Geometria-descriptiva
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INTRODUCCIÓN
La representación gráfica del espacio, en tanto que necesaria para la definición del diseño, posee un origen tan antiguo como diverso en su desarrollo y aplicación.
Dado el carácter meramente introductorio de este apartado, no vamos a abundar en referencias históricas ni en citas explicativas de esta cuestión. Si admitimos que el diseño gráfico tiene como principal campo de actividad el proyecto y la ejecución de realidades espaciales, tomando al medio gráfico como su cauce de comunicación, es fácil comprender la importancia de una sólida formación en la correcta expresión de los pensamientos abarcados dentro de la geometría.
Como parte integrante del área de conocimiento, se puede definir a la Geometría Descriptiva como a la disciplina que, mediante la expresión gráfica, es capaz de precisar una realidad espacial de manera exhaustiva, no ambigua y no contradictoria. Así entendida, la Geometría Descriptiva tiene como fin el aportar el rigor y la exactitud necesarios al dibujo para que este sea de aplicación en la ciencia y en la técnica. Para la consecución de ese fin, es necesario alcanzar una capacidad de percepción racional del espacio, imprescindible para operar gráficamente con rigor. A esta circunstancia se la ha llamado tradicionalmente "ver el espacio", y constituye una cualidad del conocimiento humano que no se posee, generalmente, sin un aprendizaje previo. La Geometría Descriptiva no solo proporciona exactitud al lenguaje gráfico que transmite el pensamiento del diseñador, sino que aporta el rigor espacial a ese mismo pensamiento.
GEOMETRÍA
La geometría (del latín geometrĭa, que proviene del idioma griego γεωμετρία, geo tierra y metria medida), es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras en el plano o el espacio, incluyendo: puntos, rectas, planos, politopos (que incluyen paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc.). Es la base teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico. También da fundamento a instrumentos como el compás, el teodolito, el pantógrafo o el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales).
Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas. Tiene su aplicación práctica en física aplicada, mecánica, arquitectura, cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística, etc. Y es útil en la preparación de diseños e incluso en la elaboración de artesanía.
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
La Geometría Descriptiva es la ciencia de representación gráfica, sobre superficies bidimensionales, de los problemas del espacio donde intervengan, puntos, líneas y planos. La Geometría Descriptiva es para el dibujo como la gramática es para el lenguaje. El matemático francés Gaspar Monge (1746-1818) organizó y desarrollo la ciencia de la Geometría Descriptiva a finales del siglo XVII. Con posterioridad a su muerte, en su homenaje por los aportes que brindó en este campo, la Geometría Descriptiva también se conoce como Método Monge.
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Cumple dos objetivos principales: el primero facilitar el método para representar sobre un papel que posee dos dimensiones longitud y latitud; todos los cuerpos de la naturaleza, que tienen tres dimensiones, longitud, latitud y profundidad.
El segundo objetivo es dar a conocer por medio de una exacta descripción la forma de los cuerpos, y deducir todas las verdades que resultan, bien sean de sus formas, bien de sus posiciones respectivas.
SISTEMAS DE PROYECCIÓN
Un sistema de proyección es aquel conjunto de métodos gráficos bidimensionales que permiten presentar un objeto tridimensional. Uno de estos sistemas es la Proyección Diédrica y que consiste en la utilización de dos planos de proyección que reflejan dos “vistas” diferentes de un objeto tridimensional. Estos dos planos de proyección son perpendiculares entre sí, es decir ortogonales, y por lo general son suficientes para representar las dimensiones de un objeto en el espacio.
Los elementos que intervienen en el sistema son los siguientes:
Planos de proyección: Son planos ortogonales entre sí (vertical o PV y horizontal o PH) sobre los cuales se realizan las proyecciones. Su intersección se llama Línea de Tierra (LT).
Se usan dos planos como mínimo para determinar una forma.
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Proyecciones: nos referimos a la “sombra” de los elementos sobre los planos de proyección. Por ejemplo, el punto p se proyecta en p1 y p2, también llamados p´ y p” (Figura 1).
Líneas de referencia: Las líneas pp1 y pp2 determinan un plano que se corta con los de proyección en p2 p0 y p1p0 (Figura 2). Estas rectas son perpendiculares a la línea de tierra.
Trazas: llamamos de esta manera, a la intersección de cualquier entidad (punto, recta, plano, cuerpo) con los planos de proyección.
Figura 1
Figura 2
En todos los sistemas de representación, la proyección de los objetos sobre el plano del cuadro o de proyección, se realiza mediante los rayos proyectantes, estos son líneas imaginarias, que pasando por los vértices o puntos del objeto, proporcionan en su intersección con el plano del cuadro, la proyección de dicho vértice o punto.
