Matematica Clasa A 5 A

Probleme rezolvate cu Teorema impartirii cu rest si cu Teorema celor Trei perpendiculare Inca cateva probleme rezolvate cu teorema impartirii cu rest si teorema celor trei perpendiculare, rezolvate special pentru vizitatorii nostri. 1. Suma a 2 numere este 568. Aflati numerele stiind ca restul impartirii celui mai mare la cel mai mic este 28 si catul 14. Rezolvare. Notam cu x primul numar si y cel de-al doilea numar. Astfel formam ecuatiile:

suma a doua numere este 568, cu x>y

Deci cu teorema impartirii cu rest obtinem: r
cu r
Astfel daca inlocuim in prima ecuatie obtinem: Si Deci cel mai mare numar este: 532 si cel mai mic numar este 36. 2. Determinati fractia a supra b, stiind ca este egala cu7 supra 5 si ca a ori b =1260 Solutie Stim ca: Si Astfel avem Astfel daca inlocuim in cea de-a doua ecuatie obtinem:

Iar Astfel am obtinut a=42 si b=30. 3. In centrul O al unui dreptunghi se ridica perpendiculara pe planul dreptunghiului, pe care se ia punctul M. Laturile dreptunghiului au lungimile de 10 cm, respectiv 18 cm, iar OM=12 cm. Calculati distantele de la punctul M la laturile dreptunghiului.

Stim ca Deci Si Mai mult, Cu teorema celor trei perpendiculare obtinem

si astfel am obtinut ca

Astfel triunghiul MON este dreptunghic in O. Mai stim si ca, O este centrul dreptunghiului, adica O este mijlocul lui AC, dar si ON|| DC, deci ON este linia mijlocie in triunghiul ABC astfel obtinem: astfel in triunghiul MON, obtinem:

Stim si ca Si cu Teorema celor trei perpendiculare: La fel ca mai sus OP este linie mijlocie in triunghiul ADC si cu teorema lui Pitagora obinem MP=15 cm.

Si astfel obtinem ca Pentru a afla Stim ca Construim Stim si ca Deci cu Teorema celor trei perpendiculare obtinem: Si astfel obtinem: Stim ca O mijlocul lui AC si OQ||BC, deci cu Teorema liniei mijlocii obtinem OQ linie mijlocie Deci in triunghiul MOQ aplicam Teorema lui Pitagora La fel obtinem si pentru

.

Probleme rezolvate cu divizibilitatea si Teorema impartirii cu rest Prezentam doua probleme care se rezolva cu ajutorul divizibilitatii, adica folosind cel mai mare divizor comun a doua numere respectiv cu teorema impartirii cu rest . 1. Aflati numerele naturale a si b stiind ca (a,b)=12 si 2a+3b=240 Solutie: Stim ca cel mai mare divizor comun al celor doua numere a si b este 12, adica factorii comuni ale numerelor sunt numerele prime Deci , unde x este un numar natural si , unde y este numar natural.

Astfel relatia de mai sus devine: Pentru x=1, obtinem Deci Si Pentru x=4 obtinem si obtinem si dar aici gasim cel mai mare divizor comun al numerelor ca fiind 48 si astfel nu se mai indeplineste conditia de mai sus, adica Pentru Si obtinem si deci conditia ca sa rezolvam aceste exercitiu sa tinem cont la la cel mai mare divizor comun ca se iau toti factorii comuni o singura data la puterea cea mai mica. Si astfel numerele gasite sunt a=12 si b=72, dar si a=84 si b=24 2. Aflati numerele a si b, stiind ca suma lor este 86, iar daca impartim numarul a la b obtinem catul 3 si restul 2. Solutie: Ca sa rezolvam aceste exercitiu trebuie sa folosim teorema impartirii cu rest. Suma celor doua numere este: a+b=86 a:b=3 rest 2 Iar cu teorema impartirii cu rest obtinem Daca inlocuim mai sus obtinem Iar

Cum comparam doua numere Prezentam exercitii in care prezentam modalitati in care comparam doua numere 1. Comparati numerele: si Solutie:

.

Ca sa comparam cele doua numere, mai intai aducem numerele la forma cea simpla: Astfel, pentru numarul a dam factor comun numarul Acum efectuam operatiile in paranteza rotunda, adica ridicarea la putere si scaderea. Si obtine rezultatul Iar in cazul numarului b, dam factor comun numarul Acum ca si mai sus efectuam operatiile din paranteza rotunda, adica ridicarea la putere dar si diferentele Si obtinem: Deci obtinem numerele: si Acum pentru a compara cele doua numere, ne folosim de regulile de comparare a puterilor pe care le-am invatat. Astfel, observam ca in ambele numere avem numarul 17, deci acum trebuie sa comparam numerele cu puteri, astfel stim ca avem acelasi exponent, deci comparam bazele si cum obtinem si ca . b)

si

Observam ca avem doua numere irationale, deci pentru a acompara cele doua numere introducem mai intai factorii sub radicali si obtinem:

Dar si la b obtinemn

.

Acum coparand numerele de sub radicali obtinem: , deci obtinem si ca O alta modalitate de comparare a celor doua numere este sa calculam fiecare numar in parte, astfel avem ca:

Deoarece stim ca Iar Deoarecem stim ca Deci obtinem ca

, adica obtinem si ca

.

c)

cu

Ca sa comparam cele doua numere, folosim regulile de comparare a puterilor, astfel pentru a compara cele doua numere, fie aducem numerele la aceiasi baza, fie la acelasi exponent, pentru a le putem compara. Astfel Observati ca folosim si regulile de calcul cu puteri. Acum pentru b, incercam sa-l aducem la aceiasi baza ca si numarul a

Astfel cum avem si aceiasi baza si acelasi exponent obtinem ca cele doua numere sunt egale, adica a=b.

Exercitii rezolvate cu fractii zecimale si fractii ordinare Prezentam cateva exercitii pe care le rezolvam cu ajutorul fractiilor zecimale si fractiilor ordinare 1. Scrieti 3 numere zecimale cuprinse intre 14,23 si 15,431. Solutie: Stim ca numerele zecimale, sau cum mai sunt numite si fractii zecimale, sunt cele cu virgula, deci in cazul acestui exercitiu trebuie sa scriem trei numere zecimale care sa fie mai mari decat 14,24 si mai mici decat 15,431, astfel numarele zecimale mai mari decat 14,23 si mai mici decat 15,431 suntȘ 14,25; 14,57; 15,428. 2. Stiind ca

si

,determinati x+y+z.

Ca sa aflam x+y+z trebuie sa ne folosim de cele doua relatii de mai sus Astfel prima relatia de mai sus putem sa o scriem pentru a ne putea folosi de relatia de mai sus, astfel daca comutam termenii intre ei obtinem:

Dar cum stim din cea de-a doua relatie ca

Prima relatie devine Acum daca in ultima relatie dam factor comun cifra 4 relatia devine Si astfel am obtinut ca suma x+y+z=6 Observati ca pentru a rezolva exercitiile de forma celor de mai sus trebuie sa ne folosim de ceea ce ne da exercitiul. 3. Calculati:

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus trebuie sa tinem cont de ordinea efectuarii operatiilor, astfel mai intai efectuam operatia de inmultire:

Acum pentru a efectua calculele, mai intai aducem la acelasi numitor

Exercitii rezolvate cu factorul comun Prezentam exercitii pe care le rezolvam dand factorul comun, dar si folosind regulile de calcul cu puteri, cat si proprietatile relatiei de divizibilitate. 1. Calculati suma 8+16+24+32___+4000 Daca dam factor comun numarul 8 suma devine:

Acum ca sa calculam suma 1+2+3+…+500 Folosim formula Deci in cazul sumei noastre avem:

Dar avem de calculat

2. Aflati x, daca 2a+b=5 si 4ax+2bx+2=22 Ca sa aflam x in relatia a doua dam factor comun pe x , dar si pe 2x si obtinem:

3. Aratati ca numarul numar natural

, pentru orice n

Ca sa aratam ca numarul este divizibil cu 17 folosim regulile de calcul cu puteri, adica stim ca Astfeln Acum efectuam produsul in parantezele pe care le avem mai sus:

Acum daca dam factor comun numarul Si obtinem: Si obtinem ca este divizibila cu 17, deoarece cu ajutorul proprietatilor de la divizibilitate stim ca: Daca

si

, atunci

(daca b divide a, atunci b divide orice multiplu al lui a)

Asadar este foarte important sa cunoastem notiunea de factor comun, dar si proprietatile relatiei de divizibilitate.

Ridicarea la putere cu exponent numar natural a unui numar rational pozitiv Reguli de calcul cu puteri Despre ridicarea la putere a unui numar am mai invatat si in clasa a V-a, dar in clasa a v-a am invatat ridicarea la putere a unui numar natural.Astazi invatam ridicarea la putere cu exponent numar natural a unui numar rational pozitiv, dar si reguli de calcul cu puteri, pe care unii dintre voi vi le reamintiti de la numere naturale. Stiti ca ridicarea la putere a unui numar este o inmultire repetata. De exemplu: asta pentru ridicarea la putere cu exponent cu numar natural a unui numar natural. Def: Daca si se defineste puterea -a a unui numar natural a sau a la

puterea n. Prin conventie In cazul de mai sus Exemplu:

pentru si si mai stim ca nu are sens. a este baza, iar “n” se numeste exponent.

dupa cum am invatat la inmultirea numerelor rationale. Reguli de calcul cu puteri Fie si . atunci in calcule cu puteri se aplica urmatoarele reguli:

1) Inmultirea puterilor cu aceeasi baza (se copiaza baza si se aduna exponentii) 2) Impartirea puterilor care au aceeasi baza (se copiaza baza si se scad exponentii) 3) Puterea unei puteri (se copiaza baza si se inmultesc exponentii)

4) Puterea unui produs (se ridica al putere fiecare factor al produsului)

5)Puterea unui cat (se ridica la putere fiecare factor al catului

Prezentam cateva exemple prin care sa intelegem notiunile pe care le-am prezentat mai sus:

1) Calculati si scrieti rezultatul sub forma de fractie zecimala a) b) 2) Calculati folosind o singura regula a) . b)

La exercitiul b) am folosit regula a patra (puterea unui produs, cand nu avem aceeasi baza, dar avem aceeasi exponent copiem expondentii si inmultim bazele), iar noi am simplificat pe diagonala prin 3. c) . Deci important la regulile de calcul cu puteri este sa invatam regulile dar sa si stim sa le aplicam.

Exercitii rezolvate cu criteriile de divizibilitatii Prezentam trei exercitii care se rezolva cu ajutorul criteriilor de divizibilitate. 1. Cate nr de trei cifre avand ultima cifra egala cu 2 sunt divizibile cu 3 . 2. Cate nr de forma 2ab sunt divizibile cu 5. 3. Cate nr de forma ab6c sunt divizibile cu 2 dar cu 5 ? Solutie: 1. Stim ca numerele de forma trebuie sa fie divizibile cu 3, dar cum stim ca ultima cifra este egala cu 2, numarul devine: Iar daca folosim criteriul de divizibilitate cu 3 stim ca un numar este divizibil cu trei daca suma cifrelor este divizibila la trei. Astfel numarul devine: Cum a nu poate sa fie 0, luam pentru inceput a=1 si obtinem Astfel daca luam b=0, obtinem Deci primul numar care l-am gasit este 102 Acum daca luam b=3, obtinem numarul 132 care este divizibil cu 3 Daca luam b=6, obtinem numarul 162, care la fel este divizibil cu 3 Daca luam b=9, obtinem numarul 192, care la fel este divizibil cu 3. Dar acum putem lua si a=2 si numarul devine Deci pentru b=2, numarul devine 222, care la fel este divizibil cu trei, deoarece Pentru b=5, numarul devine 252, care este divizibil cu 3 Pentru b=8, numarul devine 282, care este divizibil cu 3 si am terminat cu a=2, deoarece daca mai incercam sa gasim un numar divizibil cu 3, pentru b trebuie sa luam o cifra si nu un numar. Pentru a=2, numarul devine si ca sa fie divizibil cu trei suma cifrelor trebuie sa fie divizibila cu trei Astfel daca luam b=4, numarul devine 342, care este divizibil cu trei Daca luam b=7, numarul devine 372, care este divizibil cu 3

Si astfel am terminat si pentru a=3 Acum pentru a=4, numarul devine Pentru b=3, obtinem numarul 432, care este divizibil cu 3 Pentru b=9, obtinem numarul 492, care este divizibil cu 3 si astfel am terminat si pentru a=4 si b=9 Acum pentru a=5, numarul devine Deci pentru b=2, numarul devine 522 si este divizbil cu 3 Pentru b=5, numarul devine 552 la fel este divizibil cu 3 Pentru b=8, numarul devine 582, care este divizibil cu 3 Acum pentru a=6, numarul devine Iar pentru b=1, numarul devine 612, divizibil cu 3 Pentru b=4, numarul devine 642, divizibil cu 3 Pentru b=7, numarul devine 672, divizibil cu 3 Pentru a=7, numarul devine Pentru b=0, numarul devine 702, divizibil cu 3 Pentru b=3, numarul devine 732, divizibil cu 3 Pentru b=6, numarul devine 762 divizibil cu 3 Pentru b=9, numarul devine 792, divizibil cu 3 Pentru a=8, numarul devine Pentru b=2, numarul devine 822, divizibil cu 3 Pentru b=5, numarul devine 852 divizibil cu 3 Pentru b=8 , numarul devine 882, divizibil cu 3 si pentru a=9, numarul devine Pentru b=1, numarul devine 912, divizibil cu 3 Pentru b=4, numarul devine 942, divizibil cu 3 Pentru b=7, numarul devine 972, divizibil cu 3 2. Cate nr de forma 2ab sunt divizibile cu 5. Ca numerele sa fie divizibile cu 5 folosim criteriul de divizibilitate cu 5, adica ultima cifra trebuie sa fie 0 sau 5, astfel pentru inceput, daca luam b=0 numarul devine 2a0 iar cifra a poate sa fie deci numerele pe care le gasim sunt 200; 210; 220; 230; 240; 250; 260; 270; 280; 290 dar ultima cifra poate sa fie si 5, dupa cum am spus mai sus, astfel numrul devine 2a5, iar numerele divizibile cu 5 sunt: 205; 215; 225; 235; 245; 255; 265; 277; 285; 295. 3. Cate nr de forma ab6c sunt divizibile cu 2, dar cu 5? Ca sa vedem cate numere sunt divizibile cu 2, folosim criteriu de divizibilitate cu 2, deci c poate sa fie 0 2, 4, 6, 8, iar a poate sa ia valorile 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 si b=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Iar ca sa fie divizibile cu 5 folosim criteriul de divizibilitate cu 5, deci ultima cifra trebuie sa fie 0 sau 5, iar a si b la fel ca mai sus.

Problema rezolvata cu ecuatii (Inca una) Stela a procurat 18 albume si 24 de carti pentru copii la acelasi pret. A achitat cumparaturile cu o bancnota de 500 lei si a primit rest 17 lei. Cit costa un album si cit costa o carte? Rezolvarea este simpla. Trebuie sa stim regulile de rezolvare a problemelor cu ajutorul ecuatiilor. Cu ajutorul datelor din problema se stabilesc necunoscutele si se formeaza ecuatiile. Solutie: Notam x- pretul unui albun y- pretul unei carti Stim ca a achitat cumparatura cu 500 de lei si a primit rest 17 lei, adica 500-17=483 lei Astfel avem ecuatia Dar stim ca albumul si cartea au acelasi pret, adica x=y Deci ecuatia devine Cum x=y, obtinem si ca pretul albumului este tot de 11,5 lei. Simplu, nu. Incercati si voi sa rezolvati probleme cu ecuatii folosind modele asemanatoare rezolvate pe MatePedia.

Exercitii rezolvate cu aproximarea fractiilor zecimale Sa invatam aproximarea fractiilor zecimale ! Astazi o sa va rezolvam un exercitiu in care trebuie sa aproximam fractiile zecimale atat la zecimi, sutimi cat si miimi, dar si cu ajutorul unui calculator sa aproximam anumiti radicali la fel ca si la fractiile zecimale.

(aproximare prin lipsa cu o zecime ) (aproximare prin adaos cu o zecime) (aproximare prin lipsa cu o sutime) (apoximare prin adaos cu o sutime) (aproximare prin lipsa cu o miime) (aproximare prin adaos cu o miime) b)

c)

(rotunjire cu o zecime) (rotunjire cu o sutime) (rotunjire cu o miime) (rotunjire cu o zecime) (rotunjire cu o sutime) (rotunjire cu o miime)

d)

(rotunjire cu o zecime) (rotunjire cu o sutime) (rotunjire cu o miime)

e)

(rotunjire cu o zecime) (rotunjire cu o sutime) (rotunjire cu o miime)

f)

(rotunjire la zecimi) (rotunjire la sutimi) (rotunjire la miimi)

Atentie in cazul aproximarii prin rotunjire: -ultima cifra la care se face referire ramane neschimbata daca dupa ea urmeaza 0, 1, 2, 3, 4 – ultima cifra la care se face rotunjirea se mareste cu 1, daca dupa ea urmeaza 5, 6, 7, 8, 9.

Compararea si ordonarea numerelor naturale. In sirul numerelor naturale, numarul n este predesesorul (cel care se afla inainte) numarului n+1 si scriem (mai mic) Si numarul n+1 este succesorul (cel care se afla dupa numarul dat in sir) numarului n si scriem (mai mare) Astfe sirul numerelor naturale, scrise in ordine crescatoare este: Pe axa numerelor, daca numarul n este la stanga numarului m, spune ca n este mai mic ca

m si notam,

.

cum comparam doua numere naturale n, m: 1. Cu lungimi diferite (se scriu cu numere diferite de cifre): mai mare este numarul cu lungimea mai mare 2. Cu aceeasi lungime (se scriu cu acelasi numar de cifre): se aliniaza numerele si se compara cifrele, de la stanga la dreapta. Exemplu: n=1743 si m=1734 Observam ca numerele au acelasi numar e cifre: Comparam acum cifrele de stanga la dreapta, observam ca: 1=1 7=7 4>3 Deci observam ca n>m.

2. Scrieti: a) cel mai mare numar n de patru cifre, stiind ca indeplineste una din conditiile: 1) Cel mai mare numar n de patru cifre care indeplineste conditia de mai sus: n=6998 2) toate cifrele pere distincte: n=6842. a) cel mai mic numar n de patru cifre, stiind ca indeplineste una din conditiile: 1) Numarul care indeplineste conditia de mai sus este: 4001. 2) toate cifrele impare sunt distincte n=5135 Observam ca toate cifrele impare sunt distincte.

Rezolvarea inecuatiilor dar si rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuatiilor 1.Nr. naturale care verifica inecuatia

sunt ?

2. Nr.naturale nenule care verifica inegalitatea Solutie: Rezolvam mai intai prima inecuatie, astfel avem ca:

?

Sau mai putem rezolva inecuatia si astfel:

Deci solutia inecuatiei este Dar in cazul nostru doar in multimea numerelor naturale, astfel numerele naturale care verifica inecuatia sunt 0 si 1. 2.Ca sa aflam numerele naturale care verifica inegalitatea, rezolvam inecuatia Astfel gasim solutia inecuatiei Dar numerele naturale care verifica inegalitatea sunt 0 si 1. 3. Daca x=10, atunci inlocuim x in ecuatia de mai jos si apoi rezolvam ecuatia care rezulta Deci obtinem ca a=0 Stim ca multimea numerelor naturale este

4. Soferul unui autobuz a constatat ca, dupa ce a parcus 2 supra 3 din lungimea traseului, mai are de parcus 87,65km. Determinati lungimea traseului pe care il are de parcus autobuzul. Solutie: Notam cu x distanta parcursa de soferul de autobuz Acum formam ecuatia:

Acum rezolavam ecuatia:

Deci lungimea traseului pe care il are de parcurs soferul este 262,95 Km. Acum efectuam proba:

Deci se verifica. Astfel la rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuatilor important este sa tinem cont de etapele pe care trebuie sa le parcurgem pentru rezolvarea corecta a problemelor.

Compararea si ordonarea fractiilor zecimale Reprezentarea pe axa numerelor a fractiilor zecimale Dupa ce am invatat sa aproximam fractiile zecimale la ordinul zecimilor si sutimilor, a venit vremea sa discutam despre compararea si ordonarea fractiilor zecimale, Reprezentarea pe axa numerelor a fractiilor zecimale. Astfel, pentru a compara doua fractii zecimale, incepem cu un exemplu: Exemplu :

Regula de comparare a fractiilor zecimale -incepem mai intai cu partile intregi (adica comparam intregii), iar daca acestia sunt egali, continuam cu compararea partilor zecimale de la stanga la dreapta, adica zecimile, sutimile si miimile a celor doua fractii zecimale. Observam ca la exemplul de mai sus 3<4, adica partea intreaga a primului numar este mai mica decat partea intreaga a celui de-al doilea numar si astfel nu mai comparam partile zecimale.

b) Observam ca partile intregi sunt egale. Acum incepem prin a compara partile zecimale, observam ca zecimile si sutilile celor doua numere sunt egale iar miimile sunt diferite, adica 6>1, deci numarul a mai mare decat numarul b 2) Ordonati crescator numerele a) Ca sa comparam numerele de mai sus trebuie sa scriem fractiile ordinare cu numitori puteri ale lui 10 si apoi sa le scriem sub forma de fractii zecimale, astfel incepem cu : Apoi luam urmatoarea fractie ordinara, adica Astfel am obtinut sirul de numere: Acum ordonam crescator numerele : b) Prima data transformam fractia ordinara in fractie zecimala: Astfel obtinem sirul de numere zecimale: Acum ca sa le ordonam crescator incepem de ma cel mai mic la cel mai mare: Observat ca trebuie prima data sa comparam partile intregi, iar apoi partile zecimale, adica incepem cu zecimile 6 fiind cea mai mica zecime si astfel obtinem si ca 1,6 este cel mai mic numar. Atentie, avem numerele 1,7 si 1,707, obsevam ca 1,7 este mai mic decat 1,707 , deoarece la numarul 1,7 la partea zecimala urmeaza doar zerouri, adica 1,70000, pe cand la celalat numar 1,707, miimea de la primul numar este mai mica decat miimea de la cel de-al doilea numar 0<7. 3) Scrieti trei fractii zecimale situate intre 6 si 6,1. Solutie Astfel intre 6 si 6,1, avem uramtoarele fractii zecimale: 6,01; 6,02; 6,03;…;6,09. Deci am gasit 9 fractii zecimale cuprinse intre 6 si 6,1.

