Inegalitatiideisimetodesample
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- Words: 8,587
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Mihai Onucu DRIMBE
I N E G A L I TĂŢ I idei şi metode
Editura GIL
© Editura Gil INEGALITĂŢI idei şi metode Autor: Mihai Onucu DRIMBE ISBN 978-606-500-040-7 Toate drepturile rezervate Editurii Gil. Nici o parte din acest volum nu poate fi copiată fără permisiunea scrisă a Editurii Gil. Copyright © 2003 by Gil. All rights reserved.
Departament difuzare: Editura GIL, CP 44 O.P.3, 4700, Zalău, Sălaj, Tel. 0260/616314; 0744/612106 Fax.: 0260/616414 E-mail: [email protected]
Editor: Mircea Lascu
www.gil.ro
i
Cuprins 1 Reducerea
2
3
1
1.1
Introducere la . . . reducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Reduceri, reduceri, reduceri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
Atent¸ie la egal ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.4
Concluzii s¸i teme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.4.1
Tema 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.4.2
Tema 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.4.3
Tema 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Substituirea
13
2.1
Substituirea ˆıntr-o inegalitate cunoscut˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.2
Alte inegalit˘a¸ti s¸i alte substitut¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.3
Omogenizare prin substitut¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.4
Concluzii s¸i teme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.4.1
Tema 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.4.2
Tema 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
Exploatarea trinomului de grad doi
21
3.1
Semnul trinomului de grad doi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.2
Principiul trinomului sau semnul trinomului ? . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.3
Principiul trinomului! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.4
Dou˘a variante ”complexe” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3.5
Apelul la valoarea de extrem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.6
A mai r˘amas monotonia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.7
ˆIn sfˆars¸it, teme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
ii
CUPRINS 3.7.1
Tema 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.7.2
Tema 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.7.3
Tema 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4 Spargerea
39
4.1
Spargeri de antrenament . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
4.2
Spargeri de meci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
4.3
Spargerea cu medii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
4.4
Spargeri muncitores¸ti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
4.5
Spargeri dup˘a perechile de indici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
4.6
Spargeri ”necatalogate” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
4.7
Concluzii s¸i teme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
4.7.1
Tema 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
4.7.2
Tema 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
4.7.3
Tema 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
5 Violarea simetriei
65
5.1
Cum se violeaz˘a simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
5.2
Inegalit˘at¸i cu maxim sau minim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
5.3
Cˆateva inegalit˘at¸i stricte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
5.4
Spargeri dure cu violarea simetriei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
5.5
Un contraexemplu s¸i teme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
5.5.1
76
Tema 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Normarea
77
6.1
Normarea inegalit˘a¸tilor omogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
6.2
O familie de inegalit˘at¸i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
7 Intercalarea
83
7.1
Intercal˘ari de ˆınceput . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
7.2
Intercal˘ari de mijloc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
7.3
Intercal˘ari cu schimb de buc˘at¸i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
7.4
Intercalare cu egalare de variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
7.5
A doua variant˘a de egalare de variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
CUPRINS
8
9
iii
7.6
Intercalarea inegalit˘a¸tilor ”m˘arginite” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.7
Trucul CBS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.8
Intercal˘ari de sfˆars¸it . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.9
O demonstrat¸ie interesant˘a s¸i . . . teme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 7.9.1
Tema 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.9.2
Tema 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.9.3
Tema 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.9.4
Tema 16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Exploatarea ordinii
119
8.1
Dou˘a teoreme de maximizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.2
”Maximizarea” ˆın act¸iune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.3
Inegalitatea Cebˆıs¸ev s¸i ”trucul Cebˆıs¸ev” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.4
A treia teorem˘a de maximizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.5
O perl˘a pentru final s¸i teme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 8.5.1
Tema 17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.5.2
Tema 18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Decondit¸ionarea
139
9.1
Inegalit˘at¸i ”triunghiulare” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9.2
Inegalit˘at¸i normate cu sume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
9.3
Inegalit˘at¸i normate cu produse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.4
Inegalit˘at¸i cu ”sum˘a zero” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.5
Inegalit˘a¸ti condit¸ionate cu inegalit˘at¸i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
9.6
Decondit¸ion˘ari atipice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.7
F˘ar˘a decondit¸ionare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
9.8
Condit¸ionare - decondit¸ionare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
9.9
O problem˘a de etic˘a . . . s¸i teme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 9.9.1
Tema 19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
9.9.2
Tema 20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
9.9.3
Tema 21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
9.9.4
Tema 22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
iv
CUPRINS
10 Apelul la identit˘at¸i
175
10.1 Apelul la identit˘a¸ti . . . simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 10.2 Manevre cu Σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 10.3 Alte identit˘a¸ti pentru alte inegalit˘at¸i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 10.4 Teme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 10.4.1 Tema 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 10.4.2 Tema 24. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 11 Reducerea la absurd
191
11.1 Cˆateva exemple . . . dar simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 11.2 Inegalit˘a¸ti cu minim sau maxim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 11.3 O prelucrare constructiv˘a s¸i tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 11.3.1 Tema 25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 12 Coborˆarea
199
13 Induct¸ia
207
13.1 Induct¸ia uzual˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 13.2 Induct¸ia cu pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 13.3 Induct¸ia Ehlers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 13.4 Induct¸ia Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 13.5 Teme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 13.5.1 Tema 26. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 13.5.2 Tema 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 13.5.3 Tema 28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 14 Metoda Sturm
