c, la distancia máxima que puedeyiajarJa partfcula,es R = c Ar. Según la ecuacióti (46-2),

'i'¿k-tt

R : 1I,L , - ! r : L l l l ( ''.

l nc

,I

t-

A esta distgncia máxima la llamamos.alcance.dela'fuerza; én el capfiulo 45 describimpsya el alcancede las fuerzasnucieares: El mesón de Yukawa, que es la partícula enlazantede la fuefza'nuclear,se lla;na mesón pi, o pión, y se representamediánté el símbolo tr, Podernctdéstirnarru -u.u. rno,si suponemosque R : I .4 fm, valor experirnentaldel alcancddé la fuerza nuclea¡:

nr^=

h

1.05x I0' r4 J s

l¿: i-r¿.-lO'";;lr¡¡ . lo6lrl

:,t x to kg: 0'15,r"'(46-'i) .'?i I

enIa cual,rto esla masadelprgtón.Asl, nrcz= (0.15X938MeV) = 140MeV: Tanrbién calculóYukawala energfapotencialcomofunciónde la separación entrepartículas, con el intercambiodel mesón: r, parala fuerzaasociada U(r):f'

o:rttnrt.lh

.,.

.

(.1ó- -< '

En ella, 92 esuna medida de ia intensidadde la fuerza entrelas partlculas i¡iteractu::rtes, análogaa e2¡4re"de la ft¡erzade Coulomb.Lafuerza de Coulomb no tiere e. factor de decrecimientoexponencial, caracterisiicode una fuerza de corto alcar.:e. Sin embargo, la fuerza de Coulomb encajaperfectamenteen el marco de refe:e::i: de Yukawa si se consideracolno resultadodel interc'arnbiode una particula sir :ra--.

-el fotón. comentariós.y Vale la'pena',hacer'algunos óbseivaciones sobrel: .::: :: Yukawa:

tt

T I

1J + S

I I

,-.t

o o o o o o o o o o o o I

o o o o o o I

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o¡

l. l-e energiapotencialen la ecuación(46-5)estásupersimplificada. Dependerdo de la natu¡alezadel mesóndeintercambio,la energfapotencialpuede '€¡€r una dependenciacomplicadade los espinesde las partfculasinteracrantes.

46-2

r,uspañíotas r""t*.y** dc la conrcn'acion

l. ñ rresóndebeserunbosón;estoes,su momentoangularintrinseco,o spin, ¡iebeserunmúltiplo enterodek Estosedebea quelaspartfculasqueemiten ¡' absorbenel mesón, - los nucleones-, son fermiones,y si se ha de conserva¡el momentoangulat,no puedenemitir ni absorbe¡una partlcula de spinmedio enteroy seguirsiendofermiones. 3. E mesónpuedeser'eléctricamente neutro,o eléctricamente cargado,pero todacargaeléctricase debeconservarmedianteuna emisióno una absorción. [-asfuerzasnuclearesse ptesentanentreneutronesy neutrones,pro'lonesy protones,y neutfonesy protones,casicon el mismoalcance,lo cual significaqueel mesónde Yukawasepresenta en los tresestadosde carga, f , o' y n -, y todosellosdebentener,aproximadamente, la mismamasa. h ideadeYukawa implica quehaym¡íspa¡tfculasqueintervienenenlasfuerzas :uclea¡esde lo que se sospechaba. Su idease puedeprobar:se deberlan'producir ptcnes,con masaspredecibles, en colisionescon la energlasuficiente.A finalesde ,r décadade 1940,se construyeron aceletadores con energlassuficientespataeste i'bjeto,y sedescubrieron los trespiones,conmasascercanas a los valorespredichos.

EJEMPLO 46 -3 Un protón,quehacede proyectil,chocacon un protón que hacede blanco.¿Quéenergfacinéticamínima debetenerel estacionario, proyectilparaqueel estadofinal tengadosprotonesy un pión neutro? SOLUCION: En el marcode refercnciadel laboratorio,el protónque llegatiene una cantidadde npvimiento cuya magnitudes p y encrglaE, rclacionadas medianteE - ,fFTn17V. Eiprotóñ blancotienecantidadde movimiento ceroy energfa mpcz.Laenergfaminimaesaquellaqueformalasmasasenreposo de laspartlculasfinales,sin energlacinéticasobrante. Porconsiguiente, lastres partículasfinales -dos protonesy un /-, tienen una cantidadtotal de movimientop,pefono semuevenehttesf. Asf, el estadofinal sepuedeconsiderar comounapartlculaúnicadecantidaddemovimientop y masa2nt, + riltr.Con la conservación de la energfaobtenemos la relación E = E *t n, , c 2:

J77 + ^¡A * m,c2: Er: JV7+ e,,,h*

trt-))ca .

Elevamos al cuadradoambos lados de esta ecuacióny llegamos a + mpzc4+ 2Empc2* mp2co>ff -¿¿ o bien, despejandoa E, g =?"r"o

+ (2mr+ mn)2c4,

* 4,!n,r,-ro-f ,\'r'o . ¿rnrc-

.{sr. ia energlacinética mlnima necesariaes

( =2tnnc2+:t- rr:2( 140MeV) + 140MeV)2 A'= ^| - tt¡^c2 -=290McV. ¿ntr 2(938MeV) l,:., -: :iogfarna intensivo de experimentos se produjeron piones en cantidades u r¡:iies. cue se pudieton dispercara su vez con blancos nücleares.Uno de los resr"-cr:::-:::¡s más notables de esteptogama fue la existencia de muchas pafículas ¡¡¡g'"rx.¡ J;.i¿s e;[as son hadrones, y debido a la facilidad con que se producen, se

-. ---- -.- - -*.,...@hF<+¡¿É¡E¡¡fi

1 3 iO Capírulo

46

Pat-tiaúasI

cexmología

piensa,quetodas ellas interactúancon,urn iritensidadigual a !a fuerza nuclear. Ha)' gtan número de nuevw:bósoúes;,yg todoa ellos seles llama mesones;también hay gr¡rnnúlnero de nnevos fennio¡rcs.Los ltadronesnucvos clificren
Bariones

En el capftulo 40 describimos la existencia cie antipartículas.Tanto la relatividad como la mecánica cuánticaptedicen que cada.partlculadebe tener una contfaparte con,cargaopuesta,.perocon la rnismamasa y tiempo de decaimiento.El hechode que la cargaseaopuestahace fácil la identificación del positrón, o antielectrórr,o del antiprotón. Pero, ¿cuá1es la antipartículadel rieutrón;que es eléctricamentener¡tro? El antineutrónse puedeidentificarmedianteun número cuánticonuevo,con alguna semejanza'con la cargaeléctrica.Se llama número bariónico, B, y a cadauno de los nucleonesse les asignael número bariónico B ='1. El antineutróny el antiprotón tienennúmerobariónicoB - -1, y todoslos primos fen¡riónicosde los nucleonesque ' i se han descubiertoen los experimentosde dispersióntienennúrnerobariónico distinto de cero. F,saspartículás,- ss¡. es, rorlos losferntiones fuertemente itúerdcnantes -, se llaman bariones, en forma colectiva.El pión y todos los denrásmesonestienen un númerobariónicoB = 0. Se postuló la existenciadel núme¡o bariónico,junto con su ley de coriservación, cuandose reconocióla notableestabilidadde Ia materia.La conservaciónde la catsa y la conservacióndel momento angular permitirfan el decaimiento rrao

El número bariónico es número cuántico conservado y cuantizado.

¡n

+n"

lAA

A\

A menqs quu ,"un estorbados este y otros áecaimiento" similares, los átomos desaparecerlan.Pero los experimentosdemuestran,quesi losprof ones t¡cnc¡.tticmpo dc iida, éste.debeser mayor que ld0 años. ¿Cómopodemosdecir'esiosi el¡niverso ha etistido sólo durante 1Or0años?Podemosmedir esetiempo de vida juntairdo i030 años,pcdríamos proton"s y vigilándolos con cuidado;,siel.tiemppde vida fuera 1.030 esperarun decaimiento por año. Un experimento extraordinario, que consistió en llenat utr tanque con 8000 toneladasde agua, con unos 1032protones, rodeadode contadores de electrones, indicó que no sucedieron decaimientos como el de ia ecuación(46-6) duranteun periodo de varios años (figura 46-2).El ta:lquese colocó en una mina de sal, a gran profundidad, pata evitar interferenciade pantculas de alta del espacioexteriot.'Colnoa los electrones¡' a ics pionesse energfa¡irovenient'es les asigna un númeto bariónico B * 0, y. corno postularncsque .seconser,'ael número bariónico en toda reacción',está prohibido ei decaimiento inciicadopot . la ecuación (46-6). ; Aunque se conservael númerobariónico,como Ia cargaeléctrica,ambascosas' debenser muy distintas.Sabemosque cuandoha;-una cargaeléctrica,hay un campoi electromagnético, y hay fuerzas asociadascon ese cainPo. Sin embargo, no hay i campo comparablerelqcionadocon el núrne¡o,\ariónico. St ltubleran fuerzasseme-. jantes a las de Coulomb, relacionadascon el número bariónico, de la forma kB$Jf ,' entonces,lafuerua de atracción de una masa de uranio hacia la Tierra serfa distinta, de la fuerza de atracción de la misma masa de hidrógeno, porque el uranio tiene una, fracción mayor de su maia en fonna de nuclegnes.Pe¡o las pruebasdel principio de,'

a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

O

o o o o o o o o o o o o o o o o o O

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

,e:;,:::l;o, análogoal núme¡obariónico.Tantoel electróncomo el neutrino,cadal¡no :"¡r: sF-1 hlT,tiene núrneroleptónico +l; sus antipartfculas,€* I ú, tiencrrnúmero ,:;ictitco - l. [,os electronesdebeninteractuara travésde las fuerzasdel electromag:,e:;n'lo. mientrasque los neut¡inos no. Ambos participan en la fuerza débil asociaJa :-:':. ei ciecaimientop. En la sección 46-3 veremos que esasfuerzas están estrecha;:e;te ¡elacionadas,

+6-3

REpAso DE r-as FUERZASFUNDAMENTALEs

E; ei capitulo5 presentamos y ahoranosencontramos lasfuerzasfundamentales, en ;cnCicionesde seguiresaexplicación.Hoy, los ffsicoscreenquesontreslasfuerzas :;-lar¡entales que actúanen la naturaleza(tabla46-2); grayitación,la fuerzaelec::¡'Je'oily la fuer7afuerte.La fuerzaelectrodébilesel resultadode unaunificación :el electromagnetismo y la fuereadébil,reslibnsable del decaimientop, a mediados ;e la décadade 1970.Secreequecadauna de las fuerzasfundamentales actúapor .:tercambiode una o más partfculas.En la tablá46-2 presentamos las partículas -componentes" queinteraccionan, medianteesasfuerzasy laspartÍculas deintercambio, o de errlazamiento, a ttavésde las cualesse t¡ansmitela fue¡za.Nóteseque la :-ue¡zanucleatno aparece;hoy se cfeeque,en último término,se debea la fueza queesla fuerzaentrelos quarks.La gravitaciónno desempeña l-uerte, papelpráctico atgunoennuestracomptensión de la materiaa energlas actualmente asequibles. En realidad,la partfculaenlazanteparala gravitación,quees el gravitón,nuncase ha observado. Describiremos en detallelasotrasdosfuezas.

Fuenafuerte En la fuerzafuerteintervienenlosquarks,queya describimos, y los gluones,conjunto de partlculascon spin /i. l,os gluonesson particulasde enlazamiento, como los fotonespara el electromagnetismo, o los pionesparalas fuerzasnucleares. Los quarkstienenun númerocrránticoanálogoa la cargaeléctrica, que,al igualqueella,estáüantocuatrtizado comoconservado. Estenúmerocuántico sellamacolor,percnosedebeconfundirconloscolotesdelespectro dela luz visible. [a cargaeléctticaseda en dostiposdistintos;el númerocuánticodel color vieneen trestiposdistintos.Los quarks,o cualesquier partlcula,emiteny absorbengluones con un núrnerocuántico,de igual modo que los fotonessonemitidosy absorbidos por palículas con cargaeléctrica.Perohay una diferenciacrucialentreel electroy la fuerzafuette:losfotonesno tienencatgaeléctrica,pero losgluones magnet.smo poúan el núnterocuántlcodc color y, por corsiguiente, puedeninteracruarentresí a

r rBL t 46-2 FITT.ZTS ruIYDAMI]NTAI¿S

- t ' :i .'t'l -¡:.:i

3--i

: ::'::^i.ébil

¡-ei::r :-er:

Partlculas sobre las queactúa

Portículasque la transmiten

Todapartfculacon masa Partlculasconcargaeléctrica o con cargaeléctrica'débil" Quarks,gluones

Oravitones3 Fotones,bosones débiles Gluones

' \.rcr :r¡-" :r:rr¡¡jr¡ lcs graritorrs, absoluirrnontc, ni sc lra intcgmdo la lcy tlc la gravitaciórr ¡.i: Er.a. i ¡:[ ;¡s {k-s e¡¡¡rticas cn fonna satisfactoria, -"r:"¡

I 3t: 46-J

Rcpaso dc les frcr¡r¡ ñ.¡ndamcor¡lc

1354 Crpiorlo

áó Pertiorles y coamología

través de la fuérza fuérte,' por intercambio de otros gluotrcs. Esta dife¡e;:cja es funclamental.la teorfa que descdbeesasinteraccioneses la cromodinánrica cuántice, , 'El hecho de que los gluones interactúerrentre sf a ttavés de la fue¡za fue¡':e. cinduce a una fuerza entle qu3rks y gluones que aunrcntaal aurhentarla ciistanci¡-.. La fuerza de restauración debidá h un resorte tiene esta propiedad, pe¡o no es u::3 fuerza fundamental, y un resorte se deformatá y finalmente se romperá si se ie esiira demasiado. En el caso de los quarks y los gluones, mientras más apartad.rs estén, se atraetán,con más fuerza entre sl. Todo esfuerzo de apadar quarks ;' gluones para sacarlos del'nucleón, suminiitrando enetgfa, está condenadoai fracaso, por esta razón. Esto es la base del mecanismo dc conrtnamienfo quc se describió antes. Nótese que, como las fuerzas fue¡tes aümentan al aumentar la distancia, el concepto de,alcancey su relación con la masa del mesón transmisor tiene menos significado para la fuetza fuerte que para la fuerza nuclear; o la fuerza electrodébil. EI que las partlculas de.intetcambio de fuerza fuerte, los giuones, tengan masa, es una preguntaen busca de respuesta. ' Ir

en el mundo cotidiano,los dos Fuerzo electrodébiLA las energías.+lormales y la fuerza*débil" aspectosde la fuerzaelectrodébil,que son el electromagrretismo p, parecetr serbastante.distilrtos. El foténesunapartfcula deldecaimiento responsable de la fuerzaelectrodébil. de interqambioquetransmiteel aspeotoelectrotnagnético La,fueüa débil que se manifiestaen el decaitnientoB parecetcnetuna intensidad perolro esasl:la diferenciaesui muy diferentequela de la fuerza.electromagnética, de fitefza,los en que, ademásde los fotones,hay otro conjuntqde'transmisores bosonesdébiles, W', W- y ZP.Esos bosones,cuyos ftrdicestepresentallsu carga notables;deunas86 y 97 ve¿¿sla rnasadeun protótr, eléctricp,tienenmasasbastante Estehechoimplicaqrre{h'fuena grrel caLodel W (W- y IY-) y /, respectivamente. de Yukawa,sino dlébilno sólo tieneun alcancelimitado,segúnel razonrimiehto respectoa la enérgfa.Silaseñerglasüelnspattículasque tambiénciertadependencia interactuana travésde la fue¿a débil sonmayoresquela masade los bosonesdébiles, "debil"sehacecomparable a la'deielecttomagnetisnro. i dela interacción la inüensidad debil la diferenciaentrelos asfectoselecttomagnéticoy De estemodo;desaparece altasenergíat. de la fuerza.electrodébil,.a I , l,os quarks, al igual que los leptones,puedcn emitir''o absorbera los'iroLacioies de la fuerza electrodébil y eslán'sujetosa la borrservaci&l óe la carga'eléctrica,C.. número bariónico y del número leptónico. Se pueden visualizar procesos,toi;c :. p + e- + T como pnccesosen dos Btapasen los cuales un qua:k decaimiento F, fl d dentro de un neutrón se transforma en un qua¡k ¡l: '

¡!+ u-l W -,

W --e-* i .

l,a unificación de las fuerzas electromagnética y débil es un Paso importante e: nuest¡acomprensiónde las fuerzasfundamentales.Además de una simple econcrii3. la unificación tiene como consecuenciavarias ptedicciones. Por ejemplo, he::::s mencionado que la fuerza 'débil- se hace igual de fuerte gue la fuerzz elect¡c=¡-:néüca a altas energfas,hecho de que se manifiesta en la.f¡ecuenciamu-v-sr-a'iie.:--. la que sucedenreaccionescomo ¿- * p - n + v. Hast¿ aiora, todas las prei.ic::::= de la unificación elect¡odébilque se han probado han confrmado que es cc;e:= 3-r¿ unificación.Una mayor uhificación es'el objetivo continuo de las i¡r''es:j:::::.-:: acfuales.

Tablarcsruncn del estadoac:rs:j¿ .--. La.ttgara46-4esunatablaqueresumegran'parte mientosace¡cade partfculasy fuerzasfundamentales.

a a o ao oooooaaoooao o a o a o a o o a o a . o o a o

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I'ARTICULASFUNDAMENTALESY SUSIN'I-EITA(]T]ION I iS

FIGLJRA 46-4 I q< ca¡gas elect¡icas de lp particulas que se mencionan aqui están en unidades de carga del proaón, y 16 spines están qr rmidades de ñ. Hay dos nertrinos más, dc lepones más y oratro quarks niás, que lc quernencicranoseneltexto.Elquark*arriba"nosehabiadescubiertoenlgg2,perosupresenciase hainferido; no cornprendemc, err la actualidad, por qué existen es¡s Frticulas adicicnales. Hay rnuchos hadrcnq fermicnicos y had¡cnes bcónicos más que los que aparecen aquí, y todc ellc los prede explicar la crcmodinámica cuántica. Se pueden pedir copias mris canpletas que csta en CPEP;MS 5G308, l-awrence Berkeley Laboratory, Berkeley, C A9472O.