4) Reprezentati pe axa numerele Solutie Mai intai transformam fractiile ordinare in fractii zecimale:

Astfel obtinem: Acum reprezentam fractiile zecimale pe axa numerelor:

Probleme rezolvate cu fractii ordinare si zecimale Prezentam trei probleme care se rezolva cu ajutorul fractiilor zecimale, dar si cu fractii ordinare. Aceste probleme joaca un rol important in viata de zi cu zi deci este important sa stim sa le rezolvam. 1) Intr-o familie se consuma dimineata 3 pe 4 dintr-o paine, la amiaza 5 pe 4 si seara o paine. Cate paini consuma zilnic aceasta familie? Solutie : Notam cu x painea. Stim ca in prima zi familia consuma dintr-0 paine, adica 0,75 dintr-o paine, deci gasim ca consuma trei sferturi dintr-o paine. La amiaza

, adica 1,25; deci gasim ca consuma o paine si un sfert din cea de-a doua.

Deci zilnic familia consuma :

Sau cu fractii zecimale avem ca : . Deci astfel gasim ca familia consuma zilnic 3 paini. 2) Mama a cuparat de la piata 1 pe 2 kg de cartofi, 3 pe 4 kg de ceapa si 1intreg si 1 pe 2 kg de rosii. Cantaresc legumele cumparate 5 kg?

Solutie Stim ca mama a cumparat de la piata Kg cartofi,

Kg rosii.

Cartofii+rosiile= Deci in total legumele cantaresc 2 Kg Sau cu ajutorul fractiilor zecimale avem: Kg cartofi Kg rosii Deci :Rosii+cartofi=

Kg legume

Deci mama cumpara de la piata 2 Kg de legume, astfel legumele cumparate cantaresc mai putin de 5 Kg. 3) Cristina are de rezolvat un numar de probleme in 3 zile. In prima zi a rezolvat 3 pe 9 din intreg numarul de probleme, a doua zi 3 pe 9 din numarul total de probleme, iar a treia zi 3 pe 9 din toate problemele pe care le avea de rezolvat. A terminat Cristina problemele pe care le avea de rezolvat in cele 3 zile? Solutie: Notam cu x numarul de probleme In prima zi a rezolvat A doua zi a rezolvat A treia zi a rezolvat Astfel in cele trei zile a rezolvat :

Astfel din numarul de probleme, in prima zi a rezolvat , a doua zi a rezolvat din numarul total de probleme, iar in a treia zi din toate problemele pe care avea sa le rezolve.

Astfel din numarul total de probleme scadem rezultatul pe care l-am gasit mai sus, adica Deci Cristina a terminat de rezolvat problemele in cele trei zile. Astfel din numarul intreg de probleme x, scadem numarul problemelor pe care le-a rezolvat in fiecare zi. Observati ca prima data in paranteza am efectuat calculele, avand acelasi numitor am copiat numitorul si am adunat numaratorii,apoi observati ca am obtinut pe care am simplificat-o prin 9, iar apoi din numarul intreg de probleme am scazut rezultatul pe care l-am gasit, astfel gasim ca Cristina a rezolvat toate problemele in toate cele trei zile.

Problema rezolvata cu ajutorul Teoremei impartirii cu rest In acest articol prezentam o problema care se rezolva cu ajutorul Teoremei impartirii cu rest, astfel avem: atul a doua numere naturale este 4 si restul 15. Daca din cel mai mare numar s-ar scadea nr 240,numerele ar deveni egale. Care sunt numerele? Solutie Pentru a rezolva problema mai intai stim ca si r=15 Mai stim ca cele doua numere pe care trebuie sa le aflam sunt naturale. Deci fie cele doua numere naturale Astfel daca aplicam Teorema impartirii cu rest obtinem

Dar mai stim si ca daca din cel mai mare numar scadem 240, numerele ar deveni egale, astfel obtinem ecuatia Acum daca inlocuim mai sus gasim ca Deci am gasit numarul a, acum sa aflam b. Observam ca cele doua numere3 pe care le-am gasit sunt naturale, acum sa efectuam si proba: Daca impartim cele doua numere trebuie sa obtinem catul 4 si restul 15

Iar daca scadem din numarul cel mai mare 240, numerele ar deveni egale Deci am gasit cele doua numere.

Scrierea fractiilor ordinare cu numitori puteri ale lui 10 sub forma de fractie zecimala Dupa cum bine stiti exista doua tipuri de fractii: – fractii ordinare cu care am mai lucrat pana acum Exemplu :

– fractii zecimale, adica acel numere, cifre care se scriu cu virgula Exemplu :

Dupa cum observati si din titlul acestui articol, acum o sa invatam sa transformam fractiile ordinare cu puteri ale lui 10 in fractii zecimale, deci discutam despre scrierea fractiilor ordinare cu numitori puteri ale lui 10 sub forma de fractie zecimala . Incepem prin a prezenta fractii ordinare cu puteri ale lui 10

Astfel fractia a)

(se citeste 9 zecimi)

b)

c)

(se citeste sapte sutimi)

(se citeste 7 intregi si 31 miimi)

Dar cum sa scriem urmatoarea fractia ordinara sub forma de fractie zecimala d) ,

observati ca numitorul este 4, deci trebuie sa gasim un numar cu care sa amplificam fractia astfel incat sa gasim la numitor o putere a lui 10, adica o fractie ordinara cu numitorul o putere a lui 10, astfel daca amplificam fractia cu 25 obtinem

, adica un intreg si 75 miimi.

Observati ca avem la numitor 100, adica stanga la dreapta.

, astfel punem virgula peste doua cifre de la

Definitie: Numerele scrise cu virgula se numesc fractii zecimale. O fractie zecimala este compusa din doua parti: partea intreaga si partea zecimala. Cifrele scrise dupa virgula se numesc zecimale. Exemplu: 2, 345 2 se numeste partea intreaga 345 se numeste partea zecimala (cifra 3 reprezinta zecimile, cifra 4 reprezinta sutimile si 5 miimile), Observatie: Dupa ultima zecimala putem adauga oricate zerouri am vrea, numarul ramane acelasi. Exemplu :

0 si 00 sunt zecimale nesemnificative Orice numar natural poate fi scris ca fractie zecimala. Daca numitorul unei fractii ordinare ireductibile contine si alti factori in afara de 2 si 5, atunci acea fractie nu poate fi scrisa sub forma unei fractii zecimale finita (adica sa contina un numar finit de termeni). Dupa cum bine stiti daca putem sa transformam o fractie ordinara in fractie zecimala, putem realiza si invers, adica sa transformam o fractie zecimala in fractie ordinara. Exemplu:

a) ,la numarator scriem numarul fara virgula, adica 127, iar la numitor scriem cifra 1 urmata de atatea zerouri cate cifre sunt dupa virgula, adica 100. b)

.

Exercitii: 1) Scrieti sub forma de fractii zecimale: a) Observati ca am amplificat fractia cu 125 pentru a putea obtine la numitor o putere a lui 10, iar apoi pentru a transforma fractia ordinara obtinuta in fractie zecimala punem virgula dupa trei cifre de la dreapta spre stanga si cum in fata numarului, nu mai avem alta fira adauga 0 si astfel obtinem 0, 375. b) c) d) 2) Scrieti sub forma de fractie ordinara urmatoarele fractii zecimale: a) Dupa cum am spus si mai sus pentru a scrie fractia zecimala in fractie ordinara scriem la numarator numarul asa cum este, iar la numitor scriem cifra 1 urmata de atatea zerouri cate cifre sunt dupa virgula, adica 10. b) Iar daca scoatem intregii din fractie obtinem:

Astfel

Sau altfel:

Adica scriem partea intreaga in fata liniei de fractii, adica intregul si la fractia ordinara scriem la numarator numarul de dupa virgula, iar la numitor 1 urmat de doua zerouri, deoarece avem doua cifre dupa virgula.

Exercitii cu multimi de numere Prezentam Exercitii cu multimi de numere Fie multimile si A) Reprezentati cele trei multimi prin diagrame Venn-Euler Solutie: Solutie: Observam ca multimile de mai sus sunt definite enuntand o proprietate caracteristica elementelor multimii, iar noi ca sa reprezentam cele trei multimi mai intai trebuie sa aflam elementele celor trei multimi, adica numim fiecare element al multimii: Astfel, incepem cu multimea A Ca sa aflam elementele pentru multimea B rezolvam inecuatia:

Deci Si multimea B are elementele Acum multimea C, rezolvam inecuatia Astfel . Deci Acum reprezentam multimea A cu ajutorul diagramei Venn-Euler

Acum multimea B

Si multimea C

Astfel reprezentarea multimilor cu ajutorul diagramei Venn-Euler poate fi ilustrata desenand o curba inchisa si scriind in interiorul ei elementele corespunzatoare.

Aproximari ale fractiilor zecimale la ordinul zecimilor si sutimilor Dupa cum bine stiti despre aproximare am mai discutat, dar intr-un alt contex, astfel am vorbit despre aproximarea numerelor naturale la zeci, sute si mii, dar acum o sa invatam sa aproximam fractiile zecimale la ordinul zecimilor si sutimilor. Astazi o sa discutam despre aproximari ale fractiilor zecimale la ordinul zecimilor si sutimilor Astfel, putem aproxima fractiile zecimale cu 0 sutime Exemplu: 1) Aproximati numerele prin lipsa si prin adaos cu o unitate a) 23, 715 (prin lipsa cu o unitate) (prin adaos cu o unitate) 2) Rotunjiti la unitati urmatoarele numere zecimale: a) 0, 8

, rotunjirea merge spre 1, deoarece toate numerele care au cifra zecilor mai mare sau egal decat 5 se duc la numarul cel mai mare. b) 9,3 , rotunjirea merge spre 9, deoarece zecimile sunt mai apropiate de 9, decat de 10, dar si din faptul ca cifra zecimilor este mai mica de 5. c) 17,5 , rotunjirea merge spre 18, deoarece dupa cum bine am spus si mai sus, daca cifra de la zecime este mai mare sau egala decat 5, atunci numarul merge la cel mai mare numar. d) 2,45 , rotunjirea se face la 2, deoarece cifra zecimilor este mai mica decat 5, chiar daca cifra miimilor este egala cu 5. e) 3,75 , rotunjirea se face la 4 deoarece cifra zecimilor este mai mare decat 5, ceea ce trebuia sa stim. f) 19,501 , rotunjirea se face la 20, deoarece cifra zecilor este 5. Acum sa invatam cum sa aproximam, dar si sa rotunjim la zecimi, sutimi si mimi numerele, adica fractiile zecimale: Incepem prin a rezolva un exercitiu; 2) Aproximati prin lipsa la o zecime urmatoarele numere zecimale: a) 14,72 , adica am aproximat numarul de mai sus prin lipsa cu o zecime b) 0,295 , numarul l-am aproximat prin lipsa cu o zecime, adica ne ducem la numarul cel mai mic, adica zecimea mai mica. c) 5,87

3) Rotunjiti la zecimi urmatoarele numere zecimale: a) , ca sa rotunjim numarul de mai sus, ne uitam la cifra sutimilor si observam ca este 3, deci astfel 43 rotunjim la cel mai mic, adica 40, adica obtinem 89,4. b) , rotunjirea se face la numarul mai mic, deoarece cifra sutimilor este 1, adica il rotunjim la 90 si obtinem 102,90 c) mare.

, deoarece cifra sutimilor este 9 si astfel numarul se rotunjeste la cel mai

4) Rotunjiti la unitati urmatoarele numere zecimale: a) ,am rotunjit numarul la unitati, adica observam ca la sutimi avem 7, deci rotunjim la cel mai mare, adica 75. b) , observam ca la sutimi avem cifra 5, deci rotunjim la cel mai mare si astfel obtinem 40. c)

se observa ca la sutimi avem cifra 4, deci rotunjim la cel mai mic, adica 19.

Probleme rezolvate cu fractii ordinare pentru clasa a V-a Prezentam probleme rezolvate cu fractii ordinare cu ajutorul carora o sa fixam cat mai bine notiunile care tin de fractii ordinare. Astfel rezolvam urmatoarele probleme: 1) Lia descarca de pe internet dintr-un fisier. Seara continua operatiunea cu inca marimea fisierului. Cat a mai ramas de descarcat? Solutie: Stim ca prima data rezolva Deci avem

, am notat cu 1-fisierul, observati ca scriem

din

seara mai descarca

, deci obtinem

, . Deci mai are de descarcat

.

2 ) La banca dobanda anuala este de 7 %. Ce suma are la finalul unui an o persoana care depune intial suma de 3 500 de lei? Solutie Cum stim ca dobanda este de 7 procente trebuie sa calculam

Deci la final suma pe care o are acea persoana la banca este de 3 500+245=3 745 lei. Observati ca cu ajutorul matematici si cu notiunile pe care le-am invatat acum putem sa calculam anumite aspecte din viata cotidiana. Deci putem sa calculam dobanda la banii nostri de la banca. 3) Cristinel isi planifica rezolvarea temei la matematica pentru 3 zile. In prima zi rezolva din tema, a doua zi din tema, iar in a treia zi restul. Tema consta in 28 de probleme. Calculati cat a rezolvat Cristinel in fiecare zi. Solutie: Rescriem problema: In prima zi rezolva :

In a doua zi elevul rezolva :

Ca sa aflam cat a rezolvat in ultima zi calculam 28-20=8 Deci in ultima zi a rezolvat 8 probleme.

3) George pleaca cu bicicleta in excursie de doua zile. In prima zi parcurge din traseu, iar a doua zi restul de 15 km. Ce lungime a avut traseul? Solutie: In prima zi George parcurge : Notam cu x- traseul pe care il parcurge George

Astfel : . Deci traseul parcurs de George este de 25 km.

Amplificarea si simplificarea fractiilor Sir de fractii egale Numar rational pozitiv Dupa ce am definit notiunea de fractie acum a venit timpul sa discutam despre Amplificarea si simplificarea fractiilor cat si sa definim notiunea de numar rational pozitiv.

Amplificarea si simplificarea fractiilor Incepem cu amplificarea fractiilor A amplifica o fractie cu un numar natural nenul inseamna a inmulti atat numitorul cat si numaratorul fractiei cu acelasi numar . Prin amplificare se obtine o fractie egala cu cea data. Notam: Simplificarea fractiilor A simplifica o fractie cu un numar natural nenul inseamna a imparti atat numitorul cat si numaratorul fractiei cu acelasi numar . Notam:

Definitie: Un sir de fractii egale reprezinta acelasi numar deoarece reprezentarile lor sunt echivalente. Acest numar se numeste numar rational. Numerele rationale se reprezinta prin fractii. Oricare doua fractii egale reprezinta acelai numar rational. Exercitii: 1) Aflati cu ce numere trebuie amplificate fiecare din urmatoarele fractii astfel incat sa obtinem de fiecare data fractii cu numitorul 48:

Incepem cu prima fractie

Observam ca daca amplificam fractia cu 24 obtinem o fractie cu numitorul 48, trebuie sa fim atenti la numitorul fiecarei fractii ca sa gasim mai repede numarul cu care amplificam sau daca impartim 48 la numitorul fractiei 2 obtinem 24, deci cu 24 amplificam cu 24.

Observam ca daca impartim pe 48 la numitorul 6 obtinem catul 8, adica numarul cu care trebuie sa amplificam fractia , deci am amplificat fractia cu 4 prin aceeasi metoda. , am amplificat fractia cu numarul natural 3 , am amplificat fractia cu 2. 2) Simplificati fractiile, obtinand fractii ireeductibile: Observatie: O fractie se numeste ireductibila daca nu se mai poate simplifica. , ca sa ne dam seama prin ce numar se simplifica fractiile folosim criteriile de divizibilitate, astfel in acest caz am folosit criteriul de divizibilitate cu 10. , am simplificat fractia atat prin 10, dar si prin 5, deci am folosit atat criteriul de divizibilitate cu 10 dar si criteriul de divizibilitate cu 5.

Observam ca la acest exercitiu am folosit criteriul de divizibilitate cu 2, 3, 11 si 13. Important la simplificare e ca sa se imparta atat numaratorul cat si numitorul cu acelasi numar.

Cum aratam daca un numar este patrat perfect sau nu Cum aratam daca un numar este patrat perfect sau nu. Astfel rezolvam cateva exercitii astfel incat sa intelegem aceste notiuni. 1) Stabiliti daca numarul este patrat perfect Solutie Ca sa stabilim daca numarul este patrat perfect sau nu calculam ultima cifra a numarului de mai sus, astfel avem:

Ca sa aflam ultima cifra a numarului 3 la puterea 83, am impartit pe 83 la 4 si am luat 3 la puterea restului care l-am obtinut, adica 3 la puterea a 3, asemenea am facut si pentru cel de-al doilea numar 8 la puterea 68 .Am impartit 86 la 4 si am obtinut restul 0. Deci obtinem 8 la puterea 0, apoi am efectuat ridicarea la putere a numerelor, apoi am efectuat operatia de adunare, iar apoi am calculam ultima cifra a sumei celor doua numere. Obtinem ca ultima cifra a numarului este 8 si gasim ca numarul nu este patrat perfect Ca un numar sa fie patrat perfect trebuie sa gasim ca ultima cifra este 0, 1, 4, 5, 6, 9. a) Solutie: Asemenea cum am facut si mai sus calculam ultima cifra a numarului de mai sus, astfel

Adunarea si scaderea unor fractii ordinare care au acelasi numitor Despre notiunea de fractie am mai invatat pana acum.Stim ca am invatat sa calculam o fractie dintr-un numar, cand o fractie este subunitara sau supraunitare sau echiunitara, dar si sa simplificam sau sa amplificam o fractie, acum a venit vremea sa discutam despre Adunarea si scaderea unor fractii ordinare care au acelasi numitor . O notiunea noua fractie ordinara? Pana acum am vorbit doar despre fractii, iar acum a venit vremea sa stiti ca fractiile sunt de doua feluri: – fractii ordinare Exemplu:

si asa mai departe

–fractii zecimale Mai tarziu o sa invatam ca fractiile zecimale se impart si ele in alte subcategorii, dar acestea o sa le invatam mai tarziu . Exemplu: 0,7; 0,34…. Acum sa revenim la ce o sa discutam noi acum:

Adunarea si scaderea unor fractii ordinare care au acelasi numitor Incepem cu Adunarea fractiilor ordinare Pentru a aduna doua fractii ordinare care au acelasi numitor se procedeaza astfel: se copiaza numitorul si se aduna numaratorii.

Exemplu:

Observam ca dupa ce am adunat cele doua fractii care au acelasi numitor, am simplificat fractia obtinuta prin 5, folosind criteriul de divizibilitate cu 5.

Scaderea fractiilor ordinare Pentru a scadea doua fractii ordinare procedam astfel: se copiaza numitorul si se scad numaratorii .

Exemplu: . Observati ca si la exemplul de mai sus am simplificat fractia obtinuta prin 4. Exercitii 1) Scrieti fractiile

ca:

a) suma de fractii ordinare cu acelasi numitor ; gasiti trei posibilitati b) diferenta de fractii ordinare cu acelasi numitor; gasiti trei posibilitati Solutie a)

b)

Analog se rezolva si ultima fractie. 2) Efectuati calculele si simplificati rezultatul final: a) Observam ca la exercitiul de mai sus momentan nu avem acelasi numitor, astfel efectuam produsul la numitori:

Observati ca am efectuat prima data adunarea numaratorilor, iar apoi scaderea numaratorilor copiind numitorul, iar apoi am simplificat prin 4.

b) Calculam separat: si inlocuim mai sus. Deci important la adunarea si scaderea fractiilor ordinare cu acelasi numitor sa stim cand se aduna fractiile cand se scad si cand putem sa le simplificam.

Fractii echivalente Cand doua fractii sunt echivalente? Dupa ce am invatat notiunea de fractie si cum sa introducem intregii in fractie, dar si sa scoatem introducem intregii in fractii, acum o sa discutam despre fractii echivalente. Poate va intrebati de ce trebuie sa invatati despre fractii .Raspunsul este firesc ;deoarece ne ajuta in viata de zi cu zi.Astfel: Definitie: Doua fractii sunt echivalente daca sunt egale. Doua fractii sunt egale daca reprezentarile lor sunt echivalente. Exemplu: si , deci fractiile sunt egale si astfel echivalente. Astfel regula pentru a stii daca doua fractii si sunt egale, calculam -Daca

, atunci fractiile sunt egale

-Daca

atunci fractiile nu sunt egale

(echivalente) (nu sunt echivalente).

Exercitii: 1) Determinati fractia , stiind ca este egala cu fractia si ca Solutie Stim ca cele doua fractii sunt egale si scriem

si

(*), astfel dupa ce am aflat

inlocuim in in relatia

Observati ca am inmultit cu 3 pentru a ni se simplifica cu numitorul si sa putem sa calculam mai usor, dupa ce am aflat b, aflam a, astfel inlocuind b in (*) obtinem , astfel pentru a observa daca am rezolvat corect inlocuim a, si b cu ce am gasit si vedem daca fractiile sunt egale , daca inmultim pe diagonala obtinem si , observam ca , deci produsul este egal si astfel cele doua fractii sunt egale , iar suma celor doua cifre este 10, (adevarat). 2) Determinati x astfel incat , observam ca fractia in care apare simbolul x este in baza zece si astfel putem sa scriem prima fractie astfel , cum stim ca cele doua fractii sunt egale scriem , dupa ce am afalt x putem sa inlocuim in fractia scrisa in baza 10 si obtinem si mai avem fractia , trebuie sa gasim ca cele doua fractii sunt egale si astfel calculam si

si obtinem 108 si 108, deci cele doua fractii sunt egale.

Aflarea unei fractii dintr-un numar Procente O intrebare fireasca este Cum aflam o fractie dintr-un numar? Pana in acest moment am definit notiunea de fractie si am invatat cand o fractie este subunitara sau supraunitara. O alta notiune pe care o mai discutam este procentul .Sigur, ati mai auzit la televizor vorbindu-se despre procente. Adica benzina se va scumpi cu 2 sau 3 procente. Poate in acel moment nu ati inteles despre ce este vorba, tocmai din acest motiv o sa intelegem acum. Incepem prin a discuta despre Aflarea unei fractii dintr-un numar Pentru a afla o fractie dintr-un numar natural se inmulteste fractia cu acel numar adica numaratorul cu numarul si se impart la numitor.

Adica, din este egal cu

Exemplu: 1) din 150 kg este egal cu 2) din 140 m este egal cu

.

3) din 120 l este egal cu

.

Procentul Acum procentul se exprima sub forma unei fractii cu numitorul 100

.

Procentul se mai scrie (asa ati vazut ca se folosete mai mult la televizor) si se citeste p la suta sau p procente. Astfel din n este egal cu

.

Exemlu: 1)

din 2 400 este egal cu

2)

din 21 300 este egal cu

.

Exercitii 1) Calculati a) din 3124 este egal cu b) c)

.

din 624 este egal cu din 583 este egal cu

. .

2) Un calator are de parcurs distanta de 125 km. El a parcurs a) Calculati ce distanta a parcurs b) Calculati ce distanta mai are de parcurs

din distanta.

