Invoperaciones

Unidad

Tema

Unidad 1

Programación No lineal 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

Unidad 2

Introducción Multiplicadores Lagrange Ejemplo Condiciones Jun- Tucker Procedimiento de Búsqueda de una Dimensión Técnicas de Gradiente Funciones de Penalización Ejemplo Teoría de Inventarios

2.1 Introducción 2.2 Definición y Características Ejemplo 2.3 Modelo con Reabastecimiento Instantáneo Ejemplo 2.4 Modelo con Reabastecimiento uniforme, no se permite el faltante Ejemplo 2.5 Modelo de descuento por compras de grandes cantidades Ejemplo Unidad 3

Líneas de Espera 3.1 Introducción 3.2 Definiciones, Características y terminología 3.3 Modelo de un servidor y una cola Ejemplo 3.4 Evaluación del sistema cuando se conoce el costo de espera Ejemplo 3.5 Evaluacion del sistema con costos de espera desconocidos Ejemplo

3.6 Modelo de un servidor con tiempos de servicios constantes Ejemplo 3.7 Modelo con Servidores Múltiples Ejemplo Unidad 4

Cadenas de Markov 4.1 Introducción 4.2 Caso de Aplicación 4.3 Formulación de Cadenas de Harkov 4.4 Procesos Estocásticos 4.5 Propiedad Markoviana de 1er Orden 4.6 Probabilidad de Transición de un solo paso Ejemplo 4.7 Probabilidad de transición estacionaria de n pasos Ejemplo 4.8 Probabilidades de transición estacionaria de estados estables Ejemplo 4.9 Tiempos de1er paso

Investigación de Operaciones PROGRAMACION NO LINEAL 1.1 Introducción. Una suposición importante de programación lineal es que todas sus funciones (Función objetivo y funciones de restricción) son lineales. Aunque, en esencia, esta suposición se cumple para muchos problemas prácticos, es frecuente que no sea así. De hecho, muchos economistas han encontrado que cierto grado de no linealidad es la regla, y no la excepción, en los problemas de planeación económica, por lo cual, muchas veces es necesario manejar problemas de programación no lineal. De una manera general, el problema de programación no lineal consiste en encontrar

en donde

para maximizar

y las

, sujeta a

son funciones dadas de n variables de decisión.

No se dispone de un algoritmo que resuelva todos los problemas específicos que se ajustan a este formato. Sin embargo, se han hecho grandes logros en lo que se refiere a algunos casos especiales , haciendo algunas suposiciones sobre las funciones, y la investigación sigue muy activa.

1.2 Multiplicadores de Lagrange. Se pueden utilizar los multiplicadores de Lagrange para resolver los problemas no lineales en los cuales las restricciones son igualdades. Consideramos los del tipo siguiente:

(1) Para resolverlo, asociamos un multiplicador l 1 con la i-ésima restricción y formamos el lagrangiano

(2) Donde son constantes (desconocidas) denominadas multiplicadores de Lagrange. Después resuélvase el sistema de n + m ecuaciones:

Teorema : Si existe una solución al programa (1), ésta se encuentra contenida entre las soluciones al sistema anterior, siempre y cuando y todas tengan primeras derivadas parciales continuas y la matriz jacobina de m x n,

tenga rango m en X = X* El método de los multiplicadores de Lagrange es equivalente a emplear las ecuaciones de restricción para eliminar algunas de las variables x de la función objetivo y resolver después un problema de maximización sin restricciones para las restantes variables x.

Ejemplo: Una compañía planea gastar 10,000 dólares en publicidad. Cuesta 3,000 dólares un minuto de publicidad en la televisión y 1,000 dólares un minuto de publicidad en la radio. Si la empresa compra x minutos de comerciales en la televisión y y minutos de comerciales en la radio, su ingreso, en miles de dólares, está dado por ingreso?

. ¿Cómo puede la empresa maximizar su

Solución: Se tiene el programa no lineal siguiente

Entonces

Hacemos

Obsérvese que 10 - 3x -y = 0 se convierte en la restricción 3x + y = 10. La ecuación (1) da

y la ecuación (2) da

Así,

,o

Sustituyendo (4) y (5) en la (3), obtenemos, o nos dan

El hessiano para

. Entonces (4) y (5)

es

Ya que cada mejor principal de primer orden es negativo, y , es una función cóncava. La restricción es lineal y, por lo tanto da la solución óptima para el programa no lineal. Así, la empresa tendría que comprar 69/28 minutos de tiempo de televisor y 73/28 minutos de tiempo de radio. Ya que l = ¼ , el gasto de un D extra (en miles) (para un D pequeño) aumentaría los ingresos de la empresa en aproximadamente 0.25 D dólares (en miles).

En general, si la empresa tiene a dólares para gastar en la publicidad, se puede demostrar que . Vemos que si gasta más dinero en la publicidad, el incremento en el ingreso por cada dólar adicional para la publicidad se hace más pequeño.

1.3 Condiciones Kunh-Tucker El desarrollo está basado en el método de Lagrange. Estas condiciones son también suficientes bajo ciertas limitaciones que se establecerán posteriormente. Considere el problema maximizar z = f(X) sujeto a g(X)>= 0 Las restricciones de desigualdad pueden convertirse en ecuaciones sumando las variables de holgura no negativas apropiadas. Por consiguiente, para satisfacer las condiciones de no negatividad, sea sumada a la i-esima restricción gi (X) >= 0. Defínase

la cantidad de holgura

S = (S1 , S2 , . . . , Sm )T y donde m es el número toral de restricciones de desigualdad. La función de Lagrange es, por consiguiente, L(X,S,l ) = f(X) - l [ g(X) + S2 ] Dadas las restricciones g(X) >= 0 Una condición necesaria para la optimidad es que l sea no negativa (o bien, no positiva) para problemas de maximización (o bien, minimización). Esto se justifica como sigue. Considere el caso de maximización. Ya que l mide la tasa de variación de f con respecto a g; l = d f / d g como el lado derecho de la restricción g >= 0 aumenta sobre cero, el espacio de soluciones llega a ser menos restringido y así f no puede disminuir. Esto significa que l ³ 0. De igual manera, en el caso de minimización cuando los recursos aumentan, f no puede aumentar, lo cual implica que l >= 0 . Si las restricciones son igualdades, esto es, g(X) =0 , entonces l será irrestricta en signo. Las restricciones sobre l dadas anteriormente deben de mantenerse como parte de las condiciones necesarias de Kunh-Tucker. Las condiciones restantes se obtendrán ahora. Tomando las derivadas parciales de L con respecto a X, S y l ,

El segundo conjunto de ecuaciones revela los resultados siguientes. 1. si l i > 0 , . Esto significa que el recurso correspondiente es escaso y, por lo tanto, se agota totalmente (restricción de igualdad). 2. Si , l i = 0 . Esto significa que el recurso i-esimo no es escaso y, en consecuencia, no afecta el valor de f, (l i =d f / d gi = 0 ). Del segundo y tercer conjunto de ecuaciones se deduce que l i gi (X) = 0, i = 1, 2, . . . , m Esta nueva condición esencialmente repite el argumento anterior ya que si l i > 0, gi(X) = 0, o . Similarmente, si gi(X) < 0 , esto es, entonces l i > 0. Las condiciones de Kuhn-Tucker necesarias para que X y l sean un punto estacionario del problema de maximixación anterior pueden resumirse ahora como sigue ; l ³ 0 f(X) - l g(X) = 0 l igi (X) = 0 y = 1, 2, . . , m g(X) >= 0

1.4 Procedimiento de búsqueda en una dimensión. Este procedimiento trata de encontrar una serie de soluciones prueba que conduzcan hacia una solución óptima. En cada iteración, se comienza con la solución prueba actual para llevar a cabo una búsqueda sistemática, que culmina con la identificación de una nueva solución prueba mejorada. La idea fundamental del procedimiento, es que se basa en el hecho de que la pendiente (derivada) sea positiva o negativa en una solución prueba, indica definitivamente si la mejora está a la derecha o a la izquierda, respectivamente. Así, si la derivada evaluada para un valor especifico de x es positiva, entonces x* debe ser más grande que esta x ( ver figura 1), con lo que x se convierte en una cota inferior para las soluciones prueba que en adelante se tomarán en cuenta. Por el contrario, si la derivada es negativa, entonces x* debe ser mas chica que esta x, y x se convierte en una cota superior. Una vez que se han identificado ambas cotas, cada nueva solución prueba que se selecciona entre ellas proporciona una nueva cota más estrecha de uno de los dos tipos, cerrando la búsqueda cada vez más. Siempre y cuando se use una regla razonable para elegir

cada solución prueba en esta forma, la sucesión de soluciones prueba debe de converger a x* .

