Marco Partidor

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Introducción

El presente informe trata sobre el analisis de la estrucutra hidráulica conocida como marco partidor. Los Marcos Partidores son aparatos automáticos que dividen los caudales variables de un canal en una proporción fija. El alcance de este análisis va desde el marco teórico, donde se revisarán los fundamentos de la hidráulica teórica y de mecánica de fluidos necesarios para analizar las variables que competen para poder efectuar el diseño de esta estructura, hasta los usos que se le dan a la estrucutra señalando algunos ejemplos de estos.

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Marco Teórico El problema en los partidores de agua consiste principalmente en dividir un canal, cuyo caudal puede variar, en una proporción fija, independiente del caudal que llegue. Existen distintos tipos de marcos partidores, estos son: • Marco partidor de barrera • Marco partidor de angostamiento • Marco partidor de resalto • Marco partidor de ranura lateral Los primeros dos tipos se denominan partidores de escurrimiento crítico, estos son los más comúnmente usados en el país. Los marcos partidores tienen características comunes, las cuales se pueden generalizar en: • Rápida aceleración que en lo posible iguale las velocidades. •

Aislamiento de la sección de escurrimiento de aguas abajo.

partición

de

variaciones

del

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El problema de los marcos surge en el denominado flujo en contorno abierto, el cual posee ciertas características que lo distinguen y se ilustran a continuación Tramo A-B: - El flujo se acelera y desacelera en conjunto con el esfuerzo de corte que aumenta y disminuye hasta encontrar un equilibrio del flujo Tramo B-C: Acá las fuerzas se equilibran, y la altura se hace constante obteniéndose un flujo uniforme Características del flujo uniforme: • Sección no cambia • Presión en la superficie libre conocida (P₀) • No hay curvatura de líneas de corriente La presión se puede considerar en este caso como hidrostática

Fig. 1 Ejemplo del desarrollo de un escurrimiento en canal abierto Para poder estudiar los marcos y realizar su diseño se utiliza la ecuación de energía o también conocida como ecuación de Bernoulli. Esta ecuación supone ciertas condiciones que debe tener el fluido o escurrimiento para que sea válida. A continuación se expondrá brevemente la ecuación y las consideraciones que se toman para obtenerla: 3

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Ecuación de Bernoulli: El principio de Bernoulli, también denominado ecuación de Bernoulli o Trinomio de Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido moviéndose a lo largo de una línea de corriente. Fue expuesto por Daniel Bernoulli en su obra Hidrodinámica (1738) y expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en régimen de circulación por un conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido. Basándose en la ilustración:

H: Carga total del sistema H+z: cota piezométrica o cota de pelo de agua h: altura de escurrimiento (tirante hidráulico) z: cota topográfica i: pendiente de fondo Fig. 2 componentes ecuación de energía

De esta manera la ecuación será:

Sin embargo la ecuación asi no basta ya que se deben considerar las pérdidas de energía por roce y singulares. Estas pérdidas se pueden modelar por medio de una expresión conocida como fórmula de Manning: ⁄

√

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Donde : Q : Caudal n : Coeficiente de manning ( depende del material ) j : Pérdida de carga Ω: Aréa de la sección transversal RH: Radio hidráulico Se observa que esta ecuación permite obtener la pérdida de carga en una sección específica. Para obtener la pérdida en cualquier punto, es decir en función de una coordenada ( x ) se debe realizar el análisis diferencial, sin embargo también es válido utilizar una pérdida de carga media entre los puntos de interés.

Además de las pérdidas por fricción se deben considerar otras pérdidas denominadas pérdidas singulares, que se producen por variaciones en el escurrimiento producto de ensanches, angostamientos , paraltes, etc. que en general se pueden modelar como función de la velocidad de la siguiente forma:

En donde ks representa un “factor de resistencia” o número que multiplicado por la altura de velocidad permite obtener la pérdida En el estudio de los marcos interesan las pérdidas de carga por ensanchamiento brusco las cuales se pueden considerear producidas por choques de masas veloces contra menos veloces que se les oponen. En ellas no predominan los frotamientos interiores.

