Pe Luang

BAB 2 PELUANG Standar Kompetensi : 1. Menggunakan aturan statistik, kaidah pencacahan dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar

: 1.4 Menggunakan

aturan

perkalian,

permutasi

dan

kombinasi dalam pemecahan masalah 1.5 Menentukan ruang sampel suatu percobaan 1.6 Menentukan

peluang

suatu

kejadian

dan

penafsirannya

Alokasi waktu : 52 jam pelajaran (26 x pertemuan) Dilaksanakan : pada pertemuan ke-11 s.d 36 Rangkuman Materi A. Kaidah pencacahan (Aturan Perkalian dan Penjumlahan) Jika suatu peristiwa terjadi dengan p cara yang berbeda dan ada peristiwa lain terjadi dengan q cara yang berbeda, maka kedua peristiwa itu dapat terjadi dengan : 1.

m.n cara berbeda (aturan perkalian)

yang ditandai dengan kata perangkai “ dan “ 2.

(m + n) cara berbeda (aturan penjumlahan)

Yang ditandai dengan kata perangkai “atau” Contoh ; 1.

Seorang anak akan menempuh perjalanan dari kota A

ke C dengan rute perjalanan sebagai berikut : B1

C1 C2 C3

B2

C1 C2 C3

A

.C

Dari gambar di atas, terlihat ada 6 rute berbeda dari kota A ke C, yang diperoleh dari 2 rute dari A ke B dan masing-masing 3 rute dari B ke C, sehingga banyaknya rute dari A ke C adalah 2.3 = 6 rute berbeda. 2.

Ibu ingin menempuh perjalanan dari kota P ke Q

dengan rute seperti gambar berikut: Dari gambar disamping, terlihat rute perjalanan dari P ke Q yaitu : x

-

melalui P – x – Q ada 2.3 = 6

rute P

-

Q

melalui P – y – Q ada 1.2 = 2

rute Sehingga banyaknya ada 6+2 = 8 rute Y

perjalanan dari P ke Q

B. Pengisian Tempat yang Tersedia (Filling Slots) Dalam pembahasan mengenai filling slots ini biasanya berkaitan dengan angka atau bilangan. Contoh 1.

Disediakan bilangan-bilangan 1,2,3,4 dan 5 yang akan dibuat nomor

peserta yang terdiri dari 3 angka. Beberapa banyak bilangan ganjil yang dapat terbentuk jika tidak boleh terdapat angka yang sama. Jawab : untuk menyelesaikan soal di atas buatlah 3 kotak I

II

III

Karena yang diminta bilangan ganjil, maka yang dapat menempati kotak/ kolom ke III hanya 3 angka yaitu : 1, 3 dan 5. Setelah kolom III terisi kemudian kotak ke III diisi dengan angka lain yang belum diletakkan di kotak III yaitu 5-1 = 4, demikian seterusnya untuk kotak satu dengan 4-1 = 3 angka. 1,3,5

Secara skema seperti berikut : 3

4

Jadi banyak bilangan = 3 . 4 . 3 = 36 angka

3

2.

Dari bilangan-bilangan 3,5,6,7,9,2 akan disusun bilangan yang

terdiri dari empat bilangan yang berbeda dan lebih besar dari 3.000. Berapakah banyak bilangan yang terbentuk? Jawab : Buatlah kotak seperti berikut! I

II

III

IV

Bilangan yang dapat menempati : Kolom I

: 3,5,6,7,9 (5 buah)

Kolom II

: 5 buah

Kolom III

: 4 buah

Kolom IV : 3 buah Sehingga banyak bilangan yang terbentuk 5.5.4.3 = 300 buah C. Definisi dan Notasi Faktorial Bilangan Asli Notasi dan definisi faktorial adalah n! dibaca n factorial, n ∈ bilangan asli yang artinya perkalian bilangan bulat positif dari 1 sampai dengan n atau ditulis : n! = n x (x-1) x (n-2) x ….x 2 x 1 Contoh : 1.

2 1 3 2 . 6. 5 + 1. 6 + 3 60 + 6 + 3 69 + + = = = 4! 5! 6! 6! 6! 6!

2.

(k + 2)! (k + 2) (k + 1) (k) (k − 1)! = = k (k + 1) (k + 2) (k - 1)! (k − 1)!

3.

9! 9. 8. 7. 6! = = 252 2! 6! 2. 1. 6!

4. Hitung n jika

(n + 2)! = 30! n

Jawab : (n + 2)! (n + 2) (n + 1) n! = = 30 n n!

(n + 2) (n+1) = 30 n2 + 3n + 2 – 30 = 0 n2 + 3n – 28 = 0 (n + 7) (n – 4) = 0 n = -7 atau n = 4 n = -7 (tidak memenuhi) Jadi n = 4 Catatan 1! = 1 dan 0! = 1 D.

Permutasi dan Permutasi Siklis 1.

Pengertian permutasi dan penentuan banyaknya permutasi a.

Permutasi dari k unsur dan n unsur dimana n ≥ k, adalah

semua urutan yan berbeda yang mungkin dari k unsur diambil dari n unsur yang berbeda. b.

Banyak permutasi k unsur dari n unsur disimbolkan : P atau Pkn atau p (n, k)

n k

c.

Nilai dari : P =

n k

n! (n − k)!

Contoh : 1) a. b.

Hitung! P

8 5

P4 6 P2

10

jawab ; a. a. 8P5 =

8! 8 . 7 . 6 . 5. 4. 3! = = 8.7.6.5.4 = 6.720 (8 − 5)! 3!

10! (6 − 2)! 10. 9 . 8 . 7 . 6! 4! 10 . 9 . 8 . 7 . = . = = (10 − 4)! 6! 6! 6 . 5 . 4! 6.5

P4 = 6 P2

10

b.

168 2)

Tentukan nilai n jika 3P (n,2) + 20 = P (2n, 2)!

Jawab : 3.

n! 2n! + 20 = (n − 2)! (2n − 2)!

3.

(n) ( n − 1)( n − 2) (2n) (2n - 1) (2n - 2)! + 20 = (n − 2)! (2n − 2)!

3n (n – 1) + 20 = 2n (2n – 1) 3n2 – 3n + 20 = 4n2 – 2n 3n2 – 4n2 – 3n + 2n + 20 = 0 -n2 – n + 20 = 0 n2 + n – 20 = 0 (n – 4) (n + 5) = 0 n = 4 atau n = -5 (tidak memenuhi) jadi n = 4 2.

Permutasi dengan beberapa elemen yang sama a.

Permutasi dari n unsur dengan p, q, r, dan seterusnya unsur

yang sama dimana p < n, q < n, r < n, dan seterusnya Persamaan: P

n p,q,r

=

n! p!q!r!

Contoh 1) pada

Tentukan banyaknya susunan huruf yang berbeda suatu

baris

yang

dibentuk

dari

“SURAKARTA” Jawab : SURAKARTA terdiri dari n = 9 huruf Huruf A sebanyak p = 3 Huruf R sebanyak q = 2

huruf

pada

kata

Jadi banyaknya susunan huruf yang berbeda = 9P3,2 =

9! 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3! 9.8.7.6.5.4 = = = 9.8.7.6.5.2 3! 2! 3! 2! 2

= 30.240 2)

Dalam sebuah keluarga terdiri dari ayah, ibu, 3 orang

anak laki-laki, 2 orang anak perempuan, dan kakek. Mereka duduk dalam satu baris, berapa banyak cara mengatur tempat duduk mereka? Jawab : Jumlah semua anggota keluarga

=8

Anak laki-laki (dianggap sama)

=3

Anak perempuan (dianggap sama)

=2

Jadi banyaknya cara = 8P3,2 = b.

8! 8 . 7. 6 . 5 . 4 . 3! = =3.360 3! 2! 3! 2!

Permutasi dari n unsur yang disusun r unsur dan terdapat

unsur yang sama P=

Pr n! = k! (n − r) ! k!

n

Contoh dari kata “BANDAR LAMPUNG” akan disusun 4 huruf secara acak, berapa banyak susunan huruf yang mungkin? Jawab : kata “BANDAR LAMPUNG” terdiri dari n = 13 dan r = 4. Huruf yang sama A = 3, N = 2. Jadi banyak susunan huruf yang mungkin = P 13! 13 .12 . 11 . 10 . 9! = = = 1430 3! 2! (13 − 4)! 3! 2! 9! 3 . 2 . 2 13 4

3.

Permutasi berulang

Jika terdapat n unsur akan disusun r unsur dan boleh ada unsur yang sama atau berulang, maka permutasinya dirumuskan sebagai berikut :

P (berulang) =nr

n r

Contoh : Disediakan angka-angka 1,2,3,4, dan 5 akan disusun 3 angka -3 angka dan boleh ada angka yang sama. Jawab : n=5 r=3 Jadi 5P3 (berulang) = 53 = 125 4.

Permutasi siklis a.

Permutasi siklis adalah permutasi yang disusun melingkar

b.

Jika ada n unsur berbeda akan disusun melingkar, maka

banyaknya susunan yang mungkin adalah :

Contoh : Jika terdapat enam rang yang akan duduk melingkar, dengan 2 orang yang selalu duduk berdekatan, maka berapa cara yang mungkin? Jawab : -

Dua orang yang selalu duduk berdekatan kita anggap satu

orang, sehingga cara pengaturan 2 orang ini adalah 2P2 = 2! -

Dua orang kita anggap satu, sehingga terdapat 5 orang yang

akan duduk melingkar dengan banyak cara pengaturan duduk nPn (siklis) = (n – 1)! = (5 – 1)! = 4! -

Jadi banyak cara pengaturan duduknya ada = 4! 2! = 4 . 3 .

2 . 1 . 2 = 48 LEMBAR KERJA SISWA Isilah titik-titik berikut dengan jawaban yang benar!

1.

Penta akan pergi ke kota C dari kota A melalui B, jika dari A

ke B ada 4 jalan, dari kota B ke C ada 3 jalan. Berapa banyak cara Penta berangkat dari A ke C dan kembali ke A lagi dengan tidak melewati jalan yang sama. Jawab :

Dibuat ilustrasi seperti berikut Jadi berangkat dari A ke C A

B

C

adalah = (4) (…) = …..

Kembali ke A, karena tidak boleh lewat jalan yang sama, maka ada = (….) (….) = …. Jadi total = (…) (….) = …. 2.

Disediakan bilangan-bilangan 3, 4, 5, 6, 7 dan 8, akan

disusun bilangan yang terdiri 3 angka. Tentukan banyak angka yang terbentuk jika angka tersebut lebih besar dari 500. Jawab :

karena yang diminta bilangan terdiri dari 3 angka maka dibuat tiga Kotak : I

II

III

Bilangan yang diinginkan lebih besar dari 500, jadi diisi mulai kotak I Yang mungkin masuk kotak I ada…. Bilangan sudah 1 bilangan di kotak II ada … bilangan seterusnya kotak III ada … bilangan sehingga bilangan yang mungkin dibentuk adalah (…) (….) (….) = … 3.