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HERRAMTENTAS DE rA FrsrcA DE pARTrcLr-{s

y cosmologia ".-iorlro

RichardFeynmancomparóel procesode comprender el compcfia;i:;:; :: l'-: partículas elementales, conel pr,oceso decomprender cómotrabajaun rei:; ¿:::-,.::,:: dosrelojes,uttocontrael otro,y estudiando el conjuntodeengranajes .r-:e-<.Í.s :-j: se produce.En realidad,el casoes algo peor.Hemosvisto quenecesi::.=:,s :---=_. cnergfasparaver las cosasmás nítidatrrcnlc,estocs, a cortasdistancias,per; c::. .:-. aitasenergíasse presentanefegtosrelativistas,cornopródúcc.iónde pares,.peres:: "reloj" y "antireloj"). Adernás,debidoal confinamiento,los engranajesv rceci.as::¡ puedenser, en sí mistnos,los productosfinales,sino rnás relojes,quizá de ciiseñ¡ distitrto,perofonnadospor los tnismosengranajes y nledas.Muclrasde hs panicuia-. que se producenson inestablesy decaencon tal rapidezque sólo podemosver sus productosde decaimiento.Por último, los choquesque se estudianson relativarne¡':te ra¡os, de modo que es necesarioun gran flujo de partlculas (muchos relojes). El problernade diseña¡exlxrimenüospara estudiarel cornportamientode paniculas a cortas distanciases doble: primero, necesitamosaceleradoresde particulasque tengan la mejor combinaciólr posible de alta energfay gran coriente de partículas, adecuadaa las partfculasy procesosquq de estu.dian.Errbegundolug'ar,necesitamos detectores que. nos permitan ver y analizar los resu¡tadosde los choques. Para construir aceleradoresy detectores,los ffsicos han forzado las tecnologfashastasus límites. Los tesultadoshatr sido halagadores,científróay tácnológicamente. ;l

Accleradorc

'l'rcs vostil;ulos

Imprrlsora 8 GcV

AcclcratlorprinciPal a 500 CcV, 2 km dc rliámctro

FIGURA 46-5 Esqtrcmado ururmáquin¿ dc blanco fijo, cn astc caso una vcnión primitiva dcl acclcraclordcl L,aboratorio Naciornl Fcrm.i do Accloraclorcs.Nótcnsc las divcrsas ctapas dc acclcración, quc sc ilr,iciancon cl prcacc.lcradory ttna partc do acclcmciónlineal (o,linac),y las grandes -,::vcrslltulosdcl ...--.: : . e-x;r:-.;,c¡iio.cn cl¡r¡ricios lu¡cc.squc salcn dr; arlio ric¡ aceicr¿dorprincipal clrocnn --':: i,::r¡x i;:s-

EI principio de los modernos aceleradoresde partÍculases la acele¡aciónrepetidade una partículacargada,estable,medianteun gampo eléctrico.Un campo magnético colrtrola la' trayectoriadel ha2 de partfculasaceleradas.Aparte .de este concepto básico,se empleauna diversidadde iécnicasen los diferentesaceleradores. . ' .. , Electroneso protones, Los electronesson altálogosa los quarks,en el sentido de que no se ha observado que tengan estructurai los olectronesy los Q'uarksson Además,pareceque los eleitroResy los quarks,a la vez,sonnecesanos elelnelrtales. en modelosmecánicocuállticoscon prediccionescalculables.Esios hechospueden sugerir una unificación posible entre partlculasfuertementeintetaetuantesy particimediantefuerzaelectrodébil.AsÍ, hay tarrtóinterésen obsdn'a¡ las que illteraccionatr como en observar colisiones d_eprotongs; se cuenta co¡ de eiectrones, colisiones que nos perrnitenesfudiarcolisionespp, pp,.ep y ei.Las colisiones;e aceleradores protot'res son de interésen el sentidode que representan cho<1ues en los quc inten,ienen quafks, Co¡no un protóndistriblrye su gnergiaentresus tres quarkscomponentes, y nuestra,capacidadde aceleraruna pqrtícula dependede sr.lcarga totai, podemcs acelefar a los quarks hasla un tercio dq la enetgfa a la,cual,podemosacelerara lcs elect¡ones. :

Máquinas d,eblanco lijo, .o colisionadores.Hastala décadade 1960,casi ro:--\ los aceleradoreseran rx(quinas de btancofijo, en ias cunlesun haz aceienCc i:c^:: en un blanco (figura 46-5). En una,máquina de blarrco fijo, bl haz se saca,nc-.j-mente, y se dirige hacia un bianco fijo, como puede sqr hidrógeno !iq':rdo. I-venlajas de ese aceleradorson que un inmenso número de particulas de bla:--: s¿ puededistribuir en cualquiervolumen,y que sólo hay que gobernai.i u: i.::. :.:. máquinashansido sustituidas,sistemáticarnente,.porcolr,sionadores,en .:s ;::.es := :.' -:,:: i n te ra c c i o n a n doshacesdepartícul ásenmonl mi éótdconca¡ti i j j¿3e-i

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. lr - r B LA 6- j C.¡I¡.{ CTERISTICAS DE AI,GT.JNOSCOL¡SIONADORBS ti¿nb.c

Laboratorío,lugar

Part{cuhs Energlamáxima ¿el haz (GeV)

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CERN, LaboratorioEuropeode Flsicade Partlculas,Oinebra, Suiza

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315

TEVATRON

FNAL, LaboratorioNacionalde AceleradoresFermi,Batavia,Illinoii.

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1090

HERA

DESY, DeutschesElektronen. Synchrotron,Hamburgo,Alemania

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e:2ó;p:820

CERN, LaboratorioEuropcode LEP, GranColisionador Flsicade partfculas,Clinebra, eleclrón-positrón Suiza SLC,Colisionador SLAC, Centrode Stanfordde linealde Stanford AceleradoresLineales,Stanford California

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LaboratorioSSC,Waxahatchie, supercolisionador Texas supcrconductoy'

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5o 20,000

' Opcración plancada para finalcs dc la dcc¡d¡ dc 1990.

rgualesy opuesüas, en choquesde frenüeentresf (figura 46-q.5 I.a tabla46-3 esuna lisra de las caractedsticasde algunoscolisionadoresavanzados.Sabemosque la c¿"'ltidad de movimientodel cenho de masade un sistemade partlculasque interac:is¡ila-iles constante.Cuandor¡na partlcula en movimiento choca con un blanco esrclcrrario,el centrodemasatienecantidaddé movimientodistintade ceto,quese s.:le:le despuésdel choque.De esüemodo,una granpartede la energfaincidente ;:eia en el movimientodel centrodemasa,y no seusaenla produccióndepartfculas, ;;e = .apartemásinteresante de la teacción.En los colisionadores, el centrodemasa ael s:s;emaestáen reposo,y toda la energlase usa en la ptoducciónde partfculas. C¡a'"oei costodeun aceleradotaumentaconrapideza medidaqueaumentala energla rc" "':.¿¡o los hac¿sque aceleta,en un colisionadorseobtienemásenergfade cent¡o :e -:-r:.r por dólar i¡vertido. : ::¡rd¡d ar algrnc colisiomdorcs,las particulasdc lc dos haccsr¡o ticrrn igual canüdaddc :La-;::¡ri: E¡ ¡dc,l¡::legJpondrcfnosqucnosvcmoscn cl casosimit¡ico.

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r358 C¡pfu¡o

{ó Part-ÉuLt y cosmologia

EJEMPL.O.46*.4",Ia partfcula,W*,ufivde las portadbrasUe 1afuerza electrodébil, tieneunamasaaproximadade 8OGe! lcz. (a)Paraproducirla P', segúnla reacciónp + F *W* -+ it:, ¿c¡¡álsqrla f.eene{glemlnima del protóny arrtiprotónenun colisiqna4etfO) ¿Cuáldeberlas'erla energfamfnimadelp para en un ch.oquecon un prctónestacionaricil . quesr¡cgdala ¡nisma.reagción i

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: SOLUCION' En'lu figura 46-?..v.gmos la colisión pf enlos marcosdereferencia adecuadosal colisionadory a Ia máquinade blanco fúo, y all{ tarnbiénse ,identificanlas canfidadesde movimientoy enbrglas.(a) Por la conseruaciónde . . la qnqrgfaen el marcgde teferenciadel ce¡tro de masa.seobtiene2E :. Ew+ En, , La enqtgfa'mfnima;E r Ei*¡,,correspondeald Wl,y al'n-, producidosambosen ' ,,Lepgsol de modoNe Ev * Mrú,2,y En 7 nrc2, Si,endom; << Mw, tenemosque En#.Ewry asl,,, ,,

cili , Jy.l iu¿'=t¡togev)=.4q ft),En el rnarco de rcferencia del laboratorió, la óantidad total d'emovimiento ¿s &, la c'antidad,de¡novimiento del f ini ciat. En la energíafiúnims, Wy nse encuentran en reposo entfe,sl, y actúan como una sola partf cula de mala Mn + mo* M¡y, La conservación de la cantidad de movimiento os asegura que p*ra él p4t ,W -. tr esa cantidad de movimiento sea &. Entonces, de acuerdo con la conseryaciónde la ene¡gfa, : ' ' " E¡uu.min i t¡tnc1=' \/-k2@7, . eti la cual Errir,6 es la energíamínima del p. Elevamos ul .uuá¡"áo u:nboslados de esta ecüációny obtenemos =l?c2 * Mrlco, "r'co Potúltimo, empleamosel heibo de bue en el marco d" oi"r"n"ia del iaboratorio, la enerela del F irúcial se relaciona con su cantidod'de movinúento de acuerdo con e6ln¡,,* {FV * mo-r^zV.Flevamosalcuadradoestaecuacióny sustituimos de la ecuación antétior: el término Etoo,,r¡,, t Pé * mozc' + 2E¡r6r;nmrc2* mr2co:Éc2 * Mrlco r, ' Éro-^+

l¡f^ P-P

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hotón, cncrgía E

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(a) |vfico clercfcrplrci-a de'l cqntrg Cs masa

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P¡otón, cn rcposo IIGUIA ¡¡ó? p,indo aG{. (a) I-a rcacciónvista daspo d rc & rcfc¡ci¡ dcl cc¡¡trodc masa.(b) I-a rcaccioo üirr ¡<|. cl rrco dc nfc¡qrcia dcl laboratorio.

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(b) lüatcódc Éfereirciá dcl lat¡r¡crio

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ce ¡ cual podemos despejar Euu¡n-. Siendo ffip 4 Mw,obtenemos (80 Geil2 M*'co '"^:ZA =ffi:3400GeV.

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Hcrr¡m¡c¡t¡s

& l¡ f¡slcr & partíd¡IÉ

l-a grga,rtesca diferenciaentrelas tespuesüas a las paftes(a) y (b) dernuestrala '-,ec:a-a dc los colisionadores. Es muchomenoscostosoacelerardoshaceshasta ¿: 3sV cadauno, que acelerarunoa 3,400GeV. -¿ irq¡ltad de controla¡los doshacesdeun colisionadorno esüangrandecomo ;e :¡:*.¿ pensa¡.En la figura 46-8 se puedever que el mismo campoeléctricoque o-":": -asparticulasenunaditección,acelerasusanlipartfculasendireccióncontra:i,r- :. lie el mismo campomagnéticoque impulsaa las pattfculascargadasa seguir 'n:;r ra] ectoria en el sentido de las manecillasdel rcloj, también impulsa a sus m"n;a;uculasa seguiruna trayectoriaen sentidocontrarioal de las manecillasdel =¡;.i. Pcr lo tanto,sepuedenemplea¡los mismoscamposparaloshacesde electrones ¡, rcrtones, o de protonesy antiprotones.l,a principal dificultad estribaen que se ,3!bwaconce¡uary dirigir los doshacesdemodoquesecrucenenpuntosaislados,donde ,as col-isionesse lleven a chbo;en esospuntos,sp instalarrdetectorescomplicados ¡ara ügilar los resultadosde las colisiones. Hemos demostradopor qué es convenienteel que el centro de masa de un síserna de partfculasen un colisionadorestéen reposo.Una segundaventajadel partfculasqueseprocolisionadortienequever con la disttibucióndelas abundantes ducenenun choque.En el marcode referenciadel centrode masa,las partfculasque se producense repartenen todoslos dngulos(figura46-9),y es el rnodoen que se tie¡e la reacciónenun colisionadot.El hechode queenura mdquinade blarrcofrjo se I ' .' i

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Sccción dcl acclcrador FIGURA 46{ En rm colisiorudor, los misiros campos magrrcticm grúan a la partíoda p y a la anti¡nrticuh y', y cs6 misÍrc campc acclcran trnto a p cqrx) a p.

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IIIGURA 4ó9 Oroqrrc c¡r cl colisiorndor TEVATRON c¡r cl l¡bor¡torlo N¡cional dc Acclcradorcs Fcrml, tal como sc rcgislró cn la i¡st¡laciór¡ dc dctcccion- [¡ viste cs dcsdo rm cxbcüio, -csto cs, pcrpcndicular a l¡ di¡rcción dc lc h¡ccs $rc cho.¡n- Sc producc r¡r n¡hncro aprcciablc & partículasen ángrilos rcctos rcspccto a lc h¡ces.

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lnueva el centfo de masa,significaque las pnrtícuiasqile se producensi-:l::::;.::.: adelantey, por lo tanto,sc coucentrallq0 un corloango6to,en la misma dirccción.C.::::r se ve en la figrrra46-10, estaconcentr¡cióniracedifícil la separaciónde los proCuc:os. esun blancoparael otro,que colltienernuchctrre:.:cs Cadahaz de un colisir¡nador padfculasde blanco,que en el casode utranráquinacleblancofijo. Así, la frecuencia con la que se efectuanlos choqueses menor en un colisionadorque el1una nráqr.rina de blanco fijo. Esto, de irecho,no siemprees desventaja,porquelas reaccionesque obsei-varnosa energíasmuy ¡lltas proc|.rcentanta información, que ni lns rncjorcs rápido. computadoraspueclentrabajara la par de los datos,puesles llegandernasiado Pero cuandose van a es(r¡diarreaccionesraras,sl puedeser que ul"rcolisiotladorse máquinade blarrcofijo. encuentreen desventajasi se le comparacon Lrrra

FIGURA 4Gt0 Un protón de 300 C¡cV rlc cncrgíaclrocacon r¡n protón cstscioriarioelt un cxpcrimcnto cn c¡ hboratorio Nacional dc Acclcradorcs Fcrmi. En csta rruiquiru dc blanco fijo, le m¡yor palc dc las partículas quc sc procluccnsalcn dcspcdidnslncia adclantc, f
Colisionadorescirculares, en conrparsción coft cc¡isiottadoresIinealcs. El de blanco problemade hacesque no sottmuy densos,eir colrlpafacióncon densidades de una nráquinade blancofijo, se resueive,en parte,en coiisionadorescirculares,de modo quc los hacesse crucen y vuclvan a cruzar con freci:cncia.Sin ctnbargo, de1capitulo 36, que la etiergírrsc irraciiaen fcrra cleónrlaselectrorecordarclt)os, magnóticaso fotones,cuattdoaceletatilas particulis c:t:g:;rs. P.lr.rl..s iitces de itn porquedescalnos quc .. i:rz r-cicir:3i:i.i...1 ai)cfsíacolro estoes indeseable, acelerador, sl ; c t t c: gl; t , stoes i nevi tabl eel i l ¿ii rfi i ncrxr:c' i :rr:i o:t, ,:,c:¡ cc;:-.i ;r.::e s c ap o s i b l e E . i n enrbargo,el tnoi i tri cl tl c ci ::l t:,i :3:.' r:-.rcl :::c:' .ai ¡r ci i c-rj a r ilacc a l a p a rtl c u l a S ;-i pel;:--l l t q u e e l h a z s u fr auna acei craci óicetti -r::.:.:t.1:r; c.:¡d¡¡j c i ¡ i ¿ clr iiciad de moütniento.Así, lnicntrastn3\'ci ela !a e:lc:ilr.3r'....,2-. -r';.¡t::'.:oi la :rr.iii¡.ci::l;.' e n e rg Ía Ad ; e tl ás, l a acel eraci ónde l :.;a:i :c:l a:s i ::' .c¡.:l nl ei rte i ri cporcl o : t aia su ¡ nas a, dc lnodo q u c i a s o l l l i : c '. : . ¡ s : : . . ; . si : " : : : : : s . c . - : - - . ¡. c s L - : J c t : c ; i e s , ; I Í a d i a l l8 ñ r 'i 9 1 3 a mayor flujo que las paiiicuics l¡:ás cesaj:.s, coltio los protottes. La LEP, "Gian Colis ionador E i e c t ¡ o n e s - P o s i r o i : e s " , e s ü i : a n : á q u i n a c i r c u l a r q u e a c e l e r a e l e ctto l te s

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),positronesa 60 Ge\', eii un anii:c ie -5ic:r de radio (tabih46-3), y casi es el lfrniie paraun colisionadcrde eiect:c¡:gsen ion¡a de alrillo; a lnayoresenergfas,ei haz cie eiectronespierde cerlasi:ria e¡er¡ia en cada u:clia. La altemativaes const!-uirun ¡epetidalnente ulr nuevo haz de electronesa lo aceleracorl;neal,ell el cu¿i sc qer'.eie ci¡cular,Debido a las ventajasquc tiene iargo de un tubo recto,sitrs€tuir t!-avectoria u n c o l i s i o ra d orscbre uni t¡áqu¡nade bl anco fi j o, conro se descri bi óarribn,dos niáqr¡i¡n iiileales c:'i las curles sils hacesse elrcuclrtfen'defrente serlifi la mejor s o l u c i ó n .t-a p r i nci paldcsventaj aC e esamáqui tra,qüe etr real i dadse ha col lst r uiclo e¡ escalaCedenrostración(SLC eir la tabla46-3),es que los hacessólo se cruzanuna pocasprobabilidadesde colisión.Paracontravez, de modo que hay reiativarnelrte rrestar esta dificultad, los haces se cotrcentranhasta diámetros de algunas micras, fracción diminuta si se cornparacon el tamajio de los hacesen otros aceleradores;los se tienen que cruzaf con una precisiónnotable.Esas haces dirninutos,entor'rces, máquinasparecenser el único medio de tener colisionadoresde electronescuyas energfasscanmucho lnayoresque las del LEP.

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t,i, IIGIIRA 4G11 I¡s cmulsiorr^s ictcgráficaspucdcnrcglstrarol paso(lc osasparticulas l:rl iculascargadas: :ii;ccn hucilascn la cmttlsiónya ltitlai¡. Ln cstaimagondc 1948,sc p:ccL;ccu:r prón cargadocn cl punto A, y sc .;:¡:: ci ci Erto B. Hoy, las c.nttrlsionos Lr: :ñ '.:r. Forqucson lcnlasy tto sc : ', (. : : a r - ^ ' r r" - o ' d i s P t m r - .