Notación : Paso inicial : Se selecciona g . Se encuentran

iniciales por inspección . Se elige una

solución prueba inicial. Regla de detención : Si , de manera que la nueva x’ se encuentra a una * distancia de x menor que g , el proceso termina. De otra manera, se regresa al paso iterativo.

1.5 Técnicas de Gradiente. En este punto se desarrolla un método para optimizar funciones continuas que son dos veces diferenciables. La idea general es generar puntos sucesivos comenzando en un punto inicial dado, en la dirección del aumento más rápido (maximización) de la función. Está técnica se conoce como método del gradiente porque el gradiente de la función en un punto es lo que indica la tasa más rápida de aumento. El método de Newton-Raphson. Una desventaja de utilizar la condición necesaria para determinar puntos estacionarios es la dificultad de resolver numéricamente las ecuaciones simultáneas resultantes. El método de Newton-Raphson es un procedimiento iterativo para resolver ecuaciones simultáneas no lineales. Aunque el método se

presenta en este contexto, realmente es parte de los métodos conocidos como métodos de gradiente para optimizar numéricamente funciones no restringidas, irrestrictas. fi (X) =0, i=1, 2, ..., m k se X un punto dado. Entonces por el desarrollo de Taylor fi (X) fi (Xk ) + fi (Xk) (X-Xk ) , i= 1, 2, ...., m Por consiguiente, las condiciones originales pueden aproximarse por fi (Xk ) + fi (Xk) (X-Xk ) = 0 , i= 1, 2, ...., m Estas ecuaciones pueden escribirse en notación matricial como Ak + Bk (X - Xk ) =0 Bajo la hipótesis de que todas las fi (X) son independientes Bk necesariamente es no singular. Por consiguiente, la última ecuación proporciona X = Xk -Bk-1 Ak La idea del método es comenzar desde un punto inicial X0. Utilizando la ecuación anterior, siempre puede determinarse un nuevo punto Xk+1 a partir de Xk. El procedimiento finaliza con Xm como la solución cuando Xm Xm-1 . Método de la Cuesta de Mayor Pendiente. La terminación del método gradiente se efectúa en el punto donde el vector gradiente se anula. Esta es solamente una condición necesaria de optimidad. Por consiguiente, se destaca que la optimidad no puede verificarse a menos que se conozca a priori que f(X) es cóncava o convexa. Suponga que se maximiza f(X). Sea X0 el punto inicial desde el cual comienza el procedimiento y defina f(Xk ) como el gradiente de f en el punto k de Xk . La idea del método es determinar una ruta particular p a lo largo de la cual df/dp se maximiza en un punto dado. Este resultado se logra si se seleccionan puntos sucesivos Xk y Xk+1 tales queXk+1 = Xk + rk f (Xk )donde rk es un parámetro llamado tamaño de paso óptimo. El parámetro rk se determina de modo que Xk+1 resulta en la mejora más grande en f. En otras palabras, si una función h(r) se define de manera que h(r) = f [ Xk + r f (Xk ) ] k r es el valor de r que maximiza h(r). Ya que h(r) es una función de una sola variable . El procedimiento propuesto termina cuando dos puntos sucesivos de ensayo Xk y Xk+1 son aproximadamente iguales. Lo anterior equivale a tener rk f (Xk ) 0 Con la hipótesis de que rk 0, la cual siempre será cierta a menos que X0 sea el óptimo de f(x), esto es equivalente a la condición necesaria f (Xk ) = 0 . Ejemplo : Considere el maximizar la función

f(x1 , x2 ) es una función cuadrática cuyo óptimo absoluto ocurre en (x1 , x2 ) = (1/3 , 4/3 ). Sea el punto inicial X0 = (1, 1) . Ahora f(X) = (4 - 4x1 -2x2 , 6-2x1 -4x2 )

Primera iteración f(X0 ) = (-2, 0) El punto siguiente X se obtiene considerando X = (1, 1) + r (-2, 0) = (1-2r, 1) Por consiguiente, h(r) = f(1-2r, 1) = -2(1-2r)2 +2(1-2r) + 4 El tamaño del paso óptimo que proporciona el valor máximo de h(r) es r1 = 1/4. Lo anterior proporciona X1 =(1/2, 1). 1

Segunda iteración. f(X1) =(0, 1) Considere X = (1/2, 1) + r (0, 1) = (1/2, 1 + r) Por consiguiente, h(r) = -2(1+r)2 + 5(1+r) +3/2 Esto da r = ¼ o bien X = (1/2, 5/4) . 2

2

Tercera iteración. f( X2 ) = ( -1/2, 0 ) Considere,

Por consiguiente , h(r) = -(1/2)(1-r)2 + (3/4)(1-r) +35/ 8 Esto da r3 = ¼ o bien , X3 = ( 3/8, 5/4 ).

Cuarta iteración. f (X3 ) = (0, ¼ ) Considere

Por lo tanto, h(r) = -(1/8)(5+r)2 + (21/16) (5+r) +39/32 Lo anterior da r = ¼ , o bien X4 =(3/8, 21/16 ). 4

Quinta iteración. f(X4 ) = (-1/8 , 0 ) Considere

Por consiguiente,

Esto da r5 = ¼ , o bien X5 = (11/32, 21/16 ).

Sexta iteración. f(X5 ) = ( 0, 1/16 ) Ya que f(X5 ) 0, el procedimiento puede terminarse en este punto. El punto de máximo aproximado está dado por X5 = (0.3437, 1.31125 ).

1.6 Funciones de penalización. Un enfoque alternativo para resolver el programa

(1) comprende al programa sin restricciones :

Donde pi > 0 son constantes denominadas costos de penalización. La solución al programa (2) es la solución al programa (1), cuando cada gi (x) = 0. Para los valores grandes de pi la solución de (2) tendrá cada gi (x) cercana a cero, para evitar efectos adversos en la función objetivo por parte de los términos pi gi2 (x); y conforme cada pi -> ¥ , cada gi (x) -> 0. En la práctica, excepto en raros casos, este proceso no puede realizarse analíticamente. En cambio, se resuelve repetidamente el programa (2) empleando el patrón modificado de búsqueda, cada vez con un nuevo conjunto de pesos de penalización incrementados o con un tamaño de avance disminuido. Cada patrón de búsqueda con un conjunto específico de pesos de penalización y un tamaño de avance dado, es una fase del procedimiento de solución. El vector inicial para una fase en particular es el vector final de la fase inmediatamente anterior. Para la primera fase, se seleccionan pesos de penalización pequeños, a menudo de 1/50 = 0.02; generalmente se toma 1 como primer tamaño de avance. Ejemplo: Usando la función de penalización :

Este programa de maximización, sin restricciones, en las dos variables x1 y x2 , es lo suficientemente simple como para poderse resolver analíticamente. Haciendo , se obtiene :

Resolviendo estas ecuaciones para x1 y x2 , en términos de p1 , se obtiene :

Es negativa definida para cada valor positivo de p1 ,z es una función estrictamente cóncava y su único punto estacionario debe ser un máximo global. Entonces, dejando que original :

, se obtiene la solución óptima al programa

Unidad II Teoría de Inventarios. 2.1 Introducción. Los sistemas de inventarios surge de las diferencias entre el tiempo y la localización de la demanda y el abastecimiento.