Lima orang A, B, C, D, dan E akan berfoto bersama secara

berjajar ada berapa banyak kemungkinan posisi foto jika : a.

A selalu diujung

b.

DE selalu berdekatan

Jawab : a) x x

A x x x x = 4! = …. Jadi ada … cara x x x = … = ….

b)

DE x x x = …! = …. Jadi ada … cara

ED x

x

x = …! = …

4.

Tentukan nilai n jika

(3n + 2)! = 3n! 56

Jawab : (3n + 2)! = 3n! 56 (3n + 2) (3n + 1) (3n!) = 3n! 56 ... .... ... = …. 56 … …. … = … … …. … = 0 (…) (…) = 0 n = … atau n = …. Jadi, n = …. 5.

Ibu mau meletakkan buku-bukunya dalam satu baris, jika

terdapat 4 buku fisika yang sama, 2 buku sosiologi dan 3 buku geografi maka terdapat berapa cara berbeda yang dapat dibuat oleh ibu untuk meletakkan buku-buku tersebut dengan masing-masing jenis pelajaran bukunya sama. Jawab :

Jumlah semua buku = n = …. Fisika = p = … Sosiologi = q = … Geografi = r = …

Jadi banyak cara berbeda = …P…,…,… =

... ... ... = = .... .... ....

Pelatihan 3 A. Berilah tanda silang (x) hururf a, b, c, d atau e pada jawaban yang paling benar! 1.

Dari angka 0, 1, 2, 3 akan disusun angka yang terdiri dari 4 angka

(ribuan), banyak susunan angka yang terbentuk adalah…

a.

24

c. 19

b.

20

d. 18

2.

e. 16

Pada suatu Konferensi hadir 7 negara, yaitu A, B, C, D, E, F dan G.

Bendera masing-masing negara akan dikibarkan pada tiang yang diatur menjadi satu baris (7 tiang). Banyaknya cara mengatur 7 bendera itu agar bendera negara A dan B terletak di ujung… a.

5! 2

b. 5! c.

7! 2

d. 2 (5!) 3.

Bila terdapat 8 formatur yang siap jadi pengurus Club PMR, dan

akan dipilih 1 orang ketua, 1 orang sekretaris, dan 1 orang bendahara, maka banyak cara memilihnya ada a.

436

b.

426

c.

336

d.

56

e.

42

4.

Tesedia angka : 0, 1, 2, 3, 4, 5 bila akan dibuat bilangan yang terdiri

4 digit (angka) tanpa ada bilangan yang berulang dan lebih besar dari 3000 ada sebanyak…. Bilangan

5.

a.

720

b.

360

c.

300

d.

210

e.

120→180 Disediakan huruf-huruf dalam kata “GALANG”, akan disusun

huruf-huruf yang terdiri dari 3 huruf, banyaknya susunan yang terbentuk adalah….

a.

24 →30

b.

18

c.

12

d.

6

e.

4

6.

50 siswa akan mengadakan karya wisata. Banyaknya cara untuk

memilih dua siswa sebagai ketua dan wakil ketua rombongan adalah…. Cara a.

25

b.

100

c.

1.225

d.

2.450

e.

2.500

7.

Banyak cara 5 orang untuk menempati 2 buah kursi yang tersedia

adalah…. a.

5

b.

6

c.

10

d.

20

e.

120

8.

Dari angka 0, 1, 3, 5, 7, dan 8 akan disusun bilangan yang terdiri

dari 4 angka yang berbeda, banyaknya susunan bilangan yang didapat jika bilangan tersebut lebih besar dari 3400 adalah…

9.

a.

206

b.

216

c.

234

d.

236

e.

248 Zakiyah mempunyai 7 gaun dengan dua pasang gaun sama persis

dan tiga yang lainnya berbeda, banyak cara menyusun 7 gaun tersebut dalam satu baris adalah…

a.

2520

b.

2100

c.

1960

d.

1260

e.

1060

10.

Terdapat keluarga tanpa ayah, mempunyai 3 putri dan 3 putra, bila

dalam posisi berjajar dengan ibu selalu di tengah, urutan yang berbeda yang dapat dibuat adalah… a.

9! 2!

b. 8! c. 7! d. 6! e.

7! 2!

11.

Ada 6 jalan antara A dan B dan 4 jalan antara B dan C. Banyak cara

dapat ditempuh dari A ke C melalui B pergi pulang adalah… cara a.

24

b.

144

c.

256

d.

512

e.

576

12.

Dari huruf ABCD dapat diurutkan dengan … cara a.

16

b.

18

c.

21

d.

24

e.

36

13.

Banyaknya bilangan yang terdiri atas 3 angka berlainan yang dapat

disusun dari angka-angka 1,2,3,4,5,6 dan … a.

6

b.

24

c.

210

d.

630

e.

1.260

14.

Disediakan

3

macam

hadiah

yang

masing-masing

senilai

Rp.150.000,00, Rp.100.000,00 dan Rp.50.000,00 akan diberikan kepada peserta balap sepeda sebanyak 10 orang, banyak cara yang mungkin adalah… a.

720

b.

710

c.

680

d.

620

e.

590

15.

Di sebuah toko buku, seseorang membeli 10 buku yang terdiri dari 2

buku tentang politik, 3 buku tentang agama, dan 5 buku novel. Yang tersedia di toko itu ada 5 buku tentang politik, 7 buku tentang agama, dan 8 buku novel. Banyak cara untuk memilih buku adalah… cara. a.

280

b.

8.400

c.

19.600

d.

6.950

e.

1.411.200

16.

Nilai n yang memenuhi persamaan (n+1)! = 2 . n! adalah… a.

0

b.

1

c.

2

d.

3

e.

4

17.

Nilai n yang memenuhi persamaan 3nP2 = 30 adalah… a.

5

b.

4

c.

3

d.

2

e.

1

18.

Disediakan angka 2, 3, 5, 6, dan 7 akan disusun angka yang terdiri

dari 3 angka yang lebih besar dari 450, banyaknya angka yang terbentuk adalah… a.

24

b.

32

c.

36

d.

45

e.

60

19.

Sepuluh bendera, 4 putih, 5 merah dan 1 hijau akan dijajarkan dalam

satu barisan dengan 10 tiang, banyak cara berbeda untuk meletakkan bendera tersebut adalah… a.

820

b.

860

c.

890

d.

1160

e.

1260

20.

Banyaknya cara sebuah organisasi dengan 20 angka dapat memilih

seorang ketua, seorang bendahara, dan seorang sekretaris adalah… cara a.

8.000

b.

8.840

c.

6.840

d.

6.400

e.

4.860

21.

Enam buku matematika dan 2 buku fisika yang berbeda disusun

pada sebuah rak buku, dengan buku matematika harus disusun secara bersama-sama \, maka banyak cara penyusunan yang mungkin adalah… a.

4.860

b.

4.320

c.

8.400

d.

8.460

e.

8.640

22.

Seorang anak mempunyai 3 baju, 4 celana dan 2 sepatu, banyak cara

memasangkan ketiga hal tersebut adalah… a.

36

b.

24

c.

18

d.

12

e.

9

23.

Banyak cara 6 orang duduk secara melingkar, jika yang seorang

selalu duduk di satu tempat duduk adalah… a.

144

b.

120

c.

60

d.

48

e.

42

f.

36

24.

Dari 7 orang pengurus sebuah organisasi akan dipilih seorang ketua,

wakil ketua, sekretaris dan bendahara. Banyak cara pemilihan tersebut adalah… a.

210

b.

250

c.

252

d.

420

e.

840

25.

Ada 6 siswa dan dan 2 guru duduk melingkar mengelilingi api

unggun, bila guru tersebut selalu berdampingan, maka banyak susunan duduk yang dapat terjadi adalah… a.

5!

b.

6!

c.

8! 2!

d.

7!

e.

8!

B. Jawablah soal berikut dengan singkat dan benar! 1.

Disediakan angka-angka 0, 1, 2, 3, 4 dan 5. Dari angka-angka

tersebut akan dibuat bilangan yang terdiri dari 3 angka. Jika tidak ada angka yang berulang, berapa banyak bilangan yang terbentuk. a.

Seluruhnya

b.

Bilangan genap

c.

Kurang dari 350

2.

Seseorang ingin pergi ke suatu tempat yaitu C, ia berangkat dari

kotanya A lewat B. Jika dari A ke B ada 4 jalan, dari B ke C ada 3 jalan, maka berapa banyak cara ia dapat pergi dari A ke C lewat B dan kembali lagi ke A lewat B dengan tidak melalui jalan yang sama? 3.

Berapa banyaknya cara menyusun kata yang terdiri dari empat huruf

dari kata “SURAKARTA”? 4.

Sebuah keluarga terdiri dari ayah, ibu dan lima orang anaknya.

Mereka akan berfoto dengan posisi sejajar, jika ayah, ibu selalu berdekatan dan si sulung harus selalu di tengah maka berapa banyak cara mereka dapat berpose. 5.

Perusahaan taksi memiliki 3 sopir dengan 4 taksi, jika seorang

pengusaha ingin menyewa 2 taksi beserta sopirnya. Ada berapa banyak cara berbeda untuk memasangkan sopir dan taksinya! E.

Kombinasi 1.

Pengertian kombinasi dan penentuan banyaknya kombinasi

Dari sekumpulan n unsur dapat disusun (diambil) k unusr dimana k ≤ n dengan tanpa memperhatikan urutannya dinamakan kombinasi k unsur dari n unsur yang dilambangkan nCk, Cnk atau C (n – k) dan dirumuskan : Ck =

n

n! (n − k)! k!

Catatan : Perbedaan antara permutasi dan kombinasi adalah sebagai berikut Permutasi = urutan diperhatikan (123 # 321) Kombinasi = urutan tidak diperhatikan (merah, biru = biru, merah) Contoh : 1)

Hitunglah nilai dari 8C6!

Jawab : C6 =

8

8! 8! 8. 7.6! = = ( 8 − 6)! 6! 2! 6! 2.1.6! = 28

2)

Tentukan nilai n dari 6 (nP2) = 5 (nC2) + 7 (nC3)!

Jawab : 6.

n! n! n! = 5. + 7. (n − 2)! (n − 2)! 2! (n − 3)! 3!

6n (n − 1) (n − 2)! 5n (n − 1) (n − 2)! 7n (n − 1) (n − 2) (n − 3) = + (n − 2)! (n − 2)! 2! (n − 3)! 3.2.1 6 n (n – 1) =

5n (n − 1) 7n (n − 1) (n − 2) + 2 6

36n (n – 1) = 15n (n – 1) + 7n (n – 1) (n – 2) 21n (n – 1) – 7n (n – 1) (n – 2) = 0 n (n – 1) [21 – 7 (n – 2)] = 0 n (n – 1) ( 21 – 7n + 14) = 0 n (n – 1) (-7n + 35) = 0 n = 0 atau n = 1 atau n = 5 Jadi yang memenuhi n = 5 3)

Dari sebuah kotak terdapat 5 kelereng putih dan 4

kelereng merah. Tentukan banyaknya cara pengambilan 2 kelereng sekaligus. Jika terambil 2 putih. Jawab :

C52 = =

5! (5 − 2)! 2! 5.4.3! 3!.2

= 10 cara

2.