Solutie Ca sa aflam ce distanta a parcurs calculam

din 125, astfel:

, deci calatorul a parcurs 35 de km si mai are de parcurs . 3) Mihai afirma ca pretul unei carti s-a micsorat cu 10 procente. Calculati pretul pe care trebuie sa-l platesca Mihai, stiind ca pretul initial a fost de 10 lei. Solutie Cum stim ca pretul initial al cartii este de 10 lei si stim ca s-a micsorat cu 10 la suta , adica din pretul intial scadem 10 procente, adica al cartii s-a micsorat cu 1 lei, adica

lei, deci pretul intial

Mihai a cumparat cartea cu 10 lei-1 lei=9 lei.

Deci noul pret al cartii este de 9 lei. 4) Un teren agricol are 2 400 de hectare. Din acesta s-a cultivat cu porumb, din rest s-a cumtivat cu grau, iar restul cu sfecla. a) Calculati suprafata cultivata cu proumb si apoi suprafata care s-a cultivat cu grau?

Solutie a) Ca sa calculam suprafata cultivata cu prumb calculam din 2 400 hectare, astfel

S-a cumtivat 1500 hectare. Calculam 2 4 00-1500=900 hectare ramase necultivate Mai stim ca s-a mai cultivat din rest grau, adica din 900, astfel

Deci 400 de hectare s-au cultivat cu grau. Acum calculam sa aflam ce suprafata este cultivata cu sfecla, adica (restul din hectare sunt cultivate cu sfecla) 900-400=500 hectare. Deci 500 de hectare sunt cultivate cu sfecla.

Scoaterea intregilor din fractii Introducerea intregilor in fractii Acum ca stim care sunt fractiile subunitare,supraunitare si echiunitare, acum o sa invatam sa scoatem intregii din fractii, dar si sa introducem intregii in fractii. Incepem cu: Scoaterea intregilor din fractii Fie o fractie supraunitara (a>b). Impartind pe a la b obtinem catul c si restul r. Folosind teorema impartirii cu rest obtinem: (r
(citim ca am obtinut 3 intregi si 3 supra 4 sau 3 intregi si trei patrimi). Introducerea intregilor in fractie Introducerea intregilor in fractie este opusul scoaterii intregilor din fractii (deci ca sa vedem daca am efectuat corect scoatem sau introducem intregii in fractie si trebuie sa obtinem acelasi rezultat) Exemplu Introduceti intregii in fractie: deci am obtinut o fractie. Ca sa vedem daca am rezolvat corect scoatem intregii din fractie, adica impartim 97:43

Astfel scriem . Exercitii 1) Scoateti intregii din fractii a) Impartim pe 201 la 11

b) La fel impartim 3457 la 97

. c)

2) Introduceti intregii in fractii a) b) c) Deci ca sa introducem intregul intr-o fractie procedam astfel:inmultim intregul cu numitorul plus numaratorul totul supra numitor. 3) Determinati valorile naturale ale lui n pentru care fractiile urmatoare reprezinta numere naturale: a)

Ca sa gasim valorile naturale ale lui npentru care fractia reprezinta numere naturale incercam sa scoatem intregii din fractie, astfel impartim numaratorul la numitor.

Deci din fractia

Cautam divizori naturali ai numarului 1, adica

Acum egalam numitorul cu divizorul care l-am gasit si gasim n=0 Deci n=0 si astfel obtinem ca doar n=0, adica elementul 0 este singura solutie a fractiei b) La fel ca si la b) impartim numaratorul la numitor si obtinem

Astfel obtinem:

Scriem divizorii naturali ai numarului 2

Acum rezolvam ecuatiile (nu se poate in multimea numerelor naturale, ecuatia nu are solutie in multimea numerelor naturale) (nu se poate in multimea numerelor naturale, ecuatia nu are solutie in multimea numerelor naturale) Deci ,obtinem ca nu exista nici un numar natural care sa verifice fractia.

Fractii ordinare Fractii subunitare Fractii echiunitare Fractii supraunitare Inca din clasa a IV-a vi s-a introdus notiunea de fractie .Anul acesta o sa aprofundam notiunea de fractie si o sa invatam majoritatea notiunilor care o sa ne ajute pe tot parcursul gimnaziului. Invatam astazi Fractii ordinare Fractii subunitare Fractii echiunitare Fractii supraunitare

Definim notiunea de fractie Fractia este o pereche de numere naturale a si b, cu scrisa sub forma , unde a se numeste numaratorul fractiei si b se numeste numitorul fractiei. Numaratorul este separat de numitor printr-o linie de fractie.

Numitorul unei fractii arata in cate parti egale a fost impartit intregul, iar numaratorul arata de cate ori au fost luate astfel de parti. Fractiile pot fi reprezentate cu ajutorul unor desene. Observatie:

oricare ar fi un numar natural avem: si Exemplu Cum pot fi reprezentate fractiile cu ajutorul desenelor:

Definim notiunea de fractie subunitara, fractie echiunitara, fractie supraunitara Definitie: O fractie subunitara este o fractie care are numaratorul mai mic decat numitorul Daca atunci (fractia este subunitara). Definitie: O fractie echiunitara este o fractie care are numaratorul egal cu numitorul. Daca atunci (fractie este echiunitara). Definitie: O fractie este supraunitara daca are numaratorul mai mare decat numitorul Daca atunci (fractie este supraunitara). Exemplu 1) Fie fractiile . Scrieti fractiile: a) subunitare b) supraunitare c) echiunitare a) observam ca numaratorul este mai mic decat numitorul, deci fractii subunitare b) , observam ca numaratorul este mai mare decat numitorul, deci fractiile sunt supraunitare c) , numitorul este egal cu numaratorul, deci fractiile sunt echiunitare. 2) Determinati elementele multimii

Ca sa determinam elementele multimii trebuie sa stim criteriile de divizibilitate, adica

criteriul de divizibilitate cu 5 si criteriul de divizibilitate cu 3. Criteriul de divizibilitate cu 5 Un numar este divizibil cu 5 daca ultima cifra este 0 sau 5. Criteriul de divizibilitate cu 3 Un numar este divizibil cu 3 daca suma cifrelor este divizibila cu 3. . Stabiliti care din elementele din multimea de mai sus sunt subunitare, supraunitare. -fractii subunitare -fractii supraunitare

.

Operatii cu multimi Reuniunea Intersectia Diferenta Dupa ce am invatat despre notiunea de multime, cum se definesc multimile, dar si care sunt multimile finite si infinite acum o sa discutam, dar o sa si intelegem cum efectuam operatii cu multimi .Vom intelege reuniunea, intersectia, diferenta dar si diferenta simetrica. Incepem cu reuniunea multimilor: Reuniunea multimilor Reuniunea a doua multimi A si B este multimea elementelor care apartin cel putin uneia dintre multimi. Ilustram reuniunea multimilor A si B cu ajutorul unei diagrame reprezentate ca in figura

Intersectia multimilor Intersectia a doua multimi A si B este multimea elementelor comune celor doua multimi

Daca

atunci multimile A si B sunt multimi disjuncte.

Diferenta a doua multimi Fie A si B doua multimi. Multimea formata din elementele lui A care nu sunt si elemente ale lui B se numeste diferenta dintre multimea A si multimea B.

Diferenta simetrica Rezolvam un exercitiu prin care exemplificam ceea ce am spus mai sus 1) Fie multimile:

a) Enumerati elementele multimilor A, B, C b) Calculati , . Solutie a) Ca sa calculam multimea C rezolvam mai intai inecuatia ,

b)

, , , , , , , , , , , , ,

Multimi finite si Multimi infinite Definitie Dupa ce ati invatat notiunea de multime, care a fost un lucru nou pentru voi si ati vazut ca sirul numerelor naturale se numeste multimea numerelor naturale si se noteaza cu N , astazi o sa vorbim despre multimi finite si multimi infinite. Astfel: Multimea finita Def: O multime se numeste finita daca are un numar finit de elemente. Exemplu: deci card A=5.

este o multime finita pentru ca multimea A are 5 elemente,

Multimea infinita Def: O multime se numeste infinita daca nu are un numar finit de elemente. Exemplu: – multimea numerelor naturale este o multime infinita, contine un numar infinit de elemente. – multimea numerelor naturale nenule este o multime infinita

Obs: Trebuie sa stim ca

se numeste multimea numerelor naturale nenule .

Stiti ca am invatat notiunea de divizor dar si notiunea de multiplu. Astfel multimea divizorilor unui numar a este: Exemplu: observam ca 1|10, 2|10, 5|10, 10|10, deci se verifica si multimea divizorilor lui 10 este 1, 2, 5, 10. ,deci divizorii lui. Zero este multimea numerelor naturale. obtinem

datorita faptului ca orice numar are cel putin un element.

Multimea multiplilor lui a Notam multimea multiplilor lui a. Obs: Multimea divizorilor unui numar natural este o multime infinita iar multimea multiplilor unui numar natural este o multime finita. Rezolvam cateva exercitii care ne ajuta sa intelegem ce am spus mai sus. Determinati multimile: a) b) c) Solutie: a) cu 3 este multimea multiplilor numarului 3.

, deci multimea numerelor care se divid

b) Prima data scriem divizorii lui 50 (adica egalam numarul x+2 cu fiecare divizor al numarului )

, rezolvam ecuatiile

(nu se poate, ecuatia nu are solutie) Rezolvam fiecare ecuatie si astfel gasim solutia multimii: latex B=\left\{0, 3, 8, 23, 48\right\}$ c) Pentru multimea C calculam mai intai

Deci gasim solutia inegalitatii, mai bine zis x poate lua valorile , ca sa rezolvam inegalitatea de mai sus am impartit toata inegalitatea prin 2 si astfel am obtinut multimea de numere care poate sa o ia x. Acum ca sa aflam multimea C trebuie sa vedem daca indeplineste si cea de-a doua conditie, adica 2x+1|7 Asa cum am spus si la multimea B scriem multimea divizorii lui 7 si gasim: , si rezolvam cele doua ecuatii si gasim x=0, 3 Deci multimea

.

Multimea C trebuie sa indeplineasca cele doua conditii obtinem ca ,are un singur element, cand avem conjunctia “si” , in multimea respectiva trebuie sa se indeplineasca ambele conditii, in cazul nostru elementul x trebuie sa se afle intre numerele 2 si 5 inclusiv aceste cifre, iar cea de-a doua conditie 2x+1|7, noi am luat elementul 3, observam ca 3 se afla in intervalul 2,5, dar si , deoarece obtinem 7|7, daca incercam alta cifra care se afla in intervalul 2,5 observam ca nu indeplineste cea de-a doua conditie, de exemplu x=2 se afla intervalul 2; 5, dar dar observam ca 5 nu divide pe 7. Deci cand avem la o multime doua conditii si avem cojunctia “si” intre ele, trebuie sa avem grija sa se indeplineasca cele doua conditii, iar daca avem ”sau” trebuie sa indeplineasca cel putin una din conditiile din multime.

Probleme cu unghiuri adiacene, unghiuri complementare si unghiuri suplementare Dupa ce am invatat notiunile de unghiuri adiacente, unghiuri complementare, unghiuri complementare si despre bisectorea unui unghi, astazi o sa rezolvam probleme cu unghiuri in care apar aceste notiuni. 1) Daca si formeaza un unghi de Solutie

sunt unghiuri adiacente, , aflati masurile unghiurilor

, iar bisectoarele lor si .

Din datele problemei am construit unghiul TOD (unghi format din bisectoarele celor doua unghiuri XOY si YOZ), stim ca Stim de asemenea ca Stim ca daca OT este bisectoarea unghiului XOY rezulta ca , de asemenea stim ca OD este bisectoarea unghiului YOZ rezulta ca , Cum Deci suma celor doua unghiuri este de 90 de grade Dar stim ca , inlocuind in ce am obtinut mai sus obtinem: Deci masura unghiului YOZ este de 70 de grade si masura unghiului XOY este de 20 de grade. Important este sa stim cand doua unghiri sunt suplementare, coplementare sau cand sunt adiacente, sa stim definitia bisectoarei unui unghi si cum le aplicam in formule

Patratul si cubul unui numar natural, ultima cifra a unui numar, patrate perfecte Poate ati mai auzit de notiunea de patratul si cubul unui numar natural, despre patrate perfecte sau cum calculam ultima cifra a unui numar. Puterea a doua unui numar natural , adica , se numeste patratul numarului , astfel se citeste “a la patrat”. Puterea a treia a unui numr natural , adica citeste ‘a la cub’.

, se numeste cubul numarului , astfel

se

Astfel un patrat perfect este patratul unui numar natural. Sirul de numere 0, 1, 4, 9,16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, este sirul Fie x un numar natural, atunci ultima cifra a unui numar natural se noteaza Ca sa invatam mai usor patratele perfecte trebuie sa stim ca ultima cifra a unui patrat perfect poate fi: 0, 1, 4, 5, 6, 9. Ca sa ne dam seama de unde le obtinem invatam patratele perfecte pana la 10 si invatam ultima cifra pentru fiecare patrat perfect. Deci ca sa fie patrat perfect un numar trebuie sa aiba ultima cifra: 0, 1, 4, 5, 6, 9. (luam ultima cifra a patratelor perfect) De aici obtinem si o metoda prin care putem sa demonstram ca un numar este sau nu patrat perfect. Deci daca ultima cifra a unui numar este diferita de: 0, 1, 4, 5, 6, 9 atunci numarul nu este patrat perfect sau altfel spus putem spune ca un numar nu este patrat perfect daca ultima cifra este 2, 3, 7, 8. Ca sa obtinem ultima cifra a unui numar aplicam urmatoarea regula: Exemple: 1) Aratati ca urmatoarele numere nu sunt patrate perfecte: a) Calculam ultima cifra a numarului de mai sus: Ca sa calculam ultima cifra a numarului de mai sus am scris baza asa cum este si am impartit exponentul la 4, iar restul obtinut l-am trecut la exponent adica 1, iar 2 la puterea 1 este 2. Deci ultima cifra a numarului este 2 si nu este patrat perfect.Ca sa fie patrat perfect trebuia sa aiba ultima cifra 0, 1, 4, 5, 6, 9. 2) Aratati ca numarul nu este patrat perfect. Calculam ultima cifra a numarului de mai sus

Ca sa demonstram ca numarul nu este patrat perfect calculam ultima cifra a numarului respectiv, astfel pentru inceput calculam ultima cifra a lui 1998, care este 8, iar apoi calculam ultima cifra a exponentului prin impartirea exponentului la 4 si astfel, daca impartim numarul 1999:4 obtinem catul 499 rest 3, iar pe noi restul 3 ne intereseaza. Deci perfect.

, iar ultima cifra a lui 512 este 2 si astfel obtinem ca numarul nu este patrat

Compararea si ordonarea puterilor, reguli de comparare Dupa ce am invatat cum sa rezolvam exercitii cu ridicarea la putere a unui numar natural si dupa ce am invatat regulile de calcul, astazi o sa invatam compararea si ordonarea puterilor, reguli de calcul cu puteri. Cand aveam numere naturale fara ridicare la putere, comparam, in functie de ce aveam. Adica: zeci, sute, mii, sute de mii, milioane, comparam de la dreapta la stanga si observam care cifra este mai mare si astfel gaseam numarul cel mai mare, important era sa vedem la ce ordin de marime suntem. Ca sa ne fie mai usor cu compararea si ordonarea puterilor trebuie sa invatam anumite reguli de comparare: – astfel daca avem aceeasi baza ne uitam la exponent, iar numarul care are exponentul mai mare este cel mai mare Exemplu: Cum 101>83, rezulta ca mare decat cel de-al doilea. Regula:

, avem aceeasi baza dar primul exponent este mai

-daca nu avem aceeasi baza, dar avem acelasi exponent, dintre doua numere mai mare este cel care are baza mai mare. Exemplu: Iar ultima regula este aceea in care nu avem nici aceeasi baza nici acelasi exponent. In acest caz incercam sa aducem fie la aceiasi baza fie la acelasi exponent, in functie de ce observam la cele doua numere. Exemplu: Observam ca nu avem nici aceeasi baza si nici acelasi exponent, astfel obsevam ca avem in ambele cazuri puteri ale lui 10, deci Astfel am adus cele doua numere la acelasi exponent si aplicam regula a doua: Exercitii: 1) Comparati numerele Solutie Privind cele doua numere, obsevam ca pe primul putem sa-l scriem in baza 3, deoarece , obsevam ca cel de-al doilea numar este deja in baza 3 si astfel am adus cele doua numere in aceeasi baza si astfel putem sa le comparam: b) Obsevam ca la exercitiul b) nu putem sa lucram cu bazele, astfel incercam sa lucram exponentii, adica exponentii sa aiba aceeasi putere:

, fiind singura posibilitate Astfel am adus numerele la acelasi exponent . Ca se vedem cum e mai usor sa scriem exponentii sau bazele ,ii impartim la 2,3,5,7,11,13,17, iar impartirile trebuie sa fie fara rest. c) Stim ca 0 ca orice putere este tot 0, deci cele doua numere sunt egale. d) Primul numar la baza nu avem cum sa-l lucram, dar ca sa vedem daca lucram exponentul, calculam mai intai cel de-al doilea numar Observam ca trebuie sa lucram si primul numar la exponent, ca sa putem sa aducem la acelasi exponent.

Ridicarea la putere cu exponent natural a unui numar natural, reguli de calcul cu puteri Reguli de calcul cu puteri Pana acum am invatat cum sa adunam, cum sa scadem, cum sa inmultim si cum sa impartim doua sau mai multe numere naturale, iar astazi o sa invatam ridicarea la putere cu exponent natural a unui numar natural, reguli de calcul cu puteri.

Incepem printr-un exemplu. Astfel, daca avem sa calculam: asta stim inca din clasele mai mici. Dar acum invatam ca inmultirea lui 2 cu el insusi de mai multe ori putem sa scriem in felul urmator Operatia prin care se obtine puterea unui numar natural se numeste ridicarea la putere.Astfel unde a se numeste baza si m este exponentul. Foarte important, trebuie sa invatati regulile urmatoare ca sa putem rezolva exercitiile de acest gen: Reguli de calcul cu puteri: Oricare ar fi numerele naturale . Rezolvam exercitii de acest gen sa vedem cum ne ajuta regulile de calcul cu puteri: 1)Calculati: Am folosit prima regula din cele care le-am enuntat mai sus, adica am copiat baza celor

doua numere, baza fiind 2 si am adunat exponentii 21+17.Rezultatul a fost

, care

inseama , dar nu trebuie sa calculam tot numarul, tocmai din acest motiv folosim regulile de calcul cu puteri. b) La exercitiul de mai sus in partea a doua am folosit formula 3, adica am copiat baza 3 si am inmultit exponentii, adica , iar apoi dupa ce am efectuat acest lucru am observat ca avem operatia de impartire si astfel folosim regula a 2, adica copiem baza 3 si scadem exponentii, adica 108-90 si astfe obtinem rezultatul.Rezultatul obtinut daca este la o putere foarte mare nu trebuie sa-l calculam. c) La exercitiul c) am dat factor comun pe . Stiti ce inseamna sa dam factor comun, adica obsevam ce este comun in ambele parti ale exercitiului, iar acel lucru il scoatem in fata.In cazul nostru , iar apoi am copiat ce ne-a ramas, am efectuat calculele din paranteza rotunda( observam ca am mai introdus o paranteza,adica am transformat-o pe cea rotunda in dreapta, dat fiind faptul ca am dat factor comun), adica diferenta si am obtinut rezultatul 12. Apoi am folosit prima regula de calcul, adica am copiat baza si am adunat exponentii iar dupa ce am efectuat acest lucru am folosit a doua regula de calcul .Adica am copiat baza si am scazut exponentii . Rezultatul obtinut a fost , iar conform regulii 6 obtinem 1, trebuie sa tinem cont ca , nu are sens. Important sa invatam aceste reguli de calcul cu puteri pentru numere naturale si sa stim ca si nu 6, cum majoritatea dintre voi credeti.

Scrierea si citirea numerelor naturale in sistemul de numeratie zecimal Din clasa a IV-a va reamintiti scrierea si citirea numerelor naturale in sistemul de numeratie zecimal. Scrierea numerelor folosita in clasele I-IV este o scriere care foloseste cifrele arabe, acestea sunt: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Cand scriem un numar cifrele se pot repeta sau nu. Acest mod de scriere a unui numar natural se numeste scrierea in baza zece sau scrierea in sistem zecimal. Un numar in baza zece de doua cifre se reprezinta prin scrierea , unde ‘a’ si ‘b’ desemneaza cifre, nu tot timplul diferite, dar Exp:

.

. Un numar natural oarecare de trei cifre se reprezinta prin scrierea , unde a,b,c cifre nu neaparat distincte . Numerele naturale scrise in ordinea formeaza sirul numerelor naturale. Pentru a intelege mai bine modul de rezolvare a exercitiilor care contin numere in baza zece o sa rezolvam cat mai multe: Exercitii: 1) Determinati numarul natural de forma scris in baza 10 pentru care: , deci a=2 si b=5, iar pentru a ne convinge ca am rezolvat corect facem proba: . Stim ca . Stim asta din scrierea numerelor in baza 10 pe care am invatat-o mai sus. 2) Aflati cifra ‘a’ din sistemul zecimal care verifica egalitatea Solutie Calculand

Iar daca inlocuim a in egalitate obtinem . 3) Aflati cifrele a,b,c (in baza 10) stiind ca: Solutie Scriind toate numerele de mai sus din baza zece in sistemul zecimal obtinem: Acum trebuie sa gasim numerele care verifica egalitatea. Cum luam a=1 obtinem , pentru a ajunge la numarul luam c=8 si obtinem deci b=9 Deci cel mai important este sa scriem numerele din baza zece corect.

