Fizika-udzbenik

Jakov Labor

FIZIKA 2 Udæbenik za 2. razred gimnazije 1. izdanje

Zagreb, 2004.

Nakladnik ALFA d.d.,Zagreb Nova Ves 23a Za nakladnika Miro Petric Urednik dr. sc. Dragan Roπa Recenzent prof. dr. sc. Bojan Vrπnak Likovna urednica Biljana Knebl Ilustracije “Studio Sieben” Likovno i grafiËko oblikovanje Tomislava Juroπ Lektorica i korektorica Kristina JuriÊ

∂ ALFA d.d. Zagreb, 2004. Nijedan dio ove knjige ne smije se umnoæavati, fotokopirati, ni na bilo koji naËin reproducirati bez nakladnikova pismenog dopuπtenja.

GrafiËka priprema Studio za grafiËki dizajn ALFA Tisak ART STUDIO AZINOVI∆

Sadræaj Predgovor ......................................................................................................................................3 TOPLINA TEMPERATURA ............................................................................................................................6 Mjerenje temperature ......................................................................................................................6 TermiËko rastezanje Ëvrstih tijela i tekuËina ....................................................................................8 Linearno termiËko rastezanje ..........................................................................................................9 Volumno termiËko πirenje..............................................................................................................11 PLINSKI ZAKONI Izobarna promjena stanja plina......................................................................................................15 TermodinamiËka ljestvica temperature ..........................................................................................18 TermodinamiËka temperatura u Gay-Lussacovu zakonu ..............................................................18 Izohorna promjena stanja plina ....................................................................................................21 Izotermna promjena stanja plina....................................................................................................25 Jednadæba stanja plina ..................................................................................................................29 Avogadrov zakon ..........................................................................................................................32 MOLEKULARNO-KINETI»KA TEORIJA PLINOVA VeliËina molekula ..........................................................................................................................33 Gibanje molekula ..........................................................................................................................34 Idealni plin ..................................................................................................................................36 Tlak idealnog plina ........................................................................................................................36 Izvod izraza za tlak idealnog plina ..............................................................................................37 Veza izmeu termodinamiËke temperature i srednje kinetiËke energije ..........................................................................................................................39 UNUTARNJA ENERGIJA ..............................................................................................................41 Unutarnja energija ........................................................................................................................41 Unutarnja energija idealnog plina ..................................................................................................41 Promjena unutarnje energije izmjenom topline..............................................................................43 Richmannovo pravilo ....................................................................................................................45 Promjena unutarnje energije radom ..............................................................................................47 PROMJENE AGREGATNIH STANJA................................................................................................49 Taljenje i oËvrπÊivanje ....................................................................................................................49 Isparavanje i kondenzacija ............................................................................................................51 Vlaænost zraka ..............................................................................................................................54 TERMODINAMIKA ......................................................................................................................56 Rad plina pri πirenju ......................................................................................................................56 Prvi zakon termodinamike ............................................................................................................58 Adijabatski procesi ........................................................................................................................60 Kruæni proces ................................................................................................................................62 Toplinski stroj................................................................................................................................64 Rashladni stroj i toplinska pumpa ................................................................................................65 Carnotov kruæni proces ................................................................................................................66 Perpetuum mobile prve vrste i prvi zakon termodinamike ............................................................69 Drugi zakon termodinamike ..........................................................................................................69 StatistiËka priroda drugog zakona termodinamike ........................................................................71 Entropija ......................................................................................................................................73 ELEKTROMAGNETIZAM ELEKTRI»NI NABOJ ....................................................................................................................76 ElektriËni naboj ............................................................................................................................76

Coulombov zakon ........................................................................................................................81 ElektriËno polje ............................................................................................................................84 ElektriËno polje toËkastog naboja ..................................................................................................86 Gaussov zakon ..............................................................................................................................89 ElektriËno polje nabijene metalne kugle ......................................................................................89 ElektriËno polje nabijene ravne beskonaËne metalne ploËe ..........................................................91 ElektriËno polje dviju paralelnih metalnih ploËa ..........................................................................92 ElektriËni potencijal ......................................................................................................................94 Potencijal toËkastog naboja ..........................................................................................................94 Potencijal nabijene metalne kugle ................................................................................................97 Napon ..........................................................................................................................................99 Katodna cijev ..............................................................................................................................103 NaËelo osciloskopa ....................................................................................................................103 Kondenzator i kapacitet ..............................................................................................................106 Kapacitet ploËastog kondenzatora ..............................................................................................106 Izvod izraza za kapacitet ploËastog kondenzatora ......................................................................108 Energija elektriËnog polja kondenzatora ......................................................................................110 Spajanje kondenzatora ................................................................................................................112 ELEKTRI»NA STRUJA ................................................................................................................115 Jakost elektriËne struje ................................................................................................................115 Ohmov zakon..............................................................................................................................118 Omski i neomski vodiËi ..............................................................................................................119 Zakon elektriËnog otpora ............................................................................................................120 Ovisnost elektriËnog otpora o temperaturi ................................................................................121 Rad i snaga elektriËne struje ........................................................................................................123 Strujni krug ................................................................................................................................125 Spajanje otpornika ......................................................................................................................129 Primjeri spajanja otpornika..........................................................................................................133 Kirchhoffova pravila ....................................................................................................................136 Sloæeni strujni krugovi ..............................................................................................................139 Spajanje izvora struje ..................................................................................................................141 Galvanometar ............................................................................................................................143 MAGNETSKO POLJE ..................................................................................................................146 Magneti i magnetsko polje ..........................................................................................................146 Sila na vodiË kojim teËe struja u magnetskom polju ..................................................................147 Magnetska sila na strujnu petlju ..................................................................................................151 Sila na nabijenu Ëesticu koja se giba magnetskim poljem ....................................................................................................................154 Gibanje nabijene Ëestice u magnetskom polju..............................................................................157 Magnetsko polje elektriËne struje ................................................................................................161 Magnetska sila izmeu dvaju ravnih paralelnih vodiËa ................................................................165 Jakost magnetskog polja i magnetski tok ....................................................................................168 Elektromagnetska indukcija ........................................................................................................170 Faradayev zakon elektromagnetske indukcije ..............................................................................173 IzmjeniËna struja ..........................................................................................................................178 Efektivne vrijednosti napona i jakosti izmjeniËne struje ....................................................................182 Transformator ..............................................................................................................................183 Samoindukcija ............................................................................................................................185 Energija magnetskog polja ..........................................................................................................187 RJE©ENJA ZADATAKA ................................................................................................................190

4

Predgovor PodruËja fizike koja Êemo izuËavati ove πkolske godine su znanost o toplini i elektromagnetizam. Toplina je oblik energije. Do te spoznaje doπlo se sredinom 19. stoljeÊa kada je otkriven i zakon oËuvanja energije, koji su neovisno oblikovali J. R. Mayer, J. P. Joule i H. Helmholtz. Mnogo prije toga bilo je poznato da se toplina (unutarnja energija) moæe pretvarati u rad. Staroegipatski izumitelj Heron Aleksandrijski osmislio je mnoge naprave (ili kako ih je nazivao: igraËke) kojima se unutarnja energija pretvarala u rad. Njegovi su izumi bili preteËa parnog stroja koji je tehniËki usavrπio James Watt u drugoj polovici osamnaestog stoljeÊa. Termodinamika je podruËje fizike koje, izmeu ostalog, prouËava pretvorbu topline u mehaniËki rad i obratno. Ona je zaËeta poËetkom 19. stoljeÊa u pokuπajima da se matematiËki odredi koliko rada moæe dati parni stroj. U drugoj polovici 19. stoljeÊa razvijena je teorija koja toplinske pojave tumaËi gibanjem molekula. Nazvana je molekularno-kinetiËka teorija, a temelji se u prvom redu na radovima J. C. Maxwella, R. Clausiusa, W. Gibbsa i L. Boltzmanna. U elektromagnetizmu Êemo razmatrati elektriËne i magnetske pojave. Joπ je Tales iz Mileta uoËio da komad jantara natrljan suhom krpom privlaËi komadiÊe papira, perje i sliËne lagane predmete. GrËki naziv za jantar je elektron pa otuda naziv elektricitet. Postoje dvije vrste elektriËnog naboja, koje smo nazvali negativni, odnosno pozitivni elektriËni naboj. Istoimeni naboji se odbijaju, a raznoimeni privlaËe. Nositelji elektriËnog naboja su Ëestice tvari: elektroni i protoni. Elektroni su nositelji negativnog naboja, a protoni pozitivnog. Usmjereno gibanje Ëestica s istom vrstom elektriËnog naboja predstavlja elektriËnu struju. Magnetsko meudjelovanje opaæeno je joπ 500 g. pr. Krista u Magneziji, pokrajini u Maloj Aziji gdje je otkrivena ruda imenom magnetit koja privlaËi komade æeljeza. Postoji i odbojno magnetsko meudjelovanje. Danas znamo da je pri magnetskom meudjelovanju rijeË o uzajamnom djelovanju elektriËki nabijenih Ëestica koje se jedne prema drugima gibaju. ElektriËno i magnetsko meudjelovanje opisujemo elektriËnim i magnetskim poljem. Otkriveno je da elektriËna struja stvara magnetsko polje (Oerstedov pokus) i da promjenljivo magnetsko polje pobuuje (inducira) elektriËnu struju (elektromagnetska indukcija). ElektriËne i magnetske pojave uzajamno su povezane i predstavljaju elektromagnetsko meudjelovanje. TehniËka dostignuÊa koja se temelje na naËelima termodinamike i osobito elektromagnetizma potaknula su industrijsku revoluciju i ostvarila πiroku primjenu u svakodnevnom æivotu. Ovaj udæbenik je napisan prema A inaËici sluæbenoga hrvatskoga gimnazijskog programa. Prati ga PriruËnik za nastavnike Fizika 2. Nastavno gradivo u udæbeniku raπËlanjeno je na nastavne jedinice i izloæeno saæeto na naËin pristupaËan uËenicima. Vaæniji dijelovi teksta otisnuti su debljim slovima, a vaænije formule su uokvirene. Proπireni sadræaji tiskani su kosim slovima. Unutar nastavnih jedinica su i rijeπeni primjeri te pitanja i zadaci iz izloæenoga gradiva. Zamiπljeno je da uËenicima posluæe kao domaÊa zadaÊa koju nastavnik pregledava na poËetku sljedeÊeg sata. OdgovarajuÊi samostalno na ponuena pitanja uËenici mogu provjeriti koliko su usvojili i razumjeli obraeno gradivo. Odgovori na pitanja nisu navedeni u udæbeniku, ali su sadræani u tekstu pa time uËenike potiËu na paæljivije Ëitanje udæbenika. Rjea su pitanja koja zahtijevaju malo viπu razinu znanja i u tekstu nemaju izravnog odgovora. Imaju li poteπkoÊa s takvim pitanjima, uËenici mogu zatraæiti pomoÊ nastavnika. Na kraju udæbenika dana su rjeπenja zadataka kako bi uËenici mogli provjeriti ispravnost vlastitih rjeπenja. Autor 5

TOPLINA

TEMPERATURA Temperatura tijela je fiziËka veliËina kojom iskazujemo stupanj zagrijanosti tijela. Pod tijelom podrazumijevamo sustav Ëestica koji moæe biti u Ëvrstom, tekuÊem i plinovitom agregatnom stanju. Jedinica za temperaturu u meunarodnom sustavu jedinica (SI-sustav) je kelvin (K). U svakodnevnom æivotu obiËno se sluæimo Celzijevim stupnjevima (˚C) Ëija je upotreba dopuπtena SI-sustavom. Iznos temperature u kelvinima dobijemo tako da iznosu temperature u Celzijevim stupnjevima dodamo 273.15:

T t K = cC + 273.15 . Iznos temperaturne razlike jednak je u kelvinima i Celzijevim stupnjevima.

Mjerenje temperature Temperaturu mjerimo termometrom. Njegov rad temelji se na promjeni odreenih svojstava tijela kada se ona zagrijavaju ili hlade, tj. kada im se temperatura mijenja. S promjenom temperature mijenjaju se na primjer dimenzije Ëvrstih tijela, obujam tekuÊina, elektriËni otpor itd. Opisat Êemo naËelno kako se izrauje æivin termometar kojim temperaturu mjerimo na temelju promjene obujma æive. Na posudicu sa æivom nastavlja se vrlo uska cijev (kapilara) u kojoj je vakuum i koja je na gornjem kraju zataljena. Stavimo posudicu s kapilarom u posudu sa stucanim ledom koji se tali (slika 1a). Dogovorom je uzeto da temperatura leda koji se tali pri srednjem atmosferskom tlaku (101325 Pa) iznosi 0 ˚C pa tu vrijednost temperature pridruæujemo stupcu æive u kapilari. Kada posudicu s kapilarom stavimo u kipuÊu vodu (slika 1b), obujam æive Êe se poveÊati. To se oËituje u produljenju njezina stupca u kapilari. Ako je voda na srednjem atmosferskom tlaku, toj duljini stupca æive pridruæujemo temperaturu 100 ˚C. Duljinu stupca koja odgovara jednom stupnju dobijemo tako da duljinu izmeu 0 ˚C i 100 ˚C podijelimo na sto jednakih dijelova. Ljestvica se moæe proπiriti ispod 0 ˚C i iznad 100 ˚C. U nekim se dræavama rabi temperaturna ljestvica s Fahrenheitovim stupnjevima (˚F). Na toj ljestvici lediπte vode je pri 32 ˚F, a vreliπte pri 212 ˚F. .

8

.

Slika 1. Temperatura stucanog leda koji se tali je 0 ˚C (crteæ a), a kipuÊe vode 100 ˚C (b)

Pitanja: 1. Kako biste napravili termometar s temperaturnom ljestvicom u ˚C? 2. Koliko kelvina iznosi temperatura: a) 30 ˚C b) -15 ˚C?

Æivini termometri

Digitalni termometar

9

TERMI»KO RASTEZANJE »VRSTIH TIJELA I TEKU∆INA ■ Pokus Na slici 2a prikazana je kugla koja pri sobnoj temperaturi upravo prolazi kruænim otvorom. Zagrijemo li kuglu na plamenu (slika 2b), ona ne moæe proÊi istim otvorom (slika 2c).

Slika 2. Metalna kugla se zagrijavanjem πiri Pokus nam pokazuje da se zagrijavanjem (poveÊanjem temperature) poveÊao obujam kugle. Zagrijavanjem tijela oblika πtapa, æice ili cijevi opaæamo da je poveÊanje duljine tijela znatno veÊe od poveÊanja debljine. PoveÊanje debljine tada zanemarujemo i govorimo o linearnom rastezanju. S linearnim rastezanjem tekuÊine veÊ smo se susreli u æivinu termometru.

TermiËko rastezanje πtapa pri zagrijavanju

10

Linearno termiËko rastezanje Mjerenjem je utvreno da je promjena duljine pri linearnom rastezanju razmjerna poËetnoj duljini tijela i promjeni temperature. Obiljeæimo li s lo poËetnu duljinu tijela, a s Dt promjenu temperature, tada je produljenje:

Dl = bl o Dt . VeliËinu b nazivamo koeficijent linearnog termiËkog rastezanja. On pokazuje za koji se dio poËetne duljine promijeni duljina tijela pri promjeni temperature za 1K (1 ˚C). Koeficijent b iskazujemo jedinicom K-1 ili ˚C-1. Duljina tijela nakon zagrijavanja (l) zbroj je poËetne duljine i produljenja:

l = l 0 + bl 0 Dt, odnosno:

l = l(1+bDt) 0 (1 + bDt.)

Koeficijenti linearnog termiËkog rastezanja razliËiti su za razliËite tvari i opÊenito imaju malu vrijednost. Tako se, na primjer, bakrena æice duljine 1 m pri zagrijavanju za 1 K produlji tek za 17 tisuÊinki milimetra. Koeficijent linearnog termiËkog rastezanja ovisi i o temperaturi, no pri malim promjenama temperature (od 0 ˚C do 100 ˚C) moæemo ga smatrati konstantnim. Neke se tvari (guma, na primjer) steæu pri zagrijavanju, πto znaËi da im je koeficijent linearnog termiËkog rastezanja negativnog predznaka. Koeficijent linearnog termiËkog rastezanja (b) nekih tvari tvar aluminij bakar beton cink æeljezo platina mjed srebro staklo volfram invar

b /(10-6 K-1) 24 17 10 30 12 9 20 19 oko 9 4,5 1,5

11

■ Primjer: Na 0 ˚C æica od Ëelika dugaËka je 220 m, a æica od srebra 219,5 m. Pri kojoj Êe temperaturi obje æice biti jednako dugaËke, ako je koeficijent linearnog termiËkog rastezanja Ëelika 1,06 · 10-5 K-1, a srebra 1,97 · 10-5 K-1? Rjeπenje: loË = 220 m los = 219,5 m bË = 1,06 · 10-5 K-1 bs = 1,97 · 10-5 K-1 t=?

lc =ls l 0c (1 + b c Dt) = l 0s (1 + b s Dt) Dt =

220 m - 219, 5 m l 0c - l 0s = . l 0s b s - l 0c b c 219.5 m $1, 97 $10 - 5 (cC - 1 ) - 220 m $1, 06 $10 - 5 (cC - 1 )

Dt = 251cC BuduÊi da je poËetna temperatura 0˚C, æice Êe biti jednako dugaËke pri temperaturi 251˚C. Bimetal. »injenicu da se razliËite tvari razliËito rasteæu pri jednakoj promjeni temperature rabimo za izradu bimetalne trake. Nju Ëine dvije meusobno spojene trake od razliËitih metala. Pri odreenoj temperaturi bimetalna je traka ravna (slika 3a). Pri zagrijavanju se savija na onu stranu na kojoj je metal manjeg koeficijenta linearnog termiËkog koeficijenta (slika 3b), a pri hlaenju obratno (slika 3c). Bimetalna traka u nekim kuÊanskim aparatima (bojler, grijalica, glaËalo itd.) sluæi za odræavanje stalne temperature (termostat). Zagrijavanje se u tim aparatima postiæe elektriËnom strujom. Kada temperatura prijee odreenu vrijednost, bimetalna traka se toliko savije da se prekine elektriËni kontakt i zagrijavanje prestane. Kada se temperatura snizi, bimetalna traka se vrati u poloæaj kojim zatvara elektriËni kontakt pa struja opet teËe.

Slika 3. Savijanje bimetalne trake (a) pri zagrijavanju (b) i hlaenju (c)

12

Volumno termiËko πirenje Promjena obujma tijela s temperaturom obuhvaÊa promjenu svih njegovih dimenzija. Zakonitost do koje smo doπli istraæujuÊi linearno rastezanje vrijedi za svaku dimenziju. Primijenimo tu zakonitost na tijelo oblika kocke. Neka je poËetna duljina brida kocke lo. Tada je njezin poËetni obujam:

V 0 = l 03 . Nakon promjene temperature obujam je:

V = l 3 = _l 0 (1 + bDt)i = l 03 _1 + 3bDt + 3 (bDt) 2 + (bDt) 3i . 3

TreÊi i Ëetvrti Ëlan u zagradi obiËno zanemarujemo zbog njihove male vrijednosti u odnosu na preostale. Konstantu 3b nazivamo koeficijentom volumnog termiËkog πirenja i obiljeæavamo je sa slovom a:

3b = a. KonaËno, izraz za obujam nakon promjene temperature glasi:

V = V 0 (1 + aDt)

.

Odavde je promjena obujma:

DV = aV 0 Dt .

Promjena gustoÊe s temperaturom. GustoÊu tijela (t) definiramo kao omjer mase i obujma:

t= m V=

m . V 0 (1 + aDt)

Kako se promjenom temperature obujam tijela mijenja, a masa ostaje ista, znaËi da se promjenom temperature mijenja i gustoÊa. Ako je poËetna gustoÊa:

t 0 = Vm , 0

onda je nakon promjene temperature gustoÊa jednaka:

t=

t0 . 1 + aDt) .

13

Koeficijent volumnog termiËkog πirenja (a) nekih tekuÊina tekuÊina

a / (10-3 K-1)

æiva

0,182

voda

0,2

petrolej

0,899

alkohol

oko 1

Anomalija vode. Zagrijavamo li neku koliËinu vode i promatramo promjenu njezina obujma, vidjet Êemo da se obujam smanjuje pri porastu temperature od 0 ˚C do 4 ˚C, a daljnjim se zagrijavanjem poveÊava (slika 4). Tu nepravilnost u promjeni obujma s temperaturom nazivamo anomalijom vode. GustoÊa vode je najveÊa pri 4 ˚C. Zbog anomalije, voda se poËinje lediti od povrπine. Naime, u dodiru sa zrakom povrπinska se voda hladi i postaje guπÊa te se spuπta, a na povrπinu izlazi toplija voda. To traje sve dotle dok se povrπinska voda ne ohladi na 4 ˚C. Hlaenjem povrπinske vode ispod 4 ˚C njezina gustoÊa postaje manja od gustoÊe toplije vode ispod nje. Zato voda s temperaturom niæom od 4 ˚C ostaje na povrπini gdje Êe se daljnjim hlaenjem i zalediti. Zaleivanje vode od povrπine prema dnu, a ne obratno, vaæno je za æivot flore i faune u rijekama, morima i jezerima. Nepravilno toplinsko πirenje nije svojstveno samo vodi, nego i mnogim drugim tekuÊinama.

Slika 4. Nepravilna promjena obujma vode s temperaturom

14

Pitanja: 1. O Ëemu ovisi promjena duljine Ëvrstih tijela pri promjeni temperature? 2. Sprave za precizno mjerenje duljine izrauju se od posebnog materijala. Kakav mora biti koeficijent linearnog termiËkog rastezanja tog materijala, veliki ili mali? Koji je to materijal prema tablici na stranici 9? 3. U kakvom meusobnom odnosu moraju biti koeficijenti termiËkog πirenja betona i metala kojim se beton armira? Zaπto? 4. ©to se dogaa s bimetalnom trakom pri promjeni temperature? Opiπite bar jednu primjenu bimetalne trake. 5. Kako se promjena temperature odraæava na gustoÊu? 6. Kako se oËituje anomalija vode? Zadaci: 1. IzraËunajte koeficijent volumnog termiËkog πirenja materijala ako se njegova gustoÊa pri zagrijavanju od 0 ˚C do 250 ˚C smanji za 1%. 2. U staklenoj posudi obujma 2000 cm3 nalazi se 1894 cm3 alkohola na temperaturi 0 ˚C. HoÊe li se pri temperaturi 50 ˚C alkohol prolijevati iz posude? Koeficijent linearnog termiËkog rastezanja stakla je 0,9 · 10-5 K-1, a koeficijent termiËkog volumnog πirenja alkohola je 1,135 · 10-3 K-1.

ZahvaljujuÊi anomaliji vode æivot podvodnih biljaka i æivotinja nije ugroæen.

15

PLINSKI ZAKONI ■ Pokus Na tikvicu spojimo U-cijev s obojenom vodom (slika 5a). Zagrijavamo li plamenom zrak u tikvici, uoËavamo da se razina vode u dijelu U-cijevi do tikvice spuπta, a u drugom dijelu podiæe (slika 5b). To znaËi da se s porastom temperature poveÊava obujam zraka, ali i njegov tlak.

Slika 5. Promjenom temperature mijenjaju se i tlak i obujam plina Temperatura (T), tlak (p) i obujam (V) veliËine su kojima opisujemo stanje plina. Æelimo li istraæiti kako se na primjer obujam plina mijenja s temperaturom, moramo tlak plina odræavati stalnim. Promjenu stanja plina u kojoj se mijenjaju temperatura i obujam uz stalan tlak nazivamo izobarnom promjenom stanja plina. Ovisnost tlaka plina o temperaturi saznat Êemo ako mijenjamo temperaturu, a obujam plina odræavamo stalnim. Ovu promjenu nazivamo izovolumnom ili izohornom promjenom stanja plina. Stanje plina moæe se mijenjati i bez promjene njegove temperature. To je izotermna promjena kod koje se pri stalnoj temperaturi mijenjaju tlak i obujam plina.

16

Izobarna promjena stanja plina Ovisnost obujma plina o promjeni temperature uz stalan tlak moæemo istraæiti ureajem prikazanim na slici 6.

Slika 6. Ureaj za istraæivanje ovisnosti obujma plina o temperaturi uz stalan tlak Najprije pomicanjem uske cijevi izjednaËimo razinu æive u cijevima (πirokoj i uskoj). Tada je tlak zraka u πirokoj cijevi jednak atmosferskom. Pustimo li struju kroz æicu koja je namotana oko πiroke cijevi, opaæamo da se poveÊava temperatura i da se razina æive u uskoj cijevi podiæe, a u πirokoj spuπta. Porastom temperature poveÊavaju se tlak i obujam zraka u πirokoj cijevi. Kada se temperatura prestane poveÊavati, pomicanjem uske cijevi opet izjednaËimo razine æive u cijevima. Tako smo tlak zraka u πirokoj cijevi vratili na poËetnu vrijednost pa je promjena stanja zraka (plina) u πirokoj cijevi izobarna. Promjenu obujma oËitavamo s mjerila nanesenog na πiru cijev. Jakost struje kroz æicu, a time i

17

temperaturu moæemo po volji mijenjati. Izmjerimo obujam za nekoliko razliËitih temperatura i prema njima nacrtamo graf u V,t-koordinatnom sustavu. Preciznim mjerenjem dobili bismo graf poput onog prikazanog na slici 7. Graf prikazuje stanja istoga tlaka i nazivamo ga izobarom. Iz grafa se vidi da je poveÊanje obujma zraka (plina) uz stalan tlak razmjerno poveÊanju temperature:

DV + Dt.

Slika 7. Promjena obujma razmjerna je promjeni temperature RazmatrajuÊi toplinsko πirenje Ëvrstih tijela i tekuÊina vidjeli smo da je poveÊanje obujma ovisno i o njegovoj poËetnoj vrijednosti. OËekujemo da bi to moralo vrijediti i za plinove, πto moæemo provjeriti pokusom s veÊ opisanim ureajem. Uzmemo nekoliko razliËitih poËetnih vrijednosti obujma i grijemo zrak do najviπe temperature koju smo postigli u prethodnom pokusu. Na slici 8 grafiËki su prikazani rezultati jednog takvog pokusa.

Slika 8. Promjena obujma plina razmjerna je njegovoj poËetnoj vrijednosti

18

Iz grafa na slici 8 uoËavamo da je promjena obujma plina razmjerna njegovoj poËetnoj vrijednosti (Vo):

DV + V 0 . UzimajuÊi u obzir i rezultate prvog pokusa, za promjenu obujma moæemo konaËno pisati

DV = aV 0 Dt. Iz ove jednadæbe moæemo odrediti koeficijent termiËkog πirenja zraka (a). Preciznijim mjerenjem na1 πli bismo da on za sve plinove iznosi 3,66 · 10-3 K-1 ili 273.15 K . Obujam plina je nakon promjene temperature za iznos Dt jednak:

V = V 0 (1 + aDt). Ovo je Gay-Lussacov zakon. Uzmemo li da je poËetna temperatura 0 ˚C, tada je promjena temperature jednaka konaËnoj temperaturi pa je:

V = V 0 (1 + a.t) .

Pitanja: 1. Kojim trima veliËinama opisujemo stanje plina? 2. Kako zovemo promjenu stanja plina uz: a) stalan tlak b) stalan obujam c) stalnu temperaturu? 3. Kako glasi jednadæba koja opisuje izobarnu promjenu stanja plina? Koji je to zakon? 4. Prikaæite grafiËki ovisnost obujma plina o temperaturi uz stalan tlak. Kako se zove taj graf? 5. Na slici su prikazane spojene posude u kojima je ista tekuÊina. a) Jesu li tlakovi tekuÊine u posudama jednaki? b) Jesu li temperature tekuÊine u posudama jednake? Obrazloæite odgovor.

19

TermodinamiËka ljestvica temperature Sniæavanjem temperature plina uz stalan tlak obujam plina se smanjuje. Kada bi se temperatura plina snizila na ∑273.15˚C, njegov bi obujam prema Gay-Lussacovu zakonu (V =Vo(1+at)) bio jednak nuli. Na joπ niæim temperaturama obujam plina prema Gay-Lussacovu zakonu bio bi negativan. BuduÊi da obujam plina ne moæe biti nula, a pogotovo ne moæe biti negativan, zakljuËujemo da je temperatura ∑273.15˚C graniËna vrijednost niskih temperatura. Odaberemo li temperaturnu ljestvicu na kojoj Êe ta temperatura biti nulta, sve ostale temperature imat Êe pozitivan predznak. Temperaturnu ljestvicu na kojoj nema negativnih vrijednosti temperatura nazivamo apsolutnom, Kelvinovom ili termodinamiËkom temperaturnom ljestvicom. Najniæu temperaturu na toj ljestvici nazivamo apsolutnom nulom. Na termodinamiËkoj temperaturnoj ljestvici lediπte vode je pri 273.15 K (slika 9).

Slika 9. Veza izmeu Kelvinove i Celzijeve temperaturne ljestvice ZakljuËak o nedostiænosti apsolutne nule izveli smo iz plinskog (Gay-Lussacova) zakona. Taj zakon ne vrijedi za niske temperature jer pri niskim temperaturama plin prelazio u tekuÊe stanje. Ipak, rezultati dosadaπnjih pokusa potvruju ispravnost zakljuËka. Apsolutnoj nuli fiziËari su se najviπe pribliæili 1995. godine kada su uspjeli ohladiti tvar na temperaturu 2 · 10-9 K.

TermodinamiËka temperatura u Gay-Lussacovu zakonu Uvrstimo li u izraz za Gay-Lussacov zakon a =

1 273,15 K , dobivamo:

273,15 + t V = V 0 b1 + 273t .15 l = V 0 273,15 = V 0 TT , 0

odnosno:

V = V0 T T0 ,

gdje je To = 273,15 K (0 ˚C), Vo obujam pri toj temperaturi, a V obujam pri nekoj drugoj temperaturi T. Ovaj oblik Gay-Lussacova zakona kaæe nam da je kvocijent obujma plina i termodinamiËke temperature stalan uz stalan tlak. To moæemo zapisati i ovako:

V = konst. T

20

Pridruæimo li poËetnim vrijednostima temperature i obujma indeks 1, a konaËnim vrijednostima tih veliËina indeks 2, Gay-Lussacov zakon poprima oblik:

V1 = V 2 . T1 T 2 Na slikama 10 a), b) i c) prikazana je izobarna promjena stanja plina u V,T; p,V i p,T koordinatnom sustavu.

Slika 10. Izobara u raznim koordinatnim sustavima

■ Primjer 1: Neka koliËina plina je na temperaturi 27 ˚C. Na koju temperaturu plin treba izobarno ohladiti da bi mu se obujam smanjio za 30%?

Rjeπenje: t1 = 27 ˚C, T1 = 300 K V2 = V1 ∑ 0,30V1 = 0,70V1 t2 = ?

V 1 = V 2 & T = V 2 T = 0, 70V 1 $ 300 K = 210 K, t = - 63 cC 2 2 T1 T 2 V1 1 V1

■ Primjer 2: U vertikalnoj valjkastoj posudi s pomiËnim klipom zatvoren je zrak na temperaturi 27 ˚C. Visina stupca zraka je 20 cm. Za koliko Êe se podignuti klip ako se temperatura plina poveÊa za 150 ˚C uz stalan tlak? Rjeπenje: t1 = 27 ˚C, T1 = 300 K Dt = 150 ˚C, t2 = 177 ˚C, T2 = 450 K h1 = 20 cm

21

Dh = ? RijeË je o izobarnoj promjeni koju opisuje jednadæba:

V1 = V 2 . T1 T 2 Obujam je valjkastog oblika pa ga raËunamo kao umnoæak povrπine presjeka posude (A) i visine (h):

Ah1 = Ah 2 & h = T 1 h = 450 K $ 20 cm, h = 30 cm. 2 2 T1 T2 T 2 1 300 K Promjena visine klipa je: Dh = 30 cm - 20 cm, Dh =10 cm .

Pitanja: 1. ©to Êe se dogoditi s obujmom plina ako mu pri stalnom tlaku udvostruËimo termodinamiËku temperaturu? 2. Nacrtajte izobaru u V, p koordinatnom sustavu. 3. Zaπto termodinamiËku temperaturu zovemo joπ apsolutnom? Zadatak: 1. Neki plin mase 24 g ima pri temperaturi 17 ˚C gustoÊu 6 kg m-3. Koliki je obujam plina nakon izobarnog zagrijavanja do 127 ˚C?

Louis Joseph Gay-Lussac (1778. - 1850.), francuski fiziËar i kemiËar. Proπirio Charlesova zapaæanja o termiËkom πirenju plinova. Dizao se balonom do visine 7000 m istraæujuÊi sastav zraka i promjene Zemljina magnetizma.

22

Izohorna promjena stanja plina Za istraæivanje ovisnosti tlaka zraka o temperaturi uz stalan obujam moæemo upotrijebiti ureaj iz prethodnog pokusa (slika 11). PoveÊanjem temperature razina æive u πirokoj cijevi se spuπta, a u uskoj podiæe. Da bi promjena stanja zraka bila izohorna, razinu æive u πirokoj cijevi moramo vratiti u poËetni poloæaj. To postiæemo podizanjem uske cijevi.

Slika 11. Ureaj za istraæivanje ovisnosti tlaka plina o temperaturi Tlak zraka u πirokoj cijevi jednak je zbroju atmosferskog tlaka i hidrostatskog tlaka stupca æive visine Dh (slika 11). GrafiËki prikaz rezultata mjerenja je na slici 12. Graf kojim prikazujemo izohornu promjenu stanja plina nazivamo izohorom. Izohora prikazuje stanja plina istoga obujma.

23

Slika 12. Promjena tlaka razmjerna je promjeni temperature Promjena tlaka ovisna je i o njegovoj poËetnoj vrijednosti. PoËetnu vrijednost tlaka moæemo mijenjati podizanjem, odnosno spuπtanjem uske cijevi. Ovisnost poveÊanja tlaka o njegovoj poËetnoj vrijednosti prikazana je na slici 13.

Slika 13. Promjena tlaka razmjerna je njegovoj poËetnoj vrijednosti Zanimljivo je da su ovisnost tlaka plina o temperaturi uz stalan obujam i ovisnost obujma plina o temperaturi uz stalan tlak istog oblika. Dakle:

p = p 0 (1 + aDt), ili uz poËetnu temperaturu 0 ˚C:

p = p 0 (. 1 + at) . »ak i termiËki koeficijent promjene tlaka plina (a) ima jednak iznos kao koeficijent termiËkog πirenja

1 d3, 66 $10 - 3 K - 1 = 273,15 K n . Gornja jednadæba predstavlja Charlesov zakon a moæemo je pisati i u drugim oblicima ako tempera-

24

turu iskaæemo u kelvinima:

p1 p 2 T1 = T 2

ili

p1 T 1 = konst

.

Omjer tlaka i termodinamiËke temperature plina uz stalan obujam je jednak (stalan). Kako izgleda izohora u p,T; p,V i u V,T koordinatnom sustavu prikazano je na slikama 14 a), b) i c). Slika 14. Izohora u raznim koordinatnim sustavima

■ Primjer 1: Koliko se puta poveÊa tlak plina u æarulji ako se nakon paljenja temperatura u njoj povisi od 27 ˚C do 300 ˚C? Rjeπenje: t1 = 27 ˚C, T1 = 300 K t2 = 300˚C, T2 = 573 K

p2 p1 = ? RijeË je o izohornoj promjeni stanja plina pa do rjeπenja dolazimo primjenom Charlesova zakona:

p1 p 2 p 2 T 2 573 K T 1 = T 2 & p1 = T 1 = 300 K ,

p2 p1 =1, 91.

■ Primjer 2: U otvorenom manometru prikljuËenom na veliku posudu s plinom nalazi se æiva. Temperatura plina u posudi je 20 ˚C. Za koliko se mora povisiti temperatura plina u posudi da bi se razine æive u manometru izjednaËile? Atmosferski tlak dræi ravnoteæu stupcu æive visokom 76,0 cm. Rjeπenje: t1 = 20 ˚C, T1 =290 K hb = 76,0 cm h = 5 cm Dt = ? Obujam posude mnogo je veÊi od obujma cjevËice

25

manometra. Zato poveÊanje obujma plina u posudi moæemo zanemariti i promjenu stanja plina smatrati izohornom. Tada vrijedi:

p1 p 2 T1 = T 2

PoËetna je vrijednost tlaka jednaka razlici atmosferskog tlaka i hidrostatskog tlaka æive u manometru:

p1 = p a - tgh = tgh b - tgh = tg (h b - h), dok je konaËni tlak jednak atmosferskom:

p 2 = p a = tgh b . S t smo obiljeæili gustoÊu æive, a s hb visinu stupca æive u barometru pri normiranom tlaku. Uvrstimo tlakove u poËetnu jednadæbu p1 = p 2 :

T1 T 2

tg (h b - h) tgh b = T T1 2 hb T = 76 cm T2 = h h 1 76 cm - 5 cm $ 293 K b

DT = T 2 - T 1 = 314 K - 293 K DT = 21 K.

T 2 = 314 K

Pitanja: 1. Koji zakon opisuje promjenu stanja plina uz stalan obujam? Napiπite izraze za taj zakon. Kako zovemo graf kojim prikazujemo tu promjenu stanja plina? 2. Nacrtajte dvije izohore u V, p koordinatnom sustavu? Koja od njih odgovara veÊem obujmu? Zadatak: 1. Vertikalna valjkasta posuda povrπine dna 40 cm2 zatvorena je pomiËnim klipom mase 2 kg. U posudi je zrak na temperaturi 20 ˚C. Na klip stavimo uteg mase 6 kg. Za koliko moramo povisiti temperaturu zraka u posudi da bi se klip s utegom vratio u poËetni poloæaj? Atmosferski tlak ima normiranu vrijednost.

26

Izotermna promjena stanja plina ■ Pokus Na medicinsku sisaljku (slika 15) prikljuËimo manometar. Utiskujemo li polako klip, opaæamo da se tlak zraka u sisaljci poveÊava. IzvlaËimo li klip, tlak se smanjuje.

Slika 15. Istraæivanje meusobne ovisnosti tlaka i obujma uz stalnu temperaturu Klip pomiËemo polako da naglim pokretom ne izazovemo promjenu temperature zraka. Unesemo li nekoliko vrijednosti tlaka i pripadnog obujma u p,V-koordinatni sustav, dobit Êemo graf kao na slici 16. Graf navodi na zakljuËak da je tlak obrnuto razmjeran samom obujmu. Pretpostavku moæemo 1 provjeriti tako da nacrtamo graf u koordinatnom sustavu u kojemu Êe na apscisi umjesto V biti V . U sluËaju da je naπa pretpostavka toËna, graf Êe u tom koordinatnom sustavu biti pravac. Naime, graf meusobne ovisnosti dviju veliËina je pravac ako je veliËina na ordinati razmjerna veliËini na apscisi. Na slici 17 prikazan je takav graf. On je oblika pravca, πto znaËi da je tlak razmjeran reciproËnoj vri1 jednosti obujma (p ~ V ) ili, drugim rijeËima, tlak je obrnuto razmjeran obujmu. Umnoæak dviju obrnuto razmjernih veliËina je stalan. Umnoæak tlaka i obujma plina uz stalnu temperaturu je stalan:

pV = konst. To je Boyle-Mariotteov zakon.