233
15 Limitele
241
15.1 Inegalit˘at¸i stricte saturate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 15.2 Altfel de ajutor de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 16 Exploatarea monotoniei
247
16.1 Inegalit˘at¸i de debut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 16.2 Inegalit˘at¸i ˆıntre medii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
CUPRINS
v
16.3 ”Bernoulli”, ”Holder” ¨ s¸i ”Minkovski” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 16.4 Alte inegalit˘a¸ti sub aceeas¸i p˘al˘arie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 16.5 ”Mac Laureen” s¸i . . . teme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 16.5.1 Tema 29. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 16.5.2 Tema 30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 17 Exploatarea convexit˘at¸ii
275
17.1 Inegalitatea Jensen s¸i cˆateva inegalit˘at¸i clasice . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 17.2 Alte inegalit˘at¸i, aceeas¸i ”Jensen” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 17.3 Demonstrat¸ii cu surprize pentru ”Jensen” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 17.4 Replica de tip Acz´el la inegalitatea Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 17.5 Ca ciupercile dup˘a ploaie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 17.6 ”Karamata”, ”Muerhead”, ”Popoviciu” s¸i nu numai . . . . . . . . . . . . . 299 17.7 O inegalitate moft s¸i temele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 17.7.1 Tema 31. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 17.7.2 Tema 32. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 17.7.3 Tema 33. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 17.7.4 Tema 34. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 17.7.5 Tema 35. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 17.7.6 Tema 36. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 18 Cvasi-liniarizarea
315
19 Inegalit˘a¸ti integrale
325
19.1 Un procedeu de . . . traducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 19.2 Inegalitatea CBS s¸i anvelopa ei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 19.3 Familia Cebˆıs¸ev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 19.4 Convexitatea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 19.5 Medii, ”Holder”, ¨ ”Minkovski” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 19.6 Inegalit˘at¸i datorate derivatelor ”tinere” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 20 Solut¸iile temelor
351
20.1 Tema 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 20.2 Tema 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
vi
CUPRINS 20.3 Tema 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 20.4 Tema 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 20.5 Tema 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 20.6 Tema 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 20.7 Tema 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 20.8 Tema 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 20.9 Tema 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 20.10Tema 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 20.11Tema 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 20.12Tema 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 20.13Tema 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 20.14Tema 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 20.15Tema 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 20.16Tema 16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 20.17Tema 17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 20.18Tema 18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 20.19Tema 19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 20.20Tema 20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 20.21Tema 21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 20.22Tema 22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 20.23Tema 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 20.24Tema 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 20.25Tema 25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 20.26Tema 26. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 20.27Tema 27. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 20.28Tema 28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 20.29Tema 29. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 20.30Tema 30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 20.31Tema 31. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 20.32Tema 32. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 20.33Tema 33. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 20.34Tema 34. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 20.35Tema 35. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 20.36Tema 36. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
1
Capitolul 1
Reducerea 1.1 Introducere la . . . reducere Cea mai simpl˘a dintre metodele cu care se poate ataca demonstrarea unei inegalit˘a¸ti este reducerea la o inegalitate cunoscut˘a. Numim astfel metoda prin care inegalitatea de demonstrat este transformat˘a ˆın inegalit˘at¸i echivalente pˆan˘a cˆand se ajunge la o inegalitate cunoscut˘a ca adev˘arat˘a. ˆIn aceste condit¸ii, inegalitatea init¸ial˘a fiind echivalent˘a cu o inegalitate adev˘arat˘a (cea la care s-a ajuns) este s¸i ea, evident, adev˘arat˘a. Cum cea mai simpl˘a inegalitate este (1)
x2 0,
x ∈ R,
inegalitate verificat˘a cu egal dac˘a s¸i numai dac˘a x = 0, iat˘a cˆateva inegalit˘at¸i reductibile la aceasta cu alegerea x = a − b: (2)
2ab a2 + b2 ,
(3)
(a + b)2 2(a2 + b2 ),
(4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12)
2
a, b ∈ R, a, b ∈ R,
2
ab a − ab + b , a, b ∈ R, √ √ a+ b a+b , a, b > 0, 2 2 a+b 1 1 1 + , a, b > 0, a 2 + b2 2 a b a3 + b3 a2 b + ab2 , a, b > 0, 2 2 a + b2 (a + b) a3 + b3 , a, b > 0, 2 a + b2 a3 + b3 (a + b) a4 + b4 , a, b > 0, a2 b2 + a + b, a, b > 0, b a a b + 2, a, b > 0, b a a b b2 a2 + 2 + 2 , a, b > 0. b a b a
2
CAPITOLUL 1. REDUCEREA De exemplu, ultima inegalitate se reduce la (a − b)2 0 astfel: 2 a b b2 a b a b2 a2 2 2 + 2 a2 b2 ⇔ + 2 + 2 ⇔ + a b b a b a b a b2 a a3 b + ab3 a4 + b4 ⇔ 0 (a − b)(a3 − b3 ) ⇔ 0 (a − b)2 (a2 + ab + b2 ) ⇔ 0 (a − b)2 .
Cum egalitatea se conserv˘a la trecerile prin echivalent¸a˘ , deducem c˘a fiecare din inegalit˘a¸tile (2) - (12) este verificat˘a cu egal dac˘a s¸i numai dac˘a a − b = 0 ⇔ a = b. Reducerea ofer˘a solut¸ii simple s¸i inegalit˘at¸ilor din urm˘atorul s¸ir: √ 2ab a2 + b 2 a+b (13) min (a, b) ab max (a, b), a, b > 0. a+b 2 2 Fiecare inegalitate este verificat˘a cu egal dac˘a s¸i numai dac˘a a = b. Am exprimat aici c˘a mediile armonic˘a, geometric˘a, aritmetic˘a s¸i p˘atratic˘a a dou˘a numere pozitive sunt ˆın ordine cresc˘atoare, ˆıncadrate ˆıntre cel mai mic s¸i cel mai mare dintre cele dou˘a numere. S˘a reducem inegalitatea (14)
a2 + b2 + c2 ab + bc + ca,
a, b, c ∈ R.
Aceasta devine succesiv: a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca 0 ⇔ 2a2 + 2b2 + 2c2 − 2ab − 2bc − 2ca 0 ⇔ (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 0 . Cum aceast˘a inegalitate este adev˘arat˘a, fiind obt¸inut˘a prin ˆınsumarea unor inegalit˘at¸i de tip (1), deducem c˘a s¸i (14) este adev˘arat˘a. Ea este verificat˘a cu egal dac˘a s¸i numai dac˘a a−b=b−c=c−a=0⇔a=b=c. Este evident c˘a succesul ˆın aplicarea metodei depinde atˆat de capacitatea de a vedea transform˘arile potrivite cˆat s¸i de bog˘at¸ia repertoriului de inegalit˘at¸i cunoscute. Astfel, cu un plus de inspirat¸ie, putem g˘asi s¸i o alt˘a reducere, mai elegant˘a, pentru (14). Inegalitatea este verificat˘a f˘ar˘a posibilitate de egal cˆand ab + bc + ca < 0 iar pentru ab + bc + ca 0 poate fi pus˘a sub forma echivalent˘a (ab + bc + ca)2 (a2 + b2 + c2 )2 ⇔ (ab + bc + ca)2 (a2 + b2 + c2 )(b2 + c2 + a2 ), ˆın care trebuie recunoscut˘a Inegalitatea (Cauchy-Buniakovski-Schwarz). (15)
(a1 b1 + a2 b2 + ... + an bn )2 (a21 + a22 + ... + a2n )(b21 + b22 + ... + b2n ), a1 , a2 , ..., an , b1 , b2 , ..., bn ∈ R, n 2.
