Mektek Modul 2 (vektor Gaya)

MODUL 2. OPERASI VEKTOR & VEKTOR GAYA

2.1. Sub Kompetensi Kemampuan yang akan dimiliki oleh mahasiswa setelah memahami isi modul ini adalah sebagai berikut : -

Mahasiswa dapat memahami konsep dasar vektor gaya;

-

Mahasiswa dapat melakukan operasi vektor;

-

Mahasiswa dapat menggunakan operasi vektor untuk menguraikan gaya dan komponen gaya.

2.2. Uraian Materi 2.2.1. Konsep Vektor dan Skalar Sebelum mempelajari konsep vektor gaya, kita wajib memahami dengan benar definisi vektor, dan perbedaan antara vektor dengan skalar. Semua besaran fisik dalam Mekanika Teknik selalu diukur dengan skalar atau vektor. Itulah alasan mengapa mempelajari skalar dan vektor menjadi penting sebelum mempelajari Mekanika Teknik secara lebih mendalam. Skalar (scalar) merupakan suatu nilai fisik yang mempunyai besar (magnitude); dimana besaran tersebut bisa bernilai positif (+) atau negatif (-). Sedangkan vektor (vector) merupakan suatu nilai fisik yang tidak hanya mempunyai besar (magnitude), tetapi juga arah (direction). Contoh skalar adalah panjang, massa dan waktu, sedangkan contoh dari vektor adalah gaya, posisi dan momen.

Gambar 2.1. Definisi Vektor Gambar 2.1 merupakan gambar grafis suatu vektor yang ditunjukkan dengan adanya anak panah. Dimana panjang panah merupakan besar vektor, sudut () antara vektor

MODUL AJAR MEKANIKA TEKNIK

21

MODUL 2. OPERASI VEKTOR & VEKTOR GAYA

dan suatu aksis tetap merupakan arah dari garis aksi gaya, dan ujung (tip) dari panah mengindikasikan arah vektor.

PADA MODUL INI, A (TEBAL) MERUPAKAN VEKTOR, DAN A (MIRING) MERUPAKAN BESAR VEKTOR

2.2.2. Operasi Vektor Karena vektor tidak hanya mempunyai besar tetapi juga arah, maka operasi yang terkait dengan vektor berbeda dengan operasi pada skalar. Namun sama halnya dengan skalar, di dalam vektor juga dikenal beberapa operasi, seperti : perkalian, pembagian, penjumlahan dan pengurangan. Operasi perkalian/pembagian Beberapa hal terkait antara perkalian atau pembagian suatu vektor dengan skalar adalah sebagai berikut : 

Perkalian dengan skalar positif; Suatu vektor jika dilakukan operasi perkalian dengan skalar yang bernilai positif, maka besar vektor akan meningkat sebesar hasil perkaliannya. Tetapi arah vektor tidak berubah.



Perkalian dengan skalar negatif; Namun jika dikalikan dengan skalar yang bernilai negatif, maka besar vektor akan sama dengan hasil perkaliannya dengan arah vektor menjadi berubah.

Gambar 2.2. Ilustrasi Perkalian dan Pembagian Vektor

MODUL AJAR MEKANIKA TEKNIK

22

MODUL 2. OPERASI VEKTOR & VEKTOR GAYA

Pada Gambar 2.2 dapat dilihat suatu ilustrasi sederhana dari operasi perkalian dan pembagian. Suatu vektor A dikalikan dengan 2 (skalar positif) menghasilkan vektor 2A yang arahnya tetap sama. Sedangkan jika dikalikan dengan 1 (skalar negatif), maka akan menghasilkan vektor –A dengan arah yang berubah (berlawanan). Operasi penjumlahan dan pengurangan Ada 2 (dua) cara yang bisa digunakan untuk operasi penjumlahan atau pengurangan vektor, yaitu: prinsip parallelogram dan prinsip segitiga (triangle). Prinsip Parallelogram