Dctcctor^es El aparatoque observa y analiza las colisiones en los aceleradoresde partlculasse llama detcctor.Los detectoreshan sufrido una evolución continua,dcsdeqrreJoseph J. Thomson detectabalos electrones,.Porprimerarvez, en 1897. Las partículas se puedenclctectarporque dejatrutra trazade energfa,nl pasarllo;-,o subnucleares decaerdentro,de un dctector,Por ejemplo,una part{culacargadaque pasaa tra','és derinaentukiónfotográJica,que,esunasuspensiónelnpleadapararecubriilasola::s. pellculasy papelesfotográficos,deja el mismo tipo cietrazo que la h:z: la 5ai1:ci::: puedeexpuisarelectronesde los átomosa lo largo $e su trayectoiia,I' cc:r e;:" :;.:cc:r.s.' -'- : '":" Ia dcp.osi ci ón , v o c a r u n a te a c ci ónqrrítl i cndetl trodel Inateri al cotr p l a ta a l o l a rg o del atrayectori a,Lospri nrerosdetectoresestab:i l :¡:::.,::- . : - - :- - .

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de er,r'.:lsión fotográfica (figura 46-11); -se usaron hasta la década de 1950, y ;r:nn.i:ieron a los investigadores apfender mucho acerca de las partlculas cargad"s {.ji! ei.tran a la atmósfera terrestte (los rayos cósmicos). La resolución de las :=;ls:,lnes, - zu capacidadde localizar la huella de una partfcula -, es menor que ':-a ;:.i :ra ( lO-ó m). Una técnica parecida de detección se basa en el hecho de que un cerca de su punto de ebullición forma burbujas de vapor a lo largo de una -;.::* -**:¡;la cargada que pasa. Se usaron hasta los años 1980, y se llaman cámaras de :,¿-il:¿q estaban llenas de hidrógeno llquido (frgum 46-12). Otros tipos mris :,:ie-':i6 de detectores registran el paso de una pattfcula, cargada o neutfal, como í.''-cn€s, mediante sus efectos caracterfsticos sobre las ptopiedades electrónicas del :,e:g¡:3r. l-a resolución de esos modemos detectores puede ser bastante alta, aunque :,c ?¡:io como la resolución de las emulsiones. I- n detector puede ser sensible a la cantidad total de energfaque depositauna _:¿r;clla al desacelerarsedentro del mismo. A este tipo de detecto¡es se le llarna :;.¡nínetro. También, una partfcula puedeser identificada por la rapidezcon la cual ¡i,cdc energfaal pasarpo¡ los componentesdel detector.En una técnica suplemen:¡;:e, rnidiendo la curvatura de la trayectoriade una partfcula que pasaen un campo m"agnéticode magnitud grande y conocida, dentro de una zona de detección, se ¡elermina la cantidad de tnovimiento dq la partfcula. Conociendo la crintidad de nor-iniento y energfa,podetnoscalcular la masa,y asf se puede identificar la partfcula. L¡ ider¡tificación de prutlculas es importanüe,y no es tan sencilla a energfaselevadac. I.os eventos no se pueden registrar en forma selectiva cuando se usan emulsiones fotográficas y cámaras de butbujas. Esta dificultad la salvan las técnicas que usBn disparadores elechónicos. Por ejemplo, supo:rgamosque nos inte¡esasólo investigar aquellos eventos en los cuales se produzca un muón (véase capftulo 40) de alta energia. Los muones pasan a través de la materia con más facilidad que los protones u ot¡as partfculas fuertemente interactuantes.Entonces, es posible rodea¡ la zona de inte¡acción con una gran cantidad de materia, - por ejemplo, muchas toneladas d,eace¡o -, y colocar fuera de esamateria un detector que tegistre, electrónicamente, el paso de partlculas cargadas,Este detector emite una señal que dice que lo que ha ¡asado probablemente.seaun muón, y, por lo mismo, funciona como un gatillo para que se registre el resto del evento. Los detectores modetnos son gigantescos y cornplicados (figura 46-13). El registro electtónico del paso de docenas,y hasta c;entos,de huellas de partfculas, necesitade grandesinstalacionesde almacenamietrto ,le i¡formación, y de poderosas computadoras para obtener la información rnás útil. tr-osfisicos de altas energlas han sido pionetos en el empleo de grandescomputadoras

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FIGUR^ 4Gl2 I os cám¡¡as dc bu¡bt¡jas pucdcn rcgistrar cl paso do particulas cnrgadas:so fomr¡ unn cadcna dc bubujas alrcdcdo¡ dc las lrrclhs dc lns particul¡s. En csta lnragcn, un lncsón r'(alxjo, a la dcrcclra), choca con rm protón cstacion¡¡io cn la oimara y producc dos particulas rrcutras qtrc viajan invisiblcs hasta quc dccaon forma¡¡do padículas cargadas. Una dc las paliculas ncutras decac cn un protón (línca vcrtical arriba a la dorecha) y un;(inca cuwa, incli¡uda, a la dcrccha); la otra palícula noutra dccac formando un r(nproximadamonto horizontal, salc hacia la izquiorda) y un n' (línca ligcrarncntc inclinada, cargadahacia la dcrccha). las troycctorias dc las palículas cargadas forman c'unas porquc hay un campo magndüco. El a¡¡álisisdc l¡s hucllas dcl dcc¡imicnto i¡rdica las propiodadcs do las paliculas ncutras. [-as dcmds traycctorias fucron doparticulas qrrc no intcrvinicron cn csta intcrecciórL

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IüGURA 4Gf3 Lc dctcctorcscmplcadoscn la colisiorudorcsson grandcsy complicados,y soncl rcsultado dol trabajodociontosdo fisicos,ingcniue y tésricc, ¡ lo largodc variocaños.En cstccasomctr¡rnc uru ü¡t¡ dcl crl¡lollu d¡l dstÉolur¡ll, drrd¡o vr r qraran¡l I lilRA, c¡r llambwgo,Alemarria(vcesola tabla4&3).

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y smología

científicas.F^sas computadoras, y Iastéctricqsde análisisquenecesitanlos detec-:c:.-s disparados,hatrpasadoa scr dc uso¡nás gcrrcral. / /

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E)rI'ANStrON DEL UNI\|8RSO

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GiordanoBruno murió eli la hogucraetr 16O0,en buenapafiepor decirque el universo es infinito. Aunquese callnaronnlgo laspasiones,las pcrsonassiern¡rre han teniclouri vivo interésen la naturalcz¿del costnoseu su iotalidacl,la cosrnolo::ía.I--os¡>otentes telescopiosque amplíanlluestia capacicladde ver las proÍIndidades rlel urliversotunbién fiospennitenasotnan)os al pnsado,debido¿ qireia veloeidadfinita de la luz irnplica quq la que obscrvatnosprcrcedcnte clcfuenleslejaias, iue emitidah¡ce ltrucho.Nuest¡os instrumentostroshan pennitido ver ¡nuy haciazitrás,cn el pasado,¡, ahoratenenos, 1rcrprimera vez, datosconcretosacetcade las prinrerasetapascleltur.lstrouniverco.

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Paradoja dc Olbers.La paradojo de Oibers ¡u.. c;ir-:nci:ida en 1823,cur¡ldo las o b s c rv a c i o n e stc l e scópi caspusi erol rci r ci rro qu: cl u;l i vci so conti cnc.l rrrrchas, mucirasestrellasmás que las visiblesa sir:.iplevist:'.lfein¡ich Oibcrs dijo qrrc,si el universo fuera infinito e invariable,elrtclrces,siir i:lrportarla djrección en la que lniráramos,veríafnosuna cstrella,y la luz dc las cst:¿llessc cxtorderÍa¡ror to
H' p a rá n tc tro d eH ubbl e,cu)' oval ores I!-2.5 1 /e s e i

x i 0-l ss-l .E i ccr:i ni i e:i :1..-,:: -

ó Tanrbicr¡ c;r 16i0, Johanncsiicpicr sc tlic cllclila tic quc astos'cnr ur r.:xi:;Ic i:.:,1.,-:-

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s- ::-r:¿-:ire c¡lcular directamentela velocidadde recesión,peto, ¿cómohizo -j : .e : araconocerla distanciaa determinada galaxia?Empleólas cefeidas,una -: :,r-ie re es::É:,.las muy luminosas,cuyo brillo y opacamientosistemáticolas hacen i¡: *-:-,r-.:erientificables.Es caractetfstica la intensidad,onragnitud,deesasestrellas :n:r,:: ;e iruest¡agalaxia,y Hubble supusoque'todacefeida,hastauna que se :.ü,,:.'-:3 ei un6galaxialejann,emitela luz con la mismaintensidad catacterlstica. P¡-n is; .:;a¡unadistanciaa detetminada cefeida,hizousodel hechodequeel brillo, : -::::;-:¿d, disminuyeen funcióndel cuad¡adode la distanciaa la estrella. i-.:s ;strónomoshan refinado el procedimientode Hubble identificandoottos :i:-,e.;s:¿:actensticos, cuyadistanciase puedemedirde acuerdocon la intensidad = r, :::--c. También,hay evidenciaindependientede que los objetoscon gtandes :-:'::::reniios al rojo, como los cuasares(descritosen el capftulo 40), estánmuy r-.-¿;:fs: ','emosalgunosde ellos a ttavésde lentesgravitacionales,quesedescriben g: "; rp::ulo 12.Estosólo serfaposiblesi esoscuasaresseencontra¡anmuchomás r-,ia:m que las galaxiasqueproducensusimágenesal desviarla luz de ellos.[¿s -:s:¿ic:ascalculadasempleandoel efectode lentecoincidencon lasqueseobtienen ::n i.aley'de Hubble.

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nrp"*16rTG

Ei[modclo dcl Big Bang del hechodequeotrasgalaxiassealejen ¡,aconclusióninmediataesla consecuencia ' & la nuestra,a velocidadesproporcionalesa su distancia:hacealgún tiempo,en el iasado lejano, todas las galaxias debenhaberestadomuy próximasentres{.Este hechodefinelo quese llamaconvencionalmente modelodel big bang(granexplosión)de la historiadel universo.Nótesequela ley de Hubbleno indicaquela Tierra, ¡ nuestragalaxia,ocupeun lugar privilegiadoen el universo.De hecho,significa análogoen una --;slamentelo contrario, como se indica en el sigui'entemodelo ir¡nensión.Las figuras46-l4a y 46-I4b muestranuna llneade galaxiascuandolos iemposson Ty 2I, respectivamente, a pattirdel momentoen el quesucedióla gran erplosión,t - 0. Nóteseque cuandoel tiempoes I, las galaxiasestrinrepattidas ;¡iformemente:no haypuntopreferidoen esteaneglo.Hemosidentificadoa nuestra :alaxia,la galaxiaA, y hemossupuestoquerige la ley de Hubble.Porconsiguiente, ,a galaxiaC, que estrial doblede distanciaque la galaxiaB, se alejade nosot¡osal doblede la velocidadcon la que se alejala galaxiaB. Las galaxiassiguenestando '¿niformementeespaciadas,y no hay punto preferido a lo largo de la recta. En contrastecolrla ley deHubble,estriel casodeunaley segúnla cuallasdemásgalaxias alejarande nosotrosa velocidadconstante.Aun cuandolas galaxiasseencuentren -

ARCI)

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Posiclóncuandocl ticmPocs ?n

Iixparrsión dc llubblo (ticm¡n 2T)

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lxparsión distint¡ dc la dc Ilubblc (ticmpo 2I)

f'lGURA4ó14 (a),(b) Dm rnonrcntos $rccsivoscri uru vcrslón ruridimcruionaldc lr lcy doHubblc. l,os puntc (quc,por cJcmplo,son pmiclorrcsdc grlarias), pcrmnncccna distanciasigualesa lo largodo la lirro. (a),(c) L,osdc monrcntos distlnt¡¡ la do sr¡ccsivos cnunaloy dc cxparrsión lhrbblc,cn lr cualtodc lc puntc sc alcjandcl puntoA ¡ ls nrlsn¡a vclocldad,indcpcndicntemcntc dc sudist¡nciadc A. El puntoA cspur¡to aspecialcn la lcy dc cxparsión.

l 1(}l C¡Éruio+í

Fefriofry@ti¡

En el capitrrlol7 derriblnros l¡ radi¡ción de fondo,y su deecubrimiento.

repanidasuniformemenle cuaridoel ti'empbes I, cuando es 2T ya no 1c :s::-:;: - .: galaxiaA ocuparáun puntdespecial(figura 46-l4c). De hecho,la lei ce Hu:--.: .: galácticasparaque ningunaealer i.: : : :; -' la única que puedenten'erlas'vélocidades lasfigurrs jó- . ::' un puntoespecialen el cosmos.Estoie prredeconfirmarcshrdiarrdo y 46-l4b,desdeel punto de vista de la galaxia13(véaseproblcma29). Un h¡':i:-.^:-.re de la galaxiaB estarfade acúerdoen que tambiénes válida ia ley de Hub'¡ie !rrr: :;. Un análogobidirnensionaldel casodescritose tiené cuandose pintan pr¡ntos:: 'j:. ::c globo esférico(figura40- 16).Cuandose ilfla el globo,¡odoslos puntosse ale-ian de otro,y ningunode ellosocuparin lugarespecial,y esválidaunaiey conrol¡' de HuL.:.:. Si üüéramos en la su¡xrficie de eseglobo, un viaje que irriciáramos,filralnlente,:r¡s tmerlade regtesoa casa,y llegariamosa la conclr:siótrque iro'hay "afuera". El q r:e l a g a l axi ay l n Ti crra l ro ocL¡penl trgat pri ri l ,' ri ado tcnni na si g,l csci. ' discusionesen las cuales,eri fonla gradrral,la espccichui¡r,na ha col:rptctrcliioqi:.rcot¡rosi estuviéra:ncs no estáen el centroflsico del universo.No hoy centro.No, vez ocuffi ó i rl í osi órr;esadcsc r i) v i v i e n d oa h o rae n urrl rrgarci r el cual al grrtra punto privilegiado, el punto misrno de la e. ión. Errvez de ello, un ción implicaría pequeño volutnen, sitt exte corno un se inició todo el espacio dc f.I,se puedcusat.pal rrcal cul arcl ti en r po L a l e y d e H u b bl e,con val orconstante aparten galaxias sé para que detctii¡inadasdistatrcias(véaseproblerna las necesario si seusaparacalcularel motnentoetrel cual todala nrateria 32). Disafortunadamente, estabajunta,estetiernpoes inllnito (véaseproblenra33). Asl, si hubomotnetrtoiniciai cie cuandoel urriversocorlenzó a expandetie,la ley de l-Iubble,con valor cotrstatrte el tiaycc'ro¿rtravés<1e1 tietniro.Sin euibargo,podemos Il, rro puedcser válida tocjc.¡ emplearla ley parahaceruna cstirnación:si suponemosquela velocidadde recesión es constante,la ecuación(40-18) afirma que el tientpo de expansiórt(tientpodc Hay otrasfuentes Hubble) es jgstamgnte.Il-r,o seaunos 13,000tnillones de.at-ros. la (por ejemp]g,.eIconocimienio teórico de la evolución'estelar,',y 'iclentificación de,las confir¡iraneste características estrellas de las más antiguas).que expe¡i¡nenlal i estitnado,dentlo dg un factor de 2. que.respaldan visibie de'qr.rc todo el'universo le idca Podemoscita¡ treshechos volumen y es,la pequeño. ul't El más'trotable de se ha expa¡dido alejándose ¡rrirnero dc de fotrdo cle negroSeg{rn el modelo y de,la radiación cr"rerpo presencia el parácter reliqtria ios ulra del unjverso; prilneta infat:rcia, a es radiación ofl.sü big bang,.esta 300,0O0.arioi.La segundaevirlenciaes que.lascantiCadesrelatiyasde elenrentos ligeros,corno]ridrógenoy helio, que estátrdistr¡buidospor tgdo,eluriversg visibl¿. 46'6). L3 se puedenpredecirbien medianteel nroclelpdel big áalg (véase.seccióu tercera evidenóia es que ias estrellasy las galaxias presentatrseflalesde hai:er evolucionadoa travésdel tiernpo;por ejenlplo, parecehaberuna época.enla cu¿. eranmás abundánteslos cuasaresque ahor4,y las etnisiotresópticasde fas radiogalaxias (galaxiasque emiten fuertementeondasde radio) más antiguasson distilrias de las mái jóvenes. . Aunque ¡iodríaparecernaturalllegara la conclusiólr,:rprirtirde la ley de flub'ile. que todala nlateriaestuvounida algunavez, se"hatrqxanr ila( o muy sefialneÍtteol:c s modelos.Por ejernplo,en la llarnqdateoría clel estaclot'starle, se crean nrater::,i'

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cesl: : , g a l a x i a s n u e v a senregi onesentrel asgal axi asqueseal ejeroestateoríane an.l qtre I-.e::.:: puede expiicai los leyes ho de más físicas,;r de la acción !odt.:; {alos descrito,los cualesrespaldantan bien a la teoria.delagrnn c :plosiótr(big-ln¡¡g .

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rr-gresirnltoruu la ¡rlr:.cr,'.-. de Ia paradoja de OIb,ers.Podelnos La respuesta -= posibles. primera irnplica el corrinrienioi::.: =. I-a soluciones que tiene dos Olbers, rojo de Hubble.Si el univeisose expandede acuerdocon la ley de Hubbie.e:.:::.::: la luz de las estrellasmás y más alejadasestiirámás y más desplazadal;'-::¡ .. . :'mientrasque ei volumen que debellenar la radiaciónse hacetnás 1 :--::,.-:--- --= -'= .. :.' i ' * - : ' re s u e l v el a p a ta doj ade Ol bersP orquel a Itrzque !l ega,a n::s::1 t.:..-,:.. .'l :::::::-. = '- - . aulnenta la distancia. Cclro el rcjo cuando hacia más desplazada

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:. ::_ : :s -:'reiecto relativista, estaresolución de la paradojautiliza de la teoda de la ::: - . ener l ,y c o n frepata c u e nnada, c i a s epero c i ta csfo depende moevi denci adeesateoría.Lasegunda gtan explosión: si el de una :-i: -:s':- : Src es arelativista, .::s: selo hubiera existido duranteun tiempo finito, entonces,cualquier estrella -: :.: 3s:::: :¡radiando durante un tiempo finito, y no ha habido tiempo para que la i: :: Ce todas las estrellasllene el universo y cree un cielo noctumo brillante. -; I -.¡.: - ::a de las solucionesreconoceuna dependenciade la evolución del universo ::- :3-::e.:o al tiempo, que es incompatible con un modelo estático. _l-,: quieredecir que el universo tiene "tamaño" finito? O bien, lo que es lo * r:- :, ,qué sucederla si tratáramos de arrojar algo más allá de los lfmites del ,::¡:l Esta problemática pregunta se puede contestar en el contexto de la --: ¡:.':iaci, la cual petrniteque el espaciotengacurvaturaen presenciade la materia. I :,:.::.:s describir rnejor la cuwatura del espaciotridimensional por analoglacon un :s;.::.r bidimensional,como la superficiede la Tiena. Si únicontenfepudiéramos -:i3:.rs sobre la superficie de la Tiena, verlamos que un largo viaje no tendria t' ::: :es. sin embargo podtfarnosregresar,despuésde un largo viaje por la circun"e-::,c:a, a nuestro ptrnto de partida. El espaciosobre la superficie de una esferaes ::::: jc, - estoes,finito -, y sin embatgo,no tienelímite real,aunqueel "tamaño" ie esasuperficie estábien definido. La superficie de la Tiena, en contrastecon la de ,:. ;iano infinito, tiene curvatura, El que el espacio tridimensionaltenga o no :ri'atura se puedecontestat,cuandomenosen principio,sin efectuarun largo viaje, :--ieen el caso de nuestrouniverso sl que setía muy largo (véasepregunta l).