Slika 16. Tlak opada s porastom obujma

Slika 17. Tlak je obrnuto razmjeran obujmu

27

Ako se plinu izotermno (uz stalnu temperaturu) promijeni stanje, tada je umnoæak tlaka i obujma nakon promjene stanja jednak umnoπku tlaka i obujma plina prije promjene:

p1 V 1 =.p 2 V 2 . Umnoæak tlaka i obujma plina pri izotermnoj promjeni ovisan je o temperaturi i veÊi je pri viπoj temperaturi. Na slici 18 su dvije izoterme za dvije razliËite temperature. Izoterma viπe temperature je iznad izoterme niæe temperature.

Slika 18. Izoterma viπe temperature udaljenija je od koordinatnog ishodiπta Slika 19 i slika 20 prikazuju izotermnu promjenu stanja plina u p,T i V,T koordinatnom sustavu.

Slika 19. Izoterma u p,T-koordinatnom sustavu

28

Slika 20. Izoterma u V,T-koordinatnom sustavu

■ Primjer 1: Obujam neke koliËine plina se smanji pri stalnoj temperaturi na 80% poËetne vrijednosti. Je li vrijednost tlaka nakon te promjene obujma manja ili veÊa od njegove poËetne vrijednosti? Koliko puta? Rjeπenje: V2 = 0,80V1 p2 = ? Smanjenjem obujma plina uz stalnu temperaturu tlak se poveÊava. PomoÊu Boyle-Mariotteova zakona moæemo naÊi koliko puta se tlak poveÊao u odnosu na poËetnu vrijednost:

V 1 p = V 1 p , p =1, 25p . p1 V 1 = p 2 V 2 & p 2 = V 1 2 1 0, 80 V 1 2

■ Primjer 2: U vertikalnoj cijevi koja je s donje strane zatvorena, ispod stupca æive visine 4 cm nalazi se stupac zraka obujma 6 cm3. Povrπina je popreËnog presjeka cijevi 0,1 cm2. Kolika Êe biti visina stupca zraka ako cijev okrenemo otvorom prema dolje? Atmosferski tlak dræi ravnoteæu stupcu æive visokom 76 cm.

Rjeπenje: h = 4 cm V1 = 6 cm3 A = 0,1 cm2 hb = 76 cm l=?

Prije okretanja cijevi tlak zraka u njoj dræi ravnoteæu zbroju atmosferskog tlaka i hidrostatskog tlaka stupca æive:

p1 = p a + tgh = tgh b + tgh = tg (h b + h). Okretanjem cijevi promijene se i tlak i obujam zraka. Nova vrijednost tlaka je:

p 2 = p a - tgh = tg (h b - h), a obujma:

V 2 = Al.

29

Temperatura se nije promijenila pa vrijedi Boyle-Mariotteov zakon:

p1 V 1 = p 2 V 2 tg (h b + h) V 1 = tg (h b - h) Al l=

(h b + h) V 1 (76 cm + 4 cm) $ 6 cm 3 = (h b - h) A (76 cm - 4 cm) $ 0,1 cm 2 l = 66, 7 cm.

Pitanja: 1. ©to se dogaa s temperaturom, tlakom i obujmom plina pri izotermnoj promjeni? Koji zakon opisuje tu promjenu stanja plina? Izrazite ga jednadæbom. 2. Kako zovemo graf kojim prikazujemo izotermnu promjenu stanja plina? 3. Nacrtajte u V, T koordinatnom sustavu dvije izobare. Koja od njih odgovara veÊem tlaku? Zadatak: 1. MjehuriÊ zraka poveÊa svoj obujam dva puta kada s dna jezera doe do povrπine. Kolika je dubina jezera pod pretpostavkom da je temperatura vode jednaka na svim dubinama? Atmosferski tlak je 105 Pa, a gustoÊa vode 103 kg m-3.

Robert Boyle (1627.- 1691.), engleski kemiËar i fiziËar. Otkrio je zakon o meusobnoj ovisnosti tlaka i obujma plina pri stalnoj temperaturi. Do istog zakona doπao je francuski fiziËar Edme Mariotte (1620.-1684.) neovisno o Boylu, pa se zakon zove Boyle-Mariotteovim.

30

Jednadæba stanja plina Zamislimo da je plin iz poËetnog stanja s veliËinama T1, p1 i V1 izobarno preπao u stanje s veliËinama T´, p´ i V´ (slika 21). Tada vrijedi:

V' V' 1 p' = p1 , V T 1 = T' & T' = V 1 T 1 . Neka plin zatim izohorno prelazi u konaËno stanje s veliËinama T2, p2 i V2. Pritom je:

p' p 2 V' = V 2 , T' = T . 2 U jednadæbu

p' p 2 V' T' = T 2 uvrstimo T' = V 1 T 1, p' = p1, V' = V 2 , pa na kraju dobijemo: p1 V 1 p 2 V 2 . T1 = T 2

Slika 21. Uz izvod jednadæbe stanja plina Ova jednadæba opisuje promjenu stanja plina u kojoj su se promijenile sve tri veliËine kojima opisujemo stanje plina: temperatura, tlak i obujam. Nazivamo je jednadæbom stanja plina. Ona sadræi Gay-Lussacov, Charlesov i Boyle-Mariotteov zakon kao posebne sluËajeve. Pri izobarnoj promjeni stanja plina temperatura se ne mijenja (p1 = p2) pa se jednadæba stanja plina svodi na:

V1 = V 2 , T1 T 2 πto je Gay-Lussacov zakon.

31

Charlesov zakon c = m , koji se odnosi na izohornu promjenu stanja plina, dobijemo iz jednadæT1 T 2 be stanja plina uvrπtavajuÊi u nju V1 = V2, a Boyle-Mariotteov ( p1 V 1 = p 2 V 2 ) uvrπtavanjem T1 = T2. Jednadæbu stanja plina moæemo provjeriti pokusom pomoÊu ureaja kojim smo istraæivali ovisnost tlaka i obujma plina o temperaturi (slika 6 i slika 11).

p1

p2

■ Primjer: S bocom obujma 300 cm3 zaronimo do dubine 10 m dræeÊi bocu okrenutu otvorom prema dolje. Koliko Êe vode (u kg) uÊi u bocu na toj dubini? Temperatura zraka na povrπini mora je 30 ˚C, a njegov tlak 101 300 Pa. Temperatura mora na dubini 10 m je 15 ˚C, a njegova gustoÊa 1 030 kgm-3. Rjeπenje: V1 = 300 cm3 h = 10 m t1 = 30 ˚C , T1 = 303 K pa = 101 300 Pa t2 = 15 ˚C, T2 = 288 K t = 1 030 kg m-3 m=? Zrak, koji u poËetnim uvjetima ispunjava cijelu bocu, u novim uvjetima zauzima samo dio obujma boce. U preostali dio obujma boce uπla je voda. Uranjanjem boce promijenili su se i temperatura i tlak pa Êemo primijeniti jednadæbu stanja plina:

p1 V 1 p 2 V 2 T1 = T 2 p a V 1 _ p 2 + tgh i V 2 T1 = T2 p a T 2 V1 101300 Pa $ 288 K $ 300 cm 3 = V2 = -2 3 _ p a + tgh i T 1 _101300 Pa + 1030 kgm $ 9.81 ms $10 m i $ 303 K V 2 =143cm 3 DV = V 2 - V 1=300 cm 3 -143 cm 3 =157 cm 3 DV =157$10 - 6 m 3 m = t $ DV =1030 kgm 3 $157$10 - 6 m 3 m =0,162 kg. pV

Iz jednadæbe stanja plina vidimo da je T = konst . Za mol- 3bilo3 kojega plina pri normiranim uvjetima ( T o =273,15 K, p o =101325 Pa, V o =22, 414$10 m ) vrijednost je ovog izraza:

p o V o 101325 Pa $22.414 $10 - 3 m 3 =8, 314 J K - 1 mol - 1. To = 273,15 K 32

To je opÊa plinska konstanta, a obiljeæavamo je slovom R :

R = 8, 314 J K - 1 mol - 1. Dakle, za mol bilo kojega plina vrijedi:

pV T = R. Za n mola je:

pV T = nR,

odnosno:

pV = nRT. . m

Ovo je takoer jedan od zapisa jednadæbe stanja plina. Zamjenom n = M (m je masa plina, a M molarna masa) dobivamo novi oblik jednadæbe stanja plina:

m RT pV = M

.

Zamijenimo li masu plina umnoπkom gustoÊe i obujma ( m =tV ) i jednadæbu podijelimo s V, jednadæbu stanja plina moæemo pisati i kao:

t p = M RT . N

Uvrπtavanjem n = N A (N je broj molekula plina, a NA Avogadrov broj, tj. broj molekula u molu) dobivamo:

pV = NN RT . A Omjer konstanti R i NA takoer je konstanta. Zovemo je Boltzmannovom konstantom (kB): -1

-1

8, 314 J K mol k B = NR = =1, 38$10 23 J K - 1 . A 6, 022$10 23 mol - 1 Nakon ovih zamjena jednadæba stanja plina poprima i oblik: . pV = k B NT .

■ Primjer: Iz elektronske cijevi obujma 100 cm3 isisan je pri temperaturi 20 ˚C plin do tlaka 1,59 · 10-3 Pa. Koliko je molekula plina preostalo u cijevi? Rjeπenje: V = 100 cm3 = 10-4 m3 p = 1,59 · 10-3 Pa t = 20 ˚C, T = 293 K N=? 33

Broj preostalih molekula plina u cijevi nalazimo primjenom jednadæbe stanja plina u obliku:

pV = k B NT iz Ëega slijedi:

pV 1, 59$10 - 3 Pa $10 - 4 m 3 N=k T = , B 1, 38$10 - 23 JK - 1$293K

N =3, 93$10 13 .

Avogadrov zakon Iz jednadæbe pV = kBNT izrazimo broj molekula:

pV N=k T . B Niti jedna veliËina na desnoj strani jednadæbe nije svojstvena vrsti plina. To znaËi da je broj molekula plina (N), koje se pri temperaturi T i tlaku p nalaze u obujmu V, neovisan o vrsti plina. To je Avogadrov zakon.

Pitanja: 1. Nekoj se koliËini plina promijene tlak, temperatura i obujam. Napiπite jednadæbu koja povezuje vrijednosti tih veliËina u poËetnom stanju s njihovim vrijednostima u konaËnom stanju. Kako zovemo tu jednadæbu? 2. Koji plin pri danoj gustoÊi i temperaturi ima najveÊi tlak? 3. U jednoj od dviju jednakih posuda je vodik, a u drugoj kisik. Tlakovi i temperature u posudama su jednaki. U kakvom su odnosu brojevi molekula u posudama? Zadaci: 1. GustoÊa kisika u normiranim uvjetima je 1,43 kgm-3. Odredite gustoÊu kisika pri temperaturi 40 ˚C i tlaku 9.6 · 104 Pa. 2. U balonu se nalazi 4 dm3 zraka pri temperaturi od 20 ˚C i tlaku 1,02 · 105 Pa. Za koliko Êe se poveÊati obujam balona ako se, uz stalnu temperaturu i stalan tlak, u balon ubaci joπ 1 g zraka? Molarna masa plinova u zraku je 0,029 kgmol-1.

Ludwig Boltzmann (1844. ∑ 1906.), austrijski fiziËar. Razvio statistiËku fiziku i unaprijedio kinetiËku reoriju plinova. Teorijski doπao do zakona zraËenja crnog tjela (Stefan-Boltzmannov zakon).

34

Amedeo Avogadro (1776. ∑ 1856.), talijanski fiziËar i kemiËar. Meu prvima je shvatio da tvar ima molekularnu strukturu. Godine 1811. otkrio je zakon koji se po njemu zove Avogadrovim.

MOLEKULARNO-KINETI»KA TEORIJA PLINOVA VeliËina molekula Molekule su siÊuπne i ne moæemo ih promatrati niti izravno mjeriti njihovu veliËinu. RaËunom moæemo procijeniti kojeg su reda veliËine dimenzije molekula. Uzmimo za primjer vodu Ëija je molarna masa M = 0,018 kg mol-1, gustoÊa t = 1000 kg m-3, a broj molekula u molu (Avogadrov broj) NA = 6,022 · 1023 mol-1. Naimo najprije obujam jednog mola vode:

V=M t=

0, 018$ kg mol - 1 =1, 8$10 - 5 m 3 mol - 1 . 1000kg m - 3

Zanemarimo li meumolekulske razmake, obujam jedne molekule dobit Êemo ako obujam jednog mola podijelimo s brojem molekula u molu:

1, 8$10 - 5 m 3 mol - 1 V 1= NV = =2, 989$10 - 29 m 3 . A 6, 022$10 23 mol - 1 Radi jednostavnosti, pretpostavimo da su molekule kockastog oblika pa iz izraËunatog obujma moæemo izraËunati stranicu kocke:

a = 3 V 1 = 3 2, 989$10 - 29 m 3 =3,1$10 - 10 m. Dimenzije molekula su reda veliËine 10-10 m. VeliËinu molekula moæemo pribliæno odrediti i sljedeÊim pokusom.

■ Pokus Kada na povrπinu vode stavimo kapljicu ulja, nastane mrlja koja se πiri i ako je povrπina vode dovoljno velika, πirenje Êe prestati prije nego mrlja prekrije cijelu povrπinu. Tada je debljina sloja ulja jednaka promjeru molekule. Sloj ulja ima oblik valjka Ëiji je obujam dan formulom: 2 V = d 4r h,

35

gdje je d promjer osnovice valjka (sloja), a h visina valjka, odnosno promjer molekule. Obujam sloja jednak je obujmu kapljice, a njega odredimo tako da u usku menzuru nakapamo odreeni broj (N) kapljica Ëiji obujam (VN) moæemo oËitati s menzure. Kvocijent oËitanog obujma i broja kapljica jednak je obujmu jedne kapljice:

V = VNN . Iz dviju posljednjih jednadæbi izvodimo izraz za visinu valjka, odnosno promjer molekule:

h= 4 $ VNN . 2 d r Masna mrlja Êe se lakπe uoËiti ako prije puπtanja kapljice povrπinu vode pospemo sitnim sumpornim prahom.

Gibanje molekula Molekule se u tijelu gibaju i kada ono kao cjelina miruje. Gibanje molekula ne moæemo izravno promatrati jer su one vrlo sitne, ali postoje dokazi o njihovu gibanju, meu kojima Êemo istaknuti Brownovo gibanje i difuziju. Brownovo gibanje. Promatramo li mikroskopom pelud u kapi vode, opaæamo da se Ëestice peludi gibaju. Pratimo li gibanje jedne Ëestice, vidjet Êemo da se ona giba po cik-cak putanji (slika 22). Takvo gibanje Ëestica peludi nazivamo Brownovim gibanjem. Gibanje Ëestice peludi prouzroËeno je udarcima molekula vode. »estica peludi u svakom trenutku ima smjer rezultante sila kojima na nju djeluju molekule. Gibanje molekula je kaotiËno pa se smjer rezultante mijenja, a time i smjer gibanja Ëestice peludi. Brownovo gibanje je izrazitije pri viπoj temperaturi, πto znaËi da je gibljivost molekula veÊa πto je temperatura viπa. Zato govorimo o termiËkom gibanju molekula.

Slika 22. Brownovo gibanje Difuzija. Pod difuzijom podrazumijevamo spontano mijeπanje dviju razliËitih tvari. Molekule obiju tvari se gibaju i pritom prodiru jedne meu druge. Opaæa se kod tvari u plinovitom, tekuÊem i Ëvrstom agregatnom stanju. Difuzija teËe najbræe kod plinova jer su tamo meumolekulski razmaci i gibljivost molekula najveÊi.

36

Pitanja: 1. Kolika je pribliæno veliËina molekula? 2. Moæemo li molekule izravno promatrati? 3. Kako znamo da se molekule gibaju? Zadatak: 1. U jednom pokusu za odreivanje veliËine molekule kapljica ulja imala je obujam 2,4 · 10-5 cm3, a nakon razlijevanja po povrπini vode od nje je nastala mrlja povrπine 0,60 dm2. Odredite promjer molekule uz pretpostavku da je ona kuglasta oblika.

Svemirske maglice sadræe plin iz kojega se raaju zvijezde.

37

Idealni plin Kada su u neposrednoj blizini, molekule meusobno djeluju silama. U plinovima su meumolekulski razmaci veliki u odnosu na veliËinu molekula pa su sile meu molekulama slabe. Zbog toga se molekule plina gibaju gotovo slobodno i plin zauzima cijeli obujam posude u kojoj se nalazi. Model plina u kojem zbog velikih meumolekulskih udaljenosti u potpunosti zanemarujemo meumolekulske sile, a same molekule smatramo elastiËnim kuglicama, nazivamo idealnim plinom. Teoriju koja se temelji na modelu idealnog plina nazivamo molekularno-kinetiËkom teorijom plinova. Model idealnog plina primjenjiv je na realne plinove pri tlakovima koji nisu znatno veÊi od deseterostrukog atmosferskog tlaka i u πirokom intervalu temperatura koje imaju vrijednosti od sobne temperature naviπe. Pri joπ viπim tlakovima i niæim temperaturama dolaze do izraæaja sile meu molekulama pa se svojstva realnog plina razlikuju od svojstava idealnog plina. Ni pri suviπe visokim temperaturama model idealnog plina nije dobar. Naime, na temperaturama od nekoliko desetaka tisuÊa kelvina pri sudarima molekula (atoma) plina dolazi do izbijanja elektrona iz njih. Molekule (atome) kojie su ostale bez jednog ili viπe elektrona nazivamo ionima, a proces njihova nastajanja ionizacijom. Plin sa znatnim brojem ioniziranih atoma nazivamo plazmom. Plinski zakoni otkriveni su eksperimentalno na realnim plinovima u uvjetima u kojima se oni ponaπaju kao idealni plinovi.

Tlak idealnog plina Tlak plina je posljedica termiËkog gibanja molekula. Zato je on ovisan o veliËinama kojima opisujemo gibanje molekula (brzina, kinetiËka energija). Vezu izmeu tlaka idealnog plina i brzine, odnosno kinetiËke energije njegovih molekula, daje nam molekularno-kinetiËka teorija. Evo i odgovarajuÊih izraza:

1 N m v2 p= 3 V o , ,

1 tv2 p= 3 ,

N p= 2 3 V Ek .

U njima je N broj molekula plina, V obujam plina, mo masa molekule, v 2 srednja vrijednost kvadrata brzina molekula, t gustoÊa plina i E k srednja kinetiËka energija molekula. Srednja kinetiËka energija koja u prosjeku pripada jednoj molekuli plina je: 2 . Ek = m2o v .

38

v 2 nazivamo srednja kvadratna brzina ili efektivna brzina

Srednja kvadratna brzina. VeliËinu (vef):

v ef = v 2 UoËimo da srednja kvadratna brzina molekula nije isto πto i srednja brzina molekula.

Izvod izraza za tlak idealnog plina Tlak plina (p) jednak je kvocijentu rezultante sila (F) kojima pojedine molekule djeluju na neku povrπinu i te povrπine (A):

p= F A. Sile kojima pojedine molekule djeluju na stijenku posude ovise o koliËini gibanja molekula. U plinu je mnogo molekula i ne moæemo znati kolika je koliËina gibanja svake molekule, niti kolikom silom svaka od njih djeluje na stijenku. Iako se molekule plina unutar posude gibaju, njihova je ukupna koliËina gibanja jednaka nuli jer se plin kao cjelina ne giba, uvijek je u posudi. Uzmimo da je posuda oblika kocke. Molekule u kocki se gibaju kaotiËno, razliËitim koliËinama gibanja, no ukupna koliËina gibanja bila bi jednaka nuli i kada bi sve molekule imale jednake iznose koliËine gibanja i kada bi se po jedna πestina od ukupnog broja molekula gibala prema svakoj od ploha kocke.

Slika 23a. U elastiËnom sudaru molekule sa stijenkom posude mijenja se samo smjer koliËine gibanja molekule

Slika 23b. Najudaljenija molekula do sudara sa stijenkom posude mora prijeÊi put jednak duljini stranice kvadrata

Pretpostavit Êemo da je sudar molekule sa stijenkom elastiËan, a to znaËi da se iznos koliËine gibanja molekule pri sudaru ne mijenja. KoliËina gibanja molekule prije sudara sa stijenkom je -mov, a nakon sudara mov (slika 23a) pa je promjena koliËine gibanja:

m o v - ( - m o v) = 2m o v.

39

Promjena koliËine gibanja jednaka je umnoπku sile F1, kojom molekula djeluje na stijenku, i vremenskog intervala (Dt): F1 Dt = 2m o v . Iz Ëega slijedi:

F1 = 2m o v . Dt Neka je Dt vrijeme koje proteËe od sudara najbliæe molekule sa stijenkom posude do sudara najudaljenije molekule s istom stijenkom (slika 23 b). To vrijeme moæemo dobiti kao kvocijent puta (a), πto ga do promatrane plohe prijee najudaljenija molekula, i njezine brzine (v):

Dt = av . Uvrstimo li ovo u izraz za silu, dobivamo: 2

F1 = 2mao v . U promatranom vremenskom intervalu sila nije stalna. Srednja vrijednost sile kojom jedna molekula djeluje na stijenu posude iznosi: 2

F1 = 2mao v , gdje je v 2 srednja vrijednost kvadrata brzine molekule. Ukupna sila kojom πestina molekula djeluje na svaku plohu kocke je:

mo v 2 . F= N 6 a Podijelimo li silu s povrπinom plohe kocke (A = a2), dobit Êemo tlak:

1N 2 p= F A = 3 a 3 mo v . Uz a3 = V slijedi konaËni izraz za tlak:

1. N m v 2 . p= 3 V o Umnoæak veliËina N i mo je masa plina (m = Nmo), a kvocijent mase i obujma gustoÊa b t = l . S ovim zaV mjenama dobivamo vezu tlaka i gustoÊe:

m

1.tv 2 . p= 3 Ako desnu stranu p =

VeliËina

40

1N 2 3 V m o v jednadæbe podijelimo i pomnoæimo s 2, imamo: N mo v 2 . p= 2 3V 2

m o v 2 je srednja kinetiËka energija molekula ( E ): k 2

2 ov Ek = m . 2 .

To je kinetiËka energija koja u prosjeku otpada na svaku molekulu plina. S tlakom je povezana relacijom:

N . . p= 2 3 V Ek

Veza izmeu termodinamiËke temperature i srednje kinetiËke energije Jedan od oblika jednadæbe stanja plina glasi:

pV = k B NT. 2N

Iz te jednadæbe i izraza p = 3 V Ek proizlazi veza izmeu termodinamiËke temperature i srednje kinetiËke energije molekula ( Ek ):

3 k T. Ek = 2 B Srednja kinetiËka energija molekula razmjerna je temperaturi. BuduÊi da je srednja kinetiËka energija veliËina koja karakterizira gibanje mnoπtva molekula, i temperatura je veliËina koja karakterizira mnoπtvo molekula, a nikako samo jednu molekulu. VeliËine koje su definirane samo za mnoπtvo Ëestica nazivamo statistiËkim veliËinama. StatistiËke veliËine u sebi sadræe srednje vrijednosti veliËina kojima opisujemo pojedine Ëestice.

■ Primjer: GustoÊa duπika pri tlaku 1,013 · 105 Pa je 1.25 kg m-3. a) Kolika je srednja kvadratna (efektivna) brzina njegovih molekula? b) Koliko se molekula duπika nalazi u 1 cm3? Molarna masa duπika je 0,028 kg mol-1. Rjeπenje: p = 1,013 · 105 Pa t = 1,25 kg m-3 V = 1 cm3 = 10-6 m3 a) vef

b) N = ?

v ef =? 1 tv 2 p= 3 3p V ef = t 5 = 3$1.013$10 -Pa 1.25 kg m 3 v ef = 493m s - 1

N =?

1 N m v2 p= 3 V o

M mo= N

A -1

=

0, 028 kg mol 6, 022$10 23 mol - 1

m o =4, 65$10 - 26 kg

3pV mo v 2 3$1, 013$10 5 Pa $10 - 6 m 3 = 4, 65$10 - 26 kg $ ^493 m s - 1h N =2, 69$10 19 . N=

41

Pitanja: 1. ©to je idealni plin? 2. ©to je srednja kinetiËka energija molekula plina i o Ëemu ovisi? 3. Molekule kojega plina imaju pri danoj temperaturi veÊu srednju kvadratnu brzinu (efektivnu brzinu): kisika ili vodika? Zaπto? 4. Kako tlak idealnog plina ovisi o srednjoj kinetiËkoj energiji molekula i gustoÊi plina? Zadatak: 1. IzraËunajte srednju kvadratnu brzinu gibanja molekula kisika pri 100˚C ako znate njegovu molarnu masu (0,032 kg mol-1), broj molekula u molu (6,022 · 10-23 mol-1) i Boltzmannovu konstantu (1,38 · 10-23 JK-1).

Temperatura na povrπini Sunca iznosi oko 6000 K. Prema unutraπnjosti temperatura raste uz porast tlaka i srednje kinetiËke energije Ëestica plina. Procesi koji se odvijaju na Suncu rezultiraju izbacivanjem visokoenergetskih Ëestica i vruËeg plina.

42

UNUTARNJA ENERGIJA Unutarnja energija Pod unutarnjom energijom (U) sustava molekula podrazumijevamo ukupnu kinetiËku energiju termiËkog gibanja molekula tog sustava i ukupnu potencijalnu energiju njihovog meudjelovanja.

Unutarnja energija idealnog plina U modelu idealnog plina zanemarili smo sile meu molekulama, a time i potencijalnu energiju njihovog meudjelovanja. Zato je unutarnja energija idealnog plina zapravo samo ukupna kinetiËka energija termiËkog gibanja molekula. Ako je u plinu N molekula od kojih svaka ima srednju kinetiËku energiju Ek , tada je unutarnja energija plina U = N Ek . Izrazimo unutarnju energiju idealnog plina iz jednadæbi s kojima smo se veÊ sreli:

3 k T = 3 N R T', . 3 nRT U = NEk = N $ 2 B U =2 2 NA 2 pV = 2 3 NEk = 3 U

&

3 pV. U =2

Vidimo da unutarnja energija ovisi o veliËinama kojima opisujemo stanje plina (p, V, T). Prema prvoj jednadæbi, unutarnja energija je funkcija temperature. Prema drugoj je funkcija tlaka i obujma. Zato kaæemo da je unutarnja energija veliËina stanja ili funkcija stanja. Ona je statistiËka veliËina.

■ Primjer: Kolika je unutarnja energija 5 kg argona na temperaturi 27 ˚C? Molarna masa argona je 40 g mol-1. Rjeπenje: m = 5 kg M = 40 g mol-1 = 0,040 kg mol-1 t = 27 ˚C, T = 300 K U=?

43

3 nRT, U =2

m n= M

5kg 3 m RT = 3 -1 -1 U =2 M 2 0, 040 kg mol - 1 $8, 314 J K mol $300 K U =467, 7 kJ

Pitanja: 1. ©to je unutarnja energija? 2. ©to Ëini unutarnju energiju idealnog plina? Kako ona ovisi o veliËinama stanja plina (temperatura, tlak i obujam)? 3. Pri kojoj se promjeni (izotermnoj, izobarnoj ili izohornoj) ne mijenja unutarnja energija idealnog plina? 4. Usporedite unutarnju energiju Ëaπe vode temperature 100 ˚C i oceana temperature 20 ˚C. BROJ

TVRDNJA

OBRAZLOÆENJE

1.

Unutarnja energija Ëaπe vode je veÊa

jer je temperatura vode u Ëaπi viπa od temperature oceana

2.

Unutarnja energija oceana je veÊa

jer je u oceanu mnogo viπe molekula nego u Ëaπi vode

3.

Unutarnje energije su jednake

jer, za koliko je temperatura vode u Ëaπi viπa za toliko je broj molekula manji.

ODGOVOR

44

TVRDNJA

OBRAZLOÆENJE

a)

1. toËna

1. pogreπno

b)

2. toËna

2. pogreπno

c)

2. toËna

2. toËno

d)

3. pogreπna

3. toËno

e)

3. toËna

3. toËno

Promjena unutarnje energije izmjenom topline KinetiËka energija termiËkog gibanja molekula veÊa je pri viπim temperaturama pa je pri viπim temperaturama veÊa i unutarnja energija sustava. Stavimo li u dodir dva tijela (sustava molekula) razliËitih temperatura, iz iskustva znamo da Êe hladnijem tijelu temperatura rasti, a toplijem padati sve dok tijela ne postignu jednaku temperaturu. Ako su se tijelima promijenile temperature, promijenile su im se i unutarnje energije. Toplijem tijelu se unutarnja energija smanjila, a hladnijem poveÊala. Toplije tijelo predalo je dio vlastite unutarnje energije hladnijem tijelu. Promjena unutarnje energije tijela (DU) razmjerna je promjeni njegove temperature (Dt = t2 ∑ t1):

DU =C (t 2 - t 1 ). S t1 obiljeæili smo poËetnu temperaturu tijela, a s t2 konaËnu. VeliËina C naziva se toplinski kapacitet, a pokazuje za koliko se promijeni unutarnja energija tijela pri promjeni temperature za 1 K (ili ˚C). Toplinski kapacitet je razmjeran masi tijela: C = cm. Ovom zamjenom promjena unutarnje energije u promatranom sluËaju je:

DU = mc (t 2 - t 1 ) iz Ëega slijedi:

c=

DU . m (t 2 - t 1 )

Vidimo da je c veliËina koja pokazuje za koliko se promijeni unutarnja energija tijela mase 1 kg pri promjeni njegove temperature za 1 K (˚C). Nazivamo je specifiËnim toplinskim kapacitetom, a iskazujemo jedinicom J kg-1 K-1. Dio unutarnje energije tijela (sustava) koji prelazi na drugo tijelo (sustav) zbog temperaturne razlike nazivamo toplinom (Q). Dakle, u naπem je sluËaju:

Q = DU = mc . (t 2 - t 1 ) . Primljena koliËina topline jednaka je promjeni unutarnje energije kod Ëvrstih tijela i tekuÊina. Za plinove to vrijedi samo kada primaju toplinu uz stalan obujam (izohorno zagrijavanje). Plin moæe primati toplinu i pritom se πiriti. Tada se toplina troπi i na poveÊanje obujma. U tom je sluËaju za ostva-

45

renje odreene promjene temperature potrebno viπe topline nego za jednaku promjenu pri izohornom zagrijavanju. Zato svaki plin ima dvije vrijednosti specifiËnog toplinskog kapaciteta. Jedna se odnosi na zagrijavanje pri stalnom tlaku (cp), a druga pri stalnom obujmu (cv), pri Ëemu je cp > cv. SpecifiËni toplinski kapacitet (c) nekih tvari tvar alkohol aluminij bakar cink led olovo platina srebro staklo voda æeljezo

c/(103 Jkg-1K-1) 2,4 0,9 0,39 0,39 2,1 0,13 0,12 0,23 0,8 4,19 0,45

■ Primjer: U aluminijskoj posudi mase 0.5 kg æelimo zagrijati litru vode od 20 ˚C do vreliπta. a) Kolika nam je koliËina topline za to potrebna? b) Vodu grijemo grijalicom na alkohol. Koliko Êemo alkohola potroπiti ako je korisnost 40 %? SpecifiËna toplina izgaranja alkohola (koliËina topline koja se oslobodi izgaranjem kilograma alkohola) je 3 · 107 J kg-1. Rjeπenje: Vv = 1l, mv = 1 kg ma = 0.5 kg t1 = 20 ˚C t2 = 100 ˚C

ca = 900 J kg-1(˚C-1) cv = 4190 J kg-1(˚C-1) h = 40 % = 0,40 q = 3 · 107 J kg-1

a) Q = ? Griju se lonac i voda u njemu. Ako se za grijanje lonca troπi koliËina topline Ql, a za grijanje vode Qv, tada je ukupna koliËina topline:

Q=Ql + Qv , odnosno:

Q = m v c v (t 2 - t 1 ) + m l c a (t 2 - t 1 ), Q =(m v c v + m l c a )$(t 2 - t 1 )=(1kg $4190Jkg - 1 (cC - 1 ) +0, 5kg $900Jkg - 1 (cC - 1 ))$(100 cC -20 cC) Q =371200J.

46

c) m = ? KoliËina topline koja se oslobodi izgaranjem alkohola mase m je mq. Za grijanje vode troπi se samo dio te topline koji je jednak hqm:

Q 371200 J Q = hqm & m = hq = , 0, 40$3$10 7 J kg - 1

m =0, 031kg =31g.

Richmannovo pravilo Kada su dva tijela koja se dodiruju ili mijeπaju izdvojena (izolirana) od drugih tijela, tada je koliËina topline (Q1) πto je hladnije tijelo primi zagrijavajuÊi se jednaka koliËini topline (Q2) πto je toplije tijelo preda hladeÊi se:

Q1= Q 2. . Obiljeæimo li mase tijela s m1 i m2, njihove specifiËne toplinske kapacitete s c1 i c2, temperature prije dodira s t1 i t2, a zajedniËku temperaturu (temperaturu smjese) s t, tada je:

m1 c1 (t - t 1 )= m 2 c 2 (t 2 - t). Ovo pravilo je posljedica zakona oËuvanja energije. Nazivamo ga pravilom smjese ili Richmannovim pravilom. PomoÊu njega moæemo odrediti specifiËni toplinski kapacitet ili nepoznatu temperaturu nekog tijela. Ureaj kojim se to izvodi naziva se kalorimetar (slika 24). On se sastoji od dviju uzajamno izoliranih posuda. Za naπe pokuse to mogu biti dvije laboratorijske Ëaπe, od 600 ml i 1000 ml. U manjoj posudi je obiËno voda Ëiju temperaturu mjerimo pomoÊu termometra. NaËelo rada kalorimetra opisano je u sljedeÊem primjeru.

Slika 24. Kalorimetar

47

■ Primjer: Da bismo izmjerili temperaturu u nekoj peÊi, stavimo u nju na neko vrijeme æeljeznu kuglu mase 700 g. Kuglu zatim bacimo u kalorimetar u kojemu je 4.5 litara vode temperature 8,3 ˚C. Kolika je temperatura u peÊi ako je konaËna temperatura u kalorimetru 12,3 ˚C? Zanemarimo gubitke topline prema okolini. Rjeπenje: m2 = 700 g = 0,700 kg c2 = 460 J kg-1 K-1 m1 = 4,5 kg c1 = 4190 J kg-1 K-1 t1 = 8,3 ˚C t = 12,3 ˚C t2 = ? Zanemarimo li gubitke topline prema okolini, voda primi svu toplinu πto je oslobodi kugla pri hlaenju:

m1 c1 (t - t 1 )= m 2 c 2 (t 2 - t) m c (t - t ) t 2 - t = 1 m1 2 c 2 1 4, 5kg $4190 J kg - 1 (cC - 1 )$(12, 3 cC -8, 3 cC) m c (t - t ) t 2 = 1 m1 2 c 2 1 + t = +12, 3 cC 0, 700 kg $460 J kg - 1 (cC - 1 ) t =246, 5 cC.

Pitanja: 1. ©to je toplina? 2. ©to je specifiËni toplinski kapacitet? 3. Bakrenu i æeljeznu kuglu jednakih masa zagrijemo do iste temperature i zatim ih bacimo svaku u posebnu Ëaπu s hladnom vodom jednake mase i temperature. Koja Êe se kugla bræe ohladiti? Zaπto? 4. ©to kaæe Richmannovo pravilo? Posljedica kojega zakona je to pravilo? Zadaci: 1. Raspolaæemo vodom temperature 80 ˚C i 18 ˚C. Koliko tople i hladne vode moramo pomijeπati da dobijemo 100 l vode temperature 30 ˚C? 2. Teret mase 400 kg podignemo 40 m visoko pomoÊu motora koji utroπi 20 g nafte. Kolika je korisnost motora ako je specifiËna toplina izgaranja nafte 4.6 · 107 J kg-1? 3. Litra idealnog plina zatvorena je u posudu pri temperaturi 0 ˚C i normiranom tlaku. Za koliko Êe porasti unutarnja energija plina ako ga zagrijemo do 100 ˚C? ©irenje posude moæete zanemariti.

48

Promjena unutarnje energije radom Izmjena topline nije jedini naËin na koji se moæe promijeniti unutarnja energija sustava. Udaramo li ËekiÊem po metalnom predmetu, primijetit Êemo da se ËekiÊ i metalni predmet griju, raste im temperatura. Porast temperature znaËi poveÊanje unutarnje energije. »ekiÊ je dobio kinetiËku energiju nakon πto smo na njemu obavili rad ubrzavajuÊi ga. Zato moæemo reÊi da se unutarnja energija ËekiÊa i metalnog predmeta nakon udara poveÊala mehaniËkim radom.

■ Primjer: Radnik zabija æeljezni Ëavao mase 50 g u dasku udarajuÊi ga ËekiÊem mase 0,5 kg. Brzina ËekiÊa prije udarca iznosi 12 m s-1. Za koliko se kelvina ugrije Ëavao nakon 20 udaraca ako pretpostavimo da se 80% mehaniËke energije pretvori u unutarnju energiju Ëavla. SpecifiËni toplinski kapacitet æeljeza je 450 J kg-1 K-1. Rjeπenje: m1 = 50 g = 0,050 kg m2 = 0,5 kg v = 12 ms-1 N = 20 h = 80% = 0,80 c = 450 J kg-1 K-1 DT = ? MehaniËka (kinetiËka) energija ËekiÊa nakon N udaraca je NEk. U unutarnju energiju Ëavla (DU) prelazi dio hNEk:

hDE k = DU 2 hN m22 v = m1 cDT hNm 2 v 2 0, 8$20$0, 5 kg $(12 ms - 1 ) 2 DT = 2m c = 1 2$0, 05 kg $ 450 J kg - 1 K - 1 DT =25, 6 K.

Da bismo pokazali kako se mehaniËkim radom mijenja unutarnja energija plina, izvedimo sljedeÊi pokus.

■ Pokus U unutraπnjost medicinske sisaljke uvuËemo sondu digitalnog termometra (slika 25). StlaËimo li zrak u sisaljci naglim guranjem klipa, termometar pokazuje porast temperature. Porast temperature znaËi poveÊanje unutarnje energije zraka. Unutarnja energija zraka u sisaljci se poveÊala radom πto smo ga izvrπili utiskivanjem klipa.

49

Pustimo li klip nakon πto smo zrak stlaËili, zrak Êe se πiriti i gurati klip, a termometar Êe pokazivati

pad temperature. Zrak obavlja rad pri πirenju, a unutarnja energija mu se pritom smanjuje.

