Linealizacion De Modelos Matematicos No Lineales

LINEALIZACIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS NO LINEALES Sistemas no lineales. Un sistema es no lineal si no se aplica el principio de superposición. Por tanto, para un sistema no lineal la respuesta a dos entradas no puede calcularse tratando cada entrada a la vez y sumando los resultados. Aunque muchas relaciones físicas se representan a menudo mediante ecuaciones lineales, en la mayor parte de los casos las relaciones reales no son verdaderamente lineales. De hecho, un estudio cuidadoso de los sistemas físicos revela que incluso los llamados «sistemas lineales» sólo lo son en rangos de operación limitados. En la práctica, muchos sistemas electromecánicos, hidráulicos, neumáticos, etc., involucran relaciones no lineales entre las variables. Por ejemplo, la salida de un componente puede saturarse para señales de entrada grandes. Puede haber una zona muerta que afecte a las señales pequeñas. (La zona muerta de un componente es un rango pequeño de variaciones de entrada a las cuales el componente es insensible.) Puede ocurrir una no linealidad de la ley cuadrática en algunos componentes. Por ejemplo, los amortiguadores que se utilizan en los sistemas físicos pueden ser lineales para operaciones a baja velocidad, pero pueden volverse no lineales a altas velocidades, y la fuerza de amortiguamiento puede hacerse proporcional al cuadrado de la velocidad de operación.

Linealización de sistemas no lineales En la ingeniería de control, una operación normal del sistema puede ocurrir alrededor de un punto de equilibrio, y las señales pueden considerarse señales pequeñas alrededor del equilibrio. (Debe señalarse que hay muchas excepciones a tal caso.) Sin embargo, si el sistema opera alrededor de un punto de equilibrio y si las señales involucradas son pequeñas, es posible aproximar el sistema no lineal mediante un sistema lineal. Este sistema lineal es equivalente al sistema no lineal, considerado dentro de un rango de operación limitado. Tal modelo linealizado (lineal e invariante con el tiempo) es muy importante en la ingeniería de control. El procedimiento de linealización que se presenta aquí se basa en el desarrollo de la función no lineal en series de Taylor alrededor del punto de operación y la retención sólo del término lineal. Debido a que no se consideran los términos de orden superior del desarrollo en serie de Taylor, estos términos no considerados deben ser suficientemente pequeños; es decir, las variables sólo se desvían ligeramente de la condición de operación (de otro modo, el resultado sería inexacto)

Aproximación lineal de modelos matemáticos no lineales Con la finalidad de obtener un modelo matemático lineal para un sistema no lineal, se supone que las variables sólo se desvían ligeramente de alguna condición de operación. Considérese un sistema cuya entrada es x(t) y cuya salida es y(t). La relación entre y(t) y x(t) se obtiene mediante 𝑦 = 𝑓(𝑥) Si la condición de operación normal corresponde a x̅, y̅, la Ecuación anterior se expande en series de Taylor alrededor de este punto, del modo siguiente 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑓(x̅) +

𝑑𝑓 1 𝑑2 𝑓 (𝑥 − x̅) + (𝑥 − x̅)2 + ⋯ 𝑑𝑥 2! 𝑑𝑥 2

donde las derivada 𝑑𝑓/𝑑𝑥, 𝑑 2 𝑓/𝑑𝑥 2 ,... se evalúan en x=x̅. Si la variación 𝑥 − x̅ es pequeña, es posible no considerar los términos de orden superior en 𝑥 − x̅. Entonces, la ecuación anterior se escribe como: 𝑦 = y̅ + 𝐾(𝑥 − x̅) donde y̅ = 𝑓(x̅) 𝐾 =

𝑑𝑓 | 𝑥 = x̅ 𝑑𝑥

La ecuación puede reescribirse como: 𝑦 − y̅ = 𝐾(𝑥 − x̅) que indica que 𝑦 − y̅ es proporcional a (𝑥 − x̅) . La Ecuación anterior da un modelo matemático lineal para el sistema no lineal obtenido mediante la ecuación (𝑦 = 𝑓(𝑥)) cerca del punto de operación 𝑥 = ̅ x , 𝑦 = y̅. A continuación, considérese un sistema no lineal cuya salida y es una función de dos entradas 𝑥1 𝑦 𝑥2 , de modo que: 𝑦 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 ) Con la finalidad de obtener una aproximación lineal para este sistema no lineal, es posible expandir la Ecuación anterior en series de Taylor alrededor del punto de operación normal 𝑥̃1 , 𝑥̅2 . Entonces, la ecuación se convierte en:

𝑦 = 𝑓(𝑥̃1 ,

𝑥̅2 ) + [

𝜕𝑓 𝜕𝑓 (𝑥1 − 𝑥̃1 ) + (𝑥2 − 𝑥̃2 )] + … 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2

…+

1 𝜕 2𝑓 𝜕 2𝑓 𝜕 2𝑓 (𝑥1 − 𝑥̃1 )(𝑥2 − 𝑥̃2 ) + (𝑥 − 𝑥̃2 )2 ] + … [ 2 (𝑥1 − 𝑥̃1 )2 + 2 2! 𝜕𝑥1 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 𝜕𝑥22 2

donde las derivadas parciales se evalúan en 𝑥1 = 𝑥̃1 , 𝑥2 = 𝑥̃2 . Cerca del punto de operación normal, es posible no considerar los términos de orden superior. A continuación, el modelo matemático lineal de este sistema no lineal alrededor de la condición de operación normal se obtiene mediante: 𝑦 − 𝑦̅ = 𝐾1 (𝑥1 − 𝑥̃1 ) + 𝐾2 (𝑥2 − 𝑥̃2 ) donde 𝑦̅ = 𝑓(𝑥̃1 , 𝑥̃2 ) 𝐾1 =

𝜕𝑓 |𝑥 = 𝑥̃1 , 𝑥2 = 𝑥̃2 𝜕𝑥1 1

𝐾2 =

𝜕𝑓 |𝑥 = 𝑥̃1 , 𝑥2 = 𝑥̃2 𝜕𝑥2 1

La técnica de linealización presentada aquí es válida alrededor de la condición de operación. Sin embargo, si las condiciones de operación varían ampliamente, tales ecuaciones linealizadas no son adecuadas y deben manejarse ecuaciones no lineales. Es importante recordar que un modelo matemático determinado, que se use en el análisis y el diseño, puede representar con precisión la dinámica de un sistema real para ciertas condiciones de operación, pero puede no ser preciso para otras.