+6-6

Los pRrMERosMoMENTosDELuNIvERso

especialnosdiceque Ia energlano se puedediferenciar de la masa. l¿ relatividad Cuandonosmovemoshaciaatrásen el tiempo,hastallegaral universoprimitivo, aumentala densidaddel universo,lo cual significaque aumentala densidadde la temperatura también erergía.Y, deacuerdoconlosprincipiosdela termodinámica, modelo de Friedmann, que parece ¡umenla.?Sólo hay un modelomatemático,el expansión, generalde un univetsoen de modo cescribirla estructuradin¿i.mica :onsistentecon el fotmalismode la relatividadgeneral;-en realidad,estemodelo sepuedeusa¡paradcfrtnirlateorladela granexplosión.CuandoAlexanderFriedmann enformaconeclaal universo io propusoen l922,no tenfala ideadeestarprediciendo queobservóHubble.Ftiedmanntansólotratabadeencontrar al ejemplo enexpansión r¡ás sencillopredichopor la relatividadgeneralde Einstein,y estemodeloimplica un universodinámicoy en expansión.8 El modelode Friedmannpartede doshipótesissencillasque,juntas,sellaman (esisotrópico), universoseve igualentodasdirecciones etprincipiocosntológico.'el (esftonogéneo), Ambashipótesis, : seve igualdesdecualquierpuntodeobservación Decimosque"aproximadaaproximadamente, sonconsistentes conla observación. ::eile", porquela presenciade materiaen forma de planetas,estrellas,galaxiasy si Sinembargo, conla homogeneidad. ::;:ulos de galaxiaspareceserinconsistente grandes,la distribuciónde la :¡iamos una mirada a distanciassuficientemente uniforme,comoen la figura46-15(perovéase"La unifor::¡le¡ia es¡elativamente ::r:erddeluniverso"enla página1370).El modelodeFriedmanncontieneunapredicción de la temperatura del universoen fimciónde su tanaño.Paratodaslas edades -ei¡uda proporesinversamente :;. ,a njstoriadel universo,exceptolasiniciales,la üemperatura ' la tcrmodiruimica sólo sc aplica a casoscn lc cuales hay cquilibrio tcrmodinámico, y tut l--. -¿lid¿d, en exparsión no est,áncccsa¡iamcntecn equilibrio a cada paso. Srn embargo,supond¡cmos j:" . '-!: :-:-tj:ico I "r :,1tr-1-s Jccir quc hay una tompcraturabicn dcfinida cfi cada etapado la cxparsión. . t l,:.:n.-.. Eirrslcin sc lamcntó mucho quc, influido ¡nr la crccrria dc l<x ast¡ónornos,dc quc sus r[]{r1:.a:,::,.:s ijrLjicabanun univemo cst¡itico, pasó mucho ticmpo c invif ió muchos csfucrzos cn rm modclo :;rE.:ir:::r. l a r l a r ivid a d g cn cr a lyu r tu ü vcr so cstá tico .E scmodcl onosól ocsnui sarti fi ci al quccl dc :r :-i;-:. :.i-¡l i'K, ñnalnlentc, ftrc dcscartado¡rcr las obscwaciones dc I lttbblc.

1j.:í 46-6

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La c quip a r l i c i ó n s e d e * r i bió e n e l c rpilulo 1 9 .

cstacl Ísti ca di ce qut: l a crrcrgÍar l¡ i: n: r E l te o re tn ad c cqrri pal ' ti ci óiclr .-l a l nccri ¡ri ca partículaindividLralol un si:;tctnan la tctrr¡ret'aiur:r I, cs clelorden d,: fti'. A nrcCi¡.: q u e a u tn e n l al a tetnpcrntrrt't:l 1,aul nt' n1o tl e ctrcrgi anosprretl cl l .:vhral dori lj nic et : . '^ (' r ) t r ci. s; Ios átonroscrtrrrcl r' os, o a dotl rl el r:; col i s:i oncs c u a l s e p u e d e ndcscotn¡rotrcl tl c encrgía(l l ¡o sD dcscri bi ócrr l ¿rs(l os i )finlei{r s n u c l e o n e se s tá l )cn ci fri p,i rrl ctr dc si :;i etnascl e partfcul asclr csie s e c c i o n e sd e e ste capítrrl o.i ,a ttn¡l oci i l ri i tni ca porqlrcse ¡rucclt:u y antiplr'tí.-uhs, crcaro aniquilarparl.icr"rlas régimenes cornplicaCa, estcs pero las técnicasestadístic¡stiorcll el dcsamollosuficietrte¡rarapocltlrrnatrejrrr ¡rl tas l as tetrl > craturr:sdcl l os i l rier cs¡ s utl i verso pri tni ti vo, c o l n p l i c a á o s istenras. ^4, i -i coru¡rcri rti l i ci l to ci cl a Inateri aa 1ascl i strnci as ri iÍ lr i: ir ¿i: i, d e l o s fís i c o sq uecstuci i :r:r cn ci llr¡is retrocecicl.nos y los de quicncs cstuclial ccslnolorÍa, sc uircl)..h,{ielltras nrás altas, ¡iasandocle eirergíasen las que s.: tiempo, encontranrostctir¡rcl'rttiltr,s a energfasen doncletodavia tratatncscle comprendebiet¡ la fisic¡ lil;tdr.tnt-irtal, acercadei cotnpoilanlientode ia tlraieiia. obtenerrespuestas Ayudu el comiderarlos catlbios en el universopdrnigenioetrtén¡linosdc'.lni e.sc¡i,r j: .:. logarltmicade tienrpo,porouepcxlclnos"estinir" frarcionesmrí-sy tnás peqrrcira-s s e g u n d o y re p resenta;' l asci rsr' gtrri l l osfi ni toscJel aesc¡rl al ogai i üni ca. i: ^sr cs- '. r 1. - , : : ¡ - 0 csl áetrel pui rto-T de l a cscal al osi :-i ' :..- '. l l e g aa u n ti e tnpocero,i l crqr.l e :=- - etnbargo,en tringritrcasocolrocctnosctillo recoffcitodo ei tral'ecte.h..-=:.. coi l .1arcl a' ri vi ci :r,i n u e s trad i l ' i c u l tadcl creconci l i i i rl a fl si ca cu¿i trti ca -.: afectal a ¡l ati tral eza cl clespaci c. .-. ' . ' . -. . - c u a l l a p re s e n ci ade l a r¡r:rtcri a dcci r nuestroscor)oci rni L' ntri:-' . ,- .. . . - . . l o q u e e n re a l i dadnos ¡;ct' trri tcn te n e mo su n m ocl el osati sfactori ode nr¡estrcui l i ve¡so i l :::,::' .:- :-::- - -. . . . : tiemp hasiacuancloocrrpabaun volulncn nu)/ r.c(]'¡cllc,r-rr:r :lr .:: .. - -' -. pL:iÍi.Etn¡rrertci:rc:i:os r.t..'--.. .... el tiem¡rcesesliecuiacion -:. - - ü .:i .' ;rii ::rr' r S :rJ .- r. ' ' : p ri m e rmo mc n toql l ¿tl os :)L' rj l i i i ttx' -Acontccinric¡¡tos cn cl i:ri;rciir;o dti i;.':-. ::--' -r - ,- - : - : l -a fi g u ra 4 6 -i 6tnucstral avai ' i aci ól i ,:i :..:l :..:::.-:-* -' .::--' ' ' ' -' . Il :::' :-:..-' .-l a te m p e ra h ;ra ,el tfr:ttci ot-.c -' -. ' . ::" " :: . -' . -. . . :' : -' . : p ro g re s a n dhoaci antr:i s3.;-:::.::..-' ..-, 9

Pam m ¡ ís info nr nc i ón ac .i ( i , i : - : .' :r r - .

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FIGURA4ó16 Eupas de la vida del rmiveno. Uno de lc ejes horizcntales representa el üec.po crecitrrrc, en escala logaritrnica- Un aumento en el tiempo sc t¡aduce en ¡m atmrto 6¡¡ sl t¡m¡ño, y a¡ r¡na dis¡ninuácn de tmperanrr4 energia caracrerisica, y densidad. Adem¡is de ma¡ca¡lc dive¡scs'eventos- de la historia del rmiveso, la pifi. t*¡ot " la ccrnpcicicn variable del mis¡¡o.

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lVficroond¡s de fondo.3 K

I 16S C:piruto

+6

Pafi ka¡as y cocmoloS'ta

('eras" en el desarrc:i3 etapasque se indican en estagráfica correspondena diversas principales y com'étfráfem'bs'fo's:'atpectos de esas eras. universo, del Intervalo t < I0a3s.Esteperiodose puedei"lamarla era de la gravedaclcuántica. Los físicosno han podido combinarla relhtividadgenéralcon la mecánicacuántica, El análisisdirnensional de modo que estaeia no se comprendeen fonla fr¡ndamental. sugiereque en estaera debenintervenirtantola física cuánticacoino la gravitación. Podemosformar una masa,o io que es lo misrno, una energía,a partir de la constante de Planck,la constantede gravitación,y la velocidadde la luz. Esta masa,llamada masa de Planck,estáexpresada.por' iil(

2 r l 0 'E k g

(-16s)

Téngaseen men.tequq,aunqueesiamasapuedaparecerpequetia,esaproxitnaclamente igual a 1.3 x l0le masasdc protól).)La energíaequivalentea estarnasaes M¡r2 = de 1.4x 1032 K (véaseprob ler r r a 1 .2 x 1 0 1 9G e V , que corresponCaeur)aternperatura a'lgunavez con un aceleraclor 34). Estaenergfaes mayor que la que podatnos¡4lcanzar c o n s tru i d os e g ú nnuestratecttol ogi aacttl al . , .: In te rv a l o1 0{3 s < f < l 0-r2 s. E ste peri ocl otarrrbi énestámás al l á:del o lue a.I: podemosestudiarcon los accicr¡rlóresacluales,iuya trrayorener!ía c'brres¡ronde y electrodébil ideas acerca de Ini intéi¿ccibnes fuertc si nr¡estras l0-12s. Sin embargq son correótas,podemosdccir que no se han fonrhdo tódaifa lo'snucleonis,y queel qrrecoricicénios..Partícrrlas univer3oesuna sopade todaslaspártículasfundárneritales qrrarks :rntiQuarks, sc forman en phresy dc aniqrrilan incluyendo y antipartfculas, ¡' continuamente. de Una particularidadde esteperiodo,que tietreque ve.rcoñ él dominio apafetrte atenció¡r espeiial. ¡nereée en nuestro univ'erso actual, añtimateria la materiasobrela Aunque no tenemos'pruebadi¡.'cta
,r :-,1-::.:i *l p.¡ partícula-antiparticula,Finalmente, al bajar la temperatura,ya no :* : -::: =,as producción partfcula-antipartfcula.Las particulas y antipartfculas a:-ir ¿: : = .e aniquilaron enttesf, sin volver a crearseen otrascolisiones.Esto sucedió :..r:.¿: e. :ir.iversotenia una edad aproximada de I s. En estos mometrtos, lo más i*:!:-:.-,:. :';e el ligero predominio de la materia sobre la antimateria, porque el elseso de materia, que es la que existe hoy a nuestro alrededor, no tuvo :d.::.-,"-:-: i' -* ¡:::i¿ con Ia cual aniquilarse,y persistió. .r':-'sn,uJo10-12s < t < ls. El periodo a partir de 10-12s cubre una región que :.':siigado, al tnetroslas interaccionesbásicas,con experimentosen Tiena, :::-.?:nos con experimentosdirectos acercadel cotnportamientode grandes :e-.Cequarksy antiquarks.Asf , nuestracapacidadde trazatel comportamiento : esutra combinación de conocimiento directo y deducción.Un momento -: .-:-.?:iie importante en la evolución del universo fue el de la transición :;"jrr, cuando la densidad de errerglndisrnirruyóhnsta que los quarks, . " : -.:'r- .. gluonesfonnaron los nucleonesy otraspartfculasque participanen la a los l0-o s, cunnclola torrperatura '-.:'-:r -:l-.ar, Esto succdió,aproxinradnrnente, de I GeV. De las .-: ; -r:s l0ll K, que correspondea utra energfaaproxilnad¿r ::*-:,.rs :;ertet¡renteinteractuantes, sólo son estableslos nucleonesen la escalade : l* :,: :: i s, y hasta esehecho debe atemperarcecon nuestroconocimiento de que :,¡ ' 3- -i::les decaendebido a la itrteraccióndébil. Aun cuandolos quarksarriba y : ::. : 3:'l¡ el tnislno número en la sopa cósmica, ta¡nbiénel trúlnero inicial de '::-'-::^3s era igual al de protones,pero los neutronesdecayeronde tal modo que, :,r 1.::: l, s aproximadamente,habfa un neutrótrpor cada 5 protones.Entre I s y 100 ! r-.:r:o en el cual se formaron algunos núcleos y los neutrones se enlazaron de :::-eia pennanente,decayeronmuchos neutronesmás. A los 100 s, los neutronesy " r:: rii',oir€S teníanuna relación aproximada de 1 a 7. Inien'alo de I s
nn

'I.

(4 6 -e )

; :::,sidad de energfade radiacióny la densidadde energíade materiadisminuyeron r :r;anCerse el universo,pero la densidadde energíade la radiacióndisrninuyócon :-.:: :apidez, porque la densidad de energla en la masa, en contrastecon la energía :.--:'i¡a de la materia, se conservó. Más o menos a los 30O,0OOaños, las dos :,e::;iaCesde enetglafue¡on iguales.Podemosdecit que en un momentoimportante :- .s:a eiar cuando f : 100 s, la temperaturadisminuyó hastael punto en que se : : -:;iaron neutronesy ptotonespara formar, principalmente,los núcleosde H' y :,: 'li::-. con algo de 2H','H"" y 7Li3-.Sólo se formaronesosnúcleos,porestartan ''-:-::.:i.ie ligadosque existenbarrerasde potencialcontra la formación de otros. l :,:.::: r r gapos it iv ad e e s te c o n j u n to d e n ú c l e o s fuei gual adaporunacanti dadi gual ;.¿:.¡-:¡1 r,egativaen fonna de electroneslibres, los cuales,continuamente,absorbfan ' , :. " .::. a i¡radiarla mdiación electromagnética. ín;enalo f > 300,000 años. La densidadde energfade la materia fue mayor que ¿:,e ,¡ - jlac iónelec t ro m a g n é ti c a ,u n a v e z p a s a d osunos30O,0OOaños,yaparti rde , :: :.¿ss.eeitra enla era dominada por la materia. Hoy, la densidadde energla de "r :.¡:s:.3 es "'a¡ios miles de vecesmayor que la de la radiación. Desde los 300,000 ij :,¡ ,i :r:lsión se ha apegadoa la ley R t

t 213.

( 46*r 0)

',r-:-:: ::.::,:= ::: el momentoen queel universopasóa serdominadopor la materia, ya no fue suficienteparaevitar :-É r-: :-:;.: -restabaa unos3000K, la temperatura

Ins pdmcm

dci momcot€ unJrw

1 3 -0 Gpítulo

{6 Pertítda

Y cwmologie

que los electronesy los iones se combinaranformarric á:¡::::s .3:ii.s :-'-::-=: l; j relaciónanibacitada,de un neutrónpor cadasieteproioncs,C¿'.e=rir :i :.,:"::: :e núcleos que se fdimaron a'1oJ"100s,'Y po¡con'siguiente,ias réia:io;¡. i: ^:s principalrndnte ei hidrógeno y el helio. Con la rel:::c:r ie eleméntos es.üablés, protones igual a 1:7, ei númerOdemoles de hidrógeno que se:c=---:'-:a ne¡trones fue'12 vecesSl númefo de lnoles de helio, y, por consiguiente,lalnasa
,|

'''

FIGLaA,4GlTPctspcaivacofnFEstadcgalaxias,qrrcabarcar{¡¡pcqr¡cilaparteclcla dcaglomoraciorics yvacíos' ,i*" ¿f" ngt *aólilurhrrn.stn*t:obi*dosut-Iada croupicr" llzr*ar-el d¡do cn b¡ sc lo ' -4.k csocl]rra ccel

T

o O o o o o o o o o O o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o O o o o o o o o

::::: -,1-.:,e -:,'-:c,eos'de determinadotipo, Las fluctuacionesiniciales de densidad :-: - : L::1 :. ;;oceso deben haber comenzado en determinado tiernpo, no muy '.:.::,: ::. s, ¡. .:cion del universo. La tadiación de fondo de 3K deberfa tener alguna -1 " ':.s:::i-! es¿sfluctuaciones. Para que la teoda de la gran explosión sea viable, ,-i ::: i:: :r -:;se¡-ada de fondo debe mostrar cierta desviación tespecto a ia unifo¡nivel de exactitud. En 1992, el satélite COBE (véasecapftulo ::- '. : r - ::s: -=¡::i¡ado vari aciones en la radiación de fondo, consistentescon la gtanulatidad :: : : j:s:-. : -j- ::" la distribución de la materia.

e o tlttr-l o a

E",:;::¡ro , -.:- -: :¿:¿iexpandiéndoseel universo etemamente?La respuestaa ello reside en ': :1-:j-,:'rc del modelo de Ftiedmann. A gtandesdistancias,la fuerza gravitatoria : :-:..¿ e. ciestinodel universo. Si se rebasauna densidadcr{tica de la rnateria, la : : :::---i:-a se desacelerará,se detendrá,y se invertira, lo cual resulta en un universo :!-;. A la era de expansión seguirá, inevitablemente,una era de colapso. Si la :¡$-: ;¿i esrneno¡ que la crltica, el universo en expansióncontinuaráexpandiéndose, ¡ ¿:j: un universo abierto. Entre estoscosos,hay un universo crftico, que tiene la actualespuedenexpli:e-..:¿d cntica de materia(figura46-i8). Las observaciones :r:. ei-.forrna directa,la materia suficientepata llegar a un lO% de la densidadcrftica. J:- .rs pn:ebasindirectas,- pot ejemplo, detallesacercade la rotación de galaxias-, j:ca; la presenciade materia que no podemos observaren forma directa (materia --. :::ura). Y, en la escalacósmica,el l0% se acercalo sufitcienteal l0O% como pa¡a ;,aeren la tentación de pensarque la densidadreal puede ser igual que la densidad cntica. En ese caso, el universo tardaráuna eternidaden llegar a un punto en el que ni se expandani se contraiga. Con segutidadaprenderemosmucha flsica si tratamos ie deserrredarla respuesüaa esta pregunta,

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Prcsentc

'I'icmpo

FIGUIfA,Ióf 8 Evolucion cn cl ticrnpo dc r¡nivc¡soeablcrto, corrado y cntico. E[ cjc vcrtic¡l midc cl tama¡o dcl univcrso.