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Funcion momenta o fuerza específica:

Otra importante ecuación, necesaria para resolver las singularidades que se presentan en los partidores es la ecuación que surge de la conservación de cantidad de momentum lineal. Al aplicar el principio de momentum a un tramo horizontal corto de un canal prismático, pueden ignorarse los efectos de las fuerzas extarnas de fricción y del peso del agua. Luego i=0 y Ff=0, y suponiendo también β1= β2=1 , entonces, basándose en la ilustración:

Fig. 3 Volumen de control utilizado para obtener la ecuación de momenta

Análisis de fuerzas en el volumen de control: - Fuerzas de Cuerpo: Peso: No afecta ya que i es aproximadamente 0. - Fuerzas de Superficie: Presión: Se aproxima hidrostático en la entrada y salida.

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Corte: Se desprecia ya que es una distancia relativamente corta y las mayores pérdidas se las lleva la turbulencia en el volumen cuasi estacionario del flujo.

Entonces utilizando la conservación de momentum lineal:

, en el eje x

(

)

Las fuerzas hidrostáticas del lado derecho de la ecuación pueden expresarse como:

Donde es la distancia del centroide de la respectiva área mojada A por debajo de la superficie de flujo, además Luego la anterior ecuación puede escribirse como

Los dos lados de la ecuación son análogos y, por consiguiente, puedeb expresarse para cualquier sección del canal mediante una función general, es decir la función momenta.

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Función Momenta ó Fuerza Específica:

Donde: Av.: Es el área donde hay flujo (no considerar áreas donde hay flujo recirculante) Ap: Es el área incluyendo zonas de flujo estático. η: Profundidad del centroide de área Ap.

Es importante notar que la momenta crítica ocurre en forma simultánea que la energía crítica.

Fig 4 Gráfico de altura v/s momenta

Ya presentadas las ecuaciones de momenta y energía se procederán a analizar las singularidades que se presentan en el cálculo de los marcos y que serán utilizadas más adelante. 8

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Singularidades: Vertederos: En términos generales, un vertedero se puede definir como una obstrucción ubicada sobre el fondo de una canal, sobre la cual debe pasar el flujo (White, 1994). Esto provee un método conveniente para determinar el caudal que está pasando por un canal con base en la medición de la profundidad. Para este informe solo se revisará el vertedero de pared gruesa, ya que este está presente en cas todos los tipos de partidores. Los vertederos de pared gruesa son estructuras fuertes que no son dañadas fácilmente y pueden manejar grandes caudales y en algunos diseños se evita la acumulación de sedimentos. Algunos tipos de vertederos de borde ancho son: el Rectangular de arista redondeada, el Rectangular de arista viva y el Triangular

Fig 5 esquematización de vertedero de pared gruesa

El cálculo del vertedero se hará suponiendo que este funciona libre, es decir se produce crisis aguas abajo, obteniéndose con este la curva de descarga que lo caracteriza. Este calculo supone la presencia de filetes paralelos, lo que se logra con un espesor del vertedero superior a 3.5 hc Igualando energía :

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Dado que se trata de un canal de sección rectangular (sin pérdida de generalidad, solo se hace para simplificar el álgebra)

Pero (

)

Finalmente √ Nótese que H corresponde a la altura de energía y no altura física del escurrimiento.

Ensanches Bruscos en contorno abierto: En contornos abiertos los ensanches bruscos se presentan en tres formas difierentes: • Variación de cota de fondo sin variación del ancho (grada de bajada) • Variación de ancho únicamente • Combinación de ambos Los vertederos se consideran singularidades ya que en estos en la sección menor siempre aparece líquido muerto animado de mivimientos irregulares, pero que posee una considerable energía cinética asociada a dichos movimientos, esta energía es evidentemente parte de la energía total de la corriente que llega que , como no es devuelta a la corriente que sigue signiifca entonces una pérdida de carga. Para este análisis se tomará el caso general de ensanche de fondo y lados simultáneamente y se supondrá que las caras MN y a, en que hay líquido muerto, se presentan presiones hidrostáticas, contadas en una sección

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ficticia de nivel h’ intermedio entre h0 + a y h1. El volumen de control utilizado se muestra en la imagen a continuación.