Kombinasi dari unsur yang berbeda diambil sembarang banyaknya

sekaligus Banyaknya kombinasi C dari n unsur berbeda diambil 1, 2, 3, …, n sekaligus dirumuskan : C =2n – 1 Contoh : Jika kita mempunyai sejumlah barang berupa cincin, anting, gelang, kalung, jam tangan dan peniti, maka berapa banyak macam barang yang dapat diambil dari sekumpulan barang tersebut? N = 6, maka C = 2n-1 = 64 – 1 = 63 3.

Binomial Newton Jika n ∈ bilangan asli, maka :

a. (a + b)n

= nC0an + nC1an-1 b + nC2an-2 b2 + nC3an-3 b3 + … + nCnbn n

=

∑ k =0

b.

n

Ck a n − k bk

Jika (k1a + k2b) n, dimana k1 dan k2 adalah koefisien-

koefisien a dan b, maka suku ke-m adalah : Um = k1n-m+1. k2m-1. nCm-1 (an-m+1 bm-1) Contoh 1)

Uraikan (2a + 1)4!

Jawab : (2a + 1)4

= 4C0(2a)4 + 4C1 (2a)3 11 + 4C2 (2a)212 + 4C414 = 16 a4 + 4. 8a3 + 6. 4a2 + 2a + 1 = 16a4 + 32a3 24a2 + 2a + 1 Jika (3a + 2b)10 diuraikan atas suku-sukunya, maka

2)

berapakah suku ke-5! Jawab : U5

= 310-5+1. 25-1. 10C4. a10-5+1 . b5-1 = 36 . 24 .

10! 6 4 .a b 6! 4!

= (729) (16) .

10.9.8.7 6 4 .a b 4.3.2

= 244940 a6b4 Jadi suku ke-5 adalah 2.449.440 a6b4 Lembar Kerja Siswa 1.

Sebuah klub bulu tangkis mempunyai 6

pemain ganda yang siap untuk turnamen nasional antar klub, ada berapa pasang pemain yang dapat dibuat. Jawab : banyak pemain = n = 6 Untuk pertandingan ganda diperlukan pemain = r = … Jadi banyak pasangan yang mungkin adalah : C6… =

6! ..... ..... = = = .... (....)! (...)! ..... .....

2.

Tentukan nilai n jika (n+2)C3 = 5n

Jawab : C3 = 5n

(n+2)

(n + 2)! = 5n (n − 1)! 3! (n + 2)(n + 1)(...)(...)! = 5n (n − 1)! 3.2

(n + 2) (n + 1) (…) = …n (n + 2) (n + 1) (…) - … n = 0 n (n2 + … n + … - ….) = 0 n (n2 + … - …) = 0 n (n - …) (n + …) = 0 n = 0 atau n = … atau n = … jadi n = …

Buktikan Crn + Cr-1n = Crn +1

3. Jawab : ruas kiri : Crn + Cr-1n =

n! n! + (n − r)! r! (n − r + 1)! (r − 1)!

n! n! + r! = (n - r + 1)! r! (n − r + 1)! n − ... + ... ..... =

(n − ... + ....) n! + (....) n! (n − r + 1)! r!

=

(n − ... + ....) n! (n − r + 1)! r!

=

(n + ....) n! (n − r + 1)! r!

=

(.... + ....)! (n − r + 1)! r!

= Crn + 1 4.

Dalam sebuah tas terdapat 6 permen coklat, 4

permen kopi dan 2 permen buah. Jika akan diambil 3 permen sekaligus maka berapa banyak kemungkinan terambil 2 permen coklat dan sebuah permen kopi. Jawab :

permen coklat = 6 Permen kopi = 4

Permen buah = 2 Kemungkinan terambil 2 permen coklat dan 1 permen kopi adalah 6 C.... . C.... ... =

6! ..... ..... . = = .... ....... ..... ..... 12

1  Tentukan konstanta dari  2x 2 −  ! x 

5. Jawab : 12

1 1  Konstanta bentuk  2x 2 −  akan diperoleh saat a = 2x2; b = - berbentuk x x  a4 b8 sehingga lengkapnya berbentuk : 8

12! 12!  1  1  (...) 8  = (....) = .... = ....  = 12C… (2x )  − (12 − ....)! ....!  x  ....!....!  x 2 4

Pelatihan A. Berilah tanda silang (x) huruf a, b, c, d atau e pada jawaban yang paling benar! 1.

Seorang siswa diminta mengerjakan 8 soal dari 12 soal yang

disediakan, banyak cara pemilihan soal adalah… a.

460

b.

465

c.

470

d.

485

e.

495

2.

Himpunan H = {a, b, c, d, e, f}. Banyak himpunan bagian dari H

yang terdiri atas 3 elemen adalah…. a.

6

b.

10

c.

15

d.

20

e.

25

3.

Banyak segitiga yang berbeda yang dapat dibentuk dengan

menghubungkan keenam titik ujung dari sebuah segienam dengan titik-titik ujung dari setiap segitiga yang terletak pada segienam tersebut adalah… a.

60

b.

40

c.

20

d.

18

e.

14

4.

Seorang pelatih bola basket menentukan banyaknya atlet tim bola

basket yang ikut pertandingan lanjutan ada 9 atlet. Jika seorang atlet harus ikut, maka banyaknya tim yang harus dibentuk oleh pelatihan tersebut adalah… a.

15

b.

35

c.

70

d.

126

e.

2.024

5.

Jika P (n,4) = 30 C(n,5), maka nilai nP1 adalah…. a.

64

b.

32

c.

16

d.

8

e.

4 Suku kelima dari penjabaran (2x – y)8 adalah….

6. a.

70 x4y4

b.

1.120 xx4y4

c.

-112 x4y4

d.

-448 x3y5

e.

-70 x4y4

6

1  Dari penjabaran bentuk  xy −  , koefisien suku yang memuat x 

7.

x2y4 adalah… a.

28

b.

25

c.

24

d.

18

e.

15

8.

Seorang pembatik mempunyai pewarna 5 macam yaitu merah,

kuning, biru, coklat dan hijau. Ia ingin mencampuri 3 warna sekaligus untuk mendapatkan warna yang berbeda, banyak warna yang diperoleh adalah…. a.

20

b.

18

c.

16

d.

14

e.

10

9.

Di sepanjang jalan terdapat 8 tiap bendera lengkap dengan 8 bendera

berbeda, akan diambil 3 bendera untuk konvoi, banyaknya pasangan bendera yang mungkin adalah… a.

36

b.

48

c.

56

d.

65

e.

76

10.

Dalam suatu ruangan terdapat 8 kursi dan ada 10 orang yang akan

menempati kursi tersebut. Satu kursi hanya boleh diduduki oleh seorang. Banyaknya cara mereka duduk di kursi itu adalah…. Cara. a.

90

b.

80

c.

45

d.

10

e. 11.

8 Dari 15 orang sebagai tim pemain sepak bola, 2 orang diantaranya

khusus sebagai penjaga gawang. Banyaknya cara penyusunan kesebelasan dengan 10 pemain dan 1 penjaga gawang adalah…. a.

165 cara

b.

455 cara

c.

572 cara

d.

3432 cara

e.

log 20 cara 5

1   Suku kedua dari penjabaran  2x − 2  adalah… x  

12. a.

-80x2

b.

-60x2

c.

-80x

d.

-16x2

e.

-16x

13.

Diketahui 11 titik, tanpa 3 titik yang terletak pada satu garis.

Banyaknya garis yang dapat dilukis melalui dua titik adalah…. a.

18

b.

22

c.

33

d.

55

e.

110

14.

Sebuah kotak terdapat 8 bola merah, 6 bola biru dan 4 bola putih,

dari dalam kotak diambil 2 bola merah, 3 bola biru dan 2 bola putih secara bersamaan, banyak kemungkinan hasil pengambilan adalah… a.

3360

b.

3340

c.

3260

d.

3140

e.

3120

15.

Dari 4 apel merah, 5 hijau, dan 6 kuning, banyak kemungkinan

pilihan yang terdiri dari 9 apel jika setiap warna harus diambil tiga adalah…. a.

600

b.

750

c.

800

d.

860

e.

900

16.

Banyaknya segitiga yang dapat dibuat dari 7 titik tanpa ada tiga titik

yang terletak segaris adalah…. a.

30

b.

35

c.

42

d.

70

e.

210

17.

Dari 5 orang penyanyi diacak, 3 orang direncanakan akan menyanyi

di hotel A dan 2 orang menyanyi di hotel B, banyak cara formasi penyanyi yang mungkin dibentuk adalah…. a.

5

b.

10

c.

12

d.

15

e.

18

18.

Dua belas wanita akan dibagi menjadi dua kelompok, terdiri dari 8

wanita dan 4 wanita untuk kelompok yang lain, banyak cara yang dapat dilakukan adalah… a.

385

b.

395

c.

460

d.

475

e.

495

19.

Ali, Bagong, Candra dan Dadang akan bekerja secara bergilir.

Banyaknya urutan bekerja yang dapat disusun dengan syarat Ali selalu pada giliran terakhir adalah…. a.

3

b.

6

c.

12

d.

18

e.

24

20.

Banyaknya diagonal sebuah segi delapan adalah…. a.

48

b.

28

c.

20

d.

16

e.

12

B. Jawablah soal-soal berikut dengan singkat dan benar! 1.

Dari 50 orang anggota PKK entah dimana, 35 orang suka memasak,

20 orang suka menjahit dan 5 orang tidak suka keduanya. Akan dipilih 3 orang yang suka kedua-duanya. Berapa kemungkinan cara terpilihnya 3 orang tersebut. 2.

Dalam sebuah kotak terdapat 4 bola biru, 3 putih, dan 5 merah.

Diambil tiga bola sekaligus, berapakah kemungkinan terambil : a. 2 merah 1 biru,

b. salah satunya putih!

a) Jabarkan bentuk (2x-y)4 dengan binomial Newton!

3.

5

1   b) Dari bentuk  a 2 +  , tentukan suku ke 4 dan koefisien dari suku 2a  yang memuat a-2 4.

Dalam sebuah perjamuan makan, disediakan satu piring laku yang

terdiri dari 10 ayam goring dan 8 bebek goring. Jika masing-masing orang

mengambil secara acak maka berapa kemungkinan mendapatkan 2 ayam dan 1 bebek goring. 5.

Sebuah keluarga mempunyai 8 orang anak, suatu ketika ibunya mau

mengajak 4 orang anaknya pergi berbelanja. Jika anak yang bungsu harus ikut, tentukan banyaknya kemungkinan diajaknya ke4 anaknya. Ulangan Harian 2 A. Berilah tanda silang (x) huruf a, b, c, d atau e pada jawaban yang paling benar! 1.