Pitanja: 1. Dva tijela se nakon sudara zaustave i tako izgube kinetiËku energiju. Jesu li bez kinetiËke energije ostale i Ëestice od kojih su izgraena tijela? 2. Navedite nekoliko primjera poveÊanja unutarnje energije mehaniËkim radom. 3. Aluminijsko i olovno tijelo jednakih masa i temperatura padnu s jednakih visina na istu podlogu. Koje Êe se tijelo nakon udara o tlo imati viπu temperaturu? Obrazloæite odgovor. Zadaci: 1. Za koliko se razlikuju temperature vode na dnu i na vrhu slapa visokog 100 m ako pretpostavimo da sva mehaniËka energija vode prelazi u njezinu unutarnju energiju? 2. U valjkastoj posudi duljine 1m nalazi se neπto olovne saËme specifiËnog toplinskog kapaciteta 130 J K-1 kg-1. Posuda se 100 puta preokrene iz vertikalnog u vertikalni poloæaj tako da saËma 100 puta padne na dno posude. Nakon toga se ustanovi da je temperatura saËme porasla od 20 ˚C do 25 ˚C. Koliko je mehaniËke energije saËme iskazano u % preπlo u unutarnju energiju okoline?

Slika 25. Unutarnja energija plina poveÊa se stlaËivanjem, a smanjuje kada se plin πiri

GibajuÊi se pod utjecajem sile teæe uteg obavlja kojim se preko lopatica poveÊava unutarnja energija vode u posudi. Ovakvim ureajem Joule je odredio tzv. mehaniËki ekvivalent topline.

50

PROMJENE AGREGATNIH STANJA VeliËina sila meu molekulama ovisi o agregatnom stanju tvari. One su najjaËe kada je tvar u Ëvrstom agregatnom stanju. Poloæaj molekule, u kojemu je ukupna sila kojom ostale molekule djeluju na nju jednaka nuli, nazivamo ravnoteænim. U Ëvrstom agregatnom stanju gibanje molekula je zbog jakih meumolekulskih sila ograniËeno na male pomake od ravnoteænog poloæaja. Zato Ëvrsta tijela imaju stalan oblik i obujam. Meumolekulske sile su najslabije u plinovima gdje se molekule gibaju gotovo slobodno. Prijelaz tvari iz Ëvrstog u tekuÊe agregatno stanje nazivamo taljenjem, iz tekuÊega u plinovito isparavanjem, a prijelaz iz Ëvrstog stanja u plinovito sublimacijom. Navedeni procesi mogu teÊi i suprotnim smjerom. Prijelaz iz tekuÊeg u Ëvrsto agregatno stanje nazivamo oËvrπÊivanjem, iz plinovitog u tekuÊe kondenzacijom, a prijelaz iz plinovitog u Ëvrsto agregatno stanje resublimacijom ili kondenzacijom.

Taljenje i oËvrπÊivanje Dovoenjem topline tvari u Ëvrstom agregatnom stanju temperatura tvari raste. Kada se tvar poËne taliti, temperatura prestane rasti i ostaje stalnom sve dok tvar u potpunosti ne prijee u tekuÊe stanje. Daljnjim dovoenjem topline temperatura nastale tekuÊine se poveÊava (slika 26).

Slika 26. Pri taljenju (vodoravni dio grafa) nema promjene temperature tvari Temperaturu na kojoj tvar iz Ëvrstog agregatnog stanja prelazi u tekuÊe nazivamo temperaturom taljenja ili taliπtem. 51

KoliËinu topline koju mora primiti kilogram Ëvrste tvari da bi preπao u tekuÊe stanje na temperaturi taljenja nazivamo specifiËnom toplinom taljenja (m). IzraËunavamo je dijeljenjem koliËine topline koju je tvar primila pri taljenju (Qt) s masom tvari (m):

Qt m= m . Nazivamo je joπ latentnom toplinom taljenja i iskazujemo jedinicom J kg-1. Kao i kod plinova, srednja kinetiËka energija molekula tvari u Ëvrstom i tekuÊem agregatnom stanju ovisna je o temperaturi tvari i stalna je pri stalnoj temperaturi. Pri taljenju je, dakle, srednja kinetiËka energija molekula tvari stalna iako tvar toplinom prima energiju. Kako je to moguÊe? Molekule tvari imaju, osim kinetiËke, i potencijalnu energiju. Ona je na temperaturi taljenja veÊa kada je tvar u tekuÊem agregatnom stanju. Prijelazom tvari iz Ëvrstog u tekuÊe agregatno stanje (taljenje) toplina se troπi na slabljenje veza meu molekulama, tj. na njihovo razmicanje. Pri oËvrπÊivanju tvar oslobodi jednaku koliËinu energije koliko je pri taljenju primi. Taliπte (tt) i specifiËna toplina taljenja (m) nekih tvari pri normiranom tlaku tvar aluminij bakar cink led olovo æeljezo æiva

tt / ˚C 660 1083 420 0 327 1535 -39

m /(105 Jkg-1) 3,8 2,15 1,2 3,3 0,25 2,05 0,12

Stalna temperatura taljenja svojstvena je tvarima Ëije su Ëestice pravilno rasporeene. Tvari s pravilnim rasporedom Ëestica nazivamo kristalima. Takvi su metali. Postoje i tvari koje se ne odlikuju pravilnom unutarnjom strukturom. To su tzv. amorfne tvari. One ne prelaze na stalnoj temperaturi u tekuÊe stanje, veÊ postupno. Vosak je primjer amorfne tvari. Ovisnost temperature taljenja o vanjskom tlaku. Tvarima koje se pri taljenju πire temperatura taljenja raste s poveÊanjem vanjskog tlaka, dok se tvarima koje se pri taljenju skupljaju (na primjer led) poveÊanjem vanjskog tlaka sniæava temperatura taljenja. Zato se led pod klizaljkama (visokim tlakom) rastali i pri niæoj temperaturi, a nastala voda se, Ëim klizaljke prou, odmah zaledi. Ovisnost temperature taljenja o ËistoÊi tvari. Temperatura taljenja tvari se dodavanjem primjesa sniæava. Tako je taliπte legure niæe od temperature na kojoj se tali njezina komponenta s najniæim taliπtem.

52

Isparavanje i kondenzacija Isparavanje, odnosno prijelaz tvari iz tekuÊeg u plinovito agregatno stanje, moæe teÊi na dva naËina: ishlapljivanjem i vrenjem. Kondenzacijom tvar iz plinovitog stanja prelazi u tekuÊe. Ishlapljivanje. Pri svakoj temperaturi ima povrπinskih molekula koje, zahvaljujuÊi vlastitoj kinetiËkoj energiji, mogu svladati privlaËne sile i izaÊi iz tekuÊine. Proces u kojemu iz tekuÊine izlijeÊu povrπinske molekule nazivamo ishlapljivanjem. Iz tekuÊine ishlapljivanjem izlaze molekule najveÊe kinetiËke energije. Unutarnja energija tekuÊine smanjuje se, a time i njezina temperatura. Ako se molekule iziπle iz tekuÊine zadræavaju iznad njezine povrπine, one spreËavaju izlazak drugih molekula zbog Ëega je ishlapljivanje slabije. Ishlapljivanje se pospjeπuje odvoenjem pare s povrπine tekuÊine. Zato se rublje na vjetru bræe suπi. Vrenje. Za razliku od ishlapljivanja, vrenje se zbiva u svim dijelovima tekuÊine. Ono se dogaa na odreenoj temperaturi koju nazivamo temperaturom vrenja ili vreliπtem. Dok traje vrenje, temperatura se ne mijenja iako tvar prima toplinu (slika 27). Primljena toplina tada se troπi na slabljenje meumolekulskih sila.

Slika 27. Temperatura se ne mijenja pri vrenju (vodoravni dio grafa) KoliËinu topline koju je potrebno utroπiti da bi kilogram tekuÊine preπao u paru na temperaturi vrenja nazivamo specifiËnom toplinom isparavanja ili latentnom toplinom isparavanja (r). Ona je jednaka kvocijentu koliËine topline (Qi), koju je tvar primila pri isparavanju, i mase (m) tvari:

Q1 r= m

,

a iskazuje se jedinicom J kg-1.

53

Kondenzacijom se oslobodi koliËina topline jednaka onoj koja se utroπi pri isparavanju. Usporeivanjem specifiËne topline isparavanja sa specifiËnom toplinom taljenja za odreenu tvar uoËavamo da je specifiËna toplina isparavanja oko 10 puta veÊa. Ta nam je razlika razumljiva kad znamo da isparavanjem molekule postaju gotovo slobodne, a taljenjem njihova veza postaje neπto slabija nego u Ëvrstom agregatnom stanju. Vreliπte (tv) i specifiËna toplina isparavanja (r) pri normiranom tlaku tvar alkohol aluminij bakar eter voda zrak (tekuÊi) æeljezo æiva

tv / ˚C 78 2056 2595 35 100 -193 30000 138

r / (105 Jkg-1) 8,59 83,7 73,7 3,9 22,6 2,1 67,8 3,4

Ovisnost vreliπta o vanjskom tlaku. Temperatura vrenja ovisi o vanjskom tlaku na tekuÊinu. S poveÊanjem tlaka i ona raste. Ova se Ëinjenica upotrebljava kod ekspres-lonca. Voda pri srednjem atmosferskom tlaku vrije na temperaturi od 100 ˚C i to je najviπa temperatura πto je ona moæe imati pri tom tlaku. U ekspresloncu, gdje je tlak nekoliko puta veÊi, voda vrije na temperaturi viπoj od 100 ˚C. Sniæavanjem tlaka snizuje se i vreliπte. Iz tog se razloga na veÊim nadmorskim visinama (gdje je tlak niæi) hrana u otvorenom loncu kuha sporije. Ovisnost vreliπta o ËistoÊi tvari. Hrana se neπto bræe skuha u slanoj vodi nego u Ëistoj. Dodatak soli, dakle, poveÊava temperaturu vrenja vode. Razne primjese dodane u tekuÊinu mogu poveÊati ili sniziti temperaturu vrenja tekuÊine.

■ Primjer: Kolika je koliËina topline potrebna da litra alkohola od 0 ˚C prokljuËa i prijee u paru? GustoÊa alkohola je 790 kg m-3, vreliπte na 78 ˚C, specifiËni toplinski kapacitet 2500 J kg-1 (˚C-1) i specifiËna toplina isparavanja 8, 59 · 105 J kg-1.

54

Rjeπenje: V=1l to = 0 ˚C tv = 78 ˚C c = 2500 J kg-1 (˚C-1) r = 8,59 105 J kg-1 r = 790 kg m-3 Q=? Toplina se troπi na zagrijavanje alkohola do vreliπta i za vrenje:

Q = mc (t v - t o ) + rm = m (c (t v - t o ) + r) Q = tV (c (t v - t o ) + r)= 790kgm - 3 $10 - 3 m 3 (2500 Jkg - 1 (cC - 1 )$(78 cC -0 cC) + 8, 59$10 5 J kg - 1 ) Q =8, 3266$10 5 J.

Pitanja: 1. Navedite nazive za prijelaze tvari izmeu Ëvrstog, tekuÊeg i plinovitog agregatnog stanja. 2. ©to je specifiËna toplina taljenja? 3. Na πto se troπi toplina koju tijelo prima pri taljenju? 4. Po Ëemu se razlikuju ishlapljivanje i vrenje? 5. PoveÊanjem temperature ishlapljivanje postaje intenzivnije. Zaπto? 6. Moæe li neko tijelo predavati toplinu, a da mu se pritom ne sniæava temperatura? Zadatak: 1. Koliko vode moæemo ohladiti s 20 ˚C na 9 ˚C ako u nju ubacimo 15 g leda temperature 0 ˚C?

55

Vlaænost zraka Zrak pri svakoj temperaturi sadræi vodenu paru. Masu vodene pare sadræanu u metru kubnom zraka nazivamo apsolutnom vlagom (U):

UF= ,m V

.

a obiËno je iskazujemo jedinicom g m-3. NajveÊu koliËinu vodene pare πto je zrak moæe sadræavati a da se ona ne kondenzira nazivamo maksimalnom vlagom (Um). Ona ovisi o temperaturi zraka (tablica). Pri viπim temperaturama zrak moæe sadræavati viπe vodene pare. Ako se temperatura zraka dovoljno spusti, postojeÊa vlaga u zraku moæe postati maksimalnom, tj. moæe se poËeti kondenzirati. Temperaturu na kojoj poËinje kondenzacija vodene pare nazivamo rosiπtem. Kvocijent apsolutne i maksimalne vlage pomnoæen sa 100 je relativna vlaga ili vlaænost zraka ({) iskazana u postocima: . { = U $100F . Um Ovisnost maksimalne vlage o temperaturi zraka t / ˚C -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

56

Um /(gm-3) 2.1 2.3 2.5 2.8 3.0 3.2 3.5 3.8 4.1 4.5 4.8 5.2 5.6 6.0 6.4 6.8 7.3 7.8 8.3 8.8

t / ˚C 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

Um /(gm-3) 9,4 10,0 10,7 11,4 12,1 12,8 13,6 14,5 15,4 16,3 17,3 18,3 19,4 20,6 21,8 23,0 24,4 25,8 27,2 28,7

■ Primjer: NaveËer je temperatura zraka bila 16 ˚C, a relativna vlaænost 65 %. NoÊu se temperatura spustila na 6 ˚C. Je li pala rosa? Rjeπenje: t = 16 ˚C { = 65 % t’ = 6 ˚C U=?

Ova je vlaga maksimalna pri temperaturi 9˚C, πto znaËi da je pala rosa.

{ = U $100 Um {U m 65$13, 6g m - 3 U = 100 = 100 -3 U =8, 8 g m .

Postoji viπe metoda mjerenja vlaænosti. Na slici je prikazano mjerenje vlaænosti pomoÊu higrometra na vlas. Kada relativna vlaænost zraka poraste, vlas (V) se produlji zbog Ëega se uteg (U) spusti i preko jednostavnog mehanizma zakrene kazaljku (K).

Pitanja: 1. ©to zovemo apsolutnom, πto maksimalnom, a πto relativnom vlagom? 2. ©to je rosiπte? Kako ono ovisi o koliËini vodene pare u zraku? Zadatak: 1. Kolika se masa vodene pare nalazi u prostoriji dimenzija 5 m · 6 m · 3,5 m ako je temperatura zraka 29 ˚C, a relativna vlaænost zraka 80 %?

57

TERMODINAMIKA Rad plina pri πirenju Zamislimo da je plin u cilindriËnoj posudi s pomiËnim klipom (slika 28). Neka je plin izobarnim πirenjem (stalan tlak) pomaknuo klip za Ds . Rad (W) πto ga je obavio plin umnoæak je sile (F), kojom plin djeluje na klip, i pomaka klipa ( Ds ):

W = FDs. VeliËina kojom opisujemo plin je tlak, a ne sila, pa Êemo silu zamijeniti umnoπkom tlaka i povrπine klipa (F = pA):

W = pADs. Umnoæak povrπine klipa i pomaka je promjena obujma ( ADs = DV ) pa je rad plina pri izobarnom πirenju:

W = pDV

ili

W = p (V2 - V1 ) .

Slika 28. PomiËuÊi klip plin obavlja rad

58

Prikaæemo li izobarno πirenje u p,V-koordinatnom sustavu, rad je predoËen povrπinom ispod grafa (slika 29a). Rad je brojËano jednak povrπini ispod grafa i kada se tlak pri πirenju plina mijenja (slika 29b).

Slika 29. Rad je brojËano jednak povrπini ispod grafa u p,V- koordinatnom sustavu

Pitanja: 1. Kako raËunamo rad plina pri izobarnom πirenju? 2. Kako grafiËki predoËujemo rad plina? Zadaci: 1. Pri 17˚C plin ima obujam 5 litara i nalazi se pod tlakom 200 kPa. Izobarnim πirenjem plin obavi rad 200 J. Za koliko je porasla temperatura plina? 2. Idealni plin prelazi iz poËetnog stanja P u konaËno na tri naËina (a,b,c) kako prikazuju grafovi na slici. a) Koliki rad obavlja plin pri svakoj promjeni? b) Kolika je unutarnja energija plina u poËetnom stanju, a kolika u konaËnom? c) Usporedite temperature plina u poËetnom i konaËnom stanju.

59

Prvi zakon termodinamike Vratimo se na pokus u kojemu je plin (zrak) gurao klip medicinske sisaljke. Plin je obavljao rad pri Ëemu se njegova unutarnja energija smanjivala. ©irenje plina i obavljanje rada prestalo je kada se unutarnja energija plina smanjila ispod minimalne vrijednosti koja je potrebna za obavljanje rada. Da bi plin i dalje obavljao rad, moramo mu poveÊati unutarnju energiju. To moæemo postiÊi dovoenjem topline. Dakle, plinu dovodimo toplinu, a on obavlja mehaniËki rad. Vidimo da plin moæe posluæiti kao sredstvo za prevoenje topline u mehaniËki rad. Dio fizike u kojemu izmeu ostalog istraæujemo pretvorbu topline u mehaniËki rad nazivamo termodinamikom. Sâm plin nazivamo termodinamiËkim sustavom. No plin je samo primjer termodinamiËkog sustava. TermodinamiËki sustav moæe biti bilo koji skup Ëestica u bilo kojem agregatnom stanju. Toplina πto je sustav primi ne mora se u cijelosti prevesti u mehaniËki rad, nego samo djelomiËno. Drugim dijelom topline πto je sustav prima moæe se poveÊati njegova unutarnja energija. Prema zakonu oËuvanja energije, koliËina topline πto je sustav primi jednaka je zbroju promjene unutarnje energije sustava i rada πto ga sustav obavi. To je prvi zakon termodinamike koji iskazujemo jednadæbom:

Q = DU +W. Razmatrali smo plin koji prima toplinu i πiri se obavljajuÊi rad. Plin, meutim, moæe predavati toplinu i skupljati se pod utjecajem vanjske sile. Kako se koliËina izmijenjene topline raËuna po formuli Q = mc (t 2 - t 1 ) , gdje je t1 poËetna, a t2 konaËna temperatura, koliËina topline je pozitivnog predznaka kada je plin prima. Tada je, naime, konaËna temperatura veÊa od poËetne ( t 2 > t 1 ), pa je (t 2 - t 1 )>0 . Kada plin predaje toplinu, konaËna temperatura je niæa od poËetne pa je koliËina topline negativnog predznaka. Kada plin obavlja rad πireÊi se, konaËni obujam plina je veÊi od poËetnoga ( V 2 > V 1 ), pa je rad (W = p (V 2 - V 1 )) pozitivan. Rad je negativnog predznaka kada vanjske sile stlaËuju plin jer je tada konaËni obujam plina manji od poËetnog ( V 2 < V 1 ).

■ Primjer: Pri 20 ˚C dva mola vodika nalaze se pod tlakom 300 kPa. Nakon πirenja pri stalnom tlaku obujam plina je 15 litara. a) Koliki je rad obavio plin pri πirenju? b) Kolika je promjena unutarnje energije plina ako je on primio 700 J topline? Rjeπenje: n=2 t1 = 20 ˚C, T = 293 K p = 300 kPa = 3 · 105 Pa V2 = 15 l = 0,015 m3 a) W = ?

60

Rad πto ga plin obavi dan je izrazom W = p (V 2 - V 1 ) pa za njegovo izraËunavanje moramo znati poËetni obujam (V1). Njega moæemo dobiti iz jednadæbe stanja plina:

pV 1= nRT 2$8, 314 J K - 1 mol - 1$293 K V 1= nRT = p 3$10 5 Pa V 1=0, 016 m 3

W = p (V 2 - V 1 ) =3$10 5 Pa $(0.016 -0.015)m 3 W =300J.

b) Q = 700J

DU =? Promjenu unutarnje energije dobit Êemo iz prvog zakona termodinamike:

Q = DU +W & DU = Q -W = 700J -300J DU =400J. BuduÊi da je plin obavio rad i primio toplinu, rad i koliËinu topline uvrstili smo s pozitivnim predznakom.

Kada se plinu dovodi toplina on se πiri i obavlja rad. Uz to mu se poveÊavaju temperatura i unutarnja energija. KoliËina topline koju plin u posudi primi jednaka je zbroju promjene unutarnje energije plina i rada πto ga plin obavi(prvi zakon termodinamike).

61

Adijabatski procesi Plin, kao mnoπtvo molekula, predstavlja termodinamiËki sustav. Prijelaz termodinamiËkog sustava iz jednog stanja u drugo nazivamo termodinamiËkim procesom. Do sada smo nauËili da plin (termodinamiËki sustav) moæe iz jednog stanja u drugo prelaziti izotermnim, izobarnim i izohornim procesom. Procesi u kojima plin ne izmjenjuje toplinu s okolinom nazivamo adijabatskim procesima. Kada se obujam plina poveÊava, govorimo o adijabatskom πirenju ili ekspanziji, a ako se obujam smanjuje, radi se o adijabatskom stlaËivanju ili kompresiji. Kako je u adijabatskim procesima Q = 0, prvi zakon termodinamike svodi se na:

DU =- W. Vidimo da je u adijabatskim procesima promjena unutarnje energije jednaka radu. Pri adijabatskoj ekspanziji unutarnja energija smanji se za iznos rada πto ga plin obavi. Pri adijabatskoj kompresiji unutarnja energija poveÊa se za iznos rada πto ga obavi vanjska sila stlaËujuÊi plin. Promjena unutarnje energije povezana je s promjenom temperature. Ona se pri adijabatskoj ekspanziji sniæava, a u adijabatskoj kompresiji poveÊava. Adijabatske procese (ekspanziju i kompresiju) moæemo prikazati u p,V-koordinatnom sustavu. Graf nazivamo adijabatom. Iz jednadæbe stanja plina:

pV = nRT izrazimo tlak:

T. p = nR V Kod izotermne ekspanzije temperatura se ne mijenja pa je tlak ovisan samo o obujmu i obrnuto mu je razmjeran (graf na slici 30). Pri adijabatskoj ekspanziji tlak ne ovisi samo o obujmu, nego i o temperaturi. On je razmjeran temperaturi. Tlak se, dakle, pri adijabatskoj ekspanziji smanjuje zbog sniæenja temperature i zbog poveÊanja obujma. Zato tlak s poveÊanjem obujma bræe opada pri adijabatskoj nego pri izotermnoj ekspanziji (graf na slici 30).

Slika 30. Tlak pri adijabatskoj ekspanziji bræe opada s poveÊanjem obujma nego pri izotermnoj ekspanziji

62

Pitanja: 1. Kako zovemo dio fizike koji izuËava pretvorbu topline u mehaniËki rad? 2. ©to kaæe prvi zakon termodinamike? 3. ©to su adijabatski procesi? 4. Je li uz istu promjenu obujma obavljeni rad veÊi pri izotermnoj ili adijabatskoj ekspanziji? Zadaci: 1. Za koliko se promijeni unutarnja energija sustava kojem dovedemo 300 kJ topline i istodobno na njemu obavimo rad od 150 kJ? 2. Za koliko Êe se promijeniti unutarnja energija sustava koji pri adijabatskoj ekspanziji obavi rad od 500 kJ?

Pri adijabatskom πirenju smanjuju se temperatura i unutarnja energija plina u posudi. Smanjenje unutarnje energije jednako je radu πto ga plin obavi pri πirenju.

63

Kruæni proces Dobivanje mehaniËkog rada iz topline posredstvom plina moæe naËelno teÊi na naËin koji Êemo opisati. Plin gura pomiËni klip sve dok za to ima dovoljno veliku unutarnju energiju. Kada plin prestane gurati klip, jer mu se smanjila unutarnja energija, dovedemo mu toplinu i on napravi daljnji pomak klipa. Kada klip stane, opet plinu dovedemo toplinu itd. Da bismo na ovaj naËin dobivali mehaniËki rad iz topline, moramo imati beskonaËno dugu cilindriËnu posudu. Raspolaæemo samo s cilindriËnim posudama konaËnih dimenzija pa dobivanje mehaniËkog rada opisanim naËinom nema praktiËnog znaËaja. Plin je, meutim, moguÊe nakon πto obavi rad vratiti u poËetno stanje, tj. stanje u kojemu je bio prije obavljanja rada. To se postiæe djelovanjem vanjskih sila. Proces u kojem se plin vraÊa u poËetno stanje nazivamo kruænim procesom (slika 31). Za izvoenje kruænog procesa nije nam potrebna beskonaËno duga posuda, jer se klip nakon πto plin obavi rad, vraÊa u poËetni poloæaj (slika 31).

Slika 31. Kruæni proces Rad u kruænom procesu. Rad predoËuje povrπina ispod grafa u p,V-koordinatnom sustavu. Krivulja AB na slikama 32a i 32b prikazuje proces πirenja plina. Povrπina ispod te krivulje predoËuje rad πto ga je plin obavio pri πirenju. StlaËivanje plina vanjskom silom prikazuje krivulja BA, a rad koji je ona

64

obavila predoËen je povrπinom ispod te krivulje i negativnog je predznaka. Ukupni rad jednak je razlici izmeu rada plina i rada vanjske sile, a grafiËki je predoËen povrπinom unutar zatvorene krivulje ABA. Kada je rad plina veÊi od rada vanjske sile, ukupni rad je pozitivan (slika 32a). Rad je negativan (slika 32b) ako je rad plina manji od rada vanjske sile.

Slika 32. Ukupni rad u kruænom procesu predoËen je povrπinom unutar zatvorene krivulje. Rad moæe biti pozitivan (a) i negativan (b) Primijetimo da bi ukupni rad bio jednak nuli kada bi se plin iz stanja B vratio u poËetno stanje A istim putem kojim je iz stanja A doπao u stanje B.

Pitanja: 1. Koji proces nazivamo kruænim? 2. Prikaæite u p,V-koordinatnom sustavu neki kruæni proces. »ime je predoËen ukupni rad u procesu? 3. Kada je ukupni rad pozitivan, a kada negativan? 4. Kada je ukupni rad u kruænom procesu jednak nuli? 5. Neka koliËina plina podvrgnuta je kruænom procesu koji se sastoji od Ëetiriju faza: 1. Izohorno poveÊavanje tlaka, 2. Izobarno poveÊanje obujma, 3. Izohorno smanjenje tlaka, 4. Izobarno smanjenje obujma na poËetnu vrijednost. Prikaæite taj kruæni proces u p,V; p,T i V,T koordinatnom sustavu.

65

Toplinski stroj Ureaj koji u kruænom procesu prevodi toplinu u mehaniËki rad nazivamo toplinskim strojem. Primjer toplinskog stroja je automobilski motor. Paljenjem smjese goriva i zraka u cilindru motora nastaje plin visoke temperature. Plin se πiri, pri Ëemu gura klip (obavlja rad) i hladi se. Nakon obavljena rada ohlaeni plin se ispuπta u atmosferu, a poËetno stanje plina ostvaruje se paljenjem nove smjese goriva i zraka. Plin u toplinskom stroju nazivamo radnim sredstvom. Da bi radno sredstvo moglo obavljati rad, moramo ga ugrijati na visoku temperaturu. To se u automobilskom motoru postiæe paljenjem smjese goriva i zraka. OpÊenito kaæemo da se radno sredstvo grije dodirom sa spremnikom topline visoke temperature. Temperatura ohlaenog plina koji izlazi iz automobilskog motora joπ je viπa od temperature atmosfere pa on svojim izlaskom u atmosferu predaje atmosferi toplinu. Atmosferu zovemo spremnikom topline niæe temperature. Spremnici topline viπe i niæe temperature, te radno sredstvo, tri su osnovna dijela svakog toplinskog stroja. Ponovimo sad ukratko kako radi toplinski stroj. Radno sredstvo uzima toplinu (Q1) od toplijeg spremnika, dio te topline prevodi u mehaniËki rad (W), a ostatak (Q2) predaje hladnijem spremniku (slika 33).

Slika 33. Radno sredstvo uzima toplinu Q1 od toplijeg spremnika, dio prevodi u mehaniËki rad (W), a ostatak (Q2) predaje hladnijem spremniku Korisnost toplinskog stroja (h) omjer je izmeu mehaniËkog rada dobivenog u kruænom procesu i topline πto ju je radno tijelo primilo:

h= W Q

.

1

. Dobiveni rad je u idealnom sluËaju bez gubitaka jednak razlici izmeu koliËine topline πto ju je radno tijelo primilo od toplijeg spremnika i koliËine topline πto ju je predalo hladnijem spremniku:

W = Q1 - Q 2 pa je korisnost:

Q2 h =1- Q 1

66

.

Rashladni stroj i toplinska pumpa Uzmimo da smo na bilo koji naËin temperaturu radnog tijela snizili ispod temperature hladnijeg spremnika. Zbog toga u dodiru hladnijeg spremnika i radnog tijela toplina prelazi s hladnijeg spremnika na radno tijelo. Obavimo li rad na radnom tijelu stlaËujuÊi ga, njegova temperatura moæe porasti iznad temperature toplijeg spremnika pa ako ga tada stavimo u dodir s toplijim spremnikom, ono Êe toplijem spremniku predavati toplinu. Dakle, radom na radnom tijelu toplinu je moguÊe prenositi s hladnijeg spremnika na topliji. Da bi se proces ponavljao, radno tijelo moramo odgovarajuÊim ekspanzijskim procesom vratiti u poËetno stanje s temperaturom niæom od temperature hladnijeg spremnika. Na opisanom naËelu rade rashladni stroj (hladnjak) i toplinska pumpa. Svrha rada rashladnog stroja je sniæavanje temperature hladnijeg spremnika, a svrha toplinske pumpe je zagrijavanje toplijeg spremnika. U radu hladnjaka njegova unutraπnjost je hladniji spremnik, a atmosfera topliji. Pri radu toplinske pumpe topliji spremnik je prostorija koju æelimo zagrijati, a hladniji spremnik atmosfera, podzemna voda, voda u jezeru ili rijeci i sl. Dok toplinski stroj iz topline daje mehaniËki rad, rashladni stroj i toplinska pumpa prenoseÊi toplinu s hladnijeg na topliji spremnik troπe rad (energiju). Pri radu rashladnog stroja i toplinske pumpe vrijedi:

Q1= Q 2 +.W

,

gdje je Q2 koliËina topline koju je radno tijelo uzelo iz hladnijeg spremnika, W rad koji je pritom utroπen i Q1 koliËina topline πto ju je radno tijelo predalo toplijem spremniku (slika 34).

Slika 34. Radno tijelo uzima toplinu Q2 od hladnijeg spremnika, radom W se stlaËuje i nakon toga toplijem spremniku predaje toplinu Q1

Pitanja: 1. ©to je toplinski stroj? Koji su njegovi glavni dijelovi? Opiπite rad toplinskog stroja. 2. Kako rade rashladni stroj i toplinska pumpa? Zadatak: 1. Kolika je korisnost toplinskog stroja koji obavlja rad od 3 kJ i hladnijem spremniku preda 16 kJ topline?

67

Carnotov kruæni proces Na slici 35 u p,V-koordinatnom sustavu prikazan je poseban sluËaj kruænog procesa, tzv Carnotov kruæni proces. Iz poËetnog stanja, predoËenog toËkom A, radno sredstvo se izotermno πiri do stanja predoËenog toËkom B. Pri izotermnom πirenju radnom sredstvu se ne mijenja temperatura niti unutarnja energija. To se ostvaruje dodirom radnog sredstvo sa spremnikom topline viπe temperature (T1) iz kojega radno sredstvo uzima onoliko topline (Q1) koliko iznosi obavljeni rad:

W AB = Q1 .

Slika 35. Carnotov kruæni proces Slijedi adijabatsko πirenje radnog sredstva do stanja predoËenog toËkom C. Za vrijeme adijabatskog πirenja radno sredstvo nije u dodiru sa spremnicima topline pa ne prima niti predaje toplinu. Zato mu se unutarnja energija smanji za iznos obavljenog rada:

W BC =- DU. Nakon adijabatskog πirenja temperatura radnog sredstva se snizi s T1 na T2. Krivulja CD prikazuje izotermno stlaËivanje pri temperaturi T2. Temperatura i unutarnja energija radnog sredstva se ne mijenjaju jer je radno sredstvo u dodiru sa spremnikom topline Ëija je temperatura T2. Za vrijeme izotermnog stlaËivanja radno sredstvo preda hladnijem spremniku koliËinu topline Q2 jednaku radu πto ga na njemu obavi vanjska sila:

W DC =- Q 2 .

68

KonaËno, radno tijelo se iz stanja C adijabatskim stlaËivanjem vraÊa u poËetno stanje (A). Pritom je rad vanjske sile jednak poveÊanju unutarnje energije radnog tijela:

W DA =DU. Ukupni rad je:

W =W AB +W BC + W CD +W DA = Q1 + (- DU) + (- Q 2 ) + DU W = Q1 - Q 2 . Kao πto smo veÊ rekli, korisnost kruænog procesa (h) je:

h= W Q, 1

odnosno:

Q2 h =1- Q . 1

KoliËine toplina πto ih radno tijelo preda i primi u Carnotovu kruænom procesu odnose se kao pripadne temperature spremnika:

Q2 T 2 Q1 = T 1 , pa se korisnost Carnotova procesa moæe izraËunati i prema formuli:

h =1.- TT 2 1

.

■ Primjer: Temperatura grijaËa idealnog toplinskog stroja je 200 ˚C, a temperatura hladnijeg spremnika 20 ˚C. a) Kolika je korisnost? b) Odredite rad koji moæe dati stroj, ako od grijaËa primi koliËinu topline 300 kJ. Rjeπenje: t1 = 200 ˚C, T1 = 473 K t2 = 20 ˚C, T2 = 293 K Q1 = 300 kJ = 3 · 105 J a) h = ?

h =1- TT 2 =1- 293K 473K =0.38, h =38%. 1

b) W = ?

5 h= W Q & W = hQ1=0, 38$3$10 J, 1

W =1,14$10 5 J =114 kJ.

69

Pitanja: 1. Opiπite Carnotov kruæni proces. 2. Kada je korisnost stroja u kojemu se obavlja Carnotov kruæni proces veÊa: ljeti ili zimi? 3. Kolika bi morala biti temperatura hladnijeg spremnika da bi korisnost stroja bila 100 %? Zadatak: 1. U Carnotovu procesu plinu je pri temperaturi od 400 K dovedeno 8,37 kJ topline. Dobiveni rad u kruænom procesu je 2093 J. Kolika je korisnost, toplina predana hladnijem spremniku i temperatura hladnijeg spremnika?

Nicolas Leonard Sadi Carnot (1796. ∑ 1832.), francuski inæenjer i istraæivaË. Opisao je rad idealnog toplinskog stroja koji u kruænom procesu prevodi toplinu u mehaniËki rad, pri Ëemu dio uzete topline nuæno prelazi na hladniji spremnik.

Motori s unutarnjim izgaranjem Motori automobila su toplinski strojevi u kojima se toplina dobiva izgaranjem goriva. Gorivo izgara u cilindru motora pa ih zovemo motori s unutarnjim izgaranjem. Upotrebljavaju se i za pogon drugih vozila. Kao gorivo motori s unutarnjim izgaranjem najËeπÊe troπe benzin (Otto-motori) i naftu (Diesel-motori).

Ottov kruæni proces se sastoji od dvije dijabate i dvije izohore. Produkti izgaranja (radno sredstvo) obavljaju rad pri adijabatskom πirenju (3-4).

70

Dieselov kruæni proces se sastoji od izohore, izobare i dvije adijabate. I ovdje produkti izgaranja obavljaju rad adijabatskim πirenjem (3-4).

Perpetuum mobile prve vrste i prvi zakon termodinamike Stroj koji bi radio (obavljao rad) bez uzimanja topline (bez utroπka energije) nazvan je perpetuum mobile prve vrste. U kruænom procesu se plin vraÊa u poËetno stanje, πto znaËi da mu je unutarnja energija u konaËnom stanju jednaka poËetnoj. Unutarnja energija se, dakle, nije promijenila (DU = 0). Po pretpostavci, perpetuum mobile prve vrste ne uzima toplinu pa je Q = 0. Uvrstimo li to u jednadæbu prvog zakona termodinamike, dobivamo:

0=0 +W, odnosno:

W =0. Dakle, stroj koji ne uzima energiju ne moæe raditi (obavljati rad). Perpetuum mobile prve vrste nije moguÊ. Zabranjuje ga prvi zakon termodinamike.

Drugi zakon termodinamike Q2

Iz izraza za korisnost toplinskog stroja ( h =1- ) vidimo da je korisnost veÊa πto je toplina predana Q1 hladnijem spremniku manja. Je li moguÊ stroj koji ne bi predavao toplinu hladnijem spremniku i koji bi, prema tome, svu primljenu toplinu pretvarao u mehaniËki rad? Pretpostavimo da je radno tijelo obavilo rad adijabatskom ekspanzijom. Da bi ponovo moglo obavljati rad, radno tijelo moramo vratiti u poËetno stanje. Ne predaje li radno tijelo pritom toplinu, ono Êe se u poËetno stanje vraÊati po istoj adijabati po kojoj se i πirilo obavljajuÊi rad. Povrπina odreena tim dvjema adijabatama jednaka je nuli, a to znaËi da je i rad stroja jednak nuli. Æelimo li da toplinski stroj u kruænom procesu daje iz topline mehaniËki rad, radno tijelo se, nakon πto obavi rad, u poËetno stanje mora vraÊati krivuljom koja ide “ispod” one po kojoj se πirilo. To je moguÊe samo ako dio primljene topline predaje hladnijem spremniku. Zato je odgovor na postavljeno pitanje negativan: Nije moguÊ stroj koji bi svu primljenu toplinu pretvorio u mehaniËki rad. Ta Ëinjenica predstavlja drugi zakon termodinamike. Stroj koji bi svu primljenu toplinu mogao pretvoriti u mehaniËki rad nazvan je perpetuum mobile druge vrste pa drugi zakon termodinamike moæemo izreÊi i ovako: Perpetuum mobile druge vrste nije moguÊ.

71

Postoje joπ neke formulacije drugog zakona termodinamike. Jedna je od njih da toplina sama od sebe (spontano) moæe prelaziti samo s tijela viπe temperature na tijelo niæe temperature. Zaista, ne opaæamo spontani proces koji bi rezultirao zagrijavanjem toplijeg tijela na raËun hlaenja hladnijeg. U zatvorenom sustavu koji se sastoji od dvaju dijelova razliËitih temperatura toplina prelazi s toplijeg na hladniji dio sve dok se temperature dijelova sustava ne izjednaËe. Tada je sustav u toplinskoj ravnoteæi. OpÊenito je ravnoteæno stanje sustava ono u kojemu svi dijelovi sustava imaju ne samo jednake temperature, nego i tlakove i neke druge veliËine. Prijelaz topline s toplijeg na hladniji dio zatvorenog sustava spontani je termodinamiËki proces. On je jednosmjeran i vodi sustav prema ravnoteænom stanju. Drugi zakon termodinamike ne odnosi se samo na proces prelaæenja topline s toplijeg dijela sustava na hladniji, nego su prema tom zakonu svi termodinamiËki procesi jednosmjerni. TermodinamiËkim procesima zatvoreni sustav teæi ravnoteænom stanju koje je konaËno. Kada sustav ostvari ravnoteæno stanje, u njemu se viπe ne odvijaju nikakvi termodinamiËki procesi.

Pitanja: 1. ©to je perpetuum mobile prve vrste? Zaπto on nije moguÊ? 2. ©to je perpetuum mobile druge vrste? Moæe li on postojati prema prvom zakonu termodinamike? 3. Zaπto unutarnju energiju pohranjenu u oceanima ne moæemo pretvarati u mehaniËki rad? 4. Koje stanje sustava nazivamo ravnoteænim? 5. Moæe li sustav iz ravnoteænog stanja spontano prijeÊi u neravnoteæno stanje?

