Matematika 3 Zbirka

www.puskice.org

Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje



Hijavata

1

www.puskice.org

Predgovor Pismeni ispit iz matematike 3 obuhvata 4 zadatka. Ova zbirka će biti odrađena tematski, za svaki tip zadatka ponaosob.

Prvi zadatak Obične diferencijalne jednačine prvog reda:     

Jednačina sa razdvojenim promenljivim Homogene diferencijalne jednačine prvog reda Linearne diferencijalne jednačine prvog reda Bernulijeva jednačina prvog reda Jednačina sa totalnim diferencijalom (sa/bez integracionog faktora)

Prvi zadatak je uvek jedna diferencijalna jednačina prvog reda. Najčešće dolaze Bernulijeva i Jednačina sa totalnim diferencijalom, mada nema pravila.

Drugi zadatak Diferencijalne jednačine višeg reda: 

Diferencijalna jednačina oblika



Diferencijalna jednačina oblika

 

Homogene diferencijalne jednačine višeg reda Nehomogene diferencijalne jednačine višeg reda

Sistemi običnih diferencijalnih jednačina prvog reda:   

Homogeni sistemi odj Nehomogeni sistemi odj Nelinearni sistemi odj

Parcijalne diferencijalne jednačine  

Linearne parcijalne diferencijalne jednačine Kvazilinearne parcijalne diferencijalne jednačine

2

www.puskice.org

Treći zadatak Treći zadatak je nešto vezano za funkciju kompleksne promenljive. Dolaze ravnopravno dva tipa zadatka:   

Koši-Rimanovi uslovi Izračunavanje integrala funkcije kompleksne promenljive (Reziduum)

Četvrti zadatak Četvrti zadatak je vezan za Laplasovu transformaciju  

Rešavanje diferencijalne jednačine višeg reda primenom Laplasove transformacije Rešavanje sistema diferencijalnih jednačina primenom Laplasove transformacije

3

www.puskice.org

Prvi zadatak Jednačina sa razdvojenim promenljivima Najjednostavniji tip diferencijalne jednačine. Treba imati na umu da važi

Rešavanje jednačina:

rešenje dobijamo iz:

rešenje dobijamo iz:

Dakle, razdvajamo x i y (i njihove diferencijale) na različite strane znaka jednakosti i nalazimo integrale. Pri rešavanju diferencijalnih jednačina, može se dogoditi da rešenje ima drugačiji oblik nego ono dato u ovoj zbirci. Zato pokušajte da transforma cijama, vaše rešenje svedete na ono dato u zbirci kako biste proverili da li ste tačno uradili zadatak. U slučaju da je opšte rešenje jednačine u zadacima gde se traži partikularno rešenje drugačijeg oblika od opšteg rešenja datog u zbirci, to znači da će najverovatnije i konstanta C biti drugačija nego ovde u zbirci, ali mora se dobiti isto opšte rešenje.

4

www.puskice.org

Postoje tri osnovna tipa zadataka: 1. Obična diferencijabilna jednačina sa razdvojenim promenljivima ( ili ) 2. ODJ sa razdvojenim promenljivima - partikularno rešenje 3. ODJ sa razdvojenim promenljivima - smena za svođenje na 1. tip zadatka

Zadaci:

Rešenje:

Transformišemo konstantu na sledeći način:

čime dobijamo novu konstantu

5

www.puskice.org

za uslov

imamo:

6

www.puskice.org

vratimo u opšte rešenje:

dakle, Partikularno rešenje je:

Odrediti partikularno rešenje pri uslovu

za uslov

imamo:

kad vratimo u opšte rešenje, dobijamo Partikularno rešenje:

7

www.puskice.org

kad vratimo u opšte rešenje, dobijamo Partikularno rešenje:

(smena

,

8

)

www.puskice.org

Zadaci za samostalan rad: Odredi opšte rešenje jednačine: 1.

Odredi partikularno rešenje jednačine pri uslovu:

9

www.puskice.org

Jednačine koje slede svesti smenom na jednačninu sa razdvojenim promenljivim a zatim naći opšte rešenje

10

www.puskice.org

Homogena diferencijalna jednačina prvog reda Rešavanje jednačina: Polazna jednačina

smena

vratimo u polaznu jednačinu

rešenje dobijamo iz integrala

zatim vratimo smenu u rešenje

Ova vrsta jednačine se svodi na jednačinu sa razdvojenim promenljivim. Vrlo često, diferencijalna jednačina se transformacijama izraza (deljenje sa x ili y) svodi na homogenu.

11

www.puskice.org

Zadaci za samostalan rad:

12

www.puskice.org

13

www.puskice.org

Linearna diferencijalna jednačina prvog reda

Opšti oblik:

Rešenje:

Ova vrsta jednačine je lako prepoznatljiva. Rešava se primenom ove formule čije izvođenje nije potrebno znati za praktični deo ispita.

Koraci:

14

www.puskice.org

Zadaci za samostalan rad:

15

www.puskice.org

Odrediti partikularno rešenje date linearne diferencijalne jednačine

Odredi rešenje linearne jednačine po x

16

www.puskice.org

Bernulijeva diferencijalna jednačina

Koraci:

17

www.puskice.org

Zadaci za samostalan rad:

18

www.puskice.org

19

www.puskice.org

Jednačine sa totalnim diferencijalom

Algoritam rešavanja:

Postupak rešavanja:

20

www.puskice.org

Ukoliko na ispitu dođe ovaj zadatak, obično napomenu da treba da se traži određeni faktor (po x ili y). Ako ne napomenu, svejedno je koji ćete, procenite sami koji je lakše izračunati.