+6-7 PAr.ARItrrs FINALEs y mictoscóEn la introduccióna estelibro,hablamosde los dominiosmacroscópico pico.Durantesiglos,los ingenieros, o los inventoresde la tecnologfa, selimita¡ona enconocimientos basándose la materiaen el ¡imbitomactoscópico, empinnanipular ricos,El quesesupieraquela materiaestrlformadapor átomos,y queel comportamientode los átomoses!ágobemadopor la mecánicacuántica,tuvo, al principio, poco impactosobreel modo de trabajarde los ingenieros.En contraste,los investide su época, gadoresse interesa¡ondesdeel principio en los asuntosfundamentales ptácticas.El interésde los .cs que pareclanestarmuy alejadosde las aplicaciones y en formasimprevisibles. vino después, Asl, la ;lEenieros,conciertasexcepciones, y en la compren::r¡i or pale de la tecnologlaactualsebasaen principioscu¿inticos sl¡¡. Cela naturalezacuánticade la matetia.Es inimaginablequenuesttasociedad :',-ei¡ funcionarsin los circuitos,basadosen la ffsica cuántica,que forman las :¡,::: j:doras, o la comunicaciónelectrónicaro que un ingenieroqufmicopueda :.:fi'-:-:r nuevasmoléculassin conocersu estn¡cturamicroscópica.Mientraslos ---:,-:-..:oscontinuanconstruyendopuentes,esospuentesse basanen una sólida quelos fonnan,y miooscópicode los materiales ;,--;;exión del comportamiento quedependen de los rimbitosmicroscópicos. :"::,r.'--ia de computadoras a los l:c¡',-ia estamosaprendiendocómo aplicar las ideasmecánicocu¿inticas :¿=r-r.-; a granel.Todavlaestamosen el ptocesode evaluarcómohacerel mejor -r¡.::é : jestrosconocimientoscientlficosde átomosy núcleos.Y todavlano hemos .'i:-: :::.: podemosaplicar,en forma directa,el conocimientoquehemosganado ::3¿s de la flsica de partfculasy la cosmologla.Pero podetnosdecit, con 1: -; :.:r-:-1-:É.que si nuestrasociedadsobreviveen algúnaspectotal como es ahora, nuevosconocimientos, ;iú-i3fr:";nüesrros

1371

RE S UME ^ ' ; A escalamicroscópica,la matcriapiesentauna séiie cleniveles,¡.rnodelltro cieoirc. a La rnateriatangibleestáfonnada por átoiñosy rnoléculrs(éstasriltinrasforrn:rCes su vez por átomos);los átomosestátifornaciospor electroúesy tlrcieos; los nricleos y los nucleorlesy dr-;nás están formados por nuclcones-(prototresy ner.rtrones); partfculasque participanen la fuorzanuclearestánfonllndos¡>orqtiarks. Estosnivelcs a ciistancias rrrhsy tnás peqr.reñas, distintos,que coffcsponclen se explolan lncdirirte por la rclacióll dc incertidutnbrede Heiserrl:erg miitoscopios qtre deben em¡r1ear, entre cantidad de ¡novirnientoy ciistaneia,catrtidiiclesde llrovinliento caclavcz mayores,Este hecho inrplica que la reiatividadcspcciaicobra importanciacuahdo deseamosexplorat distanciasde tnagnitudesrrucleareso l)leno¡es. Al nivel'de la estructurade los nucleones,sufge una propiedadf'uridarnental de la tlateria nueva:.elconfinatniento.Los quarks,a diferetlciade los cotn¡ronbrrtcs a mayoresescalas,estánconfinados;estoes,nlllrca se han observadocotno partículrc aisladas,Sg creeque,por la natu¡alezade la fuerzafuerte,lruncase podránaislar. Hay tres fuerzasque se prredencolrsiderarcolrro fulrdamentales:la fi¡erzade gravitación,la fuerzaelectrodébil¡' la fr;erzafucrte.La gravitacional,a diferenciade éxito a las ideasdc la ruecátrica la qlectrodébily Ia fuerte,no se ha itrcorporado.con eniresí, lnediatrtecl intercambiode otras curintica.Las partlculasejcrceiicsrs fr.;e¡-zas a l a fuerzaelect r op a rtfc u l a s tn á sL.a fuerz¡ el cci ¡ci .i :l i ¡s,.,:raversi ónutri fi caCdc magnéticay la fuerzadébil, qL:e,sin :;::i::-:c. ir:licccirser mu)' distintasuna de otra i ¿l f , ; : ó: t . Las paÍi cul as i :::r¡ri l ." ¡i -¿:,si ¿ l r i uerzael eci roci ébiscn a b a j a se n e rg l a s. Sll .rttrrS i3l vecesi)titrtit: tiitrl que no tielremasa,y los *hsc:es ;1". 3, ,.r: ..Sir'.j:S::.. dei ':luc::. Cc:-,1:¿' la del pfotón. La fuerza fuei{.'esi:,i:-.eJ;i.r :c: ¿. ;:'.:::c¿::-,5ic gluón mismo estásrrjetoa la i'.:e¡:¿.::.:::1t..5-. a.,-i-;i .:.- .-.'i:.; :. - '::¿:i :.: ,¡. ¡lisr:.:-,:l:'. ¡::::. ;.:::.1:..,:o.: .:.: :'..::r:.-.::i. lo cualgarantizaqueno soiolosqt,ii:';s.si:;: ':r";".1:.i''. -:::c:..s s: :' :.:::,' . :.,:i ::.: .:' : ?i :.' :::' .-.-: ,:.--.. . : - ' A l a s fu e rzas fundatnctl l al es ' m a n ' i fi e s ta n edetermi i e,i l es3.::::3 l :' ,-t::' .t-:..:i ::' .::::= i :: l ' : ::;::.:: - 's. nad¡s n L a c o n s e rv a c i ó ndel acargaei e:i :i ca.i :l :.' ::.:-.:::' :' :.:;::' .:::;.' ::.:-.::::l ;:.: i: : : : - '^ L:eri e¡ e.:¡:::::' -:.. s e a p l i c ae n l a s interacci ones Las feaccionesqlte se pi.'s.ni:.:. ¿t-.l:s ::l:s::::.'-' j::,i'" :::::3:: i::::::,:. l''-s p fu e b a s m á si m p ortantesC el a i :::cc:¡i t;¿.:s.-' . .. :::.:..;:-.' ::.:¿,¿:. -:s -" ' .. s: - t : : :1.::;.:l i= r'.c':i:Jii:s.: eil ';s :'::'.:s .',¿"¿-i ::-:::¡,es dores,que son acelerado¡es -: posi!res. de frente,nos peffnitenprociucilr¿accic:.esco:: i;ls in3\'J:.s e:r=:-¿ias .L o s e x p e rimel rtos l l li : p-:: 1: L': r sobrc i rs ¡cec;;:,¡,:s::l i :asei i er?i ri sco¡nperi ei La ley de Hubble CescriL.'uir partida común con las obsen'ecicnesaslrc;ró:r'¡icas. universo en expansiónque se i¡:ic:ó a pa.nir,le un vclttlnen inicial dirninuto,en el j llamado big bang,o gran expiosió;'¡.Cuantiose i:rició la expansión,el utriversoeslaba ii paralas reaccionesde aitasenergíasen las 4 calientey denso,condicionesadecua.Cas que actuan las fuerzasfundame¡taies.A niedida que se expandió el universo,la il { temperaturabajó, y se formaron una sucesiótrde escalasde energía.Aplicando sus d ,! conocimientosacercadei ccmporiamieniode ia materiaa esasescalasdistintasde il han explicadocotr éxito la radiaciónde fondo de ctrerpo { enefgía,los investigado¡es observadasde hidrógeno negro,medidabn la actualidad,al igual que las cantidadé-s y h;lio en el universoactual.El principio de la evolución cleluniveÉo debehabei implicado la gravedaden una fonna consiste¡ltecon las ideas cuánticas,como 'tl aJ podemos ver con la lnasa clePlanck:

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d,l cnefgíasm" y nl tur,y por consi gui enl c,¡r: "alls E l v a l o r d e M p es caracterísl ;co momentoses de lo suceclidqetr estospri,roeros explicación prim,erosmornentos..La para cieirlificos. los un reto formidable

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o t o o o o o t I

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o o o O o o o o o o o o o o o o o o o o o o O o o o o o o o o O o o o o o o o O a o o o

PREG{-}T.d-S I

l :,.: -:: -i-:--. .::13 :e:_aacuñ'atura se puede deterrninara :f -- :: - r.--". :r:'::e¿¿des de la misma. [¡ suma de los '-razádoen un plano es 180". Demues:i- i"- :.; i: .r :"i-¡-.: : -..: :r: :"{: = :l caso para la sup€dicie de la Tierra, rs :-::"-.:s je un triángulo que una al Polo Norte :-:--.-:: :-lsquiera en el ecuador(figura 46-19). ::'. : :: : -:r'-:-<

moléculasde gasolina;(c) la salidade la Luna; (d) Ia fue:rl: de la luz solar;(e) el pasode la luz, del Sol a la Tierra;(Í) i:s estrellasde neutrones, que son est¡ellasformadasprincipaimentepor neutrones agrupados a una densidaddel ordende la delnúcleo?

7. ¿Puedeuna parlfculaser un leptón y un hadrónen forma simultánea? ¿mesóny hadrón?¿hadróny barión? 8. Supongaque los electronesno pudieranapartarsede los átomos,ni aislarse paracstudiarlos independientementc. ¿SeA¡cos do guirfamosteniendopruebasde su existencia? mcridiano 9. Los rayoscósmicosestánformadospor protonesy núcleos; llegandelespacioexteriorconenerglas quea vecessonmayores que las de los rnayoresaceleradores de partfculas.¿CuáJes son las ventajasy desventajasde emplearlos rayoscósrnicoscomo hacesparael esfudiode lasreacciones de altasenergfas? 10. [¡ Tienasemueveenórbitaalrededor delSol;el Solsemueve dent¡ode nuestragalaxia,y nuestragalaxiasemuevedentro FIGURA46-19Prcgrurta l, de su grupolocal.Con todosestosmovimientos,¿cómopudo Hubbledescubrirla ley quellevasu nombre? L "-,;¡ al menos tres "familias" conocidasde leptones.Por 11. Si el universoes cerrado,entoncesun rayo de luz cmitido desdeun punto,finalmentedarlaun viajeredondoy regresarla :;cnpio, ademásdel elcctrónhay una partfculaconocida a esepunto,del mismomodoqueMagallanes viajó alrcdcdor como el :cnio muón (¡r) que se comportaen todosaspectos del virar nlundo sin en redondo 180o. ¿Quieredecirestoque electrón,pe¡oesmásmasivo.En virtud de la masaadicional, puede propia ver por un telescopio usted su espalda si mirara que el muón tieneun ei muón es inestable.Tambiénse cree potencia? conla suficiente númeroleptónicode muón,que,como el númeroleptónico darfa 12. De acuerdoconla conservación asociado conel electrón,seco¡rserva. de la energfay de la cantidad ¿Quéexperimento comoresultadoquelos númerosleptónicosdel electróny del de movimiento,un electrónaisladono puedeemitirun fotón por separado? y seguirsiendoun eleclrón.Entonces, ::.uónseconserven ¿porquepuedesuceder proceso esto un virtual? en 3. L¡ vida del protónes, cuandomenos,10ms, que es mucho r.3)'orquela edaddetuniverso.Sinembargo,esposiblecrear 13. Supongaqueun acelerador puedehacerllegara electrones o entrepartfculas. a protonesa determinrdaenergfa,y que esosproye,:tilesvan a ¡ destruirprotonesen reacciones ¿Cómo? choca¡con protonesen reposo.¿Quétipo de proyectilesse {. ,Por qué los electroncs,y no los protones,se usan para debenescogerparaobtenerla mayor energfade centrode esiudiarla distribución de cargaen el núcleo? masaen la colisión? de alta energlaque chocan -i. En una reacciónentreelectrones quéesprobable quela energlaadicional 14. Sabemosque el universofue más densode lo qu,:es ahora. conpositrones,¿por sonalgunaspruebasqueindicanqueel urriversofue ¿Cuáles y anlipartlculas? creepartículas máscal i ente? 6. _Q.;efuerzasfundamentales explicancasila totalidadde los (a) cuninar;(b) la estructura de las 15. Si el universoescerrado,¿vivimosen un agujerorregro? sig!rentesfenómenos:

PnctsLL\L{,S 4 t- : I

r.l- r¿;;u-rusos, y fuezos subnuclcares -: --.--:,;Jespecial

l96l,porsus I i : ::- --.-f-.:¿ierrecibióelprem.ioNobel,en electrones de 50OMeV ::r,*---:'-:s i:- ics cualesdispersó : :. - -: :":s='¡:icnarios.Encontróqueel núcleotieneuna pero,a un espesorde unos2.4 coilstante, ;.rr.r :,r :r;-:l,¿-.': ::- ::: : - ;:-:¿r:-:.:. la dersidadbajaa cero.¿Conquéresolu: : - 1::r:,:z r -'-: H::s:a.Cer explorarel núcleo,conelectro'e' :.: : .r^ l,{e'."

:

¿-'Ti'l:r -;e¿" Ce St¿.rfordlleva a electroneshastawn : ; :,...: :Íü:i.!. :c 51 31"' Escs electrones pueden chocar con

blancosestacionarios. (a) Calculela precisiónespacialcon la cual estos sensorespuedendiscernir los detallesdel núcleo.(b) En la décadaáe 1960,losexperimentos llevados a cabo alll con electronesde 20 GeV indicaron que el protóncontieneparticulaspuntuales, los quarks.¿Cuáles la mejor resoluciónespacialque sepuedeobtenercon esos hacesde electrones? 3. (II) Deseamos emplearelectrones comoproyectilesparaestudia¡la estructura de los protonespor mediode la reacción de dispersióne + p - s + p. El protónblancose encuent¡a, inicialmente,en reposoen el laboratorio;semidenlos elec-

':¡onesque rebotan directamcnte hacia atr¿is,Suponga que todo 46-2 [tts partículasnucvds! lasleyes rJeconsen,oció¡i el norimiento cs ultrarrelativista(se puedenpasarpor alto 8. (I) El mesón.K',o kaón,ciecae segúnel procesoK¡l' + d io,jas las masascn reposo, excepto la de la par'tfculaen Supongaque en estedecaimientose obedecenlas lc;rescie ;eposo). Calcule la cantidad de movimiento traruferida al conservación decaiga,nr.unero bariónicoy númeroleptónico. bla¡co de protones.Si la energfadel olectrónincidentesube son los valo¡esde esos¡rúineroscuánticosparael ¿Cuáles al doble,¿cuántoaumentala cantidadde movimientot¡ansffleSOñ.ir / feridaal protón? (I) Demuestreque las leyes de conservaciónde cerga,nrimero 9. .1. (II) Repita el problema3, pero mantengala masaen reposo bariónico y nrilneiolcptórricosc s:ltisfacencn el dccai¡llienlo paraun del protón de tal maneraquc E - .@7f;Gry C c l n c 'u t r ó l l , n- 'P r {' +r . protón de cantidadde movimiento g. Continúemanejandola relaciónde la masadel electróna la del protón como si fuera 10. (I) L: ¡eaccióiiP + e- + 1)+ c+ no se llcva a cabc, según expetin.rentosplccisos discii¡.Cospaia obsen'arla.¿For quó cero.(b) ¿Hayuna energfainicial del electrónparala cualel no? movimiento del mismo debamanejarseen forna relativista" mientrasque el movimientodel protónse puedamanejaren 1 1 . ( l i ) E l n l e s ó n¡ i 'c l c c a es c g ú n r ' - l J a 'u . ¿ C u á lc s el n ú r n e r o forma no relativista? baricinicodcl ¡r? ¿Cuátcs su ni::ucroic¡rtónicol ¿lis bosóno c s f e n r i ó n ? ¿ C u : i lt s s r 1c a t g r e l é c i r i c a ? 5. (ID La ccu¡ción (45-2) describela sección transversalclc colisión de un proyectll puntual de carga Zre, masa nt, y energlacinética K, que sc dispersade una partlcula bianco puntrcil, de carga Zre y masaM (M >> n) en reposo,como función del ángulode dispersión0: ::'..-.-1 ..-' .--

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*r_ 13. : :- :::::::'...-: J3 ---.-3i;.S :::::-.:_:: " Supongaquelas cantidadesde movimiento inicial y finai Cei t{ proyectil son pt y pr, resplectivamente, sicndo lprl - ip¡ " p. Entonces,paraM grande,la magnituddc la transferenciaie cantidadde movimientoA. pr - p¡ en el choqueestáexp;esadapor A2- (pr - p)2 - 2f (l - cos q. (a) Expresela sección t¡a¡uversalcn términosdc A2,y graflquelaen función de A:. :er:l; ::l ce¡:irode lnasa ejr una colisión prctón-protón,la , (b) supongaque cl blancono cs Puntornaterial,sino que está f',:erz: ;cpi :l si l a corncti zará a afectar l a di spcrsi ón. repartidoen una csferadc radio ro. Presentealgunosargu- 15, rll) Tiene r:stcd1 kg dc hidrógcno(pesoatónricoen g¡amos:!l mentoscuetitativosque sc basenen la rclaciónde incerti: (, r,'\^ ,l^ ,'.^-i^ /--¡^ arA,.ri^a t?< '-^lr (peso 235 g^ por atónrico átornoi -,..,,,o dumbreposición cantidadde movimiento,para ver cómo erai:.ro). soir los,núlrre¡os de las dos mr¡esba¡iónjcos ¿Cuáies puede cambiar la dependenciade la seccióntransversal l l : s C en r ¡ t e r i a l ? respectoa A2. (il) El pión es cl bosón do intorcambiode fuerzasnucieares:

6. (ID Se tieneun protón y un electrónque chocan.Demuestre se intercalnbiacllre dos irroioneso dos Írcutronesv rlr orig.'n que,si respectoal marcó dc referenciadel centrode masacl a la íuerza nuclrar. DaCo que es posible (viituli:ncntc; l:r elect¡óntieneunaenerglade 5000MeV, entonces,en el marco irarsiciónp - p 't tf , si¿ndo7pel pión stÍt c:rr'a, tl:sc¡ibael de referenciadel laboratorio,en el cual el protónseencuentra contenidolnínúr'iode quarksclcesapartfcula. en reposo,el clectrón tiene una energlaaproximadade 53 (Ii) i.os contenir.ios dc quarksdc r'lgunesparlfcrrlasfuert:nreii17. OeV, o sea,53,00OMeV. lSugerencia:puedesuponerquee¡l te interactuantesson (uud) para los protones, (rdl; prir ios el marco dc rcfcrcncia dcl ccntro de masa, el protón y cl neutrcnes,(rir7)para r', (rlu)para /r- y (uu4tl'l{T irarael rd. electrón chocany producenun objeto de cantidadtotal de l: figura 4ó-20 es un esquen.ra de ]a reacciónp '¡ ¡r - * n doticle movimiento igual a cero, con una fnasa M que se pucde se emolea est¿iirfonnación.En ella, todas las líners reprecalcular,tcnicndola cantidaddc movimientodel electrón.En sentanpartlculasque semuevenhaciala derecha,y lasfiechas el marcodc referenciadel laboratorio,sc creael mismoobjeto, queapuntanhaciala derechaindicanquarksy las que ap'.rntxil y, segúnla conservaciónde la cantidadde movimiento, el objetose mucvcbonuna cantidadde movimiento,p¡¡, igual a la del elect¡óniricidenlc.L,aenergfadel objetoen el marco iel laboratorio está cxpresada,Por lo tanto, Por nouj.toA continuaciónpuedeustedemplearla ,,TWñry. consen'acióndc la energfa,pnoc + mpé ' Eo¡¡., junto con su :d,culo dc Ia masaM paradeterminarp¡6c.] -. J) L'n electrónchoc¿con otro en ¡eposo.¿Cuálesla energfa :1-i¡dináquc dcbetcr¡erel electrónincidentcparaproducirun ¡e¡ FotótFantiprolón?l: rcaccióntienela forma ¿ + e ' e ' e - ',,p-p). No tcriSaen cuentala masadel eiectrón.(Véase '' s:gc¡enciape¡ael problemaó). ^l

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-.:--2 .z:-.i:eiia, antiqua¡ks. Además,las lfneasde quark - -r::.1 ::::r:r'-3nen esquemas como éste.Con estatécnica, :-::: _i:¿:--.:3spara (a)p I 7rl- n+ f,(b) p + lasreacciones : - . ' - : r - - : r o ,y (c )p * r- + p !n + p .

el colisionadorTEVATRON(tabla4ó-3).¿Cuálesla car.::i,: de movimientode antiprotonesque incidenen protoness.¡cionariossi la energlade centrode masadel sistemap; = igual a la del TEVATRON? I l¡:--::¿ las reglasde lfneasde quarkdel problema17, 23. (II) Un investigadordeseaestudia¡la reaccióne- + e' - V, : :- . . :: in;i aiáficasadicionales parala emisióndeun bosón sicndo .d el bosón intermcdio neutral dc las interaccionc¡ ió ' :.:: --. c.':arkd, cmisiónde un bosónW' Wr un quarku, electrodébiles, y cuyamasaes 91.1OeV/C. El investigador : : :{ ¿-:uentoW- - e-+ ü,comosevenen la figura46-2l. cuentacon unamáquinade blancofijo quc aceleraun hazdc gráfica de los procesos positronesque se puededirigir hacia átomos,que hay en un l.:- gs¿s:'eglasdé la representación ¿ - - ; - ¿ - + r:,(t) r--n o + e ' + v ,y (c ) 7f + ¿-+ 1, blancoestacionario de elect¡ones. ¿Cuálesla energfamlnima :,-! -;s ¡'¡alessellevana caboconun bosónl/en unaetapa del haz de positronespara la cual puede presentarsela reacción? -- :-:::-:.

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FlGttRA 4G2l ltoblc¡n¡ lE.

16-4 Herramientasde.Iafísíca dc partículas t r.

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Ql) I-a luminosidadde una máquinacolisionadoracs la f¡ecucnciaconla cualpasanlaspartfculas enun haz,multiplicada por el númerode colisionespor unidadde áreade un segundo haz.[¿ luminosidadde diseñodel SSC (véasetabla4G3) es 10177¡¡¡2.s. Si el á¡ea total de secciónhansversalpara las interacciones protón-protón es 100milibarns(l barn- 10'r m2).¿Cuántasinteraccionespor minuto habráen el SSC?El valor de Ia seccióntransversaltotal os una de las cantidad¿s quesedebenmedi¡en el SSC. 25. (II) El colisionadorTEVATRON (véasetabla 4ó-3) tiene hacesde protonesy antiprotonesque siguenuna trayectoria circular,de 6.3 kn de circunferencia. ¿Cuáles la frecuencia con la cual determinadoprotón del haz se cn¡za con un antiprotóndado en el haz de antiprotones, vistos desdecl ma¡code referenciadel laboratorio? 26. (II) Un par protón-antiprotónse puedeproducirmediantela reacción7+p- p + p +p.Sielprotónblancoestáenrepo6o, ¿cuáles la energfamfnima {ue debc tener el fotón ¡rara producirestareacción? 27. (III) l: tabla 4ó-3 muestraun colisionador,el HERA, que es asimétricoporquesusdoshaces,uno de electronesy otro de protones,tienendistintascantidadesde movimiento.Por consiguiente,estecolisionadores una especiehfbridaentrclos colisionado¡essimétricoey lasmáquinasde blancofrjo. En lo siguiente,no lengaen cuentalas leyesdc conservación dc número ba¡iónico ni de nrirnero leptónico, que se deben obedeceren las colisionesprotón electrón.(a) ¿Cuálas el númeromáximo de pionesneutrosquesepuedenproduciren lascolisionesen el IIERA? (b) ¿Quécantidaddemovimiento tendrlan los hacesde protonesy clectronesde cantidadde movimiento igual, parapoder producir el nrlmerodc pioncs de la parte(a)?(c) ¿Quécantidadde movimientodebcrfatener un haz de electronesque incidierasobreprotonesen reposo paraproducirel núme¡ode pionescn la pafc (a)?

(i) Segununasteorfas,un protónen reposopuededecaer(con + unavidamuy larga)deacuerdocoÍp - e' d. Paracalcular la cantidaddc movimiento,4, del ¡f dcl dccaimiento, uscrno :940 MeV/c2,ym,=l35jilleYlé;no tengaencuentala masa del electrón.Expresesu respuestaen términosde la combinaquebusquenel ción qc, en unidadesde MeV. Los detectores decai¡niento debensuponerque la señales estacantidadde rrovimientocaraclerfstica. (ll) Un colisionadorprotón-antiprotón es,en realidad,uno de quark-antiquark, si nos imaginamosque cada quark en el proión,o quecadaantiquarken el antiprotónlleva la tercera pale de la cantidadde movimientodel protóno del antipro::r-. ¿Cuáles la energfadel protón y del antiprotónen un :cirsionadorpl simétricoqueproducecolisionesquark-anti28. GID l,os aceleradores de electrones,queproducencantidades q':arkcon la mismaenergfatotal quelasqueseprducen en copiosasde rayoeX parainvestigaciónen ffsica atómicay de positrón, ¡r, colisionadorelectrón en el cual cadaelectrón materiaconderuada,empleanhacesde electronesde va¡ios llevaunacantidadde movimientoiguala 8 OeV/c?No tenga OeV. Los rayos X se producencuando los electronessc e:i cuentalasmasasdel electrón,positrón,quarky antiquark, dispersancon fotones de menor energfa.Por ejemplo, la :¿:: s: lasdel protóny antiprotón. FuenteLuminosaSincrot¡ónicaNacional,en el l-abqatorio I C¿.:'.:lela cantidaddemovimientoen el marcodel centro NacionaldeBrookhavenaceleraelect¡oneshastauru energla tr. ::-¿:¿:ie cadaprotón incidente,para un acelerado¡en el de2.5 GcV y producefotonescon energlashastadc 310McV. : -"¿ , :¡¿l'. prolonesde 450 OeV a blancosde prolones Setienenfotonesláser,con longituddc onda,digamos,dc 350 x:.:.::"a¡cs. fVéaseIa zugerencia en el problema6). run, quc se dispersan,en choqucde frente,con clcchonqsdc de900GeV deenergla,conprotones : -' :.: i--.a-r.:iFroiones 6 GeV. Calculela energfamáximadel fotón de retroccsoquc = : --.r::: !:.r;gla perocantidadde movimientoopuestaen seproduceen esareaccióq queesde dispcrsiónde Compton

1375

I .r q:: se producirfa estefotón? lSugerencia: debeusted --rguJo :Lr:.i¿r^ei ia masa del electrón, en la ecuación relativista de la e:ler¿:a iei misrno, igual a E, aun cuando E >>nr.C. Sin embargo, = pc, ;'-:de .sred enrplearla apoximació[email protected]ñl{f .-:,-):,2.pc en eslecaso.]

masa total deI iiidrógeno foinr:io c-s,rpic:iin':¡d:n:er'.:.:,-i vecesla Cei hclio que se fornró crltonces.

3tl. (III) Bajo condicionesquc se aplicau a nucstro u:ri'.-ersc. ':-. teo¡fa de gravitaciónde Ein-stei¡r relacional¡ drnsiC:¡Cde la materil con,el par:irnetrode l-lubble, con la ecurciór',p = l 3fl2l8nG. (a) El valor actr::l del paránetro de Flubble es H0 = 2 . 5 x 1 g - t as - r . C a t c u l c c l v a i o r a c t u a l c i e l a d e nsi d ¡ d ci c l a ' matcria, po. Suponiendoque la m¡teria está formad¡, casi 16-5 Expansión ilel universo exciusivamente,cie hid;:ógeno,)/ que M,1 = 1.7 x 10-2rkg, . calcule numóricade los átonlosde hidrógeno.(b) la cjensidaci (II) galaxias 46-l4ay de las figuras tienen las alineadas 29. Se Denluesircquc la consen'acióndel núrnerobariórricoimplice de queunhabitante B estarfa delagalaxia 46-14b. Demuestre gr¡c lr clcpcnclcncia cor'¡rcspectoal tiettipocs clelrr clcnsirlacl acuerdoen queesválidala ley de Hubble,perosi la distancia p ( t ) - p , i . nr l l i ( r ) , 1sr i,c r r c l oR , l e r s c a l l l c t u a l c l e
un factor de escalade distancias,R. Estefactor aumentaai pasarel tiempo, f, a la velocidadR = ilf, siendo t y n expresadR/dl = constantes. La ley de Hubble,entonces,,se I/R. Demuestrcque el parámetrode Hubble, I/, no es cotrsrespcctoal tiempo. tante,y calculesu dependencia 31. GD El uriverso se está expandiendo,pero la exparsiónestá (a) Si R varfaen fr.rncióndel tiempo,comoen el desacelerando, problema30,calculeIa desaceleración de R @)El par:imetroCe Calg, sedefineconlo{ r -R(d'?fi/dfy(dfi/dl)?. desaceleración, culeel valorde g. 32. (III) Hagausode la ley de Hubbleparadeterminarcl tiempo quesetardarfaen duplicarsela distanciadc la Tierraa dcler' minadagalaxia.Supongaque,parael periodoen el quehace primerocalcuieel su cálculo,¡1Ies conslante,fSugerencia.' i¡rtervalodetiempoparaquela distanciacambiede¡ a ¡ * di, A conlinu¡qtred.tesunacantidadinfinitesimal. suponiendo ción,integresu resultacio.] que J l . del problema32, demuestre 33. (III) Empleandolas,técnicas valor si algunavezha tenidovigenciala ley deHubbleconun entrelas constantede I/ desdecuandono hablaseparación un tiempoinfinito paraqueel galaxias,se hab¡fanecesitado hastalo queeshoy. universose expandiera

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l );i r, ti ctrt: urta;rtagni i LrC cl e 9.5 T, ¿c i [i l c s el

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. 1 . I ¡ s : c t r i e d o r ( s ( ', t r n i , t , ; s o n C e t c c t o r e sq u e ttti ci e ttl : la obse¡i.ie¡rei-lícr:i:is cargedes nrcclianie rres¡rc:a v velociclacl a , -i ; ; l . l eI ¡ n e r ; l od c l a l r r z"-d c c : : t c i a "( r a d i r c i ó nd c C - s¡cnL ,r v, " vcasc Í-reu:¡ l.l-24) que ¡rroclucenlas parifcuiascuartclosu vclociciada tr:rr'ósc.icun r¡rcdiocs nrxyor q'.rela de la ltiz e;l qi:r' esc ir-¡cijjo.¿Crri1cs ia cnc,rgfanllnima clc los elcct:-o;tes

!:rüjr:,-n e l r r l c l i r c i ó l : c l cC 'e¡ c r ; k r l re n c l t g u i r ? .{3. (il) Eil una re¡cción cn l¡ cual clectronesdc 52 GcV chocan 46-6 Losprimerosmomcntosdel universo con ¡rositroncsdc 52 QcV cloíicnle, coirrosc ha hecho eii cl Ccntro del AceleradorLirleal de Stanfoid,¿cuáles el ¡lúlre¡o 34. (I) Demuestrequela masade Planclq2.2 x l}-t kg, equivale máxinro de nrcsoncsy nntimesoncs/r que sc pueclencreílrpor de 1.4 a una energfade 1.2 x 10¡eOeV, y a una temperatura cadapar que choca?La nlaseCeun tncsón r es, a¡roxittrrdax 1032 K. . nrente. 140 lvfcV/c2.

35. (I) Ademásde la masade Planck,hay una distancia,que se 44. llerna longitud de Planck. Con análisisdimensional,forma /t, G y c. unalongituda partirde lasconstantes 36. (l) Ademásde la masadePlancKhayun tiempo,quesellama 45. t¡empode Planck.Con análisisdimersional,formeuna¡elah, G y c. ción ent¡eel tiempoy lasconstantes 31. ,iI) Supongaque cuandose formaronlos átomosestables, y Protonesen la relaciónde I a7. neut¡ones habiapresentes que si se 3 ' Demuestre formaronhidrógenoy helio conesos entonces deelectrones, :.:;^e:nes,y conel númeroadecuado :. :-,::-,ero de moléculasdehidrógenoqueseformaronfue 12 ',.::- :l n'imerode moléculasde helio.(b) Demuestrequela

(

0i) Deduzca una ¡elación entre l¡ loilgitud cle onda de de i3roglic y la energlacintitic¡, ii dc partículastrlt¡a¡rel¡tivistas (r¡re son aqucllrs ¡xrr las qirc K >> ,ncr). El nruón,cuyo sÍn.rboio es ;;, es,paratoCcslos fincs prdctic¡3, igr.raloue el electrón,peio es unes207 vecesiitls exactame'nte masivo. Lo pt:cd,:dcstrui¡utr protóu de acucrciocon l¡ reacción ¡-r+ p * n + v. Un muón se itece ent¡ar a l'i:.]ró¡::.: gaseoso,se drs¡c¡leia y, pc: úit;lno, ¿s c:,;'1,ijí:.'.:e:. .::'.: ó r b i t as e ; n e j a n i ea i a d ¿ 1i r i i l r ó 6 e n oc i eB o 1 , ¡ .U . . ; , ;::. ',:- .- :: a i a ó r b i i a r n i : : i r ¡ ; 3 ( d c r '; r i i i cQ ) , s c d c s : r - . r : i.:l.r 3 ..::- :,.r- - , l a r e a c c i ó ne n i ¡ : i ¡ ¡ s i s ¡ ¡ c c : c i : 1u r . r i i - ; i r : r - ': - i.. : , I :::..- -- . pr otón.

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:::::.r-: ':: : : s e c alc ula,m ediant ela m ec án i c ac u á n t i c a y, e s .: ::"¡:"::. 3e, r'olurnende una esfcrade radio L a la de t¡na . :: :;: : .?. S..:¡ongaque la vida para destrucción,a partir de 50. '. :::.'z:.::::c¡ de Boh¡ en el hidrógeno,es rc. Demuestre : -i :'. : ¿: a la des t r uc c iónapar t ir deles t a d o f u n d a m e n t a l " : . - - :' - :-.: ¡e Bohr, en el cual el muón se mueve en órbita '::31.:: :: ::n núcleo con Z protoneS,eSTJZ4, '.':;:-.:s la destrucción del muón que está en el estado -" : - - : r,:::::. en un dtomo de Bohr hidrogenoide (véasepro:,,-: i-i ,Cuil es la energfadel neutrón que sale en la -:;::.::l Si el procesose lleva a cabo cuandoel muón está : - :::;:3 :.rededor de un núcleo pesado,¿seráigual la reac: - - :.;: ¡::ando el áto¡no es senrejanteal lüdrógeno? ,. l:,:. .a conservación de la energfa y la conservación de : :: ¡'ljail dc ntovilniento,demuestreque un elcctrónaisla: : - : :,::ie emitir un fotón y seguirsiendoun electrón(véase - -:_: -r:r i2) .

4J.

el universotcnla I s de edad.Estirnela relacióna los 1O!i Tengaencuentasólola perdidadeneutronespor decaimle¡.:: es 140MeV/i, sa.: 0I) Un mesónpi, cuyamasaaproximada de un choquenuclear,con unaenergfacinéticade 2@ lvfe\'. Los mesones pi enreposotienenun tiempodev idaaproximado de 2.6 x l0-8s. Calcule(a) la velocidad del mesónpi; ft¡ sucantidaddemovimiento,y (c) a quédistancia. enpromedio, llegaráesemesónpi antesde decaer. 51. 0D Cuandodesacelera un antiprotónpor interaccióncon materia,y seacercaa un protón,puedesercapturado y formar un átomosemejante al del hidrógeno,llamadoprotonio,pr atracciónde Coulombhaciael protón.Calcule(a) la energia deenlacedcl átonro,enclectrónvolts,y (b) el radiodelátomo en su estadofundamental.No olvide el efectode la masa ¡educida.

52. flID La probabilidadde que un protóny un anriprotónen ei estadofundamentrldelprotonio(véaseproblerna5 I ) seacerquen a una distanciaft, entresl, se calculamediantela mecánica y ¡csultaserla relación cuántica delvolumendeuna la fuerza de repulsión enlre protoncs,en un núcleo -esfera de radio R, al de una esfera de radio 2Ro,siendo,\ ei :: -:i;:',e ,::lrio. Cornpare esa fuerza con la atracción entre el r¡dio del protonioen el estadofu¡rdan¡ental. Si el tiempode .-:.:c de urlnio y el electrónmás intemo de ese átorno de vidaparala aniquilación dc un protóny un antiprotón es l 0-22 .-':::..r. s cuandoestána 0.2frn de distanciÍ¡, y esinfinitamdsalláde .ir Los ncutroncslibrcs liene¡¡una vida ¡nedia aproxinlnda csadistancia, estinrecudlttodurael átonrodc protonioen su ,;: 690 s. La rclación de neutronesa protoncsera 1.5 cuando estadofundanrental.