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Si el origen de los rayos proyectantes es un punto del infinito, lo que se denomina punto impropio, todos los rayos serán paralelos entre sí, dando lugar a la que se denomina, proyección cilíndrica. Si dichos rayos resultan perpendiculares al plano de proyección estaremos ante la proyección cilíndrica ortogonal, en el caso de resultar oblicuos respecto a dicho plano, estaremos ante la proyección cilíndrica oblicua. Si el origen de los rayos es un punto propio, estaremos ante la proyección céntralo cónica. Todos los sistemas empleados en el dibujo técnico utilizan en su propia definición el concepto de proyección como idea básica del conjunto de sus reglas.
La Proyección de un objeto es la figura que se obtiene al dirigir todas las líneas proyectantes desde dicho objeto hasta un plano, llamado plano del cuadro o plano de proyección.
Si orientamos un foco luminoso hacia una pantalla e intercalamos entre ambos un determinado objeto, se verá en la pantalla una silueta. Esa silueta recibe el nombre de proyección. La proyección de los objetos sobre el plano del cuadro, se efectúa mediante rayos proyectantes, que son líneas imaginarias, que pasando por los vértices o puntos del objeto proporcionan, en su intersección con el plano del cuadro, la proyección de dicho vértice o punto.
Los sistemas de proyección que usa la geometría descriptiva son dos:
Proyección cónica o central. Proyección paralela o cilíndrica. Proyección paralela o cilíndrica.
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En este sistema de proyección las rectas o rayos proyectantes son paralelas a la dirección de proyección y tenemos dos tipos de proyecciones. Proyección paralela ortogonal y proyección paralela oblicua.
Proyección paralela ortogonal. La dirección de proyección es ortogonal al plano de proyección es decir perpendicular al plano.
Proyección paralela oblicua. La dirección de proyección es oblicua al plano de proyección.
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Proyección central o cónica.
Las rectas o rayos proyectantes parten todas de un punto propio, que es el punto de vista.
Los sistemas de representación de la geometría descriptiva utilizan el siguiente sistema de proyección.
Sistema diédrico
Proyección paralela ortogonal
Sistema de planos acotados
Proyección paralela ortogonal
Sistema axonométrico
Proyección paralela ortogonal
Sistema de perspectiva caballera
Proyección paralela oblicua
Sistema de perspectiva cónica
Proyección central o cónica
SISTEMA DIEDRICO.
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El sistema diédrico es un sistema
de
representación
geométrica de los elementos del espacio sobre dos planos, es decir
reduciendo
las
tres
dimensiones del espacio a las dos dimensiones del plano, utilizando
una
proyección
cilíndrica ortogonal, sobre dos planos
que
se
cortan
perpendicularmente formando un diedro rectángulo. Para generar las vistas diédricas, uno de los planos se abate sobre el segundo. Las proyecciones o vistas usualmente empleadas se denominan alzado (visto el objeto de frente) y planta (visto el objeto desde arriba) a las que en ocasiones se añade, por claridad, una tercera denominada perfil. El sistema diédrico es el universalmente empleado en arquitectura e ingeniería especialmente en los planos de cotas y de despiece.
SISTEMA DE PLANOS ACOTADOS.
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Está basado en la proyección cilíndrica ortogonal de los objetos sobre un plano horizontal de proyección. Al lado de la proyección de cada punto se indica su cota entre paréntesis. En la figura como que se representa sobre el plano un cuadrado.
Este sistema es el utilizado en topografía para la ejecución de planos topográficos. Para representar la superficie terrestre como esta es desigual se supone seccionada por una serie de planos paralelos acotados (de aquí el nombre del sistema), que producen unas líneas llamadas curvas de nivel que se indican por la cota del plano que las produce.
SISTEMA AXONOMÉTRICO.
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Los
sistemas
axonométricos
están basados en la proyección cilíndrica de los objetos sobre tres planos de proyección que forman un triedro trirrectángulo y la proyección del objeto y sus tres proyecciones sobre un plano llamado plano del cuadro. Por lo tanto cada objeto tiene cuatro proyecciones, la directa y las proyecciones sobre el plano horizontal y los dos verticales. Además esto implica la aparición de coeficientes de reducción que son razón entre la magnitud del segmento proyectado en cada plano y la del segmento real.
Los sistemas axonométricos ortogonales se basan en la proyección cilíndrica ortogonal. Son las axonometrías isométricas, dimétricas y trimétricas.
SISTEMA DE PERSPECTIVA CABALLERA.
Este sistema es el unico que utiliza la proyección cilindrica oblicua.
Los
objetos
ortogonalmente proyección
que
sobre
se tres
forman
proyecta planos un
de
triedro
trirrectángulo y a continuación la proyección oblicua del objeto y sus tres proyecciones sobre un plano llamado plano del cuadro, que
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es paralelo a uno de los planos del triedro. Por lo tanto todo lo que sea paralelo a ese plano, aparecerá sin deformarse en proyección.
Dos ejes de proyección, forman un angulo recto lo que no ocurre en el sistema axonometrico.