CLASA A VI A Probleme care se rezolva cu ajutorul ecuatiilor in multimea numerelor intregi

si

Dupa ce am invatat sa rezolvam ecuatii si inecuatii in multimea numerelor intregi, dupa cum bine stiti vine vremea sa invatam sa rezolvam si probleme care se rezolva cu ajutorul ecuatiilor in multimea numerelor intregi. De rezolvat probleme cu ajutorul ecuatiilor am mai invatat si in clasele mai mici diferenta este ca atunci am invatt sa rezolvam in multimea numerelor naturale sau rationale pozitive, iar acum si pentru numerele intregi. Dar mai intai sa ne reamintim cu rezolvam ecuatiile si incuatiile in Z. Rezolvati ecuatiile: a) Obserervati ca mai intai am scazut din ambii membri termenul liber 3, iar apoi am efectua impartirea numerelor intregi. b) Notiunea noua care am mai invatat-o la numere intregi a fost modulul sau valoarea absoluta a unui numar intreg, asadar rezolvam si o ecuatie cand avem si modulul unei expresii. Observati ca in ambii membrii am impartit printr-un 2. Dar de la definitia modulului stim ca , astfel ecuatia devine , si observam ca ecuatia nu are solutii in Z Dar mai stim si ca Astfel ecuatia devine , la fel ca si mai sus ecuatia nu are solutii in Z. 2.Rezolvati inecuatiile in Z. a) Observam ca nu avem o ecuatie de forma de mai sus, astfel avem

, deci trebuie sa o aducem la forma , asadar solutiile inecuatiei

sunt Dar avem si ineciatii de forma Ca sa rezolvam inecuatia in care apare si modulul trebue sa tinem cont de regula Asadar inecuatia devine Asadar solutia inecuatiei se afla intere numere -2 si 3, adica Dar avem si inecuatii de forma

Regula pentru rezolvarea inecuatiilor de aceasta forma este: , dar si Astfel avem: , deci solutia inecuatiei este: Dar mai avem de rezolvat si inecuatia: Adica solutia inecuatiei este Iar daca efectuam inetersectia celor doua inecuatii Adica Dar reintorcandu-ne la cea ce noi vrem sa discutam Adica probleme care se rezolvam cu ajutorul ecuatiilor in Z. dupa cum am zis probleme care se rezolva cu ajutorul ecuatiilor am mai rezolvat, dar acum ne reamintim etapele pe care trebuie sa le parcurgem pentru a rezolva problemele cu ajutorul ecuatiilor in Z: – alegem necunoscuta, de cele mai multe ori alegem ca necunoscuta ceea ce ni se cere in problema – scriem datele problemei in functie de necunoscuta aleasa – punem problema in ecuatie – rezolvam ecuatia – verificam si interpretam rezultatul Exemplu 1. Daca inmultim un numar cu 3, iar rezultatul il adunam cu 40, obtinem -260. Aflati numarul. Solutie: notam cu x numarul necunoscut formam ecuatia dupa ce am forma ecuatia rezolvam ecuatia: Deci numarul gasit este -100. 2.Tatal, mama si fiul au impreuna 96 de ani.Tata este cu 8 ani mai in varsta decat mama, iar fiul este cu 20 de ani mai tanar decat mama. aflati cati ani are fiecare. Solutie: Notam cu – x varsta tatalui – y varsta mamei – y varsta fiului

Astfel avem ecuatia

Tatal, mama si fiul au impreuna 96 de ani.

Tatal este cu 8 ani mai in vatsta

astfel boservati ca in cazul de fata avem trei ecuatii cu trei necunoscute, daca inlocuim in prima ecuatie obtinem

Deci am obtinut ca mama are 36 ani, iar tata , adica tata are 44 ani, iar fiul Asadar este foarte important sa cunoastem etapele pe care trebuie sa le parcurgem pentru a rezolva probleme, dar si sa stim sa rezolvam ecuatii in multimea numerelor intregi.

Marimi invers proportionale Marimile direct proportionale, dar si marimile invers proportionale joaca un rol important in in viata de zi cu zi. Despre marimi direct proportionale am mai vorbit, pentu cei care nu isi mai amintesc click aici. Astfel acum definim notiunea de marimi invers proportionale: Definitie: doua marimi se numesc invers proportionale, daca atunci cand una creste (scade) de un numar de ori, atunci cealalta se micsoreaza (creste) de acelasi numar de ori. Exemplu: Numarul de muncitori si numarul de zile in care finalizeaza lucrarea. astfel avem: Numaru muncitori Numar zile 8 6 16 3 4 12 Din tabelul de mai sus avem ca cu ajutorul exemplului de mai sus obtinem: Proprietatile marimilor invers proportionale:

Raportul a doua valori din prima marime este egala cu inversul raportului valorilor corespunzatoare din cealalta marime. Produsul valorilor corespunzatoare din cele doua marimi este constant. Definitie: Fiind date doua multimi si , spunem ca intele elementele acestor multimi exista o dependenta invers proportionala (adica sunt invers proportionale), daca sau

.

Aplicatii: 1. Aflati numerele rationale pozitive

Solutie: Numerele

invers proportionale cu

invers proportionale cu

daca

, daca

Ca sa ne fie mai usor le-am egalat cu k, si obtinem:

Astfel obtinem si Dar si Mai stim si ca . Astfel obtinem : Acum aflam Si Asadar este foarte important sa intelegem notiunea de marime invers proportionala, cat si marimi direct proportionale, notiuni care sunt folositoare si in rezolvarea problemelor dein viata de zi cu zi.

Simetria fata de o dreapta

Majoritatea uita notiunea de simetria fata de o dreapta, adica simetricul unui punct fata de o dreapta sau, mai mult, unui dintre voi stiti ce inseamna dar nu stiti sa o construiti. Astfel stim de la simetria unui punct fata de un punct ca: Simetricul unui punct A fata de un punct O este punctul B cu proprietatea ca distanta de la A la o este egla cu distanta de la B la O, cu alte cuvinte ca B este mijlocul segmentului AB.

si notam: sau Dar noi astazi o sa discutam despre simetria unui punct fata de o dreapta. Definitie: Doua punct A si B se numesc simetrice fata de o dreapta D, daca dreapta d este mediatoarea segmentului [AB].

Observatie: Daca doua puncte sunt simetrice in raport cu o dreapta atunci fiecare dintre ele este simetricul celuilalt fata de dreapta data. La fel ca mai sus notam si citim simetricul punctului A fata de dreapta d este punctul BAstfel daca avem

Aplicatii: Fie D un punct pe ipotenuza [BC] in triunghiul dreptunghic ABC. Notam cu E, respectiv F simetricele punctului D fata de AB, respectiv AC. Aratati ca: a) punctele E, A, F sunt simetrice b) Demonstratie: Fie si Si in dreptunghiul AMDP construim diagonala AD Astfel avem triunghiurile si Astfel avem (latura comuna) (E erste simetricul lui D fata de AB) Deci cu cazul de congruenta L.U.L de unde obtinem ca Dar si si adica avem (latura comuna) (F este simetricul lui D fata de dreapta AC) Dar si Si cu cazul de congruente L.U.L obtinem ca de unde obtinem ca Si astfel avem ca , deci punctele F, A, E sunt coliniare.

b) Observam ca Mai sus am demonstrat ca latex \Delta AEM\equiv\Delta ADM$, de unde obtinem si ca Dar mai stim si ca

, adica

Si astfel obtinem , ceea ce trebuia sa demonstram. 2. Daca si D este simetricul punctului C fata de AB, aratati ca Demonstratie: Fie Astfel consideram triunghiurile: si dreptunghice, deoarece AB mediatoarea dreptei CD (latura comuna) (D este simetricul lui C fata de dreapta AB) Astfel obtinemn cu cazul C.C ca so obtinem ca (1) Acum consideram triunghiurile: si , dreptunghice, deoarece AB mediatoarea dreptei CD si avem: (deoarece D simetricul lui C fata de AB) (latura comuna) si cu cazul de congruneta C.C obtinem ca , de unde obtinem si ca (2) Astfel avem triunghiurile: si Stim ca (din (1)) Dar si (din (2)) Si observam ca (latura comuna) si astel cu cazul de congruenta de la la truighiuri oarecare L.L.L obtinem ca .

Asadar este foarte important sa cunoastem notiunea de simetricul unui punct fata de un punct, dar si simetria unui punct fata de o dreapta, notiuni care sunt destul de importante, constituind baza pentru ceea ce v-a urma.

Regula de trei simpla Nu degeaba am invatat notiunile de raport, proportie, marimi direct proportionale, dar si marimi invers proportionale. Astfel cu ajutorul acestor notiuni putem rezolva probleme ce contin cele doua marimi direct sau invers proportionale, acestea pot fi rezolvate folosind o schema bazata pe proprietatile acestor marimi numita regula de trei simpla. Pentru a aplica aceasta metoda trebuie sa avem in vedere urmatoarele doua proprietati: – daca doau marimi sunt direct proportionale, atunci raportul a doua valori ale uneia dintre ele este egala cu raportul valorilor corespunzatoare ale celeilalte valori. – daca doua marimi sunt invers proportionale, atunci raportul a doua valori ale uneia dintre ele este egala cu inversul raportului valorilor corespunzatoare ale celeilalte valori. Regula de trei simpla pentru marimi direct proportionale: Exemplu: 1. Daca din 20 Kg de caise se fac 12 Kg de dulceata, cate kilograme de dulceata se fac din 25 Kg de caise? Solutie: Cantitatea de caise si cea de dulceata obtinuta sunt marimi direct proportionale. Notam cu x cantitatea de dulceata si asezam datele problemei astfel: 20 Kg caise……………………………12 Kg dulceata 25 Kg caise ……………………………x Kg dulceata Astfel obtinem proportia:

Deci am obtinut 15 Kg de dulceata. Astfel etapele pe care trebuie sa le parcurgem in rezolvarea problemelor pentru a aplica regula de trei simpla sunt: – Asezam datele problemei intr-un tabel astfel incat valorile coresunzatoare aceleiasi marimi sa fie unele sub altele si valorile necunoscute sa ocupe ultimul loc din acel tabel.

– Marimile fiind direct proportionale, tabelul poate fi gandit ca o proportie.

Regula de trei simpla pentru marimi invers proportionale Exemplu: 2. 10 mucitori sapa un sant lung de 120 m. Ce lungime va avea santul sapat de trei muncitori cu acelasi ritm de lucru? Solutie: Numarul de muncitori si lungimea santului sunt marimi invers proportioanle. Notam cu x lungimea santului necunoscut si asezam datele problemei astfel: 10 muncitori……………………….120 m 3 muncitori………………………..x m Cum sunt marimi invers proportionale obtinem:

Deci trei muncitori sapa 36 m. Etapele rezolvarii sunt: – Asezam datele problemei intr-un tabel astfel incat valorile coresunzatoare aceleiasi marimi sa fie unele sub altele si valorile necunoscute sa ocupe ultimul loc din acel tabel. – Marimile fiind invers proportionale, tabelul poate fi gandit ca o proportie, produsul valorilor corespunzatoare din cele doua marimi este constant. Aplicatii: 20 muncitori termina o lucrare in 15 zile. a) In cate zile termina lucrarea 15 muncitori? b) Cati muncitori ar termina lucrarea in 10 zile? Solutie: a) Numarul de muncitori si numarul de zile sunt marimi invers proportionale. Notam cu x numarul de zile necunoscute si asezam datele problemei astfel: 20 muncitori………………………….15 zile

15 muncitori…………………………..x zile Astfel obtinem proportia:

Deci 15 muncitori termina lucrarea in 20 de zile. b) Numarul de muncitori si numarul de zile sunt marimi invers proportionale. Notam cu x numarul de muncitori si asezam datele problemei astfel: 20 muncitori……………………………..15 zile x muncitori………………………………10 zile Astfel obtinem proportia:

Astfel 30 de muncitori termia lucrarea in 10 zile.

Bisectoarea unui unghi Proprietatea bisectoarei Despre bisectoarea unui unghi am mai invatat si in primul semestru la capitolul Unghi. Dar acum discutam si de proprietatea bisectoarei, cat si despre concurenta bisectoarelor intr-un triunghi, deoarece dupa cum am mai spus si intr-un alt articol, bisectoarea este una din liniile importante intr-un triunghi. Astfel reamintindu-ne definitia bisectoarei spunem ca: Definitie: Bisectoarea unui unghi este semidreapta cu originea in varful unghiului, interioara unghiului si care care imparte unghiul in doua unghiuri.

Proprietatile bisectoarei: Un punct interior unui unghi este situat la egala distanta de laturile unghiului daca si numai daca apartine bisectoarei acelui unghi.

Avem in ipoteza [OZ bisectoare unghiului

Concluzie: Astfel stim ca distanta de la un punct la o dreapta este piciorul perpendicularei din punctul dat pe drepata respectiva. Stim ca [OZ este bisectoarea unghiului

, astfel avem:

Mai stim si ca Dar si Iar in triunghiurile MAO si MBO, avem triunghiuri dreptunghice.

, adica avem

Mai stim si ca (latura comuna) Dar si Deci cu cazul de congruenta de la triunghiurile dreptunghice I.U, avem ca de unde obtinem ca , adica

Bisectoarea unui unghi este locul punctelor situate la egala distanta de laturile unui triunghi. Teorema. Bisectoarele unghiurilor unui triunghi sunt concurente. Punctul de intersectie al bisectoarelor este situat la distanta egala de laturile triunghiului se noteaza cu I. Punctul de concurenta al bisectoarelor se numeste centrul cercului inscris. Centrul inscris in triunghi este cercul care este tangent la laturile triunghiului, adica are in comun un singur punct cu fiecare latura a triunghiului.

Observati ca AA’, BB’ si CC’ sunt bisectoare in triunghiul ABC, adica – AA’ bisctoarea unghiului – BB’ bisctoarea unghiului – CC’ bisctoarea unghiului Iar punctul de intersectie il notam cu I, numit centrul cercului inscris.

Aplicatii: In triunghiul

avem:

astfel incat . Aratati ca

Demonstratie: Observam ca [BE si [CF sunt bisectoarele unghiurilor $latex\widehat{ABC}, \widehat{ACB}$ dar si , atunci obtinem si ca [AD este bisectoarea unghiului , adica obtinem ca:

Astfel consideram triunghiurile: unde am gasit ca:

si

(latura comuna) Dar si (deoarece , adica formeaza un unghi de ) Si cu cazul de congruneta U.L.U, obtinem ca , de unde obtinem si ca ceea ce trebuia sa demonstram.

Mediana in triunghi Concurenta medianelor unui triunghi Liniile importante in triunghi joaca un rol crucial in rezolvarea problemelor, astfel intr-un triunghi liniile importante sunt: mediana, mediatoarea,bisectoarea si inaltimea, pentru cei care nu va mai reamintiti click mai sus. Astfel, astazi, discutam despre mediana si incepem prin a defini notiunea de mediana: Definitie: Segmentul care uneste un varf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse se numeste mediana.

Trebuie sa stim ca intr-un triunghi putem sa ducem trei mediane. Daca construiti toate cele trei mediane intr-un triunghi o sa observati ca medianele sunt concurente, iar punctul lor de intersectie se noteaza cu G, numit centru de greutate al triunghiului.

Deci e important sa retinem urmatoarea teorema : Teorema. Medianele unui triunghi sunt concurente, iar punctul de intersectie se noteaza cu G, numit centru de greutate al triunghiului, fiind situat la doua treimi fata de varf si o treime fata de baza. Astfel avem: si avem de intersectie se noteaza cu G. Si mai stim si ca:

, adica sunt concurente si punctul

Atentie intr-un triunghi oarecare medianele sunt concurente, dar nu si congruente (adica nu au aceiasi lungime) Mai stimisi ca:

Aplicatii: 1. Fie

, in care avem . Astfel avem in ipoteza Ipoteza:

, iar

mediane. Aratati ca

mediane. Concluzie . Demonstratie:

Astfel consideram triunghiurile: si , in care stim ca (din ipoteza, deoarece triunghiul ABC isoscel) (cum , obtinem ceea ce am spus) Dar si Deci cu cazul de congruneta L.U.L, obtinem ca .

si astfel obtinem si ca

Deci trebuie sa remarcam ca medianele corespunzatoare laturilor congruente intr-un triunghi isoscel sunt congruente. Nu acelasi lucru putem sa-l spunem si despre mediana corespunzatoare bazei intr-un triunghi isoscel.

Exercitii rezolvate cu sume de fractii Prezentam cateva exercitii rezolvate cu sume de fractii, mai complicate se pare, dat fiind faptul ca sunt trimise de vizitatorii MatePedia. 1) Calculati: 400 supra 81 minus 399 supra 81 plus 398 supra 81 minus 397 supra 81 plus…. 2 supra 81 minus 1 supra 81. Adica s-ar scrie cam asa …

Observati ca pentru a calcula suma de mai sus am grupat termenii sumei cate 2 pentru a efectua diferenta, unde am obtinut o suma in care numaratorul este 1. Acum trebuie sa stabilim de cate ori apare termenul 1 si astfel efectuam impartirea > 400:2=200 (deoarece termenii de mai sus i-am grupat cate 2) si astfel am obtinut rezultatul de mai sus. 2) Pentru ce numa

, avem

Pentru a calcula membrul drept rescriem suma Observati ca termenii de mai sus s-au redus ramanand doar primul termen si ultimul, astfel egalitatea de mai sus devine: Deci numarul natural gasit este 2010. 3) Rezolvati ecuatia:

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus de preferat ar fi sa nu ne gandim sa gasim numitorul comun, sa amplificam si sa calculam cum am invatat, caci este o munca destul de grea si anevoioasa, astfel mai intai ar trebui sa ne gandim cum sa scriem fiecare numarator, astfel incat sa putem simplifica anumiti termeni. Astfel ecuatia rescriind-o obtinem:

Acum scriind suma de la numarator ca doua fractii obtinem urmatoarele fractii:

Acum simplificand fiecare fractie obtinuta mai sus, obtinem:

Observati ca cifra 1 se reduce, aparand atat in membrul stang cat si in membrul drept de 2 ori si astfel se reduc: Observam ca Si obtinem 4) Simplificati fractia: Mai intai calculam suma, dar putem sa o si rescriem astfel:

, folosind formula

Pentru cei care sunteti in calsa a IX stiti ca teremenii acestei sume sunt termenii unei progresii geometrice cu ratia:

, adica formula

Pentru cei din gimnaziu trebuie sa retineti formula de mai sus. Si stim ca primul termen il notam cu , iar q il obtinem observand la putere din cat in cat sunt termenii, iar baza se pastreaza. Observam ca mai sus avem puterile: Astfel daca efectuam scaderea intre primii doi termeni obtinem 2013-2012=1 si baza pastrandu- se obtinem Astfel suma devine:

Iar fractia devine: . Observati ca mai sus numitorul l-am rescris astfel pentru a putea simplifica fractiile: , adica am folosit regulile de calcul cu puteri. Iar la numaratori observati ca doi termeni sau redus. Si astfel am obtinut rezultatul de mai sus.

Asadar este important ca la acest gen de exercitii sa ne uitam cu atentie inainte de a incepe sa le rezolvam si sa studiem toate posibilitatile pe care le avem, astfel incat sa o alegem pe cea mai corecta si cea mai usoara.

Exercitii rezolvate cu media aritmetica ponderata Prezentam exercitii care se rezolva media aritmetica ponderata. 1.Calculati media ponderata a numerelor : a)2 si 3 cu ponderile 2 si 8; Solutie: Ca sa intelegem trebuie sa ne reamintim definitia mediei aritmetice ponderate. Media aritmetica ponderata a numerelor cu ponderile este egala cu raportul dintre suma dintre produsul fiecarui numar cu fiecare pondera si suma ponderilor b)1/2 si 1/3 cu ponderile 4 si 6; Solutie: Observati ca mai sus am simplificat fiecare fractie cu un numar natural, iar apoi am efectuat inmultirile corespunzatoare. c)3/20;1/5;1 si 3 cu ponderile 4;2;3 si 5. Solutie: Calculati media ponderata a nr: a)1,(3) si 3 1/3 ,cu ponderile 3 si respectiv 6; Solutie: Inainte de a calcula media aritmetica ponderata a numerelor mai intai transformam fractiile zecimale in fractii ordinare si astfel avem: Dar intoducem si intregii in fractie, adica

Iar acum calculand media aritmetica ponderata

b)1/2;1,3(8) si 0,(3) cu ponderile 1,9 si respectiv 6. Solutie La fel ma si mai sus mai intai transformam fractiile zecimale periodice in fractii ordinare si astfel avem:

Putem sa transformam fractia zecimala de mai sus si astfel Acum transformam urmatoarea fractie zecimala periodica simpla Acum ca am transformat fractiile zecimale in fractii ordinare putem calcula media aritmetica ponderata

Dar important sa ne reamintim si definitia pentru media aritmetica, adica. Media aritmetica a numerelor numarul numerelor.

este egala cu suma numerelor impartite la

se noteaza media aritmetica a numerelor si este egala

Metoda triughiurilor congruente In majoritatea problemelor de geometrie trebuie sa demonstram ca doua segmente sunt congruente sau doua unghiuri sunt congruente. In rezolvarea unei astfel de probleme se poate utiliza metoda triunghiurilor congruente care consta in parcurgerea urmatoarelor etape: – sa identificam doua triunghiuri care contin cele doua elemente care trebuie demonstrate ca sunt congruente, in pozitii corespunzatoare, si a caror congruenta poate fi aratata cu criteriile de congruenta – aratam ca cele doua triunghiuri sunt congruente

– si cu definitia triunghiurilor congruente obtinem congruenta celor doua elemente. Acum sa ne reamintim criteriile de congruenta: Cazul L.U.L Daca doua triunghiuri au cate doua laturi respectiv congruente si unghiurile format de aceste laturi congruente, atunci triunghiurile sunt congruente. Cazul U.L.U Daca doua triunghiuri au cate o latura si unghiurile alaturate acestei baze respectiv congrunete, atunci triunghiurile sunt congruente. Cazul L.L.L Daca doua triunghiuri au laturile respectiv congruente, atunci triunghiurile sunt congruente. Cu ajutorul acestor criterii de congruenta, pentru a verifica congruenta celor doua triunghiuri nu mai este nevoie sa verificam toate cele 6 perechi de elemente corespunzatoare asa cum ne cere definitia, ci doar a trei dintre acestea corespunzatoare unuia dintre cele trei criterii. Observatii. 1. Cand folosim metoda triunghiurilor congruente trebuie sa tinem cont de informatiile pe care ni le furnizeaza enuntul problemei, informatiile obtinute din figura corespunzatoare, dar si de elementele teoretice pe care le cunoastem. 2. In cazul problemelor mai simple, cele trei informatii pe care trebuie sa le utilizam in cazul de congruenta, sunt furnizate cu usurinta chiar din ipoteza problemei. 3. In cazul unei probleme mai dificile, in majoritatea timplului, sunt necesare demonstratii pregatitoare pe care le folosim cand aratam congruenta celor doua triunghiuri, asadar metoda triunghiurilor congruente poate fi folosita de mai multe ori intr-o problema. Aplicatii: 1. Fie ABC si DEF doua triunghiuri in care AB=4 cm si aratati ca Astfel avem:

si

.

Ipoteza: AB=4 cm

Concluzie:

Demonstratie: Stim Dar si

.

Stim in ipoteza ca

, adica

Dar stim si ca , adica Dar mai stim si din ipoteza ca

, adica

Observati ca am obtinut doua laturi respectiv congruente, dar si unghiul format de aceste laturile sunt congruente. Deci cu cazul de congruenta L.U.L De unde obtine si ca

Dar si Mai mult din 2. Se dau bisectoarele unghiurilor

. Bisectoarele unghiurilor si se intersecteaza in M, iar si se intersecteaza in N. Aratati ca

Astfel in ipoteza avem: Bisectoarele unghiurilor

si

se intersecteaza in M

Bisectoarele unghiurilor

si

se intersecteaza in N.