MehaniËka energija tijela koje se njiπe prelazi u unutarnju energiju tijela i okolnog zraka zbog Ëega se tijelo nakon nekog vremena prestane gibati. Suprotni proces u kojem bi se mirno tijelo zanjihalo na raËun smanjenja unutarnje energij nije moguÊ (drugi zakon termodinamike).

72

StatistiËka priroda drugog zakona termodinamike VeliËine kojima opisujemo stanje termodinamiËkog sustava su temperatura, tlak i obujam. Te veliËine, a time i stanje termodinamiËkog sustava (npr. plina), ovise o poloæajima i brzinama Ëestica sustava. »esticâ je u termodinamiËkim sustavima mnogo pa je mnogo i razliËitih poloæaja koje one mogu zauzeti i isto tako mnogo je razliËitih brzina koje one mogu imati u tim poloæajima. Da bismo stekli predodæbu o moguÊim raspodjelama Ëestica unutar termodinamiËkog sustava, pogledajmo najprije kako se Ëetiri molekule plina (1, 2, 3 i 4) mogu rasporediti unutar dviju polovica posude (slika 36). Ukupno je 16 moguÊih raspodjela. BuduÊi da se molekule plina meusobno ne razlikuju, ne razlikuju se meusobno ni stanja prikazana na slikama b, c, d i e, f, g, h, i, j i k, te l, m, n i o. Isto stanje plina moæe se ostvariti s razliËitim raspodjelama molekula. Jedino je stanje u kojem su sve molekule u jednoj polovici posude ostvarivo na samo jedan naËin (slika 36 a i p). Na najviπe je naËina ostvarivo ono stanje kod kojeg je u polovicama posude podjednako molekula. To je ravnoteæno stanje. Ono se u naπem primjeru moæe ostvariti sa πest razliËitih raspodjela molekula (f, g, h, i, j i k). Ako bismo povremeno pogledavali u posudu s molekulama, najËeπÊe bismo vidjeli stanje s jednakim brojem molekula u obje polovice. Ravnoteæno stanje je najvjerojatnije stanje. Manje je vjerojatno stanje s jednom molekulom u jednoj polovici posude i s tri u drugoj, a najmanje vjerojatno je stanje sa svim molekulama u jednoj polovici posude. Broj naËina (W) kojima se moæe ostvariti neko stanje moæemo izraËunati prema formuli:

! , W = N N!N A B! gdje je NA broj molekula u jednoj od polovica posude, NB broj molekula u drugoj polovici posude, a N ukupan broj molekula u posudi. VeliËina N! (Ëitamo “en faktorijela”) predstavlja umnoæak svih cijelih brojeva od 1 do N: 1 · 2 · 3 · 4 · 5... · N. IzraËunajmo pomoÊu ove formule broj naËina na koje se moæe ostvariti stanje s jednakim brojem molekula u obje polovice posude uzimajuÊi sve veÊi broj molekula.

$4 1. N =4, NA =2, NB =2 W = 24!2! ! = 11$$22$$3 1$2 =6 ! 2. N =10, NA =5, NB =5 W = 510 !5! =252 3. N =20, NA =10, NB =10 W =184756 4. N =40, NA =20, NB =20, W =1.38$1011

73

Slika 36. MoguÊe raspodjele Ëetiriju molekula u dvije polovice posude PoveÊanjem broja molekula u posudi naglo raste broj raspodjela u kojima je jednako molekula u obje polovice posude, a time i vjerojatnost da Êemo sustav naÊi u tom stanju. Kada bi naπa posuda imala obujam samo 1 cm3, u njoj bi se pri normiranim uvjetima nalazilo oko 1019 molekula plina. Broj naËina kojima bi se moglo ostvariti stanje s jednakim brojem molekula u obje polovice posude bio bi tako velik da bismo plin gotovo uvijek naπli u tom stanju ili u stanju koje se raspodjelom molekula tako malo razlikuje od ravnoteænog da ga moæemo smatrati ravnoteænim. Prema drugom zakonu termodinamike, plin sigurno zavrπava u stanju s jednakim ili pribliæno jednakim brojem molekula u objema polovicama posude (ravnoteæno stanje), a sada vidimo da je to stanje samo najvjerojatnije. Ono postaje gotovo sigurnim tek kada je u sustavu veliki broj molekula. Prema tome, drugi zakon termodinamike je statistiËke prirode. U sustavima od nekoliko Ëestica vjerojatnost stanja s jednakim brojem molekula u obje polovice posude nije tako velika da Êe sustav nuæno ostati u tom stanju kada ga ostvari.

Entropija U vezi s brojem naËina na koje se moæe ostvariti neko stanje sustava definirana je veliËina stanja sustava koju zovemo entropija (S). Njezina vrijednost za neko stanje sustava je veÊa πto je veÊi broj naËina na koje se to stanje sustava moæe ostvariti. Entropija sustava je najveÊa kada je sustav u najvjerojatnijem (ravnoteænom) stanju jer se to stanje moæe ostvariti na najviπe naËina.

74

Imamo li zatvoreni sustav u neravnoteænom stanju (stanju koje nije najvjerojatnije), on spontano teæi ravnoteænom stanju kao najvjerojatnijem. Njegova se entropija pritom poveÊava i postiæe najveÊu vrijednost kada sustav doe u ravnoteæno stanje. Entropija se u nekom dijelu zatvorenog sustava moæe i smanjiti, ali Êe u preostalom dijelu sustava njezin porast biti veÊi od smanjenja u prvom dijelu tako da Êe se entropija sustava u cjelini poveÊati. Pokazat Êemo to jednim primjerom. Primjer: Izmeu promjene entropije (DS) sustava i koliËine topline (DQ) koju sustav izmijeni pri temperaturi T postoji veza koja je dana jednadæbom:

DQ DS = T . Vidimo da je jedinica entropije J K-1. IzraËunat Êemo promjenu entropije pri mijeπanju 1 kg vode temperature 20 ˚C i 1 kg vode temperature 40 ˚C. PomoÊu Richmannova pravila lako nalazimo da je temperatura vode nakon mijeπanja 30 ˚C. Promjena temperature vode koja se zagrijavala je DT1 = 10 K, a vode koja se hladila DT2 = -10 K. Da bismo naπli promjenu entropije sustava treba izraËunati promjene entropije za vodu koja se zagrijavala i za vodu koja se hladila, a zatim te promjene zbrojiti. BuduÊi da se toplina nije izmjenjivala pri stalnoj temperaturi u izraz za promjenu entropije uvrstit Êemo srednju vrijednost temperature. Tim raËunom dobit Êemo za promjenu entropije pribliænu vrijednost, ali zadovoljavajuÊu. Srednja vrijednost temperature vode koja se zagrijavala iznosi T 1 = 25 ˚C, a vode koja se hladila T 2 = 35 ˚C. IzraËunajmo sada promjenu entropije vode koja se zagrijavala.

DS 1 =

DQ1 m1 cDT 1 1 kg $ 4190 J K - 1 kg - 1 $10 K = = 25 K T1 T1

DS1 = 1676 J K-1. Jednakim postupkom nalazimo promjenu entropije vode koja se hladila:

DS 2 =

DQ 2 m 2 cDT 2 1 kg $ 4190 J K - 1 kg - 1 $ (- 10 K) = = 35 K T2 T2 DS2 = -1197 J K-1.

Promjena entropije sustava je: DS = DS1 +DS2 = 1676 J K-1 - 1197 J K-1 DS = 479 J K-1. Promjena entropije sustava je pozitivnog predznaka πto znaËi da se entropija poveÊala.

Pitanja: 1. ©to znaËi da je drugi zakon termodinamike statistiËke prirode? 2. U toplinski izoliranoj posudi nalaze se topla i hladna voda meusobno odijeljene pregradom. HoÊe li se nakon uklanjanja pregrade i mijeπanja tople i hladne vode entropija poveÊavati, smanjivati ili se neÊe mijenjati?

75

76

ELEKTROMAGNETIZAM

77

ELEKTRI»NI NABOJ ElektriËni naboj Tijela sadræe elektriËni naboj. O niti ovjesimo lagani plastiËni πtap natrljan u krznu i pribliæimo mu drugi plastiËni πtap takoer natrljan u krznu (slika 37a). ©tapovi se meusobno odbijaju. Kaæemo da su naelektrizirani ili elektriËki nabijeni, da imaju elektriËni naboj. KoliËina naboja je fiziËka veliËina koju obiljeæavamo s Q ili q, a iskazujemo je kulonima (C). Dvije vrste elektriËnog naboja. BuduÊi da se plastiËni πtap elektrizira trljanjem o krzno, razumno je zapitati se elektrizira li se pritom i krzno. To moæemo provjeriti pokusom. Komad krzna savijemo u oblik πtapa, zatim jedan njegov kraj natrljamo plastiËnim πtapom i ovjesimo ga o niti. Kada natrljanom dijelu krzna ovjeπenom o niti pribliæimo drugi natrljani komad krzna, opaæamo da se oni odbijaju (slika 37b). I krzno se, dakle, trljanjem elektrizira.

krzno krzno

Slika 37. Odbijanje natrljanih πtapova pokazuje da su oni naelektrizirani Ovjesimo li o niti naelektrizirani komad krzna i pribliæimo mu naelektrizirani plastiËni πtap, opaæamo privlaËenje (slika 38). Izvedeni pokusi nam pokazuju da postoje dvije vrste elektriËnog naboja, jedna na plastiËnom, a druga na krznenom πtapu, te da se istovrsni naboji odbijaju, a raznovrsni privlaËe.

78

krzno

Slika 38. Tijela naelektrizirana raznoimenim nabojima meusobno se privlaËe Elektroskop. Je li neko tijelo naelektrizirano, moæemo saznati pomoÊu elektroskopa (slika 39). On se sastoji od metalnog πtapa na stalku i listiÊa. Stalak je od plastike, stakla, porculana ili sliËnog materijala. Na gornjem dijelu πtapa je kuglica ili ploËa. Kada naelektriziranim tijelom dodirnemo kuglicu elektroskopa, naboj s tijela prijee na πtap i listiÊ elektroskopa. BuduÊi da se istoimeni naboji odbijaju, listiÊ se otkloni od πtapa. Otklon listiÊa je, dakle, pokazatelj naelektriziranosti tijela.

Slika 39. Elektroskop

Dodirnemo li kuglicu elektroskopa naelektriziranim plastiËnim πtapom, listiÊ Êe se otkloniti. Dotaknemo li nakon toga kuglicu naelektriziranim krznenim πtapom, vidjet Êemo da Êe se otklon listiÊa smanjiti. Naboj krznenog πtapa neutralizira naboj plastiËnog πtapa. Meusobno neutraliziranje razliËitih vrsta naboja moæemo usporediti sa zbrajanjem algebarskih brojeva razliËitih predznaka. Zato nabojima pridodajemo pozitivni i negativni predznak. Dogovorom je na plastiËnom πtapu negativan naboj, a na krznenom pozitivan.

79

OËuvanje elektriËnog naboja. Stavimo na πtap elektroskopa metalnu posudu i na nju krzno. Trljajmo plastiËni πtap o krzno ne odvajajuÊi ga od krzna (slika 40a). ListiÊ elektroskopa se ne otklanja, πto znaËi da je ukupni naboj plastiËnog πtapa i krzna jednak nuli. Odmaknemo li natrljani πtap od krzna, listiÊ se otkloni (slika 40b) zbog pozitivnog naboja kojim se naelektriziralo krzno. Na plastiËnom πtapu je negativan naboj. Ako plastiËni πtap vratimo na krzno, listiÊ se vrati u poËetni poloæaj ne pokazujuÊi postojanje naboja. Trljanjem plastiËnog πtapa u krznu i odvajanjem πtapa od krzna, na πtapu i krznu su se pojavile jednake koliËine naboja suprotnih predznaka. Ukupni naboj krzna i plastiËnog πtapa jednak je nuli i kada ih razdvojimo. Ukupni naboj je oËuvan.

Slika 40. Ukupni naboj plastiËnog πtapa i krzna u a) i b) jednak je nuli Kvantiziranost elektriËnog naboja. Pokusom je utvreno da je koliËina naboja na naelektriziranim tijelima uvijek viπekratnik od 1,6 · 10-19 C. To je elementarna koliËina naboja ili kvant elektriËnog naboja. Obiljeæimo li elementarni naboj s e (e = 1,6 · 10-19 C), tada je naboj naelektriziranog tijela:

gdje je N = !1,!2,!3...

Q = Ne,

Nositelji elektriËnog naboja. Nositelji negativnog elementarnog naboja su elektroni, a pozitivnog protoni. Protone nalazimo u jezgrama atoma, a elektrone u omotaËu. Kada atom ima jednak broj elektrona i protona, ukupni naboj atoma je jednak nuli. Pojavu jednakih koliËina naboja suprotnih predznaka na plastiËnom πtapu i krznu nakon trljanja tumaËimo prijelazom nabijenih Ëestica s jednog tijela na drugo. Nabijene Ëestice su protoni i elektroni pa je pitanje koje od njih prelaze s tijela na tijelo ili moæda prelaze i jedne i druge. Sila koja dræi protone i neutrone na okupu u jezgri atoma mnogo je jaËa od sile kojom su elektroni vezani za atom. Pri trljanju plastiËnog πtapa u krznu dolazi do prijelaza elektrona sa krzna na plastiËni πtap.

80

VodiËi i izolatori (dielektrici). Naelektrizirajmo elektroskop, a zatim mu kuglicu spojimo pomoÊu bakrene æice s kuglicom drugog jednakog nenaelektriziranog elektroskopa. Opaæamo da se listiÊ drugoga elektroskopa otklanja (slika 41a). To znaËi da je naboj æicom preπao s jednog elektroskopa na drugi. Ponovimo li pokus tako da, umjesto æicom, elektroskope spojimo plastiËnim ili staklenim πtapom, listiÊ drugog elektroskopa se neÊe otkloniti (slika 41b). Naboj sada nije preπao na drugi elektroskop. Tvari kojima se elektriËni naboj moæe gibati nazivamo vodiËima, a tvari kojima se elektriËni naboj ne moæe gibati izolatorima ili dielektricima. Metali su dobri vodiËi, ali se naboj moæe gibati i raznim otopinama (elektrolitima) te ioniziranim plinovima (neonska svjetiljka). Primjeri izolatora su staklo, porculan, plastika, parafin, destilirana voda i neke druge tekuÊine.

Slika 41. Bakrena æica je vodiË (a), a plastiËni πtap izolator (b) Elektrostatska indukcija (influencija). Kada namjeravamo naelektrizirati elektroskop, opaæamo da se njegov listiÊ otklanja i prije nego kuglicu dodirnemo naelektriziranim tijelom. Dovoljno je naelektrizirano tijelo samo pribliæiti kuglici elektroskopa. Pribliæavanjem naelektriziranog plastiËnog πtapa kuglici elektroskopa negativni naboj plastiËnog πtapa odbija negativni naboj u metalnom πtapu elektroskopa. Zbog toga u metalnom πtapu elektroskopa dolazi do razdvajanja negativnog naboja od pozitivnog (slika 42). Razdvajanje naboja u vodiËu (metalnom tijelu) kada mu se pribliæi elektriËki nabijeno tijelo nazivamo elektrostatskom indukcijom ili influencijom.

Slika 42. Elektrostatska indukcija (influencija)

81

Polarizacija. U molekulama nekih izolatora teæiπte pozitivnog naboja ne podudara se s teæiπtem negativnog naboja. Takve molekule koje imaju pozitivni i negativni dio nazivamo polarnim molekulama. Kada tijelu s polarnim molekulama pribliæimo nabijeno tijelo, prema nabijenom tijelu okreÊu se oni dijelovi polarnih molekula Ëiji je naboj suprotan naboju nabijenog tijela (slika 43). Tu pojavu nazivamo elektriËnom polarizacijom. Zbog elektriËne polarizacije, nabijeno tijelo privlaËi komadiÊe papira koji su elektriËki neutralni.

Slika 43. Polarizacija

Pitanja: 1. Kako biste pokusom pokazali da postoje dvije vrste elektriËnog naboja? 2. Kako radi elektroskop? 3. Kada nakon trljanja plastiËnog πtapa u suknu πtap odvojimo od sukna, u kakvom su odnosu koliËine naboja na πtapu i suknu? 4. ©to je kvant elektriËnog naboja i koliko iznosi? Postoji li koliËina naboja 2 · 10 -19 C? 5. Koje su Ëestice nositelji elektriËnog naboja? Kako tumaËite pojavu negativnog naboja na plastiËnom πtapu i pozitivnog na suknu nakon trljanja πtapa u suknu? 6. ©to su vodiËi, a πto izolatori? 7. ©to je influencija (elektrostatska indukcija)? 8. ©to je polarizacija?

82

Coulombov zakon Pokusom je utvreno da je sila kojom meusobno djeluju dva malena (toËkasta) nabijena tijela razmjerna koliËini naboja na njima (Q1 i Q2), a obrnuto razmjerna kvadratu njihove udaljenosti (r):

F = konst.$

Q1 Q 2 . r2

To je Coulombov zakon. Sila je najjaËa kada su tijela u vakuumu. Tada je konstanta razmjernosti najveÊa i iznosi: k o = 9$10 9 Nm 2 C - 2 , a izraz za Coulombov zakon glasi:

F =k o

Q1 Q 2 . r2

Konstantu ko piπemo i u obliku:

1 k o = 4rf

o

pri Ëemu izraz za Coulombov zakon prelazi u: .

1 Q1 Q 2 F = 4rf o r2

.

Konstantu f0 nazivamo permitivnost vakuuma. Njezin je iznos:

f o =8.8542$10 - 12 C 2 N - 1 m - 2 . Prenesemo li nabijena tijela iz vakuuma u neki dielektrik (nevodljivo sredstvo) ne mijenjajuÊi naboj na njima niti njihov meusobni razmak, sila izmeu njih Êe se smanjiti. Smanjenje sile tumaËimo polarizacijom. Naime, polarne molekule dielektrika oko nabijenih tijela djelomiËno neutraliziraju naboj na tijelima. Omjer izmeu sile u vakuumu i dielektriku veliËina je svojstvena dielektriku. Zovemo je relativna permitivnost (fr). Izraz za silu meu nabijenim toËkastim tijelima u dielektriku glasi:

Q1 Q 2 ili F = 1 Q1 Q 2 , odnosno F = k Q1 Q 2 , F = 4rf1 f 4rf r 2 r2 o r r2 gdje je f = f o f r , a k =

1 1 4rf o f r ili k = 4rf .

Relativna permitivnost zraka je neznatno veÊa od jedan pa neÊemo mnogo pogrijeπiti ako u raËunima uzmemo da je jednaka jedinici.

83

Relativna permitivnost (fr) nekih tvari vakuum zrak petrolej porculan staklo voda mineralno ulje parafin papir alkohol

1 1,00054 2,2 6,5 6 81 5 2 - 2.5 3,5 26

■ Primjer 1: Dvije kuglice jednakih masa (2g) ovjeπene su o niti jednakih duljina. Kada se kuglice nabiju jednakim koliËinama naboja, one se razmaknu tako da je kut meu nitima 60 ˚ (slika). a) Kolika je Coulombova sila na svaku kuglicu? b) Kolika je koliËina naboja na svakoj kuglici ako je duljina niti 50 cm? Rjeπenje: m = 2 g = 2 · 10-3 kg a = 60 ˚ l = 50 cm = 0,50 m

a) Iz slike vidimo da je:

FC tan a 2=F g

FC = F g tan a 2 -3 -2 FC = mg tan a 2 =2$10 kg $9, 81m s $ tan30c

FC =0, 011 N. b)

Q2 , r =l =0, 50 m r2 0, 011N Q = r FkC =0, 50 m $ 9$10 9 N m 2 C - 2 Q =5, 53$10 - 7 C. FC = k

84

■ Primjer 2: Dvije jednake kuglice s nabojima 8 nC i -2 nC stavimo u dodir i vratimo na poËetnu udaljenost. Koliki je omjer sila meu kuglicama prije i nakon dodira? Rjeπenje: Q1 = 8 nC Q2 = -2 nC

F F' = ? BuduÊi da su kuglice jednake, i koliËine naboja na njima nakon dodira su jednake. Ukupni naboj se dodirom nije promijenio pa je na svakoj kuglici polovina ukupnog naboja:

Q1 + Q 2 8nC + (- 2nC) 2 = 2 Q'=3nC. Q' = Omjer sila je:

Q1 Q 2 r 2 = Q1 Q 2 = 8nC $(- 2nC) Q'2 Q'2 (3nC) 2 k 2 r F =- 16 . 9 F' F F' =

k

Sila je prije dodira bila privlaËna (raznoimeni naboji), a nakon dodira odbojna (istoimeni naboji) pa je omjer negativan.

Zadaci: 1. Koliki je omjer elektriËne i gravitacijske sile izmeu dvaju elektrona? Koja je sila jaËa? Masa elektrona je 9,11 · 10-31 kg, a njegov naboj 1,6 · 10-19 C. G = 6,67 · 10-11 N m2 kg-2, k = 9 · 109 N m2 C2. 2. Dva toËkasta naboja, 20 nC i 30 nC, nalaze se na meusobnoj udaljenosti 50 cm. U kojoj bi toËki na spojnici ovih naboja treÊi naboj bio u ravnoteæi?

Charles de Coulomb (1736. - 1806.), francuski fiziËar. Otkrio zakon torzije i izumio torzijsku vagu kojom je mjerio silu izmeu dvaju toËkastih naboja. Mjerenjem je utvrdio na koji naËin sila ovisi o veliËini naboja i razmaku meu njima πto se po njemu zove Coulombov zakon.

85

ElektriËno polje U prostoru oko elektriËki nabijenog tijela javlja se sila na drugo nabijeno tijelo (ili kraÊe: naboj). Te sile nema u prostoru oko nenabijenoga tijela. Kaæemo da oko elektriËki nabijenoga tijela postoji elektriËno polje. Jakost elektriËnog polja. Da bismo saznali postoji li u nekoj toËki elektriËno polje, moramo u tu toËku dovesti naboj i vidjeti djeluje li na njega sila. Naboj kojim ispitujemo postojanje i svojstva elektriËnog polja mora imati mali iznos kako bi svojim poljem πto manje mijenjao elektriËno polje u koje smo ga postavili. Nazivamo ga probni naboj. Podijelimo li silu ( F ) s nabojem (q), dobit Êemo silu na jedan kulon naboja. Silu koja bi u toËki elektriËnog polja djelovala na jediniËni pozitivni naboj nazivamo jakost elektriËnog polja ( E ):

E= F q

.

Jakost elektriËnog polja je vektorska veliËina i ima smjer sile na pozitivni naboj. Jedinica je za jakost elektriËnog polja N C-1. UobiËajeno je za jakost elektriËnog polja kazati samo elektriËno polje. Silnice elektriËnog polja. ElektriËno polje predoËujemo silnicama. Na slikama 44a) i b) silnicama je predoËeno elektriËno polje pozitivnog, odnosno negativnog toËkastog naboja. Silnice imaju smjer elektriËnog polja, tj. sile na pozitivni naboj.

Slika 44. Silnice elektriËnog polja toËkastog naboja: a) pozitivnog predznaka b) negativnog predznaka

86

Silnice elektriËnog polja nisu uvijek pravci (slika 45 a) i b)). OpÊenito su to krivulje, kojima su tangente u svakoj toËki u smjeru vektora elektriËnog polja.

Slika 45a. Silnice dvaju raznoimenih naboja

Slika 45b. Silnice dvaju istoimenih naboja

87

Homogeno elektriËno polje. Homogeno polje u svakoj toËki ima istu jakost i smjer, a predoËujemo ga paralelnim silnicama jednake gustoÊe (slika 46).

Slika 46. Silnice homogenog elektriËnog polja

ElektriËno polje toËkastog naboja Neka se na udaljenosti r od toËkastog naboja Q nalazi probni naboj q (slika 47). Sila na probni naboj (q) odreena je Coulombovim zakonom:

1 Qq . F = 4rf r2

Slika 47. Probni naboj q u elektriËnom polju toËkastog naboja Q Podijelimo li silu s iznosom probnog naboja, dobit Êemo jakost elektriËnog polja na udaljenosti r od naboja Q:

1 Qq 4rf r 2 F E= q = q 1 Q E = 4rf r2

.

ElektriËno polje toËkastog naboja (Q) opada s kvadratom udaljenosti (r) od njega.

88

■ Primjer 1: Dva toËkasta naboja, 1 nC i 4 nC, nalaze se na meusobnoj udaljenosti 10 cm. Kolika je jakost elektriËnog polja u toËki: a) koja raspolavlja razmak meu nabojima b) koja je od prvog naboja udaljena 8 cm, a od drugog 6 cm? Rjeπenje: Q1 =1 nC = 10-9 C Q2 = 4 nC = 4 · 10-9 C r = 10 cm = 0.10 m a)

Vektori elektriËnih polja koja potjeËu od naboja Q1 i Q2 su u promatranoj toËki suprotnih smjerova (slika) pa iznos rezultantnog polja dobijemo oduzimanjem polja prvog naboja od polja drugog naboja:

E = E 2 - E1 Q1 Q2 E =k 2 -k 2 b 2r l b 2r l -2 9 2 E = 4k2 (Q 2 - Q1 )= 4$9$10 N m2 C (4$10 - 9 C -10 - 9 C) r (0.1m) -1 E =10800 N C .

b) r1 = 8 cm = 0,08 m r2 = 6 cm = 0,06 m

89

Iz zadanih udaljenosti vidimo da je r 2 = r12 + r22 da je:

J Q N2 J Q N2 1 2 E = E + E = KK k 2 OO + KK k 2 OO r1 r2 L P L P 2 2 J Q N2 J Q N2 -9 -9 1 2 $ 10 C 4 10 C 9 2 -2 E = k KK 2 OO + KK 2 OO = 9$10 N m C e o +e o r1 r2 (0, 08 m) 2 (0, 06 m) 2 L P L P E =10098 N C - 1 . 2 1

2 2

■ Primjer 1: Proton se poËne gibati u smjeru silnica homogenog elektriËnog polja i za 2 ns prijee put 20 m. Kolika je jakost elektriËnog polja? Masa protona je 1.67 · 10-27 kg, a njegov naboj 1.6 · 10-19 C. Rjeπenje: t = 2 ns = 2 · 10-6 C s = 20 m q = e = 1.6 · 10-19 C m = 1.67 · 10-27 kg E=? Na proton u elektriËnom polju djeluje stalna sila F = Eq koju prema drugom Newtonovu zakonu joπ moæemo pisati i kao F = ma:

Eq = ma. Pod utjecajem stalne sile proton se giba jednoliko ubrzano pa vrijedi: 2

s = at2 & a = 22s . t Uvrπtavanjem u Eq = ma na kraju dobivamo:

2$1.67$10 - 27 kg $20 m E = 2ms , 2 = qt 1, 6 $10 - 19 C $(2$10 - 6 s) 2

E =1, 04$10 5 N C - 1 .

Pitanja: 1. Kako definiramo jakost elektriËnog polja? 2. Kakav je smjer elektriËnog polja u odnosu na smjer sile na: a) proton b) elektron? Zadatak: 1. Jakost elektriËnog polja na udaljenosti 1 nm od neke jezgre iznosi 5,76 G N C-1. Koliko je protona u toj jezgri? k = 9 · 109 N m2 C-2, e = 1,6 · 10-19 C.

90

Gaussov zakon Izraze za jakost elektriËnog polja nabijenih tijela raznih oblika moæemo izvesti iz tzv. Gaussova zakona. Ako se naboj Q nalazi unutar plohe povrπine S kroz koju okomito prolaze silnice elektriËnog polja naboja, tada je jakost elektriËnog polja (E) na plohi:

Q E = fS

.

To je Gaussov zakon. Primijenimo ga na toËkasti naboj. Zamiπljena ploha unutar koje se nalazi toËkasti naboj i kroz koju okomito prolaze silnice elektriËnog polja je sfera (kuglina ploha) s toËkastim nabojem u srediπtu (slika 48). Uvrstimo li za povrπinu S = 4rr2, gdje je r polumjer sfere, dobivamo:

1 Q, E = 4rf r2 πto je poznati izraz za jakost elektriËnog polja toËkastog naboja

Slika 48. Uz primjenu Gaussova zakona na toËkasti naboj

ElektriËno polje nabijene metalne kugle Pretpostavimo da smo kuglu dodirnuli nabijenim plastiËnim πtapom. Dodirom na kuglu smo prenijeli elektrone. Preneseni elektroni se meusobno odbijaju pa Êe se jednoliko raspodijeliti po povrπini kugle, dok ih u unutraπnjosti kugle neÊe biti. ©to vrijedi za negativan naboj vrijedi i za pozitivan (slika 49 A). Naboj se uvijek rasporeuje po povrπini vodiËa bez obzira na njegov oblik. Zamislimo sferu koja se nalazi odmah ispod povrπine nabijene kugle (slika 49a). Unutar zamiπljene sfere nema naboja pa je, prema Gaussovu zakonu, jakost elektriËnog polja unutar zamiπljene sfere i u samoj nabijenoj kugli jednaka nuli. ElektriËno polje jednako je nuli ne samo unutar metalne kugle, nego unutar svakog nabijenog vodiËa.

91

Æelimo li naÊi jakost elektriËnog polja izvan kugle na udaljenosti r od njezina srediπta, zamislimo sferu polumjera r (slika 49 b). Unutar te sfere je naboj kugle pa primjenom Gaussova zakona dobivamo:

Q E = fS =

Q f4r 2 r

1 Q E = 4rf r2

Slika 49a. U kugli nema naboja ni polja

Slika 49b. Polje izvan kugle je jednako kao da je naboj kugle u njezinu srediπtu

Lako zakljuËujemo da je na povrπini same kugle jakost elektriËnog polja:

1 Q. E = 4rf R2 Promjenu jakosti elektriËnog polja s udaljenoπÊu od srediπta kugle prikazuje slika 50.

Slika 50. Ovisnost elektriËnog polja o udaljenosti od srediπta kugle

92

ElektriËno polje nabijene ravne beskonaËne metalne ploËe Dovedemo li elektriËni naboj na ravnu metalnu ploËu vrlo velike povrπine, naboj Êe se po njoj rasporediti jednoliko zbog odbojne sile meu nositeljima dovedenog naboja. ElektriËno polje ploËe moæemo ispitati pomoÊu probnog naboja (q). Na probni naboj djeluju svi naboji s ploËe. Na slici 51a prikazane su sile kojima na probni naboj djeluju naboji ploËe iz toËaka A i B. Te su sile jednakih iznosa, a njihova je rezultanta okomita na plohu. Svakom dijelu ploËe pridruæen je drugi jednaki dio, takav da su sile kojima naboji s tih dijelova djeluju na probni naboj silama jednakih iznosa, a njihova je rezultanta okomita na ploËu. Bilo gdje da postavimo probni naboj, naboj Êe s ploËe na njega djelovati silom okomitom na ploËu. To zapravo znaËi da su silnice elektriËnog polja okomite na ploËu (slika 51b).

Slika 51. Silnice ravne beskonaËne ploËe su okomite na ploËu Zamislimo dva valjka sa zajedniËkom osnovicom povrπine S na nabijenoj ploËi (kako je prikazano na slici 52). Neka je koliËina naboja na zajedniËkoj osnovici Q. Silnice koje izlaze s tog dijela ploËe prolaze kroz druge dvije osnovice zamiπljenih valjaka pa je jakost elektriËnog polja prema Gaussovu zakonu:

Q E = 2fS

Slika 52. Silnice prolaze samo kroz osnovice zamiπljenog valjka

93

Jakost elektriËnog polja ne ovisi o udaljenosti od ploËe. To vrijedi za ploËu beskonaËno velike povrπine. Za ploËu konaËnih dimenzija jakost polja neÊe ovisiti o udaljenosti od ploËe ako su te udaljenosti malene u odnosu na veliËinu plohe.

ElektriËno polje dviju paralelnih metalnih ploËa Kada pozitivno nabijenoj metalnoj ploËi pribliæimo nenabijenu, u nenabijenoj Êe ploËi doÊi do razdvajanja pozitivnog od negativnog naboja (elektrostatska indukcija, slika 53a). Spojimo li ploËu, u kojoj su se naboji razdvojili vodiËem s tlom (uzemljimo je), elektroni pristigli iz tla neutraliziraju pozitivan naboj. Preostale su dvije ploËe s jednakim koliËinama razliËitih naboja (slika 53b).

Slika 53. Nabijanje dviju paralelnih metalnih ploËa Prikaæemo li silnice elektriËnog polja pozitivne ploËe punim crtama, a negativne ploËe isprekidanim (slika 54a), uoËavamo da se elektriËna polja pozitivne i negativne ploËe u prostoru meu njima zbrajaju, a izvan ploËa poniπtavaju. Prema tome, polje postoji samo izmeu ploËa (slika 54b), a njegova je jakost:

Q E = fS .

94

Slika 54. Izvan ploËa nema elektriËnog polja

Pitanja: 1. Kolika je jakost elektriËnog polja u nabijenoj limenoj kocki? 2. Koja su od navedenih polja homogena: toËkastog naboja, dvaju bliskih toËkastih naboja, beskonaËne ravne ploËe, dviju paralelnih ravnih ploËa, ravnog vodiËa. 3. Na nekoj je udaljenosti od beskonaËno velike ravne nabijene metalne ploËe jakost elektriËnog polja 200 NC-1. Kolika je jakost polja na dvostruko veÊoj udaljenosti? Zadatak: 1. Ako jakost elektriËnog polja pri povrπini nabijene kugle polumjera 10 cm iznosi 100 N C-1, kolika je njegova jakost na udaljenosti: a) 10 cm od povrπine kugle, b) 5 cm od srediπta kugle?

Karl Friedrich Gauss (1777-1855), njemaËki matematiËar i fiziËar. MatematiËki opisao elektriËno i magnetsko polje i uveo pojam potencijala. Konstruirao je komutator za brzu promjenu smjera struje i magnetometar za mjerenje Zemljina magnetskog polja. Poznat je i Gausov rad na sustavima optiËkih leÊa.

95

ElektriËni potencijal Kao πto tijelo na koje djeluje gravitacijska sila ima gravitacijsku potencijalnu energiju, tako i elektriËni naboj na koji djeluje elektriËna sila ima elektriËnu potencijalnu energiju (Eep). Podijelimo li elektriËnu potencijalnu energiju s nabojem, saznat Êemo kolika energija otpada na svaki kulon elektriËnog naboja. ElektriËnu potencijalnu energiju koju bi u elektriËnom polju imao jediniËni pozitivni naboj nazivamo elektriËnim potencijalom ({):

E { = qep . Jedinica za elektriËni potencijal je volt: V = J C-1. Skup toËaka jednakih potencijala nazivamo ekvipotencijalnom plohom.

Potencijal toËkastog naboja Neka se na udaljenosti r1 od toËkastog naboja Q nalazi naboj q (slika 55). Ako se naboj q pod utjecajem elektriËne sile pomakne na udaljenost r2 od naboja Q, njegova Êe se potencijalna energija promijeniti. Promjena elektriËne potencijalne energije ( DE ep = E ep1 - E ep2 ) jednaka je radu (W) πto ga je obavila srednja elektriËna sila ( F ) premjeπtajuÊi naboj q:

DE ep =W E ep1- E ep2 = F $(r2 - r1 ).

Slika 55. Uz izvod izraza za potencijal Srednja sila ( F ) manja je od sile u poËetnom poloæaju ( F1 ) onoliko puta koliko je puta veÊa od sile u krajnjem poloæaju ( F2 ), πto zapisujemo:

F1: F = F : F2

96

iz Ëega slijedi:

1 Qq $ 1 Qq = 1 Qq . F = F1 F2 = 4rf r12 4rf r22 4rf r1 r2 Uvrstimo li ovo u jednadæbu za promjenu energije, na kraju dobivamo:

1 Qq - 1 Qq . E ep1- E ep2 = 4rf r1 4rf r2 »lanovi s desne strane jednadæbe su elektriËne potencijalne energije u poËetnom i krajnjem poloæaju. Prema tome, potencijalna energija naboja q na udaljenosti r od toËkastog naboja Q je:

1 Qq . E ep = 4rf r

■ Primjer: Proton se giba vakuumom prema drugom mirnom protonu i kada je njihova meusobna udaljenost 50 cm, gibajuÊi proton ima brzinu 100 m s-1. Na kojoj Êe se udaljenosti od mirnog protona zaustaviti proton koji se gibao? Masa je protona 1,67 ·10-27 kg. Rjeπenje: r0 = 50 cm = 0,50 m v0 = 106 m s-1 r=? Zbroj kinetiËke i potencijalne energije protona koji se gibao jednak je u oba poloæaja:

mv o2 e 2 =0 + k e 2 . + k ro r 2 U drugom poloæaju se proton zaustavio pa nema kinetiËke energije. Iz ove jednadæbe slijedi:

r=

2$9$10 9 N m 2 C - 2 $(1.6$10 - 19 C) 2 $0, 50m 2ke 2 ro = 2 2 - 27 mv o ro + 2ke 1, 67$10 kg $(100m s - 1 ) 2 $0.50m + 2$9$10 9 N m 2 C - 2 $(1, 6 $10 - 19 C) 2 r =2, 8$10 - 5 m.

Podijelimo li potencijalnu energiju s nabojem q, dobit Êemo potencijal na udaljenosti r od toËkastog naboja Q: .

1 Q { = 4rf r

Sve toËke koje su jednako udaljene od toËkastog naboja imaju jednaki potencijal. Skup toËaka jednako udaljenih od toËkastog naboja Ëini sferu. Prema tome, sfera sa srediπtem u toËkastom naboju je ekvipotencijalna ploha. Oko toËkastog naboja moæemo zamisliti beskonaËno mnogo koncentriËnih sfera, svaka sa svojim potencijalom (slika 56). Silnice elektriËnog polja okomite su na ekvipotencijalne plohe.

97

Slika 56. Presjek ekvipotencijalnih ploha (kruænice) i silnice toËkastog naboja

Pitanja: 1. ©to zovemo elektriËnim potencijalom? 2. ©to je ekvipotencijalna ploha? 3. Kojeg su oblika ekvipotencijalne plohe toËkastog naboja? Zadaci: 1. Koliki je potencijal na udaljenosti 1 nm od jezgre helija koja ima dva protona? Kolika je potencijalna energija protona na toj udaljenosti od jezgre? fo = 8,854 · 10-12 C2 N-1 m-2 2. »etiri jednaka pozitivna toËkasta naboja od 1 nC u vakuumu nalaze se u vrhovima kvadrata stranice 0,1 m. a) Kolika je jakost elektriËnog polja u srediπtu kvadrata? b) Koliki je potencijal u srediπtu kvadrata? 3. Dva jednaka toËkasta naboja od 2 nC nalaze se u vakuumu na meusobnoj udaljenosti 60 cm. Koliki je potencijal u toËki u kojoj je jakost elektriËnog polja ta dva naboja jednaka nuli? 4. Najmanji razmak izmeu dviju ekvipotencijalnih ploha elektriËnog polja toËkastog naboja koje imaju potencijale 4 V i 5 V iznosi 9 cm. Koliki je naboj koji stvara to elektriËno polje?