21

www.puskice.org

22

www.puskice.org

Zadaci za samostalan rad:

23

www.puskice.org

Odredi integracioni faktor, i reši jednačinu:

24

www.puskice.org

Rešenja zadataka:

jedan #6 i jedan tablični integral tri tablična integrala dva #7 dva #1 jedan #1 i jedan #8 jedan tablični i jedan sličan #2 smena -y=t, pa #1 dva #1 , C=1

jedan tablični i jedan #8 , C=0 #6 i jedan tablični

dva tablična izvlačenjem 1/3 ispred integrala, dobiju se dva #1 #1 i #8

tablični i #1

25

www.puskice.org

smena

, integral #7 smena , integral slično kao #7

smena

#7 smena

, slično #7 tablični i #9 tablični i #10 tablični i #1 tablični i #1 dva tablična #11 i tablični dva tablična tablični i #1 tablični tablični i #12 #6 i tablični #13 i tablični #14 i tablični

tablični i smena tablični integrali tablični integrali

26

www.puskice.org

tablični integrali tablični i #15 tablični i #16 tablični i #17 #1 i #18 sličan #8 i tablični #1 i tablični #1 i tablični sličan #5 i 2 tablična tablični i #19 sličan #5 i tablični tablični integrali 2 tablična i #15 tablični i #20 tablični i #21 #1 i tablični tablični i #22 tablični i #23 tablični i #23 tablični i #24 tablični i #25 svi tablični svi tablični tablični i #26 27

www.puskice.org

svi tablični tablični i #23 #1 i tablični #8 i tablični tablični tablični i #23 tablični i #23 tablični i sličan #26 #1 i #27 tablični i #28 tablični i #29 tablični tablični tablični tablični tablični tablični tablični tablični tablični tablični tablični i #29 #30 i tablični #31 i tablični

28

www.puskice.org

tablični tablični i sličan #27 tablični i sličan #27 tablični tablični tablični tablični i sličan #3 tablični tablični tablični tablični tablični i sličan #3 tablični tablični tablični, #32, i sličan #16, tablični tablični tablični tablični i #33 tablični tablični i sličan #8 29

www.puskice.org

tablični tablični tablični tablični tablični

30

www.puskice.org

Integrali potrebni za rešavanje zadataka iz zbirke:

)

31

www.puskice.org

32

www.puskice.org

33

www.puskice.org

34

www.puskice.org

35

www.puskice.org

36

www.puskice.org

37

www.puskice.org

38

www.puskice.org

39

www.puskice.org

40

www.puskice.org

Drugi zadatak Homogene diferencijalne jednačine višeg reda

Rešavanje: Prvo pravimo karakterističnu jednačinu na sledeći način:

Zamenom u polaznu jednačinu dobijamo karakterističnu jednačinu:

Dobijemo sledeće slučajeve: 1. 2. 3.

Kvaka je u tome što dolaze jednačine drugog i trećeg (ređe četvrtog) reda, pa ovo nije toliko komplikovano kako izgleda na prvi pogled. Kroz primere će biti jasnije.

41

www.puskice.org

Zadaci za samostalan rad:

42

www.puskice.org

43

www.puskice.org

Nehomogene diferencijalne jednačine višeg reda

Rešavanje: Rešenje je oblika

Postoje dva načina pronalaženja partikularnog rešenja: metoda neodređenih koeficijenata i metoda varijacije konstanti. Metoda neodređenih koeficijenata

44

www.puskice.org

Pri tom, A i B su koeficijenti koje treba odrediti.

Postupak:

Metoda varijacije konstanti

45

www.puskice.org

Dakle, konstante variramo u funkcije. Nepoznate funkcije sistema:

46

dobijamo iz

www.puskice.org

47

www.puskice.org

metoda varijacije konstanti

48

www.puskice.org

metoda varijacije konstanti

49

www.puskice.org

Zadaci za samostalan rad: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

50

www.puskice.org

11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. Resenja: 1. 2. 3.

51

www.puskice.org

4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.

52

www.puskice.org

18.

19.

20. 21. 22. 23.

53

www.puskice.org

Jednačine kojima se može sniziti red Postoje dva tipa ovakvih jednačina: one koje ne sadrže y, i one koje ne sadrže x.

Prvi tip

Rešavanje: smena:

gde je

Rešavanjem homogene jednačine dobijamo:

Parcijalnom integracijom dobijemo rešenje:

Zadaci:

54

www.puskice.org

Rešenja

Drugi tip

Rešavanje: smena:

gde je

Rešavanjem jednačine dobijamo:

55

www.puskice.org

Integracijom dobijemo rešenje:

Zadaci:

Rešenja

56

www.puskice.org

Sistemi običnih diferencijalnih jednačina Homogeni sistemi Sistem je oblika (sistem 3. reda):

gde su Rešavanje: Prvo se odrede sopstvene vrednosti matrice K:

Dakle iz dobijamo tzv. karakterističnu jednačinu (jednačina trećeg reda po ). Rešavanjem ove jednačine dobijemo sopstvene vrednosti . Ostatak ćemo kroz zadatke, pošto je teško jasno objasniti. Ono što je bitno, da li je sopstvena vrednost jednostruka ili višestruka. Formiramo matricu:

Zatim vršimo transformacije matrice. Transformacija II-3I znači da prvi red množimo sa 3, i zatim to oduzmemo od drugog reda. Itd. Transformacijama dobijamo matrice formulom (u slučaju jedinstvene sopstvene vrednosti). 57

www.puskice.org

Rešenje je oblika:

gde je

Odatle dobijemo: Sad se radi odvojeno za svaku vrednost:

odavde (na osnovu II i III reda) sledi da je:

iz prvog reda sledi:

58

www.puskice.org

Sada formiramo matricu

:

sada za uzimamo neku bilo koju vrednost različitu od nule. Nije bitno koju, jer će se, kako ćemo kasnije videti, pomnožiti sa konstantom, pa je svejedno. Uzećemo .

iz drugog reda:

fiksiraćemo jednu vrednost. Neka to bude

Iz prvog reda:

uzmemo da je

59

www.puskice.org

iz drugog reda:

fiksiraćemo jednu vrednost. Neka to bude

Iz prvog reda:

U razvijenom obliku, rešenje je:

60

www.puskice.org

Ovde se vidi da nije bitno koje smo vrednosti birali. Da smo za imali bismo

. U rešenju bi bilo

. Ako uzmemo da je neka nova konstanta

birali

što je isto što i onda dobijemo

što je i bilo prvobitno rešenje. Zato ako ne dobijete identično rešenje kao u ovoj zbirci, pogledajte da li vam je odnos vrednosti u matrici odgovarajući. U ovom primeru, to je 1:-3:-5.