Selesai suatu rapat kerja, para peserta ditawari paket wisata. Setiap

hari satu paket selama 3 hari dengan tidak boleh pilih paket yang sama. Jika ada 6 paket wisata maka banyak susunan paket wisata yang dapat dipilih adalah…. a.

18

b.

36

c.

72

d.

120

e.

216 Hasil dari 3P25 . C36 =

2. a.

600

b.

1.200

c.

1.400

d.

1.620

e.

1.800

3.

Banyak macam susunan huruf yang berbeda dari huruf-huruf

“KATULISTIWA” adalah…. a.

11!

b. c.

11! 2! 2!

d.

11! 2! 2! 2!

e.

5!

4.

Dari 10 soal yang tersedia, yang harus dikerjakan hanya 6 soal. Cara

pemilihan soal sebanyak…. cara. a.

5.040

b.

10! 4!

c.

10! 6!

d.

210

e.

60

5.

Nilai n yang memenuhi a.

2

b.

2 atau 3

c.

5

d.

5 atau 1

e.

6

6.

( n + 3)! ( n + 1)! 2! = 5n adalah….

Untuk membuat nomor peserta suatu lomba sepeda hias, akan dibuat

nomor yang terdiri dari 2 huruf depan kemudian diikuti 3 angka yang berbeda. Jika tersedia 3 huruf dan 6 angka maka banyak nomor peserta yang dapat dibuat adalah…. a.

360

b.

420

c.

560

d.

620

e.

720

7.

Banyak cara sebuah regu bola volley dapat menjadwalkan 3

pertandingan dengan 3 regu lainnya jika semuanya bersedia pada 5 kemungkinan hari yang berbeda adalah… a.

15

b.

30

c.

45

d.

60

e.

80

8.

Bilangan

antara

3.000

dan

5.000

akan

dibentuk

dengan

menggunakan 7 angka, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5 dan 6. Apabila setiap angka tidak boleh dibagi dalam setiap bilangan, maka banyak bilangan yang mungkin disusun adalah…. a.

720

b.

480

c.

360

d.

240

e.

120

9.

Hasil dari

a.

7 5

b.

8 5

c.

6 2

d.

5 6

e.

6 5

10.

P2 =… 10

4

Banyaknya nomor telepon yang terdiri atas 5 angka dari angka-

angka 1, 2, 3, 4, dan 5 dimana tidak boleh ada angka yang sama adalah…. a.

5

b.

12

c.

24

d.

120

e.

720

11.

Penelitian medis terhadap seseorang dikelompokkan menurut salah

satu dari 2 jenis kelamin, salah satu dari 4 macam golongan darah, dan salah satu dari 3 macam warna kulit. Banyaknya seluruh kriteria yang mungkin dalam penelitian medis tersebut adalah…. a.

8

b.

9

c.

12

d.

20

e.

24

12.

Banyak susunan yang berbeda jika kita ingin membuat sebuah

rangkaian lampu hias untuk acara 17 Agustus dari 4 lampu hijau, 3 lampu kuning dan 2 lampu merah adalah…. a.

116

b.

1200

c.

1260

d.

280

e.

1480

13.

Dalam suatu pesta terdapat 42 orang yang saling berjabat tangan,

banyaknya jabat tangan yang terjadi adalah…. a.

831

b.

846

c.

861

d.

875

e.

881

14.

Dalam suatu ujian terdapat 10 soal dari nomor 1 sampai nomor 10.

Jika soal no 3, 5 dan 8 harus dikerjakan dan peserta ujian hanya diminta mengerjakan 8 hari 10 soal yang tersedia, maka banyak cara seorang peserta memilih soal yang dikerjakan adalah…. Cara. a.

14

b.

21

c.

45

d.

66

e.

2520 Nilai r Cnr = 220 dan Prn = 1320 adalah…

15. a.

3

b.

4

c.

5

d.

6

e.

7

16.

Jika Q adalah himpunan huruf-huruf yang terdapat pada kata

PARADOKS, maka banyaknya himpunan bagian yang bercacah anggota 4 unsur adalah…. a.

28

b.

56

c.

64

d.

70

e.

99

Hasil dari 4C25 + 2C13 adalah….

17. a.

56

b.

46

c.

38

d.

36

e.

28 Jika Crn menyatakan banyaknya kombinasi r elemen dari n elemen

18.

dan C3n = 2n, maka C72n = … a.

160

b.

120

c.

116

d.

90

e.

80

19.

Jika (n+4)P11 : (n+3)P11 = 14 : 3, maka n = … a.

12

b.

11

c.

10

d.

9

e.

8

20.

Jika (2n.1) C(2n.3) = 105, maka n = … a.

5

b.

6

c.

7

d.

8

e.

9

21.

Suatu regu gerak jalan terdiri dari 7 orang, 5 orang pria dan 2 orang

wanita, banyak susunan baris berbaris yang dapat dibentuk jika asal terbentuk barisan (hanya dibedakan pria dan wanita saja) adalah…. a.

42

b.

36

c.

26

d. 21 e. 18 22. Banyak cara 8 orang dapat menginap dalam 2 kamar tripel dan 1 kamar dobel adalah… a. 260 b. 560 c. 580 d. 670 e. 860 6

1  23. Dari bentuk  2x 2 −  jika dijabarkan, koefisien dari suku yang memuat x3 x  adalah… a. -240 b. -180

c. -160 d. 160 e. 180 24. Di dalam suatu ruangan terdapat 3 kursi yaitu A, B, dan C. Jika terdapat 5 orang berbeda akan duduk di kursi tersebut dan masing-masing posisi duduk mempunyai arti berbeda maka banyak cara mereka duduk adalah…. Cara a. 60 b. 30 c. 20 d. 18 e. 15 25. Disediakan 6 buah angka 2, 3, 5, 6, 7 dan 9, akan dibuat bilangan yang terdiri dari 4 angka yang berlainan, jika bilangan yang diharapkan habis dibagi 5 maka banyaknya bilangan yang diperoleh adalah… a. 54 b. 60 c. 65 d. 68 e.

70

B. Jawablah soal berikut dengan benar! 1.

Suatu perusahaan real estate menawarkan kepada calon pembeli 3

tipe rumah, 3 macam pemanasan dan 2 bentuk garasi. Berapa macam rancangan rumah yang tersedia bagi calon pembeli? 2.

Misalkan kita mengadakan undian satu demi satu kepada 6 orang

dengan aturan anam yang terundi pertama kali berhak atas hadiah sebuah kulkas, nama kedua yang terundi berhak atas hadiah TV 20 inci. Sisanya diambil secara acak 2 orang berhak atas hadiah masing-masing TV 14 inci. Ada berapa cara hasil yang mungkin terjadi? 3.

Tentukan koefisien dari ; a.

x6y8 dalam penjabaran (x + 2y)14

b.

x5y6 dalam penjabaran (x – y)11!

4.

Dari 5 orang penari diacak, 3 orang direncanakan akan menari di

hotel P dan 2 orang menari di hotel Q dalam waktu yang bersamaan. Ada berapa cara hasil formasi penari yang mungkin! 5.

Dalam sebuah kantong terdapat 15 bola lampu, 8 diantaranya adalah

rusak. Akan diambil 3 bola lampu secara acak sekaligus, tentukan banyaknya kemungkinan pengambilan jika minimal ada satu bola lampu yang baik. 6.

Suatu ulangan terdiri dari 4 soal pilihan ganda, masing-masing

dengan 5 kemungkinan jawaban dan hanya satu yang benar. Berapa banyak kemungkinan susunan jawaban ulangan tersebut jika untuk setiap pertanyaan hanya diperbolehkan memilih satu kemungkinan. 7.

Disediakan angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7. Dari angka-angka

tersebut akan dibuat bilangan yang terdiri dari 4 angka. Jika tidak boleh ada angka yang berulang, berapa banyak bilangan yang dapat dibuat :

8. a.

a.

seluruhnya

b.

angka tersebut ganjil

c.

lebih dari 3.600! Tentukan nilai n dari persamaan berikut!

( n + 1)! ( n − 1)! = 5n + 5

b. 3P32n + 4 = 2P4n + 4 9.

Setumpuk buku yang terdiri dari 5 buku matematika, 4 buku sejarah,

dan 5 buku geografi. Jika Ali akan mengambil 5 buku sekaligus secara acak, berapa banyak kemungkinan pengambilan jika yang diinginkan 2 buku matematika, 1 buku sejarah dan 2 buku geografi. 10.

Dari lima kunci disusun dalam gelang tempat kunci. Tentukan

banyaknya cara penyusunan tersebut! Rangkuman Materi A. Pengertian Kejadian dan Ruang Sampel

Ruang sampel adalah semesta pembicaraan atau semua kejadian (peristiwa) yang mungkin muncul atau kejadian pada suatu percobaan. Biasanya disimbolkan dengan “S”. Kejadian adalah suatu kejadian (unsur) yang khusus dan merupakan himpunan bagian dari S. biasanya disimbolkan dengan huruf besar, misalnya kejadian A. Contoh : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {1, 4, 6} Ac = {2, 3, 5} Catatan : Ac = A1 = komplemen dari kejadian A atau kejadian tidak terjadinya kejadian A B. Pengertian Peluang Suatu Kejadian Suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A, maka peluang kejadian A ditentukan dengan persamaan sebagai berikut : P(A) =

n (A) k = n (S) n

Contoh! 1. Pada percobaan pelemparan tiga mata uang logam, tentukan : a.

banyaknya ruang sampel

b.

peluang kejadian muncul paling sedikit satu gambar

c.

peluang kejadian muncul dua angka

Jawab : a) Ruang sampel :

AAA

GGG jadi n (S) = 8

AAG

AGG

AGA

GAG

AGG

GAA

b) Muncul paling sedikit satu gambar, jadi n(A) = 8 – 1= 7

P (A) =

7 8

c) Muncul dua angka, jadi n (8) = 3 Jadi P (B) =

n (B) 3 = n (S) 8

2. Jika 2 dadu dilempar sekaligus satu kali, maka tentukan : a. Ruang sampel b. Peluang muncul 2 mata dadu berjumlah 6! Jawab : a) Ruang sampel Dadu 2

Dadu 1

1 2 3 4 5 6

1 (1,2) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)

2 (1,2) (2,3) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)

3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)

4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

b) Peluang muncul 2 mata dadu berjumlah 6 = (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) Jadi n (A) = 5 sehingga peluang muncul 2 mata dadu berjumlah 6 adalah : P(A) =

n (A) 5 = n (S) 36

C. Kisaran Nilai Peluang Jika P(A) adalah peluang muncul kejadian A, maka kisaran nilai P(A) adalah 0 ≤ P (A) ≤ 1 Untuk kejadian yang peluangnya = 0 dinamakan kejadian mustahil Untuk kejadian yang peluangnya = 1 dinamakan kejadian pasti Contoh : Tentukan peluang dari ;

1.

Angka dan gambar dalam pelemparan satu mata uang sekali

2.