SISTEMA DE PERSPECTIVA CÓNICA.
Está
basado
proyección
en
la
cónica
del
objeto sobre un plano de proyección llamado plano del cuadro. El centro de proyección se llama punto de vista.
Los
objetos
y
sus
proyecciones ortogonales sobre un plano horizontal llamado plano geometral se proyectan sobre el plano del cuadro.
En la figura vemos la representación en perspectiva cónica de un triángulo, según los datos, dados en sistema diédrico, relativos a la posición del punto de vista y el plano del cuadro. La perspectiva cónica está dibujada a escala 2:1. NOMENCLATURA PARA EL SISTEMA DIÉDRICO
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Punto: se usarán preferentemente las vocales y, en su defecto, los números naturales. Para nombrar el punto en el espacio se emplearán las mayúsculas, A. La proyección horizontal se nombrará con las minúsculas, a. La proyección vertical con el apóstrofe (prima), a´. El perfil o tercera vista se definirá con el doble apóstrofe (segunda), a´´.
Recta: Se usarán preferentemente las consonantes. Para nombrar la recta en el espacio se emplearán las mayúsculas, R. La proyección horizontal se nombrará con las minúsculas, r. La proyección vertical con el apóstrofe (prima), r´. El perfil o tercera vista se diferenciará con el doble apóstrofe (segunda), r´´.
Plano: Se usarán preferentemente las consonantes. Para nombrar un plano en el espacio se utilizarán las mayúsculas, P. La traza horizontal se nombrará con la mayúscula, P. La traza vertical se diferenciará con el apóstrofe (prima), P´. En los cambios de planos, y por consiguiente en terceras vistas se usará el doble apóstrofe (segunda), P´´.
Elementos abatidos: se nombrarán con la correspondiente letra mayúscula entre paréntesis; punto (A); recta (R); trazas del plano (P) o (P´).
Giros: a las proyecciones de los elementos girados se les colocará un subíndice, el 1 para el primer giro, el 2 para el segundo y así sucesivamente.
Cambios de plano de proyección: a las proyecciones de los elementos cambiados de plano de proyección se les colocará un subíndice, el 1 para el primer cambio de plano, el 2 para el segundo cambio y así sucesivamente. Para indicar a su vez los cambios de plano realizados, a la nueva línea de tierra del primer cambio se le colocarán dos
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trazos, a la segunda tres y así sucesivamente, y en todas ellas, en el margen derecho se indicará a que planos corresponde (H-V), colocando el subíndice correspondiente en el que se haya cambiado.
EL ESPACIO
Planos proyectantes principales.
Los dos planos proyectantes principales son el Horizontal y el Vertical. Su intersección se denomina Línea de tierra.
• Plano Horizontal (PH): contiene la proyección horizontal o planta. Está subdividido por la Línea de tierra (LT) en: Plano Horizontal Posterior (detrás) y Plano Horizontal Anterior (delante).
• Plano Vertical (PV): contiene la proyección vertical o alzado. Está subdividido por la Línea de Tierra en: Plano Vertical Superior (arriba) y Plano Vertical Inferior (abajo).
Las tres proyecciones ortogonales principales: frontal, superior y lateral (alzado, planta y perfil).
Normalmente, sólo se usan los planos PH y PV, que se cortan en la Línea de tierra (LT) dando origen a una subdivisión del espacio en cuatro ángulos diedros o cuadrantes.
También se utiliza, como plano auxiliar, el denominado: • Plano de Perfil (PP): contiene la proyección lateral izquierda (o derecha).
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Planos bisectores.
Los dos planos bisectores son aquellos que dividen a los cuadrantes en dos octantes de 45º cada uno. El primer bisector está en el primero y tercer cuadrante y el segundo bisector en el segundo y cuarto cuadrante.
Para representar en dos dimensiones (sobre un papel) las vistas principales en el sistema diédrico, se realiza un abatimiento, que consiste en girar, tumbar, o abatir un plano principal de tal manera que el Plano Horizontal (PH) se superponga al Plano Vertical (PV).
REPRESENTACIÓN DE UN PUNTO
Un punto situado en el espacio se representa mediante sus dos proyecciones (a modo de sombras) sobre los planos principales: proyección horizontal y proyección vertical.
Cota
Se denomina cota de un punto del espacio a la distancia entre él y su proyección en el plano horizontal, o lo que es lo mismo la distancia entre la proyección vertical y la línea de Tierra (LT).
Alejamiento
Se denomina alejamiento de un punto del espacio a la distancia entre él y su
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proyección en el plano vertical, que equivale a la distancia entre la proyección horizontal y la línea de Tierra (LT).
Determinación por coordenadas
Un punto puede determinarse por coordenadas. El origen de este sistema será la intersección de los planos principales: horizontal, vertical y de perfil.