Rešenje:

Odatle dobijemo:

na osnovu II reda: iz prvog reda sledi:

61

www.puskice.org

iz drugog reda: Iz prvog reda:

iz drugog reda: Iz prvog reda:

62

www.puskice.org

U razvijenom obliku, rešenje je:

Rešenje:

Odatle dobijemo:

63

www.puskice.org

na osnovu II reda: iz prvog reda sledi:

Kada imamo dvostruka rešenja, radi se malo drugačije. Prvi deo, za (ne isti!)

je sličan

iz drugog reda: Iz prvog reda:

sada ne biramo nikakvu vrednost za

već ovo ostavljamo zasad ovako. 64

www.puskice.org

Matrica

se određuje iz formule:

iz drugog reda: vrednosti . Neka bude

. Ovde treba da fiksiramo jednu od . Onda dobijemo:

Iz prvog reda:

Dakle sad imamo i . Cilj jedna promenljiva: matricu u kojoj treba da promenljiva vezana za matricu

je bio pronaći (u kojoj se pojavljuje samo . Onda, kada smo to uradili, pravili smo novu se pojavljuje promenljiva iz i još jedna : .

65

www.puskice.org

Sledeći korak je određivanje i . Oni se određuju u dva koraka. U prvom koraku, jedna od vrednosti iz matrice se menja sa 0, a druga sa nekim realnim brojem. U drugom koraku je obrnuto.

se računa po formuli:

se računa po formuli:

U razvijenom obliku, rešenje je:

66

www.puskice.org

Rešenje:

Odatle dobijemo:

na osnovu II reda: iz prvog reda sledi:

67

www.puskice.org

Kada imamo dvostruka rešenja, radi se malo drugačije. Prvi deo, za (ne isti!)

iz prvog reda: Iz trećeg reda:

Matrica

:

iz prvog reda:

.

Iz trećeg reda:

68

je sličan

www.puskice.org

U razvijenom obliku, rešenje je:

69

www.puskice.org

Rešenje:

Odatle dobijemo:

na osnovu prvog reda: iz drugog reda sledi:

U slučaju konjugovano komplekcnih brojeva, biramo jedan od njih. Recimo . 70

www.puskice.org

iz prvog reda: Iz

trećeg

Na osnovu

reda:

odredićemo

i

.

Po definiciji (ili nekoj teoremi, ne znam baš sigurno) važi:

71

www.puskice.org

Iz ovoga sledi:

Rešenje:

72

www.puskice.org

Odatle dobijemo: Ovo je sad specifično jer imamo trostruko rešenje. Rešavaćemo na drugačiji način, polazeći od rešenja. Zadatak je oblika:

A rešenje je oblika (zbog višestrukog rešenja): , za Izvedimo sad

i=1,2,3

:

Sad to izjednačimo sa

. Pri tom,

ćemo zameniti rešenjem:

Iz ovoga sledi:

Imajte na umu da je jedinična matrica, da je matrica dimenzija 3x3 a da su:

73

www.puskice.org

Dobijamo 3 sistema: ,

,

tj.

,

Sistem rešavamo po

,

. Odmah se vidi da je

Kad to malo sredimo:

odnosno

74

www.puskice.org

Za različite vrednosti parametara imamo: 1. za ,

,

2. za ,

,

3. za ,

,

Rešenje:

Odatle dobijemo: 75

www.puskice.org

na osnovu III reda: iz prvog reda sledi:

U ovom slučaju, kad su sve vrste linearno zavisne radimo na sledeći način. Izrazimo tu jednu vrstu:

sada imamo dva slučaja: 1.

,

. Odatle sledi

2.

,

. Odatle sledi

76

www.puskice.org

Zadaci za samostalan rad:

1.

11.

2.

12.

3.

13.

4.

14.

5.

15.

6.

16.

77

www.puskice.org

7.

17.

8.

18.

9.

19.

10.

Rešenja:

1.

2.

3.

4.

5.

78

www.puskice.org

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

79

www.puskice.org

15.

16.

17.

18.

19.

80

www.puskice.org

Nehomogeni sistemi Sistem je oblika (sistem 3. reda):

ili u razvijenom obliku:

gde su

a

su funkcije.

Postoje dve metode za rešavanje ovakvih sistema: metoda neodređenih koeficijenata i Lagranžova metoda varijacije konstanti. Metoda neodređenih koeficijenata: Ova metoda se može koristiti onda kada su svi elementi vektora funkcije oblika:

Određujemo: 1. m - najveći stepen za P i Q u vektoru 2. k + višestrukost korena u karakterističnoj jednačini. Onda je rešenje oblika (polinomi koeficijentima):

su stepena m+k, sa neodređenim

81

www.puskice.org

Zatim to vraćamo u polaznu jednačinu rešenje .

i dobijemo

Konačno rešenje je oblika

Važi princip superpozicije:

Rešenje: Prvo rešavamo odgovarajući homogeni sistem:

Njegovo rešenje je:

Sad tražimo . Pri rešavanju homogenog sitema dobili smo da su rešenja karakteristične jednačine , tj. . U ovom nehomogenom sistemu, imamo tri vektora funkcija: 1. Vektor funkcija oblika

odavde je . To se poklapa sa rešenjem . To znači da je Pošto su polinomi koji stoje uz u samom sistemu nultog stepena, Zato će polinomi uz u rešenju biti prvog stepena ( ). 82

. .

www.puskice.org

2. Vektor funkcija oblika

odavde je . Pošto se ovo ne poklapa ni sa jednim rešenjem i polinomi uz u sistemu su nultog stepena, polinomi u rešenju uz će biti prvog stepena.

3. Vektor funkcija oblika

odavde je . Pošto se ovo ne poklapa ni sa jednim rešenjem i polinomi uz u sistemu su nultog stepena, polinomi u rešenju uz će biti prvog stepena.

