Integrale-integration

http://www.mathovore.fr

Intégration

(

)

On considère un repère orthogonal O; i, j .

1 unité d’aire (u.a.) est l’aire du rectangle OIKJ. I . Intégrale d’une fonction positive : Définition : On considère une fonction f continue et positive sur [a; b ] . C f est sa courbe représentative

(

)

dans le repère O; i, j .

On définit le domaine D délimité par : • Cf , • •

Les droites d’équation x = a et x = b , L’axe des abscisses. b

L’aire de D, exprimée en unités d’aire, est le réel

∫ f ( x) dx . Cette écriture ce lit « somme (ou a

intégrale) de a à b de f ( x) dx ». a et b sont les bornes de l’intervalle.

1

http://www.mathovore.fr Remarque : b

Dans l’écriture

∫ f ( x) dx ,

la variable x n’a aucune signification particulière : on pourrait

a

l’appeler autrement :

b

b

a

a

∫ f (u ) du ou ∫ f (◊) d◊ (il s’agit d’une variable muette).

Exemples : b

Si a = b alors

•

∫ f ( x) dx = 0 . a b

Si f ( x) = m > 0 alors

•

∫ f ( x) dx = (b − a)m . a

Définition : Soit f une fonction continue et positive sur [a; b] . La valeur moyenne de f sur [a; b] est b

1 . f ( x) dx . b − a ∫a Remarques : •

b

•

b

1 m= . f ( x) dx équivaut à (b − a )m = ∫ f ( x) dx . Autrement dit, la valeur b − a ∫a a moyenne est telle que l’aire du rectangle de dimensions b − a et m est égale à celle « sous la courbe de f ». En cinématique, m, la vitesse moyenne est la vitesse constante nécessaire pour parcourir la même distance entre les temps a et b. b

•

En physique, si y = f (x ) alors

∫ f ( x) dx

est une grandeur homogène à xy et

a b

1 . f ( x) dx est une grandeur homogène à y. b − a ∫a

2

http://www.mathovore.fr II . Intégrale d’une fonction de signe quelconque : 1) Intégrale d’une fonction négative : Définition : On considère une fonction f continue et négative sur [a; b] .

b

On définit l’intégrale de a à b de f par

∫ f ( x) dx = − A

où A est l’aire du domaine D du plan

a

délimité par la courbe C f , les droites d’équation x = a et x = b et l’axe des abscisses. Exemple : par f ( x) =

Soit f définie sur

1 x − 2. 2

f est continue et négative sur [0;4] . 4

Alors

∫ 0

4× 2 1  f ( x) dx = ∫  x − 2  dx = − aire du triangle OAB = − = −4 . 2 2  0 4

2) Cas général :

On considère une fonction f continue sur [a; b] .

3

http://www.mathovore.fr

A1 est la réunion de toutes les parties du plan délimitées par C f , les droites d’équation x = a et x = b et l’axe des abscisses, et au-dessus de cet axe. A2 : idem mais sous l’axe des abscisses. b

On pose

∫ f ( x) dx = aire de A

1

− aire de A2 .

a

Exemple (suite) : 6

∫ f ( x) dx = aire de BDC − aire de AOB = 1 − 4 = −3 . 0

Définition : b

1 . f ( x) dx . Soit f une fonction continue sur [a; b] . La valeur moyenne de f sur [a; b] est b − a ∫a Exemple (suite) :

Valeur moyenne de f sur [0;6] :

6

1 3 1 .∫ f ( x) dx = − = − . 6−0 0 6 2

III . Primitives d’une fonction : Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I toute fonction F définie sur I telle que F ' = f .

4

http://www.mathovore.fr Autrement dit :

Remarque : On admet que si f est continue sur I alors f admet des primitives sur I. Exemples :

x3 x3 + 7 et x a − 4 définies sur 3 3 x a x ² définie sur .

Les fonctions x a '

sont des primitives de la fonction

'

 x3   x3    En effet,  + 7  = x ² =  − 4  .  3   3  Théorème : Soit f une fonction définie sur un intervalle I qui admet une primitive de f sur I. • Les primitives de f sur I sont les fonctions G de la forme F + k , k réel fixé, définies sur I. Autrement dit : deux primitives sur I d’une même fonction diffèrent d’une constante. • Pour tous couples de réels ( x 0 ; y 0 ) , il existe une unique primitive F0 de f sur I telle

que F0 ( x 0 ) = y 0 . Interprétation graphique : Les courbes des primitives de f sur I sont les images de celle de F par des translations de vecteur k j . Par un point quelconque M 0 ( x 0 ; y 0 ) , il passe une seule courbe d’une primitive de f sur I.