Inegalitatea se verific˘a cu egal dac˘a s¸i numai dac˘a n-uplele (a1 , a2 , ..., an ) s¸i (b1 , b2 , ..., bn ) sunt proport¸ ionale. Este bine s˘a explic˘am de la ˆınceput ce ˆınseamn˘a c˘a dou˘a n-uple sunt proport¸ionale. Prin proport¸ionalitatea n-uplelor a = (a1 , a2 , ..., an ) s¸i b = (b1 , b2 , ..., bn ) pare firesc s˘a
1.1. INTRODUCERE LA . . . REDUCERE
3
ˆınt¸elegem valabilitatea urm˘atorului s¸ir de egalit˘at¸i: ab11 = ab22 = ... = abnn . Aceast˘a caracterizare exclude ˆıns˘a posibilitatea ca vreun bi s˘a fie zero s¸i deci este restrictiv˘a. O caracterizare care acoper˘a toate situat¸iile este urm˘atoarea: Spunem c˘a n-uplele a s¸i b sunt proport¸ ionale dac˘a s¸i numai dac˘a exist˘a un num˘ar real λ astfel ˆıncˆat s˘a avem fie a = λb fie b = λa. Prin λa am notat n-upla (λa1 , λa2 ,..., λan ). Num˘arul λ din definit¸ia de mai de mai sus se numes¸te factor de proport¸ionalitate. Dac˘a a = (0, 0, ..., 0) atunci a = 0b. Deci n-upla (0,0,. . . ,0) este proport¸ional˘a cu orice alt˘a n-upl˘a. Acum se ˆınt¸elege de ce a fost necesar s˘a avem ˆın definit¸ia dat˘a prinse ambele posibilit˘at¸i: a = λb s¸i b = λa. Evident c˘a pentru a = λb s¸i λ = 0 avem b = ( λ1 )a. Acum putem reformula proport¸ionalitatea n-uplelor s¸i ˆın termenii ˆın care am ˆıncercat init¸ial. Dac˘a pentru tot¸i i ∈ {1, 2, ..., n} avem bi = 0, atunci a s¸i b sunt proport¸ionale. ˆIn caz contrar, a s¸i b sunt proport¸ionale cˆand pentru tot¸i i ∈ {1, 2, ..., n} pentru care bi = 0, fract¸iile abii sunt egale ˆıntre ele iar pentru acei i ∈ {1, 2, ..., n} pentru care bi = 0, avem s¸i ai = 0. Posibilit˘at¸ile de reducere a inegalit˘at¸ii (14) nu s-au epuizat. Nu se poate ca expresiile din cei doi membri s˘a nu ne aminteasc˘a de dezvoltarea lui (a + b + c)2 . S˘a facem s˘a apar˘a aceast˘a expresie chiar dac˘a nu ne este clar ˆınc˘a la ce ne-ar putea folosi aceasta. Dac˘a adun˘am ˆın cei doi membri din (14), 2ab + 2bc + 2ca obt¸inem inegalitatea echivalent˘a 3(ab + bc + ca) (a + b + c)2 care nu ne amintes¸te ˆıns˘a de nimic cunoscut. Am f˘acut o reducere dar nu la o inegalitate cunoscut˘a. Dac˘a ˆınmult¸im ˆıns˘a (14) cu 2 s¸i adun˘am apoi ˆın ambii membri a2 + b2 + c2 reducem inegalitatea la (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2 ) care este tot inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz aplicat˘a ˆıns˘a tripletelor (1,1,1) s¸i (a, b, c). Egalul este atins cˆand tripletele sunt proport¸ionale ceea ce ˆınseamn˘a a = b = c. Vom da mai tˆarziu cˆateva demonstrat¸ii s¸i pentru inegalitatea Cauchy-BuniakovskiSchwarz, pe care o vom numi adesea, din comoditate, inegalitatea CBS. S¸i pentru c˘a am vorbit de repertoriu de inegalit˘at¸i cunoscute, s˘a spunem c˘a inegalit˘at¸ile dintre medii, prezentate ˆın (13) pentru dou˘a variabile, inegalitatea CBS ca s¸i altele pe care le vom evident¸ia pe parcurs, trebuie s˘a se g˘aseasc˘a ˆın “ranit¸a” fiec˘arui “demonstrator” de inegalit˘at¸i. Trebuie l˘amurit˘a o posibil˘a nedumerire s¸i anume: la ce bun mai multe demonstrat¸ii pentru o aceeas¸i inegalitate? Am dat deja inegalit˘at¸ii (14) trei demonstrat¸ii pˆan˘a acum, dintre care prima este de departe “cea mai natural˘a”. s¸i atunci la ce bun celelalte dou˘a? Un prim motiv ar fi acela c˘a, obis¸nuit¸i s˘a atac˘am o inegalitate din mai multe unghiuri, avem s¸anse mai mari de a demonstra o inegalitate ˆın situat¸ia, nefericit˘a, ˆın care nu vedem calea natural˘a de abordare a respectivei inegalit˘at¸i. Apoi e posibil s˘a ajungem la rezultate noi care s˘a fie importante ˆın sine sau care s˘a deschid˘a perspective noi. Vor fi s¸i situat¸ii ˆın care demonstrˆand o inegalitate altfel decˆat natural, s˘a reus¸im “sl˘abirea” condit¸iilor ˆın
4
CAPITOLUL 1. REDUCEREA
care are loc acea inegalitate. Oricum vom discuta adesea naturalet¸ea demonstrat¸iilor pe care le vom da.
1.2 Reduceri, reduceri, reduceri S˘a trecem la alte exemple. Inegalitatea a b c 3 (16) + + , b+c c+a a+b 2
a, b, c > 0, (Nesbitt)
devine, dup˘a eliminarea numitorilor, 2a(a + b)(a + c) + 2b(b + c)(b + a) + 2c(c + a)(c + b) 3(a + b)(b + c)(c + a) ⇔ 2a3 + 2b3 + 2c3 − a2 b − ab2 − b2 c − bc2 − c2 a − ca2 0 ⇔ (a + b)(a − b)2 + (b + c)(b − c)2 + (c + a)(c − a)2 0, inegalitate care este adev˘arat˘a, verificat˘a cu egal pentru a = b = c. Fiecare dintre inegalit˘at¸ile x2 y2 z2 3 (17) + + , (x + y)(x + z) (y + z)(y + x) (z + x)(z + y) 4 (18)
yz zx xy 3 + + , (x + y)(x + z) (y + z)(y + x) (z + x)(z + y) 4
x, y, z > 0, x, y, z > 0,
x y z 9 + + , (x + y)(x + z) (y + z)(y + x) (z + x)(z + y) 4(x + y + z) dup˘a eliminarea numitorilor s¸i efectuarea calculelor se reduce la (19)
x, y, z > 0,
x2 y + xy 2 + y 2 z + yz 2 + z 2 x + zx2 − 6xyz 0 ⇔ x(y − z)2 + y(z − x)2 + z(x − y)2 0, inegalitate adev˘arat˘a s¸i verificat˘a cu egal cˆand x = y = z. Inegalitatea (20)
c(a − c) +
c(b − c)
√
ab,
unde a > c , b > c , c > 0, (A. Reznicov)
devine succesiv
ac + bc − 2c2 + 2c (a − c)(b − c) ab ⇔ 2c (a − c)(b − c) (a − c)(b − c) + c2 ⇔
4c2 (a − c)(b − c) (a − c)2 (b − c)2 + 2c2 (a − c)(b − c) + c4 ⇔ 0 [c2 − (a − c)(b − c)]2 . Avem egalitate cˆand c2 = (a − c)(b − c) ⇔ c =
ab (a+b) .