• El eje X está determinado por la recta intersección de los planos horizontal y vertical, es decir, sobre la Línea de tierra. • El eje Y está determinado por la recta intersección de los planos horizontal y de perfil. • El eje Z está determinado por la recta intersección de los planos vertical y de perfil.
PUNTO
El punto es el elemento geométrico más simple. No tiene dimensiones, es inmaterial. Solo tiene posición. Dos puntos definen una línea recta (un segmento). Tres puntos forman un plano (un triángulo).
DISTANCIA DE UN PUNTO EN EL ESPACIO A DOS PLANOS DE PROYECCIÓN CONOCIDOS.
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Todo punto en el espacio del Sistema Diédrico genera automáticamente dos proyecciones en forma de dos puntos. Una proyección vertical, en el plano de proyección Vertical,
y otra proyección horizontal, en el plano de proyección
Horizontal.
A la distancia que hay desde el punto al Plano Horizontal se la denomina Cota.
A la distancia que hay desde el punto al Plano Vertical se la denomina Alejamiento.
La representación en el Sistema Diédrico de un punto cualquiera se hace a partir de una línea perpendicular a la LT, midiendo en la proyección vertical la cota del punto y en la proyección horizontal el alejamiento del punto.
Alejamiento A2
A
A2
V Cota
Cota
A1 H
Alejamiento A1
Representación por coordenadas:
Para simplificar, existe otra forma de definir un punto en Diédrico por medio de 16
coordenadas.
Si imaginamos un sistema de coordenadas X, Y, Z situados en los Planos de Proyección, tal como se muestra en la figura siguiente:
+ Z V
+ X
-Y
+Y H X Z
Podemos trabajar en el papel de acuerdo con el siguiente esquema:
-Y
-X
+Z
0
+Y
+X
+Z
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Punto que está en el primer cuadrante
Punto que está en el segundo cuadrante
Punto que está en el tercer cuadrante
Punto que está en el cuarto cuadrante
A la vista de las siguientes figuras, se pueden establecer las siguientes propiedades e indicaciones:
La proyección de perfil (tercera proyección), está siempre en la paralela a la LT dibujada desde la proyección vertical (segunda proyección).
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Desde la proyección horizontal (primera proyección) se dibuja una línea paralela a la LT, hasta llegar a la línea Z (intersección del PV-vertical de proyección y el PP-perfil de proyección), para después, con centro en O y girando en el sentido positivo (contrario al de las agujas del reloj) llevar el punto obtenido sobre la LT o su prolongación, para terminar obteniendo la proyección de perfil (tercera proyección). 3. En los dibujos mostrados arriba, las flechas muestran el proceso para obtener la proyección de perfil a partir de las otras dos. En caso de que falte alguna de las proyecciones, horizontal o vertical, teniendo la de perfil, el proceso para obtener la proyección que falta, consiste en cambiar el sentido de las flechas.
A modo de resumen:
• Para pasar de las proyecciones horizontales a las proyecciones de perfil, el arco se hace en sentido positivo. • Para pasar de las proyecciones de perfil a las proyecciones horizontales, el arco se hace en sentido negativo (a favor de las agujas del reloj).
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CONCLUSIÓN
Todos los objetos creados por el hombre, desde un simple alfiler hasta la más compleja maquinaria, planta industrial, obra civil, etc., son concebidos inicialmente en forma mental, y antes de su fabricación deben ser descritos con toda precisión para resolver con exactitud cualquier problema relacionado con su forma, tamaño y funcionalidad. En respuesta a esta necesidad surge la Geometría Descriptiva, la cual se encarga de definir correctamente las técnicas de la representación plana (proyección) de los objetos tridimensionales antes o después de su existencia real.
De manera que estudiar Geometría Descriptiva es estudiar el mundo que nos rodea, es describir la forma de: tornillos, resortes, engranajes; relojes; sillas; mesas; televisores; carros; casas; urbanizaciones, carreteras, represas, planetas, galaxias, en fin, todos los objetos físicos que nos rodean pueden ser concebidos por el hombre mediante representaciones planas de los mismos, y es la Geometría Descriptiva la que define las reglas que rigen la elaboración de estas proyecciones.
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BIBLIOGRAFÍA
1. Asensi, Izquierdo. Geometría Descriptiva. 2. Noriega, Francisco. Geometría Descriptiva y Grafismo Arquitectónico. 3. Osers, Harry. Estudio de la Geometría Descriptiva. 4. Geometría descriptiva (Donato Di Pietro) 5. www.ieshuarte.com/dibujo (Francisco Molina) 6. Método Monge: Proyecciones Ortogonales Concertadas. (D.I. Patricia Muñoz) 7. Universidad Centroamericana “José Simeón Cañas” (UCA) 8. Facultad de Ingeniería y Arquitectura - Departamento de Organización del Espacio (Herbert 9. Ernesto Granillo Dubón). 10. www.tododibujo.com 11. http://www.educacionplastica.net
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La representación gráfica del espacio, en tanto que necesaria para la definición del diseño, posee un origen tan antiguo como diverso en su desarrollo y aplicación.