Suatu hari manusia akan mati

Jawab : 1. Peluangnya = 0 (mustahil) 2. Peluangnya = 1 (pasti terjadi) D. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian Jika P(A) adalah kejadian A pada ruang sampel S, maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah ; Fn (A) = n x P(A) Contoh : Dari seperangkat kartu bridge akan dilakukan pengambilan secara acak sebanyak 260 kali. Tentukan frekuensi harapan terambilnya : a.

Kartu AS

b.

Kartu bernomor 4

c.

Kartu berwarna hitam

d.

Kartu hati

Jawab : 4 4 jadi Fh (AS) = .260 = 20 kali 52 52

a.

P(AS) =

b.

P (bernomor 4) =

4 1 1 = jadi Fh (bernomor 4) = 52 13 13

P (warna hitam) =

13 + 13 1 1 = , jadi Fh = .260 = 130 52 2 2

.260 = 20 kali c. kali d.

P (kartu hati) =

13 1 1 = , jadi Fh = .260 = 65 kali 52 4 4

E. Peluang Komplemen Suatu Kejadian Jika peluang munculnya kejadian A adalah P(A), maka kejadian tidak munculnya kejadian A adalah : Pc (A) = P1 (A) = 1 – P(A) Contoh : Sebuah dadu berbentuk segi delapan dengan nomor 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Berapa peluang munculnya mata dadu bukan bilangan kelipatan 3? Jawab : n (S) = 8 Kejadian muncul mata dadu bilangan kelipatan 3 → 3, 6 n (A) = 2 jadi, P(A) =

n (A) 2 1 = = n S) 8 4

sehingga peluang muncul mata dadu bilangan bukan kelipatan 3 adalah ; P’(A) = 1 – P (A) = 1 -

1 3 = 4 4

Lembar Kerja Siswa 1. Dari seperangkan kartu bridge ditambah 2 jokers. Tentukan peluang terambil secara acak : a. Sebuah kartu AS b. Sebuah kartu jokers c. Sebuah kartu berwarna hitam Jawab : banyaknya kartu bridghe + jokers = … + 2 = … a) Banyaknya kartu AS = r = …. Jadi P(AS) =

.... .... = ..... .....

b) Banyaknya kartu jokers = … Jadi P(jokers) =

.... .... = ..... .....

c) Banyaknya kartu berwarna hitam = … Jadi P(hitam) =

.... .... = ..... .....

2. Sebuah dadu bermuka 8 dilempar 200 kali, tentukan frekuensi harapan munculnya mata dadu prima Jawab : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} n (S) = … Kejadian A = {2, 3,, …., ….} → n (A) = … Fn (A) = P(A) . 200 kali =

n ( A) ..... .200 kali = . 200 kali = … kali n ( S) .....

3. Jika kemungkinan Amir diterima PTN adalah 67% maka tentukan kemungkinan Amir tidak diterima PTN. Jawab : P(A) = 765% jadi P(A’) = … - …. = …. - … = …. 4. Dari data hasil ulangan matematika di bawah ini : Nilai Frekuensi

5 6

6 9

7 12

8 8

9 5

Akan dipilih seorang siswa untuk mewakili lomba antar kelas, tentukan peluang terambil seorang siswa yang nilainya diatas nilai rata-rata. Jawab : x =

30 + ... + ... + 64 + ... .... = = ..... 40 ....

Banyak siswa yang nilainya di atas rata-rata = … Jadi P =

.... .... = ..... .....

5. Suatu keluarga mempunyai 3 orang anak, tentukan peluang mereka mempunyai 2 anak laki-laki dan 1 perempuan. Jawab : Sebelumnya dibuat kemungkinan ruang sampelnya Misalkan A = anak laki-laki dan B = anak perempuan Jadi ruang sampelnya :

AAA

BBB

AAB

BBA

ABA

BAB

ABB

BAA

jadi n(S) = …

Banyaknya kemungkinan 2A dan 1B adalah n(Q) = …

Jadi P(Q) =

n (Q) ...... = = …. n (S) ......

Pelatihan A.

Berilah tanda silang (x) pada huruf a, b, c, d atau e di depan

jawaban yang benar! 1.

Sebuah team nasyid mempunyai 8 vokalis dengan 5

orang bersuara bass dan 3 orang bersuara sopran, akan dipilih seorang lomba solo nasyid, peluang terpilih yang bersuara bass adalah… a.

3 5

b.

3 8

c.

5 8

d.

7 8

e. 1 2.

Tiga mata uang logam dilempar bersama-sama,

peluang munculnya 2 gambar dan 1 angka adalah… a.

2 3

b.

3 4

c.

1 2

d.

3 8

e.

5 8

3.

Sebuah dadu yang homogen bermata enam dilempar

satu kali, maka peluang untuk mendapatkan mata dadu 3 lebih adalah…

a.

1 6

b.

1 3

c.

1 2

d.

2 3

e.

5 6

4.

Dalam seperangkat kartu bridge, akan diambil sebuah

kartu acak, peluang terambilnya kartu AS adalah… a.

1 13

b.

2 13

c.

1 4

d.

1 2

e.

2 3

5.

Sebuah home industri mempunyai 6 karyawan laki-laki

dan 4 karyawan perempuan. Akan dipilih 3 orang karyawan untuk mengikuti diklat, peluang terpilih 2 perempuan dan 1 laki-laki adalah… a.

1 8

b.

1 6

c.

1 5

d.

3 10

e.

3 12

6.

Dua dadu dilempar bersama-sama 72 kali, maka

frekuensi harapan munculnya mata dadu berjumlah 3 atau 7 adalah… a.

20

b.

18

c.

16

d.

14

e.

12

7.

Sebuah kantong berisi 10 kelereng biru, 8 kelereng

kuning dan 2 kelereng merah. Sebuah kelereng diambil secara acak dari kantong. Peluang terambil kelereng biru atau kuning adalah… a.

16 20

b.

14 20

c.

12 20

d.

18 20

e.

7 20

8.

Bila sebuah permutasi dari kata “come” diambil secara

acak, peluang bahwa permutasi itu dimulai dengan huruf vokal adalah…. a.

1 5

b.

1 4

c.

1 3

d.

1 2

e.

2 5

9.

Jika sebuah huruf dipilih dari kata “WATIMENA”,

peluang terpilihnya huruf vokal adalah… a.

1 4

b.

1 3

c.

1 2

d.

1 5

e. 1 10.

Tiga buah dadu bermuka enam dilempar bersama-

sama, peluang muncul dadu yang berjumlah 5 a.

5 36

b.

1 18

c.

1 20

d.

1 36

e.

1 72

11.

Pada pelemparan 6 buah mata uang logam, peluang

munculnya gambar sebanyak dua buah atau lebih adalah… a.

29 32

b.

57 64

c.

15 64

d.

1 6

e. 12.

Diantara 30 siswa, 22 siswa suka matematika, 15 siswa

suka ekonomi dan 2 siswa tidak suka keduanya. Akan diambil seorang siswa secara acak, peluang terpilih siswa yang suka matematika saja adalah… a.

22 30

b.

16 30

c.

15 30

d.

14 30

e.

13 30

13.

Dalam sebuah kotak terdapat 10 permen gulas, 8

kopiko dan 12 nano-nano, dari kotak tersebut diambil sebuh permen, peluang terambil permen gulas adalah… a.

1 5

b.

1 4

c.

2 3

d.

1 3

e.

1 10

14.

Peluang bahwa sebuah bilangan puluhan merupakan

kelipatan 5 adalah… a.

18 90

b.

19 90

c.

19 45

d.

1 90

e.

17 81

15.

Tiga mata uang logam dilempar bersama-sama 240

kali, frekuensi harapan terambilnya satu gambar dan 2 angka adalah… a.

90

b.

100

c.

120

d.

130

e.

150

B.

Jawablah soal berikut dengan singkat dan benar! 1.

Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola putih, 6 bola

kuning dan 3 bola hitam. Dari dalam kotak diambil 3 sekaligus. Tentukan peluang terambil : a.

2 bola kuning dan 1 hitam

b.

paling sedikit 2 bola putih

2.

Pada pelemparan tiga buah dadu sekaligus, berapa

peluang hasil kali ketiga mata dadu yang muncul itu sama dengn 6? 3.

Tiga puluh peserta tes karyawan yang diadakan oleh

suatu perusahaan 10 diantaranya putri. Akan terpilih 5 orang untuk menjadi karyawan. Berapa peluang untuk diterima jika yang dipilih 3 putra dan 2 putri? 4.

Pada pelemparan 5 mata uang logam tentukan ;

a.

banyaknya ruang sampel

b.

peluang muncul 1 gambar dan 4 angka

c.

peluang muncul 2 gambar dan 3 angka

5.

Sejumlah kartu bernomor “2

2 4 1 3

2

1 5

7 3 8 5 2 3 2” akan diambil sebuah kartu secara acak dan diulang 150 kali tentukan frekuensi harapan terambil kartu bernomor bilangan prima. Pertemuan ke 25 s/d 36 F. Peluang Suatu Kejadian Majemuk 1.

Gabungan dua kejadian

Jika diketahui dua kejadian A dan B, maka gabungan keduanya adalah : Keterangan : (A∪ B) = kejadian A atau B (A ∩ B) = kejadian A dan B Contoh : Dari seperangkat kartu bridge diambil sebuah kartu. Jika A kejadian terambil kartu bergambar daun waru dan B kejadian terambil kartu AS, maka peluang muncul kejadian A atau B. Jawab : n(S)

= 52

n(A)

= 13

n(B)

=4

n(A∪B) = 1 P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

2.

=

13 4 1 + − 52 52 52

=

16 4 = 52 13

Kejadian-kejadian saling lepas

Dua kejadian disebut saling lepas jika A ∩ B = 0 sehingga P (A ∩ B) = 0 dengan demikian : P (A ∪ B) = P(A) + P(B)

Contoh Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola merah, 3 bola putih dan 4 bola hijau. Berapakah peluang terambilnya 1 bola merah atau 1 bola hijau pada sekali pengambilan? Jawab : A = kejadian terambil 1 bola merah → P (A) = B = kejadian terambil 1 bola hijau → P(B) =

5 12

4 12

(A ∩ B) = ∅ jadi, P (∪ B) = P (A) + P (b) – P (A ∩ B) = 3.

5 4 9 3 + -0= = 12 12 12 4

Kejadian bersyarat (kejadian tidak saling bebas)

Diketahui P (B) adalah peluang kejadian B, maka P (A B) didefinisikan sebagai peluang kejadian A dengan syarat kejadian B telah terjadi. Jika P (A ∩ B) = adalah peluang terjadinya A dan B maka : P (A ∩ B) = P (B) x P (A  B)

Atau

P (A B) =

P (A ∩ B) P(B)

Contoh : Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola putih dan 8 bola hitam. Diambil 2 bola berturut-turut satu persatu tanpa pengembalian. Berapa peluang terambilnya kedua bola hitam?

Jawab : n (S) = 5 + 8 = 13 Jika B kejadian terambil bola hitam yang pertama, P (B) =

8 13

Jika A kejadian terambil bola hitam kedua terjadi maka P (A B) = Sehingga P (A ∩ B) = P(B) x P (A B) = 4.