Inegalitatea (21)
√
(a + c)(b + d)
√
ab +
cd,
a, b, c, d > 0,
1.2. REDUCERI, REDUCERI, REDUCERI
5
se reduce, dup˘a eliminarea radicalilor, la (ad − bc)2 0. Egalul se obt¸ine pentru (a, b) s¸i (c, d) proport¸ionale. Inegalitatea (22)
am (b + c − 2a) + bm (c + a − 2b) + cm (a + b − 2c) 0,
a, b, c, m > 0, (V. Cˆartoaje)
devine (am − bm )(b − a) + (bm − cm )(c − b) + (cm − am )(a − c) 0 . Avem b − a 0 ⇔ b a ⇔ bm am ⇔ am − bm 0. Putem decide deja c˘a (am − bm )(b − a) 0 cu egalitate pentru a = b. Merit˘a o mic˘a discut¸ie modul ˆın care am ajuns la aceast˘a concluzie. Pentru justificarea afirmat¸iei f˘acute trebuie s˘a ne fie cunoscute echivalent¸ele: b − a = 0 ⇔ am − bm = 0 , b − a > 0 ⇔ am − bm < 0 , b − a < 0 ⇔ am − bm > 0 . Cˆand am ar˘atat c˘a b − a 0 ⇔ am − bm 0 am demonstrat simultan primele dou˘a echivalent¸e dac˘a t¸inem seama c˘a egalitatea se propag˘a prin echivalent¸a˘ . A treia echivalent¸a˘ este s¸i ea demonstrat˘a c˘aci b − a < 0 s¸i am − bm > 0 fiind negat¸iile a dou˘a afirmat¸ii echivalente s¸i anume b − a 0 respectiv am − bm 0, sunt echivalente. Aceste dificult˘at¸i de exprimare dar s¸i de ˆınt¸elegere pot fi us¸or evitate punˆand b − a?0 ⇔ b?a ⇔ bm ?am ⇔ am ¿bm Aici “?” reprezint˘a oricare din simbolurile “=”, “<”, “>”, “”, “”, iar “¿” reprezint˘a, as¸a dup˘a cum vrea s˘a sugereze simbolul, inversa relat¸iei “?” adic˘a, ˆın ordine, “=”, “>”, “<”, “”, “”. Deci (am −bm )(b−a) 0 s¸i schimbˆand doar notat¸iile (bm −cm )(c−b) 0 s¸i (cm −am )(a− c) 0 de unde valabilitatea inegalit˘at¸ii la care am redus (22), inegalitate verificat˘a cu egal pentru a = b = c. S˘a remarc˘am ˆın treac˘at c˘a (22) se reduce la o inegalitate adev˘arat˘a care nu deriv˘a ˆıns˘a din (1). S˘a demonstr˘am acum c˘a a1 a 1 + a2 a1 + a2 + a3 a1 + a2 + ... + an−1 a1 + a2 + ... + an (23) ... 1 2 3 n−1 n a2 + a3 + ... + an an−2 + an−1 + an an−1 + an an ... , n−1 3 2 1 unde a1 a2 ... an , n 2. Evident, e suficient s˘a ar˘at˘am c˘a, pentru un k ∈ {1, 2, ..., n − 1} arbitrar sunt verificate inegalit˘a¸tile: (a1 + a2 + ... + ak ) (a1 + a2 + ... + ak+1 ) k (k + 1)
6 s¸i
CAPITOLUL 1. REDUCEREA
(an−k + an−k+1 + ... + an ) (an−k+1 + an−k+2 + ... + an ) . (k + 1) k
Prima dintre aceste inegalit˘at¸i devine dup˘a eliminarea numitorilor s¸i reduceri a1 + a2 + ... + ak kak+1 ⇔ 0 (ak+1 − a1 ) + (ak+1 − a2 ) + ... + (ak+1 − ak ), este adev˘arat˘a s¸i se verific˘a cu egal pentru a1 = a2 = ... = ak+1 . A doua inegalitate se transform˘a ˆın kan−k an−k+1 + an−k+2 + ... + an ⇔ 0 (an−k+1 − an−k ) + (an−k+2 − an−k ) + ... + (an − an−k ) este adev˘arat˘a s¸i este verificat˘a cu egal pentru an−k = an−k+1 = ... = an . Putem da o demonstrat¸ie prin reducere s¸i pentru Inegalitatea (Minkovski). (a + b1 )2 + (a2 + b2 )2 + ... + (an + bn )2 (24) 1 2 2 2 a1 + a2 + ... + an + b21 + b22 + ... + b2n , a1 , a2 , ..., an , b1 , b2 , ..., bn ∈ R, n 2. Egalul se obt¸ine dac˘a s¸i numai dac˘a n-uplele (a1 , a2 , ..., an ) s¸i (b1 , b2 , ..., bn ) sunt proport¸ ionale cu factor de proport¸ionalitate nenegativ. Ridicˆand ambii membri la p˘atrat obt¸inem inegalitatea echivalent˘a (a1 + b1 )2 + (a2 + b2 )2 + ... + (an + bn )2 a21 + a22 + ... + a2n + b21 + b22 + ... + b2n + 2 (a21 + a22 + ... + a2n )(b21 + b22 + ... + b2n ) Dup˘a reduceri s¸i simplificare prin 2 aceast˘a inegalitate devine a1 b1 + a2 b2 + ... + an bn (a21 + a22 + ... + a2n )(b21 + b22 + ... + b2n ). Aceast˘a inegalitate este verificat˘a f˘ar˘a posibilitate de egal dac˘a expresia din membrul stˆang este negativ˘a. ˆIn caz contrar aceast˘a inegalitate se reduce la inegalitatea CBS prin ridicarea ambilor membri la p˘atrat. Vom avea egalitate cˆand, conform inegalit˘at¸ii CBS, n-uplele din enunt¸ sunt proport¸ionale. Factorul de proport¸ionalitate trebuie s˘a fie nenegativ pentru a avea a1 b1 + a2 b2 + ... + an bn 0.