Concluzie: Demonstratie: Stim in ipoteza ca Dar mai stim si ca: Bisectoarele unghiurilor B si C se intersecteaza in punctul M Stim ca bisectoarea unui unghi imparte unghiul dat in doua unghiuri congruente Adica bisectoarea unghiului B, imparte unghiul B in doua unghiuri congruente, adica La fel procedam la toate unghiurile. Mai stim din ipoteza ca Dar si

, mai mult

, mai mult cu definitia bisectoarei obtinem

Tot din faptul ca

stim si ca

Astfel cu cazul de congruenta U.L.U, obtinem ca ca

, de unde obtinem

Asadar astfel se aplica metoda triunghiurilor congruente.

Probleme rezolvate cu unghiuri Cum transformam fractiile zecimale in fractii ordinare In acest articol prezentam un exercitiu de algebra de calasa a VI- a prin care ne reamintim cum transformam o fractie zecimala in fractie ordinara, cat si notiunea de fractie ireductibila, dar si o problema rezolvata de geometrie cu unghiuri. 1. Scrie ca fractie ordinara ireductibila : A) 1,16 egal …….. B) 1,15 egal ……… C) 1,00016 egal……… Soluite: Mai intai transformam fractiile zecimale in fractii ordinare si apoi simplificam. Observam ca avem doar fractii zecimale finitie Astfel obtinem: A) Cum 29 si 25 sunt prime intre ele obtinem ca fractia de mai sus este ireductibila. B) Si la fel ca mai sus numerele 23 si 20 fiind prime intre ele rezulta ca fractia este ireductibila, adica (23, 20)=1

C) Observam ca mai intai am transformat fractia zecimala in fractie ordinara pentru cei care nu va mai remaintiti click aici. Mai intai am simplificat fractia ordinara prin 4, apoi iar printr-un 4 si astfel am obtinut la numarator numarul 6251 si la numitor numarul 6250, astfel daca descompunem fiecare numar in parte obtinem ca:

Astfel obtinem Dar si Iar cel mai mare divizor comun al numerelor este: , adica numerele sunt prime intre ele, la cel mai mare divizor comun al numerelor luam factorii comuni o singura data la puterea cea mai mica. Deci important sa stim sa transformam fractiile zecimale in fractii ordinare, dar si sa cunoastem notiunea de simplificare, adica a simplifica inseamna a imparti atat numitorul cat si numaratorul la acelasi numar, iar o fractie se numeste ireductibila daca cel mai mare divizor comun a numitorului si numaratorului este 1, adica numerele sunt prime intre ele. Problema :Se considera doua drepte a si b concurente in O.Calculati masura fiecarui unghi cu varful in O stiind ca: a)suma masurilor a doua dintre unghiuri este 108°; b)suma masurilor a trei dintre unghiuri este 208° Solutie:

Stim ca suma masurilor a doua dintre unghiuri este de Daca unghiurile ar fi opuse la varf am avea Dar stim ca unghiurile opuse la varf sunt congruente, adica Si obtinem: iar Am folosit faptul ca opuse la varf.

, iar unghiurile

b) suma masurilor a trei dintre unghiuri este 208° Astfel avem ca:

sunt unghiuri

Cum unghiurile

si

sunt situate pe aceiasi dreapta b stim ca

Iar din relatia de mai sus obtinem Dar observam ca unghiurile Astfel obtinem Si cum unghiurile

si

si

sunt opuse la varf adica congruente

sunt opuse la varf obtinem si ca

Asadar e foarte important sa cunoastem notiunile referitoare la unghiuri, adica unghiuri opuse la varf, cum arata un unghi alungit si ce masura are acesta.

Exercitii rezolvate cu divizibilitate Prezentam doua exercitii rezolvate cu divizibilitatea numerelor naturale 1. Sa se afle numerele naturale a si b, stiind ca sunt indeplinite relatiile: a-b= 156 si (a,b)=13 Solutie: Ca sa aflam numerele a si b, trebuie sa tinem cont de conditiile de mai sus. Adica a-b=156 dar si (a, b)=13 Dar, sigur a>b cum cel mai mare divizor comun a celor doua numere este 13, adica 13|a, de unde conform definitiei divizibilitatii, rezulta ca exista un numar natural c astfel incat si 13|b, de unde la fel conforma definitiei divizibilitatii numerelor naturale ca exista un numar natural t, astfel incat Astfel diferenta devine: , cu c>t Si obtinem Deci diferenta dintre c si t este 12, dar si c>t, ca sa aiba loc sens diferenta. Pentru t=1, obtinem Si obtinem si Pentru t=2, obtinem Si obtinem Si Si am obtine ca cel mai mare divizor comun al numerelor este 26 si nu satisface cea de-a doua conditie, deci nu convine. Pentru t=3, obtinem

Si Dar si si la fel obtinem ca cel mai mare divizor comun al numerelor este 39 ceea ce nu convine ………….. Pentru t=5, obtinem Si obtinem Si ………………………

, ceea ce satisface conditia de mai sus.

Pentru t=7, obtinem Si obtinem Si , pentru care se verifica conditiile de mai sus. Pentru t=11, obtinem Obtinem Si , de unde se verifica conditiile de mai sus. Pentru t=13, obtinem Iar numerele gasite sunt Si Astfel stim ca Pentru t=17, obtinem c=12+17=29 Si obtinem si si asa mai departe. 2. Determinati numerle de forma 73xy(cu bara deasupra) divizible cu 36 ca numerele de forma 73xy sa fie divizibile cu 36, trebuie sa fie divizibile atat cu 9 cat si cu 4, astfel folosim criteriile de divizibilitate. Stim ca un numar este divizibil cu 4 daca ultimile doua cifre sunt divizibile cu 4, dar si criteriul de divizibilitate cu 9, adica un numar este divizibil cu 9 daca suma cifrelor este divizibila cu 9, astfel avem: Astfel pentru x=y=4, obtinem numar gasit este 7344 Pentru x=6 si y=2 obtinem

, dar este divizibil si cu 4, deci primul , dar nu si cu 4.

Si obtinem ca numarul 7362 nu este divizibil cu 36. Pentri x=8 si y=0, obtinem Iar numarul gasit este 7380 care este divizibil si cu 4, deci divizibil cu 36. Deci numerele gasite sunt 7344 si 7380.

Unghiuri in jurul unui punct

Notiunea de unghi o cunoastem, dar e important sa intelegem si notiunea de unghiuri in jurul unui punct cat si unghiuri opuse la varf. Trei sau mai multe unghiuri sunt in jurul unui punct daca: – au un varf comun – oricare doua unghiuri vecine sunt adiacente (adica au interioarele disjuncte) – oricare punct din plan diferit de varful comun si nesituat pe nici una din laturile acestor unghiuri apartin interiorului unui singur unghi

Unghiurile din figura de mai sus sunt unghiuri in jurul punctului O. Important e sa stim urmatoarea teorema pentru a rezolva problemele cu unghiuri in jurul unui punct Teorema: Suma masurii unghiurilor in jurul unui punct este de

.

Aplicatii: 1. Unghiurile unghiului ca unghiurile Demonstratie:

si

sunt adiacente si suplementare, [OX este bisectoarea

si [OY este semidreapta opusa lui [OX. Daca si sunt suplementare.

, aratati

Stim ca Dar stim si ca [OX este bisectoarea unghiului AOB, deci obtinem ca: Si cum stim ca unghiurile AOB si BOC sunt adiacente si suplementare obtinem ca: Observam ca: (ca unghiuri opuse la varf) Deci obtinem ca: Dar mai stim si ca unghiurile AOX, XOB, BOC, COY, YOA sunt unghiuri in jurul unui punct, deci stim ca suma masurii unghiurilor in jurul unui punct este egala cu Deci avem ca 2. Aflati masurile unghiurilor: daca sunt unghiuri in jurul unui punct O, si Demonstratie Stim ca unghiurile sunt in jurul unui punct O astfel avem ca: (1) Dar cu relatiile de mai sus stim ca

(2) si

(3) Din relatiile de mai sus obtinem ca Deci din (1) obtinem: Acum ca stim masura unghiului putem afla masura celorlalte doua unghiuri. Astfel din (3) avem ca Dar si din (2) obtinem ca: Asadar este foarte important sa cunoastem notiunea de unghi in jurul unui punct, dar si notiunile de unghiuri opuse la varf.

Cum comparam doua numere Prezentam exercitii in care prezentam modalitati in care comparam doua numere 1. Comparati numerele: si

.

Solutie: Ca sa comparam cele doua numere, mai intai aducem numerele la forma cea simpla: Astfel, pentru numarul a dam factor comun numarul Acum efectuam operatiile in paranteza rotunda, adica ridicarea la putere si scaderea. Si obtine rezultatul Iar in cazul numarului b, dam factor comun numarul Acum ca si mai sus efectuam operatiile din paranteza rotunda, adica ridicarea la putere dar si diferentele Si obtinem: Deci obtinem numerele: si Acum pentru a compara cele doua numere, ne folosim de regulile de comparare a puterilor pe care le-am invatat. Astfel, observam ca in ambele numere avem numarul 17, deci acum trebuie sa comparam numerele cu puteri, astfel stim ca avem acelasi exponent, deci comparam bazele si cum obtinem si ca . b)

si

Observam ca avem doua numere irationale, deci pentru a acompara cele doua numere introducem mai intai factorii sub radicali si obtinem:

Dar si la b obtinemn

.

Acum coparand numerele de sub radicali obtinem: , deci obtinem si ca O alta modalitate de comparare a celor doua numere este sa calculam fiecare numar in parte, astfel avem ca:

Deoarece stim ca Iar Deoarecem stim ca Deci obtinem ca c)

, adica obtinem si ca

.

cu

Ca sa comparam cele doua numere, folosim regulile de comparare a puterilor, astfel pentru a compara cele doua numere, fie aducem numerele la aceiasi baza, fie la acelasi exponent, pentru a le putem compara. Astfel Observati ca folosim si regulile de calcul cu puteri. Acum pentru b, incercam sa-l aducem la aceiasi baza ca si numarul a

Astfel cum avem si aceiasi baza si acelasi exponent obtinem ca cele doua numere sunt egale, adica a=b.

Exercitii rezolvate cu fractii zecimale si fractii ordinare Prezentam cateva exercitii pe care le rezolvam cu ajutorul fractiilor zecimale si fractiilor ordinare 1. Scrieti 3 numere zecimale cuprinse intre 14,23 si 15,431. Solutie: Stim ca numerele zecimale, sau cum mai sunt numite si fractii zecimale, sunt cele cu virgula, deci in cazul acestui exercitiu trebuie sa scriem trei numere zecimale care sa fie mai mari decat 14,24 si mai mici decat 15,431, astfel numarele zecimale mai mari decat 14,23 si mai mici decat 15,431 suntȘ 14,25; 14,57; 15,428. 2. Stiind ca

si

,determinati x+y+z.

Ca sa aflam x+y+z trebuie sa ne folosim de cele doua relatii de mai sus

Astfel prima relatia de mai sus putem sa o scriem pentru a ne putea folosi de relatia de mai sus, astfel daca comutam termenii intre ei obtinem:

Dar cum stim din cea de-a doua relatie ca Prima relatie devine Acum daca in ultima relatie dam factor comun cifra 4 relatia devine Si astfel am obtinut ca suma x+y+z=6 Observati ca pentru a rezolva exercitiile de forma celor de mai sus trebuie sa ne folosim de ceea ce ne da exercitiul. 3. Calculati:

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus trebuie sa tinem cont de ordinea efectuarii operatiilor, astfel mai intai efectuam operatia de inmultire:

Acum pentru a efectua calculele, mai intai aducem la acelasi numitor

Exercitii rezolvate cu factorul comun Prezentam exercitii pe care le rezolvam dand factorul comun, dar si folosind regulile de calcul cu puteri, cat si proprietatile relatiei de divizibilitate. 1. Calculati suma 8+16+24+32___+4000 Daca dam factor comun numarul 8 suma devine:

Acum ca sa calculam suma 1+2+3+…+500

Folosim formula Deci in cazul sumei noastre avem:

Dar avem de calculat 2. Aflati x, daca 2a+b=5 si 4ax+2bx+2=22 Ca sa aflam x in relatia a doua dam factor comun pe x , dar si pe 2x si obtinem:

3. Aratati ca numarul numar natural

, pentru orice n

Ca sa aratam ca numarul este divizibil cu 17 folosim regulile de calcul cu puteri, adica stim ca Astfeln Acum efectuam produsul in parantezele pe care le avem mai sus:

Acum daca dam factor comun numarul Si obtinem: Si obtinem ca este divizibila cu 17, deoarece cu ajutorul proprietatilor de la divizibilitate stim ca: Daca

si

, atunci

(daca b divide a, atunci b divide orice multiplu al lui a)

Asadar este foarte important sa cunoastem notiunea de factor comun, dar si proprietatile relatiei de divizibilitate.

Ridicarea la putere cu exponent numar natural a unui numar rational pozitiv Reguli de calcul cu puteri

Despre ridicarea la putere a unui numar am mai invatat si in clasa a V-a, dar in clasa a v-a am invatat ridicarea la putere a unui numar natural.Astazi invatam ridicarea la putere cu exponent numar natural a unui numar rational pozitiv, dar si reguli de calcul cu puteri, pe care unii dintre voi vi le reamintiti de la numere naturale. Stiti ca ridicarea la putere a unui numar este o inmultire repetata. De exemplu: asta pentru ridicarea la putere cu exponent cu numar natural a unui numar natural. Def: Daca si se defineste puterea -a a unui numar natural a sau a la puterea n. Prin conventie In cazul de mai sus Exemplu:

pentru si si mai stim ca nu are sens. a este baza, iar “n” se numeste exponent.

dupa cum am invatat la inmultirea numerelor rationale. Reguli de calcul cu puteri Fie si . atunci in calcule cu puteri se aplica urmatoarele reguli:

1) Inmultirea puterilor cu aceeasi baza (se copiaza baza si se aduna exponentii) 2) Impartirea puterilor care au aceeasi baza (se copiaza baza si se scad exponentii) 3) Puterea unei puteri (se copiaza baza si se inmultesc exponentii)

4) Puterea unui produs (se ridica al putere fiecare factor al produsului)

5)Puterea unui cat (se ridica la putere fiecare factor al catului

Prezentam cateva exemple prin care sa intelegem notiunile pe care le-am prezentat mai sus:

1) Calculati si scrieti rezultatul sub forma de fractie zecimala a) b) 2) Calculati folosind o singura regula a) . b)

La exercitiul b) am folosit regula a patra (puterea unui produs, cand nu avem aceeasi baza, dar avem aceeasi exponent copiem expondentii si inmultim bazele), iar noi am simplificat pe diagonala prin 3. c) . Deci important la regulile de calcul cu puteri este sa invatam regulile dar sa si stim sa le aplicam.

Exercitii rezolvate cu criteriile de divizibilitatii Prezentam trei exercitii care se rezolva cu ajutorul criteriilor de divizibilitate. 1. Cate nr de trei cifre avand ultima cifra egala cu 2 sunt divizibile cu 3 . 2. Cate nr de forma 2ab sunt divizibile cu 5. 3. Cate nr de forma ab6c sunt divizibile cu 2 dar cu 5 ? Solutie: 1. Stim ca numerele de forma trebuie sa fie divizibile cu 3, dar cum stim ca ultima cifra este egala cu 2, numarul devine: Iar daca folosim criteriul de divizibilitate cu 3 stim ca un numar este divizibil cu trei daca suma cifrelor este divizibila la trei. Astfel numarul devine: Cum a nu poate sa fie 0, luam pentru inceput a=1 si obtinem Astfel daca luam b=0, obtinem Deci primul numar care l-am gasit este 102 Acum daca luam b=3, obtinem numarul 132 care este divizibil cu 3 Daca luam b=6, obtinem numarul 162, care la fel este divizibil cu 3 Daca luam b=9, obtinem numarul 192, care la fel este divizibil cu 3. Dar acum putem lua si a=2 si numarul devine Deci pentru b=2, numarul devine 222, care la fel este divizibil cu trei, deoarece

Pentru b=5, numarul devine 252, care este divizibil cu 3 Pentru b=8, numarul devine 282, care este divizibil cu 3 si am terminat cu a=2, deoarece daca mai incercam sa gasim un numar divizibil cu 3, pentru b trebuie sa luam o cifra si nu un numar. Pentru a=2, numarul devine si ca sa fie divizibil cu trei suma cifrelor trebuie sa fie divizibila cu trei Astfel daca luam b=4, numarul devine 342, care este divizibil cu trei Daca luam b=7, numarul devine 372, care este divizibil cu 3 Si astfel am terminat si pentru a=3 Acum pentru a=4, numarul devine Pentru b=3, obtinem numarul 432, care este divizibil cu 3 Pentru b=9, obtinem numarul 492, care este divizibil cu 3 si astfel am terminat si pentru a=4 si b=9 Acum pentru a=5, numarul devine Deci pentru b=2, numarul devine 522 si este divizbil cu 3 Pentru b=5, numarul devine 552 la fel este divizibil cu 3 Pentru b=8, numarul devine 582, care este divizibil cu 3 Acum pentru a=6, numarul devine Iar pentru b=1, numarul devine 612, divizibil cu 3 Pentru b=4, numarul devine 642, divizibil cu 3 Pentru b=7, numarul devine 672, divizibil cu 3 Pentru a=7, numarul devine Pentru b=0, numarul devine 702, divizibil cu 3 Pentru b=3, numarul devine 732, divizibil cu 3 Pentru b=6, numarul devine 762 divizibil cu 3 Pentru b=9, numarul devine 792, divizibil cu 3 Pentru a=8, numarul devine Pentru b=2, numarul devine 822, divizibil cu 3 Pentru b=5, numarul devine 852 divizibil cu 3 Pentru b=8 , numarul devine 882, divizibil cu 3 si pentru a=9, numarul devine Pentru b=1, numarul devine 912, divizibil cu 3 Pentru b=4, numarul devine 942, divizibil cu 3 Pentru b=7, numarul devine 972, divizibil cu 3 2. Cate nr de forma 2ab sunt divizibile cu 5. Ca numerele sa fie divizibile cu 5 folosim criteriul de divizibilitate cu 5, adica ultima cifra trebuie sa fie 0 sau 5, astfel pentru inceput, daca luam b=0 numarul devine 2a0 iar cifra a poate sa fie deci numerele pe care le gasim sunt 200; 210; 220; 230; 240; 250; 260; 270; 280; 290

dar ultima cifra poate sa fie si 5, dupa cum am spus mai sus, astfel numrul devine 2a5, iar numerele divizibile cu 5 sunt: 205; 215; 225; 235; 245; 255; 265; 277; 285; 295. 3. Cate nr de forma ab6c sunt divizibile cu 2, dar cu 5? Ca sa vedem cate numere sunt divizibile cu 2, folosim criteriu de divizibilitate cu 2, deci c poate sa fie 0 2, 4, 6, 8, iar a poate sa ia valorile 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 si b=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Iar ca sa fie divizibile cu 5 folosim criteriul de divizibilitate cu 5, deci ultima cifra trebuie sa fie 0 sau 5, iar a si b la fel ca mai sus.

Marimi direct proportionale Dupa ce vi s-au introdus notiunile de raport si proportie, azi o sa discutam despre marimi direct proportionale. Cum si la ce ne ajuta aceste marimi direct proportionale? Raspunsul o sa-l aflam pe parcursul acestui articol, dar mai intai definim notiunea de marime direct proportionala: Definitie. Doua marimi se numesc direct proportionale, daca depind una de cealalta , astfel incat daca una creste de un numar de ori, atunci si marimea celeilalte creste de acelasi numar de ori. Exemplu: 1 Kg de fructe costa 2 lei, atunci 2 Kg costa de doua ori mai mult, 3 Kg costa de trei ori mai mult. Astfel intre cantitati si cost exista o relatie de directa proportionalitate. 1 Kg=2 lei 2 Kg= 4 lei 3 Kg=6 lei Observati ca cu cat Kg cresc, creste si costul. Matematic scriem: Multimea ordonata si numai daca

este direct proportionala cu multimea

daca

Valoarea comuna a acestor rapoarte se numeste coeficient de proportionalitate si se noteaza de regula cu k, unde Aplicatii: 1. Numerele x+y, y+z si z+x sunt direct proportionale cu 3, 4 si 5. Aflati valoarea raportului

, unde

Solutie: Stim ca numerele x+y, y+z si z+x sunt direct proportionale cu 3, 4 si 5, astfel obtinem:

Iar valorea comuna a acestor rapoarte o notam cu k , astfel obtinem:

Astfel daca adunam cele trei relatii de mai sus obtinem

Astfel stim ca , dar si x+y+z=6k, deci obtinem Dar si si Si nu in ultimul rand

si

Din ipoteza mai stim ca Observati ca la exercitiul de mai sus am folosit pentru inceput definitia pe care am enuntat-o la inceputul articolului, definitia marimilor direct proportionale. Am egalat

fiecare raport cu k si asa am aflat cele trei relatii pe care le-am adunat, dupa care am dat factor comun pe 2 si am simplificat, de unde am obtinut ca suma celor trei numere este 6k. Si astfel cu ajutorul acestei relatii am putut afla fiecare numar, dar si valoarea raportului. Asadar marimile direct proportionale ne ajuta sa gasim mai repede pretul unui produs si nu numai, daca ii dublam sau ii triplam cantitatea, in viata de zi cu zi sa aflam mai repede pretul unei cantitati mai mari la un produs. Observati exemplul pe care l-am dat mai sus. Astfel este important sa tinem minte ca doua marimi se numesc direct proportionale, daca depind una de cealalta, astfel incat daca una creste atunci si cealalta creste sau daca una scade atunci si cealalta scade.

Probleme rezolvate pentru Denisa Se considera triunghiul ABC si fie D si E simetricele punctelor B si respectiv C fata de A. Aratati ca DE paralel pe BC . Demonstratie:

Daca D este simetricul lui B fata de A stim ca E este simetricul lui C fata de A obtinem de asemenea ca Astfel obtinem ca Astfel avem ca

Dar mai observam si ca

, iar daca

Deci cu cazul de congruenta L.U.L Deci obtinem si ca:

Dar si ca . Observam ca drepta EC intersecteaza dreptele DE si CB in doua puncte distincte diferite, adica in punctele E si C deci EC este secanta si astfel cu criteriile de paralelism obtinem ca: ED||BC Unghiul

(ca unghiuri alterene interne)

In triunghiul ABC fie [BE bisectoarea unghiului B ,cu E apartine (AC) ,iar D apartine (AB) astfel incat [BD] congruent cu [DE] . Aratati ca DE paralel pe BC . Demonstratie

Observam ca triunghiul BDE este isoscel de baza BD (deoarece din ipoteza avem ca ), astfel obtinem ca:

Dar mai stim si ca BE este bisectoare astfel obtinem ca:

De unde rezulta ca si Observam ca BE este intersecteaza doua drepte distincte in doua puncte diferite, astfel obtinem ca BE este secanta.