7 14 8 x = 13 12 39

Teorema Bayes

Teorema Bayes adalah adanya hubungan antara P (A B) dan P(B A) yaitu : P (A B) x P(A) = P (A B) x P(B) Contoh : Jika A dan B suatu kejadian pada ruang sampel S dengan P(A) = 0,35, P(B) = 0,25 dan P(A∩B) = 0,08 maka tentukan : Jawab : a.

P (A B) =

P (A ∩ B) 0,08 = = 0,32 P(B) 0,25

P(A∩B) = P(B∩A) = 0,08 b. 5.

P (A B) =

P (B ∩ A) 0,08 8 = = P(A) 0,35 3,5

Kejadian saling bebas

Kejadian saling bebas (stokhastik) adalah dua kejadian yang kemunculan kejadian yang satu tidak dipengaruhi kejadian lainnya. Diketahui 2 kejadian A dan B saling bebas (stokhastik), maka P (A B) = P(A), sehingga :

Jika A dan B dua kejadian saling bebas (stokhastik), maka Ac dan Bc juga merupakan kejadian saling bebas (stokhastik). Contoh :

S = AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG n(S) = 8 A = AGGG, GAG, GGA → n(A) = 3 B = AGG, GAG, GGA → n(B) = 3 P(A∩B) = P(A) x P(B) =

3 3 9 x = 8 8 64

Keterangan : kemunculan A dan B saling bebas Lembar Kerja Siswa 1.

Sebuah koind dan sebuah dadu bermata enam dilempar

bersama-sama, tentukan peluang muncul koin dengan muka gambar dan dadu bermata prima. Jawab :

Antara koin dan dadu tidak saling mempengaruhi maka kejadian ini saling bebas. Peluang muncul maka gambar dan mata dadu prima adalah P = P(G) . P(prima) =

.... ...... . ..... ......

=

...... .....

2.

Dua dadu biru dan hijau dilempar bersama-sama, jika A

kejadian muncul mata dadu berjumlah 6 dan B kejadian muncul mata dadu biru selalu angka 4, maka berapa peluang kejadian A atau B? Jawab : Hijau

1

2

3

4

5

6

(1,1) ….. (3,1) (4,1) ….. …..

(1,2) ….. ….. ….. ….. …..

(1,3) ….. ….. ….. ….. …..

(1,4) ….. ….. ….. ….. …..

(1,5) ….. ….. ….. ….. …..

(1,6) ….. ….. ….. ….. …..

Biru 1 2 3 4 5 6

n(S)

=…

A

= {(1,5), ….,…..,…..,……}

n(A)

= ….

B

= {(3,1), ….,….,….,….}

n(B)

= …

A∩B = {….} n(A∩B) = …. 3.

Di sebuah kelas terdapat 50 orang murid, 20 murid suka

pelajaran matematika dan 30 murid menyukai akuntansi. Diketahui 5 murid menyukai kedua-duanya. Tentukan peluang bahwa seorang murid di kelas tersebut menyukai matematika atau akuntansi. Jawab :

Agar lebih mudah dibuat dulu diagram himpunan Misal, A = siswa yang menyukai matematika B = siswa yang menyukai akuntansi

Sehingga diagram Vennnya adalah : 50

A

B n(S) = 50 …

n(A) = 20

15 5

n(B) = 30 n(A∩B) = …. n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)

Jadi P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = = 4.

20 .... ..... + − ..... ..... ..... ...... ...... = ...... ......

Tiga orang kandidat kepala sekolah saling bersaing

memperebutkan satu jabatan. Calon A dan B mempunyai peluang berhasil yang sama, sedangkan calon C mempunyai peluang berhasil dua kali lebih besar dari A maupun B. a.

Berapa peluang C berhasil?

b.

Berapa peluang B tidak berhasil?

PELATIHAN 6 A. Berilah tanda silang (x) huruf a, b, c, d atau e di depan jawaban yang paling benar! 1.

Tiga mata uang logam dan sebuah dadu dilempar sekali bersama-

sama, peluang muncul tiga gambar pada uang logam dan dadu bermata bilangan kelipatan 3 adalah … a.

1 12

b.

1 15

c.

1 20

d.

1 24

e.

2 24

2.

Dari setumpuk kartu bridge, akan diambil 3 kartu sekaligus secara

acak, peluang terambil 2 kartu AS dan 1 kartu Quen adalah… a.

2 5525

b.

3 5525

c.

4 5525

d.

5 5525

e.

6 5525

3.

Dalam sebuah kotak terdapat manik-manik, 6 berwarna biru, 3 putih,

dan 5 hitam dari dalam kotak akan diambil 3 manik-manik secara acak satu persatu tanpa pengembalian. Peluang terambil putih pada pengambilan pertama dan biru pada pengambilan kedua dan ketiga adalah…

a.

45 1183

b.

35 1185

c.

15 1183

d.

15 169

e.

45 169

4.

Seorang penembak mempunyai kemampuan membidik dengan tepat

sebesar 90%. Jika hasil bidikan yang diulang adalah bebas dan berkemampuan tetap, maka peluang menembak 3 kali dengan hasil untuk pertama kali meleset dan dua kali berikutnya tepat adalah… a.

0,81

b.

0,18

c.

0,09

d.

0,081

e.

0,027

5.

Sekeping uang logam dilemparkan 4 kali. Peluang muncul gambar 3

kali adalah… a.

0,2

b.

0,24

c.

0,25

d.

0,30

e.

0,50

6.

Seorang peneliti memprediksi dampak kenaikan harga BBM

terhadap kenaikan harga sembako dan kenaikan gaji pegawai negeri. Peluang harga sembako naik adalah 0,92 sedangkan peluang gaji pegawai negeri tidak naik hanya 0,15. Bila prediksi ini benar, maka besar peluang gaji pegawai negeri dan harga sembako naik adalah…. a.

0,78

b.

0,75

c.

0,68

d.

0,65

e.

0,12

7.

Sebuah kotak berisi lima bola merah dan tiga bola putih. Jika

diambil dua bola sekaligus dari kotak itu, peluang (probabilitas) bola yang terambil adalah bola merah dan bola putih adalah… a.

12 28

b.

13 28

c.

14 28

d.

15 28

e.

16 28

8.

Dalam sebuah tas berisi manik-manik berwarna-warni, 5 manik

hijau, 4 kuning dan 6 merah akan diambil 2 manik-manik satu per satu tanpa pengembalian, peluang terambil dua manik pertama warna merah dan kedua warna kuning adalah…. a.

4 35

b.

5 36

c.

6 36

d.

7 36

e.

8 35

9.

Misalkan A dan B adalah dua peristiwa lepas pada suatu eksperimen

dengan P(A) = 0,3 dan P(B) = 0,6. peluang munculnya peristiwa A atau B adalah…. a.

0,18

b.

0,3

c.

0,6

d.

0,8

e.

0,9

10.

Jika peluang seseorang untuk diterima di perguruan tinggi negeri

sebesar 0,05 dan peluang untuk diterima sebagai pembersih toko pada malam harinya adalah 0,14 maka peluang untuk diterima kedua-duanya…. a.

0,19

b.

0,07

c.

0,019

d.

0,007

e.

0,0019

11.

Pada suatu ujian peluang Rahma lulus 47% dan peluang Nurma

lulus 58%. Peluang bahwa hanya salah satu yang lulus adalah… a.

0,1974

b.

0,5048

c.

0,6048

d.

0,6104

e.

0,6148

12.

A, B, C, dan D akan berfoto bersama secara berdampingan. Peluang

A dan B selalu berdampingan adalah… a.

1 12

b.

1 6

c.

1 3

d.

1 2

e.

2 3

13.

Lima orang anak akan berfoto bersama berjajar, peluang seorang

dari mereka (misal ; A) selalu ditengah adalah… a.

1 6

b.

1 5

c.

1 4

d.

1 3

e.

1 2

14.

Suatu kantong berisi 6 bola putih dan 8 bola merah, diambil satu

bola dua kali berturut-turut tanpa pengembalian. Peluang bola yang terambil berlainan warna adalah… a.

48 91

b.

46 91

c.

48 81

d.

24 91

e.

24 81

15.

Pada suatu perlombaan loncat indah, peluang A akan menang 2 : 3

dan peluang B akan menang 1:4 maka peluang A dan B akan menang adalah…

a.

11 12

b.

2 2,5

c.

3 5

d.

3 25

e.

2 12

B. Jawablah soal berikut dengan singkat dan benar! 1.

Dari seperangkat kartu bridge diambil 2 kartu sekaligus, berapa

peluang muncul sebuah kartu As dan sebuah kartu bernomor tujuh? 2.

Nilai Frekuensi 31 – 40 2 kelompok 41 – 50 3 kelas II IS3. 51 – 60 7 tersebut diambil 61 – 70 8 Tentukan peluang 71 – 80 5 orang 81nilainya – 90 60 3 nilainya di atas 91 – 100 2 3.

Tabel disamping adalah data nilai Dari

ulangan

matematika

sekelompok

siswa

secara acak 8 siswa. siswa yang terambil 3 ke bawah dan 5 orang 60 dan maksimal 80.

Bila kode dalam sebuah catalog di perpustakaan dimulai dengan dua

huruf yang berbeda dan diikuti empat angka bukan nol yang berbeda, hitunglah peluang diperoleh kode yang diawali dengan huruf hidup dan keempat angkanya membentuk bilangan ganjil, jika pengambilannya secara acak. 4.

Tujuh mata uang logam dilempar bersama-sama, tentukan peluang

muncul 4 gambar dan 3 angka! 5.

Dari 42 siswa kelas II IS3, 23 siswa suka bakso dan 21 siswa suka

mie ayam, jika 8 orang tidak suka keduanya. Tentukan peluang terpilihnya dua orang yang suka keduanya.

ULANGAN HARIAN 3 A.

Berilah tanda silang (x) pada huruf a, b, c, d

atau e di depan jawaban yang benar! 1.

Sekeping

uang

logam

dilemparkan 6 kali berturut-turut. Peluang sekurang-kurangnya muncul sisi angka adalah… a.

1 64

b.

1 32

c.

1 2

d.

63 64

e.

54 63

2.

Sebuah kartu diambil dari

satu set kartu bridge. Peluang terambilnya kartu As atau kartu King adalah… a.

1 52

b.

3 52

c.

7 52

d.

2 13

e.

5 13

3.

Dari 25 siswa putri, 15

anak senang memasak dan 20 anak senang membaca. Dipilih seorang anak peluang mendapatkan satu anak yang senang memasak dan membaca adalah… a.

3 4

b.

5 7

c.

2 5

d.

1 25

e.

1 35

4.

Pada pelemparan 5 mata

uang logam, peluang muncul 3 angka dan 2 gambar adalah… a.

6 32

b.

9 32

c.

5 16

d.

3 16

e.

6 16

5.

Dari

seperangkat

kartu

bridge akan diambil 3 kartu secara acak. Peluang terambil 2 kartu King dan 1 kartu AS adalah… a.

4 5545

b.

3 5525

c.

6 5545

d.