Desde el punto de vista del cliente, un artículo debe contener tantas unidades como puedan demandarse, y nunca debería quedar fuera de existencia. Generalmente, así sucede en el caso de la leche o el pan en una tienda de abarrotes. Los inventarios cuestan dinero, representan el capital inútil. La cantidad comienza en un nivel alto y luego se reduce conforme se sacan las unidades. cuando el nivel baja se coloca una orden, la cual al recibirse incrementa el inventario y esto se repite una y otra vez. La cantidad se controla con el tiempo y la cantidad de cada orden. Así, lo más importante es: Cuánto ordenar y cuándo ordenar.

2.2 Definición y caracteristicas Es un conjunto de bienes que se almacenan para posteriormente venderlos o utilizarlos. Tipos de inventarios. a. Materias primas, productos en proceso, productos terminados y refracciones. Razones para llevar inventarios. 1. independizar las etapas en producción . 2. Aprovechar los descuentos al comprar grandes cantidades. 3. Para evitar la especulación , ej. Las fabricas de transformadores utilizan mucho su producción el cobre. 4. Atender oportunamente al cliente cuando requiera el producto. Costos que se generan al tener inventarios.(representan un total del 15 al 40 % ) a. Costo de la inversión estática en vía(Costo de oportunidad) lo menos que se pierde por este concepto es lo que nos daría el banco en intereses (12 % aprox.). b. Terrenos y edificios (12 %). c. Sueldos del personal de almacén (3%). d. Seguros(1%). e. Robos y desperdicios (3%). f. Depreciación y obsoletismo (6%). Costo total de las inventarios. 1. Costo de ordenar. 2. Costo del faltante.

3. Costo de lo comprado. 4. Costo de mantener los inventarios en almacén. Ejemplo : Supongamos que una cía. tiene una demanda de un producto de 97 unidades por semana y que puede comprarse en diversas formas : una cantidad de 5040 al año, una cantidad de 2520 cada 6 meses, 1680 cada 4 meses y así sucesivamente de acuerdo a las necesidades de la empresa.

El costo unitario de compra del articulo es de $2.50 , el costo total y por satisfacer una orden es de $35.00 y el costo anual de almacenamiento de la mercancía es del 20% del precio de compra de la misma. a. b. c. d.

Determinar el tamaño económico del lote. El número de pedidos. El costo total del inventario. El punto de reorden si el proveedor tarda 2 semanas en surtir el pedido.

Inventario Promedio (Inv. Prom.)

unidades Costo de mantener = Inventario Promedio * costo del Producto * 0.20 % el inventario(Cmi).

Cmi = 2520 * 2.50 * 0.20 = $1260 Costo de compra =

5040 * 2.5 =$ 12600

Costo = Costo de + Costo de + Costo de total tenencia ordenar compra

Costo total = 1260+35+12600= $ 13,895.

# de pedidos

Tamaño Inventario Costo de del pedido Promedio mnto de inv.

Costo de ordenar

Costo de Costo total compra

1

5040

2520

1260

35

12600

13895

2

2520

1260

630

20

12600

13300

3

1680

840

420

105

12600

13125

4

1260

630

315

140

12600

12950

5

1008

504

252

175

12600

13027

6

840

420

210

210

12600

13020

7

720

360

180

245

12600

13020

8

630

315

157

280

12600

13037.5

# de pedidos = 6. Costo Total = $ 13,020. Demanda optima = 840. Dadas los siguientes datos determinar : a. b. c. d. e. f. g.

El tamaño económico del lote. Número de pedidos. Costo total de adquisición del inventario. Necesidades anuales 144000 piezas. Costo del producto $16.00 Costo de adquisición por pedido $25.00 Punto de repedido si el proveedor tarda 12 días en enviar el pedido.

# de pedidos

Tamaño Inv. Costo de Costo de Costo de pedido promedio mnto de ordenar compra inv.

Costo total

1

144000

72000

115200

25

2304000

2419225

2

72000

36000

57600

50

2304000

2361650

3

48000

24000

38400

75

2304000

2342475

4

36000

18000

28800

100

2304000

2332900

5

28800

14400

23040

125

2304000

2327165

6

24000

12000

19200

150

2304000

2323350

7

20571

10285

16456

175

2304000

2320631

8

18000

9000

14400

200

2304000

2318600

9

16000

8000

12800

225

2304000

2317025

10

14400

7200

11520

250

2304000

2315770

2.3 MODELO CON REABASTECIMIENTO INSTANTANEO. No se permite el faltante. Suposiciones : 1. La demanda tiene que ser constante. 2. Los costos son constantes (no se permite descuento en adquisiciones voluminosas). 3. Los proveedores entregaran con puntualidad los pedidos en el periodo comprendido. 4. El lote mínimo es igual al inventario máximo. Nomenclatura : Q = tamaño económico del lote. N = número de pedido. D = Demanda. Ci = Costo de compra. Ch = Costo de mantener un unidad en los inventarios (%). Co = Costo de ordenar. R = Punto de reorden. L = Tiempo de consumo. T = Tiempo para consumir el inventario máximo. Imáx = Inventario Máximo. Î =Inventario Promedio. Ct = Costo Total.

Ct = Costo de compra + Costo de ordenar + Costo de tenencia. Costo de compra = CiD

Costo de ordenar = Costo de tenencia = Si la demanda es de 50 piezas por día y el proveedor pasa 10 días en surtir por tanto necesitamos 500 piezas para no tener faltante. R = ? = 50 * 10 -500 D = 50 pza/día. L = 10 días. R=DL Unidad = 5040

Ejemplo : Una Cía. fabricante de refrescos a observado que requiere anualmente de 3000 baleros que son utilizados en las bombas de agua con un programa de mantenimiento preventivo diseñado por el departamento de producción. El costo de cada unidad es de $ 80,000 , el costo de oportunidad de inversión es de 12% del costo del producto. Los costos generados por el control de inventarios como son el sueldo de personal de almacén, agua y electricidad es de 2,400 * unidad , otro costo que representa aun los deterioros , extravió y envejecimiento de los productos almacenados anualmente y alcanzan un costo de $2,000 * unidad .La orden de compra se ha estimado en $120,000 . Suponga que el proveedor tarda en promedio 15 días en surtir una orden, determinar : El tamaño económico del lote. El inventario máximo. El inventario Promedio. El punto de reorden. El tiempo requerido para consumir el inventario máximo. Costo total del inventario. Número de pedidos. Datos: D = 3000 unidad por año. Ci = $80,000 Co =$120,000 Ch= 0.12 (80,000)+ 2,900 + 2,000 Ch = 14,000 unidades por año. L = 15 días .