Fig 6 Volumen de control

Aplicando la ecuación de conservación de momentum lineal se tiene: (

)

Reemplazando las velocidades en función del caudal por la relación simplificando se tiene: ( La razón

,y

)

es la profundidad crítica al cubo en el canal de ancho

, por lo

tanto: (

)

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Ahora haciendo: , la altura relativa antes del ensanche , la de aguas abajo ,y , la relación de ensanche:

Esta ecuación general necesita que se conozca X’ en función de las condiciones del ensanche, tales como n, la relación de anchos y de a, altura de la grada. En el caso especial n = 1, es decir, canal de ancho constante, y X’ = X0 (a=0), tendremos:

Nótese que esta ecuación se obtuvo a partir de la conservación de momentum por lo que es el equivalente de igualar momentas antes y después del ensanche, pero en este caso la ecuación se adimensionalizó, ya que de esta manera se utilizara para posteriores cálculos.

En el siguiente gráfico se muestra la relación de anchos n y alturas relativas de grada K que dan una altura crítica antes del ensanche:

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Fig 7

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Cálculo de Partidores de agua :

Fig 8 Esquema de partidor de agua de barrera

Si bien no se detallarán todos los pormenores del cálculo si se introducirán los principios y herramientas para desarrollarlo Marco Partidor de barrera: Ahora que ya se han mostrado las ecuaciones que son necesarias se procederá a realizar el cálculo para el diseño de los marcos. Para realizar el cálculo de la altura de la barrera (vertedero) necesaria para producir escurrimiento crítico se usará la siguiente ecuación: ∑ Donde B1 es la suma Bernoulli de aguas abajo contadas sobre el fondo de la sección y ∑ , las pérdidas de carga que hay desde la sección de partición hasta la de aguas abajo; a es la cota de fondo de la sección de partición contada sobre el fondo de la sección de aguas abajo; hc la altura crítica de la sección de partición, supuesta rectangular. Si se tratara de calcular una barrera, a es precisamente, su altura; si se calcula un angostamiento, a es cero. Las pérdidas de carga se de cada una de las ramas que siguen del partidor, se deben tomar de acuerdo a la singularidad que se proyecte a la salida para él, 14

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ya sea una curva, un codo en ángulo recto o simplemente de ensanche brusco o paulatino. El primer miembro de la anterior ecuación es función de la altura de agua. En efecto, las pérdidas carga se pueden poner en función de la altura de velocidad final, la de salida de partidor, donde la profundidad es h1 y escribir: ∑

(

∑ )

Independiente del tipo de régimen en ese sitio (uniforme o variado) se puede √

escribir :

y, por lo tanto,

. En esta expresión el valor

es un número y R es homogéneo a una altura, se puede decir que

,

que en movimiento uniforme crece con h, crece también con la profundidad en el movimiento variado; en las secciones de la práctica, R es función creciente de h también. La relación entre h y ese coeficiente es muy poco variable. Es aceptable entonces, muy cerca de la realidad que

;

siendo k1 una constante, cuyo valor será mayor mientras mas torrencial es el escurrimiento, pero que en los canales ordinarios es un porcentaje pequeño, 5 o 10 % de la altura. Como ∑ es constante, se puede poner todo el último término del segundo miembro en la forma: (

∑ )

,

Finalmente ∑

(

)

Siendo k un coeficiente constante que excede en 10 a 20% a la unidad Se tiene entonces

En el caso de calcular partidores de barrera se procede al cálculo de la barrera utilizando una tabla de gradas o ensanches sin variación de anchuras; la fig. 7 trae en la primera curva el caso límite de escurrimiento crítico sobre la grada (X0 = 1). Está en función de las alturas, engloba la 15