Dado el carácter meramente introductorio de este apartado, no vamos a abundar en referencias históricas ni en citas explicativas de esta cuestión. Si admitimos que el diseño gráfico tiene como principal campo de actividad el proyecto y la ejecución de realidades espaciales, tomando al medio gráfico como su cauce de comunicación, es fácil comprender la importancia de una sólida formación en la correcta expresión de los pensamientos abarcados dentro de la geometría.
Como parte integrante del área de conocimiento, se puede definir a la Geometría Descriptiva como a la disciplina que, mediante la expresión gráfica, es capaz de precisar una realidad espacial de manera exhaustiva, no ambigua y no contradictoria. Así entendida, la Geometría Descriptiva tiene como fin el aportar el rigor y la exactitud necesarios al dibujo para que este sea de aplicación en la ciencia y en la técnica. Para la consecución de ese fin, es necesario alcanzar una capacidad de percepción racional del espacio, imprescindible para operar gráficamente con rigor. A esta circunstancia se la ha llamado tradicionalmente "ver el espacio", y constituye una cualidad del conocimiento humano que no se posee, generalmente, sin un aprendizaje previo. La Geometría Descriptiva no solo proporciona exactitud al lenguaje gráfico que transmite el pensamiento del diseñador, sino que aporta el rigor espacial a ese mismo pensamiento.
GEOMETRÍA
La geometría (del latín geometrĭa, que proviene del idioma griego γεωμετρία, geo tierra y metria medida), es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras en el plano o el espacio, incluyendo: puntos, rectas, planos, politopos (que incluyen paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc.). Es la base teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico. También da fundamento a instrumentos como el compás, el teodolito, el pantógrafo o el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales).
Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas. Tiene su aplicación práctica en física aplicada, mecánica, arquitectura, cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística, etc. Y es útil en la preparación de diseños e incluso en la elaboración de artesanía.
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
La Geometría Descriptiva es la ciencia de representación gráfica, sobre superficies bidimensionales, de los problemas del espacio donde intervengan, puntos, líneas y planos. La Geometría Descriptiva es para el dibujo como la gramática es para el lenguaje. El matemático francés Gaspar Monge (1746-1818) organizó y desarrollo la ciencia de la Geometría Descriptiva a finales del siglo XVII. Con posterioridad a su muerte, en su homenaje por los aportes que brindó en este campo, la Geometría Descriptiva también se conoce como Método Monge.
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Cumple dos objetivos principales: el primero facilitar el método para representar sobre un papel que posee dos dimensiones longitud y latitud; todos los cuerpos de la naturaleza, que tienen tres dimensiones, longitud, latitud y profundidad.
El segundo objetivo es dar a conocer por medio de una exacta descripción la forma de los cuerpos, y deducir todas las verdades que resultan, bien sean de sus formas, bien de sus posiciones respectivas.
SISTEMAS DE PROYECCIÓN
Un sistema de proyección es aquel conjunto de métodos gráficos bidimensionales que permiten presentar un objeto tridimensional. Uno de estos sistemas es la Proyección Diédrica y que consiste en la utilización de dos planos de proyección que reflejan dos “vistas” diferentes de un objeto tridimensional. Estos dos planos de proyección son perpendiculares entre sí, es decir ortogonales, y por lo general son suficientes para representar las dimensiones de un objeto en el espacio.
Los elementos que intervienen en el sistema son los siguientes:
Planos de proyección: Son planos ortogonales entre sí (vertical o PV y horizontal o PH) sobre los cuales se realizan las proyecciones. Su intersección se llama Línea de Tierra (LT).
Se usan dos planos como mínimo para determinar una forma.
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Proyecciones: nos referimos a la “sombra” de los elementos sobre los planos de proyección. Por ejemplo, el punto p se proyecta en p1 y p2, también llamados p´ y p” (Figura 1).
Líneas de referencia: Las líneas pp1 y pp2 determinan un plano que se corta con los de proyección en p2 p0 y p1p0 (Figura 2). Estas rectas son perpendiculares a la línea de tierra.
Trazas: llamamos de esta manera, a la intersección de cualquier entidad (punto, recta, plano, cuerpo) con los planos de proyección.
Figura 1
Figura 2
En todos los sistemas de representación, la proyección de los objetos sobre el plano del cuadro o de proyección, se realiza mediante los rayos proyectantes, estos son líneas imaginarias, que pasando por los vértices o puntos del objeto, proporcionan en su intersección con el plano del cuadro, la proyección de dicho vértice o punto.