Gambar 2.3. Operasi Penjumlahan Prinsip Parallelogram Pada Gambar 2.3 terdapat 2 (dua) vektor (A dan B) yang akan dijumlahkan. Langkah-langkah penjumlahan adalah sebagai berikut: 1. Hubungkan vektor A dan B, sehingga concurrent; 2. Dari ujung depan (head) vektor B buatlah garis sejajar dengan vektor A; Demikian juga dari ujung depan vektor A buatlah garis sejajar dengan vektor B. Akibatnya terjadi perpotongan di titik P; 3. Tarik garis diagonal parallelogram ke titik P membentuk R (vektor resultan); R = A + B. Prinsip segitiga (triangle) Pada Gambar 2.4 dapat dilihat gambaran bagaimana operasi penjumlahan vektor dengan cara triangle. Mekanismenya adalah sebagai berikut : 1. Hubungkan ujung depan vektor A dengan ujung belakang vektor B; 2. Tarik garis dari ujung belakang vektor A sampai ujung depan vektor B; 3. Garis yang dibentuk pada langkah 2) merupakan vektor resultan (R).

MODUL AJAR MEKANIKA TEKNIK

23

MODUL 2. OPERASI VEKTOR & VEKTOR GAYA

Penjumlahan vektor bersifat komulatif, dimana R = A + B = B + A.

Gambar 2.4. Prinsip Triangle Baik prinsip parallelogram ataupun prinsip segitiga, untuk mengetahui besarnya resultan vektor (resultan gaya) menggunakan hukum cosinus dan untuk mengetahui arah resultan vektor (resultan gaya) menggunakan hukum sinus (Gambar 2.5).

Gambar 2.5. Hukum Sinus dan Cosinus Hukum Cosinus (2.1)

Hukum Sinus (2.2)

Namun ada pula penjumlahan antara 2 (dua) vektor yang collinier. 2 (dua) vektor dikatakan collinier adalah jika 2 (dua) vektor tersebut mempunyai arah gaya yang sama. Sehingga prinsip penjumlahan antara 2 (dua) vektor yang collinier menggunakan prinisp penjumlahan skalar, bukan parallelogram ataupun triangle. Gambar 2.6 menggambarkan prinsip penjumlahan 2 (dua) vektor yang collinier.

MODUL AJAR MEKANIKA TEKNIK

24

MODUL 2. OPERASI VEKTOR & VEKTOR GAYA

Gambar 2.6. Penjumlahan 2 (dua) Vektor yang Collinier Mengacu pada Gambar 2.6 di atas, maka persamaan untuk penjumlahan 2 (dua) vektor yang collinier adalah sebagai berikut : (2.3)

Dimana R, A dan B merupakan besaran skalar. Operasi pengurangan Operasi pengurangan vektor pada dasarnya menggunakan prinsip penjumlahan vektor. Bisa dikatakan sebagai penjumlahan vektor kasus khusus. Yaitu salah satu vektor yang akan dijumlahkan dibalik arahnya, sehingga besarannya menjadi negatif (-). Pada Gambar 2.7 dapat dilihat gambaran proses pengurangan 2 (dua) vektor.

Gambar 2.7. Prinsip Pengurangan 2 (dua) Vektor. Pada Gambar 2.7 dapat dilihat mekanisme pengurangan antara 2 (dua) vektor. Vektor A dikurangi dengan vektor B. Vektor B dibalik arahnya menjadi -B. Kemudian vektor A di ”jumlahkan” dengan vektor -B, bisa dengan prinsip parallelogram ataupun segitiga. (2.4)

MODUL AJAR MEKANIKA TEKNIK

25

MODUL 2. OPERASI VEKTOR & VEKTOR GAYA

2.2.3. Resultan Gaya dan Komponen Gaya Prinsip yang digunakan untuk mencari besarnya resultan gaya adalah menggunakan prinsip penjumlahan vektor sebagaimana dijelaskan pada sub bab 2.2.2, yaitu dengan prinsip parallelogram atau segitiga.

Gambar 2.8. Resultan Gaya Gambar 2.8 menggambarkan bagaimana menentukan besarnya resultan gaya. Vektor gaya F1 akan dijumlahkan dengan vektor gaya F2 (Gambar 2.8 (a)). Gambar 2.8 (b) menggambarkan prinsip parallelogram, dan Gambar 2.8 (c) menggambarkan prinsip segitiga. Kedua cara tersebut sama-sama menghasilkan resultan vektor gaya (FR). Prinsip parallelogram dan segitiga tersebut juga bisa digunakan untuk mengetahui besarnya komponen gaya (uraian gaya) yang bekerja pada arah sumbu tertentu. Gambar 2.9 menunjukkan bagaimana cara mengetahui komponen gaya dari suatu gaya F pada arah sumbu u dan v. Gambar 2.9. (a) menunjukkan cara parallelogram dan Gambar 2.9. (b) menunjukkan cara segitiga. Pada prinsip parallelogram, untuk mengetahui besarnya komponen gaya arah sumbu-u (Fu), maka dari ujung gaya F ditarik garis sejajar terhadap sumbu-v sampai memotong sumbu-u. Begitu juga jika ingin mengetahui komponen gaya arah sumbu-v (Fv), maka dari ujung gaya F ditarik garis sejajar sumbu-u sampai memotong sumbu-v.