98

Potencijal nabijene metalne kugle Postupkom kojim smo doπli do izraza za potencijal toËkastog naboja moæemo doÊi i do izraza za potencijal u nekoj toËki elektriËnog polja izvan nabijene metalne kugle. Izraz glasi:

1 Q { = 4rf r r gdje je r udaljenost promatrane toËke od srediπta kugle. Na samoj povrπini kugle polumjera R potencijal je:

1 Q { = 4rf rR ©to je s potencijalom toËaka unutar kugle? Sve toËke nabijenog vodiËa, pa tako i metalne kugle, imaju jednake potencijale. Kada bi u jednom trenutku postojala razlika potencijala meu dvjema toËkama, pozitivni naboj bi se gibao iz toËke s veÊim potencijalom (veÊom potencijalnom energijom) prema toËki niæeg potencijala (manje potencijalne energije), sve dok se potencijali ne izjednaËe. Stanje u kojem su potencijali svih toËaka jednaki je ravnoteæno stanje. Prema tome, posljednja formula odnosi se na potencijale svih toËaka nabijene kugle. To je formula za potencijal kugle. Na slici 57 je prikazana ovisnost potencijala o udaljenosti od srediπta kugle.

Slika 57. Ovisnost potencijala o udaljenosti od srediπta nabijene metalne kugle

■ Primjer: Vodljivu kuglu polumjera 5 cm nabijenu s 50 nC elektriËnog naboja spojimo tankim vodiËem s nenabijenom kuglom polumjera 50 cm. Kolika koliËina naboja pritom prijee na veÊu kuglu? Rjeπenje: R1 = 5 cm R2 = 50 cm Q = 50 nC Q2 = ?

99

BuduÊi da su kugle spojene, one Ëine jedan vodiË. Sve toËke vodiËa imaju isti potencijal. Kugle, dakle, kao dijelovi istog vodiËa imaju jednake potencijale:

{ 1= { 2 1 Q1 1 Q2 4rfr R1 = 4rfr R 2 Q1 Q 2 R1 = R 2 . Joπ je

Q1 + Q 2 = Q pa iz dviju posljednjih jednadæbi slijedi:

R Q = 50cm $50nC Q2= R + 5cm +50cm 1 R2 Q 2 =45, 4nC. UoËimo da je koliËina naboja koja prelazi na drugu kuglu veÊa πto je njezin polumjer veÊi. Ako je veÊa kugla Zemlja, a manja neko tijelo na njoj, tada Êe gotovo sav naboj s tijela otiÊi u Zemlju. Na taj se naËin uzemljuju munjovodi ili kuÊanski aparati radi sigurnosti.

Zadaci: 1. Na kuglu polumjera 10 cm dovedemo 2 nC elektriËnog naboja. Koliki je potencijal: a) toËaka na povrπini kugle b) na udaljenosti 5 cm od srediπta kugle? fo = 8,854 · 10-12 C2 N-1 kg-2 2. Osam jednakih kapljica vode, svaka polumjera 1 mm i potencijala 1000 V, slije se u jednu kap. Koliki je potencijal nastale kapi? fo = 8,854 · 10-12 C2 N-1 kg-2 3. Koliko bi elektrona trebalo oduzeti neutralnoj metalnoj kuglici polumjera 9 mm da njezin potencijal iznosi 160 V? 4. Mjehur od sapunice polumjera 0,08 m nabijen je nabojem 36 nC. Za koliko Êe se promijeniti potencijal mjehura, ako mu se polumjer poveÊa za 2 cm?

100

Napon OpÊenito su potencijali odreenih toËaka u elektriËnom polju razliËiti. Razliku potencijala izmeu dviju toËaka elektriËnog polja nazivamo naponom (U):

U = { 1- { 2 . E ep1

E ep2

Uvrstimo li za potencijale i { 1= q i { 2 = q , dobivamo:

U=

E ep1- E ep2 DE ep = q . q

Promjena energije jednaka je radu ( DE ep =W ) pa je napon

U =W q

.

Rad u elektriËnom polju obavlja elektriËna sila pa moæemo reÊi da je napon izmeu dviju toËaka elektriËnog polja jednak radu πto bi ga obavila elektriËna sila premjeπtajuÊi jediniËni pozitivni naboj iz jedne toËke u drugu. Jedinica za napon je volt (V = JC-1). Napon mjerimo voltmetrom.

■ Primjer 1: Kuglica mase 0,5 g nabijena nabojem 4 nC poËinje se gibati iz toËke A, u kojoj je potencijal 1100 V, prema toËki B u kojoj je potencijal 100 V. Kolika je brzina kuglice u toËki B? Rjeπenje: m = 0,5 g = 0,5 · 10-3 kg Q = 4 nC = 4 · 10-6 C {A = 1100 V {B = 100 V v=? 2

DE k =W = mv 2 = QU = Q ({ A - { B ) -6 mv 2 = Q ({ - { ) & v = Q ({ A - { B ) = 2$4$ 10 C $(1100V -100V) A B m 2 0, 5$10 - 3 kg

v =4ms - 1 .

101

Mjerenje napona elektroskopom. Na slikama 58 a) i b) je elektroskop neπto sloæenije izvedbe od onoga kojim smo se do sada sluæili. ©tap s listiÊem (kazaljkom) provuËen je kroz gornji dio metalnog kuÊiπta i od njega je izoliran. Dodirnemo li kuglicu na vrhu πtapa naelektriziranim tijelom, naboj Êe s tijela prijeÊi na metalni πtap i kazaljku zbog Ëega Êe se kazaljka otkloniti. Ako smo na πtap i kazaljku doveli pozitivan naboj, s unutarnje strane kuÊiπta Êe se pojaviti jednaka koliËina negativnog naboja (influencija), a s vanjske strane kuÊiπta jednaka koliËina pozitivnog naboja (slika 58a). Spojimo li kuÊiπte s tlom (uzemljimo ga), elektroni iz tla neutraliziraju pozitivan naboj na kuËiπtu (slika 58b). Izmeu πtapa s kazaljkom i kuÊiπta postoji razlika potencijala (napon). PoveÊavanjem koliËine naboja poveÊavaju se napon i otklon kazaljke. Zato otklon kazaljke elektroskopa moæemo uzeti kao mjeru za napon izmeu πtapa s kazaljkom i kuÊiπta. Postoji li na elektroskopu mjerna ljestvica s jedinicama napona, zovemo ga elektrometrom.

Slika 58. Otklon kazaljke elektroskopa je mjera napona izmeu πtapa s kazaljkom i kuÊiπta Elektronvolt (eV). U elektriËnom polju moæemo ubrzavati elektrone pri Ëemu se njihova kinetiËka energija poveÊava. Mirni elektron, ubrzan izmeu dviju toËaka elektriËnog polja s razlikom potencijala 1 V, nakon ubrzavanja ima energiju 1,6 · 10-19 J, πto skraÊeno piπemo 1 elektronvolt (eV). Elektronvoltima obiËno iskazujemo energije elementarnih Ëestica (elektrona, protona, neutrona...). Dakle:

1eV =1, 6 $10 - 19 C $1 CJ 1eV =1, 6 $10 - 19 J. Veza izmeu napona i jakosti elektriËnog polja. Jakost elektriËnog polja i napon su veliËine kojima opisujemo elektriËno polje i meusobno su povezane.

102

Slika 59. Homogeno elektriËno polje izmeu dviju paralelnih nabijenih ploËa Uzmimo primjer homogenog elektriËnog polja izmeu dviju paralelnih ploËa razmaknutih za d (slika 59). Zamislimo pozitivan naboj q uz pozitivnu ploËu. Na njega djeluje elektriËna sila stalnog iznosa (F = Eq) okomito prema dolje. Kada naboj pod utjecajem te sile doe do negativne ploËe, obavljeni rad je:

W = Eqd . Podijelimo li jednadæbu s q, dobivamo:

W = Ed. q Na lijevoj strani jednadæbe je napon b q = U l pa je u ovom sluËaju veza izmeu jakosti elektriËnog polja i napona:

W

U = Ed ili

E= U d

.

Odavde slijedi joπ jedna jedinica za jakost elektriËnog polja (Vm-1). Ona je ekvivalentna jedinici NC-1, koju smo izveli iz definicijske formule za jakost elektriËnog polja.

■ Primjer: Izmeu dviju paralelnih metalnih ploËa prikljuËenih na napon 240 kV lebdi kapljica ulja mase 2,2 · 10-13 kg. Koliki je naboj na kapljici ako je razmak meu ploËama 1,8 cm? Rjeπenje: U = 24 kV = 24 · 103 V m = 2,2 · 10 ∑13kg d = 1,8 cm = 1,8 · 10 ∑2 m Q=?

103

Na kapljicu djeluju sila teæa prema dolje i elektriËna sila prema gore (slika). BuduÊi da kapljica lebdi (miruje), zakljuËujemo da su te sile jednakih iznosa:

F e = F g , EQ = mg, U d Q = mg mgd 2, 2$10 - 13 kg $9, 81ms - 2 $1, 8$10 - 2 m Q= U = 24$10 3 V Q =1, 6 $10 - 18 C. IzvodeÊi sliËan pokus, Millikan je odredio naboje na nizu kapljica koje su lebdjele u elektriËnom polju i otkrio da su svi ti naboji viπekratnici od 1.6 · 10-19 C. Iz toga je prvi zakljuËio da je to najmanji iznos naboja, koji odgovara naboju elektrona.

Pitanja: 1. Kako definiramo napon? 2. ©to je eV? Koliko je to dæula? 3. Koja je veza izmeu napona i jakosti homogenog elektriËnog polja? Zadatak: 1. Izmeu vertikalnih paralelnih ploËa o svilenoj niti visi kuglica nabijena s 0,1 nC. Nit zatvara kut od 30 ˚ s vertikalom. Razmak izmeu ploËa je 5 cm, a napon na njima 500 V. Kolika je napetost niti? 2. Koliku razliku potencijala moramo upotrijebiti da bismo brzinu elektrona poveÊali s 105 m s-1 na 9 · 105 m s-1?

Alessandro Volta (1745. ∑ 1827.), talijanski fiziËar. Razjasnio Galvanijev pokus sa æabljim kracima elektriËnim naponom koji nastaje izmeu dva metala kada su u elektrolitu. Konstruirao je prvi galvanski (Voltin) Ëlanak.

104

Robert Andrews Millikan (1868. ∑ 1953.), ameriËki fiziËar. Prvi je pokusom oredio iznos naboja elektrona i tako dokazao da je elektriËni naboj kvantziran. Za to otkriÊe dobio je 1924. god. Nobelovu nagradu.

Katodna cijev Katodna cijev prikazana je na slici 60. To je staklena cijev iz koje je isisan zrak. U njoj je æarna nit koja se prolazom struje grije i tada emitira elektrone. Æarna nit je na negativnom polu izvora napona pa je zovemo katodom (K). Anoda (A) je prikljuËena na pozitivni pol i ima mali kruæni otvor. Katoda i anoda dijelovi su elektronskog topa. Djelovanjem napona elektroni se gibaju ubrzano od katode prema anodi. Kada prou kroz otvor na anodi, elektroni se gibaju jednoliko pravocrtno ËineÊi uski snop. Upadom na fluorescentni zastor uski elektronski snop ostavlja toËkasti trag. Dok priroda pojave nije bila poznata, elektroni πto ih emitira katoda u katodnoj cijevi nazivani su katodnim zrakama. Katodna cijev je sastavni dio nekih elektroniËkih ureaja kao πto su osciloskop i televizor. Na slici 60 prikazana je katodna cijev osciloskopa.

Slika 60. Katodna cijev osciloskopa

NaËelo osciloskopa U katodnoj cijevi osciloskopa elektronski snop prolazi izmeu dva para meusobno paralelnih ploËa. PloËe se mogu prikljuËiti na napon. Jedan par ploËa je u vertikalnom poloæaju (X-ploËe) pa kada se one prikljuËe na napon, elektronski snop otklanjaju u horizontalnom smjeru. Drugi je par ploËa (Y) horizontalan i, kad je pod naponom, otklanja snop u vertikalnom smjeru. Otklon snopa je razmjeran naponu na ploËama, πto Êemo pokazati sljedeÊim primjerom.

105

■ Primjer: U homogeno elektriËno polje izmeu dviju paralelnih metalnih ploËa, koje su na naponu 50 V, uleti elektron brzinom 5 · 106 ms-1 okomito na silnice (slika). Koliko Êe elektron skrenuti od svog poËetnog smjera ako su ploËe duge 8 cm, a razmak meu njima je 5 cm?

Rjeπenje: U = 50 V vo = 5 · 106 ms-1 l = 8 cm = 0,08 m d = 5 cm = 0,05 m y=?

Elektron se kroz elektriËno polje izmeu ploËa giba jednoliko brzinom vo u upadnom smjeru i jednoliko ubrzano suprotno silnicama elektriËnog polja. Putanja elektrona je parabola kao kod horizontalnog hica. Traæeni otklon (y) je zapravo put πto ga elektron prijee gibajuÊi se jednoliko ubrzano. On je jednak: 2

y = at2 . Znamo da je akceleracija razmjerna sili, a obrnuto razmjerna masi:

F. a= m Akceleraciju daje elektriËna sila:

F = eE. ElektriËno polje izmeu ploËa moæe se izraziti preko napona (U) i razmaka izmeu ploËa (d):

E= U d. Vrijeme ubrzanog gibanja suprotno silnicama jednako je vremenu jednolikog gibanja okomito na silnice, a raËuna se po formuli:

t = vlo . Nakon ovih zamjena za otklon elektrona dobivamo: 2

1.6$10 - 19 C $50V c 0.08 m m 2$9.11$10 - 31 kg $0, 05m 5$10 6 m s - 1 y =0, 022m =2, 2cm. l y = 2eU md b v o l =

2

PrikljuËimo li na otklonske ploËe promjenjiv napon, trag elektronskog snopa na fluorescentnom zastoru slijedit Êe promjene napona. Kada se napon brzo mijenja, okom ne moæemo pratiti uzastopne poloæaje toËkastog traga pa na zastoru vidimo trag oblika ravne crte. U osciloskopu postoji izvor tzv. pilastog napona koji se s vremenom mijenja kako prikazuje slika 61. On raste razmjerno vremenu, zatim trenutaËno pada na nulu, opet raste, pa pada itd. Vrijeme za koje napon naraste

106

na maksimalnu vrijednost i padne na nulu nazivamo periodom pilastog napona (T). On je zapravo jednak vremenu porasta napona jer napon trenutaËno pada od maksimalne vrijednosti na nulu. Pilasti napon prikljuËen je na X-ploËe. Dok on raste, elektronski snop se pomiËe slijeva udesno, a trenutaËnim padom napona na nulu snop se vrati u poËetni poloæaj. Kada na Y-ploËe prikljuËimo neki promjenjivi napon, elektronski snop Êe se pod utjecajem tog napona gibati gore-dolje i istodobno porastom pilastog napona na X-ploËama slijeva udesno. Slika πto je vidimo na zastoru prikazuje kako se napon na Y-ploËama mijenja s porastom napona na X-ploËama. BuduÊi da je napon na X-ploËama razmjeran vremenu (pilasti napon), na zastoru osciloskopa vidimo vremensku promjenu napona koji smo prikljuËili na Y-ploËe. Zato se pilasti napon prikljuËen na X-ploËe naziva vremenskom bazom.

Slika 61. Pilasti napon Slike 62a i b prikazuju vremensku promjenu napona gradske mreæe. To je izmjeniËni napon. On raste od nule do maksimalne vrijednosti, zatim pada na nulu pa raste u suprotnom smjeru do maksimalne negativne vrijednosti i opet se vraÊa na nulu. Vrijeme za koje se dogodi opisana promjena napona je period izmjeniËnog napona. Na slici 62a periodi su pilastog i izmjeniËnog napona jednaki, a na slici 62b period pilastog napona je dvostruko veÊi od perioda izmjeniËnog napona.

a

b

Slika 62. Omjer perioda pilastog napona na horizontalnim ploËama i perioda izmjeniËnog napona na vertikalnim ploËama osciloskopa je: a) 1 : 1, b) 2 : 1

Joseph John Thomson (1856. - 1940.), engleski fiziËar. ProuËavajuÊi skretanje katodnih zraka u elektriËnom i magnetskom polju otkrio da je rijeË o Ëesticama koje su kasnje nazvane elektronima. Istom metodom otkrio je postojanje izotopa.

107

Kapacitet kondenzatora Kondenzatorom nazivamo sustav dvaju meusobno izoliranih vodiËa. VodiËe kondenzatora zovemo joπ oblogama. Ako jednu od obloga uzemljimo, a na drugu dovodimo naboj, na uzemljenoj oblozi inducirat Êe se jednaka koliËina naboja suprotnog predznaka. Izmeu ploËa se javlja razlika potencijala, tj. napon. On je veÊi πto je viπe naboja na oblogama. Omjer izmeu koliËine naboja (Q) na oblogama kondenzatora i napona (U) meu njima stalan je za odreeni kondenzator i zovemo ga kapacitet kondenzatora (C):

Q C=U

.

Jedinica za kapacitet je farad (F = C V-1).

Kapacitet ploËastog kondenzatora Kada su obloge kondenzatora ploËastog oblika, kondenzator nazivamo ploËastim (slika 63).

Slika 63. PloËasti kondenzator

108

■ Pokus Na πtap elektroskopa umjesto kuglice stavimo ploËu, a iznad nje drugu ploËu i uzemljimo je (slika 64). Taj par ploËa predstavlja kondenzator. Naelektriziramo ploËu na elektroskopu da kazaljka pokaæe neki otklon. Otklon kazaljke je mjera za napon izmeu ploËa. PrimiËemo li sada gornju ploËu donjoj, opaæamo da se otklon kazaljke smanjuje, πto znaËi da se smanjuje i napon. BuduÊi da se naboj Q na ploËama ne mijenja, prema izrazu C = U zakljuËujemo da se smanjivanjem razmaka meu ploËama kapacitet poveÊava. PomiËemo li gornju ploËu u odnosu na donju, ne mijenjajuÊi razmak meu njima, mijenjamo veliËinu preklapajuÊe povrπine ploËa. Opaæamo da je otklon kazaljke, tj. napon, najmanji kada se ploËe u potpunosti preklapaju. Tada je kapacitet najveÊi. Ako meu ploËe kondenzatora uvlaËimo neki dielektrik (na primjer staklenu ploËu), opaæamo da se otklon kazaljke (napon) smanjuje, πto znaËi da se kapacitet poveÊava.

Slika 64. Istraæivanje ovisnosti kapaciteta ploËastog kondenzatora o povrπini ploËa, razmaku meu njima i o dielektriku Dakle, pokus nam pokazuje da se kapacitet ploËastog kondenzatora poveÊava poveÊanjem preklapajuÊih povrπina ploËa, smanjenjem razmaka meu ploËama i uvlaËenjem dielektrika meu ploËe. SliËan pokus, u kojem je moguÊe precizno mjerenje veliËina, pokazao bi da kapacitet ploËastog kondenzatora ovisi o vrsti dielektrika meu ploËama te da je razmjeran preklapajuÊoj povrπini ploËa (S) i obrnuto razmjeran razmaku meu njima (d):

C =f o f r dS .

109

Kapacitet je najmanji kada meu ploËama nema dielektrika, tj. kada je meu ploËama vakuum ili, bez neke veÊe razlike, zrak. Tada je fr = 1 pa je kapacitet kondenzatora bez dielektrika:

C o =f o dS

.

Razmotrimo zaπto je kapacitet kondenzatora s dielektrikom veÊi od kapaciteta kondenzatora bez dielektrika. Zamislimo da smo kondenzator nabili na izvoru napona i odvojili ga od izvora, a zatim meu ploËe stavili dielektrik (slika 65a). U elektriËnom polju meu ploËama kondenzatora dolazi do polarizacije dielektrika pri Ëemu polarizirani naboj djelomiËno neutralizira naboj na ploËama (slika 65b). Ako kondenzator ponovno prikljuËimo na izvor napona, na njegove ploËe doÊi Êe nova koliËina naboja jednaka onoj koja je neutralizirana polarizacijom dielektrika (slika 65c). Sada je uz isti napon na ploËama kondenzatora veÊa koliËina naboja. VeliËina koja pokazuje koliko se puta poveÊala koliËina naboja na ploËama kondenzatora je relativna permitivnost dielektrika (fr):

Q Q o =f r .

Slika 65. Polarizacijom dielektrika naboj ploËa se djelomiËno neutralizira (a) i b). PrikljuËivanjem napona na ploËe dolazi novi naboj jednak neutraliziranom (c) S Q0 smo obiljeæili koliËinu naboja na kondenzatoru bez dielektrika, a s Q koliËinu naboja na kondenzatoru s dielektrikom. BuduÊi da je Q = CU i Q0 = C0U, poveÊanjem koliËina naboja poveÊao se i kapacitet:

CU C o U =f r ,

C C o =f r .

Izvod izraza za kapacitet ploËastog kondenzatora U izraz za kapacitet cC = m uvrstimo najprije U = Ed , a zatim izraz za elektriËno polje dviju paralelnih U ploËa E = Q . Tada imamo:

Q

fo fr S

Q Q C = U = Ed =

110

Q , Q d fo fr S

C =f o f r dS ..

■ Primjer 1: Dvije folije oblika kvadrata stranice 40 cm zalijepljene su na staklenu ploËu debljine 4 mm jedna nasuprot drugoj. Kolika Êe se koliËina naboja skupiti na folije ako ih prikljuËimo na napon 100 V? Relativna permitivnost stakla je 6. Rjeπenje: a = 40 cm = 0,40 m d = 4 mm = 0,004 m U = 100 V fr = 6 Q=?

Q =CU =f o f r dS U 2 (0, 40m) 2 Q =f o f r ad U =8, 854$10 - 12 F m - 1$6 $ 0, 004m $100 V Q =2,12$10 - 7 C.

■ Primjer 2: PloËasti kondenzator prikljuËimo na napon i zatim ga, ne skidajuÊi ga s izvora napona, uronimo u dielektrik relativne permitivnosti 2. HoÊe li se i kako promijeniti: a) napon meu ploËama b) jakost elektriËnog polja c) kapacitet d) koliËina naboja na ploËama kondenzatora? Rjeπenje: a) Napon se neÊe promijeniti jer je kondenzator stalno prikljuËen na izvor. U b) Jakost elektriËnog polja neÊe se promijeniti ( E = d ) S c) Prema izrazu C =f o f r , kapacitet Êe se poveÊati 2 puta. d d) BuduÊi da je Q = CU, koliËina naboja Êe se poveÊati dva puta. Pitanja: 1. Od Ëega se sastoji kondenzator? 2. ©to je kapacitet kondenzatora? 3. O Ëemu i kako ovisi kapacitet ploËastog kondenzatora? 4. Kako bi glasili odgovori na pitanja iz primjera 2 da smo kondenzator nakon nabijanja odvojili od izvora? Zadatak: 1. PloËe kondenzatora povrπine 50 cm2 meusobno su razmaknute 3 mm i prikljuËene na napon 100 V. Za koliko Êe se poveÊati koliËina naboja na ploËama kondenzatora ako razmak meu njima smanjimo za 1 mm?

Michael Faraday (1791. ∑ 1867.), engleski fiziËar i kemiËar. Poznat je po otkriÊu elektromagnetske indukcije i zakona elektrolize.U fiziku je uveo pojam polja koje prikazuje silnicama. Otkrio je i zakretanje ravnine polaizacije svjetlosti u magnetskom polju πto je utrlo put elektromagnetskoj teoriji svjetosti.

111

Energija elektriËnog polja kondenzatora U elektriËnom polju pohranjena je energija. Nazivamo je energijom elektriËnog polja. Kada je rijeË o ploËastom kondenzatoru, ona je jednaka elektriËnoj potencijalnoj energiji koju ima naboj jedne ploËe nabijenog kondenzatora u odnosu na naboj druge ploËe. Nenabijeni kondenzator naËelno moæemo nabijati premjeπtanjem naboja s jedne ploËe na drugu. Pritom se Q razmjerno koliËini naboja na ploËama kondenzatora poveÊava i napon meu njima ( U = ), πto je grafiËki C prikazano na slici 66. Pri nabijanju kondenzatora moramo djelovati silom i obavljati rad jer se premjeπtanju naboja suprotstavlja elektriËna sila. Obavljeni rad jednak je umnoπku prenesenog naboja (Q) i srednje vrijednosti napona ( U ): W = QU .

Q Slika 66. Napon izmeu ploËa kondenzatora razmjeran je koliËini naboja na njima Obiljeæimo li s U napon izmeu ploËa kondenzatora nakon nabijanja, tada je njegova srednja vrijednost:

U = 0 +2 U = U 2, a rad obavljen pri nabijanju kondenzatora:

1 QU W =2 Obavljeni rad jednak je energiji elektriËnog polja (Ee) kondenzatora:

1 QU . E e= 2

112

Q

Uvrstimo li u ovaj izraz Q =CU , odnosno U = , dobit Êemo joπ dva izraza za energiju elektriËnog polja C kondenzatora:

1 CU 2 E e= 2 i

2

1Q E e= 2 C 1

.

S

GustoÊa energije elektriËnog polja. Ako u izraz E e = CU 2 uvrstimo C =f i U = Ed , dobit Êemo 2 d izraz koji pokazuje kako energija elektriËnog polja ploËastog kondenzatora ovisi o jakosti elektriËnog polja:

1 fE 2 Sd. E e= 2 Umnoæak Sd je obujam u kojem djeluje elektriËno polje kondenzatora. Podijelimo li posljednji izraz sa Sd, dobit Êemo energiju elektriËnog polja po jediniËnom obujmu. Energiju elektriËnog polja po jedinici obujma nazivamo gustoÊom energije elektriËnog polja (we):

1 fE 2 . we= 2 Jedinica za gustoÊu energije elektriËnog polja je Jm-3.

Pitanja: 1. Izmeu ploËa nabijenog kondenzatora moæe preskoËiti iskra. Kada je moguÊnost preskakanja iskre veÊa: kada ploËe primiËemo ili kada ih razmiËemo? Obrazloæite odgovor. 2. PloËasti kondenzator prikljuËimo na izvor napona. HoÊe li se energija elektriËnog polja kondenzatora smanjiti ili poveÊati i koliko puta: a) ako razmak meu ploËama udvostruËimo ne odvojivπi kondenzator od izvora b) ako kondenzator odvojimo od izvora i razmak meu ploËama udvostruËimo? 3. PloËicu od dielektrika ugurali smo izmeu ploËa izoliranog kondenzatora do polovine duljine ploËa. Ako ploËicu pustimo da se moæe slobodno gibati, tada: a) Êe ploËica biti uvuËena u kondenzator, b) se ploËica neÊe pomicati, c) Êe ploËica biti izbaËena iz kondenzatora, d) Êe se ploËica zarotirati, e) ne znamo πto Êe se dogoditi jer nemamo dovoljno informacija. 4. Koja bi od tvrdnji iz prethodnog pitanja bila toËna kada bi kondenzator bio prikljuËen na izvor napona? Zadatak: 1. Kondenzator kapaciteta 8 nF nabijen je do napona 500 V, a zatim prikljuËen na grijaË koji se nalazi u posudi s vodom. Za koliko Êe porasti temperature vode, ako je njezina masa 1 g? SpecifiËni toplinski kapacitet vode je 4200 J K-1 kg-1.

113

Spajanje kondenzatora Dva kondenzatora moæemo spojiti serijski i paralelno, a viπe kondenzatora i mjeπovito. Serijsko spajanje kondenzatora. Na slici 67 prikazan je serijski spoj dvaju kondenzatora.

C2

C1

Slika 67. Serijski spoj dvaju kondenzatora Dovedemo li na desnu oblogu drugog kondenzatora pozitivan naboj, on Êe privuÊi negativan naboj na lijevu oblogu tog kondenzatora, a pozitivni Êe otiÊi na desnu oblogu prvog kondenzatora (influencija). Pozitivni naboj desne obloge prvog kondenzatora privuÊi Êe na unutarnju stranu lijeve obloge tog kondenzatora negativan naboj, dok Êe pozitivni ostati na vanjskoj strani te obloge. Uzemljimo li lijevu oblogu prvog kondenzatora, pozitivni naboj na njoj neutralizirat Êe se elektronima iz tla. UoËimo da su na kondenzatorima jednake koliËine naboja (Q) , bez obzira na njihove kapacitete. Serijski spojeni kondenzatori ponaπaju se kao jedan kondenzator kojem su obloge vanjske obloge spojenih kondenzatora. Ukupni naboj unutarnjih obloga je jednak nuli pa ostaje samo naboj vanjskih obloga. On je jednak naboju na svakom od kondenzatora (Q). Izmeu obloga kondenzatora postoji razlika potencijala (napon). Pozitivne obloge imaju viπe potencijale od negativnih. Uzmimo da je potencijal pozitivne obloge prvog kondenzatora viπi od potencijala negativne obloge za U1 i neka je potencijal pozitivne obloge drugog kondenzatora viπi od potencijala negativne obloge za U2. BuduÊi da su unutarnje obloge kondenzatora spojene, one Ëine jedan vodiË pa su potencijali tih obloga jednaki. Zato je potencijal desne obloge drugog kondenzatora viπi od potencijala lijeve obloge prvog kondenzatora za U1 + U2. Ukupni napon na serijski spojenim kondenzatorima jednak je zbroju napona na pojedinim kondenzatorima:

U =U 1+ U 2 . Zamijenimo napone odgovarajuÊim kvocijentima koliËine naboja i kapaciteta:

Q Q Q C S = C1 + C 2 .

114

S Cs smo obiljeæili ekvivalentni kapacitet, tj. kapacitet kondenzatora kojim moæemo zamijeniti serijski spojene kondenzatore. Podijelimo li gornju jednadæbu s Q, dobivamo:

1 1 1 C S = C1 + C 2 . ReciproËna vrijednost ekvivalentnog kapaciteta serijski spojenih kondenzatora jednaka je zbroju reciproËnih vrijednosti kapaciteta pojedinih kondenzatora. To vrijedi za bilo koji broj serijski spojenih kondenzatora:

1 1 1 1 C S = C 1 + C 2 + C 3 + ... Imamo li u serijskom spoju N jednakih kondenzatora kapaciteta C, tada je:

1 1 C S =N C , odnosno: . C s= C N

.

Paralelno spajanje kondenzatora. Slika 68 prikazuje paralelni spoj dvaju kondenzatora. Lijeve ploËe su spojene pa su na istom potencijalu. Desne ploËe su takoer spojene i one su na nekom drugom zajedniËkom potencijalu. Kolika je razlika potencijala (napon) izmeu ploËa prvog kondenzatora, tolika je razlika i izmeu ploËa drugog kondenzatora:

U 1= U 2 = U. Ukupna koliËina naboja na kondenzatorima jednaka je zbroju koliËina naboja na pojedinim kondenzatorima:

Q = Q1 + Q 2 .

C1

Slika 68. Paralelni spoj dvaju kondenzatora

C2

115

Izrazimo li koliËine naboja preko kapaciteta i napona ( Q =CU ), dobivamo:

C p U =C 1 U + C 2 U, gdje je C p ekvivalentni kapacitet paralelno spojenih kondenzatora. Podijelimo li posljednju jednadæbu s U, imamo:

C p =C 1 + C 2 , ili, za viπe paralelno spojenih kondenzatora:

C p =C 1 + C 2 + C 3 + ... Ekvivalentni kapacitet paralelno spojenih kondenzatora jednak je zbroju kapaciteta pojedinih kondenzatora. Za paralelni spoj N jednakih kondenzatora kapaciteta C gornji izraz prelazi u:

C p = NC.

■ Primjer: Kondenzator kapaciteta 1 nF nabijen je na izvoru napona 100 V, a kondenzator kapaciteta 2 nF naponom 200 V. Ako iskljuËimo izvore napona i kondenzatore spojimo paralelno, koliki je zajedniËki napon na kondenzatorima? Rjeπenje: C1 = 1 mF = 10-6 F C2 = 2 mF = 2 · 10-6 F U=?

U1 = 100 V U2 = 200 V

Q1=C 1 U 1=10 - 6 F $100V =10 - 4 C Q 2 =C 2 U 2 =2$10 - 6 F $200V =4$10 - 4 C Q = Q1 + Q 2 =10 - 4 C + 4$10 - 4 C =5$10 - 4 C

C =C 1 + C 2 =10 - 6 F + 2$10 - 6 F =3$10 - 6 F -4 Q U = C = 5$10 - 6 C 3$10 F U =167V.

Pitanja: 1. Dva su kondenzatora od 2 nF i 4 nF spojena serijski. Ako je koliËina naboja na prvom kondenzatoru 200 nC, kolika je koliËina naboja na drugom kondenzatoru? Kolika je ukupna koliËina naboja spoja? Kolika bi bila koliËina naboja na drugom kondenzatoru i ukupna koliËina naboja da su kondenzatori spojeni paralelno? 2. HoÊe li se ukupni kapacitet dvaju jednakih kondenzatora poveÊati ili smanjiti i koliko puta ako ih prespojimo iz serijskog u paralelni spoj? Zadatak: 1. Dva kondenzatora spojena su serijski na napon 200 V. Odredite kapacitet drugog kondenzatora ako je kapacitet prvoga 4 nF, a koliËina naboja na njemu 480 nC?

116

ELEKTRI»NA STRUJA ElektriËnom strujom nazivamo usmjereno gibanje elektriËnog naboja iste vrste. Struja moæe teÊi kroz Ëvrsta tijela, tekuÊine, plinove. U Ëvrstim tijelima elektriËnu struju Ëini usmjereno gibanje elektrona, u tekuÊinama usmjereno gibanje iona, a u plinovima gibanje elektrona i iona. Za usmjereno gibanje elektriËnog naboja potrebno je elektriËno polje. U elektriËnom polju pozitivan naboj se giba u smjeru silnica, a negativan suprotno smjeru silnica. Dogovorom je uzeto da je smjer struje u smjeru gibanja pozitivnog naboja. Prema tome, elektroni se u elektriËnom polju gibaju suprotno dogovorenom smjeru struje. Meu Ëvrstim tijelima istiËu se metali kao dobri vodiËi elektriËne struje. Vanjski elektroni u atomima metala nisu vezani za pojedini atom i mogu se slobodno gibati metalom. Nazivamo ih slobodnim elektronima. Kada nema vanjske sile, njihovo gibanje unutar metala je kaotiËno i sliËno je gibanju Ëestica plina pa ih joπ nazivamo elektronskim plinom. Atome koji su ostali bez jednog ili viπe elektrona nazivamo ionima. Ioni su pozitivno nabijeni i unutar metala pravilno rasporeeni, a njihovo je gibanje ograniËeno samo na titranje oko ravnoteænih poloæaja.

Jakost elektriËne struje Jakost elektriËne struje (I) definiramo kao omjer izmeu koliËine naboja (Q) i vremena (t) za koje ta koliËina naboja proe zamiπljenom ravnom plohom okomitom na smjer gibanja naboja:

Q I= t . Jakost struje iskazujemo amperima: A = Cs-1. Amper je zapravo osnovna jedinica, a kulon je izveden iz ampera i sekunde: C = As. Jakost struje mjerimo ampermetrom. Na slici 69a pojednostavljeno je prikazan dio vodiËa duljine l. Krajevi vodiËa imaju razliËite potencijale pa izmeu njih postoji napon ( U = { 2 - { 1 ), odnosno elektriËno polje jakosti:

E = Ul . Prije negoli izmeu krajeva vodiËa uspostavimo napon, slobodni elektroni se gibaju kaotiËno. Srednja brzina kaotiËnog gibanja slobodnih elektrona jednaka je u svim smjerovima. Uspostavljanjem napona izmeu krajeva vodiËa srednja brzina gibanja slobodnih elektrona od jednog njegova kraja

117

prema drugom postaje veÊa nego u drugim smjerovima. Gibanje slobodnih elektrona uspostavljanjem napona postaje usmjereno. Promatrajmo dio slobodnih elektrona predoËen tamnim toËkama na slici 69a. Prvi elektroni iz tog dijela upravo prolaze presjekom vodiËa (S). Obiljeæimo li s t vrijeme za koje Êe svi promatrani elektroni proÊi tim presjekom, a s v srednju brzinu usmjerenog gibanja slobodnih elektrona, tada je put πto ga za vrijeme t prijee svaki elektron vt . Slobodni elektroni koji su za vrijeme t proπli presjekom S nalaze se unutar obujma S v t (slika 69b). v

Slika 69. Elektroni koji su za vrijeme t proπli presjekom vodiËa S brzinom v nalaze se u obujmu Sv t Neka je n broj slobodnih elektrona u jedinici obujma (gustoÊa slobodnih elektrona ili brojnosna koncentracija), tada je broj slobodnih elektrona u obujmu S v t jednak umnoπku n S v t . Kako svaki elektron ima naboj e, u promatranom obujmu se nalazi koliËina naboja e n S v t. BuduÊi da je ta koliËina naboja proπla presjekom vodiËa za vrijeme t, jakost struje je:

odnosno:

I = enSvt t , I = enSv .

Jakost struje razmjerna je gustoÊi slobodnih elektrona (n), srednjoj brzini njihova usmjerenog gibanja ( v ) te povrπini presjeka vodiËa (S). Posljednji izraz vrijedi za usmjereno gibanje bilo kojih nabijenih Ëestica. Ako je naboj svake Ëestice Q, a njihova brzina v, izraz za jakost struje opÊenito glasi:

I = QnSv, pri Ëemu je S povrπina zamiπljene plohe kroz koju okomito prolaze nabijene Ëestice.

118

■ Primjer: Srebrnim vodiËem povrπine presjeka 2,5 mm2 teËe stalna struja jakosti 5 A. IzraËunajmo: a) Broj elektrona koji svake sekunde prou povrπinom presjeka vodiËa. b) Srednju brzinu usmjerenog gibanja slobodnih elektrona ako je njihova gustoÊa u srebru 5,8 · 1028 m-3. Rjeπenje: S = 2,5 mm2 = 2,5 · 10-6 m2 I=5A t=1s n = 5,8 · 1028 m-3 a) N = ?

Q It 5A $1s I = t = Ne t & N = e = 1, 6 $10 - 19 C ,

N =3,125$10 19

b) v = ?

I = 5A I = neSv & v = neS , v =2$10 - 4 ms - 1 28 3 5.8$10 m $1.6$10 - 19 C $2.5$10 - 6 m 2

Zadaci: 1. Snop elektrona ubrzanih naponom 300 V upada na izoliranu kuglu polumjera 10 cm u vakuumu. a) Kolika je brzina elektrona u snopu? b) Kolika je jakost struje elektrona ako ih je 100 u svakom cm3 snopa? c) Za koje Êe se vrijeme tom strujom kugla nabiti do potencijala 100 V? 2. PloËasti kondenzator s ploËama povrπine 400 cm2 i razmakom ploËa 2 mm prikljuËen je na izvor napona 750 V. Meu ploËama se nalazi staklena ploËa debljine 2mm. Kolika Êe biti srednja jakost struje ako staklenu ploËu izvuËemo iz prostora izmeu ploËa kondenzatora za 0.5 s? Relativna permitivnost stakla je 7.