Si cum unghiul DEB congruent cu unghiul ECB ca perechi de unghiuri alteren interne, obtinem cu ajutorul criteriilor de paralelism ca: DE||BC.

Criterii de paralelism Criterii de paralelism Teorema. Daca doua drepte determina cu o secanta o pereche de unghiuri alterne interne congruente, atunci dreptele sunt paralele.

Redactarea simbolurilor si sunt unghiuri alterne interne formatele de dreptele a si b cu secanta s. Deci a||b. Mai exista si alte criterii de paralelism care sunt consecinte ale teoremei de mai sus. Daca, doua drepte determina cu o secanta o pereche de unghiuri alterne externe congruente, atunci dreptele sunt paralele. Daca, doua drepte determina cu o secanta o pereche de unghiuri corespondente congruente, atunci dreptele sunt paralele. Daca, doua drepte determina cu o secanta o pereche de unghiuri alterne interne de aceiasi parte a secantei suplementare, atunci dreptele sunt paralele. Daca, doua drepte determina cu o secanta o pereche de unghiuri alterne externe de aceiasi parte a secantei suplementare, atunci dreptele sunt paralele.

Problema: 1) Fie triunghiul isoscel ABC, dincolo de D cu segmentul

in care prelungim inaltimea . Demonstrati ca:

a) AB|| CM b) AC||BM Demonstratie:

Observam ca

Deci cu cazul L.U.L cele doua triunghiuri sunt congruente. Astfel stim si ca Mai mult si avand pozitii de unghiuri alteren interne rezulta ca AB||CM. BC fiind secanta. b) Observam ca Deci cu cazul L.U.L cele doua triunghiuri sunt congruente. Gasim si ca Mai mult si avand pozitii de unghiuri alterene interne rezulta ca AC||BM.

Proportii : Proprietatea fundamentala a proportiilor

,

Astazi o sa discutam despre proportii, proprietatea fundamentala a proportiilor, dar prezentam si o problema rezolvata care se rezolva cu ajutorul rapoartelor. Dar mai intai sa ne reamintim definitia raportului: Definitie: Fiind date doua numere rationale pozitive a si b, cu intelegem numarul rational a:b, notat

, prin raportul lor

Acum definim notiunea de proportie: Definitie: Egalitatea a doua rapoarte se numeste proportie. Daca rapoartele si au aceiasi valoare, ele formeaza proportia c, d se numesc termenii proportiei.

, iar numerele a, b,

Termenii a si d se numesc extremi, iar b si c se numesc mezi. Exemplu : (ambele rapoarte au valoarea 2).

Proprietatea fundamentala a asemanarii Teorema. Intr-o proportie produsul extremilor este egal cu produsul mezilor. , unde Reciproca teoremei . Daca numerele a,b, c, d verifica relatia proportii.

, atunci ele pot fi termenii unei

Exemplu : Determinati valoarea lui x din proportiile : a) Deci am gasit ca x=6. In cazul de mai sus am folosit proprietatea fundamentala a proportiilor. Observam ca daca inlocuim pe x, obtinem o prportiea

b) Acum efectuam proba:

Cea ce trebuia sa aratam. Problema rezolvata Suma a doua numere este 64 iar raportul lor este .Sa se afle numerele. Solutie: Notam cu a si b cele doua numere Acum formam ecuatiile (suma a doua numere este 64) (raportul celor doua numere este ) Acum daca inlocuim in prima ecuatie obtinem: Acum ca stim b putem afla a, astfel avem: Astfel am gasit ca a=28. Acum efectuam proba: Iar raportul celor doua numere este: Deci se verifica.

Unghiuri determinate de doua drepte cu o secanta Drepte paralele Despre unghiuri am mai discutat si in semestrul anterior, dar acum o sa discutam despre unghiuri determinate de doua drepte cu o secanta . Incepem prin a defini notiunea de secanta Definitie: O dreapta care intersecteaza doua drepte paralele in doua puncte distincte se numeste secanta.

d este secanta. Despre unghiuri interne si unghiuri externe am mai discutat, iar notiunile noi pe care le introducem acum sunt notiunile de: unghiuri corespondente, unghiuri interne de aceasi parte a secantei, dar si unghiuri externe de aceiasi parte a secantei, in figura alaturata o sa arata si care sunt aceste unghiuri.

Astfel fata de dreptele date a si b, unghiurile 4, 3, 5, 6 sunt interne, iar unghiurile 1, 2, 7, 8 sunt externe. Fata de secanta d unghiurile 1, 4, 5, 8 sunt de aceiasi parte a secantei. La fel si fata de secanta d unghiurile 2, 3, 6,7 sunt de aceiasi parte a secantei. Iar fata de secanta d unghiurile 2 si 8, 4 si 6 sunt de o parte si de alta a secantei. Unghiurile determinate de doua drepte paralele cu o secanta se denumesc astfel: – unghiuri alterne externe: 1 si 7 sau 2 si 8

– unghiuri alterne interne: 4 si 6 sau 3 si 5 -unghiri corespondente: 2 si 6 sau 3 si 7 sau 1 si 5 sau 4 si 8. – unghiuri externe de aceiasi parte a secantei d:1 si 8 sau 2 si 7 – unghiuri interne de aceiasi parte a secantei d: 3 si 6 sau 4 si 5. Dupa cum bine stiti si despre dreptele paralele am mai discutat, dar acum o sa mai invatam si anumite criteii de paralelism. Definitie: Doua drepte se numesc paralele daca nu au niciun punct in comun.

Matematic scriem: si citim dreapta d este paralela cu dreapta c. Problema 1) Dreptele paralele a si b sunt taiate de secanta d in punctele si . Prin mijlocul O a segmentului se duce o dreapta oarecare e, care intersecteaza pe a in M si pe b in N. Demonstrati ca: a) b) Demonstratie

Observam ca (unghiuri alterne interne) Din ipoteza stim ca Dar din figura observam ca (ca unghiuri opuse la varf). Deci cu cazul de congruenta U.L.U Si astfel gasim si ca

b)

Stim din ipoteza ca Mai stim si ca (ca unghiuri opuse la varf) Si cu cazul de congruenta L.U.L Cum cele doua triunghiuri sunt congruente gasim si ca 2) Fie triunghiul isoscel ABC cu AB=AC in care prelungim inaltimea cu segmentul . Demonstrati ca a) b) . Demonstratie:

dincolo de D

a) stim din ipoteza ca (ca unghiuri opuse la varf) Stim ca AD este inaltimea corespunzatoare bazei intr-un triunghi isoscel, deci este si mediana, conform proprietatii Triunghiului isoscel, deci Deci mai stim si ca Deci cu cazul L.U.L Deci obtinem din congruenta triunghiurilor ca sau mai mult BC, fiind secanta, iar unghiurile au pozitia de alterne interne, conform Teoremei de mai sus rezulta ca AB||CM. b) Stim din ipoteza ca (ca unghiuri opuse la varf) Dar si din punctul a stim ca .

Deci cu cazul de congruenta L.U.L Deci stim si ca , dar mai mult , avend pozitia de unghiuri alterne interne, conform teoremei de mai sus AC||MB.

Mediatoarea unui segment Mediatoarele laturilor unui triunghi Despre mediatoare nu am mai discutat pana acum, dar trebuie sa stim ca face parte din liniile importante in triunghi alaturi de inaltime, mediana si bisecoare .Dupa cum bine stiti pana acum am invatat inaltimea , iar astazi o sa discutam despre mediatoarea unui segment Mediatoarele laturilor unui triunghi. Definitie: Mediatoarea unui segemnt este perpendicularea construita prin mijlocul acestuia.

dreapta d este mediatoarea segmentului Cu simboluri redactam:

.

O este mijlocul segmentului d este mediatoarea segmentului . Teorema. Un punct apartien mediatoarei unui segment daca si numai daca este egal departat de capetele segmentului. Mediatoarele laturilor unui segment Deoarece stim ca orice triunghi are trei laturi, deducem ca putem duce in orice triunghi trei mediatoare. Definitie. Mediatoarea unui triunghi este perpendiculara construita prin mijlocul segmentului. Teorema. Intr-un triunghi mediatoarele sunt concurente, iar punctul de intersectie se noteaza cu O si se numeste centrul cercului circumscris.

In cazul triunghiului ascutitunghic punctul de intersecti al mediatoarelor, adica centrul cercului circumscris se afla in interiorul triunghiului. In cazul unui triunghi dreptunghic centrul cercului circumscris este mijlocul ipotenuzei. In cazul unui triunghi obtuzunghic centrul cercului circumscris este un punct in exteriorul triunghiului. Problema: In triunghiul ABC, dreptunghic in A si BC, astfel incam Demonstratie

, iar O este un punct pe ipotenuza

. Demonstrati ca

In triunghiul ABC dreptunghic in A stim casura unghiului B, si putem sa aflam masura unghiului C, astfel avem

Din ipoteza problemei stim ca

, deci in triunghiul AOB stim ca si astfel aflam ca masura unghiului

, deci triunghiul AOB este isoscel. Adica (*) Stim ca masura unghiului A este de 90 de grade, dar din ipoteza stim si , deci putem sa aflam , deci . Stim ca si

, deci gasim ca si , astfel triunghiul ACO este echilateral.

Avem ca AO=CO=AC Adica Din (*) stim ca Cu tranzitivitatea gasim ca 2) Fie M si N puncte de o parte si de alta a segmentului . Se stie ca si . Demonstrati ca MN este mediatoarea segmentului

Ca sa aratam ca MN este mediatoarea segmentului MBN, astfel (din ipoteza) (din ipoteza)

luam triunghiurile MAN si

(din figura) Deci cu cazul L.L.L

.

Deci stim si ca unghiurile sunt congruente:

Dar aratam si ca : (din ipoteza) (latura comuna)

Deci gasim cu cazul L.U.L ca Astfel gasim si ca

. , deci O este mijlocul segmentului AB.

Am aratat ca MO este mijlocul segmentului

(*).

Acum sa aratam ca MO este perpendiculara segmentului Stim ca

.

, deci , adica notam

Dar stim . Deci

(**)

Mai stim si ca Deci din (*) si (**) gasim ca MN este mediatoarea segmentului

.

De unde rezulta ca

.

este mediatoarea unui segment adica al

Rapoarte si proportii Raport Valoarea raportului Dupa ce am invatat sa rezolvam exercitiile cu numere rationale, dar si ecuatiile cu numere rationale a venit vremea sa discutam despre Rapoarte si proportii, astazi discutam despre Raport. Definitie: Fiind date numerele rationale pozitive a si b, cu intelegem numarul rational , notat .

, prin raportul lor

Exemplu: Intr-o clasa sunt 16 baieti si 12 fete. Spunem ca raportul dintre numarul baietilor si numarul fetelor este egal cu

.

Scriem este raportul, iar a si b sunt termenii raportului. Observatie la scrierea raportului a doua marimi, de aceiasi natura, trebuie tinut seama ca aceasta trebuie obligatoriu sa fie exprimate in aceiasi unitate de masura. Exemplu: 1) Latimea unui dreptunghi este egala cu , iar lungimea este egala cu Pentru a afla raportul dintre latimea l si lungimea L dreptunghiului, mai intai transformam si apoi obtinem:

.

Dar putem sa formam rapoarte si cu cantitati de tipuri diferite: Exemplu: Daca unui om ii trebuie 4 ore pentru a parcurge 16 km, atunci se formeaza raportul dintre distanta parcura si numarul de ore . In cazul de fata formarea raportul a dus la un nou concept dupa cum bine stiti si de la Fizica, adica de viteza . Valoarea raportului Fiecare raport are o valoare c, pe care o obtinem astfel

Exemplu : Valoarea raportului este egala cu 3,5, deoarece avem Exercitiu: 1) Se stie ca

. Calculati valoarea raportului

Solutie :Stim ca . Daca inmultim cu 5, egalitatea de mai sus obtinem:

Acum cada impartim la 11 egalitatea pe care am obtinut-o mai sus obtinem:

Si astfel am obtinut ca raportul 2) Stiind ca

.

aflati valoarea raportului

daca exista.

Solutie : Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus scoatem pe x in functie de y si astfel obtinem:

Iar acum inlocuim in raportul pe care ni-l da problema:

Observam ca nu putem sa efectuam scaderea in multimea numerelor naturale, iar la numitorul raportului obtinem 0, si din definitia raportului stim ca numitorul trebuie sa fie diferit de 0, deci raportul nu exista. 3) Un dreptunghi are aria egala cu . Determinati lungimile laturilor sale stiind ca raportul dintre latime si lungime are valoarea . Solutie Stiind aria dreptunghiului, astfel scriem:

(*) Dar mai stim si Astfel daca scoatem latimea in relatia de mai sus in funtie de lungime obtinem:

Acum inlocuind in relatia (*) obtinem:

Deci lungimea este de 3 cm. Acum sa aflam latimea Stim ca :

Deci lungimea este egala cu 2 cm.

Procentele Cresteri si scaderi cu procente Despre Procente am mai discutat si in clasa a V-a, dar acum notiunea noua pe care o introducem este Cresteri si scaderi cu procente . Astfel,inainte de a aprofunda notiunea de cresteri si scaderi cu procente, sa ne reamintim cea ce am invatat, adica ce sunt procentele: Stim ca, daca p% din x este egal cu y, scriem:

.

In relatia de mai sus p% reprezinta raportul procentual, x se numeste intregul, iar y reprezinta parte corespunzatoare din intreg . Determinarea a p% dintr-un numar x dat (ne lipseste y) p% din x= Exemplu: O banca da dobanda anuala de 17%. Ce dobanda va primi dupa un an un client care are o depunere de 500 lei.

Solutie Calculam

.

Deci dobanda pe care o va primi clientul va fi de 85 de lei. Aflarea unui numar cand se stie p% din el (lipseste x). . Exemplu: O gospodina a cheltuit la piata 60% din suma pe care o avea, adica 90 de lei . Ce suma avea o gospodina la ea? Solutie: Observati ca stim raportul procentual, dar nu stim cea ce este dupa “din”, adica intregul, Deci problema o sa o rezolvam cu ajutorul unei ecuatii. -fie x suma de bani Deci obtinem:

Deci gospodina a avut la piata 150 de lei. Cum aflam raportul procentual? (lipseste p%)

Exemplu: O gospodina cheltuieste la piata 90 de lei din cei 150 de lei pe care ii avea. Cat la suta din suma a cheltuit la piata? Astfel avem: . Deci . Cresteri si scaderi cu p%.

Exemplu Un produs ce costa 400 de lei se scumpeste cu 20%. Cat costa produsul? Solutie Calculam mai intai cu cat se scumpeste produsul, astfel avem:

Deci produsul costa: 400+80=480 lei. Probleme 1) Se stie ca 21% dintr-o cantitate de lapte este smantana, iar 25% dintr-o cantitate de smantana este unt.Aflati din cate kilograme de lapte se pot obtine 52,5 kg de unt. Solutie: Fie x- cantitatea de lapte y- cantitatea de smantana z- cantitatea de unt Astfel obtinem ecuatia:

Si

Dar stim ca z=52,5 kg. Astfel obtinem:

Deci avem 210 kg de smantana Acum ca sa aflam cantitatea de lapte calculam

Deci cantitatea de lapte este de 1000 de kg. 2) Dupa o reducere de 6% si o alta de 5% un produs costa 178,6 lei. Aflati pretul initial. Fie x-pretul initial al produsului, astfel obtinem ecuatia:

Acum rezolvam ecuatia:

Deci pretul initial al produsului este de 200 lei.

Perpendicularitatea Inaltimea in triunghi Concurenta inaltimilor intr-un triunghi Despre perpendicularitate si inaltimea intr-un triunghi Dupa ce am definit notiunea de triunghi si am invatat elementele sale, dar si tipurile de triunghi precum si cum sa aratam ca doua triunghiuri sunt congruente, adica congruenta triunghiurilor, a venit vremea sa discutam despre Perpendicularitatea, Inaltimea intr-un triunghi, Concurenta inaltimilor intr-un triunghi Despre Perpendicularitate am mai auzit, dar haideti sa ne reamintim, astfel : Definitie Doua drepte se numesc perpendiculare daca formeaza un unghi de .

daca si numai daca . Acum definim inaltimea intr-un triunghi. Definitie: Perpendicularea construita din varful triunghiului pe latura opusa se numeste

inaltime.

Redactarea simbolurilor AD inaltime in triunghiul ABC, daca si numai daca Observatie: Punctul D se numeste piciorul inaltimii din A, iar BC este baza triunghiului, sau AD este inaltimea corespunzatoare laturii BC in triunghiul ABC. Orice triunghi are trei inaltimi. Concurenta inaltimilor intr-un triunghi Teorema. Intr-un triunghi inaltimile sunt concurente, iar punctul de intersectie se numeste ortocentrul triunghiului care se noteaza cu H.

AD, BE, CF sunt inaltimi in

, daca si numai daca exista H, astfel incat

Observatie : In orice triunghi ascutitunghic inaltimea este situata in interiorul triunghiului.

Scriem In orice triunghi dreptunghic ortocentru coincide cu varful drept al triunghiului, deoarece doua dintre inaltimi sunt cele doua catete ale triunghiului. Scriem

In orice triunghi obtuzunghic ortocentrul se afla in exteriorul triunghiului. Scriem .

Problema 1) In triunghiul ABC construim inaltimea AM cu , stiind ca M este mijlocul laturii , aratati ca triunghiul ABC este isoscel.

Demonstratie:

Daca M este mijlocul lui BC stim ca (din ipoteza) Stim ca AM este inaltime in triunghiul ABC, deci (deoarece AM este perpendiculara dusa din varful triunghiului pe latura BC, deci ) Dar mai stim si ca (latura comuna). Deci avem : , de aici gasim si ca AB=AC si astfel triunghiul ABC este isoscel, deoarece am gasit ca are doua laturi egale.

Rezolvare probleme cu ecuatii clasa a VIa Dupa cum bine stiti am mai rezolvat probleme cu ecuatii, in clasa a V-a cu rezolvarea ecuatiilor in multimea numerelor naturale. Dar acum o sa invatam probleme care se rezolva cu ajutorul ecuatiilor in multimea numerelor rationale pozitive. Despre Multimea numerelor rationale pozitive am mai discutat, cei care nu va mai remintiti, cititi aici. Astfel ne reamintim etapele pe care trebuie sa le parcurgem pentru rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuatiilor.

Pasi ca sa rezolvam probleme cu ecuatii – Stabilim necunoscuta/necunoscutele si le notam – Scriem datelor si relatiilor din problema pana la obtinerea ecuatiei/ecuatiilor – Rezolvarea ecuatiei/ecuatiilor – Interpretarea solutiei si formularea raspunsului la problema

– Proba Probleme cu ecuatii: Incepem cu o problema distractiva

1) Ma gandesc la un numar. Il adun cu 14,3. Rezultatul il inmultesc cu 2,5. Din noul rezultata scad 21,83 si obtin 20,17. Care este numarul la care m-am gandit? Fie x- numarul la care m-am gandit x+14,3 numarul il adunam cu 14,3, apoi il inmultim cu 2,5

Acum din noul rezultat scad 21,83, deci obtinem: si obtinem 20,17 Astfel dupa ce am obtinut ecuatia o rezolvam

Deci numarul la care m-am gandit este 2,5. Acum efectuam proba :

ceea ce trebuie sa obtinem.

2) Diferenta a doua numere este 12,2, iar media lor aritmetica este egala cu 34,2. determinati numerele. SolutieȘ Fie a si b cele doa numere, astfel diferenta numerelor o scriem: si media aritmetica a celor doua numere este 34,2 adica

,

Deci am obtinut ecuatiile: (**) si Din (*) scoatem a si obtinem: Si ca inlocuim in (**) obtinem:

(**) (***)

deci am gasit b=28,1 Acum ca sa aflam a inlocuim b in (***) si obtinem: Si astfel am obtinut si a. Acum efectuam proba, adica diferenta celor doua numere este 12,2 Iar media aritmetica a celor doua numere este 34,2, astfel .

Problema rezolvata cu divizibilitatea folosind cel mai mic multiplu comun Prezentam o Problema rezolvata cu divizibilitatea folosind cel mai mic multiplu comun, dar si anumite inegalitati: Cel mai mic multiplu comun a doua nr. a si b.este 600 . Aflati a si b stiind ca sunt cuprinse intre 119 si 151. Matematic scriem:

Din ipoteza stim ca :

dar si ca :

Daca descompunem numarul 600 in produs de factori primi obtinem:

Deci

Stiti ca atunci cand trebuie sa aflam cel mai mic multiplu comun a doua sau mai multe numere naturale se iau factorii comuni si necomuni o singura data la puterea cea mai mare. Noi stim ca numarul a de exemplu trebuie sa fie mai mare decat 119, astfel : Daca a=120, contine factorii de la numarul 600, adica

Deci Deci contine toti factorii de la numarul 600, dar fara numarul , dar si factorii comuni, adica 2 si 3.

, astfel numarul b contine

Astfel daca scriem produsul termenilor care ii cunoastem, pe care i-am gasit si obtinem:

Deci b=150 Astfel a=120, care indeplineste conditia si b=150, care indeplineste conditia

.

Acum , ca sa ne verificam daca calculam cel mai mic multiplu comun a celor doua numere gasim:

Astfel scriem:

si Deci

Problema rezolvata unghiuri 1 O problema rezolvata ,cu unghiuri 1) Daca ,

, si ,aflati masurile unghiurilor AOB si COD.

Solutie

Mai Intai observam ca suma masurilor tuturor unghiurilor este de 150 grade. Deci :

Si gasim : (*) Dar observam ca masura unghiului AOB nu o stim si astfel scriem :

(**) Si ca sa aflam masura unghiului COD scriem:

Acum daca inlocuim in (*) obtinem Astfel daca inlocuim (**) obtinem:

Astfel efectuam proba pentru a vedea daca am rezolvat corect Stim ca suma masurii tuturor unghiurilor este de 150 de grade, astfel daca adunam masurile a toate unghiurilor

Probleme care se rezolva cu ajutorul ecuatiilor 1 Dupa ce am invatat sa rezolvam ecuatiile a venit vremea sa aflam de ce am invatat sa le rezolvam .Rezolvarea ecuatiilor ne ajuta sa rezolvam problemele, dar ca sa rezolvam problemele cu ajutorul ecuatiilor trebuie sa parcurgem urmatoarele etape: -alegem necunoscuta -formam ecuatia/ecuatiile -rezolvam ecuatia/ecuatiile

-interpretam rezultatul/rezultatele Rezolvam cateva probleme prin care sa intelegem ceea ce am spus mai sus 1) Un obiect costa cu 18 lei mai mult decat inainte de scumpire. Daca o cincime din actualul pret reprezinta o treime din vechiul pret determinati pretul vechi si actualul pret al obiectului. Solutie -prima data asa cum am spus ,stabilim necunoscuta : -fie x pretul obiectului -acum formam ecuatiile –

– o treime din pretul vechi

– –

-mai mult inainte de scumpire -o cincime di actualul pret (adica inainte de scumpire)

. Deci pretul vechi al obiectul este de 12 lei, iar pretul actual pretul actual al obiectului

lei

2) Alexandru se gandeste la un numar. Aduna dublul numarului cu 0,6 . Rezultatul il imparte la 0,4. Din noul rezultat scade 21,83 si obtine 20,17.Care este numarul la care s-a gandit Alexandru? Solutie: Stabilim mai intai necunoscuta, adica numarul la care se gandeste Alexandru, astfel fie -x numarul la care se gandeste Alexandru, acum dormam ecuatia – dublul numarului o sa fie 2x la care adunam 0,6 deci 2x+0,6, rezultatul obtinit il impartiim la 0,4 , din noul rezultat scadem 21,83, astfel ecuatia noastra devine

Dupa ce am format ecuatia o rezolvam si interpretam rezultatul Ca sa fim siguri ca am rezolvat corect efectuam proba, adica in locu lui x o sa punem numarul care l-am gasit, astfel si trebuie sa obtinem: 20,83 ceea ce trebuia sa obtinem.