Sve ovo ćemo spojiti (prema principu superpozicije) u:

Sad vraćamo to u polazni sistem odredimo :

. Za početak treba da

Sad određujemo postupno

.

83

www.puskice.org

Kad izjednačimo

dobijemo tri sistema jednačina:

1) 2)

p

3) 1)

2)

84

www.puskice.org

3)

Rešenje:

kad uvedemo smenu

:

Rešenje: Rešenje homogenog sistema:

Rešenja karakteristične jednačine

.

U ovom nehomogenom sistemu, imamo dva vektora funkcija:

85

www.puskice.org

Prva vektor funkcija oblika

odavde je oblika

. Nijedno od rešenja karakteristične jednačnine nije pa je stepen polinoma u rešenju 0.

Druga vektor funkcija oblika

odavde je oblika

. Nijedno od rešenja karakteristične jednačnine nije pa je stepen polinoma u rešenju 0.

Sve ovo ćemo spojiti (prema principu superpozicije) u:

Sad vraćamo to u polazni sistem odredimo :

. Za početak treba da

Sad određujemo postupno

.

Kad izjednačimo

dobijemo dva sistema jednačina:

86

www.puskice.org

1) 2)

1) 2) Rešenje:

Rešenje: Rešenja karakteristične jednačine

, tj.

Sad vraćamo to u polazni sistem odredimo :

.

. Za početak treba da

Kad izjednačimo

dobijemo dva sistema jednačina:

87

www.puskice.org

1) 2) Odatle dobijamo:

.

Konačno rešenje:

Rešenje: Rešenja karakteristične jednačine

,

Sad vraćamo to u polazni sistem odredimo :

. Za početak treba da

Kad izjednačimo

dobijemo sistem jednačina:

Odatle dobijamo:

.

88

www.puskice.org

Konačno rešenje:

Rešenje: Rešenja karakteristične jednačine

Sad vraćamo to u polazni sistem odredimo :

. Za početak treba da

Kad izjednačimo rešavanjem dobijamo:

dobijemo sistem jednačina, čijim .

Rešenje:

89

www.puskice.org

Metoda varijacije konstanti

Homogeno rešenje (sistema drugog reda) je oblika:

gde je

a

Konstante variramo u funkcije (umesto da je to konstanta, pretvaramo se da je to funkcija argumenta t)

Izvode

funkcija

dobijamo

iz

Nakon toga, integraljenjem dobijamo funkcije . Njih uvrstimo u homogeno rešenje koje onda postaje konačno rešenje sistema.

Rešenja: Rešenja karakteristične jednačine

. Rešenje homogenog sistem je:

90

www.puskice.org

Određujemo

:

Odatle sledi:

Konačno rešenje (menjamo konstante):

91

www.puskice.org

Nelinearni sistemi Nelinearni sistemi su oblika:

Rešavaju se tako što se pronađu nezavisni prvi integrali. Ima ih uvek onoliko koliko je znakova jednakosti u sistemu, odnosno za jedan manje od broja 'izraza' koje povezuju ti znakovi jendakosti:

Prvi integrali moraju biti međusobno nezavisni. Dobijamo ih nalaženjem integralnih kombinacija i polaznog sistema. Rešenja su definisana prvim integralima. Za određivanje prvih integrala ne postoji jedinstven 'recept'. Zato je potrebno provežbati zadatke, kako bi se stekao 'osećaj' za njihovo pronalaženje. Uslov za postojanje rešenja je:

Za rešavanje, će biti potrebno poznavati osobine razmera i diferencijala. Osobine razmera:

92

www.puskice.org

Osobine diferencijala:

Za rešavanje nelinearnih sistema, ne postoji uverzalan 'recept' kao što postoji kod linearnih (tu spadaju sistemi koje smo dosad radili). Potrebno je koristeći osobine proporcije i diferencijala doći do međusobno linearno nezavisnih prvih integrala. Postoje neki šabloni kako se dolazi do njih, a ta rutina se stiče vežbom.

Rešenje:

Dobijamo sistem:

93

www.puskice.org

Imaćemo dva prva integrala: 1.

2. koristeći osobinu proporcije dobijamo:

Provera uslova:

Prema uslovu iz zadatka, ovo je uvek različito od nule. Prema tome, rešenje je određeno prvim integralima:

Rešenje: Imaćemo dva prva integrala: 1.

Dakle, imamo:

94

www.puskice.org

2. koristeći osobinu proporcije dobijamo:

Očigledno je da su ova dva rešenja linearno nezavisna, pa nema potrebe za proverom uslova. Rešenje sistema je, dakle, određeno prvim integralima:

Rešenje: Imaćemo tri prva integrala: 1. koristeći osobinu proporcije dobijamo:

Dakle, imamo:

95

www.puskice.org

2. koristeći osobinu proporcije dobijamo:

3. koristeći osobinu proporcije dobijamo:

Dakle, imamo:

Očigledno je da su ova tri rešenja linearno nezavisna, pa nema potrebe za proverom uslova. Rešenje sistema je, dakle, određeno prvim integralima:

Rešenje: Svođenjem na diferencijale dobijamo:

96

www.puskice.org

Imaćemo dva prva integrala: 1. koristeći osobinu proporcije dobijamo:

2. koristeći osobinu proporcije dobijamo:

Rešenje: Imaćemo dva prva integrala: 1.

2.

Rešenje: Imaćemo dva prva integrala: 97

www.puskice.org

1.

2.

Rešenje: Imaćemo dva prva integrala: 1.

2.

Rešenje: Imaćemo tri prva integrala: 1.

2.

98

www.puskice.org

3.

Rešenje:

Imaćemo dva prva integrala: 1.

2.

Rešenje: Imaćemo dva prva integrala: 1.

2.

99

www.puskice.org

Rešenje: Imaćemo dva prva integrala: 1.

2.

Rešenje: Imaćemo dva prva integrala: 1.

2.

100

www.puskice.org

Rešenje: Imaćemo dva prva integrala: 1.

2.

Rešenje: Imaćemo dva prva integrala: 1.

2.

