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STATGRAPHICS – Rev. 25/04/2007

Gráfico de Control T-Cuadrada Multivariada Resumen El procedimiento Gráfico de Control T-Cuadrada Multivariada crea diagramas de control para dos o más variables numéricas. Examinar las variables en un sentido multivariado es de gran importancia cuando las variables están muy correlacionadas, ya que las condiciones fuerade-control pueden ocurrir sin que cualquier variable individual altere sus límites de control cuando son graficadas separadamente. El procedimiento crea un diagrama T-Cuadrada para monitorear las medias de cada variable y un diagrama de control de varianza generalizada para monitorear las varianzas y las covarianzas.

StatFolio Muestra: mvchart.sgp Datos Muestra: El archivo grit.sf3 contiene mediciones realizadas de n = 56 montones de “arena”, de Holmes y Mergen (1993). Los datos representan los porcentajes de partículas grandes, medianas y pequeñas en la arena. La siguiente tabla muestra una lista parcial de los datos en este archivo: Large (Grande) 5.4 3.2 5.2 3.5 2.9 4.6 4.4 5,0 8.4 4.2 3.8 4.3 3.7 3.8 2.6

Médium (Mediana) 93.6 92.6 91.7 86.9 90.4 92.1 91.5 90.3 85.1 89.7 92.5 91.8 91.7 90.3 94.5

Small (Pequeña) 1.0 4.2 3.1 9.6 6.7 3.3 4.1 4.7 6.5 6.1 3.7 3.9 4.6 5.9 2.9

Sólo es necesario crear un diagrama basado en las primeras 2 columnas ya que la suma de los porcentajes de las tres columnas para cada renglón es 100%.

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Entrada de Datos Los datos que serán analizados consisten de p = 2 o más columnas numéricas que contienen las variables de interés.

•

Datos: 2 o más columnas numéricas que contienen las n muestras, una muestra por renglón.

•

Números ó Tamaño de Subgrupo: Si los datos fueron obtenidos individualmente, deje este campo en blanco o introduzca “1”. Si los datos fueron obtenidos en subgrupos, cada uno de tamaño m, introduzca el valor m. En tal caso, cada m renglones consecutivos en el archivo serán considerados para formar un subgrupo. Si los tamaños de los subgrupos no son iguales, introduzca el nombre de una columna adicional no necesariamente numérica que contenga los identificadores de los grupos. El programa examinará esta columna y colocará todos los renglones consecutivos con claves iguales en un mismo grupo.

•

Medias Estándar: Para un “estudio inicial” o análisis de Fase I donde los datos serán utilizados para determinar los límites de control, deje este campo vacío. Para un “control estándar” o análisis de Fase II, introduzca el nombre de la columna que contiene p medias.

•

Covarianzas Estándar: Para un “estudio inicial” o Análisis de fase I, deje este campo vacío. Para un “control estándar” o análisis de fase II, introduzca el nombre de la columna que contiene las p2 varianzas y covarianzas. Para introducir los valores en una matriz de covarianzas, introduzca los valores en el primer renglón de la matriz, después los valores del segundo renglón, y así sucesivamente. Nota: Si selecciona Guardar Resultados después de

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STATGRAPHICS – Rev. 25/04/2007 realizar un análisis de Fase I, la matriz de covarianzas se guardará exactamente en este formato. •

Etiquetas: etiquetas opcionales para cada subgrupo. Las etiquetas serán aplicadas a los subgrupos cuando se grafiquen los diagramas de control.

•

Selección: subconjunto a seleccionar.