3) Suma a trei numere este 603. Catul dintre al doilea si primul numar este de , iar al treilea numar reprezinta din primul. Aflati cele tre numere. Solutie: Notam cu -x primul numar -y al doilea numar -z al treilea numar Formam ecuatiile: (suma celor trei numere) (*) (raportul dintre al doilea numar si primul numar) (**) (al treilea numar reprezinta Din (**) obtinem

din primul numar) (***)

(****).

Inlocuind in (*) cu (***) si (****) si obtinem:

Dupa ce am aflat x, acum inlocuim (***) si (****) ca sa aflam y si z. . iar . Si astfel am gasit numerele. Deci aceste probleme care se rezolva cu ajutorul ecuatiilor joaca un rol important.

Rezolvarea ecuatiilor in multimea numerelor rationale pozitive Poate va intrebati de ce trebuie sa invatati sa rezolvati ecuatiile sau de ce trebuie sa le rezolvam. Un motiv ar fi ca ecuatiile joaca un rol esential in rezolvarea mai multor activitati desfasurate de oameni de natura stiintifica, tehnic, economica si astfel unele din aceste aspecte sunt elucidate cu ajutorul ecuatiilor. Din acest motiv studiul ecuatiilor devin o necesitate. Stiti inca din clasa a V-a ca am invatat sa rezolvam ecuatiile in multimea numerelor naturale, acum invatam sa rezolvam ecuatii in multimea numerelor rationale. Astfel prezentam Rezolvarea ecuatiilor in multimea numerelor rationale pozitive O ecuatie in multimea numerelor rationale are forma unde x= este necunoscuta ecuatiei, iar un numar verifica:

se numeste solutie a ecuatiei daca

A rezova o ecuatie inseamna ai determina multimea solutiilor ecuatiei. Se pune intrebarea fireasca Cum rezolvam o ecuatie in multimea numerelor rationale? -punem in evidenta termenul care contine necunoscuta -efectuam diferenta – rescriem ecuatia – punem in evidenta factorul x -scriem multimea solutiilor ecuatiei Exercitii 1) Rezolvati ecuatiile a) Observam ca ecuatia de mai sus are deja pus in evidenta factorul x, astfel efecutam scaderea celor doua numere naturale adica am adus la acelasi numitor cele doua fractii, am efectuat calculele. Ca sa fim siguri ca am efectuat corect calculul verificam daca solutia ecuatiei care am gasit-o verifica ecuatia. Astfel

. Deci solutia care am gasit-o verifica ecuatia. b) Pentru a rezolva ecuatia de mai sus prima data am introdus intregii in fractii, apoi am pus in evidenta termenul care contine necunoscuta, am efectuat diferenta din membrul drept , iar apoi am efectuat impartirea prin inmultirea cu inversul celei de-a doua, iar din

rezultatul pe care l-am obtinut am scos intregii din fractii. c) . La ecuatia c) am adus in membrul stang la acelasi numitor adica 12, atentie cand amplificam numaratorul inmultim cu fiecare termen din el, iar in membrul drept am adus de asemenea la acelasi numitor adica 24, am efectuat calculele, iar apoi rezultatul obtinut in membrul drept l-am trecut cu semn schimbat in membrul stang si am efectuat calculele separand termenii. Deci important la rezolvarea ecuatiilor in multimea numerelor rationale sa respectam pasii pe care trebuie sa-i urmam.

Ordinea efectuarii operatiilor in multimea numerelor rationale pozitive Dupa ce am invatat ordinea efectuarii operatiilor in multimea numerelor naturale, astazi o sa discutam despre Ordinea efectuarii operatiilor in multimea numerelor rationale. Deci pe multimea numerelor rationale pozitie definim operatiile: adunarea numerelor rationale, scaderea numerelor rationale, inmultirea numerelor rationale impartirea numerelor rationale si ridicarea la putere cu exponent naturala unui numar rational. Ordinea efectuarii operatiilor si folosirea parantezelor este aceeasi ca si la multimea numerelor naturale, adica prima data intr-un exercitiu mai intai – se efctueaza ridicarea la putere, inmultirile si impartirile adunarea si scaderea in ordinea in care apar – daca intr-un exercitiu exista si paranteze rotunde, drepte si acolade se efectueaaza prima data paranteza rotunda, apoi cea dreapta si ultima data acolada. Exemplu: 1) Efectuati: a) b) La exercitiul b) am tinut cont de ordinea efectuarii operatiilor dar si de paranteze, adica mai intai am efectuat scaderea in paranteza rotunda, apoi paranteza dreapta s-a transformata in paranteza rotunda si am efectuat impartirea rezultata din noua paranteza rotunda. De unde am obtinut din nou o adunare pe care am efectuat-o cu regula pe care am invatat-o la adunarea numerelor rationale pozitive, iar apoi am folosit si impartirea numerelor rationale pozitive, dar si inmultirea numerelor rationale pozitive, pe unde am putut am si simplificat.

c) Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus mai intai am introdus intregii in fractii, apoi in paranteza am adus la acelasi numitor comun si am efectuat calculele, folosind atat adunarea numerelor rationale pozitive cat si inmultirea si impartirea numerelor rationale pozitive. Foarte important ;Putem sa simplificam doar cand avem inmultire sau impartire.

Metoda triunghiurilor congruente Probleme Dupa ce am invatat cazurile de congruenta ale triunghiurilor oarecare a venit vremea sa discutam despre metoda triunghiurilor congruente. Astfel Metoda triunghiurilor congruente consta in folosirea criteriilor de congruenta pentru triunghiuri in demonstrarea congruentei a diferitelor figuri geometrice : unghiuri, segmente, triunghiuri. Prezentam cateva probleme prin care sa intelegem ceea ce am spus mai sus, astfel: 1) Un triunghi echilateral ABC are AB=10 cm. Pe laturile punctele M, respectiv N, astfel incat BM=6 cm si BN=4 cm. Demonstrati ca: a) b) Dem

.

si

se considera

Stim din ipoteza ca triunghiul ABC este echilateral, deci toate laturile sunt de 10 cm, astfel AB=AC=BC=10 cm. Stim ca AB=10 cm, dar mai stim ca AB=AM+MB, rezulta ca AM=AB-BM=10-6=4 cm, deci AM=4 cm. La fel putem afla BN, deoarece BC=BN+NC, rezulta de aici ca NC=10-4 , obtinem astfel ca NC= 6cm. Stim din ipoteza ca

. din ce am aratat mai sus rezulta ca

si mai stim ca L.U.L

, iar cu cazul

, deci am demonstra punctul a)

b) Ca sa aratam ca triunghiul BMC este congruent cu triunghiul CNA observam de la punctul a) ca , dar mai stim si ca si mai stim si ca , rezulta cu cazul L.L.L triunghiul . 2) In triunghiul ABC, cu consideram punctul AM perpendicular pe BC si BM=MC. Demonstrati ca: a) b) Dem

este isoscel

astfel incat

Stim din ipoteza ca si astfel obtinem si ca , din ipoteza mai stim si ca stim ca AM latura comuna celor doua triunghiuri, stim de asemenea ca AM este perpendiculara pe dreapta BC deci deci .

Deci stim ca congruente scriem

.Deci cu cazul U.L.U cele doua triunghiuri sunt .

b) Aratam acum ca triunghiul ABC isoscel, din punctul a) stim ca de unde rezulta si ca AB=AC si astfel obtinem ca triunghiul ABC are doua laturi congruente, deci triunghi isoscel de baza BC.

,

Congruenta triunghiurilor oarecare Criterii de congruenta a triunghiurilor Congruenta triunghiurilor oarecare Stiti inca din capitolele anterioare, cand am invatat, ca doua segmente sunt congruente sau doua unghiuri sunt congruenete. Astfel dupa cum bine va amintiti doua segmente sunt congruente daca au aceeasi lungime, adica

. Iar doua unghiuri sunt congruente daca au aceeasi masura, adica

Dupa ce ne-am reamintit cand doua segmente sunt congruente sau cand doua unghiuri sunt congruente, astazi o sa discutam despre Congruenta triunghiurilor oarecare Criterii de congruenta a triunghiurilor. Acum o sa definim cand doua triunghiuri sunt congruente. Ne punem intrebarea fireasca cand doua triunghiuri sunt congruente? Iar raspunsul este: ca putem aseza unul dintre triunghiuri peste celalalt astfel incat ele sa coincida, adica sa aiba laturile congruente, dar si unghiurile congruente. Def: Fiind date doua triunghiuri si daca au loc relatiile:

spunem ca sunt congruente si notam

,

. Def: Doua triunghiuri sunt congruente daca au laturile respectiv congruente, dar si unghiurile respectiv congruente. Dar avem si cateva cazuri de congruenta in care nu trebuie sa stim daca toate laturlile sunt congruente sau toate unghiurile congruente, dupa cum am invatat la constructia triughiurilor. Astfel primul caz: Cazul L.U.L de congruenta Doua triunghiuri care au doua laturi si unghiul cuprins intre ele respectiv congruente sunt congruente. Ca in figura de mai sus daca si numai daca

,

,

.

Deci la acest caz trebuie sa gasim doua laturi respectiv congruente si unghiurile cuprins intre ele si astfel obtinem ca triunghiurile sunt congruente. Cazul U.L.U de congruenta Doua triunghiuri care au o latura si unghiurile alaturale ei respectiv congruente sunt congruente.

Tot din figura de mai sus avem ca daca si numai daca

.

Cazul L.L.L de congruenta Doua triunghiuri cu toate laturile respectiv congruente sunt congruente. daca si numai daca ,

,

.

Deci la probleme cand avem sa aratam ca triunghiurile sunt congruente trebuie sa aplicam unul din cazurile de mai sus. Problema 1) Se considera triunghiul isoscel ABC cu baza si (AD bisectoarea unghiului . Daca M este un punct oarecare pe segmentul (AD) aratati ca a) b)

.

a) Cum stim ca triunghiul ABC este isoscel stim si ca , stim ca AD este bisectoare deci unghiul , iar AM este latura comuna scriem AM=AM Scriem (din faptul ca triunghiul ABC isoscel) (AD este bisectoare in triunghiul ABC si stim ca bisectoarea imparte unghiul in doua unghiuri congruente).

(din constructia triunghiului AM observam da se afla in ambele triunghiuri deci latura comuna) Deci stim ca avem doua laturi congruente si unghiul cuprins intre ele congruent, rezulta ca triunghiurile b) Din congruenta rezulta ca (observam ca triunghiul ABD congruent cu triunghiul ADC) si comuna).

. Dar (latura

Si astfel cu cazul de congruenta L.L.L triunghiurile sunt congruente .

Ridicarea la putere cu exponent numar natural a unui numar rational pozitiv Reguli de calcul cu puteri Despre ridicarea la putere a unui numar am mai invatat si in clasa a V-a, dar in clasa a v-a am invatat ridicarea la putere a unui numar natural.Astazi invatam ridicarea la putere cu exponent numar natural a unui numar rational pozitiv, dar si reguli de calcul cu puteri, pe care unii dintre voi vi le reamintiti de la numere naturale. Stiti ca ridicarea la putere a unui numar este o inmultire repetata. De exemplu: asta pentru ridicarea la putere cu exponent cu numar natural a unui numar natural. Def: Daca si se defineste puterea -a a unui numar natural a sau a la puterea n. Prin conventie In cazul de mai sus Exemplu:

pentru si si mai stim ca nu are sens. a este baza, iar “n” se numeste exponent.

dupa cum am invatat la inmultirea numerelor rationale. Reguli de calcul cu puteri Fie si . atunci in calcule cu puteri se aplica urmatoarele reguli:

1) Inmultirea puterilor cu aceeasi baza (se copiaza baza si se aduna exponentii) 2) Impartirea puterilor care au aceeasi baza (se copiaza baza si se scad exponentii)

3) Puterea unei puteri (se copiaza baza si se inmultesc exponentii)

4) Puterea unui produs (se ridica al putere fiecare factor al produsului)

5)Puterea unui cat (se ridica la putere fiecare factor al catului

Prezentam cateva exemple prin care sa intelegem notiunile pe care le-am prezentat mai sus:

1) Calculati si scrieti rezultatul sub forma de fractie zecimala a) b) 2) Calculati folosind o singura regula a) . b)

La exercitiul b) am folosit regula a patra (puterea unui produs, cand nu avem aceeasi baza, dar avem aceeasi exponent copiem expondentii si inmultim bazele), iar noi am simplificat pe diagonala prin 3. c) . Deci important la regulile de calcul cu puteri este sa invatam regulile dar sa si stim sa le aplicam.

Multime Element Relatia de apartenenta Dupa ce am invatat ecuatiile si inecuatiile si am invatat sa scriem solutia unei ecuatii sau a unei inecuatii, acum o sa invatam notiunea multime, notiunea de element, dar si relatia de apartenenta. Astfel:

O multime este o colectie de obiecte bine determinate si distincte numite elementele multimii. Multimea se noteaza cu literele mari ale alfabetului, iar elemetele multimii se noteaza cu elementele mici ale alfabetului. Astfel, daca A este o multime si ”x” un element al multimii A, atunci scriem si vom citi x apartine multimii A. Daca x nu este un element al multimii A, atunci scriem multimii A.

si citim x nu apartine

O multime poate fi reprezentata in trei moduri: – numind fiecare element al multimii, astfel in acest caz multimea se scrie punand intre acolade elementele multimii. Exp: A={1,2,3,4 } si citim multimea A are elementele 1,2,3,4 -cu ajutorul diagramei Venn-Euler, multimea poate fi reprezentata desenand o curba inchisa si scriind in interiorul ei elementele multimii. Exp:

– enuntand o proprietate caracteristica elementelor multimii (adica o proprietate care are orice element al multimii si nu are niciun alt element care nu apartine multimii). Exemplu: A={x| x este un numar par si x<10} Si astfel putem scrie ca elementele multimii sunt , ca sa scriem corect elementele multimii trebuie sa tinem cont de ambele conditii ale multimii. Obs: Multimea care nu are nici un element se numeste multimea vida si se noteaza . Multimea care are ca elemente toate numerele naturale se numeste multimea numerelor naturale si se noteaza , astfel Multimea care are ca elemente toate numerele naturale mai putin elementul 0 se numeste

multimea numerelor naturale fara zero si se noteaza Prezentam exercitii astfel incat sa intelegem ce am spus mai sus:

.

1) Determinati elementele multimilor:

Astfel incepem cu multimea A, ca sa gasim elementele multimii A trebuie sa rezolvam inecuatia x+3<7 deci,

Deci $x\in \left\{0,1,2,3\right\}$ Si elementele multimii A sunt Acum ca sa aflam elementele multimii B rezolvam inecuatiile, dar si tinem cont de faptul ca $x\in N^{*}$, adica ia elementele multimii numerelor naturale mai putin elementul 0. Ca sa aflam elementele trebuie sa rezolvam si cele doua inecuatii astfel, , deci Rezolvam si cea de-a doua inecuatie si astfel Si acum tinand cont de toate cele trei conditii obtinem: , deoarece tinem cont ca x sa ia valorile multimii numerelor naturale fara 0, dar si cele doua inecuatii si astfel obtinem multimea B ca mai sus. Deci foarte importand cand enuntam elementele unei multimi sa tinem cont de toate conditiile care ni le da multimea.

Dupa ce am invatat ecuatiile si inecuatiile si am invatat sa scriem solutia unei ecuatii sau a unei inecuatii, acum o sa invatam notiunea multime, notiunea de element, dar si relatia de apartenenta. Astfel: O multime este o colectie de obiecte bine determinate si distincte numite elementele multimii. Multimea se noteaza cu literele mari ale alfabetului, iar elemetele multimii se noteaza cu elementele mici ale alfabetului. Astfel, daca A este o multime si ”x” un element al multimii A, atunci scriem si vom citi x apartine multimii A.

Daca x nu este un element al multimii A, atunci scriem multimii A.

si citim x nu apartine

Ordinea efectuarii operatiilor in multimea numerelor rationale pozitive Dupa ce am invatat ordinea efectuarii operatiilor in multimea numerelor naturale, astazi o sa discutam despre Ordinea efectuarii operatiilor in multimea numerelor rationale. Deci pe multimea numerelor rationale pozitie definim operatiile: adunarea numerelor rationale, scaderea numerelor rationale, inmultirea numerelor rationale impartirea numerelor rationale si ridicarea la putere cu exponent naturala unui numar rational. Ordinea efectuarii operatiilor si folosirea parantezelor este aceeasi ca si la multimea numerelor naturale, adica prima data intr-un exercitiu mai intai – se efctueaza ridicarea la putere, inmultirile si impartirile adunarea si scaderea in ordinea in care apar – daca intr-un exercitiu exista si paranteze rotunde, drepte si acolade se efectueaaza prima data paranteza rotunda, apoi cea dreapta si ultima data acolada. Exemplu: 1) Efectuati: a) b) La exercitiul b) am tinut cont de ordinea efectuarii operatiilor dar si de paranteze, adica mai intai am efectuat scaderea in paranteza rotunda, apoi paranteza dreapta s-a transformata in paranteza rotunda si am efectuat impartirea rezultata din noua paranteza rotunda. De unde am obtinut din nou o adunare pe care am efectuat-o cu regula pe care am invatat-o la adunarea numerelor rationale pozitive, iar apoi am folosit si impartirea numerelor rationale pozitive, dar si inmultirea numerelor rationale pozitive, pe unde am putut am si simplificat. c) Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus mai intai am introdus intregii in fractii, apoi in paranteza am adus la acelasi numitor comun si am efectuat calculele, folosind atat adunarea numerelor rationale pozitive cat si inmultirea si impartirea numerelor rationale pozitive.

Foarte important ;Putem sa simplificam doar cand avem inmultire sau impartire.

Metoda triunghiurilor congruente Probleme Dupa ce am invatat cazurile de congruenta ale triunghiurilor oarecare a venit vremea sa discutam despre metoda triunghiurilor congruente. Astfel Metoda triunghiurilor congruente consta in folosirea criteriilor de congruenta pentru triunghiuri in demonstrarea congruentei a diferitelor figuri geometrice : unghiuri, segmente, triunghiuri. Prezentam cateva probleme prin care sa intelegem ceea ce am spus mai sus, astfel: 1) Un triunghi echilateral ABC are AB=10 cm. Pe laturile punctele M, respectiv N, astfel incat BM=6 cm si BN=4 cm.

si

se considera

Demonstrati ca: a) b)

.

Dem

Stim din ipoteza ca triunghiul ABC este echilateral, deci toate laturile sunt de 10 cm, astfel AB=AC=BC=10 cm. Stim ca AB=10 cm, dar mai stim ca AB=AM+MB, rezulta ca

AM=AB-BM=10-6=4 cm, deci AM=4 cm. La fel putem afla BN, deoarece BC=BN+NC, rezulta de aici ca NC=10-4 , obtinem astfel ca NC= 6cm. Stim din ipoteza ca

. din ce am aratat mai sus rezulta ca

si mai stim ca L.U.L

, iar cu cazul

, deci am demonstra punctul a)

b) Ca sa aratam ca triunghiul BMC este congruent cu triunghiul CNA observam de la punctul a) ca , dar mai stim si ca si mai stim si ca , rezulta cu cazul L.L.L triunghiul . 2) In triunghiul ABC, cu consideram punctul AM perpendicular pe BC si BM=MC. Demonstrati ca:

astfel incat

a) b)

este isoscel

Dem

Stim din ipoteza ca si astfel obtinem si ca , din ipoteza mai stim si ca stim ca AM latura comuna celor doua triunghiuri, stim de asemenea ca AM este perpendiculara pe dreapta BC deci deci .

Deci stim ca congruente scriem

.Deci cu cazul U.L.U cele doua triunghiuri sunt .

b) Aratam acum ca triunghiul ABC isoscel, din punctul a) stim ca de unde rezulta si ca AB=AC si astfel obtinem ca triunghiul ABC are doua laturi congruente, deci triunghi isoscel de baza BC.

,

Congruenta triunghiurilor oarecare Criterii de congruenta a triunghiurilor Congruenta triunghiurilor oarecare Stiti inca din capitolele anterioare, cand am invatat, ca doua segmente sunt congruente sau doua unghiuri sunt congruenete. Astfel dupa cum bine va amintiti doua segmente sunt congruente daca au aceeasi lungime, adica

. Iar doua unghiuri sunt congruente daca au aceeasi masura, adica

Dupa ce ne-am reamintit cand doua segmente sunt congruente sau cand doua unghiuri sunt congruente, astazi o sa discutam despre Congruenta triunghiurilor oarecare Criterii de congruenta a triunghiurilor. Acum o sa definim cand doua triunghiuri sunt congruente. Ne punem intrebarea fireasca cand doua triunghiuri sunt congruente? Iar raspunsul este: ca putem aseza unul dintre triunghiuri peste celalalt astfel incat ele sa coincida, adica sa aiba laturile congruente, dar si unghiurile congruente. Def: Fiind date doua triunghiuri si daca au loc relatiile:

spunem ca sunt congruente si notam

,

. Def: Doua triunghiuri sunt congruente daca au laturile respectiv congruente, dar si unghiurile respectiv congruente. Dar avem si cateva cazuri de congruenta in care nu trebuie sa stim daca toate laturlile sunt congruente sau toate unghiurile congruente, dupa cum am invatat la constructia triughiurilor. Astfel primul caz: Cazul L.U.L de congruenta Doua triunghiuri care au doua laturi si unghiul cuprins intre ele respectiv congruente sunt congruente.

Ca in figura de mai sus daca si numai daca

,

,

.