101

www.puskice.org

Parcijalne diferencijalne jednačine Ove jednačine su oblika (linearne):

kvazilinearne:

Prilično lako se svode na nelinarne sisteme i tako se rešavaju. Svođenje je: Linearne:

Kvazilinearne

Rešenje:

Rešavanjem

ovog

sistema

dobije

102

se

prvi

integral

www.puskice.org

Rešenje:

Rešavanjem

ovog

sistema

dobije

se

prvi

integral

ovog

sistema

dobiju

se

prvi

integrali

Rešenje:

Rešavanjem

pa

je

konačno

rešenje

oblika:

Rešenje:

Rešavanjem

ovog

sistema

dobiju

103

se

prvi

integrali

www.puskice.org

pa je konačno rešenje oblika (jer se funkcija integralu):

pojavljuje samo u jednom

Rešenje:

Rešavanjem

ovog

sistema

dobiju

pa je konačno rešenje oblika (pošto se funkcija

se

prvi

integrali

pojavljuje u oba integrala):

Rešenje:

Rešavanjem

ovog

sistema

dobiju

pa je konačno rešenje oblika (pošto se funkcija

104

se

prvi

integrali

pojavljuje u oba integrala):

www.puskice.org

Rešenje:

Rešavanjem

ovog

sistema

dobiju

se

prvi

integrali

pa je konačno rešenje oblika (pošto se funkcija pojavljuje u jednom integralu):

105

www.puskice.org

Treci zadatak Funkcija kompleksne promenljive Funkcija kompleksne promenljive je oblika (algebarski oblik)

Svaka funkcija se sastoji iz realnog i kompleksnog dela:

Moduo kompleksnog broja -

:

Argument kompleksnog broja - :

106

www.puskice.org

Važi i:

Ako su i

kompleksni brojevi onda važi:

Pri tom je višeznačna.

i

. Dakle, funkcija

je

Izvod funkcije kompleksne promenljive. Koši-Rimanovi uslovi. Funkcija

je diferencijalna u

ako postoji:

Funkcija je regularna (analitička) u ako je diferencijabilna u svakoj tački neke okoline . Tačke u kojima funkcija nije analitička se nazivaju singularnim tačkama. Tačka je izolovani singularitet ako je analitička u svim tačkama neke okoline tačke osim u . Izolovani singularitet je pol funkcije ako je

Ako je funkcija diferencijabilna u tački tada postoje svi parcijalni izbodi funkcija Rimanovi uslovi:

Suprotno: ako su uslovi u , tada je

diferencijabilne u diferencijabilna u

107

i i važe Koši-

i važe Koši-Rimanovi .

www.puskice.org

Ako vam ovaj zadatak zapadne, tekst se može razlikovati tu i tamo, ali je poenta ista: daju ili a vi preko K-R uslova treba da odredite ono drugo. Jedina težina u ovim zadacima mogu biti integrali. Hiperboličke funkcije Ovo je klasa funkcija koje ste dosad uspešno izbegavali, ali vreme je da ih naučite. Za ovaj tip zadataka, ali i za Laplasovu transformaciju (4. zadatak) potrebno je znati hiperbolički sinus i kosinus: hiperbolički sinus

naziv

hiperbolički kosinus

definicija izvod integral Odrediti sve analitičke funkcije ako je:

Rešenje: Prvo određujemo

iz Koši-Rimanovih uslova sledi:

Sada treba da dobijemo . To se najlakše radi rešavajući odgovarajuću jednačinu sa totalnim diferencijalom:

108

www.puskice.org

Dakle,

Odrediti sve analitičke funkcije ako je:

Rešenje:

Sada treba da dobijemo . To se najlakše radi rešavajući odgovarajuću jednačinu sa totalnim diferencijalom:

109

www.puskice.org

Dakle,

sve to vratimo u polaznu funkciju

Odrediti sve analitičke funkcije ako je:

Dakle

110

www.puskice.org

Odrediti sve analitičke funkcije ako je:

Rešenje: Prvo određujemo

iz Koši-Rimanovih uslova sledi:

111

www.puskice.org

Odrediti sve analitičke funkcije ako je:

Koja je vrednost

za

?

Rešenje:

u

pa imamo partikularno rešenje:

Zadaci za samostalan rad:

112

www.puskice.org

1. 2. 3. 4. 5. 6. Rešenja:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

113

www.puskice.org

Integral funkcije kompleksne promenljive. Reziduum. Ovde bi trebalo preći sve vezano za integral kompleksne promenljie i Košijeve formule. Pošto zadaci iz toga ne dolaze na ispitu, ovde to nećemo pominjati, ali bi bilo zgodno da prođete to sa slajdova. Ono što dolazi na ispitu je računanje integrala preko reziduuma. - izolovani singularitet funkcije

u tački

, ograničen konturom C.

Definicija:

odavde sledi:

u slučaju da imamo više singulariteta u oblasti ograničenoj konturom C:

Pomoću Košijevih formula, mogu da se izračunaju reziduumi u singularitetima koji su polovi: 1. Ako je onda je

pol 1. reda i važi:

2. Ako je

114

www.puskice.org

onda je

pol 1. reda i važi:

obratite pažnju da znači stepen izvoda. Tako, na primer, za trećeg stepena), tražićemo izvod drugog reda. Neke granične vrednosti:

Izračunati integral:

Rešenje: Prvo ćemo nacrtati konturu C:

Dakle, kontura je kružnica sa centrom u tački (0,0) i poluprečnikom Zatim tražimo polove. Polove nalazimo kad imenilac razlomka u integralu izjednačimo sa nulom:

Polovi su

i

(jednostruki pol)

115

(pol

www.puskice.org

prvo proveravamo uslov (da li je ovo pol i otklonjiv prekid)

Dakle,

je pol drugog reda.

Rešenje je zbir reziduuma prema formuli (obratite pažnju kako se menja znak u zavisnosti od toga kako obilazimo konturu: ).

116

www.puskice.org

Izračunati integral:

Rešenje: Prvo ćemo nacrtati konturu C:

Dakle, kontura je kružnica sa centrom u tački (1,1) i poluprečnikom Zatim tražimo polove.