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pérdida de carga que el ensanche provoca, pues es el resultado de la aplicación del teorema de las cantidades de movimiento. Para llevar a cabo el cálculo de este tipo de partidores, deberá compararse los Bernoulli de aguas debajo de ambos ramales entre sí, correspondientes a cada caudal del canal antes de partirse, el ramal que tenga la mayor energía específica es el que se deberá tomar en cuenta para el cálculo de la altura de la barrera. Después de la partición las condiciones de la corriente pueden ser cualquiera, por lo que es prácticamente, de poca importancia buscar, analíticamente, con cual caudal del canal que llega debe efectuarse el cálculo de la barrera, o en otras palabras, cual sea el caudal que da la barrera más alta, la curva de descarga de cada ramal puede ser considerada una función experimental. Sin embargo, en general, puede afirmarse que al mayor caudal corresponde la mayor barrera y, por lo tanto, debe considerarse el más grande que se prevea para el cálculo. La barrera debe reunir todas las condiciones de vertedero de pared gruesa para producir el escurrimiento crítico que aisla la partición de aguas abajo, esto es, un espesor mayor a 3.5 hc Si la barrera es muy baja (menor que 1.5 hc ) la aceleración resulta insuficiente para hacer desaparecer del todo la repartición ordinaria de velocidades. Si la razón , entre la altura L y la profundidad critica sobra la barrera es menor de 8 a 10, también aparece un máximo de velocidades al centro. Por lo tanto, es conveniente que sea L > 8hc. Aunque sea muy ancho el canal y la barrera se de altura insuficiente, siempre junto a las orillas la velocidad será menor. Esta disminución llega a un 20% de la velocidad en el centro, en la orilla misma. La variación de velocidad puede también considerarse lineal desde la pared hasta el 0.1 de la anchura, lo que se ilustra a continuación

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Departamento de obras civiles Hidráulica teórica y laboratorio CIV- 242 Fig 9

Se llamará L a la anchura total de la barrera, y m a la anchura que correspondería al derivado menor, partiendo L en proporción aritmética con los caudales; si se supone que m > 0.1L, el caudal Qm a que ese derivado tiene derecho será: (

)

Aquí Q es el caudal total de canal por partir, q el gasto por unidad de ancho en el centro. El de la orilla misma proporcional a la velocidad es 0.8q Si m1 es la anchura que debe dársele se tendrá también:

(

)

(

)

Igualando ambas expresiones se llega a :

Si m1 es menor que 0.1L se tendrá, análogamente: √ √

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Fig 10 Disposición de un partidor de barrera

El otro ramal tendrá una anchura:

En la figura 9 se puede ver la disposición de un partidor de barrera.

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Marco partidor por angostamiento:

Fig 11

Como se puede ver en la figura el escurrimiento crítico se consigue a través del angostamiento de la sección. En este tipo de marcos partidores los anchos de los derivados (Saliente (s) y Pasante) se pueden hacer proporcionales a los derechos. Si en el partidor se produce la rápida aceleración y el escurrimiento critico por medio de un estrechamiento de sección rectangular, en la ecuación general se puede poner: √

∑

L es la anchura que hay que dar al estrechamiento y Q es el gasto del canal. De aquí se deduce: √ [

(

∑ )

]

(

∑ )

⁄

(

)

⁄

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∑ dará la Para un Q dado, el ramal derivado que tenga un mayor menor anchura y, en consecuencia es el que debe considerarse para efectuar el cálculo. Comúnmente, si el caudal del canal que llega es variable, la menor anchura en el angostamiento corresponde al menor caudal Las pérdidas de carga ∑ que corresponden al ensanchamiento paulatino de salida, deben reducirse al mínimo, tomando los ángulos de ensanche cercanos, a 10°. Para efectuar el cálculo deberá procederse, respecto a las pérdidas de carga, tanteando un valor que debe verificarse después. En la sección angosta de un angostamiento al cual se llega por un embudo de curvas bien concebidas, se obtiene una repartición del gasto igual en todas las verticales cuando la aceleración de velocidades es igual a 7 alturas de velocidad lineal . Este hecho experimental permite la división de la sección angosta en anchuras que guarden relación de los derechos. Aceptando una perdida de carga de 0.07 alturas de velocidad final del embudo que la crítica, esta aceleración equivale a decir que la anchura del angostamiento debe ser prácticamente la mitad de lo que la que tiene el anal antes del partidor. En la siguiente figura puede verse un ejemplo de partidor de angostamiento.