Gambar 2.9. Komponen Gaya

MODUL AJAR MEKANIKA TEKNIK

26

MODUL 2. OPERASI VEKTOR & VEKTOR GAYA

2.2.4. Penjumlahan Beberapa Gaya Realita jumlah gaya atau komponen gaya yang bekerja pada suatu sistem (partikel) bisa lebih dari dua (banyak). Untuk mencari besarnya resultan gaya, maka langkah yang harus dilakukan adalah mencari resultan setiap 2 (dua) komponen gaya. Pada Gambar 2.10 ditunjukkan suatu sistem yang terdiri atas 3 (tiga) komponen gaya, yaitu F1, F2 dan F3, dengan posisi seperti gambar. Untuk mencari FR, maka dicari terlebih dulu resultan gaya antara F1 dan F2, yaitu FR1 = F1 + F2. Kemudian FR merupakan penjumlahan antara F3 dengan FR1 (FR = FR1 + F3 = F1 + F2 + F3).

Gambar 2.10. Penjumlahan 3 (tiga) gaya. Latihan 2.1. Pada sebuah sekrup (screw eye) bekerja gaya F1 dan F2 (Gambar 2.11). Tentukan besar dan arah dari resultan gayanya.

Gambar 2.11. Latihan 2.1 Jawab: Buat

parallelogram

dan

model

segitiga

dari

soal

di

atas

(Gambar 2.12).

MODUL AJAR MEKANIKA TEKNIK

27

MODUL 2. OPERASI VEKTOR & VEKTOR GAYA

(a)

(b)

Gambar 2.12. Parallelogram dan Segitiga untuk Latihan 2.1

Besarnya  ditentukan dengan menggunakan hukum sinus.

Arah FR ( = phi) diukur dari garis horizontal:

Latihan 2.2. Uraikan gaya horizontal 600 lb menjadi komponen-komponen gaya yang bekerja sepanjang sumbu u dan sumbu v. Tentukan pula besar dari masing-masing komponen gaya tersebut.

MODUL AJAR MEKANIKA TEKNIK

28

MODUL 2. OPERASI VEKTOR & VEKTOR GAYA

Gambar 2.13. Latihan 2.2 Jawab: Dengan prinsip parallelogram (Gambar 2.14-a) buat garis dari gaya 600 lb sejajar sb-v sampai berpotongan dengan sb-u (titik B). Dan dari 600 lb sejajar sb-u sampai berpotongan dg sb-v (titik C). Sehingga dari titik A ke titik B = Fu, dan dari titik A ke titik C = Fv. Kemudian dengan menggunakan prinsip segitiga, besarnya Fu dan Fv dapat diketahui (Gambar 2.14-b).

(a)

(b)

Gambar 2.14. (a) Parallelogram, (b) Prinsip Segitiga Latihan 2.1

MODUL AJAR MEKANIKA TEKNIK

29

MODUL 2. OPERASI VEKTOR & VEKTOR GAYA

2.2.5. Coplanar Forces Jika gaya diuraikan menjadi komponen gaya sepanjang sumbu-x dan sumbu-y, maka komponen-komponen gaya tersebut disebut dengan Rectangular Components. Panyelesaian permasalahan rectangular component tersebut menggunakan notasi skalar (scalar notation) atau notasi vektor Cartesian (Cartesian vector notation).

(a)

(b)

Gambar 2.15. Parallelogram untuk Notasi Skalar Gambar 2.15 di atas menggambarkan komponen rectangular yang menggunakan penyelesaian model notasi skalar. (2.5) (2.6) (2.7)

Atau bisa menggunakan prinsip proporsionalitas segitiga seperti pada persamaanpersamaan berikut : (2.8) (2.9)

MODUL AJAR MEKANIKA TEKNIK

30

MODUL 2. OPERASI VEKTOR & VEKTOR GAYA

Untuk notasi vektor Cartesian, komponen gaya pada arah x dan y diuraikan dalam bentuk vektor Cartesian i dan j seperti pada Gambar 2.16.