Resumen de Análisis El Resumen de Análisis muestra el número de observaciones incluidas en el análisis y la ubicación de los límites de control dentro de los diagramas de control. Gráfico de Control T-Cuadrada Multivariada Datos/Variables: Large Medium Número de observaciones incluidas = 56 Número de observaciones excluidas = 0 Fase 1 – Covarianza estimada a partir de los datos actuales usando diferencias sucesivas Diagrama Alfa LIC LSC Fuera de Límites T-Cuadrada 0.0027 0.0 10.8055 3

Se incluye en la tabla: •

Fase: si la fase es 1, se despliega el método para estimar la matriz de covarianza. Si la fase es 2, se muestran las hipótesis sobre las entradas en la matriz de covarianza. © 2006 por StatPoint, Inc. Gráfico de Control Multivariado T-Cuadrada - 3

• • • • •

STATGRAPHICS – Rev. 25/04/2007 Diagrama: el tipo de diagrama. Para datos individuales solo se crea un diagrama TCuadrada. Para grupos de datos, se incluye un diagrama de varianza generalizado si el tamaño del subgrupo excede el numero de variables. Alfa: la probabilidad de falsa alarma del diagrama, la cual es especificada utilizando las Opciones de Análisis. Para diagramas de control estándar 3-sigma, α = 0.0027. LIC: el límite de control inferior. LSC: el límite de control superior. Fuera de Límites: el número de puntos en el diagrama de control que se encuentran fuera de los límites de control.

En el ejemplo, las n = 56 muestras mostraron 3 puntos fuera de los límites de control en el diagrama T-Cuadrada cuando se estimaron las covarianzas utilizando el método de diferencias sucesivas.

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Opciones de Análisis

•

Alfa: la probabilidad de falsa alarma para colocar los límites de control. Introduzca α = 0.27% para la equivalencia de un diagrama de control estándar 3-sigma.

•

Matriz de Covarianza: detalla la matriz de covarianza. Hay 4 posibilidades: 1. Si el campo Covarianzas Estándar en la entrada de datos del cuadro de diálogo se dejó en blanco y los datos son subgrupos, entonces no se necesita ninguna entrada ya que las covarianzas serán estimadas a partir de la variabilidad del grupo. 2. Si el campo Covarianzas Estándar en la entrada de datos del cuadro de diálogo se dejó en blanco y los datos son individuales, seleccione Estimador Agrupado para estimar las covarianzas entre las variables j y k usando el estimador usual

s jk =

1 n ∑ (xij − x j )(xik − xk ) n − 1 i =1

(1)

Seleccione Diferencias Sucesivas para estimar la covarianza utilizando s jk =

n 1 (xij − xi−1, j )(xik − xi −1,k ) ∑ 2(n − 1) i =1

(2)

El segundo estimador es un estimador más “local”, en el sentido de que sólo capta variabilidad a corto plazo, de forma similar a la manera en la cual un rango flexible es utilizado para estimar la variabilidad para un diagrama estándar individual. 3. Si fue realizada una entrada en el campo Covarianzas Estándar y las estimaciones resultantes fueron obtenidas de una muestra previa, entonces introduzca el tamaño de la muestra previa (si es agrupada, entonces el número de subgrupos) en el campo Tamaño de Muestra Estándar. 4. Si fue realizada una entrada en el campo Covarianzas Estándar y se asume que se conocen las covarianzas, entonces deje vacío el campo Tamaño de Muestra Estándar.

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Diagrama T-Cuadrada El Diagrama T-Cuadrada muestra el valor de T2 para cada valor o subgrupo: Gráfico de Control Multivariada LSC = 10.81 18

T-Cuadrada

15 12 9 6 3 0 0

10

20

30 40 Observación

50

60

El i-ésimo valor del Diagrama T-Cuadrada es calculado por

Ti 2 = ( xi − x )′ S −1 ( xi − x )

(3)

y para datos individuales por Ti 2 = ( xi − x )′ S −1 ( xi − x )

(4)

para grupos de datos, donde xi es el vector de valores observados correspondientes a la i-ésima muestra, x es el vector de las medias muestrales, y S es la matriz de covarianza. En términos simples, T2 mide la distancia de cada observación o subgrupo desde el centro de los datos, en una escala estandarizada que se compensa para la diferencia en medición de unidades y variabilidad. Un punto sobre el límite de control superior es una señal de una condición potencial fuera de control. Para los datos muestra, se dan 3 señales fuera de control por el diagrama.