= Q = 227 unidad. Imáx. = Q = 227 u. = = e) T - Q/D = 0.075 Años = 27 días. f)

Ct = $ 243,174,340 g)

=

2.4 MODELO CON REABASTECIMIENTO UNIFORME, NO SE PERMITE EL FALTANTE. S = Tasa de producción. .

Formulario :

Ejemplo : Frecuentemente un gerente de producción desea tomar la producción , ya sea de comprar o manufacturar un articulo. Los modelos vistos hasta el momento pueden ser usados para tomar tal decisión . Suponga que un articulo puede ser comprado a $25 la unidad o fabricado a un tasa de producción de 10,000 unidades por año, con un costo de $22 la unidad. Sin embargo si lo compramos el costo de una orden es de 45 mientras que el costo de organizar una tanda de producción. (preparar el equipo) es de $50. La demanda es de 2,500 unidades por año, el costo de conservar el inventario es de 10% del costo del producto. Determinar que es preferible, si comprar o manufacturar . Comprar Ci = $25 u. Co= $5 Ch = 0.10(25) = $2.5 D = 2,500 u / año.

=

Ct = $ 62,750

Manufacturar S = 10,000 u / año.

Ci = $22 unidades. Co =$50 D = 2,500 u / año. Ch = 0.10 (22) = $2.2

Ct = 55,692 De acuerdo con los costos obtenidos conviene mejor manufacturar el producto que comprarlo. Una vez que el gerente ha decidido fabricar el producto desea conocer también : El inventario máximo. El tiempo de producción. El punto de reorden ( una orden tarda 1 semana en atenderse). El tiempo de ciclo. El tiempo en que no existe producción y que no se puede ocupar para dar mantenimiento a las maquinas. f. El inventario promedio. g. El número de ordenes de fabricación. a. b. c. d. e.

a)

b)

c)

d) e) T - t = 57 - 14 = 43

f)

g)

2.5 MODELO DE DESCUENTO POR COMPRAS DE GRANDES CANTIDADES.

Es muy común que el precio de un producto por la cantidad que se compra o se produce. Esta situación surge cuando se tiene la oportunidad de recibir un descuento en la compra de una cantidad grande. Es posible que el costo de adicional de tener un inventario mayor , son ampliamente compensado reduciendo el costo de compra y el costo de ordenar. La forma directa de saber si se deben acelerar cantidades grandes es comparar el aumento de los costos con el precio normal con el ahorro generado por el precio de descuento. Ejemplo : D = 2000 u/año. Ci = $5 Co = $5 Ch = 1.50 + 0.10 * 5 = 2 1. Encuentre la Q optima con el precio base.

=

= 100

2.Encontrar el costo del inventario con el precio base .

= (5 * 2000 )+ (5 * (200/100)) + (200/2) = 10,200 3. Calcular el costo del inventario con el precio de descuento, comparar este costo con el anterior y seleccionar la opción de menor costo. Ejemplo: Suponga que un proveedor nos ofrece un descuento del 5% si adquirimos lotes mayores o iguales a 200 unidades. Datos : desc. 5% Ci = 5 * 0.95 = $ 4.75 Ch = 1.50 + 0.10 ( 4.75 ) = $ 1.975 Ct = 4.75 + 2000 + (5 * 2000/200) + (1.975 * 200/2) = 9747.5 Ct = $ 9747.5

menor que la anterior.

Otro proveedor nos ofrece ahora un descuento del 40% si compramos lotes mayores o iguales a 120 unidades. Datos: desc. 40% Ci = 5 * 0.66 = $ 3 Ch = 1.50 + 0.10 (3 ) = $ 1.80 Ct = 3 + 2000 + (5 * 2000/120) + (1.80 * 120/2) = 6191 Ct = $ 6191

Optimo.

Unidad III

Líneas de espera.

3.1 Introducción. En este capítulo se aplica la teoría de colas. Una Cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares o de sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar el comportamiento de estasdo estable, como la longitud promedio de la línea y el tiempo de espera promedio para un sistema dado. El problema es determinar que capacidad o tasa de servicio proporciona el balance correcto. Esto no es sencillo, ya que el cliente no llega a un horario fijo, es decir, no se sabe con exactitud en que momento llegarán los clientes.También el tiempo de servicio no tiene un horario fijo.

3.2 Definiciones, características y Terminología. Definición. Una Cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares o sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar el comportamiento de estado estable , como la longitud promedio de la línea y el tiempo de espera promedio para un sistema dado. Esta información, junto con los costos pertinentes, se usa, entonces, para determinar la capacidad de servicio apropiada. Costos de los sistemas de colas. Un sistema de colas puede dividirse en sus dos componentes de mayor importancia , la cola y la instalación de servicio . Las llegadas son las unidades que entran en el sistema para recibir el servicio. Siempre se unen primero a la cola ; si no hay línea de espera se dice que la cola esta vacía . De la cola, las llegadas van a la instalación de servicio de acuerdo con la disciplina de la cola, es decir, de acuerdo con la regla para decidir cuál de las llegadas se sirve después. El primero en llegar primero en ser servido es una regla común, pero podría servir con prioridades o siguiendo alguna otra regla. Una vez que se completa el servicio, las llegadas se convierten en salidas. Ambas componentes del sistema tienen costos asociados que deben de considerarse.

Costo de Espera. Esperar significa desperdicio de algún recurso activo que bien se puede aprovechar en otra cosa y esta dado por : Costo total de espera = CwL Donde Cw = costo de espera por hora (en dólares) por llegada por unidad de tiempo y L= longitud promedio de la línea. Costo de Servicio. Este en la mayoría se trata de comprar varias instalaciones de servicio , en estos casos solo se ocupan los costos comparativos o diferenciales. Sistema de costo mínimo. Aquí hay que tomar en cuenta que para tasas bajas de servicio, se experimenta largas colas y costos de espera muy altos . Conforme aumenta el servicio disminuyen los costos de espera, pero aumenta el costo de servicio y el costo total disminuye , sin embargo , finalmente se llega a un punto de disminución en el rendimiento. Entonces el propósito es encontrar el balance adecuado para que el costo total sea el mínimo.

Estructuras típicas. Las llegadas pueden ser personas, cartas, carros, incendios, ensambles intermedios en una fabrica, etc. En la siguiente tabla se muestran algunos ejemplos de varios sistemas de colas . Ejemplos de sistemas de colas

Situación

Llegadas

Cola

Mecanismo de Servicio

Aeropuerto

Aviones

Aviones en carreteo

Pista

Aeropuerto

Pasajeros

Sala de espera

Avión

Depto de bomberos

Alarmas de incendio

Incendios

Depto. De Bomberos.

Compañía telefónica

Números marcados

Llamadas

Conmutador

Lavado de carros

Autos

Autos sucios

Mecanismo de lavado

La corte

Casos

Casos atrasados

Juez

Panadería

Clientes

Clientes con números

Vendedor

Carga de camiones

Camiones

Camiones en espera

Muelle de carga

Oficina de correos

Cartas

Buzón

Empleados por correos

Crucero

Autos

Autos en línea

Crucero

Fábrica

Subensamble

Inventario en proceso

Estación de trabajo.

Cartas de negocios Notas de dictado

Cartas para mecanografiar

Secretaria

Reproducción

Pedidos

Trabajos

Copiadoras

Hospital

Pacientes

Personas enfermas

Hospital

Permitiendo que varíen el número de colas y el número de servidores, pueden hacerse los diagramas de los cuatro tipos de sistemas de la siguiente figura. Cada línea de espera individual y cada servidor individual se muestra por separado. El primer sistema que se muestra en la figura, se llama un sistema de un servidor y una cola o puede describir un lavado de carros automático o un muelle de descarga de un solo lugar. El segundo, una línea con múltiples servidores, es típico de una peluquería o una panadería en donde los clientes toman un número al entrar y se les sirve cuando llega el turno. El tercer sistema, aquél en que cada

servidor tiene una línea de separada, es característico de los bancos y las tiendas de autoservicio. El cuarto sistema , es una línea con servidores en serie, puede describir una fábrica.