1.3 Atent¸ie la egal ! S˘a ne ˆıncerc˘am acum puterile cu dubla inegalitate √ a+b+c ab + bc + ca 3 (25) abc, a, b, c > 0. 3 3 Prima inegalitate devine, dup˘a ridicarea ambilor membri la p˘atrat s¸i eliminarea numitorilor, (a + b + c)2 3(ab + bc + ca)
I N E G A L I TĂŢ I idei şi metode
Editura GIL
© Editura Gil INEGALITĂŢI idei şi metode Autor: Mihai Onucu DRIMBE ISBN 978-606-500-040-7 Toate drepturile rezervate Editurii Gil. Nici o parte din acest volum nu poate fi copiată fără permisiunea scrisă a Editurii Gil. Copyright © 2003 by Gil. All rights reserved.
Departament difuzare: Editura GIL, CP 44 O.P.3, 4700, Zalău, Sălaj, Tel. 0260/616314; 0744/612106 Fax.: 0260/616414 E-mail: [email protected]
Editor: Mircea Lascu
www.gil.ro
i
Cuprins 1 Reducerea
2
3
1
1.1
Introducere la . . . reducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Reduceri, reduceri, reduceri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
Atent¸ie la egal ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.4
Concluzii s¸i teme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.4.1
Tema 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.4.2
Tema 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.4.3
Tema 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Substituirea
13
2.1
Substituirea ˆıntr-o inegalitate cunoscut˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.2
Alte inegalit˘a¸ti s¸i alte substitut¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.3
Omogenizare prin substitut¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.4
Concluzii s¸i teme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.4.1
Tema 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.4.2
Tema 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
Exploatarea trinomului de grad doi
21
3.1
Semnul trinomului de grad doi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.2
Principiul trinomului sau semnul trinomului ? . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.3
Principiul trinomului! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.4
Dou˘a variante ”complexe” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3.5
Apelul la valoarea de extrem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.6
A mai r˘amas monotonia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.7
ˆIn sfˆars¸it, teme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
ii
CUPRINS 3.7.1
Tema 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.7.2
Tema 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.7.3
Tema 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4 Spargerea
39
4.1
Spargeri de antrenament . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
4.2
Spargeri de meci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
4.3
Spargerea cu medii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
4.4
Spargeri muncitores¸ti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
4.5
Spargeri dup˘a perechile de indici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
4.6
Spargeri ”necatalogate” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
4.7
Concluzii s¸i teme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
4.7.1
Tema 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
4.7.2
Tema 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
4.7.3
Tema 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
5 Violarea simetriei
65
5.1
Cum se violeaz˘a simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
5.2
Inegalit˘at¸i cu maxim sau minim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
5.3
Cˆateva inegalit˘at¸i stricte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
5.4
Spargeri dure cu violarea simetriei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
5.5
Un contraexemplu s¸i teme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
5.5.1
76
Tema 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Normarea
77
6.1
Normarea inegalit˘a¸tilor omogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
6.2
O familie de inegalit˘at¸i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
7 Intercalarea
83
7.1
Intercal˘ari de ˆınceput . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
7.2
Intercal˘ari de mijloc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
7.3
Intercal˘ari cu schimb de buc˘at¸i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
7.4
Intercalare cu egalare de variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
7.5
A doua variant˘a de egalare de variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
CUPRINS
8
9
iii
7.6
Intercalarea inegalit˘a¸tilor ”m˘arginite” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.7
Trucul CBS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.8
Intercal˘ari de sfˆars¸it . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.9
O demonstrat¸ie interesant˘a s¸i . . . teme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 7.9.1
Tema 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.9.2
Tema 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.9.3
Tema 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.9.4
Tema 16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Exploatarea ordinii
119
8.1
Dou˘a teoreme de maximizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.2
”Maximizarea” ˆın act¸iune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.3
Inegalitatea Cebˆıs¸ev s¸i ”trucul Cebˆıs¸ev” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.4
A treia teorem˘a de maximizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.5
O perl˘a pentru final s¸i teme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 8.5.1
Tema 17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.5.2
Tema 18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Decondit¸ionarea
139
9.1
Inegalit˘at¸i ”triunghiulare” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9.2
Inegalit˘at¸i normate cu sume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
9.3
Inegalit˘at¸i normate cu produse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.4
Inegalit˘at¸i cu ”sum˘a zero” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.5
Inegalit˘a¸ti condit¸ionate cu inegalit˘at¸i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
9.6
Decondit¸ion˘ari atipice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.7
F˘ar˘a decondit¸ionare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
9.8
Condit¸ionare - decondit¸ionare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
9.9
O problem˘a de etic˘a . . . s¸i teme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 9.9.1
Tema 19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
9.9.2
Tema 20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
9.9.3
Tema 21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
9.9.4
Tema 22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
iv
CUPRINS
10 Apelul la identit˘at¸i
175
10.1 Apelul la identit˘a¸ti . . . simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 10.2 Manevre cu Σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 10.3 Alte identit˘a¸ti pentru alte inegalit˘at¸i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 10.4 Teme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 10.4.1 Tema 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 10.4.2 Tema 24. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 11 Reducerea la absurd
191
11.1 Cˆateva exemple . . . dar simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 11.2 Inegalit˘a¸ti cu minim sau maxim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 11.3 O prelucrare constructiv˘a s¸i tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 11.3.1 Tema 25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 12 Coborˆarea
199
13 Induct¸ia
207
13.1 Induct¸ia uzual˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 13.2 Induct¸ia cu pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 13.3 Induct¸ia Ehlers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 13.4 Induct¸ia Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 13.5 Teme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 13.5.1 Tema 26. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 13.5.2 Tema 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 13.5.3 Tema 28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 14 Metoda Sturm