Fig 12 Disposición de un marco partidor de angostamiento

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Es importante destacar que la combinación de ambos partidores ya analizados en una sola construcción, es decir, un partidor de barrera con angostamiento, es una solución muy indicada en la mayoría de los casos, ya que suprime la disminución de velocidades de las orillas y da ramales más anchos que el simple angostamiento. El cálculo se acomoda a lo dicho, procediendo a la determinación del estrechamiento después de haberse dado una altura de barrera o al revés. La ecuación sería: (

∑

)

(

)

Donde a es la altura de barrera contada sobre el fondo del canal que sigue.

Marco Partidor de Resalto Este tipo de marco partidor tiene como característica principal una barrera de sección triangular (como se ve en la figura) en la dirección del escurrimiento.

Fig 13 marco partidor de resalto o barrera triangular

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Permite además que los anchos de el pasante y de el (los) saliente (s) sean proporcionales a los derechos de agua. Asegura también la igualdad de las condiciones de escurrimiento, como el espesor de la lámina líquida, para todos los ramales, y conserva al mismo tiempo las dos ventajas de los partidores de escurrimiento crítico: rápida aceleración que iguala las velocidades y aislamiento de la sección de partición de las variaciones de aguas abajo. La barrera de sección triangular con escurrimiento crítico, aunque aisla de las variaciones aguas abajo, tiene el grave defecto de que la ubicación de la altura crítica depende de las condiciones de aguas abajo: altura de barrera, forma de la napa, situación del resalto y, en caso de estar éste cubriendo el pie de la napa, la altura de aguas abajo. Estudios experimentales revelan este hecho. La ubicación de la punta partidora, es pues, incierta sobre dichas barreras. Existen experiencias que demuestran que sobre una barrera de sección triangular de taludes suaves, equivalente a un cambio de pendiente suave a fuerte, la altura crítica se sitúa a plomo del vértice, siempre que no exista contracción inferior de la vena que la separe del umbral. Para impedir la contracción bastará redondear el vértice de la barrera.

Fig 14

La fig. 11 pone en evidencia como el mínimo de energía se traslada hacia el punto más alto del peralte del filete inferior cuando existe dicha contracción.

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La forma triangular con redondeo del vértice es, pues, la forma de barrera que ubica en la sección correspondiente al punto más alto, la profundidad crítica, cualquiera que sea el caudal que escurra, siempre que las condiciones de aguas abajo permitan la energía específica mínima en esa sección. La inclinación del talud de aguas arribas conviene sea tal que prácticamente anule por sí misma la contracción o tendencia a separación de la napa. El cálculo de la altura de la barrera triangular se ha de hacer de manera que la profundidad del rio de aguas debajo dé el resalto lo mas cercano posible al vértice de la barrera, compatible con el desarrollo perfecto del eje hidráulico del torrente, puesto que se este no tiene todos los caracteres de tal, es decir, filetes paralelos, no asegura el aislamiento de variaciones de aguas abajo. Dicho asilamiento no hay que buscarlo, en este tipo de barreras, en la sección del vértice, que aunque de mínima energía con hc, no tiene velocidad crítica en todos sus puntos, sino como velocidad media. La experiencia revela que puede el comienzo del resalto acercarse bastante al umbral sin que se note influencia de aguas abajo en la carga de la barrera. Solamente cuando la distancia horizontal es menor de 0.35 hc se destruye el aislamiento de aguas abajo. No conviene acercar el comienzo del resalto al vértice menos de . Sin embargo no es lógico aumentar el valor de , pues eso se traduciría en aumento de la altura de la barrera. En la siguiente figura se ilustra la situación.