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DE oTRAs CANTIDADES

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s2,oN'ffi J,K,okg.m2lK. flm'K

Energ{a: I electrónvolt (eV) - L.6022x lo-reJ I erg' ¡9-r ¡ I unidadtérmicabritánica(BTU) * 1055J I calorla(cal)- 4.18óJ I kilowatt-hora(kWh) - 3.ó x 106J Mosa: I gramo(g) - l0-'kg I unidadde masaatómica(u¡na)- 931.5MeV/c2- 1.6ól x l0-2?kg I MeV/c2- 1.783x l0-m kg Fuerzg: I di na- l 0-5N I libra(lb o #) = 4.448N Iangitud: I ce¡¡lft¡rctro (cru¡- ¡6-z,rt I kilómetro(krn) - 1gtu-t I fenni - lg-ri m I Angstrom(A¡ - 1g-tont I pulgada(in o ") - 0.0254m I pie (ft) = 0.3048¡n I milla (mi) - ló09.3m I unidadast¡onómica (UA) - 1.49óx 10rrm I añoluz (al o ly) - 9.46x 10¡5m I parsecGx) - 3.09x 10Ióm Angulo: I gradoC) - 1.745x 10-2rad 1 min (') - 2.96 x l0-a rad I segundo(") = 4.848x l0-ó rad Volumen: I litro (L) - 10-rm3 Potencia: I kilowatt(kW) - 103W I caballode fuerza(hp) '7a5.7 W Presión: I bar: - 105Pa I atmósfera(at¡n)- 1.013x 105Pa I libra porpulgadacuadrada(lb/pulg,)- 6.895x 103Pa I kg fuerza/cmz - L.O2x 105Pa Tiempo: I año(a) - 3.156x 10?s I dfa (d) - 8.640x lga s I hora (h) - 3600s I minuto (min) - óOs Velocídad: I milla por hora (mi/h) = 0.447 mts Campomagnético: I gauss- 10'' T

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¡ -:c:-.:i¿ tenestre -::.: ::. :cuador terrestre -..:.s¿c: .a Tiena --::¿ ie la Luna ::::c medio de la órbita lunar ai¡ededorde la tierra ;::asadel Sol raciiodel Sol ¡aCiomedio de la órbita tenestre alrededor del Sol

periodo dela órbitaterrestre

&

ó.374x l0óm 5.97óx 1024 kg 7.350x l 022kg = 0.0723M, 3.844x 108m

Mo Ro UA

1.989x l Os kg ó.9óx 10tm 1.49óx l 0rtm

año

3.156x l 07s

M,

al¡ededordel Sol dlámetrode nuestragalaxia ;iasa de nuestragalaxia

7.5 x l02o¡n 2.7x 104' kg x - (1.4 l 0' ¡) Mo 2.J x 16-tat-t

parámetrode Hubble

ilT.1*2 DATos DE PI.ANETAS

'::,(tn

)'Íercurio ', ¿i,rs l:¿::a )'i:-r¿ J;p:ier Sai.jrro ._:ero \::r';¡o J. -r::.

Diámetro Masa (en knl Rokttltol rclntivnt

4,800 12,100 12,750 6,800 142,800 120,660 51,900 49,500 1,000

0.38 0.95 1.00 0.53

0.05 0.82 t.00 0.11

n,23 317.9 9.4t 95.2 3.98 14.6 3.88 I't.2 0.002 0.23

Densidad ntedia Qn dcnl)

5.2 ) .J

5.5 3.8 1.3 0.7 l .J

1.7 0.4

I'eriodo de rotación

Gravedad en la supcrf;ciel

(¿nil

Velocidad de escapc

funkny'.s)

58d15h 2 4 3d 4 h 23 h 56min 24h 37min

0.39 0.90 1,00 0.38

4.3 10.3 n.2 5.1

th50min l 0 h 3 9m i n 1 7h 18 a22h 6d thlTmin

2.58

59.5 35.6 7t.4 23.6 1,2

l.ll 1.07 |.4{) 0.02

Semieje ntilyor (UA)

0,387 0.723 1.000 1.524 5.20 9.54 t9.18 30.06 39.44

mec:i ¿n ó!'r¡:3 (en i:'i s

8 7 ,9 6d 224.7d d 3ó5.26 687.0d o 1 .8 8a ñ o s I 1.86años 29.4óaños sño6 ,84.01 164.79anos 248 años

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Periodo de la órbi¡a soktr

4 ? .3 3i 0 29 3 2.1.: I 3.I 9.: ó.5 ,i..í .í.?

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Rsc:r'as

de combtrstibles

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potenciatotal irrrdiada por el Scl potenciapor uniC:rdcieáreaeit 1: alrt,:sj::. teÍestre supeiior potcnciapromeclioanull p o r u n i d a dd e á r c ar e c i b i ( i a en una su¡xrficic proitrccliccn IIU;\

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Reservas mundialcs

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106 10ó 106 l0ó 10ó 106 106 106 1 0 tt l Otó

Cons¡.¡r;ro dc cncri¡í:r c¡r ¡:i t¡-a:lslrci'.c

Modo

Co¡su¡¡to dc cnergíe (J/p¡i5¡'.:¿¡3 . ';

b i ci c l e t a c a n ri l r a l S autobrisll¡bano lranvh urbano autor)1óvil a v i ó n a r e a c c i ó n7 4 7 tri neo ¡notorizado(.s¡to \r ¡nob i !c)

5 >( l ( i * 1 . 5x I 0 5 3x105 9x10s 1 . 5x 1 0 " 2 :< I0¿' 6 x i0('

III'2.6 Consr:r:ro
Elcctrodoniistico aconciicicn3dcr de ai¡¿ dc vetrtalla reloj lavavajillas ventilado:d¿ r'e¡tt¡l)Ír s e c a d o i 3C ec ¡ b c i l o plancha honro dc microon(las radio refriecrador-congelacior cstufa t e l e v i s o ra c o l o r aspiradora lavadoracleropa

P oi ¿'r:ii :e (ct: i |t

1.56,5 2 I 200 240 380 I 000 l 4_50 7l 6r5 12,200 200 (r30 512

{.isc'a¡¡ull cic cncrgla (cn klYlt)

I 390 lt

163 170 ,14 144

rt 0 ¡i5 1E i () 1 i --<

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o o o o o o o a o o o o o o o a o o o o o O o o

A P E }_DICE V I

i.'

FECHAS IMPORTAIITES ENILA

T{ISTORIADETAFISICA

I

o o o o o o O o o o o o o o o o o o a o o o o a o o o o o o o

se puededcscribircomounaseriesencillade fechas,y la historiade la cienciano es la i,¿:: , :' ¡ .-.:s:cria a;::::cr :i-. .{ .o largodel textohemosaludidoa los descubrimientos impofantesen ffsica.La listaquesigue :s ;*; ;': :'r;:án personal,y se debeconsiderarcomo gufa,Simplifica mucho algo de la historia,incluyendo :l.i :::';i :"¡: en el texto seencuentranmásdetalladas,por ejemplo,la ley de Coulomb.Algunasde lasfechas r,: :.::¿:- :.c!:iarcon reservas,porque tara vez los descubrimientosse efectúanen un momento único .::::.i.:¿:tre.Nuestralistacomprendealgunosnombresydescubrimientosquenosemencionaroneneltexto. i:- -:.:::c más ios nombresque no se mencionan,de quienesconformaronlos cimientosexperimentates, y allanaronel caminoa aquéllosde quienessf se recuerdasu : :-,¿s:xploraronlos caminosequivocados i¡:T ri!, o a quienescomprobaron lashipótesisqueahorallamamosleyes. : : 53 :Éü3 :ll2 "1609 @z i 619 I 620 ló48 1ó50 l6ól 1óó9 1678 i 687 1760 I 785 t789 l 798 I 800 I 801 1801 - 1802 I 807 1812 1815 1819 I 820 .tó¿u i t:4

: s2 7 . s:l - :_¡ .: .:-1:

- ¡¿-a:t

Galileo Oilbert Oalileo Oalileo Kepler Kepler Snell Pascal Grimaldi Boyle Newton Huygens Newton Black Coulomb Lavoisier Cavendish Volta Young Dalton Charles;Gay-Lussac Dalton Fourier Fraunhofer Fresnel Oersted Biot; Savart Carnot Ohm Ampére Faraday;Henry Joule Helmholtz Fizeau \laxwell

Movimientodel péndulo Estudiode los imanes Primet enunciadode la primeraley de Newton lryes de cafdade los cuerpos Primerasdosleyesdel movimientoplanetario Terceraley del movimientoplanetario Ley de refracción Presiónatmosférica Difracciónde la luz Elementosqufmicos Dispersiónde la luz en prismas Propagación de ondas Leyesdel movimiento;gravitaciónuniversal Calorimet¡fa Ley de Coulomb Conservación de la masa Mediciónde G Pila eléctrica lnterferencia de la luz qufmicas Leyesde lascombinaciones Oasesideales Teorfaatómica Descomposiciónde ondas Lfneasespectrales discretas Representación ondulatoriade la luz Camposmagnéticosa partir de corrientes lry del campomagnéticoproducidopor corrientes Segundaley de la termodirrámica I-ey de Ohm Ley de Ampere Inducción Equivalentemecánicodel calor Conservaciónde la energfa Medicióndirectade la veloctdadde la luz Leyesde electricidady magnetismo;ondasluminosas

A-13 ,--'----------...¡-5

Boltzmann;Gibbs Stefan Osmond Heriz Michelsony Morley - :-\ : S;5 Bccquerel : 391 Thomson :)I Planck :9J-1 Rutherford;Soddy 19,35 Einstein i908 KammerlinghOnnes KammerlinghOnnes 1 91 1 i91 I Rutherford Millikan l9l I 19t2 von Laue 1913 Bohr Ei¡¡stein 1 91ó 1923 Hubble t> Lq de Broglie Pauli 1925 Heisenberg 1925 Goudsmity Uhlenbeck t925 r926 Davissony Germer;Thomson r926 Schreüinger Born 1926 Heisenberg 1927 Hubble 1929 I Y JU Dirac Anderson 1932 10 ? , L¡w¡ence y Livingston Chadwick 1932 Yukawa 1934 Feynman;Schwinger;Tomonaga 1948 1954 Townes I-eey Yang 1957 1957 Bardeen,Coopery Sch¡ieffer 1962 Josephson. Oell-Mann;Zweig 1964 Penziasy Wilson 1964 196'7-19'70 Glashow;Salam;Weinberg

Mecánica estadfstica Radiación de cuerpo negro Estructuracristalinade los mct¡les Onclaselectromagnéticas Constanciade la velocicladde la luz. Radiactividad Relaciónca¡gaa masadel elect¡ón Cuanlosde radiacióndel cucrponeRro Isótopos Relatividadespecial;cuantoscn el efectofol ,cléctrico Superf'luidez Superconductividad Estructuranucleardel átomo Cuantización de la carga Difracción de rayos X en c¡istales Estrucluraatómica Relatividadgeneral Descubrirnientode galaxias Naturalezaondulatoriadc las paftículas hincipio de exclusión Formulaciónde la nrecánicacuántica Spin del electrón Difracción de electronespor cristales F o m l u l a c i ó na l t e r n ad e l a l l r c c á n i c ¡c u á r t i c ¡ Interpretaciónprobabilistaclela lnecánic¡cuintica hincipio de incertidunrbrc Ley de Hubble Antipartfculas El positrón Invencióndel ciclotrón Neut¡ón Fuerzasnuclearesy rnesórrpi como ut)x teolÍn cuálltica El electromagnetismo El máser No conservacióndc la ¡rariclaci Teorla de la superconductividnd Empalme Josephson Teorla de los quarks Radiaciónde fondo en el univcrso '- :,: - ,:-Unificación de las fuerzaselectronl;renélrc:s

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o ._ *-

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-{ P E NDICE

V I I

T.{BL{S EI\ EL TEXTO Nombre

Página

l"{'..e:.':argade componentes atónicos '--¿.::es dealgunoscamposeléctricos i.:,:lo eléctricogirandoen un campoeléctricou¡üforme l'Íe:;:iones experimentales de la desviaciónrespectoa unaley del inversodel cuadrado paradiversasconfiguraciones J;::pos eléctricosy potenciales de carga *cpiedadesdieléct¡icas de los materiales i'aloresde algunascorrientes y coeficientesde temperatura R.esistividades, conductividades .{l gunosca¡nposmagnéticos .{l gunassusceptibilidades magnéticas generales y susrelacioncs hopiedadcsmagnéticas AnaloglaentrecircuitosRC y RL AnaloglaentrecircuitosRLCy el movimientoannónicoamortiguado y el movimientode un resorte AnalogfaentrecircuitosRIC irnpulsados Indicesde refracciónparavariassustancias Indicede refracciónde vidrio comofunciónde la longitudde onda Convenciones de signosparaespejos, superficies de refraccióny lentes Anchode bandade algunossemiconductores Algunasmasasatómicas Algunasenergfas de erüazamiento nuclear Parámetros de la fórmulade masassemiemplrica Propiedadesde los quarks Fuerzasfundamentales Caraclerlsticas de algunoscolisionadores

651 671 690 7t6 745 772 787 794 847 939 939 970 971 991 1045 1058 1082 t278 1312 1313 1320 1351 l 353 1357

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A PE\DICE

V I I I

RECUADROSCONTEXTO SFIFCCIONADO TT@trqts

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O 3

DE SOLUCION DE PROBLEMAS Página

l¡gljtu.: 4¡ .

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-¡-31;nli¡:6 3¡ct:ic

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Fr¡erzaseléctricassobreuna cargaen plesencia
657 .lO7

822 890 1075

.{PLICACION :¿?{Iulo

C¿pifulo23 Capítulo25 C:pitulo 26 CapÍlulo32 CapÍtulo3ó CepÍtulo3ó Capitulo38 CapÍtulo39 CapÍtulo44

Título

Pógina

El osciloscopio El microscopiode campo-iones Capacitores ' Resonancia magnéticanuclear Reflectoresde rincón Fibrasópticas Recubrimientosantirreflejantes Aplicacionesde la holograffa Celdassolaresy LEDs (diodosemisoresde luz)

687 750 774 954 LO49 1054 tt23 1155 1290

.{,CERCAMIENTO Capítulo :Jpitulo 22

TYtulo

Pógirn

Breve historia del estudio de la elect¡icidady el magenetismo

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I I

RESPTIESTASA LOS PROBLEMAS DE ¡{TIMERO IMPAR

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22

dYdv' 4s.-F=!g! f' f' 4LzJ_,J_,.rtTI + Rrl¡ñ

:i . . Jt;r¡rosclcct¡oncs. --- ¡=.¡..: x -l ¡6-rr C, 6.2 x l0? clc€froncs: .u - 1 . 5 , I.0 - il C, 3 ,1 x I0 ? u ,,cs: "lc.t - . _ . r : 0 - ¡ r C, 3 .l x l0 ? clcclr o ¡ r cs

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: _ J 9 x l 0 - ¡ N, 6 .8 x l0 - 3 N; ( c) 4 4 " :. ia) y (c). 9. -6.5 x l0-2¡C I l. .16N, rcpulsión cntrc los dos qr¡a¡ls a¡riba, 23 \'. airrcción c^ntrcquarks arriba y abajo. 13.. : ¡ x lO-e;porqrrc las nr.,rsrsson taJrgrandcs ü lo quc son cn escalaatórnica, : - f. ( a ) 3 . 6 x l 0 r m; ( b ) 1 .0x lo - to m l:. {.: N, rcpulsión. 1 9 . , ' a )1 1 . 3g ; O ) 2 .2 7 x 1 g ' t g l l . a ) 1 . 0 1 . 0 2N; 0 0 D 1 .0 ;( p ) 5 .4 x to - BC/r ¡ r : ' :. -i ¿ x _ 1 0 ¡ r pr o r o n cs/r n r1; c¡ l.O5 x i0 ú ; r : r : r r s / r n l , 2 . 1 x 1 6 - tr vcccs 3 .4 x 1 0 il :r:'i ¡nc-r/nll. 13. ¿; -2.5 x l0-7 C; (b) g x l0-1odcla carga
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I 21.. Alrcdcdor dc lasplacas:E oieo ¡rrpandiculat a ollasy alcjándmc do cllas; cnhc lasila;as: E O. -

823. q0, d) = (0/4neol^d) x

lalJa, +: L2 - Di+ ttt@l¡1, /:, d! (Qi aneod¡12 ;Jaf,rlj ¡¡ llL 25. E 4.52 x IOr NiC¿lcj¿irrlosc

dcl #nicr¡crno.

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27. (a) E =o=Lto k , ¿n€o

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,-,:'.p .7 Gtz+)k; (c) cuando6- - 0, E (Eparaun planoinfniro). !1|ZQX 29. 6.0x l0-? C/m2 31. md,2y/dt2 -qll2neoy,mdzx/dtz=0 7 3 3 . 1 . 2x I 0 - 2 C / m 2 ' " ' 35. 9.6cm 3 7 , 5 . 1x l 0 - ó s 39. Disminuyccn un factordc 20. 41. (a)6.2x l0-?¡n; (b) 9.8x lO-?m 43.

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-/,2 t3.

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t 5. E r = ( 1 . 2 7x t 0 7 N / c ) i : E2 = (1.27x l0? N/c)j 17.

17.

= (-4.03x l0óN/C)i+

^(?l-n, (+8.05 x l0ó N/C[; E, = Or+Ax l0ó N/C)i + (-9.ó4 x t0ó N/C)j; !,. (b) Fr = (_4.03 x t0-3 N)i T ( +8 . 0 5x t 0 - 3 N ) j ; F , =

*I, .: I rr¡ul::" ': :. :cs: rE ti | , _ sc ¡rducc 500 N. f r "*.';j : - - - .. /- r ;t¡ ¡ o tc¡ a n Jo sc

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*/.zl\\* ")l('= ,/l \

l. P.=5,? l0ó(o.isi+ 0.83tN/c x I0óN/C)i;(c) +1r,s r0¡oN/c)i; " (fql-!q.1 d) -(4.5 x l 0ro N /C )i

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rcpulsión; f = *8tp rcprrlsión, cquivalcnte n dos cargas¡lrntunlc^s.

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19.

NJi+ (-8.ó4x t0-3N)j; f :9.491-t0-.r x l0- r N)i+ (-0.5ex ¡0- i-N[ f:l !- 19.5_ lo]h]0.5¡.l0óN/c)i+ (-0.5ex t06N/ó

49.,1'l2zeoR(atracción).

=,1 Cn X=

//l ft\ i :- a ;.:' :,s ¡c n < i o i i c i

jl. I'J9;_tul 0;(c)F = (2.43 N)¡- (r.8e N)j

53. (c) t.74 x 106N/C

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s5.t x.nJfifi.

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57.