8 5525

e.

6 5525

6.

Seorang anak melakukan

tiga tahap pemeriksaan kesehatan. Peluang ia dinyatakan sehat pada tiap tahap berturut-turut adalah 1/5, 1/3, 3/5 peluang anak tersebut sehat hanya pada tahap pertama adalah… a.

5 65

b.

7 75

c.

8 75

d.

9 75

e.

15 75

7.

Dalam sebuah keranjang

terdapat manik-manik hijau, 6 manik-manik putih, dan 10 manik-manik merah. Seorang anak akan mengambil 3 buah manik-manik satu per satu tanpa pengembalian, peluang terambil manik-manik hijau, merah dan terakhir putih adalah… a.

4 57

b.

3 57

c.

2 57

d.

1 114

e.

3 114

8.

Dua buah dadu dan dua

mata uang logam dilempar bersama-sama. Kejadian A adalah munculnya mata dadu berjumlah 8 dan B adalah kejadian munculnya paling sedikit angka. Peluang kejadian A dan B adalah…. a.

15 144

b.

17 144

c.

18 144

d.

160 144

e.

164 144

9.

Pada pelemparan dua buah

dadu, peluang munculnya mata dadu yang hasil kali dua dadu sama dengan 6 adalah… a.

1 18

b.

1 12

c.

1 9

d.

5 36

e.

1 6

10.

Dari

setumpuk

kartu

bridge diambil sebuah kartu secara acak. Peluang muncul kartu raja (king) adalah…

a.

1 52

b.

1 26

c.

1 13

d.

2 13

e.

1 4

11.

Dari

seperangkat

kartu

bridge diambil sebuah kartu acak peluang muncul kartu As atau kartu merah hati adalah… a.

18 52

b.

17 52

c.

16 52

d.

8 13

e.

6 13

12.

Jika 3 mata uang logam

dilempar bersama-sama, maka banyaknya anggota ruang sampelnya adalah…

13.

a.

3

b.

4

c.

5

d.

6

e.

8 Sebuah

koin

yang

seimbang dilempar 6 kali. Peluang muncul 3 gambar dan 3 angka adalah…

a.

5 16

b.

3 16

c.

6 16

d.

7 16

e.

9 16

14.

Dalam

sebuah

kotak

terdapat 4 topi merah, 2 topi hijau dan 5 topi putih, dari dalam kotak tersebut diambil 2 topi satu per satu dengan pengambilan secara acak. Peluang terambil paling sedikit 1 topi putih adalah… a.

42 121

b.

55 121

c.

53 121

d.

62 121

e.

68 121

15.

Dalam pemilihan pelajar

berprestasi, terdapat 5 siswa putar dan 4 siswa putri. Peluang terpilih dua orang pemenang satu putar dan satu putri adalah… a.

1 9

b.

2 9

c.

3 9

d.

4 9

e.

5 9

16.

Dari

seperangkat

kartu

bridge diambil 2 kartu sekaligus, peluang terambilnya 2 kartu tersebut king adalah… a.

1 221

b.

3 221

c.

4 212

d.

2 221

e.

5 221

17.

Tiga

bola

diambil

sekaligus secara acak dari dalam kotak yang berisi 6 bola merah, 7 bola hitam, dan 4 bola putih. Peluang terambil ketiganya berwarna merah adalah… a.

3 340

b.

1 34

c.

3 17

d.

6 17

e.

13 17

18.

Dalam pembentukan suatu

panitia bakti sosial, 5 wanita dan 8 pria mencalonkan diri. Dari semua calon

ini akan dipilih secara acak 3 orang sebagai pemimpin. Peluang terpilih 2 pemimpin pria adalah… a.

70 143

b.

64 143

c.

40 143

d.

14 143

e.

5 143

19.

Sebuah

dadu

bermata

delapan yaitu 1,2,3,4,5,6,7,8 peluang muncul mata dadu bilangan prima pada pelemparan dadu tersebut adalah… a.

1 5

b.

1 4

c.

1 3

d.

1 2

e. 1 20.

Jika

tiga

mata

uang

dilempar bersama-sama, maka peluang untuk memperoleh dua sisi muka dan satu sisi belakang adalah… a.

1 6

b.

2 6

c.

1 8

d.

2 8

e.

3 8

21.

Sebuah kotak berisi 3

buah kelereng putih dan 2 kelereng hitam. Pada pengambilan dua kali berurutan, peluang untuk mendapatkan sebuah kelereng hitam pada pengambilan pertama dan sebuah kelereng hitam pada pengambilan yang kedua adalah… a. 0,08 b. 0,10 c. 0,16 d. 0,20 e. 0,30 22.

Sebuah

permutasi

dari

kata “HOUSE” diambil secara random, peluang terambil bahwa permutasi itu mempunyai huruf hidup dan huruf mati berselang-seling adalah… a.

1 5

b.

1 8

c.

1 10

d.

2 5

e.

3 10

23.

Dalam

sebuah

yayasan

terdapat 8 wanita dan 6 pria sebagai calon pengurus harian, peluang terpilih 2 wanita dan 1 pria adalah… a.

6 11

b.

6 13

c.

4 13

d.

4 11

e.

7 13

24.

Sebuah kantong berisi 25

buah kelereng yang terdiri dari 10 kelereng merah dan yang lain berwarna putih. Diambil sekaligus dua kelereng secara acak. Peluang terambilnya dua kelereng merah adalah… a.

2 3

b.

2 5

c.

3 5

d.

3 20

e.

7 20

25.

Dari 15 putra dan 10 putri

dipilih 5 orang pemain bulu tangkis yang terdiri 3 putra dan 2 putri, peluang terpilihnya 3 putra dan 2 putri adalah… a.

75 2518

b.

65 2518

c.

75 1518

d.

67 1518

e.

65 1518

B.

Jawablah soal di bawah ini dengan singkat

dengan benar! 1.

Dari

seperangkat

kartu

bridge akan diambil 3 kartu secara acak satu per satu. Tentukan peluang terambilnya kartu AS, kartu king dan kartu queen, jika diambil dan tidak dikembalikan! 2.

Sebuah uang logam tidak

seimbang sehingga peluang munculnya sisi gambar dua kali lebih besar daripada sisi angka. Jika uang tersebut dilempar undi 3 kali. Berapa peluang muncul dua sisi gambar dan satu sisi angka. 3.

Dalam pembentukan suatu

panitia amal, 10 wanita dan 6 pria mencalonkan diri. Dari semua calon akan dipilih secara acak 3 orang sebagai pimpinan. Tentukan peluang terpilih : a. ketiganya pria b. 2 wanita dan 1 pria 4.

Tiga ekor kuda yaitu A, B,

dan C sedang berpacu. Harapan untuk menang A adalah dua kali harapan menang B, dan harapan menang B adalah dua kali harapan menang C. a. Hitunglah peluang kemenangan A, B, dan C! b. Tunjukkan bahwa peluang B atau C menang adalah 5.

6

3 ! 7

mata

ung

logam

dilempar 320 kali bersama-sama, tentukan : a. Peluang muncul 4 angka dan 2 gambar b. Frekuensi harapan muncul 3 angka dan 3 gambar PELATIHAN AKHIR SEMESTER GASAL A. Berilah tanda silang (x) pada huruf a, b, c, d atau e di depan jawaban yang benar!

1.

Gambar di bawah ini menunjukkan hasil penjualan buku pelajaran

matematika (M), sosiologi (S), antropologi (A), geografi (G), dan ekonomi (E). untuk SMA entah dimana jika banyak buku dari kelima jenis di atas adalah 2520 maka banyak buku ekonomi yang terjual adalah… (E)

(A)

a. 271 (S)

b. 293

270480

1300 (G)

c. 361

1020 (M)

d. 371 e. 400

2. Nilai f

21-30 2

31-40 8

41-50 10

51-60 30

61-70 25

71-80 15

81-90 10

Nilai rata-rata dari data tersebut adalah…. a.

30

b.

53

c.

55

d.

55,5

e.

60,8

3. Nilai 80-89 70-79 60-69 50-59 40-49 3039 20-29 4.

f 2 8 10 30 25 15 10

Nilai mean data di samping adalah… a. 49,2 b. 50,7 c. 55,5 d. 57,5 e. 58,3

Hasil pengukuran lingkar kepala beberapa anak adalah : 20, 25, 22,

32, 28, 31, 26, 27, 38, 40, 21, 23, 24, 21, 35 dalam cm. Nilai rata-rata lingkar kepala tersebut adalah… cm a.

22,54

b.

24,53

c.

25,52

d.

27,53

e.

28,45

Berat 5. f

40-49 3

50-59 15

60-69 19

70-79 24

8089 21

90-99 8

Mean dari data tersebut adalah… a.

72,16

b.

73,23

c.

74,53

d.

75,83

e.

76,83

6.

Panjang interval kelas ditentukan 7, ujung bawah interval kelas ke-5

adalah 62. Jika kelas-kelas itu disusun dari kecil ke besar, maka nilai 54,5 berfungsi sebagai… a.

batas atas kelas interval ke-6

b.

batas bawah kelas interval ke-6

c.

batas kelas interval ke-5

d.

batas bawah kelas interval ke-4

e.

batas atas kelas interval ke-7

7. Nilai 60-64 tersebut 65-69 70-74 75-79 80-84

f 5 6 15 12 2

x

d

f.d

Rata-rata dari berat badan adalah….

0

a. 71,5 b. 72 c. 72,5 d. 73 e. 74

8.

Jangkauan semi interkuartil dari data : 9, 5, -4, 3, 7, 8, -2, 10

adalah… a.

3

b.

4

c.

4,5

d.

5

e. 9.

6 Diketahui rata-rata 3 bilangan adalah 3, rata-rata 4 bilangan yang

lain adalah 6,5. Jika ditambah sebuah bilangan menjadi 8 bilangan dan mempunyai rata-rata 5,5. Maka bilangan tersebut nilainya adalah… a.

4

b.

9

c.

10

d.

15

e.

44

10.

Perhatikan hasil ulangan matematika kelas II IPS pada SMU 25 di

bawah ini! 0 2 3 37 37 60 63 70 71 71 74 74 74 74 74 1) Hamparan = 20 2)

Mean = 60,83

40 71 75

42 54 57 59 71 71 72 73 75 90 91 100 3) Rataan kuartil = 64 4) Median = 71

Pernyataan yang benar adalah… a.

1, 2, dan 3

b.

1 dan 3

c.

2 dan 4

d.

4

e.

semua benar

11.

Modus dari data pada tabel

Nilai berikut 31-35 36-40 41-45 46-50 51-55 56-60

f 8 4 12 10 5 6

adalah… a. 40,5 b. 43 c. 44,5 d. 45 e. 45,5

12.

Empat kelompok siswa yang masing-masing terdiri dari 5, 10, 15

dan 10 orang rata-rata menyumbang uang ke suatu panti asuhan yatim piatu

sebesar Rp.2.000,-; Rp.5.000; Rp.3.000,- dan Rp.1.500,-. Tiap siswa ratarata menyumbang uang sebesar…. a.