233
15 Limitele
241
15.1 Inegalit˘at¸i stricte saturate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 15.2 Altfel de ajutor de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 16 Exploatarea monotoniei
247
16.1 Inegalit˘at¸i de debut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 16.2 Inegalit˘at¸i ˆıntre medii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
CUPRINS
v
16.3 ”Bernoulli”, ”Holder” ¨ s¸i ”Minkovski” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 16.4 Alte inegalit˘a¸ti sub aceeas¸i p˘al˘arie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 16.5 ”Mac Laureen” s¸i . . . teme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 16.5.1 Tema 29. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 16.5.2 Tema 30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 17 Exploatarea convexit˘at¸ii
275
17.1 Inegalitatea Jensen s¸i cˆateva inegalit˘at¸i clasice . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 17.2 Alte inegalit˘at¸i, aceeas¸i ”Jensen” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 17.3 Demonstrat¸ii cu surprize pentru ”Jensen” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 17.4 Replica de tip Acz´el la inegalitatea Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 17.5 Ca ciupercile dup˘a ploaie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 17.6 ”Karamata”, ”Muerhead”, ”Popoviciu” s¸i nu numai . . . . . . . . . . . . . 299 17.7 O inegalitate moft s¸i temele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 17.7.1 Tema 31. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 17.7.2 Tema 32. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 17.7.3 Tema 33. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 17.7.4 Tema 34. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 17.7.5 Tema 35. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 17.7.6 Tema 36. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 18 Cvasi-liniarizarea
315
19 Inegalit˘a¸ti integrale
325
19.1 Un procedeu de . . . traducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 19.2 Inegalitatea CBS s¸i anvelopa ei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 19.3 Familia Cebˆıs¸ev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 19.4 Convexitatea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 19.5 Medii, ”Holder”, ¨ ”Minkovski” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 19.6 Inegalit˘at¸i datorate derivatelor ”tinere” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 20 Solut¸iile temelor
351
20.1 Tema 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 20.2 Tema 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
vi
CUPRINS 20.3 Tema 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 20.4 Tema 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 20.5 Tema 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 20.6 Tema 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 20.7 Tema 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 20.8 Tema 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 20.9 Tema 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 20.10Tema 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 20.11Tema 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 20.12Tema 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 20.13Tema 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 20.14Tema 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 20.15Tema 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 20.16Tema 16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 20.17Tema 17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 20.18Tema 18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 20.19Tema 19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 20.20Tema 20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 20.21Tema 21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 20.22Tema 22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 20.23Tema 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 20.24Tema 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 20.25Tema 25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 20.26Tema 26. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 20.27Tema 27. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 20.28Tema 28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 20.29Tema 29. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 20.30Tema 30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 20.31Tema 31. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 20.32Tema 32. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 20.33Tema 33. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 20.34Tema 34. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 20.35Tema 35. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 20.36Tema 36. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
1
Capitolul 1
Reducerea 1.1 Introducere la . . . reducere Cea mai simpl˘a dintre metodele cu care se poate ataca demonstrarea unei inegalit˘a¸ti este reducerea la o inegalitate cunoscut˘a. Numim astfel metoda prin care inegalitatea de demonstrat este transformat˘a ˆın inegalit˘at¸i echivalente pˆan˘a cˆand se ajunge la o inegalitate cunoscut˘a ca adev˘arat˘a. ˆIn aceste condit¸ii, inegalitatea init¸ial˘a fiind echivalent˘a cu o inegalitate adev˘arat˘a (cea la care s-a ajuns) este s¸i ea, evident, adev˘arat˘a. Cum cea mai simpl˘a inegalitate este (1)
x2 0,
x ∈ R,
inegalitate verificat˘a cu egal dac˘a s¸i numai dac˘a x = 0, iat˘a cˆateva inegalit˘at¸i reductibile la aceasta cu alegerea x = a − b: (2)
2ab a2 + b2 ,
(3)
(a + b)2 2(a2 + b2 ),
(4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12)
2
a, b ∈ R, a, b ∈ R,
2
ab a − ab + b , a, b ∈ R, √ √ a+ b a+b , a, b > 0, 2 2 a+b 1 1 1 + , a, b > 0, a 2 + b2 2 a b a3 + b3 a2 b + ab2 , a, b > 0, 2 2 a + b2 (a + b) a3 + b3 , a, b > 0, 2 a + b2 a3 + b3 (a + b) a4 + b4 , a, b > 0, a2 b2 + a + b, a, b > 0, b a a b + 2, a, b > 0, b a a b b2 a2 + 2 + 2 , a, b > 0. b a b a
2
CAPITOLUL 1. REDUCEREA De exemplu, ultima inegalitate se reduce la (a − b)2 0 astfel: 2 a b b2 a b a b2 a2 2 2 + 2 a2 b2 ⇔ + 2 + 2 ⇔ + a b b a b a b a b2 a a3 b + ab3 a4 + b4 ⇔ 0 (a − b)(a3 − b3 ) ⇔ 0 (a − b)2 (a2 + ab + b2 ) ⇔ 0 (a − b)2 .
Cum egalitatea se conserv˘a la trecerile prin echivalent¸a˘ , deducem c˘a fiecare din inegalit˘a¸tile (2) - (12) este verificat˘a cu egal dac˘a s¸i numai dac˘a a − b = 0 ⇔ a = b. Reducerea ofer˘a solut¸ii simple s¸i inegalit˘at¸ilor din urm˘atorul s¸ir: √ 2ab a2 + b 2 a+b (13) min (a, b) ab max (a, b), a, b > 0. a+b 2 2 Fiecare inegalitate este verificat˘a cu egal dac˘a s¸i numai dac˘a a = b. Am exprimat aici c˘a mediile armonic˘a, geometric˘a, aritmetic˘a s¸i p˘atratic˘a a dou˘a numere pozitive sunt ˆın ordine cresc˘atoare, ˆıncadrate ˆıntre cel mai mic s¸i cel mai mare dintre cele dou˘a numere. S˘a reducem inegalitatea (14)
a2 + b2 + c2 ab + bc + ca,
a, b, c ∈ R.
Aceasta devine succesiv: a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca 0 ⇔ 2a2 + 2b2 + 2c2 − 2ab − 2bc − 2ca 0 ⇔ (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 0 . Cum aceast˘a inegalitate este adev˘arat˘a, fiind obt¸inut˘a prin ˆınsumarea unor inegalit˘at¸i de tip (1), deducem c˘a s¸i (14) este adev˘arat˘a. Ea este verificat˘a cu egal dac˘a s¸i numai dac˘a a−b=b−c=c−a=0⇔a=b=c. Este evident c˘a succesul ˆın aplicarea metodei depinde atˆat de capacitatea de a vedea transform˘arile potrivite cˆat s¸i de bog˘at¸ia repertoriului de inegalit˘at¸i cunoscute. Astfel, cu un plus de inspirat¸ie, putem g˘asi s¸i o alt˘a reducere, mai elegant˘a, pentru (14). Inegalitatea este verificat˘a f˘ar˘a posibilitate de egal cˆand ab + bc + ca < 0 iar pentru ab + bc + ca 0 poate fi pus˘a sub forma echivalent˘a (ab + bc + ca)2 (a2 + b2 + c2 )2 ⇔ (ab + bc + ca)2 (a2 + b2 + c2 )(b2 + c2 + a2 ), ˆın care trebuie recunoscut˘a Inegalitatea (Cauchy-Buniakovski-Schwarz). (15)
(a1 b1 + a2 b2 + ... + an bn )2 (a21 + a22 + ... + a2n )(b21 + b22 + ... + b2n ), a1 , a2 , ..., an , b1 , b2 , ..., bn ∈ R, n 2.