Deci la acest caz trebuie sa gasim doua laturi respectiv congruente si unghiurile cuprins intre ele si astfel obtinem ca triunghiurile sunt congruente. Cazul U.L.U de congruenta Doua triunghiuri care au o latura si unghiurile alaturale ei respectiv congruente sunt congruente. Tot din figura de mai sus avem ca daca si numai daca

.

Cazul L.L.L de congruenta Doua triunghiuri cu toate laturile respectiv congruente sunt congruente. daca si numai daca ,

,

.

Deci la probleme cand avem sa aratam ca triunghiurile sunt congruente trebuie sa aplicam unul din cazurile de mai sus. Problema 1) Se considera triunghiul isoscel ABC cu baza si (AD bisectoarea unghiului . Daca M este un punct oarecare pe segmentul (AD) aratati ca a) b)

.

a) Cum stim ca triunghiul ABC este isoscel stim si ca , stim ca AD este bisectoare deci unghiul , iar AM este latura comuna scriem AM=AM Scriem (din faptul ca triunghiul ABC isoscel) (AD este bisectoare in triunghiul ABC si stim ca bisectoarea imparte unghiul in doua unghiuri congruente). (din constructia triunghiului AM observam da se afla in ambele triunghiuri deci latura comuna) Deci stim ca avem doua laturi congruente si unghiul cuprins intre ele congruent, rezulta ca triunghiurile b) Din congruenta rezulta ca (observam ca triunghiul ABD congruent cu triunghiul ADC) si comuna).

. Dar (latura

Si astfel cu cazul de congruenta L.L.L triunghiurile sunt congruente .

Ridicarea la putere cu exponent numar natural a unui numar rational pozitiv Reguli de calcul cu puteri Despre ridicarea la putere a unui numar am mai invatat si in clasa a V-a, dar in clasa a v-a am invatat ridicarea la putere a unui numar natural.Astazi invatam ridicarea la putere cu exponent numar natural a unui numar rational pozitiv, dar si reguli de calcul cu puteri, pe care unii dintre voi vi le reamintiti de la numere naturale.

Stiti ca ridicarea la putere a unui numar este o inmultire repetata. De exemplu: asta pentru ridicarea la putere cu exponent cu numar natural a unui numar natural. Def: Daca si se defineste puterea -a a unui numar natural a sau a la puterea n. Prin conventie In cazul de mai sus Exemplu:

pentru si si mai stim ca nu are sens. a este baza, iar “n” se numeste exponent.

dupa cum am invatat la inmultirea numerelor rationale. Reguli de calcul cu puteri Fie si . atunci in calcule cu puteri se aplica urmatoarele reguli:

1) Inmultirea puterilor cu aceeasi baza (se copiaza baza si se aduna exponentii) 2) Impartirea puterilor care au aceeasi baza (se copiaza baza si se scad exponentii) 3) Puterea unei puteri (se copiaza baza si se inmultesc exponentii)

4) Puterea unui produs (se ridica al putere fiecare factor al produsului)

5)Puterea unui cat (se ridica la putere fiecare factor al catului

Prezentam cateva exemple prin care sa intelegem notiunile pe care le-am prezentat mai sus:

1) Calculati si scrieti rezultatul sub forma de fractie zecimala a) b)

2) Calculati folosind o singura regula a) . b)

La exercitiul b) am folosit regula a patra (puterea unui produs, cand nu avem aceeasi baza, dar avem aceeasi exponent copiem expondentii si inmultim bazele), iar noi am simplificat pe diagonala prin 3. c) . Deci important la regulile de calcul cu puteri este sa invatam regulile dar sa si stim sa le aplicam.

Multime Element Relatia de apartenenta Dupa ce am invatat ecuatiile si inecuatiile si am invatat sa scriem solutia unei ecuatii sau a unei inecuatii, acum o sa invatam notiunea multime, notiunea de element, dar si relatia de apartenenta. Astfel: O multime este o colectie de obiecte bine determinate si distincte numite elementele multimii. Multimea se noteaza cu literele mari ale alfabetului, iar elemetele multimii se noteaza cu elementele mici ale alfabetului. Astfel, daca A este o multime si ”x” un element al multimii A, atunci scriem si vom citi x apartine multimii A. Daca x nu este un element al multimii A, atunci scriem multimii A.

si citim x nu apartine

O multime poate fi reprezentata in trei moduri: – numind fiecare element al multimii, astfel in acest caz multimea se scrie punand intre acolade elementele multimii. Exp: A={1,2,3,4 } si citim multimea A are elementele 1,2,3,4 -cu ajutorul diagramei Venn-Euler, multimea poate fi reprezentata desenand o curba inchisa si scriind in interiorul ei elementele multimii. Exp:

– enuntand o proprietate caracteristica elementelor multimii (adica o proprietate care are orice element al multimii si nu are niciun alt element care nu apartine multimii). Exemplu: A={x| x este un numar par si x<10} Si astfel putem scrie ca elementele multimii sunt , ca sa scriem corect elementele multimii trebuie sa tinem cont de ambele conditii ale multimii. Obs: Multimea care nu are nici un element se numeste multimea vida si se noteaza . Multimea care are ca elemente toate numerele naturale se numeste multimea numerelor naturale si se noteaza , astfel Multimea care are ca elemente toate numerele naturale mai putin elementul 0 se numeste multimea numerelor naturale fara zero si se noteaza . Prezentam exercitii astfel incat sa intelegem ce am spus mai sus: 1) Determinati elementele multimilor:

Astfel incepem cu multimea A, ca sa gasim elementele multimii A trebuie sa rezolvam inecuatia x+3<7 deci,

Deci $x\in \left\{0,1,2,3\right\}$ Si elementele multimii A sunt Acum ca sa aflam elementele multimii B rezolvam inecuatiile, dar si tinem cont de faptul ca $x\in N^{*}$, adica ia elementele multimii numerelor naturale mai putin elementul 0. Ca sa aflam elementele trebuie sa rezolvam si cele doua inecuatii astfel, , deci

Rezolvam si cea de-a doua inecuatie si astfel Si acum tinand cont de toate cele trei conditii obtinem: , deoarece tinem cont ca x sa ia valorile multimii numerelor naturale fara 0, dar si cele doua inecuatii si astfel obtinem multimea B ca mai sus. Deci foarte importand cand enuntam elementele unei multimi sa tinem cont de toate conditiile care ni le da multimea.

Aducerea fractiilor la acelasi numitor, adunarea numerelor rationale pozitive Despre adunarea numerelor rationale pozitive am mai invatat in clasa a V-a, cand adunam doua fractii zecimale, sau doua fractii care au acelasi numitor. Astazi o sa invatam sa adunam doua sau mai multe fractii care nu au acelasi numitor, adica aducerea fractiilor la acelasi numitor. Pentru a aduce doua sau mai multe fractii la acelasi numitor procedam astfel: – determinam c.m.m.m.c al numitorilor dupa cum am invatat -amplificam fiecare fractie cu catul impartirii dintre c.m.m.m.c si numitorul acestuia Dar cel mai important e sa intelegem cum adunam doua sau mai multe numere rationale pozitive care nu au acelasi numitor asfel: – se aduc fractiile la acelasi numitor asa cum am invatat mai sus -se aduna fractiile care au acelasi numitor Prezentam cateva exercitii care ne ajuta sa intelegem ce am spus ma sus: 1) Efectuati operatiile scriind rezultatele sub forma de fractie ireductibila:

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus, mai intai aducem cele trei fractii la acelasi numitor, deci calculam c.m.m.m.c a numitorilor asa cum am invatat sa calculam la lectia Cel mai mic multiplu comun a doua sau mai multe numere naturale, gasim ca cel ma mic multiplu comun a celer trei numere este 12,

Dupa ce am adus la acelasi numitor, am impartit numitorul comun pe care l-am gasit la fiecate numitor al fractiilor de mai sus adica:

12:2=6, deci am amplificat prima fractie cu 6, apoi am impartit numitorul comun la numitorul cele de-a doua fractie, adica 12:4=3, am amplificat fractia cu 3, iar ultima fractie am amplificat-o cu 1, am impartit numitorul comun la el insusi (sunt unele calcule in care numitorul comun este chiar in fractie, cum a fost si in cazul nostru), dupa ce am amplificat toate fractiile, am inmultit rezultatul amplificarii cu numaratorul la fiecare fractie in parte, adica si asa mai departe, iar apoi am simplificat rezultatul obtinut prin 2 si am obtinut astfel o fractie ireductibila adica cel mai mare divizor comun dintre numitor si numarator este un numar prim . b) Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus o sa transformam fratiile zecimale infinite periodice mixte in fractii ordinare, astfel:

Dupa ce ma transformat fractiile zecimale infinite periodice mixte am simplificat fiecare fractiie folosind criteriile de divizibilitate (sa observam prin cat se simplifica ), pentru a ne seimplifica fractiile, astfel prima fractie am simplificat-o prin 15, a doua prin 5, iar ultima prin 2, apoi am adus la acelasi numitor asa cum am invatat mai sus, iar rezultatul obtinut l-am simplificat prin 3, folosind tot criteriile de divitzibilitate. Deci e foarte important sa stim la aceste tipuri de exercitii sa aducem la acelasi numitor, sa stim cand doua fractii se simplifica, sa stim sa amplificam doua sau mai multe fractii, sa stiim cand doua fractii sunt ireductibile si sa stim sa gasim c.m.m.m.c a doua sau mai multe numere naturale.

Multimea numerelor rationale pozitive, transformarea fractiilor zecimale in fractii ordinare si transformarea fractiilor ordinare in fractii zecimale Dupa multimea numerelor naturale care ati invatat-o in clasa a V-a astazi o sa invatam multimea numerelor rationale pozitive, dar si adunarea numerelor rationale pozitive. Definim multimea numerelor rationale pozitive astfel: Deci = multimea numerelor rationale pozitive, dar daca va aduceti aminte am discutat si in clasa a V-a despre aceste numere. Multimea numerelor rationale pozitive cuprinde: -fractiile zecimale -fractiile ordinare Numerele rationale se reprezinta cu ajutorul fractiilor ordinare dar si cu ajutorul

fractiilor zecimale finite sau fractiile zecimale infinite periodice. Despre fractiile zecimale am invatat in clasa a V-a atunci cand transformam o fractie zecimala in fractie ordinara dar si invers, o fractie ordinara in fractie zecimala. Astfel: -fractiile zecimale finite sunt:0,1; 0,7; 5,8 -fractiile zecimle infinite periodice simple sunt: 0,(1); 0,(7); 3,(4) -fractiile zecimale infinite periodice mixte sunt: 0,1(3); 7,3(5); 2,01(47) Ca sa transformam o fractie periodica in fractie zecimala aplicam algoritmul de impartire a numaratorului la numitor. Daca trebuie sa trasformam o fractie zecimala in fractie ordinara procedam astfel: 1) 2) 3) Prezentam mai multe exemple care sa ne reaminteasca cum transformam fractiile zecimale in fractii ordinare Transformati fractiile zecimale in fractii ordinare ireductibile: a) Am transformat fractia zecimala periodica simpla de mai sus in fractie ordinara asa cum spune si teoria de mai sus. Sau mai usor , deci am scris fractia zecimala asa cum este si am scazut cifa din fata perioadei si am scris atatia de 9 cate cifre avem in perioada. b) Sau Mai usoara pare a doua varianta pentru ca avem mai putin de calcul. Ambele fractii de mai sus sunt fractii periodice simple ireductibile. c) Fractia de mai sus este o fractie periodica mixta. d) Sau . Fractia de mai sus este o fractie periodica mixta. Am transformat-o in fractie ordinara prin aplicarea celei de-a treia reguli, iar rezultatul pe care l-am obtinut l-am simplificat prin 2 (adica am impartit si numitorul si numaratorul prin 2, aplicand criteriile de divizibilitate).

Probleme cu unghiuri adiacene, unghiuri complementare si unghiuri suplementare Dupa ce am invatat notiunile de unghiuri adiacente, unghiuri complementare, unghiuri complementare si despre bisectorea unui unghi, astazi o sa rezolvam probleme cu unghiuri in care apar aceste notiuni. 1) Daca si formeaza un unghi de Solutie

sunt unghiuri adiacente, , aflati masurile unghiurilor

, iar bisectoarele lor si .

Din datele problemei am construit unghiul TOD (unghi format din bisectoarele celor doua unghiuri XOY si YOZ), stim ca Stim de asemenea ca Stim ca daca OT este bisectoarea unghiului XOY rezulta ca , de asemenea stim ca OD este bisectoarea unghiului YOZ rezulta ca , Cum Deci suma celor doua unghiuri este de 90 de grade Dar stim ca , inlocuind in ce am obtinut mai sus obtinem: Deci masura unghiului YOZ este de 70 de grade si masura unghiului XOY este de 20 de grade. Important este sa stim cand doua unghiri sunt suplementare, coplementare sau cand sunt adiacente, sa stim definitia bisectoarei unui unghi si cum le aplicam in formule

Cel mai mic multiplu comun, multipli comuni pentru doua sau mai multe

numere naturale, relatia dintre c.m.m.d.c. si c.m..m..m.c Dupa ce am invatat despre cel mai mare divizor comun, astazi o sa discutam despre cel mai mic multiplu comun. Pentru a afla cel mai mic multiplu comun pentru doua sau mai multe numere naturale procedam astfel: -se descompun numerele in produs de factori primi (numere prime) -se iau factorii comuni si necomuni o singura data la puterea cea mai mare si se inmultesc . Cel mai mic multiplu comun a doua numere naturale a si b se noteaza [a,b]. Exemplu: Sa se determine cel mai mic multiplu comun al numerelor:25, 60, 150

Observatie: adica cel mai mic multiplu comun dinte 0 si orice numar natural este 0 Relatia dintre cel mai mare divizor comun si cel mai mic multiplu comun este: Pentru numerele are loc relatia Exemplu: Stiind ca si , aflati Solutie: Stiind egalitatea de mai sus de la observatie , inlocuim cu datele oferite de problema si obtinem: . 1) Aflati cel mai mic multiplu comun a urmatoarelor numere a) =?

Astfel cel mai important este sa invatam regulile de mai sus, adica dupa ce am descompus numerele in produs de numere prime si luam factorii comuni si necomuni o singura data la puterea cea mai mare.

Cel mai mare divizor comun, divizori comuni a doua sau mai multe numere naturale, numere prime intre ele Dupa ce am invatat sa descompunem numerele naturale in produs de numere prime, adica in produs de factori primi, astazi o sa invatam sa calculam cel mai mare divizor comun a doua sau mai multe numere naturale,sa gasim numere numere prime si divizorii comuni a doua sau mai multe numere naturale. Pentru inceput trebuie sa stabilim ca cel mai mare divizor comun a doua sau mai multe numere naturale se noteaza astfel: , unde a si b sunt doua numere naturale. Pentru a afla cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c) a doua sau mai multe numere naturale mai mari decat 1, procedem astfel: – se descompun numerele in produs de puteri de numere prime – se iau factori comuni, o singura data, la puterea cea mai mica si se inmultesc intre ei. Exemplu: 1) Aflati cel mai mare divizor comun a numerelor 112 si 252 Solutie 112:2=56 56:2=28 28:2=14 14:2=7 7:7=1 iar 252:2=126 126:2=63

63:3=21 21:3=7 7:7=1 Deci si cel mai mare divizor comun asa cum am zis ,am descompus numerele in produs de numere prime, iar apoi am luat factori comuni o singura data la puterea cea mai mica. b) 420 si 169

Deci si cel mai mare divizor comun asa cum am zis ,am descompus numerele in produs de numere prime, iar apoi am luat factori comuni o singura data la puterea cea mai mica. Doua numere sunt prime daca au cel mai mare divizor comun 1. Exemplu:

Pozitii relative ale punctelor si ale dreptelor Primele notiuni care le invatam la geometrie sunt punctul, dreapta si planul, care dupa cum bine stiti sunt notiunile preliminare si cele mai simple. Dat fiind faptul ca stim ce este punctul, dreapta si planul, astazi vorbim de pozitii relative ale punctelor si ale dreptelor. Pozitia relativa a punctelor

Un punct poate sa apartina unei drepte sau poate sa nu apartina unei drepte

si Axioma. Oricare ar fi doua puncte distincte exista o dreapta care le contine, adica prin doua puncte distincte trece o singura dreapta.

Doua sau trei puncte se numesc coliniare daca apartin aceleiasi drepte .Daca nu apartin aceleiasi drepte se numesc necoliniare. In figura de mai sus punctele A si B sunt coliniare. Pozitia relativa a dreptelor Dreptele pot fi: –coplanare – necoplanare Dreptele coplanare sunt situate in acelasi plan, exista un plan care le contine pe toate. Dreptele necoplanare nu au nici un punct in comun si nici nu sunt paralele . Iar cele coplanare pot fi: -paralele – concurente -confundate Dreptele paralele sunt dreptele care nu se intalnesc niciodata, nu au nici un punct in comun. Notam

Dreptele concurente au un singur punct in comun, se intalnesc intr-un singur punct.Notam

Dreptele confundate au toate punctele comune. Problema 1) Se considera un paralelipiped

a) Copiati si completati i) ii) iii)

.

b) Numiti trei drepte concurente Solutie:

au cate un punct in comun, prima punctul a – a doua punctul B, iar a treia punctul D, dreptele sunt concurente daca au un punct in comun

Divizibilitatea numerelor naturale – divizori si multipli Inca din clasa a V-a am introdus notiunea de divizibilitate iar acum o sa vorbim, o sa ne reamintim divizibilitatea numerelor naturale, adica notiunea de divizori si multipli. Def: Fie ‘a’ si ‘b’ doua numere naturale. Spunem ca a divide b si notam ‘a|b’, daca exista un numar natural ‘c’ astfel incat sau spunem ca ‘a’ este un divizor al lui ‘b’, daca exista un numar natural ‘c’ astfel incat . Matematic scriem: , daca astfel incat Exp: 2|6, deoarece exista un numar natural ‘c’ astfel incat deci 2 este un divizor al lui 6.

(numarul natural ‘c’ este 3 ),

Obs: -Fie ‘n’ un numar natural oarecare; , deoarece exista un numar natural ‘c’ astfel incat (numarul natural c este 0). – 0|0, deoarece exista nu numar natural ‘c’ astfel incat sa se verifice relatia divizibilitatii. Exercitii: 1)Determinati elementele multimii: a) b) c) d) e) f) g) Solutie: Daca suntem atenti la definitia divizibilitatii gasim divizorii lui 14 (divizorii lui 14 sunt acele numere care se impart exact fara rest), astfel : a) , deoarece exista un c=14 astfel incat spus 14 se imparte exact la 1, restul se face asemanator.

sau mai bine

b) c) d)

, la intersectie luam partea comuna a celor doua multimi.

e) f) 2) Aratati ca numerele de forma unde .

sunt divizibile cu 27,

Solutie Ca sa aratam ca e divizibil cu 27 trebuie sa gasim un numar de forma alta cantitate, astfel incercam sa scriem numarul nostru in asa fel incat sa putem da factor comun o anumita cantitate, in cazul de fata ca sa dam factor comun pe , trebuie sa mai lucram ultimul termen . Astfel

Deci numarul nostru este divizibil cu 27. In cazul exercitiului de mai sus am folosit si regulile de calcul cu puteri care le-am invatat in clasa a V-a. Deci ca sa rezolvam exercitii trebuie sa ne folosim si de cunostintele dobandite anterior. Incercati sa rezolvati singuri urmatorul exercitiu: 3) Aratati ca numerele de forma .

sunt divizibile cu 63, unde

Criterii de divizibilitate Probabil ca stiti din clasa a V-a despre criterii de divizibilitate. Din acest motiv nu o sa mai insistam sa le scriem si doar o sa le folosim in exercitii, iar cand le folosim o sa spunem ce am folosit si de ce 1) Fie multimile Pentru a rezolva exercitiul trebuie sa stim criteriul de divizibilitate cu 10, adica un numar este divizibil cu 10 daca ultima sa cifra este 0. Multimea , iar multimea , aici avem si 50 pentru ca e mai mic sau egal decat 50. , despre reuniune, intersectie si diferenta am mai vorbit ce sunt. 2) Demonstrati ca daca si , atunci . Solutie Din definitia divizibilitatii pe care am invatat-o in lectia anterioara gasim ca daca , iar daca . Cum a=a, rezulta si . Atunci si , rezulta . Din , deci . 3) Scrieti numerele naturale de forma: a) b) c) divizibile cu 3. Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus trebuie sa stim criteriul de divizibilitate cu 3. Criteriul de divizibilitate cu 3. Un numar este divizibil cu 3 daca suma cifrelor este divizibila cu 3. Astfel pentru a)

nu este divizibil cu 3 ca suma cifrelor nu este divizibila cu 3. nu este divizibil cu 3, pentru ca suma cifrelor nu este divizibila cu 3. b) Pentru divizibila cu 3.

nu este divizibil cu 3 pentru ca suma cifrelor nu este

Pentru nu este divizibil cu 3 pentru ca suma cifrelor nu este divizibila cu 3,(10 nu se imparte exact la 3) Pentru pentru ca suma cifrelor este divizibila cu 3. Pentru Pentr . c) Pentru Pentru Pentru Pentru Pentru Pentru Pentru Pentru Pentru pentru ca suma cifrelor este divizibila cu 3. Din c) observam ca 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27 se impart direct la 3. Deci important la aceasta lectie este sa stim criteriile de divizibilitate si sa stim sa le si aplicam.

Recapitulare clasa a VI-a Ecuatii,multimi si operatii cu numere naturale si rationale pozitive Propunem un plan de recapitulare pentru clasa a VI-a, adica sa ne reamintim ce am invatat in clasa a V-a. Astfel propunem urmatoarele teme: -multimi -operatii cu numere naturale si rationale pozitive – ecuatii si inecuatii Propun urmatoarele exercitii: 1) Se dau multimile ,

unde

multimea numerelor naturale fara zero

Numarul de elemente al multimii M-T este: Rezolvare Multimea Multimea Atunci

.

Ca sa rezolvam exercitiile cu multimi corect luam prima data prima multime si o citim. In cazul de fata pentru multimea M avem conjunctia “si” care dupa cum bine stiti trebuie sa tinem cont de ambele ipoteze ale exercitiului, x trebuie sa fie mai mic sau egal decat 9, dar x trebuie sa apartina si multimii numerelor naturale fara 0. Acelasi lucru si pentru multimea T, aici x apartine multimii M care am aflat-o din prima parte a exercitiului, dar x trebuie sa fie si par. Numarul de elemente al multimii M-T este: 5. 2) Numarul 2,56 transformat intr-o fractie ordinara este egal cu: Rezolvare: Cum transformam o fractie zecimala in una ordinara? Dupa cum ati invatat scriem linia de fractie, punem numarul la numarator, in cazul de fata la noi 256 si la numitor 1 urmat de atatea zerouri cate cifre sunt dupa virgula, la noi doua zerouri. 3) Rezolvati in multimea numerelor naturale ecuatia: Rezolvare: .