Gambar 2.16. Unit Vektor Cartesian (2.9)

Untuk mencari besarnya resultan dari gaya coplanar (Coplanar force) adalah dengan menguraikan setiap gaya menjadi komponen-komponen gaya arah sumbu-x dan arah sumbu-y (Fx dan Fy). Kemudian resultant gaya diperoleh dengan menjumlahkan masing-masing resultan komponen gaya dengan prinsip parallelogram. Latihan 2.3. Tentukan besarnya resultan gaya dari gaya-gaya pada Gambar 2.17.

Gambar 2.17. Latihan 2.3 Jawab: Gaya-gaya

di

atas

diuraikan

ke

dalam

sumbu-x

dan

sumbu-y

sebagai berikut (Gambar 2.18).

MODUL AJAR MEKANIKA TEKNIK

31

MODUL 2. OPERASI VEKTOR & VEKTOR GAYA

Gambar 2.18. Uraian Gaya Sumbu-x dan Sumbu-y Dari Gambar 2.18 diperoleh uraian masing-masing gaya sebagai berikut : F1

=

F1x i + F1y j

F2

=

-F2x i + F2y j

F3

=

F3x i – F3y j

Sehingga besarnya resultan gaya adalah : FR

Jika

=

F1 + F2 + F3

=

F1x i + F1y j - F2x i + F2y j + F3x i – F3y j

=

(F1x - F2x + F3x) i + (F1y + F2y - F3y) j

=

(FRx) i + (FRy) j

diselesaikan

dengan

menggunakan

notasi

skalar,

maka

besarnya resultan gaya adalah sebagai berikut.

FRx

=

F1x - F2x + F3x

(+)

FRy

=

F1y + F2y – F3y

(+)

Secara simbolis, gaya-gaya coplanar merupakan penjumlahan aljabar dari semua komponen gaya pada arah-x dan arah-y.

MODUL AJAR MEKANIKA TEKNIK

32

MODUL 2. OPERASI VEKTOR & VEKTOR GAYA

Gambar 2.19. Resultan Gaya Coplanar Mengacu pada Gambar 2.19, besarnya rasultan gaya arah sumbu-x, resultan gaya arah sumbu-y dan resultan gaya total dapat diperoleh dengan Persamaan 2.10 sampai Persamaan 2.12. (2.10) (2.11) (2.12)

Sedangkan arah resultan gaya coplanar () dapat ditentukan dengan menggunakan prinsip trigonometri pada Persamaan 2.13. (2.13)

Latihan 2.4. Hitung besarnya komponen x dan y dari F1 dan F2 yang bekerja pada boom berikut (Gambar 2.20). Nyatakan setiap gaya tersebut dalam bentuk vektor cartesian

MODUL AJAR MEKANIKA TEKNIK

33

MODUL 2. OPERASI VEKTOR & VEKTOR GAYA

Gambar 2.20. Gambar Latihan 2.4 Jawab: Cara sederhana untuk menguraikan gaya F1 dan F2 adalah dengan notasi

skalar.

Komponen

gaya

F1

diperoleh

dengan

prinsip

parallelogram (Gambar 2.21-a) dan komponen gaya F2 diperoleh dengan prinsip proporsionalitas segitiga (Gambar 2.21-b).

(a)

(b)

Gambar 2.21. Prinsip Parallelogram vs Proporsionalitas Segitiga Dari Gambar 2.21 (a) diperoleh : F1x

=

F1y

=

-200sin30 N = -100 N = 100 N  200cos30 N =

173 N = 173 N 

Sedangkan dari Gambar 2.21 (b) diperoleh :

MODUL AJAR MEKANIKA TEKNIK

34

MODUL 2. OPERASI VEKTOR & VEKTOR GAYA

Dengan cara yang sama diperoleh:

Sehingga besarnya gaya F1 dan F2 jika ditulis dalam bentuk vektor Cartesian adalah sebagai berikut: F1

=

{-100 i + 173 j} N

F2

=

{240 i - 100 j} N

Latihan 2.5. Suatu tautan (link) terkena dua buah gaya F1 dan F2. Tentukan besar dan arah dari resultan gayanya.