Rp.287,5

b.

Rp.1150,-

c.

Rp.2.500,-

d.

Rp.2.875,-

e.

Rp.3.000,-

13.

Rataan 15 bilangan adalah 13,4. Rataan 8 bilangan yang pertama

adalah 12,5 sedangkan rataan 6 bilangan ke-2 adalah 15. bilangan ke-15 adalah…. a.

10

b.

11

c.

12

d.

14

e.

15

14.

Data : 22, 34, 10, 17, 43, 5, 42, 34, 14, 7, 23, 28, 39, 25, 35, 27, 37,

28, 28, 25, 14. Maka desil ke-4 dari data di atas adalah… a.

23

b.

23,8

c.

24,8

d.

25

e.

25,8

15.

Nilai rataan hitung ulangan matematika 40 siswa kelas II IPS2 adalah

75,5. Jika nilai 10 tidak diikutkan, nilai rataan hitung menjadi 80,0 maka nilai rataan 10 orang tersebut adalah… a.

45

b.

52

c.

62

d.

65

e.

72

16.Interval 51-54 adalah… 55-58 59-62 63-66 67-80 81-84

Dari data di samping, kuartil ke-3

Frekuensi 5 14 17 12 8 4

a. 63,5 b. 65,5 c. 66,5 d. 68,5 e. 71,5

17.

Perhatikan tabel berikut ini yang menunjukkan nilai, rataan dan

simpangan baku pada mata pelajaran kimia! Nama Yuda Fauzan Laras Afifah Dinda

Kelas II-1 II-2 II-3 II-4 II-5

Nilai 90 85 90 80 75

Rataan 80 80 85 70 70

Simpangan Baku 25 8 10 40 12

Maka kedudukannya yang lebih tinggi dalam mata pelajaran kimia berturutturut adalah… a.

Yuda, Fauzan, laras, Afifah, dan Dinda

b.

Yuda, Laras, Dinda, Afifah, dan Fauzan

c.

Dinda, Laras, Yuda, Fauzan, dan Afifah

d.

Laras, Dinda, Fauzan, Yuda dan Afifah

e.

Fauzan, Laras, Dinda, Yuda dan Afifah

18. Nilai Ujian 3 4 5 6 7 8 9 Frekuensi 3 5 12 17 14 6 3 Seorang siswa dinyatakan lulus jika nilai ujiannya lebih tinggi dari nilai rata-rata dikurangi 1. Dari tabel di atas, jumlah yang lulus adalah… siswa a.

52

b.

40

c. Nilai d. 0-9 e. 10-19 20-29 30-39 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99

38 f 23 3 20 67 205 245 213 147 77 34 8 1

19.

Nilai ulangan matematika 1.000 siswa

seperti

tabel di samping. Persentil ke-82 dari data di samping adalah… a. 55,32 b. 55,42 c. 55,52 d. 56,32 e. 56,42

20.

Simpangan baku dari sekelompok data tunggal 3, 6, 4, 7, 5 adalah…

a.

1 2

b.

1 2 2

c.

1 3 2

d.

2

e.

3

21.

Disediakan 2 huruf : A dan B, 6 angka : 2, 3, 4, 5, 6, 7. Akan dibuat

nomor undian dengan satu huruf di depan, 3 angka dan 1 huruf di belakang. Banyak nomor undian yang terbuat jika tidak boleh ada angka sama adalah… a.

100

b.

120

c.

160

d.

240

e.

280

22.

Disediakan angka-angka 2, 4, 5, 6 dan 7 akan disusun menjadi angka

yang terdiri dari 3 angka yang lebih besar dari 300 dan tidak boleh ada angka yang sama, banyaknya susunan angka yang didapat adalah… a.

60

b.

52

c.

48

d.

42

e.

36

23.

Ayah ingin melakukan perjalanan dari kota A ke kota C melalui kota

B. jika dari A ke B terdapat 3 bis dan dari B ke C ada 4 bis, maka banyak cara berbeda perjalanan ayah dari A ke C dan kembali ke A lagi dengan tidak boleh menggunakan bisa\ yang sama adalah… a.

28

b.

32

c.

60

d.

64

e.

72

24.

Sebuah kotak berisi 3 buah kelereng putih dan dua buah kelereng

hitam. Pada pengambilan dua kali berurutan, peluang untuk mendapatkan sebuah kelereng hitam pada pengambilan pertama dan sebuah kelereng hitam lagi pada pengambilan yang kedua adalah… a.

0,08

b.

0,20

c.

0,10

d.

0,30

e.

0,16

25.

Dari seperangkat kartu bridge, akan diambil sebuah kartu peluang

kartu yang terambil adalah kartu J atau keriting adalah… a.

4 13

b.

2 13

c.

1 13

d.

4 7

e.

2 7 8

2  Dari penjabaran bentuk  2 −  didapat koefisien x2 ada x 

26. a.

-2,688

b.

-488

c.

-8

d.

8

e.

488

27.

Dalam kotak terdapat 2 bola hijau, 4 bola biru, dan 5 bola kuning.

Diambil 3 bola sekaligus, maka peluang terambil 2 bola biru dan 1 bola kuning adalah… a.

1 165

b.

3 11

c.

6 165

d.

30 165

e.

12 165

28.

Banyak cara 12 buku dapat dibagi kepada A dan B sedemikian rupa

sehingga salah satu dapat memperoleh 9 buku dan yang lainnya 3 buku adalah…. a.

480

b.

440

c.

400

d.

220

e.

180

29.

Jika sebuah dadu dan sekeping mata uang diundi sekali bersama,

maka peluang untuk memperoleh gambar pada mata uang dan banyak mata ganjil pada dadu adalah… a.

1 12

b.

1 6

c.

1 4

d.

1 3

e.

1 2

30.

Di dalam penilaian pengurus kelas diperoleh 5 orang kandidat untuk

ketua 1, ketua 2, sekretaris, bendara dan humas. Banyak cara penyusunan pengurus kelas tersebut adalah…. a.

45

b.

60

c.

90

d.

100

e.

120

31.

Banyaknya jajaran genjang yang dapat dibentuk oleh sebuah

himpunan empat garis sejajar yang berpotongan dengan garis-garis pada himpunan 8 garis sejajar lainnya adalah…

32.

a.

32

b.

96

c.

126

d.

168

e.

186 Hasil dari

C52 . P13 =… C36

a.

3 2

b.

5 2

c. 1 d. 2 e. 3 33.

Sebuah dadu dilempar sekali, peluang yang muncul mata dadu prima

adalah… a.

1 6

b.

1 3

c.

1 2

d.

3 4

e.

2 3

34.

Dalam sebuah kotak berisi 4 bola merah, 5 bola putih dan 6 bola

kuning. Diambil 3 bola berturut-turut dengan tidak mengembalikan bola yang diambil sebelumnya. Peluang bahwa ketiga bola yang terambil semuanya berlainan warna adalah… a.

1 40

b.

8 225

c.

4 91

d. e.

34 455 1 5

35.

Pada pelemparan 4 buah mata uang logam, peluang munculnya dua

gambar dan dua angka adalah… a.

1 16

b.

3 16

c.

1 4

d.

5 16

e.

3 8

36.

Dari seperangkat kartu bridge diambil sebuah kartu peluang terambil

kartu “keriting” adalah…. a.

1 6

b.

1 5

c.

1 4

d.

1 2

e. 1 37.

Sebuah kotak berisi 5 bola hitam dan 3 bola putih. Diambil 2 bola

sekaligus dari kotak itu. Peluang terambil 2 bola hitam adalah… a.

4 5

b.

5 8

c.

2 5

d.

1 4

e.

5 14

38.

Dua buah dadu dilempar bewrsama sebanyak 90 kali. Frekuensi

harapan muncul mata dadu berjumlah lebih dari 8 adalah… a.

80

b.

25

c.

20

d.

10

e.

9

39.

Sebuh dadu dan sebuah mata uang logam dilemparkan bersama-

sama. Peluang dadu menunjukkan mata genap dan uang menunjukkan angka adalah… a.

1 2

b.

1 3

c.

1 4

d.

1 6

e.

1 12

40.

Di dalam sebuah kelas dengan siswa, terdapat 16 siswa suka menulis

cerpen dan 15 siswa suka membaca puisi, jika terdapat 6 siswa suka keduaduanya maka peluang terambilnya seorang siswa yang tidak suka keduanya adalah… a.

9 30

d.

6 30

b.

8 30

e.

5 30

c.

7 30

B. Jawablah soal berikut dengan singkat dengan benar! 1.

Perhatikan tabel distribusi frekuensi berikut ini! Nilai f Tentukan : 0-9 4 a. rataan hitung 10-19 20 20-29 36 b. simpangan rataan! 30-39 44 40-49 30 50-59 4 60-69 2 Jumlah 140

F(x) 2. 45

Dari ogif disamping,

40 35 30 25 20 15 10 5 0

hitunglah! a. modus b. desil ke-6 c. persentil ke-28

34,5 43,5 52,5 61,5 70,5 79,5 88,5 97,5

Frekuensi

3.

45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

149,5 154,5 159,5 164,5 169,5 174,5 Tinggi

Tentukan median dari histogram di atas! 4.

Dari suatu penelitian diperoleh data sebagai berikut :

Data Frekuensi Tentukan : a.

4 10

5 12 Q1

6 16

7 8

8 4

b.

Q2

c.

Q3

d.

Rataan kuartil

5.

Perhatikan data berikut!

Interval 30-34 35-39 40-44 45-49 50-54

x

f

d

42

2 4 10 16 8

0

fd

(x − x) (x − x )

2

(

f x−x

)

2

Dengan melengkapi tabel distribusi frekuensi di atas, tentukan : a. x mean b. Ds (deviasi standar)! 6.

Enam orang siswa A, B, C, D, E dan F akan duduk berjajar.

Tentukan : a.

peluang A, C dan F selalu berdekatan

b.

peluang D dan E selalu diujung kiri atau kanan

7.

Pada pelemparan 8 mata uang logam bersamaan, tentukan peluang

munculnya 3 gambar dan 4 angka! 8.

Dalam sebuah kelompok belajar yang terdiri dari 10 siswa ternyata 5

orang lulus matematika, 6 orang lulus ekonomi, dan 3 orang tidak lulus keduanya. Dari kesepuluh siswa diambil secara acak 4 siswa sekaligus. Tentukan peluang terambilnya 2 siswa yang lulus keduanya dan 2 siswa yang tidak lulus kedua mata pelajaran! Diketahui himpunan A = {x x2 – 3x – 10 < 0, x ∈ B}. Carilah

9.

banyak himpunan bagian dari himpunan A yang :

10.

a.

Terdiri dari tiga anggota atau 4 anggota

b.

Tidak termasuk himpunan bagian dengan 2 anggota! a. Dengan menggunakan Binomial Newton jabarkan :

i. (2a – b)

5

1  ii.  + y  y 

4

8

2  b. Dari bentuk  x 2 −  tentukan besar koefisien : x  i. suku yang memuat

1 x2

ii. Suku ke-5