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Si el origen de los rayos proyectantes es un punto del infinito, lo que se denomina punto impropio, todos los rayos serán paralelos entre sí, dando lugar a la que se denomina, proyección cilíndrica. Si dichos rayos resultan perpendiculares al plano de proyección estaremos ante la proyección cilíndrica ortogonal, en el caso de resultar oblicuos respecto a dicho plano, estaremos ante la proyección cilíndrica oblicua. Si el origen de los rayos es un punto propio, estaremos ante la proyección céntralo cónica. Todos los sistemas empleados en el dibujo técnico utilizan en su propia definición el concepto de proyección como idea básica del conjunto de sus reglas.
La Proyección de un objeto es la figura que se obtiene al dirigir todas las líneas proyectantes desde dicho objeto hasta un plano, llamado plano del cuadro o plano de proyección.
Si orientamos un foco luminoso hacia una pantalla e intercalamos entre ambos un determinado objeto, se verá en la pantalla una silueta. Esa silueta recibe el nombre de proyección. La proyección de los objetos sobre el plano del cuadro, se efectúa mediante rayos proyectantes, que son líneas imaginarias, que pasando por los vértices o puntos del objeto proporcionan, en su intersección con el plano del cuadro, la proyección de dicho vértice o punto.
Los sistemas de proyección que usa la geometría descriptiva son dos:
Proyección cónica o central. Proyección paralela o cilíndrica. Proyección paralela o cilíndrica.
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En este sistema de proyección las rectas o rayos proyectantes son paralelas a la dirección de proyección y tenemos dos tipos de proyecciones. Proyección paralela ortogonal y proyección paralela oblicua.
Proyección paralela ortogonal. La dirección de proyección es ortogonal al plano de proyección es decir perpendicular al plano.
Proyección paralela oblicua. La dirección de proyección es oblicua al plano de proyección.
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Proyección central o cónica.
Las rectas o rayos proyectantes parten todas de un punto propio, que es el punto de vista.
Los sistemas de representación de la geometría descriptiva utilizan el siguiente sistema de proyección.
Sistema diédrico
Proyección paralela ortogonal
Sistema de planos acotados
Proyección paralela ortogonal
Sistema axonométrico
Proyección paralela ortogonal
Sistema de perspectiva caballera
Proyección paralela oblicua
Sistema de perspectiva cónica
Proyección central o cónica
SISTEMA DIEDRICO.
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El sistema diédrico es un sistema
de
representación
geométrica de los elementos del espacio sobre dos planos, es decir
reduciendo
las
tres
dimensiones del espacio a las dos dimensiones del plano, utilizando
una
proyección
cilíndrica ortogonal, sobre dos planos
que
se
cortan
perpendicularmente formando un diedro rectángulo. Para generar las vistas diédricas, uno de los planos se abate sobre el segundo. Las proyecciones o vistas usualmente empleadas se denominan alzado (visto el objeto de frente) y planta (visto el objeto desde arriba) a las que en ocasiones se añade, por claridad, una tercera denominada perfil. El sistema diédrico es el universalmente empleado en arquitectura e ingeniería especialmente en los planos de cotas y de despiece.
SISTEMA DE PLANOS ACOTADOS.
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Está basado en la proyección cilíndrica ortogonal de los objetos sobre un plano horizontal de proyección. Al lado de la proyección de cada punto se indica su cota entre paréntesis. En la figura como que se representa sobre el plano un cuadrado.
Este sistema es el utilizado en topografía para la ejecución de planos topográficos. Para representar la superficie terrestre como esta es desigual se supone seccionada por una serie de planos paralelos acotados (de aquí el nombre del sistema), que producen unas líneas llamadas curvas de nivel que se indican por la cota del plano que las produce.
SISTEMA AXONOMÉTRICO.
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Los
sistemas
axonométricos
están basados en la proyección cilíndrica de los objetos sobre tres planos de proyección que forman un triedro trirrectángulo y la proyección del objeto y sus tres proyecciones sobre un plano llamado plano del cuadro. Por lo tanto cada objeto tiene cuatro proyecciones, la directa y las proyecciones sobre el plano horizontal y los dos verticales. Además esto implica la aparición de coeficientes de reducción que son razón entre la magnitud del segmento proyectado en cada plano y la del segmento real.
Los sistemas axonométricos ortogonales se basan en la proyección cilíndrica ortogonal. Son las axonometrías isométricas, dimétricas y trimétricas.
SISTEMA DE PERSPECTIVA CABALLERA.
Este sistema es el unico que utiliza la proyección cilindrica oblicua.
Los
objetos
ortogonalmente proyección
que
sobre
se tres
forman
proyecta planos un
de
triedro
trirrectángulo y a continuación la proyección oblicua del objeto y sus tres proyecciones sobre un plano llamado plano del cuadro, que
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es paralelo a uno de los planos del triedro. Por lo tanto todo lo que sea paralelo a ese plano, aparecerá sin deformarse en proyección.
Dos ejes de proyección, forman un angulo recto lo que no ocurre en el sistema axonometrico.