Gambar 2.22. Latihan 2.5 Jawab: A. Penyelesaian dengan cara notasi skalar:

Besarnya gaya resultan adalah:

MODUL AJAR MEKANIKA TEKNIK

35

MODUL 2. OPERASI VEKTOR & VEKTOR GAYA

Sedangkan arahnya adalah:

B. Penyelesaian dengan cara notasi vektor Cartesian: F1 =

{600cos30 i + 600sin30 j} N

F2 =

{-400sin45 i + 400cos45 j} N

FR =

F1 + F2

=

(600cos30 N - 400sin45 N) i + (600sin30 N + 400cos45) j

=

{236.8 i + 582.8 j} N

2.2.6. Cartesian Vektor Pada sub-bab sebelumnya, semua gaya ataupun komponen gaya bekerja pada bidang 2 dimensi (2D). Untuk gaya-gaya ataupun komponen gaya yang bekerja pada bidang 3 dimensi (3D), vektor-vektor gaya direpresentasikan ke dalam bentuk vektor-vektor Cartesian (Cartesian vectors).

Gambar 2.23. Vektor A dalam Koordinat x, y, z Pada Gambar 2.23 di atas vektor A bisa mempunyai satu, dua atau tiga komponen rectangular sepanjang koordinat x, y dan z. Untuk mencari berapa besarnya vektor A tersebut digunakan prinsip parallelogram. Dimana vektor A diuraikan menjadi beberapa komponen yaitu: A = A’ + Az, dan A’ = Ax + Ay.

MODUL AJAR MEKANIKA TEKNIK

36

MODUL 2. OPERASI VEKTOR & VEKTOR GAYA

Dalam ranah 3D sekumpulan unit vektor Cartesian i, j dan k digunakan untuk menggambarkan arah sumbu x, y dan z. Sehingga representasi vektor A pada Gambar 2.23 di atas dalam bentuk unit vektor Cartesian dapat dilihat pada Gambar 2.24.

Gambar 2.24. Vektor A dalam Representasi Vektor Cartesian

(2.14)

Untuk menentukan besarnya vektor A di atas dapat dilihat pada Gambar 2.25, dimana terdapat segitiga berwarna biru dan abu-abu.

Gambar 2.25. Besar Vektor A Dari segitiga warna biru: (2.15)

MODUL AJAR MEKANIKA TEKNIK

37

MODUL 2. OPERASI VEKTOR & VEKTOR GAYA

Dari segitiga warna abu-abu: (2.16) Sehingga besarnya vektor A adalah : (2.17)

Setelah mengetahui besarnya vektor A, maka arah vektor A ditentukan dengan menggunakan Gambar 2.26 berikut.

Gambar 2.26. Arah Vektor A Mengacu Gambar 2.26, arah vektor A dalam koordinat 3D adalah :  (alpha),  (beta), dan  (gamma). Diperoleh dengan cara mengukur dari ujung belakang (tail) vektor ke arah sumbu x, y dan z positif. Untuk menentukan besarnya  (alpha),  (beta), dan  (gamma) dapat melihat Gambar 2.27.

(a)

(b)

(c)

Gambar 2.27. Arah Vektor 3D

MODUL AJAR MEKANIKA TEKNIK

38

MODUL 2. OPERASI VEKTOR & VEKTOR GAYA

Dari Gambar 2.27 diperoleh :

(2.18)

Terdapat cara lain untuk menentukan arah vektor A, yaitu dengan mengunakan unit vektor uA pada arah vektor A.

(2.19)

Sehingga :

(2.20)

INGAT......

Jika besar dan koordinat vektor A sudah diketahui, maka besarnya vektor A jika ditulis dalam bentuk vektor Cartesian adalah :

(2.21)

2.2.7. Penjumlahan Vektor Cartesian Penjumlahan (atau pengurangan) dua buah vektor akan menjadi mudah kalau keduanya diekspresikan dalam bentuk komponen-komponen Cartesian. Sebagai contoh adalah penjumlahan antara vektor A dan vektor B berikut.

MODUL AJAR MEKANIKA TEKNIK

39

MODUL 2. OPERASI VEKTOR & VEKTOR GAYA

Sehingga bisa disimpulkan bahwa besarnya resultan gaya merupakan penjumlahan vektor dari semua gaya-gaya yang berkerja. Jika ditulis dalam bentuk persamaan, dapat dilihat pada Persamaan 2.22.