5

http://www.mathovore.fr

Propriété : primitives et fonctions usuelles : Fonction Une primitive f ( x) = a F ( x) = ax n 1 f ( x ) = x ; n naturel, n ≥ 1 F ( x) = x n +1 n +1 1 f ( x ) = x n ; n entier relatif, n ≤ 2 F ( x) = x n +1 n +1 1 F ( x) = 2 x f ( x) = x f ( x) = cos x F ( x) = sin x f ( x ) = sin x F ( x) = − cos x F ( x) = tan x 1 f ( x ) = 1 + tan ² x = cos ² x f ( x) = e x 1 f ( x) = x

F ( x) = e x F ( x ) = ln x

6

Condition de validité Sur Sur Sur ]− ∞;0[ ou sur ]0;+∞[ Sur ]0;+∞[ Sur Sur π π   Sur  kπ − ; + kπ  , k ∈ 2 2   Sur

Sur ]− ∞;0[ ou sur ]0;+∞[

http://www.mathovore.fr Propriété : primitives et opérations sur les fonctions On considère u et v deux fonctions définies sur un intervalle I et U et V deux de leurs primitives respectives. On considère G une primitive d’une fonction g définie sur un intervalle J contenant u (I ) (c’est-à-dire toutes les images par u des réels de I). Fonction Une primitive Condition de validité F = aU Sur I f = au , a constante réelle F = U +V Sur I f =u +v n Sur I 1 f = u '.u ; n entier, n ≥ 1 F= u n +1 n +1 n Si u ne s’annule pas sur I 1 f = u '.u ; n entier, n ≤ −2 F= u n +1 n +1 f = u' g o u F =Gou Sur I u' Si u ( x) > 0 sur I F =2 u f = u f = u ' cos u F = sin u Sur I F = − cos u f = u ' sin u Sur I F = tan u u' π π   f = u ' (1 + tan ²u ) = Si u ( x) ∈  kπ − ; + kπ  , cos ²u 2 2   k∈ Sur I F = eu f = u' e u Si u ne s’annule pas sur I u' F = ln u f = u Exemples :

•

Primitives de f définies sur ]0;+∞[ par f ( x) = F ( x) = 4 ln x +

4 2 − . x x5

2 + k , k réel fixé 4x 4

1 + k car x > 0 . 2x 4 Parmi celles-ci, il n’y en a qu’une seule qui vérifie F (1) = 1 . 1 1 1 1 F (1) = 4 ln 1 + + k = + k , F (1) = 1 ssi k = 1 − = . 2 2 2 2 1 1 La primitive cherchée est F ( x) = 4 ln x + 4 + . 2 2x 5 Primitives de g définie sur par g ( x) = x( x ² − 7 ) . On pose u ( x) = x ² − 7 pour tout réel x. Alors u ' ( x) = 2 x . Dans g (x) on reconnaît alors la forme u '.u 5 . Elle provient de la dérivée de u 6 . = 4 ln x +

•

Donc G ( x) =

1 6 u × 6

1 2 {

+ k , k réel fixé

car u '( x ) =2 x

=

1 ( x ² − 7) 6 + k . 12 7

http://www.mathovore.fr IV. Intégrale et primitive : Théorème : On considère une fonction f continue sur un intervalle I et a un réel de I. x

La fonction F : x a ∫ f (t ) dt définie sur I est l’unique primitive de f qui s’annule en a. a

Exemple :

1 définie sur ]0;+∞[ est continue sur ]0;+∞[ . x x 1 Donc F définie sur ]0;+∞[ par F ( x) = ∫ dt est la primitive de f sur ]0;+∞[ qui s’annule en 1. t 1 La fonction f : x a

x

1 Nous savons que F ( x) = ln x = ∫ dt . t 1 Théorème : Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour tous réels a et b de I : b

∫ f ( x) dx = F (b) − F (a) où F est une primitive de f sur I. a b

On écrit alors

∫ f ( x) dx = [F ( x)]

b a

.

a

Exemple : 4

dt . t 2 1 La fonction x a sur ]0;+∞[ a pour primitive x a ln x car elle est continue sur ]0;+∞[ . x 4 dt 4 Donc ∫ = [ln t ]2 = ln 4 − ln 2 = ln 2. t 2 Calcul de I = ∫

V . Propriétés de l’intégrale : Propriété : relation de Chasles : Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour tous a, b et c dans I, on a : b

c

b

a

a

c

∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx . Remarques : b

•

En particulier

∫ a

•

a

a

b

a

f ( x) dx + ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx = 0 donc

b

∫ a

Si f est positive sur I on a :

8

a

f ( x) dx = − ∫ f ( x) dx . b

http://www.mathovore.fr

La relation s’interprète en disant que : aire sous la courbe entre a et b = aire sous la courbe entre a et c + aire sous la courbe entre c et b

Propriété : linéarité : On considère f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et k un réel fixé. On a alors pour tous a et b dans I : b

•

a

•

b

b

a

a

∫ ( f ( x) + g ( x)) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx . b

b

a

a

∫ (kf ( x)) dx = k ∫ f ( x) dx .