3.3 Modelo de un servidor y una cola. Este modelo puede aplicarse a personas esperando en una cola para comprar boletos para el cine, a mecánicos que esperan obtener herramientas de un expendio o a trabajos de computadora que esperan tiempo de procesador. Llegadas. Consiste en la entrada al sistema que se supone es aleatoria. No tienen horario, es impredicible en que momento llegarán . El modelo también supone que las llegadas vienen de una población infinita y llegan una a la vez .

Cola. En este modelo se considera que el tamaño de la cola es infinito. La disciplina de la cola es primero en llegar, primero en ser servido sin prioridades especiales. También se supone que las llegadas no pueden cambiar lugares en la línea (cola) o dejar la cola antes de ser servidas. Instalación de Servicio. Se supone que un solo servidor proporciona el servicio que varía aleatoriamente. Salidas. No se permite que las unidades que salgan entren inmediatamente al servicio. Características de operación . Un servidor y una cola. Llegada Poisson. Cola infinita, primero en llegar primero en ser servido. Tiempos de servicio exponenciales. Cola : Longitud promedio de la línea : Tiempo de espera promedio : Sistema: Longitud promedio de la línea : Tiempo de espera promedio : Utilización de la instalación : Probabilidad de que la línea exceda a n : A = tasa promedio de llegada. S = tasa promedio de servicio. Ejemplo : (Un supermercado ) Supóngase un supermercado grande con muchas cajas de salida, en donde los clientes llegan para que les marquen su cuenta con una tasa de 90 por hora y que hay 10 cajas en operación. Si hay poco intercambio entre las lìneas, puede tratarse este problema como 10 sistemas separados de una sola lìnea, cada uno con una llegada de 9 clientes por hora. Para una tasa de servicio de 12 por hora :

Dados A = 9 clientes por hora S = 12 clientes por hora Entonces : =

2.25 Clientes

=

=

0.25 horas o 15 minutos.

=

3 clientes.

=

0.33 horas o 20 minutos. 0.75 o 75% 0.32

Entonces, para este ejemplo, el cliente promedio espera 15 minutos antes de ser servido. En promedio, hay un poco más de dos clientes en la línea o tres en el sistema. El proceso completo lleva un promedio de 20 minutos. La caja está ocupada el 75 % del tiempo. Y finalmente, el 32 % del tiempo habrá cuatro personas o más en el sistema ( o tres o más esperando en la cola).

3.4 Evaluación del sistema cuando se conoce el costo de espera. Los costos de servicio influyen en el método para encontrar el sistema de menor costo. Si el costo de servicio es un función lineal de la tasa de servicio, puede encontrarse una solución general para la tasa óptima. Para aplicar una solución general, se necesita una tasa de servicio que pueda variar de manera continua. Cuando los costos de servicio cambian en forma escalonada, se usa la técnica de prueba y error para encontrar el sistema de menor costo. Se calcula el costo total para una tasa de servicio, después para la siguiente y así sucesivamente. Esto continúa hasta que se encuentra un límite inferior o un mínimo tal, que el aumentar o el disminuir las tasas de servicio da costos totales más altos. Ejemplo: Se esta estudiando un muelle de carga y descarga de camiones para aprender cómo debe formarse una brigada. El muelle tiene espacio sólo para un camión, así

es un sistema de un servidor. Pero el tiempo de carga o descarga puede reducirse aumentando el tamaño de la brigada. Supóngase que puede aplicarse el modelo de un servidor y una cola ( llegadas Poisson, tiempos de servicio exponenciales) y que la tasa promedio de servicio es un camión por hora para un cargador. Los cargadores adicionales aumentan la tasa de servicio proporcionalmente. Además, supóngase que los camiones llegan con una tasa de dos por hora en promedio y que el costo de espera es de $ 20 por hora por un camión. Si se le paga $ 5 por hora a cada miembro de la brigada, ¿Cuál es el mejor tamaño de esta? Datos : A = 2 camiones por hora. S = 1 camión por persona. Cw = costo de espera = $20 por hora por camión. CS = costo de servicio = $ 5 por hora por persona. Ahora sea k = número de personas en la brigada. Se busca k tal que la suma de los costos de espera y servicio se minimicen : Costo total = Cw LS + k CS Las pruebas deben de empezar con tres miembros de la brigada, ya que uno o dos no podrían compensar la tasa de llegadas de dos camiones por hora. Para una brigada de tres, la tasa de servicio es de tres camiones por hora y puede encontrarse Ls con la siguiente ecuación :

De la misma manera, para una brigada de cuatro :

El costo es menor, por tanto se sigue adelante. Para una brigada de cinco :

Este todavía es menor :

Como este costo es mayor que el de la brigada de cinco, se rebasó el límite inferior de la curva de costo; el tamaño óptimo de la brigada es cinco personas.

3.5 Evaluación del sistema con costos de espera desconocidos . En lugar de estimar el costo de espera, el administrador puede especificar un promedio mínimo de tiempo de espera o de longitud de línea . Esto establece un límite superior para Wq , el tiempo de espera en la cola ( o para Lq, la longitud de línea en la cola). Con este límite superior puede encontrarse la tasa de servicio necesaria para cualquiera tasa de llegadas dadas. Ejemplo : Considérese un restaurante de comida rápida con un menú limitado. El restaurante se está diseñando para que todos los clientes se unan a una sola línea para ser servidos. Una persona tomará la orden y la servirá. Con sus limitaciones, la tasa de servicio puede aumentarse agregando más personal para preparar la comida y servir las ordenes. Esto constituye un sistema de un servidor y una cola. Si las llegadas y salidas son aleatorias, puede aplicarse el modelo de una cola. Supóngase que la administración quiere que el cliente promedio no espere más de dos minutos antes de que se tome su orden . Esto se expresa como : Wq = 2 minutos

Supóngase también que la tasa máxima de llegadas es de 30 órdenes por hora.

Rearreglando términos,

Como la tasa de servicio debe ser mayor que la tasa de llegadas, puede descartarse la solución negativa. Entonces :

Para este ejemplo, se supuso : A = 30 ordenes por hora. Wq = 2 minutos o 0.033 horas Entonces :

= 15 + 33.5 = 48.5 órdenes por hora. Para cumplir los requerimientos, se necesita una tasa de casi 50 órdenes por hora. Si, por ejemplo, una brigada de cinco pueden manejar 45 órdenes por hora y una de seis puede procesar 50 por hora, entonces sería necesario tener la brigada de seis.

3.6 Modelo de un servidor con tiempos de servicio constantes. Este modelo es igual que el anterior, excepto que se supone que el tiempo de servicio es exactamente el mismo en cada llegada en lugar de ser aleatorio. Todavía se tiene una sola línea, tamaño de la cola infinito, disciplina de la cola como primero en llegar primero en ser servido y llegadas Poisson. Las aplicaciones típicas de este modelo pueden incluir un autolavado automático, una estación de trabajo en una pequeña fábrica o una estación de diagnóstico de mantenimiento preventivo. En general, el servicio lo proporciona una máquina. Las características de operación están dadas por 4 :

En donde A = tasa promedio de llegadas (llegadas por unidad de tiempo) y S = tasa constante de servicio (llegadas por unidad de tiempo).