André Ampère (1775. - 1836.), francuski fiziËar i matematiËar. NajznaËajniji su njegovi pionirski radovi iz elektromagnetizma. Naπao je da se dva vodiËa kojima teku stuje istog smjera privlaËe, a odbijaju ako su struje suprotnih smjerva. Tim je otkriÊem doπao do spoznaje da su elektriËne i magnetske pojave nerazdvojno povezane i tako udario temelje elektrodinamike.

119

Ohmov zakon Srednja brzina usmjerenog gibanja slobodnih elektrona razmjerna je jakosti elektriËnog polja: v =nE. Konstantu razmjernosti n nazivamo pokretljivost slobodnih elektrona. Kako je jakost elektriËnog polja:

E= za jakost struje imamo:

{ 2 - {1 U l =l,

I = neSn Ul . VeliËina nen

S konstanta je za odreeni vodiË. Zovemo je vodljivost i obiljeæavamo s G: l G = nen Sl .

Uz ovu relaciju jakost struje je:

I = GU. Iz ovoga izraza izvodimo jedinicu za vodljivost koja je nazvana simens (S): S = AV-1. S U izrazu za vodljivost G = nen umnoæak nen svojstven je materijalu vodiËa, a nazivamo ga elekl triËna provodnost (v):

v = nen. VeliËinu obrnuto razmjernu vodljivosti nazivamo elektriËnim otporom (R):

Sada je izraz za jakost struje:

πto predstavlja Ohmov zakon.

1= 1 l . R= G nen S I=U R

,

Prema Ohmovu zakonu jakost struje koja teËe vodiËem razmjerna je naponu izmeu krajeva vodiËa, a obrnuto razmjerna otporu vodiËa. Ili, kvocijent napona i jakosti struje je stalan i jednak je otporu vodiËa:

R = UI . Jedinica za elektriËni otpor je om (W), a izvodi se iz ampera i volta prema posljednjem izrazu: W = V A-1. Pad napona. Izmeu krajeva vodiËa kojim teËe struja postoji razlika potencijala (napon). ElektriËna struja teËe od kraja vodiËa s viπim potencijalom prema kraju s niæim potencijalom. Idemo li duæ vodiËa u smjeru struje, nailazimo na toËke sa sve niæim potencijalom. Potencijal se, dakle, duæ vodiËa smanjuje ili pada. Zato razliku potencijala izmeu krajeva vodiËa, ili na jednom njegovom dijelu, joπ nazivamo padom napona. Pad napona je, prema Ohmovu zakonu, jednak umnoπku jakosti struje i otpora:

U = IR. 120

Omski i neomski vodiËi GrafiËki prikaz ovisnosti jakosti struje o naponu nazivamo U,I-karakteristikom vodiËa. Ako za vodiË U vrijedi Ohmov zakon ( R = = konst.), tada je U,I-karakteristika pravac koji prolazi ishodiπtem koorI dinatnog sustava (slika 70a). VodiËe kojima vrijednost otpora ne ovisi o naponu i Ëija je U,I-karakteristika pravac, nazivamo omskim vodiËima. Metali se pri malim naponima ponaπaju kao omski vodiËi. VodiËe kod kojih se vrijed-nost otpora mijenja ovisno o naponu nazivamo neomskim vodiËima. PoluvodiËka dioda je primjer neomskog vodiËa. Njezina karakteristika prikazana je na slici 70b.

Slika 70. U,I-karakteristika: a) omskih vodiËa, b) neomskih vodiËa Pitanja: 1. ©to je I,U-karakteristika vodiËa? Kojeg je ona oblika kod omskih vodiËa? 2. Napon izmeu krajeva nekog omskog vodiËa udvostruËimo. HoÊe li se pritom promijeniti elektriËni otpor vodiËa? HoÊe li se jakost struje kroz vodiË poveÊati ili smanjiti i koliko puta?

Georg Simon Ohm (1787. ∑ 1854.), njemaËki fiziËar. Istakao se radovima s podruËja elekriciteta i magnetizma. Formulirao je zakon prema kojemu je jakost struje ramjerna naponu, a obrnuto razmjerna otporu (Ohmov zakon).

Werner von Siemens (1816. ∑ 1892.), njemaËki elektrotehniËar. Izumio je samouzbudni generator istosmjerne struje (dinamo-stroj). Bavio se preteæno telegrafskom i mjernom tehnikom. Podigao je prvu dulju telegrafsku liniju u Europi.

121

Zakon elektriËnog otpora ReciproËnu vrijednost provodnosti c v = nen m nazivamo elektriËna otpornost i obiljeæavamo s t:

1

1

t = ne1n .

Stariji naziv za ovu veliËinu je specifiËni otpor.

ElektriËna otpornost (t) nekih tvari pri 20˚C t /10-6 Wm 0,028 0,0172 1,1 0,12 0,50 0,42 0,072 0.4 0,415 0,055 0,1 0,958

materijal aluminij bakar cekas Ëelik konstantan manganin mjed nikelin ugljen volfram æeljezo æiva Ovom zamjenom izraz za elektriËni otpor:

R = ne1n Sl dobiva jednostavniji oblik:

R =t Sl . ElektriËni otpor ovisi o vrsti tvari (odnosno otpornosti t), razmjeran je duljini vodiËa (l), a obrnuto je razmjeran povrπini presjeka vodiËa (S). To je zakon elektriËnog otpora. Jedinica za elektriËnu otpornost je Wm, a izvodimo je iz posljednjeg izraza uvrπtavajuÊi u njega jedinice za otpor (W) i povrπinu presjeka (m2). BuduÊi da su presjeci vodiËa koje svakodnevno koristimo obiËno mali, zgodnije ih je iskazivati mm2. Tada bi jedinica za otpornost bila Wmm2m-1. Pritom je: Wm m2 m-1 = 10-6 W m. TumaËenje elektriËnog otpora. Gibanje slobodnih elektrona sliËno je gibanju kiπnih kapi. One padaju stalnom brzinom jer je sila teæa uravnoteæena s otporom zraka koji je posljedica sudaranja kiπnih kapi s Ëesticama zraka. U vodiËu se slobodni elektroni sudaraju s ionima. Posljedica tih sudara je elektriËni otpor.

122

■ Primjer: Bakrenim vodiËem povrπine popreËnog presjeka 1 mm2 teËe struja jakosti 2 A. IzraËunajte jakost elektriËnog polja u vodiËu. Rjeπenje: S = 1 mm2 = 10-6 m2 I=2A t = 1,72 · 10-8 Wm E=?

El = ES & E = tI = 1, 72$10 W m $2A I=U = S R tl t 10 - 6 m 2 S E =0, 034 V m - 1 -8

Ovisnost elektriËnog otpora o temperaturi Otpor metalnog vodiËa raste s temperaturom. Za svaki vodiË postoji temperaturni interval u kojemu je promjena otpora (DR ) razmjerna promjeni temperature (Dt). Promjena otpora razmjerna je i njegovoj poËetnoj vrijednosti (Ro):

DR =aR o Dt . S a smo obiljeæili termiËki koeficijent otpora. Njegova jedinica je K-1 ili ˚C-1. BuduÊi da se otpor metalnih vodiËa poveÊava s temperaturom, njihov je termiËki koeficijent otpora pozitivan. Postoje tvari Ëiji je termiËki koeficijent negativan, πto znaËi da im se otpor s poveÊanjem temperature smanjuje. Takav je, na primjer, grafit. Otpor nakon promjene temperature je:

R = R o + DR = R o +aR o Dt R = R o (1+aDt) Do poveÊanja otpora metalnog vodiËa s porastom temperature dolazi zato πto se pri viπoj temperaturi ioni metala viπe udaljavaju od svojih ravnoteænih poloæaja. Tada su sudari slobodnih elektrona s njima uËestaliji. TermiËki koeficijent otpora (a) nekih tvari pri 0 ˚C tvar a (10-3 K-1) aluminij 4,7 bakar 4,3 Ëelik 6 konstantan 0,02 olovo 4,1 platina 3,9 srebro 4,1 volfram 4,2 ugljen -0,3 æeljezo 6,6

123

■ Primjer: Volframovom niti elektriËne æarulje pri temperaturi 25 ˚C teËe struja jakosti 4 mA uz napon 10 mV. Pri naponu 110 V nit je uæarena i njome teËe struja jakosti 4 A. Kolika je temperatura uæarene niti? Rjeπenje: t1 = 25 ˚C U1 = 10 mV = 0,010 V I1 = 4 mA = 0,004 A U2 = 110 V I2 = 4 A a = 4,2 · 10-3 (˚C)-1 t2 = ?

0, 010V R1= UI 1 = 0, 004A 1

R1=2, 5W R 2 = UI 2 = 110V 4A 2 R 2 =27, 5 W

R 2 = R1(1+ aDt) & Dt = Ra2 -RR1 = 1

27, 5W -2, 5W W 4, 2$10 - 3 (cC) - 1$2, 5

Dt =2381cC t 2 = t 1 + Dt =25 cC + 2381cC t 2 =2406 cC.

Pitanja: 1. Kako tumaËimo elektriËni otpor? 2. Nekom vodiËu udvostruËimo promjer. HoÊe li se zbog toga njegov otpor poveÊati ili smanjiti i koliko puta? ©to bismo morali uËiniti s duljinom vodiËa da otpor poprimi poËetnu vrijednost? 3. Zaπto se elektriËni otpor metala poveÊava porastom temperature? 4. TermiËki koeficijent otpora moæe imati negativan i pozitivan predznak. Kako se s temperaturom mijenja otpor vodiËa kojemu je termiËki koeficijent otpora negativan? Koji od grafova na slikama prikazuje I,U-karakteristiku takvog vodiËa?

Zadaci: 1. Odredite duljinu æice od nikelina popreËnog presjeka 0.1 mm2 koju treba staviti u elektriËni grijaË predvien za napon 220 V i struju 4 A. ElektriËna otpornost nikelina je 0,4 · 10-6 Wm. 2. Nit od volframa pri 0 ˚C ima duljinu 5 cm i povrπinu presjeka 1,1 · 10-3 mm2. Kolika je jakost struje kroz nit kada se ona prikljuËi na napon 120 V ako je tada njezina temperatura 2900 ˚C?

124

Rad i snaga elektriËne struje Rad. DjelujuÊi na slobodne elektrone u vodiËu kojim teËe struja elektriËna sila za vrijeme t obavi rad:

W = UQ = UIt. Radom elektriËne sile slobodni elektroni dobiju energiju jednaku tom radu. Pri usmjerenom gibanju vodiËem slobodni elektroni se sudaraju s ionima i predaju im energiju. PredajuÊi energiju ionima slobodni elektroni obavljaju rad. Obavljeni rad, odnosno iznos energije predane ionima jednak je energiji πto su je slobodni elektroni dobili pod djelovanjem elektriËne sile (UIt). BuduÊi da usmjereno gibanje slobodnih elektrona predstavlja elektriËnu struju, obiËno kaæemo da elektriËna struja obavlja rad. Dakle, rad elektriËne struje je:

W = UIt . Zbog primljene energije ioni titraju intenzivnije oko svojih ravnoteænih poloæaja, πto znaËi da prolazom struje vodiËem raste njegova unutarnja energija, a time i temperatura. Uvrstimo li u gornji izraz U = IR , odnosno I = U dobivamo joπ dva izraza za rad elektriËne struje:

R

W = I 2 Rt

i

2

W = UR t .

ElektriËna energija. Slobodni elektroni u vodiËu imaju elektriËnu potencijalnu energiju i kinetiËku energiju uslijed usmjerenog gibanja. ZajedniËki naziv za ta dva oblika energije elektrona, ili drugih nabijenih Ëestica, je elektriËna energija. Snaga. Snagu smo definirali kao omjer rada i vremena za koje je rad obavljen:

P=W t

.

Podijelimo li svaki od navedenih izraza za rad elektriËne struje s vremenom, dobit Êemo odgovarajuÊe izraze za snagu:

P = UI

,

P=I 2 R

i

2

P = UR

.

■ Primjer: Grijalo prikljuËeno na napon 220 V ima snagu 800 W. a) Koliki je otpor grijala? b) Kolika je jakost struje kroz grijalo? c) Kolika je korisnost grijala ako se na njemu ugrije 3 litre vode od 10 ˚C do 100 ˚C za 45 minuta. SpecifiËni toplinski kapacitet vode je 4,19 · 103 J kg-1 (˚C)-1.

125

Rjeπenje: U = 220 V P = 800 W a) R = ? 2 2 (220 V) P = UR & R = UP = 800 W R =60, 5W

2

b) I = ?

P = 800 W P = UI & I = U 220 V I =3, 64A c) V = 3 l, m = 3 kg t1 = 10 ˚C t2 = 100 ˚C c = 4190 J kg-1 (˚C)-1 t = 45 min = 2700 s h=?

3kg $4190 J kg - 1 (cC) - 1 (100 cC -10 cC) mc (t 2 - t 1 ) $ = $100 100 Pt 800 W $2700s h =52%. h=

Pitanja: 1. ©to zovemo elektriËnom energijom? 2. Naponi na koje se prikljuËuju æarulje od 75 W i 150 W da bi normalno svijetlile jednaki su. Koja æarulja ima veÊi otpor? Zadaci: 1. ElektriËna lokomotiva vozi brzinom 36 km h-1 i pritom razvija silu 4500 N. Kolika je jakost struje kroz motor ako je prikljuËen na napon 500 V, a korisnost je 90%? 2. Struja jakosti 10 A prolazi bakrenom æicom duljine 1 m i povrπine presjeka 0.1 mm2. Koliko se topline oslobodi u æici svake sekunde? ElektriËna otpornost bakra je 0,0172 · 10-6 W m. 3. Na akumulatoru automobila napona 12 V stoji i podatak 50 Ah. a) Koja je fiziËka veliËina iskazana Ah i koliko ona iznosi kada se iskaæe SI jedinicom? b) Kolika je energija akumulirana u akumulatoru? c) Kada se kondenzator isprazni punimo ga ispravljaËem snage 300 W. Koliko najmanje vremena se puni akumulator uz pretpostavku da je struja punjenja stalna?

126

Strujni krug BuduÊi da je smjer struje u smjeru gibanja pozitivnog naboja, zamiπljat Êemo da se vodiËem pri protjecanju struje usmjereno giba pozitivni naboj. Da bi vodiËem tekla stalna struja, izmeu njegovih krajeva mora postojati stalan napon. Ono πto napon izmeu krajeva vodiËa odræava stalnim nazivamo izvorom napona ili izvorom struje. Mjesto u izvoru s viπim potencijalom je pozitivan pol, a mjesto s niæim potencijalom negativan pol (slika 71). Izvor napona i vodiË Ëiji su krajevi prikljuËeni na izvor Ëine strujni krug. Sâm izvor nazivamo unutarnjim dijelom strujnog kruga, a vodiË vanjskim dijelom. U vanjskom dijelu strujnog kruga pozitivni elektriËni naboj se giba pod utjecajem elektriËne sile (Fev) od pozitivnog prema negativnom polu. U unutarnjem dijelu strujnog kruga pozitivni naboj se giba od negativnog prema pozitivnom polu. To gibanje ne moæe prouzroËiti elektriËna sila jer bi se pod utjecajem elektriËne sile pozitivni naboj gibao od pozitivnog pola prema negativnom. OËito je da na pozitivni naboj u izvoru, osim elektriËne sile (Feu), djeluje i sila koja nije elektriËne prirode. Ona je usmjerena od negativnog pola izvora prema pozitivnom. Nazovimo je neelektriËnom silom (Fne). Njezina priroda moæe biti razliËita. U izvoru dæepne baterije, na primjer, neelektriËna sila je kemijske prirode. Premjeπtanjem pozitivnog naboja s negativnog pola na pozitivni, naboj dobije elektriËnu potencijalnu energiju. Ona je jednaka radu πto ga je obavila rezultanta neelektriËne i elektriËne sile. GibajuÊi se vanjskim dijelom strujnog kruga pod utjecajem elektriËne sile naboj obavlja rad. Nakon πto naboj doe na drugi kraj vodiËa obavljeni rad jednak je potencijalnoj energiji koju je naboj imao prije nego je krenuo s pozitivnog pola izvora. Prema tome, ukupni rad πto ga u izvoru obave neelektriËna i elektriËna sila (W ne - W eu ) jednak je radu (W) koji obavi naboj gibajuÊi se vanjskim dijelom strujnog kruga:

W ne - W eu = W. Za rad elektriËne sile u izvoru (Weu) moæemo pisati:

W eu = I 2 R u t = IR u It = IR u Q, gdje je Ru unutarnji otpor izvora. SliËno tome je rad πto ga obavi naboj u vanjskom dijelu strujnog kruga:

W = I 2 Rt = IRIt = IRQ, gdje je R otpor vanjskog dijela strujnog kruga (vanjski otpor). S ovim zamjenama poËetna jednadæba poprima oblik:

W ne - IR u Q = IRQ, ili:

W ne = IR u Q + IRQ. Podijelimo li jednadæbu s Q, dobivamo:

W ne = IR + IR. u Q

127

Kvocijent na lijevoj strani jednadæbe je rad neelektriËne sile pri premjeπtanju jediniËnog pozitivnog naboja s negativnog pola izvora na pozitivni. Tu veliËinu nazivamo elektromotorni napon i obiljeæavamo je s f:

f = WQne . Stariji (povijesni) naziv za tu veliËinu je elektromotorna sila. KonaËno moæemo pisati:

f = IR u + IR . Elektromotorni napon izvora jednak je zbroju padova napona na unutarnjem i vanjskom otporu.

Slika 71. Ukupni rad neelektriËne i elektriËne sile u izvoru jednak je radu naboja u vanjskom dijelu strujnog kruga Iz ove jednadæbe moæemo izraziti jakost struje:

I = R f+ R . u U

To je Ohmov zakon za cijeli strujni krug. Izraz I = koji smo ranije izveli predstavlja Ohmov zakon R za vanjski dio strujnog kruga. Spojmo li polove izvora bez vanjskog otpora (R = 0), nastali spoj zovemo kratkim spojem. Tada je struja najjaËa, a njezina jakost (Im) je:

I m = Rf . u Shematski prikaz strujnog kruga ja na slici 72.

128

Slika 72. Shema strujnog kruga

■ Primjer: Nekim krugom u kratkom spoju teËe struja 100 A, a kada je u krugu otpornik otpora 14 W, jakost struje je 10 A. Koliki su unutarnji otpor i elektromotorni napon izvora? Rjeπenje: Im = 100 A R = 14 W I = 10 A Ru = ?, f = ?

I = R f+ R & f = IR u + IR u I m = Rf & f = I m R u u

Z ]] [ ]] \

_ I R = IR + IR & R = IR = 10 A $14W m m u u b I m - I 100 A -10 A b W = R 1 , 6 u ` b b f =100 A $1, 5W , f =156 V. a

129

Pitanja: 1. »ime se izmeu krajeva vodiËa odræava stalna razlika potencijala? 2. Koja sila uspostavlja razliku potencijala izmeu polova izvora, a koja je nastoji smanjiti? 3. U kojem dijelu strujnog kruga na naboj djeluje neelektriËna sila? 4. ©to je elektromotorni napon? 5. Kako glasi izraz za Ohmov zakon za cijeli strujni krug? Kako taj zakon glasi kada je krug u kratkom spoju? Zadaci: 1. Graf na slici prikazuje meusobnu ovisnost jakosti struje i napona na vanjskom dijelu strujnog kruga. Odredite: elektromotorni napon, jakost struje u kratkom spoju i unutarnji otpor izvora.

2. Otpornik od 12 W spojimo na izvor elektromotorne sile 6,3 V i unutarnjeg otpora 0,6 W. Koliki je napon i kolika je snaga na otporniku? 3. Pri naponu na vanjskom dijelu strujnog kruga 1,45 V krugom teËe struja jakosti 0,2 A, a pri naponu 1,25 V jakost struje je 0,6 A. IzraËunajte unutarnji otpor i elektromotorni napon izvora.

Izvori struje

130

Spajanje otpornika Serijski spoj otpornika. Na slici 73 prikazan je serijski spoj dvaju otpornika s otporima R1 i R2. Na slici su joπ tri ampermetra kojima mjerimo jakost struje na tri razliËita mjesta strujnog kruga. Svi ampermetri pokazuju jednaku jakost struje:

I = konst. »injenica da je jakost struje u svim dijelovima strujnog kruga jednake jakosti posljedica je zakona oËuvanja elektriËnog naboja. Naime, kada bi drugi ampermetar pokazivao veÊu jakost struje nego prvi, drugim bi ampermetrom prolazila za isto vrijeme veÊa koliËina naboja nego kroz prvi ampermetar. To bi znaËilo da se izmeu prvog i drugog ampermetra stvara naboj. Kako znamo, koliËina naboja je oËuvana.

Slika 73. Svim otpornicima u serijskom spoju teËe struja iste jakosti Mjerenjem padova napona na pojedinim otpornicima i ukupnog pada napona na oba otpornika (slika 74), naπli bismo da je ukupni pad napona jednak zbroju padova napona na pojedinim otpornicima:

U =U1+U 2. Pad napona je umnoæak jakosti struje i otpora pa posljednja jednadæba prelazi u:

IR s = IR1 + IR 2 ,

131

gdje je Rs ekvivalentni otpor kojim moæemo zamijeniti oba otpora. Nakon dijeljenja posljednje jednadæbe s jakoπÊu struje dobivamo:

R s = R1 + R 2 . Ekvivalentni otpor serijski spojenih otpornika jednak je zbroju otpora pojedinih otpornika. Naravno, to vrijedi i onda kada je u serijskom spoju viπe od dva otpornika. Spojimo li serijski N jednakih otpornika, svaki otpora R, ekvivalentni otpor je:

R s = NR .

Slika 74. Ukupni pad napona na serijski spojenim otpornicima jednak je zbroju padova napona na pojedinim otpornicima

Paralelni spoj otpornika. Paralelni spoj dvaju otpornika prikazan je na slici 75. UoËimo da su oba otpornika na istom naponu:

U 1 = U 2 = U.

132

Slika 75. Jakost struje u krugu jednaka je zbroju jakosti struja kroz paralelno spojene otpornike Pokus bi pokazao da je jakost struje πto je pokazuje ampermetar A jednak zbroju jakosti struja πto ih pokazuju ampermetri A1 i A2. Jakost struje koja dolazi u toËku grananja (G) jednaka je zbroju jakosti struja koje odlaze iz te toËke:

I = I1+ I 2. To je prvo Kirchhoffovo pravilo. Ono je posljedica zakona oËuvanja koliËine naboja, prema kojemu je koliËina naboja koja dolazi u toËku grananja jednaka koliËini naboja koja odlazi iz toËke grananja. Izrazimo jakost struje preko napona i otpora pa uvrstimo u gornju jednadæbu. Nalazimo:

U U U R p = R1 + R 2 . S Rp smo obiljeæili ekvivalentni otpor paralelno spojenih otpornika. Nakon dijeljenja s U, imamo:

1 1 1 . R p = R1 + R 2 ReciproËna vrijednost ekvivalentnog otpora paralelno spojenih otpornika jednaka je zbroju reciproËnih vrijednosti otpora pojedinih otpornika. Izvedeno pravilo vrijedi za bilo koji broj paralelno spojenih otpornika. Imamo li u paralelnom spoju N jednakih otpornika, svaki otpora R, tada je:

odnosno:

1 1 R p = N R, R Rp= N

.

133

Primijetimo da su izrazi za raËunanje ekvivalentnog otpora serijski spojenih otpornika analogni onima pomoÊu kojih raËunamo ekvivalentni kapacitet paralelno spojenih kondenzatora. Takoer su izrazi pomoÊu kojih odreujemo ekvivalentni otpor paralelno spojenih otpornika analogni onima kojima odreujemo ekvivalentni kapacitet serijski spojenih kondenzatora.

Pitanja: 1. U kakvom su odnosu padovi napona na pojedinim otpornicima i ukupni pad napona u: a) serijskom spoju otpornika b) paralelnom spoju otpornika? 2. U kakvom su odnosu jakosti struja kroz pojedine otpornike i ukupna jakost struje u: a) serijskom spoju otpornika b) paralelnom spoju otpornika? 3. Kojim od dvaju razliËitih otpornika spojenih paralelno teËe jaËa struja? 4. Na kojem je od dvaju razliËitih otpornika spojenih serijski veÊi pad napona? 5. HoÊe li se ukupni otpor dvaju jednakih otpornika spojenih serijski poveÊati ili smanjiti i koliko puta ako otpornike prespojimo u paralelni spoj? 6. Jesu li troπila elektriËne energije u kuÊanstvu na izvor napona prikljuËena serijski ili paralelno (vidi sliku)? Zaπto su upravo tako prikljuËena?

7. Jedna od æaruljica na boæiÊnom drvcu se razbila, a ostale se odmah pogasile. Kako su æaruljice bile spojene: serijski ili paralelno?

134

Primjeri spajanja otpornika ■ Primjer 1: a) Koliki su padovi napona na otpornicima 3 W i 6 W na slici? b) Koja od toËaka A i B ima viπi potencijal? c) Koliki je napon meu njima? Zanemarimo unutarnji otpor izvora.

Rjeπenje: R1 = 3 W R2 = 12 W R3 = 6 W R4 = 4 W U = 60 V a) U3 = ?, U2 = ?

V I1= R U = 3 60 W + 12 W 1 + R2 I1=4 A U 1 = I 1 R1 = 4 A $ 3 W U 1 =12 V

I2= R U = 6 60+V W 4W 3 + R4 I 2=6 A U 3 = I 2 R3 = 6 A $ 6W U 3 = 36 V.

135

b) {A = ?, {B = ? Uzmimo da je potencijal negativnog pola izvora jednak nuli ({- = 0). Tada je potencijal pozitivnog pola {+ = 60 V. Potencijal toËke A niæi je od potencijala pozitivnog pola za pad napona na otporniku R1 = 3 W:

{ A = { + - U 1 = 60 V -12 V,

{ A = 48 V.

Potencijal toËke B niæi je od potencijala pozitivnog pola za pad napona na otporniku R3 = 6 W:

{ B = { + - U 3 = 60 V - 36 V, { B = 24 V. { A > { B.

Dakle,

U = { A - { B = 48 V - 24 V,

c)

U = 24 V .

■ Primjer 2: Ako æarulje Æ1 (220 V i 40 W) i Æ2 (220 V i 100 W) spojimo serijski na napon 220 V, koja Êe æarulja jaËe svijetliti? Odgovor: Snage æarulja su 40 W i 100 W kada se svaka od njih prikljuËi na napon 220 V. Tada bi jaËe svijetlila æarulja Æ2. U serijskom spoju naponi na æaruljama nisu 220 V, ali znamo da njima 2teËe ista U ). Ta Êe struja pa veÊu snagu razvija æarulja veÊeg otpora (P = I2R). VeÊi je otpor æarulje Æ1 ( R = P æarulja u serijskom spoju i jaËe svijetliti.

■ Primjer 3: Struja jakosti 10 A grana se u dvije grane s otporima 2 W i 6 W. Kolika je jakost struje i snaga u svakoj grani? Rjeπenje: I = 10 A R1 = 2 W R2 = 6 W I1 = ?, I2 = ? P1 = ?, P2 = ?

1 1 1 R1 R 2 2W $ 6W R = R1 + R 2 & R = R1 + R 2 = 2W + 6W , U = IR =10 A $1, 5W , 136

U =15 V

R =1, 5W

U = 15 V , I = 7, 5 A I1= R 1 2W 1 P1 = UI 1 =1, 5 V $ 7, 5 A, P1 =11, 25 W

U = 15 V , I = 2, 5 A I2= R 2 6W 2 P2 = UI 2 =15 V $ 2, 5 V, P2 = 37, 5 W.

Zadaci: 1. Tri su otpornika spojena u strujni krug prema shemi na slici. Koliki je napon na svakom otporniku i kolika je jakost struje kroz svaki od njih? Unutarnji otpor izvora zanemarite.

2. U strujni krug napona 110 V ukljuËen je otpornik otpora 100 W i u seriju s njim 5 jednakih æarulja. Napon na otporniku je 50 V. Koliki je otpor jedne æarulje? 3. U VodiË se sastoji od tri æeljezne æice koje su spojene serijski jedna na drugu. Sve æice imaju jednake duljine od 5 m. Povrπina presjeka prve æice je 1.1 mm2, dok su povrπine presjeka ostalih dviju æica dva, odnosno tri puta veÊe od povrπine presjeka prve æice. Krajevi takvog vodiËa prikljuËeni su napon 11 V. a) Kolika je jakost struje kroz svaku od æica? b Koliki su padovi napona na svakoj æici? ElektriËna otpornost æeljeza je 0,12 · 10-6 Wm. 4. Æica od nikelina dugaËku 16 m, popreËnog presjeka 0,8 mm2, razrezana je na jednake dijelovi koji su zatim spojeni paralelno. Na koliko je dijelova æica razrezana ako je otpor paralelno spojenih dijelova æice 0,5 W? Otpornost nikelina je 0,4 · 10-6 Wm.

137

Kirchhoffova pravila Za rjeπavanje problema u sloæenijim strujnim krugovima upotrebljavamo dva Kirchhoffova pravila. Prvo Kirchhoffovo pravilo. S ovim smo se pravilom veÊ upoznali pri razmatranju paralelnog spoja otpornika. Ono kaæe da je zbroj jakosti struja koje dolaze u toËku grananja jednak zbroju jakosti struja koje odlaze iz toËke grananja. Pokazat Êemo da je prvo Kirchhoffovo pravilo posljedica zakona oËuvanja naboja.

I5 5 I1

1

4 I2 2

I4

I3 3

Slika 76. Zbroj jakosti struja koje dolaze u toËku grananja (I1 + I4) jednak je zbroju jakosti struja koje odlaze iz toËke grananja (I2 + I3 + I5) Naboj u toËku grananja na slici 76 dolazi prvim i Ëetvrtim vodiËem, a iz nje odlazi drugim, treÊim i petim vodiËem. Prema zakonu oËuvanja naboja, koliËina naboja koja dolazi u toËku grananja jednaka je koliËini naboja koja odlazi iz toËke grananja:

Q1 + Q 4 = Q 2 + Q 3 + Q 5 . Izrazimo koliËine naboja umnoπcima odgovarajuÊih jakosti struja i vremena:

I 1 t + I 4 t = I 2 t + I 3 t + I 5 t. Podijelimo li sada jednadæbu s t, dobivamo:

I1+ I 4= I 2 + I 3+ I 5 , a to je prvo Kirchhoffovo pravilo. Drugo Kirchhoffovo pravilo. ElektriËna potencijalna energija naboja mijenja se od toËke do toËke strujnog kruga. Promjena elektriËne potencijalne energije pri pomaku elektriËnog naboja iz jedne toËke strujnog kruga u drugu jednaka je ukupnom radu πto ga obave neelektriËna i elektriËna sila. Radom neelektriËne sile u izvo-

138

ru (Wne) poveÊava se elektriËna potencijalna energija, dok se radom elektriËne sile u izvoru (Weu) i vanjskom dijelu strujnog kruga (Wev) elektriËna potencijalna energija smanjuje. Zato radu neelektriËne sile dajemo pozitivan predznak, a radu elektriËne sile negativan. Na slici 77 je dio strujnog kruga u kojem su dva izvora s elektromotornim naponima f 1 i f 2 i unutarnjim otporima Ru1 i Ru2, te tri otpornika s otporima R1, R2 i R3. Promjena elektriËne potencijalne energije pri prijelazu naboja iz toËke A u toËku B (EepB - EepA), jednaka je algebarskom zbroju radova svih neelektriËnih i elektriËnih sila koje djeluju na naboj izmeu tih dviju toËaka:

E epB - E epA = W ne1 - W eu1 - W ev1 - W ev2 + W ne2 - W eu2 - W ev3 Zamijenimo li rad elektriËne sile u izvoru s:

W eu = IR u Q, a u vanjskom dijelu strujnog kruga s:

W ev = IRQ, dobivamo:

E epB - E epA = W ne1 - IR u1 Q - IR1 Q - IR 2 Q + W ne2 - IR u2 Q - IR 3 Q. Podijelimo li jednadæbu s nabojem Q, dobivamo:

E epB E epA W ne1 W ne2 Q - Q = Q - IR u1 - IR1 - IR 2 + Q - IR u2 - IR 3 . E ep Kvocijent elektriËne potencijalne energije i naboja je potencijal ( { = Q ), a kvocijent rada neelektriËne sile i W ne

naboja je elektromotorni napon ( f = ). Prema tome, razlika potencijala (napon, U) izmeu dviju toËaka Q strujnog kruga je: . IR 2 + f 2 - IR u2. - IR 3 . { B - { A = U =. f 1 - IR u1 - IR1 -

Slika 77. Uz izvod drugog Kirchhoffova pravila Kada je poËetna toËka ujedno i konaËna (slika 78), strujni krug je zatvoren. Tada je:

{ B - { A =0 pa gornja jednadæba na kraju prelazi u:

f 1 + f 2 = IR u1 + IR u2 + IR1 + IR 2 + IR 3 .

139

Jednadæba pokazuje da je zbroj elektromotornih napona izvora jednak zbroju padova napona na unutarnjim i vanjskim otporima strujnog kruga. To je drugo Kirchhoffovo pravilo.

Slika 78. Uz izvod drugog Kirchhoffova pravila

Pitanja: 1. Kojih su zakona posljedice Kirchhoffova pravila? 2. Kako glasi prvo Kirchhoffovo pravilo za Ëvor na slici?

3. Kako glasi drugo Kirchhoffovo pravilo za strujni krug na slici?

140

Sloæeni strujni krugovi Na slici 79 prikazan je primjer sloæenog strujnog kruga. Dijelove ABCDA i DCEFD prikazanog sloæenog strujnog kruga nazivamo petljama. Svaka petlja za sebe predstavlja jednostavni strujni krug za koji vrijedi drugo Kirchhoffovo pravilo. ToËke C i D su toËke grananja ili razgraniπta (Ëvorovi). Za njih vrijedi prvo Kirchhoffovo pravilo.

Slika 79. Primjer sloæenog strujnog kruga

■ Primjer: Neka su vrijednosti veliËina na slici 79: f1 = 1,5 V, f2 = 2f1, f3 = 6 V, Ru1 = 3,2 W, Ru2 = 2Ru1, Ru3 = 0,12 W, R1 = 8 W i R2 = 15 W. IzraËunajmo jakosti struja kroz otpornike. Rjeπenje: Smjerove struja u pojedinim granama ne znamo pouzdano pa Êemo ih pretpostaviti. Na slici 79 pretpostavljeno je da struje I2 i I3 dolaze u toËku grananja D, a struja I1 odlazi pa prvo Kirchhoffovo pravilo primijenjeno na toËku D glasi:

I 2 + I 3= I1. Primijenimo drugo Kirchhoffovo pravilo na petlju ABCD. Struje koje bi davali izvori elektromotornih napona f2 i f3 suprotnih su smjerova. Zato jednom od elektromotornih napona dajemo pozitivan, a drugom negativan predznak. U naπem primjeru uzeli smo da je elektromotorni napon f2 pozitivan a f3 negativan. Pozitivni smjer naznaËen je na slici 79 savijenom strelicom. Struje u granama takoer mogu imati pozitivan ili negativan predznak. Pozitivan je ako teku u smjeru savijene strelice, a negativan ako teku suprotno tom smjeru. S ovim dogovorima drugo Kirchhoffovo pravilo primijenjeno na petlju ABCDA glasi:

f 2 - f 3 =- I 3 R u3 + I 2 R u2 + I 2 R 2 , a na petlju DCEFD:

- f 2 + f 1 =- I 2 R 2 - I 2 R u2 - I 1 R u1 - I 1 R1 .

141

Uvrstimo u dvije posljednje jednadæbe vrijednosti poznatih veliËina i sredimo ih:

- 6 + 3 =- 0,12 I 3 + 6, 4 I 2 + 15 I 2 , - 3 + 15 =-15 I 2 - 6, 4 I 2 - 3, 2 I 1 - 8 I 1 ,

- 3 =- 0,12I 3 + 21, 4 I 2 -1, 5 =- 21, 4 I 2 -11, 2 I 1 .

Sada u jednadæbu -1,5 = -21,4 I2 ∑ 11,2 I1 uvrstimo I 1 = I 2 + I 3 :

-1, 5 =- 21, 4 I 2 - 11, 2 (I 2 + I 3 ). Sredimo ovu jednadæbu i ispod nje napiπimo jednadæbu -3 = 21,4 I2 ∑ 0,12 I3:

-1, 5 =- 32, 6 I 2 - 11, 2 I 3 - 3 = 21, 4 I 2 - 0,12 I 3 . Iz ovog je sustava jednadæbi I2 = -0,137 A, I3 = 0,533 A, a iz treÊe jednadæbe I1 = 0,396 A. Negativan predznak ispred I2 znaËi da je smjer te struje suprotan smjeru koji smo pretpostavili.

Zadatak: 1. Na slici je shema sloæenog strujnog kruga. Odredite jakost struje kroz otpornike ako je f1 = 2,1 V, f2 = 6,3 V, Ru1 = 0,01 W, Ru2 = 0,03 W, R1 = 1 W, R2 = 2 W, R3 =1 W, R4 = 10 W. R1

f1, Ru1

R2

f2, Ru2

R4 R3

Gustav Robert Kirchhoff (1824. ∑ 1887.), njemaËki fiziËar. ZnaËajni su njegovi doprinosi uraznim granama fizike. Postavio je zakon o toplinskom zraËeju tijela. Zasluæan je za otkriÊe i ravoj spektralne analize. Krchhoffova pravila primjenjuju se u elektrotehnici pri rjeπavanju priblema u sloæenim strujnim krugovima

142

Spajanje izvora struje Serijski spoj izvora. Na slici 80 je strujni krug sa serijskim spojem viπe izvora struje i jednim otpornikom otpora R. Otpor R moæe biti i ukupni otpor viπe otpornika. Prema 2. Kirchhoffovu pravilu elektromotorni naponi se zbrajaju i njihov zbroj je jednak zbroju padova napona na otporima:

f 1 + f 2 + ... = IR u1 + IR u2 + ... IR iz Ëega slijedi:

I = R +fR1 + f+2R+ ...+ ... . u1 u2 Jakost struje u krugu s viπe serijski spojenih izvora dobijemo tako da elektromotorne napone izvora zbrojimo i podijelimo sa zbrojem vanjskih i unutarnjih otpora.

Slika 80. Serijski spoj izvora Spojimo li serijski N jednakih izvora, svaki elektromotornog napona f i unutarnjeg otpora Ru, jakost struje je:

Nf

. I = R + NR u . ObiËno je Ru<< R pa je:

I c NRf

. Serijskim spajanjem N jednakih izvora struje dobivamo struju koja je pribliæno N puta jaËa od struje koju bi davao samo jedan izvor. Paralelni spoj izvora. Paralelno spajamo samo jednake izvore (slika 81) pa je ukupni elektromotorni napon N takvih izvora jednak elektromotornom naponu jednog izvora. Ukupni unutarnji otpor svih izvora je-

143

dnak je unutarnjem otporu (Ru) jednog izvora podijeljenom s brojem (N) izvora (paralelni spoj jednakih R otpornika): u . N R Vanjski otpor (R) vezan je s ukupnim unutarnjim otporom serijski pa je ukupni otpor kruga u + R , a jakost N struje u krugu:

I=

f u R+ R N

Sa slike 81 vidimo da je ta struja jednaka zbroju struja πto ih daju pojedini izvori (1. Kirchhoffovo pravilo). BuduÊi da su izvori jednaki, i njihove su struje jednake. Obiljeæimo li struju jednog izvora s I1, ukupna struja je: I = NI1. U paralelnom spoju N jednakih izvora ukupna jakost struje pribliæno je jednaka onoj koja teËe krugom kada je u njemu samo jedan izvor. Meutim, u paralelnom spoju izvora svaki od njih daje N puta slabiju struju od one koju bi davao da je sâm. Zbog toga su paralelno spojeni izvori dugotrajniji.