Polovi su (jednostruki pol), (jednostruki pol), pol), (jednostruki pol). Iz uslova (kontura C) vidimo da ne pripadaju konturi, pa ih ne računamo. Ostaju dva pola:

117

(jednostruki i

www.puskice.org

Rešenje je zbir reziduuma prema formuli (obratite pažnju kako se menja znak u zavisnosti od toga kako obilazimo konturu: ).

Izračunati integral:

Rešenje: Prvo ćemo nacrtati konturu C:

Dakle, kontura je kružnica sa centrom u tački (1,0) i poluprečnikom Zatim tražimo polove. Ovde izgleda kao da postoji jedan pol i da je trostruki. Međutim, nije tako (probajte da uradite, dobićete 0 za graničnu vrednost, a to ne može biti reziduum). Zato treba da razvijemo funkciju:

Polovi su

,

.

118

www.puskice.org

Pošto je pol višestruki, prvo ispitujemo postojanje granične vrednosti (uslov postojanja reziduuma, stavka 2). Već smo videli ovaj pol nije trostruki. Probajmo za dvostruki.

Dakle, pol

je dvostruki.

Jedina vrednost celobrojnog parametra k, za koju tačka z pripada konturi C je 1, pa imamo

uvodimo smenu:

119

www.puskice.org

Izračunati integral:

.

Polovi su . Iz uslova (kontura C) vidimo da pripada konturi, pa ga ne računamo. Ostaju dva pola:

Ovo je otklonjiv prekid, nema reziduuma.

120

ne

www.puskice.org

Konačno rešenje je zbir reziduuma. Pošto imamo samo jedan:

Izračunati integral:

Rešenje: Prvo ćemo nacrtati konturu C:

Dakle, kontura je kružnica sa centrom u tački (1,0) i poluprečnikom Zatim tražimo polove. 121

www.puskice.org

Polovi su , . Iz uslova (kontura C) vidimo da ne pripada konturi, pa ga ne računamo. Ostaju tri pola:

Pol je dvostruki:

122

www.puskice.org

Konačno rešenje je zbir reziduuma:

Izračunati integral:

Polovi su i

,

. Iz uslova (kontura C) vidimo da ne pripadaju konturi, pa ga ne računamo. Ostaju dva pola:

Pol je dvostruki:

123

www.puskice.org

Konačno:

Izračunati integral:

Polovi su

,

Pol je trostruki: 124

www.puskice.org

Konačno: Pošto nam nije data oblast D, definisana konturom C, razmatramo sledeće slučajeve: 1.

2.

3.

4.

125

www.puskice.org

Izračunati integral:

Rešenje: Prvo ćemo nacrtati konturu C: 1. 2. 3. 4.

Kad razvijemo ovo po definiciji dobijamo:

odavde dobijamo:

Sada tražimo vrednosti k (celobrojno) za koje će dobijena tačka oblasti ograničenoj konturom C.

126

pripadati

www.puskice.org

nema smisla da ispitujemo za

nema smisla da ispitujemo za

Polovi su

,

i dalje, jer sigurno neće biti u oblasti D.

i manje, jer sigurno neće biti u oblasti D.

.

127

www.puskice.org

Konačno rešenje:

Izračunati integral:

Rešenje:

128

www.puskice.org

Kontura je krug poluprečnika 1, sa centrom u Pol je

.

.

Pol je trostruki:

Konačno:

Izračunati integral:

Rešenje: Konturu određuje kružnica poluprečnika 5, sa centrom u Zatim tražimo polove.

129

.

www.puskice.org

nema potrebe da idemo dalje. Sad idemo u minus:

Dakl Polovi su

,

,

Konačno rešenje:

130

www.puskice.org

131

www.puskice.org

Četvrti zadatak Četvrti zadatak je vezan za Laplasovu transformaciju. Laplasova transformacija funkciji realne promenljive pridružuje funkciju kompleksne promenljive (tj. transformiše realnu funkciju u funkciju kompleksne promenljive, koja je algebarskog oblika). Koristi se za rešavanje diferencijalnih jednačina i sistema diferencijalnih jednačina. Logika je sledeća: 1. Imamo diferencijalnu jednačinu realnog argumenta 2. Transformišemo diferencijalnu jednačinu u algebarsku jednačinu kompleksnog argumenta 3. Rešimo algebarsku jednačinu 4. Vratimo rešenje jednačine inverznom Laplasovom transformacijom u realni domen. Osobine i tablice Laplasove transformacije su date u prilogu na kraju zbirke. A sada malo formalnijih stvari: Data je funkcija realne promenljive . Njoj se pridružuje funkcija kompleksne promenljive . Pravilo po kom se vrši ovo pridruživanje naziva se Laplasova transformacija i zapisuje se kao: . Formula po kojoj se pridruživanje vrši:

Odskočna funkcija. Definiše se ovako:

Laplasova slika je:

132

www.puskice.org

Nalaženje Laplasove transformacije Trebalo bi da prođete one primere na Šonetovim slajdovima a ovde ću dati nekoliko. Dakle koriste se osobine i tablica. Za ispit nisu potrebni neki složeni primeri.

Inverzna Laplasova transformacija Inverznom Laplasovom transformacijom, vraćamo funkciju iz s domena u t domen. Postoje dva načina nalaženja inverzne Laplasove transformacije: Preko inverznih razlomaka i preko reziduuma. Zapis inverzne Laplasove transformacije:

1. Svođenje na inverzne razlomke: a) jednostruki pol

b) višestruki pol

c) konjugovano-kompleksni pol 133

www.puskice.org

2. Pomoću reziduuma 1) je pol I reda 2)

je pol višeg (k-tog) reda

Na kraju

Osobina konvolucije: Ako je funkcija

zadata kao proizvod dveju funkcija:

Onda se inverzna osobina može odrediti preko osobine konvolucije (znak *). Pri tom su i :

pošto je osobina konvolucije komutativna:

134

www.puskice.org

Odredi inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:

Rešenje:

1) Reziduum: Imamo dva pola,

i

. Oba su jednostruka:

2) Razlomci

135

www.puskice.org

Odredi inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:

Rešenje: Ovaj zadatak ćemo odraditi preko inverznih razlomaka. Vi probajte i preko reziduuma, dobićete isto.