Ejemplo: Supóngase un lavado automático de autos con una línea de remolque, de manera que los autos se mueven a través de la instalación de lavado como en una línea de ensamble. Una instalación de este tipo tiene dos tiempos de servicio diferentes : el tiempo entre autos y el tiempo para completar un auto. Desde el punto de vista de teoría de colas, el tiempo entre autos establece el tiempo de servicio del sistema. Un auto cada cinco minutos da una tasa de 12 autos por hora. Sin embargo, el tiempo para procesar un auto es el tiempo que se debe esperar para entregar un auto limpio. La teoría de colas no considera este tiempo. Supóngase que el lavado de autos puede aceptar un auto cada cinco minutos y que la tasa promedio de llegadas es de nueve autos por hora ( con distribución Poisson). Sustituyendo :

3.7 Modelo con servidores múltiples. Supóngase que las llegadas son Poisson, los tiempos de servicio son exponenciales, hay una sola línea, varios servidores y una cola infinita que opera con la disciplina de primero en llegar primero en ser servido. Las ecuaciones para las características de operación se vuelven un poco más complicadas. Sea : N = número de servidores. A = tasa promedio de llegadas (llegadas por unidad de tiempo). S = tasa promedio de servicio por cada servidor (llegadas por unidad de tiempo). Entonces :

La cantidad P0 es la probabilidad de que no haya llegadas en una unidad de tiempo, lo cual no lo hace más fácil de calcular. Para dos o tres servidores pueden combinarse y simplificar las dos ecuaciones para obtener, para N=2

Nótese que para N = 1 este modelo se reduce al modelo de un servidor.

Ejemplo: |Considérese la biblioteca de una universidad cuyo personal está tratando de decidir cuántas copiadoras debe de instalar para uso de los estudiantes. Se ha escogido un equipo particular que puede hacer hasta 10 copias por minuto. No se sabe cuál es el costo de espera para un estudiante, pero se piensa que no deben tener que esperar más de ods minutos en promedio. Si el número promedio de copias que se hacen por ususario es cinco, ¿ cuántas copiadoras se deben instalar ? . Se usa prueba y error para resolver este tipo de problemas, no se encuentra una solución general como se hizo para el modelo de un servidor. Se tratará primero con dos copiadoras, después con tres, y así hasta que se satisfaga el criterio del tiempo de espera. ¿Cuál es la tasa de servicio? Si el número promedio de copias es cinco y la copiadora puede hacer hasta 10 copias por minuto, entonces pueden servirse en promedio hasta dos estudiantes por minuto. Pero, en esto no se toma en cuenta el tiempo para insertar la moneda, cambiar originales, para que un estudiante desocupe y otro comience a copiar. Supóngase que se permite un 70 % del tiempo para estas actividades. Entonces la tasa de servicio neta baja a 0.6 estudiantes por minuto. Además se supone que los periodos pico de copiado tienen una tasa de llegada de 60 estudiantes por hora, o 1 por minuto. Se comenzará con dos copiadoras, ya que una no sería suficiente. A = 1 por minuto. S = 0.6 por minuto. N=2

Esto excede el criterio del máximo de 2 minutos de espera para el estudiante promedio. Se tratarán tres copiadoras.

Se necesitan tres copiadoras. La utilización de cada una será :

Unidad IV Cadenas de Markov. 4.1 Introducción. Una cadena de Markov es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediato anterior. En efecto, las cadenas de este tipo tienen memoria. " Recuerdan" el último evento y esto condiciona las posibilidades de los eventos futuros. Esta dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de Markov de las series de eventos independientes, como tirar una moneda al aire o un dado. En los negocios, las cadenas de Markov se han utilizado para analizar los patrones de compra de los deudores morosos, para planear las necesidades de personal y para analizar el reemplazo de equipo. El análisis de Markov, llamado así en honor de un matemático ruso que desarrollo el método en 1907, permite encontrar la probabilidad de que un sistema se encuentre en un estado en particular en un momento dado. Algo más importante aún, es que permite encontrar el promedio a la larga o las probabilidades de estado estable para cada estado. Con esta información se puede predecir el comportamiento del sistema a través del tiempo. La tarea más difícil es reconocer cuándo puede aplicarse. La caracteristica más importante que hay que buscar en la memoria de un evento a otro.

4.2 Caso de Aplicación.

Aplicación a la administración : Planeación de Personal. El anális de transición puede ser útil al planear satisfacer las necesidades de personal. Muchas firmas emplean trabajadores de diferentes niveles de clasificación dentro de la misma categoría de trabajo. Esto es común para personal de confianza, oficinistas, obreros calificados, no calificados y personal profesional. La firma debe tener el número de empleados en cada nivel de clasificación para proporcionar la oportunidad de promoción adecuada, cumplir con las habilidades necesarias para el trabajo y controlar la nómina. Una planeación de personal a largo plazo apropiada requiere que se considere el movimiento de personas tanto hacia arriba en el escalafón de clasificación como hacia afuera de la organización. El análisis de Markov puede ayudar en este esfuerzo de planeación. El movimiento de personal a otras clasificaciones puede considerarse como una cadena de Markov. Se supone que hay tres clasificaciones; el grado 1 es la más baja. Además, los descensos se consideran raros y se omiten. El estado "salen" es absorbente, el cual incluye renuncias, ceses, despidos y muertes. Por supuesto, todos los empleados finalmente alcanzan este estado. Las transiciones del grado 1 al grado 2 y del grado 2 al grado 3 representan promociones. Como transiciones de probabilidad, están controladas por la firma, puede establecerse el nivel que la firma determine que es necesario para cumplir sus objetivos. Como ejemplo, supóngase que la firma tiene en este momento 30 empleados del 3, 90 empleados del grado 2 y 300 empleados del grado 1 y que desea mantener este nivel de empleados durante el próximo año. Por experiencia, se espera que salgan el 30 % de los empleados de grado 1 al año, el 20 % de los empleados de grado 2 y el 10 % de aquellos que están en el grado 3. Si la política es contratar sólo en los niveles de clasificación más bajos, cuántos se deben contratar y cuántos se deben promover el siguiente año para mantener estables los niveles ?. Este problema puede resolverse sin el análisis de Markov, pero el modelo es útil para ayudar a conceptualizar el problema. Como se trata sólo de un ciclo, se usa el análisis de transición. El análisis comienza con el graado más alto. No se hacen promociones pero el 10 %, o sea, 3, sale. Todos ellos deben de reemplazarse por promociones del grado 2. En el nivel de clasificación, el 20 % sale y se deben promover 3, con una pérdida de 21. Esto se debe compensar por promoción del grado 1. Al pasar al grado 1, el 30 % sale y 21 deben promoverse, lo cual una pérdida total de 111. Por tanto, el siguiente año se deben contratar 111 empleados del nivel 1. En este ejemplo se derivan algunas tasas de transición a partir de consideraciones externas.

4.3 Formulación de las cadenas de Markov.

Una cadena de Markov es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediato anterior. En efecto, las cadenas de este tipo tienen memoria. " Recuerdan" el último evento y esto condiciona las posibilidades de los eventos futuros. Esta dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de Markov de las series de eventos independientes, como tirar una moneda al aire o un dado. En la figura 4.1.1 se muestra el proceso para formular una cadena de Markov. El generador de Markov produce uno de n eventos posibles, Ej , donde j = 1, 2, . . . , n, a intervalos discretos de tiempo (que no tiene que ser iguales ). Las probabilidades de ocurrencia para cada uno de estos eventos depende del estado del generador. Este estado se describe por el último evento generado. En la figura 4.1.1, el último evento generado fue Ej , de manera que el generador se encuentra en el estado Mj .