Slika 81. Paralelno spajamo samo jednake izvore

Zadatak: 1. Na bateriju koju Ëini pet jednakih izvora elektromotornih napona 1,55 V i unutarnjih otpora 0,5 W prikljuËen je otpornik od 20 W. Koliki je pad napona na svakom izvoru ako su oni spojeni: a) serijski b) paralelno?

144

Galvanometar Ureaj kojim moæemo utvrditi protjecanje elektriËne struje nazivamo galvanometrom. Prolazom struje kroz galvanometar njegova se kazaljka zakreÊe. NajËeπÊe je otklon kazaljke razmjeran jakosti struje. Ampermetar. Kada je mjerna ljestvica galvanometra baædarena u jedinicama jakosti struje, galvanometar nazivamo ampermetrom. Ampermetar se u strujni krug ukljuËuje serijski s ostalim elementima strujnog kruga. UkljuËenjem ampermetra poveÊa se ukupni otpor kruga, a jakost struje se smanji. Da ne bi znatno mijenjao jakost struje, ampermetar mora imati mali unutarnji otpor. Mjerno podruËje danog ampermetra moæemo poveÊati tako da ampermetru paralelno prikljuËimo otpornik kojim Êe poteÊi dio struje (slika 82). Otpornik nazivamo shuntom.

Slika 82. Proπirivanje mjernog podruËja ampermetra Za toËku grananja T vrijedi prvo Kirchhoffovo pravilo:

I = I a + I sh . Podijelimo li gornju jednadæbu s Ia, dobit Êemo:

I I sh I a =1 + I a . I U U Uvedemo li zamjene = N , I sh = Ia R sh , I a = R a u gornju jednadæbu i sredimo je, dobivamo: R sh = NR-a 1 . Ovim izrazom moæemo izraËunati veliËinu otpora shunta kada mjerno podruËje ampermetra æelimo poveÊati N puta.

145

Voltmetar. Prolazom struje kroz galvanometar na njemu se javlja pad napona koji je jednak umnoπku jakosti struje i unutarnjeg otpora galvanometra. Prema tome, galvanometrom moæemo mjeriti i napon. Tada je mjerna ljestvica baædarena u jedinicama napona, a galvanometar nazivamo voltmetrom. PrikljuËimo li voltmetar paralelno nekom dijelu strujnog kruga (slika 83), pad napona na voltmetru jednak je padu napona na tom dijelu strujnog kruga. Mjerenjem pada napona na voltmetru nalazimo pad napona na odgovarajuÊem dijelu strujnog kruga. BuduÊi da se voltmetar prikljuËuje paralelno dijelu strujnog kruga na kojem se mjeri pad napona, njegovim se ukljuËenjem u strujni krug smanji ukupni otpor kruga, a jakost struje poraste. Da bi utjecaj voltmetra na ukupni otpor i jakost struje bio πto manji, njegov unutarnji otpor mora biti velik.

Slika 83. Voltmetar spajamo paralelno elementu na kojem mjerimo napon Mjerno podruËje danog voltmetra moæemo poveÊati ako mu serijski prikljuËimo otpor koji zovemo predotporom ili multiplikatorom (slika 84). Predotpor preuzima dio napona koji mjerimo.

Slika 84. Proπirivanje mjernog podruËja voltmetra Napon U izmeu toËaka A i B (slika 84) jednak je zbroju napona na voltmetru Uv i predotporu Up:

U =U v +U p.

146

Podijelimo li jednadæbu s Uv , dobivamo:

Up U U v =1 + U v . U

Kvocijent U v = N pokazuje koliko puta je napon πto ga moæemo mjeriti voltmetrom s predotporom veÊi od napona πto ga moæemo mjeriti samim voltmetrom. Drugim rijeËima, taj kvocijent pokazuje koliko smo puta poveÊali mjerno podruËje voltmetra. Znamo da je U p = IR p , a U v = IR v , pa nakon uvrπtavanja u gornju jednadæbu i sreivanja dobivamo vrijednost predotpora potrebnog da bi se mjerno podruËje voltmetra poveÊalo N puta:

R p = R v (N - 1) .

Pitanja: 1. Kako u strujni krug prikljuËujemo (serijski ili paralelno) ampermetar, a kako voltmetar? 2. Da bi ampermetar i voltmetar bili πto toËniji (precizniji), kakvi moraju biti (veliki ili mali) njihovi unutarnji otpori? 3. Kako biste poveÊali mjerno podruËje ampermetra? 4. Je li maksimalna jakost struje koja moæe teÊi ampermetrom nakon proπirivanja mjernog podruËja veÊa od one koja njime moæe teÊi prije proπirivanja mjernog podruËja? Zadaci: 1. Voltmetar koji sluæi za mjerenje napona do 5 V ima unutarnji otpor 5 kW. Kako biste njime mjerili napone do 50 V? 2. Mikroampermetar ima unutarnji otpor 50 W i pri punom otklonu kazaljke pokazuje 100 mA. Koju Êe najveÊu jakost struje moÊi mjeriti mikroampermetar ako mu paralelno prikljuËimo otpor 0,5 W? Kolika je jakost struje kroz prikljuËeni otpor?

Luigi Galvani (1737. ∑ 1798.), talijanski lijeËnik i fiziËar. Otkrio je da se æablji miπiÊi trzaju ako su u dodiru s dva razlËita metala. Mislio je da je rijeË o æivotinjskom elektricitetu πto se pokazalo netoËnim. Ispravno objaπnjeje dao je Alessandro Volta. Galvanijevim imenom nazvani su razni elektriËni procesi (galvanizacija, galvanoplastika, galvanostegija) i naprave (galvanoskop, galvanometar, galvanski Ëlanak).

147

MAGNETSKO POLJE Magneti i magnetsko polje Postoje tijela koja privlaËe predmete od æeljeza, kobalta, nikla i njihovih slitina. Nazivamo ih magnetima. NajËeπÊe ih izraujemo u obliku potkove, πtapa ili igle (slika 85a, 85b, 85c).

Slika 85. Razni oblici magneta Magnetska igla oslonjena u teæiπtu, jednim krajem se okreÊe prema sjeveru, a drugim prema jugu. Kraj magneta okrenut prema sjeveru nazivamo sjevernim polom (N), a onaj kraj koji je okrenut prema jugu juænim polom (S). Magnetske polove ne moæemo razdvojiti. Prereæemo li magnet na spoju polova, dobit Êemo dva magneta sa sjevernim i juænim polom (slika 86).

Slika 86. Ne postoji magnet s jednim polom Magneti djeluju i meusobno. Raznoimeni polovi magneta se privlaËe (slika 87a), a istoimeni odbijaju (slika 87b).

Slika 87. Raznoimeni polovi dvaju magneta se privlaËe (a), istoimeni odbijaju (b)

148

Kao πto smo elektriËno djelovanje opisivali elektriËnim poljem, tako Êemo magnetsko djelovanje opisivati magnetskim poljem. Magnetsko polje predoËujemo magnetskim silnicama. Za smjer silnice u nekoj toËki magnetskog polja uzimamo smjer koji zauzme sjeverni pol magnetske igle postavljene u tu toËku. Prema tom dogovoru silnice izlaze iz sjevernog magnetskog pola, a ulaze u juæni (slika 88). Silnice su zatvorene krivulje, πto znaËi da unutar magneta imaju smjer od juænog pola prema sjevernom.

Slika 88. Magnetske silnice su zatvorene krivulje koje izvan magneta idu od sjevernog prema juænom polu, a u magnetu od juænog pola prema sjevernom Usmjerenost magnetske igle u smjeru sjever-jug upuÊuje na zakljuËak da je Zemlja magnet. Sjeverni magnetski pol Zemlje blizu je juænom zemljopisnom polu, dok je juæni magnetski pol blizu sjevernom zemljopisnom polu. Kut πto ga zatvaraju magnetska i zemljopisna os nazivamo kutom magnetske deklinacije. Homogeno magnetsko polje. Magnetsko polje je homogeno ako je iznos i smjer magnetske indukcije u svakoj toËki jednak. Silnice homogenog polja su meusobno paralelni pravci svuda jednake gustoÊe.

Sila na vodiË kojim teËe struja u magnetskom polju ■ Pokus Postavimo u magnetsko polje vodiË kako prikazuje slika 89a. Zatvorimo li strujni krug, opaæamo da se vodiË otklanja (slika 89b).

149

Slika 89. VodiË kojim teËe struja u magnetskom polju se otklanja (b). Otklona nema ako vodiËem ne teËe struja (a). Uzrok otklonu vodiËa je sila. Nazivamo je Ampèreova sila (FA). Pokusom bi se dalo pokazati da Ampèreova sila ovisi o jakosti struje kroz vodiË (I), o duljini vodiËa unutar magnetskog polja (l) i o kutu ({) koji smjer struje zatvara sa smjerom silnica:

F A = B I l sin { . VeliËinom B opisujemo magnetsko polje i zovemo je magnetska indukcija ili gustoÊa magnetskog toka. Jedinica za magnetsku indukciju je tesla (T), a iz posljednjeg izraza nalazimo: T = NA-1m-1. Magnetska indukcija je vektorska veliËina koja u danoj toËki ima smjer silnice. Sila je najjaËa kada je smjer struje okomit na silnice. Tada je sin a = 1 pa izraz za silu glasi:

FA = B I l . Ampèreova sila je okomita na smjer struje i na silnice, a smjer joj moæemo odrediti pravilom desne ruke: Ako ispruæeni prsti desne ruke pokazuju smjer silnica (magnetske indukcije), a palac smjer struje, sila na vodiË ima smjer iz dlana (slika 90). Kada je vodiË paralelan silnicama, na njega ne djeluje Ampèreova sila. Tada je, naime, sin a = 0.

Slika 90. Pravilo desne ruke za odreivanje smjera sile na vodiË

150

■ Primjer: Na horizontalnim metalnim traËnicama meusobno udaljenim 20 cm leæi metalni valjak mase 0,5 kg. TraËnice su smjeπtene u vertikalno homogeno magnetsko polje indukcije 0,5 T. Koliko jaku struju treba propustiti kroz valjak da bi se on poËeo gibati ako je faktor trenja izmeu valjka i traËnica 0,1? Rjeπenje: l = 20 cm = 0,20 m m = 0,5 kg B = 0,5 T n = 0,1 I=? Da bi se valjak pokrenuo, Ampèreova sila mora svladati silu trenja:

nmg 0,1$ 5 kg $ 9, 81m s - 2 F A $ Ft , BIl $ nmg & I $ Bl = 0, 5T $ 0, 20 m , I $ 4, 9 A.

Pitanja: 1. ©to su magneti? 2. Zaπto se magnetska igla postavlja u smjer sjever-jug? 3. Kako pomoÊu magnetske igle odreujemo smjer silnice magnetskog polja? 4. O Ëemu ovisi Ampèreova sila? Kako pravilom desne ruke odreujemo njezin smjer? 5. Na slici je presjek vodiËa kojim teËe struja iz ravnine crtnje. Koji je smjer silnica magnetnog polja ako Ampèreova sila djeluje kako prikazuje slika?

Napomena: Vektore (veliËine koje imaju smjer) prikazujemo strelicama. Kada je vektor okomit na ravninu crtnje i usmjeren prema nama, vidimo vrh strelice kao toËku. Vektor u tom sluËaju prikazujemo kruænicom s toËkom u srediπtu (slika dolje lijevo). Tako smo sada prikazali tok struje. Kada je vektor okomit na ravninu crtnje i usmjeren od nas, vidimo rep strelice. Tada vektor prikazujemo kruænicom s kriæiÊem (slika dolje desno).

6. Kolika je sila kojom Zemljino magnetsko polje djeluje na ravni vodiË postavljen u smjeru magnetskog meridijana? U kojem smjeru mora biti postavljen vodiË da sila bude najjaËa?

151

Zadatak: 1. Izmeu polova magneta u horizontalnom poloæaju lebdi vodiË mase 10 g i duljine 20 cm. Kolika je jakost struje kroz vodiË ako je indukcija magnetskog polja 0,26 T?

Nikola Tesla (1856. ∑ 1943.), naπ istraæivaË i izumitelj na polju elektrotehnike i radiotehnike. Patentirao je oko 700 pronalazaka od kojih je nekoliko desetaka naπlo πiroku primjenu. Izmeu ostaloga konstruirao je generator izmjeniËne struje, razradio sustav trofaznih struja i primjene ransformatora, te pronaπao asinkrone motore za izmjenËnu struju.

152

Magnetska sila na strujnu petlju Zamislimo vodiË oblika petlje u magnetskom polju (slika 91). Dijelovi petlje a i c su ravni i okomiti na magnetske silnice. Njima teËe ista struja, ali u meusobno suprotnim smjerovima, pa su suprotnih smjerova i Ampèreove sile Fa i Fc na ta dva dijela petlje. Par sila Fa i Fc zakreÊe petlju. Kada je petlja u poloæaju prikazanom na slici 91, njezini dijelovi b i d su paralelni silnicama pa na njih ne djeluje Ampèreova sila. Na te dijelove Ampèreova sila ne djeluje ni kada se petlja zakrene za 180 °. U drugim poloæajima petlje Ampèreove sile na te dijelove petlje imaju suprotne smjerove i nastoje petlju stisnuti, odnosno razvuÊi. One nemaju utjecaja na vrtnju petlje.

Slika 91. Na dijelove petlje a i c djeluju sile Fa i Fc i zakreÊu je NaËelo rada ampermetra i voltmetra. Zakretanje strujne petlje u magnetskom polju upotrebljavamo pri konstrukciji ampermetra i voltmetra. U te je ureaje, umjesto petlje, ugraena mala zavojnica (slika 92). JaËa struja kroz zavojnicu izaziva veÊi zakret zavojnice, odnosno kazaljke koja je s njom povezana. Za zavojnicu s kazaljkom uËvrπÊena je elastiËna opruga koja elastiËnom silom uravnoteæuje Ampèreovu silu.

Slika 92. Kada zavojnicom prolazi struja, ona se skupa s kazaljkom zakreÊe

153

NaËelo rada elektromotora. Na slici 93a prikazan je presjek petlje sa slike 91. Dijelove petlje a i c vidimo kao kruæiÊe. Dijelom a struja teËe u ravninu papira, πto prikazujemo simbolom 7 . U dijelu c struja teËe iz ravnine papira ( 9 ). Par sila Fa i Fc zakretao bi petlju do poloæaja prikazanog na slici 93b. To je ravnoteæni poloæaj. Petlja se zbog tromosti ne zaustavlja u ravnoteænom poloæaju, nego njime prolazi. No par sila je sada vraÊa prema ravnoteænom poloæaju (slika 93c). Da bi se petlja nastavila okretati, moraju se promijeniti smjerovi sila na dijelove petlje a i c (slika 93d). To postiæemo promjenom smjera struje u trenutku prolaza petlje ravnoteænim poloæajem. Takva vrtnja strujne petlje u magnetskom polju naËelo je rada elektromotora.

Slika 93. Vrtnja strujne petlje u magnetskom polju: naËelo rada elektromotora na izmjeniËnu struju. Smjer struje se mijenja kada petlja prolazi poloæajem prikazanim na slici b)

154

Pitanja: 1. Kojega smjera mora biti struja kroz petlju na donjoj slici da bi se ona u magnetskom polju okretala u smjeru kazaljke na satu? Precrtajte sliku i smjerove struje ucrtajte u kruæiÊe koji predstavljaju presjeke vodiËa petlje.

2. Opiπite naËelo rada elektromotora. Nacrtajte poloæaj petlje u magnetskom polju u kojemu se mijenja smjer struje kroz nju. ©to bi se dogodilo da se tada ne promjeni smjer struje? 3. Opiπite naËelo rada ampermetra sa zavojnicom. Koja je uloga opruge?

NaËelo rada elektromotora

Elektromotor

155

Sila na nabijenu Ëesticu koja se giba magnetskim poljem ■ Pokus Snopu elektrona u katodnoj cijevi (slika 94a) primaknemo magnet. Opaæamo da se snop otklanja (slika 94b).

Slika 94. Otklon elektronskog snopa u magnetskom polju Pokus nam pokazuje da na elektrone koji se gibaju magnetskim poljem djeluje sila. Magnetsko polje djeluje ne samo na elektron, nego na svaku nabijenu Ëesticu koja se giba. Silu kojom magnetsko polje djeluje na nabijenu Ëesticu u gibanju nazivamo Lorentzovom silom. BuduÊi da je elektriËna struja kroz vodiÊ usmjereno gibanje slobodnih elektrona, zakljuËujemo da je Ampèreova sila, kao sila na vodiË kojim teËe struja u magnetskom polju, zapravo zbroj Lorentzovih sila na sve gibajuÊe slobodne elektrone. Zato izraz za Lorentzovu silu (FL) moæemo lako izvesti iz izraza za Ampèreovu silu (FA). Kada u izraz za Ampèreovu silu:

F A = B I l sin { uvrstimo:

I = e n S v, dobijemo:

F A = n S l B e v sin {. BuduÊi da je n broj slobodnih elektrona u jediniËnom obujmu, a Sl obujam vodiËa, onda je umnoæak nSl broj slobodnih elektrona u vodiËu. Obiljeæimo li taj broj s N (N = n S l), izraz za Ampèreovu silu glasi:

F A = N B e v sin {.

156

Podijelimo li jednadæbu s brojem slobodnih elektrona u vodiËu (N), dobit Êemo silu na jedan elektron, a to je Lorentzova sila (FL):

F L = FNA = B e v sin {. Naboj Ëestice opÊenito obiljeæavamo s Q pa je konaËni izraz za Lorentzovu silu:

F L = B Q v sin.{ . Vidimo da sila ovisi o magnetskoj indukciji (B), naboju (Q) i brzini (v) Ëestice, te o kutu ({), πto ga smjer brzine zatvara sa smjerom silnica. Kada je brzina nabijene Ëestice okomita na silnice magnetskog polja, sila je najjaËa i raËuna se prema formuli:

FL = B Q v . Sile nema kada se nabijena Ëestica giba paralelno silnicama (sin 0 ˚ = 0). Smjer sile na vodiË u magnetskom polju odreivali smo pravilom desne ruke. BuduÊi da smjer struje odgovara smjeru gibanja pozitivnog naboja, pravilom desne ruke moæemo odrediti i smjer Lorentzove sile. Kada su prsti ispruæeni u smjeru silnica, a palac u smjeru brzine, tada sila na pozitivno nabijenu Ëesticu ima smjer iz dlana (slika 95a). Smjer sile na negativno nabijenu Ëesticu suprotan je smjeru sile na pozitivno nabijenu Ëesticu (slika 95b). Slika 95. Lorentzova sila na Ëesticu s: a) pozitivnim nabojem, b) negativnim nabojem

■ Primjer: Proton kinetiËke energije 0,5 Me V uleti okomito na silnice homogenog magnetskog polja indukcije 0,1 T. Kolika je Lorentzova sila na proton? Masa protona iznosi 9,11 · 10-27 kg, a naboj 1,6 · 10-19 C. Rjeπenje: Ek = 0,5 MeV = 0,5 · 106 eV = 0,5 · 106 · 1,6 · 10-19 J = 8 · 10-14 J m = 1,67 · 10-27 kg e = 1,6 · 10-19 C F=?

157

2 2 Ek E k = mv 2 & v= m

F = Bev E k = 0,1T $1, 6 $10 - 19 C $ 2 $ 8 $10 - 14 J F = Be 2m 1, 67 $10 - 27 kg F =1, 6 $10 - 13 N.

MagnetohidrodinamiËki (MHD) generator. Kazali smo da u izvoru struje neelektriËna sila stvara (generira) razliku potencijala (napon) izmeu polova izvora razdvajanjem pozitivnog naboja od negativnog. Na slici 96 prikazano je naËelo rada magnetohidrodinamiËkog generatora u kojem ulogu neelektriËne sile ima Lorentzova sila. Kroz magnetno polje, okomito na njegove silnice, struji ionizirani plin. Ionizirani plin sadræi negativno nabijene elektrone i pozitivno nabijene ione. Sila na elektrone suprotna je sili na ione, zbog Ëega dolazi do njihova razdvajanja. Elektroni i ioni skupljaju se na odvojenim mjestima koja predstavljaju polove izvora napona.

Slika 96. NaËelo MHD generatora

Zadatak: 1. Elektron ubrzan naponom 150 V uleti u homogeno magnetsko polje indukcije 0.2 T okomito na silnice. Kolikom silom magnetsko polje djeluje na elektron? Masa elektrona je 9,1 · 10-31 kg, a naboj 1,6 · 10-19 C.

Hendrik Antoon Lorentz (1853. ∑ 1928.), nizozemski fiziËar. Uveo je teoriju prema kojoj su nositelji elekriËnog naboja elektroni i ioni. ElektriËnu struju u metalima Ëini usmjereno gibanje njihovih slobodnih elektrona. ProuËavao je djelovanje magnetskog polja na elektrone. Poznate su Lorentove transformacije koje opisuju gibanje tijela brzinama bliskim brzini svjetlosti.

158

Gibanje nabijene Ëestice u magnetskom polju Kada u homogeno magnetsko polje uleti nabijena Ëestica okomito na silnice, Lorentzova sila na Ëesticu imat Êe stalan iznos, a smjer okomit na smjer brzine. Pod utjecajem sile stalnog iznosa, koja je okomita na smjer brzine, tijelo se giba jednoliko po kruænici. Prema tome, nabijena Ëestica koja u homogeno magnetsko polje uleti okomito na silnice giba se jednoliko po kruænici. Na slici 97 silnice magnetskog polja su usmjerene u ravninu papira, πto prikazujemo kruænicom s kriæiÊem ( 7 ). Silu koja prisiljava tijelo na jednoliko kruæno gibanje nazvali smo centripetalna sila (Fcp). Pri jednolikom kruæenju nabijene Ëestice u homogenom magnetskom polju centripetalna sila je Lorentzova sila: 2

F L = F cp , BQv = mv r . Iz ove jednadæbe dobivamo izraz za polumjer kruæne putanje Ëestice:

mv . r = BQ Zamjenama v =

2rr , odnosno v = 2rrf , dolazimo do izraza za period i frekvenciju kruæenja Ëestice: T BQ rm . T = 2,BQ f = 2rm .

Slika 97. Nabijena Ëestica koja uleti u homogeno magnetsko polje okomito na silnice giba se jednoliko po kruænici Kako bi se gibala nabijena Ëestica koja bi u homogeno magnetsko polje uletjela paralelno silnicama? BuduÊi da je Lorentzova sila na takvu Ëesticu jednaka nuli, Ëestica bi se gibala jednoliko pravocrtno. Razmotrimo kako bi se gibala Ëestica Ëija poËetna brzina (v) sa silnicama homogenog magnetskog po-

159

lja zatvara kut veÊi od nule, a manji od 90˚. U tom sluËaju Ëestica ima komponentu brzine okomitu na silnice (vo) i komponentu brzine paralelnu silnicama (vp, slika 98). Zbog komponente brzine okomite na silnice, Ëestica bi se gibala jednoliko po kruænici. Istodobno bi se gibala jednoliko duæ silnica zbog komponente brzine paralelne silnicama. Putanja Ëestice bila bi spiralnog oblika.

Slika 98. Kada brzina kojom nabijena Ëestica uleti u homogeno magnetsko polje nije paralelna silnicama niti okomita na njih, Ëestica se giba po spiralnoj putanji

■ Primjer: U meusobno okomitim homogenim elektriËnim i homogenim magnetskim poljem giba se elektron duæ pravca okomito na oba polja. Kolika je brzina elektrona ako je indukcija magnetskog polja 0,01T, a jakost elektriËnog polja 105 V m-1? Koliki bi bio polumjer kruænice po kojoj bi se gibao elektrona kada bismo iskljuËili elektriËno polje? Masa je elektrona 9,11 · 10-31 kg, a njegov naboj 1,6 · 10-19C. Rjeπenje: B = 0,01 T E = 105V m-1 m = 9,11 · 10-31 kg e = 1,6 · 10-19 C a) v=? Elektron se kroz elektriËno i magnetsko polje giba pravocrtno kada su elektriËna i Lorentzova sila jednakih iznosa i suprotnih smjerova:

FL = Fe ,

10 5 V m - 1 , Bev = eE & v = E = B 0, 01T

v =10 7 m s - 1 .

b) r= ?

9,11$10 - 31 kg $10 7 m s - 1 r = mv = , r = 0, 0057 m = 5, 7 mm. Be 0, 01T $1, 6 $10 - 19 C

160

Ciklotron. Ciklotron je ureaj koji sluæi za kruæno ubrzavanje nabijenih Ëestica. Sastoji se od dviju πupljih elektroda u obliku slova D prikljuËenih na izvor izmjeniËnog napona (slika 99). Polovi izvora izmjeniËnog napona nemaju stalno isti predznak. Elektrode su u homogenom magnetskom polju Ëije su silnice okomite na njih. Uzmimo da je vektor magnetske indukcije usmjeren iz ravnine crtnje, tada ga prikazujemo kruænicom s toËkom u srediπtu. Kada se nabijena Ëestica pojavi izmeu elektroda, privuËe je elektroda Ëiji je naboj suprotan naboju Ëestice. Ako je Ëestica pozitivno nabijena, ubrzavajuÊi se, ona Êe uletjeti u elektrodu koja je u tom trenutku negativna (slika 99a). Unutar elektrode nema elektriËnog polja pa ni poveÊanja brzine Ëestice. Na Ëesticu u elektrodi djeluje samo Lorentzova sila i krivi njezinu putanju, zbog Ëega Ëestica dolazi do izlaza iz elektrode (slika 99b). U tom trenutku se promijeni polaritet elektroda pa Ëestica, ubrzavajuÊi se, prelijeÊe u drugu elektrodu (slika 99c). Slijedi opet kruæno gibanje do izlaza iz elektrode, kada se opet mijenja polaritet elektroda i Ëestica prelazi u suprotnu elektrodu uz poveÊanje brzine. To se ponavlja, i svakim prijelazom iz jedne elektrode u drugu nabijenoj Ëestici se poveÊava brzina. Zato se poveÊava polumjer staze pa ona ima spiralni oblik. Kada Ëestica postigne odgovarajuÊu brzinu, odvodimo je posebnim magnetskim poljem iz ciklotrona (slika 99d).

Slika 99. Ubrzavanje nabijene Ëestice u ciklotronu Magnetsko zrcalo i magnetska boca. Na slici 100 silnicama je prikazano nehomogeno magnetsko polje koje raste udesno. GustoÊa silnica u tom smjeru se poveÊava. Uzmimo da nabijena Ëestica napreduje po spiralnoj putanji u smjeru rastuÊeg polja. Lorentzova sila (FL) na Ëesticu okomita je na silnicu pa ima komponentu suprotnu smjeru napredovanja Ëestice (FL1). Zbog te komponente Lorentzove sile, nabijena Ëestica se najprije usporava, a zatim ubrzava u suprotnom smjeru. Ovakvo gibanje nabijene Ëestice u nehomogenom magnetskom polju sliËno je odbijanju svjetlosnih zraka od zrcala pa nehomogeno magnetsko polje s opisanim uËinkom nazivamo magnetskim zrcalom.

161

Slika 100. Magnetsko zrcalo

Slika 101. Magnetska boca Izvedemo li magnetsko polje kao na slici 101, dobit Êemo dva magnetska zrcala. Nabijena Ëestica koja ue u polje koso prema silnicama odbija se od obaju magnetskih zrcala i ne moæe izaÊi iz magnetskog polja. »estice se ponaπaju kao da su zatvorene u posudu (bocu) pa ovakvu izvedbu magnetskog polja nazivamo magnetskom bocom. Samo poneke Ëestice, koje blizu zrcala imaju brzinu u smjeru silnica mogu izaÊi iz magnetskog polja jer na njih ne djeluje Lorentzova sila. Zemljino okolno magnetsko polje (magnetosfera) uËinkom magnetske boce djeluje na nabijene visokoenergetske Ëestica koje dolaze sa Sunca (solarni vjetar) i iz svemira (kozmiËke zrake).

Pitanja: 1. Kada Êe se nabijena Ëestica koja ulijeÊe u homogeno magnetsko polje gibati: a) pravocrtno b) po kruænici c) po spiralnoj putanji? 2. Opiπite naËelo rada ciklotrona. 3. Opiπite djelovanje magnetskog zrcala i magnetske boce. Zadatak: 1. U magnetskom polju indukcije 1 mT snop elektrona opisuje kruænicu polumjera 5 cm u ravnini okomitoj na silnice. Kolika je kinetiËka energija elektrona u snopu? Za koje se vrijeme smjer brzine elektrona promijeni za 180 ˚? Masa elektrona je 9,1 · 10-31 kg, a njegov naboj 1,6 · 10-19 C.

162

Magnetsko polje elektriËne struje ■ Pokus Neposredno iznad magnetske igle, koja se moæe okretati oko osi, postavimo ravni vodiË (slika 102a). Igla i vodiË postavljeni su u smjeru sjever-jug. Propustimo li vodiËem struju, opaæamo da se igla zakreÊe (slika 102b). Opisani pokus poznat je kao Oerstedov pokus.

Slika 102a

Slika 102b

Uzrok zakretanju igle je magnetsko polje. Oko vodiËa kojim teËe struja javlja se magnetsko polje. BuduÊi da je elektriËna struja usmjereno gibanje naboja, zakljuËujemo da svaki naboj pri gibanju stvara magnetsko polje. I magnetsko polje stalnih magneta posljedica je gibanja naboja u njima.

Slika 103. Silnice magnetskog polja ravnog vodiËa su kruænice

Slika 104. Odreivanje smjera magnetskog polja ravnog vodiËa

Oblik silnica magnetskog polja ravnog vodiËa i njihov smjer moæemo odrediti pomoÊu magnetskih

163

igala postavljenih oko vodiËa. Na slici 103 je presjek vodiËa koji je okomit na ravninu crtnje. Smjer struje kroz vodiË je iz ravnine crtnje prema nama, πto prikazujemo kruæiÊem s toËkom u srediπtu. Prema usmjerenosti magnetskih igala zakljuËujemo da su silnice kruænog oblika. Igle su postavljene tangencijalno na silnicu, a njihovi sjeverni polovi pokazuju smjer silnice. ZnajuÊi smjer struje kroz vodiË, smjer silnica moæemo odrediti pravilom desne ruke. Ispruæeni palac desne ruke postavimo u smjeru struje, a savijeni prsti pokazuju smjer silnica (slika 104). Savijemo li vodiË u petlju, dobit Êemo jaËe magnetsko polje jer se polja nasuprotnih dijelova petlje unutar petlje pojaËavaju (slika 105).

Slika 105. Magnetsko polje petlje

Slika 106. Odreivanje smjera magnetskog polja zavojnice

Viπe petlji nanizanih jedna do druge Ëini zavojnicu. Dok zavojnicom teËe struja, ona ima svojstva magneta. Nazivamo je elektromagnetom. Smjer silnica magnetskog polja zavojnice moæemo odrediti desnom rukom. Kada su prsti desne ruke savijeni u smjeru struje kroz namotaje, tada ispruæeni palac pokazuje smjer silnica kroz zavojnicu. BuduÊi da su silnice unutar magneta usmjerene od juænog prema sjevernom polu, ispruæeni palac pokazuje gdje je sjeverni pol (slika 106). Magnetsko polje zavojnice prouzroËeno je strujom koja njome teËe. Zato oËekujemo da bi magnetska indukcija morala ovisiti o jakosti struje. Nadalje, polja pojedinih namotaja (petlji) se zbrajaju pa bi magnetska indukcija morala ovisiti i o broju namotaja. Pokusi i raËuni pokazuju da je magnetska indukcija u zavojnici razmjerna jakosti struje (I) i broju namotaja (N), a obrnuto razmjerna duljini zavojnice (l):

B o = n NI l . Konstanta razmjernosti (n) ovisi o vrsti sredstva u zavojnici, a nazivamo je apsolutna permeabilnost sredstva. Kada je u zavojnici vakuum, apsolutna permeabilnost je n o = 4r $10 - 7 T m A - 1, pa izraz za magnetsku indukciju u zavojnici s vakuumom glasi:

B o = n o NI l . Kada je u zavojnici neko sredstvo, magnetska indukcija je:

B = n r Bo , odnosno:

164

B = n o n r NI l

,

gdje je nr relativna permeabilnost sredstva u zavojnici. OËito je veza meu permeabilnostima:

n= no nr . Prema vrijednosti relativne permeabilnosti, tvari moæemo svrstati u tri skupine: 1. ParamagnetiËne tvari s relativnom permeabilnoπÊu neπto veÊom od 1 2. FeromagnetiËne tvari Ëija je relativna permeabilnost mnogo veÊa od 1 3. DijamagnetiËne tvari relativne permeabilnosti neπto manje od 1. Zbog velike relativne permeabilnosti, feromagnetiËni materijali se upotrebljavaju pri izradi elektromagneta. Magnetsko djelovanje zavojnice kojom teËe struja mnogo je jaËe kada se u njoj nalazi jezgra od feromagnetiËnog materijala. Relativna pemeabilnost zraka je neznatno veÊa od 1. U naπim Êemo raËunima uzimati da je ona jednaka jedinici. Kada je rijeË o ravnom vodiËu kojim teÊe struja,oËekujemo da je magnetska indukcija veÊa uz veÊu jakost struje i da slabi udaljavanjem od vodiÊa. Moæe se pokazati da je indukcija magnetskog polja ravnog vodiËa razmjerna jakosti struje (I), a obrnuto razmjerna udaljenosti od vodiËa (r):

I B = n 2r r

.

■ Primjer: Dva dugaËka ravna vodiËa meusobno su udaljena 12 cm. Kroz prvi vodiË teËe struja jakosti 10 A, a kroz drugi 5 A. Struje su istoga smjera. a) Kolika je magnetska indukcija na polovini razmaka meu vodiËima? b) Gdje izmeu vodiËa magnetsko polje iπËezava? Rjeπenje: r = 12 cm = 0,12 m I1 = 10 A I2 = 5 A a) B = ? Pravilom desne ruke nalazimo da su magnetske indukcije vodiËa u promatranoj toËki suprotnih smjerova (slika) pa je rezultantna indukcija:

B = B1 - B 2 = n o I 1 r - n o I 2 r 2r 2 2r 2 -7 -1 no B = rr (I 1 - I 2 ) = 4r $10 rT m A $ (12 A -10 A) B = 6, 67 $10 - 6 T b) x = ?

165

Magnetsko polje iπËezava tamo gdje su magnetske indukcije vodiËa jednakih iznosa i suprotnih smjerova:

B1 = B 2 I1 = n I2 n o 2r o x 2r (r - x) A $12cm x = I I+1 rI = 10 10 A + 5 A 1 2 x = 8cm.

Pitanja: 1. ©to je uzrok magnetskom polju? 2. O Ëemu i kako ovisi magnetsko polje: a) ravnog vodiËa b) zavojnice? 3. Kako moæemo poveÊati magnetsku indukciju u zavojnici ne mijenjajuÊi jakost struje? 4. Kako biste desnom rukom odredili smjer magnetskog polja: a) ravnog vodiËa b) zavojnice? Zadaci: 1. Kolika je magnetska indukcija u 20 cm dugoj valjkastoj zavojnici od 100 namotaja ako je zavojnica prikljuËena na napon 4,5 V? Otpor zavojnice je 5 W. 2. Kroz svaku od dvije ravne paralelne æice meusobno udaljene 1 cm teku struje 10 A u: a) istom smjeru b) suprotnim smjerovima. Kolika je magnetska indukcija u toËki koja je od prvog vodiËa udaljena 1 m, a od drugog 99 cm?

Hans Christian Oersted (1777. ∑ 1851.), danski fiziËar i kemiËar. NajveÊe mu je otkriÊe da se oko vodiËa kojim teËe elektriËna struja javlja magnetsko polje. Do otkriÊa je doπao kada se magnetska igla sluËajno naπla blizu vodiËa kojim je potekla struja. Ustanovio je razmjernost elektriËnog otpora i temperature vodiËa.

166

Magnetska sila izmeu dvaju ravnih paralelnih vodiËa ■ Pokus Propustimo li kroz dva paralelna ravna vodiËa struje istoga smjera (slika 107a), opaæamo da se vodiËi primiËu jedan drugome. Ako su struje u vodiËima suprotnih smjerova, vodiËi se odmiËu jedan od drugoga (slika 107b).

Slika 107. VodiËi kojima teku struje istog smjera meusobno se privlaËe (a), a odbijaju ako su struje suprotnih smjerova (b) Uzrok pomicanju vodiËa su sile. Prema treÊem Newtonovu zakonu, sile na vodiËe su jednakih iznosa i suprotnih smjerova. Struja kroz jedan vodiË stvara magnetsko polje koje Amperèovom silom djeluje na drugi vodiË.

Slika 108. Pravilom desne ruke moæemo odrediti smjer sila meu vodiËima

167

Na slici 108a prikazani su presjeci vodiËa kojima teku struje istog smjera (iz ravnine papira prema nama). Primjenom pravila desne ruke zakljuËujemo da su sile privlaËne, πto se i opaæa u pokusu. Slika 109b prikazuje dva vodiËa kojima struje teku u suprotnim smjerovima. Lijevim vodiËem struja teËe u ravninu papira, a desnim iz ravnine papira. Tada su sile odbojne, πto takoer potvruje i pokus. Izvedimo sada izraz za silu kojom vodiËi djeluju jedan na drugoga. Sile su jednakih iznosa pa je dovoljno naÊi izraz za silu na jedan od vodiËa. Naimo silu na desni vodiË. Lijevi vodiË djeluje na desni silom:

F = B1 I 2 l, gdje je B1 magnetska indukcija prvog vodiËa na udaljenosti r, na kojoj se nalazi drugi vodiË:

B1 = n 2Ir1r . Ovom zamjenom dobivamo konaËni izraz za silu meu vodiËima:

F=

n I1 I2 l . 2r r

Prema ovom izrazu definirana je jedinica za jakost struje (amper): Amper je jakost elektriËne struje u svakom od dva vrlo tanka ravna i usporedna vodiËa zanemarivo malenog kruænog presjeka i beskonaËne duljine, poloæena u vakuumu na razmaku jedan metar, koja meu vodiËima uzrokuje silu 2 · 10-7 njutna po metru duljine.

■ Primjer: Kolika je i kojega smjera sila kojom ravni vodiË prikazan na slici djeluje na kvadratni vodiË? Rjeπenje I1 = 10 A I2 = 5 A F=?