(2.22)

Latihan 2.6. Nyatakan

gaya

F

pada

Gambar

2.28

dalam

bentuk

vektor

Cartesian.

Gambar 2.28. Latihan 2.6 Jawab: Dari Gambar 2.28 di atas, besarnya  belum diketahui.

Ada 2 kemungkinan jawaban,  = +0.5 dan  = –0.5, sehingga:

atau Karena arah Fx adalah pada sumbu-x positif, maka nilai  yang memenuhi adalah 60. Dengan menggunakan Persamaan 2.21, dan memasukkan F = 200 N, maka diperoleh:

MODUL AJAR MEKANIKA TEKNIK

40

MODUL 2. OPERASI VEKTOR & VEKTOR GAYA

Latihan 2.7. Tentukan besar dan sudut arah koordinat dari resulatan gaya yang bekerja pada ring berikut.

(a)

(b)

Gambar 2.29. Latihan 2.7 Jawab: Kedua gaya pada Gambar 2.29 (a) ditulis dalam bentuk vektor Cartesian. Sehingga besarnya resultan gaya pada Gambar 2.29 (b) adalah:

Besarnya FR adalah :

Sudut

arah

koordinat

ditentukan

dengan

menggunakan

unit

vektor.

Sehingga:

MODUL AJAR MEKANIKA TEKNIK

41

MODUL 2. OPERASI VEKTOR & VEKTOR GAYA

2.3. Rangkuman  Vektor mempunyai besar dan arah. Contoh vektor adalah gaya, momen dan posisi.  Operasi penjumlahan dan pengurangan vektor menggunakan prinsip parallelogram atau segitiga.  Resultan vektor diperoleh dengan menggunakan hukum cosinus, dan arah resultan diperoleh dengan menggunakan hukum sinus.  Untuk menjumlahkan beberapa gaya atau komponen gaya dilakukan perdua gaya atau komponen gaya.  Gaya koplanar adalah gaya yang diuraikan menjadi komponen-komponen gaya arah sumbu-x dan sumbu-y, atau disebut juga dengan Rectangular components.  Penyelesaian gaya koplanar menggunakan cara notasi skalar atau notasi vektor Cartesian.  Vektor Cartesian digunakan untuk merepresentasikan gaya atau komponen gaya 3 dimensi.

2.4. Referensi a)

Hibbeler, (2010). Engineering Mechanics: Static, 12th. ed.

MODUL AJAR MEKANIKA TEKNIK

42

MODUL 2. OPERASI VEKTOR & VEKTOR GAYA

2.5. Latihan Soal 1.

Tentukan besarnya resultan gaya dan arahnya jika diukur berlawanan jarum jam dari sumbu-x positif.

2.

Tentukan besarnya resultan gaya dan arahnya () jika diukur berlawanan jarum jam dari sumbu-x positif.

3.

Tentukan besarnya resultan gaya dalam bentuk vektor Cartesian.

MODUL AJAR MEKANIKA TEKNIK

43

MODUL 2. OPERASI VEKTOR & VEKTOR GAYA

4.

Jika besarnya resultan gaya yang bekerja pada bracket adalah FR = {-300i + 650j + 250k} N, tentukan besar dan sudut arah koordinat dari F.

MODUL AJAR MEKANIKA TEKNIK

44

MODUL 2. OPERASI VEKTOR & VEKTOR GAYA

2.6. Lembar Kerja ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... .........................................................................................................................................

MODUL AJAR MEKANIKA TEKNIK

45

MODUL 2. OPERASI VEKTOR & VEKTOR GAYA

......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... .........................................................................................................................................

MODUL AJAR MEKANIKA TEKNIK

46

MODUL 2. OPERASI VEKTOR & VEKTOR GAYA

......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... .........................................................................................................................................

MODUL AJAR MEKANIKA TEKNIK

47

MODUL 2. OPERASI VEKTOR & VEKTOR GAYA

2.7. Jawaban 1.

721 N; 43.9

2.

31.2 N; 39.8

3.

FR = {490i + 683j – 266k} lb

4.

F = 1.15 kN;  = 131;  = 70.5;  = 47.5

MODUL AJAR MEKANIKA TEKNIK

48