Panel de Opciones

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STATGRAPHICS – Rev. 25/04/2007 •

Símbolos de Puntos: seleccione Fuera de los límites para dibujar símbolos especiales de puntos sólo para aquellos que caen por arriba del límite de control. Seleccione Principal Contribuidor para identificar la variable que mas contribuye a cada valor de T2.

•

Cifras Decimales para los Límites: número de lugares decimales para mostrar el límite de control.

•

Color de Zonas: analiza este cuadro para mostrar zonas verdes y rojas.

Ejemplo: Identificar el Principal Contribuidor Si el Principal Contribuidor es seleccionado, el diagrama tomará la siguiente forma: Gráfico de Control Multivariada LSC = 10.81 18

Más Grande Large Medium

T-Cuadrada

15 12 9 6 3 0 0

10

20

30 40 Observación

50

60

Cada punto del diagrama es codificado de acuerdo a la variable que mas contribuye al valor de T2. Por ejemplo, el principal contribuidor a los problemas en la segunda mitad de los datos parece ser el porcentaje de partículas Grandes. Si desea excluir puntos del análisis, puede dar click en un punto y posteriormente presionar el botón Excluir/Incluir en la barra de herramientas del análisis. El diagrama será recalculado sin esos puntos.

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STATGRAPHICS – Rev. 25/04/2007 Gráfico de Control Multivariada LSC = 10.79 20

Más Grande Large Medium

T-Cuadrada

16 12 8 4 0 0

10

20

30 40 Observación

50

60

Reporte del Gráfico de Control Multivariado Este panel tabula los puntos del diagrama de control: Reporte de Gráfico Multivariada Observación T-Cuadrada Large 26 * 14.3721 7.3 45 * 17.6655 10.9 52 * 11.2594 9.6

Medium 79.0 82.2 80.6

Un asterisco indica cualquier valor fuera de los límites de control. Cualquier punto que se excluya del análisis utilizando el botón Excluir es indicado con una X.

Panel de Opciones

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•

Mostrar Todos los Subgrupos – si se selecciona, todas las observaciones o subgrupos serán tabulados. En otro caso, solo los puntos que están fuera de los límites de control serán incluidos en la tabla.

•

Mostrar Datos Originales – si se selecciona, los valores de cada variable serán mostrados. En otro caso, solo los valores del diagrama de control serán tabulados.

Diagrama de Varianza Generalizada Un diagrama T-Cuadrada es diseñado para monitorear las medias de las p variables. Para monitorear la varianza algunas veces se despliega un Diagrama de Varianza Generalizada: Gráfico de Varianza Generalizada 50 LSC = 43.0171 LC = 7.70563 LIC = 0.0

Varianza Gen.

40 30 20 10 0 0

3

6

9

12

15

Subgrupo

Este diagrama es creado sólo para los datos organizados en subgrupos, y solo si el tamaño del subgrupo es por lo menos p + 1. La varianza generalizada |Si| para el i-ésimo subgrupo se define como el determinante de su matriz varianza-covarianza. El diagrama anterior muestra los datos de la arena organizados en subgrupos de 4 observaciones consecutivas cada uno. Cualquier punto fuera de los límites de control indicaría un inusual crecimiento de la variabilidad dentro de ese subgrupo. En nuestro caso no pasa esto.

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Elipse de Control Si las señales fuera-de-control son mostradas en el diagrama de control, es útil examinar estos valores detalladamente. Un buen diagrama para usar en el caso de p = 2 variables es la Elipse de Control: Elipse de Control 97 94 Medium

91 88 85 82 79 0

2

4

6 Large

8

10

12

El límite superior de control en el diagrama T-Cuadrada corresponde a una región elíptica en el espacio de cualquier par de variables, con las otras variables manteniendo un valor fijo. Para p = 2 cualquier señal fuera-de-control se muestra como un punto fuera de la elipse. En los datos muestra, se notará que las 3 señales fuera-de-control corresponden a bajos porcentajes de partículas medianas.