Ravni vodiË djeluje samo na stranice kvadrata koje su mu paralelne. Sila na bliæu stranicu djeluje ulijevo jer struja u njoj ima smjer struje u ravnom vodiËu, dok sila na dalju stranicu djeluje udesno. Rezultantna sila je:

no I1 I2 d no I1 I2 d 2r d 2r 2d no I1 I2 4r $10- 7 T m A- 1 $10 A $ 5 A , = F= 4r 4r F=

168

F = 5 $10- 6 N.

Pitanja: 1. U jednom od dvaju ravnih, meusobno paralelnih vodiËa jakost struje je veÊa dvostruko nego u drugom. U kakvom su meusobnom odnosu iznosi sila kojima vodiËi djeluju jedan na drugoga? 2. Pravilom desne ruke za odreivanje smjera magnetske indukcije i smjera Ampèreove sile objasnite privlaËenje i odbijanje dvaju paralelnih vodiËa kojima teËe struja. Zadatak: 1. Dva ravna paralelna vodiËa nalaze se u homogenom magnetskom polju induk-cije 0,16 mT (slika). VodiËi su jedan od drugog udaljeni 5 cm, a struje kroz njih su 20 A u meusobno suprotnim smjerovima. a) Odredite iznos i smjer sila koje djeluju na dijelove vodiËa duge 1,5 m. b) Kolike Êe biti i kojega su smjera sile ako promijenimo smjer struja u vodiËima? 2. Æica ED je postavljena na vodoravnu povrπinu stola kako prikazuje slika. Druga æica BC se nalazi iznad prve tako da je s njom paralelna. Æica BC moæe se pomicati u vertikalnom smjeru bez trenja. Na kojoj Êe se maksimalnoj visini zaustaviti pomiËna æica ako se krugom propusti struja jakosti 60 A i ako je masa æice po jedinici duljine 2 g m-3.

169

Jakost magnetskog polja i magnetski tok Upoznat Êemo joπ dvije veliËine kojima opisujemo magnetsko polje. To su jakost magnetskog polja (H) i magnetski tok (U). Jakost magnetskog polja. Ova je veliËina s magnetskom indukcijom povezana relacijom:

B = nH. Iskazujemo je jedinicom Am . -1

Magnetski tok. Zamislimo snop silnica magnetskog polja indukcije B koje prolaze ravnom plohom povrπine S okomitom na silnice (slika 109a). Umnoæak magnetske indukcije i povrπine kojom prolaze silnice magnetskog polja nazivamo magnetski tok:

U = BS. Jedinica za magnetski tok je veber (Wb = T m2). Kada je ploha paralelna silnicama, kroz nju ne prolaze silnice (slika 109b) pa nema ni magnetskog toka. Okretanjem plohe magnetski tok se mijenja od nule (kada je ploha paralelna silnicama) do maksimalne vrijednosti (kada je ploha okomita na silnice).

Slika 109. Magnetski tok je maksimalan kada su silnice okomite na plohu kroz koju prolaze (a), a jednak je nuli kada su silnice paralelne plohi (b) Magnetski tok moæe se mijenjati ne samo promjenom povrπine kroz koju prolaze silnice, nego i promjenom magnetske indukcije (vrijednosti B).

170

Zadatak: 1. Æeljezni prsten popreËnog presjeka 5 cm2 ima srednji promjer 16 cm. Oko prstena ja namotano 400 namotaja kojima teËe struja jakosti 2 A. Relativna permeabilnost æeljeza je 500. IzraËunajte: a) jakost magnetskog polja b) magnetsku indukciju u prstenu c) magnetski tok.

Wilhelm Weber (1804. ∑ 1891.), njemaËki fiziËar. ProuËavao je elektricitet i magnetizam. Skupa s Gaussom konstruirao je prvi telegraf na temelju djelovanja elektromagneta na inklinacjsku iglu

Zavojnica bez jezgre

Zavojnica s jezgrom

Magnetska indukcija (B) zavojnice s jezgrom od feromagnetiËnog materijala znatno je veÊa od magnetske indukcije iste zavojnice bez jezgre uz istu jakost struje. Jakost magnetskog polja (H) ne mijenja se stavljanjem jezgre u zavojnicu.

171

Elektromagnetska indukcija PomiËemo li ravni vodiË kroz magnetsko polje okomito na njegove silnice brzinom v (slika 110), istom brzinom u odnosu na magnetsko polje gibaju se slobodni elektroni vodiËa. Zbog toga na njih djeluje Lorentzova sila. Pravilom desne ruke nalazimo da se slobodni elektroni pod utjecajem Lorentzove sile gibaju prema jednom kraju vodiËa. Na tom kraju vodiËa se javlja viπak elektrona u odnosu na drugi kraj. Drugim rijeËima, izmeu krajeva vodiËa javlja se (inducira se) elektromotorni napon, odnosno elektriËno polje.

Slika 110. Na gibajuÊe elektrone u vodiËu djeluje Lorentzova sila (FL) Induciranje napona magnetskim poljem nazivamo elektromagnetskom indukcijom. Izvedimo izraz za elektromotorni napon (fi) koji se inducira izmeu krajeva ravnog vodiËa dok se on giba okomito na silnice magnetskog polja. Gibanje slobodnih elektrona prema jednom kraju vodiËa prestaje kada se sila kojom na njih djeluje nastalo elektriËno polje (Fe = eE) izjednaËi s Lorentzovom silom (FL = Bev):

eE = Bev Jakost elektriËnog polja (E) izmeu krajeva vodiËa moæemo zamijeniti kvocijentom induciranog elektromotornog napona fi i duljine vodiËa l pa imamo:

odnosno:

f i = Bv, l f i = Blv .

172

OpÊi izraz za inducirani elektromotorni napon, koji obuhvaÊa sve vrijednosti kuta izmeu smjera brzine i smjera silnica, glasi:

f i = Blv sin {, gdje je { kut izmeu smjera brzine i smjera silnica. Faktor sin{ potjeËe od Lorentzove sile. Kada se vodiË giba paralelno silnicama, napon se ne inducira (fi = 0). Napon se inducira samo onda kada vodiË sijeËe silnice magnetskog polja. Kada vodiË sijeËe silnice pod pravim kutom, inducirani elektromotorni napon ima najveÊu vrijednost.

■ Primjer 1: Ravni vodiË dugaËak 60 cm, otpora 0.1 W giba se brzinom 3 ms-1 u homogenom magnetskom polju od 1.5 T. Duljina vodiËa, brzina i magnetska indukcija meusobno su okomiti. a) Koliki je inducirani napon izmeu krajeva vodiËa? b) Ako vodiË spojimo u strujni krug preko otpora 5W (slika), kolika je jakost struje u krugu? Zanemarite otpor vodova. c) Kolika je sila potrebna za izvoenje gibanja (odræavanje struje u krugu)? d) Kolika snaga se troπi u strujnom krugu? e) Koliki rad obavi vanjska sila za dvije sekunde? Rjeπenje: l = 60 cm = 0,60 m Rv = 0,1 W v = 3 ms-1 B = 1,5 T R=5W t=2s a) fi = ?

f i = Blv =1, 5T $ 0, 60 m $ 3 m s - 1 , f i = 2, 7 V b) I = ?

I=

f i = 2, 7 V , R v + R 0,1W + 5W

I = 0, 53 A

c) F = ?

F = BIl =1, 5T $ 0, 53 A $ 0, 60 m, F = 0, 48 N d) P = ?

P = f i $ I = 2, 7 V $ 0, 53 A, ili

P =1, 43 W

P = Fv

e)

W = Pt =1, 43 W $ 2s, W = 2, 86 J .

173

■ Primjer 2: U homogenom magnetskom polju 10 mT okreÊe se metalni πtap duljine 20 cm stalnom kutnom brzinom 100 rad s-1. Koliki je inducirani napon izmeu krajeva πtapa ako os vrtnje prolazi krajem πtapa i paralelna je silnicama magnetskog polja? Rjeπenje: B = 10 mT = 0,010 T l = 20 cm = 0,20 m ~ = 100 rad s-1 fi = ? Ako jedan kraj πtapa miruje, a drugi se giba brzinom v, onda je inducirani napon jednak onome 0 + v = v . Treba nam koji bi se inducirao pri gibanju svih dijelova vodiËa srednjom brzinom v = 2 2 joπ relacija v =~l , gdje je l polumjer kruænice.

f i = Blv = Bl v 2 2 0, 010 T $ (0, 20 m) 2 $100 rads - 1 ~ Bl fi= = 2 2 f i = 0, 020 V.

Pitanja: 1. O Ëemu ovisi napon induciran izmeu krajeva ravnog vodiËa koji se giba magnetskim poljem? 2. Moæe li se ravni vodiË gibati magnetskim poljem a da se pritom izmeu njegovih krajeva ne inducira napon? Zadaci: 1. Metalna πipka duljine 2 m pada paralelno tlu s vrha zgrade visoke 30 m. Koliki se napon inducira izmeu krajeva πipke ako je horizontalna komponenta Zemljina magnetskog polja 2 · 10-5 T? 2. Ravni vodiË duljine 1 m giba se stalnom brzinom u ravnini koja je okomita na silnice homogenog magnetskog polja, pri Ëemu se izmeu njegovih krajeva inducira elektromotorni napon od 4 · 10-5 V. Kolika je magnetska (Lorentzova) sila na slobodni elektron u vodiËu?

174

Faradayev zakon elektromagnetske indukcije Slika 111 prikazuje pomiËni ravni vodiË koji s drugim vodiËem Ëini zatvorenu pravokutnu petlju. Petlja je u magnetskom polju, Ëije su silnice okomite na ravninu petlje. PomiËemo li ravni vodiË udesno, inducirat Êe se elektromotorni napon izmeu mjesta na kojima ravni vodiË dodiruje drugi vodiË. VeÊ smo naπli da je inducirani elektromotorni napon na krajevima vodiËa koji se giba okomito na silnice polja:

f i = Blv. Brzina gibanja ravnog vodiËa je omjer izmeu puta Ds i vremena Dt za koje ravni vodiË prijee taj put pa je:

f i = Bl Ds = BDS . Dt Dt Umnoæak lDs zamijenili smo s DS, πto predstavlja promjenu povrπine petlje, odnosno povrπine kroz koju prolaze magnetske silnice. Umnoæak BDS je promjena magnetskog toka (DU) pa je inducirani elektromotorni napon:

f i = DU . Dt Dakle, uzrok induciranom elektromotornom naponu je promjena magnetskog toka u petlji pa moæemo reÊi da je elektromagnetska indukcija induciranje napona promjenom magnetskog toka. DU Kvocijent je brzina promjene magnetskog toka. Dt

Slika 111. Uz izvod Faradayeva zakona Dok ravni vodiË pomiËemo brzinom v, petljom teËe struja Ëiji smjer moæemo odrediti pravilom desne ruke. Smjer struje je u smjeru Lorentzove sile na pozitivni naboj. Na vodiË kojim teËe struja javlja se

175

u magnetskom polju Ampèreova sila. Primjenom pravila desne ruke nalazimo da je sila na vodiË suprotna smjeru u kojem ga pomiËemo. Vidimo da je inducirana struja takvog smjera da se opire pomicanju vodiËa, tj. uzroku indukcije. U izraz za inducirani elektromotorni napon to suprotstavljanje unosimo dodavanjem negativnog predznaka:

f i =- DU . Dt Ovaj izraz predstavlja Faradayev zakon elektromagnetske indukcije: Inducirani elektromotorni napon razmjeran je brzini promjene magnetskog toka, a djelovanjem se suprotstavlja uzroku indukcije. U zavojnici s N namotaja (petlji) inducirani napon je N puta veÊi:

f i =- N DU . Dt Promjenu magnetskog toka ostvarili smo promjenom povrπine kroz koju prolaze silnice. VeÊ smo rekli da magnetski tok moæemo mijenjati i promjenom magnetske indukcije. To ‘emo pokazati u sljedeÊim pokusima.

■ Pokus 1 U zavojnicu prikljuËenu na galvanometar (slika 112) uvlaËimo, a potom iz nje izvlaËimo magnet. Dok magnet uvlaËimo u zavojnicu, opaæamo da se kazaljka galvanometra otklanja. Otklon opaæamo i pri izvlaËenju magneta iz zavojnice, ali u suprotnom smjeru.

Slika 112. Induciranje napona pomicanjem magneta u odnosu na zavojnicu UvlaËenjem magneta u zavojnicu poveÊavamo magnetsku indukciju kroz presjek zavojnice. Time se poveÊava magnetski tok i inducira napon. IzvlaËenjem magneta iz zavojnice smanjujemo magnetsku

176

indukciju i magnetski tok. Inducirani napon suprotan je onome koji se javlja pri poveÊanju magnetskog toka.

■ Pokus 2 U zavojnicu iz prethodnog pokusa uvuËemo drugu zavojnicu, koja je na izvoru napona (elektromagnet, slika 113). Neposredno nakon zatvaranja sklopke kazaljka galvanometra pokaæe otklon i vrati se u poËetni poloæaj. Otvorimo li sklopku, kazaljka se otkloni na drugu stranu i vrati u poËetni poloæaj. Zatvaranjem sklopke, elektromagnetom poteËe struja, zbog Ëega se poveÊa magnetska indukcija kroz presjek zavojnice. Time se poveÊa magnetski tok. KonaËna posljedica je napon πto ga pokazuje kazaljka galvanometra. Inducirani napon je kratkotrajan jer kratko traje porast struje od nule do neke stalne vrijednosti.

Slika 113. Induciranje napona pomoÊu elektromagneta

Kada elektromagetom teËe struja stalne jakosti, stalna je magnetska indukcija i stalan je magnetski tok. Stalni magnetski tok ne inducira napon pa se kazaljka galvanometra ne otklanja. Otvaranjem sklopke, jakost struje, magnetska indukcija i magnetski tok padaju s neke vrijednosti na nulu. Posljedica je induciranje kratkotrajnog napona suprotnog onome koji se javlja pri zatvaranju sklopke. Lenzovo pravilo. Suprotstavljanje induciranog napona, odnosno inducirane struje uzroku indukcije poznato je kao Lenzovo pravilo. Moæemo ga demonstrirati pokusom.

177

■ Pokus Pokus izvodimo s dva aluminijska obruËa na nosaËu oslonjenom na iglu (slika 114). Jedan od obruËa (desni) je otvoren. NosaË s obruËima je u ravnoteæi. Kada u zatvoreni obruË uvlaËimo magnet, obruË se udaljava. IzvlaËimo li iz obruËa magnet, on ide za magnetom. Otvoreni obruË se ne pomiËe dok u njega uvlaËimo magnet, niti kada iz njega izvlaËimo magnet.

Slika 114. Lenzovo pravilo Zaπto se obruËi upravo tako ponaπaju? Recimo da u zatvoreni obruË uvlaËimo juæni magnetski pol magneta. Zbog poveÊanja magnetskog toka, obruËem teËe inducirana struja pa on postaje magnetom s juænim polom okrenutim juænom polu magneta koji uvlaËimo. Dva juæna magnetska pola se odbijaju i zato se obruË odmiËe kada u njega uvlaËimo magnet. Inducirana struja se na taj naËin suprotstavlja uzroku indukcije, a to je poveÊanje magnetskog toka uvlaËenjem magneta u obruË. Pokuπajte sami obrazloæiti zaπto obruË ide za magnetom kada magnet iz njega izvlaËimo. Dok u otvoreni obruË uvlaËimo magnet i izvlaËimo magnet iz njega, inducira se napon, meutim obruËem ne moæe teÊi stalna struja i, prema tome, nema magnetskog polja koje bi meudjelovalo s magnetskim poljem magneta.

■ Primjer: VodiË duljine 2 m presavijemo napola i krajeve spojimo zajedno. Zatim vodiË rastegnemo u kvadrat, tako da ravnina kvadrata bude okomita na horizontalnu komponentu Zemljina magnetskog polja indukcije 2 · 10-5 T. Kolika Êe se koliËina naboja inducirati u vodiËu dok vodiË rasteæemo ako je njegov otpor 1 W?

178

Rjeπenje: l=2m B =2 · 10-5 T R=1W DQ = ?

DU Bc l m 4 DQ = IDt = f i Dt = Dt Dt = BDS = R R R R 2 2 $10 - 5 T $ (2 m) 2 Bl DQ = = 16R 16 $1W -6 DQ = 5 $10 C.

2

Pitanja: 1. O Ëemu, prema Faradayevu zakonu, ovisi inducirani napon? 2. Kojega je smjera struja kroz prsten na slici ako iz njega izvlaËimo juæni magnetski pol?

Zadatak: 1. Zavojnica koja ima 1000 zavoja i promjer 5 cm smjeπtena je u homogeno magnetsko polje tako da je os zavojnice paralelna silnicama. Krajevi zavojnice spojeni su s kondenzatorom kapaciteta 10 mF. Kolika je koliËina naboja na kondenzatoru -2 DB = 10 Ts - 1 ? ako se magnetska indukcija jednoliko mijenja brzinom Dt

179

IzmjeniËna struja ElektriËnu struju promjenjive jakosti i smjera nazivamo izmjeniËnom strujom. U svakodnev-nom æivotu sluæimo se izmjeniËnom strujom koja se mijenja periodiËno po zakonu sinusa. Dobivamo je elektromagnetskom indukcijom.

Slika 115. Induciranje izmjeniËnog napona vrtnjom petlje u magnetskom polju Promatrajmo vrtnju pravokutne petlje u homogenom magnetskom polju (slika 115 a), b), c) i d)). Vrtnjom petlje mijenja se povrπina kroz koju prolaze magnetske silnice, a time i magnetski tok. Jed-nak se uËinak po-

180

stiæe s mirujuÊom petljom i promjenjivim okretnim magnetskim poljem. Magnetski tok je najveÊi kada je povrπina petlje okomita na silnice (slika 115 a) i c)), a jednak je nuli kada je povrπina petlje paralelna silnicama (slika 115 b) i d)). Promjena magnetskog toka pri vrtnji petlje inducira u petlji elektriËnu struju. UoËimo da su za indukciju vaæni samo dijelovi petlje a i c jer samo oni sijeku silnice magnetskog polja. Dok petlja prolazi poloæajima prikazanim na slikama 115 a) i c), njome ne teËe struja, jer dijelovi petlje a i c ne sijeku silnice. Inducirana struja je najjaËa kada petlja prolazi poloæajima prikazanim na slikama 115 b) i d), jer tada dijelovi petlje a i c sijeku silnice magnetskog polja pod pravi kutom. Meutim, smjerovi struje kroz petlju pri njezinu prolazu tim poloæajima meusobno su suprotni. UoËimo dio petlje a. Na slici 115b struja kroz taj dio ide prema nama, a na slici 115b tim dijelom struja teËe od nas. Istovjetnu promjenu smjera struje uoËavamo i kod c dijela. Do promjene smjera struje doπlo je prolazom petlje poloæajem prikazanim slikom 115c. Smjer struje se mijenja i kada petlja prolazi poloæajem na slici 115a. Dakle, okretanjem petlje u homogenom magnetskom polju u njoj se inducira izmjeniËna struja. Njezina jakost raste od nule (slika 115a) do maksimalne vrijednosti (slika 115b), zatim pada na nulu (slika 115c), raste u suprotnom smjeru do maksimalne vrijednosti (slika 115d) i konaËno se vraÊa na nulu (slika 115a). Opisane promjene jakosti struje dogaaju se tijekom jednog okreta petlje. Daljnjom vrtnjom petlje ove se promjene ponavljaju. Jednadæbe napona i jakosti izmjeniËne struje. Znamo da je inducirani elektromotorni napon izmeu krajeva ravnog vodiËa koji se giba magnetskim poljem dan izrazom:

f i = Blv sin {, gdje je l duljina vodiËa, a { kut πto ga smjer brzine vodiËa zatvara sa silnicama magnetskog polja. Pri vrtnji petlje u homogenom magnetskom polju napon se inducira izmeu krajeva dvaju dijelova petlje, a i c. Ako je duljina svakog dijela l, onda u izraz za inducirani napon umjesto l moramo staviti 2l. Dijelovi petlje a i c izvode kruæno gibanje (na slici 116a vide se presjeci tih dijelova) pa njihovu brzinu (v) moæemo iskazati preko kutne brzine (~) i polumjera (r): v = ~ r.

Slika 116. Napon koji se inducira vrtnjom petlje (a) mijenja se po zakonu sinusa (b)

181

Kut { zatvara brzina (v) dijela petlje a (ili b) sa smjerom silnica. Taj se kut mijenja dok se petlja okreÊe i o njemu ovise iznos i smjer induciranog napona. On nam, dakle, govori u kojem je stanju ili fazi inducirani napon. Nazivamo ga faznim kutom ili fazom induciranog napona. Fazni kut jednak je kutu zakreta petlje te ga moæemo izraziti preko kutne brzine i vremena zakretanja petlje (t):

{ = ~t. Ovim zamjenama izraz za inducirani elektromotorni napon glasi:

f i = B2l~ sin ~t. Umnoæak 2rl = S je povrπna petlje pa je inducirani napon

f i = BS~ sin ~t. Ovaj nam izraz daje vrijednost izmjeniËnog napona u trenutku t. Tu vrijednost zovemo trenutaËnom vrijednoπÊu i obiljeæavat Êemo je s u ( f " u ). Kada je sin ~t =1, napon ima maksimalnu vrijednost. Tu Êemo vrijednost napona obiljeæavati s Uo. Iznos maksimalnog napona je:

U o = BS~. Nakon ovih zamjena dobivamo jednadæbu izmjeniËnog napona u obliku

u = Uo sin ~t. Graf koji prikazuje vremensku promjenu napona je krivulja koja se zove sinusoida (slika 116b). Na apcisnu os moæemo staviti i fazni kut ({). Vrijeme nakon kojeg se promjene napona ponavljaju je period izmjeniËnog napona (T), a broj perioda u jedinici vremena frekvencija (f). Veza izmeu frekvencije i perioda je:

f=1. T Jedinica za frekvenciju je herc (Hz = s-1). Frekvencija u naπoj gradskoj mreæi je 50 Hz. Slovom w obiljeæili smo kutnu brzinu petlje. IzmjeniËna struja nastala vrtnjom petlje zapravo je gibanje slobodnih elektrona uzduæ vodiËa izmjeniËno u dva suprotna smjera. VeliËinu w u jednadæbi izmjeniËnog napona nazivamo kruænom frekvencijom. Njezina veza s frekvencijom je:

~ = 2rf, a s periodom:

~ = 2r . T Jednadæbu jakosti izmjeniËne struje dobit Êemo kada jednadæbu napona podijelimo s otporom (Ohmov zakon):

u = U o sin ~t i= R R

182

i = I o sin ~t . pri Ëemu smo s i obiljeæili trenutaËnu jakost izmjeniËne struje, a s Io njezinu maksimalnu vrijednost. Generator izmjeniËne struje. Napon koji se inducira u petlji male je vrijednosti. VeÊe vrijednosti napona dobivamo pomoÊu zavojnice. Ureaj u kojemu se promjenom magnetskog toka (vrtnjom zavojnice ili promjenjivim magnetskim poljem) u zavojnici inducira napon nazivamo generator elektriËne struje. U generatoru se mehaniËka energija pretvara u elektriËnu. Naravno, ne sva jer se dio mehaniËke energije troπi na svladavanje trenja i otpor zraka uslijed Ëega se dijelovi generatora i okolni zrak griju. Prisjetimo se da se na obratnom procesu, tj. onom u kojem se elektriËna energija pretvara u mehaniËku, temelji rad elektromotora.

Zadatak: 1. Frekvencija gradske mreæe je 50 Hz. Koliko puta u svakoj sekundi napon ima vrijednost 0? Za koje vrijeme napon gradske mreæe naraste od nule do maksimalne vrijednosti?

U hidroelektrani se mehaniËka energije vode pretvara u elektriËnu energiju.

U elektriËnu energiju moæe se pretvarati i energija vjetra.

183

Efektivne vrijednosti napona i jakosti izmjeniËne struje Snagu istosmjerne struje stalnog napona U i stalne jakosti I raËunamo prema formuli:

P = UI. Napon i jakost izmjeniËne struje tijekom vremena se mijenjaju (slika 117). Koje Êemo onda vrijednosti za napon i jakost izmjeniËne struje uvrstiti u formulu za snagu? Za svaku izmjeniËnu struju postoji odgovarajuÊa istosmjerna struja stalnog napona i stalne jakosti koja za jednako vrijeme daje uËinak (na primjer zagrije vodiË) jednak uËinku izmjeniËne struje. Primjera radi, ako je uËinak (efekt) neke izmjeniËne struje jednak uËinku istosmjerne struje od 220 V i 10 A, tada kaæemo da su efektivne vrijednosti napona i jakosti izmjeniËne struje 220 V i 10A. Efektivne vrijednosti napona i jakosti izmjeniËne struje jednake su naponu, odnosno jakosti one istosmjerne struje koja za jednako vrijeme ostvari uËinak jednak uËinku izmjeniËne struje. Efektivne vrijednosti napona i jakosti izmjeniËne struje obiljeæavat Êemo s U i I. Njihova veza s maksimalnim vrijednostima je:

U = Uo , 2

I = Io . 2

Napon gradske mreæe ima efektivnu vrijednost 220 V. NajËeπÊe ne istiËemo da je to efektivna vrijednost, nego samo kaæemo da napon iznosi 220 V i pritom mislimo upravo na njegovu efektivnu vrijednost.

Slika 117. Iznos i smjer napona i jakosti izmjeniËne struje se tijekom vremena mijenjaju

184

Transformator ElektriËna energija dobivena u generatoru dalekovodima se prenosi do mjesta gdje Êemo je troπiti. Prolazom struje dalekovodima oni se griju, πto predstavlja gubitak elektriËne energije. Energija koja se gubi zbog zagrijavanja vodiËa razmjerna je kvadratu struje (I2Rt), πto znaËi da gubitke moæemo umanjiti smanjimo li jakosti struje kroz dalekovod. Jakost izmjeniËne struje i njezin napon mijenjamo ureajem koji zovemo transformator. On se sastoji od dviju zavojnica namotanih na jezgru (slika 118). Napon koji æelimo transformirati prikljuËujemo na jednu od zavojnica, koju zovemo primarnom zavojnicom ili kraÊe primarom transformatora. Drugu zavojnicu zovemo sekundarnom zavojnicom ili samo sekundarom. Uz napon U1 primarnom zavojnicom teËe izmjeniËna struja jakosti I1. Ona stvara izmjeniËni magnetski tok, zbog kojeg se u sekundarnoj zavojnici inducira izmjeniËna struja napona U2 i jakosti I2. Frekvencija inducirane struje kroz sekundar jednaka je frekvenciji primarne struje. Neka je N2 broj namotaja sekundarne zavojnice. Prema Faradayevu zakonu u njoj se tada inducira napon:

U2 =- N2 DU . Dt Kada bismo sekundarnu zavojnicu prikljuËili na izmjeniËni napon U2, u primarnoj bi se inducirao napon:

U1 =- N1 DU , Dt gdje je N1 broj namotaja primarne zavojnice. Podijelimo li jednadæbe, dobivamo:

U2 = N2 U1 . N1 Dakle, naponi na zavojnicama transformatora odnose se kao brojevi namotaja u njima. Æelimo li poveÊati napon, sekundarna zavojnica mora imati razmjerno viπe namotaja od primarne. Zanemarimo li gubitke, snaga elektriËne struje na primaru (P1) jednaka je snazi na sekundaru (P2):

P1 = P2 , odnosno:

U1 I1 = U2 I2 pa je:

I2 = U2 I1 U1

.

Jakosti struja kroz zavojnice obrnuto su razmjerne naponima na njihovim krajevima. Æelimo li smanjiti jakost struje u dalekovodu, moramo poveÊati napon.

185

Slika 118. Transformator Napon gradske mreæe je 220 V. Njega dobivamo transformatorom koji visoki napon s dalekovoda snizuju na tu vrijednost. Mnogi elektriËni ureaji rade na joπ niæim naponima. Njih dobivamo odgovarajuÊim transformatorima.

Zadaci: 1. IzmjeniËna struja i = 4,2 A sin 314 s-1 t prolazi otpornikom 100 W. IzraËunajte frekvenciju, te maksimalne i efektivne vrijednosti napona i struje. 2. Primarnom zavojnicom transformatora teËe struja jakosti 2 A. Kolika je jakost struje kroz sekundarnu zavojnicu koja ima 5 puta manje namotaja od primarne?

Transformatorsko postrojenje

186

Teslin transformator. UoËite da nema jezgru

Samoindukcija ■ Pokus Na izvor napona od oko 10 V prikljuËimo zavojnicu i tinjalicu, kako prikazuje slika 119. Dok je strujni krug zatvoren, tinjalica ne svijetli. IzvuËemo li spojnu æicu iz izvora i tako naglo prekinemo strujni krug, tinjalica zasvijetli i ugasi se.

Slika 119. Prekidanjem strujnog kruga inducira se dovoljno velik napon da tinjalica zasvijetli Tinjalicu susreÊemo u kuÊanskim aparatima. Kada je aparat ukljuËen, ona je na naponu 220 V i svijetli, signalizirajuÊi da aparat radi. Napon od 10 V, na koji smo tinjalicu prikljuËili u pokusu, oËito nije dovoljan da ona svijetli. Zaπto tinjalica trenutaËno zasvijetli kada prekinemo strujni krug? Dok zavojnicom teËe struja, magnetski tok u njoj ima stalnu vrijednost. Prekidanjem strujnog kruga jakost struje pada na nulu, a time i magnetski tok. Napon induciran smanjenjem magnetskog toka dovoljno je velik da se tinjalica upali. Tinjalica se ubrzo ugasi jer promjena magnetskog toka kratko traje. Napon se inducira i pri zatvaranju strujnog kruga. Jakost struje i magnetski tok tada se poveÊavaju. Induciranje napona izmeu krajeva zavojnice promjenom jakosti struje kroz nju nazivamo samoindukcijom. Razmotrimo o Ëemu ovisi elektromotorni napon samoindukcije. U Faradayev zakon elektromagnetske indukcije: uvrstimo:

fi =- N DU Dt DU = DB $ S = n NDI $ S l

pa dobivamo: 2 fi =- n Nl S DI . Dt

Elektromotorni napon samoindukcije razmjeran je brzini promjene jakosti struje c

DI m . Konstanta Dt

187

razmjernosti sadræi veliËine svojstvene zavojnici. Nazivamo je koeficijent samoindukcije ili induktivitet zavojnice (L): 2

L= n N S . l Jedinica induktiviteta zavojnice je henri (H): H = VsA-1. Elektromotorni napon samoindukcije dan je izrazom:

fi =- L DI . Dt

Zadatak: 1. Kada se jakost struje kroz zavojnicu, koja ima 1000 namotaja, jednoliko poveÊa od 3 A do 9 A magnetski tok kroz nju se promijeni od 2 · 10-3 Wb do 20 · 10-3 Wb tijekom 3 s. Koliki je inducirani napon i koliki je induktivitet zavojnice? 2. U strujnom krugu kojemu je induktivitet 3 mH i elektriËni otpor 0,1 W jakost struje se mijenja kako prikazuje graf na slici. Nacrtajte odgovarajuÊi graf za elektromotorni napon samoindukcije. Kolika je jakost inducirane struje?

Joseph Henry (1797. ∑ 1878.), ameriËki fiziËar. Otkrio je samoindukciju kada i I M. Faraday elektromagnetsku indukciju. Postavio temelje za primjenu elektromagnetizma u tehnici i industriji.

188

Energija magnetskog polja Da bismo pokrenuli struju i tako stvorili magnetsko polje, moramo uloæiti energiju. Uloæena energija pohranjena je u magnetskom polju. Nazivamo je energijom magnetskog polja. Izvest Êemo izraz za energiju magnetskog polja zavojnice. Magnetsko polje u zavojnici postoji dok njome teËe struja. Da bi zavojnicom potekla struja, moramo elektrone ubrzati do neke brzine. Pretpostavimo da zavojnica nema omskog otpora, tj. da nikakvi sudari ne ometaju ubrzavanje elektrona. Rad obavljen pri ubrzavanju elektrona je:

W = UI Dt, gdje je I srednja jakost struje pri ubrzavanju elektrona, U napon i Dt vrijeme ubrzavanja. Ubrzavanjem elektrona raste jakost struje, zbog Ëega dolazi do samoindukcije. Napon samoindukcije se, prema Lenzovu pravilu, suprotstavlja ubrzavanju elektrona i porastu struje. Zato je napon potreban za ubrzavanje elektrona u svakom trenutku iznosom jednak naponu samoindukcije:

U = fi = L DI . Dt Uvrstimo ovo u izraz za rad:

W = L DI I Dt. Dt Srednja jakost struje je pri jednolikom poveÊavanju od nule do maksimalne vrijednosti jednaka polovini maksimalne vrijednosti (I):

I = 0+ I = I . 2 2 Promjena jakosti struje jednaka je maksimalnoj jakosti:

DI = I - 0 = I. Nakon ovih zamjena izraz za rad pri ubrzavanju elektrona glasi:

W = 1 LI 2 . 2 Ubrzavanjem elektrona u zavojnici uspostavljeno je magnetsko polje. To je magnetsko polje struje ubrzanih elektrona i zato je njegova energija ( Em ) jednaka radu utroπenom za ubrzavanje elektrona:

Em = W. Dakle, izraz za energiju magnetskog polja zavojnice glasi:

Em = 1 LI 2 . 2 189

GustoÊa energije magnetskog polja. Naimo sada energiju magnetskog polja sadræanu u jediniËnom obujmu. To je gustoÊa energije magnetskog polja. Ako u izraz za energiju magnetskog polja zavojnice uvrstimo: 2

L= n N S, l

dobijemo:

2 2 Em = 1 n N SI . 2 l

Pomnoæimo li brojnik i nazivnik na desnoj strani posljednjeg izraza s m i l, imamo:

BuduÊi da je:

2 2 Em = 1 n2 N 2 I Sl . 2 l n 2

2

n2 N 2 I = B2 l kvadrat magnetske indukcije zavojnice, a Sl = V obujam zavojnice u kojem je smjeπteno magnetsko polje, za energiju moæemo pisati: 2 Em = 1 B V. 2n

GustoÊu energije (wm) dobijemo dijeljenjem energije s obujmom:

wm = Em . V Dakle, gustoÊa energije magnetskog polja je: 2 wm = 1 B . 2n

BuduÊi da je B = m H, gustoÊa energije magnetskog polja dana je i izrazom:

wm = 1 nH2 2

Zadatak: 1. Neka zavojnica ima induktivnost 0,4 H i otpor 300 W. Kolika je energija magnetskog polja zavojnice kada je prikljuËena na napon 220 V?

190

191

RJE©ENJA ZADATAKA TERMI»KO RASTEZANJE »VRSTIH TIJELA I TEKU∆INA 1. 4 · 10-5 K-1 2. Obujam staklene posude nakon zagrijavanja je 2002,7 cm3, a alkohola 2001,5 cm3. Prema tome, alkohol se neÊe prolijevati iz posude.

TermodinamiËka ljestvica temperature. TermodinamiËka temperatura u Gay-Lussacovu zakonu 1. 5,52 dm3

Izohorna promjena temperature 1. 41 K

Izotermna promjena stanja plina 1. 10,2 m

Jednadæba stanja plina 1. 1,18 kg m-3 2. 0,82 dm3

VeliËina molekula 1. 4 · 10-9 m

Idealni plin 1. 539 m s

-2

Promjena unutarnje energije izmjenom topline. Richmannovo pravilo 1. 19,35 litara toplije vode i 80,65 litara hladnije 2. 17 % 3. 55,7 J

Promjena unutarnje energije radom 1. 0,23 K 2. 33,7 %

PROMJENE AGREGATNIH STANJA 1. 120 g 1. 2,411 kg

192

VLAÆNOST ZRAKA

Rad plina pri πirenju 1. 58 K 2. a) Wa = 400 J, Wb = 2000 J, Wc = 1200 J. b) UP = U k = 750 J c) Temperature su jednake.

Prvi zakon termodinamike 1. 450 kJ 2. Smanjit Êe se za 500 kJ

Toplinski stroj 1. 16 %

Carnotov kruæni proces 1. 25 %, 6277 J, 300 K

Coulombov zakon 1. 4 · 1042 2. 22,5 cm od prvog naboja

ElektriËno polje 1. 4

Gaussov zakon 1. a) 25 N C-1

b) 0

ElektriËni potencijal. Potencijal toËkastog naboja 1. 2,88 V, 4,6 · 10-19 J 2. a) 509 V b) 0 3. 120 V. 4. 0,2 nC.

Potencijal nabijene metalne kugle 1. a) 180 V 2. 4000 V 3. 109 4. 810 V

b) 180 V

193

Napon 1. 2 · 10-6 N 2. 2,278 V

Kapacitet kondenzatora 1. 7,38 · 10-10C

Energija elektriËnog polja kondenzatora 1. 0,24 ˚C

Spajanje kondenzatora 1. 6 nF

ELEKTRI»NA STRUJA 1. a) 1,03 · 107 m s-1 2. 1,6 n A

b) 5 n A

c) 0,2 ms

Zakon elektriËnog otpora 1. 13,75 m 2. 3,64 A

Rad i snaga elektriËne struje 1. 100 A 2. 17.2 J 4. a) 180 kC b) 2,16 MJ c) 2 h

Strujni krug 1. 4,5 V, 9 A, 0,5 W 2. 6 V, 3 W 3. 0,5 W, 1,55 V

Primjeri spajanja otpornika 1. U50 = 10,3 V, I50 = 0,206 A, U100,200 = 13,7 V, I100 = 0,137 A, I200 =0,069 A 2. 24 W. 3. a) Svakom æicom teËe struja jakosti 11 A c) 6 V, 3 V, 2 V 4. 4

194

Kirchhoffova pravila 1. I1 = 0,82 A, I2 = I3 = 1,11 A, I2 = 0,29 A

Spajanje izvora struje 1. a) 0,172 V b) 0,008 V

Galvanometar

1. Tako da mu serijski prikljuËimo otpor od 45 kW. 2. 10,1 m A, 10 m A

Sila na vodiË kojim teËe struja u magnetskom polju 1. 1,89 A

Sila na nabijenu Ëesticu koja se giba magnetskim poljem 1. 2,3 · 10-13 N

Gibanje nabijene Ëestice u magnetskom polju 1. 3,5 · 10-17 J, 1,8 · 10-8 s

Magnetsko polje elektriËne struje 1. 5,6 · 10-4 T 2. a) 4 · 10-6 T b) 2 · 10-8 T

Magnetska sila izmeu dvaju ravnih paralelnih vodiËa 1. a) 7,2 · 10-3 N b) 2,4 · 10-3 N 2. 3.7 cm

Jakost magnetskog polja i magnetski tok 1. a) 1592 Am-1 b) 1 T c) 5 · 10-4 Wb

Elektromagnetska indukcija 1. 9,7 · 10-4V 2. 6,4 · 10-24N

195

Faradayev zakon elektromagnetske indukcije 1. 1,96 · 10-7 C

IzmjeniËna struja 1. 100 puta, 5 ms

Efektivne vrijednosti napona i jakosti izmjeniËne struje. Transformator 1. 50 Hz, Io = 4.2 A, I = 3 A, Uo = 420 V, U = 300 V 2. 10 A

Samoindukcija 1. 6 V, 3 H 2. I = -6 A

Energija magnetskog polja 1. 0,108 J

196

197

198