La probabilidad de que Ek sea el siguiente evento generado es una probabilidad condicional : P ( Ek / Mj ). Esto se llama probabilidad de transición del estado Mj al estado Ek. Para describir completamente una cadena de Markov es necesario saber el estado actual y todas las probabilidades de transición. Probabilidades de transición. Una forma de describir una cadena de Markov es con un diagrama de estados, como el que se muestra en la figura 4.1.2. En ésta se ilustra un sistema de Markov con cuatro estados posibles : M1, M2 , M3 y M4 . La probabilidad condicional o de transición de moverse de un estado a otro se indica en el diagrama

Otro método para exhibir las probabilidades de transición es usar una matriz de transición. . La matriz de transición para el ejemplo del diagrama de estados se muestra en la tabla 4.1.1 .

Otro método para exhibir las probabilidades de transición es usar una matriz de transición. . Para n = 0, 1, 2, ....

El superíndice n no se escribe cuando n = 1.

4.4 Procesos estocásticos. Un proceso estocástico se define sencillamente como una colección indexada de variables aleatorias { X1 }, donde el subíndice t toma valores de un conjunto T

dado. Con frecuencia T se toma como el conjunto de enteros no negativos y X, representa una característica de interés medible en el tiempo t. Por ejemplo, el proceso estocástico, X1 , X2 , X3, .., Puede representar la colección de niveles de inventario semanales (o mensuales) de un producto dado, o puede representar la colección de demandas semanales (o mensuales) de este producto. Un estudio del comportamiento de un sistema de operación durante algún periodo suele llevar al análisis de un proceso estocástico con la siguiente estructura. En puntos específicos del tiempo t , el sistema se encuentra exactamente en una de un número finito de estados mutuamente excluyentes y exhaustivos, etiquetados 0, 1, . . , S. Los periodos en el tiempo pueden encontrarse a intervalos iguales o su esparcimiento puede depender del comportamiento general del sistema en el que se encuentra sumergido el proceso estocástico. Aunque los estados pueden constituir una caracterización tanto cualitativa como cuantitativa del sistema, no hay pérdida de generalidad con las etiquetas numéricas 0, 1, . . , M , que se usarán en adelante para denotar los estados posibles del sistema. Así la representación matemática del sistema físico es la de un proceso estocástico {Xi}, en donde las variables aleatorias se observan en t = 0, 1, 2,. . ., y en donde cada variable aleatoria puede tomar el valor de cualquiera de los M + 1 enteros 0, 1, .. , M . Estos enteros son una caracterización de los M + 1 estados del proceso.

4.5 Propiedad Markoviana de 1o. orden . Se dice que un proceso estocástico tiene la propiedad markoviana si P { Xt+1 = j | X0 = K0 , X1 = K1 , . ., Xt-1 = Kt-1 , = Kt-1, Xt=1}= P {X t+1 | X1 = i }, para toda t = 0, 1, . . y toda sucesión i, j , K0 , K1 , . . , Ki-1 . Se puede demostrar que esta propiedad markoviana es equivalente a establecer una probabilidad condicional de cualquier "evento" futuro dados cualquier "evento " pasado y el estado actual Xi = i , es independiente del evento pasado y sólo depende del estado actual del proceso. Las probabilidades condicionales P{Xt+1 = j | Xt = i} se llaman probabilidades de transición. Si para cada i y j, P{ Xt+1 = j | | Xt = i } = p{X1 = j | X0 = i }, para toda t = 0, 1, .... Entonces se dice que las probabilidades de transición (de un paso) son estacionarias y por lo general se denotan por pij . Así, tener probabilidades de

transición estacionarias implican que las probabilidades de transición no cambian con el tiempo. La existencia de probabilidades de transición (de un paso) estacionarias también implica que, para cada i, j y n (n = 0, 1, 2,...), P{ Xt+n = j | | Xt = i } = p{Xn = j | X0 = i }, Para toda t = 0, 1, . . . Estas probabilidades condicionales casi siempre se denotan por y se llaman probabilidades de transición de n pasos. Así, es simplemente la probabilidad condicional de que la variable aleatoria X, comenzando en el estado i, se encuentre en el estado j después de n pasos ( unidades de tiempo ). Como las

son probabilidades condicionales, deben satisfacer las propiedades:

4.6 Probabilidad de transición de un solo paso. Ejemplo : Una tienda de cámaras tiene en almacén un modelo especial de cámara que se puede ordenar cada semana. Sean D1, D2, ... las demandas de esta cámara durante la primera, segunda, ... , semana, respectivamente. Se supone que las Di son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas que tienen una distribución de probabilidad conocida. Sea X0 el número de cámaras que se tiene en el momento de iniciar el proceso, X1 el número de cámaras que se tienen al final de la semana uno, X2 el número de cámaras al final de la semana dos, etc. Suponga que X0 = 3 . El sábado en la noche la tienda hace un pedido que le entregan el lunes en el momento de abrir la tienda. La tienda hace un pedido que le entregan el lunes en el momento de abrir la tienda. La tienda usa la siguiente política ( s, S)1 para ordenar : si el número de cámaras en inventario al final de la semana es menor que s =1 (no hay cámaras en la tienda), ordenar (hasta) S=3. De otra manera, no coloca la orden (si se cuenta con una o más cámaras en el almacén, no se hace el pedido). Se supone que las ventas se pierden cuando la demanda excede el inventario. Entonces, {X1} para t = 0, 1, .. es un proceso estocástico de la forma que se acaba de describir. Los estados posibles del proceso son los enteros 0, 1, 2, 3 que representan el número posible de cámaras en inventario al final de la semana.

Observe que {Xi}, en donde Xi es el número de cámaras en el almacén al final de la semana t ( antes de recibir el pedido }), es una cadena de Markov. Se verá ahora cómo obtener las probabilidades de transición (de un paso), es decir, los elementos de la matriz de transición ( de un paso).

Suponiendo que cada Dt tiene una distribución Poisson con parámetro Para obtener

es necesario evaluar

Entonces . Por lo tanto, durante la semana fue de tres o más cámaras. Así, aleatoria Poisson con parámetro y

. Si

.

,

significa que la demanda

, la probabilidad de que una variable tome el valor de 3 o más;

se puede obtener de una manera parecida. Si

entonces

. Para obtener

, la demanda durante la

semana debe ser 1 o más. Por esto, encontrar

, observe que

En consecuencia, si

,

. Para si

, entonces la demanda durante la semana tiene que ser

exactamente 1. por ende, . Los elementos restantes se obtienen en forma similar, lo que lleva a la siguiente a la siguiente matriz de transición ( de un paso):

4.7 Probabilidad de transición estacionaria de n pasos. Las ecuaciones de Chapman-Kolmogorov proporcionan un método para calcular estas probabilidades de transición de n pasos :

.

Estas ecuaciones simplemente señalan que al ir de un estado i al estado j en n pasos, el proceso estará en algún estado k después de exactamente m ( menor que n) pasos. Así, Es solo las probabilidad condicional de que, si se comienza en el estado i, el proceso vaya al estado k despues de m pasos y después al estado j en n- m pasos.

