L L L M: N N X X X F X

La médiane (Me) : La médiane Me d’une variable statistique est la valeur

La moyenne arithmétique X

La moyenne arithmétique d’une série est égale à la somme des produits de chaque variable xi par le nombre de fois où X elle est répétée (pondérer) sur l’effectif total. k

k

xn X  i i i 1 n

X   f i xi

ou

i 1

Variable statistique continue : k

Ci ni n i 1

X 

Ci : le centre des classes

numérique qui partage la série préalablement rangée par ordre croissant ou décroissant en deux parties égales. Le cas des effectifs impairs : La valeur médiane est la valeur centrale entre deux parties égales. Le cas des effectifs pairs : La valeur médiane est la moyenne des valeurs centrales. Dans le cas d’une variable statistique continue, la médiane existe toujours :  0,5  F (i  1)   n / 2  N (i  1)  M e  BI   F (i)  F (i  1) ( BS  BI ) ou M e  BI   N (i)  N (i  1) ( BS  BI ) BI = borne inferieur de la classe médiane BS = borne supérieur de la classe médiane F(i) ou N (i) = fréquence relative (ou effectif) cumulée de la classe i F (i-1) ou N (i-1) = fréquence relative (ou effectif) cumulée de la classe i – 1 Interprétation :

- Il y a n/2 de ni qui ont un xi inférieur à Me et n/2des autres qui ont un xi supérieur à Me. - (n/2x100) % des ni qui ont un xi inférieur à Me et (n/2x100) % ont un xi supérieur à Me. (n/2 x 100 = pourcentage) - Me = ?, cela veut dire qu’il y a 50% (ou n/2) des ni ayant moins de Me des xi et X =…… 50% (ou n/2) des ni ayant plus de Me des xi Le mode (Mo) : Le mode Mo est la valeur maximale de la variable ou s’effectif La médiale (Ml) : La médiale Ml est la le plus grand. valeur qui partage la masse xi.ni en deux  Si la variable est discrète : Le mode est la valeur Xi la plus fréquente dans un sous-ensembles égaux. Le calcul de la tableau ou un effectif plus grand. médiale passe par la formule de  Si la variable est continue : Le mode est défini par la classe modale qui l’interpolation linéaire en utilisant la colonne de fréquences relatives L1 BS  BI  correspond l’effectif plus grand. M  BI  O cumulées croissantes F(x).  Interprétation : - X est le xi moyen obtenu par l’ensemble des n. - Le xi moyen est donnée par :

L L 1

2

BI = borne inférieur de la classe modale Remarque: Pour une distribution BS = borne supérieur de la classe modale statistique donnée, la médiale est L1 = différence entre l’effectif de la classe modale et l’effectif de la classe toujours : Ml ≥ Me inférieur à la classe modale  0,5  F (i  1)  L2 = différence entre l’effectif de la classe modale et l’effectif de la classe ( BS  BI )  BI   M l supérieur à la classe modale  F (i)  F (i  1)  Interprétation : La classe modale est Mo: c’est la classe à laquelle corresponde le plus grand effectif corrigé. Étendue : L’étendue est la différence entre la plus Intervalle interquartile (I) : C’est la différence entre le grand et la plus petite des valeurs possibles de la série. troisième quartile et le premier quartile. Il contient 50% des observations. I= Q3 – Q1 On écrit : max min 1er quartile (Q1) : 0,25 2éme quartile (Q2) : 0,50 Écart absolue moyenne par rapport à la moyenne 3éme quartile (Q3) : 0,75 (e) : C’est la moyenne arithmétique des écarts (en Pour calculer les quartiles, on a utilisé l’interpolation valeurs absolues) entre chacune des valeurs possibles de la variable x et la moyenne arithmétique X. on note : linéaire :

–x

e=x

 e

k

n xi  X

i 1 i

n

Q1  L1 

k

  f i xi  X i 1

Interprétation : En moyenne : Les xi des ni s’écartent d’environ e de la moyenne arithmétique des xi

Variance (V(x)) : C’est la moyenne arithmétique des carrés des écarts des valeurs X par rapport à leur moyenne arithmétique.

 V ( x) 

k

nx

i 1 i i

n

2

 X²

k

ou



V ( x )   f i xi  X i 1



2

0,25  fi L1  L2  L1  fi L2   fi L1 

Remarque : On peut utiliser pour calculer Q3 : 0,75. Interprétation : 50% des ni ont un xi compris entre Q3 et Q1 ; 25% des ni ont un xi inférieur à Q1 et 25% des ni ont un xi supérieur à Q3 Écart-type (σ) : C’est la racine carrés positive de la variance.

  v(x)

ou





k i 1 i



n xi  X



2

n

Coefficient de variation (CV) Le coefficient de variation à la moyenne d’une distribution est le rapport de l’écart-type à la moyenne arithmétique : Cv 

 X