Fig 15

La altura a de la barrera se descompone en tres miembros: , altura necesaria para desarrollar el torrente en la longitud ; , diferencia de cotas de fondo entre el comienzo y el final del resalto, necesaria para cubrir su longitud L; y finalmente , suplemento de altura que requiérela profundidad h1 de aguas abajo, para situar el resalto a la distancia del vértice; esta ultima puede faltar, y no existe en efecto cuando el resalto termina donde 23

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concluye la barrera, o bien, más hacia aguas abajo, en el lecho del canal. El primer elemento, , es arbitrario, como lo es , pero fijada esta distancia queda determinado, pues vale = ; como la inclinación adoptada es tg

1/5 , sencillamente

. El segundo elemento está en función de la

longitud L, del resalto, base, L.

, con inclinación de 1 de altura y 5 de

Por último, si la altura de aguas abajo h1 es mayor de la hr cos , correspondiente al resalto, a la altura de barrera, habrá de dársele un suplemento de altura precisamente igual a ; con la inclinación adoptada para el talud Tomadas en cuenta todas estas circunstancias, se resume el cálculo de la altura de barrera de sección triangular en la siguiente figura, llevadas en ordenadas las alturas relativas de barrera de aguas abajo alturas relativas de barrera

, y en abscisas las

.

Fig 16

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Marco Partidor de ranura lateral Un caso especial de partidor constituye el caso de extracción de un derecho relativamente muy pequeño de otro grande. En tal caso no es conveniente colocar una punta partidora, debido a que con un saliente muy pequeño es probable que a su entrada se depositen basuras, hojas y ramas que obstruyan su funcionamiento. En estos caso es conveniente utilizar un marco de ranura lateral. Se puede ver además que aguas abajo del marco partidor lateral se debe instalar una barrera, la cual permite que el marco partidor pueda operar.

Fig 17 Esquema partidor de ranura

Como en este caso es necesario extraer un pequeño porcentaje del caudal del canal, se debe descartar la opción de poner un partidor de barrera como tal, y aun más la de uno de estrechamiento. Es estos se coloca en el canal una barrera, calculada para que se obtenga crisis, y aguas arriba de esta barrera se construye la ranura lateral, la cual debe poseer una cota de fondo igual a la cota de umbral de la barrera. La siguiente ilustración muestra una esquematización de la disposición de este tipo de partidores.

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Fig 18

La boquera se calcula como un vertedero de pared gruesa, pero se debe notar que el coeficiente de gasto es mayor que el de un vertedero común, ya que el radio hidráulico tiene un valor mucho menor que la altura crítica. En un umbral de longitud e, donde hay crisis, las pérdidas de roce, si Vc es la velocidad crítica, valen

siendo muy pequeño el ancho de la

boquera, el radio hidráulico R tiende a valer la mitad de la anchura; si a la anchura de la boquera se llama b y se pone C en vez del valor dado por Manning resulta el factor de resistencia de roce

. Este factor se

aplica al coeficiente de gasto de paredes gruesas “sin velocidad inicial”, ya que la ranura es lateral y además se cuida que ésta no la afecte, ya que la supresión de la velocidad inicial le da mayor anchura. Resulta conveniente redondear la entrada en el fondo y en los bordes y asi la única pérdida es la de roce. El coeficiente de gasto del a boquera sera entonces 26

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√ (

)

(

)

Esto será váldo para valores de e superiores a 4 hc. En el gráfico de la figura15 aparecen los coeficientes dados por la expresión anterior, aquí se evidencia que cuando b crece, las pérdidas de roce se hacen despreciables y el cieficiente de gasto tiende al de gasto máximo de pared gruesa sin pérdidas y sin velocidad inicial, que es m = 0.385

Fig 19

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Conclusión

Los marcos partidores representan una excelente herramienta hidráulica para separar caudales en una proporción fija y por esto son ampliamente utilizados en la agronomía con el fin de fabricar canales de riego, etc. Sin embargo en comparación a otras estructuras más simples como vertederos o compuertas el cálculo puede hacerse algo más complejo ya que es una estructura que posee diferentes singularidades, como vertederos o ensanches. Pero con la correcta aplicación de los principios de mecánica de fluidos e hidráulica se puede diseñar cualquiera de los tipos de partidores aquí presentados dependiendo de los requerimientos que tenga el problema o proyecto que se este efectuando.

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