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15, pt: al ccntro p < 6 , porquocl volur;tcn "1r, ticndca cerc con más rapidc,zquc cl dc uu qsfcm á¡c¿ tiendc a ccro. C/*' (corlsr¡ntc);ttn cam¡xr clo 47. p - -fq 500 N/C quc cntra cn ¡ = 0 cstá producirio ¡xrr algunafucntc cxlcma.

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l. 8.0J 3. ( a)0; ( b) - 1 . 3 5J ; ( c ) + 1 . 3 5J 5. +0.92J, 0 7. -1.7'7J 9. En cl infiniro(cc) ll. + 4. 7 v 13. + 3. 0 x l 0 - 2 J

...\ P i T UL.O 2 1 L. 3. 5. i.

25

ia1 onR2lleoi (b) 0.8660rR'1/2€o iE N n r l ¡ ' C irbR, s i c n d oD c o r l s l a ¡ fc. q. t o

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9. (e) 0; ( b ) l . l 3 x 1 0 8N m 2 lc ll. (r) -3 . 5 4 x l 0 - r r C ; ( b ) - 3 .5 a x l0 - e C; , J i -. 1. 5 ¿ xí l 0 - n C 13. 5,ó5 N rn27Cfircrarlc los lndosparalclosa los 1;ianosr1', o .¡2, 6.1-5 N'ni'z/C, fucra dcl lado al cjo r.Í, 5.1.5N'rn2/Cfrrcradol lado 1^.^4rcntiicrrlnr ¡rrt * nriic r r l i r ra l c j c - r . I -\. d \' -1Co l-'

19. --l. i x l0-o C 2t.E : (t .69 xl0 r)iN/c; I,l: tl 69 x l0r)i N/C ?3. r< r,:E:0 ; r.. < ¡ < r,: E : LpÍz _ rll}€orfi; ¡. <,.:.E : lptl _ rl)l2enr)i 25.r< R,:E:0; R , < r < R,: E = l0(rt - / li) / -.rrcn(Al- Ri)r'?li; R, < r: I) : (Ql4rcnr2)? 27. P ¡raIt=8 .2xld N/Cy9 = 34", lor c uadr ale: I cn-B;20cuadrantc: Iicn I 80"r 0;3crcuadrar¡tc: li cn 0. E cn 180"- 0; 4acrndrantc: 29. r < 4cm: E : (-5.6 x lOe)riN/C; -'lcrr < r < l0 cnr:!f = -[(4.8 x 106)r{ l c)r 1 05 )/rrliN/ci t0 cni < r E = l(9.0 x l0a)/r2liN/c 31. r< R: E_ _0 tR
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19. (a) 9.6O ; @)cn scric;& = 8.640 , P, = 5.4 x ld W, no cs posiblccn paralclo. 2t, vcD= lRri(R, + R2))V^R 23. 0.45kO 25. Rq = R; si, ¡rcrosoloporquelos ntimcrosson tales quc la simetria¡rcrmitoquitar cl rcsistor central. 27, I4 = 3.98(l+ 0.26R,)/(l+ 0.21R,), Po : 63ll + 0.52R,+ (6.6óx l0-'¡)Rill [l + 0.43R,+ (4.58x l0-'?)R:] 29. p O, nq cs ¡rosiblo. concc(adcs conzl y 31, áRO, ;//R crtresistorcs B, {lzlRcn los dcnüs,

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33.(a)2R;(b)3R;(c)1,in;(¿)11r+ .6ln =

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.t'.:s:. h ¿ cia la dcr e¡ l¡ ¡ . : : !.. 5 5 t 10t 4\/¡n2, 5.8 x l0-6nvs

x lo ' ¡ r y' s; " j r - . - = : 6 x l 0 - 5 n vs,r *= 6 .4 : : : : . - : : : r ' ¿ c i ó n d c la ca r g a cq u iva lc a la ::i:i:-.-'"¡::ri:, Jc la ¡nnsacn cl flrrjo dc agua,dc ::¡:.:.: :f a: z:ra mcnornccositamayorvclociclad. -; t - (2n'uoRl3)- (nol'R2/2) + .-'. .-:,r. ( b ) 3 6 1 p ics

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20s,6 ¡s, 3 ¡rs

4 9 . (8l R r)a-'tx'c + (81R 2\ 51. Dos rcsistorcsdc 2-ft concctadoscn ¡raralclo cnt¡o sí, y cn scrio colt uno dc 4-Q y con dos capacitorcs. 5 3 . 1.30x l 0's (3.6l D 55, Cr¡.rtro rcsistortls dc tl0-O conccltclos r:¡r paralclo,o cr¡ntrodc 5-fl cot¡caladosc¡t scric. 57. PIJQ. , Pt), Pt'' Pt = l0 A; I¡.,-¡,. = 4 A, 59. /*k* /r * = 1.25A ; 120W. 61. d/R cn la batcna,0 cn la rarr¡ infcrior, X/2R cn las dcrruisQraciaabajo cn la izqrricrda,Itacia ar¡iba cn la dcrcclra). 63. (a)J^,p. * I,Ii^,//i* = 1.fr4,P^'/I'^* 1.64; (b) J^,p* - 0.61, t^J E^' 1, P^r/Pcb" 0.61; (c) to
CAP ITU I,O

29

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39./NnIer(l-coso) 41. l(ft¡ - ftr)/(Rr+ Rr)]iILBdcnla ür-{.tr: rc la corricnto. 4 3 . 6 . 4x l O - a N 'm Ir l

¡00 200' -2(n , ¡00 0 Angrlo (gradrx) 45. (al zt RBj:(b) -21RBi; (r:)0; (d)0 47. K = )¡ú0,2,scn2(ux);_ 49. _t t: : LVIvB 51, I clcctrórr/ritomo. 53. 3.3mA 5 5 . 5 . 8x t O r ' N / C , 2 . 6 x 1 0 5T 57.3.47 59. 0.05(
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l . 1 . 0x l 0 - r N / m 3.0 5.

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* 2 x l0r nVs, ¿'* = .{. O) u,31. 8.? x l0'¡0 N pcrpcrdicüla¡ al c¡rr:¡:r ' ¡ L 33. dF - -/R/lcos 0d0 k 35. 0.2 't; rls¡rrcorric¡llc variablc y :xt. -- :=:r firncióndo y, 37. 5.8 A.m2 pcrpcndiculara la cspjz. I li \:: paralola a la aspira y ¡rerpcndiculara B

- a íT - l' o ) 1 ,' cnla cu a l k =

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l .6t8R ct 35.0.010 37. 2.0Mr¿ 39.9.38V, 9.60V

23. 2.1 x lOn\' ¡¡':< : < Í: ' ." rI n¡ul 1 . 5 x I 0 - a T
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3 . -(7.2 x l 0-sT)k 5 . (a) 0 : (cB Lt)l m: (b) 0.15T 7 . -(1.5 mm)j 9 .(^)2.25 x l 0-rT; (b) 5.0x l 0-27 I l. 1.7 x l 0-rr m, 4.8 x l 0-5 N 1 3 . 3.6 x 10-6 T 1 5 . (a) 5,9 x 107nV s, ¡r 3.4"
7. B = p$12 paralclo a la hoja y pcrpcndicular a la corricntc (dirccciones opuestas en los dos lados). tu^l ^ .-*-(-yi ¿n\x' + y') ..t( f ..

9. (a) B =

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l. (b)B:1{ {-l ,--+-----.*;--------:;-; tl (x+afy'J ¿it

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I.os cnm¡xrsintcmos ticncnrlirc.ccioncs opucstas. 19. 1. 9'f r l o l a r g od o l c j e . 21. 2. 5 x i o - r w b 23. (lrnNIL l 2 r ) I n [ ( R + t ) / R] 25. B circular. - 1¡tnt I an¡Dl.l [.;lDf] 2't. Q x 29. 1.6 l0-r J a lo largo dol cjc. 31. 4yJlxl.'l zhacia afucr¿dc la página;B*,* = 0.9fi) B*"*.

33.(¡nl74r)[(.r + v + JFlj\

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35. 3.62x 10-a T a lo largodcl c,jc. 37. 0.766R,4 .53 R 39. ¡rQo-rI{'zk 41. ((lR)e -'/n(;0 13. (a)2.0x lOa\//s;(b) l.l x 105V.m/s, 1. 0x l0-6 A a5. (a)3. 8 x 10 6V/m.s;(b )9 . 0x lO - ' 1A 47.lpJl atractivn. 4 9.1, 2.4 1n T s p crp on dicul ar a la ór bit a, (9.3x 10-!)nA.m2pcrpcndicula¡ a la órbita. u^ t(

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= 5l' (a)B(x) m {¡' .1rr^,¡m.

7 . ( a ) I . 0 r n l l : ( b )3 x l 0 - r Wi ) 9 . l - t t , 2 l ( l , t- FL ) ) l l . 0 c r ¡ a ¡ r ct l 0.?s I .1.

41. (a\ -(rrlynNIul2R\scnQot); (b) 90' 43. En scnticlocontrarioal dc las manc¡illas rlcl rcloj, alojrindoscdcl conductor.

t:. 0 ):. -B¡oalRoQ + pt) ct\ cl scntido dc las :-^r-.::illas dcl rcloj. : -. . .I t V, no.cambiaría.

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l . ó . 0x l 0 - s w b 3 . 1 . 5¡ l l 5. 30 ¡nl"l

45.0.24C 47, (a)4.?srn(l20rd) V; (b)0.95scn(120nr)A (b)1.4x l 0-¡r)J' 4 9 .(a )l .l l x 1 05nr/s; ((l)- 10i,,

Saturación

l. 7.5 x l0-'V a lo largo
25. Sl f - 0 ir¡ando cl cxtrcmo dclantcro tlc la ospira cstd dcjandojustamcnto a B, P = (2Bú i'?I R parag < r < llv{T y P - 2Bu(2L - uQ2lR pan I1u{T < t ..[lUr. 27. (a) F- ÍuJ;L'zlznD(t, + D)]'? (¿,/R);O) l, = [pJJ]ul2nD(L * D)]'¡(l/¡ü; (c) igual. 31. - @¡ I oaRt4)cos(crrt) circular, - ( pottI o@Rl4) cos(crt)circular. 33. -20 V cnscntido contra¡io al dc las nr.rnccillas dcl roloj. 35. (a) 1.6 mA; (b) ó2 pW 37. 0.8 V

ri

0. 677pol I R , 0 . 71 3¡ t n Il R , 0 . 7l6 p o l I R 53. (pJ2tr)llrlk ftracia afucra dc la p¿iCiria). 55. Maxi¡rriz¡rcl nrinrcrodc wcltas (ongitud dcl alanrbrc ) m a n t c n i c n d o u n a r csistcn cia q u c prtxluz,caüna corricntc nlixim¡. El alambrc (iono 2.23 x l}l m dc longitud y 0.44 mm do diámctro. B'u, = 3.3 x l0-2 T; 57 capasdc 273 mcllas/capa.

CA P I T ULO

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31. : 1. 5 x l0- l 33. 0. 19Alm , 2 . 4x l 0 - 7 7 37. = - 5. 2 x ! 0 - 5 ( 0 . 2 4 l - c " ) 39. 8 x 10224 'm 2ó, x 1 0 2A / 'm ,ó x 1 0 8A 41, m^*lm**-2. 43, (a) C = (Nnúl2trkT)kñnitr- ¿-ñntktl' (b) (cos 0) =¡7 lrrB -r(cñtttk't' + e- ñttil.r\l ( cñBttr -

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43. 26 ¡rF,46 pF 45. 3.9x l0r w 1.9,\, 140W, 47. 2.1L, 180W,0.77;scharíatr 0,69. J V, lr ls ¡'t 53 . (r) 0.2 5V; ( b){ } . 16V; ( c )0. 20x I 0 trnjns(filtralnsnll¿sfrctt¡c¡rcias) J!. 16,,lz ¡z 2f:E] + zj - z1p, p, -. ¡ ¿ ¡, cn la cualX = aL y z = {,T=-FF, cos$' (R , Z1 + RrZ,ll z¿2\tZ: + Z j r lt R, A, . - . { , t s . )

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(c) ó x l 0-ront, I x l 0rom-¡, 5 x l 0r? H z. 3 x l 0¡E rad/s 9. 0Brlñx = ¡roco?E,lót,0B,l0t = 08,/0x 11. _; cn cl plano formado ¡rrr cl cjc ¿ y la rccta y - -1tan 0):r. 15. ¡:o- l .? x l 0- tV /m,.B e- 5.8 x l 0-¡o'f err l0 km; Do* 1.7 x l0-r Vlrn, /lo = 5.8 x 1O-r2T c¡r l0O0 lon 17. 1.8 x 10-eN /rn2 19. 2.4 x lo-2 W¡n2, 0.72 J 21. Eo= 77.4 Y ln, E*"= 54.7 V/m, i?o= 2.58x l 0-7T, IJ*- 1.82x 10-?T 23. (a) 4.0 x l0-? Wnr2; (b) l.Z * 10-2v/nr 25. lMr-3f, kg/s3 = W/m2 27. 2.9 x lff w, cl lnpcl sc qrnmaría y cva¡nraria. 29. 3.1 x l 0ro V /m, 1.0x td'r 31. (a) di rccci ón +y; (b) di rccci ón -r; (c) dirccción +z; (d)dircccioncs -y, +x,.tz. 33. (a) S- 2cefi cosr (&z -
5s. [(c- u)lk + u))Í

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Longitud dc onda (nm)

37. 434nm, 1.97x 108m/s 39. 1.75cnr 4 1 . 2 . 8x 1 0 2m 4 3 .¿ ' : 2 , l t c u 0 J y F - 6F0 , CAPITUI,O

37

t. 3 3, (a) C\r,alquicrrlistancia;(r) bnjar 7.5 cm ls pnrlc su¡rcrior rk:l os¡rcjo. 5. i , = 13.3c¡n./l = 16c n¡

Irnngou

7 . s : . [ , M - a , s =I I l. -; ,r"= nrlt/(rr¡- nr)

13. (lr) rr,/{(rr, - ,¡,); (c) rrrtryl{txi, f¡crttc n l¡r frorrtcrir,¡¡o (vir1tuil);(d) so ucc,'cto lo frontcnr. l-5.

(b) S = 57.(a)If - (¡tnrl2nt|.) tlQ/rir,circrrl:rr; -(QrlziNe)(
CAPITUI,O

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Vu¡.ll'*t I 0.lJ 0 .6 0..1

0.2 o Frocr¡cltcia

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A bajasfrccucrtcias,X. cs grando,tlc modo quc Ia corricntc y Z-,,r = .IRson pcqttcrios. 6 3 . ( a ) 0 . 1 0 A; ( b ) 2 8 0 H2 ; ( c) Vr r :0 .6 6 V, l c : = 0 . 3 7V ; ( d ) 1 3 V ó 5 . 0 . 1 2 5W 6 1 . 6 * L r ( d /r /d r ) - M ( d l ,ld t) :Q; - \ / r d / , d r ) - L r ( d lJd t) - /r R= 0 ;

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l , 4 . 0x l 0 r 6 m 3. 600nm, 400 nm: l.C 5. 16.7mín '1 . - 1 . 5 s , 2 . 7x l 0 - : s 9, 45' l l . 1 . 3x 1 0 2n r 's r3. 40.6",32.3 15. 0 = 19,4"(aruü l¿irii;.;,- S S' . ;',.r

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3. f E.rls = ¡/o(d,ll^I/)- ii,;; B .'-\ ::.: :. tórminod,lfidt esla "corricntc"rlci ¡s :::;: :¡:. :s 5. R = (E/c)cos(*z* ot)i,c¡rdi¡ccci:r-: 7. (a) 3 x 10 2m , 2 x l0- 2 m - ; . I x lC' H¿ 6 x l0" rad /s ;( b) 3 m , 0. Jm - r , i x l0' Hz . 6 x 10 8rad /s ;( c ) 3 x l0- 2 m , 2 x lO : n- : . I x l0 ro Hz, 6 x l0¡ o r ad/ s ;( d) 6 x l0- ; n. I x 10 7m-r, 5 x l0r 4 Hz , 3 x l0: J ¡ ad s :

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19. a -.f ic la normal. 21. 1.1 :nn a lo largo de la supcrficicdel vidrio. l-1. r, ¡r. : I.{14, n2/nj : 1.355, nrf n, = 1.91ó 25. ,1.00' 31. D (scn {- cos{l an{scri ¡[(scn ó)/n]])

33,0.0021 Jf,.

17. (a) I ó cnr; @) convergcntc;(c) ronl, invcrtida; (d) -2.1. 19. (a) A 8.9 crn frcnto al lcnto; (r) no (virtual), si ; (c) +0.60. 21. (a) A 80 cm atnis dcl lcnto (rcal), 2 cm, invelida; @) a 360 cm dctrás dcl lcnto (rcal), 16 cm, invcrtida; (c) a 280 cm frcntc ¡l lcntc (virtual), ló cm, dcrccha; (d) a 13 cm frcnto Bl lcntc (virtual),2.7 cm, dcrccha. 23. 1a¡+25 cm; (b) - l/3, 33.3 cm, rcal, invertida; (c) * l o5 cm. 25. (a) A 25 cm a ln dcrcclur rlcl lcnto, dcrcch¡, virtrnl, +2.5; (tr) a 7.1 cnr a la dcrccl¡adcl lcnte, dcrrcha,vill¡nl, +0.71i (c) a 6.3 cm a la dcrcch¿ dcl lcntc, dcrccha,virtrnl, +0.63; (l) a l? cm a Ia dcrcchadcl lcntc, dcrccha,virlrral,r'1.7. 29. (a) Una lcntc divcrgcntc, | = -22 cm; b) la hacc pasara 31.8 cm; pos i bl c rl c rrl cs i gas i c rdo lcgible. 3r, fi :91.5 cm, fz = 0' 46 c m 35. 1.09cm 37. I¡ lc¡rlc po{iiliva nuis ccrcn rlcl olicto: la irnagc.ncstá a 5.8 c¡¡r dc csa lcntc, del lado dcl objclo; lcntc ncgativa m¡is ccrca dcl olrjcto: )a itrngcn cstáa 88 cm dc cs¿lcnlc, 39. (a) A 12 cm dctrásdc M,; (b) a 28 cnr frcntc; M2.

51. I";JI^n- 34.0. 1c¡l ¡Ir. .501, ntd,('^slnn(io I)csl.n¡clivnrr¡crllc; CAPI TUI , O

3 9

23.,{rri /_n. l .j_ !L-1,, tl _. (j r :l J_

l. 450nnr 3. 39.7líncas/crn. 4.5,0ü0; 0.028n¡n,0.014 Iu¡r, 5. 15,000,30,000, 0.0093mn 7. 2.945x 105iirrc¡s,1.64x 10rnrV¡rr. 9. 18.6" a 79.88 11. 6.17"a 9.79";12.42 ni = 0, !i, cu
15. 0.51r¡¡ 17. IJI, = 22.2,l.l()", armcnlo.

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