Panel de Opciones

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•

STATGRAPHICS – Rev. 25/04/2007 Seleccionar 2 Variables: seleccione cualesquiera 2 variables para definir la elipse de control. La elipse será graficada asumiendo que las otras variables mantienen sus niveles medios. Debería tenerse cuidado al interpretar la gráfica si p > 2, ya que la región real de la elipse de control para cada punto depende del valor de las variables que no son graficadas.

Descomposición T-Cuadrada El estadístico T2 se puede descomponer en componentes atribuibles a cada una de las variables. Un método para medir la contribución de la j-ésima variable a un valor fuera-de-control T2 es observando que tan pequeño sería T2 si la j-ésima variable no fuera incluida en el análisis. El panel de Descomposición T-Cuadrada realiza tal descomposición para cada señal fuera-decontrol en el diagrama T-Cuadrada: Descomposición T-Cuadrada Contribución Relativa a la Señal T-Cuadrada Observación T-Cuadrada Large Medium 26 14.3721 1.72503 12.6968 45 17.6655 12.2741 0.240343 52 11.2594 2.6211 1.43539

Siguiendo Runger, Alt y Montgomery (1996), la tabla muestra d j = T 2 − T(2j )

(5)

2 donde T( j ) es el valor del estadístico utilizando todas las variables excepto la j-ésima.

Para los datos actuales, Medium parece ser la variable dominante para el renglón 26, mientras Large parece ser la variable dominante para el renglón 45. Para el renglón 52, ninguna varible reduce considerablemente T2, lo cual significa que ambas variables contribuyen a la señal fuerade-control.

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Diagrama de Control 3-D Cuando los datos consisten de p = 3 variables, un diagrama de control 3-D puede ser muy útil, utilizando una región de control elíptica. Elipsoide de Control

15.6 13.6 X3

11.6 9.6 7.6 5.6 5.2

7.2

9.2

11.2

13.2

15.9 13.9 11.9 9.9 7.9 5.9 X2 15.2

X1

La gráfica anterior muestra el bosquejo de una elipsoide de control para 3 variables. Un punto esta fuera de la elipsoide de control. Nota: para analizar esta gráfica, es muy útil usar el botón de rotación dinámica en la barra de herramienta del análisis.

Panel de Opciones

•

Seleccione 3 variables: seleccione cualesquiera 3 variables para definir la elipse de control. La elipsoide será graficada asumiendo que las demás variables mantienen sus niveles medios. Se debe tener cuidado al interpretar la gráfica si p > 3, ya que la región de control real para cada punto depende del valor de las variables que no son graficadas.

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Guardar Resultados Los siguientes resultados pueden ser guardados en la hoja de datos: 1. 2. 3. 4. 5.

T-Cuadrada – los valores calculados T2 para cada observación o subgrupo. Medias – las p variables medias. Covarianzas – las p2 varianzas y covarianzas en orden por renglón. Etiquetas – las etiquetas correspondientes a cada valor de T2. Varianza Generalizada – si se calculan, los valores de |S|.

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STATGRAPHICS – Rev. 25/04/2007 Cálculos Límites de Control T-Cuadrada si las Covarianzas son Conocidas UCL = X α2, p

(6)

Límites de Control T-Cuadrada si las Covarianzas son Estimadas con k Muestras Anteriores

UCL =

p (k + 1)(k − 1) Fα , p ,k − p k (k − p)

(7)

Límites de Control T-Cuadrado si las Covarianzas son Estimadas con los Datos Actuales (n − 1) 2 Betaα , p / 2,( n − p −1) / 2 UCL = (8) n Límites de Control de Varianza Generalizada

(

UCL = Σ b1 + 3 b2

)

(9)

CL = b1 Σ

(10)

(

LCL = Σ b1 − 3 b2

)

(11)

donde 1 b1 = (n − 1) p b2 =

p

∏ (n − i )

1 (n − 1) 2 p

(12)

i =1

p ⎡ p ⎤ ( n i ) ( n j 2 ) (n − j )⎥ − − + − ⎢∏ ∏ ∏ i =1 j =1 ⎣ j =1 ⎦ p

(13)

Si Σ no es conocida, se remplaza por |S|/b1.

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