Remarque : Si f et g sont positives :

b

L’égalité

b

b

∫ ( f ( x) + g ( x)) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx a

a

se traduit graphiquement en disant que :

a

aire sous C f + g = aire sous C f + aire sous Cg Exemple :

Calcul de J = ∫ (2e t − 3t ) dt : 3

0 3

3

3

3

[ ]

J = ∫ 2e dt + ∫ − 3t dt = 2∫ e dt − 3∫ t dt = 2 e t

t

0

(

0

)

= 2 e3 − 1 − 3 ×

0

t 3 0

0

9 27 31 = 2e 3 − 2 − = 2e 3 − . 2 2 2

9

3

t²  − 3   2 0

http://www.mathovore.fr Propriété : positivité : On considère f continue sur un intervalle I. Pour tous a et b dans I tels que a < b .

Si pour tout x de [a; b] , f ( x) ≥ 0 alors

b

∫ f ( x) dx ≥ 0 . a

Remarques : • La propriété est évidente d’après la définition d’une intégrale car comme f est positive, b

∫ f ( x) dx est une aire. a

•

La réciproque de la propriété est fausse. En effet si f ( x) = 2 x − 1 sur [0;3] alors 3

∫ (2 x − 1) dx = [x² − x]

3 0

= 6 > 0 , or f (0) = −1 > 0 .

0

Exemples : 1

•

∫e

t

dt ≥ 0 car e t > 0 sur [− 7;1].

−7

3

2

•

∫

t dt ≤ 0 car

3

∫

t dt ≥ 0 .

2

Propriété : conservation de l’ordre : On considère f et g deux fonctions continues sur un intervalle I. Pour tous a et b de I tels que a ≤ b , si pour tout x dans [a; b] , f ( x) ≤ g ( x) alors b

b

∫

f ( x) dx ≤ ∫ g ( x) dx .

a

a

Remarque : Si de plus f et g sont positives sur [a; b] :

10

http://www.mathovore.fr La propriété se traduit alors graphiquement en disant que : aire sous C f ≤ aire sous Cg . Propriétés : inégalités de la moyenne : On considère f une fonction continue sur un intervalle [a; b] . S’il existe deux réels m et M tels que pour tout x de

[a; b]

m ≤ f ( x) ≤ M

alors

b

m(b − a ) ≤ ∫ f ( x) dx ≤ M (b − a ) . a

Remarque : b

m(b − a ) ≤ ∫ a

b

1 f ( x) dx ≤ M (b − a ) équivaut (quand b ≠ a ) à : m ≤ f ( x) dx ≤ M . La b − a ∫a

valeur moyenne de f sur [a; b] est comprise entre m et M. VI . Intégration par partie :

Théorème : On considère u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I telles que u’ et v’ sont continues sur I. Alors pour tous réels a et b dans I : b

b

∫ u ' ( x).v( x) dx = [u ( x).v( x)] − ∫ u ( x).v' ( x) dx . b a

a

a

Exemple : π 2

Calcul de K = ∫ x. cos x dx . 0

On choisit u ' ( x) = cos x et v ( x ) = x . Alors u ( x ) = sin x et v ' ( x ) = 1 .

 π Comme u, v, u’ et v’ sont continues sur 0;  , on peut intégrer par parties.  2 π 2

π

π

π

2

π 2

K = ∫ x. cos x dx = [u ( x).v( x)] − ∫ u ( x).v' ( x) dx = [x. sin x ] − ∫ sin x dx = 2 0

0

2 0

0

0

π 2

π

+ [cos x ]02 =

VII . Applications : 1) Distance parcourue en cinématique : Théorème (admis) : Soit v(t ) la vitesse instantanée d’un point mobile en fonction du temps t. β

La distance parcourue par ce mobile entre les instants α et β est ∫ v(t ) dt ( α ≤ β ). α

11

π 2

−1.

http://www.mathovore.fr Exemple : Si v(t ) = e t pour tout t dans [0;5] avec t en s et v(t ) en m.s-1. Alors la distance parcourue est : 5

5

[ ]

t t ∫ v(t ) dt = ∫ e dt = e

0

5 0

= e 5 − 1 ≈ 147 m .

0

2) Volume d’un solide : Théorème (admis) : On considère un solide de l’espace compris entre les plans d’équation z = a et z = b ( a ≤ b ).

Tout le plan d’équation z = t avec t ∈ [a; b] coupe le solide selon une section d’aire S (t ) . Quand S est une fonction continue sur [a; b] alors le volume du solide est

b

∫ S (t ) dt . a

Exemple : volume d’une boule :

12

http://www.mathovore.fr

(

)

r r r Dans un repère orthonormal de l’espace O; i , j , k on considère la boule de centre O et de rayon R ( R > 0 ). On coupe la boule par des plans d’équation z = t où − R ≤ t ≤ R . La section est un disque de centre Ω et de rayon ΩM . Dans OΩM rectangle en Ω , d’après le théorème de Pythagore : OM ² = OΩ ² + ΩM ² R ² = t ² + ΩM ² donc ΩM ² = R ² − t ² . L’aire S (t ) de la section est π .ΩM ² = π (r ² − t ²) . Donc le volume de la boule est : R

∫

−R

R

 3 R3   t3  R3  2  4 2 3     = π  R 3 + R 3  = πR 3 S (t ) dt = ∫ π ( R ² − t ²) dt = π  R ²t −  = π  R − − − R +  3  −R 3  3  3  3 3  −R  R

13