Inegalitatea se verific˘a cu egal dac˘a s¸i numai dac˘a n-uplele (a1 , a2 , ..., an ) s¸i (b1 , b2 , ..., bn ) sunt proport¸ ionale. Este bine s˘a explic˘am de la ˆınceput ce ˆınseamn˘a c˘a dou˘a n-uple sunt proport¸ionale. Prin proport¸ionalitatea n-uplelor a = (a1 , a2 , ..., an ) s¸i b = (b1 , b2 , ..., bn ) pare firesc s˘a
1.1. INTRODUCERE LA . . . REDUCERE
3
ˆınt¸elegem valabilitatea urm˘atorului s¸ir de egalit˘at¸i: ab11 = ab22 = ... = abnn . Aceast˘a caracterizare exclude ˆıns˘a posibilitatea ca vreun bi s˘a fie zero s¸i deci este restrictiv˘a. O caracterizare care acoper˘a toate situat¸iile este urm˘atoarea: Spunem c˘a n-uplele a s¸i b sunt proport¸ ionale dac˘a s¸i numai dac˘a exist˘a un num˘ar real λ astfel ˆıncˆat s˘a avem fie a = λb fie b = λa. Prin λa am notat n-upla (λa1 , λa2 ,..., λan ). Num˘arul λ din definit¸ia de mai de mai sus se numes¸te factor de proport¸ionalitate. Dac˘a a = (0, 0, ..., 0) atunci a = 0b. Deci n-upla (0,0,. . . ,0) este proport¸ional˘a cu orice alt˘a n-upl˘a. Acum se ˆınt¸elege de ce a fost necesar s˘a avem ˆın definit¸ia dat˘a prinse ambele posibilit˘at¸i: a = λb s¸i b = λa. Evident c˘a pentru a = λb s¸i λ = 0 avem b = ( λ1 )a. Acum putem reformula proport¸ionalitatea n-uplelor s¸i ˆın termenii ˆın care am ˆıncercat init¸ial. Dac˘a pentru tot¸i i ∈ {1, 2, ..., n} avem bi = 0, atunci a s¸i b sunt proport¸ionale. ˆIn caz contrar, a s¸i b sunt proport¸ionale cˆand pentru tot¸i i ∈ {1, 2, ..., n} pentru care bi = 0, fract¸iile abii sunt egale ˆıntre ele iar pentru acei i ∈ {1, 2, ..., n} pentru care bi = 0, avem s¸i ai = 0. Posibilit˘at¸ile de reducere a inegalit˘at¸ii (14) nu s-au epuizat. Nu se poate ca expresiile din cei doi membri s˘a nu ne aminteasc˘a de dezvoltarea lui (a + b + c)2 . S˘a facem s˘a apar˘a aceast˘a expresie chiar dac˘a nu ne este clar ˆınc˘a la ce ne-ar putea folosi aceasta. Dac˘a adun˘am ˆın cei doi membri din (14), 2ab + 2bc + 2ca obt¸inem inegalitatea echivalent˘a 3(ab + bc + ca) (a + b + c)2 care nu ne amintes¸te ˆıns˘a de nimic cunoscut. Am f˘acut o reducere dar nu la o inegalitate cunoscut˘a. Dac˘a ˆınmult¸im ˆıns˘a (14) cu 2 s¸i adun˘am apoi ˆın ambii membri a2 + b2 + c2 reducem inegalitatea la (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2 ) care este tot inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz aplicat˘a ˆıns˘a tripletelor (1,1,1) s¸i (a, b, c). Egalul este atins cˆand tripletele sunt proport¸ionale ceea ce ˆınseamn˘a a = b = c. Vom da mai tˆarziu cˆateva demonstrat¸ii s¸i pentru inegalitatea Cauchy-BuniakovskiSchwarz, pe care o vom numi adesea, din comoditate, inegalitatea CBS. S¸i pentru c˘a am vorbit de repertoriu de inegalit˘at¸i cunoscute, s˘a spunem c˘a inegalit˘at¸ile dintre medii, prezentate ˆın (13) pentru dou˘a variabile, inegalitatea CBS ca s¸i altele pe care le vom evident¸ia pe parcurs, trebuie s˘a se g˘aseasc˘a ˆın “ranit¸a” fiec˘arui “demonstrator” de inegalit˘at¸i. Trebuie l˘amurit˘a o posibil˘a nedumerire s¸i anume: la ce bun mai multe demonstrat¸ii pentru o aceeas¸i inegalitate? Am dat deja inegalit˘at¸ii (14) trei demonstrat¸ii pˆan˘a acum, dintre care prima este de departe “cea mai natural˘a”. s¸i atunci la ce bun celelalte dou˘a? Un prim motiv ar fi acela c˘a, obis¸nuit¸i s˘a atac˘am o inegalitate din mai multe unghiuri, avem s¸anse mai mari de a demonstra o inegalitate ˆın situat¸ia, nefericit˘a, ˆın care nu vedem calea natural˘a de abordare a respectivei inegalit˘at¸i. Apoi e posibil s˘a ajungem la rezultate noi care s˘a fie importante ˆın sine sau care s˘a deschid˘a perspective noi. Vor fi s¸i situat¸ii ˆın care demonstrˆand o inegalitate altfel decˆat natural, s˘a reus¸im “sl˘abirea” condit¸iilor ˆın
4
CAPITOLUL 1. REDUCEREA
care are loc acea inegalitate. Oricum vom discuta adesea naturalet¸ea demonstrat¸iilor pe care le vom da.
1.2 Reduceri, reduceri, reduceri S˘a trecem la alte exemple. Inegalitatea a b c 3 (16) + + , b+c c+a a+b 2
a, b, c > 0, (Nesbitt)
devine, dup˘a eliminarea numitorilor, 2a(a + b)(a + c) + 2b(b + c)(b + a) + 2c(c + a)(c + b) 3(a + b)(b + c)(c + a) ⇔ 2a3 + 2b3 + 2c3 − a2 b − ab2 − b2 c − bc2 − c2 a − ca2 0 ⇔ (a + b)(a − b)2 + (b + c)(b − c)2 + (c + a)(c − a)2 0, inegalitate care este adev˘arat˘a, verificat˘a cu egal pentru a = b = c. Fiecare dintre inegalit˘at¸ile x2 y2 z2 3 (17) + + , (x + y)(x + z) (y + z)(y + x) (z + x)(z + y) 4 (18)
yz zx xy 3 + + , (x + y)(x + z) (y + z)(y + x) (z + x)(z + y) 4
x, y, z > 0, x, y, z > 0,
x y z 9 + + , (x + y)(x + z) (y + z)(y + x) (z + x)(z + y) 4(x + y + z) dup˘a eliminarea numitorilor s¸i efectuarea calculelor se reduce la (19)
x, y, z > 0,
x2 y + xy 2 + y 2 z + yz 2 + z 2 x + zx2 − 6xyz 0 ⇔ x(y − z)2 + y(z − x)2 + z(x − y)2 0, inegalitate adev˘arat˘a s¸i verificat˘a cu egal cˆand x = y = z. Inegalitatea (20)
c(a − c) +
c(b − c)
√
ab,
unde a > c , b > c , c > 0, (A. Reznicov)
devine succesiv
ac + bc − 2c2 + 2c (a − c)(b − c) ab ⇔ 2c (a − c)(b − c) (a − c)(b − c) + c2 ⇔
4c2 (a − c)(b − c) (a − c)2 (b − c)2 + 2c2 (a − c)(b − c) + c4 ⇔ 0 [c2 − (a − c)(b − c)]2 . Avem egalitate cˆand c2 = (a − c)(b − c) ⇔ c =
ab (a+b) .