- Ovo je impulsna funkcija. Samo zapamtite da je Laplasova transformacija te funkcije 1, a inverzna L. transformacija od 1 je potrebno znati. Odredi inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:

Rešenje: Imamo dva pola,

(jednostruki) i

136

(dvostruki):

www.puskice.org

Odredi inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:

Rešenje: Čitamo iz tablice (stavka 5)

Odredi inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:

Rešenje: Rastavimo na razlomke:

137

www.puskice.org

Odredi inverznu Laplasovu transformaciju funkcije. Ovaj zadatak je urađen na slajdovima sa vežbi netačno. Zato ćemo ga ovde uraditi na oba načina.

Rešenje: Prvi način (reziduum) Imamo tri pola,

,

,

(jednostruki):

138

www.puskice.org

Drugi način (razlomci)

139

www.puskice.org

Odredi inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:

Rešenje: Rastavimo na razlomke:

140

www.puskice.org

Odredi inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:

Rešenje: Rastavimo na razlomke:

141

www.puskice.org

Odredi inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:

Rešenje: Predstavimo ovu funkciju na sledeći način:

Iz tablice osobina, koristimo osobinu odskočne funkcije:

Sada treba naći inverznu Laplasovu transformaciju od

.

Odredi inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:

142

www.puskice.org

Rešenje: Ovaj zadatak ćemo rešiti primenom osobine konvolucije.

gde su

Tražena funkcija je (osobina konvolucije):

143

www.puskice.org

Zadaci za samostalan rad (napominjem da ove zadatke nisam proverio ručno, tako da je moguća greška, samo sam ih prepisao (sa rešenjima) iz jedne zbirke). Potrebno je odrediti inverznu Laplasovu sliku za datu funkciju : 1.

17.

2.

18.

3.

19.

4.

20.

5.

21.

6.

22.

7.

23.

8.

24.

9.

25.

10.

26.

11.

27.

12.

28.

13.

29.

14.

30.

15.

31.

144

www.puskice.org

16.

32.

Rešenja: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

145

www.puskice.org

17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32.

146

www.puskice.org

Rešavanje diferencijalnih jednačina preko Laplasove transformacije Linearne (ne)homogene jednačine je moguće rešiti i preko Laplasove transformacije. Pri tom traži se partikularno rešenje pri zadatim uslovima. Neka je data jednačina:

Tražimo funkciju takvu da je transformacijom dobijamo traženu funkciju

. Zatim inverznom Laplasovom .

Koristi se osobina izvoda Laplasove transformacije:

Dakle, upotrebimo ovu osobinu za svako , dobijemo jednačinu iz koje izrazimo , zatim ga inverznom transformacijom prevedemo u traženu funkciju. Koristeći Laplasovu transformaciju, rešite jednačinu:

pri uslovima: Rešenje:

147

www.puskice.org

Odatle:

Koristeći Laplasovu transformaciju, naći opšte rešenje jednačine:

Nalaženje opšteg rešenja je slično kao kod partikularnog. Samo, ovog puta ćemo pretpostaviti da je . Rešenje:

Vratimo to u jednačinu:

148

www.puskice.org

Odatle:

Neka su

i

.

Koristeći Laplasovu transformaciju, naći opšte rešenje jednačine:

Nalaženje opšteg rešenja je slično kao kod partikularnog. Samo, ovog puta ćemo pretpostaviti da je . Rešenje:

149

www.puskice.org

Vratimo to u jednačinu:

Sada bi trebalo razložiti se radi na sledeći način:

na izložioce

Imamo funkciju

u tački

. To

. Koristimo Tejlorov razvoj:

(izjednačimo imenilac sa nulom).

150

www.puskice.org

Takođe, isti rezultat bi se dobio kada bismo uradili:

Vratimo to:

Inverznom Laplasovom transformacijom dobijamo:

Koristeći Laplasovu transformaciju, naći opšte rešenje jednačine:

pri uslovima Rešenje: Krećemo sa transformacijom:

151

www.puskice.org

Da bismo odredili preostalu Laplasovu transformaciju (integral) Koristimo osobinu 12. (konvolucija) iz tablice Laplasovih transformacija. Osobina glasi

dakle

Vratimo to u jednačinu:

Odatle: 152

www.puskice.org

Koristeći Laplasovu transformaciju, naći opšte rešenje jednačine:

Rešenje: Za početak treba da prevedemo u analitički oblik. To se radi preko hevisajdove (odskočne) funkcije. Prvo pogledamo koliko intervala imamo. U ovom slučaju su dva:

U ovom slučaju funkcija je:

U ovom slučaju funkcija je: Ukupno je:

Sad se vraćamo na zadatak. Pretpostavimo da je

Vratimo to u jednačinu:

153

:

www.puskice.org

Odatle:

Koristeći Laplasovu transformaciju, naći opšte rešenje jednačine:

pri uslovima: Rešenje: Prevodimo

u analitički oblik.

U ovom slučaju funkcija je:

U ovom slučaju funkcija je: Ukupno je:

Sad se vraćamo na zadatak:

154

www.puskice.org

Vratimo to u jednačinu:

Odatle:

Zadaci za samostalan rad: 1.

2.

3.

4. 5.

6.

7.

8.

155

www.puskice.org

Rešenja: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

156

www.puskice.org

Rešavanje sistema diferencijalnih jednačina preko Laplasove transformacije Sisteme nehomogenih diferencijalnih jednačina je moguće rešiti putem Laplasove transformacije. Ovog puta tražimo dve funkcije: i . Dobija se sistem dve jednačine sa dve nepoznate Rešavanjem ovog sistema dobijamo ove dve funkcije. Zatim inverznom Laplasovom transformacijom iz njih dobijamo tražene funkcije . Koristeći Laplasovu transformaciju, naći rešenje sistema:

Rešenje:

Sistem ćemo rešiti Kramerovom metodom. Kramerova metoda za sistem sa dve jednačine sa dve nepoznate: Sistem:

Determinante:

Rešenja: 157

www.puskice.org

Dakle, konačno rešenje je:

158

www.puskice.org

Zadaci za samostalan rad: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

159

www.puskice.org

Rešenja: 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

160

www.puskice.org

12.