Los casos especiales de m=1 y m=n-1 conducen a las expresiones Para toda i, j, y n de lo cual resulta que las probabilidades de transición de n pasos se pueden obtener a partir de las probabilidades de transición de un paso de manera recursiva. Para n=2, estas expresiones se vuelven : Note que las

son los elementos de la matriz P(2) , pero también debe de

observarse que estos elementos, se obtienen multiplicando la matriz de transición de un paso por sí misma; esto es , P(2) = P * P = P2 . En términos más generales, se concluye que la matriz de probabilidades de transición de n pasos se puede obtener de la expresión : P(n) = P * P .... P = Pn = PPn-1 = Pn-1 P. Entonces, la matriz de probabilidades de transición de n pasos se puede obtener calculando la n-ésima potencia de la matriz de transición de un paso. Para valores no muy grandes de n, la matriz de transición de n pasos se puede calcular en la forma que se acaba de describir, pero cuando n es grande, tales cálculos resultan tediosos y, más aún, los errores de redondeo pueden causar inexactitudes. Ejemplo : Una tienda de cámaras tiene en almacén un modelo especial de cámara que se puede ordenar cada semana. Sean D1, D2, ... las demandas de esta cámara durante la primera, segunda, ... , semana, respectivamente. Se supone que las Di

son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas que tienen una distribución de probabilidad conocida. Sea X0 el número de cámaras que se tiene en el momento de iniciar el proceso, X1 el número de cámaras que se tienen al final de la semana uno, X2 el número de cámaras al final de la semana dos, etc. Suponga que X0 = 3 . El sábado en la noche la tienda hace un pedido que le entregan el lunes en el momento de abrir la tienda. La tienda hace un pedido que le entregan el lunes en el momento de abrir la tienda. La tienda usa la siguiente política ( s, S)1 para ordenar : si el número de cámaras en inventario al final de la semana es menor que s =1 (no hay cámaras en la tienda), ordenar (hasta) S=3. De otra manera, no coloca la orden (si se cuenta con una o más cámaras en el almacén, no se hace el pedido). Se supone que las ventas se pierden cuando la demanda excede el inventario. Entonces, {X1} para t = 0, 1, .. es un proceso estocástico de la forma que se acaba de describir. Los estados posibles del proceso son los enteros 0, 1, 2, 3 que representan el número posible de cámaras en inventario al final de la semana.

Así, dado que tiene una cámara al final de una semana, la probabilidad de que no haya cámaras en inventario dos semanas después es 0.283; es decir, De igual manera, dado que se tienen dos cámaras al final de una semana, la probabilidad de que haya tres cámaras en el almacén dos semanas después es 0.097; esto es, La matriz de transición de cuatro pasos también se puede obtener de la siguiente manera : P(4) = P4 = P(2) * P(2) Así, dado que queda una cámara al final de una semana, 0.282 es la probabilidad de que no haya cámaras en inventario 4 semanas más tarde; es decir,

De igual manera, dado que quedan dos cámaras en el almacén

final de una semana, se tiene una probabilidad de 0.171 de que haya tres cámaras en el almacén 4 semanas después; esto es,

4.8 Probabilidades de transición estacionaria de estados estables. Teorema Sea P la matriz de transición de una cadena de M estados . Existe entonces un vector

tal que

Se establece que para cualquier estado inicial i ,

.

El vector a menudo se llama distribución de estado estable, o también distribución de equilibrio para la cadena de Markov. Para encontrar la distribución de probabilidades de estacionario para una cadena dada cuya matriz de transición es P, según el teorema, para n grande y para toda i, (1) n Como Pij (n + 1) = ( renglón i de P )(columna j de P), podemos escribir (2)

Ejemplo : Suponga que toda la industria de refrescos produce dos colas. Cuando una persona ha comprado la cola 1, hay una probabilidad de 90 % de que su siguiente compra se de cola 1. Si una persona compró cola 2, hay un 80 % de probabilidades que su próxima compra sea de cola 2.

Entonces :

Al reemplazar la segunda ecuación por la condición

,

obtenemos el sistema

Al despejar resulta que Por lo tanto, después de largo tiempo, hay probabilidad 2/3 de que una persona dada compre cola 1 y 1/3 de probabilidad de que una persona compre cola 2.

4.9 Tiempos de primer paso. Con frecuencia es conveniente poder hacer afirmaciones en términos de probabilidades sobre el número de transiciones que hace el proceso al ir de un estado i a un estado j por primera vez . este lapso se llama tiempos de primer paso al ir del estado i al estado j. cuando J=i, esta tiempo de primer paso es justo el número de transiciones hasta que el proceso regresa al estado inicial i. En este caso, el tiempo de primer paso se llama tiempo de recurrencia para el estado i. Para ilustrar estas definiciones, reconsidérese el ejemplo siguiente : Una tienda de cámaras tiene en almacén un modelo especial de cámara que se puede ordenar cada semana. Sean D1, D2, ... las demandas de esta cámara durante la primera, segunda, ... , semana, respectivamente. Se supone que las Di son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas que tienen una distribución de probabilidad conocida. Sea X0 el número de cámaras que se tiene en el momento de iniciar el proceso, X1 el número de cámaras que se tienen al final de la semana uno, X2 el número de cámaras al final de la semana dos, etc. Suponga que X0 = 3 . El sábado en la noche la tienda hace un pedido que le entregan el lunes en el momento de abrir la tienda. La tienda hace un pedido que le entregan el lunes en el momento de abrir la tienda. La tienda usa la siguiente política ( s, S)1 para ordenar : si el número de cámaras en inventario al final de la semana es menor que s =1 (no hay cámaras en la tienda), ordenar (hasta) S=3. De otra manera, no coloca la orden (si se cuenta con una o más cámaras en el almacén, no se hace el pedido). Se supone que las ventas se pierden cuando la demanda excede el inventario. Entonces, {X1} para t = 0, 1, .. es un proceso estocástico de la forma que se acaba de describir. Los estados posibles del proceso son los enteros 0, 1, 2, 3 que representan el número posible de cámaras en inventario al final de la semana. Donde Xt es el número de cámaras en inventario al final de la semana t y se comienza con

, Suponga que ocurrió lo siguiente:

En este caso, el tiempo de primer paso para ir al estado 3 al estado 1 es dde 2 semanas, el tiempo de primer paso para ir del estado 3 al estado 0 es de 3 semanas y el tiempo de recurrencia del estado 3 es de 4 semanas. En general, los tiempos de primer paso son variables aleatorias y, por lo tanto, tienen una distribución de probabilidad asociada a ellos. Estas distribuciones de probabilidad dependen de las probabilidades de transición del proceso. En particular, denota la probabilidad de que el tiempo de primer paso del estado i al j sea igual a n. Se puede demostrar que estas probabilidades satisfacen las siguientes relaciones recursivas:

Entonces se puede calcular la probabilidad de un tiempo de primer paso del estado i al j en n pasos, de manera recursiva, a partir de las probabilidades de transición de un paso. En el ejemplo, la distribución de probabilidad de los tiempos de primer paso del estado 3 al estado 0 se obtiene como sigue:

Para i y j fijos, las

son números no negativos tales que

Esta suma puede ser menor que 1, lo que significa que un proceso que el iniciar se encuentra en el estado i puede no llegar nunca al estado j . Cuando la suma es igual a 1, las pueden considerarse como una distribución de probabilidad para la variable aleatoria, el tiempo de primer paso. Para obtener el tiempo esperado de primer paso del estado i al estado j. Sea , que se define como:

entonces

Cuando i=j,

satisface, de manera única, la ecuación:

se llama tiempo esperado de recurrencia.

Al aplicarlo al ejemplo del inventario, estas ecuaciones se pueden usar para calcular el tiempo esperado hasta que ya no se tengan cámaras en el almacén, suponiendo que el proceso inicia cuando se tienen tres cámaras; es decir, se puede obtener el tiempo esperado de primer paso . Como todos los estados son recurrentes, el sistema de ecuaciones conduce a las expresiones

La solución simultánea de este sistema es

De manera que el tiempo esperado hasta que la tienda se queda sin cámaras es de 3.50 semanas.

Instituto Tecnológico De Tijuana. Investigación De Operaciones II. Ing. Acosta Castillo Antonio.

Integrantes del Equipo: Cardona Bañuelos Claudia Cárdenas Maciel Martha Villa Fuentes Claudia Vargas García Ma Carmen Silvestre Cesar Fabian. Benítez Ricardo. Araiza Gonzáles. Valdes García Juan Flavio.

Tijuana BCN, miércoles 26 de noviembre del 2003.