Inegalitatea (21)
√
(a + c)(b + d)
√
ab +
cd,
a, b, c, d > 0,
1.2. REDUCERI, REDUCERI, REDUCERI
5
se reduce, dup˘a eliminarea radicalilor, la (ad − bc)2 0. Egalul se obt¸ine pentru (a, b) s¸i (c, d) proport¸ionale. Inegalitatea (22)
am (b + c − 2a) + bm (c + a − 2b) + cm (a + b − 2c) 0,
a, b, c, m > 0, (V. Cˆartoaje)
devine (am − bm )(b − a) + (bm − cm )(c − b) + (cm − am )(a − c) 0 . Avem b − a 0 ⇔ b a ⇔ bm am ⇔ am − bm 0. Putem decide deja c˘a (am − bm )(b − a) 0 cu egalitate pentru a = b. Merit˘a o mic˘a discut¸ie modul ˆın care am ajuns la aceast˘a concluzie. Pentru justificarea afirmat¸iei f˘acute trebuie s˘a ne fie cunoscute echivalent¸ele: b − a = 0 ⇔ am − bm = 0 , b − a > 0 ⇔ am − bm < 0 , b − a < 0 ⇔ am − bm > 0 . Cˆand am ar˘atat c˘a b − a 0 ⇔ am − bm 0 am demonstrat simultan primele dou˘a echivalent¸e dac˘a t¸inem seama c˘a egalitatea se propag˘a prin echivalent¸a˘ . A treia echivalent¸a˘ este s¸i ea demonstrat˘a c˘aci b − a < 0 s¸i am − bm > 0 fiind negat¸iile a dou˘a afirmat¸ii echivalente s¸i anume b − a 0 respectiv am − bm 0, sunt echivalente. Aceste dificult˘at¸i de exprimare dar s¸i de ˆınt¸elegere pot fi us¸or evitate punˆand b − a?0 ⇔ b?a ⇔ bm ?am ⇔ am ¿bm Aici “?” reprezint˘a oricare din simbolurile “=”, “<”, “>”, “”, “”, iar “¿” reprezint˘a, as¸a dup˘a cum vrea s˘a sugereze simbolul, inversa relat¸iei “?” adic˘a, ˆın ordine, “=”, “>”, “<”, “”, “”. Deci (am −bm )(b−a) 0 s¸i schimbˆand doar notat¸iile (bm −cm )(c−b) 0 s¸i (cm −am )(a− c) 0 de unde valabilitatea inegalit˘at¸ii la care am redus (22), inegalitate verificat˘a cu egal pentru a = b = c. S˘a remarc˘am ˆın treac˘at c˘a (22) se reduce la o inegalitate adev˘arat˘a care nu deriv˘a ˆıns˘a din (1). S˘a demonstr˘am acum c˘a a1 a 1 + a2 a1 + a2 + a3 a1 + a2 + ... + an−1 a1 + a2 + ... + an (23) ... 1 2 3 n−1 n a2 + a3 + ... + an an−2 + an−1 + an an−1 + an an ... , n−1 3 2 1 unde a1 a2 ... an , n 2. Evident, e suficient s˘a ar˘at˘am c˘a, pentru un k ∈ {1, 2, ..., n − 1} arbitrar sunt verificate inegalit˘a¸tile: (a1 + a2 + ... + ak ) (a1 + a2 + ... + ak+1 ) k (k + 1)
6 s¸i
CAPITOLUL 1. REDUCEREA
(an−k + an−k+1 + ... + an ) (an−k+1 + an−k+2 + ... + an ) . (k + 1) k
Prima dintre aceste inegalit˘at¸i devine dup˘a eliminarea numitorilor s¸i reduceri a1 + a2 + ... + ak kak+1 ⇔ 0 (ak+1 − a1 ) + (ak+1 − a2 ) + ... + (ak+1 − ak ), este adev˘arat˘a s¸i se verific˘a cu egal pentru a1 = a2 = ... = ak+1 . A doua inegalitate se transform˘a ˆın kan−k an−k+1 + an−k+2 + ... + an ⇔ 0 (an−k+1 − an−k ) + (an−k+2 − an−k ) + ... + (an − an−k ) este adev˘arat˘a s¸i este verificat˘a cu egal pentru an−k = an−k+1 = ... = an . Putem da o demonstrat¸ie prin reducere s¸i pentru Inegalitatea (Minkovski). (a + b1 )2 + (a2 + b2 )2 + ... + (an + bn )2 (24) 1 2 2 2 a1 + a2 + ... + an + b21 + b22 + ... + b2n , a1 , a2 , ..., an , b1 , b2 , ..., bn ∈ R, n 2. Egalul se obt¸ine dac˘a s¸i numai dac˘a n-uplele (a1 , a2 , ..., an ) s¸i (b1 , b2 , ..., bn ) sunt proport¸ ionale cu factor de proport¸ionalitate nenegativ. Ridicˆand ambii membri la p˘atrat obt¸inem inegalitatea echivalent˘a (a1 + b1 )2 + (a2 + b2 )2 + ... + (an + bn )2 a21 + a22 + ... + a2n + b21 + b22 + ... + b2n + 2 (a21 + a22 + ... + a2n )(b21 + b22 + ... + b2n ) Dup˘a reduceri s¸i simplificare prin 2 aceast˘a inegalitate devine a1 b1 + a2 b2 + ... + an bn (a21 + a22 + ... + a2n )(b21 + b22 + ... + b2n ). Aceast˘a inegalitate este verificat˘a f˘ar˘a posibilitate de egal dac˘a expresia din membrul stˆang este negativ˘a. ˆIn caz contrar aceast˘a inegalitate se reduce la inegalitatea CBS prin ridicarea ambilor membri la p˘atrat. Vom avea egalitate cˆand, conform inegalit˘at¸ii CBS, n-uplele din enunt¸ sunt proport¸ionale. Factorul de proport¸ionalitate trebuie s˘a fie nenegativ pentru a avea a1 b1 + a2 b2 + ... + an bn 0.
1.3 Atent¸ie la egal ! S˘a ne ˆıncerc˘am acum puterile cu dubla inegalitate √ a+b+c ab + bc + ca 3 (25) abc, a, b, c > 0. 3 3 Prima inegalitate devine, dup˘a ridicarea ambilor membri la p˘atrat s¸i eliminarea numitorilor, (a + b + c)2 3(ab + bc + ca)
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