SISTEMA DE PERSPECTIVA CÓNICA.
Está
basado
proyección
en
la
cónica
del
objeto sobre un plano de proyección llamado plano del cuadro. El centro de proyección se llama punto de vista.
Los
objetos
y
sus
proyecciones ortogonales sobre un plano horizontal llamado plano geometral se proyectan sobre el plano del cuadro.
En la figura vemos la representación en perspectiva cónica de un triángulo, según los datos, dados en sistema diédrico, relativos a la posición del punto de vista y el plano del cuadro. La perspectiva cónica está dibujada a escala 2:1. NOMENCLATURA PARA EL SISTEMA DIÉDRICO
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Punto: se usarán preferentemente las vocales y, en su defecto, los números naturales. Para nombrar el punto en el espacio se emplearán las mayúsculas, A. La proyección horizontal se nombrará con las minúsculas, a. La proyección vertical con el apóstrofe (prima), a´. El perfil o tercera vista se definirá con el doble apóstrofe (segunda), a´´.
Recta: Se usarán preferentemente las consonantes. Para nombrar la recta en el espacio se emplearán las mayúsculas, R. La proyección horizontal se nombrará con las minúsculas, r. La proyección vertical con el apóstrofe (prima), r´. El perfil o tercera vista se diferenciará con el doble apóstrofe (segunda), r´´.
Plano: Se usarán preferentemente las consonantes. Para nombrar un plano en el espacio se utilizarán las mayúsculas, P. La traza horizontal se nombrará con la mayúscula, P. La traza vertical se diferenciará con el apóstrofe (prima), P´. En los cambios de planos, y por consiguiente en terceras vistas se usará el doble apóstrofe (segunda), P´´.
Elementos abatidos: se nombrarán con la correspondiente letra mayúscula entre paréntesis; punto (A); recta (R); trazas del plano (P) o (P´).
Giros: a las proyecciones de los elementos girados se les colocará un subíndice, el 1 para el primer giro, el 2 para el segundo y así sucesivamente.
Cambios de plano de proyección: a las proyecciones de los elementos cambiados de plano de proyección se les colocará un subíndice, el 1 para el primer cambio de plano, el 2 para el segundo cambio y así sucesivamente. Para indicar a su vez los cambios de plano realizados, a la nueva línea de tierra del primer cambio se le colocarán dos
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trazos, a la segunda tres y así sucesivamente, y en todas ellas, en el margen derecho se indicará a que planos corresponde (H-V), colocando el subíndice correspondiente en el que se haya cambiado.
EL ESPACIO
Planos proyectantes principales.
Los dos planos proyectantes principales son el Horizontal y el Vertical. Su intersección se denomina Línea de tierra.
• Plano Horizontal (PH): contiene la proyección horizontal o planta. Está subdividido por la Línea de tierra (LT) en: Plano Horizontal Posterior (detrás) y Plano Horizontal Anterior (delante).
• Plano Vertical (PV): contiene la proyección vertical o alzado. Está subdividido por la Línea de Tierra en: Plano Vertical Superior (arriba) y Plano Vertical Inferior (abajo).
Las tres proyecciones ortogonales principales: frontal, superior y lateral (alzado, planta y perfil).
Normalmente, sólo se usan los planos PH y PV, que se cortan en la Línea de tierra (LT) dando origen a una subdivisión del espacio en cuatro ángulos diedros o cuadrantes.
También se utiliza, como plano auxiliar, el denominado: • Plano de Perfil (PP): contiene la proyección lateral izquierda (o derecha).
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Planos bisectores.
Los dos planos bisectores son aquellos que dividen a los cuadrantes en dos octantes de 45º cada uno. El primer bisector está en el primero y tercer cuadrante y el segundo bisector en el segundo y cuarto cuadrante.
Para representar en dos dimensiones (sobre un papel) las vistas principales en el sistema diédrico, se realiza un abatimiento, que consiste en girar, tumbar, o abatir un plano principal de tal manera que el Plano Horizontal (PH) se superponga al Plano Vertical (PV).
REPRESENTACIÓN DE UN PUNTO
Un punto situado en el espacio se representa mediante sus dos proyecciones (a modo de sombras) sobre los planos principales: proyección horizontal y proyección vertical.
Cota
Se denomina cota de un punto del espacio a la distancia entre él y su proyección en el plano horizontal, o lo que es lo mismo la distancia entre la proyección vertical y la línea de Tierra (LT).
Alejamiento
Se denomina alejamiento de un punto del espacio a la distancia entre él y su
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proyección en el plano vertical, que equivale a la distancia entre la proyección horizontal y la línea de Tierra (LT).
Determinación por coordenadas
Un punto puede determinarse por coordenadas. El origen de este sistema será la intersección de los planos principales: horizontal, vertical y de perfil.