13.

161

www.puskice.org

JEDNAČINA SA RAZDVOJENIM PROMENLJIVIMA.............................................................. 4 HOMOGENA DIFERENCIJALNA JEDNAČINA PRVOG REDA ............................................11 LINEARNA DIFERENCIJALNA JEDNAČINA PRVOG REDA ...............................................14 BERNULIJEVA DIFERENCIJALNA JEDNAČINA ..................................................................17 JEDNAČINE SA TOTALNIM DIFERENCIJALOM .................................................................20 REŠENJA ZADATAKA: ...........................................................................................................25 INTEGRALI POTREBNI ZA REŠAVANJE ZADATAKA IZ ZBIRKE: ...................................31 HOMOGENE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE VIŠEG REDA ...............................................41 NEHOMOGENE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE VIŠEG REDA ..........................................44 Zadaci za samostalan rad: ..................................................................................................................................................... 50 Resenja: .................................................................................................................................................................................... 51

JEDNAČINE KOJIMA SE MOŽE SNIZITI RED ......................................................................54 Zadaci: ....................................................................................................................................................................................... 54 Rešenja...................................................................................................................................................................................... 55 Zadaci: ....................................................................................................................................................................................... 56 Rešenja...................................................................................................................................................................................... 56

HOMOGENI SISTEMI .............................................................................................................57 Zadaci za samostalan rad: ..................................................................................................................................................... 77 Rešenja: .................................................................................................................................................................................... 78

NEHOMOGENI SISTEMI ........................................................................................................81 Metoda neodređenih koeficijenata: .................................................................................................................................. 81 Metoda varijacije konstanti ................................................................................................................................................. 90

NELINEARNI SISTEMI ...........................................................................................................92 PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE................................................................... 102 162

www.puskice.org

FUNKCIJA KOMPLEKSNE PROMENLJIVE ....................................................................... 106 IZVOD FUNKCIJE KOMPLEKSNE PROMENLJIVE. KOŠI-RIMANOVI USLOVI. ............ 107 Zadaci za samostalan rad: ................................................................................................................................................... 112 Rešenja: .................................................................................................................................................................................. 113

INTEGRAL FUNKCIJE KOMPLEKSNE PROMENLJIVE. REZIDUUM.............................. 114 Nalaženje Laplasove transformacije................................................................................................................................. 133 Inverzna Laplasova transformacija ................................................................................................................................... 133 Rešenja: .................................................................................................................................................................................. 145

REŠAVANJE DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA PREKO LAPLASOVE TRANSFORMACIJE ............................................................................................................................................... 147 Zadaci za samostalan rad: ................................................................................................................................................... 155 Rešenja: .................................................................................................................................................................................. 156

REŠAVANJE SISTEMA DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA PREKO LAPLASOVE TRANSFORMACIJE ............................................................................................................. 157 Zadaci za samostalan rad: ................................................................................................................................................... 159 Rešenja: .................................................................................................................................................................................. 160

163

ОСОБИНЕ ЛАПЛАСОВЕ ТРАНСФОРМАЦИЈЕ

( f ( t ) , g( t ) )

ОРИГИНАЛ

СЛИКА

( F ( s) , G( s))

1. α f (t ) ± β g (t )

α F ( s ) ± β G( s )

2. f (at )

1 s F( ), a > 0 a a

3. f (t −a) U (t −a)

e − as F ( s ) , a > 0

4. e at f (t )

F ( s −a)

5. t f (t )

−F ′( s)

6. t n f (t )

( −1) n F ( n ) ( s ) , n ∈ `

7.

∞

f (t ) t

∫ F ( z ) dz s

8. f ′(t )

sF ( s)− f (0)

9. f ( n ) (t )

s n F ( s ) − s n −1 f (0) − ... − f ( n −1) (0)

t

10.

F ( s) s

∫ f ( x) dx 0

t

t1

t n −1

0

0

0

11. ∫ dt1 ∫ dt2 ... ∫ f (tn ) dtn

F (s) , n∈` sn

t

12. ( f1 ∗ f 2 ) (t ) = ∫ f1 (t − x) f 2 ( x) dx

F1 ( s ) F2 ( s )

0

12. ( ∀t > 0 ) f (t ) = f (t + T )

F ( s) =

T

1 e − st f (t ) dt − sT ∫ 1− e 0

ОСНОВНЕ ЛАПЛАСОВЕ ТРАНСФОРМАЦИЈЕ ОРИГИНАЛ

СЛИКА

1. 1

1 , Re( s ) > 0 s

2. t n

n! , Re( s ) > 0, n ∈ ` s n +1

3. U (t −a)

e − as , Re( s ) > 0 , a > 0 s

4. eat

1 , Re( s ) > a s−a

5. sin at

a , Re( s ) > 0 s + a2

6. cos at

s , Re( s ) > 0 s + a2

7. (t − a ) n U (t − a)

e − as

n! , Re( s ) > 0, a > 0 s n +1

8. sin b(t −a) U (t −a)

e − as

b , Re( s ) > 0, a > 0 s + b2

9. cos b(t −a) U (t −a)

e − as

s , Re( s ) > 0, a > 0 s + b2

10. e at t n

n! , Re( s ) > a , n ∈ ` ( s − a ) n +1

11. eat sin bt

b , Re( s ) > a ( s −a)2 + b2

12. eat cos bt

s −a , Re( s ) > a ( s −a)2 + b2

13. t sin at

2as , Re( s ) > 0 (s + a 2 )2

14. t cos at

s2 − a2 , Re( s ) > 0 (s 2 + a 2 )2

15.

sin at t

2

2

2

2

2

π 2

− arctg

s , Re( s ) > 0 a

16. sh at

a , Re( s ) > | a | s − a2

17. ch at

s , Re( s ) > | a | s − a2

2

2