• El eje X está determinado por la recta intersección de los planos horizontal y vertical, es decir, sobre la Línea de tierra. • El eje Y está determinado por la recta intersección de los planos horizontal y de perfil. • El eje Z está determinado por la recta intersección de los planos vertical y de perfil.
PUNTO
El punto es el elemento geométrico más simple. No tiene dimensiones, es inmaterial. Solo tiene posición. Dos puntos definen una línea recta (un segmento). Tres puntos forman un plano (un triángulo).
DISTANCIA DE UN PUNTO EN EL ESPACIO A DOS PLANOS DE PROYECCIÓN CONOCIDOS.
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Todo punto en el espacio del Sistema Diédrico genera automáticamente dos proyecciones en forma de dos puntos. Una proyección vertical, en el plano de proyección Vertical,
y otra proyección horizontal, en el plano de proyección
Horizontal.
A la distancia que hay desde el punto al Plano Horizontal se la denomina Cota.
A la distancia que hay desde el punto al Plano Vertical se la denomina Alejamiento.
La representación en el Sistema Diédrico de un punto cualquiera se hace a partir de una línea perpendicular a la LT, midiendo en la proyección vertical la cota del punto y en la proyección horizontal el alejamiento del punto.
Alejamiento A2
A
A2
V Cota
Cota
A1 H
Alejamiento A1
Representación por coordenadas:
Para simplificar, existe otra forma de definir un punto en Diédrico por medio de 16
coordenadas.
Si imaginamos un sistema de coordenadas X, Y, Z situados en los Planos de Proyección, tal como se muestra en la figura siguiente:
+ Z V
+ X
-Y
+Y H X Z
Podemos trabajar en el papel de acuerdo con el siguiente esquema:
-Y
-X
+Z
0
+Y
+X
+Z
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Punto que está en el primer cuadrante
Punto que está en el segundo cuadrante
Punto que está en el tercer cuadrante
Punto que está en el cuarto cuadrante
A la vista de las siguientes figuras, se pueden establecer las siguientes propiedades e indicaciones:
La proyección de perfil (tercera proyección), está siempre en la paralela a la LT dibujada desde la proyección vertical (segunda proyección).
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Desde la proyección horizontal (primera proyección) se dibuja una línea paralela a la LT, hasta llegar a la línea Z (intersección del PV-vertical de proyección y el PP-perfil de proyección), para después, con centro en O y girando en el sentido positivo (contrario al de las agujas del reloj) llevar el punto obtenido sobre la LT o su prolongación, para terminar obteniendo la proyección de perfil (tercera proyección). 3. En los dibujos mostrados arriba, las flechas muestran el proceso para obtener la proyección de perfil a partir de las otras dos. En caso de que falte alguna de las proyecciones, horizontal o vertical, teniendo la de perfil, el proceso para obtener la proyección que falta, consiste en cambiar el sentido de las flechas.
A modo de resumen:
• Para pasar de las proyecciones horizontales a las proyecciones de perfil, el arco se hace en sentido positivo. • Para pasar de las proyecciones de perfil a las proyecciones horizontales, el arco se hace en sentido negativo (a favor de las agujas del reloj).
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CONCLUSIÓN
Todos los objetos creados por el hombre, desde un simple alfiler hasta la más compleja maquinaria, planta industrial, obra civil, etc., son concebidos inicialmente en forma mental, y antes de su fabricación deben ser descritos con toda precisión para resolver con exactitud cualquier problema relacionado con su forma, tamaño y funcionalidad. En respuesta a esta necesidad surge la Geometría Descriptiva, la cual se encarga de definir correctamente las técnicas de la representación plana (proyección) de los objetos tridimensionales antes o después de su existencia real.
De manera que estudiar Geometría Descriptiva es estudiar el mundo que nos rodea, es describir la forma de: tornillos, resortes, engranajes; relojes; sillas; mesas; televisores; carros; casas; urbanizaciones, carreteras, represas, planetas, galaxias, en fin, todos los objetos físicos que nos rodean pueden ser concebidos por el hombre mediante representaciones planas de los mismos, y es la Geometría Descriptiva la que define las reglas que rigen la elaboración de estas proyecciones.
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BIBLIOGRAFÍA
1. Asensi, Izquierdo. Geometría Descriptiva. 2. Noriega, Francisco. Geometría Descriptiva y Grafismo Arquitectónico. 3. Osers, Harry. Estudio de la Geometría Descriptiva. 4. Geometría descriptiva (Donato Di Pietro) 5. www.ieshuarte.com/dibujo (Francisco Molina) 6. Método Monge: Proyecciones Ortogonales Concertadas. (D.I. Patricia Muñoz) 7. Universidad Centroamericana “José Simeón Cañas” (UCA) 8. Facultad de Ingeniería y Arquitectura - Departamento de Organización del Espacio (Herbert 9. Ernesto Granillo Dubón). 10. www.tododibujo.com 11. http://www.educacionplastica.net
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